// 来源：漢籍リポジトリ（Kanseki Repository）
// 条目：《四库全书》天文算法类
// 源仓（54 仓）：https://github.com/kanripo/KR3f0001；https://github.com/kanripo/KR3f0002；https://github.com/kanripo/KR3f0003；https://github.com/kanripo/KR3f0004；https://github.com/kanripo/KR3f0005；https://github.com/kanripo/KR3f0006；https://github.com/kanripo/KR3f0007；https://github.com/kanripo/KR3f0008；https://github.com/kanripo/KR3f0009；https://github.com/kanripo/KR3f0010；https://github.com/kanripo/KR3f0011；https://github.com/kanripo/KR3f0012；https://github.com/kanripo/KR3f0013；https://github.com/kanripo/KR3f0014；https://github.com/kanripo/KR3f0015；https://github.com/kanripo/KR3f0016；https://github.com/kanripo/KR3f0017；https://github.com/kanripo/KR3f0018；https://github.com/kanripo/KR3f0019；https://github.com/kanripo/KR3f0020；https://github.com/kanripo/KR3f0021；https://github.com/kanripo/KR3f0022；https://github.com/kanripo/KR3f0023；https://github.com/kanripo/KR3f0024；https://github.com/kanripo/KR3f0025；https://github.com/kanripo/KR3f0026；https://github.com/kanripo/KR3f0027；https://github.com/kanripo/KR3f0028；https://github.com/kanripo/KR3f0029；https://github.com/kanripo/KR3f0030；https://github.com/kanripo/KR3f0031；https://github.com/kanripo/KR3f0032；https://github.com/kanripo/KR3f0033；https://github.com/kanripo/KR3f0034；https://github.com/kanripo/KR3f0035；https://github.com/kanripo/KR3f0036；https://github.com/kanripo/KR3f0037；https://github.com/kanripo/KR3f0038；https://github.com/kanripo/KR3f0039；https://github.com/kanripo/KR3f0040；https://github.com/kanripo/KR3f0041；https://github.com/kanripo/KR3f0042；https://github.com/kanripo/KR3f0043；https://github.com/kanripo/KR3f0044；https://github.com/kanripo/KR3f0045；https://github.com/kanripo/KR3f0046；https://github.com/kanripo/KR3f0047；https://github.com/kanripo/KR3f0048；https://github.com/kanripo/KR3f0050；https://github.com/kanripo/KR3f0052；https://github.com/kanripo/KR3f0054；https://github.com/kanripo/KR3f0055；https://github.com/kanripo/KR3f0056；https://github.com/kanripo/KR3f0057
// 底本：SBCK、TZH、WYG
// 许可：Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0（CC BY-SA 4.0，沿用相同方式共享）
// 获取时间：2026-10-08 17:54:13
// 补注：本件为四库全书子部天文算法类之汇辑，取自漢籍リポジトリ天文算法類（KR3f）全部仓位；与四库总目著录书目不完全等同（kanripo 另含存目及增补之书），以各仓文首题名为准。
// 说明：本件由 Kanseki Repository 转写文本合并而成（去叶面标记与行末符），未经本站人工校勘；引用前请核原书。
// 册数：54　件数：657（件数＝kanripo 转写文件数，非原书卷数；各书卷数以原书目录为准）
// 结构：原刻行宽断行已归并为段落；卷次／篇次以 ## 标出。
// 缺字：Kanseki 私有区记法 &KRxxxx; 共 279 处，依本线惯例记作〔？〕（原码见 _kr_glyphs.json）。
// 清理：org 属性行 81 处、页次标记 76 处已去；整理时间：2026-10-09 14:54。

◆ 《周髀算經-漢-》（KR3f0001）
## 0
周髀算經序 積學齋徐乃昌臧書周髀算經二卷古葢天之學也以勾股之法度天地之高厚推日月之運行而得其度數其書出於商周之間自周公受之於商高周人志之謂之周髀其所從來遠矣隋書經籍志有周髀一卷趙嬰註周髀一卷甄鸞重述而唐之藝文志天文類有趙嬰註周髀一卷甄鸞註周髀一卷其曆算類仍有李淳風註周髀算經二卷本此一書耳至於本朝崇文緫目與夫中興館閣書目皆有周髀算經二卷云趙君卿述甄鸞重述李淳風等註釋趙君卿名爽君卿其字也如是則在唐以前則有趙嬰之註而本朝以來則是趙爽之本所記不同意者趙嬰趙爽止是一人豈其字文相類轉寫之誤耶然亦當以隋唐之書爲正可也又崇文緫目及李籍周髀音義皆云趙君卿不詳何代人今以序文考之有曰渾天有靈憲之文葢天有周髀之法靈憲乃張衡之所作實後漢安順之世而甄鸞之重述者乃是解釋君卿之所註出於宇文周之世以此推之則君卿者其亦魏晉之間人乎若夫乘勾股朱黃之實立倍差減并之術以盡開方之妙百世之下莫之可易則君卿者誠算學之宗師也嘉定六年癸酉十一月一日丁卯冬至承議郎權知汀州軍州兼管内勸農事主管坑冶括蒼鮑澣之仲祺謹書周髀算經序夫高而大者莫大於天厚而廣者莫廣於地體恢洪而廓落形修廣而幽清可以玄象課其進退然而宏逹不可指掌也可以晷儀驗其長短然其巨闊不可度量也雖窮神知化不能極其妙探賾索隱不能盡其微是以詭異之說出則兩端之理生遂有渾天葢天兼而並之故能彌綸天地之道有以見天地之賾則渾天有靈憲之文葢天有周髀之法累代存之官司是掌所以欽若昊天恭授民時爽以暗蔽才學淺昧鄰高山之仰止慕景行之軌轍負薪餘日聊觀周髀其㫖約而遠其言曲而中將恐廢替濡滯不通使談天者無所取則輙依經爲圖誠冀頽毁重仞之墻披露堂室之奥庻博物君子時逈思焉周髀題辭始讀周髀輙駭其艱怪及再一尋討不過乘方圓參兩以生勾股遂至于算數所不可及葢亦因天地自然之數耳故其書稱榮方學于陳子至畢思騖神卒無所用其智乃知謂天葢高固可坐而定者不誣也然周髀率以表影一寸度爲千里按李淳風所引宋元嘉十九年測影干交州夏至日影在表南三寸二分共得一尺八寸二分洛去交一萬一千里是不及六百里一寸也觀此則日徑千二百五十里去地八萬里之說又有不可盡據者故蔡邕謂周髀術數具存驗天多所違失又云周髀者即葢天之說也是以王任仲據葢天之說以駮渾儀爲桓君山所屈則周髀之術可睹矣又淳風别引宋書歷志二十四表影與今宋書相較則互有不同近刻宋書爲友人姚叔祥所校稱善本因舉此叚問之叔祥云于時政以不得周髀故貽足下今日之問耳併識于此以竢刋定繡水沈士龍題周髀以周人志之乃稱周髀而虞喜則謂天之體轉四方地體卑不動天周其上故云周其解周字又一義也然周髀之說奪于渾天如楊子雲八難卒無有能破之者惟梁武帝于長春殿講義别儗天體全同周髀以排渾天之論其後遂不復顯凡以世乏善算遂令眞秘湮屈余讀魏書有〔？〕人成公興傭賃宼謙之家爲其開舍南辣田謙之坐樹下算興時來看後謙之算七曜有所不了惘然自失興曰先生何爲不懌謙之曰我學算累年而近算周髀不合以此自媿且非汝所知何勞問也興曰先生試隨興語布之俄然便决謙之歎伏不測請師事之興後入嵩山石室尸解乃知周髀非僊眞有道算難遽合彼桓鄭蔡陸者恐未易以聲附子雲也武原胡震亨題周髀題辭
## 1
周髀算經卷上(南陵徐乃昌校勘經籍記)漢 趙 君卿 注北周漢中郡守前司隸臣甄鸞重述唐朝議大夫行大史令上輕車都尉臣李淳風等奉勑注釋明 趙 開美 校昔者周公問於商高曰竊聞乎大夫善數也(唐寅)(曰經文也)周公姓姬名旦武王之弟商高周時賢大夫善算者也周公位居冡宰德則至高尚自卑巳以自牧下學而上逹況其凡乎(唐寅曰此趙注也)請問古者包犧立周天曆度包犧三皇之一始畫八卦以商高善數能通乎微妙逹乎無方無大不綜無幽不顯聞包犧立周天曆度運章蔀之法易曰古者包犧氏之王天下也仰則觀象於天俯則觀法於地此之謂也夫天不可階而升地不可將尺寸而度邈乎懸廣無階可升蕩乎遐遠無度可量請問數從安出心昧其機請問其目商高曰數之法出於圓方圓徑一而周三方徑一而匝四伸圓之周而爲勾展方之匝而爲股共結一角邪適弦五政圓方邪徑相通之率故曰數之法出於圓方圓方者天地之形隂陽之數然則周公之所問天地也是以商高陳圓方之形以見其象因竒耦之數以制其法所謂言約㫖遠微妙幽通矣圓出於方方出於矩圓䂓之數理之以方方周匝也方正之物出之以矩矩廣長也矩出於九九八十一推圓方之率通廣長之數當須乘除以計之九九者乘除之原也故折矩故者申事之辭也將爲勾股之率故曰折矩也以爲勾廣三廣圓之周横者謂之廣勾亦廣廣短也股修四應方之匝從者謂之修股亦修修長也徑隅五自然相應之率徑直隅角也亦謂之弦旣方之外半其一矩勾股之法先知二數然後推一見勾股然後求弦先各自乘成其實實成勢化外乃變通故曰旣方其外或并勾股之實以求弦實之中乃求勾股之分并實不正等更相取與互有所得故曰半其一矩其術勾股各自乘三三如九四四一十六并爲弦自乘之實二十五減勾於弦爲股之實一十六減股於弦爲勾之實九環而共盤得成三四五盤讀如盤桓之盤言取而并減之積環屈而共盤之謂開方除之其一面故曰得成三四五也兩矩共長二十有五是謂積矩兩矩者勾股各自乘之實共長者并實之數將以施於萬事而此先陳其率也故禹之所以治天下者此數之所生也禹治洪水決流江河望山川之形定高下之勢除滔天之災釋昏蟄之厄使東注於海而無浸溺乃勾股之所由生也勾股圓方圖 弦實二十五朱及黃朱實六黃實一勾股方圓圖注趙君卿曰勾股各自乘併之爲弦實開方除之即弦也案弦圖又可以勾股相乘爲朱實二倍之爲朱實四以勾股之差自相乘爲中黃實加差實亦成弦實以差實減弦實半其餘以差爲從法開方除之復得勾矣加差於勾即股凡并勾股之實即成弦實或矩於内或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之矩以股弦差爲廣股弦并爲袤而股實方其裏減矩勾之實於弦實開其餘即股倍股在兩邊爲從法開矩勾之角即股弦差加股爲弦以差除勾實得股弦并以并除勾實亦得股弦差令并自乘與勾實爲實倍并爲法所得亦弦勾實減并自乘如法爲股股實之矩以勾股差爲廣勾弦并爲袤而勾實方其裏減矩股之實於弦實開其餘即勾倍勾在兩邊爲從法開矩股之角即勾弦差加勾爲弦以差除股實得勾弦并以并除股實得勾弦差令并自乘與股實爲實倍并爲法所得亦弦股實減并自乘如法爲勾兩差相乘倍而開之所得以股弦差增之爲勾以勾弦差增之爲股兩差増之爲弦倍弦實列勾股差實見弦實者以圖考之倍弦實滿外大方而多黃實黃實之多即勾股差實以差實減之開其餘得外大方大方之面即勾股并也令并自乘倍弦實乃減之開其餘得中黃方黃方之面即勾股差以差減并而半之爲勾加差於并而半之爲股其倍弦爲廣袤合令勾股見者自乘爲其實四實以減之開其餘所得爲差以差減合半其餘爲廣減廣於弦即所求也觀其迭相䂓矩共爲反覆互與通分各有所得然則統叙羣倫弘紀衆理貫幽入微鈎深致逺故曰其裁制萬物唯所爲之也釋圓方勾股注按君卿注曰勾股各自乘并之爲弦實開方除之即弦臣鸞曰假令勾三自乘得九股四自乘得十六并之得二十五開方除之得五爲弦也(寅曰五五二十五弦實四面之一也)注云按弦圖又可以勾股相乘爲朱實二倍之爲朱實四以勾股之差自相乘爲中黃實(寅曰勾股相乘其數一十二也)臣鸞曰以勾弦差二倍之爲四自乘得一十六爲左圖中黃實也(寅曰甄氏止注以勾股十二字之義)臣淳風等謹按注云以勾股之差自乘爲中黃實鸞云倍勾弦差自乘者苟求異端雖合其數於率不通(寅曰勾股之差其數一也自乘得一一如)注云加差實亦成弦實臣鸞曰加差實一并外矩青八得九并中黃十六得二十五亦成弦實也臣淳風等謹按注云加差實一亦成弦實鸞曰加差實并外矩及中黃者雖合其數於率不通(寅曰加差實之一於前文所言朱實四之上朱實之四爲二十)(四加一爲弦實二十五也)注云以差實減弦實半其餘以差爲從法開方除之復得勾矣臣鸞曰以差實九減弦實二十五餘十六半之得八以差一加之得九開之得勾三也臣淳風等謹按注宜云以差實一減弦實二十五餘二十四半之爲十二以差一從開方除之得勾三鸞云以差實九减弦實者雖合其數於率不通(顧應祥曰以差實一減弦實二十五)注云加差於勾即股臣鸞曰加差一於勾三得股四也注云凡并勾股之實即成弦實臣鸞曰勾實九股實十六并之得二十五也注云或矩於内或方於外形詭而量均體殊而數齊勾實之矩以股弦差爲廣股弦并爲袤臣鸞曰以股弦差一爲廣股四并弦五得九爲袤左圖外青也注云而股實方其裏臣鸞曰爲左圖中黃十六注云減矩勾之實於弦實開其餘即股臣鸞曰減矩勾之實九于弦實二十五餘一十六開之得四股也注云倍股在兩邊爲從法開矩勾之角即股弦差臣鸞曰倍股四得八在圖兩邊以爲從法開矩勾之角九得一也注云加股爲弦臣鸞曰加差一於股四則弦五也注云以差除勾實得股弦并臣鸞曰以差一除勾實九得九即股四弦五并爲九也注云以并除勾實亦得股弦差臣鸞曰以九除勾實九得股弦差一注云令并自乘與勾實爲實臣鸞曰令并股弦得九自乘爲八十一又與勾實九加之得九十爲實注云倍并爲法臣鸞曰倍股弦并九得十八者爲法注云所得亦弦臣鸞曰除之得五爲弦(寅曰以法十八除實九十)注云勾實減并自乘如法爲股臣鸞曰以勾實九減并自乘八十一餘七十二以法十八除之得四爲股也注云股實之矩以勾弦差爲廣勾弦并爲袤臣鸞曰股實之矩以勾弦差二爲廣勾弦并八爲袤注云而勾實方其裏減矩股之實于弦實開其餘即勾臣鸞曰勾實有九方在右圖裏以減矩股之實十六於弦實二十五餘九開之得三勾也注云陪勾在兩邉臣鸞曰各三也(寅曰倍之得六)注云爲從法開矩股之角即勾弦差加勾爲弦臣鸞曰加差二於勾三則弦五也注云以差除股實得勾弦并臣鸞曰以差二除股實十六得八勾三弦五并爲八也注云以并除股實亦得勾弦差臣鸞曰以并除股實十六得勾弦差二注云令并自乘與股實爲實臣鸞曰令并八自乘得六十四與股實十六加之得八十爲實注云倍并爲法臣鸞曰倍勾弦并八得十六爲法注云所得亦弦臣鸞曰除之得弦五也注云股實減并自乘如法爲勾臣鸞曰以股實十六減并自乘六十四餘四十八以法十六除之得三爲勾也注云兩差相乘倍而開之所得以股弦差增之爲勾臣鸞曰以股弦差一乘勾弦差二得二倍之爲四開之得二以股弦差一増之得三勾也注云以勾弦差增之爲股臣鸞曰以弦差二增之得四股也注云兩差增之爲弦臣鸞曰以股弦差一勾弦差二増之得五弦也注云倍弦實列勾股差實見弦實者以圖考之倍弦實滿外大方而多黃實黃實之多即勾股差實臣鸞曰倍弦實二十五得五十滿外大方七七四十九而多黃實黃實之多即勾股差實也注云以差實減之開其餘得外大方大方之面即勾股并臣鸞曰以差實一減五十餘四十九開之卽大方之面七也亦是勾股并也注云令并自乘倍弦實乃減之開其餘得中黃方黃方之面卽勾股差臣鸞曰并七自乘得四十九倍弦實二十五得五十以減之餘卽中黃方差實一也故開之卽勾股差一也注云以差減并而半之爲勾臣鸞曰以差一減并七餘六半之得三勾也注云加差於并而半之爲股臣鸞曰以差一加并七得八而半之得四股也注云其倍弦爲廣袤合臣鸞曰倍弦二十五爲五十爲廣袤合臣淳風等謹按列廣袤術宜云倍弦五得十爲廣袤合今鸞云倍弦二十五者錯也(寅曰勾廣一袤九股廣二袤八)注云而令勾股見者自乘爲其實四實以減之開其餘所得爲差臣鸞曰令自乘者以七七自乘得四十九四實大方勾股之中有四方一方之中有方十二四實有四十八減上四十九餘一也開之得一卽勾股差一臣淳風等謹按注意令自乘者十自乘得一百四實者大方廣袤之中有四方若據勾實而言一方之中有實九四實有三十六減上一百餘六十四開之得八卽廣袤差此是股弦差減股弦并餘數若據股實而言之一方之中有實十六四實有六十四減上一百餘三十六開之得六卽廣袤差此是勾股差減勾弦并餘數也鸞云令自乘者以七七自乘得四十九四實者大方勾股之中有四方一方之中有方十二四實者四十八減上四十九餘一也開之得一卽勾股差一者錯也(寅曰大方之中有四弦實故四)(其勾實得三十六減之餘六十四開其餘得八爲勾之廣袤差四其股實得六十四)(減之餘三十六開得六爲股之廣袤差所謂廣袤差者勾廣一而袤九股廣二而袤)(入廣袤相減之餘也)注云以差減合半其餘爲廣臣鸞曰以差一減合七餘六半之得三廣也臣淳風等謹按注意以差八六各減合十餘二四半之得一二一卽股弦差二卽勾弦差以差減弦卽各袤廣也鸞云以差一減合七餘六半之得三廣者錯也(寅曰以勾之廣)(袤差八減廣袤合十餘二半之爲勾之廣以股袤差六減廣袤合十餘四半之爲股)(之廣二注皆未瑩)注云減廣於弦卽所求也臣鸞曰以廣三減弦五卽所求差二也臣淳風等謹按注意以廣一二各減弦五卽所求股四勾三也鸞云以廣三減弦五卽所求差二者此錯也(寅曰甄鸞述說終此)周公曰大哉言數(唐寅曰此經文也)心逹數術之意故發大哉之數(唐寅曰此趙注也)請問用矩之道謂用表之宜測望之法商高日平矩以正繩以求繩之正定平懸之體將欲愼毫釐之差防千里之失偃矩以望高覆矩以測深臥矩以知遠言施用無方曲從其事術在九章環矩以爲圓合矩以爲方旣以追尋情理又可造製圓方言矩之於物無所不至方屬地圓屬天天圓地方物有圓方數有竒耦天動爲圓其數竒地靜爲方其數耦此配隂陽之義非實天地之體也天不可窮而見地不可盡而觀豈能定其圓方乎又曰北極之下高人所居六萬里滂沲四隤而下天之中央亦高四旁六萬里是爲形狀同歸而不殊塗隆高齊耽而易以陳故曰天似葢笠地法覆槃方數爲典以方出圓夫體方則度影正形圓則審實難蓋方者有常而圓者多變故當制法而理之理之法者半周半徑相乘則得方矣又可周徑相乘四而一又可徑自乘三之四而一又可周自乘十二而一故圓出於方(典實也)笠以寫天笠亦如葢其形正圓戴之所以象天寫猶象也言笠之體象天之形詩云何簑何笠此之義也天青黑地黃赤天數之爲笠也青黑爲表丹黃爲裏以象天地之位旣象其形又法其位言相方類不亦似乎是故知地者智知天者聖言天之高大地之廣遠自非聖智其孰能與於此乎智出於勾勾亦影也察勾之損益加物之高遠故曰智出於勾勾出於矩矩謂之表表不移亦爲勾爲勾將正故曰勾出於矩焉夫矩之於數其裁制萬物唯所爲耳言包含幾微轉通旋環也周公曰善哉善哉言明曉之意所謂問一事而萬事逹昔者榮方問於陳子榮方陳子是周公之後人非周髀之本文然此二人共相解釋後之學者謂之章句因從其類列於事下又欲尊而遠之故云昔者時世官號未之前聞曰今者竊聞夫子之道榮方問陳子能述商高之㫖明周公之道知日之高大日去地與圓徑之術光之所照日旁照之所及也一日所行日行天之度也遠近之數冬至夏至去人之遠近也人所望見人目之所極也四極之窮日光之所遠也列星之宿二十八宿之度也天地之廣袤袤長也東西南北謂之廣長夫子之道皆能知之其信有之乎而明察之故不昧不疑陳子曰然言可知也榮方曰方雖不省願夫子幸而說之欲以不省之情而觀大雅之法今若方者可教此道邪不能自料訪之賢者陳子曰然言可教也此皆算術之所及言周髀之法出於算術之妙也子之於算足以知此矣若誠累思之累重也言若誠能重累思之則逹至微之理於是榮方歸而思之數日不能得雖濳心馳思而才單智竭復見陳子曰方思之不能得敢請問之陳子曰思之未熟熟猶善也此亦望遠起高之術而子不能得則子之於數未能通類定高遠者立兩表望懸邈者施累矩言未能通類求勾股之意是智有所不及而神有所窮言不能通類是情智有所不及而神思有所窮滯夫道術言約而用博者智類之明夫道術聖人之所以極深而研幾唯深也故能通天下之志唯幾也故能成天下之務是以其言約其㫖遠故曰智類之明也問一類而萬事逹者謂之知道引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣故謂之知道也今子所學欲知天地之數算數之術是用智矣而尚有所難是子之智類單算術所包尚以爲難是子智類單盡夫道術所以難通者旣學矣患其不博不能廣博旣博矣患其不習不能究習旣習矣患其不能知不能知類故同術相學術教同者則當學通類之意同事相觀事類同者觀其㫖趣之類此列士之愚智列猶别也言視其術鑒其學則愚智者别矣賢不肖之所分賢者逹於事物之理不肖者闇於照察之情至於役神馳思聦明殊别矣是故能類以合類此賢者業精習智之質也學其倫類觀其指歸唯賢智精習者能之也夫學同業而不能入神者此不肖無智而業不能精習俱學道術明不察不能以類合類而長之此心遊目蕩義不入神也是故算不能精習吾豈以道隱子哉固復熟思之凡教之道不憤不啓不悱不發憤而悱之然後啓發旣不精思又不學習故言吾無隱也爾固復熟思之舉一隅使及之以三也榮方復歸思之數日不能得復見陳子曰方思之以精熟矣智有所不及而神有所窮知不能得願終請說之自知不敏避席而請說之陳子曰復坐吾語汝於是榮方復坐而請陳子說之曰夏至南萬六千里冬至南十三萬五千里日中立竿測影臣鸞曰南戴日下立八尺表表影千里而差一寸是則天上一寸地下千里今夏至影有一尺六寸故其萬六千里冬至影一丈三尺五寸則知其十三萬五千里此一者天道之數言天道數一悉以如此周髀長八尺夏至之日晷一尺六寸晷影也此數望之從周城之南千里也而周官測影尺有六寸盖出周城南千里也記云神州之土方五千里雖差一寸不出畿地之分先王知之實故建王國髀者股也正晷者勾也以髀爲股以影爲勾股定然後可以度日之高遠正晷者日中之時節也正南千里勾一尺五寸正北千里勾一尺七寸候其影使表相去二千里影差二寸將求日之高遠故先見其表影之率日益表南晷日益長候勾六尺候其影使長六尺者欲令勾股相應勾三股四弦五勾六股八弦十卽取竹空徑一寸長八尺捕影而視之空正掩日以徑寸之空視日之影髀長則大矩短則小正滿八尺也捕猶索也掩猶覆也而日應空之孔掩若重䂓更言八尺者舉其定也又曰近則大遠則小以影六尺爲正由此觀之率八十寸而得徑一寸以此爲日髀之率之爲六十寸以兩表相去二千里乘得十二萬里爲實以影差二寸爲法除之得日底地去表六萬里求從髀至日八萬里者先置表高八尺上十之爲八十寸以兩表相去二千里乘之得十六萬爲實以影差二寸爲法除之得從表端上至日八萬里也若求邪至日者以日下爲勾日高爲股勾股各自乘并而開方除之得邪至日從髀所旁至日所十萬里旁此古邪字求其數之術曰以表南至日下六萬里爲勾以日高八萬里爲股爲之求弦勾股各自乘并而開方除之即邪至日之所也臣鸞曰求從髀邪至日所法先置南至日底六萬里爲勾重張自乘得三十六億爲勾實更置日高八萬里爲股重張自乘得六十四億爲股實并勾股實得一百億爲弦實開方除之得從王城至日十萬里今有十萬里問徑幾何曰一千二百五十里八十寸而得徑一寸以一寸乘十萬里爲實八十寸爲法即得以率率之八十里得徑一里十萬里得徑千二百五十里法當以空徑爲勾率竹長爲股率日去人爲大股大股之勾即日徑也其術以勾率乘大股股率而一此以八十里爲法十萬里爲實實如法而一即得日徑故曰日晷徑千二百五十里臣鸞曰求以率八十里得徑一里十萬里得徑千二百五十里法先置竹孔徑一寸爲十里爲勾更置邪去曰十萬里爲股以勾十里乘股十萬里得一億爲實更置日去地八萬里爲法除實得日晷徑千二百五十里故云日晷徑也臣淳風等謹按夏至王城望日立兩表相去二千里表高八尺影去前表一尺五寸去後表一尺七寸舊術以前後影差二寸爲法以前影寸數乘表間爲實實如法得萬五千里爲日下去南表里又以表高八十寸乘表間爲實實如法得八萬里爲表上去日里仍以表寸爲日高影寸爲日下待日漸高候日影六尺用之爲勾以表爲股爲之求弦得十萬里爲邪表數目取管圓孔徑一寸長八尺望日滿筒以爲率長八十寸爲一邪去日十萬里日徑即千二百五十里以理推之法云天之處心高於外衡六萬里者此乃語與術違勾六尺股八尺弦十尺角隅正方自然之數盖依繩水之定施之於表矩然則天無别體用日以爲高下術旣隨乎而遷高下從何而出語術相違是爲大失又按二表下地依水平法定其高下若北表地高則以爲勾以間爲弦置其高數其影乘之其表除之所得益股爲定間若北表下者亦置所下以法乘除所得以減股爲定間又以高下之數與間相約爲地高遠之率求遠者影乘定間差法而一所得加表日之高也求邪去地者弦乘定間差法而一所得加弦日邪去地此三等至皆以日爲正求日下地高下者置戴日之遠近地高下率乘之如間率而一所得爲日下地高下形勢隆殺與表間同可依此率若形勢不等非代所知率日徑求日大小者徑率乘間如法而一得日徑此徑當即得不待影長六尺凡度日者先須定二矩水平者影南北立勾齊高四尺相去一丈以二弦候牽于勾上并率二則擬爲候影勾上立表弦下望日前一則上畔後一則下畔引則就影合與表日參直二至前後三四日間影不移處即是當以候表亦望人取一影亦可日徑影端表頭爲則然地有高下表望不同後六術乃窮其實 第一後高前下術高爲勾表間爲弦後復影爲所求率表爲有所率以勾爲所有數所得益股爲定間 第二後下術以其所下爲勾表間爲弦置其所下以影乘表除所得減股餘爲定間第三邪下術依其北高之率高其勾影合與地勢隆殺相似餘同平法假令髀邪下而南其邪亦同不須别望但弦短與勾股不得相應其南里數亦隨地勢不得校乎平則促若用此術但得南望若北望者即用勾照南下之術當北高之地 第四邪上術依其後下之率下其勾影此謂廻望北極以爲高逺者望去取差亦同南望此術弦長亦與勾股不得相應唯得北望不得南望若南望者即用勾影北高之術第五平術不論高下周髀度日用此平術故東西南北四望皆通遠近一差不須别術 第六術者是外衡其徑云四十七萬六千里半之得二十三萬八千里者是外衡去天心之處心高於外衡六萬里爲率南行二十三萬八千里下校六萬里約之得南行一百一十九里下校三十里一百一十九歩差下三十歩則三十歩大强差下十歩以此爲准則不合有平地地旣平而用術尤乖理驗且自古論晷影差變毎有不同今略其梗槩取其推歩之要尚書攷靈曜云日永影尺五寸日短一十三尺日正南千里而減一寸張衡靈憲云懸天之晷薄地之儀皆移千里而差一寸鄭玄註周禮云凡日影於地千里而差一寸王蕃姜岌因此爲說按前諸說是數並同其言更出書非直有此以事考量恐非實矣謹按宋元嘉十九年歳在壬午遣使徃交州度日影夏至之日影在表南三寸二分太康地理志交趾去洛陽一萬一千里陽城去洛陽一百八十里交趾西南望陽城洛陽在其東南較而言之令陽城去交趾近於洛陽去交趾一百八十里則交趾去陽城一萬八百二十里而影差尺有八寸二分是六百里而影差一寸也况復人路迂廻羊腸曲折方於鳥道所較彌多以事驗之又未盈五百里而差一寸眀矣千里之言固非實也何承天又云詔以土圭測影考校二至 三日有餘從來積歳及交州所上驗其增減亦相符合此則影差之驗也周禮大司徒職曰夏至之影尺有五寸馬融以爲洛陽鄭玄以爲陽城尚書攷靈曜日永影一尺五寸鄭玄以爲陽城日短十三尺易緯通卦驗夏至影尺有四寸八分冬至一丈三尺劉向洪範傳夏至影一尺五寸八分是時漢都長安而向不言測影處所若在長安則非晷影之正也夏至影長一尺五寸八分冬至一丈三尺一寸四分向又云春秋分長七尺三寸六分此即緫是虗妄後漢曆志夏至影一尺五寸後漢洛陽冬至一丈三尺自梁天監巳前並同此數魏景𥘉夏至影一尺五寸魏𥘉都許昌與頴川相近後都洛陽又在地中之數但易緯因漢曆舊影似不别影之冬至一丈三尺晉姜岌影一尺五寸宋都建康在江表驗影之數遥取陽城冬至一丈三尺宋大明祖冲之曆夏至影一尺五寸宋都秣陵遥取影同前冬至一丈三尺後魏信都芳注周髀四術云按永平元年戊子是梁天監之七年也見洛陽測影又見公孫崇集諸朝士共觀祕書影同是夏至之日以八尺之表測日中影皆長一尺五寸八分雖無六尺近六寸梁武帝大同十年太史令虞鄺以九尺表於江左建康測夏至日中影長一尺三寸二分以八尺表測之影長一尺一寸七分强冬至一丈三尺七分八尺表影長一丈一尺六寸二分弱隋開皇元年冬至影長一丈二尺七寸二分開皇二年夏至影一尺四寸八分冬至長安測夏至洛陽測及王邵隋靈感志冬至一丈二尺七寸二分長安測也開皇四年夏至一尺四寸八分洛陽測也冬至一丈二尺八寸八分洛陽測也大唐正觀二年己五五月二十三日癸亥夏至中影一尺四寸六分長安測也十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分長安測也按漢魏及隋所記夏至中影或長短齊其盈縮之中則夏至之影尺有五寸爲近定實矣以周官推之洛陽爲所交會則冬至一丈二尺五寸亦爲近矣按梁武帝都金陵云洛陽南北大較千里以尺表令其有九尺影則大同十年江左八尺表夏至中影長一尺一寸七分若是爲夏至八尺表千里而差一寸弱矣此推驗卽是夏至影差降升不同南北逺近數亦有異日高圖注趙君卿曰黃甲與黃乙其實正等以表高乘兩表相去爲黃甲之實以影差爲黃甲之廣而一所得則變得黃甲之袤上與日齊按圖當加表高今言八萬里者從表以上復加之青丙與青已其實亦等黃甲與青丙相連黃乙與青已相連其實亦等皆以影差爲廣臣鸞曰求日高法先置表高八尺爲八萬里爲袤以相兩表相去二千里爲廣乘袤八萬里得一億六千萬里爲黃甲之實以影差二寸爲二千里爲法除之得黃乙之袤八萬里卽上與日齊此言王城去天名曰甲日底地上至日名曰乙上天名青丙下地名青戊據影六尺王城上天南至日六萬里王城南至日底地亦六萬里是上下等數日夏至南萬六千里者立表八尺於王城影一尺六寸影寸千里故王城去夏至日底地萬六千里也法曰周髀長八尺勾之損益寸千里勾謂影也言懸天之影薄地之儀皆千里而差一寸故曰極者天廣袤也言極之遠近有定則天廣長可知今立表高八尺以望極其勾一丈三寸由此觀之則從周北十萬三千里而至極下謂冬至日加卯酉之時若春秋分之夜半極南兩旁與天中齊故以爲周去天中之數榮方曰周髀者何陳子曰古時天子治周古時天子謂周成王時以治周居王城故曰昔先王之經邑奄觀九隩靡地不營土圭測影不縮不盈當風雨之所交然後可以建王城此之謂也此數望之從周故曰周髀言周都河南爲四方之中故以爲望主也髀者表也用其行事故曰髀由此捕望故曰表影爲勾故曰勾股也日夏至南萬六千里日冬至南十三萬五千里日中無影以此觀之從南至夏至之日中十一萬九千里諸言極者斥天之中極去周十萬三千里亦謂極與天中齊時更加南萬六千里是也北至其夜半亦然日極在極北正等也凡徑二十三萬八千里并南北之數也此夏至日道之徑也其徑者圓中之直者也其周七十一萬四千里周匝也謂天戴日行其數以三乘徑臣鸞曰求夏至日道徑法列夏至日去天中心十一萬九千里夏至夜一日亦去天中心十一萬九千里并之得夏至日道徑二十三萬八千里三乘徑得周七十一萬四千里也從夏至之日中至冬至之日中十一萬九千里冬至日中去周十三萬五千里除夏至日中去周一萬六千里是也北至極下亦然則從極南至冬至之日中二十三萬八千里從極北至其夜半亦然凡徑四十七萬六千里此冬至日道徑也其周百四十二萬八千里從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里春秋之日影七尺五寸五分加望極之勾一丈三寸臣鸞曰求冬至日道徑法列夏至去冬至日中十一萬九千里從夏至日道北徑亦十一萬九千里併之得冬至日中北極下二十三萬八千里從極至夜半亦二十三萬八千里并之得冬至道徑四十七萬六千里以三乘徑卽冬至日道周一百四十二萬八千里從極下北至其夜半亦然凡徑三十五萬七千里周一百七萬一千里故日月之道常縁宿日道亦與宿正内衡之南外衡之北圓而成規以爲黃道二十八宿列焉日之行也一出一入或表或裏五月二十三分月之二十一道一交謂之合朔交會及月蝕相去之數故曰縁宿也日行黃道以宿爲正故曰宿正於中衡之數與黃道等臣鸞曰求春秋分日道法列春秋分日中北至極下十七萬八千五百里從北極北至其夜半亦然并之得春秋分日道徑三十五萬七千里以三乘徑卽日道周一百七萬一千里求黃道徑法列從北極南至夏至日中一十一萬九千里以從極北去冬至夜半二十三萬八千里并之得黃道三十五萬七千里從極南至冬至日北至夏至日夜半亦黃道徑也以三乘徑周得一百七萬一千里也南至夏至之日中北至冬至之夜半南至冬至之日中北至夏至之夜半亦徑三十五萬七千里周一百七萬一千里此皆黃道之數與中衡等春分之日夜分以至秋分之日夜分極下常有日光春秋分者晝夜等春分至秋分日内近極故日光照及也秋分之日夜分以至春分之日夜分極下常無日光秋分至春分日外遠極故日光照不及也故春秋分之日夜分之時日所照適至極隂陽之分等也冬至夏至者日道發歛之所生也至晝夜長短之所極發猶往也歛猶還也極終也春秋分者隂陽之修晝夜之象修長也言隂陽長短之等晝者陽夜者隂以明暗之差爲隂陽之象春分以至秋分晝之象北極下見日光也日永主物生故象晝也秋分至春分夜之象北極下不見日光也日短主物死故象夜也故春秋分之日中光之所照北極下夜半日光之所照亦南至極此日夜分之時也故曰日照四旁各十六萬七千里至極者謂璇璣之際爲陽絶隂障以日之時而日光有所不逮故知日旁照十六萬七千里不及天中一萬一千五百里也人望所見遠近宜如日光所照日近我一十六萬七千里之内及我我自見日故爲日出日遠我十六萬七千里之外日則不見我我亦不見日故爲日入是爲日與目見於十六萬七千里之中故曰逺近宜如日光之所照也從周所望見北過極六萬四千里自此以下諸言減者皆置日光之所照若人目之所見十六萬七千里以除之此除極至周十萬三千里臣鸞曰求從周所望見北過極六萬四千里法列人目所極十六萬七千里以王城周去極十萬三千里減之餘六萬四千里卽人望過極之數也南過冬至之日三萬二千里除冬至日中去周十三萬五千里臣鸞曰求冬至日中三萬二千里法列人目所極十六萬七千里以冬至日中去王城十三萬五千里減之餘卽過冬至日中三萬二千里也夏至之日中光南過冬至之日中光四萬八千里除冬至之日中相去十一萬九千里臣鸞曰求夏至日中光南過冬至日中光四萬八千里法列日高照十六萬七千里以冬夏至日中相去一十一萬九千里減之餘卽南過冬至之日中光四萬八千里南過人所望見一萬六千里夏至日中去周萬六千里臣鸞曰求夏至日中光南過人所望見萬六千里法列王城去夏至日中光南過人所望見萬六千里加日光所及十六萬七千里得十八萬三千里以人目所極十六萬七千里減之餘卽南過人目所望見一萬六千里也北過周十五萬一千里除周夏至之日中一萬六千里臣鸞曰求夏至日中光北過周十五萬一千里法列日光所及十六萬七千里以王城去夏至日中一萬六千里減之餘卽北過周十五萬一千里北過極四萬八千里除極去夏至之日十一萬九千里臣鸞曰求夏至日中光北過極四萬八千里法列日光所及十六萬七千里以北極去夏至夜半十一萬九千里減之餘卽北過極四萬八千里也冬至之夜半日光南不至人所見七千里倍日光所照里數以減冬至日道徑四十七萬六千里又除冬至日中去周十三萬五千里臣鸞曰求冬至夜半日光南不至人目所見七千里法列日光十六萬七千里倍之得三十三萬四千里以減冬至日道徑四十七萬六千里餘十四萬二千里復以冬至日中去周十三萬五千里減之餘即不至人目所見七千里不至極下七萬一千里從極至夜半除所照十六萬七千里臣鸞曰求冬至日光不至極下七萬一千里法列冬至夜半去極二十三萬八千里以日光一十六萬七千里減之餘卽不至極下七萬一千里夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相接倍日光所照以夏至日道徑減之餘卽相接之數臣鸞曰求夏至日中日光與夜半相接九萬六千里法列倍日光所照十六萬七千里得徑三十三萬四千里以夏至日過徑二十三萬八千里減之餘卽日光相接九萬六千里也冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里不至極下七萬一千里倍日光所照以減冬至日道徑餘卽不相及之數半之卽各不至極下臣鸞曰求冬至日光與夜半日不及十四萬二千里不至極下七萬一千里法列冬至日道徑四十七萬六千里以倍日光所照三十三萬四千里減之餘卽日光不相及十四萬二千里半之卽不至極下七萬一千里也夏至之日正東西望直周東西日下至周五萬九千五百九十八里半求之術以夏至日道徑二十三萬八千里爲弦倍極去周十萬三千里得二十萬六千里爲股爲之求勾以股自乘減弦自乘其餘開方除之得勾一十一萬九千一百九十七里有竒半之各得周半數臣鸞曰求夏至日正東西去周法列夏至道徑二十三萬八千里爲弦自相乘得五百六十六億四千四百萬爲弦實更置極去周十萬三千里倍之爲二十萬六千里爲股重張自相乘得四百二十四億三千六百萬爲股實以減弦實餘一百四十二億八百萬卽勾實以開方除之得正東西去周一十一萬九千一百九十七里二十三萬八千三百九十五分里之七萬五千一百九十一半之卽周東西各五萬九千五百九十八里半經曰竒者分也若求分者倍分母得四十七萬六千七百九十卽一方得五萬九千五百九十八里半四十七萬六千七百九十分里之七萬五千一百九十一本經無所餘算之次因而演之也冬至之日正東西方不見日正東西方者周之卯酉日在十六萬七千里之外不見日以算求之日下至周二十一萬四千五百五十七里半求之術以冬至日道徑四十七萬六千里爲弦倍極之去周十萬三千里得二十萬六十里爲勾爲之求股勾自乘減弦之自乘其餘開方除之得四十二萬九千一百一十五里有竒半之各得東西數臣鸞曰求冬至正東西方不見日法列冬至日道徑四十七萬六千里爲弦重張相乘得二千二百六十五億七千六百萬里爲弦實更列極去周十萬三千里倍之得二十萬六千里爲勾重張相乘得四百二十四億三千六百萬以減弦實餘一千八百四十一億四十萬卽股實開方除之得周直東西四十二萬九千一百一十五里八十五萬八千二百三十一分里之三十一萬六千七百七十五半卽周一方去日二十一萬四千五百五十七里半亦倍分母得一百七十一萬六千四百六十二分里之三十一萬六千七百七十五凡此數者日道之發歛凡此上周徑之數者日道徃還之所至晝夜長短之所極冬至夏至觀律之數聽鐘之音觀律數之生聽鐘音之變知寒暑之極明代序之化也冬至晝夏至夜冬至晝夜日道徑半之得夏至晝夜日道徑法置冬至日道徑四十七萬六千半之得夏至日中去夏至夜半二十三萬八千里以四極之里也差數及日光所還觀之以差數之所及日光所還以此觀之則四極之窮也四極徑八十一萬里從極南至冬至日中二十三萬八千里又日光所照十六萬七千里凡徑四十萬五千里北至其夜半亦然故日徑八十一萬里八十一者陽數之終日之所極臣鸞曰求四極徑八十一萬里法列冬至日中去極二十三萬八千里復加冬至日光所極十六萬七千里得四十萬五千里北至其夜半亦然并南北卽是大徑八十一萬里周二百四十三萬里三乘徑卽周臣鸞曰以三乘八十一萬里得周二百四十三萬自此以外日所不及也從周至南日照處三十萬二千里半徑除周去極十萬三千里臣鸞曰求周南三十萬二千里法列半徑四十萬五千以王城去極十萬三千里減之餘卽周南至日照處三十萬二千里周北至日照處五十萬八千里半徑加周去極十萬三千里臣鸞曰求周去冬至夜半日北極照處五十萬八千里法列半道徑四十萬五千里加周夜半去極十萬三千里得冬至夜半北極照去周五十萬八千里東西各三十九萬一千六百八十三里半求之術以徑八十一萬里爲弦倍去周十萬三千里得二十萬六千里爲勾爲之求股得七十八萬三千三百六十七里有竒半之各得東西之數臣鸞曰求東西各三十九萬一千六百八十三里半法列徑八十一萬里重張自乘得六千五百六十一億爲弦實更置倍周去北極二十萬六千里爲勾重張自乘得四百二十四億三千六百萬以減弦實餘六千一百三十六億六千四百萬卽股實以開方除之得股七十八萬三千三百六十七里一百五十六萬六千七百三十五分里之十四萬三千三百一十一半之卽得去周三十九萬一千六百八十三里半分母亦倍之得三百一十三萬三千四百七十分里之十四萬三千三百一十一也周在天中南十萬三千里故東西矩中徑二萬六千六百三十二里有竒求矩中徑二萬六千六百三十二里有竒法列八十一萬里以周東西七十八萬三千三百六十七里有竒減之餘卽矩中徑之數臣鸞曰求矩中徑二萬六千六百三十二里有竒法列八十一萬里以周東西七十八萬三千三百六十七里有竒減之餘二萬六千六百三十三里取一里破爲一百五十六萬六千七百三十五分減一十四萬三千三百一十一餘一百四十二萬三千四百二十四卽徑東西矩二萬六千六百三十二里一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四周北五十萬八千里冬至日十三萬五千里冬至日道徑四十七萬六千里周一百四十二萬八千里日光四極當周東西各三十九萬一千六百八十三里有竒此方圓之法此言求圓於方之法萬物周事而圓方用焉大匠造制而䂓矩設焉或毁方而爲圓或破圓而爲方方中爲圓者謂之圓方圓中爲方者謂之方圓也七衡圖註趙君卿曰靑圖畫者天地合際人目所遠者也天至高地至卑非合也人目極觀而天地合也日入青圖畫内謂之日出出青圖畫外謂之日入青圖畫之内外皆天也北辰正居天中之央人所謂東西南北者非有常處各以日出之處爲東日中爲南日入爲西日没爲北北辰之下六月見日六月不見日從春分至秋分六月常見日從秋分至春分六月常不見日見日爲晝不見日爲夜所謂一歳者卽北辰之下一晝一夜黃圖畫者黃道也二十八宿列焉日月星辰躔焉使青圖在上不動貫其極而轉之卽交矣我之所在北辰之南非天地之中也我之卯酉非天地之卯酉内第一夏至日道也出第四春秋分日道也外第七冬至日道也皆隨黃道日冬至在牽牛春分在婁夏至在東井秋分在角冬至從南而北夏至從北而南終而復始也凡爲此圖以丈爲尺以尺爲寸以寸爲分分一千里凡用繒方八尺一寸今用繒方四尺五分分爲二千里方爲四極之圖盡七衡之意吕氏曰凡四海之内東西二萬八千里南北二萬六千里吕氏秦相吕不韋作吕氏春秋此之義在有始第一篇非周髀本文爾雅云九夷八狄七戎六蠻謂之四海言東西南北之數者將以明車轍馬跡之所至河圖括地象云而有君長之州九阻中國之文德及而不治又云八極之廣東西二億二萬三千五百里南北二億三萬三千五百里淮南子地形訓云禹使大章歩自東極至于西極孺亥歩自北極至于南極而數皆然或其廣濶將焉可歩矣亦後學之徒未之或知也夫言億者十萬曰億也凡爲日月運行之圓周春秋分冬夏至璿璣之運也七衡周而六間以當六月節六月爲百八十二日八分日之五節六月者從冬至至夏至日百八十二日八分日之五爲半歲六月節者謂中氣也不盡其日也此日周天通四分一之倍法四以除之卽得也臣鸞曰求七衡周而六間以當六月節六月爲一百八十二日八分日之五此爲半歲也列周天三百六十五日四分日之一通分内子得一千四百六十一爲實倍分母四爲八除實得半歲一百八十二日八分日之五也故日夏至在東井極内衡日冬至在牽牛極外衡也東井牽牛爲長短之限内外之極也衡復更終冬至冬至日從外衡還黃道一周年復於故衡終於冬至故曰一歲三百六十五日四分日之一一歲一内極一外極從冬至一内極及一外極度終於星月窮於次是爲一歲三十日十六分日之七月一外極一内極欲分一歲爲十二月一衡間當一月此舉中相去之日數以此言之月行二十九日九百四十分日之四百九十九則過周天一日而與月合宿論其入内外之極六歸粗通未心得也日光言内極月光言外極日陽從冬至起月隂從夏至起往來之始易曰日徃則月來月往則日來此之謂也此數置一百八十二日八分日之五通分内子五以六間乘分母以除之得三十以三約法得十六約餘得七臣鸞曰求三十日十六分日之七法列半歲一百八十二日八分日之五通分内子得一千四百六十一爲實以六間乘分母八得四十八除實得三十日不盡二十一更置法實求等數平於三即以約法得十六約餘得七即是從中氣相去三十日十六分日之七也是故 衡之間萬九千八百三十三里三分里之一卽爲百歩此數夏至冬至相去十一萬九千里以六間除之得矣法與餘分皆半之臣鸞曰求一衡之間一萬九千八百三十三里三分里之一法置冬至夏至相去十一萬九千里以六間除之卽得法與餘分半之得也欲知次衡徑倍而增内衡之徑倍一衡間數以増内衡二之以增内衡徑二乘所倍一衡之間數以増内衡徑卽得三衡徑次衡放此次至皆如數内一衡徑二十三萬八千里周七十一萬四千里分爲三百六十五度四分度之一度得一千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三通周天四分之一爲法又以四乘衡周爲實實如法得一百歩不滿法者十之如法得十歩不滿法者十之如法得一歩不滿者以法命之至七衡皆如此臣鸞曰求内衡度法置夏至徑二十三萬八千里以三乘之得内外衡周七十一萬四千里以周天分母四乘内衡周得二百八十五萬六千里爲實以周天分一千四百六十一爲法除之得一千九百五十四里不盡一千二百六卽而三之爲三千六百十八以法除之得二百歩不盡六百九十六歩上十之如法而得四十歩不盡一千一百一十六復上十之如法而一得七歩不盡九百三十三卽是一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百歩周八十三萬三千里分里爲度度得二千二百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之千三百三十二通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得里數不滿者求歩數不盡者命分臣鸞曰求第二衡法列一衡間一萬九千八百三十三里少半里倍之得三萬九千六百六十六里太半里増內衡徑二十三萬八千里得第二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百歩是三分里之二又以三乘之歩滿三百成一里得二衡周八十三萬三千里以周天分母四乘周得三百三十三萬二千爲實更置周天三百六十五度四分度之一通分内子得一千四百六十一爲法除之得二千二百八十里不盡九百二十以三百乘之得二十七萬六千復以前法除之得一百八十八歩不盡一千三百三十二卽是度得二千二百八十里一百八十八歩一千四百六十一分歩之一千三百三十二次三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百歩周九十五萬二千里分爲度度得二千六百六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七十通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得里數不滿法者求歩數不盡者命分臣鸞曰求第三衡法列倍一衡間得三萬九千六百六十六里三分里之二增第二衡徑二十七萬七千里六百六十六里二百歩卽三分里之二得第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百歩以三乘徑歩歩滿三百成里得周九十五萬二千里又以分母四乘周得三百八十萬八千爲實以周天分一千四百六十一爲法以除實得二千六百六里不盡六百三十四以三百乘之以法除之得一百三十歩不盡二百七十卽是度得二千六百六里一百三十歩一千四百六十一分歩之二百七十次四衡徑三十五萬七千里周一百七萬一千里分爲度度得二千九百三十二里七十一歩千四百一十分歩之六百六十九通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得里數不滿法者求歩數不盡者命分臣鸞曰求第四衡法列倍一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二増第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百歩歩滿三百成里得徑三十五萬七千里以三乘之得周一百七萬一千里以分母乘之得四百二十八萬四千里爲實以周天分一千四百六十一除之得二千九百三十二里不盡三百四十八以三百乘之以法除之得七十一歩不盡六百六十九卽是度得二千九百三十二里七十一歩一千四百六十一分歩之六百六十九次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百歩周一百一十九萬里分爲度度得三千二百五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六十八通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得里數不滿法者求歩數不盡者命分臣鸞曰求第五衡法列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二増第四衡徑三十五萬七千里滿三百成里得第五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百歩以三分乘徑得周一百一十九萬里又以分母四乘周得四百七十六萬爲實以周天分一千四百六十一爲法除之得三千二百五十八里不盡六十二以三百乘之以法除之得十二歩不盡一千六十八卽是度得三千二百五十八里十二歩一千四百六十一分歩之一千六十八次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百歩周一百三十萬九千里分爲度度得三千五百八十三里二百五十四歩千四百六十一分歩之六通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得一里不滿法者求歩不盡者命分臣鸞曰求第六衡法列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二以増第五衡徑三十九萬六千六百六十六里一百歩又三乘徑得周一百三十萬九千里又以分母四乘周得五百二十三萬六千爲實以周天分一千四百六十一爲法除之得三千五百八十三里不盡一千二百三十七以三百乘之以法除之得二百五十四歩不盡六卽是度得三千五百八十三里二百五十四歩一千四百六十一分歩之六次七衡徑四十七萬六千里周一百四十二萬八千里分爲度得三千九百九里一百九十五歩千四百六十一分歩之四百五通周天四分之一爲法四乘衡周爲實實如法得里數不滿法者求歩數不盡者命分臣鸞曰求第七衡法列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二増第六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百歩得第七衡徑四十七萬六十里以三乘之得周一百四十二萬八千里以分母四乘之得五日七十一萬二千爲實以周天分一千四百六十一爲法除之得三千九百九里不盡九百五十一又以三百乘之所得以法一千四百六十一除之得一百九十五歩不盡四百五卽是度得三千九百九里一百九十五歩一千四百六十一分歩之四百五其次曰冬至所北照過北衡十六萬七千里冬至十一月日在牽牛徑在北方因其在北故言照過北衡爲徑八十一萬里倍所照増七衡徑周二百四十三萬里三乘倍増七衡周分爲三百六十五度四分度之一度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七過此而徃者未之或知過八十一萬里之外或知者或疑其可知或疑其難知此言上聖不學而知之上聖者智無不至明無不見攷靈曜曰微式出冥唯審其形此之謂也故冬至日晷丈三尺五寸夏至日晷尺六寸冬至日晷長夏至日晷短日晷損益寸差千里故冬至夏至之日南北遊十一萬九千里四極徑八十一萬里周二百四十三萬里分爲度度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七此度之相去也臣鸞曰求冬至日所北照十六萬七千里并南北日光得三十三萬四千里増冬至日道徑四十七萬六千里得八十一萬里三之得周二百四十三萬以周天分母四乘之得九百七十二萬里爲實以周天分一千四百六十一爲法除之得六千六百五十二里不盡一千四百二十八以三百乘之得四十三萬八千四百復以法除之得二百九十三歩不盡三百二十七卽是度得六千六百五十二里二百九十三歩一千四百六十一分歩之三百二十七其南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八術曰置十一萬九千里爲實以半歳一百八十二日八分日之五爲法半歳考從外衡去内衡以爲法除相去之數得一日所行也而通之通之者數不合齊以法等得相通入以八乘也得九十五萬二千爲實通十一萬九千里所得一千四百六十一爲法除之通百八十二日八分日之五也實如法得一里不滿法者三之如法得百歩一里三百歩當以三百乘而言之三之者不欲轉法便以一位爲百實故從一位命爲百不滿法者十之如法得十歩上下用三百乘故此十之便以位爲十實故從一位命爲十不滿法者十之如法得一歩復十之者但以一位爲實故從一位命爲一不滿法者以法命之位盡於一歩故以法命其餘分爲殘歩臣鸞曰求南北游法置冬至十一萬九千里以半歲日分母八乘之得九十五萬二千爲實通半歳一百八十二日八分日之五得一千四百六十一以除得六百五十一里不盡八百八十九以三百乘之得二十六萬六千七百復以法除之得一百八十二歩不盡七百九十八卽得日南北遊日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八周髀算經卷上
## 1
## SB03n0070-001周髀算經音義-一卷.
周髀音義
假承務郞秘書省鈞考算經文字臣李籍撰序周髀(步米切周髀算經者以九數勾股重差算日月周天行度遠近之數皆得於股表卽)(推步盖天之法也髀者股也以表爲股周天曆度本包犧氏立法其傳自周公受之於大夫商)(高周人志之故曰周髀)趙君卿撰(雛免切述也君卿趙爽字也不詳何代人)恢(苦回切大也)廓落(上枯郭切下歷各切)晷儀(居洧切日影也)度量(上達各切)(下録章切)探賾(上吐南切下上革切賾者含蓄含蓄者探之可及故易中有曰探𦣱)索隱(上色白切下於謹切隱者隱匿隱匿者索之可得故易曰索隱)詭異(上居委切下於)(冀切詭譎怪也)渾天(胡昆切渾天者言天地之體譬如鳥卵天包地外猶殼之褁黄也周)(旋無端其形渾渾然故曰渾天史官候臺所用銅儀則其法也立八尺圓體具天地之形以正)(黄道古察發歛以行日月以歩五緯精微深妙不代百易之道也官有其器而無其書)蓋天(居大切盖天之說即周髀是也其言天似蓋笠地似覆槃天地各中高外下北極之下爲)(天地之中其地最高而滂沱四隤三光隱映以爲晝夜天中高於外衡冬至日之所在六萬里)(北極下地二萬里天地隆高相從日去地常八萬里日麗天而平轉分冬夏之間日前行道爲)(七衡六間毎衡周徑里數各依算術用勾股重差推晷影極游以爲逺近之數皆得於表股者)(也故曰周髀又周髀家云天圓如張盖地方如棋局天旁轉如推磨而左行日月右行隨天左)(轉故日月實東行而天牽之以西没譬之於蟻行磨石之上磨左旋而蟻右去磨疾而蟻遲故)(不得不隨磨以左廻焉天形南高而北下日出高故見日入下故不見天之形如倚盖故極在)(人北是其證也極在天之中而今在人北所以知天之形如倚盖也)靈憲(詐建切靈憲張)(衡所述其說主於渾天)重仞(上直龍切下音刅八尺曰仞)奥(於到切)迥(戸頂)(切逺也)卷上甄鸞(上之人切下歷官切甄鸞北周司隷校尉)重述(上直龍切下時律切趙爽旣加)(注釋甄鸞又從而發明故曰重述)善數(色具切數算也)包犧(上蒲交切下虚宜切)曆度(徒箇切)而度(大各切量也)勾股圓方圖(勾古侯切股公土切圓徑一而周三方徑一而匝四伸圓之周而爲)(勾展方之匝而爲股共結一角邪適五乃圓方邪徑相通之率也勾股圓方圖盖以此設學)(者觀之思過半矣)弦(胡田切共結一角也)率(朔律切數相與也又音律)竒耦(上居)(宜切下烏口切)矩(俱雨切)折(之列切)更相(上古衡切下息羊切)共盤(上渠)(用切下蒲官切)昏墊(都念切下也書曰下民昏墊)并(卑政切)勾股之差(楚佳切不齊也勾股之差其數差一謂勾三股四也)量均(力仗切)爲袤(莫候切長)(也)偃矩覆矩(偃於憲切仰也覆敷目切俯也矩表也仰表所以望高俯表所以測)(深)方属地(殊玉切下同)滂沲(上普郎切下唐何切)四隤(徒回切)列星之宿(思救切二十八宿之度也禮記月令宿離不忒是也)不省(息井切省窹也)(不省言不窹也猶言不敏也)累思(魯水切)累重也(直能切)才單(德寒)(青戊)極者(竭憶切諸言極者斥天中極去周十萬三千里)奄(衣檢切覆也)九隩(於到切土可居也)靡地(母被切無也)斥(昌石切指也)緣宿(息救切二十八)(宿也)蝕(乘力切日月虧曰蝕稍小侵虧如蠧食草木之葉也)適至(施直切恰也)發歛(力冉切發徃歛還也)璿璣(上音璇下音機)逮(音迨及也)有竒(居宜切數之餘)(也易曰歸竒於扐)冬至夏至觀律之數聽鍾之音(律吕戍切)(聽陀定切此謂冬夏二至合八能之士以觀律之數而聽鐘音之清濁也晉律曆志曰隂陽和)(則景至律氣應則灰除是故天子常以冬夏至日御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷影)(侯鍾律權土炭效隂陽冬至陽氣應則灰除是故樂均清影長極黄鍾通土炭輕而衡仰夏至)(隂氣應則樂均濁影短極㽔賓通土炭重而衡低進退於先後五日之中八能各以候狀聞太)(史令封丄效則和否則占)七衡圖(何庚切七衡者七䂓也謂䂓爲衡者取其衡運則生䂓䂓者正圓之謂也內一)(衡徑二十三萬八千里次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百歩次三衡徑三十一萬)(七千三百三十三里一百歩次四衡徑三十五萬七千里次五衡徑三十九萬六千六百六十)(六里二百歩次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百歩次七衡徑四十七萬六千里即)(其徑而三之則各得其周也凡日月運行之圖周七衡周而六間一衡之間萬九千八百三十)(三里一百歩以六衡乘之即夏至冬至相去十一萬九千里也)青圖畫者(胡卦切界)(也俗作畫)合際(上胡閤切下子例切)常處(昌據切所也)躔(呈延切次也)卯酉(上莫飽切下以久切皆辰名也卯正東也酉正西也)牽牛(上輕烟切下如字率牛北)(方宿也冬至日在牽牛)婁(盧侯切婁西方宿也春分日在婁)東井(子郢切南方宿)(也夏至日在東井)角(記岳切東方宿也秋分日在角)用繒(慈陵切帛也)呂氏(兩舉切呂氏者呂氏春秋也呂不韋爲秦相國集當世儒士使著所聞爲十二紀八覽六論合)(十餘萬言備古今之事名爲呂氏春秋)四海(呼改切吕氏春秋曰几四海之内東西二)(萬八千里南北二萬六千里爾雅云九夷八狄七戎六蠻謂之四海言東西南北之數者将明)(車轍馬跡之所至河圖括地象亦云里數而有君長之州九阻中國之文德及而不治又云八)(極之廣東西二億二萬三千五百里南北二億三萬三千五百里淮南子地形訓云禹使大章)(歩自東極至于西極孺亥歩自北極至于南極而數皆然)河圖括地象(括音䀨河)(圖括地象緯書名也)淮南子(並如字漢淮南王安所著之書也)大章(音泰人名)六間(古閑切兩衡相去之間也)粗通(徂五切略也)放此(甫兩切效也下同)卷下四和(戶戈切調也四和者謂之極子午卯酉得東西南北之中天地之所合四時之所交)(風雨之所會隂陽之所和然則百物阜安草木蕃庻故曰四和)阜安(房缶切盛也)蕃庻(符袁切茂也)易處(夷益切交也)蓋笠(上居大切下音立)覆槃(上方)(六切下蒲官切)離地(力智切去也)障蔽(上之亮切隔也下必䄃切奄也)日兆月(直紹切日者陽之精譬猶火光月者隂之精譬猶水光月含影故月光生於日之所照魄)(生於日之所蔽當日則光盈就日則明盡月禀日光而成形兆故云日兆月也)魄(匹陌切月)(之明消也康誥曰惟三月哉生魄孔安國曰三月始生魄月十六日眀消而魄生楊子曰旣望)(則終魄於東亦此意也)行列(胡剛切)極樞(春朱切爾雅曰樞謂之棖郭璞云門)(戸扉樞也此言極樞者取其居中而臨制四方也)繩繫(古詣切結也)表顛(多年)(切頂也)中折(之列切屈也)漏(盧候切漏以銅受水刻節晝夜百刻晷漏中星畧例)(曰日行有南北晷漏有長短然二十四氣晷差遲疾不同勾股使然也直䂓中則差遲與勾股)(數齊則差急隨辰極高下所遇不同如黄道刻漏此乃數之淺者近代且猶未曉今推黄道去)(極與晷影漏刻昏距中星四術反覆相求消息同率施相爲中以合九股之變)揆度(上巨)(癸切下大各切)釋(施隻切散也)朝生(陟遥切旦也)暮獲(胡麥切)穫(胡郭)(切収也)葶藶(上音亭下音歷)薺麥(在禮切)正勾(上音政下音鈎)無令(離呈切使也)纎微(思廉切細也)督(音篤察也)分度(徒固切數也)經緯(上堅丁切下子貴切南北爲經東西爲緯)圓定正(音政)則復(扶富切又也)須女(如字星名也)游儀(如字游儀所以望星也眞觀中李淳風造四游儀元樞爲軸以)(連結玉衡游筩而貫約䂓矩又元樞北立北辰南距地軸旁轉於内玉衡在元樞之間而南北)(游仰以觀天之辰宿下以識器之晷度開元九年率府兵曹叅軍梁令瓉以木爲游儀一行是)(之乃奏黄道游儀古有其術而無其噐昔人潜思未能得今令瓉所爲日道月交皆自然契合)(於推步尤要請㫖更鑄以銅十年儀成)車輻(方六切所以實論而凑轂者也以圓度爲)(輻)爲轂(古禄切所以受輻也以經緯之交爲轂)二十八宿(息救切)副置(敷救切别也别置算也下同)地恊(檄頰切合也)相應(於證切)叅正(上倉含切下音正)八節(並如字二至者寒暑之極二分者隂陽之和四立者生長収藏)(之始是爲八節)二十四氣(並如字一歳凡八節節三氣三而入之故爲二十四氣)氣損益九寸九分六分分之一(並如字損者減也破一分爲六)(分然後減之益者加也加以小分滿六分得一從分)冬至(並如字至極也冬至夏至寒暑)(之極)啓蟄(直立切藏也易曰龍蛇之蟄以存身也左氏傳曰啓蟄而郊)春分(府文)(切分之言中也春分爲陽之中秋分爲隂之中)芒種(上莫郎切下之用切)處暑(昌據)(切所也)時舎(音捨不用也)虚誕(音但謾也)一概(古代切)矛楯(上莫)(浮切下食閏切矛所以勾楯所以蔽噐不同不相爲用凡言矛楯者况其所趣異也)後天(並如字月後天者月東行者也此見日月與天俱西南游一日一夜天一周而月在昨夜之東)(故曰後天)故舎(式夜切舎謂二十八宿之舎也)積後天(資昔切以月後天分看小)(歲積分則積後天分也)大歲(徒盖切大歳者十三月爲一歳也)經歲(堅丁切經)(常也經歳者通十二月十九分之七)小月(並如字小月者二十九日爲一月)大月(徒盖切大月者三十日爲一月)經月(堅丁切經月者以十九乘周天分則經月之積)合朔(上曷閤切下色角切)覆九(敷救切盖也下同)當(音當)正南方(音政)三十六頭(並如字考靈曜曰分周天爲三十六頭頭有十度九十六分之十四長日分於)(寅行二十四頭入於戌行十二頭短日分於辰行十二頭入於申行二十日頭北之謂也)坎(苦感切正北方之卦也)巽(蘇困切東南隅之卦也)坤(苦混切西南隅之卦也)離(吕支切正南方之卦也)乾(渠焉切西北隅之卦也)艮(古恨切東北隅之卦也)章(止良切條也十九歳爲一章言餘閏盡爲暦法章條也)蔀(薄口切蔀之言齊同日月之分)(也而又衆殘齊合羣數畢滿故謂之蔀四章爲一蔀凡七十六歳也)遂(徐醉切遂者終也言)(五行之德一終盡極日月辰終也二十蔀爲一遂凡千五百二十歳)首(始九切始也言日月)(五星終而復始也三遂爲一首凡四千五百六十歳也)極(如字終也言日月星辰弦望晦)(朔寒暑推移萬物生育終而復始故謂之極七首爲一極凡三萬一千九百二十歳也)乾鑿度(徒固切乾鑿度易緯書也)周髀音義(終)附算學源流晉書律曆志黄帝紀三綱而闡書契乃使羲龢常儀占月車區占星氣伶倫造律吕大撓造甲子隷首作算數容成緫斯六術攷定氣象建行察發飮起消息正閏餘述而著焉謂之調歷漢書律曆志一曰律數二曰和聲三曰審度四曰嘉五曰權衡數者一十百千萬也所以算數事物順性命之理也其算法用竹徑一分長六寸二百七十一枚而成六觚爲一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍叅紀於一協於十長於百大於千衍於萬其法在算術乎附算法歌訣開平方法少人通起手先呼九數重百與萬同并百萬二三隔位一相從千同十萬和千萬三四連身九九終除盡虚加一倍回還折半復原宗
## 2
周髀算經卷下漢 趙 君卿 注北周漢中郡守前司隸臣甄鸞重述唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勑臣釋明 毛 晉 挍凡日月運行四極之道運周也極至也謂外衡也日月周行四方至外衡而還故曰四極也極下者其地高人所居六萬里滂沲四隤而下游北極從外衡主極下乃高六萬里而言人所居蓋復盡外衡滂四隤而下如覆槃也天之中央亦高四旁六萬里四旁猶四極也隨地穹窿而高如蓋笠故日光外所照徑八十一萬里周二百四十三萬里日至外衡而還出其光十六萬七千里故日照故日運行處極北北方日中南方夜半日在極東東方日中西方夜半日在極南南方日中北方夜半日在極西西方日中東方夜半凡此四方者天地四極四和四和者謂之極子午卯酉得東西南北之中天地之所合四時之所交風雨之所會隂陽之所和然則百物阜安草木蕃庻故曰四和晝夜易處南方爲晝北方爲夜加四時相及南方日中北方夜半然其隂陽所終冬至所極皆若一也隂陽之數齊冬夏之節同寒暑之氣均長短之晷等周廻無差運變不二天象葢笠地法覆槃見乃謂之象形乃謂之法在上故準葢在下故擬槃象法義同葢槃形等互文異器以别尊卑仰象俯法名號殊矣天離地八萬里然其隆高相從其相去八萬里冬至之日雖在外衡常出極下地上二萬里天地隆高高列外衡六萬里冬至之日雖在外衡其相望爲平地直常出地北極下地上二萬里言日月不相障蔽故能揚光於晝納明於夜故日兆月日者陽之精譬猶火光月者隂之精譬猶水光月含影故月光生於日之所照魄生於日之所蔽當日即光盈就日即眀盡月禀日光而成形兆故云日兆月也月光乃出故成明月待日然後能舒其光以成其眀星辰乃得行列靈憲曰衆星𬒳曜因水火轉光故能成其行列是故秋分以徃到冬至三光之精微以成其道遠日從中衡徃至外衡其徑日遠以其相遠故光微不言從冬至到春分者俱在中衡之外其同可知此天地隂陽之性自然也自然如此故曰性也欲知北極樞璿周四極極中不動璿璣也言北極璿璣周旋四至極至也常以夏至夜半時北極南游所極游在樞南之所至冬至夜半時北游所極游在樞北之所至冬至日加酉之時西游所極游在樞西之所至日加卯之時東游所極游在樞東之所至此北極璿璣四游北極游常近冬至而言夏至夜半者極見冬至夜半極不見也正北極璿璣之中正北天之中正極之所游極處璿璣之中天心之正故曰璿璣也冬至日加酉之時立八尺表以繩繫表顚希望北極中大星引繩致地而識之顚首希仰致至也識之者所望大星表首及繩至地參相直而識之也又到旦明日加卯之時復引繩希望之首及繩致地而識其端相去二尺三寸日加卯酉之時望至地之相去子也故東西極二萬三千里影寸千里故爲東西所致之里數也其兩端相去正東西以繩至地所謂兩端相直爲東西之正也中折之以指表正南北所識兩端之中與表爲南北之正加此時者皆以漏揆度之此東西南北之時冬至日加卯酉者北極之正東西日不見矣以漏度之者一日一夜百刻從半夜至日中從日中至夜半無冬夏常各五十刻中分之得二十五刻加極卯酉之時揆亦度也其繩致地所識去表丈三寸故天之中去周十萬三千里北極東西之時與天中齊故以所望表勾爲天之去周之里數何以知其南北極之時以冬至夜半北游所極也北過天中萬一千五百里以夏至南游所極不及天中萬一千五百里此皆以繩繫表顚而希望之北極至地所識丈一尺四寸半故去周十二萬四千五百里過天中萬一千五百里其南極至地所識九尺一寸半故去周九萬一千五百里其南不及天中萬一千五百里此璿璣四極南北過不及之法東西南北之正勾以表爲股以影爲勾繩至地所亦加矩中徑二萬六千六百三十二里有竒法列八十一萬里以周東西七十八萬三千三百六十七里有竒減之餘二萬六千六百三十三里取一里破爲一百五十六萬六千七百三十五分減一十四萬三千三百一十一餘一百四十二萬三千四百二十四即徑東西二萬六千六百三十二里一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四周去極十萬三千里日去人十六萬七千里夏至去周一萬六千里夏至日道徑二十三萬八千里周七十一萬四千里春秋分日道徑三十五萬七千里周一百七萬一千里冬至日道徑四十七萬六千里周一百四十二萬八千里日光四極八十一萬里周二百四十三萬里從周南三十萬二千里影言正勾者四方之影皆正而定也璿璣徑二萬三千里周六萬九千里此陽絶隂彰故不生萬物春秋分謂之隂陽之中而日光所照適至璿璣之徑爲陽絶隂彰故萬物不復生也其術曰立正勾定之正四方之法也以日始出立表而識其晷日入復識其晷晷之兩端相直者正東西也中折之指表者正南北也極下不生萬物何以知之以何法知之也冬至之日去夏至十一萬九千里萬物盡死夏至之日去北極十一萬九千里是以知極下不生萬物北極左右夏有不釋之氷氷凍不解是以推之夏至之日外衡之下爲冬矣萬物當死此日遠近爲冬夏非隂陽之氣爽或疑焉春分秋分日在中衡春分以徃日益北五萬九千五百里而夏至秋分以徃日益南五萬九千五百里而冬至并冬至夏至相去十一萬九千里以徃日益北近中衡以徃日益南逺中衡中衡去周七萬五千五百里影七尺五寸五分中衡左右冬有不死之草夏長之類此欲以内衡之外外衡之內常爲夏也然其修廣爽未之前聞此陽彰隂微故萬物不死五穀一歳再熟近日陽多農再熟凡北極之左右物有朝生暮獲獲疑作穫謂葶藶薺麥冬生之類北極之下從春分至秋分爲晝從秋分至春分爲夜物有朝生暮獲者亦有春芻而秋熟然其所育皆是周地冬生之類薺麥之属言左右者不在璿璣二萬三千里之內也此陽微隂彰故無夏長之類立二十八宿以周天曆度之法以用也列二十八宿之度用周天術曰倍正南方倍猶背也正南方者二極之正南北也以正勾定之正勾之法日出入識其晷晷兩端相直者正東西中折之以指表正南北即平地徑二十一歩周六十三歩令其平矩以水正如定水之平故曰平矩以水正也則位徑一百二十一尺七寸五分因而三之爲三百六十五尺四分尺之一徑一百二十一尺七寸五分周三百六十五尺二寸五分者四分之一而或言一百二十尺舉其全數以應周天三百六十五度四分度之一審定分之無令有纎㣲所分平地周一尺爲一度二寸五分爲四分度之一其令審定不欲使有細小之差也纎微細分也臣鸞曰求一百二十一尺七寸五分因而三之爲三百六十五度四分度之一法列徑一百二十一尺七寸五分以三乘得三百六十五尺二寸五分二寸五分者即四分之一此即周天三百六十五度四分度之一分度以定則正督經緯而四分之一合各九十一度十六分度之五南北爲經東西爲緯督亦通尺周天四分之一又以四乘分母以法除之臣鸞曰求分度以定四分之一合各九十一度十六分度之五法列周天三百六十五度以四分度之一而通分内之五法千四百六十一爲實更以四乘分母得十六爲法除之得九十一不盡五即是各九十一度十六分度之五也於是圓定而正分所圓爲天度又四分之皆定而正則立表正南北之中央以繩繫顛希望牽牛中央星之中引繩至經緯之交以望之星與表繩參相直也則復望須女之星先至者復候須女中則當以繩望之如復以表繩希望須女先至定中須女之先至者又復如上引繩至經緯之交以望之即以一游儀希望牽牛中央星出中正表西幾何度游儀亦表也游儀移望星爲正知星出中正之表西幾何度故曰游儀各如游儀所至之尺爲度數所游分圓周一尺應天一度故以游儀所至尺數爲度游在於八尺之上故知牽牛八度須女中而望牽牛游在八尺之上故牽牛爲八度其次星放此以盡二十八宿度則之矣皆如此上法定立周度者周天之度各以其所先至游儀度上二十八宿不以一星爲體皆以先至之星爲正之度車輻引繩就中央之正以爲轂則正矣以經緯之交爲轂以圓度爲輻知一宿得㡬何度則引繩如輻湊轂爲正望星定度皆以方爲正南知二十八宿爲幾何度然後環而布之也日所以入亦以周定之亦同望星之周欲知日之出入出入二十八宿東西南北面之宿列置各應其方立表望之知日出入何宿從出入徑幾何度即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿以二十八宿列置地所圓周之度使四面之宿各應其方以東井夜半中牽牛之𥘉臨子之中東井牽牛相對之宿也東井臨午則牽牛臨於子也東井出中正表西三十度十六分度之七而臨未之中牽牛𥘉亦當臨丑之中分周天之度爲十二位而十二辰各當其一所應十二月從午至未三十度十六分度之七未與丑相對而東井牽牛之所居分之法巳陳於上矣臣鸞曰求東井出中正表西三十度十六分度之七法先通周天得一千四百六十一爲實以位法十二乘周天分母以得四十八爲法除實得三十度不盡二十一更副置法實等數平於三約不盡二十一得七約法四十八得十六即位三十度一十六分度之七於是天與地恊恊合也置東井牽牛使居丑未相對則天之列宿與地所爲圖周相應合得之矣乃以置周二十八宿從東井牽牛所居以置十二位焉置以定乃復置周度之中央立正表置周度之中央者經緯之交也以冬至夏至之日以望日始出也立一游儀於度上以望中央表之晷從日所出度上立一游儀皆望中表之晷所以然者當矅不復當日得以覘之也晷參正則日所出之宿度游儀與中央表及晷參相直游儀之下即所出合宿度日入放此此日出法求之牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九牽牛冬至日所在之宿於外衡者與極相去之度數術曰置外衡去北極樞二十三萬八千里除璿璣萬一千五百里北極常近牽牛爲樞過極萬一千五百里此求去極故以除之其不除者二十二萬六千五百里以爲實以三百乘之里爲歩以周天分一千四百六十一乘歩分內衡之度以周天分爲法法有分故以周天乘實齊同之得九百九十二億七千四百九十五萬以内衡一度數千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三以爲法如上乘内歩歩爲通分内子得八億五千六百八十萬實如法得一度以八億五千六百八十萬爲一度法不滿法求里歩上求度故以此次求里次求歩約之合三百得一以爲實上以三百乘里爲歩而求里故以三百約餘分爲里之實以千四百六十一分爲法得一里里歩皆以周天之分爲母求度當齊同法實等故乘以散之度以定當次求故還爲法不滿法者三之如法得百歩上以三百約之爲里之實此當以三乘之爲歩之實而言之者不欲轉法更以一位爲百實故從一位命爲百也不滿法者又上十之如法得一歩又復上之者便以一位爲一實故從一實爲一不滿法者以法命之位盡於一歩故以其法命餘爲殘分次放此次婁與角及東井皆如此也臣鸞曰求牽牛星去極法先列衡去極樞二十三萬八千里减極去樞心一萬一千五百里餘二十二萬六千五百里以三百乘里得六千七百九十五萬歩又以周天分一千四百六十一乘之得九百九十二億七千四百九十五萬歩爲實更副置内衡一度數一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三亦以三百乘一千九百五十四里爲歩内二百四十七歩得五十八萬六千四百四十七歩又以周天分母千四百六十一乘歩内子九百三十三得八億五千六百八十萬爲法以除實得一百一十五度不盡七億四千二百九十五萬去下法不用更以三百約餘分七億四千二百九十五萬得二百四十七萬六千五百爲實更以周天分千四百六十一除之得一千六百九十五里不盡一百五以三百乗之得三萬一千五百復以前法除之得二十一歩不盡八百一十九即牽牛去北極一百二十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九婁與角去北極九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六婁春分日所在之宿也角秋分日所在之宿也爲中衡也術曰置中衡去北極樞十七萬八千五百里以爲實不言加除者婁與角准北極在樞兩旁正與樞齊以婁角無差故便以去樞之數爲實如上乗里爲歩歩爲分得七百八十二億三千六百五十五萬以內衡一度數爲法實如法得一度不滿法者求里歩不滿法者以法命之臣鸞曰求婁與角去極法列中衡去極樞十七萬八千五百里以三百乗之得五千三百五十五萬歩又以周天分千四百六十一分乘之得七百八十二億三千六百五十五萬爲實以内衡一度數千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三亦以三百乘里内歩二百四十七得五十八萬六千四百四十七歩又以分毋千四百六十一分乗之内子得八億五千六百八十萬爲法以除實得九十一度不盡二億六千七百七十五萬以三百約之得八十九萬二千五百下法不用以周天分千四百六十一除之得六百一十里不盡千二百九十以三百乗之得三十八萬七千如前法除之得二百六十四歩不盡一千二百九十六即是婁與角去極九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之千二百四十五東井夏至日所在之宿爲內衡術曰置內衡去北極樞十一萬九千里加璿璣萬一千五百里北極游常近東井爲樞不及極萬一千五百里此求去極故加之得十三萬五百里以爲實如上乘里爲歩歩爲分得五百七十一億九千八百一十五萬分以內衡一度數爲法實如法得一度不滿法者求里歩不滿者以法命之臣鸞曰求東井去極法列内衡去極樞十一萬九千里加璿璣萬一千五百里得十三萬五百里以三百乘里爲歩復以分毋千四百六十一乘之得五百七十一億九千八百一十五萬爲實通分内衡一度數爲歩歩爲分得八億五千六百八十萬爲法以除實得六十六度不盡六億四千九百三十五萬以三百約之得二百一十六萬四千五百下法不用更以周天千四百六十一爲法除之得千四百八十一里不盡七百五十九以三百乘之得二十二萬七千七百復以周天分除之得一百五十五歩不盡一千二百四十五即是東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之一千二百四十五凡八節二十四氣氣損益九寸九分六分分之一冬至晷長一丈三尺五寸夏至晷長一尺六寸問次節損益寸數長短各幾何冬至晷長一丈三尺五寸小寒丈二尺五寸(小分五)大寒丈一尺五寸一分(小分四)立春丈五寸二分(小分三)雨水九尺五寸二分(小分二)啓蟄八尺五寸四分(小分一)春分七尺五寸五分清明六尺五寸五分(小分五)榖雨五尺五寸六分(小分四)立夏四尺五寸七分(小分三)小滿三尺五寸八分(小分一)芒種二尺五寸九分(小分一)夏至一尺六寸小暑二尺五寸九分(小分一)大暑二尺五寸八分(小分二)立秋四尺五寸七分(小分三)處暑五尺五寸六分(小分四)自露六尺五寸五分(小分五)秋分七尺五寸五分寒露八尺五寸四分(小分一)霜降九尺五寸三分(小分二)立冬丈五寸二分(小分三)小雪丈一尺五寸一分(小分四)大雪丈二尺五寸(小分五)凡爲八節二十四氣二至者寒暑之極二分者隂陽之和四立者生長収藏之始是爲八節節三氣三而八之故爲二十四氣損益九寸九分六分分之一損者减也破一分爲六分然後减之益者加也以小分滿六得一從分冬至夏至爲損益之始冬至晷長極當反短故爲損之始夏至晷短極當反長故爲益之始此爽之新術術曰置冬至晷以夏至晷减之餘爲實以十二爲法十二者半歳十二氣也爲法者一節益之法實如法得一寸不滿法者十之以法除之得一分求分故十之也不滿法者以法命之法與餘分皆半之也舊晷之術於理未當謂春秋分者隂陽晷等各七尺五寸五分故中衡去周七萬五千五百里按春分之影七尺五寸七百二十三分秋分之影七尺四寸二百六十二分差一寸四百六十一分以此推之是爲不等冬至至小寒多半日之影夏至至小暑少半日之影芒種至夏至多二日之影大雪至冬至多三日之影又半歳一百八十二日八分日之五而此用四分日之二率故一日得七百三十分寸之四百七十六非也節候不正十五日有二十二分日之七以一日之率十五日爲一節至令差錯不通尤甚易曰舊井無禽時舎也言法三十日實當改而舎之於是爽更爲新術以一氣率之使言約法易上下相通周而復始除紕繆臣鸞曰求二十四氣損益之法先置冬至影長丈三尺五寸以夏至影一尺六寸减之餘一丈一尺九寸上十之爲實以半歳十二爲法除之得九寸不盡十一復上十之如法而一得九分不盡二與法十二皆半之得六分之一即是氣損益法先置冬至影長丈三尺五寸以氣損益九寸九分六分分之一其破一分以爲六分减其餘即是小寒影長丈二尺五寸小分五餘悉依此法求益法置夏至影一尺六寸以九寸九分六分分之一増之小分滿六從大分一即是小暑二尺五寸九分小分一次氣倣此臣淳風等謹按此術本及趙君卿註求二十四氣影例損益九寸九分六分分之一以爲定率檢勘術註有所未通又按宋書曆志所載何承天元嘉曆影冬至一丈三尺小寒一丈二尺四寸八分大寒一丈一尺三寸四分立春九尺九寸一分雨水八尺二寸八分啓蟄六尺七寸二分春分五尺三寸九分清明四尺二寸五分穀雨三尺二寸五分立夏二尺五寸小滿一尺九寸七分芒種一尺九寸九分夏至一尺五寸小暑一尺六寸九分大暑一尺九寸七分立秋二尺五寸處暑三尺三寸五分白露四尺二寸五分秋分五尺三寸九分寒露六尺七寸二分霜降八尺二寸八分立冬九尺九寸一分小雪一丈一尺三寸四分大雪一丈二尺四寸八分司馬續漢志所載四分暦影亦與此相近至如祖冲之曆宋大明曆影與何承天雖有小差皆是量天實數讐校三曆足驗君卿所立率虚誕且周髀本文外衡下於天中六萬里而二十四氣率乃足平遷所以知者按望影之法日近影短日遠影長又以高下言之日高影短日卑影長夏至之日最近北又最高其影尺有五寸自此以後曰行漸遠向南天體又漸向下以及冬至冬至之日最近南居於外衡日最近下故日影一丈三尺此當毎歳差降有别不可均爲一槩設其升降之理今此又自冬至畢于芒種自夏至畢于大雪均差毎氣損九寸有竒是爲天體正平無高卑之異而日但南北均行又無升降之殊即無內衡高於外衡六萬里自相矛楯又按尚書考靈曜所陳格上格下里數及鄭註升降逺近雖有成䂓亦未臻理實欲求至當皆依天體高下遠近修䂓以定差數自霜降畢於立春升降差多南北差少自雨水畢於寒露南北差多升降差少依此推歩乃得其實然事渉渾儀與盖天相返月後天十三度十九分度之七月後天者月東行也此見日月與天俱西南游一日一夜天一周而月在昨宿之東故曰後天又曰章歳除章月加日周一日作率以一日所行爲一度周天之日爲天度術曰置章月二百三十五以章歳十九除之加日行一度得十三度十分九度之七此月一日行之數即後天之度及分臣鸞曰月後天十三度十九分度之七法列章月二百三十五以章歳十九除之得十二度加日行一度得十三度餘十九分度之七即月後天之度分小歳月不及故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二小歳者十二月爲一歳一歳之月十二月則有餘十三月復不足而言大小歳通閠月爲不及故舍亦猶後天也假令十一月朔旦冬至日月俱起牽牛之𥘉而月十二與日會此數月發牽牛所行之度也術曰置小歳三百五十四日九百四十分日之三百四十八小歳者除經歳十九分月之七以七乘周天分千四百六十一得萬二百二十七以减經歳之積分餘三十三萬三千一百八則小歳之積分也以九百四十分除之即得小歳之積日及分以月後天十三度十九分度之七乘之爲實通分内子爲二百五十四之乘者乘小歳積分也又以度分母乘日分母爲法實如法得積後天四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十三以月後天分乘小歳積分得八千四百六十萬九千四百三十二則積後天分也以度分母十九乘日分母九百四十得萬七千八百六十除之即得以周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五除之此猶四分之一也約之即得當於齊同故細言之通分內子爲六百五十二萬三千三百六十五除積後天分得十二周天即去之其不足除者不足除者不及故舎之六百三十二萬九千五十二是也(寅曰三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十)(二以萬七千八百六十除不及故舎之分得此分矣)此月不及故舎之分度數他皆放此次至經月皆如此臣鸞曰求小歳月不及故舍法列經歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得三十四萬三千三百三十五是爲經歳之積分以十九分月之七以七乘周天分一千四百六十一得萬二百二十七以减經歳積分不盡三十三萬三千一百八小歳積分也以九百四十除之得三百五十四日不盡三百四十八還通分內子復得本積分三十三萬三千一百八更置月後天十三度十九分度之七通分內子得二百五十四以乘本積分得積後天分八千四百六十萬九千四百三十二爲實更列月後天分毋十九以乘日分母九百四十得萬七千八百六十爲法除之得積後天四千七百三十七度不盡六千六百一十二即是得四千七百三十七度萬七千八百六十分度之六千六百一十二還通分内子得本分八千四百六十萬九千四百三十二爲實更列周天三百六十五度萬七千八百六十分度之四千四百六十五即通分內子得六百五十二萬三千三百六十五以除實得十二下法不用餘分即不及故舎之分六百三十二萬九千五十二更以日月分毋相乘得萬七千八百六十爲法除分不及故舎之分六百三十二萬九千五十二得三百五十四度不盡六千六百一十二即不及故舍三百五十四度萬七千八百六十分度之六千六百一十二大歳月不及故舎十八度萬七千八百六十分度之萬一千六百二十八大歳者十三月爲一歳也術曰置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七大歳者加經歳十九分月之十二以十二乘周天分千四百六十一得萬七千五百三十二以加經歳積分得三十六萬八百六十七則大歳之積分也以七百四十除之即得以月後天十三度十九分度之七乘之爲實又以度分母乘日分毋爲法實如法得積後天五千一百三十二度萬七千八百六十分度之二千六百九十八此月後天分乘大歳積分得九千一百六十六萬二百一十八則積後天分也以周天除之除積後天分得十四周天即去之其不足除者不足除者三十三萬三千一百八是也此月不及故舎之分度數臣鸞曰求大歳月不及故舎法列經歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得經積分三十四萬三千三百三十五更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一得一萬七千五百三十二以經歳積分加大歳積分得三十六萬八百六十七爲實以九百四十除之得大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七還通分内子本分三十六萬八百六十七更列月後天十三度十九分度之七通分内子得二百五十四以乘本分得積後天分九千一百六十六萬二百一十八爲實以萬七千八百六十爲法除之得積後天度五千一百三十二不盡二千六百九十八即命分還通内子得本積後天分九千一百六十六萬二百一十八爲實以周天分六百五十二萬三千三百六十五爲法除實得十四周天之數餘以日月分母萬七千八百六十除之得大歳不及故舎十八度不盡萬一千六百二十八即以命分也經歳月不及故舍百三十四度萬七千八百六十分度之萬一百里經常也即十二月十九分月之七也術曰置經歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五經歳者通十二月十九分月之七爲二百三十五乘周天千四百六十一得三十四萬三千三百三十五則經歳之積分又以周天分毋四乘二百三十五得九百四十爲法除之即得以月後天十三度十九分度之七乘之爲實又以度分母乘日分母爲法實如法得積後天四千八百八十二度萬七千八百六十分度之萬四千五百七十以月後天分乘經歳積分得八千七百二十萬七千九十則積後天之分以周天除之除積後天分得十三周天即去之其不足除者不足除者二百四十萬三千三百四十五是也此月不及故舎之分度數臣鸞曰求經歳月不及故舍法列十二月十九分月之七通分内子得二百三十五以乘周天分千四百六十一得三十四萬三千三百三十五即經歳分也以日分母四乘二百三十五得九百四十爲法以除得經歳三百六十五日不盡二百三十五即命分還通分内子即復本歳分三十四萬三千三百三十五更列通月後天度分二百五十四以乘經歳分得積後天分八千七百二十萬七千九十爲實更列萬七千八百六十除實得積後天度四千八百八十二不盡萬四千五百七十即命分還通分内子復本積後天分爲實以周天分六百五十二萬三千三百六十五除實得十三周天即去之餘分三百四十萬三千三百四十五以萬七千八百六十除之得不及故舎百三十四度不盡萬一百五即以命分也小月不及故舍二十二度萬七千八百六十分度之七千七百三十五小月者二十九日爲一月一月之二十九日則有餘三十日復不足而言大小者通其餘分術曰置小月二十九日小月者减經月之積分四百九十九餘二萬七千二百六十則小月之積也以九百四十除之即得以月後天十三度十九分度之七乘之爲實又以度分毋乘日分毋爲法實如法得積後天三百八十七度萬七千八百六十分度之萬二千二百二十以月後天乘小月積分得六百九十二萬四千四十則積後天之分也以周天分除之除積後天分得一周天而去之其不足除者不足除者四十萬六百七十五此月不及故舎之分度數臣鸞曰求小月不及故舎法置二十九日以九百四十乘之得二萬七千二百六十則小月之分也更列月後天十三度十九分度之七通分內子得二百五十四以乘小月分得六百九十二萬四千四十爲實以萬七千八百六十爲法除實得三百八十七度不盡萬二千二百二十以命分還通分內子得本實更列周天分六百五十二萬三千三百六十五除本實得一周天不盡四十萬六百七十五即不及故舎之分又以萬九千八百六十除不及故舎之分得二十二度不盡七千七百三十五即以命分大月不及故舎三十五度萬七千八百六十分度之萬四千三百三十五大月者三十日爲一月也術曰置大月三十日大月加經積分四百四十一得二萬八千二百則大月之積分也以九百四十除之即得以月後天十三度十九分度之七乘之爲實又以度分毋乘日分毋爲法實如法得積後天四百一度萬七千八百六十分度之九百四十以月後天分乘大月積分七百一十六萬二千八百則積後天之分也以周天除之除積後天分得一周天即去之其不足除者不足除者六十三萬九千四百三十五是也此月不及故舎之分度數臣鸞曰求大月不及故舎法置三十日以九百四十乘之得二萬八千二百以後天分二百五十四乘之得七百一十六萬二千八百爲實以萬七千八百六十爲法以除實得四百一度不盡九百四十即以命分還通分内子復本實更以周天六百五十二萬三千三百六十五爲法除本實得一周餘不足除積六十三萬九千四百三十五分以萬七千八百六十爲法以除實得大月不及故舎三十五度不盡萬四千三百三十五即命分也經月不及故舎二十九度萬七千八百六十分度之九千四百八十一經常也常月者一月月與日合數術曰置經月二十九日九百四十分日之四百九十九經月者以十九乘周天分一千四百六十一得二萬七千七百五十九則經月之積以九百四十除之即得以月後天十三度十九分度之七乘之爲實又以度分母乘日分母爲法實如法得積後天三百九十四度萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六以月後天分乘經月積分得七百五萬七百八十六則積後天之分以周天除之除積後天分得一周天即去之其不足除者不足除者五十二萬七千四百二十一是也此月不及故舎之分度數臣鸞曰求經月不及故舎法以十九乘周天分千四百六十一得二萬七千七百五十九即經月積分以九百四十除積分得經月二十九日九百四十分日之四百九十九還通分内子得本經月積分以後天分乘本積分得七百五萬七百八十六即後天之積分更以萬七千八百六十除之得積後天三百九十四度不盡萬三千九百四十六即以命分還通分内子得本後天積分爲實以周天六百五十二萬三千三百六十五除之得一周餘分五十二萬七千四百二十一即不及故舎之分以一萬七千八百六十除之得經月不及故舎二十九度不盡九千四百八十一即以命分冬至晝極短日出辰而入申如上日之分入何宿法分十二辰於地所圓之周舎相去三十度十六分度之七子午居南北卯酉居東西日出入時立一游儀以望中央表之晷游儀之下即日出入陽照三不覆九陽日也覆猶徧也照三者南三辰已午未東西相當正南方日出入相當不覆三辰爲正南方夏至晝極長日出寅而入戍陽照九不覆三不覆三者北方三辰亥子丑冬至日出入之三辰屬晝晝夜互見是出入三辰分爲晝夜各半明矣考靈曜曰分周天爲三十六頭頭有十度九十六分度之十四長日分於寅行二十四頭入於戍行十二頭短日分於辰行十二頭入於申行二十四頭此之謂也東西相當正北方出入相當不覆三辰爲北方日出左而入右南北行聖人南面而治天下故以東爲左西爲右日冬至從南而北夏至從北而南故曰南北行故冬至從坎陽在子日出巽而入坤見日光少故曰寒冬至十一月斗建子位在北方故曰從坎坎亦北也陽氣所始故曰在子巽東南坤西南日見少晷陽照三不覆九也夏至從離隂在午日出艮而入乾見日光多故曰暑夏至五月斗建午位在南方故曰在午艮東北乾西北日見多晷陽照九不覆三也日月失度而寒暑相姦考靈曜曰在璿璣玉衡以齊七政璿璣未中而星中是急急則日過其度不及其宿璿璣玉衡中而星未中是舒舒則日不及其度夜月過其宿璿璣中而星中是周周則風雨時風雨時則草木蕃盛而百穀熟故書曰急常寒若舒常燠若急舒不調是失度寒暑不時卽相姦徃者詘來者信也故屈信相感從夏至南往日益短故曰詘從冬至北來日益長故曰信言來往相推詘信相感更衰代盛此天之常道易曰日徃則月來月徃則日來日月相推而明生焉寒徃則暑來暑徃則寒來寒暑相推而歳成焉徃者詘也來者信也詘信相感而利生焉此之謂也故冬至之後日右行夏至之後日左行左者徃右者來冬至日出從辰來北故曰右行夏至日出從寅徃南故曰左行故月與日合爲一月從合至合則爲一月日復日爲一日從旦至旦則爲一日日復星爲一歲冬至日出在牽牛從牽牛周牽牛則爲一歲也外衡冬至日在牽牛内衡夏至日在東井六氣復返皆謂中氣中氣月中也言日月徃來中氣各六傳曰先王之正時履端於始舉正於中歸餘於終謂中氣也隂陽之數日月之法謂隂陽之度數日月之法十九歲爲一章章條也言閏餘盡爲法章條也乾象曰辰爲歲中以御朔之月而納焉朔爲章中除朔爲章月月差爲閏臣鸞曰歲中除章中爲章歳求餘法置中氣相去三十日十六分日之七通分內子得四百八十七又置從朔至朔一月之日二十九九百四十分日之四百九十九通之得二萬七千七百五十九二者法異當同之者以中氣分母十六乘朔分得四十四萬四千一百四十四變爲中氣積分也以朔分母九百四十乘中氣分得四十五萬七千七百八十爲朔日積分以少減多求等數平之得一千九百四十八爲法除中氣積得二百二十八卽章中也更以一千九百四十八除朔積分得二百三十五卽章月也章月與章中差七即一章之閏更置二百二十八以歲中十二除之得十九爲章歲也更置章月二百三十五以章歲十九除之得十二月十九分月之七即一年之月也四章爲一蔀七十六歲蔀之言齊同日月之分爲一蔀也一歲之月十二月十九分月之七通分內子得二百三十五一歲之日三百六十五日四分日之一通之得一千四百六十一分母不同則子不齊當互乘之以齊同之者以日分母四乘月分得九百四十卽一蔀之月以月分母十九乘日分得二萬七千七百五十九即一蔀之日以日月分母相乘得七十六得一蔀之歲以一歲之月除蔀月得七十六歲又以一歲之日除蔀日亦得七十六矣歲月餘旣終日分又盡衆殘齊合羣數畢滿故謂之蔀臣鸞曰求蔀法列章歲十九以四乘之得一蔀七十六歲求一蔀之月法十二月十九分月之七通分内子得二百三十五即月分也更列一歲三百六十五日四分日之一通分内子得一千四百六十一以日分母四乘月分得九百四十即一蔀之月以月分母十九乘日分得二萬七千七百五十九卽一蔀之日以日分毋四乘月分母十九得七十六卽一蔀之歲更以月分母十九乘蔀月九百四十得萬七千八百六十爲實以十二月十九分月之七通分内子得二百三十五爲法以除實得七十六亦一蔀之歲也更列一蔀之日二萬七千七百五十九以分母四乘之得十一萬一千三十六爲實以周天分千四百六十一除之得一蔀之歲七十六也二十蔀爲一遂遂千五百二十歲遂者竟也言五行之德一終竟極日月辰終也乾鑿度曰至德之數先立金木水火土五凡各三百四歲五德運行日月開闢甲子爲蔀首七十六歲次得癸卯蔀七十六歲次壬午蔀七十六歲次辛酉蔀七十六歲凡三百四歲木德也主春生次庚子蔀七十六歲次已卯蔀七十六歲次戊午蔀七十六歲次丁酉蔀七十六歲凡三百四歲金德也主秋成次丙子蔀七十六歲次乙卯蔀七十六歲次甲午蔀七十六歲次癸酉蔀七十六歲凡三百四歲火德也主夏長次壬子蔀七十六歲次辛卯蔀七十六歲次庚午蔀七十六歲次巳酉蔀七十六歲凡三百四歲水德也主冬藏次戊子蔀七十六歲次丁卯蔀七十六歲次丙午蔀七十六歲次乙酉蔀七十六歲凡二百四歲土德也主致養其德四正子午卯酉而朝四時焉凡一千五百二十歲終一紀復甲子故謂之遂也求五德日名之法置一蔀者七十六歲德四蔀因而四之爲三百四歲以一歲三百六十五日四分日之一乘之爲十一萬一千三十六以六十去之餘三十六命甲子算外得庚子金德也求次德加三十六去之命如前則次德日也求算蔀名置一章歲數以周天分乘之得二萬七千七百五十九以六十去之餘三十九命以甲子算外得癸卯蔀求蔀加三十九滿六十去之命如前得次蔀臣鸞曰求遂法列一蔀七十六歲以二十乘之得千五百二十歲即以遂之歲求五德金木水火土法列一蔀七十六歲以周天分千四百六十一乘之得十一萬一千三十六卽以六十除之餘三十六命從甲子算外得庚子凡三百四歲主秋成金德也加三十六得七十二以六十除之餘十二命從甲子算外得丙子凡三百四歲火德主夏長次放此求蔀名列一章十九歲以周天分一千四百六十一歲乘之得二萬七千七百五十九以六十去之餘三十九命從甲子算外得癸卯蔀七十六歲復加三十九亦六十去之餘十八命亦起甲子算外次得壬午蔀次放此至甲子卽止之三遂爲一首首四千五百六十歲首始也言日月五星終而復始也考靈曜曰日月首甲子冬至日月五星俱起牽牛𥘉日月合若璧五星如聯珠青龍甲寅攝提格並四千五百六十歲積及𥘉故謂首也臣鸞曰求一首法列遂一千五百二十歲三之得一首四千五百六十歲也七首爲一極極三萬一千九百二十歲生數皆終萬物復始極終也言日月星辰弦望晦朔寒暑推移萬物生育皆復始故謂之極臣鸞曰求極先列一首四千五百六十以以七乘之得一極三萬一千九百二十歲也天以更元作紀曆元始作爲七紀法天數更始復爲法述之何以知天三百六十五度四分度之一而日行一度而月後天十三度十九分度之七二十九日九百四十分日之四百九十九爲一月十二月十九分月之七爲一歲非周髀本文蓋人問師之辭其欲知度之所分法術之所生耳周天除之除積後天分得一周卽棄之其不足除者如合朔古者包犧神農制作爲曆度元之始見三光未如其則三光日月星則法也日月列星未有分度則星之𥘉列謂二十八宿也日主晝月主夜晝夜爲一日日月俱起建星建六星在斗上也日月起建星謂十一月朔旦冬至日也爲曆術者度起牽牛前五度則建星其近也月度疾日度遲度日月所行之度也日月相逐於二十九日三十日間言日月二十九日則未合三十日復相過而日行天二十九度餘如九百四十分日之四百九十九未有定分未知餘分定幾何也於是三百六十五日南極影長明日反短以歲終日影反長故知之三百六十五日者三三百六十六日者一影四歲而後知差一日是爲四歲共一日故歲得四分日之一故知一歲三百六十五日四分日之一歲終也月積後天十三周又與百三十四度餘經數月後天之周故度求之餘者未知也言欲求之也無慮後天十三度十九分度之七未有定無慮者粗計也此巳得月後天數而言未有者求之意未有見故也於是日行天七十六周月行天千一十六周及合於建星月行一月則行過一周而與日合七十六歲九百四十周天所過復九百四十日七十六周并之得一千一十六爲一月後天率分盡度終復還及𥘉也臣鸞曰求於是日行天七十六周日行天千一十六周及合於建星法以九百四十周并七十六周得一千一十六周則日月氣朔合於建星置月行後天之數以日後天之數除之得一十三度十九分度之七則月一日行天之度以日度行率除月行率一日得月度幾何置月行率一千一十六爲實日行率七十六爲法實如法而一法及餘分皆四約之與乾象同歸而殊途義等而法異也復置七十六歲之積月置章歲之月二百三十五以四乘之得九百四十則蔀之積月也以七十六歲除之得十二月十九分月之七則一歲之月亦以四約法除分蔀歲除月與章歲除章月同置周天度數以十二月十九分月之七除之得二十九日九百四十分日之四百九十九則一月日之數通周天四分日之一爲千四百六十一通十二月十九分月之七爲二百三十五分母不同則子不齊當互乘以同齊之以十九乘千四百六十一爲二萬七千七百五十九以四乘二百三十五爲九百四十及以除之則月與日合之數臣鸞曰求日行一度法還置前一千一十六以七十六歲除之得十三度不盡二十八以求等平於四以四約餘得七約分得十九是十三度十九分度之七更列一章歲積月二百三十五以周天分母四乘之卽一蔀月九百四十亦以七十六歲除之得一歲之十二月十九分月之七餘分及法並以四約更通周天得千四百六十一復通十二月十九分月之七得二百三十五分母不同互乘之以月分母十九乘日分得二萬七千七百五十九以日分母四乘月分得九百四十除之二萬七千七百五十九得二十九日九百四十分日之四百九十九而月與日合此其數也周髀算經卷下(終)◆ 《新儀象法要-宋-》（KR3f0002）
## 御題新儀象法要
御題新儀象法要
梁代渾儀巳制之失傳蘇頌乃重為有經有緯述前驗具説具圖期後垂亦曰用心究鈎股即看影槧悉毫釐大成圓象精錙黍皇祖鴻貽萬世規乾隆乙未孟春上澣
## 提要
欽定四庫全書 子部六
新儀象法要 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案新儀象法要三卷宋蘇頌撰頌字子容南安人徙居丹徒慶厯二年進士官至右僕射兼中書門下侍郎累爵趙郡公事蹟具宋史本傳是書為重修渾儀而作事在元祐間而尤袤遂初堂書目稱為紹聖儀象法要宋藝文志有儀象法要一卷亦註云紹聖中編盖其書成於紹聖初也案本傳稱時别製渾儀命頌提舉頌既邃於律算以吏部令史韓公亷有巧思奏用之授以古法為臺三層上設渾儀中設渾象下設司辰貫以一機激水轉輪不假人力時至刻臨則司辰出告星辰躔度所次占候測騐不差晷刻晝夜晦明皆可推見前此未有也葉夢得石林燕語亦謂頌所修制之精逺出前古其學畧授冬官正袁惟幾今其法蘇氏子孫亦不傳云云案書中有官局生袁惟幾之名與燕語所記相合其說可信知宋時故甚重之矣書首列進狀一首上卷自渾儀至水趺共十七圖中卷自渾象至冬至曉中星圖共十八圖下卷自儀象臺至渾儀圭表共二十五圖圖後各有說葢當時奉勅撰進者其列璣衡制度候視法式甚為詳悉南宋以後流傳甚稀此本為明錢曽所藏後有乾道壬辰九月九日呉興施元之刻本於三衢坐嘯齋字兩行葢從宋槧影摹者元之字徳初官至司諫嘗注蘇詩行世此書卷末天運輪等四圖及各條所附一本云云皆元之据别本補入校核殊精而曾所抄尤極工緻其撰讀書敏求記載入是書自稱圖様界晝不爽毫髪凡數月而後成楮墨精妙絶倫不數宋本良非誇語也我朝儀器精宻敻絶千古頌所創造固無足輕重而一時講求制作之意頗有足備叅考者且流傳秘冊閱數百年而摹繪如新是固宜為寳貴矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷上
欽定四庫全書新儀象法要巻上宋 蘇頌 撰渾儀 六合儀三辰儀 四游儀天經雙環 陰緯單環天常單環 三辰儀雙環赤道單環 黄道雙環四象單環 天運單環四游儀雙環 望筒直距龍柱 鰲雲水趺進儀象狀臣頌先准元祐元年冬十一月詔㫖定奪新舊渾儀尋集日官及檢詳應前後論列干證文字赴翰林天文院太史局兩處對得新渾儀係至道皇祐中置造並堪行用舊渾儀係熙寜中所造環器怯薄水趺低墊難以行使奉聖㫖下祕書省依所定施行臣竊以儀象之法度數備存而日官所以互有論訴者葢以器未合古名亦不正至於測候須人運動人手有髙下故躔度亦隨而移轉是致兩競各指得失終無定論葢古人測候天數其法有二一曰渾天儀規天矩地機隱于内上布經躔以日星行度察寒暑進退如張衡渾天開元水運銅渾是也二曰銅候儀今新舊渾儀翰林天文院與太史局所用者是也又案吳中常侍王蕃云渾天儀者羲和之舊器積代相傳謂之機衡其為用也以察三光以分宿度者也又有渾天象者以著天體以布星辰二者以考於天葢宻矣詳此則渾天儀銅渾儀之外又有渾天象凡三器也渾天象厯代罕傳其制惟隋書志稱梁代祕府有之云是宋元嘉中所造者由是而言古人候天具此三器乃能盡妙今惟一法誠恐未得親宻然則張衡之制史失其傳開元舊器唐世已亡國朝太平興國初巴蜀人張思訓首創其式以獻太宗皇帝召工造於禁中踰年而成詔置文明殿(今文徳殿是也)東鼓樓下題曰太平渾儀自思訓死機繩斷壞無復知其法制者臣昨訪問得吏部守當官韓公㢘通九章筭術常以鉤股法推考天度臣切思古人言天有周髀之術其說曰髀股也股者表也日行周徑里數各依筭術用鉤股重差推晷影極㳺以為逺近之數皆得表股周人受之故曰周髀若通此術則天數從可知也因說與張衡一行梁令瓚張思訓法式大綱問其可以㝷究依仿製造否其人稱若據筭術案器象亦可成就既而撰到九章鉤股測騐渾天書一卷并造到木様機輪一坐臣觀其器範雖不盡如古人之說然激水運輪亦有巧思若令造作必有可取遂具奏陳乞先創木様進呈差官試驗如候天有凖即别造銅器奉二年八月十六日詔如臣所請置局差官及專作材料等遂奏差鄭州原武縣主簿充夀州州學教授王沇之充專監造作兼管句收支官物太史局夏官正周日嚴秋官正于太古冬官正張仲宣等與韓公㢘同充製度官局生袁惟㡬苖景張端節級劉仲景學生侯永和于湯臣測驗晷景刻漏等都作人貟尹清部轄指畫工作至三年五月先造成小様有㫖赴都堂呈驗自後造大木様至十二月工畢又奏乞差承受内臣一貟赴局預先指說前件儀法準備内中進呈日有宣問十月入内内侍省差到供奉官黄卿從至閏十二月二日具劄子取禀安立去處得㫖置於集英殿臣謹案厯代天文之器制範頗多法亦小異至於激水運機其用則一葢天者運行不息水者注之不竭以不竭逐不息之運茍注挹均調則參校旋轉之勢無有差舛也故張衡渾天云置宻室中以漏水轉之令司之者閉户唱之以告靈臺之觀天者璇璣所加某星始見某星已中某星今没皆如符合唐開元中詔浮屠一行與率府兵曹梁令瓚及諸術士更造鑄銅渾儀為之圓天之象具列宿及周天度數注水激輪令其自轉一日一夜天轉一周又别置二輪絡在天外綴以日月令得運行每天西轉一匝日正東行一度月行十二度有奇凡二十九轉而日月㑹三百六十五轉而日行匝仍置木櫃以為地平令儀半在地上又立二木偶人於地平之前置鐘鼓使木人自然撞擊以候辰刻命之曰水運渾天俯視圖既成置武成殿前以示百僚梁朝渾象以木為之其圓如丸徧體布二十八宿三家星(謂巫咸石申甘徳三家星圖以青黄)(赤三色别之)黄赤道及天河等别為横規環以繞其外上下半之以象地張思訓渾儀為樓數層髙丈餘中有輪軸闗柱激水以運輪又有直神揺鈴扣鐘擊鼓每一晝夜周而復始又有十二神各直一時時至則自執牌循環而出報隨刻數以定晝夜之長短至冬水凝運行遲澀則以水銀代之故無差舛又有日月星象皆取仰觀案舊法日月行度皆人所運新制成於自然尤為精妙然則據上所述張衡所謂靈臺之璇璣者兼渾儀候儀之法也置宻室中者渾象也故葛洪云張平子陸公紀之徒(張衡字平子陸績字公紀)咸以為推步七曜之運以度厯象昏明之證候校以三八之氣考以刻漏之分占晷景之往來求形驗於事情莫宻於渾象也開元水運俯視圖亦渾象也思訓凖開元之法而上以葢為紫宫旁為周天度而正東西轉出其新意也今則兼採諸家之說備存儀象之器共置一臺中臺有二隔渾儀置於上渾象置於下樞機輪軸隱於中鐘鼔時刻司辰運於輪上木閣五層蔽於前司辰擊鼓揺鈴執牌出沒于閣内以水激輪輪轉而儀象皆動此兼用諸家之法也渾儀則上候三辰之行度增黄道為單環環中日見半體使望筒嘗指日日體嘗在筒竅中天西行一周日東移一度此出新意也渾象則列紫宫於北頂布中外官星二十八舍周天度黄赤道天河徧於天體此用王蕃及隋志所說也又以五色珠為日月五星貫以絲繩兩末以鈎環掛于南北軸依七曜盈縮遲疾留逆移徙令常在見行躔次之内晝夜隨天而旋使人於其旁驗星在之次與臺上測驗相應以不差為凖此用一行思訓所說而增損之也二器皆出一機以水激之不由人力校之前古疎宻雖未易知而器度筭數亦彷彿其遺象也又制刻漏四副一曰浮箭漏二曰稗漏皆與今太史及朝堂所用略同三曰沈箭漏四曰不息漏并採用術人所製法式置於别室使挈壺專掌逐時刻與儀象互相叅考以合天星行度為正所以驗器數與天運不差則寒暑氣候自正也虞書稱在璇璣玉衡以齊七政蓋觀四七之中星以知節候之早晚考靈耀曰觀玉儀之游昏明主時乃命中星者也璇璣中而星未中為急急則日過其度月不及其宿璇璣未中而星中為舒舒則日不及其度月過其宿璇璣中而星中為調調則風雨時庶草蕃廡而五穀登萬事康由是言之觀璇璣者不獨視天時而布政令抑欲察災祥而省得失也易曰先天而天不違後天而奉天時此之謂也今依月令創為四時中星圖以曉昏之度附于卷後將以上備聖主南面之省觀此儀象之大用也又上論渾天儀銅候儀渾天象三器不同古人之說亦有所未盡陳苖謂張衡所造葢亦止在渾象七曜而何承天莫辨儀象之異若但以一名命之則不能盡其妙用也今新製備二器而通三用當總謂之渾天恭俟聖鑒以正其名也光禄大夫守吏部尚書兼侍讀上䕶軍武功郡開國侯臣蘇頌上右渾儀其制為輪三重一曰六合儀縱置於地渾中即天經也與地渾相結其體不動二曰三辰儀置六合儀内三曰四㳺儀置三辰儀内曰六合者象上下四方天地之體也曰天經者對地渾也又名陽經環者以地渾為陰緯環對名也又植四龍柱於渾下之四維各繞以龍故名曰龍柱又置鰲雲於六合儀下承以雲氣雲下有鰲座名曰鰲雲又四龍柱下設十字水趺鑿溝通水道以平髙下故名曰水趺别設天常單環於六合儀内又設黄道雙環赤道單環皆在三辰儀内東西相交隨天運轉以騐列舍之行又為四象環附三辰儀相結於天運環黄赤道兩交又為直距二縱置於四㳺儀内北屬六合儀地渾之上以正北極出地之度南屬六合儀地渾之下以正南極入地之度此渾儀大形也直距内夾置望筒一筒之半設闗軸附直距上使運轉低昂窺測四方之星度李淳風制六合儀三辰儀四游儀凡三重六合儀有金渾緯規其法劉曜時孔挺所增四游儀即舜璿璣玉衡之遺法也本朝至道中韓顯符止用淳風六合四㳺儀移三辰儀黄赤道安於六合儀如孔挺之說逮皇祐中復徙黄赤道附於三辰儀今則全用淳風三重之制而於三辰儀上設天運環以水運之水運之法始於漢張衡成於唐梁今瓚及僧一行復扵本朝張思訓今又變正其制設天運環下以天柱闗輪之類上動渾儀此出新製也右六合儀其制有天經有地渾有天常環天經即雙規也古制止言外雙規李淳風始有六合之名梁令瓚名陽經雙規韓顯符名天經雙規元豐復曰陽經雙規地渾之制梁名單横規李淳風名金渾緯規梁令瓚名陰緯單環又謂之陰渾韓顯符名地盤平凖皇祐周琮及元豐所制與今儀復曰陰緯單環天經則縱置地渾則横置天經環兩面各布列周天度數半在地渾之上半在地渾之下地渾環面已上為天其下為地其南北與天經環相屬持之地渾面鑿渠為平水溝以正天地之髙下於環内布列八干四維十二辰位以象地天常環於天經地渾内銜置之環側布列十有二時與時初正之分刻以成百刻之數右三辰儀其制為雙環在陽經環内兩環面各布周天度數環内附帶黄道赤道今又新置四象環附於三辰儀相結於天運環黄赤道兩交及天運環近南極下與鰲雲内牙軸相銜若鰲雲中天柱動則天運環動以轉三辰儀輪古無此儀李淳風造黄道儀始置之僧一行梁令瓚因之周琮造渾儀與元豐儀及今儀皆循用之右四游儀舜典曰璿璣(或曰璇璣)梁曰雙環規李淳風曰四游儀梁令瓚曰璇樞雙環韓顯符曰游規周琮及元豐所制并今儀復曰四游儀其儀為雙環在三辰儀内南北各有杠夾於雙環各有軸竅以運杠環兩面各布周天度數直距在雙環内連環體屬於六合儀南北極之杠軸内直北上屬北極直南下屬南極置望筒於直距内其半以闗軸夾持之使得運轉凡游儀東西運轉則望筒南北低昂故游儀運動無所不至而望筒隨㳺儀所至又置半筒以備測天運環相對之星以窺知天象右天經雙環兩環各直徑七尺七寸七分闊五寸厚八分與地渾單環相結於子午午正環兩面各列周天三百六十五度有畸其環半出地上半入地下於地渾面自北扶天而上三十有五度少弱則北極出地之度也於地渾面自南屬地而下三十有五度少弱則南極入地之度也環内當南北極為樞孔夾置杠軸軸末出環外各為臍二層以安三辰四游之杠内各為孔與直距内望筒之孔相通其北則北極出地之度自此而止也其南則南極入地之度自此而止也北極出地三十有五度少弱四迴而運之凡七十度半弱其度常見於地上則為紫微垣其星凡三十有七其數一百八十有三於四時常見不隱謂之上規南極入地三十五度少弱四迴而運之凡七十度半弱其度常隱於地下其下星常隠而不見謂之下規上下規間一百一十有二度則黄道赤道内外宫也其星凡二百四十有六其數一千二百八十一則近日而隱逺日而見謂之中規右陰緯單環其直徑與闊如陽經環之度其厚二寸半其環與陽經南北子午相銜陽經當陰緯環上下之半故陰緯環面上為天下為地其上下各一百八十二度有畸環面鑿為平水溝通流以為凖其環内向布列八卦維辰之位具如前說右天常單環其直徑六尺七寸七分闊九分厚五分其環入陽經陰緯環裏古人以鳥殻之裹黄况之内與三辰儀重置居赤道之表環面列有十二時晝夜百刻以揆時刻之度具如前說古無此環周琮等造三重儀始置之元豐儀因之今新儀循用右三辰儀雙環其直徑六尺四寸八分闊一寸八分厚七分兩面各列周天三百六十五度有畸内帶黄赤道下帶天運環在六合儀内轉動不息右赤道單環其直徑六尺三寸闊九分厚六分其環結於三辰儀内横絡天腹謂之中極以格黄道外則正與六合儀天常環相對環北面分列二十八舍周天之度内列二十有四氣六十有四卦環外列七十有二候其四正日躔之宿舊据厯法推步今以新儀考測知日躔與今天道差違凡三度葢元豐甲子嵗冬之日至在赤道斗三度夏之日至在井九度少弱春分日在奎初度强秋分日在軫七度太弱定為四正之宿占測七政以叶天度右黄道雙環今所創也其直徑闊厚如赤道之數環面列周天之度與赤道同其環結於三辰儀與六合儀相疊以定南北極則黄道正在三辰儀南北其東西與赤道相結黄道出赤道外二十四度弱去極一百一十五度少弱為冬至黄道入赤道内二十四度弱去極六十七度半弱為夏至其東西與赤道相交去極各九十一度少弱為春秋二分冬夏二至春秋二分謂之四正太陰五星出入皆循其道各有度數古制雖有赤道後漢和帝時知赤道與天度頗有進退詔賈逵始置雙道李淳風一行梁令瓚韓顯符周琮熙寜元豐儀又因之今新儀循用不改唯顯符徙黄道附於六合儀黄道舊單環外於北際見太陽體(不全見以測半)日為法今以望筒於黄道雙環(中全見日)體若仰窺太陽隨天運轉則太陽適周於雙環之内右四象單環今之所創也附扵三辰儀南北極末與南天運環黄赤道東西交相結今兩交無低墊之患隨天運環運轉與天符合右天運單環亦今所創也附於三辰儀居黄道之南環外周設四百七十八牙距下與鰲雲中天轂相銜其最下動樞輪軸一牙上動天柱一牙距乃上轉天運環一距天運環轉則三辰儀與環俱動以象天運無窮舊三辰儀未有水運故無此環今創為之其四百七十八牙距即倣用周天度分之法一本云其直徑四尺一寸四分半闊一寸九分厚七分附於三辰儀居黄道之南環外周設六百牙距(云云)其六百牙距即倣用元豐新浮漏六百分之法右四游儀雙環直徑六尺闊一寸七分兩旁外脣厚六分半内脣半隠起二分共厚八分半即舜典所謂璇璣也環兩面布周天三百六十五度有畸其環外與六合三辰儀三重相疊其南北端兩極内置直距直距中夾横簫使南北低昂六合儀不動以定天體三辰儀則隨天運環動轉以追天運若四游儀則有時轉動亦追天運以横簫窺測無所不至右直距二望筒一直距各長五尺六寸六分闊一寸六分厚八分安四游儀中上屬北極下屬南極中施闗軸以夾望筒望筒即舜典所謂玉衡也亦謂之横簫李淳風曰玉衡梁令瓚曰玉衡望筒韓顯符曰窺管周琮及元豐所制并今新儀復曰望筒中空長五尺七寸四分方一寸六分其兩首各為方掩方一寸七分方掩中各為圜孔孔徑七分半望其上孔適周日體于直距中南北低昂旋運持正窺測七曜與列宿距度之逺近右四龍柱各髙七尺七寸每柱植於十字水趺之末上屬陰緯環之四維而上下各以一龍繞之案舊法其勢端直映蔽四維今因元豐製作為曲抱之勢使人立其下便於窺測右鰲雲其髙四尺下植於水趺十字之心飾以雲氣上承六合儀令無墊墜承以鰲坐故曰鰲雲皆中空内隠天柱上屬天運環古制無鰲雲後魏永興中詔造候部鐵儀於水平上以龜負雙規韓顯符不用元豐儀周日嚴等設鰲雲於水趺之上今新儀因之其内隱天柱上屬天運環乃新製也右十字水趺後魏曰十字水中植立四龍柱李淳風曰凖基末植鰲足以張四表梁令瓚曰水平槽韓顯符復曰十字水平元豐所制并今新儀復曰水趺其制各長一丈四寸髙七寸五分闊八寸四分十字置之中鑿水道深一寸五分相通以行水視水平則髙下正矣四末為水斗外各方一尺二寸髙下與水趺等鑿方孔以受四龍柱於水斗中其十字之會開天門方二寸自下樞軸運天柱由鰲雲中上屬六合儀雙環水趺舊無天門今創為之以度天柱上撥天運環動三辰儀新儀象法要卷上
## 卷中
欽定四庫全書新儀象法要卷中宋 蘇頌 撰渾象 渾象六合儀渾象地櫃 渾象赤道牙渾象紫微垣星圖 渾象東北方中外官星圖渾象西南方中外官星圖 渾象北極星圖渾象南極星圖 四時昏曉加臨中星圖春分昏中星圖 春分曉中星圖夏至昏中星圖 夏至曉中星圖秋分昏中星圖 秋分曉中星圖冬至昏中星圖 冬至曉中星圖右渾象一座太史舊無今倣隋制增損製之上列二十八宿周天度及紫微垣中外官星以俯視七政之運轉納於六合儀天經地渾内周以一木櫃載之其中貫以樞軸軸南北出渾象外(南長北短)地渾在木櫃面横置之以象地天經與地渾相結縱置之半在地上半隠地下以象天其樞軸北貫天經上杠中末與杠平出櫃外三十五度少弱以象北極出地南亦貫天經出下杠外入櫃内三十五度少弱以象南極入地就赤道為牙距四百七十八牙以銜天輪隨機輪之地轂以運動按隋志云渾天象者其制有機而無衡梁末秘府有以木為之其圓如丸其大數圍南北兩頭有軸遍體布二十八宿三家星黄赤二道及天漢等别為横規以抱其外高下半之(此謂抱規抱渾象高下謂之半)以象地南軸頭入地注于南植植柱也以象南極北軸頭出于地上注于北植以象北極正東西運轉昏明中星既其應度分至氣節亦驗在不差而已今所製大率倣此並約梁令瓉張思訓法别為日月五星循繞三百六十五度隨天運轉又王蕃云渾象之法地當在天内其勢不便故反觀其形地為外郭而已解者無異在内詭狀殊體而合于理可謂竒巧也今地渾亦有渾象外盖出于蕃法也一云以象南極入地别設天運輪一側置渾象南其轂貫南樞軸之末其軸為牙距六百以銜天軸軸下接天輪隨機輪之地轂以運動右渾象六合儀其制有天經雙規地渾單環雙規直徑五尺四寸七分厚八分縱置木櫃小單環直徑五尺四寸七分闊三寸七分厚一寸五分横置木櫃面渾象納其中半隠地下半出地上以視南北極之髙下右渾象木地櫃一以安渾象及天經地渾内置天輪與赤道牙相接隨天輪運轉右渾象赤道牙一渾象體正圓如毬徑四尺五寸六分半上布周天三百六十五度有畸中外官星其名二百四十六其數一千二百八十一紫微垣在渾象北上規星其名三十七其數一百八十三二項總名二百八十三星數一千四百六十四東西繞以黄赤二道二十八舍相距于四方日月五星所行中貫以樞軸南北置之赤道牙與天輪相銜候天輪動則與渾象俱轉其天度星舍等及黄赤道日月五星所行周旋渾象各有名數距度次序標道右紫微垣星圖一凡三十七名一百八十三星布列渾象之北上規所以正天地之南北也北斗七星在垣内所以正四時也史志曰中宫北極五星鈎陳六星皆在紫宫中北極北辰之最尊者也其細星天之樞也天運無窮三光迭曜而極星不移故曰居其所而衆星拱之舊說皆以紐星即天極在正北為天心不動今驗天極亦晝夜運轉其不移處乃在天極之内一度有半故渾象杠軸正中置之不動以象天心也自天極外諸星皆隨渾象運轉以象列宿隨天左旋也天有二十八宿為十二次舍布列四方三百六十五度有畸而天極亦具其數古人所謂天形如盖即天心為盖之杠軸列舍如盖之橑輻分布十二次舍之度數紫宫近天極故狹而密列舍布四方故闊而疎也北斗七星所謂璇璣玉衡以齊七政者也(魁四星為璿璣杓五星為玉衡)杓攜龍角(杓斗柄也龍角東方星攜)(連也)衡中南斗(衡斗中央之星也)魁枕參首(斗第一星為魁)用昏建者杓(斗第七星為杓斗之星也)夜半建者衡(假令杓昏建寅則夜半衡亦建寅)平旦建者魁斗為帝車運于中央照臨四海分陰陽建四時均五行移節度定諸紀皆繫于斗故揚子雲云日一南而萬物死(謂夏至已後日第南陸一反南道羣隂漸長萬物所以死也)日一北而萬物生(謂冬至已後日窮北陸一反北道羣陽漸長萬物所以生也)斗一北而萬物虛(謂立冬已)(後斗杓建亥自亥之後陰主于時萬物以斂故曰虚)斗一南而萬物盈(謂立夏已後斗杓建)(巳自巳之後陽主于時萬物華盛故曰盈)日之南也右行而左還斗之北也左行而右還(日則迎天右行謂春行西方厯七星而南秋行東方厯七星而北始行西方故云右)(行也還從東方故云左還也斗則隨天而行春指東方厯三辰而南秋指西方厯三辰而北始指東方故云左)(行也還從西方故云右還也)由是言之天形無垠晝夜不息所以分節候運寒暑日與斗建相推移于上而成歲于下也所以著于圖象者欲俯仰之㕘合先天而趨務也故人君南面聴天下常視四七之中星察玉衡之杓建考日躔之南北順天時而布民政自唐虞以來莫不尚之然則渾象人居天外故俯視之星圖人在天裏故仰觀之二者相戾盖俯仰之異也其下中外官星亦倣此右渾象中外官星圖二凡二百四十六名一千二百八十一星分布于四方周遍天體惟南極入地常隠不見紫微宫常見不隠餘星近日而伏逺日而出四時互見二十八宿為十二次三百六十五度有畸日月五星之所舍也史志曰東宫蒼龍謂角亢氐房心尾箕七宿其形如龍在東方故曰蒼龍也南宫朱鳥謂東井輿鬼栁七星張翼軫七宿其形如鶉鳥在南方故曰朱鳥也西宫咸池白虎謂奎婁胃昴畢觜觽參為白虎在西方故曰白虎也北方元武謂南斗牽牛女虛危營室東壁有龜蛇體在北方故曰元武也凡星皆隨天左旋日月五星常違天右轉昏曉于是乎正寒暑于是乎生嵗時于是乎成所以著于渾象者將以俯察而知七政行度之所在也著于圖者將以仰觀而上合乎天象也星有三色所以别三家之異也出于石申者赤也出于甘徳者黒出于巫咸者黄紫宫諸星亦同出三家中外官與紫宫星總二百八十三名一千四百六十四星漢志所載紫宫及中外官星才百一十八名積數七百八十三星至晉武帝時太史令陳卓揔三家所著星圖方具上數至今不改然則施于渾象者惟天極北斗二十八舍為占候之要其餘備載者所以具上象之全體也右渾象北極南極星圖二古圖有圓縱二法圖圓視天極則親視南極則不及横圖視列舍則親視兩極則疎何以言之夫天體正圓如兩盖之相合南北兩極猶兩盖之杠轂二十八宿猶盖之弓撩(周禮考工記盖弓二十八以象星注云盖)(弓撩也然則古之置盖者亦取法于天)赤道横絡天腹如兩盖之交處赤道之北為内郭如上覆盖赤道之南為外郭如下仰盖故列弓撩之數近兩轂則狹漸逺漸闊至交則極闊勢之然也亦猶列舍之度近兩極則狹漸逺漸闊至赤道則極闊也以圓圖視之則近北星頗合天形近南星度當漸狹則反闊矣以横圖視之則去兩極星度皆闊失天形矣今倣天形為覆仰兩圓圖以盖言之則星度並在盖外皆以圖心為極自赤道而北為北極内官星圖赤道而南為南極外官星圖兩圖相合全體渾象則星官闊狹之勢脗與天合以之占候則不失毫釐矣右四時昏曉加臨中星圖聖人南面視四時之中所以候四時之早晚以布民政故堯命羲和厯象日月星辰敬授人時舜在璿璣玉衡以齊七政皆謂此也然則天以二十八宿分布四方凡三百六十五度有畸為日月五星之次舍日行一度為一日周天為一歲月行三十日一週天為一月故日月一歲十二㑹為四時時有孟仲季仲為分至人君不能日夕察候星度故舉四時之中以驗之曰日中春分也曰日永夏至也曰宵中秋分也曰日短冬至也所謂星鳥者南方之星七為朱鳥體春分則見于南方也所謂星火者東方之星七為蒼龍體夏至則見于南方也所謂星虚者北方之星七為元武體秋分則見于南方也所謂星昴者西方之星七為白虎體冬至則見于南方也鄭康成云凡記昏明中星者為人君南面而聴天下視時候以授民事也既舉四時之中又昏旦視四方列宿則孟季之月與周天之度數從可知也故厯代聖王尚之經史記云夏有小正周有時訓秦漢暨唐及本朝皆有月令所以順天時而督民務也詩曰定之方中作于楚宫又有三星在天在隅在户之候春秋傳曰啟蟄而郊龍見而雩又曰凡土功水昏正而栽又曰凡馬日中而出日中而入此皆視列宿而行國政也然其上所記及唐虞之世日行次舍如此厯三代漢唐至今數千年日行漸逺故中星隨而轉移今以禮記月令洎唐及本朝所測合為四時昏旦中星圖所以上備宸庭觀覽順陰陽而頒政令也四仲圖别出于後(圖稱月令者是漢太初厯星度稱唐者是開元大衍厯星度稱今者是元豐所測見今星度也)新儀象法要卷中
## 卷下
欽定四庫全書新儀象法要卷下宋 蘇頌 撰水運儀象臺 運動儀象制度木閣晝夜機輪 機輪軸天輪 撥牙機輪木閣第一層 晝時鐘鼓輪木閣第二層 晝夜時初正司辰輪木閣第三層 報刻司辰輪木閣第四層五層 夜漏金鉦輪夜漏司晨輪 樞輪退水壺鐵樞軸 天柱天轂 天池平水壺天衡 昇水上下輪河車天河 儀象運水法渾儀圭表右水運儀象臺其制為臺四方而再重上狹下廣髙下相地之宜四面以巨枋木為柱柱間各設廣桄周以板壁下布地栿上布板面内設天梯再休隔上開南北向各一門隔下開二門各南向雙扉(别本云再休隔上開南向一門東西向各)(一門隔下開二門各南向雙扉)渾儀置上隔(即臺面也)儀有三重曰六合儀曰三辰儀曰四㳺儀其上以脫摘板屋覆之六合儀有陽經雙規為天規縱置之陰緯單規為地渾横置之三辰儀南施天運環(天運環係新剏)渾象連木地櫃置臺中隔渾象亦有天經雙規縱置木地櫃中半出地上半隠地下有地渾單規置地櫃面(為櫃之子口渾象等今倣隋書志新剏)臺内仰設晝夜機輪八重貫以機輪軸第一重曰天輪在天束上與渾象赤道牙相接第二重曰晝時鐘鼓輪第三重曰時刻鐘鼓輪第四層曰時初正司辰輪第五重曰報刻司辰輪第六重曰夜漏金鉦輪(鉦今號曰錚錚是也)第七重曰夜漏更籌司辰輪最下第八重曰夜漏箭輪外以五層半座木閣蔽之層皆有門以見木人出入第一層左揺鈴右扣鐘中擊鼓第二層報時初及時正第三層報刻第四層擊夜漏金鉦第五層報夜漏更籌又於八輪之北側設樞輪其輪以七十二輻為三十六洪束以三輞夾持受水三十六壺轂中横貫鐵樞軸一南北出軸南為地轂運撥地輪天柱中動機輪動渾象上動渾儀(别本云又)(於八輪之北側設樞輪以九十六輻四十八洪束以三輞夾扶受水四十八壺轂中横鐵樞軸一南北出軸南)(中以天梯下轂以運天梯上動渾儀末以地轂運撥牙機輪上動渾象)又樞輪左設天池平水壺平水壺受天池水注入受水壺以激樞輪受水壺水落入退水壺由壺下北竅引水入昇水下壺以昇水下輪運水入昇水上壺上壺内昇水上輪及河車同轉上下輪運水入天河天河復流入天池周而復始一云三辰儀南施天運環渾象連木地櫃置臺中隔渾象(云云)半隠地下上有池渾雙規置地櫃面體外亦施天運(倣隋志新剙)臺内仰設晝夜機輪右運動儀象制度先設樞輪一機輪八以天柱四植於臺内樞梁二東西横安于天柱前後以載樞軸天梁二安於天柱樞梁上以掛天闗左右天極二南北置之南寄臺前東西柱北貫天柱東西天梁之下樞梁之上機輪軸一立置臺中天束一以横木二合為一天束横置之兩末安於東西天極中天輪之下撥牙機之上中為竅以束機輪軸機輪軸下為地極横置之兩末安東西兩地足中地極之正中安鐵樞臼一以承機軸之纂纂亦以鐵為之天池在天柱之左平水壺在天池之南兩壺各以木架載之平水壺面接天池水竅其底與樞輪受水壺面相次退水壺在樞輪之下上下昇水軸壺并河車兩軸並寄樞梁天梁下横桄之中其晝夜八機輪同貫機輪軸撥牙軸所以轉七輪樞輪三十六(三十六一云四)(十八)雙輪共貫一轂受水壺三十六在樞輪外輞間所以受水運樞輪也天衡一置樞輪上天闗一置衡腦天權一置衡尾天條一在衡之前天衡闗舌一以天條綴之所以激發天衡闗也樞衡一在天衡闗舌上衡腦為格义(格音閣)以抵受水壺以樞權掛其末所以節受水壺之陞降也左右天鎖二分置東西天柱間梁上所以持正樞輪也右木閣五層在機輪前第一層時初木人左揺鈴刻至中擊鼓時正右扣鐘第二層木人出報時初又時正第三層木人出報十二時中百刻第四層夜漏擊金鉦第五層分布木人出報夜漏箭右晝夜機輪八重第一重曰天輪以撥渾象之赤道牙第二重曰撥牙機輪上安牙距隨天柱中輪轉動以運上下七輪第三重曰時刻鐘鼔輪上安時初正百刻撥牙以擊鐘鼓鈴第四重曰時初正司辰輪上安時初十二司辰時正十二司辰第五重曰報刻司辰輪上安百刻司辰第六重曰夜漏金鉦輪上安撥牙以擊夜漏金鉦第七重曰夜漏更籌司辰輪上安日出入昏曉待旦更籌司辰第八重曰夜漏箭輪以載金鉦夜漏箭輪以上八重並貫於軸上以天束束之下以鐵樞曰承之外以前木閣五層以蔽之(赤道牙一本云天運輪)機輪軸一上貫於天束竅中下納於地極上樞臼中以安晝夜八機輪右天輪直徑三尺八寸上安六百牙距其轂貫於鐵軸在天束上與渾象天運輪相接於輪之南輞上銜天軸所以運天運輪天運輪斜對南極之中如側葢之勢以天軸撥其牙距以運渾象故下機輪軸上貫天機輪動則天輪西轉天輪西轉則天軸東向及使天運輪與渾象同時西旋右撥牙機輪隨天柱中輪轉動在晝時鐘鼔輪上直徑六尺七寸輪下施六百牙距以待中輪動作每中輪動機輪六牙距為一刻五十牙距為一時其六百牙為十二時者元豐法也一本云撥牙機輪與後樞輪相對在第三層閣内與報刻司辰輪相疊直徑六尺七寸下施六百牙距以待樞輪動作每樞輪動機輪六牙距右木閣第一層開三門每時初即服緋司辰於左門内揺鈴刻至即服緑司晨中門内擊鼓時正即服紫司辰右門内扣鐘右晝時鐘鼓輪在木閣第一層内徑六尺七寸上應百刻十二時每時初正及每刻與機輪六百牙距相應輪上置撥牙刻至則中擊鼓時初則左揺鈴時正則右扣鐘右木閣第二層正中開一門每機輪轉則晝夜時初正司辰輪動時初則服緋司辰執牌出報時正則服紫司辰執牌出報右晝夜時初正司辰輪在木閣第二層内直徑七尺三寸上置二十四司辰十二人報時初十二人報時正每至時正時初其司辰各執牌出見於中門之内右木閣第三層亦正中開一門每機輪轉則報刻司辰輪動刻至則服緑司辰執牌出報右報刻司辰輪在木閣第三層内直徑七尺二寸上布十二時之百刻分布報刻司辰除時初外以刻言之其司辰九十六人以應正衙鐘鼓樓報刻之節每刻則司辰各執牌出見右木閣第四第五層正中開一門每日入昬五更待旦曉日出木人皆擊金鉦以應第五層司辰第五層司辰出報夜漏等日入後二刻半為昬昏為初更每更有五籌更盡為待旦十刻待旦十刻後曉曉後二刻半為日出其日入服緋司辰出報昏二刻半服緑司辰出報更有五籌初一籌服緋司辰出報更初餘四籌服緑司辰各出報凡五更總司辰二十有五待旦十刻服緑司辰各出報曉二刻半服緑司辰出報日出服緋司辰出報司辰各執牌出見於中門之外右夜漏金鉦輪在第四層木閣内直徑六尺七寸上設夜漏更籌箭每籌施一撥牙每更籌至日出日入皆擊金鉦右夜漏司辰輪在木閣第五層内直徑八尺與夜漏箭輪相疊每至日出入昏曉及待旦刻并更籌各有司辰牌出報于中門之内箭輪徑六尺七寸其輪與司辰輪相疊凡冬夏夜有長短不可以一法測之故一嵗設六十一箭箭亦有長短故隨節氣更換則四時之晝夜各無差舛右樞輪一退水壺一樞輪直徑一丈一尺以七十二輻(七十二一本云九十六)雙植於一轂為三十六(三十六一本云四十八)洪束以三輞每洪夾持受水壺一總三十六壺每壺長一尺闊五寸深四寸於壺側置鐵撥牙以撥天衡闗舌樞輪轂中貫以鐵樞軸南北出南以運儀象退水壺長一丈一尺四寸闊一尺九寸東髙三尺二寸西髙二尺五寸五分中髙一尺五寸五分置樞輪下以接退水每受水一壺過水落入退水壺北下為竅水由下竅北流入昇水下壺右鐡樞輪軸一長五尺九寸方一寸八分貫樞輪轂中南北出於轂前後相隨去樞梁闊狹鑢為兩圓項於樞梁上為鐵仰月承之使運轉安南地轂以撥天柱下輪運轉天柱(一本云前後相去隨)右天柱長丈九尺五寸其法以木為之上丳鰲雲中為天柱上輪以動天轂中為天柱中輪以動機輪下為天柱下輪以待樞輪地轂動作右天轂二置於渾儀天經中以仰月承之後天轂以待天柱上輪動作前天轂與天運環相銜與後轂貫于一軸後轂動則前轂動前轂動則天運環動一本無天柱天轂有天梯天托一本云仰月承之使運轉軸南安地轂以撥機輪牙距次安梯下轂以撥天梯右天池壺一平水壺一平水壺上有凖水箭自河車發水入天河以注天池壺天池壺受水有多少緊慢不均故以平水壺節之即注樞輪受水壺晝夜停勻時刻自正右天衡一在樞軸之上中為鐵闗軸於東天柱間横桄上為駞峰植兩鐵頰以貫其軸常使轉動天權一掛於天衡尾天闗一掛於腦天條一(即鐵鶴膝也)綴於權裏右垂(長短隨樞輪髙下)天衡闗舌一末為鐵闗軸寄安於平水壺架南北桄上常使轉動首綴扵天條舌動則闗起左右天鏁各一末皆為闗軸寄安左右天柱横桄上東西相對以拒樞輪之輻樞衡樞權各一在天衡闗舌上正中為闗軸於平水壺南北横桄上為兩頰以貫其軸常使運動首為格义西距樞輪受水壺權隨於衡東隨水壺虛實低昂右昇水上下輪各一直徑各五尺六寸上輪與河車同貫一軸軸末南寄天梁下横桄上正中北寄臺腹木閣横桄上為〔？〕手柱載之(木閣髙七尺一寸長七尺三寸闊二尺五寸上布板面板面南)(下立木柱二北寄臺桄上使人在其上運河車)下輪軸末南置樞梁下横桄正中北亦為〔？〕手柱載之柱寄於臺後地面板上昇水上下壺各一上壺長七尺四寸闊九寸五分兩頭髙二尺三寸中一尺五寸下壺長七尺二寸闊一尺六寸髙二尺一寸並在二輪下以承輪天河在昇水上輪之上以受上輪水下壺南為水竅與退水壺竅相通河車轉則昇水上下輪俱轉河車與上輪俱東向即下輪逆行西向昇水下輪發昇水下壺水右上入昇水上壺昇水上輪發昇水上壺水左入天河注入天池右河車一天河一河車直徑四尺八寸天河長三尺八寸闊七寸髙六寸東為水竅與天池面相接河車外出十六撥牙以撥昇水下輪十六距對撥牙北安手把八以運河車二輪輞外斜安戽斗二十四上輪十六下輪八河車轉則上下輪俱帶戽斗運水入天河天河注水入天池儀象運水法水運之制始於下壺先實水於昇水下壺壺滿則撥河車八距河車動則昇水上下輪俱動昇水下輪以八戽斗運水入昇水上壺昇水上輪以十六戽斗運水入天河天河東流入天池天池水南出渇烏注入平水壺由渇烏西注入樞輪受水壺受水壺之東與鐵樞衡格义相對格义以距受水壺壺虚即為格义所格所以能受水水實即格义不能勝壺故格义落格义落即壺側鐵撥擊開天衡闗舌掣動天條天條動則天衡起發動天衡闗左天鏁開即放樞輪一輻過一輻逼即樞軸動其樞輪所檢栝者二一以運渾儀二以動機輪所謂運渾儀者樞輪動則地轂動地轂動則天柱下輪動天柱下輪動則天轂後輪動天轂後輪動則天轂前輪動天轂前輪動則天運環動天運環動則三辰儀隨天運轉此樞輪所以運渾儀也所謂動機輪者樞輪動則地轂動地轂動則天柱下輪動天柱下輪動則天柱中輪動天柱中輪動則機輪動則樞輪所以動機輪也機輪所以檢栝者四一以天輪運渾象二以動鐘鼓輪三以動時初正司辰輪四以動報刻司辰輪所謂以天輪運渾象者機輪動則天輪動天輪動則渾象隨天運轉此天輪所以動渾象也所謂動鐘鼓輪者機輪動則晝時鐘鼓輪相隨而動其輪上有牙距時初則撥左木人所執鈴竿以揺鈴時正則撥右木人所執撞竿以扣鐘刻至則撥中人所執椎以擊鼓三者並在本閣第一層左右及中門内相應此機輪所以動鐘鼓輪也所謂動時初正司辰輪者機輪動則晝夜時初正司辰輪相隨而動時至則輪上木人執牌出木閣第二層門中以報初及正此機輪所以動時初正司辰輪也所謂動報刻司辰輪者機輪動則報刻司辰輪相隨而動刻至則輪上木人於木閣第三層門中出報此機輪所以動報刻司辰輪也已上樞輪一輻過則左天鏁及天闗開左天鏁及天闗開則一受水落入退水壺一壺落則闗鏁再拒次壺則激輪右回故以右天鏁拒之使不能西也每受水一壺過水落入退水壺由下竅北流入昇水下壺再動河車運水入上水壺周而復始右渾儀圭表一舊法渾儀圭表各為一器故渾儀不能測晷景之長短土圭亦不能驗七政之行度今以二器合為一法其制於渾儀下安圭座面與水趺中心相結各為水溝通流以定平凖圭長一丈三尺為日行晷之南北於圭面分尺寸兩旁列二十四氣自圭面上與陰緯環面與直距望筒之半為表之髙表髙八尺故自陰緯環面及望筒之半至鰲雲之下亦髙八尺常於午正以望筒指日令景透筒竅至圭面以竅心之景指圭面之尺寸為凖望筒所以上考時刻五星留逆徐疾日道昇降黄道去極逺近圭面所以下候二十四氣晷景之長短二法相參則氣候與上象相合考正厯數免有差舛右渾象天運輪一渾象體正圓如毬徑四尺五寸六分半上布周天三百六十五度有畸中外官星其名二百四十六其數一千二百八十一紫微垣在渾象北上規星其名三十七其數一百八十三星數一千四百六十四東西繞以黄赤二道二十八舍相距於四方日月五星所行中貫以樞軸南北置之軸末貫以天運輪下與天軸及天轉牙距相銜候天輪動作則天運輪與渾象俱轉其天度星舍等及黄赤道日月五星所行周旋渾象各有名數距度(别本)右鐵天軸一置於渾象木地櫃底軸兩頭安於臺中隔櫃上東西横桄下在天輪天運輪中與兩輪撥牙相銜其天輪西向則天軸東旋天軸東旋則天運輪西旋天運輪西旋則渾象隨輪而轉象天西旋(别本)右天梯長一丈九尺五寸其法以鐵栝聯周匝上以鼇雲中天梯上轂掛之下貫樞軸中天梯下轂每運一括則動天運環一距以轉三辰儀隨天運動(别本)右天托二 鼇雲内各髙三尺七寸下為雙义 水趺之心下間闊三寸一分南托上四分之一為曲尺上間闊四寸五分(為曲尺故也)雙夾天梯於曲尺間對開三竅置三軸以貫四轂上曰上天轂上與渾儀天運環相距次曰中天轂與上天轂相距下曰下天轂與中天轂相距下之次曰天梯上轂在下天轂之北共貫一軸以掛天梯(别本)新儀象法要卷下◆ 《六經天法編-宋-》（KR3f0003）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
六經天文編 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案六經天文編二卷宋王應麟撰應麟有鄭氏周易註已著錄是編裒六經之言天文者以易書詩所載為上卷周禮禮記春秋所載為下卷三代以上推步之書不傳論者謂古法疎而今法宻如嵗差里差之辨皆聖人所未言晉虞喜始知嵗差唐人作覆矩圖始知地有東西南北里差然堯典豳風月令左傳國語所言星辰前後已相差一次是嵗差之法可即是例推周禮土圭之法日南景短日北景長日東景夕日西景朝是里差之法亦可即是而見後世推步之源未嘗不見於六經特古文簡約不及後來之推衍詳察耳此編雖以天文為名而不專主於星象凡隂陽五行風雨以及卦義悉彚集之採錄先儒經説為多義有未備則旁涉史志以明之亦推步家所當考證也宋史藝文志作六卷至正四明續志作二卷今此書分上下二篇則二卷為是考國朝吉水李振裕補刋玉海序稱應麟著述逾三十種已刻者玉海附詞學指南又有遺書十三種自詩攷至通鑑答問共五十餘卷板皆朽蝕悉為補刋之是編亦與焉此本前後無序跋紙墨甚舊蓋猶至元六年王厚孫所刋也乾隆四十六年六月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷上
欽定四庫全書六經天文編卷上宋 王應麟 撰天道易天行健胡氏曰天者乾之形乾者天之用天之形望之其色蒼然南樞入地下三十六度北樞出地上三十六度狀如倚杵此天形也言其用則一晝一夜之間凡行九十餘萬里夫人一呼一吸謂之一息一息之間天已行八十餘里人之一晝一夜有一萬三千六百餘息是故一晝一夜而天行九十餘萬里則天之健用可知 程氏曰傳謂天形如雞子上規之星常見下規之星常隠中規日月五星之所由二十八宿布于其間半覆地上半繞地下以所行度數知之故觀天之行有以見重乾之象朱氏曰天一而已但言天行則見其一日一周而明日又一周若重複之象非至健不能也或問乎邵子曰天何依曰依乎地地何附曰附乎天天地何所依附曰自相依附天依形地附氣其形也有涯其氣也無涯但天之形員如彈丸朝夜運轉其南北兩端後髙前下乃其樞軸不動之處其運轉者亦無形質但如勁風之旋當晝則自左旋而向右向夕則自前降而歸後當夜則自右轉而復左將旦則自後升而趨前旋轉無窮升降不息是為天體而實非有體也地則氣之查滓聚成形質者但以其束於勁風旋轉之中故得以兀然浮空甚久而不墜耳黄帝問於岐伯曰地有憑乎岐伯曰大氣舉之亦謂此也天文鄭氏曰離為日日天文也艮為石石地文也天文在下地文在上天地之文交相飾成賁 漢上朱氏曰以天文言之無非剛柔交錯陰陽之精在地象物成列光耀離合皆剛柔也日陽也而為離月隂也而為坎緯星動者陽也而太白辰星為隂經星不動者陰也而析木鶉首為陽北斗振天二極不動故曰天文也聖人觀乎天文則知剛柔有常矣故南面而立視昬旦之星日月之次以知四時寒暑之變春震秋兑泰之時也夏離冬坎賁之時也泰易為賁四時互變時變之象也離有坎日降而月升也坎復成離月降而日升也天氣也而成文地形也而有理形散為氣明而幽也氣聚成形幽而明也仰觀乎天凡地之成形者莫不有是文俯察乎地凡天之成象者莫不具是理故分而為二揲之以四生二儀四象八卦成三百八十四爻萬有一千五百二十策皆源於太極知此則知幽明之故也鳥獸之文即天文太𤣥曰察龍虎之文觀鳥龜之理舉鳥獸則龜見矣仰觀龍虎鳥龜之文其形成於地俯觀山川原隰之宜其象見於天凡在地者皆法天者也 或問天有形乎曰天積陽也氣也易曰日月麗乎天百穀草木麗乎土日月附麗乎天亦若百穀草木之麗乎土天果有質歟日月之行或遲或速奔星上下前後或卑或髙不得自如莊周曰天之蒼蒼其正色耶其視下也亦若是而已列禦冦曰日月星辰積氣中之有光耀者郄萌曰天了無質鄭康成曰天清明無形或曰星隕石何也曰光耀既散氣凝為石如人之精神既散形亦剛彊矣故曰在天成象在地成形成形者皆地也坎坤體也坎中之乾二五也乾陽流於坤陰故月以速為退月體不明待日而明明者乾也横渠曰日月之精互蔵其宅是也乾言日月合其明者坎離互用也豫言日月不過者坎為月伏離為日日月㑹于北方也恒言日月得天者乾九四之五變離坎也小畜上九中孚六四歸妹六五月幾望者小畜四有伏坎巽有伏震月在東日在西望也中孚訟坎變震月在東亦望也歸妹六五月在東日在西亦望也然曰幾望者小畜中孚坎在四也歸妹六五爻在五也坎在四若五則中矣是故日望月則月食月掩日則日食坎離之交勝也離在地為火在天為日乾體也其中畫乃坤之二五横渠所謂陰陽之精互蔵其宅歟行遲者陰麗乎陽也晉曰晝者日出地上進而中也豐曰宜日中者九四之五也離九三豐彖曰日昃者日中而又西也乾九三既濟曰終日者日在下也豫六二曰不終日者二動之五成離日在上也夬九二曰暮夜者動成離日在西方之下日薄于虞淵之時也或曰夕日入為夕大畜曰日新者大壯一變需坎月離日合照也再變大畜艮終復始日新也益曰日進者初九自下而進也卜丘楚論十日其説源於易之晝夜又為大明者懸象著明莫大於日月而月受明於日陽為大陰為小故曰大明乾大明終始晉進而麗乎大明皆日也又為明者日月相推而生明屯九五求四四往之五訟初往四皆坎月在東月之明也大有九四離動井九五旅上體日在上日之明也困初六豐九四曰幽不明者日在西而隠伏也大有賁同人明夷曰文明者離居二五也坤為文又為光者日月之明無所不及也孟子曰日月有明容光必照管輅曰日中為光易九言光者皆明之所及也坤之化光者舍坎離也觀之觀光者四五交也頤之光者四施初也夬之光者離自下升也未濟之光者二五易也需光亨者大壯四之五日西月東四五得位也凡言未光者皆未能行也屯九五未之二也噬嗑九四噬六五而後光也晉上九反三自治而後光也夬九五中行上決而後光也萃九五之二而後光也凡言光明者兼體用也老子曰用其光復歸于明體用合一光明無盡履剛中正而不倚故離目下升光明不疚言無私照也謙以剛濟柔故坎自上降萬物化光言皆相見也艮行止動静不失其時故坎離下濟其道光明言久不息也凡言光大者其象與光明同曰大者指陽爻也坤曰光大者初三五也渙六四曰光大者二從四也咸九四可以光大者九也四來初往則離坎成四往初來則離坎毁未光大也益自否之九四三變離坎而成益大者光也言光輝者日月之光揮散也言暉者主離日也管輅曰朝日為暉或曰星辰何象也曰艮離也邵雍曰離為星賁艮上離下彖曰柔來文剛又曰分剛上而文柔天文也班固曰陰陽之精其本在地張衡曰地有山嶽精鍾為星葢星辰者地之精氣上發乎天而有光耀者也星日之餘也辰月之餘也月生於日之所照也衆星被耀因水轉光三辰同形陰陽相配其體則艮也河洛篇曰天中極星崑崙之墟天門明堂太山之精中挺三台也五靈諸侯也岍岐荆山壺口雷首太嶽砥柱東方之宿也析城王屋太行恒山碣石西傾朱圉北方之宿也鳥䑕太華熊耳外方桐柏嶓冢陪尾西方之宿也荆山内方大别岷山衡山九江敷淺原南方之宿也九隘之險九河之曲瀁水三危汶江九折上為列星諸賢之論不詭於經矣故精斁氣歇坎極離見乃有隕星其光燭地者離也隕而成石或為阜堆塵沙者艮也日為陽月為陰嵗熒惑鎮為陽太白辰為陰斗魁為陽尾為陰天南為陽北為陰東為陽西為陰日月東行天西轉日自牽牛至東井分剛上而文柔也月自角至壁柔來而文剛也五星東行有遲有速北斗西行昬明迭建二十八宿分配五行各有隂陽四時隠見至於中外之宫無名之星河漢之精皆發乎陰陽者也則二氣交錯成天之文信矣 蘇氏曰天地一物也隂陽一氣也或為象或為形所在之不同故在云者明其一也象者形之精華發於上者也形者象之體質留於下者也人見其上下真以為兩矣豈知其未嘗不一耶由是觀之世之所謂變化者未嘗不出於一而兩於所在也自兩以往有不可勝計者矣八卦納甲晦朔㑹為坤象三日朏而出於庚為震象五日上弦而見於丁為兊象七日盈於甲壬為乾象既形而生魄退於辛為巽象八日下弦消於丙為艮象七日復與日㑹于辰次之所而為坤象 繫辭縣象著明莫大乎日月虞翻曰謂日月懸天成八卦象三日暮震象月出庚八日兑象月見丁十五日乾象月盈甲壬十六日旦巽象月退辛二十三日艮象月消丙三十日坤象月滅乙晦夕朔旦則坎象水流戊日中則離離象火就巳戊巳土位象見於中日月相推而明生焉 蠱先甲三日後甲三日虞翻曰謂初變成乾乾為甲至二成離離為日謂乾三爻在前故先甲三日賁時也變三至四體離至五成乾乾三爻在後故後甲三日旡妄時也易出震消息厯乾坤象乾為始坤為終故終則有始乾為天震為行故天行也 巽九五先庚三日後庚三日虞翻曰謂變初至二成離至三成震震主庚離為日震三爻在前故先庚三日謂益時也動四至五成離終上成震震爻在後故後庚三日也乾成於甲坤成於庚隂陽天地之始終故經舉甲庚於蠱彖巽五也 革已日乃孚虞翻曰離為日孚謂坎四動體離五在坎中故已日乃孚以成既濟 漢上朱氏曰已日當讀作戊巳之已十日至庚而更更革也自庚至己十日浹矣已日者浹日也革自遯來无妄變也二變家人三變離四變革无妄之震納庚革之離納已故有此象二應五三應上孚也 趙氏曰天道左旋日月右轉兩曜行天若彈丸然月受日光向為明而背為魄下土視之則有盈闕葢日行一度一嵗一周天月行十三度十九分度之七一月一周天合離盈速之既異朓朒弦望之攸分魄者月之體坤之純陰象焉明者日之光乾之純陽象焉其生明也一陽在下震之象其生魄也一隂在下巽之象二陽浸長上弦為兑二隂浸長下弦為艮三日明於庚震納庚也十六魄於辛巽納辛也八日弦於丁兑納丁也廿三弦於丙艮納丙也日月相望於三五月盈在甲故乾納甲日月合符於晦朔月沒於乙故坤納乙明滿於甲而盡乎壬壬廿九日也過則晦矣故乾復納壬魄全於乙而止乎癸癸二日也過則明矣故坤復納癸望前月行先乎日故以昬定望後月行後乎日故以晨定月近於朔故必三十度而明始見月逺於望故不待十度而魄已生日月相去各九十餘度四分天之一明與魄分謂之弦日月相對各百八十餘度直乎天之半明周乎魄謂之望日離也納己巳居陽中月坎也納戊戌居隂中日月合徳戊巳无位循環不窮所以為中 朱氏參同契説曰首言乾坤坎離四卦橐籥之外其次即言屯蒙六十卦以見一日用功之早晚又次即言納甲六卦以見一月用功之進退又次即言十二辟卦以分納甲六卦而兩之葢内以詳理月節而外以兼統嵗功其所取於易以為説者如是而已初未嘗及夫三百八十四爻也今世所傳火候之法乃以三百八十四爻為一周天之數以一爻直一日而爻多日少則不免去其四卦二十四爻以俟二十四氣之至而漸加焉已非出於自然脗合之度矣且當日所用之爻或隂或陽初無次第不知功夫有何分别又況一日之間已周三百六十之數而其一氣所加僅得一爻多少重輕不相權凖又此二十四者進增微漸退减暴疾無復往來循環之勢恐亦後人以意為之未必魏君之本指也參同之書本不為明易乃姑借此納甲之法以寓其行持進退之候異時每欲學之而不得其傳無下手處不敢輕議然其所言納甲之法則今所傳京房占法見於火珠林者是其遺説沈存中筆談解釋甚詳亦自有理參同所云甲乙丙丁庚辛者乃以月之昬旦出沒言之非以分六卦之方也此雖非為明易而設然易中無所不有茍其言自成一説可推而通則亦無害於易(□)七日來復正義曰案易緯稽覽圖云卦氣起中孚故離坎震兑各主其一方其餘六十卦卦有六爻爻别主一日凡主三百六十日餘有五日四分日之一者每日分為八十分五日分為四百分四分日之一又為二十分是四百二十分六十卦分之六七四十二卦别各得七分是每卦得六日七分也剥卦陽氣之盡在於九月之末十月當純坤用事坤卦有六日七分坤卦之盡則復卦陽來是從剥盡至陽氣來復隔坤之一卦六日七分舉成數言之 大衍厯議曰十二月卦出於孟氏章句其説易本於氣而後以人事明之京氏又以卦爻配朞之日坎離震兑其用事自分至之首皆得八十分日之七十三頤晉井大畜皆五日十四分餘皆六日七分止於占災眚與吉凶善敗之事至於觀隂陽之變則錯亂而不明自乾象厯以降皆因京氏惟天保厯依易通統軌圖自八十有二節五卦初爻相次用事及上爻而與中氣偕終非京氏本㫖及七畧所傳按郎顗所傳卦皆六日七分不以初爻相次用事齊厯謬矣 漢上朱氏曰先儒舊傳自子夏京房陸績虞翻皆以陽涉六隂極而反初為七日至王昭素乃暢其説曰乾有六陽坤有六陰一隂自五月而生屬坤陰道始進陽道漸消九月一陽在上衆隂剥物至十月則六隂數極十一月一陽復生自剥至十一月隔坤之六陰隂數既六過六而七則位屬陽以此知過坤六位即六日之象至於復為七日之象是以安定曰凡厯七爻以一爻為一日故謂之七日伊川曰七變而為復故云七日蘓子曰坤與初九為七其實皆源於子夏夫陽生於子隂生於午自午至子七而必復乾坤消息之理也故以一日言之自午時至夜半復得子時以一年言之自五月至十一月復得子月以一月言之自午日凡七日復得子日以一紀言之自午嵗凡七嵗復得子嵗天道運行其數自爾合之為一紀分之為一嵗一月一日莫不皆然故六十卦當三百六十日而兩卦相去皆以七日且卦有以爻為嵗者有以爻為月者有以爻為日者於復言七日來復者明卦氣也陸希聲謂聖人言七日來復為歴數之微明是也以消息言之自立冬十月節至大雪十一月節坤至復卦凡厯七爻以卦氣言之自冬至十一月中氣卦起中孚至復卦凡厯七日聖人觀天道之行反復不過七日故曰七日來復彖曰七日來復天行也王輔嗣曰復不可逺也夫天道如是復道豈可逺乎豈惟不可逺亦不能逺矣中孚十一月之卦也以嵗言之陽始於冬至以厯言之日始於牽牛以日言之晝始於夜半以人言之慮始於心思易於復言七日來復冬至也於姤言品物咸章夏至也舉二至則律厯見矣 陸氏曰臨九二爻體在兑兑隂卦也有陽消之象焉故稱八月有凶戒之也復卦初爻體震震陽卦有陽息之象焉故稱七日來復喜之也兑在西方月生於西兑象得八故曰八月戒在逺也震在東方日生於東震象得七故曰七日喜於近也七八主静故於彖象言之 李氏曰復剛長而以日云者幸其至之速臨陽消而以月云者幸其消之遲 朱氏曰自五月姤卦一陰始生至此七爻而一陽來復乃天運之自然積隂之下一陽復生天地生物之心幾於滅息而至此乃復可見在人則為静極而動惡極而善本心幾息而復見之端也邵子之詩曰冬至子之半天心無改移一陽初動處萬物未生時𤣥酒味方淡大音聲正希此言如不信更請問庖犧至哉言也學者冝盡心焉治厯明時漢上朱氏曰乾始於坎而終於離坤始於離而終於坎乾終而坤革之地革天也陽極生隂乃為寒坤終而乾革之天革地也隂極生陽乃為暑天地相革寒暑相成是亦水火相息也坎冬離夏震春兑秋四時也故曰天地革而四時成君子觀澤中有火則知日月坎離有交㑹之道日火也月水也冬至日起牽牛一度右行而周十二次盡斗二十六度則復還牽牛之一度而厯更端矣牽牛者星紀也水之位也日月交㑹于此澤中有火之象也厯更端者革也昔者黄帝迎日推策始作調厯閲世十一厯年五千而更七厯至漢造厯嵗在甲子乃十一月冬至甲子朔為入厯之始是時日月如合璧復㑹于牽牛距上元太初十四萬三千一百二十七嵗葢日月盈縮與天錯行積久閏差君子必修治其厯以明四時之正所謂四時之正者冬至日月必㑹于牽牛之一度而弦望晦朔分至啟閉皆得其正矣日月不㑹者司厯之過也嘗問厯於郭忠孝曰古厯起於牽牛一度沈括謂今宿於斗六度謂之嵗差何也曰久則必差差久必復於牽牛牽牛一度者乃上元太初起厯之元也天之動始於坎厯艮與震而左行地之動始於離歴坤與兑而右行是以日月㑹于牽牛萬物成於艮故曰天地以順動故日月不過而四時不忒 田氏曰自乾至革其卦凡四十有九太衍之用也分而象兩天地革矣揲之以四四時成矣是以至革則治厯後世以大衍為厯者豈非得是歟 蔡氏曰黄道之差始自春分秋分赤道所交月道之差始自交初交中黄道所交日出入赤道二十四度月出入黄道六度黄道一周退前所交六十分度之一是謂嵗差月道一周退前所交一度八萬九千七百七十二分度之四萬三千五百三少半積二萬一千九百一十五年而嵗差周積二百二十一月及分一千七百五十三而交道周矣赤道紘帶天之中日道月道斜交赤道之内外其周圍長短與赤道無差而日月每日行度亦無盈縮進退厯家欲求日月交㑹故以赤道為起算之法以赤道度數而揆之黄道則日行有盈縮焉以赤道度數而揆之月道則月行有進退焉非日月之行真有盈縮進退也象閏當期沙隨程氏曰分而為二掛一曰象兩象三而不曰兩儀三才者此據厯法言之陽為春夏隂為秋冬所謂兩也陽為夏隂為冬春秋為隂陽之中所謂三也故揲之以四然後以象四時歸竒於扐以象閏五嵗再閏故再扐而後掛此十有八變之一也指問曰扐按厯法十九年七閏為一章其間五嵗再閏者二餘亦不滿六嵗故舉其大數曰五嵗再閏二十七章為一㑹三㑹為一統三統為一元元四千六百一十七嵗冬至甲子朔旦無餘分此太元之厯法也是謂天統千五百三十九嵗甲辰朔旦冬至無餘分是謂地統又千五百三十九嵗甲申朔旦冬至無餘分是謂人統云元二百四十三章也漢上朱氏曰得五與四四則策數三十六四九也是為乾之策乾之象老陽也得九與八八則策數二十四四六也是為坤之策坤之策老隂也得五與八八得九與四八策數皆二十八四七也是為震坎艮之策少陽也得九與四四得五與四八策數皆三十二四八也是為巽離兑之策少隂也三十六合二十四六十也二十八合三十二亦六十也乾之策六爻二百一十有六坤之策六爻一百四十有四乾坤之策凡三百有六十當朞之日具四時也震坎艮之策六爻一百六十有八巽離兑之策六爻一百九十有二震坎艮巽離兑之策凡三百有六十亦當朞之日舉乾坤則六卦舉矣劉牧謂經唯舉乾坤老陽老隂三百六十之數當期之日不更别舉他卦之爻而疑六日七分之義此不以三隅反也唐陸希聲謂易以年統月以嵗統旬以日統時凡言月者以一策當一月一九之策三十有六是為三年故曰皆一九之策也又曰以年統月一日十二時七日八十四時一九之策三十六二六之策四十八凡八十有四是為七日八十四時故曰七日者一九二六之策也又曰以日統時一朔之旬三十日七二十八策八三十二策凡六十策半之為三十故曰言旬者合七八之策而半之以象一朔之旬一閏三十日再閏六十日九三十六策六二十四策凡六十策故曰言嵗者全之以象再閏之日月有朔虚故半之嵗有中盈故全之一月三旬八月二十四旬而老隂之策二十有四故曰八月之旬當極隂之策二十有四三嵗為一閏一嵗三百六十日而二篇之爻三百八十有四除三百六十日餘二十四日故曰閏之日當二篇之爻八十有四乾坤之策當朞之日而少六日故曰虚分包焉二篇之爻三百八十四爻多二十四日故曰盈分萃焉其説本於繫辭坤乾之策當朞之日然時有牴牾 龜山楊氏曰以爻當期其原出於繫辭而以星日氣候分布諸爻易未有也其流詳於緯書世傳稽覽圖是也楊子草𤣥盖用此耳卦氣起於中孚冬至卦也太𤣥以中凖之其次復卦太𤣥以周凖之升大寒卦也太𤣥以干凖之今之厯書亦然而先天以復為冬至噬嗑為大寒 林氏曰大哉易乎本夫道徳性情之妙而放諸隂陽氣數之中如復所謂七日臨所謂八月蠱所謂先甲後甲巽所謂先庚後庚又如十年三嵗月幾望已日乃孚是皆隂陽氣數當然之變又豈浮説遁辭所能得也嘗攷之大傳乾坤之策凡三百有六十以當期之日其所以酬酢萬變終終而始始者不出乎四時五行當期之數也孟氏而下有焦贛氏以一卦變為六十四積而至於四千九十六凡一卦所主六日震離坎兑寄直於分至之日如曰冬至則坎用事次未濟次蹇次頤次中孚次復當期之數循環為變此正子雲以太𤣥凖易法也然太𤣥以二首統九日自中孚起牽牛一度則於焦氏之法微有不合其後孔穎達求之易緯又以四正卦各主其一方卦有六爻爻主一氣所謂二十四氣也其餘卦六十為爻者三百六十六日七分則以一卦主之較以周天之度無有餘不足之分三家之學是皆以卦氣言易者也然當期之數所用不同如此十二月卦圖朱氏曰謂温厚之氣盛於東南嚴凝之氣盛於西北者禮家之説也謂陽生於子於卦為復隂生於午於卦為姤者厯家之説也謂巽位東南乾位西北者説卦之説也此三者各為一説而禮家厯家之言猶可相通至於説卦則其卦位自為一説而與彼二者不相謀矣乾於文王八卦之位在西北於十二卦之位在東南坤於丈王八卦之位在西南於十二卦之位在西北故今圖列文王八卦於内而布十二卦於外以見彼此位置迥然不同論十二卦則陽始於子而終於已隂始於午而終於亥論四時之氣則陽始於寅而終於未隂始於申而終於丑此二説者雖若小差而所爭不過二位葢子位一陽雖生而未出乎地至寅位泰卦則三陽之生方出地上而温厚之氣從此始焉已位乾卦六陽雖極而温厚之氣未終故午位一隂雖生而未害於陽必至未位遯卦而後温厚之氣始盡也其午位隂已生而嚴凝之氣及申方始亥位六隂雖極而嚴凝之氣至丑方盡義亦放此葢地中之氣難見而地上之氣易識故周人以建子為正雖得天統而孔子之論為邦乃以夏時為政葢取其隂陽始終之著明也坤蹇解卦之彖辭皆以東北為陽方西南為隂方然則謂冬春為陽夏秋為隂亦是一説但説卦又以乾為西北則隂有不盡乎西以巽為東南則陽有不盡乎東又與三卦彖辭小不同但此自是一説與他説如十二卦之類各不相通爾陽主進而隂主退陽主息而隂主消進而息者其氣彊退而消者其氣弱此隂陽之所以為柔剛也陽剛温厚居東南主春夏而以作長為事隂柔嚴凝居西北主秋冬而以斂蔵為事作長為生斂蔵為殺此剛柔之所以為仁義也以此觀之則隂陽剛柔仁義之位豈不曉然而彼揚子雲之所謂於仁也柔於義也剛者乃自其用處之末流言之葢亦所謂陽中之隂隂中之陽固不妨自為一義但不可以雜乎此而論之耳天地之間一氣而已分隂分陽便是兩物故陽為仁而隂為義然隂陽又各分而為二故陽之初為木為春為仁陽之盛為火為夏為禮隂之初為金為秋為義隂之極為水為冬為智葢人之惻隠方自中出而禮之恭敬則已盡發於外義之羞惡方自外入而智之是非則已全伏於中故其象類如此非是假合附㑹若能黙㑹於心便自可見元亨利貞其理亦然文言取類尤為明白五行之中四者既各有所屬而土居中宫為四行之地四時之主在人則為信為真實之義而為四徳之地衆善之主也葢天人一物内外一理流通貫徹初無間隔邵子曰至哉文王之作易也其得天地之用乎故乾坤交而為泰坎離交而為既濟也乾生於子坤生於午坎終於寅離終於申以應天之時也置乾於西北退坤於西南長子用事而長女代母坎離得位而兑艮為耦以應地之方也王者之法其盡於是矣此言文王改易伏羲卦圖之意也葢自乾南坤北而交則乾北坤南而為泰矣自離東坎西而交則離西坎東而為既濟矣乾坤之交者自其所以成而反其所由生也故再變則乾退乎西北坤退乎西南也坎離之變者東自上而西西自下而東也故乾坤既退則離得乾位而坎得坤位也震用事者發生於東方巽代母者長養於東南也 易通卦騐曰冬至四十五日以次周天三百六十五日復當故卦乾西北也主立冬坎北方也主冬至艮東北也主立春震東方也主春分巽東南也主立夏離南方也主夏至坤西南也主立秋兑西方也主秋分乾坤朱氏曰乾一而實故以質言而曰大坤一而虚故以量言而曰廣葢天之形雖包於地之外而其氣常行乎地之中也 漢上朱氏曰伏羲畫卦乾上坤下立天地之位歸蔵先坤後乾首萬物之母連山乾始於子坤始於午至於周易尊乾卑坤其體乃定闔闢以一嵗言之寒暑也以一日言之晝夜也以一身言之出入之息死生之變也无闔則无闢无静則无動此歸蔵所以先坤歟荀爽曰乾起坎而終於離坤起於離而終於坎離坎者乾坤之家而隂陽之府故曰大明終始 張氏曰乾曰行以徳言也坤曰勢以體言也徳大而難名故曰健體定而不變故曰坤凡卦之不可以名言者唯乾焉爾吕氏曰天下惟有一理坤之彖止曰乃順承天徳合无疆而已葢理未有在乾之外者也故曰效法之謂坤泰内健而外順否内柔而外剛何也乾健也坤順也否則上下不交有天地之形而無乾坤之用故不言健順魏氏曰乾天也離日也皆為君之象坤地也坎月也皆為臣之象未有乾坤不交而能位天地坎離不交而能育萬物君臣不交而能躋斯世於泰和也六十卦直日四正卦 冬至坎用事 春分震 夏至離 秋分兑十一月未濟蹇頤中孚復 十二月屯謙睽升臨正月小過蒙益漸泰 二月需隨晉解大壯 三月豫訟蠱革夬 四月旅師比小畜乾 五月大有家人井咸姤 六月鼎豐渙履遯 七月恒節同人損否 八月巽萃大畜賁觀 九月歸妹无妄明夷困剥 十月艮既濟噬嗑大過坤 四正為方伯中孚為三公復為天子屯為諸侯謙為大夫睽為九卿升還從三公周而復始 九三應上九清淨微温陽風 九三應上六絳赤決温隂雨 六三應上六白濁微寒隂雨 六三應上九麴塵決寒陽風 諸卦上有陽爻者陽風上有隂爻者隂雨(後魏厯志) 十二辟卦 復子 臨丑泰寅 大壯卯 夬辰 乾已 姤午 遯未 否申觀酉 剥戌 坤亥書堯厯象圖厯法所起古法以紀蔀為宗從伏羲先天甲寅積周一千八百一十四紀再入十五紀人元一十有二蔀當癸酉蔀嵗在己丑而生帝堯至甲辰嵗十有六即位越二十有一嵗得甲子而演紀作厯是年天正冬至日在虚一度按乾鑿度皇極經世及漢皇甫謐所載並然嵗差法按紀元厯 嵗周三百六十五度二千四百三十六分此一嵗之氣積分也 周天三百六十五度二千五百六十四分太陽所纒周天之度也 嵗差一百二十八分注云以嵗周數除周天數即得太陽嵗行不及之分度母一萬注以一度為萬分 自演紀至開元甲子冬至日在斗十度凡退三十八度四千一百二十八分至乾徳甲子冬至日在斗六度凡退四十一度四千八百四十八分至慶厯甲申冬至日在斗五度此法通古合今故知堯厯日在虚度而鳥火昴虚以仲月昏中合堯典推厯代所入蔀例按乾鑿度入天元一千八百一十四紀再十五紀而堯生於人元之癸酉蔀己丑嵗至甲辰嵗十有六以唐侯升為天子至文王受洛書再入十六紀當天元戊午蔀二十四嵗在癸丑又五年戊午受丹書明年己未改元越十有二年辛未正月戊午武王伐商故經曰惟十有三年春一月戊午師渡孟津由此逆推今古不差積年數堯在位七十年 舜五十年 夏四百三十二年 商六百二十九年 周八百六十七年 秦莊襄終二世四十三年 前後漢合四百二十六年 漢至太初一百三年 太初至唐開元甲子凡八百二十七年 開元甲子至本朝慶厯甲申凡三百二十一年三統厯七十六年為一蔀二十蔀為一紀積一千五百二十嵗凡紀首者皆嵗甲寅日甲子即以甲子之日為初蔀名甲子蔀一也滿七十六嵗其後年初日次癸夘即以癸夘為蔀首二也從此以後壬午為蔀三也乙酉蔀二十也是一紀之數終而復始甲寅(天子蔀甲)甲寅(己酉蔀)甲寅(甲午蔀)甲寅(己卯蔀)庚午(癸卯蔀)庚午(戊子蔀)庚午(癸酉蔀)庚午(戊午蔀)丙戌(壬午蔀)丙戌(丁卯蔀)丙戌(壬子蔀)丙戌(丁酉蔀)壬寅(辛酉蔀)壬寅(丙午蔀)壬寅(辛卯蔀)壬寅(丙子蔀)戊午(庚子蔀)戊午(乙酉蔀)戊午(庚午蔀)戊午(乙夘蔀)甲戌(己卯蔀)甲戌(地子蔀甲)甲戌(己酉蔀)甲戌(甲午蔀)庚寅(戊午蔀)庚寅(癸夘蔀)庚寅(戊子蔀)庚寅(癸酉蔀)丙午(丁酉蔀)丙午(壬午蔀)丙午(丁夘蔀)丙午(壬子蔀)壬戌(丙子蔀)壬戌(辛酉蔀)壬戌(丙午蔀)壬戌(辛夘蔀)戊寅(乙夘蔀)戊寅(庚子蔀)戊寅(乙酉蔀)戊寅(庚午蔀)甲午(甲干蔀)甲午(己夘蔀)甲午(人子蔀甲)甲午(己酉蔀)庚戌(癸酉蔀)庚戌(戊午蔀)庚戌(癸夘蔀)庚戌(戊子蔀)丙寅(壬子蔀)丙寅(丁酉蔀)丙寅(壬午蔀)丙寅(丁夘蔀)壬午(辛夘蔀)壬午(丙子蔀)壬午(辛酉蔀)壬午(丙午蔀)戊戌(庚午蔀)戊戌(乙夘蔀)戊戌(庚子蔀)戊戌(乙酉蔀)朱氏曰厯所以紀數之書也象所以觀天之器也日陽精一日而繞地一周月隂精一月而與日一㑹星二十八宿衆星為經金木水火土五星為緯辰以日月所㑹分周天之度為十二次 正義曰古時真厯遭戰國及秦而亡漢存六厯雖詳於五紀之論皆秦漢之際假託為之實不得正 大衍厯議曰漢自中興以來圖䜟漏泄而考靈曜命厯序皆有甲寅元其所起在四分厯庚申元後百一十四嵗緯所載壬子冬至則其遺術也董巴議曰昔伏羲始造八卦作三畫以象二十四氣黄帝因之初作調厯厯代十一更年五千凡有七厯顓頊以今之孟春正月為元其時正月朔旦立春五星㑹于天厯營室也冰凍始泮蟄蟲始發雞始三號天曰作時地曰作昌人曰作樂鳥獸萬物莫不應和故顓頊聖人為厯宗也湯作殷厯弗復以正月朔旦立春為節更以十一月朔旦冬至為元首下至周魯及漢皆從其節據正四時夏為得天以承堯舜從顓頊故也禮記大戴曰虞夏之厯建正於孟春此之謂也閏一年餘十有一日四分日之一二年餘二十有二日四分日之二三年餘三十有三日四分日之三四年餘四十有五日五年餘五十六日四分日之一素問立端於始表正於中推餘於終而天度畢矣注立首氣於初節之日示斗建於月半之辰退餘閏於相望之後 朱氏曰天體至圓周圍三百六十五度四分度之一繞地左旋常一日一周而過一度日麗天而少遲一日繞地一周無餘而常不及天一度積三百六十五日九百四十分日之二百三十五而與初躔㑹是一嵗日行之數也月麗天而尤遲一日常不及天十三度十九分度之七積二十九日九百四十分日之四百九十九而與日㑹十二㑹得全日三百四十八餘分之積五千九百八十八如日法九百四十而一得六不盡三百四十八通計得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一嵗月行之數也嵗有十二月月有三十日三百六十者嵗之常數也故日行而多五日九百四十分日之二百三十五者為氣盈月行而少五日九百四十分日之五百九十二者為朔虚合氣盈朔虚而閏生焉故一嵗閏率則十日九百四十分日之八百二十七三嵗一閏則三十二日九百四十分日之六百一五嵗再閏則五十四日九百四十分日之三百七十五十有九嵗七閏則氣朔分齊是為一章也故積之三年而不置閏則春之一月入于夏而時漸不定矣子之一月入于丑而嵗漸不成矣積之之欠至於三失閏則春皆入夏而時全不定矣十二失閏則子皆入丑而嵗全不成矣 葉氏曰治厯者先求一嵗有餘不足之數以置閏則四時久而不差葢日差則月不成月差則時不成時差則嵗不成矣 吳氏曰三嵗餘三十三日四分日之三三嵗一閏尚餘三日四分日之三五嵗餘五十六日四分日之五五嵗再閏則又少三日四分日之五十九年七閏謂之一章總十九年而論之餘二百一十三日四分日之三閏月又小七閏計二百丹三日尚餘十日四分日之三積至八十一章然後盈虚之數盡而復始矣今言三百有六旬有六日意其以四分日之一而當一日焉 胡氏曰迎日推策則有其數轉璣觀衡則有其象歸竒於扐以象閏數也斗指兩辰之間象也象數者天理也非人所能為也故以定時成嵗者唐典也以詔王居門終月者周制也班告朔於邦國不以是為附月之餘而弗之數也出日納日葉氏曰日之出納以一日言之則東西也以一嵗言之則日陽物隨陽以進退南者陽之正位冬至陽始萌日自斗而北行則進而離其所至春分而陽功顯萬物於是皆作故謂之出夏至隂始萌日自井而南行則退而復其所至秋分而陽功畢萬物於是皆成故謂之納一日之出納均於東西惟仲春在奎十四度仲秋在角五度景居二至長短之中去極俱九十一度皆以卯出以酉入則嵎夷正其所自出也故命曰𤾉谷西正其所自入也故命曰昧谷因其一日出納之正使治其一嵗出納之事者賓餞也 朱氏曰出日方出之日盖以春分之旦朝方出之日而識其初出之景也納日方納之日葢以秋分之暮夕方納之日而識其景也四仲中星春則以胃加酉夏則以栁加酉秋則以氐加酉冬則以虚加酉中星各見於午位 正義曰四方皆有七宿各成一形東方成龍形西方成虎形皆南首而北尾南方成鳥形北方成龜形皆西首而東尾天道左旋日體右行故星見之方與四時相逆春則南方見夏則東方見秋則北方見冬則西方見 何承天曰堯典日永星火以正仲夏今季夏則火中宵中星虚以殷仲秋今季秋則虚中爾來二千七百餘年以中星檢之所差二十七八度則堯冬至日在須女十度左右也漢太初厯冬至在牽牛初後漢四分及魏景初法同在斗二十一 林氏曰鳥火虚昴皆是分至之昏見於南方直正午之中星而孔氏謂七星畢見不以為中星王肅覺其非遂謂宅嵎夷孟月也日中日永宵中仲月也鳥火虚昴季月也此説並與天象偶合然分孟仲季非書之意葢不知厯家有嵗差之法以月令日在某宿而求之所以不合按厯家自北齊向子信始知嵗差之法故以厯推之凡八十餘年差一度月令日在某宿比之堯時則已差矣故唐一行云月在虚一則星火星昴皆以仲月昏中而沈存中亦云堯典日短星昴今乃日短星東壁 朱氏曰中星或以象言或以次言或以星言者葢星適當昏中則以星言如星虚星昴是也星不當中而適當其次者則以次言如尾火是也次不當中而適界於兩次之間者則以象言如星鳥是也聖人作厯推攷參驗以識四時中星其立言之法詳密如此又按堯冬至日在虚昏中昴今日在斗昏中壁而中星古今不同者葢天有三百六十五度四分度之一嵗有三百六十五日四分日之一天度四分之一而有餘嵗日四分之一而不足故天度常平運而舒日運常内轉而縮天漸差而西嵗漸差而東此即嵗差之由唐一行所謂嵗差者日與黄道俱差者是也古厯簡易未立差法但隨時占候修改以與天合至東晉虞喜始以天為天以嵗為嵗乃立差法以追其變約以五十年而退一度何承天以為太過乃倍其年而又反不及至隋劉焯取二家中數為七十五年葢為近之而亦未為精密也堯時昏旦星中於午月令差於未漢晉以來又差今比堯舜時似差及四分之一 陳氏曰書之所言皆昏星也書於仲夏舉房心(火房心也)而月令舉亢書於仲秋舉虚而月令舉牛書於仲冬舉昴而月令舉壁則書之中星常在後而月令中星常在前葢月令舉月本書舉月中也 鄭氏曰二十八宿環列於四方隨天而西轉四方雖有定星而星無定居各以時見於南方天形北傾故北極居天之中而常在人北二十八宿常半隠半見日東行厯二十八宿故隠見各有時必於南方攷之惟仲春之月四方之星各居其位故星火在東星鳥在南星昴在西星虚在北至仲夏則鳥轉而西火轉而南虚轉而東昴轉而北至仲秋則火轉而西虚轉而南昴轉而東鳥轉而北至仲冬則虚轉而西昴轉而南鳥轉而東火轉而北來嵗仲春則鳥又轉而南矣循環無窮堯典考中星以正四時甚簡而明異乎呂令之星舉月本也 方氏曰書言分至之所中月令言昏旦之所中彼以時為主此以月為主然見於南方則一也堯典日星 月令日星(秦厯㫁取近距以乙夘嵗正月)唐月令日星(己巳合朔立春為上元七曜俱在營室)孟春(日在營室昏參中旦) 正月(節日在虚昏昴中曉心中斗建寅初)(尾中) (中氣日在危昬畢中曉尾中斗寅中)日中星鳥 仲春(日在奎昬弧中旦建) 二月(節日在營室昬東初井中曉箕中斗卯)(星中) (中氣日在奎昬東井中曉南斗中斗夘中)季春(日在胃昬七星中旦) 三月(節日在婁昬栁中曉南斗中斗辰初)(牽牛中) (中氣日在胃昬張中曉南斗中斗辰中)孟夏(日在畢昬翼中旦婺) 四月(節日在昴昬翼中曉牽牛中斗已初)(女中) (中氣日在畢昬軫中曉須女中斗已中)日永星火 仲夏(日在東井昬元中旦) 五月(節日在參昬角曉危中斗午初)(危中) (中氣日在東井昬亢中曉營室中斗午中)季夏(日在栁昬火中旦奎) 六月(節日在東升昬氐中曉東壁中斗未初)(中) (中氣日在栁昬尾中曉奎中斗未中)孟秋(日在翼昬建星中旦) 七月(節日在張昬尾中曉婁中斗申初)(畢中) (中氣日在張昬箕中曉昴中斗申中)宵中星虚 仲秋(日在角昬牽牛中旦) 八月(節日在翼昬南斗中晚畢中斗酉初)(觜觽中) (中氣日在軫昬南斗中曉東井中斗酉中)季秋(日在房昬虚中旦栁) 九月(節日在角昬牽牛中曉東井中斗戌初)(中) (中氣日在氐昬須女中曉栁中斗戌中)孟冬(日在尾昬危中旦七) 十月(節日在房昬虚中曉張中斗亥初)(星中) (中氣日在尾昬危中曉翼中斗亥中)日短星昴 仲冬(日在斗昬東壁中旦) 十一月(節日在箕昬營空中曉軫中斗子初)(軫中) (中氣日在南斗昬東壁中曉角中斗子中)季冬(日在婺女昬婁中旦) 十二月(節日在南斗昬奎中曉亢中斗丑初)(氐中) (中氣日在須女昬婁中曉氐中斗丑中)馬融鄭𤣥以為星鳥星火謂正在南方春分之昬七星中仲夏之昬心星中秋分之昬虚星中冬至之昬昴星中皆舉正中之星不為一方盡見 夏氏曰仲春之月日在昴入於酉地初昬之時鶉火之星見於南方正午之位當是時也晝五十刻夜五十刻晝夜相等故曰日中又云星鳥者葢是時朱鳥亦見南方不言鶉火而言星鳥舉四象也仲夏之月日在星入於酉地初昬之時大火見於南方正午之位當是時也晝長夜短晝六十刻夜四十刻故謂之日永星火此舉十二次也仲秋之月日在心入於酉地初昏之時虚星見於南方正午之位當是時也晝夜分晝五十刻夜五十刻故謂之宵中星虚仲冬之月日在虚入於酉地初昏之時昴星見於南方正午之位方是時也晝短夜長晝四十刻夜六十刻故謂之日短星昴此舉二十八宿也 賈逵曰太初厯冬至日在牽牛初者牽牛初星也古黄帝夏殷周魯冬至日在建星建星即今斗星也 蔡邕曰顓帝厯術曰天元正月己巳朔旦立春俱以日月起於天廟營室五度今月令孟春之月日在營室 王孝通詰傅仁均曰日短星昴以正仲冬七宿畢見舉中宿言耳舉中宿則餘星可知仁均專守昴中執文害意不亦謬乎又月令仲冬昬東壁中明昴中非為常準若堯時星昴昏中差至東壁然則堯前七千餘載冬至昬翼中日應在東井井極北去人最近故暑斗極南去人最逺故寒寒暑易位必不然矣仁均對曰宋祖沖之立嵗差隋張胄𤣥等因而修之雖差數不同各明其意孝通未曉乃執南斗為冬至常星夫日躔宿度如郵傳之過宿度既差黄道隨而變矣 大衍厯議曰夏厯十二次立春日在東壁三度於太初星距壁一度太也顓頊厯上元甲寅嵗正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮維之首葢重黎受職於顓頊九黎亂徳二官咸廢帝堯復其子孫命掌天地四時以及虞夏故本其所由生命曰顓頊其實夏厯也湯作殷厯更以十一月甲子合朔冬至為上元周人因之距羲和千祀昬明中星率差半次夏時直月節者皆當十有二中故因循夏令其後吕不韋得之以為秦法更考中星斷取近距以乙夘嵗正月己巳合朔立春為上元洪範傳曰厯記始於顓頊上元太始閼逢攝提格之嵗畢〔？〕之月朔日己巳立春七曜俱在營室五度是也 角至箕為蒼龍凡七十五度斗至壁為𤣥武凡九十八度四分度之一奎至參為白虎凡八十度井至軫為朱雀凡百一十度總為三百六十五度四分度之一日日行一度月日行十三度十九分度之七正月㑹於亥其辰為〔？〕訾二月㑹戌為降婁三月㑹酉為大梁四月㑹申為實沈五月㑹未為鶉首六月㑹午為鶉火七月㑹已為鶉尾八月㑹辰為夀星九月㑹夘為大火十月㑹寅為析木十一月㑹丑為星紀十二月㑹子為𤣥枵日永短正義曰馬融云古制刻漏晝夜百刻晝長六十刻夜短四十刻晝短四十刻夜長六十刻晝中五十刻夜亦五十刻融之此言據日出見為説天之晝夜以日出入為分人之晝夜以昬明為限日未出前二刻半為明日入後二刻半為昬損夜五刻以禆於晝則晝多於夜復校五刻古今厯術與太史所候皆云夏至之晝六十五刻夜三十五刻冬至之晝四十五刻夜五十五刻春分秋分之晝五十五刻夜四十五刻此其不易之法也然今太史細候之法則校常法半刻也從春分至于夏至晝漸長增九刻半夏至至于秋分所減亦如之從秋分至于冬至晝漸短減十刻半從冬至至于春分其增亦如之又於每氣之間增減刻數有多有少不可通而為率漢初未能審知率九日增減一刻和帝時待詔霍融始請改之鄭注書緯考靈曜仍云今日増減一刻猶尚未覺誤也鄭注此云日長者日見之漏五十五刻日短者日見之漏四十五刻與厯不同故王肅難云知日見之漏減晝漏五刻不意馬融為傳已減之矣因馬融所減而又減之故日長為五十五刻因以冬至反之取其夏至夜刻以為冬至晝短此其所以誤 陳氏曰日之行也斗建寅則出乙而漸北斗建午則出艮而漸南漸北則春既分而晝加長漸南則秋既分而晝加短長短不過百刻 蔡氏曰天體北高而南下地體平著乎其中日近北則去地逺而出早入遲故晝長日近南則去地近而出遲入早故晝短日分十二時者嵗月日時之定數日分百刻者古厯日分之用數羲和蘓氏曰禹貢嵎夷在青州又曰𤾉谷則其地近日而光明當在東方海上以此推之則昧谷當在西極朔方幽都當在幽州而南交為交趾明矣春曰宅嵎夷夏曰宅南交冬曰宅朔方而秋獨曰宅西徐廣曰西今天水之西縣也羲和之任亦重矣堯都於冀而其所重任之臣乃在四極萬里之外理必不然當是致日景以定分至然後厯可起也故使往驗之於四極非常宅也 李氏曰作厯之法必先凖定四面方隅以為表識然後地中可求即地中然後可以候日月之出沒星辰之轉運故堯所以使四子各宅一方者非謂居是地也特使定其方隅耳如土圭之法測日之南北東西知其景之長短朝夕亦堯之遺法也 朱氏曰羲和主厯象授時而已非是各行其方之事葢官在國都而統治之方其極至此非往居於彼也璣衡朱氏曰美珠謂之璿璣機也以璿飾璣所以象天體之運轉也衡横也謂衡簫也以玉為管横而設之所以窺璣而察七政之運行猶今之渾天儀也齊猶審也七政日月五星也七者運行於天有遲有速有順有逆猶人君之有政事也言舜初攝位乃察璣衡以審七政之所在以起渾天儀晉天文志云言天體者有三家一曰周髀二曰宣夜三曰渾天宣夜絶無師説不知其狀如何周髀之術以為天似覆盆葢以斗極為中中髙而四邊下日月旁行遶之日近而見之為晝日逺而不見為夜蔡邕以為考驗天象多所違失渾天説王蕃曰天之形狀似鳥卵地居其中天包地外猶卵之裹黄圓如彈丸故曰渾天言其形體渾渾然也其術以為天半覆地上半在地下其天居地上見有一百八十二度半强地下亦然北極去地上三十六度南極入地亦三十六度而嵩髙正當天之中極南五十五度當嵩髙之上又其南十二度為夏至之日道又其南二十四度為春秋分之日道又其南二十四度為冬至之日道南下去地三十一度而已是夏至日北去極六十七度春秋分去極九十一度冬至去極一百一十五度此其大率也其南北極持其兩端其天與日月星宿斜而迴轉此必古有其法遭秦而滅至漢武時落下閎始經營之鮮于妄人又量度之至宣帝時耿夀昌始鑄銅而為之象衡長八尺孔徑一寸璣徑八尺圓周二丈五尺强轉而望之以知日月星辰之所在即璿璣玉衡之遺法蔡邕以為近得天體之實者也沈括曰舊法規環一面刻周天度一面加銀丁葢以夜候之天晦不可目察則以手切之也古人以璿飾璣疑亦為此今按此以漢法逆推古制然厯代以來其法漸宻本朝因之為儀三重其在外者曰六合儀平置單環上刻十二辰八干四隅在地之位以凖地面而定四方側立黒雙環具刻去極度數以中分天脊直跨地平使其半出地上半入地下而結於其子午以為天經斜倚赤單環具刻赤道度數以平分天腹横繞天經亦使半出地上半入地下而結於其卯酉以為天緯二環表裏相結不動其天經之環則南北二極皆為員軸虚中而内向以挈三辰四遊之環以其上下四方於是可攷故曰六合次其内曰三辰儀側立黒雙環亦刻去極度數外貫天經之軸内挈黄赤二道其赤道則為赤單環外依天緯亦刻宿度而結於黑雙環之卯酉其黄道則為黄雙環亦刻宿度而又斜倚於赤道之腹以交結於卯酉而半入其内以為春分後之日軌半出其外以為秋分後之日軌又為白單環以承其交使不傾墊下設機輪以水激之使其日夜隨天東西運轉以象天行以其日月星辰於是可攷故曰三辰其最在内者曰四遊儀亦為黒雙環如三辰儀之制以貫天經之軸其環之内則兩面當中各施直距外趾指兩軸而當其要中之内又為小窾以受玉衡要中之小軸使衡既得隨環東西運轉又可隨處南北低昂以待占候者之仰窺焉以其東西南北無不周徧故曰四遊此其法之大畧也厯家之説又以北斗魁四星為機杓三星為衡今詳經文簡質不應北斗二字乃用寓名恐未必然姑存其説以廣異聞 馬融曰渾天儀可旋轉故曰璣衡其横簫所以視星宿也以璿為璣以玉為衡葢貴天象也 張氏曰葢天之法如繪像止得其半渾天之法如塑象能得其全堯之厯象日星葢天法也舜之璿璣玉衡渾天法也渾法宻於葢天創意者尚畧述作者愈詳也 夏氏曰七政在天躔度長短多寡不同日行一度月行十三度十九分度之七嵗星日行千七百二十八分度之百四十五熒惑日行一萬三千八百二十四分度之七千三百五十五太白辰星日各行一度鎮星日行四千三百八十分度之百四十五七政躔度長短多寡不同如此然必謂之齊者曽氏謂步七政之軌度時數以轉璣窺衡而不差焉故曰齊其不齊者乃陵厯鬭食盈縮犯守者也葢璣衡所見者皆時數軌度之當然不如璣衡則為變異此説是也沈存中謂熙寧中受詔典領厯官考察星辰以璣衡求極星從窺管候之凡三月極星常循窺管之中夜夜不差則窺管即玉衡也陳氏曰舜齊七政不言經星經者緯星所次也言乎緯經在其中矣 曾氏曰堯之時觀天以厯象至舜又察之以璣衡聖人之法至後世益備也曰七者則日月五星曰政者則羲和之所治無不任焉其體至大葢一言而盡 王蕃曰鄭𤣥説動運為璣持正為衡皆以玉為之視其行度觀受禪是非也渾儀羲和氏之舊器厯代相傳謂之璣衡其所由來有原統矣而斯器設在候臺史官禁密學者寡得聞見穿鑿之徒不解璣衡之意見有七政之言因以為北斗七星締造虚文託之䜟緯史遷班固猶尚惑之鄭𤣥有瞻雅髙逺之才沈静精妙之思超然獨闢改正其説聖人復出不易斯言矣 蘓氏曰古人測候天數其法有二一曰渾天儀規天矩地機隠於内上布經躔以攷日星行度寒暑進退如張衡渾天開元水運銅渾是也二曰銅候儀今新舊渾儀翰林天文院與太史局所有是也又案吳王蕃曰渾天儀者羲和之舊器積代相傳謂之璣衡其為用也以察三光以分度宿者也又有渾天象者以著天體以布星辰二者以攷於天葢密矣詳此則渾天儀銅候儀之外又有渾天象凡三器也渾天象歴代罕傳其制梁武袐府有之云是宋元嘉中所造者古人候天具此三器乃能盡妙 黄氏曰太極未判天地人三才函於其中謂之渾沌渾沌云者言天地人渾然而未分也太極既判輕清者為天重濁者為地清濁渾者為人輕清者氣也重濁者形也形氣合者人也故凡氣之發見於天者皆太極中自然之理運而為日月分而為五星列而為二十八舍㑹而為斗極莫不皆有常理與人道相應可以理而知也今畧舉其梗槩列之于下天體圓地體方圓者動方者靜天包地地依天天體周圍皆三百六十五度四分度之一徑一百二十一度四分度之三凡一度為百分四分度之一即百分中二十五分也四分度之三即百分中七十五分也天左旋東出地上西入地下動而不息一晝一夜行三百六十六度四分度之一(縁日)(東行一度故天左旋三百六十六度然後日復出於東方)地體徑二十四度其厚半之勢傾東南其西北之髙不過一度邵雍謂水火土石合而為地今所謂徑二十四度者乃土石之體爾土石之外水接於天皆為地體地之徑亦得一百二十一度四分度之三也兩極南北上下樞是也北髙而南下自地上觀之北極出地上三十五度有餘南極入地下亦三十五度有餘兩極之中皆去九十一度三分度之一謂之赤道横絡天腹以紀二十八宿相距之度大抵兩極正居南北之中是為天心中氣存焉其動有常不疾不徐晝夜循環斡旋天運自東而西分為四時寒暑所以平隂陽所以和此後天之太極也先天之太極造天地於無形後天之太極運天地於有形三才妙用盡在是矣日太陽之精主生養恩徳人君之象也人君有道則日五色失道則日露其慝譴告人主而儆戒之如史志所載日有食之日中烏見日中黒子日色赤日無光或變為孛星夜見中天光芒四溢之類是也日體徑一度半自西而東一日行一度一嵗一周天所行之路謂之黄道與赤道相交半出赤道外半入赤道内冬至之日黄道出赤道外二十四度去北極最逺日出辰日入申故時寒晝短而夜長夏至之日黄道入赤道内二十四度去北極最近日出寅日入戌故時暑晝長而夜短春分秋分黄道與赤道相交當兩極之中日出卯日入酉故時和而晝夜均焉月太隂之精主刑罰威權大臣之象大臣有徳能盡輔相之道則月行常度或大臣擅權貴戚官官用事則月露其慝而變異生焉如史志所載月有食之月掩五星五星入月月光晝見或變為彗星陵犯紫宫侵掃列舍之類是也月體徑一度半一日行十三度百分度之三十七二十七日有餘一周天所行之路謂之白道與黄道相交半出黄道外半入黄道内出入不過六度如黄道出入赤道二十四度也陽精猶火陰精猶水火則有光水則含影故月光生於日之所照魄生於日之所不照當日則光明就日則光盡與日同度謂之朔(月行潜於日下與日㑹也)邇一遐三謂之弦(分天體為四分)(謂初八日及二十三日月行近日一分謂之邇一逺日三分謂之遐三邇日一分受日光之半故半明半魄如)(弓張弦上弦昬見故光在西下弦旦見故光在東也)衡分天中謂之望(謂十五日之昬日入)(西月出東東西相望光滿而魄死也)光盡體伏謂之晦(謂三十日月行近於日光體皆不見)(也)月行於白道與黄道正交之處在朔則日食在望則月食日食者月體掩日光也月食者月入暗虚不受日光也(暗虚者日正對照處)經星三垣二十八舍中外官星是也計二百八十三官一千五百六十五星其星不動三垣紫微太微天市垣也二十八舍東方七宿角亢氐房心尾箕為蒼龍之體北方七宿斗牛女虚危室壁為靈龜之體西方七宿奎婁胃昴畢觜參為白虎之體南方七宿井鬼栁星張翼軫為朱雀之體中外官星在朝象官如三台諸侯九卿騎官羽林之類是也在野象物如雞狗狼魚龜鼈之類是也在人象事如離宫閣道華葢五車之類是也其餘因義制名觀其名則可知其義也經星皆守常位隨天運轉譬如百官萬民各守其職業而聽命於七政七政之行至其所居之次或有進退不常變異失序則災祥之應如影響然可占而知也緯星五行之精木曰嵗星火曰熒惑土曰填星金曰太白水曰辰星併日月而言謂之七政皆麗于天天行速七政行遲遲為速所帶故與天俱東出西入也五星輔佐日月斡旋五氣如六官分職而治號令天下利害安危由斯而出至治之世人事有常則各守其常度而行其或君侵臣職臣專君權政令錯繆風教陵遲乖氣所感則變化多端非復常理如史志所載熒惑入於匏𤓰一夕不見匏𤓰在黄道北三十餘度或勾已而行光芒震耀如五斗器太白忽犯狼星狼星在黄道南四十餘度或晝見經天與日爭明甚者變為妖星嵗星之精變為欃槍熒惑之精變為蚩尤之旗填星之精變為天賊太白之精變為天狗辰星之精變為枉矢之類如日之精變為孛月之精變為彗政教失於此變異見於彼故為政者尤謹候焉天漢四瀆之精也起於鶉火經西方之宿而過北方至於箕尾而入地下二十四氣本一氣也以一嵗言之則一氣耳以四時言之則一氣分而為四氣以十二月言之則一氣分而為六氣故六陰六陽為十二氣又於六隂六陽之中每一氣分其初終則又裂而為二十四氣二十四氣之中每一氣有三應故又分而為三候是為七十二候原其本始實一氣耳自一而為四自四而為十二自十二而為二十四自二十四而為七十二皆一氣之節也十二辰乃十二月斗綱所指之地也斗綱所指之辰即一月元氣所在正月指寅二月指卯三月指辰四月指已五月指午六月指未七月指申八月指酉九月指戌十月指亥十一月指子十二月指丑謂之月建天之元氣無形可見觀斗綱所建之辰即可知矣斗有七星第一星曰魁第五星曰衡第七星曰杓此三星謂之斗綱假如建寅之月昬則杓指寅夜半衡指寅平旦魁指寅他月放此十二次乃日月所㑹之處凡日月一嵗十二㑹故有十二次建子之月次名𤣥枵建丑之月次名星紀建寅之月次名析木建卯之月次名大火建辰之月次名夀星建巳之月次名鶉尾建午之月次名鶉火建未之月次名鶉首建申之月次名實沈建酉之月次名大梁建戌之月次名降婁建亥之月次名〔？〕訾十二分野即辰次所臨之地也在天為十二辰十二次在地為十二國十二州凡日月之交食星辰之變異以所臨分野占之或吉或凶各有當之者矣五辰天地氣數合而成五行復升為五氣五氣之精為五辰聖人正五事修五行調五氣則五辰自然順軌故曰撫于五辰亦猶五行之精凝於地而為金銀鉛汞砂也黄氏曰五辰緯星凡星皆出辰沒戌故五星為五辰十二舍經星亦為十二辰嵗星司肅典致時雨熒惑司哲典致時燠太白司乂典致時暘辰星司謀典致時寒填星司聖典致時風經星有常不變緯星有伏有息有進有退與日相終始變則不可準難齊惟聖人能安之而以日星為紀日成月要嵗㑹由是而出故庶績凝焉葉氏曰五行散之在陰以配日者謂之辰别之居方以㑹日月者亦謂之辰其實一也 王氏運氣論曰五運六氣之説不見於儒者之六經而見於醫家之素問夫素問乃先秦古書雖未必皆黄帝歧伯之言然秦火以前春秋戰國之際有如和緩秦越人輩雖甚精於醫其察天地陰陽五行之用未能若是精宻也且夫寒暑燥濕風火者天之隂陽三陰三陽上奉之木火土金水五者地之隂陽生長化收蔵下應之而五運行於其間即五行之化氣也天數中於五戊居之地數中於六巳居之戊巳土也化氣必以五六故甲巳化土而居於其首土生金故乙庚次之金生水故丙辛次之水生木故丁壬次之木生火故戊巳次之此化氣之序也地之三陰三陽亦五行爾而火獨有二五行之妙理也葢木王於東火王於南金王於西水王於北而土王於四維戊附於戌而在乾已附於辰而在巽而未之對衝在丑故辰戌丑未寄王之位也未在西南其卦為坤其時為長夏以其處四時之中吕氏月令謂之中央土此土正王之位也春木生火秋金生水冬水生木而夏火制金生氣絶矣惟土王於西南然後以火生土以土生金四時之序循環不窮然火方王於午土遽王於未則火氣必耗故君火以名其氣温而未熱相火以位與太陰同處未申之間奉君令以行暑氣於是火不耗於土不屈於金故丙盛則庚伏此火所以獨分君相之位也天氣始於甲地氣始於子子甲相合命曰嵗立曰行四周而為二紀天以六為節故氣以六朞而為一備地以五為制故運以五嵗而為一周運統一嵗於四時之表氣分六位於一嵗之中風雨燥濕寒暑其應有候其至有期然用以占焉往往不效非素問之無驗用其説者知常而不知變故也凡物理有常必有變雖天地之運動往來消息盈虚可以逆其必然者常也若其變則無所不至可知而不可必也嘗試即其常而言之五太之運是為太過其至先時五少之運是為不及其至後時惟平氣則不疾不徐其至以時其大畧如此火運上臨少隂水運上臨太陽木運上臨厥隂金運上臨陽明土運上臨太陰謂之天符木運臨卯火運臨午金運臨酉水運臨子土運臨四維謂之嵗㑹五太與在泉氣同謂之同天符五少與在泉氣同謂之同嵗㑹若是者其氣和土運上見少陽金運上見厥隂謂之運刑天若是者其氣乖此皆五運之常也主氣各居一步厥隂主初少隂少陽次之太陰陽明又次之太陽主終六位不遷客氣與嵗推移子嵗太陽之水為初丑嵗厥陰之木為初迭相往來而少陽之為初氣乃在太陰之後半嵗已前司天主之半嵗已後在泉主之其大畧如此若其情則有相得與不相得其位則有順有逆相得者木火相臨火土相臨之類也不相得者金木相臨水火相臨之類也父臨子則順木居少陽之位是已反此則寒水居金位斯逆矣君臨臣則順君火居少陽之位是已反此則相火居君火之位斯逆矣此皆六氣之常也及論其變則有正有邪於是有變有勝有復有鬱有發有淫有承當時而行者正也非時而行者邪也當時而行其過則為變非時而行其至則為勝其救則為復抑而不伸則為鬱鬱而怒起則為發陵其所勝則為淫極而必反則為承假如太角之化為啟拆而變為摧拉太徴之化為暄燠而變為炎烈正化之為變者然也少角木氣不足清勝而熱復少徴火氣不足寒勝而兩復邪化之正復然也寒甚而无陽燄是為火鬱熱甚而无淒清是為金鬱抑而不伸者然也水鬱而發則為冰雹土鬱而發則為飄驟鬱抑而怒起者然也風淫所勝則克太陰熱淫所勝則克陽明陵其所勝者也相火之下水氣承之濕土之下風氣承之極則有反者然也然摧拉之變不應普天悉皆大風炎烈之變不應薄海悉皆燔灼清氣之勝不應宇宙无不明潔雨氣之復不應山澤无不蒸溽鬱也發也淫也承也其理皆然凡此者其應非有候其至非有期是以可知而不可必也其應非有候則有不時而應者矣其至非有時則有卒然而至者矣是故千里之逺其變相似者有之百里之近其變不同者亦有之即其時當其處隨其變而占焉則吉㓙可知況素問所以論天地之氣化者將以觀其變而救民之疾也夫大而天地小而人之一身五行之氣皆在焉天地之氣有常无變則人亦和平而无災天地之氣變而失常則疾癘之所從出也是故木氣勝則肝以實病脾以虚病火氣勝則心以實病肺以虚病此醫者所能致察儒者不得其詳也至於官天地理陰陽順五行使冬無愆陽夏無伏陰春無淒風秋無苦雨和平之氣行於兩間國無水旱之災民無妖孽之病此儒者所當致察醫家未必能知也素問亦畧言之矣五行之精是為五緯與運氣相應有嵗星有畏星以此察其行之逆順而占其吉㓙然必曰徳者福之過者罰之則是運氣之和平而為休祥有徳者召之也運氣之乖戾而為災𤯝有過者致之也雖然其説畧而未詳吾儒之經則詳矣洪範九疇始於五行中於皇極終於五福六極聖人建極於上以順五行之用是以天下之民有五福而無六極有五福皆可以康寧矣無六極皆免於疾病此其道固有行乎運氣之外者是謂大順成周之時嘗見之由庚之詩作而陰陽得由其道華黍之詩作而四時不失其和由儀之詩作而萬物各得其宜此建皇極順五行使民有五福而無六極之驗也是故素問方伎之書而洪範則聖人經世之大法也知有素問不知有洪範方伎之流也知有洪範不知有素問儒者何病焉月生明生魄魄者乃月之無光處也魄生則明死魄死則明生初三日明始生謂之哉生明又謂之朏又謂之死魄故初二日謂之旁死魄旁近也十六日謂之哉生魄晦則日月相㑹于東方望則日月相望葢月本無光借日以為光合璧則暗相逺而日燭不及則亦暗 薛氏曰哉生明月一日也旁死魄月二日也至望日則明全生而魄全死自望後一日則月生魄魄生則明死矣至晦日則明全死而魄全生故每月之終謂之晦以其魄全晦故也每月之始謂之朔以其明初見故也 邵子曰日行陽度則盈行隂度則縮賓主之道也月逺日則明生而遲近日則魄生而疾君臣之義也陽消則生陰故日下而月西出也陰盛敵陽故日望而月東出也天為父日為子故天左旋日右行日為夫月為婦故日東出月西生也 張氏曰諸厯家説月一日至四日行最疾日夜行十四度餘五日至八日行次疾日夜行十三度餘自九日至十九日其行遲日夜行十二度餘二十日至二十三日行又小疾日夜行十三度餘二十四至晦行又大疾日夜行十四度餘以一月均之則日得十三度十九分度之七也初三日日初入時月在庚上哉生明見西方八日為上弦日初入時月在丁上十五日為望日初入時月在甲上盛於東方十六日將出時月在辛上載死魄見平旦二十三下弦日將出時月在丙上三十日為晦月與日合在乙上月本無光借日以為光及其盛也遂與陽敵 朱氏天問注曰厯家舊説月朔則去日漸逺故魄死而明生既望則去日漸近故魄生而明死至晦而朔則又逺日而明復生所謂死而復育也此説誤矣若果如此則未望之前西近東逺而始生之明當在月東既望之後東近西逺而未死之明却在月西矣安得未望載魄於西既望終魄於東而遡日以為明乎故唯近世沈括之説乃為得之葢括之言曰月本無光猶一銀丸日耀之乃光耳光之初生日在其傍故光側而所見纔如鈎日漸逺則斜照而光稍滿大氐如一彈丸以粉塗其半側視之則粉處如鈎對視之則正圓也近嵗王普又申其説月生明之夕但見其一鈎至日月相望而人處其中方得見其全明必有神人能凌到景旁日月而往㕘其間則雖弦晦之時亦復見其全明而與望夕無異耳以此觀之則知月光常滿但自人所立處視之有偏有正故見其光有盈有虧非既死而復生也若顧兔在腹之問則世俗桂樹蛙兔之傳其惑久矣或者以為日月在天如兩鏡相照而地居其中四旁皆空水也故月中微黒之處乃鏡中大地之影畧有形似而非真有是物也斯言有理足破千古之疑矣 參同注曰三日第一節之中月生明之時也葢始受一陽之光而昬見於西方庚地八日第二節之中月上弦之時受二陽之光而昬見南方丁地十五日第三節之中月既望之時全受日光盛滿而昬見於東方甲地是為乾體十六日第四節之始也始受下一陰為巽而成魄以平旦而沒於西方辛地二十三日第五節之中復生中一陰為艮而下弦以平旦而沒於南方丙地三十日第六節之終全變三陽而光盡體伏於西北一月六節既盡而禪於後月復生震卦云震一兑二乾三巽四艮五坤六每五日為一節朔旦震始用事為日月陰陽交感之初道家象此以為修煉之法 鄉飲酒義月者三日則成魄三月則成時魄者月之有體而無光處也故書言哉生明旁死魄皆謂月二三日月初生時也凡言既生魄即謂月十六日月始闕時也今此篇兩言月三日而成魄則是漢儒專門陋學未嘗讀尚書者之言耳葉氏曰朔二日而生明其旁為死魄旁死魄哉生明者以朔數之也望二日而生魄哉生魄既生魄者以望數之也 吕氏曰堯史以星正時周史以月正日恐厯久必差而星月則明著易見也三正怠棄三正馬氏云建子建丑建寅三正也 蘓氏曰王者各以五行徳之王易服色改正朔孔子曰行夏之時自舜以前必有以建子建丑為正者 伊訓惟元祀十有二月乙丑蔡氏曰夏曰嵗商曰祀周曰年一也元祀者太甲即位之元年十二月者商以建丑為正故以十二月為正也乙丑日也不繫以朔者非朔日也三代雖正朔不同然皆以寅月起數葢朝覲㑹同班厯授時則以正朔行事至於紀月之數則皆以寅為首也改正朔而不改月數則於經史尤可考周建子矣而詩言四月維夏六月徂暑則寅月起數周未嘗改也秦建亥矣而史記始皇三十一年十二月更名臘曰嘉平夫臘必建丑月也秦以亥正則臘為三月云十二月者則寅月起數秦未嘗改也至三十七年書十月癸丑始皇出游十一月行至雲夢繼書七月丙寅始皇崩九月葬酈山先書十月十一月而繼書七月九月者知其以十月為正朔而寅月起數未嘗改也且秦史制書謂改年始朝賀皆自十月朔夫秦繼周者也若改月數則周之十月為建酉月矣安在其為建亥乎漢初史氏所書舊例也漢仍秦正亦書曰元年冬十月則正朔改而月數不改亦已明矣且經曰元祀十有二月乙丑則以十二月為正朔而改元何疑乎惟其以正朔行事也故後乎此者復政厥辟亦以十二月朔奉嗣王歸于亳葢祠告復政皆重事也故皆以正朔行之 朱氏曰三代正朔以元祀十有二月攷之則商人但以建丑之月為嵗首而不改月號以孟子七八月十一月十二月之説攷之則周人以建子之月為正月而不改時以書一月戊午厥四月哉生明之類考之則古史例不書時以程子假天時以立義之云考之則是夫子作春秋時特加此四字以繫年見行夏時之意天開於子地闢於丑人生於寅故斗柄建此三辰之月皆可以為嵗首而三代迭用之夏以寅為人正商以丑為地正周以子為天正也然時以作事則嵗月自當以人為紀故孔子嘗曰吾得夏時焉而説者以為謂夏小正之屬葢取其時之正與其令之善蘇氏曰正月而謂之十二月何也殷之正月則夏之十二月也殷雖以建丑為正然猶以夏正數月亦猶周公作豳詩於成王之世而云七月流火九月授衣皆夏正也史記秦始皇三十一年十二月更名臘曰嘉平夫臘必建丑之月也秦以十月為正則臘當在三月而云十二月以是知古者雖改正朔然猶以夏正數月也夏氏曰春秋所書乃孔子尊王故以周正數之其實周時數月實用夏正今七月四月之詩可見矣兼秦本紀亦以十月為嵗首則嵗首但以十月為之而已非改十月為正月也 爰革夏正林氏曰夏以建寅為正湯革之始以建丑為正是革正為用商正也革正之事古未嘗有葢始於湯而武王因之遂以建子為正故易之革曰湯武革命順乎天而應乎人 論語疏曰鄭康成之義自古以來皆改正朔孔安國注尚書湯革命創制改正易服是從湯始改正朔也 朱氏曰陽氣雖始於黄鍾而其月為建子然猶潜於地中而未有以見其生物之功也厯丑轉寅而三陽始備於是叶風乃至盛徳在木而春氣應焉古之聖人以是為生物之始改嵗之端葢以人之所共見者言之未有知其所由始也至商周始以征伐有天下於是更其正朔定為一代之制以新天下之耳目而有三統之説然以言乎天則生物之功未著以言乎地則改嵗之義不明而凡四時五行之序皆不得其中正此孔子所以論考三王之制而必行夏之時也 泰誓惟十有三年春蔡氏曰漢孔氏以春為建子之月葢謂三代改正朔必改月數改月數必以其正為四時之首序言一月戊午既以一月為建子之月而經又係之以春故遂以建子之月為春夫改正朔不改月數於太甲辨之詳矣而四時改易尤為無義冬不可以為春寒不可以為暖固不待辨而明也或曰鄭氏箋詩維莫之春亦言周之季春於夏為孟春曰此漢儒承襲之誤耳且臣工詩言維莫之春亦又何求如何新畬於皇來牟將受厥明葢言莫春則當治其新畬矣今如何哉然牟麥將熟可以受上帝之明賜夫牟麥將熟則建辰之月夏正季春審矣鄭氏於詩且不得其義則其攷之固不審也不然則商以季冬為春周以仲冬為春四時反逆皆不得其正豈三代聖人奉天之政乎一月戊午吕氏曰春秋惟定公無正葢昭公之喪未歸定公未立故不書正今紂之正朔已絶周之正朔未頒故止書一月見君臣之分毫釐必計所以正天地之大義也辰弗集房夏氏曰辰弗集房其説有二漢孔氏謂辰日月所㑹房所舍之次集合也不合則日食可知唐孔氏廣其説謂日月俱左行於天日行遲月行速日每日行一度月每夜行十三度十九分度之七計二十九日過半已行天一周又逐及日而與日聚㑹故日月所聚㑹處謂之辰一嵗十二㑹故為十二辰即此子丑寅卯之屬是也房如房室之房謂日月所舍止之處計季秋九月之朔日月當㑹於大火之次今乃不合於舍則日食可知據二孔此説則以辰弗集為日食房為所舍之處非二十八宿之房胡舍人則謂日月交㑹之謂辰日行赤道月行黄道日行速月行遲一月一㑹必合於黄道赤道之間或髙或低或上或下不相掩蔽是謂不食或左或右或先或後偶相掩蔽則食之矣是日月交㑹則有蝕今既言不集所舍則不得謂之蝕兼此房乃二十八宿之房非是十二次之舍此言辰弗集房葢是秋九月日月當合朔於房心之次今也弗集房則是厯之誤非日蝕據胡氏此説則以辰弗集為厯誤非日蝕以房為二十八宿之房非十二次之舍二説相反如此惟林少穎折中之謂胡以辰弗集房為厯誤夫厯誤至於當合朔而不合朔此非精於厯者不足以知何至於瞽奏鼓嗇夫馳庶人走故當依孔氏為日食但孔氏以集為集合之集則非其義所以起胡氏之疑兼胡氏以房為房心之房攷之九月日月雖㑹於大火之次其説頗通但日之所在星宿不見止可推算知之非能舉目而見則房又不當為房心之房當是日月所㑹之舍即皆可謂之房也是所謂房者又當依孔氏説為所次之舍也按唐書厯志論辰弗集房之義謂古文集與輯義同日月嘉㑹而陰陽輯睦陽常明而陰亦含章若變而相傷則不輯矣兼漢書帝紀言東夷北蠻頗未集睦顔師古謂集與輯同以此觀之則辰弗集房為日蝕明矣葢此輯乃輯睦之輯謂日月不相輯睦於所㑹之舍則蝕也 蔡氏曰按唐志日蝕在仲康即位之五年 張氏曰日月相望謂之望相合謂之朔每至朔則日月當如合璧有一毫不合則月與日參差月魄磨蕩上下侵犯此日所以食也 林氏曰近代善厯者推仲康時九月合朔已過房心北矣據左氏傳曰宋大辰之虚陳太皥之虚鄭祝融之虚皆火房所謂房者皆所次之舍也 王氏曰厯家推步日食於朔月食於望一百七十三日有餘而為交交然後食此厯法之常也(沈存中云西天法羅㬋計都皆逆步之乃今之交道也交)(初謂之羅㬋交中謂之計都)然春秋二百四十二年書日食三十有六隠公三年三月己巳日食至威公三年七月壬辰朔而又食中間十有二年至莊公十八年又食中間三十二年則當交而不食也襄公二十一年九月庚戌朔日食十月庚辰朔又食二十四年七月甲子朔日食八月癸巳朔又食則不當交而食也夫不當交而食與當交而不食非厯法所能盡推故先王以日食為天災日主陽月主陰月食陽勝陰也日食陰勝陽也 大衍厯議曰仲康五年癸巳嵗九月庚戌朔日蝕在房二度冬夏風雨蔡氏曰好風者箕星好雨者畢星漢志言軫星亦好雨意者星宿皆有所好也日有中道月有九行中道者黄道也北至東井去極近南至牽牛去極逺東至角西至婁去極中是也九行者黒道二出黄道北赤道二出黄道南白道二出黄道西青道二出黄道東并黄道為九行也日極南至于牽牛則為冬至極北至于東井則為夏至南北中東至角西至婁則為春秋分月立春春分從青道立秋秋分從白道立冬冬至從黒道立夏夏至從赤道所謂日月之行則有冬有夏也月行東北入于箕則多風月行西南入于畢則多雨所謂月之從星則以風雨也 夏氏曰日月之行則有冬有夏葢夏則陽用事日當進而北晝則進而長陽勝則為温暑冬則陰用事日當退而南晝則退而短陰勝則為風寒此皆行必循軌故所以有冬夏也月之從星則以風雨者月行立春東從青道立秋西從白道立冬北從黒道立夏南從赤道箕東北宿畢西南宿月若失道妄行東入箕則旱風西入畢則陰雨此月從星則以風雨也土中凡地偏於南多暑偏於北多寒偏於東多風偏於西多陰唯中則得天地之正陰陽之和 司馬氏曰地中者非地體之中乃其地得寒暑風雨之中鄭康成以為日景於地千里而差一寸故王畿千里取其景同唐開元中太史測景五百二十六里二百七十步而差二寸五釐然則康成之言未可據也冬至漢丈三尺唐丈二尺七寸一分夏至漢尺五寸唐尺四寸七分夫日行有逺近土深有南北氣應有早晏故其景不能不小有出入也日行黄道每嵗有差地中亦當隨而轉移故周在洛邑漢在潁川陽城唐在汴州浚儀而唐志猶取陽城日晷以為法與漢志不同 范氏曰測景之法見于周官與詩所以求地之中以建王國而阜安萬民者也然必驗之數術考之中星參之氣朔校之刻漏而後為得故其地中之景冬至丈三尺夏至尺有五寸由此而進退之則二十四氣皆可推而見之矣若夫當至而不至未當至而至則有日月之變水旱之沴人民疾疫之災古先哲王必謹視之以修人事而奉天之戒周公卜洛以為天地之所合四時之所交風雨之所㑹陰陽之所和世傳陽城是其地而今登封故臺在焉唐開元中擇河南平地始于滑州之白馬南至于汴之浚儀得岳臺又南至于扶溝又南至于上蔡之武津至岳臺為適中也五行正義曰天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土此其生數也地六成水天七成火地八成木天九成金地十成土此其成數也繫辭曰天數五地數五五位相得而各有合謂此也 葉氏曰夫五行周流於天地之間未之有位也言天之五數地之五數而謂之五位必有奠方而正其居者而學者莫能知吾獨以世言太一九宫者論之此其説雖出乾鑿度學者所不道然而以五居中列其一三七九為四旁二四六八為四隅則天地二五之數皆在特虚其十而不見以土無正位寄王於四方與月令中央土獨不舉成數者同義十雖不見而九宫縱横錯綜數之皆得十五則土之成數葢未嘗不具也是在易則謂之五位洪範則謂之九疇兹其為洛書者歟易所先者五位故畧九疇而不見洪範所用者九疇故置五位而不言陰陽運而生五行五行之大不可以正名但見其周流不息者而已故謂之行天之五行為氣雨暘寒燠風是也地之五行為形金木水火土是也 朱氏曰五行者質具於地而氣行於天者也以質而語其生之序則曰水火木金土而水木陽也火金陰也以氣而語其行之序則曰木火土金水而木火陽也金水陰也又統而言之則氣陽而質陰也又錯而言之則動陽而靜陰也 曾氏曰潤下炎上言其所性之成於天者然水導之則行瀦之則聚火燃之則熾宿之則壯則其所化亦未嘗不因之於人也或曲直之或革之或稼穡之言其所化之因於人者然可以曲直可以革可以稼穡則其所性亦未嘗不成之於天也所謂天不人不因人不天不成者也潤下者水也故水曰潤下炎上者火也故火曰炎上木金亦然惟稼穡而非土也故言其於之稼穡而已 王氏曰自天一至於天五五行之生數也以竒生者成而耦以耦生者成而竒其成之者皆五五者天數之中也葢中者所以成物也道立於兩成於三變於五而天地之數具其為十也耦之而已葢五行之為物其時其位其材其氣其性其形其事其情其色其聲其臭其味皆各有耦推而散之無所不通一柔一剛一晦一明故有正有邪有美有惡有醜有好有凶有吉性命之理道徳之意皆在是矣耦之中又有耦焉而萬物之變遂至於无窮其相生也所以相繼也其相克也所以相治也水言潤則火燥土溽木敷金歛可知也火言炎則水洌土蒸木温金清可知也水言下火言上則木左金右土中央可知也木言曲直則土圜金方火鋭水平可知也金言從革則木變土化水因火革可知也土言稼穡則水之井洫火之爨冶木金之為器械可知也 馬氏曰水火木金土天地生五行之序也木火土金水五行相生之序也水火金木土五行相尅之序也天地之生五行也以數其相生也以氣其相尅也以形 吳氏曰土爰稼穡穀在其中自其治之有司則謂之府以其通天下用之則謂之行五紀嵗星十二嵗一周天所以紀嵗月一日行天十三度而贏二十九日過半而一周天與日㑹所以紀月自夜半至明日夜半日一出沒行天一度所以紀日星二十八宿辰其次也日百刻二十八宿晝夜迭見而天行周十二次故曰十二辰亦曰十二時所以紀星辰積辰而為日積日而為月積月而為嵗嵗日月星辰其行各有盈縮進退遲速長短之不同然皆不離於數故以厯而紀其數因以是數而推攷其行度以驗其當否 朱氏曰左傳曰日月所㑹是謂辰注云一嵗日月十二㑹所㑹為辰十一月辰在星紀十二月辰在元枵之類是也然此特在天之位耳若以地言之則南面而立其前後左右亦有四方十二辰之位焉但在地之位一定不易而在天之象運轉不停惟天之鶉火加于地之午位乃與地合而得天運之正耳葢周天三百六十五度四分度之一周布二十八宿以著天體而定四方之位以天繞地則一晝一夜適周一匝而又超一度日月五星亦隨天以繞地而唯日之行一日一周無餘無欠其餘則各有遲速之差焉然其懸也固非綴屬而居其運也亦非推挽而行但當其氣之盛處精神光耀自然發越而又各自有次第耳列子曰天積氣耳日月星宿亦積氣中之有光曜者張衡靈憲曰星也者體生於地精成於天列居錯跱各有攸屬此言皆得之矣(正義曰從冬至以及明年冬至為一)(嵗)庶徴鄭氏曰雨木氣也春始施生故木氣為雨暘金氣也秋物成而堅故金氣為暘燠火氣也寒水氣也風土氣也凡氣非風不行猶金木水火非土不處故土氣為風吳氏曰按易説坎為雨則雨屬水而為冬離為日則暘屬火而為夏詩疏載毛公釋小明日月方奥云二月之初燠暖也則燠之為春為木明矣漢志引狐突金寒之言顔師古謂金行在西故謂之寒則寒之為秋為金明矣又按稽疑以雨屬水以霽屬火霽暘也則庶徴雨之為水暘之為火類例抑又甚明 陳氏曰燠熱涼寒四時之氣也雨暘風者佐四時之氣以生育萬物者也止言寒燠者葢燠者温之始寒者涼之極也六經天文編卷上
## 卷下
欽定四庫全書六經天文編卷下宋 王應麟 撰詩三五參昴毛氏曰三心五噣參伐昴留 正義曰心實三星而列宿之尊故元命苞曰心為天王公羊又云心為大辰故言三星此及綢繆苕之華皆云心也元命苞云栁五星釋天云咮謂之栁天文志曰栁謂鳥喙則喙者栁星也以其為鳥星之口故謂之喙 天文志云參白虎宿三星直下有三星鋭曰伐其外四星左右肩股也則參實三星故綢繆傳曰三星參也以伐與參連體參為列宿統名之若同一宿然但伐亦為大星與參互見皆得相統故周禮熊旂六旒以象伐注云伐屬白虎宿與參連體而六星言六旒以象伐明伐得統參也公羊傳曰伐為大辰皆互舉之文故言參伐也元命苞云昴六星昴之為言留言物成就繫留是也 解頤新語曰元命包以栁為五星天文志星經以栁為八星後之明厯象者皆以元命包為非以天文志星經為是又心以三月見於東噣以正月見於東詩人言三五在東乃一時所見耳心噣見於東方既不同時則五非噣明矣或者又謂心之東見其次相連者亢氐房也心三星亢氐房各四星合而言之為十有五故曰三五 朱氏曰三五言其稀葢初昬或將旦時也定之方中李氏曰爾雅曰營室謂之定左傳曰凡土功水昬正而栽杜氏注云謂今十月定星昬而中於是植板築而興作定之方中作于楚宫葢定星昬中之時於是而作宫也揆之以日作于楚室者揆度其日之出入以定其東西南北也攷周禮匠人云水地以縣置𣙗以縣視以景為規識日出之景與日入之景晝參諸日中之景夜攷之極星以正朝夕此所謂揆之以日也毛氏云度日出日入以知東西而視定北凖極以正南北毛氏之意則以謂定星之昬正四方而中取則視之以正其南因準極以正其北作為楚邱之宫也度之以日影度日出之影與日入之影以知東西而作為楚邱之室也其説不然按詩但言得土功之時制不聞有東西南北之别也不如王氏之説曰方其庀徒而作宫則占營室之中及辨内外之位而作室則揆之以日占營室之中者序所謂得其時揆之以日景者序所謂得其制 朱氏曰定北方之宿營室星也此星昬而正中夏正十月也於是時可以營制宫室故謂之營室楚宫楚邱之宫也樹八尺之臬而度其日出入之景以定東西又參日中之景以正南北也楚室猶楚宫 正義曰傳言南視定匠人云晝參諸日中之景不言以定星參之經傳未有以定星正南北者故箋以定為記時挈壺漏刻朱氏曰夏官挈壺氏下士六人挈縣挈之名壺盛水器葢置壺浮箭以為晝夜之節也 易氏曰挈壺之制不可攷以唐制推之水海浮箭四匱注水始自夜天池以入于日天池自日天池以入于平壺以次相注入于水海浮箭而上以浮箭為刻分晝夜計十二時每時八刻二十分每刻六十分箭四十八二箭當一氣嵗統二百一十九萬一千五百分悉刻於箭上銅烏引水而下注浮箭而上登至於晝夜之别分至之候冬夏長短昏曉隠見與周官晷影無差 王氏曰日月之行有冬有夏而晝夜之晷有短有長先王由是分十有二時於一晝一夜之間以漏箭凖十二時而為百刻寅申巳亥子午卯酉之八時每時各占八刻則合而為六十四刻辰戌丑未之四時每時各占九刻則合而為三十六刻以百刻定長短而分晝夜於是立挈壺氏之職以壺盛水而為漏水以正十二時之刻早暮之期於此正矣後世挈壺氏不能掌其職不能辰夜不夙則莫此詩人所以刺也 陳氏曰挈壺之法葢為箭四十八以候二十四氣大率七日大半而易一箭孔穎達謂浮箭壺内以出刻為准賈公彦謂漏水壺内以沒刻為度葢各述其所聞而已雖浮沒不同大槩一也 正義曰挈壺者懸繋之名刻謂置箭壺内刻以為節而浮之水上令水漏而刻下以記晝夜昬明之度數也案乾象厯及諸厯法與今太史所候皆云冬至則晝四十五夜五十五夏至則晝六十五夜三十五春秋分則晝五十五半夜四十四半從春分至於夏至晝漸長增九刻半從夏至至於秋分所減亦如之從秋分至於冬至晝漸短減十刻半從冬至至於春分所加亦如之又於每氣之間加減刻數有多有少其事在於厯術以其算數有多有少不可通而為率故太史之官立為法定作四十八箭以一年有二十四氣每一氣之間又分為二通率七日强半而易一箭故周年而用箭四十八也厯言晝夜者以昬明為限馬融王肅注尚書以為日永則晝漏六十刻夜漏四十刻日短則晝漏四十刻夜漏六十刻日中宵中則晝夜各五十刻者以尚書有日出日入之語遂以日見為限尚書緯謂刻為商鄭作士昬禮目録云日入三商為昬舉全數以言耳其實日見之前日入之後距昬明各有二刻半減晝五刻以禆夜故於厯法皆多校五刻也鄭於堯典注云日中宵中者日見之漏與不見者齊也日永者日見之漏五十五刻日不見之漏四十五刻又與馬王不同者鄭言日中宵中者其漏齊則可矣其言日永日短之數則與厯甚錯馬融言晝漏六十夜漏四十減晝以禆夜矣鄭意謂其未減又減晝五刻以增之是鄭之妄説耳漏刻之數見在史官古今厯者莫不符合鄭獨有此異不可强為之辭 史記正義曰馬融以昬明為限鄭𤣥以日出入為限故有五刻之差三星在天毛以為三星者參也首章言在天謂始見東方十月之時故王肅述毛云三星在天謂十月也在天既據十月二章在隅謂在東南隅又在十月之後也謂十一月十二月也卒章在戸言參星正中直戸謂正月中也故月令孟春之月昬參中是參星直戸在正月中也鄭以為三星者心也一名火星凡嫁娶者以二月之昬火星未見之時為之首章言在天謂昬而火星始見東方三月之末四月之中也二章言在隅又晚於在天謂四月之末五月之中也卒章言在戸又晚於在隅謂五月之末六月之中故月令季夏之月昬火中是六月之中心星直戸也 朱氏曰三星心也在天昬始見於東方建辰之月也 李氏曰仲春之月心星未見至三月四月則見而在東方左氏曰火出於夏為三月周官季春出火言三月之時已失其時矣況於在隅在户乎在隅則四月之末五月之中在戸則五月之末六月之中月令曰仲夏之月昬心中是也鄭以三星為心星則可若以心為有尊卑夫婦父子之象則其説鑿矣 吕氏曰三星見則非昬姻之時在天在隅在戸隨所見而互言之不必以為時之先後七月流火左傳張趯曰火星中而寒暑退服䖍云火大火心也季冬十二月平旦正中在南方大寒退季夏六月黄昬火星中大暑退是火為寒暑之候又曰火猶西流謂火下為流 朱氏曰火以六月之昬加於地之南方至七月之昬則下而西流矣 曹氏曰季夏昬正在於南方暑已極矣過是而流流則暑退故七月流火也至九月流盡而伏於戌寒氣始勝 王氏曰七月九月一之日二之日何也陽生矣則言日陰生矣則言月與易臨至于八月有㐫復七日來復同意然則四月正陽也秀葽言月何也秀葽以言陰生也陰始於四月生於五月而於四月言陰生者氣之先至者也 胡氏曰星辰之運始則見於辰至未然後得其中至於申則流至於戌則伏傳言火見於辰又以大火為大辰又以日月星為三辰豈非日月星辰至於辰而畢見故邪詩言定之方中左傳言火星中而寒暑退及月令所紀昬旦中星非他取也取其中於未耳詩言七月流火豈非至申則流歟傳言火伏於戌豈非至戌則伏歟餘星皆類此然堯典特取其見於午者何哉葢聖人南面而聽天下以荅陽為義也嵗亦陽止正義曰十月為陽者時純坤用事而嫌於無陽君子愛陽而惡陰故以陽名之詩緯曰陽生酉仲陰生戌仲是十月中兼有陰陽也四月秀葽靡草死豈無陰乎明陰陽常兼有也 張氏曰陽雖生於子實兆於亥故十月薺麥生陰雖生於午實兆於己故四月靡草死 朱氏曰復之一陽非頓然便生乃是坤卦中積來一日生一分至十一月一陽始成也以此見天地無休息處十月未嘗無陽此理分明列莊之徒葢已窺見之矣故有宻移之説 漢上朱氏曰十月純坤用事而稱龍者天地未嘗一日而無陽亦未嘗一日而無君子正月繁霜曹氏曰霜者陰之凝也正月建巳之月夏之四月周之六月也純陽用事不宜有霜陽微而為陰所勝則霜為之降是以王者惡之 沈氏曰先儒以日食正陽之月止謂四月不然也正陽乃兩事正謂四月陽謂十月詩有正月繁霜十月之交日有食之二者先王所惡也葢四月純陽不欲為陰所侵十月純陰不欲過而干陽也蔡氏曰陽包陰則為霰(離)陽和陰則為雪(離交坎)陰包陽則為雹(坎)陰入陽則為霜(坎交離)十月之交朱氏曰十月以夏正言之建亥之月也交日月交㑹謂晦朔之間也厯法周天三百六十五度四分度之一左旋於地一晝一夜則其行一周而又過一度日月皆右行於天一晝一夜則日行一度月行十三度十九分度之七故日一嵗而一周天月二十九日有竒而一周天又逐及於日而與之㑹一嵗凡十二㑹方㑹則月光都盡而為晦巳㑹則月光復蘇而為朔朔後晦前各十五日日月相對則月光正滿而為望晦朔而日月之合東西同度南北同道則月揜日而日為之食望而日月之對同度同道則月亢日而月為之食是皆有常度矣然王者脩徳行政用賢去姦能使陽盛足以勝陰陰衰不能侵陽則日月之行雖或當食而月常避日故其遲速髙下必有參差而不正相合不正相對者所以當食而不食也若國無政不用善使臣子背君父妾婦乗其夫小人陵君子夷狄侵中國則陰盛陽微當食必食雖曰行有常度而實為非常之變矣蘇氏曰日食天變之大者也然正陽之月古尤忌之夏之四月為純陽故謂之正月十月純陰疑其無陽故謂之陽月純陽而食陽弱之甚也純陰而食陰壯之甚也凡日月之食皆有常度矣而以為不用其行者月不避日失其道也然其所以然者則以四國無政不用善人故也如此則日月之食皆非常矣而以月食為其常日食為不臧者陰亢陽而不勝猶可言也陰勝陽而揜之不可言也故春秋日食必書而月食則無紀焉亦以此爾 張氏曰詩有夏正無周正七月之陳王業六月之北伐十月之交刺純陰用事而日食四月維夏六月徂暑言暑之極其至皆夏正也漢厯幽王無八月朔食而唐厯則有之議者疑其傅㑹而為此也 補傳曰詩人於夏正皆以月言於周正則以日言故不曰朔日而曰朔月也日月皆右行月行天一周追及於日而與之㑹則食杜預曰日月動物不能不少有盈縮故有雖交而不食者有頻交而食者孔穎達曰月或在日道表或在日道裏故不食月與日同道乃食也又曰若月先在裏依限而食者多若月先在表雖依限而食者少此皆據厯而言若然則詩人以為孔醜何也唐志日食議曰日君道也月臣道也望而至於黄道是謂臣干君明則陽斯蝕之朔而至於黄道是謂臣壅君明則陽為之蝕十月之交於厯當蝕君子猶以為變詩人悼之然則古之太平日不蝕星不孛葢有之矣若過至未分月或變行而避之或五星潜在日下禦侮以救之或涉交數淺或在陽厯陽盛陰微則不蝕或徳之休明而有小眚焉則天為之隠雖交而不蝕四者皆徳之所由生也故説者謂交而食陽微而陰乗之也交而不食陽盛而陰不能掩也此則係乎人事所感葢臣子背君父妾婦乗其夫小人陵君子夷狄侵中國所感如是則陰盛陽微而日為之食矣曰彼月而微此日而微者意當時月食又適與日食相近 正義曰厯家為交食之法大率以百七十三日有竒為限古之厯書亡矣今世有周厯魯厯者葢漢初為之其交無遲速盈縮攷日食之法而其年月往往參差是以漢世通儒未有以厯考此辛卯日食者 大衍厯議曰虞〔？〕以厯推之在幽王六年開元厯定交分四萬三千四百二十九入蝕限加時在晝大東衆星朱氏曰漢天河也跂隅貌織女星名在漢旁三星跂然如隅也七襄未詳傳曰反也箋云駕也駕謂更其肆也葢天有十二次日月所止舍所謂肆也經星一晝一夜左旋一周而有餘則終日之間自卯至酉當更七次也晥明星貌牽牛星名服駕也箱車箱也啟明長庚皆金星也以其先日而出故謂之啟明以其後日而入故謂之長庚葢金水二星常附日行而或先或後但金大水小故獨以金星為言也天畢畢星也狀如掩兔之畢行行列也箕斗二星以夏秋之間見於南方云北斗者以其在箕之北也或曰北斗常見不隠者也翕引也舌下二星也南斗柄固指西若北斗而西柄則亦秋時也歐陽氏曰譚人仰訴於天言我民困矣天之雲漢有光亦能下監我民乎其不言日月之明而言雲漢之光者謂不能下監也天雖有織女不能為我織而成章雖有牽牛不能為我駕車而輸物雖有啟明長庚不能助日為晝俾我營作雖有天畢不能為我掩捕鳥獸雖有箕不能為我簸揚糠粃雖有斗不能為我挹酌酒漿箕斗非徒不可用而已箕引其舌反若有所噬斗西其柄反若有所挹取於東也 李氏曰爾雅曰明星謂之啟明孫炎曰明星太白也出東方髙三舍今曰太白觀此則啟明即是太白也長庚不知是何星毛氏云只是一星故後世亦以長庚為太白鄭漁仲乃謂啟明金星長庚水星金在日西故日將出則東見水在日東故日將沒則西見又似是二星不得渾而為一也唐盧仝月蝕詩厯言星辰不救月蝕之事其體製正類此詩 劉氏曰金星朝在東所以啟日之明夕在西所以續日之長雲漢楊泉物理論云漢水之精也氣發而升精華浮上宛轉隨流名曰天河一曰雲漢 埤雅曰萬物之精上為列星河精上為天漢詩曰倬彼雲漢昭回于天言水氣之在天為雲水象之在天為漢今皆倬然昭明回轉於上則非雨之候也又曰瞻卬昊天有嘒其星言旱久而繁星備見則尤非雨之候也且其正言昊天則夏之時也以今觀之炎夏旱暵而熱則小星森布如棊星陽之精也陽盛而亢則星稠於上其理然也天道周禮圭景鄭司農曰測土深謂南北東西之深也日南謂立表處大南近日也日北謂立表處大北逺日也景夕謂日跌景乃中立表處大東近日也景朝謂日未中而景中立表處大西逺日也土圭之長尺有五寸以夏至之日立八尺之表其景適與土圭等謂之地中今潁川陽城地為然 康成曰晝漏半而置土圭表陰陽審其南北景短於土圭謂之日南是地於日為近南也景長於土圭謂之日北是地於日為近北也東於土圭謂之日東是地於日為近東也西於土圭謂之日西是地於日為近西也如是則寒暑陰風偏而不和是未得其所求凡日景於地千里而差一寸景尺有五寸者南戴日下萬五千里地與星辰四遊升降於三萬里之中是以半之得地之中也畿方千里取象於日一寸為止 疏曰馮相氏云冬夏致日春秋致月皆以土圭度之是以冬官考工記云土圭尺有五寸以致日三光考靈耀云四遊升降於三萬里中下云日至之景尺有五寸謂之地中則是半三萬里而萬五千里與土圭等是千里差一寸算法亦然言此者欲見經日南日北之等皆去中表千里為術景長景短皆差一寸通卦驗云冬日至樹八尺之表日中視其晷是以知用八尺表而以晝漏半度景也景一寸差千里故於地中尺五寸景去南戴日下萬五千里考靈耀言四游升降者春分之時地與星辰復本位至夏至之日地與星辰東南游萬五千里下降亦然至秋分還復正至冬至地與星辰西北游亦萬五千里上升亦然至春分還復正進退不過三萬里故云地與星辰四游升降於三萬里之中是以半之得地之中也元命包云日圓望之廣尺以應千里故鄭注王制云象日月之大也考靈耀曰從上臨下八萬里天以圓覆地以方載河圖括地象曰天不足西北地不足東南西北為天門東南為地户天門無上地户無下又云極廣長南北二億三萬一千五百里東西二億三萬三千里又云天左動起於牽牛地右動起於畢廣雅云天圜南北二億三萬三千五百里七十五步東西短減四步周六億十萬七百里二十五步從地至天億一萬六千七百八十七里半下度地之厚與天髙等天度云東方七宿七十五度南方七宿百一十二度西方七宿八十度北方七宿九十八度四分宿之一四方三百六十五度四分度之一度二千九百三十二里二十八宿間相距積百七萬九百一十三里徑三十五萬六千九百七十里 易氏曰鄭氏之説本於考靈耀謂土圭之法以一分當百里以一寸當千里日景於地凡千里而差一寸故於潁川陽城之地置一表為中表又於中表之四面各去千里而置四表晝漏半則各參以土圭之景以驗南北東西其景皆有一寸之差其説果可從乎殊不知大司徒所謂日南日北日東日西者特四時測景之灋如夏至日在南陸躔於東井景長尺有五寸故曰日南則景短多暑冬至日在北陸躔於牽牛景長丈有三尺故曰日北則景長多寒秋分日在東陸躔於角其景常候以夕故曰日東則景夕多風春分日在西陸躔於婁其景常候以朝故曰日西則景朝多隂四時之間春秋不可致日故日景不言尺寸之度冬至日景雖言尺寸之度而實過於土圭之制惟夏至之日景長尺有五寸正與土圭等所以求地中昔堯之敬授人時皆以中星驗日景而獨於仲夏言敬致致即致日也致日於尺有五寸之景此即求中之法地中既正是以因其日之東南西北而知天地於此乎合因其景之長短朝夕而知四時於此乎交多風多隂得其序而知風雨於此乎會多寒多暑得其序而知隂陽於此乎和以至百物阜安又造化冲和之氣其應然也匠人建國主王國而言也大司徒之建國以土圭之灋測土深以正日景日至之景尺有五寸謂之地中此則賛大司徒求地中而已水地以縣置槷以縣者此二縣字有先後之序先於造城之處以水平地於四旁立四柱以繩縣之其繩附柱不偏量其四旁適均則其地平矣方於中立八尺之表表即𣙗也復以繩縣之其繩附柱不偏而後眡表之景又於四旁之地為規圜之勢畫以識之日出於東其景在西則識其出景之端日入於西其景在東則識其入景之端景之兩端既定中屈其所量之繩而兩者相合則地中可驗又慮其所規之不正也復以出入之景與日中之景三者相參故曰參又慮其所參之或偏也復以日中之景與極星之度兩者相攷故曰考且極星之度何與於日中之景凡以驗日景之中而已蓋夏至日在南陸躔於東井去極六十六度有奇而其景尺有五寸冬至日在北陸躔於牽牛去極一百一十六度有奇而其景丈有三尺春分日在西陸躔於婁秋分日在東陸躔於角去極九十一度有奇而其景均焉觀日躔去極之逺近以驗四時攷四時日景之短長以求地中則東西可正故曰以正朝夕東西既正然後度日景兩交之間屈其繩之半以指𣙗而求合乎規圜之勢則南北亦正矣 王氏曰以日景正其朝則地之中得矣以極星正其夕則天之中得矣書曰自服于土中又曰其自時配皇天則洛邑非特地之中亦天之中矣 大衍厯議曰宋元嘉中南征林邑五月立表望之日在表北交州影在表南三寸林邑九寸一分交州去洛水陸之路九千里蓋山川囘折使之然以表考其弦當五千乎開元十二年測交州夏至在表南三寸三分與元嘉所測畧同使者大相元太言交州望極纔高二十餘度八月海中望老人星下列星粲然明大者甚衆古所未識乃渾天家以為常没地中者也大率去南極二十度已上之星則見太史監南宫說擇河南平地設水凖繩墨植表而以引度之自滑臺始白馬夏至之晷尺五寸七分又南百九十八里百七十九步得浚儀岳臺晷尺五寸三分又南百六十七里二百八十一步得扶溝晷尺四寸四分又南百六十里百一十步至上蔡武津晷尺三寸六分半大率五百二十六里二百七十步晷差二寸餘而舊説王畿千里影差一寸妄矣吳王蕃考先儒所傳以戴日下萬五千里為句股斜射陽城考周徑之率以揆天度當千四百六里二十四步有餘今測日晷距陽城五千里已在戴日之南則一度之廣皆三分減二南北極相去八萬里其徑五萬里宇宙之廣豈若是乎然則蕃之術以蠡測海者也 隋天文志曰先儒皆云夏至立八尺表於陽城其影與土圭等案尚書考靈耀稱日永景尺五寸日短景尺三寸易通卦驗曰夏至景一尺四寸八分冬至一丈三尺周髀云成周土中夏至景一尺六寸冬至景一丈三尺五寸劉向鴻範傳曰夏至景長一尺五寸八分冬至一丈三尺一寸四分春秋二分景七尺三寸六分後漢四分厯魏景初厯宋元嘉厯大明祖冲之厯皆與考靈耀同漢魏及宋所都皆别四家厯法候景則齊且緯候所陳恐難依據劉向二分之景直以率推非因表候定其長短考靈耀周髀張衡靈憲及鄭𤣥注周官並云日影於地千里而差一寸宋元嘉十九年壬午使使往交州測影夏至之日影出表南三寸二分何承天遙取陽城云夏至一尺五寸計陽城去交州路當萬里而影實差一尺八寸二分是六百里而差一寸也又梁大同中二至所測以八尺表率取之夏至當一尺一寸七分彊後信都芳注周髀四術稱永平元年戊子當梁天監之七年見洛陽測影又見公孫崇集諸朝士共觀祕書影同是夏至日其中影皆長一尺五寸八分以此推之金陵去洛南北略當千里而影差四寸則二百五十里而影差一寸也 王朴曰古者植圭於陽城以其近洛也蓋尚慊其中乃在洛之東偏開元十二年遣使天下候影南距林邑北距横野中得浚儀之岳臺應南北弦居地之中正月正嵗王氏曰元者德也正者政也德欲終始如一故即位之一年謂之元年政欲每嵗改易故改嵗之一月謂之正月正月之吉則朔月也朔月謂之吉則明生之幾故也三代各有正月而周以建子之月為正夏以建寅之月為正夏正據人所見故謂之人正授民事則宜據人所見故周亦兼用夏時而以夏之正月為正嵗始和布治以周之正月而正嵗又觀象灋則以兼用夏時故也兼用夏時而以正月之吉使萬民觀治象則正嵗先王之正也正月之吉時王之正也萬民取正於時王而巳若夫百官則又當取正於先王也 易氏曰夏正建寅謂之正嵗周正建子謂之正月建子為時王之正月示萬民以更新之意故大宰縣治象於月吉而復歛於挾日建寅為民時之正嵗吏治於是乎始故小宰帥治官之屬觀治象於已歛之後 張氏曰周官於布治言正月之吉此周正也而以夏正為正嵗所謂正嵗十有二月令斬氷此其證尤彰明又七月言月皆夏時而以周之正為一之日觀此可見兼存之法其兼存之何也周人雖以天統改用建子為正月而以夏數得天故未嘗廢星辰疏云五緯即五星言緯者二十八宿隨天左轉為經五星右旋為緯星備云五星初起牽牛此云星明是五緯又星備云嵗星一日行十二分度之一十二嵗而周天熒惑日行三十三分度之一三十三嵗而周天鎮星日行二十八分度之一二十八嵗而周天太白日行八分度之一八嵗而周天辰星日行一度一嵗而周天是五緯所行度數之事二十八星面有七不當日月之會直謂之星若日月所會則謂之宿謂之辰謂之次亦謂之房故書云辰弗集于房 朱氏曰緯星隂中之陽經星陽中之隂司中司命鄭司農云司中三能三階也司命文昌宮星 疏云案武陵太守星傳云三台一名天柱上台司命為太尉中台司中為司徒下台司禄為司空文昌宮第四曰司命第五曰司中二文俱有司中司命故兩載之 康成云司中司命文昌第五第四星或曰中能上能也 疏云先鄭以為司中是三台司命是文昌星今案三台與文昌皆有司中司命何得分之武陵太守星傳云文昌宮六星第一曰上將第二曰次將第三曰貴相第四曰司命第五曰司中第六曰司禄是其本次也或曰中能者亦據星傳而言 洪氏楚辭注曰按史記天官書文昌六星四曰司命晉書天文志三台六星兩兩而居西近文昌二星曰上台為司命主夀然則有兩司命也祭法王立七祀諸侯立五祀皆有司命疏云司命宮中小神而漢書郊祀志荆巫有司命說者曰文昌第四星也五臣云司命星名主知生死輔天行化誅惡護善也大司命云乘清氣兮御隂陽少司命云登九天兮撫彗星其非宮中小神明矣飌師雨師疏云春秋緯云月離於箕風揚沙故知風師箕也詩云月離於畢俾滂沱矣是雨師畢也鄭義大陽不變隂為金雨為木風為土明為火晦為水若從妻所好言之則洪範云星有好風星有好雨鄭注云箕星好風畢星好雨是土十為木八妻木八為金九妻故東方箕星好風西方畢星好雨 洪氏楚辭注曰按豐隆或曰雲師或曰雷師屏翳或曰雲師或曰雨師或曰風師歸藏云豐隆筮雲氣而告之則雲師也穆天子傳云天子升崑崙封豐隆之葬郭璞云豐隆筮師御雲得大壯卦遂為雷師淮南子季春三月豐隆乃出以將其雨張衡思𤣥賦云豐隆軯其震霆雲師〔？〕以交集則豐隆雷也雲師屏翳也天問曰萍號起雨則屏翳雨師也洛神賦云屏翳收風則風師也淮南子云雨師灑道風伯掃塵説者以為箕畢二星列仙傳云赤松子神農時為雨師風俗通云𤣥冥為雨師其說不同據楚辭則以豐隆為雲師飛廉為風伯屏翳為雨師十煇易氏曰煇者日之光氣也日以光為主是謂太陽隂邪侵之則為祲此眡祲占象所以有十煇之法祲謂隂氣薄於日而浸淫相侵也象謂隂柔附日而凝結成象也䥴謂隂氣刺日如童子所佩之䥴也監謂隂氣抱日如冠珥而背璚也闇謂隂氣蔽日方晝而闇者也瞢謂隂氣蒙蔽日光瞢然也彌謂隂氣貫日彌天不竟也敘謂隂氣不常以敘而至也隮謂隂氣自下而升於上也想謂隂氣無迹形似可想也以洪範五行推之陽為君子為中國隂為小人為夷狄妖祥可以類求 王氏曰氣祥謂之祲以日傍之氣相侵也形本謂之象謂氣在日傍未成形也鑴如童子佩鑴之鑴謂傍氣刺日也監如王啓監厥亂之監謂雲氣在上而臨日也闇謂晝晦或日蝕也瞢謂日無光也彌如彌縫之彌謂氣貫日也敘如時敘之敘謂雲有次敘在日上也隮如朝隮于西之隮謂虹氣見日傍也想謂雜氣有似可形想也嵗年注云中數曰嵗朔數曰年中朔大小不齊正之以閏若今時作厯日 疏云一年有二十四氣皆節氣在前中氣在後節氣一名朔氣朔氣在晦則後月閏中氣在朔則前月閏節氣有入前月法中氣無入前月法中氣匝則為嵗朔氣匝則為年假令十二月中氣在晦則閏十二月十六日得後正月立春節此即朔數曰年至後年正月一日得啓蟄中此中氣匝此即中數曰嵗 月令正義曰十二月中氣一周總三百六十五日四分日之一謂之一嵗十二月之朔一周謂三百五十四日謂之為年此是嵗年相對故有朔數中數之别若散而言之嵗亦年也故爾雅釋天云唐虞曰載夏曰嵗商曰祀周曰年是也十有二嵗注云嵗謂太嵗嵗星與日同次之月斗所建之辰樂說嵗星與日常應太嵗月建以見然則今厯太嵗非此也嵗星為陽右行於天太嵗為隂左行於地十二嵗而小周其妖祥之占甘氏嵗星經其遺象也 疏云太嵗在地與天上嵗星相應而行嵗星為陽右行於天一嵗移一辰又分前辰為一百三十四分而侵一分則一百四十四年跳一辰十二辰匝則總有千七百二十八年十二跳辰匝以此而計之十二嵗一小周謂一年移一辰故也千七百二十八年一大周十二跳帀故也嵗左行於地一與嵗星跳辰年數同此則服䖍注春秋龍度天門是也以嵗星本在東方謂之龍以辰為天門故以嵗日跳度為龍度天門也嵗星為陽人之所見太嵗為隂人所不覩既嵗星與太嵗雖右行左行不同要行度不異故舉嵗星以表太嵗言嵗星與日同次之月一年之中惟於一辰之上為法若元年甲子朔旦冬至日月五星俱赴於牽牛之初是嵗星與日同次之月十一月斗建子子有太嵗至後年嵗星移向子上十二月日月會於𤣥枵十二月斗建丑丑有太嵗自此已後皆然 大衍厯議曰嵗星自商周迄春秋之季率百二十餘年而超一次戰國後其行寖急至漢尚微差及哀平間餘勢乃盡更八十四年而超一次因以為常此其與餘星異也姬氏出自靈威仰之精受木行正氣嵗星主農祥后稷憑焉故周人常閱其禨祥而觀善敗其始王也次于鶉火以達天黿及其衰也淫于𤣥枵以害鳥帑 易氏曰先鄭以嵗為太嵗後鄭謂大嵗所在嵗星所居要之二者並行初不相悖然春秋所述妖祥之事則皆嵗星也襄二十八年嵗在星紀而淫於𤣥枵是謂蛇乘龍梓慎以為宋鄭必饑則言其所屬裨竈以為周楚所惡則言其所衝其嵗星乖次之所應乎昭三十二年嵗在星紀而吳伐越史墨以為不及四十年越其有吳以嵗星十二年而一周存亡之數不過三紀非嵗星順次之所應乎此保章氏所以言十有二嵗之相相謂有相可覩者也其相有嬴縮暈角之變而妖祥應焉豈太嵗可以並言哉致日致月陳氏曰禮曰大明生於東月生於西詩曰日居月諸出自東方又曰東方之日東方之月蓋月之始則生於西其盛則生於東揚子曰月未望則載魄于西既望則終魄于東漢書謂日有中道月有九行中道黄道也黄道北至東井南至牽牛東至角西至婁夏至日在東井而北近極星則晷短故立八尺之表而景尺五寸冬至日在牽牛而南逺極星則晷長故立八尺之表而景丈三尺春分日在婁秋分日在角而中於極星則景中故立八尺之表而景七尺三寸六分日陽也陽用事則日進而北晝進而長陽勝故為温為暑隂用事則日退而南晝退而短隂勝故為涼為寒若日失節於南則晷過而長為常寒失節於北則晷退而短為常燠此四時致日之法也月之九行在東西南北有青白赤黑之道各二而出於黄道之旁立春春分月循青道而春分上弦在東井圓於角下弦於牽牛立秋秋分循白道秋分上弦在牽牛圓於婁下弦於東井立冬冬至北從黑道立夏夏至南從赤道古之致月者不在立春立秋而常在二分不在二分之望而常在弦者以月入八日與不盡八日得隂陽之正平故也考之於經仲夏平秩南訛敬致冬夏致日春秋致月則致日不於春秋致月不於冬夏而漢書有春秋致日之事蓋兼後世之法也然日之與月其隂陽尊卑之辨若君臣然觀君居中而佚臣旁行而勞臣近君則威損逺君則勢盛威損與君異勢盛與君同月逺日則其光盈近日則其明闕未望則出西既望則出東則日有中道月有九行之説蓋足信也 易氏曰冬至日在牽牛景長丈有三尺夏至日在東井景長尺有五寸此長短之極所以致日春分日在婁月上弦於東井下弦於牽牛秋分日在角月上弦於牽牛下弦於東井此長短之中所以致月然致日必於冬夏致月必於春秋者何也天度一月易一位一時易一方以牽牛東井運於四方者推之日月所經正在分至為天度之中 天文録曰冬至之日日出辰入申晝行地上百四十六度强夜行地下二百一十九度少弱故晝短夜長夏至之日日出寅入戌晝行地上二百一十九度少弱夜行地下一百四十六度强故晝長夜短春秋分之日日出卯入酉晝行地上夜行地下皆一百八十二度半强晝夜長短同 邵子曰天行所以為晝夜日行所以為寒暑夏淺冬深天地之交也左旋右行天日之交也日朝在東夕在西隨天之行也夏在北冬在南隨天之交也天一周而超一星應日之行也春酉正夏午正秋夘正冬子正應日之交也二十八星北方九十八度四分一斗二十六(四分退二)牛八女十二虚十危十六室十六壁十 西方八十度奎十六婁十二胃十四昴十一畢十六觜二參九 南方百十二度井三十三鬼四栁十五星七張十八翼十八軫十七 東方七十五度角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一右赤道度周天三百六十五度四分一(後漢志)(漢志斗二十六不載四分度之一危十七壁九一晉志斗二十六分四百五十五 淮南子箕十)(四分一九五代欽天厯虚十少畢十七觜一參十鬼三北 十八度少西八十一度南一百一十一)(度東七十五度)北方九十六度四分一斗二十四(進一)牛七女十一虚十危十六室十八壁十 西方八十三度奎十七婁十二胃十五昴十二畢十六觜三參八 南方百九度井二十鬼四栁十四星七張十七翼十九軫十八 東方七十七度角十三亢十氐十六房五心五尾十八箕十右黄道度(永元黄道銅儀斗二十四四分度之一 後漢志)凡二十八宿分為十二次寅為析木燕之分自尾十度至斗十一度夘為大火宋之分自氐五度至尾九度辰為夀星鄭之分自軫十二度至氐四度已為鶉尾楚之分自張十七度(漢志十八)至軫十一度午為鶉火周之分自栁九度至張十六度(漢志十七)未為鶉首秦之分自井十六度至栁八度申為實沈魏之分自畢十二度至井十五度酉為大梁晉之分自胃七度至畢十一度戌為降婁魯之分自奎五度至胃六度亥為娵訾衛之分自危十六度至奎四度子為𤣥枵齊之分自女八度至危十五度丑為星紀吳越之分自斗十二度至女七度(唐六典)沈氏曰二十八宿為其有二十八星當度故立以為宿前世測候多或改變如唐書測得畢有十七度半觜只有半度之類皆謬說也星既不當度自不當用為宿次自是渾儀度距疎宻不等耳凡二十八宿度數皆以赤道為法唯黄道度有不合度者蓋黄道有斜有直故度數與赤道不等即須以當度星為宿唯虚宿未有奇數自是日之餘分厯家取以為斗分者也餘宿則不然朱氏曰天有黄道有赤道天如一圓匣赤道是相合縫處在天之中黄道半在赤道之内半在赤道之外東西與赤道相交度是横分為度數會是日月在黄道赤道相交處望是月與日相向如一在子一在午皆同一度謂如月在畢十一度日亦在畢十一度雖同此度却南北相向日蝕於朔者月常在下日常在上既相會月在下遮日故日蝕望時月蝕固是隂敢與陽敵然厯家又謂之暗虚蓋火日外影其中實暗望時當其中暗處故月蝕星土分星注云星紀吳越也𤣥枵齊也娵訾衛也降婁魯也大梁趙也實沈晉也鶉首秦也鶉火周也鶉尾楚也夀星鄭也大火宋也析木燕也據鄭注與班固地理志分野合(志魏即晉地韓即鄭地)帝王世紀亦用其說考之左傳國語皆合但以國為斷則疆土變易不合天文之正呉越(揚州斗牛)齊(青州危女虚)衛(冀州室壁)魯(青州奎婁)趙晉(冀并州觜胃昴畢)(參)秦(雍州井鬼)周(豫州張栁星)楚(荆州翼軫)鄭(豫州角亢)宋(豫州心氐房)燕(幽州)(尾箕)六家分星異同之譜春秋緯文耀鈎北斗七星主九州華岐龍門積石至三危之野雍州屬魁星大行以東至碣石王屋砥柱冀州屬樞星三河雷澤東至海岱以北兖州青州屬機星蒙山以東至南江會稽震澤徐揚之州屬權星大别以東至雷澤九江荆州屬衡星荆山西南至岷山北嶇鳥鼠梁州屬開星外方熊耳以至泗水陪尾豫州屬揺星陳氏曰九州十二域或繫之北斗或繫之二十八宿或繫之五星雍主魁冀主樞青兖主機揚徐主權荆主衡梁主開陽豫主揺光此繫之北斗者也星紀吳越𤣥枵齊娵訾衛降婁魯大梁趙實沈晉鶉首秦鶉火周鶉尾楚夀星鄭大火宋析木燕此繫之二十八宿者也嵗星主齊吳熒惑主楚越鎮星主王子太白主大臣辰星主燕趙代此繫之五星者也然吳越南而星紀在丑齊東而𤣥枵在子魯東而降婁在戌東西南北相反而相屬何耶先儒以為古者受封之日嵗星所在之辰其國屬焉觀春秋傳凡言占相之術以嵗之所在為福嵗之所衝為災故師曠梓慎裨竈之徒以天道在西北而晉不害嵗在越而吳不利嵗滛𤣥枵而宋鄭饑嵗弃星紀而周楚惡嵗在豕韋而蔡禍嵗及大梁而楚凶則古之言星次者未嘗不視嵗之所在也梓慎曰龍宋鄭之星也宋大辰之虚也陳太皥之虚也鄭祝融之虗也皆火房也衛高陽之虚也其星為大水以陳為火則大皡之木為火母故也以衛為水則高陽水行故也子産曰遷閼伯於商丘主辰商人是因故辰為商星遷實沈于大夏主參唐人是因故參為晉星然則十二域之所主亦若此也 易氏曰在諸侯則謂之分星在九州則謂之星土九州星土之書亡矣今其可言者十二國之分考之傳記烖祥所應亦有可證而不誣者昭十年有星出於婺女鄭禆竈曰今兹嵗在顓頊之墟姜氏任氏實守其地釋者以顓頊之墟為𤣥枵此𤣥枵為齊之分星而青州之星土也昭三十二年吳伐越晉史墨曰越得嵗而吳伐之必受其凶釋者以為嵗在星紀此星紀為越之分星而揚州之星土也昭元年鄭子產曰成王滅唐而封太叔焉故參為晉星實沈為參神此實沈為晉之分星而并州之星土也襄九年晉士弱曰陶唐氏之火正閼伯居商丘相土因之故商主大火此大火為宋之分星而豫州之星土也昭十七年星孛及漢申須曰漢水祥也衛顓頊之墟故為帝丘其星為大水此娵訾為衛之分星而冀州之星土也襄二十八年春無氷梓慎曰嵗在星紀而淫于𤣥枵蛇乘龍龍宋鄭之星此夀星為鄭之分星而亦豫州之星土也鄭語周史曰楚重黎之後也黎為高辛氏火正此鶉尾為楚之分星而荆州之星土也爾雅曰析木謂之津釋者謂天漢之津梁為燕此析木為燕之分星而幽州之星土也以至周之鶉火秦之鶉首趙之大梁魯之降婁無非以其州之星土而為其國之分星所占烖祥其應不差然亦有可疑者武王伐殷嵗在鶉火伶州鳩曰嵗之所在我有周之分野蓋指鶉火為西周豐岐之地今乃以當洛陽之東周何也周平王以豐岐之地賜秦襄公而其分星乃謂之鶉首又何也如燕在北而配以東方之析木魯在東而配以西方之降婁秦居西北而鶉首次於東南吳越居東南而星紀次於東北此皆稽之分野有不合者賈氏以為古者受封之月嵗星所在之辰恐不其然若謂受封之辰則春秋戰國之諸侯以之占妖祥可也後世占分野而妖祥亦應豈皆古者受封之辰乎此堪輿之書雖足攷古而言郡國所入之度則非古之灋 一行曰近代諸儒言星土者或以州或以國虞夏秦漢郡國廢置不同周之興也王畿千里及其衰也僅得河南七縣今又天下一統而直以鶉火為周分則疆埸舛矣七國之初天下地形雌韓而雄魏魏地西距高陵盡河東河内北固漳鄴東分梁宋至於汝南韓據全鄭之地南盡潁川南陽西達虢畧距函谷固宜陽北連上黨皆綿亘數州相錯如繡考雲漢山河之象多者或至十餘宿其後魏徙大梁則西河合於東井秦㧞宜陽而上黨入於輿鬼方戰國未滅時星家之言屢有明效今則同在畿甸之中矣而或者猶據漢書地理志推之是守甘石遺術而不知變通之數也 春秋正義曰星紀在於東北吳越實在東南魯衛東方諸侯遙屬戌亥之次又三家分晉方始有趙而韓魏無分趙獨有之地理志分郡國以配諸次其地分或多或少鶉首極多鶉火甚狹徒以相傳為説其源不可得聞 通典曰凡國之分野上配天象始於周季 呂氏曰十二次蓋戰國言星者以當時所有之國分配之星經出於戰國之末故舉當時東西周疆界以言之 唐氏曰子產言封實沈于大夏主參封閼伯於商邱主辰則辰為商邱分參為大夏分其來已久非因封國始有分野若以封國嵗星所在即為分星則每封國自有分星不因相土因閼伯晉人因實沈矣 陳氏曰所可據者其惟析木乎其宿尾箕亦艮之維燕可以言東北也十有二次而可言者一 魏氏曰星不依方而以受封之日為次此傳注之可疑班志始著十二國分野所屬然獨秦周韓燕有所入宿度他皆無之既言角亢氐為韓矣又自井六度起井乃秦分也既言尾箕為燕矣又謂自危四至斗六然危斗乃齊吳分也以漢晉二史所載宿度較之劉昭所注則漢志之差多至十餘度而晉志不過差一二度而已 洪氏曰衛本受封於河内商虚後徙楚邱河内乃冀州所部漢屬司𨽻其他邑皆在東郡屬兖州於并州了不相干魏分晉地得河内河東數十縣於益州亦不相干十二風易氏曰三代不推厯而厯未嘗不正以厯起於律而每月足以候其氣也昔黄帝得嶰谷之管而神瞽為之制十二律以此候十二月之氣無非天地之中氣以此調十二月之聲無非天地之和聲是謂十有二風之占何謂十有二風艮為條風從大吕大蔟之律震為明庶風從圜鍾之律巽為清明風從姑洗中呂之律離為景風從蕤賓之律坤為涼風從函鍾夷則之律兊為閶闔風從南吕之律乾為不周風從無射應鍾之律坎為廣莫風從黄鍾之律傳所謂八風從律是已然特八風而已每風行於兩月之間各得四十五日有奇如八卦之分直四時亦然以十二月言之亦曰十有二風其法於緹室之中因逐月律管以為入地之淺深月氣至則葭灰飛此所以察天地之和然左氏載師曠歌北風又歌南風而知晉楚之勝負妖祥之應可決於此即治厯之道王氏曰十有二風風之生於十二辰之位者也蓋天地之氣合以生風八風本乎八卦四維之風兼於其月故艮為條風而立春亦曰條風巽為清明風而立夏亦曰清明風坤為涼風而立秋亦曰涼風乾為不周風而立冬亦曰不周風故八風變而言之又謂十二風三辰易氏曰三辰日月斗也日合於天統故天神可得而猶其居月合於地統故地示可得而猶其居斗合於人統故人鬼可得而猶其居猶即圖也天神位乎上其居為陽即日合天統之法而圖之地示位乎下其居為隂即月合地統之法而圖之人鬼位乎隂陽之間即斗合人統之法而圖之 沈氏曰日月星謂之三辰者日月星至于辰而畢見星有三類一經星北極為之長二舍星大火為之長三行星辰星為之長故皆謂之辰司民司禄司民軒轅角也司禄文昌第六星或曰下能也 疏云武陵太守星傳云軒轅十七星如龍形有兩角角有大民小民文昌宮有六星第一為上將第二為次將第三為貴相第四為司命第五為司中第六為司禄是司民在軒轅角司禄在文昌第六星也石氏星傳曰上能司命為太尉中能司中為司徒下能司禄為司冦是司禄在下能也以二處並有司祿故舉二文以見義極星朱氏曰北辰之為天樞何也曰天圓而動包乎地外地方而靜處乎天中故天之形半覆乎地上半繞乎地下而左旋不息其樞紐不動之處則在夫南北之端焉謂之極者猶屋脊之謂極也然南極低入地三十六度故周囘七十二度常隠不見北極高出地三十六度故周囘七十二度常見不隠北極之星正在常見不隠七十二度之中常居其所而不動其旁則經星隨天左旋日月五緯右轉更迭隱見皆若環繞而歸向之知此則知天樞之説太一如人主北極如帝都帝坐惟在紫微者據北極七十二度常見不隠之中故有北辰之號而常居其所蓋天形運轉晝夜不息而此為之樞如輪之轂如磑之齊雖欲動而不可得非有意於不動也若太微之在翼天市之在尾攝提之在亢其南距赤道也皆近其北距天極也皆逺則固不容於不動而不免與二十八宿同其運行矣故其或東或西或隠或見各有度數仰而觀之蓋無晷刻之或停也 蔡氏曰日晷有差如千里差一寸極星無差日辰月嵗星之號日謂從甲至癸辰謂從子至亥月謂從娵至荼嵗謂從攝提格至赤奮若星謂從角至軫 爾雅疏曰日為陽辰為隂甲寅之嵗曰閼逢攝提格乙夘之嵗曰旃蒙單閼丙辰之嵗曰柔兆執徐丁巳之嵗曰强圉大荒落戊午之嵗曰著雍敦牂己未之嵗曰屠維恊洽庚申之嵗曰上章涒灘辛酉之嵗曰重光作噩壬戌之嵗曰𤣥〔？〕閹茂癸亥之嵗曰昭陽大淵獻甲子之嵗曰閼逢困敦乙丑之嵗曰旃蒙赤奮若以此推之周而復始以日配月之名設若正月得甲則曰畢陬二月得乙則曰橘如三月得丙則曰脩寎四月得丁則曰圉余五月得戊則曰厲臯六月得己則曰則且七月得庚則曰窒相八月得辛則曰塞壯九月得壬則曰終𤣥十月得癸則曰極陽十一月得甲則曰畢辜十二月得乙則曰橘涂周而復始史記歴書云月名畢聚四方皆有七宿各成一形東方龍西方虎皆南首而北尾南方鳥北方龜皆西首而東尾 詩正義曰二十八宿連四方為名者唯箕斗井壁四星而已禮記天地日月星辰月令正義曰老子云道生一者一則混元之氣與大初大始大素同又與易之大極禮之大一其義不殊皆為氣形之始也一生二者謂混元之氣分為二二則天地也與易之兩儀又與禮之大一分而為天地同也二生三者謂參之以人為三才也三生萬物者謂天地人既定萬物備生其間分為天地説有多家狀貌之殊凡有六等一曰蓋天文見周髀如蓋在上二曰渾天形如彈丸地在其中天包其外猶如鷄卵白之繞黄揚雄桓譚張衡蔡邕陸績王肅鄭𤣥之徒並所依用三曰宣夜舊說云殷代之制其形體事義無所出以言之四曰昕天昕讀為軒言天北高南下若車之軒是吳時姚信所説五曰穹天云穹隆在上虞氏所説不知其名也六曰安天是晉時虞喜所論注考靈耀用渾天之法案鄭注考靈耀云天者純陽清明無形聖人則之制璿璣玊衡以度其象如鄭此言則天是太虚本無形體但指諸星運轉以為天耳但諸星之轉從東而西必三百六十五日四分日之一星復舊處星既左轉日則右行亦三百六十五日四分日之一至舊星之處即以一日之行而為一度計二十八宿一周天凡三百六十五度四分度之一是天之一周之數也天如彈丸圍圜三百六十五度四分度之一案考靈耀云一度二千九百三十二里千四百六十一分里之三百四十八周天百七萬一千里者是天圓周之里數也以圍三徑一言之則直徑三十五萬七千里此為二十八宿周迴直徑之數也然二十八宿之外上下東西各有萬五千里是為四遊之極謂之四表據四表之内并星宿内總有三十八萬七千里然則天之中央上下正半之處則一十九萬三千五百里地在於中是地去天之數也鄭注考靈耀云地蓋厚三萬里春分之時地正當中自此地漸漸而下至夏至之時地下遊萬五千里地之上畔與天中平夏至之後地漸漸向上至秋分地正當天之中央自此地漸漸而上至冬至上遊萬五千里地之下畔與天中乎自冬至後地漸漸而下此是地之升降於三萬里之中但渾天之體雖繞於地地則中央正平天則北高南下北極高於地三十六度南極下於地三十六度然則北極之下三十六度常見不没南極之上三十六度常没不見南極去北極一百二十一度餘若逐曲計之則一百八十一度餘若以南北中半言之謂之赤道去南極九十一度餘去北極亦九十一度餘此是春秋分之日道也赤道之北二十四度為夏至之日道去北極六十七度也赤道之南二十四度為冬至之日道去南極亦六十七度地有升降星辰有四遊又鄭注考靈耀云天旁行四表之中冬南夏北春西秋東皆薄四表而止地亦升降於天之中冬至而下夏至而上二至上下蓋極地厚也地與星辰俱有四遊升降四遊者自立春地與星辰西遊春分西遊之極地雖西極升降正中從此漸漸而東至春末復正自立夏之後北遊夏至北遊之極地則升降極下至夏季復正立秋之後東遊秋分東遊之極地則升降正中至秋季復正立冬之後南遊冬至南遊之極地則升降極上冬季復正此是地及星辰四遊之義也星辰亦隨地升降故鄭注考靈耀云夏日道上與四表平下去東井十二度為三萬里則是夏至之日上極萬五千里星辰下極萬五千里故夏至之日下至東井三萬里也日有九道故考靈耀云萬世不失九道謀鄭注引河圖帝覽嬉云黄道一青道二出黄道東赤道二出黄道南白道二出黄道西黑道二出黄道北日春東從青道夏南從赤道秋西從白道冬北從黑道立春星辰西遊日則東遊春分星辰西遊之極日東遊之極日與星辰相去三萬里夏則星辰北遊日則南遊夏至星辰北遊之極日南遊之極日與星辰相去三萬里以此推之秋冬放此可知計夏至之日日在井星正當嵩高之上以其南遊之極故在嵩高之南萬五千里所以夏至有尺五寸之景也於時日又上極星辰下極故日下去東井三萬里也然鄭四遊之極元出周髀之文但日與星辰四遊相反春分日在婁則婁星極西日體在婁星之東去婁三萬里以度言之十二度也則日没之時去昏中之星近校十度旦時日極於東去旦中之星逺校十度若秋分日在角則角星極東日體在角星之西去角三萬里則日没之時去昏中之星逺校十度旦時日極於西去旦中之星近校十度此皆厯乖違於數不合但二十八宿從東而左行日從西而右行一度逆㳂二十八宿按漢書律歴志云冬至之時日在牽牛初度春分之時日在婁四度夏至之時日在東井三十一度秋分之時日在角十度若日在東井則極長八尺之表尺五寸之景若春分在婁秋分在角晝夜等八尺之表七尺五寸之景冬至日在斗則晝極短八尺之表一丈三尺之景一丈三尺之中去其一尺五寸則餘有一丈一尺五寸之景是冬夏徃來之景也凡於地千里而差一寸則夏至去冬至體漸南漸下相去一十萬五千里又考靈耀云正月假上八萬里假下一十萬四千里所以有假上假下者鄭注考靈耀之意以天去地十九萬三千五百里正月雨水之時日在上假於天八萬里下至地一十一萬三千五百里夏至之時日上極與天表平也後日漸向下故鄭注考靈耀之意以天去地十九萬三千五百里正月雨水之時日在上假於天八萬里下至地一十一萬三千五百里夏至之時日上極與天表平也後日漸向下故鄭注考靈耀云夏至日與表平冬至之時日下至於地八萬里上至於天十一萬三千五百里也委曲俱具考靈耀注凡二十八宿及諸星皆循天左行一日一夜一周天一周天之外更行一度計一年三百六十五周天四分度之一日月五星則右行日一日一度月一日一十三度十九分度之七此相通之數也今厯象之説則月一日至於四日行最疾日行十四度餘自五日至八日行次疾日行十三度餘自九日至十九日行則遲日行十二度餘自二十日至二十三日又小疾日行十三度餘自二十四日至於晦行又最疾日行一十四度餘此是月行之大率也二十七日月行一周天至二十九日强半月及於日與日相會乃為一月故考靈耀云九百四十分為一日一十九日與四百九十九分為月是一月二十九日之外至第三十日分至四百九十九分月及於日計九百四十分則四百七十為半今四百九十九分是過半二十九分也月是隂精日為陽精故周髀云日猶火月猶水火則外光水則含景故月光生於日所照魄生於日所蔽當日則光盈就日則明盡京房云月與星辰隂者也有形無光日照之乃有光先師以為日似彈丸月似鏡體或以為月亦似彈丸日照處則明不照處則闇劉熈釋名云日實也大明盛實月闕也滿則缺也說題辭云星精陽之榮也陽精為日日分為星故其字日下生也天高地下日盈月闕觜星度少井斗度多日月右行星辰左轉四遊升降之差二儀運動之法非由人事所作皆是造化自然 邵子曰天圓而地方天南高而北下是以望之如倚蓋然地東南下西北高是以東南多水西北多山天覆地地載天天地相函故天下有地地上有天月者日之影也月體本黒受日之光而白 方氏曰日者循星以進退者也月者應日以死生者也星者日所舎辰者星所次以其得陽之精故謂之星以其所次有時故謂之辰也日月星辰即堯典所言歴象洪範所言五紀是矣宿言宿之於此離言離之於彼 劉氏曰隂氣合陽於天上則為日星是以其光下垂焉陽氣合隂於地下則為山川是以其竅上通焉山川者五行之本也故天之氣出入於地中則升為四時地之氣凝結於天上則降為五行 真氏曰日星麗乎天陽之為也山川麗乎地隂之為也秉者主持之謂陽主精氣故為日星之光日太陽也星少陽也隂主形質故為山川之竅播者布也謂隂陽二氣分為五行而布為四時也和猶合也謂隂陽和合而月始生也月太隂也本有質而無光其盈虧也以受日光之多少月之朔也始與日合越三日而明生八日而上弦其光半十五日而望其光滿此謂三五而盈也既望而漸虧二十二日而下弦其虧半三十日而晦其光盡此所謂三五而闕也方其晦也是為純隂故魄存而光泯至日月合朔而明復生焉和而月生蓋取此義 朱氏曰天包乎地地特天中之一物耳湯谷蒙汜固無其所然日月出水乃昇於天及其西下又入于水故其出入似有處所而所行里數厯家以為周天赤道一百七萬四千里日一晝夜而一周春秋二分晝夜各行其半而夏長冬短一進一退又各以其什之一焉日以其光加於月魄而為之明如人登車而載於其上也故曰月未望則載魄於西既望則終魄于東其遡於日乎言月之方生則以日之光加被於魄之西而漸滿其東以至於望而後圜及既望矣則以日之光終守其魄之東而漸虧其西以至於晦而後盡蓋月遡日以為明未望則日在其右既望則日在其左故各向其所在而受光如民向君之化而成俗也説揚子者皆以載為哉固失其指而李軌解魄為光尤為乖謬至宋貫之司馬公始覺其非然遂欲改魄為朏則亦未深考此載字之義而失之愈逺矣唯近嵗王伯照以為未望則魄為明所載似得其理既而又曰既望則明為魄所終則是下句當曰終明而不當為終魄矣星亦受日之光凡天地之光皆日也 陸氏曰地載萬物天垂象則昭布在上皆地之精神也月令夏時正義曰案呂不韋集諸儒士著為十二月紀合十餘萬言名為吕氏春秋篇首皆有月令與此文同是一證也又周無太尉唯秦官有太尉而此月令云乃命太尉此是官名不合周法二證也又秦以十月建亥為嵗首而月令云為來嵗授朔日即是九月為嵗終十月為授朔此是時不合周法三證也又周有六冕郊天迎氣則用大裘乘玉路建大常日月之章而月令服飾車旗並依時色此是事不合周法四證也然案秦始皇十二年呂不韋死十六年并天下然後以十月為嵗首嵗首用十月時不韋已死十五年而不韋不得以十月為正不用秦正而用夏時者以夏數得天正故用之也周禮雖以建子為正其祭祀田獵亦用夏正也 通典曰按月令本出於管子即周時人也至秦呂不韋編為呂氏春秋漢戴聖又取集成禮記證其根本並周制 大衍厯議曰夏小正雖頗疎簡失傳乃羲和遺迹何承天循大戴之説復用夏時更以正月甲子夜半合朔雨水為上元進乖夏厯退非周正故近代推月令小正者皆不與古合開元厯推夏時立春日在營室之末昏東井二度中古厯以參右肩為距方當南正故小正曰正月初昏斗杓懸在下魁枕參首所以著參中也季春在昴十一度半去參距星十八度故曰三月參則伏立夏日在井四度昏角中南門右星入角距西五度其左星入角距東六度故曰四月初昏南門正昴則見五月節日在輿鬼一度半參去日道最逺以渾儀度之參體始見其肩股猶在濁中房星正中故曰五月參則見初昏大火中八月參中則曙失傳也辰伏則參見非中也十月初昏南門見亦失傳也定星方中則南門伏非昏見也 林氏曰小戴氏之書謂孔子於杞得夏時焉鄭氏以為夏后氏四時之書也今小戴氏月令則呂不韋所作也其於季秋之月合百縣為來嵗受朔蓋秦人以建亥為正故也小戴知夏時出於夫子而近取秦人所作為何耶世所傳大戴禮而夏小正在焉鄭氏注釋月令引夏小正蓋不一而足也欲以夏后氏之遺書發揮後來者耳是夏小正之書所為近古不可誣也今其書具存其於春正月則魚陟負氷農緯厥耒二月則有鳴倉庚三月則田鼠化為鴽此於月令句讀或小有不合者如所謂昴則見初昏參則見浮游又有所謂俊風寒日耰黍蓄蘭剥鱓鳴札此其戞戞乎為三代遺篇也日度陳氏曰陽生於子故日之行也自北而西厯南而東冬至在牽牛春分在婁夏至在東井秋分在角月令正月在營室二月在奎三月在胃四月在畢五月在東井六月在栁七月在翼八月在角九月在房十月在尾十一月在斗十二月在婺女則婁井角以三仲月中言之也斗以仲冬月本言之也其餘或舉月本或舉月末不必皆月中也 方氏曰日月所會謂之辰每一嵗而十二會焉日與月會而此獨稱日者蓋陽以成嵗為事而隂特從之故以日為主與書言出日納日而不及月同意素問注曰日行遲故晝夜行天之一度而三百六十五日一周天而猶有度之奇分矣月行速故晝夜行天之十三度餘而二十九日一周天也言有竒者謂十三度外復行十九分度之七故曰月行十三度而有奇也禮義及漢律厯志云二十八宿及諸星皆從東而循天西行日月及五星皆從西而循天東行今太史説云並循天而東行從東而西轉也 魏氏曰月行十三度餘者特約法耳其實則一日至四二十四至晦行十四度餘五日至八二十至二十三行十三度餘惟自九日至十九僅行十二度餘此猶二至之晷刻最遲 正義曰一辰有三十度十二辰總有三百六十度餘有五度四分度之一度别為九十六分總五度有四百八十分又四分度之一為二十四分并之為五百四分十二辰分之各得四十二分則是每辰有三十度九十六分度之四十二計之日月實行一會唯二十九分過半若通均一嵗會數則每位有三十度九十六分度之四十二 大衍厯議曰夏厯十二次立春日在東壁三度於太初星距壁一度太也顓頊厯上元甲寅嵗正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮維之首蓋重黎受職於顓頊九黎亂德二官咸廢帝堯復其子孫命掌天地四時以及虞夏故本其所由生命曰顓頊其實夏厯也湯作殷厯更以十一月甲子合朔冬至為上元周人因之距羲和千祀昏明中星率差半次夏時直月節者皆當十有二中故因循夏令其後呂不韋得之以為秦法更考中星㫁取近距以乙夘嵗正月己巳合朔立春為上元洪範傳曰厯記始於顓頊上元太始閼逢攝提格之嵗畢陬之月朔日己巳立春七曜俱在營室五度是也中星方氏曰中謂中於南方也先昏而後旦者順隂陽之義也書於春言星鳥夏言星火秋言星虚冬言星昴與此不同何也蓋書言分至之所中者此言昏旦之所中者彼以時為主此以月為主故詳畧不同然其見於南方則一也弧與建星非二十八宿之數而仲春昏旦舉之者由弧近井建近斗井三十三度斗二十六度其度最寛難以明其星之中故也至於孟秋昏舉建星者亦以是爾考之厯法其間固不能無差經之所言亦要其大畧姑以記時而已 大衍厯議曰古厯冬至昬明中星去日九十二度春分秋分百度夏至百一十八度率一氣差三度九日差一刻秦厯十二次立春在營室五度於太初星距危十六度少也昬畢八度中月令參中謂肩股也晨心八度中月令尾中於太初星距尾也仲春昬東井十四度中月令弧中弧星入東井十八度晨南斗二度中月令建星中於太初星距西建也甄耀度及魯厯南方有狼弧無東井鬼北方有建星無南斗井斗度長弧建度短故以正昏明云氣候素問曰五日謂之候三候謂之氣六氣謂之時四時謂之嵗 正義曰漢時以驚蟄為正月中(夏小正正月啟蟄)雨水為二月節(月令仲春始雨水)漢末以雨水為正月中驚蟄為二月節是劉歆作三統厯時改之也三統厯二月節穀雨清明中按通卦驗及今厯唯以清明為三月節穀雨為三月中餘皆同 漢上朱氏曰二十四氣七十二候見於周公之時訓吕不韋取以為月令焉其上則見於夏小正夏小正者夏后氏之書孔子得之於杞者也夏建寅故其書始於正月周建子而授民時巡狩烝享皆用夏正故其書始於立春夏小正具十二月而無中氣有候應而無日數至於時訓乃五日為候三候為氣六十日為節二書詳畧雖異其大要則同豈時訓因小正而加詳歟左氏傳曰先王之正時也履端於始舉正於中歸餘於終中謂中氣也漢詔曰昔者黄帝合而不死名察發斂定清濁起五部建氣物分數氣謂二十四氣也則中氣其來尚矣仲尼贊易時已有時訓觀七月一篇則有取於時訓可知易通卦驗易家傳先師之言所記氣候比之時訓晚者二十有四早者三當以時訓為定故子雲太𤣥二十四關子 明論七十二候皆以時訓 太衍厯議曰七十二候原於周公時訓月令雖頗有增益然先後之次則同自後魏始載于厯乃依易軌所傳不合經義今改從古 春秋正義曰夏小正曰正月啓蟄其傳曰言始發蟄也故漢氏之始以啓蟄為正月中雨水為二月節及太初以後更改氣名以雨水為正月中驚蟄為二月節以迄於今踵而不改 呂氏曰月令本於呂氏春秋呂氏本於夏小正而小正之文乃曰魚陟負氷淮南時則訓亦曰魚上負氷上猶陟也小戴去一負字於文為闕夏小正正月雁北向呂氏春秋淮南時則訓皆曰孟春之月候鴈北蓋鴈以北方為居自北而南則謂之來自南而北則謂之北正月非來南之時也其誤可見當從小正呂覽淮南作鴻雁北為允(夏小正正月鴈北鄉九月遰鴻雁記其來以九月歸以正月如是而已呂覽月令時則訓凡四見者按高誘注)(呂覽云八月少者其父母也九月者其子也推此則知季冬北鄉亦其大者而正月則其小者也)日至方氏曰陽生於子而其氣舒故晝刻多日浸長隂生於午而其氣促故晝刻少而日浸短以隂生於午則陽極於此故仲夏言日長至陽生於子則隂極於此故仲冬言日短至所謂冬至夏至者其名蓋出於此然而以刻數之則如是爾以景量之夏至日極北而在東井其景尺有五寸冬至日極南而在牽牛其景丈有三尺以為長短之極則與此異矣蓋刻之長短由日出之早晚景之長短由日行之南北故也 高氏曰一隂生於午一陽生於子當此之時正隂陽爭死生分之際也故人君合於二至之時盡齋戒之誠躬掩身之德止聲色薄滋味節嗜慾定心氣百官靜事無以瀆人主之聴以定晏隂之所成以待隂陽之所定蓋古人養氣必於子午二時而推廣之故於子午二月 春秋正義曰日之行天有南有北常立八尺之表以候景之短長夏至之景尺有五寸日最長而景最短是謂日北至也自是以後日稍近南冬至之景一丈三尺日最短而景最長是謂日南至也星囘於天正義曰去年季冬日次於𤣥枵從此每月移次他辰至此月窮盡還次𤣥枵故云日窮于次去年季冬月與日相會于𤣥枵自此月與日相會於他辰至此窮盡還復會於𤣥枵故云月窮於紀二十八宿隨天而行每日雖周天一匝早晚不同至此月復於故處與去年季冬早晚相似故云星囘于天土牛陳氏曰土勝水牛善耕勝水故可勝寒氣善耕故可以示農耕之早晚後世土牛之法以嵗之幹色為首甲至癸為十幹甲乙木其色青丙丁火其色赤戊己土其色黄庚辛金其色白壬癸水其色黒支色為身子至亥為十二支寅夘木其色青巳午火其色赤申酉金其色白亥子水其色黑辰戌丑未其色黄納音色為腹若甲子乙丑金其色白丙寅丁夘火其色赤他皆放此以立春日幹色為角耳尾支色為脛納音色為蹄設令甲子嵗甲為幹其色青則青為牛首子為支其色黒則黒為身納音金其色白則白為腹又若丙寅日立春丙為幹其色赤則赤為角耳尾寅為支其色青則青為脛納音火其色赤則赤為蹄其説蓋有所傳然也 景祐元年以土牛經四篇頒天下丁度為序三光鄉飲酒義注三光三大辰也天之政教出於大辰焉正義曰案昭十七年有星孛于大辰公羊云大辰者何大火也伐為大辰北辰亦為大辰故爾雅云大辰房心尾也大火謂之大辰北極謂之北辰是三大辰也何休曰大火與伐天所以示民時早晚天下取以為正故謂之大辰辰時也春秋元胡氏曰即位之一年必稱元年者明人君之用也大哉乾元萬物資始天之用也至哉坤元萬物資生地之用也成位乎其中則與天地參故體元者人主之職而調元者宰相之事元即仁也仁人心也春秋深明其用當自貴者始故治國先正其心以正朝廷與百官而逺近莫不壹於正矣春秋立文兼述作按舜典紀元日商訓稱元祀此經書元年所謂祖二帝明三王述而不作者也正次王王次春乃立法創制裁自聖心無所述於人者非史冊之舊文矣春王正月程氏曰春天時正月王正書春王正月示人君當上奉天時下承王正明此義則知王與天同大而人道正矣周正月非春也假天時以立義耳 胡氏曰按左氏曰王周正月周人以建子為嵗首則冬十有一月是也前乎周者以丑為正其書始即位曰惟元祀十有二月則知月不易也後乎周者以亥為正其書始建國曰元年冬十月則知時不易也建子非春亦明矣乃以夏時冠周月何哉聖人語顔囘以為邦則曰行夏之時作春秋以經世則曰春王正月此見諸行事之驗也或曰非天子不議禮仲尼有聖德無其位而改正朔可乎曰有是言也不曰春秋天子之事乎以夏時冠月垂法後世以周正紀事示無其位不敢自專也其㫖微矣加王以正者公羊言大一統是也 春秋史外傳心之要典可得聞乎書王正月者心之體也伊尹所謂一哉王心箕子所謂無偏無黨是也及儀父宋人盟心之妄也克段于鄢心之賊也歸仲子之賵心之邪也祭伯來心之貳也益師卒而不日心之慢也按周公作詩以陳王業而其詩曰七月流火九月授衣周書作周月以紀王政而其書曰維十一月既南至日短極是周人雖以建子為正亦不改夏之月也然則周王之月紀當世之事夫子革之明矣周書有周月以紀政而其言曰夏數得天百王所同其在商周革命改正示不相沿至于敬授民時巡狩承享猶自夏焉 朱氏曰春秋書正據伊川説則是周正建子之月但非春而書春則夫子有行夏時之意而假天時以立義耳文定引商書十有二月漢史冬十月為證以明周不改月此固然矣然以孟子考之則七八月乃建午建未之月暑雨苗長之時而十一月十二月乃建戌建亥之月將寒成梁之候又似并改月號此又何耶或者當時二者並行惟人所用但春秋既是國史則必用時王之正其比商書不同者蓋後世之彌文而秦漢直稱十月者則其制度之濶畧耳(注謂十月乃後人追改)孟子所謂七八月乃今之五六月所謂十一月十二月乃今之九月十月是周人固已改月矣但天時則不可改故書云秋大熟未穫此即止是今時之秋蓋非酉戌之月則未有以見夫嵗之大熟而未穫也以此考之今春秋月數乃魯史之舊文而四時之序則孔子之微意伊川所謂假天時以立義者正謂此也若謂周人初不改月則未有明據故文定只以商秦二事為證則無他可考必矣如胡傳之説則是周亦未嘗改月而孔子特以夏正建寅之月為嵗首月下所書之事却是周正建子月事自是之後月與事常相差兩月恐聖人制作不如是之錯亂無章也考之劉質夫説亦云先書春王正月而後書二百四十二年之事皆天理也似亦以春字為夫子所加(王字亦非史策舊文)但魯史本謂之春秋則又似元有此字春秋紀春無氷為異則固以周正紀事也石林葉氏又考左傳所記祭足取麥穀鄧來朝三事以為經傳所記有例差兩月者是經用周正而傳取國史有自用夏正者失于更改也 陳氏曰魯謂之春秋者其書法以四時冠月也西周之史言時皆夏時也言月皆周月也未有以夏時冠周月也以夏時冠周月則魯史也夫子之修春秋每孟月書時以見魯史每正月書王以存周正蓋尊周而罪魯也 李氏曰書泰誓一月戊午武成惟一月壬辰一以周正而以晦朔弦望繫其下不用春夏秋冬紀事也春秋書春王正月者因魯史之舊孔子不刪去春字者因其舊以譏之也 呂氏曰堯授舜正月上日受終於文祖舜授禹正月朔旦受命于神宗書載舜禹受命之始正月之外未嘗復加一辭也春秋樂道堯舜之道而以王冠正月其書法與典謨不類是獨何歟天下皆知有帝故虞之正月不冠以帝天下皆知有王故夏之正月不冠以王大綱已舉大法已明復加一辭則為贅矣春秋之時人欲肆天理滅夫子不得已而標王之一字出諸正月之上然後天下知自隠至哀二百四十二年之間予奪褒貶無非王道之流行自嵗首至嵗窮三百六旬之間視聴食息無非王道之發見 張氏曰書元年春者魯史舊文也書正月者亦魯史舊文也夫子筆一王字於其間而精神皆變儻止如舊史豈不陋哉以王次春春者天之所為也以言王即天也故典曰天敘禮曰天秩命曰天命討曰天討天子豈得以私意亂之乎以正次王以言禮樂征伐皆自天子出也諸侯豈得以私心干之乎於王之一字則知二百四十二年之筆削皆王道之所寓也閏月劉氏曰前閏後閏大約相去三十二月十九年七閏為一章杜預長厯既違五嵗再閏又非歸餘於終但據春秋經傳考日辰晦朔前後甲子不合則置一閏非厯也大衍厯議曰列國之厯不可以一術齊矣而長厯日子不在其月則改易閏餘欲以求合故閏月相距近則十餘月逺或七十餘月此杜預所甚謬也夫合朔先天則經書日蝕以糾之中氣後天則傳書南至以明之其在晦二日則原乎定朔以得之列國之厯或殊則稽於六家之術以知之此四者皆治厯之大端而預所未曉也正義曰長厯稱大凡經傳有七百七十九日漢末宋仲子集七厯以考春秋魯厯得五百二十九日失二百五十日是其不與春秋相符也長厯僖元年閏十一月五年閏十二月又閏之相去大率三十二月杜於此閏相去凡五十月不與厯數同者杜推春秋日月上下置閏或稀或穊自凖春秋時法故不與常厯同 程氏曰孔子所書加王於春正之間明為周王之正則所用必周厯也夫周正皆建子也而今也推之厯法積之氣候驗之日食則春秋所書隠桓之正皆建丑莊閔僖文宣之正建子及丑者相半至成襄昭定哀之正而後建子間亦有建亥者非一代正朔自異尚也厯亂而不知正也其正者偶然也日食春秋日食三十六穀梁以為朔二十六晦七夜二二日一公羊以為朔二十七二日七晦二左氏以為朔十六二日十八晦一不書日者二穀梁之例書日食有四隠三年二月己巳傳云言日不言朔食晦日也桓十七年冬十月朔傳云言朔不言日食既朔也是二日食莊十八年三月傳云不言日不言朔夜食也桓三年七月壬辰朔傳云言日言朔食正朔也公羊以為不言朔者是二日食也左氏以為不言朔者史失之 沈氏曰後世厯家推驗精者不過二十六惟唐一行得二十七而本朝衛朴得三十五獨莊十八年三月古今筭不入蝕法祖沖之曰春秋書食有日朔者凡二十六其所據厯非周則魯以周厯考之檢其朔日失二十五魯厯校之又失十三 大衍厯議曰春秋日蝕有甲乙者三十四殷厯魯厯先一日者十三後一日者三周厯先一日者二十二先二日者九 正義曰自隠之元年盡哀二十七年積二百五十五年凡三千一百五十四月唯三十七食是雖交而不食也襄二十一年九月十月頻食二十四年七月八月頻食是頻交而食也漢以來為厯者皆一百七十三日有餘而始一交會未有頻月食者許氏曰春秋三書食既桓三年以周桓敗宣八年以楚莊興至襄二十四年而中國諸侯皆受盟於楚矣 胡氏曰經書日食三十六去之千有餘嵗而精厯筭者所能攷也其行有常度矣然每食必書示後世治厯明時之法也有常度則災而非異矣然每食必書示後世遇災而懼之意也日者衆陽之宗人君之表而有食之災咎象也克謹天戒則雖有其象而無其應弗克畏天災咎之來必矣凡經所書者或妾婦乘其夫或臣子背君父或政權在臣下或夷狄侵中國皆陽微隂盛之證也是故十月之交詩人以刺日有食之春秋必書以戒人君不可忽天象也嵗星正義曰以古今厯書推步五星金水日行一度土三百七十七日行星十二度火七百八十日行星四百一十五度四者皆不得十二年而一終唯木二百九十八日行星三十三度十二年而彊一周舉其大數十二年而一終服氏以為有事于武宮之嵗龍度天門謂十五年嵗星從申越未而至午厯家以周天十二次次别為一百四十四分嵗星每年行一百四十五分是嵗星行一次外剩行一分積一百四十四年乃剩行一次故昭十五年得超一辰 周語昔武王伐殷嵗在鶉火月在天駟日在析木之津辰在斗柄星在天黿劉歆三統之術筭此五位所在武王以殷之十二月二十八日戊午發師其年嵗星在鶉火之次也其日月合宿于房五度房即天駟之星也日在箕七度箕于次分在析木之津也日月之會謂之辰斗柄斗前也戊午後三日得周二月辛酉朔日月合宿於箕十度在斗前一度是謂辰在斗柄也星在天黿者星於五星為水星辰星是也天黿即𤣥枵次之别名也於是辰星在婺女之宿其分在天黿之宿次也鶉是張星也駟是房星也天宿以右旋為次張翼軫角亢氐房凡七宿是自鶉火至駟為七列列宿有七也鶉火在午天黿在子斗柄所建月移一次是自午至子為南北之揆七月也 大衍厯議曰太初三統厯嵗星十二周天超一次推商周間事大抵皆合驗開元注記差九十餘度蓋不知嵗星後率故也皇極麟德厯七周天超一次以推漢魏間事尚未差上驗春秋所載亦差九十餘度蓋不知嵗星前率故也天保天和厯得二率之中故上合於春秋下猶宻於記注以推永平黄初間事逺者或差三十餘度蓋不知戰國後嵗星變行故也夫五事感于中而五行之祥應於下五緯之變彰于上若聲發而響和形動而影隨故王者失典刑之正則星辰為之亂行汨彜倫之敘則天事為之無象當其亂行無象又可以歴紀齊乎故襄公二十八年嵗在星紀滛于𤣥枵至三十年八月始及陬訾之口超次而前二年守之 陳氏曰步五星之法莫難於火莫易於木雖見伏留行逆順遲速五者皆然而前後之數惟火為多端木謂之嵗者以一朞一次十有二次而周天指諸掌而可定也夫以易推之星而見於左氏史記二家之所載則有甚難曉者焉襄二十八年其在年表則丙辰也嵗在星紀而淫於𤣥枵非梓氏之云乎辰而在丑巳而在子矣越三嵗而戊午也嵗在娵訾之口其明年乃及降婁非禆竈之云乎午而在亥未而在戌矣逮昭之八年丁夘也今在析木之津非史趙之云乎夘而在寅矣故杜預於襄之十八年丙午也釋董叔天道西北之語而知其嵗在豕韋豕韋者何亥之謂也攝提格嵗嵗隂左行在寅星右轉居丑單閼嵗在夘星居子執徐嵗在辰星居亥大荒落嵗在巳星居戌史記之天官書則云乎爾也如左氏之説則寅而在夘午而在亥矣如司馬之説則寅而在丑辰而在亥以次推之皆不同焉三禮義宗曰嵗星為陽太嵗為隂今厯太嵗不與嵗星辰合(襄十六年嵗夀星而太嵗在酉) 鄭氏曰占候之學起於春秋戰國其時所謂精於其道者梓慎禆竈之徒耳後世之言天者不能及也魯昭公十七年冬有星孛于大辰西及漢禆竈言於子産曰若我用瓘斚玉瓚鄭必不火子産弗與明年五月壬午四國皆火竈曰不用吾言鄭又將火子産復弗與曰天道逺人道邇竈焉知天道卒弗與亦不復火二十四年五月乙未朔日有食之梓慎曰將水昭子曰旱也是秋大旱如昭子之言夫災旱易推之數也慎竈至精之術也而或中或否後世之愚瞽若之何而談吉凶知昭子之言則知隂陽消長之道可以理推不可以象求也知子産之言則知言而中者亦不可聴况於不中者乎 程氏曰按三統厯法嵗星一年而行一次一次分為一百四十四分其實嵗星一年而行一百四十五分然則每嵗而剩(一作成)一分一百四十四年而滿本數所以每一百四十四年而超一次也隱元年嵗在豕韋一名陬訾之口(襄十八年天道多在西北)桓元年嵗在𤣥枵(昭十年嵗在顓頊之虛)莊元年嵗在鶉火二十三年超在實沈閔元年嵗在大梁僖元年嵗在鶉首文元年嵗在降婁宣元年嵗在夀星成元年嵗在降婁襄元年嵗在夀星(二十八年嵗在星紀淫於𤣥枵及三十年嵗在陬訾之口明年乃)(降婁)昭元年嵗在大梁(八年史趙曰今在析木之津鶉十五年有事於武宫之嵗合在 首)(而超居鶉火十十三年蔡復楚凶謂大梁也 三 二年越得嵗在星紀)定元年嵗在𤣥枵哀元年嵗在大梁星變隕星一莊七年夏四月辛夘夜恒星不見夜中星隕如雨 胡氏曰恒星者列星也如雨者言衆也人事感於下則天變動於上前此者五國連衡旅拒王命後此者齊桓晉文更霸中國政歸盟主而王室遂虚其為法度廢絶威信陵遲之象著矣星孛三文十有四年秋七月有星孛入于北斗昭十七年冬有星孛于大辰哀十三年冬十有一月有星孛于東方 胡氏曰孛者惡氣所生闇亂不明之貌也入于北斗者斗有環域天之三辰綱紀星也宋先代之後齊晉天子方伯中國紀綱彗者所以除舊布新也禎祥妖孽隨其所感先事而著後三年宋弑昭公又二年齊弑懿公又二年晉弑靈公此三君者皆違道失德而死于亂符叔服之言大辰心也心為明堂天子之象其前星太子後星庶子孛星加心象天子適庶將分爭也後五年景王崩王室亂劉子單子立王猛尹氏召伯立子朝歴數載而後定有星孛于東方不言宿名者不加宿也當是時吳人僭亂憑陵上國日敝於兵暴骨如莽其戾氣所感固將壅吳而降之罰也故氛祲所指在於東方假手越人吳國遂滅天之示人顯矣史之有占明矣程氏曰孛與彗相似而不同彗如帚而芒直上孛如彗而圜其芒四出而氣孛孛然彗與孛固二也傳者一之非也 髙氏曰晏子曰君若不改孛星將出彗星何懼乎然則孛之為變甚於彗矣 昭二十六年齊有彗星不書魯不見哀十四年冬有星孛在獲麟後劉歆以為不言所在官失之也北陸西陸爾雅釋天云北陸虚也西陸昴也孫炎云陸中也北方之宿虚為中也西方之宿昴為中也 詩正義曰日在北陸謂日體在北方之中宿是建丑之月夏之十二月也劉歆三統厯術十二月小寒節日在女八度大寒中日在危一度是大寒前一日日猶在虚於此之時可藏氷也西陸朝覿而出之謂日行已過於昴星在日之後早朝出見也三統術四月立夏節日在畢十二度星去日半次然後見是立夏之日日去昴星之界已十二度昴星得朝見也於此之時可出氷也 呂氏曰天道左旋日月右行自北而西自南而東六氣葉氏曰醫和以隂陽風雨晦明為天之六氣素問以寒暑燥濕風火為隂陽之六氣與洪範小異隂之氣為寒陽之氣為燠明之氣為暘暑之氣為燠燥之氣為暘濕之氣為雨要不逃乎五行則亦洪範而已 呂氏曰五六天地之數素問書亦不出五六兩字如六元六氣之類皆是雖所用處有不同而五六之數則一蓋隂陽互相交也天之數是五而今却是六地之數六而今却是五正是天氣下降地氣上騰八風正義曰服䖍以為八卦之風乾音石其風不周坎音革其風廣莫艮音匏其風融(條風一名融)震音竹其風明庶巽音木其風清明離音絲其風景坤音土其風涼兑音金其風閶闔 沈氏曰案樂緯云坎主冬至樂用管艮主立春樂用塤震主春分樂用鼔巽主立夏樂用笙離主夏至樂用絃坤主立秋樂用磬兊主秋分樂用鐘乾主立冬樂用祝敔此八方之音既有二説未知孰是 陳氏曰主朔易者坎也故其音革其風廣莫為果蓏者艮也故其音匏其風融震為竹故其音竹其風明庶巽為木故其音木其風清明兑為金故其音金其風閶闔乾為玉故其音石其風不周瓦土器也故坤音瓦而風涼蠺火精也故離音絲其風景六經天文編卷下◆ 《(原本)革象新書-元-》（KR3f0004）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
重修革象新書 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案重修革象新書二卷明王禕刪定元趙氏本也禕有大事記續編已著録是書併趙氏原本五卷為二卷前有禕自序稱原書涉于蕪冗鄙陋反若昧其指意之所在因為之纂次削其支離證其訛舛釐其次第挈其要領云云今以原書相校其所潤色者頗多刋除者亦復不少然于改定之處不加論辨使觀者莫能尋其增損之迹以救其得失之由又其中舛謬之處亦未能芟除浄盡特其字句之蕪累一經修飭斐然可觀抑亦善于㸃竄者矣平心而論原本詞雖稍沓而詳贍可考改本文雖頗畧而簡徑易明各有所長未容偏廢故今仿新舊唐書之例並著于録焉乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 原序[宋濓
革象新書原序
革象新書者趙縁督先生之所著也先生鄱陽人隠遁自晦不知其名若字或曰名敬字子恭或曰友欽其名弗能詳也故世因其自號稱之為縁督先生先生宋宗室之子習天官遁甲鈐式諸書欲以事功自奮一日坐芝山酒肆中逢丈夫脩眉方瞳索酒酣飲先生異而即之相與談𤣥者頗久且曰汝来何遲也於是出囊中九還七返丹書遺之臨别先生問其姓名曰我扶風石得之也得之盖世傳杏林仙人云先生自是視世事若漠然不經意間往東海上獨居十年註周易數萬言時人無有知者唯傅文懿公立極獨畏敬之以為發前人所未言先生復即棄去乗青騾從以小蒼頭往来衢婺山水間人不見其有所齎旅中之費未嘗有乏絶竟不知為何術倦游而休泊然坐忘遂葬於衢之龍游鷄鳴山原有朱暉徳明者龍游人也久從先生游得其星厯之學因獲受是書而暉亦以占天名家暉既沒其門人同里章濬深懼泯滅無傳亟正其舛訛刻於文梓而来徵濓為之序濓聞天官之説歴代所步必㣲有弗同盖欲隨時考驗以合於天運而已自唐涉宋其法寖精至元為尤宻耶律文正王楚材以金大明厯後天乃損節氣之分減周天之秒去交終之率治月轉之餘以至兩曜五行後先出沒皆有以研窮之而正其失且以西域與中國地里相去之逺立為里差以増損之名曰西征庚午元厯可謂無遺憾者矣已而許文正公衡王文肅公恂太史令郭公守敬復與南北日官陳鼎臣鄧元麟等徧參歴代厯法重測日月星辰消息運行之變酌取中數以為厯本即所定授時厯厯經厯議二書猶存可考證弗誣也君子謂當世所推步者皆二三大儒㑹其精神博其見聞備其儀像而後能造其精微今先生值天書有禁之時又獨處大江之南且無所謂觀天之器其所著書往往與諸公脗合而無間者雖絶倫之識有以致之誠以人心之理本同固皆相符而無南北之異也抑余聞西域逺在萬里之外元既取其國有扎瑪尔丹者獻萬年厯其測候之法但用十二宫而分為三百六十度至於二十八宿次舍之説皆若所不聞及推日月之薄蝕頗與中國合者亦以理之同故也嗚呼四海内外凡圎顱方趾之民其心皆同其理皆不殊也豈特占天之事為獨然哉先生之易已亡於兵燼所著兵家書暨神僊方技之言亦不存其所存者僅止此而已當與厯經並行無疑濓故特序先生之事於篇首使讀者知先生之學通乎天人庶幾相與謹其傳焉金華宋濓序
## 原序[王禕
革象新書原序
革象司天之書也鄱陽趙縁督先生所纂先生名友某字子恭其先於宋有屬籍其學長於律法算數而天官星家之術尤精讀其書可見也其書有推步立成等篇皆載占驗之例而革象者則天地日月五星四時之故厯象之制俱在焉然其為言涉於蕪冗鄙陋反若昧其㫖意之所在予因為之纂次削其支離證其譌舛釐其次等挈其要領於是辭益簡而㫖加明矣夫司天之學儒者之所宜務而世顧恒置之弗講何哉有志於斯者即是書求之精㣲之奥從可得而知也金華王禕序
## 卷上
欽定四庫全書革象新書卷上元 趙友欽 撰明 王禕 刋訂天體左旋天體之運有常度而無停機天非有體也因星之所附麗擬之為天之體耳觀夫星之昏在東者及曉則西墜昏所不見者至曉則東升東西轉運有以驗天體之左旋矣然而北天之星未嘗入地終夜可見其旋轉為甚窄窺之以管其間一星旋轉尤宻不出管中者曰紐星紐星所在天體不動是為北極若南天之星雖終夜不常見而其旋轉亦不逺知為南極之所在而南極亦不動南北二極為天體之管轄其猶門之樞車之軸歟試以圎瓜譬之北極乃瓜頂聨蔕之所南極乃瓜末含花之所天之東西為最廣則比瓜之腰圍北極髙而南極下故北極之旁雖旋轉而常在於天南極之側雖旋轉而不出於地此又可驗地在天内天如鷄子地如内黄矣然天體極圎(不類鷄子)乃取以為譬者非取其形之肖特以比天包地外而已以今譬之天體如鞠内盛半水而浮板水上板譬則地也置物板上鞠雖外轉板豈常動乎赤道周圍天體如圎瓜其分十二次猶瓜有十二瓣也周天三百六十五度餘四之一均為十二分則一瓣為三十度四十三分七十五秒其度輻輳於南北二極則度之形斂尖於瓜之兩端而開廣於瓜之腰圍瓜腰一圍名曰赤道其度在赤道者正得一度之廣去赤道則漸逺而漸狹雖名一度實不及一度也各度以二十八宿之距星紀數謂之經度若以天體比之彈丸則東西南北相距皆然東西分經則南北亦當分緯緯度皆以北極相去逺近為數亦三百六十五度餘四之一兩極相距一百八十二度六十二分五十秒赤道横分兩極與兩極相逺各九十一度三十一分二十五秒天頂名嵩髙北極偏於嵩髙而北五十五度有奇赤道則斜倚於嵩髙之南三十六度盖北極既偏於嵩髙之北南極既偏於地中之南所以赤道必斜倚於南也雖曰斜倚於南而其東西兩傍則固在卯酉之位矣黄道損益子正𤣥枵由於虚七度赤道均分周天宿度十二次以子中為的而分之黄道宿度與赤道宿度多寡不同而黄道各次宿度亦不等盖由冬夏二至之日黄道平近於兩極其度斂狹毎度約得十之九春秋二分斜行赤道之交赤道所在度既廣而又斜行毎度為十有一惟四立之日度在酌中之處餘則以漸而廣狹矣今授時厯冬至日躔箕宿故寅申度數最少巳亥度數最多餘則多寡稍近也日道嵗差日行不由赤道晝永在赤道北晝短在赤道南其道别名黄道黄道赤道如兩環交差自冬至始言之日在赤道之南横距赤道二十三度九十分冬至後行漸近北及仲春則離冬至所躔九十一度有竒而在赤道之交過交入赤道北斜去逺赤道九十一度有竒為夏至所躔而近北横距亦二十三度九十分復從此漸轉而南但非由故道及仲秋復交於赤道而去夏至所躔亦九十一度有竒然非仲春之交乃其相對之處過交出赤道南其去赤道乃九十一度有竒為次年冬至復元度此周天嵗終之説也夫堯典日短星昴謂仲冬昏時昴宿見於午方也昴見正南則日躔虚宿可知盖正東為夘正西為酉正南為午正北為子一日十二時晝夜歴十二位乃定方也天以各經宿分十二次乃動體也動者無常位名天盤定者有常位名地盤仲冬日在虚宿屬天盤子而酉時日在酉方則天盤之子加地盤之酉子加酉則酉必加午昴宿屬天盤酉故昏見於正南也又北斗有柄常指天盤夘辰間冬至日躔虚宿則昏見時天盤卯辰間加於地盤之子故世謂十一月斗柄為建子然天旋一晝夜而周酉末戌初則指丑而非子矣且冬至時日隨天盤寅以加地盤申酉界其天盤夘辰之間實加地盤之戌則斗柄又指戌而不指子也盖天體一時轉一位戌末亥初乃指子但不可謂初昏指子耳夫日躔既有嵗差則昏旦亦必有差唐虞初昏乃今戌亥之時其後仲冬日差在卯則斗柄夜半指子差在午則平旦指子差在酉則日中方指子世謂閏月斗柄指兩辰之間者非也夫唐虞之時仲冬日在虚漢太初厯日冬至在牽牛之初而今授時厯至元冬至日在箕九度二十二分十八秒斗牛女虚危室壁北天七宿也三冬日躔之故曰日在北陸箕屬寅而冬至日躔之冬至後乃始躔斗則仲冬尚在東陸也以漢武較帝堯時已差一二十度而當時唐都洛下閎但疑八百年差一度何邪晉虞喜不用天周嵗終之術謂天度與嵗日數殊天自為天嵗自為嵗始以天體為三百六十五度二十六分乃四分之一有餘嵗策為三百六十五日二十四分乃四分之一不足一嵗差二分五十年差一度宋何承天以為嵗差太速改為百年差一度周天為三百六十五度二十五分半周嵗為三百六十五日二十四分半隋劉焯又折衷之以七十五年差一度唐一行又以八十三年差一度自後諸厯各各不同宋厯多在七十五度左十五秒周嵗三百六十五日二十四分二十五秒半右統天厯謂周天赤道三百六十五度二十五分七年差一度半又謂上古嵗策多後世嵗策少故上古嵗差少後世嵗差多也盖三代以前未有嵗差之法晉宋而後雖立嵗差而未有定論李淳風猶謂無差冬至日常躔斗十三度至一行而論始定然其差數嵗嵗如一未有先加後減之法是故上考往古百年加一秒下驗將来百年減一秒其加減嵗策親切之數非嵗積久曷従知之授時厯以赤道分三百六十五度二十五分七十五秒而黄道止為三百六十五度二十五分六十四秒相懸十一秒者以黄道一周同於嵗策三百六十五日二十四分二十五秒比周天尚未足一分五十秒其一分五十秒不在瓜之腰圍横距赤道二十四度斂而狹之止廣一分三十九秒以此一分三十九秒併入嵗周故云黄道三百六十五度二十五分六十四秒也黄道雖嵗差冬夏二至日躔必在横距赤道二十四度然其差毎嵗不同嵗差移一分餘斜絡於二十八宿之間嵗久皆其經行之道如捲紵絲為團絲絲纒絡雖重復參差而其周道則一而已且唐虞時日躔冬至在子夏至在午春分在夘秋分在酉今未四千年而冬至在寅夏至在申春秋二分在巳亥計其嵗差退四五十度則由帝堯後萬餘年冬至日反躔午夏至日反躔子春分在酉秋分在夘矣若復舊躔而冬至在子夏至在午當在二三萬年之間逆而推之帝堯之前亦必如是矣日月盈縮古法一晝夜月行十三度餘十九之一然觀其所躔先後不同有差至四五度者後漢劉洪始推究之知其疾行則十四度餘約四之三遲行則止十二度不餘其間漸疾漸遲大率二百四十八日盈縮九匝隋劉焯又推究日行亦有盈縮自冬至行一度五分漸減一二分至三四分以及赤道之交則正行一度従此復漸減之極於夏至止行九十五分自夏至後其行漸増所増與所減之數相似及冬至則復如前盖一日行一度有餘曰疾不及一度曰遲以増虧之數相補一日止為一度従冬至距春分以行疾而積盈従春分距夏至以行遲而消其積盈比之常度猶差前故冬至距夏至皆曰盈段従夏至距秋分以行遲而積縮従秋分距冬至以行疾而消其積縮比之常度猶差後故夏至距冬至皆曰縮段然春分二日之前已交赤道則盈二度有餘秋分二日之後纔交赤道則縮二度有餘故二分之際盈縮最多矣授時厯謂日在赤道之南行疾赤道之北行遲而後厯亦以春分距秋分行遲秋分距春分行疾要之月行遲疾盈縮之理亦然但度數不同耳授時厯謂每轉二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半乃盈縮之一匝其間遲疾之數相補遂以十三度三十六分八十七秒半為一日月平行之度李淳風有推步月孛法以六十二日行七度六十二年七周天孛者彗星之屬光芒偏掃者為彗光芒四出者為孛孛之所在月行最遲與孛對衝則月行最疾孛不常見則月行最遲處可以測之矣(按孛者彗星之屬光芒偏掃者為彗光芒)(四出者為孛一段所引未當考月孛之孛與彗孛之孛不同月孛乃月歴天之最髙處其行較遲卑則其行較)(速至於彗孛之星隠見無時行無定度非可以常理測也審如其論則由月而可算孛星實屬誤㑹)若夫日躔十二次盖因各次黄道宿度不等又日有盈縮故或近或久不同且一嵗分二十四氣名曰常氣授時厯一氣為十五日二十一分八十四秒三十七毫半則是以常氣為定不復増減而舊厯則有増減之法月度縮而日度盈則定朔在常朔後名曰朒月度盈而日度縮則定朔在常朔前名曰脁若俱盈俱縮則對消而用有餘數定弦定望亦如之盖古者未曽推步日月盈縮止以常期弦望為定今朔與弦望既有常定之名復有進退之法定朔在日没以後若無日食見其初虧者則進以次日為朔恐月見於晦之晨也定弦望在日出以前則退一日定望在日出以後其望有食初虧在日出前者亦退一日定望在十七雖日出後亦退一日為其太遲也或望在十四上弦在初七下弦在二十二則不可退退則太早也或望在十三上弦在初六下弦在二十一非退而太早因進朔而然雖不皆早其朔不進或朔進而大月連四日為其過多朔亦不進也授時厯則不然當朔計二十九日五十三分五秒九十三毫當望半之當弦又半之實定而不進退矣但月食在夜半後雖屬次日亦只以當夜言望月有九行月行不由黄道亦不由赤道乃出入黄道之内外而有九行九行止是一道其道與黄道相交如赤道然然黄赤二道相逺處二十三度九十分而月道距黄道逺六度二分而已其相交處交之始強名曰羅㬋交之中強名曰計都自交始至交中月在黄道外名陽厯乃背羅向計之處也自交中至交始月在黄道内名隂厯乃背計向羅之處也月道猶水道日道猶陸道而羅計猶橋道其嵗嵗改異則由日行嵗差之故也(案交行嵗嵗改易不獨因日行)(嵗差之故考交行有遲速而嵗差無退行交行嵗十九度强嵗差則嵗不及一分謂交行由嵗差亦誤㑹也)且所謂九行者陽厯在夏至日躔之南夏為南乃南之南也名外朱道隂厯在冬至日躔之北北為内名内朱道在北而曰朱道者冬至屬子若冬至日躔伏於地盤子位則月在黄道之上凡地以下為北上為南故曰内朱道乃北之南也茍冬至日躔反在午位則内朱道亦在黄道之北矣此不論反而論伏黒道之理亦然隂厯在夏至日躔之北名内黒道夏為南乃南之北也陽厯在冬至日躔之南名内黒道在南而曰黒者月道在黄道之下凡地以上為南下為北故雖南而曰黒冬為北乃北之北也月行朱道則羅在日之春躔計在日之秋躔月行黒道則羅在日之秋躔計在日之春躔陽厯在秋分日躔之東名外青道乃東之東也陰厯在春分日躔之東名内青道乃西之東也陽厯在春分日躔之西名外白道乃西之西也隂厯在秋分日躔之西名内白道乃東之西也青白道不論反復若天地卯酉互位者亦然月行青道則羅在日之夏躔計在日之冬躔月行白道則羅在日之冬躔計在日之夏躔是故以内外分别朱黒青白為八道八道而曰九行者以八道之行交於黄道而穿度其間故通以九言也八道變易不常不可置於渾儀亦不可畫於星圗所可具者黄赤二道耳欲别於黄故塗以赤赤道與八道各相交逺近朱道止十八度逺黒道至三十度逺青白二道約二十四度逺授時厯謂月従黄道之交出外一百八十一度八十九分六十七秒則中交於黄道従此入黄道内復至交初則該三百六十三度七十九分三十六秒乃月道之一周計二十七日二十一分二十二秒二十四毫與古厯數不同焉月體半明月體本無圎缺如懸黒漆丸於簷下映日必有光轉射暗壁其半邊因映日故有光而半邊元暗也遇望與日躔度相對半邊之光全向於地普照人間半邊之暗全向於天人不可見也及漸相近而側相映則向地之邊光漸少矣至晦朔則與日同經日與天近月與日近其半邊之光全向於天半邊之暗則向於地及漸相逺而側相映則向地之邊光漸多矣故月體之光暗半輪轉旋人目所不及因謂其有圎缺耳然其與日對望為地所隔猶能受日之光者陰陽精氣之潛通如吸鐵之石感霜之鐘莫或間之也月明不全瑩而似瑕者如懸明鏡照水之處則瑩映地之處則瑕世以為山河所印之景是也(按月之瑩瑕為山河所印之景其説相沿已久而於理未確考輿地全圗其在下者固不得見)(即東西與中間三面形勢亦迥不相同月東升西降在在照景而瑩瑕終始不異且光魄交際往往不齊似因)(凸凹之形而成明暗之質非山河印景亦未必如鏡之平也)日月薄食日所行黄道未嘗附著於天其道印天一周乃在天之黄道在天黄道如大環日行黄道如小環小環居大環之内雖寛窄有少殊而皆為三百六十五度四分度之一且以日擬尺而量故為度則日行之黄道要為得數之真者夫日體大其道周圍亦大月體小其道周圍亦小月道在日道内亦猶小環在大環之中日去人逺月去人近月體因近視而比日體之大月道因近視而比日道之廣亦由日道之比乎天道矣若日食於朔月食於望則當以天度經緯推之日月之行常數以二十九日五十三分五秒九十三毫相㑹二次相㑹則同一經度雖其行度有盈縮定朔有先後所差不多較其同經不同緯止曰合朔或月従八道穿度黄道適與日遇則為同經同緯合朔而有食矣日體為月體所蔽故日食而日體非有損也日道與月道相交之處有二若正㑹於交則月體障盡日體而日暗甚謂之食既若交不正但在交之前後而度相近者亦食而不既近於正交則食分多逺於正交則食分少也兩朔之間日月對躔而望平分黄道之半黄道有二交若不當二交前後而望則月不食望在二交前後者必食食或既或不既其食分數則以距交逺近推之月體映日而明但涉經度相對其光已滿或於二交限内對經對緯所受日光傷於太勝陽極反亢故致月體黒暗如染紅濃厚反成紫也授時厯望在交之前後者距交十三度五分則不食若當交限内則有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内其食必既餘八度七十分雖是食限而食不既也古者以日對衝之處名為暗虚謂日之象景也月體因之而失明故云闇日非有象景而强名之故云虚暗虚縁日而有故其圎徑與日等日體徑一度月體半之而其徑亦准一度則日道之廣亦必與徑同月道既准一度則闇虚廣二度也今以闇虚之黄道與月之本道兩道相交以交前四度三十五分併交後四度三十五分共八度七十分為食既限既限之前八度七十分為既外前限既限之後八度七十分為既外後限此三限在闇虚則為二十六度十分而在月道止為十三度五分也夫日食至十分即為食既月食乃至十五分者盖十分已是食既既則已盡黒然所食雖既而纔入既限故食十分以上之數為既内之分月望正在交的而食則名曰既内五分乃十五分也所以然者月之食限交前後各十三度五分歸限八度七十分而望則巳食十分矣更歸八十七分而後望則食十一分以十三度五分均為十五分毎分計八十七分食十分計歸限八度七十分又既内五分計四度三十五分共十三度五分乃前限之一半其出後限亦然故月食有既限而日食則不立既限矣月食分數唯以距交逺近而論别無四時加減八方所見食分並同而日食則不然舊厯云假令中國食既戴日之下所虧纔半化外反觀則交而不食化外食既戴日之下所虧纔半中國反觀則交而不食何則日如大赤丸月如小黒丸共懸一索日上而月下即其下正望之黒丸必掩赤丸似食之既及傍觀有逺近之差則食數有多寡矣日行有四時之異月行有九道之殊日行極南月在陰厯則中國見食分多月在陽厯則中國見食分少開北户而向日之處月在陽厯反食多在隂厯反食少夏日近中國冬日近交廣唯戴日之下則在酌中之間凡食在午前見食早午後見食遲地偏西見食早偏東見食遲此其推步之差實因四時早晚及地偏南北東西而加減然南北東西不可以里路計南北則考表景及北極出地之數東西亦考表景及中星之所在以為加減之法今太史所驗徒以中國所見者言之而已且推步雖有法亦時或有失日月交㑹於夜望食於晝人不及見固所不論若帶食分出入在晨昏之際雖不見其食甚但見初虧或見復圎以前則必論之而所謂食甚之時則在初虧復圎之際其非食既者亦於此際食分最多従此則轉減少也日食止言既月食言既又言甚者盖月初既之時名食既食既之後生光之前此際名為食甚若日則不然食既甚生光無所分别食既不久止須臾耳日月在望交者月道廣一度闇虚之道廣二度兩度相犯者多故食限亦多至十三度五分而其食之時刻亦不少在朔交者日月二道皆廣一度相犯者少故食限亦少約八度左右而其食之時刻亦不多日之食限少故其食也罕月之食限廣故其食也頻若夫起復方位則以月在陰陽厯論之月在陽厯者日食起於西南甚於正南復於東南月食起於東北甚於正北復於西北月在隂厯者日食起於西北甚於正北復於東北月食起於東南甚於正南復於西南凡日月食至八分以上者日食但云起於西復於東月食但云起於東復於西也日月之食其所行交道有常數雖盛世所不免故可以籌策推非若五星有反常之變也五緯距合日月懸虚運轉不附於天五星亦然月雖因日而有晦朔弦望其遲速不因日若五星則因日而有遲留伏逆矣近日則疾逺日則遲遲甚而留留久而退初遲退漸疾退退最疾而後遲退如初退止而留留久而順行却従最遲以至於最疾最疾則與日同躔也嵗星最疾約四日行一度熒惑最疾約七日行五度填星最疾約七日行一度此三星比日行度較少故伏合以後日在前嵗星距日十三度而晨見熒惑距日十九度而晨見填星距日十八度半而晨見晨見則在東方大約近一逺二而留周天相半而退嵗星初留約距日一百九度初退約距日一百三十一度熒惑初留約距日一百三十四度初退約距日一百四十四度填星初留約距日九十四度初退約距日一百二十八度凡退行最疾之時必與日對衝退止而留則背距日如初退之度留久而順行則背距日如初留之度日近於後躔漸近而行漸疾背近如晨見距日度則伏而光不著矣與日未對衝之先夜半後可望謂之晨段與日既對衝之後夜半前可望謂之夕段太白辰星則不然太白最疾約四日行五度有餘辰星最疾約一日行一度有餘此兩星皆比日行度較多伏合以後則過日而前太白距日十度半而夕見辰星距日十六度而夕見夕見則在西方太白距日甚逺不過四十五度辰星距日甚逺不過二十四度既已甚逺則所行遲比日較少由是漸與日近太白距日三十度有餘而初留辰星距日二十一度半而初留太白留後距日二十四度有餘而初退辰星留後距日十九度半而初退退行之際與日相近如夕見之度伏而不著與日相逺如夕見之度辰見於東退行最疾之時與日必同度退止而留則距日如初退之度留久而順行則距日如初留之度遲行漸疾而漸近日距日如退伏之度則又退而不著矣與日未退合之先昏後可望謂之夕段與日既退合之後曉前可望謂之晨段盖金木形體大故伏見與日近水大土形體小故伏見與日逺嵗星八十三年而七周天與日合度者七十六合期約三百九十九日熒惑七十九年而四十二周天與日合度者三十七合期約七百八十日填星五十九年而二周天與日合度者五十七合期約三百七十八日太白辰星與日常相近隨日一年一周天太白八年而五合於日退合者又五約五百八十四日而順逆兩合辰星四十六年之間合於日者一百四十五退合亦然約一百一十六日而順逆兩合此乃五緯之常數也古法唯知有常度未知有變數之加減北齊張子信仰觀嵗久知五緯有盈縮之變當加減常數以求其逐日之躔盖五緯不由黄道亦不由月之九道而出入黄道内外各自有其道視日逺近為遲疾如足力之有勤倦其變數之加減如里路之徑直斜曲也嵗星加減最多處約七度熒惑加減最多處二十五度有餘填星加減最多處八度有餘太白加減最多處四度有餘辰星加減最多處六度有餘此乃五緯盈縮之變數也若夫羅㬋計都月孛紫氣則其行均平無有遲疾羅㬋計都従月交黄道求之月交之終始該三百六十三度七十九分三十四秒歴二十七日二十一分二十二秒二十四毫羅計於其間各逆行一度四十六分三十秒其數併月行交終之度即黄道周天之度凡十八年有餘而周天交初復在舊躔矣月孛従月之盈縮而求盈縮一轉該二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半孛行三度十一分四十秒半黄道周天之度併孛行數即月行數也凡六十二年而七周天月行最遲之處與之同躔矣紫氣起於閏法約二十八年而周天授時厯以一十日八十七分五十三秒八十四毫為一嵗之閏紫氣則一嵗行十三度五分四秒六十毫八十芒兩數比之乃加二之算二十八年十閏紫氣行十二宫亦加二之算也舊云紫氣即景星罕聞其見史記注云景星状如半月生於晦朔助月為明見則人君有徳初盛之慶也五緯與月孛紫氣皆以左旋步之羅㬋計都逆行乃右旋步之設十一曜不附天而空轉則右轉者亦皆左旋其留者一日繞地一周與天同過一度行疾者反為遲行遲者反為疾退者反為疾之甚矣盖順行而遲疾者皆一日繞地一周以不及天行之數為所行度退行者乃一日繞地一周多退天行之數退遲者先天不甚多退疾則愈多矣以物喻之日月猶魚也魚行江河不著其底必慿江河之水以行或逆或順各任其情日月雖懸虚不附於天意其必慿天之氣以行五緯之行亦猶是也夫在天成象日月星辰皆象也而日月五星獨異於衆星自有行度者此陰陽五行之精可以為造化之妙非衆星之比也日月五星體性不齊故遲疾有異亦當以隂陽五行别之日至之景天暑則日髙而近北天寒則日低而近南立表木以測其景日在中天表景最短東西出沒之時表景最長以四時驗之中晝之景漸長漸短逐日不同於是以中晝表景極短之日為夏至以中晝表景極長之日為冬至其所以短者由日近北而髙所以長者由日近南而低也日髙則行天必久而晝長晝長則陽氣積多而暑矣日低則行天不久而晝短晝短則陰氣積多而寒矣寒暑之變驗日景之長短可知也晝夜短長冬至日躔距赤道二十四度立冬與立春所距亦相近是時黄道横而平近南極也立夏至立秋黄道横平而近北極亦然盖冬夏之日躔東西移差多南北移差少春秋則黄道斜移於南北雖東西行而南北差速於冬夏故春秋六七日間増減晝夜一刻而二至前後其晝夜短長増減一刻相去二十餘日矣是故冬夏増減之日遲春秋増減之日速日數未始均平也舊云日未出二刻半天先明日已入二刻半天方昏然此五刻不可以衆星出沒論但日始出為晝入則為夜也氣積寒暑夏至晝最長日最近北午中也冬至晝最短日最近南子中也然大暑乃在六月為未中大寒乃在十二月為丑中猶晝夜間未時熱甚於午丑時寒過於子也譬如甑之蒸也竈火甚炎可比午中而蒸氣猶未盛及其氣盛則竈火已稍衰矣竈火盡滅可比子中而蒸氣又良久然後衰也寒暑之氣豈非積久致之乎時分百刻晝夜十二時均分百刻一時有八大刻二小刻大刻總九十六小刻總二十四小刻六准大刻一故共為百刻也上半時之大刻四始曰初初次初一次初二次初三最後小刻為初四下半時之大刻亦四始曰正初次正一次正二次正三最後小刻為正四若子時則上半時在夜半前屬昨日下半時在夜半後屬今日亦猶冬至得十一月中氣一陽来復為天道之初耳古厯毎時以二小刻為始乃各繼以四大刻然不若今厯之便於籌策也世謂子午夘酉各九刻餘皆八刻者非是
## 題革象新書後
題革象新書後
占天之學本聖賢大事業載典堯舜盖有由也自慎竈之説行而儒者始術之矣其氛祲祥𤯝周官雖具至甘石星座其曰騎官羽林丞尉之類襲用秦漢名稱愈疑後學學者不屑用力焉殊不知經緯天地首務明時時茍不明終不能撫五星以播四政矣革象談異十無一二皆為厯設學者所當究心者也第以邵子之書不堪作厯致可疑焉皇極經世欠厯數用宋人雖有此談西山蔡氏以為書不盡言者蔵諸用也又曰以當時日月五星推而上之得堯即位之日是即逆推法而不著其法者豈非蔵諸用乎且數家以毫厘絲忽極於十百千萬如因影求形無具可隠況康節數學直繼孔子程子嘗言厯法主於日日正他皆可推洛下閎作厯言數百年後當差一日何承天因立差法攤其差於所厯之年以驗分數竟亦不審獨堯夫於日月交感之際以陰陽虧盈求之差法遂定可謂冠絶古今此非虚語也又按邵學伯温不與而傳王豫豫殁書殉蜀道士杜可大購得於發塚之盜以授廖應淮由是邵學復出近世祝秘傅立齊琦皆得邵學者本朝宋學士先正最號博洽其序此書曰傅立極敬畏縁督謂其能發前人所未言不知立時曽見此説否也又論耶律西征庚午厯精妙絶出及元許王郭陳鄧諸公相與訂定授時厯可法萬代曽無一言及邵近舜江人余誠者為予言邵學内外篇具見傳書而秘傳書又有内外集具天地人三元之學其天元所論厯數極為精簡意必具逆推法或伊川所謂冠絶古今者耳惜乎吾不得而時讀焉因併書之以為有志聖賢大事業者告蒙泉岳正書◆ 《(重修)革象新書-元-》（KR3f0005）
## 提要
欽定四庫全書 子部六提要革象新書五卷 天文算法類一(推步之屬)(臣)等謹案革象新書五卷不著撰人名氏宋濓作序稱趙縁督先生所著先生鄱陽人隠遯自晦不知其名若字或曰名敬字子恭或曰友欽弗能詳也王禕嘗刋定其書序稱名友某字子恭其先于宋有屬籍考宋史宗室世系表漢王房十二世以友字聨名書中稱嵗策加減法自至元年辛巳行之至今其人當在郭守敬後時代亦合然語出傳聞未能確定都卭三餘贅筆稱嘗見一雜書云先生名友欽字敬夫饒之徳興人其敬字子恭及字子公者皆非亦不言其何所本惟其為趙姓則灼然無疑也其書自王禕刪潤之後世所行者皆禕本趙氏原本遂佚惟永樂大典所載與禕本參校互有異同知姚廣孝編纂之時所據猶為舊帙禕序頗譏其蕪冗鄙陋然術數之家主于測算未可以文章工拙相繩又禕于天文星氣雖亦究心而儒者之兼通終不及専門之本業故二本所載亦互有短長並録存之亦足以資參考其中如日至之景一條周髀謂夏至日直内衡冬至直外衡中國近内衡之下地平與内衡相際于寅戌外衡相際于辰申二至長短以是為限其寒暑之氣則以近日逺日為殊而此書謂日之長短由于日行之高低氣之寒暑由于積氣之多寡天周嵗終一條天左旋其樞名赤極日右旋其樞名黄極經星亦右旋宗黄極以成嵗差而此書謂天體不可知但以經星言之左旋論東西不論南北右旋論南北不論東西截然殊致而此書謂如良駑二馬駑不及良一週遭則復遇一處日道嵗差一條嵗差由于經星右旋凡考冬至日躔某星㡬度㡬分為一事至授時法所立加減謂之嵗實消長與恒氣冬至定氣冬至又為一事迥乎不同而此書合而一之又天地正中一條日中天則形小出地入地則形大乃蒙氣之故而此書謂天頂逺而四旁近又南北度必測北極出地東西度必測月食時刻别無他術而此書欲以北極定東西之偏正以東西景定南北之偏正地域逺近一條地球渾圓隨處皆有天頂而此書拘泥舊説謂陽城為天頂之下又元史所記南北海晝夜刻數各有盈縮而此書為南方晝夜長短不較多又時刻由赤道度而景移在地平故早晚景移遲近午景移疾愈南則遲者愈遲疾者愈疾而此書謂偏西則早遲而晚疾偏東則早疾而晚遲月體半明一條凡日月相望必近交道乃入闇虚逺于交道則地不得而掩之而此書為隔地受光如吸鐵之石其論皆失之疏舛他如以月孛之孛為彗孛之孛謂地上之天多于地下之天謂黄道嵗嵗不由舊路謂月駁為山河影謂月食謂受日光多陽極反亢謂日月圍徑相倍謂闇虚非地影或拘泥舊法或自出新解于測驗亦多違失然其覃思推究頗亦發前人所未發于今法為疎於古法則為已宻在元以前談天諸家猶為有心得者故于訛誤之處並以今法加案駁正而仍存其説以備一家之學焉乾隆四十六年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書
革象新書卷一 元 趙友欽 撰天道左旋 日至之景嵗序終始 閏定四時天周嵗終 厯法改革星分棊布 日道嵗差黄道損益天道左旋古人仰觀天象遂知夜乆而星移斗轉漸漸不同昬暮東出者曉則西墜昬暮不見者曉則東升北天之星雖然旋轉未嘗入地四時皆見其徹夜在天然其旋轉有甚窄者以衡管窺之衆星無有不轉但有一星旋轉最密循環不出於管中名曰紐星者是也古人以旋磨比天則磨臍比為天之不動處此即紐星旋轉之所名曰北極(案日右旋成寒暑月右旋成朔望五星右旋成伏見經星右旋成嵗差其理一也又皆隨大氣運之)(而左以成東出西沒之象經星之右旋甚㣲故昔人不覺遂以左旋之天歸之經星耳北極乃左旋之樞歩算)(家謂之不動處賈逵張衡蔡邕王蕃陸績皆以紐星為不動處梁祖暅之測紐星離不動處一度有竒元郭守)(敬測離三度有竒矣)亦猶車輪之軸瓣瓜之攢頂也復觀南天雖無徹夜見者但比東西星宿旋轉則不甚逺由是而推乃是南北俱各有極北極在地平之上南極在地平之下今比北極為瓜之聫蔓處南極為瓜之有花處東西旋轉最廣之所比乎瓜之腰圍北極傍雖然旋轉常在於天南極側近雖然旋轉不出於地如是則知地在天内天如雞子地如中黄然雞子形不正圓古人非以天形相肖而比之但喻天包地外而已以此觀之天如蹴毬内盛半毬之水水上浮一木板比似人間地平板上雜置㣲細之物比如萬類蹴毬雖圓轉不已板上之物俱不覺知謂天體轉旋者天非可見其體因衆星出沒於東西管轄於兩極有常度無停機遂即星所附麗擬以為天之體耳日至之景古者因見天暑而日髙近北天寒而日低近南遂立表木以測其長短之景東出西没之時表景最長日正中天表景最短若以四時驗之中晝之景漸短逐日不同乃以中晝表景極短之日為夏至中晝表景極長之日為冬至中晝之景所以短者葢日近北而髙所以長者葢日近南而低日髙則行天必乆而晝長晝長則人間陽氣積多而暑日低則行天不乆而晝短晝短則人間陽氣漸少而寒(案周髀算經夏至日值内衡冬至日值外衡春秋分日值中衡地在天之中央周圓皆應天度)(人居地面目之四望成地平而中土近内衡之下地平與内衡相際於寅戌與外衡相際於辰申故夏永而冬)(短此以髙低言其説殊踈又日氣常下行火氣常上行相應之義也夏至日行近中土之天頂盛陽下行故暑)(猶近火之焰也冬至日行逺中土之天頂側照則力減故寒猶逺於火之焰也此専以氣積言其説亦疎)此寒暑因日而變也嵗序終始古人以冬至為第一日逐日記之第三百六十六日中晝景復最長是為次年冬至數夏至亦然故曰三百六旬有六日二至未定時辰但以午景驗之似乎皆在午矣雖云三百六十六日為一朞然第一日午中數至第三百六十六日午中只滿三百六十五日比似初一日午中數至初六日午中只滿五日也積二朞滿七百三十日積三朞滿一千九十五日積四朞滿一千四百六十日第一日為第一冬至第三百六十六日為第二冬至第七百三十一日為第三冬至第一千九十六日為第四冬至第一千四百六十一日為第五冬至五次冬至只得四朞滿一千四百六十日然古人於第一千四百六十一日測午景尚未極長第一千四百六十二日纔是冬至如此則四朞之日滿一千四百六十一每年三百六十五日有餘積四年之餘總多一日一日十二時四分之則每年有三時為餘數古人謂三百六十五日四分日之一葢將一日分與四年為餘數每年得四分之一也(案古法每歳三百六十五日四分日之一約計大致耳太初法大於四分日之一以後諸)(家推歩皆不及四分日之一)一日既作四分則當定二至之時辰然二至時辰難必其的當酌量擬度以定之耳閏定四時古人測驗得月圓一次不及三十日止是二十九日有餘十九年積六千九百三十九日餘九時數内月圓二百三十五次置立銅壺木箭漏水之法其水漸次消長則其箭漸次浮沉箭在分為百刻沉浮一次是為一日刻者刋之於箭也一時八刻有餘三時總二十五刻如是則每年三百六十五日二十五刻也十九年積六千九百三十九日七十五刻均作二百三十五朔每朔計二十九日五十三刻有竒其餘數均分不盡若將一箭百刻變為二百三十五畫而如總朔之數則每朔得二十九日餘一百二十四畫尚有餘數均分不盡遂將已分之畫又復細分為四如是則一日百刻變為九百四十畫每朔該二十九畫矣所以四其二百三十五者葢每年有餘數四之一其四之一細為二百三十五畫而如總朔之數則一日該九百四十畫方可均而無餘以九百四十名為日法每年三百六十五日餘二百三十五畫乃九百四十之二百三十五此數即是每年餘數四之一每朔二十九日其餘亦云九百四十之四百九十九若以整數二十九日亦分細畫則每朔該二萬七千七百五十九畫每年三百六十五日有餘均分作二十四氣每氣計一十五日餘二百五畫六十二秒半此葢又以一畫細為百秒也兩氣計三十日四百一十一畫餘二十五秒是為一節若一朔比之相較八百五十二畫二十五秒名曰一月之閏數一節三十日有餘其餘數四百一十一畫二十五秒名曰氣盈一朔不及三十日是三十日内有虧乃虧四百四十一畫名曰朔虗併氣盈朔虗之數得八百五十二畫二十五秒即一月之閏數也每年十二月共計閏數一萬二百二十七畫積十九年共計閏數一十九萬四千三百一十三畫若二萬七千七百五十九畫閏為一朔則該七閏無餘月光晦而復蘇為朔朔在本日四百四十畫以前者則第三十日為後朔朔在四百四十一畫以後者則第三十一日為後朔所以然者葢畫少是本日早時雖加一朔之數後朔止是第三十日内畫多是本日晚時既加一朔之數則後朔在第三十一日矣後朔在第三十日者本朔只領得二十九日謂之月小後朔在第三十一日者本朔方領得三十日謂之月大則干名與後朔同月小則不同矣月朔時刻非可以眞知其數乃酌量擬度權定於本日之刻畫耳每年二十四氣於内十二節氣十二中氣十九年之内中氣有二百二十八若一朔之内置一中氣則七朔無中氣者是閏有正月中氣者為正月有二月中氣者為二月他月皆然若是則閏月必無中氣矣年有閏月者十三朔無者十二朔古人以十九年為一章初年甲子日子時朔旦冬至在嵗次甲謂之至朔同日第二十年為第二章首復得至朔同日然非甲子之日先期夜半乃癸卯日酉時第三十九年為第三章首復得至朔同日乃是癸未日午時第五十八年為第四章首復得至朔同日乃是癸亥日卯時第七十七年至朔又復同日乃癸卯日子時因其至朔同在夜半與第一章初年同遂以七十六年名一蔀蔀者以至朔同在夜半蔀蔽昧之時也第七十七年為第二蔀首每蔀四章其第七十七年亦曰第一章首毎章甲子差三十九日九時總四章共差一百五十九日於内甲子整數兩周除一百二十日每蔀只差三十九日總二十蔀名曰一紀總差七百八十日計甲子十三箇周整數無餘乃無差如是則一紀總一千五百二十年必然至朔同於甲子日之先期夜半但非甲子歳首總三紀積四千五百六十年至朔同於甲子日之先期夜半又在甲子歳首總㑹如初名曰一元一元之内嵗次甲子者七十六與蔀年同積一百六十六萬五千五百四十日日為甲子者二萬七千七百五十九其數與每朔之積畫相同一蔀之内積日亦同此數葢一元有六十蔀也日法九百四十故九百四十朔為一蔀在昔黄帝命大撓作甲子𨽻首作算數羲和占日常儀占月車區占星氣伶倫制律吕容成總斯六術而造厯即此厯數也自黄帝調厯以至漢前諸厯雖推歩而先後其氣朔然數之多少短長猶未増减在後漸漸増减之以至于今益加詳密矣天周嵗終古人仰觀天象見衆星昬曉出沒乃知天體每日運轉一周然衆星昬見四時漸漸不同唐虞之時日永則心㝛當南方正午之位心㝛三星中赤者名曰大火故曰日永星火日短則昴㝛當午位春中則張翼之類當午位南方七㝛配朱雀故曰日中星鳥秋中則虗㝛當午位歳歳皆然古人因見四時昬曉之中星不同乃知太陽所躔漸異歳終而中星復舊是太陽亦復舊而行天一周矣每年三百六十五日餘四之一故亦以周天分為三百六十五度餘四之一歳數與天數相同故曰天周歳終太陽一日行一度分寸尺丈引名曰五度分天為度者亦是度量之義似乎以太陽為尺其一度即日圓之徑數也(案古字度渡通用度者行而過之之名以日右旋一晝夜所過即為一度故後漢書)(云在天成度在厯成日古法歳三百六十五日四分日之一因定天周為三百六十五度四分度之一此所言)(殊夫命度之意)於日行之道定二十八㝛之名㝛之星數多寡不等各就其數内定一㸃為距星距者隔越之義乃以此二十八㸃距星為各㝛之界各㝛度數由此而分且如南斗從柄而起以第三㸃為距前二㸃及為距之半㸃未離於箕而尚屬於箕餘三㸃半方在本㝛度内然本㝛之星數少所占乃有二十餘度者葢斗牛之間又有建星等類不在𤣥武七㝛之數就附於斗所以斗星雖少而占度卻多他㝛亦猶是也及觀太隂所躔昬曉漸異見其移六七度遂知一日之内月行十三度有奇月與日同躔之時謂之合朔月與日對光滿匡廓兩輪相望名曰望近一逺三月體黑白各半似乎張弦之弓名曰弦月行及日光盡體伏名曰晦此晦朔望之名義十九年為一章之内太陽在天一十九周太隂在天二百五十四周於月周之數减去日周則為二百三十五朔十九日之内太陽行十九度太隂行二百五十四度與十九年周天之數相同以二百五十四度於十九則知太隂每日行十三度餘十九之七每年行十三周十九之七每日太隂逺太陽十二度十九之七每年太隂太陽十二周餘十九之七故每年之日月合十二朔餘十九之七為閏積十九年七閏也一朔之内太陽行二十九度餘九百四十之四百九十九太隂行一周外餘數與太陽同太隂一周止該二十日餘三百二畫有奇舊云天道左旋日月右轉葢謂日月附著天體天雖一晝夜而周太陽於天止移一度太隂則移十三度有奇在後推測卻是日月與天道相逺而不附於天如此則是太陽每日周地一遍每年總計三百六十五周餘四之一天多過一度則亦是每日周地三百六十六度餘四之一太陽每日不及天運一度太隂每日與太陽相去十二度餘十九之七卻是日速月遲由是觀之日月右旋之説乃厯家用逆推之術取其簡省籌策耳日月相㑹為朔朔者月終而復始也月遲日速厯二十九日四百九十九畫而復同度今以良駑二馬比之日比良馬月比駑馬一度比之一里日月遶地一周比似馬之循環封疆一遍每里分為十九段每段為小尺良馬每日周遭一次計行三百六十五里四段七十五尺駑馬每日不及一周遭止行三百五十二里十六段七十五尺較遲一十二里七段即所謂不及十二度十九之七也以段計之每日漸多二百三十五段以尺計之每日漸多二萬三千五百尺每畫漸多二十五尺良駑一處同時發程乍分先後不甚相逺歴一十四日七百一十九畫半良駑相距半周遭又歴此數總二十九日四百九十九畫駑不及良一周遭二馬復同一處矣此即一朔之喻次朔而復相㑹不㑹於元所相㑹九百四十次方於元所相㑹乃一蔀之數也古人又云天與日㑹者天體每日遶地而行三百六十六度餘四之一太陽每日遶地一周計三百六十五度餘四之一天不可知其體但以經星言之天速日遲每日不及一度一年而不及一周則日復舊躔故曰天與日㑹亦可以良駑二馬比之兹不贅(案天左旋其樞名北極亦名赤極日右旋其樞名黄極經星亦右旋宗黄極以成嵗差故春分)(黄赤道之交古在赤道外之星今移而入赤道内秋分黄赤道之交古在赤道内之星今移而出赤道外此云)(天體不可知但以經星言之謬也左旋乃東西旋一凖乎赤道而宗赤極右旋乃南北旋日與經星皆凖乎黄)(道而宗黄極月五星各行一道各宗一極月曰白道白極五星之道與極各以其星名之此用後儒附㑹之説)(不知左旋論東西不論南北右旋論南北不論東西截然殊致非用逆推之術簡省籌策也)十九年則天與日㑹而月亦㑹是為一章之數但非子時相㑹若四章為一蔀則日月皆與天㑹於夜半皆在地平之下乃日月與天地四者俱㑹也此云良駑九百四十㑹而方㑹元所者以九百四十㑹比一蔀之朔㑹於元所比日月之與地㑹此止比日月與地㑹而不比天㑹故不喻及一章之數厯法改革一陽生於子中才交冬至已屬次年葢冬至日極於南卻轉而北午景極長漸改而短亦猶夜以後屬次日界於子時正中世間人事一日始於天曉一年始於建寅之月故古者以建寅之月為正如此則子丑兩月雖屬次年紀厯則猶在舊歳謂之敬授人時即今月蝕夜半後雖近曉亦止以當夜言之與子丑兩月尚作舊年相似三統之説謂夏正建寅商正建丑周正建子先儒考索乃知商周二代雖以子丑為分頒授時之首而月數未嘗改易(案左傳昭公十七年梓慎曰火出於夏為三月於商為四月於周為五月乃月數改易之)(明證此用後儒附㑹之説謬也)至於厯法則因氣朔有差後世累改由古及今六十餘厯矣周衰之時司天失職漢太初厯粗為可取然猶踈畧未宻唐一行作大衍厯當時以為密矣以今觀之猶自甚踈葢嵗淺則差少未覺久而積差漸多不容不改要當隨時測驗以求天數之真星分棊布天體如圓瓜古人分為十二次乃似瓜有十二瓣也周天三百六十五度餘四之一均作十二分則一瓣計三十度四十三分七十五秒度度皆輻輳於南北極如是則其度斂尖於兩端最廣處在於瓜之腰一圍名曰赤道其度在赤道者正得一度之廣去赤道逺者漸逺漸狹雖有一度之名寔為無腰圍一度之廣矣各度皆以二十八宿之距星紀數謂之經度古人又謂天體如彈丸東西南北相距皆然東西分經則南北亦當分緯緯度皆以北極相去逺近為數亦是三百六十五度餘四之一兩極相距一百八十二度六十二分五十秒赤道横分兩極與極相逺各九十一度三十一分二十五秒天頂名曰嵩髙北極偏於嵩髙而北者五十五度有竒赤道則斜倚在嵩髙之南三十六度葢北極既偏於嵩髙之北南極既偏於地中之南所以赤道不得不斜倚於南也赤道雖倚南於東西兩傍猶在卯酉正位由是觀之所謂天如彈丸者得其圓象之似所謂天如倚葢者但以言其葢頂斜倚而輻輳所謂天如雞子者喻其天包地外而已日道嵗差日行不由赤道晝永在赤道北晝短在赤道南其道别名黄道黄道之與赤道似乎兩環交差且以冬至為始言之太陽當時在赤道之南横距赤道二十三度九十分從冬至後行漸近北迆邐向於赤道及乎仲春之時斜去冬至躔九十一度有奇則在赤道之交矣過交入赤道北斜去九十一度有奇及於夏至躔則又與赤道逺最近於北横距亦二十三度九十分從此漸漸轉南非由故道乃一環而循歴兩邊亦向赤道及乎仲秋交於赤道已斜去夏至躔九十一度有竒非春中之交乃相對處耳過出赤道南斜去赤道九十一度有竒及乎冬至又躔元度故曰天周嵗終堯典云日短星昴者乃仲冬昴宿昬見於午方昬時若昴㝛正南則知日躔虚㝛何以言之正東之方名曰卯位正西之方名曰酉位日正南處名曰午位一日十二時太陽厯過十二位乃定方也天以各宿經度分為十二次乃動體也動者無常位名曰天盤定方有常位名曰地盤仲冬太陽在虚㝛虚屬天盤子酉時太陽在酉方此際天盤子加地盤酉子加酉則酉必加午昴㝛屬天盤酉故昬見於正南漢作太初厯推歩得冬至日在牽牛之初今之授時厯推歩日躔當至元冬至乃在箕九度二十二分一十八秒以漢武時較帝堯時已差一二十度當時唐都洛下閎但擬八百年差一度雖知有差尚自疎畧晉虞喜不用天周嵗終之術謂天度與嵗日數殊天自為天嵗自為歳始將天體為三百六十五度二十六分乃四分之一有餘歳䇿為三百六十五日二十四分乃四分之一不足一年差二分五十年差一度宋何承天以為嵗差太速改為百年差一度周天作三百六十五度二十五分半周嵗作三百六十五日二十四分半隋劉焯又從而酌中以七十五年差一度唐一行以八十三年差一度自後諸厯各各不同宋厯多在七十五度左右統天厯謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒周歳三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半然又謂周歳漸漸不同上古歳䇿多後世歳䇿少如此則上古歳差少後世嵗差多當今厯法倣之立加減歳䇿之法上考往古百年加一秒下驗將来百歳減一秒至元辛巳行用至今秒數尚作二十五猶未減也三代以前未有歳差之術晉宋而後雖立嵗差之術時或議論不定李淳風猶自執説無差謂冬至常躔斗十三度至一行作大衍厯而後論定以後必立歳差嵗差之法雖立然差數嵗嵗如一於前加後減之法猶自未知今則知加減矣若欲測其加減親切之數非嵗久曷能知之(案嵗差由於經星右旋此考冬至日躔某㝛幾度幾分之一事至授時法立加減謂之嵗實消長與恒氣)(冬至定氣冬至為一事知定氣之故則不必言消長矣二事各殊絶不相涉合而論之殊疎)授時厯以赤道分三百六十五度二十五分六十四秒周天分三百六十五度二十五分七十五秒相較一十一秒者葢黄道一周同於歳䇿止計三百六十五日二十四分二十五秒有似周天尚未足一分五十秒是謂嵗差其一分五十秒不在瓜之腰圍横距赤道二十四度斂而狹之止廣一分三十九秒以此一分三十九秒併入歳周故云黄道三百六十五度二十四分六十四秒黄道雖是嵗差冬夏二至日躔必然横距赤道二十四度黄道歳歳不由舊路差移一分有餘斜絡於二十八宿度之間歳久則遍滿而無非行過之所矣今人斜捲麻苧之絘周遭往返非復故處絲漸移重複纏絡而成團者名曰絘團以喻此理最切(案赤道為天之中𢃄如瓜之腰圍黄道斜交於赤道半在)(赤道南半在赤道北最逺距赤道二十餘度冬至最南夏至最北相距四十餘度冬至後自南斂北夏至後自)(北發南日發斂於四十餘度之間右旋適一周而成嵗於黄道本無纎㣲之差使發斂未終則未成嵗矣一嵗)(之日躔起冬至復值其起處而列㝛部星則稍移而前積至六七十年差一度是星右旋離最南一度非日躔)(黄道未至最南一度也唐一行分天自為天嵗自為嵗其所謂天指列宿之天所謂歳指日躔黄道分而二之)(是也然立法乃減歳餘益天周謂嵗周不及天周非也此仍一行諸人之謬而言黄道嵗嵗不由舊路尤足滋)(惑)唐虞之時冬至日躔子夏至日躔午春分日躔卯秋分日躔酉至今未及四千年冬至日已躔寅夏至日已躔申春秋二分已躔巳亥計其嵗差已退四五十度矣由是觀之後萬餘年冬至日反躔午夏至日反躔子春卯秋酉亦各互易若周遭而復於舊躔當在二三萬年間逆而推之帝堯以前亦必如是此決然之理也北斗有柄常指天盤卯辰間唐虞之際冬至太陽躔虚昬見時天盤卯辰間加於地盤子故十一月以斗柄指子為説天旋一晝夜而周酉末戌初則指丑矣斗牛女虚危室壁北天七㝛也三冬太陽躔之故曰日在北陸今則嵗差太陽冬至已躔箕屬寅冬至後日方躔斗如此則季冬日在北陸冬至已前尚在東陸也冬至昬見時太陽隨天盤寅以加地盤申酉界畔其天盤卯辰之間卻加地盤戌仰觀斗柄指戌而不指子矣今人於十一月猶以斗柄指子為説是未知嵗差者也然天體於一時轉一位戌末亥初卻仍指子但不可言初昬指耳夫日躔既已嵗差則昬旦亦差唐虞初昬乃今戌亥之時在後仲冬日差在卯則斗柄夜半指子差在午則平旦指子差在酉則日中方指子謂閏月指兩辰之間者可發一笑歟黄道損益子正𤣥枵中於虗七度赤道均分周天㝛度十二次各三十度四十三分七十五秒是將子中為的而分之黄道㝛度與赤道㝛度有多寡之不同各次之黄道㝛度亦不等所以然者冬夏二至之日黄道平近於兩極其度斂狹每度約得十之九春秋二分斜行赤道之交赤道所在度既廣而又斜行每度十有一矣四立之日度在酌中處其餘漸廣狹迆邐而推今之授時厯歩得冬至日躔箕㝛以此寅申度數最少巳亥度數最多其餘則多寡稍近
## 卷二
欽定四庫全書
革象新書卷二 元 趙友欽 撰積年日法 元㑹運世氣朔滅沒 日月盈縮月有九行 時分百刻晝夜短長 氣積寒暑天地正中 地域逺近積年日法前代造厯者逆求往古冬至嵗月曰上元乃履端於始也從上元而下至當時順推以後求其餘分普盡總㑹如初乃歸餘於終也一日百刻亦曰百分一分又為百秒求其積年總㑹雖以百分萬秒重疊細作名項籌䇿亦不能齊是以必立日法古者以九百四十為日法即所謂一箭之分畫也始於至朔同在甲子夜半復㑹如初名曰一元但積年四千五百六十而已後世推步知十九年七閏尚有餘數兼欲七政皆齊是以履端歸餘之算非積年數千萬不可諸厯更改其餘數多寡不定各立日法有作八十一者有三千四十者有作九千七百四十者不必枚舉之然有所謂截元厯但將推步定數為則順算逆考不求其齊當今至元辛已改授時厯采舊厯截元之術凡積年日法皆所不取葢厯年未久已有先天後天之失况逺求數千萬嵗豈可必其總㑹邪且黄帝之時大橈始作甲子今欲求甲子於黄帝以前徒使籌䇿繁雜終不得天道之真也元㑹運世古者推步七政多求其總㑹於甲子順算逆考上下數千萬年然諸厯履端歸餘各有逺近多寡難見此是彼非李淳風在唐太宗時官為太史令能豫知武氏有天下可謂精於術數矣然所造麟徳厯乃為僧一行所非麟徳術疎他且未論但日行之道嵗嵗有差漢晉以來已有其説淳風乃謂冬至太陽常在斗十三度萬古不移其説有所不通矣一行造大衍厯當時嘗以為密俱用其法推至于今冬至已差二日如此則淳風一行之積年日法俱不可求厯元之終始豈非逺而難測邪近世康節先生作皇極經世書以十二萬九千六百年為宇宙之終始世人多信其説以愚觀之實不可準今當言其所以然康節之説蓋謂小可觀大遂以嵗月日時比作元㑹運世一元有十二㑹比一年之十二月也一㑹有三十運比一月之三十日也一運有十二世比一日之十二時也其下則一時為三十分一分有十二秒三十年為一世三百六十年為一運一萬八百年為一㑹十二萬九千六百為一元天始於子㑹地始於丑㑹人生於寅㑹謂之開物至戌㑹則閉物矣夏禹八年甲子用為午㑹之初當今泰定甲子乃午㑹第十運之戌世初年也蔡氏曰康節何以知之以當時日月五星推而上之所以得之也其書郤不曽載逆推之法今以諸厯詳酌而求其皇極之元非特七政無總㑹之事抑皆散亂無倫且古厯元紀蔀章年月日時各有其事所謂時者太陽所歴地盤十二方位也所謂日者太陽出沒一周也所謂月者太陰盈虧始終也以十二節論之即是太陽歴遍十二辰也所謂年者寒暑榮枯之變也所謂章者至朔合於一時也所謂蔀者至朔合於子時也所謂紀者至朔㑹於甲子日夜半也所謂元者至朔於甲子夜半又是甲子嵗首也康節立元㑹運世各無其事但以十二與三十相參甲子而為之其以三十年為一世者本非天道不過以人生壯有室人子相見為一世也厯家雖約三十日為一月氣盈朔虚卻多寡不齊葢一年計三百六十五日餘四之一均為二十四氣則每月之兩氣該三十日四十三分有竒兩月相距只該二十九日五十三分有餘康節乃例以三十為用是將整齊之數推不齊之運猶月皆大盡而無小盡亦不置閏矣造厯者不取其説良有以夫氣朔滅沒厯家算滅沒二日唐一行以前其術不同今載於授時厯者乃放一行而為之也沒用氣盈而推滅用朔虗而求所謂沒者朞三百六十五日二十四分二十五秒均為二十四氣每氣均為三候每候均為五段如此則一朞為三百六十段每段計一日一分四十五秒六十二毫半冬至便為第一段小寒次為第十六段其餘可以類推所謂段者日日有之若或一日之段在於九十八刻五十四秒三十七毫半以後者則謂之沒沒之次日必無其段葢其二段跨三日先一日者九十九刻左右後一日者一刻左右而已此二段之閒雖止是一日一分四十餘秒但一日整在中間餘數跨在前後兩日之首尾故曰跨三日若遇無段之日則其先一日必是沒所謂滅者每朔二十九日五十三分五秒九十三毫均為三十段每段計九十八刻四十三秒五十三毫一十芒常朔之日辰便為第一段常望便為第十六段其他可以類推所謂段者亦日日有之若或其日之段在九十八刻四十三秒五十三毫一十芒以後者則謂之滅若是滅者百刻之内必有兩段葢是兩刻之間百刻不足止包一日内也凡刻分極少是半夜後刻分極多是夜半前夜半前是一日極終處沒滅乃已極之義也故選日者或忌之日月盈縮古者推步得一晝夜之間月行十三度餘十九之七然每夜觀望其所躔或先期或後期有差至四五度者後漢劉洪始考究之由是知其疾行則十四度餘約四之三遲行則止十二度有餘中間漸疾漸遲大率二百四十八日盈縮九帀既知月有盈縮矣隋之劉焯始覺太陽亦有盈縮最多之時在於春秋二分約差兩度有餘葢是冬至日行一度五分迆邐漸減一二分三四分及乎赤道之交則正行一度從此又漸次減之極於夏至止行九十五分矣夏至後所行卻増所増之數與所減相似及乎冬至則又如前矣一日行一度有餘者名曰疾一日不及一度者名曰遲以増虧之數相補止是一日一度從冬至距春分以行疾而積盈從春分距夏至以行遲而消其積盈比之常度猶自差前故冬至距夏至皆曰盈段從夏至距秋分以行遲而積縮從秋分距冬至以行疾而消其積縮比之常度猶自差後故夏至距冬至皆曰縮段春分二日之前已行交於赤道葢盈二度有餘也秋分二日之後纔行交於赤道葢縮二度有餘也授時厯謂太陽在赤道之南行疾赤道之北行遲往前諸厯則或以春分距秋分行遲秋分距春分行疾太陰遲疾盈縮之理亦然但日數度數不同耳授時厯謂每轉二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半乃太陰盈縮之一币也其間遲疾之數相補遂以一十三度三十六分八十七秒半為一日平行度李淳風有推步月孛法謂六十二日行七度六十二年七周天所謂孛者乃彗星之一種光芒偏掃者則謂之彗光芒四出如圓暈者乃謂之孛然孛以月為名者葢有説焉孛之所在太陰所行最遲太陰在孛星對衝處則所行最疾孛星不常見止以太陰所行最遲處測之(案月行遲疾古以規法旋轉順逆明其故入轉之初最疾至六日八十八刻竒)(而復於平謂之疾初限此後漸遲至十三日七十七刻竒而其遲乃極謂之疾末限從此遲漸減至二十日六)(十六刻竒以復於平謂之遲初限此後又漸疾至二十七日五十五刻竒而其疾乃極謂之遲末限是為轉終)(月孛與入轉相對孛者逆也疾由於順遲由於逆故稱月孛孛非星也以彗孛之孛附㑹尤謬)日躔十二次之久近者葢因各次黄道㝛度不等又且日有盈縮故或久或近各各不同將周嵗分為二十四氣名曰常氣授時厯係一十五日二十一分八十四秒三十七毫半若以太陽之盈縮損益其常氣日辰限以日行一十五度二十一分八十四秒三十七毫半名曰一氣則是定氣但授時厯止以常氣為定不曽増減舊厯則或増減之太陰度縮而太陽度盈則定朔在常朔後名曰朒太陰度盈而太陽度縮則定朔在常朔前名曰朓若俱盈俱縮者則對消而止用餘數定弦定望亦如之上古未曽推步日月盈縮止以常朔弦望就為定今朔與弦望既有常定之名矣然又有所謂進退其定朔在日沒以後若無日食見其初虧者則進以次日為朔葢恐月見於晦之晨朝也定弦望在日出以前者則退一日定望在日出以後其望有食初虧在日出前者亦退一日葢仰觀在當夜改日言之有所不便也定望在十七雖是日出後亦退一日為其太遲也或望在十四或上弦在初七或下弦在二十二仍不可退退則太早也或望在十三或上弦在初六或下弦在二十一非退而太早葢因進朔而然雖不皆早其朔不進或朔進而大月連四者為其過多朔亦不進今授時厯則不然常朔計二十九日五十三分五秒九十三毫常望半之常弦又半之實定則不進退矣但月食在夜半以後雖屬次日止以當夜言望月有九行月行不由黄道亦不由赤道乃出入黄道之内外也北有紫㣲垣帝座居之故北曰内南曰外所謂九行者止是一道其道與黄道相交如赤道然黄赤道兩環相逺處二十三度九十分月道之逺於黄道處止距六度二分而已月道與黄道相交處在二交之始强名曰羅㬋交之中强名曰計都自交初至於交中月在黄道外名曰陽厯乃背羅向計之處也自交中至於交初月在黄道内名曰陰厯乃背計向羅之處也月道比水路日道比旱路羅計比橋羅計漸移是猶橋道年年改異亦太陽嵗差捲絘之理也所謂九行者當以畫圖比之四圖各畫黄道似一圓環俱於環南定為夏至日躔環北定為冬至日躔環西定為春分日躔環東定為秋分日躔將一圖畫為青道與黄道交於南北南交為羅北交為計其青道一邊入在黄道西之東是内青道一邊出在黄道東之東是外青道又將一圖畫白道亦與黄道交於南北南交為計北交為羅其白道一邊入在黄道東之西是内白道一邊出在黄道西之西是外白道又將一圖畫朱道與黄道交於東西東交為計西交為羅其朱道一邊入在黄道北之南是内朱道一邊出在黄道南之南是外朱道又將一圖畫黑道亦與黄道交於東西東交為羅西交為計其黑道一邊入在黄道南之北是内黑道一邊出在黄道北之北是外黑道此雖畫四圖然四圖之八道止是一道觀者當以意㑹為一可也圖可畧章其象但畫於紙上止是横平在天圓體卻有髙低斜正終是難盡其理又當言之陽厯在夏至日躔之南夏為南乃南之南也名外朱道陰厯在冬至日躔之北北為内名内朱道在南曰朱則當矣在北而曰朱者葢冬至屬子若冬至日躔伏在地盤子位則月道在黄道之上北地以下為北上為南故曰内朱道乃北之南也若冬至日躔反在午位則内朱道亦在黄道北矣此不論反止論伏黑道之理亦然陰厯在夏至日躔之北者名曰黑道夏為南乃南之北也陽厯在冬至日躔之南名外黑道外為南南而曰黑者葢其月道在黄道之下北地以上為南下為北故雖南而曰黑冬為北乃北之北也月行朱道則羅㬋在太陽春躔計都在太陽秋躔月行黑道則羅㬋在太陽秋躔計都在太陽春躔陽厯在秋分日躔之東者名外青道乃東之東也陰厯在春分日躔之東者名内青道乃西之東也陽厯在春分日躔之西者名外白道乃西之西也陰厯在秋分日躔之西者名内白道乃東之西也青白道不論反伏若天地卯酉互位者亦然月行青道則羅㬋在太陽夏躔計都在太陽冬躔月行白道則羅㬋在太陽冬躔計都在太陽夏躔以内外分别青白朱黑為八道本八道而曰九行者以八道之行交於黄道而穿度其間故通以九言也八道常變易不可置於渾儀上亦不可畫於星圖所可具者黄赤二道耳欲别於黄故塗以赤赤道近八道皆相交逺近朱道止十八度逺黑道至三十度逺青白二道約二十四度授時厯謂月從黄道之交出外一百八十一度八十九分六十七秒則中交於黄道從此入黄道内復至交初則該三百六十三度七十九分三十四秒乃月道之一周計二十七日二十一分二十二秒二十四毫古厯數各不同不及枚舉時分百刻晝夜十二時均分為百刻一時有八大刻二小刻總大刻共九十六總小刻共二十四小刻六準大刻一即是共百刻也上半時之大刻四始初初次初一次初二次初三最後小刻名初四下半時之大刻亦四始曰正初次正一次正二次正三最後小刻名正四子時之上一半在夜半前屬昨日下一半在夜半後屬今日今夜以及他夜皆然是猶冬至得十一月中氣一陽來復為天道之初也古厯又將二小刻為始後卻各以四大刻繼之者然不若今厯之便於籌䇿俗流不知此説卻謂子午卯酉各九刻餘皆八刻誠可笑歟晝夜短長冬至日躔距赤道二十四度立冬與立春所距亦近似之所較不甚多少所以然者此時黄道横而平近南極也從立夏及於立秋之黄道横平而近北極者亦然葢冬夏之日躔東西移差多南北移差少春秋則黄道斜移南北雖東西行而南北差速於冬夏故春秋壺箭六七日間増減晝夜一刻若二至前後驗其晝夜短長其増減一刻相去二十餘日矣由是觀之冬夏増減之日遲春秋増減之日速數未始均平考於渾儀即可以知其理舊云日未出二刻半而天先明日已入二刻半而天方昬此五刻之内若以衆星出没論之似乎在晝然不論星但太陽出始為晝入則為夜也氣積寒暑夏至晝最長日最近北乃午中也冬至晝則最短日最近南乃子中也然大暑在六月卻是未中大寒在十二月卻是丑中若以晝夜論之未時熱甚於午丑時寒過於子此葢甑竈之理也夫竈火甚炎可比午中矣然甑蒸之氣猶未甚盛及其甑蒸氣盛則竈火已稍衰矣在後竈火盡滅可比子中矣然甑蒸之氣又良久而後始衰寒暑之理豈非積久而氣盛乎天地正中逺視物則㣲近視物則大故當午之日似盤㿻出沒之日如車輪豈非午日與人相逺邪然又疑東西與人相逺者葢為午日熱而又似乎火之近人也殊不知太陽久照則熱殆不可以逺近論星度髙升者則見其密低垂者則見其疎由是觀之天頂逺而四傍近矣(案隋書姜岌言)(地有遊氣故參伐在傍則其間疎在上則其間數日晨夕近地故色赤而大無遊氣則色白大不甚矣宋沈括)(言在本局候景入濁出濁之節日日不同今西洋人本之為清䝉氣及濁䝉氣之説清蒙可立算加減此以大)(小疎密證天頂逺而四傍近殊謬)且夫天體圓如弹丸圓體中心六合之的也周圍上下相距正等名曰天中直上至于天頂名曰嵩髙地平不當天半地上天多地下天少從地平之中直上自有天中之所古人卻謂地平正當天半天中即是地中所在為此説者葢為周天三百六十五度餘四之一仰視常有一半星宿可見故以地中就為天中今謂地中直上自有天中之所者葢見日月之近大逺小星度之髙密低疎所以知其然也地平既在天半之下仰觀止見半周度者葢天逺則似乎較低地平得以相妨人目不可盡見昔人以五表求地中以今思之止須一表其表與人齊髙於午日中畫其短景於地用為指北準繩卻置窺筒於表首隨準繩以望北極若窺見北極在筒心者此處得東西之正而不偏矣如窺見北極之東者則是其地偏東窺見北極之西者則是其地偏西已得東西之正然後於二分之前十餘日内就此處置立壺漏準定十二時之端的須以兩日午中短景求與時參合卻於春分前二日或秋分後二日太陽正當赤道時分於卯酉中刻視其表景畫地而定東西準繩若卯酉兩景相直而不偏平衡成一字者是得南北正中矣若兩景曲而向南者則是其地偏南向北者則是其地偏北古人測於二分之日定以出沒半輪之景今恐地平或者髙低難求端的故縱擬於卯酉時中驗之此術葢以午景與北極定東西之偏正卻以東西之景定南北之偏正測驗之最精者也(案此術徒據胷臆而未試者於)(天頂地平之義未得其實遂輕立説耳素問言地在大虗之中大氣舉之周髀言東方日中西方夜半皆以地)(亦渾圓人所居之方戴天為上履地為下古法天周三百六十五度四分度之一地與天相應亦三百六十五)(度四分度之一天頂隨人所居而移自天頂四面至地平必皆九十一度竒若自天頂懸一直繩必貫地心自)(地心平引一繩與懸直之繩必縱横成十字此之謂地平其平乃割圓法自渾圓中心縱横相交之平非地體)(果平也人在地靣上至天頂近於四傍者有此地體之半徑地心乃天之渾圓中心也不可謂地上天多地下)(天少地平横截天之渾圓為二上下各半圓必相等設如北極之下其天頂即北極其地平必適與赤道齊從)(此行二千餘里於地靣十度不論四面所嚮皆以北極下為正北所嚮之方皆為南行其天頂則距北極十度)(其地平則正南下於赤道十度正北髙於赤道十度而北極出地八十一度竒故測北極出地髙下可以知地)(面南北度日之隨天而左以成晝夜一準乎赤道而宗北極使其方北極出地髙下相等雖東西循環一周而)(北極定為正北日東出西沒無差移安能以東西之景定南北之偏正茍試之於測驗未有不窮者矣)地域逺近古者測得陽城為地中然非四海之中乃天頂之下故曰地中也若以四海之中言之黄河之源為崑崙乃是天下地平最髙處東則萬水流東西則萬水流西南北亦然彼處名悶母棃山(案唐書作悶摩黎山)葢西蕃語也其山距西海三萬餘里距東海不及二萬里如此陽城距東海甚近天下之地多在地中以西地中之東必皆水矣髙麗三邊盡海惟有北連遼東倭曲在髙麗之南雖越海而相去不逺舶商發於閩越多往南海之西西海遥遥罕有去者然西海雖逺水陸猶自皆通若夫正北之海則水陸皆惡而不可至今言北海者乃諸小國及遼海耳遼東多水海島之國必多舶商亦罕去舊云蓬萊弱水三萬里在於東南殆非虗語四海之内不中於陽城中於四海者天竺以北崑崙以西也若論天之所覆通地與海而言中卻是中於陽城陽城仰觀北極出地三十六度南極入地亦三十六度迆邐朔方而望之出入之度漸多遂見北極出地四十五度南極入地亦然錢塘望之出入之度三十一交廣以南望之其度不及二十南極二十度已上其星猶多中國不可見迢今未有名由是觀之地平不當天半地上天多愈無疑矣然地中止見天之半體者葢天逺則似乎較低地平得以相妨人目不能盡見(案北極出地之度乃渾圓之周所分天度出地四十五者其方之天頂距)(北極四十六度竒出地不及二十度者其方之天頂距北極七十一度竒兩地天頂相距二十五六度而此兩)(地之天頂四靣距地平皆九十一度竒也援以言地上天多殊謬周禮求地中乃驗之陰陽風雨和㑹異於多)(暑多寒多風多陰之地而謂之中此言陽城為天頂之下由不知環地之周戴天皆上履地皆下隨人所居各)(一天頂也)地域逺近非特仰觀不同寒暑晝夜表景亦皆差别偏南者暑多寒少偏北者暑少寒多往前諸厯晝永極於六十刻晝短極於四十刻今之授時厯因為驗於燕臺而地稍偏北是故永者六十二刻短者三十八刻葢偏南則長短較少偏北則所較漸多朔方最逺之地或煮羊胛未熟而天曉或當午而纔方見日出沒止在須臾此又晝夜長短之甚所以然者夏之太陽出寅入戌其地近於朔方近日之處天先明今又測得地平在天半之下則愈知其太陽出早入遲矣彼雖曉而南國未曉彼未昬而南國已昬是以夏晝長而朔方尤長夏夜短而朔方尤短南國之晝夜長短則不較多冬之太陽出辰入申其地近於南國南國已曉而朔方未曉南國未昬而朔方已昬故冬夜長而朔方尤長冬晝短而朔方尤短南國之晝夜長短則不較多(案夏日永而地愈北愈増冬日)(短而地愈南愈損元史南自南海夏至晝五十四刻至北海晝八十二刻北自北海夏至夜十八刻至南海夜)(四十六刻晝夜永短相差二十八刻此言冬夏南國之晝夜長短不較多謬也)古者立八尺之表以驗四時日景短長地中夏至午景在表北約一尺六寸地中冬至午景在表北約一丈三尺南至交廣北至鐵勒等處驗之俱各不同葢午日偏南朔方之景四時皆長於地中南國則較短戴日之下直而無景迆邐南去景在表南啟開北户以向日非特測於南北亦當測於東西帝堯之時分命羲和之官宅於四方是也古者測景欲求一寸所差里數終未為眞葢道路迂廽難量直徑是以一寸千里之説猶自難憑(案千里差寸本非實測不徒道)(路迂迴難量直徑也隋書天文志劉焯云周官夏至日景尺有五寸先儒以為景千里差一寸南戴日下萬五)(千里今交愛之州表北無景計無萬里南過戴日是千里一寸非其實差)表髙八尺似失之短葢表短則景短差難覺表長差數易明至元已來表髙四丈誠萬古之定法也所謂土圭者自古有之然地平不在天半地上天多早晚太陽與人相近則景移必疾日午與人相逺則景移必遲世間土圭均畫而已豈免午侵巳未而早晚時刻俱差陽城地中差已如是若以八方偏地表景驗之土圭之不可準尤為顯然偏東者早景疾而晚景遲午景先至偏西者早景遲而晚景疾午景後期偏北者少其畫而景遲偏南者多其畫而景疾(案周禮言日東景夕日西景朝周髀立晝夜異處加四時相及之算謂東西距地中四分圓周之一)(則地中景正日加午東方巳過午後而加酉為景夕西方尚在午前而加卯為景朝自卯至午自午至酉皆四)(時也環東西一周隨其方而各有子午卯酉故月入闇虗天下盡同東西異地之時刻不同測月食時刻可以)(知東西地度此言偏東早景疾而晚景遲偏西早景遲而晚景疾殊謬凡時刻由赤道度而景移在地平乃早)(晚景移遲近午景移疾愈南則遲者愈遲疾者愈疾近夏至亦遲者愈遲疾者愈疾此反言之由未測驗徒憑)(胷臆言也土圭尺有五寸乃地中夏至日午之景此云世間土圭均畫則又非周禮之土圭矣)蠻越短景南指而子午反復則又訛逆甚矣
## 卷三
欽定四庫全書
革象新書巻三 元 趙友欽 撰月體半明 日月薄食目輪分視 五緯距合月體半明以黑漆毬於簷下映日則其毬必有光可以轉射暗壁太隂圓體即黒漆毬也得日映處則有光常是一邊光而一邊暗若遇望夜則日月躔度相對一邊光處全向於地普照人間一邊暗處全向於天人所不見以後漸相近而側相映則向地之邊光漸少矣至於晦朔則日月同經為其日與天相近月與天相逺故一邊光處全向於天一邊暗處卻向於地以後漸相逺而側相映則向地之邊光漸多矣由是觀之月體本無圓缺乃是月體之光暗半輪轉旋人目不能盡察故言其圓缺耳至於日月對望為地所隔猶能受日之光者盖隂陽精氣隔礙潛通如吸鐵之石感霜之鐘理不難曉(案月體較小於地體)(而皆小於日三者於太虛之間如三丸然月入闇虛而虧食闇虛當日之衝乃地景也故測此闇虛及北極髙)(下可以知地體周徑里數必日月相望近黄道白道之交乃遇闇虛因測其交之淺深以知月食分數逺於交)(則雖日月相望而或南或北地不得而揜之此慿胷臆附㑹殊疎)日月不全瑩而似瑕映於内者如明鏡映水之處則瑩照地之處則瑕以為山河所印之景者是也(案日中有黒子而月體中用大逺鏡窺見其有髙下故月之嚮)(日有吐光處有不吐光處此據流俗所附㑹非也)日月薄食日體遶地一周雖然懸虛無迹而有必由之道謂之黄道世人仰觀日輪似乎附著天體所印天體之一遭乃是在天之黄道在天之黄道比一大環日行之黄道比一小環小環在大環内相距逺近之數周遭不殊兩環之度雖有少廣皆曰一度亦猶近極經度狹赤道經度廣皆以一度言之天周既以太陽比尺而量為度則日行之道黄道得度數之真矣日雖與人相逺天去人為尤逺近視則小猶大逺視則雖廣猶窄故在天之黄道周圍雖廣以太陽度之亦止是三百六十五度四分度之一日之圓體大月之圓體小日道之周圍亦大月道之周圍亦小日道距天較近月道距天較逺月道在日道内亦似小環在大環之中周遭相距之數不殊日月之體與所行之道雖周徑有少廣之差然月與人相近日與人相逺故月體因近視而可比日體之大月道因近視而可比日道之廣亦猶日道之可比天道日月之行今常數以二十九日五十三分五秒九十三毫相㑹一次相㑹則同一經度雖因日月或盈或縮而定朔或前或後所較亦不甚多若日食於朔月食於望當以天度經緯而推其同經不同緯止曰合朔或者月從八道穿度日之黄道而出入其時日亦在彼即是同經同緯合朔而有食矣世人觀望其日體見為月之黑體所障故云日食然日體未嘗有損所謂食者强名而已日道與月道相交處有二若正㑹於交則月體障盡日體人間暗甚謂之食既雖然月體小而日體大因視殊逺近兩輪相若日月之行遲速不同須臾則兩輪參差而生光矣若同經而交不正的但在交之前後而度相近者亦見其食兩輪雖相犯所食卻不既近於正交者食分多遠於正交者食分少兩朔之間日月對躔而望平分黄道之半黄道有二交若不當二交前後而望則不食望在二交前後者其月必食或既或不既食分之數當以距交逺近而推月之黑體映日而明但是經度相對則見其光滿若相對於二交限内對經而對緯至甚的切所受日光傷於太盛陽極反亢以致月體黑暗如染紅濃厚反成紫黑也(案月入闇虚而虧食不得云所受日光傷於太盛陽極反亢以致月體黑暗此)(等附㑹之虚辭豈可加於測驗之實)以授時歴考之望在交之前後者距交一十三度五分方纔不食若在此限之内則有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内月食必既餘八度七十分雖是食限卻不是食既之限食於此者所食不既食分則有多寡愚因思之測得日月之圓徑相倍日徑一度日道即廣一度月徑止得日徑之半月道亦止得日道之半道之廣狹隨其體之大小也日體與日道雖廣一度月體與月道雖狹一半然月體與月道在於近視亦準一度是猶省秤比於複秤斤兩名數雖同其實則有輕重之異(案日月之實徑日大於月近十九倍此云日月之圓徑相倍非也日)(月在天距人絶逺以度計皆視徑日約半度竒月較日稍大月近於日故也此云日徑一度月亦準一度皆非)日體對衝之處往古名曰闇虛似乎日之像景月體因之而失明故云闇日非有像景强立其名故云虛言其非實有也其闇虚之圎徑倍於月體之圓徑闇虚縁日而有故其圓徑與日相等日之圓徑倍於月則闇虚之圓徑亦倍於月月道之廣既準一度則闇虛之道廣二度矣(案日徑大於地徑五倍竒地徑大於月徑三倍半竒地障日光而為闇虚愈近地則愈大愈逺地則)(愈小而漸鋭無有矣由日大於地故也日月在天皆非平行故月入闇虚之時測之其徑大小不定不出一度)(半内外此云廣二度非也)今擬畫闇虛之黄道廣二度又畫月之本道色白而廣一度兩道相交假以一寸為一度交前四度三十五分并交後四度三十五分共八度七十分通作一段為既外後限將圓板一片塗黑比為闇虚之形其徑二寸又將圓板一片塗粉比為月形其徑止廣一寸將此兩板於畫圖相犯而比之若剪紙以代板亦可自闇虚之黄道初犯處至中段相距八度七十分月在其間望者折半處食五分其食五分之所距初犯處四度三十五分距既限亦四度三十五分以衝望處較距交逺近増近八十七分則食數増一分增逺八十七分則食數減一分後限比前限相同今以月體之先犯處名曰此邊後犯處名曰彼邊闇虗之黄道先犯處亦曰彼邊後犯處卻曰此邊月犯黄道厯八度七十分而望所食十分止見月犯黄道一度之廣其増近八度七十分經度以直數也其犯黄道一度之廣緯度以横數也此際食既者月體在黄道之彼邊止占黄道之半廣盖月體止一度而闇虚之黄道廣二度也若謂黄道止廣一度則止是正交處食既不當有八度七十分既限矣此卻不然更令厯盡八度七十分而望月之全體猶自盡在黄道偏於此邊之半廣既然前限以直移八度七十分而月體正横移一度此既限又以直移八度七十分而月體再横移一度即是月之此邊横厯二度矣由此知闇虚之黄道横廣二度黄道廣二度故既限與前後兩限數均若云闇虚之黄道止廣一度則當如日食之不立既限安得前後兩限與中間既限各八度七十分共二十六度一十分如許其長哉若云廣一度半則中間既限當減其半矣日食至十分止十分即是食既月食乃至十五分止然十分已是食既食既則月盡黑以所食雖既纔蝕既限故蝕十分以上之數為既内分月望正在交的而食則名曰既内五分乃十五分也所以然者月之食限交前後各十三度五分歸限八度七十分而望則巳食十分矣更歸八十七分而後望則食十一分葢十三度五分均為十五分每分計八十七分食十分計歸限八度七十分又既内五分計四度三十五分共十三度五分乃前限之一半其出後限亦然月食分數止以距交逺近而論别無四時加減八方所見食分竝同日食則不然矣舊厯云假令中國食既戴日之下所虧纔半化外反觀則交而不食何以言之日月如大小二毬非若二餅之平圓也日食非體失明但因黑月障人所視所以云食也月雖障日與人相去較逺畧似片雲掩翳非能盡障日體偏傍望之則不盡然若將赤毬比月大小相同共懸一索日上月下相去稍逺人在其下正望之則黑毬遮盡赤毬比若食既傍視而分逺近之差即食數有多寡也日行有四時早晚之異月行有九道之殊日行多南月在隂厯則中國見食分多月在陽厯則中國見食分少偏南之地開北户可以向日此處月在陽厯反食多隂厯反食少戴日之下則在酌中之間夏日近中國冬日近交廣如此則戴日之下不定酌中之處亦移凡食在午前見食早食在午後見食遲地偏西者見食早地偏東者見食遲推歩厯之南北差乃為四時而加減又以地偏南北逺近而加減之南北不可以路里計但自考其表景更視北極出地度數而推之東西差則為早晚而加減又以地偏東西逺近而加減之東西亦不可以路里計但自考其表景更驗中星而加減之今太史所報之數止言中國所見也雖然推步有法終是未密時或有失於多寡日月交朔於夜望食於晝者在所不論葢已没入地則不見其食也若帶食分出入在於晨昬之際雖不見其食甚但見初虧或見復圓以前者則亦論之所謂食甚之時乃在初虧復圓酌中處非食既者亦於此際食分最多從此則轉減少矣若月食既又云甚者葢以初既之時名食既卻於食既之後生光之先取其酌中處名為食甚日食既者則不然食既食甚生光總不分别止作食甚時刻言之葢食既不久止在須臾也在望交者月道廣一度闇虚之道廣二度兩度相犯處多故食限不少有一十三度五分在朔交者日月之道止廣二度兩道既皆不廣相犯處不多故食限少約計八度左右日食限少故逐年罕見其食月食限多故頻見其食月之圓徑一度而闇虚圓徑二度故兩輪相犯之時刻久朔交而仰觀日月則大小相若故相犯之時刻不多所謂起復方位是以月在隂陽厯論之月在陽厯者日食起於西南甚於正南復於東南月食起於東北甚於正北復於西北月在隂厯者日食起於西北甚於正北復於東北月食起於東南甚於正南復於西南凡日月食至八分已上者日食但云起於西復於東月食但云起於東復於西或曰天體之内大地在太虚之中亦為大月望而緯度不對者可以偏受日光之全大地不可傍障若望而經緯俱對則大地正當其間所以相障而月食食不盡者稍有參差也愚卻以為不然推步闇虚者以比圓體而求月食今大地卻非圓體大地邊傍四圍與夫地平之下不可見其圓與不圓夜半前後月食難以辨論矣倘食於晨昬出入之際則須大地之上如覆半瓜今陽城在地中非髙於四逺又且地平之北髙南下但見其平斜地形非似半瓜則闇虚不可言地景矣(案地體雖渾圓百里數十里不)(見其圓人目直注不能環曲試泛舟江湖但見舟所到之處隆起而水之來不見其首水之去不見其尾洞庭)(之廣日月若出没其中逺山悉在環曲下不為障也測北極出地髙下及東西各方月食之時刻早晚皆地體)(渾圓地度上應天度之證張衡靈憲曰當日之衝光常不合者蔽於地也是謂闇虚月過則食使闇虚非地景)(何物適當日之衝随日旋轉有徑可測乎此昧於地體而疑之由測騐䟱耳)日陽月隂陽主徳隂主刑有國家者日食則懼徳之有失月食則懼刑之有失故日食修徳月食修刑所謂救之者非能救其食是乃觀乎天文以察時變不得不儆戒耳夫子於迅雷風烈必變况有國家者於日月食乎要日月之食乃所行交道常數雖太平盛世有所不免故可以籌䇿先推非若三辰有反常之變也目輪分視物小而近蔽逺則多立步小移所障迥别夫日月之行道於列㝛雖似依躔相去懸逺測望之所不同見其少廣亦異今以畫圖喻之畫一車輪周圍輻輳比三百六十餘度輪圍比天之㝛躔轂竅比六合之中以黄紙剪為日體以黒紙剪為月體所以黑者月體本黑受日之光耳日大月小其圍徑相倍於輻度内置日月同躔月近轂中日近輪圍然近中䖏度狭近圍䖏度廣日月雖大小不同俱謂之占一度然後量日月距緯之數以黄色畫日道黑色畫月道不必廣止畫一線之周各取日月體心為距數不以匡廓為準别将透眀薄紙又畫大輪圗與先畫輪圗相似但大小不同周徑相倍名薄紙之圗曰眼輪其轂竅以比測望眼目若将薄紙之轂加扵先畫之轂即是眼瞳在六合之中矣若於此處遍望則月體所遮正在本度今地平不當天半地上天多地下天少須當移眼輪圖放低比似眼在地平既已移低則望月體所遮之天度非本度矣此非特比望各㝛經度亦可比望去極緯度假若月在嵩髙則地中與天中所望相同月漸低近四傍地中仰望則所遮之度差髙矣近天頂則所差尚少近四傍則所差漸多天中與地中相逺其折半之所平展周圍强名夾中於地中觀望此處所遮差數最多夾中以下遮差卻漸少矣假若於六合之中遍觀太陽食既處常在正交的度為是天中在懸虚之所不可升彼測望止就地中望之則食既度未免移差矣非特地中與天中相殊偏方與地中視躔亦别偏東之地望太隂所躔差西偏西之地望太隂所躔差東其南北差互亦然欲得其下正數須當考驗以立差法使地平之中及八方所覩如天中然此乃仰觀之事(案此即前天地正中)(以下等篇昧於地體之謬説徒足滋惑)若地平少廣之理亦當言之世間湖池於水濱平望則廣登髙俯視則小人多不悟其理今以此圖比之將籌策一條横平於輪輻之内平近於眼轂則所占輻多移低而亦横平比如眼瞳俯視則所占度少矣占輻度多雖小猶大少則雖大若小也五緯距合往古謂天道左旋七政右轉如蟻旋磨磨順蟻逆磨疾蟻遲故天引之而西後世考驗乃知兩曜懸虚運轉本不附著於天各有所行之道恐五緯亦然今且以磨蟻比之月因日而有晦朔弦望其遲疾卻不因日五星則因日而遲留伏逆近日則疾逺日則遲遲甚而留留久而退漸疾退退最疾而復遲退如初退止而留留久而順行卻從最遲以至於最疾最疾則與太陽同躔矣嵗星最疾約四日行一度熒惑最疾約七日行五度塡星最疾約七日行一度此三星比之太陽行度較少故伏合以後太陽在前嵗星距日十三度而晨見熒惑距日十九度而晨見塡星距日十八度半而晨見凡晨見者俱在東方大約近一逺二而留周天相半而退嵗星初留約距日一百九度初退約距日一百三十一度熒惑初留約距日一百三十四度初退約距日一百四十四度塡星初留約距日九十四度初退約距日一百二十八度凡退行最疾之時必與太陽對衝退止而留則背距日如初退之度留久而順行則背距日如初留之度日近於後躔漸近而行漸疾背近如晨見距日度則伏而光不著與日未對衝之先夜半後可望謂之晨段與日既對衝之後夜半前可望謂之夕段太白辰星則不然太白最疾約四日行至五度有餘辰星最疾約一日行一度有餘此兩星疾而比之太陽行度較多伏合以後則行過太陽而前太白距日十度半而夕見辰星距日十六度而夕見凡夕見者俱在西方太白距日甚逺處不過四十五度辰星距日甚逺處不過二十四度既已甚逺則所行遲比太陽較少由是漸與日近太白距日三十度有餘而初留辰星距日二十一度半而初留太白留後距日二十四度有餘而初退辰星留後距日十九度半而初退凡退行之際與日相近如夕見之度伏而不著與日相逺如夕見之度晨見於東退行最疾之時必與太陽同度退止而留則距日如初退之度留久而順行則距日如初留之度遲行漸疾而漸近太陽距日如退伏之度則又伏而不著矣與日未退合之先昬後可望謂之夕段與日既退合之後曉前可望謂之晨段金木形體大故伏見與日近水火土形體小故伏見與日逺嵗星八十三年而七周天與太陽合度者七十六合期約三百九十九日熒惑七十九年而四十二周天與太陽合度者三十七合期約七百八十日填星五十九年而二周天與太陽合度者五十七合期約三百七十八日金水二星似乎近侍之臣常與太陽不相逺故隨太陽而一年周天太白八年而五合於太陽退合者又五約五百八十四日而逆順兩合辰星四十六年之間合於太陽者一百四十五退合亦然約一百一十六日而順逆兩合此乃五緯之常數也古者止知五緯常度未知有變數之加減北齊張子信仰觀嵗久知五緯又有盈縮之變當加減常數以求其逐日之躔所以然者葢五緯不由黄道亦不由月之九道乃出入黄道内外五緯各自有其道視太陽逺近而遲疾者如足力之勤倦又有變數之加減者比如路里之徑直斜曲嵗星加減最多處約七度熒惑加減最多處二十五度有餘塡星加減最多處八度有餘太白加減最多處四度有餘辰星加減最多處六度有餘此乃五緯盈縮之變數也其他羅㬋計都月孛紫氣每日所行均平竝無遲疾夫羅㬋計都者是從月交黄道而求月交之終始該三百六十三度七十九分三十四秒厯二十七日二十一分二十二秒二十四毫羅計於其間各逆行一度四十六分三十秒以此數併月行交終之度即黄道周天之度也羅計漸移十八年有餘而周天交初復在舊躔夫月孛者是從月之盈縮而求盈縮一轉該二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半孛行三度一十一分四十秒半以黄道周天之度併孛行數即月行數也大約六十二年而七周天太隂最遲之處與其同躔夫紫氣者起於閏法約二十八年而周天授時厯以一十日八十七分五十三秒八十四毫為嵗之閏紫氣則一嵗行一十三度五分四秒六十毫八十芒兩數比之乃加二之算二十八年十閏紫氣周行十二宫亦加二之算也舊云紫氣是景星然亦罕聞其見史記註云景星狀如半月生於晦朔助月為明見則人君有徳明聖之慶也五緯與月孛紫氣此皆以左旋步之羅㬋計都逆行乃右旋也若謂十一曜不附天而空轉則右轉者亦皆是左旋留段者是一日繞地一周而與天同過一度行疾者反是遲行遲者反是疾退者反是疾之甚順行而遲疾皆是一日繞地一周而以不及天行之數為所行度退行者卻是一日遶地一周而多過天行之數退遲者先天不甚多退疾則愈多矣篇内推步之法係以左旋言之未作懸虚而論然以遇見觀之魚行江河雖不附著江河之地須是慿托江河之水水順流而魚則可逆可順後先下上各任其情日月行於天雖懸空而不附著天體意其必須慿托天地之氣天體左旋而氣亦左旋日月之行以遶地而言之是見其左旋矣以經度考之亦可言其慿氣而右旋倘五緯皆是懸虚運行其左右旋亦猶是也而日月五星獨異於繁星自有行度者葢隂陽五行之精所以為造化之妙用在是非繁星之比也日月五星體性不齊故遲疾有異亦當以隂陽五行别之
## 卷四
欽定四庫全書
革象新書卷四 元 趙友欽 撰葢天舛理 渾儀制度經星定躔 横度去極占景知交 偏逺準則葢天舛理渾天論謂天如鷄子地如中黄大地在天體之内天之兩極如門樞輪輻天旋一晝夜而周兩極不離元所是故日出地則曉日没地則昬葢天論則不然謂天形如葢北極如葢之頂正當天最髙處四海外則比葢之圍簷其葢平旋一晝夜而周葢頂不離元所上天下地地下無天亦無南極日常在天未始出没但去此度逺則此夜而彼晝去彼度逺則此晝而彼夜為其天逺則似乎較低也南地日午則為北地夜半西地天初曉東地天初昬四方之更互皆然釋典所謂日遶須彌山而晝夜互者助葢天之説也葢天之說以天愈低而愈逺今北斗近南則髙而小近北則低而大由是觀之北極之北天雖愈低郤與中國相近如此則葢天之謬明矣夏晝長而夜短太陽在地下時少故井水冷冬晝短而夜長太陽在地下多故井水温是亦可一見渾天之有理又以葢天而論近日之星常隠逺日之星當常見隠見平分周天之半既然如是北斗之柄與夏至太陽相近緣何徹夜耿耿夏至太陽躔東井其婁胃張翼諸㝛既在半周天内緣何晨昬猶見於東西夫日出二刻半而天先曉日没後二刻半而天方昬夏至太陽近北極子時望北天自當如天之將曉否則豈非葢天謬邪然太陽出没各與地域相近逺晨昬之遲早想必不同假若日常在天恐衆星亦距日遠近而隠既止係乎地域之晝夜則未可以盡信也(案周髀云笠以寫天又云天象葢笠地法覆槃又云天如倚葢皆就人所)(見渾圃之半言之故狀如車葢如笠合下半則亦渾圓也渾天圖星象於渾圓外面人如在天外觀天葢天圖)(星象於半圓内面人仍是在天内觀天與仰瞻於天不殊既圖之於内不得不剖渾圓為二也其云晝夜異處)(如四時相反東方日中西方夜半西方日中東方夜半是地之東西如循環也云北極左右物有朝生暮穫趙)(君卿註云北極之下從春分至秋分為晝從秋分至春分為夜是其地平與赤道適齊日過赤道而北其方日)(出地平日過赤道而南其方日入地平也葢天之學不特知天體渾圓併知地體亦渾圓可謂測驗至精至密)(漢以來言渾天者不逮也此所引葢天之説乃後人附㑹之妄强加之葢天以便於攻之其亦誣矣)渾儀制度古者有渾天儀又有所謂葢天宣夜葢天不可憑信宣夜失其所傳渾天之儀有三一曰六合儀二曰三辰儀三曰四遊儀共為一器所謂六合儀者平置一黒環準為地平列十二辰及八干四隅於其上又置黒雙環竝結於地平之子午半在地上半在地下比為天脊於其側刻為周天去極之緯度從地平子位而上三十六度夾一小板於黒雙環之間板中通一圓竅比為北極又從地平午位而下三十六度亦夾一小板作為圓竅比為南極則置赤單環比為赤道於上刻周天之經度結於地平卯酉其赤環最髙處結於北極之南九十一度初天頂之南三十六度也四環總六合儀此如天地之定位赤環雖刻周天之經度實非周天之經度乃周地之經三百六十餘度也黒環雖刻周天去極之度亦止是周地之緯度三百六十有餘也葢為六合儀不以運轉天體郤左旋故云周地而不云周天也所謂三辰儀者亦置黒雙環與六合儀之雙環同但圍徑較小所刻才是周天去極之度不可言周地度矣所以然者此雙環之北板竅與六合儀之北板竅相通共貫一圓軸南板亦然軸既圓則此雙環可以運轉轉於六合儀内轉非定體故云此是周天去極度亦置赤單環如六合儀者附結於雙動環之上去極九十一度乃是卯酉兩月太陽所過之躔赤環所刻周天赤道之度可以随雙環而運轉之别置黄單環附結於赤環之卯酉㝛度仍刻周天黄道度數恐黄赤兩環動揺不穏又作白環佐輔之使無傾欹之患其白環於天郤無所比此五環總為三辰儀所謂四遊儀者亦置黒雙環與三辰儀之雙環同但圍徑較小於上亦刻周天去極度其北極竅與在外二板竅通一軸南板亦然此雙環之内各置一直幹名曰直距似乎圓扇之脊與兩極相比數均上下俱一外軸量兩距之長去其當半處作一圓竅别置一圓板之心穿定八尺衡管圓板兩傍聨為圓軸横距於直距之兩竅軸圓可轉則衡管可以南北低昂而窺天又隨此雙環而運轉東西則無徃而不可窺望故曰四遊儀窺管長八尺故四遊之環徑八尺在外者以次而畧寛若測望各宿星躔則於三辰環上知有幾度中外天官亦知分𨽻在各宿幾度分𨽻在去極幾度又於南軸之外接連一長木以此長木貫定水輪引水運之則南軸因此而轉使其一晝夜而周又可比天體之遶地一周也於三辰儀上布列珠玉比為星象即古者璿璣玉衡之遺製也(案璿璣本作璇機周髀有正北極及北極璇機之名有七衡六間冬至日在外衡夏至在)(内衡春秋分在中衡之規法正北極即赤道極為左旋之樞北極璇機即黄道極為右旋之樞中衡即赤道餘)(六衡悉準之是為十二中氣日隨天而左之規法以七衡均分黄道界之為十二黄道斜而七衡與赤道平列)(此虞夏商周相傳之舊至秦而失其傳漢人草創渾天儀設窺管謂之衡後儒援漢製以當古璇機玉衡於其)(本法益莫之或考矣)經星定躔古者逐夜測騐中星遂知黄道各㝛度數又以渾儀比較而後定但所謂赤道分經之度郤是於渾儀上以黄道推之赤道度數已定復以赤道推變逐年黄道度數如是算之如恐反覆不順今當言之夫赤道距兩極之數南北不殊且十二次度均必然萬古不易黄道則半偏南而半偏北各次宿度多少不等又因日躔嵗差逐年改異理宜先測赤道以分天體郤以赤道推變黄道之度古者雖以赤道推變黄道其赤道郤是先憑黄道而測今欲先測赤道但地平不當天半地上天多地下天少世人與天之髙處相逺四傍之低天則相近天髙處望度差於密天低處望度差於踈渾儀不可以測今别作一術測之於地中置立壺箭刻漏雖依舊製但用水遲速不同木箭之刻畫亦異箭分一百四十六畫半一晝夜之間其箭浮沉各五十次如是則一日不云百刻乃云百箭葢以一日分為百箭之久每日天體繞地一周則是運行三百六十六度餘四之一天運一度則箭之浮沉移四十畫百箭總計一萬四千六百五十畫乃天體遶地一周之數也此壺漏不常用但以推測經星度數然一晝夜之間換水五十次恐有參差則時刻與天先後當就一所置立壺漏四所制度相同庶幾可以互相是正壺漏在於屋内别於簷外置一木架四柱而中空不拘大小髙低内容一人坐立架上平放長木兩條其長與架相稱髙五寸許濶二寸許各鑿水溝試令平正兩木之間留一長罅其闊不及半寸約三四分首尾廣狹均停直指子午中向所謂中向者正午表景最短則憑其指南候昬見時人於架内窺測其眼須當低罅一尺有餘否則所望不定若於長木之上以板加之令髙則不必低罅一尺矣然亦當用兩人以兩架測之庶幾可以彼此㕘較觀象者候視各㝛若距星來當罅中隨即聲説看箭者言其箭畫數目秉筆者記之然箭畫以五色間雜庶幾便於夜觀其餘中外天官亦當如此推測須當再驗三四夜以審訂焉且測半周天其餘候過半年而推測(案此及後篇皆泥於地上天多地下天少之謬説於測驗極疎)横度去極渾儀不可測經度亦不可測横度今既别立測經度法亦當别立測横度法其法不拘四時不用壺漏亦不用經度之架别置一架以測之但須地中測驗方得其正先於露地鑿為方穴正向子午傍挾卯酉以四柱木架置於穴中髙出地平數寸許方廣稱穴架内可容人坐立尺寸不拘其穴口之南樹一長木與架相逺丈餘髙七尺許其架之作十字之交但十字之木不向子午卯酉乃斜指四維而各構於柱正交之心樹立一表約髙六尺作竅於表首可通琴線不須寛廣但令線無澀滯其竅向南之下二尺許别鑿一方竅將平木一條於穴内毋令突露竅北其平木約厚二寸許闊四寸許長出竅南一丈穩附於架南所樹之木平木正指子午之中上鑿水溝以試平正於平木左邊均畫九十一度有竒乃周天四分之一以一寸準為一度又於平木之上一寸許再構平木一條與在下之平木不異但在上之畫處作通竅可容鐵箸在下者之畫處止作淺竅以承鐵箸鐵箸長二尺許箸首大竅似乎大針之狀插在平木最南之畫竅箸竅繫以琴線穿從表竅過北有窺筒約長五尺以上首尾各有一環下環在筒尾之上側數寸許係於表根上環繫於琴線窺筒直倚表北琴線長短稱之葢線短則繫筒不及線長則窺筒偏斜窺筒端直則筒下可以直窺嵩髙一人在架外地上而漸移鐵箸箸移畫竅而北窺筒之首漸移然恐東西揺曳不定當釘兩木於表側以夾之鐵箸逐畫北移則可以測衆星所在之度測者聲説屋下之人書記之若筒平至地筒孔低在表根十字交下則可測際地之度矣須先測北極不動處定在平木為準的之所其餘中外天官須於筒内觀其偏正逺近當從最南度測起漸移九十一度以至最北星象漸轉復可如前測之測望至曉則最低之度升至最髙天髙處度差密天低處度差疎如此則平木之南畫當密北畫當疎平木左邊先畫均度不可移改當考南密北疎之數别於右邊分畫疎密之度亦是周天四分之一但地平不當天半地上天多嵩髙至北望地際恐不止九十一度而已當先測赤道經度考其地平上下隱顯幾何也東出西没之間不止半周度數則南地緯度亦當増矣増於測度之平木亦度其漸疎而畫焉須當兩人用兩架測望庶幾可以彼此參較仍作三四夜審訂之審訂已定移架指北而測南木亦移樹於表北與測北不殊但不用均畫之度止須以較定疎密之度測之南北俱已測定則其畫數合得半周天度然恐有餘數是地上天多也然止可測半周天當俟半年而再測此術係穴地置架若於平地置架亦可測之但穴地置架則架上之表低而似短平地置架則架上之表髙而似長架上之表既髙過所樹之木不可不減則低而相稱否則不然窺筒亦當減短所以平地亦可測者葢望逺之差不差於移步但差於改向且如夜行所戴之星移步於四郊以望所見並同皆因上仰而望向不改也雖不移步但轉其目所見異矣故知異同在於改向不在於移步架上穴而就平地或遷置於東西南北似乎移步窺筒斜轉横直是為改向茲欲明其移步改向之理故先言穴地而復不用之原夫地面髙低不齊豈能準則而一之穴於髙處無異於平地而低徒然穿鑿何况目齊地平微有所障便難盡視不若置架於平地但移架而免移所樹之木也占景知交於地中置立一表約髙四丈表首置圓物狀如燈毬亦可竹篾為之而用紙糊但不可透明須令塞實亦不可小小則景淡大郤不妨表下四傍平地以石灰塗之令白以黒畫方眼若棊枰然一眼方一寸其畫縱横正向子午卯酉然必須廣逺塗畫之使早晚其景皆在其上或不用石灰但將白紙糊簟而畫著地砌釘平妥以代之於是推測四時日景又測九道月景於棊枰上考究東西南北遲疾之差則可推日月兩景相犯求其日食分數并求虧圓時刻起復方位八方偏地亦當如此測景比較地中之差但可推測日食葢日食關係仰望參差所以此景可測若夫月食止須歩日度相對不可以兩景相犯而推之偏逺準則地中之子午卯酉四嚮既正則輪盤可正二十四嚮矣然八方之地各有偏嚮何以言之葢因測地中而知之春分前二日秋分後二日此兩日之卯酉時太陽在地盤卯酉正位假若地偏南北者則卯酉表景不相直以正卯之景定輪盤則不對正酉以正酉之景定輪盤則不對正卯北極是地盤正子之位日中太陽是地盤正午之位假若地偏東西者則子午兩嚮不相直以正午之景定輪盤則不對正子以正子之嚮定輪盤則不對正午若偏地而欲取正四嚮以分輪盤則二十四嚮疎密不均首尾不對矣要當各立偏嚮其偏卯偏酉雖不能端指正卯正酉然所移之數卯酉皆均不於正卯移多而正酉移少不於正卯移少而正酉移多子午之偏正亦然但地偏南北而不偏東西者子午二嚮無改異自然是卯酉均移地偏東西而不偏南北者卯酉二嚮無改異自然是子午均移若地在四隅不在四正而四嚮偏者必合均移未有準則葢午偏而傍又偏則四嚮皆偏矣何所取正而均移哉愚今思索因得偏定卯酉之方權置平木一條約長三尺闊五寸厚三寸東端之内五寸許樹構短木髙二尺西端之内五寸許樹構短木髙一尺短木之首俱作圓竅以窺筒貫於其中須令穩而不動名曰筒架别置一圓案如輪盤然徑廣約三尺不分二十四嚮周圍三百六十輻輻輳於中不滿周天全度者葢約數也置筒架於案上其長短相同使窺筒西竅齊於人目案足髙低稱之當昬見時窺望東方之星於筒内將筒架於圓輻漸遷記各星所嚮圓輻繩墨亦記其在筒内髙低偏正與夫窺見之時漏刻畫數俟已測之星曉落西方移轉架筒亦於圓輻漸遷而窺望但有一星之兩嚮相直其窺見之時刻又且昬曉兩數距夜半皆均距午亦然以此星繩墨為東西之嚮假作偏卯偏酉準繩猶未得偏卯偏酉之真故曰假所以然者葢為天逺則似較低地東者西望偏酉差南地西者東望偏卯差南欲求其眞且以假準繩為則置一木架如地中所測經度者其兩木所開長罅直指偏卯酉之假準繩測望天脊之緯度所謂天脊者自地平子際上至北極自北極上至嵩髙自嵩髙南至地平午際比如一環之半周名曰天脊平分東西於正中皆是定體午位凡緯度北距於極者至天脊而最髙最南兩傍低於天脊漸漸斜倚於北未至天脊而少偏於東尚自帶北而低已過天脊而少偏於西又復指北而低此以一緯度論也若於卯酉長罅之内仰觀則見緯度不一惟有天脊緯度與北極最近天脊兩傍東西之緯度在罅内者距天脊愈偏則距北極愈逺倘若長罅得偏卯酉之眞者脊傍所偏度均假若罅卯差北而罅酉差南其脊西之罅度相距北極較逺脊東之緯度相距北極卻近罅卯差南而罅酉差北者反是其緯度距北極之數已測中外天官為準而定即制器所測横度是也若取其偏卯偏酉之眞須移長罅而改準繩若移定而脊傍均偏者是得偏卯偏酉之眞矣雖然若是不立假準繩而便約量測天脊亦可求之其偏卯偏酉移對於正辰正申者有之移對於正寅正戌者有之偏子偏午移對於正丑正巳者有之移對於正亥正未者有之其偏地二十四嚮既定若求地偏東西之數則置刻漏準取昬曉折中取為夜半置測經度之木架罅指偏午於此夜半仰望中星以較地中夜半中星則知地偏東西之度數又從罅内候視地中夜半之中星以其偏地此時漏刻比較地中夜半漏刻此又是以時刻求東西之偏數也若求地偏南北之數但論罅内所見天脊緯度取其距北極之數計之此術固可準矣求地中之術亦可用以相參先定所偏子午卯酉繩墨卻就春分前二日或秋分後二日太陽正當赤道時分於辰申中刻視表景而畫於地但不用偏地刻漏之辰申須當以偏地刻漏較取地中之辰申正時然後將其辰申表景與所偏繩墨相較若偏子午之繩墨近辰景而逺申景者其地偏東近申景而逺辰景者其地偏西若偏卯酉之繩墨近申景而逺辰景者其地偏東近辰景而逺申景者其地偏西量其所偏逺近則是地偏東西之數用辰申景而不用卯酉景者葢偏地而求地中卯酉兩時恐太陽出没有遲早之不同或二景一有一無故用辰申也望北極而畫定正子之嚮以較偏子繩墨逺近亦是地偏東西之數用偏地刻漏較取地中午時於偏地中候得地中午時之正畫其表景於地以定正午之嚮較其偏午繩墨逺近亦是地偏東西之數將取嚮正子正午之畫與所偏繩墨相較若偏卯酉之繩墨近正子之嚮畫逺正午之嚮畫者其地偏北近正午之嚮畫逺正子之嚮畫者其地偏南若偏子午之繩墨近正午之嚮畫逺正子之嚮畫者其地偏北近正子之嚮畫逺正午之嚮畫者其地偏南量其所偏逺近則是地偏南北之數地中所戴是嵩髙偏地各有偏戴之處於偏戴之下直望在上緯度則得所戴偏距北極之數(案天頂地平随人所居而異皆以北極為正北日之随天而左一準)(赤道而宗北極故随地可為規識景以正其東西南北葢不論偏南偏北及偏東偏西而皆有子午卯酉之正)(也環地之周上應天度本無定中惟以一方為中因名其南北東西為偏則南北相差測北極出地髙下知之)(東西相差較其月食之時刻早晚知之此篇徒憑胷臆附㑹於測驗之理茫然無足取也)此術但憑天象推測然世間有所謂指南針若置偏地其所指者正午歟抑偏午歟若在偏地果指偏午則二十四嚮随偏午而定亦可用以測天若指正午則偏地難指正嚮午雖正午而子非正子首尾不對一嚮既差則二十四向皆差是不可以不辨也偏不嚮正之理已於篇首詳説不復贅辭
## 卷五
欽定四庫全書
革象新書卷五 元 趙友欽 撰小罅光景 句股測天乾象周髀小罅光景室有小罅雖不皆圓而罅景所射未有不圓及至日食則罅景亦如所食分數罅雖寛窄不同景郤周徑相等但寛者濃而窄者淡若以物障其所射之處迎奪此景於所障物上則此景較狹而加濃予始未悟其理因熟思之凡大罅有景必隨其罅之方圓長短尖斜而不别乃因罅大而可容日月之體也若罅小則不足容日月之體是以隨日月之形而皆圓及其缺則皆缺罅漸窄則景漸淡景漸逺則周徑漸廣而愈加淡大罅之景漸逺亦漸廣然不減其濃此則濃淡之别也假於兩間樓下各穿圓穽於當中徑皆四尺餘右穽深四尺左穽深八尺置卓案於左穽内案髙四尺如此則雖深八尺只如右穽之淺作兩圓板徑廣四尺俱以蠟燭千餘枝密插於上放置穽内而燃之比其形於日月更作兩圓板徑廣五尺覆於穽口地上板心各開方竅所以方其竅者表其竅小而景必圓也左竅方廣寸許右竅方廣寸半許所以一寛一窄者表其寛者濃而窄者淡也於是觀其樓板之下有二圓景周徑所較甚不多郤有一濃一淡之殊詳察其理千燭自有千景其景皆隨小竅㸃㸃而方燭在穽心者方景直射在樓板之中燭在南邊者方景斜射在樓板之北燭在北邊者方景斜射在樓板之南至若東西亦然其四旁之景斜射而不直者縁四旁直上之光障礙而不得出從旁達中之光惟有斜穿出竅而已穽内既已斜穿竅外止得偏射偏中之景千數交錯周遍疉砌則總成一景而圓所以有濃淡之殊者葢兩處皆千景疉砌圓徑若無廣狹之分但見其竅寛者所容之光較多乃千景皆廣而疉砌稠厚所以濃竅窄者所容之光較少乃千景皆狹而疉砌稀薄所以淡於是向右穽東邊減郤五百燭觀其右間樓板之景缺其半於西乃小景隨日月虧食之理也又滅左穽之燭但明二三十枝䟱密得所觀其樓板之景雖是周圓布置各自㸃㸃為方不相黏附而愈淡矣又皆滅而但明一燭則只有一景而方緣為竅小而光形尤小竅内可以盡容其光郤為大景隨空罅之象矣若依舊皆燃左穽之燭則左景復圓别將廣大之板二片各懸於樓板之下較低數尺以障樓板而迎奪其景此景較於樓板者斂狹而加濃所以迎奪其景者表其景近則狹而濃逺則廣而淡也燭光斜射愈逺則所至愈偏則距中之數愈多圍旁皆斜射所以愈偏則周徑愈廣景之周徑雖廣燭之光熖不增如是則千景展開而重疉者薄所以愈廣則愈淡亦如水多則味減也然其板不可側髙偏低否則景不正圓而長於是去其所懸之板舉其左穽連板之燭徹去穽内卓案復燃連板之燭置於穽㡳而揜之竅既逺於燭景則斂而狹所以歛狹者葢是竅與燭相逺則斜射之光斂而稍直光皆斂直則景不得不狹景狹則色當濃燭逺則光必薄是以難於加濃也先論景距竅之逺近此復論燭距竅之逺近景之逺近在竅外燭之逺近在竅内凡景近竅者狹景逺竅者廣燭逺竅者景亦狹燭近竅者景亦廣景廣則淡景狹則濃燭雖近而光衰者景亦淡燭雖逺而光盛者景亦濃由是察之燭也光也竅也景也四者消長勝負皆所當論者也於是徹去所覆兩穽之板别作圓板二片徑廣尺餘右片開方竅方廣四寸左片開尖竅三曲皆廣五寸餘各以索懸於樓板之下令其可以漸髙漸低所以漸髙漸低者表其景之逺廣而近狹也仰觀樓板之景左尖右方俯視燭光之形左全右半此則大景隨空之象各自方尖不隨燭光而圓缺也然穽大而板竅仍小今喻以為大罅者葢穽於板竅較逺逺則雖大猶小竅於樓板較近近則雖小猶大方尖竅内可以盡容燭光之形也原尖小竅之千景似乎魚鱗相依周遍布置大罅之景千數比於沓紙重疉不散張張無參差由此觀之大則總是一穽之景似無千燭之分小則不覩一穽之全碎砌千燭之景是故小景隨光之形大景隨空之象斷乎無可疑者句股測天句股之術可以測天然髙深廣逺難於推步籌䇿今姑以淺近喻之塔髙十丈未知其數於塔之正東立一木表於表東席地而卧以眼西望塔頂望見塔頂雖髙只與表末相齊於是自塔心量至表根為數五丈又自表根量至測望之眼為數一丈二尺五寸再立後表於前表正東從後表正東如前望之見塔頂亦與後表之末相齊量得兩表相逺三丈自後表之根東至測望之眼為數二丈先量得兩表皆髙二丈有餘從表首下至與眼平只髙二丈亦可以算術求其塔髙兩表相逺三丈名曰表間前目距前表一丈二尺五寸名曰前景後目距後表二丈名曰後景前後兩景相多七尺五寸名曰景差所以名為景者葢是將燈置於塔頂假若兩表有景長短必齊於眼望之處故以名其數也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸即是其表每移一丈景差二尺五寸若移前表過西一丈景必減作一丈且移過西四丈景必減盡無餘是猶表直於戴日之下則無景也如此則知塔心與前表相遠五丈以後表名為小股後景名為小句句者矩之短處也股即木匠之曲尺以塔心距前表之五丈通併表間三丈則知塔心距後表八丈更加後景二丈共計十丈名為大句塔頂髙數名為大股以小勾股作大勾股之則例既然小句二丈而小股二丈則知大句十丈大股必十丈矣若不用後表後景為小勾股而求塔髙前表前景亦可用也以前表二丈為小股前景一丈二尺五寸為小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之數五丈共六丈二尺五寸為大勾塔髙之數為大股以小句股為大句股之則例計小句之數每一丈為小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必十丈矣若或顯言塔逺之數五丈止立一表以測塔髙者如前名作小句股郤以大句求大股而為塔髙此一表之術乃先知塔逺而止求塔髙若前兩表之術則皆未知所以先求塔逺而郤慿塔逺以求塔髙也既可將逺求髙亦可將髙求逺今以畫圖言之畫一棊枰縱横各十寸每眼比一丈總為百眼如此則縱横各有十一畫邊西第一直畫塗紅喻為塔髙十丈邊東第三直畫偏低塗青喻為後表二丈當中直畫偏低塗黄喻為前表二丈於後表之東横底塗青喻為後景二丈景末作一圏喻為後目於前表之東横底塗黄喻為前景一丈二尺五寸景末作一圏喻為前目從前目斜畫一線向西而髙至塔頂名為前大弦後目亦如前畫為後大弦此兩條弦非實有物乃眼繩也謂之弦者葢矩曲畧似乎弓兩端斜距之數則似弓弰安弦兩表之末必與斜弦相湊可比兩表之末俱與塔頂相齊以圖視之眼繩兩條合尖於塔頂漸低則漸開至地平而開廣三丈七尺五寸表末只開廣三丈如此則是斂窄七尺五寸計髙一表之數二丈以心度云眼繩於地平開廣三丈七尺五寸若將斂窄盡絶則至塔頂而髙五表之數每表髙二丈則知塔髙十丈矣十丈為股用之求大句者則亦以小句股為則例而求之後表小股二丈而小句亦二丈如此則大股十丈可知大句必十丈矣大句即是塔逺後目之數前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺二寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句即是塔逺前目之數先已知大股而止求大句者不須兩表之小句股但用一表之小句股為則例而求之乃先知塔髙而止求塔逺也大句大股已得其數亦可求大弦乃眼繩之斜長即人目距塔頂之斜逺也欲求其數不可不明其乘除開方所謂乘者七其八得五十六名曰七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二與三十相乘則得三百六十所謂自乘者三其三為九或十其十為百或百其百為萬或十九自乘十九則為三百六十一凡自乘之數名曰幂幂是覆物之巾方而有眼數自乘之數必方故名為幂所謂除者七除其五十六各得八乃置五十六如七而一則為八也或八除其五十六各得七乃置五十六如八而一則為七也或十二除其三百六十而得三十謂之如十二而一或三十除其三百六十而得十二謂之如三十而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其萬而得百皆曰除也所謂開方者九而開方而得三或百而開方得十或萬而開方得百或三百六十一而開方縱横皆得十九是謂開方也凡已乘之數除則復元已除之數乘則復元今求眼繩斜長之數當用句股求弦之術其術曰句自乘名句幂股自乘名股幂兩幂相併為弦幂開為平方即得其弦凡以丈尺求者宜改為寸數以算之今以後表所測大句十丈準為大句一千寸其一千寸共乗得一百萬寸名曰句幂大股數同名為股幂相併得二百萬寸名為弦幂開為平方得後大弦乃一千四百一十四寸有竒是後表之眼繩長一十四丈一尺四寸有餘也以前表求前弦者倣之後弦之幂二百萬寸而開方譬似方磚二百萬片砌於方臺之上東西南北縱横數之皆廣一千四百一十四片尚有方磚六百四片若欲用盡無餘則碎之而砌作大方餘數此術以塔心喻戴日之下以塔頂喻日之髙以燈影喻日景喻月景亦然衆星無景則人以目就地望而準之測得三辰之髙則可知日月不附著於天而懸虛運轉若五緯較逺於經星則是五緯亦懸虛而不附著設或五緯與經星之髙逺相齊則是五緯如磨蟻而右旋矣塔之為物髙數不多兩表相距三丈亦可以測若夫三辰之髙必須兩表相距數百里否則不覺其景差里之為數長三百步每步之長伸手一度也浙尺約六淮尺約五世間路里迢遥難取徑直既然地上量之不直豈能推其三辰髙逺是以古人測表景千里一寸之差猶未親切姑以其術言之然古者制表未精今别定表之制度併述元有算法就地中各去南北數百里仍不偏於東西俱立一表約髙四丈於表首之下數寸許作一方竅所以低數寸者恐其表首景淡也所以方其竅者葢小竅有景不隨空罅之象必隨日月之形可以測日月之周徑也其竅外廣而内狹當中薄如連邉兩旁如側置漏底之盌形圓而竅方所以然者葢日光斜射之際恐其竅枵相妨也竅空之大小當於地上試景而定之直立其表而後試稍有偏斜則不可準若試而光淡者竅差小也景不圓者竅差大也須得酌中為佳若表末細而不可開大竅者以木接之以薄板接之尤妙葢為作側盌之狀也自表根量至空竅下際其寸數名曰表髙兩表制度須同不可差異少許同日測表景於正午之時自表根量地至於空竅下際之景其寸數名曰表景以南北表景之數相減餘名景差兩表相距路里變作寸數名曰表間各乗南北表景各如景差而一即得二表各與戴日之地相距寸數名曰平逺南北各以表景加之所得各以表髙乘之各如表景而一即得日輪頂與戴日地相距寸數名曰日髙乘表間如景差而一卻加表髙亦得日髙也若求日輪底之髙者量表髙則至空竅上際量表景亦至空竅上際之景算法竝不殊若將日輪頂底之兩髙數相減則知日圓之徑以南北表景各加平逺所得自乗名句幂日髙自乗名股幂兩幂相併名弦幂開為平方名曰日逺乃南北表竅之景距日斜逺也然南北各有兩數葢日輪頂底各距表竅上下之景際其相逺寸數可於南北各作兩次求之凡測早晚者倣此太隂亦然若謂表髙難直者當併樹兩表構横木以為髙架横木之中釘一方環如前表竅之制須當穏實不揺曵卻懸一壯繩以代木表繫於懸虛之中墜石去地寸許令其急而不緩則直可準矣若測衆星者量表則至於竅心望亦須在竅心也此句股之法以横測逺以樹測髙乃測髙逺也若測廣逺者則以繩引於地而為句股句與股皆横測之若測深逺者髙立表木横構二平木於表前以横測逺以樹測深此句股則又有横樹之分矣夫測三辰之髙逺者必須逺量兩表之間然難於地平直步要當節節測望地平之逺數卻通併以為表間是又不可不知也乾象周髀日之圓徑一度以算術求其周圍計三度一十四分一十六秒月之周徑比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算術求其中徑計一百一十六度二十六分五十一秒徑當周中似乎圓扇夾脊平分兩旁即是南北二極相距之直數折半計五十八度一十三分二十五秒有奇乃是六合各距天中之均數天體圓如彈丸東西南北相距皆然凡相距平分之數皆圓中之徑也古人謂圓徑一尺周圍三尺方廣一尺邊旁四尺圓象天而天數三方象地而地數四數分隂陽自然有理後世考究則不然方廣一尺而邊旁四尺無可言者若言圓徑一尺而周圍三尺則三尺尚有餘圍三尺而中徑一尺則一尺為不足葢圍三尺徑一尺是六角之田也或謂圓徑一尺周圍三尺一寸四分(案此劉徽所推)或謂圓徑七尺周圍二十二尺(案此祖沖之所推約率)或謂圓徑一百一十三周圍三百五十五(案此祖沖之所推密率)徑一尺而周三尺一寸四分猶自徑多圍少徑七尺而周二十二尺却是徑少周多徑一百一十三而周圍三百五十五最為精密今求日周天徑是此法也既論其異同亦當言其考究之術畫為百眼棊盤一眼廣一寸横十寸名句在於東西相距方圖之内畫為圓圖是去其方之四角也圓徑十寸與外方之股數相同圓徑名髀圓之髀比方之股其數同而字義不異但有方圓之别就圓圖之内又畫小方圖其小方四角不指外方之四角而斜抵東西南北之四正葢其外大方四角在於乾坤艮巽其内小四角在於坎離震兊小方四角斜弦一十寸尚是圓中之髀為數不殊於外方之股以外方而比内方包容之積相半外方積一百寸内方積五十寸何以知其然葢將外方均作四隅而視之一半歸於内一半出於外由是察之圓中之直髀即内方之斜弦内方既用為弦圓中難以名股句股與弦名不可紊故稱為髀以别之内方之弦十寸自乗得一百寸名弦幂凡弦幂必兼得句股兩幂之數今圖方而縱横相同當以弦幂均為句股兩幂各得五十寸而開方即知句股皆七寸有餘考究圓圍本起於此考究之術將薄紙剪圓而臨於棊枰之上不須於紙上畫為方眼但景映以為準則然後於此薄紙之上模下之小方以算術展為圓象充滿所定之圓圍自四角之方添為八角曲圓為第一次若第二次則求其為曲十六若第三次則求其為曲三十二若第四次則求其為曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次則求其為曲一萬六千三百八十四其初之小方漸加漸展漸滿漸實角數愈多而其為方者不復方而變為圓矣故自一二次求之以至一十二次可謂極其精密若節節求之雖至千萬次其數終不窮須當逐節作為大小句大小股大小句幂大小股幂小弦小弦幂大弦大弦幂但大弦與大弦幂不於節次作之畢竟止用本數而已今先以第一次言之内方之弦十寸名大弦自乗淂一百寸名大弦幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一次大句幂減其大弦幂餘五十寸名第一次大股幂開方得七寸七釐一毫有竒名第一次大股以第一次大股減其大弦餘二寸九分二釐八毫有奇名第一較以此較折半得一寸四分六釐四毫有竒名第一次小句此小句之數乃是内方之四邉與圎圍最相逺䖏也以第一次小句自乗得二寸一分四釐四毫有竒名第一次小句幂以第一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分名第一次小股幂以第一次小股幂併第一次小句幂得一十四寸六分四釐四毫有奇名第一次小弦幂以第一次小弦幂開方得三寸八分二釐六毫有竒名第一次小弦即是八曲之一八乗其第一次小弦得三十寸六分一釐有奇是即八曲之周圍也此以小數求之不若改為大數所以然者盖求至十二次數之降者漸小愈小則不便於數名當将大弦改為一千寸大弦幂改為一百萬寸第一次大句幂改為五十萬寸大股亦如之然後依法而求若求至第二次者以第一次小弦幂就名第二次大句幂以第一次大股幂減其大弦幂餘為第二次大股幂開方為第二次大股以減其大弦餘為第二較折半名二次小句此小句之數即是八曲之邊與圎圍最相逺䖏也以第二次小句自乗名第二次小句幂以第二次大句幂兩折名第二次小股幂以第二次小股幂併第二次小句幂名第二次小弦幂以第二次小弦幂開方為第二次小弦即是十六曲之一以十六乗其第二小弦即是十六曲之周圍也以第二次倣第一次若至十二次亦遞次相倣而已置第十二次之小弦以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乗之得三千一百四十一寸五分九釐二毫有奇即是千寸徑之周圍也置此周圍之數降呼作三尺一寸四分一釐五毫九絲二忽有奇以一百一十三乗之果得三百五十五尺故言其法精密要之方為數之始圓為數之終圓始於方方終於圓周髀之術無出於此矣◆ 《七政推步-明-》（KR3f0006）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
七政推步 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹案七政推步七卷明南京欽天監監副貝琳修輯即焦竑國史經籍志所載瑪沙伊赫(原作馬沙亦黒今改正)之回囘厯也考明史厯志囘囘厯法乃西域黙徳訥(原作黙狄納今改正)國王瑪哈穆特(原作馬哈麻今改正)所作元時入中國而未行洪武初得其書于元都十五年命翰林李翀吳伯宗同囘囘大師瑪沙伊赫等譯其書遂設回囘厯科𨽻欽天監而貝琳自跋又稱洪武十八年逺夷歸化獻土盤法預推六曜干犯名曰經緯度時厯官元統去土盤譯為漢算而書始行于中國與史所載頗不合按書中有西域歲前積年至洪武甲子嵗積若干算之語甲子為洪武十七年其時書已譯行則琳之説非也其書首釋用數次日躔次月離次五星求法並太隂出入時刻凌化五星恒星度分末載日食月食算術餘皆立成表其法以隋開皇己未嵗為厯元不用閏月以白羊金牛等十二宫為不動之月以一至十二大小月為動月各有閠日所推交食之分寸晷刻雖亦時有出入而在西域術中視九執萬年二厯實為精宻梅文鼎勿菴厯算書記曰囘囘厯刻于貝琳其布立成以太隂年而取距算以太陽年巧藏根數雖其子孫𨽻䑓官者弗能知然囘厯即西化之舊率㤗西本囘厯而加精耳亦公論也明一代皆與大統厯參用明史頗述其立法大畧然此為原書更稱詳晰惟其法本以土盤布算用本國之書明初譯漢之後傳習頗寡故無所校讎訛脱尤甚今以兩本互校著之于録用存術家之一種而補明史所未備焉乾隆四十六年三月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書七政推步卷一明 貝琳 編釋用數例周天計十二宮共三百六十度每一宮三十度 每一度六十分 每一分六十秒 每一秒六十微 每一微六十纖釋囘囘厯法積年西域阿刺必年(開皇己未)為元至洪武甲子積七百八十六算釋宮分日數白羊戌宮三十一日 金牛酉宮三十一日陰陽申宮三十一日 巨蟹未宮三十二日獅子午宮三十一日 雙女巳宮三十一日天秤辰宮三十日 天蝎卯宮三十日人馬寅宮二十九日 磨羯丑宮二十九日寳瓶子宮三十日 雙魚亥宮三十日已上十二宮即囘囘厯書所謂不動的月者是也共三百六十五日乃歲周之日也若遇宮分有閏之年於雙魚亥宮之三十日内又添一日其年周歲得三百六十六日也釋月分大小及本音名號第一月大(名法而斡而丁) 第二月小(名阿而的必喜世)第三月大(名虎而達) 第四月小(名提而)第五月大(名木而達) 第六月小(名沙合列斡而)第七月大(名列黑而) 第八月小(名阿斑)第九月大(名阿咱而) 第十月小(名答亦)第十一月大(名八哈慢) 第十二月小(名亦思番達而麻的)已上十二月即囘囘厯書所謂動的月者是也大月三十日小月二十九日共三百五十四日乃十二月之日也若遇月分有閏之年於第十二月内又添一日為大月其十二月得三百五十五日也釋七曜數及本音名號日一數(名也閃别) 月二數(名都閃别) 火三數(名寫閃别)水四數(名察兒閃别) 木五數(名盤閃别) 金六數(名阿的那)土七數(名闕閃别)釋閏法求宮分閏日(西域歲前積年即開皇己未為元)法曰置西域歲前積年(減一用之)以一百五十九乘之内加一十五以一百二十八除之餘不滿法之數若在九十六之上其年宮分有閏日若在九十六之下其年宮分無閏日所除滿法之數内加五滿七除之餘數即所求年白羊宮一日七曜也求月分閏日法曰置西域歲前積年(減一用之)以一百三十一乘之内加一百九十四共得滿三十除之餘不滿法之數若在十八已上其年月分有閏日若在十八已下其年月分無閏日將滿法除得之數滿七已上去之不盡之數即所求年第一月一日七曜也凡算閏日者有宮分内閏日有月分内閏日若算得宮分内有閏日者於雙魚亥宮内添一日為三十一日月分内不添若算得月分内有閏日者於第十二月内添一日為大月宮分内却不添如宮分月分内俱算得有閏日若宮分内月分内各添一日是也求中國閏月(至元甲子至洪武甲子計積一百二十一算)法曰距至元甲子歲為元至所求年内減一算却加一百三十七以一百二十三乘之又加一十以三百三十四除之得數寄左其除不盡之數若在二百一十一已上其年中國有閏月已下其年中國無閏月若在已上者與三百三十四相減餘以四乘之又以四十一除之得數即為所求年中國閏月也假令除得一數是正月二數是二月餘倣此當時測定太陽五星最高行度太陽二宮二十九度二十一分土星八宮十四度四十八分木星六宮初度八分火星四宮十五度四分金星二宮十七度六分水星七宮六度十七分七政經緯度法太陽行度求最高總度(西域歲前積年至洪武甲子歲積七百八十六算内減一算為)(全年)法曰置西域歲前積年(即係全年)入總年零年月日立成内各取最高行度併之假令零年是十年者去九年内取月分日數倣此共得即為所求最高總度也求最高行度法曰置求到最高總度内加測定太陽最高行度二宮二十九度二十一分共得為所求年白羊宫最高行度也如求次宮者累加五秒為各宮最高行度也求中心行度法曰置西域歲前積年(即係全年)入總年零年月日立成内各取日中心行度併之共得内減一分四秒即所求年白羊宮一日中心行度也内加九度五十一分二十三秒為各宮内第十一日中心行度也内加一十九度四十二分四十七秒為二十一日中心行度也求各宮中心行度法曰置求到白羊宮一日中心行度内加日躔十二宮立成各宮下日中行度即為各宮中心行度也求自行度法曰置其日中心行度内減其宮最高行度即為所求自行度也求加減差法曰視自行度宮度入太陽立成宮度内取加減分乘其自行度分已下小餘得數滿六十約之為加減定分却視本行加減差少如後行者以加減定分加之多如後行者以加減定分減之為加減定差如自行度在初宮至五宮為減差在六宮至十一宮為加差即為所求加減差也求經度法曰置其日中心行度以加減差加減之即為所求經度也(逐日細行度與土星木星細行度同法)太陰經度求七曜(如求太陽五星羅計七曜者並依此法求之即得各曜所求七曜也)法曰置西域歲前積年(即係全年)入立成内取總年零年月日下七曜數併之共得滿七已上去之即為所求年白羊宮一日七曜也如求次宮者内加各宮七曜數如求逐日者累添一數滿七已上去之即得所求也求中心行度(晝夜行十三度一十分三十五秒)法曰置西域歲前積年(即係全年)入立成内各取總年零年月日下中心行度併之共得内減一十四分即為所求年白羊宮一日中心行度也如求次日者累加中心行度十三度一十一分即得所求求加倍相離度(晝夜行二十四度二十二分五十三秒二十二微)法曰置西域歲前積年(即係全年)入立成内各取總年零年月日下加倍相離度併之共得内減二十六分即為所求年白羊宮一日加倍相離度也如求次日者累加加倍相離度二十四度二十三分即得所求求本輪行度(晝夜行十三度三分五十四秒)法曰置西域歲前積年(即係全年)入立成内各取總年零年月日下本輪行度併之共得内減一十四分即為所求年白羊宮一日本輪行度也如求次日者累加本輪心行度一十三度四分即得所求求第一加減差法曰視加倍相離度其宮度入太陰第一加減立成内宮内度下兩取之得其度分為未定差其分已下小餘以本行加減分乘之滿六十約之為分視加減差少如後一行者加之多如後一行者減之用加減兩取到未定差即為所求第一加減差也(視加倍相離度在初宮至五宮為加差六宮至十一宮為減差)求本輪行定度法曰置求到本輪行度以第一加減差加減之即為所求本輪行定度也(視加倍相離度在初宮至五宮為加差六宮至十一宮為)(減差)求第二加減差法曰視本輪行定度其宮度入太陰第二加減立成内宮内度下兩取之得其度分為未定差其分已下小餘以本行下加減分乘之滿六十約之為分視加減差少如後行者加之多如後行者減之用加減兩取到未定差即為所求第二加減差也視本輪行定度(初宮至五宮為減差六宮至十一宮為加差)求比敷分法曰視加倍相離度宮度入太陰第一加減立成内宮内度下兩取之即為所求比敷分也(如加倍相離度零分)(在三十分已上者取後一行比敷分)求遠近度法曰視本輪行定度其宮度入太陰第二加減立成内宮内度下兩取之得數又本行與後行相減餘以乘本輪行定度小餘滿六十約之為分用加減兩取遠近度視遠近度少如後行者加之多如後行者減之得數即為所求遠近度也求汎差法曰置比敷分以遠近度通分乘之得數滿六十約之為分即為所求汎差也求加減定差法曰置第二加減差内加汎差共得即為所求加減定差也(視本輪行定度初宮至五宮為減差六宮至十一宮為加差)求太陰經度法曰置其日太陰中心行度以加減定差加減之得數(言加者加之言減者減之)即為所求太陰經度也五星經度求最高總度法曰依太陽術求之即為所求最高總度也求最高行度法曰置求到各星最高總度内加測定各星最高行度共得即為所求年白羊宮最高行度也如求次宮者累加五秒即得各宮最高行度也求日中行度(亦名中心行度)法曰依太陽術求之即為所求日中行度(如求次宮者内加各)(宮日中行度求十日者加十日日中行度自然吻合也)求自行度法曰置西域歲前積年(即係全年)入立成内總年零年月日下各取自行度併之共得即為所求年白羊宮一日自行度也土木金三星減一分水星減三分火星不減(如求次宮者内加各宮自行度求十日者内加十日自行度自然吻合也)水星如自行度遇三宮初度作五日一叚算至九宮初度作十日一叚算緯度亦然求小輪心度法曰土木火三星置太陽中心行度内減其星自行度為土木火三星中心行度内又減最高行度為其星小輪心度也金水二星置太陽中心行度(即其)(星中心行度也)内減其星最高行度餘為金水二星小輪心度也(如求次宮并十日二十日者並依前法求之也)求第一加減差法曰視其星小輪心度其宮度入各星第一加減立成内宮内度下兩取之得其度分為未定差其分已下小餘以本行下加減分乘之滿六十約之為分視加減差少如後行者加之多如後行者減之用加減兩取到未定差即為所求第一加減差也求自行定度及小輪心定度法曰視其星小輪心度在初宮至五宮以第一加減差加自行度減小輪心度為定度在六宮至十一宮以第一加減差減自行度加小輪心度為定度即各得所求求第二加減差法曰視其星自行定度其宮度入各星第二加減立成内宮内度下兩取之得其度分為未定差其分已下小餘以本行加減分乘之滿六十約之為分視加減差少如後行者加之多如後行者減之用加減兩取到未定差即為所求第二加減差也求比敷分法曰視小輪心定度其宮度入第一加減立成内宮内度下兩取之即得為土木金水四星比敷分(如小)(輪心定度小餘分在三十已上者取後行比敷分用之)火星以兩取到比敷分與後行相減餘以乘小輪心定度小餘滿六十約之為秒視比敷分少如後行者加之多如後行者減之用加減兩取到比敷分即為所求比敷分也求遠近度法曰視自行定度其宮度入第二加減立成内宮内度下兩取遠近度又本行與後行相減餘以乘自行定度小餘滿六十約之為分視遠近度少如後行者加之多如後行者減之用加減兩取到遠近度即為所求遠近度也求汎差法曰置比敷分以遠近度通分乘之得數滿六十約之為度分即為所求汎差也求加減定差法曰置第二加減差内加汎差共得視自行定度在初宮至五宮為加差六宮至十一宮為減差即為所求加減定差也求五星經度法曰置小輪心定度以加減定差加減之内加各星最高行度共得即為所求五星經度也求五星留退叚(土星留七日其留日前三日後三日皆與留日數同木星)(留五日其留日前二日後二日皆與留日數同火金水三星不留退而即行行而即退)法曰視其留叚小輪心定度其宮度入五星順退留立成内宮内度下兩取各星下宮度分本行與前後二行相減(若取得在初宮至六宮本行與後行相減六宮至初宮本行與前行相減)餘為法又置其日小輪心定度内減立成内小輪心定度餘為實通分以法乘之用六度除之滿六十約之為分視兩取各星下宮度分順行者加之退行者減之用加減兩取到各星下宮度分得數與其日自行定度同者即本日留如自行定度多者已過留日少者未到留日以兩取到各星下加減所得宮度分與自行定度相減餘以立成内各星一日下自行度約之即得留日在本日前後日數也求留日自行度法曰置其日自行度如留在前者減留在後者加視前後幾日以立成内各星自行度加減之即得所求求留日小輪心度法曰金水二星置其日小輪心度視留在前後幾日以立成内日中行度分加減之(留在前者減留在後者加)即得所求土木火三星視留在前後幾日以立成内三星自行度去減立成内日中行度分餘加減其日小輪心度(留在前者減留在後者加)即得所求求五星細行法曰如土木火金四星以前後二叚經度相減以相距日除之為日行分却置前叚經度以日行分順加退減之即得所求(水星白羊宮初日經度又算前一日經度二數相減餘為)(初日行分)又如水星置本叚經度與前一日經度相減餘為初日行分却置前後二叚經度相減餘以相距日除之得數為平行分與初日行分相減得數倍之以前叚前一日與後叚相距日數除之為日差置初日行分以日差加減之如初日行分少如平行分者加多如平行分者減得數為日行分置前叚經度以逐日行分順加退減之即為水星逐日經度也五星伏見求五星伏見法曰視各星自行定度在伏見立成内限度已上者即得五星晨夕伏見也太陰緯度求計都與月相離度法曰置太陰經度内減計都行度餘即為計都與月相離度分也(如不及減者加十二宮減之也)求太陰黃道南北緯度法曰視計都與月相離度宮度分其宮度入太陰緯度立成内宮内度下兩取之得其度分秒為未定緯度其小餘分以本行加減分乘之得數滿六十約之為分秒視兩取未定緯度在前六宮加後六宮減用加減未定緯度即為所求太陰黃道南北緯度也視計都與月相離度在初宮至五宮為黃道北六宮至十一宮為黃道南求計都中心行度法曰置西域歲前積年入立成内取總年零年月日下羅計中心行度併之假令零年是十年者去九年内取月分日數倣此即為所求年白羊宮一日羅計中心行度也如求次宮者以各宮羅計中心行度加之如求十日者以十日下羅計中心行度加之即得所求求計都行度法曰置十二宮内減其日計都中心行度即得所求求計都細行度法曰以前後二叚行度相減餘以相距日數除之為日差却置前叚計都行度以日差累減之即得計都逐日細行度也求逐日羅㬋行度法曰置其日計都行度内加六宮即為逐日羅㬋行度也五星緯度求最高總度最高行度中心行度自行度小輪心度並依五星經度術求之即得求自行定度法曰置自行度宮度分其宮以一十乘之為度於上如一宮以十乘之得十度其度以二十乘之為分滿六十約之為度其分亦以二十乘之滿六十約之為分併入分内共得又滿六十約之為度併入於上共得即為所求自行定度也求小輪心定度法曰置小輪心度宮度分其宮以五乘之為度於上如一宮以五乘之得五度其度以一十乘之為分滿六十約之為度其分亦以一十乘之為秒滿六十約之為分併入分内又滿六十約之為度併入於上共得即為所求小輪心定度也求五星黄道南北緯度法曰視小輪心定度并自行定度入緯度立成内兩取得數置小輪心定度内減立成上小輪心定度餘通為分以兩取數本行與後行相減(若遇交黄道者本行)(與後行相併)得數為法乘之以立成上小輪心度累加數除之滿六十約之為分用加減兩取數(多如後行減少)(如後行加)得數寄左(若遇交黃道者雖是後行數多只減之也)又置自行定度内減立成上自行度餘以兩取數本行與下行相減(若遇交黃道者本行與下行相併)得數為法乘之以立成上自行度累加數除之滿六十約之為分與寄左加減如兩取數多如下行者減少如下行者加(若遇交黃)(道者所得分多如寄左數置所得分内減寄左數餘為交過黄道南北分也)得數即為所求五星黃道南北緯度也求五星緯度細行法曰置其星前叚緯度與後叚緯度相減餘以相距日除之為日差置前叚緯度以日差順加退減之即得逐日緯度也求前後叚遇中間交黃道者法曰置其星前後叚緯度併之共得以相距日除之為日差置前叚緯度以日差累減之至不及減者於日差内減之餘以日差累加之即得所求太陰五星凌犯求太陰晝夜行度法曰置次日經度内減本日經度餘即為本日晝夜行度也求昏刻度(朔後看)法曰置其日午正太陰經度内加立成内其日昏刻加差即為其日昏刻太陰經度也求月入度法曰置其日午正太陰經度内加立成内其日月入加差即為其日月入時太陰經度也求月出度(朢後看)法曰置其日午正太陰經度内加立成内其日月出加差即為其日月出時太陰經度也求晨刻度法曰置其次日午正太陰經度内減立成内其日晨刻減差餘為其日晨刻太陰經度也求所犯星座法曰朔後視昏刻至月入度宮度望後視月出至晨刻度宮度各入黃道南北各像内外星立成内其星經緯度相近者取之即得所犯星座也求時刻法曰置其日午正太陰經度與取到各像内外星經度相減餘通分以二十四乘之得數以太陰晝夜行度亦通分除之得西域時命起子午正減之(朔後)(命起午正望後去減十二時餘命子正)得中國時(其小餘以六十通之為分)以一千乘之以一百四十四除之得數以一百約之為刻即得所求時刻也又法曰置其日午正太陰經度與取到各像内外星經度相減餘與太陰晝夜行度入時刻立成内兩取之其上即得所求時刻也(若太陰經度多如所犯星經度取午前時)(刻若太陰經度少如所犯星經度取午後時刻)求上下相離分法曰置取到各像内外星經度内減其日計都度(如不)(及減者加十二宮減之)餘為計都與月相離度依太陰緯度術入之得太陰緯度也(即太陰某時犯某星其時所行緯度也)與所犯星緯度相減餘為上下相離分若月與星同在南者(月多為下離月少為上離)同在北者(月多為上離月少為下離)若月與星南北不同者(月在北為上離月在南為下離)即為所求上下相離分數也求五星凌犯雜座法曰視其日午正五星經緯度入黃道立成内尋各像内外星經緯度相近在一度已下者取之其五星緯度與各星緯度相減(上下同前)餘即得上下相離分也求月犯五星法曰其用法次第並依太陰犯雜座星術入之即得所求求五星相犯法曰視其日五星經緯度相近在一度已下者取之即得所求交食辨日食限法曰若合朔在晝者視太陰緯度在黃道南四十五分已下為有食在黃道北九十分已下者為有食又合朔在日未出三時者係西域時視太陰緯度在黃道南四十五分已下黃道北九十分已下為有食又合朔在日入一十五分者(一時六十分一十五分即四分時之一也)視太陰緯度在黃道南四十五分已下黃道北九十分已下亦為有食辨月食限法曰視朢日太陰經度與羅㬋或計都度相離一十三度之内為有食又視朢日太陰緯度在一度八分之下為有食又法視朢日太陰未出二時或未入二時與太陽相朢者其限有帶食用算在未出或未入二時已上者即在晝也不用算推日食法午正太陽度 午正太陰行過太陽度午正太陰經度 午正太陽中心行度午正太陰緯度黃道南北午正太陽自行度 午正計都度午正太陰本輪行度太陽日行度 太陰日行度求食甚泛時(視其日午前合朔用前一日諸數推之午後合朔用次日諸數)(推之)法曰置午正太陰行過太陽度通秒以二十四乘之得數為實又置太陰日行度内減太陽日行度餘通秒得數為法置實滿法除之為時其時下零數以六十通之為分分下零數以六十通之為秒滿三十秒已上収為一分滿六十分収為一時共得數即為所求食甚泛時也求合朔時太陽度法曰置食甚泛時通分得數以太陽日行度通秒乘之得數以二十四除之為㣲滿六十約之為分秒用加減午正太陽度(午前合朔減之午後合朔加之)餘即為所求合朔時太陽度即食甚日躔黃道宮度分求加減分法曰視合朔時太陽度其宮度入晝夜加減立成内橫取加減分為未定加減分以本行加減分與後一行加減分相減餘以乘其合朔時太陽度小餘得數為纖滿六十約之為㣲又約之為秒去加減横取到未定加減分(少如後行者加之多如後行者減之)得為所求加減分也求子正至合朔時分秒法曰置食甚泛時内加減前求到加減分(午前合朔減午後合)(朔加)餘數加減一十二時得即為所求子正至合朔時分秒也(午前合朔用減十二時午後合朔用加十二時)求第一東西差法曰視合朔時太陽度在某宮若在右七宮取上行時若在左七宮取下行時橫推太陽某宮視子正至合朔時某時内兩取經差為未定差又取次一時經差與未定差相減餘通秒寄左又置子正至合朔時小餘亦通秒得數與寄左相乘得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定經差(如次一時經差少者減之)(如次一時經差多者加之)即為所求第一東西差也求第二東西差法曰視合朔時太陽度在某宮又推取次一宮又視子正至合朔時某時内兩取經差為未定差又取次一時内經差與未定差相減餘通秒寄左又置子正至合朔時小餘亦通秒與寄左相乘得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定經差(如次一時經差少者)(減之如次一時經差多者加之)即為所求第二東西差也求第一南北差法曰視合朔時太陽度在某宮又視子正至合朔時在某時内兩取緯差為未定差又取次一時内緯差與未定差相減餘通秒寄左又置子正至合朔時小餘亦通秒與寄左相乘得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定緯差(如次一時緯差少者減之如次一時緯差多者)(加之)即得所求第一南北差也求第二南北差法曰視合朔時太陽度在某宮又推取次一宮又視子正至合朔時某時内兩取緯差為未定差又取次一時内緯差與未定差相減餘通秒寄左又置子正至合朔時小餘亦通秒與寄左相乘得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定緯差(如次一時緯差少者)(減之如次一時緯差多者加之)即為所求第二南北差也求第一時差法曰視合朔時太陽度在某宮又視子正至合朔時在某時内兩取時差為未定差又取次一時内時差與未定差相減所餘分寄左又置子正至合朔時小餘分通秒與寄左相乘得數為㣲滿六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定時差(如次一時時差少者減之如次一時時差多者加之)即為所求第一時差也求第二時差法曰視合朔時太陽度在某宮又推取次一宮又視子正至合朔時在某時内兩取時差為未定差又取次一時内時差與未定差相減所餘分寄左又置子正至合朔時小餘分通秒與寄左相乘得數為㣲滿六十約之為秒又以六十約之為分去加減兩取到未定時差(如次一時時差少者減之如次一時時差多者加之)即為所求第二時差也求合朔時東西差法曰置第一東西差與第二東西差相減餘通秒寄左又置合朔時太陽度分通秒與寄左相乘以三十度除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減第一東西差(視第一東西差多如第二東西差者減之少如第二東西差者加之)即為所求合朔時東西差也求合朔時南北差法曰置第二南北差與第一南北差相減餘通秒寄左又置合朔時太陽度分通秒與寄左相乘以三十度除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減第一南北差(視第一南北差多如第二南北差者減之少如第二南北差者加之)即為所求合朔時南北差也求合朔時時差法曰置第一時差與第二時差相減餘通秒寄左又置合朔時太陽度分通秒與寄左相乘以三十度除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分去加減第一時差視第一時差(多如第二時差者減之少如第二時差者加之)即為所求合朔時時差也求合朔時本輪行度法曰置太陰本輪行度一十三度四分(即立成内一日下本輪行)(度也)通分以食甚泛時亦通分乘之得數以二十四除之為秒滿六十約之為分又以六十約之為度去加減其日午正本輪行度(午前合朔減之午後合朔加之)即為合朔時本輪行度也求比敷分法曰視合朔時本輪行度入立成宮度内橫取其比敷分為未定分又與次一行比敷分相減餘為法又置合朔時本輪行度(内減立成内橫推宮度餘通分)以法乘之得數為㣲以六度除之滿六十約之為秒用加減橫取到未定比敷分(視次行比敷分少者減之多者加之)即為所求比敷分也求東西定差法曰置求到合朔時東西差通秒為實以求到比敷分亦通秒為法乘之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分得數(此數)(常加之)加入合朔時東西差共得為東西定差也求南北定差法曰置前求到合朔時南北差通秒為實以求到比敷分亦通秒為法乘之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分得數(此數常加之)加入合朔時南北差共得為南北定差也求食甚定時法曰視其日合朔時太陽度在左七宮其時差黑字者減白字者加在右七宮白字者減黑字者加皆加減子正至合朔時得數命起子正減之(如午後合朔者)(内減十二時命其午正減之)得某時初正餘數以六十通之為秒以一千乘之以一百四十四除之以六十約之滿百為刻得若干刻幾十幾秒也即食甚定時求食甚時太陰經度法曰置合朔時太陽度内加減東西定差其加減依求食甚定時術視時差白黑字加減之即為食甚時太陰經度也求合朔時計都度法曰置前求到食甚泛時通分寄左以計都日行度三分一十一秒(係立成内一日下計都度)通秒得一百九十一秒以乘寄左得數以二十四除之得數為㣲滿六十約之為秒又以六十約之為分用加減其日午時計都度(午時前合朔加午時後合朔减)共得為合朔時計度宮度分也求合朔時太陰緯度法曰置前求到食甚時太陰經度内減合朔時計都度餘為計都與月相離度依術入太陰緯度立成内求之得黃道南北度分為合朔時太陰緯度也求食甚太陰緯度法曰置南北定差内加減合朔時太陰緯度視合朔時太陰緯度(在黃道南加在黃道北減)皆與南北定差相加減之得為食甚太陰緯度也求合朔時太陽自行度法曰置太陽中行度五十九分八秒(即立成内一日下太陽日中行)(度)通秒得三千五百四十八秒以食甚泛時通分乘之以二十四除之得數為㣲滿六十約之為秒又以六十約之為分得數用加減其日午正自行度(午前合朔減午後合朔加)即為合朔時太陽自行度也求太陽徑分法曰視合朔時太陽自行度其宮度入影徑分立成内同宮近度者横取太陽徑分為未定徑分寄左又取次一行太陽徑分與寄左相減為法又置合朔時太陽自行度内減立成内自行同宮近度餘通秒為實以法乘之以六度除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒用加減横取到未定徑分(如次一行太陽徑分少者減之多者加之)即為太陽徑分也求太陰徑分法曰視合朔時本輪行度入影徑分立成同宮近度者内横取太陰徑分為未定徑分寄左又取次一行太陰徑分與寄左相減為法又置合朔時本輪行度内減立成内同宮近度本輪行度餘通分得為實以法乘之以六度除之得數為㣲滿六十約之為秒用加減橫取到未定徑分(如次一行徑分多者加之少者)(減之)共得為太陰徑分也求二徑折半分法曰置太陽徑分併入太陰徑分共得數半之得為二徑折半分也求太陽食限分法曰置二徑折半分内減食甚太陰緯度(如不及減者不食)餘為太陽食限分也求太陽食甚定分法曰置太陽食限分通秒以一千乘之為實以太陽徑分通秒為法除實得數以百約之為分得為太陽食甚定分也求時差法曰置食甚太陰緯度通秒自乘之得數寄左又置二徑折半分亦通秒自乘之得數内減寄左餘數以平方開之得數以二十四乘之為實以其日太陰日行度内減太陽日行度餘通分為法實如法而一得數為分如滿六十分約為一時即為所求時差也求初虧時刻法曰置食甚定時内減時差餘時命起子正減之得初正時餘分(通秒)以一千乘之得以一百四十四除之以六十約之滿百為刻即初虧時刻秒也求復圓時刻法曰置食甚定時内加時差命起子正減之得初正時餘分(通秒)以一千乘之得以一百四十四除之以六十約之滿百為刻得即復圓時刻也求初虧食甚復圓方位法曰視太陽若食既或食八分九分者初虧在正西食甚在正南復圓在正東若食八分已下者却視食甚太陰緯度在黃道北者初虧西北食甚正北復圓東北在黃道南初虧西南食甚正南復圓東南又曰置二徑折半分内減食甚太陰緯度餘視與太陽徑分同者食十分若多如太陽徑分者食十分已上即食既也食甚太陰無緯度太陰徑分與太陽徑分同者全食黑了若太陰徑多如太陽徑者食既也若太陰徑分少如太陽徑分者其食有金環推月食法推月食用數太陽日中行度 太陽自行度 太陽行度太陰經度 本輪行度 計都度太陽日行度 太陰日行度求食甚泛時(視其日午前望用前一日諸數推之午後望用次日諸數推之)法曰置其日太陰經度内減六宮如不及減者加十二宮減之得數減其日太陽度為午前望(如不及減者置)(其日太陽度加入六宮内減其日太陰經度為午後望)置相減餘數通秒以二十四乘之為實置其日太陰經度内減前一日太陰經度(若在午後望者去減後一日太陰經度也)餘為太陰日行度也又置其日午正太陽度内減前一日午正太陽度(若在午後望者去減後一日太陽度也)餘為太陽日行度去減太陰日行度餘通秒為法除實得數為時其時下餘數以六十通之為分分下餘數又以六十通之為秒即為所求食甚泛時也求食甚月離黃道宮度分法曰置食甚泛時通秒寄左又置求到太陽日行度通秒以乘寄左以二十四除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分得數為加減分去加減其日午正太陽度(午前望減)(午後望加)餘為望時太陽度内加六宮得數即為所求食甚月離黃道宮度分也求晝夜加減差法曰視求到望時太陽度其宮度入晝夜加減立成内宮度下兩取之得數為未定加減分又本行加減分與後行加減分相減以乘望時太陽度下小餘通秒得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒去加減兩取到未定加減分(如加減分多如後行者減)(之少如後行者加之)餘為所求晝夜加減差也求食甚定時法曰置求到食甚泛時内加減晝夜加減差(午前望減午後)(望加)餘數去加減一十二時即為食甚定時(如在午後望者)(内加一十二時命起子正減之如在午前望者去減十二時命起子正減之)得初正時其小餘通秒以一千乘之如一百四十四而一得數滿六十約之為秒得數以百約之為刻得幾刻幾十幾秒即食甚定時也求望時計都度法曰置求到食甚泛時通秒為實以立成内一日下計都中心行度三分一十一秒通秒乘之以二十四除之得數為纖滿六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分用加減其日午正計都度(午前望加午後望減)共得即為所求望時計都宮度也求望時太陰緯度法曰置求到食甚月離黃道宮度分内減望時計都度(如不及減者加十二宮減之)餘為計都與月相離度依太陰緯度術求之得黃道南北初度分秒即為所求望時太陰緯度也求望時本輪行度法曰置立成内一日下太陰本輪行度一十三度四分通分以前求到食甚泛時通秒乘之以二十四除之得數為㣲滿六十約之為秒又以六十約之為分又滿六十約之為度得數用加減其日午正本輪行度(午前望減午後望加)餘即為所求望時本輪行度也求太陰影徑分法曰視求到望時本輪行度其宮度入影徑分立成宮度下横取太陰影徑分為未定影徑分又置影徑分本行與後行相減餘寄左置望時本輪行度内減立成内同宮近度餘通分與寄左相乘得數為㣲以六度除之滿六十約之為秒用加減取到未定影徑分(如影徑分少如次行者加之多如次行者減之)即為所求太陰影徑分也求太陰徑分法曰視求到望時本輪行度其宮度入影徑立成下横取太陰徑分為未定徑分又置徑分本行與後行相減餘寄左置望時本輪行度内減立成内同宮近度餘通分與寄左相乘得數為㣲以六度除之滿六十約之為秒用加減取到未定徑分(如太陰徑)(分少如次行者加之多如次行者减之)即為所求太陰徑分也求望時太陽自行度法曰置立成内一日下太陽中心行度五十九分八秒通秒以食甚泛時通秒乘之以二十四除之得數為纖以六十約之為㣲又以六十約之為秒又以六十約之為分用加減其日午正太陽自行度(午前望減午後望加)餘即為所求望時太陽自行度也求太陰影徑減差法曰視求到望時太陽自行度其宮度入影徑立成内宮度下横取太陰影徑減差為未定差又置影徑減差本行與次行相減餘寄左置望時太陽自行度内減立成内同宮近度餘通分與寄左相乘以六度除之得數為㣲以六十約之為秒用加減取到未定差(如影徑減差少如次行者加之多如次行者減之)得為太陰影徑減差也求太陰影徑定分法曰置求到太陰影徑分内減影徑減差餘即為影徑定分也求二徑折半分法曰置求到太陰徑分内加影徑定分得數半之得即為所求二徑折半分也求太陰食限分法曰置求到二徑折半分内減求到望時太陰緯度餘即為所求太陰食限分也(如不及減者則不食)求食甚定分法曰置求到太陰食限分通秒以一千乘之得為實置太陰徑分通秒為法除實得數以百約之得數即為所求太陰食甚定分也求太陰逐時行過太陽分法曰置太陰望日經度内減前一日太陰經度餘數寄左置望日太陽度内減前一日太陽度餘數用減寄左得為太陰晝夜行過太陽度通秒以二十四除之滿六十約之得即為所求太陰逐時行過太陽分也求時差(即初虧至食甚也)法曰置求到望時太陰緯度通秒自乘之得寄左又置二徑折半分亦通秒自乘之得數内減寄左餘為積平方開之得為實以太陰逐時行過太陽分通秒為法除實得為時差其時下小餘以六十通之為分分下小餘以六十通之為秒即為所求時差也求初虧時刻(午後望者食甚定時内減十二時用初虧食既生光復圓同)法曰置求到食甚定時内減時差餘命起子正減之(如午後望命起午正減之)得初正時其小餘通秒以一千乘之得以一百四十四除之得滿六十約之得數百約為刻得幾刻幾十幾秒也求復圓時刻法曰置求到食甚定時内加時差得數命起子正減之(如午後望命起午正)得初正時依前求刻法約之即得刻秒也求食既食甚加減差法曰置二徑折半分内減太陰徑分餘通秒自乘之得數寄左又置望時太陰緯度亦通秒自乘之去減寄左餘以平方開之得數為實以太陰逐時行過太陽度通秒為法除實得數以六十通之為分其分下小餘以六十通之為秒即為所求食既至食甚加減時差也求食既生光時刻法曰置食甚定時内減食既至食甚加減時差為食既時又置食甚定時内加食既至食甚加減時差為生光時其時之初正并刻秒並依初虧時刻法求之是也求初虧食甚復圓方位法曰視月食若食既者初虧正東復圓正西若不食既者視望時太陰緯度在黃道南者初虧東北食甚正北復圓西北如太陰緯度在黃道北者初虧東南食甚正南復圓西南相乘定數 (度乘分得分度乘㣲得㣲) (度乘秒得秒分乘分得秒)(分乘秒得㣲秒乘秒得纖) (分乘㣲得纖)相除定數 (度除分滿法得分度除㣲滿法得㣲) (度除秒滿法得秒分除分滿法得度)(秒除秒滿法得度)推日月出入帶食法求日出入時法曰視其日午正太陽經度入西域晝夜時立成内宮内度下兩取之得數為未定分其未定分本行與後行相減餘通分為法又置太陽經度分已下小餘通秒為實以法乘之得數為㣲以六十約之為秒又以六十約之為分加入兩取未定分得數寄左又視其日午正太陽經度相對宮度内兩取之(如太陽在初宮三度却於六宮三度内取之他倣此)得數為後取未定分其後取未定分本行與後行相減餘通分為法又置太陽經度分已下小餘通秒為實以法乘之得數為㣲以六十約之為秒又以六十約之為分加入後取未定分得數内減寄左(如不及減者加三百六十度減之)餘數通秒以十五除之滿六十約之為分又滿六十約之為時得其日晝時分秒折半之為其日半晝時分秒置十二時内減半晝時分秒餘為日出時分秒又置十二時内加半晝時分秒共為日入時分秒即得所求求日月出入帶食所見分秒法曰視其日日出時分秒并日入時分秒多如初虧時分秒少如食甚定時及復圓時分秒者即有帶食也置其日日出時或日入時分秒與食甚定時分秒相減餘為帶食差置日月食甚定分以帶食差通秒乘之以時差通秒除之得數為帶食分置食甚定分内減帶食分餘為日月帶食所見之分也求月食更㸃法曰置其日晝時内加七十二分為晨昏時折半之為半晨昏時置二十四時内減晨昏時餘為月食之日夜時通秒以五約之為更法又五約更法為㸃法如食在子正以前者置各初虧食甚復圓等時分秒内減十二時又減半晨昏時分秒餘通秒以更法除之為更數不滿法者以㸃法除之為㸃數皆命起初更初㸃算外為各更㸃也如食在子正以後者置月食之日夜時分秒内減初虧食甚復圓等時分秒餘通秒以更法除之為更數不滿法者以㸃法除之為㸃數皆命初更初㸃算外為各更㸃也此書上古未嘗有也洪武十八年遠夷歸化獻土盤厯法預推六曜干犯名曰經緯度時厯官元統去土盤譯為漢算而書始行乎中國歲久湮没予任監佐每慮廢弛而失眞傳成化六年具奏修補欽蒙准理又八年矣而無成今成化十三年秋而書始備命工鋟梓傳之監臺以報聖恩以益後學推厯君子宜敬謹焉七政推步卷一
## 卷二
欽定四庫全書七政推步卷二明 貝琳 編日五星中行總年立成日五星中行零年立成日五星中行月分立成日躔交十二宮初日立成日五星中行日分立成(土星經度與天不合加一度三十○分方合)太陰經度總年立成太陰經度零年立成太陰經度月分立成太陰經度日躔交十二宮初日立成太陰經度日分立成太陽加減立成太陽加減立成太陽加減立成太陽加減立成太陰經度第一加減比敷立成太陰經度第一加減比敷立成七政推歩卷二
## 卷三
欽定四庫全書七政推步卷三明 貝琳 編太陰經度第一加減比敷立成太陰經度第一加減比敷立成太陰經度第二加減遠近立成太陰經度第二加減遠近立成太陰經度第二加減遠近立成太陰經度第二加減遠近立成土星第一加減比敷立成土星第一加減比敷立成土星第一加減比敷立成土星第一加減比敷立成土星第二加減遠近立成土星第二加減遠近立成土星第二加減遠近立成土星第二加減遠近立成七政推步卷三
## 卷四
欽定四庫全書七政推步卷四明 貝琳 編木星第一加減比敷立成木星第一加減比敷立成木星第一加減比敷立成木星第一加減比敷立成木星第二加減遠近立成木星第二加減遠近立成木星第二加減遠近立成木星第二加減遠近立成火星第一加減比敷立成火星第一加減比敷立成火星第一加減比敷立成火星第一加減比敷立成火星第二加減遠近立成火星第二加減遠近立成火星第二加減遠近立成火星第二加減遠近立成七政推歩卷四
## 卷五
欽定四庫全書七政推步卷五明 貝琳 編金星第一加減比敷立成金星第一加減比敷立成金星第一加減比敷立成金星第一加減比敷立成金星第二加減遠近立成金星第二加減遠近立成金星第二加減遠近立成金星第二加減遠近立成水星第一加減比敷立成水星第一加減比敷立成水星第一加減比敷立成水星第一加減比敷立成水星第二加減遠近立成水星第二加減遠近立成水星第二加減遠近立成水星第二加減遠近立成太陰黃道南北緯度立成太陰黃道南北緯度立成七政推步卷五
## 卷六
欽定四庫全書七政推步卷六明 貝琳 編土星黃道南北緯度立成木星黃道南北緯度立成火星黃道南北緯度立成火星黃道南北緯度立成金星黃道南北緯度立成金星黃道南北緯度立成 (黄道)(北) (黄道) (南)金星黃道南北緯度立成 (南) (黄道) (北)(南) (黄道) (北)水星黃道南北緯度立成水星黃道南北緯度立成(南黄道) (北)(南) (黄道)水星黃道南北緯度立成 (北) (黄道) (南)(北) (黄道) (南)太陰出入晨昏加減度立成五星伏見立成五星順留立成五星退留立成黃道南北各像内外星經緯度立成七政推步巻六
## 卷七
欽定四庫全書七政推步卷七明 貝琳 編太陰凌犯時刻立成凌犯入宿圖推月與五星入宿法法曰置各宿初界宫度分其月入宿緯度并時刻並依太隂凌犯求緯度時刻法推之其五星入宿者視各宿初界宫度與五星午正經度相近者取之是也晝夜加減差立成(推算交食用)太陽太陰晝夜時行影徑分立成(推算交食用)經緯時加減差立成(推算交食用)西域晝夜時立成七政推步巻七◆ 《聖壽萬年曆-明-朱載堉》（KR3f0007）
## 0
欽定四庫全書 子部六
聖壽萬年厯 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案聖夀萬年厯五巻附律厯融通四巻明朱載堉撰載堉有樂書已著錄明史厯志曰明之大統厯實即元之授時承用二百七十餘年未嘗改憲成化以後交食往往不騐議改厯者紛紛如俞正已冷守中不知妄作者無論已而華湘周濂李之藻邢雲路之倫頗有所見鄭世子載堉撰律厯融通進聖夀萬年厯其説本之南京都御史何瑭深得授時之意而能匡所不逮臺官泥於舊聞當事憚於改作並格不行云云即指此二書也其書進於萬厯二十三年疏稱授時大統二厯考古則氣差三日推今即時差九刻蓋授時減分太峻失之先天大統不減失之後天因和㑹兩家酌取中數立為新率編撰成書其步發斂步朔閏步晷漏步交道步五緯諸法及嵗餘日躔漏刻日食月食五緯諸議史皆詳採之蓋於所言頗有取也今觀其書雖自行所見斷斷而爭不免有主持太過之處其測騐亦未必過郭守敬等之精然史載崇禎二年以日食不驗切責監官五官正戈豐年言郭守敬以至元十八年造厯越十八年為大徳三年已當食不食六年六月又食而失推是時守敬方知院事亦付之無可奈何况斤斤守法者哉今若循舊向後不能無差則當時司厯之人已自有公論無怪載堉等之攻擊不已也况其書引據詳明博通今古原原本本實有足資考證者又不得以後來實測之宻遂一切廢置矣載堉數學史稱本之何瑭瑭其舅氏也而載堉進疏乃稱本之許衡蓋恐瑭在同時不為徴信故託衡以重其書耳乾隆四十六年六月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 1
欽定四庫全書聖夀萬年厯巻首明 朱載堉 撰鄭世子臣載堉謹奏為恭進厯書上祝萬夀敬陳愚見以仰禆盛典萬一事先臣南京都察院右都御史何瑭乃臣外舅江西撫州府通判何諮之祖也臣父恭王壯年蓋甞師友於瑭臣雖未獲面覿而亦幸私淑焉瑭與元儒許衡同里慕其象數之學衡所撰授時厯備載元史瑭亦甞著隂陽律呂之說名曰管見臣性愚鈍嗜好頗同忝居桑梓復與𤓰葛静居多暇讀其書而恱之探索既乆偶有所得是故不揣狂謬敢以一得之愚敬為皇上陳之庶或芻蕘之見葵藿之忱亦得少禆盛典於萬一也伏望天恩曲垂鑑宥俯賜容納臣下情不勝感戴不勝幸甚臣聞在昔聖人法天垂象擬宸極而運璿璣揆乾元而敘景曜分辰野辨躔厯敬農時興物利皆以繫順五行紀綱萬物以前民用而詔方來者也是故伏羲仰觀俯察因厯作易分二以象兩儀掛一以象三統揲四以象時歸竒以象閏合乾坤之䇿三百六十當期之日凡此之類取法於厯者不一而足然則易以厯為本厯在易之先其來尚矣逮乎炎帝分八節以始農功軒轅紀三光而闡書契迎日推䇿旁羅日月星辰乃命容成綜六術考氣象建五行察發斂起消息正閏餘述而著焉謂之調厯洎于少昊則鳯鳥司厯顓頊則南正司天帝嚳序三辰厯日月而迎送之由是堯欽厯象敬授人時鳥火虚昴以殷四仲舜在璣衡以齊七政協時月正日同律度量衡禹行夏正為百王不易之法湯武革命改統易朔治厯明時箕子陳洪範協用五紀嵗月日時無易百榖用成乂用明俊民用章家用平康自古聖帝明王莫不皆以此事為盛舉至若仲尼丘明雖在匹夫下位每於朔閏發文矯正得失宣明厯數不自以為僭者葢謂既知斯理豈可不言以愚當世是不仁也以㒺其上是不忠也安避僭越之嫌而黙然以自欺哉故左傳仲尼曰丘聞之火伏而後蟄者畢今火猶西流司厯過也孟軻氏曰天之髙也星辰之逺也茍求其故千嵗之日至可坐而致也夫術士知數而未達其理故失之淺先儒明理而復善其數故得之深數在六藝之中乃學者常事耳仲尼之徒通六藝者七十餘人未甞不以數學為儒者事數非律所禁也天運無端惟數可以測其機天道至𤣥因數可以見其妙理由數顯數自理出理數可相倚而不可相違古之道也古者天子有日官諸侯有日御以和萬國以協三辰至於寒暑晦明之徵隂陽生殺之數啟閉升降之紀消息盈虚之節皆應躔次以合天道故能該浹生靈調和元氣以扶治化之本四方之政由斯而行凡為國家者履端立極必體其元布政考績必因其嵗禮動樂舉必正其朔三農百工必依其時五刑九伐必順其氣庶務百為必從其期故五紀有常度庶徵有常應正朔行之於天下巍巍乎君道之最尊此天地之大紀帝王之重事是以聖人寳之故虞書曰天之厯數在爾躬此之謂也是故厯者有常之數也不可一日而差差之毫釐則亂天人之序乖百事之時誠有國家者之所重而宋歐陽修曰後世厯學一出於隂陽之家其事則重其學則末孔子之徒亦未甞道夫修為此說者蓋抑傷之云耳臣又考諸大戴禮曰聖人慎守日月之數以察星辰之行次序四時之順逆謂之厯截十二管以定八音之上下清濁謂之律律居隂而治陽厯居陽而治隂律厯迭相治也其間不容髮故先儒謂黄帝造律一事與伏羲畫卦大禹敘疇孔子作春秋同功蓋伏羲取諸河之龍圖大禹取諸雒之龜書黄帝取諸解谷鳴鳯孔子取諸西狩獲麟夫聖人為萬物之靈而猶取諸四靈之物者蓋亦神道設教之意也今八卦載於易九疇載於書與春秋竝傳惟樂律則不傳豈非缺典歟况王者制度軌則壹稟於律律為萬事根本定四時興六樂悉由是出學者詎可廢而不講哉臣惟帝王之治天下以律厯為先儒者之通天人至律厯而止厯以數始數自律生律厯既正寒暑以節嵗功以成民事以序庶績以凝萬事根本由兹立焉古人自入小學知樂知數已曉其槩後世老師宿儒猶或弗習律厯而律厯之家未必知道各師其師岐而二之雖有巧思豈能究造化之統㑹以識天人之藴奥哉三代而下治效之不古若亦此之由而世豈察及此是亦儒家所當討論之大者諉曰星翁樂師之責可乎然而或者疑焉以為樂律之學原無所禁固在當學若乃天文之學律法禁之不宜編著成書以冒私習之禁意欲廢棄往古遺文使之絶傳而後已豈不殊為可惜乎兹又不可不辯蓋聞天文之家其學有二曰推步者推其一定之氣朔乃理之常者也曰占驗者占其未來之休咎乃天之變者也天之變者不許術士妄談禍福惑世誣民律法之所禁者此耳而怪力亂神亦儒者之所恥言也若夫氣朔節候之早晏則國家頒厯於四海日月交食之秒刻則所司移文於天下此古聖人欽厯象授民時之意固皆理之常者何曽不欲人知而律法所禁豈在是乎昔漢武帝詔公孫卿壺遂司馬遷射姓等造太初厯此數人皆國之太史也然姓等奏不能為筭願募民間治厯者更造密度迺選鄧平唐都落下閎等二十餘人分部運筭依律起厯而厯始成若唐之戊寅大衍諸厯則又出於釋老之徒所造其藝比諸太史所習者益精焉宋紹興五年厯官言日食九分半虧在辰正常州布衣陳得一言當食八分半虧在巳初其言卒驗遂詔得一與道士裴伯夀等更造新厯賜名統元厯宋自太宗以來往往徵民間知厯者與之議厯故孝宗曰朝士鮮知星厯者不必專領迺詔有通天文厯筭者所在州軍以聞以此觀之可見厯數之學累代所不禁也設使當時民間果不敢私習則其學絶傳乆矣安得今日復有厯法乎臣父及臣篤好數學弱冠之時讀性理大全見宋儒邵雍皇極經世書朱熹易學啟蒙蔡元定父子律呂新書洪範皇極内篇等而恱之口不絶誦手不停披硏窮既乆數學之㫖頗得其要壯年以來復觀歴代諸史志中所謂厯者五十餘家考其異同辨其疎密志之所好樂而忘倦但以未覩皇朝大統厯於是猶未慊耳後讀丘祭酒所撰大學衍義補内載大統厯氣閏轉交四准分秒心竊喜曰大統厯經全文未見而其大畧已得之矣然大統與授時二厯相較考古則氣差三日推今則時差九刻臣於此而疑焉以為二者必有一是茍非測景驗氣孰真孰誤何由得知而洪儀鉅表非外郡所有且冬夏二至大餘未差差在數刻之間而以口舌爭之實難憑信惟萬厯辛巳嵗十一月冬至大統在丁丑日而授時在丙子乙酉嵗冬至大統在戊戌授時在丁酉丙申嵗夏至大統在癸巳授時在壬辰庚子嵗夏至大統在甲寅授時在癸丑甲辰嵗夏至大統在乙亥授時在甲戌庚戌嵗冬至大統在己酉授時在戊申甲寅嵗冬至大統在庚午授時在己巳戊午嵗冬至大統在辛夘授時在庚寅乙丑嵗夏至大統在乙丑授時在甲子己巳嵗夏至大統在丙戌授時在乙酉癸酉嵗夏至大統在丁未授時在丙午丁丑嵗夏至大統在戊辰授時在丁夘癸未嵗冬至大統在壬寅授時在辛丑丁亥嵗冬至大統在癸亥授時在壬戌辛夘嵗冬至大統在甲申授時在癸未戊戌嵗夏至大統在戊午授時在丁巳壬寅嵗夏至大統在己夘授時在戊寅丙午嵗夏至大統在庚子授時在己亥庚戌嵗夏至大統在辛酉授時在庚申此皆相差一日而晷景最易辨假若授時厯差固不必較萬一大統厯差則干係甚重也相差九刻雖不為多若在旦暮之間所差不過一辰若處夜半之際所差便隔一日夫節氣差天一日則置閏差天一月閏差一月則時差一季時差一季則嵗差一年其所差者豈小小而已哉自萬厯九年已來七八十年之間所差如此過此已後其差可知夫冬夏二至乃厯法之綱領時刻微差已失其真况差一日乎若恒氣既乖則置閏失當盈虚沒滅建除滿平之類吉凶宜忌一切皆錯不可謂全厯矣此非厯官之失正由厯經當改而未改也蓋厯者嵗之積也嵗者月之積也月者日之積也日者時之積也時者刻之積也刻者分之積也分者秒之積也凡有形之物銖銖稱之至石必差寸寸量之至引必錯况無形之數乎夫乾樞斡運無停七政轉動不齊而拘之以一定之法猶膠柱而調瑟是以既乆則不能不差既差則不可不改蓋變法以從天隨時而推數故法有疎密數有繁簡雖條例稍殊而綱目一也臣又推得萬厯一百年嵗次壬子十一月冬至大統在甲戌日丑正三刻授時在甲戌日子正初刻相差十餘刻萬厯一千年嵗次壬子十一月冬至大統在壬子日辰正三刻授時在庚戌日戌初二刻相差兩日萬厯一萬年嵗次壬子十一月冬至大統在授時之明年三月甲戌日戌正三刻授時在大統之去年八月己丑日亥初一刻相差一百餘日當此之時大統之冬至近授時之清明授時之冬至近大統之白露不獨相差一季又且相隔一年所差非不多也夫厯法茍得其理則千嵗之日至猶今日耳千載之後有差安知今日未必無差假若差在授時則無足論萬一大統少差又豈可坐視其弊而不論哉或疑以為授時減分大峻失之先天大統不減失之後天或曰授時近密大統為疎或曰授時未必全是二厯强弱之間宜有所折衷焉然士大夫明厯理者必有辨其是非者矣非筭術家所能知也夫厯數者總約於方冊而中乎億萬里之遼漠推測於一時而凖乎千百世之前後審擬於近小之事物而深通乎幽𤣥至大之理茍非鴻儒窮天人之藴而得於神㑹精融之間者其孰能與於此哉臣忝末學雖好筭術而實未臻其奥方之許衡王恂郭守敬輩相去逺矣然四海之廣兆民之衆若衡輩者未甞無也皇上好此事則此輩出不好此事則此輩無由以自顯昔齊桓公時東野人有以九九見者桓公曰九九小數安用對曰不逆其小所以致大以今日言之愚臣之謂也皇上赦臣狂妄之罪而容之則衡恂守敬輩必相繼而至矣臣謹按别錄云洪武間監正元統造大統厯以洪武甲子嵗為厯元上考下推無消長之法時監副李徳芳上疏駁之謂統甲子元厯不與經史相合宜用許衡辛巳元厯及消長之法方合天道上曰二統皆難憑只驗七政交㑹行度無差者為是由是本監造厯用甲子元厯推筭夫大統厯驗今交食雖密但考古之法未備徳芳言之當矣臣甞有志仰體太祖所謂二統難憑之意是故和㑹二家酌取中數立為新率編撰成書以伸野人芹暴之獻以擬華封富夀之祝志雖如是而未敢勇為者緣大統厯亦係制典舊章非臣下所敢擅議然葵藿之忱惓惓不已乃心與口相咨諏曰律厯乃吾儒事非讖緯曲學比先儒往往從事於斯考諸前代有奉公修治者若司馬遷之太初厯許衡之授時厯是也有私撰進獻者若劉焯之皇極厯耶律楚材之庚午元厯是也公私雖異效忠則一我太祖髙皇帝革命之時元厯未乆氣朔未差故仍舊貫不必改作但討論潤色而已今則積年既乆氣朔漸差似應修治後漢志所謂三百年斗厯改憲者宜在此時仰惟祖宗列聖御極以來未甞以厯而為年號至我皇上始以萬厯為元而九年辛巳嵗距至元辛巳正三百年適當斗厯改憲之期又協乾元用九之義而厯元應在是矣夫孝者善繼人之志善述人之事我太祖甞有意考七政之運行定二統之是否而未遂也繼述之盛舉寧不有待於今日乎前代人君或有新厯告成則改年號以厯為名以慶之以為福夀之徵然此不過後天而奉天時者也聖上預以萬厯為元此乃先天而天弗違固宜有厯以應之為聖夀萬萬嵗之嘉徵臣俟之乆而未見焉此愚臣日夜之所惓惓也於是採衆說之所長輯為一書名曰律厯融通其學大㫖出於許衡而與衡厯不同後漢志曰隂陽和則景至律氣應則灰除是故天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷景候鍾律權土灰放隂陽冬至陽氣應則樂均清景長極黄鍾通土灰輕而衡仰夏至隂氣應則樂均濁景短極蕤賔通土灰重而衡低進退於先後五日之中八能各以候狀聞太史封上效則和否則占晉志曰日冬至音比林鍾浸以濁日夏至音比黄鍾浸以清十二律應二十四時之變其為音也一律而生五音十二律而為六十音因而六之六六三十六故三百六十音以當一嵗之日故律厯之數天地之道也夫黄鍾乃律厯之本原而舊厯罕言之新法則以步律呂爻象為首此與舊厯不同一也堯時冬至日躔所在宿次劉宋何承天以嵗差及中星考之謂在須女十度左右唐一行大衍厯議曰劉炫推堯時日在虛女間則夏至心已過中虞〔？〕推堯時日在斗牛間則冬至昴尚未中蓋堯時日在女虛間則春分昏張一度中秋分虚九度中冬至胃二度中昴距星直午正之東十二度夏至尾十一度中心後星直午正之西十二度四序進退不逾午正間軌漏使然也元人厯議亦云堯時冬至日在女虚之交而授時厯考之乃在牛宿二度是與虞〔？〕同大統厯考之乃在危宿一度是與劉炫同相差二十六度皆不與堯典合新法上考堯元年甲辰嵗夏至午中日在栁宿十二度左右冬至午中日在女宿十度左右心昴昏中各去午正不逾半次與承天一行二家之說合而與舊厯不同二也春秋左傳昭公二十年己丑日南至授時厯推之得戊子先左傳一日大統厯推之得壬辰後左傳三日新法推之與左傳合此與舊厯不同三也授時厯以至元十八年為元大統厯以洪武十七年為元新法則以萬厯九年為元其餘各條不同者多詳見厯議新法比諸授時庶幾青生於藍而青於藍冰生於水而寒於水但臣未見大統厯經而與之較疎密耳然天道𤣥逺非愚臣所盡知况又未覩厯經不識儀表粗曉筭術㒺諳星象惟據史冊成說實乏師傅口授是以新法或有差誤宜令通此事者以訂正之庶或少禆盛典於萬一也乞將臣疏并所獻厯書勑下該部㑹集大臣名儒從長計議其大統厯所未差者切不可便改儻有小差即便更正以成一代之制宜新其名恭擬之曰聖夀萬年厯用符改憲之文以協天人之應此乃福慶嘉瑞之至大者尤不可忽也愚臣出位妄言極知僭越無所逃罪然而芹暴之誠犬馬之効自不容已是故冒瀆天威伏乞聖明原情矜宥臣下情無任戰慄待罪恐懼之至為此具本將臣昔年所撰律厯融通肆卷音義壹卷并臣近年新撰聖夀萬年厯貳巻萬年厯備考叄卷共為拾冊裝潢成帙暨表文壹通專差右長史闗志拯隨本齎捧上進謹具奏聞伏候勑㫖萬厯二十三年六月十九日鄭世子臣載堉(案此疏内自黄鍾通以下原本訛脱計六十字今用史志考補)鄭世子臣載堉謹以臣昔年所撰律厯融通四卷附音義一巻並臣近年新撰聖夀萬年厯二卷萬年厯備考三卷共為十冊裝潢成帙奉表進呈者伏以正日協時聖帝重法天之治和聲同律明君隆經世之規職掌雖在於臣工指畫實出於廊廟萬邦作式四海承休臣載堉誠惶誠恐稽首頓首竊惟甲厯作於太昊肇開物成務之原鍾律造於軒轅闡不息合同之化曰嘉量曰平衡曰審度非律不精曰履端曰舉正曰歸餘非厯不備八節之序既順而後得裁成輔相之宜八風之氣已宣斯可臻位育中和之效蓋律呂為萬事之根本而厯數乃五紀之綱維雖辨異以立名然交資以為用迭相居而迭相理助顯仁藏用之功互相配而互相成贊富有日新之業泥諸形器若不過象數之粗究夫淵微實可貫天人之奥逮唐虞世逺而推步之法始乖洎文武政衰而制作之意斯泯賢智者忽之以為易庸愚者畏之以為難調六律而協五音等為末務序三辰而齊七政竝飾虛文分律厯為兩途岐理數於二致惟新書起於元定得古人已試之規蓋時厯本於許衡誠太史不易之凖臣雖末學志切先猷俯拾糟粕之遺仰探精神之藴總旋宫六十調著意推求輯名厯五十家傾心考證時刻分秒期脗合於璣衡羃積徑圍務融通於權量雖昭代之洪儀鉅表尚未獲覩其全而大統之氣盈朔虛亦已與聞其畧取二統而較減分之法不無異同即二至而求節氣之差遂有先後據今日而論秪爽一辰歴萬年而推殆差一季迭相窮究互有精粗假如密係授時誠宜擇善儻若疎由大統理合從長須察根源方顯得失茍非測景以驗厯憑何置閏以定時厯豈無因時應有待兹蓋伏遇皇帝陛下天縱聰明日新問學朝乾夕惕敬天法祖勤民旰食宵衣議禮考文制度身聲同於夏禹何勞秬黍之求厯數在於唐堯豈待羲和之測第以厯雖名為大統法實本諸授時惟我萬厯九年距彼至元十世誠乾象文明之㑹正斗厯改憲之期也愚臣沗列天潢乆陶聖化愧乏㳙塵之報用攄芹暴之忱逺宗丘濬之貽編近竊何瑭之管見撰為新率擬以嘉名謬成一書恭祝萬夀匍匐而學邯鄲之步捧心而效西施之顰井鼃奚敢以談天韈線何堪以補衮知無裨於調燮聊以效其忠勤伏願行夏之時則韶之舞乘六龍以御極正朔昭布於華夷合萬象以同春太和洋溢於宇宙九功惟敘九敘惟歌日之升月之恒綿鳯厯於有永金之聲玊之振熈鴻號於無疆臣干冒天威無任激切屏營之至謹奉表上進以聞萬厯二十三年六月十九日鄭世子臣載堉謹上表聖夀萬年厯卷首
## 2
欽定四庫全書聖夀萬年厯巻一明 朱載堉 撰步發斂第一嘉靖甲寅嵗為厯元臣謹按甲寅者即所謂閼逢攝提格之嵗也古人厯法多以此為距筭蓋甲寅於五行為木於五常為仁木為五行之始仁為五常之首是故重之斷取近距命為元也元紀四千五百六十後漢志注引先儒宋氏曰紀即元也四千五百六十者五行相代一終之大數也王者即位或遇其統或不值其數故一之以四千五百六十為甲寅之終也自堯元年甲辰嵗推而上之六百五十年得此甲寅嵗命為紀也朞實千四百六十一後漢志曰厯數之生也乃立儀表以校日景景長則日逺天度之端也日發其端周而為嵗然其景不復初四周千四百六十一日而景復初是則日行之終以周除日得三百六十五餘四分之一為嵗之日數也嵗差嵗餘後漢志注引杜預長厯曰天行不息日月星辰各運其舎皆動物也行度大量可得而限累日為月新故相序不得不有毫毛之差此自然之理也理既不得一而筭守恒數故厯無不有差失也始失於毫毛而尚未能覺積而成多以失弦朢晦朔則不得不改憲以從之朱熹曰日躔漸退故嵗餘漸縮今人只說天運有差天豈得差自是運行合當如此許衡曰古今厯法合於今必不能通於古密於古必不能驗於今故授時厯考往則増嵗餘而損嵗差推來則増嵗差而損嵗餘上推春秋已來冬至皆合下求方來可以永乆無弊非止密於今日而已臣謹按厯家所謂嵗差者有三曰日躔嵗差曰五星嵗差曰節氣嵗差前代諸厯但有日躔差五星差其節氣差則自統天授時二家始焉新法因之而頗不同蓋授時每年差二秒統天差二秒有竒新法不及二秒而嵗周氣䇿等率皆活法以其每年増損無定故不開列各隨嵗差求而用之與彼二家頗不同也大統厯缺此法故詳論之律應五十五日六十刻八十九分律總旬周六十日宿周二十八日黄鍾 冬至益卦初九 小寒益卦六二復卦 初九 六二 六三 六四 六五 上六頥卦 初九 六二 六三 六四 六五 上九屯卦 初九 六二 六三 六四 九五 上六既濟 初九 六二 九三 六四 九五 上六家人 初九 六二 九三 六四 九五 上九大呂 大寒益卦六三 立春益卦六四臨卦 初九 九二 六三 六四 六五 上六明夷 初九 六二 九三 六四 六五 上六賁卦 初九 六二 九三 六四 六五 上九損卦 初九 九二 六三 六四 六五 上九節卦 初九 九二 六三 六四 九五 上六太蔟 雨水益卦九五 驚蟄益卦上九泰卦 初九 九二 九三 六四 六五 上六大畜 初九 九二 九三 六四 六五 上九需卦 初九 九二 九三 六四 九五 上六小畜 初九 九二 九三 六四 九五 上九中孚 初九 九二 六三 六四 九五 上九夾鍾 春分震卦初九 清明震卦六二大壯 初九 九二 九三 九四 六五 上六歸妹 初九 九二 六三 九四 六五 上六豐卦 初九 六二 九三 九四 六五 上六離卦 初九 六二 九三 九四 六五 上九噬嗑 初九 六二 六三 九四 六五 上九姑洗 榖雨震卦六三 立夏震卦九四夬卦 初九 九二 九三 九四 九五 上六大有 初九 九二 九三 九四 六五 上九睽卦 初九 九二 六三 九四 六五 上九兊卦 初九 九二 六三 九四 九五 上六革卦 初九 六二 九三 九四 九五 上六仲呂 小滿震卦六五 芒種震卦上六乾卦 初九 九二 九三 九四 九五 上九履卦 初九 九二 六三 九四 九五 上九同人 初九 六二 九三 九四 九五 上九无妄 初九 六二 六三 九四 九五 上九隨卦 初九 六二 六三 九四 九五 上六蕤賔 夏至恒卦初六 小暑恒卦九二姤卦 初六 九二 九三 九四 九五 上九大過 初六 九二 九三 九四 九五 上六鼎卦 初六 九二 九三 九四 六五 上九未濟 初六 九二 六三 九四 六五 上九解卦 初六 九二 六三 九四 六五 上六林鍾 大暑恒卦九三 立秋恒卦九四遯卦 初六 六二 九三 九四 九五 上九訟卦 初六 九二 六三 九四 九五 上九困卦 初六 九二 六三 九四 九五 上六咸卦 初六 六二 九三 九四 九五 上六旅卦 初六 六二 九三 九四 六五 上九夷則 處暑恒卦六五 白露恒卦上六否卦 初六 六二 六三 九四 九五 上九萃卦 初六 六二 六三 九四 九五 上六晉卦 初六 六二 六三 九四 六五 上九豫卦 初六 六二 六三 九四 六五 上六小過 初六 六二 九三 九四 六五 上六南呂 秋分巽卦初六 寒露巽卦九二觀卦 初六 六二 六三 六四 九五 上九漸卦 初六 六二 九三 六四 九五 上九渙卦 初六 九二 六三 六四 九五 上九坎卦 初六 九二 六三 六四 九五 上六井卦 初六 九二 九三 六四 九五 上六無射 霜降巽卦九三 立冬巽卦六四剝卦 初六 六二 六三 六四 六五 上九比卦 初六 六二 六三 六四 九五 上六蹇卦 初六 六二 九三 六四 九五 上六艮卦 初六 六二 九三 六四 六五 上九蒙卦 初六 九二 六三 六四 六五 上九應鍾 小雪巽卦九五 大雪巽卦上九坤卦 初六 六二 六三 六四 六五 上六謙卦 初六 六二 九三 六四 六五 上六師卦 初六 九二 六三 六四 六五 上六升卦 初六 九二 九三 六四 六五 上六蠱卦 初六 九二 九三 六四 六五 上九建寅 立春正月節 雨水正月中東風解凍 蟄蟲始振 魚陟負冰獺祭魚 候鴈北 草木萌動建夘 驚蟄二月節 春分二月中桃始華 倉庚鳴 鷹化為鳩𤣥鳥至 雷乃發聲 始電建辰 清明三月節 穀雨三月中桐始華 田䑕化為鴽 虹始見萍始生 鳴鳩拂其羽 戴勝降于桑建巳 立夏四月節 小滿四月中螻蟈鳴 蚯蚓出 王𤓰生苦菜秀 靡草死 麥秋至建午 芒種五月節 夏至五月中螳蜋生 鵙始鳴 反舌無聲鹿角解 蜩始鳴 半夏生建未 小暑六月節 大暑六月中溫風至 蟋蟀居壁 鷹始摯腐草為螢 土潤溽暑 大雨時行建申 立秋七月節 處暑七月中涼風至 白露降 寒蟬鳴鷹乃祭鳥 天地始肅 禾乃登建酉 白露八月節 秋分八月中鴻鴈來 𤣥鳥歸 羣鳥養羞雷始收聲 蟄蟲坏户 水始涸建戌 寒露九月節 霜降九月中鴻鴈來賔 雀入大水為蛤 菊有黄華豺乃祭獸 草木黄落 蟄蟲咸俯建亥 立冬十月節 小雪十月中水始冰 地始凍 雉入大水為蜃虹藏不見 天氣上升地氣下降 閉塞而成冬建子 大雪十一月節 冬至十一月中鶡鴠不鳴 虎始交 荔挺出蚯蚓結 麈角解 水泉動建丑 小寒十二月節 大寒十二月中鴈北鄉 鵲始巢 雉雊雞乳 征鳥厲疾 水澤腹堅求嵗定積置厯元所距年積筭為汎距來加往減元紀為定距以朞實乘之四約為積日不滿退除為刻是名汎積定距自相乘七之八而一所得滿百萬為日不滿為刻及分秒(帶半秒已上者收作一秒)是名節氣嵗差用減汎積餘為定積求律䇿置所求定積與次年定積相減餘如十二而一得律䇿求氣策置所求律䇿二而一得氣䇿求候策置所求氣䇿三而一得候策求爻䇿置所求候策五而一得爻䇿求十二律呂置嵗定積減去律應滿律總去之不盡得嵗首黄鍾正律大小餘大餘命甲子筭外累加律䇿得次律大小餘滿律總去之求六十四卦置嵗首黄鍾正律大小餘即是復卦初九爻象累加爻䇿得次爻大小餘滿旬周去之命法如前求二十四氣併所求年律䇿氣䇿加黄鍾大小餘滿旬周去之即立春正月節累加氣䇿得次氣大小餘滿旬周去之命如上求七十二候置立春大小餘即東風解凍之候累加候䇿得次候大小餘滿旬周去之命如上求五行用事各以四立之節為春木夏火秋金冬水始用事日爻䇿三之以減四季中氣各得其季土始用事日求列宿當直置嵗定積併律䇿氣䇿以宿周折半加之律應減之滿宿周去之不盡即所求立春日當直宿命起角宿筭外累加半律䇿滿宿周去之各得次氣日當直宿求時刻置日下小餘以十二乘之刻滿百為時命子正筭外若滿五十刻亦進作一時命子初筭外餘如十二而一為刻不滿為初刻步朔閏第二寅月䇿五十九日六刻十一分八十六秒夘月䇿八十八日五十九刻十七分七十九秒辰月䇿百一十八日十二刻二十三分七十二秒巳月䇿百四十七日六十五刻二十九分六十五秒午月䇿百七十七日十八刻三十五分五十八秒未月䇿二百六日七十一刻四十一分五十一秒申月䇿二百三十六日二十四刻四十七分四十四秒酉月䇿二百六十五日七十七刻五十三分三十七秒戌月策二百九十五日三十刻五十九分三十秒亥月䇿三百二十四日八十三刻六十五分二十三秒子月策三百五十四日三十六刻七十一分十六秒丑月䇿三百八十三日八十九刻七十七分九秒朔䇿二十九日五十三刻五分九十三秒朢䇿十四日七十六刻五十二分九十六秒半弦䇿七日三十八刻二十六分四十八秒少閏應十九日三十六刻十九分求閏餘置嵗定積減去閏應滿朔䇿去之不盡即所求閏餘日及分秒求汎閏視閏餘在十八日已上者其年有閏置所求閏餘全分加九十刻六十三分却與朔䇿相減視餘幾日為閏幾月不滿日者有閏在年前子丑月又法左手亥位起十八日戌位十九酉位二十如是右旋視所至處亦得汎閏若至子丑位者閏在昨嵗之冬求朔積置所求月䇿減去閏餘即其月朔積若求閏月及閏後月者復加朔䇿方為其月朔積求經朔弦朢置所求月朔積加黄鍾大小餘滿旬周去之各得其月經朔加以朢䇿即得經朢以弦䇿加經朔得上弦加經朢得下弦求盈虚置十六日減去氣䇿餘為沒限恒氣小餘在沒限已上為有沒之氣以十五乘之用減氣䇿餘如氣䇿小餘而一為日併恒氣大餘為沒古厯謂之沒今厯謂之盈置三十日減去朔䇿餘為朔虛經朔小餘在朔虛已下為有滅之朔以三十乘之如朔虚而一為日併經朔大餘為滅古厯謂之滅今厯謂之虛步日躔第三日平行一度躔周三百六十五度二十五分躔中百八十二度六十二分半象䇿九十一度三十一分二十五秒半象䇿四十五度六十五分六十二秒半辰䇿三十度四十三分七十五秒半辰䇿十五度二十一分八十七秒半赤道嵗差一分五十秒黄道嵗差一分三十八秒盈初縮末限八十八日九十一刻縮初盈末限九十三日七十一刻周應二百三十八度二十二分三十九秒求經朔弦朢入厯置所求朔積即經朔入厯加以弦朢䇿得弦朢入厯冬至後為盈夏至後為縮滿嵗中(律䇿六因為嵗中)去之即盈縮相代求盈縮初末限視入厯盈者在盈初縮末限已下縮者在縮初盈末限已下為初限已上反減嵗中餘為末限求盈縮差盈初縮末者立差三十一忽平差二分四十六秒定差五百一十三分三十二秒縮初盈末者立差二十七忽平差二分二十一秒定差四百八十七分六秒各置立差以所求限大餘乘之加平差又乘之用減定差再乘之滿萬為度不滿退除為分秒命為盈縮積與次限盈縮積相減餘為盈縮分以乘入厯初末限下小餘萬約為分加入其限盈縮積為盈縮差赤道宿度漢太初所測唐開元所測宋皇祐所測元豐所測崇寧所測元至元所測列宿相距度數歴代所測不同非微有動移則前人所測或有未密漢唐宋用窺管止存大畧元人始用二綫遂及分焉今厯因之用為常數校天為密若考往古仍依當時宿度命之其時無宿度者壹凖前人宿度故竝載之以備考古所須惟推密率日躔無論古今竝依今厯有分赤道宿度為凖求冬至加時赤道日度置嵗定積命日為度餘為度下分秒減去周應滿厯率(赤道嵗差折半加躔周為厯率)去之不盡即所求日躔赤道積度命起角宿初度筭外滿今所測赤道宿度(考古仍依當時宿度)去之至不滿者即所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒求四正加時赤道日度置所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒以象䇿累加之滿赤道宿度去之各得四正定氣加時赤道日度及分秒求四正後赤道宿積度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分秒減之餘為距後度以赤道宿度累加之各得四正後赤道宿積度及分秒黄赤道率推變黄道宿度置四正後赤道宿積度及分秒以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度為二十八宿黄道積度以前宿黄道積度減之為其宿黄道度及分(其秒就近為分)黄道宿度唐志云日躔宿度如郵傳之過宿度既差黄道隨而變矣元志云黄道宿度據嵗差每移一度依術推變嘉靖初樂頀掌監事上言厯經即嵗差以推變黄道六十七年該推變一次本監失於推變頀又甞語人云往年在監未奉更正甚為遺憾頀有文集可考也萬厯甲午嵗差所推黄道危十六度十三分昴十度九十五分元授時厯危十五度九十五分昴十一度八分近年七政四餘躔度危止於十五度昴尚有十一度仍同舊厯蓋未甞推變頀言信矣按赤道六十七年差一度黄道七十二年差一度頀所謂六十七年該推變者誤也當云七十二年推變可也今推萬厯甲午已來七十二年是為見用復推未來七十二年備考云耳求冬至加時黄道日度置所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度即所求嵗前冬至加時黄道日度及分秒求四正加時黄道日度置所求嵗定積與次年嵗定積相減餘命日為度及分秒以赤道嵗差折半加之以黄道嵗差減之名定率四約之為四正定象度置所求嵗前冬至加時黄道日度及分秒以四正定象度累加之滿黄道宿度去之各得四正定氣加時黄道日度及分秒求四正晨前夜半黄道日度冬夏二至盈縮之端以恒為定春秋二分置恒氣日及分秒以盈縮差命度為日盈減縮加之即四正定氣日及分秒置日平行度萬通之以盈縮分盈初縮末加之縮初盈末減之為其日行定度置四正小餘以其日行定度乘之如平行度而一所得以減四正加時黄道日度各得四正晨前夜半黄道日度及分秒求每日晨前夜半黄道日度以四正定氣日距後正定氣日為相距日以四正晨前夜半日度距後正晨前夜半日度為相距度累計相距日之行定度與相距度相減餘如相距日而一為日差相距度多為加相距度少為減加減四正每日行度率為每日行定度累加四正晨前夜半日度滿黄道宿度去之為每日晨前夜半黄道日度及分秒求每日子午二正黄道日度置所求月經朔入厯以經朔小餘減之餘為經朔晨前子正入厯累加一日為每日晨前子正入厯又以五十刻加之為午正入厯命日為度各視其限求盈縮差盈加縮減之為所求黄道定積度以嵗前冬至加時黄道日度加而命之滿黄道宿度去之即每日子午黄道日度及分秒(或以其日行定度折半加晨前夜半黄道定積度亦得午中黄道定積度)求每日子午二正赤道日度視黄道定積度在象䇿已下為至後已上去之為分後再去之為至後復去之為分後内減黄道積度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道積度及所去象䇿以嵗前冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即每日子午赤道日度及分秒赤道黄道十二次宿度赤道娵訾之次初起危十二度二十六分八十七秒半降婁之次初起奎一度六十分六十二秒半大梁之次初起胃三度六十四分三十七秒半實沈之次初起畢七度十八分十二秒半鶉首之次初起井九度六分八十七秒半鶉火之次初起栁四度空分六十二秒半鶉尾之次初起張十四度八十四分三十七秒半夀星之次初起軫九度二十八分十二秒半大火之次初起氐一度十一分八十七秒半析木之次初起尾三度十五分六十二秒半星紀之次初起斗四度九分三十七秒半𤣥枵之次初起女二度十三分十二秒半赤道有常黄道無定凡推辰次當以赤道為凖隨日度嵗差推變黄道右據萬厯甲午年嵗差所推已後臨時推變推變十二次宿度置赤道入次宿度及分秒以前宿赤道距後積度加之滿象䇿去之為四正後赤道入次積度以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度為四正後黄道入次積度以前宿黄道距後積度減之如不及減加象䇿以減之餘即所求黄道入赤道十二次宿度及分秒求入十二次時刻各置黄道入次宿度及分秒以其日晨前夜半黄道日度及分秒減之餘以日平行度乘之為實以其日行定度為法實如法而一所得依時刻法求之即入次時刻步晷漏第四京師北極出地四十度太冬至中晷恒數丈五尺九寸六分夏至中晷恒數二尺三寸四分冬至晝夏至夜三十八刻夏至晝冬至夜六十二刻(已上見元志)岳臺北極出地三十五度冬至中晷恒數丈二尺八寸三分夏至中晷恒數尺五寸七分冬至晝夏至夜四十刻夏至晝冬至夜六十刻(已上見宋志)黄道出入赤道内外度及半晝夜分京師譬如北辰四方拱之晝夜漏刻宜為厯凖至如岳臺乃前代測景之處謂之地中故畧載之以見隨處晷漏不同求每日子正午正日躔黄道去極度置所求日晨前夜半黄道積度滿躔中去之在象䇿已下為初限已上反減躔中餘為末限滿積度去之餘以其段内外差乘之百約為分用減内外度為出入赤道内外度内減外加象䇿即所求日躔黄道子正去極度及分秒求午正去極度放此求每日午正隨處日去地度置所求日午正日躔黄道去極度及分併其處北極出地度及分用減躔中餘即其處日去地度為弧半背(若弧半背在象䇿已上反減躔中餘為弧半背則知景在表南)約量矢數與限二十九度五分五十秒相減餘以六十一分七十七秒乘之百約為加減差矢在限已上加已下減加減百八十七度九十分為定差以矢與五十八度十一分相減餘以定差乘之滿百度約為分不滿退除為秒併入九度為法復以矢與百一十六度二十二分相減相乘及矢自乘相併為實開方所得進一位以法除之為弧半背即其處日去地度及分秒如不同更増損矢數筭之以同為矢定數求每日隨處中晷汎數置五十八度十一分減去所求矢定數餘用八因為實復以矢與百一十六度二十二分相減相乘平方開之為法除實命度為尺即其日其處中晷汎數求每日隨處中晷定數各於其處立八尺表每日實測午晷真數而與筭術所求晷數相減餘名為地形差所測晷數多則為加少則為減加減所筭晷數即其日其處中晷定數求二至加時真數取二至前後晷數近似者相減餘以百刻乘之為實取其次日晷數相減餘為法實如法而一為刻求冬至視其前晷多則為減差少則為加差夏至反之總計距日刻數以差加減折半加五十刻為前距定日以其日筭外命之即二至加時真數求每日半晝夜及日出入晨昏分置所求初末限滿積度去之餘以其段晝夜差乘之百約為分前多後少為減前少後多為加加減其段半晝夜分為所求半晝夜分以半夜分便為日出分用減百刻餘為日入分於日出分減二刻半餘為晨分於日入分加二刻半則為昏分求晝夜刻及日出入時刻置所求半夜分倍之百約為夜刻用減百刻餘為晝刻以日出入分依時刻法求之即得所求時刻求更㸃所在時刻置其日晨分倍之五約為更率又五約為㸃率各以其率乘所求更㸃數用加其日昏分内減更㸃率滿百刻去之不滿依時刻法求之即得所求時刻求昏後夜半中星置躔中度及分以其次日晨前夜半赤道日度及分秒加而命之即所求日昏後夜半中星積度及分秒求逐日昏曉中星置其次日晨分以躔周加一度乘之萬約為度昏減曉加所求日昏後夜半中星積度即昏曉中星積度及分秒求逐更逐㸃中星置昏後曉中星積度(不及則加躔周)以曉前昏中星積度減之餘二十五而一所得為㸃差置昏中星積度命為一更一㸃以㸃差累加之滿赤道宿度去之即逐更逐㸃中星宿度及分秒求九服所在漏刻各於所在以儀測驗或下水漏以定其處冬至或夏至夜刻與五十刻相減餘為至差刻以所求日黄道出入赤道内外度及分秒乘之二十三度九十分除之所得内減外加五十刻即所求夜刻以減百刻餘為晝刻其九服所在逐段晝夜差半晝夜分及日出入晨昏分更㸃中星等率竝凖隨處晷漏脩短依術推之聖壽萬年厯卷一
## 3
欽定四庫全書聖壽萬年厯卷二明 朱載堉 撰步月離第五月平行十三度三十六分八十七秒半離周三百三十六限十六分六十秒離中百六十八限八分三十秒離象八十四限四分十五秒轉周二十七日五十五刻四十六分轉中十三日七十七刻七十三分轉象六日八十八刻八十六分半轉差一日九十七刻六十分轉應七日五十刻三十四分疾遲度率及積度入轉日 初末限 疾遲度 轉度率 轉積度初 初 疾初 十四(六七六四) 初求經朔弦朢入轉置嵗定積減去轉應滿轉周去之不盡即所求入轉大小餘各加其月朔積及弦朢䇿滿轉周去之為所求經朔弦朢入轉大小餘若徑求次朔入轉以轉差加之求疾遲初末限置入轉大小餘以十二限二十分乘之在離中已下為疾已上減去離中為遲在離象已下為初已上反減離中為末又法視入轉大小餘在轉中已下為疾已上減去轉中為遲在轉象已下為初已上反減轉中為末以十二限二十分乘之為疾遲初末限求疾遲差置立差三秒二十五忽以所求限大餘乘之加平差二分八十一秒又以限乘之用減定差千一百一十一分餘再以限乘之滿萬為度不滿退除為分秒如是求次限積度相減餘為疾遲分以乘所得初末限下小餘萬約為分加入其限積度為疾遲差求疾遲限下行度置平行度及分秒以轉象乘之八十四除之所得為一限平行度不滿退除為分秒以其限疾遲分疾初遲末益遲初疾末損損益一限平行度為所入疾遲限下行度求加減差置所求盈縮疾遲差各以八百二十乘之如所入疾遲限下行度而一為分不滿退除為秒盈遲名為加差縮疾名為減差求定朔弦朢置經朔弦朢大小餘各以其加減差加減之滿或不足進退大餘即定朔弦朢視前後定朔兩千同者前月大盡不同者前月小盡無中氣者為閏月若定弦朢小餘在日出分已下者退一日求定朔弦朢加時及每日夜半晨昏入轉置經朔弦朢入轉大小餘以定朔弦朢加減差加減之為定朔弦朢加時入轉以定朔弦朢小餘減之為定朔弦朢晨前夜半入轉累加一日為每日晨前夜半入轉各以其日晨分加之為晨入轉昏分加之為昏入轉滿轉周去之求定朔弦朢加時黄道日度置經朔弦朢入盈縮大小餘以加減差加減之為定朔弦朢入厯在盈便為積日在縮加嵗中為積日命日為度以盈縮差盈加縮減之為加時日行定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之各得定朔弦朢加時黄道日度及分秒求定朔弦朢加時黄道月度凡定朔加時日月同度以日行定積度即月行定積度弦朢則各置其加時日行定積度以象策上弦一加朢再加下弦三加之為加時月行定積度如前加而命之滿躔周及黄道宿度去之不盡各得定朔弦朢加時黄道月度及分秒求定朔弦朢夜半晨昏黄道月度置所求入轉日轉度率與次日轉度率相減餘以所求入轉小餘乘之萬約為分前多後少減前少後多加加減轉度率為轉定度以乘定朔弦朢小餘萬約為分用減加時定積度餘為晨前夜半定積度以轉定度乘其日晨昏分萬約為分各加夜半定積度為晨昏定積度加命如前各得夜半晨昏黄道月度及分秒求每日夜半晨昏黄道月度累計相距日數轉度率為轉積度與定朔弦朢夜半相距度相減餘如相距日數而一為日差距度多為加距度少為減加減每日轉度率為行定度以累加定朔弦朢夜半定積度為每日夜半定積度累加定朔弦朢晨昏定積度為每日晨昏定積度加命如前即每日夜半晨昏黄道月度及分秒(註厯自朔至朢皆用昏度既朢已後則用晨度)求每日夜半晨昏赤道月度視所求夜半晨昏黄道月行定積度在象䇿已下為至後滿象䇿去之為分後猶多再去之為至後復多仍去之為分後以其黄道積度減之餘以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道積度及所去象䇿各為赤道定積度以嵗首冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即每日夜半晨昏赤道月度及分秒步交道第六正交三百六十三度七十九分三十四秒中交百八十一度八十九分六十七秒距交十四度六十六分六十六秒交周二十七日二十一刻二十二分二十四秒交中十三日六十刻六十一分十二秒交差二日三十一刻八十三分六十九秒交應二十日四十七刻三十四分求經朔弦朢入交置嵗定積減去交應滿交周去之不盡即所求入交大小餘各加其月朔積及弦朢策滿交周去之為所求經朔弦朢入交大小餘若徑求次朔入交以交差加之求定朔弦朢加時及每日夜半入交置經朔弦朢入交大小餘以定朔弦朢加減差加減之為定朔弦朢加時入交以定朔弦朢小餘減之為定朔弦朢晨前夜半入交累加一日為每日晨前夜半入交滿交周去之求朔後平交入轉及加減差置經朔入交與交周相減餘為朔後平交大小餘以加經朔入轉為朔後平交入轉在轉中已下為疾已上去之為遲依月離篇求疾遲之加減差命為正交日加減差求正交日辰置朔後平交與經朔相倂以正交日加減差遲加疾減之為正交大小餘滿旬周去之命甲子筭外即正交日辰及加時小餘求正交加時黄道月度置朔後平交大小餘以月平行度及分秒乘之為距後度以所求月朔積命日為度倂之為嵗前冬至距正交定積度以冬至加時黄道日度加而命之滿躔周及黄道宿度去之不盡為正交加時黄道月度及分秒求正交在二至後初末限置冬至距正交定積度及分秒在躔中已下為冬至後已上去之為夏至後在象策已下為初限已上反減躔中餘為末限求汎差距差定限度置初末限度以距交乘之如象策而一為汎差反減距交餘為距差以二十四乘汎差如距交而一所得交在冬至後減夏至後加皆加減九十八度為定限度及分秒求月離赤道正交宿度冬至後初限加末限減視春正夏至後初限減末限加視秋正以距差加減春秋二正赤道宿度為月離赤道正交宿度及分秒求正交後赤道宿積度入初末限各置春秋二正赤道所當宿全度及分以月離赤道正交宿度及分秒減之餘為正交後積度以赤道宿度累加之滿象策去之為半交後再去之為中交後又去之為半交後視各交積度在半象已下為初限已上反減象策餘為末限求每交月離白道積度及宿次置定限度與初末限相減相乘退位為分為定差正交中交後為加半交後為減以差加減正交後赤道積度為月離白道定積度以前宿白道定積度減之各得月離白道宿次及分求定朔弦朢加時月離白道宿度各以月離赤道正交宿度距所求定朔弦朢加時月離赤道宿度為正交後積度滿象策去之為半交後再去之為中交後又去之為半交後視交後積度在半象已下為初限已上用減象策為末限以初末限與定限度相減相乘退位為分分滿百為度為定差正交中交後為加半交後為減以差加減月離赤道正交後積度為定積度以正交宿度加之以其所當月離白道宿度去之各得定朔弦朢加時月離白道宿度及分秒求每日月臨午位黄道宿度置月離赤道定積度及中星所臨宿積度上弦前後視昏度朢前後視夜半度下弦前後視晨度月在中星已下為前已上為後以月星積度相減(不及則加躔周而後減之)餘以其日轉定度乘之如躔周而一所得前減後加其日夜半晨昏月離黄道定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之滿黄道宿度去之即月臨午位黄道宿度及分秒求每日月臨午位赤道宿度置月臨午位黄道積度及分秒依前篇求赤道積度以嵗首冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即月臨午位赤道宿度及分秒求每日月臨午位時刻更㸃置月臨午位赤道積度及分秒以其日晨前夜半中星積度及分秒減之(不及則加躔周而後減之)餘以百乘之如躔周而一為刻不滿退除為分秒下弦已後上弦已前月中在晝依時刻法求之上弦已後下弦已前月中在夜依更㸃法求之求每日月離赤道交後初末限置月離赤道正交後積度以赤道宿度及分累加之至所求月臨午位赤道宿度及分秒在躔中已下為正交後已上去之為中交後在象策已下為初限已上反減躔中餘為末限求月離半交白道出入赤道内外度置各交汎差度及分秒以二十五乘之六十一除之所得視月離黄道正交在冬至後宿度為減夏至後宿度為加皆加減二十三度九十分為月離赤道後半交白道出入赤道内外度折半以辰策除之為定差求月離出入赤道内外白道去極度置每日月離赤道交後初末限度及分秒用減象策餘為白道積用其積度減之餘以其差率乘之百約之以加其下積差為毎日積差(月離白道積差差率舊附日躔篇黄赤道率下)倍辰策以積差減之餘以定差乘之為毎日月離出入赤道内外度内減外加象策為每日月離白道六極度及分秒求隨處月去地度及表景汎數定數置所求日月臨午位白道去極度及分倂其處北極出地度及分用減躔中餘即其處月去地度為弧半背(術與日同見晷漏篇)歩交食第七日食交外限六度定法六十一日食交内限八度定法八十一月食限十三度五分定法八十七求交食凡例凡日食必在朔月食必在朢餘日雖交不食視朔朢汎交大小餘近交周上下與交周相減餘為距正交分近交中上下與交中相減餘為距中交分倍之不滿交差為入食限定朔加時在夜定朢加時在晝若無帶食則不必推出入帶食則須推之凡定朢加時在日出後而月食初虧於日出前者則退一日只以昨夜言望注厯時宜預推當退朢而不退是為錯誤求日食時差及距午分視定朔小餘在五十刻已下用減五十刻餘為中前分已上減去五十刻餘為中後分以中前後分與五十刻相減相乘如九十六而一為刻不滿退除為分秒中前名減中後名加命為時差以併中前或中後分為距午分求食甚入盈縮定度日食置定朔加時黄道日行定積度以時差加減之為食甚入盈縮定度月食不用時差直以定朢加時黄道日行定積度便為食甚入盈縮定度滿躔中去之求日食南北差視食甚入盈縮定度在象策已下為初限已上用減躔中餘為末限以初末限自相乘千八百七十除之為度不滿退除為分秒用減四度四十六分餘為南北汎差距午分乘之半晝分除之所得用減汎差(不及減反減之)為南北定差在縮初盈末正交加中交減在盈初縮末正交減中交加(係反減者應加卻減之應減卻加之)求日食東西差置食甚入盈縮定度與躔中相減相乘千八百七十除之為度不滿退除為分秒為東西汎差距午分乘之二十五刻除之為東西定差(若在汎差已上則倍汎差相減餘為定差)在縮中前盈中後正交加中交減在盈中前縮中後正交減中交加(雖係倍減者加減只如常)求交限度日食置正交中交度及分秒以六度十五分為損益差正交損之中交益之以南北東西定差加減之為交限度月食則不須損益加減直以正交中交度及分秒為交限度求交定度置朔朢汎交大小餘以月平行度乘之以盈縮差盈加縮減之為交定度若在十五度半已下倂入正交度及分秒為交定度求食差視交定度在正交限已下中交限已上為交内在正交限已上中交限已下為交外各與限度相減餘為食差求所食分秒各置食限以其食差減之餘如定法而一為所食分秒不及減者不食食分少者日光赫盛或不見食求定限行度置定朔朢加時入轉大小餘依月離求所入疾遲限下行度減去八百二十分餘為定限行度求定用分日食置二十分月食置二十分與所食分秒相減相乘平方開之所得日以七因月以六因各進二位皆以八百二十乘之如定限行度而一為定用分求三限時刻日食置定朔小餘以時差加減之為食甚分月食不用時差但以定朢全分為食甚分各以定用分減食甚為初虧加食甚為復圓依時刻法求之即三限時刻求五限時刻月食十分已上者減去十分餘為既内復與十分相減相乘如定用分求之為既内分以減食甚分為食既以加食甚分為生光餘同前法共所求三限為五限求月食更㸃置其日晨分倍之五約為更法又五約為㸃法乃置五限諸分昏分已上減昏分晨外已下加晨分以更法加入如法而一為更數不滿以㸃法加入如法而一為㸃數求帯食帯復視其日日出入分在初虧分已上食甚分已下為帶食在食甚分已上復圓分已下為帶復各與日出入分相減餘名前後差在日出入分已下為前已上為後各以所食分秒乘之如定用分而一為日出入前後食復分日食日出已後日入已前為見日出已前日入已後為不見月食日出已前日入已後為見日出已後日入已前為不見此與舊法不同(詳見古今交食考)舊厯無論出入前後日月一例求之是屬錯誤求起復方所日食起於西復於東食分少者交外偏南交内偏北月食起於東復於西食分少者交外偏北交内偏南皆指北極所在為北日月所在為南不必據午地論舊厯日月食八分已上即言正東正西今惟月食十分已上者始言之求食甚宿度置食甚入盈縮定度(日食在盈無所加在縮加躔中月食在盈加躔中在縮無所加)為黄道定積置冬至距後赤道積度在定積已下者滿象策去之餘依黄道術求之用減定積滿象策去之即食甚躔離黄道宿度及分秒步五緯第八合應土星二百六十二日三千二十六分木星三百一十日千八百三十七分火星三百四十三日五千一百七十六分金星二百三日八千三百四十七分水星九十一日七千六百二十八分周率土星三百七十八日九百一十六分木星三百九十八日八千八百分火星七百七十九日九千二百九十分金星五百八十三日九千二十六分水星百一十五日八千七百六十分厯應土星八千六百四日五千三百三十八分木星四千一十八日六千七十三分火星三百一十四日四十九分金星六十日千九百七十五分水星二百五十三日七千四百九十七分度率土星二十九日四千二百五十五分木星十一日八千五百八十二分火星一日八千八百七分半金星一日水星一日伏見土星十八度木星十三度火星十九度金星十度半水星夕伏晨見十九度晨伏夕見十六度半諸段積日積度求五星平合日置嵗定積各加其星合應滿其周率去之不盡反減周率餘即所求嵗首冬至後平合日及分杪求諸段積日積度副置平合日及分秒累加段日即諸段積日命日為度累加平度退則減之即諸段積度及分秒求諸段入厯置嵗定積各以其星厯應倂所求平合日及分秒加之如其度率而一為度不滿退除為分秒滿日躔厯率去之不盡為所求平合入厯度累加限度各得其段入厯度及分秒求盈縮初末度置各段入厯度及分秒若在躔中已下為盈已上減去躔中為縮其土木金水四星諸段在象策已下為初限已上用減躔中餘為末限其火星諸段盈者在二因辰策已下縮者在四因辰策已下為初限已上用減躔中餘為末限求盈縮差土星盈者立差二秒八十三忽加平差四分十秒二十二忽減定差千五百一十四分六十一秒縮者立差三秒三十一忽加平差一分五十一秒二十六忽減定差千一百一分七十五秒木星盈縮立差二秒三十六忽加平差二分五十九秒十二忽減定差千八十九分七十秒金星盈縮立差一秒四十一忽加平差三忽減定差三百五十一分五十五秒水星盈縮立差一秒四十一忽加平差二十一秒六十五忽減定差三百八十七分七十秒火星盈初縮末立差十一秒三十五忽減平差八十三分十一秒八十九忽減定差八千八百四十七分八十四秒縮初盈末立差八秒五十一忽減平差三分二秒三十五忽減定差二千九百九十七分六十三秒(新改縮初盈末立差一秒二十四忽減平差二十分三十秒減定差四千三百九十二分)各置立差以所求初末限度及分秒乘之加減平差再乘之用減定差又乘之滿萬為度不滿退除為分秒為盈縮差又法置所求初末限下小餘以其限盈縮分乘之萬約為分加入其限積度亦為盈縮差求諸段定積日及日辰各置其段積日以其盈縮差盈加縮減之即其段定積日及分秒以嵗首黄鐘正律大小餘加之滿旬周去之其大餘命甲子筭外即得日辰及加時小餘求諸段所在日月各置其段定積日及分秒加閏餘減朔策餘如朔策而一為月數不盡為入經朔已來日數其月數命正月若在朔策已下不及減者為入年前十一月已上去之為入十二月俱以日辰所在為定凡閏餘在十六日以上則其年有閏依束汎閏術定之求諸段加時定積度各置其段積度以其盈縮差盈加縮減之(金星再之水星三之)即諸段加時定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之即其星其段加時所在宿度及分秒求諸段初日晨前夜半所在宿度各以其段初行率乘其段加時小餘百約為分順減退加其日加時定積度即其段初日晨前夜半定積度加命如前即得所在宿度及分秒求諸段日率度率及平行分各以其段日辰與後段日辰相距數為日率以其段夜半積度與後段夜半積度相減餘為度率各置度率及分秒以其日率除之即其段平行分求諸段増減差及日差以本段前後平行分相減為其段汎差倍而退位為增減差前多後少者加為初減為末前少後多者減為初加為末以加減其段平行分為初末日行分又倍増減差為總差以日率減一除之為日差求前後伏遲退段増減差前伏者置後段初日行分加其日差之半為末日行分後伏者置前段末日行分加其日差之半為初日行分以減伏段平行分餘為増減差前遲者置前段末日行分倍其日差減之為初日行分後遲者置後段初日行分倍其日差減之為末日行分以前後近留之遲段平行分減之餘為増減差土木火三星退行者六因平行分退一位為増減差金星前後退伏者三因平行分半而退位為増減差前退者置後段初日行分以其日差減之為末日行分後退者置前段末日行分以其日差減之為初日行分以本段平行分減之餘為増減差水星退行者半平行分為増減差皆以増減差加減平行分為初末日行分前多後少者加為初減為末前少後多者減為初加為末又倍増減差為總差以日率減一除之為日差求每日晨前夜半星行宿度各置其段初日行分以日差累損益之後少則損之後多則益之為每日行度及分秒乃置其段初日晨前夜半定積度順加退減滿宿度去之即每日晨前夜半星行宿度及分秒求平合見伏入太陽盈縮厯置其星其段定積日及分秒在嵗中已下為盈已上去之為縮多則再去之復為盈各在初限已下為初限已上反減嵗中餘為末限即其星平合見伏入厯日及分秒求平合見伏星與太陽行差各以其星其段初日星行分與其段初日太陽行分相減餘為行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分倂其段初日太陽行分為行差其水星夕伏晨見者直以其段初日太陽行分為行差求定合定見定伏汎積日土木火三星各以平合晨見夕伏定積日便為定合伏見汎積日及分秒金星置其段盈縮差水星倍置之各以其段行差除之為日不滿退除為分秒在平合夕見晨伏者盈減縮加在退合夕伏晨見者盈加縮減各加減定積日為定合伏見汎積日及分秒求定合定積日定積度土木火三星各以平合行差除其段初日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒以太陽盈縮積減之為距合差度副置其星定合汎積以距合差日差度盈減縮加之為其星定合定積日定積度及分秒此與下條言盈縮者皆指太陽非謂木星金水二星順合退合者各以平合退合行差除其日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒順加退減太陽盈縮積為距合差度順合者以距合差日差度盈加縮減其星定合汎積為其星定合定積日定積度及分秒退合者以距合差日盈減縮加以距合差度盈加縮減加減其星退定合汎積為其星退定合定積日定積度及分秒加命如前各得所求日辰及宿度分秒徑求合伏定日者土木火三星以夜半黄道日度減其星夜半黄道度餘在其日太陽行分已下者金水二星以其星夜半黄道度減夜半黄道日度餘在其日本星行分已下者各為其日合伏係合退伏者視其日夜半黄道日度未行到本星度及視次日太陽行過本星度而本星退行過太陽宿度者為其日合退伏求定見定伏定積日土木火三星各置定見定伏汎積日及分秒以嵗中折半晨加夕減之在嵗中巳下自相乘已上倍嵗中反減之餘亦自相乘七十五而一為分不滿退除為秒以其星見伏度乘之十五除之所得滿行差而一為日不滿退除為分秒見加伏減汎積為其星定見定伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日辰金水二星各以伏見日行差除其段初日太陽盈縮積為日不滿退除為分秒夕見晨伏盈加縮減晨見夕伏盈減縮加加減其星定見定伏汎積日及分秒為常積若在嵗中巳下為冬至後已上去之為夏至後在嵗中折半已下自相乘已上反減嵗中餘亦自相乘冬至後晨夏至後夕十八而一為分冬至後夕夏至後晨七十五而一為分以其星見伏度乘之十五除之所得滿行差而一為日不滿退除為分秒晨見夕伏冬至後加夏至後減夕見晨伏冬至後減夏至後加皆加減常積為其星定見定伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日辰聖夀萬年厯卷二
## 4
欽定四庫全書聖夀萬年厯卷三明 朱載堉 撰諸厯冬至考治厯者以其新法與古人課疏密於千百世之上下則往往新法能上合於古舊法不能下合於今布筭考之愈前愈疏最後最密以理論之非前人拙後人工也蓋前賢草創之初無所踵襲其法出於自心之精神其用力之勤百倍於後人也後人因前賢已有之法耽翫既久開發益明積習考驗轉為精密略加潤色則青於藍而寒於水其用力少而成功多是故後學之人當感前賢之徳補其所未盡則可也以為莫已若則誣也厯代諸厯可考者五十家今列叙其名目幷所造之人所距之年各以其術推當時及近嵗之冬至復將新厯上考與相參校則疏密異同從可知已太初厯漢武帝時鄧平等造三統厯漢平帝時劉歆重造二厯並以太初元年丁丑嵗為距至萬厯二十二年甲午嵗千六百九十七年以其法推太初元年天正冬至得甲子及推萬厯二十二年天正冬至得癸巳後天十四日唐一行以麟徳開元二厯上考太初元年天正冬至當在辛酉謂太初所測非是今以新法上考亦得辛酉與大衍所説同唐志大衍厯議曰太初元年三綂厯及周厯皆以十一月夜半合朔冬至日月俱起牽牛一度古厯與近代密率相較二百年氣差一日三百年朔差一日推而上之乆益先天引而下之乆益後天太初元年周厯以甲子夜半合朔冬至麟徳厯以辛酉禺中冬至十二月癸亥晡時合朔氣差三十二辰朔差四辰此疎密之大較也僖公五年周厯漢厯唐厯皆以辛亥南至後五百五十餘嵗至太初元年周厯漢厯皆得甲子夜半冬至唐厯皆以辛酉則漢厯後天三日矣祖沖之張胄𤣥促上章嵗至太初元年沖之以癸亥雞鳴冬至而胄𤣥以癸亥日出欲令合於甲子而適與魯厯相㑹自此推僖公五年魯厯以庚戌冬至而二家皆以甲寅且僖公登觀臺以望而書雲物出於表晷天驗非時史億度乖丘明正時之意以就劉歆之失今考麟徳元年冬至唐厯皆以甲子而周厯漢厯皆以庚午然則自太初下至麟徳差四日自太初上及僖公差三日不足疑也四分厯漢章帝時編訢等造靈帝時重修距熹平三年甲寅嵗至萬厯二十二年甲午嵗千四百二十年以其法推熹平三年天正冬至得丁丑及推萬厯二十二年天正冬至得壬辰後天十三日劉宋祖沖之以大明厯上考熹平三年天正冬至當在乙亥謂四分厯所推非是唐一行以大衍厯上考得甲戌今以新法上考亦得甲戌與大衍同宋志祖沖之議曰後漢書説四分厯法雖分章設蔀剏自元和而晷儀衆數定於熹平三年四分厯立冬中景長一丈立春中景九尺六寸㝷冬至南極日晷最長二氣去至日數既同則中景應等而前長後短頓差四寸此厯置冬至後天之驗也二氣中景日差九分半弱進退均調略無盈縮以率計之二氣各退二日十二刻則晷景之數立冬更短立春更長並差二寸二氣中景俱長九尺八寸矣即立冬立春之正日也以此推之厯置冬至後天亦二日十二刻也熹平三年時厯丁丑冬至加時正在日中以二日十二刻減之天定以乙亥冬至加時在夜半後三十八刻㝷古厯法並同四分四分之數久則後天經三百年朔差一日是以漢載四百食率在晦魏代已來遂革斯法世莫之非者誠有效於天也乾象厯漢獻帝時劉洪造距建安十一年丙戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗千三百八十八年以其法推建安十一年天正冬至得乙丑及推萬厯二十二年天正冬至得丙戌後天七日以大衍厯上考建安十一年天正冬至得壬戌新法考之與大衍同景初厯魏明帝時楊偉造距景初元年丁巳嵗至萬厯二十二年甲午嵗千三百五十七年以其法推景初元年天正冬至得丁未及推萬厯二十二年天正冬至得丁亥後天八日以大衍厯上考景初元年天正冬至得甲辰新法考之與大衍同泰始厯西晉武帝時劉智造距泰始十年甲午嵗至萬厯二十二年甲午嵗千三百二十年以其法推泰始十年天正冬至得辛酉及推萬厯二十二年天正冬至得丁亥後天八日以大衍厯上考泰始十年天正冬至得戊午新法考之與大衍同三紀厯東晉孝武帝時姜岌造距太元九年甲申嵗至萬厯二十二年甲午嵗千二百一十年以其法推太元九年天正冬至得戊戌及推萬厯二十二年天正冬至得丁亥後天八日以大衍厯上考太元九年天正冬至得乙未新法考之與大衍同按自前漢太初已後至於劉宋元嘉已前諸厯所置冬至率皆後天三日葢由踵三綂之訛承四分之謬不過為合以驗天非順天以求合故也一行所謂有效於古宜合於今此乃前人定論今以諸厯下推近嵗冬至差多者至十三四日少亦不下七八日其當時亦未必與天合可知也自何承天造元嘉厯測驗之後迄於授時則轉為精密矣是故新法上考多與之合間有不合者其説放此云元嘉厯前宋文帝時何承天造距元嘉二十年癸未嵗至萬厯二十二年甲午嵗千一百五十一年以其法推元嘉二十年天正冬至得乙巳及推萬厯二十二年天正冬至得甲申後天五日以新法上考元嘉二十年天正冬至得乙巳與元嘉厯合大明厯前宋孝武帝時祖沖之造距大明七年癸卯嵗至萬厯二十二年甲午嵗千一百三十一年以其法推大明七年天正冬至得庚寅及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考大明七年天正冬至得庚寅與大明厯合正光厯後魏孝明帝時李業興等造距正光三年壬寅嵗至萬厯二十二年甲午嵗千七十二年以其法推正光三年天正冬至得己亥及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考正光三年天正冬至得己亥與正光厯合興和厯後魏孝静帝時李業興等重造距興和二年庚申嵗至萬厯二十二年甲午嵗千五十四年以其法推興和二年天正冬至得甲戌及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以大衍厯上考興和二年天正冬至得癸酉新法與大衍同天保厯北齊文宣帝時宋景業造距天保元年庚午嵗至萬厯二十二年甲午嵗千四十四年以其法推天保元年天正冬至得丁卯及推萬厯二十二年天正冬至得壬午後天三日以大衍厯上考天保元年天正冬至得丙寅新法與大衍同天和厯周武帝時甄鸞造距天和元年丙戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗千二十八年以其法推天和元年天正冬至得己丑及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以大衍厯上考天和元年天正冬至得庚寅新法與大衍同大象厯周静帝時馬顯等造距大象元年己亥嵗至萬厯二十二年甲午嵗千一十五年以其法推大象元年天正冬至得戊戌及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考大象元年天正冬至得戊戌與大象厯合開皇厯隋文帝時張賓等造距開皇四年甲辰嵗至萬厯二十二年甲午嵗千一十年以其法推開皇四年天正冬至得甲子及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考開皇四年天正冬至得甲子與開皇厯合皇極厯隋文帝時劉焯造距仁夀四年甲子嵗至萬厯二十二年甲午嵗九百九十年以其法推仁夀四年天正冬至得己酉及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考仁夀四年天正冬至得己酉與皇極厯合大業厯隋文帝時張胄𤣥造煬帝時重定距大業四年戊辰嵗至萬厯二十二年甲午嵗九百八十六年以其法推大業四年天正冬至得辛未及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以大衍厯上考大業四年天正冬至得庚午新法與大衍同戊寅厯唐髙祖時傅仁均造距武徳九年丙戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗九百六十八年以其法推武徳九年天正冬至得乙巳及推萬厯二十二年天正冬至得壬午後天三日以大衍厯上考武徳九年天正冬至得甲辰新法與大衍同麟徳厯唐髙宗時李淳風造距麟徳元年甲子嵗至萬厯二十二年甲午嵗九百三十年以其法推麟徳元年天正冬至得甲子及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考麟徳元年天正冬至得甲子與麟徳厯合神龍厯唐中宗時南宫説等造距神龍元年乙巳嵗至萬厯二十二年甲午嵗八百八十九年以其法推神龍元年天正冬至得己亥及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考神龍元年天正冬至得己亥與神龍厯合大衍厯唐𤣥宗時僧一行等造距開元十二年甲子嵗至萬厯二十二年甲午嵗八百七十年以其法推開元十二年天正冬至得戊寅及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考開元十二年天正冬至得戊寅與大衍厯合五紀厯唐代宗時郭獻之等造距寳應元年壬寅嵗至萬厯二十二年甲午嵗八百三十二年以其法推寳應元年天正冬至得戊戌及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以授時厯上考寳應元年天正冬至得丁酉新法與授時同貞元厯唐徳宗時徐承嗣等造距建中五年甲子嵗至萬厯二十二年甲午嵗八百一十年以其法推建中五年天正冬至得癸巳及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考建中五年即是興元元年天正冬至得癸巳與貞元厯合宣明厯唐穆宗時徐昂等造距長慶二年壬寅嵗至萬厯二十二年甲午嵗七百七十二年以其法推長慶二年天正冬至得壬子及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考長慶二年天正冬至得壬子與宣明厯合崇𤣥厯唐昭宗時邊岡等造距景福元年壬子嵗至萬厯二十二年甲午嵗七百二年以其法推景福元年天正冬至得己未及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考景福元年天正冬至得己未與崇𤣥厯合欽天厯後周世宗時王朴造距顯徳三年丙辰嵗至萬厯二十二年甲午嵗六百三十八年以其法推顯徳三年天正冬至得乙未及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考顯徳三年天正冬至得乙未與欽天厯合應天厯宋太祖時王處訥等造距建隆三年壬戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗六百三十二年以其法推建隆三年天正冬至得丙寅及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考建隆三年天正冬至得丙寅與應天厯合乾元厯宋太宗時吳昭素等造距太平興國六年辛巳嵗至萬厯二十二年甲午嵗六百一十三年以其法推太平興國六年天正冬至得丙午及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考太平興國六年天正冬至得丙午與乾元厯合儀天厯宋真宗時史序等造距咸平四年辛丑嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百九十三年以其法推咸平四年天正冬至得辛卯及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考咸平四年天正冬至得辛卯與儀天厯合乾興厯宋真宗時張奎造(命日起丁卯)距乾興元年壬戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百七十二年以其法推乾興元年天正冬至得辛巳及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以新法上考乾興元年天正冬至得辛巳與乾興厯合崇天厯宋仁宗時宋行古造距天聖二年甲子嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百七十年以其法推天聖二年天正冬至得壬辰及推萬厯二十二年天正冬至得辛巳後天二日以授時厯上考天聖二年天正冬至得辛卯新法與授時同明天厯宋英宗時周琮等造距治平元年甲辰嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百三十年以其法推治平元年天正冬至得辛酉及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考治平元年天正冬至得辛酉與明天厯合奉元厯宋神宗時沈括等造距熙寧七年甲寅嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百二十年以其法推熙寧七年天正冬至得癸丑及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考熙寧七年天正冬至得癸丑與奉元厯合觀天厯宋哲宗時皇居卿造距元祐七年壬申嵗至萬厯二十二年甲午嵗五百二年以其法推元祐七年天正冬至得戊子及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考元祐七年天正冬至得戊子與觀天厯合占天厯宋徽宗時姚舜輔造距崇寧二年癸未嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百九十一年以其法推崇寧二年天正冬至得乙酉及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考崇寧二年天正冬至得乙酉與占天厯合紀元厯宋徽宗時姚舜輔重造(命日起己卯)距崇寧五年丙戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百八十八年以其法推崇寧五年天正冬至得辛丑及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考崇寧五年天正冬至得辛丑與紀元厯合大明厯金熙宗時楊級造距天㑹五年丁未嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百六十七年以其法推天㑹五年天正冬至得辛卯及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考天㑹五年天正冬至得辛卯與大明厯合紀元厯宋髙宗時陳得一造距紹興五年乙卯嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百五十九年以其法推紹興五年天正冬至得癸酉及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考紹興五年天正冬至得癸酉與紀元厯合乾道厯宋孝宗時劉孝榮造距乾道三年丁亥嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百二十七年以其法推乾道三年天正冬至得辛酉及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考乾道三年天正冬至得辛酉與乾道厯合淳熙厯宋孝宗時劉孝榮重造距淳熙三年丙申嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百一十八年以其法推淳熙三年天正冬至得戊申及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考淳熙三年天正冬至得戊申與淳熙厯合大明厯金世宗時趙知微重修乙未厯金世宗時耶律履造(命日起壬申)二厯並以大定二十年庚子嵗為距至萬厯二十二年甲午嵗四百一十四年以其法推大定二十年天正冬至得己巳及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考大定二十年天正冬至得己巳與大明厯合㑹元厯宋光宗時劉孝榮重造距紹熙二年辛亥嵗至萬厯二十二年甲午嵗四百三年以其法推紹熙二年天正冬至得丁卯及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考紹熙二年天正冬至得丁卯與㑹元厯合綂天厯宋寧宗時楊忠輔造距慶元五年己未嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百九十五年以其法推慶元五年天正冬至得己酉日十六刻及推萬厯二十二年天正冬至得己卯日七十八刻先新法八刻以新法上考慶元五年天正冬至得己酉日十六刻與綂天厯合開禧厯宋寧宗時鮑澣之造距開禧三年丁卯嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百八十七年以其法推開禧三年天正冬至得辛卯及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考開禧三年天正冬至得辛卯與開禧厯合庚午厯元太祖時耶律楚材造(命日起壬戌)距元太祖十五年庚辰嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百七十四年以其法推元太祖十五年天正冬至得己亥及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考元太祖十五年天正冬至得己亥與庚午厯合按元太祖以宋寧宗開禧二年丙寅嵗即位其十五年嵗次庚辰乃宋寧宗嘉定十三年庚辰嵗也元太宗在位通無庚辰年元志以為太宗誤矣淳祐厯宋理宗時李徳卿造距淳祐十年庚戌嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百四十四年以其法推淳祐十年天正冬至得丙子及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考淳祐十年天正冬至得丙子與淳祐厯合㑹天厯宋理宗時譚玉造距寳祐元年癸丑嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百四十一年以其法推寳祐元年天正冬至得壬辰及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考寳祐元年天正冬至得壬辰與㑹天厯合成天厯宋度宗時陳鼎造距咸淳七年辛未嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百二十三年以其法推咸淳七年天正冬至得丙寅及推萬厯二十二年天正冬至得庚辰後天一日以新法上考咸淳七年天正冬至得丙寅與成天厯合授時厯元世祖時許衡等造距至元十八年辛巳嵗至萬厯二十二年甲午嵗三百一十三年以其法推至元十八年天正冬至得己未日夜半後六刻及推萬厯二十二年天正冬至得己卯日八十六刻先新法四分刻之三以新法上考至元十八年天正冬至得己未日夜半後六刻與授時厯合古有黄帝顓頊夏殷周魯六家之厯今皆不傳而見於史志者自漢迄元凡五十家其積年日法雖殊然用以推古今冬至則一也萬厯二十一年癸巳嵗仲冬十一月二十九日己卯加時在夜半前冬至此冬至乃萬厯二十二年甲午嵗嵗首黄鍾建子之月一陽來復生物之始厯家所謂天正冬至是也今以古厯五十家之法下推甲午嵗己卯日冬至其合者僅二乃其不合者四十有八此内後一日者二十三家後二日者十五家後五日七日十三日者各一家後二日十四日者各二家後八日者三家以新法上考五十家厯所距之年天正冬至則合者三十六不合者十四其不合者太初三綂四分乾象景初泰始三紀興和天保天和大業戊寅此十二家在大衍已前者今以大衍厯考之皆與新法所推同則知新法非不合也葢彼造厯之時測驗未密祖沖之及一行已有定論矣唐五紀宋崇天此二家者在大衍後葢寫大衍舊率而失之後天也今以綂天厯授時厯考之亦與新法所推同以此觀之古今諸厯相較新法為密庶㡬千嵗之日至可坐而致云附録三條一自萬厯二十二年甲午已後六十年中間春秋二分冬夏二至大統厯與新法不同者凡二十四條新法皆在大統前一日大統皆在新法後一日夫二至二分乃四郊大祀之期大統厯法或誤故不可不辨也撮其略列于此冬至 庚戌年(戊申己酉) 甲寅年(己巳庚午) 戊午年(庚寅辛夘)癸未年(辛丑壬寅) 丁亥年(壬戌癸亥) 辛卯年(癸未甲申)夏至 丙申年(壬辰癸巳) 庚子年(癸丑甲寅)甲辰年(甲戌乙亥)乙丑年(甲子乙丑) 己巳年(乙酉丙戌)癸酉年(丙午丁未)春分 丁酉年(丙寅丁卯) 戊午年(丙辰丁巳)壬戌年(丁丑戊寅)丙寅年(戊戌己亥) 庚午年(己未庚申)辛卯年(己酉庚戌)秋分 癸卯年(庚子辛丑) 丁未年(辛酉壬戌)辛亥年(壬午癸未)丙子年(癸巳甲午) 庚辰年(甲寅乙夘)甲申年(乙亥丙子)右二分辨之稍難惟二至憑晷景以驗之則真偽最易辨而厯法疎密可決矣一凡厯法之疎密當以天為驗證是乃厯之本也何謂天之驗證自古以來景長之極為真冬至長之不極雖名冬至實非真冬至也景短之極為真夏至短之不極雖名夏至實非真夏至也且如萬厯二十四年五月夏至大統厯推得癸巳而新法推得壬辰此夏至之不相同也萬厯三十八年十一月冬至大統厯推得己酉而新法推得戊申此冬至之不相同也夫癸巳壬辰己酉戊申此四日無題勒欵識孰知其真否可與衆共辨者惟晷景是證耳若萬厯二十四年夏至之日其景不短而前一日之景卻短萬厯三十八年冬至之日其景不長而前一日之景卻長則知新法為密大統為疎亦昭然矣後漢志曰厯不差不改不驗不用未差無以知其失未驗無以知其是失然後改是然後用此前賢定論也今亦未敢自以新法為是恭候欽依清臺測驗可以決其是否耳餘條冬夏至悉皆放此云一萬厯三十八年庚戌嵗依大綂厯丙子日子正二刻小滿該閏三月依新法乙亥日亥正一刻小滿該閏四月萬厯四十年壬子嵗依大綂厯庚寅日子正初刻大寒該閏十一月依新法己丑日亥初三刻大寒該閏十二月皆因時差一辰遂致氣差一日而致閏差一月若庚戌嵗者不獨差一月又且差一季以夏為春矣傳曰閏以正時時以作事事以厚生生民之道於是乎在可不慎歟此亦厯家之所當辨者也已上三條乃議厯之要務是故表而出之伏候聖明采擇聖壽萬年厯卷三
## 5
欽定四庫全書聖夀萬年厯卷四明 朱載堉 撰二至晷景考説者皆云漢歴有四太初最密唐厯有八大衍最密宋歴十六紀元最密元厯有二授時最密今大統厯與囘囘厯相校大統最密然新率與之校所得尤多視太初等厯大不侔矣自魯僖公五年丙寅嵗正月至洪武十六年癸亥嵗十一月二千三十八年之間傳志所載二至晷景凡六十事用前代所謂密者四厯及大統厯并新法考之所得開列於後魯僖公五年丙寅嵗春王正月辛亥朔日南至(見春秋左傳)漢太初厯辛亥二十五刻 唐大衍厯辛亥九十四刻宋紀元厯壬子八十四刻 元授時厯辛亥十四刻本朝大統厯甲寅八十二刻 新法推得辛亥五十五刻右紀元後天一日大統後天三日餘與天合昭公二十年己卯嵗春王二月己丑日南至(見春秋左傳)太初己丑五十刻 大衍己丑四十五刻紀元庚寅二十五刻 授時戊子八十三刻大綂壬辰七刻 新法己丑二十三刻右紀元後天一日授時先天一日大綂後天三日餘與天合按南至晷景見於經傳者惟此二條而已餘或見於讖緯等書若春秋命厯序之類即漢志隋志所引者今未敢以為據授時厯議據前漢志魯獻公十五年戊寅嵗正月甲寅朔旦冬至引用此條為首盖獻公乃隠公五世祖其十五年戊寅嵗下距隠公元年己未嵗百六十一年其非春秋時明矣而元志乃云自春秋獻公以來者許郭諸儒多聞博古豈不知獻公在春秋前百餘年哉第以所推昭公己丑冬至而得戊子既不能合偶與獻公相合故援此以飾非而為之説云曲變厯法以従昭公則與獻公不合遂謂春秋所書昭公冬至乃日度失行之驗然則大衍宣明諸厯推之皆得己丑豈皆誤耶夫獻公甲寅冬至别無所據惟劉歆三綂厯是據也若左傳不足信而歆獨可信乎太初元年冬至在辛酉歆乃以為甲子差天三日尚不能知而能逆知上下數百載乎然則獻公十五年冬至當在何日曰三統授時之甲寅失之先紀元大定之丁巳失之後大衍所推丙辰宣明所推乙卯庶或近之然别無所考據闕其疑可也以要言之凡春秋前後千載之間氣朔交食長厯大衍所推近是劉歆班固所説全非杜預一行已有定論詳載别巻矣劉宋元嘉十二年乙亥嵗十一月十五日戊辰景長(見隋志)太初癸酉七十五刻 大衍戊辰三十五刻紀元戊辰三十九刻 授時戊辰四十七刻大綂己巳十四刻 新法戊辰五十二刻右太初後天五日大綂後天一日餘與天合元嘉十三年丙子嵗十一月二十六日甲戌景長(見隋志)太初己卯空刻 大衍癸酉五十九刻紀元癸酉六十三刻 授時癸酉七十一刻大綂甲戌三十九刻 新法癸酉七十六刻右太初後天五日大綂與天合餘皆先天一日唐志大衍厯議曰較前代史官注記惟元嘉十三年十一月甲戌景長皇極麟德開元厯皆得癸酉盖日度變常爾元授時厯所議亦同今按前人考古景長之驗或不相合則云日度失行竊謂此言過矣茍日度失行當如嵗差漸漸而移今嵗既已不合來嵗豈能復合耶盖係前人所測或未密耳非日度變行也夫冬至之景一丈有餘表髙晷長則景虚而淡欲就虚景之中考其真實或設望筒或置副表景符之類以求實景然望筒或一低昻副表景符或一前却兼以測景之人工拙不同用意詳略亦異所據之表或稍有傾欹圭面或稍有斜側二至前後數日之景進退只在毫釐之間僾俙之際要亦難辨若夫陽城岳臺略分南北尚有不同況於四海九服之逺相去千有餘里委託之人未知當否既非目擊其實所報晷景寧足信乎元嘉十五年戊寅嵗十一月十八日甲申景長(見隋志)太初己丑五十刻 大衍甲申八刻紀元甲申十二刻 授時甲申二十刻大綂甲申八十七刻 新法甲申二十五刻右太初後天五日餘與天合元嘉十六年己卯嵗十一月二十九日己丑景長(見隋志)太初甲午七十五刻 大衍己丑三十三刻紀元己丑二十七刻 授時己丑四十四刻大綂庚寅十一刻 新法己丑五十刻右太初後天五日大綂後天一日餘與天合元嘉十七年庚辰嵗十一月初十日甲午景長(見隋志)太初庚子空刻 大衍甲午五十七刻紀元甲午六十一刻 授時甲午六十八刻大綂乙未三十六刻 新法甲午七十四刻右太初後天六日大綂後天一日餘與天合元嘉十八年辛巳嵗十一月二十一日己亥景長(見隋志)太初乙巳二十五刻 大衍己亥八十二刻紀元己亥八十五刻 授時己亥九十三刻大綂庚子六十刻 新法己亥九十八刻右太初後天六日大綂後天一日餘與天合元嘉十九年壬午嵗十一月初三日乙巳景長(見隋志)太初庚戌五十刻 大衍乙巳六刻紀元乙巳十刻 授時乙巳十七刻大綂乙巳八十四刻 新法乙巳二十三刻右太初後天五日餘與天合大明五年辛丑嵗十一月初三日乙酉冬至(見前宋志)太初庚寅二十五刻 大衍甲申七十刻紀元甲申七十三刻 授時甲申七十九刻大統乙酉四十五刻 新法甲申八十六刻右太初後天五日大綂與天合餘皆先天一日宋書元嘉厯推是年冬至在甲申日八十刻祖沖之以為厯誤乃上議曰臣測景厯紀躬辨分寸銅表堅剛暴潤不動光晷明潔纖毫㦎然據大明五年十月十日景一丈七寸七分半十一月二十五日一丈八寸一分太二十六日一丈七寸五分彊折取其中則中天冬至應在十一月三日求其蚤晚令後二日景相減則一日差率也倍之為法前二日相減百刻乗之為實以法除實得冬至加時在夜半後三十一刻在元嘉厯後一日天數之正也按元儒筭晷景其法不同今附載於此是年十月初十日壬戌景長一丈七寸七分五釐十一月二十五日丁未景長一丈八寸一分七釐五毫二十六日戊申景長一丈七寸五分依元儒法當置壬戌戊申二日之景相減餘二分五釐以百刻乗之得二百五十刻為實卻以丁未戊申二日之景相減餘六分七釐五毫為法除之得三十七刻乃置壬戌戊申相距四十六日百刻乗之得四千六百刻凡冬至景前多後少為減減去三十七刻折半得二千二百八十一刻加日中五十刻為二十三日三十一刻命起前距壬戌筭外得十一月初三日乙酉三十一刻即所求冬至也欲使初學易曉故詳載之唐志大衍厯議曰祖沖之既失元嘉十三年甲戌冬至以為加時太早增小餘以附㑹之而十二年戊辰景長得己巳十七年甲午景長得乙未十八年己亥景長得庚子合一失三其失愈多劉孝孫張胄𤣥因之小餘益彊又以十六年己丑景長為庚寅矣治厯者糾合衆同以稽其所異茍獨異焉則失行可知今曲就其一而少者失三多者失五是舎常數而從失行也夫以唐志此説證之則沖之所測景盖假託而非真雖其筭術有可取焉要之其説則是景則非也一行譏胄𤣥之謬所謂就一失五者即已上六條而元綂所造大綂厯其失乃與沖之胄𤣥相類推今雖密考古頗疎李德芳輩盖不無遺憾云周天和二年丁亥嵗十一月初三日庚子景長(見隋志)太初丙午七十五刻 大衍庚子六十一刻紀元庚子五十五刻 授時庚子六十五刻大綂辛丑十五刻 新法庚子七十一刻右太初後天六日大綂後天一日餘與天合天和三年戊子嵗十一月十四日乙巳景長(見隋志)太初壬子空刻 大衍乙巳八十六刻紀元乙巳七十九刻 授時乙巳九十刻大綂丙午四十刻 新法乙巳九十五刻右太初後天七日大綂後天一日餘與天合建德元年壬辰嵗十一月二十九日丁卯景長(見隋志)太初癸酉空刻 大衍丙寅八十三刻紀元丙寅七十七刻 授時丙寅八十七刻大綂丁卯三十七刻 新法丙寅九十三刻右太初後天六日大綂與天合餘皆先天一日建德二年癸巳嵗五月初三日戊辰景短(見隋志)太初乙亥六十二刻 大衍己巳四十六刻紀元己巳三十九刻 授時己巳四十九刻大綂己巳九十九刻 新法己巳五十五刻右按厯法凡冬夏二至相距一百八十二日六十二刻有竒是嵗嵗前天正冬至在丁卯丁卯距戊辰不足一百八十二日必無戊辰夏至之理若就戊辰夏至則失丁卯冬至此盖隋志之誤無疑諸厯推己巳者為是惟太初後天六日建德三年甲午嵗十一月二十日丁丑景長(見隋志)太初癸未五十刻 大衍丁丑三十二刻紀元丁丑二十五刻 授時丁丑三十六刻大綂丁丑八十五刻 新法丁丑四十二刻右太初後天六日餘與天合建德六年丁酉嵗十一月二十三日壬辰景長(見隋志)太初己亥二十五刻 大衍癸巳五刻紀元壬辰九十九刻 授時癸巳九刻大綂癸巳五十八刻 新法癸巳十五刻右太初後天七日紀元與天合餘皆後天一日唐志大衍厯議云建德六年以壬辰景長而麟德開元厯皆得癸巳開皇七年以癸未景短而麟德開元厯皆得壬午先後相戾不可叶也皆日行盈縮使然凡厯術在於常數而不在於變行既叶中行之率則可以兩齊先後之變矣宣政元年戊戌嵗十一月初五日戊戌景長(見隋志)太初甲辰五十刻 大衍戊戌三十刻紀元戊戌二十三刻 授時戊戌三十三刻大綂戊戌八十二刻 新法戊戌三十九刻右太初後天六日餘與天合隋開皇四年甲辰嵗十一月十一日己巳景長(見隋志)太初丙子空刻 大衍己巳七十七刻紀元己巳六十九刻 授時己巳八十六刻大綂庚午二十八刻 新法己巳八十五刻右太初後天七日大綂後天一日餘與天合開皇五年乙巳嵗十一月二十二日乙亥景長(見隋志)太初辛巳二十五刻 大衍乙亥一刻紀元甲戌九十三刻 授時乙亥十刻大綂乙亥五十二刻 新法乙亥十刻右太初後天六日紀元先天一日餘與天合開皇六年丙午嵗十一月初三日庚辰景長(見隋志)太初丙戌五十刻 大衍庚辰二十五刻紀元庚辰十八刻 授時庚辰三十四刻大綂庚辰七十六刻 新法庚辰三十四刻右太初後天六日餘與天合開皇七年丁未嵗五月初九日癸未景短(見隋志)太初己丑十二刻 大衍壬午八十八刻紀元壬午八十刻 授時壬午九十六刻大綂癸未三十八刻 新法壬午九十六刻右太初後天六日大綂與天合餘皆先天一日是年十一月十四日乙酉景長(見隋志)太初辛卯七十五刻 太衍乙酉五十刻紀元乙酉四十二刻 授時乙酉五十九刻大綂丙戌初刻 新法乙酉五十八刻右太初後天六日大綂後天一日餘與天合開皇十一年辛亥嵗十一月二十八日丙午景長(見隋志)太初壬子七十五刻 大衍丙午四十八刻紀元丙午四十刻 授時丙午五十六刻大綂丙午九十七刻 新法丙午五十六刻右太初後天六日餘與天合開皇十四年甲寅嵗十一月辛酉朔旦冬至(見隋志)太初戊辰五十刻 大衍壬戌二十一刻紀元壬戌十三刻 授時壬戌二十九刻大綂壬戌七十刻 新法壬戌二十九刻右按隋書蕭吉傳云甲寅之年以辛酉冬至來年乙卯以甲子夏至冬至陽始郊天之日即是至尊本命夏至隂始祀地之辰即是皇后本命至尊德竝乾之覆育皇后仁同地之載養所以二儀元氣竝㑹本辰此盖時厯傅㑹以媚其上非實測晷景所得也諸厯推壬戌者為是惟太初後天六日唐貞觀十八年甲辰嵗十一月乙酉景長(見元志)太初辛卯空刻 大衍甲申四十三刻紀元甲申三十一刻 授時甲申四十四刻大綂甲申八十三刻 新法甲申四十七刻右太初後天六日餘皆先天一日貞觀二十三年己酉嵗十一月辛亥景長(見元志)太初丁巳二十五刻 大衍庚戌六十五刻紀元庚戌五十三刻 授時庚戌六十六刻大綂辛亥四刻 新法庚戌六十九刻右太初後天六日大綂與天合餘皆先天一日元志授時厯議云唐貞觀十八年甲辰嵗十一月乙酉景長諸厯得甲申二十三年己酉嵗十一月辛亥景長諸厯皆得庚戌大衍厯議以永淳開元冬至推之知前二冬至乃史官依時厯以書必非候景所得所以不合耳龍朔二年壬戌嵗十一月戊午景長(見元志)太初乙丑五十刻 大衍戊午八十三刻紀元戊午六十九刻 授時戊午八十二刻大綂己未十九刻 新法戊午八十六刻右太初後天七日大綂後天一日餘與天合儀鳳元年丙子嵗十一月壬申景長(見元志)太初己卯空刻 大衍壬申二十五刻紀元壬申十刻 授時壬申二十二刻大綂壬申五十九刻 新法壬申二十七刻右太初後天七日餘與天合永淳元年壬午嵗十一月癸卯景長(見元志)太初庚戌五十刻 大衍癸卯七十二刻紀元癸卯五十七刻 授時癸卯七十四刻大綂甲辰四刻 新法癸卯七十三刻右太初後天七日大綂後天一日餘與天合開元十年壬戌嵗十一月癸酉景長(見元志)太初庚辰五十刻 大衍癸酉四十九刻紀元癸酉三十一刻 授時癸酉四十六刻大綂癸酉七十四刻 新法癸酉四十七刻右太初後天七日餘與天合開元十一年癸亥嵗十一月戊寅景長(見元志)太初乙酉七十五刻 大衍戊寅七十四刻紀元戊寅五十五刻 授時戊寅七十刻大綂戊寅九十八刻 新法戊寅七十一刻右太初後天七日餘與天合開元十二年甲子嵗十一月癸未景長(見元志)太初辛卯空刻 大衍癸未九十八刻紀元癸未八十刻 授時癸未九十五刻大綂甲申二十三刻 新法癸未九十六刻右太初後天八日大綂後天一日餘與天合宋景德四年丁未嵗十一月戊辰日冬至(見元志)太初丙子七十五刻 大衍戊辰十五刻紀元丁卯七十四刻 授時丁卯八十刻大綂丁卯八十五刻 新法丁卯七十九刻右太初後天八日大衍與天合餘皆先天一日元志授時厯議云自宋以來測景驗氣者凡十七事其景德丁未嵗戊辰日南至綂天授時皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥嵗甲戌日南至綂天授時皆得乙亥是後一日一失之先一失之後若曲變其率以従景德則其餘十六事多後天若從嘉泰則其餘十六事多先天以此理推之非厯不合也盖類其同則知其中辨其異則知其變已下二條放此皇祐元年己丑嵗十一月十九日戊申景長(見宋志)太初丁巳二十五刻 大衍戊申四十二刻紀元丁未九十七刻 授時丁未九十九刻大綂戊申四刻 新法丁未九十九刻右太初後天九日大衍大綂與天合餘皆先天一日皇祐二年庚寅嵗五月二十五日辛亥景短(見宋志)太初乙未八十七刻 大衍辛亥四刻紀元庚戌六十刻 授時庚戌六十一刻大綂庚戌六十六刻 新法庚戌六十一刻右太初後天八日大衍與天合餘皆先天一日是年十一月三十日癸丑景長(見宋志)太初壬戌五十刻 大衍癸丑六十六刻紀元癸丑二十二刻 授時癸丑二十三刻大綂癸丑二十八刻 新法癸丑二十三刻右太初後天九日餘與天合皇祐四年壬辰嵗五月十七日辛酉景短(見宋志)太初庚午三十七刻 大衍辛酉五十三刻紀元辛酉八刻 授時辛酉十刻大綂辛酉十四刻 新法辛酉十刻右太初後天九日餘與天合元豐六年癸亥嵗十一月丙午景長(見元志)太初乙卯七十五刻 大衍丙午七十三刻紀元丙午二十六刻 授時丙午二十六刻大綂丙午二十八刻 新法丙午二十五刻右太初後天九日餘與天合元豐七年甲子嵗十一月辛亥景長(見元志)太初辛酉空刻 大衍辛亥九十七刻紀元辛亥五十刻 授時辛亥五十一刻大綂辛亥五十三刻 新法辛亥四十九刻右太初後天十日餘與天合元祐三年戊辰嵗十一月壬申景長(見元志)太初壬午空刻 大衍壬申九十五刻紀元壬申四十八刻 授時壬申四十八刻大綂壬申五十刻 新法壬申四十六刻右太初後天十日餘與天合元祐四年己巳嵗十一月丁丑景長(見元志)太初丁亥二十五刻 太衍戊寅十九刻紀元丁丑七十二刻 授時丁丑七十二刻大綂丁丑七十四刻 新法丁丑七十一刻右太初後天十日大衍後天一日餘與天合元祐五年庚午嵗十一月壬午冬至太初壬辰五十刻 大衍癸未四十四刻紀元壬午九十六刻 授時壬午九十六刻大綂壬午九十八刻 新法壬午九十五刻右太初後天十日大衍後天一日餘與天合元祐七年壬申嵗十一月癸巳冬至(見元志)太初癸卯空刻 大衍癸巳九十二刻紀元癸巳四十五刻 授時癸巳四十五刻大綂癸巳四十七刻 新法癸巳四十三刻右太初後天十日餘與天合元符元年戊寅嵗十一月甲子冬至(見元志)太初甲戌五十刻 大衍乙丑三十九刻紀元甲子九十一刻 授時甲子九十刻大綂甲子九十二刻 新法甲子八十九刻右太初後天十日大衍後天一日餘與天合崇寧三年甲申嵗十一月丙申冬至(見元志)太初丙午空刻 大衍丙申八十六刻紀元丙申三十七刻 授時丙申三十六刻大綂丙申三十八刻 新法丙申三十五刻右太初後天十日餘與天合崇寧四年乙酉嵗十一月辛丑冬至(見元志)太初辛亥二十五刻 大衍壬寅十刻紀元辛丑六十二刻 授時辛丑六十刻大綂辛丑六十二刻 新法辛丑五十九刻右太初後天十日大衍後天一日餘與天合紹熙二年辛亥嵗十一月壬申冬至(見元志)太初壬午七十五刻 大衍癸酉十二刻紀元壬申五十七刻 授時壬申四十七刻大綂壬申四十七刻 新法壬申四十七刻右太初後天十日大衍後天一日餘與天合紹熙四年癸丑嵗十一月十九日壬午景長(見宋志)太初癸巳二十五刻 大衍癸未六十一刻紀元癸未六刻 授時壬午九十六刻大綂壬午九十六刻 新法壬午九十五刻右太初後天十一日大衍紀元後天一日餘與天合慶元三年丁巳嵗十一月癸卯日南至(見元志)太初甲寅二十五刻 大衍甲辰五十九刻紀元甲辰三刻 授時癸卯九十三刻大綂癸卯九十三刻 新法癸卯九十二刻右大初後天十一日大衍紀元後天一日餘與天合嘉泰三年癸亥嵗十一月甲戌日南至(見元志)太初乙酉七十五刻 大衍丙子五刻紀元乙亥四十九刻 授時乙亥三十八刻大綂乙亥三十八刻 新法乙亥三十八刻右太初後天十一日大衍後天二日餘皆後天一日嘉定五年壬申嵗十一月壬戌日南至(見元志)太初癸酉空刻 大衍癸亥二十五刻紀元壬戌六十八刻 授時壬戌五十七刻大綂壬戌五十七刻 新法壬戌五十六刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合紹定三年庚寅嵗十一月丙申日南至(見元志)太初丁未五十刻 大衍丁酉六十五刻紀元丁酉七刻 授時丙申九十三刻大綂丙申九十三刻 新法丙申九十三刻右太初後天十一日大衍紀元後天一日餘與天合淳祐十年庚戌嵗十一月辛巳日南至(見元志)太初壬辰五十刻 大衍壬午五十四刻紀元辛巳九十四刻 授時辛巳七十八刻大綂辛巳七十八刻 新法辛巳七十八刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合元至元十四年丁丑嵗十一月癸卯日辰初三刻冬至(見元志)太初甲寅二十五刻 大衍甲辰十四刻紀元癸卯五十二刻 授時癸卯三十三刻大綂癸卯三十三刻 新法癸卯三十三刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合至元十五年戊寅嵗五月乙巳日亥正三刻夏至(見元志)太初丙辰八十七刻 大衍丙午七十六刻紀元丙午十四刻 授時乙巳九十五刻大綂乙巳九十五刻 新法乙巳九十五刻右太初後天十一日大衍紀元後天一日餘與天合是年十一月戊申日未初三刻冬至(見元志)太初己未五十刻 大衍己酉三十八刻紀元戊申七十六刻 授時戊申五十七刻大綂戊申五十七刻 新法戊申五十七刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合至元十六年己卯嵗五月辛亥日寅正二刻夏至(見元志)太初壬戌十二刻 大衍壬子一刻紀元辛亥三十九刻 授時辛亥十九刻大綂辛亥十九刻 新法辛亥十九刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合是年十一月癸丑日戌初二刻冬至(見元志)太初甲子七十五刻 大衍甲寅六十三刻紀元甲寅一刻 授時癸丑八十一刻大綂癸丑八十一刻 新法癸丑八十一刻右太初後天十一日大衍紀元後天一日餘與天合至元十七年庚辰嵗十一月己未日丑初一刻冬至(見元志)太初庚午空刻 大衍己未八十七刻紀元己未二十五刻 授時己未六刻大綂已未六刻 新法己未六刻右太初後天十一日餘與天合聖朝洪武十六年癸亥嵗十一月己未日冬至(見大學衍義補)太初庚午七十五刻 大衍庚申五刻紀元己未三十四刻 授時己未二刻大綂己未三刻 新法己未二刻右太初後天十一日大衍後天一日餘與天合史官所記二至晷景凡六十條以太初等五厯及新法考之太初合者僅二後天五日至十一日者凡五十八大衍合者三十六先一日者六後一日者十七後二日者一紀元合者四十二先一日者十後一日者八授時合者四十八先一日者十後一日者二大綂合者四十二先一日者三後一日者十三後三日者二新法合者比授時多一事其不合者比授時少一事夫以此觀之則太初最疎固無足取大衍紀元非見用者亦不必論其授時厯不合者十二而先者多至於十後者僅二盖減分太多未得其宜也將來氣朔皆失之先矣大綂厯不合者十八而先一日者僅三後一日者多至十三後三日者二盖由嵗餘一定而無加減故也夫後者多而先者少今雖未覺其失恐將來氣朔浸失之後矣新法不合者十一比授時時為少合者四十九視授時為多盖密於授時矣其不與天合者非不合也前人有云類其同則知其中辨其異則知其變先後相戾者不可得兼也若曲變其法以改先者則後者愈後以改後者則先者益先徒令合者皆不合矣今乃折取中數不執一偏則先後二者雖不盡合而其相去亦皆不遠凡相合者各得中平之率矣附錄二十條萬厯二十四年丙申嵗五月夏至大綂癸巳六刻 新法壬辰九十八刻授時壬辰九十七刻二十八年庚子嵗五月夏至大綂甲寅三刻 新法癸丑九十四刻授時癸丑九十四刻三十二年甲辰嵗五月夏至大綂乙亥初刻 新法甲戌九十一刻授時甲戌九十一刻三十八年庚戌嵗十一月冬至大綂己酉八刻 新法戊申九十八刻授時戊申九十八刻四十二年甲寅嵗十一月冬至大綂庚午五刻 新法己巳九十五刻授時己巳九十五刻四十六年戊午嵗十一月冬至大綂辛卯二刻 新法庚寅九十二刻授時庚寅九十二刻五十三年乙丑嵗五月夏至大綂乙丑十刻 新法甲子九十九刻授時甲子九十九刻五十七年己巳嵗五月夏至大綂丙戌七刻 新法乙酉九十六刻授時乙酉九十六刻六十一年癸酉嵗五月夏至大綂丁未四刻 新法丙午九十三刻授時丙午九十三刻六十五年丁丑嵗五月夏至大綂戊辰一刻 新法丁卯八十九刻授時丁卯九十刻七十一年癸未嵗十一月冬至大綂壬寅八刻 新法辛丑九十七刻授時辛丑九十七刻七十五年丁亥嵗十一月冬至大綂癸亥五刻 新法壬戌九十三刻授時壬戌九十四刻七十九年辛卯嵗十一月冬至大綂甲申二刻 新法癸未九十刻授時癸未九十一刻八十六年戊戌嵗五月夏至大綂戊午十刻 新法丁巳九十七刻授時丁巳九十九刻九十年壬寅嵗五月夏至大綂己卯七刻 新法戊寅九十四刻授時戊寅九十五刻九十四年丙午嵗五月夏至大綂庚子四刻 新法己亥九十一刻授時己亥九十二刻九十八年庚戌嵗五月夏至大綂辛酉一刻 新法庚申八十八刻授時庚申八十九刻百年壬子嵗十一月冬至大綂甲戌十二刻 新法癸酉九十八刻授時甲戌初刻千年壬子嵗十一月冬至大綂壬子三十七刻 新法庚戌九十刻授時庚戌八十一刻萬年壬子嵗十一月冬至大綂甲戌八十七刻 新法壬寅十六刻授時己丑八十九刻(先大綂百五日先新法十三日)已上預推未來二至新舊三家各有異同宜於其時測驗晷景以證新舊厯孰為疎密也謹述大槩以發其端附於此卷之末自萬厯元年已來百年之間大綂授時二厯相差不過十餘刻及至千年則差二日萬年則差百有餘日所差非不多也新率恒處二厯强弱之間得中平之數云聖夀萬年厯卷四
## 6
欽定四庫全書聖夀萬年厯卷五明 朱載堉 撰古今交食考前代課厯故事取各家所造之厯各使推而上之於千百世之上以求交食與夫嵗月日星辰之著見於經史者為合與否然後推而下之以定當來之氣朔則知與往古相合者為密不合者為疎甚易辨也萬厯九年辛巳嵗距漢武帝元光元年丁未嵗一千七百一十四年距陳宣帝太建八年丙申嵗一千有五年二者之間史志原載日月食分加時起復方位各取數事而以元儒舊法并今新法考之自唐已下不必考者未及千年故略之也仍取萬厯甲午已後日月交食亦各數事較其異同筆於此巻往則稽於史來則驗於天而新舊二家疎密可見矣漢武帝元光元年七月癸未先晦一日日有食之在翼八度劉向云日中時食從東北過半晡時復(見前漢書五行志)謹按日食必起自西理無從東起者疑有脱文故也當作從西北向東北食過半過半謂六七分已上是嵗有閏而漢厯失閏故以為七月晦晦閏之失辨見别卷兹不復贅依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千六百八十七年距萬厯辛巳嵗一千七百一十四年日食九分四十九秒初虧 午正一刻 西北食甚 未初三刻 正北復圓 申初初刻 東北食甚日躔黄道翼八度五十一分赤道翼八度三十九分依舊法筭距至元辛巳嵗一千四百一十四年日食九分六十三秒初虧 午正三刻 正西食甚 未正初刻復圓 申初二刻 正東食甚日纏黄道翼六度五十二分赤道翼六度四十一分漢武帝征和四年八月辛酉晦日有食之不盡如鉤在亢二度晡時食從西北日下晡時復(同上)依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千六百四十二年距萬厯辛巳嵗一千六百六十九年日食九分八十五秒初虧 未初二刻 西北食甚 未正三刻 正北復圓 申正初刻 東北食甚日躔黄道角十一度七十八分赤道角十度八十五分依舊法筭距至元辛巳嵗一千三百六十九年日食九分四十三秒初虧 未正初刻 正西食甚 申初一刻復圓 申正二刻 正東食甚日躔黄道角九度八十五分赤道角九度七分謹按厯經云若當時有宿度仍依當時厯法命之依三綂厯冬至日在牽牛加而命之則與亢二度合漢明帝永平四年八月丙寅時加未日有食之(見後漢五行志註)謹按此不言朔者八月之晦也時加未者猶言加時在未依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千四百九十三年距萬厯辛巳嵗一千五百二十年日食二分七十一秒初虧 未初二刻 西北食甚 未正二刻 正北復圓 申初二刻 東北食甚日躔黄道亢初度十二分赤道亢初度十一分依舊法筭距至元辛巳嵗一千二百二十年日食三分五十六秒初虧 未正二刻 西北食甚 申初三刻 正北復圓 申正三刻 東北食甚日躔黄道角十一度六十九分赤道角十度七十七分魏文帝黄初二年六月二十七日戊辰加時未日食(見晉書厯志)依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千三百三十三年距萬厯辛巳嵗一千三百六十年日食三分七十二秒初虧 午正三刻 西北食甚 未初三刻 正北復圓 未正三刻 東北食甚日躔黄道張九度七十四分赤道張九度八十九分依舊法筭距至元辛巳嵗一千六十年日食四分二十四秒初虧 未初一刻 西北食甚 未正一刻 正北復圓 申初一刻 東北食甚日躔黄道張八度七十一分赤道張八度八十四分魏文帝黄初二年七月十五日癸未日加壬月加丙食(同上)謹按日加壬謂日在地中壬位月加丙謂月在天上丙位以漏刻言則亥末子初也丙字舊文作景為避唐諱今仍作丙庶讀者易曉也依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千三百三十三年距萬厯辛巳嵗一千三百六十年月食八分七十秒初虧 子初初刻 三更一㸃 東南食甚 子正三刻 三更五㸃 正南復圓 丑正一刻 四更五㸃 西南食甚月離黄道室六度九十七分赤道室六度八十分依舊法筭距至元辛巳嵗一千六十年月食八分七十一秒初虧 子初二刻 三更二㸃 正東食甚 丑初一刻 四更二㸃復圓 寅初一刻 五更二㸃 正西食甚月離黄道室五度九十分赤道室五度七十五分宋文帝元嘉十三年十二月十六日甲夜月食盡在鬼四度以衝計之日當在牛六(見宋書祖沖之歴議)謹按甲夜或作中夜者誤甲夜一更也乙丙丁戊夜二三四五更也盡字疑衍今厯鬼無四度盖據當時赤道度耳元志云列舎相距度數厯代所測不同非微有動移則前人所測或有未密正謂此也已下三條放此依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千一百一十八年距萬厯辛巳嵗一千一百四十五年月食八分七十三秒初虧 申正三刻 昏刻 東北食甚 酉正一刻 一更二㸃 正北復圓 戊初三刻 一更五㸃 西北食甚月離黄道柳三度四十一分赤道柳三度六十二分依舊法筭距至元辛巳嵗八百四十五年月食八分七十三秒初虧 申正三刻 昏刻 正東食甚 酉正二刻 一更三㸃復圓 戌正一刻 二更一㸃 正西食甚月離黄道柳二度七十九分赤道柳二度九十七分宋文帝元嘉十四年五月十五日丁夜月食盡在斗二十六度以衝計之日當在井三十(同上)謹按赤道斗無二十六度唐志大衍厯議云古以牽牛上星為距太初改用中星然則斗二十六度者漢太初厯所測也新法改斗二十六度為牛初度依近代所測也依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千一百一十七年距萬厯辛巳嵗一千一百四十四年月食十一分六十二秒初虧 子正初刻 三更三㸃 正東食旣 丑初一刻 四更二㸃食甚 丑初三刻 四更四㸃生光 丑正初刻 四更五㸃復圓 寅初一刻 五更四㸃 正西食甚月離黄道牛初度五十一分赤道牛初度五十五分依舊法筭距至元辛巳嵗八百四十四年月食十一分六十二秒初虧 子正初刻 三更四㸃 正東食既 丑初二刻 四更三㸃食甚 丑正初刻 四更四㸃生光 丑正二刻 五更一㸃復圓 寅初四刻 五更五㸃 正西食甚月離黄道斗二十三度十六分赤道斗二十五度八分宋文帝元嘉二十八年八月十五日丁夜月食在奎十一度以衝計之日當在角二(同上)謹按此條不言食盡者食不至既也依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千一百三年距萬厯辛巳嵗一千一百三十年月食七分三十秒初虧 子正初刻 三更三㸃 東南食甚 丑初二刻 四更二㸃 正南復圓 寅初初刻 四更五㸃 西南食甚月離黄道奎十四度二十六分赤道奎十三度十五分依舊法筭距至元辛巳嵗八百三十年月食七分三十秒初虧 子正一刻 三更四㸃 東南食甚 丑初三刻 四更二㸃 正南復圓 寅初二刻 五更一㸃 西南食甚月離黄道奎十三度五十四分赤道奎十二度四十八分宋孝武帝大明三年九月十五日乙夜月食盡在胃宿之末以衝計之日當在氐十二(同上)依新法筭距嘉靖甲寅嵗一千九十五年距萬厯辛巳嵗一千一百二十二年月食十四分四秒初虧 戌初初刻 一更三㸃 正東食既 戌正初刻 一更五㸃食甚 戌正二刻 二更一㸃生光 亥初初刻 二更二㸃復圓 亥正初刻 二更四㸃 正西食甚月離黄道胃十四度七十二分赤道胃十四度八分依舊法筭距至元辛巳嵗八百二十二年月食十四分四秒初虧 酉正三刻 一更二㸃 正東食既 戌初四刻 一更五㸃食甚 戌正二刻 二更一㸃生光 亥初初刻 二更二㸃復圓 亥正一刻 二更五㸃 正西食甚月離黄道胃十四度一分赤道胃十三度四十一分陳宣帝太建八年丙申六月戊申朔食於卯甲間(見元史厯志)謹按二十四向寅末卯初是名曰甲然則卯甲間者謂卯初之後卯正之前也依新法筭距嘉靖甲寅嵗九百七十八年距萬厯辛巳嵗一千五年日食七分九十六秒日未出已食一分六十一秒日已出見食六分三十五秒初虧 寅正一刻 西北食甚 卯初二刻 正北復圓 卯正三刻 東北食甚日躔黄道柳二度六十六分赤道柳二度八十二分依舊法筭距至元辛巳嵗七百五年日食八分日未出已食六分七十三秒日已出見食一分二十七秒初虧 寅正二刻 正西食甚 卯初二刻復圓 卯正三刻 正東食甚日躔黄道柳二度十九分赤道柳二度三十二分謹按此條厯家所謂帯食者也舊以應見者為不見應不見者為見與新法不同知厯者當辨孰為近是已上往古日月食共十條距今甲午嵗千餘年矣自甲午以後未來日月食共十條開列于後萬厯二十四年丙申嵗三月壬午夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十二年距萬厯辛巳嵗一十五年月食三分七十秒月未入已復二分七秒月已入不見復一分六十三秒初虧 寅初三刻 五更三㸃 東北食甚 寅正三刻 曉刻 正北復圓 卯初三刻 在晝 西北食甚月離黄道角五度六分赤道角四度七十六分依舊法筭距至元辛巳嵗三百一十五年月食三分七十一秒月未入巳復二分八十秒月已入不見復九十一秒初虧 寅初四刻 五更三㸃 東北食甚 卯初初刻 曉刻 正北復圓 卯正一刻 在晝 西北食甚月離黄道角四度九十六分赤道角四度六十七分萬厯二十四年丙申嵗閏八月乙丑朔日食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十二年距萬厯辛巳嵗一十五年日食九分七十五秒初虧 巳正三刻 西北食甚 午正初刻 正北復圓 未初一刻 東北食甚日躔黄道翼十九度赤道翼十七度六十二分依舊法筭距至元辛巳嵗三百一十五年日食九分七十秒初虧 午初初刻 正西食甚 午正二刻復圓 未初三刻 正東食甚日躔黄道翼十八度九十分赤道翼十七度五十三分萬厯二十六年戊戌嵗七月戊戌夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十四年距萬厯辛巳嵗一十七年月食九分十八秒初虧 丑初初刻 四更一㸃 東北食甚 丑正二刻 四更五㸃 正北復圓 寅正初刻 五更四㸃 西北食甚月離黄道虚六度九十六分赤道虚六度八十六分依舊法筭距至元辛巳嵗三百一十七年月食九分十八秒初虧 丑初初刻 四更一㸃 正東食甚 丑正二刻 四更五㸃復圓 寅正一刻 五更五㸃 正西食甚月離黄道虚六度八十六分赤道虚六度七十七分萬厯二十七年己亥嵗六月癸巳夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十五年距萬厯辛巳嵗一十八年月食十一分十六秒月未出已食七分五十九秒月已出見食三分五十七秒初虧 酉初三刻 在晝 正東食既 戌初初刻 昏刻食甚 戌初二刻 昏刻生光 戌初三刻 一更一㸃復圓 亥初初刻 一更五㸃 正西食甚月離黄道女七度九十二分赤道女八度三分依舊法筭距至元辛巳嵗三百一十八年月食十一分十六秒月未出已食二分九十九秒月已出見食八分十七秒初虧 酉初二刻 在晝 正東食既 戌初初刻 昏刻食甚 戌初二刻 昏刻生光 戌初三刻 一更一㸃復圓 亥初一刻 一更五㸃 正西食甚月離黄道女七度八十三分赤道女七度九十三分謹按此與太建八年帯食其理相同舊法應見者為不見應不見者為見與新法異焉至期驗天則知疎密萬厯二十九年辛丑嵗十一月己酉夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十七年距萬厯辛巳嵗二十年月食七分八十九秒初虧 丑初初刻 三更五㸃 東南食甚 丑正二刻 四更三㸃 正南復圓 寅初三刻 四更五㸃 西南食甚月離黄道畢十四度六分赤道畢十四度九十三分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十年月食七分八十九秒初虧 丑初初刻 三更五㸃 東南食甚 丑正二刻 四更三㸃 正南復圓 寅正一刻 五更一㸃 西南食甚月離黄道畢十三度九十六分赤道畢十四度八十二分萬厯三十年壬寅嵗四月丙午夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十八年距萬厯辛巳嵗二十一年月食十四分十秒初虧 子初二刻 三更一㸃 正東食既 子正三刻 三更五㸃食甚 丑初一刻 四更二㸃生光 丑正初刻 四更四㸃復圓 寅初一刻 五更三㸃 正西食甚月離黄道尾五度八十九分赤道尾六度二十五分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十一年月食十四分十秒初虧 子正初刻 三更三㸃 正東食既 丑初二刻 四更三㸃食甚 丑正一刻 四更五㸃生光 寅初初刻 五更二㸃復圓 寅正二刻 曉刻 正西食甚月離黄道尾五度八十三分赤道尾六度十九分萬厯三十年壬寅嵗十月甲辰夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十八年距萬厯辛巳嵗二十一年月食十三分二十九秒月未出已食十分三十四秒月已出見食二分九十五秒初虧 申初一刻 在晝 正東食既 申正二刻 在晝食甚 酉初初刻 昏刻生光 酉初二刻 一更一㸃復圓 酉正二刻 一更三㸃 正西食甚月離黄道畢二度九十四分赤道畢三度九分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十一年月食十三分二十九秒月未出已食二分五十九秒月已出見食十分七十秒初虧 申初初刻 在晝 正東食既 申正一刻 在晝食甚 酉初初刻 昏刻生光 酉初二刻 一更一㸃復圓 酉正四刻 一更四㸃 正西食甚月離黄道畢二度八十四分赤道畢二度九十八分謹按食既在晝則月出已既矣是知舊法所推帯食分誤萬厯三十一年癸卯嵗四月丁亥朔日食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十九年距萬厯辛巳嵗二十二年日食八分六十六秒初虧 辰初初刻 西北食甚 辰正一刻 正北復圓 巳初三刻 東北食甚日躔黄道胃十二度二十一分赤道胃十二度十四分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十二年日食七分九十八秒初虧 辰初二刻 西北食甚 辰正四刻 正北復圓 巳正一刻 東北食甚日躔黄道胃十二度十三分赤道胃十二度六分萬厯三十一年癸卯嵗十月戊戌夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅嵗四十九年距萬厯辛巳嵗二十二年月食四分四十秒初虧 子正四刻 三更五㸃 東北食甚 丑正一刻 四更二㸃 正北復圓 寅初二刻 四更五㸃 西北食甚月離黄道昴二度六十二分赤道昴二度六十七分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十二年月食四分四十秒初虧 丑初一刻 四更一㸃 東北食甚 丑正三刻 四更四㸃 正北復圓 寅正一刻 五更一㸃 西北食甚月離黄道昴二度五十四分赤道昴二度五十九分萬厯三十二年甲辰嵗四月辛巳朔日食依新法筭距嘉靖甲寅嵗五十年距萬厯辛巳嵗二十三年日食三分九十秒初虧 未正三刻 西南食甚 申正初刻 正南復圓 酉初初刻 東南食甚日躔黄道胃一度五十五分赤道胃一度五十二分依舊法筭距至元辛巳嵗三百二十三年日食四分二十二秒初虧 申初三刻 西南食甚 酉初初刻 正南復圓 酉正一刻 東南食甚日躔黄道胃一度四十八分赤道胃一度四十五分謹按日月食舊例惟推黄道度今附赤道度於下盖欲學者兼通黄赤道相求術庶不致失傳也右古今日月食共二十條祗依元史舊法與臣新法相校而錄其同異焉若夫大綂厯經全文實愚臣所未覩雖頗聞其略節然莫知其詳也伏望欽依令該監推考而辨定疎密為後來脩厯者張本臣下情不勝榮辛仰荷之至萬年厯備考鄭府長史司左長史臣謝廷訓等謹啟為恭進厯書上祝萬夀敬陳愚見以仰禆盛典萬一事萬厯二十三年十月二十八日承奉河南等處承宣布政使司劄付承准禮部照㑹該本部題祠祭清吏司案呈奉本部送内府抄出鄭世子載堉奏前事内稱大綂厯倘有小差乞要更正以成一代之制宜新其名為聖夀萬年厯及將所著新法十冊恭進等因奉聖旨禮部知道欽此欽遵抄出到部送司案呈到部看得鄭世子載堉恭進厯書上祝萬夀欲要更新其名及將大綂厯所差即便改正各一節為照人君欽若天道敬授民時以成治功者莫大於厯是故自堯舜相傳以來靡不重之所以大一綂也我太祖髙皇帝創有天下即治厯明時頒行中外命之曰大綂盖不惟昭王者無外之義而聖子神孫億萬年無疆之祚即在於是殆有不可以數限量者焉列聖相承毫無異議皇上紹天纉緒繼治安民二十有三載夫既叶泰階之符而際昇平之盛矣迺者萬壽届期四方來賀鄭世子載堉恭獻聖壽萬年厯書併請因時改名原其用心無非俯竭一得之忱欲效萬年之祝意甚善也但臣等查得㑹典凡造厯以洪武甲子為厯元仍依舊法推筭不用捷法夫厯元必用洪武甲子者所以重一代開創之本而推筭用舊法者誠以天有常度茍求其故千嵗之日至可坐而致所謂故者言天運自然之常度有成法可求不必于鑿也今大綂厯以我太祖之聰明睿智遡考前代推歩之法而用元郭守敬之術立表以測景考景以驗氣上符天運下順民時以成之皆因其故也是以行之二百餘年重熙累洽盖自畿甸以及要荒凡雕題椎結殊鄉異俗一皆稟受正朔此萬萬世不可易者行之既乆習之已熟一旦而欲更新其名無論非祖宗創制立法至意且恐駭華夷之觀聴也又考元厯志至元四年西域札馬魯丁撰進萬年厯世祖稍頒行之十三年平宋遂詔前中書左丞許衡太子賛善王恂都少監郭守敬等改治新厯叅考累代厯法復測候日月星辰消息運行之變叅别異同酌取中數以為厯本至十七年冬至厯成名曰授時厯十八年頒行天下萬年厯不復行則萬年厯名元既有之雖行而未久亦不便於襲用矧今年號萬厯業已該萬年之義厯名改擬之説臣等未敢輕議至於嵗差之法上古無聞盖一元肇啟四序適調天有常運日月星辰行有常度自無差忒自唐虞以降暨於春秋時令不無愆其候矣詎非氣漸澆漓運行乖舛而致然歟然而差法猶未立也逮漢雒下閎始知有差及晉虞喜始立差法自是宋何承天祖沖之梁虞〔？〕隋劉焯張胄𤣥唐僧一行宋王朴沈括輩各有差法之議訖無畫一之規大都所約年限有逺近所置分度有疎密耳至元許衡郭守敬等乃測景於四表毫忽微眇皆有可考約以六十六年差一度考往則毎百年減一推來則毎百年加一其法號為精密我朝制厯實用其法則差法固在向遵用之宜無復異者近屢有言厯法差訛當為考正然於何而正之所以求之者大約有三曰考月令之中星移次應節曰測二至之日景長短應候曰驗交食之分秒起復應時考以衡管測以臬表驗以刻漏斯亦佹得之矣夫天體至廣厯家以周天三百六十五度四分度之一而紀日月星辰之行次又析一度為百分一分為百秒可謂密矣然在天一度應地二千九百三十二里其在分秒又可推也譬之輪轂外廣而中漸以狹至於輻輳之處間不容髮矣夫渾儀之體徑僅數尺外布三百六十五度四分度之一毎度不及指許安所置分秒哉至於臬表之樹不過數尺刻漏之籌不越數寸以天之髙且廣也而以徑尺寸之物求之欲其纖微不爽不亦難乎故方其差在分秒之間無可驗者至踰一度乃可以管窺耳此所以窮古今之智巧不能盡其變歟今之談厯者或得其筭而無測驗之具即有其具而置非其地髙下逈絶則亦無准宜非墨守者之所能自信也即如世子言以大綂與授時二厯相較考古則氣差三日推今則時差九刻夫時差九刻在亥子之間則移一日在晦朔之交則移一月此可驗之於近也設移而前則生明在初二之昏矣設移而後則生明在初四之夕矣弦朢亦宜各差一日今似未至此也此以厯家雖有成法猶以測驗為准為今之計宜令星厯之官再加詳推以求嵗差之故亟為更正嘗聞前禮官鄭繼之有言欲定嵗差宜定嵗法於二至餘分絲忽之間定日法於氣朔盈虚一畫之際定日月交食於半秒難分之所斯其言似中厯家肯綮要在得精思善筭而又知厯理者以職其事誠博求之不可謂世無其人而其本又在我皇上秉欽若之誠以建中和之極光調玉燭黙運璇璣正厯數以永大綂之傳是在今日誠千載一時也臣等竊觀鄭世子所著新法其原本進呈恭備御覽未便繙閲恐致損汚合無行河南布政司轉行該府長史司具啟世子知㑹另將副本解部轉發欽天監與世業各科厯官所傳諸書互相參訂細加磨筭務使分秒微纖隨時測驗蘄於不爽則厯數之奧既占而有孚天運之常亦筭無遺筴矣若夫世子載堉不以崇髙富貴為逸豫之圖乃能留心厯學博通今古志行既為可尚忠愛良有足嘉即東平河間何以稱焉相應賜勅奬諭以示優褒取自聖裁恭候命下臣等遵奉施行等因萬厯二十三年九月十九日本部尚書兼翰林院學士范(闕)等具題二十三日奉聖旨是鄭世子著寫勅奬諭欽此欽遵除將奬諭一節另行移文撰勅外所據新著律厯融通等書副本相應開取案呈到部擬合就行為此合就照㑹該布政司著落當該官吏照依照㑹内事理轉行鄭府長史司啟世子知㑹即將所著律厯融通等書副本作速差人解部以憑轉發欽天監磨筭施行等因承此擬合就行為此劄仰本司官吏照依劄付備承照㑹内事理即便具啟鄭世子知㑹即將所著律厯融通等書副本作速差人解部轉發欽天監磨筭施行毋得遲違未便奉此擬合具啟為此今將前項緣由理合具本謹具啟聞伏候令㫖萬厯二十三年十一月初一日左長史臣謝廷訓右長史臣闗志拯鄭府長史司為恭進厯書上祝萬壽敬陳愚見以仰禆盛典萬一事萬厯二十三年十月二十八日承奉河南等處承宣布政使司劄付承准禮部照會該鄭世子載堉奏前事劄仰本司官吏即便具啟鄭世子知㑹即將所著律厯融通等書副本作速差人解部轉發欽天監磨筭施行等因奉此隨具本啓奉鄭世子令旨厯書原藁十卷今謄錄作二册批差小旗劉梯解送仍候勅到日專差官奏謝爾司給批與他敬此敬遵抄出到司擬合呈送為此今將前項緣由同厯書印封理合差人具呈伏乞照驗施行萬厯二十三年十一月二十日左長史謝廷訓右長史闗志〔？〕聖夀萬年厯巻五欽定四庫全書聖夀萬年厯附録明 朱載堉 撰河南等處提刑按察司分巡河北道僉事臣邢雲路謹奏為議正厯元以成大典事臣惟稽古帝王必以治厯明時為首務盖其重也大哉帝堯其首命羲和氏曰欽若昊天厯象日月星辰敬授人時而即以咨帝舜曰天之厯數在爾躬其重如此嗣是夏后殷周紹明三正有自來矣下逮春秋始爽厥徳於是有曰至之愆不朔之食豈天路之殊常抑曰官之失職歟漢唐以降迄於宋元治厯家亡慮數十其表見者如鄧平祖沖之李淳風僧一行郭守敬輩各殚心思求合天運或差而改改而差差而復改率皆由淺之深由踈之宻惟郭守敬乃臻其妙焉誠可謂冠絶古今矣然而守敬亦未嘗自信為無差也觀其謂積年距至元辛巳為元則可其諸應宜隨時測驗者用辛巳為元則不可今司天氏固祖述郭守敬太史者而胡不是之察也臣少習乾象長益篤嗜凡硏思二十餘年乃有所得始覺古人有未盡而今時有不然者何也盖天日之交氣之齊也日月之交朔之會也日忒而氣不齊月愆而朔不㑹今之弊也夫窺天之器宜無踰於觀象測景候時籌䇿四事矣臣今以四事窺天運胥日異而月不同焉孟子曰天之髙也星辰之逺也茍求其故千嵗之日至可坐而致也然則日之至乃天之根氣之始所闗大矣乃今之日至何如也大綂推今年冬至在申正二刻而臣測在未正一刻大綂實後天九刻餘盖以癸巳甲午丙申丁酉之晷相加減實測二百五十九刻七十三分四十五秒得乙未日未正一刻冬至復取前後二十餘日計二千餘刻日日而量之秒秒而較之皆同未正一刻無殊科此日行所至昭昭在天可以數籌可以景測可與人人共知見者匪人力所私懸想所致也乃大綂差至後天九刻餘計氣應應損九百餘分而不自覺豈其未嘗籌測耶孟子所謂千嵗可坐致者今甫以三百餘年輙差九刻則何論千嵗不寧惟是今年立春夏至立冬皆適值子半之交臣測立春乙亥而大綂推丙子臣測夏至壬辰而大綂推癸巳臣測立冬己酉而大綂推庚戌夫立春與冬乃王者行陽德隂德之令而夏至則其祀方澤之期也今皆相隔一日則理人事神之謂何是豈為細故況以立春隔日而生人之年月日時皆非矣此而不改後將何極且厯法疎密在交食自昔記之矣乃今年閏八月朔日有食之大綂推初虧巳正三刻食㡬既而臣候初虧巳正一刻食止七分餘大綂實後天㡬二刻而計閏應及轉應若交應則各宜如法増損之矣蓋日食八分以下隂厯交前初虧西北固厯家所共知也今閏八月朔日食實在隂厯交前初虧西北其食七分餘明甚則安得謂之初虧正西食甚九分八十六秒耶而大綂之不效亦明甚然此八月也若或值元日於子半則當退履端於月窮而朝賀大禮當在月正二日矣又可謂細故耶此而不改臣竊恐愈久愈差將不流而至春秋之食晦不止也臣故曰閏應轉應交應之宜俱改也我朝聖神在御重熙累洽我皇上繼天立極調元出治其厯數之傳直追帝堯之綂則治厯明時正今日之急務也乃自國初迄今二百餘年厯猶未正司天氏但知僅守元臣立成之法而一切諸應不隨時以考驗氣朔竝乖天人弗協而猶然用至元辛巳為元夫有一代之興必有一代之厯我朝制作越千古獨奈何以厯數大典而猶然以勝國為元耶臣愚不肖蓄此於中久矣向欲陳獻恐有越俎之嫌未敢也乃今年適逢上命儒臣纂修正史夫史也者大經大法咸正罔缺者也然而莫重於厯亦莫難於厯乃今尚未聞有一人欲起而更正之者及今不正何為信史及今不言豈非失時臣故自今年悉心詳驗之思以上獻也野有一芹尚思自獻况以厯數大典又當修史之會臣既實見其非是則安敢不亟陳於君父之前伏願陛下俯納臣言勅下禮部議覆上請遴選海内之有真知厯數如郭守敬其人者俾之竭心殫力因數察理探賾索隠鈎深致逺其於日月之消息氣朔之差應平立新故之分弧矢分合之變黄道白道之一而不一天首天尾之齊以非齊一一測正之亡爽焉假以便宜遲以嵗月然後改憲明時報之天子定昭代之厯元成熙朝之大典將見理隂敘陽各得其所時惠辰從職不相侵盖先後天而不違乃謂之欽若昊天天不違而况人乎乃可以敬授人時百工允釐庶績咸熙聖德則天光於上下此帝堯相傳之綂格天之致也由是東隅西極南交北狄胥曉然見天人之明正炯炯洞洞覩大聖人之作為出尋常萬倍而國家億萬年厯數無疆之休端在是矣臣不勝悚慄待命之至為此具本專差書吏劉欽親齎謹具奏聞伏候勅旨萬歴二十四年十二月十九日奉聖旨禮部看了來説欽此萬厯二十四年十二月二十三日抄刑科給事中李應䇿一本乞勅亟定嵗差以答輿望事臣惟厯之闗于時嵗差之闗于厯大矣該鄭世子載堉曾獻厯上夀蒙禮部覆准發欽天監磨對事聞乙未嵗八九月中迄今無耗昨該河南按察司僉事邢雲路復請議正厯元詳議本年冬至雲路測未正一刻大綂推申正二刻實後天九刻本年閏八月日食雲路候初虧巳正一刻食止七分大綂推初虧巳正三刻食將㡬盡後天二刻其測候諸應參差較鄭世子所奏簡切便覽獨應時加減法尚未遽悉耳臣思國朝厯元聖祖嘗諭二説難憑但驗七政交會行度無差者為是惟時以至元辛巳揆之洪武甲子僅百四年所律以差法似不甚逺至正徳嘉靖已退當三度餘奚俟今日哉春秋不食朔猶直書官失之今日食後天㡬二刻冬至後天逾九刻計氣應應損九百餘分乃云弗失乎厯理微秒日月五星運轉交㑹咸取應于窺管測表歐陽修所謂事之最易差者雖古太初大衍諸書詎不深思𤣥解得羲和氏之厯象授時遺意然果以鍾律為數無差則太初厯宜即定于漢而後之為三綂四分者若何又果以蓍策為術無差則大衍厯當亦即定于唐而後之為五紀貞元觀象者又若何盖隂陽迭行隨動而移移而錯錯而乖違日陷不止則躔離之謬分至之忒積此為窮謂移九刻于亥子之間則差一日懼後不啻焉前華湘奏堯時初昏昴中日行北陸躔于子屬虚七度今冬至初昏室中日行東陸躔于寅屬箕三度以相距四千年而隔餘五十度驗厯數愆期顧有言此日至之週遍于東西南運度豈泥若分秒而量積二萬七千餘年復歸如初又天行舒移而漸西毎日過一度者為天道左旋之常日行縮移而漸西毎積嵗亦過行一度者為天道右轉之秘茲直存而不論耶人人知嵗差易徵考之退度若以五十年若百年若六十六年或八十三年殊無一經久確論故由春秋厯宋末元初愈稽愈失計無慮數十更矣夫亦何術何數無錯大綂厯本之勝國郭太史守敬以彼減二十四分二十五秒于周嵗加二十五分七十五秒于周天窺度精到有陋太初大衍等為不足言者然積六十六年有竒而退一度則推驗之始已知有差何不即酌定畫一俟其退一度逾六十六年而後更茲其故難于言矣無猶釐毫之除加之周天者微多減之周嵗者微少纖悉難究姑置此為盈虚之驗而探賾索𨼆不能不隨時以待歟雲路持觀象測景候時籌策四事議諸應宜俱改想已洞燭款竅使得中秘星厯書一徧閲而校焉必自有得世子僅閲衍義補氣閏轉交四准分秒數字即悟大綂厯大義併所獲律呂説冀正之臣嘗謂律本居隂以治陽厯實居陽以治隂自非兩本惟登臺候日晷應否折忽于秒周嵗周天微為増減務期晦朔弦望昏旦夜半中星分秒不爽尺寸與聖祖原諭元綂李得芳同一軌焉務稱完制餘不必更也而本監奉查律例久稽未復此又專門之裔本業雖長理或未諳精筭之士末技雖善經實弗明其奈何以國制鉅任畀之豈鄧平虞喜沈括輩各名家不能定一一尋常曲士易能哉譬之今鼎建大工操尺與運斤者缺一焉不可為矣矧履端節至萬厯方新纂修國典諸法畢備失今不舉後需何期伏乞勅下該部諭令僉事邢雲路即以原官暫署欽天監俾相資訂正仍選委在京各衙門素明厯法者二三員責之贊襄大務以共成一代之典而決千古之疑中外臣民實不勝願望脱有襲故者目之為多事言未及而阻泥隨之則不敢云克濟也已(云云)右自邸報抄出内有脱文誤字俟獲原本校正萬厯二十五年正月二十四日抄欽天監監正張應候等謹題為申明厯元乞賜宸斷以杜妄議事臣等仰荷聖恩職司臺監凡星象厯數選擇堪輿數事莫不夙夜匪懈兢兢業業毫無敢忽此臣等上報國恩而下盡臣子之職分也臣等于萬厯二十四年十二月内偶接得河南僉事邢雲路揭帖開稱大綂厯筭差訛悉宜改正臣等不勝駭異查得昔帝堯乃命羲和欽若昊天厯象日月星辰敬授人時迄于周秦漢晉唐宋以來不啻數十家更改損益以至于元而有郭守敬出焉是以上考往古下驗將來斟酌損益以成一代之厯其嵗差嵗實諸應氣䇿立法之密槩無出右者矣及至我太祖髙皇帝綂率華夷乃命監正元綂等分步推測考往驗來皆依守敬之法節氣交食分秒時刻毫無増損始更名曰大統厯而又取之西夷設監立官推步囘囘厯數較對大綂務求脗合以成一代之大典是遵祖宗之定制也今僉事邢雲路陳言厯數之差前後相懸一日又不知是遵何家之法而輕信何人妄議者也且國朝立法律例備載有人私習天文厯數者罪之私傳妄議者罪同況元郭守敬王恂等職司太史尚且奉其勅方敢更正諸厯我國朝監正元綂雖奉成命自知才不及守敬法不能易改是以遵奉明旨將授時厯改為大統歴名雖易而法術同雖經三百年來乞今雍熙太平相洽已久天道脗合交食凖驗年愈逺而數愈真其後有樂頀華湘等勉强欲求斟酌改易竝未奉行考之今時賢才無守敬學業無元綂雖有毫末之聰未敢擅議于一時也當國初時茍可更之分秒錯綜一徧改易始成一代之名豈不可乎是知其必不可改也今我皇上聖神英武法令嚴明若聴雲路之疏變易成法反復天道是知其不易為也今邢雲路之請尚未奉行而都邸中外官民謠誦曰大綂歴數差錯朔日相越一日惑世誣民變亂成法是誰之過歟且臣等本監造厯一載年前頒朔天下共知奈何邢雲路復生異議今使中外臣民洶洶不安紛紛議起邢雲路是誠何心矣伏望皇上大奮宸斷禮部酌議如果臣等厯數有差愿選海内髙明之士有能精於厯數者公同考較如果臣等厯年交食脗合天道時節分秒不移或遵祖制業依古法仍勅下中外臣民勿生妄議行令厰衞五城衙門嚴加禁約如有妄議謠傳厯數差訛者許緝挐究問如律庶止訛言厯數之非庶止中外臣民之議則天下幸甚臣等幸甚矣奉聖旨禮部知道欽此禮部尚書臣范(闕)等謹題為議正厯元以成大典事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出河南等處提刑按察司分巡河北道僉事邢雲路奏前事奉聖旨禮部看了來説欽此又該欽天監監正張應候等題為申明厯元乞賜宸斷以杜妄議事奉聖旨禮部知道欽此欽遵通抄到部送司案呈到部為照治厯明時國家首務序正五辰綱紀萬事所係誠為鉅重毫忽豈容少差顧其差與不差惟驗之日月星辰而已先在萬歴二十三年鄭世子載堉疏進厯書内稱舊法少差已經本部奉旨覆議以其書下欽天監推筭測驗尚無實證未敢遽信為然近據萬厯二十四年閏八月朔日食時刻分秒與欽天監所奏委覺參差臣等方議題請博訪精通歴數之士亟為測驗脩正之圖今適河南按察司僉事邢雲路疏請改正厯元諸法良為有見乃欽天監監正張應候又此奏辯惟欲固守舊法夫使舊法無差誠宜世守而今既覺少差矣失今不脩將嵗愈久而差愈逺其何以齊七政而釐百工哉相應俯從邢雲路所請即行考求磨筭漸次脩改為是但厯數本極𤣥微脩改非可易議盖更歴之初上考往古數千年布筭雖有一定之法而成厯之後下行將來數百年不無分秒之差前此不覺非其術之疎也以分秒布之百餘年間其微不可紀盖亦無從測識之耳必積至數百年差至數分而始微見其端今欲驗之亦必測候數年而始微得其槩即今該監人員不過因襲故常推衍成法而已若欲斟酌損益緣舊為新必得精諳厯理者為之總綂其事選集星家多方測候積筭累嵗較析毫芒然後可為凖信裁定規制今據邢雲路奏議詳悉硏窮星厯之家考正舊法之差似得肯綮盖一時五官疇人未有能及之者相應專任責成合無咨行吏部即以僉事邢雲路行取入京添註五品京銜提督欽天監事該監人員皆聴約束本部仍博訪通曉歴法之士悉送本官委用務親自督率各官測候二至太陽晷刻逐月中星躔度及驗日月交食起復時刻分秒方位諸數隨得隨錄逐一開呈御覽積之數年酌定嵗差脩正舊法則萬世之章程不易而一代之寳厯惟精其於國家敬天勤民之政亦誠大有禆補矣其見行二十六年厯日該監仍照舊法推筭不與相妨及查律例所禁乃指民間妄以管窺而測妖祥偽造厯書而紊氣朔者言若天官書天文志厯書厯志載在厯代國史語云通天地人謂之儒學士大夫所宜通曉第患不能精耳非槩以例禁之也據大明㑹典明開天文地理藝術之人禮部務要備知以憑取用仍行天下訪取考驗收用在𢎞治十年令訪取世業原籍子孫併山林隠逸之士及致仕退閑等項官吏生儒軍民人等有能精通天文者試中取用在嘉靖元年工科給事中呉巖題請考選精術以備國用本部覆奉欽依保舉精通天文厯法者不拘致仕官員監生生員山林隠逸之士何嘗禁人習學歴法乎如欲執私習之條而絶星歴之學誤矣該監各官局守成筭既不能測驗以窮其變又不能虚心博訪考訂以復其常今既有其人務在同心共事協力推驗不得妬功忌能自相矛盾悉聴本部叅究恭候命下容臣等遵奉施行緣係議正厯元以成大典等及節奉欽依禮部看了來説禮部知道事理未敢擅便謹題請旨留中總跋附録四疏宋人所撰夢溪筆談有云熙寧中予領太史令衛朴造厯氣朔巳正但五星未有候簿可驗前世修厯多只増損舊厯而已未曾實考天度其法須測驗每夜昏曉夜半月及五星所在度秒置簿録之滿五年其間剔去雲隂及晝見日數外可得三年實行然後以筭術綴之古所謂綴術者此也是時司天厯官皆承世族𨽻名食禄本無知厯者惡朴之術過已羣沮之屢起大獄雖終不能揺朴而候簿至今不成奉元厯五星歩術但増損舊厯正其甚謬處十得五六而已朴之厯術古今未有為羣厯人所沮不能盡其藝惜哉余讀至此喟然歎曰古人有云後之視今亦猶今之視昔觀臺官之叅語則吾輩議厯者其罪不容誅矣惡之欲其死非大獄而何茍非部科卓見確論以維持之不亦殆乎雖然抱忠之臣猶懷卞和三獻之志終不能已盖雖有時而屈或亦有時而伸道之不行也退其志可乎故録四疏全文示世之議厯者而感發懲創皆在其中矣聖夀萬年厯附録
## 7
欽定四庫全書律厯融通巻一明 朱載堉 撰自落下閎造太初厯取法黄鍾律數而後知創厯不可無所本自僧一行造大衍厯改從大易䇿數而後知修厯不可有所拘易大傳曰河出圖雒出書聖人則之所謂則之者非止畫卦叙疇二事而已至若律厯禮樂莫不皆然葢天地萬物無非陰陽而圖書二者陰陽之妙盡矣夫六經之道同歸禮樂之用為急然而厯者禮之本也律者樂之宗也何以言之夫厯之興也測景於天景有消長因之以考分至以序四時而五禮本之律之始也候氣於地氣有深淺因之以辨清濁以正五音而六樂宗之聖人作樂以應天制禮以配地故曰律居陰而治陽厯居陽而治陰律厯迭相治也其間不容髮而相錯綜也以河圖雒書言之則河圖者禮也雒書者樂也樂記曰天尊地卑君臣定矣卑高以陳貴賤位矣動静有常小大殊矣方以類聚物以羣分則性命不同矣在天成象在地成形如此則禮者天地之别也其河圖之謂歟地氣上齊天氣下降陰陽相摩天地相蕩鼓之以雷霆奮之以風雨動之以四時煖之以日月而百化興焉如此則樂者天地之和也其雒書之謂歟故河圖圓而左旋其數則偶所謂居陽而治陰也十二辰次以之雒書方而右轉其數則奇所謂居陰而治陽也七曜以之陽道常饒陰道常乏故河圖之數五十五視大衍而有餘雒書之數四十五視大衍而不足合河圖與雒書共得百數若陰陽之交構牝牡之相銜均而分之得大衍之數者二此天地自然之至理故律厯倚之而起數語其經則厯有十二辰次律有十二宫調語其緯則厯有七曜律有七音河圖厯也故有四時迭運之象雒書律也故有三分損益之象是以黄鍾之管九寸則雒書而為律元黄鍾之尺百分則河圖而為度母從黍之律横黍之度長短分齊交相契合斯乃造化之妙故名之曰黄鍾厯法葢言倚數取諸此也夫七八九六者天地之大數也七為少陽八為少陰九為老陽六為老陰陽屬於天陰屬於地天體圓其用方故七□為天之象而九□為天之數地體方其用圓故八□為地之象而六□為地之數夫數者混融乎太極之先昭晰乎有象之後方圓曲直天下之真象圍徑積實天下之真數即象以求數則數外無象因數以㑹象則象外無數二者相須而未嘗相離也圖書者方圓之至方圓者動静之機動静者陰陽之本陽竒而陰耦故天一而地二陽動而陰静故天圓而地方刓方以為圓則静者不能無動引圓以為方則動者不能無静静為之體則動為之用動為之體則静為之用用以體為基體以用為本此陰陽之所相根而造化之所不窮也河圖者其天地對待之數乎以天一處於北則地二自然處於南以天三處於東則地四自然處於西四位既定則天五自然居乎中中也者四方所取正也六與一合六即一五也七與二合七即二五也為八為九者三五四五也四方既正則五五相比十復居於中矣此皆自然相合之數五行之所以生成也故孔子曰天數五地數五五位相得而各有合此之謂也雒書者其參天兩地之數乎陽生於下而左旋陰生於上而右旋陽數則參天參者三也自一三如三三三如九三九二十七本文無十故去其二十而言七三其七為二十一去二十則一復處於下陰數則兩地兩者二也自二二如四二四如八二八十六本文無十故去其十而言六二其六為十二去十則二復處於上過此以往積數萬億皆不越乎此八位既定則五數自然居乎中中也者是亦八位所取正也以一加五則六在一後以六加五為十一去十則一在六先以三加五則八在三後以八加五為十三去十則三在八先以至四九二七亦莫不互相加益而為先後也此皆自然相比之數亦五行之所以生成也故孔子曰參天兩地而倚數此之謂也是知河圖之數五十五者天也合而用之者聖人也雒書之數四十五者天也倚而用之者聖人也河圖之五行則以相生而順行雒書之五行則以相制而逆運二者皆起於一推其生則土居未中推其制則土居丑中是又自然有相合之理劉歆謂河圖雒書相為經緯豈微義哉邵雍曰圓者河圖之數方者雒書之文當知方以為體則圓以為用圓以為體則方以為用圓者徑一而圍三方者徑一而圍四河圖以十居中圓以推之三其十為三十故圖外成數六七八九總三十方以推之四其十為四十故圖内外生成之數總四十雒書以五居中圓以推之三其五為十五故書從横皆十五方以推之四其五為二十故書外陽數一三九七總二十陰數二四八六亦總二十體用相因莫匪自然至哉圖書其象數之原乎夫物生而後有象象而後有滋滋而後有數象之與數若異用也而本則一若殊途也而歸則同不明乎數不足與語象不明乎象不足與語數是故欲明律厯之學必以象數為先天道生於太一一變而為七七變而為九七與八乾坤之體坎離之象也九與六乾坤之用坎離之數也七九中實六八中虚竒偶陰陽之理也故天象多用七而天數多用九用七者若日月五星而為七政四方各七宿是也用九者三九二十七故二十七日有奇而月離一周焉四九三十六故三百六旬有餘而日躔一周焉河圖一六屬水而為北方七宿二七屬火而為南方七宿三八屬木而為東方七宿四九屬金而為西方七宿五十屬土而為大衍之數故唐志云大衍為天之樞如環之無端葢律厯之大紀也十乃全數居中央而為宫九次之居西方而為商八次之居東方而為角七次之居南方而為徵六次之居北方而為羽此五聲之位清濁之序也然五聲之相生由中而南故宫生徵由南而西故徵生商由西而北故商生羽由北而東故羽生角始於宫終於角左旋一周以象河圖也六律之相生自子而亥故黄鍾生仲吕自亥而戌故仲吕生無射自戌而酉故無射生夾鍾自酉而申故夾鍾生夷則乃至於丑而止故始於黄鍾而終於林鍾右旋一周以象雒書也日為太陽其數九居雒書之正南故蕤賔在午月為太陰其數六居雒書之西北故應鍾在亥黄鍾為填星太蔟為太白姑洗為嵗星林鍾為熒惑南吕為辰星蕤賔為日應鍾為月厯有五緯七政律有五聲七始故律厯同一道天之陰陽五行一氣而已有氣必有數有聲厯以紀數而聲寓律以宣聲而數行律與厯同流行相生黄鍾者聲氣之元者乎蕤賔應鍾是名中和所以濟五音和陰陽旋宫之律可定聲氣之元周流而不窮矣故周髀曰冬至夏至觀律之數聽鍾之音知寒暑之極明代序之化是知律者厯之本也厯者律之宗也其數可相倚而不可相違故曰律厯融通此之謂也黄鍾厯法上(凡五篇)步律吕第一律元九黄鍾之管長九寸從黍為分之九寸也寸皆九分凡八十一分雒書之奇自相乘之數也是為厯本故以萬厯九年為元義取諸此上考往古下推來今皆距律元為筭律母百黄鍾之尺長十寸横黍為分之十寸也寸皆十分凡百分河圖之偶自相乘之數也是為母法秒滿法從分分滿法從刻刻滿法從日度下分秒放此不滿秒者為忽律限三百紀之以三是也律母三之得律限夫三十為世三百為十世年逺數盈漸差天度古人所謂斗厯改憲之期律摠六十平之以六是也五聲乘十二律得六十調是名律摠置律摠為實三而一所得是名律差律數十二國語曰紀之以三平之以六成於十二天之道也天之大數不過十二是故律厯宗之律率三十古法日餘十六分之七今改日餘千六百分之六百九十九大餘紀之以三小餘滿法從日不滿退除為刻及分黄鍾 冬至益卦初九 小寒益卦六二復卦 初九 六二 六三 六四 六五 上六頤卦 初九 六二 六三 六四 六五 上九屯卦 初九 六二 六三 六四 九五 上六既濟 初九 六二 九三 六四 九五 上六家人 初九 六二 九三 六四 九五 上九大吕 大寒益卦六二 立春益卦六四臨卦 初九 九二 六三 六四 六五 上六明夷 初九 六二 九三 六四 六五 上六賁卦 初九 六二 九三 六四 六五 上九損卦 初九 九二 六三 六四 六五 上九節卦 初九 九二 六三 六四 九五 上六太蔟 雨水益卦九五 驚蟄益卦上九泰卦 初九 九二 九三 六四 六五 上六大畜 初九 九二 九三 六四 六五 上九需卦 初九 九二 九三 六四 九五 上六小畜 初九 九二 九三 六四 九五 上九中孚 初九 九二 六三 六四 九五 上九夾鍾 春分震卦初九 清明震卦六二大壯 初九 九二 九三 九四 六五 上六歸妹 初九 九二 六三 九四 六五 上六豐卦 初九 六二 九三 九四 六五 上六離卦 初九 六二 九三 九四 六五 上九噬嗑 初九 六二 六三 九四 六五 上九姑洗 穀雨震卦六三 立夏震卦九四夬卦 初九 九二 九三 九四 九五 上六大有 初九 九二 九三 九四 六五 上九睽卦 初九 九二 六三 九四 六五 上九兌卦 初九 九二 六三 九四 九五 上六革卦 初九 六二 九三 九四 九五 上六仲吕 小滿震卦六五 芒種震卦上六乾卦 初九 九二 九三 九四 九五 上九履卦 初九 九二 六三 九四 九五 上九同人 初九 六二 九三 九四 九五 上九无妄 初九 六二 六三 九四 九五 上九隨卦 初九 六二 六三 九四 九五 上六蕤賔 夏至恒卦初六 小暑恒卦九二姤卦 初六 九二 九三 九四 九五 上九大過 初六 九二 九三 九四 九五 上六鼎卦 初六 九二 九三 九四 六五 上九未濟 初六 九二 六三 九四 六五 上九解卦 初六 九二 六三 九四 六五 上六林鍾 大暑恒卦九三 立秋恒卦九四遯卦 初六 六二 九三 九四 九五 上九訟卦 初六 九二 六三 九四 九五 上九困卦 初六 九二 六三 九四 九五 上六咸卦 初六 六二 九三 九四 九五 上六旅卦 初六 六二 九三 九四 六五 上九夷則 處暑恒卦六五 白露恒卦上六否卦 初六 六二 六三 九四 九五 上九萃卦 初六 六二 六三 九四 九五 上六晉卦 初六 六二 六三 九四 六五 上九豫卦 初六 六二 六三 九四 六五 上六小過 初六 六二 九三 九四 六五 上六南吕 秋分巽卦初六 寒露巽卦九二觀卦 初六 六二 六三 六四 九五 上九漸卦 初六 六二 九三 六四 九五 上九渙卦 初六 九二 六三 六四 九五 上九坎卦 初六 九二 六三 六四 九五 上六井卦 初六 九二 九三 六四 九五 上六無射 霜降巽卦九三 立冬巽卦六四剝卦 初六 六二 六三 六四 六五 上九比卦 初六 六二 六三 六四 九五 上六蹇卦 初六 六二 九三 六四 九五 上六艮卦 初六 六二 九三 六四 六五 上九蒙卦 初六 九二 六三 六四 六五 上九應鍾 小雪巽卦九五 大雪巽卦上九坤卦 初六 六二 六三 六四 六五 上六謙卦 初六 六二 九三 六四 六五 上六師卦 初六 九二 六三 六四 六五 上六升卦 初六 九二 九三 六四 六五 上六蠱卦 初六 九二 九三 六四 六五 上九求汎距定距置律元所距積年為汎距來加往減律限為定距若汎距在律限已下不及減者反減律限為定距諸應加減亦反之求汎積定積置所求定距以律數乗之為積月以積月乘日率為積日以積月乘日餘為積餘積餘滿法併入積日為嵗汎積置定距自相乘為實七之八而一所得滿律母為分不滿退除為秒忽是名所求嵗差來減往加汎積為嵗定積求正律䇿置所求定積與次年定積相減餘如律數而一得正律策求半律策置所求正律策二而一得半律策求均策置所求半律策三而一得均策求聲策置所求均策五得一而聲策求黄鍾正律大小餘及時刻置所求嵗定積來加往減大餘五十五小餘六大餘滿律摠去之不盡來即所求往反減律摠得黄鍾正律大小餘其大餘命甲子筭外小餘以律數乘之刻滿律母為時命子正筭外若滿半律母亦進作一時命子初筭外餘如律數而一為刻不滿為初刻求黄鍾前段半律及次律置所求黄鍾正律大小餘減去半律策即得黄鍾前段半律之數如不及減則加律摠減之若求次律者以半律策累加之滿律摠去之各得次律正半之數命法如前求均及聲置本月正律或半律大小餘以均策累加之即得次均之大小餘其正半律日即為初均加者為中均再加為末均求五聲之日者以聲策累加之即得次聲之大小餘其正半律日即命為宫次第加者為商為角為徵為羽餘同上求爻象置黄鍾正律大小餘命為益卦初九爻象以半律策累加之得益六二至巽上九而止是為二十四氣爻象又置黄鍾正律大小餘即復卦初九爻象以聲策累加之得復六二至蠱上九而止是為三百六十當期之日惟盈日無爻象餘同上歩發歛第二建寅 立春正月節 雨水正月中東風解凍 蟄蟲始振 魚陟負冰獺祭魚 候雁北 草木萌動建卯 驚蟄二月節 春分二月中桃始華 倉庚鳴 鷹化為鳩𤣥鳥至 雷乃發聲 始電建辰 清明三月節 榖雨三月中桐始華 田鼠化為鴽 虹始見萍始生 鳴鳩拂其羽 戴勝降于桑建巳 立夏四月節 小滿四月中螻蟈鳴 蚯蚓出 王瓜生苦菜秀 靡草死 麥秋至建午 芒種五月節 夏至五月中螳螂生 鵙始鳴 反舌無聲鹿角解 蜩始鳴 半夏生建未 小暑六月節 大暑六月中温風至 蟋蟀居壁 鷹始摯腐草為螢 土潤溽暑 大雨時行建申 立秋七月節 處暑七月中涼風至 白露降 寒蟬鳴鷹乃祭鳥 天地始肅 禾乃登建酉 白露八月節 秋分八月中鴻雁來 𤣥鳥歸 羣鳥養羞雷始収聲 蟄蟲坏户 水始涸建戌 寒露九月節 霜降九月中鴻雁來賔 雀入大水為蛤 菊有黄華豺乃祭獸 草木黄落 蟄蟲咸俯建亥 立冬十月節 小雪十月中水始冰 地始凍 雉入大水為蜃虹藏不見 天氣上升地氣下降 閉塞而成冬建子 大雪十一月節 冬至十一月中鶡鴠不鳴 虎始交 荔挺出蚯蚓結 麈角解 水泉動建丑 小寒十二月節 大寒十二月中鴈北鄉 鵲始巢 雉雊雞乳 征鳥厲疾 水澤腹堅求二十四氣倂所求正律半律䇿及黄鍾大小餘滿律摠去之即立春正月節累加半律䇿得次氣大小餘滿律摠去之命如上求七十二候置立春大小餘即東風解凍之候累加均䇿得次候大小餘滿律摠去之命如上求五行用事各以四立之節為春木夏火秋金冬水始用事日聲䇿三之以減四季中氣各得其季土始用事日求列宿當直置嵗定積倂入正半律䇿來加往減九日六刻滿宿周二十八日去之不盡來即所求往反減宿周餘為立春日當直宿命起角宿筭外累加半律䇿滿宿周去之各得次氣日當直宿求建除建除滿平定執破危成收開閉終而復始交節之後各以同月之日為建故交節之始與上日重名求納音子午丑未甲乙起宫寅申卯酉甲乙起商辰戌巳亥甲乙起角丙丁而下例知凡宫為土商金角木徵火羽水迭為次第終而復始各以所生者為納音步朔閏第三朔策二十九日五十三刻五分九十三秒朢策十四日七十六刻五十二分九十六秒半弦策七日三十八刻二十六分四十八秒少寅月策五十九日六刻十一分八十六秒卯月策八十八日五十九刻十七分七十九秒辰月策百一十八日十二刻二十三分七十二秒巳月策百四十七日六十五刻二十九分六十五秒午月策百七十七日十八刻三十五分五十八秒未月策二百六日七十一刻四十一分五十一秒申月策二百三十六日二十四刻四十七分四十四秒酉月策二百六十五日七十七刻五十三分三十七秒戌月䇿二百九十五日三十刻五十九分三十秒亥月策三百二十四日八十三刻六十五分二十三秒子月策三百五十四日三十六刻七十一分十六秒丑月策三百八十三日八十九刻七十七分九秒求閏餘置嵗定積來加往減二十日二十刻五十分朔策為法除之不盡來即所求往反減朔䇿得閏餘求汎閏視閏餘在十八日已上者其年有閏置所求閏餘全分加九十刻六十三分卻與朔策相減視餘㡬日為閏㡬月起建寅月命之即汎閏月不滿日者有閏在年前子丑月求朔積置所求月策減去閏餘即其月朔積若求閏月及閏後月者復加朔策方為其月朔積求經朔弦望置所求朔積加黄鍾正律大小餘滿律摠去之各得其月經朔加以望策即得經望以弦策加經朔得上弦加經望得下弦又法置正月經朔大小餘累加弦策滿律摠去之亦得弦望及次朔大小餘若徑求次朔以朔策加之凡考古係天正者以年前十一月為正月正月為三月係地正者以年前十二月為正月正月為二月各照常法推之求盈虚置十六日減所求半律策餘為沒限恒氣小餘在沒限已上為有沒之氣以十五乘之用減半律策餘如半律策小餘而一為日併恒氣大餘為沒古厯謂之沒今厯謂之盈置三十日減去朔策餘為朔虚經朔小餘在朔虚已下為有滅之朔以三十乘之如朔虚而一為日併經朔大餘為滅古厯謂之滅今厯謂之虚步日躔第四日平行一度躔周三百六十五度二十五分躔中百八十二度六十二分半象策九十一度三十一分二十五秒半象策四十五度六十五分六十二秒半辰策三十度四十三分七十五秒半辰策十五度二十一分八十七秒半赤道嵗差一分五十秒黄道嵗差一分三十八秒盈初縮末限八十八日九十一刻縮初盈末限九十三日七十一刻求經朔弦望入厯置嵗定積與次年嵗定積相減餘為嵗周半之為嵗中凡所求月朔積即經朔入厯以弦望策加之得弦望入厯冬至後為盈夏至後為縮滿嵗中去之即盈縮相代求盈縮初末限視入厯盈者在盈初縮末限已下縮者在縮初盈末限已下為初限已上反減嵗中餘為末限求盈縮差盈初縮末者立差三十一忽平差二分四十六秒定差五百一十三分三十二秒縮初盈末者立差二十七忽平差二分二十一秒定差四百八十七分六秒各置立差以所求限大餘乘之加平差又乘之用減定差再乘之滿萬為度不滿退除為分秒命為盈縮積與次限盈縮積相減餘為盈縮分以乘入厯初末限下小餘萬約為分加入其限盈縮積為盈縮差赤道宿度列宿相距度數歴代所測不同非微有動移則前人所測或有未密漢唐宋用管窺止存大略元人始用二綫遂及分焉今厯因之用為常數校天為密若考往古仍依當時宿度命之其時無宿度者壹準前人宿度故竝載之以備考古所須惟推密率日躔無論古今竝依今厯有分赤道宿度為準求冬至加時赤道日度置嵗定積命日為度來加往減七十八度八十分赤道嵗差折半加躔周為厯率以除積度不盡來即所求往反減厯率命起角宿初度筭外滿今赤道宿度去之至不滿者即所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒求四正加時赤道日度置所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒以象䇿累加之滿赤道宿度去之各得四正定氣加時赤道日度及分秒求四正後赤道宿積度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分秒減之餘為距後度以赤道宿度累加之各得四正後赤道宿積度及分秒黄赤道率積度 度率 積度 度率 積差 差率推變黄道宿度置四正後赤道宿積度以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度為二十八宿黄道積度以前宿黄道積度減之為其宿黄道度及分(其秒就近為分)黄道宿度右東方七宿七十七度四十一分右北方七宿九十四度八十六分右西方七宿八十三度十九分右南方七宿百九度七十九分右黄道宿度依萬厯甲午年歲前冬至日躔所在筭定以慿推步若上考已往下驗方來即據嵗差毎移一度依術推變黄道各得當時宿度求冬至加時黄道日度置所求嵗前冬至加時赤道日度及分秒以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度即所求嵗前冬至加時黄道日度及分秒求四正加時黄道日度置所求嵗定積與次年嵗定積相減餘命日為度及分秒以赤道嵗差折半加之以黄道嵗差減之為定率四約之為四正定象度置所求嵗前冬至加時黄道日度及分秒以四正定象度累加之滿黄道宿度去之各得四正定氣加時黄道日度及分秒求四正晨前夜半黄道日度冬夏二至盈縮之端以恒為定春秋二分置恒氣日及分秒以盈縮差命度為日盈減縮加之即四正定氣日及分秒置日平行度萬通之以盈縮分盈初縮末加之縮初盈末減之為其日行定度置四正小餘以其日行定度乘之如平行度而一所得以減四正加時黄道日度各得四正晨前夜半黄道日度及分秒求每日晨前夜半黄道日度以四正定氣日距後正定氣日為相距日以四正晨前夜半日度距後正晨前夜半日度為相距度累計相距日之行定度與相距度相減餘如相距日而一為日差相距度多為加相距度少為減加減四正毎日行度率為毎日行定度累加四正晨前夜半日度滿黄道宿度去之為每日晨前夜半黄道日度及分秒求每日子午二正黄道日度置所求月經朔入厯以經朔小餘減之餘為經朔晨前子正入厯累加一日為每日晨前子正入厯又以五十刻加之為午正入厯命日為度各視其限求盈縮差盈加縮減之為所求黄道定積度以嵗前冬至加時黄道日度加而命之滿黄道宿度去之即每日子午黄道日度及分秒(或以其日行定度折半加積前夜半黄道定積度亦得午中黄道定積度)求每日子午二正赤道日度視黄道定積度在象策已下為至後已上去之為分後再去之為至後復去之為分後内減黄道積度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道積度及所去象䇿以嵗前冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即毎日子午赤道日度及分秒赤道黄道十二次宿度赤道娵訾之次初起危十二度二十六分八十七秒半降婁之次初起奎一度六十分六十二秒半大梁之次初起胃三度六十四分三十七秒半實沈之次初起畢七度十八分十二秒半鶉首之次初起井九度六分八十七秒半鶉火之次初起柳四度空分六十二秒半鶉尾之次初起張十四度八十四分三十七秒半夀星之次初起軫九度二十八分十二秒半大火之次初起氐一度十一分八十七秒半析木之次初起尾三度十五分六十二秒半星紀之次初起斗四度九分三十七秒半𤣥枵之次初起女二度十三分十二秒半黄道娵訾之次初起危十二度八十分三十一秒降婁之次初起奎一度七十三分六十七秒大梁之次初起胃三度七十分四十五秒實沈之次初起畢六度八十一分三十三秒鶉首之次初起井八度三十六分十一秒鶉火之次初起柳三度九十一分六十七秒鶉尾之次初起張十五度四十四分二十三秒夀星之次初起軫十度六分四十二秒大火之次初起氐一度十三分三十九秒析木之次初起尾二度九十八分十八秒星紀之次初起斗三度七十七分九十六秒𤣥枵之次初起女二度八分八十四秒赤道有常黄道無定凡推辰次當以赤道為準隨日度嵗差推變黄道右據萬厯甲午年嵗差所推已後臨時推變推變十二次宿度置赤道入次宿度及分秒以前宿赤道距後積度加之滿象策去之為四正後赤道入次積度以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度為四正後黄道入次積度以前宿黄道距後積度減之如不及減加象策以減之餘即所求黄道入赤道十二次宿度及分秒求入十二次時刻各置黄道入次宿度及分秒以其日晨前夜半黄道日度及分秒減之餘以日平行度乘之為實以其日行定度為法實如法而一所得依時刻法求之即入次時刻歩晷漏第五京師北極出地四十度太冬至中晷恒數丈五尺九寸六分夏至中晷恒數二尺三寸四分冬至晝夏至夜三十八刻夏至晝冬至夜六十二刻(已上見元志)岳臺北極出地三十五度冬至中晷恒數丈二尺八寸三分夏至中晷恒數尺五寸七分冬至晝夏至夜四十刻夏至晝冬至夜六十刻(已上見宋志)黄道出入赤道内外度及半晝夜分京師譬如北辰四方拱之晝夜漏刻宜為厯準至如岳臺乃前代測景之處謂之地中故略載之以見隨處晷漏不同求毎日子正午正日躔黄道去極度置所求日晨前夜半黄道積度滿躔中去之在象策已下為初限已上反減躔中餘為末限滿積度去之餘以其段内外差乗之如律母而一為分用減内外度為出入赤道内外度内減外加象策即所求日子正去極度及分秒求午正去極度放此求毎日午正隨處日去地度置所求日午正日躔黄道去極度及分併其處北極出地度及分用減躔中餘即其處日去地度為弧半背(若弧半背在象策已上反減躔中餘為弧半背則知景在表南)約量矢數與限二十九度五分五十秒相減餘以六十一分七十七秒乘之律母除之為加減差矢在限已上加已下減加減百八十七度九十分為定差以矢與五十八度十一分相減餘以定差乘之度如律母而一為分不滿退除為秒併入九度為法復以矢與百一十六度二十二分相減相乘及矢自乘相併為實開方所得進一位以法除之為弧半背即其處日去地度及分秒如不同更増損矢數筭之以同為矢定數求毎日隨處中晷汎數置五十八度十一分減去所求矢定數餘用八因為實復以矢與百一十六度二十二分相減相乘平方開之為法除實命度為尺即其日其處中晷汎數求每日隨處中晷定數各於其處立八尺表毎日實測午晷真數而與筭術所求晷數相減餘名為地形差所測晷數多則為加少則為減加減所筭晷數即其日其處中晷定數求二至加時真數取二至前後晷數近似者相減餘以律母乗之為實取其次日晷數相減餘為法實如法而一為刻求冬至視其前晷多則為減差少則為加差夏至反之摠計距日刻數以差加減折半加五十刻為前距定日以其日筭外命之即二至加時真數求毎日半晝夜及日出入晨昏分置所求初末限滿積度去之餘以其段晝夜差乘之如律母而一為分前多後少為減前少後多為加加減其段半晝夜分為所求半晝夜分以半夜分便為日出分用減百刻餘為日入分於日出分減二刻半餘為晨分於日入分加二刻半則為昏分求晝夜刻及日出入時刻置其日半夜分二因之如律母而一所得為夜刻用減百刻餘為晝刻以日出入分依時刻法求之即得所求時刻求更㸃所在時刻置其日晨分二因五約之為更率又五約之為㸃率各以其率乘所求更㸃數用加其日昏分内減更㸃率滿百刻去之不滿依時刻法求之即得所求時刻求昏後夜半中星置躔中度及分以其次日晨前夜半赤道日度及分秒加而命之即所求日昏後夜半中星積度及分秒求逐日昏曉中星置其次日晨分以躔周加一度乘之萬約為度昏減曉加所求日昏後夜半中星積度即昏曉中星積度及分秒求逐更逐㸃中星置昏後曉中星積度(不及則加躔周)以曉前昏中星積度減之餘二十五而一所得為㸃差置昏中星積度命為一更一㸃以㸃差累加之滿赤道宿度去之即逐更逐㸃中星宿度及分秒求九服所在漏刻各於所在以儀測驗或下水漏以定其處冬至或夏至夜刻與五十刻相減餘為至差刻以所求日黄道出入赤道内外度及分秒乘之二十三度九十分除之所得内減外加五十刻即所求夜刻以減百刻餘為晝刻其九服所在逐段晝夜差半晝夜分及日出入晨昏分更㸃中星等率竝準隨處晷漏脩短依術推之律厯融通巻一
## 8
欽定四庫全書律厯融通巻二明 朱載堉 撰黄鍾厯法下(凡四篇)步月離第六月平行十三度三十六分八十七秒半離周三百六十八度三十七分六秒離中百八十四度十八分五十三秒離象九十二度九分二十六秒半轉周二十七日五十五刻四十六分轉中十三日七十七刻七十三分轉象六日八十八刻八十六分半轉差一日九十七刻五十九分九十三秒疾遲度率及積度求經朔弦望入轉置嵗定積來加往減十三日二刻五分轉周為法除之不盡來即所求往反減轉周各加其月朔積及弦望策滿轉周去之為所求經朔弦望入轉大小餘若徑求次朔入轉以轉差加之求疾遲初末限視入轉大小餘在轉中已下為疾已上減去轉中為遲置律數作限帶律差為分以入轉大小餘乗之得入限大小餘以律數乗七音為聲數所得入限大小餘在聲數已下為初限已上則倍聲數減去所得入限小大餘為末限求疾遲差置立差三秒二十五忽以所求限大餘乗之加平差二分八十一秒又以限乘之用減定差千一百一十一分餘再以限乘之滿萬為度不滿退除為分秒如是求次限積度相減餘為疾遲分以乗所得初末限下小餘萬約為分加入其限積度為疾遲差求疾遲限下行度置平行度及分秒以轉象乗之如聲數而一所得為一限平行度不滿退除為分秒以其限疾遲分疾初遲末益遲初疾末損損益一限平行度為所入疾遲限下行度求加減差置聲數進一位減去律差各以所求盈縮疾遲差乘之各如所入疾遲限下行度而一為分不滿退除為秒盈遲名為加差縮疾名為減差求定朔弦望置經朔弦望大小餘各以其加減差加減之滿或不足進退大餘即定朔弦望視前後定朔兩干同者前月大盡不同者前月小盡無中氣者為閏月若定弦望小餘在日出分已下者退一日求定朔弦望加時及毎日夜半晨昏入轉置經朔弦望入轉大小餘以定朔弦望加減差加減之為定朔弦望加時入轉以定朔弦望小餘減之為定朔弦望晨前夜半入轉累加一日為毎日晨前夜半入轉各以其日晨分加之為晨入轉昏分加之為昏入轉滿轉周去之求定朔弦望加時黄道日度置經朔弦望入盈縮大小餘以加減差加減之為定朔弦望入厯在盈便為積日在縮加嵗中為積日命日為度以盈縮差盈加縮減之為加時日行定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之各得定朔弦望加時黄道日度及分秒求定朔弦望加時黄道月度凡定朔加時日月同度以日行定積度即月行定積度弦望則各置其加時日行定積度以象策上弦一加望再加下弦三加之為加時月行定積度如前加而命之滿躔周及黄道宿度去之不盡各得定朔弦望加時黄道月度及分秒求定朔弦望夜半晨昏黄道月度置所求入轉日轉度率與次日轉度率相減餘以所求入轉小餘乘之萬約為分前多後少減前少後多加加減轉度率為轉定度以乘定朔弦望小餘萬約為分用減加時定積度餘為晨前夜半定積度以轉定度乘其日晨昏分萬約為分各加夜半定積度為晨昏定積度加命如前各得夜半晨昏黄道月度及分秒求毎日夜半晨昏黄道月度累計相距日數轉度率為轉積度與定朔弦朢夜半相距度相減餘如相距日數而一為日差距度多為加距度少為減加減每日轉度率為行定度以累加定朔弦朢夜半定積度為毎日夜半定積度累加定朔弦朢晨昏定積度為毎日晨昏定積度加命如前即每日夜半晨昏黄道月度及分秒(註厯自朔至朢皆用昏度既朢以後則用晨度)求每日夜半晨昏赤道月度視所求夜半晨昏黄道月行定積度在象策已下為至後滿象策去之為分後猶多再去之為至後復多仍去之為分後以其黄道積度減之餘以赤道率乗之如黄道率而一所得以加赤道積度及所去象策各為赤道定積度以嵗首冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即每日夜半晨昏赤道月度及分秒歩交道第七正交三百六十三度七十九分三十四秒中交百八十一度八十九分六十七秒距交十四度六十六分六十六秒交周二十七日二十一刻二十二分二十四秒交中十三日六十刻六十一分十二秒交差二日三十一刻八十三分六十九秒求經朔弦朢入交置嵗定積來加往減二十六日三刻八十八分交周為法除之不盡來即所求往反減交周各加其月朔積及弦朢策滿交周去之為所求經朔弦朢入交大小餘若徑求次朔入交以交差加之求定朔弦朢加時及每日夜半入交置經朔弦朢入交大小餘以定朔弦朢加減差加減之即定朔弦朢加時入交以定朔弦朢小餘減之為定朔弦朢晨前夜半入交累加一日為每日晨前夜半入交滿交周去之求朔後平交入轉及加減差置經朔入交與交周相減餘為朔後平交大小餘以加經朔入轉為朔後平交入轉在轉中已下為疾已上去之為遲依月離篇求疾遲之加減差命為正交日加減差求正交日辰置朔後平交與經朔相併以正交日加減差遲加疾減之為正交大小餘滿律摠去之命甲子筭外即正交日辰及加時小餘求正交加時黄道月度置朔後平交大小餘以月平行度及分秒乘之為距後度以所求月朔積命日為度併之為嵗前冬至距正交定積度以冬至加時黄道日度加而命之滿躔周及黄道宿度去之不盡為正交加時黄道月度及分秒求正交在二至後初末限置冬至距正交定積度及分秒在躔中已下為冬至後已上去之為夏至後在象策已下為初限已上反減躔中餘為末限求汎差距差定限度置初末限度以距交乗之如象策而一為汎差反減距交餘為距差倍律數以乘汎差如距交而一所得交在冬至後減夏至後加皆加減九十八度為定限度及分秒求月離赤道正交宿度冬至後初限加末限減視春正夏至後初限減末限加視秋正以距差加減春秋二正赤道宿度為月離赤道正交宿度及分秒求正交後赤道宿積度入初末限各置春秋二正赤道所當宿全度及分以月離赤道正交宿度及分秒減之餘為正交後積度以赤道宿度累加之滿象策去之為半交後再去之為中交後又去之為半交後視各交積度在半象已下為初限已上反減象策餘為末限求每交月離白道積度及宿次置定限度與初末限相減相乘退位為分為定差正交中交後為加半交後為減以差加減正交後赤道積度為月離白道定積度以前宿白道定積度減之各得月離白道宿次及分求定朔弦望加時月離白道宿度各以月離赤道正交宿度距所求定朔弦望加時月離赤道宿度為正交後積度滿象策去之為半交後再去之為中交後又去之為半交後視交後積度在半象已下為初限已上用減象策為末限以初末限與定限度相減相乘退位為分滿律母為度為定差正交中交後為加半交後為減以差加減月離赤道正交後積度為定積度以正交宿度加之以其所當月離白道宿度去之各得定朔弦望加時月離白道宿度及分秒求每日月臨午位黄道宿度置月離赤道定積度及中星所臨宿積度上弦前後視昏度望前後視夜半度下弦前後視晨度月在中星已下為前已上為後以月星積度相減(不及則加躔周而後減之)餘以其日轉定度乘之如躔周而一所得前減後加其日夜半晨昏月離黄道定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之滿黄道宿度去之即月臨午位黄道宿度及分秒求每日月臨午位赤道宿度置月臨午位黄道積度及分秒依前篇求赤道積度以嵗首冬至加時赤道日度加而命之滿赤道宿度去之即月臨午位赤道宿度及分秒求每日月臨午位時刻更㸃置月臨午位赤道積度及分秒以其日晨前夜半中星積度及分秒減之(不及則加躔周而後減之)餘以律母乘之如躔周而一為刻不滿退除為分秒下弦已後上弦已前月中在晝依時刻法求之上弦已後下弦以前月中在夜依更㸃法求之求毎日月離赤道交後初末限置月離赤道正交後積度以赤道宿度及分累加之至所求月臨午位赤道宿度及分秒在躔中已下為正交後已上去之為中交後在象策已下為初限已上反減躔中餘為末限求月離半交白道出入赤道内外度置各交汎差度及分秒倍律數加一乘之律摠加一除之所得視月離黄道正交在冬至後宿度為減夏至後宿度為加皆加減二十三度九十分為月離赤道後半交白道出入赤道内外度折半以辰策除之為定差求月離出入赤道内外白道去極度置每日月離赤道交後初末限度及分秒用減象策餘為白道積用其積度減之餘以其差率乗之如律母而一所得以加其下積差為每日積差(月離白道積差差率舊附日躔篇黄赤道率下)倍辰策以積差減之餘以定差乗之為毎日月離出入赤道内外度内減外加象策為每日月離白道去極度及分秒求隨處月去地度及表景汎數定數置所求日月臨午位白道去極度及分併其處北極出地度及分用減躔中餘即其處月去地度為弧半背(術與日同見晷漏篇)歩交食第八日食交外限六度定法六十一日食交内限八度定法八十一月食限十三度五分定法八十七求交食凡例凡日食必在朔月食必在望餘日雖交不食視朔望汎交大小餘近交周上下與交周相減餘為距正交分近交中上下與交中相減餘為距中交分倍之不滿交差為入食限定朔加時在夜定望加時在晝若無帶食則不必推𢃄食則須推之凡定望加時在日出後而月食初虧於日出前者則退一日只以昨夜言望注厯時宜預推當退望而不退是為錯誤求日食時差及距午分視定朔小餘在五十刻已下用減丑十刻餘為中前分已上減去五十刻餘為中後分以中前後分與五十刻相減相乘如九十六而一為刻不滿退除為分秒中前名減中後名加命為時差以併中前或中後分為距午分求食甚入盈縮定度日食置定朔加時黄道日行定積度以時差加減之為食甚入盈縮定度月食不用時差直以定望加時黄道日行定積度便為食甚入盈縮定度滿躔中去之求日食南北差視食甚入盈縮定度在象策已下為初限已上用減躔中餘為末限以初末限自相乘千八百七十除之為度不滿退除為分秒用減四度四十六分餘為南北汎差距午分乘之半晝分除之所得用減汎差(不及減反減之)為南北定差在縮初盈末正交加中交減在盈初縮末正交減中交加(係反減者應加却減之應減却加之)求日食東西差置食甚入盈縮定度與躔中相減相乘千八百七十除之為度不滿退除為分秒為東西汎差距午分乗之二十五刻除之為東西定差(若在汎差已上則倍汎差相減餘為定差)在縮中前盈中後正交加中交減在盈中前縮中後正交減中交加(雖係倍減者加減只如常)求交限度日食置正交中交度及分秒以六度十五分為損益差正交損之中交益之以南北東西定差加減之為交限度月食則不須損益加減直以正交中交度及分秒為交限度求交定度置朔望汎交大小餘以月平行度乘之以盈縮差盈加縮減之為交定度若在十五度半已下併入正交度及分秒為交定度求食差視交定度在正交限已下中交限已上為交内在正交限已上中交限已下為交外各與限度相減餘為食差求所食分秒各置食限以其食差減之餘如定法而一為所食分秒不及減者不食食分少者日光赫盛或不見食求定限行度置定朔望加時入轉大小餘依月離求所入疾遲限下行度減去八百二十分餘為定限行度求定用分日食置二十分月食置三十分與所食分秒相減相乘平方開之所得日以七因月以六因各進二位皆以八百二十乘之如定限行度而一為定用分求三限時刻日食置定朔小餘以時差加減之為食甚分月食不用時差但以定望全分為食甚分各以定用分減食甚為初虧加食甚為復圓依時刻法求之即三限時刻求五限時刻月食十分已上者減去十分餘為既内復與十分相減相乘如定用分求之為既内分以減食甚分為食既以加食甚分為生光餘同前法共所求三限為五限求月食更㸃置其日晨分倍之五約為更法又五約為㸃法乃置五限諸分昏分已上減昏分晨分已下加晨分以更法加入如法而一為更數不滿以㸃法加入如法而一為㸃數求帶食帶復視其日日出入分在初虧分已上食甚分已下為帶食在食甚分已上復圓分已下為帶復各與日出入分相減餘名前後差在日出入分已下為前已上為後各以所食分秒乗之如定用分而一為日出入前後食復分日食日出已後日入已前為見日出已前日入已後為不見月食日出已前日入已後為見日出已後日入已前為不見此與舊不同(詳見古今交食考)舊厯無論出入前後日月一例求之是屬錯誤求起復方所日食起於西復於東食分少者交外偏南交内偏北月食起於東復於西食分少者交外偏北交内偏南皆指北極所在為北日月所在為南不必據午地論舊厯日月食八分已上即言正東正西今惟月食十分已上始言之求食甚宿度置食甚入盈縮定度(日食在盈月食在縮無所加日食在縮月食在盈加躔中)為黄道定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之滿黄道宿度去之即日月食甚躔離黄道宿度及分秒步五緯第九合應宫土三百六十日五千二百七十三分角木二百八十日九千七十四分徵火七百二十三日千七百四十五分商金十二日二千六百九十六分羽水四十五日八千三百二十三分周率宫土三百七十八日九百一十六分角木三百九十八日八千八百分徵火七百七十九日九千二百九十分商金五百八十三日九千二十六分羽水百一十五日八千七百六十分厯應宫土五千二百二十四日五百六十一分角木千八百九十九日九千四百八十一分徵火五百四十七日二千九百三十八分商金十一日九千六百三十九分羽水二百五日五千一百六十一分度率宫土二十九日四千二百五十五分角木十一日八千五百八十二分徵火一日八千八百七分半商金一日羽水一日伏見宫土十八度角木十三度徵火十九度商金十度半羽水夕伏晨見十九度晨伏夕見十六度半諸段積日積度求五星平合日置嵗定積來減往加其星合應滿其周率去之不盡往即所求來反減周率即嵗首冬至後平合日及分秒求諸段積日積度復置平合日及分秒累加段日即諸段積日命日為度累加平度退則減之即諸段積度及分秒求諸段入厯置嵗定積以其星厯應併所求平合日及分秒來加往減之如其度率而一為度不滿退除為分秒滿厯率去之來即所求往反減厯率即平合入厯度累加限度各得其段入厯度及分秒求盈縮初末限置各段入厯度及分秒若在躔中已下為盈已上減去躔中為縮其土木金水四星諸段在象策已下為初限已上用減躔中餘為末限其火星諸段盈者在二因辰策已下縮者在四因辰策已下為初限已上用減躔中餘為末限求盈縮差土星盈者立差二秒八十三忽加平差四分十秒二十二忽減定差千五百一十四分六十一秒縮者立差三秒三十一忽加平差一分五十一秒二十六忽減定差千一百一分七十五秒木星盈縮立差二秒三十六忽加平差二分五十九秒十二忽減定差千八十九分七十秒金星盈縮立差一秒四十一忽加平差三忽減定差三百五十一分五十五秒水星盈縮立差一秒四十一忽加平差二十一秒六十五忽減定差三百八十七分七十秒火星盈初縮末立差十一秒三十五忽減平差八十三分十一秒八十九忽減定差八千八百四十七分八十四秒縮初盈末立差八秒五十一忽減平差三分二秒三十五忽減定差二千九百九十七分六十三秒(新改縮初盈末立差一秒二十四忽減平差二十分三十秒減定差四千三百九十二分)各置立差以所求初末限度及分秒乘之加減平差再乘之用減定差又乘之滿萬為度不滿退除為分秒為盈縮差又法置所求初末限下小餘以其限盈縮分乘之萬約為分加入其限積度亦為盈縮差求諸段定積日及日辰各置其段積日以其盈縮差盈加縮減之即其段定積日及分秒以嵗首黄鍾正律大小餘加之滿律摠去之其大餘命甲子筭外即得日辰及加時小餘求諸段所在日月各置其段定積日及分秒加閏餘減朔策餘如朔策而一為月數不盡為入經朔已來日數其月數命正月若在朔策已下不及減者為入年前十一月已上去之為入十二月俱以日辰所在為定凡閏餘在十六日已上則其年有閏依求汎閏術定之求諸段加時定積度各置其段積度以其盈縮差盈加縮減之(金星再之水星三之)即諸段加時定積度以嵗首冬至加時黄道日度加而命之即其星其段加時所在宿度及分秒求諸段初日晨前夜半所在宿度各以其段初行率乘其段加時小餘如律母而一為分順減退加其日加時定積度即其段初日晨前夜半定積度加命如前即得所在宿度及分秒求諸段日率度率及平行分各以其段日辰與後段日辰相距數為日率以其段夜半積度與後段夜半積度相減餘為度率各置度率及分秒以其日率除之即其段平行分求諸段増減差及日差以本段前後平行分相減為其段汎差倍而退位為増減差前多後少者加為初減為末前少後多者減為初加為末以加減其段平行分為初末日行分又倍増減差為摠差以日率減一除之為日差求前後伏遲退段増減差前伏者置後段初日行分加其日差之半為末日行分後伏者置前段末日行分加其日差之半為初日行分以減伏段平行分餘為増減差前遲者置前段末日行分倍其日差減之為初日行分後遲者置後段初日行分倍其日差減之為末日行分以前後近留之遲段平行分減之餘為増減差土木火三星退行者六因平行分退一位為増減差金星前後退伏者三因平行分半而退位為増減差前退者置後段初日行分以其日差減之為末日行分後退者置前段末日行分以其日差減之為初日行分以本段平行分減之餘為増減差水星退行者半平行分為増減差皆以増減差加減平行分為初末日行分前多後少者加為初減為末前少後多者減為初加為末又倍増減差為摠差以日率減一除之為日差求毎日晨前夜半星行宿度各置其段初日行分以日差累損益之後少則損之多則益之為毎日行度及分秒乃置其段初日晨前夜半定積度順加退減滿宿度去之即毎日晨前夜半星行宿度及分秒求平合見伏入太陽盈縮厯置其星其段定積日及分秒在嵗中已下為盈已上去之為縮多則再去之復為盈各在初限已下為初限已上反減嵗中餘為末限即其星平合見伏入厯日及分秒求平合見伏與太陽行差各以其星其段初日星行分與其段初日太陽行分相減餘為行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分併其段初日太陽行分為行差其水星夕伏晨見者直以其段初日太陽行分為行差求定合定見定伏汎積日土木火三星各以平合晨見夕伏定積日便為定合伏見汎積日及分秒金星置其段盈縮差水星倍置之各以其段行差除之為日不滿退除為分秒在平合夕見晨伏者盈減縮加在退合夕伏晨見者盈加縮減各加減定積日為定合伏見汎積日及分秒求定合定積日定積度土木火三星各以平合行差除其段初日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒以太陽盈縮積減之為距合差度副置其星定合汎積以距合差日差度盈減縮加之為其星定合定積日定積度及分秒此與下條言盈縮者皆指太陽非謂本星金水二星順合退合者各以平合退合行差除其日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒順加退減太陽盈縮積為距合差度順合者以距合差日差度盈加縮減其星定合汎積為其星定合定積日定積度及分秒退合者以距合差日盈減縮加以距合差度盈加縮減加減其星退定合汎積為其星退定合定積日定積度及分秒加命如前各得所求日辰及宿度分秒徑求合伏定日者土木火三星以夜半黄道日度減其星夜半黄道度餘在其日太陽行分已下者金水二星以其星夜半黄道度減夜半黄道日度餘在其日本星行分已下者各為其日合伏係合退伏者視其日夜半黄道日度未行到本星度及視次日太陽行過本星度而本星退行過太陽宿度者為其日合退伏求定見定伏定積日土木火三星各置定見定伏汎積日及分秒以嵗中折半晨加夕減之在嵗中已下自相乗已上倍嵗中反減之餘亦自相乘七十五而一為分不滿退除為秒以其星見伏度乘之十五除之所得滿行差而一為日不滿退除為分秒見加伏減汎積為其星定見定伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日辰金水二星各以伏見日行差除其段初日太陽盈縮積為日不滿退除為分秒夕見晨伏盈加縮減晨見夕伏盈減縮加加減其星定見定伏汎積日及分秒為常積若在嵗中已下為冬至後已上去之為夏至後在嵗中折半已下自相乗已上反減嵗中餘亦自相乘冬至後晨夏至後夕十八而一為分冬至後夕夏至後晨七十五而一為分以其星見伏度乘之十五除之所得滿行差而一為日不滿退除為分秒晨見夕伏冬至後加夏至後減夕見晨伏冬至後減夏至後加皆加減常積為其星定見定伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日辰律厯融通巻二
## 9
欽定四庫全書律厯融通巻三眀 朱載堉 撰黄鍾厯議上(凡十二篇)律元厯距曰元元者萬物之始衆善之長所以統三辰之㑹也天有三辰地有五行太極運三辰五星於上而元氣轉三統五行於下其於人皇極統三徳五事故三辰合於三統五星合於五行日合於天統月合於地統斗合於人統水合於辰星火合於熒惑木合於嵗星金合於太白土合於填星三辰五行而相經緯也夫三五相包而生故三統合於一元因元一而九三之以為法十一三之以為實實如法而一得黄鍾長九寸太極中央元氣謂之黄鍾其長九寸者陽氣之全也故黄鍾紀元氣之謂律律者法也莫不取法焉是為萬事根本天道運行循環無端術家推歩氣朔盈虚日月躔離五星伏見上考已往下騐方來則必皆以厯元為距故厯元者所以因之起算者也後漢志曰黄帝造厯元起辛夘顓頊用乙夘夏用丙寅殷用甲寅周用丁巳魯用庚子六家古厯立元各殊積算逺近今不可考後世治厯者或求諸遐邈或距諸目前厯代諸厯殆有百家無一同者三統厯以千四萬年已上為元麟徳厯以二十六萬年已上為元皇極厯以百萬年已上為元大衍厯以九千六百九十六萬年已上為元此皆取諸曠古者也太初厯就以太初元年丁丑嵗為元戊寅厯初則以武徳元年戊寅嵗為元授時厯以至元十八年辛巳嵗為元大統厯以洪武十七年甲子嵗為元此皆取諸當時者也或逺或近雖則相縣要之順天求合則密為合騐天則疏此前人定論也古法推歩七政多求其總㑹於甲子逆考順推上下數千萬年而諸厯履端歸餘逺近多寡為數不同竊嘗論之唐李淳風僧一行盖精於厯數矣然淳風麟徳厯已為一行所非而一行大衍厯推今冬至凡差二日則其積年日法俱不可求厯元之始終豈非以嵗逺故難測耶豈天地生數之始果如是紛糅耶抑好竒者為之故爾又有所謂元㑹運世命為厯法者初無其事但以十二與三十相參甲子為之夫氣朔有盈虛故有大盡小盡因此以置閏古之道也例以三十為用是以一定之數推不齊之運猶月皆大盡亦不置閏也世儒雖惑之而厯家不取其説惟所謂截元厯者但以測騐真數為則不復逆考順推以求其齊元大儒許衡等造授時厯實用其術而積年日法在所不取其見卓矣皇朝大統厯雖稍損益多因舊法故超勝諸厯而行之最久是知衡厯可以為百世之師範也今黄鍾算術以萬厯九年辛巳嵗為距者其旨有三一者貴其名二者貴其義三者貴其時夫貴其名何也按玉海諸書皆云伏羲元年辛巳在位百二十年神農元年亦辛巳在位百二十年説者或以為黄帝命大撓始作甲子然辛巳之名已見於羲農之世其非大撓始作明矣六十甲子殆與天地俱生其來尚矣莫知誰所造也以為大撓始作非也干支紀年見於史者辛巳其為權輿乎夫羲農二聖適同辛巳之元皆躋上夀之域此尤可欽羨也是故表而出之伏願當今體無為之化協萬夀之徵此所以貴其名也貴其時義何也易革卦之象君子以治厯明時而湯武以之所謂順乎天而應乎人考諸三代而下創業之君順天應人者則不無(案此下有脫誤因無考姑仍其舊)若夫治厯明時或未及為則有待於後王是故漢髙祖革命之後襲秦正朔厯孝惠文景三君至武帝太初元年方議造漢厯漢興至此百餘嵗矣後又三十餘嵗至元鳳六年而是非堅定唐髙祖創業之時雖嘗治厯而法未密厯太髙中睿四君至𤣥宗開元九年始命僧一行改造大衍厯唐興至此亦百餘嵗而儀式方備是知厯代帝王草創之初固有未及為者全賴嗣君善繼善述以成其志耳我太祖髙皇帝革元命奠華夏順天應人莫大於此雖湯武有所不及而革命之際距勝國至元辛巳嵗纔八十七年授時厯積算未乆氣朔不差故仍舊貫無所改作略加潤色而已然彼辛巳至今萬厯辛巳三百年矣年逺數盈漸差天度古人所謂三百年斗厯改憲治厯明時之期豈非在於斯乎恭惟祖宗列聖御極以來改元建號未嘗以厯為名至我皇上始以萬厯為年號而適當改憲之際此乃天運潛符為聖夀萬年厯之元矣九者陽數大哉乾元位尊九五飛龍在天之象故以九年表之古之人論數也曰物生而後有象象而後有滋滋而後有數夫沖漠之間兆朕之先數之原也有儀有象判一而兩數之分也日月星辰垂於上山嶽川澤奠於下數之著也四時迭運而不窮五氣以序而流通風雷不測雨露之澤萬物形色數之化也聖人繼世經天緯地立兹人極稱物平施父子以親君臣以義夫婦以别長幼以序朋友以信數之教也分天為九野别地為九州制人為九行九品任官九井均田九族睦俗九禮辨分九變成樂九刑禁姦九寸為律九分造厯九筮稽疑九章命算九職任萬民九賦斂財賄九式節財用九府立圜法九服辨邦國九命位邦國九儀命邦國九法平邦國九伐正邦國九貢致邦國之用九兩繫邦國之民營國九里制城九雉九階九室九經九緯數之度也律書曰王者制事立法物度軌則壹禀於六律六律為萬事根本故取黄鍾之律其長九寸以表萬厯九年為厯之元盖託義倚數用為推歩之距而已或云漢落下閎倚數起於黄鍾之龠其法一本於律至唐一行乃始専用大衍之䇿則厯術又本於易是皆傅㑹之説何必踵其故習哉不然盖厯起於數數者自然之用也其用無窮而無所不通以之於律於易皆可以合也要在順天求合而已且夫取象之説於經有之歸竒象閏再閏象扐之類初非揲卦本㫖特取象之説耳以為渉於傅㑹不亦過歟或云若以萬厯元年為距何如曰易不云乎大衍之數五十其用四十有九一元太極妙不可言能以美利利天下而不言所利是故乾元惟用九耳故曰顯諸仁藏諸用春秋傳曰元年者人君之用也大哉乾元萬物資始天之用也至哉坤元萬物資生地之用也成位乎其中則與天地參故體元者人君之事而調元者宰相之職然推歩之家用以為距者特取斗厯改憲一節而已蓋辛巳嵗適當其際故用為距而以厯元命之亦猶大統厯不以洪武元年為元而以甲子嵗為元也律母道生於一謂之太一太一者太極也由一生二是為兩儀由二生三是為三才由三生四是為四象由四生五是為五行總而言之凡數皆生於一一者五行之本萬物之元也是故二者一之與一也三者一之與二也四者一之與三也五者一之與四也其上之一數之母也其下之一二三四數之子也去母言之惟有一二三四而無五加母言之則有二三四五而無一一者先天也五者後天也後天不見其所生先天不見其所成蓋自然之理也由五已往則一為之本由五已来則五為之元是故六者五之與一也七者五之與二也八者五之與三也九者五之與四也十者五之與五也此謂一為五數之本五為萬數之元也傳曰天地與我竝生萬物與我為一一與一為二二與一為三自此以往巧厯不能得而况其凡乎推其本元而論之不過一二三四而已傳曰古之所謂道術者無乎不在其數則一二三四是也此之謂歟數術之要妙在乎七之與九何也夫道化而為一一者太一也物之祖也數之根也一化而為七其象則圓七化而為九其象則方九者究也乃復化而為一則歸於其根矣夫七生於坤坎與六為表裏故其體圓而用方九生於乾離與八為表裏故其體方而用圓是故七中減一者□六也☷坤之象也六中加一者□七也☵坎之象也坤之與坎皆根於隂者也九中減一者□八也☲離之象也八中加一者□九也☰乾之象也乾之與離皆根於陽者也故雒書之位九居於上河圖之位六居於下而乾坤定矣雒書之位七居於右河圖之位八居於左而坎離交矣河圗雒書相為經緯八卦九疇相為表裏故九為老陽而六為老隂七為少陽而八為少隂易之為書至理要道不過七八九六數言而已一二三四者六七八九之所以生六七八九者一二三四之所以成十者一之全數也五者十之半數也是故十半之則為五五倍之而為十十即一也百千萬億亦猶一也乃至溝澗正載不可説數亦不過乎一也此筭術之至妙者歟易曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十竒數究於九偶數甚於十十者天地之全體九者天地之大用此所以成變化而行鬼神也何瑭氏曰造化之道一隂一陽而已矣陽動隂靜陽眀隂晦陽無體以隂為體隂無用待陽而用二者相合則生相離則滅微哉微哉通於其説則鬼神之幽人物之著天文地理一以貫之而無遺矣九為陽精主於施十為隂精主於化施者萬物之父化者萬物之母故九寸為律元十寸為度母算律之率以九為黄鍾之經分以十為黄鍾之約分就經分而言故曰黄鍾之律其長九寸就約分而言故曰黄鍾之度其長十寸九寸十寸名異實同而先儒未達也何氏曰漢志謂黄鍾之律九寸加一寸為一尺夫度量權衡所以取法於黄鍾者盖貴其與天地之氣相應也若加一寸以為尺則又何取於黄鍾殊不知黄鍾之長固非人所能為至於九其寸而為律十其寸而為尺則人之所為也漢志不知出此乃欲加黄鍾一寸為尺謬矣何氏此論發千載之秘破萬世之惑有功於律學也大矣此則唐宋諸儒之所未發惟我聖朝文明之化所被始有斯論豈不偉哉今復廣其説曰先儒有言一者九之祖也十百千萬之宗也圓之而天方之而地行之而四時天所以覆物也地所以載物也四時所以成物也㪚之無外巻之無内體諸造化而不可遺者乎雒書天道也君道也父道也夫道也交道也應變之道也河圗地道也臣道也子道也妻道也生道也守常之道也陽之情莫切於交隂之情莫急於生交道右行相制生道左旋相代天地萬物生民處世之道盡之矣是故河圖非無竒也而用則存乎耦雒書非無耦也而用則存乎竒耦者隂陽之對待竒者五行之迭運對待者不能孤迭運者不可窮天地之形四時之成人物之生萬化之凝其妙矣乎天地之位也四時之運也隂陽感而五行播矣五行隂陽也隂陽五行也天地絪緼萬物化醇男女搆精萬物化生無極之真二五之精妙合而凝化化生生莫測其神莫知其能而可以一言盡之黄鍾是也故黄鍾之長從黍八十一分而為九寸因而為律厯之元其長横黍十寸而為百分因而為律厯之母皆取法於河圖雒書其義精矣故何氏之説雖與先儒異而實同也律義周景王問律於伶州鳩對曰律所以立均出度也古之神瞽考中聲而量之以制度律均鍾百官軌儀紀之以三平之以六成於十二天之道也夫六中之色也故名之曰黄鍾所以宣養六氣九徳也由是第之二曰太蔟所以金奏贊陽出滯也三曰姑洗所以修潔百物考神納賔也四曰蕤賔所以安靖神人獻酬交酢也五曰夷則所以詠歌九則平民無貳也六曰無射所以宣布哲人之令徳示民軌儀也為之六間以揚沈伏而黜散越也元間大吕助宣物也二間夾鍾出四隙之細也三間中吕宣中氣也四間林鍾和展百事俾莫不任肅純恪也五間南吕贊陽秀也六間應鍾均利器用俾應復也律吕不易無姦物也大昭小鳴和之道也和平則久久固則純純明則終終復則樂所以成政也故先王貴之司馬遷律書曰七正二十八舍律厯天所以通五行八正之氣天所以成孰萬物也舎者日月所舍舎者舒氣也廣莫風居北方廣莫者言陽氣在下隂莫陽廣大也故曰廣莫東至于虛虛者能實能虚言陽氣冬則宛藏於虛日冬至則一隂下藏一陽上舒故曰虚東至于須女言萬物變動其所隂陽氣未相離尚相如胥也故曰須女十一月也律中黄鍾黄鍾者陽氣踵黄泉而出也其於十二子為子子者滋也滋者言萬物滋於下也其於十母為壬癸壬之為言任也言陽氣任養萬物於下也癸之為言揆也言萬物可揆度故曰癸東至牽牛牽牛者言陽氣牽引萬物出之也牛者冒也言地雖凍能冒而生也牛者耕植種萬物也東至于建星建星者建諸生也十二月也律中大吕大吕者其於十二子為丑丑者紐也言陽氣在上未降萬物厄紐未敢出條風居東北主出萬物條之言條治萬物而出之故曰條風南至于箕箕者言萬物根棋故曰箕正月也律中太蔟太蔟者言萬物蔟生也故曰太蔟其於十二子為寅寅言萬物始生螾然也故曰寅南至于尾言萬物始生如尾也南至于心言萬物始生有華心也南至于房房者言萬物門户也至于門則出矣眀庶風居東方眀庶者眀衆物盡出也二月也律中夾鍾夾鍾者言隂陽相夾厠也其於十二子為夘夘之為言茂也言萬物茂也其於十母為甲乙甲者言萬物剖符甲而出也乙者言萬物生軋軋也南至于氐氐者言萬物皆至也南至于亢亢者言萬物亢見也南至于角角者言萬物皆有枝格如角也三月也律中姑洗姑洗者言萬物洗生其於十二子為辰辰者言萬物之蜄也清眀風居東南維主風吹萬物而西之軫軫者言萬物益大而軫軫然西至于翼翼者言萬物皆有羽翼也四月也律中仲吕仲吕者言萬物盡旅而西行也其於十二子為己巳者言陽氣之已盡也西至七星七星者陽數成於七故曰七星西至于張張者言萬物皆張也西至于注注者言萬物之始衰陽氣下注故曰注五月也律中蕤賔蕤賔者言隂氣幼少故曰蕤痿陽不用事故曰賔景風居南方景者言陽氣道竟故曰景風其於十二子為午午者隂陽交故曰午其於十母為丙丁丙者言陽道著眀故曰丙丁者言萬物之丁壯也故曰丁西至于弧弧者言萬物之吳落且就死也西至于狼狼者言萬物可度量斷萬物故曰狼涼風居西南維主地地者沈奪萬物氣也六月也律中林鍾林鍾者言萬物就死氣林林然其於十二子為未未者言萬物皆成有滋味也北至于罰罰者言萬物氣奪可伐也北至于參參言萬物可參也故曰參七月也律中夷則夷則言隂氣之賊萬物也其於十二子為申申者言隂用事申賊萬物故曰申北至于濁濁者觸也言萬物皆觸死也故曰濁北至于留留者言陽氣之稽留也故曰留八月也律中南吕南吕者言陽氣之旅入藏也其於十二子為酉酉者萬物之老也故曰酉閶闔風居西方閶者倡也闔者藏也言陽氣道萬物闔黄泉也其於十母為庚辛庚者言隂氣庚萬物故曰庚辛者言萬物之辛生故曰辛北至于胃胃者言陽氣就藏皆胃胃也北至于婁婁者呼萬物且内之也北至于奎奎者主毒螫殺萬物也奎而藏之九月也律中無射無射者隂氣盛用事陽氣無餘也故曰無射其於十二子為戌戌者言萬物盡滅故曰戌不周風居西北主殺生東壁居不周風東主辟生氣而東之至于營室營室者主營胎陽氣而産之東至于危危垝也言陽氣之危垝故曰危十月也律中應鍾應鍾者陽氣之應不用事也其於十二子為亥亥者該也言陽氣藏於下故該也音始於宫窮於角數始於一終於十成於三氣始於冬至周而復生神生於無形成於有形然後數形而成聲故曰神使氣氣就形形理如類有可類或未形而未類或同形而同類類而可班類而可識聖人知天地識之别故從有以至末有以得細若氣微若聲然聖人因神而存之雖妙必効情核其華道者明矣非有聖心以乘聰明孰能存天地之神而成形之情哉神者物受之而不能知及其去來故聖人畏而欲存之唯欲存之神之亦存其欲存之者故莫貴焉故旋璣玉衡以齊七政即天地二十八宿十母十二子鍾律調自上古建律運厯造日度可據而度也合符節通道徳即從斯之謂也蔡元定曰律者陽氣之動陽聲之始必聲和氣應然後可以見天地之心然非精於厯數則氣節亦未易正也是知律與厯蓋相須為用不知律不可與言厯不知厯亦不可與言律欲候氣以驗律必測景以正厯此先後之序也律數至治之世天地之氣合以生風天地之風氣正十二律定十二律者六律為陽六吕為隂律以綂氣類物一曰黄鍾二曰太蔟三曰姑洗四曰蕤賔五曰夷則六曰無射吕以旅陽宣氣一曰大吕二曰夾鍾三曰仲吕四曰林鍾五曰南吕六曰應鍾有三綂之義焉故黄鍾為天綂林鍾為地綂太蔟為人綂黄鍾者陽氣施種於黄泉孶萌萬物為六氣元也變動不居周流六虛始於子在十一月大吕吕旅也言隂大旅助黄鍾宣氣而芽物也位於丑在十二月太蔟蔟奏也言陽氣大奏地而達物也位於寅在正月夾鍾言隂夾助太蔟宣四方之氣而出種物也位於夘在二月姑洗洗潔也言陽氣洗物辜潔之也位於辰在三月仲吕言微隂始起未成著於其中旅助姑洗宣氣齊物也位於巳在四月蕤賔蕤繼也賔導也言陽始導隂氣使繼養物也位於午在五月林鍾林君也言隂氣受任助蕤賔君主種物使長大楙盛也位於未在六月夷則則法也言陽氣正法度而使隂氣夷當傷之物也位於申在七月南吕南任也言隂氣旅助夷則任成萬物也位於酉在八月無射射厭也言陽氣究物而使隂氣畢剥落之終而復始無厭巳也位於戌在九月應鍾言隂氣應無射該臧萬物而雜陽閡種也位於亥在十月三統者天施地化人事之紀也故隂陽之施化萬物之終始既類旅於律吕又經歴於日辰而變化之情可見矣玉衡杓建天之綱也日月初躔星之紀也綱紀之交以原始造設合樂用焉律吕唱和以育生成化歌奏用焉指顧取象然後隂陽萬物靡不條鬯該成故曰制禮上物不過十二天之大數也按律厯二術皆生於黄鍾古有是説推原是説之由蓋謂天之大數不過十二是故度律均鍾與夫百事軌儀紀之以三平之以六而成於十二也所謂紀之以三者若三十度為一辰三十日為一月三百六十為一期三十年為一世三百年為一限之類是也所謂平之以六者若六時為晝六時為夜六月為盈六月為縮六律配五聲合為六十調六甲配五子合為六十日六十年赤道退天一度之類是也所謂成於十二者若黄鍾之生十二律而循環無端以象天之十二方位日之十二躔次月之十二盈虧星辰之十二宫斗杓之十二建嵗之十二月日之十二時如是之類皆與律吕之數相符是故測景候氣而與脗合古之所謂歴法生於黄鍾此之謂歟律象十二律吕以配卦象其法自復卦一陽生屬子為冬至十一月中臨卦二陽生屬丑為大寒十二月中泰卦三陽生屬寅為雨水正月中大壯四陽生屬夘為春分二月中夬卦五陽生屬辰為穀雨三月中乾卦六陽生屬已為小滿四月中為純陽之卦陽極則隂生故姤卦一隂生屬午為夏至五月中遯卦二隂生屬未為大暑六月中否卦三隂生屬申為處暑七月中觀卦四隂生屬酉為秋分八月中剥卦五隂生屬戌為霜降九月中坤卦六隂生屬亥為小雪十月中為純隂之卦隂極則陽生又繼以十一月之復焉隂陽消長如環無端不特見之卦畫之生如此而卦氣之運亦如此自然與律之隂陽消長相為配合大傳所謂易與天地準故能彌綸天地之道於此亦可見其一端故十二卦順四時之氣配四方之位實與伏羲六十四卦圓圗之位次合卦氣流行之接卦畫對待之妙隂陽盛衰消長相為倚伏之機備於此十二月卦中矣謹按十二律配卦象其原出於易緯而諸家所主不一邵雍已前未聞有圗雍所傳先天圗蓋出於陳希夷朱熹謂此圗希夷已前原有但秘而不傳惟方士輩相傳授耳參同契所言是也今考參同契之文於復則曰黄鍾建子臨則曰丑之大吕泰則曰輻輳於寅輳指太蔟言也大壯則曰俠列夘門俠指夾鍾言也他卦放此結之曰終坤始復如循連環此一節文義與六十四卦圓圗全合惟與方圗不合疑舊圗世逺或傳寫之誤歟何瑭嘗作一圗其卦次第自上而下曰以伏羲横圗豎起觀之則造化在目中矣夫坤者地也故居最下地之上有山焉山之上有水焉水之上有風焉風之上有雷焉雷之上有火焉日電之屬是也火之上有澤焉霄漢之類是也澤之上有天而已故乾居最上焉皆自然之次序非有所穿鑿也瑭又曰火陽也雖附於天而未嘗不行於地水隂也雖附於地而未嘗不行于天水火者天地之二用也雨雪霜露皆澤之類也此圗舊所未有實自瑭始今推究之然則八卦横圖一數當從左起左陽右隂故也或疑非逆行乎曰非也自左而右是順從右而左為逆凡四時五行干支方位皆由左而後右匪惟卦象爾耳至於書數亦然故蒼頡造書𨽻首作數下筆布算先自左方後世巧者莫能易之此造化自然非人所為也故知横圗從右起者誤矣從圗横圗方圗皆係新作與舊不同今列於後右按上文以横圗為内卦配從圗為外卦經緯錯綜成卦六十有四則西邉之下卦北邉之上卦皆坤西與北隂方也有坤而無乾古云天傾西北此也東邉之下卦南邉之上卦皆乾東與南陽方也有乾而無坤古云地不滿東南此也乾坤交與寅為泰塞於申為否古云寅申為隂陽祖此也子午夘酉四正之位也復姤大壯觀四卦居之按四仲月以應分至焉寅申巳亥四隅之位也泰否乾坤四卦居之按四孟月以應啟閉焉辰戌丑未中央土之位也夬剥臨遯四卦居之按四季月以應寄旺焉十二月卦次序適與十二支方位相合亦自然之理而先儒所未發也然自漢已來歴家皆主六日七分之術以推卦氣其說不經至於觀隂陽之變則錯亂而不明今依何氏改定自與先天圗合詳見下巻爻象篇律音樂記曰宫為君商為臣角為民徵為事羽為物五者不亂則無怗懘之音矣宫亂則荒其君驕商亂則陂其臣壞角亂則憂其民怨徵亂則哀其事勤羽亂則危其財匱五者皆亂迭相陵謂之慢如此則國之滅亡無日矣納音之説蓋出於此凡五音其三為綱宫商角是也其二為紀徵羽是也綱者聲之根本故為君為臣為民紀者聲之支末故為事為物此三天兩地之義也黄鍾為宫太蔟為商姑洗為角三律皆陽故為夫林鍾為徵南吕為羽應鍾為和三吕皆隂故為妻此陽竒隂偶之義也以干支言之則甲乙者干之綱也丙丁而下干之紀也子丑者支之綱也寅夘而下支之紀也凡干支陽者為之夫而隂者為之妻甲乙而後丙丁丙丁而後戊巳戊巳而後庚辛庚辛而後壬癸此自然之序也宫而後商商而後角角而後徵徵而後羽羽而後宫終則復始循環無端此自然之理也黄鍾居子其衝在午林鍾居未其衝在丑子與未隔八相生午與丑隔八相生黄鍾陽律為夫林鍾隂吕為妻故丑未者乃子午之妻也是以子午丑未其甲乙起自宫而繼之以商角徵羽故甲子乙丑甲午乙未為宫丙子丁丑丙午丁未為商戊子己丑戊午己未為角庚子辛丑庚午辛未為徵壬子癸丑壬午癸未為羽此皆統於黄鍾之宫者也太蔟居寅其衝在申南吕居酉其衝在夘寅與酉隔八相生申與夘隔八相生太蔟陽律為夫南吕隂吕為妻故夘酉者乃寅申之妻也是以寅申夘酉其甲乙起自商而繼之以角徵羽宫故甲寅乙夘甲申乙酉為商丙寅丁夘丙申丁酉為角戊寅己夘戊申己酉為徵庚寅辛夘庚申辛酉為羽壬寅癸夘壬申癸酉為宫此皆統於太蔟之商者也姑洗居辰其衝在戌應鍾居亥其衝在巳辰與亥隔八相生戌與巳隔八相生姑洗陽律為夫應鍾隂吕為妻故巳亥者乃辰戌之妻也是以辰戌巳亥其甲乙起自角而繼之以徵羽宫商故甲辰乙巳甲戌乙亥為角丙辰丁巳丙戌丁亥為徵戊辰己巳戊戌己亥為羽庚辰辛巳庚戌辛亥為宫壬辰癸巳壬戌癸亥為商此皆統於姑洗之角者也夫宫屬土土生金商屬金金生水角屬木木生火徵屬火火生土羽屬水水生木各以所生者而謂之納音蓋律娶妻而吕生子天地之情也若夫海中金爐中火之類斯乃術士俚語編成歌括便於記誦耳元無别義不必强解也律均律均讀作韻與韻義同古無韻字以均為韻字言一韻聲也旋宫之法自冬至始随月所建六律六吕迭相為均一均之音有七以一為主六為從其為從者律有三吕有三先儒謂之三男三女蓋以陽律為父為男隂吕為母為女取象於大易也父為均主則男長女幼男為兄女為妹故先男而後女母為均主則女長男幼女為姊男為弟故先女而後男此其大凡也然十有二聲中用者七不用者五故十有二均中用者八十有四不用者六十用與不用總而計之共百四十有四聲也建子之月所用者七律謂黄鍾為宫父也太蔟為商長男也姑洗為角中男也蕤賔為變徵少男也林鍾為徵長女也南吕為羽中女也應鍾為變宫少女也不用者五律謂大吕夾鍾仲吕夷則無射也建丑之月所用者七律謂大吕為宫母也夾鍾為商長女也仲吕為角中女也林鍾為變徵少女也夷則為徵長男也無射為羽中男也黄鍾為變宫少男也不用者五律謂太蔟姑洗蕤賔南吕應鍾也建寅之月所用者七律謂太蔟為宫父也姑洗為商長男也蕤賔為角中男也夷則為變徵少男也南吕為徵長女也應鍾為羽中女也大吕為變宫少女也不用者五律謂夾鍾仲吕林鍾無射黄鍾也建夘之月所用者七律謂夾鍾為宫母也仲吕為商長女也林鍾為角中女也南吕為變徵少女也無射為徵長男也黄鍾為羽中男也太蔟為變宫少男也不用者五律謂姑洗㽔賔夷則應鍾大吕也建辰之月所用者七律謂姑洗為宫父也蕤賔為商長男也夷則為角中男也無射為變徵少男也應鍾為徵長女也大吕為羽中女也夾鍾為變宫少女也不用者五律謂仲吕林鍾南吕黄鍾太蔟也建巳之月所用者七律謂仲吕為宫母也林鍾為商長女也南吕為角中女也應鍾為變徵少女也黄鍾為徵長男也太蔟為羽中男也姑洗為變宫少男也不用者五律謂蕤賔夷則無射大吕夾鍾也建午之月所用者七律謂蕤賔為宫父也夷則為商長男也無射為角中男也黄鍾為變徵少男也大吕為徵長女也夾鍾為羽中女也仲吕為變宫少女也不用者五律謂林鍾南吕應鍾太蔟姑洗也建未之月所用者七律謂林鍾為宫母也南吕為商長女也應鍾為角中女也大吕為變徵少女也太蔟為徵長男也姑洗為羽中男也蕤賔為變宫少男也不用者五律謂夷則無射黄鍾夾鍾仲吕也建申之月所用者七律謂夷則為宫父也無射為商長男也黄鍾為角中男也太蔟為變徵少男也夾鍾為徵長女也仲吕為羽中女也林鍾為變宫少女也不用者五律謂南吕應鍾大吕姑洗蕤賔也建酉之月所用者七律謂南吕為宫母也應鍾為商長女也大吕為角中女也夾鍾為變徵少女也姑洗為徵長男也蕤賔為羽中男也夷則為變宫少男也不用者五律謂無射黄鍾太蔟仲吕林鍾也建戌之月所用者七律謂無射為宫父也黄鍾為商長男也太蔟為角中男也姑洗為變徵少男也仲吕為徵長女也林鍾為羽中女也南吕為變宫少女也不用者五律謂應鍾大吕夾鍾蕤賔夷則也建亥之月所用者七律謂應鍾為宫母也大吕為商長女也夾鍾為角中女也仲吕為變徵少女也蕤賔為徵長男也夷則為羽中男也無射為變宫少男也不用者五律謂黄鍾太蔟姑洗林鍾南吕也此之謂五聲六律十二管旋相為宫生生不已轉轉無窮而與大易之理相合造化自然之妙用也按所用七律者有虞氏謂之七始見於尚書大傳周人或謂之七音或謂之七律見於左傳國語古惟五音有其名而二音之名則畧之不載也至前漢淮南子始以和繆二字名之後漢律歴志又以變宫變徵名之夫二變之名起自漢儒其名不雅遂使後世疑焉未若和繆二字雅而近古無可疑耳竊謂繆之一字理猶未盡宜改為中蓋此七音為之始變宫為之終變徵之音獨居於中故謂之中以十二律方位考之則宫必與變徵相衝正中相對故謂之中是故不曰變徵而曰中不曰變宫而曰和其名允協其理盡矣朱熹蔡元定言律吕最詳未嘗廢黜二變皆謂律為均者十二每均各有七聲凡八十四聲其宫商角徵羽五聲為正中和二聲為變正者為調變者不為調故以五乘十二得六十調是為旋宫夫中和二音雖不為調而每調内有此中和二音七律備而成樂是乃樂學千古不刋之正法也何妥陳暘未諳此理専用五聲而黜二變旋宫既廢黄鍾孤立冬夏聲缺四時失序無以贊化機而育萬物禮壞樂崩莫斯為甚遂使廟堂之上不復得聞治世之音此則何妥陳暘之大罪也按旋宫之法厯家多未曉故詳載之十二律吕各有正半正律平調也半律清調也先半而後正從微至著也冬至已前黄鍾半律為宫已後正律為宫大寒已前大吕半律為宫已後正律為宫餘律放此雨水則太蔟也春分則夾鍾也穀雨則姑洗也小滿則仲吕也夏至則蕤賔也大暑則林鍾也處暑則夷則也秋分則南吕也霜降則無射也小雪則應鍾也凡黄鍾為宫則太蔟為商姑洗為角蕤賔為中林鍾為徵南吕為羽應鍾為和歌國風以黄鍾之角姑洗起調姑洗畢曲歌小雅以黄鍾之徵用林鍾起調林鍾畢曲歌大雅以黄鍾之宫用黄鍾起調黄鍾畢曲歌周頌以黄鍾之羽用南吕起調南吕畢曲歌商頌以黄鍾之商用太蔟起調太蔟畢曲凡大吕為宫則夾鍾為商仲吕為角林鍾為中夷則為徵無射為羽黄鍾為和歌國風以大吕之角用仲吕起調仲吕畢曲歌小雅以大吕之徵用夷則起調夷則畢曲歌大雅以大吕之宫用大吕起調大吕畢曲歌周頌以大吕之羽用無射起調無射畢曲歌商頌以大吕之商用夾鍾起調夾鍾畢曲凡太蔟為宫則姑洗為商蕤賔為角夷則為中南吕為徵應鍾為羽大吕為和歌國風以太蔟之角用蕤賓起調蕤賓畢曲歌小雅以太蔟之徵用南吕起調南吕畢曲歌大雅以太蔟之宫用太蔟起調太蔟畢曲歌周頌以太蔟之羽用應鍾起調應鍾畢曲歌商頌以太蔟之商用姑洗起調姑洗畢曲凡夾鍾為宫則仲吕為商林鍾為角南吕為中無射為徵黄鍾為羽太蔟為和歌國風以夾鍾之角用林鍾起調林鍾畢曲歌小雅以夾鍾之徵用無射起調無射畢曲歌大雅以夾鍾之宫用夾鍾起調夾鍾畢曲歌周頌以夾鍾之羽用黄鍾起調黄鍾畢曲歌商頌以夾鍾之商用仲吕起調仲吕畢曲凡姑洗為宫則蕤賔為商夷則為角無射為中應鍾為徵大吕為羽夾鍾為和歌國風以姑洗之角用夷則起調夷則畢曲歌小雅以姑洗之徵用應鍾起調應鍾畢曲歌大雅以姑洗之宫用姑洗起調姑洗畢曲歌周頌以姑洗之羽用大吕起調大吕畢曲歌商頌以姑洗之商用㽔賔起調蕤賔畢曲凡仲吕為宫則林鍾為商南吕為角應鍾為中黄鍾為徵太蔟為羽姑洗為和歌國風以仲吕之角用南吕起調南吕畢曲歌小雅以仲吕之徵用黄鍾起調黄鍾畢曲歌大雅以仲吕之宫用仲吕起調仲吕畢曲歌周頌以仲吕之羽用太蔟起調太蔟畢曲歌商頌以仲吕之商用林鍾起調林鍾畢曲凡蕤賔為宫則夷則為商無射為角黄鍾為中大吕為徵夾鍾為羽仲吕為和歌國風以蕤賔之角用無射起調無射畢曲歌小雅以蕤賔之徵用大吕起調大吕畢曲歌大雅以蕤賔之宫用蕤賔起調蕤賔畢曲歌周頌以蕤賔之羽用夾鍾起調夾鍾畢曲歌商頌以蕤賔之商用夷則起調夷則畢曲凡林鍾為宫則南吕為商應鍾為角大吕為中太蔟為徵姑洗為羽蕤賔為和歌國風以林鍾之角用應鍾起調應鍾畢曲歌小雅以林鍾之徵用太蔟起調太蔟畢曲歌大雅以林鍾之宫用林鍾起調林鍾畢曲歌周頌以林鍾之羽用姑洗起調姑洗畢曲歌商頌以林鍾之商用南吕起調南吕畢曲凡夷則為宫則無射為商黄鍾為角太蔟為中夾鍾為徵仲吕為羽林鍾為和歌國風以夷則之角用黄鍾起調黄鍾畢曲歌小雅以夷則之徵用夾鍾起調夾鍾畢曲歌大雅以夷則之宫用夷則起調夷則畢曲歌周頌以夷則之羽仲吕起調仲吕畢曲歌商頌以夷則之商用無射起調無射畢曲凡南吕為宫則應鍾為商大吕為角夾鍾為中姑洗為徵蕤賔為羽夷則為和歌國風以南吕之角用大吕起調大吕畢曲歌小雅以南吕之徵用姑洗起調姑洗畢曲歌大雅以南吕之宫用南吕起調南吕畢曲歌周頌以南吕之羽用蕤賔起調蕤賔畢曲歌商頌以南吕之商用應鍾起調應鍾畢曲凡無射為宫則黄鍾為商太蔟為角姑洗為中仲吕為徵林鍾為羽南吕為和歌國風以無射之角用太蔟起調太蔟畢曲歌小雅以無射之徵用仲吕起調仲吕畢曲歌大雅以無射之宫用無射起調無射畢曲歌周頌以無射之羽用林鍾起調林鍾畢曲歌商頌以無射之商用黄鍾起調黄鍾畢曲凡應鍾為宫則大吕為商夾鍾為角仲吕為中蕤賔為徵夷則為羽無射為和歌國風以應鍾之角用夾鍾起調夾鍾畢曲歌小雅以應鍾之徵用蕤賔起調蕤賔畢曲歌大雅以應鍾之宫用應鍾起調應鍾畢曲歌周頌以應鍾之羽用夷則起調夷則畢曲歌商頌以應鍾之商用大吕起調大吕畢曲冬至後夏至前陽生之月也律吕有半而無倍夏至後冬至前隂生之月也律吕有倍而無半陽一隂二之義也故自仲吕已上先半律而後正律自蕤賔已下先正律而後倍律蓋以正律代彼半律而以倍律代彼正律正與倍半所用雖異皆先短而後長由清而至濁也漢志曰六律六吕而十二辰立矣五聲清濁而十日行矣夫五六者天地之中合而民所受以生也故日有六甲辰有五子十一而天地之道畢言終而復始唐志曰天數始於一地數始於二合二始以位剛柔天數終於九地數終於十合二終以紀閏餘天數中於五地數中於六合二中以通律厯天有五音所以司日也地有六律所以司辰也參伍相周究於六十聖人以此見天地之心也故六十日及六十年甲子一周皆名律總因而六之減去律總止餘三百是名律限甲子五周黄道漸差天度古所謂斗厯改憲之期也以律母乘律總如律限而一得二十是名律差以律數為限帶律差為分得十二限二十分是名月限以律數乘七音得八十四是為聲數進一位以律差減之餘八百二十即月限之刻分也律紀五音生於隂陽分為十二律吕所以紀斗氣效物類也冬至之氣斗杓建子子為天正一陽來復之初而羣物感之於是乎始萌日度去極至逺晝漏至短晷景至長以此三至焉故曰冬至也是故律始黄鍾厯始冬至月始建子時始夜半以此四始焉故曰嵗始也夫一陽生於子節交冬至即屬次年亦猶夜半已後即屬次日然人事一日始於寅時一年始於寅月寅月為正子丑二月雖屬次年而紀厯則猶在舊嵗如月食於夜半後屬曉猶以夜言之也故自去年冬至至今年冬至謂之一嵗自今年正旦至明年正旦謂之一年冬至正旦一嵗節令二者為首故制典重之也厯家推日躔命星度測景候氣皆自天正冬至為首或謂之嵗首冬至或謂之嵗前冬至以别之者謂非今年仲冬冬至乃昨年仲冬冬至也凡欲正嵗始則必騐以律厯當此之時天效之以景地效之以響後漢志曰隂陽和則景至律氣應則灰除古者天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷景候鍾律權土灰放隂陽冬至陽氣應則樂均清景長極黄鍾通土灰輕而衡仰夏至隂氣應則樂均濁景短極蕤賔通土灰重而衡低水勝故夏至濕火勝故冬至燥燥故灰輕濕故灰重進退於先後五日之中八能各以候狀聞太史封上效則和否則占夫厯有聖人之德六焉以本氣者尚其體以綜數者尚其文以考類者尚其象以作事者尚其時以占往者尚其源以知来者尚其流大業載之吉凶生焉是以君子將有興焉咨焉而以從事受命而莫之違也若夫用天因地揆時施教頒諸明堂以為民極者莫大乎月令帝王之大司備矣天下之能事畢矣過此而往羣忌拘禁非君子之所取也其術曰十二律吕共管一嵗周而復始每律各管三十日四十三刻有竒是名一律其間分為前後二段前段為半律後段為正律正半各管初中末三小段每一小段各管五日七刻有竒是名為均每均各管宫商角徵羽五聲每聲各管一日零一刻有竒名為一音晉志曰一律而生五音十二律而為六十音因而六之六六三十六故三百六十音以當一嵗之日故律厯之數天地之道也各於其日奏其調焉律均條中詳載之矣律䇿律吕相距大率三十日十六分之七此古法也今以律母通母得千六百通子得七百而減其一分為日率三十帶日餘千六百分之六百九十九此新法也以積月乘日率為積日以積月乘日餘為積餘積餘滿法從日不滿退除為刻及分夫策者算器之名以竹為之古人用以計數周易所謂二篇之策是也本起於黄鍾之數始於子而每辰三之歴九辰至酉得萬九千六百八十三而五數備焉以為律法又叅之終亥凡歴十二辰得十七萬七千一百四十七而辰數該矣以為律積以法除積得九寸即黄鍾宫律之長也此則數因律起律以數成故可歷管萬事綜覈氣象其算用竹廣二分長三寸正策三亷積二百一十六枚成六觚乾之策也負䇿四亷積百四十四枚成四方坤之策也觚方皆經十二天地之大數也是故探賾索隠鉤深致逺莫不用焉夫一十百千萬所同用也律度量衡厯其别用也故體有長短檢以度物有多少受以量量有輕重平以權衡聲有清濁協以律吕三光運行紀以厯數然後幽隠之情精微之變可得而綜也今黄鍾厯法以三百六十五日二十四刻有竒為嵗策半之為嵗中以十二除嵗策得三十日四十三刻有竒為正律策半之為半律三約半律為均策五約均策為聲策已上諸策各随嵗差增損故其分秒無定臨時依術求而用之以二十九日五十三刻五分九十三秒為朔策半之為望策再半之為弦䇿以三百六十五度二十五分為躔周半之為躔中再半之為象䇿又半之為半象三約象策為辰策半之為半辰以三百六十八度三十七分為離周半之為離中以二十七日五十五刻四十六分為轉周半之為轉中以轉周減朔策餘為轉差以三百六十三度七十九分三十四秒為正交半之為中交以二十七日二十一刻二十二分二十四秒為交周半之為交中以交周減朔䇿餘為交差已上諸策皆有常數不随嵗差而增損也故附於此律嵗太嵗在子為黄鍾戊子黄鍾之宫也庚子其為無射之商甲子其為夷則之角丙子其為仲吕之徵壬子其為夾鍾之羽太嵗在丑為大吕己丑大吕之宫也辛丑其為應鍾之商乙丑其為南吕之角丁丑其為蕤賔之徵癸丑其為姑洗之羽太嵗在寅為太蔟戊寅太蔟之宫也庚寅其為黄鍾之商甲寅其為無射之角丙寅其為林鍾之徵壬寅其為仲吕之羽太嵗在夘為夾鍾己夘夾鍾之宫也辛夘其為大吕之商乙夘其為應鍾之角丁夘其為夷則之徵癸夘其為蕤賔之羽太嵗在辰為姑洗戊辰姑洗之宫也庚辰其為太蔟之商甲辰其為黄鍾之角丙辰其為南吕之徵壬辰其為林鍾之羽太嵗在巳為仲吕巳巳仲吕之宫也辛巳其為夾鍾之商乙巳其為大吕之角丁巳其為無射之徵癸巳其為夷則之羽太嵗在午為蕤賔戊午蕤賔之宫也庚午其為姑洗之商甲午其為太蔟之角丙午其為應鍾之徵壬午其為南吕之羽太嵗在未為林鍾己未林鍾之宫也辛未其為仲吕之商乙未其為夾鍾之角丁未其為黄鍾之徵癸未其為無射之羽太嵗在申為夷則戊申夷則之宫也庚申其為蕤賔之商甲申其為姑洗之角丙申其為大吕之徵壬申其為應鍾之羽太嵗在酉為南吕己酉南吕之宫也辛酉其為林鍾之商乙酉其為仲吕之角丁酉其為太蔟之徵癸酉其為黄鍾之羽太嵗在戌為無射戊戌無射之宫也庚戌其為夷則之商甲戌其為蕤賓之角丙戌其為夾鍾之徵壬戌其為大吕之羽太嵗在亥為應鍾己亥應鍾之宫也辛亥其為南吕之商乙亥其為林鍾之角丁亥其為姑洗之徵癸亥其為太蔟之羽舊説甲子仲吕之徵也丙子夾鍾之羽也戊子黄鍾之宫也庚子無射之商也壬子夷則之角也本以丙壬戊庚甲為次序乃以甲丙戊庚壬為次序蓋後世淺陋人不曉此理妄改本文耳本出淮南子而晉書宋書皆引之今考其来由則知承訛踵謬亦已乆矣律風冬至前後有風自子方來為主自午方来為客此宫音之風也有風自寅方来為主自申方来為客此商音之風也有風自辰方来為主自戌方来為客此角音之風也有風自未方来為主自丑方来為客此徵音之風也有風自酉方来為主自夘方来為客此羽音之風也有風自亥方来為主自巳方来為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也大寒前後有風自丑方來為主自未方来為客此宫音之風也有風自夘方来為主自酉方來為客此商音之風也有風自巳方來為主自亥方来為客此角音之風也有風自申方来為主自寅方来為客此徵音之風也有風自戌方来為主自辰方來為客此羽音之風也有風自子方来為主自午方来為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也雨水前後有風自寅方来為主自申方来為客此宫音之風也有風自辰方来為主自戌方來為客此商音之風也有風自午方來為主自子方來為客此角音之風也有風自酉方来為主自夘方来為客此徵音之風也有風自亥方来為主自巳方来為客此羽音之風也有風自丑方来為主自未方来為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也春分前後有風自夘方来為主自酉方来為客此宫音之風也有風自巳方来為主自亥方来為客此商音之風也有風自未方來為主自丑方來為客此角音之風也有風自戌方來為主自辰方來為客此徵音之風也有風自子方來為主自午方來為客此羽音之風也有風自寅方來為主自申方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也穀雨前後有風自辰方來為主自戌方來為客此宫音之風也有風自午方來為主自子方來為客此商音之風也有風自申方來為主自寅方來為客此角音之風也有風自亥方來為主自已方來為客此徵音之風也有風自丑方來為主自未方來為客此羽音之風也有風自夘方來為主自酉方来為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也小滿前後有風自巳方來為主自亥方来為客此宫音之風也有風自未方來為主自丑方来為客此商音之風也有風自酉方來為主自夘方來為客此角音之風也有風自子方來為主自午方來為客此徵音之風也有風自寅方來為主自申方來為客此羽音之風也有風自辰方来為主自戌方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也夏至前後有風自午方來為主自子方來為客此宫音之風也有風自申方來為主自寅方來為客此商音之風也有風自戌方来為主自辰方來為客此角音之風也有風自丑方來為主自未方來為客此徵音之風也有風自夘方來為主自酉方來為客此羽音之風也有風自巳方來為主自亥方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也大暑前後有風自未方來為主自丑方來為客此宫音之風也有風自酉方来為主自夘方来為客此商音之風也有風自亥方來為主自巳方來為客此角音之風也有風自寅方來為主自申方來為客此徵音之風也有風自辰方來為主自戌方來為客此羽音之風也有風自午方來為主自子方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也處暑前後有風自申方來為主自寅方來為客此宫音之風也有風自戌方來為主自辰方來為客此商音之風也有風自子方來為主自午方來為客此角音之風也有風自夘方來為主自酉方來為客此徵音之風也有風自巳方來為主自亥方來為客此羽音之風也有風自未方來為主自丑方来為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也秋分前後有風自酉方來為主自夘方來為客此宫音之風也有風自亥方來為主自巳方来為客此商音之風也有風自丑方來為主自未方來為客此角音之風也有風自辰方來為主自戌方來為客此徵音之風也有風自午方來為主自子方來為客此羽音之風也有風自申方來為主自寅方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也霜降前後有風自戌方來為主自辰方來為客此宫音之風也有風自子方來為主自午方來為客此商音之風也有風自寅方來為主自申方來為客此角音之風也有風自巳方來為主自亥方來為客此徵音之風也有風自未方來為主自丑方來為客此羽音之風也有風自酉方來為主自夘方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也小雪前後有風自亥方來為主自巳方來為客此宫音之風也有風自丑方來為主自未方來為客此商音之風也有風自夘方來為主自酉方來為客此角音之風也有風自午方來為主自子方來為客此徵音之風也有風自申方來為主自寅方來為客此羽音之風也有風自戌方來為主自辰方來為客自下而上為主自上而下為客此變宫變徵之風也右十二律各随方位分别賔主占其順逆之風而以五行生克辨定吉凶今風角家所謂子午為宫丑未為徵寅申為商夘酉為羽辰戌為角巳亥為變宫子午互為變徵六律五聲分為隂陽即其遺法也推本而論之蓋以子為黄鍾故曰陽宫其徵則林鍾也故未為陽徵午為蕤賔故曰隂宫其徵則大吕也故丑為隂徵至變徵則互相為用故子為午之變徵午為子之變徵一終既畢則從大吕林鍾為始却以丑為陽宫未為隂宫寅申為徵夘酉為商辰戌為羽巳亥為角子午為變宫丑未互為變徵餘律放此凡十二終而為八十四聲監正元統所輯風角一覽乃以子午為宫丑未寅申為徵夘酉為羽辰戌為商巳亥為角不随月律所在遷移其相傳之誤歟然古人占風不特此耳如管子曰凡聽徵如負猪豕覺而駭凡聽羽如鳴馬在樹凡聽宫如牛鳴窌中凡聽商如離羣羊凡聽角如雉登木以鳴音疾以清周官保章氏以十有二風察天地之和命乖别之妖祥鄭註曰十有二辰皆有風吹其律以知和否春秋楚師伐鄭師曠曰吾驟歌北風又歌南風南風不競多死聲楚必無功是時楚師多凍其命乖别審矣服䖍曰北風無射夾鍾以北南風南吕姑洗以南律書所謂六律為萬事根本其於兵械尤所重故云望敵知吉凶聞聲效勝負百王不易之道也然考之傳記陽立於五極于九五九四十五則變矣故八風各四十五日艮為條風震為明庶風巽為清明風離為景風坤為涼風兌為閶闔風乾為不周風坎為廣莫風卦不過八風亦八而已其言十二風者乾之風漸九月坤之風漸六月艮之風漸十二月巽之風漸三月而四維之風皆主兩月此其所以為十二風也十二風即十二律也故樂記曰八風從律而不姦此之謂也古人占風以知未來之事者亦多矣如周之尹喜占風以知神人漢之翼奉占風以知邪臣其為術亦不同或以六律五聲或以六情五際或用干支或依卦象初無定法若夫驗與不驗則存乎其人耳律景天效以景地效以響景即晷也響即律也景有修短律有清濁景有消長律有損益其理一也故冬至景極長而配之以黄鍾半律則極短夏至景極短而配之以黄鍾正律則極長大雪小雪冬至之兩鄰也故皆配之以應鍾所以佐黄鍾半律也芒種小暑夏至之兩鄰也故皆配之以大吕所以輔黄鍾正律也春秋二分晷景適平故皆配之以蕤賔以要言之景漸短則律漸長景極短則律極長所謂參伍以變錯綜其數者也淮南子曰子午夘酉為二繩丑寅辰巳未申戌亥為四鉤東北為報德之維西南為背陽之維東南為常羊之維西北為號通之維日冬至則斗北中繩隂氣極陽氣萌故曰冬至為德日夏至則斗南中繩陽氣極隂氣萌故曰夏至為刑隂陽刑德有七舎何謂七舎室堂庭門巷術野十二月德居室三十日先日至十五日後日至十五日而徙所居各三十日德在室則刑在野德在堂則刑在術德在庭則刑在巷隂陽相德則刑德合門八月二月隂陽氣均日夜分平故曰刑德合門德南則生刑南則殺故曰二月㑹而萬物生八月㑹而草木死兩維之間九十一度十六分度之五而升日行一度十五日為一節以生二十四時之變斗指子則冬至音比黄鍾加十五日指癸則小寒音比應鍾加十五日指丑則大寒音比無射加十五日指報德之維則越隂在地故曰距日冬至四十六日而立春陽氣凍解音比南吕加十五日指寅則雨水音比夷則加十五日指甲則雷驚蟄音比林鍾加十五日指夘中繩故曰春分則雷行音比蕤賔加十五日指乙則清眀風至音比仲吕加十五日指辰則榖雨音比姑洗加十五日指常羊之維則春分盡故曰有四十六日而立夏大風濟音比夾鍾加十五日指巳則小滿音比太蔟加十五日指丙則芒種音比大吕加十五日指午則陽氣極故曰有四十六日而夏至音比黄鍾加十五日指丁則小暑音比大吕加十五日指未則大暑音比太蔟加十五日指背陽之維則夏分盡故曰有四十六日而立秋涼風至音比夾鍾加十五日指申則處暑音比姑洗加十五日指庚則白露降音比仲吕加十五日指酉中繩故曰秋分雷戒蟄蟲北鄉音比蕤賔加十五日指辛則寒露音比林鍾加十五日指戌則霜降音比夷則加十五日指號通之維則秋分盡故曰有四十六日而立冬草木畢死音比南吕加十五日指亥則小雪音比無射加十五日指壬則大雪音比應鍾加十五日指子故曰陽生於子隂生於午此篇用律與常法異厯家罕有知者故備述焉或問候氣之説豈傳聞之誤歟不然古人用律何故異耶曰此事大難言也非愚昧所知也雖然甞私淑諸何氏之徒竊聞其大槩焉瑭之言曰或問孟子何謂浩然之氣曰難言也其為氣也至大至剛以直養而無害則塞于天地之間其為氣也配義與道無是餒也是集義所生者非義襲而取之也行有不慊於心則餒矣律候氣之謂歟公孫𢎞曰心和則氣和氣和則形和形和則聲和聲和則天地之和應矣蓋律者形而下者也氣者形而上者也形而上謂之道形而下謂之器不求諸道而求諸器未之有也隋志曰灰飛半出為和氣吹灰全出為猛氣吹灰不能出為衰氣和氣應者其政平猛氣應者其臣縱衰氣應者其君暴由此觀之古人以律占政事之得失今人以厯驗律管之真偽失其㫖矣律厯融通卷三
## 10
欽定四庫全書律厯融通巻四明 朱載堉 撰黄鍾厯議下(凡二十四篇)五紀洪範五紀一曰嵗二曰月三曰日四曰星辰五曰厯數乾坤定位之後四時七政隨天而運寒暑一匝為嵗虧盈一匝為月旦暮一匝為日經緯錯列為星辰步筭精審為厯數故有王省惟嵗乃至庶民惟星之文省者猶言察也省察嵗月日星厯五者之協否也王察嵗卿士察月師尹察日庶民察星由上達下皆與聞焉以驗時厯恐有乖誤責非在於一人故總嵗月日星四者言之則曰五紀其實厯數一事耳卿士以下不言省者綂於上文故也王省惟嵗者察其寒暑之往來隂陽之消長以定四時也卿士惟月者察其弦望之虧盈交㑹之薄食以定四象也師尹惟日者察其晨昏之出没晷景之進退以定漏刻也庶民惟星者星有好風星有好雨察其中星之早晚以知時令以便農商以占風雨以慎出入也夫嵗乃月之綱月乃日之綱日乃星之綱星乃厯之綱事體有輕重次序有先後不容紊也故曰嵗月日時無易百穀用成乂用明俊民用章家用平康此一節本四五紀文而錯簡於八庶徵條先儒因就庶徵為説非箕子本㫖矣嗚呼至哉天氣煦物地形嫗物日昱晝燥物月昱夜息物星辰以綱紀物嵗時分至發斂啓閉以行物聖人仰觀俯察測以度計以數準以法象用能知其形狀大小遠近運行遲速分齊之詳以教民者其來尚矣圜冠句屨之流斯豈可不知歟三正何休春秋註曰夏以斗建寅之月為正平旦為朔法物見色尚黑殷以斗建丑之月為正雞鳴為朔法物牙色尚白周以斗建子之月為正夜半為朔法物萌色尚赤今按正朔兩字世竝言之然非一義也一嵗之中舉一月而首之之謂正一日之間擇一時而尚之之謂朔故周之天綂也更始履端則以子月祀享朝㑹亦以子時故其詩曰夜如何其夜未央庭燎之光君子至止鸞聲將將又云雞旣鳴矣朝旣盈矣此皆周人之詩紀其時事耳商之地綂夏之人綂異夫是也說者曰黄帝以來至於夏末並用人綂以寅月為元日以平旦為良辰自湯至秦迄於漢初迭用亥子丑而以為正朔武帝太初元年始乃復之至今行焉大抵有一代之君則必有一代之綂有一代之正則必有一代之朔豈可生其朝而悖其制從其月而戾其時哉雖然言天道者必先子何以知之閼逢困敦合璧連珠數由是起土圭測景律管候氣理由是興此天道必先乎子也行人事者必用寅何以知之寅賔出日平秩東作帝典斯存雞鳴而起坐以待旦軻書足據此言人事必用於寅也夫天道長於子百世之上質諸聖人而不易故孔子曰復其見天地之心乎人事便於寅百世之下俟諸聖人而不疑故孔子曰行夏之時周易主於天道魯論主於人事各主一理不可偏廢然亦不可使相溷也考諸史志古之厯術立元有二夏厯以寅月平旦合朔立春為元則子丑月屬昨嵗而子丑時亦屬昨日周歴以子月夜半合朔冬至為元則子丑月屬來嵗而子丑時亦屬來日劉宋何承天造元嘉厯始以寅月甲子夜半合朔雨水為元進乖夏朔退非周正唐一行大衍厯議譏之當矣近世術家乖謬尤甚仍謂寅月為嵗之首子時為日之元遂使在外臣工泥於習俗迷其歸趣每遇朝賀祀享重典廼以三更五更為期淆亂正朔大違國制原其本心葢由恭敬使然遂致於失禮耳禮者無過無不及者也記曰君子表微況兹非細故乎是故不可不辨考諸制典所載一應重大禮儀並云清晨旣無三更五更之説而累朝詔赦首條皆云自某日昧爽已前是亦以寅卯為晝夜之際而不以亥子為今昨之界以此推之則知術家嵗首寅月日首子時天人二綂正朔二義葢相紊矣原諸古人朝賀祀享自黄帝至舜禹皆用平旦行禮象其有明徳也此百王不易之法非若庭燎雞鳴之詩所陳乃湯武一時之權制也我朝得天下最正而明德昭然可謂度越黄帝舜禹矣彼湯武一時之權制無足取也今在外各衙門乃舍此而取彼豈不謬哉舊厯命氣朔皆始自天正非也新法推恒氣以立春為首步經朔以建寅為先計晝刻以日出為始如是之類欽遵聖制用夏正也惟命律呂仍首黄鍾命宿度仍起夜半所謂並行而不相悖也二綂大綂厯乃洪武間欽天監監正元綂造其術以洪武十七年甲子嵗為厯元上考下推無消長之法時監副李徳芳上疏駁之謂綂甲子元厯不與經史相合至差四日半宜用許衡辛巳元厯及消長之法方合天道上曰二綂皆難憑只驗七政交㑹行度無差者為是由是本監造厯用綂甲子元厯推筭夫大綂厯驗今交食雖密但考古之法未備德芳言之當矣今則仰體太祖聖諭二綂難憑之意和㑹二家當以大綂之密者刊正授時之失復以授時之所長者補大綂之所未備其視元志諸應惟氣應測驗最真是故無所増損其閏應等依大綂之法以増損之故閏増元志二刻交増元志二刻十四秒轉減元志十六刻九十九分仍借授時所距之年以立嵗差之法葢距年近則差法不可以立故也授時舊法嵗實天周皆每百年頓差一分大綂雖無此法然當斟酌舊術但去其已甚者耳新法所求嵗差每年増損一秒七十五忽二年秪積得三秒五十忽如是漸漸積之以至於分分而刻刻而日古人所謂天地之道浸其消長之法不可以峻也又推交食頗與舊法不同而比授時大綂皆密此乃合二綂之所長欽遵我太祖高皇帝聖諭也凡當潤色者詳見各條下嵗餘古之造厯者立表候景於其午晷短長之極以驗隂陽消息之始是為厯本孟子曰天之高星辰之逺茍求其故千嵗日至可坐而致此之謂也且如今日午中晷景極長則從今日為始日日驗之凡歴三百六十五日而復長是為冬至今日午中晷景極短驗亦如之凡歴三百六十五日而復短是為夏至是知三百六十五日為一嵗之大率也然至四嵗則厯三百六十六日而後復長及復短者葢每嵗之末尚有餘分是故積四嵗而餘一日則知一嵗當餘四分日之一也日有百刻均作四分每分為二十五刻將此所餘一日派入四嵗則每嵗為三百六十五日二十五刻舉其成數言之則三百六十六日也故堯典曰朞三百有六旬有六日以閏月定四時成嵗此之謂也三代古法至春秋時葢已亡矣孔子數致意焉其説見於左傳是巳秦漢以降言厯諸家惟知嵗周三百六十五日二十五刻而不知實不及二十五刻但二十四刻有竒然竒零之數幽微之理未易窺測不能的知真數是故術家以意酌量定取分秒謂之嵗餘漢末有劉洪者宗室之子也善推歩之學其造乾象厯考驗日月與術相較因見氣朔後天精思二十年始悟厯與天不合者葢由嵗餘太强之所致也創意減之遂將嵗餘二十五刻命作二千五百而減為二千四百六十一分有竒由是以來治厯之家所見不同或損或益大率多在二千四百四十分左右至許衡等造授時厯復將嵗餘減至二千四百二十五分可謂減之之極自古所未有也然以之推步測驗與天實為密近迄今厯家宗之無敢議者抑亦未有逐日驗景測儀若彼之用心者彼雖積久或復漸差亦無人識之也嘗詳味之疑其一二似有未當故略辨之以俟知厯者擇焉授時厯謂上考往古每百年於嵗實加一分下求將來減亦如之竊以為此言過矣夫隂陽消長之理以漸而積者也先自一秒積至十秒復自十秒積至一分未有不從秒起便至分者授時厯於百年之際頓加一分考古冬至雖或偶中揆之於理實有未然假如春秋魯隱公三年辛酉嵗下距至元辛巳二千年以授時本法筭之於嵗實當加二十分得庚午日六刻為其年天正冬至凡冬至距來年冬至該三百六十五日四分日之一今以授時之法考其次年壬戌嵗下距至元辛巳千九百九十九年當加十九分得乙亥日五十刻四十四分為其年天正冬至置乙亥日五十刻四十四分減去庚午日六刻加所去旬周三百六十得三百六十五日四十四刻四十四分則是三百六十五日九分日之四非四分日之一也厯法之謬莫甚於此知厯之家所當訂正者也新法以其差率不均稍訂正之設若每年増損二秒推而上之則失昭公己丑假如每年増損一秒至一秒半則失僖公辛亥二秒為過一秒至一秒半為不及酌取中數每年増損一秒太則僖公辛亥昭公己丑皆得矣其法置定距自相乘七因八歸所得律母約之為分命曰嵗差七居雒書之西為坎八居河圖之東為離坎離為日月門户歴家取法以制嵗差然惟嵗䇿有所増損若周天餘分則不必増損授時厯有周天嵗餘増損相補之法今革去不用也朔餘節氣晷漏生於日陽道也朔望交㑹生於月隂道也陽道至尊而理微非庸夫所能察隂道平易而象著此俗子所共知故聖人順世俗之情而紀時令以弦望指其圓缺以識之謂之某月此月名所由立朔閏所由出也然星命家直以節氣推人吉㓙若斷自朔日為某月推之則不驗此則陽道至尊之明證矣凡推朔望交食差一二刻即覺其誤而於二至晷景差一二日尚不能覺此又隂道平易之明證矣故曰推交食者厯家之易事也定晷漏者厯家之難事也是以聖人重氣常人重朔雖有重輕未可偏廢或者有謂宜廢朔望之名直以節氣紀之庶㡬尊陽抑隂之意殊不思朔望之名其來也逺書曰十有一月朔巡守至於北岳之類是也古人淳朴但見十九年終冬至與朔同日遂謂十九年為一章一章之月凡二百三十五内有七閏焉以章嵗十九乘周嵗三百六十五日二十五刻而以章月二百三十五除之得二十九日五十三刻八分五十一秒此古厯一月之率也故曰九百四十分日之四百九十九後世精於厯者察知嵗朔餘分率皆太强以致後天自漢劉洪始裁減之乃以千四百五十七分日之七百七十三為朔餘以法除實得五十三刻五分四十二秒是後諸家増損不同所同者二十九日五十三刻耳夫古厯朔餘固太强而洪削之則太弱故其厯行之未久朔輙先天惟大衍等厯朔餘五分九十二秒者無過不及麟德厯以為五分九十七秒猶失之强紀元厯以為五分八十九秒亦失之弱授時厯併麟德紀元二厯朔餘折半得五分九十三秒其庶幾乎中平之率矣盈虚一嵗十二月一月三十日摠之以六十甲子焉葢律厯之恒數如此傳曰紀之以三平之以六成於十二天之道也以十二乗三十得三百六十為一朞之日易曰三百六十當期之日指恒數而言耳然十二律氣每氣所管實三十日四十三刻有竒與三十相減多四十三刻有竒謂之氣盈十二月朔毎朔所管惟二十九日五十三刻有竒與三十相減少四十六刻有竒謂之朔虚各以十二乘之氣盈得五日二十四刻有竒朔虚得五日六十三刻有竒相併共得十日八十七刻有竒謂之閏餘大槩言之則一年而餘十一日積至三年之内則餘一月是故置閏月也書曰以閏月定四時成嵗此之謂也假如今年正月元旦立春則知明年正月十二日立春自立春至立春隔三百六十五日自元旦至元旦隔三百五十四日相減恰餘十一日也古語閏餘成嵗此之謂也夫一嵗而餘十一日此儒者及厯家所共知也若問此十一日分派在一嵗内何月何日為多一日何月何日為少一日不獨世儒不知雖精通厯學者而亦未易知也何以言之趙友欽曰唐一行已前没滅之術不同元授時厯葢倣一行法也沒用氣盈而推滅用朔虛而求所謂沒者均一朞為三百六十段每段為一日有竒如以冬至為第一段則小寒為第十六段餘以類推其段日日有之凡兩段跨三日先一日九十九刻左右後一日一刻左右二段之間雖止一日有竒但一日整居其間而餘數跨在前後二日首尾故曰跨三日若一日之段在九十八刻五十四分三十七秒半已後者為没没之次日必無其段無段之日其先一日必為沒矣今按此説不以無段之日為没而以其先一日為沒於理不通是故為之辨曰夫盈生於氣者也虛生於朔者也皆以三十日為法者紀之以三故也置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒而以三十除之得一日一刻四十五分六十二秒半乃一日而有餘名為盈䇿置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒亦以三十除之得九十八刻四十三分五十三秒十忽乃一日而不足名為虚䇿置恒氣大小餘以盈䇿累加之則日日有其段至盈日則一段跨三日葢此段其首在昨日其尾在明日而本日無全段故曰沒日置經朔大小餘以虛䇿累加之則日日有其段至虚日則一日跨三段葢此日上有前段尾下有後段首而本段無全日故曰滅日古厯謂之沒滅今厯謂之盈虚其義一也置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒為實以其小餘四十三刻六十八分七十五秒為法實如法而一為日得六十九日六十六刻九十五分二十七秒是為前後兩盈相距之數置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒為實而以朔虛四十六刻九十四分七秒為法實如法而一為日得六十二日九十一刻四分二十三秒是為前後兩虛相距之數置所求盈虚大小餘以距數累加之即得次盈及次虛矣舊法推萬厯九年辛巳嵗氣首冬至在辛未日八十一刻新法疑其稍强恐致後天乃減去七刻有竒以致盈日撙在後耳故舊法在正月甲午而新法在二月度子者葢盈生於氣氣之分秒少改多則盈移於前多改少則盈移於後亦自然之理也爻象爻象配日之説出自緯書通卦驗綂軌圖參同契等而漢儒孟喜京房郎顗及魏伯陽所見各有異同孟氏章句其説易本於氣而後以人事明之京氏乃以卦爻配朞之日然分數有多寡參差不齊止於占災眚驗吉凶而已若夫觀隂陽之變化則錯亂而不明郎氏所傳之卦皆六日八十分日之七葢置朞周三百六十五日二十五刻為實以六十卦為法除之得六日而餘五百二十五刻以百刻乘六十得六千刻用約分法以七十五除其法得八十除其實得七故曰毎卦所管六日七分已上諸家皆於羣卦之内摘出坎離震兑餘六十卦以中孚為首一日配一爻至嵗終為一周魏氏則於羣卦之内摘出乾坤離坎餘六十卦以屯蒙為首一時配一爻至月盡為一周夫月盡為一周者遇小盡則數不行嵗終為一周者不以復卦陽生為氣之始亦與天地自然之理不相契合要之各出臆見互有可疑者焉自劉洪乾象厯已來至於耶律楚材庚午元厯皆載卦象之術惟許衡授時厯黜之不用至今從之新法雖用卦爻配日然與舊術則大不同葢謂伏羲以木德王故其所畫八卦每卦各有三爻三者木之生數八者木之成數因而重之不過倍其三以為爻八其八以為卦耳凡爻初自下起猶木之根而幹幹而枝也其横圖自左而右者陽左而隂右也其從圖自上而下者陽上而隂下也如是縱横錯綜以成六十四卦方圖震巽恒益實居中央此四卦者貞悔皆屬木伏羲所尚也故為羣卦之宗摠綂四時而以陽剛隂柔分配春秋冬夏震春分巽秋分以風雷為驗也益則雷在内風在外恒則風在内雷在外冬至夏至之象除此四卦其餘六十以冬至日為復初九而次之以頤屯旣濟家人此五卦在子位以應黄鍾後段及大呂前段也以大寒日為臨初九而次之以明夷賁損節此五卦在丑位以應大呂後段及太蔟前段也以雨水日為泰初九而次之以大畜需小畜中孚此五卦在寅位以應太蔟後段及夾鍾前段也以春分日為大壯初九而次之以歸妹豐離噬嗑此五卦在卯位以應夾鍾後段及姑洗前段也以穀雨日為夬初九而次之以大有睽兑革此五卦在辰位以應姑洗後段及仲呂前段也以小滿日為乾初九而次之以履同人元妄隨此五卦在巳位以應仲呂後段及蕤賓前段也以夏至日為姤初六而次之以大過鼎未濟解此五卦在午位以應蕤賓後段及林鍾前段也以大暑日為遯初六而次之以訟困咸旅此五卦在未位以應林鍾後段及夷則前段也以處暑日為否初六而次之以萃晉豫小過此五卦在申位以應夷則後段及南呂前段也以秋分日為觀初六而次之以漸渙坎井此五卦在酉位以應南呂後段及無射前段也以霜降日為剥初六而次之以比蹇艮蒙此五卦在戌位以應無射後段及應鍾前段也以小雪日為坤初六而次之以謙師升蠱此五卦在亥位以應應鍾後段及黄鍾前段也卦爻之䇿與聲䇿同黄鍾後段初均宮聲即為復卦初九爻象累加聲䇿得復六二至於上六而後繼以頤卦初九如是六十卦三百六十爻當朞之日惟盈沒為閏日無爻象者亦猶閏月無中氣也以其術與律呂術同是故厯經附載日躔古厯緒餘見於經典灼然可考莫如日躔及中星焉而推步家鮮有達者穿鑿紛紜至今未定葢由不知夏時之與周正異也夫唐虞禪讓正朔相沿故大戴禮記云虞夏之厯建正於孟春此之謂也夏小正篇即其遺法大抵夏厯紀中星察發斂皆以節氣為主周厯則以中氣為主厯術古有六家其顓頊等厯今雖不可考而一行之時尚及見之大衍厯議言之詳矣顓頊厯上元甲寅嵗正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮維之首葢重黎受職於顓頊九黎亂徳二官咸廢帝堯復其子孫命掌天地四時以及虞夏故本其所由生命曰顓頊其實夏厯也湯作殷厯更以十一月甲子夜半合朔冬至為上元周人因之距羲和千祀昏明中星率差半次夏厯章蔀紀首皆在立春故其課中星揆斗建與閏餘所盈縮皆以十二節氣為之損益而殷周漢厯章蔀紀首皆直冬至故其名察發斂亦以中氣為主此其異也夏小正雖頗踈簡失傳乃羲和遺迹何承天循大戴之説復用夏時更以正月甲子夜半合朔雨水為上元進乖夏朔退非周正故近代推月令小正者皆不與古合嘗以新法嵗差上考堯典中星則所謂四仲月葢自節氣之始至於中氣之終三十日内之中星耳後世執著於二分二至中星是亦誤矣禮記註䟽曰月令昏明中星皆大略而言不與厯正同但在一月之内有中者即得載之所以昏明之星不可正依厯法但舉大略耳此説得之夫測中晷以定冬至冬至正則一嵗節氣從而正矣驗中星以求日躔日躔真則七政行度無不真矣此二者葢治厯之本也豈可茍哉漢志曰元封七年十一月甲子朔旦冬至日月在建星又曰在牽牛之初宋祁曰建星在斗後十三度在牛前十一度日在斗牛間是太初所測止得其大略耳大衍厯議謂明帝永平十一年冬至當以戊午而四分厯以為辛酉章帝元和二年冬至當以丁亥而四分厯以為庚寅至旣後天三日日必先天三度故當時測驗者以為日在南斗二十一度以今密率考之實在南斗十七八度之間而已劉宋之世何承天以為日應在斗十三四度祖沖之以為在斗十一度是亦未有定説唐一行曰日之所在難知驗以中星則漏刻不定漢世課昏明中星為法已淺今候夜半中星以求日衝近於得密而水有清濁壺有増減或積塵所擁故漏有遲疾臣等頻夜候中星而前後相差或至三度大率冬至逺不過斗十四度近不出十度以此觀之一行所測葢亦未為密也按東晉以前未有嵗差之説故三綂厯以為冬至常躔牽牛之初四分厯以為冬至常在斗二十一劉洪蔡邕之流皆無異説自虞喜始覺其差謂每嵗當漸差故創立嵗差術其厯雖不傳而其法可考也且如推堯元年冬至日躔宿度則諸家所見亦各不同虞喜以為嵗差二分堯時日應在危何承天謂堯時日應在須女十度左右祖沖之譏承天之失復從虞喜之説嵗差二分有竒日在營室初度劉孝孫以為在危一劉焯以為在虚六大衍厯嵗差一分二十秒日在虚一紀元厯嵗差一分三十六秒日在虛六授時厯本法上考往古每百年嵗周長一分天周消一分堯距至元三千六百餘年故嵗周三百六十五萬二千四百六十一分天周二百六十五萬二千五百三十九分如是推之則堯時日在牛二大綂厯不用授時消長之術但以常數推之然則當在危一有竒二厯相差二十六度其推冬至之日及有閏無閏亦各不同四仲中星各隨日躔而異諸賢所見互有異同竊以為承天一行二家之説葢近之矣天周古厯周天之度周嵗之日皆三百六十有五全䇿之外皆有竒分所謂四分之一自今嵗冬至距來嵗冬至厯三百六十五日而日行一周凡四周厯千四百六十則餘一日析而四之則四分之一也然天之分常有餘嵗之分常不足其數有不能齊者葢黄道雖去差冬夏二至日躔恒距赤道二十四度其躔每嵗不同嵗差移一分餘斜絡於二十八宿間嵗久皆其經行之道如人纏絲為團絲絲纏絡雖重復參差而周道則一譬猶月之出入黄道每交退移變動不居日出入於赤道大率亦然但月之退移也著而日之退移也微古人造厯初未之覺以為日有常度天周即嵗周其説似是而非故久而益差晉虞喜始覺之謂天度與嵗日數殊不用天周即嵗周之術使天自為天嵗自為嵗因立嵗差法其法損嵗餘益天周使嵗餘浸弱天周浸强强弱相減則得日躔嵗退之差厯代治厯者咸宗之而有所損益焉初喜以天體為三百六十五度二十六分乃四分之一有餘嵗䇿為三百六十五日二十四分乃四分之一不足五十年差一度宋何承天以嵗差太速改周天為三百六十五度二十五分半周嵗為三百六十五日二十四分半百年差一度祖沖之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度自後諸厯各各不同宋厯多在七十五年左右惟綂天厯取大衍嵗差率八十二年及開元所距之差五十五年折取中數得六十六年三分年之二為日退移一度之限故謂周天三百六十五度二十五分七十五秒周嵗三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半元授時厯從之至今守其説葢亦近密矣按漢代以前未有嵗差之法晉宋而後雖立嵗差而未有定論李淳風猶謂無差冬至日常躔斗十三度至一行而論始定王孝通難云如嵗差自昴至壁則堯前七千餘載冬至日應在東井井極北故暑斗極南故寒寒暑易位必不然矣一行辨之曰夫所謂嵗差者日與黄道俱差也假令冬至日躔大火之中則春分黄道交於虚九而南至之軌更出房心外距赤道亦二十四度設在東井差亦如之若日在東井猶去極最近表景最短則是分至常居其所黄道不遷日行不退又安得謂之嵗差乎此言當矣至若損嵗餘益天周之説今則以為未然葢嵗餘雖有所消而天周實無所長其强使之長者不過因求嵗差而設此以胷臆之見而誣天也夫嵗餘之消驗諸晷景可知天周之長則無所憑據非近誣矣乎今考諸厯周天餘分以萬約之則古六厯為三百六十五度二千五百分大衍厯為二千五百六十五分紀元厯為二千五百七十二分授時厯為二千五百七十五分皆以漸而増也豈天實有所増哉特人為傅㑹之耳古云善治厯者當順天以求合非為合以驗天此皆為合驗天者也故今新法削去後人所増之分以復古厯之舊所謂周天三百六十五度四分度之一是也一為實四為法實如法而一以度母百約之則為二十五分上考下推無所増損此不易之法也嵗差渾天家説天體正圓狀如鞠毬内少半盛水中間浮一葉譬之地也元氣運天左旋不已而地常平為水所載故也人處地上不當天半地上天多地下天少何以知之以日月之近大而逺小星度之高密而低疎知之也然地平旣在天半之下而仰觀止見周度之半者天逺似乎低地平與之相妨人目不可盡見也天有二樞雖旋不離其所是謂北極南極然北極升出地上而南極降入地下斜倚運轉非平轉也二極中腰一周謂之赤道亦隨天形斜倚而不平矣言赤道者初非有形昔人木刻渾天之象而以五色莊嚴日月所行之路故以五色名之是謂九道於天則有其路而無其形也天體又似薫被香毬中有機者盛灰埋火之處即同地耳毬雖轉而火常平也兩畔相合之際正猶赤道其中機環則黄道白道也赤黄白道循環一周各為三百六十五度二十五分其度初亦非有昔人强名之以便推測耳天本無度地本無里地以人步為里天以日行為度故曰推歩度者尺寸之總名尺不可以量天故借太陽圓徑作為一度黄道度之廣狹隨太陽高下而異惟赤道則不然葢赤道之度近極則狹而密逺極則闊而疎譬如傘葢半張視其橑也柑橘去皮觀其瓣也或以圓瓜比焉天體旣如圓瓜其十二辰次猶瓜有十二瓣周天三百六十五度二十五分均為十二瓣則一瓣為三十度四十三分七十五秒周度輻輳於南北二極則度之形斂尖於瓜之兩端而開廣於瓜之腰圍瓜腰一圍是名赤道其度在赤道者正得一度之廣去赤道則漸逺而漸狹雖名一度實不及一度也旣以天體比之圓毬則東西南北相距皆然故東西以二十八宿相距逺近為度南北以北極樞星相距逺近為度一周皆三百六十五度二十五分二極相距及赤道半周皆百八十二度六十二分五十秒赤道横分二極與二極相逺各九十一度三十一分二十五秒雖云赤道斜倚於南而其東西兩旁則固在卯酉之位矣葢赤道宿度有常渾象倚之為凖然非日所行路日所行路則黄道是也其宿度多寡與赤道不同而累嵗變更或増損無定葢由黄道斜跨赤道内外各半冬夏二至去赤道最逺其度旣狹而日又横行故每度為有餘春秋二分當赤道所交其度旣廣而日又斜行故每度為不足惟四立之日度在酌中之處餘則以漸而廣狹矣日行有餘則度數少日行不足則度數多此黄道所以異也日道以赤道外為陽内為隂月道以黄道外為陽内為隂一出一入之間差法由兹而立故先儒謂黄道之差始自春分秋分赤道所交月道之差始自交初交中黄道所交黄道一周退前所交六十分度之一是謂嵗差厯二萬一千九百一十五年而嵗差周又曰今人只説天運有差天豈得差自是運行合當如此諸家所擬嵗差分秒率皆疎謬葢由未悟自然之數故也授時厯以筭術句股弧矢方圓斜直所容求到黄赤道度率為密新法因之取二至初日黄道一度當赤道一度八分六十五秒即黄赤道相差自然之數也推黄道嵗差術據赤道百年退天一度半故置赤道嵗差一分五十一秒以律母乘之得一度五十分為實以一度八分六十五秒為法除之得一分三十八秒命為黄道嵗差置一度八分六十五秒以律母乘之得一百八度六十五分為實以一度五十分為法除之得七十二年不盡用約分法得三十分之十三是知七十二年有竒而黄道退一度折𠂻一行及傅仁均所擬嵗差於彊弱之間適得中平之率先儒論黄道六十年差一度雖似有理用推堯典中星則過中矣未敢以為然也先儒又謂凡日月每日行度本無盈縮進退厯家欲求日月交㑹故以赤道為起筭之法以赤道度數而揆之日道月道則有盈縮及進退焉非真有盈縮進退此説於日似矣月則不然辨見月度條下命度漢劉歆三綂厯推歩往古上元開闢之始夜半合朔冬至日月如合璧五星如連珠皆躔牽牛之初故其紀星命度起自牽牛而名之曰星紀之次葢古有是名耳後漢魏晉以來日躔退在南斗故厯家以南斗紀周天之始終而謂之曰斗分劉宋何承天造元嘉厯改從夏正以為上元雨水中氣日躔營室命度起自室二不曰斗分而曰室分祖沖之造大明厯以為上元冬至日躔北方子位命度始於虛一謂之虚分周隋之際厯法尤疎或斗或虚而無定見劉孝孫以為上元命度宜起虚中張孟賓以為日月五星並從斗十一起甄鸞造天和厯起斗十五馬顯造大象厯起斗十二張胄𤣥造大業厯先起虚五後稍覺疎改起虛七劉焯皇極厯命起黄道虚一唐傅仁均戊寅厯命起虚六李淳風麟徳厯以為定在南斗十二南宫説神龍厯七曜皆起黄道牽牛之初一行大衍厯改起赤道虚九五紀貞元二厯起赤道虚四宣明厯復從虚九崇元厯仍改虚四五代欽天厯起虚八宋朝諸厯應天乾元觀天起虚四儀天起虚二明天起虚六崇天紀元綂天起虛七金大定厯起虚七元授時庚午二厯起虚六夫日躔嵗差自有真度豈人為傅㑹可以増損而諸家命度進退不一葢係舊術之弊所謂演紀上元傅㑹為之故致如此自元人定議不用積年日法而猶用其命度起自虚六何哉今術則不然定以東方蒼龍七宿為首命起赤道角宿初度較諸前代厯家傅㑹之失兹庶幾得自然之理耳候極論語曰譬如北辰居其所而衆星共之北辰北極天之樞也天運無窮而樞不動故曰居其所也其不動處無星故謂之辰傍有星名曰紐自漢至齊梁先儒談天者皆謂紐星即不動處惟祖暅之以儀測知不動處猶去紐星一度有餘自唐至宋又測紐星去不動處三度有餘南宋在臨安測紐星去極約有四度半元志但從三度之説葢紐星去極尚未有定説也唐開元間測浚儀岳臺北極出地三十四度八分宋志元志皆云三十五度或云三十五度弱弱者謂在八九十分之間而不滿一度也大都北極出地四十度太强太即七十五分太强八十分左右也太半少强弱約量為説耳唐志云北極去地雖秒分微有盈縮難以目校大率三百五十餘里而差一度極之逺近旣異則黄道晷景固隨而變矣葢候極之法亦未有定也元志有正方案專為候極而設凡置儀象以為之準然紐星去極古今尚無定論況能測知極出地之度耶今擬新法宜於正方案上周天度内權以一度為北極自此度外右旋數至六十七度四十一分為夏至日躔所在復數至百一十五度二十一分為冬至日躔所在左旋數亦如之距二處經中心交貫界線并中心共五處各挿一針於二至日午中向東立案驗景使三針景合而為一如不合則搘起一頭務使相合然後懸繩界取中線而又取方十字界之横界上距極若干度即極出地度及分也此法簡易惟以日景驗極不必窺測紐星比諸前人目校庶無分秒盈縮之失其正方案制度詳見元史茲不復載正方宋志云舊説謂今中國於地為東南當偏西北望極星置極不當正北又謂天常傾西北極星不得居中夫謂中國觀之天常北倚可也謂極星偏西則不然所謂東西南北者何從而得之豈不以日之所出者為東日之所入者為西乎古人候天自安南至浚儀纔六千里而北極差十五度稍北不已庸詎知極星之不直人上也今南北纔五百里則北極輙差一度已上而東西南北數千里間日分之時候之日未嘗不出於卯半而入於酉半則又知天樞旣中則日之所出者定為東日之所入者定為西天樞則常為北無疑矣以衡窺之日分之時以渾儀抵極星以候日之出沒則常在卯酉之半少北此殆放乎四海而同者何從而知中國之為東南也彼徒見中國東南皆際海而為是説也彼北極之出地六千里之間所差者已如是又安知其茫昧幾千萬里之外耶今直當據建邦之地人目之所及者裁以為法不足為法者宜置而勿議可也趙友欽曰地中有子午卯酉四向四向旣正則輪盤二十四向皆正矣然而北方之地各有偏向若世所用指南針要亦可准試即偏地用之驗其所指者正午歟偏午歟使偏地而指偏午則二十四向皆隨偏午而定一向旣差餘向俱差矣此不可不辨也本草衍義曰磁石磨針鋒則能指南然常偏東不全南也葢丙為大火庚金受其制故如此嘗以正方案之一規均為百刻而此日景與指南針相校果指午正之東一刻零三分刻之一然世俗多不解考日景以正方向而惟憑指南針以為正南豈不誤哉晷景縣象著明尺表之驗可推動氣幽微寸管之候不忒推律候氣立表測景葢治厯之本也自漢太初至於劉宋元嘉上下數百年間冬至皆後天三日而司馬遷落下閎京房劉歆揚雄賈逵張衡蔡邕劉洪姜岌之徒素號精於律厯皆所未達何哉至何承天立表測景始知其誤然則觀天地之髙逺在隂陽之消長以正位辨方定時考閏莫近乎圭表而推步晷景乃其至要也元許衡等造授時厯亦憑晷景為本而於厯經不載推律步晷之術是為缺略晉志漸臺四星主晷漏律呂事今以律呂晷漏名篇葢取諸此補大綂之缺也唐一行曰日行有南北晷漏有長短然二十四氣晷差徐疾不同者句股使然也直規中則差遲與句股數齊則差急隨辰極高下所遇不同如黄道漏刻此乃數之淺者近代且猶未曉按自大衍而後各家步晷之術雖異大槩不過以距二至日分自乘為實増損定率或乘或除加減二至恒晷為所求晷而已今用北極出地度數兼弧矢句股二術以求之庶盡其源又隨地形高下立差以盡其變前此所未有也漏刻日月帶食出入五星晨昏伏見厯家設法悉因晷漏為準而晷漏則隨地勢南北辰極高下為異焉元人都燕其授時厯七曜出沒之早晏四時晝夜之永短皆準大都晷漏筭定國初都金陵故大綂厯日出入之時刻及晝夜之消長改從南京晷漏然當通改一番全殊元厯可也大綂夏至晝冬至夜皆五十九刻冬至晝夏至夜皆四十一刻授時夏至晝冬至夜皆六十二刻冬至晝夏至夜皆三十八刻相差三刻有竒今推交食分秒南北東西等差及五星定伏定見皆因元人舊法而獨改其漏刻夫地勢高下以燕為準漏刻消長則準金陵互相舛牾是以不合也且元綂改厯之時未能預知成祖遷都之事故不得不以南監觀象臺測驗為準永樂以後頒正朔設儀表皆自京師則漏刻亦當宗法北監測驗誠不為過所以大一綂而尊帝都也是故新法晷漏姑從元厯所推者為其與今京師晷漏相合也夫晷漏生於日躔與月無干交食則由乎月雖日食亦乃月之所為也宋紀元厯以晷漏繼日躔以交㑹繼月離是為得之元授時厯以月離繼日躔以交㑹繼中星則失其序矣今從宋厯以步晷漏術附日躔篇後編於上卷而以月離交食五星編載下卷葢寓尊陽抑隂之意更㸃日出謂之晝日入謂之夜日未出二刻半為晨日已入二刻半為昏晨昏皆屬夜而不屬晝也舊説天之晝夜以日出入為界人之晝夜以天昏明為限日出前二刻半而明日入後二刻半而昏損夜五刻以裨於晝則晝多於夜復校五刻春秋分晝夜五十刻據日見之漏耳若兼日未見及沒後五刻則春秋分晝五十五刻夜四十五刻此説非是趙友欽曰舊云日未出二刻半天先明日已入二刻半天方昏然此五刻不可以衆星出沒論但日出始為晝入則為夜耳此説得之葢日入為昏初星出為昏末昏末即起一更一㸃故無初更初㸃非若宿有初度時有初刻也元厯乃以初更初㸃命之於率不通又五更五㸃者實為晨初其距日出惟二刻半耳而宋志云若依司晨星漏厯減去待旦十刻即同禁中更漏此毛詩所謂興居無節號令不時故挈壺氏不能掌其職也今人或以一更三㸃為更初五更三㸃為更盡則一更一㸃及五更五㸃皆在更㸃外其法不知始自何時要之當以昏末晨初為更㸃之始終方是新法所推中星月食更㸃悉依古制但未知近日挈壺所掌更漏起末遲速何如耳月度洪範曰日月之行有冬有夏言日月行度冬夏各不同人徒知日行一度嵗一周天曽不知盈縮損益四序有不同者北齊張子信及隋劉焯推究日行盈縮自冬至行一度五分漸減一二分至三四分以及赤道之交則正行一度從此復漸減之極於夏至止行九十五分自夏至後其行漸増所増與所減之數相似及冬至則復如前葢日行一度有餘曰疾不及一度曰遲以増虧之數相補一日止為一度從冬至距春分以行疾而積盈從春分距夏至以行遲而消其積盈比之常度猶差前故冬至距夏至皆曰盈段從夏至距秋分以行遲而積縮從秋分距冬至以行疾而消其積縮比之常度猶差後故夏至距冬至皆曰縮段然春分前二日半已交赤道則盈二度有餘秋分後二日半纔交赤道則縮二度有餘故二分之際盈縮最多授時厯謂盈初縮末限八十八日九十一刻縮初盈末限九十三日七十一刻盈縮極差皆二度四十分要之日在赤道之南行疾赤道之北行遲惟月行則不論赤道南北而為疾遲葢别有一理焉李淳風有推月孛法言孛星所在則月行最遲與孛星對衝則月行最疾孛不常見而月行最遲處可以測知今厯四餘躔度所推月孛是也孛躔赤道南則月行遲於南孛躔赤道北則月行遲於北是月行之遲疾不係於赤道也先儒謂日月行度本無盈縮又謂月行近日則疾逺日則遲其説非也古法因十九年月圎二百三十五次故以十九除之得十二度十九分度之七併太陽行一度共得十三度十九分度之七為月一晝夜平行之定數然觀其所離先後不同有差至五度半者後漢劉洪始推究之知月入轉一周有疾有遲凡一晝夜疾行則至十四度餘遲行則止十二度餘二十七日强半之間疾遲各有等差古法疎略但謂行十三度十九分度之七而近代諸厯用十三度百六十分度之五十九以萬平之得三千六百八十七分半為月平行率視古為密焉定朔古者平朔月朝見曰朒夕見曰朓劉向父子據洪範傳以為人事緩急之應未達月行遲疾之理今以日所盈縮月所遲疾而損益之或進退其日以為定朔則舒亟之度乃數使然非由人事之應遲疾有衰其變者勢也月逶迤馴屈行不中道進退緩速不率其常而損益之率生焉由是躔離相錯偕以損益所謂日過平行則益之不及則損之從陽之義也月過平行則損之不及則益之御隂之道也雖尊卑之用睽而及中之志同葢月度縮而日度盈則定朔在經朔後名曰朒月度盈而日度縮則定朔在經朔前名曰朓若俱盈俱縮則有損有益定弦定朢亦如之今厯求盈縮疾遲之加減差即損益之謂也舊法若定朔加時在日入後則進一日有交見初虧則不進若弦朢加時在日出前則退一日雖在日出後有交見初虧則亦退葢加時不可見但見初虧即比加時故借初虧如加時例而進退之夫陽道主於進而隂道主於退朔之有進望之有退亦至理所在也自元人建議革去進朔法朔不復進而弦望猶退焉大綂厯因之凡月帶食於日出時雖屬次日只以其夜言望故退一日此定論也然嘉靖二十六年四月丁酉二十七年三月辛卯皆謂之曉朢食甚在日出後初虧在日出前當退朢而不退葢註厯之誤云交道天左旋日月右轉其所行各有道路月不由日之黄道亦猶日不由天之赤道也前漢治厯者惟有赤道術雖知黄道而無其術後漢已來始推黄道而未推月道厯家步月權以黄道命之葢日道與赤道差逺至二十四度弱月道與黄道差近不過六度耳以黄道步月取其易筭也若尋常註厯求其捷要者依月離術求之足矣欲究象數精微則宜推考月之本道即舊厯所謂九道也元人一之名為白道載在月離術中今以其名未當改名交道以其布筭旣殊故别為篇宋書曰前世諸儒依圖緯云月行有九道故畫作九規更相交錯檢其行次遲疾換易不得順度劉向論九道云青道二出黄道東白道二出黄道西黒道二出北赤道二出南又云立春春分東從青道立夏夏至南從赤道秋白冬黒各隨其方按日行黄道陽路也月者隂精不由陽路故或出其外或入其内出入去黄道不得過六度入十三日有竒而出出亦十三日有竒而入凡二十七日而一入一出矣交於黄道之上與日相掩則食焉今書傳官本有圖為圓規者九而重疊相錯先儒所傳九道葢如此耳以理究之月行若今纏線於彈丸上線道雖重然止一縷往來未嘗斷絶果如九規則斷而不相屬此可以見九道之説非也故筆談曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非實有也亦由天之有三百六十五度天何嘗有度以日行三百六十五日而一朞强謂之度以步日月五星行次而已日之所由謂之黄道南北極之中間度最均處謂之赤道月行黄道南謂之朱道北謂之黒道東謂之青道西謂之白道黄道内外各四并黄道而為九日月之行有遲有速難以一術御也故因其合散分為數段每段以一色名之欲以别筭位而已如筭法用赤籌黒籌以别正負之數厯家不知其意遂以為實有九道甚可嗤也元志曰古人隨方立名分為八行與黄道而為九究而言之其實一也惟其隨交遷徙變動不居故强以方色名之月道出入日道兩相交値當朔則日為月所掩當望則月為日所衝故皆有食然涉交有逺近食分有淺深皆可以數推之每一交之終退天一度餘凡二百四十九交有竒退天一周終而復始正交在春正半交出黄道外六度在赤道内十八度正交在秋正半交出黄道外六度在赤道外三十度中交在春正半交入黄道内六度在赤道内三十度中交在秋正半交入黄道内六度在赤道外十八度月道與赤道正交距春秋二正黄赤道正交宿度東西不及十四度三分度之二自元以前厯家求月道者皆自黄道推之元人改從赤道求之其差數多者不過三度五十分少者不下一度三十分是為月道與赤道多少之差舊厯皆云月出黄道外曰陽厯入黄道内曰隂厯新法不用隂厯陽厯之名直曰内外而已葢以月行在黄道北為内在南則為外也交㑹易曰縣象著明莫大乎日月日乃火之精其卦為離月乃水之精其卦為坎然離之象外陽而内隂外剛而内柔外明而内暗外實而内虚坎之象則反是是故太陽其質則虚若火之為燄也太隂其質則實若水之為冰也日自有光月本無光借日之光為光亦猶冰本無光以燈照之則有光矣夫物之性火能舒光水能函景故日能舒普天之光而月能函大地之景月中如有物者猶鏡所照葢山河之景也月形不似鏡而如圓毬者與渾天同類也日沒地中月在天上猶能受其光者譬如磁石隔物猶能引針二氣潛通自然相感非地所能隔也書曰哉生明又曰旁死魄皆指月而言葢日光所照則謂之明其所不照則謂之魄故定望加時與日相逺距天半周其路雖殊其度則衝徑過對直與日相望故謂之望人居其間盡覩其明故月形圓旣望則偏所不照者而漸生矣故曰哉生魄也定朔加時與日最近雖各在一路而其度正同日在於上月潛在下與日相㑹謂之合朔日照月表人覩其裏日光赫盛不見月形謂魄亡矣故曰死魄旁死魄者朔後一日也其次日曰朏朏者月始出也故又曰哉生明至於朔望之間去日非近非逺當天半周之半日照其側人觀其傍故半明而半魄其形若弓張弦故謂之弦在上旬曰上弦在下旬曰下弦下弦月在日西故光在東上弦月在日東故光在西由去日有逺近故光景有圓缺而月之體本無盈虧也凡所謂朔望者日月同度相合對度相衝而其路則殊也若路同則食矣古云同經同緯則食同經不同緯則不食是也葢黄道與月道如香毬内二環相疊而小差定朔近交則月體蔽日而日食定望近交則日光衝月而月食因距交有逺近故食分有多寡然日月之體本無傷損也由是言之日月之食與否當觀月行表裏距交逺近皆可以籌䇿而推焉大約於黄道驗之也嘗造泥丸中穿一索外以粉塗之縣於暗室中以燈照其側則半明半暗照其前則全明照其後則全暗此弦望晦朔之象也方照其後時若少偏則雖不見粉丸之光而猶見燈光若不偏則燈光反為粉丸所掩此日食之象也方照其前時若少偏則背燈而視之全見粉丸之光若不偏則其光反為燈景所蔽此月食之象也夫有理而後有象有象而後有數理由象顯數自理出理數可相倚而不可相違凡天地造化莫能逃其數故曰推筭交食厯家之易事也測景驗律厯家之難事也日食舊説日體大其道周圍亦大月體小其道周圍亦小月道在日道内猶如小環在大環中日去人逺月去人近月體因近視而比日體之大月道因近視而比日道之廣故皆為三百六十五度四分度之一月從交道穿過黄道適與日遇日體為月體所蔽故云食而日體非有損也日道與月道相交處有二若正㑹於交則月體障盡日體而日暗甚謂之食旣若交不正但在交前後而度相近者亦食而不旣月行交外食偏南月行交内食偏北近於交際食分多逺於交際食分少天之交限此大率也又有人之交限舊云假令中國食旣戴日之下所虧纔半化外反觀則交而不食化外食旣戴日之下所虧纔半中國反觀則交而不食何則日如大赤丸月如小黒丸共縣一索日上而月下即其下正望之黒丸必掩赤丸似食之旣及傍觀有逺近之差則食數有多寡矣春分已後日行赤道北畔交外偏多交内偏少秋分已後日行赤道南畔交外偏少交内偏多是故有南北差冬至已後日行黄道東畔午前偏多午後偏少夏至已後日行黄道西畔午前偏少午後偏多是故有東西差日中仰視則高旦暮平視則低是故有距午差食於中前見早食於中後見遲是故有時差凡此諸差惟日食有之月食則無也正德九年八月辛卯朔日食大綂厯推之合食八分六十七秒而閩廣之區遂至食旣彼處言官以厯不效為言然京師所觀止食八九分耳故推交食惟日頗難若月食分數但以距交逺近别無四時増損葢月小暗虛大月入暗虚即食故八方所見食分並同也日為月所掩而食則不然葢日大而月小日上而月下日行有四時之異人視有九服之殊故旁觀者逺近自不同矣然宇宙之廣未可以一術齊欲推九服之變則其時刻分秒各據其處考晷景之短長揆辰極之高下順天求合與地偕變増損其法而後準也厯經推定之數徒以中國所見者言之耳舊云月行内道在黄道之北食多有驗月行外道在黄道之南雖遇正交無由掩映食多不驗又云天之交限雖係内道若在人之交限之外類同外道日亦不食此説似矣而未盡也假若夏至前後日食於寅卯酉戌之間人向東北西北而觀之則外道食分反多於内道矣此前賢所未發而舊厯亦略不及此欲創新法以補其所未備揆之於理似密於前但未遇其期以親驗之耳姑發其端後人或因此説而必悟其理焉亦易脩改也(案載堉所論日月交食之理多竊趙緣督革象新書如月含地影日正射月無光等語雖有誤㑹未至大謬者俱仍其舊此篇自假若以下至易於脩改一段誤㑹過甚經緯溷淆矣)凡推日食不言旣者葢日體大於月月不能盡掩之或遇食旣則月居其中而日光四溢形如金環當此之時晝似初昏而星見也須㬰有光射出而天遂明故日無食十分之理雖旣亦止九分有竒而已然此分數可推而月之居中與否難定假若日食九分八十秒是為極則之數月掩正中四邊皆餘十秒是為旣也若少偏則惟一邊餘二十秒即非旣矣故推日食止言食甚不言食旣者幸其不至於旣而不欲其旣也大藏經中有文殊菩薩與諸仙論宿曜經以為日輪廣五十一由旬月輪廣五十由旬此葢西域天文其所謂由旬者姑不必論但置五十為實以五十一為法除之得九分八十秒是月輪當日輪百分之九十八於理或然耳授時厯謂日食陽厯限六度定法六十隂厯限八度定法八十試各置其限度如其定法而一皆得十分則以為日亦有食十分者以理究之恐未然也今於其定法下各加一數以除限度則得九分八十餘秒而與西域天文所論相去不逺此其與舊異也脩改之意後世或有未知故具述焉月食舊説日月與地三者形體大小相似地體亦圎而不方其大止可當天一度半而天周當地徑二百四十餘倍也日月相衝為地所蔽有景在天其大如日日光不照名曰暗虚月望行黄道則入暗虚矣値暗虚有表裏深淺故月食有南北多少古人雖有暗虚之説指為地景殆未然也假如春秋二分食於卯酉之正日月相望其平如衡地猶在下烏能蔽之天雖大於地不應相去數百倍觀諸晷景察諸寒暑可知矣竊嘗思之日者火之精也火燄所衝必有黒烟四周皆明獨此處暗然真火與凡火不同凡火止能炎上真火則從横斜直所衝皆然葢離卦之象外明而内暗外實而内虚暗而虚者離之中爻日之外景也故曰暗虚耳文獻通考曰日火外明其對必有暗氣大小與日體同是也以今觀之日月大小相較所差不多暗虚與月相較則大於月何也譬猶燈烟以比其燄則燄小而烟多是故暗虚比日大一倍也授時厯望在交前後者距交十三度五分為交限限外則不食若當限内則有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内其食必旣餘入度七十分雖甚而不旣也食已旣矣又云食甚何也所謂食甚之時則在初虧復圓中間假若食不至旣亦於此際食分最多從此則轉少矣日食不言旣月食言旣又言甚者葢月初旣時名食旣食旣之後生光之前此際名為食甚若日則不然雖旣不久而光即生旣甚生光無所分别故止言甚不言旣也夫日食至十分已下即為食旣月食乃至十五分者葢十分已是食旣月體盡黒然纔隱在暗虚之内而未深入暗虛之中故食十分已上為旣内分月望正在交際而食則滿旣内五分葢暗虛倍於月月入其内居於正中兩旁各餘五分并前旣外十分共十五分若非正在交際雖入暗虛之中或近上或近下則不至十五分故月食有五限虧而後旣旣而後甚甚而後生光乃至復圓也夫暗虚者景也景之蔽月故無早晚高卑之異亦無四時九服之殊譬如縣一黒丸於暗室中其左然一燈燭其右縣一白丸若燈光為黒丸所蔽則白丸不受其光矣人在四旁視之所見無不同也故月食無時差之説宋志應天崇天諸厯其推月食直以定望小餘便為食甚定分是也惟紀元厯昧於此理妄立時差金大定厯因之元儒格物窮理而亦為其所惑若授時厯月食求時差者誤矣是故新法但從應天崇天舊説月食不用時差特以定望加時便為食甚時刻然非杜撰葢亦前人定論已有此説今特述之耳定數黄帝隂符經曰日月有數大小有定聖功生焉神明出焉是日月之行有一定之數過交則食理之常也而小雅云彼月而食則維其常此日而食于何不臧日君道也無朏魄之變月臣道也逺日益明近日益虧望與日軌相㑹則徙而浸逺逺極又徙而近交所以著人臣之象也望而正於黄道是謂臣干君明則陽斯食之矣朔而正於黄道是謂臣壅君明則陽為之食矣日月之食於筭可推而知則是數自當然而詩以為異者人君位貴居尊恐其志移心易聖人假之靈神作為鑒戒耳夫以昭昭太陽照臨下土忽爾殲亡俾晝作夜其為怪異莫斯之甚故有伐鼔用幣之儀貶膳去樂之説皆所以重天變而警人君者也天道深逺有時偶驗或昔人之禍釁偶與相逄故聖人得因其變常假為勸戒使智達之士識先聖之深情中下之人信妖祥以自懼但神道可以助教而不可以為教神之則惑衆去之則害宜故其言若有若無其事若信若不信期於大通而已矣經典之文不明言咎惡而公羊家董仲舒何休及劉歆等以為發無不應夫發無不應則脩省何及祗知言徵祥之義而未悟勸阻之方也要之日月交食固皆常理實非災異趙友欽曰日月之食其所行交道有常數雖盛世所不免故可以籌䇿推非若五星有反常之變也此言得之矣杜預曰日月動物雖行度有大量不得不有小差故有雖交而不食者或有頻交而食者一行曰十月之交於厯當食君子猶以為變詩人悼之然則古之太平日不食星不孛葢有之矣此皆謬説雖然日月者活曜也欲以死法筭定不失分刻是亦難矣故課厯者以差一分一刻為親二分二刻為次親三分三刻為疎四分四刻為疎逺未敢自以為百發百中也若謂食非定數則近誣矣或曰春秋二百四十二年惟有三十六食何也曰史官失記耳且如詩書上自仲康下至幽王千數百年之間惟載二食夏商末世禍亂極矣而並不聞日食何耶若夫頻月而食葢亦史文之誤先儒明厯理者已有定論不待辨而明矣五緯夫在天成象日月星辰皆象也而日月五緯獨異於衆星自有行度者此二五之精造化之妙非衆星之比也日月五緯體性不齊故遲速有異當以隂陽五行别之葢律厯同一道天之隂陽五行一氣而已有氣必有數有聲厯以紀數而聲寓律以宣聲而數行律與厯同流行相生故其配五聲也不以體之大小論而以性之遲疾論宫居中央屬土厥性尊重角居東方屬木厥性柔和徵居南方屬火厥性輕躁商居西方屬金厥性明敏羽居北方屬水厥性渙散故其行度亦各隨之凡五緯順行曰進逆行曰退速行曰疾緩行曰遲不行曰留月雖因日而有晦朔弦朢其遲疾不因日若五緯則因日而有遲留退伏矣土木火三星屬陽於日為臣其行度則土性尊重最遲火性輕躁最疾惟木得其中焉雖云火星最疾其視日猶遲耳自其與日同躔計之日行在前星隨在後疾追不及去日漸逺其進漸遲遲甚而留留久而退初遲退漸疾退退最疾而後退漸遲遲甚則留留久則進初遲進漸疾進進最疾則與日同躔也與日同躔謂之合近日不見謂之伏伏見距日度數視其星之大小為異月有晦朔星有伏見月有弦望星有留退其歸一也大抵近一逺三而留周天相半而退留退初末各隨其性而度數亦異焉凡退行最疾時必與日對衝矣未與日對衝之先夜半後可望是名晨段旣與日對衝之後夜半前可望是名夕段金水二星屬隂於日為妾時常輔日而行故與彼三星異金星去日最逺僅逾半象水星去日最逺不及一辰終無對衝却有退合其近日最疾時則行度疾於日故與日初合畢趨進於前漸逺漸遲遲甚則留留而後退初遲退後疾退退最疾時與日再合合畢猶退初疾退漸遲退退逺而留留已復進由遲漸疾疾追及日相合如初故初合已後見於西方謂之夕段再合已後見於東方謂之晨段五緯各有遲疾而其行度多寡則皆不同乃常數如此古法惟知有常數未知有變數之加減北齊張子信仰觀嵗久知五緯有盈縮之變當加減常數以求其逐日之躔葢五緯不由黄道亦不由月所行道而出入黄道内外各自有其道視日逺近為遲疾如足力之有勤倦其變數之加減如里路之徑直邪曲也前漢志曰天下太平五星循度無有逆行日不食朔月不食望此説非也不因日食何以知其為朔不因月食何以知其為望食不在朔望者葢厯術之弊歟五星於日猶臣妾也其配三天兩地而分隂陽則土木火三星屬陽為臣金水二星屬隂為妾臣不敢與君敵故對衝則退行猶恭敬之禮也妾不敢與君離進而前驅稍逺則退退而後隨稍逺則進進退逡巡不敢離日亦恭敬之道也而前志云熒惑去日逺而顓恣太白進在日前氣盛則皆逆行謂非正行誤矣舊説星入月中見為星食月不見為月食星若入日中則為黒子然則五緯於月高下無定惟下於日而已以物喻之日月五緯猶魚也魚行江河不著其底必憑江河之水以行或逆或順各任其情七曜雖縣虚不附於天意其必憑天之氣以行然魚之性好㴑上流流急魚緩為水所漂喻隨天左旋而實右行也或難曰古今厯家皆云七曜右行惟宋儒則云隨天左旋信否答曰非始於宋儒也沈約宋書天文志已有是説其載劉向五紀辨論之詳葢先得我心所同然者宋儒性理之學一出攘為已物以為前賢之所未發誣也曰左右二説孰是耶曰此千載不決之疑也人步舟中蟻行磨上緩速二船良駑二馬之喻各主一理似則皆似矣茍非凌空御氣飛到日月之旁親覩其實孰能辨其左右哉然以正理論之日君道也月與五星臣道也厯家以為月近日而虧逺日而盈此易所謂二多譽四多懼也日行一度月行十三度日緩月速君逸臣勞駿奔走之象也五星近日而疾逺日而舒論語所謂君在踧踖如也與與如也過位色勃如也足躩如也出降一等逞顔色怡怡如也去日甚逺則留留久則退退後遷延復與日近此臣下念念不敢忘君之象皆有關於世教其説不可廢也若依宋儒所見則皆反之而無義味不如厯家之説為長君子有所取焉而但以為布筭難易之别其説淺矣况我太祖高皇帝御製文集自有定論凡為臣子者允宜欽遵而固執之於彼宋儒偏見之陋何足據云雖然五星之理愚昧之所未達故不敢詳言之今所述者不過因史志之舊文間或潤色之耳欲求精密則須依憑象器測驗天文積日累月務得其實而後綴以筭術立為定法方可以成一代之懿制傳之萬世而無弊也乃今儀表之具生來目所未覩况能知其距度之疎密辰次之廣狹乎嘗觀宋人小説有曰古今厯法五星行度唯留退之際最多差自内而進者其退必向外自外而進者其退必由内其跡如循栁葉兩末鋭於中間往還之道相去甚逺故星行兩末成度稍遲以其斜行故也中間成度稍速以其徑絶故也厯家但知行道有遲速不知道徑又有斜直之異前世脩厯多只増損舊厯而已未曽實考天度其法須測驗每夜昏曉夜半月及五星所在度秒置簿錄之滿五年其間剔去雲隂及晝見日數外可得三年實行然後可以筭術綴之古之所謂綴術者此也已上一段言測驗綴術甚詳乃治厯之要㫖故附載於卷末昔蔡邕上書云願匍匐於渾儀之下按度考數著於篇章以成一代盛典夫古人何不飽煖自逸而願為此辛苦事者懼抱藝而長終惜絶傳於來世欲伸葵藿之諶遑恤出位之罪哉詩云夙夜匪解以事一人此之謂也我太祖嘗謂元厯與今厯二統皆難憑況黄鍾乃律厯之本原而二綂罕言之是故欽遵聖諭撰此末議採衆説之所長羽翼大綂廣其未備以俟知厯者裁之云耳律厯融通巻四欽定四庫全書律厯融通附錄明 朱載堉 撰音義落下閎覆姓落下名閎巴郡人也見前漢志顔師古註落字原有草頭别本或無草頭者誤僧一行俗姓張氏法名一行詳見大藏經神僧傳行字讀作去聲易大傳十翼是也葢仲尼以三聖之文為經自己之文為傳後儒尊之故稱大傳測景於天景有消長景即古影字洪武正韻云影本作景葛洪加彡長字上聲治陽治隂治皆平聲其間不容髮間去聲隙也又平聲容也音義互通地氣上齊齊讀為躋竒偶竒音居宜切有竒之竒倣此偶耦通從黍從縱通並音即容切長短分齊分齊竝去聲昭晣晣音浙明也刓方刓音五丸切與剜音不同五五相比比去聲參天兩地參讀作三或讀作㕘故去其二十去字皆上聲十乃全數居中央而為宫以横黍度尺而言則黄鍾長十寸居河圖之中央九次之居西方而為商太蔟長八寸九分八毫有竒舉成數而言則九寸八次之居東方而為角姑洗長七寸九分三釐七毫有竒舉成數而言則八寸七次之居南方而為徵林鍾長六寸六分七釐四毫有竒舉成數而言則七寸六次之居北方而為羽南吕長五寸九分四釐六毫有竒舉成數而言則六寸先置黄鍾長十寸在位下生者五億乗之為實七億四千九百一十五萬三千五百三十八為法除之得林鍾就置所得全數在位上生者十億乗之為實仍以前法除之得太蔟餘律放此乗除十二遍則返本還元此係新法與古不同自子而亥故黄鍾生仲吕自亥而戌故仲吕生無射自戌而酉故無射生夾鍾自酉而申故夾鍾生夷則自子而亥女虚危室壁也自亥而戌室壁奎婁也自戌而酉奎婁胃昴畢也自酉而申胃昴畢觜參也在十二支雖則逆行在二十八宿卻是順行故筭術則之黄鍾長十寸在位下生者五億乗之為實六億六千七百四十一萬九千九百二十七為法除之得仲呂就置所得全數在位下生者五億乗之為實仍以前法除之得無射餘律放此乗除十二遍亦返本還元已上一節與前賢之説雖異而得律吕精微之理大抵不用三分損一而用勾股之術及開立方之法求之所得也是以隔八隔六循環無端上下相生首尾一貫以證往而不返之説為非是葢二千餘年所未有實自我朝始耳恐後世儒者疑故略釋之其詳則見諸律吕精義云蕤賔為日應鍾為月蕤賔在午午為陽火象日應鍾在亥亥為隂水象月蕤賔應鍾是名中和黄鍾為始蕤賔為中應鍾為終此乃律家三要亦猶履端舉正歸餘為厯家三要也是知黄鍾均内必具七音若無蕤賔應鍾則非全律七音不全乃樂家所最忌宋陳暘輩反忌此而黜之真知音知樂者豈倒見如是乎周髀筭經之名也廣韻音陛是律吕融通篇數黄鍾厯法二卷上卷五篇步氣候取陽竒之數也下卷四篇步月及星取隂偶之數也上下共九篇象律之九寸也黄鍾厯議二卷上卷十二篇專論律而兼厯取十二律之數也下卷二十四篇專論厯而兼律取二十四氣之數也上下共三十六篇象三百六十當期之日也步律吕篇内黄鍾之管長九寸從黍為分之九寸也寸皆九分凡八十一分黄鍾之尺長十寸横黍為分之十寸也寸皆十分凡百分舊云黄鍾九寸乃九十分此劉歆之謬也歴代泥之造律不成葢從累則長而有餘横累則短而不足也若依何氏説則從亦不長横亦不短二者不偏廢而皆得之矣此一節亦二千餘年所未有也詳見律吕精義分秒忽微前漢書叙傳曰產氣黄鍾造計秒忽律厯志曰其應和之律有空積忽微又曰物繇忽微始然則分下言秒而秒下言忽忽下言微也今時厯家或於秒下不言忽而言微非是律差律率厯書中凡言某差者猶筭書所言差分也謂數有等差耳非差錯之差也凡言某率者率本當讀作律洪武正韻云率約數又表的也引孟子曰變其彀率是也今人讀作大率之率大率者大約之數也其義亦通是故率有二音千六百分今人文字則云一千六百古人文法不用一字只云千六百耳若云百一十日千一百日萬一千日之類是也唐志八厯皆然惟元志則不然葢從俗耳今於十百千萬上有一字者皆去之放古人文法也大餘小餘周率除積不盡所餘㡬日謂之大餘大餘之下所餘㡬刻㡬分㡬秒謂之小餘葢大餘乃率外之餘日而小餘乃日下之餘分班固漢志解之詳矣司馬遷厯書云大餘者日也小餘者月也月字疑分字之誤云卦爻初上初爻本當在下今乃列於上者以布筭先後為次序不得不與畫卦初上之位異焉然彼象也此乃數也亦不同之同耳汎距定距按洪武正韻距字亦作歫郭璞曰法也書傳云至也諸家厯法皆作距者葢亦至之謂也此年至某年謂之距年此度至某度謂之距度距者逺近相去若干數也汎亦作泛浮也猶物浮於水汎然未定也故厯家謂未定者曰汎已定者曰定均䇿均皆讀作韻解見律均篇步發斂篇内列宿宿皆去聲步朔閏篇内盈虚沒滅解見厯議本篇步日躔篇内二綫綫線通校天校較通步晷漏篇内丈二尺八寸三分尺五寸七分丈字尺字之上不用一字放古人文法而非脱文也解見前篇千六百分條下弧半背矢定數弧矢者筭術之名也地形差用句股法筭日景則須地景平如掌乃與筭法合然地形高下難以句股術齊之耳須憑隨處高下測定日景真數損益其常數始與天合也周髀筭經論之甚詳九服葢華夷之總名其目則侯甸男采衛蠻夷鎮藩也詳見周禮步月離篇内離周日謂之躔月謂之離古有是名小雅所謂月離于畢是也月言離周猶日言躔周也大盡小盡月本無光借日之光逺日則光増以至於滿近日則光減以至于盡三十日光盡者謂之大盡二十九日光盡者謂之小盡律元篇内雖則相縣縣平聲讀作懸為合驗天則疏疏平聲讀作疎紛糅糅本女救切雜也洪武正韻作如又切大撓撓有平上去三音洪武正韻在鐃字下律義篇内太蔟史記或作泰簇前漢志或作太族又以仲吕為中吕無射為亡射今但從衆作太蔟仲吕無射也蔟依洪武正韻草頭者是西之軫至于翼于七星于張于注于弧于狼北至于罰于參于濁于留此全段皆史記律書文也序列宿乃西行所謂隨天左旋者也故自軫而後翼自翼而後張也然張當在星前可也星仍在張前者則未詳也又無栁鬼井觜畢昴斗七宿而用注弧狼罰濁留及建星以代之疑出六家古厯葢多穿鑿不可考也然爾雅濁謂之畢咮謂之栁洪武正韻咮鳥喙亦作注維參與昴參伐也昴留也説見毛傳南方有弧狼無井鬼北方有建星無南斗説見唐志大衍厯議七曜西行説見宋書劉向五紀論葢自古有此説故全載以廣異聞其間脱文誤字存而不論闕其疑也原文應鍾為首今移在後尊黄鍾也律均篇内何妥陳暘何妥周隋間人仕周及隋立議廢旋宫之法以迎合隋文帝宋儒致堂胡氏有論何妥為佞人陳暘宋徽宗時人著書放四清黜二變其見大抵與妥同耳此二人者葢古所謂知聲而不知音知音而不知樂者也冬夏聲缺冬指應鍾而言夏指蕤賔而言樂無蕤賔應鍾則冬夏二聲缺而四時不備矣詳見隋書唐書樂志律紀篇内權土灰前漢天文志縣土炭後漢律厯志權土灰姑從後志以俟再考律風篇内鳴馬在樹或疑馬當作鳥今從原文者古語謂處處綠楊堪繫馬也五紀篇内嵗月日時無易百穀用成乂用明俊民用章家用平康此一節本四五紀文而錯簡於八庶徵條元儒金履祥氏撰通鑑前編引東坡蘇氏石林葉氏無垢張氏容齋洪氏諸儒之説皆云王省惟嵗一節乃四五紀之傳文也金氏從之詳見本書第六卷圜冠句屨圜即圓字句即矩字解見莊子第七卷三正篇内制典所載一應重大禮儀並云清晨或問此一節何謂也荅曰謹按大明㑹典内載正旦冬至朝賀儀其日清晨(云云)萬壽聖節朝賀儀與正旦冬至同中宫正旦冬至朝賀儀其日清晨(云云)中宫千秋節朝賀儀與正旦冬至同大明集禮内載圓丘大祀正祭日清晨(云云)方丘祭地正祭日清晨(云云)宗廟正祭享日清晨(云云)社稷正祭享日清晨(云云)存心錄諸司職掌等書皆然也凡如是等重大禮儀並未有云三更五更行禮者何也葢我聖朝因用夏正而以平旦為朔不尚夜半及未明諸時其與周人庭燎雞鳴詩意不侔信矣近時周祈氏編著名義考引記大傳疏云周建子商建丑夏建寅是改正也周夜半商雞鳴夏平旦是易朔也自漢武以來皆以寅為正而朔不復論矣今内廷嵗首朝賀多在平旦王國有司多在雞鳴是何不同歟與三正篇所議暗相合也晷景篇内揚雄姜岌揚楊兩姓邊旁不同解見洪武正韻岌魚及切又讀作及隨辰極高下所遇不同如黄道漏刻隨至遇七字為一句不至刻七字為一句言晷景之隨處不同亦如黄道漏刻之隨處不同也五緯篇内見為星食月不見為月食星見為星食月五字是一句不見為月食星六字是一句見字皆讀作現㴑上流㴑音素洪武正韻云㴑亦作泝遡各篇内音義句讀皆倣此推之其律名卦名氣候宿次等名音義人多曉者故不載律厯融通附錄◆ 《古今律歷考-明-》（KR3f0008）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
古今律厯考 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹案古今律厯考明邢雲路撰雲路字士登安肅人萬厯庚辰進士官至陜西按察司副使是書詳於厯而畧於律七十二卷中言律者不過六卷亦罕所發明惟辨黄鍾三寸九分之非頗為精當而編在厯代日食之後步氣朔之前不知何意厯法六十六卷則自六經以下迄於明代大統厯一一考訂其論周改正即改月大抵本於張以寜春王正月考惟於書惟元祀十有二月則指為建丑之月謂商雖以丑為正而紀數之月仍以寅為首與春王正月考之説不同然均之改正而於周則云改月于殷則云不改月究不若張以寜説之為允也六十五卷中有駁授時厯八條駁大統厯七條其駁大統厯謂斗指析木日躔娵訾非天星分野之次乃月辰所臨之名而大統厯乃以天星次舎加為地盤月建殊襲趙縁督之誤又謂授時厯至元辛巳黄道躔度十二交宫界郭守敬所測至今三百餘年冬至日躔已退五度則宜新改日躔度數而大統厯乃用其十二宫界不合歲差又謂大統厯廢授時消長之法以至中節相差九刻葢雲路工於推算多創新術大統為當時見行之厯故辨之尤力又大統僅發授時消長一術其餘多所承襲故因而並及授時也梅文鼎勿菴厯算書記曰從黄俞邰借讀邢觀察古今律厯考驚其卷帙乏多然細考之則於古法殊畧所疏授時法意亦多未得其㫖又曰邢氏書但知有授時而姑援經史以張其説古厯之源流得失未能明也無論西術矣是文鼎于雲路此書葢有未滿然推步之學太抵因已具之法而更推未盡之奥前人智力之所窮正後人心思之所起故其術愈闡愈精後来居上雲路值厯學壊敝之時獨能起而攻其誤其識加人一等矣創始難工亦不必定以未宻議也乾隆四十六年四月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 原序
古今律厯考原序
史稱帝王治天下以律厯為先儒者通天人至律厯而止大哉言乎何則律為大塊之竅人一嘘噏繇是厯為斡維之運人一作息繇是天且不違而况於人是故聖人寶焉然而律生於厯則厯其尤重也自重黎道䘮馬彪記誤末流轉乖全妙莫準絲棼輒騖如斯者衆匪天度之差殊考察異意故也余不敏蚤躭𨽻首晚益篤嗜以詧環籥役智為勞蓋嘗挈坤復之符劵權子母之遇在竊心計筴祘之有年矣因博訪當世求我黨類於山中得魏生焉生名文魁古之祖冲之陳得一其人也余乃相與校讎羣籍營於至當於凡厯之宏綱細目遡古迄今靡不根究其藴奥縷析其端倪壹切紕璺胥彌訂之亡爽焉然後起而上之當宁上嘉悅下庭議僉曰可㑹中涓愳而格不行余退歎曰使天不欲斯術之行則無庸畀吾人以斯術天既以斯術畀吾人非余任之而誰也夫道術公器也公器在我而不以公諸人將鬼神惡之矣余故因金明諸君子之請而彚集成編命諸剞劂儻因是晤言知命以鏡太清璧聨珠燦軌順階平庶㡬哉上律隂陽之變下存亭毒之功堯厯載光傳之勿壊傳曰四時行焉百物生焉則余與天復何憾邢雲路序
## 卷一
欽定四庫全書
古今律厯考卷一 明 邢雲路 撰經一周易考象曰澤中有火革君子以治厯明時水火相息為革澤中有火二性相息勢必變革夫不有克何以生不有革何以因君子觀革之象知天地乃革之大者也所以治厯明時蓋天地革斯四時成而其數最難明也自羲和以後二宫失次七元無紀春秋有食晦之譏漢世昧歲差之理唐宋以來其法漸宻至元授時乃益親焉自元至今又三百餘年消息之法頓亡厯理之原盡失斯時也正澤火當革之時也昔漢厯凡五變唐厯凡八改宋厯凡十六改使厯可仍舊何樂改作然而天運難齊人力未至不容不改也杜預云治厯者當順天以求合非為合以驗天正謂是耳且古厯甚疎漢時尚不知歲差至漢末劉洪始覺冬至後天乃減歲餘併創月行遲疾法作乾象厯魏文帝時韓翊作黃初厯始課日食晉姜岌始以月蝕衝檢日度宋何承天作元嘉厯始以日行盈縮推定小餘祖冲之作大明厯始取至前後日測晷景北周時馬顯作丙寅元厯始推定交蝕之小餘隋張冑𤣥作大業厯始立五星入氣加減法劉焯作皇極厯始推黃道月道術立躔度凖四序升降唐僧一行作大衍厯歩日躔始宻近周世宗時王朴作欽天厯始變五星法使遲疾留行舒急有漸宋初用應天厯繼改乾元等厯逮靖康間凡百六十餘年而厯八改南渡後統元等厯凡百餘年而厯又八改蓋宋厯未精自相紊亂故愈改而愈不效也元承用金厯至至元郭守敬乃測驗周至改作始精作授時厯然非謂授時之法遂一成不易可歲歲無改也觀守敬之言曰以至元十八年歲次辛巳為立元上考往古下驗將來周歲消長皆距立元為算其諸應等數隨時推測不用為元曰諸應不用為元者正欲後人隨時改革也豈惟後人即守敬自改之矣至元十七年守敬作授時厯定閏應二千萬一千八百五十分轉應一十三萬一千九百四分交應二十六萬一百八十七分八十六秒此載在元史可考也至至元三十一年甲午纔十四年耳而守敬復測天道見其少差乃於閏應加二百分於轉應減一千六百九十九分於交應加二百一十四秒踰十四年即改三應至今疇人用之獨柰何後人一無所改乎隨時變易乃謂之革及今不革謂澤火之義何隆慶間監官周相不云乎謂自至元辛巳為厯元至今己巳二百八十九年年遠數盈天度漸差失今不考所差必甚夫相達者也其言良是而柰何今之司厯者不味其言耶即今月離經甲午更訂猶稱宻近至日躔遭元統銷没遂差至踰時其若五星之度應則自累代來因革失眞皆所當亟正也律厯配六十四卦乾律中仲呂音徵厯為小滿四月中中卦辟乾次候靡草死居震之六五坤律中應鐘音羽厯為小雪十月中中卦辟坤次候天氣上騰地氣下降居兌之九五屯律中黃鐘大呂音羽厯為冬至十一月中末卦侯屯内小寒十二月節始卦侯屯外冬至末候水泉動小寒初候鴈北鄉居坎之初六九二蒙律中太蔟音角厯為立春正月節中卦大夫蒙次候蟄蟲始振居坎之六四需律中太蔟夾鍾音角厯為雨水正月中末卦侯需内驚蟄二月節始卦侯需外雨水末候草木萌動驚蟄初候桃始華居坎之九五上六訟律中姑洗音角厯為清明三月節中卦大夫訟次候田鼠化為鴽居震之六二師律中仲呂音徵厯為立夏四月節中卦大夫師次候蚯蚓出居震之九四比律中仲呂音徵厯為立夏四月節末卦卿比末候王瓜生居震之九四小畜律中仲呂音徵厯為小滿四月中始卦公小畜初候苦菜秀居震之六五履律中林鍾音徵厯為大暑六月中始卦公履初候腐草化為螢居離之九三泰律中太蔟音角厯為雨水正月中中卦辟泰次候鴻鴈來居坎之九五否律中夷則音商厯為處暑七月中中卦辟否次候天地始肅居離之六五同人律中夷則音商厯為立秋七月節末卦卿同人末候寒蟬鳴居離之九四大有律中仲呂蕤賔音徵厯為小滿四月中末卦侯大有内芒種五月節始卦侯大有外小滿末候麥秋至芒種初候螳螂生居震之六五上六謙律中大呂音羽厯為小寒十二月節中卦大夫謙次候鵲始巢居坎之九二豫律中夾鐘姑洗音角厯為春分二月中末卦侯豫内清明三月節始卦侯豫外春分末候始電清明初候桐始華居震之初九六二隨律中夾鐘音角厯為驚蟄二月節中卦大夫隨次候倉庚鳴居坎之上六蠱律中姑洗音角厯為清明三月節末卦卿蠱末候虹始見居震之六二臨律中大呂音羽厯為大寒十二月中中卦辟臨次候鷙鳥厲疾居坎之六三觀律中南呂音商厯為秋分八月中中卦辟觀次候蟄虫坏户居兌之初九噬嗑律中應鐘音羽厯為立冬十月節末卦卿噬嗑末候雉入大水為蜃居兌之九四賁律中南呂音商厯為秋分八月中始卦公賁初候雷乃收聲居兌之初九剝律中無射音商厯為霜降九月中中卦辟剝次候草木黃落居兌之六三復律中黃鐘音羽厯為冬至十一月中中卦辟復次候麋角解居坎之初六无妄律中無射音商厯為寒露九月節中卦大夫无妄次候雀入大水爲蛤居兌之九二大畜律中南呂音商厯為白露八月節末卦卿大畜末候羣鳥養羞居離之上九頥律中黃鐘音羽厯為大雪十一月節末卦卿頥末候荔挺出居兌之上六大過律中應鐘音羽厯為小雪十月中始卦公大過初候虹藏不見居兌之九五坎律中黃鐘大呂太蔟夾鐘音羽角厯為冬至小寒大寒立春雨水驚蟄卦由冬至之中孚以至驚蟄之晉候由冬至之蚯蚓結以至驚蟄之鷹化為鳩蓋坎為正四卦之北其六爻居月中節之在北方者也離律中蕤賔林鐘夷則南呂音徵商厯為夏至小暑大暑立秋處暑白露卦由夏至之咸以至白露之大畜候由夏至之鹿角解以至白露之羣鳥養羞蓋離為正四卦之南其六爻居月中節之在南方者也咸律中蕤賔音徵厯為夏至五月中始卦公咸初候鹿角解居離之初九恒律中黃鐘音宮厯為大暑六月中末卦侯恒内立秋七月節始卦侯恒外大暑末候大雨時行立秋初候涼風至居離之九三九四遯律中林鐘音徵厯為大暑六月中中卦辟遯次候土潤溽暑居離之九三大壯律中夾鐘音角厯為春分二月中中卦辟大壯次候雷乃發聲居震之初九晉律中夾鐘音角厯為驚蟄二月節末卦卿晉末候鷹化為鳩居坎之上六明夷律中無射音商厯為寒露九月節末卦卿明夷末候菊有黃華居兌之九二家人律中蕤賔音徵厯為芒種五月節中卦大夫家人次候鵙始鳴居震之上六暌律中大呂音羽厯為小寒十二月節末卦卿暌末候雉雊居坎之九二蹇律中黃鐘音羽厯為大雪十一月節中卦大夫蹇次候虎始交居兌之上六解律中夾鐘音角厯為春分二月中始卦公解初候𤣥鳥至居震之初九損律中夷則音商厯為處暑七月中始卦公損初候鷹乃祭鳥居離之六五益律中太蔟音角厯為立春正月節末卦卿益末候魚上冰居坎之六四夬律中姑洗音角厯為穀雨三月中中卦辟夬次候鳴鳩拂其羽居震之六三姤律中㽔賔音徵厯為夏至五月中中卦辟姤次候蜩始鳴居離之初九萃律中南呂音商厯為白露八月節中卦大夫萃次候𤣥鳥歸居離之上九升律中大呂音羽厯為大寒十二月中始卦公升初候雞乳居坎之六三困律中無射音商厯為霜降九月中始卦公困初候豺乃祭獸居兌之六三井律中蕤賔音徵厯為芒種五月節末卦卿井末候反舌無聲居震之上六革律中姑洗音角厯為穀雨三月中始卦公革初候萍始生居震之六三鼎律中蕤賔林鐘音徵厯為夏至五月中末卦侯鼎内小暑六月節始卦侯鼎外夏至末候半夏生小暑初候温風至居離之初九六二震律中夾鐘姑洗仲呂蕤賔音角徵厯為春分清明穀雨立夏小滿芒種卦由春分之公解以至芒種之卿井候由春分之𤣥鳥至以至芒種之反舌無聲蓋震爲正四卦之東其六爻居月中節之在東方者也艮律中無射應鐘音商羽厯為霜降九月中末卦侯艮内立冬十月節始卦侯艮外霜降末候蟄蟲咸俯立冬初候水始冰居兌之六三九四漸律中太蔟音角厯為雨水正月中始卦公漸初候獺祭魚居坎之九五歸妹律中南呂無射音商厯為秋分八月中末卦侯歸妹内寒露九月節始卦侯歸妹外秋分末候水始涸寒露初候鴻鴈來賔居兌之初九九二豐律中林鐘音徵厯為小暑六月節中卦大夫豐次候蟋蟀居壁居離之六二旅律中姑洗仲呂音角徵厯為穀雨三月中末卦侯旅内立夏四月節始卦侯旅外穀雨末候戴勝降于桑立夏初候螻蟈鳴居震之六三九四巽律中夷則南呂音商厯為處暑七月中末卦侯巽内白露八月節始卦侯巽外處暑末候禾乃登白露初候鴻鴈來居離之六五上九兌律中南呂無射應鐘黃鐘音商羽厯為秋分寒露霜降立冬小雪大雪卦由秋分之公賁以至大雪之卿頥候由秋分之雷乃收聲以至大雪之荔挺出蓋兌為正四卦之西其六爻居月中節之在西方者也渙律中林鐘音徵厯為小暑六月節末卦卿渙末候鷹乃學習居離之六二節律中夷則音商厯為立秋七月節中卦大夫節次候白露降居離之九四中孚律中黃鐘音羽厯為冬至十一月中始卦公中孚初候蚯蚓結居坎之初六小過律中大呂太蔟音羽角厯為大寒十二月中末卦侯小過内立春正月節始卦侯小過外大寒末候水澤腹堅立春初候東風解凍居坎之六三六四既濟律中應鐘音羽厯為立冬十月節中卦大夫既濟次候地始凍居兌之九四未濟律中應鐘黃鐘音羽厯為小雪十月中末卦侯未濟内大雪十一月節始卦侯未濟外小雪末候閉塞而成冬大雪初候鶡旦不鳴居兌之九五上六右六十四卦配五聲十二律符合亡論已至其以卦配候起自中孚每卦六日七分及所配公辟侯大夫卿之數其原出於孟氏章句京房又以卦爻配直一朞之日以附易緯之文用占災𤯝吉凶至於觀隂陽之變則錯亂而不明以後乾象天保各有因革亦皆不經其於厯數之差率則毫無關係自後魏來始載於厯經相沿厯唐宋至今不變至至元庚辰郭守敬造授時厯始刪去刪之誠是也其法大都自冬至初候起中孚而坎離震兌各主其一方其餘六十卦以一年分之蓋以一朞三百六十五日二十四刻有奇除離坎震兌各主一方外以六十卦分一朞之數每卦得六日八刻七分有奇為卦策半之得三日四刻三分半有奇為貞䇿置冬至大小餘命之為公中孚卦以卦策六日八刻七分有奇加之為辟復卦又以貞策三日四刻三分半有奇加之得九日一十三刻有奇為侯屯内卦又加一貞䇿得一十二日一十七刻四分有奇為侯屯外卦又加一卦䇿得一十八日二十六刻一分有奇為大夫謙卦又加一卦䇿得二十四日三十四刻八分有奇為卿睽卦再加一卦䇿得三十日四十三刻五分有奇為公升卦是冬至一月三十日四十三刻半有奇交大寒十二月中每一月分五卦也一年十二月皆然然一月固分五卦而以冬至一陽生論之則一月總謂之復卦惟復之前原有中孚一卦居六日八刻七分有竒踰六日而後乃七日也七日方交復卦故曰七日來復此其術也於厯法何預焉焦延壽曰得我道以亡身者京生也京房以易卦殺身身且不保於道何居天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十此仲尼言天地隂陽自然奇偶之數即河圖數也天也者隂陽對待之體一至十者隂陽流行之序然獨陽不生獨隂不成故生於天者成於地生於地者成於天天一生水地六成之地二生火天七成之天三生木地八成之地四生金天九成之天五生土地十成之其位一六居北二七居南三八居東四九居西五十居中為河圖之數也以配律厯一六水為北方七宿其音羽二七火為南方七宿其音徵三八木為東方七宿其音角四九金為西方七宿其音商五十土為中央大衍之數其音宫故唐厯志云大衍為天地之樞如環之無端蓋律厯之大紀也天數五地數五五位相得而各有合天數二十有五地數三十凡天地之數五十有五此所以成變化而行鬼神也天數五一三五七九五奇也地數五二四六八十五偶也天地之數各五位五位相配以合五行天一與地六相得合為水地二與天七相得合為火天三與地八相得合為木地四與天九相得合為金天五與地十相得合為土天數二十有五五奇之積也地數三十五偶之積也天地之數合二十五三十凡五十有五乾鑿度所云天地合和數正謂此也隂陽五行八卦六爻皆變化也隂陽五行之屈伸往來八卦六爻之吉凶休咎皆鬼神也變化以數成鬼神以數行聖人衍易揲蓍使人知趨吉避凶以前民用此所以成變化而行鬼神也大衍之數五十其用四十有九分而為二以象兩掛一以象三揲之以四以象四時歸竒於扐以象閏五嵗再閏故再扐而後掛大傳云天生神物聖人則之神物謂蓍也五十者大衍之蓍數也衍演也天地之數五十有五而大衍之數五十者以五行五數為衍母以十數為衍子數備於五極於十故以五大衍之以母衍子而各極其數以至於十為五十也其用四十有九者虚其一以象太極也蓋數始於一如辰不動如君無為故虛一不用而萬變出焉王弼曰不用而用以之通非數而數以之成斯易之太極也太極生兩儀故分而為二蓋以兩手中分四十九䇿左手分天右手分地以象兩儀也五十除一者無一也四十有九掛一者有一也易變為一是也故以右手於左分天數之中取其一䇿懸掛於左手之小指間所以象人而配天地是象三才揲數也奇所揲四數之餘也扐指間也以四數左手分天之䇿而歸其餘數或一或二或三或四於左手三四指間象四時者以四數也象閏者歸餘於終也又以四數右手分地之策而歸其餘數於左手二三指間是為一變筮法一揲不五則九得五者三所謂竒也得九者一所謂偶也再揲不四則八得四者二所謂奇也得八者二所謂偶也八九為多四五為少三少得老陽之數九三多得老隂之數六兩多一少得少陽之數七兩少一多得少隂之數八五歲再閏者五歲之間再積日而成月故蓍者凡有再扐然後别起一掛也畢中和言三揲皆掛正再閏後掛之義凡十九年七閏爲一章五歲再閏略舉其凡也衞元嵩元包論曰混茫既判天地闢矣天地既闢三統分矣三統既分四時序矣四時既序閏斯生矣正閏相生數無窮矣此之謂也乾之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十當期之日二篇之策萬有一千五百二十當萬物之數也策者蓍之莖數曲禮所謂策為筮是也揲蓍之法通計三變之餘去其初掛之一凡四為竒凡八為偶積而數之則為六七八九蓋餘三竒則九而其揲亦九策亦四九三十六謂其三揲掛扐通十三策而見存三十六策為老陽爻也餘二奇一偶則八而其揲亦八策亦四八三十二謂其三揲掛扐通十七策而見存三十二策為少隂爻也餘二偶一奇則七而其揲亦七策亦四七二十八謂其三揲掛扐通二十一策而見存二十八策為少陽爻也餘三偶則六而其揲亦六策亦四六二十四謂其三揲掛扐通二十五策而見存二十四策為老隂爻也大傳所謂乾坤二篇之䇿正以其掛扐之外見存蓍數而為言耳陽爻六乾老陽一爻三十六策計六爻凡二百一十有六隂爻六坤老隂一爻二十四策計六爻凡百四十有四合二百一十有六一百四十有四凡三百有六十曰當期之日者每月三十日合十二月為三百六十也厯法以氣言之則三百六十六日以朔言之則三百五十四日今舉氣盈朔虚之中數而言故曰三百有六十也蓋掛扐之數象月之閏過揲之數象嵗之周總過揲以成四時即一期也然少陽之策一爻二十八六爻則一百六十八少隂之策一爻三十二六爻則一百九十二二少之合亦三百六十此獨以老陽老隂言者以易用九六不用七八也何也九六有象七八無象也以卦則六子之卦七八隱於其中而無象也以畫則六子皆乾坤之畫而六子無畫也惟乾坤有用九用六之道諸卦得奇者皆用乾之九得偶者皆用坤之六終無用七用八之道故曰九六有象七八無象也二篇者易上下經六十四卦也每卦六爻六十四卦共三百八十四爻隂陽各半陽爻一百九十二以陽爻三十六乗之得六千九百一十二隂爻一百九十二以隂爻二十四乗之得四千六百八合六千九百一十二四千六百八共得萬有一千五百二十當萬物之數也萬物之數固不盡於此但取象於萬若云自一而萬當萬物之數耳若少陽一百九十二以二十八乗之得五千三百七十六少隂一百九十二以三十二乗之得六千一百四十四合之亦萬有一千五百二十也是故四營而成易十有八變而成卦八卦而小成引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣顯道神德行是故可與酬酢可與祐神矣四營者四次經營也分二一營也掛一二營也揲四三營也歸奇四營也易變易也尚未成爻成卦故止謂成一變易也如是者三變成一爻一爻得兩儀之畫二爻得四象之畫三爻得八卦之畫至於積七十二營凡十有八變則六爻見而得六十四卦之一矣然方其三十六營而九變也已得三畫而天地山澤雷風水火八卦之名已立此内卦之貞八卦而小成也自是引進而往伸之又九變三十六營以成三畫再得小成之卦一則外卦之悔亦備内外成卦是謂大成也如是然後觀其爻之變與不變而觸逢事類以增長之如乾則推其為圜為君為父之類以定吉凶悔吝一卦變六十四卦六十四卦變四千九十六卦天下所能之事法象皆盡人之趨吉避凶向悔背吝者其道皆不越此故曰天下之能事畢矣惟易理備天下之能事故可以顯明無為之道而神靈其德行之事是故可與酬酢應對萬物之求蓋筮受命如饗吉凶悔吝取決不爽也可與佑助神化之功蓋神不自見待易道方見即謂以易助神可也道在天德行在人在天者幽顯道闡幽也在人者顯神德行微顯也酬酢其在人者即祐助其在天者皆易之神也故關朗曰神也者易之靈也靈應冥契不思而得强名曰神故易之神在乎道而所神在人夫是易也顯道祐神何物不有厯固在其中矣然謂之曰象四時象閏曰當期之日象者象其竒耦當者當其成數也至於氣朔之分秒陟降消長一而不一則在人隨時測驗以更正之正其數即神乎易也漢史不知遂以大衍大率之數牽强凑合以步氣朔而謂厯數諸率皆出於此則非矣古今律厯考巻一
## 卷二
欽定四庫全書
古今律厯考卷二 明 邢雲路 撰經二尚書考乃命羲和欽若昊天厯象日月星辰敬授人時古帝堯克明峻徳化致雍和其道曷繇堯以治厯明時政之首務也乃命重黎之後羲氏和氏敬順昊天厯數以紀之象器以察之使日月星辰各得其所以此天時敬授於人焉昔少昊氏衰九黎亂徳神人雜擾顓頊命南正重司天以屬神北正黎司地以屬人其後三苗復九黎之惡堯乃復育重黎之後羲承重和承黎掌天地之事日中星鳥之類即天事平秩東作之類即地事而四時分職在焉日謂日之甲乙躔有盈縮月謂月之大小離有遲疾二十八宿衆星麗天不動者為經金木水火土五星有遲速順逆者為緯辰以日月所㑹分周天之度為十二次也日行遲月行疾每月朔月行及日而與之㑹其必在周天二十八宿分之辰集㑹有時故謂之辰正月㑹亥辰為娵訾二月戌為降婁三月酉為大梁四月申為實沈五月未為鶉首六月午為鶉火七月巳為鶉尾八月辰為夀星九月卯為大火十月寅為析木十一月丑為星紀十二月子為𤣥枵是也然非一定古正月㑹亥在初旬至今雨水後方㑹亥久之則以漸後移矣厯象既明節候悉均乃成一嵗之厯敬授於人俾隨天時早晚以為人事耕穫之候焉其總為一嵗之厯其分有四時之異分命羲仲宅嵎夷曰暘谷寅賓出日平秩東作日中星鳥以殷仲春厥民析鳥獸孳尾分者分其職也帝堯於羲和之内分命其羲氏而字仲者令居嵎夷之地掌春天之政曰暘谷者日出於谷也據日所出謂之暘谷指其地名即稱嵎夷盖官在國都而測候之所則在嵎夷東表之地嵎夷即今山東登州府寅敬平均秩序作起也於仲春方出之日如敬賔客而𨗳引之識其景也聖人重農事春在東方故曰東作蓋以節氣之早晚均序之以勸民興作也日中者春分之日漏以候之晝夜皆五十刻也舉晝以見夜故曰日中星鳥南方朱雀七宿井鬼栁星張翼軫是也未曰鶉首午曰鶉火巳曰鶉尾春分之昏鳥星畢見於南方也在天成象星作鳥形曲禮言軍陳象天之形前朱雀後𤣥武左青龍右白虎雀即鳥也武謂龜甲捍禦故變文𤣥武焉是天星有龍虎鳥龜之形東方成龍形西方成虎形皆南首而北尾南方成鳥形北方成龜形皆西首而東尾天道左旋日體右行故星見之方與四時相逆尚書考靈曜云主春者張昏中可以種榖主夏者火昏中可以種黍主秋者虚昏中可以種麥主冬者昴昏中可以收歛故曰敬授人時然古厯若斯久之星漸右移一鳥宿四時皆可昏中種榖如今萬厯年仲春昏中井初則將出鶉首而入實沈四時皆非一定在隨時耳殷中也仲春陽之中也析分也先時冬寒民聚於隩至是則分析而作事矣乳化曰孳交接曰尾鳥獸皆以尾交卽物之生育其氣之和可驗也申命羲叔宅南交平秩南訛敬致日永星火以正仲夏厥民因鳥獸希革申重也帝堯又於羲氏之内重命其羲氏而字叔者令居南交之地掌夏天之政蔡註云南交南方交趾之地又陳氏曰南交下當有曰明都三字考交趾在雲南之南堯時未必屬中國曰明都三字亦無考證闕之可也訛化也謂夏月時物長盛所當變化之事也夏在南方故曰南訛敬致周禮所謂冬夏致日盖以夏至之日中伺日而識其景如所謂日至之景尺有五寸謂之地中者也永長也日永晝六十刻也星火東方蒼龍七宿角亢氐房心尾箕是也心宿三星中曰大火左傳言火中火見詩稱七月流火皆指心星言火乃蒼龍之中星舉中則七星見可知此夏至昏之中星也夏至陽之極午為正陽之位以此正仲夏之氣也因析而又析也希革鳥獸毛羽希少而革易也分命和仲宅西曰昧谷寅餞納日平秩西成宵中星虚以殷仲秋厥民夷鳥獸毛毨堯又分命其和氏而字仲者令居西方掌秋天之政徐廣云西天水郡之西縣也今屬陜西鞏昌府昧𡨕也日入於谷而天下㝠故曰昧谷餞送納入也蓋以秋分之暮夕方入之日而識其景也西成秋月物成之時所當成就之事也秋在西方故曰西成宵夜也秋分之日晝夜亦皆五十刻舉夜以見日故曰宵中星虚北方𤣥武七宿斗牛女虚危室壁是也虚在𤣥武之中亦曰殷者秋分隂之中也夷平也暑退而人氣平也毨理也毛更生整理也申命和叔宅朔方曰幽都平在朔易日短星昴以正仲冬厥民隩鳥獸氄毛堯又申命其和氏而字叔者令居朔方掌冬天之政唐孔氏曰朔盡也李巡曰萬物盡於北方蘇而復生故北稱朔猶月之晦而有朔也幽暗都聚也北方幽暗故曰幽都今順天府昌平州有幽都山在察也易改也北方終其隂而始其陽既成今歲之終又慮來歲之始故謂之朔易始而終終而始此天地生生不窮之道人於此時除舊更新作來歲改易之事猶由朔日而改易也日短晝四十刻也星昴西方白虎七宿奎婁胃昴畢觜參是也昴在白虎之中亦曰正者冬至隂之極子為正隂之位也隩室之内也氣寒而民入於内也氄毛鳥獸皆生耎毳細毛以自温也夫四時之日與星曰出日納日曰敬致曰日中日永宵中日短有地里之不同焉曰星鳥星火星虚星昴有古今之不同焉曰出日者卽〔？〕家之測日出分也曰納日者卽〔？〕家之測日入分也曰敬致者卽夏至之測午景也不言冬者測冬至亦以晝影也日有分至而晝夜之刻係焉然各有地理之不同如堯都平陽北極出地三十五度有餘夏至晷長一尺五寸春秋分日出卯日入酉夏至日出寅日入戌冬至日出辰日入申其餘二十氣之日出入可類推焉春秋分晝夜各五十刻夏至晝六十刻冬至晝四十刻其餘二十氣之晝長短可類推焉此平陽也天地之中也嶽臺稍南去平陽不逺乃正值天地之中北極出地三十五度夏至以八尺表測晷景長一尺四寸八分日出寅正三刻日入戌初初刻晝六十刻冬至日出辰初初刻日入申正三刻晝四十刻與平陽同若南海在極南北極出地一十五度夏至日景在表南長一尺一寸六分夏至日出卯初二刻日入酉正二刻晝五十四刻冬至日出卯正二刻日入酉初二刻晝四十六刻北海在極北北極出地六十五度夏至晷景長六尺七寸八分夏至日出丑正初刻日入亥初三刻晝八十二刻冬至日出巳初三刻日入未正初刻晝一十八刻此極南極北也其餘九州四海俱各不同即冬夏至皆可以推春秋分至於元京即今之順天府也元世祖至元十七年太史郭守敬造授時厯測北極出地四十度太强冬至去極一百一十五度二十一分七十三秒夏至去極六十七度四十一分一十三秒冬至晝夏至夜三千八百一十五分九十二秒夏至晝冬至夜六千一百八十四分○八秒夏至日出分一千九百○七分九十六秒冬至日出分三千○九十二分○四秒用四丈表測夏至晷景長一丈一尺七寸有竒在八尺表則二尺三寸四分日出寅正二刻日入戌初二刻晝六十二刻冬至晷景長七丈九尺八寸有竒在八尺表則一丈五尺九寸六分日出辰初二刻日入申正二刻晝三十八刻元史云地中以南夏至去日出入之所為逺其長有不及六十刻者冬至去日出入之所為近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所為近其長有不止六十刻者冬至去日出入之所為逺其短有不及四十刻者今京師夏至晝六十二夜三十八冬至晝三十八夜六十二盖地有南北極有高下所以日之出入早晚不同今授時〔？〕晝夜刻一以京師為正其各所實測北極高下又各不同此郭守敬之言何其示人以明悉也乃今之大統厯推夏至日出分二千六十八分三十秒推冬至日出分二千九百三十一分七十秒夏至日出寅正四刻日入戌初初刻晝五十九刻夜四十一刻冬至日出辰初初刻日入申正四刻晝四十一刻夜五十九刻夫今之京即元之京也授時夏至晝六十二而大統曰五十九授時冬至晝三十八而大統曰四十一各差至三刻矣想大統所測之景必非順天府之景也蓋偏北北極髙而夏晝長冬晝短偏南北極低而夏晝短冬晝長大統之刻或係國初洪武時南京所測之日出分未可知也昔郭太史作厯明示人以晝六十二刻夜三十八刻係京師晷刻與各處不同今大統不明言所測之景係何年係何人係何方海上所測係去極若干度亦不明言自國初至今厯年監官所測之日出分與授時合否而但抄寫立成自北京以頒之天下徒令人悶悶耳其堯典之中星有古今之不同者何也堯仲春星昏中而今則井昏中堯仲夏火昏中而今則角昏中堯仲秋虚昏中而今則斗昏中堯仲冬昴昏中而今則室昏中盖天度有餘歲度不足天度外運而微闊日度内轉而稍狹天漸移而西歲漸移而東堯時日在女在子今在箕在寅日自子而移寅是天漸西而日漸東此所以不同也惟其所差至微前人未覺自堯時日躔女虛之交以後漸移至漢時猶未覺漢武帝時洛下閎作太初〔？〕謂八百年後當差一度當有聖人定之至今猶神洛下閎能前知眞聖人也殊不知帝堯時不過八十餘年差一度至今三千餘年減至六十餘年差一度八百年差一度之説何不情之甚耶迨漢末劉洪始覺冬至後天至晉虞喜乃以天為天歲為歲立差法以追其變約以五十年日退一度然失之過宋何承天倍増其數約以百年退一度又失之不及隋劉焯取二家中數以七十五年退一度唐僧一行推大衍〔？〕以八十三年差一度各亦相近至郭守敬推冬至在箕十度斯為宻近然守敬謂六十六年差一度亦非定法六十六年惟守敬之時為然而守敬之後則又在六十六年下矣試即今歲萬厯二十七年冬己亥歲上距至元十八年辛巳又上距堯元年甲辰推之堯元年甲辰至至元辛巳積三千六百三十八年以授時法推得女宿八度餘為堯元年天正日躔赤道度蓋女八度近虚止二度今時以距星論虚堯時女末未必非虚郭守敬所云堯時日在女虚之交謂此也若以大統厯法推堯元年冬至赤道日躔危一度其女八度則加於商之沃甲相去八百餘萬而在天違十三度有奇矣帝堯冬至日在女虚之交則昏中昴可推冬至昏中昴則春分昏中星夏至昏中火秋分昏中虚皆可推也至元辛巳至今萬厯二十七年己亥積三百一十九年授時推中積一十一萬六千一百四十七日○一刻九十六分得箕宿五度一十三分四十六秒為天正赤道度箕宿四度七十二分八十二秒為天正黄道度是冬至日躔在箕也復以法推四仲昏之中星則冬至昏之中星在室宿一十三度春分昏之中星在井宿一十一度夏至昏之中星在角宿六度秋分昏之中星在斗宿四度若以大統推己亥歲前冬至赤道度得箕宿五度二十三分黄道度得四度八十一分則有不同矣授時推己亥歲前冬至餘四十二萬○七九得丙午日丑初三刻大統則四十二萬一七五丙午日寅正初刻授時推春分一十三萬三九得己亥春二月丁丑日巳初一刻大統則一十三萬四八丁丑日午初二刻授時推夏至四十四萬七得戊申日申正三刻大統則四十四萬七九六戊申日戊初初刻授時推秋分一十六萬○一得庚辰日子正一刻大統則一十六萬一○六庚辰日丑正二刻此四仲皆差也以推雨水授時丙午亥正三大統丁未丑初初推小暑授時癸亥亥正初大統甲子子正一則皆當子半之交差一日矣摠之二十四氣皆差也嗟嗟授時原多宻合何大統竟棄之不用耶又法推洪武元年冬至日躔箕八度六十八分仍是六十六年差一度乃元統上言七十年差一度非也李徳芳上言毎百年上推長一日下推消一日其言消長固是而言各一日則非也至嘉靖初光祿少卿華湘上言堯冬至日在虚七度今冬至日在箕三度計差五十度然以法推堯冬至日在女八度嘉靖初退至箕六度至今萬厯年方退至箕五度自堯至嘉靖止退四十五度而湘云已退五十度今仍在箕五度而湘云嘉靖初已退至箕三度信如湘言自虚七度至箕三度以為退五十度也然以鈐歩天虚七度至箕三度乃五十八度而亦非五十度豈不誤哉帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以閏月定四時成歲允釐百工庶績咸熙咨嗟暨與也匝四時曰朞王肅云朞四時是也十日為旬允信釐治工官庶衆績功咸皆熙廣也一朞凡三百有六旬有六日然氣朔不齊則置閏焉以定四時之氣節成一歲之厯象以此告時授事則能信治百官而衆功皆廣此帝堯命羲和而歎其善也夫古時真厯遭戰國及秦而亡漢存六厯雖詳於五紀之論皆秦漢之際假託所為不得正要但以梗概言之六厯與周髀及考靈曜乾鑿度諸緯皆然漢傳疏之蔡傳宗之固非堯厯亦非宋厯也其云周天三百六十五度四分度之一日行一度則一朞三百六十五日四分日之一經言三百六十有六日者王肅云四分日之一入於六日之内舉全數言故云三百六十六日也至解所以置閏之意亦據大率言之何則羲和厯法不傳故也天體至圓繞地左旋乃自子而丑而寅即自北而東轉而南為左旋日月右旋乃日月行不及天若右旋然盖經星皆麗天卽天體而日月不麗天各有行度今以蔡傳之所宗於漢傳疏者一一剖析之傳云天體三百六十五度四分度之一天行一日一周而過一度日行少遲一日亦一周而在天為不及一度積三百六十五日九百四十分日之二百三十五而與天㑹是一歲日行之數月行尤遲一日不及天十三度十九分度之七積二十九日九百四十分日之四百九十九而與日㑹十二㑹得全日三百四十八餘分之積又五千九百八十八如日法九百四十而一得六不盡三百四十八通計得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一歲月行之數夫曰四分度之一者一度以四分之每分二十五分共三百六十五度二十五分也曰九百四十分日之二百三十五者九百四十分乃周髀等術之日法置二百三十五以日法九百四十而一得二千五百分卽四分日之一為二十五刻一朞共三百六十五日二十五刻為歲周若以日法乘歲周得三十四萬三千三百三十五筭為朞摠亦曰朞實也曰十三度十九分度之七者置一度七之以十九而一得三十六分八四二一不盡共十三度三十六分八四二一不盡為月不及天之平行度也曰二十九日九百四十分日之四百九十九與日㑹十二㑹得全日三百四十八餘分五千九百八十八如日法九百四十而一得六不盡三百四十八通計三百五十四九百四十分日之三百四十八者置四百九十九以九百四十而一得五千三百○八五一不盡乃五十三刻有奇共前二十九日五十三刻○八五一不盡為一㑹之月即今月䇿一歳十二月凡十二㑹以十二㑹乘二十九日得全日三百四十八日餘分四百九十九以十二㑹乘之得五千九百八十八以日法九百四十而一得六日不盡三百四十八通計得三百五十四日九百四十分日之三百四十八即置三百四十八以九百四十而一得三千七百○二不盡乃三十七刻有竒每歲三百五十四日三十七刻○二不盡也傳云歲有十二月月有三十日三百六十者一歲之常數也故日與天㑹而多五日九百四十分日之二百三十五為氣盈月與日㑹而少五日九百四十分日之五百九十二為朔虚合氣盈朔虚而閏生焉故一歲閏率則十日九百四十分日之八百二十七三歲一閏則三十二日九百四十分日之六百單一五歲再閏則五十四日九百四十分日之三百七十五十有九歲七閏則氣朔分齊是為一章夫曰多五日下九百四十分日之二百三十五者卽四分日之一乃二十五刻為氣盈也曰少五日下九百四十分日之五百九十二者置五百九十二以九百四十而一得六千二百九十七分不盡卽六十二刻九十七分不盡為朔虛也合而言之多五日少五日共十日多二百三十五少五百九十二共為日之八百二十七置八百二十七以九百四十而一得八千七百九十七分八六不盡卽八十七刻九七八六不盡共十日八十七刻九七八六不盡是為一歲之閏率即今之通閏也曰三歲一閏三十二日九百四十分日之六百單一者置六百單一以九百四十而一得六百三十九分有奇加入三十二日内共三十二日六百三十九分有奇若以一歲閏率三因之亦得也曰五歲再閏五十四日九百四十分日之三百七十五者置三百七十五以九百四十而一得三百九十八分有竒加入五十四日内共五十四日三百九十八分有奇若以一歲閏率五因之亦得也曰十有九歲七閏氣朔分齊為一章者則二百六日七十一分有奇以十九年因一年之閏率所得也至是所積之二百六日七十一分有奇以月策二十九日五十三刻○八五一除之皆盡則氣朔分齊是為一章矣月䇿者置歲實三百六十五日二十五刻以一章十九年乘之得六千九百三十九日七十五刻以十九年之二百二十八箇月併閏之七箇月共二百三十五數歸除之得一月之策二十九日五十三刻○八五一不盡卽前一㑹之月策也歲法者置月策二十九日五十三刻○八五一不盡以十二月乘之得三百五十四日三七○二一二卽於日下之三七○二一二以九百四十乘之共得三百五十四日三百四十八分也月法者置月策以日法乘之得二萬七千七百五十九分也歲餘法者置朞實以十二月而一得二萬八千六百一十一分二十五秒用減月法餘八百五十二分二十五秒以十二月乘之得一萬○二百二十七分為歲餘法也通閏者置歲餘法以日法而一亦得卽前閏率也一歲餘一萬○二百二十七分二歲餘二萬○四百五十四分三歲餘三萬○六百八十一分四歲餘四萬○九百○八分五歲餘五萬一千一百三十五分六歲餘六萬一千三百六十二分七歲餘七萬一千五百八十九分八歲餘八萬一千八百一十六分九歲餘九萬二千○四十三分十歲餘十萬○二千二百七十分十一歲餘十一萬二千四百九十七分十二歲餘十二萬二千七百二十四分十三歲餘十三萬二千九百五十一分十四歲餘十四萬三千一百七十八分十五歲餘十五萬三千四百○五分十六歲餘十六萬三千六百三十二分十七歲餘十七萬三千八百五十九分十八歲餘十八萬四千○八十六分十九歲餘十九萬四千三百一十三分三歲一閏以三因歲餘法一萬○二百二十七分得三萬○六百八十一分以月法二萬七千七百五十九分減之復餘二千九百二十二分五歲再閏以五因歲餘法得五萬一千一百三十五分以減兩因月法五萬五千五百一十八分少四千三百八十三分八歲三閏以八因歲餘法得八萬一千八百一十六分以減三因月法八萬三千二百七十七分少一千四百六十一分十一歲四閏以十一乘歲餘法得十一萬二千四百九十七分以四因月法十一萬一千○三十六分減之餘一千四百六十一分十四歲五閏以十四乘歲餘法得十四萬三千一百七十八分以五因月法十三萬八千七百九十五分減之餘四千三百八十三分十七歲六閏以十七乘歲餘法得十七萬三千八百五十九分以六因月法十六萬六千五百五十四分減之餘七千三百○五分十九歲七閏以十九乘歲餘法得十九萬四千三百一十三分以七因月法十九萬四千三百一十三分減之減盡是七閏之外無餘分也十九年餘一百九十日一萬五千七百一十三分者是歲餘一十日日之八百二十七分以十九年乘之得一萬五千七百一十三分以加入十九年一百九十日内以日法歸除前一萬五千二位得十六日加入一百九十日内共得二百六日餘六百七十三分也若置滿法十九萬四千三百一十三分以日法歸之得二百○六日七百一十五分九五七以七閏月歸之得月策亦無餘矣然必以十九歲而無餘分者十九年七閏為一章也積八十一章計一千五百三十九年内有五百六十七閏則盈虚之餘盡而復始矣十九年為一章二十七章為一㑹凡五百一十三年三㑹為一綂乃八十一章凡一千五百三十九年三統為一元凡四千六百一十七年此古厯之大較也然古厯但云四分度之一四分日之一殊無天周歳周之差又無上下消長之法非的數也厯代以來至授時而始密授時厯天周三百六十五度二十五分七十五秒歲周三百六十五日二十四刻二十五分而日與天㑹月一日不及天一十三度三十六分八十七秒五十微積二十九日五十三刻五分九十三秒而與日㑹十二㑹通計得日三百五十四日三十六刻七十一分一十六秒是一歲月行之數日與天㑹而多五日二十四刻二十五分為氣盈月與日㑹而少五日六十三刻二十八分八十四秒為朔虚合氣盈朔虚共得十日八十七刻五十三分八十四秒為一歲閏率三歲一閏則三十二日六十二刻六十一分五十二秒五歲再閏則五十四日三十七刻六十九分二十秒十有九歲七閏則二百六日六十三刻二十二分九十六秒至今〔？〕家遵用之盖不用積年日法以實測得之也今去授時三百餘年矣其朞實之數自應推測改正而朔實交轉亦如之柰何猶然用勝國為元耶况消長法竟置之不用以推徃古一無所合豈理也哉正月上日受終于文祖上日朔日也正月朔故云上日言一歲日之上也受終于文祖謂舜受堯終帝位之事于堯文徳始祖之廟也堯舜皆以建寅為正月觀日中星鳥以殷仲春為卯月則正月建寅可知夏后氏因之至商乃建丑周乃建子孔子曰行夏之時夏時固遵唐虞者也在璿璣玉衡以齊七政在察也璿美玉也璣機也運轉者為璣持平者為衡以璿飾璣衡為横簫以望天象亦玉為之漢世以來謂之渾天儀者是也七政日月五星也舜初攝位首察璣衡以齊七政盖日月五星在天有常度其災祥與政事相應舜仰察天文觀七政之遲速順逆各由其道與否以審政事之得失何如即欽若之意也蔡邕天文志云言天體者有三一曰周髀二曰宣夜三曰渾天宣夜絶無師説周髀術數具在考驗天象多所違失惟渾天者近得其情今史所用候臺銅儀即其法也宣夜者惟漢郗萌記先師所傳云天本無質蒼蒼然也日月衆星自然浮生空虚之中其行其止皆順氣焉晉虞喜因宣夜之説於是有安天之論虞昺亦祖宣夜之說有穹天之論吳姚信又有昕天之論虞喜曰宣明也夜幽也幽明之數其術兼之故曰宣夜安天論謂天髙無窮地深不測天常安於上地居静於下方則俱方圓則俱圓葛洪譏之曰茍辰宿不麗於天為無用便可言無何必復云有之而不動乎穹天論曰天形如笠而冐地之表浮而不没者氣充其中也日遶辰極没西還東不入地中也昕天論曰天若裹地如卵地何所依若無四維天何以立天經地行於水中日月星辰將不得其性是以有兩地之說下地上地之根也冬至天低近南故晝短夏至天起近北故晝長此皆不通之論也賀道養又謂宣夜為夏殷之法亦無所據周髀者卽盖天之説也髀股也股者表也周人志之故曰周髀其言天似覆盆中高而四邊下天左行日月旁轉右行隨天左轉如蟻行磨上磨左旋蟻右旋日近而見之為晝日遠而不見為夜又云天形如倚盖極在天之中而今在人北故見以為倚盖漢王仲任據盖夭之説以駁渾儀謂天轉地下今掘地一丈輒有水天何得從中行乎是尤淺之乎論天者又傳周髀本於庖犧黄帝為盖天者皆無憑也惟渾天為得之春秋文曜鈎云唐堯卽位羲和立渾儀則渾儀之設其來遠矣舜之璣衡卽渾儀也厯代相傳史官禁宻學者不覩故宣盖沸騰後乃遵用之王蕃渾天説曰天形似鳥卵天包地外猶卵裹黄如彈丸故曰渾天言其形體渾渾然也其術以為天半覆地上半在地下天居地上一百入十二度半强地下亦然北極出地三十六度南極入地亦三十六度而嵩高正當天之中極南五十五度當嵩髙之上又其南十二度為夏至之日道又其南二十四度為春秋分之日道又其南二十四度為冬至之日道南下去地三十一度而已是夏至日北去極六十七度春秋分去極九十一度冬至去極一百一十五度此其大率也其南北極持其兩端天與七政斜而迴轉此必古有其法遭秦而滅漢唐以來其法漸密故前漢則有洛下閎渾天儀東漢則有張衡在呉則有王蕃在晋則有陸績在宋元嘉則有錢樂唐貞觀則有李淳風在開元則有梁令瓉皆作渾天儀而其中之最善者則張衡李淳風也張衡之儀以八尺圓體具天地之象有内規外規南極北極黄道赤道而轉之以漏水告之以靈臺又作靈憲以說其狀為可考也淳風之儀表裏三重一曰六合儀二曰三辰儀三曰四遊儀而其推驗之法本於黄道為可考也漢自張衡之外而洛下閎之儀亦有取焉漢太初洛下閎等造圓儀考厯度揚子雲論渾儀曰洛下閎營之鮮于妄人度之耿夀昌象之是也唐自李淳風之外而梁令瓉之儀亦有取焉唐志云梁令瓉以木為游儀僧一行是之乃共令瓉更鑄為銅儀注水激輪立人擊鐘皷令其自轉機械皆藏櫃中是也宋太平興國中張思訓之渾儀則有地軸地輪地足之異横輪側輪斜輪之别此又踵一行之遺象也大中祥符間韓顯符之渾儀則有游規直規之分龍柱水臬之號此又本淳風之遺法也宋自靖康之亂儀象盡歸於金元初襲用金舊歲乆漸疏世祖時郭守敬以司天儀本宋皇祐中汴京所造於大都測天規環不恊比量南北極差四度有竒於是别創簡儀仰儀及方案闚几圭表景符諸儀各臻其妙謂以管窺天宿度餘分未得其的乃用二線推測於餘分纎微皆有可考盖古人所未及又遣使四方測景凢二十七所東極高麗西至滇池南踰朱崖北至鐵勒以考驗之酌取中數盖五年而厯成以察七政厯代以來其數不同郭守敬所定其日月行度已詳於堯咨羲和簡下木曰歲星周率三百九十八萬八千八百分〔？〕率四千三百三十一萬二千九百六十四分八十六秒五十微火曰熒惑周率七百七十九萬九千二百九十分〔？〕率六百八十六萬九千五百八十○分四十三秒土曰鎮星周率三百七十八萬○九百一十六分〔？〕率一億○七百四十七萬八千八百四十五分六十六秒二十五微金曰太白周率五百八十三萬九千○二十六分〔？〕率三百六十五萬二千五百七十五分水曰辰星周率一百一十五萬八千七百六十分〔？〕率三百六十五萬二千五百七十五分五星各以應加中積段日而合伏遲疾留退各得其位此郭太史之術也其簡儀等儀與歩七政術至今欽天監遵用之夫宣夜之謬勿論已盖天不合以南方之度漸狹知渾非盖也然天下地里南北不同卽守敬測大都較汴京極差四度可知晷度冬夏亦不同卽古有謂日景於地若千里差一寸者然各不同湏測乃定王蕃謂嵩當天中然非天中乃中國地中從測影就晝夜五十刻得之也又考書傳大全圗載水星春見奎婁夏見東井等語又曰木星四仲年行三宿四孟四季行二宿又云火星常以十月入太㣲夫五星何常之有古今不同何宿不麗何必水春奎婁夏東井火豈十月常入太微况井宿三十餘度觜宿不及一度木安得分仲行三宿孟季二宿之異以此載之經典徒令人惑耳大都五星之行皆視日度以為之準日度正斯五緯正厯代以來測歩五星各有不同皆從日度推之也自元至元辛巳距今三百餘年歲差不明日度未改則五緯之歩安所適從必也察璣衡測圭晷先正日度之失而後以距日距星課五緯之差庶乎其不失矣固待其人而後行也古今律厯考卷二
## 卷三
欽定四庫全書
古今律厯考卷三 明 邢雲路 撰經三尚書考歲二月東巡守至于岱宗柴望秩于山川肆覲東后協時月正日同律度量衡諸侯為天子守土故稱守天子適諸侯曰巡守歲二月當巡守年之二月也舜既正月班瑞二月即行順春東巡春位在東故順春也人君順天道以行人事四時順令又各當其時之中故以仲月至岱宗夏五月至南岳秋八月至西岳冬十一月至北岳皆順時之義舜時正月建寅此巡守四仲之月即二月卯五月午八月酉十一月子也岱始也宗長也萬物之始隂陽交代故泰山為五岳之長舜以二月至於岱宗之岳郊特牲云天子適四方先柴蓋祭時積柴加牲其上而燔之是燔柴為祭天告至也於東方境内名山大川則望而秩祭之秩者具牲幣祝號之次第如五岳視三公四瀆視諸侯其餘視伯子男也盖視其祭祀祭五岳如祭三公之禮云覲見也柴望既畢遂以禮見東方諸國之君於此諸國協合其四時之氣節十二月之大小正其日之甲乙使之齊一均同天子告朔於邦國恐侯國不齊故以巡守而合和之卽在璿璣之意也時月詳見咨羲和簡中日之甲乙有干有支世編云天皇氏制干支干幹也名曰母支枝也名曰子以定歲之所在十干曰閼逢為甲旃蒙為乙柔兆為丙彊圉為丁著雍為戊屠維為巳上章為庚重光為辛𤣥黓為壬昭陽為癸十二支曰困敦為子赤奮若為丑攝提格為寅單閼為卯執徐為辰大荒落為巳敦牂為午協洽為未涒灘為申作噩為酉閹茂為戌大淵獻為亥邵子曰干陽也支隂也干十而支十二隂數中有陽陽數中有隂也律法制也律以截竹為管而度有丈尺量有斛斗衡有斤兩三者皆取法於律故曰法制漢書律〔？〕志云度量衡出於黄鐘之律也律謂十二律黄鐘太蔟姑洗㽔賔夷則無射大呂夾鐘仲呂林鐘南呂應鐘也六為律六為呂凡十二管皆徑三分有奇空圍九分而黄鐘之長九寸大呂以下律呂相間以次而短至應鐘而極焉長者聲下而濁短者聲髙而清此律呂之大較也度者分寸尺丈引所以度長短也本起於黄鐘之管長容以子穀秬黍中者每寸容一百三十三黍三分黍之一九寸則容千二百黍十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起於黄鐘之管容以子穀秬黍中者千二百實為一龠兩龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五量嘉矣衡者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起於黄鐘之管容以子榖秬黍中者一龠容千二百黍百黍一銖一龠十二銖兩龠二十四銖為兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權審矣權衡一物衡平也權重也稱謂之衡鎚謂之權所從言之異耳此黄鐘所以為萬事根本諸侯之國其有不一者則審而同之也時月日正朔所自出律度量衡制度所自始然律之十二又生於〔？〕之十二律厯志云推〔？〕成律故同律度量衡必先協時月正日帝曰夔命汝典樂敎冑子直而温寛而栗剛而無虐簡而無傲詩言志歌永言聲依永律和聲八音克諧無相奪倫神人以和胄𦙍也繼𦙍父世者長子故以胄為長自天子至卿大夫之適子也周禮大司樂以樂德敎國子中和祗庸孝友則樂最能感人舜命䕫典樂以教胄子直者多嚴故令其正直而温和寛者多緩故令其寛𢎞而莊栗輔其偏也剛彊者必傲故令其剛而勿苛虐簡易者必傲故令其簡而勿傲慢防其失也心之所之謂之志心有所之必形於言故曰詩言志旣形於言則必長言以歌之故曰歌永言旣歌則必有高下清濁之殊故曰聲依永聲者宫商角徴羽也聲之長而濁者為宫以漸而清且短則為商為角為徴為羽也有聲必有律則以十二律和之陽六律隂六呂如黄鐘為宫則太蔟為商姑洗為角林鐘為徴南呂為羽蓋以三分損益隔八相生十二律旋相為宫所謂律和聲也周禮太師云播之以八音金石土革絲木匏竹金鐘鏄石磬土塤革鼓鼗絲琴瑟木柷敔匏笙竹管簫也以其聲律被之八音無不諧協各得倫理不相侵奪可以奏之朝廷薦之郊廟而神人以和矣大司樂云大合樂以致鬼神示以和邦國以諧萬民以安賔客以說遠人是神人和也律呂聲音之數詳見别簡百工惟時撫于五辰庶績其凝工官撫順凝成也五辰四時也木火金水旺於四時而土則寄旺於四季也臯陶言百官撫順五行之時則衆功皆成所撫順者即堯典敬授人時平秩東作之類是也禮運曰播五行於四時五行在地為物在天為時順其時而撫之則五物皆成其材而為人用矣故仲春斬陽木仲夏斬隂木所以撫木辰也季春出火季秋納火所以撫火辰也司空以時相阪隰所以撫土辰也秋為徒杠春逹溝渠所以撫水辰也書傳大全圗謂木辰配於春自立春至立夏九十一日八十分之二十五火配夏金配秋水配冬其數皆同八十分日之二十五者二十五以八十分之得三十一分二十五秒加於九十一日下以四時之四因之得三百六十五日二十五刻為一朞之日土分旺於四時一時十八日有竒四時計七十三日○五刻亦皆自其大槩言之耳授時厯則一時九十一日三十一刻○六分二十五秒四時共三百六十五日二十四刻二十五分土王策三日○四刻三十六分八十七秒五十微加入氣策一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微内共得一十八日二十六刻二十一分二十五秒為土寄旺於一時之數以四時之四因之共得七十三日○四刻八十五分至今厯家遵用之郭守敬曰厯年距立元為筭其諸應則隨時推測不用為元今距元年乆正改憲時也若改而推測則歲實㣲有不同而諸數皆異矣惟時羲和顛覆厥徳沈亂于酒畔官離次俶擾天紀遐棄厥司乃季秋月朔辰弗集于房瞽奏鼓嗇夫馳庶人走羲和尸厥官罔聞知昏迷于天象以干先王之誅政典曰先時者殺無赦不及時者殺無赦此夏仲康命𦙍侯掌六師以征羲和也惟時羲和顛倒反覆其徳沈冥昏亂于酒官以職言次以位言羲和畔其所治之職離其所居之位俶始擾亂遐逺也天紀謂天時厯數司所主也自堯命羲和厯象授時之後為羲和者世守其職未嘗紊亂至是始亂其天紀而逺棄其所主之事士文伯謂日月㑹次為辰集漢書作輯房宿名言日月㑹次不相和輯而掩蝕於房宿也日月㑹於月朔東西同度南北同道則月掩日而日為之食是時季秋月朔日食凡日食禮有救日之法天子伐鼓於社瞽目之樂官以祭天之雷鼓奏進而伐之瞽以其無目於音聲審也嗇夫主幣之官馳取幣以禮天神庶人在官者則奔走以供救日食之百役周禮庭氏云救日之弓矢盖救日以太陽之弓以枉矢是救日必有多役庻人走供之車馬曰馳歩曰走日食之變羣工促遽以助救日若此羲和為厯象之官尸居其位若無聞知昏迷于天象以干犯先王之誅其罪不可赦也故先王為政之典曰厯象授時氣朔不忒若布筭一失氣朔先天時者殺無赦不及而後天時者殺無赦先後之差尚罪死無赦况廢官乎此仲康所以命𦙍侯征之也大都日月之食乃㑹於交道數有一定朱子註是章謂日月之行雖或當食而月常避日故其遲速高下必有參差而不正相對所以當食不食為王者修德所致又謂月食雖陽勝隂畢竟不好若隂有退避之意則不相敵而不成食皆非也盖日月有遲速高下不正相對乃未當交道史載當食不食者多厯筭之差縱日行失度間有當食不食乃幾百年有一非其常也則月豈有退避日遂不相敵而不成食乎唐大衍厯載太康十二年戊子歲冬至日在女十一度仲康五年癸巳歲季秋九月庚戌朔日蝕在房二度授時稱仲康五年癸巳距至元辛巳三千四百八年九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分入食限然以厯年考之太康元年癸巳至十二年甲辰非戊子也仲康元年壬戌五年丙寅非癸巳也其癸巳距至元辛巳積年九月庚戌朔交泛入食限之數歩之固是然癸巳乃帝相十九年去仲康五年丙寅後二十七年矣今以法推仲康元年至十三年之九月朔惟六年九月朔入食限仲康六年丁卯距至元辛巳三千四百三十四年天正中積一百二十五萬四千二百五十四日四十二刻九月定朔一十七日四十二刻得辛巳日巳時合朔九月朔交泛一十四日七十五刻入食限其餘一十二年之九月朔俱不入食限當時羲和失職之年或是六年未可知也法推太康仲康年間天正日躔女七度非女十一度帝相十九年天正日躔女六度仲康五年九月朔日丁亥非庚戌也九月朔日躔氐末近房初古厯與今不同仲康時以氐末為房初亦未可知若以大統推太康仲康帝相年間天正日躔俱在虚七度其女七度則加於南庚陽甲盤庚年間相差七百餘年在天差十度餘矣所以大統太謬惟元祀十有二月乙丑唐虞曰載夏曰歲商曰祀周曰年一也元祀者太甲卽位之元年十二月者商以丑月為正朔也乙丑日也不繫以朔者非朔日也商雖以十二月丑為正朔行事而紀數之月則仍以寅為首非若周之改子為正月也商惟以正朔行事故太甲三年亦以十二月朔奉嗣王歸于亳惟十有三年春大㑹于孟津十三年者文王受命之十三年也春者孟春建子之月卽夏之十一月也泰誓篇序云惟十有一年武王伐殷又云一月戊午師渡孟津説者疑十有一年誤史記云九年觀兵十一年伐紂説者疑人臣無觀兵脅君之理九年十一年皆誤夫時世既逺記年之誤誠有之觀兵不見經傳其有無亦不足信苐考大戴禮云文王十五而生武王禮記文王世子云文王九十七而終武王九十三而終史稱文王受命九年武王在位七年又無逸稱文王享國五十年則文王為西伯至卒非止九年而已帝王世紀云文王即位四十二年文王更為受命之元年蓋是年虞芮質成歸周者四十餘國三分天下有其二以為受命之元年觀君奭篇云文王秉徳聞于上帝惟時受有殷命朱子解為受有殷之天命良是大學云文王為人君止於仁夫諸侯雖不敢稱王然既受有殷之天命而為人君則自有年號初即位為元年至四十二年虞芮質成紂賜弓矢使西伯得專征伐乃改元又九年共在位五十年崩武成篇云我文考文王誕膺天命以撫方夏惟九年大統未集九年又四年為文王之十有三年即紂亡三十二年之終武王伐紂言十有三年者續文王受命之年明其卒父業故也是年春一月戊午是周改正建子之正月戊午日師渡孟津以伐紂也朱子不查而謂十三年為武王卽位之十三年謂春為孟春建寅之月謂文王未改元武王非冒文王之元謂周不以建子之月為春又引詩周頌維暮之春以為建辰之三月皆非也朱子旣謂武王卽位十三年然武王未伐紂尚為臣也安得卽位所卽者王位乎侯位乎朱子許武王卽位十三年而獨不許文王卽位九年乎武王亦豈有卽位十三年而猶稱我文考九年大統未集乎謂文王未改元不知古諸侯自於其國各有年號汲冡竹書魏惠王有後元年非改元乎且武王伐商徂征之時所過名山大川告於皇天輒曰惟有道曽孫周王發夫伐紂之前尚未勝紂卽已自稱周王矣况文王虞芮質成之年已受紂賜弓矢使為西伯得專征伐諸侯皆附豈不得稱元年乎武王伐商之時業已稱周王則必不肯用商年號尚未殺紂又難稱武王元年其稱惟十有三年安得謂冒文王之元謂周不以建子之月為春殊不知武王勝商之後即改正朔以十一月建子之月為春王正月丑為二月寅為三月周之史官追稱記事即用當代正朔故書曰惟十有三年春一月師渡孟津夫復何疑諸儒紛紛之議徒令後人惑耳且如春秋稱周(闕) 十五年正月朔旦冬至僖公五年正月朔旦冬至昭公二十年正月朔旦冬至夫世豈有正月冬至乎而猶謂周不以建子為正月耶漢律厯志稱武王即位九年崩又云武王即位十一年蓋以九年併周公攝政二年共為十一年是年正月朔旦冬至周公攝政且得稱武王即位十一年况武王伐商豈不可稱文王年號安得謂之冒周公之時稱正月冬至則建子為正又何疑焉况以厯數上推春秋日食三十餘次俱以建子為正月何諸儒不查也朱子謂毛詩維暮之春為建辰之三月又謂三月牟麥將熟何不查漢人原註漢註云周之季春於夏為孟春諸侯來朝遣之勸農治牟麥具田器久必多銍艾也漢註訓奄為久朱子訓奄為忽謂三月牟麥将熟乃以周三月為正月便是三月麥得熟乎朱子旣稱周建寅為正月又何以註孟子云周七八月夏五六月耶此厯象授時所係恐誤後學故不得不詳辯之也惟戊午王次于河朔時甲子昧爽王朝至于商郊牧野註釋戊午是一月二十八日甲子二月四日也昧㝠爽明也昧爽將明未明之時也正月二十八日戊午師逾孟津二月三日癸亥入商郊夜布陳未畢而雨雨止畢陳俟天休命次日四日甲子昧爽王乃至於商郊牧野卽朝歌南郊外將戰于郊故至牧野也以授時推武王元年己卯歲建子之正月朔二十九日九十四刻癸巳日亥時合朔以歩至建丑二月朔五十九日五十七刻癸亥日未時合朔則二月一日癸亥二月二日甲子也戊午乃朔前五日之二十六日非二十八日也是武王一月一日癸巳朝步自周東行非三日癸巳其壬辰之死魄乃前月之晦魄耳至二十六日戊午次河朔二月一日癸亥入商郊二月二日甲子昧爽至商郊伐紂漢厯志則稱二月朔日庚申四日癸亥五日甲子劉商王紂是與周厯又不同者何則古厯不正自六厯以來斗分皆四之一漢鄧平厯亦然故宋書論六厯率皆六國及秦人所造差至三日或二日上不可檢於春秋下不驗於漢魏雖復假稱帝王祗以惑人耳目至太初斗分太多過天一度又無盈縮遲疾故常以朔日月見西方晦日月見東方差亦至二三日以此歩厯則晦朔甲乙安得無愆魄明生死焉能不舛則知古厯為誤授時為真也如其不然武王去春秋𨼆公才四百年耳授時去𨼆公二千年以歩日食三十六皆不爽而以歩四百年前即差不踰刻而奚至二三日之逺耶以此知授時為真周漢皆失之矣此論定則武成諸書所記旁死魄哉生明丙午朏等日皆四分之一之厯所歩差至二三日者先後不合故皆不必置辯惟十有三祀王訪于箕子十有三年武王勝殷釋箕子之囚卽四月以箕子歸鎬京訪問天道商曰祀箕子稱祀不忘本也存商之舊也此篇箕子所作箕子商人故記傳引此篇者皆云商書箕子嘗言商其淪喪我罔為臣僕今稱祀不稱年稱王訪箕子而不稱箕子見王稱王乃言而後箕子乃言不臣周之意也武王知箕子賢不可得而臣而其道則當師於是訪問天道箕子知天以是道畀之禹傳至於我不可使自我而絶以武王而不傳則天下無可傳者矣不臣周所以正萬世君臣之大法陳洪範所以傳萬世天人之大法洪範之五紀卽七政厯也十有三祀卽文王之十有三年盖武王勝殷初歸尚未頒元年正朔商既亡箕子又難以稱紂年號故稱十有三祀也天道難明武王恐箕子不傳故急訪之洪範既陳武王卽封箕子於朝鮮以遂其不臣之志或謂箕子走之朝鮮武王以朝鮮封之箕子既受封不得無臣禮故來朝因其朝而問洪範非也一五行一曰水二曰火三曰木四曰金五曰土五行志云聖人行其道而寶其真降及於殷箕子在父師之位而典之周既克殷以箕子歸周武王親虚已而問焉蓋洛出書戴九履一一㸃居北為一禹第初一曰五行箕子對武王演此五行之數天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土五行之生序也唐孔氏曰萬物成形以㣲著為漸五行先後亦以㣲著為次水最微為一火漸著為二木形實為三金體固為四土質大為五亦其序也九疇先於初一五行先於水五行九疇之一水五行之一耳然天一所生五材所始胡可汨焉鯀湮洪水汨其一行而五行遂皆汨一疇既汨而九疇遂皆斁帝乃震怒禹乃嗣興然則有國者惕然思之凡土木之妄興鑄山煮海一切暴歛之虐政亦可以止矣其生成變化之數詳見别簡四五紀一曰歲二曰月三曰日四曰星辰五曰厯數紀者如綱之有紀天時所以相維者也此即帝堯命羲和所掌者詳見咨羲和簡中堯之〔？〕象舜之在璿璣禹之叙疇武王之訪天道莫急於此也庻民惟星星有好風星有好雨日月之行則有冬有夏月之從星則以風雨星民象故衆民若星箕星好風畢星好雨日月之行各有常度日行黄道極南則為冬至極北則為夏至南北中近赤道則為春秋分月行九道黒道二出黄道北朱道二出黄道南白道二出黄道西青道二出黄道東周厯四時出入黄道内外逺去六度併黄道為九行也然厯數歩分至之率則隨地南北各有不同焉箕四星像簸箕為簸揚鼓風之器故月行東北宿之則多風春秋緯云月離於箕則風揚沙是也畢八星像义網漉魚之器漉則水淋故月行西南宿之則多雨詩云月離於畢俾滂沱矣是也民情好惡猶夫星然上能同民好惡則風雨以時否則致異皆庻徴之事也秋大熟未穫秋乃周季秋建申九月即夏孟秋七月七月正禾熟未穫時朱子乃謂周未改正為酉戌月非戊辰王在新邑烝祭歲在十有二月春祠夏禴秋嘗冬烝烝冬祭也周雖改正而祭祀則用夏時周十二月建亥之季冬即夏十月孟冬烝宜用仲冬子月而亦有孟冬烝者禮也古今律厯考卷三
## 卷四
欽定四庫全書
古今律厯考卷四 明 邢雲路 撰經四詩經考詩三百自孔子删之自天子以至于庶人莫不有詩古男年六十女年五十無子者官衣食之使採詩邑移於國國以聞於天子則詩之所係大矣詩被諸聲樂協十二律配十二辰如黄鐘為子之類是也故詩通於律厯定之方中作于楚宫揆之以日作于楚室爾雅云營室謂之定星北方宿也營室二星上一星為天子宫下一星為天廟有離宫六星兩兩相繫為天子别宫故置羽林軍四十五以衛之郄萌云將有土功占於營室明則國昌不明則鬼神不享定之方中羙衛文公也衛為狄所滅文公徙居楚邱始建城市而營宫室國人悅之故作此詩言十二月定星昏時在南方正中作此楚宫楚宫楚邱之宫也楚邱在濟河間周十二月建亥卽夏十月建亥小雪之中氣也揆度也謂度其景也公劉傳曰考於日景是也其術四角立柱而以水注地望其高下高下旣定其位乃平於所平之地中央樹八尺之臬以懸䋲正之又畫地為圓䂓朝識日景其端指西暮識日景其端指東兩端長短必與䂓齊測其端則東西正就其中屈之卽為南北盖日中則景短又於晝漏午時叅日中之短景以正南方夜漏子時幷窺北極以正北方此揆日之法也揆正四方作於楚室室亦宫也然營室十月昏中惟衛武時為然厯代以來室漸東移中星各異至今萬厯年以法推十一月中天正冬至日躔箕四度室星昏中以推至小雪十月中日躔房宿而女星昏中以較衛文時退天二十六度矣朱子謂十月可以營制宫室故謂之營室是若營室以十月得名者不知室乃宫室之星占營造則占室星非以十月名營室也若以十月名營室則今十月女昏中於室無預矣乆之天日漸移凢二十八宿十月皆可昏中一室星厯十二月皆可昏中此推歩之數萬世可知者也綢繆束薪三星在天今夕何夕見此良人子兮子兮如此良人何綢繆猶纒綿也三星心星大火東方蒼龍七宿之第五宿也晉國大亂婚姻失時詩人叙其婦語夫之詞曰方綢繆以束薪也而仰見三星之在天今夕不知何夕也而忽見良人之在此又曰子兮子兮其柰此良人何哉蓋喜幸之甚而不自勝之詞也心宿之象三星鼎立中大心天王前星太子後星庶子心星以三月昏見東方春秋時婚姻之禮自季秋盡於仲春三星尚未出也今三月昏心見東方過時矣過時方得婚故作是詩說者謂心為父子夫婦之星為合星嫁者之候又謂三月昏時大火星見使民出火是若以心星主嫁主火矣不知天日漸移心星東轉即如營室星自衛文公至今日躔退天二十六度久之則凡二十八宿皆可三月昏見東方一心星厯十二月皆可昏見東方也主嫁主火又何取焉七月流火九月授衣一之日觱發二之日栗烈無衣無褐何以卒歲三之日于耜四之日舉趾同我婦子饁彼南畆田畯至喜七月陳王業也周公陳豳風之詩見先公后稷公劉風化之所由欲成王知王業之艱難也七月夏正七月建申之月也火大火心星也流下也六月昏火星猶見於南方至七月昏則火下而西流矣知是将寒之漸至九月霜降蠶績功成故授人以冬衣使禦寒也一之日謂十一月建子一陽之月二之日謂十二月建丑二陽之月變月言日言是月之日也下文凡言日者倣此觱發風寒也栗烈氣寒也觱栗𦍑吹角九竅者栗至罅發將墜有戰栗象故以比寒寒而無衣無褐何以終歲乎故九月豫授衣也三之日謂次年正月建寅三陽之月四之日謂二月建卯四陽之月耜田器趾足也饁饋也田畯田大夫勸農之官也正月則徃修田器二月則舉足而耕其時少者在田老者率其婦子具食饋餉彼南畆中之耕作者田畯來至見其勤於農事則喜也月令季冬命農計耦耕事修耒耜孟春天子躬耕帝籍然則修治耒耜當以季冬舉足而耕當以孟春今言豳人以正月修耒二月始耕者豳戎狄之地晚寒故先一月也夏七月即周九月夏九月即周十一月一之日夏十一月即周正月二之日夏十二月即周二月周公陳詩乃用夏正者公劉居豳在夏后氏時故用夏正此詩朱子以為周公所作疑者以為豳人所作逺無所考亦不必辯五月斯螽動股六月莎雞振羽七月在野八月在宇九月在戸十月蟋蟀入我床下穹室熏鼠塞向墐戸嗟我婦子曰為改歲入此室處此皆夏正也斯螽蚣蝑也股似玳瑁五月中兩股相切揺動作聲聞數十歩是以股鳴也江東呼為蚱蜢莎雞一名天雞如蝗而斑色毛翅數重其翅正赤六月中飛而振迅其羽索索作聲是以翅鳴也幽州人謂之蒲錯自五月而隂生動股振羽氣使之然也月令季夏云蟋蟀居壁蟋蟀之蟲六月居壁中至七月從壁内出在野八月在宇下宇屋霤也九月在室户内至於十月則入我床下此皆将寒之漸故三蟲應節而變蟲且近人大寒将至穹窮室塞也向北出牖也墐塗也月令云孟冬之月命有司曰天氣上騰地氣下降閉塞而成冬則十月為閉塞之候故窮盡塞其室中之孔穴熏䑕令出其窟嚮牖屬北則塞之不塞南窻而塞北者禦北來寒風也庻人篳户乃荆竹織門以其荆竹通風故以泥塗之使寒氣不入豳人又吿妻子言已備寒之意曰我所以為此者為歲将改天既寒而事可已過此十月觱發栗烈當避寒氣入此室塞之室而居處之也呂東萊曰十月而曰改歲三正之通於民俗尚矣周特舉而迭用之耳朱子亦謂周厯夏商其未有天下之時固用夏商之正朔然其國僻逺無純臣之義又自有私記其時月者故三正皆曽用也故云十月改歲不知十月曰改歲者蓋時至冬歲事將改猶堯典稱冬為朔易之義蓋十月入寒一歲之女功已止不日觱發栗烈即過明春又更新歲矣况孟冬隂氣已極仲冬陽氣始萌為一陽之日又以陽氣肇始數也此改歲之說也若謂周先公改用子正私記其時月無純臣之義恐未必然且果以十月改歲則又何以二之日為卒歲耶春日遲遲卉木萋萋倉庚喈喈此出車之詩漢註謂西伯受命於商王因命南仲為將徃伐玁狁成功而歸述其所見春日之景也宋註周王命南仲非西伯說者遂謂周若以仲冬季冬為春何以見草木之榮倉庚之鳴因疑周不改夏正殊不知此文王時詩也書稱西伯戡黎詩稱伐崇伐宻則其伐玁狁又何疑焉漢去古未逺其說必有所據宋儒何故改之寅月草木萌動卯月倉庚鳴文王時尚未改周正建子則此景正是商之春月(六月出征章乃四月建巳亦非未月)正月繁霜我心憂傷正月夏之四月乃正陽之正非三正之正也此周大夫刺幽王也幽王用刑急酷以致傷害萬物故天降寒氣而使夏日多霜大夫有憂之曰我心憂傷也洪範曰急恒寒若正此咎徵之謂也四月建巳乃正陽之月純陽用事不宜有霜非正月建寅之正若正月建寅則固宜有霜不足憂矣昭公十七年夏六月甲戌朔日有食之左傳云祝史請所用幣平子禦之曰止也唯正月朔慝未作日有食之於是乎有伐鼓用幣其餘則否太史曰在此月也經書六月傳言正月太史謂之在此月是周之六月為正月也周之六月是夏之四月故知正月夏之四月也謂之正月者巳月以乾用事正純陽之月傳稱慝未作謂未有隂氣故此箋云純陽用事也建巳之正月建寅之正月皆去聲之正字至秦始皇時諱始皇名政始改去聲之正字為平聲至今猶訛呼之(以厯推昭公十)(七年九月日食六月不應食則正月純陽之義亦無取)十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之醜彼月而微此日而微今此下民亦孔之哀十月之交大夫刺幽王也周之十月夏之八月也交㑹而交也十月朔日辛卯日月交㑹而食日君象月臣象以月掩日是隂侵陽臣侵君之象故為亦甚惡也㣲不明也彼月臣象容有被食而不明此日君象今反被食而不明君臣失道災害將起天下蒙毒故今此下民亦甚可哀矣厯法周天三百六十五度四分度之一日月皆右行於天日日行一度月日行十三度十九分度之七是月行疾日行遲二十七日有奇而月行天一周又二日追及與日㑹方㑹則月光都盡而為晦已㑹則月光復蘇而為朔毎月皆㑹而月或在日道表或在日道裏故不食日月之㑹東西同道南北同度則適當交道月掩日而日為之食日月相對則月光正滿而為望望而日月之對同度同道則月亢日而月為之食此之謂交食也交與㑹不同㑹但言其同度交則同度當交道也朱子謂王者修徳則日月雖或當食而月常避日故髙下參差不正相對所以當食不食蘇氏謂十月純隂純隂而食為隂壯之甚二説皆非也日月適當交道而食無當食避日之理古史載當食不食多推筭者之誤間有當食不食者百餘年或一見非月常避日也不正相對是不當交道所以不食耳周之十月乃夏之八月為建酉之月蘇氏以為十月純隂則建亥矣然非建亥也朱子亦謂十月以夏正言之為建亥之月不知以厯法推之十月之交是在周幽王六年乙丑正月建子至十月建酉為十月朔日辛卯日食周十月卽夏建酉之八月朱子與蘇氏俱作建亥盖未察厯數耳古之〔？〕書亡矣後有周厯魯〔？〕皆漢初為之其文無遲疾盈縮考是以漢世通儒未有以厯考此辛卯日食者今以授時法上推周幽王六年乙丑歲距至元辛巳二千五十七年中積七十五萬九百四十二日六十九刻冬至一十二日三十六刻丙子日辰時冬至以歩至十月建酉朔日定朔二十七日三十七刻辛卯日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限是日辰時日食梁太史令虞鄺唐僧一行亦歩得是日日食至有謂辛卯日支干俱隂為變者尤謬厯陽月而日支干俱陽皆食與隂一也哆兮侈兮成是南箕彼譛人者誰適與謀此巷伯刺幽王也寺人孟子遭讒被刑故作是詩也哆說文云張口也因物益大為侈南箕即箕星二為踵二為舌其踵狹而舌廣踵為足根適主也言箕星二踵哆然張口相去已若寛大因又侈之更益寛大而為舌故成是南箕其云踵狹而舌廣者踵對舌為狹耳以比讒人因寺人初有小嫌因而搆之益成其刑罪之禍故云彼讒譛人者誰主與謀而令至此乎安成劉氏曰箕星常見於南方故謂之南箕不知天日漸移以厯法推之箕星有時昏見南方亦有時昏見東南或西南或在地中如前室星心星之更歴十二辰無定在也非常見於南方也其曰南箕者箕在南對斗在北而為言耳維天有漢監亦有光跂彼織女終日七襄此大東之詩刺亂也東國困於役而傷於財譚大夫作是詩以告病焉漢天河監視也跂隅貌襄駕也謂更其肆也東國財力俱困上人不恤無所赴愬愬之於天而已言天有雲漢亦有其光而能監視我耶言有光不能照也織女雖終日七襄徒見其如是有何益耶言未見其織也織女三星鼎足在漢傍跂然如隅陳卓云織女乃天女主女功天有十二次經星一晝夜左旋一周而有餘則終一晝自卯至酉凢七時更其肆凢七辰故云七襄其云自卯至酉之七襄亦東國人時偶見織女從卯東出而言耳以厯推織女亦猶室心諸星之出無定時非常以卯東出也雖則七襄不成報章睆彼牽牛不以服箱東有啓明西有長庚有捄天畢載施之行睆明貌牽牛六星卽牛宿也主牛車犧牲道路闗梁之事爾雅謂河鼔為牽牛非是盖河鼓三星在牽牛北非牽牛也服駕也箱車箱也金星一名太白東方先日而出名曰啓明啓開也先開日之明也西方後日而入名曰長庚庚續也長續日之明也捄長貌天畢畢星也畢八星狀如掩兔之畢承上文言織女雖則七襄終日不能織成報我之文章不惟織女如睆彼牽牛不可以用於駕我之車箱啓明長庚亦未見其助日之光天畢亦未見其掩獸摠無實用但施之行列而已至是則天亦無若我何矣金星太白啓明長庚摠是一星鄭漁仲妄云啓明金星長庚水星金在日西故日將出則東見水在日東故日將没則西見殊不知水星或在日前或在日後亦猶夫金也但水星去日近耳金大而色白故曰太白日一年一周天金星附日而行亦一年一周天有遲疾留退合伏或在日前或在日後前後逺日各三十度蓋太白隂星出西則當伏西出東則當伏東不得專行劉向曰太白少隂不得專行故以己未為界不得經天而行李淳風曰經天者謂太白昏旦當午而見也當午經天其殃為大晝見與經天不同者晝見謂當晝而見猶未過午也經天則旦時當午而見逆行至未而不復昏時當午而見順行至巳而不復所以出東而入西出西而入東也至是則隂不附陽放恣甚矣故其殃大經天晝見乃金星失其常度非厯數自然之度是為變異乆之仍留退合伏附日而行合於厯數一年一周天百世不爽也維南有箕不可以簸揚維北有斗不可以挹酒漿維南有箕載翕其舌維北有斗西柄之掲箕斗二星名挹酌也翕引也舌下二星也箕卽巷伯之南箕箕星好風有簸揚之義南斗六星東四星為魁西二星為柄主爵禄亦酒漿之義言南箕不可以簸揚糠粃北斗不可以挹酌酒漿箕徒翕引其舌斗徒西掲其柄何嘗有所用乎盖譚人困於供億取資於地者皆已竭矣欲取於天又一無所得也南箕對北斗而言箕之東北與斗最近以東西言箕之十度末卽東接斗初度以南北言斗去極一百二十二度在赤道外三十一度箕去極一百二十三度在赤道外三十二度則南北止差一度故以南箕北斗對言之詩傳註謂箕斗二星以夏秋之間見於南方安成劉氏曰六七月間見於南方者指當時昏見為言也劉氏之說為是蓋箕斗二星亦猶室心諸星昏見不同古今各異以厯推之如今萬厯年間夏至昏角中秋分昏斗中各有不同耳四月維夏六月徂暑先祖匪人胡寧忍予四月刺幽王也此大夫遭亂自傷之詩徂往也從此適彼之辭東山云我徂東山小明云我征徂西皆從此往彼也周之四月建卯夏之二月也周之六月建巳夏之四月也言四月建卯為孟夏六月建巳為季夏自巳月而往為午月暑將至矣我先祖豈非人乎何忍使我遭此禍也人窮則反本窮則告親猶正月之篇怨父母之意毛註朱註皆以四月六月為夏正此刺周幽王之詩安得用夏正若以六月為建未未月正小暑大暑之時何言徃暑耶秋日凄凄百卉具腓亂離瘼矣奚其適歸凄凄凉風也腓動也承上言由夏而秋秋日凄凄則百草俱發動矣世道亂離瘼病我将何所適歸乎周七月建申為季秋月令七月凉風至天地始肅禾乃登正凄凄具腓之時也詩傳訓腓為病考易六二咸其腓正義曰腓足之腓腸也腓體動躁王廙云動於腓腸斯則行矣故言腓體動躁也並無訓病之説則季秋禾乃登百草俱發動何疑冬日烈烈飄風發發民莫不榖我獨何害烈烈寒也發發疾貌榖善也承上言由秋而冬冬日寒而且風人莫不善我獨何故遭此亂離之害天下莫不被害乃云民莫不善者據作詩者怨恨之言也周十二月建亥為季冬夏之十月也月令十月水始冰地始凍天氣上升地氣下降閉塞而成冬正烈烈發發之時明明上天照臨下土我征徂西至于艽野二月初吉載離寒暑心之憂矣其毒大苦念彼共人涕零如雨豈不懐歸畏此罪罟小明幽王大夫悔仕於亂世厭於勞役也征行徂徃也艽野地名逺荒之地也周二月建丑之月即夏之十二月非夏正建卯之月也初吉朔日離厯也共人僚友也罟網也言明明之上天照臨下土宜無幽不燭者而我今勞於行役我行往西方至於荒逺之地昔以二月朔日西行今則更歴寒暑矣尚未得歸我心之憂有如毒藥之苦念及靖共爾位之僚友至於涕零如雨我豈不思歸畏此刑罪羅網不敢歸爾昔我往矣日月方除曷云其還歲聿云莫念我獨兮我事孔庶心之憂矣憚我不暇念彼共人睠睠懐顧豈不懐歸畏此譴怒除除舊生新也孔甚庶衆憚勞也睠睠勤厚之意譴怒罪責也言我初往艽野日月方除舊更新之時曷時其還望得早歸也今乃歲已暮矣念我身獨而事衆心之憂愁勤勞不暇念彼共人眷眷懐顧我豈不思歸畏此罪責不敢歸爾日月方除如堯典平在朔易言丑月歲功将興正除舊更新之時自二月丑至十二月亥是歲聿云暮載厯寒暑矣若以二月為建卯安得有除舊更新之事昔我徃矣日月方奥曷云其還政事愈蹙歲聿云莫采蕭穫菽心之憂矣自詒伊戚念彼共人興言出宿豈不懐歸畏此反覆奥室之内也蹙急詒遺興起也反覆無常之意言昔我徃丑月寒時人方在奥室至今政事愈益蹙急歲聿云暮采蕭穫菽矣而尚不得歸念彼共人不能安寢夜而起宿於外我豈不思歸畏此反覆不常恐得罪爾傳註奥煖以為春温二月考韻奥隩同室之内也取藏之義堯典厥民隩言冬月氣寒而民聚於室之内也故奥為丑月况云穫菽菽豆也收豆正今之十月建亥周之十二月為歲暮也是知周正建子嗟嗟保介維莫之春亦又何求如何新畬於皇來牟將受厥明明昭上帝迄用康年命我衆人庤乃錢鎛奄觀銍艾此諸侯來朝成王遣戒勸農之詩也保介農官之副也暮春晚春畬三歲田也於皇歎美之詞來牟麥也明上帝之明賜也迄至也衆人甸徒也庤具也錢銚鎛鎒也錢以剗削镈鋤屬皆田器也奄久也銍穫禾短鎌也艾穫也歎息言爾農官今維暮春何求於民新畬所種牟麥之美將受天之明賜上帝明賜瑞麥至用豐年宜命甸徒具田器治新畬終久必觀銍穫牟麥也維暮之春乃周之季春建寅之月於夏為孟春朱子以為夏正建辰之三月且曰麥將熟也不知月令季冬命民修耒耜具田器孟春天子載耒耜措之保介之間若待建辰之三月方始勸農則晚矣漢鄭氏訓奄為久謂久必觀穫朱子訓奄為忽謂三月牟麥將熟乃以為建辰之三月然三月亦非麥熟時也周制諸侯朝用孟月三月亦非諸侯來朝之月則周正建子明矣古今律厯考卷四
## 卷五
欽定四庫全書
古今律厯考卷五 明 邢雲路 撰經五春秋考隱公元年春王正月周平王四十九年己未即魯隱公元年也諸侯奉天子正朔必用天子之年其國史紀政則自用其年加周王於正月大一統也周以建子為歲首冬十一月建子即春正月蓋併時與月俱改之矣以厯數上考周之春正月即夏之冬十一月春二月即冬十二月以推十二月皆然胡氏謂以夏時冠周月引孔子告顔淵行夏之時為證程伊川謂假天時以立義朱子謂天時不可改引尚書秋大熟未穫為酉戌之月以證周未改月皆非也夫孔子之告顔淵乃斟酌四代之禮樂無不可者蓋孔子之私言也春秋魯國紀事之書也孔子之事莫大於春秋天子未改月而孔子假以夏時冠天子之月有是理乎尚書秋大熟乃周季秋九月建申即夏孟秋七月七月正禾熟未穫之時又何疑焉近世周文安又謂魯史紀年必始於冬十一月所以遵周正朔孔子春秋則始於春王正月所以垂法後世其於春秋以事繋日以日繋月以月繋時以時繋年之法舛錯殊甚矣以厯法推春秋日食皆周正建子之數且如春秋屢書春正月日南至若用夏正豈有正月冬至乎經書二月無氷若用夏正正月東風解凍况二月驚蟄舟楫可通矣何以書無氷也經書秋大水無麥苗夏正之秋安得有麥苗經書十月雨雪十月殞霜殺菽夏正十月安得有菽夏正之冬正霜雪之候而何以爲災則豈非周十月夏八月乎三年春王二月己巳日有食之隱公三年春三月朔己巳日食此書二月日食杜預曰是二月朔不書朔史失之榖梁曰言日不言朔食晦日也公羊曰某月某日朔日有食之者食正朔也其或日或不日或失之前朔在前也或失之後朔在後也謂己巳爲朔二日食也姜岌曰似失一閏朱子曰王者修德則日雖當食月常避日故髙下參差不正相合所以當食不食若國無政則當食必食爲非常之變故春秋日食必書張氏洽曰於厯應食入限者不必盡食月或變行以避之或五星濳在日下禦侮以救之或在陽厯陽盛隂微則不食或德之休明而有小𤯝焉則天爲之隱雖交而不食皆非也蓋隱公三年春二月朔日日不食己巳乃三月建寅月之朔日即夏之正月朔日也春秋時魯厯不正三月朔日己巳誤推爲二月晦日見其晦日食也史官遂不敢書朔然亦非二月朔也姜岌校春秋日食謂是歲二月己亥朔無己巳三月己巳朔去交分入食限爲是然閏在歲前冬十二月建亥之月其謂似失一閏則非唐大衍厯元授時厯推之皆是歲三月己巳朔日食既食在朔則穀梁食晦日公羊食朔二日之說皆非古厯載當食不食者多推筭之誤即間有失行者八分才一乆之旋復其常也朱子謂髙下參差不正相合高下不合正是不當交道故不食則豈有日之行應食入限月却變行避日之事無德則食有德則不食固非至於張氏論五星濳在日下禦侮以救之日在陽厯陽盛隂微則不食又云天爲之隱無論不經之甚且并其五星行度併日在隂陽厯不知爲何事也此亦筆之於經傳中幾何而不誤後學耶以授時上推隱公三年辛酉歲距至元十八年辛巳積年二千年中積七十三萬○四百八十九日天正冬至六日六刻閏餘二十九日四十八刻經朔三十六日五十七刻歲前閏十二月是歲辛酉正月朔日庚午冬至即夏正建子之十一月也以推至二月朔己亥非己巳不入食限推至三月朔五日三十二刻合朔在春三月朔日己巳辰時周之春三月即夏之正月建寅也交泛二十六日六十六刻加時在晝去交分入食限是己巳日辰時日有食之春秋時誤書三月己巳爲二月遂因而誤書三月庚戌天王崩四月辛邜尹氏卒八月庚辰宋公和卒以法推之四月庚戌三月無庚戌五月辛邜四月無辛卯九月庚辰八月無庚辰是年因一誤書而遂三誤其書皆疑以成訛也至次年隱公四年書春二月戊申衛州吁弑其君完則正矣法推四年春二月有戊申九年春三月癸酉大雨震電庚辰大雨雪震雷也電雷光也左傳謂夏之正月微陽始出未可雷電爲非時穀梁謂八日之間再有雨雪大變故謹而日之公羊謂月令二月雷乃發聲正月雷電爲不時劉向云雷未可以出電未可以見雷電既已出見則雪不當復降皆失節也雷電陽也雨雪隂也雷出非其時者是陽不能閉隂隂氣縱逸而將爲害也法推隱公九年春三月無癸酉庚辰癸酉乃二月十日庚辰乃二月十七日春秋時厯法不精日官筭失一閏故以二月作三月既爲二月則是夏之十二月建丑之月非建寅之正月也十二月大寒東風尚未解凍去二月雷乃發聲始電之時更逺此時震電失節益甚矣若大雨雪則是十二月之常非變異也非變異則經不必書蓋由日官誤推二月爲三月故以雨雪爲寅月之變異而不知是月之爲丑月也甚至公羊遂信春秋志異而以雪爲盛隂爲桓將弑隱之象嗟嗟世豈有建丑月雪爲災異耶法推周桓王五年即魯隱公八年丙寅距元至元辛巳一千九百九十五筭中積七十二萬八千六百六十二日七十七刻三月朔六日五十三刻三月朔日庚午是月二十一日庚寅我入祊春秋書之是也閏五月朔三十五日一十二刻是閏五月朔日己亥蔡侯考父卒是月十三日辛亥宿男卒經書六月己亥蔡侯考父卒辛亥宿男卒是不知閏五月也以步至戊辰日四十六刻小滿戊辰即次月六月之朔日也周之六月乃夏之四月故六月爲小滿六月朔四日六十五刻是戊辰日春秋筭失一閏則自此以徃皆差一月矣春秋失閏五月故以夏六月作秋七月經書秋七月庚午宋公齊侯衞侯盟于瓦屋不知庚午之盟推是夏六月三日也經書九月辛夘公及莒人盟于浮來是九月乃八月也八月朔三日七十一刻八月丁夘朔推至二十五日辛夘是公及莒盟之日隱公九年丁夘中積七十二萬八千二百九十七日五十三刻三十分二月朔○日九十刻是二月甲子朔步至初十日癸酉十七日庚辰經書三月癸酉大雨震電庚辰大雨雪即此二月初十之癸酉十七之庚辰因失八年五月之一閏故以二月作三月法推三月朔三十○日四十三刻是甲午朔是月無癸酉庚辰以推周桓王七年戊辰即魯隱公十年中積七十二萬七千九百三十二日二十八刻六月朔五十三日三十九刻是朔日丁巳六日壬戌十五日辛未二十五日辛巳經書六月壬戌公敗宋師于菅辛未取郜辛巳取防此六月六日之壬戌十五日之辛未二十五日之辛巳無不合者則是春秋時日官自八年失五月一閏以後俱差一月差至九年三月以後日官覺其不合方補一閏所以至十年六月仍合厯數復其常也經書十年冬十月壬午齊人鄭人入郕法推十月朔五十一日五十一刻朔日乙夘二十八日壬午爲齊鄭入郕之日允合則以補足一閏之故耳春秋時厯官不惟無盈縮遲疾考并其步朔亦踈所以二百四十二年間多有失閏月日既差以推交食有在晦者朔後者夜食者皆非也舉此一年之差餘可知矣桓公三年秋七月壬辰朔日有食之既此周桓王十一年魯桓公之三年也姜岌以爲是歲七月癸亥朔無壬辰亦失閏其八月壬辰朔去交分入食限大衍與姜岌合元史謂以今厯推之是歲八月壬辰朔加時在晝日食六分有竒夫元史所謂今厯者授時法也以授時推周桓王十一年壬申歲距至元十八年辛巳歲積一千九百八十九筭中積七十二萬六千四百七十一日一十一刻一十六分以步至七月癸亥朔不入食限八月定朔二十八日六十三刻是八月朔日壬辰申時合朔交泛二十七日○加時在晝去交分入食限日食六分有竒經書七月日食乃春秋時不應閏而先閏以致誤八月爲七月然八月朔日食六分有竒亦非食既則有不同耳四年春正月公狩于郎周之正月夏之十一月建子之月也取獸於田曰狩狩冬獵也周禮中春教振旅遂以蒐中夏教茇舎遂以苗中秋教治兵遂以獮中冬教大閱遂以狩戎祀國之大事狩所以講大事也用民以訓軍旅所以示武取物以祭宗廟所以教孝周雖改正然田狩則從夏時十一月正夏之仲冬當狩之時故以春狩盖用冬狩之禮書時禮也禮諸侯田狩不過郊郎非國内之狩書于郎譏逺也即春行冬狩是周正建子之證若莊四年書冬公及齊人狩于禚是周之冬十二月夏之冬十月僖二十八年冬天王狩于河陽亦然周文安乃疑莊僖之狩爲秋非也哀十四年書春西狩獲麟是子丑之月亦爲冬狩五年秋大雩螽雩者旱請雨祭名雩之言吁也大旱則吁嗟以求雨凡祀啟蟄而郊龍見而雩始殺而嘗閉蟄而烝過則書龍見者周時建巳之月秋大雩書不時也成王尊周公賜魯重祭得郊禘大雩爲壇於南郊之旁雩五方上帝配以先帝盛樂皆作故曰魯之郊禘非禮也雩得雨書雩不得雨則書旱昭二十五年再雩則曰旱甚經書雩二十一書秋者七書七月者二書八月者四書九月者七書冬者一秋不雨雩之是也成七年書冬大雩穀梁云冬無雩也非也然周之十月今之八月若久不雨可無雩乎螽蜙蝑之屬蝗也長而青長角長股一生九十九子上書雩螽常因旱而生既旱又蝗故書以記災禮月令曰仲冬行春令則蝗蟲爲敗何氏曰煩擾之應劉歆曰貪虐取民則螽春秋書螽者十凡八皆應螽之時惟哀十二年十三年兩書十二月螽十二月今之十月不宜螽而螽則以失閏之故誤建戌月爲建亥月也左氏論之詳矣六年秋八月壬午大閱大閱簡車馬也外事用剛日兵外事故用壬午先王四時之田皆於農隙以講武三時所教其法皆略惟仲冬農事皆畢乃教大閱大修戰陣是周正建子之月夏之仲冬也今桓公秋之八月乃建未之月夏之六月盛夏煩暑而驅南畝之民大閱兵車祇以懼鄭忽畏齊人故也厲農不時甚矣故書八年春正月己夘烝夏五月丁丑烝春曰祀夏曰禴秋曰嘗冬曰烝烝冬祭也周雖改正而祭祀則用夏時周之正月夏之仲冬也左傳杜氏曰此夏之仲冬非爲過而書者爲五月復烝見凟也榖梁則謂烝冬事而春興之爲志不時非矣周之仲夏五月建辰乃夏之季春三月也桓公以春行冬祭爲非禮故追書正月烝以見其凟再書而一貶也若不書前一烝即似子月未烝辰月乃烝耳冬十月雨雪周之十月孟冬建酉夏之八月也建酉之月隂陽方中而寒氣先至未霜而雪爲隂侵陽之象若僖十年書冬大雨雪周之冬酉戌亥月也酉戌之月大雪非時雖建亥之月尚屬小雪亦非大雨雪之時故書髙氏以申月爲冬非也十有四年春正月無冰豳風曰二之日鑿冰冲冲三之日納于凌隂四之日其蚤獻羔祭韭凌人之職丑月鑿冰於山寅月藏於冰室夘月獻羔開冰先薦寢廟今子月沍寒燠而無冰記異也五行傳曰視之不明是謂不哲厥咎舒厥罰常燠是謂君不明政治舒緩縱夫人淫佚隂爲陽行之所致此年正月書無冰成元年二月書無冰襄二十八年書春無冰皆周之春夏之冬也秋八月壬申御廩災乙亥嘗御廩公所親耕以奉粢盛之倉也天火曰災嘗秋祭也公羊曰何以書記災也譏嘗也御廩災不如勿嘗而已矣穀梁曰未易災之餘而嘗也志不敬也左傳謂御廩雖災不害嘉穀祭不應廢則非矣周之八月建未夏之六月也秋嘗以建酉之月隂氣始殺嘉穀始熟取物成薦新爲義今夏之六月物未西成未可嘗也失其時也周官時享前期十日帥執事而卜日誓戒今壬申災距乙亥相間止二日正遇災而懼修省之時乃不改卜不誓戒災尚未易用火災之餘以祭宗廟則不敬也不如勿嘗而已矣十有七年冬十月朔日有食之左氏云不書日官失之穀梁曰言朔不言日食既朔也謂月二日食也大衍推在十一月朔交分入食限以授時推桓公十七年丙戌歲距元辛巳中積七十二萬一千三百五十七日六十九刻以步至十月朔不入食限十一月定朔六日五十九刻是十一月朔日庚午未時合朔交二十六日八十五分加時在書去交分入食限經書十月者乃春秋時不應閏而先閏以致誤十一月為十月史官見其不合也遂不書日榖梁謂食朔二日亦非莊公七年夏四月辛夘夜恒星不見夜中星隕如雨恒星列星即常見之經星也隕墜也言衆星流墜如雨之衆也經星沒衆星流其變大矣天星雖有時不見久之仍復其常雖隕乃氣之散非墜而無也天星有數若眞沒而隕何以從右至今並未少一星耶厯法推日月躔離今在某星度古在某星度千歲可坐致也秋大水無麥苗周之孟秋七月夏之五月也髙下有水災曰大水五月麥熟禾苗正發大水漂盡故書無記災也苗者五稼之通稱生曰苗秀曰禾至二十八年書冬大無麥禾酉戌亥月俱謂之冬冬正五穀通獲之時是年麥與諸禾一無所獲故冬書大無麥禾經㫖自明而傳謂有司㑹計歲入之多寡虚實然後知倉廩之竭非也八年春正月甲午治兵周禮中秋教治兵酉月也此以建子之春正月教治兵非其時矣莊公與陳蔡有事於鄰國師次于郎以俟陳人蔡人不至暴師露衆役乆不用則有失伍潰散之虞故復申明軍法以整齊之其志非善之也譏黷武也十有八年春王三月日有食之穀梁云不言日不言朔夜食也何以知其夜食也王者朝日蓋天子𤣥冕而朝日於東門之外日始出而有虧傷之處是以知其夜食也大衍推是歲三月不應食五月朔交分入食限以授時推莊公十八年乙巳歲距至元辛巳中積七十一萬四千四百一十八日四刻以步至三月朔不入食限既不入食限則夜亦不食春秋推三月食見其不食遂疑不書日穀梁以爲夜食則鑿矣法推是歲五月定朔四十八日六十五刻是五月朔壬子日申時合朔交一十三日五十一刻八十分加時在晝去交分入食限元史云蓋誤五爲三也二十有三年夏公如齊觀社諸侯非享覲不踰竟社者諸侯祭土示之常事未聞鄰國之君徃觀之者齊因祭社蒐軍實誇示威衆聚人觀之莊公乃越竟如齊觀社穀梁以是行爲尸女尸主也以觀社爲辭主爲女徃爾蓋盛其車華其服以炫惑婦人之聚觀者而蠱其心要其從已也故書以譏之祭社在夏仲春建夘二月周之夏四月也二十有五年夏六月辛未朔日有食之鼓用牲于社鼔伐鼓也鼓有聲救日伐鼓舉陽事以鼓聲壓隂氣也左氏云非常也唯正月之朔慝未作日有食之於是乎用幣于社伐鼓于朝言夏之四月建巳純陽爲正陽之月其五月隂慝之氣尚未作日食則鼔餘則否此周之六月夏之四月也以長厯推之辛未實七月由置閏失所不應閏而閏誤以七月爲六月實非正陽常鼔之月故傳云非常也夫謂置閏失所固是謂唯正陽伐鼓則非夏書記季秋月朔辰弗集于房瞽奏鼔豈必正陽之月哉蓋禮諸侯用幣于社伐鼓于朝退而自責社乃上公之神故用幣以請救于上公牲則祭祀之事書鼔用牲于社譏其不鼓于朝而鼓于社又用牲皆非禮也若公羊謂用牲爲責求乎隂之道社爲土地之主月爲土地之精上繋于天而犯日故鳴鼓而攻之以脅其本又謂社爲日光所闇恐人犯之以朱絲營衛之則鑿矣大衍推是歲辛未朔交分入食限以授時推莊公二十五年壬子歲距至元辛巳中積七十一萬一千八百六十日八十九刻以步至六月朔不入食限七月定朔七日六十一刻是七月朔日辛未未時合朔加時在晝交二十七日四刻去交分入食限則左傳註疏謂長厯推辛未爲七月朔春秋時不應閏而先閏誤書七月爲六月是也二十有六年冬十有二月癸亥朔日有食之以授時推是歲癸丑十二月定朔五十九日三十八刻癸亥朔巳時合朔交一十四日三十五刻入食限合二十有九年冬十有二月城諸及防諸防皆邑名左傳云書時也凡土功龍見而畢務戒事也火見而致用水昏正而栽日至而畢謂周十一月夏之九月龍星角亢晨見東方三務始畢戒民以土功事周十二月初夏之十月初大火心星次角亢之後而晨見東方則致築作之物周十二月中夏之十月中北方水星七宿中之定星昏見於南方正中於是樹板幹而興作日南至周之正月夏之十一月也冬至微陽始動故土功息今以十二月城邑故云書時也穀梁云可城也范氏註凡城皆譏今云可者謂冬可用耳不謂無譏吳氏曰年前冬築郿大饑告糴今春新延廐又城諸防豈不爲譏范吳之說爲得之厯推星漸東移晨見昏中各異乆之龍火厯十二月皆可晨見東方定厯十二月皆可昏中非一定也若日至而畢則古今一致三十年秋九月庚午朔日有食之鼓用牲于社書鼔用牲于社譏失禮如二十五年也以授時推是嵗丁巳九月朔不入食限十月朔六日五十七刻庚午朔日未時合朔交泛一十四日四十六刻入食限大衍同蓋春秋不應閏而先閏一月誤以十月為九月也僖公二年冬十月不雨三年春王正月不雨夏四月不雨六月雨左傳註疏云一時不雨則書首月皆竟時不雨次月不雨不復書也故四月不雨五月不雨不復書六月得雨乃書之此由不雨日乆方始追叙其事每時一書也穀梁曰不雨者勤雨也一時言不雨閔雨也閔兩者有志乎民者也雨云者喜雨也喜雨者有志乎民者也僖公賢君也因旱退辟正殿飭過求已循省百官放佞臣郭都等理寃獄四百餘人精誠感天不雩而得㴻雨故冬不雨而書春不雨而書夏不雨而書以志勤六月雨而書以志喜若文公不知勤民則自十有二月不雨至于秋七月而書自正月不雨至于秋七月而書以著其慢也夫僖公之六月夏之四月建巳之月也巳月得雨猶可耕種若用夏正則六月乃建未之月厯三時不雨未月方雨則春不耕夏不種爲災大矣何杜氏云不曰旱不爲災也諸儒猶謂周正不建子耶五年春左傳五年春王正月辛亥朔日南至公既視朔遂登觀臺以望而書禮也凡分至啟閉必書雲物爲備故也註䟽謂辛亥朔月一日也南至冬至也不曰冬至而曰南至周改十一月爲春也天子班朔諸侯受而藏之於太祖廟每月朔告廟受而行之天子有靈臺諸侯有觀臺臺上構屋可以逺觀望也公既視朔遂以其日往登觀臺以望雲物之氣色書其所見是禮也周禮保章氏以五雲之物辯吉㓙水旱降豐荒之祲象故觀凡春秋分冬夏至立春立夏爲啓立秋立冬爲閉用此八節之日必登臺書雲物察妖祥逆爲之備也視朔者月朔之禮也登臺者日至之禮也此朔即是至日故視朔而遂登臺也步厯之始以朔旦冬至爲首至十九年七閏復得朔旦冬至爲一章是先閏十二月月半已得正月節故此正月朔日南至也然春秋厯法不精推筭誤矣以授時推周惠王二十二年即魯僖公五年丙寅歲距元至元辛巳一千九百三十五年中積七十萬六千七百四十七日九十一刻四十分天正冬至辛亥一十四刻閏餘二十七日九十七刻經朔一十九日一十七刻是歲正月壬午日合朔三十日辛亥日南至二月經朔四十八日七十刻壬子日合朔三月經朔一十八日二十三刻壬午日合朔閏三月經朔四十七日七十六刻辛亥日合朔是三月方閏也春秋時不宜閏而先閏十二月遂以正月爲閏十二月以正月三十之辛亥日南至誤推後天一日爲閏月後正月朔之辛亥日南至乃以二月朔壬子推爲正月二日且二月朔原是壬子春秋既以辛亥晦推爲朔此朔幸不遇日食若遇日食則在朔二日故春秋時日食日官見其不合也遂不敢書朔而公羊亦疑其爲朔二日或晦日然實非朔二日與晦日也蓋春秋厯官不知僖公五年三月方置閏故以不閏作閏以後月作前月以晦作朔也元史謂僖公五年正月辛亥朔旦冬至授時得辛亥與天合謂辛亥與天合則可謂正月朔旦與天合則不可亦守敬忽而未察耳是嵗九月日食何允合則以春秋十二月閏授時三月閏均之已閏所以合也夫朔旦南至爲厯閏一章之首朔爲告廟班令之期至日爲書雲物察妖祥之備所係匪輕此而俱差日官謂何叵柰後之疇人猶安於差且認爲無差而泄泄然也秋九月戊申朔日有食之元史無是年日食春秋有之蓋守敬遺之也以授時推僖公五年丙寅距元辛巳中積七十○萬六千七百四十七日九十一刻四十分步至九月定朔四十四日五十七刻是戊申日未時合朔交泛二十六日八十九刻八十五分入食限允合冬晉人執虞公左傳晉侯假道於虞以伐虢公問於卜偃曰吾其濟乎對曰克之公曰何時對曰童謡云丙之晨龍尾伏辰均服振振取虢之旂鶉之賁賁天䇿焞焞火中成軍虢公其奔其九月十月之交乎丙子旦日在尾月在䇿鶉火中必是時也冬十二月丙子朔晉滅虢遂襲虞滅之執虞公註疏謂徒歌無樂謂之謡乙亥日夜半合朔在尾十四度尾辰合朔故龍尾伏而不見至丙子晨旦日行四分度之一月行三度有餘日在尾星月在天䇿傅說星栁星張之鶉火星在南方正中是時上下均同戎服振振而盛取虢國之旌旂鶉火星賁賁可見天䇿在日東近日焞焞無光此鶉火中之時軍功成虢公奔在九月十月晦朔之交其云九月十月謂夏九月十月也云冬十二月則夏十月也以授時推僖公五年丙寅距元辛巳中積七十萬六千七百四十七日九十一刻步至周十一月即夏九月丁未日合朔是月大月三十丙子步周十二月即夏十月定朔一十三日二刻丁丑日子時合朔日躔尾一十三度九十八分曉中星翼八度四十分在鶉尾左傳謂丙子旦今推丁丑旦昔推鶉火中今推鶉尾中似微不同然鶉尾即近鶉火晉人用兵破敵自丙子破至丁丑皆可揚兵豈在一時固不害其爲同也若夏九月十月之交即周十一月十二月之交卜偃周人何以言夏正想周雖改正而周人相沿或猶以夏時論事不然何以上文云童謠十月朔丙子旦奔虢公下文即繼云冬十二月丙子朔晉滅虢是知十二月之丙子即十月之丙子也十有二年春王三月庚午日有食之杜氏云不書朔官失之姜氏云三月朔不應食五月庚午朔入食限大衍同以授時推是年癸酉距元辛巳中積七十萬四千一百九十一日二十分步至三月不食五月定朔六日五十六刻是庚午日未時合朔交泛二十六日五十一刻入食限元史云蓋五誤爲三也十有五年夏五月日有食之左氏云不書朔與日官失之范氏云夜食大衍推四月癸丑朔入食限以授時推是年丙子距元辛巳中積七十萬三千九十五日四十七刻步至四月定朔四十九日九十三刻是癸丑日亥時合朔交泛一日一十三刻一十六分乃入月食限非日食也即入日食限而食於亥時夜食亦不救况兩月皆不入交乎郭守敬筭入食限亦不明言加時在晝夜皆非也十有六年春王正月戊申朔隕石于宋五邵子云星在地則爲石在天則爲星宋襄公不德致有隕石之異聞其隕視之石數之五也以厯數推僖公十六年丁丑歲距元辛巳一千九百二十四年中積七十萬二千七百三十日二十二刻天正冬至四十四日八十三刻天正閏餘二十九日五十刻天正經朔一十五日三十三刻合朔戊寅日是嵗嵗前應閏十二月步至正月經朔四十四日八十六刻戊申日合朔即是日八十三刻天正冬至是春王正月戊申朔日南至三十有三年冬十有二月隕霜不殺草李梅實周之十二月夏之十月也十月霜宜殺草而不殺李梅宜剥落反花而再實皆冬煖之咎徴也以授時推僖公三十三年甲午距元辛巳一千九百七年中積六十九萬六千五百二十一日七刻步至三月經朔五日三十四刻己巳日合朔是月十三日辛巳二十五日癸巳四月經朔三十四日八十八刻己亥日合朔是月無辛巳癸巳經書四月辛巳晉人及姜戎敗秦師于殽癸巳葬晉文公乃三月之辛巳癸巳也盖由三十二年癸巳應置閏而失閏故差一月至十二月經朔三十一日一十二刻以縮疾減之甲午日合朔至十二日乙巳是月十九日得中氣則乙巳正十二月公薨于小寢之日也長厯推為十一月十二日乙巳謂是月經書十二月公至自齊乙巳公薨于小寢隕霜不殺草李梅實晉人陳人鄭人伐許以上四事皆差則非矣春秋忽然而四月差又忽然而十二月不差其矛盾類如此古今律厯考卷五
## 卷六
欽定四庫全書
古今律厯考卷六 明 邢雲路 撰經六春秋考文公元年春二月癸亥日有食之左傳不書朔官失之公羊有朔字姜氏云二月甲午朔無癸亥三月癸亥朔入食限大衍亦以爲然以授時推是年乙未距元辛巳中積六十九萬六千一百五十五日八十二刻步至三月定朔五十九日四十八刻癸亥日午時合朔交泛二十六日五十九刻入食限春秋書二月錯也若二月朔癸亥則三月癸巳四月癸亥至二十五無丁巳矣經何以曰四月丁巳葬僖公夏四月丁巳葬我君僖公左傳云閏三月非禮也先王之正時也履端於始序則不愆舉正於中民則不惑歸餘於終事則不悖謂先王履步厯之初始以爲術厯之端四序則不愆過舉中氣以正月民則不疑惑歸其餘日於終以置閏則時事不悖亂是年春秋閏三月非禮也法推前閏月當在僖公三十二年至文公元年十二月方再閏元年四月經朔二十九日二十四刻癸巳日合朔至二十五日丁巳是葬僖公之日春秋於僖公三十二年失閏至文公元年三月方置閏故左傳以爲非禮惟三月補閏所以四月朔得癸巳之常而月内有丁巳也孔穎達謂春秋之世厯法錯失所置閏月或先或後不與常同積而成多以失弦望朔晦則不得不改憲以順之者以此十有五年六月辛丑朔日有食之鼓用牲于社左傳云非禮也言猶莊公之非也以授時推是年己酉中積六十九萬一千四十二日四十刻六月定朔三十七日三十二刻辛丑日辰時合朔交泛二十六日四十四刻入食限宣公八年秋七月甲子日有食之既杜氏云七月三十日食姜氏云十月甲子朔食大衍同授時推是年庚申中積六十八萬七千二十四日五十二刻步至秋七月朔不入食限十月定朔五十六刻甲子日未時合朔交泛二十六日七十九刻日食九分有竒日食九分以上亦爲食既經書七月元史云蓋十誤爲七也十年夏四月丙辰日有食之左氏云不書朔官失之范氏云食晦以授時推是年壬戌中積六十八萬六千二百九十四日三刻步至四月定朔五十二日三十五刻丙辰日辰時合朔交泛一十四日九刻入食限合范謂食晦非十有七年夏六月癸卯日有食之左氏云不書朔官失之姜氏云六月甲辰朔不應食大衍云是年五月在交限六月甲辰朔交分已過食限盖誤以授時推是年己巳中積六十八萬三千七百三十七日三十二刻步至五月定朔一十一日七十四刻乙亥日酉時合朔交泛四十刻入食限若六月甲辰朔交二日已過食限大衍爲是蓋春秋失一閏誤以五月爲六月也然郭守敬亦不明言加時在晝蓋疑七十四刻酉時恐入夜故如僖公十五年夜月食不明言加時晝夜殊不知酉時合朔食甚則初虧在申可知是加時在晝合矣成公十有六年夏六月丙寅朔日有食之以授時推是年丙戌中積六十七萬七千五百二十八日一十七刻六月定朔二日六十一刻丙寅日未時合朔交泛二十六日九十八刻入食限合是月日食乃爲正陽之月慝未作隂侵陽伐鼓用幣爲宜十有七年冬十有二月丁巳朔日有食之姜氏云十二月戊午朔無丁巳似失閏大衍推十一月丁巳朔交分入食限授時推是年丁亥中積六十七萬七千一百六十二日九十三刻步至十一月定朔五十三日四十八刻丁巳日午時合朔交泛一十四日二十八刻入食限與大衍同蓋春秋時失一閏誤以十一月爲十二月也襄公十有四年春二月乙未朔日有食之授時推是年壬寅中積六十七萬一千六百七十六日二十六刻二月定朔三十一日五十四刻乙未日未時合朔交泛一十四日一十三刻入食限合十有五年秋八月丁巳日有食之杜氏云八月無丁巳丁巳七月一日也姜氏云七月丁已朔食失閏也大衍同授時推是年癸卯中積六十七萬一千三百一十一日二刻步至七月定朔五十三日三十一刻丁巳日辰時合朔交泛二十六日三十三刻入食限是七月朔食非八月二十年冬十月丙辰朔日有食之授時推是年戊申中積六十六萬九千四百九十二日八十刻十月定朔五十二日六十三刻丙辰日申時合朔交泛一十三日七十六刻入食限合二十有一年秋九月庚戌朔日有食之冬十月庚辰朔日有食之榖梁釋此年與二十四年皆頻月日食據厯無頻食之理但古或有之姜氏謂比月而食非大衍亦以爲然授時推是年己酉中積六十六萬九千一百二十七日五十五刻步至九月定朔四十六日六十五刻庚戌日申時合朔交泛一十四日三十六刻入食限是也步至冬十月庚辰朔已過交限不應頻食姜説爲是蓋厯推日食凡一百七十三日一交一年止二交交在朢前朔則日食朢則月食交在朢後朢則月食後月朔則日食交正在朔則日食旣前後朢不食交正在朢則月食旣前後朔不食蓋前後不出陽八度隂六度日月交有一定豈有比月頻食之理劉炫云漢末以來八百餘載都無頻月日食之事蓋多歴世代傳冩失眞先儒因循莫敢改易也入春秋惟是年九月十月又二十四年七月八月兩書頻食考二十一年閏在夏前二十四年閏在春初想當時日官筭失一閏誤以二十一年之九月作十月朔日食以二十四年之七月作八月朔日食已書之史矣旣而見其失閏不合也乃於二年各補足一閏書爲二十一年九月朔日食二十四年七月朔日食此兩冊俱存而後之修史者遂併収錄之然比食之說則千古所無不必辨者二十有三年春王二月癸酉朔日有食之授時推是年辛亥中積六十六萬八千三百九十七日六刻二月定朔九日三十七刻癸酉日辰時合朔交泛二十六日五十六刻入食限合二十有四年秋七月甲子朔日有食之旣八月癸巳朔日有食之大衍云不應頻食在誤條授時推是年中積六十六萬八千三十一日八十二刻四十七分步至七月定朔五十七刻甲子日未時合朔交泛一十三日八十七刻入食限日食九分有竒爲食既是也步至八月朔立分不叶不應食猶之二十一年無比食之理二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之左氏書經十二月乙卯朔日有食之傳十一月乙亥朔日有食之辰在申司厯過也再失閏矣經十二月乙卯非傳十一月乙亥是左云辰在申再失閏者謂從子至亥十二謂之辰斗柄在天指角亢之㝛在大角攝提謂之建星日昏時斗柄所指於十二辰在焉周十一月夏九月也九月斗當建戌而辰指在申申與戌差兩月是司厯再失閏兩月未閏也厯法十九年爲一章章有七閏自文公十一年至襄公十三年凡五十七年已成三章當有二十一閏又從襄十四年至二十七年凡十四年又當有五閏通計七十一年應有二十六閏而長厯推得二十四閏計少兩閏故云司厯過也姜氏云十一月乙亥朔交分入食限大衍同以授時推是年乙卯中積六十六萬六千九百三十六日九刻十一月定朔一十一日二十四刻乙亥日夘時合朔交泛七刻入食限若推十二月朔無乙亥亦不入食限然斗柄所指九月宜戌昔時則然乆之十二辰皆可指非一定也二十有八年春無冰左傳云梓愼曰今兹宋鄭其饑乎歲在星紀而淫於𤣥枵以有時菑隂不堪陽蛇乘龍龍宋鄭之星也宋鄭必饑𤣥枵虚中也枵耗名也土虚而民耗不饑何爲禆竈曰今兹周王及楚子皆將死歲棄其次而旅於明年之次以害鳥帑周楚惡之註疏謂梓愼魯大夫歲歲星也星紀在丑斗牛之次孫炎曰星紀日月五星之所終始也故謂之星紀𤣥枵在子虚危之次虚在正北北方色𤣥故曰𤣥枵枵之言耗虚之意也九年傳稱晉侯問公生歲乃云十二年矣是謂一終一星終也言歲星十二年一周天也十八年晉董叔曰天道多在西北是言其年歲星在亥也歲星右行於天至此十一年行未及周當在星紀明年乃當在𤣥枵今年已在𤣥枵是淫行失次也時菑無冰也盛隂用事而温無冰是隂不勝陽地氣發洩也蟲獸在地而有象在天二十八㝛分在四方方有七㝛共成一象東方爲青龍之象西方爲白虎之象皆南首北尾也南方爲朱鳥之象北方爲𤣥武之象皆西首東尾也龜蛇二蟲共爲𤣥武故蛇是𤣥武之㝛虚危之星也龍歲星木也木爲青龍乃天之貴神福德之星今失次出虚危下龍在下蛇在上爲蛇所乘也歲星本位在東方東方夘爲大火房心宋之分野辰爲壽星角亢鄭之分野龍爲宋鄭之星故饑𤣥枵虚星在中地氣發洩而春温無冰是土虚不實而人民耗損不饑何爲禆竈鄭大夫言歲星棄其所居星紀之次乃客旅於明年𤣥枵之次歲星所在其國有福失次於北禍衝在南南爲朱鳥帑者細弱之名於人則妻子爲帑於鳥則鳥尾爲帑天之分野鶉火周分鶉尾楚分歳星之衝當此周楚之分故周王楚子受其咎也歲星客在𤣥枵惟衝鶉火而鶉尾亦有咎者蓋以歲星漸西衝則漸東故衝其鳥身而及其尾也是年天王崩楚子卒明年鄭饑宋亦饑皆驗夫一歲星淫也梓愼禆竈所占不同其事俱驗丘明兩載之以示占卜之驗惟人所在耳以授時推春秋歲星皆先天一宫益疏逺蓋授時步氣朔近宻於五星則仍舊未改其數故疏須測驗更正乃得其眞余測法詳見别簡昭公七年夏四月甲辰朔日有食之授時推是年丙寅中積六十六萬二千九百一十八日四十刻四月定朔四十日五十二刻甲辰日午時合朔交泛二十七日二刻入食限合考之左傳云是日日食晉侯問於士文伯曰誰將當日食對曰魯衞惡之衞大魯小公曰何故對曰去衞地如魯地於是有災魯實受之其大咎其衞君乎魯將上卿註云亥娵訾衞地也戌降婁魯地也娵訾之次一名豕韋日食於豕韋之末及降婁之始乃息故禍在衞大在魯小言災發於衞而魯受其餘禍也八月衞侯惡卒十一月魯季孫宿卒驗矣授時推是朔日躔由亥入戌十餘度則已過其界似與春秋不恊但古今宫界之分或有不同不可考耳九年夏四月陳災天火曰災陳已滅矣此何以書公榖皆云存陳也不與楚滅也左傳鄭禆竈曰五年陳將復封封五十二年而遂亡子產問其故對曰陳水屬也火水妃也而楚所相也今火出而火陳逐楚而建陳也妃以五成故曰五年歲五及鶉火而後陳卒亡楚克有之天之道也故曰五十二年註陳顓頊之後爲水屬火畏水爲之妃以丁爲壬妃也楚之先祝融爲高辛氏火正主治火事火心星也火出於周爲五月而以四月出者長厯推閏當在此年五月後而前年已閏八月故四月得火見火星見而天火適災於陳陳水也水得妃而興陳興則楚衰故曰逐楚而建陳五行各相配合得五而成故五年陳復封天數以五爲紀故五及鶉火也歲星天之貴神所在之國必昌歲在鶉火火得歲星之助火盛則水衰陳封四歲及鶉火後四周四十八歲凡五及鶉火楚復滅陳故曰五十二年授時推是年戊辰中積六十六萬二千一百八十七日九十一刻步至三月朔日甲子二十九日壬午得中氣閏三月朔日癸未無中氣四月朔日壬子得中氣是是年閏三月也旣閏三月則四月朔日日躔婁三度戌宫之盡將退入酉昏後火出於東固其宜也長厯推前年閏八月此年閏五月皆非十有五年六月丁巳朔日有食之大衍推五月丁巳朔食失一閏授時推是歲甲戌中積六十五萬九千九百九十六日四十五刻五月定朔五十三日五十五刻丁巳日未時合朔交泛一十三日九十五刻二十九分入食限經云六月非十有七年夏六月甲戌朔日有食之左傳祝史請所用幣昭子曰日有食之天子不舉伐鼓於社諸侯用幣於社伐鼓於朝平子禦之曰止也唯正月朔慝未作日有食之於是乎有伐鼓用幣禮也其餘則否太史曰在此月也註疏謂此年六月日食是夏之四月正陽之月也禮正陽之月日食當用幣故魯之祝史請之昭子謂日食天子不舉盛饌伐鼓於社以責羣隂諸侯用幣於社請上公以救日伐鼔於朝退而自責禮也平子禁禦之曰止也惟四月純陽用事爲正陽之月五月一隂生之隂氣未動隂爲慝乃慝未作此朔日食隂侵陽重於是乎伐鼓用幣禮也餘月則否蓋平子以六月非四月不知周之六月夏之四月也四月建巳正是純陽五月一隂未生之月故太史曰在此月也姜氏云是年六月乙巳朔交分不叶不應食當誤大衍云在九月朔六月不應食姜氏是也授時推是年丙子中積六十五萬九千二百六十五日九十六刻歩至六月朔不入食限九月定朔一十日一十八刻甲戌日寅時合朔交泛二十六日七十六刻入食限夫日食旣非六月則於慝未作正陽之月無取矣秋郯子來朝左傳郯子來朝公與之宴昭子問焉曰少皥氏鳥名官何故也郯子對曰吾祖也我知之矣昔者黃帝氏以雲紀故爲雲師而雲名炎帝氏以火紀故爲火師而火名共工氏以水紀故爲水師而水名太昊氏以龍紀故爲龍師而龍名我高祖少皥摰之立也鳯鳥適至故紀於鳥爲鳥師而鳥名鳯鳥氏厯正也𤣥鳥氏司分者也伯趙氏司至者也靑鳥氏司啓者也丹鳥氏司閉者也仲尼聞之見於郯子而學之考郯子少皥之後少皥金天氏黃帝之子也少昊受黃帝黃帝受炎帝炎帝受共工共工受太昊故先言黃帝上及太昊稽之於易炮犧神農黃帝相繼之世可知鳯鳥知天時故以名厯正之官𤣥鳥燕也以春分來秋分去伯趙伯勞也以夏至鳴冬至止靑鳥鶬鷃也以立春鳴立夏止丹鳥鷩雉也以立秋來立冬去故分至啓閉以鳥名官以鳯凰氏爲之長夫天時鳥且不違而况於人乎冬有星孛於大辰孛彗星也左傳冬有星孛於大辰西及漢申湏曰彗所以除舊布新也今出於火必布焉諸侯其有火災乎梓愼曰火出於夏爲三月於商爲四月於周爲五月夏數得天若火作其四國當之在宋衞陳鄭乎宋大辰之虚也陳大皥之虚也鄭祝融之虚也皆火房也星孛及漢漢水祥也衞顓頊之虚也故爲帝丘其星爲大水水火之牡也其以丙子若壬午作乎水火所以合也若火入而伏必以壬午不過其見之月鄭禆竈言於子産曰宋衞陳鄭將同日火若我用瓘斝玉瓉鄭必不火子産弗與註疏謂冬夏之八月也月令仲秋日在角昬牽牛中大辰房心尾也天漢在箕斗間於是時大辰見天漢之西今有孛於大辰之西而尾東指光芒厯辰星而東及於天漢也申須魯大夫布布新也火出謂昬見也夏三月見商四月見周五月見夏數得天時之正也虚者舊居之處謂先王先公嘗居此地也大辰大火宋分野大皥居陳木火所自出祝融髙辛氏之火正居鄭火房火舍也衞地昔帝顓頊居之内有顓頊冢故爲帝丘天漢爲水衞營室星水也隂陽有五行嫁娶之法水畏火故以丁爲壬妃是水爲火之牡牡雄也丙是火日午是火位壬是水日子是水位丙子壬午水火合而相薄必行其意但慧在大辰爲多及漢爲少水少火多故水不勝火火行其意水必助之故此丙子壬午之日當有火災火入而伏謂火災畢而伏也壬午即明年四國火災之日不過其見之月謂明年五月火見也瓘玉珪斝玉爵玉瓉於圭頭爲器可以挹鬯祼祭者禆竈欲用此三物以禳火而子産弗從以爲天災流行非禳所息故也次年夏五月壬午宋衞陳鄭災是五月心星昬始見壬午同日四國皆火禆竈曰不用吾言鄭又將火子産不從亦不復火是又有驗不驗矣二十年春左傳二十年春王二月己丑日南至註疏謂是正月己丑朔日南至當是年前閏月史官失閏故書爲二月嗣後八月方補一閏傳於八月書閏月戊辰殺宣姜是也夫二月爲夏正建亥之月亥月固無冬至之理而是歲正月亦非己丑之朔授時推周景王二十三年即魯昭公二十年己夘歲中積六十五萬八千一百七十日二十二刻天正冬至戊子八十三刻閏餘二十七日八十三刻經朔五十六日九十九刻是歲正月庚申日合朔越二十九日戊子日八十三刻日南至二月朔日己丑尚未宜閏故也春秋誤矣夫戊子南至而梓愼以己丑望氛應驗亦可取焉二十有一年秋七月壬午朔日有食之左傳梓愼曰二至二分日有食之不爲災分同道也至相過也其他月則爲災陽不克也故常爲水於是叔輒哭日食昭子曰子叔將死非所哭也八月叔輒卒註疏冬夏二至長短極則相過春秋二分晝夜等則同道以爲日月之交理必相侵不爲災今秋七月夏五月爲夏至不爲災也其他非分至之月則爲災日食是隂侵陽陽不勝也故日食常爲水災不知日月之行一百七十三日有竒而一交交數滿則同道相過非分至之說也梓愼妄矣詩云十月之交朔日辛夘日有食之亦孔之醜周十月乃夏八月秋分之月也而甚可醜惡是不爲災乎莊二十五年七月日食秋大水是日食水災固有之此二十四年五月日食梓愼曰將水昭子曰旱也其年八月大雩旱矣亦不常爲水也日食之變所關至重恐亦與叔輒之哭不哭無涉授時推是年庚辰歲中積六十五萬七千八百四日九十八刻七月定朔一十八日四十二刻壬午日巳時合朔交泛二十六日八十七刻入食限二十有二年冬十有二月癸酉朔日有食之杜預以長厯推十二月朔與明年正月朔中有一閏此十二月當爲癸夘朔經書癸酉朔是誤非也授時推是年辛巳歲中積六十五萬七千四百三十九日七十四刻十二月定朔九日三十六刻癸酉日辰時合朔交泛一十四日一十八刻入食限與春秋合二十有四年夏五月乙未朔日有食之授時推是年癸未歲中積六十五萬六千七百九日七刻五月定朔三十一日三十七刻乙未日巳時合朔交泛二十六日三十八刻入食限三十有一年十有二月辛亥朔日有食之左傳是夜也趙簡子夢童子臝而轉以歌旦占諸史墨曰吾夢如是今而日食何也對曰六年及此月也呉其入郢乎終亦弗克入郢必以庚辰日月在辰尾庚午之日日始有謫火勝金故弗克註疏謂轉宛轉也史墨知夢非日食之應故釋日食之咎而不釋其夢是年至定公四年爲六年定公四年十一月庚辰呉入郢是其言之驗也孔疏云周十二月夏之十月日食在龍尾謂爲尾宿謫變也謂日食雖在辛亥然變起於十月十九日庚午午南方楚位也午火庚金火勝金故呉雖入郢楚亦不亡以授時推是年庚寅歲中積六十五萬四千一百五十二日三十六刻十二月定朔四十七日三十三刻辛亥日辰時合朔交泛二十六日六十二刻入食限推日躔是年天正冬至赤道斗二十三度有竒加時黃道斗二十一度有奇十二月朔辛亥黃道積度三百一十四度有奇是日日躔黃道亢四度九十一分蓋東方七㝛角亢屬辰爲龍亢在辰宫將末故爲龍尾孔氏謂尾㝛非也言十一月入郢則十二月尚在郢故曰及此月定公五年春王三月辛亥朔日有食之公羊作正月食非是授時推是年丙申歲中積六十五萬一千五百六十日八十九刻三月定朔四十七日五十六刻辛亥日未時合朔交泛十四日三刻入食限十有二年十有一月丙寅朔日有食之授時推是年癸夘歲中積六十四萬九千四百四日一十八刻十月定朔二日五十二刻丙寅日午時合朔交泛一十四日二十六刻入食限蓋春秋時失一閏誤以十月作十一月也十有五年八月庚辰朔日有食之授時推是年丙午歲中積六十四萬八千三百八日四十五刻八月定朔一十六日五十刻庚辰日午時合朔交泛一十三日七十六刻入食限哀公十有二年冬十二月螽左傳季孫問諸仲尼仲尼曰丘聞之火伏而後蟄者畢今火猶西流司厯過也註疏謂周十二月夏之十月火心星也九月昏火星見於西南漸而下流十月之昏則伏今十月火猶西流是厯官失一閏以九月爲十月也長厯推是年失一閏十二月實夏之九月九月尚温故得有螽仲尼雖言季孫未改明年十二月復螽始悟十四年春乃置閏授時推哀公十一年丁夘歲中積六十四萬四千二百九十日九十四刻冬至四十四日一十一刻閏餘二十七日七十三刻步至二月朔日己酉大盡三十日戊寅爲二月申閏二月己夘日合朔無中氣哀公十三年己巳歲中積六十四萬三千五百六十日四十五刻冬至五十四日六十刻閏餘一十九日九十六刻步至十一月朔日甲午小盡二十九日壬戌爲十一月中閏十一月癸亥日合朔無中氣是哀公十一年閏二月十三年閏十一月春秋失之故十二月兩書螽仲尼覺之以爲司厯過也長厯謂十二年當有閏非是十有四年夏五月庚申朔日有食之授時推是年庚申歲中積六十四萬三千一百九十五日三刻五月定朔五十六日五十五刻庚申日未時合朔交泛二十六日九十一刻入食限春秋隱三年二月桓三年七月十八年三月二十五年六月三十年九月僖十二年三月五月十五年五月文元年二月宣八年七月十七年六月成十七年十二月襄十五年八月二十一年十月二十四年八月二十七年十二月昭十七年六月定十二年十一月之朔食皆非其月也桓十七年十月二日二十六年十月二日皆非其日也而董仲舒劉向皆繫之以事應夫既非其月日矣則事應復何關且舉其一二商之如桓公十七年十月朔日食榖梁云言朔不言日食二日也董仲舒遂以爲言朔不言日惡魯桓公且有夫人之禍不終日也豈知是年實是十一月庚午朔未時日食既非十月亦非二日仲舒夫人禍不終日之説將置之何地屬之誰何耶莊公十八年三月日食榖梁曰不言日不言朔夜食也劉向遂以爲夜食隂因日明之衰而奪其光象周天子不明齊桓將奪其威權會諸侯而行霸道其後遂糾合諸侯天子使世子會之此其效也豈知是年三月不入食限夜亦不食實是五月壬子朔申時日食旣非三月又非夜食劉向隂奪日光天子會齊之占曰此其效也果效耶非耶襄公二十四年七月甲子朔日食八月癸巳朔比食董仲舒以爲比食又旣象陽將絶夷狄主上國之象也後六君弑楚子果從諸侯滅舒鳩魯往朝之卒主中國伐呉討慶封遂滅賴又殺蔡侯滅陳蔡而縣之豈知是年七月旣食無八月比食之理旣不比食又何與於簒弑之説而曰楚子果從戰伐應占如響也吁嗟劉向亡論已以仲舒稱漢醇儒乃無端說夢著爲典籍使後世司天家從古及今視此占驗無敢違越豈不誣哉余故謂仲舒之洪範災異等傳宜亟火其書也向子歆讀父書治厯亦用其父四分之一斗分爲法妄推隱三年二月桓二十五年六月二十六年十二月宣八年七月成十六年六月襄十五年八月二十三年二月昭十七年六月二十一年七月二十四年五月三十一年十二月定五年三月十二年十一月哀十四年五月之朔皆步爲二日於桓十八年三月朔宣十七年六月朔皆步爲晦朓則皆不知歲差與盈縮遲疾之故非其厯也考春秋二百四十二年間日食三十七事若僖十五僖二十五並無比食之理亡論已凡三十五事其合者十八莊二十六僖五文十五宣十成十六襄十四襄二十襄二十一襄二十三襄二十四昭七昭二十一昭二十二昭二十四昭三十一定五定十五哀十四是也莊十八僖十二誤五爲三丈元誤三爲二宣八誤十爲七昭十七誤九爲六此五事皆記載之誤也隱三桓三桓十七莊二十五莊三十此六事皆以後月作前月不應閏而閏先時也宣十七成十七襄十五襄二十七昭十五定十二此六事皆以前月作後月應閏而不閏後時也或記載之誤或置閏之差然正之則皆是蓋其食限之入干支之合有足徴耳惟僖十五年五月之交宜在四月然乃亥時月食益誤且何以曰朔日月食則交交則朔未有不交而朔不朔而食者春秋時周衰天子不頒朔魯厯不正置閏不得其月月大小不得其度日食言朔而實非朔或不言朔而實朔或脱不書朔與日皆官失之也旣差而覺覺而補閏所以有合有不合以授時推之春秋之食晦與朔二則皆朔無爽矣公羊榖梁不知而亦以爲食晦食旣朔京房等不知而言日食不以朔日曰薄食爲變之大皆非也古今律厯考卷六
## 卷七
欽定四庫全書
古今律厯考卷七 明 邢雲路 撰經七禮記考(周禮附)月令孟春之月日在營室昏參中旦尾中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中大蔟其數八是月也東風解凍蟄蟲始振魚上冰獺祭魚鴻雁來草木萌動是月也乃命太史守典奉法司天日月星辰之行宿離不貸毋失經紀以初為常此秦始皇時吕不韋集諸儒著十二月紀名曰吕氏春秋篇首皆有月令言每月政令所行也月用夏正夏正孟春建寅之月日月㑹於營室之辰營室即室宿在亥宫娵訾之次葢天有十二辰一嵗周天十二㑹也漢三統厯推立春日在危十六度正月中日在室十四度昏時參星在南方之中旦則尾星在南方之中月令昏明中星皆大畧而言不與厯同但一月之内有中者即得載之記昏明中星者人君南面而聴天下視時候以授民事也其日為東方之甲陽乙隂木其帝大皥宓戯氏以木德王句芒乃少皥氏子曰重曾為木正之官此二人生時木王主春立德立功死後春祀則祀大皥句芒角音屬木律謂候氣之管以銅為之中猶應也大蔟者孟春之寅律大蔟林鍾之所生三分益一長八寸律管入地氣至而灰飛古為應也五音十二律詳見别簡天三生木地八成之但言八者舉成數也通卦驗云立春條風至氷解條風即東風也漢時以驚蟄為正月中雨水為二月節至前漢之末劉歆作三統始改雨水為正月中驚蟄為二月節葢蟄蟲正月始振振動也二月乃驚耳夏小正魚陟負氷謂魚遊升於水上近氷而負氷即上氷也此時魚肥美獺將食之先以祭也來自南而北也是月天氣下降地氣上騰天地和同交泰故草木萌生發動於其時農事將興之候也夫月令天所命也王者繼天行事乃命太史守六典奉八法在人為六典八法在天為七政日循星以進退月應日以死生二十八宿衆星為經金木水火土五星為緯周天十二辰次其行皆有一定之度所謂經紀也宿謂宿之於此離謂離之於彼貸忒同或宿或離進退遲速無有愆忒是在司天者推歩之毋失經紀以初為常初猶故初所謂茍求其故日至可坐致是也其日躔中星詳見後篇仲春之月日在奎昏弧中旦建星中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中夾鐘其數八是月也桃始華倉庚鳴鷹化為鳩𤣥鳥至雷乃發聲始電是月也日夜分仲春建夘之月日在奎宿戌宫降婁之次弧在輿鬼南建星在斗上餘月昏旦中星皆舉二十八宿此云弧與建者以弧星近井建星近斗井斗度多星廣不可的指故舉弧建以定昏旦之中夾鐘夘律夷則所生三分益一長七寸二千一百八十七分寸之千七十五倉庚驪黄也鳩布谷也驚蟄之日桃始華又五日倉庚鳴又五日鷹化為鳩葢五日為一候三候為一氣六候成月六氣成時故一歳二十四氣有七十二候鷹好殺而撃以秋鼠好貪而出以夜皆隂類也鳩鴽皆陽類也夘辰者陽之中故仲春則鷹化為鳩季春則田鼠化為鴽葢隂為陽所化物理如此爵乳子而集以春雉求雌而雊以朝皆陽類也蛤蜃皆隂類也戌亥者隂之極也故季秋則爵入大水為蛤孟冬則雉入大水為蜃葢陽為隂所化物理如此草腐則幽之類也螢則明之類也季夏則腐草為螢葢離之明極於此故也是皆化而已於鷹鼠言化於腐草爵雉則直言為何哉葢因形移易曰化鷹之為鳩鼠之為鴽皆因形移易而已故言化腐草則植物也螢則動物也爵雉飛物也蛤蜃濳物也植物為動飛物為潛則不特因形移易矣而化固不足以言之故皆直言為而已𤣥鳥燕也燕以施生來巢人堂宇而乳嫁娶之象也人以其至為祠禖之候季冬雷在地下則雉應而雊孟春動於地上則蟄應而振至此聲乃動於天之下其聲發揚也以雷出有漸故言乃電陽光也陽微則光不見是月陽氣漸盛以撃於隂其光乃見故云始電陽生於子終於午至夘而中分隂生於午終於子至酉而中分故陽中春分隂中秋分晝夜各五十刻為日夜分季春之月日在胃昏七星中旦牽牛中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中姑洗其數八是月也桐始華田鼠化為鴽虹始見萍始生鳴鳩拂其羽戴勝降于桑是月也命國難九門磔攘以畢春氣季春建辰之月日在胃宿酉宫大梁之次七星星宿也姑洗辰律南呂所生三分益一長七寸九分寸之一鴽鶉䳺之屬螮蝀謂之虹雄曰虹雌曰蜺雄謂明盛者雌謂闇微者萍水上浮蓱也鳴鳩飛以羽拍其身戴勝織紝之鳥是時恒在桑言降者重之若自天而下也為蠶事之候難所以難隂慝而敺之也難之事方相氏帥百𨽻而時難聚衆戲劇以盛其喜樂之氣則足以勝隂慝九門路門應門雉門庫門臯門城門近郊門逺郊門關門是也裂牲謂之磔除禍謂之攘天氣左轉故斗建左行為陽氣日月右行日月比天為隂隂氣右行也此月初日在胃月中從胃歴昴昴有大陵積尸之氣主死尸氣佚則厲鬼隨之而行故命方相索室中敺疫鬼以逐之又磔牲以攘於四方之神所以畢止春之厲氣也必於九門者欲隂慝之出爾孟夏之月日在畢昏翼中旦婺女中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中中呂其數七是月也螻蟈鳴蚯蚓出王𤓰生苦菜秀靡草死麥秋至孟夏建巳之月日在畢宿申宫實沈之次婺女即女宿其日南方丙陽火丁隂火炎帝大庭氏即神農也以火徳王顓頊之子名黎為火官徴屬火仲呂已律無射所生三分益一長六寸萬九千六百八十三分寸之萬二千九百七十四地二生火天七成之故其數七螻蟈蛙也隂而伏乘陽而鳴蚯蚓隂而屈乘陽而伸王𤓰萆挈本草作菝葜王𤓰色赤感火之色而生苦菜味苦感火之味而成靡草葶藶之屬靡細也隂類陽盛則死秋百榖成熟之期此於時雖夏於麥則秋也仲夏之月日在東井昏亢中旦危中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中蕤賓其數七是月也螳螂生鵙始鳴反舌無聲鹿角解蟬始鳴半夏生是月也日長至隂陽争死生分仲夏建午之月日在東井即井宿未宫鶉首之次蕤賓午律應鐘所生三分益一長六寸八十一分寸之二十六螳螂一名不〔？〕鵙博勞也反舌百舌鳥解脱也半夏藥名居夏之半而生故名半夏諸物皆感一隂生而然也至極也夏至日長之極晝六十刻陽盡午中一陰欲起此陰陽争辨之際也分半也陰氣欲起故物半死半生季夏之月日在栁昏火中旦奎中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中林鐘其數七是月也温風始至蟋蟀居壁鷹乃學習腐草為螢土潤溽暑大雨時行季夏建未之月日在栁宿午宫鶉火之次火大火心宿也林鐘未律黄鐘所生三分去一長六寸温風暑熱之風也蟋蟀生於土中此時羽翼稍成未能逺飛但居其壁至七月方在野也蟋蟀今之促織鷹感陰氣乃有殺心學習搏擊之事螢火夜飛腹下如火光曰即炤仲春鷹化為鳩仲秋鳩化為鷹故言化腐草為螢螢不復為腐草故不言化潤溽塗溼也蔡傳謂暑濕大雨為東井之所主也以仲夏日在東井乎而季夏則在栁矣况嵗久以後日漸西星漸東仲夏亦不在東井則東井所主之説何為也中央土其日戊巳其帝黄帝其神后土其音宫律中黄鐘之宫其數五土寄旺於四時各十八日共七十二日厯所謂土王用事是也則木火金水亦各七十二日土寄旺於辰戌丑未而未月在金火之間又居一歳之中故特揭一令於此以成五行之序焉其日戊陽土巳隂土居十干之中黄帝軒轅氏黄精之君也顓頊氏之子黎為土官句龍初為后土後祀以為社乃黎以火官兼后土焉宫屬土最尊君象也故配之中央黄鐘本十一月律而黄鐘之宫於諸宫為長與中央土聲相應土旺於四時宫亦冠於十二律非如他律以配氣言也天五生土地十成之四時皆舉成數此獨舉生數者四時無土不成而土以生為本也孟秋之月日在翼昏建星中旦畢中其日庚辛其帝少皥其神蓐收其音商律中夷則其數九是月也涼風至白露降寒蟬鳴鷹乃祭烏天地始肅農乃登榖孟秋建申之月日在翼宿已宮鶉尾之次其日庚陽金辛隂金少皡金天氏以金徳王少皥之子名該為金官商屬金夷則申律大呂所生三分去一長五寸七百二十九分寸之四百五十一地四生金天九成之故其數九寒蟬寒蜩也似蟬而小鷹欲食鳥之時先殺鳥而不食似人之食不即食而祭先代為食之人也仲秋之月日在角昏牽牛中旦觜觽中其日庚辛其帝少皥其神蓐收其音商律中南呂其數九是月也鴻鴈來𤣥鳥歸羣鳥養羞雷始收聲蟄蟲坏户水始涸是月也日夜分天子乃難以逹秋氣仲秋建酉之月日在角宿辰宮夀星之次觜觽即觜宿也南呂酉律太蔟所生三分去一長五寸三分寸之一鴻鴈來自北而來南也𤣥鳥歸春來而秋去也羞食也養羞藏之以備冬月之食也蟄蟲坏益其户使通明處稍小至寒乃墐塞之也秋氣返故水涸秋分書夜各五十刻此難難陽氣也陽暑至此不衰害亦及人葢陽氣左行此月斗建在酉酉是昴畢本位畢亦得大陵積尸之氣於是仲秋亦難明堂曰仲秋九門磔攘以發陳氣禦止疾疫是也季春命國難以畢春氣此獨言天子者此難陽氣陽者君象故諸侯以下不得難也退暑氣以逹涼氣曰逹季秋之月日在房昏虚中旦栁中其日庚辛其帝少皡其神蓐收其音商律中無射其數九是月也鴻鴈來賓爵入大水為蛤鞠有黄華豺乃祭獸草木黄落蟄蟲咸俯季秋建戌之月日在房宿夘宫大火之次無射戌律夾鐘所生三分去一長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四鴈以仲秋先至者為主季秋後至者為賓爵為蛤飛物化為潛物也鞠即菊菊色不一而獨言黄者秋令在金黄為正色也祭獸者禽獸初得則殺而祭之於天也孟冬之月日在尾昏危中旦七星中其日壬癸其帝顓頊其神𤣥㝠其音羽律中應鐘其數六是月也水始冰地始凍雉入大水為蜃虹藏不見天氣上騰地氣下降閉塞而成冬孟冬建亥之月日在尾宿寅宫析木之次其日北方壬陽水癸隂水顓頊髙陽氏以水徳王少皥之子曰修曰熈相代為水官羽屬水應鐘亥律姑洗所生三分去一長四寸二十七分寸之二十天一生水地六成之故其數六蜃大蛤門户可閉閉之窻牖可塞塞之仲冬之月日在斗昏東壁中旦軫中其日壬癸其帝顓頊其神𤣥㝠其音羽律中黄鐘其數六是月也鶡旦不鳴虎始交荔挺出蚯蚓結麋角解水泉動是月也日短至隂陽爭諸生蕩仲冬建子之月日在斗宿丑宫星紀之次東壁即壁宿黄鐘子律律之始也長九寸鶡旦夜鳴求旦之鳥也夜鳴隂類也求旦以求陽陽生得所求矣故不鳴虎隂物則亦感陽生而交合荔挺香草結猶屈也蚯蚓出穴屈首下向陽氣氣動則宛而上首解脱也水者天一之所生陽生而動也冬至日短之極晝四十刻陽欲起故爭諸生者萬物之生機也蕩動也季冬之月日在婺女昏婁中旦氐中其日壬癸其帝顓頊其神𤣥㝠其音羽律中大呂其數六是月也鴈北鄉鵲始巢雉雊鷄乳征鳥厲疾水澤腹堅是月也命有司大難旁磔出土牛以送寒氣是月也日窮于次月窮于紀星囘于天數將幾終歳且更始季冬建丑之月日在女宿子宫𤣥枵之次大呂丑律蕤賓所生三分益一長八寸二百四十三分寸之百四鴈北鄉有早有晚早則此月晚則二月雊鳴也征鳥鷹隼之屬以其善撃故曰征厲猛疾迅也腹猶内也隂凝冰堅也季春惟國家之難仲秋惟天子之難此則下及庶人故云大難旁磔謂四方之門皆磔牲以攘隂氣不但九門而已月建丑丑為牛土能克水故出土牛以畢送寒氣牛善耕又勸民耕作之始此月難者隂氣右行是月日厯虚危司命二星在虚北司禄二星在司命北司危二星在司禄北司中二星在司危北此四司者鬼官之長又墳四星在危東南是虚危有四司墳墓之氣能為厲鬼將隨强隂出而害人故大難次舍也紀㑹也去年季冬日次於𤣥枵每月移次他辰至此一周窮盡還次於𤣥枵故曰日窮於次去年季冬月與日㑹於𤣥枵每月移㑹他辰至此一周窮盡還㑹於𤣥枵故曰月窮於紀二十八宿隨天而行每日雖周天一匝而早晚不同至於此月復其故處故曰星囘於天去年季冬至今年季冬三百五十四日未滿三百六十五日不為正終故曰數將幾於終終則復始則歳且更始而明春之事起矣厯法天日漸移歳久日躔之次不同而那窮之事各異亦百世可知也案秦始皇十二年呂不韋死則呂不韋作月令在始皇初年也其云日躔及昏旦中星依秦厯推之秦厯與漢初厯最疎則日躔與昏旦中星安必其無少差且古人之定宮分距星代各不同若古厯之參差無論已惟以授時上考之合月令十之七八其一二稍殊者亦不越幾度内大都昏旦中俱在南或少偏少偏猶之南也始皇十年入甲子今以至元十八年辛巳歳上距始皇甲子歳推得積年一千五百一十七年中積五十五萬四千○百七十五日一十四刻八十○分天正冬至癸未日九十一刻二十○分天正赤道斗二十○度○七分九十五秒天正加時黄道斗一十八度六十一分六十八秒黄赤道差一度四十六分二十六秒冬正定氣一十九日九十一刻二十○分距春正八十九日春正定氣四十八日八十二刻一十六分距夏正九十四日夏正定氣二十二日五十三刻四十○分距秋正九十四日秋正定氣五十六日二十四刻六十四分距冬正八十九日次年冬正定氣二十五日一十五刻六十○分距春正八十九日次年春正定氣五十四日○六分次年赤道斗二十○度○六分六十秒天正加時黄道斗十八度六十○分四十二秒黄赤道差一度四十六分一十七秒定象限度九十一度三十一分三十○秒春正加時黄道積度一百○九度九十二分九十九秒夏正加時黄道積度二百○一度二十四分二十九秒秋正加時黄道積度二百九十二度五十五分六十○秒冬正加時減分九十五分八十五秒春正加時減分八十二分八十六秒秋正加時減分二十四分六十四秒次年冬正加時減分一十六分三十九秒本年四正夜半日度黄道積度冬正夜半日度斗十七度六十五分八十三秒春正夜半日度積度一百○九度一十○分一十三秒夏正夜半日度積度二百○○度七十三分四十八秒秋正夜半日度積度二百九十二度三十○分九十六秒次年冬正夜半日度斗十八度四十四分○二秒始皇帝十年甲子嵗天正冬至即冬正癸未日九十一刻夜半日度斗十七度午中黄道斗十八度午中赤道斗十九度距中度八十四度昏正中壁十度旦正中角四度小寒己亥日一十三刻夜半日度女四度午中黄道女四度午中赤道女五度距中八十五度昏正中胃一度旦正中氐十度大寒甲寅日三十四刻夜半日度虚八度午中黄道危初度午中赤道危一度距中八十七度昏正中昴四度旦正中心三度立春己巳日五十六刻夜半日度黄道危十五度午中黄道危十五度午中赤道室一度距中九十○度昏正中畢十一度旦正中尾九度雨水甲申日七十八刻夜半日度室十四度午中黄道室十四度午中赤道室十六度距中九十四度昏正中井一度旦正中箕一度驚蟄庚子日夜半日度奎二度午中黄道奎三度午中赤道奎五度距中九十六度昏正中井十八度旦正中斗四度春分乙夘日二十二刻夜半日度婁初度午中黄道婁初度午中赤道婁初度距中一百○二度昏正中栁初度旦正中斗二十○度清明庚午日四十四刻夜半日度胃二度午中黄道胃三度午中赤道胃三度距中一百○八度昏正中星五度旦正中牛七度榖雨乙酉日六十五刻夜半日度昴一度午中黄道昴二度午中赤道昴二度距中一百八度昏正中張十五度旦正中女十度立夏庚子日八十七刻夜半日度畢五度午中黄道畢五度午中赤道畢五度距中一百一十一度昏正中翼十六度旦正中危一度小滿丙辰日○九刻夜半日度參四度午中黄道参四度午中赤道參三度距中一百一十四度昏正中軫十五度旦正中危十四度芒種辛未日三十一刻夜半日度井八度午中黄道井九度午中赤道井七度距中一百一十六度昏正中亢三度旦正中室十二度夏至丙戌日五十三刻夜半日度井二十二度午中黄道井二十三度午中赤道井二十三度距中一百一十六度昏正中氐十度旦正中奎十二度小暑辛丑日七十五刻夜半日度栁三度午中黄道栁四度午中赤道栁三度距中一百一十六度昏正中心三度旦正中婁五度大暑丙辰日九十七刻夜半日度星五度午中黄道星五度午中赤道星五度距中一百一十四度昏正中尾十度旦正中胃三度立秋壬申日一十八刻夜半日度張十三度午中黄道張十四度午中赤道張十五度距中一百一十一度昏正中斗四度旦正中昴九度處暑丁亥日四十○刻夜半日度翼十一度午中黄道翼十一度午中赤道翼十三度距中一百○八度昏正中斗十六度旦正中畢十六度白露壬寅日六十二刻夜半日度軫六度午中黄道軫六度午中赤道軫七度距中一百○四度昏正中牛一度旦正中井五度秋分丁巳日八十四刻夜半日度角二度午中黄道角二度午中赤道角三度距中一百○一度昏正中女三度旦正中井十一度寒露癸酉日○六刻夜半日度亢五度午中黄道亢五度午中赤道亢五度距中九十七度昏正中虚三度旦正中栁四度霜降戊子日二十八刻夜半日度氐十度午中黄道氐十一度午中赤道氐十一度距中九十三度昏正中危四度旦正中張三度立冬癸夘日五十○刻夜半日度心四度午中黄道心四度午中赤道心四度距中九十○度昏正中室初度旦正中翼四度小雪戊午日七十一刻夜半日度尾十三度午中黄道尾十四度午中赤道尾十三度距中八十七度昏正中室十三度旦正中軫四度大雪癸酉日九十三刻夜半日度斗一度午中黄道斗二度午中赤道斗初度距中八十五度昏正中壁初度旦正中軫十一度此以授時步秦月令間有一二相違數度者大都俱在南方午位正以古今宿分距星代各不同之故不害其為同也又以授時步今萬厯己亥歳中積一十一萬六千一百四十七日○一刻九十六分天正冬至四十二日○七刻九十六分夜半日度箕四度六十五分為正古今日躔不同其差在消長中詳見别簡樂記之論樂詳矣兹不具釋詳見别簡雜記孟獻子曰正月日至可以有事於上帝七月日至可以有事於祖祭綂衛孔悝之銘曰六月丁亥釋者云正月周正建子之月日至冬至也七月建午之月日至夏至也周六月夏四月也則周正建子明矣而說者猶謂周未改月何耶周禮一書馬融傳云始皇禁挾書𨼆藏百年漢武帝除挾書律乃出於山巖屋壁復入于秘府五家之儒莫得見焉至成帝時劉歆校理秘書始著於録畧然亡其冬官一篇以考工記足之時諸儒共排以為非惟歆獨識其為周公致太平之迹是矣然林孝存以為末世凟亂不檢之書作十論七難以排之何休以為六國隂謀之書胡致堂胡五峯皆以為是王莽令劉歆所撰司馬温公蘇穎濱晁說之洪容齋皆直謂作於劉歆或謂起於劉歆而成於鄭𤣥之附離者或謂多漢儒附㑹者紛紛莫有定擬朱子則曰周禮廣大精密乃周公制作之書程氏亦曰周公致治之大法在其中顧其有可疑者漢既除挾書入秘府胡不頒行乃使五家儒莫得見周公攝政制禮遵武王周正建子也胡乃俱用夏正建寅細閱其文信非周公不能作而古文之中間或有漢儒附㑹之者未可知也既有可疑則姑不致詳而第舉其有關於厯數者數事商之周禮冢宰掌邦治正月之吉始和布治於邦國都鄙鄭𤣥註云周之正月建子王介甫亦以為然然其中則俱用夏正如内宰中春詔命婦蠶于北郊媒氏中春令㑹男女皆夘月也司裘季秋獻功裘戌月也凌人十二月斬冰天府季冬陳玉貞來歳占夢季冬獻吉夢于王皆丑月也司爟季春出火季秋内火辰戌月也山虞仲冬斬陽木仲夏斬隂木子午月也馮相氏冬夏致日春秋致月大司馬中春教振旅中夏教茇舍中秋教治兵中冬教大閱子午夘酉月也皆夏正也春秋書春王正月日南至葢子月周以為春故不曰冬至而曰南至孟獻子言正月日至七月日至而亦不繋之冬夏者正以子月春午月秋也周禮大司樂合樂以致鬼神示冬日至於地上之圜丘夏日至於澤中之方澤則於子月不言春而直言冬午月不言秋而直言夏矣豈武王初改正朔而周公即不用耶何鄭康成王介甫又以正月訓為建子月也此不能令人無疑或者周公制禮用周正而漢儒更易以夏正耶皆不可考矣古今律厯考卷七
## 卷八
欽定四庫全書
古今律厯考卷八 明 邢雲路 撰經八論語考子曰為政以徳譬如北辰居其所而衆星共之北極五星其前一明者為太子其二最明者曰帝座三曰庶子四曰后宫其五差逺而不甚明者曰天樞即北極也然北極一星亦非北辰其不動處無星謂之辰就辰傍取一近星識以為極而北極一星尚就近環遶耳自漢至齊梁談天者皆認北極星為紐星即不動處惟祖暅之以儀測知不動處猶去紐星一度有餘自唐至宋又測紐星去不動處三度有餘南宋在臨安測紐星去極四度半元志則但從三度之説皆尚未定也夫定亦何難即以璣衡度數於紐星就近設管以目力圓轉求之百刻一周圍圓取中自得不動之處出地幾十幾度矣北辰出地之度隨在不一順天出地四十度半岳臺出地三十五度以漸而南益少也北辰一定以測黄赤道内外勾股去極去地之度乃得其真其四面則經星隨天左轉日月五緯右轉有似於環遶而歸向之者故以此譬為政以德無為而天下歸之也厯家述厯元之始北辰正位於虚宿𤣥枵之中日月五星皆㑹於子一左旋而七政之行遲速各異胥此一元分布而萬代復元不爽矣子張問十世可知也子曰殷因於夏禮所損益可知也周因於殷禮所損益可知也其或繼周者雖百世可知也所損益謂文質三統三統者王者受命必改正朔易服色明易姓受之於天示不相襲也正朔有三何本天有三綂謂三㣲之月也明王者受命各統一正敬始重本也朔者蘇也革也言萬物革更於是故統焉三綂者何謂也天統之正始於子半日萌色赤地統受之於丑初日肇化而黄至丑半日芽化而白人統受之於寅初日孽成而黒至寅半日生成而青故十一月陽氣始養根株黄泉之下㣲陽稍動周以仲冬建子為天正色尚赤以夜半為朔為天統十二月地中含養物始萌芽殷以季冬建丑為地正色尚白以雞鳴為朔為地統十三月萬物始達出於地人得加功夏以孟春建寅為人正色尚黒以平旦為朔為人綂不以二月後為正者萬物不齊莫適所統故必以三㣲之月也三正之相承若循環然孔子承周之弊行夏之時知繼十一月正者當用十三月也暴秦繼周乃以十月為歲首於三統之義何居漢武帝始改用夏正至今遵之時正令善此孔子行夏之時意也然四序之始固正於寅而厯數之原則肇於子所謂日月五星皆㑹於子以冬至子半為厯元者達諸千萬世而不惑也子貢欲去告朔之餼羊子曰賜也爾愛其羊我愛其禮告朔之禮天子十二月明堂所居各有其所惟閏月乃居門中故字従王在門中諸侯告朔於太廟閏月則居廟門也周道既衰幽王既䘮天子不能班朔春秋書以譏之春秋文公六年經云閏月不告朔猶朝於廟其傳曰非禮也不告朔棄時政也葢諸侯先以生羊告於廟謂之告朔後以禮祭宗廟謂之朝廟即以此日聴視此朔之政謂之視朔朝廟小於告朔文公廢其大而行其小又不視朔故曰非禮也棄時政也告朔之禮稀絶而餼羊供為具文故子貢欲去之孔子曰我愛其禮謂禮廢既久庶明王復興紹明而稽用之令上無逆天而下不違人以臻於大順其極使隂陽和平百榖豐成太平治而王瑞至則仲尼之心也漢書載魯厯不正以閏餘一之歲為蔀首故春秋刺十一月乙亥朔日有食之於是申在辰而司厯以為在建戌史書建亥哀公十二年亦以建申流火之月為建亥而怪蟄蟲之不伏也自文公閏月不告朔至此百有餘年莫能正厯故子貢欲去其餼羊孔子愛其禮而著其法於春秋經曰冬十月朔日有食之傳曰不書日官失之也天子有日官諸侯有日御日官居卿以底日禮也日御不失日以授百官於朝言告朔也夫曰以閏餘一為蔀首者謂當以閏盡歲為蔀首未盡一歲便為蔀首失正也考襄公二十七年左氏書經十二月乙夘朔日食傳十一月乙亥朔日食辰在申司厯過也再失閏矣法推是年乙夘歲十一月交○日七刻入食限朔一十一日二十四刻乙亥日夘時合朔日食以推至十二月無乙亥亦不入食限乃傳是而經非也哀公十二年經書冬十二月螽季孫問諸仲尼仲尼曰丘聞之伏而後蟄者畢今火猶西流司厯過也葢言厯官失閏以戌月為亥月故火星猶西流戌九月尚温故得有螽漢書謂以建申月為建亥又稱十四年置閏若長厯謂十二年當閏皆非也法推哀公十一年閏二月己夘日合朔無中氣十三年閏十一月癸亥日合朔無中氣是哀公十一年閏二月十三年閏十一月春秋失之故十二月兩書蟲仲尼覺之以為司厯過也其譏冬十月朔日食左傳以為官失之者桓公十七年之日食也法推桓公十七年丙戌歳十月朔不入交不應食十一月交二十六日八十五刻入食限十一月朔六日五十九刻庚午日未時日食經書十月者乃春秋時不應閏而先閏一月以致誤十一月為十月史官見其不合遂不敢書日也故孔子以愛禮存羊之意著其法於春秋以為萬世日官日御之戒於戲孔子正兩閏之失嚴春秋之法非聰明聖智達天德者其孰能知之子曰吾自衛反魯然後樂正雅頌各得其所坤鑿度云孔子筮得旅請益於商瞿氏曰子有聖智而無位孔子泣而曰天也命也鳯鳥不來河無圖至嗚呼天命之也嘆訖而後究易刪詩正雅頌雅頌者樂之章詩得其所而後樂得其正也是哀公十一年冬孔子自衛反魯時事夫樂也者聖人之所以感天地通神明安萬民成性類者也春秋時陳公子完犇齊陳舜之後韶樂存焉孔子適齊聞韶三月不知肉味曰不圖為樂之至於斯美之甚也周道始缺王澤既竭王官失業雅頌相錯桑間濮上鄭衛宋齊之聲並出内則致疾損夀外則亂政傷民故秦穆遺戎而由余去齊人餽魯而孔子行然樂本性情浹肌膚而臧骨髓雖經乎千載其遺風餘烈尚猶不絶故孔子正之孔子刪詩三百五篇曰風曰雅曰頌兹不及風者國風多不正之聲廟朝所不奏即二南亦用之房中耳若不正之風特存以示鑒戒也故正樂止言雅頌夫樂昉於黄虞而備於成周雅頌之詩皆聲依永律和聲也厥後秦燔樂經聲律幾廢至漢立為樂府而樂府猶詩之流也如鼔吹等為雅郊祀等為頌房中之樂等則繋之别聲正聲之餘則有琴别聲之餘則有舞至於怨别仙梵等曲則逸詩之類耳此樂府繼三百篇之作而其中溺音騰沸者不少也然古之詩曰歌行後之詩曰古近二體歌行主聲二體主文文則工矣其如被之聲樂何况其又趨而下者乎嗟乎三百篇邈矣即古樂府之聲律亦失其傳也悲夫子曰行夏之時顓帝以孟春正月為元其時正月朔旦立春五星㑹於天厯營室也冰凍始泮蟄蟲始發雞始三號天曰作時地曰作昌人曰作樂鳥獸萬物莫不應和故顓帝聖人為厯宗也湯作殷厯不以正月朔旦立春為節更以十一月朔旦為元首下至周魯皆従其節據正四時宜用夏時為正以承堯舜従顓帝故也孔子甞曰我欲觀夏道是故之杞而不足徴也吾得夏時焉而說者以為謂夏小正之屬葢取其時之正與其令之善也子思告縣子曰夏數得天堯舜之所同也殷周征伐革命以應乎天因改正朔夫受禪於人者則襲其統受命於天者則革之以神其事如天道之變也至秦則以建亥為歲首於三統之義何居漢初因之至孝武改用夏時乃得其正然夫子取夏時時正令善可以作事故用之至厯數之推則必遡周正建子之天正為厯元也朱子謂夏時以斗柄初昏建寅之月為歳首若謂凡正月斗柄皆指寅而以斗柄所指為建矣不知建寅者乃寅月以寅日為建而夘則除辰則滿二月以夘日為建而辰則除已則滿云云非謂斗柄所指為建也斗柄初昏指寅為正月惟古為然而後不然也如今萬厯年正月初昏斗柄指丑再千餘年則指子久之指亥指戌日漸移而東天漸移而西一正月也斗柄厯十二辰皆可指不必寅也一寅也厯十二月斗柄皆可指此所謂歳差之數天道推遷萬世可知者今之人不察厯數而猶拘故常率曰正月斗柄囘寅則胡不一仰觀天象乎堯曰咨爾舜天之厯數在爾躬舜亦以命禹遷固史書皆曰堯復重黎之後立羲和之官厯象日月星辰其後以授舜云咨爾舜天之厯數在爾躬舜亦以命禹由是觀之王者所重也然則治厯明時以續帝王之統後世不可視為緩圖矣孟子考孟子曰七八月之間旱孫奭云周以子月為正夏以寅月為正是知周之七八月即夏之五六月朱子之註是也孟子對齊宣王曰景公召太師曰為我作君臣相説之樂葢徴招角招是也樂有五聲宫土音其數八十一其聲重而尊君之象也宫亂則荒其君驕商金音三分徴益一以生其數七十二以濁次宫猶臣次君臣之象也商亂則詖其官壊角木音三分羽益一以生其數六十四以其清濁中人之象也角亂則憂其人怨徴火音三分宫去一以生其數五十四以其清事之象也徴亂則哀其事隳羽水音三分商去一以生其數四十八以其最清物之象也羽亂則危其財匱宫數八十一宫絃最大即用八十一絲餘以次而降徴招角招樂章之名也葢徴以為事角以為民皆以韶名者亦舜作歌以康庶事鼓琴以阜民財之意也韶樂在齊故以韶名天時不如地利天時謂時日支干五行孤虚王相之屬也如春屬木甲乙木生丙丁火是木王而火相王取旺義相輔義王之次也金至此則衰而孤無輔助之義即四廢也水為母木為子子實則母虚水至此則虚矣餘倣此昔周武王犯嵗星以伐商魏太祖以甲子日破慕容皆天時也且天時亦多矣若布䇿灼龜迎日計月望雲占風觀星候氣以察吉凶以明利害不一而足也然於厯象有闗焉七政之躔度失次將有以𤣥枵為星紀以甲子為乙丑者以占勝負不亦舛乎信厯之不可不及時正也師曠之聰不以六律不能正五音前漢律厯志云十二律黄帝之所作也黄帝使伶倫自大夏之西崑崙之隂取竹之嶰谷生其竅厚均者斷兩節間而吹之以為黄鐘之宫制十二筩以聴鳯之鳴其雄鳴六䳄鳴亦六比黄鐘之宫而皆可以生之是謂律本律十有二陽六為律陰六為呂律以統氣類物曰黄鐘大蔟姑洗蕤賓夷則無射呂以旅陽宣氣曰大呂夾鐘仲呂林鐘南呂應鐘以此律吕節五音之上下五音宫商角徴羽也聲之長而濁者為宫以漸而清且短則為商為角為徴為羽葢以三分損益隔八相生十二律旋相為宫尚書所云律和聲是也以律配厯則黄鐘為子為冬至而大呂為丑為大寒以次推之耳詳見别簡嵗十一月徒杠成十二月輿梁成周十一月夏九月建戌之月周十二月夏十月建亥之月也夏令曰九月除道十月成梁營室之中土功其始曰營室中若謂營室十月昏中宜興土功者不知十月營室昏中古時則然而嗣後不然也如今萬厯己亥嵗法推天正冬至四十一日夜半日度箕四度是仲冬日在箕四度昏室十一度旦軫七度以步孟冬小雪十月中日在房昏虚中旦張中夫古十月室昏中而今則虚昏中久之天日漸移凡二十八宿十月皆可昏中一室星厯十二月皆可昏中此推步之術萬世可知者也天之髙也星辰之逺也苟求其故千嵗之日至可坐而致也衆星二十八宿麗天不動者為經金木水火土有遲速順逆者為緯皆星也辰以日月所㑹分周天之度為十二次子𤣥枵丑星紀寅析木夘大火辰夀星巳鶉尾午鶉火未鶉首申實沈酉大梁戌降婁亥娵訾是也上古天正甲子朔夜半冬至日月如合璧五星如連珠皆㑹於子為厯元乃甲子年甲子月甲子日甲子時正初刻無餘分也若以今厯推之建寅為正月則甲子月乃年前癸亥嵗十一月安得甲子年有甲子月葢古以年前十一月為歳首自天正推之也大都一朞之數三百六十五日四分日之一而其小餘差法有消長之不同焉自昔歳差不明至授時始密其法以測景為寔而去積年日法於不用葢歳差隨測隨變日法摠數耳安能一之若積年乃漢唐以來由今遡古逆推而上至幾億萬年見其七曜皆㑹於子也遂定曰厯元殊不知目前嵗周之分秒且未必確而何以遡上古試演之將來不數載而即差矣何論章蔀紀元此積年之弊従古一轍也故惟測景觀象以正厯元以古之日至考今之日至俾歳差分秒上下契合然後日至一定而月朔之増減五緯之伏見皆禀於日者各得其所而天下之能事畢矣故孟子論日至而以天之髙星辰之逺盡焉至哉言乎考日至之術詳見别簡孔子曰天無二日天無二日淮南子乃謂堯時十日並出使羿射之夫羿人耳安得射日此妄誕之言也然天有數日則有之史載晉愍帝建興二年三日相承出於西方而東行五年正月庚子三日並照虹蜺彌天三四五六日俱出並爭丁巳亦如其數梁元帝承聖元年十一月丙子有兩日俱見唐太宗貞觀初突厥有五日並照僖宗乾符六年十一月丙辰朔有兩日並出而鬭三日乃不見鬭者離而復合也後周顯德七年正月癸夘日既出其下復有一日相掩黑光摩盪久之眞宗景德元年十二月甲辰日有二影如三日狀元順帝至正十六年三月有兩日相盪若然則天有二日矣然非真日也觀其曰相承曰相掩曰摩盪曰影狀曰離而復合則皆日光之映分而為三五頃之旋復其常仍一日耳何也即厯數之推千嵗日躔俱有定度可知日之無兩也故曰天無二日伊尹相湯以王於天下湯崩太丁未立外丙二年仲壬四年太甲顛覆湯之典刑史記曰湯在位十有三祀而崩太子太丁蚤卒次子外丙立二年仲壬立四年崩太丁之子太甲立大紀曰成湯生子太丁蚤卒太丁子曰太甲為世嫡孫以伊尹為太保湯崩伊尹奉太甲即位𦵏成湯于亳北程子曰古人謂嵗為年湯崩時外丙方二嵗仲壬方四嵗惟太甲差長故立之也或又曰外丙仲壬亦太丁子也四說不同未知孰是今以意度之太丁之蚤卒與否外丙仲壬之曽立與否外丙仲壬之為太丁弟或子與否外丙之方二嵗仲壬之方四嵗與否皆不可考但夏商家天下以來皆立嫡以殷世考之自三宗及祖乙祖甲皆立子其立弟者沃丁耳必有所不得已也然遂生亂公儀仲子舍孫而立子言偃問曰禮歟孔子曰否立孫夫孔子殷人也宜知先王之故矣而不以立弟為是况大紀載太甲為湯世嫡孫湯立伊尹為太保以保嫡孫湯甫崩而伊尹即葬湯奉太甲即位若立外丙仲壬伊尹保嫡孫之義謂何何大紀併無一言及外丙仲壬也李淳風推帝王世數邵康節推皇極經世並無外丙仲壬名世従古推厯代紀年諸家不一而足相傳至今司天氏亦並無外丙仲壬名世俱云成湯乙未年即位在位十三年丁未年崩太甲戊申年即位在位三十三年庚辰年崩下接沃丁辛巳年即位此以厯考之並無外丙仲壬二君紀年若於湯之下益以二君之六年則羡而不合矣又考之尚書太甲篇云先王顧諟天之明命惟尹躬克左右厥辟宅師肆嗣王丕承基緒王拜手稽首曰予既往背師保之訓夫伊尹稱太甲為嗣王承先王成湯之基緒並不言及二君而太甲稱背伊尹師保之訓則成湯之立伊尹為太保以保嫡孫而湯崩太甲即嗣位承緒也明矣大紀所載為是也然竹書紀年乃亦有外丙二年仲壬四年年號抑又何也劉貺謂竹書序諸侯皆舉謚號録事皆按春秋經傳而為乃後人追修非當時正史雖然終為疑竇爾雅考太嵗在甲曰閼逢在乙曰旃蒙在丙曰柔兆在丁曰强圉在戊曰著雍在己曰屠維在庚曰上章在辛曰重光在壬曰𤣥黓在癸曰昭陽太嵗在寅曰攝提格在夘曰單閼在辰曰執徐在巳曰大荒落在午曰敦牂在未曰協洽在申曰涒灘在酉曰作噩在戌曰閹茂在亥曰大淵獻在子曰困敦在丑曰赤奮若月在甲曰畢在乙曰橘在丙曰修在丁曰圉在戊曰厲在己曰則在庚曰窒在辛曰塞在壬曰終在癸曰極正月為陬二月為如三月為寎四月為余五月為臯六月為且七月為相八月為壯九月為𤣥十月為陽十一月為辜十二月為涂夀星角亢也天根氐也天駟房也大辰房心尾也大火謂之大辰析木謂之津箕斗之間漢津也星紀斗牽牛也𤣥枵虚也顓頊之虚虚也北陸虚也營室謂之定娵訾之口營室東壁也降婁奎婁也大梁昴也西陸昴也濁謂之畢咮謂之栁栁鶉火也北極謂之北辰河鼔謂之牽牛明星謂之啟明彗星為欃槍奔星為彴約性理附周子曰太極動而生陽靜而生隂陽變隂合而生水火木金上五氣順布四時行焉夫曰水火木金土者洪範之序也曰五氣順四時行者厯數氣朔之序也張子正蒙論恒星不動繋乎天運旋而不窮日月五星逆天而行并包乎地金水附日而行皆是若云鎮星地類亦不純繋乎地夫鎮雖土乃在天之星與繋地不繋地何關張子論月受日光交則光為之食是也至集釋所謂日月交㑹一在角亢一在奎婁日月常食於此仲康時辰弗集於房則又不在角亢之間則非矣日月行黄道内南北四十八度東西三百六十五度有竒天首天尾如絲之織何度不交何宿不食而乃謂常食於奎婁角亢且以一房宿之食而疑不在角亢之間何其謬也邵子皇極經世書一元十二㑹一㑹三十運一運十二世一世三十年摠計一元十二萬九千六百年分十二限前六限為長後六限為消日一大運而進六日月一大運而退六日以為閏差故有三百六十六日又云一歳之中六隂六陽三年三十六日故三歳一閏五年六十日故五歳再閏葢言一嵗之中於常數退六日為隂進六日為陽一年共十二日三年三十六日成一閏五年六十日成二閏此邵子就成數約言天地消息之大數未悉其分秒也夫一朞三百六十五日有竒而邵子但曰三百六十六日氣盈朔虚各五日有竒共十日有竒而邵子但曰退六日進六日共十二日一閏再閏各有日下不及全數之分秒而邵子但曰三十六日六十日此俱就成數約言之如孔子之論易所謂揲四以象四時歸竒以象閏三百六十當期之日云然而併未詳及厯數之分秒也厯數之分秒隨時各異須以測驗得之古厯測驗未精所以厯代皆疎至祖冲之與郭守敬以表測天乃得其數繼此隨時測驗以合天道乃為真耳故易曰澤火革君子以治厯明時革之言改治厯革之大者也後人不知此義遂有謂以三百六十年差三六之數為消長者有謂以先天九十一年却一度中天九十年却一度後天八十一年却一度為消長者俱附為邵子之嵗差不直於歴不協而且無當於堯夫之本文朱子易學啓蒙一卦變六十四卦六十四卦變四千九十六卦方圖圓圖以乾兌離震巽坎艮坤錯綜相演其數皆易知也而律厯之配合在焉其大衍揲筮之義則詳見周易考蔡季通律呂新書詳見律呂考朱子論合朔之時日月之東西雖同在一度而月道之南北或差逺於日則不蝕或南北雖亦相近而日在内月在外則不蝕正如一人秉燭一人執扇相交而過一人自内觀之其兩人相去差逺則雖扇在内燭在外而扇不能掩燭或秉燭者在内而執扇者在外則雖近而扇亦不能掩燭此論似是而非夫曰日月東西雖同度而月道南北差逺於日如秉燭執扇差逺則不能掩而不食是也其曰南北雖相近而日在内月在外則不蝕如秉燭在内執扇在外雖近扇不掩燭則非矣葢扇譬則月也燭譬則日也燭日在内扇月在外無論逺近自然不掩然而日無在内之理何則天在外日在天内月又在日内一定之體也則豈有日在内而月反在外者耶以此喻蝕不相蒙矣程子曰洛下閎作厯言數百年後當差一日何承天立差法以所差攤在所厯之年看嵗差幾分後亦不定獨邵堯夫差法冠絶古今於日月交感之際以隂陽虧盈求之遂不差今以厯考之従古嵗差多不過八九十年差一日未有數百年方差一日者洛下閎造太初厯曰造厯後八百嵗當差一日必有聖人正之此妄言也何承天以百年差一日亦失之過後之作厯者漸次減之頗合天數然皆以圭晷寔測乃得其真也至於堯夫則但以成數約言消長之法未曽立嵗差之分秒夫既無差法則冠絶之妙隱而未發耳蔡季通言天運行度其行之差處亦是常定其言是也朱子謂古厯法疎闊而差少今厯愈密而愈差譬之兩手量卓界限濶則差少界限密則愈差又言康節厯十二萬九千六百分今厯只是萬分他如何肯用十二萬分殊不知古厯疎闊其差逺甚以後漸密漸近愈密方親此厯代以來厯數之可考者也考康節未嘗以十二萬九千六百分為嵗差今厯亦未以萬分為嵗差其曰萬分者乃以一日分為萬分也一日萬分十二萬餘年乃四千餘萬分分豈止十二萬分耶濳室陳氏論厯數止是司天家所傳大槩之數其分秒亦未詳朱子曰月體常圓無闕但受日光為明晦日則月與日相疊初三方漸漸離去人在下側看見其光闕至望則月日相對人在中間正看則其光圓是也朱子謂月中桂樹蛙兎之傳其惑久矣其中微黒之處乃山河大地之影足破千古之疑其言似乎有理但出佛家言未得其實縦屬有理闕之可也朱子論望月與日正對月為暗虚所射故蝕雖是陽勝隂畢竟不好若隂有退避之意則不相敵而不食矣考従古日月交食有一定之行度無退避不食之說朱子論北極在紫㣲者為樞常居其所若太㣲之在翼天市之在尾攝提之在亢各與其宿同其運行是也張横渠言日月五星亦隨天轉如二十八宿隨天而定皆有光芒五星逆行而動無光芒似是而非也葢二十八宿皆麗于天左旋隨天轉大星乃有芒七政皆逆行五星甚大烏得無芒朱子謂北辰傍一小星謂之極近辰也動其說是邵子曰厯不能無差今之學厯者但知厯法不知厯理能布筭者落下閎也能推步者丼公石公也落下閎但知厯法揚雄知厯法又知厯理朱子曰冬至起牽牛一度右行周十二次盡斗二十六度復還牽牛之一度而厯更矣牽牛火位星紀水位日月交㑹於此澤中有火之象也此上元太初起厯之元在卦氣為三月太𤣥準之此言皆非也丼石之術不傳亡論已落下閎以四分布厯疎闊太甚非知厯法者若揚雄則不知厯法亦不知厯理考揚雄太𤣥本於卦氣卦氣出於易緯圖與周易乾坤鑿度焦贛傳之京房揚子雲倣之以作太𤣥太𤣥之數皆厯數也太𤣥準易易始于太極𤣥始于渾儀易以一生二二生四四生八八八六十四極之三百八十四葢對待言之也𤣥以一生三三生九九九八十一極之七百二十九葢犄角言之也首準卦賛準爻測準象準其體𤣥衝準序卦𤣥錯準雜卦𤣥數準說卦𤣥文準文言𤣥攡瑩準繫辭準其文陽萌黄宫信在其中卦起中孚律起黄鍾度起牽牛周象復應七日來復以合太初厯十一月朔旦冬至無餘分𤣥之首賛皆本五行自中而周以至於養中為一水周為二火礥為三木閑為四金少為五土戾又為六水上又為七火干又為八木〔？〕又為九金自羡而起又為一水以至于養凡八十一首𤣥始于十八終於五十四并始終策半之為泰中泰中之數三十有六以律七百二十九賛凡二萬六千二百四十四策為太積七十二策為一日凡三百六十四日有半踦滿焉以合嵗之日而律厯行故自子至辰自辰至申自申至子冠之以甲而章㑹統元與月蝕俱沒𤣥之道也故𤣥察龍虎之文觀鳥龜之理巡乘六甲與斗相逢以瑩方州部家一辟三公九卿二十七大夫八十一元士其以為律吕三分損益隔八相生子午之數九丑未八寅申七夘酉六辰戌五巳亥四律四十二吕三十六凡七十八甲己之數九乙庚八丙辛七丁壬六戊癸五聲生於日律生於辰聲律相協而八音生𤣥月遄而日湛五生不相殄乃相繼不相逆乃相治日不南不北則無冬夏月不徃不來則望晦不成聖人察乎朓側匿之變而律乎日月雄雌之序然後為鬼神神遊乎六宗上連下連神明不窮故有宗祖者稱乎孝序君臣者稱乎忠寳告大訓此太𤣥之㫖也於戲果若而言大哉𤣥也斯其至矣誰得而訾議之然而皆非也卦氣出易緯即稽覽圖謂孔子所作至六國時始出然非孔子所作後人偽為之者周易乾坤鑿度與先天乾坤鑿度不同先天為上古先文周易鑿度亦假孔子之言後人偽為之也焦京衍卦氣以卦直日配公侯卿大夫而六日七分之說生焉易鑿度稱孔子曰太易者未見氣也故曰渾淪易變而為一一變而為七七變而為九卦當嵗爻當月策當日日辰生音律中孚為陽貞於十一月厯以三百六十五日四分日之一為一嵗歸於大周太𤣥曰馴乎𤣥渾行無窮正象天隂陽㘩叅渾渾天也㕘三三而為九也首名中陽氣濳萌於黄宫信無不在乎中言土為宫位中央其色黄冬至生於子行屬水水色𤣥立為天𤣥在黄中故卦氣起中孚信在其中自一而三而九而八十一合公卿諸數皆鑿度所謂渾淪中孚陽貞一變為九比象公卿之說也太𤣥冬至日起牛應中孚七日來復周象復應太初甲子朔旦冬至無餘分以三百六十五日四分日之一積數以元除盡即鑿度中孚貞於十一月斗分四分日之一歸於大周律厯相得之説也不知太極生兩儀隂陽對待其數乃成大易言之巳悉何必專用九九之竒數以為𤣥謂冬至牛一度應中孚六日七分為七日來復之數應周象復周時冬至在牛宿然冬至日起牛一度惟周時為然下而漢唐冬至日在斗至今冬至日在箕千萬世皆不同豈周象復雄乃以牛為復卦為周象復為太𤣥起厯之秘妙可乎冬至起牽牛既非一定之數則朱子所謂至起牽牛周還牽牛而以牛火丑水為革之象無取矣𤣥厯應太初以元除盡此正太初四分法也顓頊厯用四分法乃漢儒偽為之落下閎以四分法作太初厯以天度為日度疎闊太甚一跬歩不可行太初天正朔旦無餘分以法推太初元年丁丑嵗十一月壬子氣朔皆有餘分定朔分二十九日七十二刻得癸巳日酉時合朔冬至分五十七日六十四刻得十一月二十九日辛酉申時冬至因非至朔同日亦非無餘分揚子以此為太𤣥第一義其原即差矣𤣥有一一一二一三二一二二二三三一三二三三合為十八䇿有天𤣥地𤣥人𤣥天地人之數各十八合為五十四併始於十八終於五十四為七十二半之三十六為泰中以律法七百二十九賛乘之而生二萬六千二百四十四策為太積七十二䇿為一日凡三百六十四日半即自中至養之數也以揆厯度不周顓頊太初二厯四分日之三故𤣥虚嬴分為二賛以滿𤣥數三百六十五日四分日之一故𤣥之有踦滿猶嵗之有閏月滿二賛以合嵗之日而律厯行葢以厯之全數凡三百六十五日四分日之一今每首九賛二賛當一晝夜合八十一首之賛七百二十九僅足當三百六十四日半外增一踦賛屬水以當半日又立一嬴賛屬火以當四分日之一共足七十五刻强名曰閏以成三百六十五日餘二十五刻為四分日之一之數為嵗盡于亥及子復生故曰歲數足則年安寜不足為恙而年病以十九年七閏為天之償其病也曰自子而辰而申而子冠之以甲章㑹統元與月蝕俱沒者太初上元正月甲子朔旦冬至無餘分後千五百三十九嵗甲辰朔旦冬至無餘分又千五百三十九嵗甲申朔旦冬至無餘分又千五百三十九歲復得甲子朔旦冬至無餘分十九歲為一章二十七章五百一十三歳為一㑹㑹者日月交㑹一終也八十一章千五百三十九歳冠之以甲従甲子至甲辰甲辰至甲申甲申復至甲子凡四千六百一十七歳為一元元有三統統有三㑹㑹有二十七章九㑹二百四十三章置一元之數以章㑹三統凡九㑹統數除之沒盡一章閏分盡一㑹月食盡一統朔分盡一元六甲盡𤣥之道乃原與太初相應亦有顓頊之厯焉雄推至此以為𤣥不知此數皆漢厯志所載太初四分厯累推之數也且二賛補數以為閏餘夫四分原屬乖舛而雄强名二賛以合閏數臨川呉氏以為勞且拙誠然矣龍虎鳥龜四時四神也日行乘六甲厯四時周而復始以成歳事日右斗左日周而復逢斗分小則為一年大則為一元皆四分數也以瑩三方九州二十七部八十一家而一辟三公九卿二十七大夫八十一元士寔象之皆一三九之數以治律吕亦一三九之數黄鍾起於子天之一故參子之一於丑為三參丑之三於寅為九參寅之九於夘爲二十七參夘之二十七於辰爲八十一參辰之八十一於巳為二百四十三參巳之二百四十三於午為七百二十九由午以及未申酉戌亥則得十七萬七千一百四十七三分損益隔八相生之數在焉皆漢律厯志之舊文也其論隂陽數也曰子午九丑未八寅申七夘酉六辰戌五巳亥四葢以黄鍾起子為十一月乾始初九午為五月子宫之衝也故數俱九以子丑寅夘辰巳月對午未申酉戌亥月分九八七六五四之數皆以對衝言也陽屬律九七五而倍之故四十二隂屬吕八六四而倍之故三十六併律吕之數得七十八子之數九甲為子幹巳為甲妃甲與巳合故隨子稱九丑數八乙丑之幹妃為庚隨丑稱八丙辛丁壬戊癸之數亦如之五聲生於十日甲乙角也丙丁徴也戊己宫也庚辛商也壬癸羽也十二律生於十二辰子黄鍾至亥仲吕也而金石絲竹匏土革木之八音生此聲律之數人皆知之者月遄疾而日湛舒五行相生不相殄絶五行相克不相忤逆相繼為父子相治為君臣日南北以運四時月徃來以成晦朔故聖人察朓側匿之變而律日雄月雌徃來之序斯為神子之孝父臣之忠君大訓在焉夫惟聖人能律斯為神為忠孝揚雄能律豈不聖神忠孝然而晦月見而朓朔月見而側匿皆四分步厯之誤朔非其朔晦非其晦非聖人所律之神也四分失氣朔分秒之差無盈縮遲疾之序臣子之支派紊亂不明而何以事君父聖神忠孝無一可者而稱曰𤣥𤣥之言淵也妙也淵則不滯妙則當可而四分亡是也昔人謂問揚雄竒字乃若竒字則有之如北冬東春南夏西秋仍復於北之義以罔直蒙酋㝠之字當之考古堯舜周孔諸大聖何嘗作此竒字雄甚者幽摉艱字結撰澁文令人駭目視為𤣥竒而雄且解嘲謂非尚白然其實無他竒也况易道廣大孔子末年學易始繼三聖以卒大業雄何人斯而敢於抄冩太初更名太𤣥準易體準易文繫籍聖賢侮弄造化豈非妄作愚故曰揚雄不知厯法亦不知厯理者也昌黎不知而尊為聖人之徒平子不知而擬為五經之書君山不知而嘆以絶倫君實不知而為之詮釋乃邵康節以明理之儒亦惑其說亟稱落下閎改顓帝厯為太初揚子雲準太初厯為太𤣥而曰太𤣥知天地之心殊不知顓帝太初太𤣥皆四分之誤也邵子論閏亦曰十九年七閏無餘分則即太初一章閏分盡以至一元六甲盡皆無餘分之說然據四分筭則無餘分而四分疎闊不可以為厯以密合法筭則推之萬億年猶有餘分也十九年云乎哉善乎劉歆曰太𤣥用覆醬瓿何承天曰揚雄采三統四分之疎闊為太𤣥不知而妄言程子曰太𤣥本要明易却晦於易真屋下架屋床上疊床亦贅矣楊龜山曰子雲作太𤣥只據他立名便不是既定却三方九州二十七部八十一家不知如何相錯的朱子曰聖人說天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十甚簡易太𤣥以三數乘之皆筭不著便零星補凑的甚拙支離不成物事太𤣥準焦延夀卦氣焦延夀也不成物事今時沈蛟門曰太𤣥以牽牛起冬至上施徃古則失之於𤣥枵下施今兹則失之於龍尾安在為考之混元而𤣥巳生窮之天地之委而𤣥不可亡耶又曰聖人所謂象時象閏當朞之日曰象曰當適相應㑹之詞耳此乃觀易於既畫之妙而非謂易之所由作也如經言三百六十止舉其槩豈一一宻合哉其言則皆是大都羲文周孔四聖之易與天為一而後之言易者如包元凖火珠林以三十六數擬易關朗凖易數以七百二十治厯蔡季通凖洪範以九九之數演皇極司馬君實凖河圖以七十蓍作濳虚非不亦合象數然以視四聖悉贅疣也則亦無庸為矣程子曰日月一也豈有日髙於月之理月不下日與日正相對故食斯言非也日髙於月月由下而過月體掩日掩幾分則食幾分掩盡則食既非日月正相對而食也朱子曰長庚水星啓明金星金在日西日將出則東見水在日東日將沒則西見斯言非也長庚啓明皆金星也先日而東見為啓明後日而西見為長庚皆一星也金水皆附日而行水亦有時而先日東見後日西見但其去日之度水近而金逺耳濳室陳氏曰上元太初四千六百十七歳巳盡都無絲髪餘是十一月甲子夜半冬至漢元封七年適當其時故定厯元此太初太𤣥四分之説也而豈知其有餘分乎古今律厯考卷八
## 卷九
欽定四庫全書
古今律厯考巻九 明 邢雲路 撰歴代一歴代考皇帝紀太昊伏羲氏繼天而王為百王先首徳始於木故為帝太昊作罔罟以田漁取羲牲故號庖犧氏作五運二十四氣以支干配十二辰六甲而天道周矣作荒樂歌扶徠詠罔罟以鎮天下之人命曰立基斵桐為琴繩絲為絃絃二十有七命曰離徽以合天人之和絙桑為三十六絃之瑟以修身理性反其天真而樂音自是興焉乾鑿度曰上古聖庖犧氏頤乾道浩大以天門為名乾訓健壯健不息日行一度鑿者開也聖人鑿開天路斷氣為二縁物成三天地之道不□輪薄不息以啟三光變文為字變氣為易畫卦為象象成設位☰(古文天字)☷(古□)(地字)☴(風字)☶(山字)☵(水字)☲(火字)☳(雷字)☱(澤字)乾為天門坤為人門巽為風門亦為地户艮為鬼㝠門庖犧氏畫四象立四隅以定羣物發生門而後立四正四正者定氣(即分至四正氣)一日月出沒二隂陽交爭三天地德四正月坎水日離火雷震木日月出入門日出震月入於震澤金兑日月徃來門月出澤日入於澤天數二十五地數三十天地合和數五十五所用法古四十九六而不用驅之六虚坤鑿度曰制靈經曰天有九道(日月經厯之道)坤有四㝠(象化氣成)乾坤在道日月相將山墳伏犧皇筞辭皇曰命子英居我潛龍之位主我隂陽甲厯咨於四方潛龍昊英氏進厯於君厯起甲寅皇乃鳩衆升傳敎臺咨告於民俾知甲厯日月歲時自兹始炎帝神農氏以火承木故為炎帝敎民耕農故號神農氏分八節以始農功作樂名扶持亦名下謀氣墳神農氏政典皇曰正天時時正惟四亂時不植氣正惟和氣亂作癘嗟爾有官咸若我辭黄帝有熊氏以土承火故為土德始垂衣裳有軒冕之服故號軒轅氏黄帝創受河圖設靈臺使羲和占日常儀占月鬼臾蓲占星伶倫造律呂大撓作甲子𨽻首作筭數容成綜此六術以考氣運定納音天以六節地以五制司天氣者六期為備終地紀者五歲為周五六合者三十歲七百二十氣為一紀六十歲千四百四十為一周於是有天地神祗物類之官是謂五官各司其序作盖天以象天形起消息察發斂以作調厯歲紀甲寅日起甲子是歲己酉朔旦日南至而獲神策寶鼎焉乃迎日推策造十六神厯置閏設蔀時惠而辰從律度量衡由是而成民以是能有信神以是能有明德民神異業敬而不凟故神降之嘉生民以物享災禍不生所求不匱命伶倫自大夏之西昆侖之隂取竹於嶰谿之谷以生空竅厚匀者斷兩節間吹之以為黄鐘之宫制十二筩以聽鳯凰之鳴其雄鳴六雌鳴亦六生六律六吕半之為清聲倍之為緩聲三分損益還相為宫以配十二月以立宮商角徴羽之聲作五鐘青曰大音赤曰重心黄曰灑池黒曰𨼆常白曰景鐘作咸池之樂以張於洞庭之野言其德象池水周遍也(唐至德二年洞庭側有穿地得古鐘有古篆文黄帝時樂器)形墳軒轅氏政典皇曰岐伯天師爾司日月星辰隂陽厯數爾正爾考無有差貸先時者殺不及時者殺爾惟戒哉少昊金天氏承土以金德王故號金天氏鳯鳥適至因以鳥紀官鳯鳥氏為厯正𤣥鳥氏司分伯趙氏司至青鳥氏司啓丹鳥氏司閉作大淵之樂以諧神人和上下顓頊高陽氏承金以水德王以少昊之四子重為木正曰勾芒該為金正曰蓐收修熈皆代為水正曰𤣥㝠又以炎帝之子勾龍為土正而帝之孫黎為火正曰祝融分治五方是為五官因少昊氏衰九黎亂德家為巫史民凟於祀乃命南正重勾芒司天以屬神北正黎祝融司地以屬民使復舊常無相侵凟是謂絶地天通始為儀制驗其盈虚升降制厯正以孟春是歲正月己丑朔旦立春五星會於營室是為厯宗命飛龍氏會八風之音作承靈之樂名曰六莖莖根也謂澤及根荄也帝嚳高辛氏承水以木德王式序三辰命咸黒作六英之樂六英言天地四時之英華也厯日月而迎送之帝堯陶唐氏承木以火德王因三苖服九黎之德二官咸廢厥職閏餘乖次孟陬殄滅攝提無紀厯數失序乃復育重黎之後羲氏和氏命作渾儀厯象日月星辰置閏成歲敬授人時名朞曰載年耆禪舜曰天之厯數在爾躬舜攝政在璿璣玉衡以齊七政取北斗第二星名璇第三星名璣第五星名衡之義即堯渾儀王蕃云渾天儀者羲和之舊器也協時月正日同律度量衡俱詳見尚書考中堯命䕫作大章之樂大章章之也謂帝德顯暴也重黎欲益求人舜曰一䕫足矣舜造五絃琴歌南風之詩九叙惟歌作箾韶九成之樂韶之言紹謂繼紹唐堯也是時十日並出堯使羿繳大風於青邱之澤上射十日此淮南子妄誕之言也羿人耳安能射日然天有數日則有之歴代日有二三或數者每書之史册皆其日光之映非真日也然旋復其常仍一日耳何也即厯數之推千歲日躔的有定度以斯知日之無二也帝舜有虞氏承堯以土德王讓天下於禹三王紀伯禹夏后氏承舜以金德王改載曰歲顓頊以來堯舜皆用寅正禹因之故稱夏后氏得人統孔子曰我欲觀夏道吾得夏時焉鄭康成云夏四時之書也其書存者有小正大戴禮有夏小正一篇盖戴德取以為正也其時正令善後世遵用之大禹聲為律以五音聽治作大夏樂夏大也言能大堯舜之德也仲康時辰弗集於房詳見尚書考中成湯革夏命承夏以水德王號曰商亦曰殷以建丑之月為歲首得地統改歲為祀作殷厯然殷雖改正其編年紀事則仍用夏時禱於桑林而雨歲則大熟作桑林之樂名大護護之言救謂去虐救民也周武王承殷以木德王因紂作滛樂䘮其甲子誅之乃以建子之月為歲首得天統改祀為年作周厯周建子則以子月為正月不用夏時矣吹律聽聲作大武樂象武功也周公作魯厯傳曰火出於夏為三月於商為四月於周為五月盖夏建寅三月而火出於辰五月而火中於午七月而火流於申十月而火伏於亥商周以次推之是矣然火出之候昔時則然而後不然也天星漸移厯周歲火皆可居則歲差易之非一定矣六厯者黄帝調厯顓帝厯夏厯殷厯周厯魯厯是為六厯後厯代十一更年五千加以太初三統厯為七厯漢末集七厯以考春秋夏周厯與漢藝文志所記不同故更名真夏厯真周厯夫既曰真則必有偽杜預作長厯謂周衰世亂學者莫得其真所傳古厯未必是時王之術也預以長厯驗春秋日食之數而知三統之最疎盖春秋日食三十六以三統推之止得一食之數姜岌又併夏厯真夏厯周厯真周厯得十三十四食之數其真夏厯真周厯止得一食之數與三統厯同豈其真者反不及非真者歟岌以七厯考古今交㑹信無其驗皆由斗分疎之所致宋書議周漢之際疇人喪業曲技競設圖緯實繁或借帝王以崇其大或假名聖賢以神其説是以讖記多虚桓譚知其矯妄古厯舛雜杜預疑其非真按五紀論黄帝厯有四法顓頊夏周竝有二術詭異紛然孰識其正顓頊厯元在乙卯而命厯序云在甲寅夏厯七曜西行特違衆法漢人以為後人所造殷厯日法九百四十而乾鑿度云殷厯以八十一為日法春秋書日食朔二十六其所據厯非周則魯以周厯檢之失二十五魯厯檢之失十三諸凡如此是尚可以為厯也乎大都六家之厯率皆六國及秦時漢初人所造六術斗分並同四分四分之法其分太多率皆後天以步朔日或差二日三日上不可檢於春秋下不驗於漢魏其非三代以前之厯明甚及考四分之法終漢之世皆同或者漢人欲實已四分之真故假作六厯以古附今未可知也不然豈有帝王制厯而一槩疎闊至此耶漢書稱武王元年一月戊午師渡于孟津明日己未冬至至庚申二月朔日也四日癸亥夜陳五日甲子昧爽而合以授時推武王元年己卯歲距元至元辛巳二千四百二年中積八十七萬七千三百一十八日二十四刻九十八分天正冬至五十六日八十一刻得庚申日戌初一刻冬至一月子月定朔二十九日九十四刻癸巳日亥時合朔以歩至二月丑月定朔五十九日五十七刻癸亥日未時合朔則二月一日癸亥二日甲子也以是知武王於一月二十六日戊午渡孟津二十七日己未二十八日庚申冬至大盡二月一日癸亥至商郊二日甲子伐商非己未冬至亦非二月庚申朔也盖漢厯斗分太多故推冬至差一日推朔差三日考太公六韜太公告武王曰律管十二其音有五宫商角徴羽也以天清浄無隂雲風雨夜半遣輕騎徃至敵人之壘去九百歩外徧持律管當耳大呼驚之有聲應管其來甚微角聲應管當以白虎徴聲應管當以𤣥武商聲應管當以朱雀羽聲應管當以勾陳五管聲盡不應者宫也當以青龍此五行之符佐勝之徴也微妙之音皆有外候敵人驚動則聽之聞枹鼓之音者角也見火光者徴也聞金鐵矛㦸之音者商也聞人嘯呼之音者羽也寂寞無聞者宫也此五音者聲色之符也由是觀之律音通於兵法周禮馮相氏掌十有二歲十有二月十有二辰十日二十有八星之位辨其叙事以㑹天位冬夏致日春秋致月以辨四時之叙保章氏掌天星以志星辰日月之變動以觀天下之遷辨其吉凶以星土辨九州之地所封封域皆有分星以觀妖祥以十有二歲之相觀天下之妖祥以五雲之物辨吉凶水旱降豐荒之祲象以十有二風察天地之和命乖别之妖祥凡此五物者以詔救政訪序事大司樂掌成均之灋以治建國之學政而合國之子弟焉凡有道者有德者使敎焉以樂德敎國子中和祗庸孝友以樂語教國子興道諷誦言語以樂舞敎國子舞雲門大巻大咸大㲈大夏大濩大武以六律六同五聲八音六舞大合樂以致鬼神示以和邦國以諧萬民以安賓客以悦逺人以作動物乃分樂而序之以祭以享以祀乃奏黄鍾歌大呂舞雲門以祀天神乃奏太蔟歌應鍾舞咸池以祭地示乃奏姑洗歌南呂舞大㲈以祀四望乃奏蕤賓歌函鍾舞大夏以祭山川乃奏夷則歌小呂舞大濩以享先妣乃奏無射歌夾鍾舞大武以享先祖凡六樂者文之以五聲播之以八音凡六樂者一變而致羽物及山川之示再變而致臝物及山林之示三變而致鱗物及邱陵之示四變而致毛物及墳衍之示五變而致介物及土示六變而致象物及天神凡樂圜鍾為宮黄鍾為角太蔟為徵姑洗為羽雷鼔雷鼗孤竹之管雲和之琴瑟雲門之舞冬日至於地上之圜邱奏之若樂六變則天神皆降可得而禮矣凡樂函鍾為宮太蔟為角姑洗為徴南呂為羽靈鼓靈鼗孫竹之管空桑之琴瑟咸池之舞夏日至於澤中之方邱奏之若樂八變則地示皆出可得而禮矣凡樂黄鍾為宮大呂為角太蔟為徴應鍾為羽路鼓路鼗隂竹之管龍門之琴瑟九德之歌九㲈之舞於宗廟中奏之若樂九變則人鬼可得而禮矣周公攝政四年以土圭之灋測土深正日景以求地中日南則景短多暑日北則景長多寒日東則景夕多風日西則景朝多隂日至之景尺有五寸謂之地中天地之所合也四時之所交也風雨之所會也隂陽之所和也然則百物阜安乃建王國焉制其畿方千里而封樹之此就四方測景以求地中也南近日則景短而暑北逺日則景長而寒東近海故景夕多風西近山故景朝多隂故必求南北之中而復求東西之中然後當東西南北各九十一度之中春秋分晝夜各五十刻夏至日在嵩高之南十二度南戴日下表南表北皆無景在今之交廣周公於洛陽天地之中立八尺之表以測夏至日景尺有五寸測冬至日景一丈三尺有竒乃建王國於中故曰南望三塗北望嶽鄙顧瞻有河粤瞻洛伊是也後之測日景者取則焉漢書稱武王即位十一年周公攝政五年正月丁巳朔旦冬至殷厯以為六年戊午以授時推周公攝政五年乃六年庚寅歲前天正距元至元辛巳二千三百九十一年中積八十七萬三千三百日三十一刻六十八分天正冬至五十四日七十四刻四十三分得戊午日未初三刻冬至日躔牛宿四度為是殷厯謂六年前天正戊午冬至同漢厯推丁巳亦猶推武王元年冬至之先天一日也若以大統推是年甲子卯初三刻冬至日躔女三度則相差六其日在天違六度餘失益逺矣按國語虢公告周宣王曰䢉祥晨正日月底於天廟註䢉祥房星晨正謂立春之日晨中於午位也䢉事之候故曰䢉祥底至也天廟營室謂孟春之月日月會於營室也考孟春䢉祥晨正日月會於營室周宣時則然久之天日漸移十二月皆可䢉祥辰正日月皆可會於營室非一定也如今萬厯年間孟春日月會於尾昏畢中旦房中去周宣一千五百餘年退天二十六度有竒矣周幽王六年十月之交日食詳見詩經考中春秋日食三十六并厯數俱詳見春秋考中單子過陳歸告周定王曰辰角見而雨畢天根見而水涸本見而草木節解駟見而隕霜火見而清風戒寒故先王之敎曰雨畢而除道水涸而成梁草木節解而備藏隕霜而冬裘具清風至而修城郭宮室故夏令曰九月除道十月成梁其時儆曰營室之中土功其始今陳國火朝覿矣而道路若塞是廢先王之敎也其能久乎九年楚子入陳註辰角角星建戌之初朝見東方寒露節雨氣畢也天根氐亢之間也雨畢後五日天根朝見秋水始涸本氐也寒露後十日氐見草木之枝節皆理解也天駟房星建戌之中房見霜始降火心星火見霜降之後清風至所以戒人為寒備也故九月雨畢而除道十月水涸而成梁季秋節解農事備藏將冬隕霜冬裘具火見之後建亥之初修城郭宫室建亥小雪之中營室定星昏正於午土功乃興今陳國十月心星辰見於晨而道茀不可行是廢先王之敎也考時至事起若單子所云諸令惟周宣時為然久之各異與上䢉祥晨正日月底於天廟同景王將鑄無射問律於泠州鳩對曰律所以立均出度也(均均鐘木長七尺有弦繫之以均鐘度鐘大小清濁也)古之神瞽考中聲而量之以制(神瞽古樂正知天道者死而為樂祖祭於瞽宗謂之神瞽)度律均鐘百官軌儀(度律呂之長短以平其鐘立百事之道法故律度量衡於是乎生)紀之以三(天地人)平之以六(六律)成於十二(十二律呂)天之道也(天之大數不過十二)夫六中之色也故名之曰黄鐘(十一月曰黄鐘乾初九也六者天地之中天有六母地有)(五子十一而天地畢矣而六為中黄鐘管長九寸九之為八十一故黄鐘之數立焉黄中之色也鐘之言陽氣)(鐘聚於下也)所以宣養六氣九德也(六氣隂陽風雨晦明九德水火金木土榖正德)(利用厚生十一月陽復於下物始萌於五聲為宫含元處中所以徧養六氣九德)由是第之(次也)二曰太蔟所以金奏贊陽岀滯也(正月曰太蔟乾九二也管長八寸太蔟言)(陽氣太蔟達於上也太蔟正聲為商金奏佐陽發出滯伏也)三曰姑洗所以脩潔百物考神納賓也(三月曰姑洗乾九三也管長七寸一分姑潔洗濯考合也於正聲為角是月百)(物脩潔故用之宗廟合致神人用之享宴可以納賓)四曰蕤賓所以安靖神人獻酬交酢也(五月曰蕤賓乾九四也管長六寸三分蕤委蕤柔貌言隂氣委蕤於下陽氣盛長於上有)(似賓主故用宗廟賓客以安静神人行酬酢也酬勸酢報也)五曰夷則所以詠歌九則平民無貳也(七月曰夷則乾九五也管長五寸六分夷平則法也言萬物既成可法則也故)(可以詠歌九功之則成民之志使無疑貳)六曰無射所以宣布哲人之令德示民軌儀也(九月曰無射乾上九也管長四寸八分宣徧軌道儀法也九月陽氣收藏萬物無射)(見者故可以徧布前哲之令德示民道法)為之六間以揚沈伏而黜散越也(六間六呂在陽律之間沈滯越揚也呂隂呂所以侶間陽律成其功𤼵揚滯伏之氣而去散越者也)元間大呂助宣物也(十二月曰大呂坤六四也管長八寸四分隂繫於陽以黄鐘為主故曰元間以)(助陽宣物也天氣始於黄鐘萌而赤地受之於大呂牙而白成黄鐘之功也)二間夾鐘出四隙之細也(二月曰夾鐘坤六五也管長七寸四分隙間也四隙四時之間氣微細者春為陽中萬物)(始生故夾鐘出四時之微氣)三間中呂宣中氣也(四月曰中呂坤上六也管長六寸六)(分陽氣起于中至四月宣散於外純乾用事故曰正月正月正陽之月也)四間林鐘和展百事俾莫不任肅純恪也(六月曰林鐘坤初六也管長六寸林衆鐘聚也於正聲為徴展)(審肅速純大恪敬也言時務和審莫不任其職事速其功大敬其職也)五間南呂贊陽秀也(八月曰南呂坤六二也管長五寸三分於正聲為羽南任也隂任陽事助陽秀發)六間應鐘均利器用俾應復也(十月曰應鐘坤六三也管長四寸七分應隂應陽用事萬物鐘聚均)(利百官器用皆應其禮復其常也)律呂不易無姦物也故先王貴之王曰七律者何(周有七音黄鐘為宮太蔟為商姑洗為角林鐘為徴南呂為羽應鐘為變宮蕤賓為)(變徴)對曰昔武王伐殷歲在鶉火(鶉火周分野武王伐殷東行時殷之十一月戊)(子於夏為十月是時歲星在張張鶉火也)月在天駟(天駟房星也謂戊子日月宿房)日在析木之津(津天漢也析木其間為漢津謂戊子日日宿箕)辰在斗柄(辰日月之會斗柄斗前也)(謂戊子後五日得周正月癸巳朔於殷為十二月夏為十一月是日月合辰斗柄前)星在天黿(星辰)(星也天黿次名一曰𤣥枵為天黿謂周正月朔辰星在須女伏天黿之首武王發行二十六日戊午渡孟津距)(戊子三十一日二十八日庚申冬至二月一日癸亥二日甲子伐商)星與日辰之位皆在北維(星辰星辰星在須女日在析木辰在斗柄皆在北維北維北方水位也)顓頊之所建也帝嚳受之(顓頊帝嚳所代也帝嚳周之先祖后稷所出也顓頊水德之王立於北方帝嚳木德)(故受之於水今周亦木德當受殷之水猶帝嚳之受顓頊也)我姬氏出自天黿(姬氏周姓)(天黿即𤣥枵齊之分野也周之皇妣王季之母大姜者逢伯陵之後齊女也故言出於天黿又曰有星出於須)(女姜氏任氏實守其祀)及析木者有建星及牽牛焉(析木日辰所在建星在牽)(牛前謂從辰星所在須女天黿之首至析木之分歴建星及牽牛皆水宿言得水類也)則我皇妣大姜之姪伯陵之後逢公之所馮神也(皇居也生曰母死曰妣大姜大)(王之妃王季之母姜女也女子謂昆弟之子男女皆曰姪伯陵大姜之祖有逢伯陵也逢公伯陵之後大姜之)(姪殷之諸侯封於齊地齊地屬天黿故祀天黿死而配食為其神主故云馮馮依也言天黿乃皇妣家之所馮)(依非但合於水木相承而已)歲之所在則我有周之分野也(歲星在鶉火鶉)(火周之分野歲星所在利以伐人)月之所在辰馬䢉祥也(辰馬謂房心星也心星所)(在大辰之次為天駟駟馬也故曰辰馬言月在房合於䢉神也祥猶象也房星晨正而䢉氏起故謂之䢉祥)我太祖后稷之所經緯也(稷播百榖故䢉祥后稷之所經緯也晉語曰辰以成善后)(稷是相)王欲合是五位三所而用之(五位歲月日星辰也三所逢公所馮神周)(分野所在后稷所經緯也)自鶉及駟七列也(鶉鶉火之分駟天駟在房歲月之所在從張至)(房七列合七宿謂張翼軫角亢氐房之位)南北之揆七同也(七同合七律也揆度也歲在鶉)(火午辰星在天黿子鶉火周分野天黿及辰水星周所出自午至子其度七同也)凡神人以數合之以聲昭之(凡合神人之樂以數合之謂取其七以聲昭之用律調音)數合聲和然後可同也(同謂神人相應)故以七同其數而以律和其聲於是乎有七律(七同其數謂七列七同七律也律和其聲律有隂陽正變之聲)王以二月癸亥夜陳未畢而雨(二月一日癸亥至牧野夜陳師未畢而雨)以夷則之上宫畢之(以夷則為宫聲以聽軍聲陽氣在上故曰上宫)當辰辰在戍上故長夷則之上宫名之曰羽(長謂先用之也辰時也辰日月之會斗柄也當初陳之時周二月昏)(斗建丑而斗柄在戌上下臨其時名其樂為羽羽翼其衆也)所以藩屏民則也(羽之義取)(藩蔽民使中法則)王以黄鐘之下宫布戎於牧之野(夜陳之晨旦甲子昧)(爽黄鐘在下故曰下宫)故謂之厲所以厲六師也(名北樂為厲所以厲六軍之衆)(也)以大蔟之下宫布令於商昭顯文德底紂之多辠(文文)(王也底致也既殺紂入商之都發號施令以昭明文王之德致紂之多辠太蔟所以贊陽出滯盖謂釋箕子囚)(㪚鹿臺之財發鉅橋之粟也太蔟在下故曰下宫)故謂之宣所以宣三王之德也(三王大王王季文王)反及嬴内以無射之上宫布憲施舍於百姓(嬴内地名憲法也施施惠舍舍辠也無射所以宣布哲人之令德示民軌儀無射在上故曰上宫)故謂之嬴亂所以優柔容民也(亂治也)伐商之歲日月辰所在亦惟其時則然久亦各異與䢉祥晨正同晉文公在翟十二年行過五鹿乞食於野人野人舉塊以與之公怒將鞭之子犯曰天賜也民以土服又何求焉天事必象十有二年必獲此土歲在壽星及鶉尾其有此土乎(歲在壽星謂得塊之歲魯僖十六年後十一年歲在鶉尾必有此五鹿地魯僖二十七年)(歲在鶉尾二十八年歲復在壽星晉文公伐衛)天以命矣復於壽星必獲諸侯(歲復在壽星謂魯僖二十八年是歲四月文公敗楚師合諸侯於踐土五月獻俘於王王策命為侯)天之道也(天之大數不過于二)董因迎晉文公於河公問焉曰吾其濟乎對曰歲在大梁將集天行元年始受實沈之星也(歲在大梁謂魯僖二十三年言公得)(成天道也公以辰出晉祖唐叔所以封也而以參入晉星也元年謂文公即位之年魯僖二十四年歲星去大)(梁在實沈之次受受於大梁也)實沈之虚晉人是居所以興也今君當之無不濟矣君之行也歲在大火大火閼伯之星也是謂大辰(君行謂魯僖五年重耳出奔時歲在大火大火大辰也晉唐叔封時歲在大火)且以辰出而以參入皆晉祥也(參在實沈)而天之大紀也濟且秉成必霸諸侯關尹子七釜篇曰人之一呼一吸日行四十萬里非也周天三百六十五度有竒每度千餘里此厯代以表之勾股測天所得者乃謂一呼吸日行四十萬里乎或謂關令尹喜所撰九篇為人所假托者誠然王充論衡言魯襄公與韓戰戰酣日暮公援戈而揮之日為之反三舍又言燕太子丹朝於秦不得去從秦王求歸秦王執留之與之誓曰使日再中乃得歸當此之時天地祐之日為再中此言皆虚也日度運行數有一定雖聖神不能挽之魯襄燕丹豈能揮挽或謂王充論衡八十五篇二十餘萬言鄙誕者多誠然列子曰共工氏與顓頊氏争為帝怒觸不周山天柱折地維缺故天傾西北日月星辰就焉地不滿東南百川水潦歸焉女媧氏煉五色石以補天荒唐無稽之言不足辯也列子湯問篇云孔子東遊見二小兒辯鬬問其故一小兒曰我以日始出時去人近而日中時遠也一小兒曰我以日出時逺而日中時近一小兒曰日初出時大如車葢及日中時如盤盂此不為遠者小而近者大乎一小兒曰日初出滄滄涼涼及其中如探湯此不為近者熱而遠者涼乎孔子不能決兩小兒笑曰孰謂汝多知乎此列子寓言淺之乎其為見也豈以孔子而不能辯此耶夫日初出大海氣之映也與日入同日中之小則精光四散若見其小也猶人之視燭遠見大而近見小者然若日初出涼者日方自地出熱未盛也日中氣熾而熱至日是更燠則熱之積也何異之與有以渾儀測之日徑一度周天三百六十五度有竒以四分之得九十一度有竒是日徑一度無大小也以春秋分之中論日去地九十一度有竒日中午與出卯没酉皆同無遠近也此璣衡可窺之數以歩氣朔萬世不易者列子不知天數而鑿空妄言以誣宣聖其與叔孫武叔毁仲尼之日月何殊楚辭曰攝提貞于孟陬兮惟庚寅吾以降言斗柄指寅為正月也鶡冠子亦云斗柄東指天下皆春斗柄南指天下皆夏斗柄西指天下皆秋斗柄北指天下皆冬柄運於上事立於下此聖人究道之情究道之法也殊不知正月指寅周時則然而後亦各異矣前漢天文志謂古厯五星之推亡逆行者至甘氏石氏經以熒惑太白為有逆行夫厯者正行也古人有言天下太平五星循度亡有逆行日不食朔月不食望立八尺之表夏至景長尺五寸八分冬至景長丈三尺一寸四分春秋分景長七尺三寸六分若南北失節晷過而長為常寒退而短為常燠一曰晷長為旱奢為扶扶者邪臣進而正臣疎鄭氏曰扶當為蟠影形奢大也皆非也五星俱有逆行何止熒惑太白豈有太平無逆行之理日食為朔月食為望豈有日月不食朔望之理如冬夏至適當午正初刻則晷無長短其餘各有長短乃時差之數也與寒燠邪正何關春秋二百四十二年日食三十六前漢二百一十二年日食五十三其間二百九十三年史傳止書日食者凡七盖戰國擾攘秦兼天下史失其官不書於冊也自貞定王二十六年至赧王十四年六書食而無月日秦莊襄三年書四月食而無日以法推之其食多不合置之可也秦始皇采齊人鄒衍論終始五德之運以為周得火德秦代周從所不勝定為水德以十月為歲首朝賀皆自十月朔色尚黒數以六為紀法尚刻以為合五德之數仍用顓帝厯然每遇閏年則閏九月謂之後九月秦年雖用十月為首而時序則從夏令觀史所書曰元年冬十月盖年前十月也夫曰歲首者取陽生之義也冬至建子一陽生得天統蔡邕曰冬至陽氣起君道長故賀夏至隂氣起君道衰故不賀若十二月建丑二陽生得地統正月建寅三陽生得人統皆陽月也故三代逓用之十月建亥乃純隂之月而秦用為正其於三統之義奚取焉閏以歸餘何月不可閏而俱附之九月尤屬悖謬秦王子嬰初立即漢元年十月五星聚于東井孟康曰歳星先至四星從歳星也魏高允校漢厯謂太白辰星常附日而行十月日在尾箕昏没於申南而東井方出於寅北二里何得背日而行高允之言是也古今律厯考巻九
## 卷十
欽定四庫全書
古今律厯考卷十 明 邢雲路 撰厯代二厯代考史記律書史云六律為萬事根本而於兵械尤所重卒歸於漢文之無議軍天下和樂言律本也又言律厯通五行八正之氣不周風居西北東東壁又東營室至危十月也律中應鐘其於十二子為亥廣莫風居北方東至虚至須女十一月律中黄鐘其於十二子為子十母為壬癸東至牽牛至建星(在斗)十二月律中大吕其於十二子為丑條風居東北南至箕為正月泰蔟為寅南至尾至心至房明庶風居東方二月夾鐘為卯為甲乙南至氐至亢至角三月姑洗辰清明風居東南維西至軫至翼四月仲吕已西至七星西至張(星在張西史誤)至注(咮也栁鳥咮西近鬼)五月蕤賔景風居南午丙丁西至弧狼(在井)涼風居西南維六月林鐘未北至伐參(觜在參上)七月夷則申北至濁(濁謂之畢)至留(留即昴)八月南呂酉閶闔風居西方庚辛北至胃至婁至奎九月無射戌各有名義焉皆古法也數則黄鐘既云八十一為宮又云八寸七分為宮既又云九寸為黄鐘之宮何自相悖也不知黄鐘之九寸乃九分之寸也九九八十一之九寸為是而八寸七分之説為非黄鐘且然它可知矣其損益相生法數正變之實詳見别簡史記厯書按史記厯書云在古厯作於孟春鷄三號鳴(三號鳴寅時也謂黄)(帝調厯以前有上元太初厯等皆以寅為正及顓頊夏后氏亦然惟黄帝及殷周魯厯並以子為正)秦用亥正漢興張蒼等雖明習厯論著不成今改夏正其更以元封七年為太初元年年名焉逢(甲)攝提格(寅)月名畢聚日得甲子十一月夜半朔旦冬至(謂以夜半為旦)正北十二無大餘無小餘無大餘無小餘焉逢攝提格太初元年十二大餘五十四小餘三百四十八大餘五小餘八何也太史公謂月名畢聚畢甲聚子甲子月也日得甲子十一月甲子日夜半甲子時冬至子日為冬至故云正北子位北也謂每歲行周天全度外餘四分度之一以十二辰分之則子年在子丑年在卯寅年在午卯年在酉也十二者歲有十二月若有閏則云十三也無大餘無小餘者甲子朔旦冬至滿甲子除盡朔旦以前無竒日分故無朔之大小餘也又云無大餘無小餘者謂冬至與朔同日時亦無竒日分故無氣之大小餘也曰焉逢攝提格太初元年大餘五十四者甲寅至乙卯十二月每月二十九日共三百四十八日日下餘分每年盈六日共合三百五十四日故云大餘五十四小餘三百四十八者每月二十九日下餘分四百九十九以歲十二乗之以日法九百四十而一盈六日餘三百四十八故每歲加小餘三百四十八為朔之餘也曰大餘五小餘八者以三十二歲之積日一萬一千六百八十八以日法三十二而一得三百六十五日○八滿甲子去之餘五故曰大餘五餘八故曰小餘八為氣之餘也後倣此如端蒙單閼為太初二年乙卯歲大餘四十八小餘六百九十六者每歲大餘五十四倍之為一百八滿甲子去之餘四十八每歲小餘三百四十八倍之為六百九十六為朔之餘也大餘十小餘十六者每歲大餘五倍之為十每歲小餘八倍之為十六為氣之餘也如游兆執徐為太初三年丙辰歲大餘十二小餘六百三者謂丙辰前乙卯歲月十三有閏大餘於四十八内應加二十三共為七十一小餘每年三百四十八因有閏加四百九十九為八百四十七以加於六百九十六内共為一千五百四十三滿法九百四十收之盈一日加於大餘七十一内為七十二日滿甲子去之餘十二日仍餘六百三為小餘故曰大餘十二小餘六百三為朔之餘也大餘十五小餘二十四者大餘十加五為十五小餘十六加八為二十四為氣之餘也以歩氣甲寅至丁巳凡四年小餘每年二十五刻四年積百刻成一日故太初四年彊梧大荒落丁巳歲無小餘甲寅至丙子凡二十三年置歲餘五日二十五刻以積年二十三乗之得一百二十日七十五刻滿甲子去之無大餘仍餘七十五刻以日法三十二因之得二十四為小餘故昭帝始元五年距太初元年積二十三年游兆困敦丙子歲無大餘小餘二十四以斯歩至元帝建始四年祝犂大荒落之己巳歲莫不皆然此史記歩厯之大較也以授時推太初元年丁丑歲十一月壬子定朔分二十九日七十二刻得癸巳日酉時合朔冬至分五十七日六十四刻得十一月二十九日辛酉申時冬至史云甲寅年甲子月甲子日甲子時合朔冬至法推丁丑年壬子月癸巳日辛酉時合朔丁丑年壬子月辛酉日丙申時冬至固非至朔同日亦非其年月日時氣既非子則非正北史云氣朔俱無大小餘法推是月朔大餘二十九小餘七十二二十九日氣大餘五十七小餘六十四史云四年無大餘二十三年無小餘者以斗分之四分所累皆非也或解之曰史遷所謂以元封七年為太初元年者謂七年十一月朔旦冬至無餘分如上古甲寅年甲子月朔旦冬至為起厯之元非謂七年即甲寅也其以太初天漢太始征和以至六十年後建始各年號分配年名之下乃後人以此厯譜附入太史公厯述内非太史公自注也不然太史出於武帝時安能預知六十年後年號而先書於厯述年名之下哉此必後人増益之無疑也斯言誠是矣然漢太初元年十一月朔非子時氣非朔日非至朔同日無餘分以此為得上元則何以解焉班固志太初元年歲在丙子天正後丁丑今以史漢厯年附註於後史記 漢書焉逢攝提格太初元年甲寅 丁丑端蒙單閼二年 乙卯 戊寅游兆執徐三年 丙辰 己卯彊梧大荒落四年 丁巳 庚辰徒維敦牂天漢元年 戊午 辛巳祝犂協洽二年 己未 壬午商横涒灘三年 庚申 癸未昭陽作噩四年 辛酉 甲申横艾淹茂太始元年 壬戌 乙酉尚章大淵獻二年 癸亥 丙戌焉逢困敦三年 甲子 丁亥端蒙赤奮若四年 乙丑 戊子游兆攝提格征和元年丙寅 己丑彊梧單閼三年 丁卯 庚寅徒維執徐三年 戊辰 辛卯祝犂大荒落四年 己巳 壬辰商横敦牂後元元年 庚午 癸巳昭陽協洽二年 辛未 甲午横艾涒灘始元元年 壬申 乙未尚章作噩二年 癸酉 丙申焉逢淹茂三年 甲戌 丁酉端蒙大淵獻四年 乙亥 戊戌游兆困敦五年 丙子 己亥彊梧赤奮若六年 丁丑 庚子徒維攝提格元鳯元年戊寅 辛丑祝犂單閼二年 己卯 壬寅商横執徐三年 庚辰 癸卯昭陽大荒落四年 辛巳 甲辰横艾敦牂五年 壬午 乙巳尚章協洽六年 癸未 丙午焉逢涒灘元平元年 甲申 丁未端蒙作噩本始元年 乙酉 戊申游兆閹茂二年 丙戌 己酉彊梧大淵獻三年 丁亥 庚戌徒維困敦四年 戊子 辛亥祝犂赤奮若地節元年己丑 壬子商横攝提格二年 庚寅 癸丑昭陽單閼三年 辛卯 甲寅横艾執徐四年 壬辰 乙卯尚章大荒落元康元年癸巳 丙辰焉逢敦牂二年 甲午 丁巳端蒙協洽三年 乙未 戊午游兆涒灘四年 丙申 己未彊梧作噩神雀元年 丁酉 庚申徒維淹茂二年 戊戌 辛酉祝犂大淵獻三年 己亥 壬戌商横困敦四年 庚子 癸亥昭陽赤奮若五鳯元年辛丑 甲子横艾攝提格二年 壬寅 乙丑尚章單閼三年 癸卯 丙寅焉逢執徐四年 甲辰 丁卯端蒙大荒落甘露元年乙巳 戊辰游兆敦牂二年 丙午 己巳彊梧協洽三年 丁未 庚午徒維涒灘四年 戊申 辛未祝犂作噩黄龍元年 己酉 壬申商横淹茂初元元年 庚戌 癸酉昭陽大淵獻二年 辛亥 甲戌横艾困敦三年 壬子 乙亥尚章赤奮若四平 癸丑 丙子焉逢攝提格五年 甲寅 丁丑端蒙單閼永光元年 乙卯 戊寅游兆執徐二年 丙辰 己卯彊梧大荒落三年 丁巳 庚辰徒維敦牂四年 戊午 辛巳祝犂協洽五年 己未 壬午商横涒灘建昭元年 庚申 癸未昭陽作噩二年 辛酉 甲申横艾閹茂三年 壬戌 乙酉尚章大淵獻四年 癸亥 丙戌焉逢困敦五年 甲子 丁亥端蒙赤奮若竟寧元年乙丑 戊子游兆攝提格建始元年丙寅 己丑彊梧單閼二年 丁卯 庚寅徒維執徐三年 戊辰 辛卯祝犂大荒落四年 己巳 壬辰史記天官書云杓攜龍角衡殷南斗魁枕參首用昏建者杓夜半建者衡平旦建者魁斗為帝車運于中央臨制四鄉分隂陽建四時均五行移節度定諸紀皆繫於斗大角者其両旁各有三星鼎足句之曰攝提攝提者直斗杓所指以建時節故曰攝提格註云龍角東方宿為天三門攜連殷中也杓北斗之第七星衡第五星魁第一星言昏建用杓指寅夜半建用衡指寅平旦建用魁指寅也帝車乃大帝乗車無所不紀句曲提携也夫曰斗杓攜龍角直攝提以建時節而寅月之昏杓指寅方若以為定焉者以故日官定為斗分斗厯歴代因之多失其真不知昏杓指寅漢世則然嗣後天星漸移十二辰昏之杓皆可指非一定也又云織女天女孫也察日月之行以揆歲星順逆註謂晉灼云太歲在四仲則歲行三宿太歲在四孟四季則歲行二宿二八十六三四十二而行二十八宿十二歲而周天考周天宿井多至三十三度觜少不及一度歲星之歲行三度二度豈能盡合以故史記歩五緯之率竒零悉差史記封禪書云黄帝得寶鼎神策是歲己酉朔旦冬至得天之紀終而復始於是黄帝迎日推策後率二十歲復朔旦冬至凡二十推三百八十年黄帝僊登于天今上戊辰年得寶鼎其冬辛巳朔旦冬至與黄帝時等是日昧爽天子乃郊拜太乙壇其賛饗曰天始以寶鼎神策授皇帝朔而又朔終而復始皇帝敬拜見焉而衣上黄公卿言皇帝郊見是夜有美光及晝黄氣上燭天太史公祠官寛舒等曰神靈之休福祐兆祥宜因此地光域立大畤壇三歲天子一郊見其秋伐南越告太乙畫幡日月北斗登龍以象天一三星為大一鋒命曰靈旗為兵禱則太史奉以指所伐國次年南越平審如是則氣朔分齊莫神斯日兵家之勝筭協帝之靈筴也然以法歩元鼎五年己巳歲十一月定朔分一十五日八十刻得己卯日戌時合朔冬至分一十五日五十五刻得己卯日未時冬至氣朔同日乃己卯日其辛巳則月三日非冬至亦非朔也漢厯止用一斗分歩平朔而盈縮遲疾俱無所以晦朔常差二日此之類也漢厯云先藉半日名陽厯不藉名隂厯陽厯先朔月生隂厯朔後月生今以初三為朔是朔日月真可生矣彼昏不知則實併至與朔而同歩之三日也吁嗟歩厯之舛亡論已獨柰何漢武以此事天感黄氣之祥協平蠻之吉然則太乙之神非至朔同日亦可降祥而南旗之指即用月三日亦能效靈乎則不可得而解矣古今律厯考卷十
## 卷十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷十一 明 邢雲路 撰歴代三歴代考前漢律厯志虞書云同律度量衡所以齊遠近立民信也自伏戲畫八卦卦由數起數紀於一協於十長於百大於千衍於萬書曰先其祘命本起於黄鐘之數始於一而三之三三積之厯十二辰之數十有七萬七千一百四十七而五數備矣其數以大衍之數五十其用四十有九成陽六爻得周流六虚之象天之中數五為聲地之中數六為律陽唱隂和始於子黄鐘終於亥應鐘黄鐘子為天統林鐘丑為地統太蔟寅為人統以黄鐘九寸之數應八十一章為黄鐘之實以林鐘六寸之數當期之日為林鐘之實以太蔟八寸之數應六十四卦為太蔟之實由是三統相通周流六虚列為十二而律呂和以審度嘉量權衡探賾索𨼆鉤深致遠莫不用焉此律厯之大較也然謂以律配厯則可而謂以律起厯厯數之分秒悉生於律則不可詳見别簡漢興張蒼用顓頊厯朔晦月見弦望滿虧多非是至武帝元封七年漢興百二歲矣太史令司馬遷等言厯紀廢壞宜改正朔詔曰黄帝合而不死上矣其以七年為元年復得前厯上元泰初四千六百一十七歲閼逢攝提格之歲中冬十一月甲子朔旦冬至日月在建星乃選治厯鄧平等唐都落下閎與焉都分天部而閎運筭轉厯其法以律起厯與鄧平所治同法一月之日二十九日八十一分日之四十三先藉半日名曰陽厯不藉名曰隂厯所謂陽厯者先朔月生隂厯者朔而後月廼生平曰陽厯朔皆先旦月生以朝諸侯王羣臣便宦者淳于陵渠覆太初厯晦朔弦望皆最宻日月如合璧五星如連珠遂用鄧平厯後元鳯三年張壽王争之以元鳯三年十一月朔旦冬至起雜候課疏宻治太初第一是非堅定至孝成世劉向子歆作三統厯究其微𣺌以説春秋推法宻要故述焉傳曰元善之長也共養三德為善三統合於一元故因元一而九三之以為法十一三之以為實實如法得一黄鐘初九律之首陽之變也因而六之以九為法得林鐘初六呂之首隂之變也皆參天兩地之法也上生六而倍之下生六而損之皆以九為法九六隂陽夫婦子母之道也律娶妻而呂生子天地之情也夫五六者天地之中和而民所受以生也故日有六甲辰有五子十一而天地之道畢言終而復始太極中央為黄鐘九九自乗八十一為日法為元元一也春秋二也三統三也四時四也合而為十成五體以五乗十大衍之數也而道據其一其餘四十九所當用也故蓍以為數以象兩兩之又以象三三之又以象四四之又歸竒象閏十九及所據一加之因以再扐兩之是為月法之實如日法得一則一月之日數也三辰交會是以能生吉凶成變化而行鬼神也并終數為十九易窮則變故為閏法參天九兩地十是為會數參天數二十五兩地數三十是為朔望之會以會數乗之則周於朔旦冬至是為會月九會而復元此聖王之重閏也以五位乗會數而朔旦冬至是為章月四分月法以其一乗章月是為中法參閏法為周至以乗月法以減中法而約之則六扐之數為一月之閏月其餘七分此中月相求之術也朔不得中是為閏月言隂陽雖交不得中不生故日法乗閏法是為統歲三統是為元歲元歲之閏隂陽災三統閏法易九戹曰初入元百六陽九次三百七十四隂九次四百八十陽九次七百二十隂七次七百二十陽七次六百隂五次六百陽五次四百八十隂三次四百八十陽三凡四千六百一十七歲與一元終經歲四千五百六十災歲五十七是以春秋曰舉正於中又曰閏月不告朔非禮也閏以正時故魯僖五年春王正月辛亥朔日南至公既視朔遂登觀臺以望而書禮也至昭二十年二月己丑日南至失閏至在非其月梓慎望氛氣而弗正不履端於始也傳曰天有三辰地有五行故三辰合於三統日合於天統月合於地統斗合於人統五星合於五行故厯數三統天以甲子地以甲辰人以甲申三微之統既著而五行自青始其序亦如之隂陽比類交錯相成故九六之變登降於六體三微而成著三著而成象二象十有八變而成卦四營而成易為七十二參三統兩四時相乗之數也參之則得乾之策兩之則得坤之策以陽九九之為六百四十八以隂六六之為四百三十二凡一千八十隂陽各一卦之微筭策也八之為八千六百四十而八卦小成引而信之又八之為六萬九千一百二十天地再之為十三萬八千二百四十然後大成五星會終觸類而長之以乘章歲為二百六十二萬六千五百六十而與日月㑹三會為七百八十七萬九千六百八十而與三統會三統二千三百六十三萬九千四十而復於太極上元九章歲而六之為法太極上元為實實如法得一一隂一陽各萬一千五百二十當萬物氣體之數天下之能事畢矣此前漢厯之大較也詳其説謂黄帝合而不死合作也作厯得仙故不死曰復得上元四千六百一十七歲閼逢攝提之甲寅者謂是年復如上古甲寅朔旦冬至如後所謂二十七章之月得朔旦冬至與歲復之説非謂太初元年即甲寅盖是年乃丁丑也上元至太初元年為一元凡四千六百一十七歲乃劉攽註云十七歲當作十一歲非是中冬十一月朔旦冬至日月在建星者建在斗太初冬至在斗故云法以律起厯者乃黄鐘一龠長九寸寸九分以分乗寸積八十一數為日法也曰一月之日二十九日八十一分日之四十三者以日法八十一歸四十三得五十三刻○八六四以加於大餘下共二十九日五十三刻八分六十四秒為一月之日即今月策也先藉半日名陽厯先朔月生者未朔月先出西方也不藉名隂厯朔後月廼生者朔後月方出西方也鄧平告君先朔月生以朝賀為便重陽為吉也元一而九三之以為法者自子一而後九辰至酉十以三統累乗之是謂九三之法得積萬九千六百八十三也十一三之以為實者自一而後十一辰至寅十二每以三累乘之是謂十一三之法得積十七萬七千一百四十七也實如法得一者以法除實為九寸之黄鐘也黄鐘六之以九為法者六九五十四得林鐘五十四也參天兩地者三三而九二三而六參兩之義也上生六而倍之下生六而損之者三分損益其一也律娶妻黄鐘陽娶林鐘隂呂生子林鐘隂生太蔟陽也日有六甲甲子甲寅甲辰甲午甲申甲戌也辰有五子甲子丙子戊子庚子壬子惟甲寅旬中無子故止五子也以五乗十得五十為大衍之數道據其一為太極虚一不用也止用四十有九以象兩儀兩之得九十八以象三才三之得二百九十四以象四時四之得一千一百七十六以歸竒象閏十九及所據一之太極共二十加之得一千一百九十六又以五歲再閏再扐兩之得二千三百九十二是為月法之實乃推大衍象得月法也如日法八十一得一為二十九日五十三刻八分六十四秒即前二十九日八十一分日之四十三所得之月策也并數終為十九盖天數終九地數終十并數十九為歸竒之閏法又名章歲也參天九三九二十七兩地十二十合四十七為會數參天數二十五得七十五兩地數三十得六十合一百三十五為朔望之會以會數乘朔望之會得六千三百四十五是為會月乃二十七章之月數得朔旦冬至日與嵗復也九㑹而復元者以九乗會月即三因統月得五萬七千一百五為元月謂四千六百一十七歲之月數積一百六十八萬六千三百六十日復得甲子朔旦冬至也以五位乗會數得二百三十五而朔旦冬至為章月四分月法得五百九十八為通法以通法乗章月得一十四萬五百三十為中法以三乗閏法得五十七為周至即三章之歲也以周至三乗月法得一十三萬六千三百四十四以減中法餘四千一百八十六是為一象之閏以統法而一得二日七十一刻九十九分○七不盡是六氣六扐三月之閏其餘七分不盡再以三而一六扐之數得九十○刻六十六分為一月之閏也以章月乗月法得五十六萬二千一百二十為周天即今歲實以三統乗四時得十二為歲中以章月加閏法得二百五十四為月周以三因會月得一萬九千三十五為統月以閏法乗歲中得二百二十八為章中以日法乗章中得一萬八千四百六十八為統中以三因統中得五萬五千四百四為元中以十乗元中得五十五萬四千四十以減周天餘八千八十為策餘以日法乗閏法得一千五百三十九為統法即統歲以三乗統法得四千六百一十七為元法即元歲也元歲之閏隂陽災盖以三統乗閏法得五十七為災歲初入元百六歲有戹者前元之餘氣也以隂九三百七十四減陽九四百八十為百六為陽九次以陽九百六減陽九四百八十為三百七十四為隂九次六八四百八為陽九次九八七百二為隂七次九八七百二為陽七次七八五百六八八六百四合一千二百易爻七八不變通其數各六百故曰次六百隂五次六百陽五次六八相乗為四百八為隂三又次陽三自百六次至四百八十凡四千六百一十七陽旱災隂水災經歲四千五百六十合災歲五十七與一元終由丁丑遡元歲四千六百一十七歲謂為得辛巳歲也三統天以甲子地以甲辰人以甲申自甲子歩厯年得三統元旦之朔日也三微一爻三著三爻二象六爻揲筮之法也參三統得九兩四時得八八九相乗得七十二為乾坤中數三之二百一十六得乾之策兩之一百四十四得坤之策以陽九爻九之為六百四十八以隂六爻六之得四百三十二併之凡一千八十以八卦八之為八千六百四十又八之為六萬九千一百二十以天地倍數再之為十三萬八千二百四十以乗章歲之十九為二百六十二萬六千五百六十以三會三之為七百八十七萬九千六百八十以三統三之為二千三百六十三萬九千四十而復會於太極上元以九章之歲一百七十一而六因之得一千二十六以除上元餘二萬三千四十為隂陽合數半之各萬一千五百二十為當萬物之數若皆符合矣然率多大謬不然者何也漢以四分度之一為斗分天數與日數齊而日無盈縮月無遲疾止用一平朔歩厯其上推上古朔旦冬至皆逆推得數非其真也以下歩即疎上可知已黄鐘之八十一自黄鐘之數耳於厯何關盖漢以八十一乗諸數而仍以八十一歸之諸數皆一轍也以歩晦朔常差一二日及見朔旦月出西方乃謬謂先藉半日名陽厯以為朝賀吉豈知是日為月三日也不直自欺且欺君矣張壽王雖不知厯然争之則是其推大衍謂以象厯則可謂厯之分秒出於大衍則不可率以大衍諸數碎砌其中以得月策二十九日五十三刻八分六十四秒使斯數果從大衍出也則易數通神可垂永久而柰何一亡效耶豈知月策之數是以交蝕取之非從大衍來也章月乃十九年二百二十八月及閏七月共二百三十五月豈五因會數所得通法即弦策中法即象限歲中即十二月會月是二十七章統月是八十一章之月元月是二百四十三章之月章中是十九章無閏之月統中是八十一章無閏之月元中是二百四十三章無閏之月統法是八十一章之年數元法是每歲十二月共五萬七千一百五月加閏一千七百一月積一百六十八萬六千三百五十九日二十五刻之數周天以測影取㑹數朔望之會與天地數不相蒙策餘是五日四分日之一以朔除氣為月閏何必用三章歲之周至乃漢厯不知皆以大衍數穿鑿附會之亦徒勞矣若夫陽九百六之年三統之厯以至復會上元之策皆非的數何則厯家布上元各不同以此知非的也考僖公五年丙寅冬至辛亥一十四刻閏餘二十七日九十七刻是月三十日辛亥日南至二月壬子日合朔非正月辛亥朔旦日南至盖春秋時誤閏十二月遂以正月為閏十二月以正月三十之辛亥日南至誤推後天一日為閏月後正月朔之辛亥日南至乃以二月朔壬子推為正月二日皆非也夫至既非朔矣僖公望雲於禮何居昭公二十年己卯歲冬至戊子八十三刻閏餘二十七日八十三刻經朔五十六日九十九刻是正月庚申日合朔越二十九日戊子日南至二月朔日己丑春秋誤歩固以尚未置閏之故梓慎之言是也詳見春秋考中大都漢厯天日同周氣朔無盈縮遲疾但以日法歸周天得六千九百三十九日七五三○八六四二為積日章歲而一得歲實章月而一得月策統月除周天亦得月策以歩交轉日法乗月周得二萬五百七十四以歸周天得二十七日三二為交終轉終疎略殊甚則何怪乎亡一之合計推上元歲起甲戌日起甲子積一十四萬三千一百二十七筭以四千六百一十七為一元計三十一元以一千五百三十九分日之三百八十五為歲餘以八十一分日之四十三為朔餘推是歲丁丑十一月甲子朔夜半冬至詳其法太初元年距上元十四萬三千一百二十七筭積八百四億五千四百五十四萬九千二百四十以統法一千五百三十九而一得五千二百二十七萬七千一百六十日以紀法去之無餘分置前積數以月法二千三百九十二除之餘三千三百六十三萬四千八百四十五為月數以閏法十九而一得一百七十七萬二百二十五月無餘分故曰十一月甲子夜半冬至以授時法推太初元年距元辛巳積一千三百八十五年積日五十萬五千四百九十七日四十一刻以減氣應餘以紀法去之餘二日三十五刻九十三分以減紀法餘五十七日六十四刻命甲子筭外得辛酉日六十四刻是十一月二十九日申時冬至太初後天二日有餘授時閏餘二十七日四十七刻經朔三十日一十六刻十一月朔甲午歩至次月朔甲子然非冬至也太初既非至朔同日又非其月日時一謬百謬則上以歩文王四十二年十二月朔旦冬至以來下至元帝初元二年十一月癸亥朔旦諸冬至無一之不差也又以太初校授時辛巳置周天五十六萬二千一百二十以距積年乗之得七億七千七百九十七萬四千八十以統法一千五百三十九而一得五十萬五千五百六日二十二刻四十八分以紀法去之餘六日二十二刻四十八分命甲子筭外得庚午日二十二刻冬至太初校授時己未六刻後天一十一日一十六刻四十八分以太初校授時經朔閏餘二十六日四十二刻五十七分以冬至六十六日二二四八減之餘三十九日七十九刻九十分以授時經朔減之餘四日九十四刻四十分乃太初後天四日九十四刻四十分夫氣至差一十一日朔至差五日有數在焉鄧平劉歆其何説之辭三統五星厯按太初元年推木星統母以木三金四相乗為十二是為歲星小周小周乗巛(坤字)策一百四十四為一千七百二十八是為歲星歲數以歲中十二(即一歲十二月)乗歲數得二萬七百三十六為見中分以星行率一百四十五減歲數餘一千五百八十三為見中法(即星見數)以見中法除見中分得十三為積中餘一百五十七為中餘以歲閏七(即十九年七閏)因歲數得一萬二千九十六為見閏分以章歲十九乗中餘得二千九百八十三併見閏分得一萬五千七十九為月餘以章歲十九乗見中法得三萬七十七為見月法以元法四千六百一十七乗見中法得七百三十萬八千七百一十一為見中日法以統法一千五百三十九乗見中法得二百四十三萬六千二百三十七為見月日法積中即積月十三(如是月餘滿見月法收之併積)(月下)推金星以金四火二相乗為八又以火二乗之為十六而小復小復十六乗乾策二百一十六為三千四百五十六是為太白歲數以歲中乗歲數得四萬一千四百七十二為見中分以星行率一千二百九十五減歲數餘二千一百六十一為見中法以見中法除見中分得十九為積中餘四百一十三為中餘以歲閏因歲數得二萬四千一百九十二為見閏分以章歲乗中餘得七千八百四十七併見閏分得三萬二千三十九為月餘以章歲乗見中法得四萬一千五十九為見月法以晨為東數九乗歲數得三萬一千一百四并東九西七十六為法而一得一千九百四十四為金星晨見歲數以歲中十二乗之得二萬三千三百二十八為晨中分以見中法除晨中分得十為晨積中餘一千七百一十八為晨中餘以晨中分減見中分餘一萬八千一百四十四為夕中分以見中法除夕中分得八為夕積中餘八百五十六為夕中餘以歲周因晨見歲數得一萬三千六百八為晨閏分以章歲乗晨中餘得三萬二千六百四十二併晨閏分得四萬六千二百五十以見月法取之得一加前晨積中得十一為晨積月餘五千一百九十一為晨月餘以晨閏分減見閏分餘一萬三百八十四為夕閏分以章歲乗夕中餘得一萬六千二百六十四併夕閏分得二萬六千八百四十八不滿見月法為夕月餘夕積中八即積月以元法乗見中法得九百九十七萬七千三百三十七為見中日法以統法乗見中法得三百三十二萬五千七百七十九為見月日法推土星以土五木三相乗為十五合經緯(即倍之)為三十是為鎮星小周以小周乗坤策為四千三百二十是為鎮星歲數以歲中乗歲數得五萬一千八百四十為見中分以星行率一百四十五減歲數餘四千一百七十五為見中法以見中法除見中分得十二為積中餘一千七百四十為中餘以歲閏因歲數得三萬二百四十為見閏分以章歲乗見中法得七萬九千三百二十五為見月法以章歲乗中餘得三萬三千六十併見閏分得六萬三千三百不滿見月法即為月餘積月十二即積中以元法乗見中法得一千九百二十七萬五千九百七十五為見中日法以統法乗見中法得六百四十二萬五千三百二十五為見月日法推火星火經特成故二歲而過初過初者二歲一周天也自火二特成倍之至三十二倍六十四歲而小周以小周乗乾策則太陽大周為一萬三千八百二十四是為熒惑歲數以歲中乗歲數得一十六萬五千八百八十八為見中分以星行率七千三百五十五減歲數餘六千四百六十九為見中法以見中法取除見中分得一十五為積中餘四千一百六十三為中餘以歲閏因歲數得九萬六千七百六十八為見閏分以章歲乗見中法得一十二萬二千九百一十一為見月法以章歲乗中餘得七萬九千九十七併見閏分得一十七萬五千八百六十五以見月法取之得一加前積中得二十六為積月餘五萬二千九百五十四為月餘以元法乗見中法得二千九百八十六萬七千三百七十三為見中日法以統法乗見中法得九百九十五萬五千七百九十一為見月日法推水星水經特成故一歲而及初及初者歲一周天也自水一特成累加之至六十四而小復以小復乗坤策則太隂大周為九千二百一十六是為辰星歲數以歲中乗歲數得一十一萬五百九十二為見中分以見中法二萬九千四十一除見中分得三為積中餘二萬三千四百六十九為中餘以歲閏乗歲數得六萬四千五百一十二為見閏分以章歲乗見中法得五十五萬一千七百七十九為見月法以章歲乗中餘得四十四萬五千九百一十一併見閏分得五十一萬四百二十三為月餘不盈見月法故積月三以東九乗歲數得八萬二千九百四十四為實以東九西七併之得十六為法而一得五千一百八十四為晨歲數以歲中乗晨歲數得六萬二千二百八為晨中分以見中法除晨中分得二為晨積中餘四千一百二十六為晨中餘以晨中分減見中分餘四萬八千二百八十四為夕中分以見中法除夕中分得一為夕積中餘一萬九千三百四十三為夕中餘以閏法乗晨歲數得三萬六千二百八十八為晨閏分以章歲乗中餘得七萬八千三百九十四併晨閏分得一十一萬四千六百八十二不盈見月法為晨月餘晨積中即晨積月二以晨閏分減見閏分餘二萬八千二百二十四為夕閏分以積月三月餘五十一萬四百二十三減晨積月二月餘一十一萬四千六百八十二餘一為積月月餘三十九萬五千七百四十一為夕月餘以元法乗見中法得一億三千四百八萬二千二百九十七為見中日法以統法乘見中法得四千四百六十九萬四千九十九為見月日法(五勝相乘生小周以乗乾)(坤之策為大周如金克木乘為木小周以乘坤策為大周也諸志並有小大周由入元之年不同也)五星行星率乃其日行之數如木星行星三十三度三百三十三萬四千七百三十七分通其率故曰日行千七百二十八分度之百四十五故曰星行率一百四十五是也五星行星率其詳見前漢志中五星俱以三統三因各五星歲數以周天乗之得積日以各星見中日法而一得各星周日如木星三因木星歲數一千七百二十八得五千一百八十四以周天五十六萬二千一百二十乗之得二十九億一千四百三萬八十為木星積日以木星見中日法七百三十萬八千七百一十一而一得木星壹見三百九十八日五百一十六萬三千一百二分仍以見中日法再除日下五百一十六萬三千一百二分得七十刻六十四分三一不盡是為木星周日三百九十八日七十刻六十四分三十一秒不盡也金土火水四星倣此木星周日三百九十八日七十刻六十四分三一金星周日五百八十四日一十二刻九十八分二九土星周日三百七十七日九十三刻五十四分九七火星周日七百八十日五十三刻八十分五三水星周日一百一十五日九十一刻一分右五星所得見中日法以歩星周而設若見月日法則以歩月也然歩月之法不若徑以月策歩之為便見月日法不用可也以太初五星校授時木星每歲少授時一十七刻三十六分火星多授時六十刻九十分土星少授時一十五刻六十二分金星多授時二十二刻七十二分水星多授時三刻四十一分太初五星雖有伏見遲疾留逆而無盈縮則隨歩隨差何以上合天道大都前漢厯歩氣朔歩五緯率以大衍五行三統之數零收碎砌强合天數比至隨歩隨差隨差隨摭厯自厯天自天失天愈逺而總於大衍五行三統之數無豫也及查大衍諸數出周易鑿度四分之說乃後人偽為之漢人援以治厯以致氣朔淆亂數百年不明古議云由漢以來厯太初為第一余議云從古以來厯最疎者太初為第一古今律厯考卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷十二 眀 邢雲路 撰厯代四厯代考後漢律厯志漢興北平侯張蒼首正律孝武置協律官元始中劉歆典領鐘律班固取以為志然率多古法也至元帝時郎中京房字君眀對言受學故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四陽下生隂隂上生陽終於中呂而十二律畢矣中呂上生執始執始下生去滅上下相生終於南事而六十律畢矣房謂竹聲不可調度乃作準定數以為六十律清濁之節無何京房坐棄市律與準皆廢夫古律五音十二律自帝舜言之後泠州鳩傳之管子發明之所由來舊矣京房乃於十二律之外自執始去滅至分鳥南事凡演為四十八律厥名厥義不知出何故實且每律統五統四統三不一亦有隔九相生者其三分損益不盡之算或棄或増乖戾無次抑又何也豈焦氏之法乎非耶焦延夀曰得我道以亡身者京生也焦氏𨼆身自保使道可亡身焦胡不亡乃焦氏逆知京必亡者知京所用非其道也房得焦氏之道而謬用其道觀其歩天不眀晦朔誤為朓昃妄附肅舒事應然則何譸不幻何假不作執始諸名準絃諸數皆京房鑿空之為也焦氏前知知足以殺其身而已矣其論候氣謂天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷景候鐘律效則和否則占引易緯云冬至人主不出宫寢兵從樂五日擊黄鐘之磬公卿大夫列士之意得則隂陽之晷如度數夏至之日如冬至之禮冬至之日樹八尺之表日中視其晷晷如度者其歲美人民和順晷不如度者則歲惡人民多譌言政令為之不平晷進則水晷退則旱進一尺則日食退一尺則月食月食則正臣下之行日食則正人主之道斯言非也候氣之法原出不經易緯乃後人所作偽書其說皆非是蓋冬至之景午景也如其度者乃午正初刻冬至也若前少後多為減差則冬至在午前前多後少為加差則冬至在午後無論午前午後但非午正初刻冬至者午景俱退而短殊無進而長之理冬至八尺表日晷退不過寸許亦無退一尺者至進分釐亦無况進一尺乎易緯並不知測晷為何事而鑿空妄言以欺人且附之以吉凶徵應載在史冊流傳至今幾何而不迷亂後人之耳目也太初三統厯行百餘年厯稱後天朔或在晦月見至元和失天益遠冬至日在斗二十一度而厯以為牽牛中星差天五度晦朔弦望差天一日先立春一日以折獄斷大刑於氣已迕而望平和厯時之義蓋亦遠矣章帝知其謬故召治厯編訢李梵改行四分以遵於堯以順孔聖奉天之文訢梵以十一月當先大諸臣謂當先小不知月之大小隨月而定豈有十一月先大先小之說四分與三統皆用斗分二十五刻其失則均惡在其為遵堯順孔奉天也賈逵論厯謂以太初厯考漢初盡太初元年日朔二十三事共十七得朔四得晦二得二日新厯七得朔十四得晦二得三日以太初厯考太初元年盡更始二年二十四事十四得朔十得晦新厯十六得朔七得二日一得晦以太初厯考建武元年盡永元元年二十三事五得朔十八得晦新厯十七得朔三得晦三得三日又以新厯考春秋二十四事失不中者二十三事天道參差不齊必有餘又有長短不可以等齊故保乾圗䜟云三百年斗厯改憲又謂黄道度日月弦望多近史官一以赤道度之不與日月同夫以三統四分治厯俱大半不得朔而以授時治春秋與漢厯則亡一之不朔則豈有天道長短不齊之理又何必三百年即一改耶黄赤道不同而系於一機以赤道變黄道百世可知者也永元霍融論厯謂漏刻率九日増減一刻不與天相應夫漏刻自今日午正初刻至明日午正初刻均分百刻定為的數而天日之行乃以刻定之均分十二時子午昏明隨日而驗則漏刻之中何必有增減之差與天不相應也延光論厯太初晦月見西方食不與天相應四分復謬不可施行謂三大二小皆疏遠其言俱是漢安邊韶論太初厯以乾鑿度八十一分日之四十三為日法四分厯以三百六十五度四分度之一為周天復得庚申著於圖讖其元則上統開闢其數則復古四分宜詔舉行不知乾坤鑿度有眞有贗庖犧先文軒轅演籕蒼頡所修者眞也周易附於後述孔子言者乃後人書之不得為先文贗也觀其載孔子之言曰厯以三百六十五日四分度之一為一歲七十六為一紀日法二十九日與八十一分日四十三以歩至坼當日者而易一大周一歲之周以卦用事六爻六日一日天王諸侯二日大夫三日卿四日三公五日辟六日宗廟而又歸於符録圖讖之說詳其術四分度之一四年積一日故云四分七十六乃四章歲為一紀名為蔀法積日二十九以八十一分除日之四十三得五十三刻八分六十四秒零以加於二十九日下共二十九日五十三刻八分六十四秒乃太初厯之朔實四章之月九百一十二及閏月二十八共九百四十為蔀積月以蔀法乘三百六十五日四分日之一得二萬七千七百五十九為蔀積日為一紀以二十乘蔀法得積歲千五百二十以二十乘蔀月得積月萬八千八百以二十乘蔀日得積日五十五萬五千一百八十為一蔀首更置一紀之蔀日以六十四乘之得積日百七十七萬六千五百七十六又以六十乘蔀首三十二得積蔀首百九十二以二十乘之得積紀三千八百四十紀又云紀數以七十六乘紀數得積歲二十九萬一千八百四十以三十二除之得九千一百二十周謂卦當歲者積歲每歲十二月并章月七得三百六十萬九千六百其中十萬七千五百二十月者閏也以三百八十四爻除前積月之數得九千四百周謂爻當月者以四分朔實二十九日五十三刻八分五十一秒乘積月得積日萬六百五十九萬四千五百六十日以萬一千五百二十坼除之得九千二百五十三周謂坼當日者而易一大周此其術皆四分厯之法也夫乾坤鑿度謂為孔子發明伏羲文王之道也使果出於孔子之口定為厯本則宜毫髪無差古今不易者然而四分之法其術甚疎以之制厯十失其九一跬歩不可行豈以羲文而有是道豈以孔子而為是言其為贗書眀甚或者即治四分厯諸人假作聖言以實巳偽未可知也至於卦氣圗䜟之說尤屬悖謬一日諸侯二日大夫取何名義後之厯家不知亦收之厯數贅矣孔子立言眀白簡易論語易傳不啻詳言何無一言及符錄圗䜟自此偽書一行章帝遂深信其說謂上統開闢復古四分合赤九㑹昌之䜟奏可施行豈知演紀上元復得庚申開闢之歲乃自下逆推演至厯元各厯家俱有之非其眞也堯咨羲和苐云朞三百有六旬有六日舉成數而言何嘗有四分度之一之說漢人遂定為二十五刻悖也甚矣熹平馮光陳晃論厯謂厯元不正故妖民叛冦益州盗賊相續為厯用甲寅為元而用庚申圖緯無以庚為元者蔡邕議光晃所據殷厯元也孝武用丁丑孝章用庚申宻於太初是新元效也二說皆非厯元乃自下逆推之數非其眞也於叛賊何豫丁丑庚申二者皆四分法新元亦不效漢人論本初元年天以十二月食厯以後年正月於是始差以法推質帝本初元年丙戌歲十二月不食次年桓帝建和元年丁亥歲正月辛亥朔卯時日食載在簡冊可考也以此例漢人論蝕之失日行北陸謂之冬西陸謂之春南陸謂之夏東陸謂之秋者蓋漢冬至日躔在斗右轉而牛而女以次周天今萬厯年日躔在箕去古未遠其行猶昔若久之則天日漸逺凡四陸皆可冬厯四時皆可北陸非一定也四分厯日發其端周而為歲然其景不復四周千四百六十一日而景復初是則日行之終以周除日得三百六十五日四分日之一為歲之日數日日行一度亦為天度日行十九周月行二百五十四周復㑹於端是則月行之終也以日周除月周得一歲周天之數以日一周減之餘十二十九分之七則月行過周及日行之數也為一歲之月以除一歲日為一月之數月之餘分積滿其法得一月月成則其歲月大四時推移故置十二中以定月位有朔而無中者為閏月中之始日節與中為二十四氣以除一歲日為一氣之日數也其分積而成日為没并歲氣之分如法為一歲没没分於終中中終於冬至冬至之分積如其法得一日四嵗而終月分成閏閏七而盡其嵗十九名之曰章章首分盡四之俱終名之曰蔀以一嵗日乘之為蔀日之數也以甲子命之二十而復其初是以二十蔀為紀紀嵗青龍未終三終歲後復青龍為元此其術也詳其術謂四分者二十五刻也周歲其景不復四周成一日無餘分則景復初仍子正初刻四為日法以四除千四百六十一得三百六十五日二十五刻為歲之日數亦為周天日日行一度與天度同日行十九周為一章名章法亦名章歲一章之月二百三十五加章歲共二百五十四乃月行二百五十四周亦云月㑹復㑹於端是為月行之終也以日周十九除月周二百五十四餘十三日十九分日之七再以十九歸其七共得十三度三十六分八十四秒二十分為月平行度以日一周減前十三餘十二日十九分日之七為一歲之月十二月以十二月除一歲之日三百六十五日二十五刻得三十日四十三刻七十五分為一月惟三十日故其月大以十二月乘三十日四十三刻七十五分即三百六十五日二十五刻一歲周天之數也十二中者十二中氣月無中氣則閏十二節十二中併為二十四氣以除一歲之日得一十五日二十一刻八十七分五十秒為一氣䇿若以日法四乘二十四氣得九十六以除周天一千四百六十一亦得氣䇿若先除十五日餘二十一為没數亦云没法倍没數得四十二為中法七因没法得一百四十七為章閏八因没法得一百六十八為日餘一歲之没成日餘二十五刻為一歲没四歳無餘分以十九年七閏共二百三十五為章月以四因章月得一千一十六為月周以三歸歲周三百六十五日二十五刻得一百二十一日七十五刻以四因之得四百八十七為通法以章月乘周天一千四百六十一得三十四萬三千三百三十五為大周置十九年共六千九百三十九日七十五刻以章月而一得二十九日五十三刻八分五十一秒為月䇿再置一章之月以月㑹二百五十四而一得二十七日三十二刻一十八分為交終以二十三食而復既為食法二十三置三九二十七以五因之得一百三十五為月數以二食法四十六乘章月得一千八十一為食數以蔀法乘月數得一萬二百六十為蔀㑹率以二十歸蔀㑹率得五百一十三為蔀㑹即二十七章之歲數故又曰歲數以日法因蔀㑹率得四萬一千四十為元㑹總計章法十九年章月二百三十五月章日六千九百三十九日七十五刻蔀法七十六年蔀月九百四十月蔀日二萬七千七百五十九日紀法一千五百二十年紀月一萬八千八百月紀日五十五萬五千一百八十日元法四千五百六十年元月五萬六千四百月元日一百六十六萬五千五百四十日蓋十九年為一章四章為一蔀二十蔀為一紀(即八十章太初八十一章今八十章)三紀為一元故曰歲首至也月首朔也至朔同日謂之章(閏七而盡)同在日首謂之蔀(章首分盡四之俱終)蔀終六旬謂之紀(以甲子命之二)(十而復其初)歲朔又復謂之元(紀青龍未終三終歲復青龍甲寅)其數詳矣然總之皆四分法也天日同度其元已差天正月大其說悖理氣朔交轉各有差盈縮遲疾各有率而四分不知一概以二十五刻齊之至於日食之數禀於盈縮與遲疾者而四分以食法食數取則何怪乎亡一之合也其失悉與太初同四分厯演紀上元章帝元和二年乙酉歲距元積年九千三百六十五以歲實三百六十五日二十五刻乘之得三百四十二萬五百六十六日二十五刻得庚寅卯正初刻冬至以授時上推是年冬至分二十三日五十九刻四十八分得丁亥未正一刻冬至四分厯較授時後天三日曰演紀云者以自立之法推求往古生數之始七政同度世代綿遠馴積其數至踰億萬後人厭其布算繁多互相推考斷截其數而增損日法以為得改憲之術此厯代積年日法所以不同也昔人謂建厯之本必先立元元正然後定日法法定然後度周天以定分至自黃帝立元用辛卯顓頊用乙卯虞用戊午夏用丙寅殷用甲寅周用丁巳魯用庚子漢初承秦用乙卯武帝用丁丑章帝用乙酉以上得庚申後諸厯轉相祖述共七十八家未有舍此而能成者使立元果眞積年日法果確以推天歩誰曰不可而乃非其然也四分之誤尤甚四分厯推木星周三百九十八日八十四刻五十九分火星周七百七十九日五十三刻二十三分土星周三百七十八日五刻九十四分金星周五百八十四日二刻四十一分水星周一百一十五日八十八刻一十三分以較授時木星少三刻四十一分火星少三十九刻六十七分土星少三刻二十二分金星多一十二刻一十五分水星多五十三分且四分厯與太初厯雖有遲疾無遲疾差度况無盈縮及盈縮差度止用一平朔歩筭所以五星伏見非失之先則失之後朔無盈縮遲疾則日食或失之先或失之後皆非也古今律厯考卷十二
## 卷十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷十三 明 邢雲路 撰歴代五歴代考晉書晉書云傳稱黃帝使伶倫自大夏之西崑崙之隂取竹之嶰谷斷兩節間長三寸九分而吹之以為黄鐘之宫又云黃帝作律以玉為管長尺周禮太師掌六律六呂以辯隂陽之聲及景王問律於泠州鳩其對六律六間甚悉至呂不韋言黃鐘之宮律之本也上下相生三分損益後代之言音律者多宗此說洎司馬遷作律書九三之為黃鐘之法參之十二辰為黃鐘之實實如法得黄鐘之律九寸上下相生隂陽得所班固律與馬遷同元帝時京房則作六十律嚴嵩傳之莫能為準蓋古典及今音家所用六十律者無施於樂惟以五聲十二律還相為宮之法制六孔十二笛有一定調故諸絃歌皆從笛為正於遷固所生分寸數皆倍焉餘則竝同斯則泠州鳩所謂六間之道賛助之法也已上諸說其論樂詳矣獨其所云黃帝以三寸九分為黃鐘則呂覽之誤文未可信也蓋冬至一陽來復根株黃泉之下其管必長其氣乃動故其音渾渾然濁泠州鳩於黃鐘名之為一謂為宣養六氣九德也曰宣養則初出尚微養之而已由是第之乃二曰太蔟謂為賛陽出滯然後次之姑洗至應鐘而極以漸宣布散越和展秀利其釋名各異焉若黃鐘遽短而清則泠州鳩何以始名宣養次乃出滯卒方散利耶夫亦焉有宣養之初即輕清而散利之後反重濁耶故管子曰宮聲如牛鳴窖中正狀其濁也况黃鐘九寸上下相生三分損益其數乃符若黃鐘三寸九分則宜用何術歩算也泠州鳩管子去古未遠相傳必眞而晉人誤信三寸九分之說使後之疑者遂縁此生議其無謂甚矣晉書又云黃帝作律以玉為管長尺曰尺則與九寸相近與三寸九分懸絶既而魏晉製律則皆遵黃鐘九寸之法無異術夫一人也忽然曰黃帝黃鐘三寸九分又忽然曰黄帝黃鐘長尺又忽然背黃帝仍用九寸為黃鐘何言行之不相顧也晉書論劉歆造三統厯以說左傳辯而非實班固惑之采以為志是編訢改行四分七十餘年儀式乃備非蓋三統四分其失均也漢靈帝光和中命㑹稽東部尉劉洪同蔡邕共修律厯漢厯三統四分皆四分之一餘分太强劉洪始覺冬至後天乃減歲餘更以五百八十九為紀法百四十五為斗分考冬至日日在斗二十二度又創制日行遲速兼考月行隂陽交錯於黃道表裏日行黃道於赤道宿度復進有退作乾象厯鄭𤣥受其法加以註釋司馬彪因之以繼班史云詳其術乾象演紀上元己丑以來至建安十一年積七千三百七十八年得丙戌歲以五百八十九年為紀法乃三十一章之年也計二百六十一年差一日一紀差二日二十五刻有奇以減一紀五百八十九年所積四分度之一之日一百四十七日二十五刻餘一百四十五日為斗分以紀法乘三百六十五日得二十一萬四千九百八十五日加斗分一百四十五日共得二十一萬五千一百三十日為周天以紀法而一得三百六十五日二十四刻六十一分八十秒為歲實以紀月七千二百八十五歸周天得二十九日五十三刻五分四十秒為朔實以周日法五千九百六十九除厯周天一十六萬四千四百六十六得二十七日五十五刻三十三分五十九秒為轉終以日周七千八百七十四歸周天得二十七日三十二刻一十五分六十四秒為交終交終較授時多十刻九十分計十年多十四日距交□逺以課虧蝕不效矣乾象木星周三百九十八日八十八刻一分火星周七百七十九日四十八刻四十八分土星周三百七十八日八刻金星周五百八十四日二刻一十四分水星周一百一十五日八十八刻二十九分各有不同查五星歴代各不同總之皆未得其精即授時亦然所以至今五星多有乖失必也觀象儀度另立差法乃得其眞固有待而為也洪以五歸周天為通法以五歸紀月為日法以日法除通法得朔實則日法通法所宜用也然日法宜千四百五十七而厯四百五十七少千通法宜四萬三千二十八而厯四萬三千二十六少二又周天宜二十一萬五千一百三十而厯二十一萬五千一百四十多十章月宜二百三十五而厯二百四十五多十何也我知其故矣日法少千周天多十章月多十皆史書誤刻也即後推五星日法千四百五十七周天二十一萬五千一百三十章月二百三十五皆正知前誤刻非洪之差也至於通法宜餘八而卻六者以紀月除周天數尚少以推月策之分秒為眞至於五歸其數多則月策之分秒積實而上不無稍多故洪去其二亦權宜之術耳不則以紀月歸周天得二十九日五十三刻五分四十秒以五歸之紀月歸五歸之周天得二十九日五十三刻一十九分一十四秒較前分多矣故減通法之二為是也大都三統四分皆不知斗分之太多洪覺而減之漢厯無日月盈縮遲疾洪仰觀黃赤表裏隂陽交錯創立盈縮損益之數以合天歩雖其分數不無少差然以千古不明之竅自洪始發之使後人循此推測漸詣其精如晦始明如夢斯醒則洪之功大矣所惜者第於漢歴之先大餘後小餘滿法上加歲月一换其𤨏屑之狀仍舊貫未霍然釐去之為缺也魏文帝黃初中韓翊以為乾象減斗分太過造黃初厯以四千八百八十三為紀法千二百五十為斗分其所校厯更相是非無時而決徐岳議韓翊用洪法小益斗分至於日蝕有不盡效夫以黃初二年六月二十七日戊辰加時未日蝕乾象術加時申半强於消息就加未黃初以為加辛强乾象後天一辰半强為近黃初二辰半為遠消息與天近今以授時考之是年七月戊辰朔未時日蝕非六月二十七日查晉志二年七月十五日癸未月食則初一己巳此之戊辰乃六月二十九晦或九字誤為七也岳議三年正月丙寅朔加時申十一月二十九日庚寅晦加時申皆食黃初乾象各遠近異授時則正月丙寅朔午十二月庚申朔未非正月丙寅之申亦非十一月庚寅晦也蓋二厯交終疎所以課日不效其所歩五星尤疎魏尚書郎楊偉表稱漢厯疏闊臣考驗天路更建宻厯以大呂之月為歲首以建子之月為厯初漢武改元太初因名太初厯今改元景初宜曰景初厯臣之所建景初厯法數則約要施用則近宻治之則省功學之則易知雖復使研桑心算𨽻首運籌重黎司晷羲和察景以考天路歩驗日月究極精微盡術數之極者皆未能並臣如此之妙也是以累代厯數皆疏而不宻自黃帝以來常改革不巳壬辰元以來至景初元年丁巳歲四千四十六算止此元以天正建子黃鐘之月為厯初元首之歲夜半甲子朔旦冬至詳其術演紀上元壬辰以來至景初元年積四千四十六年得丁巳歲以萬一千五十八為一元乃六紀之年也以千八百四十三為一紀乃九十七章之年也計三百二十年有奇差一日一紀差五日七十五刻以減一紀千八百四十三年所積四分度之一之日四百六十七日七十五刻餘四百五十五日為斗分以紀法乘三百六十五日得六十七萬二千六百九十五日加斗分四百五十五日共得六十七萬三千一百五十日為周天以紀法而一得三百六十五日二十四刻六十八分八十秒為歲實以一紀之月二萬二千七百九十五月歸周天得二十九日五十三刻五分九十八秒為朔實五歸周天得十三萬四千六百三十為通數五歸紀月得四千五百五十九為日法若以日法歸通數亦得朔實以紀法併一紀之月得二萬四千六百三十八為月周以日法除通周十二萬五千六百二十一得二十七日五十五刻四十五分五秒爲轉終以月周除周天得二十七日三十二刻一十六分一十七秒為交終以較授時亦計十年多十四日其課蝕不效同景初木星周三百九十八日八十四刻七十九分火星周七百八十日八十三刻三十三分土星周三百七十八日九刻六十三分金星周五百八十四日八刻八十六分水星周一百一十五日七十八刻六分是五星較各厯分數亦各不同以待更而後定者夫楊偉謂漢厯疏闊自稱厯宻雖重黎羲和復出皆未能如己之妙則宜有奇籌宻布度越前人也乃其術盡皆劉洪之故法特别立一名耳漫改斗分反增歲餘以布諸法亦何益也偉以日道表裏交㑹遲疾添於紀首而不知洪之盈縮遲疾進退損益已有之矣其月食表裏所在則即洪之黃道去極也至於以建丑為正改其年三月為孟夏四月尤屬無謂三年帝崩乃復用夏正其劉氏在蜀仍漢四分厯吳常侍王蕃以洪術精妙制儀象故孫氏用乾象厯至吳亡晉武帝泰始元年因魏之景初厯改名泰始厯然即一厯也大都黃初已後改作厯術皆斟酌乾象所減斗分朔餘月行隂陽遲疾以求折衷洪術為後代推歩之師表云晉劉智推三百年斗厯改憲以為四分法三百年減一日以百五十為度法三十七為斗分皆屬浮說杜預著春秋長厯謂天行不一宜改憲以從乃作乾度厯其術合日行四分數而微增月術用三百年改憲之意以較古厯日蝕微勝然而四分之法三百年改憲之說非通論也至穆帝永和八年王朔之造通厯以甲子為上元積九萬七千年以四千八百八十三為紀法千三百五為斗分施行亦不協後秦姚興時當孝武太元九年甲申歲天水姜岌造三紀甲子元厯其畧言春秋日蝕與殷厯魯厯皆不應服䖍解傳用太極上元太極上元乃漢三統厯難施於春秋襄公二十七年十一月朔日蝕應在此月非再失閏劉歆厯日蝕多在二日因附五行傳著朓昃之說不曰厯失天而反寃天也杜預論所傅七厯非時王之術爲是皆斗分疏也斗分殷四分一三統一千五百三十九分之三百八十五乾象五百八十九分之一百四十五景初一千八百四十三分之四百五十五殷斗分麤故不施於今乾象斗分細故不通於古景初斗分雖在麤細之中而日之所在乃差四度課蝕不效今治新厯以二千四百五十一分之六百五為斗分日在斗十七度以考春秋三十六蝕正朔者二十五蝕二日者二蝕改者二誤者五春秋至今一千餘歲蝕多在朔豈三百歲斗厯改憲者乎甲子上元以來至魯隱元年己未歲凡八萬二千七百三十六至晉孝武太元九年甲申歲凡八萬三千八百四十一算乃作三紀厯斯岌所言皆是足破前古之疑獨其所考春秋日蝕尚有蝕二日者二以授時考之則皆朔也蓋岌已得其十之七八至授時則益精耳姜岌三紀厯以一百二十九章之歲二千四百五十一為紀法以三紀之歲七千三百五十三為元法三紀為元故曰三紀厯岌定以三百一十六年有奇差一日一紀差七日七十五刻以減一紀二千四百五十一年所積四分度之一之日六百一十二日七十五刻餘六百五日為斗分以紀法乘三百六十五日得八十九萬四千六百一十五日加斗分六百五日共得八十九萬五千二百二十日為周天以紀法而一得三百六十五日二十四刻六十八分三十八秒為歲實以百二十九章乘章月二百三十五得三萬三百一十五為紀月以紀月歸周天得二十九日五十三刻五分九十五秒為朔實五歸紀月得六千六十三為日法五歸周天得一十七萬九千四十四為通數以日法除通數亦得朔實以日法除通周十六萬七千六十三得二十七日五十五刻四十五分一十秒為轉終以月周三萬二千七百六十六除周天得二十七日三十二刻一十六分一十三秒為交終且紀月周天自足用矣焉用五歸相仍不易不知其何故也岌之厯較前爲詳而交終之多則與景初同於五星亦未見考正其最切者則以月蝕檢日宿度所在為厯術者宗焉又著渾天論以歩日於黄道駁前儒之失竝得其中獨柰何其厯未見之施行也(五歸紀月)(周天之類有何取義不過亂其端緒使人莫測厯家専務此術後來者益多甚有千萬其乘除者)古今律厯考巻十三
## 卷十四
欽定四庫全書
古今律厯考巻十四 明 邢雲路 撰歴代六歴代考宋書宋書論京房增律引伸中呂上生執始下生至於南事為六十律竟復不合彌益其疎劉歆三統厯疏闊揚雄心惑其説采為太𤣥班固謂之最密著於漢志為不知而妄言其説皆是宋髙祖頗好厯數太子率更令何承天私撰新法元嘉二十年上表云月盈則蝕必當其衝以月推日則躔次可知堯典仲夏星火今季夏火中堯仲秋星虚今季秋虚中爾來二千七百餘年所差二十七八度則堯冬至日在須女十度左右也漢太初冬至在牽牛初漢四分及魏景初同在斗二十一臣以月蝕檢之則景初之冬至應在斗十七又以土圭測景考校二至差三日有餘然則今之冬至在斗干三四矣詔令以月蝕檢土圭測悉如承天所上奏二十二年普用元嘉厯詔可元嘉厯以上元庚辰至元嘉二十年癸未五千七百三年算外以一百九十二章積三千六百四十八年為元法以三十二章積六百八年為紀法以紀月七千五百二十十得一七百五十二為日法以紀法除通數二萬二千二百七得三百六十五日二十四刻六七一為歲實以日法除通數得二十九日五十三刻五分八五為朔實以日法除通周二萬七百二十一得二十七日五十五刻四五二一為轉終以月周四千六十四除周天十一萬一千三十五得二十七日三十二刻一六○四為交終五星木周日三百九十八日八十七刻二五火周日七百七十九日七十五刻九二土周日三百七十八日七刻九七金周日五百八十三日九十五刻七三水周日一百一十五日八十六刻九八各有不同是厯較前頗宻其測晷漏刻綽有規則祖冲之字文遠范陽遒人也稽古有機思始元嘉中用何承天所製厯比古十一家為宻冲之以為尚疎乃更造新法上表言之世祖孝武帝令朝士善厯者難之不能屈其術以舊章法十九歲七閏經二百年輒差一日乃改章法三百九十一年有一百四十四閏推上元甲子至宋大明七年癸卯五萬一千九百三十九算外元法五十九萬二千三百六十五乃十五紀之年也紀法三萬九千四百九十一乃一百一章之年也章歲三百九十一章閏一百四十四蓋三百九十一年有一百四十四閏故以是定章歲章閏章月四千八百三十六蓋一章三百九十一年每年十二月凡四千六百九十二月加一百四十四閏月共四千八百三十六月故以是定章月周天一千四百四十二萬三千八百四日是一紀之日也日法三千九百三十九者以一百一乘章月得四十八萬八千四百三十六以一百二十四而一得三千九百三十九為日法也月法一十一萬六千三百二十一者以一百二十四除周天得數為月法也以紀法除周天得三百六十五日二十四刻二八一四為歲實以日法除月法得二十九日五十三刻五分九一為朔實以通法二萬六千三百七十七除通周七十二萬六千八百一十得二十七日五十五刻四六八七為轉終以通法除㑹周七十一萬七千七百七十七得二十七日二十一刻二二三為交終五星木周日三百九十八日八十九刻二九火周日七百八十日三刻○七土周日三百七十八日六刻九四金周日五百八十三日九十三刻○八水周日一百一十五日八十七刻九六各有不同已前交終疎至冲之始宻已後諸厯雖立法各異率皆從大明厯出則冲之之長也柰何中郎將戴法興反覆數千言辯冲之非是悉屬乖謬蓋其時法興佞倖為世祖所寵天下畏其權無敢異議論者皆附之唯中書舍人巢尚之是冲之之術執據宜用上欲用冲之新法時大明八年也故須明年改元因此改厯未及施行而宫車晏駕矣至梁天監初子暅之更修之於是始行焉宋何承天祖冲之立嵗差法損嵗餘益天周以正日躔尤為卓絶魏書魏肅宗孝明帝神龜初集張龍祥等九家厯合為一厯以李業興為主改元正光名正光厯正光三年冬十一月頒行之以壬子元至正光三年積十六萬七千七百五十算外得壬寅嵗以五百五年為章嵗以十九章而一凡二十六章五七九以七閏因之應閏一百六十八月為章閏以加於嵗中五百五年每年十二月凡六千六十月内共六千二百四十六月為章月十二章六千六十年為一蔀十蔀六萬六百為一紀二紀十二萬一千二百為一統三統三十六萬三千六百為一元而大餘盡斗分者四分度之一為二十五刻一蔀六千六十年計一千五百一十五日為古斗分業興覺氣不及天度以一百五十九年半差一日六千六十年當差三十八日以減古斗分餘一千四百七十七日為斗分以加於六千六十年每年三百六十五日計二百二十一萬一千九百日内共得二百二十一萬三千三百七十七日為周天分以六千六十年而一得三百六十五日二十四刻三七二九為歲實一蔀六千六十年計十二章以乘章月得七萬四千九百五十二即蔀月定為日法以月取日故曰日法以日法除周天得二十九日五十三刻五九二九為朔實以日法除通周得二十七日五十五刻四五一四為轉終置蔀月加蔀法得周月八萬一千一十二加一蔀三百一十九章共得八萬一千三百三十一為交周以除周天得二十七日二十一刻四四三二魏史缺交終今補此五星木周日三百九十八日七十八刻八七火周日七百七十九日八十四刻二九土周日三百七十八日五刻六二金周日五百八十三日八十五刻水周日一百一十五日八十七刻一六魏厯大都踵宋厯為之亦近密東魏孝靜帝興和二年李業興以壬子厯氣朔稍違改造興和厯以上元甲子以來積二十九萬三千九百九十七算至興和二年得庚申歲以一百一萬一千六百為元法三統之數也三十三萬七千二百為統法二紀之數也十六萬八千六百為紀法十蔀之數也一萬六千八百六十為蔀法又名度法三十章歲之數也五百六十二為章歲以十九歸章歲凡二十九章五七八以七閏因之得二百七為章閏以每年十二月乘章歲得六千七百四十四為章中加章閏二百七共得六千九百五十一為章月以三十乘章月得二十萬八千五百三十為日法即蔀月以四千一百一十七為斗分以度法乘歲日三百六十五得六百一十五萬三千九百加斗分共得六百一十五萬八千一十七為周天以度法除之得三百六十五日二十四刻四一八七為歲實以日法除周天得二十九日五十三刻○六○四為朔實以日法除通周五百七十四萬五千九百四十一得二十七日五十五刻四五○五為轉終置蔀月加蔀法得二十二萬五千三百九十為月周加一蔀每十九年一章凡八百八十七章共得二十二萬六千二百七十七為交周以除周天得二十七日二十一刻四五○六為交終以歩五星以蔀法除星率即五精數各得周日以蔀除木精數六百七十二萬二千八百八十八得木周日三百九十八日七十四刻七八除火精數一千三百一十四萬九千八十三得火周日七百七十九日八十九刻八一除土精數六百三十七萬四千六十一得土周日三百七十八日五刻八一除金精數九百八十四萬三千八百八十二得金周日五百八十三日八十六刻除水精數一百九十五萬三千七百一十七得水周日一百一十五日八十七刻八八較正光厯稍異隋書北齊文宣帝天保元年散騎侍郎宋景業依握誠圗及元命包言齊受籙之期應六百七十六以為章作天保厯以上元甲子積十一萬五百二十六年至天保元年得庚午章歲六百七十六度法二萬三千六百六十斗分五千七百八十七以度法乘歲日得八百六十三萬五千九百加斗分共八百六十四萬一千六百八十七為周天以度法除之得三百六十五日二十四刻四五九為歲實以十九歸章歲凡三十五章五七九以七因之凡二百四十九閏為章閏以十二月乘章歲得八千一百一十二加章閏共八千三百六十一為章月以三十五乘章月得二十九萬二千六百三十五為紀月以紀月除周天得二十九日五十三刻○五九九為朔實以月周三十一萬三千六百二十除周天得二十七日五十五刻四六四二為轉終以交周三十一萬七千五百六十六除周天得二十七日二十一刻二二五五為交終此其數也至後主武平七年董峻鄭元偉立議非之乃上甲寅元厯以二萬二千三百三十八為蔀五千四百六十一為斗分又劉孝孫以百一十九為章八千四十七為紀張孟賔以六百一十九為章四萬八千九百為紀九百四十八為日法萬四千九百四十五為斗分是年六月戊申朔太陽虧劉孝孫言食於卯時張孟賔言食於寅時鄭元偉董峻言食於辰時宋景業言食於巳時至日食乃於卯寅之間其言皆不能中爭端未定遂屬國亡此史論也以授時推是食在卯正合天時則孝孫孟賔為近鄭董亦近景業為疎矣大都五代諸厯家俱踵元嘉大明故法改換章蔀斗分妄自各立門户爭相妒競以塗人耳目如是而已西魏入關尚興李業興正光厯後周明帝詔有司造周歴頗謬及武帝天和元年甄鸞造天和厯上元甲寅至天和元年景戌積八十七萬五千七百九十二算外章歲三百九十一蔀法二萬三千四百六十日法二十九萬一百六十斗分五千七百三十一以蔀法乘之得周天以日法而一得月策周天八百五十六萬八千六百三十一歲實三百六十五日二十四刻四二月策二十九日五十三刻○七一參用推歩終於宣徳元年而變周静帝大象元年太史上士馮顯更造大象厯上元景寅至大象元年己亥積四萬一千五百五十四算日法五萬三千五百六十三亦名蔀㑹法章歲四百四十八斗分三千一百六十七蔀法一萬二千九百九十二乃二十九章歲之數也歩得周天四百七十四萬五千二百四十七蔀閏四千七百八十六蔀月一十六萬六百九十歲實三百六十五日二十四刻三七朔實二十九日五十三刻四分四三馮顯自以為參校精密而不知氣多朔少所差逺矣隋髙祖初行禪代之事欲以符命曜於天下道士張賔揣知上意自云洞曉星厯盛言代謝之徵由是大被知遇命造新厯賔乃依何承天法微加增損作開皇厯其要以上元甲子己巳已來至開皇四年甲辰四百一十二萬九千一算上蔀法一十萬二千九百六十乃二十四章歳也章歳四百二十九者蓋每章十九以二十二章乘之得四百一十八再加十一共四百二十九年為章歲章月五千三百六者蓋二十二章凡五千一百七十月又十一年一百三十六月共五千三百六月為章月通月五百三十七萬二千二百九者蓋周天三千七百六十萬五千四百六十三以七歸之得五百三十七萬二千二百九為通月日法一十八萬一千九百二十者蓋以二十四乘章月得一十二萬七千三百四十四以十因之得一百二十七萬三千四百四十為蔀月以七而一得一十八萬一千九百二十為日法置斗分二萬五千六十三以蔀法而一得二十四刻三四二四為歲餘以加於每年三百六十五内共得三百六十五日二十四刻三四二四為歲實以日法除通月得二十九日五十三刻○六一二爲朔實賔厯既行劉孝孫與冀州秀才劉焯並稱其失所駮有六條及以古交食并測景辯其是非互有短長如聚訟然殊不知張賔止依元嘉舊法微加增損安得無差即孝孫等議厯亦止就舊法辯論總之於盈縮遲疾之竅未得其眞雖辯萬言何益煬帝大業四年太史令張胄𤣥作大業厯自甲子元至大業四年戊辰百四十二萬七千六百四十四年算外章歲四百一十乃二十一章併一十一年也章閏一百五十一章月五千七十一度法四萬二千六百四十乃一百四章之歲度月五十二萬七千三百八十四乃一百四章之月度月法四百六十一以除度月得一千一百四十四為日法歲分一千五百五十七萬三千九百六十三以度月法除之得三萬三千七百八十三為月法斗分一萬三百六十三即歲餘交周五十七萬二千三百一十四周通七萬二百九周法二千五百四十八以度法除歲分得三百六十五日二十四刻三○三四為歲實以日法除月法得二十九日五十三刻○五九四為朔實以周法除周通得二十七日五十五刻四五五二為轉終以交周除歲分得二十七日二十一刻二二六九為交終以度法除五星周數各得周日度法除木數一千七百萬八千三百三十四分得三百九十八日八十八刻二為木星周日除火數三千三百二十五萬六千二十六得七百七十九日九十二刻五五為火星周日除土數一千六百一十二萬一千七百六十七得三百七十八日九刻○一為土星周日除金數二千四百八十九萬八千四百一十七得五百八十三日九十二刻一五為金星周日除水數四百九十四萬一千九十八得一百一十八日八十七刻九四為水星周日大業厯大抵學祖冲之之法而小變其說耳開皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道升平行次道霸代行下道蓋日去極近則景短而日長去極遠則景長而日短今自隋興晝日漸長開皇元年冬至之景長一丈二尺七十二分自爾漸短至十七年短於舊三寸七分矣上臨朝謂百官曰日長之慶天之佑也今當改元宜取此意乃改明年為仁壽元年因以厯事付皇太子勇東宫劉焯以太子新立修增其書名曰皇極厯駮正胄𤣥之短太子頗嘉之至仁夀四年焯短胄𤣥於皇太子云胄𤣥時不從子半晨前别為後日七曜愆序凡五百三十六條𤣥前擬獻但因人成事非其實錄焯作於前𤣥獻於後且孝孫因焯胄𤣥後附孝孫厯術之文又皆是孝孫所作則元本偷竊事甚分明焯又造厯家同異名曰稽極大業元年帝知焯下其書與胄𤣥參校𤣥駮焯厯歳率月率者平朔之章歳章月也以平朔之率而求定朔非是云云互相駮難是非不決焯罷歸四年太史奏日食無效帝召焯欲行其厯胄𤣥排之又㑹焯死厯竟不行術士咸稱其妙故録其術云甲子元距仁夀四年甲子積一百萬八千八百四十算歳率六百七十六乃三十五章併一十一年也月率八千三百六十一乃歳率之月也周率二十四萬六千九百○五三一一五朔日法一千二百四十二朔實三萬六千六百七十七終法二千二百六十三終實六萬二千三百六十五以朔日法乘二十七得三萬三千五百三十四加交餘二百六十三共得三萬三千七百九十七為交實以歲率除周率得三百六十五日二十四刻四五四三為歲周以朔日法除朔實得二十九日五十三刻○五九五八為月策以終法除終實得二十七日五十五刻四五七三為轉終以朔日法除交實得二十七日二十一刻一七五五為交終以度法四萬六千六百四十四除周天數一千七百三萬七千七十六得三百六十五度二十五分七十六秒為周天度以度法除各五星周數得各周日除木數千八百六十萬五千四百六十八得木周日三百九十八日八十八刻二三除火數三千六百三十七萬七千五百九十五得火周日七百七十九日八十九刻八七除土數千七百六十三萬五千五百九十四得土周日三百七十八日八刻九二除金數二千七百二十三萬六千二百八得金周日五百八十三日九十一刻六六除水數五百四十萬五千六得水周日一百一十五日八十七刻七八大都焯與胄𤣥之厯皆踵舊法為之無甚奇異焯第因𤣥竊已成術反肆駁噬故不平而鳴也焯謂𤣥不從晨前子半别為後日夫子半為後日亘古所同胡𤣥之不察也𤣥謂焯不宜以平朔之章歲章月求定朔不知焯以章月歩平朔非定朔也至歩定朔别有消息耳若焯之差則坐氣大朔小所以行之不久而氣與天違此之故也至於袁充表奏文帝引京房言日行三道及景長景短之說甚為悖謬蓋日行去極南北有定並無因世治亂改行上下之理地中以八尺立表冬至之景一丈三尺有奇縱是日冬至加時在子亥之遠所差進退止在寸内分數即冬至前後一日之晷差亦止在寸分以内故也則又安得有後短於前至三寸七分之多耶噫嘻我知其故矣隋人歩厯不精氣策未善冬至或差二三日則其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥稱仁壽舛矣卒之歴年三十傳國二世然則景長之效夀耶不耶古今律厯考巻十四
## 卷十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷十五 明 邢雲路 撰歴代七歴代考唐書唐厯志云唐始終二百九十餘年而厯八改曰戊寅元厯麟徳甲子元厯開元大衍厯寳應五紀厯建中正元厯元和觀象厯長慶宣明厯景福崇𤣥厯止矣髙祖受禪初東都道士傅仁均治新厯合受命嵗名為戊寅元厯所可考騐者七曰唐以戊寅嵗甲子日登極厯元戊寅日起甲子如漢太初一也冬至日短星昴合堯典二也周幽王六年十月辛夘朔入蝕限合於詩三也魯僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大三小則日蝕常在朔月蝕常在望五也命辰起子半命度起虚六符隂陽之始六也立遲疾定朔則月行晦不東見朔不西朓七也髙祖詔司厯起二年用之擢仁均員外散騎侍郎三年正月望及二月八月朔當蝕比不效六年詔郎中祖孝孫博士王孝通考其得失未定九年復詔大理卿崔善為較定善為所改凡數十條初仁均以武徳元年為厯始七政皆有加減至是復用上元積算其周天度即古赤道也貞觀初值太史李淳風又上疏論十有八事復詔善為課二家得失其七條改從淳風十四年太宗將祀南郊以十一月癸亥朔甲子冬至而淳風新衍以甲子合朔冬至乃上言古厯分日起於子半十一月當甲子合朔冬至太史令傅仁均以減餘稍多子初為朔遂差三刻司厯南宮子明太史令薛頥等言子初及半日月未離淳風之法符合國子祭酒孔穎逹等謂平朔行之自古春秋傳或失之前為晦日也雖癸亥日月相交明日甲子為朔可也從之仁均厯法祖述胄𤣥稍以劉孝孫舊議參之麟徳間仁均厯較淳風厯最疎然更相出入其有所中淳風亦不能逾之今所記者善為所較也戊寅厯上元戊寅至武徳九年丙戌積十六萬四千三百四十八算外章歳六百七十六亦名行分法乃三十五章併十一年之歳章閏二百四十九乃三十五章凡二百四十五閏及十一年四閏共之之數章月八千三百六十七乃一章歳凡八千一百一十二月及閏二百四十九共之之數度法氣法九千四百六十四乃十四章積度併歳度月法一十一萬七千五十四乃十四章歳之積月日法一萬三千六以九歸度月而得歳分三百四十五萬六千六百七十五者置三百六十五日四分度之一以氣法乘之得三百四十五萬六千七百二十六日以歳分減之減五十一日以氣法而一得每年減五十三分八八八以減三百六十五日四分度之一得三百六十五日二十四刻四六一一為歳周即以氣法除歳分得三百六十五日餘歳餘二千三百一十五再除得歳周也周分三百四十五萬六千八百四十五半者以度法乘周天度三百六十五得三百四十五萬四千三百六十加斗分二千四百八十五半得數為周分以度法歸之得三百六十五度二十六分二十五秒為天周也月法三十八萬四千七十五以九歸嵗分而得交㑹法一千二百七十四萬一千二百五十八半之得六百三十七萬六百二十九為交分法以三十六而一得三十五萬三千九百二十三日八十三刻為交實以日法除月法得二十九日五十三刻○六○一為朔實以厯法二萬八千九百六十八除厯周七十九萬八千二百得二十七日五十五刻四五四三為轉終以日法除交實得二十七日二十一刻二三五為交終以度法除五星率得各周日木率三百七十七萬五千二十三火七百三十八萬一千二百二十三土三百五十七萬八千二百四十六金五百五十二萬六千二百水百九萬六千六百八十三木周日三百九十八日八十八刻二四火七百七十九日九十二刻六二土三百七十八日九刻○三金五百八十三日九十一刻一六水一百一十五日八十七刻九四厯志謂戊寅元厯冬至五十餘年差一度是時約八十年差一度非五十年也謂僖公壬子冬至推乃辛亥冬至非壬子也謂月有三大三小固多是而亦有不盡然者非一定也其云幽王六年十月辛夘朔日食及辰起子半度起虛六則皆是謂淳風推癸亥夜次日甲子冬至以子初及半日月未離雖癸亥相交可為甲子不知夜子初刻屬前日正刻屬後日界限分明毫不容假難以子初作次日也則不若仁均辰起子半之為是耳仁均滑州白馬人髙宗時戊寅厯漸差岐州雍人太史令李淳風作麟徳甲子元厯以古厯有章蔀元紀日分度分參差不齊乃為總法千三百四十以一之損益中晷術以考日至為渾儀表裏三重以測黄道初隋末劉焯造皇極厯其道未行淳風約之為法改作麟徳厯時以為宻麟徳元年甲子距上元甲子積二十六萬九千八百八十筭總法千三百四十乃七十章及十年之嵗數期實四十八萬九千四百二十八乃一總之日數常朔實三萬九千五百七十一以總法除朞實得三百六十五日二十四刻四七為嵗周以總法除常朔實得二十九日五十三刻○五九七為月䇿置變周四十四萬三千七十七以十二除之得三萬六千九百二三○八三三以總法而一得二十七日五十五刻四五四為轉終置遊交終率千九十三萬九千三百一十三以三歸之得三百六十四萬六千四百三十七六六以總法而一得二十七日二十一刻二二二一為交終以總法除五星各總率得各星周日總率木五十三萬四千四百八十三火百四萬五千八十土五十萬六千六百二十三金七十八萬四千四百四十九水十五萬五千二百七十八木周日三百九十八日八十六刻八火七百七十九日九十一刻○四土三百七十八日七刻六八金五百八十三日九十一刻七一水一百一十五日八十七刻九一大端皆約皇極厯而㣲加増損之其一以總法則校之諸厯似為省要耳開元九年麟徳厯署日蝕比不效詔僧一行作新厯推大衍數立術以應之十五年草成而一行卒詔特進張說與厯官陳𤣥景等次為厯術七篇略例一篇厯議十篇表上之十七年頒行其大要著於篇者十二其一厯本議曰易天數五地數五五位相得而各有合所以成變化而行鬼神也天數始於一地數始於二合二始以位剛柔天數終於九地數終於十合二終以紀閏餘天數中於五地數中於六合二中以通律厯天有五音所以司日也地有六律所以司辰也參伍相周究於六十聖人以此見天地之心也自五以降為五行生數自六以徃為五材成數錯而乘之以生數衍成數位一六而退極五十而増極一六為爻位之統五十為大衍之母成數乘生數其筭六百為天中之積生數乘成數其筭亦六百為地中之積合千有二百以五十約之則四象周六爻也二十四約之則太極包四十九用也綜成數約中積皆五十綜生數約中積皆四十兼而為天地之數以五位取之復得二中之合矣蓍數之變九六各一乾坤之象也七八各三六子之象也故爻數通乎六十䇿數行乎二百四十是以大衍為天地之樞如環之無端盖律厯之大紀也夫數象㣲於三四而章於七八卦有三㣲䇿有四象故二㣲之合在始中之際焉蓍以七備卦以八周故二章之合在中終之際焉中極居五六間由闢闔之交而在章㣲之際者人神之極也天地中積千有二百揲之以四為爻率三百以十位乘之為二章之積三千以五材乘八象為二㣲之積四十兼章㣲之積則氣朔之分母也以三極參之倍六位除之凡七百六十是謂辰法而齊於代軌以十位乘之倍大衍除之凡三百四是謂刻法而齊於徳運半氣朔之母千五百二十得天地出符之數因而三之凡四千五百六十當七精返初之㑹也易始於三㣲而生一象四象成而後八卦章三變皆剛太陽之象三變皆柔太隂之象一剛二柔少陽之象一柔二剛少隂之象少陽之剛有始有壯有究少隂之柔有始有壯有究兼三才而兩之神明動乎其中故四十九象而大業之用周矣數之徳圓故紀之以三而變於七象之徳方故紀之以四而變於八人在天地中以閲盈虚之變則閏餘之初而氣朔所虚也以終合通大衍之母虧其地十凡九百四十為通數終合除之得中率四十九餘十九分之九終嵗之弦而斗分復初之朔也夫十九分之九盈九而虛十地於終極之際虧十而從天者所以逺疑陽之戰也乾盈九𨼆乎龍戰之中故不見其首坤虚十以導潛龍之氣故不見其成周日之朔分周嵗之閏分與一章之弦一蔀之月皆合於九百四十蓋取諸中率也一䇿之分十九而章法生一揲之分七十六而蔀法生一蔀之日二萬七千七百五十九以通數約之凡二十九日餘四百九十九而日月相及於朔此六爻之紀也以卦當嵗以爻當月以䇿當日凡三十二嵗而小終二百八十五小終而與卦運大終二百八十五則參伍二終之合也數象既合而遯行之變在乎其間矣所謂遯行者以爻率乘朔餘為十四萬九千七百以四十九用二十四象虛之復以爻率約之為四百九十八㣲分七十五太半則章㣲之中率也二十四象象有四十九蓍凡千一百七十六故虚遯之數七十三半氣朔之母以三極乘參伍以兩儀乘二十四變因而并之得千六百一十三為朔餘四揲氣朔之母以八氣九精遯其十七得七百四十三為氣餘嵗八萬九千七百七十三而氣朔㑹是謂章率嵗二億七千二百九十萬九千九百二十而無小餘合於夜半是謂蔀率嵗百六十三億七千四百五十九萬五千二百而大餘與嵗建俱終是謂元率此不易之道也䇿以紀日象以紀月故乾坤之䇿三百六十為日度之準乾坤之用四十九象為月弦之檢日之一度不盈全䇿月之一弦不盈全用故䇿餘萬五千九百四十三則十有二中所盈也用差萬七千一百二十四則十有二朔所虚也綜盈虚之數五歳而再閏中節相距皆當三五弦望相距皆當二七升降之應發斂之候皆紀之以䇿而從日者也表裏之行朓朒之變皆紀之以用而從月者也積筭曰演紀日法曰通法月氣曰中朔朔實曰揲法嵗分曰䇿實周天曰乾實餘分曰虚分氣䇿曰三元一元之䇿則天一遯行也月䇿曰四象一象之策則朔弦望相距也五行用事曰發斂候䇿曰天中卦䇿曰地中半卦曰貞悔旬周曰爻數小分母曰象統日行曰躔其差曰盈縮積盈縮曰先後古者平朔月朝見曰朒夕見曰朓今以日之所盈縮月之所遲疾損益之或進退其日以為定朔舒亟之度乃數使然躔離相錯偕以損益故同謂之朓朒月行曰離遲疾曰轉度母曰轉法遲疾有衰其變者勢也月逶迤馴屈行不中道進退遲速不率其常過中則為速不及中則為遲積遲謂之屈積速謂之伸陽執中以出令故曰先後隂含章以聼命故曰屈伸日不及中則損之過則益之月不及中則益之過則損之尊卑之用睽而及中之志同觀晷景之進退知軌道之升降軌與晷名舛而義合其差則水漏之所從也摠名曰軌漏中晷長短謂之陟降景長則夜短景短則夜長積其陟降謂之消息遊交曰交㑹交而周曰交終交終不及朔謂之朔差交中不及望謂之望差日道表曰陽厯其裏曰隂厯五星見伏周謂之終率以分從日謂之終日其差為進退其二中氣議三合朔四没滅五卦候六卦七日度八日躔盈縮九九道十晷漏中星十一日蝕十二五星諸議俱詳十六卷中古今律厯考巻十五
## 卷十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷十六 明 邢雲路 撰歴代八歴代考唐書僧一行者沙門夫慧禪師名一行也張姓初名遂魏州長樂人剡國公公謹之孫武功令檀之子少聰敏道士尹崇見而竒之曰此後生顔子也尋出家遍歴天下訪求異術至天台山國濟寺見寺前一院有流水一行立門屏聞院僧於庭中有布算聲而謂其徒曰今日當有弟子自逺來求吾法已合到門即除一算又謂曰門前水當西流弟子至矣一行返顧水果西流遂趨入拜求其法僧盡授之遂洞厯象隂陽推歩之學囘入嵩山髙宗詔之不起遁入荆州當陽山開元九年麟徳厯晷緯漸差課蝕不效宰相張說言之𤣥宗召見令造新厯遂與星官梁今瓉等造黄道游儀圗考校七曜行度準周易大衍之數别成一法撰開元大衍厯十五年草成一行卒年四十五賜諡曰大慧襌師歐陽修曰自太初至麟徳有二十三家與天雖近而未宻也至一行宻矣一行造厯上考黄顓夏商周魯五王一侯之遺式下集太初至於麟徳二十三家之衆議比其同異課其疎宻然其數一本於大衍今以唐厯志一一剖析之俾人易曉焉一行議厯本引易繫之文其意所主在乎五位相得而各有合之一言盖一行欲變諸家之法之名而一一附於大衍之數故取諸此曰天數始於一地數始於二合天地二始為三以位剛柔盖剛一柔二其數三也天數終於九地數終於十合天地二終為十九以紀閏餘終窮也易窮則變言閏亦日之窮餘故取以為義天數中於五地數中於六合天地二中為十一以通律厯天中五故有五音所以司日盖以宫商角徵羽之五音配於甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之十干後代乾鑿度云日十干者五音是也地中六故有六律所以司辰盖以陽律六隂律六配於子丑寅夘辰巳午未申酉戌亥之十二支後代乾鑿度云辰十二者六律是也此合二中以通律厯也然曰五六為二中九十為二終即班固志五六天地之中十九年為章嵗合天地終數得閏法之說也曰五音司日六律司辰即楊子雲聲生於日律生於辰之說也此其於諸家之說同也參伍相周者參三也伍五也以二中之五與六互相因之五六因三十六五因三十共究於六十聖人以此見天地之心天地之心即天地之中也故劉羲叟曰一行以天地之中數作大衍厯最精宻正謂此也自五以降五四三二一為五行生數自六以徃六七八九十為五材成數錯而乘之以生數衍成數者相衍相乘也位一六而退極五十而増極者盖中極位居五六間自六五退而四三二而退至生數之一自五六増而七八九而増至成數之十一退極一増極皆由中之五六兩分之故以二中見天地之心一六為爻位之統者一生而六成之一與六合自一至六則二三四五在其中爻始於一終於六故以一六為爻位之統五十為大衍之母者五生而十成之五與十合自五至十則六七八九在其中六為太隂七為少陽八為少隂九為老陽乾坤六子皆自五十之數衍之中五衍母次十衍子故以五十為大衍之母六七八九十共積之得四十為成數一二三四五共積之得十五為生數以四十成數乘十五生數共得筭六百為天中之積以十五生數乘四十成數共得筭亦六百為地中之積即錯而乘之也天中六百與地中六百合之得一千二百置一千二百以大衍之數五十約而歸之得二十四則四象之四周於六爻盖四六二十四也仍置一千二百以四象周六爻之二十四約而歸之得五十則太極之一虚而不用包乎其用四十有九之數也綜成數之四十約歸中積之六百天數地數皆十五綜生數之十五約歸中積之六百天數地數皆四十兼十五與四十合為五十五天數二十五地數三十共為天地之數五十有五置天地之數五十有五以中五衍母之五位取而歸之得十一則復得二中之合矣盖天之中數五地之中數六為十一聖人合二中以見天地之心也蓍數之變九六各一者老陽之九一老隂之六一九與六為十五老陽乾為父老隂坤為母乾坤之象也七八各三者少陽之七三三七二十一少隂之八三三八二十四二十一合二十四共得四十五乃三少陽震長男坎中男艮少男三少隂巽長女離中女兌少女六子之象也故爻數通乎六十盖合乾坤之象十五六子之象四十五共六十也䇿數行乎二百四十盖以四象乘六十得二百四十也是以大衍為天地之樞如環之無端一行取以為律厯之大紀也夫數象㣲於三四㣲者少而尚㣲也章於七八章者多而漸章也卦有三㣲謂三候成氣䇿有四象謂隂陽老少三㣲四象合而為七揔之為二㣲之合所謂㣲於三四也天一在始地六在中三四在一與六間故二㣲之合在始中之際焉蓍以七備謂七七四十九䇿其數七卦以八周謂八八六十四卦其數八七備八周合而為十五總之為二章之合所謂章於七八也天五在中地十在終七八在五與十間故二章之合在中終之際焉中極居五六間謂天陽數奇一三五七九五在其中地隂數偶二四六八十六在其中天地之中數前乎㣲則闔後乎章則闢二㣲之合七二章之合十五五六合十一在㣲之七與章之十五間乃天地中和之數往來屈伸此為樞機以通神眀以前民用率由於此故曰由闢闔之交而在章㣲之際者人神之極也天中之積地中之積合之千有二百以四數揲而歸之得三百為爻率三百以天地十位之數十乗爻率三百得三千為二章之積三千以五材之數五乘八象之數八得四十為二微之積四十兼二章之積三千與二㣲之積四十共三千四十是謂通法又為日法則日之氣策與月之朔策之分母也置氣朔之母三千四十以三極之數三叅之叅者三因也三因得九千一百二十以六位之數六倍而為十二除前九千一百二十得七百六十是謂辰法而齊於代軌仍置通法三千四十以十位之數十乘之得三萬四百以大衍之數五十倍而為一百除前三萬四百得三百有四是謂刻法而齊於徳運於氣朔之母三千四十分五而半之得一千五百二十得天地出符之數於一千五百二十因而三因之得四千五百六十當七精返初之㑹考緯稱入元三百四歳為徳運七百六十嵗為代軌千五百二十嵗為天地出符四千五百六十嵗為七精返初是也易始於三㣲而生一象謂三㣲成著得一象也隂陽老少之四象成而後乾兌離震巽坎艮坤之八卦章三變皆陽剛太陽之象三變皆隂柔太隂之象一陽剛二隂柔少陽之象一隂柔二陽剛少隂之象少陽之剛有始有壯有究少隂之柔有始有壯有究始壯究皆謂三畫也自下而上始而壯而究也乾鑿度所謂物有始有壯有究故三畫而成乾是也兼三才而兩之則成六畫六爻既備神明動乎其中故大衍四十有九之用象數明備而大業之用周矣數之徳圎天圎圎一徑三故紀之以三陽以七為用故三而變於七從竒也象之徳方地方方一函四故紀之以四隂以八為用故四而變於八從偶也人在天地中以閲象數竒偶氣盈朔虚之變則有揲䇿歸扐以成閏餘而氣朔所虚日月嵗功所成也天數終於九地數終於十合而為十九謂之終合以終合之數十九通大衍之母通者乘也大衍之母五十也以十九乘五十得九百五十虧者減也地十者地數終於十也以九百五十之數減其一十凡得九百四十為通數以終合十九除通數得中率四十九餘十九分之九盖四十九下隔位餘九不盡故曰四十九餘十九分之九是終嵗之弦而斗分復初之朔乃推日月章蔀之法也夫十九分之九盈九而虚十者即前以十九除四十九下不盡之九數故曰盈九虧其地一十之數故曰虚十也地於終極之際虧十而從天所以逺疑陽之戰者盖坤地終於十為極數隂盛之極與陽偕矣隂疑於陽必戰故上六龍戰於野其血𤣥黄言天地皆傷也今地於極數虧去其十以從天則疑陽之戰可逺矣乾盈九不用則所盈之九𨼆乎坤盡上六龍戰爻中和而不戰九為龍首故不見其首坤虚一不用則所虚之十從於乾始初九潛龍爻中以導其氣坤順從天故不見其成周日之朔分周嵗之閏分與一章之弦一蔀之月皆合於九百四十盖取諸中率者謂諸術即前所謂中嵗之弦而斗分復初之朔者皆以九百四十為通數以終合除通數得中率四十九盖取諸此也一䇿之分十九而章法生者十九年七閏為一章也一揲之分七十六而蔀法生者一章十九年四章共七十六年故曰七十六而蔀法生四章為一蔀也一蔀之日二萬七千七百五十九者一章十九年凡二百三十五月以朔實二十九日五十三刻五分九十二秒一十㣲不盡乗之得六千九百三十九日六八九一不盡為一章之日以四章因之得二萬七千七百五十八不盡収而為五十九是為一蔀之日也以通數約之凡二十九日餘四百九十九而日月相及於朔為六爻之紀者盖四章凡九百四十月一行呼為通數以通數約而歸前一蔀之日得二十九日餘數四百九十九其日下餘數四百九十九仍以九百四十歸之得五十三刻五分九十二杪一十㣲不盡為朔餘共之即前朔實是日月相及於朔從揲策六爻所得之紀也以卦當嵗者積蔀首一百九十二紀一紀一千五百二十嵗得積嵗二十九萬一千八百四十以三十二卦除之得九千一百二十周盖三十二嵗為一周此為卦當嵗也以爻當月者一紀一萬八千八百月得積月三百六十萬九千六百以三百八十四爻除之得九千四百二十周盖三百八十四月為一周此謂爻當月也以䇿當日者一紀五十五萬五千一百八十日得積日一萬六百五十九萬四千五百六十以一萬一千五百二十坼除之得九千二百五十三周盖一萬一千五百二十日為一周此謂䇿當日也凡三十二嵗而小終二百八十五小終而與卦運大終二百八十五則參伍二終之合者終周也三十二嵗為一小周即一小終置三十二以二百八十五乘之得九千一百二十周乃二百八十五小終即前以卦當嵗一卦運大周之數也盖天地二數共終十九以參之三因十九得五十七以伍之五因五十七得二百八十五小終大終皆與二百三十五之數相合則參伍二終之合也數象既合而遯行之變在乎其間矣所謂遯行者以爻率三百乗朔餘四百九十九得一十四萬九千七百於一十四萬九千七百之中以四十九用二十四象共七十三數虚而減之餘一十四萬九千六百二十七數復以爻率三百約而歸之為四百九十八㣲以下分七十五六六不盡不盡即太半則章㣲之中率也二十四象象有四十九以二十四乘四十九為蓍一千一百七十六合二十四併四十九共七十三即前虚遯之數七十三也半其氣朔之母三千四十得一千五百二十參伍者一十五也以三極之三乘十五得四十五以兩儀乘二十四變得四十八因而併之者通前一千五百二十四十五四十八共得一千六百一十三為朔餘以通法三千四十歸之得五十三刻五分九十二秒一不盡即朔小餘也以揲之四數歸氣朔之母三千四十得七百六十於内遯而減去八氣之八九精之九共減十七得七百四十三為氣餘以通法三千四十歸之得二十四刻四十四分不盡即嵗小餘也以通法乘朔大餘二十九日得八萬八千一百六十併朔餘一千六百一十三共得嵗八萬九千七百七十三而氣朔㑹是謂章率又名揲法以通法乘章率得嵗二億七千二百九十萬九千九百二十而無小餘合於夜半是謂蔀率以六十因蔀率得嵗一百六十三億七千四百五十九萬五千二百以紀法除盡大餘與嵗建俱終是謂元率此不易之道也十九年為一章四章為一蔀二十蔀為一紀三紀為一元章法十九章月二百三十五蔀法七十六蔀月九百四十紀法一千五百二十紀月一萬八千八百元法四千五百六十元月五萬六千四百故至朔同日謂之章同在日首謂之蔀蔀終六旬謂之紀嵗朔又復謂之元一元四千五百六十年當七精返初之㑹也䇿以紀日象以紀月故乾坤之䇿三百六十自卦得之為日度之準乾坤之用四十九象自揲得之為月弦之檢日之一度不盈全䇿惟日度不盈全策故有中盈分置嵗實三百六十五日二十四刻四十四分以通法三千四十乘之得一百一十一萬三百四十三為䇿實另置嵗實大餘三百六十日以通法乘之得一百九萬四千四百分為嵗實大餘於䇿實内減去嵗實大餘得一萬五千九百四十三為䇿餘置䇿餘以十二月除之得一千三百二十八不盡為中盈分則十有二中所盈也月之一弦不盡全用惟月弦不盈全用故有用差置一月三十日以通法乘之得九萬一千二百為滅法内減去揲法八萬九千七百七十三得一千四百二十七為朔虚分置朔虚分以十二月乘之得一萬七千一百二十四為用差則十有二朔所虚也綜盈虚之數五嵗則再閏矣中節相距皆當三五一十五日有竒弦望相距皆當二七一十四日有竒升降之應發斂之候皆紀之以卦䇿而從日氣也表裏之行朓朒之變皆紀之以揲用而從月朔也積筭曰演紀者開元大衍厯演紀上元甲子距開元十二年積九千六百九十六萬一千七百四十筭也日法曰通法者即三千四十也月氣曰中朔者月中也朔實曰揲法者月䇿也嵗分曰策實者嵗周也周天曰乾實者置乾實一百一十一萬三百七十九七五以通法除之得周天三百六十五度二十五分六五為天周也餘分曰虚分者周天之虚分也氣䇿曰三元者置䇿實一百一十一萬三百四十三以二十四氣除之得四萬六千二百六十四再置十五日以通法乘之得四萬五千六百以減前數餘六百六十四加入十五日内為三元之䇿十五餘六百六十四若置嵗實三百六十五日二十四刻四十四不盡以二十四除之得一十五萬二一八五一六不盡為氣䇿也一元之䇿乃三元之䇿分而為三即五日有餘天中之候䇿遯甲以五十有餘為一元故曰天一遯行也月䇿曰四象者即四象之䇿二十九餘一千六百一十三也一象之䇿則二十九有餘以四象分之毎象七日有餘朔弦望相距也五行用事曰發斂者以發斂開闔法布五行也候䇿曰天中者置䇿實以七十二候除之得一萬五千四百二十一再以五日因通法得一萬五千二百以減前數餘二百二十一不盡加入五日内得五餘二百二十一秒為天中之䇿五餘二百二十一若以七十二除嵗周得數去大餘以通法乘小餘加入大餘亦得此歩七十二候之䇿也卦䇿曰地中者置䇿實以卦法六十除之得一萬八千五百○五不盡再以六日因通法得一萬八千二百四以減前數餘二百六十五不盡加入六日内為地中之䇿六餘二百六十五若以六十除嵗周得數去大餘以通法乘小餘加入大餘亦得此歩六十卦之䇿也半卦曰貞悔者乃地中之䇿折半得三餘一百三十二不盡為貞悔之䇿此筭内卦外卦之䇿也其各䇿之下有秒者乃不盡之數如天中之䇿五餘二百二十一下有秒三十一秒法七十二即以秒法七十二筭之滿法則進上一䇿餘倣此旬周曰爻數者六十也小分毋曰象統者二十四也卦限者置䇿實以十二月除之得九萬二千五百二十八五八以減揲法八萬九千七百七十三餘二千七百五五五八為月閏置揲法減去月閏餘八萬七千○一七不盡収而為八為卦限八萬七千一十八若置二中氣䇿三十日四三七○三二減去月䇿二十九日五十三刻五九二一餘九十刻六四四以通法乘之得二千七百五五五八以減揲法八萬九千七百七十三亦得卦限謂之卦限者是再一月及揲法也歸餘之卦者置每嵗中積分累以揲法去之即今閏餘也以減中積為朔積以求天正經朔之䇿也嵗差三十六太者乃當時所測歳差每歳一分二十秒○九六七一以通法乘之得三十六七五不盡也置乾實一百一十一萬三百七十九太太者七十五分也以減策實一百一十一萬三百四十三餘三十六七五為歳差即以通法歸乾實得周天三百六十五度二十五分六十四秒九十六㣲七一以減歳周三百六十五日二十四刻四十四分所餘一分二十秒○九六七一即前每歳歳差之數也日行曰躔其差盈縮其積先後為日躔之度古用平朔即經朔無盈縮遲疾加減者以故月朔朝見曰朒夕見曰朓今以日之所盈縮月之所遲疾損益之進退其日以為定朔舒亟相錯偕以損益故同謂之朓朒也月行曰離其轉遲疾為月行之度以七十六為轉法滿轉法為度故曰度母列衰有變進加退減過中為速為伸不及中為遲為屈曰中者春秋分日行一度為中即其常也不率其常為過與不及則其南北逶迤屈行之數也陽曰先後以出令名隂曰屈伸以聽命名而損益之變生焉日不及中則損月則益日過中則益月則損即盈遲為加縮疾為減之義也凡日以赤道内為隂外為陽月以黄道内為隂外為陽隂陽厯之同異春秋分之加減皆從損益率來而黄赤之變分秒之差定矣在天道曰軌在圭景曰晷觀晷景之進退知軌道之升降而悉以水漏操其權盖漏以定辰分於昏明而晷景之陟降積晷之消息晝夜長短時刻屬焉則勾股之數使然也遊交即歩交㑹交終二十七餘六百四十五其周數也不及朔二餘九百六十七秒八千六百七十八為朔差日以通法歸餘得三十一刻八三七六加入二日即朔交差也不及望一餘四百八十三秒九千三百三十九即朔交半之之數為望交差也日道表曰陽厯即赤道外裏曰隂厯即赤道内也五星伏見周謂之終率即以歩終日之術以分從日謂之終日即終率所歩之日其差為進退則以損益率前後相減為進退積差以歩五星合伏之數也其二議中氣謂厯氣始於冬至稽其實取諸晷景也厯引春秋及累代南至併晦朔以殷周魯厯及麟徳等厯上下相較先後所差分數不一加減多少合此失彼考殷厯盖哀平間治甲寅元厯者託之非古也靈曜命厯序皆有甲寅元其所起乃在四分厯庚申元之後以開元十二年十一月陽城測景癸未極長以檢春秋及前代元嘉等冬至亦合此失彼先後天不一以為減閏餘減斗分之未善且麟徳厯已前實録所記乃依時厯書之非候景所得又比年候景所得長短不均由加時有早晏行度有盈縮晷景不等進退不齊皆古人所未達也其三議合朔謂日月合度謂之朔無所取之取之蝕也以殷周魯厯課春秋日蝕先後互失其偽可知春秋之蝕丘明即所聞以書仲尼因時史所記且列國赴告不一則厯術所書不齊長厯其日不在其月則改易閏餘以求合故閏月相距近則十餘月逺或七十餘月此杜預所甚謬也昔人考天事多不知定朔假蝕在二日而常朔之晨月見東方食在晦日則常朔之夕月見西方或以為朓朒變行或以為厯術踈闊遇常朔朝見則増朔餘夕見則減朔餘此紀厯所以屡遷也或又為月頻三大二小之説虞鄺曰所謂朔在㑹合茍躔次既同何患於頻大也日月相離何患於頻小也春秋不書朔者劉孝孫俱推得朔日乃議定朔為有司所抑不得行傅仁均始為定朔而曰晦不東見朔不西朓得昏明之限與定朔故也故麟徳厯有總法開元厯有通法故積嵗如月分之數而後閏餘皆盡其四議沒滅謂古以中氣所盈之日為沒沒分偕盡為滅開元以中分所盈為沒朔分所虚為滅終嵗沒分為䇿餘終嵗滅分為用差皆歸於揲易再扐而後掛也其五議卦候謂七十二候原於周公時訓月令自後魏始載於厯乃依易軌所傳不合經義今改從古其六議卦謂十二月卦出於孟氏章句京氏又以卦爻配朞之日用六日七分以附㑹緯文七日來復之說止於占災𤯝與吉凶善敗之事至於觀隂陽之變則錯亂而不明其七議日度謂古厯以天周為嵗終係星度於節氣故乆而益差虞喜覺之使天為天嵗為嵗乃立差以追其變以五十年退一度何承天以為太過乃倍其年而反不及皇極取中數為七十五年盖近之然未盡合也厯考春秋以來七政以漢唐以來諸家厯較之各有不同惟姜岌以月蝕衝知日度躔次遂正為後代治厯者宗何承天作元嘉厯以月蝕檢冬至在斗十七度又圭測差三日餘則天之南至在斗十三四度以開元考元嘉十年冬至日在斗十四度與承天所測合若皇極厯嵗差皆自黄道命之所差尤多是以開元厯皆自赤道推之乃以今有術從變黄道其八議日躔盈縮謂日躔盈縮當以二十四氣晷景考之而宻於加時其九議九道謂洪範傳云日有中道月有九行中道謂黄道也九行者青道二出黄道東朱道二出黄道南白道二出黄道西黒道二出黄道北日行西陸為春立春春分月東從青道日行南陸為夏立夏夏至月南從朱道日行東陸為秋立秋秋分月西從白道日行北陸為冬立冬冬至月北從黒道月行九道内為隂厯外為陽厯冬入隂厯夏入陽厯月行青道冬入陽厯夏入隂厯月行白道春入陽厯秋入隂厯月行朱道春入隂厯秋入陽厯月行黒道隂陽厯交在冬至夏至則月行青道白道所交則同而出入之行異故青道至春分之宿及其所衝皆在黄道正東白道至秋分之宿及其所衝皆在黄道正西若隂陽厯交在立春立秋則月循朱道黒道所交則同而出入之行異故朱道至立夏之宿及其所衝皆在黄道西南黒道至冬至之宿及其所衝皆在黄道東北若隂陽厯交在春分秋分之宿則月行朱道黒道所交則同而出入之行異故朱道至夏至之宿及其所衝皆在黄道正南黒道至冬至之宿及其所衝皆在黄道正北若隂陽厯交在立夏立冬則月循青道白道所交則同而出入之行異故青道至立春之宿及其所衝皆在黄道東南白道至立秋之宿及其所衝皆在黄道西北其大紀皆兼二道而實分主八節合於四正四維按隂陽厯中終之所交則月行正當黄道去交七日其行九十一度齊於一象之率而得八行之中八行與中道而九是謂九道凡八行正於春秋其去黄道六度則交在冬夏正於冬夏其去黄道六度則交在春秋日出入赤道二十四度月出入黄道六度相距則四分之一故於九道之變以四立為中交在二分増四分之一而與黄道度相半在二至減四分之一而與黄道度正均故推極其數引而伸之每氣移一候七十二候而九道究矣以朔交為交初望交為交中若交初在冬至初候而入隂厯則行青道又十三日有竒至交中得所衝之宿變入陽厯亦行青道若交初入陽厯則白道也故考交初所入而周天之度可知若望交在冬至初候則減十三日有竒視大雪初候隂陽厯而正其行也其說詳矣其十議晷漏中星謂日行有南北晷漏有長短二十四氣晷差徐疾不同者勾股使然也今推黄道去極與晷景漏刻昏距中星返覆相求旋相為中以合九服之變其十一議日蝕謂小雅十月之交朔日辛夘虞鄺推在幽王六年開元同且十月之交於厯當蝕詩人猶悼以為變然則古之太平日不蝕星不孛盖有之矣若過至其分月或變行而避之或五星潛在日下禦侮而救之或渉交數淺或在陽厯陽盛隂㣲則不食或得之休明而有小𤯝焉則天為之𨼆雖交而不蝕若四時之中分同道至相過交而有食則天道之常也凡日食必在交限其入限者不必盡蝕如開元十二年七月戊午朔於厯當蝕半强自交趾至朔方候之不食十三年十二月庚戌朔於厯當蝕太半時東封泰山還次梁宋間皇帝徹膳不舉樂不盖素服日亦不蝕時羣臣與八荒君長之來助祭者降物以需不可勝數皆奉夀稱慶肅然神服雖筭數乖舛不宜如此然後知徳之動天不俟終日矣若因開元二蝕曲變交限而從之則差者益多杜預云日月動物雖行度有大量不能不小有盈縮故雖有交㑹而不食者或有頻交而食者是也故循度則合於厯失行則合於占使日食而不可以常數求則無以課厯數之疎宻使日食而皆可以常數求亦何以占政教之休咎哉今以圎儀度日月之徑乃以月徑之半減入交初限一度半餘為闇虚半徑二徑相掩所減入限分數為斜射所差以得其數又日月交㑹自京師斜射而望之假中國食既則南方戴日之下所虧纔半月外反觀則交而不食故當歩九服日晷以定蝕分晨昏漏刻與地偕變則宇宙雖廣可以一術齊之矣其十二議五星謂嵗星自商周迄春秋之季率百二十餘年而超一次戰國後其行寖急至漢尚㣲差及哀平間餘勢乃盡更八十四年而超一次因以為常此其與餘星異也嵗星前後遲急率古今各有不同欲一術以求之則不可得大都五事感於下五緯變於上故王者失典刑之正則星辰為之亂行汨彛倫之序則天事為之無象當其亂行無象又可以厯紀齊乎故襄公二十八年嵗在星紀滛於𤣥枵至三十年八月始及娵訾之口越次而前二年守之晉永寧元年正月至閏月五星經天縱横無常永興二年四月丙子太白犯狼星失行在黄道南四十餘度永嘉三年正月庚子熒惑犯紫㣲皆天變所未有也終以二帝蒙塵天下大亂後魏神瑞二年十二月熒惑在瓠𤓰星中一夕忽亡不知所在崔浩以日辰推之曰庚午之夕辛未之朝天有隂雲熒惑之亡在此二日庚午未皆主秦辛為西夷今姚興據咸陽是熒惑入秦矣其後熒惑果出東井魏永平四年八月癸未熒惑在氐夕伏西方亦先期五十餘日雖時厯疎濶不宜若此夫日月所以著尊卑不易之象五星所以示政教從時之義故日月之失行也㣲而少五星之失行也著而多五星伏見之效皆係之於時而象之於政事㣲而象㣲事章而象章已示吉凶之象則又變行襲其常度不然皇天何以隂隲下民警悟人主哉近代筭者昧於象占者迷於數覩五星失行皆謂之厯舛雖七曜循軌猶或謂之天災終以數象相蒙兩喪其實故較厯必稽古今注記入氣均而行度齊上下相距反覆相求茍獨異於常則失行可知矣天竺厯以九執之情皆有所好惡遇其所好之星則趨之行疾捨之行遲亦此義也大衍厯演紀上元閼逢困敦甲子之嵗距開元十二年積九千六百九十六萬一千七百四十筭得甲子嵗通法三千四十乃一百六十章也䇿實百一十一萬三百四十二揲法八萬九千七百七十三轉終法六百七十萬一千二百七十九轉終日二十七餘千六百八十五秒七十九終數八億二千七百二十五萬一千三百二十二交終日二十七餘六百四十五秒千三百二十二以通法除䇿實得三百六十五日二十四刻四十四分七秒為嵗周以通法除揲法得二十九日五十三刻五分九十二秒為朔實以八十因通法得二十四萬三千二百以除轉終法得二十七日五十五刻四十六分一秒為轉終以通法除轉終日餘得數以加大餘亦得轉終以一百因通法得三十萬四千以除終數得二十七日二十一刻二二一一為交終以通法除交終日餘得數以加大餘亦得交終以歩五星嵗星終率百二十一萬二千五百七十九秒六熒惑終率二百三十七萬一千三秒八十六鎮星終率百一十四萬九千三百九十九秒九十八太白終率百七十七萬五千三十秒十二辰星終率三十五萬二千二百七十九秒七十二各以通法而一得木終日三百九十八日八十七刻四八火終日七百七十九日九十三刻五四土終日三百七十八日九刻二金終日五百八十三日八十九刻一四水終日一百一十五日八十八刻一四此僧一行大衍厯之所由作也自漢唐以來厯家惟一行最宻但不必一一附大衍耳盖厯原取象於大衍而非一一從大衍出也自後代乾坤鑿度出而謂厯出於大衍其載孔子言大衍日辰生厯律厯法四分度之一以卦爻䇿當嵗月日以歩章蔀紀元諸説皆非先天之文乃後人偽為之也何得援以為據使果可據則何至跬歩不可行夫厯莫疎於四分而猶以為孔子之言可乎則何可附也大都一行之厯原自測景觀象而得觀一行自言曰厯氣始於冬至稽其實取諸晷景也又曰日月合度謂之朔無所取之取之蝕也如嵗實乃測景所得者一行以通法乘嵗實為䇿實歸為氣積與四揲氣朔之母遯其八氣九精何關月䇿乃交蝕所得者一行以通法乘月䇿為揲法歸為朔積與半氣朔之母以三極乘參伍兩儀乘二十四變併之何預十九年七閏為一章一章二百三十五月四章為一蔀凡七十六年共計九百四十月以七十六年之九百四十月歸一蔀之日得月䇿與終合通大衍之母虧其地十以導潛龍之氣何渉二十五刻為半晝分至明也一行以通法乘二十五刻得七百六十為辰法且曰以三極參之倍六位除之其義何取滿十為日至明也一行以十除通法得三百四為刻法且曰以十位乘之倍大衍除之其義何居又以辰法齊於代軌刻法齊於徳運得天地出符之數七精返初之㑹此緯文也緯乃漢儒偽作謂為孔子語非其真也自有緯而落下閎始造太初厯以閏統元㑹得日法以五氣正餘凖大統俱屬乖謬漢厯皆依偽鑿度偽易緯以治厯以致終漢之世厯數不明一行達者而亦為是言他何望焉且各數以三千四十乘之復以三千四十歸之諸家日法胥同一轍則三千四十之數又何憑而出自章微之積耶故易曰大衍之數象四時象閏苐象之而已又曰乾坤之䇿三百六十當期之日厯三百六十有竒而止以三百六十當之亦取其象耳厯法之難正在竒數之分秒實窺測所得而非大衍所推也謂厯數合大衍之象則可謂厯數之分秒皆出於大衍則不可一行盡一一之數皆附於大衍亦大勞矣故章俊卿論大衍云一行倚大衍之數立推歩之法是一行求合於大衍非大衍合一行之數也且一行之十有二議發千古所未發詳且盡矣乃其中猶有一二可更訂者如中氣議一行厯引春秋以來南至以殷周厯并緯書及漢唐諸厯上下附合得此失彼然而不必然也春秋測驗不精書諸南至未必真的緯書與殷周六厯皆四分法不可為據漢唐以來日官所測晷率多遷就為之如祖冲之既失甲戌冬至以為加時太早便欲増小餘以附㑹之是也諸如此數何必一一與辯故授時厯云諸應随時測定不用元法是確論也一行於開元十二年十一月陽城測景癸未極長以授時歩開元十二年甲子嵗冬至一十九日八十九刻六十四分得癸未亥初二刻冬至脗合以斯驗授時之精逺考諸開元不〔？〕乃實測之效矣沒滅議其數是苐不必歸之揲扐卦議既謂京房卦爻錯亂不明則公中孚之類削之可也而未削至授時始削之為當耳日度議一行厯引古今日度合此失彼然亦不必然也盖古今日度未必真的率有附㑹如中氣然則何必一一與辯其歩仲康五年癸巳嵗九月庚戌朔日蝕則非是辯在尚書簡中是蝕一行以為五年虞鄺以為元年授時歩乃六年考殷時又多外丙二年仲壬四年一以為有一以為無不同又有謂太史公歩帝王厯年多差訛者然則古厯年之某嵗某甲子其真否未可知也授時歩仲康六年丁夘嵗九月辛巳朔日食其餘前後十餘年之九月朔俱不入食限夫既歩入仲康年入食限矣則不必計其元年與五六年也九道議引洪範傳言日有中道月有九行是矣上考乾鑿度先文曰日行一度坤鑿度先文引制靈經曰天有九道斯鑿度先文乃上古真書非若後文之假託者乃知洪範傳文本於乾坤鑿度之先文也日蝕議謂月或變行避日或五星濳在日下救日或有徳天為之𨼆雖交不食此皆無慿之論也謂在陽道陽盛不食然陽道自有歩陽八度法安得信為不食謂四時分至同道交食為常然分至言其行之中非其遇之中也遇而交則周天之辰無處不可豈有以分至為常者耶謂入交不食開元年二事則誠如其言法推開元十二年甲子嵗七月朔五十四日三十刻交二十六日得戊午日辰時日食十三年乙丑嵗十二月朔四十六日六十三刻交十四日得庚戌日申時日食是為當食不食日月失行之致然此㡬百年才一二見其變也而非其常也過此則仍復其常可以歩之千萬年亾易者七政皆然不獨日也若一行謂徳之動天不俟終日則逢君好諛之惡非所以為訓也唐道士邢和璞嘗謂尹愔曰一行其聖人乎漢時落下閎造厯云後八百嵗當差一日必有聖人正之今年期畢矣而一行造大衍正其差謬則落下閎之言信矣非聖人而何然據一行嵗差以三十六太布乾實與䇿實得每嵗嵗差一分二十秒九㣲乃八十三年差一度而非八百年差一日也在開元八十三年差一日在授時六十六年差一日此黄赤冬至嵗差也而嵗差之外復有消長一機一行未及言之所以大衍厯不百年而即差以歩至今其差益逺然授時之所以精於大衍者則以消長之數得也今以大衍授時大統三厯試參考焉大衍厯演紀積九千六百九十六萬一千七百四十筭以䇿實一百一十一萬三百四十三乘積筭得一百七萬六千六百七億八千九百二十七萬六千八百二十為中積分以通法除之得三百五十四億一千四百七十三萬三千三百一十四日七四三四為積日以爻數六十累除之餘一十四日七十四刻三十四分為天正冬至分大餘一十四得戊寅日小餘七十四刻三十四分得酉初三刻冬至置中積分以揲法八萬九千七百七十三累去之不盡之數餘四萬九千一百七為歸餘之卦以通法歸之得一十六日一十五刻三十六分為閏餘分以閏餘減冬至不及減加六十日減之得五十八日壬戌日五十八刻九十八分為天正經朔分大衍嵗實是測晷所得者一行以通法因之為䇿實以通法歸之為嵗實也大衍朔周三百五十四日三十六刻七一不盡是觀象所得者一行以揲法去䇿實餘三萬三千六十七為歸餘之卦以減䇿實餘一百七萬七千二百七十六日以通法而一為朔周也大衍月䇿是朔周以十二月分之者一行以通法歸揲法為月䇿也大衍嵗實較授時嵗實止多一十九分大衍月䇿較授時月䇿止少九十㣲然則一行厯氣朔誠甚宻而所少者止消長一事耳以授時上推開元十二年甲子嵗冬至至元辛巳五百五十七年推得二十萬三千四百四十日三十五刻一十秒為中積分減氣應得數為通積滿旬周去之得數以減旬周得十四日戊寅日七十刻九十分較大衍差三刻四十四分以大統厯上推開元十二年冬至得十四日戊寅日九十八刻七十五分較大衍差二十四刻三十九分以大衍厯下推至元辛巳距元九千六百九十六萬二千二百九十七筭得中積一百七萬六千六百一十四億七百七十三萬七千八百七十一積日三百五十四億一千四百九十三萬六千七百五十五日八十七刻八十六分得冬至五十五日己未日八十七刻八十六分較授時差八十一刻八十八分夫大衍稱親宻矣何差至八十餘刻則以消長之法未具也古今律厯考卷十六
## 卷十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷十七 明 邢雲路 撰歴代九歴代考唐書肅宗時山人韓頴上言大衍厯或誤帝令增益其術每節增二日作至徳厯代宗即位以至徳厯不與天合詔司天郭獻之復用麟徳元紀増損遲疾交㑹諸差以寫大衍舊術帝為製序題曰五紀厯演紀上元甲子距寶應元年壬寅積二十六萬九千九百七十八算通法千三百四十策實四十八萬九千四百二十八揲法三萬九千五百七十一乾實四十八萬九千四百四十二秒七十轉終分百三十六萬六千一百五十六交終分三億六千四百六十四萬三千七百六十七以通法除策實得三百六十五日二十四刻四七七六為歳實以通法除揲法得二十九日五十三刻○五九七為朔實以通法除乾實得三百六十五度二十五分五十三秒為周天以三十七乘通法得四萬九千五百八十以除轉終分得二十七日五十五刻四五七為轉終以萬因通法得一億三千四百萬以除交終分得二十七日二十一刻二二二一為交終以歩五星各以通法除終率得終日木終率五十三萬四千四百八十二秒三十六火百四萬五千八十八秒八十三土五十萬六千六百二十三秒二十九金七十八萬二千四百四十九秒九水十五萬五千二百七十八秒六十六木終日三百九十八日八十六刻七四火七百七十九日九十一刻七土三百七十八日七刻七金五百八十三日九十一刻七二水一百一十五日八十七刻九五五紀通法卽麟徳總法䇿實卽麟徳朞實揲法卽麟徳常朔實麟徳以十二乘總法得數以除變周得轉終五紀則以三十七乘通法得數以除轉終分得轉終麟徳以三因摠法得數以除遊交終率得交終五紀則以萬因通法得數以除交終分得交終其實一也其中稍有增減者不過遷就畸零小異之數耳所以一時偶與天合而久之復差也徳宗時五紀厯加時稍後天詔司天徐承嗣與夏官楊景風等雜麟徳大衍之㫖治新厯建中四年厯成名曰正元五年施行㑹朱泚之亂改元興元演紀上元甲子距建中五年甲子歳積四十萬二千九百算以五十七章十二年為通法通法千九十五䇿實三十九萬九千九百四十三揲法三萬二千三百三十六乾實三十九萬九千九百五十五歳差十二轉終分三億一百七十二萬一百三十二交終分二億九千七百九十七萬三千八百一十五以通法除䇿實得三百六十五日二十四刻四七五四為歳實以通法除揲法得二十九日五十三刻○五九三為朔實以通法除乾實得三百六十五日二十五刻五十七分以周歳除周天得歳差十二以一萬因通法除轉終分得二十七日五十五刻四三五為轉終以一萬因通法除交終分得二十七日二十一刻二二二為交終以歩五星各以通法除終率得周日木終率四十三萬六千七百六十秒四火八十五萬四千七秒七十九土四十一萬三千九百九十四秒六十三金六十三萬九千三百八十九秒二十八水十二萬六千八百八十八秒四半木周日三百九十八日八十六刻七六火七百七十九日九十一刻五七土三百七十八日七刻七二金五百八十三日九十一刻七一水一百一十五日八十七刻九四摠之皆五紀舊術也憲宗卽位司天徐昂上新〔？〕名曰觀象起元和二年用之測驗不合故有司無傳者至穆宗立以為累世纉緒必更〔？〕紀乃詔日官改撰〔？〕術名曰宣明其氣朔發歛日躔月離皆因大衍舊術改易其名謂通法曰綂法策實曰章嵗揲法曰章月起長慶二年敬宗至於僖宗皆遵用之訖景福元年長慶宣明〔？〕演紀上元甲子至長慶二年壬寅積七百七萬一百三十八筭外統法八千四百章嵗三百六萬八千五十五章月二十四萬八千五十七〔？〕周二十三萬一千四百五十八秒十九交率二十二萬八千五百八十二秒六千五百一十二以統法除章嵗得三百六十五日二十四刻四六四二為嵗實以統法除章月得二十九萬五十三刻○五九五為朔實以通法除〔？〕周得二十七日五十五刻四五四六為轉終以統法除交率得二十七日二十一刻二二二為交終以歩五星以統法除各周率得周日木周率三百三十五萬五百四十秒八十三火六百五十五萬一千二百九十五秒二十六土三百一十七萬五千八百七十九秒七十九金四百九十萬四千八百四十五秒八十五水九十七萬三千三百九十秒二十五木周日三百九十八日八十七刻三八火七百七十九日九十一刻六一土三百七十八日八刻○九金五百八十三日九十一刻○二水一百一十五日八十七刻九七論者謂大衍後法制簡易合望密近無能出其右者然摠之不出大衍法也穆宗以為累世纘緒必更〔？〕紀其言則非使〔？〕課不效宜更也則更之若果精宻舊貫豈不可仍何必改作易世更紀之說非通論也昭宗時宣明〔？〕漸差詔太子少詹事邊岡治新〔？〕其法皆大衍之舊餘雖不同亦殊塗而至者起景福二年頒用至唐終名崇𤣥〔？〕演紀上元甲子距景福元年壬子積五千三百九十四萬七千三百八通法萬三千五百乃七百一十章十年之嵗也嵗實四百九十三萬八百一朔實三十九萬八千六百六十三周天分四百九十三萬九百六十一秒二十四轉周分三十七萬一千九百八十六秒九十七交終分三十六萬七千三百六十四秒九十七以通法除嵗實得三百六十五日二十四刻四五一八卽嵗實以通法除朔實得二十九日五十三刻○五九三卽朔實以通法除周天分得三百六十五度二十五分六三卽周天以通法除轉周分得二十七日五十五刻四五九卽轉終以通法除交終分得二十七日二十一刻二二二卽交終以歩五星以通法除各星終率得各星周日木終率五百三十八萬四千九百六十二秒十一火千五十二萬八千九百一十六秒九十一土五百一十萬四千秒五十四金七百八十八萬二千六百四十八秒七十六水百五十六萬四千三百七十八秒九十七木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十一刻九七土三百七十八日八刻○四金五百八十三日九十刻水一百一十五日八十七刻九九岡用筭巧能立術簡捷雖仍大衍而皆變其名如策實曰嵗實揲法曰朔實乾實曰周天分之類明白使人易曉較之閉藏閃鑠者不同是可尚也其治晷度準陽城日晷前後消息加減得宜九服中晷各於其地立表候之在陽城之南之北者各有距差以加減陽城二至中晷九服所在各於其地置水漏以定漏率各以陽城二至晷漏母除之得加時黃道日躔交道有差其術甚善今大統〔？〕用北京之筭策布南京之晷度極差各異刻數不諧且不言九服晷漏之變為何如胥失之矣唐興二百八十年間厯遂八改查其氣朔轉交四事皆不甚相逺則何至動輙差也乃其大而消長之術未立細而加時之分未精所以朝後天夕先天彼減此加非多則少如聚訟然而又偏争妬勝謬亂其術如一積年也忽變而度忽變而日又忽變而紀或以三因或十二乘或三十七乘或又變而萬因或倍或歸諸如此胥改頭換面惟恐變之不幻暪之不嚴使人望如鬼魅不可測識後人尋緒不得便目司天為神聖厯數為絶學也而豈知其無他竒乎疇人推測多疵而又加以氣朔間有失行出於籌祘之外則益難捉摸也惟授時加時入細消長近親庶㡬效天其間畸零長短之數再一悉心測驗及時更正之則完羙矣五代史五代初用唐厯後諸家晉有調元厯周有明元厯萬分厯蜀有永昌厯正象厯南唐有齊政厯皆行之未久法故不傳惟周世宗欽天〔？〕差勝乃端明殿學士王朴所造朴制律〔？〕作律準以宣其聲其〔？〕以隂三陽二化成之數得諸法演紀上元甲子距周世宗顯徳三年丙辰嵗七千二十九萬八千四百五十二筭以七千二百為統法卽日法嵗率二百六十二萬九千七百六十軌率二百六十二萬九千八百四十四朔率二十一萬二千六百二十離率一十九萬八千三百九十三交率一十九萬五千九百二十七以統法除嵗率得三百六十五日二十四刻四四四為嵗周以統法除軌率得三百六十五度二十五分六十一秒為周天以統法除朔率得二十九日五十三刻○五五為朔實以統法除離率得二十七日五十五刻四五八為轉終以統法除交率得二十七日二十一刻二二八為交終以歩五星各以統法除周率得周日木周率二百八十七萬一千九百七十六火五百六十一萬五千四百二十二土二百七十二萬二千一百七十六金四百二十萬四千一百四十三水八十三萬四千三百三十五木周日三百九十八日八十八刻五五火七百七十九日九十一刻九七土三百七十八日八刻金五百八十三日九十刻八七水一百一十五日八十七刻九八大抵皆前人之術也而乃援闗朗易傳以立言觀其言曰立天之道曰隂與陽隂陽各有數合則化成陽之䇿三十六隂之䇿二十四奇偶相命兩陽三隂同得七十二何則隂陽之數合七十二者化成之數也化成則謂之五行之數五因之得朞數過之者謂之氣盈不及者謂之朔虚故以七十二為經法經者常用之法也百者數之節也隨法進退不失舊位謂之通法故以通法進經法二位得七千二百為統法朴意謂隂二十四三之為七十二陽三十六二之為七十二又十之為七百二十百之為七千二百皆闗子明易傳所出也夫黄鐘曰八十一大衍曰三千四十已屬牽附而朴陡出此數若曰自太極隂陽五行來也果爾以推天歩之分秒宜永乆勿壊胡乃行五年即先天耶空令陰陽無準太極負寃耳古今律厯考卷十七
## 卷十八
欽定四庫全書
古今律厯考巻十八 明 邢雲路 撰歴代十歴代考宋史宋初承五代王朴制律厯作律準以宣其聲太祖以雅樂聲髙詔有司考正太常寺和峴以西京銅望臬可校古法即司天臺影表銅臬下石尺是也及以朴所定尺比校短於石尺四分則聲樂之髙蓋由於此乃造新尺又以上黨羊頭山秬黍累尺校律自此雅音和暢宋初用周顯徳王朴欽天厯推驗稍疎乃詔司天監王處訥别造新厯賜名應天繼應天而作者曰乾元曰儀天曰崇天曰明天曰奉元曰觀天曰紀元迨靖康丙午百六十餘年而八改歴南渡後曰統元曰乾道曰淳熙曰㑹元曰統天曰開禧曰㑹天曰成天至徳祐丙子又百五十年復八改大率謂七十九年差一度測北極率以千里差三度有奇古今測驗止於岳臺而餘杭則東南相距二千餘里發歛晷刻豈能盡諧諸〔？〕法具在惟奉元㑹天二法不存舊史以乾元儀天附應天後以乾道淳熈會元附統元開禧成天附統天初應天漸差太平興國六年太宗命冬官正吳昭素造乾元〔？〕後以朔望有差咸平四年眞宗命司天監史序造儀天〔？〕宋史稱法有疎宻數有煩簡雖條例稍殊而綱目一也遂以應天乾元儀天三〔？〕合載於一冊建隆應天〔？〕演紀上元甲子距建隆三年壬戌嵗積四百八十二萬五千五百五十八太平興國乾元〔？〕上元甲子距太平興國六年辛巳嵗積三千五十四萬三千九百七十七咸平儀天〔？〕上元甲子距咸平四年辛丑嵗積七十一萬六千四百九十七應天乾元二〔？〕史載法率缺少亦有有法率而推之不合者故不必推二〔？〕旣因漸差改行儀天故推儀天〔？〕儀天宗法一萬一百乃五百三十一章一十一年之數也嵗周分三十六萬八千八百九十七合率二十九萬八千二百五十九乾元數三百六十八萬九千八十八厯終分二十七萬八千三百一秒一百六十五交終分二十七萬四千八百四十三秒二千二百七十九以宗法除歳周分得三百六十五日二十四刻四五五四為歳實以宗法除合率得二十九日五十三刻○五九四為朔實以宗法除乾元數得三百六十五度二十五分六十二秒以宗法除厯周得二十七日五十五刻四五五六為轉終以宗法除交終分得二十七日二十一刻二二歩五星三厯俱參差以考驗不精之故不可為據亦不復推縁五緯不協所以至仁宗初星曜有差其云七十九年差一度非一定宜隨時改云千里差三度有奇亦非一定宜隨地改乃協乾興初儀天星曜有差厯官宋行古議改厯天聖元年成仁宗命曰崇天厯演紀上元甲子距天聖二年甲子積九千七百五十五萬六千三百四十樞法一萬五百九十歳周三百八十六萬七千九百四十朔實三十一萬二千七百二十九周天分三百八十六萬八千六十五轉周分二十九萬一千八百三秒五百九十四交終分二十八萬八千一百七十七秒四千二百七十七以樞法除嵗周得三百六十五日二十四刻四五七為嵗實以樞法除朔實得二十九日五十三刻○五九四為月䇿以樞法除周天分得三百六十五度二十五分六十三秒為周天以樞法除轉周分得二十七日五十五刻四五八五為轉終以樞法除交終分得二十七日二十一刻二二二一為交終以歩五星以樞法除星周率得周日木周率四百二十二萬四千五十八火八百二十五萬九千三百六十六土四百萬三千八百七十二金六百一十八萬三千五百九十九水一百二十二萬七千一百七十木周日三百九十八日八十七刻二三火七百七十九日九十二刻一三土三百七十八日八刻○四金五百八十三日九十刻九二水一百一十五日八十八刻是〔？〕行四十年後天五十四刻英宗卽位殿中丞判司天監周琮言舊〔？〕氣節加時後天半日五星之行差半次日食之候差十刻乃作新〔？〕三年而成賜名明天厯演紀上元甲子距治平元年甲辰嵗積七十一萬一千七百六十筭元法三萬九千是二千五十二章十二年之數卽為日法以日法除嵗周一千四百二十四萬四千五百得三百六十五日二十四刻三五八九為嵗實以日法除朔實一百一十五萬一千六百九十三得二十九日五十三刻○五九為朔實周天三百六十五度二十五分六十四秒轉終二十七日五十五刻四六以交周五十二萬三千四百六十除嵗周得二十七日二十一刻二二為交終以歩五星以元法除終率得終日木終率一千五百五十五萬六千五百四火三千四十一萬七千五百三十六土一千四百七十四萬五千四百四十六金二千二百七十七萬二千一百九十六水四百五十一萬九千一百八十四木周日三百九十八日八十八刻四七火七百七十九日九十三刻六八土三百七十八日八刻三五金五百八十三日九十刻二四水一百一十五日八十七刻三九周琮論〔？〕謂氣朔交食使三千年間若應準繩而有前有後有親有疎者卽為中平之數取數多而不以小得為親宻乃至言也神宗熈寧七年甲寅嵗衞朴造奉元〔？〕行十八年至元祐壬申有差其術不存哲宗元祐七年皇居卿改造觀天〔？〕演紀上元甲子距元祐七年壬申積五百九十四萬四千八百八筭統法一萬二千三十乃六百三十三章三年之數也嵗周四百三十九萬三千八百八十朔實三十五萬五千二百五十三轉周分三十三萬一千四百八十二秒三百八十九交終分三十二萬七千三百六十一秒九千九百四十四以統法除嵗周得三百六十五日二十四刻三五五七為嵗實以統法除朔實得二十九日五十三刻○五九為月策以統法除轉終分得二十七日五十五刻四六六一為轉終以統法除交終分得二十七日二十一刻二一三五為交終以歩五星以統法除周率得周日木周率四百七十九萬八千五百二十六秒九十二火九百三十八萬二千五百六十秒七十六土四百五十四萬八千四百三十一秒八十五金七百二萬四千三百二十一秒三十四水一百三十九萬四千二秒七木周日三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻○二土三百七十八日九刻○七金五百八十三日九十刻○三水一百一十五日八十七刻七一行至崇寧冬至差徽宗崇寧二年癸未嵗姚舜輔造占天〔？〕行三年不效其術不存五年丙戌嵗復令姚舜輔改造紀元〔？〕演紀上元庚辰至崇寧五年丙戌積二千八百六十一萬三千四百六十六筭日法七千二百九十朞實二百六十六萬二千六百二十六朔實二十一萬五千二百七十八轉周分二十萬八百七十三秒九百九十交終分一十九萬八千三百七十七秒八百八十以日法除朞實得三百六十五日二十四刻三六二為嵗實以日法除朔實得二十九日五十三刻○五九為月策以日法除轉周分得二十七日五十五刻四六○八為轉終以日法除交終分得二十七日二十一刻二二二為交終以歩五星以日法除星周率得周日木周率二百九十萬七千八百七十九秒六十四火五百六十八萬五千六百八十七秒六十四土二百七十五萬六千二百八十八秒七十八金四百二十五萬六千六百五十一秒四十三半水八十四萬四千七百三十八秒五木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十二刻九六土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二六水一百一十五日八十七刻六六崇寧元年方外之士自云王其姓面作璣衡之制七政運行曲盡其妙著為成書惜金人入冦儀象盡歸於金可惜也髙宋建炎元年卽金天會五年金司天楊級始造大明厯然其所本不能詳究或曰因宋紀元厯而增損之也正隆間占候漸差乃命司天趙知㣲重修大明厯時孝宗淳熙七年金大定二十年也演紀上元甲子至大定二十年庚子八千八百六十三萬九千六百五十六年日法五千二百三十歳實一百九十一萬二百二十四分朔實一十五萬四千四百四十五分轉終分一十四萬四千一百一十秒六千六十六交終分一十四萬二千三百一十九秒九千三百六十八以日法歸歳實得三百六十五日二十四刻三五九四以日法歸朔實得二十九日五十三刻○五九二以日法歸轉終得二十七日五十五刻四六二以日法歸交終得二十七日二十一刻二二二三木星周三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻一六土三百七十八日九刻○三金五百八十三日九十刻一四水一百一十五日八十七刻六終金之世止用知微厯元初猶用之至授時始改宋太史候臺銅渾儀乃吏部勾當官韓公㢘所製公亷通九章勾股法以推天度撰九章勾股測驗渾天書一卷貯之禁中後失其傳故世無知者金旣取汴以輦致銅渾儀於燕汴至燕相去千餘里望筒取極星稍差移下四度纔得之明昌六年龍擊渾儀摧落旋營緝之貞祐南渡遂委而去吁嗟神物之成敗數也自時厥後遂無制渾儀如公亷之精巧者勾股測驗法郭守敬之割員是其術也今可倣而行之遼史大明厯卽劉宋祖冲之大明厯古今律厯考卷十八
## 卷十九
欽定四庫全書
古今律厯考巻十九 明 邢雲路 撰歴代十一歴代考宋史(南渡)髙宗時中原既失星翁離散紀元厯亡紹興二年髙宗重搆得之乃命常州布衣陳得一改造統元厯賜得一通微處士厯雖頒行有司不善用之暗用紀元法推歩推得乾道三年丁亥歳十一月甲子朔裴伯夀陳統元法當進作乙丑於是依紀元正之光州士人劉孝榮言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分旣而精明不食是年孝宗命劉孝榮治厯孝榮言統元厯差采五代民間萬分厯作三萬分以為日法造乾道厯時談天者各以技術相髙互相詆毁紛紛不已至淳熙三年因推太陽不合仍命孝榮改造新厯賜名淳熙淳熙末驗合朔差光宗紹熙二年詔改新厯仍命孝榮為之賜名會元四年布衣王孝禮言今年十一月冬至日景表當在十九日壬午會元歷註乃在二十日癸未係差一日崇天歷癸未日冬至加時在酉初七十六分紀元歷在丑初一刻六十七分統元歷在丑初二刻二分會元歷在丑初一刻三百四十分陳得一造統天歷劉孝榮造乾道淳熈㑹元三歷皆未嘗測景茍弗立表測景莫識其差乞遣官以銅表同孝禮測驗朝廷雖從未暇改作慶元四年會元歷占候多差日官草澤互有異同舊歷後天十一刻詔楊忠輔造新歷五年歷成賜名統天是年六月乙酉朔推日食不驗嘉泰二年五月甲辰朔日食草澤趙大猷言午初三刻日食詔太史與草澤聚驗於朝太陽午初一刻起虧未初刻復滿大猷言然統天歷先天一辰有半迺罷楊忠輔詔草澤有通歷者應聘修治開禧三年大理評事鮑澣之言統天歷氣朔五星皆立虚加虚減之數氣朔積分乃有泛積定積之繁其餘差漏不可備言楊忠輔今見統天歷舛私成新歷容臣與太史草澤諸人所著歷參攷之檢討曾漸亦言乾道淳熈慶元三歷皆出劉孝榮一人之手後為楊忠輔所勝乆之亦差願以諸歷下本省參攷以最近者頒用於是改定新歷成歷名開禧詔以戊辰年權附統天歷頒之於是開禧附統天行於世四十五年嘉定十一年太史局推測七月朔日食一分驗之不食淳祐十一年侍御史陳垓言淳祐十年冬頒十一年歷稱成永祥等依開禧新厯推筭辛亥嵗十二月十七日立春在酉正一刻今所頒厯乃相師堯等依淳祐新厯推筭到壬子嵗立春日在申三刻質諸前歷乃差六刻以此頒行天下豈不貽笑四方且開禧舊歷僅差一二刻而李徳卿造淳祐新歷差六刻餘與今前後兩歷俱差六刻十二年秘書省言李徳卿歷與譚玉進會天歷各有得失請商確推筭合衆長而為一然後賜名頒行十二年歷成賜名會天寳祐元年行之史闕其法咸淳六年十一月三十日冬至至後為閏十一月旣已頒歷浙江安撫司準備差遣臧元震言十九歳為一章至朔同日謂之章月今以十一月三十日為冬至又以冬至後為閏十一月自淳熙壬子至淳熙庚午凡十九年是為章歳以十九年七閏推之則閏月當在冬至前不當在冬至後以至朔同日論之則冬至當在十一月初一日不當在三十日震儒者豈欲與厯官較勝負既知其失安得黙而不言耶於是朝廷下之有司遣官偕元震與太史局辯正而太史之詞窮元震轉一官判太史局鄧宗文譚玉等各降官有差因更造厯六年成七年頒行即成天厯也徳祐之後陸秀夫擁立益王走海上命鄧光等作厯賜名本天厯今亡統元乾道淳熙㑹元四厯史合為一册統元厯陳得一造演紀上元甲子距髙宗紹興五年乙卯積九千四百二十五萬一千五百九十一元法六千九百三十歳周二百五十三萬一千一百三十八朔實二十萬四千六百四十七轉周分一十九萬九百五十三秒二千五百六十三交終分一十八萬八千五百八十秒六千四百五十以元法除嵗周得三百六十五日二十四刻三五七八為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九一為月䇿除轉周分得二十七日五十五刻四五八五為轉終除交終分得二十七日二十一刻二二一四為交終以歩五星以元法除終率得周日木終率二百七十六萬四千二百三十八秒三十二火五百四十萬四千八百四十六秒三十九土二百六十二萬九十四秒三十三金四百四萬六千四百九十六秒三十三水八十萬三千四十八秒八十三木周日三百九十八日八十八刻七九火七百七十九日九十二刻○一土三百七十八日七刻九九金五百八十三日九十一刻水一百一十五日八十八刻乾道歷劉孝榮造演紀上元甲子距孝宗乾道三年丁亥積九千一百六十四萬五千八百二十三元法三萬朞實一千九十五萬七千三百八朔實八十八萬五千九百一十七秒七千六轉周分八十二萬六千六百三十七秒七千三百九十五交終分八十一萬六千三百六十六秒六千三十四以元法除朞實得三百六十五日二十四刻三六為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九二為月䇿除轉周分得二十七日五十五刻四五九為轉終除交終分得二十七日二十一刻二二二為交終以歩五星以元法除終率得周日木終率一千一百九十六萬六千五百八十一火二千三百三十九萬一千九百八土一千一百三十四萬二千七百四十六金一千七百五十一萬六千八百七十二水三百四十七萬六千二百八十四木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日七十三刻○二土三百七十八日九刻一五金五百八十三日八十九刻五七水一百一十五日八十七刻六一淳熈歷劉孝榮造演紀上元甲子距孝宗淳熈三年丙申積五千二百四十二萬一千九百七十二元法五千六百四十嵗實二百五萬九千九百七十四朔實一十六萬六千五百五十二秒五十六轉周分一十五萬五千四百七秒九千七百四十交實一十五萬三千四百七十六秒九千五百四十六以元法除嵗實得三百六十五日二十四刻三六一七卽嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九五為月䇿除轉周分得二十七日五十五刻四六為轉終除交實得二十七日二十一刻二二二六為交終以歩五星以元法除周實得周日木周實二百二十四萬九千七百一十五秒六十五火四百三十九萬八千八百一秒六千五土二百一十三萬二千四百二十八秒六金三百二十九萬三千二百七十秒五十水六十五萬三千五百四十五秒五十三木周日三百九十八日八十八刻五六火七百七十九日九十二刻九三土三百七十八日九刻金五百八十三日九十一刻三一水一百一十五日八十七刻六七會元厯劉孝榮造演紀上元甲子距光宗紹熈二年辛亥積二千五百四十九萬四千七百六十七統率三萬八千七百氣率一千四百一十三萬四千九百三十二朔率一百一十四萬二千八百三十四轉率一百六萬六千五百六十一秒七千三百一十交率一百五萬三千一百一十二秒二千一百四十以統率除氣率得三百六十五日二十四刻三七二為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九四為月策除轉率得二十七日五十五刻四五六六為轉終除交率得二十七日二十一刻二二○二為交終以歩五星以元法除周率得周日木周率一千五百四十三萬六千八百三十四秒九十八火三千一十八萬三千二百六十八秒八十七土一千四百六十三萬二千一百四十七秒七十一金二千二百五十九萬七千三十九秒三十七水四百四十八萬四千四百四秒四十三木周日三百九十八日八十八刻四六火七百七十九日九十二刻九四土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十一刻三三水一百一十五日八十七刻六統天開禧成天三厯史合為一冊統天厯楊忠輔造演紀上元甲子距寧宗慶元五年己未積三千八百三十五䇿法一萬二千嵗分四百三十八萬二千九百一十餘六萬二千九百一十朔實三十五萬四千三百六十八轉實三十三萬六百五十五交實三十二萬六千五百四十七以䇿法除嵗分得三百六十五日二十四刻二五為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○六六六為月䇿除轉實得二十七日五十五刻四五八三為轉終除交實得二十七日二十一刻二二五為交終木星周日三百九十八日八十八刻四九火七百七十九日九十二刻九六土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二七水一百一十五日八十七刻六二開禧厯鮑澣之造演紀上元甲子距寧宗開禧三年丁卯積七百八十四萬八千一百八十三日法一萬六千九百嵗率六百一十七萬二千六百八朔率四十九萬九千六十七轉率四十六萬五千六百七十一杪五千三百九十六交率四十五萬九千八百八十六秒四千八百二十五以日法除嵗率得三百六十五日二十四刻三○七六為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九二為月策除轉率得二十七日五十五刻四五八八為轉終除交率得二十七日二十一刻二二一七為交終以歩五星木星周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十二刻九二土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二七水一百一十五日八十七刻六成天歷臧元震造演紀上元甲子距度宗咸淳七年辛未積七千一百七十五萬八千一百四十七日法七千四百二十嵗率二百七十一萬一百一朔率二十一萬九千一百一十七轉周分二十萬四千四百五十五秒二千四百六十交終分二十萬一千九百一十四秒七千五十一以日法除嵗率得三百六十五日二十四刻三九三五為嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九三為月䇿除轉周分得二十七日五十五刻四六三一為轉終除交終分得二十七日二十一刻二二三為交終以歩五星木星周日三百九十八日八十八刻五七火七百七十九日九十二刻九土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二六水一百一十五日八十七刻五九史稱孝宗乾道三年丁亥嵗有司不善用統元厯暗用紀元法推是年十一月甲子朔裴伯壽陳統元法進作乙丑朔於是依統元正之以授時推是年冬至二日六十四刻閏餘二日三刻經朔○日六十一刻加差一十六刻定朔○日七十七刻是十一月朔甲子酉正一刻合朔冬至非乙丑朔也葢由陳得一所立嵗實餘分强轉終餘分弱以積九千餘年用之遂加轉刻數嬴長進作乙丑日矣有司用紀元為是卽此見紀元愈於統元豈有司不善用耶劉孝榮言是年四月朔日食一分日官言食二分旣而精明不食以授時推是年四月朔交泛十三日九十九刻入食限定朔四日六十七刻得戊辰日申時日食是年卽金大定七年金史書是日日食金主避正殿減膳伐鼓應天門内百官各於本司庭立明復乃止夫曰庭立明復乃止則眞見其食與復圓也然則宋何以不食葢宋臨安偏南金偏北月食在隂厯故金見其食而宋不見也所推一分二分歩筭少差耳授時乃燕京治厯益偏東北故推當食職此故也亦何異之有諸人考校氣朔晷刻交食分秒黃赤星躔多少參差連篇累牘甲乙不決互相詆毁不知皆由地里南北不一諸人所用歷術不齊或偶中者溷正旋改者射覆競取功名互相下石如是而已劉孝榮采五代民間萬分歷作三萬分為日法乃三因萬分小歷作三萬分以隱萬分之名其實三萬分歷卽萬分歷朝四暮三之說也緣朔餘太强孝榮遂減其分乃增入秒曰秒七千六從古朔餘有秒數乎紹熈四年布衣王孝禮言十一月日景表當在十九日壬午會元注在二十日癸未崇天在癸未酉初刻七十六分紀元在丑初一刻六十七分統元在丑初二刻二分會元在丑初一刻三百四十分以授時推是年冬至分一十八日九十五刻得壬午日亥時正三刻冬至夫以孝禮親測晷景壬午日食非臆說也而授時適與之合崇天等歷則皆以未嘗測景之故未嘗測景而謬定嵗實所以皆失之後天皆加至次日此授時從測景来所以獨優也史稱慶元五年六月乙酉朔推日食不驗以授時推是年正月朔交泛二十七日一十刻定朔二十九日六十四刻得癸巳朔申時日食以歩至六月經朔五十七日五十四刻得辛酉無乙酉六月交泛一十一日四十刻不入食限七月經朔二十七日七刻得辛卯無乙酉七月交泛一十四日八入食限六月七月俱無乙酉七月入限而又非其日無一可者何食之有楊忠輔之誤推也史稱嘉泰二年五月甲辰朔日食草澤趙大猷言午初三刻日食驗之午初一刻起未初刻復滿大猷言然統天先天一辰有半乃罷楊忠輔以授時推是年五月朔交泛一十三日三十刻入食限定朔四十日四十九刻得甲辰日午初三刻合朔日甚則起虧午初復滿未初與大猷所言天行所至若合符節楊忠輔其何說之辭史稱嘉定十一年七月朔日食一分驗之不食以授時推是年七月朔交泛一十四日三十刻入食限定朔六日四十九刻得庚午朔午時日食然食止一分臨安偏南不見其食亦不為差史言淳祐十一年十二月十七日立春開禧厯筭酉正一刻淳祐等歷筭申三刻謂相差六刻有竒以授時筭是日立春分八日六十八刻得壬申日申正一刻立春則淳祐為近開禧為遠也葢授時較宋時測驗日晷無差則依授時為宻咸淳六年會天歷推冬至至後為閏十一月旣已頒歷臧元震歷辯以章月至朔同日論之應冬至前閏十月不應冬至後閏十一月應以十一月初一日為冬至不應以十一月三十日為冬至與太史局辯正而太史之詞窮以授時推咸淳六年嵗前天正閏餘一十八日六十九刻應閏十月至十一月朔日閏月已過閏餘止四刻餘是日冬至分二日六十三刻得丙寅申初初刻冬至經朔二日五十九加差一十九刻五十分以加經朔為定朔二日七十八刻得丙寅日酉正三刻合朔乃是十一月丙寅朔申時冬至酉時合朔正為章月至朔同日臧元震之言是也㑹天誤矣然後知宋厯之多差而授時為宻也元史元初承用金大明歷庚辰嵗太宗西征五月望月蝕不效二月五月朔微月見於西方南中書令耶律楚材以大明歷後天乃更撰歷推上元庚午七政同會虚宿六度以應太祖受命之符又以西域中原地里殊遠創為里差遂題其名曰西征庚午元歷表上之然不果頒用至元四年西域扎瑪里迪音撰進萬年歷世祖稍頒行之萬年法未傳庚午元歷演紀上元庚午距太宗庚辰積二千二十七萬五千二百七十筭日法五千二百三十嵗實一百九十一萬二百二十四朔實一十五萬四千四百四十五周天度三百六十五度二十五分六十七秒轉終分一十四萬四千一百一十秒六千二十交終分一十四萬二千三百一十五秒九千三百以日法除嵗實得三百六十五日二十四刻三五九四卽嵗實除朔實得二十九日五十三刻○五九二七為月策除轉終分得二十七日五十五刻四六○八為轉終除交終分得二十七日二十一刻二二二四為交終木星周日三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻一六土三百七十八日九刻○二金五百八十三日九十刻一四水一百一十五日八十七刻六史云楚材損節氣之分然嵗實仍舊未嘗損也其餘諸率雖微有增減其實皆大明歷之舊亡異術耳至元十三年元世祖詔中書左丞許衡太子贊善王恂都水少監郭守敬改治新厯衡等以為金雖改厯止以宋紀元厯㣲加増益實未嘗測驗於天乃與南北日官參考累代厯法測候日月星辰消息運行之變叅别同異酌取中數以為厯本十七年冬至厯成賜名授時十八年頒行天下自古及今其推驗之術獨此為宻近者後元順帝亡併其厯官厯術俱没入沙漠中我朝存其餘法而失其本源洪武初遭元統改易溷亂其術遂使至今疇人布筭多所舛錯余乃因元史之舊編稽前代之故實繹其端緒驗諸象緯以詳著於篇至其郭守敬之術所未備併所差失者余悉補葺訂正厯乃完矣詳見後古今律厯考卷十九
## 卷二十
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十 明 邢雲路 撰歴代日食一歴代日食厯西漢漢史載漢髙帝三年丁酉嵗十月甲戌晦日食在斗二十度十一月癸夘晦日食在虛三度置所求距筭以授時嵗實乘之得五十四萬二千○二十一日九十四刻七十六分為中積以氣應減中積滿旬周去之不盡以減旬周餘一十三日一十一刻二十四分為冬至置中積減閏應餘五十四日三千○一日七十四刻二十六分滿朔實去之不盡以減朔實餘二日七十六刻一十三分二十二秒為閏餘(即縮厯)置冬至減閏餘餘一十○日三十五刻一十○日七十八秒為經朔置中積減轉應加閏餘滿轉終去之不盡以減轉終餘一十四日八十四刻八十一分七十八秒以轉中去之餘一日○七刻○八分七十八秒為遲厯以縮遲二厯推得加差一十一刻五十一分加入經朔得一十○日四十六刻為定朔是甲戌日午初刻合朔置中積減交應加閏餘滿交終去之不盡以減交終餘一十四日四十刻為天正交泛分入食限置中積減周應滿周天去之不盡以減周天餘三百三十五度二八九九以虚六度筭外得斗二十二度為冬至赤道度查天正閏餘二日有竒減回二度有竒則朔日在斗二十度漢史合(宿度既合以後不復推)是十一月甲戌朔午時日食非十月甲戌晦食亦無十一月癸卯晦之比食也盖漢初厯久失次未置厯官不知是年冬至之前應閏八月而未置閏故以十月為十一月及過此見天星漸移方補一閏始悟十月乃十一月也其原紀十月甲戌晦遂改為十一月甲戌晦然又恐未的也乃併十月晦兩存之前月既繫以戌則次之應癸酉者不得不繫之卯併繫之虚吁亦大勞矣實十月晦即十一月朔食為是而前後月皆不入交不應食也後修史者見漢厯兩存其食遂目為比食不知六月一交萬無比食之理而日食即朔亦無晦食之説也綱目書法云自癸丑書日食至是四十五年然後復書秦政代立以來至於國亡乃皆未嘗日食豈秦之德有以勝妖歟日君象也秦閏位也其不足以當天審矣綱目書日食三百六十七而一歲再食者二十五其間連月而食者二而已是年漢文帝三年一歲三食者不與焉此言皆非也從古未有四十餘年不日食者秦日官失之故不書或秦暴厭天災而不書也一歲再食正六月一交之應食也連月之食厯官交載而兩存之非其實也至又疑以一歲三食之説耶何不併其一歲四食五食而疑之高帝九年癸卯歲六月乙未晦日食置所求距筭以歲實乗之得二千一百九十一日四六三四為中積分加氣應滿旬周去之餘四十四日五七五八為冬至置中積加閏應滿朔實去之餘八日九六○八為天正閏餘置冬至減閏餘餘三十五日六一四九為天正經朔置中積加交應減閏餘滿交終去之餘二十二日六九三四為天正交泛置中積加轉應減閏餘滿轉終去之以減轉中餘九日五二一三為天正遲厯置天正經朔加八朔實滿紀法去之餘三十一日八五九七為七月經朔置天正交泛加八朔實滿交終去之餘一十四日○二為七月交泛入食限置八朔實減閏餘以減半歲周餘四十四日六六為七月朔縮初厯置天正遲厯加八轉差滿轉中去之餘一十一日五五為七月朔疾厯以縮疾二厯法推得三十八刻七九為減差以減經朔餘三十一日四七一八為定朔筭得七月乙未朔午初刻合朔(以後從此推得止具交朔二條)是七月乙未朔午時日食非六月乙未晦惠帝七年癸丑歲正月辛丑朔日食十二月交得一十三日一五入食限十二月朔得七日三九辛未巳時合朔推得是年十一月閏餘分二十九日有竒是月二十九日冬至即閏十一月漢厯失一閏遂以十二月朔誤作次年正月朔然實是惠帝六年壬子歲十二月辛未朔日食也以法推十二月初一辛未合朔非辛丑前而閏十一月朔辛丑交泛十日有竒後而正月朔庚子交泛一十五日有竒皆不入食限漢厯誤推正月日食過此見天星漸移覺失一閏方補一閏既補矣若曰前所誤之正月乃十二月也十二月朔宜辛未既移一月則宜改辛未為辛丑是已誤而又誤矣夫以六年季冬之朔日為七年春正之元旦三朝享獻誤行典禮履端序愆已屬謬戾漢史載谷永占歲首正月朔日是為三朝尊者惡之綱目書法云日食三朝大變也書正月朔日食始此綱目書正月朔日食二十八有應者二十可畏哉是年食八月大䘮其他李淳風等所纂乾坤變異錄觀象玩占等書俱云是年正月日食八月帝崩之應至今司天家祖述之豈知是蝕之非正旦也則占者又何取焉惠帝七年癸丑歲漢史書五月丁卯先晦一日日食綱目書五月日食不言晦朔六月交二十七日○六入食限六月朔三日六四丁卯申時是六月丁卯朔申時日食漢厯誤以六月朔作五月晦之先一日綱目見其先朔二日也遂不書日劉向以為五月微隂始起而犯至陽其占重至其八月宫車晏駕有吕氏詐置嗣君之害京房易傳曰凢日食不以晦朔名曰薄人君誅將不以理或賊臣將暴起日月雖不同宿隂氣盛薄日光也夫曰日食召變誠是而劉向以五月微隂為言則非盖既非五月則微隂何取耶凢日食必朔以法推之即食晦亦無則豈有先晦一日之理漢厯誤推至隔二日已屬差誤乃京房遂以私意命名為薄食而斷之以事應何太謬也又云日月不同宿為隂氣盛薄日光豈知六月朔申刻日月同宿而食本自不忒何嘗先二日而薄食也夫天道談何容易堯曰欽若昊天敬授人時仲康征羲和不少貸京房等闇於厯數而妄談禍福以惑人書之史册遵為蓍蔡若不校讐訂正幾何而不誤萬世也高后二年乙卯歲六月丙戌晦日食法推七月朔不入食限前後月朔亦不入食限不宜食也想當時誤推在册至日見其未食且疑之故漢史但書丙戌食而不記其在何宿度其誤可知矣高后七年庚申歲正月己丑晦日食二月交二十六日六八入食限二月朔二十五日○五己丑午時是二月己丑朔午時日食非正月己丑晦文帝二年癸亥歲十一月癸卯晦日食十二月交二十六日一九入食限十二月朔三十九日五五癸卯未時是十二月癸卯朔未時日食非十一月癸卯晦文帝三年甲子歲十月丁酉晦日食十一月丁卯晦又食十一月交二十六日八入食限十一月朔三十三日四四丁酉巳時是十一月丁酉朔巳時日食非十月丁酉晦亦無十一月丁卯晦之比食也盖冬至前應閏而漢厯失一閏故以十月為十一月及過此見天星漸移方補一閏始悟十一月乃十月也其原紀十一月丁酉晦遂改為十月丁酉晦然又恐未的也乃併十一月晦兩存之十月既繫以丁酉則十一月之應丁酉者不得不繫之以卯此與高帝三年比食之誤同(是年文帝下詔罪已求言稱十一月晦豈知是朔非晦也)文帝後四年辛巳歲四月丙辰晦日食六月交一十二日八五入食限六月朔二十一日五乙酉午時是六月乙酉朔午時日食非四月丙辰晦盖六月前不應閏而漢書豫置一閏過此覺其差也減去一閏遂改五月為四月五既為四則併其丙戌而移之丙辰矣不知實丙戌前一日六月乙酉朔日食也文帝後七年甲申嵗正月辛未朔日食法推是年正月朔交五日四十刻不入食限前後月皆不入食限日不應食漢史書七年正月辛未朔日食而不書其宿度此必厯官誤推是食既而見其不食也遂删其宿度通鑑綱目不書是食亦因漢史删之故修史者不載景帝三年丁亥歲二月壬午晦日食三月交一十四日一八入食限三月朔一十八日二三壬午卯時是三月壬午朔卯時日食非二月壬午晦漢史書二月壬午晦盖誤以三月朔為二月晦也綱目書正月壬午晦日食則非矣歩正月晦二月朔無壬午亦不入食限景帝四年戊子嵗十月晦日食推戊子嵗前丁亥嵗十一月朔交泛五日五十一刻不入食限推戊子嵗後十一月朔交泛八日四十四刻亦不入食限俱不應食是年漢史無日食而綱目書四年冬十月晦日食書於春夏之後且云太初以前皆以冬十月建亥為歲首此年及中四年皆先書春夏後書冬錯簡也班史同考漢史不書食而綱目書食夫事一本之史史無而綱目有從何處來也若以為歲首建亥天正在戊子前丁亥歲耶而丁亥不入食限若以為先書春夏後書冬天正在戊子冬耶而戊子冬亦不入食限無一可者綱目誤矣景帝七年辛卯歲十一月庚寅晦日食十二月交一十四日二九入食限十二月朔二十六日三八庚寅巳時是年閏餘二十九日二刻有竒即閏十一月歩至十二月初一得庚寅日巳時日食非十一月庚寅晦也漢史十一月上少一閏字景帝中元年壬辰歲十二月甲寅晦日食法推是年十二月晦併正月朔俱無甲寅亦不入食限漢厯不書宿度是誤推暗削之故通鑑綱目亦不載是食景帝中二年癸巳歲九月甲戌晦日食法推是年九月晦併十月朔無甲戌推在夜食亦非應食之日故漢厯不書宿度誤推暗削綱目不知亦誤書景帝中三年甲午歲九月戊戌晦日食幾盡十月交一十四日四一入食限十月朔三十四日六三戊戌申時是十月戊戌朔申時日食非九月戊戌晦也漢厯不載宿度者筭皆不食而此書食在尾且云食幾盡是彼時真見其食矣今筭之則果食不爽可見不書宿度者厯官誤推在册至期見其不食遂删其宿度而猶存其名交戰於胷中無可柰何之故也景帝中四年乙未嵗十月晦日食(見綱目史無)法推景帝中四年乙未嵗天正前十月十一月皆不入食限天正後十月十一月皆不入食限是厯官誤推暗削之故綱目不知書是年日食舊綱目書五年冬十月日食新綱目書四年冬十月日食且云夏蝗當在日食下又云五年當書夏蝗上夫事一本之史史無而綱目有從何來耶且兩書異年自相紊亂且不標晦朔其無據可知矣景帝中六年丁酉歲七月辛亥晦日食八月交一十三日九二入食限八月朔四十七日三六辛亥辰時是八月辛亥朔辰時日食非七月辛亥晦景帝後元年戊戌歲七月乙巳先晦一日日食八月交一十四日五三入食限八月朔四十一日六三乙巳申時是八月朔乙巳申時日食非七月先晦一日武帝建元二年壬寅歲二月丙戌朔日食推壬寅正月二月三月朔皆無丙戌皆不入食限漢厯之誤推也漢唐秘史載建元二年十月朔日食十月交二十六日二三入食限十月朔一十七日○七辛巳申時推是年十月初一辛巳申時合朔去交分入食限日應食是食漢史不載通鑑綱目亦不載查漢唐秘史載二年十月朔日食且史曰秘其所紀多出於史鑑之外者必内府秘藏之實錄也所載日食斷非無因必彼時仰見天象有食而秘紀之者漢厯誤筭二月候之不食其十月之應食厯官失筭若輩詆日月為亂行未可知遂存其偽而去其真矣不然何以布法筭與秘史穏合不爽耶大都半載一交十月食則前此宜四月交又何惑乎二月之不交而食也漢厯二月朔食之誤無疑矣建元三年癸卯歲九月丙子晦日食十月交二十六日八四入食限十月朔一十二日三四丙子辰時是十月朔丙子辰時日食非九月丙子晦建元五年乙巳歲正月己巳朔日食推是年正月朔不入食限漢史不書宿度暗削之故通鑑綱目亦不書是食元光元年丁未歲二月丙辰晦日食七月癸未先晦一日日食日中時食從東北過半晡時復推是年三月朔不入食限漢史不書宿度暗削之故通鑑綱目亦不書是食七月經朔二十○日○八刻九三減差五十三刻九三七月朔交二十六日九十五刻入食限七月定朔一十九日五十五刻癸未日未時推是年七月初一癸未日合朔日食非七月癸未先晦一日也盖是年閏三月漢厯失一閏故誤以七月朔為七月晦且云先晦一日益謬矣盖漢厯止慿張蒼等約以章蔀大槩歩厯一平朔且猶未定即有平朔而無加減多差至七十刻况無平朔乎且漢厯朔實過分每以朔加之次月一二日則無恠其晦食之多也即是食之經朔在甲申日丑時以縮疾之七度有竒減回五十餘刻便食於癸未日未時矣此不彰明較著者乎綱目見其先晦一日遂不書晦朔豈知七月朔日月同度而食時刻不爽何嘗先晦一日食也未時合朔則從日中時食過半晡時復良是其云從東北過則非盖月自西來從西而東過無從東過之理也即此七月朔食則前此連閏應二月朔交非二月盡之三月初也其二月晦食之誤益見元朔二年甲寅歲二月乙巳晦日食三月交二十六日五七入食限三月朔四十一日五三乙巳午時是三月乙巳朔午時日食非二月乙巳晦漢史書二月晦盖誤以三月朔為二月晦也綱目書三月晦則非矣元朔六年戊午歲十一月癸丑晦日食推是年十一月晦併十二月朔無癸丑亦不入食限漢史書食而不記其宿度亦誤推暗删之故所以綱目不書是食元狩元年己未歲五月乙巳晦日食六月交一十三日九九入食限六月朔四十一日四四乙巳巳時是六月乙巳朔巳時日食非五月晦京房易傳推以為是時日食從旁右法曰君失臣明年丞相公孫𢎞薨日食從旁左者亦君失臣不知凡日食俱從旁右無從旁左之理元鼎五年己巳歲冬十一月朔冬至親郊見法推是年冬至一十五日五五經朔四十六日六三次月經朔一十六日一六疾度四度三八推得是年閏十月初一日庚戌十一月初一日己卯未時冬至戌時合朔盖是年冬至之次日經縮一十六日一十六刻在庚辰丑時而以疾度之四度三十八分減囘則在己卯日戌時合朔而冬至適與朔㑹矣然前月無中氣宜閏十月也通鑑綱目書十一月朔冬至合元鼎五年己巳歲四月丁丑晦日食五月交二十七日三五入食限五月朔一十三日五七丁丑未時是五月丁丑朔未時日食非四月晦元封四年甲戌歲六月己酉朔日食法推是年六月朔無己酉亦不入食限漢史不書宿度誤推暗削故綱目亦不書是食太初元年丁丑歲冬十一月甲子朔旦冬至祀明堂冬至五十七日五三閏餘二十七日三六經朔三十○日一六減差四十三刻七定朔二十九日七二癸巳日酉時合朔十二月經朔五十九日六九減差三十八刻八定朔五十九日三○五癸亥日辰時合朔法推太初元年十一月甲午日寅時經朔以減差減之得癸巳日酉時合朔是十一月癸巳朔也以歩至二十九日辛酉午時冬至再推十二月癸亥日辰時合朔是十二月癸亥朔也次日則甲子矣漢太初鄧平唐都落下閎等未經測驗止慿章蔀大畧之術以求氣朔且是年閏餘二十七日三十六刻應閏二月天正之前不應閏而平等誤置一閏遂以十二月為十一月而曰十一月甲子朔冬至無餘分為厯元不知十一月癸巳朔非甲子也十一月二十九日辛酉冬至非朔旦也十二月癸亥朔非十一月朔甲子也十二月二日甲子非朔日也漢厯誤以前月二十九之冬至而加於後月之朔以後月二日之甲子而加於天正之朔舛也甚矣盖漢厯推歩失之後天故氣過二三日尚不覺所以日食多在晦也漢厯日食之晦余推皆朔明甚兹豈口説之滕胥乃實詣之數此可與司天氏持籌道之也綱目書法云元鼎五年書十一月朔冬至親郊見矣不書某甲子於是祀明堂則書甲子朔旦何重厯紀也至朔同日常也甲子朔旦冬至非常也故特書之夫以非常之厯紀舉非常之祀典且以氣朔同日定千古厯元斯豈細事而豈知是朔之非甲子也以此明堂事天天神享之乎元鼎五年朔旦冬至實是己卯親郊禮也去兹才八年鄧平等首出治厯而反違至二三日則嗣是先時後時朔悉為晦無論欽天曷以授時厯元云乎哉太始元年乙酉歲正月乙巳晦日食二月交一十四日一九入食限二月朔四十二日三三丙午辰時推得是年二月丙午朔辰時日食非正月乙巳晦也漢厯誤推正月乙巳晦日食至日候之見其不食至次日方食與巳所推宿度不合遂削其宿度不書故綱目通鑑亦不書是食而不知丙午之朔食為是也太始四年戊子嵗十月甲寅晦日食十一月交一十四日三入食限十一月朔五十日四九甲寅午時是十一月甲寅朔午時日食非十月晦征和四年壬辰歲八月辛酉晦日食不盡如鉤在亢二度晡時食從西北日下晡時復九月交一十四日四二入食限九月朔五十七日五八辛酉未時定用五刻五三初虧未初二刻正西食甚未正三刻復圓申正初刻正東推得是年九月辛酉朔日食九分九十餘秒非八月辛酉晦是日食甚日躔黄道角十度夫漢史食亢二而法推角十盖角末去亢初不逺或古時距星稍異不害其為同也未初初虧申正復圓食九分九十秒正晡時食日下復不盡如鉤也第云從西北則非葢漢人自東向西望日故目為西北而不知從北極望之則食從正西過正東也是年載日食云晡時至日下不盡如鉤詳矣盖目覩記之也余推不爽則其他又何疑昭帝始元三年丁酉歲十月壬辰朔日食十一月交二十六日七三入食限十一月朔二十八日四一壬辰巳時法推是年十一月壬辰朔巳時日食漢史合元鳯元年辛丑歲七月己亥晦日食八月交二十六日八四入食限八月朔三十五日五五己亥未時是八月己亥朔未時日食非七月晦地節元年壬子歲十二月癸亥晦日食正月交二十七日一九入食限正月朔五十九日六二癸亥申時是地節二年癸丑歲正月癸亥朔申時日食非元年壬子十二月晦食也夫正月元旦是為三朝况漢帝改元以正月為嵗首則朝賀享獻履端為慶是日日食誠大變也孔子吉月必朝服而朝矧曰元旦古人有元旦日食不受賀者正以吉期值大變耳谷永誤占惠帝六年季冬之朔以為七年元旦而曰三朝尊者惡之者實是日也漢厯誤推以元旦之日食加於年前之窮歲以正月之二日謬為元旦之三朝日食而不知為大變且除夕於履端行朝祭大典於朔二此之所關豈細欲神道人道能休鬯乎百工庻績能釐熈乎政典曰先時者殺無赦不及時者殺無赦然則𦙍侯之征不少貸而鄧平等當之矣五鳯元年甲子歲十二月乙酉朔日食十二月交一十四日二三入食限十二月朔二十一日二三乙酉卯時是十二月乙酉朔卯時日食漢厯合五鳯四年丁卯歲四月辛丑朔日食是為正月朔慝未作左氏以為重異四月交二十七日○四入食限四月朔三十七日五五辛丑未時是四月辛丑朔未時日食漢厯合夫四月純陽用事為正陽之月隂為慝五月一隂生之隂氣未動乃慝未作隂侵陽重左氏之説是也元帝永光二年乙卯歲三月壬戌朔日食三月交一十四日○八入食限三月朔五十八日三四壬戌辰時是三月壬戌朔辰時日食漢厯合元帝永光四年辛巳歲六月戊寅晦日食七月交二十六日八九入食限七月朔一十四日六五戊寅申時是七月戊寅朔申時日食非六月晦建昭五年丁亥歲六月壬申晦日食不盡如鉤因入推是年六月晦七月朔無壬申亦不入食限日不應食漢史不書在某宿度却書因入二字想誤推應食見其不食也遂刪其宿度添因入二字若曰日入地矣文其過也建始三年辛卯歲十二月戊申朔日食十二月交二十六日六二入食限十二月朔四十四日五二戊申午時是十二月戊申朔午正二刻日食漢史合考杜欽對成帝曰日以戊申食時加未戊未土也宫中之部必此嫡妾將有争寵相害而為患者即此見是日之食在未時也法推午正二刻合朔午正二刻午將末矣其未正食甚復圓之時合河平元年癸巳歲四月己亥晦日食不盡如鉤五月交一十三日九三入食限五月朔三十五日三六己亥辰時是五月己亥朔辰時日食非四月晦按劉向云日蚤食時從西南起此必當時厯官親見其食從蚤食時西南起也法推辰正三刻合朔則初虧必辰初正蚤食時也其云從西南起則非何則日食不盡如鉤是食旣也食既則食起從正西復圓正東豈有起從西南之理盖視日以北極為凖辰時日食日在東北向西南斜上月在西南向東北斜下相掩而食漢人向東視之若從西南者然而不知是正西之向正東也夫以千三百餘年之逺當時親見天象日食辰初者而余所歩不爽則其地何有不合漢厯以朔為晦并不應食而誤推為食者其差謬又奚疑河平三年乙未歲八月乙卯晦日食十月交二十六日七四入食限十月朔五十一日五一乙卯午時是十月乙卯朔午時日食非八月晦盖是年十月前不應閏而漢厯誤置一閏遂以九月為八月而曰乙卯晦日食非也河平四年丙申歲三月癸丑朔日食三月交一十三日四三入食限三月朔四十九日六三癸丑申時是三月癸丑朔申時日食漢厯合陽朔元年丁酉歲二月丁未晦日食三月交一十四刻入食限三月朔四十三日六三丁未申時是三月丁未朔申時日食非二月晦永始元年乙巳歲九月丁酉晦日食法推是年九月晦十月朔無丁酉亦不入食限漢厯誤推暗削己自知其差矣谷永不知而乃以京房易占對帝曰九月日蝕酒亡節之所致也獨使京師知之四國不見者禍在内也夫曰京師知之何不曰京師見之曰四國不見則真不見也盖當時厯官誤推先已傳布谷永遂據以為言豈知厯官覺差業已削其宿度而况兼以四國皆未見乎既非日食則易占又何取焉永始二年丙午歲二月乙酉晦日食三月交二十六日四六入食限三月朔二十一日四二乙酉巳時是三月乙酉朔巳時日食非二月晦谷永以易占對帝曰二月日食賦重民愁之所致也所以使四方皆見京師隂蔽者禍在外也夫曰四方皆見則真見曰京師隂蔽則隂雲掩之耳厯官因四方皆見而京師不見遂亦疑之而削其宿度殊不知是日日應食非差也從古有雲掩而不目為日食乎民愁禍外之占奚取焉永始三年丁未歲正月己卯晦日食二月交二十七日○八入食限二月朔一十五日六一己卯未時是二月己卯朔未時日食非正月晦永始四年戊申歲七月辛未晦日食八月交一十四日三九入食限八月朔七日四辛未巳時是八月辛未朔巳時日食非七月晦鄭興上疏言日月交㑹數應在朔而頃年日食多在於晦先時而合皆月行疾也日君象月臣象君亢急則臣下促廹故行疾也以余考之日食何嘗在晦何嘗先時而合月何嘗行疾漢厯誤推而鄭興即以月行疾誤日月且持以告君無知妄言將誰欺欺天乎欺君乎元延元年己酉歲正月己亥朔日食正月交二十五日九八入食限正月朔三十五日三一己亥辰時是正月己亥朔辰時日食漢厯合哀帝元壽元年己未歲正月辛丑朔日食與惠帝七年同日月正月交一十四日一四入食限正月朔三十七日三二辛丑辰時是正月辛丑朔辰時日食漢厯合然云與惠帝七年同月日則非盖是年實正月朔日食為三朝大變而惠帝七年之正月朔則六年十二月之朔也不可同年而語矣元壽二年庚申歲三月壬辰晦日食推是年三月晦四月朔無壬辰亦不入食限漢厯誤推見其不食故不書宿度平帝元始元年辛酉歲五月丁巳朔日食五月交二十六日九三入食限五月朔五十三日五丁巳午時是五月丁巳朔午時日食漢史合元始二年壬戌歲九月戊申晦日食既推是年九月晦十月朔無戊申亦不入食限漢厯誤推見其不食故不書宿度班固前漢書云凢漢著紀十二世二百一十二年日食五十三朔十四晦三十六先晦一日三京房易傳曰晦而月見西方謂之晀朔而月見東方謂之仄慝仄慝則侯王其肅晀則侯王其舒孟康註晀者月行疾在日前故早見仄慝者行遲在日後當没而更見劉向以為晀者疾也君舒緩則臣驕慢故日行遲而月行疾也仄慝者不進之意君肅急則臣恐懼故日行疾而月行遲不敢廹近君也不舒不急以正失之者食朔日劉歆以為舒者侯王展意顓事臣下促急故月行疾也肅者侯王縮朒不任事臣下弛縱故月行遲也當春秋時侯王率多縮朒不任事故食二日仄慝者十八食晦日晀者一此其效也考之漢家食晦晀者三十六終亡二日仄慝者歆説信矣此皆謂日月亂行者也吁嗟有是哉晦日尚未合朔豈有月已疾行於日前而見西方之理朔日月方合朔豈有月反遲退於日後而見東方之理漢人布筭無術求天不得而遂以已意命名曰晀曰仄慝而繫之以事應曰肅曰舒變異因之使果如其言豈不前知如神而抑知其非然也余以法推春秋暨西漢日凢九十餘食内不應食而漢厯誤推為食及置閏失所者亡論若其食晦與二日及晦先一日者則無一不食朔也且併其方位時刻分數若合符節不爽矣乃京房等妄名晀仄而猶駕言以欺人曰此其效也歆説信矣日月亂行者也夫從古以來月何嘗有一晀仄日何嘗有一非朔食以一無所有之事而加之日月詆為亂行諸君却自誇為效為信果孰信耶效耶亂行耶日月不亂行而若等亂道其何傷於日月乎多見其不知量也按文獻通考載成帝元延元年劉向上疏言臣向前數年言日當食今連三年比食自建始以來二十歲間而八食率二歲六月而一食古今䍐有易曰觀乎天文以察時變昔孔子對魯哀公並言夏桀殷紂暴虐天下故歴失則攝提失方孟陬無紀此皆易姓之變也夫向言日食召變誠是而云前知日食則未也漢史紀成帝建始以來二十年間日凢十食以余推之建始三年十二月朔河平四年三月朔元延元年正月朔皆是而河平元年四月晦陽朔元年二月晦永始二年二月晦三年正月晦四年七月晦皆非則皆次月朔食也河平三年之八月晦則十月朔盖漢厯誤置一閏之故永始元年之九月晦則不應食即彼時四國不見矣劉向上疏告君自謂臣前數年言日當食而今果然是前知如神也何乃食朔而以為晦誤置閏而不知不應食而不改豈數年前知而後復昏耄耶一晦朔且未辯而尚敢言前知孔子曰知之為知之不知為不知是知也則向不免强不知以為知矣又考秘史漢宣帝甘露三年帝命劉向校書天祿閣夜有黄衣老人植青藜杖進吹杖端忽燃火曰我太乙之精也天帝聞下界有卯金之子博學能文令我下觀老人見几上有化胡書曰書内䓗嶺一字是其山出蓯蓉故名以為䓗誤矣嶺北乃老子化胡成佛之所可改作蓯復見几上有列仙傳曰老子即老𣆀在堯時為務成子至今猶存太上老君乃太始之初人今人以為即老聃非也籛鏗堯時人堯封為彭城君得不死藥至今見存人謂彭年八百非也語畢老人乃出玉牒天文書授之劉向自是文學異常夫太乙之神道之祖也天文之書厯之源也老人知太始之老君記成佛之蓯嶺老聃彭鏗皆識其人豈非至神且以上帝之天文授向則向也厯象之事宜精而庻徴之術宜驗矣何乃課日不效以朔為晦晀仄不經事應無據夫以化胡書一䓗字且令亟改而况日月晦朔所關之大有所不知乎厯懸於昊天而天授無明效太乙真宰之謂何然則老人者無乃非真太乙而天文非真書耶抑劉向欲已天文五行之書傳於天下而故假為天神以駭世耶且也劉向以如斯妄誕之徒歴代以來從祀孔子廟庭至國朝嘉靖間張璁引程敏政議劉向初以獻賦進喜誦神仙方術嘗上言黄金可成鑄作不驗下吏當死其兄陽城侯救之獲免所著洪範五行傳最為舛駁使箕子經世之微言流為隂陽術家之小技宜罷祀從之夫敏政所云仙丹隂陽之舛即青藜玉牒之詐也若非我國朝罷祀則宫牆美富之中㡬何而不乆為一偽學所玷古今律厯考卷二十
## 卷二十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十一 明 邢雲路 撰歴代日食二歴代日食厯東漢光武建武二年丙戌歲正月甲子朔日食正月交二十六日五一正月朔初日五十八刻甲子未時赤道危八度九五推得漢光武建武二年丙戌歲正月甲子朔未正初刻合朔日食在危八度(宿度既合以後不復推)又考古今注載光武建武元年乙酉歲即更始三年正月庚午朔日食以法推元年正月初一己巳日亥時合朔日食在夜夜食不書無乃漢史誤布應食及期見其不食也而遂削之耶建武三年丁亥歲五月乙卯晦日食六月交一十三日八二六月朔五十一日三六乙卯辰時是六月乙卯朔辰時日食非五月晦建武四年戊子歲五月乙卯晦日食(見古今注)推得是年六月庚戌朔入食限加時在夜丑無乙卯則古今注之載食非也厯推史無而古今注有者多不食其誤可知建武六年庚寅歲三月晦日食(見漢秘史)四月交一十三日三三四月朔五日四六己巳午時考漢唐秘史載建武六年三月晦日食大雨連月昔稼更生鼠巢樹上乃邪隂掩太陽之象夫漢唐秘史一書乃我太祖西宮命弟肅王等兄弟五王奉勅大索羣典編集成書其間事實多内府秘書出於史鑑之外者漢史古今注文獻通考通鑑綱目諸書俱不載是食而秘史有之余以法布筭四月初一己巳朔去交分入食限巳時食甚與秘史合盖四月朔即三月晦也縁漢史歩厯乖次多以朔為晦耳且以斯日食滛雨邪隂掩陽之大變必當時大庭之上衆目所視載在秘册藏諸金匱歴代流傳至今者也何當時厯官既不能推乃見其食也而又恐彰已過隠之不書於史册可恨也夫建武六年九月丙寅晦日食史官不見郡以聞十月交初日○二十月朔二日二四丙寅夘時初三刻推得十月丙寅朔夘初刻合朔食甚非九月丙寅晦是時日出夘正刻初刻食甚所以洛陽不見若郡之偏東者日出差早合朔亦早則食甚復圓之間正其所及見者然則郡以聞者其必偏東之郡乎建武七年辛卯歲三月癸亥晦日食四月交一十三日九四月朔五十九日四八癸亥午時是四月癸亥朔午時日食非三月晦建武十六年庚子歲三月辛丑晦日食四月交二十六日三六四月朔三十七日三辛丑辰時是四月辛丑朔辰時日食非三月晦建武十七年辛丑歲二月乙未晦日食三月交二十六日九七三月朔三十一日五七乙未未時是三月乙未未時日食非二月晦建武二十二年丙午歲五月乙未晦日食六月交一十四日三九六月朔三十一日四乙未巳時是六月乙未朔巳時日食非五月晦建武二十五年己酉歲三月戊申晦日食四月交一十三日九四月朔四十四日六九戊申申時是四月戊申朔申時日食非三月晦建武二十九年癸丑歲二月丁巳朔日食二月交一十四日○一二月朔五十三日四二丁巳巳時是二月丁巳朔巳時日食建武三十一年乙卯歲五月癸酉晦日食六月交二十六日八六六月朔九日四癸酉巳時是六月癸酉朔巳時日食非五月晦中元元年丙辰嵗十一月甲子晦日食十二月交一十四日一三十二月朔○日四十一刻甲子巳時是十二月甲子朔巳時日食非十一月晦明帝永平三年庚申歲八月壬申晦日食九月交一十四日二四九月朔八日五八壬申申時是九月壬申朔申時日食非八月晦永平四年辛酉歲八月丙寅時加未日食(古今注載)八月交一十四日八不入食限推不應食古今注載食非永平五年壬戌歲二月乙未晦日食京師候之不覺汝南五郡國三十一上(古今注載史無)三月交二十六日三月朔三十一日二六乙未卯時推得三月乙未朔卯時日食非二月晦古今注載河南郡上食是也永平六年癸亥歲六月庚辰晦日食時雒陽候者不見(古今注載史無)七月交二十二日四一不入食限推不宜食古今注載食非永平八年乙丑歲十月壬寅晦日食(古今注云十二月)十一月交二十六日五六十一月朔三十八日四四壬寅巳時是十一月壬寅朔巳時日食非十一月晦古今注云十二月亦非永平十三年庚午歲十月甲辰晦日食(古今注云八月文獻通考云十)(一月晦)十一月交四日一不入食限推不宜食盖原無是食所以漢史古今注文獻通考各載不一永平十六年癸酉歲五月戊午晦日食閏六月交二十六日七九閏六月朔五十四日七二戊午酉時是閏六月戊午朔酉時日食非五月晦永平十八年乙亥歲十一月甲辰晦日食十二月交一十四日七十二月朔四十○日四甲辰巳時是十二月甲辰朔巳時日食非十一月晦章帝建初五年庚辰歲二月庚辰朔日食二月交二十六日四一二月朔一十六日六庚辰未時是二月庚辰朔未時日食建初六年辛巳歲六月辛未晦日食八月交一十三日七一八月朔七日三三辛未辰時是八月辛未朔辰時日食非六月晦盖是年應閏八月而漢厯誤先置一閏故差元和元年甲申嵗八月乙未晦日食史官不見佗官以聞推無是食查通鑑綱目亦無是食章和元年丁亥歲八月乙未晦日食十月交二十六日六四十月朔三十一日六六乙未申時是十月乙未朔申時日食非八月晦盖是年應閏正月而漢厯未閏故以九月晦為八月晦也查元和元年八九月之交無乙未亦不入食限而是年乙未之食適合漢史無章和元年食而通鑑綱目有之無乃章和之章字誤記為元和耶和帝永元二年庚寅歲二月壬午日食史官不見涿郡以聞(漢史無晦朔秘史云晦)二月交一十四日五五二月朔一十八日三三壬午辰時是二月壬午朔辰時日食秘史云晦非永元四年壬辰嵗六月戊戌朔日食閏六月交一十五刻閏六月朔三十四日五五戊戌未時是閏六月戊戌朔未時日食非六月朔盖是年閏六月而漢厯不知也永元七年乙未歲四月辛亥朔日食四月交二十六日八六四月朔四十七日四六辛亥午時是四月辛亥朔午時日食永元十二年庚子歲七月辛亥朔日食八月交一十四日二八八月朔四十七日三六辛亥辰時是八月辛亥朔辰時日食非七月朔盖是年八月方閏而漢史誤先置一閏故以八月為七月差矣永元十五年癸卯歲四月甲子晦日食閏五月交一十三日七九閏五月朔五十六刻未時是閏五月甲子朔未時日食非四月晦盖是年應閏五月漢厯誤先置一閏故以閏五月朔作四月甲子晦差矣與永元庚子同安帝永初元年丁未歲三月二日癸酉日食(秘史云三月晦通鑑)(綱目不書日古今注亦不書日)三月經朔八日七六加差五十六刻五三月交一十三日九三月定朔九日三十三刻二得癸酉日辰初四刻合朔推得是年三月癸酉朔辰初四刻合朔日食非三月二日亦非三月晦盖漢厯不知天日之差即以天度為日度於月止以章月歩朔一經朔且未定安論盈縮與遲疾且是年三月之厯以經朔歩之得八日壬申酉正一刻加以盈遲相併加差之五十餘刻遂至九日癸酉辰初四刻合朔食甚矣盖經朔者論其泛行之度也盈縮遲疾者則日月由闊入狹由狹入闊南北運行平立積差參差不齊之數也漢人烏得而知之漢厯目為朔二日秘史目為晦古今注暨通鑑則不敢書日嗟嗟天道雖聞天眼未晣空令人左遮右掩迷亂而不敢定則何惑乎世遂視羲和為絶學噤不敢言畏不敢近而抑知日之食也人皆見之千歲之日可坐而致其如燭照數計示諸掌之易易也永初五年辛亥歲正月庚辰朔日食正月交一十四日○二正月朔一十六日五一午時是正月庚辰朔午時日食永初七年癸丑歲四月丙申晦日食五月交二十六日八三五月朔三十二日七七丙申酉時是五月丙申朔酉時日食非四月晦元初元年甲寅歲三月日食一云五月晦日食漢史則不書食閏餘二十五日五閏三月四月交二十二刻四月朔二十七日三六辛卯辰時是四月辛卯朔辰時日食非三月日食亦非五月晦日食盖是年閏三月而漢史不知想推以為前又推以為後不知閏在何月及見其食也遂訛記之既而恐彰已過遂復削之所以史無是食通鑑綱目則載三月日食而不書朔秘史則載五月晦日食皆循漢史訛記之舊也豈知閏在三月而四月朔實有是食乎元初元年十月戊子朔日食十月交一十四日一三十月朔二十四日五四戊子未時是十月戊子朔未時日食元初二年乙卯歲九月壬午晦日食十月交一十四日七四十月朔一十八日五三壬午午時是十月壬午朔午時日食非九月晦元初三年丙辰歲三月二日辛亥日食史官不見遼東以聞三月經朔四十六日六六庚戌申初三刻盈遲相併七度七六加差五十八刻三月交二十六日三三三月朔四十七日二四辛亥卯初三刻是三月初一日辛亥卯時初三刻合朔日食非三月二日也漢厯止以章月歩朔罔知加減故朔失之前則晦失之後則二日矣豈知是月推經朔四十六日六十六刻得庚戌日申初三刻推定朔四十七日二十四刻則辛亥日卯初三刻也以盈遲相併之七度七十六分應加五十八刻加之則移庚戌之暮為辛亥之旦矣史官不見遼東以聞者天下日出分不同遼東偏東日出最早雒陽天中日出稍遲故是日夘初日出而食遼東僅及見之少頃復圓而雒陽日方出則不及見也此天運自然豈容假借者耶漢史書二日綱目不書日秘史書晦日胥失之即此一事足證漢厯之失元初四年丁巳歲二月乙亥朔日食史官不見七郡以聞二月交二十六日九四二月朔四十一日三八乙巳巳時是二月乙巳朔巳時日食非乙亥朔也盖是年應閏十二月漢厯未閏誤以正月朔之乙亥作二月朔過此覺差方補一閏然乙亥之文則仍舊未改故也元初五年戊午歲八月丙申朔日食史官不見張掖以聞八月交一十四日二五八月朔三十二日六九丙申申正二刻是八月丙申朔申末合朔日食張掖聞之是也何乃史官不見乎想東京以申酉之時夕陽西下偶蔽於游氣而不見張掖以極西見也元初六年己未歲十二月戊午朔日食㡬盡地如昏狀十二月交二十六日四五十二月朔五十四日四五戊午巳時是十二月戊午朔巳時日食永寧元年庚申歲七月乙酉朔日食史官不見酒泉以聞六月交一十三日一五六月朔五十一日八乙卯戌初是六月乙卯朔戌時初刻合朔日食非七月乙酉朔也漢厯歩朔無次常乖一閏以卯為酉與元初丁巳二月朔之以巳作亥同然史官不見酒泉以聞者酒泉地偏極西寅餞納日日入差遲以六月朔戌初刻食甚况在極西則日尚未入也由虧至甚豈不悉見若雒陽天中則日入差早或日暮重以遊氣無惑乎不見也此與元初三月朔遼東以聞之厯互相發明盖日之出入隨地不同此二者極東極西早晚異焉明乎二厯千古之疑破矣延光三年甲子歲九月庚寅晦日食十月交二十七日一七十月朔五十六日三六庚申辰時是十月庚申朔辰時日食非九月庚寅晦延光四年乙丑歲三月戊午朔日食隴西酒泉朔方各以狀上史官不覺三月交一十三日八七三月朔六十五刻戊午申時是三月戊午朔申時日食隴西酒泉朔方各以狀上是也何史官不覺耶順帝永建二年丁卯歲七月甲戌朔日食八月交二十六日六八八月朔一十○日六一甲戌未時是八月甲戌朔未時日食非七月甲戌朔漢厯誤陽嘉四年乙亥嵗閏月丁亥朔日食史官不見零陵以聞九月交一十三日六九月朔二十三日三五丁亥辰時是九月丁亥朔辰時日食非閏月丁亥朔也盖是年閏餘不及閏限一十八日有竒不應閏至冬十二月方閏漢厯不知而預閏八月遂以九月丁亥朔為閏八月丁亥朔過此見其差也遂亦不敢書閏八月而但曰閏月茫無措矣是日食在辰刻非卯酉之難見也零陵以聞良是胡史官不見耶永和三年戊寅歲十二月戊戌朔日食史官不見㑹稽以聞十二月交二十七日○二十二月朔三十四日四九戊戌午時是十二月初一戊戌日午時合朔食甚夫午時天中食甚人皆見之㑹稽以聞是也何史官昏迷不見耶永和五年庚寅歲五月己丑晦日食六月交一十四日三三六月朔二十五日三九己丑巳時是六月己丑朔巳時日食非五月晦永和六年辛巳歲九月辛亥晦日食十月交二十六日五三十月朔四十七日六二辛亥申時是十月辛亥朔申時日食非九月晦也按通鑑綱目載永和六年春閏正月鞏唐羌冦三輔燒園陵以法推是年閏餘二十三日八十六刻以減朔實餘五日六十六刻以月閏九十刻有竒去之應閏六月漢史不知而妄閏正月先天五其月矣閏且差至五月則何惑乎以十月冬為九月秋以朔日吉為晦日昧也傳曰歸餘於終事則不悖政典曰先時者殺無赦然則不治先時之罪欲冬之不秋吉之不昧事之不悖得乎桓帝建和元年丁亥嵗正月辛亥朔日食史官不見郡國以聞正月交一十三日九五正月朔四十七日二二辛亥卯初一刻是正月辛亥朔卯初刻日食史官不見郡國以聞者正月日出卯正而是食在卯初地之偏東者日出差早卯初及見其食洛陽天中食至卯正則將復圓不見其食也此之郡國以聞者其必偏東之郡國乎建和三年己丑歲四月丁卯晦日食六月交二十六日七六六月朔三日三五丁卯辰時是六月丁卯朔辰時日食非四月晦盖是年六月方閏而漢史先閏故以六月朔為四月晦非元嘉二年壬辰歲七月二日庚辰日食史官不見廣陵以聞七月交八日二四不入食限七月朔一十五日五七己卯未時推是年七月一日己卯未時合朔二日庚辰朔交汎八日不入食限史官不見是廣陵以聞非永興二年甲午歲九月丁卯朔日食九月交一十四日一八九月朔三日三五丁卯辰時是九月丁卯朔辰時日食永壽三年丁酉歲閏四月庚辰晦日食史官不見郡國以聞七月交一十三日六八七月朔一十六日三七庚辰辰時是七月庚辰朔辰時日食非閏四月庚辰晦史官郡國皆非也何者盖是年閏八月非閏四月推四五月晦朔之間俱無庚辰不入食限故也永壽三年丁酉歲十二月壬戌月蝕非其月十一月望交一十二日八三十一月望五十八日八五推得是年十一月十五日壬戌戌時正一刻合望月食非十二月壬戌月食非其月盖漢厯於是年七月日食妄歩閏四月故於十一月壬戌之月食茫無著落而但曰月食非其月也嗟嗟在天月食是其月若等歩天非其月而反〔？〕〔？〕自是詆天曰非其月也可恨也夫延熹元年戊戌歲五月甲戌晦日食六月交一十四日二九六月朔一十○日六八甲戌申時是六月甲戌朔申時日食非五月晦延熹八年乙巳歲正月辛巳月食非其月正月望交二十六日三六正月望一十八日二八壬午卯正三刻推得是年正月十五日辛巳夜至曉壬午卯正三刻合望月食甚正月望日出卯正二刻食甚在卯正三則初虧在寅末卯初也其食無疑何漢史不知而目為月食非其月耶延熹八年乙巳歲正月丙申晦日食二月交一十三日九一二月朔三十二日五七丙申未時是二月丙申朔未時日食非正月晦延熹九年丙午歲正月辛卯朔日食史官不見郡國以聞正月交一十四日五二正月朔二十七日三四辛卯卯初三刻推得是年正月辛卯朔卯初三刻食甚則復圓在辰也然正月初日出卯正二刻若偏東之地則日出差早洛陽天中則日出差遲所以史官不見而其郡國以聞者必偏東之郡國乎永康元年丁未歲五月壬子晦日食六月交二十六日七二六月朔四十八日六三壬子申時是六月壬子朔申時日食非五月晦靈帝建寧元年戊申歲五月丁未朔日食六月交○日一十二刻六月朔四十三日四二丁未巳時是六月丁未朔巳時日食非五月朔盖是年七月方閏而漢史豫閏故以六月朔為五月朔非建寧元年十月甲辰晦日食十一月交一十四日○三十一月朔四十○日五五甲辰未時是十一月甲辰朔未時日食非十月晦建寧二年己酉歲十月戊戌晦日食右扶風以聞十一月交一十四日六三十一月朔三十四日五六戊戌未時是十一月戊戌朔未時日食非十月晦右扶風以聞是也建寧三年庚戌歲三月丙寅晦日食梁相以聞四月交二十六日二三四月朔三日一七丁夘寅初三刻推四月丁夘朔寅正初刻日食四月日出夘初一刻寅正食甚則卯初尚未復圓地之偏東者日出差早猶及少見其虧然則梁相以聞者毋乃居東乎建寧四年辛亥歲三月辛酉朔日食閏三月交二十六日八三閏三月朔五十七日三四辛酉辰時是閏三月辛酉朔辰時日食非三月辛酉朔盖漢史於未三月先置一閏故以閏三月為三月耳熹平二年癸丑歲十二月癸酉晦日食正月交二十六日三四正月朔一十○日五三甲戌午時是熹平三年正月甲戌朔午時日食非二年十二月癸酉晦所關元旦日食其誤大熹平四年乙卯歲正月朔正月交二十六日九五正月朔五日二二己巳夘初一刻推得是年正月己巳朔卯時日食考漢史蔡邕上書曰熹平四年正月朔日體微傷羣臣服赤幘赴宫門之中無救乃各罷歸天有大異隠而不宣求御過是已事之甚者夫元旦日食變之最大者也伯喈親見日體微傷同羣臣服赤幘赴宫門以無救而罷歸乃漢之羲和尸厥官罔聞知則焉用羲和為法推是年正月己巳朔卯初一刻合朔食甚正月日出卯正二刻則伯喈所見日體微傷正食甚已過尚未復圓時也伯喈同羣臣欲救不得上書譏日官不報君臣泄泄其柰之何幸伯喈一疏昭在簡册使余千載而下得以援此証據按策歩厯以正千古之謬則伯喈有功於厯大矣熹平六年丁巳歲十月癸丑朔日食趙相以聞十一月交二十六日四六十一月朔一十八日二九壬午辰時是十一月壬午朔辰時日食非十月癸丑朔必漢厯置閏遷就之過光和元年戊午歲二月辛亥朔日食推二月朔不入交無是食至五月朔方入交食在半夜漢史載二月朔日食不書宿度不言事應是必誤歩是食及期候之不食遂削去宿度事應而猶存其名也光和元年十月丙子晦日食十一月交二十七日○六十一月朔一十二日三九巳初一刻是十一月丙子朔巳時日食非十月晦盖每歲六月一交即此十一月食而知前之交五月也其二月不食明矣考漢史本傳載盧植上書是日丙子食自巳過午陳八事以諫蔡邕對詔問云云觀此日食自巳過午當時羣臣所目覩者余歩巳初一刻合朔食甚則復圓過午明矣以今考古千嵗可致他又何疑光和二年己未嵗四月甲戌朔日食五月交一十三日七六五月朔一十○日五五甲戌未時是五月甲戌朔未時日食非四月甲戌朔盖是年五月方閏漢史先閏誤以五月朔為四月朔光和四年辛酉歲九月庚寅朔日食九月交二十六日五七九月朔二十六日六三庚寅申時是九月庚寅朔申時日食中平三年丙寅歲五月壬辰晦日食六月交○日○八六月朔二十八日六○九壬辰未時是六月壬辰朔未時日食非五月晦中平六年己巳歲四月丙午朔日食四月交二十六日八四月朔四十二日六三丙午申時是四月丙午朔申時日食獻帝初平四年癸酉歲正月甲寅朔日食正月交二十六日九一正月朔五十○日五四五甲寅未正一刻推得是年正月甲寅朔未正一刻合朔日食考漢史載袁宏紀曰未蝕八刻太史令王立奏曰日晷過度無有變也於是朝臣皆賀帝宻令尚書候正未晡一刻而食尚書賈翊奏曰立伺候不明疑誤上下大尉周忠職所典掌請皆治罪詔曰天道遠事驗難明且災異應政而至雖探道知幾焉能無失而欲歸咎史官益重朕之不德也弗從於是避正殿寢兵不聽事五日夫尚書候正未晡一刻而食是未初刻食起也余推未正初刻合朔則食甚在未正初之前復圓在未正刻之末正合袁宏所紀未蝕八刻與尚書所候之的期也以元旦日食大變而王立既不能推又奏云無變朝臣遂賀皆逢君之為也帝令尚書宻候得實賈翊正言劾奏帝即引為已過避殿寢兵克謹天戒而於厯官特優容之咄咄王立周忠典掌謂何縱免𦙍侯之誅能不内愧於心乎興平元年甲戌歲六月乙巳晦日食七月交一十四日二二七月朔四十一日二八乙巳卯時是七月乙巳朔卯時日食非六月晦建安五年庚辰歲九月庚午朔日食九月交二十六日一四九月朔六日三四庚午辰時是九月庚午朔辰時日食建安六年辛巳歲十月癸未朔日食推是年無癸未朔三月十月皆不入食限閏二月八月入食限則皆夜食史載十月癸未朔食通鑑綱目載三月朔食皆非也建安十三年戊子歲十月癸未朔日食十月交一十四日○七十月朔一十九日四一巳時是十月癸未朔巳時日食建安十五年庚寅歲二月乙巳朔日食二月交二十六日二七二月朔四十一日三一乙巳辰時是二月乙巳朔辰時日食建安十七年壬辰歲六月庚寅晦日食七月交一十四日一八七月朔二十六日五九八庚寅未時是七月庚寅朔未時日食非六月晦建安二十一年丙申歲五月己亥朔日食五月交一十四日三二五月朔三十五日三四己亥辰時是五月己亥朔辰時日食建安二十四年己亥歲二月壬子晦日食三月交一十三日八三月朔四十八日五九壬子未時是三月壬子朔未時日食非二月晦建安二十五年庚子嵗二月朔日食見通鑑綱目閏二月交一十四日四一閏二月朔四十三日二九三丁未辰時是閏二月丁未朔辰時日食非二月朔史漏凡漢中興十二世百九十六年史書日蝕七十二朔三十二晦二十七月二日三以法算之其晦與二日皆朔也盖東漢日官歩氣仍用四分度之一歩朔仍用章月並無盈縮遲疾加減故其差忒猶之乎西漢也且終東漢之世二百年間日官歩得兩月蝕非其月以為在天月之亂行與已所算不合有此兩異也故特記之而豈知兩月俱應蝕乃若等寃天而亂道也即熹平四年正月朔蔡邕親見日虧抗章上表而不報初平四年正月朔賈翊親候日食奏請治罪而不理夫以三朝大變朝臣公議而猶泄泄然若此盖由漢室日官挾權太重且自知多漏難補故百計彌縫寃天以實已之短昧心拒衆罔上行私牢不可破耳古今律歴考卷二十一
## 卷二十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十二 明 邢雲路 撰歴代日食三歴代日食厯後漢晉昭烈帝章武元年辛丑嵗(即魏黄初二年)六月戊辰晦日食七月交二十六日六一七月朔四日五五戊辰未時是七月戊辰朔未時日食非六月晦章武二年壬寅嵗(即魏黄初三年)正月丙寅朔日食十一月庚申晦日食正月交一十三日三一正月朔二日四五丙寅巳時十二月交一十三日九二十二月朔五十六日五六庚申未時是年正月丙寅朔巳時日食是至十二月則庚申日未時合朔申時食甚非十一月晦後主建興二年甲辰嵗(即魏黄初五年)十一月戊寅晦日食十一月交一十二日八二十一月朔一十五日四一巳時是十一月己卯朔巳時日食非十一月戊寅晦建興九年辛亥嵗(即魏明帝太和五年)十一月戊戌晦日食十二月交二十六日三五十二月朔三十四日三二戊戌辰時是十二月戊戌朔辰時日食非十一月晦文獻通考載次年正月戊辰朔日食見吴厯夫食限六月一交豈有十二月食正月復食之理吴誤建興十一年癸丑嵗(即魏明帝青龍元年)閏五月庚寅朔日食六月交一十三日六五六月朔二十六日四四巳時是六月庚寅朔巳時日食非閏五月朔蓋是年閏八月而厯官誤閏五月先天三其月非也延熈三年庚申嵗(即魏少帝正始元年)七月戊申朔日食七月交二十七日一八七月朔四十四日五一戊申午時是七月戊申朔午時日食延熙五年壬戌嵗(即魏正始三年)四月戊戌朔日食五月交二十六日○八五月朔四日三三戊辰辰時是五月戊辰朔辰時日食非四月戊戌朔延熈六年癸亥嵗(即魏正始四年)五月丁丑朔日食既五月交二十六日六九五月朔五十八日四三壬戌巳時是五月壬戌朔巳時日食非丁丑朔延熈七年甲子嵗(即魏正始五年)四月丙辰朔日食五月交九刻五月朔五十二日四六丙辰午時是五月丙辰朔午時日食非四月朔蓋是年閏七月而厯官誤閏三月故以五月為四月也觀綱目書閏三月帝遣費禕救漢中則知誤閏三月矣延熈八年乙丑嵗(即魏正始六年)四月壬子朔日食推四月朔辛亥過食限不應食延熈八年十月戊申朔日食十月交一十四日六一十月朔四十四日八戊申午時是十月戊申朔午時日食延熈十年丁夘嵗(即魏正始八年)二月庚午朔日食綱目不言日三月交二十六日八三月朔六日六七庚午申時是三月庚午朔申時日食非二月朔葢是年閏三月而史官先置一閏故以三月為二月誤延熈十一年戊辰嵗(即魏正始九年)正月乙未朔日食二月交二十刻二月初日三十六刻甲子辰時推得是年正月朔不入交且以減差減至甲午日亥時合朔是不應食也以推二月甲子朔則交泛二十刻入食限經朔五十九刻以減差減至辰時日食乃是二月甲子朔日食非正月乙未朔也三國時干戈擾攘厯官失職任其妄步書之史冊而及見天變反曰日失行也不然何正月之交不入限合朔在亥者反載之為食而二月之交入食限合朔在巳者反遺之耶延熈十二年己巳嵗(即魏嘉平元年)二月己未朔日食推得二月朔不入交加時在戊午日亥時合朔與己未朔日食何闗厯官誤景耀二年己夘嵗(即魏甘露四年)七月戊子朔日食七月交五十四刻九六七月朔二十四日五八戊子未時是七月戊子朔未時日食景耀三年庚辰嵗(即魏甘露五年)正月乙酉朔日食正月交一十四日四正月朔二十一日五八乙酉未時是正月乙酉朔未時日食是年魏主曹髦五月被弑六月曹奐立方改元帝景元元年此正月仍屬髦甘露五年景耀四年辛巳嵗(即魏景元二年)五月丁未朔日食五月交二十六日六五五月朔四十三日七三丁未酉時是五月丁未朔酉時日食景耀五年壬午嵗(即魏景元三年)十一月己亥朔日食十一月交一十三日九六十一月朔三十五日四九己亥午時是十一月己亥朔午時日食晉武帝泰始二年丙戌嵗(通鑑綱目六月晦十月朔文獻通考七月丙午晦十月丙)(午朔)日食三月交一十七刻三月朔四十六日五四庚戌未時八月交一十四日○八八月朔四十二日四五丙午巳時推得是年三月庚戌朔未時日食八月丙午朔巳時日食餘月俱不入食限綱目通考所載皆非也葢日食六月一交則豈有六七月晦食而十月朔即食之理泰始七年辛夘歳十月丁丑朔日食十月交二十六日三九十月朔一十三日三八丁丑巳時是十月丁丑朔巳時日食泰始八年壬辰歳十月辛未朔日食十月交二十七日十月朔七日六二辛未未時是十月辛未朔未時日食泰始九年癸巳嵗四月戊辰朔日食綱目又載七月朔日食四月交一十三日七四月朔四日五七戊辰未時是四月戊辰朔未時日食七月不入交綱目非泰始十年甲午歳正月乙未朔日食三月癸亥朔日食四月交一十四日三四月朔五十九日二八癸亥夘時是四月癸亥朔夘時日食非三月朔若正月朔則交泛才七日有竒不入食限不應食晉厯誤咸寧元年乙未嵗七月甲申晦日食八月交二十六日五八月朔二十日五三甲申午時是八月甲申朔午時日食非七月晦咸寧三年丁酉嵗正月丙子朔日食二月交一十三日八二月朔一十二日五三丙子午時是二月丙子朔午時日食非正月朔咸寜四年戊戌歳正月庚午朔日食正月交一十四日四二正月朔六日六四庚午申時是正月庚午朔申時日食太康四年癸夘嵗三月辛丑朔日食三月交二十六日七三三月朔三十七日三四辛丑辰時是三月辛丑朔辰時日食太康六年乙巳歳八月朔日食見綱目八月交一十四日六五八月朔二十二日四八丙戌午時推得是年八月丙戌朔午時日食通鑑綱目載之是晉史漏太康七年丙午嵗正月甲寅朔日食正月交二十六日二正月朔五十日三一甲寅辰時是正月甲寅朔辰時日食太康八年丁未嵗正月戊申朔日食正月交二十六日八五正月朔四日四九戊申午時是正月戊申朔午時日食太康九年戊申嵗正月壬申朔日食六月庚子朔日食閏十二月交二十六日八五閏十二月朔四十四日四七戊申午時六月交一十四日一五六月朔三十六日三四庚子辰時推得是年閏十二月戊申朔午時日食非正月壬申朔其六月庚子朔日食則是惠帝元康九年己未嵗十一月甲子朔日食十一月交一十四日五○十一月朔○度五甲子午時是十一月甲子朔午時日食永康元年庚申嵗正月己夘朔日食四月辛夘朔日食四月交二十六日○九四月朔二十七日五六辛夘未時推得是年正月朔無己夘不入食限不應食四月辛夘朔未時日食是永寜元年辛酉嵗閏三月丙戌朔日食四月交二十六日七四月朔二十二日六七丙戌申時是四月丙戌朔申時日食非閏三月葢是年閏八月而晉厯誤閏三月故以四月朔為閏三月光熈元年丙寅嵗正月戊子朔日食七月乙酉朔日食十二月壬午朔日食正月交二十一刻正月朔二十四日三四戊子辰時七月交一十四日一二七月朔二十一日六六乙酉申時推得是年正月戊子朔辰時日食七月朔乙酉申時日食俱是推十二月朔無壬午不應食懐帝永嘉元年丁夘嵗十一月戊申朔日食十一月交二十六日三二十一月朔四十四日一一戊申丑正二刻推得是年十一月初一戊申日丑時合朔夜食夜食不書晉厯誤永嘉二年戊辰嵗正月丙子朔日食推得是正月初一丙午非丙子朔交泛止三日七十餘刻凡交必在十二三四日與二十六七日方入食限豈有三日交食之理况年前十一月既載食矣六月方一交今甫二月何以復交晉厯之矛盾如此永嘉六年壬戌嵗二月壬子朔日食二月交一十三日一三二月朔四十九日一六癸丑寅初四刻推得是年二月初一癸丑寅時合朔夜食夜食不書晉厯誤愍帝建興四年丙子嵗六月丁巳朔日食十二月甲申朔日食六月交二十七日一六六月朔五十三日五二丁巳午時十二月交一十三日八五十二月朔五十一日六乙夘未時推得是年六月丁巳朔午時日食十二月乙夘朔未時日食史載十二月甲申非建興五年(即元帝建武元年)丁丑嵗五月丙子日食十一月丙子日食綱目載十一月朔推是年五月十一月俱無丙子朔俱不入食限晉厯非然豈有五月朔丙子而十月朔猶丙子乎何不思之甚也元帝太興元年戊寅嵗四月丁丑朔日食四月交二十六日○五四月朔一十三日二三丁丑夘時是四月丁丑朔夘時日食晉史合即是年戊寅四月丁丑朔之食合而前丁丑年五月十一月朔之無丙子之不入交而不食也明矣然不食史何以書厯官求天不得遂増減其朔遷就其閏重疊其丙子以姑存之冊後修史者不知遂兼取而收之耳明帝太寧三年乙酉嵗十一月癸巳朔日食十二月交二十六日二八十二月朔二十九日四六癸巳午時是十二月癸巳朔午時日食非十一月朔葢是年閏十二月晉厯不知豫閏一月故以十二月朔作十一月朔誤咸和二年丁亥嵗五月甲申朔日食五月交一十三日五九五月朔二十○日五甲申午時是五月甲申朔午時日食咸和六年辛夘嵗三月壬戌朔日食三月交一十三日七三月朔二十八日五五壬辰未時是三月壬辰朔未時日食非壬戌朔咸和九年甲午嵗十月乙未朔日食綱目無推得是年十月朔無乙未亦不入食限史誤綱目無是咸康元年乙未嵗十月乙未朔推得是年十月朔不入交不應食咸康七年辛丑嵗二月甲子朔日食二月交二十六日七二月朔○日五甲子午時是二月甲子朔午時日食咸康八年壬寅嵗正月乙未朔日食京都大雨郡國以聞推得是年正月朔己丑無乙未亦不入食限郡國以聞非蓋去年辛丑嵗正月朔乙未則今年正月朔己丑為是安得又有乙未穆帝永和二年丙午嵗四月己酉日食綱目載四月朔推得是年四月無己酉朔亦不入食限不惟四月無己酉朔一年並無己酉朔永和七年辛亥嵗正月丁酉日食綱目亦不書朔推得是年正月丁酉寅時合朔不應食永和八年壬子嵗正月辛夘日食綱目書朔正月交一十三日一七正月朔二十七日三辛夘辰時是正月辛夘朔辰時日食永和十二年丙辰嵗十月癸巳朔日食十月交一十三日九十月朔二十九日二二癸巳夘時是十月癸巳朔夘時日食升平四年庚申嵗八月辛丑朔日食既八月交一十四日○一八月朔三十七日五辛丑午時是八月辛丑朔午時日食哀帝隆和元年壬戌嵗三月甲寅朔日食十二月戊午朔日食綱目無三月食六月交一十二日九一六月朔五十六日四庚申巳時十二月交二十六日八二十二月朔五十四三三戊午辰時推得是年三月壬辰朔無甲寅不入食限六月庚申朔巳時日食十二月戊午朔辰時日食綱目不載三月食是史載食非六月朔實食而晉史罔聞知尸厥官矣帝奕即廢海西公太和三年戊辰嵗三月丁巳朔日食三月交一十四日二四三月朔五十三日二六丁巳夘時是三月丁巳朔夘時日食太和五年庚午嵗七月癸酉朔日食七月交二十七日○五七月朔九日三七癸酉巳時是七月癸酉朔巳時日食武帝寧康三年乙亥嵗十月癸酉朔日食十月交一十四日四七十月朔九日二六六癸酉夘時是十月癸酉朔夘時日食大元元年丙子歳十一月朔日食綱目有史無推得是年十一月朔不入交不食綱目非大元四年己夘嵗閏月己酉朔日食史有綱目無推得是年無閏月止十二月為己酉朔然不入交不應食大元六年辛巳嵗六月庚子朔日食六月交一十三日四八六月朔三十六日四二庚子巳時是六月庚子朔巳時日食大元九年甲申嵗十月辛亥朔日食十月交二十六日九○十月朔四十七日二六辛亥夘時是十月辛亥朔夘時日食大元十七年壬辰嵗五月丁夘朔日食五月交二十六日一三五月朔三日六四丁夘申時是五月丁夘朔申時日食大元二十年乙未嵗三月庚辰朔日食三月交二十六日六三三月朔一十六日五庚辰午時是三月庚辰朔午時日食安帝隆安四年庚子嵗六月庚辰朔日食六月交一十四日○五六月朔一十六日五庚辰午時是六月庚辰朔午時日食元興二年癸夘嵗四月癸巳朔日食推得是年四月朔壬子合朔在夜亥時不應食史誤義熈三年丁未嵗七月戊戌朔日食七月交三十七刻六七月朔三十七日三四戊戌辰時是七月戊戌朔辰時日食義熈十年甲寅嵗九月丁巳朔日食九月交一十四日○六九月朔五十三日三八丁巳巳時是九月丁巳朔巳時日食義熈十一年即後魏神瑞二年乙夘嵗晉書七月辛亥晦日食魏書八月庚辰晦日食八月交一十四日五一八月朔四十七日四一辛亥巳時是八月辛亥朔巳時日食非七月辛亥晦亦非八月庚辰晦義熈十三年即魏太常二年丁巳嵗晉書正月甲戌朔日食魏書太常元年七月辛亥晦二年正月甲戌朔俱日食正月交二十六日七一正月朔一十○日三甲戌辰時是正月甲戌朔辰時日食魏書二食皆非恭帝元熈元年即魏太常四年己未嵗十一月丁亥朔日食十一月交二十六日二二十一月朔二十三日七二丁亥酉時是十一月丁亥朔酉時日食後漢魏晉間百五十年史載日蝕七十九朔六十五晦七不言朔晦七則較之東西漢食晦者少矣葢由漢末劉洪覺冬至後天减其斗分又創立日月盈縮遲疾法由是氣朔漸得其正繼此厯官得以因仍斟酌為之故日食朔多晦少漸愈於兩漢也洪之有功於厯大矣古今律厯考卷二十二
## 卷二十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十三 明 邢雲路 撰歴代日食四歴代日食厯五代宋少帝景平二年即文帝元嘉元年甲子嵗二月己夘朔日食綱目無二月交一十三日○三二月朔二十九日一四癸巳寅時八月交二十六日九四八月朔二十五日二八己丑夘時推是年二月朔癸巳無己夘合朔在寅夜食不書綱目無是八月己丑朔卯時日食史却不書元嘉四年即魏始光四年丁卯嵗宋書癸卯朔日食魏書六月朔六月交二十六日四五六月朔三十九日七八癸卯酉時是六月癸夘朔酉時日食元嘉五年即魏神䴥元年戊辰嵗宋書五月壬辰朔日食十一月己丑朔日食魏書十一月乙未朔日食無五月推是年五月朔無壬辰十一月朔無己丑乙未皆不入交不應食元嘉六年己巳嵗五月朔日食十一月朔日食星晝見見綱目史無五月交四十五刻四七五月朔二十八日三壬辰辰時十一月交一十四日三六十一月朔二十五日四二己丑巳時推是年五月壬辰朔辰時日食十一月己丑朔巳時日食皆合即元嘉五年史所載五月壬辰十一月己丑之日食也此必宋史誤將六年之日食載之五年耳不然何日月皆合又何宋史五年之食皆不合而六年乃不載耶綱目載是年兩日食誠是而於五年乃亦載十一月朔日食則誤抄宋史之文也元嘉十二年即魏大延元年乙亥嵗魏書正月己未朔日食宋無正月交二十六日六七正月朔五十五日六九己未申時是正月己未朔申時日食魏書是宋史遺元嘉十五年即魏大延四年戊寅嵗魏書十一月乙夘朔日食宋無十一月交二十六日七九十一月朔三日三九丁夘午時是十一月丁夘朔午時日食魏書食是書乙夘非宋漏元嘉十七年即魏太平真君元年庚辰嵗四月戊午朔日食四月交一十四日一四月朔五十四日四八戊午午時是四月戊午朔午時日食元嘉十九年即魏太平真君三年壬午嵗宋書七月甲戌晦日食魏書八月甲戌晦日食九月交二十六日九○九月朔一十○日六一甲戌未時推是年九月甲戌朔日食非七月八月甲戌晦葢是年閏九月宋史不知而豫閏一月故以九月朔為七月晦非魏未閏是書八月晦則非元嘉二十二年即魏太平真君六年乙酉嵗魏書六月戊子朔日食宋史無推是年閏六月己丑朔子時夜食不書無戊子魏非宋無是元嘉二十三年即魏太平真君七年丙戌嵗六月癸未朔日食六月交二十七日○二六月朔一十九日四六癸未午時是六月癸未朔午時日食元嘉二十六年即魏太平真君十年己丑嵗魏書四月丙申朔日食宋無四月交二十六日五二四月朔三十二日四三丙申巳時推是年四月丙申朔巳時日食魏是宋漏元嘉三十年即魏興安二年癸巳嵗七月辛丑朔日食閏七月交一十三日三四閏七月朔三十七日七一辛丑酉時是閏七月辛丑朔酉時日食非七月朔葢是年應閏七月而宋史於七月前先置一閏故以閏七月朔作七月朔非武帝孝建元年即魏興光元年甲午嵗七月丙申朔日食七月交一十三日九四七月朔三十二日四二丙申巳時是七月丙申朔巳時日食大明四年即魏和平元年庚子嵗魏書九月庚申朔日食宋無推是年九月無庚申朔亦不入食限魏非大明五年即魏和平二年辛丑嵗魏書二月壬子朔宋書九月甲寅朔日食九月交二十六刻九月朔五十日三二甲寅辰時推是年二月朔無壬子亦不入食限九月甲寅朔辰時日食宋是魏非明帝太始四年即魏獻帝皇興元年戊申嵗十月癸酉朔日食魏載己亥朔綱目無十月交一十三日七九十月朔九日三二癸酉辰時是十月癸酉朔辰時日食魏載己亥非綱目漏太始五年即魏皇興二年己酉嵗宋書十月丁夘朔日食魏書四月丙子十月癸酉朔日食綱目無四月四月交四十九刻四月朔六日三一九庚午辰時十月交一十四日四十月朔三日三七丁夘辰時推是年四月庚午朔辰時日食十月丁夘朔辰時日食宋漏四月魏書食是書丙子癸酉非綱目亦漏四月後廢帝元徽元年即魏延興三年癸丑嵗十二月癸夘朔日食十二月交二十六日一十二月朔三十九日四三癸夘巳時是十二月癸夘朔巳時日食魏書元年十二月癸夘非又書四年正月癸酉食夫三年十二月既食矣豈有次月復食之理順帝昇明元年即魏太和元年丁巳嵗魏書十月辛亥朔日食宋無十月交二十六日二二十月朔四十七日○八九辛亥丑正一刻推是年十月辛亥朔丑正一刻合朔夜食不書宋無是魏非昇明二年即魏太和二年戊午嵗三月己酉朔日食九月乙巳朔日食魏載二月乙酉晦日食綱目無二三月三月交一十二日九二三月朔四十五日一九己酉寅時九月交二十六日八九月朔四十一日二乙巳夘時推得是年三月己酉日寅時夜食不書九月乙巳日夘時日食宋魏載二三月晦朔食俱非綱目正昇明三年即魏太和三年己未嵗三月癸夘朔日食三月交一十三日五三三月朔三十九日六四癸夘申時是三月癸夘朔申時日食齊髙帝建元二年庚申歳即魏太和四年九月甲午朔日食魏書七月庚申朔日食推七月九月俱不入交不應食建元三年辛酉嵗即魏太和五年七月己未朔日食魏書庚申七月交二十六日三四七月朔五十五日六八己未申時是七月己未朔申時日食魏書非武帝永明元年即魏太和七年癸亥嵗十二月乙巳朔日食十二月交一十四日二五十二月朔四十一日五六乙巳未時是十二月乙巳朔未時日食永明六年即魏太和十二年戊辰嵗魏書二月辛亥朔日食齊無推是年二月辛亥朔不入交不應食魏非齊無是永明八年即魏太和十四年庚午嵗魏書正月己巳朔日食齊與綱目無二月交二十七日一二月朔五日四己巳巳時推是年二月己巳朔巳時日食魏書不應閏而豫閏故以二月為正月齊與綱目漏永明九年即魏太和十五年辛未嵗魏書正月癸亥晦日食齊無推是年二月癸未朔亥時夜食不書齊無是永明十一年即魏太和十七年癸酉嵗魏書六月庚辰朔日食齊與綱目無六月交一十三日六月朔一十六日二九庚辰辰時是六月庚辰朔辰時日食齊與綱目漏廢帝隆昌元年即明帝建武元年亦魏太和十八年甲戌嵗五月甲戌朔日食五月交一十三日九九五月朔一十○日三四甲戌辰時推是年五月甲戌朔辰時日食其十一月不入交不應食魏無是東昏侯永元二年即魏景明元年庚辰嵗魏書正月辛丑朔日食七月己亥朔日食齊與綱目無正月交一十三日正月朔三十七日六七辛丑申時七月交二十六日九七月朔三十五日二三己亥夘時是正月辛丑朔申時日食七月己亥朔夘時日食魏書是齊與綱目漏永元三年即魏景明二年辛巳嵗正月丙申朔日食魏載七月癸巳朔綱目無正月交一十三日六一正月朔三十二日二三丙申夘時七月交三十一刻七月朔二十九日二五癸巳辰時是正月丙申朔夘時日食七月癸巳朔辰時日食齊漏七月魏漏正月綱目俱漏梁武帝天監元年即魏景明三年壬午嵗七月丁巳朔日食綱目無六月交二十五日八六月朔五十三日八四丁巳戌時推得是年六月丁巳戌時合朔則酉末尚見其初虧也然非七月綱目漏天監五年即魏正始三年丙戌嵗三月丙寅朔日食魏無推是年三月不入交不應食魏無是天監七年即魏永平元年戊子嵗魏書八月壬子朔日食梁與綱目俱無八月交一十三日八八月朔四十八日三四九壬子辰時是八月壬子朔辰時日食梁與綱目漏天監八年即魏永平二年己丑嵗魏書八月丙午朔日食梁與綱目俱無八月交一十四日四八月朔四十二日七三丙午酉時是八月丙午朔酉時日食梁與綱目漏天監十年即魏永平四年辛夘嵗十二月壬戌朔日食十二月交四刻十二月朔五十九日四癸亥巳時是年十二月朔癸亥日巳時合朔日食非壬戌朔天監十一年即魏延長元年壬辰嵗魏書五月己未晦日食梁與綱目無六月交一十三日九五六月朔五十五日七三己未酉時是六月己未朔酉時日食非五月晦梁與綱目漏天監十二年即魏延長二年癸巳嵗魏書五月甲寅朔日食梁與綱目無五月交一十四日五六五月朔五十日三二甲寅辰時是五月甲寅朔辰時日食梁與綱目漏天監十五年即魏熈平元年丙申嵗三月戊辰朔日食既三月交一十四日三月朔四日三七戊辰巳時是三月戊辰朔辰時日食天監十八年即魏神龜二年己亥嵗魏書正月辛巳朔日食梁與綱目無正月交一十三日五六正月朔一十七日五九辛巳未時是正月辛巳朔未時日食梁與綱目漏普通元年即魏正光元年庚子嵗正月乙亥朔丙子日食魏書乙亥正月交一十四日一八正月朔一十二日二六丙子夘時推得是年正月丙子朔夘時日食非乙亥史載乙亥朔丙子日食得非史官步為乙亥而候乃丙子無柰兩存之耶魏亦非普通二年即魏正光二年辛丑嵗魏書五月丁酉朔日食梁與綱目無六月交二十六日三八六月朔三十三日六四丁酉申時是六月丁酉朔申時日食非五月朔梁與綱目漏盖魏厯不應閏而豫閏一月故以六月朔為五月朔非普通三年即魏正光三年壬寅嵗五月壬辰朔日食既魏書冬十一月己丑朔日食五月交二十六日九九五月朔二十八日三八壬辰辰時十一月交一十三日六九十一月朔二十五日二五己丑夘時是五月壬辰朔辰時日食十一月己丑朔夘時日食梁漏十一月普通四年癸夘嵗即魏正光四年十一月癸未朔日食十一月交一十四日二九十一月朔一十九日四二癸未巳時是十一月癸未朔巳時日食梁中大通元年即魏莊帝永安二年己酉嵗魏書十月己酉朔日食梁與綱目無推是年十月不入交不應食魏非中大通三年即魏節閔帝普泰元年辛亥歳魏書六月己亥朔日食梁與綱目無六月交一十四日五六月朔三十五日五己亥午時是六月己亥朔午時日食梁與綱目漏中大通四年即武帝永熈元年壬子嵗魏書十月辛酉朔日食梁與綱目無十月交二十六日七二十月朔五十七日二九辛酉夘時是十月辛酉朔卯時日食梁與綱目漏中大通五年即魏永熈二年癸丑嵗魏書四月己未朔日食梁與綱目無元史載有四月交一十三日四四月朔五十五日五己未午時是四月己未朔午時日食梁與綱目漏元授時厯載是日午時食與大明厯皆親何梁史之是遺也中大通六年即魏永熈三年甲寅嵗四月癸丑朔日食梁無綱目有四月交一十四日四月朔四十九日六五癸丑申時是四月癸丑朔申時日食梁漏大同四年即魏靜帝元象元年戊午嵗魏書正月辛酉朔日食梁書六月辛丑朔日食正月交一十四刻正月朔五十七日六二八辛酉申時推是年正月辛酉朔申時日食六月朔不入交不應食梁非大同六年即魏興和二年庚申嵗魏書閏五月丁丑朔日食綱目同梁無六月交二十六日九六月朔一十三日六五丁丑申時推是年六月丁丑朔申時日食非閏五月朔葢是年應閏六月而魏史預置一閏故以六月朔作閏五月朔梁漏綱目書閏五月亦非太清元年即魏武定五年丁夘嵗正月己亥朔日食正月交二十六日七正月朔三十五日五八己亥未時是正月己亥朔未時日食太清二年即魏武定六年戊辰嵗七月朔日食見綱目梁魏俱無七月交一十三日八七月朔二十六日三庚寅辰時是七月庚寅朔辰時日食綱目是梁魏漏陳武帝永定三年即周明帝武成元年己夘嵗五月丙辰朔日食周無綱目載是年閏四月周更定厯六月交三十一刻六月朔五十三日六丁巳未時推是年六月丁巳朔未時日食非五月丙辰朔葢是年閏六月而史閏四月故以六月朔作五月朔非周漏文帝天嘉二年即周武帝保定元年辛巳嵗周書四月丙子朔日食十月甲戌朔日食綱目同陳無四月交二十六日四四月朔一十二日七四丙子酉時十月交一十三日一十月朔九日七八癸酉酉時推是年四月丙子朔酉時日食十月癸酉朔酉時日食周載十月甲戌非陳漏天嘉三年即周保定二年壬午嵗九月戊辰朔日食周載壬辰朔九月交一十三日七九月朔四日三五戊辰辰時是九月戊辰朔辰時日食周載壬辰非天嘉四年即周保定三年癸未嵗周書三月乙丑朔日食陳無推是年三月乙丑朔丑時合朔夜食不書陳無是天嘉五年即周保定四年甲申嵗周書二月庚寅朔日食八月丁亥朔日食陳無推是年二月朔不入交不應食八月朔子時合朔夜食不書陳無是天嘉六年即周保定五年乙酉歳周書七月辛巳朔日食陳無綱目有推是年七月朔寅時合朔夜食不書陳無是綱目亦錄周書耳天康元年即周天和元年丙戌嵗周書正月己夘朔日食陳無綱目有正月交二十七日一正月朔一十五日四三己夘巳時是正月己夘朔巳時日食陳漏陳主伯宗光大元年即周天和二年丁亥嵗周書正月癸酉朔日食十一月戊戌朔日食陳無綱目有正月交五十四刻正月朔九日六二癸酉未時十一月交二十六日十一月朔三十三日七七丁酉酉時推是年正月癸酉朔未時日食合其十一月戊戌則以減差三十餘刻減至丁酉日酉正刻合朔尚見其初虧也陳漏光大二年即周天和三年己丑歲周書十一月壬辰朔日食陳無綱目有推是年十一月壬辰朔子正刻合朔夜食不書周與綱目非陳宣帝太建二年即周天和五年庚寅嵗周書十月辛巳朔日食陳無綱目有推是年十月辛巳朔巳過交合朔在寅正刻夜食不書載食非太建三年即周天和六年辛夘嵗九月庚子朔日食周載四月戊寅朔日食綱目有四月無九月四月交一十四日五七四月朔一十四日二一戊寅夘時九月交二十六日一九月朔四十二日二七丙午夘時推是年四月戊寅朔夘時日食九月丙午朔夘時日食周載四月戊寅是陳載九月食是云庚子非陳闕四月周闕九月綱目闕九月太建四年即周建徳元年壬辰嵗周書三月癸夘朔日食九月庚子朔日食綱目同陳無推是年三月癸夘朔子正刻合朔夜食九月經朔庚子則以減差五十刻減至己亥日亥初刻合朔夜食凡夜食不書周厯非陳無是綱目據周厯書亦非太建六年即周建徳三年甲午嵗二月壬辰朔日食二月交一十四日二月朔二十八日三九壬辰巳時是二月壬辰朔巳時日食是年陳厯周厯俱載二月壬辰朔日食而步與之合則知陳厯之精周厯之粗也葢陳厯無而周厯有者多不應食是足徵矣太建七年即周建徳四年乙未嵗周書二月丙戌朔日食十二月辛亥朔日食綱目同陳無十二月交一十二日七九十二月朔四十七日三九辛亥巳時推是年二月丙戌朔夜子合朔夜食不書其十二月辛亥朔巳時日食則是周與綱目多二月陳漏十二月太建八年即周建徳五年齊後主武平七年丙申嵗周書六月戊申朔日食隋志并元史及綱目載俱有陳無六月交二十六日八八六月朔四十四日二九戊申夘時推是年六月戊申朔夘時日食按隋志載齊後主武平七年六月戊申朔太陽虧劉孝孫言食於夘時張孟賔言食於寅時鄭元偉董峻言食於辰時宋景業言食於巳時至日食乃於夘寅之間今以授時推夘時日食則劉孝孫張孟賔為近而鄭元偉董峻亦近宋景業逺矣陳厯漏太建九年即周建徳六年丁酉歳周書十一月己亥朔日食陳無綱目書晦十二月交一十四日一九十二月朔三十五日四九己亥午時推是年十二月己亥朔午時日食非十一月朔亦非十一月晦陳漏太建十二年即周靜帝大象二年庚子歳周書十月甲寅朔日食陳無綱目不書日十月交一十三日六九十月朔四十九日七癸丑申時推是年十月癸丑朔申時日食非甲寅朔陳漏綱目不書日者想周日官步至甲寅食及候之乃癸丑食遂兩存之故綱目不書日陳後主至徳元年即隋文帝開皇三年癸夘嵗隋書二月己巳朔日食七月丁夘日食不書朔綱目書二月八月朔日食陳無二月交二十六日五二月朔六日二八庚午夘時八月交一十三日二八月朔二日四五丙寅巳時推是年二月庚午朔夘時日食非己巳朔八月丙寅朔巳時日食非七月丁夘朔綱目書是陳漏至徳二年即隋開皇四年甲辰嵗隋書正月甲子朔日食綱目同陳無正月交二十七日一正月朔七十七刻甲子酉時是正月甲子朔酉時日食陳漏至徳三年即隋開皇五年乙巳嵗陳書正月戊午朔日食隋無推是年正月戊午朔亥時合朔夜食不書陳誤陳禎明元年即隋開皇七年丁未嵗隋書五月乙亥朔日食綱目同陳無五月交一十三日三五月朔一十一日三五乙亥辰時是五月乙亥朔辰時日食陳漏隋文帝開皇十一年辛亥嵗二月辛巳晦日食推是年三月初一壬午日夜子合朔夜食不書隋載二月辛巳晦日食非開皇十二年壬子嵗七月壬申晦日食推是年七月朔甲辰八月朔甲戌無壬申俱不入食限不應食開皇十三年癸丑嵗七月戊辰晦日食推是年七月戊戌朔亥時合朔夜食不書八月戊辰朔過交不應食隋誤仁夀元年辛酉嵗二月乙夘朔日食二月交二十六日四二月朔五十一日六三乙夘申時是二月乙夘朔申時日食煬帝大業十二年丙子嵗五月丙戌朔日食既五月交二十六日九二五月朔二十二日六三丙戌申時是五月丙戌朔申時日食史稱自李延夀南北史不作後之閱史者遂以隋書上接晉書然隋書諸志南止及梁陳而不及宋齊北止及齊周而不及元魏近就帝紀中刷出所書日食類而載之南宋齊梁陳北魏周齊隋上承晉下接唐所載始備然其間年月又多有不合者其說誠是葢南宋何承天祖冲之制厯頗精後南北亂離疇人失業諸國所書彼此互異如周厯尤益疎則何怪乎年月之不合也今以法推諸日食其差者夜食居多亦有應食而史不書者其失可知矣古今律厯考卷二十三
## 卷二十四
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十四 明 邢雲路 撰歴代日食五歴代日食厯唐唐高祖武徳元年戊寅嵗十月壬申朔日食推是年過交不應食武徳四年辛巳八月丙戌朔日食八月交一十四日三八月朔二十二日二丙戌卯時是八月丙戌朔卯時日食武徳六年癸未十二月壬寅朔日食綱目無十二月交二十七日一十二月朔三十八日六壬寅未時是十二月壬寅朔未時日食綱目漏武徳九年丙戌嵗十月丙辰朔日食十月交二十六日六六十月朔五十二日四七丙辰午時是十月丙辰朔午時日食太宗貞觀元年丁亥嵗閏三月癸丑朔日食九月庚戌朔日食四月交一十三日三六四月朔四十九日六五癸丑申時九月交五刻九月朔四十六日四五庚戌巳時推是年四月癸丑朔申時日食九月庚戌朔巳時日食蓋是年閏五月而唐厯閏三月非貞觀二年戊子嵗三月戊申朔日食三月交一十三日九三月朔四十四日四戊申巳時是三月戊申朔巳時日食貞觀三年己丑嵗八月己巳朔日食八月交二十六日一六八月朔五日五五己巳未時是八月己巳朔未時日食貞觀四年庚寅嵗閏正月丁卯朔日食七月甲子朔日食綱目書年前閏十二月正月無閏正月交一十二日八閏正月朔三日二四丁卯卯時七月交二十六日七七月朔二十五刻甲子卯時是閏正月丁夘朔夘時日食七月甲子朔夘時日食綱目非貞觀六年壬辰嵗正月乙夘朔日食正月交一十四日正月朔五十一日六乙夘未時是正月乙夘朔未時日食貞觀八年甲午嵗五月辛未朔日食推是年五月辛未朔亥時合朔夜食不書史誤貞觀九年乙未嵗閏四月丙寅朔日食五月交二十八刻五月朔二日三丙寅辰時推是年五月丙寅朔辰時日食蓋是年應閏六月五月丙寅日合朔甲子日小滿四月中尚先朔二日則四月安得有閏貞觀十一年丁酉嵗三月丙戌朔日食三月交二十六日三三月朔二十二日二六丙戌夘時是三月丙戌朔夘時日食貞觀十二年戊戌嵗閏二月庚辰朔日食三月交二十七日三月朔一十六日七八庚辰酉時推是年三月庚辰酉時合朔日食非閏二月蓋是年三月晦己酉穀雨閏三月庚戌合朔四月朔己夘小滿則閏三月無中氣應閏三月也二月晦己夘春分三月庚辰合朔則二月安得有閏史誤貞觀十三年己亥嵗八月辛未朔日食八月交一十四日三八月朔七日六一辛未未時是八月辛未朔未時日食貞觀十七年癸夘嵗六月己夘朔日食六月交一十四日四二六月朔一十五日三一己夘辰時是六月己卯朔辰時日食貞觀十八年甲辰嵗十月辛丑朔日食十月交二十六日六二十月朔三十七日六四辛丑申時是十月辛丑朔申時日食貞觀二十年丙午嵗閏三月癸巳朔日食四月交一十三日九三四月朔二十九日六三癸巳申時推是年四月癸巳朔申時日食非閏三月朔蓋是年三月辛夘日穀雨四月癸巳日合朔四月辛酉晦小滿五月壬戌朔夏至則應閏四月也三月安得有閏史誤貞觀二十二年戊申嵗八月己酉朔日食八月交二十六日七四八月朔四十五日五九己酉未時是八月己酉朔未時日食高宗顯慶五年庚申嵗六月庚午朔日食六月交一十三日七八六月朔六日五一庚午午時是六月庚午朔午時日食龍朔元年辛酉嵗五月甲子晦日食綱目無六月交一十四日三九六月朔五十二刻甲子午時推是年六月甲子朔午時日食非五月晦綱目漏麟德二年乙丑嵗閏三月癸酉日食史不書朔四月交一十四日五四月朔九日四七癸酉午時推是年四月癸酉朔午時日食非閏三月癸酉是年閏五月三月無閏史不書朔食二日也史誤步閏三月又誤步食二日乾封二年丁夘嵗八月己酉朔日食八月交一十刻八月朔二十五日五二己丑午時推是年八月己丑朔午時日食非己酉朔想修史者誤書丑為酉耳總章二年己巳嵗六月戊申朔日食六月交二十六日二六月朔四十四日三戊申辰時是六月戊申朔辰時日食咸亨元年庚午嵗六月壬寅朔日食六月交二十六日八二六月朔三十八日四七壬寅午時是六月壬寅朔午時日食咸亨二年辛未嵗十一月甲午朔日食十一月交一十四日一二十一月朔三十日六一甲午未時是十一月甲午朔未時日食咸亨三年壬申嵗十一月戊子朔日食十一月交一十四日七三十一月朔二十四日六戊子未時是十一月戊子朔未時日食上元元年甲戌嵗三月辛亥朔日食三月交二十六日九三三月朔四十七日二一辛亥卯時是三月辛亥朔夘時日食永隆元年庚辰嵗十一月壬申朔日食十一月交二十六日五五十一月朔八日四二六壬申巳時是十一月壬申朔巳時日食開耀元年辛巳嵗十月丙寅朔日食十月交二十七日一六十月朔二日三五丙寅辰時是十月丙寅朔辰時日食永淳元年壬午嵗四月甲子朔日食十月庚申朔日食綱目無十月四月交一十三日八六四月朔二十六刻甲子夘時十月交五十五刻十月朔五十六日五庚申午時是四月甲子朔夘時日食十月庚申朔午時日食綱目漏十月中宗三年丙戌嵗即武后垂拱二年二月辛未朔日食二月交一十三日九七二月朔七日五八辛未未時是二月辛未朔未時日食漢唐秘史載是食於垂拱元年非中宗五年戊子嵗即武后垂拱四年六月丁亥朔日食六月交二十六日七八六月朔二十三日七七丁亥酉時是六月丁亥朔酉時日食中宗八年辛夘嵗即武后天授二年四月壬寅朔日食四月交二十六日二八四月朔三十八日二五壬寅卯時是四月壬寅朔卯時日食中宗九年壬辰嵗即武后如意又改長夀元年四月丙申朔日食綱目無四月交二十六日八九四月朔三十二日六九丙申申時是四月丙申朔申時日食綱目漏中宗十年癸巳嵗即武后長夀二年九月丁亥朔日食九月交一十四日二九月朔二十三日六一丁亥未時是九月丁亥朔未時日食中宗十一年即武后延載元年九月壬午朔日食推是年九月朔過交不應食中宗十二年乙未嵗即武后證聖又改萬嵗元年二月己酉朔日食二月交二十六日四二月朔四十五日五己酉午時是二月己酉朔午時日食中宗十七年庚子嵗即武后聖厯三年又改久視元年五月己酉朔日食五月交一十三日八二五月朔四十五日六三己酉申時是五月己酉朔申時日食中宗十九年壬寅嵗即武后長安二年九月乙丑朔日食不盡如鉤九月交二十六日六三九月朔一日六三乙丑申時是九月乙丑朔申時日食中宗二十年癸夘嵗即武后長安三年三月壬戌朔日食九月庚寅朔日食既三月交一十三日三三三月朔五十八日六一壬戌未時八月交二刻九八月朔五十六日一五庚申寅時推是年三月壬戌朔未時日食八月庚申朔寅時日食寅初刻食則卯初不見其虧矣然非九月亦非庚寅蓋是年應閏五月而唐厯未閏故以八月作九月中宗復位神龍三年即景龍元年丁未嵗六月丁卯朔日食十二月乙丑朔日食六月交二十六日三五六月朔三日五丁夘午時十二月交一十四日十二月朔一日三一乙丑辰時是六月丁夘朔午時日食十二月乙丑朔辰時日食𤣥宗先天元年壬子嵗九月丁夘朔日食九月交一十四日七七九月朔三日五七丁夘未時推是年九月丁夘日未時日食然交過刻餘雖食不多開元三年乙夘嵗七月庚辰朔日食七月交一十四日二八七月朔一十六日四三庚辰巳時是七月庚辰朔巳時日食開元七年己未嵗五月己丑朔日食五月交一十四日三九五月朔二十五日三三己丑辰時是五月己丑朔辰時日食開元九年辛酉嵗九月乙巳朔日食九月交二十七日二九月朔四十一日四九乙巳午時是九月乙巳朔午時日食開元十二年甲子嵗閏十二月丙辰朔日食十三年正月交一十三日四一十三年正月朔五十二日五三丙辰午時推開元十三年乙丑嵗正月丙辰朔午時日食非十二年閏十二月朔食蓋是年應閏正月而漢厯誤閏十二月法推十二月晦前甲寅日大寒正月丙辰日合朔則十二月安得有閏正月晦甲申雨水閏正月朔乙酉二月朔乙夘春分其閏正月明矣開元十七年己巳嵗十月戊午朔日食不盡如鉤十月交一十四日一三十月朔五十四日二九戊午夘時是十月戊午朔夘時日食開元二十年壬申嵗二月甲戌朔日食八月辛未朔日食二月交二十六日九四二月朔十日八甲戌戌時八月交一十三日六三八月朔七日六辛未未時推是年二月甲戌朔戌初刻合朔則酉末尚見其虧也八月辛未朔未時日食開元二十一年癸酉嵗七月乙丑朔日食七月交一十四日二四七月朔一日七六乙丑酉時是七月乙丑朔酉時日食開元二十二年甲戌嵗十二月戊子朔日食十二月交二十六日四四十二月朔二十四日四四八戊子巳時是十二月戊子朔巳時日食開元二十三年乙亥嵗閏十一月壬午朔日食綱目載閏十月朔閏十一月交二十七日閏十一月朔一十八日三六壬午辰時推是年十一月晦辛巳冬至閏十一月朔壬午十二月朔壬子大寒是閏十一月朔壬午辰時日食綱目載閏十月朔非開元二十六年戊寅嵗九月丙申朔日食九月交二十六日五六九月朔三十二日二六丙申卯時是九月丙申朔卯時日食開元二十八年庚辰嵗三月丁亥朔日食三月交一十三日八六三月朔二十三日五六丁亥未時是三月丁亥朔未時日食天寶元年壬午嵗七月癸夘朔日食七月交二十六日六七七月朔三十九日六二九癸夘申時是七月癸夘朔申時日食天寶五載丙戌嵗五月壬子朔日食五月交二十六日七九五月朔四十八日五四壬子未時是五月壬子朔未時日食天寶十三載甲午嵗六月乙丑朔日食不盡如鉤六月交一十三日七一六月朔一日五乙丑午時是六月乙丑朔午時日食肅宗至徳元載丙申嵗十月辛巳朔日食既十月交二十六日五二十月朔一十七日六七辛巳申時是十月辛巳朔申時日食乾元二年己亥嵗二月月食既終綱目書月食止此二月交二十六日八八二月朢四十八日九五是二月十五日壬子亥正刻合朢月食上元二年辛丑嵗七月癸未朔日食既大星皆見七月交三刻五七月朔一十九日七二癸未酉時是七月癸未朔酉時日食代宗大厯三年戊申嵗三月乙巳朔日食三月交二十六日八七三月朔四十一日六一乙巳未時是三月乙巳朔未時日食大厯十年乙夘嵗十月辛酉朔日食十月交二十七日十月朔五十七日五辛酉午時是十月辛酉朔午時日食大厯十四年己未嵗七月戊辰朔日食十二月丙寅晦日食七月交○刻○二分七月朔四日八三二戊辰戌時十五年正月交一十三日九一十五年正月朔二日六一丙寅未時推大厯十四年七月戊辰朔戌初刻日食大厯十五年正月丙寅朔未時日食非十四年十二月晦德宗貞元二年丙寅嵗八月辛巳朔日食綱目不載是年食九月交一十三日五三九月朔二十三日五九丁亥未時推是年九月丁亥朔未時日食八月戊午朔無辛巳亦不入交不應食綱目不載是年食亦非貞元三年丁夘嵗八月朔日食見綱目史無八月交一十四日一二八月朔一十六日八七庚辰戌時推是年八月庚辰朔戌正刻合朔日入酉正刻不見其虧矣史無是貞元五年己巳嵗正月甲辰朔日食綱目無正月交二十六日三三正月朔四十日四四甲辰巳時是正月甲辰朔巳時日食綱目漏貞元八年壬申嵗十一月壬子朔日食十一月交二十六日四五十一月朔四十八日三五壬子辰時是十一月壬子朔辰時日食貞元十二年丙子嵗八月己未朔日食八月交二十六日五六八月朔五十五日五五己未未時是八月己未朔未時日食貞元十七年辛巳嵗五月壬戌朔日食五月交七刻八五月朔五十八日三六壬戌辰時是五月壬戌朔辰時日食憲宗元和三年戊子嵗七月辛巳朔日食七月交一十三日六七月朔一十七日四辛巳巳時是七月辛巳朔巳時日食元和十年乙未嵗八月己亥朔日食八月交二十六日一四八月朔三十五日四八己亥午時是八月己亥朔午時日食元和十三年戊戌嵗六月癸丑朔日食六月交二十六日六四六月朔四十九日六二癸丑未時是六月癸丑朔未時日食穆宗長慶二年壬寅嵗四月辛酉朔日食四月交二十六日七六四月朔五十七日五一辛酉午時是四月辛酉朔午時日食長慶三年癸夘嵗九月壬子朔日食綱目無九月交一十四日九月朔四十八日三壬子辰時是九月壬子朔辰時日食綱目漏文宗太和八年甲寅嵗二月壬午朔日食二月交一十三日八二月朔一十八日二二壬午夘時是二月壬午朔夘時日食開成元年丙辰嵗正月辛丑朔日食正月交一十二日七正月朔三十七日二五辛丑夘時是正月辛丑朔夘時日食武宗會昌三年癸亥嵗二月庚申朔日食二月交二十六日二三二月朔五十六日三九庚申巳時是二月庚申朔巳時日食會昌四年甲子嵗二月甲寅朔日食綱目書三月朔二月交二十六日八三二月朔五十日四一甲寅巳時是二月甲寅朔巳時日食綱目載三月朔非會昌五年乙丑嵗七月丙午朔日食七月交一十四日一四七月朔四十二日三三四丙午巳時是七月丙午朔巳時日食會昌六年丙寅嵗十二月戊辰朔日食十二月交二十六日三四十二月朔四日四七戊辰午時是十二月戊辰朔午時日食宣宗大中二年戊辰嵗五月己未朔日食五月交一十二日六五五月朔五十五日三九己未巳時是五月己未朔巳時日食大中八年甲戌嵗正月丙戌朔日食正月交一十二日六六正月朔二十二日六六丙戌申時是正月丙戌朔申時日食懿宗咸通四年癸未嵗七月辛卯朔日食七月交一十四日一七月朔二十七日六六辛夘申時是七月辛夘朔申時日食僖宗乾符三年丙申嵗九月乙亥朔日食推是年九月朔不入交不應食乾符四年丁酉嵗四月壬申朔日食推是年四月壬申日丑時合朔夜食不書史誤乾符六年己亥嵗四月庚申朔日食推是年四月朔過交不應食文德元年戊申嵗三月戊戌朔日食既三月交一十三日七三月朔三十四日四八戊戌午時是三月戊戌朔午時日食昭宣帝天祐元年甲子嵗十月辛夘朔日食十月交二十六日三十月朔二十七日五六辛夘未時是十月辛夘朔未時日食天祐三年丙寅嵗四月癸未朔日食四月交一十三日六五四月朔一十九日七九癸未酉時是四月癸未朔酉時日食開元間二當食不食見大衍日食議開元十二年甲子嵗七月戊午朔日食七月交二十六日七一七月朔五十四日三戊午辰時是七月戊午朔辰時日食開元十三年乙丑嵗十二月庚戌朔日食十二月交一十四日十二月朔四十六日六三庚戌申時是十二月庚戌朔申時日食唐厯較漢厯稍宻而有一晦食一二日食者推龍朔之五月晦實六月朔麟徳之閏三月二日實四月一日也日官誤矣若開元十二年七月朔十三年十二月朔二日食僧一行日食議於厯當食候之不食授時推亦當食則日度之失行也五季梁太祖開平三年己巳嵗二月朔日食見綱目二月交一十三日一六二月朔三十三日三一丁酉辰時是二月丁酉朔辰時日食史漏乾化元年辛未嵗正月丙戌朔日食正月交一十四日三八正月朔二十二日四四丙戌巳時是正月丙戌朔巳時日食少帝龍德元年辛巳嵗六月朔日食見綱目六月交一十四日一六月朔五十一日四二乙夘巳時是六月乙夘朔巳時日食史漏龍德三年癸未嵗十月辛未朔日食十月交二十六日九二十月朔七日五一辛未午時是十月辛未朔午時日食唐莊宗同光三年乙酉嵗四月癸亥朔日食推是年四月癸亥朔丑時夜食不書明帝天成元年丙戌嵗八月乙酉朔日食八月交二十六日四三八月朔二十一日三一乙酉辰時是八月乙酉朔辰時日食天成二年丁亥嵗八月己夘朔日食八月交二十七日八月朔一十五日四九己夘午時是八月己夘朔午時日食天成三年戊子嵗二月朔日食見綱目五月丁丑其日陰雲不見百官稱賀見史綱目無五月二月交一十三日七三二月朔一十三日三三戊寅辰時推是年二月戊寅朔辰時日食以推五月朔丁巳無丁丑交泛二十日不入食限史稱五月丁丑非史漏二月綱目無五月是長興元年庚寅嵗六月癸巳朔日食六月交二十六日五四六月朔二十九日三二癸巳辰時是六月癸巳朔辰時日食長興二年辛夘嵗十一月甲申朔日食十一月交一十三日八五十一月朔二十日四甲申巳時是十一月甲申朔巳時日食晉高祖天福二年丁酉嵗正月乙夘朔三日日食綱目不書朔正月交二十六日一六正月朔五十一日二五乙夘夘時推是年正月一日乙夘夘時合朔日食史書朔三日綱目不書朔皆非天福三年戊戌嵗正月戊申朔日食綱目不書朔正月交二十六日七七正月朔四十五日八一己酉酉時推是年正月己酉朔酉時日食非戊申朔綱目不書朔亦非天福四年己亥嵗七月庚子朔日食閏六月交一十四日閏六月朔三十六日六七庚子申時推是年六月晦己亥大暑閏六月朔庚子申時合朔七月朔己巳午時處暑夜子初刻合朔閏六月無中氣乃閏六月庚子朔申時日食非七月朔天福七年壬寅嵗四月甲寅朔日食綱目無閏四月交一十三日五八閏四月朔五十日二七甲寅夘時推是年四月晦癸丑亥時小滿閏四月甲寅朔夘時合朔五月朔癸未亥時合朔五月二日甲申夏至則閏四月無中氣是閏四月甲寅朔夘時日食非四月朔綱目漏天福八年癸夘嵗四月戊申朔日食四月交一十四日一九四月朔四十四日三九戊申巳時是四月戊申朔巳時日食少帝開運元年甲辰嵗九月庚午朔日食九月交二十六日三六九月朔六日六九庚午申時是九月庚午朔申時日食開運二年乙巳嵗八月甲子朔日食八月交二十七日八月朔六十刻甲子未時是八月甲子朔未時日食開運三年丙午嵗二月壬戌朔日食二月交一十三日七二月朔五十八日七一壬戌酉時是二月壬戌朔酉時日食漢隠帝乾祐元年戊申嵗六月戊寅朔日食六月交二十六日五六月朔一十四日七一戊寅酉時是六月戊寅朔酉時日食乾祐二年己酉嵗六月癸酉朔日食六月交二十七日一六月朔九日二九癸酉夘時是六月癸酉朔夘時日食乾祐三年庚戌嵗十一月甲子朔日食十一月交一十四日四二十一月朔二十八刻甲子夘時是十一月甲子朔夘時日食周太祖廣順二年壬子嵗四月丙戌朔日食四月交二十六日六四月朔二十二日二三丙戌夘時是四月丙戌朔夘時日食廣順二年壬子嵗冬十一月己夘日南至遼行拜日禮見綱目冬至一十五日三八是十一月二十七日己夘巳時初一刻冬至周世宗仍稱顯德二年乙夘嵗二月朔日食見綱目二月交二十六日一三二月朔三十六日六六庚子申時是二月庚子朔申時日食史漏顯德五年戊午嵗五月朔日食見綱目七月交一十四日六七月朔一十六日六六庚辰申時推是年七月庚辰朔申時日食五月不入交不應食綱目非史漏五代史司天考論曰五代亂世文字不完史官所記亦有詳略夫所記且略能保不誤耶其交食有漏者非者失閏者無惑其然古今律厯考卷二十四
## 卷二十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十五 明 邢雲路 撰歴代日食六歴代日食厯宋宋太祖建隆元年庚申嵗五月己亥朔日食五月交一十三日五五五月朔三十五日五七己亥未時是五月己亥朔未時日食建隆二年辛酉嵗四月癸巳朔日食四月交一十四日一五四月朔二十九日七癸巳申時是四月癸巳朔申時日食乾徳三年乙丑嵗二月壬寅朔日食驗天不食二月交一十四日二七二月朔三十七日四六壬寅午時推是年二月壬寅朔午時日食(此當食不食之類議在總詳)乾徳五年丁夘嵗六月戊午朔日食六月交二十七日六月朔五十四日六二戊午未時是六月戊午朔未時日食開寳元年戊辰嵗十二月己酉朔日食綱目無十二月交一十四日三八十二月朔四十五日六九己酉申時是十二月己酉朔申時日食綱目漏開寳三年庚午嵗四月辛未朔日食四月交二十六日五八四月朔七日五六辛未未時是四月辛未朔未時日食開寳四年辛未嵗十月癸亥朔日食十月交一十三日八九十月朔五十九日四五癸亥巳時是十月癸亥朔巳時日食開寳五年壬申嵗九月丁巳朔日食九月交一十四日五九月朔五十三日四二丁巳巳時是九月丁巳朔巳時日食開寳七年甲戌嵗二月庚辰朔日食二月交二十六日七二月朔二十六日三一庚辰辰時是二月庚辰朔辰時日食開寳八年乙亥嵗七月辛未朔日食七月交一十四日七月朔七日二八辛未夘時是七月辛未朔夘時日食太宗太平興國二年丁丑嵗十一月丁亥朔日食既十一月交二十六日八一十一月朔二十三日六七丁亥申時是十一月丁亥朔申時日食太平興國六年辛巳嵗九月乙未朔日食九月交二十六日九三九月朔三十一日二乙未寅時是九月乙未朔寅正刻日食則卯猶見其初虧太平興國七年壬午嵗三月癸巳朔日食十二月朔日食十二月見綱目史無三月交一十三日六二三月朔二十九日三二癸巳辰時推是年三月癸巳朔辰時日食十二月朔不入交不應食綱目非太平興國八年癸未嵗二月戊子朔日食推是年閏正月二月丁亥朔亥時夜食不書二月初二戊子日春分史載二月戊子朔日食非雍熙二年乙酉嵗十二月庚子朔日食十二月交一十三日七四十二月朔三十六日四九庚子午時是十二月庚子朔午時日食雍熈三年丙戌嵗六月戊戌朔日食六月交四十四刻六月朔三十四日二二戊戌寅時是六月戊戌朔寅正刻日食淳化二年辛夘嵗閏二月辛未朔日食閏二月交二十六日閏二月朔七日二六辛未夘時是閏二月辛未朔夘時日食淳化三年壬辰嵗二月乙丑朔日食二月交二十六日六六二月朔一日六七乙丑申時是二月乙丑朔申時日食淳化四年癸巳嵗二月己未朔日食八月朔日食八月食見綱目史無二月交六刻二二月朔五十五日七五己未酉時八月交一十三日九七八月朔五十二日六六丙辰申時是二月己未朔酉時日食八月丙辰朔申時日食史無八月漏淳化五年甲午嵗十二月戊寅朔日食是日陰雪不見與不食同羣臣稱賀十二月交二十六日一七十二月朔一十四日四戊寅巳時是十二月戊寅朔巳時日食陰雪不見在天未甞不食也烏得與不食同羣臣稱賀諂也真宗咸平元年戊戌嵗五月戊午朔日食十月丙戌朔日食五月交一十四日六九五月朔五十四日六九戊午申時十月交二十六日二八十月朔二十二日五六丙戌未時是五月戊午朔申時日食十月丙戌朔未時日食咸平二年己亥嵗九月庚辰朔日食九月交二十六日八九九月朔一十六日五三庚辰午時是九月庚辰朔午時日食咸平三年庚子嵗三月戊寅朔日食三月交一十三日五九三月朔一十四日八二戊寅戌時是三月戊寅朔戌初刻日食則酉猶見其虧咸平五年壬寅嵗七月甲午朔日食七月交二十六日四七月朔三十日六六甲午申時是七月甲午朔申時日食景德元年甲辰嵗十二月庚辰朔日食十二月交一十四日三一十二月朔一十六日四二庚辰巳時是十二月庚辰朔巳時日食景德三年丙午嵗五月壬寅朔日食雲陰不見五月交二十六日五五月朔三十八日一一壬寅丑時推是年五月壬寅朔丑正刻合朔夜食不書宋誤景德四年丁未嵗五月丙申朔日食十月甲午朔日食雲陰不見綱目無十月五月交二十七日一二五月朔三十二日六六丙申申時推是年五月丙申朔申時日食其十月甲午朔則寅初刻夜食不書綱目刪之是也大中祥符二年己酉嵗三月丙辰朔日食陰雨不見三月交二十六日三月朔五十二日六六丙辰申時是三月丙辰朔申時日食大中祥符五年壬子嵗八月丙申朔日食八月交一十四日五四八月朔三十二日五五丙申未時是八月丙申朔未時日食大中祥符六年癸丑嵗十二月戊午朔日食十二月交二十六日七四十二月朔五十四日三八戊午巳時是十二月戊午朔巳時日食大中祥符七年甲寅嵗十二月癸丑朔日食驗天不食綱目書司天監奏日食不應羣臣表賀十二月交一十四刻十二月朔四十九日三刻癸丑子時推是年十二月癸丑朔子時夜食不書司天監誤推在晝羣臣表賀非大中祥符八年乙夘嵗六月己酉朔日食六月交一十四日六月朔四十五日五己酉午時是六月己酉朔午時日食天禧三年己未嵗三月戊午朔日食三月交一十四日一六三月朔五十四日二戊午巳時是三月戊午朔巳時日食天禧五年辛酉嵗七月甲戌朔當食既測驗及四分止七月交二十六日九七七月朔一十日五甲戌午時是七月甲戌朔午時日食乾興元年壬戌嵗七月甲子朔日食幾盡七月交四十六刻七月朔四日八戊辰戌時推是年七月戊辰朔戌初刻日食則酉猶見其虧天正經朔得壬辰以步至七月戊辰合朔是嵗並無甲子朔史載七月甲子朔相差五日仁宗天聖二年甲子嵗五月丁亥朔日當食候之不食司天監奏日食不應中書奉表稱賀五月交二十六日四八五月朔二十三日四二丁亥巳時推是年五月丁亥朔巳時日食天聖四年丙寅嵗十月甲戌朔日食十月交一十四日三九十月朔九日三九癸酉巳時推是年十月癸酉朔巳時日食非甲戌朔天聖六年戊辰嵗三月丙申朔日食三月交二十六日五九三月朔三十二日二二丙申卯時是三月丙申朔夘時日食天聖七年己巳嵗八月丁亥朔日食八月交一十三日九八月朔二十三日二七丁亥夘時是八月丁亥朔夘時日食明道二年癸酉嵗六月甲午朔日食六月交一十四日六月朔三十日八二四甲午戌時是六月甲午朔戌時日食則酉時及見其虧景祐三年丙子嵗四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半候之不食綱目無四月交一十三日五二四月朔四十五日二七己酉夘時推是年四月己酉朔夘時日食宋人候之不食然日食三分以下不救寶元元年戊寅嵗正月丙辰朔日食六分申一刻復綱目無推是年正月經朔戊戌無丙辰交泛十日不入食限史載食六分申一刻復非也綱目刪之是康定元年庚辰嵗正月丙辰朔日食正月交一十三日六三正月朔五十二日五五丙辰未時推是年十二月晦丙戌大寒閏十二月朔丁亥正月丙辰朔雨水是日未時日食合戊寅年六月日官楊惟德等言來嵗閏十二月則庚辰嵗正月朔日當食請移閏於庚辰則日食在前正月之晦帝曰閏所以正天時而授民事其可曲避乎不許至是知諫院富弼請罷宴徹樂就舘賜北使酒食執政不可弼曰萬一契丹行之豈不為朝廷羞既而聞契丹罷宴帝深悔之嗟乎日官所司何事而欲移臘於春易朔為晦謂欽天何執政之見亦猶之乎日官也慶厯二年壬午嵗六月壬申朔日食五分至酉六刻帶二分入濁不見六月交二十六日四四六月朔八日七六壬申酉時是六月壬申朔酉正刻日食帶食入地合慶厯三年癸未嵗五月丁夘朔日食五月交二十七日五月朔三日二一丁夘夘時是五月丁夘朔夘時日食慶厯四年甲申嵗十一月戊申朔日當食不食綱目無十一月交一十四日三五十一月朔五十四日六九戊午申時推是年十一月戊午朔申時日食宋厯誤推戊申朔夫戊午去戊申十日而以為日當食不食耶即此一事可證宋時當食不食有是與非之辨慶厯五年乙酉嵗四月丁亥朔日應食而雲晦不見四月交二十五日九五四月朔二十三日二一丁亥夘時是四月丁亥朔夘時日食慶厯六年丙戌嵗三月辛巳朔日食四分半申三刻復三月交二十六日五五三月朔一十七日五七辛巳未時是三月辛巳朔未時日食則申時復合皇祐元年己丑嵗正月甲午朔日食正月交二十六日正月朔三十日四八甲午午時是正月甲午朔午時日食皇祐四年壬辰嵗十一月壬寅朔日食食二分弱未正一刻復十一月交二十六日一七十一月朔三十八日五四壬寅午時是十一月壬寅朔午時日食則未時復合皇祐五年癸巳嵗十月丙申朔日食午正一刻食至四分半十月交二十六日七八十月朔三十二日五二丙申午時是十月丙申朔午時日食至和元年甲午嵗四月甲午朔日食九分餘缺於西南申正一刻甚四月交一十三日四八四月朔三十日七甲午申時是四月甲午朔未時日食則申時食甚合綱目書是日用牲於社按春秋莊公二十五年辛未朔日有食之鼓用牲於社傳曰諸侯用幣於社伐鼓於朝退而自省然則鼓用牲於社何以書譏不鼓於朝而鼓於社又用牲則非禮矣夫魯以諸侯之國用牲於社春秋譏之宋以天子行諸侯之禮奚取焉綱目揭而書之所以深譏之也嘉祐元年丙申嵗八月庚戌朔日食二分八月交二十六日二九八月朔四十六日六七庚戌申時是八月庚戌朔申時日食嘉祐三年戊戌嵗八月己亥朔日食三分半八月交二十九刻八月朔三十五日三二己亥辰時是八月己亥朔辰時日食嘉祐四年己亥嵗正月丙申朔日食食三分餘未初三刻復占曰受嵗而食王者惡之日官欲改戊戌年十二月閏以避之詔不許綱目書是日用牲於社正月交一十四日二正月朔三十二日五丙申午時是正月丙申朔午時日食則未時復合日官欲移閏以避之仁宗用牲於社下從諸侯之制君臣胥失之矣綱目書用牲於社譏之也嘉祐六年辛丑嵗六月壬子朔日食未初刻司天言當食六分食四分入雲而雨不見羣臣欲賀司馬光諫止之六月交二十七日六月朔四十八日五六壬子未時是六月壬子朔未時日食司天言當食六分及候之食四分入雲而雨不見何可賀之有而羣臣欲稱賀耶司馬光言京師不見四方必有見者且云食不滿分乃厯官術數不精當治其罪皆至言也英宗治平三年丙午嵗九月朔日食見綱目史無九月交一十四日四三九月朔四十八日五六壬子未時是九月壬子朔未時日食史漏神宗熈寧元年戊申嵗正月甲戌朔日食正月交二十六日八二正月朔一十日四九甲戌午時是正月甲戌朔午時日食熈寧二年己酉嵗七月乙丑朔日食太史言食八分陰雲不見七月交一十三日九四七月朔一日三四乙丑辰時是七月乙丑朔辰時日食熈寧六年癸丑嵗四月甲戌朔日食陰雲不見羣臣稱賀從之四月交一十四日四月朔十日二七甲戌夘時是四月甲戌朔夘時日食史載先是司天奏四月朔日當食帝自三月即避殿减膳降天下罪囚一等至是雲陰不見王安石等進賀以為盛德所感乞御殿復膳從之夫君方向善而引入於非安石之罪可勝誅哉熈寧八年乙夘嵗八月庚寅朔日食陰雲不見八月交二十六日八六八月朔二十六日四二庚寅巳時是八月庚寅朔巳時日食元豐元年戊午嵗六月癸夘朔太史言當食驗之不食綱目載食六月交二十六日三七六月朔三十九日二六癸夘夘時是六月癸夘朔夘時日食史云驗之不食而綱目載食想當時原食也元豐三年庚申嵗十一月己丑朔日食十一月交一十四日二八十一月朔二十五日三己丑辰時是十一月己丑朔辰時日食元豐四年辛酉嵗十一月癸未朔太史言日當食驗之不食十一月交一十四日八九推是年十一月朔交過食限不應食厯官誤推當食騐之不食是元豐五年壬戌嵗四月壬子朔日食陰雲不見推是年四月壬子朔寅時夜食不書史誤元豐六年癸亥嵗九月癸夘朔日食九月交一十三日七九九月朔三十九日三一癸夘辰時是九月癸夘朔辰時日食哲宗元祐二年丁夘嵗七月庚戌朔日食陰雲不見七月交一十三日九七月朔四十六日六五庚戌申時是七月庚戌日申時日食元祐六年辛未嵗五月己未朔日食五月交一十四日五月朔五十五日五八己未未時是五月己未朔未時日食紹聖元年甲戌嵗三月壬申朔日食三月交一十三日五二三月朔八日五七壬申未時是三月壬申朔未時日食紹聖二年乙亥嵗二月丁夘朔太史言日當食驗之不食二月交一十四日一三二月朔三日一五推是年二月丁夘寅初刻夜食不書太史誤推在晝驗天不食是紹聖四年丁丑嵗六月癸未朔日食雲陰不見推是年六月癸未朔寅初刻合朔夜食不書史誤元符三年庚辰嵗四月丁酉朔日食四月交二十六日四四月朔三十三日四七丁酉巳時是四月丁酉朔巳時日食徽宗建中靖國元年辛巳嵗四月辛夘朔日食陰雲不見四月交一十五日四六四月朔二十七日四一辛夘巳時是四月辛夘朔巳時日食崇寧五年丙戌嵗七月朔日當食不虧十二月朔日當食不虧羣臣稱賀見綱目七月交一十四日四七七月朔二十六日四九庚寅午時十二月交二十六日十二月朔五十四日五六戊午未時推是年七月庚寅朔午時日食十二月戊午朔未時日食綱目書不虧史俱不載大觀元年丁亥嵗十一月壬子朔日食綱目閏十月閏十一月交二十六日六七閏十一月朔四十八日五六壬子未時推是年閏十一月壬子朔未時日食蓋是年閏十一月壬子日午時合朔是日冬至宋厯誤閏十月大觀二年戊子嵗五月庚戌朔日食五月交一十三日三七五月朔四十六日五庚戌午時是五月庚戌朔午時日食大觀四年庚寅嵗九月丙寅朔日食九月交二十六日一八九月朔二日六六丙寅申時是九月丙寅朔申時日食政和三年癸巳嵗三月壬子朔日食三月交一十四日一三月朔四十八日五五壬子未時是三月壬子朔未時日食政和五年乙未嵗七月戊辰朔日食七月交二十六日九七月朔四日四八戊辰午時是七月戊辰朔午時日食重和元年戊戌嵗五月壬午朔日食五月交二十六日四五月朔一十八日六七壬午申時是五月壬午朔申時日食宣和元年即金太祖天輔三年己亥嵗四月丙子朔日食四月交二十七日四月朔一十二日七八丙子酉時是四月丙子朔酉時日食宣和二年即金天輔四年庚子嵗金書十月戊辰朔日食宋無十月交一十四日三二十月朔四日五五戊辰未時是十月戊辰朔未時日食宋漏宣和四年即金天輔六年壬寅嵗金書二月庚寅朔日食宋無二月交二十六日五二二月朔二十六日五五庚寅未時是二月庚寅朔未時日食宋漏宣和五年即金天輔七年癸夘嵗八月辛巳朔日食雲陰不見八月交一十三日八三八月朔一十七日二四辛巳夘時是八月辛巳朔夘時日食宋太祖至徽欽都汴京凡一百六十七年載諸日食其合者與誤者無論乃其當食不食者有十乾德三年二月大中祥符七年十二月天聖二年五月景祐三年四月慶厯四年十一月元豐元年六月四年十一月紹聖二年二月崇寧五年七月十二月皆當食驗天不食者也夫自厯代以來凡載當食不食者以法布筭率皆原不當食何宋以百六十餘年之間而遂有當食不食至十數之多也考僧一行日食議云開元十二年七月戊午朔十三年十二月庚戌朔俱推當食驗天不食以法推果然然則日之在天原有當食不食日月失行之致也然間一失行百分之一則有之不應如宋之太數也者反覆詳推乃有是與非之辨焉法推大中祥符七年十二月朔夜食紹聖二年二月朔夜食元豐四年十一月朔過交皆原不當食者也景祐三年四月史書食二分餘凡不及三分不救與不食同元豐元年六月朔史書未食而綱目載食想當時原食也崇寧五年七月朔十二月朔史俱不載而綱目有之想當時日官誤推不食既而見其食則諱而削之未可知也若慶厯四年十一月則以戊午食誤推戊申食相隔十日以為當食不食舛也甚矣惟乾德三年二月朔天聖二年五月朔則真當食不食為日度失行矣是其當食不食才二非真十也當食不食止二乃宋厯槩書十數若謂天數常乖可飾已誤布之短者然而日偶失行旋復其常以法布筭千載亡易也宋人步厯不精動稱天行無定或是已寃天或援天從已躱閃蓋藏載未必實當食不食動欲稱賀日暫入雲亦輒稱賀如夜食如過交亦曰驗天不食步乾興元年七月以戊辰推甲子相差五日步慶厯四年十月以戊午推戊申相差十日夫日且差而何有於時刻則其乾德三年二月天聖二年五月之二事或亦誤布未可知倘其誤步在夘辰候已不食及至當食之時在己午乃為雲雨掩蔽彼亦曰當食不食恐或有之耳何則宋日官工彌縫甚至於康定元年嘉祐四年兩正月朔兩露章以請欲移閏以避之是可為也孰不可為也古今律厯考卷二十五
## 卷二十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十六 明 邢雲路 撰厯代日食七厯代日食厯宋(南渡)髙宗建炎三年即金太宗天㑹七年己酉嵗九月丙午朔日食九月交二十六日七五九月朔四十二日四一丙午巳時是九月丙午朔巳時日食紹興五年即金天㑹十三年乙卯嵗正月乙巳朔日食金書丙午朔正月交一十四日一七正月朔四十一日四五乙巳巳正四刻合朔是正月乙巳朔巳正四刻食甚金書丙午非宋日官言虧在辰正常州布衣陳得一言虧在巳初今推巳正四刻食甚則虧在巳初得一為是紹興七年即金天㑹十五年丁巳嵗二月癸巳朔日食金無推是年二月交泛二十日不應食金無是紹興十三年即金皇統三年癸亥嵗十二月癸未朔日食霧雲不見秦檜率百官稱賀十二月交二十六日六十二月朔一十九日二二癸未夘時推是年十二月癸未朔夘時日食夫既食矣秦奸之賀何為哉史稱八年至十二年日食多在夜史官蒙蔽不書夫從古夜食不書安得謂史官蒙蔽此不知天之論也紹興十五年即金皇統五年乙丑嵗六月乙亥朔日食六月交一十三日九六月朔一十一日三八乙亥巳時是六月乙亥朔巳時日食紹興十七年即金皇統七年丁夘嵗十月辛夘朔日食金無十月交二十六日七十月朔二十七日七八辛夘酉正刻是十月辛夘朔酉正刻日食十月酉正刻日入矣雖見食不多紹興十八年即金皇統八年戊辰嵗四月戊子朔日食〔？〕雲不見四月交一十三日四四月朔二十四日五三戊子午時是四月戊子朔午時日食紹興十九年即金皇統九年己巳嵗三月癸未朔日食隂雲不見三月交一十四日三月朔一十九日二一癸未夘時是三月癸未朔夘時日食紹興二十四年即金廢主亮真元二年甲戌嵗五月癸丑朔日食霒雲不見五月交二十六日三四五月朔四十九日二一癸丑夘時是五月癸丑朔夘時日食紹興二十五年即金真元三年乙亥嵗五月丁未朔日食霒雲不見五月交二十六日九五五月朔四十三日二二丁未夘時是五月丁未朔夘時日食紹興二十八年即金正隆三年戊寅嵗三月辛酉朔日食霒雲不見始降詔免賀猶宣付史館金候之不見三月交二十六日四五三月朔五十七日二二辛酉夘時是三月辛酉朔夘時日食雲隂免賀宣付史館是為得之紹興三十年即金正隆五年庚辰嵗八月丙午朔日食八月交一十四日三七八月朔四十二日四七丙午午時是八月丙午朔午時日食紹興三十一年即金正隆六年辛巳嵗正月甲戌朔日食太史言日當食而不食帝不受朝金無正月交二十五日九六正月朔一十日二一甲戌夘初三刻推是年正月甲戌朔夘初三刻合朔正月日出夘正三刻此猶未出也况交泛不及二十六日即食分數亦少則未明復圓矣金不書是太史上言日當食而不食占人君修徳罪已察姦禮賢寛恩布徳上動於天則有食而不食是説出何故典帝不受朝史官當知愧矣紹興三十二年即金世宗大定二年壬午嵗正月戊辰朔日食正月交二十六日五七正月朔四日五二戊辰午時是正月戊辰朔午時日食金伐鼓用幣凡遇日月虧食禁酒樂屠宰一日夫伐鼓用幣禮也宋用牲於社反不如金之有禮矣完顔世宗其亦賢乎孝宗隆興元年即金大定三年癸未嵗六月庚申朔日食六月交一十三日八七六月朔五十六日六九庚申申時是六月庚申朔申時日食隆興二年即金大定四年甲申嵗六月甲寅朔日食霒雲不見六月交一十四日四八六月朔五十日七甲寅申時是六月甲寅朔申時日食乾道三年即金大定七年丁亥嵗金書四月戊辰朔日食宋無金主避正殿減膳伐鼓應天門内百官各於本司庭立明復乃止四月交一十三日九九四月朔四日六七戊辰申時是四月戊辰朔申時日食宋漏金避殿減膳伐鼓於朝百官庭立禮也乾道五年即金大定九年己丑嵗八月甲申朔日食霒雲不見八月交二十六日八八月朔二十日四四甲申巳時是八月甲申朔巳時日食乾道九年即金大定十三年癸巳嵗五月壬辰朔日食霒雲不見五月交二十六日九五月朔二十八日五壬辰午時是五月壬辰朔午時日食淳熈元年即金大定十四年甲午嵗十一月甲申朔日食霒雲不見十一月交一十四日二二十一月朔二十日六二甲申未時是十一月甲申朔未時日食淳熈三年即金大定十六年丙申嵗三月丙午朔日食霒雲不見少選雲退微缺時有自北庭回者見食三月交二十六日四二三月朔四十二日四九丙午午時是三月丙午朔午時日食淳熈四年即金大定十七年丁酉嵗九月丁酉朔日食霒雲不見九月交一十三日七二九月朔三十三日一一丁酉丑時推是年九月丁酉朔丑時夜食不書淳熈十年即金大定二十三年癸夘嵗十一月壬戌朔日食十一月交二十六日六五十一月朔五十八日四二壬戌巳時是十一月壬戌朔巳時日食淳熈十五年即金大定二十八年戊申嵗八月甲子朔日食八月交一十六日八月朔四十九日甲子午時是八月甲子朔午時日食淳熈十六年即金大定二十九年己酉嵗二月辛酉朔日食霒雲不見二月交一十四日二月朔五十七日四四辛酉巳時是二月辛酉朔巳時日食寧宗慶元元年即金章宗明昌六年乙夘嵗三月丙戌朔日食三月交二十六日九九三月朔二十二日四九丙戌午時是三月丙戌朔午時日食慶元四年即金承安三年戊午嵗正月己亥朔日食霒雲不見綱目無正月交二十六日四九正月朔三十五日二五己亥夘時是正月己亥朔夘時日食綱目漏慶元五年即金承安四年己未嵗正月癸巳朔日食霒雲不見金與綱目無正月交二十七日一正月朔二十九日六四癸巳申時是正月癸巳朔申時日食金與綱目漏慶元六年即金承安五年庚申嵗六月乙酉朔日當食太史言夜食不見是日霒雲金史無金有十一月癸丑日食六月交一十四日四一六月朔二十一日一七乙酉寅時十一月交二十六日十一月朔四十九日四三癸丑巳時推是年六月乙酉朔寅正初刻合朔日食則日未出已復圓矣是日臨安霒雲不見金史不書食是其十一月癸丑朔巳時日食則金書是宋漏嘉泰二年即金太和二年壬戌嵗五月甲辰朔日食五月交一十三日三五月朔四十日四九甲辰午時是五月甲辰朔午時日食嘉泰三年即金太和三年癸亥嵗四月己亥朔日當食而太史局言日體圓明不見虧分凡言不見虧分者食不及一分也金史不書是食四月交一十三日九二四月朔三十五日一九己亥夘時推是年四月己亥朔寅正刻日食則日出將復圓少見其虧耳故宋史云不見虧分者不及一分也金史不書亦以虧少即今三分以下不救之意開禧二年即金泰和六年丙寅嵗二月壬子朔日當食太史言不見虧分二月交一十三日四二月朔四十八日七三壬子酉時是二月壬子朔酉時日食太史云不見虧分然金史書食想原食也嘉定二年即金主永濟大安元年己巳嵗金書十二月辛酉朔日食宋無推是年十二月庚申朔亥時夜食不書金非嘉定三年即金大安二年庚午嵗六月丁巳朔日食金無六月交二十三日六月朔五十三日二五丁巳夘時是六月丁巳朔夘時日食金漏嘉定四年即金大安三年辛未嵗十一月己酉朔日當食太史言不見虧分十一月交一十四日七五十一月朔四十五日四一己酉巳時推是年十一月己酉朔巳時日食是日不見虧分是為日度失行嘉定七年即金宣宗真祐二年甲戌嵗九月壬戌朔日食金書大星皆見九月交一十四日二九月朔五十八日四六壬戌午時是九月壬戌朔午時日食嘉定九年即金真祐四年丙子嵗二月甲申朔日食金又書閏七月壬午朔日食二月交二十六日四二月朔二十日六二甲申未時閏七月交一十三日一七閏七月朔一十八日二九壬午夘時推是年二月甲申朔未時日食閏七月壬午朔夘時日食宋漏閏七月嘉定十年即金興定元年丁丑嵗七月丙子朔日食七月交一十三日七七月朔一十二日四九丙子午時是七月丙子朔午時日食嘉定十一年即金興定二年戊寅嵗七月庚午朔日食一分其日正午或見或不見太史局言是為陽盛隂微日體不虧綱目無七月交一十四日三七月朔六日四九四庚午午時是七月庚午朔午時日食宋史云食一分一分不救嘉定十四年即金興定五年辛巳嵗五月甲申朔日食五月交一十三日八五月朔二十日二七甲申夘時是五月甲申朔夘時日食嘉定十六年即金元光二年癸未嵗九月庚子朔日食九月交二十六日六九月朔三十六日四七庚子午時是九月庚子朔午時日食理宗寶慶三年即金正大四年丁亥嵗六月戊申朔日食金無六月交二十六日八六月朔四十四日二九戊申夘時是六月戊申朔夘時日食金漏紹定元年即金正大五年戊子嵗六月壬寅朔日食金史無金有十二月庚子朔食六月交二十日六月朔三十八日五五壬寅未時十二月交一十四日一十二月朔三十六日六八庚子申時推是年六月壬寅朔未時日食十二月庚子朔申時日食金漏六月宋漏十二月紹定六年即金天興二年癸巳嵗九月壬寅朔日食霒雲不見金無九月交一十四日八三推是年九月朔過交不應食金史無是端平二年乙未嵗二月甲子朔日當食不虧二月交二十七日二月朔三十七日甲子辰時是二月甲子朔辰時日食嘉熈元年丁酉嵗十二月戊寅朔日食十二月交二十六日五十二月朔一十四日四八戊寅午時是十二月戊寅朔午時日食淳祐二年壬寅嵗九月庚辰朔日食九月交五刻九月朔一十六日五庚辰午時是九月庚辰朔午時日食淳祐三年癸夘嵗三月丁丑朔日食三月交一十三日九三月朔一十三日三九丁丑巳時是三月丁丑朔巳時日食淳祐五年乙巳嵗七月癸巳朔日食綱目無七月交二十六日七七月朔二十九日五九癸巳未時是七月癸巳朔未時日食綱目漏淳祐六年丙午嵗正月辛夘朔日食正月交一十三日四正月朔二十七日六辛夘未時是正月辛夘朔未時日食淳祐九年己酉嵗四月壬寅朔日食四月交二十六日八四月朔三十八日四二壬寅巳時是四月壬寅朔巳時日食淳祐十二年壬子嵗二月乙夘朔日食二月交二十六日三二月朔五十一日二二乙夘夘時是二月乙夘朔夘時日食寶祐元年癸丑嵗二月己酉朔日食二月交二十六日九九二月朔四十五日七五己酉酉時是二月己酉朔酉時日食景定元年庚申嵗三月戊辰朔日食三月交一十三日三三月朔四日六八戊辰未時是三月戊辰朔未時日食景定二年辛酉嵗即蒙古世祖中統二年三月壬戌朔日食元史同綱目載二月朔三月交一十三日九三月朔五十八日七三壬戌酉時是三月壬戌朔酉時日食綱目載二月朔誤度宗咸淳元年乙丑嵗即蒙古至元二年正月辛未朔日食正月交一十四日正月朔七日三三辛未辰時是正月辛未朔辰時日食咸淳三年丁夘嵗即蒙古至元四年五月丁亥朔日食五月交二十六日八五月朔二十三日七四丁亥酉時是五月丁亥朔酉時日食咸淳四年戊辰嵗即蒙古至元五年十月戊寅朔日食十月交一十四日一五十月朔一十四日五七戊寅未時是十月戊寅朔未時日食咸淳六年庚午嵗即蒙古至元七年三月庚子朔日食綱目載二月朔三月交二十六日三五三月朔三十六日五九庚子未時是三月庚子朔未時日食綱目載二月朔非咸淳七年辛未嵗即蒙古至元八年八月壬辰朔日食八月交一十三日六六八月朔二十八日三三壬辰辰時是八月壬辰朔辰時日食咸淳八年壬申嵗即元至元九年八月丙戌朔日食八月交一十四日二七八月朔二十二日三一丙戌辰時是八月丙戌朔辰時日食帝㬎徳祐元年乙亥嵗即元至元十二年六月庚子朔日食既星見雞鶩皆歸六月交一十三日七七六月朔三十六日三八庚子巳時是六月庚子朔巳時日食端宗景炎二年丁丑嵗即元至元十四年十月丙辰朔日食十月交二十六日五八十月朔五十二日五四丙辰午時是十月丙辰朔午時日食髙宗時一月食紹興二年壬子嵗二月丙子月未當闕而闕體如食色黄白二月交二十七日一一二月望一十三日一三丙子夜寅時推是年二月十四日丙子夜寅時月食宋厯誤步日出後丁丑加時在晝及寅時已見其食也乃曰月未當闕而闕體如食色黄白以為月之變也不知月掩日而日食即以體相掩則純黒不見日衝月而月食但月行日道頓失其光不至純黒雖推月與推日同以相掩布分數而其色則異也從來月食雖黒未甚猶帶黄白其魄輪微顯誰不見之知之而宋司天欲飾已非乃歸咎於月不當闕而闕也可乎其曰體如食則可為誤步斷案宋南渡凡一百五十三年書日當食不食三紹興三十一年正月甲戌朔嘉定四年十一月己酉朔端平二年二月甲子朔推紹興夜食且不入交原不當食嘉定端平二事則當食不食也春秋以來千餘年至開元始有當食不食者二宋以三百二十年日當食不食汴京二見南渡又二見何其數也若果有之則三百年日度失行四矣抑恐半係日官誤步某時候已不食及期當食卻為雲蔽未可知也况靖康之變儀象𨽻首盡歸於金宋疇人步厯不精有之且臨安偏南人戴日近望日與中原不同或虧分少即不見其食也又况臨安隂雨十九雲蔽所不免乎古今律厯考卷二十六
## 卷二十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十七 明 邢雲路 撰厯代日食八厯代日食厯元元世祖至元十九年壬午嵗六月己丑朔日食七月戊午朔日食綱目同七月交九刻七月朔五十四日四五戊午巳時推是年六月朔無戊午交二十四日有竒不入食限不應食七月戊午朔交九刻入食限是日巳時日食合何元史重載六月朔食耶從古無比食之理郭守敬論之詳矣豈以守敬十八年方定授時而不辯此此必修史者誤書之也至元二十四年丁亥嵗十月戊午朔日食十月交一十四日七二十月朔五十四日六戊午未時是十月戊午朔未時日食至元二十六年己丑嵗三月庚辰朔日食三月交二十六日九二三月朔一十六日三九庚辰巳時是三月庚辰朔巳時日食至元二十七年庚寅嵗八月辛未朔日食八月交一十四日二三八月朔七日六三辛未申時是八月辛未朔申時日食至元二十九年壬辰嵗正月甲午朔日食正月交二十六日四三正月朔三十日五二甲午午時是正月甲午朔午時日食至元三十一年甲午嵗六月庚辰朔日食六月交一十四日三四六月朔一十六日三五庚辰辰時是六月庚辰朔辰時日食成宗大徳元年丁酉嵗四月朔日食見綱目史無四月交一十三日八五四月朔二十九日三癸巳辰時是四月癸巳朔辰時日食史漏大徳三年己亥嵗八月己酉朔日食太史奏日食不應八月交二十六日六六八月朔四十五日七五己酉巳時推是年八月己酉朔巳時日食元太史言是日巳時當食二分有奇至期不食衆懼保章正齊履謙曰當食不食在古有之矧巳時近午陽盛隂微故當食不食遂考唐開元以來當食不食凡十事以聞然三分以下不救大徳四年庚子嵗二月丁未朔日食二月交一十三日三六二月朔四十三日六七丁未申時是二月丁未朔申時日食大徳六年壬寅嵗六月癸亥朔日食太史院失於推算詔議其罪六月交二十六日一六六月朔五十九日七五癸亥酉時推是年六月癸亥朔酉時日食與天合元太史失於推算詔議其罪罪之宜也大徳七年癸夘嵗閏五月戊午朔日食閏五月交二十六日七七閏五月朔五十四日二九戊午夘時是閏五月戊午朔夘時日食大徳八年甲辰嵗五月癸未朔日食五月交一十七日五月朔四十八日五七壬子未時推是年五月朔壬子無癸未是日未時日食史誤書癸未仁宗皇慶元年壬子嵗六月乙丑朔日食六月交一十四日三一六月朔一日七一乙丑酉時是六月乙丑朔酉時日食延祐二年乙夘嵗四月戊寅朔日食四月交一十三日八一四月朔一十四日六戊寅未時是四月戊寅朔未時日食延祐五年戊午嵗二月癸巳朔日食二月交一十三日三二二月朔二十九日○一癸巳子時推是年二月癸巳朔子時夜食不書元史誤夫以郭守敬方定授時厯稱最密今以授時推差至夜子不合查守敬卒於元祐三年卒才二年耳乃疇人習厯不熟遂爾誤布也延祐六年己未嵗二月丁亥朔日食二月交一十三日九三二月朔二十三日三五丁亥辰時是二月丁亥朔辰時日食延祐七年庚申嵗正月辛巳朔日食正月交一十四日五四正月朔一十七日四一辛巳巳時是正月辛巳朔巳時日食英宗至治元年辛酉嵗六月癸夘朔日食六月交二十六日七四六月朔三十九日五八癸夘未時是六月癸夘朔未時日食至治二年壬戌嵗十一月甲午朔日食十一月交一十四日十一月朔三十日六八甲午申時是十一月甲午朔申時日食泰定帝泰定四年丁夘嵗九月丙申朔日食九月交一十四日七七九月朔三十二日四八丙申午時是九月丙申朔午時日食文宗天厯二年己巳嵗七月丙辰朔日食七月交一十三日六六七月朔五十二日三七丙辰辰時是七月丙辰朔辰時日食至順二年辛未嵗八月甲辰朔日食十一月壬申朔日食八月交一十九日五十一月交二十六日四七十一月朔八日六四壬申申時推是年八月甲辰朔交泛一十九日有奇不入交不應食十一月壬申朔申時日食合夫日月凡六月一交無八月至十一月才隔三月兩交之理郭太史論之詳矣何史載之誤耶無乃疇人亂布失其真也順帝元統二年甲戌嵗四月戊午朔日食四月交一十四日三九四月朔五十四日三八戊午巳時是四月戊午朔巳時日食至元二年丙子嵗八月甲戌朔日食八月交二十七日一九八月朔一十日三九甲戌巳時是八月甲戌朔巳時日食至元三年丁丑嵗二月壬申朔日食二月交一十三日八九二月朔八日六八壬申申時是二月壬申朔申時日食至元四年戊寅嵗八月朔日食見綱目史無八月交一日二八月朔五十九日七一推是年八月朔過交不應食史不書食是綱目非至正二年壬午嵗八月朔日食十月朔日食見綱目八月交八日二十月交一十二日九十月朔三十五日五二己亥午時推是年八月朔交泛八日不入食限不應食十月己亥朔午時日食八月史無是綱目非十月綱目是史漏夫日月六月一交是年十月食是矣八月僅隔二月安得有食此綱目之誤載也至正三年癸未嵗四月丙申朔日食四月交二十六日八二四月朔三十二日三丙申辰時是四月丙申朔辰時日食至正四年甲申嵗九月丁亥朔日食九月交一十四日一二九月朔二十三日四五丁亥巳時是九月丁亥朔巳時日食至正五年乙酉嵗九月朔日食見綱目史無九月交一十四日七三九月朔一十八日八一戌時推是年九月戌初刻合朔日食則酉猶見其初虧至正六年丙戌嵗二月朔日食見綱目史無二月交二十六日三二二月朔四十六日六一庚戌午時是二月庚戌朔午時日食史漏至正七年丁亥嵗正月朔日食是日大寒而風朝官仆者數人見綱目史無正月交二十六日九三正月朔四十日四九甲辰巳時是正月甲辰朔巳時日食即綱目載是日大風寒朝官仆可見是日救日羣臣親覩其食矣何元史漏而不書耶至正八年戊子嵗七月朔日食見綱目史無七月交一十四日二四七月朔三十二日二四丙申夘時是七月丙申朔夘時日食史漏至正九年己丑嵗十一月朔日食見綱目史無十一月交二十六日四四十一月朔五十四日○二戊午子時推是年十一月戊午朔子時夜食不書史無是綱目誤至正十年庚寅嵗十一月壬子朔日食十一月交二十七日十一月朔四十八日六三壬子申時是十一月壬子朔申時日食至正十一年辛夘嵗五月朔日食見綱目史無五月交一十三日七四五月朔四十五日一九己酉寅時推是年五月己酉朔寅正刻合朔日食則日出猶見其虧至正十二年壬辰嵗四月朔日食見綱目史無閏四月交一十四日五五閏四月朔三十九日七三癸夘酉時推是年閏四月癸夘朔酉初刻日食史漏綱目書四月亦非至正十三年癸巳嵗九月乙丑朔日食九月交二十六日五五九月朔一日三八乙丑巳時是九月乙丑朔巳時日食至正十四年甲午嵗三月癸亥朔日食三月交一十三日二五三月朔五十九日六四癸亥申時是三月癸亥朔申時日食至正十七年丁酉嵗正月朔日食見綱目史無正月交一十二日七五正月朔一十二日三九丙子巳時是正月丙子朔巳時日食史漏至正十八年戊戌嵗六月戊辰朔日食十二月乙丑朔日食六月交二十七日二七六月朔四日三六戊辰辰時十二月交一十三日九七十二月朔一日四三乙丑巳時是六月戊辰朔辰時日食十二月乙丑朔巳時日食至正二十年庚子嵗五月朔日食見綱目史無五月交二十六日一七五月朔二十三日一一丁亥丑時推是年五月丁亥朔丑正刻合朔夜食不書史無是綱目非夫既不食矣胡氏斷以為天完微弱陳友諒弑徐夀輝之應變不虛生義何取焉至正二十一年辛丑嵗四月辛巳朔日食四月交二十六日七八四月朔一十七日六八辛巳申時是四月辛巳朔申時日食至正二十四年甲辰嵗八月朔日食見綱目史無八月交一十二日九八八月朔二十八日三一壬辰辰時是八月壬辰朔辰時日食史漏至正二十六年丙午嵗七月辛巳朔日食七月交一十四日二七月朔一十七日五一辛巳午時是七月辛巳朔午時日食至正二十七年丁未嵗六月朔日食見綱目史無十二月癸夘朔日食見史綱目無六月交一十二日四九六月朔四十一日九七乙巳夜子初刻十二月交二十六日四十二月朔三十九日二五癸夘夘時推是年六月乙巳夜子合朔夜食不書史無是綱目非十二月癸夘朔夘時日食史書是綱目漏元初郭守敬造授時厯最近密傳之日官終元之世日官布算日食多漏者有非其日者甚至延祐五年二月朔之夜食至順二年八月朔之不入交亦誤書食以授時推乃正則豈守敬之誤皆疇人之不善用法也在昔且然况愈逺而愈失其真耶余自漢以來一一推厯代日食為考其果食與否以備證驗耳故但推其合朔在書時則不復詳其時差之分秒惟疑難者乃詳推焉古今律厯考卷二十七
## 卷二十八
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十八 明 邢雲路 撰藏經考佛藏佛説東南西北各八天中須彌山頂一天共三十三天自四大天王天至大梵天各有千天有千三十三天是名小千世界乃至二千三千百億日月一佛有百億四天下是名三千大千世界閻浮境十萬八千須彌四面各廣長三四十萬里頂上忉利天上釋提桓各廣長二三百萬里四天王居須彌四埵皆髙四萬二千由旬以人間五十嵗為天一日亦以三十日為月十二月為嵗五百嵗即人間九百萬嵗觀世音菩薩現身長八十萬億那由他由旬以須彌之髙廣納芥子中無増減須彌山本相如故以四大海水入一毛孔不嬈大海本相如故演七日以為一刼促一刼以為七日十方日月星宿見於一毛孔中此皆佛之寓言也説閻浮境界十萬八千里比人有十萬八千塵勞夢想其實本來面目一無所有故説須彌納一芥曠刼入一息猶中國言詩大言小言之譬言道大無外小無内之意非謂真有百億天百億日月也風輪能持水輪水輪能持大地令不壊散是故説地輪依水輪水輪依風輪風輪依虚空虛空無所依雖無所依能令三千大千世界而得安住此亦佛之寓言也言地水火風乃人之四大風之所以鼓動即火故説火風水輪持大地非謂天地五行合如此也佛説四大洲所謂東勝身洲即弗婆提南贍部洲即閻浮提西俱耶尼洲即瞿陀尼北俱盧洲即鬱單越四洲遶蘇迷山即須彌山閻浮提日中時東方弗婆提便㝠西方瞿陀尼則初出北方鬱單越則夜半瞿陀尼日中閻浮提即㝠鬱單越初出弗婆提夜半也鬱單越弗婆提日中餘出没亦然是言須彌山高日明於此隠於彼比人原是一心積為三界乍明忽滅如為須彌四面遮蔽然須轉輪無礙乃得解脱皆寓言也非謂天地之中真有須彌日之行度真在須彌四圍環繞四方出没四視平等之致文始傳云天去地四十萬九千里日月直度各三千里周迴去千里天地午子相去九千萬萬里濟苦經云崑崙山高一萬五千里文始傳又云日月周圍六千里徑三千里夫文始云天去地四十萬九千里則子午徑宜八十一萬八千里而乃云相去九千萬萬里多八千九百九十九萬九千九百一十八萬二千里矣云日月直度各三千里則周迴宜九千里乃止云一千里少八千里矣又云日月周圍六千里則徑止宜二千里而乃云三千里多一千里矣均之文始傳也一曰日周千里又曰日周六千里何自相背也化胡云崑崙山九重重相去九千里山有四面面有一天故四九三十六天第一重帝釋居之今據濟苦崑崙高一萬五千里化胡崑崙九重重高九千則高八萬一千而言萬五千者少六萬五千里矣亡論諸經所説之乖舛將使天地日月之高下宜何從焉佛道經假作者多此其假者也竺乾書説阿耨山即崑崙也一名須彌訛呼蘇迷在于闐國西一千三百餘里東南接西凉酒泉地逺山則香山雪山也佛生遊履雪山中國在崑崙東南天竺諸國在正南黄河在崑崙東南即佛經無熱地東有銀牛口出殑伽河即恒河山頂有阿耨大池其水分流四面去入中國者為黄河入東海其三面各入南西北海如弱水黒水之類大抵地之形如饅頭其撚尖則崑崙也此言是佛諸國篇云五印度之境周九萬餘里三垂大海北背雪山北廣南狹形如半月劃野區分七十餘國時特暑熱地多泉濕成光子曰中天竺國東至震旦五萬八千里南至金地國西至阿拘遮國北至小香山阿耨達亦各五萬八千里約天上一寸地下千里僧慧嚴入中國何承天問曰佛國用何厯答曰天竺夏至之日日正中時竪晷無影所謂天中於五行土徳色尚黄數尚五八寸為尺十兩當此土十二兩建辰之月為嵗首及計覈分至推效薄蝕顧步光影其法甚詳宿度章紀咸有條例後婆利國人來果同嚴説夫云夏至竪晷無影中國衡嶽竪晷無影則天竺與衡嶽東西正相對也衡嶽北極出地二十五度夏至晝五十六刻夜四十四刻嶽臺北極出地三十五度夏至晷景一尺四寸八分晝六十刻夜四十刻衡嶽北嶽臺北極低十度晷景差一尺四寸八分而晝至短四刻是去極二度半短一刻晷影三寸七分短一刻也雖割圓高下分釐稍有不齊而大約分數則無差也天竺與衡嶽對其晷刻亦猶是矣此説天竺四至各以幾萬里計而晷與中國畧同可較是可破諸經天日須彌億萬里之妄稻稗經言月去地四萬二千由旬一由旬四十里共一百六十八萬里文始言天去地四十萬九千里則月不反髙於天一百一十九萬里之多耶唐不空三藏翻譯文殊菩薩及諸仙所説吉凶時日善惡宿曜經言天地初建寒暑之精化為日月分宿設宫管標羣品日理陽位從星宿順行取張翼軫角亢氐房心尾箕斗牛女等一十三宿迄至虛宿之家恰當子地之中分為六宫也但日月天子俱以五星臣佐而日光熖猛以陽獸獅子為宫神月光清涼以隂蟲巨蟹為宫神日與月各以神宫均賜五星以速至遲即辰星太白熒惑嵗鎮排為次第緩急於斯彰焉凡十二宫即七曜之躔次各有神形一切庶類相感月廣五十由旬日廣五十一由旬太白廣十由旬嵗星廣九由旬辰星廣八由旬熒惑廣七由旬土星廣六由旬星最小者廣一俱盧舎第一星四足張四足翼一足在午太陽位焉其神如獅子故名獅子宫第二翼三足軫四足角二足在己辰星位焉其神如女故名雙女宫第三角二足亢四足氐三足在辰太白位焉其神如秤故名天秤宫第四氐一足房四足心四足在夘熒惑位焉其神如蝎故名天蝎宫第五尾四足箕四足斗一足在寅嵗星位焉其神如弓故名人馬宫第六斗三足女四足虛二足在丑鎮星位焉其神如摩羯故名摩羯宫已上六位屬太陽分已下六位屬太隂分第七虛二足危四足室三足在子鎮星位焉其神如瓶故名寶瓶宫第八室一足壁四足奎四足在亥嵗星位焉其神如魚故名雙魚宫第九婁四足胃四足昴一足在戌熒惑位焉其神如羊故名白羊宫第十昴三足畢四足觜二足在酉太白位焉其神如牛故名金牛宫第十一觜二足參四足井三足在申辰星位焉其神如夫妻故名隂陽宫第十二井一足鬼四足栁四足在未太隂位焉其神如蟹故曰巨蟹宫昴六星畢五星觜三星參一星井二星鬼三星栁六星星六星張二星翼二星軫五星角二星亢一星氐四星房四星心三星尾二星箕四星斗四星牛三星女三星虛四星危一星室二星壁二星奎三十二星婁三星胃三星二月為角月三月為氐月四月為心月五月為箕月六月為女月七月為室月八月為婁月九月為昴月十月為觜月十一月為鬼月十二月為星月正月為翼月此其十二宫分與中國皆同但其星數與中國有多少之異五星遲速與中國亦同二月為角月云云者以斗指夘位之辰亦與中國同至於所占星直月日與人命之吉凶則與中國異盖其方俗之殊也夫周天二十八宿既與中國皆同而又曰虚宿恰當子地之中則虚為正北也曰日廣五十一由旬一由旬四十里則日廣凡二千餘里也中國視虚為正北量日約亦千餘里皆合矣此佛説之經宛然一渾天儀即中國之厯也而乃謂有幾千天百萬億日月高廣幾十萬億里東方日中西方初出諸説均之佛説也而自相背若是則千天萬日等説非寓言而何大方等大集經雪山光味仙人白世尊佛言二十八宿日月隨行一切衆生日月年嵗皆悉繫屬瞿曇東方七宿謂角亢氐房心尾箕若人生日屬角宿者口闊額高多財多智多有妻子夀八十四長子不夀屬亢星者聰明富貴樂欲出家夀六十四指有瘡瘢其氐房心尾箕若南方井鬼栁星張翼軫西方奎婁胃昴畢觜參北方斗牛女虛危室壁各宿生人者其相貌夀夭吉凶各有不同若通達如是相書到於彼岸瞿曇佛言衆生亦有同屬一星生者而有富貴貧賤參差是故我知是不定法是世尊之言是而光味之言非也大乘大方等日藏經言星宿數與形狀多與厯不合吉凶避忌亦無的據日午脚跡之影亦無圭表之數五緯所主之月亦不合厯行度虛胎所載宿曜亦差大方等大集月藏分中星宿攝受品四天王等白佛言諸宿曜各有所主一者角宿主於衆鳥二者元宿主於出家求聖道者氐房至翼軫通二十八宿各有所主不同尒時佛吿梵王等言于摩國陁樓等國共十二國角宿攝護阿羅荼等共十國亢宿攝護氐房至翼軫通二十八宿所攝國數多少不一此佛國以彼中之天步彼中分野與中國不同佛國日月熒惑辰星嵗星太白鎮星是為七曜嵗星者於十二嵗始一周天鎮星者二十八嵗乃一周天太白嵗半始一周天熒惑二嵗始一周天辰星一嵗乃一周天凡嵗三百六十五日日一周天月三十日乃一周天此是七曜周天數法大畧與中國同惟太白亦嵗一周天而佛以為嵗半非大唐西域記三藏法師𤣥奘譯言夫數量之稱謂踰繕那古聖王一日軍行也即一由旬四十里印度國俗乃三十里聖教所載唯十六里窮微之數分一踰繕那為八拘盧舎拘盧舎者謂大牛鳴聲所極聞一拘盧舎為五百弓分二拘盧舎名一聲為千弓分一弓為四肘分一肘為二十四指十二指名毗多悉提分一指節為七宿麥乃至一虱一蟣一牛毛一羊毛一兔毫一塵一細塵次第七分以至一極細塵極細塵者不可復㭊㭊即歸空故曰極微也若乃隂陽厯運日月次舎稱謂雖殊時候無異隨其星建以標月名時極短者謂刹那也百二十刹那為一呾刹那六十呾刹那為一臘縛三十臘縛為一牟呼栗多五牟呼栗多為一時六時合成一日一夜晝三夜三居俗日夜分為八時晝四夜四一時各有四分月初一盈至十五滿謂之白月分月十六虧至月盡晦謂之黒月分或十四日十五日月有小大故也遇小月謂之減夜減一日也黒前白後合為一月六箇月共合為一行日遊在内北行也日遊在外南行也摠此二行合為一嵗又分一嵗以為六時正月十六日至三月十五日漸熱也三月十六日至五月十五日盛熱也五月十六日至七月十五日雨時也七月十六日至九月十五日茂時也九月十六日至十一月十五日漸寒也十一月十六日至正月十五日盛寒也如來聖教嵗為三時正月十六日至五月十五日熱時也五月十六日至九月十五日雨時也九月十六日至正月十五日寒時也或為四時春夏秋冬也春三月謂制呾邏月吠舎佉月逝瑟吒月當此從正月十六日至四月十五日夏三月謂頞沙荼月室羅伐挐月婆達羅鉢陀月當此從四月十六日至七月十五日秋三月謂頞濕縛庾闍月迦刺底迦月末伽始羅月當此從七月十六日至十月十五日冬三月謂報沙月磨袪月頗勒窶挐月當此從十月十六日至正月十五日故印度僧徒依佛聖教坐兩安居或前三月或後三月前三月當此從五月十六日至八月十五日後三月當此從六月十六日至九月十五日中國節氣與印度遞爭半月中國以二十九三十為大小盡即印度以十四十五為大小盡中國之十六日乃印度初一日也昔人嘗記結夏之制宜如西域用四月十六日盖四月十六日乃印度之四月盡也其數皆明大智度論日月嵗節者日名從旦至旦初分中分後分夜亦三分一日一夜有三十時春秋分時十五時屬晝十五時屬夜餘時六増六減五月至晝十八時夜十二時十一月至夜十八時晝十二時一月或三十日或三十日半或二十九日或二十七日半有四種月一者日月二者世間月三者月月四者星宿月日月者三十日半世間月者三十日月月者二十九日加六十二分之三十星宿月者二十七日加六十七分之二十一閏月者從日月世間月二事中出是名十三月或十二月或十三月名一嵗是嵗三百六十六日周而復始菩薩知日中分時前分已過後分未至中分中無住處無相可取日分空無所有到三十日時二十九已滅和合成月和合而為嵗故佛菩薩能知世間日月嵗和能知破散無所有是名巧分别是名菩薩摩訶薩夫佛國每日三十時即中國十二時春秋分晝夜各十五時六月一増減五月十一月晝夜各長短三分之一即中國之二分二至也日月三十日半中國之正氣也世間月三十日中國盈虛之中也月月二十九日加六十二分之三十中國之月䇿也星宿月二十七日加六十七分之二十一中國之交終也閏月從日月世間月出中國之氣盈朔虛積而為閏也中分無住處和合成月中國之無中氣為閏月也六十二分之三十為四十八刻三十八分七十秒以加於二十九日下共二十九日四十八刻三十八分七十秒為佛國月䇿較中國月䇿少四刻有奇六十七分之二十一為三十一刻三十四分三十二秒以加於二十七日下共二十七日三十一刻三十四分三十二秒為佛國交終較中國交終多十刻有奇中西地里不同而厯之小異者止在刻數其大約則皆同佛國之天猶中國之天也明矣九執厯出西域唐開元六年詔太史監瞿曇悉達譯之斷取近距以開元二年二月朔為嵗首西域首夘取隂陽交之始也度法六十月有二十九日餘七百三分日之三百七十三厯首有朔虚百二十六周天三百六十度無餘分日去没分九百分度之十三三十度為相十二相而周天望前曰白博義望後曰黒博義其算皆以字書不用籌䇿九執朔虛没分與中國不同氣朔不同故也九執月䇿餘七百三分日之三百七十三為五十三刻五分八十三秒以加於二十九日下共二十九日五十三刻五分八十三秒與中國月䇿近宻以視大智度論月䇿二十九日四十八刻三十八分七十秒則大智度月䇿為疎西域星經月孛紫炁羅㬋計都星家謂之四餘計生於天尾羅生於天首孛生於月炁生於閏盖日月行道如兩環相交一處曰天首一處曰天尾天尾為計天首為羅月之行遲速有常度遲之處即孛也炁生於閏二十八年十閏而炁行一周炁孛皆有度數無光象故與計羅同謂之四餘今中國皆用之泥洹經佛吿迦葉言人間六月一蝕衆星晝日不見其實不没又言月天子欲瞰日天子佛説羅㬋羅疾放月云六月一蝕即天首至交中至天尾各六月之謂云星晝不見日光所射故也羅㬋瞰日即日食於天首佛云疾放即中國救日之義佛運統紀周昭王二十四年甲寅嵗四月八日中天竺國淨梵王妃摩耶氏生太子悉達多至年十九壬申嵗二月八日夜半出家成釋迦牟尼佛東晉沙門法顯嘗至天竺摩竭提國見城邑人民以建夘月八日華香供養請佛周以子月為正月四月是建夘之二月也二月則建丑之十二月今人以夏正四月為佛生日非宿曜經黒月白月皆以一日三日五日七日九日十一日十三日為吉祥日所向皆成就是知佛國之尚奇日也僧史畧佛法本傳西域十二月三十日為正月望謂之大神變日漢明帝令是日燒燈表佛法大明無味佛國正五九月天帝釋鏡照南贍部洲故禁刑罰今中國官員於此三月内不到任無味國朝洪武初收元圖籍命西域人海荅兒等擇天文隂陽厯象譯之譯出回回厯以西域阿刺必年即開皇十九年己未嵗為元至洪武甲子計積七百八十六算周天十二宫每宫三十度共三百六十度十二宫日數不同共三百六十五日為不動的月若遇宫分有閏之年於亥宫又添一日十二月單月大雙月小共三百五十四日為動的月若遇月分有閏之年於十二月内又添一日凡三十年閏十有一月厯千九百四十二年而宫月甲子再㑹其術欽天監見存有回回科習之所步日食與中華厯分數不同夫以中西之逺而以法相校交蝕只是分數不同非大相徑庭也而佛經乃言南方日中西方方日出東方則日没故以此可證其言之非白羊戌宫三十一日 金牛酉宫三十一日隂陽申宫三十一日 巨蟹未宫三十二日獅子午宫三十一日 雙女巳宫三十一日天秤辰宫三十日 天蝎夘宫三十日人馬寅宫二十九日 磨羯丑宫二十九日寶瓶子宫三十日 雙魚亥宫三十日第一月大(名法而幹而丁) 第二月小(名阿而的必喜世)第三月大(名虎而達) 第四月小(名提而)第五月大(名木而達) 第六月小(名沙合列幹而)第七月大(名列黒而) 第八月小(名阿班)第九月大(名阿咱而) 第十月小(名答亦)第十一月大(名八哈慢) 第十二月小(名亦思番達而麻的)佛家天樂等類乃化境也於律不協故不錄道藏道經上列三清下分五太三清在三十六天之上玉清聖境元始所居上清真境太上道君所居太清仙境老君所居五太者太質界内有天地𤣥黄之色太質之外太空太空之外太無太無之外太虛併天地𤣥黄為五太豈天果有是三五之所皆寓言也盖三清以比人之三田上田心火中田脾土肺金肝木下田腎水五太亦以比人之五行云高上太霄琅書瓊文帝章經云九天元始號第一天名鬱單无量天去第二天二十四里第二天無量夀天去第三天四千六百萬里第三梵監天去第四五六七八天以至第九大梵天各㡬千百萬里不等去下共五百億二十萬里此九天是始氣之精衆真帝皇所治其天别置三天三天者皆是九天之别號三九二十七併九天共三十六天也此與佛經諸天大半相同皆荒唐之言道言太上靈寶先天地而生然後有天地數起於一立於三成於五盛於七極於九故天去地九萬里崑崙為地柱氣上通崑崙者地之中崑崙直東西南北各一億萬餘里日月徑止千里周三千里洞真放品經曰地有九壘第一地去天九十億萬里第九地去天五百三十億萬里洞真黄氣陽精經日縱廣二千四十里月縱廣千九百里靈寶天尊云日圍千里月圍一千二百里夫既曰天去地九萬里則東西南北亦皆九萬里而崑崙四直則皆一億萬餘里何以相容又謂第一地去天九十億萬里第九地去天五百三十億萬里不太懸絶乎既曰日徑千里周三千里似矣而何以又曰日縱廣二千四十里日圍千里也既曰月縱廣千九百里則圍宜二千七百里而何以曰月圍千二百里也夫均此天也此日月也均之天尊所説也忽然而多忽然而少此是則彼非乃天尊言天亦有非耶天尊不知天何以為天尊洞𤣥靈寶諸天世界造化經道言我在𤣥化之前故有太上號見彼崑崙山王以金銀琉璃水精作之上髙三百三十六萬里下有大海圍之深亦三百三十六萬里廣亦三百三十六萬里地深二十億萬里次下有地亦深二十億萬里次下有粟金二十億萬里次下有剛鐵二十億萬里次下有水深八十億萬里次下有大風深厚五百二十億萬里以是大風持地不使有墮落地浮水上水浮風上其下大空此言非也天體周圍不過數十萬里此可以表測而得者非懸空之説也天周數十萬而地與崑崙在天内乃上下有㡬百億萬里則何以相容無乃道君未嘗到𤣥化前不曽見崑崙王耶若曽見不應有此説道言元始天尊召來天真時諸天日月星宿琁璣玉衡一時停輪豈有天行健也而乃停輪盖寓言也謂人心為琁衡兩目為日月天尊説法則人心目俱定萬化停閒耳天尊曰正北位居中一炁生水萬物皆因水而生故北斗居中天第一貪狼星第三祿存星為東斗主算第二巨門星第四文曲星為西斗記名第六武曲星正居本位為北斗落死第五廉貞星為南斗上生第七破軍星正居中位為中斗大魁總監衆靈周回指十二辰又度人經言五斗東斗角亢氐房心尾箕北斗斗牛女虛危室壁西斗奎婁胃昴畢觜參南斗井鬼栁星張翼軫中斗貪巨祿文廉武破其言二十八宿即天四圍經星云指十二辰則厯家斗柄指十二節之説也經言九統者初以始青之光炁開始青之天凝太霄之宫於東北次以太青之光炁開太青之天凝青霄之宫於東方次以始丹之光炁開始丹之天凝碧霄之宫於東南次以太丹之光炁開太丹之天凝絳霄之宫於南方次以始素之光炁開始素之天凝景霄之宫於西南次以太素之光炁開太素之天凝玉霄之宫於西方次以始𤣥之光炁開始𤣥之天凝琅霄之宫於西北次以太𤣥之光炁開太𤣥之天凝紫霄之宫於北方太梵之天神霄之宫則其居中也西北為天門東南為地戸西南為人門東北為鬼路是其四方之氣東青南赤西白北黒按四方之色也天門地户人門鬼路之説則出先天乾鑿度文道藏載夜半換日出及晦朔換月符呪敕令皆持有法是乃佐軍中變幻之用者則史載日夜出等變或係幻術所致未可知也厯世真僊體道通鑑載陶𢎞景推漢熹平二年丁丑冬至加時在日中而先天實以乙亥冬至加時在夜半凡差三十八刻是漢厯後天二日十二刻也以授時推熹平二年冬至分一十日三十九刻五十分得甲戌日巳初二刻冬至陶𢎞景推乙亥夜半三十八刻乃乙亥日巳初初刻冬至後天一日漢厯丁丑日日中冬至後天二日餘矣所以是年漢厯推十二月癸酉晦日食而不知實是熹平三年正月朔日食也道經比佛經偽書尤多如張道陵等所撰諸經多屬偽作且大半抄謄佛經改換頭面以此言天宜乎不合道言龍漢元年為開天之始古來無年號至漢武帝始有年號然則龍漢元年是誰記之耶道經載律厯諸數多係抄錄儒書者故不必議古今律厯考卷二十八
## 卷二十九
欽定四庫全書
古今律厯考卷二十九 明 邢雲路 撰律呂一律呂黃鐘黄鐘長九寸空圍九分積七百二十九分天數終於九為陽之成黄鐘陽聲之始也故其管長九寸其内空圍容九分其積實十百二十九分是為律本而十二律由是損益度量衡於是受法焉算術置一分圍容九分以九寸之每寸九分共八十一分乘之得共圍積實七百二十九分依古圓田法三分益一蓋以九分三分之每一分得三分益一得一十二分以開方除之得三分四釐六毫强為實徑之數强者不盡二毫八絲四忽若仍求圓積之數以徑三分四釐六毫自乘之得一十一分九釐七毫一絲六忽加以不盡之二毫八絲四忽得一十二分以管長八十一分乘之得九百七十二分為方積四分取三為圓積得七百二十九分□蔡季通以管長九十分乘一十二分得一千八十分為方積四分取三為圓積得八百一十分非也盖九分為寸釐毫絲皆用九無用十之理故長九寸以分九之得八十一分再以釐九之得七百二十九釐長八十一分以空容九分九之得積七百二十九分始終無八百一十分之數且空圍與徑之分皆九釐之分若以十釐之分十分之寸乘之則圍之横分長而長之豎分短計短九之一也立方上下四旁皆均若上下短九之一則不方何以成數然則黄鐘之積㫁乎為七百二十九分明矣然謂以十為尺者約九為十而為尺約十為九而律其實一也又徑圍之密律詳見厯原黄鐘之實子一 黄鐘之律一而己丑三 為絲法寅九 為寸數卯二十七 為毫法辰八十一 為分數已二百四十三 為釐法午七百二十九 為釐數未二千一百八十七 為分法申六千五百六十一 為毫數酉一萬九千六百八十三 為寸法戌五萬九千○四十九 為絲數亥一十七萬七千一百四十七 黄鐘之實黄鐘之律以三厯十三辰所得之數在子寅辰午申戌六陽辰為黄鐘寸分釐毫絲之數子為黄鐘之律寅為九寸辰為八十一分午為七百二十九釐申為六千五百六十一毫戌為五萬九千四十九絲在亥酉未巳卯丑六隂辰為黄鐘寸分釐毫絲之法亥為黄鐘之實酉之一萬九千六百八十三為寸未之二千一百八十七為分巳之二百四十三為釐卯之二十七為毫丑之三為絲其寸分釐毫絲之法皆用九數故九絲為毫九毫為釐九釐為分九分為寸為黄鐘盖子一為黄鐘之律三其一則丑為三三其三則寅為九三其九則夘為二十七三其二十七則辰為八十一三其八十一則巳為二百四十三三其二百四十三則午為七百二十九三其七百二十九則未為二千一百八十七三其二千一百八十七則申為六千五百六十一三其六千五百六十一則酉為一萬九千六百八十三三其一萬九千六百八十三則戌為五萬九千四十九三其五萬九千四十九則亥為一十七萬七千一百四十七以是數為黄鐘之實而定管之短長以三為絲故有五萬九千四十九絲以二十七為毫故有六千五百六十一毫以二百四十三為釐故有七百二十九釐以二千一百八十七為分故有八十一分以一萬九千六百八十三為寸故有九寸合而觀之積絲毫釐分之長為寸皆九合絲毫釐分寸之數皆一十七萬七千一百四十七在陽辰順而左行為數在隂辰逆而右行為法也黄鐘生十一律子一分一為九寸丑三分二一為三寸寅九分八一為一寸卯二十七分十六三為一寸 一為三分辰八十一分六十四九為一寸 一為一分巳二百四十三分一百二十八二十七為一寸 三為一分 一為三釐午七百二十九分五百一十二八十一為一寸 九為一分 一為一釐未二千一百八十七分一千二十四二百四十三為一寸 二十七為一分三為一釐 一為三毫申六千五百六十一分四千九十六七百二十九為一寸 八十一為一分九為一釐 一為一毫酉一萬九千六百八十三分八千一百九十二二千一百八十七為一寸 二百四十三為一分二十七為一釐 三為一毫 一為三絲戌五萬九千四十九分三萬二千七百六十八六千五百六十一為一寸 七百二十九為一分八十一為一釐 九為一毫 一為一絲亥一十七萬七千一百四十七分六萬五千五百三十六一萬九千六百八十三為一寸 二千一百八十七為一分 二百四十三為一釐 二十七為一毫 三為一絲 一為三忽按黄鐘生十一律子寅辰午申戌六陽辰皆下生丑卯巳未酉亥六隂辰皆上生其上以三厯十二辰者皆黄鐘之全數其下隂數以倍者倍其實三分本律而損其一也陽數以四者四其實三分本律而益其一也六陽辰當位自得六隂辰則居其衝其林鐘南呂應鐘三呂在隂無所増損其大呂夾鐘仲呂三呂在陽則用倍數方與十二月之氣相應盖隂之從陽自然之理也曰子一分者數起子得一也丑三分二者三其法為三分兩其實為二也寅九分八者三其法為九分四其實為八也以下生者倍其實以上生者四其實也其法以子析為三分每分五萬九千四十九丑於三分之中得其二為十一萬八千九十八積六寸為林鐘此黄鐘之實三分損一下生林鐘也以子一析為九分每分得一萬九千六百八十三寅於九分之中得其八為十五萬七千四百六十四積八寸為太蔟此林鐘之實三分益一上生太蔟也自夘而下倣此其詳子一分一為九寸為黄鐘之律也三其一則丑為三分倍其一為二分一為三寸二為六寸為林鐘之律也三其三則寅為九分四其二為八分一為一寸八為八寸為太蔟之律也三其九則卯為二十七分倍其八為十六分三為一寸以十五為五寸餘一為三分共五寸三分為南呂之律也三其二十七則辰為八十一分四其十六為六十四分九為一寸以六十三為七寸餘一為一分共七寸一分為姑洗之律也三其八十一則巳為二百四十三分倍其六十四為一百二十八分二十七為一寸以一百八為四寸餘二十三為一分以十八為六分餘二一為三釐二為六釐共四寸六分六釐為應鐘之律也三其二百四十三則午為七百二十九分四其一百二十八為五百一十二分八十一為一寸以四百八十六為六寸餘二十六九為一分以十八為二分餘八一為一釐八為八釐共六寸二分八釐為蕤賔之律也三其七百二十九則未為二千一百八十七倍其五百一十二為一千二十四二百四十三為一寸以九百七十二為四寸餘五十二以二十七為一分餘二十五三為一釐以二十四為八釐餘一一為三毫共四寸一分八釐三毫止得大呂半律之數因居丑在陽倍之以一千二十四倍為二千四十八計得八寸三分七釐六毫為大呂之律也三其二千一百八十七則申為六千五百六十一四其一千二十四為四千九十六七百二十九為一寸以三千六百四十五為五寸餘四百五十一以八十一為一分以四百五為五分餘四十六九為一釐以四十五為五釐餘一為一毫共五寸五分五釐一毫為夷則之律也三其六千五百六十一則酉為一萬九千六百八十三倍其四千九十六為八千一百九十二二千一百八十七為一寸以六千五百六十一為三寸餘一千六百三十一二百四十三為一分以一千四百五十八為六分餘一百七十三二十七為一釐以一百六十二為六釐餘一十一三為一毫以九為三毫餘二一為三絲二為六絲共三寸六分六釐三毫六絲止得夾鐘半律之數因居夘在陽倍之以八千一百九十二倍為一萬六千三百八十四計得七寸四分三釐七毫三絲為夾鐘之律也三其一萬九千六百八十三則戍為五萬九千四十九四其八千一百九十二為三萬二千七百六十八六千五百六十一為一寸以二萬六千二百四十四為四寸餘六千五百二十四七百二十九為一分以五千八百三十二為八分餘六百九十二八十一為一釐以六百四十八為八釐餘四十四九為一毫以三十六為四毫餘八一為一絲八為八絲共四寸八分八釐四毫八絲為無射之律也三其五萬九千四十九則亥為一十七萬七千一百四十七倍其三萬二千七百六十八為六萬五千五百三十六一萬九千六百八十三為一寸以五萬九千四十九為三寸餘六千四百八十七二千一百八十七為一分以四千三百七十四為二分餘二千一百一十三二百四十三為一釐以一千九百四十四為八釐餘一百六十九二十七為一毫以一百六十二為六毫餘七三為一絲六為二絲餘一一為三忽共三寸二分八釐六毫二絲三忽止得仲呂半律之數因居巳在陽倍之以六萬五千五百三十六倍為十三萬一千七十二計得六寸五分八釐三毫四絲六忽餘二不盡為仲呂之律也其曰以三厯十二辰皆黄鐘之全數者盖子一分則一為九寸是黄鐘之全數丑三分二則一為三寸三為九寸亦是黄鐘九寸之全數三分取其二故林鐘得六寸寅九分八則一為一寸九為九寸亦是黄鐘九寸之全數九分取其八故太蔟得八寸曰隂數以倍陽數以四者盖黄鐘九寸下生則倍其實為一尺八寸以三分之每分六寸而得其一為林鐘即三分黄鐘九寸而損其一者也林鐘六寸上生則四其實為二尺四寸以三分之每分八寸而得其一為太蔟即三分林鐘六寸而益其一者也餘放此其候氣之法六陽辰當位自得子居子而寅居寅也六隂辰則居其衝丑則居未而夘則居酉也其林鐘在未南呂在酉應鐘在亥為隂原無半數故無所增損其大呂在丑夾鐘在夘仲呂在巳為陽吹之則用半數方其聲和也(候氣之法乖舛詳見後)十二律之實子黄鐘十七萬七千一百四十七全九寸 半無丑林鐘十一萬八千○九十八全六寸 半三寸不用寅太蔟十五萬七千四百六十四全八寸 半四寸卯南呂十○萬四千九百七十六全五寸三分 半二寸六分不用辰姑洗十三萬九千九百六十八全七寸一分 半三寸五分巳應鐘九萬三千三百一十二全四寸六分六釐 半二寸三分三釐不用午蕤賔十二萬四千四百一十六全六寸二分八釐 半三寸一分四釐未大呂十六萬五千八百八十八全八寸三分七釐六毫 半四寸一分八釐三毫申夷則十一萬○五百九十二全五寸五分五釐一毫 半二寸七分二釐五毫酉夾鐘十四萬七千四百五十六全七寸四分三釐七毫三絲 半三寸六分六釐三毫六絲戌無射九萬八千三百○四全四寸八分八釐四毫八絲 半二寸四分四釐二毫四絲亥仲呂十三萬一千○七十二全六寸五分八釐三毫四絲六忽(餘二筭) 半三寸二分八釐六毫二絲三忽黄鐘全九寸者以一萬九千六百八十三為一寸積十七萬七千一百四十七為九寸也半無者黄鐘至尊不為他律所役損益不及故不用半也林鐘於十七萬七千一百四十七内三分損一損五萬九千四十九則為十一萬八千九十八太蔟於十一萬八千九十八内三分益一益三萬九千三百六十六則為十五萬七千四百六十四南呂於十五萬七千四百六十四内三分損一損五萬二千四百八十八則為十萬四千九百七十六姑洗於十萬四千九百七十六内三分益一益三萬四千九百九十二則為十三萬九千九百六十八應鐘於十三萬九千九百六十八内三分損一損四萬六千六百五十六則為九萬三千三百一十二蕤賔於九萬三千三百一十二内三分益一益三萬一千一百四則為十二萬四千四百一十六蕤賔而後大呂當未應三分損其一也若損一止得大呂之半數因在陽倍之故以大呂於十二萬四千四百一十六内三分損一損四萬一千四百七十二為八萬二千九百四十四之數倍之則為十六為五千八百八十八夷則於十六萬五千八百八十八内三分損一損五萬五千二百九十六則為十一萬五百九十二夾鐘於十一萬五百九十二内三分益一益三萬六千八百六十四則為十四萬七千四百五十六無射於十四萬七千四百五十六内三分損一損四萬九千一百五十二則為九萬八千三百四仲呂於九萬八千三百四内三分益一益三萬二千七百六十八則為十三萬一千七十二夫黄鐘生十一律陽皆下生倍其實而損隂皆上生四其實而益蕤賔以後陽反四上生益而隂反倍下生損何也盖從子至亥黄鐘太蔟姑洗陽之陽也林鐘南呂應鐘隂之隂也陽生隂退故律生呂言下生呂生律言上生蕤賔夷則無射隂之陽也大呂夾鐘仲呂陽之隂也隂升陽退故律生呂言上生呂生律言下生故鄭氏重上生法所以為不易之論而真西山失載其說不能不令人疑耳推前律半律法如姑洗十三萬九千九百六十八以一萬九千六百八十三為一寸二千一百八十七為一分除十三萬七千七百八十一為七寸餘二千一百八十七為一分故姑洗全七寸一分以十三萬九千九百六十八半之為六萬九千九百八十四除五萬九千四十九為三寸餘一萬九百三十五為五分故姑洗半三寸五分餘倣此凡律用半者以上律短而下律長故下律用半以成宮商角徵羽之五聲林鐘南呂應鐘三律受役於陽律依序而下乃自為上律而上律更無短者故不用半以相生之不及也按十二律之實約以寸法則黄鐘林鐘太蔟得全寸約以分法則南呂姑洗得全分約以釐法則應鐘蕤賔得全釐約以毫法則大呂夷則得全毫約以絲法則夾鐘無射得全絲至仲呂之實十三萬一千七十二以三分之不盡二筭其數不行此律之所以止於十二也變律六黄鐘十七萬四千七百六十二(小分四百八十六)全八寸七分八釐一毫六絲二忽不用半四寸三分八釐五毫三絲一忽前正律至仲呂之實十三萬一千七十二以三分之不盡二筭其數既不可行當有以通之律當變者有六故置一而六三之盖自子之一而至午之六以三厯之得七百二十九以七百二十九乘仲呂之十三萬一千七十二共九千五百五十五萬一千四百八十八以三分之每分得三千一百八十五萬四百九十六三分益一共一萬二千七百四十萬一千九百八十四復以七百二十九歸之每黄鐘之一當七百二十九為黄鐘之十七萬四千七百六十二不盡零小分四百八十六為三分一之二盖以七百二十九為一小分三分之每分得二百四十三則四百八十六為二百四十三者二乃三分一之二也以寸法計之十五萬七千四百六十四得寸者八以分法計之一萬五千三百九得分者七以釐法計之一千九百四十四得釐者八以毫法計之二十七得毫者一以絲法計之一十八得絲者六以忽法計之小分四百八十六一為三忽三分一之二為二忽得忽者二此全數也半數得八萬七千三百八十一小分二百四十三以寸分釐毫絲忽法計之得四寸三分八釐五毫三絲一忽全數不用者黄鐘君象也受役之律無長於此諸律不得而役之故虚其正而不用所用即再生之變者就再生之變又缺其半所謂缺其半者盖若大呂為宮黄鐘為變宮時黄鐘管最長所以只得用其半其餘宮亦倣此林鐘十一萬六千五百八(小分三百二十四)全五寸八分二釐四毫一絲一忽三初半二寸八分五釐六毫五絲六初以黄鐘之一萬二千七百四十萬一千九百八十四三分之每分四千二百四十六萬七千三百二十八三分損一為八千四百九十三萬四千六百五十六以七百二十九歸之為下生林鐘之十一萬六千五百八零小分三百二十四以寸分釐毫絲法計之得全五寸八分二釐四毫一絲小分三百二十四以二百四十三為一忽餘八十一以二十七為一初為三初半之為五萬八千二百五十四小分一百六十二以法計之得半二寸八分五釐六毫五絲餘一百六十二為六初太蔟十五萬五千三百四十四(小分四百三十二)全七寸八分二毫四絲四忽七初不用半三寸八分四釐五毫六絲六忽八初以林鐘之八千四百九十三萬四千六百五十六三分之每分二千八百三十一萬一千五百五十二三分益一為一萬一千三百二十四萬六千二百八以七百二十九歸之為上生太蔟之十五萬五千三百四十四零小分四百三十二以法計之得全七寸八分二毫四絲三忽餘小分四百三十二除二百四十三為一忽共前為四忽餘一百八十九為七初半之為七萬七千六百七十二小分二百一十六以法計之得半三寸八分四釐五毫六絲六忽餘二百一十六為八初南呂十萬三千五百六十三(小分四十五)全五寸二分三釐一毫六絲一初六秒半二寸五分六釐七絲五忽一初三秒以太蔟之一萬一千三百二十四萬六千二百八三分之每分三千七百七十四萬八千七百三十六三分損一為七千五百四十九萬七千四百七十二以七百二十九歸之為下生南呂之十萬三千五百六十三零小分四十五以法計之得全五寸二分三釐一毫六絲餘小分四十五除二十七為一初餘十八三為一秒為六秒半之為五萬一千七百八十一小分五百二十二零五以法計之得半二寸五分六釐七絲三忽餘五百二十二零五除四百八十六為二忽共前五忽餘三十六零五除二十七為一初餘九零五除九為三秒不盡(舊本四忽五初三秒今多六初)姑洗十三萬八千八十四(小分六十)全七寸一釐二毫二絲二初二秒不用半三寸四分五釐一毫一絲一初一秒以南呂之七千五百四十九萬七千四百七十二三分之每分二千五百一十六萬五千八百二十四三分益一為一萬六十六萬三千二百九十六以七百二十九歸之為上生姑洗之十三萬八千八十四零小分六十以法計之得全七寸一釐二毫二絲餘小分六十除五十四為二初餘六為二秒(舊本一初二秒今多一初)半之為六萬九千四十二小分三十以法計之得半三寸四分五釐一毫一絲餘小分三十除二十七為一初餘三為一秒應鐘九萬二千五十六(小分四十)全四寸六分七毫四絲三忽一初四秒(餘一筭)半二寸三分三毫六絲六忽六秒强不用以姑洗之一萬六十六萬三千二百九十六三分之每分三千三百五十五萬四千四百三十二三分損一為六千七百一十萬八千八百六十四以七百二十九歸之為下生應鐘之九萬二千五十六零小分四十以法計之得全四寸六分七毫四絲三忽餘小分四十除二十七為一初餘十三除十二為四秒不盡半之為四萬六千二十八小分二十以法計之得半二寸三分三毫六絲六忽餘小分二十除十八為六秒不盡變律者在正律之位而非正律之聲也律所以變者其故有三其一黄鐘至尊為君不為他律所役其十二律各自為宮以生五聲二變共七聲黄鐘林鐘太蔟南呂姑洗應鐘六律則能具足如黄鐘為宮則林鐘為徴太蔟為商南呂為羽姑洗為角應鐘為變宮蕤賔為變徵林鐘為宮則太蔟為徵南呂為商姑洗為羽應鐘為角蕤賔為變宮大呂為變徵十二律中自能具足五聲二變各得其正矣至蕤賔大呂夷則夾鐘無射仲呂六律則取黄鐘林鐘太蔟南呂姑洗應鐘六律之聲少下不和故有變律變律者其聲近正而少高於正律也盖蕤賔為宮則未免反取黄鐘為變徵大呂為宮則未免反取黄鐘林鐘為變宮變徵黄鐘旣變其次所生之律若仍本律則長不成曲亦當變焉如黄鐘為商則林鐘之羽太蔟之角南呂之變宮姑洗之變徵皆隨而變黄鐘為角則林鐘之變宮太蔟之變徵皆隨而變臣之從君理固然也其二黄鐘林鐘太蔟南呂姑洗應鐘上六律長蕤賔大呂夷則夾鐘無射仲呂下六律短以上律役下律則或正或半通而和以下律役上律則或正或半戾而不和故以上律役下律以下律役下律皆不必變惟以下律役上律則必變其上律使少短而與下律通也其三相生之法至仲呂而窮使不再生六律則上律不能遍七聲之用下律亦無由而通故以六三之乘仲呂之實三分益一復變而再生黄鐘之宮因再生故不及黄鐘九寸之舊數止得八寸有竒其下相因而生五律亦各於舊為減皆數之自然也太蔟姑洗之全不用者其律長相生所不及也應鐘之半不用者數之窮也故律止於六至應鐘而窮也盖應鐘之實六千七百一十萬八千八百六十四以三分之每分二千二百三十六萬九千六百二十一餘一又不盡一算數又不可行此變律之所以止於六也古今律厯考巻二十九
## 卷三十
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十 明 邢雲路 撰律呂二律呂律生五聲宮聲八十一(下生徴)商聲七十二(下生羽)角聲六十四(下生變宫)徴聲五十四(上生商)羽聲四十八(上生角)黄鐘之數九九八十一以為宮是為五聲之本以宮之八十一數三分之每分二十七三分損一於八十一數損其二十七餘五十四下生徴故徴數五十四也徴三分益一七十二上生商商三分損一四十八下生羽羽三分益一六十四上生角是黄鐘為均用五聲之法以下十一辰辰各有五聲其為宫商之法亦如之故辰各有五聲是十二律之正聲也詳此是十一律皆可為宫盖置本律之實以九九因之三分損益以為五聲再以本律之實約之則宮固八十一商亦七十二角亦六十四徴亦五十四羽亦四十八也如應鐘為宮置本律應鐘之實九萬三千三百一十二以九九八十一乘之得七百五十五萬八千二百七十二為宮以九萬三千三百一十二約之為八十一三分宮損一得五百三萬八千八百四十八為徴以九萬三千三百一十二約之為五十四三分徴益一得六百七十一萬八千四百六十四為商以九萬三千三百一十二約之為七十二三分商損一得四百四十七萬八千九百七十六為羽以九萬三千三百一十二約之為四十八三分羽益一得五百九十七萬一千九百六十八為角以九萬三千三百一十二約之為六十四是也盖十二律生於黄鐘雖各長短不齊及其旋相為宮以生五聲二變皆約以八十一起數而五十四以後次之則八十四聲各有所歸矣然五聲至角其數六十四以三分之每分二十一不盡一筭數不可行此正聲所以止於五也通而變之角聲乃生變宮變徴以足五聲二變之數耳變聲二變宮聲四十二(餘小分九分分之六羽後宮前上生變徵)變徵聲五十六(餘小)(分九分分之八角後徵前不生)考國語周景王問於泠州鳩曰七律者何韋昭註曰周有七音黄鐘為宮太蔟為商姑洗為角林鐘為徵南呂為羽應鐘為變宮蕤賔為變徵然則五聲二變有自來矣盖五聲宮與商商與角徵與羽相去各一律至角與徵羽與宮相去乃二律以隔八相生之序言之如黃鐘為宮則相去一律而太蔟為商商相去一律而姑洗為角角相去二律始得林鐘之徵徵相去一律而南呂為羽南呂之羽距黃鐘之宮又相去二律焉相去一律則音節和相去二律則音節逺故角徵之間近徵收一聲比徵少下謂之變徵羽宮之間近宮收一聲少高於髙謂之變宮也五聲相生至於角位其數六十有四以三分之每分二十有一不盡一筭五聲之正至此而窮然旣不可行當有以通之聲之變者二故置一而兩三之置子之一而兩至寅以三厯之得九以九因角聲之實六十四得五百七十六以三分之每分一百九十二三分損一為三百八十四以九歸之為四十二下生變宮是姑洗生應鐘也餘六不用又以變宮之三百八十四三分之每分一百二十八三分益一為五百一十二以九歸之為五十六上生變徵是應鐘生蕤賔也餘八不用至變徵之數五百一十二以三分之又不盡二筭其數又不行此變聲所以止於二也變聲者所以濟五聲之不及宮比於宮徵比於徵雖有七聲其實五聲而已淮南子曰姑洗生應鐘比於正音故為和應鐘生蕤賔不比於正音故為謬曰謬則已難比於正故變聲非正不為調也旋宮八十四聲圖宮(下生)徵(上生)商(下生)羽(上生)角(下生)變宮(上生)變徵(止)一宮十一月黄(正)林(正)太(正)南(正)姑(正)應(正)㽔(正)二宮六月林(正)太(正半)南(正)姑(正半)應(正)蕤(正半)大(正半)三宮正月太(正)南(正)姑(正)應(正)蕤(正)大(正半)夷(正)四宮八月南(正)姑(正半)應(正)蕤(正半)大(正半)夷(正半)夾(正半)五宮三月姑(正)應(正半)蕤(正)大(正半)夷(正)夾(正半)無(正)六宮十月應(正)蕤(正半)大(正半)夷(正半)夾(正半)無(正半)仲(正半)七宮五月蕤(正)大(正半)夷(正)夾(正半)無(正)仲(正半)黄(變半)八宮十二月大(正)夷(正)夾(正)無(正)仲(正)黄(變半)林(變)九宮七月夷(正)夾(正半)無(正)仲(正半)黄(變半)林(變半)太(變半)十宮二月夾(正)無(正)仲(正)黄(變半)林(變)太(變半)南(變)十一宮九月無(正)仲(正半)黄(變半)林(變半)太(變半)南(變半)姑(變半)十二宮四月仲(正)黄(變半)林(變)太(變半)南(變)姑(變半)應(變)此言十二律還相為宮以次生五聲二變成八十四聲也律呂之數徃而不返惟黄鐘不為他律所役所用七聲皆正律無空積忽微盖黄鐘為宮則林鐘為徵太蔟為商南呂為羽姑洗為角應鐘為變宫蕤賔為變徵皆正無餘分也自林鐘而下則有半聲如太蔟為宮則以大呂為變宮大呂為宮則以黄鐘為變宮一半聲也姑洗為宮則以大呂為羽夾鐘為變宮夾鐘為宮則以黄鐘為羽太蔟為變宮二半聲也林鐘蕤賔四半聲南呂夷則五半聲應鐘無射六半聲自蕤賔而下則有變律如蕤賔為宮則以黄鐘變為變徵一變律也大呂為宮則以黄鐘變為變宮林鐘變為變徵二變律也夷則三變律夾鐘四變律無射五變律仲呂六變律半聲變律皆有空積忽微不得其正故黄鐘一均獨為聲氣之元也其序每一律役六律已徃者退方來者進如黄鐘為宮下生林鐘徵徵上生太蔟商商下生南呂羽羽上生姑洗角角下生應鐘變宮變宮上生蕤賔變徵一均旣畢黄鐘者退大呂者進林鍾為宮上生太蔟徵徵下生南呂商商上生姑洗羽羽下生應鐘角角上生蕤賔變宮變宮下生大呂變徵一均旣畢林鐘者退夷則者進自此以徃至於蕤賔則變黄鐘為變徵大呂則變黄鐘為變宮變林鐘為變徵以次夷則三變夾鐘四變無射五變至仲呂六變總之十二律各備七聲七聲各足十二律而後終焉然黄鐘為元十一律皆受法於黄鐘雖其管長短不齊及其用而為宮則一也宮數八十一則皆約以八十一起數三分損益以序生四聲二變有條而不紊者也以正言之黄鐘為宮置黄鐘本律之實十七萬七千一百四十七以宮八十一乘之得一千四百三十四萬八千九百七為宮數以本律之實約之為八十一為宮三分宮數每分四百七十八萬二千九百六十九三分損一得九百五十六萬五千九百三十八以本律之實約之為五十四為徵是為黄鐘之宮下生林鐘之徵置林鐘本律之實十一萬八千九十八以徵五十四乘之得六百三十七萬七千二百九十二為徵數三分徵數每分二百一十二萬五千七百六十四三分益一得八百五十萬三千五十六以本律之實約之為七十二為商是為林鐘之徵上生太蔟之商置太蔟本律之實十五萬七千四百六十四以商七十二乘之得一千一百三十三萬七千四百八為商數三分商數每分三百七十七萬九千一百三十六三分損一得七百五十五萬八千二百七十二以本律之實約之為四十八為羽是為太蔟之商下生南呂之羽置南呂本律之實十萬四千九百七十六以羽四十八乘之得五百三萬八千八百四十八為羽數三分羽數每分一百六十七萬九千六百一十六三分益一得六百七十一萬八千四百六十四以本律之實約之為六十四為角是為南呂之羽上生姑洗之角置姑洗本律之實十三萬九千九百六十八以角六十四乘之得八百九十五萬七千九百五十二為角數三分角數每分二百九十八萬五千九百八十四三分損一得五百九十七萬一千九百六十八以本律之實約之為四十二餘六不用為變宮是為姑洗之角下生應鐘之變宮置應鐘本律之實九萬三千三百一十二以變宮四十二乘之得三百九十一萬九千一百四為變宮數三分變宮數每分一百三十萬六千三百六十八三分益一得五百二十二萬五千四百七十二以本律之實約之為五十六為變徵是為應鐘之變宮上生蕤賔之變徴此正律皆全數也以正與正半言之如林鐘為宮置林鐘全數之實十一萬八千九十八以宫八十一乘之得九百五十六萬五千九百三十八為宫數以本律全數約之為八十一為宫三分宫數每分三百一十八萬八千六百四十六三分損一得六百三十七萬七千二百九十二以本律全數約之為五十四為徴是為林鐘全數之宮下生太蔟正半之徴置太蔟半數之實七萬八千七百三十二以徴五十四乘之得四百二十五萬一千五百二十八為徴數三分徴數每分一百四十一萬七千一百七十六三分益一得五百六十六萬八千七百四以本律半數約之為七十二為商是為太蔟正半之徴上生南呂全數之商置南呂全數之實十萬四千九百七十六以商七十二乘之得七百五十五萬八千二百七十二為商數三分商數每分二百五十一萬九千四百二十四三分損一得五百三萬八千八百四十八以本律全數約之為四十八為羽是為南呂全數之商下生姑洗正半之羽置姑洗半數之實六萬九千九百八十四以羽四十八乘之得三百三十五萬九千二百三十二為羽數三分羽數每分一百一十一萬九千七百四十四三分益一得四百四十七萬八千九百七十六以本律半數約之為六十四為角是姑洗半數之羽上生應鐘全數之角置應鐘全數之實九萬三千三百一十二以角六十四乘之得五百九十七萬一千九百六十八為角數三分角數每分一百九十九萬六百五十六三分損一得三百九十八萬一千三百一十二以本律全數約之為四十二為變宮是為應鐘全數之角下生蕤賔正半之變宮置蕤賔半數之實六萬二千二百八以變宮四十二乘之得二百六十一萬二千七百三十六為變宮數三分變宮數每分八十七萬九百一十二三分益一得三百四十八萬三千六百四十八以本律半數約之為五十六為變徵是為蕤賔正半之變宮上生大呂正半之變徵此正與正半之律也餘倣此以正與變與變半言之如夾鐘為宮置夾鐘全數之實十四萬七千四百五十六以宮八十一乘之得一千一百九十四萬三千九百三十六為宮數以本律全數約之為八十一為宮三分宮數每分三百九十八萬一千三百一十二三分損一得七百九十六萬二千六百二十四以本律全數約之為五十四為徵是為夾鐘全數之宮下生無射全數之徵置無射全數之實九萬八千三百四以徵五十四乘之得五百三十萬八千四百一十六為徵數三分徵數每分一百七十六萬九千四百七十二三分益一得七百七萬七千八百八十八以本律全數約之為七十二為商是為無射全數之徵上生仲呂全數之商置仲呂全數之實十三萬一千七十二以商七十二乘之得九百四十三萬七千一百八十四為商數三分商數每分三百一十四萬五千七百二十八三分損一得六百二十九萬一千四百五十六以本律全數約之為四十八為羽是為仲呂全數之商下生黄鐘變半之羽置黄鐘變半之實八萬七千三百八十一小分不用以羽四十八乘之得四百一十九萬四千二百八十八為羽數三分羽數每分一百三十九萬八千九十六三分益一得五百五十九萬二千三百八十四以本律半數約之為六十四為角是為黄鐘變半之羽上生林鐘變數之角置林鐘變數之實十一萬六千五百八以角六十四乘之得七百四十五萬六千五百一十二為角數三分角數每分二百四十八萬五千五百四三分損一得四百九十七萬一千八以本律全數約之為四十二為變宮是為林鐘變數之角下生太蔟變半之變宮置太蔟變半之實七萬七千六百七十二以變宮四十二乘之得三百二十六萬二千二百二十四為變宮數三分變宮數每分一百八萬七千四百八三分益一得四百三十四萬九千六百三十二以本律半數約之為五十六為變徵是為太蔟變半之變宮上生南呂變數之變徵此正與變與變半之律也餘倣此一法如夾鐘為宮置夾鐘全數十四萬七千四百五十六以法計之得全七寸四分三釐有奇三分全數每分四萬九千一百五十二三分損一得九萬八千三百四為無射計得全四寸八分八釐有奇是夾鐘全數之宮下生無射全數之徵置無射全數九萬八千三百四三分之每分三萬二千七百六十八三分益一得十三萬一千七十二為仲呂計得全六寸五分八釐有竒是無射全數之徵上生仲呂全數之商置仲呂全數十三萬一千七十二以變呂六三數乘之得九千五百五十五萬一千四百八十八三分損一所約之數八萬七千三百八十一為黄鐘變半計得半四寸三分八釐有竒是仲呂全數之商下生黄鐘變半之羽置黄鐘變半八萬七千三百八十一三分益一得十一萬六千五百八為林鐘變數計得全五寸八分二釐有竒是黄鐘變半之羽上生林鐘變數之角置林鐘變數十一萬六千五百八三分損一得七萬七千六百七十二為太蔟變半計得三寸八分四釐有竒是林鐘變數之角下生太蔟變半之變宮置太蔟變半七萬七千六百七十二三分益一得十萬三千五百六十三為南呂變數計得全五寸二分三釐有竒是太蔟變半之變宮上生南呂變數之變徵餘律倣此其數悉合夫十一律之皆可為宮也或有疑之者不知十一律之數各以八十一分之為宮而三分損益上下相生各得五聲二變之數自然之妙非人力之為也如應鐘四寸六分六釐律之最短者然既為宮則短中之君也由此三分損一下生蕤賔正半之徵則三寸一分四釐益一上生大呂正半之商則四寸一分八釐損一下生夷則正半之羽則二寸七分二釐益一上生夾鐘正半之角則三寸六分六釐損一下生無射正半之變宮則二寸四分四釐益一上生仲呂正半之變徵則三寸二分八釐凡所生四聲二變其數更無長於四寸六分六釐者則應鐘之為宮為君也何疑且其損益相生之數機括消息皆與黄鐘之正律合符也六十調圖宮 商 角 變徴徵 羽 變宮黄鐘宮黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)應(正)此黄鐘為宮黄鐘第一調也所謂黄鐘一均之備者也無射商無(正)黄(變半)太(變半)姑(變半)仲(正半)林(變半)南(變半)此黄鐘為商黄鐘第二調也夷則角夷(正)無(正)黄(變半)太(變半)夾(正半)仲(正半)林(變半)此黄鐘為角黄鐘第三調也仲呂徵仲(正)林(變)南(變)應(變)黄(變半)太(變半)姑(變半)此黄鐘為徵黄鐘第四調也夾鐘羽夾(正)仲(正)林(變)南(變)無(正)黄(變半)太(變半)此黄鐘為羽黄鐘第五調也上下宮商角徵羽者黄鐘得五聲所謂黄鐘一均之備者也左右宮商角徵羽者五聲盡黄鐘所謂黄鐘一調之備者也共五調此黄鐘一大調也下十一律同大呂宮大(正)夾(正)仲(正)林(變)夷(正)無(正)黄(變半)應鐘商應(正)大(正半)夾(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)無(正半)南呂角南(正)應(正)大(正半)夾(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)蕤賔徵蕤(正)夷(正)無(正)黄(變半)大(正半)夾(正半)仲(正半)姑洗羽姑(正)蕤(正)夷(正)無(正)應(正)大(正半)夾(正半)此大呂一大調也太蔟宮太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)應(正)大(正半)黄鐘商黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)應(正)無射角無(正)黄(變半)太(變半)姑(變半)仲(正半)林(變半)南(變半)林鐘徵林(正)南(正)應(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲呂羽仲(正)林(變)南(變)應(變)黄(變半)太(變半)姑(變半)此太蔟一大調也夾鐘宮夾(正)仲(正)林(變)南(變)無(正)黄(變半)太(變半)大呂商大(正)夾(正)仲(正)林(變)夷(正)無(正)黄(變半)應鐘角應(正)大(正半)夾(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)無(正半)夷則徵夷(正)無(正)黄(變半)太(變半)夾(正半)仲(正半)林(變半)蕤賔羽蕤(正)夷(正)無(正)黄(變半)大(正半)夾(正半)仲(正半)此夾鐘一大調也姑洗宮姑(正)蕤(正)夷(正)無(正)應(正)大(正半)夾(正半)太蔟商太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)應(正)大(正半)黄鐘角黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)應(正)南呂徵南(正)應(正)大(正半)夾(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林鐘羽林(正)南(正)應(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)此姑洗一大調也仲呂宮仲(正)林(變)南(變)應(變)黄(變半)太(變半)姑(變半)夾鐘商夾(正)仲(正)林(變)南(變)無(正)黄(變半)太(變半)大呂角大(正)夾(正)仲(正)林(變)夷(正)無(正)黄(變半)無射徵無(正)黄(變半)太(變半)姑(變半)仲(正半)林(變半)南(變半)夷則羽夷(正)無(正)黄(變半)太(變半)夾(正半)仲(正半)林(變半)此仲呂一大調也蕤賔宮蕤(正)夷(正)無(正)黄(變半)大(正半)夾(正半)仲(正半)姑洗商姑(正)蕤(正)夷(正)無(正)應(正)大(正半)夾(正半)太蔟角太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)應(正)大(正半)應鐘徵應(正)大(正半)夾(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)無(正半)南呂羽南(正)應(正)大(正半)夾(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)此蕤賔一大調也林鐘宮林(正)南(正)應(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲呂商仲(正)林(變)南(變)應(變)黄(變半)太(變半)姑(變半)夾鐘角夾(正)仲(正)林(變)南(變)無(正)黄(變半)太(變半)黄鐘徵黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)應(正)無射羽無(正)黄(變半)太(變半)姑(變半)仲(正半)林(變半)南(變半)此林鐘一大調也夷則宮夷(正)無(正)黄(變半)太(變半)夾(正半)仲(正半)林(變半)蕤賔商蕤(正)夷(正)無(正)黄(變半)大(正半)夾(正半)仲(正半)姑洗角姑(正)蕤(正)夷(正)無(正)應(正)太(正半)夾(正半)大呂徵大(正)夾(正)仲(正)林(變)夷(正)無(正)黄(變半)應鐘羽應(正)大(正半)夾(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)無(正半)此夷則一大調也南呂宮南(正)應(正)大(正半)夾(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林鐘商林(正)南(正)應(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲呂角仲(正)林(變)南(變)應(變)黄(變半)太(變半)姑(變半)太蔟徵太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)應(正)大(正半)黄鐘羽黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)應(正)此南呂一大調也無射宮無(正)黄(變半)太(變半)姑(變半)仲(正半)林(變半)南(變半)夷則商夷(正)無(正)黄(變半)太(變半)夾(正半)仲(正半)林(變半)蕤賔角蕤(正)夷(正)無(正)黄(變半)大(正半)夾(正半)仲(正半)夾鐘徵夾(正)仲(正)林(變)南(變)無(正)黄(變半)太(變半)大呂羽大(正)夾(正)仲(正)林(變)夷(正)無(正)黄(變半)此無射一大調也應鐘宮應(正)大(正半)夾(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)無(正半)南呂商南(正)應(正)大(正半)夾(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林鐘角林(正)南(正)應(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)姑洗徵姑(正)蕤(正)夷(正)無(正)應(正)太(正半)夾(正半)太蔟羽太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)應(正)大(正半)此應鐘一大調也十二律旋相為宮五聲二變各具七聲共八十四聲以相生之序言之則曰宮曰徵曰商曰羽曰角曰變宮曰變徵以高下清濁言之則曰宮曰商曰角曰變徵曰徵曰羽曰變宮以律之長短為序也合七聲為一調合五調為一曲宮聲十二商聲十二角聲十二徵聲十二羽聲十二凡六十聲為六十調共四百二十聲其變宮十二在羽聲之後宮聲之前變徵十二在角聲之後徵聲之前宮不成宮徵不成徵凡二十四聲不可為調黄鐘宮至夾鐘羽並用黄鐘起調始於黄鐘終於黄鐘五調為一大調黄鐘畢曲大呂宮至姑洗羽並用大呂起調大呂畢曲以至應鐘皆然其正者以正律全聲應也正半者以正律半聲應也變者以變律全聲應也變半者以變律半聲應也旋相為宮若到應鐘為宮其聲最短而清則下四聲皆當低去所以有半聲亦謂之子聲近時所謂清聲是也盖樂律最忌下陵上應鐘為宮如用大呂為之商則是商聲高似宮聲為臣陵君用夾鐘為之角則是角聲髙似宮聲為民陵君徵羽亦然皆不可用遂乃用半律之清聲以應之也宮商角三十六調為陽徵羽二十四調為隂大調五律除調首中聲必有二陽二隂六十調皆同如陽律為宮而商角皆陽徵羽為隂隂律為宮而商角皆隂徵羽為隂故調成而隂陽備也候氣候氣之法為室三重户閉塗釁必周密布緹縵室中以木為按每律各一按内庳外高從其方位加律其上以葭灰實其端覆以緹素按厯而候之氣至則吹灰動素小動為氣和大動為君弱臣强専政之應不動為君嚴猛之應其升降之數陽候則陽律升多隂律升少隂候則隂律升多陽律升少在冬至則黄鐘九寸升五分一釐三毫大寒則大呂八寸三分七釐六毫升三分七釐六毫雨水則太蔟八寸升四分五釐一毫六絲春分則夾鐘七寸四分三釐七毫三絲升三分三釐七毫三絲穀雨則姑洗七寸一分升四分五毫四絲三忽小滿則仲呂六寸五分八釐三毫四絲六忽升三分三毫四絲六忽夏至則蕤賔六寸二分八釐升二分八釐大暑則林鐘六寸升三分三釐四毫處暑則夷則五寸五分五釐一毫升二分五釐五毫秋分則南呂五寸三分升三分四毫一絲霜降則無射四寸八分八釐四毫八絲升二分二釐四毫八絲小雪則應鐘四寸六分六釐升三分一毫一絲審度度者分寸尺丈引所以度長短也生於黄鐘之長以子穀秬黍中者九十枚度之一為一分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引嘉量量者龠合升斗斛所以量多少也生於黄鐘之容以子穀秬黍中者一千二百實其龠以井水准其概以度數審其容合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛謹權衡權衡者銖兩斤鈞石所以權輕重也生於黄鐘之重以子穀秬黍中者一千二百實其龠百黍一銖一龠十二銖二十四銖為一兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石自黄鐘至此皆依古法布算其辨議在後古今律厯考卷三十
## 卷三十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十一 明 邢雲路 撰律呂三律呂(以後證辯)造律劉昭後漢志曰伏羲作易紀陽氣之初以為律法建日冬至之聲以黄鐘為宫太蔟為商姑洗為角林鐘為徵南呂為羽應鐘為變宮蕤賓為變徵此聲氣之元五音之正也班固前漢志曰黄帝使伶倫自大夏之西崑崙之隂取竹斷兩節間而吹之以為黄鐘之宮制十二筩定十二律周官太師掌六律六同以合隂陽之聲陽聲黄鐘太蔟姑洗蕤賓夷則無射隂聲大呂應鐘南呂函鐘小呂夾鐘皆文之以五聲播之以八音國語泠州鳩對周景王曰周有七音黄鐘為宫太蔟為商姑洗為角林鐘為徵南呂為羽應鐘為變宫蕤賓為變徵禮記月令曰孟春之月律中太蔟仲春律中夾鐘季春律中姑洗孟夏律中中呂仲夏律中蕤賓季夏律中林鐘孟秋律中夷則仲秋律中南呂季秋律中無射孟冬律中應鐘仲冬律中黄鐘季冬律中大呂管子曰凡聽徵如負豬豕覺而駭凡聽羽如鳴鳥在樹凡聽宫如牛鳴窌中凡聽商如離羣羊凡聽角如雉登木凡將起五音凡首先主一而三之四開以合九九以是生黄鐘小素之首以成宫三分而益之以一為百有八為徵有三而去其乘適足以是生商有三分而復於其所以是成羽有三分而去乘適足以是成角曰主一而三之四開以合九九者三其一而為三一開也三其三而為九二開也三其九而為二十七三開也三其二十七而為八十一四開也是謂四開以合九九八十一之數黄鐘為五音之本故云小素本八十一益以三分之一之二十七通前百有八是為徵數乘亦三分之一也三分百有八而去其一之三十六餘七十二是為商數三分七十二而益其一之二十四合為九十六謂之復於其所是為羽數三分九十六去其一之三十二餘六十四是為角數此其法也後漢志註引禮運古註曰宫數八十一黄鐘長九寸九九八十一也三分宫去一生徵徵數五十四林鐘長六寸六九五十四也三分徵益一生商商數七十二太蔟長八寸八九七十二也三分商去一生羽羽數四十八南呂長五寸三分寸之一五九四十五又三分寸之一為四十八也三分羽益一生角角數六十四姑洗長七寸九分寸之一七九六十三又九分寸之一為六十四也三分角去一生變宫三分變宫益一生變徵自此已後則隨月而變所謂還相為宮爾雅曰管長尺圍寸曰長尺者九寸為尺也淮南子曰規始於一一不生故分而為隂陽隂陽合和而萬物生故曰一生二二生三三生萬物天地三月而為一時故祭祀三飯以為禮喪紀三踊以為節兵重三罕以為制三叅物三三如九黄鐘之九寸而宮音調因而九之九九八十一故黄鐘之數立焉黄者土德之色鐘者氣所鍾也日冬至徳氣為土土色黄故曰黄鐘律之數六分為雄雌故曰十二鐘以副十二月十二各以三成故置一而十一三之為積分十七萬七千一百四十七黄鐘大數立焉合而考之周禮爾雅國語禮記諸書在周泠州鳩管子皆周人月令在秦初淮南子在漢初皆最古者也史記漢書所推律吕之數一一皆本於此然則黄鐘起冬至為宫以生五聲二變十二律六陽六隂配十二月三分損益上下隔八相生自三而九為黄鐘九寸九九八十一分第而生之以至於亥之十七萬七千一百四十七之數此其法皆成周以來古人相傳之舊法也遷固但演其成數著為漢志竝未以己意增損其間後世不知而目為遷固之法議其失者則亦未稽諸故實耳律長短圍徑之說司馬遷律書本文 改正黄鐘八寸七分一宫 八寸十分一林鐘五寸七分四角 五寸十分四太蔟七寸七分二商 七寸十分二南呂四寸七分八徵 四寸十分八姑洗六寸七分四羽 六寸十分四應鐘四寸二分三分二羽 四寸二分三分二蕤賓五寸六分三分一 五寸六分三分二(强四百八十六)大呂七寸四分三分一 七寸五分三分二(强四百○五)夷則五寸四分三分二商 五寸○三分二(弱二百一十六)夾鐘六寸一分三分一 六寸七分三分一(强一百九十八)無射四寸四分三分二 四寸四分三分二(强六百○二)仲呂五寸九分三分二徵 五寸九分三分二(强五百八十一)蔡季通曰律書此章所記分寸之法與他記不同以難曉故多誤蓋取黄鐘之律九寸一寸九分凡八十一分而又以十約之為寸故云八寸十分一本作七分一者誤也今以相生次序列而正之其應鐘以下則有小分小分以三為法如厯家太少餘分强弱耳其法未宻也今以二千一百八十七為全分七百二十九為三分一一千四百五十八為三分二餘分之多者為强少者為弱列於逐律之下其誤字悉正之隋志引此章中黄鐘林鐘太蔟應鐘四律寸分以為與班固司馬彪鄭氏蔡邕杜夔荀朂所論雖尺有增減而十二律之寸數竝同則是時律書尚未誤也及司馬貞索隱始以舊本作七分一為誤其誤亦未久也沈括亦曰此章七字皆當作十字誤屈中畫耳大要律書用相生分數相生之法以黄鐘為八十一分今以十為寸法故有八寸一分漢前後志及諸家用審度分數審度之法以黄鐘之長為九十分亦以十為寸法故有九十分法雖不同其長短則一故隋志云寸數竝同也其黄鐘下有宮太蔟下有商姑洗下有羽林鐘下有角南吕下有徵字晉志論律書五音相生而以宮生角角生商商生徵徵生羽羽生宫求其理用罔見通逹者是也仲吕下有徵夷則下有商應鐘下有羽字三者未詳亦疑後人誤增也下云上九商八羽七角六宫五徵九者即是上文聲律數太蔟八寸為商姑洗七寸為羽林鐘六寸為角南呂五寸為徵黄鐘九寸為宮其曰宮五徵九誤字也以余考之黄鐘為宮林鐘為徵太蔟為商南呂為羽姑洗為角應鐘為變宮蕤賓為變徵此正法也馬遷律書本文書黄鐘宮太蔟商則是書林鐘角南呂徵姑洗羽應鐘羽夷則商仲呂徵則非或皆後人誤書何則即史遷推律呂相生之數與此不同故知後人之誤書也蔡氏正史文之誤皆是而獨於無射下小分云强六百○二以法推乃六百一十八較少一十六亦蔡氏之誤布耳今以蔡氏改正之法詳推之十二律皆置毎分二千一百八十七如求黄鐘以八十一乘毎分之數二千一百八十七得十七萬七千一百四十七為黄鐘之實故曰八寸十分一即九分之寸變為十分之寸一百分中之八十一分也求林鐘以五十四乗分數得十一萬八千九十八為林鐘之實故曰五寸十分四求太蔟以七十二乘分數得十五萬七千四百六十四為太蔟之實故曰七寸十分二求南呂以四十八乘分數得十萬四千九百七十六為南呂之實故曰四寸十分八求姑洗以六十四乘分數得十三萬九千九百六十八為姑洗之實故曰六寸十分四求應鐘以四十二乘分數得九萬一千八百五十四加三分二之一千四百五十八共九萬三千三百一十二為應鐘之實故曰四寸二分三分二求蕤賓以五十六乗分數得十二萬二千四百七十二加三分二之一千四百五十八得十二萬三千九百三十以較㽔賓之實少四百八十六加以四百八十六得十二萬四千四百一十六為㽔賓之實故曰五寸六分三分二强四百八十六求大呂以七十五乘分數得十六萬四千二十五加三分二之一千四百五十八得十六萬五千四百八十二以較大呂之實少四百五加以四百五得十六萬五千八百八十八為大呂之實故曰七寸五分三分二强四百五求夷則以五十乘分數得十萬九千三百五十加三分二之一千四百五十八得十一萬八百八較夷則之實多二百一十六減去二百一十六得十一萬五百九十二為夷則之實故曰五寸三分二弱二百一十六求夾鐘以六十七乘分數得十四萬六千五百二十九加三分一之七百二十九得十四萬七千二百五十八以較夾鐘之實少一百九十八加以一百九十八得十四萬七千四百五十六為夾鐘之實故曰六寸七分三分一强一百九十八求無射以四十四乘分數得九萬六千二百二十八加三分二之一千四百五十八得九萬七千六百八十六以較無射之實少六百一十八加以六百一十八得九萬八千三百四為無射之實故曰四寸四分三分二强六百一十八求仲呂以五十九乗分數得十二萬九千三十三加三分二之一千四百五十八得十三萬四百九十一以較仲呂之實少五百八十一加以五百八十一得十三萬一千七十二為仲呂之實故曰五寸九分三分二强五百八十一是其數也漢志曰易曰參天兩地而倚數天之數始於一終於二十五其義紀之以三故置一得三又二十五分之六凡二十五置終天之數得八十一以天地五位之合終於十者乗之為八百一十分應厯一統千五百三十九歲之章數黄鐘之實也繇此之義起十二律之周徑地之數始於二終於三十其義紀之以兩故置一得二凡三十置終地之數得六十以地中六數乗之為三百六十分當期之日林鐘之實也人者繼天順地序氣成物統八卦調八風理八政正八節諧八音舞八風監八方被八荒以終天地之功故八八六十四其義極天地之變以天地五位之合終於十者乗之為六百四十分以應六十四卦太蔟之實也孟康曰林鐘長六寸圍六分以乗長得三百六十分太蔟長八寸圍八分為積六百四十分也漢志置一得三又六乃三其二十五為七十五又六為八十一以天地之合終於十者乘之為八百一十分即黄鐘長九寸自乘九九八十一又以十因之為八百一十也厯十九歲為一章一統八十一章凡千五百三十九歲故曰應厯一統置一得二乃二其三十為六十以地中六數因之為三百六十分即林鐘長六寸自乘六六三十六又以十因之為三百六十也一期三百六十故曰當期之日人終天地之功故八八六十四以天地之合終於十者乗之為六百四十分即太蔟長八寸自乘八八六十四又以十因之為六百四十也卦六十四故曰應六十四卦蔡氏謂繇此之義起十二律之周徑葢黄鐘十其廣之分以為長十一其長之分以為廣故長九寸空圍九分積八百一十分其數相合則其周徑可以數定其言似是而非葢班固以八百一十應律一統為天三百六十當期之日為地六百四十應六十四卦為人皆牽强凑數正蔡季通所謂倚數配合為説而已其與積實之數無干也其謂三百六十當期之日者則本於淮南子所言一律而生五音十二律而為六十音因而六之為三百六十音以當一歲之日之文然淮南子指十二律而言亦未嘗指為林鐘為地也孟康遂謂林鐘長六寸圍六分為六六三百六太蔟長八寸圍八分為八八六十四以附會之果如所云則應鐘長四寸六分圍四分六釐徑止得一分五釐矣一分五釐之管涉於太細何以施吹何以成聲乎其乖舛亡論已至蔡季通所云十其廣之分以為長者謂廣九分以十分之寸因之每寸九十分九寸得長八百一十分云十一其長之分以為廣者謂長八百一十分九因七百二十九再加八十一為八百一十乃十一其長以九而一得空圍九分是其數似合而不知黄鐘九寸九分之寸也每寸九九八十一分九寸積七百二十九分蔡謂八十一則是謂八百一十則非也蔡邕銅龠銘曰龠黄鐘之宮長九寸空圍九分容秬黍一千二百粒稱重十二銖兩之為一合三分損一轉生十一律月令章句云黄鐘之管長九寸徑三分其餘皆稍短雖大小圍數無增減韋昭周語註曰黄鐘之變也管長九寸徑三分圍九分因而九之九九八十一故黄鐘之數立焉鄭康成月令註曰凡律空圍九分孔穎逹疏曰諸律雖短長有差其圍皆以九分為限漢志曰一黍之廣度之九十分黄鐘之長累九十黍之廣積八百一十分隋志牛宏辛彥之鄭譯何妥等叅攷古律度合依時代制律其黄鐘之管俱長九寸徑三分然圍徑長短與度而差故容黍不同晉前尺黄鐘容黍八百八粒梁法尺黄鐘容八百二十八梁表尺黄鐘三其一容九百二十五其一容九百一十其一容一千一百二十漢官尺黄鐘容九百三十九古銀錯題黄鐘容一千二百宋氏尺即鐵尺黄鐘二其一容一千二百其一容一千四十七後魏前尺黄鐘容一千一百一十五後周玉尺黄鐘容一千二百六十七後魏中尺黄鐘容一千五百五十五後魏後尺黄鐘容一千八百一十九東魏尺黄鐘容二千八百六十九萬寶常水尺律母黄鐘容一千三百二十隋志又云梁表尺三律宋鐵尺二律黄鐘副别其長短及口空之圍徑竝同而容黍或多或少皆是作者旁庣其腹使有盈虚蔡氏謂梁宋尺容受不同乃制作之疎晉前尺黄鐘止容八百八黍者失在徑三分古銀錯與玉尺玉斗合玉斗之容受與晉前尺三分四釐六毫不甚相逺但玉尺律徑不及三分故其律遂長而尺長於晉前尺一寸五分八釐葢自漢魏而下造律竟不能成而度之長短量之容受權衡之輕重皆戾於古大率皆由徑三分之說誤之也蔡氏又云班志以黄鐘八百一十分起十二律之周徑審度章以一黍之廣度之九十分黄鐘之長一為一分嘉量章以千二百黍實其龠謹衡權章以千二百黍為十二銖則是累九十黍以為長積千二百黍以為廣也夫長九十黍容千二百黍則空圍當有九方分乃是圍十分三釐八毫徑三分四釐六毫也毎一分容十三黍又三分黍之一以九十因之則一千二百也又漢斛銘文云律嘉量方尺圓其外庣旁九釐五毫羃百六十二寸深尺積一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠為合十合為升十升為斗十斗為石一石積一千六百二十寸為分者一百六十二萬一斗積一百六十二寸為分者十六萬二千一升積十六寸二分為分者一萬六千二百一合積一寸六分二釐為分者一千六百二十則黄鐘之龠為八百一十分明矣空圍八百一十分則長累九十黍廣容一千二百黍矣蓋十其廣之分以為長十一其長之分以為廣也自孟康以律之長十之一為圍之謬其後韋昭之徒遂皆有徑三分之說而隋志始著以為定論然累九十黍徑三黍止容黍八百有奇終與一千二百黍之法兩不相通而律竟不成本朝胡安定謂管長九十黍之廣内實十三黍三分黍之一其圍容九分者乃九方分也云圍九分者取空圍圓長九分耳以是圍九分之誤遂有徑三分之說若從徑三圍九之法則管止容九百黍積止六百七分半矣此胡氏破徑三分之說也以是定律皆與古不合又不知變律之法但見仲呂反生不及黄鐘之數乃遷就林鐘已下諸律圍徑以就黄鐘清聲以夷則南呂為徑三分圍九分無射為徑二分八釐圍八分四釐應鐘為徑二分六釐五毫圍七分九釐五毫其數不同遂使十二律之聲皆不當位反不如和峴舊樂之為得也魯齋彭氏曰黄鐘律管有周有徑有面羃有空圍内積有從長如史記論從長律厯志論從長及積東漢鄭氏注月令論羃東漢蔡氏月令章句論從長皆不易之論獨周徑之説漢以前俱無明文漢律厯志開端未竟東漢蔡氏始創為徑三分之說晉孟氏以後諸儒續為徑三分圍九分之說宋胡氏蔡氏又為徑三分四釐六毫圍十分三釐八毫之說然攷之古方圍周徑羃積率皆未有合嘗依東漢蔡氏所言徑三分以九章少廣内祖氏宻率乗除止得空圍内面羃七分七釐奇乃少一分九十二釐奇空圍内積實止得六百三十六分奇乃少一百七十三分奇如此則黄鐘之管無乃太狹葢黄鐘空積忽㣲若徑内差一忽即面冪及積所差忽數至多此東漢蔡氏之說所以不合也晉孟氏諸儒言徑三分圍九分又用徑一圍三之法雖是古率然古人大約以比圓田若以宻率推之徑一則圍三有奇假如徑七則圍當二十有二今依孟氏所言徑三分則圍長當九分四釐二毫一秒强不但止於九分也若依九分圍長之數則徑當止有二分八釐六毫二秒六忽强又不及三分也此晉孟氏諸儒之說所以不合也宋胡氏不主徑三圍九之說大意疑其管狹耳然所言徑長三分四釐六毫圍長十分三釐八毫亦用徑一圍三之率若依所言三分四釐六毫徑當得圍長十分八釐七毫六秒二忽强不但止於十分三釐八毫也若依十分三釐八毫圍長之數則徑止得三分三釐奇又不及三分四釐六毫也此宋胡氏之說所以不合也宋蔡氏說徑圍分數與胡氏同至於算法用圓田術三分益一得一十二開方除之求徑又以徑相乘以管長乘之用三分益一四分退一之法求羃積今姑依其說以九方分平置□又三分益一以三方分割置於九方分之外如此□共積十二方分其縱横可得三分四釐六毫强不盡二毫八絲四忽的如蔡氏之說但依此徑以宻率相乘則空圍内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十釐六十毫五十七秒十四忽奇空圍内積實不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五釐一百四十二秒六百忽奇如此則黄鐘之管無乃太細乎考之方内之圓所占者不止四分三圓外之方所當退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虚加實退算家大約之法此宋蔡氏之說所以又不能以盡合也今欲求黄鐘律管從長周徑羃積的實定數者須依蔡氏多截管候氣之說又以祖氏冲之宻率乗除方可葢祖冲之乃古今算家之最而蔡氏多截管候氣之說實得造律本原其說有前人未發者今宜依此說先多截竹以擬黄鐘之管或短或長長短之内每差纎微各為一管悉以此諸管埋地中俟冬至時驗之若諸管之中有氣應者即以此管分作九寸寸作九分分作九釐釐作九毫毫作九秒秒作九忽以合八十一終天之數及元氣運行自子至亥得十七萬七千一百四十七之數凡用此管三分損益上下相生由此又取此管九寸寸作十分分作十釐釐作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位終於十之數乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管長九十分空圍中容八百一十分即十分管長空圍中容九十分一分管長空圍中容九分凡求度量衡由此乃以此管面空圍中所容九分以平方羃法推之知一分有百釐釐有百毫毫有百秒秒有百忽積而計之一平方分通有面羃一萬萬忽九平方分通有面羃九萬萬忽乃以此九萬萬忽依算經少廣章所載宋祖冲之宻率乘除得圓周長的計十分六釐三毫六秒八忽萬分忽之六千三百一十二又以圓周求徑計三分三釐八毫四秒四忽萬分忽之五千六百四十五又以半徑半周相乗仍得九萬萬忽内一忽弱通得面羃九平方分也既以周徑相乗復得面羃如此則黄鐘之廣與長及空圍内積實皆可計矣故面羃計九方分深一分管則空圍内當有九立方分深九十分管計九寸則空圍内當有八百一十立方分此即黄鐘一管之實其數與天地造化無不相合此算法所以成也算法既成之後或以竹或以銅别為之依其長各作八十一分以為十二律相生之法又依其長作九十分乃取九十分之分計三分三釐八毫四秒四忽萬分忽之五千六百四十五以合孔徑如此則圓長面羃與空圍内積自然無不諧㑹特徑數自八毫以下非可細分而算法積忽與秒不容不然耳至司馬光與范鎮論律鎮曰益州進士房庶嘗得古本漢書云度起於黄鐘之長以子穀秬黍中者一黍之起積一千二百黍之廣度之九十分黄鐘之長一為一分今文脱去之起積一千二百黍八字故自前世累黍為乏縱置之則太長横置之則太短今新尺横置之不能容一千二百黍則大其空徑四釐六毫是以樂音太髙皆由儒者誤以一黍為一分其法非是且漢志云一為一分者葢九十分之一當以千二百黍實管中隨其短長斷之以為黄鐘九寸之管得九十分其長一為一分取三分以度空徑合其數黄鐘之長九寸加一以為尺則律正矣是鎮意謂制律之法必以千二百黍實黄鐘九寸之管九十分其管之長一為一分是度由律起也光曰漢書正本之度起於黄鐘之長以子穀秬黍中者一黍之廣九十分黄鐘之長一為一分本無之起積一千二百黍八字是光意謂制律之法必以一黍之廣定為一分九十分則得黄鐘之長是律由度起也光鎮爭論前後三十年不決程迴著三器圖議曰體有長短所以起度也受有多寡所以生量也物有輕重所以用權也是器也皆準之上黨羊頭山之秬黍焉古人以度定量以量定權必參相得然後黄鐘之律可求八音五聲從之而應也迴謂以黍定三器三者尺為之本周尺也者先儒攷其制脗合者不一阮逸胡瑗累黍定尺既大於周姑欲合其量然於權不合宋祁取隋大業中厯代尺十五等獨以周尺為本韓琦累黍尺二其一亦與周尺相近司馬刻之於石光舊物也茍以是定尺合諸器矣夫自昔諸說之不同如此有是者有非者有似是而非者有是而未宻者以余論之古云黄鐘管九寸圍九分徑三分長八十一分容千二百黍此皆古人大率言之未著為宻率也故朱子曰古只說空圍九分不說徑三分葢不啻三分猶有奇也正謂是耳然從古無九十分為黄鐘并積八百一十分之說至劉歆典鐘律乃有本起黄鐘之長以子穀秬黍中者一黍之廣度之九十分一為一分十分為寸之說蔡季通信之謂為累九十枚黍度之廣積八百一十分為一龠之數皆非也考史遷云黄鐘長九寸長八寸十分一是以十分為寸以九約之為八寸十分一此其說最為近古可信也葢古法十其寸為尺九其寸為律觀蔡邕銅龠銘曰黄鐘之宮長九寸空圍九分乃章句又曰管者形長尺圍寸夫既曰九寸又曰一尺既曰九分又曰一寸則約十為尺約九為寸即如史遷所謂長九寸長八寸十分一之說也葢治律約十為九其數乃齊以為度則約為十其理一也古一為一分者去聲之分非平聲之分也劉歆誤認為平聲遂命黄鐘為九十分蔡季通等又演為八百一十分是已誤而益誤也季通既曰全數即十取九相生約九為十是明知約九為十矣乃曰積八百一十分夫十則為百分千分九則為八十一分七百二十九分乃何有八百一十分哉胡氏云黍實於管中十三黍三分黍之一而滿一分是一為一分也而以管之九寸九十枚黍度之得千二百黍為黄鐘之管是乃十其廣之分以為長十一其長之分以為廣也然以此治律則管長而狹矣葢約九為十者就此黄鐘九寸而約為十寸非有加也胡氏蔡氏則九十分真加九分矣夫圍九分仍舊貫之九分也而長乃加其十之一以此長且狹之管吹之何怪其不成聲耶胡安定謂徑三分為誤不知徑三分之誤不過毫忽間而八百一十分則實多八十一分其誤大矣若彭氏謂以管作九寸寸作九分以合八十一終天之數以九作十寸寸作十分以合天地終於十之數似得相約之法而乃亦謂以十乘八十一得八百一十分則猶之乎胡氏蔡氏也至謂管埋地中以候氣取其氣應者用之不知候氣之說皆屬偽為不足憑耳若房庶増之起積一千二百黍八字乃為妄増其欲於黄鐘之九寸加一以為尺則為贅疣温公論本無之起積一千二百黍八字良是而其以九寸為九十分則亦猶之乎房庶也所以晉梁以來諸尺制律各有容受不同皆坐此分寸不明之故非旁庣盈虚之致也惟程迴議三器壹禀於黍而宋祁取厯代尺十五等獨以周尺為本似為得之然則造律者必遵何術而可曰古樂亡矣所在者幸有此九寸九分之數千二百黍之文也舍此其奚之焉然而古尺不一莫辨真偽知何尺為九寸則舍黍又奚之焉必也定九寸為黄鐘以九分為寸空圍九分以實千二百黍算之葢以九寸歸千二百黍得毎寸一百三十三黍三分黍之一以九分歸一百三十三黍三分黍之一得毎分十四黍八一四八不盡置毎分一十四黍八一四八不盡以九九八十一分乘之得一千二百黍還黄鐘之原此其數也其長圍之數既定則徑自在其中約九為十約十為九無不可者如以十分為寸則分亦十釐亦以十數量圍徑如以九分為寸則分亦九釐亦以九數量圍徑均齊得所於黄鐘一無增損數既定矣考古稱秬黍出上黨羊頭山可用或謂地有肥瘠種有不同者然秬之言大也似宜於地美種大者用之其實黍則勿論縱横但以容千二百黍為準葢長之分寸與圍之分寸同則自無有餘不足之弊而分寸徑圍一皆從此出也程迴等論周尺為最想古代之玉尺銅尺或管今載在内府必有存者未之見耳倘見其器如前法約其分寸實以秬黍酌取其近千二百黍者為用以聲音正之即此且可辨尺與管之真偽又何論異同哉得黄鐘之管然後以勾股宻率布之而律即正矣(勾股宻率見律原)古今律厯考卷三十一
## 卷三十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十二 明 邢雲路 撰律吕四律吕辨黄鐘三寸九分之非古法黄鐘九寸而呂氏春秋乃曰黄帝命伶倫取竹斷兩節間長三寸九分而吹之為黄鐘之宫其後莆田李文利作律吕元聲遂亦謂黄鐘三寸九分最短其音清後人遂有信之者夫呂不韋在先秦若可信矣然考古黄鐘起於冬至為陽陽為九故九寸為宫八十一分以漸而短至羽四十八分自然之數也律以和人聲宫屬喉喉音濁故國語云大不踰宮細不過羽夫宮音之主也第以及羽管子云聴宫如牛鳴窌中言其濁至羽則如鳴鳥在樹言其清自然之聲也國語管仲不在不韋之前乎蓋黄鐘律之九寸為宫九九八十一分宮之八十一三分去一下生徴徴數五十四徴三分益一上生啇商數七十二商三分去一下生羽羽數四十八羽三分益一上生角角數六十四角屬木清濁中葢木之聲清於土金之聲濁於水火之聲角聲亦清於宮商濁於徵羽故角聲屬木所以清濁中凡數多者濁少者清宮數八十一商數七十二徵數五十四羽數四十八角數六十四少於宮商多於徵羽故云清濁中尊者為濁卑者為清民則卑於君臣尊於事物則角乃民之象也聲之尊卑取象五行者宮主土土聲濁其數多故為君商主金金聲稍重其數稍多故為臣角主木木聲清濁中其數多少中故為民徵主火火聲稍輕其數稍少故為事羽主水水聲極輕其數最少故為物其自然之序如此爾雅與蔡邕俱云管長尺晉志載黄帝玉管長尺六孔為十二月音周語註及月令章句俱云黄鐘長九寸葢審度以一尺而推律以九寸是約十為九其數一也况呂不韋六月紀又曰黄鐘生林鐘林鐘生太蔟太蔟生南呂三分損益上下相生以至於仲呂淮南子以黄鐘八十一分上下相生與呂氏同此其法即史記漢書黄鐘起於九寸八十一相生至於應鐘四寸六分四十二之數也夫呂氏既云三寸九分而又用九寸八十一之數以相生已自相牴牾矣若謂呂氏黄鐘原非九寸之數而用三寸九分為管依呂氏相生之法布之呂氏以黄鐘為上三分去一下生林鐘葢以黄鐘之三寸九分損其一分之一寸三分以下生林鐘得二寸六分呂氏以林鐘為下三分益一上生太蔟葢以林鐘之二寸六分益其一分之八分六釐六毫六絲六忽不盡以上生太蔟得三寸四分六釐六毫六絲六忽不盡以此俱如法上下相生太蔟損一寸一分五釐五毫五絲不盡下生南呂得二寸三分一釐一毫一絲一忽不盡南呂益七分七釐三絲七忽不盡上生姑洗得三寸八釐一毫四絲八忽不盡姑洗損一寸二釐七毫一絲六忽不盡下生應鐘得二寸五釐四毫三絲二忽不盡則自長至短之數也夫管所以吹也管而由三寸餘遞降至二寸餘之短吹之何以成聲以被之人聲和乎人聲之歌詠與金石絲竹諸音其髙下清濁有自然音調今槩以三寸二寸之管吹為尖亮急裂之聲以奏之宗廟明堂必無幸矣葢不韋之書集門客為之其語多雜一面云三寸九分一面云損益相生則用古來九寸正法其用九寸正法則是而云三寸九分則非自言而自背之不自知其前後之相矛盾也晉書宋書以訛傳訛亦載三寸九分之說皆呂氏啟之矣故本朝何文定公讀律呂元聲議云李文利之法謂黄鐘律三寸九分最短蕤賓律九寸最長宮音最清羽音最濁與古法大相反非也葢陽數九故黄鐘九寸若謂三寸九分則何所取義樂聲與人聲各有五音而人聲尤為自然喉為宮音舌為商音牙為角音齒為徵音唇為羽音此人聲之自然也喉為宫音豈非以其來之深長而濁乎故古法以長律之音為宮以配之唇為羽音豈非以其來之短淺而清乎故古法以短律之音為羽以配之今李氏乃謂宮音最清羽音最濁則與人聲之宮羽相反倫類之不通也李法謂數少者音清數多者音濁及論五音之數則謂宫音五十商音八十角音九十徵音七十羽音六十宫音五十最少謂數少音清可也商音次清數乃八十羽音最濁數乃六十又安在其少者清而多者濁乎若謂宫土音故數五十羽水音故數六十則商金音數何以反八十角木音數何以反九十乎土濁水清理不可易今乃謂土音清而水音濁何耶且既以宮為清而羽為濁矣及論樂調則又謂蕤賓為宮則夾鐘為羽又安在其宮清而羽濁乎其辯皆是三分損益上下相生呂氏春秋季夏六月紀曰黄鐘生林鐘林鐘生太蔟太蔟生南呂南呂生姑洗姑洗生應鐘應鐘生蕤賓蕤賓生大呂大呂生夷則夷則生夾鐘夾鐘生無射無射生仲呂三分所生益之一分以上生三分所生去其一分以下生黄鐘大呂太蔟夾鐘姑洗仲呂蕤賓為上林鐘夷則南呂無射應鐘為下淮南子曰黄鐘位子其數八十一主十一月下生林鐘林鐘之數五十四主六月上生太蔟太蔟之數七十二主正月下生南呂南呂之數四十八主八月上生姑洗姑洗之數六十四主三月下生應鐘應鐘之數四十二主十月上生㽔賓㽔賓之數五十六主五月上生大呂大呂之數七十六主十二月下生夷則夷則之數五十一主七月上生夾鐘夾鐘之數六十八主二月下生無射無射之數四十五主九月上生仲呂仲呂之數六十主四月極不生之二說者應鐘以前上下相生之數與遷固律志同而㽔賓以後與遷固不同蔡季通謂呂氏淮南上下相生雖大呂夾鐘用倍數則一然不過以數之多寡為生之上下律呂隂陽皆錯亂而無倫近鄭世子以呂氏淮南為是而不用三分損益隔八相生謂長律下生短律左旋隔八短律上生長律右旋隔六以勾股算術布之周而復始以余論之皆殊塗而同歸也夫三分損益自管子言之無以易矣呂氏淮南法由黄鐘至應鐘與遷固同勿論獨蕤賓以後之各異者葢吕氏淮南以黄鐘至仲呂皆屬陽㽔賓至應鐘皆屬隂朱子亦主此說謂子黄鐘復卦一陽丑大呂臨卦二陽寅太蔟泰卦三陽卯夾鐘大壯卦四陽辰姑洗夬卦五陽已仲呂乾卦六陽午㽔賓姤卦一隂未林鐘遯卦二隂申夷則否卦三隂酉南呂觀卦四隂戌無射剝卦五隂亥應鐘坤卦六隂以此為隂陽故自蕤賓之數變下為上而上生大呂以隂生陽大呂變上為下而下生夷則以陽生隂相生以至於仲呂非錯亂無倫也遷固則謂從子自亥黄鐘太蔟姑洗陽之陽也林鐘南呂應鐘隂之隂也陽生隂退故律生呂言下生呂生律言上生蕤賓夷則無射隂之陽也大呂夾鐘仲呂陽之隂也隂升陽退故律生呂言上生呂生律言下生㽔賓而後因在陽倍之於數既倍故陽反四上生益而隂反倍下生損相生以至於仲呂與呂氏淮南其究竟一也葢二說一以隂陽正位言一以隂陽易位言於理皆合總之於黄鐘之位子其數八十一主十一月相生至於仲呂位已其數六十主四月一無所異耳遷固左旋八八為伍以自黄鐘而下其相生固分上下而一以左旋順數併本位為隔八以相生鄭世子以下生左旋隔八上生右旋隔六以相生是其左旋之八仲呂可生黄鐘猶夫右旋之六仲呂可生黄鐘其數不同其歸一也故曰殊塗而同歸第鄭之說較遷固為簡約而其以勾股術布周而復始則獨優於往昔矣和聲漢前志曰黄鐘為宫則太蔟姑洗林鐘南呂皆以正聲應無有忽微不復與他律為役非黄鐘而他律雖當其月自宮者則其和應之律有空積忽微不得其正蔡氏謂黄鐘正聲其他變律半聲雖欲役之而不可得惟杜佑通典再生黄鐘之法為得之按杜佑通典曰十二律相生之法自黄鐘始三分損益下生林鐘林鐘上生太蔟太蔟下生南呂南呂上生姑洗姑洗下生應鐘應鐘上生㽔賓蕤賓上生大呂大呂下生夷則夷則上生夾鐘夾鐘下生無射無射上生仲呂此謂十二律長短相生一終於仲呂之法又制十二鐘以準十二律之正聲又鳬氏為鐘以律計自倍半以子聲比正聲則正聲為倍以正聲比子聲則子聲為半但先儒釋用倍聲有二義一義云半十二律正律為十二子聲之鐘二義云從於仲呂之管寸數以三分益一上生黄鐘以所得管之寸數然後半之以為子聲之鐘其為變正聲之法者以黄鐘之管正聲九寸子聲則四寸半又上下相生之法者以仲呂之管長六寸一萬九千六百八十三分寸之萬二千九百七十四上生黄鐘三分益一得八寸五萬九千四十九分寸之五萬一千八百九十六半之得四寸五萬九千四十九分寸之二萬五千九百四十八以為黄鐘又上下相生以至仲呂皆以相生所得之律寸數半之以為子聲之律故有正聲十二子聲十二以為二十四蔡氏云此說黄鐘九寸生十一律有十二子聲所謂正律正半律也又自仲呂上生黄鐘黄鐘八寸五萬九千四十九分寸之五萬一千八百九十六又生十一律亦有十二子聲即所謂變律變半律也正變及半凡四十八聲上下相生最得漢志所謂黄鐘不復為他律役之意與律書五聲大小次第之法但變律止於應鐘雖設而無所用則其實三十六聲而已其間陽律不用變聲而黄鐘又不用正半聲隂呂不用正半聲而應鐘又不用變半聲其實又二十八聲而已以余論之古傳十二律未聞有變律之說也杜佑云子聲者即所變之半律而謂有正聲十二子聲十二共二十四蔡氏則謂變律至於應鐘乃自仲呂上生黄鐘林鐘太蔟南呂姑洗應鐘為六變律夫考古六律六呂已自成音謂仲呂二數之不行而强演諸律皆贅疣也漢志謂他律不得其正而蔡氏既以杜佑再生黄鐘為得乃又云變律雖設而無所用六變且無所用十二子又焉用之既不得其正而又設之無用則亦覺多術為矣漢後志京房六十律黄鐘(子) 黄鐘生林鐘(未) 林鐘生太蔟(寅)太蔟生南呂(酉) 南呂生姑洗(辰) 姑洗生應鐘(亥)應鐘生蕤賓(午) 㽔賓生大呂(丑) 大呂生夷則(申)夷則生夾鐘(卯) 夾鐘生無射(戌) 無射生仲呂(已)仲呂生執始(子) 執始生去滅(未) 去滅生時息(寅)時息生結躬(酉) 結躬生變虞(辰) 變虞生遲内(亥)遲内生盛變(午) 盛變生分否(丑) 分否生解形(申)解形生開時(卯) 開時生閉掩(戌) 閉掩生南中(巳)南中生丙盛(子) 丙盛生安度(未) 安度生屈齊(寅)屈齊生歸期(酉) 歸期生路時(辰) 路時生未育(亥)未育生離宮(午) 離宮生凌隂(丑) 凌隂生去南(申)去南生族嘉(卯) 族嘉生鄰齊(戌) 鄰齊生内負(巳)内負生分動(子) 分動生歸嘉(未) 歸嘉生隨時(寅)隨時生未卯(酉) 未卯生形始(辰) 形始生遲時(亥)遲時生制時(午) 制時生少出(丑) 少出生分積(申)分積生爭南(卯) 爭南生期保(戌) 期保生物應(巳)物應生質未(子) 質未生否與(未) 否與生形晉(寅)形晉生惟汗(酉) 惟汗生依行(辰) 依行生包育(亥)包育生謙待(未) 謙待生未知(寅) 未知生白呂(酉)白呂生南授(辰) 南授生分烏(亥) 分烏生南事(午)蔡氏言京房覺仲呂不生黄鐘故仲呂再生别名執始轉生四十八律其三分損益不盡之算不容損益遂或棄之或增之以不盈寸者十之所得為分不盈分者十之所得為小分以其餘為强弱雖泛以該之而不知為㡬何則其奇零無時而能盡又依行在辰上生包育編於黄鐘之次乃是隔九其黄鐘林鐘太蔟南呂姑洗毎律統五律㽔賓應鐘每律統四律大呂夾鐘仲呂夷則無射每律統三律三五不同多寡不例宋何承天劉焯譏房之病葢得其一二然承天與焯增林鐘已下十一律之分使至仲呂反生黄鐘還得十七萬七千一百四十七之數如此則是惟黄鐘一律成律他十一律皆不應其數至於杜佑胡瑗范蜀公等皆以意强為之法故通典則自南呂而下各自為法胡范則止用八百一十分而其因乘之法亦用十數故其餘筭亦皆棄而不錄終亦不可得而齊此則蔡氏之言皆是也且京房演六十律己為悖謬而宋錢樂之至又廣為三百六十祗欲附會三百六十當期之說而不知其愈失愈遠矣葢三分損益演之無窮不特三百六十而已也而况京房之六十乎蔡季通律呂新書雖載黄鐘以下六變律而一則曰變律不得其正一則曰變律雖設而無所用其謂不正無用則誠是也故論律呂宜止依古十二律呂為正杜佑通典曰陳仲儒云調聲之體宫商宜濁徵羽宜清若依公孫崇止以十二律而云還相為宮清濁悉足非惟未練五調調器之法至於五聲次第自是不足何者黄鐘為聲氣之元其管最長故以黄鐘為宫太蔟為商林鐘為徵則一相順若均之八音猶須錯採衆聲配成其美若以應鐘為宮大呂為商㽔賓為徵則徵濁而宫清雖有其韻不成音曲若以無射為宮則十二律中惟得取仲呂為徵其商角羽竝無其韻若以仲呂為宮則十二律内全無所取何者仲呂為十二律之窮變律之首也依京房書仲吕為宫乃以去滅為商執始為徵然後成韻而崇乃以仲吕為宫猶用林鐘為商黄鐘為徵何由可諧蔡氏云仲儒所以攻公孫崇者當矣其論應鐘為宮大吕為商㽔賓為徵商徵皆濁於宮雖有其韻不成音曲又謂仲呂為宮則十二律内全無所取尤為的切然仲儒所主是京氏六十律不知依行為宫包育為徵果成音曲乎果有其韻乎葢仲儒知仲呂之反生不可為黄鐘而不知變至於六則數窮不生雖或増或棄成就使然之數强生餘律亦無所用也夫杜佑引仲儒之說謂應鐘以下為宮不成音曲而蔡氏謂為京房不成音曲之律其言誠是而謂應鐘以下不可為宮則非也葢律之所以名調者言其宮調羽調各自其宫羽起止而其實則一調皆備五音也但其調中之聲抑揚髙下有條不紊之為得耳如今之鼓琴者鼓宫調則多雄洪之聲而其中未必無清切者鼓羽調則多清切之聲而其中未必無雄洪者是也人聲之歌亦如之況十二律皆可為宮其曰宫音濁而餘音清者特自黄鐘之一調言之若旋相為宮則借清為宮清音即宮為本均之主而餘音清濁不同不妨命之為商角徵羽以次抑揚髙下不失其倫各成一調也猶夫易地亦然之意則何應鐘不可為宮之有此律之所以貴變通也周景王問七律泠州鳩對曰凡神人以數合之以聲昭之數合聲龢然後可同也故以七同其數而以律龢其聲於是乎有七律韋氏註七律黄鐘為宮太蔟為商姑洗為角林鐘為徵南呂為羽應鐘為變宫㽔賓為變徵是也春秋晏子曰先王之濟五味和五聲也聲亦如味五聲六律七音以相和也樂記曰聲相應故生變變成方謂之音比音而樂之謂之樂唐楊收謂二變亦曰比葢比即變也七音古人謂之七始伏生以為出於舜世其名義最古漢律厯因載七始之說杜佑通典註則云殷以前但有五音周以來加文武二聲謂之七聲五聲為正二聲為變變者和也史記刺客傳髙漸離擊筑荆軻和而歌為變徵之聲士皆垂淚涕泣又前而歌曰風蕭蕭兮易水寒壯士一去兮不復還復為羽聲忼慨士皆瞋目髪盡上指冠蔡氏曰二變可以濟五音之所不及有五音而無二變亦不可以成樂也朱子曰律吕有十二然用時只使七斯則五聲二變其來遠其說詳矣葢十二律各自為均而一均之中各備七音所謂宮商角徵羽及變宮變徵方成調也乃陳𤾉專用五聲而黜二變則失之矣周禮春官大司樂凡樂圜鐘為宫黄鐘為角太蔟為徵姑洗為羽雷鼓雷鼗孤竹之管雲和之琴瑟雲門之舞冬日至於地上之圜丘奏之若樂六變則天神皆降可得而禮矣凡樂函鐘為宫太蔟為角姑洗為徵南呂為羽靈鼓靈鼗孫竹之管空桑之琴瑟咸池之舞夏日至於澤中之方邱奏之若樂八變則地示皆出可得而禮矣凡樂黄鐘為宮大呂為角太蔟為徵應鐘為羽路鼔路鼗隂竹之管龍門之琴瑟九德之歌九㲈之舞於宗廟之中奏之若樂九變則人鬼可得而禮矣夫圜鐘乃夾鐘也夾鐘為宮則以仲呂為商林鐘為角無射為徵黄鐘為羽黄鐘為角則以夾鐘為徵仲呂為羽夷則為宮無射為商太蔟為徵則以姑洗為羽林鐘為宮南呂為商應鐘為角姑洗為羽亦以林鐘為宮南呂為商應鐘為角太蔟為徵函鐘乃林鐘也林鐘為宮則以南呂為商應鐘為角太蔟為徵姑洗為羽太蔟為角則以仲呂為徵林鐘為羽無射為宮黄鐘為商姑洗為徵則以蕤賓為羽南呂為宮應鐘為商大呂為角南呂為羽則以黄鐘為宮太蔟為商姑洗為角林鐘為徵黄鐘為宮則以太蔟為商姑洗為角林鐘為徵南呂為羽大呂為角則以姑洗為徵蕤賓為羽南呂為宮應鐘為商太蔟為徵則以姑洗為羽林鐘為宮南呂為商應鐘為角應鐘為羽則以太蔟為宮姑洗為商㽔賓為角南呂為徵圜鐘在卯帝出乎震黄鐘在子一陽來復太蔟姑洗夾列卯門故用以祀天從卯至申其數六故云六變也函鐘在未致養乎坤太蔟南呂同位聚妻南呂姑洗隔八生子故用以祭地從未至寅其數八故云八變也黄鐘大呂子與丑合太蔟應鐘寅與亥合北方四律幽隂之義故用以享鬼從子至申其數九故云九變也蔡氏曰此祭祀之樂不用商聲只有宮角徵羽四聲無變宮變徵葢古人變宮變徵不為調也左氏傳曰中聲以降五降之後不容彈矣夫五降之後更有變宮變徵而曰不容彈者以二變之不可為調也朱子曰此降神之樂如黄鐘為宮大呂為角太蔟為徵應鐘為羽自是四樂各舉其一者而言之以大呂為角則南呂為宮太蔟為徵則林鐘為宮應鐘為羽則太蔟為宮以七聲推之合如此注家之説非也又曰所謂黄鐘宮大呂角這便是調如頭一聲是宮聲尾一聲亦是宮聲便是宮調其中按拍處五音依舊都用不只是全用宮是朱子之言是也葢樂必具五音或謂周祭祀不用商調者避殷所尚也縱避殷所尚止不用商起調而非調中之無商聲也凡樂章起調畢曲為一調猶今時曲仙呂調越調之類如宮調起調畢曲用宮聲而中則五聲二變七音皆備故宋史樂志云正律之外有黄鐘大呂太蔟夾鐘之四清聲葢自夷則至應鐘四律為均之時若盡用正聲則宮輕而商重緣宮聲以下不容更有濁聲一均之中宮弱商彊是謂陵僣故須用子聲乃得長短相叙自角而下亦循兹法故夷則為宮則黄鐘為角南呂為宮則大呂為角無射為宫則黄鐘為商太蔟為角應鐘為宮則大呂為商夾鐘為角葢黄鐘大呂太蔟夾鐘正律俱長竝當用清聲如此則音律相諧而無所抗此四清之可用也夫四清且用則豈有調中不用商聲之理耶李照陳𤾉不知而黜四清徒欲壞古旋宫之法所謂不知音而不可與言樂者也然調亦有變者如宋玉曰客有歌於郢中者為陽春白雪引商刻羽雜以流徵荆軻歌變徴之聲又復為羽聲夫郢歌陽春白雪忽然而雜以商徵羽軻歌變徵復為羽聲斯調且有變也而况於音然則樂何可以執一論古今律厯考巻三十二
## 卷三十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十三 明 邢雲路 撰律呂五律呂候氣後漢志載律可以相傳者惟候氣而已天效以景地效以響即律也隂陽和則景至律氣應則灰除是故天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陳八音聽樂均度晷景候鐘律權土灰放隂陽冬至陽氣應則樂均清景長極黄鐘通土灰輕而衡仰夏至隂氣應則樂均濁景短極蕤賔通土灰重而衡低進退於先後五日之中八能各以候狀聞太史封上效則和否則占其法閉室布縵使不通風案律加灰氣至灰去其爲氣所動者其灰散人及風動者其灰聚殿中用玉律十二惟二至乃候靈臺用竹律六十候如其厯隋志載後齊神武霸府田曹叅軍信都芳深有巧思能以管候氣仰觀雲色嘗與人對語即指天曰孟春之氣至矣人徃驗管而飛灰已應每月所候言皆無爽又為輪扇二十四埋地中以測二十四氣每一氣感則一扇自動他扇自住與管灰相應若符契焉隋開皇九年平陳後髙祖遣毛爽及蔡子元于普明等以候節氣依古於三重密室之内以木為按十有二具每取律呂之管隨十二辰位置于按上而以土埋之上平於地中實葭莩之灰以輕緹素覆律口每其月氣至與律冥符則灰飛衝素散出于外而氣應有早晚灰飛有多少或初入月其氣即應或至中下旬間氣始應者或灰飛出三五夜而盡或終月纔飛少許者髙祖異之以問牛𢎞牛𢎞對曰灰飛半出為和氣吹灰全出為猛氣吹灰不能出為衰氣吹和氣應者其政平猛氣應者其臣縱衰氣應者其君暴髙祖駮之曰臣縱君暴其政不平非日别而月異也今十二月於一嵗之内應用不同安得暴君縱臣若斯之甚也𢎞不能對令爽等草定其法爽因稽諸故實以著于篇名曰律譜其畧謂漢世制律互有得失至魏代杜夔制律候氣灰悉不飛晉光禄大夫荀朂得古銅管校夔所制長古四分方知不調事由其誤乃依周禮更造古尺用之定管聲韻始調左晉之後漸又訛謬至梁武帝時猶有汲冢玉律宋蒼梧時鑚為横吹然其長短厚薄大體具存臣先人栖成學筭祖暅問律於何承天沈研三紀頗達其妙後為太常丞典司樂職乃取玉管及宋太史尺並以聞奏詔付大匠依様制管自斯以後律又飛灰侯景之亂臣兄喜於太樂得之後陳宣帝詣荆州為質俄遇梁元帝敗喜沒於周適欲上聞陳武帝立遂以十二管衍為六十律私候氣序並有徵應至太建乃與均鐘器合考之淮南子曰水勝故夏至濕火勝故冬至燥燥故灰輕濕故灰重許魯齋云蔡西山所述月令章句蔡邕説也如邕所云則是為十二月肆布室内十二辰若其月氣至則辰之管灰飛而管空管斜埋地下入地處庳出地處髙故曰内庳外髙黄鐘埋於子位上頭向南蕤賔埋於午位上頭向北夾鐘埋於卯位上頭向西南吕埋於酉位上頭向東其餘八律亦各依其辰位又律書云以宜陽金門山竹為管以河内葭莩為灰熊氏云灰實律管覆以羅縠氣至則吹灰動縠又長樂陳氏曰候氣之法造室三重各啓門為門之位外之以子中之以午内復以子所謂九閉之中也蓋布緹縵室中上圓下方依辰埋管使其端與地齊而以薄紗覆之中秋白露降採葭莩為灰加管端以候氣為氣所動者灰散為物所動者灰聚蔡元定律呂新書載其升降之數以十二律之分釐毫絲忽定升灰之分釐毫絲忽韓苑洛志樂亦主其説以上諸家之論詳哉其言之矣以余論之後漢志載律制莫能辨其相傳惟候氣曰相傳則必古法也古法不知傳自何代考候氣之法不見經典而緯書有之天子常以日冬夏至合八能之士聽樂度晷權灰候占之説緯書之文也緯書乃後人偽為之未可盡信後漢志乃載閉室布縵案律飛灰之法使果如其法各律各從辰位皆應氣而灰飛也豈不神妙抑如芳深觀雲動扇與灰合契毛爽氣至灰符與其父兄管尺飛灰皆應及蔡氏所載升降之數如其分釐毫絲忽不爽也豈不如神然何乃開皇候氣或初入月應或中下旬應或灰飛三五夜盡或終月纔飛少許牛𢎞三説隋帝難之而無以應耶曰此正其候氣之不足憑也蓋冬至一陽生古人於此候氣驗其陽氣上升則有之嗣是一陽既升氣騰而上無日不飛豈有必待一氣之變所埋管灰始升寸内數分之理又豈有一處按方並埋十二管而某氣至止某管飛灰之理且均一室也子位埋九寸之管則黄鐘飛餘十一管皆不飛此室假北移數武則子不可為午乎然則黄鐘之飛灰又變而為蕤賔不飛之灰乎則何以應焉即觀開皇之應不一其日或三五夜盡或終月纔飛少許者可知也終月纔飛少許則灰且不飛矣况應律管之絲忽及升灰數之絲忽哉絲忽之數誰見之而誰量之耶縱曰應矣如冬至陽在下故用九寸大寒至小滿陽漸升管漸短其説猶通若夏至後則陽氣下降管宜漸長也乃大暑較夏至漸短至小雪寒極陽氣深入地中而管卻止四寸六分耶小雪用四寸六分短管即可接灰而上過此一節乃陽氣又突然濳入深地須用九寸長管方得飛灰耶夫豈升降消息漸次之常也此不通之論不俟言之畢而明者况地有南北燥濕不同南方冬月地猶生物北方地寒正月地猶凍二三尺以寒冬子月加九寸之管豈能下通故曰候氣之不足憑也若淮南子燥濕輕重之説亦無稽之談耳然則芳深扇動灰飛及毛氏父子候氣之驗皆非歟嘻我知之矣扇之動灰之飛皆機也機通其竅人鼓其機扇動灰飛時刻不爽暗作假事以欺人主猶如巧術之製木人應期而捧時銅人如候而鳴鐘從古有之其機猶是也歴代欺以傳欺至今欽天監官詣順天府用機械造假灰候氣於立春等節以告人曰灰飛矣以入告曰灰飛矣将誰欺欺天乎審度周禮典瑞璧羨以起度玉人璧羨度尺好三寸以為度易緯通卦驗以十馬尾為一分淮南子曰秋分蔈定蔈定而禾熟律之數十二故十二蔈而當一粟十二粟而當一寸説苑曰度量權衡以粟生之一粟為一分十分為一寸孫子筭術曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為毫十毫為釐十釐為分十分為寸漢前志曰度本起黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度審矣隋志有十五等尺一周尺乃王莽時劉歆銅斛尺後漢光武建武銅尺晉荀朂律尺為晉前尺祖冲之所傳銅尺晉武帝泰始九年中書監荀朂校太樂八音不和始知為後漢至魏尺長於古尺四分有餘朂乃依周禮制尺所謂古尺依古尺更鑄銅律呂以調聲韻以尺量古器與本銘尺寸無差又汲郡盜發魏襄王冢得古周時玉律及鐘磬與新律聲韻闇同于時郡國或得漢時故鐘吹新律命之皆應梁武鐘律緯云祖冲之所傳銅尺其銘曰晉泰始十年中書考古器揆校今尺長四分半所校古法有七品一曰姑洗玉律二曰小呂玉律三曰西京銅望臬四曰金錯望臬五曰銅斛六曰古錢七曰建武銅尺姑洗微强西京望臬微弱其餘與此尺同此尺者朂新尺也今尺者杜夔尺也按此尺出於汲冢之律與劉歆之斛最為近古蓋漢去古未遠古之律度量權衡猶在也故班氏所志無諸家異同之論王莽之制作雖不足據然律度量衡當不敢變於古也自董卓之亂而樂律散亡故杜夔之律圍徑差小而尺因以長荀朂雖定此尺然其樂聲髙急不知當時律之圍徑又果何如後周以玉斗生律玉斗之容受似為近古然當時以斗制律圍徑不及三分其尺遂長於此尺一寸五分八釐則皆由律圍徑之誤也若司馬公所傳此尺出於王莽之法錢蓋丁度所奏高若訥所定者雖其年代乆遠輪郭不無消毁然其大約近之二晉田父玉尺即梁法尺實比晉前尺一尺七釐世説稱有田父於野地中得周時玉尺便是天下正尺荀朂試以校已所造金石絲竹皆短校一米梁武帝有玉律一口簫餘定七枚夾鐘有昔題刻迺制為尺以相叅驗以新尺制為四器名曰通此兩尺近同三梁表尺實比晉前尺一尺二分二釐有竒蕭吉云出於司馬法梁朝刻其度於影表以測影此即祖暅所筭造銅圭影大業中用以調律四漢官尺始平掘地所得實比晉前尺一尺三分七毫蕭吉云漢章帝時零陵文學史奚景於冷道縣舜廟下得玉律度為尺傅暢晉諸公讃云荀朂新造鐘律時人並稱其精密惟陳留阮咸譏其聲髙後始平掘地得古銅尺歳久欲腐以校荀朂今尺短校四分時人以咸為神觧此兩尺長短近同五魏尺杜夔所用調律實比晉前尺一尺四分七釐按劉徽九章註云此尺長於王莽斛尺四分五釐然即其斛分以二千龠約之知其律止容七百二十分六釐有竒則其徑為三分三釐弱其斛分數與王莽斛分雖不同而其容受多寡相去未懸遠也六晉後尺實比晉前尺一尺六分二釐蕭吉云晉氏江東所用七後魏前尺實比晉前尺一尺二寸七釐八中尺實比晉前尺一尺二寸一分一釐九後尺實比晉前尺一尺二寸八分一釐此後魏初及東西分國後周未用玉尺之前雜用此等尺十東後魏尺實比晉前尺一尺五寸八毫魏史律厯志云公孫崇永平中更造新尺以一黍之長累為寸法太常卿劉芳受詔脩樂以秬黍中者一黍之廣即為一分乆之不決十一蔡邕銅龠尺實比晉前尺一尺一寸五分八釐從上相承有銅龠一以銀錯題其銘祖孝孫云相承傳是蔡邕銅龠後周武帝保定中詔遣盧景宣長孫紹遠斛斯徵等累黍造尺從横不定後因脩倉掘地得古玉斗以為正器據斗造律度量衡因用此尺大赦改元天和百司行用終於大象之末其律與蔡邕古龠同按銅龠玉斗二者當是古之嘉量當時據斗造尺但以容受乘除求之然自魏而下論律者多惑於三分之徑今以隋志所載玉斗容受析之為一十一萬八百分有竒一斗計二百龠以二百約之得五百五十四分有竒為一龠之分以筭法攻之其徑不及三分故其尺律遂長十二宋氏尺實比晉前尺一尺六分四釐開皇初調鐘律尺及平陳後調鐘律水尺此宋代人間所用尺傳入齊梁陳以制樂制與晉後尺及梁時俗尺劉曜儀尺略相依近其後宣帝時達奚震及牛𢎞等議今之鐵尺是太祖遣尚書故蘇綽所造當時檢勘用為前周之尺驗其長短與宋尺符同即以調鐘律并用均田度地十三開皇十年萬寳常所造律呂水尺實比晉前尺一尺一寸八分六釐與祖孝孫相近然亦皆徑三分法十四雜尺實比晉前尺一尺五分十五梁朝俗間尺實比晉前尺一尺七分一釐以上十五等尺諸代不同多由於累黍及圍徑之誤也五代王朴尺比漢前尺一尺二分宋和峴用景表石尺比漢前尺一尺六分李照布帛尺比漢前尺一尺三寸五分阮逸胡瑗尺横累一百黍與景表尺同鄧保信尺縱累百黍短於大府尺九分大晟樂尺徽宗指三節為三寸長於王朴尺二寸一分又考古物之有分寸明著史籍可以酬驗者惟有法錢周之圜法半兩重八銖漢初四銖其文亦曰半兩孝武之世行五銖下洎隋朝多以五銖為號既厯代尺度屢改故小大輕重鮮有同者劉歆制銅斛之世所鑄有錯刀大泉五十王莽天鳳間改鑄貨布貨錢之類唐會要武徳間行開元通寳錢徑八分以為得中六典大泉錯刀貨布貨錢小大輕重不皆中度宋以景表尺較漢錢尺并大泉錯刀等類厯代沿革不一固若斯也右審度諸説不同而各有辨焉昔夏禹以身為度通志曰夏禹十寸為尺成湯十二寸為尺武王八寸為尺又周家十寸八寸皆為尺以十寸之尺起度則十尺為丈十丈為引以八寸之尺起度則八尺為尋倍尋為常且古稱丈夫謂人長丈也周禮則謂人長八尺夫厯代之尺既不同而周之十寸八寸皆為尺然則所謂以身為度者或長丈或長八尺八尺即丈代度不同故也故黄鐘之數九其寸而為律十其寸而為尺即古云長九寸長八寸十分一之類尺異而律同也漢志不知乃欲加黄鐘一寸為尺誤矣典瑞璧羨度尺好三寸以為度鄭司農云羨徑也好璧孔也爾雅曰肉倍好謂之璧鄭康成曰羨不圓之貎延其袤一尺而廣狹焉疏言引爾雅欲見此璧好三寸好即孔也兩畔肉各三寸兩畔共六寸是肉倍好也六寸三寸共九寸為璧之徑是乃九分之寸九九八十一分正合黄鐘九其寸之律若十其寸為尺則為十寸之尺為徑長尺故曰度尺所謂以為度也非謂以好之三寸為度也先鄭釋羨為徑是後鄭釋羨為延非康成謂羨不圓延其袤一尺而廣狹焉者盖以璧應圜九寸減廣一寸以益上下之袤一寸則上下一尺廣八寸狹為八寸此説非也淮南言蔈者禾之芒十二蔈當一粟十二粟當一寸説苑言一粟為一分夫五榖不同不知當時所指之粟為何粟易緯以十馬尾為分與孫子論寸分釐毫絲忽皆近是漢志度黍之訛則余於議律長短圍徑數章辨之詳矣若隋志十五等尺及五代王朴以後諸尺累代各殊或失之長或失之短間雖有合古者第其式多不存真偽何從而辨至於法錢等物其輕重大小且不同亦安得據此以辨尺耶余故云古尺不一莫辨真偽無已則惟以黍約之而已古稱子榖秬黍中者子北方北方黑謂黑黍也秬之言大謂大黍也取上黨之秬黍酌千二百黍之數實之而復以人聲正之如余議律長短圍徑章術以得黄鐘之管黄鐘定則十二律皆定而度量衡一以貫之矣盖三物一禀於律度量衡有不同而律則無不同故虞書曰同律度量衡律先於度正謂此也論五度所起則十纎為㣲十㣲為忽十忽為絲十絲為毫十毫為釐五度正數則十釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引是嘉量周禮冬官考工記㮚氏為量金有六齊六分其金而鍚居一謂之鐘鼎之齊㮚氏為量改煎金鍚則不耗不耗然後權之權之然後準之準之然後量之量之以為鬴深尺内方尺而圜其外其實一鬴其臋一寸其實一豆其耳三寸其實一升重一鈞其聲中黄鐘之宮其銘曰時文思索允臻其極嘉量既成以觀四國永啟厥後兹器惟則左傳晏子曰齊舊四量豆區釡鐘鄭註云四升曰豆四豆曰區四區曰鬴各自其四以登於鬴鬴六斗四升也鬴十則鐘六十四斗也鬴方尺積千寸比於今粟米法少二升八十一分升之二十二考工記曰庾實二鬴論語曰與之釜與之庾儀禮曰十斗曰斛十六斗曰籔十籔曰秉註云今文籔為逾逾即庾也小爾雅曰鐘二謂之秉秉十六斛陳氏三量五豆為區五區為釡十釡為鐘管子曰釡鏂之數不得為侈弇孔子家語曰黄帝設五量曰區曰釡曰庾曰鐘曰秉此五者量之大者也曰圭曰撮曰合曰升曰斗此五者量之小者也孫子筭術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合應劭曰圭者自然之形隂陽之始四圭為撮孟康曰六十四黍為圭漢志曰量者龠合升斗斛所以量多少也本起於黄鐘之龠用度數審其容以子榖秬黍中者千有二百實其龠以井水准其槩合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五嘉量矣其法用銅方尺而圓其外旁有庣焉其上為斛其下為斗左耳為升右耳為合龠其状似爵以縻爵禄上三下二參天兩地圜而函方左一右二隂陽之象也其圜象規其重二鈞備氣物之數各萬有一千五百二十聲中黄鐘之宮始於黄鐘而反覆焉其斛銘曰律嘉量斛方尺而圓其外庣旁九釐五毫羃百六十二寸深尺積一千六百二十寸容十斗祖冲之以圓率考此斛當徑一尺四寸三分六釐一毫九抄二忽庣旁一分九毫有奇劉歆庣旁少一釐四毫有奇魏陳留景元四年劉徽註九章商功曰當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐深一尺積一千四百四十一寸十分之三王莽銅斛於今尺為深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐七毫以徽術計之於今斛為容九斗七升四合有奇此魏斛大而尺長王莽斛小而尺短也梁陳依古齊以古升五升為一斗後周武帝晉國造倉獲古玉斗改制銅律累黍積龠與衡度無差惟為銅升徑七寸一分深二寸八分重七斤八兩今若以數計之玉升積玉尺一百一十寸八分有奇斛積一千一百八十五分七釐三毫九抄又甄鸞筭術云玉升一升得官斗一升三合四勺此玊升大而官斗小也以數計之甄鸞所據後周官斗積玉尺九十七寸有奇斛積九百七十七寸有奇後周玉斗并副金錯銅斗及建徳六年金錯題銅斗實銅以秬黍定量以玉秤權之一斗之實皆重六斤十三兩隋開皇以古斗三升為一升大業初復依古斗唐六典量容千二百黍為龠二龠為合十合為升十升為斗三斗為大斗十斗為斛宋范鎮論周鬴方尺者八寸之尺深尺者十寸之尺且創為圓分之説謂圓分一當方分四分之三陳暘樂書所載斛圖盖范鎮之斛也右嘉量之説詳矣夷考周禮㮚氏之量正也嗣是代度不同量亦各異如一斛也而有容九斗七升者十斗者有魏斛大尺長王莽斛小尺短者有五升為斗者有玉升大官斗小者有積與重不同者諸如此類更相是非然不知代制不同豈能齊一况其式不存真偽莫辨無已亦惟以黍約管定尺即尺求斛守㮚氏之術而量正矣盖㮚氏嘉量鬴方尺深尺外圓函方以句股求弦術句十寸自之得百寸股十寸自之得百寸相併二百寸開方除之得弦一尺四寸一分四釐二毫一絲三忽五㣲六纎為鬴之内徑以徑取周秘法三一二六乘之得四尺四寸二分八毫三絲一忽五㣲六纎為鬴之内周周自之得一十九尺五寸四分三釐七毫五絲一忽六㣲七纎以周取圍秘法十三而一得一百五十寸三分三釐六毫五絲五忽一㣲三纎為鬴之面幕以深十寸乘之得一千五百三寸三分六釐五毫五絲一忽三㣲為鬴之積實是也鬴重一鈞三十斤叩之聲中黄鐘之宮考㮚氏言金者銅也銅加錫謂之齊煎至不耗權以眡其輕重之齊準以眡其髙下之平量以眡其多寡之均然後以之為鬴平正應準並無侈弇若陳氏圖状如酒尊則有侈弇不端正矣非是范鎮謂周鬴方尺者八寸之尺深尺者十寸之尺方八寸圓其外庣其旁則羃一百三寸六分八釐深十寸則積一千三十六寸八分與漢斛同蔡元定信之亦非是若所謂周家八寸十寸皆為尺者或别有所用而非一物兩用也至鎮圓分之説又以圓其外為唇陳𤾉所載圖者蔡元定深非之以為自古筭法無圓分則誠當矣周公之鬴重三十斤聲中黄鐘之宫銘曰嘉量啟後惟則至精也若王莽之斛重倍之而亦云中黄鐘之宫豈理也哉且於尺外之庣添九釐五毫以容十斗至取法上三下二左一右二之象使一耳偏大一耳偏小皆屬鑿妄聖人制器方圓均齊豈有庣偏即管子云無侈弇併唐斛左右耳與臋之皆方可知其無庣偏大小之説也若鄭𤣥方尺千寸之説則止就方内言而於圓容遺之矣歴代量之參差者勿論大都漢量其制小唐量其制大以秬黍考之古量當唐十分之三頗與六典合則其善也詳論五量所起則六十黍為圭四圭為撮十撮為合十合為升十升為斗此孔子所云黄帝五量之小也五量正數則四豆為區五區為釡倍釡為庾五庾為鐘倍鐘為秉此孔子所云黄帝五量之大也前漢志曰量多少者不失圭撮則圭撮乃數之始也應劭曰四圭為撮許氏説文亦曰撮四圭也孟康曰六十四黍為圭若以六十四黍為圭一撮凡二百五十六黍以一龠千二百黍求之則一龠為四撮六十八分太之零則何以成數然則一龠宜五撮凡二百四十黍撮四圭圭六十黍為當孟康六十四黍之圭或用黍之稍小者未可知也五撮為龠得千二百黍即黄鐘一龠之數龠必以井水准其槩者惟水為平也倍龠十撮為合容二千四百黍為兩龠之實所謂合龠為合劉歆以龠斛為五量誤矣十合為升二萬四千黍為二十龠十升為斗二十四萬黍為二百龠若孫子以六粟為圭以至十勺為合夫圭以六粟則太少勺以六萬粟則太多無一可者摠不經之妄談耳晏子以四升為豆各自其四以登於釡釡十則鐘考管子云齊西之粟釡百泉則鏂二十也齊東之粟釡十泉則鏂二泉也夫釡粟百錢而區二十錢釡粟十錢而區二錢則五區為釡明甚非四區為鬴也以考工記庾實二鬴論語與之釡庾儀禮十斗為斛十六斗為籔十籔為秉註籔即逾即庾小爾雅鐘二為秉凡十六斛諸説合觀之所謂二鐘為秉秉十六斛則鐘乃八斛也所謂十斗為斛十釡為鐘則鐘乃八十斗釡乃八斗也所謂十六斗為籔即庾實二鬴則鬴亦八斗也五量所起圭撮合升斗五量正數區釡庾鐘秉此皆自千二百黍黄鐘之一龠上下衍之下至圭之六十黍上至秉之三萬二千龠為數之切近精實無遁情者豈容私意於其間哉乃若晏子所謂各自其四以登於鬴者盖四升為豆四豆十六升為區固以四而登五區為釡釡乃八斗十釡為鐘鐘乃八斛二四為八亦以四而登晏子之言意或如此其陳氏三量則每量各加四分之一五豆為區區乃二十升五區為釡釡乃百升十釡為鐘鐘乃百斗比舊為多故晏子曰鐘乃大矣鄭註六斗四升為釡或康成時釡用六斗四升非周制也范鎮則謂周以八寸尺為量八八六十四故容六斗四升直臆説耳論語註釡六斗四升乃襲鄭氏之舊説亦誤權衡虞書曰在璿璣玉衡夏書曰有典有則貽厥子孫闗石和鈞王府則有周禮冬官考工記玉人之事駔琮七寸鼻寸有半寸天子以為權國語單穆公曰先王之制禮也大不出鈞重不過石律度量衡於是乎生小大器用於是乎出故聖人慎之孔子曰謹權量四方之政行焉孟子曰權然後知輕重月令仲春仲秋日夜分則平權衡正均石小爾雅曰斤十謂之衡衡有半謂之秤秤二謂之均均四謂之石石四謂之鼓應劭曰十黍為絫十絫為銖説文曰錙六銖也又謂之分王肅云八兩為錙淮南子曰十二粟而當一分十二分而當一銖十二銖而當半兩衡有左右因倍之故二十四銖為一兩天有四時以成一嵗因而四之四四十六故十六兩為一斤三月而為一時三十日為一月故三十斤為一鈞四時而為嵗故四鈞為石漢前志曰衡權者衡平也權重也衡所以任權而均物平輕重也本起於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩二十四銖為兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石五權謹矣五權之制圜而環之令肉倍好周旋無端終而復始無窮已也權與物均而生衡衡運生規規圜生矩矩方生繩繩直生凖凖正則衡平而鈞衡矣是為五則備于鈞器以為大範凡律度量衡用銅者名自名也所以同天下齊風俗也銅為物之至精不為燥濕寒暑變其節不為風雨暴露改其行介然有常有似於士君子之行是以用銅也趙書石勒得圓石状如水碓其銘曰律權石重四鈞同律度量衡有辛氏造續咸議是王莽時物後魏并州人獻古銅權一枚其銘曰律權石重四鈞黄帝初祖徳市于虞虞帝始祖徳市于辛此亦王莽所制也隋開皇中以古斗三升為一升以古稱三斤為一斤以一尺二寸為一尺大業中依復古法唐貞觀時叶律郎張文收定樂鑄銅律三百五十六銅斛二銅秤二銅甌十四秤尺一斛左右耳與臋皆正方積十而登以至於斛乃累黍所定與古玉斗相符後以宋常用度量校之尺當六之五衡量皆三之一宋太宗詔劉承珪制法物取秬黍廣十黍為寸從大樂黄鐘之尺因度尺而求釐自積黍而取絫然後以分而推忽為定數之端忽萬為分絲則千毫則百釐則十轉以十倍自一萬忽至十萬忽倍之則為一錢十黍為絫百黍為銖一兩合二十四銖為二千四百黍之重二銖四絫為錢二絫四黍為分一絫二黍重五釐六黍重二釐五毫三黍重一釐二毫五絲則黍絫之數成矣由黍絫而齊其斤石不可得而增損其則用銅而鏤文以識其輕重新制既定奸弊無所措中外以為便右權衡之制其説詳矣盖自有天圓地方即有規矩權衡之象權以生衡其為衡也在天為斗魁之柄助佐天樞璿璣近挹天權絜開陽揺光斟酌建指以齊七政故曰玉衡厯代以來帝王聖賢皆以權衡為重鈞與石乃五權之最重者故夏后貽厥子孫以為典則周禮玉琮七寸鼻一寸五分以為權故有鼻也以組繫之故曰駔琮月令春秋二仲晝夜各五十刻乾度均平故於此二時平正權衡即舜察玉衡法天齊政之義也小爾雅應劭説文之數皆是錙銖小數未應懸逺王肅註八兩非淮南子以十二粟當一分十二分當一銖十二銖當半兩半兩即一龠也龠凡千二百黍以淮南之粟計之一銖得一百四十四粟一龠得一千七百二十八粟多黍五百二十八矣想粟較黍小之故至銖兩而上以至鈞石則其數悉協矣權周用玉漢用銅其形如環體為肉孔為好外徑九寸内徑三寸重三十斤與嘉量同但王莽所造假帝王以欺後隋唐宋各有制有三為一者一之二為一者當六之五三之一者皆無的據可考然宋制纎悉之數則悉合符是為宻也論五權所起則權起於黍秬黍一粒也十黍為絫即累十累為銖六銖為錙又謂之分四錙為兩量黄鐘兩龠二千四百黍之重五權正數則十六兩為斤一兩二千四百黍為一合一斤凡一升六合黍之重十斤為衡三衡為鈞四鈞為石四石為鼔量七石六斗八升黍之重是也鄭世子考羊頭山秬黍以時制等則秤之百粒得二分五釐積至兩龠二千四百粒重六錢則今之六錢為古一兩以約度量今之八寸即古一尺今之三斗即古一斛度以八為率量以三為率權以六為率故也古今律厯考卷三十三
## 卷三十四
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十四 明 邢雲路 撰律呂六律呂歴代樂論古帝王之樂第有其名多不可考惟陳舜之後韶樂在焉陳公子完奔齊故孔子適齊聞韶三月不知肉味曰不圖為樂之至於斯美之甚也於武王之大武則以為未盡善其告賔牟賈曰樂者象成者也總干而山立武王之事也發揚蹈厲太公之志也武亂皆坐周召之治也(總干持盾山立正立象武王威立以待諸侯太公志在鷹揚武亂武之治也皆坐以象人無事)周公作勺又有房中之樂以歌后妃之徳王出入則令奏王夏尸出入則令奏肆夏牲出入則令奏昭夏凡日月蝕四鎮五嶽崩大傀異災諸侯薨令去樂大札大凶大災大臣死凡國之大憂令弛懸凡建國禁其淫聲過聲凶聲慢聲(勺酌同勺祖道也傀怪也淫鄭衛過失節凶亡國聲慢桑間類)師曠曰吾歌北風又歌南風南風不競多死聲楚必無功北風者夾鐘無射以北南風者姑洗南呂以南南律氣不至故死聲多也濮水之上地有桑間者亡國之音於此水出也當紂時使師延作靡靡之樂已而自沉於濮水後衛靈公将之晉舍濮水之上夜半聞鼓琴之聲問左右皆對曰不聞乃召師㳙聽而寫之至晉見平公公享之靈公令師㳙坐師曠之旁援琴鼓未終師曠曰此亡國之聲昔師延所作也與紂為靡靡之樂武王伐紂師延東走自投濮水之中故聞此聲必於濮水之上聞之也魏文侯問於子夏曰吾端冕而聽古樂則唯恐卧聽鄭衛之音則不知倦何也子夏對曰今夫古樂進旅退旅和正以廣弦匏笙簧會守拊皷始奏以文復亂以武治亂以相訊疾以雅君子於是語於是道古脩身及家平均天下此古樂之發也(旅猶俱也俱進俱退齊一也文鼔也武金也相即拊也雅亦樂)(器名)今夫新樂進俯退俯姦聲以濫溺而不止及優侏儒獶雜子女不知父子樂終不可以語不可以道古此新樂之發也(俯猶曲也不齊一也獶獮猴言舞者如獮猴戱亂男女之尊卑)古者天地順而四時當民有徳而五榖昌疾疢不作而無妖祥此之為大當然後聖人作為父子君臣以為紀綱紀綱既正天下大定天下大定然後正六律和五聲弦歌詩頌此之謂徳音徳音之謂樂詩云莫其徳音其徳克明克明克類克長克君王此大邦克順克俾比於文王其徳靡悔既受帝祉施於孫子此之謂也(徳正應和曰莫俾當為比)今君之所好者其溺音乎鄭音好濫淫志宋音燕女溺志衛音趣數煩志齊音敖辟喬志此四者皆淫於色而害於徳是以祭祀弗用也(燕安也趣數讀為促速煩勞也)聖人作為鞉鼓椌楬壎箎然後鐘磬竽瑟以和之鐘聲鏗鏗以立號號以立武君子聽鐘聲則思武臣石聲磬磬以立辨辨以致死君子聽磬聲則思死封疆之臣絲聲哀哀以立亷㢘以立志君子聽琴瑟之聲則思志義之臣竹聲濫濫以立會會以聚衆君子聽竽笙簫管之聲則思畜聚之臣鼓鼙之聲讙讙以立動動以進衆君子聽鼔鼙之聲則思将帥之臣君子之聽音非聽其鏗鏘而已也彼亦有所合之也秦始皇平天下六代廟樂唯韶武存焉二十六年改周大武曰五行房中曰夀人衣服同五行樂之色二世尤以鄭衛之音為娛漢興樂家有制氏(魯人善樂)以雅樂聲律世世在太樂官但能紀其鏗鏘鼓舞而不能言其義故髙祖時叔孫通因秦樂人制宗廟樂大祝迎神於廟門奏嘉至(嘉善也善神之至)猶古降神之樂也皇帝入廟門奏永至以為行歩之節猶古采薺肆夏也乾豆上奏登歌(乾豆脯羞之屬)獨上歌不以管弦亂人聲欲在位者徧聞之猶古清廟之歌也登歌再終下奏休成之樂美神明既饗也(休成叔孫通作)皇帝就廟東廂坐定奏永安之樂美禮已成也又有房中祠樂髙祖唐山夫人所作也周有房中樂至秦名曰夀人凡樂樂其所生禮不忘本髙祖樂楚聲故房中樂楚聲也又作昭容樂禮容樂昭容者猶古之昭夏也主出武徳舞禮容者主出文始五行舞大抵皆因奏舊事孝惠二年使樂府令夏侯寛備其簫管更名曰安世樂孝景元年詔髙皇帝廟奏武徳文始五行之舞孝文廟奏昭武文始五行之舞孝武廟奏盛徳文始四時五行之舞武徳舞者髙祖四年作以象天下樂已行武以除亂也文始舞者曰本舜韶舞也髙祖六年更名曰文始以示不相襲也五行舞者本周舞也秦始皇二十六年更名曰五行也四時舞者孝文所作以示天下之安和也盖樂已所自作明有制也樂先王之樂明有法也孝景采武徳以為昭徳以尊太宗廟至孝宣采昭徳舞為盛徳以尊世宗廟武帝定郊祀之禮乃立樂府采詩夜誦有趙代秦楚之謳以李延年為協律都尉雜舉司馬相如等數十人造為詩賦畧論律呂以合八音之調作十九章之歌以正月上辛用事甘泉圜丘使童男女七十人俱歌以昏時祠至明或白黃帝使素女鼔五十弦琴瑟悲帝禁不止破其瑟為二十五弦益召歌兒作二十五弦及空侯瑟自此起是時河間獻王有雅才以為治道非禮樂不成與毛生等共采周官及諸子言樂事者以著樂記因獻所集雅樂天子下大樂官常存肄之嵗時以備數然不常御常御及郊廟皆非雅聲然詩樂施於後嗣猶得有所祖述元帝多材藝善鼓琴瑟吹洞簫自度曲被歌聲窮極窈眇成帝時謁者常山王禹世受河間樂能説其義其弟子宋〔？〕等上書言之事下公卿議復寢是時鄭聲尤甚黄門名倡富顯於世貴戚五侯外戚之家淫侈過度至與人主爭女樂哀帝即位疾之乃下詔罷鄭衛聲然百姓漸漬日乆又不制雅樂以相變豪富吏民沉湎自若陵夷壊於王莽也光武平隴蜀得公孫述瞽師郊廟樂器法物始備乃增廣郊祀樂奏青陽朱明西顥𤣥㝠及雲翹育命舞其後登封泰山北郊及祀明堂用樂皆如南郊明帝永平間博士曹充上言漢再受命宜興禮樂引尚書璇璣鈐曰有帝漢出徳洽作樂名予乃詔改大樂官曰大予樂自是樂凡四品一曰大予樂郊廟上陵諸食舉之二曰周頌雅樂辟雍饗射六宗社稷用之三曰黄門鼓吹樂天子宴樂羣臣用之四曰短簫鐃歌樂軍中用之東平王蒼議以為漢制舊典宗廟各奏其樂不皆相襲以明功徳髙皇武徳舞孝文昭徳舞孝武盛徳舞光武受命中興撥亂反正樂名宜曰大武舞章帝於明帝廟用武徳舞建初五年始行十二月迎氣樂立春之日迎春於東郊歌青陽八佾舞雲翹之舞立夏迎南郊歌朱明八佾舞雲翹之舞先立秋十八日迎黄靈於中兆歌朱明八佾舞雲翹育命之舞立秋之日迎秋於西郊歌西皓八佾舞育命之舞立冬之日迎冬於北郊歌𤣥㝠八佾舞育命之舞魏武帝平荆州獲杜䕫善八音常為漢雅樂郎創定雅樂復先代古樂時左延年等妙善鄭聲被寵惟䕫好古存正漢樂舞名各改易其名明帝太和初詔凡音樂以舞為主自黄帝雲門至於周大武皆太廟舞名所司之官皆曰太樂後漢依讖改為大子樂宜改復舊晉武帝時荀朂以杜夔所制律呂乖錯依古尺作新律呂以調聲韻亦各改易舞名懐帝永嘉之末伶官樂器皆没於劉石至江左初立宗廟自造新聲宋武帝時撰立新歌舞名至廢帝樂殘亡率用雜伎梁裴子野宋畧曰先王作樂崇徳以格神人通天下之至和節羣生之流放故天子至於士庶未嘗去其樂而無非僻之心以及周道衰㣲日失其序亂代先之以忿怒亡國從之以哀思獶雜子女蕩目淫心充庭廣奏則以魚龍靡慢為環瑋會同饗覲則以吳趨楚舞為妖妍纖羅霧縠侈其衣疏金鏤玉砥其器在上班賜寵臣羣下從風而靡王侯将相歌伎填室鴻商富賈舞女成羣競相誇大互有爭奪如恐不及莫為禁令傷風敗俗莫不在此梁武帝素善音律自制四器名之為通以定雅樂既而篤敬佛法又制善哉大樂大勸天道仙道神王龍王滅過惡除愛水㫁苦輪等十篇名為正樂皆述佛法又有法樂童子伎童子倚歌梵唄設無遮大會則為之其後䑓成淪没樂府不修風雅咸盡矣陳初用梁樂大建中改元嘉中所用齊樂盡以韶為名及後主嗣位沉荒於酒宫女習北方簫鼓謂之代北酒酣則奏之又於清樂中造黄鸝留及玉樹後庭花金釵兩臂垂等曲與幸臣制其歌詞綺艶相髙極於輕蕩男女唱和其音甚哀後魏宣武已後愛異方之樂洎於遷都屈茨琵琶五絃箜篌〔？〕鼓銅跋打沙羅鏗鏘鏜鎝洪心駭耳新靡絶麗全似吟哭聽之者無不悽愴此音所由源出西域諸天諸佛韻調婁羅畨語直置難解況復被之土木是以感其聲者莫不奢淫躁競舉止輕飈或踊或躍乍動乍息蹻脚彈指撼頭弄目情發於中不能自止論樂豈須鐘鼔但問風化淺深雖此逺聲足敗華俗非唯人情感動衣服亦隨之以變長衫戅帽闊帶小鞾自號驚𦂳爭入時代婦女衣髻亦尚危側盖驚危者勢不乆安此兆先見何以能立形貎如此心亦隨之亡國之音亦由浮競豈唯哀細獨表衰㣲操弦執籥雖出瞽師易俗移風實在時政隋文帝開皇二年沛國公鄭譯考尋樂府皆有宮商角徵羽變宮變徵七聲之名初周武帝時有龜兹人曰蘇袛婆從突厥皇后入國善琵琶聽其所奏一均之中間有七聲因而問之答云父在西域稱為知音代相傳習調有七種以其七調勘校七聲冥若符合一曰婆陁力華言平聲即宮聲也二曰雞識華言長聲即南吕聲也三曰沙識華言質直聲即角聲也四曰沙侯加濫華言應聲即變徵聲也五曰沙臘華言應聲即徵聲也六曰般贍華言五聲即羽聲也七曰侯利〔？〕華言斛牛聲即變宫聲也譯因習而彈之始得七聲之正然其就此七調又有五旦之名旦作七調以華言譯之旦者則謂之均也其聲亦應黄鐘太蔟南呂姑洗五均以外七律更無調聲遂因其所捻琵琶弦柱相飲為均推演其聲更立七均合成二以應十二律律有七音音立一調故成七調十二律合八十四旋轉相交盡皆和合至是譯以其書宣示朝廷并立議正之有萬寳常者妙達鐘律徧解六音常與人方食論及聲調時無樂器因取前食器及雜物以箸扣之品其髙下宫商畢備諧於絲竹文帝後召見問鄭譯所定音樂可否對曰此亡國之音豈陛下之所宜聞遂極言樂聲哀怨淫放非雅正之音請以水尺為律以調樂器上從之遂造諸樂器其聲率下於譯調二律并撰六樂譜十四卷論八音旋相為宫之法改絲移柱之變為八十四調百四十四律變化終於千八聲時人以周禮有旋宫之義自漢魏以來知音者皆不能通見寳常時創其事皆哂之至是試令為之應手成曲無所凝滯見者莫不嗟異於是損益樂器不可勝紀其聲雅淡不為時所好何妥舊以學問推為儒首帝素不悦學不知樂妥又恥已宿儒不逮譯等欲沮壊其事乃立議非之是時競為異議各立朋黨是非之理紛然淆亂或欲各令修造待成擇其善者而從之妥恐樂成善惡易見乃請張樂試之遂先説曰黄鐘者以象人君之徳及奏黄鐘之調帝曰洋洋和雅甚與我㑹妥因陳用黄鐘一宫不假餘律帝大悦班賜妥等修樂者自是譯等議寢初萬寳常聽太常所奏樂泫然而泣人問其故對曰樂淫厲而哀天下不乆相殺當時四海全盛聞其言皆謂不然大業末其言卒驗而寳常貧困無人贍遺饑餒将死取其所著書焚之曰何用此為見者於火中探得數卷見行於世煬帝奢滛太樂倡優猱雜哀管淫絃皆髙齊之舊曲也帝将幸江都有樂人王令言妙達音律令言之子常從於户外彈琵琶作翻安公子曲令言時臥室聞之大驚蹶然而起變色急呼其子歔欷流涕曰汝慎無從行帝必不返此曲宫聲徃而不返宫君也吾所以知之帝竟被弑於江都唐太宗貞觀初合考隋氏所傳南北之樂梁陳盡吳楚之聲周齊皆異域之音乃命太常卿祖孝孫正宫調起居郎吕才習音韻協律郎張文收考律吕平其散漫為之折𠂻周享諸神樂多以夏為名宋以永為名梁以雅為名後周亦以夏為名隋氏因之今國家以和為名旋宫之樂乆喪累代皆黄鐘一均變極七音則五鐘廢而不撃謂之啞鐘祖孝孫始為旋宮之法曰大樂與天地同和者也造十二和以法天之成數號大唐雅樂樂合四十八曲八十四調至開元中又造三和共十五和又製三大武辨其曲度分始終之序焉𤣥宗時河西節度使楊敬忠獻霓裳羽衣曲十二遍凡曲終必遽唯霓裳羽衣曲将畢引聲益緩帝浸喜神仙之事詔道士司馬承禎製𤣥真道曲大羅天曲紫清上聖道曲初隋有法曲其音清而近雅其器有鐃鈸鐘磬幢簫琵琶圓體修頸而小號曰秦漢子盖絃鼗之遺製出於塞北傳為秦漢所作𤣥宗酷愛法曲選坐部伎子弟三百教於梨園聲有誤者帝必覺而正之號皇帝梨園弟子宫女數百亦為梨園弟子居宜春北院梨園法部更置小部音聲三十餘人帝幸驪山楊貴妃生日命小部張樂長生殿因奏新曲未有名㑹南方進荔枝因名曰荔枝香帝又好羯鼓而寜王善吹横笛達官大臣慕之皆善言音律帝常言羯鼓八音之領袖諸樂不可方也盖本北方之樂其音太簇一均其聲焦殺特異衆樂開元二十四年陞北部於堂上而天寳樂曲皆以邊地名若涼州伊州甘州之類後又詔道法曲與北部新聲合作明年安禄山反涼州伊州甘州皆䧟吐蕃開元八年瀛州司法叅軍趙慎言論郊廟用樂表曰祭天地宗廟樂合用商音又周禮三處大祭俱無商調鄭𤣥云此無商調祭尚柔商堅剛也以臣愚知斯義不當但商音金也周徳木也金能剋木作者去之今皇唐土王即殊周室五音損益須逐便宜豈可将木徳之儀施土徳之用其三祭並請加商調去角調宋太祖皇帝受命以竇儼兼太常儼奏改周樂文舞崇徳之舞為文徳之舞武舞象成之舞為武功之舞改樂章十二順為十二安盖取治世之音安以樂之義建隆初用王朴樂上謂其聲髙近於哀思詔和峴考兩京表尺令下一律仁宗時以王朴所造律準命館職李照考定照言王朴律準視古樂髙五律視禁坊北部樂髙二律昔軒轅氏命伶倫截竹為律復令神瞽協其中聲然後聲應鳴而管之參差亦如鳳翅其樂傳之夐古不刋之法也願聽臣依神瞽律法試鑄編鐘一簴可使度量權衡協和詔許之照又言十二律聲已備餘四清聲乃鄭衛之樂可去諫議韓琦等言照所造樂不依古法率以意為律詔下其議而晏殊等言李照新樂比舊樂下三律乃詔太常雅樂悉仍舊制照所造勿復施用神宗元豐三年詔劉几范鎮楊傑詳定大樂初傑言大樂之失一曰歌不永言聲不依永律不和聲盖金聲舂容失之則重石聲温潤失之則輕土聲函胡失之則下竹聲清越失之則髙絲聲纖㣲失之則細革聲隆大失之則洪匏聲叢雜失之則長木聲無餘失之則短惟人稟中和之氣而有中和之聲八音律吕皆以人聲為度言雖永不可以逾其聲今歌者或詠一言而濫及數律或章句已闋而樂音未終所謂歌不永言也請節其煩聲以一聲歌一言且詩言人志詠以為歌五聲隨歌是為依永律呂叶奏是謂和聲先儒以為依人音而制樂託樂器以寫音樂本效人非效樂者也今祭祀樂章並隨月律聲不依永以永依聲律不和聲以聲和律非古制也二曰八音不諧鐘磬缺四清聲虞樂九成以簫為主商樂和平以磬為依周樂合奏以金為首鐘磬簫者衆樂之所宗則天子之樂用八鐘磬簫衆樂之本乃倍之為十六且十二者律之本聲而四者應聲也本聲重大為君父應聲輕清為臣子故其四聲曰清聲或曰子聲也李照議樂始不用四清聲是有本而無應也八音何從而諧哉帝乃下鎮几叅定鎮作筆尺等欲圖上之而几之議律主於人聲不以尺度求合其樂大抵即李照之舊而加四清聲遂奏成第加恩賚而鎮謝曰此劉几樂也臣何預焉鎮又言八音無匏土二音笙竽以水斗攅竹而以匏褁之是無匏音也塤器以水為之是無土音也不報然是時樂參之以六壬遯甲亦無謂李太常周舞節論曰凡樂之音本於天凡舞之容本於音周樂之音雲門起羽故一舞在羽屬水其數一二舞在角屬木其數三十舞在宮屬土其數五咸池起徵故一舞在徵屬火其數二二舞在商屬金其數四是故羽之舞也其容水角之舞也其容木宫之舞也其容土徵之舞也其容火商之舞也其容金一舞之足舉右示欲用武也舉左示欲興文也雲門初舞兩手一横示一統也咸池初舞手足兩冲合乎火之數也木舞之手有曲直從木之性也足有横直八從木之象也八分左右從木之類也宫舞兩手對襟尊宮於中五仰取諸陽五俯取諸隂徵舞手足冲天火性之炎上左冲右冲得火之生數商舞必歸於日躔太白不宜逺於太陽作圖圏以四指示不敢出乎四十度外過四十則為晝見過六十則為經天自古作樂忌商凌宮周人尤避之為是故耳至舞咸池隂調不得已而用之亦不敢不為之防聖人防㣲杜漸之意深矣六陽辰之舞由子而三進由午而三退六隂辰之舞由丑而三進由未而三退干進則戚退戚進則干退更番而迭出也翟進則籥退籥進則翟退因時而損益也是故武舞三進而三退取乎六伐止齊之義焉文舞三進而三退取乎六爻變動之理焉武舞有進而有退此節制之兵所以萬全而取勝文舞有進而有退此文質之濟所以時中而無敝戚顧右耳中原既平屯兵以守乎西闗也戚顧於胷天下既定入而輔衛乎王宮也翟顧左耳用文以達乎四聰也翟顧於目用文以明乎四目也夫樂以象成故凡以武功定天下後以文徳致太平者舞皆先武而後文中間餙以節奏所以發揚祖宗功徳合天欲後人世守之勿替又曰武舞在先文舞在後武舞左執干右執戚未開舞時戚内干外文舞左執籥右執翟未開舞時籥内翟外武舞遇陽辰則左其手足遇隂辰則右其手足文舞遇陽辰則右其手足遇隂辰則左其手足武徳隂陽之正文徳隂陽之濟文以濟武陽中有隂隂中有陽是物相雜武皆用右文皆用左商舞武皆以戚向日躔文皆以翟向日躔不論辰之隂陽而分左右如十一月日躔丑十二月日躔子之類各考其所躔之方以戚翟向而舞之其餘非應五音之舞武皆以干同左足前向合陽辰之氣而戚同右足後向應之如子一陽之辰也干近左足䕶左戚垂後股指右寅二陽之辰也干漸逺前足護左戚近後足指右辰三陽之辰也干極前開䕶左戚極後離足指右午四陽之辰也干極前䕶右戚小前近身開右指左申五陽之辰也干稍退近身䕶右戚又前開右顧耳戌六陽之辰也干又退開右至身戚又前向左顧胷以戚同右足前向合隂辰之氣而干隨身横向應之如丑一隂之辰也戚近右足伐左干近身䕶左巳三隂之辰也戚極逺右足伐左干極逺身䕶左未四隂之辰也戚極逺右足伐右干極逺身䕶右酉五隂之辰也戚漸近右足伐右干漸近身䕶右亥六隂之辰也戚近右足伐右干近身䕶右文舞則以右手之翟合陽隂之氣而籥隨之伹干言䕶翟言執其形豎以左手之籥合隂辰之氣而翟隨之但戚言伐籥言舉其形平盖武舞其容勇文舞其容雅是之分耳金太宗取汴得宋樂器改宋大晟樂為太和取天地同和之義金亡入元改名大成然宋大晟樂即方士魏漢津之所造取徽宗指寸為律者朱子所謂崇宣之季姦諛之㑹黥湼之餘不足以語天地之和指漢津而言也國朝斟酌樂制分祀合祀樂章樂四等曰九奏圜丘方澤祈榖大饗用之曰八奏神祗壇太嵗壇先農髙媒用之曰七奏朝日夕月太社稷歴代帝王廟用之曰六奏宗廟時祭祫禘帝社稷用之樂有歌有舞歌堂上舞堂下舞皆八佾佾有文有武其樂曰中和韶樂曰堂下樂曰丹陛樂曰侑食樂曰大樂其雅樂備八音五聲十二律九奏萬舞之節俗樂有百戯隊舞謳歌之承應祭祀用雅樂太常領之協律郎司樂考協之凡樂淫聲過聲凶聲慢聲若舞失節者皆有糾禁而朝㑹燕享兼俗樂祗應奉鸞司掌之其樂章有清海宇本太初等曲皆近質無爾雅之辭但其器章雖製而未嘗累黍驗律見今太常雅樂及天下學宮所謂大成樂者盖漢津之餘也至其百戯隊舞承應亦元聲之遺耳右考古歴代樂論或興或廢淫雅不同大都古樂漸亡厥初猶未甚也暴秦雖燔樂經燔其文耳乃其樂之器數節奏猶存也曰五行曰夀人即周之大武房中即二世娛鄭衛其聲固淫乎其宮商律呂豈遽相逺以故漢興世世在太樂者皆記其鏗鏘鼓舞時故述作文武猶古降神等樂而河間與毛生諸雅材類能采著存肄之奈何厯漢迄唐陵夷一壊於新莽獶雜再壊於劉宋梵唄番聲大羅法曲與金釵梨園輩又相率而溷亂之輕蕩吟哭驚緊焦殺靡所不至大都漢唐創業之初稍興雅正而後遂凌弛亡當也其間龜兹之七聲雖涉哀怨尚可為七均之證若何妥以黄鐘一宮佞人主則餘律幾廢其去亂正之音亦不能以寸耳宋興製樂初亦可觀嗣是諸儒持議紛如聚訟如去清聲缺匏土等類皆舛也至李太常周舞論一出則有合於文武隂陽之節而古樂之儀頼之以存矣宋而金而元率用漢津之樂已不合古而元專尚雜劇隊戲其樂章則盡易古詩歌為詞曲盖古樂澌滅幾無餘矣我明興制禮作樂卓越千古可謂極治而獨古樂尚未盡復故崔銑之言曰今中原敝俗未之能革者俗樂其尤也然則及時反正固在今日也夫古今律厯考卷三十四
## 卷三十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十五 明 邢雲路 撰律呂七律呂聲音名義五聲者一曰宫宫者中也取中和之義屬土中央音其性圓而居中聲出於脾合口通音重而尊雄雄洪洪然二曰商商者張也取開張之義屬金七月音其性方而成器聲出於肺開口吐聲張而明鏘鏘倉倉然三曰角角者觸也取觸動之義屬木正月音其性直而崇髙聲出於肝張牙湧吻輕而易制喔喔確確然四曰徵徵者止也取止盛之義屬火四月音其性明而辨物聲出於心齒合吻開泛而不流倚倚巇巇然五曰羽羽者舒也取舒育之義屬水十月音其性潤而澤物聲出於腎齒開吻聚渙散而抑詡詡吁吁然故宫動脾而和正聖商動肺而和正義角動肝而和正仁徵動心而和正禮羽動腎而和正智宫為君調則政和國安亂則荒其國危商為臣調則刑法不作威令行亂則陂其官壊角為人調則四民安亂則憂其人怨徵為事調則百事理亂則哀其績隳羽為物調則庻物備亂則危其財匱八音者樂器曰金曰石曰土曰革曰絲曰木曰匏曰竹八音八卦之音各有風乾之音石其風不周坎之音革其風廣莫艮之音匏其風融震之音竹其風明庶巽之音木其風清明離之音絲其風景坤之音上其風凉兑之音金其風閶闔金之器鐘也大鐘曰鏞其餘鎛錞鉦鐸之類石之器磬也以玉為之土之器塤也燒土為之缶類革之器鼔鞉之屬以桴擊之絲之器琴瑟筑箏琵琶空侯之類皆是木之器柷敔也以止樂之終舂杵為相及拍板亦其類也匏之器笙也竽也古以匏為之後易以木列管匏内施簧管端吹笙則簧鼓也竹之器簫管箎籥笛之類以和律呂笳角篳篥亦其屬則其聲悲此八音之大較也自昔唐虞教冑子依聲和律以諧八音其來尚矣大都樂有五聲被之八音竹與匏土其口吹絲其指彈皆與歌相為用也金石革木節樂而已然八音之數惟絲為自然其七音皆倚此而起數至於竹管則六律六呂用以和鳴度量權衡為萬事之根本聖人所尤重也五聲之清濁髙下不同然必用律以齊之如作黄鐘宫調則衆音之聲皆用黄鐘為節作太蔟商調則衆音之聲皆用太蔟為節然後清濁髙下自齊一而不亂是為律和聲故謂之調八音中絲竹匏土聲器相合固用金石革木以節樂而金與石又在成始成終之先後焉故曰金聲而玊振之大成之條理備矣樂器樂懸與夫樂章歌舞雜歌舞曲清散部妓四方四夷之類載在杜氏通典及文獻通考與大明集禮其雅俗不一繁簡具備是在治律者簡擇而去取之耳兹不詳録律原聲樂自天作樂由陽來至和之發也其治心也徳成而後知樂其治人也功成而後作樂至和之極也盖優柔平中徳之盛也天下化中治之至也是謂道配天地古之極也故天地有自然之律人聲有自然之和天籟氣機相為動盪如五聲八音清濁髙下出乎口入乎耳自有一定中和條貫惟聖人為能察之故曰既竭耳力焉繼之以六律正五音不可勝用也昔黄帝命伶倫作律呂從有以至未有以得細若氣㣲若聲因神而存之以定黄鐘為律本迨周衰樂廢孔子反魯正樂而得其所謂翕如純如皦如繹如以至於成也則豈非以天聰之盡哉故古聖人之為鐘律者率皆以耳齊其聲以樂為和人聲設也樂生於心斯發於聲人心慘則聲哀人心舒則聲和然人心復因聲之哀和亦感而舒慘則韓娥曼聲哀哭一里愁悲曼聲長歌衆皆喜忭斯之謂矣是故喜怒哀樂四者隨物感動播於形氣叶律呂諧五聲而謂之為樂聲和樂作而喜怒哀樂皆中其節是為致中和天地位焉萬物育焉天且不違而况人乎朱子亦曰音律氣也人亦氣也故相闗又曰天人無間正此之謂矣此審聲知樂為治律大原聖人復起無以易也器夫審聲為治律大原尚矣而人之聲寄於器器即律也唐禮樂志曰聲無形而樂有器古之作樂者知夫器之必有敝而聲不可言傳懼夫器失而聲遂亡也乃多為之法以著之故始求聲者以律而造律者以黍自一黍之廣積而為分寸一黍之多積而為龠合一黍之重積而為銖兩此造律之本也故為之長短之法而著之於度為之多少之法而著之於量為之輕重之法而著之於權衡是三物者亦必有時而敝則又總其法而著之於數使其分寸龠合銖兩皆起於黄鐘然後律度量衡相用為表裏使得律者可以制度量衡因度量衡亦可以制律不幸而皆亡則推其法數而制之用其長短多少輕重以相叅考四者既同而聲必至聲至而後樂可作矣夫物用於有形而必敝聲藏於無形而不竭以有數之法求無形之聲其法具存無作則已茍有作者雖去聖人於千萬嵗後無不得焉此古之君子知物之終始而憂世之慮深其多為之法而丁寧纖悉可謂至矣宋司馬光曰夫所謂律者果何如哉嚮使古之律存則吹其聲而知聲度其長而知度審其容而知量校其輕重而知權衡今古律已亡矣非黍無以見度非度無以見律律不生於度與黍将何從生耶夫度量衡所以佐律而存法也古人所為制四器者以相參校以為三者雖亡茍其一存則三者從可推也又謂後世器或壊亡故載之於書形之於物夫黍者自然之物有常不變者也故於此寓法焉今四器皆亡不取於黍将安取之凡物之度其長短則謂之度量其多少則謂之量稱其輕重則謂之權衡然量有虚實衡有低昻皆易差而難精等之不若因度求律之為審也非謂太古以來律必生於度也特以近世古律不存故返從度法求之耳斯二者之言皆是也求聲器古樂既亡欲求聲器者宜何施而可亦惟依法以千二百黍求長九寸空圍九分之管使其和也則已如有不和必其黍之顆與管之分未當也則惟本吾之平其心易其器徐聽人聲之髙下上下考之以求其中聲盖人之聲無古今一也以聲考律以律定器九寸之管千二百黍之實乃可以意定而神解何則古尺之分寸與黍之大小不可考矣即今上黨之黍有最大者次者不一想古初所用安知為最大次大者哉又安知其律之分寸視後代何尺為當哉但以人聲察之以耳聰審之以九寸千二百約之且即斯可以度尺數與黍顆或宜用黍最大者次大者千二百可當長九寸空圍九分之積恍然有得即可頃刻而决也夫古聖賢自無生有制為器數原從人聲出之今有其器數而猶不能審聲以還其本原也則吾不知其可矣故程子曰黄鐘之聲亦不難定世自有知音者将上下聲考之既得正便将黍以實其管看管實得幾粒然後推而定法可也張子曰律呂有可求之理徳性淳厚者必能知之朱子曰樂之為教今無師授當立一樂學使士大夫習之必有精通者出三説皆探本之論也三分損益圍三徑一之辯宋書云三分損益上下相生此其大略猶厯言斗分四之一耳斯言誠是也盖由三分損益分寸而下以布之釐毫絲忽微細其數至於不可行乃其管則何以量絲忽哉古人治律第約管之九寸以千二百黍實之與人聲和為黄鐘大率三分損益以生十二律如是而已即使后䕫周公師曠同時制律豈能必律尺之毫忽皆相似耶厯代尺度㣲有不同亦其常耳故三分損益猶厯言斗分四之一為大略若宻布厯分則斗分四之一猶有畸零多寡異數也古律言黄鐘長九寸圍九分徑三分圍三徑一亦自其大率言之若布宻率則圍三徑一猶有奇也古人言其槩而後人發其詳正以相成而不以相害諸儒乃辯如聚訟咸詆三分損益圍三徑一為非是不知由其大率布至毫釐摠之不出於三分損益圍三徑一之外乃所以發明其三分損益圍三徑一之精義也不觀之易乎孔子繫易但曰三百六十當期之日亦是大略言之若宻布則以氣率期為三百六十五日有奇以朔率期為三百五十四日有奇無害其為三百六十也然則古人論律為三分損益圍三徑一庸何傷今學人一有所得而槩詆古人立論之非然則孔子之論易亦非耶是故拘古人大略之言而不推見至隱以致律厯之失所也固不可茍有所得正以發古人未發之實而乃詆古人為非是也亦不可厯為律原班固志律厯曰推厯生律是其言若謂律出於厯矣乃其論厯則又以律起厯謂諸厯法皆本於黄鐘又若厯出於律者何也余曰律出於厯是而厯出於律非也盖黄鐘之數與厯無闗漢人求厯不得欲神其事故援黄鐘以附之其法以黄鐘之管長九寸寸九分相乘得九九八十一數為日法以日法乘諸厯而仍以日法歸之若諸厯數一乘於律者斯乃朝三暮四之術掩耳盗鈴之計僅可塗時人耳目難以逃大目照也假第令黄鐘果可以制厯則漢厯即宜宻合何乃疎闊太甚至一跬步不可行不将為黄鐘寃耶然吾獨謂律出於厯者則有説焉盖黄鐘一陽之動也冬至陽生無所取之取之日耳日南至景極長一測之而即得即此為黄鐘也從日至之分秒厯期實之始終十二而一律呂定位寧有晷刻之爽耶又何必望雲候氣以求杳冥不定之黄鐘也此厯為律原非厯出於律也句股宻率顧應祥筭術載古法併劉徽祖冲之之術如問黄鐘之管空容九分其圍徑各若干以古法圍三徑一術求之得幾答曰圍一十○分三釐九毫二絲徑三分四釐六毫四絲術曰置九分三歸四因得十二為圓法以圓法十二乘九得一百○八平方開之得圍以三歸圍得徑以魏劉徽術求之得幾答曰圍一十○分六釐三毫二絲徑三分三釐八毫六絲術曰徽之周法一百五十七徑法五十以周法一百五十七倍之得三百一十四為積法以因黄鐘之九得二千八百二十六以徑法五十折半為二十五除之得一百一十三○四平方開之得圍以徑法五十因之得五百三十一六以周法一百五十七除圍得徑以宋祖冲之術求之得幾答曰圍一十○分六釐三毫六絲徑三分三釐八毫四絲術曰冲之之周法二十二徑法七以周法二十二四之得八十八為積法以因黄鐘之九得七百九十二以徑法七歸之得一百一十三一四二八平方開之得圍以徑法七因之得七十四四五以周法二十二除圍得徑以今真宻率求之得幾答曰圍一十○分八釐一毫六絲六忽有奇徑三分四釐六毫○二忽有奇術曰以周取圓法十三乘黄鐘之九得一百一十七平方開之得周以徑取圓法三一二六除周得徑按古法圍三徑一用三歸四因法為疎盖筭術徑一不止圍三是矣徽冲之二術近宻然既變三歸四因之法而乃暗用四因四歸以加倍折半藏其術猶朝三暮四之説也盖亦以意約之未以實布之也今定宻布之法周取圍不止用四四猶有奇徑取圍不止用三三猶有奇盖以周圍之實數量之以句股之宻率筭之自大至細毫無一爽故圍一十○分八釐一毫六絲六忽有奇徑三分四釐六毫○二忽有奇為真的以徑取圓法乘徑得周周自之以周取圓法而一得九還原即容九分乃九立方分為黄鐘之面幕以每寸之九分乘之得八十一分又以九寸乘之得七百二十九分為黄鐘九寸之積實即是以容黍管九寸凡千二百黍以九寸除千二百黍得每寸一百三十三黍三分黍之一以九分除一百三十三黍三分黍之一得每分十四黍八一四八不盡即面幕每分容九立方分以九立方分除十四黍八一四八不盡得每一立方分容一黍六四六○九不盡即七百二十九分之一也由一黍之容累因之還得千二百黍此黄鐘之原也古今律厯考卷三十五
## 卷三十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十六 明 邢雲路 撰厯法一厯法 授時厯歩氣朔(距至元辛巳為元其諸應等數隨時推測不用為元)歳實三百六十五日二十四刻二十五分(百年上長一下消一)朔實二十九日五十三刻五分九十三秒氣策一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十㣲弦策七日三十八刻二十六分四十八秒二十五㣲望策一十四日七十六刻五十二分九十六秒五十㣲通餘五日二十四刻二十五分通閏十日八十七刻五十三分八十四秒月閏九十刻六十二分八十二秒氣盈二十一刻八十四分三十七秒五十㣲朔虚四十六刻九十四分七秒没限七十八刻一十五分六十二秒五十㣲盈策九日六十六刻九十五分二十八秒虚策二日九十一刻四分二十二秒土王策一十二日一十七刻四十七分五十秒候策五日七刻二十八分一十二秒五十㣲宿策一日五十三刻五分九十三秒氣應五十五日六刻閏應二十日二十刻五十分 旬周六十日(亦名紀法)推天正冬至置所求距筭以歳實乘之為中積加氣應為通積滿旬周去之不盡以日周約之為日不滿為分其日命甲子筭外即所求天正冬至日辰及分如逕求次年者冬至加通餘滿旬周去之即得(如上考者以氣應減中積滿旬周去之不盡以减旬周餘)(同上)求次氣置天正冬至分以氣策累加之其日滿紀法去之命如前各得次氣日及分秒推天正閏餘置中積加閏應為閏積滿朔實去之不盡為閏餘視閏餘分如在以通閏去朔實一十八日六十五刻五十二分九秒已上者其年有閏已下者無如逕求次年者閏餘加通閏滿朔實去之即得定閏者以月閏累去餘分以次得閏某月推天正經朔置通積減閏餘滿旬周去之不盡以日周約之為日不滿為分即所求天正經朔日及分秒又置冬至減閏餘不及減者加紀法減之亦得(上考者以閏應減中積滿朔實去之不盡以減朔實)(為閏餘以日周約之為日不滿為分以減冬至日及分不及減者加紀法減之命如上)求弦望及次朔置天正經朔日及分秒以弦策累加之其日滿紀法去之各得弦望及次朔日及分秒氣盈朔虚氣策之餘數為氣盈三十日減朔實為朔虚沒日置十六日減氣策為沒限視有沒之恒氣分秒(恒氣小餘如在)(沒限以上為有沒之氣)以半月十五日乘之用減氣策餘滿氣盈而一為日併入恒氣日命為沒日即今盈日滅日視有滅之朔分秒(經朔小餘如在朔虚以下為有滅之朔)以一月三十日乘之滿朔虚而一為日併入經朔日命為滅日即今虚日土王用事日置歳實以五行而一得七十三日四刻八十五分是毎行所王之數土居四季以四而一得毎季土王十八日二十六刻二十一分二十五秒以減正氣三十日四十三刻六十八分七十五秒餘一十二日一十七刻四十七分五十秒為土王策以加四季節各大小餘分秒内滿紀去之得土王用事日辰(二氣為正氣一氣為恒氣)月閏通閏以一月二氣盈加朔盈得月閏以十二月乘之得通閏候策置歳實以七十二候而一即得各分氣候氣候正月立春正月節 雨水正月中東風解凍 蟄蟲始振 魚陟負冰 獺祭魚 候鴈北 草木萌動二月驚蟄二月節 春分二月中桃始華 倉鶊鳴 鷹化為鳩 𤣥鳥至 雷乃發聲 始電三月清明三月節 榖雨三月中桐始華 田鼠化為鴽 虹始見 萍始生 鳴鳩拂其羽 戴勝降于桑四月立夏四月節 小滿四月中螻蟈鳴 蚯蚓出 王𤓰生 苦菜秀 靡草死麥秋至五月芒種五月節夏至五月中螳螂生 鵙始鳴 反舌無聲 鹿角解 蜩始鳴半夏生六月小暑六月節 大暑六月中温風至 蟋蟀居壁 鷹始摰 腐草為螢 土潤溽暑 大雨時行七月立秋七月節 處暑七月中涼風至 白露降 寒蟬鳴 鷹乃祭鳥 天地始肅 禾乃登八月白露八月節 秋分八月中鴻鴈來 𤣥鳥歸 羣鳥養羞 雷始収聲 蟄蟲坯户 水始涸九月寒露九月節 霜降九月中鴻鴈來賓 雀入大水為蛤 菊有黄華 豺乃祭獸 草木黄落 蟄蟲咸俯十月立冬十月節 小雪十月中水始冰 地始凍 雉入大水為蜃 虹藏不見(天氣上升地氣下降) 閉塞而成冬十一月大雪十一月節 冬至十一月中鶡鴠不鳴 虎始交 荔挺出 蚯蚓結 麋角解水泉動十二月小寒十二月節 大寒十二月中鴈北鄉 鵲始巢 雉雊 雞乳 征鳥厲疾 水澤腹堅中氣去經朔置天正閏餘命之得冬至去經朔以月閏累加之各得中氣去經朔(滿朔策去之乃全置閏然俟定朔無中氣者裁之)發斂加時置所求分秒以十二乘之為時餘以十二歸之為刻此發斂法也一法以日下十數加二為時進五為初刻不進五為正刻進五者進子正刻初後之半時也不進者以正對正之整時也以十下刻數減二為刻缺千為子正缺百為正初與發斂法合直宿朔實減二十八日為宿策置通積減閏餘以二十八日累去之命虚宿算外得直宿分以宿策累加之得各月直宿各以加減差加減之得各月定直宿建日建除滿平定執破危成収開閉終而復始交節後各以月支為建故節日與上日同名納音置先天甲己子午九乙庚丑未八丙辛寅申七丁壬卯酉六戊癸辰戌五己亥四之數以大衍用數四十有九減之餘以五行生數水火木金土遞數之至某行以所生為納音如求甲子乙丑納音金置甲與子各九乙與丑各八共三十四以減四十九餘十五以五行遞數得土土生金為納音是也餘倣此步日躔周天分三百六十五萬二千五百七十五分周天三百六十五度二十五分七十五秒半周天一百八十二度六十二分八十七秒半天周象限九十一度三十一分四十三秒太 歳差一分五十秒黄道歳差一分三十八杪周應三百一十五萬一千七十五分半歳周一百八十二日六十二刻一十二分半歳周象限九十一日三十一刻六分少盈初縮末限八十八日九十刻九十二分少縮初盈末限九十三日七十一刻二十分少盈縮度差二日四○一四推天正經朔弦望入盈縮厯置半嵗周以閏餘日及分減之即得天正經朔入縮厯(冬至後盈夏至後縮)以弦策累加之各得弦望及次朔入盈縮厯日及分秒(滿半歳周去之即交盈縮)求盈縮差視入厯盈者在盈初縮末限已下為初限已上反減半歳周餘為末限縮者在縮初盈末限已下為初限已上反減半歳周餘為末限其盈初縮末者置立差三十一以初末限乘之加平差二萬四千六百又以初末限乘之用減定差五百一十三萬三千二百餘再以初末限乘之滿億為度不滿退除為分秒縮初盈末者置立差二十七以初末限乘之加平差二萬二千一百又以初末限乘之用減定差四百八十七萬六百餘再以初末限乘之滿億為度不滿退除為分秒即所求盈縮差又術置入限分以其日盈縮分乘之萬約為分以加其下盈縮積萬約為度不滿為分秒亦得所求盈縮差赤道宿度角十二度一十分 亢九度二十分 氐十六度三十分 房五度六十分 心六度五十分 尾十九度一十分 箕十度四十分右東方七宿七十九度二十分斗二十五度二十分 牛七度二十分 女十一度三十五分 虚八度九十五分太 危十五度四十分室十七度一十分 壁八度六十分右北方七宿九十三度八十分太奎十六度六十分 婁十一度八十分 胃十五度六十分 昴十一度三十分 畢十七度四十分 觜初度五分 參十一度一十分右西方七宿八十三度八十五分井三十三度三十分 鬼二度二十分 栁十三度三十分 星六度三十分 張十七度二十五分 翼十八度七十五分 軫十七度三十分右南方七宿一百八度四十分推冬至赤道日度置中積以加周應為通積滿周天分去之不盡以日周約之為度不滿退約為分秒命起赤道虛宿六度外去之至不滿宿即所求天正冬至加時日躔赤道宿度及分秒(上考者以周應減中積滿周天去之不盡以減周天餘以日周約之為度餘同上如當時有宿度者)(止依當時宿度命之)求四正赤道日度置天正冬至加時赤道日度累加象限滿赤道宿次去之各得春夏秋正日所在宿度及分秒求四正赤道宿積度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分減之餘為距後度以赤道宿度累加之各得四正後赤道宿積度及分黄赤道率推黄道宿度置四正後赤道宿積度以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度為二十八宿黄道積度以前宿黄道積度減之為其宿黄道度及分(其秒就近為分)黄道宿度角十二度八十七分 亢九度五十六分 氐十六度四十分 房五度四十八分 心六度三十七分 尾十七度九十五分 箕九度五十九分右東方七宿七十八度二十二分斗二十三度四十七分 牛六度九十分 女十一度一十二分 虚九度○分太 危十五度九十五分室十八度三十二分 壁九度三十四分右北方七宿九十四度一十分太奎十七度八十七分 婁十二度三十六分 胃十五度八十一分 昴十一度○八分 畢十六度五十分觜初度○五分 參十度二十八分右西方七宿八十三度九十五分井三十一度○三分 鬼二度一十一分 栁十三度星六度三十一分 張十七度七十九分 翼二十度○九分 軫十八度七十五分右南方七宿一百九度八分右黄道宿度依今厯所測赤道准冬至歳差所在筭定以憑推步若上下考驗據歳差毎移一度依術推變各得當時宿度推冬至加時黄道日度置天正冬至加時赤道日度以其赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道積度即所求年天正冬至加時黄道日度及分秒求四正加時黄道日度置所求年冬至日躔黄赤道差與次年黄赤道差相減餘四而一所得加象限為四正定象度置冬至加時黄道日度以四正定象度累加之滿黄道宿次去之各得四正定氣加時黄道宿度及分求四正晨前夜半日度置四正恒氣日及分秒(冬夏二至盈縮之端以恒為定)以盈縮差命為日分盈減縮加之即為四正定氣日及分置日下分以其日行度乘之如日周而一所得以減四正加時黄道日度各得四正定氣晨前夜半日度及分秒求四正後毎日晨前夜半黄道日度以四正定氣日距後正定氣日為相距日以四正定氣晨前夜半日度距後正定氣晨前夜半日度為相距度累計相距日之行定度與相距度相減餘如相距日而一為日差(相距度多為加相距度少為減)以加減四正毎日行度率為毎日行定度累加四正晨前夜半黄道日度滿宿次去之為毎日晨前夜半黄道日度及分秒求毎日午中黄道日度置其日行定度半之以加其日晨前夜半黄道日度得午中黄道日度及分秒求毎日午中黄道積度以二至加時黄道日度距所求日午中黄道日度為二至後黄道積度及分秒求毎日午中赤道日度置所求日午中黄道積度滿象限去之餘為分後内減黄道積度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道積度及所去象限為所求赤道積度及分秒以二至赤道日度加而命之即毎日午中赤道日度及分秒黄道十二次宿度危十二度六十四分九十一秒 入娵訾之次辰在亥奎一度七十三分六十三秒 入降婁之次辰在戌胃三度七十四分五十六秒 入大梁之次辰在酉畢六度八十八分五秒 入實沈之次辰在申井八度三十四分九十四秒 入鶉首之次辰在未栁三度八十六分八十秒 入鶉火之次辰在午張十五度二十六分六秒 入鶉尾之次辰在巳軫十度七分九十七秒 入夀星之次辰在辰氐一度一十四分五十二秒 入大火之次辰在卯尾三度一分一十五秒 入析木之次辰在寅斗二度七十六分八十五秒 入星紀之次辰在丑女二度六分三十八秒 入𤣥枵之次辰在子求入十二次時刻各置入次宿度及分秒以其日晨前夜半日度減之餘以日周乘之為實以其日行定度為法實如法而一所得依法斂加時求之即入次時刻古今律厯考卷三十六
## 卷三十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十七 明 邢雲路 撰厯法二厯法歩月離(授時)轉終分二十七萬五千五百四十六分轉終二十七日五千五百四十六分轉中十三日七千七百七十三分初限八十四 中限一百六十八周限三百三十六月平行十三度三十六分八十七秒半轉差一日九千七百五十九分九十三秒弦策七日三千八百二十六分四十八秒少上弦九十一度三十一分四十三秒太望一百八十二度六十二分八十七秒半下弦二百七十三度九十四分三十一秒少轉應一十三萬一千九百四分推天正經朔入轉置中積加轉應減閏餘滿轉終分去之不盡以日周約之為日不滿為分即天正經朔入轉日及分(上考者中積内加所)(求閏餘減轉應滿轉終去之不盡以減轉終餘同上)求弦望及次朔入轉置天正經朔入轉日及分以弦策累加之滿轉終去之即弦望及次朔入轉日及分秒(如徑求次朔以轉差加之)求經朔弦望入遲疾厯各視入轉日及分秒在轉中已下為疾厯已上减去轉中為遲厯遲疾轉定及積度求遲疾差置遲疾厯日及分以十二限二十分乘之在初限已下為初限已上覆減中限餘為末限置立差三百二十五以初末限乘之加平差二萬八千一百又以初末限乘之用減定差一千一百一十一萬餘再以初末限乘之滿億為度不滿退除為分秒即遲疾差又術置遲疾厯日及分以遲疾厯日率減之餘以其下損益分乘之如八百二十而一益加損減其下遲疾度亦為所求遲疾差求朔弦望定日以經朔弦望盈縮差與遲疾差同名相從異名相消(盈遲)(縮疾為同名盈疾縮遲為異名)以八百二十乘之以所入遲疾限下行度除之即為加減差(盈遲為加縮疾為減)以加減經朔弦望日及分即定朔弦望日及分若定弦望分在日出分已下者退一日其日命甲子筭外各得定朔弦望日辰定朔干名與後朔干同者其月大不同者其月小内無中氣者為閏月推定朔弦望加時日月宿度置經朔弦望入盈縮厯日及分以加減差加減之為定朔弦望入厯在盈便為中積在縮加半歳周為中積命日為度以盈縮差盈加縮減之為加時定積度以冬至加時日躔黄道宿度加而命之各得定朔弦望加時日度凡合朔加時日月同度便為定朔加時月度其弦望各以弦望度加定積為定弦望月行定積度依上加而命之各得定弦望加時黄道月度推定朔弦望加時赤道月度各置定朔弦望加時黄道月行定積度滿象限去之以其黄道積度減之餘以赤道率乘之如黄道率而一用加其下赤道積度及所去象限各為赤道加時定積度以冬至加時赤道日度加而命之各為定朔弦望加時赤道月度及分秒(象限已下及半周去之為至後滿象限及三象去之為分後)推朔後平交入轉遲疾厯置交終日及分内減經朔入交日及分為朔後平交日以加經朔入轉為朔後平交入轉在轉中已下為疾厯已上去之為遲厯求正交日辰置經朔加朔後平交日以遲疾厯依前求到遲疾差遲加疾減之為正交日及分其日命甲子筭外即正交日辰推正交加時黄道月度置朔後平交日以月平行度乘之為距後度以加經朔中積為冬至距正交定積度以冬至日躔黄道宿度加而命之為正交加時月離黄道宿度及分秒求正交在二至後初末限置冬至距正交積度及分在半歳周已下為冬至後已上去之為夏至後其二至後在象限已下為初限已上減去半歳周為末限求定差距差定限度置初末限度以十四度六十六分乘之如象限而一為定差反減十四度六十六分餘為距差以二十四乘定差如十四度六十六分而一所得交在冬至後名減夏至後名加皆加減九十八度為定限度及分秒求四正赤道宿度置冬至加時赤道度命為冬至正度以象限累加之各得春分夏至秋分正積度各命赤道宿次去之為四正赤道宿度及分秒求月離赤道正交宿度以距差加減春秋二正赤道宿度為月離赤道正交宿度及分秒(冬至後初限加末限減視春正夏至後初限減末限加視秋正)求正交後赤道宿積度入初末限各置春秋二正赤道所當宿全度及分以月離赤道正交宿度及分減之餘為正交後積度以赤道宿次累加之滿象限去之為半交後又去之為中交後再去之為半交後視各交積度在半象已下為初限已上用減象限餘為末限求月離赤道正交後半交白道(舊名九道)出入赤道内外度及定差置各交定差度及分以二十五乘之如六十一而一所得視月離黄道正交在冬至後宿度為減夏至後宿度為加皆加減二十三度九十分為月離赤道後半交白道出入赤道内外度及分以周天六之一六十度八十七分六十二秒半除之為定差(月離赤道正交後為外中交後為内)求月離出入赤道内外白道去極度置毎日月離赤道交後初末限用減象限餘為白道積用其積度減之餘以其差率乘之所得百約之以加其下積差為毎日積差用減周天六之一餘以定差乘之為毎日月離赤道内外度内減外加象限為毎日月離白道去極度及分秒求毎交月離白道積度及宿次置定限度與初末限相減相乘退位為分為定差(正交中交)(後為加半交後為減)以差加減正交後赤道積度為月離白道定積度以前宿白道定積度減之各得月離白道宿次及分推定朔弦望加時月離白道宿度各以月離赤道正交宿度距所求定朔弦望加時月離赤道宿度為正交後積度滿象限去之為半交後又去之為中交後再去之為半交後視交後積度在半象已下為初限已上用減象限為末限以初末限與定限度相减相乘退位為分分滿百為度為定差(正交中交後為加半交後)(為减)以差加減月離赤道正交後積度為定積度以正交宿度加之以其所當月離白道宿次去之各得定朔弦望加時月離白道宿度及分秒求定朔弦望加時及夜半晨昏入轉置經朔弦望入轉日及分以定朔弦望加減差加減之為定朔弦望加時入轉以定朔弦望日下分減之為夜半入轉以晨分加之為晨轉昏分加之為昏轉求夜半月度置定朔弦望日下分以其入轉日轉定度乘之萬約為加時轉度以減加時定積度餘為夜半定積度依前加而命之各得夜半月離宿度及分秒求晨昏月度置其日晨昏分以夜半入轉日轉定度乘之萬約為晨昏轉度各加夜半定積度為晨昏定積度加命如前各得晨昏月離宿度及分秒求毎日晨昏月離白道宿次累計相距日數轉定度為轉積度與定朔弦望晨昏宿次前後相距度相減餘以相距日數除之為日差(距度多為)(加距度少為減)以加減毎日轉定度為行定度以累加定朔弦望晨昏月度加命如前即毎日晨昏月離白道宿次(朔後)(用昏望後用晨朔望晨昏俱用)步中星大都北極出地四十度太强冬至去極一百一十五度二十一分七十三秒夏至去極六十七度四十一分一十三秒冬至晝夏至夜三千八百一十五分九十二秒夏至晝冬至夜六千一百八十四分八秒昏明二百五十分黄道出入赤道内外去極度及半晝夜分求毎日黄道出入赤道内外去極度置所求日晨前夜半黄道積度滿半歲周去之在象限已下為初限已上復減半歳周餘為入末限滿積度去之餘以其段内外差乘之百約之所得用減内外度為出入赤道内外度内減外加象限即所求去極度及分秒求毎日半晝夜及日出入晨昏分置所求入初末限滿積度去之餘以晝夜差乘之百約之所得加減其段半晝夜分為所求日半晝夜分(前多後少)(為減前少後多為加)以半夜分便為日出分用減日周餘為日入分以昏明分減日出分餘為晨分加日入分為昏分求晝夜刻及日出入辰刻置半夜分倍之百約為夜刻以減百刻餘為晝刻以日出入分依發斂求之即得所求辰刻求更㸃率置晨分倍之五約為更率又五約更率為㸃率求更㸃所在辰刻置所求更㸃數以更㸃率乘之加其日昬分依發斂求之即得所求辰刻求距中度及更差度置半日周以其日晨分減之餘為距中分以三百六十六度二十五分七十五秒乘之如日周而一所得為距中度用減一百八十三度一十二分八十七秒半倍之五除為更差度及分求昏明五更中星置距中度以其日午中赤道日度加而命之即昏中星所臨宿次命為初更中星以更差度累加之滿赤道宿次去之為逐更及曉中星宿度及分秒 其九服所在晝夜刻分及中星諸率並凖隨處北極出地度數推之(已上諸率與晷漏所推自相符契)求九服所在漏刻各於所在以儀測驗或下水漏以定其處冬至或夏至夜刻與五十刻相減餘為至差刻置所求日黄道去赤道内外度及分以至差刻乘之進一位如二百三十九而一所得内減外加五十刻即所求夜刻以減百刻餘為晝刻(其日出入辰刻及更㸃等率依術求之)步交㑹交終分二十七萬二千一百二十二分二十四秒交終二十七日二千一百二十二分二十四秒交中十三日六千六十一分一十二秒交差二日三千一百八十三分六十九秒交望十四日七千六百五十二分九十六秒半交應二十六萬一百八十七分八十六秒交終三百六十三度七十九分三十四秒交中一百八十一度八十九分六十七秒正交三百五十七度六十四分中交一百八十八度五分日食陽厯限六度 定法六十隂厯限八度 定法八十月食限十三度五分 定法八十七推天正經朔入交置中積加交應減閏餘滿交終分去之不盡以日周約之為日不滿為分秒即天正經朔入交汎日及分秒(上考)(者中積内加所求閏餘減交應滿交終去之不盡以減交終餘如上)求次朔望入交置天正經朔入交汎日及分秒以交望累加之滿交終日去之即為次朔望入交汎日及分秒求定朔望及毎日夜半入交各置入交汎日及分秒減去經朔望小餘即為定朔望夜半入交若定日有増損者亦如之否則因經為定大月加二日小月加一日餘皆加七千八百七十七分七十六秒即次朔夜半入交累加一日滿交終日去之即毎日夜半入交汎日及分秒求定朔望加時入交置經朔望入交汎日及分秒以定朔望加減差加減之即定朔望加時入交日及分秒求交常交定度置經朔望入交汎日及分秒以月平行度乘之為交常度以盈縮差盈加縮減之為交定度求日月食甚定分日食視定朔分在半日周已下去減半周為中前已上減去半周為中後與半周相減相乘退二位如九十六而一為時差中前以減中後以加皆加減定朔分為食甚定分以中前後分各加時差為距午定分月食視定望分在日周四分之一已下為卯前已上覆減半周為卯後在四分之三已下減去半周為酉前已上覆減日周為酉後以卯酉前後分自乘退二位如四百七十八而一為時差子前以減子後以加皆加減定望分為食甚定分以發斂求之各得辰刻求日月食甚入盈縮厯及日行定度置經朔望入盈縮厯日及分以食甚日及定分加之以經朔望日及分減之即為食甚入盈縮厯依日躔術求盈縮差盈加縮減之為食甚入盈縮厯定度求南北差視日食甚入盈縮厯定度在象限已下為初限已上用減半歳周為末限以初末限度自相乘如一千八百七十而一為度不滿退除為分秒用減四度四十六分餘為南北汎差以距午定分乘之以半晝分除之所得以減汎差為定差(汎差不及減者反減之為定差應加者減之應減者加之)在盈初縮末者正交減中交加在縮初盈末正交加中交減求東西差視日食甚入盈縮厯定度與半歳周相減相乘如一千八百七十而一為度不滿退除為分秒為東西汎差以距午定分乘之以日周四分之一除之為定差(若在汎差已上)(者倍汎差減之餘為定差依其加減)在盈厯者正交中前減中後加中交中前加中後減在縮厯者正交中前加中後減中交中前減中後加求日食正交中交限度置正交中交度以南北東西差加減之為正交中交限度及分秒求日食入隂陽厯去交前後度視交定度在中交限已下以減中交限為陽厯交前度已上減去中交限為隂厯交後度在正交限已下以減正交限為隂厯交前度已上減去正交限為陽厯交後度求月食入隂陽厯去交前後度視交定度在交中度已下為陽厯已上減去交中為隂厯視入隂陽厯在後凖十五度半已下為交後度前凖一百六十六度三十九分六十八秒已上覆減交中餘為交前度及分求日食分秒視去交前後度各減隂陽厯食限(不及減者不食)餘如定法而一各為日食之分秒求月食分秒視去交前後度(不用南北東西差者)用減食限(不及減者不食)餘如定法而一為月食之分秒求日食定用及三限辰刻置日食分秒與二十分相減相乘平方開之所得以五千七百四十乘之如入定限行度而一為定用分以減食甚定分為初虧加食甚定分為復圓依發斂求之為日食三限辰刻求月食定用及三限五限辰刻置月食分秒與三十分相減相乘平方開之所得以四千九百二十乘之如入定限行度而一為定用分以減食甚定分為初虧加食甚定分為復圓依發斂求之即月食三限辰刻月食既者以既内分與一十分相減相乘平方開之所得以四千九百二十乘之如入定限行度而一為既内分用減定用分為既外分以定用分減食甚定分為初虧加既外為食既又加既内為食甚再加既内為生光復加既外為復圓依發斂求之即月食五限辰刻求月食入更㸃置食甚所入日晨分倍之五約為更法又五約更法為㸃法乃置初末諸分昏分已上減去昏分晨分已下加晨分以更法除之為更數不滿以㸃法収之為㸃數其更㸃數命初更初㸃筭外各得所入更㸃求日食所起食在陽厯初起西南甚於正南復於東南食在隂厯初起西北甚於正北復於東北食八分已上初起正西復於正東(此據午地而論之)求月食所起食在陽厯初起東北甚於正北復於西北食在隂厯初起東南甚於正南復於西南食八分已上初起正東復於正西(此亦據午地而論之)求日月出入帶食所見分數視其日月出入分在初虧已上食甚已下者為帶食各以食甚分與日出入分相減餘為帶食差以乘所食之分滿定用分而一(如月食既者以既内分減帶食差餘進一位如既外分而一所得以減既)(分即月帶食出入所見之分不及減者為𢃄食既出入)以減所食分即日月出入帶食所見之分(其食甚在晝晨為漸進昏為已退其食甚在夜晨為已退昏為漸進)求日月食甚宿次置日月食甚入盈縮厯定度在盈便為定積在縮加半歳周為定積(望即更加半周天度)以天正冬至加時黄道日度加而命之各得日月食甚宿次及分秒古今律厯考卷三十七
## 卷三十八
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十八 明 邢雲路 撰厯法三厯法歩五星(授時)厯度三百六十五度二十五分七十五秒厯中一百八十二度六十二分八十七秒半厯策一十五度二十一分九十秒六十二㣲半木星周率三百九十八萬八千八百分周日三百九十八日八十八分厯率四千三百三十一萬二千九百六十四分八十六秒半度率一十一萬八千五百八十二分合應一百一十七萬九千七百二十六分厯應一千八百九十九萬九千四百八十一分盈縮立差二百三十六加平差二萬五千九百一十二減定差一千八十九萬七千伏見一十三度火星周率七百七十九萬九千二百九十分周日七百七十九日九十二分九十秒厯率六百八十六萬九千五百八十分四十三秒度率一萬八千八百七分半合應五十六萬七千五百四十五分厯應五百四十七萬二千九百三十八分盈初縮末立差一千一百三十五減平差八十三萬一千一百八十九減定差八千八百四十七萬八千四百縮初盈末立差八百五十一減平差三萬二百三十五減定差二千九百九十七萬六千三百伏見一十九度土星周率三百七十八萬九百一十六分周日三百七十八日九分一十六秒厯率一億○七百四十七萬八千八百四十五分六十六秒二五度率二十九萬四千二百五十五分合應一十七萬五千六百四十三分厯應五千二百二十四萬五百六十一分盈立差二百八十三加平差四萬一千二十二減定差一千五百一十四萬六千一百縮立差三百三十一加平差一萬五千一百二十六減定差一千一百一萬七千五百伏見一十八度金星周率五百八十三萬九千二十六分周日五百八十三日九十分二十六秒厯率三百六十五萬二千五百七十五分度率一萬合應五百七十一萬六千三百三十分厯應一十一萬九千六百三十九分盈縮立差一百四十一加平差三減定差三百五十一萬五千五百伏見一十度半水星周率一百一十五萬八千七百六十分周日一百一十五日八十七分六十秒厯率三百六十五萬二千五百七十五分度率一萬合應七十萬四百三十七分厯應二百五萬五千一百六十一分盈縮立差一百四十一加平差二千一百六十五減定差三百八十七萬七千晨伏夕見一十六度半夕伏晨見一十九度推天正冬至後五星平合及諸段中積中星置中積加合應以其星周率去之不盡為前合復減周率餘為後合以日周約之得其星天正冬至後平合中積中星(命為日日中積命為度日中星)以段日累加中積即諸段中積以度累加中星經退則減之即為諸段中星(上考者中積内減合)(應滿周率去之不盡便為所求後合分)推五星平合及諸段入歴各置中積加厯應及所求後合分滿厯率去之不盡如度率而一為度不滿退除為分秒即其星平合入厯度及分秒以諸段限度累加之即諸段入厯(上考者中積内減厯應滿)(厯率去之不盡反減厯率餘加其年後合餘同上)求盈縮差置入厯度及分秒在厯中已下為盈已上減去厯中餘為縮視盈縮厯在九十一度三十一分四十三秒太已下為初限已上用減厯中餘為末限其火星盈厯在六十度八十七分六十二秒半已下為初限已上用減厯中餘為末限縮厯在一百二十一度七十五分二十五秒已下為初限已上用減厯中餘為末限置各星立差以初末限乘之去加減平差得又以初末限乘之去加減定差再以初末限乘之滿億為度不滿退除為分秒即所求盈縮差又術置盈縮厯以厯策除之為策數不盡為策餘以其下損益率乘之厯策除之所得益加損減其下盈縮積亦為所求盈縮差求平合諸段定積各置其星其段中積以其盈縮差盈加縮減之即其段定積日及分秒以天正冬至日分加之滿紀法去之不滿命甲子筭外即得日辰求平合及諸段所在月日各置其段定積以天正閏日及分加之滿朔策除之為月數不盡為入月已來日數及分秒其月數命天正十一月筭外即其段入月經朔日數及分秒以日辰相距為所在定月日求平合及諸段加時定星各置其段中星以盈縮差盈加縮减之(金星倍之水星三之)即諸段定星以天正冬至加時黄道日度加而命之即其星其段加時所在宿度及分秒求諸段初日晨前夜半定星各以其段初行率乘其段加時分百約之乃順減退加其日加時定星即其段初日晨前夜半定星加命如前即得所求求諸段日率度率各以其段日辰距後段日辰為日率以其段夜半宿次與後段夜半宿次相減餘為度率求諸段平行分各置其段度率以其段日率除之即其段平行度及分秒求諸段増減差及日差以本段前後平行分相減為其段汎差倍而退位為増減差以加減其段平行分為初末日行分(前多後少者加為初減為)(末前少後多者減為初加為末)倍増減差為總差以日率減一除之為日差求前後伏遲退段増減差前伏者置後段初日行分加其日差之半為末日行分後伏者置前段末日行分加其日差之半為初日行分以減伏段平行分餘為増減差前遲者置前段末日行分倍其日差減之為初日行分後遲者置後段初日行分倍其日差減之為末日行分以遲段平行分減之餘為増減差(前後近留之遲段)木火上三星退行者六因平行分退一位為増減差金星前後退伏者三因平行分半而退位為増減差前退者置後段初日行分以其日差減之為末日行分後退者置前段末日行分以其日差減之為初日行分乃以本段平行分減之餘為增減差水星退行者半平行分為増減差皆以増減差加減平行分為初末日行分(前多後少者加為初減為末前少後多者減為初加為末)又倍増減差為總差以日率減一除之為日差求毎日晨前夜半星行宿次各置其段初日行分以日差累損益之後少則損之後多則益之為毎日行度及分秒乃順加退減滿宿次去之即毎日晨前夜半星行宿次求五星平合見伏入盈縮厯置其星其段定積日及分秒(若滿歳周日及分秒去之餘在次年天正冬至後)如在半歳周已下為入盈厯滿半歳周去之為入縮厯各在初限已下為初限已上反減半歳周餘為末限即得五星平合見伏入盈縮厯日及分秒求五星平合見伏行差各以其星其段初日星行分與其段初日太陽行分相減餘為行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分併其段初日太陽行分為行差内水星夕伏晨見者直以其段初日太陽行分為行差求五星定合定見定伏泛積木火土三星以平合晨見夕伏定積日便為定合伏見泛積日及分秒金水二星置其段盈縮差度及分秒(水星)(倍之)各以其段行差除之為日不滿退除為分秒在平合夕見晨伏者盈減縮加在退合夕伏晨見者盈加縮減各以加減定積為定合伏見泛積日及分秒求五星定合定積定星木火土三星各以平合行差除其段初日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒以太陽盈縮積減之為距合差度各置其星定合泛積以距合差日盈減縮加之為其星定合定積日及分秒以距合差度盈減縮加之為其星定合定星度及分秒金水二星順合退合者各以平合退合行差除其日太陽盈縮積為距合差日不滿退除為分秒順加退減太陽盈縮積為距合差度順合者盈加縮減其星定合泛積為其星定合定積日及分秒退合者以距合差日盈加縮減距合差度盈加縮減其星退定合泛積為其星退定合定積日及分秒命之為退定合定星度及分秒以天正冬至日及分秒加其星定合定積日及分秒滿旬周去之命甲子筭外即得定合日辰及分秒以天正冬至加時黄道日度及分秒加其星定合定星度及分秒滿黄道宿次去之即得定合所躔黄道宿度及分秒(徑求五星合伏定日木火土三星以夜半黄道日度減其)(星夜半黄道宿次餘在其日太陽行分已下為其日伏合金水二星以其星夜半黄道宿次減夜半黄道日度)(餘在其日金水二星行分已下者為其日伏合行金水二星伏退合者視其日太陽夜半黄道宿次未 到金)(水二星宿次又視次日太陽行過金水二星宿次金水二星退行過太陽宿次為其定合伏退定日)求木火土三星定見伏定積日各置其星定見定伏泛積日及分秒晨加夕減九十一日三十一分六秒如在半歳周已下自相乘已上反減歳周餘亦自相乘滿七十五除之為分滿百為度不滿退除為秒以其星見伏度乘之一十五除之所得以其段行差除之為日不滿退除為分秒見加伏減泛積為其星定見伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日晨及分秒求金水二星定見伏定積日各以伏見日行差除其段初日太陽盈縮積為日不滿退除為分秒若夕見晨伏盈加縮減如晨見夕伏盈減縮加以加減其星定見定伏泛積日及分秒為常積如在半歳周已下為冬至後已上去之餘為夏至後各在九十一日三十一分六秒已下自相乘已上反減半歳周亦自相乘冬至後晨夏至後夕一十八而一為分冬至後夕夏至後晨七十五而一為分又以其星見伏度乘之一十五除之所得滿行差除之為日不滿退除為分秒加減常積為定積在晨見夕伏者冬至後加之夏至後減之夕見晨伏者冬至後減之夏至後加之為其星定見定伏定積日及分秒加命如前即得定見定伏日晨及分秒古今律厯考巻三十八
## 卷三十九
欽定四庫全書
古今律厯考卷三十九 明 邢雲路 撰厯法四厯法太陽躔度(詳推) (授時)推各歲前冬至日躔赤道宿次分置各中積命為度以刻為分加周應起虛六度滿周天鈐去之得各歲前冬至日躔赤道宿次分赤道度虚八度九十五分 危十五度四十分 室十七度一十分壁八度六十分 奎十六度六十分 婁十一度八十分胃十五度六十分 昴十一度三十分 畢十七度四十分觜初度五分 參十一度一十分 井三十三度三十分鬼二度二十分 柳十三度三十分 星六度三十分張十七度二十五分 翼十八度七十五分 軫十七度三十分角十二度一十分 亢九度二十分 氐十六度三十分房五度六十分 心六度五十分 尾十九度一十分箕十度四十分 斗二十五度二十分 牛七度二十分女十一度三十五分推各歲前冬至日躔黄道宿次分置各歲前冬至赤道宿次度分以初日下赤道度率而一得各歲前冬至日躔黄道宿次分黄道度箕九度五十九分 斗二十三度四十七分 牛六度九十分女十一度十二分 虛九度○○七十五秒 危十五度九十五分室十八度三十二分 壁九度三十四分 奎十七度八十七分婁十二度三十六分 胃十五度八十一分 昴十一度八分畢十六度五十分 觜初度五分 參十度二十八分井三十一度三分 鬼二度十一分 柳十三度星六度三十一分 張十七度七十九分 翼二十度九分軫十八度七十五分 角十二度八十七分 亢九度五十六分氐十六度四十分 房五度八十四分 心六度二十七分尾十七度九十五分推黄赤道及定象限度分以推得天正赤道宿次減天正黄道宿次餘為黄赤道差與次年黄赤道差相減餘一十二秒以四而一得三秒加入周天象限内共得九十一度三一○九二五為定象限度分若黄赤道差相減餘一十一秒以四而一得二秒七十五微加入歲周象限内共得九十一度三十一分○九亦為其年定象限度分以後累加不同即將二年之差三秒併入二秒七十五微得數半之為二秒八十七微半加入歲周象限共得九十一度三一○九一二五為定象限度分累加之自與各年原推加時黄道積度合推四正定氣日以原推得冬夏二至日及刻分秒即冬夏二正定氣冬至加盈初縮末限滿紀法去之為春正定氣夏至加縮初盈末限滿紀法去之為秋正定氣又法春分日及刻分秒減盈縮度差餘為春正定氣秋分日及刻分秒加盈縮度差得為秋正定氣如求次年四正定氣就與本年四正定氣内各加歲餘即次年四正定氣(各以甲子筭外得四)(正日期)推相距日以本段定氣大餘減次段定氣大餘加六十日得相距日如次段日不及減者加六十日減之再加六十日為相距日相距多則九十三四日少則八十八九日推四正加時日躔黄道積度以天正冬至加時黄道全分累加定象限度分各得四正加時黄道積度加一次得春正二次夏正三次秋正再加即次年冬正推四正加時減分各以四正定氣小餘以四正初日行度乘之即得加時減分如天正冬至初日行度一度○五一○八五以乘冬至小餘得冬正加時減分春正距夏正如是九十三日者行度○度九九九七○三九十四日者行度一度各以行度乘春正小餘得春正加時減分如夏至初日行度○度九五一五一六以乘夏至小餘得夏正加時減分秋正距次年冬正如是八十八日者行度一度○○○五○五八十九日者行度一度各以行度乘秋正小餘得秋正加時減分次年冬正加時減分如本年冬正求之即得推夜半積度以四正加時黄道積度全分於内減去各正加時減分餘為各正夜半日度推四正夜半宿次置夜半黄道度全分以黄道度去之不滿黄道度者即入宿次推相距度以冬正夜半積度減春正夜半積度餘為冬正距春正度以春正夜半積度減夏正夜半積度餘為春正距夏正度以夏正夜半積度減秋正夜半積度餘為夏正距秋正度以秋正夜半積度減次年冬正夜半積度餘為秋正距次年冬正度如不及減加周天減之推日差以相距度與相距日下行定度減之餘以相距日而一得日差如相距度内減去行定度者為加差行定度内減去相距度者為減差四正相距日及行定度分秋正距冬至 冬至距春正八十八日 行定度九十○度四○○九三五八十九日 行定度九十一度四○一四四一春正距夏至 夏至距秋正九十三日 行定度九十○度五九九○九十四日 行定度九十一度五九八七推每日晨前夜半日度以冬夏二至夜半日度宿次全分自二至初日下行度順次加之即得每日夜半日度及分秒及加減日差如滿黄道本宿度及分秒去之餘入次宿度如是加行度一次則加減日差一次滿黄道本宿度去之即得夜半日度如是春秋二正各以相距日下行度加之亦加減日差滿黄道本宿度去之得每日夜半日度日躔黄道入十二次宮界度推日躔黄道入十二次時刻以入次宿度及分秒以其日晨前夜半日度宿次減之餘為實以其日行定度而一得數以發斂法收之即入次時刻行定度者是原減入次得夜半日度與次日夜半日度相減餘而得古今律厯考卷三十九
## 卷四十
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十 明 邢雲路 撰厯法五厯法(授時)太陽冬至前後立成 盈初縮末其法以次増加自上而下若以術則各推縮初同太陽夏至前後立成 縮初盈末古今律厯考巻四十
## 卷四十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十一 明 邢雲路 撰厯法六厯法(授時)太陽冬至後盈初厯積度 行度秋正距冬至冬至距春正通為一法太陽秋分後縮末厯積度 行度冬至距春正盈八十八九日秋正距冬至亦然故盈初縮末同法古今律厯考卷四十一
## 卷四十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十二 明 邢雲路 撰厯法七厯法(授時)太陽夏至後縮初厯積度 行度春正距夏至夏至距秋正通為一法太陽春分後盈末厯積度 行度春正距夏至九十三四日夏至距秋正亦然故縮初盈末同法太陽春分後盈末厯積度 行度古今律厯考卷四十二
## 卷四十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十三 明 邢雲路 撰厯法八厯法(授時)萬厯己亥嵗日躔厯 距元積年三百一十八中積一十一萬六千一百四十七日一刻九十六分(有消長中命日曰度為 星度)冬至四十二日七刻九六(丙午丑初二刻)閏餘二十三日四十刻二三三一經朔一十八日六十七刻六六六九推冬至赤道日度置中積加周應三百一十五度一十分七五得一十一萬六千四百六十二度一十二分七十一秒滿周天去之餘三百一十度一十四分六十七秒命起赤道虚宿六度外去之得冬至日躔赤道箕五度三分九十二秒(虚宿六度外至尾末共三百五度一○七五)冬至黄道日度置冬至赤道度以初日下赤道率而一得日躔黄道箕四度六十三分八十秒黄赤道差置前赤道度減黄道度餘四十分一十二秒為黄赤道差次年冬至赤道日度置前冬至餘數三百一十度一四六七再加嵗周以虚宿六度外去之得次年冬至日躔赤道箕五度二分三十六秒次年冬至黄道日度及黄赤道差命如前得次年冬至日躔赤道箕四度六二三六相減餘四十分為次年黄赤道差定象限度置本年嵗前黄赤道差減次年黄赤道差餘一十二秒以四象而一得三秒加入周象限九十一度三一○五五内得九十一度三一○八五為定象限度分四正定氣置本年嵗前冬至四十二日七刻九十六分即為冬正定氣加盈初縮末限八十八日九○九一五得一百三十日九八八七五滿紀法去之餘一十日九八八七五為春正定氣加縮初盈末限九十三日七一一九五得一百四日七○○七去紀餘四十四日七○○七為夏正定氣加縮初盈末限得一百三十八日四一二六五去紀餘一十八日四一二六五為秋正定氣再加盈初縮末限得一百七日三二一八去紀餘四十七日三二一八為次年冬正定氣四正相距日置春正定氣一百三十日減嵗前冬正定氣四十二日餘八十八日是冬正距春正八十八日置夏正定氣一百四日減春正定氣一十日餘九十四日是春正距夏正九十四日置秋正定氣一百三十八日減夏正定氣四十四日餘九十四日是夏正距秋正九十四日置次年冬正定氣一百七日減秋正定氣一十八日餘八十九日是本年秋正距次年冬正八十九日四正黄道日度置嵗前黄道日度箕四度六三八加其年定象限度九十一度三一○八五得九十五度九四八八五為春正黄道日度累加定象限各命如鈐得一百八十七度二五九七為夏正度得二百七十八度五七○五五為秋正度得三百六十九度八八一四為次年冬正度滿周天三百六十五度二五七八去之餘四度六二三六即前所推次年冬至日躔箕四度六十二分三十六秒四正加時減分置冬正定氣小餘七刻九十六分以冬至初日下行度一度○五一○八五乘之得八分三六六為冬至加時減分置春正定氣小餘九十八刻八七五以相距九十四日用九十三日下行度初度九九九十○三乘之得九十八分八四五六為春正加時減分置夏正定氣小餘七十○刻○七以夏至初日下行度初度九五一五一六乘之得六十六分六七三七為夏正加時減分置秋正定氣小餘四十一刻二六五以相距八十九日用八十八日下行度一度○○○五○五乘之得四十一分二八五八為秋正加時減分置次年冬正定氣小餘三十二刻一八以冬至初日下行度一度○五一○八五乘之得三十三分八二三九為次年冬至加時減分四正夜半日度置冬至加時黄道箕四度六十三分八十秒減去冬至加時減分八分三六六六餘四度五五四三三四依黄道宿次去之即為冬至夜半日度置春正加時黄道日度九十五度九四八八五減去加時減分九十八分八四五六餘九十四度九六○三九四為春正夜半日度置夏正加時黄道日度一百八十七度二五九七減去加時減分六十六分六七二七餘一百八十六度五九二九七三為夏正夜半日度置秋正加時黄道日度二百七十八度五七○五五減去加時減分四十一分二八五八餘二百七十八度一五七六為秋正夜半日度置次年冬至加時黄道箕四度六二三六減去加時減分三十三分八二三九餘四度二八五三六一為次年冬至夜半日度二十八宿赤道變黄道度置箕宿十度四十分減去己亥嵗前冬至箕五度三分九十二秒餘五度三十六分八秒是至後赤道積度以減赤道四度下積度四度三四四五餘一度○一六三以黄道率一度乘之以赤道率一度○八四九而一得數加黄道四度共得四度九十三分六十七秒是冬至後箕宿黄道積度赤道宿度 赤道積度 四正距後赤道積度斗二十五度(二) 二十五度(二) 三十度(五六○八)牛七度(二) 三十二度(四) 三十七度(七六○八)女十一度(三五) 四十三度(七五) 四十九度(一一○八)虚八度(九五七八)五十二度(七○七八) 五十八度(○六八六)危十五度(四) 六十八度(一○七八) 七十三度(四六八六)室十七度(一) 八十五度(二○七八) 九十度(五六八六)壁八度(六) 九十三度(八六七八) 九十九度(一六八六)(春正後減嵗周象限九十一度三一○五五餘七度八五八○五)奎十六度(六) 一百一十度(四○七八) 二十四度(四五八○五)婁十一度(八) 一百二十二度(二○七八)三十六度(二五八○五)胃十五度(六) 一百三十七度(八○七八)五十一度(八五八○五)昴十一度(三) 一百四十九度(一○七八)六十三度(一五八○五)畢十七度(四) 一百六十六度(五○七八)八十度(五五八○五)觜初度(○五) 一百六十六度(五五七八)八十度(六○八○五)參十一度(十) 一百七十七度(六五七八)九十一度(七○八○五)(夏至後減嵗周象限九十一度三一○五五餘三十九分七四五)井三十三度(三) 二百一十度(九五七八) 三十三度(六九七五)鬼二度(二) 二百一十三度(一五七八)三十五度(八九七五)桞十三度(三) 二百二十六度(四五七八) 四十九度(一九七五)星六度(三) 二百三十二度(七五七八) 五十五度(四九七五)張十七度(二五) 二百五十度(○○七八) 七十二度(七四七五)翼十八度(七五) 二百六十八度(七五七八) 九十一度(四九七五)(秋正後減嵗周象限九十一度三一○五五餘一十八分六八五)軫十七度(三) 二百八十六度(○五七八) 十七度(四八六九五)角十二度(一) 二百九十八度(一五七八) 二十九度(五八六九五)亢九度(二) 三百○七度(三五七八) 三十八度(七八六九五)氐十六度(三) 三百二十三度(六五七八) 五十五度(○八六九五)房五度(六) 三百二十九度(二五七八) 六十度(六八六九五)心六度(五) 三百三十五度(七五七八) 六十七度(一八六九五)尾十九度(一) 三百五十四度(八五七八) 八十六度(二八六九五)箕十度(四) 三百六十五度(二五七八) 九十六度(六八六九五)(次年冬至後減歳周象限九十一度三一○五五餘五度三七六二五)置各得至後分後赤道距後積度内減去至後分後赤道積度餘數以黄道率乘之如赤道率而一得數以加黄道積度下為黄道距後積度以右上距後黄道積度減左下距後黄道積度餘為各宿度分如不及前右上減者加一周天象限減之即得黄道宿度及分近則就之各得本宿度分右斗二十八度五七四五者是至後赤道斗三十度積度三十○度五六○八以至後赤道二十八度下積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一以加黄道二十八度下所得二十八宿黄道度約分箕九度(五七) 斗二十三度(六四)牛六度(九八)女十一度(三六) 虚九度(○一七) 危十六度(一三)室十八度(四五) 壁九度(八四) 奎十七度(七三)婁十二度(三二) 胃十五度(五二) 昴十度(九五)畢十六度(三四) 觜初度(○五) 參十度(二四)井三十一度(二一)鬼二度(一四) 桞十三度(二五)星六度(二九) 張十八度(○○) 翼二十度(二三)軫十八度(六七) 角十二度(七四) 亢九度(四四)氐十六度(二○) 房五度(四二) 心六度(二○)尾十七度(八一)赤道宿總度東方七宿七十九度二十分北方七宿九十三度八十分太西方七宿八十三度八十五分南方七宿一百八度四十分以北方虚六度筭外盡北方四十四度○五七五至盡西方一百二十七度九○七五至盡南方二百三十六度三○七五至盡東方三百一十五度五十分七十五秒除授時箕五度三十六分八秒餘三百一十度一十四分六十七秒得箕五度三分九十二秒為己亥冬至日躔宿度若以次步厯止用虚六度外至盡尾十九度一十分共三百五度一十分七十五秒餘數入箕宿得各嵗冬至日躔箕宿度赤道十二次宿度及四正後積次度置周天三百六十五度二十五分七十八秒以十二而一得三十度四三八一五為毎宮赤道次界度半之得十五度二一九○七五乃一宮之正中為半宮赤道次界度置子𤣥枵正中虚六度加前女十一度三十五分共十七度三十五分以減去半宮界次一十五度二一九○七五餘女二度一十三分九秒二十五微是赤道子𤣥枵宫次初界度七政四餘皆從此界入子宫置冬至後箕五度三十六分八秒加赤道斗二十五度二十分牛七度二十分又加赤道𤣥枵次初界女二度一十三分○九二五共得三十九度八九一七二五為冬至後赤道積度以累加毎宮次赤道三十度四三八一五為各宮初次赤道積度如滿周嵗象限九十一度三一○五五去之為春分後積度累滿去為夏至為秋分為次年冬至後各積度以赤道變黄道法推之各得黄道十二次度黄道十二次宿度及四正後積次度置四正後所推赤道宿積度以四正後赤道積度減之餘以黄道率乘之如赤道率而一得數以加黄道積度以前四正後黄道積度減之餘各得十二次宿度分前後積度相減餘為界次置冬至赤道後子𤣥枵積度三十九度八九一七二五以減冬至後赤道三十七度下積度三十九度二三七七餘六十五分四○二五以黄道一度乘之以赤道度率一度○一七七而一得六十四分二七以加於三十七度下共得三十七度六四二七為子𤣥枵女三十七度六四二七置冬至後赤道後亥娵訾積度七十度三二九八七五以減冬至後赤道六十八度下積度六十九度六四八餘六十八分一八七五以黄道一度乘之以赤道度率九分四五而一得七十二分一六以加於六十八度下共得六十八度七二一六為亥娵訾危六十八度七二一六以危六十八度七二一六減前女三十七度六四二七餘三十一度○七八五為𤣥枵黄道界次餘倣此置女三十七度六四二七以箕四度九三六五併斗二十三度六三八牛六度九七九一共三十五度五五三六為距後黄道度減之餘二度○八九一乃入女二度○八九一為黄道入子宮界次餘倣此置亥娵訾危六十八度七二一六減四正距後度虚五十五度九二○六餘一十二度八○一○為黄道入亥宮界次如春分後降婁之次赤道積度奎九度四十九分七四七五以去赤道積度九度餘四十九分七四七五以黄道率一度○八一二乘之得五十三分七八六九九七以赤道率一度而一加入黄道積度九度七六○五共得黄道奎十度二十九分八十七秒入戌宮界宿次積度加周天象限減前宮界積度餘為黄道宮度與奎前一宿四正黄道積度減餘為入宮界宿次以奎積度加周天象限共得一百一度六十一分三十一秒以減黄道積度壁九十九度八十四分餘奎一度七十七分三十一秒是七政四餘交宮之界如此出入故曰界順則入戌退則入亥餘倣此推黄道宿次積度鈐(赤道積度即赤道鈐度故不重録)置前宿累加次宿如是黄道箕九度五七加斗二十三度六四共三十三度二一餘倣此黄道鈐度箕九度五七 斗三十三度二一 牛四十度一九女五十一度五五 虚六十度五六七八 危七十六度六九七八室九十五度一四七八 壁一百四度四八七八 奎一百二十二度二一七八婁一百三十四度五三七八胃一百五十度○五七八 昴一百六十一度○○七八畢一百七十七度三四七八觜一百七十七度三九七八參一百八十七度六五七八井二百一十八度八六七八鬼二百二十一度○○七八桞二百三十四度二五七八星二百四十度五四七八張二百五十八度五四七八翼二百七十八度七九七八軫二百九十七度四四七八角三百一十度一八七八 亢三百一十九度六二七八氐三百三十五度八二七八房三百四十一度二四七八 心三百四十七度四四七八尾三百六十五度二五七八推相距度置春正夜半日度九十四度九六○三九四内減冬至夜半日度四度五五四三三四餘九十○度四○六○六○為冬正距春正相距度置夏至夜半日度一百八十六度五九二九七三内減春正夜半日度餘九十一度六三二五七九為春正距夏正相距度置秋正夜半日度二百七十八度一五七六九二内減夏正夜半日度餘九十一度五六四七一九為夏正距秋正相距度置次年天正冬正夜半日度四度二八五三六一加周天全度共得三百六十九度五四三一六一内減秋正夜半日度餘九十一度三八五四六九為秋正距次年冬至相距度推日差置冬正距春正相距度九十○度四○六○六○内減冬正距春正八十八日下行定度九十○度四○○九三五餘五十一秒二五以相距八十八日而一得五十八微二一是冬正距春正日差是相距度多行定度少為加差置春正距夏正相距度九十一度六二二五七九内減春正距夏正九十四日下行定度九十一度五九八七五九餘三分三八二相距九十四日而一得三秒五九七八是春正距夏正日差是相距度多行定度少為加差置夏正距秋正九十四日下行定度九十一度五九八七五九内減夏正距秋正相距度九十一度五六四七一九餘三分四○四以相距九十四日而一得三秒五五七四是夏正距秋正日差是行定度多相距度少為減差置秋正距次年冬正八十九日下行定度九十一度四○一四四一内減秋正距次年冬正相距度九十一度三八五四六九餘一分五七五一以相距八十九日而一得一秒七七九二一是秋正距次年冬正日差是行定度多相距度少為減差推宮界積度及交宮鈐度置前宿度及分秒加入宮宿度及分秒共得數為宮界積度如到春正夏正秋正後皆以前宮宿加入宮宿度為宮界積度假如斗三度八○四三入丑加前箕宿九度五七共得一十三度三七四三是宮界積度如春分後奎一度七七三一入戌加前壁九度三四共得一十一度一一三一是宮界積度餘倣此置前宿累加次宿所得為鈐度各以四正後加之如冬正後箕九度五七加斗二十三度六四牛六度九八共得四十○度一九為鈐虚六十○度五六七八是也春正又從壁九度三四起為鈐度宮界積度(日躔入此交宮) 交宮鈐度(滿此鈐減去餘為入宮宿次)冬至後入丑星紀斗一十三度三六八三 箕九度五七大寒後入子𤣥枵女四十二度二八九一 牛四十○度一九雨水後入亥娵訾危七十三度三六二八 虚六十○度五六七五春分後入戌降婁奎一十一度一一三一 壁二十七度七九穀雨後入酉大梁胃四十三度○八七○ 婁五十七度八四小滿後入申實沈畢七十二度六六四七 昴八十四度三一夏至後入未鶉首井一十八度五九七五 參一十○度二四大暑後入午鶉火桞四十七度五一七四 鬼四十三度六一處暑後入巳鶉尾張七十八度五八四八 星六十三度一五秋分後入辰夀星軫三十○度二八九九 翼二十○度二三霜降後入邜大火氐六十二度二○一四 亢六十一度○八小雪後入寅析木尾八十五度八六七九 心八十八度九○推太陽入丑宮星紀度及日時刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加冬至後八日下太陽盈初積度八度三九四七四九得一十二度九四九○八三又將冬至下日差五十八微二一以八日乘之得四秒六五六八為加差加入前數内共得一十二度九四九五四八六八為入丑宫定度内減去交宫鈐箕九度五七餘斗三度三七九五四八六八是斗三度下交入丑宫夜半日度置十二次中交宫界斗三度七九八五内減去斗三度三七九五四八六八餘四十一分八七五一三二以日周乘之得四十一刻八七五一三二以八日下太陽行度一度○四七○八二而一得三十九刻九九二二以發斂求之得巳初二刻太陽入丑宮日以冬至大餘四十二日加八日共五十日以甲子筭外得甲寅日是甲寅巳初二刻入丑宮星紀之次推太陽入子宮𤣥枵度及日時刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加至後三十六日下太陽盈初積度三十七度五一四六七二得四十二度○六九○○六又將日差五十八微二一以三十六日乘之得二十○秒九五五六加入前數共得四十二度○七一一○一為入子宮定度内減去交宮鈐牛四十○度一九餘女一度八八一一○一是女一度下交入子宮夜半日度置十二次中交宮界女二度○八九一内減去女一度八八一一○一餘二十○分七九九九以日周乘之得數以三十六日下太陽行度一度○三二一三四而一得二十○刻一五二三以發斂求之得寅正三刻太陽入子宮日以冬至大餘四十二日加三十六日共七十八日滿紀去之餘十八日以甲子算外得壬午日是壬午寅正三刻入子宮𤣥枵之次推太陽入亥宮娵訾度及日時刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加冬至後六十六日下太陽盈初積度六十八度二二七二一二得六十七度七八一六四六又將日差五十八微二一以六十六日乘之得三十八秒四一八六加入前數共得七十二度七八五三八七八六内減去虚六十○度五六七五餘危一十二度二一七八八七八六是危十二度下交入亥宮夜半日度置十二次中交宮界危十二度八○一内減去危一十二度二一七八八七八六餘五十八分三一一二以日周乘之得數以六十六日下太陽行度一度○一四五○一而一得五十七刻四七七七以發斂求之得未初三刻太陽入亥宮日以冬至四十二日加六十六日共一百○八日滿紀去之餘四十八日以甲子算外得壬子日是壬子未初三刻入亥宮娵訾之次推太陽入戌宮降婁度及日時刻置春正夜半積度九十四度九六○三九四内減去黄道鈐危七十六度六九七八餘室一十八度二六二五九四為春正夜半日度以春正夜半日度加春正距夏正九十四日後盈末積度該加一十一日下盈末積度一十○度九六四四二得二十九度二二七○一四又將春正下日差三秒五九七八以春正後十一日乘之得三十九秒五七五八加入前數共得二十九度二三○九七一五八内減交宫鈐壁二十七度六○二五九四餘奎一度六二八三七七五八是奎一度下交入戌宮夜半日度置十二次中交宮界奎一度七七三一内減去奎一度六二八三七七五八餘一十四分四七二二四二以日周乘之得數以春正後十一日下太陽行度初度九九三二七三而一得一十四刻五七○二以發斂求之得寅初二刻太陽入戌宮日以春正定氣十日加春正後十一日共二十一日以甲子算外得乙酉日是乙酉寅初二刻入戌宮降婁之次推太陽入酉宮大梁度及日時刻置春正夜半日度室一十八度二六二五九四加春正後四十三日下盈末積度四十二度四七二○四一得六十○度七三四六三五又將日差三秒五九七八以四十三日乘之得一分五四七○五四加前數共得六十○度七五○一○五五四内減交宮鈐婁五十七度八四餘胃二度九一○一○五五四是胃二度下交入酉宮夜半日度置十二次中交宮界胃三度六九七内減去胃二度九一○一○五五四餘七十八分六八九四四六以日周乘之得數以四十三日下太陽行度初度九七五六八一而一得八十○刻六五○七以發斂求之得戌初一刻太陽入酉宮日以春正定氣十日加春正後四十三日共五十三日以甲子算外得丁巳日是丁巳戌初一刻入酉宮大梁之次推太陽入申宮實沈度及日時刻置春正夜半日度室一十八度二六二五九四加春正後七十四日下盈末積度七十二度四八二二四六得九十○度七四四八四又將日差三秒五九七八以七十四日乘之得二分六六二三七二加前數共得九十○度七七一四六三七二内減交宮鈐昴八十四度三一餘畢六度四六一四六三七二是畢六度下交入申宮夜半日度置十二次中交宮界畢六度八○四七内減去畢六度四六一四六三七二餘三十四分三二三六二八以日周乘之得數以七十四日下太陽行度初度九六○二二二而一得三十五刻七四五五以發斂求之得辰正二刻太陽入申宮日以春正定氣十日加春正後七十四日共八十四日滿紀去之餘二十四日以甲子算外得戊子日是戊子日辰正二刻入申宫實沈之次推太陽入未宮鶉首度及日時刻置夏至夜半積度一百八十六度五九二九七三内減去黄道鈐觜一百七十七度三九七八餘參九度一九五一七三為夏至夜半日度以夏至夜半日度加夏至後九日下縮初積度八度五七九七五八得一十七度七七四九三一又將日差三秒五五七四以夏至後九日因之得三十二秒○一六六是減差減前數餘一十七度七七一七二九三四内減交宫鈐參十○度二四餘井七度五三一七二九三四是井七度下交入未宫夜半日度置十二次中交宮界井八度三五七五内減去井七度五三一七二九三四餘八十二分五七七○六六以日周乘之得數以九日下太陽行度初度九五五一一而一得八十六刻四五八一以發斂求之得戌正三刻太陽入未宮日以夏至定氣四十四日加夏至後九日共五十三日以甲子算外得丁巳日是丁巳日戌正三刻入未宮鶉首之次推太陽入午宮鶉火度及日時刻置夏至夜半日度參九度一九五一七三加夏至後三十九日下太陽縮初積度三十七度四五二六五三得四十六度六四七八二六又將日差三秒五五七四以三十九日乘之得一分三八七三八六減前數餘四十六度六三三九五二一四内減交宮鈐鬼四十三度六一餘栁三度○二三九五二一四是桞三度下交入午宮夜半日度置十二次中交宮界桞三度九○九四内減去桞三度○二三九五二一四餘八十八分五四四七八六以日周乘之得數以三十九日下太陽行度初度九七○○一七而一得九十一刻二八一六以發斂求之得亥初三刻太陽入午宫日以夏至定氣四十四日加夏至後三十九日共八十三日滿紀去之餘二十三日以甲子算外得丁亥日是丁亥日亥初三刻入午宮鶉火之次推太陽入巳宮鶉尾度及日時刻置夏至夜半日度參九度一九五一七三加夏至後七十一日下縮初積度六十八度七五二六一六得七十七度九四七七八九又將日差三秒五五七四以七十一日乗之得二分五二五七五四減前數餘七十七度九二二五三一四六内減交宮鈐度星六十三度一五餘張十四度七七二五三一四六是張十四度下交入巳宮夜半日度置十二次中交宮界張十五度四三四八内減去張十四度七七二五三一四六餘六十六分二二六八五四以日周乘之得數以七十一日下太陽行度初度九八七○三八而一得六十七刻○九六五以發斂求之得申正初刻太陽入巳宮日以夏至四十四日加夏至後七十一日共一百一十五日滿紀去之餘五十五日以甲子算外得巳未日是巳未日申正初刻入巳宮鶉尾之次推太陽入辰宮夀星度及日時刻置秋正夜半積度二百七十八度一五七六九二内減去黄道鈐張二百五十八度五四七八餘翼十九度六○九八九二為秋正夜半日度以秋正夜半日度加秋正距次年冬正八十九日用八十三日為初日行度積度該加秋正後十日下積度一十○度○三四三三七得二十九度六四四二二九又將日差一秒七七九二一以秋正後十日因之得一十七秒七九二一減前數餘二十九度六四二四四九七九内減交宮鈐翼二十○度二三餘軫九度四一二四四九七九是軫九度下交入辰宮夜半日度置十二次中交宮界軫十○度○五九九内減去軫九度四一二四四九七九餘六十四分七四五○二一以日周乘之得數以秋正後十日下行度一度○○六九七九而一得六十四刻二九六二以發斂求之得申初一刻太陽入辰宮日以秋正定氣十八日加秋正後十日共二十七日以甲子算外得壬辰日是壬辰申初一刻入辰宮夀星之次推太陽入夘宮大火度及日時刻置秋正夜半日度翼十九度六○九八九二加秋正後四十二日下縮積度四十二度五六四四一八得六十二度一七四三一又將日差一秒七七九二一以四十二日乗之得七十四秒七二六八二減前數餘六十二度一六六八三七三一内減交宮鈐度亢六十一度○八餘氐一度○八六八三七三一是氐一度下交入邜宫夜半日度置十二次中交宮界氐一度一三一四内減去氐一度○八六八三七三一餘四分四五六二六九以日周乘之得數以四十二日下行度一度○二六四四三而一得四刻三四一四以發斂求之得丑初初刻太陽入邜宮日以秋正十八日加秋正後四十二日共六十日以滿紀去之命甲子日是甲子丑初初刻入邜宫大火之次推太陽入寅宮析木度及日時刻置秋正夜半日度翼十九度六○九八九二加秋正後七十日下縮積度七十一度五一七○三五得九十一度一二六九二七又將日差一秒七七九二一以七十日乘之得一分二四五四四七減前數餘九十一度一一四四七二五三内減交宮鈐心八十八度九餘尾二度二一四四七二五三是尾二度下交入寅宮夜半日度置十二次中交宮界尾二度九七九一内減交尾一度二一四四七二五三餘七十六分四六二七四七以日周乘之得數以七十日下行度一度○四一九一一而一得七十三刻三八七以發斂求之得酉初二刻太陽入寅宮日以秋正十八日加秋正後七十日共八十八日以滿紀去之餘二十八日以甲子算外得壬辰日是壬辰酉初二刻入寅宮析木之次十二宫日躔甲寅日斗三度巳初二刻入丑宮星紀之次壬午日女一度寅正三刻入子宮𤣥枵之次壬子日危十二度未初三刻入亥宮娵訾之次乙酉日奎一度寅初二刻入戌宮降婁之次丁巳日胃二度戌初一刻入酉宮大梁之次戊子日畢六度辰正二刻入申宮實沈之次丁巳日井七度戌正三刻入未宮鶉首之次丁亥日桞三度亥初三刻入午宮鶉火之次巳未日張十四度申正初刻入巳宫鶉尾之次壬辰日軫九度申初一刻入辰宮夀星之次甲子日氐一度丑初初刻入邜宮大火之次壬辰日尾二度酉初二刻入寅宮析木之次以大統推巳亥歲日躔(内冬至後加時黄赤道度率用初度下非大統四度下)中積一十一萬六千一百四十七日一十一刻五十分天正冬至(即冬正定氣)四十二日一十七刻五十○分(丙午日)距春正八十九日春正定氣一十一日○八刻四二二五(乙亥日)距夏正九十三日春分日辰一十三日四十八刻五六二五(丁丑日午初二刻)前距春正二日夏至(即夏正定氣)四十四日七十九刻六二五(戊申日)距秋正九十四日秋分日辰一十六日一十○刻六八七五(庚辰日丑正二刻)前距夏正九十二日秋正定氣一十八日五十○刻八二二五(壬午日)距次年冬正八十九日次年冬正定氣四十七日四十一刻七五(辛亥日)距春正八十九日天正冬至加時赤道度箕五度二十三分天正加時黄道箕四度八一六二○四 加時減分一十八分三九三九 夜半日度宿次箕四度六三二二六五春正加時黄道九十六度一二七一二二五 加時減分八分四一四九四五 夜半積度九十六度○四二九七三○五 夜半日度壁一度六八五四七三○五夏正加時黄道一百八十七度四三八○四一 加時減分七十五分七六四四六一五 夜半積度一百八十六度六八○三九七 夜半日度參九度三一二八九七秋正加時黄道二百七十八度七四八九五九五 加時減分五十○分八二七五 夜半積度二百七十八度二四○六八四五 夜半日度軫初度二六三一八四五次年天正冬至黄道三百七十○度○五九八七八加時箕四度八○二三七八 加時減分四十三分八八二七九八 夜半加時黄道三百六十九度六二一五九八二 夜半日度宿次箕宿四度三六三五五一次年春正加時黄道九十六度一一三二九五六 加時減分三十二分六七二五 夜半積度九十五度七八六五七一五 夜半日度壁一度四二九○七一五定象限九十一度三一○九一八五嵗前天正距春正九十一度(四一○七○八○五)行定度九十一度(四○一四)日差一秒○四加春正距夏正九十○度(六三七四二三九五)行定度九十○度(五九)(九○四)日差四秒一三加夏正距秋正九十一度(五六○二八七五)行定度九十一度(五九)(八七○七)日差四秒○八減秋正距次年冬正九十一度(三八○九一三六)行定度九十一度(四○一四)日差二秒三減冬正距次年春正九十一度(四二三○二○五)行定度九十一度(四○一四)日差二秒四二加春分夜半黄道積度九十八度(○四一四二七○五)夜半日度壁三度六八三九二七○五秋分夜半黄道積度二百七十六度(二四二七五五)夜半日度翼十八度三五五二五五丙午日冬至夜半日度黄道宿次箕四度六十三分二十二秒丁丑日春分夜半日度黄道宿次壁三度六十八分三十九秒戊申日夏至夜半日度黄道宿次參九度三十二分八十九秒庚辰日秋分夜半日度黄道宿次翼十八度三十五分五十二秒冬至昏中室十三度五十○分四十五秒二更婁七度二六一五 三更畢七度二九九五四更井十九度七五六二 五更張六度五九四九曉軫七度○○二五春分昏中井十一度六十一分四十一秒二更桞十一度二三七一 三更翼六度九○○三四更角一度四二三三 五更氐十一度一五六四曉尾十五度三六九五夏至昏中角六度四十八分五十○秒二更氐八度四四一四 三更尾八度六七七八四更斗七度五二四二 五更女三度五四○六曉危九度七九九五秋分昏中斗三度一十三分一十八秒二更女五度三三三七 三更室一度八二八○四更奎六度七四九九 五更胃九度○八一七曉畢十四度七六二五日躔交宫冬至後六十五日辛亥戌正三刻入亥宫(先天九時)日差六十四秒六加 日率度一度○一五一一五夜半積度七十一度八五一○九一 夜半日度危十一度六三五九一春正後九日甲申巳正初刻入戌宫(先天九時)日差三十七秒一七加 日率度初度九九四四二七 夜半積度一十○度六六○○四○○五 夜半日度奎一度二一二○四春正後四十二日丁巳寅初一刻入酉宫(先天八時)日差一分七三四六加 日率度初度九七五六八一 夜半積度四十三度一七五○五七○五 夜半日度胃三度六○五○五七春正後七十三日戊子寅初二刻入申宮(先天二時)日差三分○一四九加 日率度初度九七○二二三○五 夜半積度七十三度一九八一六五○五夜半日度畢六度七三八一六五○五夏至後九日丁巳酉正二刻入未宮(先天一時)日差三十六秒七二減 日率度初度九五五五六七 夜半積度一十七度八八九九八三 夜半日度井七度六○九九八三夏至後三十九日丁亥未初一刻入午宮(先天四時)日差一分五九一二減 日率度初度九七○○一七 夜半積度四十六度七四九六二八 夜半日度桞三度三二九六二八夏至後七十日戊午亥正三刻入巳宫(先天九時)日差二分八五六減 日率度初度九八六四八一夜半積度七十七度○五○四七二 夜半日度張十四度三二○四七二秋正後九日辛邜酉正三刻入辰宮(先天十一時)日差二十○秒七減 日率度一度○○六三四夜半積度九度二八九六六五 夜半日度軫九度二八九六六五秋正後四十一日癸亥午正一刻入邜宮(先天七時)日差九十四秒三減 日率度一度○二五八六三夜半積度七十一度七八○七六九五 夜半日度氏初度六一八六九九五秋正後七十日壬辰未初一刻入寅宮(先天二時)日差一分六一減 日率度一度○四一九一一夜半積度七十一度七八○七六九五 夜半日度尾二度四五○七六九五冬至後八日巳未未初二刻入丑宮日差一十九秒三六加 日率度一度○四七○八二 夜半積度一十二度七六○二三六 夜半日度斗三度一七○三六冬至後三十六日丁亥寅初初刻入子宮日差八十七秒一二加 日率度○三二一三四夜半積度四十一度八八六九一七 夜半日度女一度九二六九一七右以授時法推日躔較大統法大統先天有至八九時甚至十一時者乃大統自謂余遵授時是遵何術也大統併授時且不知用安望其隨時測改耶古今律厯考卷四十三
## 卷四十四
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十四 明 邢雲路 撰厯法九厯(去)太陰躔度(詳推) (授時)推朔後平交日置交終分内減天正經朔交泛全分為朔後平交日分如推次月於推得朔後平交日分内累減交差二日三一八三六九得各次月朔後平交日分如不及減加交終為月重交月朔後平交日分次復累減交差得各月朔後平交日分推平交距後度置朔後平交日全分以月平行分一十三度三六八七五乘之得數為平交距後度分如推次月者於平交距後度分内累減月平交差三十度九九三六九五五六八七五得各次月平交距後度分如不及減加入交終度三百六十三度七九三四一九六為重交月平交距後度分次復累減月平交差分得各月平交距後度分推平交入轉遲疾厯置經朔下遲厯疾厯全分内加入朔後平交日分為平交入轉遲疾厯日分如遇滿轉中已上者内減去轉中分是遲厯為疾厯疾厯為遲厯推限數并平交入限遲疾厯置平交入轉遲疾厯全分以一十二限二十分為法乘之得限數置平交入轉遲疾厯限數下遲疾厯日率減之為實以損益捷法乘之得數加減遲疾度全分得平交入限遲疾度分推平交加減定差置平交入限遲疾度以限下遲疾捷法乘之遲為加差疾為減差推經朔加時中積日置經朔下盈縮厯全分盈厯者就為加時中積如是縮厯者加入半嵗周為經朔加時中積遇重交月以本月經朔加時中積註於重交月下如推次月以加時中積累加朔䇿為各經朔加時分滿歲周去之為加時中積分推正交距冬至加時黄道積度置經朔加時中積分内加平交距後度為正交距冬至加時黄道積度滿嵗周去之如推各次月者於正交距冬至加時黄道積度全分内累減月平交朔差一度四十六分三一○二如不及減者加歲周減之推至重交月本月減月平較差一度四十四分九○八為重交月次復累減月平交朔差如在半嵗周已下者為冬至後半嵗周已上者為夏至後推正交月離黄道宿次度分置各月正交距冬至加時黄道積度加嵗前天正冬至加時黄道宿次全分滿黄道宿次積度鈐減之得各正交月離黄道宿次度分推各嵗前冬至日躔赤道宿次置各中積加周應滿周天鈐去之得各歲前冬至日躔赤道宿次分赤道宿次相接積度鈐推各嵗前冬至日躔黄道宿次置各歲前冬至赤道宿次度分以初日下赤道度率而一得各歲前冬至日躔黄道宿次分黄道宿次相接積度鈐推平交日辰置經朔全分加朔後平交日辰全分得平交日辰滿六十日去之如推次月者置平交日辰全分累加交終二十七萬二一二二二四滿六十日去之餘為次月平交日辰如遇重交與閏月一同加之推正交日辰置各平交日辰全分以平交加減定差加減之命甲子筭外得正交日辰依發斂求之得時刻推其年二至二分各四正赤道宿次度分置冬至赤道宿度分如推春分夏至秋分累加象限九十一度三一○六二五滿赤道宿次積度鈐減之各得四正赤道宿次推定限日視定朔日辰某甲子數至首太陰宿次正交日辰某甲子筭得各定限日期如定朔是丙寅正交是庚午者乃定限初五日也他倣此推黄道正交在二至後初末限度分置首太陰各正交距冬至加時黄道積度全分如在半歲周已下者就為冬至後如在半嵗周已上者於内減去半歲周餘為夏至後如夏至後限度分在象限已下者為初限已上者半歲周内減去夏至後全分為末限如推各次月初末限度分者視初限則累減月平交朔差一度四十六分三一○二餘為次月初限如不及減者加半歲周減之末限則累加月平交朔差全分為次月末限遇閏月加減亦然惟重交月以重交月内加減月平交朔較差一度四十四分九○八得為重交月初末限度推定差度分置初末限度分以象極總差一分六十○秒五五乘之得定差度分如推次月定差度者如是初限則累減末限則累加極平差二十三分四九○二得次月定差度閏月亦然惟重交月及初末限交處只依首位推之得後仍用極平差分或加或減之推距差度分置極差一十四度六十六分内減去定差度分得各距差度分如推次月者以初加末減極平差分得次月也(其重交月仍置重交月差度依前首加減)推定限度分置各定差度全分為實以定極總差一分六十三秒七一乘之得數視黄道正交二至初末限度如在冬至後者以減九十八度為定限度如在夏至後者加入九十八度為定限度推月與赤道正交宿度視黄道正交二至後初末限度分如在冬至後者是初限置距差度分内加春分下四正赤道宿度是末限以距差度分減春分下四正赤道宿次全分餘為月與赤道正交宿度如春分下四正赤道宿次度分少不及減者加春分四正赤道宿次前一宿本度分減之如在夏至後者是初限以距差度分減秋分下四正赤道宿次全分餘為月與赤道正交宿度如不及減依前加而減之是末限置距差度分内加秋分下四正赤道宿次全分得月與赤道正交宿度又如冬至後初限春分内加其距差度夏至後末限秋分内加其距差度如滿宿本度分去之餘得月與赤道正交宿度若加後不滿各宿本度分者其宿仍舊推定朔弦望日定甲子與相距日置各月定朔定弦定望各全分大餘命甲子算外得某日辰為定甲子以定朔弦望日次段大餘内減本段大餘得相距日推定盈縮厯日并二至後初末限日置各月朔與弦望下盈縮厯全分各以加減差加減之得定盈縮厯分二至後初末限日 視定盈縮全分如是盈厯在八十八日九○九二二五已下為初限已上反減半歲周為末限如是縮厯在九十三日七一二○二五以下為初限已上反減半嵗周為末限推定朔弦望加時中積度并盈縮定差度置盈縮厯全分如是盈厯在朔下為盈積度在上弦者加氣象限在望下者加半嵗周在下弦者加三象限共得定朔弦望加時中積度如是縮厯在朔下者加半嵗周在上弦者加三象限在望下者就為積度在下弦者加象限共為定朔弦望加時中積度加後滿周天去之置各盈縮初末限全分以大餘積日下加分以初末日小餘乘之得數加其下積度即得盈縮定差度分推黄道加時定積度置定朔弦望加時中積度全分以盈縮定差度全分盈加縮減之即得各黄道加時定積度分如滿周天去之推赤道加時積度并赤道加時宿次置各黄道加時定積度全分如滿周天象限去之為至後如滿二象限去之為至後如滿三象限去之為分後在至後者以赤道加時積度減之至後大餘以元減乘之得數以至後積度全分加之又加入元減去或一二三象限全分得赤道加時積度分如在分後者置赤道加時積度以分後積度全分減之以元減乘之得數内加入分後積度及加元減去各象限全分共為推得赤道加時積度分求赤道加時宿次度者 置赤道加時積度全分内加入其年嵗前冬至赤道宿次全分共得如滿赤道宿次積度鈐内各宿次及減積度全分去之餘為次宿度分即得赤道加時宿次度分推赤道宿次積度鈐推正半中交後積度并初末限度與月道赤道定差度正半中交後積度分者 置各赤道加時宿次全分内加入同月道内本宿前一宿月與赤道正交後宿積度全分共得正半中交後積度初末限度分者 視各正半中交後積度全分如在半象限四十五度六五五三以下者即為初限度分如在半象限以上者以減象限九十一度三一○六餘為末限度分月道赤道定差度分者 置各月弦望朔下初末限全分以減正交定限度全分為實復用初末限全分為法乘之得數視正半中交後積度是正交中交者為加差是前後二段半交為減差推正半中交加時積度并定朔弦望月道宿次度正半中交加時積度分者 置各正半中交後積度全分以各月道赤道定差度全分加減之得各正半中交加時積度分其正半中交正者仍正半者仍半中者仍中定朔弦望月道宿次度分者 置各正半中交加時積度全分視正交如遇初末限度交換之年其月道宿次必超一十四宿不用如不在交換之年只以月道内視其各正半中交後宿次前一宿下月道積度全分減之餘得定朔弦望月道宿次如遇當減宿次是首位重宿者減次位正交下宿度分宿前一宿者是各赤道加時宿次之前一宿也今推得宿次是角者仍為角亢仍為亢其推得度或多少不過一度惟井斗二宿有差三四度者如所減宿次是角者餘為亢宿度分餘同此例如遇重半為正交月用者乃中間欠一正交此為半半相接而不及減者加入其月活象限減之其重半交凡入正交後或半或中交而不及減者皆加氣象限減之如中交接正交乃欠半交此中正相接而不及減者加活象限全分及前後段半交後宿次前一宿下月道積度全分然後減之餘為正交凡正交不及減者加活象限減之太陰九道正半中交變化加減氣活二象限之圖或遇同月重半者次段半交數少不及減者加氣象限全分減之若中間欠一正交者加活象限減之如遇同月重半次段半交數太多前段半交數太少不必加即減之或遇隔月半重者(氣象活象)限皆不必加即減之餘為相距度分推夜半入轉日分及遲疾轉定度與加時入轉度夜半入轉日分者 置各月經朔弦望下遲疾厯全分以加減差加減之以減其下定朔弦望小餘全分餘得夜半入轉日分小餘如是遲厯加入轉中一十三日七七七三如遇定朔小餘分多不及減者遲疾皆加轉終減之遲疾轉定度分者 視夜半入轉日大餘日下轉定度全分為遲疾轉定度分遲疾轉定度立成鈐入轉轉定度分加時入轉度分者 置定朔弦望日小餘全分以遲疾轉定度乘之得加時入轉度分推夜半入轉積度分并夜半月道宿次度分夜半入轉積度分者 置各正半中交加時積度全分内減去加時入轉度全分餘為夜半入轉積度分其正半中交正者仍正半者仍半中者仍中如不及減或加氣象限或加活象限然後減之是正者為半前半者為中中者為半後半者為正凡及減者皆不變夜半月道宿次度分者 置夜半入轉度全分以定朔弦望月道宿次是某宿與各正半中交後某宿前之宿下挨及減之月道積度全分減之餘為夜半月道宿次度分凡及減者即得本宿如角得角亢得亢也如不及減者加後減之得前宿也如是亢者得角是角者得軫若遇當減之宿是月道首位重宿者加入重宿首一位下全數是也凡加氣或加活後減月道積度加後滿氣象限去之如夜半入轉積度分少不及減月道積度分者其元加氣加氣減之元加活加活減之推晨入轉日并晨分及晨入轉度晨入轉者 置各夜半入轉日全分視定盈縮厯日大餘下晨分加之共得晨入轉日晨轉度分者 置遲疾轉定度全分以晨分乘之得晨轉度分推晨入轉積度并晨宿次度晨入轉積度分者 置各夜半入轉積度全分加入晨轉度全分為晨入轉積度分晨宿次度分者 置晨入轉積度全分減去月道内正半中交後宿次視夜半月道宿次同宿下或前後宿下月道積度全分減之餘為晨宿次度分推昏入轉日并昏分及昏轉度昏入轉日者 置夜半入轉日全分視定盈縮厯日大餘下昏分加之為昏入轉日昏轉度分者 置遲疾轉定度全分以昏分乘之為昏轉度分推昏入轉積度分并昏宿次度分昏入轉積度分者 置夜半入轉積度全分内加入昏轉度分為昏入轉積度分如後滿氣象限去之昏宿次度分者 置昏入轉積度全分減去月道内正半中交後宿次視夜半月道宿次同宿下前後宿下月道積度全分減之餘得昏宿次度分如遇當減宿次是月道首位重宿者只減次正交下月道積度分推晨昏宿次度分置各定朔弦望月道宿次度分依相距度各晨昏加減定差度分加減之即得各晨昏宿次度分如不及者即加月道前一宿次全分減之餘為前宿也推相距度并轉積度相距度分者 置各次段昏入轉積度全分内加氣象限減昏入轉積度全分餘為朔與上弦推得相距度分轉積度分者 朔與上弦用昏望與下弦用晨置各晨昏若干日内減去前段晨與昏若干日餘得相距日如不及減加入二十八日減之如相距日是六日者在前一行如七日者在中一行如八日在後一行如遇晨昏各相減餘八日相距日七日乃多一日在後行轉積度内減去轉定度極差一十四度七一五四餘為晨昏日下轉積度分又加減定差法以各定朔弦望日下小餘全分相減各晨昏分餘以其各遲疾轉定度乘之得定差視晨昏分多如定朔弦望日下小餘分為加差少為減差又相距度分法視正半中交加時積度如是正交或半交變為正交者置月道下活象限全分内加入次段正半中交加時積度全分減去正半中交加時積度全分以次段定差加減之次視本段定差是加差者減之是減差者加之朔與上弦者用昏分加減定差望與下弦者用晨分加減定差晨昏相距日轉積度分立成鈐推加減差以相距度分相減轉積度分餘以相距日除之為加減差分如相距度多為加差轉積度多為減差推赤道正交後積度置赤道十二宮次宿度内各辰下宿次全分内加本辰下宿次前一宿月與赤道正交後宿次積度分共得赤道正交後積度分次辰下者累加十二宮率三十○度四三八一共為各次辰下赤道正交後積度分如滿氣象去之變為前段半交十二宫界赤道宿次度分(此元至元辛巳宮界今推宮界見日躔下)推初末限度視赤道正交後積度全分如在半象限四十五度六五五三已下為初限度分如在半象限已上者用以去減氣象限餘得末限度分推定差度置定限度全分内減去末限全分餘以初末限全分乘之得定差視在正交與中交已後者為加差在前後二段半交已後為減差推月道積度置赤道正交積度全分内加減定差分得月道積度分推宮界宿次度置各月道積度全分内減去太隂月道本宿次前一宿次月道積度全分餘得各辰次下宮界宿次度分古今律厯考卷四十四
## 卷四十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十五 明 邢雲路 撰厯法十厯法(授時立成)太隂限度遲疾日率分損益捷法損 益 分 遲 疾 度右遲疾積度相減為損益損益以日率而一為捷法右置八百二十以遲行度而一為捷法古今律厯考卷四十五
## 卷四十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十六 明 邢雲路 撰厯法十一厯法(刻漏) (大統)(倍出分為夜分以百刻減晨分為昏分減出分為入分減夜分為晝分折半為半晝分冬夏同)夏至後縮晨 分日出分半晝分日入分昏分古今律厯考卷四十六
## 卷四十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十七 明 邢雲路 撰厯法十二厯法刻漏(詳推) (授時)元史論晝夜刻日出為晝日入為夜晝夜一周共為百刻以十二辰分之毎辰得八刻三分刻之一無間南北所在皆同晝短則夜長夜短則晝長此自然之理也春秋二分日當赤道出入晝夜正等各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去極浸近夜短而晝長自秋分以及冬至日出赤道外去極浸逺晝短而夜長以地中揆之長不過六十刻短不過四十刻地中以南夏至去日出入之所為逺其長有不及六十刻者冬至去日出入之所為近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所為近其長有不止六十刻者冬至去日出入之所為逺其短有不及四十刻者今京師冬至日出辰初二刻日入申正二刻故晝刻三十八夜刻六十二夏至日出寅正二刻日入戌初二刻故晝刻六十二夜刻三十八蓋地有南北極有高下日出入有早晏所以不同耳今授時厯晝夜刻一以京師為正其各所實測高下俱各不同四海測驗凡二十七所(東極髙麗西至滇地南踰朱崖北盡鐵勒)南海北極出地一十五度夏至景在表南長一尺一寸六分晝五十四刻夜四十六刻衡嶽北極出地二十五度夏至日在表端無景晝五十六刻夜四十四刻嶽臺北極出地三十五度夏至晷景長一尺四寸八分晝六十刻夜四十刻和林北極出地四十五度夏至晷景長三尺二寸四分晝六十四刻夜三十六刻鐵勒北極出地五十五度夏至晷景長五尺一分書七十刻夜三十刻北海北極出地六十五度夏至晷景長六尺七寸八分晝八十二刻夜一十八刻大都北極出地四十度太强夏至晷景長一丈一尺七寸晝六十二刻夜三十八刻上都北極出地四十三度少北京北極出地四十二度强益都北極出地三十七度少登州北極出地三十八度少高麗北極出地三十八度少西京北極出地四十度少太原北極出地三十八度少安西府北極出地三十四度半强興元北極出地三十三度半强成都北極出地三十一度半强西涼州北極出地四十度强東平北極出地三十五度太大名北極出地三十六度南京北極出地三十四度太强河南府陽城北極出地三十四度太弱揚州北極出地三十三度鄂州北極出地三十一度半吉州北極出地二十六度半雷州北極出地二十度太瓊州北極出地一十九度太授時大都實測日出入并晝夜漏刻大都即今順天觀𧰼臺厯家測晷準諸漏刻而晷漏則隨地勢南北辰極高下為異元人都燕其授時厯七曜出沒之早晚四時晝夜之永短皆準大都為筭今我朝之順天府即元大都也今欽天監所用推步厯術皆元大都測驗之法也國初都金陵故大統厯日出入之時刻及晝夜之消長自南京測驗改從南京晷漏夏至晝冬至夜皆五十九刻冬至晝夏至夜皆四十一刻若元大都授時晷漏則夏至晝冬至夜皆六十二刻冬至晝夏至夜皆三十八刻較之南京相差三刻有竒以此推步七政何以相符今欽天監推日月五星厯率諸術悉因元大都所測舊法而乃獨用金陵晷漏則余不知其可也且元統改厯之時従南監觀象臺測驗日晷則扵日晷改之其扵七政諸法率悉仍其舊兩相牴牾又何惑乎後之人以北術步南漏貿貿焉莫知所適從也則昏迷扵天象統實俑之耳古今律厯考卷四十七
## 卷四十八
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十八 明 邢雲路 撰厯法十三厯法交食(詳推) (授時)周天三百六十五度二五七五半周天一百八十二度六二八七五周天象限九十一度三一四三七五半嵗周一百八十二日六二一三五交終度三百六十三度七九三四一九交中度一百八十一度八九六七○九五正交三百五十七度六四中交一百八十八度○五前準一百六十六度三九六八後準一十五度五十分交差二日三一八三六九至限一十二限二十日周百刻 半日周五十刻月平行度一十三度三六八七五日行分八分二十秒日食分二十分月食分三十分 既食分一十五分陽厯限六度 定法六十分隂厯限八度 定法八十分月食限十三度五分 定法八十七度定日月食限陽食入交空日五十七刻九五九二(已下日月皆食食已上月食日不)二十六日○五刻三○四(已上日月皆食)一十三日○二刻六五(已上日月皆食)一十四日七十六刻五三(已下日月皆食)一十二日四十四刻六九二八(已下日月皆不食已上月食)隂食入交一日一十五刻九一八四(已上日月皆不食已下月食日不食)二十六日○五刻三○四(已上日月皆食)一十二日四十四刻(已上月食)一十四日七十六刻五三(已下日月皆食)又定朔小餘一十二刻半日不食 八十七刻半日不食又定朔小餘七十刻月不食 三十刻月不食各有食月之朔望日下數(諸小餘止乎微惟交常度全收)經朔望全分 盈縮厯全分(不用反減數)盈縮差度全分 遲疾厯全分 限數遲疾差度全分 加減差全分定朔望全分 交泛全分(累加交差即得各月朔交泛)定入遲疾厯分(遲疾厯全分内以其加減差加減之得為定入遲疾厯分)定限(定入遲疾厯全分以一十二度二十分乘之得為定限也)定限行度(定限下遲疾行度遲用遲疾用疾内減去日行分八分二十秒餘為定限行度)半晝分(元得盈縮初末厯大餘若干日下半盡分是也如有帶食者用其日之出入分若月食用晨昏分)嵗前冬至加時黄道宿次度分日食厯交常度以月平行度乘交泛為交常度交定度以盈縮差度盈加縮減其交常度為交定度日食在正交中交限度視交定度如在七度已下三百四十二度已上為在正交如在一百七十五度已上二百○二度已下為在中交中前後分視定朔小餘如在半日周五十刻已下者於半日周五十刻内減之餘為午前分如在半日周五十刻已上者減去半日周五十刻餘為午後分時差分置半日周内減午前午後分餘以元推午前午後分乗之得數九十六而一為時差分食甚定分以時差分加減定朔小餘午前減午後加為食甚定分距午定分午前午後分各加時差分為距午分食甚入盈縮厯以盈縮厯全分加定朔大餘及加食甚定分却減經朔大小餘分餘為食甚入盈縮厯定度分如月食者加望策如在二限已下為初已上減半嵗周為末盈縮差以食甚入盈縮初末厯乗立差加平差又以初末厯乗之以減定差餘再以初末厯乗之為盈縮差盈加縮減食甚入盈縮行定度以盈縮差加減食甚入盈縮厯得食甚入盈縮行定度南北泛差以食甚入盈縮行定度如在周天象限已下為初厯已上用減半嵗周為末厯或初或末自相乗以一千八百七十而一得數用減四度四十六分餘為南北泛差南北定差以南北泛差乗距午定分以半晝分而一餘減泛差為南北定差如泛差不及減者反減之應是加差作減差減差作加差盈初縮末正交為減差中交為加差縮初盈末正交為加差中交為減差東西泛差以半嵗周減食甚入盈縮厯定度餘以盈縮厯相乗以一千八百七十而一得為東西泛差東西定差以距午定分乗東西泛差以二千五百而一為南北定差如在東西泛差已下就為定差如在泛差已上倍泛差減之餘為定差盈厯正交中前為減差中後為加差中交中前為加差中後為減差縮厯正交中前為加差中後為減差中交中前為減差中後為加差日食入正交中交定限度置正交中交度分以東西南北差加減之得正交中交定限度分去交前後度視交定度若在正交定限度已下者以減正交定限度為隂厯交前已上者減去正交定限度為陽厯交後若在中交定限度已下者以減中交定限度為陽厯交前已上者減去中交定限度為隂厯交後日食分秒是陽厯去交前交後度減陽食限六度餘以定法六十分而一是隂厯去交前後度減隂食限八度餘以定法八十分而一各得日食分秒定用分置日食分二十分内減去推得日食分秒餘即以日食分秒乗之得數以平方開之又以五千七百四十乗之得數以定限行度而一得為定用分初虧食甚復圎分食甚定分即食甚分内減定用分為初虧分加定用分為復圎分各以發斂求之得三限辰刻日食起復方位食在陽厯起西南甚正南復東南在隂厯起西北甚正北復東北食八分以上起正西復正東日帶食所見分數視盈縮厯大餘下日出入分在初虧分已上食甚分已下是有帶食分食在晨刻者日出分與食甚分相減在昏刻者日入分與食甚分相減餘為帶食差日出分多内減去食甚分餘為已復光分食甚分多内減去日出分餘為見食分食甚分内減日入分餘為不見食甚分復圎分内減日入分餘不見復圎分皆為帶食差以日食分秒乗帶食差以定用分而一得數與日食分秒相減如帶食分是見食者餘為不見食分如是不見食者餘為見食分日入者不見食甚或不見復圎日未出者已食幾分已復光幾分食甚日躔黄道宿次置食甚入盈縮厯定度分加冬至黄道度分以黄道鈐累減之如不及減者即為食甚日躔黄道宿次減箕餘入斗減斗餘入牛他倣此如是縮厯加半嵗周減之月食厯交常交定度與日食同卯酉前後分視定望小餘在二十五刻巳下為卯前分已上以減半日五十刻餘為卯後分如在七十五已下減半日五十刻餘為酉前分已上以減日周百刻餘為酉後時差分以卯酉前後分以減日周百刻餘為時差分食甚定分以時差加入定望小餘為食甚定分望食甚入盈縮厯差行定度法與朔同月食入隂陽厯視交定度在交中一百八十一度八九六七○九五已下為入陽厯已上者減去中交度為入隂厯去交前後度視隂陽厯在後準巳下為交後度巳上月不食如在前準已上用以減交中一百八十一度八九六七○九五餘為交前度已下月不食月食分秒置月食限十三度○五分内減去交前交後度分以定法八十七分而一為月食分秒如交前後度分多於月食限不及減者不食定用分置月食分三十分内減去推得月食分秒餘即以月食分秒乗之得數以平方開之又以四千九百二十乗之得數以定限行度而一得為定用分初虧食甚復圎分與日食同月食起復方位陽厯起東北甚正北復西北隂厯起東南甚正南圎西南食八分以上起正東復正西帶食與日食同既内既外分月食三十分半之為既食分視月食在十分已上去其十分餘為既分用以減既食十五分餘以既分乗之以平方開之以四千九百二十乗之以定限行度而一得為既内分以減定用分餘為既外分食既生光分以既内分減食甚分為食既分加食甚分為生光分更㸃視食甚入盈縮厯大餘下晨分倍之以五歸之為更法率以五歸更法為㸃法初虧食既食甚生光復圎分如在晨分已下有更㸃已上無更㸃昏分已上有更㸃已下無更㸃如是有更㸃若在夜半後者加晨分若在夜半前者減昏分以更率除之得更數如不滿更率餘以㸃率除之得㸃數命初更初㸃筭外各得更㸃食甚月離黄道宿次置食甚入盈縮厯分以黄道本宿度分累減之如不及減者即為食甚月離黄道宿次如是縮厯加半嵗周然後減之古今律厯考卷四十八
## 卷四十九
欽定四庫全書
古今律厯考卷四十九 明 邢雲路 撰厯法十四厯法萬厯二十四年丙申嵗閏八月朔日食厯(大統)求中積置嵗周三百六十五萬二千四百二十五分以至元辛巳所距積年三百一十六年減一算乘之得一十一億五千○百五十一萬三千八百七十五分為中積分求通積置中積分加氣應五十五萬○六百分得一十一億五千一百○六萬四千四百七十五分為通積分求冬至置通積分以滿紀法六十萬累去之至不滿之數餘二十六萬四千四百七十五分為冬至分命一萬起乙丑得庚寅日千以下數以發斂法一分二十秒乘之得五千三百七十分命一千起丑得巳時百以下數以發斂法一分二十秒歸除之得三百分因在五百以下為正刻得正三刻庚寅日巳時正三刻冬至求閏餘置中積分加閏應二十○萬二千○五十分得一十一億五千○百七十一萬五千九百二十五分以月策二十九萬五千三百○五九三累去之得二十○萬四千○百二十一分七十二秒為閏餘分是年在一十八萬六千五百五十二分○九秒之上有閏求經朔置冬至分減去閏餘分餘六萬○四五三二八為經朔分求太陽盈縮置半嵗周一百八十二萬六二一二五減去閏餘分得一百六十二萬二一九○七八為縮末厯分求太隂遲疾置中積分加轉應一十三萬○二○五減去閏餘分得一十一億五千○百四十四萬○○五八二八以滿轉二十七萬五五四六累去之餘三萬五五○八二八為疾厯分求交泛置中積分一十一億五千○百五十一萬三千八百七十五分加交應二十六萬○三八八共得一十一億五千○百七十七萬四二六三減去閏餘分二十○萬四千○百二十一分七十二秒餘一十一億五千○百五十七萬○千二百四十一分二十八秒以滿交終二十七萬二千一百二二二四累去之得三萬七四一○五六為交泛分求閏八月經朔置朔實二十九萬五千三百○五九三以十二月至閏八月共十月因之得二百九十五萬三○五九三加天正經朔六萬○四五三二八共得三百○一萬三千五百一二五八以滿紀法六十萬去之得一萬三千五百一十二分五十八秒為閏八月經朔求盈縮厯置朔實以十月乘之得二百九十五萬三○五九三減去天正閏餘二十○萬四千○百二十一分七十二秒餘二百七十四萬九千○三七五八減去半嵗周一百八十二萬六二一二五餘九十二萬二八二五○八為縮初厯求盈縮加分置本限九十二限減一折半得四十五限半仍以本限九十二乘之得四千一百八十六限與一百六十二乘之得六十七萬八一三二另置四萬四三六二以本限九十二乘之得四百○八分一三○四併前六十七分八一三二得四百七十五分九四三六另置初日四百八十四萬八四七三減四百七十五分九四三六餘八分九○三七為加分求縮積度置二十七分以九十二日因之得二千四百八十四分加二萬二千一百分共得二萬四五八四又以限九十二因之得二百二十六分一七二八却置四百八十七萬○六分内減之餘二百六十○萬八八七二再以九十二因之得二萬四○○一六二二四為縮積度求縮差置縮厯九十二日二八二五○八減去大餘九十二日剰小餘二千八百二十五分○八以前所求得縮加分八分九○三七乘之得二萬五一五三六六乃二分五一五三六六加入積度内共得二度四○○四一三為縮差求遲疾厯置轉終捷章一萬九七五九九三以十月乘之得一十九萬七五九九三内加天正十一月所得疾厯三萬五五○八二八共得二十三萬三一○七五八減去轉中一十三萬七七七三餘九萬五三三四五八為遲厯求遲厯限置遲厯九萬五三三四五八以至限分一十二限二十○乘之得一百一十六限因過八十三為遲末限求日率置一百一十六限以八百二十○分○八秒乘之得九日五一二九為日率求損分置一百六十七限減去一百一十六限餘五十一限為遲末限却以遲末限五十一限減一折半得二十五限又以五十一限乘之得一千二百七十五限以一十九微半因之得二分四八六二五另置五秒八十一微半以五十一限因之得二分九六五六五併前二分四八六二五内共得五分四五一九為損分定積却置一十一分○八秒一五七五内減去定積餘五分六二九六七五為損分求遲末厯遲行度置一度二○七一減損分定積五分四五一九餘一度一五二六為遲行度求遲積度置三秒二十五微積為實却另置一百六十八限内減所得一百一十六限餘下五十二限為法乘實得一分六九内加二分八十一秒共得四分五十○秒再以五十二限乘之得二百三十四分為定積却置定差一千一百一十一分内減之餘八百七十七分再以五十二限乘之得四度五十六分○四為遲積度求遲差置遲厯九萬五三三四五八内減日率九日五一二九餘二百○五分五八以損分五分六二九六七五乘之得一千一百五十七分三四八五八六五却以率法八百二十分歸除之得一分四一一四○○七却在遲四度五十六分○四内減之得四度五十四分六十二秒八十五微為遲差求加減差置遲差四度五四六二八五内減去縮差二度四○○四一三餘二度一四五八七二以率法八百二十分乘之得一千七百五十九分六一五○四以遲行度一度一五二六而一得一千五百二十六分六四為加差求定朔置經朔一萬三五一二五八加加差一千五百二六六四得一萬五千○三九二二為定朔求合朔時刻置定朔一萬起乙丑餘以發斂法一分二十秒乘之得六千○百四十七分○六四命一千起丑筭外得午千下缺百為正初刻即乙丑日午正初刻合朔求交泛置交終捷章二萬三一八三六九以十月因之得二十三萬一八三六九併入天正交泛三萬七四一○五六共得二十六萬九二四七四六為交泛求定入遲厯置遲厯九日五三三四五八併入加差一千五百二六六四共得九日六八六一二二為定入遲厯求定入遲限置定入遲厯以至限一十二限二十○分乘之得一百一十八限有餘不用止用一百一十八限為定入遲限求遲行度並定限行度置末限一百六十七限内減一百一十八限餘四十九限為遲末限減一折半得二十四限以本限四十九限因之得一千一百七十六限又以一十九微半乘之得二分二九三一另置五秒八十一半以末限四十九限乘之得二分八四九三五併前二分二九三一共得五分一四二四五為併積却用遲初度一度二十○分七十一秒内減去併積餘一度一十五分五十七秒為遲行度内減去率法八分二十秒餘一度○七三七為定限行度求日出分置縮初厯九十二日減一折半得四十五日半以九十二日乗之得四千一百八十六日為積日又置縮初厯九十二日減去五十三日餘三十九日以消法六微○八乘之得二秒三七一二為消法却置定法一十二秒二九二八内減消法餘九秒九二一六為定法分却置秒積六秒以縮初厯九十二日乗之得五分五十二秒為秒積又置所求定法九秒九二一六以積日四千一百八十六日乗之得四百一十五分三一八一七六為定積仍置定積分四百一十五分三十一秒内加秒積分五分五十二秒共得四百二十○分八十三秒為併積却置夏至初日二千○百六十八分三十○秒内加併積四百二十○分八十三秒共得二千四百八十九分一十三秒為日出分求日入分置一萬分減日出分二千四百八十九分一十三秒餘七千五百一十○分八十七秒為日入分求半晝分置日入分七千五百一十○分八十七秒減去半日五千分餘二千五百一十○分八十七秒為半晝分求天正赤道度置赤道捷章一分五十秒以積年三百一十五年乘之得四度七十二分五十○秒却置十度内減四度七十二分五十○秒餘五度二十七分五十○秒得天正箕宿赤道度求天正黄道度置赤道度箕五度二七五○内減去赤道積度四度三四四五餘九十三分○五以度率一度乘之得九十三度○五以度率一度○八四九而一得八十五分七十六秒加入積度四度共得四度八五七六為天正黄道箕宿四度八十五分七十六秒(此大統誤以五度為箕度用辨見厯議)求交常度置交泛分二十六日九二四七四六以月平行度一十三度三六八七五乘之得三百五十九度九五○一九八為交常度求交定度置交常度三百五十九度九五○一九八内減縮差二度四○○四一三餘三百五十七度五四九七八五為交定度求日食在正中交視其交定度在三百四十二度以上為正交度求中前後分置定朔小餘五千○百三十九分二二減半日周五千分餘三十九分二二為中後分求時差分置半日周五千分減中後分三十九分二二餘四千九百六十○分七八還以中後分三十九分二二乘之得一十九萬四五六一七九一六以九千六百而一得二十○分二六六八為時差分求食甚定分置定朔小餘五千○百三十九分二二加時差分二十○分二六六八共得五千○百五十九分四八六八為食甚定分求距午分置中後分三十九分二二加時差分二十○分二六六八共得五十九分四八六八為距午定分求食甚入縮厯置原得縮初厯九十二日二八二五○八加定朔大餘一日及食甚定分五千○百五十九分四八六八共得九十三日七八八四五六六八内減經朔大小餘全分一日三五一二五八餘九十二日四三七一九八六八為食甚入縮厯求食甚入縮厯加分置九十二限減一折半得四十五日半以本限九十二日乘之得四千一百八十六日又以一百六十二分乘之得六十七分八一三二另置四萬四三六二以本限縮厯九十二為法乘之得四百○八分一三○四併入前六十七分八一三二共得四百七十五分九四三六為併積另置四百八十四萬八四七三内減併積餘八分九○三七為食甚入縮厯加分求食甚入縮厯積度置立差二十七分以本限九十二日乘之得二千四百八十四分内加入二萬二千一百分共得二萬四五八四再以本限九十二乘之得二百二十六分一七二八却置四百八十七萬○六分内減之餘二百六十○萬八八七二再以九十二乘之得二萬四○○一六二二四為食甚入縮厯積度求食甚入縮厯差度置前食甚入縮厯九十二日四三七一九八去其大餘止用小餘四千三百七一九八以食甚入縮厯加分乗之得三分八九二六七九加入食甚入縮厯積度内得二度四○○五五一為食甚入縮厯差度求食甚入縮厯行定度置食甚入縮厯全分九十二日四三七一九八内減去食甚入縮差二度四○○五五一餘九十○度○三六六四七為食甚入縮厯行定度求南北泛差置食甚入縮行定度九十○度○三六六四七自相乘之得八千一百○六度五九七八○三○○二六○九以定法一千八百七十除之得四度三三五○七九却置四度四六内減之餘○度一二四九二一為南北泛差求南北定差置南北泛差○度一二四九二一以距午分五十九分四八六八乘之得七百四十三分一一五○五四二八以半晝分二千五百一○八七而一得二十九秒五九五九為定積另置泛差○度一二四九二一内減定積二十九秒五九五九餘○度一二一九六二為南北定差求東西泛差置半嵗周天一百八十二度六二一二五内減去食甚入縮厯行定度九十○度○三六六四七餘九十二度五八四六○三以食甚入縮厯行定度乘之得八千三百三十六度○○七二一七九四六一四以一千八百七十除之得四度四五七七五七為東西泛差求東西定差置東西泛差四度四五七七五七以距午分五十九分四八六八乘之得二百六十五度一七七六九九一○七六以二千五百而一得○度一○六○七一為東西定差求正交定限度置三百五十七度六四内加南北定差○度一二一九六二共得三百五十七度七六一九六二減去東西定差○度一○六○七一餘三百五十七度六五五八九一為正交定限度求日食入隂陽及交前後度置正交定限度三百五十七度六五五八九一内減交定三百五十七度五四九七八五餘○度一○六一○六為食入隂厯交前求日食分秒置黄道北隂道八度内減隂厯交前度○度一○六一○六餘七度八九三八九四以隂八千而一得九分八十六秒七十三微為日食分秒求定用分置日食度下二十分減日食分九分八六七三餘一十○分一三二七又以日食分九分八六七三乘之得九十九分九八二三九○八一以平方開之得九分九九九一以五十七度四十分乘之得五百七十三分九四八三四以定限行度一度○七三七而一得五百三十四分五五一八為定用分求初虧分置食甚定分五千五十九分四八六八内減定用分五百三十四分五五一八餘四千五百二十四分九三五為初虧分得巳正三刻初虧求食甚分即前推得食甚定分五千五十九分四八六八得午正初刻食甚求復圎分置食甚定分五千五十九分四八六八内加定用分五百三十四分五五一八共得五千五百九十四分○三八六為復圎分得未初一刻復圎求黄道定積度置食甚入縮厯行定度九十○度○三六六四七内加半嵗周一百八十二度六二一二五得二百七十二度六五七八九七再加天正黄道度箕宿四度八五七六共得二百七十七度五一五四九七為黄道定度求日躔黄道宿次置黄道定度二百七十七度五一五四九七内減張宿二百五十七度八十八分七十五秒餘一十九度六二七九九七為翼宿一十九度六十二分七十九秒求日食方位視日食八分以上隂厯初虧正西復圎正東推得萬厯二十四年丙申嵗閏八月初一日乙丑朔日食九分八十六秒初虧 巳正三刻 正西食甚 午正初刻復圎 未初一刻 正東食甚日躔黄道翼宿一十九度六十二分七十九秒右依大統法推若余改定諸術則日食之分數與此異古今律厯考卷四十九
## 卷五十
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十 明 邢雲路 撰厯法十五厯法萬厯三十三年乙巳嵗二月望月食厯(授時)推冬至置所求乙巳距元至元辛巳積三百二十五年減一筭以嵗實三百六十五日二十四刻二十五分乘之得一十一萬八千三百三十八日五十七刻為中積加氣應五十五日○六刻得一十一萬八千三百九十三日六十三刻為通積滿旬周去之餘一十三日六十三刻為冬至推閏餘置中積加閏應二十○日二○五得一十一萬八千三百五十八日七十七刻五為閏積滿朔實去之餘一十五刻八二五六為天正閏餘即縮末厯推經朔置冬至減閏餘餘一十三日四十七刻一七四四為天正經朔推遲疾厯置中積加轉應一十三日○二○五得一十一萬八千三百五十一日五十九刻○五減閏餘餘一十一萬八千三百五十一日四十三刻二二四四滿轉終去之餘四日四十二刻五二四四為天正入朔疾厯推交泛置中積加交應二十六日○三八八得一十一萬八千三百六十四日六十○刻八八減閏餘餘一十一萬八千三百六十四日四十五刻○五四四滿交終去之餘一十八日四十八刻八三六八為天正入朔交泛推天正赤道宿度置嵗差一分五十秒以距元至元辛巳積三百二十五減一筭得四度八十六分以元授時測到箕十度内減之餘得箕宿五度一十四分為天正加時赤道度推天正黄道宿度置天正赤道宿度及分以初日下赤道率一度○八六五而一得箕宿四度七十三分○七八六九三為天正加時黄道度推二月經朔置天正經朔加三朔實八十八日五十九刻一七七九得一百○二日○六刻三五二三滿旬周去之餘四十二日○六刻三五二三為二月經朔推二月盈厯置三朔實減閏餘餘八十八日四十三刻三五二三為二月入朔盈初厯推二月疾厯置天正疾厯加三朔轉差五日九十二刻七九七九得一十○日三十五刻三二二三為二月入朔疾厯推二月朔交泛置三朔交差加天正朔交泛得二十五日四十四刻三四七五為二月朔交泛推二月望交泛置二月朔交泛加一望策一十四日七六五二九六五得四十○日二○八七七一五以減交終餘一十二日九九六五四七五為二月望交泛推二月經望置二月經朔加望策得五十六日八十二刻八八一九五為二月經望推盈縮厯置二月入朔盈厯加望策得一百○三日一九八八一九五為二月入望盈厯以減半嵗周餘得七十九日四二二四三○五為二月入望盈末厯推盈差(此法較用加分積度為精)置立差二十七以盈末厯乘之得二千一百四四四○五六二三五加平差二萬二千一百得二萬四千二百四四四○五六二三五又以盈末厯乘之得一百九十二萬五五四九六用減定差四百八十七萬○六百餘二百九十四萬五○五○四再以盈末厯乘之得二度三十三分九○三○六為盈差推遲疾厯置二月入朔疾厯加望策減轉中餘一十一日三四一二一九五為二月入望遲厯推遲限置遲限以至限乘之得一百三十八限三六二八七七九為遲限推遲末限置總限減遲限餘二十九限七二○一八二一為遲末限推遲差置立差三百二十五以遲末限乘之得九千六百五九○五九一加平差二萬八千一百得三萬七千七百五九○五九一又以遲末限乗之得一百一十二萬二千二百○六一一四用減定差一千一百一十一萬餘九百九十八萬七千七百九三八八六再以遲末限乘之得二度九十六分八三九○四八為遲差推加減差置遲差併盈差共得五度三十○分七四二一○八以八百二十乘之得四十三刻五二○八五二八五六以一百三十八限下遲行度一度一八二三而一得三十六刻八一○三二九為加差推定望置二月經望加加差得五十七日一十九刻六九二二七為定望推日出分視盈厯一百三日下日出分二十四刻○八二日晨分二十一刻五八二推定入遲厯置入望遲厯加加差得一百一十七日○九三二二七九為定入遲厯推定入遲限置定入遲厯以一十二限二十乗之得一百四十二限為定入遲限推定限行度置一百四十二限下遲行度一度一八六七減日行分八分二十秒餘一度一○四七為定限行度推交常度置二月望交泛以月平行度一十三度三六八七五乘之得一百七十三度七四七五九四三九為交常度推交定度置交常度加二月入望盈差得一百七十六度○八六六二四九九為交定度推卯前後分置定望小餘一十九刻六九二二七即為卯前分推時差分置日周百刻減卯前分餘數以度約之得八十○分三○七七三為時差分推食甚定分置定望小餘加時差分共得二十○刻四九五三四七三為食甚定分推食甚入盈厯置食甚定分加盈厯全分一百○三日一九八八一九五及加定望大餘五十七日得數減經望大小餘全分餘得一百○三度五七四九五三四七為食甚入盈厯以半歳周減之餘得七十九日○四六二九六五二為盈末厯推食甚入盈差置立差二十七以食甚入盈末厯乘之得二千一百三四二五加平差二萬二千一百得二萬四千二百三四二五又以盈末厯乘之得一百九十一萬五六二七七一用減定差四百八十七萬○六百餘二百九十五萬四千九百七二二九再以盈末厯乘之得二度三十三分五七九六一五為食甚入盈差推食甚入盈厯行定度置食甚入盈厯全分加食甚入盈差共得一百○五度九三○七四九六二為食甚入盈厯行定度推月食入隂陽厯視交定度在交中一百八十一度八九六七下為陽厯今止一百七十六度○八六六二四九九即為月食陽厯推交前後度置交中度全分減交定度餘五度八一○○七五○一為陽厯交前度推月食分秒置一十三度○五分内減陽厯交前度餘七度二三九九二四九九以定法八十七而一得八分三十二秒一七為月食分秒推定用分置月食分三十分以減月食分餘二十一分六七八三以月食分乗之得一百八十○分四○三○九一一以平方開之得一十三分四三一三以四千九百二十乘之得六萬六千○百八一九九六以定限行度而一得五刻九十八分一十九秒為定用分推初虧分置食甚定分減定用分餘一十四刻五一四一為初虧分得寅初二刻推食甚分置食甚定分二十○刻四九五三即食甚分得寅正三刻推復圎分置食甚定分加定用分得二十六刻四七七二為復圎分得卯正一刻推食甚入盈日晨日出分視食甚入盈一百五日下日晨分二千一百四五一八日出分二千三百九五一八推更法置晨分倍之得四千二百九○三六以五千歸之得八刻五八○七二為更法推㸃法置更法以五百歸之得一刻七一六一四四為㸃法推初虧㸃法置初虧分加晨分得三十五刻九六五九以更法減之得五更以㸃法減之不及減為一㸃推食甚更㸃置食甚分加日晨分得四十一刻九四七一以更法減之得五更以㸃法減之得五㸃推復圎更㸃置復圎分加日晨分減在晝推食甚月離黄道宿度置食甚入盈厯行定度加半周天一百八十二度六二八七五又加冬至黄道度共得二百九十三度二十九分○二秒八十六微以翼宿二百七十七度九七七五減之餘一十五度三一二七八六入軫宿推得萬厯三十三年乙巳嵗二月十六日庚申夜望月食八分三十二秒初虧寅初二刻 五更一㸃 正東食甚寅正三刻 五更五㸃復圎卯正一刻 在晝 正西食甚月離黄道軫宿一十五度三十一分二十七秒右乃依授時法推若余改定諸術則月食之分數與此異前厯法已備而又詳此日月二食者叙為模範使學者循此便推筭也厯法雖改而步術則同依余改革諸術一是正之則定矣古今律厯考卷五十
## 卷五十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十一 明 邢雲路 撰厯法十六厯法五星(萬厯己亥一授時年減一筭積年三百 十九)中積一十一萬六千一百四十七日○一刻九十六分中星度一十一萬六千一百四十七度○一分九十六秒冬至四十二日○七刻九十六分閏餘二十三日四十刻二十三分三十一秒天正經朔一十八日六十七刻七十二分六十九秒天正日躔赤道度箕五度一十三分四十六秒天正日躔加時黄道度箕四度七十二分五十八秒木星合伏前合伏一百九十○日九十一刻二十二分後合伏二百○七日九十六刻七十八分中星二百一十二度六十九分三十六秒盈厯一百一十○日四十六刻三十九分五十二秒盈末厯七十二日一十六刻四十七分九十七秒加分三分四十一秒八二七六積度五度六十二分一十六秒九六六四加差五度六十二分七十三秒二九定積二百一十三日五十九刻五十一分二十九秒定日一十五日六十七刻四十七分二十九秒加時定星二百一十八度三十二分○九秒二八入月數二百三十六日九十九刻七十四分○八秒月數八 入六月入月以來日初日七十五刻二十七分一十六秒六月經朔一十四日九十二刻二十○分一十三秒順減差○度一十五分五十一秒八七晨前夜半定星二百一十八度一十六分五十○秒五一六月己卯日夜半木星度井三十○度五十一分八十二秒是日申正初刻木星合伏井三十○度六十七分五十四秒晨疾初中積二百二十四日八二七八中星二百一十一度八二七八盈厯一百一十三日三九三九五二盈末厯六十九日二三四七九八加分三分八七五三積度五度五○九九七八加差五度五一七九七七定積二百三十○日三四五七七七定日三十二日四二五三七七加時定星二百二十二度○七一五七六入月數二百五十三日七四八一月數八 入六月入月已來日一十七日五○三三六四順減差九分三五八三晨前夜半定星二百二十一度九七七九九三六月丙申日夜半木星度柳一度一十九分○四秒是日已正初刻木星晨疾初柳一度二十八分八十秒晨疾末中積二百五十二日八二七八中星二百一十七度九三七八盈厯一百一十八日○三三九五二盈末厯六十四日五九四七九七加分四分六○八八積度五度二九四○六四加差五度三二一四七七定積二百五十八日一四九二七七定日初日二十二刻八八七七加時定星二百二十七度九八五○七七入月數二百八十一日五五一六○八月數九 入七月入月已來日一十五日七七六二七一七月經朔四十四日四五二六○六順減差八分九三二九晨前夜半定星二百二十七度八九五七四八七月甲子日夜半木星度柳七度一○八二是日卯初二刻木星晨疾末柳七度一十九分九十五秒晨遲初中積二百八十○日八二七八中星二百二十三度四四七八盈厯一百二十二日二二三七五二盈末厯六十○日三九九二二一加分五分一七○一積度五度○九五六○八加差五度一一六二四八定積二百八十五日九四四○八八定日二十八日○二三六四八加時定星二百三十三度二八九四四八入月數三百○九日三四六三七九月數十 入八月入月已來日一十四日○四○四四九八月經朔一十三日九八三一九九順減差四十四秒三六晨前夜半定星二百三十三度二八五四一二十六日壬辰夜半木星度柳十二度四九七九是日子正二刻木星晨遲初柳十二度五十○分二十三秒晨遲末中積三百○八日八二七八中星二百二十七度七五七八盈厯一百二十五日五二三九五二盈末厯五十七日一○四七九七加分五分五七六二積度四度九三二三五三加差四度九三八一九七定積三百一十三日七六五九九七定日五十五日八四五五九七加時定星二百三十七度四二一七九七入月數三百三十七日一六八三二八月數十一 入九月入月已來日一十二日三三一八○五九月經朔四十三日五十一刻三七九二順減差一十○分一四七一晨前夜半定星二百三十七度三二○三二五九月已未日夜半木星度星三度五三二八是日戌正一刻木星晨遲末星三度六十三分四十二二秒晨留中積三百三十六日八二七八中星二百二十九度六六七八盈厯一百二十七日六一一四五二盈末厯五十五日○一七二九七加分五分八三九八積度四度八一六八六七加差四度八一七八七七定積三百四十一日六四五六七七定日二十三日七二五三七七加時定星二百三十九度二一一四七七入月數三百六十五日○四八○○八月數十二 入十月入月已來日一十○日六八○八九二十月經朔一十三日○四四三八五順減差八分七○四五晨前夜半定星二百三十九度一二四四三二十月十一日丁亥夜半木星度星五度三三六九是日酉初一刻晨留星五度四十二分六十七秒晨退中積三百六十○日八二七八定積三百六十五日六四五六七七定日四十七日七二五二七七入月數三百八十九日○四八○○八月數十三 入十一月入月已來日五日一五○二九九十一月經朔四十二日五七四九七八十一月辛亥日酉初一刻木星晨退星五度四十二分六十七秒夕退定日三十四日三一七五五四加時定星二百三十四度三四三五○四入月數四百三十五日六四○二八五月數十四 入十二月入月已來日二十二日二一一九八三十二月經朔一十二日一○五五七一退加差五分○八○八晨前夜半定星二百三十四度三九四三一二十二月戊戌日夜半木星退入星初度六○六八是日辰初二刻木星夕退入星初度五十五分六十○秒夕留中積四百五十三日九八七八中星二百一十九度九○五三盈厯一百二十七日六一一四五二盈末厯五十五日○一七二九七加差四度八一七八七七定積四百五十八日八○五六七七定日二十○日八八五二七七加時定星二百二十九度四四八九七七入月數四百八十二日二○八○○八月數十六 入庚子年二月入月已來日九日七一八五二六二月經朔一十一日一六六七五七退加差一十四分一六四四晨前夜半定星二百二十九度五九○六二一二月甲申日夜半木星退入柳八度七五三一是日亥初一刻木星夕留柳八度六十一分一十四秒夕遲初中積四百七十七日九八七八定積四百八十二日八○五六七七定日四十四日八八五二七七入月數五百○六日三八八○○八月數十七 入三月入月已來日四日二八七九二七三月經朔四十○日六九七三五三月戊申亥初一刻木星夕遲初柳八度六十一分一十四秒夕遲末中積五百○五日九八七八中星二百二十一度八一五三盈厯一百二十九日○六一四五二盈末厯五十三日五六加分六分○九七八積度四度六九六一九二加差四度七三○七二五定積五百一十○日七一八五二五定日一十二日七九八一二五加時定星二百三十一度二七一八二五入月數五百三十四日一二○八五六月數十八 入四月入月已來日二日五七○一八二四月經朔一十○日二二七九四三順減差九分三七五○晨前夜半定星二百三十一度一七八○七五四月丙子日夜半木星度柳十度三九○五七四是日戌初初刻木星夕遲末柳十○度四八四三二五夕疾初中積五百三十三日九八七八中星二百二十六日一二五三盈厯一百三十二日三四一五二七盈末厯五十○日二八七二九七加分六分四七四二積度四度五○五七加差四度五二四三定積五百三十八日五一二一定日四十○日五九一七加時定星二百三十五度三七五四入月數五百六十一日九一四四三月數十九 入五月入月已來日初日八十三刻三一六四五月經朔三十九日七五八五三六順減差一十○分六五○六○五晨前夜半定星二百三十五度三七五四五月甲辰日夜半木星度柳一度四八一三九四是日未正初刻木星夕疾初柳一度五十八分七十九秒晨疾末中積五百六十一日九八七八中星二百三十一度六三五三盈厯一百三十六日五三一四五二盈末厯四十六日○九七二九七加分六分九五六二積度四度二三四六○九加差四度二四一三七六定積五百六十六日二二九一七六定日八日三○八七七六加時定星二百四十○度六○二四七二入月數五百八十九日六三一五○七月數十九 入五月 入六月朔日入月已來日二十八日五五○二四順減差六分四八四三晨前夜半定星二百四十○日五三八六三一六月朔壬申日夜半木星度張初度四四○一是日辰初一刻木星夕疾末張度五十○分四十九秒夕伏中積五百八十九日九八七八中星二百三十七度七四五三盈厯一百四十一日一七一四五二盈末厯四十一日四五七二九七加分七分五二六八積度三度八六九五三五加差三度九○三九五五定積五百九十三日八九一七五五定日三十五日九七一三五五加時定星二百四十六度二七五○五五入月數六百一十七日二九四○八六月數二十 入六月入月已來日二十六日六八二二二六六月經朔九日二八九一二九順減差二十一分七三三一晨前夜半定星二百四十六度一六一三二二六月己亥日夜半木星度張六度○六三八二六是日夜子初一刻木星夕伏張六度二十七分七十五秒古今律厯考卷五十一
## 卷五十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十二 明 邢雲路 撰厯法十七厯法火星合伏前合伏七百七十四日二八二一後合伏五日六四六九中星一十○度三七二七縮厯一百三十八日四八七五八縮末厯四十四日一九九九一九加分二十七分六一一四二四積度一十三度○五○○○五七六減差一十三度一○五二○六定日三十四日六二一二九四加時定星三百六十二度四二四九九四入月數一十五日九四四○二五入月已來日一十五日九四四○二五順減差四十五分三五四四晨前夜半定星三百六十一度九七一四五十一月十七日戊戌夜半火星度尾一十四度六六三九是日未正三刻火星合伏尾十五度一十一分七十四秒晨疾初中積七十四日六四六九中星六十○度三七二七盈厯二日三五八八三加分八十四分三四四○二積度一度七三六四一一二四加差二度○三九一五一定積七十六度六八六○五一定日五十八日七六五六五一加時定星六十二度四一一八五一入月數一百○○日○八八三八二月數三 入二月入月已來日一十一日四九六六○三二月經朔四十七日二六九○四八順減差五十五分一二六八七二晨前夜半定星六十一度八六○五八二己亥年二月十二日壬戌夜半火星度危一度七七七是日酉正一刻火星晨疾初危二度三十二分四十三秒晨疾末中積一百三十三日六四六九中星一百○二度一七二七盈初厯四十一日二二八八三加分二十五分三五四二五八積度二十三度○八六一一加差二十三度一四三九九五定積一百五十六日七九○八九五定日一十八日八七○四九五加時定星一百二十五度三一六六九五入月數一百八十○日一九三二二六月數六 入閏四月入月已來日三日○○九六六八閏四月經朔一十五日八六○八二七入月定日一十八日八七○四九五順減差六十○分九三三九五晨前夜半定星一百二十四度七○三五五八閏四月初四日壬午夜半火星度婁三度一三九八是日戌正二刻火星晨疾末婁三度七十四分九十一秒晨次疾初中積一百九十○日六四六九中星一百四十一度二五二七盈厯七十七日五六八八三盈末厯一百○五日○五九九一九加分七分九四○一四四積度二十四度九五七一三五加差二十四度九六一五八七定積二百一十五日六○八四八七定日一十七日六八八○八七加時定星一百六十六度二一四二八七入月數二百四十○度○一○八一八月數八 入六月入月已來日二日七六六○七四六月經朔一十四日九二二○一三入月定日一十七日六八八○八七順減差四十六分一○一二二九晨前夜半定星一百六十五度七五三二七五六月初四日辛巳夜半火星度畢四度九三五七是日申初初刻火星晨疾初畢五度三十九分六十七秒晨次疾末中積二百四十三日六四六九中星一百七十五度四一二七盈厯一百○九日三三八三○六盈末厯七十三日二八九九一八加分二十○分六二八六八八積度二十○度一八三三八七加差二十○度二四三三○六定積二百六十三日八九○二○六定日五日九六九八○六加時定星一百九十五度六五六○六入月數二百八十七日二九二五三七月數九 入七月入月已來日二十一日五一七二七月經朔四十四日四五二六○六入月定日五日九六九八○六順減差六十○分一七九七二晨前夜半定星一百九十五度○五四二六二七月二十二日己巳夜半火星度井七度四○六七是日夜子初一刻火星晨次疾末井八度○○八十五秒晨遲初中積二百九十○日六四六九中星二百○二度四五二七盈厯一百三十四日四八八八三盈末厯四十八日一三九九一九加分二十六分九○三五八八積度一十四度一四四一加差一十四度一八一五五定積三百○四日八三二四定日四十六日九一二加時定星二百一十六度六三八二入月數三百二十八日二三四七三一月數一十一 入九月入月已來日三日三九八二○八九月經朔四十三日五一三七九二入月定日四十六日九一二順減差四十八分三三六晨前夜半定星二百一十六度一五四八四九月四日庚戌夜半火星度井宿二十八度五○七三四是日亥初三刻火星晨遲初井二十八度九十九分○七秒晨遲末中積三百二十九日六四六九中星二百二十○度一七二七盈厯一百五十○日九六八八三盈末厯三十一日六五九九一八加分三十○分六○四九二二積度九度二五五六一六加差九度四五七五八四定積三百三十九日一○四四八四定日二十一日一八四○八四加時定星二百二十九度六三○二八四入月數三百六十二日五○六八一五月數一十二 入十月入月已來日八日一三九六九九十月經朔一十三日○四四三八五入月定日二十一日一八四○八四順減差七分二四二九晨前夜半定星二百二十九度五五七八五五十月九日乙酉夜半火星度栁八度七七○三是日丑正一刻火星晨遲末栁八度八十四分二十七秒晨留中積三百五十八日六四六九中星二百二十六度三七二七盈縮一百五十六日七三八八三盈末厯二十五日八八九九一九加分三十○分○九四六一六積度七度四三八○七五加差七度七○六五六八定積三百六十六日三五三四六八定日四十八日四三三○六八加時定星二百三十四度○七九二六八入月數三百八十九日七五五七九九月數一十三 入十一月入月已來日五日八五八○九十一月經朔四十二日五七四九七八入月定日四十八日四三三○六八順減差一十六分四五六五晨前夜半定星二百三十三度九一四七○三十一月七日壬子夜半火星度星初度一十二分七二是日巳正一刻火星晨留星初度二十九分一十七秒晨退中積三百六十六日六四六九定積三百七十四日三五四六八定日五十六日四三三○六八入月數三百九十七日七五五七九九月數十三 入十一月入月已來日一十三日八五八○九入月定日五十六日四十三分三○六八晨前夜半定星二百三十四度○七九二六八十一月庚申日巳正一刻火星晨退星初度二十九分一十七秒夕退中積三百九十五日六一一四中星二百一十七度七一五九五盈厯一百六十三日二○二○八盈末厯一十九日四二六六六加分二十九分七六八一二六積度五度六四四七一八加差五度七七一七二九定積四百○一日三八三一二九定日二十三日四六二七二九加時定星二百二十三度四八七六七九入月數四百二十四日七八五四六月數一十四 入十二月入月已來日一十一日三五七一五八十二月經朔一十二日一○五五七一入月定日二十三日四六二七二九退加差二十○分三六晨前夜半定星二百二十三度六九一二七九十二月丁亥日夜半火星度栁二度九○三七是日午初初刻火星夕退栁二度七十○分○一秒夕留中積四百二十四日五七五九中星二百○九度○五九二盈厯一百六十九日六六五三三盈末厯一十二日九六三四一九加分二十九分六一九五四四積度三度五六八三二二加差三度八五三六七八定積四百二十八日四二九五七八定日五十○日五○九一七八加時定星二百一十二度九一二八七八入月數四百五十一日八三一九○九月數十五 入次年正月入月已來日八日八七三○一四庚子年正月經朔四十一日六三六一六四入月定日五十○日五○九一七八退加差二十二分四○三八晨前夜半定星二百一十三度一三六九一六正月甲寅日夜半火星度井二十五度四八九四一六是日午正初刻火星夕留井二十五度二十六分五十三秒夕遲初中積四百三十二日五七五九定積四百三十六日四二九五七五定日五十八日五○九一七八入月數四百五十九日八三一九○九月數十五 入正月入月已來日一十六日八七三入月定日五十八日五○九一七八庚子年正月壬戌日午正初刻火星夕遲初井二十五度二十六分五十三秒夕遲末中積四百六十一日五七五九中星二百一十五度二五九二盈厯一百七十五日四三五三三盈末厯七日一九三四一九加分二十九分六六六五九四積度二度○八六四四四加差二度一四三八二五定積四百六十三日七一九七二五定日二十五日七九九三二五加時定星二百一十七度四○三○二五入月數四百八十七日一二二○五六月數十六 入二月入月已來日一十四日六三二五六八二月經朔一十一日一六六七五七入月定日二十五日七九九三二五順減差三十○分三七四三晨前夜半定星二百一十七度○九九二八二二月己丑日夜半火星度井二十九度四五一七是日亥初初刻火星夕遲末井二十九度七十五分五十五秒夕次疾初中積五百○○日五七五九中星二百三十二度九七九二縮初厯九日二八六五八加分二十九分六三二四五六積度二度六七九五八減差二度七六四五六八定積四百九十七日九三○二一九定日初日○十○刻九十八分一九加時定星二百三十○度二一四六三二入月數五百二十一日三三二五五月數十七 入三月入月已來日一十九日三一六四六九三月經朔四十○日六九七三五入月定日六十○日○○九八一九順減差六十五秒一八七三晨前夜半定星二百三十○度○八四四三月甲子日夜半火星度栁九度四二○九是日子初正刻火星夕次疾初栁九度四二七一三二夕次疾末中積五百四十七日五七五九中星二百六十○度○一九二縮初厯三十四日四三六五八加分三十○分九二九○○六積度一十○度一七六九○二減差一十○度三一一七三二定積五百三十七日二六四一六七定日三十九日三四三七六七加時定星二百四十九度七○七四六七入月數五百六十○日六六六四九八月數十八 入四月入月已來日二十九日一一五八二四四月經朔一十○日二二七九四三入月定日三十九日三四三七六七順減差二十一分三一三五五四晨前夜半定星二百四十九度四九四三三一五月癸卯朔夜半火星度張九度三九六八三一是日辰正一刻火星夕次疾末張九度六十○分九十九秒夕疾初中積六百○○日五七五九中星二百九十四度一七九二縮初厯六十六日二○六五八加分二十二分七○七三三八積度一十八度六五四八○三減差一十八度七○一七一二定積五百八十一日八七四一八八定日二十三日九五三七八八加時定星二百七十五度四七七四八七入月數六百○五日二七六五一八月數二十 入六月入月已來日一十四日六六四六五九六月經朔九日二八九一二九入月定日二十三日九五三七八八順減差六十三分九○三七九六晨前夜半定星二百七十四度八三八四四九六月丁亥日夜半火星度翼一十六度九五○九是日亥正三刻火星夕疾初翼一十七度五八九九夕疾末中積六百五十七日五七五九中星三百三十三度二五九二縮初厯一百○二日五四六五八加分九分三五一八○六積度二十四度六九○五九五減差二十四度七四一七五四定積六百三十二日八三四一四二定日一十四日九一三七四二加時定星三百○八度五一七四四五入月數六百五十六日二三六四七三月數二十二 入八月入月已來日六日五六三四二七八月經朔八日三五○三一五入月定日一十四日九一三七四二順減差六十三分九六一九晨前夜半定星三百○七度八七七八二六八月戊寅夜半火星度角一十一度一五○三二六是日亥初三刻火星夕疾末角一十一度七十八分九十九秒夕伏中積七百一十六日五七五九中星三百七十五度○五九二縮厯一百四十一日四一六五八縮末厯四十一日二一二一六九加分二十五分三五四二五八積度二十三度○八六一一減差二十三度一三九九○四定積六百九十三日四三五九九六定日一十五日五一五五九六加時定星三百五十一度九一九二九五入月數七百一十六度八三八三二七月數二十四 入十月入月已來日八日一○四○九五十月經朔七日四一一五○一入月定日一十五日五一五五九五順減差四十七分二三二八四晨前夜半定星三百五十一度四四六九六七十月己卯夜半火星度尾四度三一九四六七是日午正一刻火星夕伏尾四度一十一分七十九秒火星夕次疾初三月入栁度授時推甲子日大統癸亥非夕疾初六月入翼度授時推丁亥日大統戊子非古今律厯考卷五十二
## 卷五十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十三 明 邢雲路 撰厯法十八厯法土星合伏前合伏九十○日四六二七後合伏二百八十七日六二八九中星二百九十二度三五四七盈厯一百一十六日六三二六八六盈末厯六十五日九九六○六四加分六分一二九七二五積度七度三三四五九六七五加差七度三九五六五二定積二百九十五日○二四五五二定日三十七日一○四一五二加時定星二百九十九度七五○六五二入月數三百一十八日四二六八八三月數十 入八月入月已來日二十三日一二○九五三八月經朔一十三日九八三一九九順減差一分二四九八晨前夜半定星二百九十九度七三八一五四八月辛丑日夜半土星度角三度○一○六五四是日丑正二刻土星合伏井三度○二三一五二晨疾中積三百○八日○二八九中星二百九十四度七五四七盈厯一百一十八日一二二六八六盈末厯六十四日五○六○六四加分六分三三二一三九積度七度二七一三七五三六加差七度三○三四二定積三百一十五日三三二三二定日五十七日四一一九二加時定星三百○二度○五八一二入月數三百三十八日七三四六五一月數十一 入九月入月已來日一十三日八九八一二八九月經朔四十三日五一三七九二順減差四分五三一一二晨前夜半定星三百○二度○一二八○八九月辛酉日夜半土星度角五度二八五三是日巳初三刻土星晨疾角五度三十三分○六秒晨次疾中積三百三十九日○二八九中星二百九十八度一五四七盈厯一百二十○日二三二六八六盈末厯六十二日三九六○六四加分六分七○一八七三積度七度一三九二二八○八加差七度一六五七七一定積三百四十六日一九四六七一定日二十八日二七四二七一加時定星三百○五度三二○四七一入月數三百六十九日五九七○○二月數十二 入十月入月已來日一十五日二二九八八七十月經朔一十三日○四四三八五順減差二分七四二七晨前夜半定星三百○五度二九三○四四十月壬辰日夜半土星度角八度五六五五四四是日卯正二刻土星晨次疾角八度五十九分二十九秒晨遲中積三百六十八日○二八九中星三百○○度九○四七盈厯一百二十一日九四二六八六盈末厯六十○日五八六○六四加分七分○七四八一五積度六度九九九五八八加差七度○四一○五定積三百七十五日○六九九五定日五十七日一四九五五加時定星三百○七度九四五七五入月數三百九十八日四七二二七一月數十三 入十一月入月已來日一十四日五七四五七二十一月經朔四十二日五七四九七八順減差一分一九六四晨前夜半定星三百○七度九三三七八六十一月辛酉夜半土星度角十一度二十○分六二八六是日寅初四刻土星晨遲角十一度二十一分八十二秒晨留中積三百九十四日○二八九中星三百○二度四○四盈厯一百二十二日七七二六八六盈末厯五十九日八五六○六四加分七分二五八七三九積度六度九二七○○○六一加差六度九八九一四定積四百○一日○一八○四定日二十三日○九七六四加時定星三百○九度三九三一四入月數四百二十四日四二○三七一月數十四 入十二月入月已來日一十○日九九二○六九十二月經朔一十二日一○五五七一順減差七十八秒一一晨前夜半定星三百○九度三八五三二九十二月丁亥日夜半土星度角十二度六五七八是日丑初一刻土星晨留角十二度六十六分五十六秒晨退中積四百二十四日○二八九定積四百三十一日○一八○四定日五十三日○九七六四入月數四百五十四日四二○三七一月數十五 入庚子年正月入月已來日一十一日四六一四七六庚子正月經朔四十一日六三六一六四正月丁巳日丑初一刻土星晨退角十二度六十六分五十六秒夕退中積四百七十六日六七四七中星二百九十八度七七九二五盈厯一百二十三日○五七二三六盈末厯五十九日五七一五一四加分七分二五八七三九積度六度九二七○○○六一加差六度九六八四八五定積四百八十三日六四三一八五定日四十五日七二二七八五加時定星三百○五度七四七七三五入月數五百○七日○四五五一六月數十七 入三月入月已來日五日○二五四三五三月經朔四十○日六九七三五退加差七分二二七七晨前夜半定星三百○五度一二○○一二三月己酉日夜半土星度角九度○九三五是日酉初一刻土星夕退角九度○二分一十二秒夕留中積五百二十九日三二○五中星二百九十五度一五三八盈厯一百二十三日三四一七八六盈末厯五十九日二八六九六四加分七分二五八七三九積度六度九二七○○○六一加差六度九四六五八三定積五百三十六日二六七○八三定日三十八日三四六六八三加時定星三百○二度一○○三八三入月數五百五十九日六六九四一四月數十八 入四月入月已來日二十八日一一八七四四月經朔一十○日二二七九四三退加差三分四六六八晨前夜半定星三百○二度一三五○五一四月壬寅日夜半土星度角五度四○七五是日辰正一刻土星夕留角五度三十七分二十八秒夕遲中積五百五十九日三二○五定積五百六十六日二六七○八三定日八日三四六六八三入月數五百八十九日六六九四一四月數十九 入五月入月已來日二十八日五八八一四七五月經朔三十九日七五八五三六六月壬申朔辰正一刻土星夕遲角五度三十七分二十八秒夕次疾中積五百八十五日三二○五中星二百九十六度六五三八盈厯一百二十四日一七一七八六盈末厯五十八日四五六九六四加分七分四四○九六五積度六度八五二五九○九六加差六度八八七五三六定積五百九十二日二○八○三六定日三十四日二八七六三六加時定星三百○三度五四一三三六入月數六百一十五日六一○三六七月數二十 入六月入月已來日二十四日九九八五○七六月經朔九日二八九一二九順減差二十三秒○一晨前夜半定星三百○三度五三九○三五六月戊戌日夜半土星度角六度八一一五是日卯正三刻土星夕次疾角六度八十一分三十八秒夕疾中積六百一十四日三二○五中星二百九十九度四○三八盈厯一百二十五日八八一七八六盈末厯五十六日七四六九六四加分七分八○○○三二積度六度六九八三七二八加差六度七五六六三六定積六百二十一日○七七一三六定日三日一五六七三六加時定星三百○六度一六○四三六入月數六百四十四日四七九四六七月數二十一 入七月入月已來日二十四日三三七○一四七月經朔三十八日八一九七二二順減差一分五六七三晨前夜半定星三百○六度一四四七六三七月丁卯日夜半土星度角九度四一七二是日寅初三刻土星夕疾角九度四十三分三十九秒夕伏中積六百四十五日三二○五中星三百○二度八○三八盈厯一百二十七日九九一七八六盈末厯五十四日六三六九六四加分八分一五二八八九積度六度二三七○六九三六加差六度二八九定積六百五十一日六○九五定日三十三日六八九一加時定星三百○九度○九二八入月數六百七十五日○一一八三一月數二十二 入八月入月已來日二十五日三三八七八五八月經朔八日三五○三一五順減差七分五八○一晨前夜半定星三百○九度○一六九九九八月丁酉夜半土星度角十二度二八九四是日申正二刻土星夕伏角十二度三十六分五十三秒古今律厯考卷五十三
## 卷五十四
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十四 明 邢雲路 撰厯法十九厯法金星合伏前合伏五百二十二日○三五二後合伏六十一日八一七四中星六十六度五四三二盈初厯六十八日九一五九加分一分五三○二三二積度一度九四七五二一六加差一度九六一○六七定積六十三日七七八四六七定日四十五日八五八○六七加時定星七十○度四五一三○四入月數八十七日一八○七九八月數二 入正月入月已來日二十八日一一九六一二正月經朔一十七日七三八四五五順減差一度○九四○三五晨前夜半定星六十九度三五七二七正月己酉日夜半金星度危九度二六九七是日戌正二刻金星含伏危一十○度三十六分三十八秒夕疾初中積一百○○日八一七四中星一百一十六度○四三二盈厯一百一十六日五五五九盈末厯六十六日○七二八五加分一分六四四四五四積度一度九一四七二九九六加差一度九一五九二七定積一百○二日七三三三二七定日二十四日八一二九二七加時定星一百一十九度八七五○五四入月數一百二十六日一三五六五八月數四 入三月入月已來日八日○一三二八六三月經朔一十六日七九九六四一順減差一度○二八三五二晨前夜半定星一百一十八度八四六七○二三月戊子日夜半金星度奎一十五度一四八二○二是日戌初三刻金星夕疾初奎一十六度一十六分五十五秒夕疾末中積一百五十二日八一七四中星一百八十一度五四三二盈厯一百七十九日五九五九盈末厯三日○三二八五加分三分五一○二六二積度一十○分五四二六六六加差○度一十○分六五七九定積一百五十二日九二三九七九定日一十五日○○三五七九加時定星一百八十一度七五六三五八入月數一百七十六日三二六三一月數五 入四月 入閏四月朔日入月已來日二十八日六七三三四五四月經朔四十六日三三○二三四順減差四十四秒九一晨前夜半定星一百八十一度七五一八六七閏四月朔日己卯夜半金星度參四度三八四三是日子正初刻金星夕疾末參四度三十八分八十八秒夕次疾初中積二百○一日八一七四中星二百四十二度五四三二縮初厯五十五日六七七一五加分二分二一二二一八積度一度六九八八四五五減差一度七一三八二五定積二百○○日○七九一五定日二日一五八七五加時定星二百三十九度一一五五五入月數二百二十一日七九二○八一月數七 入五月入月已來日十六日七六七三三五月經朔四十五日三九一四二順減差一十九分六○五六晨前夜半定星二百三十八度一九四九四五月丙寅日夜半金星度星五度一三一九是日寅初三刻金星次疾初星五度三十二分八十○秒夕次疾末中積二百四十三日八一七四中星二百九十二度七九二二縮厯一百○四日○三七一五縮末厯七十八日五九一六加分九十○秒八三六二積度二度○七二七八九一六減差二度○七八一六三定積二百四十一日七三九二三七定日四十三日八一八八三七加時定星二百八十八度六三六八七四入月數二百六十五日一四一五六八月數八 入六月入月已來日二十八日八九六八二四六月經朔一十四日九二二○一三順減差九十四分九八五一晨前夜半定星二百八十七度六八七○二三六月丁未日夜半金星度軫九度七○九五是日戌初二刻金星夕次疾末軫十度六十五分九十三秒夕遲初中積二百八十二日八一七四中星三百三十五度二九三二縮厯一百四十四日九三七一五縮末厯三十七日六九一六加分二分九二○三九六積度一度二二九二七三二減差一度二五一三一九定積二百八十一日五六六○八一定日二十三日六四五六八一加時定星三百三十二度七九○五六二入月數三百○四日九六八四一二月數十 入八月入月已來日九日六六二四八二八月經朔一十三日九八三一九九順減差六十五分八五九四六晨前夜半定星三百三十二度一三一九六七八月丁亥日夜半金星度氐一十二度九七四四六七是日申初二刻金星夕遲初氐一十三度六十二分八十九秒夕遲末中積三百一十五日八一七四中星三百六十二度二九三二縮厯一百七十○日九二七一五縮末厯一十一日七○一六加分三分四五九四五四積度三十八分四八二四六減差三十○分九○七九定積三百一十五日五○八三二一定日五十七日五八七九二一加時定星三百六十一度六七五○四二入月數三百三十八日九一○六五二月數十一 入九月入月已來日一十四日○七四一二九九月經朔四十三日五一三七九二順減差三十六分四五一一晨前夜半定星三百六十一度三六五九七三九月辛酉日夜半金星度尾十四度○○三是日亥初初刻金星夕遲末尾十三度九十三分九十八秒夕留中積三百三十一日八一七四中星三百六十六度五四三二縮厯一百七十五日○一七一五縮末厯七日六一一六加分三分四九一六二六積度二十四分五五九九九減差二十六分六九五四定積三百三十一日五五○四四六定日一十三日六三○○四六加時定星箕宿○度七十六分一七八二入月數三百五十四日九五二七七七月數十二 入十月入月已來日五十八刻五六六一十月經朔一十三日○四四三八五順減差三十九分○六二八晨前夜半定星三十七分一一五四十月朔丁丑日夜半金星度箕初度三十七分一一五四是日申初初刻金星夕留箕初度七十六分一十七秒夕退中積三百三十六日八一七四定積三百三十六日五五○四四六定日一十八日六三○○四六入月數三百五十九日九五二七七七月數十二 入十月入月已來日五日五八五六六一十月壬午日申初初刻金星夕退箕初度七十六分一十七秒夕退伏中積三百四十七日七六八七中星三百六十二度八四四五縮厯一百七十六日六○八四五縮末厯六日○二○三加分三分四九七五五四積度○度二十一分○六二四三二減差二十一分七六三定積三百四十七日五五一○七定日二十九日六三○六七加時定星三百六十二度四○九二四入月數三百七十○日九五三四○一月數十二 入十月入月已來日一十六日五八六二八五退加差三十八分四七○八晨前夜半定星三百六十二度七九三九四八十月癸巳日夜半金星退尾十五度四八六四是日申初初刻金星夕退伏尾十五度一十○分一十七秒合退伏中積三百五十三日七六八七中星三百五十八度四九四五縮厯一百七十八日二三八四五縮末厯四日三九○三加分三分五○六八七二積度○度一十四分○五二九二八減差一十五分四二一六定積三百五十三日六一四四八四定日三十五日六九四○八四加時定星三百五十八度一八六○六八入月數三百七十七日○一六八一五月數十二 入十月入月已來日二十二日六四九六九九退加差五十六分九三四八晨前夜半定星三百五十八度七五五四一六十月己亥日夜半金星退尾十一度四四七九一六是日申正二刻金星合退伏尾十三度○一分七十二秒晨退中積三百五十九日七六八七中星三百五十四度一四四五縮厯一百七十九日八六八四五縮末厯二日七六○三加分三分五一二八○六積度○度○七分○二九八六減差○度○九分七○○六定積三百五十九日六七一六八四定日四十一日七五一二八四加時定星三百五十三度九五○四八八入月數三百八十三日○七刻四○一五月數十二 入十月入月已來日二十八日七六八九九退加差四十五分八二八三晨前夜半定星三百五十四度四○八七七一十月乙巳日夜半金星退尾七度一○一二是日酉正初刻晨退尾六度六十四分二十九秒晨留中積三百七十○日七二中星三百五十○度四四五八縮厯一百八十一日四五九七五縮末厯一日一六九加分三分五一四五○四積度○度○三分五一五三五六減差○度○四分一○九三定積三百七十○日六七八九○七定日五十二日七五八五○七加時定星三百五十○度三六三六一四入月數三百九十四日○八一二三八月數十三 入十一月入月已來日一十○日一八三五二九十一月經朔四十二日五七四九七八退加差四十六分二六八九晨前夜半定星三百五十○度八二六三○三十一月丙辰日夜半金星退尾三度五一八八是日酉正初刻晨留尾三度○五分六十一秒晨遲初中積三百七十五日七二定積三百七十五日六七八九○七定日五十七日七五八五○七入月數三百九十九日○八一二三八月數十三 入十一月入月已來日一十五日一八三五二九十一月辛酉日酉正初刻金星晨遲初尾三度○五分六十一秒晨遲末中積三百九十一日七二中星三百五十四度六九五八盈初厯二度九二一加分三分五一二八○六積度○度○七分○二九八六加差○度一十○分二六五一定積三百九十一日八二二六五一定日一十三日九十○刻二十二分五一加時定星三百五十四度九○一一○二入月數四百一十五日二二四九八二月數十四 入十二月入月已來日一日七九六六八十二月經朔一十二日一○五五七一順減差五十五分九三九五晨前夜半定星三百五十四度三四一七○七十二月丁丑日夜半金星度尾七度○三四二是日亥初二刻金星晨遲末尾七度五十九分三十六秒晨次疾初中積四百二十四日七二中星三百八十一度六九五八盈初厯二十八度九一一加分三分一七一二積度○度九十五分三三六四一六加差○度九十八分二二五八定積四百二十五日七○二二五八定日四十七日七八一八五八加時定星一十八度四○二八一六入月數四百四十九日一○四五八九月數十五 入庚子年正月入月已來日六日一四五六九四庚子正月經朔四十一日六三六一六四順減差七十九分七四九五晨前夜半定星一十七度六○五三二一正月辛亥日夜半金星度斗八度○一五三是日酉正三刻金星晨次疾初斗八度八十五分二十八秒晨次疾末中積四百六十三日七二中星四百二十四度一九五八盈初厯六十九度八一一加分一分四七一八五二積度一度九六二三五四四八加差一度九七四二九一定積四百六十五日六九四二九一定日二十七日七七三八九一加時定星六十二度七八六八八二入月數四百八十九日○九六六二二月數十六 入二月入月已來日一十六日六○七一三四二月經朔一十一日一六六七五七順減差八十九分七七一三晨前夜半定星六十一度八八九一六九二月辛卯日夜半金星度危一度八○一六是日酉正二刻金星晨次疾末危二度六十九分九十三秒晨疾初中積五百○五日七二中星四百七十四度四四五八盈厯一百一十八度一七一盈末厯六十四度四五七七五加分一分七五五一九二積度一度八八○一七四○八加差一度八八八二九七定積五百○七日六○八二九七定日九日六八七八九七加時定星一百一十二度九六四八九四入月數五百三十一度○一○六二八月數十七 入三月入月已來日二十八日九九○五四七三月經朔四十○日六九七三五順減差八十四分三一六四晨前夜半定星一百一十二度一二一七三三月癸酉日夜半金星度奎八度四二四二是日申正二刻金星晨疾初奎九度二十六分七十三秒晨疾末中積五百五十四日七二中星五百三十五度四四五八盈厯一百七十六度八八一盈末厯五度七四七七五加分三分五○二六三六積度○度一十七分五五九加差○度二○一七九一定積五百五十四日九二一七九一定日五十七日○○一三九一加時定星一百七十○度五九一八八二入月數五百七十七日三二四一二二月數十九 入五月入月已來日一十六日二四二八五五五月經朔三十九日七五八五三六順減差一秒七四晨前夜半定星一百七十○度五七一七○八五月辛酉夜半金星度畢九度七七四二是日子正初刻金星晨疾末畢九度七十七分三十三秒晨伏中積六百○六日七二中星六百○○度九四五八縮初厯五十七度二九二二五加分二分一一六五一一六積度一度七四二六一五四減差一度七四八八○一定積六百○四日九七一一九九定日四十七日○五○七九九加時定星二百三十九度一八五九○二入月數六百二十八度三七三五三月數二十一 入七月入月已來日八日二三一○七七七月經朔三十八日八一九七二二順減差六十四秒二六晨前夜半定星二百三十九度一七九四七月辛亥夜半金星度星五度三九一九是日丑初初刻金星晨伏星五度三十九分八十四秒古今律厯考卷五十四
## 卷五十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十五 明 邢雲路 撰厯法二十厯法水星合伏前合伏一百○九日三一一二後合伏六日五六四八中星一十一度二九○六縮初厯二十四日五八六七五加分三分五一六九七四積度○度八九八五一七七六減差一度○一九一五三定積五日五四五六四七定日四十七日六二五二四七加時定星八度二三三一四一入月數空月數空 入本月入月已來日二十八日九四七九七八十一月經朔一十八日六七七二六九順減差一度三四七九○七晨前夜半定星六度八八五二三四十一月辛亥日夜半水星度箕六度八八五二是日申初初刻水星合伏箕八度二十三分三十一秒夕疾中積二十四日三一四八中星四十五度五四○六縮初厯五十三日六六六七五加分二分四三四五八積度一度七八四○七八五八減差一度八○○三一九定積二十二日五一四四八一定日四日五九四○八一加時定星四十○度一三九六四三入月數四十五日九一六一二月數一 入本年十二月入月已來日一十六日三八六二一九十二月經朔四十八日二○七八六二順減差一度○一一二五七晨前夜半定星三十九度一二八三八六十二月戊辰日夜半水星度牛五度○六八三是日未正一刻水星夕疾牛六度○七分九十六秒夕遲中積三十九日三一四八中星六十六度九二○六縮初厯七十一日八二六七五加分一分四○八八八積度二度一三八八七七減差二度一五○四八一定積三十七日一六四三一九定日一十九日二四三九一九加時定星六十○度四六九一五七入月數六十○日五六六六五月數二 入己亥年正月入月已來日一日五○五四六四正月經朔一十七日七三八四五五順減差○度二十七分九八二三晨前夜半定星六十○度一八九三三四正月癸未日夜半水星度危初度一○一八是日夘初三刻水星夕遲危初度三十八分一十六秒夕留中積五十一日三一四八中星七十七度○四○六縮初厯八十○日四一六七五加分七十八秒七二五四積度二度二四一一二減差二度二四四四○一定積四十九日○七○三九九定日三十一日一四九九九九加時定星七十○度三○七三九七入月數七十二日四七二七三月數二 入正月入月已來日一十三日四一一五四四順減差○度一十七分二○六九晨前夜半定星七十○度一三五三二八正月乙未日夜半水星度危一十○度○四七八是日寅初二刻水星夕留危十度二十一分九十八秒夕退伏中積五十三日三一四八定積五十一日○七○三九九定日三十三日一四九九九九入月數七十四日四七二七三月數二 入正月入月已來日一十五日四一一五四四正月丁酉日寅初二刻水星夕退伏危十度二十一分九十八秒合退伏中積六十四日五○二八中星六十九日二二八六縮初厯八十二日五二四七五加分六十五秒○六九六積度二度二五六一三六五二減差二度二五九五五一定積六十二日二四三二四九定日四十四日三二二八四九加時定星六十二度四四九九四七入月數八十五日六四五五八月數二 入正月入月已來日二十六日五八四三九四退加差○度三十三分四○一九晨前夜半定星六十二度七八三九六六正月戊申日夜半水星退危二度六九六四是日辰初三刻水星合退伏危二度三十六分二十四秒(大統悞作己酉)晨留中積七十五日六九○八中星六十一日四一六六縮初厯八十四日六三二七五加分四十九秒○七五四積度二度二六八二○四九六減差二度二七一三五四定積七十三日四一九四四六定日五十五日四九九○四六加時定星五十四度六○二五三八入月數九十六日八二一七七七月數三 入二月入月已來日八日二二九九九八二月經朔四十七日二六九○四八退加差○度五十一分六三一四晨前夜半定星五十五度一一八八五二二月己未日夜半水星退虚四度○三八八是日午初四刻水星晨留虚三度五十二分二十五秒晨遲中積七十七日六九○八定積七十五日四一九四四六定日五十七日四九九○四六入月數九十八日八二一七七七月數三 入二月入月已來日一十○日二二九九九八二月辛酉日午初四刻水星晨遲虚三度五十二分二十五秒晨疾中積八十九日六九○八中星七十一度五三六六縮厯九十三日二二二七五縮末厯八十九日四○六加分一十○秒一○九四積度二度二八五○三四○六減差二度二八五四四五定積八十七日四○五三五五定日九日四八四九五五加時定星六十四度六八○二六五入月數一百一十○日八○七六八六月數三 入二月入月已來日二十二日二一五九○七順減差○度五十五分六二四晨前夜半定星六十四度一二四○二五二月癸酉日夜半水星度危四度○三六五是日未初二刻水星晨疾危四度五十九分二十七秒晨伏中積一百○四日六九○八中星九十二度九一六六縮厯一百一十一日三八二七五縮末厯七十一日二四六加分一分四○四八八八積度二度一三八八七七八四減差二度一四二三三四定積一百○二日五四八四六六定日二十四日六二八○六六加時定星八十六度四八八五九八入月數一百二十五日九五○七九七月數四 入三月入月已來日七日八二八四二五三月經朔一十六日七九九六四一順減差一度○六九八四七晨前夜半定星八十五度四一八七五一三月戊子日夜半水星度危九度三八一二是日申初初刻水星晨伏危十度四十五分一十秒右五星依授時筭有誤應改者見厯原古今律厯考卷五十五
## 卷五十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十六 明 邢雲路 撰厯法二十一厯法 五星立成木星盈縮一理火星盈初即縮末縮初卽盈末古今律厯考卷五十六
## 卷五十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十七 明 邢雲路 撰厯法二十二厯法 五星立成土星盈度無初末之别縮度亦無初末金星盈縮一理水(盈縮積日) 加分 積度水星盈縮一理古今律厯考卷五十七
## 卷五十八
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十八 明 邢雲路 撰厯法二十三厯法四餘躔度(萬厯乙亥嵗) (授時)積年三百一十八年中積一十一萬六千一百四十七日○一刻九十六分(有消長) 冬至四十二日○七刻九十六分閏餘二十三日四十○刻二十三分三十一秒紫氣(順行入各宿初度)以元至元辛巳至後䇿加中積得一十一萬七千四百○三日五四二○以周日一萬○二百二十七日一七九二累除之餘為本年至後䇿以減畢積日分四千九百六十四日八五九二餘為周後䇿至後策四千九百○四日五七○八(畢)周後策六十○日二八八四(觜初度)初度積日四十二日三六八 丙午入月數八十三日六九○七三一月數二 入正月入月已來日二十四日六二九五四五正月經朔一十七日七三八四五五正月丙午日辰正三刻紫氣度觜初度觜初度 四十二日三六八 正月二十五日丙午(辰正三刻)參初度 四十三日七六八 二十六日丁未(酉正一刻)九度 四十三日六○八 七月六日丁未月孛(順行入各宿初度)以元至元辛巳至後策加中積得一十一萬八千五百三十一日一二八八以周日三千二百三十一日九六八四累除之餘為本年至後策以減張積日分二千二百八十一日九○五八餘為周後策至後策二千一百八十○日二六六四(張)周後策一百○一日六三九四(翼初度)初度積日二十三日七一九 丁亥入月數一百二十五日○四一七三一月數四 入三月入月已來日六日九一九三五九三月經朔一十六日七九九六四一三月丁亥日酉初一刻月孛度翼初度翼初度 二十三日七一九 三月八日丁亥(酉初一刻)一度 三十二日五六七四九二 十七日丙申一度 十六日二七○二一八 二月六日庚辰羅㬋(逆行入各宿末度)以元至元辛巳至後䇿加中積得一十一萬七千八百二十七日八七九八以周日六千七百九十三日四四三二累除之餘為本年至後策以減星積日分二千四百四十五日二二四七餘為周後策至後策二千三百三十九日三四五四(星)周後策一百○五日八七九三(柳末度)末度積日二十七日九五八九 辛卯入月數一百二十九日二八一六三一月數四 入三月入月已來日一十一日一五九二五九三月經朔一十六日七九九六四一三月辛卯日夜子初初刻羅㬋度栁十三度栁十三度 二十七日九五八九 三月十二日辛卯(夜子初初刻)十二度 同日計都(逆行入各宿末度)以羅㬋策二千三百三十九日三四五四加半周積得為本年計都至後策以減虚積日分餘為周後策至後策五千七百三十六日○六七○(虚)周後策一百○七日三三三七(女末度)末度積日二十九日四一三三 癸巳入月數一百三十○日七三六○三一月數四 入三月入月已來日一十二日六一三六五九三月經朔同羅㬋三月癸巳日巳初三刻計都度女十一度女十一度 二十九日四一三三 三月十四日癸巳(巳初三刻)推四餘至後策置推得中積分加各餘氣立成内距元至後策就用其各餘氣周積累去之餘為推得各餘至後策推四餘周後策置推得各餘至後策用以挨至僅及減各餘立成内初末度積日分餘為推得各餘周後策又以視上年躔於各何宿次挨減之如遇推得各至後策餘一日者用以減各宿次度之零分下日及分餘為推得周後策又如至後策去挨僅及減之初末積日分如是紫孛所減之宿是尾者得箕如是羅㬋計都所減之宿是心得房也推四餘入各宿次初末度積日及分置推得周後策加冬至分滿紀法去之餘為推得入各宿次初末度積日分如是紫氣與月孛順行入各宿次之初度元挨及減之宿是尾者餘入箕宿初度積日及分如是羅㬋與計都逆行入各宿次之末度元挨及減之宿是心者餘入房宿末度積日及分就其各大餘命甲子筭外得日辰也就将各餘氣度率全分累加之得為各宿逐度初末及分如紫孛得各宿之初度者加至其宿末度位上視其宿之第二格零分下若干日及分加之方交入次宿初度分秒也如羅計得各宿之末度者先加其本宿第二格零分下若干日及分為次度下分秒也然後用各度率累加之得為各宿逐度下初末度積日及分也加至方交次宿末度位上視其宿之零分下若干日及分加之次復以其度率累加之也(若遇空分)(只加度率)推四餘入初末度積日在何月并入月已來日數置推得周後策加閏餘分用其月數鈐内挨及減之數減就視原減之數是一號者其月數得一為十二月也其減餘之若干日就為推得入月已來日數又視其大餘日若干日得某月中某日月數鈐右卽月策累加之數四餘立成鈐紫氣(入箕宿初度) 二十八年有奇一周天辛巳為元至後策一千二百五十六日五二二四周積一萬○千二百二十七日一十七刻九十二分度率二十八日 日行三分五七一四二九紫氣取入宮定積數(凡取入宮置各氣定積數内減冬至後策餘交入次日時刻餘倣此)斗三○千三百七十四日一五○一入丑女二一千一百七十六日六八三二入子月孛(入箕宿初度) 八年十月有竒一周天辛巳為元至後策二千三百八十四日一○九二周積三千二百三十一日九十六刻八十四分度率八日八四八四九二 日行一十一分三○一三六月孛取入宮定積數羅㬋(入尾宿末度) 十八年七月有竒一周天入辛巳為元至後策一千六百八十○日八六○二計都(入尾宿末度) 十八年七月有竒一周天入辛巳為元至後策五千○百七十七日五八一八周積六千七百九十三日四十四刻三十二分(巳下羅計用同)半周積三千三百九十六日七十二刻一十六分度率一十八日五九九一○七七六 日行五分三七六六○二黄道宿次宿度零分并日巳下全日分 各宿入末度積日分羅㬋計都取入宮定積數計都取入宮於羅㬋定積日上加入半周積三千三百九十六日七二一六共得數内減去周後策餘為入某辰宮積日及分黄道交入十二次宮界宿次度分鈐推四餘入各宿次逐度積日及分視推得各餘交入某黄道宿次初末度若干日法如太陽交宮取之即得交宮時刻如紫氣月孛推得是箕宿者書箕初度若干日及分次一度二度順排至九度也如羅㬋計都推得是尾宿者書尾十七度若干日及分次十六度十五度逆排至初度也然後依元推得初末度相接處若干日及分以各度率累加之即得入逐度積日逐分加至各宿之初末相接處逆順皆以其宿零分下若干日及分加之方交入次宿度分又如遇相接處順行者置前宿末度加末度零分得次宿初度次加度率順行逆行者置其前宿初度加度率合次宿末度分就加末度全分為次度分推各餘交十二宮月日時刻視其各餘氣推得黄道宿次與其交宮十二次宮界宿名同度下入各宮定積全分内減去推得至後策餘為入某辰宮積日及分寄位加閏餘分以月數鈐挨及之數減之命為某月既定是何月於寄位加冬至分滿紀去之命甲子筭外得日辰刻如紫孛推得所入黄道宿次遇有氐宿者即置氐宿一度下入宫定積全分依上推得某甲子日辰時刻交入夘宮如羅計遇氐宿者却置前宮軫宿十度下入宫定積全分依前推得某甲子日辰某時刻退入辰宮是也推各餘周天置各餘周積以歲周除年數以月策除月以下數得幾年幾月日零一周天右四餘依大統法如推紫氣乃是用度率二十八日行一度法以二十八日除一度得三分五十七秒一十四微二十九纎為每日日行分以推宿度置宿度分以日行分而一得積日分累加至周天得周積分如紫氣推箕宿置箕宿九度五十九分以日行分三分五七一四二九而一得二百六十八日五十二分為箕積日分入牛初度自此以後以次累加步至尾十七度五十九分得一萬○二百二十七日一十七刻九十二分為周天積日分却置積日以二十八年一周天而一得三百六十五度二十五分六十四秒即此以合周天三百六十五度二十五分七十五秒之數則少一十一秒矣若以度率二十八乗周天度三百六十五度二十五分七十五秒得周積一萬○二百二十七日二十一刻方為正法盖大統以日行分末二十八纎五七有竒之數收而為九故日行分數積多以致天周之數少也計大統周積少三刻○八非正法矣月孛羅㬋計都俱倣此古今律厯考卷五十八
## 卷五十九
欽定四庫全書
古今律厯考卷五十九 明 邢雲路 撰厯法二十四厯法五星聚秦王子嬰初立即漢元年漢紀髙帝元年十月五星聚東井孟康曰嵗星先至四星從嵗星也後魏崔浩集諸厯家攷校漢元以來日月薄食五星行度并譏前史之失别為魏厯以示髙允允曰漢元年十月五星聚東井此乃厯術之淺事今譏漢史而不覺此謬恐後人之譏今猶今之譏古也浩曰所謬云何允曰按星傳太白辰星常附日而行十月日在尾箕昏没於申南而東井方出於寅北二星何得背日而行是史官欲神其事不復推之於理也浩曰天文欲為變者何所不可邪允曰此不可以空言争也宜更審之坐者咸恠之唯東宮少傅游雅曰髙君精於厯數當不虚也後嵗餘浩謂允曰先論本不經心及更考究果如君言五星乃以前三月聚東井非十月也衆乃歎服至趙宋紀太祖乾德五年三月五星聚於奎初竇儼善推歩星厯逆知吉凶與盧多遜楊徽之同在諫官儼甞謂之曰丁卯歳五星聚奎自此天下太平二拾遺見之儼不與也後卒如其言我朝洪武間五星並見於奎占者謂亦如宋建隆三年為文明之象有考者曰宋五星聚奎在乾德五年非建隆三年也古記載與論辯不同如此以余考之秦二世三年甲午八月子嬰立十月沛公至霸上子嬰降至正月改為漢髙帝元年秦以十月為歳首漢因之則是年甲午之十月巳屬為乙未之歳首十月初子嬰尚在位則雖秦王子嬰立之年即漢之元年亦可也五星聚井則實在乙未歳前天正以後之年以授時推乙未歳前天正中積五十四萬二千七百五十二日有竒天正冬至赤道日躔斗二十度以步至五月中旬木星入井見至次年丙申三月方出步乙未天正後之十月日在尾箕昏没於申南而東井方出於西北金水二星不得背而行是月木火土三星俱在東井金水不在東井及推前三月乃八月也八月日躔在井而土金水三星俱㑹在井惟火星在申酉間夫井居未而申酉間亦近未雖相去不逺然尚未至井也史載是年五星聚井必目覩之者崔浩又歩為八月聚井今以授時推八月乃火星猶隔一辰尚未至井則此必授時火星之周率少强之所致也周率少强則歩不及數以積筭上至漢初千有餘年之逺火星甫及申酉間而不能至未無惑其然耳然則髙允崔浩之言皆是也若及時測驗減火周之率以合天道則有待而為耳宋太祖時五星聚奎竇儼逆知其數在乾徳五年之丁卯為是洪武間占者謂為建隆三年非也以授時推是乾徳五年丁卯歳三月中旬五星皆聚在奎合夫授時歩漢聚井有火隔一宿之少差而於宋聚奎乃脗合不爽何以故以元至宋年數近而迄漢則厯年逺也今以詳布乾徳聚奎之厯具於左宋太祖乾徳四年丙寅歳(距元至元辛巳三百一十五筭)中積一十一萬五千○五十一日四八二冬至二十三日五七八閏餘一十九日九一三三二八經朔三十六日六四六七二天正加時赤道斗四度二三○五天正加時黄道斗三度八九三六金星後合三十四日九三八四盈厯五十一日四三八三火星後合三百四十五日一六四五盈厯三百○○日三九五五二三乾徳五年丁卯中積一十一萬四千六百八十六日二三九二冬至二十八日八二○八閏餘一日二五八四二遲厯四日七五○八經朔二十七日五六二三八天正加時赤道斗四度二一五八天正加時黄道斗三度八八○一木星後合八十九日七○六六盈厯三百五十七日八四九九七五縮末厯七日三五七七五減差○度七八六九六八月數三 入二月入月已來日一日五八六二七三二月經朔五十六日一五四一五九加時定日五十七日七四○四三二加時定度一百○二度三八九七三二二月二日辛酉酉初三刻木合伏壁八度○三二二三推木星晨疾末中積一百三十四日五九二六中星一百一十三度一四六七盈厯○日一六二七七五加差○度○一七六九五月數四 入三月入月已來日一十七日七四六三四三加時定星奎九度四六七三九五三月經朔二十五日六八四七五二加時定日四十三日四三一○九五順減差一十○分三七一一十八日丙午與金星同度丁未日夜半奎九度三六三九八四三月十九日丁未木星晨疾末奎九度是日與火星同度推火星晨疾末中積四百七十三日一六四五中星八十五度二九○六盈初厯二十○日五○八○二加差十四度七四五三五六月數四 入三月入月已來日五日八○三一○三加時定星壁五度六七八四五六加時定日三十一日四八七八五五順減差三十三分四四九八乙未日夜半壁五度三四四○○二三月七日乙未火星晨疾末壁五度十一日己亥奎初度九十四分六三二十八日丙辰火星與土星同度奎十五度土星後合一百○六日九二○一盈厯三百○五日五○五七○五推土星晨疾中積一百二十七日三二○一中星一百二十二度七九○二縮末厯五十六日一六減差五度一二三九八月數四 入三月入月已來日五日三三二一六五加時定星奎十三度九六八七二加時定日三十一日○一六九一七順減差三分六六四八乙未日夜半奎十三度九三二四三月七日乙未土星晨疾十三度三月八日土星順行見奎十四度二十三日辛亥與金星同度二十八日丙辰與火星同度推金星晨疾初中積四百七十八日八四一中星九十一度○六七四盈末厯八十一日九三五三五加差二度一○四六二三月數三 入二月入月已來日二十八日三六九四六三加時定星室十五度○二九九加時定日二十四日五二三六二二順減差六十三分○○八六戊子日夜半室十四度三九九八四二月二十九日戊子金星晨疾初室十六度三月十一日己亥金星順行見奎初度二一四八三月十八日與木星同度三月二十三日辛亥金星與土星同度奎十五度水星後合一十四度六三一五盈厯二百二十四日六六九二推水星晨伏中積一百一十二日七五七五中星九十五度○九六一縮末厯五十三日七三五五五減差一度六七○一六月數三 入二月入月已來日二十三日七五三九八一加時定星室十四度○四八一二加時定日一十九日九○八一四順減差一度五二九八九一二月二十四日癸未夜半室十二度五一九二一三月五日癸巳水星晨伏不見奎一度三二九一右水星按元史推誤推水星晨疾 此以改應法推是中積一百一十七日七五七五中星一百○八度三四七六縮末厯七十三日九四二減差二度一七八三二月數三 入二月入月已來日二十七日二四五九二二加時定度一百○一日八一二六四加時定星壁七度四五五一四加時定日二十三日三九○○八一順減差四十四分八五二月二十八日丁亥夜半壁七度○○六六四三月一日己丑順行見奎初度四八九八四三月十日順行見奎十四度與土星同度右步五星授時推水星合應差謬今依法改正用推乃得其真古今律厯考卷五十九
## 卷六十
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十 明 邢雲路 撰厯議一厯議天體天體至圓天包地外地在天中地平當天之半天體半見地上半隠地下東西轉運自東而徂西南北斜倚北髙而南下自天地之中言之北極出地三十六度南極入地三十六度二極持其兩端猶門之樞車之軸也中分為赤道斜倚於南横絡天腹天周三百六十五度有竒赤道去極九十一度有竒周天之星二十八宿而星之辰均分十二次辰之度三十有竒十二辰之度合三百六十五度有竒輻輳於腰圍名曰赤道其度在赤道者正得一度之廣去赤道則漸逺而漸狹天體圓故也各度以二十八宿之距星紀數謂之經度東西分經則南北分緯各四分之皆相距九十一度有竒然東西雖曰斜倚而其中道兩傍則固在卯酉之位矣星辰循天左旋日月五星遡天右轉日月五星亦隨天行而曰右者七曜實東而天牽之以西若蟻行磨上之譬云爾日日行一度一嵗一周天所行之路謂之黄道與赤道相交半出赤道外半入赤道内冬至之日黄道出赤道外二十四度去極逺日出辰入申晝短而夜長故時寒夏至之日黄道入赤道内二十四度去極近日出寅入戌晝長而夜短故時暑春秋二分黄道與赤道平去極中日出卯入酉晝夜均月日行十三度有竒行有遲疾二十七日有竒一周天所行之路謂之白道循黄道内外而東與黄道相交出入不過六度黄道内曰隂厯其外曰陽厯分而言之日行黄道月行九道青道二出黄道東朱道二出黄道南白道二出黄道西黑道二出黄道北併黄道為九行其實一道也日陽精火為君象月隂精水為臣象火則發光於外水則含影於内君令乎臣臣承乎君故月光生於日之所照魄生於日之所不照當日則光明就日則光盡日之行也舒月之行也速與日同度而合謂之朔舒先速後近一逺三謂之弦相與為衝分天之中謂之望以速及舒光盡體魄謂之晦黄白道相結謂之交日月體相遇為之㑹當交㑹而相盪者食也日食於朔月體掩日光也月食於望月體侵入暗虚不受日光也日月之行氣朔生焉日月之蝕吉凶生焉夫星有經有緯經星者三垣二十八舍也三垣者紫微垣太微垣天市垣二十八舍者東方七宿角亢氐房心尾箕為蒼龍之體北方七宿斗牛女虚危室壁為𤣥武之體西方七宿奎婁胃昴畢觜參為白虎之體南方七宿井鬼栁星張翼軫為朱雀之體中外官星總計二百八十三座常明者百有二十可明者三百二十為星二千五百微星之數萬有一千五百二十其星在朝象官如左輔右弼上次将相三台九卿執法騎官幸臣従官之類是也在野象物如螣蛇雞豕狗狼魚龍龜鼈之類是也在人象事如天廟離宫閣道華蓋五車天船大陵之類是也經星附天轉運各有常位譬如百官萬民各守其職業而聴命於七政七政所至或失度或愆期下照分野則其應驗可占而知矣緯星者五行之精也木曰嵗星火曰熒惑土曰填星金曰太白水曰辰星併日月為七政五星有盈縮遲疾嵗星行四千三百三十一日有竒凡十二嵗一周天熒惑行六百八十七日弱凡二嵗一周天填星行一萬七百四十八日弱凡二十八嵗一周天太白行三百六十五日有竒凡嵗一周天辰星與太白同此其率也五緯之外又有四餘四餘者天之隠曜也行無遲疾紫氣木之餘氣也隱而不見見為有道謂之景星其行一萬二百二十七日有竒凡二十八嵗一周天月孛水之餘氣也隱而不見見則妖孽謂之彗孛其行三千二百三十二日弱凡八嵗十月一周天羅㬋火之餘氣計都土之餘氣常隠不見是為天首天尾従交㑹之蝕限計之其行六千七百九十三日有竒凡十八嵗七月一周天但紫氣月孛以順行左旋布羅㬋計都以逆行右旋布耳若夫天漢乃氣之英水之精也氣發而升精華上浮宛轉若流名曰天河起於尾箕經龜魚傅説天江糠星天籥斜行上連箕斗天弁河鼓左右旗倒分一𣲖西映天市之吳越自坤抵艮至宗星宗人而止其大勢上絡天津而至車府造父螣蛇王良附路閣道大陵天船漸下而東南行厯卷舌五車諸王天關司怪水府而入東井過四瀆闕丘天狗弧矢之墟在社稷七星南而沒此天漢有光之脉絡天所以為東西南北襟帶之限而天下河漢之源出於此也其上北斗七星在紫微宫自一至四為魁自五至七為杓第一星名天樞第五星名天衡第七星名揺光此三星謂之斗綱乃七政之樞機四時之斟酌隨所指以運元化者也如今寅月雨水後日躔入亥宮則斗杓昏刻指寅斗衡夜半指寅斗魁平旦指寅以次卯月春分後日躔入戌宮則斗杓昏刻指卯斗衡夜半指卯斗魁平旦指卯以推餘月皆然是其隨所指以運元化如此至於天運漸移至卯月日躔入亥宫則斗杓昏刻又轉而指丑矣獨不見今之立春至雨水後六日巳皆入丑乎久之斗杓厯十二月皆可指寅一寅月斗杓皆可指十二辰葢約二千年轉一宮二萬餘年轉十二宮一周天而復始此推歩之術萬世可知者也若人不察而見今之寅月斗適指寅遂認為一定不易之辰則惑矣星經星官之書自黄帝始重黎羲和之後夏有昆吾殷有巫咸周有史佚魏有石氏齊有甘公皆能言天文察微變至三國時陳卓始列甘徳石申巫咸三家星官著於圖録二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿及輔官附坐二百八十二星總二百八十三官一千五百六十五星宋元嘉太史令錢樂之所鑄渾天銅儀以朱黑白三色用殊三家出於石者赤出於甘者黑出於巫者黄其大凡也按甘氏星經曰日一星在房之西氐之東日陽精為雞三足雞在日中而其精為星以司太陽之行度日生於東故於是在焉月一星在昴畢間故昴畢之間為天街黄道之所經也月隂精為兔四足兔在月中而其精為星以司太隂之行度月生於西故於是在焉日精在氐房月精在畢昴自司其行度而氐房昴畢乃黄道之所經不得而司之范育曰日出於卯卯之屬為兔而兔之宅乃在月中月出於酉酉之屬為雞而雞之宅乃在日中是謂隂陽之精互藏其宅石氏星經曰東宫青帝其精蒼龍為七宿其象有角有亢有氐有房有心有尾有箕氐胷房腹箕所糞也司春司木司東嶽司東方司鱗蟲三百六十北方黑帝其精𤣥武為七宿斗有龍蛇蟠結之象牛蛇象女龜象虚危壁室龜蛇蟠蚪之象司冬司水司北嶽司北方司介蟲三百六十西方白帝其精白虎為七宿奎象白虎婁胃昴虎三子也畢象虎觜參象麟觜首參身也司秋司金司西嶽司西海司西方司毛蟲三百六十南方赤帝其精朱鳥為七宿井首鬼目栁喙星頸張嗉翼翮軫尾司夏司火司南嶽司南海司南方司羽蟲三百六十中宫黄帝其精黄龍為軒轅首枕星張尾掛栁井體映三台司四季司中嶽司中土司河江漢淮濟之水司黄帝之子孫司倮蟲三百六十夫世之言星者惟知四獸而不知黄龍亦猶民俗惟知四時而不知夏之後有土位素問所謂長夏月令所謂中央五時取火季夏取槐檀之火也軒轅本天市垣之星在張宿之分野分為土徳寄王鶉火焉斯又天星之精義也儀象璣衡之来尚矣史謂起於帝嚳或謂作於宓犧又謂羲和舊器非舜創為也漢落下閎造太初厯用渾儀馬融謂即古璿璣玉衡之制吳王蕃之論亦云渾儀之制置天梁地平以定天體為四游儀以綴赤道者璣也置望筩横簫於游儀中以窺七曜之行而知其躔離之次者衡也若六合儀三辰儀與四游儀竝列為三重者唐李淳風所作而黄道儀者一行所增也如張衡祖落下閎耿夀昌之法别為渾象寘諸密室用漏水轉之以合璿璣所加星度則渾儀之外又有渾象唐李淳風梁令瓚祖之始與渾儀竝用太平興國中張思訓造於禁中詔置文明殿下其制起樓髙丈餘機隠於内規天矩地下設地輪地足又為横輪側輪斜輪定身闗中關小關天柱七直神左揺鈴右扣鐘中擊鼔以定刻數每一晝夜周而復始又以木為十二神各直一時至其時則自執辰牌循環而出隨刻數以定晝夜短長上有天頂天牙天關天指天抱天束天條布三百六十五度為日月五星紫㣲宮列宿斗建黄赤道以日行度定寒暑進退開元遺法運轉以水冬則凝凍至是代以水銀則無差失又舊法日月晝夜行度皆人所運新制成於自然尤為精妙真宗時司天冬官正韓顯符造銅候儀其制九曰雙規曰游規曰直規曰窺管曰平準曰黄道曰赤道曰龍柱曰水臬俱本淳風遺法嗣後沈括蘇頌等造儀象浮漏亦臻竒巧自靖康之亂儀象之器盡歸於金元都燕其初襲用金舊而規環不協難復施行乃命左丞許衡領其事與太史令邢臺郭守敬唐縣王恂率南北日官分掌測驗守敬首言厯之本在於測驗而測驗之器莫先儀表今司天渾儀宋皇祐中汴京所造不與大都尺度相符比量南北二極約差四度表石年深亦復欹側守敬乃盡考其失而移置之既又别圗髙爽地以木為重棚創作簡儀髙表用相比覆又以為天樞附極而動昔人嘗展管望之未得其的作候極儀極辰既位天體斯正作渾天象象雖形似莫適所用作玲瓏儀以表之矩方測天之正圜莫若以圜求圜作仰儀古有經緯結而不動守敬易之作立運儀日有中道月有九行守敬一之作證理儀表髙景虚㒺象非真作景符月雖有明察景則難作闚几以測月併星厯法之驗在於交㑹作日月食儀天有赤道輪以當之兩極低昂標以指之作星晷定時儀以識漏刻作大明燈漏又作正方案九表懸正儀座正儀為四方行測者所用又作仰規覆矩圖異方渾盖圖日出入永短圗與上諸儀互相參攷謂昔人以管窺天宿度餘分約為太半少未得其的乃用二線推測於餘分纖微皆有可考以測日二線與日相對其下值時刻則晝刻也夜則以星定之測日月五星出沒俱有成法以上諸儀之制詳見元史中又以九服日月交食分數時刻不同晝夜長短不同日月星辰去天髙下不同乃遣監候官一十四員分道而出東至髙麗西極滇池南踰朱崖北盡鐵勒四海測驗凡二十七所越五年而厯成従古儀象測驗之精無能出其右者至今簡儀仰儀圭表影符等器在觀象臺猶存第嵗久儀有欹澀器有殘缺兼之舊法失傳疇人膠柱至併其察璣測晷不知作何狀也則夫及時修改變而通之神而明之者存乎其人耳古今律厯考卷六十
## 卷六十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十一 明 邢雲路 撰厯議二厯議周天宿度在天二十八宿為度三百六十五度有竒非日躔無以校其度非列舍無以紀其度蓋天本無度因日行一度厯以紀之度從生焉此日月五星所由以出入於二十八舍者也然列舍相距度數厯代所測不同漢唐宋止用闚管或有未密元郭守敬測用二綫遂及分焉今厯因之校天為密若考往古則仍依當時宿度命之其時無宿度者壹準前人宿度惟推密率日躔無論古今並依今厯有分宿度為準前代宿度并至元所測今用之者並列於左度里之差考靈耀云周天三百六十五度四分度之一每度二千九百三十二里千四百六十一分里之三百四十八圓周一百七萬一千里以圍三徑一言之直徑三十五萬七千里此為二十八宿周圍直徑之數又二十八宿以外上下東西各有萬五千里是為四游之極謂之四表據四表之内并星宿内總有三十八萬七千里天徑中央正半之處則一十九萬三千五百里地在於中厚三萬里春分之時地正當中自此地漸漸而下至夏至地下游萬五千里地之上畔與天中平夏至之後地漸漸向上至秋分地正當天之中自此地漸漸而上至冬至上游萬五千里地之下畔與天中平自冬至後地漸漸而下地常升降於三萬里之中日中立竿測景以句股量之夏至立八尺表景一尺六寸表景千里而差一寸是則天上一寸地下千里是言本於周髀之文髀者股也以表為股相傳本伏羲氏立法自周公受之於大夫商髙周人志之故曰周髀考周禮日至之景尺有五寸謂之地中鄭衆説土圭之長尺有五寸以夏至之日立八尺之表其景與土圭等謂之地中今潁川陽城地也鄭𤣥云凡日景於地千里而差一寸景尺有五寸者南戴日下萬五千里也以此推之日當去其下地八萬里日邪射陽城則天徑之半也以句股法言之旁萬五千里句也立八極萬里股也従日邪射陽城弦也以句股求弦法入之得八萬一千三百九十四里天徑之半而地上去天之數也倍之得十六萬二千七百八十八里天徑之數也以周率乘之徑率約之得五十一萬三千六百八十七里周天之數也案宋元嘉十九年壬午使使往交州測影夏至之日影出表南三寸二分何承天遥取陽城夏至一尺五寸計陽城去交州路當萬里而影實差一尺八寸二分是六百里而差一寸也又梁大同中二至所測以八尺表率取之夏至當一尺一寸七分後魏信都芳注周髀四術稱永平元年戊子當梁天監之七年見洛陽測景又見公孫崇集諸朝士共觀秘書影同是夏至日其中影皆長一尺五寸八分以此推之金陵去洛南北略當千里而影差四寸則二百五十里而影差一寸也唐開元間命僧一行更造新厯遣太史監南宫説等於河南北平地測日晷及極星夏至日中立八尺之表同時候之陽城晷長一尺四寸八分弱夜視北極出地髙三十四度十分度之四浚儀岳臺晷長一尺五寸微强極髙三十四度八分南至朗州晷長一尺七寸七分極髙二十九度半北至蔚州晷長二尺二寸九分極髙四十度南北相距三千六百八十八里九十歩晷差一尺五寸三分極差十度半又南至交州晷出表南三寸三分八月海中南望老人星下衆星粲然皆古所未見大率去南極二十度以上皆見夫三千六百餘里晷差一尺五寸三分是約二百四十里差一寸以南北地里計南戴日下去嵩髙僅五千里在天則為十二度以此較之一度之廣四百餘里鄭𤣥等所謂千里而差一寸南戴日下萬五千里者非也又自漢至齊梁先儒談天者皆謂紐星即不動䖏惟祖暅之以儀測知不動䖏猶去紐星一度有餘自唐至宋又測紐星去不動處三度有餘南宋在臨安測紐星去極約有四度半元志但従三度之説葢紐星去極尚未有定説也唐開元間測浚儀岳臺北極出地三十四度八分宋志元志皆云三十五度或云三十五度弱大都北極出地四十度太强唐志云北極去地雖秒分微有盈縮難以目校大率三百五十餘里而差一度極之逺近既異則黄道軌景亦隨而變宋志沈括議云舊説謂今中國於地為東南當偏西北望極星置極不當正北又謂天常傾西北極星不得居中夫謂中國觀之天常北倚可也謂極星偏西則不然所謂東西南北者何從而得之豈不以日之所出者為東日之所入者為西乎古人候天自安南至浚儀纔六千里而北極差十五度稍北不巳庸詎知極星之不直人上也今南北纔五百里則北極輒差一度已上而東西南北數千里間日分之時候之日未嘗不出於卯半而入於酉半則又知天樞既中則日之所出者定為東日之所入者定為西天樞則常為北無疑矣以衡窺之日分之時以渾儀抵極星以候日之出沒則常在卯酉之半少北此殆放乎四海而同者何従而知中國之為東南也彼徒見中國東南皆際海而為是説也彼北極之出地六千里之間所差者已如是又安知其茫昧幾千萬里之外耶今直當據建邦之地人目之所及者裁以為法不足為法者宜置而勿議可也趙友欽曰地中有子午卯酉四向四向既正則輪盤二十四向皆正矣然而八方之地各有偏向若世所用指南針要亦可准試即偏地用之驗其所指者正午歟偏午歟使偏地而指偏午則二十四向皆隨偏午而定一向既差則餘向俱差矣曾三異因話録地螺或用子午正針或用子午丙壬間縫針天地南北之正當用子午或謂今江南地偏難用子午之正故以丙壬參之古者測日景於洛陽以其天地之中然外陽城之地少偏則難以正用矣至於廣雅則云天周六百一十萬餘里天去地一百一萬五千餘里淮南子論天去地五億萬里禹使大章豎亥歩自東極至西極南極至北極各二億三萬餘里又丘處機論北斗斡旋與星河在天皆不入地日亦不入地若日入地則與箕斗坼破人强稱星日入地者非是而楊升菴深信之夫自昔之論星度里差方向出入各有不同如此余據授時所測天度以句股密率較之得冬至日下去地二萬六千二百餘里夏至日下去地五萬九千二百餘里約千里差一度約天徑十二萬餘里天周三十七萬餘里是其數也縱授時所測或少有不的不過里數中小差於大約固不逺也如求其真則惟執句股之密率再於南北二三千里以準繩一量之即定矣然總不出千里上下差一度而諸論之異同可勿疑也若以測北辰則惟取璣衡正其北面即於紐星近處設管以目力圓轉求之晝夜一周於圓轉中自得不動之䖏出地度若干乃以正方案各於九服所在以景規之凡出入一規之交識以墨度以線屈其半以為中即所識與臬相當且其景最短則日南定矣極星正其北日景正其南将隨䖏各有子午卯酉之中而七政之出入因之指南針可勿用也至如沈括所疑人至偏北安知北極不直入人上不知人縦偏北北極直入人上然渾天斜倚之體自若日行之斜絡天腰與極星去赤黄道之數自若不見極南之夏至日景轉而之南乎景雖轉南而其日之自東北出西北沒自若耳此又不待辨而明者也大約地形原不過數萬里無數十萬里之説即元時北海測景夏至夜止二十刻不見地形之有涯耶人動稱西域去中國幾十萬里然印度寳瓶等十二宫與中華大略相同彼土人視正北亦在虚宿其歩厯月策止少四刻餘交終止多十刻餘以此見中西之逺不過萬餘里在天不過差十餘度非太懸絶也其云若逺者山川迂曲之故耳聞宣徳中有鄧老下西洋回為人言厯數國至極逺處仰視三光大小次第一切與中國不異是其證也夫天體至圓可以渾儀而測以此知其半覆地上半覆地下不出句股之率自得度里之周乃實際而非象㒺者若廣雅淮南所論天度皆荒逺不經之談而丘處機所論星日不入地則尚不識天渾日度為何狀而淺言夢言者也古今律厯考卷六十一
## 卷六十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十二 明 邢雲路 撰厯議三厯議治厯沿革甚矣厯之難言也治厯明時自黄帝堯舜與三代之盛王皆首重之周秦之間閏餘乖次嗣是以後遂失其傳漢劉歆造三統厯始立積年日法為推歩之準漢末劉洪造乾象厯始悟月行有遲速極差有五度餘晉姜岌造三紀厯始悟以月食衝檢日宿度所在宋何承天造元嘉厯始悟朔望弦皆定大小餘及測景定氣祖冲之造大明厯始悟太陽有嵗差之數極星去不動處一度餘北齊張子信始悟日月交道有表裏五星有遲疾留逆盈縮入氣加減隋劉焯造皇極厯始悟日非皆平行一度二至後有盈縮唐傅仁均造戊寅元厯頗采舊儀始用定制李淳風造麟徳厯以古厯章蔀元首分度不齊始為總法用進朔以避晦晨月見僧一行造大衍厯始以朔有四大三小定九服交食之異徐昻造宣明厯始悟日食有氣刻時三差宋周琮造明天厯始悟日月㑹合為朔併朔餘虚分為日法姚舜輔造紀元厯始悟食甚泛餘差數元至元庚辰郭守敬王恂創造簡儀髙表憑其所測實數考正者凡七事一曰冬至自丙子年立冬後依每日測到晷景逐日取對冬至前後日差同者為準得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半又定丁丑夏至在庚子日夜半後七十刻又定戊寅冬至在癸卯日夜半後三十三刻己卯冬至在戊申日夜半後五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻逺近相符前後應準二曰嵗餘自大明厯以来凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六用以相距各得其時合用嵗餘考驗四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年每嵗合得三百六十五日二十四刻二十五分其二十五分為今厯嵗餘合用之數三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道箕宿九度有竒仍憑每日測到太陽躔度或憑星測月或憑月測日或憑金木二星度測日及月食衝驗冬至日躔立術推筭起自丁丑正月至己卯十二月凡三年共得一百二十四事皆躔於箕與日食相符四曰月離自丁丑以来至今憑每日測到逐時太隂行度推筭變從黄道求入轉極遲疾并平行得大明厯入轉後天又因考驗交食加大明厯三十刻與天道合五曰入交自丁丑五月以来憑每日測得太隂去極度比擬黄道去極度得月道交於黄道仍依日食法度推求皆有食分得入交時刻與大明厯所差不多六曰二十八宿距度自漢太初厯以来距度不同互有損益大明厯則於度下餘分附以太半少皆私意牽就未嘗實測其數今新儀皆細刻周天度分每度為三十六分以距線代管窺宿度餘分並依實測不以私意牽就七曰日出入晝夜刻大明厯日出入晝夜刻皆據汴京為準其刻數與大都不同今更以本方北極出地髙下黄道出入内外度立術推求每日日出入晝夜刻得夏至極長日出寅正二刻日入戌初二刻晝六十二刻夜三十八刻冬至極短日出辰初二刻日入申正二刻晝三十八刻夜六十二刻永為定式所創法凡五事一曰太陽盈縮用四正定氣立為升降限依立招差求得每日行分初末極差積度比古為密二曰月行遲疾古厯皆用二十八限今以萬分日之八百二十分為一限凡析為三百三十六限依垜疊招差求得轉分進退其遲疾度數逐時不同蓋前所未有三曰黄赤道差舊法以一百一度相減相乘今依筭術句股弧矢方圜斜直所容求到度率積差差率與天道實脗合四曰黄赤道内外度據累年實測内外極度二十三度九十分以圜容方直矢接句股為法求每日去極與所測相符五曰白道交周舊法黄道變推白道以斜求斜今用立渾比量得月與赤道正交距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分擬以為法推逐月每交二十八宿度分於理為盡總以日月實合時刻定晦而不用虚進法以躔離朓朒定交食其法視古皆宻而又悉去諸厯積年月日法之傅㑹者一本天道自然之數可以施之永久而無弊厯成上之賜名授時至今欽天監用之不敢更易焉然其中間有未善併缺焉者宜修改見後厯年甲子授時於古積年之法不用為是而厯代甲子積年之數所距至元庚辰為筭者則有可紀也立成如左第一甲子黄帝元年積三千九百七十七年第二甲子黄帝六十一年積三千九百一十七年第三甲子少昊二十一年積三千八百五十七年第四甲子少昊八十一年積三千七百九十七年第五甲子顓頊五十七年積三千七百三十七年第六甲子帝嚳三十九年積三千六百七十七年第七甲子帝堯二十一年積三千六百一十七年第八甲子帝舜九年積三千五百五十七年第九甲子夏禹八年積三千四百九十七年第十甲子仲康三年積三千四百三十七年第十一甲子寒浞十五年積三千三百七十七年第十二甲子帝槐四年積三千三百一十七年第十三甲子帝不降四年積三千二百五十七年第十四甲子帝扃五年積三千一百九十七年第十五甲子孔甲二十三年積三千一百三十七年第十六甲子桀二十二年積三千○百七十七年第十七甲子太甲十七年積三千○百一十七年第十八甲子太庚十五年積二千九百五十七年第十九甲子太戊二十一年積二千八百九十七年第二十甲子仲丁六年積二千八百三十七年第二十一甲子祖辛十年積二千七百七十七年第二十二甲子祖丁二十九年積二千七百一十七年第二十三甲子盤庚二十五年積二千六百五十七年第二十四甲子武丁八年積二千五百九十七年第二十五甲子祖甲二年積二千五百三十七年第二十六甲子武乙二年積二千四百七十七年第二十七甲子紂十八年積二千四百一十七年第二十八甲子康王二年積二千三百五十七年第二十九甲子昭王三十六年積二千二百九十七年第三十甲子穆王四十五年積二千二百三十七年第三十一甲子孝王十三年積二千一百七十七年第三十二甲子共王五年積二千一百一十七年第三十三甲子幽王五年積二千○百五十七年第三十四甲子桓王三年積一千九百九十七年第三十五甲子惠王二十年積一千九百三十七年第三十六甲子定王十年積一千八百七十七年第三十七甲子景王八年積一千八百一十七年第三十八甲子敬王四十三年積一千七百五十七年第三十九甲子威烈王九年積一千六百九十七年第四十甲子顯王十二年積一千六百三十七年第四十一甲子赧王十八年積一千五百七十七年第四十二甲子秦始皇十年積一千五百一十七年第四十三甲子漢文帝三年積一千四百五十七年第四十四甲子武帝元狩六年積一千三百九十七年第四十五甲子宣帝五鳯元年積一千三百三十七年第四十六甲子平帝元始四年積一千二百七十七年第四十七甲子明帝永平七年積一千二百一十七年第四十八甲子安帝延光三年積一千一百五十七年第四十九甲子靈帝中平元年積一千○百九十七年第五十甲子蜀后主延熈七年積一千○百三十七年第五十一甲子晉惠帝永興元年積九百七十七年第五十二甲子哀帝興寜二年積九百一十七年第五十三甲子宋文帝元嘉元年積八百五十七年第五十四甲子齊武帝永明二年積七百九十七年第五十五甲子梁武帝大同十年積七百三十七年第五十六甲子隋文帝仁夀四年積六百七十七年第五十七甲子唐髙宗麟徳元年積六百一十七年第五十八甲子𤣥宗開元十二年積五百五十七年第五十九甲子徳宗興元元年積四百九十七年第六十甲子武帝㑹昌四年積四百三十七年第六十一甲子昭宗天祐元年積三百七十七年第六十二甲子宋太祖乾徳二年積三百一十七年第六十三甲子仁宗天聖二年積二百五十七年第六十四甲子神宗元豐七年積一百九十七年第六十五甲子髙宗紹興十四年積一百三十七年第六十六甲子寜宗嘉太四年積七十七年第六十七甲子(宋理宗景定五年元世祖至元元年)積一十七年至元十七年庚辰嵗冬至上下距筭為積第六十八甲子元泰定元年積四十四年第六十九甲子大明洪武十七年積一百○四年第七十甲子正統九年積一百六十四年第七十一甲子𢎞治十七年積二百二十四年第七十二甲子嘉靖四十三年積二百八十四年右積年以至元十七年庚辰為距上推下推歩之自至元庚辰至萬厯己亥積三百一十八年以後每嵗增一筭古今律厯考卷六十二
## 卷六十三
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十三 明 邢雲路 撰厯議四厯議驗氣程子曰厯法主於日日一事正則其餘可推此格言也故古之造厯者惟候日晷進退以驗隂陽消息之機是為厯本舊法擇地平衍設水準繩墨植表其中以度中晷然表短促尺寸之下所為分秒太少之數未易分别表長則分寸稍長所不便者景虚而淡難得實景前人欲就虚景之中攷求真實或設望筩或置小表或以木為規皆取表端日光下徹圭面元郭守敬以銅為表髙三十六尺端挾以二龍舉一横梁下至圭面共四十尺是為八尺之表五圭表刻為尺寸舊寸一至是申而為五釐毫差易分别創為景符以取實景其制以銅葉博二寸長加博之二中穿一竅若針芥然以方〔？〕為趺一端設為機軸令可開闔榰其一端使其勢斜倚北髙南下往来遷就於虚景之中竅達日光僅如米許隠然見横梁於其中舊法以表端測晷所得者日體上邊之景兹以横梁取之實得中景不容有毫末之差地中八尺表景冬至長一丈三尺有竒夏至尺有五寸元京師長表冬至之景七丈九尺八寸有竒在八尺表則一丈五尺九寸六分夏至之景一丈一尺七寸有竒在八尺表則二尺三寸四分雖晷景長短所在不同而其景長為冬至景短為夏至則一也惟是氣至時刻攷求不易蓋至日氣正則一嵗氣節從而正矣劉宋祖冲之嘗取至前後二十三四日間晷景折取其中定為冬至且以日差比課推定時刻宋皇祐間周琮則取立冬立春二日之景以為去至既逺日差頗多易為推攷紀元以後諸厯為法加詳大抵不出冲之之法守敬積日絫月實測中晷自逺日以及近日取前後日率相埒者叅攷同異以取數多者日差分寸定擬二至時刻最為詳密嵗餘嵗差天周之度嵗周之日皆三百六十有五而又有餘分自今嵗冬至距来嵗冬至厯三百六十五日而日行一周凡四周積千四百六十則餘一日析而四之則四分之一也然天之分常有餘嵗之分常不足其數有不能齊者惟其所差至微前人初未覺知迨漢末劉洪始覺冬至後天謂嵗周餘分太强乃作乾象厯以嵗餘二十五刻命為二千五百分而減為二千四百六十一分有竒至晉虞喜宋何承天祖冲之謂嵗當有差因立嵗差之法其法損嵗餘益天周其損益大率在二千四百四十分上下强弱相減因得日躔嵗退之差授時自劉宋大明壬寅以来凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六取相距積日時刻以相距之年除之各得其時所用嵗餘復自大明壬寅距至元戊寅積日時刻以相距之年除之得每嵗三百六十五日二十四分二十五秒比大明厯減去一十一秒定為方今所用嵗餘餘七十五秒用益所謂四分之一共為三百六十五度二十五分七十五秒定為天周餘分强弱相減餘一分五十秒用除全度得六十六年有竒日却一度以六十六年除全度適得一分五十秒定為嵗差復以堯典中星攷之其時冬至日在女虚之交及攷之前史漢元和二年冬至日在斗二十一度晉太元九年退在斗十七度宋元嘉十年在斗十四度末梁大同十年在斗十二度隋開皇十八年猶在斗十二度唐開元十二年在斗九度半今退在箕十度取其距今之年距今之度較之多者七十餘年少者不下五十年輒差一度宋慶元間改統天厯取大衍嵗差率八十二年及開元所距之差五十五年折取其中得六十七年為日却行一度之差然古今厯法合於今則不能通於古密於古又不能驗於今惟授時厯以之攷古則增嵗餘而損嵗差以之推来則增嵗差而損嵗餘上推春秋以来冬至往往皆合仍以大衍宣明紀元統天大明并授時六厯攷驗春秋以来冬至疎密凡四十九事獨授時合十之七八其中有不合者或前代史官依時厯以書者多非候景所得併間有日度失行之故也我國初洪武十七年欽天監博士元統上言一代之興必有一代之厯今厯雖以大統為名而積分猶踵授時之數非所以重始敬正也况授時厯法以至元辛巳為厯元至洪武甲子積一百四年以厯法推之得三億七千六百一十九萬九千七百七十五分經云大約七十年而差一度每嵗差一分五十秒辛巳至今年逺數盈漸差天度擬合修改臣今以洪武甲子嵗前冬至為大統厯厯元推演得授時厯辛巳閏准分二十四萬二千五十分洪武甲子閏准分一十八萬二千七十分一十八秒授時厯辛巳氣准分五十五萬六百分洪武甲子氣准分五十五萬三百七十五分授時厯辛巳轉准分一十三萬二百五分洪武甲子轉准分二十萬九千六百九十分授時厯辛巳交准分二十六萬二百八十八分洪武甲子交准分一十一萬五千一百五分八秒上考下推不用消長之法以合天道蓋天道無端惟數可以推其機天道至妙因數可以明其理是理因數顯數從理出故理數可相倚而不可相違也書奏擢統為監正而監副李徳芳上疏駁之言至元辛巳為厯元上推往古毎百年長一日下驗将来每百年消一日永久不可易也今監正元統改作洪武甲子厯元不用消長之法考得春秋魯獻公十五年戊寅嵗距至元辛巳二千一百六十三年以辛巳為厯元依授時法推得天正冬至在甲寅日夜子初三刻與當時實測數相合若以洪武甲子元上距獻公戊寅嵗二千二百六十一年依大統法推得天正冬至在丁巳日午正三刻比辛巳為元差四日六時五刻當用至元辛巳為元及消長之法方合天道疏奏元統復上疏爭言臣所推甲子厯元實與舊法相合略無差謬上曰二統皆難憑只驗七政交㑹行度無差者為是自是欽天監造厯以元統洪武甲子為厯元仍依舊法推筭不用捷法夫二統之論不同如此以余推之獻公在春秋之前非春秋時也其十五年戊寅嵗正月朔甲寅日冬至以授時法推冬至分五十日九十九刻得甲寅日夜子初三刻冬至以大統法推冬至分五十五日五十三刻得己未日午正三刻冬至計甲寅時刻與己未時刻相較大統後天四日五十四刻是差四日六時李徳芳之言為是但查記載李徳芳言上下每百年消長一日又言大統推獻公丁巳日冬至夫以余推獻公己未冬至非丁巳百年消長一分非一日何徳芳之異也曰徳芳以消長法推二統時刻皆合豈不辯丁巳與日字之誤此必修史者誤書己未為丁巳併分字為日字也夫元統上言昭代之厯不宜襲舊宜修改敬正明理推數以合天道且上疏復爭自謂略無差謬乃其所改之厯所推之數閏氣轉交四准則皆授時之數接年續之一無所改者也但去其消長之法而一無所改乃謂隨時修改以合天道将誰欺乎甚矣元統之謬妄也考古厯代嵗差之數晉虞喜以天體為三百六十五度二十六分乃四分之一有餘嵗策為三百六十五日二十四分乃四分之一不足五十年差一度宋何承天以嵗差太速改周天為三百六十五度二十五分半周嵗為三百六十五日二十四分半百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十三年差一度自後諸厯各不同宋厯多在七十五年上下元授時以周天三百六十五度二十五分七十五秒周嵗三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半然則授時之法乃六十六年三分年之二差一度元統謂授時七十年差一度亦非日躔日一麗天列宿俱熄古人欲測躔度所在必以昏旦夜半中星衡考其所距從考其所當然昏旦夜半時刻未易得真晉姜岌首以月食衡檢知日度所在紀元厯復以太白誌其相距逺近於昏後明前驗定星度因得日躔授時用至元丁丑四月癸酉望月食既推求得冬至日躔赤道箕宿十度黄道九度有竒仍自其年正月至己卯嵗終三年之間日測太隂及嵗星太白相距度定驗參考皆躔箕宿適與月食所衝允合以金趙知微所修大明厯法推之冬至猶躔斗初度三十六分六十四秒比新測實差七十六分六十四秒葢箕本度十度四十分箕末接斗初分數日躔乃自斗而退於箕者在大明猶躔斗初度三十六分六十四秒在至元丁丑則退在箕十度巳過箕之所零四十分矣以箕四十分合斗初度三十六分六十四秒共七十六分六十四秒是大明厯較至元丁丑新測實差之數也日行盈縮天本無度以日行一度為天一度然日雖日行一度而往来於黄道狹闊之間損益有不同者則盈縮生焉冬至日行一度强出赤道二十四度弱自此日軌漸北積八十八日九十一分當春分前三日交在赤道實行九十一度三十一分而適平自後其盈日損復行九十三日七十一分當夏至之日入赤道内二十四度弱實行九十一度三十一分日行一度弱向之盈分盡損而無餘自此日軌漸南積九十三日七十一分當秋分後三日交在赤道實行九十一度三十一分而復平自後其縮日損行八十八日九十一分出赤道外二十四度弱實行九十一度三十一分復當冬至向之縮分盡損而無餘盈縮均有損益初為益末為損自冬至以及春分春分以及夏至日躔自北陸轉而西西而南於盈為益益極而損損至於無餘而縮自夏至以及秋分秋分以及冬至日躔自南陸轉而東東而北於縮為益益極而損損至於無餘而復盈盈初縮末俱八十八日九十一分而行一象縮初盈末俱九十三日七十一分而行一象盈縮極差皆二度四十分斯乃大都測晷所得之數也若在天中則無極差矣晝夜刻日晝夜百刻以十二辰分之每辰得八刻三分刻之一無間南北所在皆同春秋二分日當赤道出入之中晝夜各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去極近夜短而晝長自秋分以及冬至日出赤道外去極逺晝短而夜長以地中揆之長不過六十刻短不過四十刻地中以南夏至去日出入之所為逺其長有不及六十刻者冬至去日出入之所為近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所為近其長有不止六十刻者冬至去日出入之所為逺其短有不及四十刻者授時大都偏北冬至日出辰初二刻日入申正二刻故晝刻三十八夜刻六十二夏至日出寅正二刻日入戌初二刻故晝刻六十二夜刻三十八葢地有南北極有髙下日出入有早晏所以九服皆不同耳漏刻之法挈壺氏掌之其法以百刻分於晝夜置箭壺内刻以為節而浮之水水漏而刻下以紀晝夜昏明之數日未出二刻半天先明為晨分日巳入二刻半天方暗為昏分晝有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊昏旦有星中每箭各有其數所以分時代守各隨其時而易其箭刻乃定焉若子半之交則前四刻三分刻之一屬前日後四刻三分刻之一屬當日舊每時以初刻三分刻之一為初初刻而初一初二初三初四之四整刻繼之以正刻三分刻之一為正初初刻而正一正二正三正四之整刻繼之至授時則百刻總分為九十六刻凡八刻為一時而初初正初雖有其名乃在空界有無間亦覺簡便月行遲疾日大月小日上月下而以下小掩上大圓徑適相同故日大月小皆一度日日行一度月日行十三度有竒然月之行道有逺近出入之異於此得疾徐之理則遲疾生焉厯法以入轉一周之日為遲疾二厯各立初末二限初為益末為損在疾初遲末其行度率過於平行遲初疾末率不及於平行自入轉初日行十四度半强從是漸殺厯七日適及平行度謂之疾初限其積度比平行餘五度四十二分自是其疾日損又厯七日行十二度微强向之益者盡損而無餘謂之疾末限自是復行遲度又厯七日適及平行度謂之遲初限其積度比平行不及五度四十二分自此其遲日損行度漸增又厯七日復行十四度半强向之益者亦損而無餘謂之遲末限入轉一周實二十七日五十五刻四十六分遲疾極差皆五度四十二分舊厯日為一限皆用二十八限授時定驗得轉分進退時各不同分日為十二共三百三十六限半之為半周限析而四之為象限亦大都實測之數也考爾雅邢昺疏引厯象之説則月一日至於四日行最疾日行十四度餘自五日至八日行次疾日行十三度餘自九日至十九日行則遲日行十二度餘自二十日至二十三日又小疾日行十三度餘自二十四日至於晦行又最疾日行十四度餘此謂近日而疾逺日而遲之說然而非也葢月道不繫於朔其入朔之初非月之初一乃轉之初日也月二十七日有竒一周天無日不可入轉者與月策二十九日有竒何相闗故初日至三日疾行十四度餘四日至七日疾行十三度餘八日至十八日疾而又遲皆行十二度餘十九日至二十二日遲行十三度餘二十三日至二十七日遲行十四度餘為一周此其數也邢疏所論近日疾逺日遲之數而且謂為月一日至晦日謬也甚矣定朔日平行一度月平行十三度十九分度之七一晝夜之間月先日十二度有竒厯二十九日五十三刻有竒復追及日與之同度是謂經朔經朔云者謂經行泛常之數也日有盈縮月有遲疾以盈縮遲疾之數損益之始為定朔古人立法未密初用平朔一大一小故日食有在晦及朔二月食有在望前後者漢張衡以月行遲疾分為九道宋何承天以日行盈縮推定小餘故月有三大二小隋劉孝孫劉焯欲遵用其法時議排抵以為迂怪卒不能行唐傅仁均始采用之至貞觀十九年九月後四月頻大復用平朔李淳風麟徳甲子元厯方行定朔之法淳風又以晦月頻見故立進朔之法謂朔日小餘在日法四分之三已上者虚進一日後代皆循用之然虞〔？〕嘗曰朔在㑹同茍躔次既合何疑於頻大日月相離何拘於間小一行亦曰天事誠密但取辰集時刻所在之日以為定朔朔雖小餘在進限亦不可進其言皆是也葢盈加而定朔在經朔後名曰朒縮減而定朔在經朔前名曰朓定弦定望亦如之即今厯求盈縮遲疾加減差之謂也然朔不復進而弦望猶退凡月帶食於日出時雖屬次日只以其夜言望故日出分之前應退一日以其便於推歩耳古今律厯考卷六十三
## 卷六十四
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十四 明 邢雲路 撰厯議五厯議白道交周赤道當二極南北之中黄道出入赤道内外而白道則又出入黄道内外者也古人隨方立名分為八行於日道獨謂之黄而月謂之青朱白黑各二月之行也以四序離為八節立春春分行東陸青道二出黄道東立夏夏至行南陸朱道二出黄道南不曰赤而曰朱者别天中赤道之名也立秋秋分行西陸白道二出黄道西立冬冬至行北陸黑道二出黄道北并黄道為九道究而言之實一道也故元人一之名為白道出入黄道内外兩相交值而為一周其為數也日道距赤道之逺為度二十有四月道出入日道不距六度其距赤道也逺不過三十度近不下十八度由天首正交出黄道外為陽厯由天尾中交入黄道内為隂厯出入各十三日有竒隂陽一周分為四象月當黄道為正交出黄道外六度為半交復當黄道為中交入黄道内六度為半交是為四象象别七日各行九十一度四象周厯是為一交之終以日計之得二十七日二十一刻二十二分二十四秒計羅計毎一交退天一度百六十分度之五十九凡二百四十九交退天一周終而復始正交在春正半交出黄道外六度在赤道内十八度正交在秋正半交出黄道外六度在赤道外三十度中交在春正半交入黄道内六度在赤道内三十度中交在秋正半交入黄道内六度在赤道外十八度月道與赤道正交距春秋二正黄赤道正交宿度東西不及十四度三分度之二夏至在隂厯内冬至在陽厯外月道與赤道所差者多夏至在陽厯外冬至在隂厯内月道與赤道所差者少盖白道二交有斜有直隂陽二厯有内有外直者密而狹斜者踈而闊其差亦從而異元以前厯家求月道者皆自黄道推之元人改從赤道立象置法求之差數多者不過三度五十分少者不下一度三十分是為月道與赤道多少之差其平行也以白道一周退天一度四六四一之數以減周天餘三百六十三度七九三四以白道周即交終而一得十三度三六八七五為月平行度即十三度十九分度之七○○六二五為十九年中閏生之數也古法十三度十九分度之七所得十三度三六八四二一有竒為踈後易為十三度百六十分度之五十九即十三度十九分度之七○○六二五乃得十三度三六八七五至今司天氏遵而用之視古似密然用之嵗乆微覺有差㑹須另測以定交食交食者日月同度相合對度相衝而其交道適相值焉則食矣古云同經同緯則食同經不同緯則不食是也然厯法疏密驗在交食其加時有早晚食分有淺深推演加時必本於躔離朓朒考求食分必本於距交逺近茍入氣盈縮入轉遲疾未得其正則合朔或失之先或失之後虧食時刻不得其真盖日月俱東行而日遲月疾以月追日其交值之道有出陽入隂交㑹之期有中前中後此食分多寡之所以難定也必也合朔密合使加時無早晚之差氣刻適中使食分無强弱之失乃為得之古今論交食惟漢時最疎前漢志五行謂虙羲畫八卦大禹陳洪範箕子叙九疇初一曰五行文王演周易孔子述春秋漢董仲舒治公羊春秋始推隂陽為儒者宗劉向治榖梁春秋數其禍福傳以洪範子歆治左氏傳以傅春秋著於篇詳諸子所論五行咎徴某行某事某徴某應不啻説之詳矣使果一一如響也豈不上接群聖之統然而非也諸子論災罰立見為日月五行之顯應而尤著於交食〔？〕奈何食非其筭筭失其食諸子俱一一以事應當之豈不謬戾孔子作春秋不言事應殆有深意諸子專言事應而事應皆非如桓公十七年十月朔日食榖梁曰言朔不言日食二日也董仲舒以為言朔不言日惡魯桓且有夫人之禍將不終日也厥後魯夫人淫失於齊殺桓公以法布筭是年十月不食乃十一月庚午朔未時日食夫既非十月亦非二日又非言朔不言日與魯夫人淫殺桓公之應何關莊公十八年三月日食榖梁曰夜食也公羊曰食晦也劉向以為夜食者隂因日明之衰而奪其光象周天子不明齊桓將奪其威其後九合諸侯此其效也董仲舒劉歆皆以為宿在東壁魯分後公子慶父叔牙果通於夫人以弑公以法布筭是年三月不入食限夜亦不食乃五月壬子朔申時日食夫既非三月亦非夜食又非宿在東壁魯分與齊桓公奪周天子威并公子慶父通夫人弑公之應何預諸如此類皆望風捉影無端說夢也占日若此則其占五行五事可知然則董仲舒劉向春秋五行之傳可盡信乎至今司天家遵為筮蔡其亦不思也矣積年日法厯代以來造厯者必推求徃古七政同㑹於子位之始謂之演紀上元立元正然後步積年定日法而厯數生焉第其世代綿逺馴積其數至踰億萬後人厭其布筭繁多互相推考斷截其數而増損日法以為得改憲之術此歴代積年日法所以不同也然行之未逺浸復差失至授時則以至元辛巳為厯元所用之數一本諸天秒而分分而刻刻而日皆以百為率不用積年日法一以測驗實數為準為得自然至今從之是矣但積年日法固不必用而法乆數更則宜修改如氣閏轉交與五緯諸應俱有舛錯而司天氏株守故常一無所改以致隂陽愆伏璣衡牴牾則吾不知其可也五星二五之精各有行度日由黄道月由白道五緯則不由黄道亦不由白道而出入黄道内外各自有其道月不因日為遲疾五緯則因日而有遲疾順逆也近日而疾逺日而遲伏後而疾而遲而留皆順行留而退而又留皆逆行留而復順行而遲而疾而伏而為一周合後見於東方曰晨段合後見於西方曰夕段北齊張子信悟五緯有盈縮之變而加減常數以求其逐日之躔始為親密也若七曜之髙下則星入月中月體自若而星居月上為星食月入之而星隠不見為月食星星入日中則為黑子然則五緯於月髙下無定惟下於日而已如測五星髙下之數則各以勾股測天之術求而得四餘七政之外又有四隠曜紫氣月孛羅㬋計都星家以之占命謂之四餘共七政為十一曜是也相傳出於西域天竺梵蓋西域康居城都賴聿斯經即波羅門術也羅㬋計都皆梵語自李淳風有推月孛法至唐貞元初李弼乾乃婆羅門俊士始推十一星行厯鮑該曹士薦皆業之士薦又作羅計二隠曜立成厯起元和元年五代王朴作欽天厯以羅計為蝕神首尾行之民間小厯又考炁生於閏孛生於月羅生於天首計生於天尾炁孛皆有度數無光象與羅計同四餘其行皆均平無遲疾但炁孛以順行入羅計以逆行入耳紫炁者舊説即景星亦曰徳星史記注狀如半月生於晦朔助月為明王者徳至於天則見李淳風曰景星生於晦朔或出於西北天門之上或入月二三日或出月二十七八日狀如星大而中空如魚星而不明或青赤白三氣聚如星如半月狀出而不行必於四時旺相日見星家謂之天乙之貴步紫炁起於閏法二十八年十閏而炁行一周天月孛者彗星之屬光芒偏掃為彗光芒四出為孛孛星數見於春秋或見大辰或入北斗見則必凶星家謂之淫氣孛之所在其行最遲月行遲處與之同躔淳風步月孛六十二日行七度六十二年而七周天羅㬋計都者即交道所退之餘處也盖日月交蝕處如兩環相交首一處曰天首中一處曰天尾首為羅尾為計星家號為蝕神步羅計從交周每退一度四十六分有竒求之十八年一周天今躔度載在大統厯中古今律厯考卷六十四
## 卷六十五
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十五 明 邢雲路 撰厯議六厯議辯授時厯之失元史載郭守敬取劉宋祖沖之所測大明厯冬至前後晷景折取其中定為冬至以授時新厯所測冬至日減大明厯一十九刻二十分又云自大明壬寅距至元戊寅積日時以相距之年除之得每歳三百六十五度二十四分二十五秒比大明厯減去一十一秒定為授時歳餘今余以法推之殆非然也法推劉宋孝武帝大明五年辛丑冬祖沖之所測十月十日壬戌景長一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相較餘二分二釐半為實以丁未戊申景相較餘六分五釐為法以法除實得三十四刻六十分以減距日四千六百刻餘四千五百六十五刻四十分折取其中加半日刻得二千三百三十二刻七十分命壬戌筭外得十一月三日乙酉夜半後三十二刻七十分辰初三刻冬至就以沖之紀法以除沖之周天得一嵗之實三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒以大明壬寅距至元戊寅併測至庚辰共積八百一十九年乗之得二十九萬九千一百三十三日八十六刻四十六分六十六秒加乙酉三十二刻七十分共得二十九萬九千一百五十五日一十九刻餘滿紀去之餘五十五日一十九刻為至元辛巳嵗前己未夜半後一十九刻以郭守敬所測夜半後六刻較之止差一十三刻以沖之歲周與守敬嵗周相較差三分及取大明壬寅距至元辛巳八百一十九年積二十九萬九千一百三十四日以減沖之所測夜半後三十二刻七十分加太史所測夜半後六刻得二十九萬九千一百三十三日七十三刻三十分以相距積年八百一十九年而一得三百六十五日二十四刻二十六分五十三秒非二十四刻二十五分較之差一分五十三秒乃守敬云自劉宋祖沖之大明五年壬寅實測接算至今得歳實今算不合復查金大定時趙知㣲重修大明厯以金日法除歳實得一歳之策三百六十五日二十四分三十六秒實先授時一十一秒就以金大定二十年庚子歳距元至元十八年辛巳一百○一年乘之積三萬六千八百八十九日六十○刻三六加知㣲所測五日六十四刻六十四分共得三萬六千八百九十五日二十五刻滿紀去之餘五十五日二十五刻以較郭太史所測夜半後六刻先天一十九刻夫守敬用大定庚子距積一百一年之數推為歳實乃紀之史册云予自大明壬寅距積八百餘年之數所定者以為接祖沖之之法則是自相矛盾不惟欺人且自欺矣况諸事皆命於歳實歳實既改則月䇿轉終交終與五星周俱宜隨日而改可也守敬乃諸事俱仍舊貫一無所改遂使後之疇人尋源不得而愈逺愈差以至於今也授時求盈縮遲疾差立二術一術不拘整日半日畸零時刻以平立差三乗之為密一術則用加分損益積度乃以二日對減之餘乗時刻之零數則分秒有不合為疎也既有前三乗密術何故又立後術若以後術推加減差之分秒差以推合朔差以推日月食食甚定之分秒亦差而於食甚入盈縮行定度亦差則何以步日躔月離將使隂厯反陽陽厯反隂而交前後亦相反起復方位皆不效矣兹豈細故而何故重立後術遂使今之司天者不能筭三乗方之難而但從加分損益積度之易以致步厯不明則後術俑之耳元史載授時求南北東西定差先言隂陽二厯於南北定差云在盈初縮末者交前隂厯減陽厯加交後隂厯加陽厯減在縮初盈末者交前隂厯加陽厯減交後隂厯減陽厯加於東西定差云在盈中前者交前隂厯減陽厯加交後隂厯加陽厯減中後者交前隂厯加陽厯減交後隂厯減陽厯加在縮中前者交前隂厯加陽厯減交後隂厯減陽厯加中後者交前隂厯減陽厯加交後隂厯加陽厯減皆非也夫方求定差尚未有正交中交限度則隂陽厯去中前度從何而出則於何處加減之正法曰南北差盈初縮末正交減中交加縮初盈末正交加中交減東西差盈厯正交中前減中後加中交中前加中後減縮厯正交中前加中後減中交中前減中後加為是授時引李梵蘇統皆以月行當有遲疾不必在牽牛東井婁角之間乃由行道有逺近出入所生其言似是而非也盖月行髙低處在牽牛東井至婁角始平行者古時則然而乆之則漸移他宿如日躔漢時在斗而今退至箕所謂不必在牽牛東井婁角之間者此也若謂為月行當有遲疾由行道有逺近出入所生則非盖月行遲疾逺近出入所生乃月行一周天出入黄道内外寛狹所離之數在古時每周髙低處俱在牽牛東井間平行俱在婁角至年乆方漸移他宿耳故守敬引李蘇之言以證月行遲疾之理其説似是而非不可不辯日食為月所掩人以目視九服不同故有時差分月食行入暗虚異地所見皆同宜無時差故宋志應天等厯直以定望小餘為食甚定分而紀元厯則立時差金重修大明厯亦用之授時厯因而未革其謂月食視定望分在日周四分之一已下為卯前已上覆減半周為卯後在四分之三已下減去半周為酉前已上覆減日周為酉後以卯酉前後分自乗退二位如四百七十八而一為時差子前以減子後以加皆加減定望分此元史之文其説非也然授時時差之説固非而揆以密率則月亦有時差焉其時差者乃人處其偏日出入分早晚不一則人目所視去日月對衝之中心少頃方至微有差殊也故以日周減卯酉前後分餘數止在刻下分秒間為時差以加於定望為食甚定分然而有加無減者以日月相對相迎之故耳若異地則反是此月食無時差中之時差也元史載授時求月食既法以既内分與一十分相減相乗平方開之所得以五千七百四十乗之如定限行度而一為既内分非也盖日大月之半故日食定法二十分月食定法三十分三十分半之為十五分乃月食既分如月食十分已上者去其十分餘為既單分是月西邊與日西邊齊至日東邊所食之數為既單分也以既單分用減月食既分十五分餘復以單分乗之平方開之所得以四千九百二十乗之如定限行度而一為既内分用減定用為既外分為是若如授時云以既内分與一十分相減相乗夫未得數先安得有既内分一十分已過之數又與既分無預何以相減相乗為也且四十九刻二十分者乃以昏至曉夜六時因每時八刻二十分所得之數為夜定法也若五十七刻四十分者乃以曉至昏七時因毎時八刻二十分所得之數為晝定法也晝定法乃推日食所用者而守敬誤用以推月食定用分併食既分非其類矣今欽天監所用四十九刻二十分却是授時求五星盈縮差亦立三乗方及加分損益積度二術與日月同其加分損益積之失亦如之授時五星之數止録舊章並未測驗多所舛錯木星應稍親而餘四星俱差於火星縮初盈末立差以減作加土星應則差頗逺然行遲尚未覺至於水星合應止五十萬餘而誤用七十萬餘以致水星差至二十餘日當伏而見當見而伏顯然目覩其誰掩之欽天疇人相訝曰吾遵祖師法布算而何天之不我親也則吾不知之矣辯大統厯之失革象新書載十二月建斗綱所指正月指寅二月指卯以至十二月指丑謂之月建凡日月一嵗十二㑹故有十二次建子之月次名𤣥枵建丑之月次名星紀以至建亥之月次名娵訾十二分野即十二辰次所臨之地此趙縁督之言其説非也盖在天之星十二宮次舍子位𤣥枵丑位星紀與時令之月建無關論天星與月令如正月雨水後日躔娵訾斗指析木非天星分野之次為月辰所臨之名也况正月昏時斗杓指寅惟雨水後六日則然雨水後六日以前斗杓不指丑乎雨水後六日指寅惟今時則然乆之天星漸移計六十餘年差一度後五百餘年不轉而二月指丑乎然則五百年後謂二月建丑可乎不可乎夫曰月建者寅月寅日為建卯日為除之謂非正月斗柄建寅併寅月次名析木之謂也一寅厯十二月皆可指凡十二支每月皆可指此歲差之數運行不已者趙縁督不知而悮以天星之次舎加為地盤之月建欽天監不知而刻於天文星圖考略中世人遵欽天監者也覩斯圖而信之幾何而不眯亂人之耳目四正者歲周之四分也冬至即冬正夏至即夏正春分前三日為春正秋分後三日為秋正每正初日則黄赤道同度冬至初自下而上闊行漸狹至平交狹行漸闊至夏正夏至初自上而下闊行漸狹至平交狹行漸闊復至冬正而一周此其率也然春秋分前後三日為春秋正在順天偏北則然若陽城在天地之中則春秋分即春秋正矣元授時冬正初日在箕宿十度至今萬厯年退至箕宿五度以推天正赤道變黄道則惟宜以冬至初日下赤道率度一度○八六五而一即得黄道度正以是日赤黄道同度為四正之一正也今大統推冬至初日認箕五度作至後五度遂乃用至後五度下率不及減以四度下率一度○八四九減之若曰今日躔箕五度亦宜用五度率也則大謬不然矣夫日躔箕五度者乃三百餘年自箕十度退至箕五度也與冬至初度行至至後之五度何關如乆而日退於尾十九度亦將以尾十九度下之度率減之乎何悖戾不通如此之甚也夫以斯明白易曉者尚昧不知他何望焉授時厯至元辛巳黄道躔度十二交宮界守敬所測也至今三百餘年冬至日躔已退五度則宜另步日躔宮界另以赤道變黄道以合今時在天宮界從古厯家未有以三百年後仍用三百年前黄道者而何欽天監之茫然莫覺也考唐志云日躔宿度如郵傳之過宿度既差黄道隨而變矣元志云黄道宿度據歲差毎移一度依術推變嘉靖初樂頀掌監事上言厯經即歲差以推變黄道六十七年該推變一次本監失於推變頀又嘗語人云徃年在監未奉更正甚為遺憾頀有文集可考也胡大統不是之察也余以法推授時交宮界在赤道斗四度○九二八一二五加至後箕宿四十分得四度四九二八一二五以減至後赤道率四度三四四五餘一十四分八三一二五以黄道率乗之以赤道率一度○八四九而一得一十三分六十七秒加至後黄道四度共得四度一三六七為至後黄道交宮界度另置至後箕四十分以黄道率乗之以至後黄道初度下赤道一度○八六五而一得三十六分八一以減至後黄道交宮界度餘三度七六八六為黄道斗宿交入丑宮星紀界度由此法推女二度○六三八入子宮𤣥枵以次推至尾三度○一一五入寅宮析木此授時十二宮界也復以前法推萬厯己亥歳交宮界度斗三度七九八五入丑宮星紀以次推女二度○八九一入子𤣥枵以至尾二度九七九一入寅析木此己亥十二宮界也以己亥較授時入丑宮界差三百分矣今大統步今時之厯仍用授時日躔以致差謬如己亥一嵗十二宮有先天四五十刻者六七十刻者甚至秋正後太陽入辰宮授時步秋正後十日壬辰申初一刻入辰宮大統則步秋正後九日辛卯酉正三刻入辰宮先天八十餘刻隔一日矣然此猶就本率推之也如加消長所差尤多夫日躔乃厯家第一義今若此尚可以為厯乎元大都即今順天府授時大都測影夏至晝六十二刻夜三十八刻冬至晝夜刻反是我朝洪武初南京測影夏至晝五十九刻夜四十一刻冬至反是今欽天監以授時大都之厯法布洪武南京之刻漏冬夏二至各差三刻以故正統十四年厯冬夏至六十一刻想監官以漏記之覺其差而改者人駭以為異而不知為順天測影宜然之數也夫冬夏二至盈縮之始二至既差則分至以次皆差然則一朞之中盈縮損益有一日一時一刻之不參差者乎以是而頒行天下為民授時空使人夢中度日骨董□□也元史載至元十八年歲次辛巳為元上考徃古下驗將來皆距立元為算周歲消長百年各一其諸應等數隨時推測不用為元至明也辛巳至今三百餘年而大統止遵舊法一無測改元統且併其消長削去之以至中節相差九刻有竒兼以閏轉交三應雖經元甲午一改而猶未親密所當再正夫應一差則諸事俱差而以之步厯無一可者若差在旦暮間猶在本日若處夜當子半之交所差便隔一日如節氣差天一日則置閏差天一月閏差一月則時差一季時差一季則歲差一年其所係豈秒小哉且也恒氣既乖置閏失當將盈虚没滅建除滿平之類吉凶宜忌一切皆錯不可以為厯矣故守敬曰天有不齊之運而厯為一定之法所以既乆而不能不差既差則不可不改隆慶間監官周相亦曰今年逺數盈歲差天度失今不考所差必甚皆探本之論也大統厯氣朔差而年月日時分數俱差交宫差而七政四餘躔度俱差此其天人牴牾所關於三式之重二物之微者請得而備言之夫論太乙莫難於日計而日計壹稟於南至昔李淳風以積年日法演紀上元七政同㑹於子太乙諸神同在乾一宮自此而後散行於天七政各麗躔度太乙各入元局吉凶在焉考梁武帝天監三年甲申歲六月八日甲申帝召虞履樂茂言曰今日在太乙在八宮和徳為天目將外迫宮災輕無所畏也履茂退謂人曰外宮迫為外人迫也淳風步距積七億七百五十萬一千六十一日以紀除之入第五紀二十一日以授時推距積入紀二十二日乃六月朔丙子九日甲申非八日也是日太乙在八宮天目文昌在和徳主算三十二主大將在二宮主參將在六宮客目始擊在太蔟客算七客大將在七宮客參將在一宮計神在午乃文昌在太乙前外迫其禍大為是其推八日則日躔合朔之誤入局誤以推陽九百六十精等事皆誤此太乙之係於日至者也論遁甲亦稟於日至如萬厯己亥歲前冬至四十二日八刻求遁甲甲午符頭入局下元甲辰後二日丙午如用辛卯時求竒門以下元巽四宮步至甲申六宮乾以天心為直符開門為直使六宮起甲四宮見辛開門加巽離南得休坤西南得生為反吟六儀首戊加四宮蓬為丁竒芮為丙竒衝為乙竒以直符加兌順布艮東北乙竒會死門離正南丙竒㑹休門乾西北丁竒會杜門以直符加午順布太隂住坎六合住艮九地住離九天住坤掦兵於坤立營於離伏兵於坎退行於艮是也遁甲之起原於入局人不悟超神接氣之説而率以芒種大雪置閏則非矣盖九日之上有閏竒是冬至日去其元法十五日或一二三次或不及十五日無論上中下元餘九日以上至十五日其年有閏竒至閏竒之月必漏一局乃超神接氣自然之閏此竒門遁甲之係於日至者也論六壬亦稟於日至日至正然後日躔入宮正如萬厯己亥歳秋正後十日壬辰申初一刻日躔夀星之次入辰宮是日午時命占則宜仍用已將以巳加午順歩得戌壬酉戍卯辰寅卯為四課戌酉申為三傳初傳白虎中傳太常末傳𤣥武課名知一退茹斬關及取大統日躔先一日辛卯酉正三刻已入辰宮宜用辰時以辰加午順步得酉壬未酉寅辰子寅為四課寅子戌為三傳初傳六合中傳青龍末傳白虎課名元首間隔已將占乃疾病與武事九月應應而即沒辰將占則求財與文事起自正月没至九月其占原凶今反為吉占者見其不驗乃歸咎於術之不精不知為日躔之故此六壬之係於日至者也三式之外其要者又有星家占命堪輿家占隂陽氣朔差若立春值子半之交則子平人命年月日時四柱皆非矣日躔交宮差則太陽照命非太陽五星交宮差如大統之水星當伏而見當見而伏則五行生尅皆錯亂不準矣中節差則堪輿家所視擇年神方位及太陽到宮用以建都郡修城隍度陵寢開山放水一切天盤地盤之事皆不準矣又其要者譯天文書當今大法也盖以日躔之宮加所用之時視東方何宮何度出地平環上為主即用此宮安命定日以步田宅奴僕官禄相貌遷移福徳於上付之於七政四餘以視出地平環之宮何星為主又落何星及視各宮所落何星各主禍福如萬厯己亥歲秋正後十日壬辰午時用事是日申初一刻日躔夀星午時仍用巳將以巳加午順布地平環上是寅即以寅宫為主木星為命若以大統步之以辛卯日酉正三刻太陽已入辰宮以辰加午順布地平環上是丑以丑宮為主土星為命而六親俱差禍福無準矣不寧惟是即大統厯所載一切吉凶諸曜何者不準諸氣朔大統以氣朔後擇日日躔後定時今而氣朔失次干支易位也則吉凶其何適焉如立春隔日則年神方位俱差入氣九宫亦易躔離一乖則月中之角亢建除弦望没滅土王月忌離絶長短星四大良時之類皆非矣如隂盡之日兵家所忌謂晦也大統月晦暨月忌截諸吉日惟留祭祀破屋三五事至於没滅則大凶諸事不可用以類推之餘可知也且四大良時靈臺所重者如己亥嵗秋正後十日壬申申初一刻後日躔壽星之次宜用艮巽坤乾時申時已前仍屬鶉尾宜用甲丙庚壬時而臺厯則誤造辛卯酉正三刻後日已入辰宮用艮巽坤乾時則令人宜何從也諸如此類其應驗與否我不敢知然既載厯經則治術宜密矣昔鯀汨陳其五行以致彛倫攸斁天乃錫禹洪範九疇以叙彛倫一五行四五紀七稽疑稽用卜筮以決從違盖其慎也今國朝不用卜筮而朝賀之大典軍國之重事一切吉凶軍賓嘉之禮咸取決於靈臺靈臺每二月朔進上位厯七政厯月令厯壬遯厯又上吉日十二紙每月粘一紙於御屏是其任何專責何鉅也而今差謬若此則何以定天下之大業成天下之亹亹俾五行不汨五紀順軌彛倫攸叙耶夫葵心向日至子夜猶北拱知時莫如葵矣物固有之人亦宜然余向有一得獻之當宁欲正厯元以救其失而監官張應候等爭之謂已為無差且詆余為私習也曰私習者為庸人妄言天數者發而厯象授時之學正吾儒本業帝王不禁也五代萬分厯出於民間宋草澤布衣王學禮陳得一趙大猷等造厯上言厯官乃抵罪僉議召山林布衣造新厯從之草澤且然况有位乎且應候等爭言已與天道脗合交食準驗年愈逺而數愈真也使果如其説余曷樂於有言若等試一一如余所指以法布算果爾合否仰觀乾象果無愆否此可以口舌爭乎嗟嗟余憫重黎之道喪千歲之故失不得已而竭心力之窮補天人之闕非為私已也知我罪我吾何知亦付之天而已古今律厯考卷六十五
## 卷六十六
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十六 明 邢雲路 撰厯理一厯理二曜測一年之日得歲實測一月之日得月䇿以二十四氣除歲實得一氣之䇿以四除月䇿得弦策倍弦策為望策三因弦策為下弦策三歸氣策為候策三十日内減月䇿十六日内減氣䇿為盈虚策月策除歲實十二次餘為通閏四除歲實為氣象限四除周天度為天周象除歲實半之為半歲周象限加減極差二日四○一四為盈縮初末度以四時因五行得二十除歲周得土王用事策以四季正氣加之得土王用事日月策減二十八宿為宿䇿置所測歲實以距元乗之為中積加所測氣應為通積滿紀法去之為冬至中積加閏應滿月策去之為閏餘通積減閏餘滿紀法去之為經朔累加月策得各月經朔中積加所測轉應減閏餘滿轉終去之為疾厯如過轉中去轉中為遲厯累加月策累去轉終及轉中得各朔入轉半嵗周減閏餘為盈縮厯減後即為縮厯累加月策為各月盈縮厯如滿半嵗周減半嵗周是盈交縮縮交盈如盈縮厯滿盈縮初末限以減半歲周為盈縮末限累加月策得各盈縮厯中積加所測交應減閏餘滿交終去之為交泛累加月策累減交終得各月交泛以交終與月策相減餘半之為交後限以後限減交終為交前限半交終為交中即中限交中減後限為中前限加後限為中後限如交泛逢限則日月食視有食之月置經朔以盈縮遲疾二厯定加減二差以加減經朔為定朔以加減差加減遲疾厯為定入遲疾厯以至限一十二限二十乗之為定入遲疾限以法推之得行度内減八分二十秒為定限行度以月行平度乗交泛得交常度以盈縮差加減之為交定度如在七度已下三百四十二度已上日食在正交一百七十五度已上二百二度已下日食在中交半日五十刻内減定朔小餘分為午前分定朔小餘分内減半日五十刻餘為午後分以午前午後較半日五十刻餘以午前午後乗之以九十六刻而一得時差分午前減午後加加減定朔小餘分為食甚分午前午後加時差分為距午分以盈縮厯加定朔日及食甚分秒以減經朔日及分秒餘為食甚入盈縮厯以法推得盈縮行定度在象限已下為初限已上反減半歲周為末限或初或末自乗之以一千八百七十而一以減四度四十六分為南北泛差以距午分乗之以半晝分而一以減泛差為定差如泛差不及減者反減之應加作減差應減作加差在盈初縮末者正交為減差中交為加差縮初盈末反是定度無論初末限俱減半嵗周餘還以初末限乗之以千八百七十而一為東西泛差以距午分乗之以日周四之一而一如在泛差已下就為定差已上較泛差為東西定差盈厯午前縮厯午後正交為減差中交為加差縮厯午前盈厯午後正交為加差中交為減差正交三百五十七度六十四分或中交一百八十八度五分加減南北東西定差為定限度視交定度在正交已下者對減之為隂厯交前度已上者對減為陽厯交後度在中交已下者對減之為陽厯交前度已上者對減為隂厯交後度置隂八度陽六度内減交前或交後度餘以隂八十陽六十而一得日食分秒以日食既初虧至復圓定為二十分以減日食分秒餘以日食分秒乗之以平方開之以定法五十七刻七十分乗之以定限行度而一為定用分於食甚分減定用為初虧分加定用為復圓分月離陽道初虧西南食甚正南復圓東南月離隂道初虧西北食甚正北復圓東北日食八分已上初虧正西復圓正東日未出先虧未食甚復圓已入地謂之帶食如在昏刻者日入分與食甚分相減在晨刻者日出分與食甚分相減為帶食差以日食分秒乗之以定用分而一以減日食分秒在晨者為見食分在昏者為不見食甚或不見復圓分以盈縮行定度為黄道定度盈就為定度縮加半歲周加天正黄道以黄道鈐去之餘為食甚日躔黄道宿次以入朔交泛加望策即入望交泛經朔加望策即經望盈縮遲疾各加望策盈縮滿盈縮二限減半歲周遲疾滿轉中去之各以法推之得加減差以加減經望為定望以加減差加減遲疾厯為定入遲疾厯以法推得行度以減八分二十秒為定限行度交常交定度如日食法視日出日入晨分昏分之數又視卯酉前後定望小餘刻分在二十五刻已下為卯前已上減半日五十刻為卯後七十五刻已下減半日五十刻為酉前已上減日周百刻為酉後以百刻減卯酉前後分餘以百刻而一定為時差定望分加時差分為食甚定分交定度與中交度一百八十一度八十九分六十七秒較中交餘為陽厯交定餘為隂厯隂陽厯在後准十五度五十分已下為交後度在前准一百六十六度三十九分六十七秒已上為交前度置月食定度十三度五分減交前後度以八十七刻而一得月食分秒以月食既甚初虧至復圓定為三十分以減月食分秒餘以月食分秒乗之以平方開之以定法四十九刻二十分乗之以定限行度而一為定用分食甚減定用為初虧加定用為復圓此月食十分已下之率也如食十分已上者去十分以單分乗十五分餘以月食分秒乗之以平方開之以四十九刻二十分乗之以定限行度而一為既内分定用分減既内分為既外分食甚分減既内分為食既分加既内分為生光分食甚離陽道者初虧東北食甚正北復圓西北隂道者初虧東南食甚正南復圓西南食八分已上初虧正東復圓正西月未出地日未入地先虧或食既以食甚分與日入分相較餘為帶食差見食分月未食甚日已出地月已入地以食甚分與日出分相較餘為帶食差不見食分食既生光復圓亦然以月食分乗帶食差以定用分而一在晨為不見食分在昏為見食分以減月食分秒餘在晨為見食分在昏為不見食分食既生光亦然晨未食既先入地日已出不見食既未食甚先入地日已出不見食甚未生光先入地日已出不見生光未復圓先入地日已出不見復圓日未入地月未出已食若干分以盈縮定度為黄道定度縮厯就為定度盈厯加半嵗周加天正黄道以黄道鈐去之餘為月離黄道宿次此其數也求其理歲周者今歲日冬至所在之宿來歲復於端也月策者日月所㑹之期同宿同度謂之朔盖月行二十七日五十五刻有竒一周天又行二日弱凡二十九日五十三刻有竒追及於日也日自卑而漸髙曰盈盈過半曰末末至最髙自髙而漸卑曰縮縮過半曰末末至最卑縮而復盈也盈縮皆有平立差平者東西經行立者上下斜徃月亦如是也月行平分者遲疾之初髙卑者遲疾之末與日異也日有刻分十二時時有八刻二十分有竒故月以八百二十分為定率也日食時有差如食在午位其差少是人以目正視之也食在午前日在東月追及先期掩盡未合朔即食甚是人之目力自西視之故見其先時非日果先也食在午後日在東月後追雖對尚露合朔後方食甚是人之目力自東視之故見其後時非日果後也用九十六收者一時八刻十二時九十六刻也食甚加時差為距午者自食時至午時之數也南北東西泛差者泛然差也定差者得定數也正交者所起之端中交者居其衝也隂陽二厯黄道内外也黄道内為隂外為陽也在交道前食曰交前交道後食曰交後也隂陽二厯言月不言日也黄道内狹而長外闊而短故有隂八陽六之論也日食十分就日體也其六曜各有行分皆就日也隂八度陽六度隂定法八十陽定法六十皆謂十分之説也定用二十分者日食初虧至食甚十分食甚至復圓十分也二十分内減日食分秒仍以日食分秒乗之者就食體也平方開之得食體之方面也五十七刻四十分乗之者晨昏相距之數也定限行度而一者月度之數減者至初加者至復中分也月在陽道自西南追日故初虧西南復圓東南月在隂道自西北追日故初虧西北復圓東北食八分已上則當交道之中故虧正西復正東也月食言卯酉前後者昏距曉也止言中交不言正交者日所沖也不及中交者月在黄道外故曰陽過中交者月在黄道内故曰隂也後准者過交後之餘數前准者月未至交在交之前也月食十五分者自初虧至食甚也定三十分者自食甚至復圓也皆就日體之説也減而乗之平方開之復以四十九刻二十分乗之者昏距曉之數也月食十分已上謂之既去其十分以單分減十五分以食分乗之平方開之帶縱之術也食甚月當心值日當心食既月西輪齊日西輪生光月東輪齊日東輪忽焉光露而月復生也晨分倍者即昏距晨之夜刻也五歸更又五歸㸃盖以虧既甚生復之數在昏刻者於中減此五事餘以率去之即更㸃也此五夜中星各以時定也五星四餘之數前厯法説之詳矣其理則五星周率即周日也自前合距後合之日也中星度即平度也各以合伏遲疾留退之平度累加減之各得中星度也限度即入盈縮厯度也各以合伏遲疾留退限度累加之至後合得周日入厯度也是一周之日所積之度也以所積之日歸周日得度率度率者是一度平轄日數也以度率乗天周為厯率厯率者是天周之度轄天周之日也故以度率取厯率入盈縮厯也盈縮之數與日行一也合應者以前伏後見於其所積之日折取其中即星日周度合伏之期也以此定為合應也厯應者是合伏之日去冬至分之數也平立之差雖加減不同與日行亦一也四餘則大統以度率除一度為日行分累歸宿度為周積紫氣積一萬○二百二十七日一十七刻九十二分月孛三千二百三十一日九十六刻八十四分羅㬋計都六千七百九十三日四十四刻三十二分以合天周不協若以度率乗周天度得紫氣積一萬○二百二十七日二十一刻月孛三千二百三十一日九十七刻八十分羅㬋計都六千七百九十三日四十六刻三十六分方為正法是其理也古今律厯考卷六十六
## 卷六十七
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十七 明 邢雲路 撰厯原一厯原句股測天北京立四丈表冬至日測得正午景長七丈九尺八寸五分以凖繩於正南二千里立四丈表同時測得景長七丈九尺二寸四分問日下去地若干里答曰二萬六千二百二十九里一百八十二歩北京立四丈表夏至日測得景長一丈一尺七寸一分正南二千里景長一丈一尺四寸四分問日下去地若干里答曰五萬九千二百五十九里九十三步術置表長四丈以步法五尺而一得八步二表相距二千里以里法三百六十步通之得七十二萬步以表長八步因之得五百七十六萬步以步法五尺因之得二千八百八十萬為積實以冬至南北二表景相較得六寸一分為法除積實得四千七百二十一萬三千一百一十三尺一寸一分為出地尺寸以步法五尺而一得九百四十四萬二千六百二十二步為日下去地步以里法三百六十步而一得二萬六千二百二十九里一百八十二步合問以簡儀測到冬至日南至地平二十六度四十六分五十秒為半弧背以立天元一求得矢度五度九十一分半置周天半徑截矢餘五十四度九十六分為股乃地心去戴日下之股以弦股别句術求得句二十六度一十七分六十六秒為日下至地度為半弧弦即冬至日出地度以夏至南北二表景相較得二寸七分為法除前積實得一億○六百六十六萬六千六百六十六尺六寸六分以步法而一得二千一百三十三萬三千三百三十三步以里法而一得五萬九千二百五十九里九十三步合問以簡儀測到夏至日南至地平七十四度二十六分半為半弧背以立天元一求得矢度四十三度七十四分少置周天半徑截矢餘一十七度一十三分二十五秒為句乃地心去戴日下之句以句弦别股術求得股五十八度五十四分半為日下至地度為半弧弦即夏至日出地度此北京距南二千里所測之數也然九服所在天有低昂地有髙下時有四序須隨地隨時各以句股測算為凖測日置冬夏二至前後距所相對之日以圭表所測正午晷景日日識之計取甲子日期以相連或前或後二日之景相減為法仍以前後日之相對者各一日之景相減為實實如法而一冬至景前多後少為減差後多前少為加差夏至景前少後多為減差後少前多為加差皆加減相距日得數半之加半日刻命起日算外滿百刻為日餘以發斂收之為時刻及分假如元世祖至元十四年丁丑嵗冬至其年十一月十四日己亥景長七丈九尺四寸八分五釐五毫至二十一日丙午景長七丈九尺五寸四分一釐二十二日丁未景長七丈九尺四寸五分五釐以己亥丁未二日之景相較餘三分五毫為晷差進二位為實再以丙午丁未二日景相較餘八分六釐為法除實得三十五刻用減己亥距丁未八日是八十刻餘七百六十五刻折取其中加半日五十刻共得四百三十二刻半百約為日得四日餘以發斂收之得辰初三刻日命初起己亥日算外得癸夘日辰初三刻為丁丑嵗冬至若以甲子計之是三十九日三十二刻半就為此嵗氣應此取至前後四日景他倣此周琮論至前後日景差少不若取立冬立春二日之景以為去至日逺日差頗多易於推考為是然而古今所測冬夏至景分秒有不同者則各代尺分不同非景之故也測月其法大都與測日同然日測正午月則測月到天中自某日起至某日止以漏水記之以月行或最髙或最低前後距所相對之日圭表所測月到天中之晷以相連二日景相減為法仍以前後相對日景相減為實實如法而一最髙前少後多為減差前多後少為加差最低前多後少為減差前少後多為加差漏記積日起日至本日積若干刻加本日夜半後月到天心若干刻減起日夜半後月到天心若干刻實得若干刻各以加減差加減之得數半之命起日算外滿百刻為日以發斂收之為時刻及分為月到最髙或最低處以法布至月之遲疾毫無爽矣測歲實取前人所測實景所得冬至日時刻分秒計甲子算外得幾十幾日幾十幾刻分秒距今見測到天正冬至日時刻分秒共計幾十幾萬幾千幾百幾十幾日幾十幾刻分秒為實以相距積年為法而一得歲實假如元至元十七年庚辰歲冬十一月所測日景推得己未日夜半後六刻上取前劉宋大明五年辛丑冬十一月祖沖之所測日景推得十一月三日乙酉夜半後三十二刻六十九分為准以距至元庚辰積八百一十九年間共得二十九萬九千一百三十四日内加庚辰歲測到夜半後六刻内減去大明五年測到夜半後三十二刻六十九分餘二十九萬九千一百三十三日七十三刻三十一分為實以相距積年八百一十九而一得三百六十五日二十四刻二十六分五十三秒有竒為授時歲周測月策取古厯所測冬至日時刻真者距今日所測冬至日時刻為實另以相距積年若干乗每歲之閏法三分六十八秒二十八微得數定以十分為月得閏月若干月及分秒寄位以積年乗每歲十二月得若干月加寄位之閏月分共得數為法除前實得數為月策閏法者是一章十九年不及七閏祖沖之以二十章及十一年中該閏一百四十四月故曰章閏二十章及十一年共三百九十一年故曰章歲以章歲除章閏得一嵗之閏分故曰閏法至今厯家遵用之測轉終及轉應視月在天以大星距而測之識在某宿某度分秒日時刻數待二十六七日又測月在某宿某度分秒日時刻數一嵗之中十三周有竒十嵗之中一百三十二周有竒百嵗之中一千三百二十五周有竒千嵗之中約一萬三千二百五十五周取前人史載月凌犯某宿某星真者幾事累計之以前人所測月到日時刻分距今所測月到日時刻分共積幾十幾萬幾千幾百幾十幾日時刻分為實另置萬章之月周二百五十一萬八千四百七十二以十九萬除之得每嵗月周一十三周二五五一一七以相距積年若干年乗之得月周若干周為法以除前實得轉終以轉終初起之半處即轉應測交終置古厯所測冬至距今所測冬至積日為實另置萬章之中月與日道交二百五十五萬○一百八十一交以十九萬除之得每嵗月交十三交四二二○○五二六以相距積年若干年乗之得月交若千交為法以除前實得交終測交泛及交應或日食或月食驗在某宿某度分秒距交道幾度分秒以月平行度而一得幾十幾刻分秒如交道在前為交後分加交道在後為交前分減皆加減交終或交中為交道所食之處得數即交泛分看是何月如求本年十一月朔交泛以距月月數因朔交差有閏加一得數以加本月朔交泛得十一月朔交泛就加此月閏餘為交應測經朔及閏應或日食或月食以漏計之至食甚刻分為實如是盈遲作減差以減實是縮疾作加差以加實如午前加時差午後減時差就為經朔分看是何月以距月月數因朔實有閏加一得數以加本月經朔滿紀去之得十一月經朔以減月中氣餘為閏餘即閏應古今律厯考卷六十七
## 卷六十八
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十八 明 邢雲路 撰厯原二厯原紀日躔月離平立差之原紀日躔太陽冬至前後盈初縮末平立差六段所測積日盈初縮末八十八日九十一刻計六段測以六除之得每段積日一十四日八十二刻就整(就整者以零少不能上也)第一段積日一十四日八十二分(分即刻)第二段積日二十九日六十四分第三段積日四十四日四十六分第四段積日五十九日二十八分第五段積日七十四日一十分第六段積日八十八日九十二分六段所測積差分盈初縮末八十八日九十一刻以六段測每段下實測晷差若干為各段積差分如第一段積差七千○五十八分○二五乃是測晷至十四日八十二比初日所差之數餘倣此第一段積差七千○五十八分○二五第二段積差一萬二千九百七十六分三九二第三段積差一萬七千六百九十三分七四六二第四段積差二萬一千一百四十八分七三二八第五段積差二萬三千二百七十九分九九七第六段積差二萬四千○二十六分一八四六段平差分(乃平積差)置第一段下積分七千○五十八分○二五(七千為七十刻)即以第一段積日一十四日八十二除之得四百七十六分二十五秒為第一段平差分(四百為四刻)是毎日平差置第二段下積分一萬二千九百七十六分三九二即以第二段積日二十九日六十四除之得四百三十七分八十秒為第二段平差分置第三段下積分一萬七千六百九十三分七四六二即以第三段積日四十四日四十六除之得三百九十七分九十七秒為第三段平差分置第四段下積分二萬一千一百四十八分七三二八即以第四段積日五十九日二十八除之得三百五十六分七十六秒為第四段平差分置第五段下積分二萬三千二百七十九分九九七即以第五段積日七十四日一十除之得三百一十四分一十七秒為第五段平差分置第六段下積分二萬四千○二十六分一八四即以第六段積日八十八日九十二除之得二百七十○分二十秒為第六段平差分各段一差置第一段平差分四百七十六分二十五秒與第二段平差分四百三十七分八十秒前後相減餘三十八分四十五秒為第一段一差(乃初日至一十四日八十二刻共差之數)置第二段平差分四百三十七分八十秒與第三段平差分三百九十七分九十七秒前後相減餘三十九分八十三秒為第二段一差(乃第十四日八十二刻至第二十九日六十四刻共差之)(數)置第三段平差分三百九十七分九十七秒與第四段平差分三百五十六分七十六秒前後相減餘四十一分二十一秒為第三段一差(乃第二十九日六十四刻至第四十四日四十六刻)(共差之數)置第四段平差分三百五十六分七十六秒與第五段平差分三百一十四分一十七秒前後相減餘四十二分五十九秒為第四段一差(乃第四十四日四十六刻至第五十九日二十八刻)(共差之數)置第五段平差分三百一十四分一十七秒與第六段平差分二百七十分二十秒前後相減餘四十三分九十七秒為第五段一差(乃第五十九日二十八刻至第七十四日一十刻共差之數)各段二差置第一段一差三十八分四十五秒與第二段一差三十九分八十三秒前後相減餘一分三十八秒為第一段二差置第二段一差與第三段一差四十一分二十一秒相減第三段一差與第四段一差四十二分五十九秒相減第四段一差與第五段一差四十三分九十七秒相減俱餘一分三十八秒為各段二差(此乃是每日所差之)(數)各段平差一差二差立成於後置第一段平差四百七十六分二十五秒為泛平積以第一段一差三十八分四十五秒加減第一段二差一分三十八秒(前多後少加後多前少減)今前少應於三十八分四十五秒内減一分三十八秒餘三十七分○七秒為泛平積差另以二除第一段二差一分三十八秒(即折半)得六十九秒為泛立積差置泛平積四百七十六分二十五秒加減泛平差三十七分○七秒(前多後少加後多前少減)今前多應於四百七十六分二十五秒内加三十七分○七秒共積五百一十三分三十二秒為定平積(即定差五百一十三萬三千二百數)置泛平差三十七分○七秒加減泛立差六十九秒(前多)(後少加後多前少減)今前少應於三十七分○七秒内減六十九秒餘三十六分三十八秒為定平差置泛立差六十九秒以段日一十四日八十二除二次得三十一分(有零不用)為日立差(分即微)置定平差三十六分三十八秒以段日一十四日八十二除一次得二分四十六秒(有零不用)為日定平差(萬定分)置立差三十一分以六因之得一百八十六分為加分立差(百定秒)置平差二分四十六秒倍之得四分九十二秒再加加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微為平立合差置定平積差五百一十三分三十二秒内減平差二分四十六秒再減立差三十一微餘五百一十○分八十五秒六十九微為加分定差得盈初縮末平立差之原太陽夏至前後縮初盈末平立差六段所測積日縮初盈末九十三日七十一刻計六段測以六除之得每段積日一十五日六十二刻就整第一段積日一十五日六十二分第二段積日三十一日二十四分第三段積日四十六日八十六分第四段積日六十二日四十八分第五段積日七十八日一十分第六段積日九十三日七十二分六段所測積差分縮初盈末九十三日七十一刻以六段測每段下實測晷差各若干第一段積差七千○百五十八分九九○四第二段積差一萬二千九百七十八分六五八第三段積差一萬七千六九六六七九第四段積差二萬一千一百五○七二九六第五段積差二萬三千二七八四八六第六段積差二萬四千○一七六二四四六段平差分置第一段下積分七千○百五十八分九九○四即以第一段積日一十五日六十二除之得四百五十一分九十二秒為第一段平差分(後倣此)第二段平差得四百一十五分四十五秒第三段平差得三百七十七分六十五秒第四段平差得三百三十八分五十二秒第五段平差得二百九十八分○六秒第六段平差得二百五十六分二十七秒各段一差置第一段平差分四百五十一分九十二秒與第二段平差分四百一十五分四十五秒前後相減餘三十六分四十七秒為第一段一差(後倣此)第二段一差得三十七分八十秒第三段一差得三十九分一十三秒第四段一差得四十分四十六秒第五段一差得四十一分七十九秒各段二差置第一段一差三十六分四十七秒與第二段一差三十七分八十秒前後相減餘一分三十三秒為第一段二差餘倣此取數俱同為各段二差置第一段平差四百五十一分九十二秒為泛平積以第一段一差三十六分四十七秒加減第一段二差一分三十三秒(前多後少加後多前少減)今前少於三十六分四十七秒内減一分三十三秒餘三十五分一十四秒為泛平積差另以二除第一段二差一分三十三秒得六十六秒五十微為泛立積差置泛平積四百五十一分九十二秒加減泛平差三十五分一十四秒(前多後少加後多前少減)今前多應於四百五十一分九十二秒内加三十五分一十四秒共積四百八十七分○六秒為定平積置泛平差三十五分一十四秒加減泛立差六十六秒五十微(前多後少加後多前少減)今前少應於三十五分一十四秒内減六十六秒五十微餘三十四分四十七秒五十微為定平差置泛立差六十六秒五十微以段日一十五日六十二除二次得二十七分為日立差置定平差三十四分四十七秒五十微以段日一十五日六十二除一次得二分二十一秒為日定平差置立差二十七分以六因之得一百六十二分為加分立差置平差二分二十一秒倍之得四分四十二秒加入加分立差一秒六十二微共得四分四十三秒六十二微為平立合差置定平積差四百八十七分○六秒内減平差二分二十一秒再減立差二十七微餘四百八十四分八十四秒七十三微為加分定差得縮初盈末平立差之源紀月離太隂遲疾平立差七段所測積限轉周日二十七日五十五刻四十六分計七段測分四象四七該二十八段每段十二限每一象八十四限共一周四象該三百三十六限置轉周日二十七日五十五刻四十六分以四象除之得每象六日八八八六五就整為七日即七段也每段十二限即每日積十二限(月與日立法同但太陽盈縮異數太陰則無遲疾之殊)第一段積限一十二限第二段積限二十四限第三段積限三十六限第四段積限四十八限第五段積限六十限第六段積限七十二限第七段積限八十四限七段所測遲疾度每象八十四限以七段測每段十二限各段下實測晷差若干為各段遲疾度差分如第一段遲疾差一度二十八分七一二乃是測晷至十二限比初限所差之數餘倣此第一段積差一度二十八分七一二第二段積差二度四十五分九六一六第三段積差三度四十八分三七九二第四段積差四度三十二分五九五二第五段積差四度九十五分二四第六段積差五度三十二分九四四第七段積差五度四十二分三三七六七段平差分置第一段下遲疾度一度二十八分七一二即以第一段積限一十二限除之得一十○分七十二秒六十微為第一段平差分置第二段下積差二度四十五分九六一六即以第二段積限二十四限除之得一十○分二十四秒八十四微為第二段平差分置第三段下積差三度四十八分三七九二即以第三段積限三十六限除之得九分六十七秒七十二微為第三段平差分置第四段下積差四度三十二分五九五二即以第四段積限四十八限除之得九分○一秒二十四微為第四段平差分置第五段下積差四度九十五分二四即以第五段積限六十限除之得八分二十五秒四十微為第五段平差分置第六段下積差五度三十二分九四四即以第六段積限七十二限除之得七分四十○秒二十微為第六段平差分置第七段下積差五度四十二分三三七六即以第七段積限八十四限除之得六分四十五秒六十四微為第七段平差分各段一差置第一段平差分一十○分七十二秒六十微與第二段平差分一十○分二十四秒八十四㣲前後相減餘四十七秒七十六㣲為第一段一差置第二段平差分一十○分二十四秒八十四㣲與第三段平差分九分六十七秒七十二微相減餘五十七秒一十二㣲為第二段一差置第三段平差分九分六十七秒七十二微與第四段平差分九分○一秒二十四微相減餘六十六秒四十八㣲為第三段一差置第四段平差分九分○一秒二十四㣲與第五段平差分八分二十五秒四十㣲相減餘七十五秒八十四微為第四段一差置第五段平差分八分二十五秒四十微與第六段平差分七分四十○秒二十微相減餘八十五秒二十微為第五段一差置第六段平差分七分四十○秒二十微與第七段平差分六分四十五秒六十四微相減餘九十四秒五十六微為第六段一差各段二差置第一段一差四十七秒七十六微與第二段一差五十七秒一十二微前後相減餘九秒三十六微為第一段二差置第二段一差與第三段一差六十六秒四十八微相減第三段一差與第四段一差七十五秒八十四微相減第四段一差與第五段一差八十五秒二十微相減第五段一差與第六段一差九十四秒五十六微相減俱餘九秒三十六微為各段二差各段平差一差二差立成於後置第一段平差一十○分七十二秒六十微為泛平積以第一段一差四十七秒七十六微加減第一段二差(前多後少加後多前少減)今前少應於四十七秒七十六微内減九秒三十六微餘三十八秒四十微為泛平積差另以二除第一段二差九秒三十六微(即折半)得四秒六十八微為泛立積差置泛平積一十○分七十二秒六十微加減泛平差三十八秒四十微(前多後少加後多前少減)今前多應於一十○分七十二秒六十微内加入三十八秒四十微共積一十一分一十一秒為定平積置泛平差三十八秒四十微加減泛立差四秒六十八微(前多後少加後多前少減)今前少應於三十八秒四十微内減四秒六十八微餘三十三秒七十二微為定平差置泛立差四秒六十八微以段限一十二限除二次得三微二十五纖為限立差置定平差三十三秒七十二微以段限一十二限除一次得二秒八十一微為限定平差置立差三微二十五纖以六因之得一十九微五十纖為損益立差置平差二秒八十一微倍之得五秒六十二微再加損益立差一十九微五十纖共得五秒八十一微五十纖為平立合差置定平積差一十一分一十一秒内減平差二秒八十一微再減立差三微二十五纖餘一十一分○八秒一十五微七十五秒為加分定差得遲疾平立差之原(以上)(授時舊法)又法(新立)推盈初縮末定差平差立差以所測就整之數盈初縮末八十八日九十二刻分為六段毎段得一十四日八十二刻二因為二段積日三因為三段積日四因為四段積日五因為五段積日術置段日下積差以多減少得一差置一差以多減少得二差置二差以多減少得三差則數皆同矣以四因三差得二刻四二一六八四四四以減一段二差餘九刻五九五○七一八六折半得四刻七九七五三五九三寄位以六歸三差得一十○分○九○二八五一七加前寄位數再加一段二差及一差共得七十六刻○七四○二四以一段積日一十四日八十二刻而一得五刻一十三分三十二秒為定差倍三差得一刻二一○八四二二二以減一段二差餘一十○刻八○五九一四一以一段積日一十四日八十二刻歸除二次得四分九十二秒為平差置三差以一段積日一十四日八十二刻歸除三次得一秒八十六微為立差推縮初盈末定差平差立差以所測就整之數縮初盈末九十三日七十二刻分為六段每段一十五日六十二刻二至五因同以四因三差得二刻四六九五五一五三二以減一段二差餘九刻五四九三三四七一九折半得四刻七七四六六七三五九五寄位以六歸三差得一十○分二八九七九八○五加前寄位數再加一段二差及一差共得七十六刻○七八七七二○○五以一段積日一十五日六十二刻而一得四刻八十七分○六秒為定差倍三差得一刻二三四七七五七六六以減一段二差餘一十○刻七八四一一○四八五以一段積日一十五日六十二刻歸除二次得四分四十二秒為平差置三差以一段積日一十五日六十二刻歸除三次得一秒六十二微為立差推盈縮差置立差以盈縮厯乗之三而一加平差再以盈縮厯乗之折半用減定差再以盈縮厯乘之為盈縮差又法置立差六而一以盈縮厯乘之以平差折半加内再以盈縮厯乘之用減定差再以盈縮厯乘之為盈縮差推遲疾定差平差立差置八十四限以七日而一得一十二限以二因至六因得各段下限數積限 積差一段 一十二限 一度二八七一二二段 二十四限 二度四五九六一六三段 三十六限 三度四八三七九二四段 四十八限 四度三二五九五二五段 六十○限 四度九五二四六段 七十二限 五度三二九四四七段 八十四限 五度四二三三七六一差 二差 三差一段 一度一七二四九六 一十四分八三二 三分三六九六二段 一度○二四一七六 一十八分二○一六 三分三六九六三段 八十四分二一六 二十一分五七一二 三分三六九六四段 六十二分六四四八 二十四分九四○八 三分三六九六五段 三十七分七○四 二十八分三一○四六段 九分三九三六以四因三差得一十三分四七八四減一段二差餘一分三五三六折半得六十七秒六十八微寄位以六歸三差得五十六秒一十六微加前寄位再加一段二差及一差共得一度三十三分三十二秒以段積限一十二限而一得一十一分一十一秒為定差以倍三差得六分七十三秒九十二微以減一段二差餘八分○九二八以一段積限一十二限歸除二次得五秒六十二微為平差置三差以一段積限一十二限歸除三次得一十九微半為立差推遲疾差置立差以遲疾限乘之得數以三而一加平差再以遲疾限乘之得數折半以減定差餘數再以遲疾限乘之得數為遲疾差又法置立差以六而一得三微二五以遲疾限乘之得數加半平差二秒八十一微再以遲疾限乘之得數減定差餘數再以遲疾限乘之得數為遲疾差推盈縮遲疾定差平差立差各置第一段三差四之以減第一段二差半之寄位以六歸第一段三差加前寄位再加第一段二差及一差以第一段積日而一為定差各置第一段三差倍之以減第二段二差以第一段積日歸除二次為平差各置第一段三差以第一段積日歸除三次為立差右測晷厯原授時舊法先分後減似覺煩瑣而新立之法不分徑減為便故兩存之古今律厯考卷六十八
## 卷六十九
欽定四庫全書
古今律厯考卷六十九 明 邢雲路 撰厯原三厯原求黄赤道弧矢勾股割圓差率度周天徑一百二十一度七十五分少(少不用)半徑六十○度八十七分半(又黄赤道大弦又立勾股弦)黄赤道内外半弧背二十四度(所測就整)黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒黄赤道大勾二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度二分六十八秒(又為立股)如問半弧背一度下黄赤道矢度若干答曰八十二秒(微以下不用)術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背冪置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度六分二十五秒為徑冪(又為上廉)置二冪相乘得一萬四千八百二十三度○六二五為正實置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周徑一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方置半弧背一度倍之得二度以周徑乘之得二百四十三度五十分為下廉初商八十秒置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從方置初商八十秒自之得六十四微以減下廉餘二百四十三度四九九九三六以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八為從廉併從方共得一百八十○萬四千五百九十一度二二二八七四四八八為下法除正實餘實三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六(置秒自之得微者葢八十秒自之原得六十四分以萬定分定萬秒為分)(筭得微也餘同)次商二秒置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一三三六一二五以減益從方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五為從方置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒自之之數得一秒三十一微以減下亷二百四十三度五十分餘二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七八七七八為從亷併從方共得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下法除餘實又餘實二十五度四三八三(不足一秒不用下同)是求得矢度八十二秒即授時厯元所謂立天元一也問黄道半弧背一度下赤道積度若干答曰一度○八分六十五秒術曰置半徑六十○度八十七分五十秒(又為黄赤道大弦)内減矢度八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道小弦置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六十八秒乘之得三千四百一十○度一七二○三○二四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得五十六度○一分九十二秒為黄赤道小股(又為赤道小勾)置矢度八十二秒自之得六十七微以周天徑一百二十一度太而一得五十五纖為黄道半背弦差(微以下不)(用下同)置黄道半弧背一度内減黄道半背弦差餘為黄道半弧弦(今黄道半背弦差在微以下所以不減)即為黄道半弧弦置黄道半弧弦一度自之得一度為弦冪置黄赤道小股五十六度○一分九二自之得三千一百三十八度一十五分○七六八六四為股冪置二冪相併得三千一百三十九度一五○七六八六四以平方法開之得五十六度○二分八一為赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦一度以黄赤道大弦乘之得六十○度八七五以赤道小弦五十六度○二八一而一得一度○八分六十五秒為赤道半弧弦置黄赤道小股五十六度○一九二(又為赤道横小勾)以乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百一十○度一六八八以赤道小弦五十六度○二分八一而一得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大勾置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度八六五三餘九十七秒為赤道横弧矢置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以周天徑而一得七十七纖為赤道背弦差置赤道半弧弦一度○八分六十五秒内加赤道背弦差為赤道積度(今赤道背弦差在微以下不加)即為赤道積度是求得赤道積度一度○八分六十五秒問半弧背二度下黄赤道矢度若干答曰三分二十八秒術曰置半弧背二度自之得四度為半弧背冪置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪(又為上廉)置二冪相乘得五萬九千二百九十二度二五為正實置徑冪一萬四千八百二十三度○六二五以周天徑一百二十一度太乘之得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方置半弧背倍之得四度以周天徑一百二十一度太乘之得四百八十七度為下廉初商三分置初商三分乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得四百四十四度六九一八七五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千二百六十三度一六七五為從方置初商三分自之得九秒以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九九一以初商三分乘之得一十四度六○九九七三為從廉併從方共得一百八十○萬四千二百七十七度七十七分七四七三為下法除正實餘實五千一百六十三度九一六六七五八一次商二十秒置初商三分倍之加次商二十秒得六分二十秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百一十九度○二九八七五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬三千七百八十八度八十二分九十五秒為從方置初次商三分二十秒自之得一十○秒二四加初商三分自之之數得一十九秒二四以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九八○七六以前所得六分二十秒乘之得三十○度一九三八八○七一二為從廉併從方共得一百八十○萬三千八百一十九度○二三三八○七一二為下法除餘實又餘實一千五百五十六度二七八六二九○五又商八秒置初次商三分二十秒倍之得六分四十秒加三商八秒共得六分四十八秒乘上廉一萬四千八百二十三度○六二五得九百六十○度五三四四五以減益從方餘一百八十○萬三千七百四十七度三二四九二五為從方置初次三商三分二十八秒自之得一十○秒七五八四加初次商三分二十秒自之得一十○秒二四内共得二十○秒九九八四以減下廉四百八十七度餘四百八十六度九九七九○○一六以六分四十八秒乘之得三十一度五五七四六三九三為從廉併從方得一百八十○萬三千七百七十八度八八二三八八九三為下法除餘實又餘實一百一十三度二五五五是求得矢度三分二十八秒問半弧背二度下赤道積度若干答曰二度一十七分二十八秒術曰置半徑六十○度八七五(又為黄赤道大弦)内減矢度三分二十八秒餘六十○度八十四分二十二秒為黄赤道小弦置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六八乘之得三千四百○八度七九三七七○九六以黄赤道大弦而一得五十五度九九六六一二為黄赤道小股(又為赤道小勾)置矢度三分二十八秒自之得一十○秒七五八四以周天徑一百二十一度太而一得八微八為黄道半背弦差置黄道半背二度内減黄道半背弦差餘為黄道半弧弦(今黄道半背弦差在微以下不減)即為黄道半弧弦置黄道半弧弦二度自之得四度為弦冪置黄赤道小股五十五度九九六六一二自之得三千一百三十五度六二○五五五四七為股冪置二冪相併得三千一百三十九度六二○五五五四七以平方法開之得五十六度○三二三一六為赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦二度以黄赤道大弦乘之得一百二十一度七五以赤道小弦五十六度○三二三一六而一得二度一十七分二十八秒為赤道半弧弦置黄赤道小股五十五度九九六六一二(又為赤道横小勾)以乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百○八度七九三七五五五以赤道小弦五十六度○三二三一六而一得六十○度八三六二為赤道横大勾置半徑六十○度八七五内減赤道横大勾六十○度八三六二餘三分八十八秒為赤道横弧矢置赤道横弧矢自之得一十五秒○四六六四以周天徑而一得一十二微為赤道背弦差置赤道半弧弦二度一十七分二十八秒内加赤道背弦差為赤道積度(今赤道背弦差在微以下不加)即為赤道積度是求得赤道積度二度一十七分二十八秒置一度下積度一度○八分六十五秒與二度下積度二度一十七分二十八秒相減餘一度○八分六十三秒為黄道一度下赤道度率後皆倣此置一度下矢度八十二秒與二度下矢度三分二十八秒相減餘二分四十六秒為黄道一度下差率後皆倣此問半弧背二十四度下黄赤道矢度若干答曰四度八十四分八十二秒術曰置半弧背二十四度自之得五百七十六度為半弧冪置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪(又為上廉)置二冪相乘得八百五十三萬八千○百八十四度為正實置徑冪以周天徑乘之得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方置半弧背倍之得四十八度乘周徑一百二十一度太得五千八百四十四度為下廉初商四度置初商四度乘上廉得五萬九千二百九十二度二十五分以減益從方餘一百七十四萬五千四百一十五度六○九三七五為從方置初商四度自之得一十六度以減下廉餘五千八百二十八度以四度乘之得二萬三千三百一十二度為從廉併從方共得一百七十六萬八千七百二十七度六○九三七五為下法除正實餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒次商八十分置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八十分乘上廉得一十三萬○四百四十二度九五以減益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九○九三七五為從方置初次商四度八十分自之得二十三度○四加初商四度自之之數得三十九度○四以減下廉餘五千八百○四度九六以乘八度八十分得五萬一千○八十三度六四八為從廉併從方共得一百七十二萬五千三百四十八度五五七三七五為下法除餘實又餘實八萬二千八百九十四度七一六六又商四分置初次商四度八十分倍之加又商四分得九度六四乘上廉得一十四萬二千八百九十四度三二二五減益從方餘一百六十六萬一千八百一十三度五三六八七五為從方置初次三商四度八十四分自之得二十三度四二五六加初次商自之之數共得四十六度四六五六以減下廉餘五千七百九十七度五三四四以乘九度六十四分得五萬五千八百八十八度二三一六一六為從廉併從方共得一百七十一萬七千七百○一度七六八四九一為下法除餘實又餘實一萬四千一百八十六度六四五八六○三六又商八十秒置初次三商四度八十四分倍之加又商八十秒共得九度六十八分八十秒乘上廉得一十四萬三千六百○五度八二九五以減益從方餘一百六十六萬一千一百○二度○二九八七五為從方置初次三四商四度八十四分八十秒自之得二十三度五○三一○四加初次三商自之之數共得四十六度九二八七○四以減下廉餘五千七百九十七度○七一二九六以乘九度六八八得五萬六千一百六十二度○二六七一五六四八為從廉併從方共得一百七十一萬七千二百六十四度○五六五九○六四八為下法除餘實又餘實四百四十八度五三三四○七六三四八一六又商二秒置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九度六十九分六二以乘上廉得一十四萬三千七百二十七度三七八六一二五以減益從方餘一百六十六萬○九百八十○度四八○七六二五為從方置初次三四五商得四度八四八二自之得二十三度五○五○四三二四加初次三四商自之之數共得四十七度○○八一四七二四以減下廉餘五千七百九十六度九九一八五二七六以乘九度六九六二得五萬六千二百○八度七九二四○二七三一五一二為從廉併從方共得一百七十一萬七千一百八十九度二七三一六五二三一五一二為下法除餘實又餘實一百○五度○九五五五三是求得矢度四度八十四分八十二秒問半弧背二十四度下赤道積度若干答曰二十五度七十七分五十二秒術曰置周天半徑内減矢四度八四八二餘五十六度○二六八為黄赤道小弦(即黄赤道大股)置黄赤道小弦與黄赤道大股相乘(今同即自之)得三千一百三十九度○○二三一八以半徑而一得五十一度五六四七為黄赤道小股置矢度四度八四八二自之得二十三度五○五以周天徑而一得一十九分三為黄赤道背弦差在半弧背二十四度内減之餘二十三度八○七為黄道半弧弦(又為黄赤道大勾)自之得五百六十六度七七三二四九為弦冪置黄赤道小股自之得二千六百五十八度九一八二八六○九為股冪併弦冪共得三千二百二十五度六九一五三五○九以平方法開之得五十六度七十九分五十一秒為赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦以半徑乘之得一千四百四十九度二五一一二五以赤道小弦而一得二十五度五一七一為赤道半弧弦置黄赤道小股五十一度五六四七以乘半徑得三千一百三十九度以赤道小弦而一得五十五度二六八八為赤道横大勾在半徑内減之餘五度六○六二為赤道横弧矢自之得三十一度四二九四七八四四以周天徑而一得二十五分八十一秒為赤道背弦差加入赤道半弧弦内共得二十五度七十七分五十二秒為赤道積度是求得赤道積度二十五度七十七分五十二秒問半弧背四十四度下矢度若干答曰一十六度五十六分八十二秒術曰置周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六二五為徑冪(又為上廉)置半背四十四度自之得一千九百三十六度為半弧背冪以乘徑冪得二千八百六十九萬七千四百四十九度為正實置徑冪以乘周天徑得一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五為益從方置半弧背倍之得八十八度以乘周徑得一萬○七百一十四度為下廉初商一十度置初商乘上廉以減益從方餘一百六十五萬六千四百七十七度二三四三七五為從方置初商自之得一百度以減下廉餘一萬○六百一十四度以初商一十度乘之得一十○萬六千一百四十度為從廉併從方共得一百七十六萬二千六百一十七度二三四三七五為下法除正實餘實一千一百○七萬一千二百七十六度六五六二五次商六度置初商倍之得二十度加次商六度共得二十六度以乘上廉得三十八萬五千三百九十九度六二五以減益從方餘一百四十一萬九千三百○八度二三四三七五為從方置初次商得一十六度自之得二百五十六度加初商自之之數共得三百五十六度以減下廉餘一萬○三百五十八度以乘二十六度得二十六萬九千三百○八度為從廉併從方共得一百六十八萬八千六百一十六度二三四三七五為下法除餘實又餘實九十三萬九千五百七十九度二五又商五十分置初次商倍之加三商五十分共得三十二度五乘上廉得四十八萬一千七百四十九度五三一二五以減益從方餘一百三十二萬二千九百五十八度三二八一二五為從方置初次三商得一十六度五自之得二百七十二度二五加初次商自之之數共得五百二十八度二五以減下廉餘一萬○一百八十五度七五以乘三十二度五得三十三萬一千○三十六度八七五為從廉併從方共得一百六十五萬三千九百九十五度二○三一二五為下法除餘實又餘實一十一萬二千五百八十一度六四八四三七五又商六分置初次三商倍之加又商六分共得三十三度○六乘上廉得四十九萬○○五○四四六二五以減益從方餘一百三十一萬四千六百五十七度四一三一二五為從方置初次三四商得一十六度五六自之得二百七十四度二三三六加初次三商得一十六度五自之之數共得五百四十六度四八三六以減下廉餘一萬○一百六十七度五一六四以乘三十三度○六得三十三萬六千一百三十八度○九二一八四為從廉併從方共得一百六十五萬○七百九十五度五○五三○九為下法除餘實又餘實一萬三千五百三十三度九一八一一八九六又商八十秒置初次三四商得一十六度五六倍之加又商八十秒共得三十三度一二八乘上廉得四十九萬一千○五十八度四一四五以減益從方餘一百三十一萬三千六百四十九度四四四八七五為從方置初次三四五商得一十六度五六八自之得二百七十四度四九八六二四加初次三四商得一十六度五六自之之數共得五百四十八度七三二二二四以減下廉餘一萬○一百六十五度二六七七七六以乘三十三度一二八得三十三萬六千七百五十四度九九○八八三三二八為從廉併從方共得一百六十五萬○四百○四度四三五七五八三二八為下法除餘實又餘實三百三十○度六八二六三二八九三三七六又商二秒置初次三四五商倍之加又商二秒共得三十三度一三六二乘上廉得四十九萬一千一百七十九度九六三六一二五以減益從方餘一百三十一萬三千五百二十七度八九五七六二五為從方置初次三四五六商得一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四加初次三四五商得一十六度五六八自之之數共得五百四十九度○○三八七五二四以減下廉餘一萬○一百六十四度九九六一二四七六以乘三十三度一三六二得三十三萬六千八百二十九度二四四五八九二六為從廉併從方共得一百六十五萬○三百五十七度二四○三五一七六為下法除餘實又餘實六十一分是求得矢度一十六度五十六分八十二秒問半弧背四十四度下赤道積度若干答曰四十六度三十分八十五秒術曰置周天半徑内減矢度一十六度五六八二餘四十四度三○六八為黄赤道小弦置黄赤道小弦以乘黄赤道大股得二千四百八十二度三六八二二二二四以黄赤道大弦而一得四十○度七七八一為黄赤道小股置矢度一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四以圓徑而一得二度二五四六為黄赤道背弦差以減半弧背四十四度餘四十一度七四五四為黄道半弧弦(又為赤道小股)自之得一千七百四十二度六七八四二一一六為弦冪置黄赤道小股四十○度七七八一自之得一千六百六十二度八五三四三九六一為股冪併弦冪共得三千四百○五度五三一八六○七七以平方法開之得五十八度三五六九為赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦四十一度七四五四以乘半徑得二千五百四十一度二五一二二五以赤道小弦而一得四十三度五十四分六十七秒為赤道半弧弦置黄赤道小股四十○度七七八一(又為赤道小勾)乘半徑得二千四百八十二度三六六八三七五以赤道小弦而一得四十二度五十三分七六為赤道横大勾以減半徑餘一十八度三三七四為赤道弧矢自之得三百三十六度二六○二三八七六以圓徑而一得二度七六一八為赤道背弦差加入赤道半弧弦内共得四十六度三○八五為赤道積度是求得赤道積度四十六度三○八五以新法密率推周天徑一百一十六度八十四分五十秒(就整)黄道内外半弧背二十四度(所測就整)黄赤道大弦五十八度四十二分二十五秒(即半徑又名勾股弦)黄赤道弧矢五度○五分八十秒黄赤道大句二十三度七十七分八十五秒(即半弧弦)黄赤道大股五十三度三十六分四十五秒(以矢減大弦得)問黄赤道内外二十四度為半弧背為矢若干答曰五度○五分八十秒術曰置半弧背自之得五百七十六度為半弧冪置周天徑一百一十六度八十四分五十秒自之得一萬三千六百五十二度七五四○二五為徑冪(又為上廉)置徑冪以半背弧冪乘之得七百八十六萬三千九百八十六度三一八四為正實置徑冪以周天徑乘之得一百五十九萬五千二百五十六度○四四○五一一二五為益從方置周天徑以倍半弧背得四十八度為全弧背乘之得五千六百八十八度五六為下廉置初商五度以因上廉得六萬八千二百六十三度七七○一二五以減益從方餘一百五十二萬六千九百九十二度二七三九二六一二五為從方置初商五度自之得二十五度以減下廉餘五千六百六十三度五六以初商五度因之得二萬八千三百一十七度八為從廉併從方共得一百五十五萬五千三百一十○度○七三九二一二五為下法以除正實得五度餘實八萬七千四百三十五度九四八七六八九三七五置初商五度倍之得十度加次商五分共得一十○度○五分以乘上廉得一十三萬七千二百一十○度一七七七八六五以減益從方餘一百四十四萬八千○四十五度八六六二六四六二五為從方置初次商五度○五分自之得二十五度五○二五以加初商自之之數二十五度共得五十○度五○二五以減下廉餘五千六百三十八度○五七五以倍初商加次商一十○度○五分乘之得五萬六千六百六十二度四七七八七五為從廉以併從方得一百五十○萬四千七百○八度三四四一九六二五為下法以除餘實得五分餘次餘實一萬二千二百○○度五三一五六一九五六二五置初次商倍之得一十○度一十○分再加再商八十秒共得一十○度一十○分八十秒以乘上廉得一十三萬八千七百二十二度○三七六八四七以減益從方餘一百四十五萬六千五百三十四度○○六三六六四二五為從方置初次再三商五度○五八自之得二十五度五八三三六六四再加初次商自之之數二十五度五○二五共得五十一度○八五八六四以減下廉餘五千六百三十七度四七一三六以初次商倍之再加再商之數共一十○度一十○分八十秒乘之得五萬六千九百八十三度五八八七九四○四為從廉以併從方共得一百五十一萬三千五百一十七度五九五六○四六五以除次餘實得八十秒餘再次餘實九十七度一七四八五八二七五三置黄赤道大股自之得二千八百四十七度七六九八六○二五為股冪置黄赤道大弦自之得三千四百一十三度一八八五○二五為弦冪置二冪相減餘五百六十五度四一八六四六以平方法開之得二十三度七十七分八十五秒為大句(又為)(立句)右二法前乃授時舊法後乃新推密率且如黄鍾之率推者非一古率圍三徑一魏劉徽以一百五十七之五十為密率宋祖冲之以二十二之七為密率皆未善也須以圓取實量圓中求徑乃得真率圓徑相取皆三一二六為率虚實積取率皆十三為準以此步筭周天三百六十五度二十五分七十五秒得周天徑一百一十六度八十四分五十秒弱較授時所用圍三徑一之古法差四度九十分有奇徑差則矢句股弦皆差矣雖曰圍三徑一與新推密率以步割圓分至於碎數亦相符然圍三徑一非正法也須密率所求方為正法古今律厯考卷六十九
## 卷七十
欽定四庫全書
古今律厯考卷七十 明 邢雲路 撰厯原四厯原求黄赤道度及率總數周天徑一百二十一度七十五分(係圍三徑一)半徑六十度八十七分半(又黄赤道大弦又立勾股弦)黄赤道内半弧背二十四度(是日出入赤道内外度)黄赤道矢四度八十四分八十二秒(自弧矢割圓來又為勾股較)黄赤道大句二十三度八十分七十秒(是弦股求勾得)黄赤道大股五十六度二分六十八秒(又為立股是矢減大弦得又為)(勾股合)問黄道去赤道内外二十四度似半弧背之狀得矢若干答曰四度八十四分八十二秒術用割圓法以半弧背自之為半弧背冪以周天徑自之為徑冪又為上廉以二冪相乘為正實徑冪乗徑為益從方半弧背倍之以徑乘之為下廉以初商四數乗上㢘以減益從方餘為從方以初商四自之以減下㢘餘以初商乗之為從㢘併從方為下法以除正實得初商四度餘實寄位又次商八十分加於初商四倍得八度之下為併法以乗上亷以減益從方餘為從方置初次商四八自之加初商四自之之數減下㢘餘乗併法為從亷併從方為下法以除餘實餘為次餘實又次商四分置初次商四度八十倍之加又次商四分為併法乗上㢘減益從方餘為從方置初次又次三商四八四自之加初次商自之之數以減下亷餘乗併法為從亷併從方為下法以除次餘實餘為再次餘實再次商八十秒加初次又次三商倍之之數為併法以乗上亷以減益從方餘為從方置初次又次再次三商四度八十四分八十秒自之加初次又次三商自之之數減下亷餘乗四商併法為從㢘併從方為下法除再次餘實再又次商二秒如前法取之得數合問他倣此此為三乘方法割圓式問半背二十四度矢四度八十四分八十二秒得半弧弦若干答曰二十三度八十分七十秒術以半徑為大弦自之得三千七百○五度七六五六二五為弦冪以大股自之得三千一百三十九度○○二三一八二四為股冪二冪相較餘五百六十六度一○九三七五平方開之合問又法以矢四度八四八二自之得二十三度五○五○四三二四為矢冪以周天徑一百二十一度太而一得半背弦差減半背餘為半弧弦合問他倣此推黄赤道立成積度度率等法術以黄道矢減周天半徑餘為黄赤道小弦以黄赤道大股乗之以黄赤道大弦而一為黄赤道小股以黄道背弦差減黄道度餘為黄道半弧弦(黄道度即半弧背)置黄道半弧弦自之黄赤道小股自之相併以平方開之得赤道小弦置半黄道半弧弦(亦為赤道小股)以半徑乗之(半徑亦即赤道)(大弦)以赤道小弦而一為赤道大股又為赤道半弧弦置黄道小股(亦為赤道横勾)以赤道大弦乗之以赤道小弦而一為赤道大句以減半徑餘為赤道横矢自之以周天徑而一得半背弦差減半弧背餘為半弧弦如冬至後半弧背四十四度問赤道半弧背若干答曰赤道半弧背四十六度三十○分八十五秒(即今所用黄赤道積度)黄赤道差二度三十○分八十五秒術曰先以立天元一求矢以前三乗方法求黄道半弧背四十四度下矢一十六度五六八二以減周天半徑餘四十四度三○六八為黄赤道小弦又為股置赤道股(即小弦)四十四度三○六八自之得一千九百六十三度○九二五二六二四為股冪周天半徑自之得三千七百○五度七六五六二五為弦冪二冪相較餘一千七百四十二度三○九八七六以平方開之得四十一度七十四分五十三秒為黄道半弧弦以減半弧背四十四度餘二度二十五分四十七秒為背弦差又法矢十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四以周天徑而一得二度二十五分四十六秒半為背弦差置黄赤道大股五十六度○二六八以黄赤道小弦四十四度三十○分六八乗之得二千四百八十二度三十六分八二二二二四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得四十○度七七八一為黄道小股置黄道半弧弦四十一度七四五四自之得一千七百四十二度六七八四○七五六一一六為弦冪以黄道小股四十○度七七八一自之得一千六百六十二度八五七五七四三九六一為股冪二冪相併得三千四百○五度五三五八四七一七二六以平方開之得五十八度三十五分六十九秒為赤道小弦又法置黄道半弧弦即赤道小股四十一度七四五四以半周徑即赤道大弦六十○度八七五乗之得二千五百四十一度二五一二二五為實以赤道小弦五十八度三五六九而一得四十三度五四六七為赤道半弧弦置大弦六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五為弦冪以小股四十三度五四六七自之得一千八百九十六度三一八二三○八九為股冪二冪相較餘一千八百○九度四四七三九四一一以平方開之得四十二度五三十七為赤道立股又名横句(即弦股别勾法)又法置赤道小股四十○度七七八一以大弦六十○度八七五乗之得二千四百八十二度三六六八三七五以小弦五十八度三五六九而一得四十二度五三七七為赤道立股置大弦減赤道立股餘十八度三三七三為矢置矢十八度三三十三自之得三百三十六度二五六一七一二九以周天徑一百二十一度十五而一得二度七六一八為半背弦差置半弧弦四十三度五四六七加半背弦差得四十六度三○八五為赤道半背解曰黄道赤道半背若在冬夏二至後赤道即春秋二分黄道如分後四十四度是黄道半背四十六度三○八五是赤道半背冬夏二至反是周天圓周半之是全弧背如是四分之一是半弧背即周天象限九十一度有竒自半背一度至九十一度皆用前推弧矢弦背法為句股接弧矢三乘㢘法割圓術北極出地四十度九十五分(係所測)二至黄赤道内外度二十三度九十分(係所測)二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分(為黄赤道九勾)(三斜)二至出入差股十五度二十九分(為三斜中股)二至出入差半弧弦十九度八十七分(即小弦)二至出入差半弧背十九度九十六分一十四秒度差八十四分一十九秒冬至去極一百一十五度二十一分七十三秒夏至去極六十七度四十一分一十三秒求二至差股及出入差置所測北極出地四十度九十五分為半弧背以前割圓弧矢求弦法推得出地半弧弦三十九度二十六分為三大斜中股置測到二至黄赤道内外度二十三度九十分為半弧背以前法推内外半弧弦二十三度七十一分為黄赤道大句小斜以大句與周天半徑以句弦别股術得股較徑餘四度八十一分為二至出入矢夏至日南至地平七十四度二十六分五十秒為半弧背以前術求得日至地平五十八度四十五分為半弧弦以半徑六十○度八十七分五十秒為大三斜置大三斜中段三十九度二十六分以二至内外半弧弦二十三度七十一分乘之得九百三十度八五四六以周天半徑六十度八七五而一得一十五度二十九分為小三斜中股置小三斜中股一十五度二九較日至地平半弧弦五十八度四十五分餘四十三度一十六分為大股置半徑六十度八七五減出入矢度四度八一餘五十六度六分半為大股弦以小股一十五度二九乗之得八百五十七度二三三八五以大股四十三度一六而一得一十九度八十七分為出入差半弧弦又為小弦是二至出入差半弧弦置二至出入差半弧弦以前法求之得出入半弧背一十九度九十六分一十四秒置二至出入差半弧背一十九度九六一四以黄赤道内外半弧弦二十三度七一而一得八十四分一十九秒為度差分去極距地日下之圖二至前後黄道距赤道内外度置半徑以減赤道小弦餘為赤道二弦差一云赤道矢置半徑減黄道矢餘為黄赤道弦一為立股若相近曰句以二至内外黄赤道半弧弦乗之以半徑六十度八七五而一得為黄赤道小弧弦即黄赤道内外半弧弦一云黄道小句置黄赤道小弧矢自之以周天圓徑而一為半背弦差以加黄赤道半背弧弦即為黄赤道内外半弧背推每日去極度分視其黄道赤道内外度在盈初縮末為加縮初盈末為減皆加減周天象限度各得日去極度及分秒如冬至後四十四日問日去極幾何(日即度)答曰去極一百八度六十二分三十二秒術置周天半徑六十度八七五以減赤道小弦五十八度三五六九餘二度五一八一為黄赤道弧之矢即内外矢置半徑六十度八七五以減半弧背四十四度下矢一十六度五六八二餘四十四度三○六八為黄赤道小弦以二至出入内外半弧弦二十三度七一乗之以黄赤道大弦六十度八七五而一得一十七度二五六九為黄赤道小弧弦即黄赤道内外小弧弦如短者為立句或為卧弦置黄赤道小弧矢二度五一八一自之以周天徑一百二十一度七五而一得五分二十秒為弦差加小弧弦得一十七度三十○分八九為内外度即黄赤道半弧背置周天象限九十一度三一四三如是在盈初縮末為加縮初盈末為減皆加減黄赤道内外度如冬至後四十四日是盈初應加内外度十七度三十分八十九秒共得一百○八度六十二分五十二秒合前問前後每日皆倣此求每日太陽出入赤道去極度置所推每日晨前夜半太陽黄道積度如滿嵗周象已下為初限已上以減半嵗周為末限如積滿度率去之餘以内外差乗之百約之所得之數以減内外弧背率為内外度分内減漸近外加漸逺是加減象限即為所推得去極度及分秒冬至晝刻即夏至夜刻三十八刻一十六分夏至晝刻即冬至夜刻六十一刻八十四分昏明二十五刻推黄道每日晝夜刻術置黄赤道半弧弦以二至出入半弧背乗之得數以二至出入内外半弧弦而一為所求出入差半弧背又術置黄赤道内外半弧弦以度差八十四分一十九秒乗之為出入差半弧背置圓徑内減所求得内外二矢即赤道小弦差餘以三因加每日行度為日行百刻度置出入半弧背以百刻乘之得數以日行百刻度而一得數為出入差刻置昏明二十五刻加黄道在赤道内為加外為減皆加減出入差刻為半晝刻倍之為晝刻以日百刻較之餘為夜刻如冬至後四十四日問晝夜各幾刻答曰晝四十一刻七十二分半夜五十八刻二十七分半術置冬至後四十四日(即度)黄赤道内外半弧弦一十七度二五六九即黄赤道小弦以二至出入差半弧背一十九度九六一四乗之以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七一而一得一十四度五十二分八十五秒為所求得出入差半弧背又術置黄赤道内外半弧弦以每日度差八十四分一九乘之為出入差半弧背置周天圓徑一百二十一度七五内減所求得黄赤道内外二矢五度○三六四餘一百一十六度七一三八三因之加每日度一度得三百五十一刻一十四分一十四秒為日行百刻度置出入半弧背一十四度五二八五以日行百刻乘之得數以日行百刻度三百五十一刻一四一四而一得四刻一十三分七十五秒為日出入差刻置昏明二十五刻為準黄道在赤道外減内加皆加減出入差刻今應減出入差刻四刻一十三分七十五秒餘二十○刻八十六分二十五秒為半晝刻分倍之得四十一刻七十二分半為晝刻置日之百刻減晝刻餘五十八刻二十七分五十秒為夜刻合前問推毎日晝夜刻日出入晨昏更㸃率更㸃所在時刻昏明五更中星見厯法古今律厯考卷七十
## 卷七十一
欽定四庫全書
古今律厯考卷七十一 明 邢雲路 撰厯原五厯原紀五星麗天平立差之原(各八段測)紀木星木星盈縮平立差測星以積晷為度置各段日下所測積差度分各以段日而一得泛平差各以次段泛平差較之為泛平較各以次段泛平較較之為泛立較蓋以較之較較較較故也置一段泛平較内減一段泛立較為平立較平立較較較餘三十二秒九十一微九十九纖為初段泛平較以加初段泛平差得一十○分八十九秒七十○微為定差(元史秒定萬)置初段泛平較三十二秒九十一微九十九纖内減泛立較之半三秒一十二微一十一纖餘二十九秒七十九微八十八纖以一段日一十一日五十刻而一得二秒五十九微一十二纖為平差置泛立差之半三秒一十二微一十一纖以一段日而一再而一得二微三十六纖為立差得木星盈縮平立差之原紀火星火星盈初縮末平立差積日積差泛平差泛平較泛立較泛平較前多後少應加泛立較取一段下泛平較六分一三九八四七二九六八七五加泛立較一十三秒一九七九二一八七五得六分二七一八二六五一五六二五為初日下泛平較置一段泛平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五加初日下泛平較六分二七一八二六五一五六二五得八十八分四十七秒八十四微為盈初縮末定差置初日下泛平較六分二七一八二六五一五六二五加泛立較之半六秒五九八九六○九三七五得六分三三七八一六一二五為實以一段下積日而一得八十三秒一十一微八十九纖為盈初縮末平差置泛立較之半六秒五九八九六○九三七五以一段日七日六十二刻五十分而一再而一得一十一微三十五纖為盈初縮末立差火星縮初盈末平立差積日積差泛平差泛平較泛立較取泛立較均停者三十九秒五八二一三七五以較一段下泛平較一十三秒二六四六八三一二五餘二十六秒三一七三○六二五為較較較較較較加一段下泛平差二十九分七一三一二六九三七五得二十九分九十七秒六十三微為縮初盈末定差置較較較二十六秒三一七三○六二五以一段日一十五日二十五刻而一得一秒七二五七二五為較較較魄再置泛立較之半一十九秒七九一○六八七五以一段日而一得一秒二九七七七五為較較較體魄體合而為一得三秒○二微三十五纖為縮初盈末平差置泛立較之半一十九秒七九一○六八七五以一段日而一再而一得八微五十一纖為縮初盈末立差得火星盈縮平立差之原紀土星盈縮平立差土星盈縮平立差積日積差泛平較置一段泛平較五十八秒四○三三二五較泛立較七秒四八五三五餘五十○秒九一七九七五為平立較以加一段泛平差一十四分六三六九二○二五得一十五分一十四秒六十一微為盈定差置平立較五十○秒九一七九七五内減泛立較之半三秒七四二六七五餘四十七秒一七五三以一段日一十一日五十刻而一得四秒一十○微二十二纖為盈平差置泛立較之半三秒七四二六七五以一段日而一再而一得二微八十三纖為盈立差土星縮平立差(積日同盈)積差泛平差泛平較泛立較置一段泛平較三十○秒五二七三二五較泛立較八秒七五四九五餘二十一秒七七二三七五為平立較以加一段泛平差一十○分七九九七七六二五得一十一分○一秒七十五微為縮定差置平立較二十一秒七七二三七五内減泛立較之半四秒三七七四七五餘一十七秒三九四九以一段日一十一日五十刻而一得一秒五十一微二十六纖為縮平差置泛立較之半四秒三七七四七五以一段日而一再而一得三微三十一纖為縮立差得土星盈縮平立差之原紀金星金星盈縮平立差(積日同土)積差泛平差泛平較泛立較以一段下泛平較泛立較較之所餘一秒八六八一七五為平立較以加一段泛平差三分四九六八一八二五得三分五十一秒五十五微為定差置平立較一秒八六八一七五以泛立較之半一秒八六四七二五較之餘三十四纖半以一段日一十一日五十刻而一得三纖為平差置泛立較之半一秒八六四七二五以一段日而一再而一得一微四十一纖為立差得金星盈縮平立差之原紀水星水星盈縮平立差(積日同金)積差泛平差泛平較泛立較術同金星求得定差三分八十七秒七十微平差二十一微六十五纖立差一微四十一纖得水星盈縮平立差之原右木星秒二十七微一十四纖本二秒五十九微一十二纖總一十分八十九秒七十微火星盈初秒八十六微五四三七五本八十三秒一一八九總八十八分四七八四縮初秒一秒二九七七五本三秒○二三五總二十九分九七六二土星盈秒三十二微五四五本四秒一○二二總一十五分一四六一縮秒三十八微○六五本一秒五一二六總一十一分○一七五金星秒一十六微二一五本三纖總三分五一五五水星秒一十六微二一五本二十一微六五總三分八七七三者即平立定三差秒者標本者根總者幹也五星各以段次因秒木土金水四星併本惟火星較本各以積日而積五星皆較總又各以積日乗之得各實測之度分秒其五星積日者是周日各以度率而一得每嵗三百六十五度二十五分太各以四分而一得一象限木土金水四星就此為象限惟火星半象限減象限為盈初縮末限加象限為縮初盈末限故度命為日者為各取盈縮厯之便而設其實幾日之日乃幾度也古今律厯考卷七十一
## 卷七十二
欽定四庫全書
古今律厯考卷七十二 明 邢雲路 撰厯原六厯原日月食限以半交差一日一十五刻九一八四五加減交終及交中併二交為六限隂陽各三限加為後限減為前限陽後限月食日不食隂前限月食日不食以交差之半半之得五十七刻九五九二二五加減交終及交中為日食界限逢此界限日月俱食天首五限前限二十六日○五刻三○三九五(已上日月俱食食已下日月俱不)二十六日六十三刻二六三一七五(日月俱食)中限二十七日二十一刻二二二四(日月俱食)後限五十七刻九五九二二五(已下日月俱食食已上月食日不)一日一十五刻九一八四五(已下月食日不食已上日月俱不食)天尾五限前限一十二日四十四刻六九二七五(已上月食日不食已下日月俱不食)一十三日○二刻六五一九七五(已上日月俱食食已下月食日不)中限一十三日六十○刻六一一二(日月俱食)後限一十四日一十五刻七○四二五(已下日月俱食食已上月食日不)一十四日七十六刻五二九六五(已下月食日不食已上日月俱不食)交終度三百六十三度七十九分三十四秒者以月平行度乘交終也正交三百五十七度六十四分者以月平行度乘正交限二十六日七五一九也中交一百八十八度○五分者以月半行度乘中交限十四日○六六四也南北泛差四度四十六分者周天象限自之以定法一千八百七十度而一也月食限者以隂八度陽六度併之得十四度半之得七度為腹寛之數為法除周天象限得十三度○五分弱所推就整為月食限度日食定法九十六者一時八刻也二十五刻者一百刻四分之一也不及為卯前過為卯後七十五刻者四分之三也不及為酉前過為酉後月食定法八十七者以十五分歸月食限十三度五分也後準十五度五十分者以月平行度乘天首後限一日一十五刻九一八四五所得已下為交後度已上月不食前準一百六十六度三十九分六十八秒者以月平行度乗天尾前限一十二日四十四刻六九二七五所得已上月食已下月不食日體大月體小月小於日三分之一日髙月下故日食十分月食則入暗虛行一度又半故月食十五分計日去天月去日以幾千里計而地去月則以幾萬里計日大月以千百里計而地大月則以幾萬里計此何以知之以勾股測天及日出入分知之乃南齊書曰日月當子午正隔於地猶為暗氣所食以天體大而地形小故也此言一倡人遂議日月與地三者形體大小相似地體止當天一度半而天周當地徑二百四十餘倍日月相衝為地所蔽有景在天其大如日日光不照名曰暗虛月望行黄道則入暗虛值暗虛有表裏深淺故月食有南北多少其説非也盖古人雖有暗虛之説乃月行日度自隠其光與月掩日同非指為地景也且如春秋二分食於卯酉之正日月相望其平如衡地猶在下烏能蔽之况以法布筭地大於月數十倍乎宋濂不知作楚客對亦言月食為地景所隔皆南齊之説〔？〕之也日食九服視之分數各不同者在地南北東西之故在天交前後隂陽厯之故也日食在隂厯月北日南自人視之北方見食多南方見食少在陽厯月南日北自人視之南方見食多北方見食少日食在交前西方見食少東方見食多在交後東方見食少西方見食多日食當交之中無論隂陽厯東西俱見食既隂厯北方見食既陽厯南方見食既月道交日道出入於六度而信不爽五星去而復留留而又退而伏而期無失何也太陽為萬象之宗居君父之位掌發歛之權星月借其光辰宿宣其炁故諸數壹稟於太陽而星月之往來皆太陽一氣之牽繫也故日至一正而月之閏交轉五星之率皆由是出焉此日為月與五星之原也同異乘除測七政術術七政各以測到晷至圭面丈尺寸分或前或後相連日以二日相減餘為法以最髙前丈尺寸分與最髙後丈尺寸分近同者相減餘為實如法而一得加減差最髙前丈尺寸分多為加差少為減差以加減最髙前距後日命為刻半之加半日刻月五星減最髙前夜半後漏刻加最髙後夜半後漏刻半之七政皆以最髙前日筭外各得七政最髙日餘以發歛収之得時刻如測七政最低亦然惟加減差反是應加作減應減作加或問日月固有景可測矣而五星無景且測星之法無傳奈何余曰有二術焉以簡儀距其四正而至午有度去極有度漏下有刻以法歩之其術一以圭表據午位人目以小表望大表以上射五星下識圭刻以漏記之以法歩之其術二或又曰金水當天暗於離照日沉西見何以施測余曰是無難可一言蔽之以緯距經正於午位十字之準兩望相牽則凡星皆可代金水也乃自金水所留之舍以次日日歩之易知簡能於測金水乎何有或又曰測四餘如之何余曰羅計稟於交食測月交即測羅計前術有之矣若炁生於十閏月生於月遲古有此説然二皆隱曜孛星間見於史乘則宜取古一孛見宿度日時刻距今一孛見宿度日時刻用距積年月日時刻以月孛周天之數而一或可得也至於紫炁則古來所見者少亦須候其前後兩見依求月孛術步之亦得然所見既少俟見而測知何時姑立法可也大都炁孛二隱曜星命家言之於歴數無關所關厯數者七政也七政之數原本於測驗而七政之差則由於測驗之法失其傳不見今司天氏之所為測騐者乎今司天亦測日晷每節氣闔監官向圭表測日景畢各畫一押既而上疏入告曰測矣試問其晷長若干作何布筭皆曰不知也既不知則不如不測測日景且不知又安望其測月與五星夫人病無法耳今余法既立且纖悉備至有法可循即無難可致若疇人於此而猶泄泄然諉之曰我不能也則吾不知之矣於戲余累累千萬言於厯數不啻詳矣而有難者未易言也葢天動物也消息至微安必其永久而不變如今之日躔六十六年差一度及百年消長各一之説其間畸零多少乃在冥濛間疇其覺之可執為定乎以推之七政皆然况天道間有失行雖則旋復其常而既有失行是即天運之難定也故僧一行云乾度盈虛與時消息告譴於經數之表變常於潛遯之中則聖人且猶不質非籌厯之所能及矣曰然則如之何無已則郭太史所謂隨時推測是已世病無推測之法余法既立即不妨隨時觀象依法推測合則從變則改亡論消長暗移失行旋復之故壹是皆以澤火之革旋正之即用之億萬斯年與天地無彊可也此又原之原也古今律厯考卷七十二◆ 《乾坤體義-明-》（KR3f0009）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
乾坤體義 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案乾坤體義三卷明利瑪竇撰利瑪竇西洋人萬厯中航海至廣東是為西法入中國之始利瑪竇兼通中西之文故凡所著書皆華字華語不煩再譯是書上中卷皆言天象以人居寒煖為五帶日月星天為九重以水火土氣為四大元行以日月地影三者定薄蝕至於恒星七曜與地各有倍數日月出入各有映蒙多發前人所未發其多方罕譬亦皆委曲詳明下卷皆言算術以邊線面積平圜撱圜互相容較補古方田之所未及為今線面體之造端雖篇帙無多而其言皆騐諸實測其法皆具得變通所謂詞簡而義賅者我朝御製數理精藴多因其說而推闡之當明季厯法乖舛之餘鄭世子載堉邢雲路諸人皆力斥其非而所學未足以相勝自徐光啟等改用新法乃漸由䟽入宻至本朝而益為研究始盡精㣲則是書固亦大輅之椎輪矣乾隆四十六年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷上
欽定四庫全書乾坤體義卷上明 利瑪竇 撰天地渾儀說地與海本是圓形而合為一球居天球之中誠如鷄子黄在青内有謂地為方者語其徳靜而不移之性非語其形體也天既包地則彼此相應故天有南北二極地亦有之天分三百六十度地亦同之天中有赤道自赤道而南二十三度半為南道赤道而北二十三度半為北道據中國在北道之北日行赤道則晝夜平行南道則晝短行北道則晝長故天球有晝夜平圏列於中晝短晝長二圏列於南北以著日行之界地球亦有三圏對於下焉但天包地外為甚大其度廣地處天中為甚小其度狹此其差異者耳查得直行北方者每路二百五十里覺北極出高一度南極入低一度直行南方者每路二百五十里覺北極入低一度南極出高一度則不特審地形果圓而並徴地之每一度廣二百五十里則地之東西南北各一週有九萬里實數也是南北與東西數相等而不容異也夫地厚二萬八千六百三十六里零三十六丈上下四旁皆生齒所居渾淪一球原無上下蓋在天之内何瞻非天總六合内凡足所佇即為下凡首所向即為上其専以身之所居分上下者未然也且予自太西浮海入中國至晝夜平線已見南北二極皆在平地畧無髙低道轉而南過大浪峯已見南極出地三十六度則大浪峯與中國上下相為對待矣而吾彼時只仰天在上未視之在下也故謂地形圓而週圍皆生齒者信然矣以天勢分山海自北而南為五帶一在晝長晝短二圏之間其地甚熱則謂熱帶近日輪故也二在北極圏之内三在南極圏之内此二處地俱甚冷則謂寒帶逺日輪故也四在北極晝長二圏之間五在南極晝短二圏之間此二地皆謂之正帶不甚冷熱日輪不逺不近故也又以地勢分輿地為五大州曰歐邏巴曰利未亞曰亞細亞曰南北亞墨利加曰墨瓦蠟泥加其各州之界當以五色别之令其便覽各國繁夥難悉大約各州共有百餘國原宜作圓球惟其入圖不便不得不易圓為平反圏為線耳欲知其形必須相合連東西二海為一方可也其經緯線本宜每度畫之今且惟每十度為一方以免雜亂依是可分置各國于其所東西緯線數天下之長自晝夜平線為中而起上數至北極下數至南極南北經線數天下之寛自福島起為十度至三百六十度復相接焉試如察得南京離中線以上三十二度離福島以東一百二十八度則安之於其所也凡地在中線以上至北極則實為北方凡在中線以下則實為南方焉釋氏謂中國在南贍部洲並計須彌山出入地數其繆可知也又用緯線以著各極出地幾何蓋地離晝夜平線度數與極出地度數相等但在南方則著南極出地之數在北方則著北極出地之數也故視京師隔中線以北四十度則知京師北極髙四十度也視大浪峯隔中線以南三十六度則知大浪峯南極髙三十六度也凡同緯之地其極出地數同則四季寒暑同態焉若兩處離中線度數相同但一離於南一離於北其四季並晝夜刻數均同惟時相反焉蓋此之夏為彼之冬焉耳且長晝夜愈離中線愈長也余以式之推計於圖濵每五度其晝夜長何如則西東上下隔中線數一則皆可通用也用經線以定兩處相離幾何辰也蓋日輪一日作一週則每辰行三十度而兩處相違三十度並謂差一辰故視女直離福島一百四十度而緬國離一百一十度則明女直於緬國差一辰而凡女直為夘時緬方為寅時也其餘倣是焉設差六辰則兩處晝夜相反焉如又離中線度數同而差南北則兩地人對足氐反行故南京離中線以北三十二度離福島一百二十八度而南亞墨利加之瑪八作離中線以南三十二度離福島三百零有八度則南京於瑪八作人相對反足氐行矣從此可曉同經線處並同辰而同時見日月蝕矣此其大畧也其詳則備于圖並其後書云地球比九重天之星逺且大幾何余嘗留心於量天地法且従太西庠天文諸士討論已久茲述其各數以便覽焉夫地球既每度二百五十里則知三百六十度為地一週九萬里又可以計地面至其中心隔一萬四千三百一十八里零十八丈地心至第一重謂月天四十八萬二千五百二十二餘里至第二重謂辰星即水星天九十一萬八千七百五十餘里至第三重謂太白即金星天二百四十萬零六百八十一餘里至第四重謂日輪天一千六百零五萬五千六百九十餘里至第五重謂熒惑即火星天二千七百四十一萬二千一百餘里至第六重謂歳星即木星天一萬二千六百七十六萬九千五百八十四餘里至第七重謂填星即土星天二萬五百七十七萬零五百六十四餘里至第八重謂列宿天三萬二千二百七十六萬九千八百四十五餘里至第九重謂宗動天六萬四千七百三十三萬八千六百九十餘里此九層相包如葱頭皮焉皆硬堅而日月星辰定在其體内如木節在板而只因本天而動第天體明而無色則能通透光如琉璃水晶之類無所碍也若二十八宿星其上等每各大於地球一百零六倍又六分之一其二等之各星大於地球八十九倍又八分之一其三等之各星大於地球七十一倍又三分之一其四等之各星大於地球五十三倍又十二分之十一其五等之各星大於地球三十五倍又八分之一其六等之各星大於地球十七倍又十分之一夫此六等皆在第八重天也土星大於地球九十倍又八分之一木星大於地球九十四倍又一半分火星大於地球半倍日輪大於地球一百六十五倍又八分之三地球大於金星三十六倍又二十七分之一大於水星二萬一千九百五十一倍大於月輪三十八倍又三分之一則日大於月(下闕)渾象圖說渾象圖以見日月運行寒暑大意精銅為之外一環名子午環取凖南北三向兩頭各用一樞在南者借作南極在北者借作北極匀分三百六十度隨地而移如北極出地一度則南極入地一度也中横環名曰赤道日行至此則晝夜平矣稍南北二十三度半各一環為日行離赤道南北最逺之極此三環當用一闗捩貫於南北二極之中俾其運轉者最中一小球乃地海全形也自赤道下北方諸國觀之日行北道則晝長夜短至夏至而極極則返而南日行南道則夜長晝短至冬至而極極則返而北其赤道以南諸國則反是焉四元行論或問於余曰中國類重五行而貴國重四行何也余荅之曰竊謂中國論五行古與今不同矣所謂行者乃萬象之所出則行為元行乃至純也宜無相雜無相有矣故謂水火土為行則可如以金木為元行則不知何義矣試觀萬物之成多不以金木焉如人蟲鳥獸諸類是也則金木不得為萬物之達行也又誰不知金木者實有水火土之雜乎雜則不得為元行矣設雜者可為行則草石等皆可置之於行之列不獨五行也何獨取金木耶吾觀古唐虞開物大禹陳謨特以與穀列之為六府只云其切於民生者未嘗謂水火金木土為元行質萬物之本也後儒言水而木木而火火而土土而金夫乃曰木由水生火由木生土由火生金由土生水由金生耳此說誠難順之夫木兼有火土何獨由水生而火土未生時木安得自成乎如生木時土未生先原樹於何地植乎夫物相生宜今無異於昔也然今水無土無太陽之火莫能生木木乃先有種入土後以水淋以太陽和下生根上萌芽而長成樹則古並如是何無據考而殊之乎又木如生火則木性至熱水以吾常視凝凍則氷本至冷以至冷生至熱是理不通矣水既生木而木生火水乃祖火乃孫何祖如此不像何其祖之如此不仁恒欲滅孫也耶初未有土木金則獨水用何器藏之乎金由土生則於木何異金生土内木生土上本皆自土發矣且易註天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土則五者之生若有先後一定之數矣今曰金生水則金四當先於水一矣曰木生火則木三當先於火二矣曰土生金則土五當先於金四矣火二雖居土五之前然隔三四何以生土木三雖居水一之後然隔火二何以承生於水一乎是其序均非義矣或問貴邦必有元行之真論敢問其指余曰元行之論事甚煩而理甚廣不可以片論悉之且約為子言之吾西庠儒謂自不相生不相有而結萬像質乃為行也天下凡有形者俱從四行成其質曰火氣水土是也其數不可闕增也夫行之本情並為四也曰熱乾冷濕是也四元行每二元情配合為性而成焉若冷與熱乾與濕直相背而不可同居以為二行矣惟熱乾相合為火火性甚熱次乾也濕熱相合為氣氣性甚濕次熱也冷濕相合為水水性甚冷次濕也乾冷相合為土土性甚乾次冷也此四行之性也於下圖可便覽當初造物者欲創作萬物於寰宇先混沌造四行然後因其情勢布之於本處矣火情至輕則躋於九重天之下而止土情至重則下凝而安天地之當中水情比土而輕則浮土之上而息氣情不輕不重則乗水土而負火焉所謂土為四行之濁渣火為四行之淨精也火在其本處近天則隨而環動每日偕作一週此係元火故極淨甚炎而無光焉無光者何無薪炭等體以傅其光故爾若遇一外物衝照則著而發矣比而窯既久燒而方除薪炭雖内弗現火光而熱氣甚盛可速㸃爇物矣天下萬象之初皆以四行結行之每偶相背則常胥敵而終一勝勝則四行皆解散而歸本焉是以物之形自函壊已之縁豈我以𤣥門虚術强能免之乎哉若天星形異性於下者而亦有所属四行焉其七政之太陽熒惑属火太隂太白属水辰星鎮星属土維歳星属氣也二十八宿各有其性而難辨矣若十二房者白羊獅子人馬禀火性金牛磨羯室女禀土性雙兄天秤寳瓶禀氣性巨蟹天蝎雙魚禀水性(雙兄室女厯家錯為隂陽雙女今正之)若四季者春乃濕暑則属氣焉秋乃旱寒則属土焉夏乃暑旱則属火焉冬乃寒濕則属水焉其歳二十四節亦以四季分類矣若四方之氣却不可以天下四時為一槩定焉此乃隨地勢及嵗季移也變異也若中國之中大抵北風有土情南風有火情西風有水情東風有氣情若人内四液者血属氣黄痰属火白痰属水黒痰属土也四液者下民皆所備有之以養生而人人得一二盛以名其性也斯可因外行動明騐之黙暗寥寂少言者必盛於黑液矣性速反復易怒者必盛於黄液矣愉容寛恕和氣者必盛於紅液矣愁色多憂過慮者必盛於白液矣此生而所禀性吾不能㧞脱惟能遏掩之耳人發病疾蓋四液不調耳已故醫家以四者分課則先訪審所傷者後以相背藥治之也釋氏小西域人也若已聞太西儒所論四行而欲𫝊之於中國謂地水火風乃四大也然吾太西庠儒惟名之四大體焉葢天下海内海底通為土一體也天下江河連四海並為水一體自水地至火處其中所謂空者共為氣一體夫氣以上其餘空届月天皆為火一體也夫以形言之宇内大者無大乎四行體也但日輪宿星及各天重愈大又天也星也四行也以事人類為職則人尤大矣其謂風者固不可以當氣也動而始有風耳靜則無焉如是詎世界無風便少一大乎人及鳥獸非吹呵啑際便缺一大乎釋氏何不知風者雖盛於氣而雜有水火為不純之類則不宜例乎四純體矣其謂地又非所論也地乃對天抱山水萬森之總名孰為純體而列之於四元行哉不若以中國之理譯之為火氣水土乃四元行四純體也按其各情定其所居指其所属截然不混矣或曰自地至天其中常人謂空然吾知其為氣者所實焉試觀鳥之動翅而飛如舟之搖撑而行則氣當水矣且水聊有色而氣竟無之氣體態尤幽是故不克以目見焉觀之於人同與飛走之物並處宇内其呼吸非息使然乃出入其氣耳又以聲亦的然可徴之夫聲者惟二有形物相撞為所發耳倘有以長薄棍擊空必聞響豈非棍形撞氣形之效乎勉齋黄氏曰天下無些空缺處愚人見天在上地在下則說中間有缺處也不知天地間逼實無空吾身之外皆是氣如既脫衣即覺寒氣襲體又如寓一間屋兩頭垂簾右手掲簾左亦掣動此皆覘氣實處矣則中國儒者亦識有氣在左右獨不為之行且今所謂氣者於孟子對志之氣不同故先生傳元行之數及情性果為可從吾意貴邦所談四元行是乃五行六府之體焉我古唐虞謂五行六府是乃四體之用焉世儒欲混之而不分體用真不可矣但先生定氣之性為熱吾未明其理也吾見湯水雖無寒風吹自能去熱致冷則本性謂冷宜矣視彼土和水成泥雖無烈日薰炙自克去濕致乾則其本性為乾效矣火性之本為熱孰疑之焉然氣者竊意其性非熱而反為涼故雖夏日炎亢便或搖扇必出涼風脱衣遂覺寒氣侵身斯氣本性似非熱矣又氣之廣大無物不有無所不在故火有火氣水有水氣土有土氣是以氣似不可以别設行焉余曰吾前定氣性甚濕次熱則其性獨非熱者執益熱之物不覺已熱而反覺涼如焉如吾以已熱手揣摩他人愈熱之手必覺已手為涼非我手誠涼也乃他手之熱有甚故也故或搖扇而挹清風或脱衣而侵寒冷此因吾身甚熱遂覺夏氣似涼焉非氣之不自熱矣又曰氣之本性自熱因近著水土之冷而變已本情偶成涼耳比温泉下生硫黄則所發水滚熱者水之本性乎天亦於是處備涼氣以資民之呼吸而調冷心内火矣故每息更氣以出熱而致涼焉故魚類恒潛水中而水本性甚冷自外能透涼内心多無呼吸資也夫氣處所又有上中下三域上之因邇火則常太熱下之因邇水土而水土恒為太陽所射以光輝有所發煖則氣並煖中之上下遐離熱者則常太寒冷以生霜雪之類也其三般氣又廣窄弗等若南北二極之下因違逺太陽者隂氣盛則上下熱煖處窄而中寒冷處廣若赤道之下因近太陽者隂氣微則反然二熱煖處廣而寒冷處窄其三處及餘行之處所便可於後圖覽之視此則知氣行有本處而有界何曰無所不在乎然人常以物切情為氣焉故以熱乾為火氣以濕冷為水氣以乾冷為土氣吾今謂氣者惟言一行本濕熱不輕重居水土之上天火之下也不言各物情氣物之情氣於物不殊也或問曰先生謂火聚在天九重下此乃新說吾中國前未聞焉願聞貴邦據何理而言之蓋彼處懸逺乎壤則人足不得而踵人目不得而覩也况火具於彼若閒然無所益於世界者余曰夫火在上其體視氣更幽渺而無些光故人難得覩之以目也惟有不可違之理為徴焉其一曰氣水土三行各獲其本處以歸聚曰空曰海曰地是也何獨火者散居而無所會處哉既有本處而非水土間必在氣上矣輕者浮重之上常理焉其二曰凡物在本處外自就其處故水在空中自落下而流至於海始止也石在水上自沉溺而至底方休也氣在水下自漚而上浮也吾觀火恒性輕而自發土水氣上則騐其本處非下而在氣上矣又若設有在空中寓而見水土恒性欲下則可證水土本處在氣下也其三曰夜間數見空中火似星隕横直飛流其誠非星乃烟氣從地沖騰而至火處著㸃耳蓋天星自古迄今原有定數而成數宿象不能減虧焉如夜夜果落幾星何以計其數乎何像之成乎天星不幾于盡亡乎况天上事不克壊豈落之有乎逹此理者先須識其由也日輪廣大乎山海地總球一百六十餘倍(日輪大乎地後有一篇明論證)(之請視之以免誕笑我也)而晝夜圍照之必常發烟氣躋上如火煑鍋焉其氣或乃厚而冷濕少熱則重而無力以出山頂外且内變水以合沙土乾石所致水而生江河源泉也或薄而清則上不高夏時化為露冬時化為霜或乃濕熱則登髙至半空值寒氣即凝而為雲雲隨時為雨雪者也若茲氣餘滓無汁便為霧矣常有乾熱氣自旱地發如肥烟則或横飛而為風或直升也升際如或值雲雲本冷濕則圍迫之而欲滅之彼被逼則奮力生光火發聲響而爆烈出上下此乃霹靂雷電之縁耳有曰自地而升吾不知所據也如彼氣無逢阻者則踰氣域臻火疆便㸃著若微者速走而消落似星若厚者久懸於是而為孛星焉人在下而逺望之如其在天而為真星不亦謬乎夫火齊居彼者大有利乎宇内一以盈滿天下四大體而相調和焉使缺火之大體其水土之冷可悉泯氣之微熱而止罷生生矣蓋氣本弱維借火之力方能敵彼二行以存本體而保萬森者也一以銷化從下沛然恒上穢烟也否則朽壊氣以生煴病於世也一以㸃彗星屬而設百象于智者占卜將來㓙嵗災禍而免之也一以煖天所降生氣而使之和民體者也既有此等大益於世之物誠不可謂徒在彼也或問曰如云大火近天天豈不燒壊乎余荅曰天也自不能壊也於天之下諸物大異矣然天下有金剛石不受火之累豈惟石耶西土産有火木以為屯寨有火草以織火布竟不懼火而天者猶懼之乎噫理本無窮言各有當自伏羲畫易以後文王圖位已錯綜互異矣兹行也遡其原則四之以立體别其流則五之以達用何害其心之一理之同耶中庸謂及其至也雖聖人有所不知焉上國名儒何嘗自是其見也如信不及姑存而不論可矣乾坤體義卷上
## 卷中
欽定四庫全書乾坤體義卷中明 利瑪竇 撰日球大於地球地球大於月球夫測量法借方矩植表視物以句股推其逺近高低固實無疑也惟高逺甚目力殺混矩表度纎淆則法不效故三四百里之外縱假高臺崇山庸法皆無利矣古者不知是法之病即用器以量天曰違地八萬里測日球廣闊曰一千里豈不悮乎或問曰天文氏有量天尺有平儀有渾天儀以測七政星辰豈皆虚具乎曰量天尺以察日至之景平儀渾天儀以審日月諸星高之分及其方位固無謬也借使之以量天逺近髙低星之大小尺分里數此乃大悮耳夫天以辰星測之有九重以恒旋推之有十一重以速遲進退見伏言之共有三十八端(在天地儀書)夫欲量天先量地地為量天之堦也欲量地球先測其徑以徑推其周圍便知其大矣(下卷四題圏書首卷三十)(二題)欲量日月辰星球之大(日月辰星視之如輪而實為球是故以後通謂曰球)先推天各重逺近厚薄(在多羅謀氏大造書)而度各球徑也假如甲乙丙丁為地球戊為其心甲戊為地球半徑己為月戊庚真地平甲辛地面地平也從甲地面欲測己戊線乃月離地心之里數幾何矣先以法測此時刻月出真地平線幾度則知己戊庚角幾大夫甲戊庚為直角故除己戊庚則甲戊己角之大審矣(推甲戊己角大幾何多羅謀氏)(别有方)次自甲以平儀等噐視月則得己甲戊角大幾何此己甲戊三角形之己戊甲己甲戊兩角既明則其第三角甲己戊亦明矣(一卷三十一題)辛地半徑己測為一萬四千三百一十八里零十八丈(地儀書載二三法以測地球徑)則若别作三角形於己甲戊相似而體勢等(六卷十八題)既兩三角形相當角比例等(六卷四題何為比例及比例之類在幾何原本五卷界説第十)用勾股三數法可測自戊地心至己月體有四十八萬二千五百二十二餘里夫日月星體違地心幾何既審則以法推其徑之長也兩球之比例有其徑三加之比例(十二卷十八題)則既知地球大何如因而日月諸星比地之幾何大亦審矣多羅謀氏又有恪法因日月之蝕測二球之大也人所最疑上卷之論惟其曰日球大於地球一百六十倍地球大於月球三十九倍盖曰吾視日月大不踰大甕之底而俱等何以知其異而相大幾倍乎今余不設量幾倍之法惟明徴日球大於地球地球大於月球借視照法六題易曉者以破其疑故先解六題而後可指三球之大小相比何如云第一題物形愈離吾目愈覺小解曰吾視物如作一三角形焉形以物徑線為底邉以底邉兩端至目兩線而結一角為二腰邉則夫内角益大吾覺物益大益小吾覺物益小也等則吾覺之等矣論曰首圖目在甲視乙丙一球則如作甲乙丙三角形其乙丙即球之徑線為底邉乙甲丙甲二條視線為兩旁腰邉乙甲丙角為目内角也又視逺球丁戊甲三角形雖乙丙丁戊二球大等而吾覺近者大於逺者無他惟乙甲丙角大於丁甲戊角故耳又視第二圖目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大吾覺兩球者等無他惟乙甲丙角於丁甲戊角等故耳又視第三圖目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大更逺則吾覺乙丙小球大於丁戊大球無他迺為乙甲丙角大於丁甲戊角故耳第二題光者照目者視惟以直線巳解曰光之所能及無碍者即照之目之力所能迄無隔之者則視之便自目自光可以射直線至于物體便無有隔碍之而可以照視之論曰如以上圖或光或目在甲而照視乙丙體之前者乙丙自甲至乙丙之間無所不可作直線則無不可照視之而乙丙之外無乙丙體乙丁丙戊之内竟不可照視無他惟自甲至丁乙丙戊間不可作直線耳茍以曲線可以照視物非但物之前者其後者並能現明焉而無所碍也後論曰如以上圖自甲可通以曲線至己而設並可照視之則乙丙之後乙丁丙戊之内猶可照視而乙丙之體隔不能為之碍也然物之背不移光不選目不可著照視則以曲線竟不能照視也第三題圓尖體之底必為環使真切之數節其俱乃環而環彌離底者彌小而皆小乎底環者解曰試觀上圖有甲乙丙圓尖體若犀若牛直角然而切之丁戊己庚辛壬三處題云其底甲乙為環丁戊己庚辛壬並為環又云丁戊環大於己庚己庚大於辛壬而各小於甲乙環也論曰設甲乙底非環其體也非圓也又圓體之節於其底平離則甲乙既環丁戊己庚辛壬並為環也又甲丙二線愈就丙愈相近則其環之徑愈短而環愈小也其底之猶甚大可知也第四題圓光體者照一般大圓體必明其半而所為影廣於體者等而無盡解曰試觀後圖題云甲乙光體者照丙丁前半體竟受光而後影一般廣而無盡也論者照者以直線照(在第二題)甲乙體于丙丁體者等則甲乙徑于丙丁徑亦等而可自甲乙丙丁間射光之直線則其前者畢明其後者畢隂也又甲丙乙丁二線平行一般近則其直出丙丁之外不克相近而相遇(幾何原本解説三十四)丙丁之後既竟為𡨕則丙丁之影無盡而於丙丁之原體廣並等焉第五題光體大者照一小圓體必其大半明而其影有盡益近原體益大解曰試觀後圖大光體甲乙照小圓體丙丁題云戊己以前大半有明而其影戊庚己盡於庚而益近原體丙丁益大矣論曰光體所照體者等惟能照其半(在第四題)則今既光體大於所照者必照大半也又照惟以直線為(在第二題)則自甲乙體之界可射二直線於戊己受光之界今令二線出戊己之外必相遇於庚何者大光體之徑甲乙大於小體之徑丙丁而平行則甲丙乙己二線不為平行線使二線上加戊己縱線向大體甲戊己乙己戊兩角大於兩直角其外角庚戊己庚己戊小於兩直角則甲戊乙己兩線愈長愈相近必有相遇之處(幾何原本公論十一)相遇於庚則影有盡夫戊庚己之内惟有影其外竟光則丙丁體之影漸尖而卒有盡也第六題光體小者照圓體者大惟照明其小半而其影益離原體益大而無盡解曰試觀後圖甲乙光體小者照丙丁圓體大者題云惟其小半戊己受明而後大半冥其影愈離原體愈大而無盡焉論曰光體所照體者等惟能照其半(在第四題)今光體小則不及照其半也又甲乙體既小於丙丁體則甲乙徑小於丙丁徑而自甲乙界射線於丙丁界直出此二線益離甲乙益大則不克相值而其内影益逺益大而並無盡也(用第五題論而反之)夫月球離地四十八萬二千五百二十二餘里日球離地一千五百九十一萬二千三百八十二里則雖吾視覺二形一般大不可謂之等焉(在第一題)徴日球大於地球地球大於月球皆由日月之蝕故先須明二蝕之所以然日蝕非他惟朔時月或至黄道日所恒在也則既在日之下便掩其光而吾不能見日謂日蝕也且日球者了無失光故其蝕非天下各國共有之而或一處日蝕而别處光焉或一處全蝕而他處惟蝕其半焉所見正斜異故也月蝕天下皆同蓋月球並諸辰星之體本無光皆借太陽之光也地球懸九重之當中如鷄子黄在青中然惟望時月或至黄道于太陽正相對則地球障隔其光而不得照之故月失光矣且月蝕乃地影矇之也月已出地影即復光或以為抗日非其理矣其日月蝕圖設于後以便覽或問曰有夘酉時月蝕者而日月俱現地平上以為地形中隔似不如是曰春分至秋分日出地恒在夘正前故月朢對酉正後秋分至春分日出恒在夘正後故月朢對酉正前夫月蝕特於朢朢時日月何得而同現地平上乎蓋其半沉半吐之際人見雙形實非並現倘月蝕時日月全見地平上必月或在西始入地或在東將出地而海水影映并水土之氣發浮地上現出月影此時月體實在地下為地所隔此理可試於空盂若盂底内置一錢逺視之不見試令斟水滿之錢不上移而宛可見焉盂邉既隔吾目則吾所見非錢體乃其影耳茲豈非月在地下而景現地上之喻乎或又謂月影映水可見日影映水亦可見地上何獨言月不言日曰日體極大違地極逺此理喻日于義不合圖設於上以便覽觀論日球大於地球夫日球於地球或大或等或小焉如云大則無用辨等並小不可不辨論曰日球或小或等於地球地球之影宜無盡(在第四第六題)則必能及火木土星並二十八宿而蝕之矣然未見火木土星並二十八宿之蝕或曚之則地球影不臻其體而有盡焉既有盡則日球不可謂或小或等於地球者而必大也况地影克至三星二十八宿之體必每夜宜見蝕曚星之大半而竟不見之也此理設圖於後以細玩焉又地球之影益逺地益小則日球大於地球者也(在第四題)若非益逺地益小或益大或等焉則影至星而非見星之蝕必見其甚曚焉又如月在龍頭其離地逺如在龍尾其離地近也然月在龍頭其蝕時短在龍尾其蝕時長則地影益逺益小著矣論地球大於月球然地球大於月球何騐之耶論曰地影依前論為一尖圓體而地之半球為底之環也月球蝕時全在其尖體之内而久行其中(乃其全黒之時)則月球之徑甚小於地球徑也(在第三題)此以日月蝕論之若量法又可以測二形之大而較之焉今畧舉是姑明其意云爾附徐太史地圜三論西泰子之言天地圓體也猶二五之為十也(地形之圜乃歐羅巴)(諸儒千年定論非竇創為是說)或疑焉作正戲别三論解之正論曰古法北極出地三十六度此自中州言耳唐人云南北相去每三百五十一里八十步而差一度宋人云自交南至於岳臺六千里而差十五度此定説也夫地果平者即南北相去百億萬里其北極出地之度宜恒為三十六不能差毫末也猶山髙千尺以周髀量之自此山之下稍移之平地數十里外宜恒為千尺不能差毫末也以郭若思之精辨南北測騐二萬里北極之差至五十度而不悟地為平體移量北極之不能差毫末何也又因而抑札馬魯丁使其術不顯何也戲論曰嵩髙之下北極出地三十六度自此以北每三百五十一里八十步而差一度則嵩髙之北一萬八千九百六十六里正當北極之下矣近世渾天之說明即天為圓體無疑也夫天為圓體地能為平體北極又能為逓差則以周髀計之北極之下自天至地纔一萬三千八百二十九里而已次以弧矢截圓法計之則北極之下更北行四千四百七十六里有竒而地與天俱盡也合計之即自嵩髙以北二萬三千四百四十里有竒而地與天俱盡也倍之則東西廣南北袤各四萬六千八百八十五里有竒而地與天俱盡也此三者以為可不可也别論曰揚子雲主蓋天桓君山詘之是也然蓋天能知地平則北極不能為差故云北極之下高於中國六萬里但知其說者又不能為圓天為圓天則髙於中國六萬里之處既與天相及矣故曰天之北極髙於四周亦六萬里斜倚之令天與地不相及也若言圓天而不言圓地政不足以服周髀乾坤體義卷中
## 卷下
欽定四庫全書乾坤體義卷下明 利瑪竇 撰容較圖義萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邉線之最少者為三邉形多者四邉五邉乃至千萬億邉不可數盡也三邉形等度者其容積固大於三邉形不等度者四邉以上亦然而四邊形容積恒大於三邉形多邉形容積恒大於少邉形恒以周線相等者騐之邉之多者莫如渾圜之體渾圜者多邉等邉試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邉等也乃至秒忽毫釐不可勝算萬形愈多邉則愈大故造物者天也造天者圜也圜故無不容無不容故為天試論其槩凡兩形外周等則多邉形容積恒大於少邉形容積假如有甲乙丙三角形其邉最少就底線乙丙兩平分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線(幾何原本一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者(一卷四又三十六)既甲丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等(一卷三十四)則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆與乙丁相等甲丙邉為弦其線稍長試引丙戊至己引丁甲至庚皆與甲丙甲乙線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邉形與三邉形等周者四邉形容積必大於三邉形凡同周四直角形其等邉者所容大於不等邉者假有直角形等邉者每邉六共二十四其中積三十六另有直角形不等邉者兩邉數十兩邉數二其周亦二十四與前形等周而其邉不等故中積只二十又設直角形其兩邉各九其兩邉各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邉各八兩邉各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邉為七以兩邉為五亦與前同周而中積三十五是知邉度漸相等則容積固漸多也試作直角長方形令中積三十六同前形之積然周得三十與前周二十四者迥異今以此周作四邉等形則中積必大於前形凡同周四角形其等邉等角者所容大於不等邉等角者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三十五)與不等角形同底原相等(一卷十九又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大於不等角形以上四則見方形大於長形而多邉形更大於少邉形則圜形更大於多邉形此其大畧若詳論之則另立五界説及諸形十八論於左第一界等周形謂兩形之周大小等第二界有法形謂不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即為有法其攲邪不就規矩者為無法形第三界求各形心但從心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即係圜與形同心第四界求形面謂周線内所容人目所見乃形之一面第五界求形體如立方立圜三乗四乗諸形乃形之全體第一題凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊髙以中分線及髙線作矩内直角方形必與三角形所容等解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大於甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形(一卷四一)故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等(一卷二十)次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等(一卷三十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故(一卷三十六)第二題凡有法六角等形自中心到其一邉之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作直角線為庚辛另作壬癸線與庚辛等作癸子與甲乙丙丁線等即半周線也題言壬癸子丑直角形與甲乙丙丁戊己形之所容等論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等(一卷八)其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等(以甲辛分甲乙之半故見本篇一題)若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等蓋此半邉三箇三角形照甲乙庚形作分中垂線其矩線内直角形俱倍本三角形故第三題凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邉丁戊與法形丁戊等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等論曰試作丁戊己庚直角形兩平分于壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等(本篇二題)何者戊辛線得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊己三角形與甲乙丙全形亦等第四題凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙又有丁乙戊己直角形兩丁乙等半圜線與戊乙等題言甲乙丙所容與丁乙戊己直角形所容等論曰試以乙戊引長到庚令庚戊與乙戊等則乙庚與圜周全等次從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等(在圜書一題)而丁乙戊己又與丁乙庚三角形等(本篇四又一卷四十註)則丁乙戊己自與全圜體等第五題凡直角三邉形任將一銳角于對邉作一直線分之其對邉線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所分内鋭角之比例解曰有甲乙丙直角三邉形丙為直角從甲鋭角望所對丙乙邉任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙(一卷十九)若以甲為心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例(五卷二十)(七)合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例(形之比例與底線之比例相等在六卷一)固大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例(六卷三十三系)則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例也第六題凡直線有法形數端但周相等者多邉形必大於少邉形解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邉多于丁戊己(不拘四邉六邉雖十邉與十一二邉)(皆同此論)題言甲乙丙之體大於丁戊己之體論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邉作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙於壬分戊己于癸(三卷三)其甲乙丙形多邉者與丁戊己形少邉者外周既等而以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧則乙丙邉固小於戊己邉而乙壬半線亦小于戊癸半線矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即匀分各邉俱等而全形邉所倍於戊己一邉數與全圜切分所倍於戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邉所倍於乙丙一邉與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角(六卷三十三題之系)則以平理推之移戊己邉於甲乙丙全邉亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邉猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也(六卷三十三之二系)則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也(五卷六五)夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例(本篇五)則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例(五卷十三)而癸辛子角大于壬庚乙角(五卷十)其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小于庚乙壬角(一卷三十二)令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邉亦等于子癸邉則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸(一卷二十六)今以庚壬線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也(本篇二)然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邉直線形之所容乎第七題有三角形其邉不等於一邉之上另作兩邉等三角形與先形等周解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙兩邉不等欲于甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邉又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分于己甲乙乙丙兩邉併既大於甲丙邉(一卷十)則丁己己戊兩邉併亦大於甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣(一卷三十二)以作甲庚丙得所求蓋庚甲庚丙自相等而甲丙同邉則二形之周等而甲庚丙與甲乙丙為兩邉等之三角形(此庚㸃必在甲乙線外若在甲乙邉上遇辛則辛丙線小于辛乙乙丙合)(線即不得同周)第八題有三角形二等周等底其一兩邉等其一兩邉不等其等邉所容必多於不等邉所容解曰有甲乙丙形其甲乙邉大於乙丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形與甲乙丙等周(本篇七)而丁甲丁丙兩腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲乙丙論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邉與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邉等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半(一卷三十二)令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行(一卷二十八)又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也(六卷一)因顯甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙兩邊等三角形必大於等周之甲乙丙矣(問戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩内角故也)第九題相似直角三邉形併對直角之兩弦線為一直線以作直角方形又以兩相當之直線四并二直線各作直角方形其容等解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相當題言併甲丙丁己為一直線於上作直角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙戊己作直線各於其上作直形方形兩併等論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行(一卷二十九)則己壬辛之角形與丁戊己相似而丁戊己與甲乙丙相似矣(一卷三十二)何者己壬辛角與庚角等庚角與丁戊己角等己角又與乙角等而辛角與丁己戊角及丙角俱等壬己辛角與甲角亦等(一卷三十四)又己壬邉與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙己辛與甲丙俱相等(一卷二十)(六)故丁辛線兼丁己甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也(一卷)(三十四)然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直角方形併自相等矣第十題有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與己丙己丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角(一卷二十五)而兩三角形不相似求于兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四線等而分之於壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁(六卷十)甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬於癸平分壬辛于子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁矣(五卷)夫庚辛併既大于甲乙丙丁併(兩邉必大于一邉在一卷二十)則壬辛大於丙丁而庚壬大于甲乙也(五卷十四)甲乙庚癸癸壬三線每二線必大于一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊甲戊乙得庚辛之半而庚)(壬之度過之故)於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之)(度不及故俱一卷二十二)論曰并甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與辛壬而減半之庚壬與壬子(五卷十五)又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邉之比例自相似(六卷五)第十一題有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱同而不相似形併必小於相似形併解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令于兩底上依前題别作甲己丙及丙庚戊兩形相似而與前兩三角形相併者等周題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙丙丙丁戊併論曰將甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從巳過乙作己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邉與乙己丙三角形之己丙己乙兩邉等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等(一卷八)又甲己壬三角形之甲己己壬兩邉與丙己壬三角形之丙己己壬兩邉等則甲己壬角與丙己壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等(一卷四)壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邉與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邉等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等(一卷四)丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似與己丙壬角即相等(一卷五)而丁丙辛即癸丙辛總大於己丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬(一卷)(十五)是丑丙壬亦大於己丙壬而引癸丑線當在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙線(一卷二十)則己丙丙庚併亦大于乙癸線何也此四形者兩兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線併與甲己己丙丙庚庚戊四線併原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與己丙丙庚亦相等故也併己丙丙庚二線為一直線就線上作直角方形必大於乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併相等(九題)而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁(即辛癸)上之直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等(九題辛從子上分兩對角其角等而壬與 俱為直角相似之形令移置)(辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙壬辛癸為股壬辛為勾乙癸為弦矣)此己壬庚辛線併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併明大於乙壬丁辛併之直角方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減一壬辛上直角方形則己壬庚辛共線上之直角方形大於乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線併大于乙壬丁辛兩線併矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛(以甲丙原大于丙戊故)則己乙與壬丙矩内直角形大於丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丁形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大於甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉第十二題同周形其邉數相等而等角等邉者大於不等角等邉者先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形與他形同周同角者較必邉邉相等乃為最大之形論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邉如第一圖又作甲丙線于上作等邉三角為甲庚丙形與甲乙丙等周(本篇七)則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形(本篇)(八)令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不為最大其他如丙丁邉之類或不等者亦如此推次解曰又設甲乙丙丁戊己等邉形與他形同周同邉者較必角角相等乃為最大之形論曰依上論各邉俱等則甲乙丙丙丁戊為等邉三角形(邉角俱等)而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大於丁角則甲丙線必大於丙戊線(一卷四二十)試於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲庚丙併丙辛戊者大于甲乙丙併丙丁戊(本篇)(十一)而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者為最大乎第十三題凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等題言甲乙丙大於丁戊己論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形與丁戊己相似(四卷十六註)而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半(三卷十八)又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半(三卷三此設于兩多邉形外作切形圜而以壬癸子丑為切圜線向心作)(垂線則垂線必分切線之中故説在四卷十二)兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等(一卷三十二)然乙壬癸丙之周大於圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邉大于子丑邉則半之而壬甲亦大於子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例(六卷四)而壬甲大于子丁則甲庚亦大於丁辛(五卷十四)是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也(本篇四)系曰推此見圜形大於各等周直線形(第五題証有法形同周者)(多邉為大又十二題証等周及邉數之等者有法為大又本題証等周之有法形惟圜為大則圜為凡形)(等周者之最大)第十四題銳觚全形所容與鋭頂至邉垂線及三分底之一矩内直角立形等解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三(十二卷六注言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍)寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三(以同底同髙故在十二卷七系)則寅庚全方與己甲觚等第十五題平面不拘幾邉其全體可容渾圜切形者設直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等(可容渾圜切形者必)(圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論)解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊(十一卷三題)試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜(圜形書一卷一題)從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂線(三卷十八)壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚所容等(本篇十四)又併為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半徑也第十六題圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙渾圜等論曰若言不等謂戊大于渾圜形其較有巳者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大于甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内試作有法形勿切甲乙丙圜(十二卷十七)自丁心至形邉各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂線至丁心為觚鋭頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等(本篇十四)則併為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等(本篇十五)如云以甲乙為髙而以各觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不大于戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也又論曰戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑(十二卷十七)而従丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底庚辛為觚鋭頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面則圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大於甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大於全歟則戊體不小於甲乙丙矣從後論不可為小從前論不可為大故曰等也第十七題圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙又丙形與甲等周其周内可作諸切邉圜形而從心至邉為丙丁題言甲圜大于丙形論曰甲圜外試作與丙相似形(十二卷)而從甲心至各邉切處作半徑垂線皆等(本篇十五有解)其一為甲乙甲圜外形大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大於丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等(本篇十六)以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大於丙之立方(本篇十五)則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣第十八題凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角形解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之類等邉等角近于圜形者又作戊壬過心線為樞以轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋為立圜之體則其形為圜外圜角之形而角與邉周遭皆等(圜書一卷二十二及二十七)又有渾圜形寅與圜角形等周題言寅圜大於圜角形論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一(圜書一卷三十一題)令倍寅徑以作夘辰徑其圜面四倍大于寅之圜面(此専以圜面相較也夘辰徑既)(倍寅徑則夘辰圜固四倍于寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一増題)則夘辰圜與寅渾圜等(此夘辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也)次作未申圜與夘辰等作未酉申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為巳午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙於夘巳辰圜角形則亦大於夘巳辰圜角形(圜角形同底之比例)(若其髙之比例在十二卷十四題)夫割寅渾圜之中半以為底(即過心大)(圜也)而以其半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四分之一(此旋轉所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷三十二十)則是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大於寅圜則未酉申圜角形固與寅之渾圜形等矣(圜角形同髙之比例若其底之比例)(故也在十二卷十一題)其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面(戊己庚之面與寅圜之面等故)而巳午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與夘巳辰圜角形等(圜書一卷二十九題論凡)(圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與)(圜外諸圜各等)夘巳辰圜角形既小於未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大于同周之寅乎乾坤體義卷下◆ 《表度說-明-》（KR3f0010）
## 提要
欽定四庫全書 子部六提要表度説 天文算法類一(推歩之屬)(臣)等謹案表度説一卷明萬厯甲寅西洋人熊三拔撰三拔有泰西水法已著録是書大㫖言表度起自土圭今更創為㨗法可以隨意立表凡欲明表景之義者先須論日輪周行之理及日輪大于地球比例彼法别有全書此復舉其要略分為五體一謂日輪周天上向天頂下向地平其轉于地面俱平行故地體之景亦平行一謂地球在天之中若令地球不在天中則在地之景必不能隨日周轉且遲速不等矣今春秋二分日輪六時在地平上為晝六時在地平下為夜非在正中而何一謂地小于日輪從日輪視地球止于一㸃若令地非一㸃則隨在地面不得見天體之半必上半恒小下半恒大而為半地之厚所礙矣一謂地本圓體故一日十二辰更叠互見如正向日之處得午時其正背日之處得子時處其東三十度得未時處其西三十度得巳時若以地為方體則惟對日之下者其時正處左處右者必長短不均矣一謂表端為地心凡立表取景必于兩平面之上求得兩種景其一立表平面上與地平成直角其所得景直景也如山岳樓臺樹木等景在地平者是也其一横表之景倒景也如向日有墻于其平面横立一表于地平為平者是也末言表式表度并節氣時刻推算之法繪畫日晷術皆具有圖説指證確實夫立表取影以知時刻節氣厯法中之至易至明者然非明於天地之運行習于三角之算術則不能得其確準是時地圓地小之説初入中土驟聞而駭之者甚衆故先舉其至易至明者以示其可信焉簡平儀説 天文算法類一(推歩之屬)(臣)等謹案簡平儀説一卷明西洋人熊三拔撰據卷首徐光啟序蓋常㕘證于利瑪竇者也大㫖以視法取渾圓為平圓而以圓測量渾圓之數凡名數十二則用法十三則其法用上下兩盤天盤在下以取赤道經緯故有兩極線赤道線節氣線時刻線地盤在上以取地平經緯故有天頂有地平有髙度線有地平分度線皆設人目自渾體外逺視其正對大圓為平圓斜倚於内者為撱圓當圓心者為直線其與大圏平行之距等小圏亦皆為直線地盤空其平圓使可合視二盤中挾樞紐使可旋轉用時依其地北極髙度安定二盤則赤道地平兩經緯交錯分明凡節氣時刻髙度偏度皆可互取其數天盤用方板上設兩耳表以目測影地盤中心繫墜線以視度分立用之可以得太陽髙弧度既得太陽髙弧則本時諸數皆可取焉蓋是儀寫渾於平如取影於燭雖云借象而實數可推弧三角以量代算之法實本於此今復推于測量法簡而用㨗亦可云數學之利器矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 表度説
欽定四庫全書表度説(熊三抜口譯)明 周子愚 撰表度説五題厯家有渾天儀有平儀有圭表有正方案以測七政星辰髙下之分以察日至之景以審日月方位因而隨時隨地可用測驗日輪髙下度分及午正初刻也有法於此任意立表取景以表景度分得日髙度分甚為簡便第欲明表景之義先須論日輪周行之理及日輪大于地球之比例二論為説甚長俱有全書今特舉要畧作五題焉第一題日輪周天上向天頂下向地平其轉于地面俱平行故地體之景亦平行解曰周天三百六十度分為四圏分毎分九十度所謂周天象限也試如上圖午酉子邜周天也午酉象限九十度也日輪自夘向午毎刻行三度四十五分(八刻為一時)毎時平行三十度至午得三時自午向酉亦如之故一周得十二時終古如此因知其終古平行也其所照物景周行地面亦平行也令日輪在甲照乙地球其景必至丙日在甲向午上行一度景在丙亦向子下行一度故景與日輪恒平行相等也第二題地球在天之中解曰令地球不在天中在其一隅如上圖丁為天中設地球在乙日輪在甲照乙地球其景必至丙則地之景必不能隨日輪而平行轉周盖日行從甲過戊至丙景必從丙過己至甲是日輪行大半圏分而景行小半圏分遲速不等甚矣依第一題日輪與景不得不平行相等故不得言地球不在天中也又春秋二分日躔赤道晝夜平是因地在天中故日輪六時在地平上為晝六時在地平下為夜非在正中而何第三題地球小于日輪從日輪視地球止於一㸃此題全説見天地儀解今約畧論説以明表景之理焉依第二題地在天中而分日天為兩平分欲分圏界為兩平分其徑線必過圏心如上甲乙丙線分圏于甲丙必過乙心而為兩平分令不過心而過心之上或下如丁戊己線過戊在圏心之上而兩分圏界于丁己則非兩平分也今地球分日天為兩平分隨人所至地面恒得見天體之半又春秋二分晝夜平故其大比日天當止一㸃令非一㸃而為大如戊庚即人在戊地面不得見天體之半其地平線平行至丁己亦不能分日天為兩平分也從日輪視地既小如一㸃今從地視日乃大如小車輪者日輪本大于地球一百六十倍故也此論見乾坤體義第四題地本圜體解曰凡物有本像焉地之本像圜體也世有云天圜地方動静之義方圓之理耳今先論東西後論南北合証地圜之㫖日月諸星雖毎日出入地平一遍第天下國土非同時出入盖東方先見西方後見漸東漸早漸西漸遲如有人居東又一人居西東西直相去試七千五百里則東人見日為午正初刻此際西人乃見日在禺中為己正初刻也周天三百六十度毎度為地二百五十里若相去百八十度則東方之午為西方之子相去九十度則東方之午為西方之夘矣餘度俱依此推如上圖午酉子邜為日天甲乙丙丁為地球令日輪在午而人居甲即日正在其天頂得午時人居丙即得子時日在其天頂衝也東去甲九十度居丁得酉時日既過其天頂将沒于地則午甲丙子為其地平也西去九十度居乙即得邜時日向其天頂方出于地亦午甲丙子為其地平也依此推筭令日輪出地平在邜人居丁得午時居乙得子時矣此何以故地為圜體故日出于邜因甲髙與乙障隔日光不照故丁之日中乙之半夜也若地為方體者如上甲乙丙丁則日出邜凡甲乙丁地面人宜俱得邜日入酉宜俱得酉不應東西相去二百五十里而差一度又七千五百里而差一時也故明有時差者不能不信地圜也又丁乙與甲異地即異天頂即異日中而又與甲同邜酉即丁之午前短午後長矣乙之午前長午後短矣獨甲得午前後平耳而今之半晝分天下皆同何也則明有半晝分者不能不信地圜也或問曰此理甚明矣然于言兩地相逺一得午一得子晝夜時刻天下各異何自驗之乎曰敝國諸儒多習厯象之學推驗大地經緯度數皆與天應以為推筭七政測量地海之用其推驗緯度稍易大抵用午正日晷或星髙及南北二極取之其推驗經度稍難必于月食取之夫月食與日食異日或食或不食或食而分數多寡時刻先後隨地各異月之食限分數時刻天下皆同但入限有晝夜人有見不見耳今以之推顯地度毎測得一處月食甚于子即他處在其東者必食甚于丑矣在其西者必食甚于亥矣可見此一方之子時乃東方之丑時西方之亥時也若兩地相去九十度則東方見食于子者西方見食于酉矣若相去百八十度則此方見食于子者彼方必于午不見食矣盖月食有定而天下之見食各異又毎去九百三十七里半而差一刻可見時刻天下各異各以日到本天頂為午正初刻也又月平行自西而東一日大約十三度强毎一時約一度五分度之一其所離列宿次舍毎時各異故西土厯家欲知兩地東西相去道里之數即兩地相約于同夜測月輪與某星同經度分為何時刻分如東方與此星同度分為子而西方與同度分為丑相隔一時即東西相去遠七千五百里也以此推之知天下時刻各因日輪所至不可疑也即地為圜體又何疑焉自南而北地為圜體亦可推也試如有人居廣東測北極出地得二十二度北行二百五十里見北極稍髙測得二十三度次毎行二百五十里皆如之至京都測北極出地得四十度矣亦見北界星廣東不見者其在廣東亦見南界星京師所未見者此由地為圜球人乃循球而行故南北二極及附近諸星隨而漸次隱見也若地為平體隨人所至恒見天星髙于地平若干度矣如上圖西南東北為周天甲乙丙為地之圜球丁戊己為地之方面若人在圜球之乙即見在南諸星從乙漸向丙即南諸星漸隱矣漸向甲者反是若人在平面之丁即得俱見南北二極之星其在戊在巳亦如南非極諸星何由得漸次隱見乎則地為圜體亦可證也又地周三百六十度毎度二百五十里其周圍實獨有九萬里令地為方四面其一面應得二萬二千五百里人居一面地平之上其二萬二千五百里之内並宜見之乃今目力所及極大畧能見三百里即於最髙山上未有能見四五百里者則地之圜體突起于中能遮兩界故也不惟髙山即空際之雲亦然試令兩方相去四五百里其一宻雲甚雨其一日色晴霽此宻雲處不見日彼晴霽處不見雲矣人聞雷聲而不見宻雲者恒有之盖雷聲所極可至三百里以外故耳可得聞而雷起處必有宻雲而三百里以外空際之雲人遂不能見之夫向所云平地不見四五百里猶云目力有限乃空際之雲物在三百里以外者遂不能見之則豈非地為圜體人所及見之面至於三百里而止乎以此地圜故若有二國東西相去四萬五千里得一百八十度半地之周居西二人約往東國一向西一向東令同時發行而以發行之第六日相遇於東國其同發時為月之朔日則向東者遇之日為月之六日向西者遇之日為月之五日此兩人行同至同所更厯時刻同而一為六日一為五日何也盖東行者遡日而馳漸就於日故此人恒先得見日出地而日先得至其天頂西行者與日俱馳漸遠於日故此人恒後見日出地而日後至其天頂也今大西洋估舶至小西洋嵗嵗有之若二船同日解維其一東行其一西行後相遇於小西洋東行者若筭得月之六日甲子即西行者必筭得月之五日癸亥試如後圖甲乙二船俱從大西洋往小西洋同以三月初一日午時解維甲船望西行至申即申為其天頂乙船望東行至戍即戌為其天頂因日輪自東而西當先至戌後至申戌在申東即日輪第一周先至戌乙船以戌為天頂是得午時從昨開洋至此得一日足甲船以申為天頂日未至自戌至申須二時則乙船之午是甲船之辰扣至一日足實少二時次乙船至亥甲船必至未各以亥未為其天頂日輪第二周先至亥後至未自亥至未隔四時則東船先四時而得午正從開洋扣得二日足西船更須四時乃得午為二日足也次乙船至子甲船必至午而子午為其天頂日輪第三周先至子後至午東船在子先得午時為三日足自子至午隔六時西船在午須六時乃得午為三日足次至丑至己亦如之及東船至寅西船宜至辰日輪自寅遶東至辰隔十時故十時之初東船先得五日足而西船尚須十時乃適足故甲乙二船自開洋至此際一得五日一得四日零二時既抵小西洋而夘為其天頂日輪至邜即向東者實滿六日向西者實滿五日是故雖同發俱至而先後差一日也此何以故地為圜體人居東先得見日輪出地平居西後見故也五日六日假説之實行者不論一年二年皆差一日其理同也或問地果圜體則上下四旁皆生人所居不知在下者安所佇其足哉曰地球之説其理甚廣西庠有專書備論今獨舉一二端明徵此理其一曰天下萬物各有本所最上本所為天之上最下本所則為地之中心也其二曰物之體質有輕有重最輕玅者就最上所如火是也最重滯者就最下所如土是也其三曰物重者各有體之重心此重心者在重體之中試觀于衡均重則不欹物重之重心得在其中故也其四曰既地中之心為諸重物各重心之本所物之重心悉欲就之欲就之勢其下必為垂線也如人上山山之陡面不能正佇人足如佇地平與其直角造室立柱於山之陡面亦不能與為直角也何故乎人體之重心所欲就者為地之心下就之勢作一地之心而垂線欲垂線立柱亦然山之斜面與地中心非相對待如地平之面故人體柱體與其峻面悉不能為直角也如上圖甲山欲立柱作直角于山之陡面如乙必傾矣其體之重心所願就者為丁地心非甲山之心也雖陡面必與地平為直角如丙乃安何故其體之重心與丁相直耳故凡重物居地面之上各以地心為下以天為上因其重心願就地心遂得安于地面能佇其足矣因是可知上下之分凡謂下者逺于天而就地心也謂上者就天而逺于地心也是故地之圜球懸于空際居中無著常得安然盖四方土物皆願降就于地心之本所東降欲就其心而遇西就者南降欲就其心而遇北就者悉悉如此相遇之際皆能相衝相逆故凝結于地之中心即不相及者以欲就故附離不脱得令大地懸居空際也如上圖丙為中心甲乙兩分各為地之半球甲東降就其心乙西降就其心其兩半球又各有本體之重心如丁如戊甲東降其本性必欲令本體之重心丁至于丙然後止而不可得何者乙西降亦欲其體之重心戊至丙中心然後止也故兩半球相遇于丙中心甲不令乙得西乙不令甲得東一衝一逆力勢均平遂兩不進亦兩不能退而懸居空際安然永奠矣試于一門二人出入其一在内其一在外在外者衝欲開之在内者逆欲閉之若同衝同逆為力均平門必不動甲乙半球其理同也推至四方八面一塵一土莫不皆然隤然下凝職由于此矣第五題表端為地心解曰地球之大比日天只止一㸃(本篇三題解)况地上山岳樓臺樹木及所立之表何足筭乎亦與大地共為一㸃而已故雖人所立表表景隨日輪若在地面苐以一㸃論之則表端之景與地心之景一也故表端不得不為地也欲徵其實試作一赤道晷其法於平面作圏圏界平分三百六十度每三度四十五分(毎一度變四分)為一刻毎三十度為一時立表于圏心候之即見表景平行毎刻三度四十五分(每八)(刻為一時)毎時三十度與日輪旋轉地心度數相等設非表端為地心安能日景平行且用此平行日景作日晷數十百種一一合轍乎既明表端為地心因可隨地隨時立表取景以得日行周天定度也凡立表取景必于兩平面之上求得兩種景其一立表平面上與地平為直角其所得景直景也如山岳樓臺樹木等景在平地者是如上圖甲乙為表丙乙丁為地平面戊為日輪立甲乙表任意長短與丙乙丁地平面為直角令日輪在戊為表東其光必過甲表端表端景必在表西丁則乙丁為直景其一倒景者横表之景也如向日有墻于其平面横立一表與地平為平行者是如上圖甲乙為墻丙丁為表戊為日輪立丙丁表于甲乙墻之平面為横表與地平平行令日輪在戊其光過表端表端景必在已而丁己為倒景立表取景以表之度分量此二種景可得其短長以短長之度數可得日軌離地平分秒又量得一種景推筭可得别種但須先得二景之比例及表與二景相求之法乃悉其立法所由今引説數條推明指義如左其一曰日軌出地平從一度至九十度漸升上就天頂既過一象限從九十度漸入地平下離天頂故表景因日上下而得消長日上直景消倒景長日下倒景消直景長皆至午正而復其二曰直景與倒景之比例表與二景之比例皆在日輪出入上下度分也令立二表相等取兩種景日出地平則倒景表無景其端正對日光故也而直景之表有無窮景無數可量其景與地平平行故也如上二圖甲為表乙為日軌出地平于直景見甲表為無窮景與地平為平行線故不能交于地平(其故見幾何原本卷之一)次見倒景之表甲正對日軌出地平之乙故無景其三曰日軌既出地平漸向天頂而上至髙四十五度此半象分内二景一消一長直景漸消顧大于表倒景漸長顧小于表日過四十五度而上直景亦消而小于表倒景亦長而亦大于表試如上圖甲為日軌在四十五度以下到丙而丙戊大于戊己表其到丁而丁戊小于戊己表也若乙為日軌在乙四十五度以上其直景到丁而丁戊小于戊己表倒景到丙而丙戊大于戊己表矣又日向天頂而上非獨所立表之直景漸消而山岳樓臺樹木之景亦然其四曰日軌髙四十五度為半象限即二景得相遇其長皆與表等如上甲為日軌髙四十五度即丙丁二景之表等因知二景與表皆等盖日軌在甲表景必在乙即顯乙丙直景倒景皆與丙丁兩表等矣諸物之景亦然故測得日髙四十五度此際量得山岳樓臺樹木之景度分即得物髙度分也其五曰日軌至天頂髙九十度(缺)即直景表無景而倒景之表有無窮景試如日軌在甲天頂乙直景之表端正對于甲日軌故無景乙表之倒景必與丙丁墻面平行故為無窮景此與第二論同義也盖如直景因與地平為平行線故不能交於地平倒景乃與墻面亦為平行線却不能交於墻面也其六曰日出地與日髙九十度二景之理既同即一度至其間相反相對者理並同也試如日髙二度直景得長倒景得短日髙八十九度倒景得長直景得短則日髙二度之直景八十八度之倒景其長同也其短反是以至日髙三四五度二景短長與日髙八十七八十六八十五度並同也假如立二表相等各十二平分之日髙五度直景之長為表之一百三十七度即日髙八十五度倒景之長亦為表之一百三十七度日髙五度倒景之短為表之一度日髙八十五度直景之短亦為表之一度二景一消一長相反相對無有不合故用日髙度分表景短長立法布筭得一推二至為簡便也表得分十二平分用日髙度分表景短長立筭用日髙度分直景倒景短長立筭右各圖皆以直景倒景長短立筭而得日髙度分最上最下各横書一行日髙之度也上行順筭自一度至九十度用之因直景度分而得日髙之度下行逆筭自九十度起筭至一度用之因倒景度分而得日髙之度盡左盡右直書各一行日髙之分也右行從上起筭自一分至六十分用之因直景而得日髙之分左行從下起筭自一分至六十分用之因倒景而得日髙之分假如立竪表取直景若量其長得表之五十五度四十分欲知此時日軌髙幾何度分檢取圖中表景度分下五十五度四十分所在即直視本行最上得十二度横視右行相對得一十分是為日軌髙一十二度一十(缺)分也若立横表取倒景而得表之長五十五度四十分即下行日髙得七十七度左行相對得五十分是為日髙七十七度五十分也分表之法凢立表取景先定表長以表之長任意平分為若干度右圖表度十有二故今以十二為法分表為十二平分以十二平分之一為度毎度更六十平分之共得七百二十分表長無定度愈長景則愈凖立表之法凢立表必作垂線於平面而與為直角表偏其端則下而景短立法若表長一尺法以内則以表之位為心從心作一圏任意大小次三平分圏界作三立表于圏心用規從界之一㸃量至表端為度用此度量第二三㸃皆至表端則表正矣一不至表端者改之若表長數尺至數丈者或四面八面各懸垂線正之如周禮八繩附臬之法試如上圖甲為表位以甲為心作丙丁戊三平分圏界作丙丁戊三㸃用規從丙界㸃量向表端得度用元度從丁從戊量至表端皆等則表正也用法第一隨地隨時測日軌髙幾何度分凢測候者欲定時成嵗也定嵗之最急者為隨地隨時測日軌髙度分以知二至之日時刻分西儒多習厯造器以測日髙其法甚衆立表是其一法特為簡便焉欲以直景測日髙依法立表承日取景視表景于平面所至依表之度分量其長既得景長為表之幾何度分檢上圖得所求假如立表取景以表之度分量景長得四十三度十六分檢上圖表景度分下四十三度十六分所在此為直景視上行日髙度得十五視右行日髙分得三十是日軌髙于地平一十五度三十(缺)分也(缺)倒景測騐亦如之但檢圖當視下行日髙度左行日髙分耳第二隨地隨時測午正初刻測本日日軌最髙度分及定方面正法日輪自出地平至午正時漸近子午線而上過午正漸近地平而下故日輪出地最髙之度為午正初刻欲得午正初刻測本日何時太陽至子午線上及日行所至最髙之度即是也依上法立表取景若直景者日軌漸上直景漸消日軌漸下直景漸長故表景甚消之時即日軌最髙之度視表景消極長初即得午正初刻立表取景測午正初刻先於午前數刻視表景之末㸃識之次用日晷或任意視景毎過一刻或半刻許俱如前累識之若累短者法所謂景消為日升為午前也復依前法累識之至表景得累長法所謂景長為日降為午後也次檢表景識識中最短者得本日午正初刻依法量其長即得本日日軌最髙度分又自表位至景末作線即得本地子午線依子午作垂線得天元邜酉為定方面之正法第三隨地隨日測南北極出入地幾何度分南北極出入隨地不同厯家測騐先須得此不然即晝夜長短日月出入躔度髙下交食分數悉不可考悉不可論故元太史郭守敬分道測騐以為厯凖然周行四極輶軒錯出而所得止二十七處意其為術亦大艱難矣今用此法但是人跡所至都會郡邑一測便得不勞餘力矣依第二法立表測得本地午正初刻日軌髙幾何度分次求本日日躔距赤道幾何度分次視日躔赤道南北筭之若日躔赤道南則以距度加髙度得赤道至地平之髙以赤道髙減周天象限度即得赤道離天頂度亦即本極出地度日躔赤道北則以距度減髙度如法筭之亦得本極出地度分假如順天府於天正春分日依第二法立表測午正初刻測得日軌髙五十度又依距度得本日日躔黄赤道之交無距度即赤道髙于地平五十度減周天象限九十度得四十度即赤道離天頂度也南北極出入地其度分與赤道離天頂同故北極出地亦四十度又霜降日日躔赤道南是日午正初刻測得日軌髙三十八度三十分次依距度得十一度三十分以加日軌髙三十八度三十分亦得赤道髙于地平五十度如上法筭得北極出地四十度又立夏日日躔赤道北是日午正初刻測得日軌髙六十六度四十分次依距度得十六度四十分以減日軌髙六十六度四十分亦得赤道髙五十度如上法筭得北極出地四十度第四隨地測節氣定日二十四節氣者黄道二十四平分也日循黄道自西而東毎日約行一度嵗行一周行至黄赤二道之交為天元春秋分離南離北去赤道各二十三度半強是二道相距甚逺之處為冬夏至厯家分黄道作四大限曰春秋冬夏日自春分東陸至夏至北陸為九十日有竒六平分為六節氣毎節氣得十五日有竒曰春分清明穀雨立夏小滿芒種自夏至北陸至秋分西陸亦九十日有竒六平分為六節氣曰夏至小暑大暑立秋處暑白露自秋分西陸至冬至南陸亦如之為六節氣曰秋分寒露霜降立冬小雪大雪自冬至南陸至春分東陸亦如之為六節氣曰冬至小寒大寒立春雨水驚蟄共二十四節氣為黄道二十四平分故曰節氣者黄道平分也諸節氣距赤道南北逺近毎相反相對者度分皆同故得六距度即得二十四距度第其髙下距地平不同故諸節氣各有測騐本法焉欲用此法又先用各距赤道幾何度分及本地北極度分故具列二圖如左假如順天府北極出地四十度欲知夏至髙于地平度分當以本日日距赤道二十三度半強求之凢北極出地度分與赤道離天頂度分等即順天府赤道南離天頂四十度又自地平至天頂恒為九十度今赤道離天頂南四十度其至地平必五十度即赤道髙于地平五十度而夏至日躔赤道北上二十三度半强以加五十度得七十三度半强為夏至日午正日髙于地平度分也日髙七十三度半強即表景長得表之三度三十三分故夏至前後各二三日毎日立表取景視某日午正表景長得表之三度三十三分為夏至冬至日在南距赤道二十三度半强以減五十度為赤道髙于地平二十六度半弱即冬至日午正日軌髙于地平也依法得是日表景長得表之二十四度○四分若冬至前後各二三日立表取景視某日午正表景長得表之二十四度○四分為冬至春秋分為黄赤二道之交無距度正得赤道髙于地平五十度無加減日軌髙亦五十度表景長得表之十度○四分春秋分前後各幾日立表取景視其日午正表景得表之十度○四分為春秋分也凢黄道南北諸節氣相反相對者筭法並同節氣在北即自春至秋分加其距度分于赤道髙度分得各節氣髙于地平度分節氣在南即自秋至春分減其距度分于赤道髙度分亦得各節氣髙于地平度分以其髙于地平度分依法測表景長短得各節氣本日毎節氣本所及離赤道度分圖春分日軌出赤道南入赤道北當二道之交無距度分本地赤道髙于地平度分即日髙度分其宫為白羊之初無加減清明距赤道北六度十九分其宫為白羊之中加穀雨距赤道北十一度三十分其宫為金牛之初加立夏距赤道北十六度四十分其宫為金牛之中加小滿距赤道北二十度十二分其宫為雙昆之初加芒種距赤道北二十二度四十六分其宫為雙昆之中加夏至距赤道北二十三度半強其宫為巨蟹之初加小暑距赤道北二十二度四十六分其宫為巨蟹之中加大暑距赤道北二十度十二分其宫為獅子之初加立秋距赤道北十六度四十分其宫為獅子之中加處暑距赤道北十一度三十分其宫為室女之初加白露距赤道北六度十九分其宫為室女之中加秋分日軌出赤道北入赤道南當二道之交無距度分本地赤道髙于地平度分即日髙度分其宫為天稱之初無加減寒露距赤道南六度十九分其宫為天稱之中減霜降距赤道南十一度三十分其宫為天蝎之初減立冬距赤道南十六度四十分其宫為天蝎之中減小雪距赤道南二十度十二分其宫為人馬之初減大雪距赤道南二十二度四十六分其宫為人馬之中減冬至距赤道南二十三度半強其宫為磨羯之初減小寒距赤道南二十二度四十六分其宫為磨羯之中減大寒距赤道南二十度十二分其宫為寳瓶之初減立春距赤道南十六度四十分其宫為寳瓶之中減雨水距赤道南十一度三十分其宫為雙魚之初減驚蟄距赤道南六度十九分其宫為雙魚之中減北極出地度數及春秋分冬夏至表景度分北京四十強南京三十二半山東三十七山西三十八陜西三十六河南三十五浙江三十右北極出地度數止南北二京及江西廣東已嘗測騐無疑其餘據地圖約量之其確與否未能明也又北極出地毎二百五十里差一度一省之中各郡邑各有本地度數故諸方測騐者須先定本地北極出地度分方能行測凢用右二圖當先知測騐法測騐之理畧有數端其一曰自地平至天頂為九十度其二曰南北極不出入地者其赤道正為天頂若北極出地南極入地其度分與赤道南離天頂同也北極入地南極出地其度分亦與赤道北離天頂同也其三曰北極出地度分以減地平至天頂九十度即赤道髙于地平度分其四曰欲以表景測節氣本日先考節氣髙于地平度分其五曰節氣在赤道北為在赤道上而逺于地平欲得幾何度分當加其距赤道度分于赤道離地平度分節氣在赤道南為在赤道下而近于地平欲得幾何度分當減其距赤道度分于赤道離地平度分第五依表之度分物景之長得物之髙日軌在四十五度直景倒景皆與表等故物在地平之景與物之髙亦等在四十五度以下直景大于表則物之景必大于物之髙在四十五度以上直景小于表則物之景亦小于物之髙故量其景長即得其物髙試如依第一法測得日髙度分以表之景度分便得物在地平之景度分所據物景之度分及表度分推算便得物髙度分假如依第一法量得日髙四十五度此際量物景之長或山岳之景或樓臺之景或樹木之景其景或長三丈據上法日髙四十五度物在地平之景與其物之髙等是物之髙亦三丈不可疑矣次若日髙三十度物景之長五丈據上法日在四十五度以下物景多于物之髙減其多必得其物之髙也次檢前圖日髙三十度之景係二十度四十七分内減表度十二餘八度四十七分為餘景今取五丈之景亦分作二十度四十七分截去餘髙八度四十七分而其餘即物之髙也若日髙五十度物景長二丈者據上法日在四十五度以上景短于物當用加法查前圖景得十度四分較表度十二不足一度五十六分即以二丈之景分作十度四分外補一度五十六分得物之髙餘倣此第六日晷日晷者定時之器也凡定時刻皆憑表景故造晷者先明表景之法日晷定時凡數百種其理甚廣别有成書今因表景及之止就用景而造者畧説一二器耳先論其理畧有數端其一曰表景與日躔平行日出地而上或過午時而下毎行三度四十五分得一刻行三十度得一時表景亦然一長一消具有定度因其定度則可定時毎日行三度四十五分而檢其表長定刻也毎日行三十度而檢其表長則定時也午前則檢其直景之消倒景之長午後則檢其直景之長倒景之消也其二曰日愈髙直景愈短倒景愈長日之升于地平隨地各異表景之長在地面亦隨地各異也所以然者日之髙下於本地平隨南北極出入髙下也南北極之出入于本地平其髙下也亦隨地各異也其三曰赤道離天頂各與其極出地度分等如北極出地三十度赤道離天頂亦三十度而髙于地平六十度盖地平于天頂恒為九十度故北極出地四十度赤道離天頂亦四十度而髙于地平五十度是故二分之日日躔赤道而測午正初刻若本地所得北極出地三十度測即日躔髙六十度本地所得北極出地四十度即日躔髙五十度是知午正初刻日髙于地平隨地各異也其四曰日躔赤道髙于地平既隨地各異即過此而躔赤道北或南其髙其下亦隨地各異也故夏至測午正初刻本地所得北極出地三十度即日髙八十三度半強若所得北極出地四十度即日髙七十三度半強也冬至亦然諸節氣亦然其五曰午正初刻之日軌髙既隨地隨節氣各異即諸時諸刻之日軌髙亦隨地各異也假如二分日日躔赤道或南或北測量己未二時其本處為北極出地三十度即日軌髙于地平六十二度若北極出地四十度即日軌髙五十九度諸時諸刻亦然是其表景亦隨日軌髙下而得長消故日軌髙下隨地隨節氣隨時刻各異表景長短亦隨地隨節氣隨時刻各異也故以表景測時刻當先得本地及本節氣毎時毎刻日軌髙幾何度分也其六曰既得每時毎刻日軌髙度分即可用表景定時刻也假如順天府北極出地四十度夏至初日己未二時日軌髙于地平五十九度即直景長得表之七度十三分倒景長得表之十九度五十八分立表取直景候至景長七度十三分即己未時也若取倒景候至景長十九度五十八分亦己未時也其餘時刻推此類焉求各處各節氣毎時毎刻日軌髙度分具見簡平儀説今舉一二處為例如左造柱晷造圓柱晷法用堅木或銅作圜體如柱任意大小長短其圜必中規而上下等次于兩端之圏界各十三平分之依所分各界兩兩相對作直線俱平行各線與柱體亦平行柱體之周為十三直線皆平行相等毎線直二節氣惟夏冬二至各得一線名為二十四節氣線即任取一線為冬至次右二曰小寒大雪右三曰大寒小雪右四曰立春立冬右五曰雨水霜降右六曰驚蟄寒露右七曰春分秋分右八曰清明白露右九曰穀雨處暑右十曰立夏立秋右十一曰小滿大暑右十二曰芒種小暑右十三曰夏至次作表表長短無定度約柱之長短而定其度既得其長依前分表法十二平分之為表度毎度六十平分之凡十二度七百二十分若表體小者毎度六平分之次依上圖視毎節氣毎時刻表景長短幾何度分而移之柱晷之節氣本線即得各時刻假如甲乙丙丁為圜柱其甲乙等附柱十三直線則二十四節氣線也戊己表度十二平分也若于夏至線欲定午正檢上圖夏至倒景于午正得表之四十度三十一分即規取戊己表之四十度三十一分於柱之夏至線上自乙向丙移量之得午正初刻也午初未初倒景得三十度二十八分亦如之諸時諸節氣俱如之安表之法晷之上端為樞表體之長信其度長為空於餘表而入之樞令表之度皆在晷體之外也表之末與樞之心為一直線用時以晷與表各展轉就日而測之用法視本日為某節氣第幾日轉表加于晷端界第幾日上次轉晷承日景令表景與節氣線平行視表末所至得時刻造方晷以倒景其法同也其節氣線以分黄道法為疎宻度畧見簡平儀説用直景造圜晷及方晷其法並同但表為立體晷體則横安之表度説◆ 《簡平儀說-明-》（KR3f0011）
## 序
簡平儀説序
揚子雲未諳厯理而依觕法言理理于何傅邵堯夫未〔？〕厯法而撰私理立法法于何生不知吾儒學宗傳有一字厯能盡天地之道窮宇極宙言厯者莫能舍旃孔子曰澤火革孟子曰茍求其故是已革者東西南北嵗月日時靡所弗革言法不言革似法非法也故者二儀七政參差徃復各有所以然之故言理不言故似理非理也唐虞邈矣欽若授時學士大夫罕言之劉洪姜岌何承天祖冲之之流越百載一人焉或二三百載一人焉無有如羲和仲叔極議一堂之上者故此事三千年以還忞忞也郭守敬推為精妙然于革之義庶幾焉而能言其所為故者則斷自西泰子之入中國始先生嘗為余言西士之精於厯無他謬巧也千百為輩傳習講求者三千年其青於藍而寒於水者時時有之以故言理彌㣲亦彌著立法彌詳亦彌簡余聞其言而喟然以彼千百為輩傳習講求者三千年吾且越百載一人焉或二三百載一人焉此其間何工拙可較論哉先生没賜𦵏燕中仍詔聼其同學二三君子依止焚脩諸君子感恩圖報將欲續成利氏之書盡闡發其所為知天知地窮理格物之學而㑹中朝方脩正厯法特簡宿學名儒莅正其事于時司天氏習聞諸君子之言者爭推舉以上大宗伯欲依洪武壬戌故事盡譯其書用備典章大宗伯以聞報可自是一時疇人世業亡不賈勇摩厲以勸厥成盛哉堯舜在上下有羲和庶其將極議一堂之上乎余以為諸君子之書成其禆益世道未易悉數若星厯一事究竟其學必勝郭守敬數倍其最小者是儀為有綱熊先生所手創以呈利先生利所嘉歎偶為余解其凡因手受之草次成章未及詳其所謂故也若其言革也抑亦文豹之一斑矣熊子以為少未肯傳予固請行之為言厯嚆矢焉第欲究竟其學為書且千百是固非予所能終也若必博求道藝之士虚心揚㩁令彼三千年増脩漸進之業我嵗月間拱受其成以光昭我聖明來逺之盛且傳之史冊曰厯理大明厯法至當自今伊始夐越前古亦極快巳萬厯辛亥秋月吳淞徐光啓序
## 簡平儀説
欽定四庫全書簡平儀説明 熊三拔 撰名數(十二則)簡平儀用二盤下層方面名為下盤亦名天盤上層圓面半虚半實者名為上盤亦名地盤下盤安軸處為地心其過心横線名為極線極線之左界為北極右界為南極其過心直線與極線作十字交羅者名為赤道線盤周之最内一圏名為周天圏赤道線左右各六直線漸次疎密者名為二十四節氣線即以赤道線為春分為秋分次左一曰清明曰白露次左二曰穀雨曰處暑次左三曰立夏曰立秋次左四曰小滿曰大暑次左五曰芒種曰小暑次左六曰夏至此為日行赤道北諸節氣線也次右一曰驚蟄曰寒露次右二曰雨水曰霜降次右三曰立春曰立冬次右四曰大寒曰小雪次右五曰小寒曰大雪次右六曰冬至此為日行赤道南諸節氣線也若儀體小者左右各三線則以一宫為一線儀體大者左右各十八線則以一候為一線也從赤道線上取心以冬夏二至線為界上下各作半圏者名為黄道圏用半圏周平分十二者是黄道半周天度十五度為一分若儀體大者分三十六則五度為一分也以上下盤諸線共作一圖本名範天圖為測騐根本别有備論極線之上下并周天圏分各十二曲線漸次疎密者名為十二時刻線即以極線為卯正初刻為酉正初刻次上一為卯正二為酉初二每線二刻依時列之次上十二即周天圏分為午正初刻也次下一為酉正二為卯初二每線二刻依時列之至次下十二即周天圏分為子正初刻也若儀體小者上下各六線則以四刻為一線儀體大者上下各二十四線則以一刻為一線更大者上下各七十二線則以五分為一線也周天圏以赤道線極線分為四圏分每圏分分九十度為周天象限四象限共三百六十為周天度數上盤中央安軸處為盤心盤中過心横線在半虚半實之界名為地平線其過心直線與地平線作十字交羅者名為天頂線上盤之圏周亦以地平天頂線分為四圏分每圏分分九十度為周天象限四象限共三百六十為周天度數上盤半虚處左右相望作針孔貫以絲䋲與地平線平行不論多寡皆名為日晷線上盤地平線下横布疎密度數是依天頂線作平行直線上應周天度分者名為直應度分上盤軸心施一線下埀線未繋墜令旋轉加于上盤周天度分者名為埀線若以銅為權下重末鋭令其末旋轉加周者名為埀權與埀線同用下盤之上方横作一直線與極線平行者名為日景線線之兩端截去線之上方寸許不盡線半寸許又截去線之下方半寸許令版之左右上角各為方柱柱端與日景線平行者名為表用法(十三首)第一隨時隨地測日軌高幾何度分 測驗之最急者為隨時隨地求日軌高度分厯家必須登臺轉象未能簡便今用此儀應手可得以上盤地平線加於下盤南北極線次任用下盤一表以承日令表端景加於日景線次視埀線所加上盤圏周度分即目下日軌高於地平度分假如以表承日表端景加於日景線而垂線去天頂線地平線各四十五度即日軌高於地平四十五度也若垂線漸近天頂線即日軌漸低漸近地平線即日軌漸高各以垂線度分為日軌度分第二隨節氣求日躔黄道距赤道幾何度分 黄赤二道之交為天元春秋分二道相去最逺處二十三度半强為冬夏至自天正春秋分日日躔二道之交過此日躔黄道距赤道漸逺至冬夏至而極過此漸近至春秋分復躔二道之交其日躔黄道毎日約平行一度若其距之逺近及逺近之差却各節各日多寡不同大都近交差多近至差少厯家多用弧矢勾股法推算其間别有大論今用此儀可隨節測量以需後用日日約行一度視本日去春秋分幾何日即循兩黄道圏各檢取去赤道線幾何度為兩界用直線隠兩界上循直線視所當周天圏度分即所求假如清明日欲得黄赤道距度視本日距春分約十五日日日約行一度得十五度即循兩黄道圏各左方檢取去赤道線各第十五度是本日日躔黄道距交度為兩界次用一線或界尺隠取兩界循直線視所當周天圏度分得六度是本日日躔黄道距赤道度又如小滿日距春分約六十日即檢取黄道圏上去赤道線六十度為日躔黄道距交度次依法視周天圏得二十度少是本日黄赤道相距度第三隨地隨日測午正初刻及日軌高幾何度分凡測正午時正方案為初法用日晷為後法今用此儀測得以需後用亦係初法約日將中時用第一法測日軌高幾何度分少頃復依法累測之日昃而止次檢日軌最高度分為本也本日午正初刻日軌高若立表隨所測作線即得子午線假如順天府寒露日午前用第一法測得日軌高四十度次用刻漏或度日景每過半刻或一刻許復依法累測得四十一度四十二度乃至四十四度又測得四十三度即四十四度為本日午正初刻日軌最高度依累測各作表線得四十四度所作線為正子午線第四隨地測南北極出入地幾何度分 南北極出入隨地不同按唐志言三百五十餘里差一度西國則二百五十里差一度當由尺度異也乃其實皆為平差厯家測驗先須得此不然即晝夜長短日月出入躔度高下交食分數悉不可考悉不可論故元太史郭守敬分道測驗以為厯準然周行四極輶軒錯出而所得止二十七處意其為術亦太艱難矣今用此儀但是人跡所至都㑹郡邑一測便得不勞餘力矣依第三法測得本地午正初刻日軌高幾何度分次依第二法求本日日躔距赤道幾何度分次視日躔赤道南北算之若日躔赤道南則以距度加高度得赤道至地平之高以赤道高減周天象限度即得赤道離天頂度亦即本極出地度對極入地度日躔赤道北則以距度減高度得赤道至地平之高如法算之若春秋分日正躔赤道即無距度其日軌高即赤道至地平之高如法算之地在赤道南北並同其有日軌距赤道天頂居中日中有倒景者即倒測日軌高以高度并距度減去周天象度即得赤道離天頂度地在赤道南北並同假如順天府恒見日躔在南即知天頂在赤道北當得北極出地南極入地今於天正春分日午正初刻依第三法測得日軌高五十度又依第二法得本日日躔黄赤道之交無距度即赤道高於地平五十度以減周天象限九十度得四十度即赤道離天頂度南北極離赤道與地平離天頂俱九十度即順天府天頂離北極五十度而北極出地南極入地各四十度若順天府霜降日日躔赤道南是日午正初刻測得日軌高三十八度次依第二法得日躔距赤道十二度以加日軌高三十八度亦得赤道高於地平五十度如上法算得北極出地四十度若順天府立夏日日躔赤道北是日午正初刻測得日軌高六十六度次依第二法得日躔距赤道十六度以減日軌高六十六度亦得赤道高五十度如上法算得北極出地四十度又如應天府清明日日躔赤道北是日午正初刻測得日軌高六十四度次得日躔距赤道六度以減日軌高得五十八度為赤道高以減周天象度得北極出地三十二度如地在赤道南者則躔南加高躔北減高算法並同其有天頂居日軌赤道之中者天頂距赤道在二十三度半强以内日中有倒景之地皆是也如高州府夏至日午正初刻日中有倒景即倒測日軌高於北地平八十八度半弱以并距度二十三度半强得一百一十二度減去周天象限九十度即得赤道離天頂北極出地南極入地各二十二度地在赤道南則以表北為倒景算法同第五隨地隨節氣求晝夜刻各幾何 凡晝夜時刻隨地各有長短皆以極出地多寡為準極出地度分少則二至晝夜刻所差亦少度分多所差亦多如順天府北極出地四十度則夏至晝長五十九刻零七分夜長三十六刻零八分高州府北極出地二十二度則夏至晝長五十四刻夜長四十二刻矣(毎時八刻毎日九十六刻)今厯注夏至晝長五十九刻夜四十一刻此是洪武聞所定應天府晝夜刻分也正統己巳厯夏至晝六十一刻夜三十九刻此青州府諸地北極出地三十七度之晝夜刻也(大統)(厯日百刻)岳文肅以為從古所無亦未是此法惟郭守敬得之但須隨地用儀表測騐今作此儀似足小補郭氏之闕以上盤地平線加於下盤本地南北極出入地度數視地平線加本日節氣線上得地平線以上幾何刻即晝刻以下所餘刻即夜刻假如順天府北極出地四十度以上盤地平線加於下盤南極以上第四十度則地平以上是順天府所見渾天半體即見北極出地四十度南極入地四十度即見順天府天頂線在北極以上五十度即見赤道離天頂線亦四十度即見地平線斜絡諸節氣線上所加得夏至為極長冬至為極短今欲知夏至日晝夜刻幾何則視地平線與夏至線相加處向上數得二十九刻十一分是從日出至午正初刻數加一倍得五十九刻零七分為本日晝刻所餘三十六刻零八分為本日夜刻也又欲知冬至晝夜刻則視地平線與冬至線相加處向上數之所得與夏至晝夜數正相反則夏至晝刻即冬至夜刻夏至夜刻即冬至晝刻也又欲知立夏立秋晝夜刻各幾何依前法數得二十八為半日刻加倍得五十六為晝刻所餘四十刻為夜刻也又欲知立春立冬晝夜刻依前法數得與立夏立秋晝夜正相反即晝夜刻數亦相反也又欲知春秋分晝夜刻幾何依前法數得二十四刻倍之得四十八為晝刻所餘四十八為夜刻晝夜平也第六隨地隨節氣求日出入時刻 凡日出日入時刻亦隨地不同大統厯夏至日出寅正四刻日入戌初初刻亦洪武間應天府所測日出入時刻順天府夏至日出寅正二刻日入戌正二刻若用此儀亦隨地可指掌得也依第五法上下盤相加視地平線加某時刻分即得日出入時刻假如順天府北極出地四十度依法相加即盤中所見地平線以上皆日出後時刻地平線以下皆日入後時刻今欲知夏至日出時刻視地平線與夏至線相加處為寅正二即夏至日出時刻是日日軌依夏至線上行至午復囘至本處為戌初二即日入時刻又欲知穀雨處暑日出入時刻依前法得卯初一刻少日出得酉正二刻太日入也又欲知春分秋分日出入時刻依前法得卯正初刻日出酉正初刻日入為晝夜平第七論三殊域晝夜寒暑之變 三殊域者一極北謂北極之下一極南謂南極之下一南北之中謂赤道之下凡迤南迤北漸近二極之下有一日全為晝一日全為夜者有一月二月為晝夜者正當二極之下即半年為晝半年為夜獨赤道之下終古晝夜常平此晝夜之變也其寒暑則二極下皆極寒赤道下極熱又普天之下皆一年而冬夏一周獨赤道之下一年而冬夏再周此寒暑之變今用此儀悉可究陳也依第五法上下盤相加視地平線以上時刻即晝以下即夜赤道之下日行天頂皆夏日行南北皆冬假如地平線加於北極出地六十七度盤中地平線以上全見夏至線上十二全時全不見冬至線上十二全時即彼處夏至日晝長九十六刻無夜夏至日以後節線漸入地平線下漸有夜至秋分而平夜漸長至冬至夜長九十六刻無晝冬至日以後節線漸出地平線上漸有晝至春分而平也又如地平線加於北極出地七十度盤中地平線以上全見小滿芒種夏至小暑大暑五節線上十二全時全不見小雪大雪冬至小寒大寒五節線上十二全時即彼處小滿以後至夏至全見日輪斜行地上三十日夏至至大暑亦全見日輪斜行地上三十日凡六十日全為晝至大暑以後節線漸入地平線下漸有夜至秋分而平夜漸長小雪以後至冬至日輪斜行地下三十日冬至至大寒亦斜行地下三十日凡六十日全為夜至大寒以後節線漸出地平線上漸有晝至春分而平也又凡日出入地十八度内皆為朦朧時刻故此地雖大暑以後漸有夜小滿以前尚有夜其實大暑至處暑榖雨至小滿此兩月中夜亦常明其時夜極短皆為黄昏昧爽時刻故也又如地平線加北極出地九十度盤中北極在天頂線上以赤道為地平地平線以上全見春分至秋分日行赤道北半年中十二全時全不見秋分至春分日行赤道南半年中十二全時即此地當春分日便見日半輪周行地平之上以後漸髙至夏至周行於地平之上二十三度半強以後漸下至秋分日亦見半日輪周行地平之上此半年全為一晝秋分以後漸下入地至冬至周行於地平之下二十三度半強以後漸髙至春分復見半日輪周行地平之上此半年全為一夜其自春分以前一月為昧爽秋分以後一月為黄昏也若赤道之下南北二極平出地上以極線為地平赤道為天頂盤中地平線以上全見各節線及時刻線之半不論是何節氣恒得日出後四十八刻日入後四十八刻終古晝夜常平也其寒暑則普天之下恒由天頂近日而得暑天頂逺日而得寒今以天頂線加於二極線日躔恒在下最近亦六十六度半弱故二極下極寒以天頂線加於赤道線日躔恒在上最逺亦二十三度半強故赤道下極熱也又赤道之下以赤道為天頂故春分日行赤道正居天頂為夏日行漸北迄夏至而極為冬却回至秋分行赤道正居天頂復為夏日行漸南迄冬至而極復為冬矣亦縁天下寒暑視日逺近彼中日逺近嵗二周故寒暑亦嵗二周不以一嵗為二嵗者日復於次而成嵗不在寒暑也或聞一年為一晝夜不信也愚聞之西國人彼親所經歴無足疑者近檢元史郭守敬四海測騐二十七所内云北海北極出地六十五度夏至晝八十二刻夜一十八刻又檢唐書載貞觀中骨利斡國獻馬使云其國在京師西北二萬餘里夜短晝長從天色暝時煮羊足才熟而東方已曙即此二端亦足徴北土有極長極短晝夜矣第元人所至止於北海未至六十五度以北故夜尚有十八刻骨利斡所居亦未至六十六度半弱故夜尚有一兩刻可煮羊髀若更北漸短必至無夜又更北北極在天頂必至一年為一晝夜試就此儀論之其理不得不然若骨利斡國夜短晝長是彼中夏至暨冬至必反而晝短夜長如其刻數而史書不言則傳説未盡也世間耳目未經而理之所是不得不信否者彼北極下人又肯信吾以百刻為晝夜哉即骨利斡使者歸説唐朝晝夜刻數彼國人必有不信者所謂彼我易觀更相笑也或問元人測得北海北極出地六十五度夏至晝八十二刻夜一十八刻今用此儀測得六十五度夏至晝獨八十四刻夜止一十二刻何也曰授時厯周天三百六十五度四分度之一西厯三百六十度則北海地分止六十四度授時日百刻西厯九十六刻今此儀測得北海六十四度夏至晝得八十刻少弱夜得十五刻太強兩測互算正相合矣第八隨地隨節氣求日出入之廣幾何 春分秋分日日行赤道一線之上其出入處是赤道與地平線之交謂之天元卯酉春分以後日出入漸北至夏至而極復南秋分以後日出入漸南至冬至而極復北其南北之廣隨地不同獨赤道之下廣至二十三度半强其自赤道南北漸逺漸廣故隨地有各節氣日出入之廣其欲用此法何也凡營度必正方面正方面之法今時多用羅經羅經針鋒所止非子午正線羅經自有正針處身嘗經厯在大浪山去中國西南五萬里過此以西針鋒漸向西過此以東針鋒漸向東各隨道里具有分數至中國則泊於丙午之間矣其所以然自有别論今欲得正子午線亦有轉用之法但針體㣲細難得真確不如周禮土圭及欽天監簡儀正方案所得方面為準若用此儀先知本地本日日出入去天元卯酉幾何度候日出量取即天元卯酉依卯酉作垂線得子午依第五法上下盤相加視地平線下直應度分值本日節氣線得幾何度即所求假如順天府北極出地四十度欲知冬至夏至日出入之廣依前法視地平線上直應度分加於夏至節氣線得三十一度即夏至日出入處離天元卯酉以北度分也即以南三十一度是冬至日出入離天元卯酉度分也總南北為六十二度是冬夏二至日出入之廣乂欲知穀雨處暑雨水霜降四日日出入之廣依前法得十五度即知穀雨雨水兩日日出入在天元卯酉南十五度處著霜降兩日日出入在天元卯酉北十五度也又如北極出地六十七度依法測冬至夏至日出入之廣得九十度也第九隨地隨節氣用極出入度求午正初刻日軌高幾何度分依第五法上下盤相加從地平線所加起算厯周天度分數至本節線上得幾何度分即所求假如順天府北極出地四十度欲知冬至夏至春分日各午正初刻日軌高幾何度分依前法以地平線加南極入地四十度上從四十一度起算數至冬至節線得二十六度半即是日午正初刻日高度也至春分節線得五十度至夏至節線得七十三度半即各日午正初刻日高度也又如廣東肇慶府北極出地二十三度半强依法測得冬至日午正初刻日高四十三度夏至日午正初刻日高九十度即是日日中無影又如高州府北極出地二十二度依法測得夏至日午正日軌過天頂而北其行度反低於小暑芒種則午正初刻從北地平線上起算數得八十八度半為日高度即是日日中有倒景在表南而小暑芒種兩日俱日中無景第十日晷 日晷候時凡二大支數十百種别有成書備論今用此儀徑可隨地隨時取景得目下時刻亦有用此候時而旁藉他法者自具他法中依第一法測得目下日軌高幾何度分次依第五法上下盤相加次依日晷線所值日高度分平行視本日節氣線所值刻線即目下時刻若日晷線不值日高度分即别用一直線依日高度分與日晷線為平行取之若不用日晷線即以日高度分之半弦為度與天頂線平行以一界抵地平一界抵日高度分依地平線平行取之假如順天府冬至日測得午前日高二十度次以地平線加於北極出地四十度依日晷線平行或日晷平行線平行或用他度與地平平行從日高二十度平行至冬至節線上值已正初刻少即所求又如應天府清明後五日測得午後日高十八度次以地平線加於北極出地三十二度依法平行至本日節線上值申正一刻即所求第十一隨地隨節氣求日交天頂線在何時刻天頂線者從天元卯酉上至天中當人之頂為本地平分天體南北之界限也大約北極出地地面春分以後日出入於天元卯酉北日中仍在天頂南故春分以後秋分以前日軌行度日兩交於天頂線但東交漸遲西交漸早各至夏至而極耳用此可逐日測得天元卯酉以正方面亦可隨地于向北牆上造作日晷令畫日景線止於日景所至依第五法上下盤相加視天頂線加某時刻即所求假如順天府北極出地四十度欲知清明白露兩日日交天頂線在何時刻依法視天頂線與本節線相交于卯正二刻酉初二刻即是日早晚日交天頂線刻也又欲知夏至日日交天頂時刻依法測得辰正初刻申正初刻也因是可知順天府面北牆上清明白露兩日卯正二刻以前酉初二刻以後日光照及也夏至日則辰正初刻以前申正初刻以後日光照及也又欲知廣東肇慶府北極出地二十三度半强夏至日日交天頂線時刻依法測得在午正初刻則是日日光盡日皆照北牆其向南牆上直至日中微有日光也又依法測得滿剌伽國在赤道下北極南極皆與地平則春分以後秋分以前半年日照北牆秋分以後春分以前半年日照南牆也第十二論地為圜體用地平線天頂線加於下盤周天度數輾轉推論可證地圜之義地本圜體其居天中不過一㸃一㸃者無分數可論也今儀中乃作半虚半實者縁平面遼濶人居地上目力所及止得天體之半故以半虚半實為隠見之象憑之測驗非地體實能掩天體之半也論其實理則盤心軸畧可指為地體今欲證地圜之義試如有人居滿剌伽國正當赤道之下此人當見南北二極俱與地平即以上盤地平線加于下盤極線其天頂線上當赤道下抵軸心是此人屹立滿剌伽地面之象次令此人北行二百五十里當見北極出地一度南極入地一度即以地平線南卬北低令兩極出入地各一度其地平線北轉一度天頂線亦北轉一度是人北行二百五十里之象若行二千五百里即轉十度二萬二千五百里即轉九十度隨其所至人恒如天頂線立恒以足抵軸心故地如軸心當為圜體乃得每行二百五十里而更一度為平差也其天頂線依軸心環轉一周即人環行地球一周之象若地是平體居于天半即如此儀將地平線實黏下盤極線不令旋轉即滿剌伽國人行至北地盡處亦宜常見南極行至南地盡處亦宜常見北極今順天府既見北極出地四十度將地平線實黏下盤四十度上順天府人雖行至南地盡處亦宜常見北極出地四十度奈何南行二百五十里而少一度北行二百五十里而多一度耶若言地體本平因去極有逺近故見有差殊則天體之大難作是説即如其説亦應作長短差不宜作平差既為平差必由地球本圜人循球而行故南北二極隨而漸次隠見今用此儀地平線輾轉象之于義無爽也第十三論各地分表景不同 兩儀𤣥覽圖刻所云某一帶天下有幾般景圖中未究其説今畧用此儀解之用上盤地平線天頂線輾轉加於下盤周天度數可推立表取景隨地不同若赤道之下南北極各與地平其地有三種景若南北極各出地初度以上至未及二十三度半强者其地有四種景正當二十三度半强者亦有三種景若二十三度半强以上至九十度者其地有二種景若在九十度左右者則有無窮景凡立表取景必卓立地平線之上與地平為直角若天頂線也日在東則表景西日在南則表景北今如法推滿剌伽國正當赤道之下立表取景即以地平線加於極線以天頂線準表即春分以後秋分以前各節氣日出入俱在天頂線北知此地日景俱在表南為第一種景秋分以後春分以前各節氣日出入俱在天頂線南知此地日景俱在表北為第二種景春分秋分日日出入正當天頂線上知此地日出景在表西日入景在表東日中無景為第三種景也又如法推南北極各出地初度以上至未及二十三度半强者假如廣州府北極出地二十三度立表取景即以地平線加於本度以天頂線準表即春分以前秋分以後各節氣日出入俱在天頂線南知此地日景俱在表北為第一種景芒種以後小暑以前日出入俱在天頂線北知此地日景俱在表南為第二種景春分以後芒種以前小暑以後秋分以前日出入交於天頂線依前第十一法推求時刻即此地早交以前晚交以後日景在表北早交以後晚交以前日景在表南為第三種景芒種小暑日日出入在天頂線北日中正當天頂線上知此地日中以前以後景皆在表南日正中則無景為第四種影也又如法推南北極各出地二十三度半强者假如肇慶府北極出地二十三度半强立表取景即以地平線加於本度以天頂線準表即春分以前秋分以後亦同廣州府景在表北為第一種景春分以後夏至以前夏至以後秋分以前亦同廣州府論日交天頂線早晚景在表北早交後晚交前景在表南為第二種景夏至日日出入在天頂線北日中正當天頂線上知此地日中以前以後景在表南日正中則無景為第三種影也又如法推二十三度半以上至九十度者假如順天府北極出地四十度立表取景即以地平線加于本度以天頂線準表即春分以前秋分以後亦同廣州府景在表北為第一種景春分以後秋分以後亦同廣州府論日交天頂線早晚景在表北早交後晚交前景在表南為第二種景也其在九十度左右日周行地面則表末之景當在日躔對衝天上為無窮景簡平儀説◆ 《天問畧-明-》（KR3f0012）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
天問畧 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案天問畧一卷明萬厯乙夘西洋人陽瑪諾撰是書於諸天重數七政部位太陽節氣晝夜永短交食本原地影麤細䝉氣映漾矇影留光皆設為問答反覆以明其義末載矇影刻分表并詳解晦朔弦望交食淺深之故亦皆具有度説指證詳明與熊三拔所著表度説次第相承淺深相繫蓋互為表裏之書前有陽瑪諾自序其説乃舍其本術而盛稱所謂天主者且謂第十二重不動之天為諸聖之所居天堂之所在信奉天主者乃得升之以歆動下愚蓋欲借推測之有騐以證天主天堂之誣其用意極為詭譎然其考騐天象則實較古法為善今置其荒誕售欺之説而但取其精宻有據之術削去原序以免熒聴其書中間涉妄謬者刋之則文義或不相續姑存其舊而闢其邪説如右焉乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸鍚熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 天問畧
欽定四庫全書天問畧明 陽瑪諾 撰天有幾重及七政本位問貴邦多習歴法敢問太陽太隂之説何居且天有幾重太陽太隂位置安屬曰敝國歴家詳論此理設十二重焉最髙者即第十二重為天主上帝諸神聖處永静不動廣大無比即天堂也其内第十一重為宗動天其第十第九動絶微僅可推算而甚微妙故先論九重未及十二也十二重天其形皆圓各安本所各層相包如裹葱頭日月五星列宿在其體内如木節在板一定不移各因本天之動而動焉問人居地上依其目力所及獨見一重自東而西一日一週耳今設十二重何徵曰萬物或静或動静者獨有一静是静無動動者獨有一動是動無静終古以來未有一息之内能動静互現者也未有二動並出能此動東去彼動西行者也于其運動相反可知其體有同異矣今恒見日月五星列宿其運動各各相反便知所麗之天原非一重日月相反運動于朔望見之朔日月共躔一度望日月相逺半周月毎日自西而東行十三度有竒日每日約行一度五星所離日月列宿毎日各異其相近相逺亦各時刻不同因知各有其本重所麗之天可證五星之有五重天也列宿諸星相近相逺終古恒同因知其所麗天終古恒同而可證其有第八重天也夫日月諸星本動之天皆自西而東也天左旋日月五星右行貴國先儒亦已晰之矣今舉目而視之日生于東沒于西月與諸星隨之以旋其自東而西者又昭昭然此必有一天焉為之主宰為之牽屬而日月諸星之天因之則九重天是也故自東而西者宗動天也自西而東者日月諸星之天也自西而東者日月諸星之本動也自東而西者日月諸星之帶動也明乎二動得天體也第九第十重天其説甚長宜有專書備論問自東而西自西而東二動既相反矣今宗動天自東而西日月諸星之天自西而東何不為相反運動哉曰所謂相反運動是一物自發二動非有自外轉動如一人在船中船順風自東而西人逆行自西而東則自西而東人之動也自東而西人之因船帶動也雖有二動非相反動又如車輪上有蟻行自南而北其輪之轉自北而南實見此蟻行有二動而非相反何也一從自動一從外帶故也日月諸星之動何不其然問今觀有異運動從星而出星行于天如鳥于空中如魚于水内矣天何所沓九重焉分曰魚鳥一時獨有一動諸星之動則非一也盖星行一時之際自西而東亦自東而西焉所謂相反運動也特有九重天以斡之故非一物自發二動耳且天體甚堅非水可比胡能穿之兩天之連不容一物又焉分哉問既有十二重天敢問太陽何位曰自下往上在第四位七政之中也日得其中為其本所光及餘政暄及下地故也為其本所者七政之中日最貴尊貴尊之物得其中位一定之勢也光及餘政者星月無光恒借日之光以為光試觀月之于日合則魄逺則弦對則望隨其近逺以為明闇焉五星列宿亦復如是盖日居其中適得上下照映也暄及下地者日光在中下濟萬物氣以暄之乃得調和若居最上則温煖不及諸物難以滋生若居最下則燥熱太甚諸物受其暵損故日得中正中和之理萬物之宜也諸天本位可視右圖日天本動及日距赤道度分赤道則第十一重宗動天之分中也周天三百六十度去南極九十度去北極亦九十度為赤道所謂天之中而其南北二極天之極也黄道則第四重日天之分中也周天三百六十度南北亦各距九十度為黄道所謂日天之中也日天本動自西而東其南北二極離宗動天赤道之極二十三度半黄道以南以北離赤道二十三度半為冬夏至黄道以東以西與赤道相交為春秋分如上圖甲乙為赤道宗動天之中丙丁為赤道南北二極己戊為黄道日天之中庚辛為黄道南北二極日天庚辛二極離宗動天丙丁二極各二十三度半日天己戊黄道離宗動天甲乙赤道二十三度半而為冬夏至黄道赤道相交于壬癸而為春秋分宗動天自東而西一日一周因而帶動其下十重諸天亦自東而西一日一周日一日約行一度一嵗一周故自戊冬至至壬春分為九十度九十日自壬春分至己夏至自己夏至至癸秋分自癸秋分至戊冬至亦然畧論三百六十五日有竒一周天也宗動天自東而西一日一周即此周日之間日之自西而東自行一度人只見其自東而西左旋而已初不見其右行者何也以其外動之自東而西者甚疾内動之自西而東者甚遲故也然而因其近逺天頂可以證之春分以後日過赤道北而上秋分以後日過赤道南而下其上其下非日有偏行縁與宗動天不同極耳試看上圖庚辛為日天之極若日輪在戊冬至以至壬春分漸上以至己夏至亦上過己夏至至癸秋分即下至戊冬至亦下上下由于本天之極原離赤道之極二十三度半故日輪居本天之中亦離赤道南北二十三度半而春秋分必相交乃知氣不參差無以成化時不寒暑無以合序物不錯雜無以生文儻日天二極與宗動天同則日動恒在赤道下絶無距度安得有東西運行之異以行變化而稱貞觀貞明之體哉日輪正居日天之中日天動而日輪亦動日天運行之一周如于宗動天畫一道焉所謂黄道也終古如是故日輪恒躔黄道一道不出入于南北界非如月五星之出入于十二度内也其上下四時各有定度不稍前後也黄道周天三百六十度分為四分毎分九十度為四象限又一象限分六分毎分十五度為一節氣共二十四節氣如上圖自冬至至春分則周天象限也分得九十度每節氣十五度則六節氣也自春分至夏至自夏至至秋分自秋分至冬至亦然日輪躔冬至初度至九十度在赤道外而最逺于天頂故自立冬至立春皆寒而冬至在其九十度之中故其寒尤甚自立春至立夏因日漸近赤道而稍近于天頂故其時暖于冬至凉于夏至正交赤道謂春分也自立夏至立秋因日在赤道上而夏至則最近于天頂故其時甚熱自立秋至立冬日漸下而離天頂其時稍冷于夏至甚煖于春分亦交赤道所謂秋分也夫春秋分皆躔二道之交其離天頂同則其成寒暑宜亦同縁春日隂氣塞滿大地日光雖照難成温熱秋日陽氣焦灼無所不暴日輪雖下難成寒氣故春秋二季日離天頂並同而寒暑不同也日自春分至夏至行九十度為六節氣自夏至至秋分亦然四象限雖各行九十度而其距赤道之緯度則非九十度游移不出二十三度半也故九十度為黄道自東而西之度數而二十三度半為黄道距赤道南北之度數也盖春秋分日日躔二道之交過春分日離赤道向夏至而漸逺赤道過此則又漸近赤道矣自秋分至冬至自冬至至春分亦然如左圖甲乙為赤道丙丁為冬夏二至距赤道二十三度半假如日輪在春分則于赤道無距度自春分至清明則日行十五度而其距度非十五度乃六度十九分也自立夏至小滿此十五日之間其逺非六度而為四度也自芒種至夏至亦非四度而為一度弱也故近交差多近至差少而其差非同也欲知每節氣及毎日日躔黄道距赤道幾何度分依上圖可得焉假如清明初日日距赤道度分上是清明初度下是白露初度兩界相對次用一線或界尺隱取兩界循直線視所當丙丁線度分得六度因知清明白露初日日距赤道六度也又清明五日處暑十日其離甲乙赤道亦同故檢取清明五度處暑十度為兩界次依法視于丙丁得七度強即其距度也餘倣此問太陽平行一日一度一嵗三百六十五度自春分至秋分半嵗宜行一百八十二度半半周天自秋分至春分亦然今不其然大綂厯太陽自春分至秋分有空度自秋分至春分有隔度即今甲寅年春分至秋分四月二十二日空一度五月二十日六月十四日亦有空度秋分至春分十月十一日二十二日皆隔一度十一月十二日十二月十五日亦隔一度其非平行何也曰此理甚廣非可易罄凡求日距赤道度分測北極出地多寡定諸節氣眞日算二食之眞時刻皆以此理為最急也今姑舉其略依上論七政各有本天所麗各有異動然其本天之中心不與地之中心同一心也故其行轉于地體之面一周自非可謂平行也宗動天之黄道心與地球心一也則其行于地面一周恒為平行矣則七政之天雖不平行轉于地體之面然于其本天之中心平行轉也如上圖甲為宗動天之黄道乙為太陽之天丙為太陽天之中心丁為地及宗動天之中心則視宗動天與地球同心其上半天于其下半天實為平分故其行轉于地面必亦平行也日天中心乃與地中心不同一處其上半天與其下半天亦非平分故其轉行于地面必非平行盖日行從戊過乙至己在地球止行其半周分在太陽本天則己行大半周矣此以上之黄道亦然故自春分至秋分太陽之天大分在上自秋分至春分其在下之分不及半也自春分至秋分行十二節氣半周天而多八度自秋分至春分以黄道論亦行十二節氣而于本天則其行不及半周也因知日行半黄道自春分至秋分必遲而自秋分至春分必速此非日天不平行以與宗動天黄道非同心故也問日天此理何以徵乎曰其所以然自有别論今獨徵定節氣之日也西國厯家測騐節氣測得太陽自春分至秋分必須一百八十七日自秋分至春分止須一百七十八日大綂厯半周共有一百八十二度故太陽行夏至節氣以其本天毎日一度一百八十七日則行一百八十七度而黄道半周原當行一百八十二度以毎日一度算之為有餘故于夏至節氣有空度日行冬至節氣黄道自秋分至春分亦當行一百八十二度而本天止行一百七十八日乃依毎日一度之算而不足故有隔日乃知春分至秋分黄道一百八十二度本天行一百八十七日日多度寡必須空日可以合之秋分至春分黄道一百八十二度本天一百七十八日度多日寡必須隔日可以合之因此冬夏節氣于周天度數亦不平分盖節氣太陽行黄道之十五度也日行夏節氣其所行十五日而于黄道非行十五度故不可以十五日定其一節也冬節氣亦然欲得其眞確須依上法而定其限焉故于夏有以十六日日行黄道之十五度而一節氣足于冬有以十四日日行黄道之十五度而一節氣足問大綂厯自春分至秋分恒算得一百八十二日非一百八十七日也如甲寅年春分日為二月十四日秋分日為八月十八日乃扣至一百八十二日足者自秋分至春分亦然其皆為平分何也曰定節氣法有二其一以太陽所行于本天度分其一以所行黄道度分大綂厯定節氣非依黄道度分乃以日行本天度分定之若論黄道度則所謂春秋分必在日躔二道之交今大綂厯恒前三日而得春分後三日而得秋分日輪于本天已行至一百八十二日然實未躔二道之交故諸節氣俱因此有前後西洋厯家則依太陽所行黄道度分而定諸節氣矣此法以得眞確本日甚便盖測騐以得日輪髙下為急而日輪髙下由于其所躔黄道度分也日蝕問日蝕所以曰日蝕非日失其光乃月掩其光也月之天在日天之下朔時月輪正過日輪之下南北同經東西同緯故揜其光若有失之耳如上圖甲為日乙為月丙為人居地面月輪隔在其中使日光不能照地面而人目不能見日輪也因知日食非各處共有之或一處見食别處見光或一處全食别處半食皆目隨地異也聞貴國先時一年日食司天言當幾分草澤言當幾分後卒如草澤言説者以為筭法疎宻使然實不爾也如右圖丙地面乙月輪甲日輪居丁者正見月于日故見全食居戊者斜見月于日故見半日食居己者不見月于日故全不見食如欲得日食時刻最凖先須得七政經緯度及正斜視法不然即交食分數測騐躔度悉不可算悉不可定故吾國厯家窮究此理以為厯凖别有備論今特畧言食理也試觀居房内者房中有燭以照四方若于東方有揜光者必坐東者不見其光而坐南北西方者得光也各方如是如滅其光則居諸房内者四方見燭無光矣與食同理也若月食則所食全缺分秒萬人萬目共作是觀别無同異與日不同問日蝕由于月揜其光凡毎朔時日月同度又正過其下宜皆得食今不盡然何也曰日躔惟一黄道終古無出其外也月于黄道有時在南在北故月道半出黄道北半出黄道南而為南北二交吾國所謂龍頭龍尾是也朔時若月在二交之外或南或北與日非經緯同度不能揜日光也南北為經東西為緯凡是朔日經度必同如更同緯度適在二交之上乃能揜其光而食耳如左圖月道交黄道于龍頭龍尾甲為月道在黄道南丙在北試使月朔時在龍頭則經緯同度月正過日輪之下揜其光而食焉如朔時月在甲黄道之南日乃在乙黄道之上而緯不同度則日在北月在南矣故不食也問日食若因月天在日天之下則水星金星天亦在日天之下而不見揜其光且月天在金水二星之下月亦宜揜其光而金水有食如日矣今其食不顯何也曰水星金星雖正過日輪之下而有與日同度時然金星大于水星而日大于金星一百倍二星之體比日體甚小豈能揜其光而使人不見日也吾國厯家遇金水二星與日同度恒見日輪中有黒㸃以星體不能全揜日體故也月輪正過二星之下亦宜揜其星光使人不見今不顯其食如日者非月不能揜之乃二星之光甚微其體甚小故不明顯也問天地渾儀説曰地球大于金星三十六倍又二十七分之一大於月輪三十八倍又三分之一是金星大於月輪也夫月球能揜日光則金星更大亦何不揜日光乎曰凡物以形相揜非惟論其大小又當計其逺近盖人目視物之時自目至物之體射兩直線為直角形故愈近于目其物雖小而徑愈大愈逺于目其物雖大而徑愈小如上圖甲為人目庚為物體甲乙甲巳為人目所射兩直線則徑愈近愈小愈逺愈大故戊大于丁而丁大于丙也試以人手隔目手愈近于目則愈揜物體矣是故金星雖大於月乃在月天之上去人目甚逺故不能揜日光也月雖小于金星乃在金星天之下去人目最近故能揜日光也此其理也問日大於月固矣日輪較地球不知其大有幾曰吾國厯家著明此理有論甚廣測七政髙下及大小之度分有器甚凖日大於地一百六十五倍又八分之三欲徵之宜知圓光照圓體之影也圓光若照圓體同大其影廣恒等而無窮若照圓體更大其影漸大而亦無窮若照圓體更小其影漸小而有盡試觀上圖甲為圓光乙為圓體丙為體影第一圖甲圓與乙圓體相等丙影亦等無窮盡矣第二圖甲圓光大于乙圓體丙影漸小而有盡矣第三圖甲圓光小于乙圓體丙影漸寛大而亦無窮矣太陽照地之時地影非恒等亦非漸大譬之物影蓋為漸小而有盡如第二圖也則以日輪圓光大于地形照地之影漸鋭而小至有盡焉甚明也凡星月無光借日之光太陽照及其體則光生焉不然則否儻日與地等地或更大焉則其影為無窮之影宜射䕃直過諸星之天必見諸星有食焉者矣今惟地體甚小鋭影有盡不到諸星之天故日光無碍照及木火土以及列宿諸天而諸星恒明光無朦也其地影之盡可過第一第二重天至第三重天而不及第四重天所以月因地影得食而諸星不食也地球一周三百六十度每度二百五十里日天一周亦三百六十度其每一度有數萬餘里焉吾國厯家有器量得日天之度毎半度為日一全徑因知其圓形亦得數萬餘里而非地形可比譬如山髙二十餘里上有人焉居下者視之如小鳥也日天之髙自地面至太陽中心相隔一千六百萬餘里今視日輪如小車輪猶之二十里髙山視人如鳥矣問太陽早晚出入時近于地平見大午時近于天頂見小何也曰地球懸于空際居中無著其四際離天諸方同一無近逺也以理論之其在東西出入方也太陽離地凡一千六百萬餘里矣而人立地面或自東視西或自西視東半徑幾一萬五千里焉以一千六百萬餘里又加以一萬五千里人之視日宜小也日在午方從下視上止一千六百萬餘里人之視日宜大也今宜小而反大宜大而反小者此非由于地之逺近也濕氣使然也盖夜中水氣恒上騰氣行空中悉成濕性濕以太陽自下而上映帶而來晃漾焉蓬勃焉人望之以為如是其大耳若太陽當空浮翳盡掃無所映隔眞體明净較之旦暮為小凡月與諸星見于地平必有濕氣障隔爾時所見亦必大于午時試觀水中所見或石或木必大于水外者皆濕性之勢也問人在地面視東視西者半徑各得一萬五千里豈以人之所立恰在地中乎曰地是圓體人之所立無論逺近中邉從其所立分之各得一半晝夜時刻隨北極出地各有長短問晝夜長短不一時刻亦異何也曰晝夜長短由于太陽及南北極出入地平也北極出地即夏至晝長夜短冬至晝短夜長南極出地反是其時勢異也為此夏至為彼冬至故晝短夜長為此冬至為彼夏至故晝長夜短南北二極與地平則其地晝夜恒平故晝夜長短由于太陽及極出入地也南北為緯度東西為經度各一周三百六十度人在地面凡居經度一帶之内者其晝夜長短恒同其日出入及晝夜時刻則異盖經度之自東而西者人之所居或東或西雖各不同而緯度之三十度者皆為三十度四十度者皆為四十度也此同緯度者也若緯度之異者自赤道以至極下其晝夜長短各異矣如左圖地為圓體懸于空際上下四旁皆有人居四方之人各以所居子午線為午時太陽在東方甲居東方者為午時日輪在其天頂故也乙居西方者即為夘時日輪至天頂須三時故也丙亦居西方者即為子時日輪以至天頂須六時故也諸地相去自東而西莫不皆然地球自南而北三百六十度一周毎一度二百五十里日輪毎刻平行天度三度四十五分如兩地相去九百三十七里半則相隔為一刻相去七千五百里則相隔為一時因知居東方者若得午時自此逐漸往西即為巳為辰為夘為寅為丑為子天下自東而西時刻各異各以日輪到本處子午線為午正初刻晝夜長短恒同者盖以北極出地多寡定為時刻多少所以自東而西一帶但經度相同地方其離北極皆同則晝夜長短亦同南北緯度自赤道至極下晝夜時刻隨地各有長短盖居赤道下者以赤道為天頂而其南北二極正與地面相平地平之交于諸節氣線皆當正中故其晝夜長短恒平也北極出地則地平之交節氣非其正中矣故所分上下亦非平分夏至則其線大分在上而晝長夜短冬至則其線小分在上而晝短夜長今欲知赤道之下晝夜常平如右圖即見人居此地以赤道為天頂又南北極不出入地次見地平線相交于諸節氣之線正當中而六時在地平上六時在下故太陽或行夏至或冬至或春秋分線上必六時在地面上而為晝六時在下而為夜其諸節氣日出必夘正初刻日入必酉正初刻即晝夜常平可知也但其曚曨影稍異冬夏二至略長于春秋分之時此有别論今不詳之自赤道北行二百五十里見北極出地一度赤道離天頂南亦一度若行二千五百里即北極出地南極入地赤道離天頂南俱差十度自赤道下至北極下毎行二百五十里皆差一度其赤道線偏在天頂南即諸節氣線亦偏于南不與地平線相交于正中以為平分故晝夜時刻各有長短焉晝夜長短皆從北極出地而生今以北極出地四十度作法餘可推焉如上圖北極出地南極入地四十度赤道在天頂南亦四十度地平線交于諸節氣線非其正中其交夏至線也于寅正二刻四分故晝長五十九刻七分毎日九十六刻其餘三十六刻八分為夜甚短因其線大半在地平上故自春分經夏至至秋分皆為晝長而夜短地平線交冬至在辰初一刻十一分故夜長五十九刻七分其餘三十六刻八分為晝甚短因其線大半在地平下故自秋分厯冬至至春分皆為夜長而晝短可知晝夜長短由于南北二極出入地也如右圖欲知順天府毎節氣晝夜刻各幾何則視本日節氣在地平線上時刻即書在下時刻即夜也假如于夏至線視地平線交于寅正二刻以上得二十九刻十一分是從日出至午正初刻數加一倍即從午正初至日入得五十九刻七分為晝刻分所餘刻分即夜刻分也諸節氣亦然又欲知日出入時刻即視地平線于本節氣相交某時刻即得欲知隨節氣朦朧影刻各幾何亦視本節氣自朦朧線以上至地平線皆黄昏昧爽刻分也凡晝夜長短時刻由于南北極出入地與所居緯度之不同也天頂近于赤道則北極出地度數少即晝夜長短亦少天頂逺于赤道則北極出地度分多即晝夜長短亦多故應天府北極出地三十二度半順天府四十度強即多七度半其晝夜長短亦自不同欲知所差幾何試觀北極出地四十度強圖地平線交夏至線于寅正二刻四分故順天府夏至晝長五十九刻七分觀北極出地三十二度半圖地平線交夏至線于寅正三刻十二分故應天府夏至晝長五十六刻六分計差三刻其餘節氣以法對之亦然又欲知日出入及曚曨影時刻各異如上法可求因上三圖即知晝夜時刻隨北極出地各有長短北極不出地因赤道為天頂左右節氣半在地上半在地下故晝夜必恒平也北極出地或二十度其赤道在天頂南二十度左右節氣皆偏于南二十度故晝夜必有長短也盖人居赤道下者恒見半天若北極出地二十度南極必入地二十度人居赤道北二十度者其所見天北方必多二十度而能見赤道下者之所不見南方必少二十度而不見赤道下者之所得見人恒得見半天故也夏至節氣在赤道北其二十度之分現在地面上故得晝長冬至在赤道南其二十度之分隱在地面下故得晝短其北極出地三十四十五十度者其理並同獨至出地六十七度半則不同也試觀渾儀若北極出地十度夏至晝長二刻若出二十度長五刻出三十度長八刻出四十度長十二刻出五十度長十八刻出六十度長二十六刻出六十七度長四十八刻其長四十八刻者夏至線不交地平而全見在地平上冬至全在地平下故夏至日太陽行地面上不入地平晝長九十六刻無夜冬至日太陽行地面下不出地平夜長九十六刻無晝北極出地七十度五夏節氣線小滿芒種夏至小暑大暑皆在地平上五冬節氣線小雪大雪冬至小寒大寒皆在地平下其北極出地七十度者從小滿厯夏至夏至厯大暑凡六十日太陽斜行地上不入地下即六十日全為晝無夜小雪以後厯冬至冬至歴大寒凡六十日太陽斜行地下不出地上即六十日全為夜無晝若北極出地八十度則夏十節氣皆在地平上冬在下晝夜長短全為百二十餘日若北極出地九十度則此地以北極為天頂以赤道為地平赤道北諸節氣全在地平上赤道南諸節氣全在地平下而半年為晝半年為夜矣試觀上圖北極在天頂赤道為地平從春分厯夏至迄秋分諸節氣在地平上從秋分歴冬至迄春分諸節氣在地平下即見此地日躔赤道春分以後出地日輪漸髙至夏至二十三度半以後漸下至秋分故半年恒周行于地平之上而全為一晝秋分以後入地日輪漸下至冬至二十三度半以後漸髙至春分故半年恒周行于地平之下而全為一夜日出入地平十八度内皆為䑃朧影時刻故此地春分以前月半為昧爽秋分以後月半為黄昏也或曰一年半為晝半為夜何以証之曰吾西國人親所經厯其愈近北極者夏至日晝愈長夜愈短夏至日有全十二時為晝有全三十日為晝全六十日為晝全六月為晝厯厯身涉不可疑也依渾天儀論之其理不得不然也試于中國亦可見焉中國本境自南十八度起至北四十二度止人從最南北行毎二百五十里必更一度漸北漸移夏至日晝長夜短而京師北土之夏至日長于廣東南土之夏至廣州北極出地二十三度半夏至日五十三刻十一分為晝餘四十二刻四分為夜又以江西較之南昌府北極出地二十九度夏至日五十五刻七分為晝餘四十刻八分為夜視廣東晝夜長短差二刻南京北極出地三十二度半夏至日五十六刻六分為晝餘三十九刻九分為夜視廣東晝夜長短差三刻視江西差一刻山東濟南府北極出地三十七度晝長五十八刻四分餘為夜即晝長于廣東五刻于江西三刻于南京二刻京師北極出地四十度其晝夜長短所差愈多從此可推自十八度以至四十二度各處不同又推知自四十二度至九十度晝夜漸長漸短以至半年為晝半年為夜足徵矣晝夜長短日出入時刻朦朧影刻分皆以北極出地多寡及所交節氣之日為凖宜隨地随氣立算不可執一處以槩他方也故為列圖如左圖中最上横書一行為諸節氣本日從冬至至夏至次第一直行為各省所宜用本圖及其地北極出地多寡次得日出一行此行横書作二行一為日出刻數一為日出分數次日入一行及晝夜長短朦朧影其行各横書作二行一為刻數一為分數假如欲知順天府立冬或立春日日出入時刻晝夜長短朦朧影刻分則視左各圖而例得第一圖為其本圖次檢取圖中立冬本行及右日出行相對得夘正三刻十三分其餘相對如是而得日入申正四刻二分晝長短四十刻四分夜長短五十五刻十一分朦朧影六刻七分其餘節氣亦然餘圖視法亦然依西厯毎日九十六刻毎時八刻算北京及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分南京及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分山東省城及鄰近地方晝夜長短日出日入矇曨影刻分山西省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分陜西省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分河南省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分浙江省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分江西省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分湖廣省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分四川省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分福建省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分廣東省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分廣西省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分雲南省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分貴州省城及鄰近地方晝夜長短日出日入曚曨影刻分月天為第一重天及月本動問太隂在何重天曰第一重天最近於地者是也吾徵之日食由于月掩其光且恒見月體能揜水與金星則月天必居其下矣依表影之理亦可徵也立表取影光體逺于地面得景短光體近于地面得景長今西國厯家以表景測騐日月髙下日輪髙于地平五十度月輪亦髙于地平五十度然而所得日光表景則短月光表景則長也如左圖甲乙為地平丙為表視日輪髙于地平五十度月輪亦髙五十度即日光從表端至丁月光從表端至戊戊影長于丁影明也是知月天必在其下而近于地面也月天南北二極各離宗動天之極二十三度半與日天同故月行亦交黄道而其躔黄道非如日輪也日輪恒行黄道一路月輪之路非一乃出入黄道南北五度故中國厯家曰月有九道其出入相交處謂之龍頭龍尾詳見前日食圖月本動自西而東毎日約行十三度有竒朔時日月同度至第三日及第四日即見月輪在日輪之東至上弦離太陽九十度望日正相對百八十度半周天非月行最疾何能離日如是乎然其自東而西日月諸星其動並同無有疾遲以其皆為宗動天所帶故也問月光每日不同何故曰月體及諸星之體與本天之體一也第天體透光如玻瓈而月與星之體堅凝不能透光耳故日光全照月天天體直透不能發光月星堅凝(闕)無光月在丁雖日光皆照其半然大半居天内目力獨見其小分也月在戊在已亦然月在庚乃正相對于日輪日光全照其向下之半目力得見而其向上者無光人目俱所不及焉故望日月光滿全也過望日後目力漸不能及月光漸消以至無光焉問月借日光光有消長乃諸星之光恒見滿圓而無消長何也曰諸星與月其借日光不同也月天在日天之下月受其光近遠一異消長不同諸星之天居日天之上日光照星恒照其下面雖或近或遠于日而其下面恒有光故居地上者視星恒有光也如左圖甲為日輪乙為諸星之天居日天之上丁為地形丙為地影即見日光恒照諸星下面而居地上者恒見其下面有光且月食由于地影地影之鋭有盡不及諸星之天故諸星之光不朦也月食問望日月與日正對則月光當滿圓矣然而或全無光或一分有光一分無光其故何也曰地球懸于十二重天之中央如鷄卵黄在青之中央故日由西照地地必有影射東照東必有影射西夫日輪恒在黄道上若遇望日而月輪亦在黄道上與日正對望則地球障隔日月之間月輪必入地景之内太陽不能照之故失光而食矣漸出地景之外太陽能照之乃漸復得原光也若渾然相對全失光若一分對一分不對對者失光不對者否矣因知月輪失光而食悉由于地景也如上圖甲為日輪乙為地球丙為地影丁為月輪即見日月正對故月輪全居地影之内而居地上者視月無光月無光則食也問日輪值望必與月正相對相對月必過地影過影必當毎望食矣今月之遇食不過什一焉地影之説毋乃碍乎曰日輪恒行黄道上不出入内外地體之影正對于日亦恒在黄道上不出入内外焉月輪惟行龍頭龍尾之上乃行黄道故望時月輪適當龍頭龍尾適過地影之内則食若出黄道内外或南或北地影不便不能食即食亦分秒不同此望日日月雖對而亦不能常食也問日月正對則相逺必百八十度半周天也故月在地平上日必居其下日在地平上月必居其下然有月食而日月皆在地平上則月食非由地影矣何也曰從古至今凡月食皆以望日為限其相逺必半周天不然不食也月食時日月俱在地平上者或日在西以将入月在東以始出或月入而日出也夫月将出而日将入其視月在地平者非月全出也則海水或濕氣所影映也盖地平傍近恒有濕氣清微如煙或空中對月輪偶有輕薄白雲或値當海水皆能令月影映于其内而目力所成宛一月焉此視法之理也固有别論今試于空盤若盤底内置一錢人漸逺于盤或八步或十餘步盤内之錢已不見矣令斟水滿盤即仍八步或十餘步而錢忽見之何也所視非錢體也錢影也然則地平之見月非月體也月影也問月食時刻不同或所食時長或時短何也曰月食長短由于地體之影及月輪之行也月天之内别有小輪以帶月為帶月輪此小輪之動與月天之本動非同一也乃月天行自西而東小輪其上半周行自東而西其下半周行自西而東故月輪近逺于地心恒異也月輪若居小輪之下必近于地若居小輪之上必逺于地也地景漸鋭而有盡其愈近于地愈寛愈至于鋭愈狹若月行小輪之下所經影界寛故食久若行小輪之上所經影界狹故食暫也小輪之説及其上半周何得行自東而西其下半周自西而東别有正論如左圖甲為日輪乙為地形丙為小輪丁為地影漸鋭故影寛于戊而狹于巳月行地影之内在戊小輪之下必久于在巳在巳小輪之上必速于在戊故其時刻長短異也因知二食之時刻長短由于地影及月輪之行也朔日既過月光漸長望日以後其光漸消則月行地平上其光非同也盖月輪毎日自西而東約行十三度朔日以後毎日離日輪亦十三度故朔日日輪入地平而月在日東十三度為三刻未入地也次日又離十三度次日亦然以至于望月與日正相對故日入地下而月出地上也望日以後月漸近于日以至合璧焉因知居地面者其有月光朔日以後毎日多三刻望日以後毎日少三刻欲知毎日多寡試觀左圖第一上圏月日自初一日至第三十日也第二中圏月在地上毎日有光幾刻也第三内圏一刻之分也假如初六日欲知日入以後月光照地幾何刻分視上圏第六日即得第二圏六日正下十九刻與三圏三分問既朔日以後月光漸長又毎日離日輪十三度則第二日日入地平月在日東十三度遠則月髙于地平亦十三度逺自第二日以後宜無不見月光者乃今之見光或在朔後二日或在三日或在四日其不同何也曰其故由于地平及黄道也人居地面而以見月光者必月輪在地平上髙十二度方可得見不然則否盖月之度數有離日輪之度有離地平之度月光之見否由于離地平之髙低不由于離日輪之逺近也故黄道交于地平不同有斜相交有正相交朔時日月同度若其同度在于斜交之宫則居地面者遲見月光也若在于正交之宫則速見其光也視上二圖甲乙為地平丙丁為黄道戊為月輪在地平上巳為日輪将入地平第一圖乃甲乙地平斜相交于丙丁黄道戊月輪雖離巳日輪十三度或十五度乃其髙于地平非十二度故合朔之次日其月雖離日輪十三餘度因未至地平十二度髙故居地面者第二日不能見其光或在第三第四日之間也第二圖甲乙地平乃正相交于黄道戊月輪之離日輪及地平並同也故均為行十三度而其第二日已髙于地平十二度故得即見月光云又月因有逆順行亦有離太陽遲速逆行時必遲離太陽順行時必速離太陽此其故也天問畧◆ 《新法算書-明-》（KR3f0013）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
新法算書 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹案新法算書一百卷明大學士徐光啟太僕寺少卿李之藻光禄寺卿李天經及西洋人龍華民鄧玉函羅雅谷湯若望等所修西洋新厯也明自成化以後歴法愈謬而臺官墨守舊聞朝廷亦憚於改作建議者俱格不行萬厯中大西洋人龍華民鄧玉函等先後至京俱精究律法五官正周子愚請令叅訂修改禮部因舉光啟之藻任其事而庶務因循未暇開局至崇禎二年推日食不騐禮部乃始奏請開局修改以光啟領之時滿城布衣魏文魁著厯元歴測二書令其子獻諸朝光啟作學厯小辨以斥其謬文魁之説遂絀於是光啟督成厯書數十卷次第奏進而光啟病卒李天經代董其事又續以所作厯書及儀器上進其書凡十一部曰法原曰法數曰法算曰法器曰㑹通謂之基本五目曰日躔曰恒星曰月離曰日月交㑹曰五緯星曰五星交㑹謂之節次六目書首為修厯縁起皆當時奏疏及考測辨論之事書末厯法西𫝊新法表異二種則湯若望入本朝後所作而附刻以行者其中有解有術有圖有考有表有論皆鈎深索𨼆宻合天行足以盡歐羅巴厯學之藴然其時牽制於廷臣之門户雖詔立兩局累年測騐明知新法之宻竟不能行迨聖代龍興乃因其成帙用備疇人之掌豈非天之所祐有開必先莫知其然而然者耶越我聖祖仁皇帝天亶聰明乾坤合契御製數理精藴厯象考成諸編益復推闡㣲茫窮究正變如月離二三均數分為二表交食改黄平象限用白平象限方位以髙弧定上下左右又増借根方法解對數法解於㸃線面體部之末皆是書所未能及者八線表舊以半徑數為十萬各線數逐分列之今改半徑數為千萬各線數逐十秒列之用以步算尤為徑捷至欽定厯象考成後編日月以本天為撱圓交食以日月兩經斜距為白道以視行取視距推步之宻垂範萬年又非光啟等所能企及然授時改憲之所自其源流實本於是編故具録存之庶論西法之權輿者有考於斯焉乾隆四十六年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書
新法算書卷一 明 徐光啟等 撰縁起一皇帝勅諭太子賓客禮部左侍郎兼翰林院侍讀學士徐光啓朕惟授時欽若王者所以格天觀運畫圖羲和所以底日夷考大衍繫卦九疇五紀之書馮相保章之職辨三辰而察九野至詳且備然造厯者多門而乩疑者互證甘石莫究禆梓難通及至眎䘲考詳言盈轉縮天保迷于申卯孔氏示於辰房代有成規誰𠂻聚訟自太祖闢乾大統驗七政之交會為行度無差迨神宗出震延禧握三生之命苞而屢議修舉誕及朕躬膺兹帝命頃因日食不合會議宜請更修特允廷推命爾督領改修厯法事務爾宜廣集衆長虚心採聽因數察理探賾推𤣥據爾所陳四欵之三十三條按之歳功五行之二十四氣凡歳差歳實之異測日測月之岐三大三小為定朔定望之樞一大一小為平朔平望之凖法宜稽于四應氣宜印于二分黄道赤道之逺近懸殊度多度寡之増減靡泥算天行而置閏定中極以握衡合與犯之互乘經與緯之相錯漏壺窺晝夜之長短圭表轉左右之交旋總之遲速之天象可摹而積久則進退多爽異同之師法可質而守株則踈密胥乖析之則天時人事陽徳隂功須究釐于分秒約之則觀象測景候時籌策憑儀器以推求西法不妨于兼収諸家務取而參合用人必求其當製象必覈其精較正差訛増補闕略庶宿離之不忒璿籥環璣而工績之咸熙璧輪應琯和協八風之律職符二正之司闡千古之厯元成一朝之鉅典朕則爾庸倘玩忽㒺功因仍乖次責有攸歸爾其慎之故諭崇禎二年九月十三日五月初三日題頃該文書官楊澤恭捧到勅諭欽天監推算日食前後刻數俱不對天文重事這等錯誤卿等傳與他姑恕一次以後還要細心推算如再錯誤重治不饒欽此臣等是日赴禮部與尚書何如寵侍郎徐光啓候期救䕶據光啓推算本日食止二分有餘不及五刻已驗之果合亦以監推為有誤乃蒙皇上蚤已鑒及仰見我皇上克謹天戒無一時一刻稍敢怠遑臣等謹即傳示禮部轉行該監申飭外原奉勅諭尊藏閣中又同時發下宣大督師王象乾馬折改票一本適樞臣王洽來見臣等於東閣臣等業將㫖意反覆與商其中利弊原委非部奏不能詳悉謹擬令樞臣詳議具覆並掲囘奏以聞禮部掲為日食事今將豫算本年五月初一日乙酉朔日食厯三種開列于後據大統厯推算日食三分二十四秒初虧巳正三刻 西南食甚午初三刻 正南復圓午正三刻 東南 共八刻食甚日躔黄道參宿九度一十分三十三秒據囘囘厯推算日食五分五十二秒初虧午初三刻 西南食甚午正三刻 正南復圓未初三刻 東南 共八刻食甚日躔黄道申宫二十九度四十六分九秒用新法推算順天府二分有竒初虧巳正三刻二分算外下同 西南食甚午初二刻六分 正南復圓午初四刻六分 東南共五刻四分應天府六分有竒杭州府六分三十秒有竒廣州府九分有竒瓊州府食既大寧開平等處不食食甚日躔黄道申宫二十九度四十五分零五秒崇禎二年四月二十九日禮部題為日食事祠祭司案呈奉本部送本月初三日奉㫖傳諭内閣欽天監推算日食前後刻數俱不對天文重事這等錯誤卿等傳與他姑恕一次以後還要細心推算如再錯誤重治不饒欽此欽遵傳出到部送司隨行該監查取推算官員職名據該監五官夏官正等官戈豐年等囘稱備陳日食時刻少差切照本監所用大統厯乃國初監正元統所定其實即元太史郭守敬等所造授時厯也二百六十年來厯官按法推步一毫未嘗增損非惟不敢亦不能若妄有竄易則失之益逺矣切詳厯始于唐堯至今四千年其法從粗入細從踈入宻漢唐以來有差至二日一日者後有差一二時者至于守敬授時之法古今稱為極宻然中間刻數依其本法尚不能無差故向來遵用推算每有一二刻不合若在早晚又不止一二刻矣此其立法固然非職自能更改亦非敢鹵莽失誤也豈惟職等即守敬以至元十八年成厯越十八年為大徳三年八月已推當食而不食大徳六年六月又食而失推載在律厯志可查也是時守敬方以昭文殿大學士知太史院事亦付之無可奈何盖一時心思技術已盡於此不能復有進步矣夫彼立法者尚然況職等斤斤守法者哉切聞創始難工増修易善自古以來每覺差訛即令專門宿學之臣為之修改故漢厯改五次魏至隋改十三次唐至五代改十六次宋改十八次金元改三次獨我朝二百六十年未經修改中間又有年逺數盈及嵗差增損諸事致差之因非一端也今欲循守舊法向後不能無差欲行修改更非淺陋所及遵奉聖諭嚴切措躬無地為此備陳情愫等因到部送司案呈先該欽天監題稱推算到崇禎二年五月初一日乙酉朔日食三分二十四秒初虧巳正三刻西南食甚午初三刻正南復圓午正三刻東南至期劄委本司主事黄鳴俊公同測驗囘呈據該監五官靈臺郎孔文進等手本囘稱先該厯科夏官正戈豐年等推算到崇禎二年五月初一日乙酉朔日食候至午初一刻觀見日食初虧西南午正一刻食甚正南約食三分餘測參宿度分午正三刻復圓東南等因到司與先題互異例應罰治案呈到部臣等看得本月初一日日食原題初虧巳正三刻而今在午初一刻則已差二刻矣乃原推復圓在午正三刻而實在午正一刻則又差二刻矣據推算官戈豐年等稱此所用大統厯乃國初監正元統所定實元郭守敬授時厯之成法也厯官按書推步一毫不敢擅自増減今驗日食時刻俱不合以為原法固然臣等查考近來交食果有先後一二刻至三四刻者其分秒之數亦有多寡不對者必求符合須將今厯大加修改測驗布算務求萬分精宻十倍勝于守敬乃可定今日之所以差又期他日之可以不差耳且厯法大典唐虞以來咸所隆重故無百年不改之厯我高皇帝神聖自天深明象緯而一時厯官如元統李徳芳輩才力有限不能出郭守敬之上因循至今後來專官修正則有童軒樂頀華湘等著書考定則有鄭世子載堉副使邢雲路等建議改正則有俞正已周濂周相等是皆明知守敬舊法本未盡善抑亦年逺數贏即守敬而在亦須重改故也況厯法一志歴代以來載之國史若史記漢書晉唐書宋元史尤為精備後之作者凜為成式因以増修我國家事事度越前代而獨此一事略無更定如萬厯間纂修國史擬將元史舊志謄録成書豈所以昭盛朝之令典哉萬厯四十年十一月朔日食先天四刻有兵部員外郎范守已具疏叅駁臣部曾經復請修改至四十一年正月十五日月食不合又經覆請未奉諭㫖是以迄今尚用舊法今本監厯官既荷聖思寛宥又復具呈前來意亦謂元初至今相沿三百五十年無能改正而一旦於彼責成非其識力所及且崇禎三年應月食者一四年應日食者一月食者二臨時必不能無差又諸臣所惴惴焉不寧者如蒙聖鑒垂念制作大事伏乞勅下臣部照依萬厯四十年原議修改庶國典有光而世業疇人亦藉手以免于罪戾矣崇禎二年五月初十日具題本月十三日奉聖㫖厯法皇祖曽議重修今日食刻數復差允宜更正依卿等所請修改一應事宜再著另行具奏禮部為欽奉明㫖修改厯法謹開列事宜請乞聖裁事祠祭清吏司案呈照得本年五月初一日日食先該欽天監推算刻數不對初三日奉㫖傳欽天監推算日食前後刻數俱不對天文重事這等錯誤卿等傳與他姑恕一次以後還要細心推算如再錯誤重治不饒欽此隨該本部具題查得厯法久未經修推算難免錯誤請乞查例修改等因奉聖㫖厯法皇祖朝曽議重修今日食刻數復差允宜更正依卿等所請修改一應事宜再著另行具奏欽此欽遵抄出到部送司案呈到部臣等查得萬厯四十年十一月朔日食欽天監推算得未正一刻初虧而兵部員外郎范守已候得申初一刻則是先天四刻以此累疏駁正該監亦稱候得初虧在未正三刻則是先天二刻以此具疏爭辯臣部看得四刻二刻總非宻合所以然者授時厯本元初郭守敬諸人所造而大統厯因之比於漢唐宋諸家誠為宻近尚未能確與天合加以年逺數盈至今三百五十年未經修改故也以此具疏覆請乞博選知厯之人講求考驗務期悉合天度超越前古以垂永久未果施行今兩奉諭㫖仰見我皇上欽若敬授之至意稽古垂憲之鴻猷臣等雖才識駑下敢忘竭蹶以副隆指謹依四十年十二月又四十一年正月部議二疏事理斟酌増損開列欵目具疏上請伏候命下遵奉施行計開一議選人員竊惟治厯明時古人以為重事臣等不敢繁稱止據元史所載以宰相王文謙樞密張易主領裁奏于上仍命左丞許衡參預其事王恂郭守敬並領太史院事分掌測驗推步于下而又博徵楊恭懿諸人助之然猶五年而成六年而頒行十年而進書五種二十六卷後三十年續進書九種七十九卷則成之綦難已髙皇帝倡興大業元朝所有典章散失止存授時成法數卷元統等因之為大統厯僅能依法布算而不能言其所以然之故後來有志之士亦止將前史厯志揣摩推度并未有守敬等數年實測之功力又無前代灼然可據之遺書所以言之而未可行用之而不必驗也夫莫難于造厯莫易于辨厯天之髙星辰之逺而先期布算使時刻分秒毫髪不差非積久測驗累經修改其勢不能是故難也若欲辨術業之巧拙課立法之親疎則以日月交食五星凌犯豫令推算臨時候驗時刻分秒合即是不合即非若數一二安可欺乎是故易也今日用人務求其能合者而已即法未遽成務精擇其言其書可以必合者而已臣部四十等年原疏推舉五人為史臣徐光啓臬臣邢雲路部臣范守已崔孺秀李之藻今三臣俱故獨臣光啓見在本部似可督領其事恭候聖明任使施行至臣之藻以南京太僕寺少卿丁憂服滿在籍如蒙聖明録用伏乞勅下吏部查明履厯酌量相應員缺起補前來協同任事臣部仍劄委祠祭司官一員職司分理但以元史及國初舊事考之又似非一二臣工所能獨就所能速成者尚須博訪遍求選擇共事庶集衆思以底成績則又俟督領之臣另行斟酌題請伏惟聖裁一議博訪取按大明會典凡天文地理等藝術之人行天下訪取考驗収用𢎞治十一年令訪取精通天文者試中取用嘉靖三年科臣建議部覆保舉於是以户科給事中樂頀工部主事華湘俱陞光禄寺少卿提督欽天監事然二臣終不能改守敬之舊所以至今寢閣今亦不敢遽謂海内無人但私習天文律有明禁而監官不知律意往往以此沮人是以世多不習或習之而不肯自言耳臣等考之周禮則馮相與保章異職稽之職掌則天文與厯法異科盖天文占候之宜禁者懼妄言禍福惑世誣人也若厯法則止于敬授人時而已豈律例所禁哉今議臣部訪求及通行各省直不拘官吏生儒草澤布衣但有通曉厯法者具文前來其言天文者一槩不取即明厯者亦不必遽行起送先取其著述文字并令豫算交食凌犯數條或製造儀器式様并申到部查核果有禆益方行取用庶真材得以自見而贋鼎濫竽無能雜進矣但據臣等所見聞近世言厯諸家大都宗郭守敬舊法比于見在監官藝猶魯衛無能翹然出于其上也至若嵗差環轉嵗實參差天有緯度地有經度列宿有本行月五星有本輪日月有真會似會皆古來所未聞惟西國之厯有之而舍此數法則交食凌犯終無宻合之理髙皇帝嘗命史臣呉伯宗與西域馬沙亦黒翻譯厯法盖以此也萬歴四十年監正周子愚建議欲得參用務令會通歸一今亦宜倣其説參用西法果得會通歸一即本朝之厯可以逺邁前代矣伏乞聖裁一議用錢糧修厯事重且繁用人既多經費亦鉅如元史所説鄭重若斯即當時用度可想見已今時詘不能舉贏則取人必求實幹造器必求實益供億必不可虚冒時日必不可虚度庶事成而費亦可省也如官俸除見任外其餘擇職事稍簡衙門見缺補用欽天監亦考取見任厯官三四員聽用則官俸省矣若訪取草澤知厯人等必須心精手巧確當一臂之用者不得過十人欽天監天文生考取其心手精敏能書善算者不得過十五人則餼廩省矣又如觀象臺見在渾儀簡儀正方案等體大費鉅目今墊平修整即可施用就有新式未敢議造若必須製用量造小様或兼用銅木材料以為凖則所費不多其臺上下舊議造房數間今亦止須修舊以便測驗人員更畨歇息其開局之處查得宣武門内有舊剏首善書院係在空閒堪以整理暫住則造作省矣以上諸費除見任見役官生俸給照常支領外其餘應添給本色者量行户部添給應估計修整者量行工部修整其紙劄筆墨等費及零星合用查得臣部所屬太醫院及訓科訓術僧道録司等項有上納事例銀兩収貯户工二部者舊議於中咨取應用合無暫准前議臣等酌量減省擇其必不可已者量行取用仍造四柱文冊按季奏聞達部事竣之日仍造總冊奏報伏乞聖裁一議考成績按唐書載僧一行造大衍厯七年而僅成草藁元郭守敬等造授時厯十年而始進書籍今古書盡亡測驗推步必須星廻嵗轉著述講究動經年月若更優游時日未免積久躭延不止失時亦且多費臣等議得開局之後宜倣周禮日考日成月考月要之法每月終將日逐測驗推算簿類報臣部季終將三月内所成簿籍書冊或所造儀器法式總報臣部進呈御覽事竣之日將己未進呈者一併具奏至若成造重大儀器及刋刻全書以章一代之鴻謨以垂萬世之法式及効勞官生人等計功議叙諸事至期容臣部酌量議擬請㫖施行伏乞聖裁崇禎二年七月十一日具題本月十四日奉聖㫖這修改厯法四欵俱依議徐光啓見在本部著一切督領李之藻速與起補蚤來供事該部知道禮部題為欽奉明㫖修改厯法謹開列事宜請乞聖裁事照得修改厯法已經本部具題于七月十四日奉聖㫖這修改厯法事宜四欵俱依議徐光啓見在本部著一切督領李之藻即與起補蚤來供事該部知道欽此欽遵到部臣等奉㫖改修厯法欽命見在本部左侍郎徐光啓一切督領所有各衙門應行事宜必須勅書關防以慎重大典相應題請合候命下行移翰林院撰文本部鑄給關防施行縁係(云云)事理未敢擅便謹題請㫖崇禎二年七月二十一日具題本月二十四日奉聖㫖是與做督修歴法關防書總目臣竊惟星厯之學興於邃古如伏羲作干支神農分八節黄帝綜六術顓頊命二正是已六經可考者則虞書之在璣齊政厯象授時周禮之土圭致日月馮相氏會天位辨時叙也而黄帝以下六厯皆不傳其傳者自西漢太初厯始太初以後迄于勝國千四百年改厯者七十餘次創法者十有三家約略計之二十餘年而一修改百餘年而一創法其間學士疇人布衣草澤流傳衍繹曽無絶緒即有守株之陋時呈秀林之材矣元郭守敬兼綜前術時剏新意授時既就以為終古絶倫後來學者謂守此為足無復措意三百五十年來并守敬之書亦皆湮沒即有志之士殫力研求無能出守敬之藩更一舊法立一新義確有原本確有左驗者則是厯象一學至元而盛亦自元而衰也我高皇帝神聖首出深明象緯元統李徳芳爭言嵗實消長聖諭云但以七政行度交會無差者為是然而二臣亦各不能自為無差是後特命儒臣呉伯宗等翻譯西域厯書三卷載在掌故又面諭詞臣李翀等曰邇來西域陰陽家推測天象至為精宻有驗其緯度之法又中國書之所未備此其有關於天人甚大宜譯其書隨時披閲庶幾觀象可以省躬修徳順天心立民命焉又稱其測天之道甚是精詳豈非禮失而求之野乎所惜者翻譯既少又絶無論説是以一時詞臣厯師無能用彼之法參入大統會通歸一者又其本法係阿剌必年所造是隋開皇己未去今一千三十二年其地復迤西數萬里千年以來天象宻移事事遷革無從更定數萬里外地度經緯亦各參差牽彼就此自多乖迕今本科所推交食與大統互異五星凌犯亦未能悉合天行盖為此也邇來星厯諸臣頗有不安舊學志求改正者故萬歴四十年有修厯譯書分曹治事之議夫使分曹各治事畢而止大統既不能自異於前西法又未能必為我用亦猶二百年來分科推步而已臣等愚心以為欲求超勝必須㑹通會通之前先須翻譯盖大統書籍絶少而西法至為詳備且又近今數十年間所定其青于藍寒于水者十倍前人又皆隨地異測隨時異用故可為目前必驗之法又可為二三百年不易之法又可為二三百年後測審差數因而更改之法又可令後之人循習曉暢因而求進當復更勝于今也翻譯既有端緒然後令甄明大統深知法意者參詳考定鎔彼方之材質入大統之型模譬如作室者規範尺寸一一如前而木石瓦甓悉皆精好百千萬年必無敝壊即尊制同文合之雙美盛朝之鉅典可以逺邁百王垂貽永世且于髙皇帝之遺意為後先合轍善作善承矣臣惟兹事義理奥賾法數殷繁述叙既多宜循節次事緒尤紛宜先基本今擬分節次六目基本五目一切翻譯譔著區分類别以次屬焉謹條列如左節次六目一曰日躔厯二曰恒星厯三曰月離厯四曰日月交會厯五曰五緯星厯六曰五星交會厯基本五目一曰法原二曰法數三曰法算四曰法器五曰會通右六節次循序漸作以前開後以後承前不能兼并亦難凌越五基本則梓匠之規矩漁獵之筌蹄雖則浩繁亦須隨時並作以周事用然而臣更有説者大事必須衆力疾行當無善步郭守敬時厯學未墜集合大僚數輩及南北厯官然猶五年而成厯七年而頒行二十餘年而典籍始備今人數既乏功緒倍繁恐旁觀者議其曠日遲久則臣有三議于此其一苟求速就則豫算日月交食三四十年次用舊法略加損益附會其間數月可竣夫厯家疎宻惟交食為易見餘皆隱㣲難見者也交食不誤亦當信為成厯然三四十年之後乖違如故矣此則昧心罔上臣等所不敢出也其二依循節次辨理立法基本五事分任經營今日躔一節大叚完訖恒星半已就緒太隂方當經始次及交食次及五星此功既竟即有法有數疇人世業悉可通知二三百年必無乖舛然其書已多於曩昔其術亦易於前人矣其三事竣厯成更求大備一義一法必深言所以然之故從流溯源因枝達幹不止集星厯之大成兼能為萬務之根本此其書必逾數倍其事必閲嵗年既而法意既明明之者自能立法傳之其人數百年後見有違離推明其故因而測天改憲此所謂今之法可更于後後之人必勝于今者也兩端臚列事在徐圖先其易簡次其繁重惟是功非朝夕人必旁求藉非多助為時愈久此必然之勢也若臣弱植衰年庸才末學即第二議必非臣所能竟何况其三特如精衛填海有求成之望愚叟移山論可為之理而已伏惟聖明矜詧崇禎四年正月某日禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事奉勅督領修正厯法事務(臣)徐光啓謹撰第一次進呈書目計開書五卷内日躔厯指一卷 屬法原測天約説二卷 屬法原大測二卷 屬法原表一十八卷内日躔表二卷 屬法數屬日躔割圓八線表六卷 屬法數黄道升度表七卷 屬法數黄赤距度表一卷 屬法數通率表二卷 屬會通太子賓客禮部左侍郎兼翰林院侍讀學士臣徐光啓謹奏為恭承恩命自揣無能謹陳愚見以祈聖明採擇事臣以庸愚備員佐禮曠官素食每抱兢慙頃因日食不合伏蒙俞允臣部所請修改厯法臣以昔年舊議厠名其間欽奉諭㫖這修改厯法事宜四欵俱依議徐光啓見在本部著一切督領李之藻速與起補蚤來供事該部知道欽此欽遵臣聞命自天有如蚉負雖知才識短淺而君父之命所不敢辭除報名廷謝外切念厯數一家今為絶學而臣濱海𥪡儒無從師授萬厯四十等年禮臣謬相推舉者亦為臣能虚心採聽庶或因人成事以襄大典非謂臣能創立矩矱自勝前人也十八年來益加衰老舊學遺忘勉肩重任亦率循素志廣集衆長冀幸得當以報恩命而已臣惟古來言歴者有二誤其一則元史厯議言考古證今日度失行者十事夫已則不合而歸咎于天謬之甚也其一則宋儒言天必有一定之數今失傳耳夫古之厯法當時則合者多矣非不自謂已定久而又復不合則豈有一定可拘哉臣所聞者天行有恒數而無齊數也有恒者如夏至日長冬至日短終古不易不齊者如長極漸短短極漸長終嵗之間無一相似嵗法如此他法皆然以至百千萬年了無相似而用法商求仍歸輳合遲速永短悉依期限此天地之所以為大也今所求者每遇一差必尋其所以差之故每用一法必論其所以不差之故上推逺古下騐將來必期一一無爽日月交食五星凌犯必期事事宻合又須窮原極本著為明白簡易之説使一覽了然百世之後人人可以從事遇有少差因可隨時隨事依法修改且度數既明又可旁通衆務濟時適用此則臣之所志而非臣之所能故不無望於衆思羣力之助也謹陳急要事宜四欵分三十三條上塵御覽伏惟聖明裁擇施行事緒繁多有踰限制懇祈聖鑒臣不勝激切惶悚待命之至為此具本謹具奏聞計開一厯法修正十事其一議嵗差每嵗東行漸長漸短之數以正古來百年五十年六十六年等多寡互異之説其二議嵗實小餘昔多今少漸次改易及日景長短嵗嵗不同之因以定冬至以正氣朔其三每日測驗日行經度以定盈縮加減真率東西南北髙下之差以步日躔其四夜測月行經緯度數以定交轉遲疾真率東西南北髙下之差以步月離其五宻測列宿經緯行度以定七政盈縮遲疾順逆違離逺近之數其六宻測五星經緯行度以定小輪行度遲疾留逆伏見之數東西南北髙下之差以推步凌犯其七推變黄赤道廣狹度數宻測二道距度及月五星各道與黄道相距之度以定交轉其八議日月去交逺近及真會似會之因以定距午時差之真率以正交食其九測日行考知二極出入地度數以定周天緯度以齊七政因月食考知東西相距地輪經度以定交食時刻其十依唐元法隨地測驗二極出入地度數地輪經緯以定晝夜晨昏永短以正交食有無多寡先後之數右十事俱目前切要其餘備細條目未敢凟陳伏乞聖裁一修厯用人三事其一中外臣僚臣部所舉南冏臣李之藻已蒙録用仍令蚤來其餘果有專門名家亦宜兼収容臣等隨時訪求有立法超卓陳義精當者具實奏聞以待簡用其二用西法髙皇帝嘗得囘囘厯法稱為乾方先聖之書令詞臣呉伯宗等與馬沙亦黒同事翻譯至今傳用惜亦年逺漸差萬厯間西洋天學逺臣利瑪竇等尤精其術四十等年曽經部覆推舉今其同伴龍華民鄧玉函二臣見居賜宇必得其書其法方可以較正訛謬増補闕略盖其術業既精積驗復久若以大統舊法與之會通歸一則事半而功倍矣其三修厯合用人員如測驗推步製造儀器及能書善算者臣部已經條列但目前未能齊集姑就見在堪任者著令効用再俟訪求招致有實用者半年之後聽臣部類齊考試各取所長不敢濫収以滋糜費考後在事諸人若著述論議推算簿籍造作儀象凡係進呈及見用存貯者俱冊記本人姓名使各見所長且在今可以上下其食他日可以差次其功至諸人所用廩糧本折容臣部分理司官酌量案呈另行具奏伏乞聖裁一急用儀象十事其一造七政象限大儀六座俱方八尺木匡銅邊木架其二造列宿紀限大儀三座俱方八尺木匡銅邊木架其三造平渾懸儀三架用銅圓徑八寸厚四分其四造交食儀一具用銅木料方二尺以上其五造列宿經緯天球儀一架用木料油漆大小不拘其六造萬國經緯地球儀一架用木料油漆大小不拘其七造節氣時刻平面日晷三具用石長五尺以上廣三尺以上其八造節氣時刻轉盤星晷三具用銅徑一尺厚二分其九造候時鍾三架用鐵大小不拘其十裝修測候七政交食逺鏡三架用銅鐵木料右諸事俱目前急用餘可接續製造者未敢備開其舊法須用銅者為費不貲今兼以銅鐵木料成造小者全用銅鐵總計所費數亦不多懇祈勅下工部隨時應用臣部依前覆議按季類奏但木料止堪暫用事完仍須精銅鑄式以垂永久伏乞聖裁一度數旁通十事其一厯象既正除天文一家言災祥禍福律例所禁外若考求七政行度情性下合地宜則一切晴雨水旱可以約略豫知修救修備于民生財計大有利益其二度數既明可以測量水地一切䟽濬河渠築治堤岸灌溉田畆動無失策有益民事其三度數與樂律相通明于度數即能考正音律制造器具于修定雅樂可以相資其四兵家營陣器械及築治城臺池隍等皆須度數為用精于其法有裨邊計其五算學久廢官司計會多委任胥吏錢榖之司關係尤大度數既明凡九章諸術皆有簡當㨗要之法習業甚易理財之臣尤所亟須其六營建屋宇橋梁等明于度數者力省功倍且經度堅固千萬年不圮不壊其七精于度數者能造作機器力小任重及風水輪盤諸事以治水用水與凡一切器具皆有利便之法以前民用以利民生其八天下輿地其南北東西縱横相距紆直廣袤及山海原隰髙深廣逺皆可用法測量道里尺寸悉無謬誤其九醫藥之家宜審運氣厯數既明可以察知日月五星躔次與病體相視乖和順逆因而藥石針砭不致差誤大為生民利益其十造作鍾漏以知時刻分秒若日月星晷不論公私處所南北東西欹斜坳突皆可安置施用使人人能分更分漏以率作興事屢省考成右十條于民事似為關切臣聞之周髀算經云禹之所以治天下者句股之所繇生也盖凡物有形有質莫不資于度數故耳此須接續講求若得同事多人亦可分曹速就伏乞聖裁崇禎二年七月二十六日本年八月初一日奉聖㫖這條議厯法立論簡確列欵明備修正嵗差等事測驗推步叅合諸家西法自宜兼収用人精擇毋濫李之藻著速催前來儀象急用工部委官督造度數旁通有關庶繢一併分曹料理該衙門知道太子賓客禮部左侍郎兼翰林院侍讀學士督修厯法臣徐光啓謹題為欽奉明㫖修改厯法謹開列事宜請乞聖裁事照得臣於本年七月十四日奉聖㫖督領修厯事務即于次日選用知厯人并匠役等製造儀器原題大儀九座今因工料未敷先完三座畧可給用已移置本局安頓訖今月十五日祗領勑書并本部鑄給欽降關防隨行欽天監擇日具題奉㫖已於本月二十二日開局訖所有合用官生人等支給并儀器工料謹酌量中數列欵具題請㫖伏惟聖明裁定勑下各該衙門欽遵施行一支給一協理分理官各一員光禄寺日給酒食等項似應同纂修官照品支給一欽天監官原題選取官三員今據稱厯官七員藝能相等而局中又不必七員俱到合無日輪二員供事其二員似應照纂修館署丞等官事例支給一後有取用官員俱斟酌前例一體給與一西洋天學逺臣二名萬厯間原有光禄寺下程廩給似應該寺酌量照舊給與一選取徴用知厯人不拘吏監生儒原題准選用十名今欲分别三等藝能其一能明度數本原講解意義傳教官生者其一測驗推步精宻不差者其一製造大小儀器工巧合法者三項皆屬上等每名每月給米一石銀一兩八錢其有兼長特出三藝俱全一人當數人之用者酌量加給但今三月以來訪取僅得三人其藝能不及者不敢濫収後有續取者照例支給一厯科天文生考取能書善算者原題准選用十五人今局中不必多人止輪三名常用供事每名除月糧外加給米五斗鹽菜銀九錢其餘但有成書并工謄録者計日支給每名每日給銀五分諸人中有術業進益能及上等者照前加給已上二欵一時人數或缺逐名扣給有掛名曠廢者計日除減一督修協理各用書辦一名每名月給銀九錢看管儀器局夫一名厨夫一名每名月給銀六錢一每月用呈文紙一千張岡連紙一簍一厯局觀象臺二處每月用煤六十斤一寒月四箇月每日用木炭四十斤一工料一七政列宿大儀九座每座約工料銀三十兩若㑹有銅鐵木植約用工價銀二十兩一平渾懸儀三架一交食儀一具一天球地球儀二架一平面日晷三具一星晷三具一自鳴鍾三架中様者每架價銀五十兩大者及小而精工者價值甚多今不必用一望逺鏡架三副每架約工料銀六兩鏡不在數前器止目前急用他可續造者不在此數至于分畫界限工力精細有小器一具應費百日之功者俱知厯人幹辦另有前項本身廩給不在工料之數又諸器未經成造難以定估人數亦有多寡不齊通俟按季造成四柱支銷文冊具奏達部一該局房屋合應工部量行修理當加添者量行加添并量備棹椅器物數事崇禎二年九月二十三日具題二十六日奉聖㫖這修厯官生人等支給并儀器工料等項俱著依議辦給該衙門知道太子賓客禮部左侍郎兼翰林院侍讀學士督修厯法臣徐光啓等謹題為修改厯法事崇禎二年七月十一日該本部題為日食事十四日奉聖㫖這修改厯法四欵俱依議徐光啓見在本部著一切督領李之藻速與起補蚤來供事該部知道欽此欽遵隨行一面制造儀器續于九月十五日祗領勑書關防二十二日開局行據欽天監開送選取官生戈豐年周𦙍等到局分畨測驗晷景臣之藻祗奉簡命亦於去冬十一月自原籍杭州府起程前來行至楊州滄州兩處為因血疾再發醫療躭延今幸獲痊已於本月初六日陛見訖旋即到局協同臣光啓恪遵原議規則督率該監官生在局供事推求測驗改正諸法先是臣光啓自受命以來與同西洋逺臣龍華民鄧玉函等日逐講究翻譯至十月二十七日計一月餘所著述翻譯厯説厯表稿草七卷忽因警患臣光啓屢奉明㫖拮据兵事因之輟業獨兩逺臣與知厯人等自行翻譯復得諸色歴表稿草八卷日稽月省臣等凛凛職業不敢怠荒獨念天道幽逺厯學精奥自古聖喆皆不能為一定之法獨郭守敬稱為絶論今復與天不合則其法亦未精宻臣等佔俾老儒所誦習者不過漢唐宋元史冊之所紀載資性愚蒙亦豈能自出聰明髙睨往古苐今改厯一事因差故改必須究其所以差之故而改正之前史改厯之人皆不其然不過截前至後通計所差度分立一加減乘除均𣲖各嵗之下謂之改矣實未究其所以然也臣等昔年曽遇西洋利瑪竇與之講論天地原始七政運行併及其形體之大小逺近與夫度數之順逆遲疾一一從其所以然處指示確然不易之理較我中國往籍多所未聞臣等自後每聞交食即以其法騐之與該監所推算不無異同而大率與天相合故臣等竊以為今兹修改必須叅西法而用之以彼條欵就我名義從厯法之大本大原闡發明晰而後可以言改耳臣等藉諸臣之理與數諸臣又藉臣等之言與筆功力相倚不可相無然而布算既宻事緒亦繁汗牛充棟之書臣等方愁精力有限嵗月易銷不意本年四月初二日臣鄧玉函患病身故此臣厯學專門精深博洽臣等深所倚仗忽兹傾逝向後緒業甚長止藉華民一臣又有本等道業深懼無以早完報命臣等訪得諸臣同學尚有湯若望羅雅谷二臣者其術業與玉函相埒而年力正強堪以效用及今西洋掌教逺臣陸若漢南行即令訪求速來共襄盛典事理亦便伏乞勑下臣部就便行文敦諭二臣并行所在官司資給前來庶令人出所長早奏厥績臣等竭其愚昧諮訪商量一則通曉厯法之人悉宜収集京師一則此二臣者皆係外國賓旅請乞皇上明㫖徴求重其事亦重其人故不免以一事之㣲仰凟天聽至于各省直地方有學術能窺原本推步確見左驗者臣等再勤博訪取用未敢一一凟陳也謹題請㫖崇禎三年五月十六日具題本月十九日奉聖㫖厯法方在改修湯若望等既可訪用著地方官資給前來該衙門知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法臣徐光啓等題為修改厯法事先該臣等于本年五月十六日題為前事十九日奉聖㫖厯法方在改修湯若望等既可訪用著地方官資給前來該衙門知道欽此欽遵通行咨訪去後訪得逺臣羅雅谷見寓河南開封府隨經該府知府袁楷具文起送資給前來于今月初二日到京理合具題伏候命下令赴鴻臚寺報名習儀見朝隨令到局與逺臣龍華民一體供事其湯若望另俟訪取到日具題請㫖施行崇禎三年七月初六日具題奉聖㫖羅雅谷准朝見到局供事該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法臣徐光啓謹題為奉㫖囘奏事臣於十月十七日登臺測候月食具本囘奏奉聖㫖考驗厯法全在交食覽奏臺官用器不同測時互異還著較勘畫一具奏欽此欽遵隨行督率該監堂屬官并知厯人等到臺前後較勘三次設立表臬及用合式羅經於本臺日晷簡儀立運儀正方案上較定本地子午真線以為定時根本據法當製造如式日晷以定晝時造星晷以定夜時造正線羅經以定子午若晨昏隂雨當造如式行漏與該監所有銅漏比驗畫一以濟二晷所不及但備辦界畫工力甚細今工尚未竣而較勘略定理合先行奏聞臣等竊照定時之法當議者五事一曰壺漏二曰指南針三曰表臬四曰儀五曰晷其一壺漏等器規制甚多今所用者水漏也然水有新舊滑濇則遲疾異漏管有時而塞有時而磷則緩急異定漏之初必于午正初刻此刻一誤無所不誤雖調品如法終無益也故壺漏者特以濟晨昏隂雨晷儀表臬所不及而非定時之本所謂本者必準於天行則用表用儀用晷晝測日夜測星是已其二指南針者今術人恒用以定南北凡辨方正位皆取則焉然所得子午非真子午向來言隂陽者多云泊于丙午之間今以法考之實各處不同在京師則偏東五度四十分若憑以造晷則冬至午正先天一刻四十四分有竒夏至午正先天五十一分有竒然此偏東之度必造針用磁悉皆合法其數如此若今術人所用短針雙針磁石同居之針雜亂無法所差度分或多或少無定數也今觀象臺有赤道日晷一座及正方案臣等以法考之其正方案偏東二度日晷先天半刻計在當時亦用羅經與表臬㕘定故差數為少若專用羅經者恐所差刻分多少亦無定數而大抵皆失於先天據此以候交食時刻即其失不盡在推步也今但用表臬或儀器以求子午真線或依偏針加減别造正線羅經以與舊晷較勘差數立見矣三曰表臬者即周禮匠人置𣙗之法識日出入之景參諸日中之景以正方位今法置小表於地平午正前後累測日景以求相等之兩長景即為東西因得中間最短之景即為真子午其術更為簡便也四曰儀者本臺原有立運儀用以測驗七政髙度臣等即用以較定子午於午前累測日髙度分至於長極而消則因最髙之度即得最短之景此午正時南北真線也五曰晷者造成平面晷體依前儀器表臬南針三法參互考合務得子午夘酉真線因以法分布時刻加入節氣諸線即成平面日晷若今時所用圓石欹晷是為赤道晷亦用所得子午線較定此二晷者皆可得天正時刻所謂晝測日也若測星之晷亦即周禮夜考極星之法然周時北極一星正與真北極同壤今時久宻移此星去極三度有竒周官舊法不復可用故用重盤星晷上盤書時刻下盤書節氣展轉相加依近極二星用時指垂權測知天正時刻所謂夜測星也總五事而論之壺漏用物用其分數南針用物用其性情然皆非天不因非人不成惟表惟儀惟晷悉本天行私智謬巧無容其間故可為候時造厯之準式也今若于准表准儀准針任用一事因之以造日星二晷又因二晷以較定壺漏用加減輕重之法令遲疾如意則天正時刻人人通知在在畫一矣如是而交食時刻尚有後先則失在推步也然而推步之學其中事理有須申明奏聞者盖厯自漢迄元一千三百五十年凡六十八改而後有授時之法是皆從粗入精先迷後得謂古法良是後來失傳誤改者皆謬論也自元至今又三百五十年略無修正并郭守敬之遺書一百餘卷悉皆散逸徒取其僅存之粗迹為熙朝之大典詎是事宜而昔日臺官阻撓特甚此則前代厯家義所不敢出也近蒙聖明加意釐正諸臣專已成心悉已捐除而見臣等著述稍繁似有畏難之意不知其中有理有義有法有數理不明不能立法義不辨不能著數明理辨義推究頗難法立數著遵循甚易即所謂明理辨義者在今日則能者從之在他日則傳之其人令可據為修改地耳非必在臺諸臣悉皆曉暢也若立成諸表皆先為一定之法一成之數如舊用測圓術求距度一率即須展轉乘除窮日之力而臣等翻譯原文二萬一千六百率又改從大統加減演算為三萬六千率用之推步展卷即得其他諸法亦多類此此則今之愈繁乃後之愈簡以臣等之甚難開諸臣之甚易何足畏哉此臣等所嘗面諭而今以入告庶諸臣知臣言之不欺旁觀者知厯法歴理一成俱成逺尋前緒下啓來兹實未易也縁係奉㫖囘奏事理除赤道晷恒是先天半刻可用原晷修改或臨時扣減定算平面晷可於正方案界畫其星晷行漏羅經待工完之日付該監臺官施用并指授造法用法外合應先行囘奏為此具本謹具題知崇禎三年十一月二十四日具題二十八日奉聖㫖厯學甚㣲其理數法象必須悉心互叅不可偏執覽奏製器測晷及指傳臺官等事具見詳審知道了該部知道新法算書卷一
## 卷二
欽定四庫全書
新法算書卷二 明 徐光啟等 撰縁起二禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法臣徐光啓奏為因病再申前請懇祈聖鑒以完大典事臣等近推本年十一月十八日冬至時刻用儀器三事累測日躔如法布算與該監原推不合而該監原推與近來議厯者所言又不合欲求畫一使人人曉暢確然無疑當於臬表二器酌就一巧便之法因於二十八日前往觀象臺再行備細考驗計畫不意偶然失足顛墜臺下致傷腰膝不能動履見今延醫調治據例止應註籍未宜輙以上聞而在臣特不得不言者為修厯事務勢難闕人故也案查去年七月十一日禮部為日食事條陳四欵内一欵言治厯重事須博訪遍求選擇共事庶集衆思以底成績則又俟督領之臣另行斟酌題請等因本月十四日奉聖㫖這修改厯法四欵俱依議徐光啓見在本部著一切督領李之藻速與起補蚤來供事該部知道欽此續于本年七月二十六日臣復具奏為恭承明命自揣無能謹陳愚見以祈聖明採擇事内開專門名家亦宜兼収容臣等隨時訪求有立法超卓陳義精當者具實奏聞以待簡用等因八月初一日奉聖㫖這條議厯法立論簡確列欵明備修正嵗差等事測驗推步叅合諸家西法自宜兼収用人精擇毋濫李之藻著速催前來儀象急用工部委官督造度數旁通有關庶績一併分曹料理該衙門知道欽此臣自兹奉命以後料理未幾旋遭報警輟業逾時今秋纔欲續成而寺臣李之藻物故目下算數測候謄寫員役雖不乏人而釋義演文講究潤色較勘試驗獨臣一身即使強健踰人尚苦茫無究竟況今疾困支離卧病一日則誤一日之事以此再申前請伏乞勑下吏禮二部商求堪用人員更簡數輩前來供事若使臣醫藥遂效可速於告成如或痊可未期亦便於承接矣臣昨具疏以較勘時刻回奏伏奉聖㫖厯學甚㣲其厯數法象必須悉心互叅不可偏執覽奏製器測晷及指傳臺官等事具見詳審知道了該部知道欽此仰見我皇上通㣲之睿慮無窮之教思臣自今以往敢不夙夜佩服無論一已原無特見不敢偏執即載籍有異同衆論有彼此亦不敢偏狥而惟以七政運行為本昔元統李徳芳爭言厯事髙皇帝曰二統皆難憑只驗七政行度交㑹無差者為是洋洋聖謨垂訓至矣臣親承此意故一切立法定數務求與天相合又求與衆共見但其理義甚奥而賾法數甚曲而繁自非集思廣益何能速就況臣既衰且病展轉迴惶不得不凟陳於聖明之前也外訪取西洋逺臣湯若望向寓陜西西安府今經該府咨給前來理合奏聞并候命下令赴鴻臚寺報名見朝隨令到局一體供事伏候勑㫖臣無任激切惶悚待命之至崇禎三年十二月初二日奏本月初六日奉聖㫖審厯非比他藝果有精曉堪任的著吏禮二部擇用不得偏狥取到人員知道了該衙門知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法徐光啓謹題為欽奉明㫖恭進厯書事案照崇禎三年九月二十日該臣題為奉㫖修厯因事暫輟謹略陳事緒以明職守事内開先後共成厯書并立成表一十九卷竢辦厯畢日糾集官生次第繕寫進呈御覽等因二十三日奉聖㫖這奏修厯事緒知道了原議案季考成既因事暫停譯成書表著繕寫完日進覽該部知道欽此欽遵隨將翻譯撰述過書表等二十三卷并總目一卷共二十四卷行欽天監官生繕寫完備其間卷數有多於前題者係近日續成有前經開載今未完者因本書卷數尚多合待通完并進為此謹將見在厯書厯表二十四冊二套進呈御覽伏祈睿鑒縁係欽奉明㫖恭進厯書事理理合具本謹具題知計開厯書一套六卷内厯書總目一卷日躔厯指一卷測天約説二卷大測二卷厯表一套一十八卷内日躔表二卷割圓八線表六卷黄道升度表七卷黄赤道距度表一卷通率表二卷崇禎四年正月二十八日題二月初一日奉聖㫖厯書留覽未完的繕冩續進該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法徐光啓題為欽奉明㫖恭進厯書事案照本年正月二十八日該臣題為前事恭進第一次厯書二十四卷二月初一日奉聖㫖厯書留覽未完的繕寫續進禮部知道欽此欽遵一面撰述修潤一面測算繕寫依禮部原題三月一考成則四月終宜有續進但討論潤色原擬多用人員今止臣一人每卷必須七八易稿且測量全義十卷恒星厯八卷兩逺臣分曹著述於時尚未全完難以截數先進而恒星圖表務求分秒無差兩臣與在局人員日算夜測最難就緒近今繕寫齊備凡書表圖像三種共二十卷一摺謹具本進呈御覽臣於本年正月有進呈厯書總目一卷内開基本五目其法原法器今測量全義并前測天約説大測等書已陳其大約矣法數即立成表各依七政本厯附載會通止二卷已經進訖法算即係算術暫用舊法亦足供事更有超㨗深奥者宜待異日是則基本五目略已足用今未敢多端旁騖以致稽延若節次六目前已完過日躔書表三卷今續完恒星書表圖像八卷一摺其月離厯則稿草半就交食厯五星厯方當經始容臣等陸續完進伏祈聖鑒縁係欽奉明㫖恭進厯書事理未敢擅便謹具題知計開第二次進呈書目測量全義十卷恒星厯指三卷恒星厯表四卷恒星總圖一摺恒星圖像一卷揆日解訂訛一卷比例規解一卷崇禎四年八月初一日具題初四日奉聖㫖覽奏進第二次厯書著述詳悉知道了該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓謹題為日食分數非多厯法藉為明證謹具數上聞略陳義據以祈聖鑒以待候騐事案照本年六月十一日該臣題為月食事本年十月十五日夜望月食十三日奉聖㫖覽奏并圖象知道了該部知道欽此其本月辛丑朔仍該日食為是二分以上未及三分例不救䕶止應具本題知然臣竊思之論救䕶可以例免通行論厯法正宜詳加測驗盖厯不差不改不驗不用如日月交食皆天驗之大者而月食在夜加時早晚苦無定據壺漏遲速自昔以為難憑星算切凖臺官業已傳習又獨諳者知之不能共見也惟日食明白易曉按晷定時無可遷就無容𨼆匿故厯疎宻獨此最為的證況臣等翻譯纂輯漸次就緒而向後交食為期尚逺此時不一指實與該監諸臣明白共見即厯成之後臣等之術無憑取驗諸臣在事何從強其必信而安意習之諺曰千聞不如一見未經目擊而以口舌爭以書數傳雖唇焦筆秃無益也非獨此也是日之必當測候臣等於此有四説焉按日食有時差舊法用距午為限中前宜減中後宜加以定加時早晚若食在正中則無時差不用加減故臺官相傳謂日食加時有差多在早晚日中必合獨今此食既在日中而加時則舊術在後新術在前當差三刻以上所以然者七政運行皆依黄道不繇赤道舊法所謂中乃赤道之午中而不知所謂中者黄道之正中也黄赤二道之中獨冬夏二至乃得同度餘日漸次相離今十月朔去冬至度數尚逺兩中之差二十三度有竒豈可仍因食限近午不加不減乎若食在二至又正午相值果可無差即食於他時而不在日中即差之原尚多亦復難辦適際此日又值此時足為顯證是可驗時差之正術一也交食之法既無差誤及至臨期實候其加時又或少有後先此則不因天度而因地度地度者地之經度也本方之地經度未得真率則加時難定其法必從交食時測驗數次乃可較勘畫一今此食依新術測候其加時刻分或先後未合當取從前所記地經度分斟酌改定此可以求里差之真率二也臺官見臣等述譔頗多推算甚繁疑為不可幾及之事若云差違幾刻宜當改正即葸然懼矣繇未能根極要領故也即如時差一法溺於所聞但知中無加減而不知中分黄赤今一經目見一經口授人人知加時之因黄道人人知黄道極之嵗一周天奈何以赤道之午正為黄道之中限乎一時發覆蹊徑了然何足為難而臣等又取黄道中限隨時隨地算就立成監官已經謄錄臨時用之最為簡便其他諸術亦多類此足以明學習之甚易三也該監諸生所最苦者惟從來議厯之人詆為擅改不知其斤斤墨守者郭守敬之法即欲改不能也守敬之法加勝於前多矣而謂其至竟無差亦不能也如時差等術盖非一人一世之聰明所能揣測必因千百年之積候而後智者㑹通立法若前無緒業即守敬不能驟得之况諸臣乎人雖上智於未傳之法豈能自知有而後盡心焉可矣此足以明疎失之非辜四也有此四者即分數甚少亦宜詳加測候以求顯驗故敢冒昧上聞伏乞勅下該監量撥厯科官生到局該監到臺各豫定晷景臨時依法瞻測則分數畢呈疎宻具見宻合則向來述作不為空言有差則向後各法因之裁定其於厯事深為裨益所以當詣局者觀象臺日晷甚小儀器稍粗臣局有石晷木儀似為詳宻又難移動故須分投實候以相印證也為此謹將本日日食分秒時刻起復方位九服異同并具圖象一并上進伏祈聖明裁度施行縁係日食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎四年十月初一日辛丑朔日食分秒時刻并起復方位日食二分一十二秒依大統厯日體十分推算初虧午正一刻内九十四分四十一秒 西北食甚未初二刻内一十三分三十三秒 正北復圓未初四刻内五十一分三十三秒 東北計食限内凡七刻八十三分二十四秒食甚日躔黄道經度大火一度二十五分二十八秒食甚月離白道經度未至中交二度一十五分二十一秒月緯度距黄道北實行七十五分二十二秒不應見食用三差法算得本地視行距黄道北二十七分應見食又用二徑折半法算得月入日體二分一十二秒各省直食分京師順天府見食二分一十二秒河南陜西山東三省俱見食一分内外人目難見與不見食略同南京應天府以南全不見食向北食分漸多至大漠以北食既崇禎四年九月初八日具題本月十一日奉聖㫖這日食分數著該監局各預定晷景臨期分投測驗以相印證述㫖内覽字誤鑒辛丑誤辛亥改正行該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓謹奏為日食事本年九月初八日該臣題為前事本月十一日奉聖㫖這日食分數著該監局各預定晷景臨期分投測驗以相印證述㫖内覽字誤鑒辛丑誤辛亥改正行該部知道欽此欽遵於今月初一日到局督領欽天監秋官正周𦙍五官司厯劉有慶漏刻博士劉承志天文生周士昌薛文燦同兩逺臣羅雅谷湯若望率在局知厯人等預將原推時刻㸃定日晷調定壺漏又將測髙儀器推定食甚刻分應得此時日軌髙於地平三十五度四十分又於宻室中斜開一隙置窺筩眼鏡以測虧復畫日體分數圖板以定食分各安頓訖候至午正二刻内方見初虧則臣等所推實先天半刻有竒至正四刻食甚儀上得日髙三十五度四十分係司厯劉有慶守測實為宻合至未初三刻内已見復圓則臣等所推又後天一刻有竒而食甚分數以窺筩映照實未及二分比原推亦少半分以下此諸官生人等衆目所共見也臣於本月初八日疏中開列四欵其第二言本方之里差經度未得真率則加時難定故欲因此一食斟酌改正今食甚之度分宻合則經度里差似己的確無煩更改盖交食經度以食甚為主故也獨食分加時未及原推者盖因太陽光大昔人言日食須至一分以上乃得見之而臣前疏亦言今食在河南山東陜西等處食止一分内外人目難見與不見食略同今因此推究知日光閃燦惟食及四五分以上者乃得與原推相合若分數原少者其見食更少故一分内外者與不見食略同則二分有竒者所見宜不及二分也食分既少則食限時刻因之亦少矣然惟宻室窺筩形象分明故得此分數時刻與該監官生明白共見不能不信若不用此法止憑目力則眩耀不真或用水盆映照亦蕩揺難定恐所見者僅可一分以上加時或止三四刻也今交食書表半已就緒候完成之日教習官生令已後推算日食合應先用本法算定再查食分多寡酌量加減仍將本法當食若干今當見食若干明白開載其觀象臺上原有板房一間至日食時亦宜如法障蔽仍置備窺筩眼鏡一架與該監應用以便據實奏聞其月食目所易見止時刻難定除漏壺外再用星晷測量及用恒星髙幾度分為初虧某星髙幾度分為食甚至期用儀器測驗以定真正時刻此法諸官生已諳依法用之必可得其實率矣臣無任激切惶恐待命之至謹具奏聞崇禎四年十月初二日奏初七日奉聖㫖覽奏知卿測候詳審以後推驗事宜即如議行該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓謹題為月食事竊照崇禎五年三月十六日癸丑夜望月食其食限分秒並起復位例應先期上聞除大統囘囘二厯近經欽天監具題外臣等新修交食厯漸次就緒謹依法推步將所得諸數逐一開坐并具圖像進星聖覽再照臣等於今年十月十六日囘奏月食疏内開月食之難苦於游氣紛侵往往先見而後食且闇虚之實體與外周之㳺氣界限難分非目力可辨今用窺筩逺鏡已得邊際分明但初虧前約半刻許㳺氣已見復圓後約半刻許㳺氣方絶此㳺氣者似食非食在所推食限分秒之外其分數係是本法所無今次測候尚當詳細推算附載本法至前推食既未合天者半刻今更製造小儀二具以便宻測詳較亦欲先造急用大儀一座業已製就木模但須用銅千餘斤工價百餘兩若此費無出則未敢必也伏乞勑下該部至期令監督等官如前測候奏聞施行縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎五年三月十六日癸丑夜望月食分秒時刻并起復方位月食五分八十秒依日食例月體為一十分初虧酉正四刻内五十一分五十秒月將出地平 東北食甚戍正一刻内二十三分一十四秒月在地平上十度三十分 正北復圓亥初二刻内一十分八十三秒月在地平上二十度四十三分 西北計食限内凡九大刻三小刻又五十九分三十三秒共一十刻九分三十三秒食甚日躔黄道在大梁宫一十四度二十五分五十四秒食甚月離黄道在大火宫一十四度二十五分五十四秒月離緯度初虧月距黄道南四十分三十二秒食甚月距黄道南四十四分四十七秒復圓月距黄道南四十九分二秒各省直初虧時刻京師順天府酉正四刻内五十一分五十秒南京應天府福建福州府酉正四刻内七十九分二十五秒山東濟南府酉正四刻内八十六分二十二秒山西太原府酉正二刻内八十四分八十四秒湖廣武昌府河南開封府酉正三刻内四十六分八十四秒陜西西安府廣西桂林府酉正二刻内一十五分三十九秒浙江杭州府酉正四刻内九十三分一十六秒江西南昌府酉正三刻内八十二分四十六秒廣東廣州府酉正三刻内一十二分六十九秒四川成都府酉正初刻内七分五秒貴州貴陽府酉正一刻内八十七分六十九秒雲南雲南府酉初三刻内九十五分九十五秒崇禎四年閏十一月初六日具題本月初九日奉聖㫖該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓題為月食事臣於崇禎四年閏十一月初六日具題前事本月初九日奉聖㫖該部知道欽此欽遵於今年三月十六日督領該監秋官正周𦙍五官司厯劉有慶博士薛文燦天文生朱國夀周士昌朱光燦同兩逺臣羅雅谷湯若望率訪取知厯人等於本局登臺測驗看得臣等原推初虧在酉正四刻内五十一分本日日入酉正四刻内八十三分月應帶食而出因雲陰不見食甚在戍正一刻内二十三分應食五分八十秒候至本刻雲氣朦朧約食大半似與原推相合復圓在亥初二刻内一十分候至本刻雖雲氣未盡約見復圓亦與原推相合其時刻本以測星為正法諸官生悉皆通曉今設有測髙儀器亦因雲隂難用止用新式壺漏預先㸃定三限時刻除初虧食甚雲陰難定外其復圓時刻亦為脗合官生人等所共見也再照臣等譯譔厯書除前二次進呈過四十四卷外今年正月間續完月離交食等書三十卷已謄訖二十八卷餘因冬月紙張用盡旋於市中鬻買謄完覺未合式未敢輙進如蒙聖鑒不妨紙色稍異當即日裝潢進呈或容臣等少待南販到日并續完數卷一并謄寫上進伏候勑㫖崇禎五年三月十七日具題本月二十日奉聖㫖知道了書著進覽該部知道禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓謹題為欽奉明㫖恭進第三次厯書事臣於本年三月十七日題為月食事奉聖㫖知道了書著進覽該部知道欽此欽遵謹將月離厯指并本表十卷交食厯指并本表六巻南北髙弧表十二卷諸方半晝分表一卷諸方晨昏分表一卷共三十卷裝潢成帙謹具本進呈聖覽竊照臣初次恭進厯書開具節次六目一曰日躔二曰恒星三曰月離四曰交食五曰五緯星六曰五星凌犯除前二次共書四十四卷内完過日躔厯指并表三卷恒星厯指并表圖九卷一摺今次完過月離厯指并表十卷外其交食厯六卷係是總論總表日食月食所宜共用而月食一法附載其中若日食一法理數甚繁尚須譯譔厯指約三卷立成表約二十卷今屬草將半又須於星度里差等事精加叅訂乃敢著為定論五星一節比於日月倍為繁曲漢以來治厯者七十餘家而今所傳通軌等書其五星法不過一卷以之推步多有乖失所以然者日月有交食可證作者盡心焉五星無有故自古及今此理未晰也囘囘厯則有緯度有凌犯稍為詳宻然千年以前之書未經更定而兩書皆無片言隻字言其立法之故使後來者入室無因更張無術凡以此耳今諸逺臣所傳獨為詳備而譯譔頗艱書成亦須二十餘卷不能不少費時日也再惟該監官生向來在局供事止令與訪取諸人一同推算立成諸表繼以謄寫進呈書冊因書籍未備尚未能專功習學今交食總法及月食本法既以就緒容臣等督令到局漸次演習月食既通後來書籍亦當續完次及日食次及氣朔躔離次及五星諸法可以節次成就矣但人情安於故習不有勸懲無繇䇿勵容臣等時加督課其有怠惰頑梗者輕則量懲重則叅罰其勤學有成者容臣依前節次移送禮部考試術業如果精諳懇乞聖明量加叙錄以示鼓舞其現在諸人而外該監官生有志上進者容臣從優立格招徠選取一體訓習冀其中有襃然特出悉通大義者庶幾羲和世業復見於聖代也計開第三次進呈書目月離厯指四卷月離厯表六卷已上係逺臣羅雅谷譯譔交食厯指四卷交食厯表二卷已上係逺臣湯若望譯譔南北髙弧表一十二卷諸方半晝分表一卷諸方晨昏分表一卷已上係二臣指授監局官生推算崇禎五年四月初四日具題本月初十日奉聖㫖卿所進厯書已留覽具見用心詳宻未完的陸續譔進其督教勸懲等事依議行禮部知道禮部尚書兼翰林院學士恊理詹事府事加俸一級督修厯法臣徐光啓題為月食事竊照本年九月十四日己酉夜望月食其食限分秒時刻并起復方位例應先期上聞除大統囘囘二厯已經欽天監具題外臣等用新法推步謹將所得數逐一開坐并具圖象進呈御覽伏乞勅下該部至期令監督等官如前測驗奏聞施行縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎五年九月十四日己酉夜望月食分秒時刻并起復方位月食四分四十二秒依日食例月體為十分月未入見食三分五十秒月已入不見食九十二秒是日日出夘正三刻内八十一分九十二秒初虧夘初三刻内六十一分七十四秒月在地平上十度六分一十一秒 東南食甚辰初一刻内三十七分四十五秒月在地平下五度七分二十八秒 正南復圓辰正三刻内二十二分七十七秒月在地平下二十一度六十四分三十九秒 西南共食限内凡一十一大刻三小刻又二十四分三秒共一十一大刻九十四分三秒食甚日躔黄道大火宫四度五十六分三十秒月離黄道大梁宫四度五十六分三十秒月離緯度初虧距黄道北六十七分三十三秒食甚距黄道北七十三分四十八秒復圓距黄道北七十九分五十七秒各省直初虧時刻京師順天府夘初三刻内八十八分七十四秒南京應天府福建福州府夘初四刻内一十六分四十九秒山東濟南府夘初四刻内二十三分四十六秒山西太原府夘初二刻内二十三分八秒湖廣武昌府河南開封府夘初二刻内八十四分八秒陜西西安府廣西桂林府夘初一刻内五十二分六十三秒浙江杭州府卯初四刻内三十分四十秒江西南昌府卯初三刻内一十九分七十秒廣東廣州府卯初二刻内四十九分九十三秒四川成都府寅正四刻内一十九分九十七秒貴州貴陽府卯初一刻内二十四分九十三秒雲南雲南府寅正三刻内三十八分八十九秒崇禎五年四月二十九日題五月初二日奉聖㫖禮部知道大學士徐題本月十四日夜望月食臣已於本年五月初二日題奉聖㫖禮部知道欽此竊惟交食之法臣等所譯譔新法與舊法不無參差若在早晚其驗尤著盖郭守敬之術視古為宻其差最多不過四五刻惟是四五刻之差在日出入之交未免以夜刻為晝以晝刻為夜故前世有推而不食有食而失推者以此之故非星官厯人敢有改易也如今次一食大統法日出卯正二刻新法日出卯正三刻所差約一刻其食時囘囘厯推初虧在辰初初刻則晝食矣大統推初虧卯初一刻依本法見食者五刻依新法見食者六刻新法初虧卯初三刻在舊法後二刻依本法見食者四刻依舊法見食者五刻此外若定時有先後升降有正斜地氣有厚薄亦皆參差之縁也故每交食時臣曽題請身往測候必得其真時刻真分數少有參錯又因而究其所以然然後目前辨難可據以剖晰異時推步可用以尋求矣今臣仰荷聖恩備員揆地例當於中府衙門隨班救䕶如此則本局督視無人雖有逺臣臺官等依法測驗不至乖舛然非臣目所親見而即憑以上聞且勒以垂後實臣心所未安也且是日見食者僅四刻月又當斜入於地初虧時月在地上僅十餘度若在中府則墻屋𨼆蔽恐不可得見候驗爰以此請乞容臣于是日照前登臺實測次日具本奏聞庶於欽若大典不無禆益伏候勅㫖謹題崇禎五年九月十二日具題本月十四日奉聖㫖覽卿奏以月食詣局候驗具徴恪慎朕知道了大學士徐題臣於本月十四日欽奉明㫖至今十五日丑時前往厯局督同逺臣及該監官生在局知厯人等測候月食依法用儀器二具測量星度推算時候叅以星晷壺漏務求四事脗合逐時逐刻測至卯初一刻忽有雲氣隱蔽月體至天明雲尚未開凡食分時刻皆無憑測驗理合奏聞謹題崇禎五年九月十五日具題十八日奉聖㫖朕知道了禮部尚書兼東閣大學士臣徐光啓謹奏為月食事本年九月十五日臣奉㫖前往厯局測候月食自卯初至日出時俱雲隂不見隨于本日具掲囘奏十八日奉聖㫖朕知道了欽此又本日該欽天監一本為觀候事二十一日奉聖㫖月食據靈臺官奏卯初一刻初虧忽遇薄雲漸布該監竟稱雲隂不見何故異同其食時先後各法不一也著奏明禮部知道欽此案照先時推歩本食據欽天監靈臺官俱依郭守敬授時厯法初虧在卯初一刻臣等譯譔新法初虧在卯初三刻囘囘厯初虧在辰初初刻三法之不同如此至期測候正欲藉以辨其離合合則據為凖式離則尚費推求不意候至卯初一刻遂有隂雲迄于天明未見開朗諸法是非無從徴驗該靈臺官言先有薄雲後見濃雲該監言雲隂不見靈臺語意稍詳而雲隂不見亦厯書成語略有異同其實一也迨奉明㫖該監已經呈部覆奏但三法不同之因則厯科官生專諳舊法其習學新法時日未久未能一一究明臣不得不代陳之盖聞交食之法先求平朔望平朔望之算起於厯元今厯法本用元授時厯以至元辛巳為厯元當時所立四應稍有未合臣等新法以崇禎元年戊辰為厯元兩者相提已推得舊法後天六十五分為半刻有竒矣既得平朔望以求定朔望定朔望即日月之食甚定分也法以日躔盈縮月轉遲疾推其各差又以兩差之較為加減時差用以加減于平數得定數焉昨九月十四日夜望則太陽在縮厯而授時法縮厯起夏至不知日有最髙有夏至兩行異法縮厯宜從最髙起算也惟宋紹興年間兩行同度郭守敬後此百年去離僅一度有竒故未及覺今最髙一行已在夏至後六日有竒以推縮差則舊法後天一十八分有竒也是日太隂在疾厯遲疾之法授時止論一轉周新法謂之自行輪月自行之外又有兩次輪以次宻推則舊法疾厯先天二度有竒以推疾差又後天四十分也次以縮疾兩差相較變為時而求定望宜用減法舊法則一推而得四十八刻九十分新法再推先得四十一刻一十三分有竒次得四十四刻八分兩得相較又差三刻弱故舊法之食甚定分得二十八刻弱新法得三十刻弱以推初虧則舊法得在子正後二十二刻二十二分為夘初一刻新法得在子正後二十三刻五十九分為夘初三刻此舊法與新法異同之因也若囘囘厯又異二法者臣等實未能盡曉其故僅知彼厯元為阿剌必年與隋開皇相值去今一千三十餘載矣年逺數殊意其平朔望亦未合也即以減分論則是日太陽縮厯在四宫一度依彼法得縮差一度四十一分新法得一度四十三分其差二分太隂疾厯在十宫十七度依彼法得疾差二度一十九分半新法得三度六分其差一十三分半兩差相併得十五分半變為時約彼法在新法後四刻今差五刻者意其縁正在厯元四應否則創法之處距西一萬餘里或里差又未合也總之三家所報各依其本法展轉推求乃始得之不能立異以相畸亦不能中變以相就必欲辨其疎宻則在臨食之時實測實驗而已今已往之事無復可論將來準法似須商求所宜求者盖有二端其一曰食分多寡按交食法中不惟推步為難併較驗亦復未易臣前疏嘗言日食時陽晶晃耀每先食而後見月食時㳺氣紛侵每先見而後食盖食者二體相交之謂也日食既交因其大光人目未見必至一分以上乃得見之月食未交闇虚之旁先有黒影侵入於月及其體交反無界限故推步縱無舛謬而較驗多任目任意揣摹影響不能灼見分數以證原推得失亦無繇知如宋臣周琮所定差天一分以下為親二分以下為近三分以下為逺非苟自恕盖其術止此而已今欲灼見實分有近造窺筩新法日食時用於宻室中取其光影映照尺素之上自初虧至復圓所見分數界限真確畫然不爽月食不能定其分秒之限然二體離合之際鄞鄂著明中間色象亦與目測逈異此定分法也其一曰加時早晚定時之術相傳有壺漏為古法近有輪鍾為簡法然而調品皆繇人力遷就可憑人意故不如求端於日星晝則用日夜則任用一星皆以儀器測取經緯度數推算得之是為本法其驗之則測日有平晷新法測星有立晷新法皆礱石範銅鑱畫數度節氣時刻一一分明以之較論交食皆於本晷之上某時某刻先期注定至時徴驗是合是離灼然易見此定時法也二法既立一遇交食凡古今諸術得失疎宻如明鏡髙懸妍〔？〕莫遁矣然而臺官之情甚以此為苦何者彼之本法有時先後天一二刻或四五刻自以為差天至此不免於罪戾故耳以臣論之臺官之厯郭守敬之厯也守敬之法今日之所謂差當時之所謂宻也臣嘗厯考古今疎宻之致矣月食諸史不載所載日食自漢至隋凡二百九十三而食於晦日者七十七晦前一日者三初二日者三其疎如此唐至五代凡一百一十而食於晦日者一初二日者一初三日者一稍宻矣宋凡一百四十八則無晦食更宻矣猶有推食而不食者十三元凡四十五亦無晦食猶有推食而不食者一食而失推者一夜食而書晝者一至加時先後至四五刻者當其時已然至今遵用安能免此乃守敬之法三百年來世共歸推以為度越前代何也髙逺無窮之事必積時累世乃稍見其端倪故漢至今千五百嵗立法者僅十有三家盖于數十百年間一較工拙非一人之心思智力所能黽勉者也守敬集前古之大成加以精思廣測故所差僅四五刻比于前代洵為宻矣若使守敬復生今世欲更求精宻計非苦心竭力假以數年恐未易得何可責於沿襲舊法如諸臺臣者乎今食分加時並如臣等新法較勘則差殊畢露倘遂以此為諸臣罪能無惶怖能無畏葸然而實非彼罪即加之譴責亦付之無可奈何而已事有非力所及者亦古法所必寛也豈惟諸臣即臣等新法遂成似可悉無前代之誤乃食限或差半分上下加時或差半刻上下慮所不免惟是臣等不敢以差自安亦不敢以差自廢正須縁此㣲差遡厥因起别求新意據理改定臣所懼者諸臣以惶恐畏咎之心堅其安習溺聞之陋臣等書雖告成而願學者少有倡無和有傳無習恐他日終成廢閣耳伏望聖明察其從前之失實非由已開其向往之路嘉與圖新即有疎逺且勿遽加罪譴但令陳説所以然之故有能精習透曉者量加優異久而不諳罰亦隨之將必有翹然傑出明羲和之大業應唐虞之景運者矣若日晷星晷窺筩三器者局中所用體製甚小工作尤粗倘須上呈御覽則模式應加廣長賦列應加精贍其費亦不過數十金耳如蒙賜俞容臣等仰遵前㫖仍於户工二部事例銀内咨取令在局諸臣募工備料造成恭進伏候勅㫖臣無任悚惕待命之至為此具本謹具奏聞崇禎五年十月十一日具奏十五日奉聖㫖覽卿奏月食先後各法不同縁由及測驗二法考據詳悉朕知道了即著傳示監局官生依法占測務求至當以稱朕欽若授時之意日晷等器如議製成進覽該部知道禮部尚書兼東閣大學士臣徐光啓謹奏為修厯缺員謹申前請以竣大典事臣於崇禎二年七月十四日欽奉明㫖督領修正厯法事務中因兵事輟業至三年八月續理前緒四年正月二十八日以後三次進過厯法書表共七十二卷一摺於日躔月離恒星經緯日月交食各種法義併立成數目略已具備所少者止日食一卷及五星經緯交㑹以較全功則未完者約四分之一也猥以疎庸仰蒙特簡入閣辦事控辭未遂迄今五月竟不能復尋舊業止令在局逺臣該監官生併知厯人等推算得各色立成表二十餘卷譯譔得日躔交食及土木火星厯指藁草六卷内立成表則諸臣自能詳加磨覆陸續繕寫惟厯指譚述法意義多奥賾臣不在局尚未能修潤成書也臣曽於崇禎三年十二月初二日以協修缺員具表請補奉㫖下部至今未得其人今者日多草創而莫為成全恐稽大典則用人一事似屬難緩但治厯明時古昔視為鴻鉅故前漢首用丞相張蒼而近代著作有以宰相樞宻主領裁奏於上太史令丞等測驗推步于下者誠重之也方今在任大臣既各有本等職掌外臣之中臣所知者如山東巡撫朱大典陜西按察使李天經又有封疆方面之責不得不於庶僚草澤中求之是以廣諮博訪徘徊數月今看得原任監察御史告病在籍金聲思致沈潛文辭爾雅博涉多通兼綜理數堪以委用使居討論修飾之任其遣文析義當復勝臣若已成諸書方令該監官生漸次學習中間會通二法亦須甄明大意者為之董率臣又看得原任誥勑房辦事大理寺評事今聽降王應遴學亦通綜且數請修厯屢疏奉㫖在部可據用之率領官生可以集事且此二臣者不煩徴求不増資費在金聲病已痊愈乞勑下都察院催取赴補便可前來在王應遴現在候缺亦乞勑下吏部量與相應職級使之供事倘得此兩臣在局而臣亦時加稽覈即前項未完書表可計期告竣矣若草澤中未必無人臣所求惟取好學深思心知其意試有徴驗者方敢上聞今未敢濫及也臣不勝惶悚待命之至為此具本謹具奏聞崇禎五年十月十一日具奏十五日奉聖㫖該部知道欽天監監正張守登謹奏為遵㫖囘奏事本年九月十四夜望月食雲隂掩覆未見虧形仰遵明㫖責令囘奏臣等隨將雲隂異同之故具呈禮部代題奏聞隨于本月十二日奉聖㫖據該監稱月食雲隂不見有無别法考求著他確議來説以後凡遇交食該部先將各法異同一併開寫來看臨期如法測候證定疎宻分别具奏欽此該禮部移文到臣捧讀嚴綸不勝惶懼隨行觀候官詳查當日月食雲隂不見有無别法考求據實呈報以憑囘奏隨據該在臺直日官王燁等呈稱職等推步交食惟遵厯元成法此外無敢臆測其本年月食届期委屬雲隂掩蔽無從測驗本科株守沿襲舊法並無别法可以考求亦不敢妄為擬議惟是四方雲隂不覆之處尚有能見食者或可徧詢而得之也等因到臣該臣等看得交食之分數多寡惟以人目為據而人目所見之親切必以天氣之清朗為真是夜月食初虧在臣監依郭守敬舊法算在夘初一刻輔臣徐光啓依西洋新法算在夘初三刻及臨測驗臣監在城東隅星臺輔臣在城西隅星臺相距約十里而兩處並為雲隂掩蔽不見初虧原推雖差二刻所見實出一揆盖授時固有嵗差里差之異而臣監實不能通融其法西法以真會似㑹為算於此事似頗搜探其根今臣已遣所屬官生詣局學習新法以詳究異同之源庶自今以後之推算或可訂其疎宻也若於無别法中而臆度為法無可確議中而妄揣為議此則臣所不敢出矣但雲隂因地氣上蒸普天之下尚有雲所不蔽之處故宋司馬光言京師不見他處必有見者伏乞勑下禮部行文近畿數百里内各府各將前九月望卯初一刻月食有無雲隂曽否見食據實囘奏縱時刻未得的確其食與不食必可知也若數百里内悉皆隱蔽更移文逺方亦必可考而知也若臣才識淺劣伏望聖慈赦宥優容臣不勝惶悚待命之至崇禎五年十月二十七日具奏十一月初八日奉聖㫖該局既有新法著行習學叅驗有無脗合仍行查前時月食晷刻分數詳報禮部知道新法算書巻二
## 卷三
欽定四庫全書
新法算書卷三 明 徐光啟等 撰縁起三太子太保禮部尚書兼文淵閣大學士臣徐光啟謹奏為治厯已有成摹課功㑹應嚴核謹將在事臣工分别上請懇祈恩叙以光大典事臣才識疎庸濫膺重任欽承明㫖修正厯法夙夜殫竭四載于兹業與該局逺臣及知厯官儒等修改測候譯書造器如從前進過厯書及昨報完厯書并前後所造儀器已經上聞用塵御覽特以微臣卧病私室藥石罔效日致尫羸恐難終事故請補缺員蒙皇上俞允下部議覆矣苐見在臣工勤敏有加勞瘁堪錄惟臣察之最審考之允當苟不及臣目覩身承之日陳其萬一設朝露忽溘後事之臣誰有為皇上請者敢分别叙之如逺臣羅雅谷湯若望等譔譯書表制造儀器算測交食躔度講教監局官生數年嘔心瀝血幾於頴禿唇焦功應首叙但逺臣輩守素學道不願官職勞無可酬惟有量給無礙田房以為安身養贍之地不惟後學攸資而異域歸忠亦可假此為勸知厯生員鄔明著訪舉儒士陳于階等思精推測巧擅繪製書器方藉前勞講解正需後効所當照纂修辦事例優叙者也知厯人如生員程廷瑞孫嗣烈孟履吉監生李次霦訪舉儒士楊之華祝懋元張寀臣黄宏憲董思定李遇春趙承恩等同心續學殫術承天十狐之腋堪裘衆集之思成益所當照纂修効勞例量叙者也原任大理寺評事今帶銜光祿寺錄事王應遴武英殿辦事中書陳應登督率官生叅訂訛正武舉魏邦綸測算明曉堪備策使三臣著聲勤慎所當同行優叙者也其該監官生如右監副戈承科秋官正周𦙍原任五官保章今降充天文生朱國夀五官保章正劉有慶中官正賈良棟候缺保章正賈良琦博士朱光顯天文生朱光燦朱光大等勤學可嘉俟學習完日另叙伏念奏績課成論功行賞從來尚矣况敬天勤民攸繫更重如唐厯大衍一行造之七年而稿成元厯授時守敬造之十年而書進未有子來遹成如今日者測騐推歩上合天行講求著述下窮人巧日成月要不敢悠忽而隳庶工費省工良共効精勤而襄鉅典誠舉局之光一時之選也伏乞聖明俯賜鑒裁勑下該部分别紀錄事完議叙以彰激勸臣無任惶悚待命之至崇禎六年十月初六日奏十二日奉聖㫖該部知道太子太保禮部尚書兼文淵閣大學士臣徐光啟謹奏為進繳勑印開報錢糧以清厯務以完臣局事臣叨受皇恩兢兢拮据不意勞憊之餘交加疾痛髙厚未効涓埃犬馬將填溝壑言念及此惟有涕零如厯法重務雖幸吿成而未了規摹尚湏善後荷蒙皇上俞臣所請將李天經下部議覆其督領厯局印信一顆及諭臣勑諭一道臣應先期奏繳俟接任官到日叧行奏請改給至於錢糧一項自崇禎三年正月至崇禎六年三年共領户禮工三部咨到銀八百七十餘兩臣逐項自行料理纎悉明備已開細數封貯公所因進内儀器正在鳩工難以遽行銷算俟接官逐件查對奏繳臣敢先以總數報聞恐溘露不免乎朝夕漏巵或誤于將來則臣從來矢公節省之意欽天報主之誠兩失之矣伏祈皇上勅下該衙門驗収在案謹將勑諭印信差欽天監博士朱光顯賚送到閣候㫖施行臣不勝惶悚待命之至崇禎六年十月初七日奏本月十二日奉聖㫖勑印着該衙門驗収其錢糧用完接管官奏銷該部知道山東布政使司右叅政李天經謹奏為微臣遵㫖任事謹陳題薦始末以祈聖鑒事臣燕趙鄙儒自癸丑登籍以來受皇上豢養者二十餘年繇學博部郎以至郡守監司縁丁艱適值魏璫熖熾即服闋未敢補官者凡五年幸遇皇上龍飛始出銓補洊厯河南陜西藩臬當時事孔棘之㑹惟知斤斤自守恪供職業敢有非分之想哉祇縁昔任國學閑曹多暇得與先臣邢雲路講究厯理頗聞其槩要未離書生呫嗶聊從所好已耳自是浮沉中外者十七載素所管窺半就荒落不意前嵗壬申臣任陜西按察使于邸報見已故輔臣徐光啟先奏為修厯缺員謹申前請以竣大典事疏内叙述海内知厯謬列臣名臣心竊媿迂闊無當之學尚掛人齒頰間也去嵗九月内輔臣復有厯法修正吿成書器繕治有待一疏則竟欲更置臣來責以任事奉㫖下部議覆而輔臣隨以訃聞維時臣濫竽山左糧道無根抵之容不知輔臣何以一旦推轂及臣意者輔臣于病革之際忽念前緒未終急求代者一時乏人故以相及耶聞報之日且疑且懼惟静聴部覆至本年二月内禮臣題為督理久缺事奉聖㫖李天經着速催到任督理禮部移咨吏部題覆奉聖㫖李天經着以見銜修厯俟有功再議該部曷得輒以添註徇題着該司官回將話來欽此又該禮部題為日食事奉聖㫖日食初虧復圓時刻方向皆與大統厯合其食甚時刻及分數魏文魁所推為合既互有合處端緒可尋速着催李天經到京㑹同悉心講究仍臨期詳加測騐務求畫一以裨厯法魏文魁即着詳叩具奏欽此臣聞命自天不勝隕越竊念臣小臣也有何學問仰佐司天乃屢邀速催之㫖且臣外臣也見銜受事乃其職分敢萌躍冶之心况欽奉明綸不敢不竭蹶前來瞻天咫尺矢報髙深益殫所學悉心講究是臣之所有事也惟是目前所督寫者輔臣已証訂而未上之書所繕治者輔臣已題聞而待進之器所督率者靈臺諸臣所講解而未通之法乃恭繹明㫖又不但責臣以纉前緒而在悉心以求畫一者竊思天道𤣥微以術歩之宻合豈為易事故從古及今治厯者豈止七十餘家雖繇疎漸宻然國朝此日兢鳴者不無二三其見何妨化異為同蓋萬國同戴一天而七政總惟此理草澤之士或有秘傳海外之人原精理數使忘畛域而互相參究于不一之中以求至一乃真畫一但期上合天行襄國家之大典臣願畢矣至於犬馬私情當于厯事吿成再為陳請而今固未敢言也臣謹即推用始末及微臣受事愚悃具奏上聞伏祈睿鑒臣無任戰悚之至奉聖㫖李天經既到任受事着與該監局及魏文魁悉心攷騐叅究異同務期畫一以正厯法本内小日未填姑不究該部知道太子少保禮部尚書兼翰林院學士加俸一級臣李康先等謹題為代請闗防以便俯循職掌事祠祭清吏司案呈奉本部送據山東布政使司右叅政李天經呈稱職于本年内接准禮部照㑹為日食事奉聖㫖日食初虧復圓時刻方向皆與大統厯合其食甚時刻及分數魏文魁所推為合既互有合處端緒可尋着速催李天經到京㑹同悉心講究仍臨期詳加測騐務求畫一以裨厯法魏文魁即着詳叩具奏欽此備行照㑹到職奉㫖遵限前來於四月二十二日見朝外但厯局尚有書器進呈錢糧銷算若非用一闗防曷以奏進申繳職是不能已於冐請也伏按原任大學士徐先啟原給督修厯法闗防一顆及勑諭一道先期奏繳候接管官到日另行奏請改給等因奉聖㫖勑印着該衙門騐収其錢糧用完接管官奏銷該衙門知道欽此所有闗防呈乞代題請給等因到部送司案呈到部照得山東布政司右叅政李天經奉命前來督理厯法其進呈書器銷算錢糧並各衙門應行事宜必須闗防鈐記輯成大典但輔臣徐光啟原給闗防已經奏繳相應題請伏候命下移文印綬監闗領即付李天經収掌庶事歸畫一文有憑稽而天經亦將黽勉受事不致泛然而無所責成矣縁係代請闗防以便俯循職掌事理未敢擅便謹題請㫖崇禎七年五月二十九日具題六月初二日奉聖㫖闗防着該衙門查發督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為月食事竊照本年八月十六日己巳夜望月食其食限分秒時刻并起復方位例應先期上聞除大統回回二厯及布衣魏文魁所測分數已經欽天監及文魁具題外但新法推算者因管局員缺久稽未上臨期測騐何憑臣業奉命受事謹將新法所推諸數逐一開坐并具圖象進呈御覽伏乞勅下該部至期令監督等官如前一併測騐奏聞再照修厯一事法務求夫畫一者所以齊其異同而數必依之各測者正以考其疎宻蓋天運雖髙逺而難窺乃交食則昭著而易見臨時宻測所闗誠匪細矣除測騐諸法如測星壺漏等法固無不備但恐臨期隂晴難料或片雲掩翳便難測度以定准則厯之成也何日之有伏祈勅下禮部移文於山海闗臣及登州撫臣令其臨時細測太隂出地見食分數具印信申文報部以憑稽考且令監局各一人㩦測器以往公同測騐速報庶於近海廣漠之區得見出地時食甚分秒即隂晴不一而此𨼆彼見方不虚此一畨考騐耳伏乞聖裁縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎七年八月十六日己巳夜望月食分秒時刻并起復方位月食九分三十五秒月出地平見食九分三十五秒是日日入酉正二刻内三十四分七十二秒初虧申正三刻内八十二分三十九秒在晝 東北食甚酉正二刻内五十三分五十九秒昏刻 正北復圓戌正一刻内一十分五十三秒月在地平上髙一十七度五十六分 西北共食限内凡一十三刻二十八分一十四秒食甚日躔黄道鶉尾宫一十四度三十三分五十七秒月離黄道娵訾宫一十四度三十三分五十七秒離黄道危宿一十六度一十一分離赤道室宿四度一十一分月離緯度初虧距黄道南三十五分三十秒食甚距黄道南三十分五十四秒復圓距黄道南二十六分各省直食甚時刻京師順天府酉正二刻内五十三分五十九秒南京應天府福建福州府酉正二刻内八十分二十五秒山東濟南府酉正二刻内八十六分九十二秒山西太原府酉初四刻内九十三分六十秒湖廣武昌府河南開封府酉正一刻内五十三分五十九秒陜西西安府廣西桂林府酉初四刻内二十六分九十三秒浙江杭州府酉正三刻内三十三分五十八秒江西南昌府酉正一刻内八十六分九十三秒廣東廣州府酉正一刻内二十分二十六秒四川成都府酉正三刻内六分九十三秒貴州貴陽府酉初四刻内二十六秒雲南雲南府酉初二刻内二十六秒崇禎七年六月二十八日具題本月三十日奉聖㫖這所奏月食事情着監局各官臨期公同測驗山海闗登州遣人騐報依議禮部知道太子少保禮部尚書兼翰林院學士加俸一級臣李康先等題為月食事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出督修厯法山東布政使司右叅政李天經題稱本年八月十六日己巳夜望月食但恐臨期隂晴難料移文山海闗登州撫臣及令監局各一人携測器以往公同測驗速報等因本年六月三十日奉聖㫖這所奏月食事情着監局各官臨期公同測驗山海闗登州遣人驗報依議禮部知道欽此欽遵抄出到部送司除臨期劄行監局官生叅驗外所有應差監局生儒前往山海登州測驗月食行據欽天監手本開送在局供事天文生朱國夀朱光大相應差遣又據該局開送訪舉知厯生貟鄔明著儒士陳于階奉㫖紀錄堪以任使各携測器前去驗報各等因通查案呈到部既經監局開送前來合無將鄔明著朱光大差往山海關陳于階朱國夀差往登州公同測驗相應題請恭候命下移咨兵部應付往回各給廩糧馬匹隨帶儀器賫文前詣山海登州公同各撫臣至期測驗據實回報以憑具奏施行崇禎七年七月十四日具題十七日奉聖㫖是督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為欽奉明㫖恭進第四次厯書事先該故輔臣徐光啟於崇禎六年九月二十九日題為厯法修正告成書器繕治有待一疏内開新成厯書共六十卷内三十卷業已謄繕三十卷尚屬草藁奉聖㫖覽奏具覘勤恪書成次第進覽李天經著吏部議覆卿還慎加調攝痊可即出佐理以慰延佇該部知道欽此隨該臣於本年五月内遵㫖到任管事除每日與在局官生晝測太陽夜測太隂列宿細心講求畫一外即將已寫諸書逐一詳加攷覈間有字義冗長辭未達意者臣亦逐卷稍為更訂是以逡廵月餘止了前三十卷内有輔臣所報恒星總圖八幅係該局依經緯表㸃定刋刻成圖者臣復督在局逺臣等易之以絹製為屏障八面可以展轉開閤上塵御覽其未寫三十卷臣亦取稿翻閲就中不無疑義尚須再三磨勘刻期錄完叧疏續進謹將見完厯書厯表二十九卷計三套並星屏一架共完三十卷數進呈御覽尚有日晷星晷闚筩逺鏡三器俱係奉㫖造進者臣亦於到任後督率該局官生夙夜製造亦將次第告成其安置之法與運進夫力容臣叧疏奏請統祈睿覽施行縁係欽奉明㫖恭進第四次厯書事理未敢擅便謹題請㫖計開第四次進呈書目五緯總論一卷日躔増一卷五星圖一卷日躔表一卷火木土二百恒年表並周嵗時刻表共三卷已上係逺臣羅雅谷譯譔交食厯指共三卷交食諸表用法共二卷交食表共四卷已上係逺臣湯若望譯譔黄平象限表共七卷木土加減表共二卷交食簡法表共二卷方根表二卷已上係二臣指授監局官生推算恒星屏障一架係逺臣湯若望製崇禎七年七月十九日具題二十二日奉聖㫖厯書及星屏留覽未完的還着詳加考核以正厯法該部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為月食事該臣於崇禎七年六月二十八日具題前事本月三十日奉聖㫖這所奏月食事情着監局各官臨期公同測驗山海闗登州遣人驗報依議禮部知道欽此欽遵除業奉㫖遣人携器前往登州山海測候聴彼處撫臣咨部回報外今月十六日己巳夜望月食臣謹依公同測驗明㫖至期親詣欽天監觀象臺協同禮部監督祠祭司員外郎張師度欽天監監正張守登并監局官生人等安頓測器叅調壺漏登臺靜俟間不意候至酉初及戌正一刻乃各法食甚復圓之㑹值天隂微雨無從考驗踈宻又是日禮部劄委祠祭司主事吕一經李焨同西洋二逺臣及監局官生人等在於本局設器測驗赤復相同理合次日據實回奏而臣所以不敢草率徑凟者蓋有説焉恭繹明綸於崇禎五年九月十四日夜望月食該監奏稱雲隂不見奉有有無别法考求之㫖臣仰體皇上欽若昊天於别法二字再四深求憶昔元統李徳芳爭議嵗實消長時太祖髙皇帝聖諭云但以七政行度交㑹無差者為是此真聖明首出深明象緯之言也蓋交食特厯數之一斑而七政乃璣衡之統務矧交食動閲嵗月而日躔月離五星經緯行度則逐日可求此輔臣原題亦匪苐言交食而以晝測日行夜測月行五星凌犯必期事事宻合為言欽奉俞㫖熟思别法無踰此者倘登州山海二處有一見食則諸法疎宻庶可立分萬一俱屬隂雲何以資為考證則七政諸行皆可公同測騐未必非講求畫一以底成績之要法也伏乞聖明鑒裁勅下施行縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖崇禎七年八月十八日具題本月二十一日奉㫖已有㫖了七政諸行須晝夜考測李天經即協同各官生精心講求期底成績禮部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為欽奉聖諭據實奏明事臣於本月二十五日准禮部照㑹二十四日接得聖諭諭禮部昨李天經所進厯書星屏果否與魏文魁叅合商訂着李天經奏明欽此欽遵該臣查得臣所進厯書二十九卷星屏一架俱係故輔臣徐光啟先年親手訂證奏聞奉聖㫖書成次第進覽臣奉命接管不過為之督寫代進完輔臣未竟之緒耳况輔臣積學深思嘔心此道數十年其所撰述恐非他人所能増減即文魁亦曽經輔臣逐款駁正有學厯小辨見存則輔臣之書與屏皆依新法測定精心纂輯足闡前人所未發而補中原所未備實未嘗與文魁叅合商訂也若夫叅合商訂實臣之心亦臣之職臣初有微臣遵㫖任事一疏奉有李天經既到任受事着與該監局及魏文魁悉心攷驗叅究異同之㫖煌煌明綸誰敢屑越况臣受兹委任方思博採羣議廣羅夙學以襄大典得文魁而朝夕講究以収同心之益豈非臣之至願哉乃六月初六日蒙皇上賜給修厯闗防隨於十二日到任次日即移文禮部催取魏文魁到局公同監局官生叅究異同以仰副皇上講求畫一之㫖乃久之未至也臣又托彼相知開諭以勿執已見為是當思道理無窮還宜虚心叅證共完鉅典而亦久之未至也但托人傳語若銜厯局夙昔辯駁之隙必不欲見局中一人亦不欲向局中一歩僅與臣一相面於往復私邸中又何闗於考騐叅究之事哉臣于是乎無術相强雖欲與之叅合商訂勢無繇也總之厯數一家今為絶學輔臣讀文魁之書而不敢輕用夫豈無見臣必試文魁之法驗之而後敢用前此冀其來與之互相訂證不得已姑俟驗之月食今俱不可問矣惟有遵奉明綸晝夜考測七政諸行庶可定其疎宻伏乞勅下禮部移送魏文魁到局與諸官生各捐成見預將一月諸曜行度先期依法算定以本月秋分為始容臣開坐奏聞仍照原題劄委司官一員臨局公同測驗孰合孰不合據實奏報則各法是非自見而萬年寶厯亦不致聚訟一堂矣如謂文魁之法與學不必試驗而即奉為主盟此則非臣所敢任也謹將故輔原咨錄呈御覽統乞鑒裁縁係欽奉聖諭據實奏明事為此具本謹題請㫖崇禎七年八月二十七日具題本月三十日奉聖㫖厯書星屏原屬前輔臣手訂知道了魏文魁厯法着另局修定備考禮部知道(原咨見學厯小辨)督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為預報諸曜㑹合凌犯行度並陳節氣始末以資考核以正厯法事該臣於崇禎七年八月十八日回奏月食奉聖㫖已有㫖了七政諸行須晝夜考測李天經即恊同各官生精心講求期底成績禮部知道欽此欽遵臣恭承明命夙夜乾惕毎毎督率監局官生逐時測算乃於考求七政之餘依新法算得土火金三星本年九月初旬㑹于尾宿之天江左右木星亦於是月前犯鬼宿之積尸氣一時五緯已有其四未必非以數合天即天騐法之一據也從來治厯名家大都于列宿諸星有經度無緯度雖回回厯近之猶然千百年前古法用之未必合天故臣等所推經緯度數時刻分秒若數一二與監推所得者各各不同又如本年八月秋分大統算在八月三十日未正一刻而新法算在閏八月初二日未初一刻一十分相距約差二日臣于閏八月初二日同監局官生用儀器測得太陽午正髙五十度零六分尚差一分入交推變時刻應在未初一刻一十分與新法脗合隨取輔臣徐光啟從前測景簿查對數年俱如一日然此非臆説也臣謹按春秋傳曰分同道也至相過也是二語者可為今日節氣差訛之一証蓋太陽行黄道中線迄二分而黄道與赤道相交此晝夜之所以平而分之名所由起也迄二至則過赤道内外各二十三度有奇矣夫過赤道二十三度有奇者為真至則兩道相交于一線者不為真分乎即舊法亦知分前分後之有晝夜平但拘泥一定之法平分嵗實計日立算其于盈縮加減之理多所未曉無怪其認平與分為二也何也太陽有平行有實行平則每日約行若干而實則有多有寡日日不等從最髙起算用法加減之始得真度分真節氣故新法之與舊法惟冬夏二至止差時刻餘則有差至一日二日者不獨秋分為然秋分其一端也謹將諸曜㑹合凌犯行度開具圖象表説一冊進呈御覽伏乞勅下禮部劄委司官一員仍知㑹欽天監堂官至期公同監局官生在局詳加測驗據實奏聞則一時講求畫一以仰副皇上欽若敬授之至意端在此矣統惟鑒裁崇禎七年閏八月十八日具題二十一日奉聖㫖奏内諸曜㑹合凌犯行度及分至節氣新法舊法異同著禮部該司官與欽天監堂上官率監局官生詳加測驗虚心考核以正厯法書册留覽督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖測驗事先該臣考測七政預報諸曜㑹合凌犯行度内開九月初四日昏初火星與土星同度初七日卯正二刻金星與土星同度十一日昏初金星與火星同度奉聖㫖奏内諸曜㑹合凌犯行度及分至節氣新法舊法異同著禮部該司官與欽天監堂上官率監局官生詳加測驗虚心考核以正厯法書册留覽欽此欽遵除木星另經測驗奏明外所有本月初四日火土二星同度例當用臣局黄赤經緯等儀考測但靈䑓官生未諳其用故臣於是日偕兩逺臣羅雅谷湯若望率該局官生㑹同祠祭司郎中陳六韐主事李焨欽天監監正張守登監副戈承科周𦙍靈䑓官劉承惪徐源李之貴等詣觀象䑓候至昏初令該監䑓官用簡儀測之雖簡儀中星古法宿度未與時合而臣所亟欲考測者惟在度之同與不同耳葢兩星俱在一度内曰同一星在此度而一星又在彼度曰不同今測得火星在尾四度五十分土星亦在尾四度七十分測畢臣與部臣再三較勘無異乃陳六韐進諸䑓官一一詢之俱同聲輸服而李焨復秉筆登記所測度分并各官姓名令自書押以昭同然此初四日驗得土火二星同度之始末也至初七日因卯正二刻金土二星同度在晝應於是日昏初滅半日行測之即可得其同度與否至期臣與部臣張師度俱到而該監堂屬官亦到忽遇薄雲西掩兩星難見候至更䦨天雖開霽而木星已西墜矣至十一日則金火星同度臣㑹同諸臣如故諸臣之來㑹也則有部臣張師度監正張守登靈䑓徐源章必選李之貴章必傳王燁等其齊集觀象䑓如故該䑓之用器自測也亦如故乃詳加考訂之餘實測得金星在尾十五度一十分火星在尾十五度二十分其為同度也又已較較不爽矣臣切思之火土之同度也舊法推在初七而臣報初四者合是舊法後天三日而新法密金火之同度也舊法推在初三而臣報十一者合是舊法先天八日而新法又密葢五星一道千古蒙蒙即守敬諸人不能别創一解别䜿一義如今日之測與算合絫黍不差者又安敢望於勦襲舊說者乎然臣法雖密但䑓官墨守成法恐經人道破便是自已罪案故以惴惴畏咎之心堅其黨習錮聞之陋而不肯為皇上實告耳伏乞聖明普賜寛政嘉與維新雖有踈逺勿遽加譴責俾臣得以展布手足與之晝夜考求有不待臣辭之畢而諸臣自有欣欣向往終不能狃是為非矣緣係遵㫖測驗事理未敢擅便謹題請㫖崇禎七年九月十二日具題本月十六日奉聖㫖據稱星度即用簡儀測驗俱合何故推算先後不同還著該監官奏明厯法精㣲李天經宜虚心詳究公同考正豈得獨執已見輙稱千古蒙蒙殊屬誇餙禮部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖奏明事本月初十日接邸報見内臣王魁遵㫖回奏一䟽奉聖㫖測驗例用儀器李天經獨用管窺此管有無分度作何窺測著李天經奏明仍據魏文魁奏木星未犯積尸著禮部遵㫖互質詳確奏奪欽此欽遵除聴禮部詳奏外該臣看得測驗之法非止一端測驗之儀亦非一器如觀象䑓舊制有渾儀簡儀新局亦有黄赤經緯象限弧矢等儀要皆各適其用而窺管創自逺西乃新法中儀器之一所以佐諸儀之所不及為用最大此輔臣原題工製一具待日晷星晷造完并進御前者也今奉明㫖敢不詳言其用并臣是日所以獨用之故乎夫此窺管之製論其圓徑不過寸許而上透星光注於人目凡兩星密聮人目難别其界者此管能别之凡星體細㣲人目難見其體者此管能見之凡兩星距半度以内新法所謂三十分窮儀器與目力不能測見分明者此管能兩納其星於中而明晰之是其容半度强者即此管之度分是也惟兩星相距半度以外則不能同見臣請畧舉一二如觜宿三星相距三十七分不能同見五車西柱下二星相距四十四分愈不能同見則此管之度分為半度强不其彰明較著乎故臣於閏八月二十五夜及九月初一夜同部監諸臣在局仰見木星在鬼宿之中距積尸僅半度因木星光大氣體不顯舍窺管别無可測臣以是獨用此管令人人各自窺視使明見積尸為數十小星團聚又能見木星與積尸共納於一管則其相犯為不悞禮臣陳六韐所謂恍見木星之側有數小星結聚云係鬼宿中積氣者是也而魏文魁指為未犯但據臆算未經實測據稱初二木星已在柳初則前此越鬼宿而東度分愈近豈得不犯而能飛渡乎且臣報閏八月二十四日而魁所算在九月初二相距九日度分已移乃執為不犯之証據殊屬舛謬矣然木星之於積氣匪直此日之犯已也後此出鬼宿退行時尚一犯焉既退而順行時又一犯焉臣在厯言厯屢奉明綸晝夜講求知而不言是臣之罪也但䑓官泥於成法以衆目共見之象指為原不必有之事雖有巧器直瓦礫視之宜乎以測為未測顛倒是非必欲實己之言而後已耳至内臣王魁原未目擊竝不知有此測法實無恠其有是言也且此器鳩工已畢旦暮進呈皇上可親試中外可諦觀又何煩臣之强為辨說哉縁係遵㫖奏明事理未敢擅便謹題請㫖崇禎七年九月十三日具題本月十六日奉聖㫖窺管僅儀器之一佐諸儀所不及知道了俟製完進覽禮部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖奏明事先該禮部遵㫖據實回奏一䟽奉聖㫖五星躔度奉㫖互質詳查何得各執己見徒滋叅駁據稱木星退行順行當兩經鬼宿依議著李天經魏文魁先將行度尺寸晷刻奏明臨期公同測驗務求至當以定厯法仍著司禮監官盧維寜魏國徴監看具奏欽此欽遵隨該臣查得厯法一事取驗在交食即臣等亦兢兢以測驗交食為急務祗因交食每不多遇雖遇之而或為雲隂所掩無從考核故請併測經緯諸星以試其踈宻則晝夜講求非但謂七政所闗不得偏廢亦以諸星之行度定而二曜之交食斯可考誠非厯法中不急之務耳今奉明㫖臣等依法算得木星順逆兩行其出入鬼宿俱有時日經緯度分可慿與積尸氣相犯亦有分數可據即臨期隂晴不一而木星行遲前後一日俱可互騐且八年六七兩月金火木軒轅四星彼此相掩相犯者不下五六次容臣另䟽奏報謹將木星行鬼諸數逐一開坐併具圖象進呈御覽伏乞勅下該部至期㑹同監看等官詳加測騐據實奏明統候聖裁縁係遵㫖奏明事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎七年木星退行鬼宿日時度分俱依赤道算其度分則用百分度之度分取其便測本年十月二十三日丙午木星退行從柳初入鬼一日細行七分本年十一月初五日丁巳夜木星退入鬼宿一度五十五分與積尸氣同度同分南北相距五十七分即占書所謂五寸七分也一日細行一十一分是日應測本年十一月二十日壬申木星退行入井一日細行一十四分崇禎八年木星順行鬼宿日時度分俱依赤道算其度分亦用百分度之度分本年四月十四日癸巳木星順行入鬼初度一日細行一十八分本年四月二十三日壬寅夜木星順行入鬼宿一度五十五分與積尸氣同度同分南北相距四十三分即占書所謂四寸三分也一日細行一十九分是日應測本年四月二十八日丁未木行順行入柳一日細行二十分崇禎七年十月十三日具題十六日奉聖㫖知道了俟臨期㑹同詳加測驗該部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖製器告成懇勑驗明用法并議安置恭進御覽事案照崇禎五年十月十一日輔臣徐光啓一䟽為月食事内言定時之法古有壺漏近有輪鐘二者皆由人力遷就不如求端於日星以天合天乃為本法特請製日晷星晷窺筩三器本月十五日奉聖㫖覽卿奏月食先後各法不同縁繇及測驗二法考據詳悉朕知道了即著傳示監局官生依法占測務求至當以稱朕欽若授時之意日晷等器如議製成進覽該部知道欽此欽遵因取石運重冶鑄刻鏤動經嵗月輔臣未臻厥成臣奉命接管以來遂督監局供事官生鳩工依新法製造今當告成除支用工價另行奏繳外臣切惟製器所以明時而詳法乃能利用諸儀雖已就緒待進然用法頗為㣲細稍有分毫之差即不便御覽將以有用疑為無用臣兹懼焉敢祈皇上勑令近侍内臣一二員到局騐看容臣等面與詳論所以用之之法并議所以安置之宜然後人器相習方適於用兹敢先言其畧一為日晷礱石為平面内界線以按節氣冬夏二至各一線春秋二分同一線其餘日行相等之節氣皆同一線平靣之邊週列時刻線從各氣節太陽出入為限時分八刻刻列十分若春秋分平分晝夜各四十八刻者凖交食所用以九十六刻為日行之限也又取凖京師北極出地範為三角銅表置其中表體之全景以指時刻表中之銳景以指節氣雖舊法圓晷亦環列時刻然非地平靣亦無節氣出入之限似未若新法之兼偹且凖此日晷之大畧也一為星晷冶銅為柱上安重盤内盤鎸週天度數列十二宫以分節氣外盤鎸列時刻中横刻一縫用以窺星法將内盤本節氣運合於外盤子正初刻次從背靣轉移對照見得帝星與勾陳大星共在一線之内即從盤靣視銳表所指即本夜之真時刻此則古法所未偹而新法獨得其傳乃星晷之大畧也若夫窺筩亦名望逺鏡前奉明問業已約畧陳之但其制兩端俱用玻璃而其中層叠虚管隨視物逺近以為短長亦有引伸之法不但可以仰窺天象且能映數里外物如在目前可以望敵施砲有大用焉此則逺西諸臣羅雅谷湯若望等從其本國携來而葺餙之以呈御覽者也至於日晷宜向南以取日景星晷宜向北以窺星光皆須安置得宜尤必偹石預築䑓基以便安頓又二晷皆重器也其輿運必須多用人夫宜從何衙門撥發統祈皇上勑下内臣騐看奏聞先定安置之所以便擇吉恭進或臨期令臣等率知厯官生審定子午方向如法安置則庶於皇上治厯明時之徳意不無小補矣謹具本預先奏聞崇禎七年十月二十九日具題十一月初三日奉聖㫖據奏日晷星晷二器製造已成即著盧維寜魏國徴到局驗看詳試用法其安置處所及築䑓基事宜著該監㑹同工部酌議速奏仍擇吉撥給人夫恭進窺筩著先進覽該衙門知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖㳟進儀器事先該臣於本年十月二十九日製器告成一䟽奉聖㫖據奏日晷星晷二器製造已成即著盧維寜魏國徴到局驗看詳試用法其安置處所及築䑓基事宜著該監㑹同工部酌議速奏仍擇吉撥給人夫恭進窺筩著先進覽該門知道欽此欽遵除日晷星晷聴監部㑹議速奏外臣隨於本月初五日㑹同内臣盧維寜魏國徴到局驗看窺筩逺鏡其間引伸之法窺視之宜臣已與二臣詳言之矣謹將窺筩逺鏡一具遵㫖先進御覽伏乞聖鑒計開窺筩逺鏡一具 托鏡銅器二件錦袱一件 黄綾鏡籙一具木架一座崇禎七年十一月初九日具題恭進十二日奉聖㫖知道了該衙門知道新法算書巻三
## 卷四
欽定四庫全書
新法算書卷四 明 徐光啟等 撰縁起四督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖恭進厯書併奏繳錢糧事該臣于十一月二十四日具有謹陳儀器始末等事一疏接奉聖㫖李天經以叅證厯法任用正宜詳稽互質以求脗合何得因所見不符輙思引退着照舊供職該部知道欽此欽遵臣捧讀明綸不勝感激涕零臣何人斯叨此異數且責以叅證互質之後効也使臣非外感隂陽之患内惕憂危之情病勢日深豈敢假託以誑君父然恭承明命曷敢不勉結前局更圖新効以盡臣子報稱之萬一而後遂私請乎除稍痊即朝見任事外顧臣所謂前局者輔臣徐光啟未竟之緒也所有原報厯書三十卷輔臣手訂及半臣受事以來詳加較閲今繕寫已完外加二卷悉照原題恭呈御覽前後五次所進共計成書一百三十七卷其間著定交食七政各有二百恒年表可為二百年内推算之法又有太陽太隂永年表可為千百年後再算之根又各有厯指以晰諸行之理并究舊法所以差謬之原頗明且盡如甲戌乙亥日躔細行二冊其節氣先後晨昏出入異於大統舊法可見一端此書進呈而前局結矣乃臣以新効自期者兹蒙聖恩任以叅證厯法又命臣詳稽互質以求脗合是臣未竟之業也大槩新法與舊法之不同所當叅證者約有二十餘欵容臣條列奏奪外輔臣前後支取過户禮工三部錢糧銀八百七十三兩五錢皆輔臣取給各項之用比因疾劇故疏請待臣銷算臣受事之日止收冊二本錢糧毫未經手今書器俱完合據原冊開報若日星二晷輔臣止請發銀一百兩及製完所費不啻倍之皆臣自捐凑造而不敢瑣屑以仰凟聖聰也至于局中供事知厯生儒因事例停止自六年三月至今未支升斗廪餼而朝夕拮据多有勤勞臣蒙皇上允輔臣題叙紀録容臣另疏請㫖縁係遵㫖恭進厯書併奏繳錢糧事理未敢擅便謹題請㫖計開第五次進呈書目共三套五緯厯指共八卷五緯用法一卷日躔考二卷夜中測時一卷已上係逺臣羅雅谷譯譔交食蒙求一卷古今交食考一卷恒星出没表共二卷已上係逺臣湯若望譯譔髙弧表共五卷五緯諸表共九卷甲戌乙亥日躔細行共二卷已上係二臣指授監局生儒推算奏繳錢糧數目據太子太保禮部尚書兼文淵閣大學士徐光啟冊開修政厯法用過錢糧逐一開造于後崇禎三年正月收户部事例銀一百兩本年九月初九日收工部銀三百兩崇禎四年六月十三日收户部銀二百兩本年閏十一月十七日收禮部寫厯銀七十九兩五錢崇禎五年七月十五日收工部銀九十四兩崇禎六年三月初三等日收户工二部造進呈儀器銀各五十兩以上共收過銀八百七十三兩五錢一造儀器錢糧象限大儀二架紀限大儀一架除取用工部楠木標皮外用過工料銀七十八兩三錢八分八釐石晷一座料價工食刻字共銀一兩八錢二分五釐壺漏一具工料銀五兩五錢九分四釐銅弧矢儀一具工料銀十兩零二分鐵弧矢儀一具工料銀五兩三錢星晷一座工料銀七錢羅經一副工料銀三錢象限銅儀一架銅鐡煤炭等工料銀三十六兩一錢三分地平儀一座銅鐡煤炭等工料銀一十三兩六錢九分五釐修整儀器用銀三兩四錢六分以上共用過銀一百五十五兩四錢一分二釐一謄寫進呈書冊紙張工食崇禎三年十月起陸續給過秋官周𦙍等買涇縣呈文連四等紙共銀二十二兩四錢寫稿太史連紙五十五刀共銀二兩七錢五分剛連紙二十七刀共銀四兩五錢六分崇禎三年十一月起陸續給過秋官周𦙍等謄寫進呈書冊工食銀三十九兩四錢八分五釐以上共用過銀六十九兩一錢九分五釐一訪取生儒廪給儒士陳于階二年八月九月三年八月至四年八月止共計十五個月每月銀三兩共給過銀四十五兩儒士張宷臣二年九月起至四年八月止共計二十四個月每月銀三兩共給過銀七十二兩儒士祝懋元三年七月起至六年四月中止共計三十三個半月每月銀二兩四錢共給過銀八十一兩二錢儒士董思定三年八月起至四年十月止計十五個月每月銀二兩四錢共給過銀三十六兩生員鄔明著三年十二月二十五日入局供事以來係自備廪給未受錢糧儒士楊之華四年正月十六日入局供事未受廪給儒士李遇春四年二月起至九月止計七個月每月銀三兩共給過銀二十一兩訪舉黄國㤗四年七月起至五年十月止共計十七個月每月銀二兩四錢共給過銀四十兩零八錢生員程廷瑞四年十一月起至六年三月止共計十八個月每月銀二兩四錢共給過銀四十三兩二錢原任保章朱國夀四年十二月起至六年四月中止計十六個月每月銀二兩四錢共給過銀三十九兩二錢儒士黄宏憲五年八月起至六年四月中止計八個半月每月銀二兩四錢共給過銀二十一兩二錢武舉魏邦綸造百分表在局一年未領工食量給銀十兩生員孟履吉五年九月内入局供事以來自備廪給未受錢糧以上共銀四百零九兩六錢一書辦寫本局夫厨夫等役工食禮部書辦邵化鱗每月工食銀九錢自二年八九十月三年八月至五年六月止共計二十七個月給過銀二十四兩三錢常川書辦胡純良每月工食銀一兩五錢自三年八月起至四年十二月止計十七個月共給過銀二十六兩寫本書辦寫過本三十四個給過工食銀十兩零二錢看局夫楊桂每月工食銀六錢自二年九月起至六年三月止計四十四個月共給過銀二十六兩四錢厨夫張逹每月工食銀六錢自二年九月十月三年八月至六年三月止共計三十四個月給過銀二十兩零四錢以上共銀一百零七兩三錢一裝釘刻印等工食第一次裝書工銀一兩五錢綾料等銀三兩三錢三分第二次裝書工銀一兩五錢綾料等銀三兩五錢四分第三次裝書工銀一兩五錢綾料等銀五兩六錢七分刻板八版工銀一兩二錢二分印書工銀一兩零七分五釐畫格心紅膠礬共銀二錢八分以上共銀一十九兩六錢一分五釐一厯局添葢西順山房二間工匠瓦磚物料共用過銀一十二兩一錢三分一自三年十月起共經日月食六次測候飯食銀共八兩四錢一崇禎六年五六等月鑄造星晷龍柱並下盤銅料工食等項總用銀七十五兩五錢三分八釐一日晷平靣石並座及星晷座石工價運價共用銀二十四兩四錢三分以上通共用過銀八百八十一兩五錢三分除收過户禮工三部八百七十三兩五錢外多用過銀八兩零三分俱係輔臣經手收放一逺臣羅雅谷湯若望每月供給銀十兩自二年八月起至六年六月止共四十七個月共銀四百七十兩俱係輔臣自備一製造進呈星屏一架共用銀四十三兩五錢係逺臣湯若望自備一崇禎七年六七等月打磨日晷等石及鐫字等項共用銀一十三兩三錢一鑄造日晷銅表星晷上盤並銅料打磨工食等項共用銀五十四兩零五分一日晷銅表並星晷銅盤鍍金共用銀六十一兩二錢三分一繕寫進呈厯書並裝釘綾殻紙張工食等項共用銀二十五兩五錢一自本年八月以來給過生員程廷瑞儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲原任保章朱國夀等廪給銀共七十五兩六錢而生員鄔明著孟履吉儒士陳于階仍係自備廪給書辦胡純良工食銀共一十兩零五錢局外雷鳴工食銀共四兩八錢已上共用過銀二百四十一兩三錢八分係臣天經自備崇禎七年十二月初三日具題本月初六日奉聖㫖厯書着留覽造過錢糧着該衙門核銷督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹奏為書器告成叙録宜加謹照原題查叙在事諸臣以示激勸事崇禎六年十月初六日該已故輔臣徐光啟題為治厯已有成模課功㑹應嚴核謹將在事臣工分别上請懇祈恩叙以光大典事奉聖㫖該部知道葢因輔臣於病革時恐未能身終其事且念在局修厯官儒勤敏有加勞瘁堪録及其存日預為陳請若待書器告成以績題期之後人者臣實接管其事今書器進矣若不代為題叙無論諸臣之勤勞未可冺即恐輔臣之前緒亦未終耳謹查照原疏所叙除欽天監左監副戈承科右監副周𦙍輔臣原以勤學可嘉俟習學完日另叙今為該監堂上官臣方與叅訂異同待有成績取自聖裁臣未敢例叙外謹分别為皇上陳之如逺臣羅雅谷湯若望等譯書譔表殫其夙學製儀繕器攄以心法融通度分時刻于數萬里外講解躔度交食於四五載中可謂勞苦功髙矣説者動以異域視之不知皇上君臨萬邦覆載之下莫非王臣法取合天何分中外臣謂當如原題查給田宅以為逺人勸者也知厯生員鄔明著訪舉儒士陳于階貫通象緯精究理度繕製已有成效推測可任方來所當照纂修辦事例優叙者也又知厯生員程廷瑞孫嗣烈孟履吉監生李次霦訪舉儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲原任五官保章今降天文生朱國夀或翻譯著勞或繕寫効力晝夜之測騐靡寧寒暑之修葺可紀所當照纂修効勞例並叙者也原任大理寺評事今帶銜光禄寺録事王應遴武英殿中書陳應登督率官生叅訂訛正協贊已乆叙録應加在應遴或開其原俸應登量加其職級以示優者也若秋官正劉有慶中官正賈良棟保章正賈良琦春官正潘國祥靈臺監候官章必傳博士朱光顯天文生朱光燦朱光大周士昌皆勤力學習虚心講究日躔月離既窺大㫖恒星月食亦曉推測尚有日食五緯正在講究當俟其學習通徹另疏題叙者也内除欽天監堂屬各官正在叅訂學習者尚可待之異日其厯局生儒辦事已閱五年兩載未沾半菽總縁户工事例已停即題准之特恩俱成虚願茹苦纂緝臣竊憐之今書器告成臣若不復申前請又何以録舊績而勵新功也伏乞皇上念此成勞將生員鄔明著程廷瑞等各量加以欽天監職衘使與學習諸臣研究推測以共維新法於不墮可矣臣非汲汲為此也之數人者若無㣲職以繫其身必且奔走衣食於四方書雖存而人不備亦將終歸廢滅不甚可惜耶臣所叙述諸人與輔臣之疏有減無増以防冐濫其原䟽現在御前可覆而按也伏乞皇上勑下該部覆議施行冐昧控陳臣無任惶悚待命之至崇禎七年十二月初八日具題本月十二日奉聖㫖禮部酌議具奏督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為厯法告成恭進乙亥丙子七政行度並叅訂條議仰祈聖明採擇以昭熈朝大典事先該輔臣徐光啓逺臣湯若望等奉㫖修正厯法朝夕講求詳加測騐勒為成書一百三十餘卷已經輔臣與臣先後進覽大抵皆發明七政所以然之理並所以求七政之用而尚未推歩成厯也迨臣奉命接管于崇禎七年九月内該欽天監遵㫖據實回奏一疏奉聖㫖據奏歳差増損成法自宜變通著張守登等督率監局各官與李天經測騐叅訂務求推算畫一以正厯法禮部知道欽此欽遵臣即一靣移文㑹同欽天監監正張守登監副戈承科周𦙍帶銜録事王應遴五官正賈良棟劉有慶潘國祥保章正賈良琦博士朱光顯天文生朱光燦朱光大學習蔡孚一劉化行等到局叅訂備將新舊異同逐欵考覈間有疑義可商者令其人人各自陳説徃覆辨難必期共相闡明衆論攸同而後已展轉月餘三四易稿擇可信今傳後者約得二十六則然臣等非臆説而諸臣亦不肯以耳為目也除火土等星奉㫖測騐俱合外如金星之在崇禎七年十二月也舊法載是月二十日夕伏新法推當見至次年正月初三日始與太陽合及本月二十一日臣等公同該監諸臣測之果西髙十八度矣水星之在本年二月也舊法是月十八日夕伏新法推當見至次月初三日始伏及本月二十三日臣等公同該監諸臣測之果西髙八度餘矣又觜參二距星從古至今度分漸減舊法謂觜在參前新法謂觜在參後及三月初六日臣等公同該監諸臣測之果參居前觜居後有器可考有目共見此則黄赤相交古今宻移難仍其故尚可以常法拘乎内二十六則惟天行無紫炁一叚臣等再四考求茫無義據而諸臣謂傳來已乆未便刪削則或去或存無闗於理而亦無害於法可否應聽聖裁臣等不必争論此則臣奉㫖測騐叅訂事也臣又一靣偕該局逺臣羅雅谷湯若望率知厯生儒等依法布算乙亥丙子兩年七政經緯度分並㑹合伏見遲留日時種種與舊法逈異内乙亥年諸曜躔度舊法用墨書新法用硃書兩法並列以備皇上叅考其丙子年諸曜因監推未完止依新法録進而五星遲疾諸行不用初末等字者縁舊法以叚目平分日數無所取義而新法則時時不等故置不用且順天行以定序次故土先木火之上其四餘躔度因紫炁無確論故未録而月孛羅計緒行已附載經緯度中因思明㫖所謂務求推算畫一以正厯法者意必如是推算而後不一者能一不正者可正耳謹將乙亥丙子七政行度四冊並叅訂條議開坐恭進御覽伏乞勅下閣部大臣並科道等官公同㑹議再加詳核如果立法無差或依法改正或待屢騐始行此又在閣部大臣另行請㫖定奪縁係厯法告成恭進乙亥丙子七政行度並叅訂條議仰祈聖明採擇以昭熈朝大典事理未敢擅便謹題請㫖計開乙亥丙子七政行度四册叅訂厯法條議二十六則七政公説(諸曜之應宜改)日月五星各有本行其行有平有視而平行起算之根則為應應者乃某曜某日某時躔某宫次之數今新法改定諸應悉從崇禎元年戊辰年前冬至後己卯日第一子正為始測諸曜行度用赤道儀尚不足應用黄道儀太陽繇黄道中線行月五星各有本道亦皆出入黄道内外而不行赤道若用赤道儀測之則所得經緯度分須通以黄赤通率表乃可否則所測經度宿次非本曜天上所在之宫次葢器與天行不類也諸方七政行度隨地推算不等日月東西見食其時各有先後既無庸疑矣則太陽之躔二十四節氣與月五星之掩食凌犯安得不與交食同一理乎故新法立成諸表雖以順天府為主而推算諸方行度亦皆各有本法諸曜損益加減分用平立定三差法尚不足加減一法乃厯家之要務葢以其數加減於平行得視行第天實圓體與平異類舊所用三差法俱從句股平形定者似於天未合即各盈縮損益之數未得其真今新法加減諸表乃以圓齊圓差可合天又各曜盈縮損益大差累經測騐俱與舊法不同今悉改定隨時隨地可求諸曜之經度舊法欲得某日某曜經度必先推各曜冬至日所行宫度宿次後乃以各段日度比算乃得今法不拘時日方所只簡本表一推歩即是徑一圍三非弧矢真法古厯家以直線測圓形名曰弧矢法而算用徑一圍三謬也今立割圓八線表其用簡而大弧矢等線但乘除一次便能得之非若向之展轉商求累時方成一率者可比球上三角三弧形非句股可盡古法測天以句股為本然句股弦乃三腰之形句與股交必為直角句斜角則句股窮矣且天為圓球其靣上與諸道相割生多三弧形因以測諸星經緯度分二者一句股不足以盡之恒星本行即所謂歳差從黄道極起算各星距赤極度分古今不同其距赤道内外也亦古今不同而距黄極或距黄道内外則皆終古如一所以日月五星俱依黄道行其恒星本行應從黄極起算以為歳差之率古今各宿度不同恒星以黄道極為極故各宿距星行度與赤道極時近時逺葢行漸近極即赤極所出過距星線漸宻其本宿赤道弧則較小漸逺極即過距星線漸疏其本宿赤道弧則較大此縁二道二極不同故非距星有異行亦非距星有易位也如觜宿距星古測距參二度或一度半度又或五分今測之不啻無分且侵入參宿二十四分此非可証之一端乎夜中測星定時太陽依赤道左行毎十五度為一小時三度四十五分為一刻今任指一星測之必較其本星經行與太陽經行得相距若干度分又得其距子午圏前後若干度分則以加減推太陽距本圏若干因以變為真時刻宋時所定十二宫次在某宿度今不能定于某宿度此因恒星有本行宿度已右移故太陽盈縮之限非冬夏二至此限亦㣲有行動舊法以冬夏二至為太陽盈縮初末之限即新法所謂最髙及最髙衝也葢因測冬至至春分又測春分至夏至中間日數不等覺冬至太陽行疾而盈夏至行遲而縮焉今新法亦測得自冬而夏自夏而冬或自春而夏自夏而秋兩測中積非一算得此限不在二至已過六度有竒且年年行動初無一定之數以圭表測冬夏二至非法之善二至前後太陽南北之行甚㣲則表景長短之差亦㣲如冬夏至前後三日太陽一日南北行為天度六十分之一設表長一丈冬至兩日之景約差一分三十秒夫一分三十秒為一日之差則測差一秒計刻當為六刻零七分圭上一秒之差人目能保不悞乎且景符之光線濶亦不止數秒一秒得六刻有竒若測差二三秒算幾差二十刻又安所得凖乎今法獨用春秋二分葢以此時太陽一日南北行二十四分計一日景差一寸二分即測差一二秒算不滿一刻其差甚㣲較二至為最宻日出入分應從順天府起算舊法仍依應天府諸方北極出地不同晨昏時刻亦因以異大統仍依應天府推算是以晝夜長短未能合天甚至日月東西帶食所推未如所算多縁于此今悉依順天府改定平節氣非天上真節氣舊法氣䇿為一十五萬二一八四三七五此乃歳周二十四分之一然太陽之行有盈有縮不得平分如以平數定春秋分則春分後天二日秋分先天二日矣今悉改定庶幾測算脗與天合太隂朔望之外别有損益分一加減不足以盡之舊法定太隂平行一日為十三度有竒算朔望别有加法減法大數為五度有竒然兩弦時多寡不一此加減法不足以齊之即授時亦言月朔望時一日平行十三度有竒朔望外平行數不足似明其理未著其法今于加減外再用一加減名為二三均數理明而數亦盡緯度不能定于五度時多時寡緯度難定五度古今厯家俱言之以交食分數及交泛等測定黄白二道相距約五度然朔望外兩道距度有損有益大距計五度三分度之一若一月有兩食其弦時用儀求距黄道度五度未能合天交行有損益分羅㬋計都即正交中交行度古定交行一日逆行三分千百年俱為平行今細測之月有時在交上以平求之必不合算因設一加減為交行均數天行無紫炁舊謂紫炁生于閏餘又曰紫炁為木之餘氣今細考諸曜此種行度無從而得無象可明欲推算無數可定欲論述又無理可據展轉商求則知作者為妄増後來為傅㑹鄙俚不經無庸置辨交食日月景徑分恒不一日月有時行最髙有時行最卑因髙卑遂相距有逺近葢近則見大逺則見小又因逺近得太隂過景有時厚或有時薄所以徑分不能為一日食午正非中限乃以黄道九十度限為中限南北東西差皆以視度與實度相較而得則日月之實度俱依黄道而視度安得不從黄道論其初末以求中限乎且黄道出地平上兩象限自有其髙也亦自有其中也此理未明則有宜多而少宜少而多或宜加反減宜減反加者凡日食加時不得合天皆縁于此日食初虧復圓時刻多寡恒不一非二時折半之説視差能變實行為視行則以視差較食甚前後鮮有不叅差者夫視差既食甚前後不一又安能令視行前後一乎今以視行推變時刻則初虧復圓其不能恒為一也明矣諸方各依地經推算時刻及日食分地靣上見日月出没與在中各有前後不同即所得時刻亦不同故見食雖一而時刻異此日月食皆一理若日食則因視差隨地不一即太隂視距不一所以見食分數亦因之異焉五星應用太陽視行以段目定之不得五星皆以太陽為主其與太陽合伏也則疾行其與太陽衝也則退行且太陽之行有遲有疾而五星亦各有本行外之太陽遲疾則合伏日數時多時寡自不可以段目定其度分五星應加緯行月有白道半在黄道内半在黄道外而五星亦然則各于黄道有定距度又土木火三星衝太陽緯大合伏太陽緯小金水二星順伏緯小逆伏緯大不可不詳考之測五星宜用恒星為凖則測星用黄道儀外或用弧矢等儀將所測緯星視距二恒星若干度分依法布算得本星真經緯度分又繪圖亦可免算崇禎八年四月初四日具題初六日奉聖㫖這推乙亥丙子七政行度併叅訂條議着該部遴委曉厯司官同監局各官生儒隨時測騐果否差合核議奏奪該部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹奏為厯法業有成局㣲臣敬申前請伏乞轉委大臣以終鉅典事竊照臣之奉命入都門也縁皇上特允輔臣禮臣之請兩下速催到任之明㫖臣是以袛遵明命竭蹷前來任事乃屢遭謗忌相駁相扼無肯秉虚公以從事者令臣法難明臣心兹苦矣乃尚隠忍逾時未即引退者以書器雖完僅畢治厯之成模而叅訂未詳猶非修正之實着恐虚皇上責成之盛心且墮舊輔將完之前緒耳今於數月間公同欽天監監正張守登監副戈承科周𦙍等皆虛心察理不執成見遵㫖叅訂頗韙臣言且監官厯科之學習新法如劉有慶賈良棟等皆精心理解知新法合天而津津願學皆非有所强也故臣等得與結叅訂一局而彚欵細推恭進以塵御覽或勑下閣部大臣㑹議之後如即勑賜改正頒行固成一代之大典臣敢必其無所差忒倘猶欲與異術較疏宻待屢測屢騐人心大同以成信厯則聖主慎重欽若之𢎞謨亦臣所大願此則非歳月之可計也臣請以在局生儒盡收之欽天監以便隨時推測將臣等所成新法暫附於大統以便公同考騐使乆之而屢測不爽以天縱聖明如皇上亦豈容承舛者尚沿乎陋習而合天者終以故紙置之耶此事正有待也然而本局之厯則已告成矣臣之一身可以言去矣葢臣自去歳四月到京已及一年藩司薪俸乆不沾濡仕籍姓名向已刋落論臣子敬事後食之義皆不敢言但奉命而來竣事而退㣲臣出處之宜明不當如是耶伏乞皇上放臣歸里以甦病骨以避衆忌則所全於臣之身名更大矣即尚有未完如監官之學習新法者纔得一半講解通徹尚須年餘新法之度數旁通尚有多欵經輔臣之已題者徐待製造然皆餘事也伏乞轉委閣部大臣一員兼攝之則不煩更置可以鎮羣囂而凝庶績賢于孤踪之臣萬萬矣伏祈聖鑒下部議覆施行臣無任惶悚之至崇禎八年四月初四日具題初六日奉聖㫖新法書器雖完然推測疎宻未經考驗且據稱度數旁通尚有多欵徐待製造豈得遽云局厯告成李天經還同該監官虚心詳究務期畫一以禆厯法俸薪久不支給是何縁故著即與查補該部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵奉明㫖敬申旁通事宜以便翻譯製造事先該前輔臣徐光啓條上旁通十事奉聖㫖度數旁通有闗庶績一併分曹料理欽此盖因前此厯事未完工力有限是以至今未遑措辦也頃該臣奏為厯法業有成局一疏奉聖㫖新法書器雖完然推測疎宻未經考驗且據稱度數旁通尚有多欵徐待製造豈得遽云局厯告成李天經還同該監官虚心詳究務期畫一以禆厯法俸薪久不支給是何縁故著即與查補該部知道欽此欽遵除臣一面遵㫖任事㑹同該監諸臣將新舊七政行度朝夕考驗聽禮部類奏外所有旁通諸務臣一一與逺臣羅雅谷湯若望等逐欵商確然皆目前切要之事濟時適用有禆急需苐非旦夕可竟之功講解著述尚須時日謹照輔臣原題稍加更正再行臚列于皇上之前亦見臣等于考測之暇非敢玩日愒月而所接續考求者乃歴法修正後推廣度數之妙用以仰佐明時急務而非止言厯已也然之數事者頭緒頗多形質甚廣釋義演文與夫較勘製造翳惟人是賴似非臣與一二逺臣所能卒業故不無望于衆思羣力之助也如在局知厯生儒等臣會請以量加職銜少酬前勞業蒙皇上下部酌議具奏但得速為叙録臣亦可藉手責成不獨日後交食並七政諸厯皆須為之推算即旁通一役必先示以勉勵之意使諸臣薪水無慮得以一意隨分盡職如明㫖所為分曹料理可也統候聖裁計開度數旁通十事其一考求七政行度性情下合地宜一切水旱䖝蝗疾癘兵戎可以約略預知則凡先事修救如農家因之勤稼穡兵家因之備邊儲其于民生國計大有利益其二度數既明精通水法一切疏濬河渠灌溉田畆置閘河以利運艘造水銃以捄火灾與夫風水輪盤諸器治水用水各利實用其三度數與樂律相通明于度數即能考正音律制造器具于修定雅樂可以相資其四兵家營陣器械及築治城臺池隍等皆須度數為用精于其法有禆邊計其五算學久廢官司計㑹多委任胥吏錢榖之司闗係尤重度數既明凡九章諸術皆有簡當㨗要之法習業甚易理財之臣尤所急需其六營建屋宇橋梁等明于度數者力省功倍且經度堅固千萬年不圮不壊其七明于度數能造作機器可以任重致逺一切舉重引重諸器皆有利便之法以前民用以省民力其八天下輿地其南北東西縱横相距紆直廣袤與夫山海原隰髙深廣逺皆可用法測量洞其隠㣲其九醫藥之家宜審運氣厯數既明可以察知日月五星躔次與病體相視乖和順逆因而藥石針砭不致差悮大為生民利益其十造作沙水等漏以知時刻分秒若日月星晷依視學製造不論公私處所南北東西欹斜㘭突皆可安置施用使人人能分更分漏以率作興事屢省考成崇禎八年四月二十七日具題五月初一日奉聖㫖據奏旁通十事亦屬利用要務知道了生儒量加職銜該部遵㫖議奏督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖恭進儀器事先該臣接得司禮監傳奉手本開稱該御用監把總官周福奏稱奉㫖造進窺逺鏡等因崇禎八年七月十二日奉聖㫖司禮監𫝊與李天經將窺逺鏡造二具來進欽此欽遵臣即督同本局逺臣湯若望羅雅谷等將本國携來玻璃星夜如法製造今已造完謹將窺逺鏡二具恭進御覽伏乞聖鑒縁係遵㫖恭進儀器事理未敢擅便謹題請㫖計開窺逺鏡二具 托鏡銅器各二件黄綾鏡籙二具 木架二座崇禎八年八月初九日具題本月十一日奉聖㫖這窺逺鏡著進覽該衙門知道督修厯法山東布政使司右㕘政臣李天經謹題為月食事竊照崇禎九年正月十五日辛酉曉望月食其食限分秒時刻并起復方位例應先期上聞除大統囘囘二厯俟欽天監具題外所有本局月食臣等用新法推步謹將諸數逐一開坐并具圖象進呈御覽伏乞勑下該部至期令監督等官并臣監局官生如法測驗奏聞其遣人驗報奉有再行詳騐具奏之㫖仍移文河南山西撫按務令公同親測詳加考驗速報不得他委以虚皇上欽若至意再照臣局厯法已完尚有各省直北極出地髙下并各輿地見食早晏不同必須多遣員役躬至其地用器測量如堯命羲和分方考驗蔡註所謂厯既成而分職以頒布且考驗之恐其推步之或差元郭守敬亦倣而行之遣官一十四員測驗二十七所總厯成以後事臣厯書雖成矣縁方從事旁通尚未遑及姑俟稍有次第另疏請㫖臣于此尤有説焉考驗交食全在定時而定時之法晝固無如測日夜則無如測星盖星自東而西其為先後時刻與日同理必取凖乎此方可合天或將臣前所進星日貳晷移置殿陛之前以備皇上臨期省覽則各法疏宻難逃聖鑒外庭雖欲偏執意見以混時刻不能矣其安置之宜但略奠基址取星晷得見帝星勾陳日晷能取分至日景足矣原無事于髙置層臺致逺宸居如同棄物也此則臣旦夕屬望之之至情未審能當聖意否仍乞嚴勑該監堂官是日務令該臺整肅從事聽臣與部臣約束虚公詳測如有仍前怠玩任意遷就者許臣據實奏聞其于考驗厯法未必無小補矣統候聖裁縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎九年正月十五日辛酉曉望月食分秒時刻并起復方位月食三分八秒月未入見復光六十五秒月已入不見復光二分四十三秒是日日出夘正三刻内五十六分初虧夘初一刻内五十六分月在地平上髙一十七度三十三分 東北食甚卯正二刻内一十三分月在地平上髙四度二十分 曉刻 正北復圓辰初二刻内六十六分 在晝 西北計食限内凡九刻一十分食甚日躔黄道娵訾宫二度二分五十二秒為危宿三度四十五分月離黄道鶉尾宫二度二分五十二秒為張宿一度二十五分月離緯度初虧距黄道南四十六分五十五秒食甚距黄道南五十分九秒復圓距黄道南五十三分二十二秒各省直初虧時刻京師順天府卯初一刻内五十六分南京應天府福建福州府卯初一刻内八十三分三十二秒山東濟南府卯初一刻内八十九分九十九秒山西太原府寅正三刻内九十六分湖廣武昌府河南開封府寅正四刻内五十六分陜西西安府廣西桂林府寅正三刻内三十分浙江杭州府卯初二刻内三十六分六十五秒江西南昌府寅正四刻内九十分廣東廣州府寅正四刻内二十三分三十三秒四川成都府寅正二刻内一十分貴州貴陽府寅正三刻内三分三十三秒雲南雲南府寅正一刻内三分三十三秒右凡言某刻内者尚未及本刻實數而已厯過前刻纔交本刻若干分秒如食甚卯正二刻内一十三分謂其過卯正一刻後又交二刻内之一十三分非謂食甚時即卯正二刻也初虧復圓俱倣此崇禎八年八月二十日具題二十三日奉聖㫖這所奏月食分秒至期著監督等官并該監局官生如法測驗奏聞前所進星日二晷還俟臨期省覽各諭整肅從事毋得少有玩泄禮部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為恭懇聖恩破格柔逺以勵勤勞以光大典事先該前輔臣徐光啓叙録一疏内開逺臣羅雅谷湯若望等譯譔書表製造儀器算測交食躔度講教監局官生數年來嘔心瀝血幾于頴秃唇焦功應首叙但逺臣輩守素學道不願官職勞無可酬惟有量給無碍田房以為安身養贍之地不惟後學攸資而異域歸忠亦可假此為勸等因奉聖㫖該部知道欽此隨該臣再申前請首為逺臣查給田宅奉聖㫖禮部酌議具奏欽此欽遵已經該部劄行順天府行查去後續據該府報稱查得替僧法寶已故遺有御賜絶産萬夀寺下院香火地二十頃隆長下院並相連住房共一叚久屬遊僧隠占無人承頂堪以量給咨呈該部移會到臣該臣看得修歴一役仰邀皇上不次之典已非一端如臣以一介外吏而業照京官例關領俸薪矣在局生儒鄔明著等所請職銜蒙准下部議覆似亦得叨升斗矣但臣等所翻譯成書推測合度者實叅用西法而即兩逺臣之法也臣等猥蒙異數而陪臣輩殫其所學拮据六載厯務甫竣繼以旁通乃戮力盡瘁以願效忠于本朝者顧使之肄業無所恒産無資非所以廣聖恩風逺人也縱大官少有所給乃月僅兩餘未供饔飱而萬里孤踪仕進弗甘生産又絶何以為勞臣勸乎臣聞繇余西戎之裔秦用以霸金日磾西域之世子為漢名卿即馬沙亦黒等本囘囘族類我太祖設專科以待之且世其官而存其業盖苟有利於國逺近何論焉臣又按萬厯三十八年西洋逺臣利瑪竇航海歸化皇祖憐其慕義逺來死之日給以塟地并其友伴龎迪我等亦居以賜宇令其依止焚修此成例具在則一㕓之受數椽之棲諒非浩蕩之恩所靳也伏乞勑下禮部遵前㫖議覆一以収録其成勞一以勉勵其新績且使絶域沾被共仰聖化于無方佇見寶厯昭垂式貽神謨于萬䙫矣統候鑒裁崇禎八年八月二十八日具題九月初一日奉聖㫖該部覈議具覆奏内繇金日磾引用不倫本朝字作廟字改正行督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖測驗據實奏報恭候聖明裁奪事先該臣崇禎八年四月初四日恭進乙亥丙子七政行度併叅訂條議一疏奉聖㫖這推乙亥丙子七政行度併叅訂條議著該部遴委曉厯司官同監局各官生儒隨時測驗果否差合覈議奏奪該部知道欽此欽遵除臣督率官生晝夜在局考驗外所有曉厯司官該部徘徊日久實難其人而祠司一載以來僅有主事李焨一人又自言不敢以曉厯自任臣不得已止公同欽天監堂屬等官測過火木金水等星理合奏報如本年水星大統載三月十八日晨見至四月二十一日晨伏則前此皆見時矣新法載三四五六等月俱晨不見臣訂於四月十四日會同該監監正張守登監副戈承科周𦙍靈臺郎劉承惪徐源章必選李之貴春官正潘國祥秋官正劉有慶保章正賈良琦博士臧㣲坎王燁張國鎔朱光顯等是日五鼓在局登臺測驗良久直至日出委無水星出見乃監正張守登猶未敢遽信以為然也仍訂於十七日赴觀象臺再測至期臣率逺臣羅雅谷湯若望録事王應遴中書陳應登及本局生儒鄔明著等齊集該臺測驗而該監堂屬等官俱到再三詳測其不見也如故則是新法所算水星晨不見宻合矣至四月二十三日則臣所報木星與積尸氣同度同分之期已經移會該監堂屬等官因是日隂雨未測又大統載本年水星八月初七日晨伏不見至九月二十一日夕見則前此皆不見時矣新法載七月二十五日水星晨見至八月二十三日晨不見又八月十三日大統載木星在張一度新法算得在張四度是日子正初刻與軒轅大星同度同分臣因訂八月十三日子時會同監正張守登監副戈承科靈臺劉承惪徐源章必選李之貴秋官劉有慶博士髙攀桂黄子賢等到局先用黄赤經緯儀登臺測得木星果與軒轅大星同在一線少頃委見水星晨見東方則是新法所算水星晨見又宻合而木星與軒轅同度亦皆較較不爽矣本年八月二十七日新法算得木火月是日寅正二刻俱同在張六度三十三分大統載是日木在張四度火月在張三度至期移會該監堂屬等官因二十六日隂雨未到臣等在局候至寅正二刻天氣清朗隨用黄赤經緯儀測得木火月果在同度一線上則是木火月同度又與新法脗合矣又如金星大統載九月初九日晨伏則此後皆不見時矣新法載八九等月俱晨見至十月初三日始晨不見因訂于九月十七日會同該監監副周𦙍博士朱光顯及在局逺臣生儒等登臺測驗良久直至天曉委見金星東出約髙八度餘則是新法所算金晨見宻合而舊法已先天二十餘日水星大統載九月二十一日夕見至十月二十四日夕伏不見則前此皆見時矣新法載八月二十六日晨不見至十月初六日始夕見臣因訂九月二十八日會同該監監副周𦙍春官正潘國祥夏官正左允化秋官正劉有慶靈臺章必選及在局生儒等是日昏刻登臺測驗委無水星出見則是新法所算水星不見又宻合而舊法後天一十五日總之五星之有伏見猶日月之有交食交食苦不多遇而五星則夜夜可測時時可測者且本局毎測置有印信文簿令監官隨測隨書以昭同然俱經申呈在部孰宻孰疎諒難逃於聖鑒謹一一詳報伏乞勑下該部將臣前後數測行令欽天監堂屬等官曽否測驗果否差合據實囘奏静聽聖明裁奪施行崇禎八年十二月十四日具題十七日奉聖㫖這新法所測火木金水等星見伏行度是否宻合欽天監堂屬各官曽否公同測驗著該部查明據實具奏禮部題為測驗月食事祠祭淸吏司案呈到部案查先該臣部回奏崇禎五年九月十四日夜望月食雲隂不見等因五年十月十二日奉聖㫖據該監稱月食雲隂不見有無别法考求著他確議來説今後毎遇交食該部先將各法異同一併開寫來看臨期如法測候證定疎宻分别具奏欽此又該督修厯法李天經題稱(云云)崇禎八年八月二十三日奉聖㫖這所奏月食分秒至期著監督等官并該監局官生如法測驗奏聞前所進星日二晷還俟臨期省覽各諭整肅從事毋得少有玩泄禮部知道欽此今照本年五月十五日辛酉曉望月食該臣先將新舊各法開坐具題御覽外又該臣部題差監局官儒潘國祥黄宏憲前往河南測驗厯局供事官陳應登天文生朱光大前往山西公同撫按親測驗報等因八年十二月十二日奉聖㫖是欽此查得祠祭司今只主事李焨一人據本官稱一人見聞有限應選委别司一官同往隨委主客司員外郭之竒同本官率同監局官生届期先詣觀象臺㕘驗去後今據主客司員外郭之竒祠祭司署司印主事李焨呈稱職等先據欽天監官張守登督修厯法㕘政李天經另局修厯布衣魏文魁各報本月十五日卯時月食時刻分秒具奏奉㫖測驗隨奉堂批委職等同往觀象臺一同欽天監官張守登叅政李天經布衣魏文魁測驗本日子時職等同到觀象臺隨委監官黄子賢劉有慶賈良琦專守調儀器兩局生儒鄔明著孟履吉張宷臣林䕃世徐克孝蔣所樂專候測驗職等站立臺上專覷月輪至夘時初一刻零四十三分有竒月初虧去極七十九度七十分至卯正一刻月食甚約有四分至夘正二刻霧氣澹靄月輪隠現但覺㣲露光氣即隨不見盖食體尚存而漸復㣲光入地者等因到部該臣等看得天文𤣥㣲髙逺算法甚難據兩家測驗所差亦僅爭分秒再加考究厯法可得其大概矣除河南山西二處撫按咨報到部另行具奏外既經該司詳測開報理合具本謹具題知奉聖㫖據奏測驗月食分秒初虧食甚及月未入見復光新法為近但以十三為雨水是何説還著奏明其魏文魁所推食甚時刻與靈臺測驗相符還候河南山西二處奏報至日再加考究以正厯法崇禎九年正月十六日新法算書卷四
## 卷五
欽定四庫全書
新法算書卷五 明 徐光啟等 撰緣起五督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為月食事該臣於崇禎八年八月二十日将本局新法所推崇禎九年正月十五日辛酉曉望月食分秒時刻起復方位開坐奏聞奉聖㫖這所奏月食分秒至期着監督等官併該監局官生如法測驗奏聞前所進星日二晷還俟臨期省覽各諭整肅從事毋得少有玩泄禮部知道欽此欽遵至本月十四日夜臣督率逺臣羅雅谷湯若望大理寺評事王應遴及本局知厯生儒鄔明著孟履吉李次虨張宷臣祝懋元等公同禮部祠祭司主事李焨主客司員外郭之竒欽天監監正張守登併厯科靈臺等官齊赴觀象臺測候而布衣魏文魁亦在焉先是臣恭繹明綸無任惶悚隨經移文與諸臣約此畨月食各法參差最易辯别而在事各官政宜虚公恪慎仰副隆指其間時刻之先後分數之多寡臣悉備為申説且刋刻圖式與衆共見而諸臣已了了意中矣候至初虧臺官徐源等用簡儀測月依法得在卯初一刻四十三分與臣等所推卯初一刻内五十六分者合又同時用立運儀測得去極度七十九度七十分較魏文魁所推七十五度七十六分者似差四度至食甚别無測法大統推食三分一十五秒月未入見食一分五十四秒回回推食一分九十三秒月未入見食三十五秒魏文魁推食四分三十一秒在天見食三分八十二秒是皆未至食甚月已西入地平而臣局獨推食甚月在地平上高四度二十分見食三分八秒月未入見復光六十五秒維時用立運儀測得月果西高四度餘政臣局所推食甚時也復用簡儀測月依法得在卯正一刻與臣等所推卯正二刻内一十三分者又合乃審視良久至卯正二刻月光漸復先多而後少萬目共見即各法亦不得仍執帶食之説為是矣其食分多寡據臣目力所見約食三分餘據部臣郭之竒目力所見約食四分總之無器可憑難以懸斷且月體西下稍有雲氣大槩約畧計之獨復光少許始入地平臣法却為密合耳此當夜測驗之情形如此謹據實奏聞恭候聖明裁奪崇禎九年正月十六日具題二十日奉聖㫖已有㫖了該部知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖奏明節氣事崇禎九年正月二十九日准禮部照㑹内開該本部回奏月食奉聖㫖據奏測驗月食分秒初虧食甚及月未入見復光新法為近但以十三日為雨水是何説還着奏明其魏文魁所推食甚時刻與靈臺測驗相符還俟河南山西二處奏報至日再加考究以正厯法欽此欽遵照㑹到臣令臣自行奏明臣謹撮其大要併具圖象為皇上陳之案照丙子年新舊七政大統推本年正月十五日辛酉子正二刻雨水新法推本年正月十三日己未卯初二刻零八分雨水兩法相較先後幾差二日矣但所以不同之故與所以立法之因臣豈無説而敢臆為創改乎盖論節氣有二法一為平節氣一為定節氣平節氣者以三百六十五日二四二五為嵗實而以二十四平分之計日定率每得一十五日二千一百八十四分三十七秒五十㣲為一節氣故從嵗前冬至起算必越六十日八十七刻有竒而始厯雨水舊法所推十五日子正二刻者此也日度之節氣也定節氣者以三百六十為周天度而亦以二十四平分之因天立差每得一十五度為一節氣故從嵗前冬至起算考定太陽所躔宿次止須五十九日二十刻有竒而已滿六十度新法所推十三日卯初二刻零八分雨水者此也天度之節氣也何也太陽之行有盈有縮日日不等大扺冬至後行盈盈則其行疾一日行天一度有竒夏至後行縮縮則其行遲一日所行不及一度此非用法加減之必不合天顧可拘泥氣䇿以平分嵗實乎請以春秋分證之舊法推本年二月十六日已正四刻春分新法則推十四日卯正二刻零五分而舊法亦於本月十四日下註晝五十刻夜五十刻矣舊法又推本年八月二十三日丑初三刻秋分新法則推二十五日丑初初刻十分而舊法隨於本月二十五日下註晝五十刻夜五十刻矣顧名思義分者黄赤二道相交之㸃太陽行至此㸃晝夜之時刻各等過此則分内外而晝夜遂有長短也乃晝夜平分在二月十四日與八月二十五日而春秋分顧推十六日與二十三日乎請又以儀器驗之京師北極髙三十九度五十五分赤道應高五十度零五分試用儀器於本節前後日午正累測必至二月十四日八月二十五日太陽高度始與此數密合至十六日與二十三日而太陽各高一度弱矣此經輔臣徐光啟與臣先後督率監局官生考驗多年而預信其有必然者矣故知春秋分則知各節氣知各節氣則知雨水臣前疏所謂冬夏二至止差時刻餘則有差至一日二日者而條議中一欵謂平節氣非天上真節氣政指是也再照本年七月日食有京師見多他處見少者有同一見少而各省直分數不等者亦有全不見食者假令以京師見食之數槩天下以救䕶必且駭耳目而亂聽聞朝廷敬授欽若之謂何而可若此乎伏乞勑下該部行令兩局備將各省直見食分數時刻上聞仍附大統後通行天下以備遣官驗報未必非治厯之一徴也敢因奏明雨水而併及之恭候聖明裁奪施行計開節氣圖説各一幅崇禎九年二月初六日具題初八日奉聖㫖奏内稱論節氣有日度天度之異即以春秋分為証着該部擇曉厯司官同監局各官細心講求確覈具奏其七月日食各省直所見分數時刻併着詳開進覽以備測驗禮部尚書加俸一級兼翰林院學士臣黄士俊等謹題為書器告成叙錄宜加謹照原題查叙在事諸臣以示激勸事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出督修厯法山東布政使司右叅政李天經題前事内稱知厯生員鄔明著訪舉儒士陳于階貫通象緯精究理度繕製已有成效推測可任方來所當照纂修辦事例優叙又知厯生員程廷瑞孫嗣烈孟履吉監生李次虨訪舉儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲原任五官保章今降天文生朱國壽或翻繹著勞或繕冩効力晝夜之測騐靡寜而寒暑之修輯可紀所當照纂修効勞例並叙又稱厯局生儒辦事已閲五年兩載未霑半菽總縁户工事例已停伏乞皇上念此成勞将生員鄔明著程廷瑞等各量加以欽天益職銜使與學習諸臣研究推測共維新法於不墮等因崇禎七年十二月十二日奉聖㫖禮部酌議具奏欽此又該叅政李天經題為遵奉明㫖敬申旁通事宜以便翻繹製造事内稱在局知厯生儒等臣曾請以量加職銜少酬前勞業蒙皇上下部酌議具奏但得速為叙録臣亦可藉手責成等因崇禎八年五月初一日奉聖㫖據奏旁通十事亦屬利用要務知道了生儒量加職銜該部遵㫖議奏欽此查得崇禎六年十月内原任太子太保禮部尚書兼文淵閣大學士徐光啟有治厯已有成摹一疏内稱知厯生員鄔明著訪舉儒士陳于階思精推測巧擅繪製書噐方籍前勞講解正需後效知厯生員程廷瑞孫嗣烈孟履吉監生李次虨訪舉儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲等同心績學殫術承天而天文生朱國壽勤學可嘉俟學習完日另叙等因通抄到部送司行據修厯叅政李天經手本回稱案查本局生儒叙録一節業經大學士徐光啟與本司先後兩疏分别上請儼然等第其中且本司再三斟酌有減無增安敢冐開知厯生員鄔明著儒士陳于階應如原題照纂修辦事例優叙生員程廷瑞孫嗣烈孟履吉監生李次虨儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲原五官保章今降天文生朱國壽應如原題照纂修効勞例並叙内陳于階八年四月内差往廣浙搬取旁通書籍中途抱病暫回原籍調理然勞次具在非空𨽻名者比實無碍於叙録也惟孫嗣烈呈稱見係順天府學附生有志進取不願受職合無於學政中量示優異等因前來八年六月内正在遵㫖議叙間有武英殿中書房辦事今厯局効勞儒士蔡孚一赴司屢投稟帖求叙隨查天經題叙二疏並未列名豈敢溷入八年六月十二日忽呈為簡舉欺君蔑㫖指官嚼民豪奸大弊事隨經本部将蔡孚一據實題叅于崇禎八年六月十八日奉聖㫖蔡孚一鄔明著等着刑部題質從公據實具奏欽此今正月二十二日又據厯局訪舉知厯生儒鄔明著程廷瑞等呈為覆盆之寃已雪加銜之㫖宜遵懇簡成疏開恩上請蚤沾聖德以光大典事内稱著等叙録兩奉諭㫖突遭梟惡蔡孚一求叙不得誣衊無端以致題叅法司株連對質七閲月矣孚一正法擬徒已經回奏奉㫖呈乞速賜題叙得沾升斗等情又准刑部河南清吏司手本内稱看得鄔明著等十人之應題職銜非驟起也効勞日久前輔臣徐光啟已列名上聞今日孚一寜得增入增入之不得而妄噬無辜以含沙之術為逆取功名之計孚一不亦愚而拙於計哉三尺具在寜容假借既至屢經對質孟履吉三百兩之賄絶無影響李次虨陳于階千金之賍俱屬烏有即孚一俛首無辭惟云新進無知並不曉十人為舊輔之原叙盖欲借汚衊一著為要求叙録之地耳總之其變幻閃爍皆市井無賴之情態而監督李天經一疏尤稱詳盡也夫監局何地治厯明時何典而可容此匪類恭於其間哉所應照誣告人賍私律擬徒以懲仍當亟為革斥以清局署者也隨審鄔明著孟履吉楊之華各發落肄業等因崇禎九年正月二十日奉欽依依擬欽此備行到司案呈到部看得厯局供事生員鄔明著供事六載勤敏可嘉合無量授欽天監正九品五官司厯職銜生員程廷瑞孟履吉監生李次虨儒士楊之華祝懋元張宷臣黄宏憲天文生朱國壽等晝夜推測七政躔度書冩進呈御覽勞績久著以上八名合無量授欽天監從九品漏刻博士職䘖其儒士陳于階既以差往廣浙搬取旁通書籍中途患病回籍合俟進京之日另行再叙生員孫嗣烈呈稱見係順天府學附生有志進取不願受職合行學院奬勵庶厯局生儒知所鼓舞而治厯大典亦早藉以告成矣相應題請恭候命下移咨吏部銓覆施行縁係云云事理未敢擅便謹題請㫖崇禎九年二月十九日具題二十二日奉聖㫖是鄔明著及程廷瑞等八名准各授職䘖督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為遵㫖奏明事崇禎八年十二月二十六日准禮部照㑹内開該本部恭報乙亥七政行度測驗縁由等事奉聖㫖這新法星度李天經如何不知會該部遴委司官公同測驗昨疏又稱該司官不任曉厯是何不侔還著奏明其丙子年七政行度着先送部臨期知㑹測驗以憑覈奏欽此欽遵除丙子年七政行度已經繕冩送部仍臨期知㑹測驗外案查崇禎八年四月初四日該臣厯法告成恭進乙亥丙子七政行度一疏奉聖㫖這推乙亥丙子七政行度併叅訂條議着該部遴委曉厯司官同監局各官生儒隨時測驗果否差合覈議奏奪該部知道欽此隨該臣向署部事侍郎陳子壯諄諄以委官測驗為請而子壯語臣云皇上留意象緯恭繹曉厯二字須當慎擇其人未便草率迨今禮臣黄士俊受事而臣亦每以為言乃其慎重之意亦如子壯維時臣知兩臣皆以皇上之心為心凡所斟酌詳審者意得一當以仰副聖懐臣如是不敢强矣但奉有隨時測驗之明㫖又不敢因是少懈遂訂該監堂屬各官在局公同測驗此四月以來不知㑹之縁故也未幾臣又向署事主事李焻言之以祠司無别官測驗之責似不容以他委乃焻則謙讓未遑之意情見乎詞臣又曷能强之尋又𫝊語臣云曉厯一官必須具題請㫖祠司不得當於四司中求之四司不得當于各部中求之言猶在耳至五月二十五日移取七政行度復謂曉厯司官具題簡委與前傳語臣者合此後不聞祠司别有所示也臣如是以遴委之權聽之該部以考驗之責歸之該監雖諸臣之與臣同測者無不服其密合而臣心終以不得部委為歉也故昨申呈中有曉厯司官職實望為同心之助迄今杳不可得等語正此意也此八九月以來不知㑹之縁故也向使部臣不如是其難其慎司臣不如是遜志未遑則臣與該監諸臣期㑹于霜露之餘征逐于星月之下者已不啻六七次矣獨何樂而不為該部告也是則臣區區不獲已之苦𠂻也伏乞皇上矜察勅下該部專委司官一員公同該監堂屬各官将丙子年星度與臣一一考驗奏聞庶真法不致格于情勢而贋鼎亦可無容濫收則所闗于治厯明時不小矣崇禎九年二月二十四日具題二十七日奉聖㫖厯學原有專門該部還訪有曉厯的以便公同測驗督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為月食事竊照崇禎九年七月十六日戊午夜望月食其食限分秒時刻併起復方位例應先期上聞除大統回回二厯俟欽天監具題外所有本局月食臣等用逺臣新法推歩纔食一分餘與舊法推食三分有竒者不同謹将諸數逐一開坐併具圖象進呈御覽伏乞勑下該部至期令監督等官併臣監局各官公同測驗奏聞仍令應天湖廣二處撫按併前日食一體驗報施行計開崇禎九年七月十六日戊午夜望月食分秒時刻并起復方位月食一分二十九秒初虧亥正二刻零四十分 東南食甚子初一刻零一十三分 正南復圓子初三刻零八十六分 西南計食限内凡五刻四十六分食甚月離黄道元枵宫二十三度五十九分為虚宿五度三十八分離赤道虚宿八度一十○分食甚月離緯度距黄道北五十六分三十八秒在地平上高三十四度各省直食甚時刻南京應天府福建福州府子初一刻零六十六分湖廣武昌府河南開封府子初初刻零一十三分浙江杭州府子初二刻零一十三分山東濟南府子初一刻零四十分江西南昌府子初初刻零四十六分廣東廣州府亥正三刻零八十分山西太原府亥正三刻零五十三分陜西西安府廣西桂林府亥正二刻零八十六分四川成都府亥正一刻零六十六分雲南雲南府亥正初刻零六十分貴州貴陽府亥正二刻零一十三分右應天府初虧亥正二刻零六十六分復圓子正初刻零一十二分湖廣初虧亥正一刻零四十分復圓子初二刻零八十六分相應詳開以備測騐崇禎九年二月二十六日具題二十九日奉聖㫖已有㫖了禮部知道督修厯法山東布政使司右恭政臣李天經謹題為遵㫖回奏仰乞聖鍳事崇禎九年三月初五日准禮部照㑹内開該本部奏前事等因奉聖㫖據稱各管俱有分屬地方豈無占驗又冬至葭管飛灰載在冊籍何云專取立春還着同李天經魏文魁再加詳考講求明白具奏欽此欽遵照會到臣該臣看得臣所職掌乃推歩日月交食測算五星凌犯是皆有理可據有數可憑者耳即旁通首欵曾言事應亦苐謂其考求七政性情約略預知初未嘗敢以𤨏屑不經之事牽合傅㑹今該監候氣一法其散見于經典者悉後儒引以註疏律呂者也故史記以前言律厯者未之或及至後漢志則云律可相傳惟有候氣始紀其法而謂氣所動者其灰散人及風所動者其灰聚盖按辰以候每月之中氣以定十二律之應與否也漢臣馬防云聖人作樂所以宣氣致和故於嵗首𤼵太簇之律然古謂律首黄鐘其位在子而宋儒朱子一主其説云冬至氣至黄鍾之管灰飛大寒以下隨月應焉是知候非止于一月明㫖所謂何云專取立春盖已洞其底裏矣臣厯考前代魏時杜䕫製律候氣灰悉不飛隋開皇間毛爽等依古法候氣有節至即應有終月不應之異而牛宏創為衰氣和氣猛氣之説一經隋帝所駁遂無復置對宋景祐間李照請下河内取葭莩製玉律候氣以定樂率不能合惟北齊信都芳能以管灰候氣每月應律不爽時刻而先臣邢雲路謂其用機鼓動致然且自古相傳有謂當以紗縠蒙管端者有謂葭灰升降有毫忽者有謂灰用懐州河内縣竹用宜陽金門山者鄭康成有玉管銅管之别熊安有大動小動之徴其説互有異同法亦不能盡騐然皆止於候氣已耳至若主何占騐作何徴應臣於史冊未覩惟按大明㑹典一欵内云凡每嵗立春前期五日本監面奏差官二員往順天府候氣至日回監具呈依書占奏則是明有一書存貯本監以待占奏乃該監主占官徐源直日官章必選俱稱玩占一書未經登載何敢臆説若然則㑹典所載依書占奏者豈無所據而云然該監所藏又豈止玩占一書而已耶盖書為該監所收掌占則靈臺之本業而乃茫無以對其於職掌何居耶臣謹詳史冊所載之大略若此如詡詡然謬為不經之説以炫視聽則斷斷非臣所敢出也統祈聖明裁奪施行崇禎九年三月十七日具題二十日奉聖㫖奏内依書占奏載在㑹典該監所貯是否止玩占一書還着詳查具奏禮部知道禮部題為測騐月食事祠祭清吏司案呈案查崇禎九年正月十五日曉望月食先該本部差委主客司員外郭之竒祠祭司主事李焻公同督修厯法叅政李天經布衣魏文魁欽天監監正張守登隨委監官黄子賢劉有慶賈良琦及兩局生儒鄔明著林䕃世等是日在觀象臺公同測驗回奏月食縁因正月二十一日奉聖㫖據奏測騐月食分秒初虧食甚及月未入見復光新法為近但以十三日為雨水是何説還著奏明其魏文魁所推食甚時刻與靈台測騐相符還俟河南山西二處奏報至日再加考究以正厯法欽此欽遵除十三日為雨水縁由李天經自行奏明外案查先該督修厯法山東布政使司右恭政李天經手本開送厯局供事官陳應登差往山西知厯儒士黄宏憲差往河南仍同欽天監春官正潘國祥天文生朱光大擕帶測噐以往隨該本部具題將陳應登朱光大差往山西潘國祥黄宏憲差往河南公同測驗縁因崇禎八年十二月十二日奉聖㫖是欽此欽遵隨給咨文即令官生陳應登等四員名齎文分投山西河南測驗去後今三月初八日接准提督鴈門等闗兼廵撫山西地方都察院右僉都御史今降五級戴罪管事吴甡咨稱據山西布政使司呈准欽差厯局供事官陳應登等手本開稱職等奉㫖前來山西測驗自正月初六日抵省奉有公同撫按測驗然撫院在平陸堵勦流冦地之相去千有餘里測騐地方題定太原欲㑹撫院往回必須半月有悞在府測騐於是蒙本司遣役齎咨投院而職等在省連日測得北極高三十七度四十四分至本月十五日辛酉曉望蒙本司㑹率司道府㕔縣衛文武多官於十四日夜先詣本府鼓樓高闊處所安頓測量儀噐三更時星月尚明候至寅正二刻内山烟層叠雲霧彌漫星月被遮觀測不見自初虧以至復圓分秒時刻無從考驗此皆蒙本司同司道府㕔縣衛共目同見者也伏乞據實轉文撫按兩院請給咨文以凴回奏縁繇到司准此擬合呈報緣繇到院據此案查先據該司呈送禮部咨前事正值本院駐鎮河津於正月十五日曉望行救䕶禮時際天隂黑雲密布無由測騐該本院遵照部咨㑹同廵按余御史備行布按二司公同道府衛縣文武各官㑹同該監官生陳應登等細加測騐從實呈報去後今據藩司呈詳前來擬合咨覆同日又准廵撫河南等處地方提督軍務都察院右副都御史陳必謙咨稱據河南布政使司呈蒙本院憲牌准禮部咨前事等因蒙此本司於正月十五日辛酉曉蒙廵按河南監察金御史率屬親詣西南城角樓高濶處所安頓測星儀噐先以星晷測至句陳帝星視垂針所指寅正四刻内果見初虧又用象限儀測得角宿南星西高三十七度二十七分依法推算得在寅正四刻内五十六分候至卯正一刻内瞻見食甚仍測得河鼓中星東高四十度弱算得在卯正一刻内一十三分見食三分有竒其復圓時刻因復光未幾旋入地平而太陽東出無從考騐則自初虧以至食甚分秒時刻起復方位一一皆與新法脗合此城頭萬目所共覩者准此擬合轉報等因到院㑹同廵按金御史擬合回覆各等因到部送司通查案呈到部看得本年正月十五日月食除京師交食分數已經奏報今據山西既稱時值隂雲無從測驗又據河南所報自初虧以至食甚分秒時刻起復方位一一皆與新法脗合從此再加虚心考究而厯法漸次可有成績矣既經二處撫臣咨覆前來相應據實回奏為此具本謹具題知崇禎九年三月二十二日具題奉聖㫖知道了督修厯法山東布政使司右恭政臣李天經謹題為星度方位昭然推算踈密立辨恭懇聖明親垂睿覽以破游移以襄大典事先該禮部回奏臣局測驗一疏奉聖㫖新法成法雖有不同星度伏見仰觀可據徐源等既稱指示多合又云不敢扶同殊屬游移該部還遵㫖遴委司官同監局各官生隨時測騐仍取凖交食以期脗合欽此臣恭繹綸音不勝感戴以為我皇上如此其慎密斯典而源等猶敢如此其淆亂含糊而不以實覆也總之若輩牢不可破之成心惟欲承舛襲訛嫉修改為多事止知䕶短固位忌測驗為摘發遂不難支離巧飾其辭如此耳獨不思測驗一事屢奉明㫖命臣率領監局官儒詳加考驗則相與㑹同之際孰疎孰密臣自不能以一手掩其目一人箝其口然于入告之時合與不合監官自當據共見之確情絶浮游之囈語豈非虚公叅訂而忠於簡畀之職分哉今該監與臣屢測皆合即此曹豈無虚心嘆服者乃源等敢於回奏之日故為游移是臣雖與之時時測而事事合則彼輩仍不難于面是背非欲其出一真實之語不可得也則亦何取于若而人之追隨仰觀哉兹該監之情形既若此而曉厯之訪求又未驟得臣於此時復何望哉惟有仰望之我皇上而已目今火星躔度據大統算從三月二十七日起至五月初八日止夕退遲留嘗在軫宿十六十七等度内而臣等用新法推步此等日時火星嘗在角宿二三等度内逆行不入軫宿見有本局進呈七政可查是則二法所推三十九日之中恒差二三度不等且舊法謂在軫宿則當恒在角宿大星西新法推在角宿則當恒在角宿大星東彰明較著莫此為甚誠如皇上明㫖所謂星度伏見仰觀可據者也敢懇聖明於萬幾之暇每於戌時不需儀噐窺筩一仰觀間自可瞭若指掌臣非敢冐昧以此𤨏事上凟聖聰竊念與其屢測屢覆而屢費聖心不若以乾象之昭著者一質於君父之前則新舊二法疎密了然從前所測皆可類推匪惟可以折該監沿習之故智而亦可以杜旁撓憎兹之多口則由此漸底于成績而厯法亦可藉手告襄矣崇禎九年四月初六日具題初十日奉聖㫖這推算火星躔度知道了還著禮部遴委司官同監局各官生公同驗明具奏吏部題為書噐告成錄叙宜加謹照原題查叙在事諸臣以示激勸事文選清吏司案呈崇禎九年三月初三日准禮部咨開該本部題前事内開看得厯局供事生員鄔明著供事六載勤敏可嘉合無量授欽天監正九品五官司厯職銜生員程廷瑞孟履吉監生李次虨儒士楊之華祝懋元張寀臣黄宏憲天文生朱國壽等晝夜推測七政躔度書寫進呈御覽勞績久著及程廷瑞等八名合無量授欽天監從九品漏刻博士職銜等因奉聖㫖是鄔明著及程廷瑞等八名准各授職銜欽此欽遵備咨到部送司候覆在案續據督修厯法山東布政使司右恭政李天經呈稱生員程廷瑞陡於三月初二日物故不敢開叙外以上八名相應照覆案呈到部看到前項任事各生儒既經該部題奉欽依咨送前來又經該司查呈相應覆請恭候命下臣部行令該衙門一體欽遵照舊供事施行縁係書噐告成録叙宜加謹照原題查叙在事諸臣以示激勸事理未敢擅便謹題請㫖崇禎九年四月初八日具題十一日奉㫖是督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為欽奉明㫖恭進旁通書噐事先該臣崇禎八年四月二十七日敬申旁通事宜一疏奉聖㫖據奏旁通拾事亦屬利用要務知道了生儒量加職銜該部遵㫖議奏欽此欽遵臣一面督率辦事各官晝夜在局推測一面督率兩逺臣將旁通諸務逐一講求稍有次第可舉但其中有政在翻譯尚未脫藁者有翻譯已竟猶未繕冩謄真者亦有鳩工將及其半庀材苦於無資者年來併力已完得渾儀書四卷計一套渾天儀一具星球一具此依逺臣湯若望法用以考求七政性情之始基而占法猶俟再加推衍者也是第一欵中之一端也又完得運重一具附有圖説此依逺臣羅雅谷法用以升高致逺或挽木石或利糧艘力省功多而大有裨于興作河渠者也又第七欵中之一端也至若日月星牙晷一具體質狹小便於移置仰備皇上不時清玩而製之則逺臣湯若望也謹將已完書噐數種進呈御覽再照臣於崇禎七年十二月初三日具疏奏繳錢糧冊開除前輔臣徐光啟收過户禮工三部銀八百七十三兩五錢外前後復賠墊過銀七百六十二兩九錢一分奉有造過錢糧着該衙門覈銷之㫖似應照原題分𣲖户工二部如數覈補即以充旁通諸費仍有不足者事例已開容臣遵照題准明㫖陸續移取充用完日奏繳庶進呈諸噐不致久稽而旁通亦可刻期告竣矣統候聖裁縁係欽奉明㫖恭進旁通書噐事理未敢擅便謹題請㫖計開渾儀書四卷一套 運重圖說一冊渾天儀一具並盝 星球一具並盝牙晷二具各有盝 運重一具崇禎九年四月二十八日具題五月初二日奉聖㫖這所進書噐知道了其墊過銀兩着户工二部照數覈補如有不足另行奏奪該衙門知道督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為月食事該臣于崇禎九年二月二十六日將本局新法所推崇禎九年七月十六日戊午夜望月食分秒時刻起復方位開坐奏聞奉聖㫖已有㫖了禮部知道欽此又同日疏報崇禎九年七月初一日癸卯朔日食奉聖㫖這日食月食分秒時刻併起復方位至期着監督等官併監局各官公同測驗具奏其省直分數時刻行各該撫按選委曉厯官員詳加考驗奏報禮部知道欽此欽遵除前日食已經驗明奏聞外所有本月十六日夜臣督同逺臣羅雅谷湯若望司厯鄔明著博士孟履吉祝懋元黄宏憲朱國壽訪舉儒士陳士蘭朱廷樞等公同禮部劄委儀制司主事李青欽天監監正張守登及厯科靈臺等官齊赴觀象臺測驗又委博士李次虨張宷臣天文生朱光大等擕帶星晷赴中府測時滿擬此番月食各法大差政可藉此以定疎密而不意自十六日夜至十七日早隂雨淋漓從無開霽其見食分數時刻無凴測驗理合據實奏聞縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖崇禎九年七月十八日具題二十日奉聖㫖知道了督修厯法山東布政使司右叅政臣李天經謹題為日食事竊照崇禎十年正月初一日辛丑朔日食其食限分秒時刻併起復方位例應先期上聞除大統回回二厯已經欽天監具題外所有本局日食臣等用逺臣新法推歩謹将諸數逐一開坐併具圖象進呈御覽伏乞勑下該部至期令曉厯司官併臣監局各官如法測驗據實奏聞其各省直分秒時刻仍照例移行該撫按驗報統候聖裁縁係日食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎十年正月初一日辛丑朔日食分秒時刻併起復方位京師見食一分一十秒初虧午正二刻零五十六分 西南食甚未初一刻零八十三分 正南復圓未正初刻零六十二分 東南計食限内凡六刻零六分食甚日躔黄道女宿初度一十分 依赤道為女宿二度一十六分南京應天府見食一分二十二秒初虧午正初刻零八十三分食甚未初二刻零七十六分復圓申初初刻零四十二分山東濟南府見食二分三十三秒初虧午正二刻零七十六分食甚未初二刻零五十六分復圓未正二刻零七分山西太原府不見食河南開封府見食一分四十八秒初虧午正初刻零五十五分食甚未初初刻零五十六分復圓未正初刻零二十一分湖廣武昌府見食一分八十九秒初虧午初三刻零三十五分食甚未初初刻零六十九分復圓未正一刻零六十九分陜西西安府見食二十五秒與不見食等浙江杭州府見食四分四十秒初虧午正二刻零七分食甚未正初刻零三分復圓申初一刻零六十九分福建福州府見食四分一十二秒初虧午正初刻零六十二分食甚未初二刻零六十九分復圓申初初刻零三十五分江西南昌府見食二分二十七秒初虧午初三刻零四十二分食甚未初初刻零八十三分復圓未正一刻零九十分廣東廣州府見食三分九十三秒初虧午正初刻零六十九分食甚未初一刻零六十九分復圓未正二刻零三十五分廣西桂林府見食一分八十九秒初虧午初一刻零四十九分食甚午正二刻零七分復圓未初二刻零四十二分四川成都府見食九十二秒初虧午初一刻零六十九分食甚午正一刻零二十一分復圓未初初刻零五十五分貴州貴陽府見食九十五秒初虧已正三刻零七十六分食甚午初一刻零八十三分復圓午正三刻零二分雲南雲南府見食一十六秒與不見食等朝鮮城都見食三分八十六秒初虧未初初刻零九十分食甚未正二刻零二分復圓申初二刻零八十三分崇禎九年九月十六日具題十八日奉聖㫖禮部知道太子少保禮部尚書兼翰林院學士臣姜逢元等謹題為遵㫖奏明節氣事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出督修厯法山東布政使司右叅政李天經題前事等具崇禎九年二月初八日奉聖㫖奏内稱論節氣有日度天度之異即以春秋分為證着該部擇曉厯司官同監局各官細心講求確覈具奏其七月日食各省直所見分數時刻併着詳開進覽以備測驗欽此欽遵抄出到部送司除七月日食各省直所見分數時刻已經叅政李天經詳報御覽備驗外所有本年春秋二分節氣隨經呈堂遴委司官届期前去公同監局官生測驗去後今准修厯叅政李天經手本開稱春分届期本司督同逺臣羅雅谷湯若望評事王應遴及在局官生公同禮部所委司務徐肇律欽天監監副周𦙍夏官正左允化保章正賈良琦靈臺徐源章必傳博士朱光顯等於二月十四日午正用象限儀測得太陽高五十度零八分十五日測得太陽高五十度三十三分十六日測得太陽高五十度五十七分迨至秋分之日本司復督同逺臣羅雅谷湯若望及在局各官鄔明著等㑹同祠祭司郎中胡敬辰欽天監監正張守登春官正潘國祥秋官正劉有慶夏官正左允化保章正賈良琦靈臺徐源博士朱光顯等于八月二十三日午正亦用象限儀測得太陽高五十度三十八分强二十四日測得太陽高五十度十五分二十五日測得太陽高四十九度五十二分先是本司㑹集多官於堂及復商之曰春秋分者乃黄赤二道相交之㸃太陽行至此間平分天中晝夜之時刻各等過此則為内外夫自南往北者高度漸多於赤道高度自北往南者高度漸少於赤道高度如京師北極出地三十九度五十五分則赤道應高五十度零五分以春分論惟二月十四日太陽高度始與此數合其本日午正測得五十度零八分依法加地半徑差二分較赤道多五分者盖原推春分卯正二刻零五分至是日午正已過春分為二十一刻零五分矣是時太陽每日緯行二十四分弱時越二十一刻零五分則緯行應加五分强所謂自南往北高度漸多是也至十五日并地半徑差已多至三十分况十六日乎以秋分論亦惟八月二十五日始與此數合其本日午正測得太陽高四十九度五十二分依法加地半徑差二分較赤道少十一分者盖原推秋分丑初初刻零十分至是日午正已過秋分為四十三刻零五分矣是時太陽亦每日緯行二十四分弱時越四十三刻零五分則緯行應減一十一分所謂自北往南高度漸少是也至二十四日并地半經尚多一十二分况二十三日乎又復将前所進節氣圖示之曰内圏分三百六十五度四分度之一者此日度也外圏分三百六十度者此天度也舊法計日定率每得十五日二千一百八十四分有竒為一節氣而新法止取天度十五度焉故自冬至起算越九十一日三十一刻零六分而始厯春分者日度為之限也乃天度則已踰限二度餘矣又越二百七十三日九十三刻一十九分而即交秋分者亦日度為之限也乃天度所不及者尚有二度是以春分舊法每後天二日而秋分舊法每先天二日也此當日測驗講求之情形如此即該監堂屬各官初不聞别拈一語相商亦不聞復出一語相駁諒亦輸服於理與數之確有証據而自知其不得不然者等因通查案呈到部看得節氣之凖以春秋二分為程而二分之驗以黄赤二道所交為則盖惟宵中星虚之辰日夕行乎同道而四陰二陽之月晝夜於此平分過此則有内外之殊高下之辨矣然大抵由南而北者高度漸多於赤道度由北而南者高度漸寡於赤道度兩言盡之廼為之訂正其嵗差釐考其襲舛總之新法獨遵天度者近是而合之緯行之强弱黄赤道之逺近氣候之遲速太陽之行留無不燦若列眉而洞如觀火矣故夫以迹揆之若新法更精祥於舊而於理核之即日度自合符於天今據李天經以噐窮象廣衆集思細心講研按圖測驗因以圭表窺日歩之高限儀稽三日之序而謹候之所恭合其所稱天度於春分已踰二度於秋分不及二度者自確乎其不可易矣宜有以帖挈壺之心而息保章之訟也既經覈議占驗前來相應奏聞伏乞皇上勅令本官秋分中氣瞻測既已畢呈此後歩推節候須求印證俟臣部曉厯司官畢拱辰到任之後公同詳加測算務期悉合天儀不忒時叙以仰副聖明授時欽若之至意則崇天萬年之寶厯自齊政於平衡而協用五紀之神思必成化於觀象矣為此具本謹具奏聞督修厯法山東布政使司右恭政臣李天經謹題為恭進丁丑七政經緯諸厯仰祈聖鑒併勅曉厯司官騐明戊寅厯様以便奏請頒行事竊照崇禎十年丁丑嵗臣依逺臣羅雅谷湯若望新法督令在局司厯鄔明著博士孟履吉李次虨楊之華祝懋元張寀臣黄宏憲朱國壽生儒朱光大陳士蘭等推算得七政經緯各一冊裝潢成帙進呈御覽其崇禎十一年戊寅諸厯例應次年二月初一日進様四月初一日通行天下刋刻伏乞勅下該部曉厯司官畢拱辰與臣等一面測驗一面將戊寅年七政經緯再加詳覈推歩成厯恭請聖㫖頒行以成昭代大典盖臣非敢以不確不覈之説上熒天聽也先該臣於崇禎八年四月初四日恭進乙亥丙子七政經緯行度併恭訂條議二十六則奉有該部遴委曉厯司官同監局各官生儒隨時測驗果否差合覈議奏奪之㫖臣即公同部監諸臣細將所報七政行度逐一考驗迄今兩載所測無不密合此非臣之臆説也即該部奏明節氣一疏亦亟稱其新法之用天度自確乎其不可易宜有以帖挈壺之心而息保章之訟雖該監素善游移者據其回奏測驗一疏一則謂其大統法久漸疎自然之理一則謂其測驗俱與新法相合而新法用緯度推算更為詳密尚須口授心印等語是明以臣等之法為善而和盤托出必欲盡得其傳之為快向使立法稍有未當則疇人子弟恨不力詆其瑕安肯以相傳之世業而反奉他人為主盟乎總之法取合天事久論定考騐至此情面不得不破舊法不得不更即守敬諸人而在恐亦不能膠已成之見而舍徴信之從也然臣所職掌止此有數可求有理可論者耳至若神煞之宜忌干支之生尅上厯所註三十事民厯所註三十二事復加刪改是在部監諸臣恭酌非臣等所得與聞也再照臣於崇禎九年五月初六日准内靈臺王魁等送到五月初五日奉上傳着臣局製造星球臣當移文工部闗領應用錢糧於六月二十九日止領過銀二百兩臣已督率在局各官星夜儧造統俟完日進覽伏候聖裁崇禎九年十一月十五日具題十八日奉聖㫖知道了其十一年諸厯併著畢拱辰公同詳覈星球著儧造進覽禮部知道新法算書卷五
## 卷六
欽定四庫全書
新法算書卷六 明 徐光啟等 撰緣起六太子少保禮部尚書兼翰林院學士臣姜逢元題為遵㫖酌議叅請聖裁事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出兵部左侍郎加從二品服俸暫署部事王業浩等題覆崇禎九年十一月初二日奉有羅雅谷湯若望禮部酌議之㫖欽此欽遵抄出到部送司奉此查得戎政衙門疏薦羅雅谷湯若望等又前領發神噐奉有羅雅谷湯若望等着隨營指授有功從優叙賚之㫖迨城守有功一體列名叙録内稱羅雅谷湯若望心逰方外制入彀中既無服官之榮思宜從以成髙尚或查贍養之原疏酌給以示懐柔及兵部題覆奉㫖着臣部酌議案查崇禎六年十月内該太子太保禮部尚書兼文淵閣大學士徐光啟治厯已有成摹一疏内開羅雅谷湯若望等譔譯書表製造儀噐測算交食躔度講教監局官生數年來嘔心瀝血幾於頴秃唇焦功應首叙但逺臣輩守素學道不願官職勞無可酬惟有量給田房以為安身贍養之資不惟後學攸資而異域歸忠亦可假此為勸等因奉聖㫖禮部知道欽此又崇禎七年十二月十二日該督修厯法山東布政使司右恭政李天經題書噐告成叙録宜加一疏内開羅雅谷湯若望等譯書譔表殫其夙學製儀繕噐攄以心法可謂勞苦功高矣當如原題查給田房等因奉聖㫖禮部酌議具奏欽此崇禎八年八月二十日又該天經題恭懇聖恩破格柔逺一疏稱其修厯一役仰邀皇上不次之典已非一端如臣以一介外吏而業照京官例闗領俸薪矣在局生儒鄔明著等所請職銜蒙准下部議覆似亦得叨升斗矣但臣等所翻譯成書推測合度實叅西法而即兩逺臣之法也臣等猥蒙異數而逺臣輩殫其所學拮据六載厯務甫竣繼以旁通乃戮力盡瘁以願効忠於本朝者顧使之肄業無所恒産無資非所以廣聖恩風逺人也縱大官稍有所給乃月僅兩餘未供饔飡而萬里孤踪仕進弗甘生産又絶何以為勞臣勸乎則一㕓之受數椽之棲諒非浩蕩之所靳也等因奉聖㫖該部覈議具覆欽此欽遵前因通查案呈到部看得兵部題叙領發神噐逺臣羅雅谷湯若望奉㫖酌議一節為照修厯逺臣羅雅谷湯若望學究天人思精理數推測不遺餘力考驗具有明徴且撰書製噐不一而足勞苦功多故輔臣徐光啟已經首叙疏開兩臣守素學道不願官職勞無可酬惟有量給田房以為贍養之資即厯臣李天經亦如前請近縁城守叙勞復有或查贍養之原題案查兩臣九萬里來賔七載於兹矣饔飱未繼大官之養日止共領下程銀三分米四合似亦不堪清苦故諸臣以贍養之資再三控請且修厯生儒同叙者已邀一命城守諸臣共事者亦各膺秩級在兩臣固無服官之榮想然既奉有有功從優叙賚之明㫖相應如諸臣前請将羅雅谷湯若望各量給房一所田數頃以資安養俾得於厯事完日仍畢力旁通仰佐國家欽若要務是亦勸功柔逺之一道然非臣部所敢擅擬也既經兵部具題前來相應議覆恭候命下臣部劄行順天府查給田房資其朝夕伏乞聖明裁度施行崇禎九年十二月十八日具題二十一日奉聖㫖羅雅谷等修厯演器著有勤勞自當從優叙賚這量給房田果否妥便還著確議具奏督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為日食各法不一虧復分秒可騐乞勅靈臺如法安置儀器以便臨期證定踈密事竊照崇禎十年正月初一日辛丑朔日食本局分秒時刻已經上聞但臣等所推京師見食一分一十秒而大統則推一分六十三秒回回推三分七十秒蔣所樂及邊大順等推得止有㳺氣侵光三十餘秒似此各法參差倘不詳加考驗踈密何分但臨期日光閃爍止凴目力眩耀不真或用水盆亦蕩搖難定惟有臣前所進窺逺鏡用以映照尺素之上自初虧至復圓所見分數界限真確畫然不爽隨於虧復之際驗以地平日晷時刻自定其法以逺鏡與日光正對將圓紙殻中開圓孔安於鏡尾以掩其光復將别紙界一圓圏大小任意内分十分置對鏡下其距鏡逺近以光滿圏界為度將虧時務移所界分數就之而邊際了了分明矣但在天之正南實為紙上之正北方向乃相反焉伏乞勅下内靈臺臨期如法安置恭請皇上省覽各法疎密自見其於考驗不無少有俾益矣崇禎九年十二月十九日具題二十二日奉聖㫖知道了着臨期如法安置考騐該衙門知道欽天監監正張守登等謹奏為遵㫖據實回奏仰乞聖監事先該禮部題為遵㫖測騐星度據實奏報事奉聖㫖知道了其推測異同疎合縁由還着該監明白具奏欽此抄出到部行令臣監明白具奏臣等欽遵即行該科詳叩推測縁由據天文科五官靈臺郎徐源章必選呈稱臣等於本年四月初十日恭奉明㫖隨同部監前至厯局用黄赤經緯儀測得火星在角宿一度内先是二月初三日昏刻公同禮部司務張𦙍佳偕監局官生測得水星夕見西方司務張𦙍佳未敢遽信復訂初四日再測與前脗合此新法當日公同推測之原也又據厯科春官正等官潘國祥等呈稱臣等於本年四月初十日恭奉明㫖前至厯局公同測驗火水二星俱與新法相合其推算異同之故縁立法各有所依伏查臣等遵依大統厯法家傳世習不敢妄行增損按法推算乃用黄道距度而新法用黄道緯度則是緯度推算較距度更為詳密此用法疎合之故也臣等識短才庸不能臆揣尚須口授心印經手推算再行測候酌為定式方敢遵守於將來等因到監該臣㸔得推測各有所司按法不無新舊臣監推算各官世守其業所遵者大統舊法也法久漸疎自然之理非敢諉託良以智不及前人恐失愈逺是以有異同疎合之分恭逢皇上設局修改監官方在講求尚未授法經手異日較正既確以仰副聖明敬勤之至意未必無小補矣既經各官具呈前來相應據實回奏仰祈聖明俯鑒奉聖㫖據奏測驗星度新法為密着督率監屬官加意考正以副敬慎授時至意該部知道崇禎九年太子少保禮部尚書兼翰林院學士臣姜逢元題為遵㫖酌議恭請聖裁事祠祭清吏司案查先該本部題覆兵部左侍郎加從二品服俸暫署部事王業浩題覆等事内開西洋逺臣羅雅谷湯若望奉㫖酌議等因崇禎九年十二月二十一日奉聖㫖羅雅谷等修厯演器著有勤勞自當從優叙賚這量給田房果否妥便還着確議具奏欽此欽遵抄出到部送司案呈到部看得逺臣羅雅谷湯若望等自應召修厯以來著述獨探理窟製造咸晰天行功次犁然誠有如聖明所謂修厯演器著有勤勞者也但查兩臣婚娶既絶無心仕進朝廷論功覈賞縱不可縻以好爵而受㕓為氓未必非彼所欲則量給田房以資朝夕是亦爵賞之外别示優異臣部再四斟酌似為妥便合無仍将羅雅谷湯若望等各給房一所田數頃俾其饔飱無匱用以酬前勞而勉後效端在是矣伏乞勅下臣部劄行順天府或查給入官田房或另設法措給施行縁係云云事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十年二月初二日具題初五日奉聖㫖是督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為遵㫖製噐告竣請乞聖裁以便恭進事案照崇禎九年五月初六日准内靈臺掌印王魁等送到本月初五日奉欽傳着新局造星球一座來進徑過要二尺大一切星象不可遺漏應用錢糧於工部支領欽此欽遵臣當移文該部闗領應用錢糧督令在局官儒星夜鳩工如法製造隨一面將故輔原進兩逺臣譯譔恒星經緯表二卷與臣所進御前屏式再加考測就中經緯度分務期合天稍有未妥者無妨更置之盖此係數百年來創舉臣何敢溺於舊聞偏執己見而不仰體皇上欽若之至意乎迨崇禎九年十一月内復奉有星球着儧造進覽之㫖臣敢不兢業從事畢力勉圖早竣厥事無奈球體廣濶工緻細密而製圓一法猶巧匠所難是以冶鑄鏤刻動經嵗月有非一人一手所能猝辦者今幸業已就緒旦晚進呈御覽伏乞勅下該衙門撥給人夫輿運仍乞指定安置何所以便擇吉恭進臣於此尤有請焉我皇上事事求真處處務實則此勒之金石登之大内者其欲傳信不欲傳疑也必矣乃等所列星座俱皆有噐可測有象可凴一一依經緯㸃定與舊圖原自不同如舊所載天廟稱其在張宿下十有四星所載噐府亦稱其在軫宿下三十二星等類今按之寔測㣲渺難窺匪噐可測臣何敢以漫無可測之星而輕圖之也又如團圓十三之天壘城今測之僅見其三團圓十三之軍市今測之亦僅見其五甚且人星本三也而舊繪以五天廐本三也而舊繪以十諸如此類難以枚舉臣又何敢依様葫蘆而狥此耳食之見乎且有昭然顯著之星舊圖原未盡載者兹且悉為測定增入但縁舊未有名今亦第以增等别之然而恭繹明綸一切星象不可遺漏臣等再四思維星球之製但取合天何嫌同異且從古及今天文各家代有更易何獨拘泥成説而疑於今日乎益以見我皇上大聖人之作用超出前代萬萬矣所有用過錢糧容臣另疏奏銷統候聖裁崇禎十年閏四月初一日具題初四日奉聖㫖是著於中正殿安餘知道了該衙門知道内官監啟奏奉聖㫖進西安門走元武門赴中正殿安製噐督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為遵㫖恭進儀噐事先該臣於崇禎九年五月初五日奉欽傳着臣局造星球一座來進臣當督率在局官儒星夜鳩工庀材如法造完隨於崇禎十年閏四月初一日題為遵㫖製噐告竣等事一疏本月初四日奉聖㫖是着於中正殿安餘知道了該衙門知道欽此欽遵行據欽天監擇於閏四月二十四日壬戌宜用辰時安置吉臣即移㑹内靈臺如期啟奏仍移行工部營繕清吏司㑹同内官監撥給人夫輿進臣謹於是日同兩逺臣督率各官儒恭詣中正殿相度方向如法安置臣竊以此星球也非同前者星日二晷僅取審定時刻未免借資星日固當置於殿陛之前兹球則列宿森羅一轉移之頃或晝或夜而一時之天象燦於目前自是御用重噐宜安置殿中庶便皇上之御覽亦免風日之剥蝕而不宜與二晷並列者也又謹将前所進渾天儀説摘其與本噐相闗者彚為一冊名曰星球用法按法運儀以求七政之經緯羣星之出沒於推歩占驗有大用焉外此尚有黄赤經緯全儀為用甚大需費無多容臣等如法製造恭進以與日星二晷並列東西庶測量諸噐盡置内廷而欽若大典我皇上手握璣衡非若前代徒托之空文者比也統候聖裁崇禎十年閏四月二十一日具題二十五日奉聖㫖知道了其黄赤經緯全儀着製造進覽該部知道欽天監監副周𦙍謹奏為聖主留神欽若㣲臣敬循職掌敢獻一得之愚以仰佐早襄厯法之明㫖事臣世叨國恩備員監末其職之所司惟知厯法一事獨念年逺數盈積久漸差自宜隨時修改無奈才識短淺成法是遵雖知有差不敢妄自損益延至我皇上龍飛之二年五月朔日食時刻稍差頒諭切責臣等措躬無地隨經具呈禮部恭請修改伏蒙諭允勅命故輔臣徐光啟督修叅用西法廣集衆長博訪知厯人等臣隨奉文送局令與訪舉諸臣一體講究立成諸表繕冩進呈此時因書籍未備新法意㫖尚未窺其籓籬祇見儀式精詳推測簡㨗復蒙輔臣徐光啟疏請傳習業奉有督教勸懲等事依議行之㫖臣即協同臣監厯官賈良棟等在局供事官鄔明著等天文生朱光大等專候學習嗣因臣監為遵㫖回奏一疏復奉有該局既有新法着行習學之㫖臣等敢不勉勵以期速成但縁督修厯法李天經本意以為厯法之失傳由於習其法而失其所以然之理必先講明其理方授其法是以年來止講完日躔月離兩法果為精密其五星交食猶為修証要着雖騐之伏見皆合臣等尚未經手自行推算若仍照前講究再假嵗月尚不能完何以仰副我皇上早襄厯法之㫖據臣愚見不若容臣公同督修厯法臣李天經率所屬官生先從逺臣羅雅谷湯若望學習其法使推算應手然後課其勤惰具疏上聞勤者量示優異惰者即為戒懲諸法學完之日即當申報禮部恭請頒行庶大典得以刻期早襄而皇上欽若至意可以仰副矣臣等職司厯法且因奉㫖習學固不敢溺於舊聞而偏執己見亦不敢遽以未達而妄意担承以負我皇上敬慎上天至意伏乞勅下該局遵奉速為盡法傳習報完令臣等推算合天頒布天下成千秋之曠典作一代之宏謨臣等曷勝慶幸奉聖㫖該部知道崇禎十年九月督修厯法山東按察使司照京官例正三品支俸臣李天經謹題為交食屆期測騐宜明伏乞聖明勅令各法同日報進臨期仍冀内廷親騐以一是非以定疎密事臣以一介外吏荷蒙皇上特簡欽給闗防命臣督修厯法事務其一切厯法事宜臣該得而直陳之一切言厯諸人臣該得而覆騐之但縁臣以孤孑之身膺兹千秋鉅任故操異議者遂分門角技借勢傾排無所不至窺其立意不但欲撓臣局已成之法併欲驅臣局任事之人而後可結彼欺誑之局以塞修完備考之責至於屢疏詆誣而臣寜以緘黙自守不屑與較者非惟自愛其鼎恃有聖明在上公論在人天象昭垂事久論定何屑與之角口舌哉且明知若輩於厯法實無所學終難結局故爾藉勢影射横行無忌冀人一有指摘遂加人以嫉忌之名而彼得巧缷其欺㒺之罪故臣自任事以來惟知埋首著述推測考騐以圖報稱前後共譯算過厯書一百四十餘卷製過新式儀噐十數種并恭進乙亥丙子丁丑叁年七政經緯凌犯諸新厯見在御前是臣局厯法已於乙亥年告成矣其頒行事宜惟俟聖明裁奪目今正在奉㫖製造黄赤經緯全儀并推譯有書數種可以刻期報竣其戊寅年七政經緯等新厯已在繕寫不日恭進昨又於本月二十日准内靈臺親送出本日傳奉聖㫖西洋逺臣進到星球有蛇鳥小斗等星有無占騐着靈臺官去問欽此除蛇鳥等星性情占騐已經移㑹靈臺官囘奏訖臣一面督同逺臣羅雅谷湯若望等細將各星有闗徴應者著為天文實用一書次第進覽以仰副我皇上精心象緯釐正欽若敬授德意所有本年十一十二等月陰陽兩食例應先期上聞第因另局之蔣所樂等借今嵗元旦日食薦邊大順率領其另局至期不騐而邊大順遂安分引退今又借夏至日景薦郭凝之率領其另局奉有郭凝之果否淹通厯學併着核騐奏奪之㫖續因部覆復奉有仍俟交食公同部司監局等官測騐據實奏奪之㫖恭繹明綸是欲於交食之際令各官公同以測騐凝之之法抑令凝之公同各官以為測騐之人乎凝之乃執公同兩字疏中每脱缷其推算之責自許以測騐之任矣此無論於核騐果否淹通之明㫖大不相侔且既為另局引薦之人安望有虚中無着之見是不任算固無以顯其所學而徒任測又何以服臣等之心耶且臣所惴惴懼者不但此也今嵗元旦日食另局謂於法實為不食臣局報食一分有竒至期臣法果騐百官救䕶衆目難掩且續奉有邊大順等所推日光㣲侵秒數測騐未符之㫖而所樂等尚妄奏為雲掩日體大道未明以滋欺溷而此畨交食臣又不得不為鰓鰓過慮焉伏乞聖明勅令另局門人并郭凝之將日月兩食各出已法與臣局同日報部一齊封進以防其依傍那移之弊臨期仍冀皇上將内庭日星二晷依法測騐以定疎密儻有不行推算而支吾推諉致覊測騐者即律以欺誑之罪庶大典不為羣議所淆而真法亦不為影射所撓矣縁係云云崇禎十年十月二十五日具題本月三十日奉聖㫖該部看議具奏督修厯法山東按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為遵㫖測騐日食敬陳完厯實着伏乞聖明勅令該監諸臣據實奏明以仰副早襄厯法之明㫖事該臣於本年十一月初四日具有恭報日月交食一疏本月十三日奉聖㫖這交食分秒虧復時刻臨期按晷考測知道了該部知道欽此欽遵除月食已經騐明回奏奉有這月食時刻新法為近分秒囘囘厯為近餘俱疎逺該部通看議具奏之㫖外臣於本月初一日督率逺臣羅雅谷湯若望大理寺副王應遴欽天監博士楊之華黄宏憲祝懋元張宷臣朱國壽孟履吉生儒朱廷樞王觀曉宋發王觀明陳正諫李昌本等隨帶臣局窺逺鏡等噐公同禮部祠祭清吏司主事鞏焴右監副周𦙍厯科靈臺等官徐源黄道化李之貴章必傳王煜張三才賈良棟周曉陳亮采吴邦㤗劉有慶戈舜年賈良琦朱光顯等天文生周士昌李景和張其淳周士泰朱光燦周士萃朱南星等及管理另局山西代州知州郭正中另局生儒蔣所樂林䕃世魏象乾楊國榮任選監官安崇吉章必選等齊赴觀象臺又委天文生朱光大擕帶逺鏡前赴禮部公同監官潘國祥薛永明左允化等測候臣等登臺之後主事鞏焴即向在事諸臣申明測騐大意云治厯係國家大典修改數載亦當結局諸人宜虚公紀騐運儀測候兩局及該監各用一人庶無偏倚之嫌且云測騐止凴於天象斷不敢欺君父以欺天下萬世復細閲諸儀詳詢測法臣等公騐簡儀外盤周分十二時每時分為八刻凡初正四刻之下并列初刻者因四刻已盡未及一刻故名為初刻及測至午初四刻之末即午正初刻據臺官徐源等報稱未幾而逺臣羅雅谷湯若望等用逺鏡炤看隨見初虧衆目共覩鞏主事執筆親紀是與臣局所推為合候至未初二刻半逺鏡映照見食六分有餘隨見食分秒退衆目皆同禮臣亦親筆書紀是與臣局時刻分秒俱合候至申初初刻衆報復圓隨亦親紀是與臣局所推申初一刻弱者又合然此畨日食各家所報俱各參差不一其中亦有甚相逺者而臣局今嵗日月三食俱合於衆論不一之日畫一於天庶幾仰副我皇上欽若之至意矣且臣局七政經緯諸厯已於乙亥年告成屢騐之伏見皆合惟俟測騐今嵗交食今交食前月十六夜月食既騐明嵗又無交食已蒙聖明乾斷疎密倘不於此請乞勅令改定維新則治厯大典終無結局之日即監局諸臣各法疎密本心自明第不肯明以入告者祇因崇禎二年五月朔日食不合初三日奉聖諭欽天監推算日食前後刻數俱不對天文重事這等錯悞卿等傳與他姑恕一次以後還要細心推算如再錯誤重治不饒且另局復因八年正月十五夜望月食奉有魏文魁所算初虧復圓俱謬着他自行囘奏之㫖隨於囘奏疏内自認一時失算又云丙子丁丑二年尚有六食或明騐不符甘蹈妄言之咎奉有魏文魁既認推算失誤姑俟再騐以定疎密之㫖今又屢測疎逺而諸臣未免以惶恐畏咎之心轉而生其更端文罪之想然而測騐疎逺亦非諸臣之罪如欽天監因其差訛方請修改疎逺故非其罪而另局諸臣原奉有修定備考之㫖非不欲殫思竭力以期足堪備考及至測騐多至疎逺者蓋由於術業技倆僅止於此大抵屢次推算斷不能出大統範圍又安望其自出聰明以備考測乎故疎逺亦非諸臣之罪總之各家修改皆為國家大典至修正完日無非傳付監官令其遵守以盡厥職耳與其聽測騐於兩局不若專責成於監官臣思該監諸臣世守術業一有差訛輙自修改不敢自文其短想斷不肯作左右袒以自取罪戾當今完厯實着惟乞聖明勅令欽天監看詳具奏如果誰法為密即當遵守誰法則萬年寶厯遂可計日告成矣崇禎十年十二月初二日具題禮部題為囘奏測騐日食事云云主事鞏焴呈為叅騐日食事照得本月初一日乙未朔日食本職先蒙堂委前詣觀象臺云云職仰睇日光初虧於午時初刻食甚未初二刻半復圓未末申初約食將及五分隨據靈臺各官報稱及西洋玻璃逺鏡所騐分秒初虧於午初四刻食甚未初二刻五十分復圓未末申初約食六分餘理合開報等因到部該臣等看得本月初一日日食時刻分秒已經臣部先期題准御覽恭候内廷測騐矣各家離合親疎聖鑒昭然今據該司及靈臺官呈報前來臣部覆按以四分有竒為率衆議僉同者也既經該司叅驗開報相應據實具本云云崇禎十年十二月初三日具題初七日奉聖㫖這日食分秒時刻新局為近其餘雖於時刻有一二稍近又於分秒疎逺着即看議畫一奏奪欽天監監副周𦙍謹奏為奉㫖據實奏明事臣本年十二月十三日准禮部祠祭清吏司手本内開另局纂修厯法魏文魁男生員魏象乾奏為感激天恩剖陳秘法等事本月初八日奉聖㫖魏象乾曾否送掲着鞏焴及欽天監官據實奏明廩薪不准辭該部知道欽此欽遵除部臣自行囘奏外該臣恭述當日在臺始末仰乞聖明垂鑒本年十二月初一日日食臣於是日同部臣鞏焴及兩局官生公同詣臺測騐候至日食將及復圓突見魏象乾袖出一掲向部臣投遞問其所以則曰日食分秒時刻部臣同臣粗畧一看大扺摹擬新法即對象乾言曰凡交食分秒時刻該監俱於半年前預先題奏即兩局推算本年日月兩食亦於前月先期彚齊投部封進庶便臨期考測疎密以服公道今已將近復圓方行投遞不亦晚乎象乾自覺理屈遂拂然袖去此當日在臺送掲先後情事㣲臣不敢隱飾據實囘奏臣不勝悚息待命之至崇禎十年十二月十五日本月十九日奉聖㫖已有㫖了該部知道督修厯法山東按察使司按察使臣李天經謹題為恭進戊寅年七政經緯新厯仰祈聖明獨斷畫一以定厯法事竊照臣於考測繕製之餘督同在局諸臣依新法推算得崇禎十一年戊寅嵗七政經緯新厯各一冊裝潢成帙進呈御覽伏查臣局新法久已告成未蒙畫一通行者盖縁我皇上敬慎欽若至意必欲於推算精詳之後尚須取驗於天行臣即與部監諸臣隨時測騐迄今三載無不密合此非臣之臆説也即該部曾於奏明節氣疏内亟稱其新法之用天度自確乎其不可易宜有以貼挈壺之心而息保章之訟也然該監亦曾於囘奏測驗疏内自謂其測驗俱與新法相合而新法用緯度推算更為詳密等語且目今日月兩食幸蒙聖明洞鑒其臣局新法為近餘俱疎逺見在勅部看議畫一奏奪誠仰見我皇上神聖天縱手握璣衡於衆議紛紜之日而獨判疎密於宸𠂻是數百年未有之典原自我皇上肇其始而億萬載永垂之法亦必我皇上考其成伏乞聖明英斷則闡千古之厯元成一朝之鉅典寶厯維新普天共慶臣惟日望畫一於欽定矣縁係云云崇禎十年十二月十八日具題奉聖㫖畫一厯法已屢有㫖了所進書冊留覽該部知道禮部祠祭清吏司主事臣鞏焴謹奏為遵㫖據實奏明事本月初九日奉本部送禮科抄出另局纂修厯法魏文魁男生員魏象乾奏為感激天恩剖陳秘法願掲愚𠂻仰佐聖明敬授之大典事等因崇禎十年十二月初八日奉聖㫖魏象乾曾否進掲着鞏焴及欽天監官據實奏明廩薪不准辤該部知道欽此欽遵臣焴蒙堂劄委於本年十二月初一日同兩局及欽天監官前赴觀象臺測騐日食四家之印圖較若列眉各局之開單燦若指掌爾時魏象乾亦厠身班行中聞其家傳厯學講求有素似當先期擬定分秒時刻繕進御覽次投掲臣部堂官次投掲臣等上臺之初待其測騐有凖時方可持為左劵以箝盈庭聚訟之口也乃遲至日虧已完始袖出一掲臣同欽天監官公看大抵掲内開載與新法稍覺符合其為素定猝辦俱不可懸揣况臣未奉明㫖未蒙堂批又日食事已告竣不敢擅収事後私掲以附㑹於新法此本日實情實事也至於象乾果識精象緯淹貫厯法與否欽天監官知之必稔臣不敢懸揣蒙奏也今奉有着鞏焴及欽天監官據實奏明之㫖臣即據實奏明仰祈聖明裁奪施行崇禎十年十二月十九日奉聖㫖該部一併看議具奏督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為各法疎密已蒙睿判畫一屢㫖未見欽遵再懇聖明獨斷早定厯法事竊照治厯明時乃國家之首務而法取合天亦千古之定論今臣局厯法自奉勅修改以來逐年推測交食五星無不合天且書噐久已告成惟候晝一遵行耳去冬日月兩食荷蒙聖明内廷親騐兩奉有新法為近餘俱疎逺之㫖屢經勅部畫一而該部諸臣明知新法合天尚欲曲全另局欲臣局與之叅合㑹通移㑹到臣業經逐欵駁明所云厯法原自渾成遷就割裂不得倘一那移一差盡差而部臣猶以甲可乙否終歸紛紜等語模稜具覆以缷怨尤隨奉有厯法務求畫一前已有㫖該部作速看議具奏之㫖是聖明已洞燭其疎逺者無容與合天者相㑹通明矣又於部臣覆疏内續奉有厯議紛紜爾部須折𠂻畫一還着遵㫖確議速奏毋再游移之㫖是聖明亦洞鑒其另局三法自不能一且又悉皆疎逺曾無寸長而於備考奚補似又不待姑俟再騐而决者更明矣煌煌明綸炳若星日想部臣自宜仰體若欲再踵㑹通之故套不惟真偽不分是非倒置有悮大典抑且仰遵聖㫖之謂何聞部臣已於去冬十二月内具覆矣但未審所奏云何誠恐一時之情面難破畫一之明㫖未能欽遵且聞僞法者乘機凟奏圖逭疎逺之愆百計撓成㒺顧聖明畫一之切㫖所幸我皇上離照當空諒宵小終難熒聽惟是十二月朔之日食臣局所報食甚在未初二刻半者圖疏昭然郭正中見臣法合天疏内揑改臣報未初三刻半而誑陳之又鞏主事於分秒親測六分餘書紀見存部疏又改為四分而誑覆之種種欺㒺難以殫述若非我皇上親騐則臣局新法又幾為若輩所朦蔽矣但新法既經屢測皆符畫一屢厪睿判其阻撓而欺㒺者尚若是游移而不决者又若是後即再測不過總此機局臣於此時倘不請乞聖明大奮乾斷欽定畫一則厯法終鮮結局之日不幾有負我皇上屢頒畫一之嚴㫖乎伏查欽天監舊例如十二年民厯應於十一年二月初一日進様四月初一日頒布刋刻且今稍一蹉跎其期遂悮將必以我皇上親測有不足凴而畫一終無底止臣所以亟亟叩閽者此也總之畫一之法惟取合天者而遵用之今新法既已合天惟乞聖明勅令該監諸臣以後照依新法推算通行庶嫉忌消而元黄息則敬授大典不致久承訛舛而萬年寶厯亦為之煥然一新矣崇禎十一年正月十二日具題十九日奉聖㫖已有㫖了督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天經謹題為逺臣盡瘁身殞優賚屢㫖久虚懇乞勅部速覆以酬前勞以慰忠魂事切照修厯逺臣羅雅谷者係原任督修厯法故輔臣徐光啟於崇禎三年五月内因逺臣鄧玉函病故修厯乏人具疏上請内稱訪得諸臣同學尚有湯若望羅雅谷二臣者其術業與玉函相埒而年力正强堪以効用伏乞勅下就便移文敦諭二臣并行所在官司資給前來庶令人出所長早奏厥績等因本月十九日奉聖㫖厯法方在改修湯若望等既可訪用着地方官資給前來該衙門知道欽此欽遵隨於本年七月内據河南開封府知府袁楷具文資給羅雅谷前來本月初六日故輔臣徐光啟題奉聖㫖羅雅谷准朝見供事該部知道當經朝見赴局供事九載於兹公同逺臣湯若望等譔成厯法書表一百四十餘卷繕製新式儀噐十數種見在御前且於數年以來指教䑓官嘔心瀝血其日躔月離雖已傳授習熟幾於穎禿唇焦臣與輔臣曾已屢疏列名首叙叠奉有紀録酌議之㫖在部未經議覆復於九年七月内奉有羅雅谷等即着隨營指授有功從優叙賚之㫖兩臣即登陴指授嗣因城守叙勞復奉有羅雅谷等修厯演噐著有勤勞自當從優叙賚之㫖兹無論一時同叙之大小文武臣工俱膺擢陞秩級即捐助如吳守義者亦荷勅賜建坊奬勵祇因兩臣守素學道不願官職已經禮部題准各給房一所田數頃諭允在案而兩臣又苦於書役之谿欲難饜豪强之覇占可虞為是具疏控辤復荷聖明不忍冺其前勞仍勅禮部另議兩臣翹首望恩已成隔嵗有本局博士等官不忍坐視向隅乃於今春二月間具呈禮部堂司已批即題隨經祠祭司郎中何三省循例具稿每人每月各給湯飯桌半張廩米一石并纂修酒食等項以見朝供事之日為始照例補給向後仍令闗支等因呈堂批行臣等伏念兩臣自任事以來每日止共領光禄寺下程銀三分米四合清苦奚堪且以造厯未成如魏文魁者生叨湯飯殁邀秩級之外尚蒙照前補其俸廩父子沾恩而谷等造厯有成守城著績兩奉有優賚之㫖較之自應加優况若各給田房價值奚啻數千金今每人補給湯飯為數不多即每月各補一張在聖恩或弗靳予豈意復逾一月尚未題覆至厯法名仍大統新局推測屢近明㫖昭然其所以旁求更正一節曾未見該監虚心商及於臣僅見其通同妬嫉仍蹈游移之故轍而不遵畫一之屢㫖尚爾侈言再測狃舊憚新正嗟頒布無期河清難俟而逺臣羅雅谷又以積勞成疾忽于三月十三日一旦溘然長逝矣然此臣之忠懐素藴學術淵㣲推測不憚於燠寒著作奚分乎晝夜以致年未艾而鬚髪早白甘貧淡而面鵠形鳩氣息奄奄既已致身於盛世而遺骸之埋瘞不無有望於深仁伏乞聖明勅下該部即如所議速為題覆俾湯若望之生者得以資其朝夕而羅雅谷之死者得以充其殯埋庶我國家澤枯之德與柔逺之仁足以逺播於遐陬而兩臣修厯與城守之㣲勞亦不致終歸冺滅矣臣於此又有請焉伏查臣局厯法書噐久已告成業蒙聖明判斷畫一將疎逺者散遣囘籍差悮者准令更正獨留新法之推測屢近者存監學習今羅雅谷雖已物故而交食七政經緯與夫氣節晦朔弦望等項臣局各官俱素嫻推算然教習臺官不無賴於逺臣湯若望也此臣厯學專門精深博洽足以辦此但苦一人之精力有限又有本等道業誠恐指授與旁通兩事難以獨肩自稱若望同學見有汪爾斐者推測素諳年力正壯堪以訪用伏乞聖明勅下容臣移文所在官司資給前來共襄大典其於治厯明時不無小補矣至若逺臣羅雅谷殁於王事萬里孤魂不堪歸櫬見有例瑪竇之利可援其㑹典亦有成例可考優䘏特典出自聖裁非臣之所敢擅議也崇禎十一年三月十八日具題二十四日奉聖㫖該部看議速覆禮部題為遵㫖酌議恭請聖裁事祠祭清吏司案呈案查先該本部題覆修政厯法逺臣羅雅谷等奏為聖明柔逺過渥㣲臣圖報未遑謹預辭諭允田房以表忠藎事等因崇禎十年九月十七日奉聖㫖羅雅谷等奏辤田房不必再行查給該部還另議具奏欽此欽遵抄部送司隨准督修厯法山東按察使李天經手本開稱城守叙録谷等幸叨優叙但縁兩臣不願官秩題准查給田房具疏控辤既蒙勅部另議可不亟為另行措處給與兩臣自行搆置仍一面比照鄉民吴守義等見行事例題請建坊奬勵等因在案又經移文厯局備查兩臣來京修厯日期去後續據李天經手本内開逺臣羅雅谷自崇禎三年七月初六日見朝供事逺臣湯若望自崇禎三年十二月初二日見朝供事迄今已及八載每日止領光禄寺下程銀三分米四合似未足供日用清苦堪念既奉另議之㫖相應題請囘覆前來正在查議題覆間又該督修厯法山東按察使司按察使照京官例正三品支俸李天經為逺臣盡瘁身殞等事云云非臣之所敢擅議也等因崇禎十一年三月二十四日奉聖㫖該部看議速覆欽此欽遵抄出到部送司所據逺臣羅雅谷已經物故請乞優䘏一節即已行查主客司今據手本内稱備查卷案無凴稽考囘覆前來隨經移文厯局確查前疏所引逺臣利瑪竇等䘏典成例係於何年月日題覆備録過司以凴議覆去後續據修厯按察使李天經手本開稱該本司備查利瑪竇優䘏原疏係萬厯三十八年四月二十三日本部署部事左侍郎吳道南主客司郎中林茂槐等題給葬地奉聖㫖是隨經署府事府丞黄吉士查給阜城門外二里溝籍没私剙佛寺三十八間地基二十畆付竇塋葬此前疏所引之成例也復查大明㑹典内一欵凡外使病故如係逺臣未到京者本部題請翰林院撰祭文所在布政司備祭品遣本司堂上官致祭仍置地塋葬立石封識到京病故者行順天府給棺祠祭司諭祭今羅雅谷正與典例相符且係奉召來京又兼修厯演噐屢著勤勞兩奉有優賚之㫖未及叨恩而身先物故例應破格優䘏但據逺臣湯若望呈稱望等俱係守素學道之人生既不敢萌服官之榮想死亦不敢邀逾分之榮施惟乞題補湯飯酒食銀兩俾生者得以資其朝夕殁者得以充其塟埋令彼自行塋搆仍冀比照吳守義見行事例勅賜扁坊聽其自行置辦則見我國家一字之褒榮踰華袞庶於勞勩酬而澤枯柔逺之仁渥矣等因通查案呈到部看到西洋逺臣羅雅谷湯若望城守効勞部院題叙奉有羅雅谷等修厯演噐著有勤勞自當從優叙賚之㫖隨經本部議給無碍田房又經兩臣具疏控辤奉有田房不必再給另議具奏之㫖臣等再四思維各部寺錢糧闗正額者無容議惟隂陽事例銀雖交兌在户部與臣部相表裏然支給之間殊有未便所未敢輕議酌無可酌隨據博士楊之華等呈稱逺臣羅雅谷湯若望修厯在局供事迄今兩 每日止領光禄寺下程銀三分米四合不足資其朝夕覆看得光禄寺湯飯一節在朝廷於逺人既有大官餼贍之典而來賔者祇受有名比照魏文魁例查補以優異之隨經移查朝見供事日期去後在魏文魁修厯未成業蒙恩賜兩臣以萬里梯航殫精歩算測騐多合用襄欽若大典且其歸忠盡瘁功尤足紀按數補給誠不為過此臣等之初議也隨經督修厯法李天經開載羅雅谷湯若望朝見供事俱在崇禎三年間臣等更屈指扣算未免嵗計有餘積少成多若得按數補給則浩蕩出於皇仁使之仰戴中國聖人之高厚而慕義頌德於無窮矣利瑪竇優䘏一節萬厯三十八年曾經賜給墳地據若望等自稱不敢邀逾分之榮其學道守素相應允從不必另議䘏也旁求恭考更正在督修與欽天監俱當遵奉明㫖無滋諉缷可耳汪爾斐協同推測李天經既身任督修厯法之責所舉應不謬妄合無聽李天經行文所在官司支給前來供事統候聖明裁定勅下臣部遵奉施行縁係云云謹題請㫖崇禎十一年四月二十二日具題二十六日奉聖㫖是湯飯着按數補給不許再延考正學習前㫖已明該監如何不遵汪爾斐不必行取新法算書卷六
## 卷七
欽定四庫全書
新法算書卷七 明 徐光啟等 撰緣起七督修厯法山東按察使司按察使炤京官例正三品支俸臣李天經謹題為厯法既經畫一更正似難久覊再乞聖明嚴勅該監欽遵明㫖以新萬年寶厯事崇禎十年十二月二十七日該禮部一夲為遵㫖看議具奏等事十一年正月十九日奉聖㫖欽天授時大典奉㫖畫一該部何得一味游移這厯法著遵㑹典仍舊行大統厯如交食經緯晦朔弦望因年逺有差誤者准張守登等傍求參考更正新局推測屢近着炤囘囘科例存監學習李天經等議叙郭正中速赴州任仍賞銀二十両紵絲二表裏蔣所樂魏象乾各賞銀二十両紵絲一表裏其餘的各賞銀十両俱散遣囘籍魏文魁厯過俸廩作速查給該衙門知道欽此欽遵臣既奉命督修即宜有所條奏以圖速正舛訛上合天道蓋緣明㫖原以更正責成該監想該監諸臣自能仰遵屢㫖盡捐成心將數年測騐之實徵多人學習之新業依新法與臣等商求更正庶可仰副我皇上蚤襄厯法之盛心盡臣子修政之職分詎意奉㫖四月有餘該監並無一語商及于臣祗見帖下臣局各官其中語意與明㫖大相違悖而狃舊憚新之故智與夫妬賢嫉能之情形盡皆顯露于筆端各官未敢擅擬具呈到臣隨經移文部監囘覆去後復從邸報中見該監一本為傳奉等事借端保留踈遠散遣之郭正中欲與商究厯法漫圖更正等因奉有張守登等何又借端擅請改授顯屬通同姑不究之㫖煌煌聖語洞燭奸欺其黨邪通同之情弊不待指發而自彰明較著於天下矣臣惟靜聽該監之速圖更正以自贖不意復延至四月二十六日續奉有攷正學習前㫖已明該監如何不遵之㫖猶然未見欽遵臣雖識微才短不足以充該監商求之末但謬叨纂督之任一切厯務自宜與聞乃今一則帖下各官一則疏薦踈逺目中已無督修乆矣臣又安能坐視其抗玩游移而不一請聖明之乾㫁耶臣查修厯一役緣崇禎二年五月朔日食監推差誤特頒聖諭欽天監推算日食前後刻數俱不對天文重事這等錯誤卿等傳與他姑恕一次以後還要細心推算如再錯誤重治不饒欽遵在監隨據該監夏官正戈豐年等呈請修改禮臣特舉故輔臣徐光啓專勑開局該臣相繼督修繕製考騐十載於兹逐年推測交食五星節氣經緯一一合天無論部監之奏疏可據且欽奉之明㫖昭然即如去冬日月兩食各法俱又差至五六刻不等食分亦差至一二分不等幸䝉聖明親騐兩奉有新法為近餘俱踈遠之㫖復蒙天語獨斷畫一勅令更正是各法踈宻業䝉睿判而考正學習蓋已有年該監又何難遵奉明㫖而一更正之如曰未經學習何繇更正且數年以來多官就講者非一朝習熟日躔月離者非一事豈前此功力盡為無用乎如曰尚須再騐且無論前此之公測可為確據而聖明之親騐與夫聖㫁之赫嚴反為不足憑乎總之監官亦知新法推測屡近急宜更正而遵用之乃一段隠情誠恐一更新法並其人俱更故未免以懐禄顧位之私而致悞國家欽若敬授之典殊不知臣局各官數載勤劬僅叨一秩且以一人而兼數科之事以博士而辦五官正等官之職屡苦於事煩禄薄不能移親就養雖奉有紀録議叙之㫖乃或以乞歸田里為辭或以請改外任控訴而臣之未准其控訴者蓋謂此數臣精通理數洞徹本源可為該監他山之一助且該監諸臣之中僅知推算者不過二三人然不能明其厯理即令精心學習新法恐未能如臣局各官之通透諳練也今各官久奉有議叙之㫖尚未題覆是敢籲懇聖恩伏乞勅下該部查炤去年紀録原題俱遷以推算應得職級公同該監舊官共推新法以襄大典則該監之疑根自釋矣伏乞聖明再勅該監諸臣如交食經緯晦朔弦望與夫節候凌犯等項已後俱依新法之推測屢近者推算遵用臣等亦一面盡法傳授庶大典得以克期維新而臣等亦不致有負厥職惟在聖明之乾㫁諸臣之遵奉已耳原係(云)(云)崇禎十一年五月初三日具題光禄寺卿臣王一中等謹題為遵㫖補給銀米事五月二十六日奉禮部劄付内開該本部題修厯遠臣羅雅谷湯若望補給湯飯等因奉聖㫖是湯飯著按數補給不許再延考正學習前㫖已明該監如何不遵汪爾斐不必行取欽此欽遵備劄到寺隨行典簿㕔查筭據該㕔册報湯飯半卓每月該折銀五両五錢又飯食每月該折銀二両六錢一分五厘湯若望自崇禎三年十二月初二日供事起至十一年六月終止除折素扣葷外净共該銀七百五十二兩九錢零八厘二毫飯米一百五十三石二斗九升六合九勺酒米一十三石八斗二升六合八勺以後仍按月闗支羅雅谷自崇禎三年七月初六日供事起至十一年三月十三日身故止除折素扣葷凈共該銀七百六十三兩八錢八分九厘八毫飯米一百五十五石三斗九升三合酒米一十四石一升一合五勺各開報到臣該臣等㸔得湯若望等補給湯飯八載特恩一朝總計積少成多遂有此數業經該部具題奉有按數補給不許再延之㫖臣等敢不祗承但念臣等邇年以來各部借欠頻仍庫存無幾月之經費既不可缺外之解納更復愆遲不無匱乏可慮臣等夙夜兢兢不敢不務為樽節者也但奉㫖補給出自聖恩臣等又當仰體而恪遵者謹據數上聞恭候命下臣等欽遵給發施行緣係遵㫖補給銀米事理臣等未敢擅便謹題請㫖崇禎十一年七月初九日奉聖㫖著遵㫖補給該部知道修政厯法遠臣湯若望等奉召入都陛見任事厯年著書闡理創法製儀悉已恭進内庭幸䝉皇上親測新法屢騐愈審舊法差訛望等每奉議叙特恩每思辭免嗣因丙子嵗奉命登陴指授城守叙功部題各給田房以供朝夕復又具疏控辭更䝉聖明不忍冺其前勞勅部另議部覆炤例請補纂修酒飯銀米以資贍養仍請欽給匾額旌奬悉荷欽依而酬勞之特典優且渥矣謹從疏稿中撮述其槩以紀一時之隆遇云崇禎十一年吏部覆禮部陞授新舊官職疏為遵㫖議叙事文選清吏司案呈崇禎十一年七月二十五日奉本部送吏部抄出禮部署部事左侍郎兼翰林院侍讀學士顧錫疇等題前事内開祠祭清吏司案呈到部㸔得脩政厯法一事凡數百年一舉典至重也厯臣李天經在局任事業已數載宣力成績班班可紀昨蒙聖明睿照新法為近即奉有李天經等議叙之㫖隨經臣部將李天經移咨吏部聽其議叙外其修厯官生楊之華等臣部正在察照厯臣原題分别議覆間今復奉新綸即與議叙臣等恪遵屢奉明㫖相應覆覈臚列上請如按察司李天經功賛羲和勞勩懋著允宜優叙伏乞勅下吏部察照故輔原題改授京秩速為議覆以勵勞臣者也如逺臣湯若望創法立器妙合天行今推步前勞已著講解後効方新功宜首叙乃道氣冲然力辭田房之給祇願給扁褒異相應允從俟厯成之日另議酬庸之典其次則博士楊之華黄宏憲據督修厯法臣李天經原題推測技藝兼長繪製悉符天度所當優叙今楊之華黄宏憲擬加二級帶光禄寺錄事職銜仍管博士事又次則博士朱國壽祝懋元據原題稱鳩製殊為勤敏任事不避勞怨當併優叙擬加一級量帶鴻臚寺署丞職銜仍管博士事又次則大理寺寺副王應遴司厯鄔明著博士李次虨等云云至于厯成之日合局諸臣另行優叙在聖明自有浩蕩特恩在諸臣倍當黽勉拮据仰副授時大典而非臣等所敢預擬者也伏候命下臣部移咨吏部銓覆施行等因具題崇禎十一年七月二十二日奉聖㫖是吏部知道欽此欽遵抄出到部送司隨該本部將山東按察司李天經加光禄寺卿職銜仍支正三品俸管理厯局事俟事竣之日缺補等因具覆十一年八月十九日奉聖㫖李天經修厯著勞加銜支俸仍管局務俱依議欽此欽遵抄出到部送司案呈到部㸔得授時明政國家第一大典厯臣李天經奉㫖議叙改授京秩奉有允㫖則共事諸臣亦應酌量其勞勩而併叙者今禮部將各官議叙前來相應具覆察得楊之華等既經禮部具題該司察呈前來相應伏請合無將楊之華黄宏憲各量帶光禄寺錄事職銜仍管欽天監博士事朱國壽祝懋元各量帶鴻臚寺署丞職銜仍管欽天監博士事王應遴量加大理寺右寺正職銜仍在局供事張寀臣量加陞欽天監五官司厯仍在局供事朱光大朱光燦周士昌朱廷樞王觀曉量授欽天監博士仍在局辦事湯若望聽禮部給扁破格優異恭候命下臣部行令各官欽遵供事俟厯成之日聽禮部另行優叙施行縁係遵㫖議叙及奉明㫖事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十一年十月二十八日具題十一月初四日奉㫖是督修厯法加光禄寺卿支正三品俸管厯局事臣李天經謹題為報完傳習新法併恭進己卯年七政經緯新厯以竣大典事切照治厯明時係國家之首務自不宜久襲舛譌向因日食不合特奉聖㫖專敕修改今開局已厯十載書器久已告竣去冬荷蒙皇上内庭親驗奉有新法為近餘俱疎逺之㫖欽定畫一敕部議覆于今嵗正月十九日奉有如交食經緯晦朔弦望因年逺有差誤者准張守登等旁求叅攷更正新法推測屢近著照回回科例存監學習之㫖該臣隨移文㑹同欽天監堂屬各官于六月初三日開講學習即率同逺臣湯若望等將新法交食七政推測法數一一盡法傳授已完其監局學習堂屬官生勤敏可嘉積勞已久者容臣聽該監遵㫖自為更正後另疏分别題叙以示激勸所有己卯年新法七政經緯行度該臣局官生于學習之餘推算繕寫恭進御覽但查該監推算七政皆厯科五官正等官職業而臣局官生原係奉㫖照例存監者今猶然以司厯博士而辦五官正等官之事未免有事繁禄薄之苦及查回回科例于該監内另立一科設有秋官靈臺挈壺等官臣以為各官既已見在厯科開俸辦事似不必另立一科惟乞勅令該部將臣局推算官生各加推算應得職級公同厯科各官共推新法以襄鉅典庶治厯得人而臣工知所勉矣事闗厯法敢因報完傳習進呈七政而併及之臣不勝惶悚待命之至崇禎十一年十二月二十六日具題督修厯法加光禄寺卿李天經謹題為代獻芻蕘以裕國儲事微臣蒿目時艱措餉為急每欲于生財一節仰佐司計一籌乃一切屯田鼓鑄與夫鹽法水利在廷諸臣言之詳矣烏容復贅惟于修政厯法之餘同修厯逺臣湯若望等遵㫖料理旁通諸務以圖報稱簡有西庠坤輿格致一書窺其大㫖亦屬度數之學于凡大地孕毓之精英無不洞悉本源闡發奥義即礦脉有無利益亦且探厥𤣥微果能開採得宜煎煉合法則凡金銀銅錫鉛鐵等類可以取充國用亦或生財措餉之一端乎苐開採一事向者費鉅而利微且建議者别有肺腸以致明主所厭聞乃言利者事不典雅又為士人所羞道使此書而為一人之臆説或空言而無據臣曷敢冒昧以熒聖聽耶誠聞西國厯年開採皆有實效而為圖為説刻有成書故逺臣攜之數萬里而來非臆説也且書中所載皆窺山察脉試驗五金與夫採煅有藥物冶器有圖式亦各井井有條而為向來所未聞亦是或一道矣去冬臣與逺臣湯若望及辦事厯局加銜光禄寺録事楊之華黄宏憲等正在商議翻譯恭進比值臣奉㫖坐守朝陽門弗獲躬任其事而逺臣湯若望等感恩圖報芹曝急公之義正不在臣後故曽于敬獻微塵疏内業已題明隨因奉㫖再為該監官生傳授新法遂不能專意繪製邇者傳習已完燃膏繼晷謹先撰譯繕繪得坤輿格致三卷彚成四冊敬塵御覽尚有煎煉爐冶等諸法一卷工倍于前匪能一朝猝辦如蒙聖明俯採一面容臣督同逺臣湯若望及局官楊之華黄宏憲等晝夜纂輯續進一面勅發各鎮所在開採之處一一依法採取自可大裕國儲其於措餉不無小補再按逺臣原係守素學道之人不過據理研窮依經纂輯用攄忠悃於萬一已崇禎十二年七月初二日具題本月初六日奉聖㫖這坤輿格致書留覽餘書著纂輯續進該部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為遵㫖製器告竣乞勅擇吉輿運以便恭進事該臣于前嵗恭進傳製星球之時題明本局尚有黄赤全儀為用甚大需費無多容臣等如法製造以與日星二晷並列東西庶測量諸器盡置内庭而欽若大典我皇上亦且手握璣衡非若徒托之空言者比也等因具題奉聖㫖知道了其黄赤全儀著製造進覽該部知道欽此欽遵臣即督同修厯逺臣湯若望等及令在局官儒庀材鳩冶但此儀設有南北二極極用龍柱髙擎樞從頷珠而出中載子午一圏圏中絡以黄赤二道下施窺測上合天行或晝或夜可以隨時運旋而不息也其詳悉載本儀用法中綂俟同日恭進御覽惟是儀體重大冶鑄固難猝成鑴度動經嵗月又兼奉㫖傳授該監官生學習新法與夫纂輯利用旁通逺臣等在局指授拮据未免因而作輟茲幸新法傳習已完聽其遵㫖更正此儀業已就緒旦晚可以進呈伏乞勅下該衙門擇吉撥給人夫輿運恭進縁係云云事理臣等未敢擅便謹題請㫖崇禎十二年八月二十三日具題二十九日奉聖㫖是該衙門知道黄赤全儀大龍柱髙四尺九寸五分小龍柱髙二尺子午圏及黄道赤道二圏全徑俱廣三尺四寸五分其經圏緊居黄赤道圏内全徑廣三尺二寸三分時盤徑廣一尺石座南北長六尺九寸濶三尺二寸厚七寸督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天經謹題為月食事竊照本年十一月十六日己巳夜望月食其食限分秒并起復方位例應先期上聞除大綂回回二厯已經欽天監具題外謹依新法推步諸數逐一開坐并具圖像進呈御覽臨期惟聽該衙門照前自行觀候奏聞縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎十二年十一月十六日己巳夜望月食食限分秒時刻並起復方位月食三分四十八秒初虧酉初二刻强 東北食甚酉正三刻弱 正北復圓戌初三刻半 西北計食限内凡九刻食甚月離黄道實沈宫一十八度一十八分為參宿初度九十分食甚月離赤道實沈宫一十六度五十七分為畢宿一十五度三分食甚月離緯度距黄道南八十一分各省直食甚時刻南京應天府福建福州府酉正三刻山東濟南府酉正三刻山西太原府酉正一刻强湖廣武昌府河南開封府酉正二刻弱陜西西安府廣西桂林府酉正初刻半浙江杭州府酉正三刻半江西南昌府酉正二刻廣東廣州府酉正一刻半四川成都府酉初三刻强貴州貴陽府酉正初刻强雲南雲南府酉初二刻强崇禎十二年九月二十三日具題二十六日奉聖㫖這月食推步法即著該衙門臨期照詳觀候具奏崇禎十二年十一月十六日月食圖督修厯法加光禄寺卿支正三品俸李天經謹題為月食事該臣于本年九月二十三日恭報本月十六日己巳夜望月食分秒時刻依新法推算月食三分四十八秒初虧酉初二刻强食甚酉正三刻弱復圓戌初三刻半等因具題隨奉有這月食推步法即著該衙門臨期照詳觀候具奏之㫖欽此臣謹遵前此題明自行觀候例于是日㑹同修厯逺臣湯若望督率欽天監學習官生劉有慶等赴局登臺觀候至酉初二刻有竒覘見初虧因星體尚在隠見之間當用新法黄赤全儀以測月體得酉初二刻强初虧少頃星體燦然復用本儀以測畢宿火星亦與前推步相合嗣測婁宿距星及月體俱得酉正三刻弱食甚見食三分餘仍如前窺測至戌初三刻餘覘見復圓其時刻分秒與臣局推步之法一一相符此當夜測驗情形相應據實奏聞再照欽天監推算及觀候各官凡遇交食必先期開列職名移送内靈臺聽其至期奏請酒飯今新法已蒙聖明欽定畫一其本局推算觀候各官亦應照例奏請除已將各官職名移送内靈臺一體啟奏外理合一併題知縁係月食事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十二年十一月十七日具題二十三日奉聖㫖禮部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為遵㫖恭進儀器事先該臣于前嵗恭進傳製星球時題明本局尚有黄赤全儀為用甚大容臣等如法製造以與日星二晷並列東西庶測驗諸器盡置内庭而欽若大典我皇上亦且手握璣衡非若徒托之空言者比也等因具題奉有黄赤全儀著製造進覽該部知道之㫖欽此臣即㑹修厯逺臣督率在局官儒如法製造已完隨于崇禎十二年六月内為遵㫖製器告竣等事題奉聖㫖是該衙門知道欽此欽遵臣惟儀體重大兼之晷短途遥必須先期輿運相度另日安置庶不致有悞吉時行據欽天監擇于本年十一月初八日辛酉卯時輿運暫貯内官監本日隨赴中正殿相度方向預砌臺基十一日甲子宜用午時安置吉除臣抄録用法㑹知内靈臺並移行工部營繕清吏司至期撥給人夫輿進外仍即移行内官監預為啟奏臣于初八日㑹同内官監及修厯逺臣督率在局官儒恭詣中正殿相度方向至十一日仍如前㑹同安置敬將黄赤全儀用法録成一冊附塵御覽則于交食時刻與夫七政躔度及列宿相距度分俱可按儀窺測上合天行庶克仰副我皇上留神欽若敬天勤民之至意矣縁係云云事理未敢擅便謹具題知計開黄赤全儀用法一冊(並套)崇禎十二年十一月二十八日具題督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天經謹題為恭進庚辰年七政經緯新厯仰祈聖明鑒詧勅部一并議覆以定厯法事竊照臣于攷測繕製並傳習新法之餘督同在局諸臣依新法推算得崇禎十三年庚辰嵗七政經緯新厯各一冊裝潢成帙進呈御覽但其中躔度經緯氣朔置閏一一皆依天度推步故種種與舊法迥殊今書器俱已告竣亦可以仰副聖明留神欽若之至意矣該臣正在督率推步之際于十月内准禮部手本開稱誥勅房加銜大理寺右寺正王應遴條陳厯議八欵奉有奏内事情著該部查議具奏之㫖隨經禮科叅看得欽若昊天帝王盛軌我皇上惓惓治厯明時亦既先後同揆矣今據王中書厯議八欵其所言譌舛有至一日二日者及以數十刻計者即一欵而餘欵可知向來欽天監所司何事且考之厯法亦從無至數年而可執不變通者抄出速之等因移㑹到臣該臣查得修厯一事縁因舊法差譌勅諭修改幸蒙我皇上内庭親驗新法為近餘俱疎逺欽定畫一勅令學習更正臣亦不過修訂成書盡法傳授以結臣局至于更正一節原奉有如交食經緯晦朔弦望因年逺有差誤者准張守登等旁求㕘攷更正之㫖已兩載矣應否更正該監自當仰遵非臣所得而强也且經科臣抄㕘到部更正自難再延今厯局書器已完傳習復經報畢奉㫖精通又逾半載倘不于此時再請聖明獨斷勅部據實查覆則厯法無更正之期修厯無結局之日而蹉跎嵗月虚糜廩禄尤非臣誼之所安也所有本局已完事宜容臣另疏奏繳縁係云云事理未敢擅便謹題請㫖計開七政經緯新厯一套崇禎十二年十二月二十八日具題十三年正月二十一日奉聖㫖這新厯即著該部據實查奏督修厯法加光禄寺卿李天經為恭進庚辰年七政經緯新厯等事據本局辦事官儒等呈稱職等于正月三十日奉禮部提督楊行令職等即將庚辰年正月四月備查某月有中氣無中氣各自推算某月當閏具文前來以憑呈堂回奏施行等因行查到局該職等逐一詳查新舊推步原有日度天度之異如舊法之用日度者以太陽自今嵗冬至起至來年冬至止行三百六十五日二千四百二十五分而滿一周天則名為嵗實以此嵗實用二十四平分之得一十五日二千一百八十四分三十七秒五十微為一氣策以本年冬至為主累加氣策即得一年二十四節氣殊不知日行有盈縮一嵗之中盈縮遞換豈可刻舟而求如冬至行盈太陽一日行一度有竒故自冬至迄夏至舊節氣恒後天一二日不等夏至行縮則一日不及一度故自夏至以迄冬至舊法節氣恒先天一二日不等則舊法之用日度者自不合于天也明矣如新法則用天度逐日推步太陽細行視滿十五度方交一節實為在天之真節氣其厯日之多寡均不論也故盈縮始平而時叙不舛且崇禎九年間曽經本局回奏雨水一疏奉有奏内稱論節氣有日度天度之異即以春秋分為證之㫖復經本部于九年内為回奏測驗節氣一疏亦云其所稱天度于春分已逾二度于秋分不及二度者自確乎其不可易宜有以貼挈壺之心而息保章之訟也等因具題隨奉有節候公測既明之㫖是舊法節氣之差遞年公測題疏厯厯在案且屢奉之明㫖炳若日星天語煌煌誰敢蒙溷此亦理之確有的據者也至若置閏之法新舊俱以無中氣者為閏月葢所為中氣者一嵗有十二月每月各有一節各有一氣如立春正月節雨水正月中驚蟄二月節春分二月中清明三月節榖雨三月中立夏四月節小滿四月中是也如一月之中止有一節而無中氣即為閏月按今嵗庚辰年舊法推正月後一月止有驚蟄一節而無春分中氣故為閏正月也即以彼法考之舊法原有四正定氣論四正定氣該在正月後一月之二十八日交春天而不肯明言者恐一認差譌而罪罰隨之又奚暇保其爵禄哉故未免以惶懼畏咎之心而堅其嫉忌撓阻之志殊不知舊法之差在法原不在人倘不差譌何煩專勅修改為哉然差而不修積差日逺修而不改修之何益今本寺書器俱已告竣修訂業已成厯至于用與不用惟在貴部之據實回覆以結此局耳既經本局官生具呈前來相應具文回覆為此合用手本前去禮部提督楊處煩為查照來文并屢奉明㫖内事理呈堂速覆施行崇禎十三年閏正月初二日督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸加俸一級臣李天經謹題為遵㫖續進坤輿格致以裕國儲事臣報國有心㸃金無術因于旁通十事内採擇西庠坤輿格致一端成書三卷于去嵗七月内恭塵御覽隨奉聖㫖這坤輿格致書留覽餘書著纂輯續進該部知道欽此欽遵竊思今天下之言開採者比比而卒無一效者其法未詳也葢開採不惟察尋地脉有法試驗有法採取有法即煎煉爐冶其事較難其法較密前所進書雖備他法而煎煉爐冶之法書尚未成既奉明㫖纂輯續進微臣曷敢少緩因即督同逺臣湯若望及在局辦事等官次第纂輯務求詳明晝夜圖維于今月始獲卒業為書四卷裝潢成帙敬塵御覽倘蒙鑒察勅發開採之臣果能一一按圖求式依文㑹理盡行其法必可大裕國儲所有逺臣湯若望于此格致等書譯授局官既費精心覔工圖繪亦捐資斧葢感沐聖恩瀝誠報效此亦其一也伏祈聖明採納施行再按臣局供事官生楊之華等向因遞年推算交食七政著勞題奉明㫖下部業經禮部于去年三月内將楊之華等六員名比照欽天監五官正品級對品改加外銜覆請紀録隨奉有楊之華等俟學習完日果係術精勞著准照例加銜之㫖嗣于去年五月内部監公同試驗脗合不差題明在案學習亦于八月内部疏報竣且供事十載積有成勞繕製書器列名御前正與術精勞著之明㫖相符懇乞聖明將楊之華等勅下吏部遵奉照例加銜之㫖察照禮部原題俯賜加銜庶明㫖不致久虛而諸臣之勞績亦加勸勉矣念係臣局繕書製器人員翹首望恩已逾一載故于進書而併及之謹題請㫖計開坤輿格致四卷(共一套)崇禎十三年六月初二日具題初六日奉聖㫖這續進坤輿格致書留覽餘著該部議覆督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天經謹題為遵奉聖㫖造進日晷事本年三月二十八日内靈臺傳奉聖㫖著厯局李天經等照先進的小牙日晷樣造一銅的來進做細製著欽此欽遵臣遂督同逺臣湯若望等鳩工〔？〕銅分線鏤刻鍍以金液載以檀架造完日晷二具星晷一具恭進御覽外竊照先進牙晷形質稍小因限于物料今稍加長濶者庶便于各節氣下詳載晝夜時刻且前晷中列止可以定節氣時刻今則添曲線以定本時太陽距地平之幾許髙雖製式稍増而繪法則無異也茲又外添一具者亦名地平日晷則界分二至用實線定本日時刻虛線以定本時距日出之幾許刻且各將用法䥴之後面皆測驗之器所急須也又將星晷即附在日晷後面茲因銅質稍重倘仍附載于後似難擎儀仰觀特又另造一具後䥴用法以便分測日星各有專用也但儀式雖小而成製必藉多人法貴精密而較驗必厯時日矧巧匠無幾未免躭延惟冀我皇上鑒察之臣更有請者厯法一事久奉有著該部督令監局各官虚心詳加考正務求至當以成一代良法之㫖臣局業于三月二十五日㑹同欽天監堂屬併禮部提督司官虚心據理已有成議又各具㕘考情形手本送司以憑具覆今已數月矣部覆杳然屢催如故誠知典禮殷繁無暇及此然治厯明時亦似非末務况轉盼當進七政之期倘及今仍不速請御定而徒咎臣以言之不早臣寧任受乎是以仰望天語之一申飭之也臣萬不得已之情謹因恭進日晷而併及之伏乞聖明勅部速覆以早定千秋大典施行縁係遵奉聖㫖造進日晷事理未敢擅便謹題請㫖計開地平日晷二具紫檀架二具黄綾糊飾套盝二箇星晷一具紫檀套盝一具崇禎十三年七月十三日具題十四日奉聖㫖這造進日晷星晷著留覽厯法㕘考既有成説禮部作速看議具奏督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天經謹題為恭進辛巳年七政經緯新厯仰懇聖明欽定以成一代良法事該臣督同在局諸臣依新法推算得崇禎十四年辛巳嵗七政經緯新厯各一冊裝潢成帙進呈御覽伏察臣局新法修定成厯業已六載遞年公同部監諸臣隨時測驗無不密合如測驗節氣禮部疏稱新法之用天度者自確乎其不可易宜有以貼挈壺之心而息保章之訟隨奉有節候公測既明之㫖如測驗五星該監回奏疏内自謂俱與新法相合而新法用緯度推算更為詳密隨奉有據奏測驗星度新法為密之㫖如日月交食荷蒙聖明内庭親驗欽定畫一奉有新法推測屢近餘俱疎逺之㫖是臣所董修之厯不但修訂已完亦且一一符天也明矣惟俟該監遵㫖一更正之但縁該監諸臣既不能修又焉能改故爾蹉跎復逾三載即部臣又且陞遷不常又安望其洞悉本源深明厯數者一折衷之故每于回奏疏中屢請兩法並存夫豈聖明肇舉修改之本㫖乎假令舊法不甚差譌該監寧肯呈請修改又何煩專敕督修為哉差而不修積差日逺修而不改修之何益倘舊法未可盡棄就中更易數端便可速結其局乃躭延日久徒貽曠時之愆者葢臣局修正為該監耳故測驗數載徒較彼疎而此密乃更正繇彼未肯舍已以從人况就中若茹若吐情形未敢遽凟天聽耳昨又奉有務求至當以成一代良法之㫖該臣詳考兩法疎密判然實不能遷合傅㑹以結局但既不能遷此以就彼惟有舍疎以用密如交食經緯晦朔弦望及節氣七政當遵㫖以更新如神煞宜忌月令諸欵宜仍用舊庶可備一代之良法立萬世之章程惟祈聖明欽定遵守是數百年未有之典原自我皇上肇其始而億萬載永垂之法亦必我皇上考其成則闡千古之厯元成一朝之鉅典寶厯維新普天共慶臣惟日望乾斷於聖明矣崇禎十三年十二月二十六日具題十四年正月初四日奉聖㫖這所進十四年經緯新厯知道了李天經還著細心測驗不得速求結局本内交食節氣等項用新神煞月令諸欵用舊務求折衷畫一以歸至當即著禮部詳確看議來説督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為月食事竊照本年三月十六日辛卯夜望月食其食限分秒並起復方位例應先期奏聞除大綂回回二厯已經欽天監具題外謹依新法推得諸數逐一開坐并具圖像進呈御覽再照新舊交食已蒙聖明親驗新法為近餘俱疎逺欽定畫一是各法疎密聖鑒洞然可勿再驗但此畨月食時差四刻且新法所推月出地平業已虧食一分有竒仍祈内庭詳驗則疎密愈見矣至若更正一事該臣題奉有交食節氣等項用新神煞月令諸欵用舊務求折衷畫一以歸至當即著禮部詳確看議來説之㫖臣惟靜聽部議不敢有所越陳葢臣曽奉有還著細心測驗之㫖所有測過節氣理宜奏聞伏察去嵗十一月初九日冬至舊推在辰新推在午該臣至期公同禮臣黄家瑞逺臣湯若望及監局官生各用本法測驗舊法用圭表測得本日午景長一丈六尺七寸五分依舊法詳考本日午景應長一丈五尺九寸餘今推測悉乖又安問其辰刻之不差乎新法用象限儀測得午正日髙二十六度三十三分因京師北極髙三十九度五十五分則赤道髙五十度五分冬至日距赤道南二十三度三十二分減于赤道髙應得本日午正髙二十六度三十三分若在辰刻則午正應不止于三十三分是推在午初二刻者悉合也又十四年二月春分舊推十二新推初十至期仍前公同部監測得初十日午正日髙果五十度五分准交赤道實為天正春分當日部臣黄家瑞面詢監臣俱稱果是初十春分測算既合法自宜更新夫一天豈有兩春分之理臣思敬授民時闗係匪輕節氣一差閏餘乖次則耕耘種植俱失其時倘不大加釐正則舛譌將何極也綂乞聖明鑒定施行縁係月食事理一併奏聞謹題請㫖計開崇禎十四年三月十六日辛卯夜望月食分秒時刻并起復方位月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出見食六分五十秒初虧酉正一刻强食甚戌初三刻半復圓亥初二刻强計食限内凡十三刻食甚月離黄道大火宫五度三十三分為亢宿六度十三分食甚月離赤道大火宫三度四十分為亢宿五度三十一分食甚月離緯度距黄道南六十分各省直食甚時刻南京應天府福建福州府戌初四刻弱山東濟南府戌正初刻山西太原府戌初二刻湖廣武昌府河南開封府戌初二刻半陜西西安府廣西桂林府戌初一刻强浙江杭州府戌初二刻半江西南昌府戌初三刻廣東廣州府戌初二刻强四川成都府酉正四刻强貴州貴陽府戌初一刻强雲南雲南府酉正三刻强崇禎十四年二月二十六日具題三月初五日奉聖㫖據奏月食冬至春分等項新舊法種種不合若復承譌襲舛何以治厯授時著便㑹同監局等官虚心推測大加釐正不許仍前彼此爭執致悞協時正日之典這本即著禮部從長一併確議具奏不得瞻延新法算書卷七
## 卷八
欽定四庫全書
新法算書卷八 明 徐光啟等 撰緣起八督修厯法加光祿寺卿支正三品俸臣李天經謹題為月食事該臣於二月二十六日恭報本月十六日辛夘夜望月食分秒時刻依新法推算月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出見食六分五十秒初虧酉正一刻强食甚戌初三刻半復圓亥初二刻强三月初五日奉聖㫖據奏月食冬至春分等項新舊法種種不合若復承訛襲舛何以治厯授時着便會同監局等官虚公推測大加釐正不許仍前彼此爭執致悞協時正日之典這本即着禮部從長一併確議具奏不得瞻延欽此欽遵該禮部尚書林欲楫左右侍郎王錫衮蔣徳璟郎中黄閏中員外黄景明主事黄家瑞於十四日親赴觀象臺十五日赴局詳詢各法審定儀器以俟臨期測驗該臣於十六日㑹同禮臣王錫衮蔣徳璟黄景明黄家瑞逺臣湯若望監正張守登監副賈良棟率領監局官生劉有慶等赴觀象臺測候但察新法所推本日日入在酉正三刻初虧在酉正一刻故月出地平已見虧食當用黄赤經緯簡儀等器測得酉正四刻餘果見食四分有竒月已髙四度矣仍用本儀候至戌初三刻餘見食八分有竒候至亥初二刻覘見復圓時刻分秒及帶食諸數一一悉與新法相符此禮臣臺官之所目擊親驗者舊法時差四刻食少二分且門尚未閤業已虧食則所推一更一㸃者更大差謬倘不遵㫖大加釐正其舛錯將何極耶盖禮臣之親驗詳測正所以仰體我皇上治厯授時之徳意伏乞勅部一併議覆以成一代良法以完協時正日之典緣係月食事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十四年三月十七日具題五月日奉聖㫖禮部覆議具奏督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為日月交食事竊炤本年九月十四日丁亥夜望月食其食限分秒並起復方位十月初一日癸夘朔日食其食限分秒並起復方位例應先期上聞除大統回回二厯已經欽天監具題外謹依新法推步所得諸數逐一開坐并具圖像進呈御覧再照臣於本年二月内題為月食一疏内報公同測過節氣情形據實上聞三月初五日奉聖㫖據奏月食冬至春分等項新舊法種種不合若復承訛襲舛何以治厯授時著便會同監局等官虚公推測大加釐正不許仍前彼此爭執致悞協時正日之典這本即著禮部從長一併確議具奏不得瞻延欽此欽遵隨該禮部侍郎王錫衮蔣徳璟員外黄景明主事黄家瑞遵㫖公同監局諸臣親測過本年三月月食今八月十七日復委司務范方公測秋分是一嵗日月交食並四正定氣俱以公測而各法疎宻禮臣業已目擊親驗矣所是所非理宜據實入告大加釐正庶不悞協時正日之典若復承訛襲舛瞻延不決何以治厯授時不幾有負我皇上敬慎欽若之徳意乎伏乞皇上勅令禮臣於此番交食公測後將從前測過交食節氣各法疎宻臚列上聞用疎用宻以聽聖裁庶千秋大典永定於一朝矣緣係日月交食事理未敢擅便謹題請㫖計開崇禎十四年九月十四日丁亥夜望月食分秒時刻并起復方位月食六分九十六秒初虧丑初二刻弱 東南食甚寅初初刻强 正南復圓寅正二刻强 西南計食限内凡一十二刻强食甚月離黄道降婁宫二十五度三十五分為奎宿八度一十一分食甚月離赤道降婁宫二十四度六分為婁宿初度三十八分食甚月離緯度距黄道北六十三分各省直食甚時刻南京應天府福建福州府寅初初刻强山東濟南府寅初初刻半山西太原府丑正二刻半湖廣武昌府河南開封府丑正三刻强陜西西安府廣西桂林府丑正二刻强浙江杭州府寅初一刻弱江西南昌府丑正三刻强廣東廣州府丑正三刻弱四川成都府丑正一刻弱貴州貴陽府丑正一刻半雲南雲南府丑初四刻弱崇禎十四年十月初一日癸夘朔日食分秒時刻并起復方位日食八分五十五秒初虧未初初刻强 正西食甚未正一刻半復圓申初三刻弱 正東計食限内凡一十刻半食甚日躔黄道大火宫一十一度六分為氐宿一度一分食甚日躔赤道大火宫八度三十三分為氐宿初度八十八分各省直食甚分秒時刻南京應天府九分八十一秒 未正三刻弱河南開封府九分一十八秒 未正一刻弱福建福州府八分八十六秒 未正三刻弱山東濟南府九分三十秒 未正一刻半山西太原府八分二十三秒 未初三刻强湖廣武昌府九分五十秒 未正一刻弱陜西西安府八分九十一秒 未初二刻半廣東廣州府八分六十六秒 未正初刻半廣西桂林府九分三十秒 未初三刻强浙江杭州府九分八十一秒 未正二刻弱江西南昌府九分 未正二刻弱四川成都府九分六十六秒 未初一刻强貴州貴陽府八分八十六秒 未初二刻雲南雲南府八分六十六秒 午正四刻弱崇禎十四年八月二十日具題二十三日奉聖㫖禮部察議具奏督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為日食事該臣於本月十六日恭報十四日同禮臣監局諸官測得月食時刻分數奏聞於本月二十三日奉聖㫖御前新測即用新法黄赤儀器極凖刻數著禮部覆議來行欽此欽遵臣不勝額手稱慶欽仰我皇上留神欽若御前親測且用臣所進新法之黄赤儀測定極準時刻即古先帝王堯舜之命羲和察璇璣敬授民時者無過於是誠度越百王而〔？〕隻千古矣聖㫖所謂極凖時刻誠為極凖而非外庭測驗敢望其萬一惟有靜聽部議以憑聖斷施行但數日内即遇十月之朔復有日食則臣新法之黄赤儀當必再塵御覽矣臣憶進黄赤儀之次日臣局逺臣湯若望併官生人等偕内靈臺諸臣俱進大内以羅經小器不足得天上之真子午而别懸掛渾儀定方銅儀等器細加測定方合子午真度用以測時方凖若經稍有動移必仍如法審度而後可否則毫釐或差刻數難定矣今距日食止有數日乞勅内臺諸臣傳逺臣湯若望等仍擕原器將黄赤儀併地平日晷等再一審定安妥臨期兼用新法望逺鏡以窺太陽虧甚復圓分秒當復有一極凖時刻以仰副皇上睿覽矣臣無任惶悚待命之至崇禎十四年九月二十五日具題二十七日奉聖㫖是著即𫝊在事諸臣仍擕原器如法安妥以候測驗該衙門知道吏部題為懇乞遵㫖速覆以便責成以光大典事文選清吏司案呈崇禎十四年二月十五日奉本部送准督修厯法光禄寺卿李天經呈前事内開竊炤治厯明時乃國家之首務從古迄今不但重其事亦且兼重其人其往代成例不暇枚舉即如我朝之元統與李徳芳爭言嵗實消長而元綂遂以博士擢陞監正近如修茸效勞之左允和因數月之工亦以博士而陞通政司經厯本局官生推測十載成績昭然遞年列名御覽七政經緯書冊業經禮部比炤欽天監五官正品級對品改加外銜題請紀録隨奉有准炤例加銜之㫖昨該本寺題催復奉有該部議覆之㫖目今奉㫖測驗伏乞察准炤列加衘之㫖改加五官正對品外衙門職級速賜題覆庶聖澤不致乆懸而大典亦得藉衆手告成等因到部奉堂批司察原疏速覆奉此案察崇禎十三年六月十二日奉本部送吏科抄出禮科外抄督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸加俸一級李天經題為遵㫖續進坤輿格致以裕國儲事内開臣報國有心㸃金無術因於旁通十事内採擇西庠坤輿格致一端成書三卷於去嵗七月内恭塵御覽隨奉聖㫖這坤輿格致書留覽餘書著纂輯續進該部知道欽此欽遵竊思今天下之言開採者比比而卒無一效者其法未詳也盖開採不惟察尋地脈有法試驗有法採取有法即煎煉爐冶其事較難其法較宻前所進書雖備他法而煎煉爐冶之法書尚未成既奉明㫖纂輯續進微臣曷敢少緩因即督同逺臣湯若望及在局辦事等官次第纂輯務求詳明晝夜圖維今月始獲卒業為書四卷裝潢成帙敬塵御覽倘蒙鑒察勅發開採之臣果能一一按圖求式依文會理盡行其法必可大裕國儲所有逺臣湯若望於此格致等書譯授局官既費精心覔工圖繪亦捐資斧盖感沐聖恩瀝誠報效此亦其一也伏祈聖明採納施行再按臣局供事官生楊之華等向因遞年推算交食七政著勞題奉明㫖下部業經禮部於去年三月内將楊之華等六員名比炤欽天監五官正品級對品級改加外銜覆請紀録隨奉有楊之華等俟學習完日果係術精勞著准炤例加衘之㫖嗣於去年五月内部監公同試驗脗合不差題明在案學習亦於八月内部疏報竣且供事十載積有成勞繕製書器列名御前正與術精勞著之明㫖相符懇乞聖明將楊之華等勅下吏部遵奉炤例加衘之㫖察禮部原題俯賜加衘庶明㫖不致乆虚而諸臣之勞績亦加勸勉矣念係臣局繕書製器人員翹首望恩已逾一載故於進書而併及之等因崇禎十三年六月初二日具題初六日奉聖㫖這續進坤輿格致書留覽餘著該部議覆欽此欽遵抄出到部送司又准督修厯法加光禄寺卿李天經手本為移送職名以慿題覆事内開如原疏開載則有光禄寺録事楊之華黄宏憲鴻臚寺署丞祝懋元朱國壽博士朱光大儒士宋發李昌本七員名内楊之華朱國壽俱已物故應聽除名希將各官儒對品即改加各衙門職級仍管厯法事務速為題覆施行等因到司案呈到部看得典莫大於治厯法莫妙於推算在局官儒術精勞著優加職衘或亦朝廷鼔舞小吏之微權也該寺疏稱厯局供事光禄寺録事黄宏憲鴻臚寺署丞祝懋元博士朱大儒士宋發李昌本以録事等官而辦五官正等官事且遞年推算交食七政著勞業經禮部題准加衘則炤五官品級改加外衘正與往例相符所請似當允從者及察禮部題准首次敘黄宏憲等炤欽天監五官正等官職級對品改加外衘察五官正係正六品但各官原加職衘與供事年月懸殊今加品級應分差等合無將首敘黄宏憲祝懋元量改加光禄寺大官署署正職銜次敘朱光大量改加通政使司經厯職銜宋發李昌本應加欽天監博士職銜俱仍管厯法事既經禮部光禄寺卿具題該司察呈前來相應覆請恭候命下臣部行令遵奉各供事施行緣係懇乞遵㫖速覆以便責成以光大典及奉明㫖事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十四年十一月初八日具題本月十六日奉聖㫖是禮部題為謹遵屢㫖查議具覆恭請聖裁事祠祭清吏司案呈案察崇禎十三年九月内該本部題為遵㫖考正厯法據實恭報一疏業奉聖㫖厯法原期畫一何至今尚無成議這所奏置閏舊法不差大陽躔度舊法於春秋二分各差二日及冬至所推同日時刻互異通著監局諸臣恪遵明㫖各虚心再加考正併律吕候氣依法測驗具奏欽此隨經行文監局欽遵外節准禮科抄出督修厯法加光禄寺卿李天經題為恭進辛巳年七政經緯新厯仰懇聖明欽定以成一代良法事等因崇禎十四年正月初二日奉聖㫖這所進十四年經緯新厯知道了李天經還著細心測驗不得速求結局本内交食節氣等項用新神煞月令諸欵用舊務期折衷畫一以歸至當即着禮部詳確看議來説欽此又該李天經奏為恭繹責成之明㫖敬陳部監之情形懇乞聖眀申飭以便折衷併及微臣職業以圖報稱事内稱勅令與臣細心攷究以便折衷等因十四年正月十二日奉聖㫖該部看議具奏欽此又該李天經題為月食事内稱伏察去嵗十一月初九日冬至舊推在辰新推在午該臣至期公同禮臣黄家瑞逺臣湯若望及監局官生各用本法測騐舊法用圭表測得本日午景長一丈六尺七寸五分依舊法詳攷本日午景長一丈五尺九寸餘今推測悉乖又安問其辰刻之不差乎新法用象限儀測得午正日髙二十六度三十三分因京師北極髙三十九度五十五分則赤道髙五十度五分冬至日距赤道南二十三度三十二分減於赤道髙應得本日午正髙二十六度三十三分若在辰刻則午正應不止於三十三分是推在午初二刻者悉合也又十四年二月春分舊推十二新推初十至期仍前公同局監測得初十日午正日髙果五十度五分准交赤道實為天正春分當日部臣黄家瑞面詢監臣俱稱果是初十春分測算既合法自宜更新夫一天豈有兩春分之理臣思敬授民時闗係匪輕節氣一差閏餘乖次則耕耘種植俱失其時倘不大加釐正則舛訛將何極也等因十四年三月初六日奉聖㫖據奏月食冬至春分等項新舊法種種不合若復承訛襲舛何以治厯授時著便會同監局等官虚心推測大加釐正不許仍前彼此爭執致誤協時正日之典這本即著禮部從長一併確議具奏不得瞻延欽此又該欽天監監正張守登等題為仰遵明㫖據實回奏節氣恭候聖鍳事内據厯科夏官正等官左允化等呈稱職等不敢不虚心攷正謹按郭守敬之法所推太陽行度春分亦開在本年二月初十日正值晝夜平分之日職等公隨禮部提督黄家瑞并在局官生測得赤道平分亦與新法相同厯法所註可攷也惟於十二日為春分者按大綂立法冬至日行盈積八十八日有竒當春分前三日交在赤道實行一象限而適平夏至日行縮積九十三日有竒當秋分後三日交在赤道實行一象限而復平正氣盈朔虚積餘生閏之法所以與新法不同若以太陽十五度為一氣則無積餘之數無積餘憑何生閏新法所謂庚辰嵗閏四月正坐此也臣等再四虚心攷正不敢偏執猶不敢不求至當以仰副聖明欽若至意等因十四年五月十五日奉聖㫖禮部覈議具奏欽此又該李天經題本年三月十六日辛夘夜望月食依新法推算月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出現食六分五十秒初虧酉正一刻强食甚戌初三刻半復圓亥初二刻强該臣於十六日會同禮臣王錫衮蔣徳璟黄景明黄家瑞逺臣湯若望監正張守登監副賈良棟率領監局官生劉有慶等赴觀象臺測候但察新法所推本日日入在酉正三刻初虧在酉正一刻故月出地平已見虧食當用黄赤經緯簡儀等器測得酉正四刻餘果見食四分有竒月已髙四度矣仍用本儀候至戌初三刻餘見食八分有竒候至亥初二刻覘見復圓時刻分秒及帶食諸數一一悉與新法相符此禮臣臺官之所目擊親驗者舊法時差四刻食少二分且門尚未閤業已虧食則所推一更一㸃者更大差謬倘不遵㫖大加釐正其舛錯將何極耶等因十四年五月十六日奉聖㫖禮部覆議具奏欽此又該李天經題為日月交食事内稱隨該禮部遵㫖公同監局諸臣親測過本年三月月食今八月十七日復委司務范方公測秋分是一嵗日月交食並四正定氣俱以公測而各法疎宻禮臣業已目擊親驗矣所是所非理宜據實入告大加釐正庶不悞協時正日之典若復承訛襲舛瞻延不決何以治厯授時不幾有負我皇上敬授欽若之徳意乎伏乞聖眀勅令禮臣於此畨交食公測後將從前測過交食節氣各法疎宻臚列上聞用疎用宻以聽聖裁等因十四年八月二十三日奉聖㫖禮部察議具奏欽此又該李天經題報九月十四日丁亥夜望月食分秒時刻該臣於本日會同禮部主事李含乙逺臣湯若望署欽天監事左監副賈良棟右監副周𦙍率領監局官生劉有慶等齊赴觀象臺測候用簡儀測至丒初二刻果見東南上初虧臺官隨測隨報禮臣登記在案又測至寅初初刻强見食有七分弱候至寅正二刻餘覘見復圓隨用立運儀測見月體髙有二十四度餘此番虧食時刻分秒與新法推算一一脗合若大綂所推每先天二刻而回回則後天不啻五六刻矣是夜天宇清徹人役嚴肅臺官調器部臣秉筆所測厯厯分明有如斯者是可以審疎宻而定厯法矣等因十四年九月二十三日奉聖㫖御前親測即用新法黄赤儀器極凖刻數著禮部覆議來行欽此又該李天經題十月初一日癸夘朔日食臣於本日會同禮臣李含乙監副賈良棟周𦙍并監局官生劉有慶朱光大等測得是日隂雲蔽天日體於薄雲中時見日晷等器難以取影帷臺上簡儀可以線對日體針指時刻為可定焉候至未初二刻日於雲薄處果見初虧不待初三矣於未正二刻已見退動則食甚在未正可知食約八分有餘又去申初逺矣及至申初二刻五十分已見復圓正所謂三刻弱於新法又合矣本日逺臣蒙禮部𫝊赴本部同測即同本局官生祝懋元等監官賈良琦等測至未初二刻時仰見初虧即報救䕶又用懸掛渾儀於未正一刻半測看日食八分有餘又用原儀逺鏡測看復圓乃申初三刻也此時凡在禮部救䕶朝臣所共見者若皇上於大内親測用黄赤儀之影圏以上對日體其所測時刻必有更凖於外庭者想在睿鍳中矣等因十四年十月初八日奉聖㫖御前測驗這次日食時刻分秒西法近宻禮部知道欽此又該李天經奏為交食屢測可驗明㫖乆稽未覆等因同日奉聖㫖新法已有㫖了著作速覆議來行該部知道欽此欽遵各抄到部送司卷查崇禎十二年十二月内該誥勅房辦事大理寺右寺正王應遴奏為欣逢頒厯之恩洊加驚媿修厯之局未了直陳欽天監未遵制㫖阻撓厯事縁由懇乞聖明乾斷容造新法厯様仰候鑒裁立完厯局事并歴議八欵定氣候正日躔覈太陽酌朔朢規年辰刪月令削冗尾附交食等因奉聖㫖本内事情該部查議具奏欽此欽遵在案相應察議具覆案呈到部看得古今治厯之家多矣其最精者漢雒下閎太初厯以鍾律唐一行大衍厯以耆䇿元郭守敬授時厯以晷景皆稱推驗之精而晷景為近然用之既乆皆不能無差葢天與日月星辰其體皆動而其最不可測者嘗在於秒忽之間推移盈縮聖智不能盡窮故雖以時分刻刻分秒非不致細而差之半秒積以嵗月則躔離朓朒皆不合原算此治厯之所以難言也我皇上因監法小差特置西法一局令舊閣臣徐光啟領其事隨允寺臣李天經逺臣湯若望等與欽天監張守登諸臣覿面講求逐年推較十餘年來如日月交食五星伏見之類臣等厯經會同觀測又恭遇御前亦用黄赤儀器親自臨驗奉有西法近宻之㫖則新法視監為善固昭然不待辯者守敬成厯時嘗言天體難測須每嵗測驗修改庶幾可使如三代日官世專其職髙皇帝精於觀天雖用守敬厯而特令劉基召集天下律厯名家者赴京詳議復自置觀星盤天文分野諸書且革囘囘監而别為一科葢其慎也當時博士元綂成化中邱濬正德中鄭善夫嘉靖中華湘萬厯中邢雲鷺諸臣皆以差訛疏請更正今得西厯與之較驗而舊厯之不能不差則守敬固已自言之矣臣部尚書林欲楫向與臣等詳察經緯新厯誠如所言交食節氣用新神煞月令諸欵用舊未為不可而再四商確有不得不鄭重者舊法用日度計日定率西法用天度因天立差舊法用黄道距度西法用黄道緯度雖微有不同然其黄赤儀與守敬簡儀仰儀候極景符玲瓏立運等儀亦皆相似特守敬而後其徒沿習不察耳自古厯法輒數十年一改逺不具論如漢凡三改厯唐七改厯宋則十八改厯本朝自洪武至今沿守敬厯行之殆三百餘年矣小差者惟日月交食時同刻異無大懸絶至置閏之差起於春秋分所差二日而西厯定分之日即舊厯所注晝夜各五十刻之日也在今日西法較宻在異日亦未能保其不差則一番更改良不易言據天經原疏曽請將在局生儒盡收之欽天監以便隨時測驗將新法暫附大綂以便公同攷証欽奉前㫖亦令監官張守登等于交食經緯晦朔弦望年逺有差誤者旁求參攷又以新法推測屢近著照囘囘科例收監學習實為得之似宜請㫖敕下另立新法一科令之專門𫝊習遇交食節氣經緯同異據法直陳以俟測驗大定而後徐商更改庶有當乎其寺臣李天經及逺臣湯若望中書王應遴新局官生光禄寺署正黄宏憲等累年所進厯書一百四十餘卷日晷星晷星球星屏窺筒諸器多厯學所未發專門勞績積有嵗年似宜量加叙錄而該監官生學習則有會典按月按季課試嚴行賞罰之例所當重加申飭者也乃臣等區區之愚猶有進焉厯為敬天授民設也敬天者順時布令觀變警心其所重莫如刑賞授民者東作西成南訛朔易其所重莫如桑農故堯舜之厯以釐工庶績為欽天而成周之厯以無逸豳風為月令非徒如保章挈壺之流斤斤於時刻分秒之末而已凡厯數始於河圖五十有五以十乘之為五百五十以五乘之為二百七十有五自洪武元年戊申距今壬午二百七十五年實為河圖中候宜修明禮樂先徳後刑勸民農桑敦崇仁厚以昌扶國脈肇萬年有道之長其斯為治厯之本務乎漢儒言明王謹于尊天慎于養人故立羲和之官以節授民事奉順隂陽則日月光明風雨時節灾害不生我皇上敬天勤民同符二帝知自有敬授精義非臣等迂陋所能測識萬一也伏乞聖明裁察施行所有原奉御前發下七政經緯新厯一套相應進繳崇禎十四年十二月具題十五年十二月奉聖㫖另立新法一科專門教習嚴加申飭俟測驗大定徐商更改亦是一議李天經等着量加敘錄本内遵天養民為治厯本務知道了該衙門知道督修厯法光禄寺卿支正三品俸臣李天經謹題為恭進壬午年七政經緯新厯事該臣督同在局諸臣依新法推算得崇禎十五年壬午嵗七政經緯新厯各一冊裝潢成帙進呈御覽臣謹按本局所推新法諸厯悉依天度起算其節氣交宫與夫伏見行度等項皆在天真正之實行度也所有置閏之法首論合朔後先次論月無中氣除十三年臣局依天度所推本年四月有閏已蒙聖明洞鑒新法合天衆心允服矣茲臣恭進十五年新厯而十月與十二月中氣適交次月合朔時刻之前所以兩月間雖無中氣而又不該有閏葢新法置閏專以合朔為主若中氣適在合朔時刻前者是中氣尚屬前月之晦則無閏若在合朔日時後者則前月當有閏而無疑也今臣等預察得崇禎十六年正月後有閏因正月後止有驚蟄一節而春分中氣在次月合朔之後是十六年當閏正月而無疑矣臣惟一代之興必有一代之厯臣自奉命修改數載已來諸曜皆蒙聖明内庭親測新法脗合似難枚舉即如本年日月兩食該臣具有交食屢測可驗一疏奉有新法已有㫖了著作速覆議來行之㫖又為日食事隨奉有御前測驗這次日食時刻分秒西法近宻之㫖至於舊嵗十三年恭進新厯一疏更奉有本内交食節氣等項用新神煞月令諸欵用舊務求折衷畫一以歸至當之㫖矣伏察從來督令禮部看議畫一及准該監旁求更正明命炳若日星想該部自能一一欽遵以副我皇上欽若敬授之徳意臣等猶冀我皇上詳察而乾斷焉緣係(云云)事理未敢擅便謹題請㫖計開七政新厯一冊經緯新厯一冊崇禎十四年十二月二十八日具題十五年正月初八日奉聖㫖禮部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為恭進癸未年七政經緯新厯再懇敕部速覆原疏以𢎞大典事該臣督同在局諸臣依新法推算得崇禎十六年癸未嵗七政經緯新厯各一冊裝潢成帙進呈御覽臣謹按本局所推新法諸厯悉依天度起算其節氣交宫與夫伏見行度皆在天真正實行之度也厯蒙聖明洞鑒内庭親測屢驗新法合天衆心允服矣其新法置閏來厯前疏已悉不敢贅陳所有禮部于前嵗題為謹遵屢㫖等事一疏專門傳習嚴加申飭之㫖併臣條議一疏俱奉㫖下部已乆尚未題覆伏祈敕部速覆俾各官生得以專意在局𫝊習共推新法以勷鉅典以鼔舞在局官生任事之心焉臣復察大綂所推金星於本月十七日在虚八度夕伏不見新法則推至月二十五日始伏二十八日始與太陽合伏臣坐守廣寧門時同諸臣于十七以後見日落時金星明明在上去地平甚髙可謂伏否時科臣光時亨素留心象緯者亦同訝金星之未伏而許新法之宻合也敢存此一段以為測驗大定之一據云敬因進呈而併及之臣不勝惶悚待命之至計開七政新厯一冊經緯新厯一冊崇禎十五年十二月二十五日具題十六年二月二十二日奉聖㫖這進厯准留覽原疏著與速覆其金星合伏日期察該監官何故推測互異著更用心講習務求至當該部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天經謹題為日食事該臣於正月十三日具本題知本年二月初一日乙丑朔日食分秒時刻依本局新法推歩日食五分三十秒初虧辰初四刻弱食甚已初初刻强復圓已正初刻半弱并具圖像及各省直食甚分秒時刻不同諸數俱已逐一開坐進呈御覽矣臣因坐守廣寧門預先移會修政厯法逺臣湯若望暨本局供事等官黄宏憲等至日前赴觀象臺公同測驗本月初一日據本局供事加光禄寺署正黄宏憲等回呈到臣開稱是日隨逺臣湯若望公同禮部主客司員外劉大鞏欽天監監副周𦙍及該監厯科天文科五官靈臺保章監候博士等官與本局供事加通政司經厯朱光大等在臺用本簡儀并所携新法赤道日晷測至辰初四刻弱用逺鏡映照果見初虧測至已初初刻强果見食甚五分二十餘秒測至已正初刻半弱瞻見復圓其日食分秒時刻并起復方位皆與本局新法所推宻合此係公同瞻測較驗無異等因偹呈前來即臣同坐門科臣光時亨臺臣鄭楚勛戚臣李國柱等等官亦用逺鏡及新法儀器映照測驗一一悉與新法脗合據實具題再祈皇上勅令禮部速覆另立新法科一疏庶便專門傳習更正無稽而盛世之大典亦得刻期告襄至於先後治厯諸臣前蒙俞㫖量加叙録日乆未覆更乞勅部一并題覆庶聖恩不致有虚矣敬因題覆日食而請及之緣係日食事理未敢擅便謹題請㫖崇禎十六年二月初二日具題六月二十九日奉聖㫖這日食分數時刻各有異同御前親測西法多合還與該監細加攷正以求畫一前有㫖立新法科量與敘録何未見覆行著禮部即行議奏又揭帖日食圖進覽事奉聖㫖宫中親測光禄寺卿管厯局事李天經謹題為月食事照得本年八月十五日丙子夜望月食其食限分秒并起復方位例應先期上聞除大綂囘囘二厯已經欽天監具題外所有厯局依新法推步諸數逐一開坐并具圖像進呈御覽臨期惟聽該衙門炤前自行觀候奏聞緣係月食事理未敢擅便謹具題知計開崇禎十六年八月十五日丙子夜望月食分秒時刻并起復方位月食五分一十秒初虧丑初一刻强 東北食甚丑初二刻半强 正北復圓寅初四刻弱 西北計食限内凡一十一刻弱食甚月離黄道降婁宫四度三十分為壁宿初度七分食甚月離赤道降婁宫三度六十六分壁宿四度八十八分食甚月離緯度距黄道南七十六分各省直食甚時刻南京應天府福建福州府丑正三刻弱山東濟南府丑正三刻弱山西太原府丑正二刻弱湖廣武昌府河南開封府丑正一刻半陜西西安府廣西桂林府丑正初刻强浙江杭州府丑正三刻强江西南昌府丑正二刻弱廣東廣州府丑正一刻强四川成都府丑初三刻貴州貴陽府丑初四刻弱雲南雲南府丑初二刻弱崇禎十六年七月二十六日具題光禄寺卿管厯局事臣李天經謹題為測驗月食事該厯局新法推步得本月十五日丙子夜望月食五分一十秒初虧丑初一刻强食甚丑正二刻半强復圓寅初四刻弱臣已於七月二十六日將諸數逐一開坐繪圖具題是夜督同逺臣湯若望及本局供事官黄宏憲朱光大王觀曉宋發朱光顯朱廷樞生儒掌乘宋可成李祖白焦應旭前赴觀象臺公同禮部尚書林欲楫祠祭司主事湯有慶及該監堂屬官生賈良棟等用本臺簡儀測至丑初一刻强已見月體東北初虧甚確嗣後隂雲漸布而月體雖為忽掩忽現然食分隠約可窺伹於食甚之際又因隂雲宻厚而難於凖測也候至寅初四刻之内雲忽開朗月體已見復圓且新法所推土星於食甚時在璧宿初度有竒觀之約與月體同度因察大統舊法所推土星則在璧宿七度其與初度相去甚逺在聖明御前親測自有洞鑒臣等欽遵臨期詳加測驗具奏之㫖理合據實奏聞緣係測驗月食事理臣等未敢擅便謹題請㫖崇禎十六年八月十七日具題禮部題為遵㫖具覆事祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出督修厯法加光禄寺卿李天經題為日食事内稱本年二月初一日乙丑朔日食奏報所食時刻分秒并請覆叙錄在局效勞官生緣繇崇禎十六年六月二十九日奉聖㫖這日食分數時刻各有異同御前親測西法多合還與該監細加攷正以求畫一前有㫖立新法科量與叙録何未見覆行著禮部即行議奏欽此欽遵抄出到部送司除日食分數時刻異同之故應聽厯局與該監細加考正以求畫一其立新法一科業於本年五月初五日已經本部條議具覆奉㫖遵行在案察崇禎十四年十二月該本部題為謹遵屢㫖察議具覆等事欽奉聖㫖李天經等著量加敘録欽遵在案又准李天經呈稱本寺自慙佔畢謬任董修數載艱辛雖有微績則叙録何敢仰徼本局累年所進厯書一百四十餘卷日晷星晷星球星屏窺筩諸器多厯學所未發專門勞績積有嵗年似應量加叙録悉奉俞㫖在案如修厯逺臣湯若望等譔書製器剏法超倫惟是殫精推測心血為枯不意鄧玉函羅雅谷二逺臣遂爾溘先朝露前功難冺理合請予祭葬湯若望首先剏法勞勩年深則酬庸之典似宜破格優賚所有逺臣焚修處所懇請勅建重修扁額字様以便朝夕焚修祝延聖壽仍懇補加光禄寺酒飯卓面半張以資朝夕此亦酧前勞而鼔後效之一議也所有本局供事中書王應遴加光禄寺大官署正黄宏憲加通政司經厯朱光大博士朱廷樞王觀曉周士昌宋發朱光顯勞績乆著五官正劉有慶賈良琦勞深績著所當一體加衘優叙等因通察案呈到部看得督修厯法光禄寺卿李天經創一代之新法正千古之𫝊訛步算既有成勞推測尤多應驗心血為枯功績難冺相應加秩優陞合聽吏部議叙如逺臣湯若望鄧玉函羅雅谷等剏法製器勞勩獨先似應優叙湯若望焚修處所應如厯臣所議勅賜重修扁額再加光禄寺酒飯卓面半張以資朝夕然鄧玉函羅雅谷既已物故相應優䘏其加銜大理寺右寺正王應遴率領講求積有嵗年新舊異同尤多㕘訂欽天監秋官正劉有慶中官正賈良琦諳習新法厯局供事光禄寺署正黄宏憲上林苑監右監丞陳亮采經厯朱光大博士朱廷樞王觀曉周士昌宋發朱光顯供事年深勤勞頗著各以原官量加一級以鼔後効及察欽天監監正戈承科監副賈良棟周𦙍等率領官生人等在局學習新法俟有成效綂容臣部另行議叙者也相應題請綂候聖裁勑下臣部遵奉施行崇禎十六年十月二十七日具題十一月初九日奉聖㫖李天經著吏部議叙湯若望准加給酒飯卓半張鄧玉函等優䘏王應遴等依議本内扁額是何字面竟未説明不必行若望仍另行議叙崇禎十六年十二月初二日内閣𫝊奉上諭逺臣湯若望還與他扁額著禮部擬字來看欽此𫝊奉到部隨蒙禮部擬字様二副一曰旌忠一曰崇義等因于崇禎十六年十二月十一日具題崇禎十七年正月初四日奉聖㫖着賜名旌忠以示朝廷柔逺優勞至意光禄寺卿仍管厯局事臣李天經謹題為恭進甲申年七政經緯新厯事臣謹按本局所推新法諸厯悉依天度起算其節氣交宫與夫伏見行度等項亦皆在天真正實行度分今督同在局官儒推算已完恭塵御覽伏乞睿鑒施行竊炤厯局供事官儒効力已乆茲僅聊聊數員崇禎十五年間禮部鑒其辛勤于謹遵屢㫖察議具覆疏内開稱十餘來如日月交食五星伏見之類臣等厯經會同觀測又恭遇御前亦用黄赤儀器親自臨驗奉有西法近宻之㫖則新法視該監為善固昭然不待辨者等因具題奉有俞㫖第察本年八月中禮部具題立科事宜又奉有本内朔望日月食如新法得再宻合著即改為大綂厯法通行天下之㫖臣等仰承聖眀欽若至意未敢凟陳原係(云云)事理未敢擅便謹題請㫖計開七政新厯一冊經緯新厯一册崇禎十七年正月初二日具題 日奉聖㫖新厯二冊著留覽李天經督修著勞知道了其供事官生著與量叙該部知道新法算書卷八
## 大測序
大測序
大測者測三角形法也凡測算皆以此測彼而此一彼一不可得測九章算多以三測一獨句股章以二測一則皆三角形也其不言句股者句與股交必為直角直角者正方角也遇斜角則句股窮矣分斜角為兩直角亦句股也遇或不可得分又窮矣三角形之理非句股可盡故不名句股也句股之易測者直線也平面也測天則圜面曲線非句股所能得也故有弧矢弦割圜之法弧者曲線弦矢者直線也以弧求弧無法可得必以直線曲弧相當相準乃可得之相當相準者圍徑之法也而圍與徑終古無相準之率古云徑一圍三實圍以内二徑之六弦非圍也祖冲之宻率云徑七圍二十二則其外切線也非圍也劉徽宻率云徑五十圍百五十七則又其内弦也非圍也或推至萬萬億以上然而小損即内弦小益即外切線也終非圍也厯家以句股開方展轉商求累時方成一率然不能離徑一圍三之法即祖率已繁不復能用况徽率乎况萬萬億以上乎是以甚難而實謬今西法以周天一象限分為半弧而各取其正半弦其術從二徑六弦始以次求得六宗率皆度數之正義無可疑者次求三要法相分相準以求各率而得各弧之正半弦又以其餘弧之正弦為餘弦以餘弦減半徑為矢弧之外與正弦平行而交於割線者為切線以他半徑截弧之一端而交於切線者為割線其與餘弦平行者則餘切線也即正割一線交於餘切線而止者餘割線也以正弦減半徑者餘矢也總之為八線其弧度分為五千四百每一度分有八線焉合之為四萬三千二百率也其用之則一形中有三邊三角任有其三可得其餘三也凡測候所得者皆弧度分也以此二三弧求彼一弧先簡此弧之某直線與彼弧之某直線推算得數簡表即得彼弧之度分不勞餘力不費晷刻為之者勞用之者逸方之句股開方以測圓者甚易而實是也然則必無差乎曰有之或在其末位如半徑設十萬則所差者十萬分之一也設千萬則所差者千萬分之一也厯家推演至㣲纎以下率皆棄去即謂之無差亦可故論此法者謂於推步術中為農夫之剡耜工匠之利噐矣測天者所必湏大於他測故名大測其解義六篇分為二卷八線表九十度分為六卷如左
## 卷九
欽定四庫全書
新法算書卷九 明 徐光啟等 撰大測卷一因明篇第一總論三十二條三角形者一形而三邊容有三角也如上圖甲乙丙為平面三角形丁戊己為球面三角形三角形各以兩邊容一角此兩邊為角形之兩腰第三邊為角形之底如前甲乙丙形若以甲乙甲丙為兩腰則容乙甲丙角(第二字為所指角)乙丙其底也餘二同丁戊己亦同各邊向一角者名為對角如前甲乙線向丙角者名為對丙角甲丙向乙名為對乙角角以何為尺度一弧之心在交㸃從心引出線為兩腰而弧在兩腰之間此弧即此角之尺度如上乙甲丙角其尺度則丁丙或戊己皆是其法甲為心其界或近如丁丙或逺如戊巳大測法分圏三百六十為度度析百分(中厯)或六十分(逺西)分或百析為秒遞析為百至纎而止(中厯)或析為六十秒遞析為六十至十位而止(逺西)圏愈大其度分亦愈大兩弧之分數等其圏等則弧亦等其圏不等弧亦不等其不等之兩弧名相似弧如上丁丙雖小于戊己而同對甲角即同為若干度分之弧也圏四分之一為九十度有弧不足九十度則其外至九十者名餘弧亦曰較弧亦曰差弧如甲丁弧四十度則丁至丙五十度為餘弧有弧大于象限(在九十以上)名為過弧如甲乙弧大于甲丁過九十度則丁乙為過弧半圏界一百八十度有弧小于半圏則其外至百八十度者名為半圏之較弧如甲乙弧小于甲乙丙半圏則乙丙為其較弧凡交角俱相等如甲與乙丙與丁皆交角相等(見㡬何第一卷)(十五題)如戊與己亦交角相等角有二類一直角一斜角凡直角其度皆九十斜角有二類一鋭角一鈍角鈍角者其度大于象限鋭角者其度小于象限角之餘與弧同理(或曰較角或曰差角)有兩角并在一線上為同方角并之等于兩直角如上甲與乙丙與丁皆是同方兩角等于兩直角故彼角為此角之較如前乙角即甲之較甲亦乙之較三角形或三邊等或兩邊等或三不等三角形兩腰等其底線上兩角亦等底上兩角等則兩腰亦等(見㡬何一卷第五)三邊形之三角等則三邊亦等三角形之角有二類一為直角三邊形一為斜角三邊形直角三邊形形内止有一直角直角三邊形之對直角邊名弦兩腰名句股(逺西句股俱名垂線互用)(之)斜角形其角皆斜斜角形有二類一曰鋭角一曰鈍角鈍角形止有一鈍角鋭角形三皆鋭角三角形有二類一曰平面上形一曰球上形論平面上三角形 十一條平面上三角形有三種一直線一曲線一雜線大測所論皆直線也凡等角兩三邊形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似邊(㡬何六卷第四題)凡兩三角形其角兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等(㡬何六卷第五方此二題為大測之根本不用開 直以比例得之)(法至簡用至大也)如上圖甲乙丙丁戊己兩形甲與丁乙與戊丙與己皆等角其旁各兩腰之比例等者十與六若五與三也更之則十與五若六與三也反之則六與十若三與五也凡兩形中各對相當等角之邊皆相似之邊如甲丙對乙丁己對戊而乙戊為等角者即甲丙丁己為相似之邊也三角形之外角與相對之内兩角并等(㡬何一卷之三十二)如上甲乙丙形之乙甲兩角并與甲丙丁角等三角形之三角并等于兩直角如上圖丁己庚直角與乙角等其甲丙二角并與丁己戊角等平面上三角形止有一直角或一鈍角其餘二必皆鋭角三邊形内之第三角為前兩角之餘角何者為前兩角不滿二直角故直角旁之兩腰其能與弦等能等者謂兩腰上兩方形并與弦上方形等也(㡬何一卷之四七)此理之用為先得二邊以求第三邊如甲乙丙形先得甲乙乙丙兩邊而求第三邊法以甲乙三自之為九乙丙四自之為十六并得二十五與甲丙之實等開方得甲丙弦五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙弦五而求乙丙則以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相減之較十六開方得乙丙四直角形之兩等邊有數則其弦無數可推若弦有數則兩等邊無數可推如上甲乙甲丙各三自之各九并之得十八乙丙上實十八開方得四餘實二分之或為八分之二或為九分之二八分之二則大于其真率九分之二則小于真率其乙丙真率無數可得更細分之亦復不盡直角三邊形之兩鋭角彼鋭為此鋭之餘如乙丙二鋭角丙為餘角為三角并等二直角此二鋭應等一直角乙一角不足一直角故丙角為乙角與直角相減之較平邊三角形在圏内其各角之度數皆為其對弧度數之半如上甲乙丙形三邊等分圏為三各弧俱一百二十度本形之三角等二直角并得一百八十則對弧百二十度倍于對角六十也平面兩三角形在圏内同底兩形之頂相連成一四邊形此形内有兩對角線則此形相對之各兩邊各相偕為兩直角形并與兩對角線相偕為直角形等如上甲乙丙甲丁丙兩三角形在甲乙丁丙圏内甲丙同底其頂乙丁相連成甲乙丁丙四邊形形内有甲丁乙丙兩對角線以此兩線相偕為直角形次以乙丁甲丙兩相對邊以甲乙丁丙兩相對邊各相偕為直角形題言後兩形并與前一形等其用為先得五線以求第六線(多羅某之法)論球上三角形 二十條凡球上三角形皆用大圏相交之角大測所用三角形之各弧必小于大圏之半球大圏分球為兩平分離于兩極各九十度彼大圏過此大圏之極此兩圏必相交為直角兩大圏相交為直角必彼大圏過此大圏之極如甲丙大圏其極乙丁有乙戊丁己大圏過兩極其交處如戊如己各成四直角球上角之處必從交引出為兩弧各九十度而遇一象限之弧兩遇處相去之度即此角之大如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大為㡬何度分不得用己庚弧為其尺度必從甲引出至乙至丙各為一象限之弧而戊丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧與甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大為甲角之大球上角之兩邊引出之至相遇即兩弧俱成半圏而兩對角必等如甲乙丙三角形從兩腰各引出之至丁則甲丙丁甲乙丁兩弧皆成半圏而甲與丁兩角等球上三角形有相對彼三角形與同底而對角等即彼形之兩腰為此形兩腰之餘腰(初腰不足一百八十度故後腰為半圏之餘)其彼此之同方兩角亦等兩直角而彼角為此角之餘角如上甲乙丙三角形與相對之乙丙丁同乙丙底而甲丁兩角等即乙丁為甲乙之餘弧丙丁為甲丙之餘弧丁乙丙角為甲乙丙之餘角(為甲乙丙不足兩直角故)乙丙丁角為甲丙乙之餘角球上直角三邊形或有一直角或二直角或三俱直角球上三邊形有一直角者或有兩鋭角或有兩鈍角或一鈍一鋭角如上甲乙丙形甲為直角其乙丙為兩鋭角乙丁丙形丁為直角其乙丙為兩鈍角若丁戊己形則其戊為鋭角其己為鈍角甲戊己形則其戊為鈍角其己為鋭角球上直角三邊形有兩鋭角則其對直角之直角三邊形有兩鈍角如前圖甲乙丙之甲直角與乙丁丙之丁直角相對者是球上直角三邊形有兩鋭角其三弧皆小于象限如前甲乙丙是球上直角三邊形有兩鈍角其兩腰皆大于象限而第三弧必小于象限如前乙丁丙是球上直角三邊形有一鋭一鈍角其鋭角之相對三角形亦有一直角兩鋭角如上圖丁乙丙三邊形丙為直角丁為鋭角乙為鈍角即丁鋭角之相對乙丙戊形其丙為直角(與乙丙丁并等兩直角)其乙與戊為兩鋭角球上三邊形有多直角其對直角之各弧皆為一象限如甲為直角乙丙弧對之為一象限餘二同(此圖為三直角題言多者以該二直角也)球上三邊形有二直角若第三為鋭角即對角之弧小于象限若鈍角即對角之弧大于象限如上丁戊己形丁戊皆直角己為鋭角即對己之丁戊弧小于象限甲乙丙形甲丙皆直角乙為鈍角則對乙之甲丙弧大于象限球上斜三角形有三類或俱鋭角或俱鈍角或雜鋭鈍角球上斜三角形俱鋭角者其相對三角形有兩鈍角一鋭角如上甲乙丙形三皆鋭角即相對丁乙丙形其乙丙為兩鈍角丁為鋭角球上三邊形俱鈍角者其相對三角形有兩鋭角一鈍角如上甲乙丙形三皆鈍角即相對乙丙丁形其乙丙為鋭鋭角丁為鈍角球上三角形之三角并大于兩直角有二直角即大何況一直一鈍以上割圓篇第二總論二十六條三角形有六率三角三邊是也測三角形者於六率中先得其三而測其餘三也(測三角形者止測其線非測其容測或作推或作解下文通用)測三角形必籍同比例法(亦曰三率法)同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分數欲明三角形六率之比例其中用弧者最為難定何者圓線與直線之比例從古至今未有其法故三角形何以有弧曰球上三角形其三邊皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直線測者三邊耳欲測其角非弧不得而弧為圓線無數可測故測弧者必求其與弧相當之直線與弧相當之直線者割圓界而求其直線之分與弧分相當者是也割圓之直線有四一曰弦一名通弦二曰半弦皆在圓界内三曰切線在圓界外四曰割線在圓界之内外弦者直線在圏内從此㸃至彼㸃分圏為兩分凡弦皆對兩弧一上一下如上圖甲乙為弦分甲丙乙丁圏為兩分甲丁乙為大分甲丙乙為小分則甲乙弦上當甲丙乙小弧下當甲丁乙大弧正弧者從弧作垂線至全徑上如上圖從丁作甲乙之垂線若從丁直至戊則為通弦故丁丙為半弦半弦又有二種有正弦有倒弦正半弦是直線在半圏内從弧作垂線至徑上分半圏為不等之兩分一大弧一小弧此半弦當小弧亦當當大弧(當者為小弧之半弦亦為大弧之半弦)如上圖從己弧下至甲乙全徑上作己庚垂線分甲丙乙半圏為不等兩分乙己弧為小分己丙甲弧為大分則己庚為己乙小弧之半弦又為己丙甲大弧之半弦正半弦從一㸃作兩半弦第一為前半弦第二為從半弦又為餘弧弦又為較弦又為差弦如前圖先論己庚即為前半弦其己戊即為後半弦又為餘為較者乙己丙弧九十度乙己不足九十度則己丙為餘弧亦為較弧故己戊為其餘弦較弦也前後兩半弦其能等于半徑如上圖庚己為前弦當乙己弧己戊為後弦當己丙餘弧戊己弦等于丁庚(㡬何一卷三十)(四)則丁己半徑上方與庚己己戊上兩方并等故云兩半弦之能等于半徑論曰兩半弦互為垂線則己庚丁為直角而對直角之弦己丁上方與勾股上兩方并等(㡬何一卷四十七)系直角三邊形内有半徑亦有一半弦即可求後半弦法曰半徑上方形實減半弦上方形實其較即後半弦上方形之實開方得後半弦如丙乙半徑十甲乙前半弦六而有丙甲乙直角今求丙甲後半弦其法丙乙自之為百甲乙自之為三十六相減餘六十四即甲丙方之實平方開之得八兩正弦之較與紀限左右距等弧之半弦等(六十度為紀限)解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩弧等其兩半弦一為己辛一為丁庚兩半弦之較為丁癸題言丁癸較與己壬半弦壬丁半弦各等論曰試作一己子線則丁己子成三邊等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子戊同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度其乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線截二線于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與己與全子三角既等兩直角(一卷)(三十二)則共為一百八十度於中減全子角六十度則丁己兩角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等其前兩正半弦之較即後兩半弦如前圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半弦己辛簡表先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚兩半弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半弦(此設數半徑一萬)倒弦者餘弦與全數之較本名為矢如上圖甲丙徑以乙丁正半弦分徑為二分一為甲丁一為丁丙其丁丙即乙丁正半弦之倒弦也矢有二有大有小如上圖甲丁為大矢與甲乙弧相當丁丙為小矢與乙丙弧相當矢加于餘半弦即半徑如上圖乙己為乙丁正弦之餘弦以加丁丙即半徑為乙己與丁戊等故切線者弧之外有線為徑一端之垂線半徑為底線而交於截弧之弦線(弦線者勾股之弦非弧矢之弦也)如上圖戊丙弧乙丙為半徑從丙出垂線至丁又從乙出線截戊丙弧于戊而與丁丙線交于丁即丁丙為切線與戊丙弧相當也割線者從心過弧之一端而交于切線如上圖乙戊丁線為割線與戊丙弧相當也故戊丙弧在三角形内其句為半徑其股為切線其弦為割線皆與戊丙弧相當之直線又戊丙一弧其相當之直線有四一丁丙切線一乙丁割線一戊己正半弦一己丙矢定割圓之數當作割圓線之立成表(一名三角形表一名度數表今名大測表)大測表不過一象限古用弦則須半周如上圖用弦則乙丙弧必得乙丙弦乃至乙庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百八十度之弦也因此術既繁且難後從簡便則以半弦當之為各半弦可當上下兩弧故不過一象限而足也如上圖辛壬半弦當乙壬小弧亦當壬己甲大弧庚己半弦當乙己小弧亦當己甲大弧且一象限之外無切線亦無割線故用半圏之全不如象限之半也大測表不止有各弧之各度數亦有其各分數(欲極詳亦可析分為)(十為六也但少用耳)作大測表先定半徑為若干分愈多愈細凡割圓四線大抵皆不盡之數無論全數不盡即以畸零法命其分亦不能盡故大測表不得謂其不差但所差甚少不至半徑全數中之一耳假如半徑為千萬表中諸線中不至差千萬分之一分自一以内或半或大或少不能無差而微乎微矣故作表中半徑必用極大之數最少者一萬以上或至百萬千萬或至萬萬可也(七位即千萬八位即萬萬)定半徑之全數即可求一象限内各弧各度分之半弦以此半弦可求得其切線割線凡半徑用數少即差多(如用千則差千之一用萬則差萬之一)用極大之數即難推(如用萬萬以上數極繁矣)今定為㡬何則可曰凡半徑之數其中之小分與半弧度分之小分大約相等而上之即是中數假如欲測有分之弧問半徑應定㡬何分曰一象限九十度毎度六十分則一象限五千四百分又古率圓與徑之比例大畧為二十二與七則象限弧與半徑之比例若十一與七如上圖周二十二四分之則一象限為五又半徑七二分之則三又半此二比例有畸零之數故各倍之為十一與七也今用同比例法(即三率法)以象限十一為第一數以半徑七為第二數以象限五千四百分為第三數而求得第四數為三千四百三十六故半徑分為三千四百三十六則半徑之各分略象等于一象限之各分五千四百也故用大數最少一萬為與五千相近用此乃可推有分之弧也欲推弧分之秒亦用此法其象限為三十二萬四千秒依三率法十一與七若三十二萬四千與二十○萬六千一百八十二其半徑細分與象限之分秒相等而上之必用百萬表原篇第三表原者作表之原本也測圓無法必以直線直線與圓相準不差又極易見者獨有六邊一率而已古云徑一圍三是也然此六弧之弦非六弧之本數自此以外雖分至百千萬億皆弦耳故測弧必以弦弦愈細數愈宻其法仍由六邊之一準率始自此又推得五率此六率皆相準不差但後五率其理難見推求乃得是名為六宗率其法先定半徑為若干數(今用一千萬)則作圏内六種多邊形(俱見㡬何第四卷)推此六形各等邊之數得此六數即為六通弦各當其本弧因以為作表原本宗率一 圏内六邊等切形求邊數㡬何原本四卷十五題言六邊等形在圏内者其各邊俱與半徑等半徑既定為千萬即邊亦千萬凡邊皆弦也圏分三百六十度此各弦相當之弧各六十度各與千萬相當矣相當者千萬即六十度弧之弦也如上乙丙圏内有六邊等形其半徑甲乙既定為千萬即乙丙弦為六邊形之一邊亦千萬而相當之乙丙弧六十度宗率二 内切圏直角方形求邊數㡬何四卷第六言一線在圏内對一象限為方形邊其上方形等于兩半徑上方形并(㡬何一卷四七)此句股法也故用兩半徑之實并而開方而得本形邊如上乙丙圏内方形甲乙為半徑句股法甲乙甲丙上兩方并與乙丙上方等即以之開方而得乙丙邊今兩半徑上方形并為二○○○○○○○○○○○○○○(此數為二百萬萬萬)(旁作㸃者萬也末○為單數)以開方得其邊一千四百一十四萬二千一百九十六此為乙丙弧之弦也乙丙弧為四分圏之一九十度則乙丙弦數為乙丙九十度弧相當之數宗率三 圏内三邊等切形求邊數㡬何十三卷十二題言三邊等形内切圏其各邊上方形三倍于半徑上方形(丁乙方與丙丁丙乙兩方等而四倍于于丙丁丙丁形則丙乙為丁乙四之三而三倍)如上乙丙圏甲乙為半徑乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半徑上方為三○○○○○○○○○○○○○○(此數為二百萬)(萬萬有奇)開方得一千七百三十二萬○五○八弱宗率四圏内十邊等切形求邊數㡬何十三卷九題言以比例分半徑為自分連比例線其大分則十邊等形之一邊如上圖甲乙半徑與戊己等用自分連比例法(㡬何六卷三十)(稱理分中末線)分為大小分其大為丁己與十邊形之乙丙邊等蓋戊己線與己癸等己癸線既兩平分于庚則戊己己庚線上兩方并與庚戊上方等(㡬何一卷四十七)今以庚戊上方開得庚戊線為一千一百一十八萬○四百三十○次減去己庚五百萬餘六百一十八萬○四百三十○即丁己線亦即乙丙弦而乙丙弧為全圏十分之一得三十六度是乙丙為三十六度弧之弦也宗率五 圏内五邊等切形求邊數㡬何十三卷第十題言圏内五邊等切形其一邊上方形與六邊等形十邊等形之各一邊上方形并等如上圏内甲乙戊為五邊等形甲丙己為六邊等形甲丁乙為十邊等形題言甲丁甲丙上兩方并與甲乙上方等者前言甲丙半徑為萬萬甲丁線為六百一十八萬○四百三十○各自之并得數開方得甲乙線為一千一百七十五萬五千七百○四弱其弧五分全圏得七十二即甲乙為七十二度弧之度宗率六 圏内十五邊等切形求邊數㡬何四卷十六題言圏内從一㸃作一三邊等形又作一五邊等形同以此㸃為其一角從此角求兩形相近之第一差弧即十五邊形之一邊如上圖從甲㸃作甲乙丙三邊形甲丁戊五邊形求得兩形相近之第一差為乙戊即十五邊等形之一邊乃丁乙全差之半其數先有三邊形之乙丙一百二十度之弦為一千七百三十二萬○五百○八弱又有五邊形之戊子七十二度之弦為一千一百七十五萬五千七百○四弱則乙庚六十度之正弦為乙丙之半得八百六十六萬○二百五十四弱戊辛三十六度之正弦為戊子之半得五百八十七萬七千八百五十二兩相減餘為乙癸得二百七十八萬二千四百○二夫乙己半徑上方減壬乙六十度之正弦乙庚上方餘己庚依開方法為五百萬己子半徑上方與己辛三十六度之正弦辛子上兩方并等依前法亦得己辛八百○九萬○一百七十○己辛己庚兩相減餘為庚辛得三百○九萬○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八萬二千四百○二今得戊癸三百○九萬○一百七十○用句股術求得乙戊弦為四百一十五萬八千二百三十四為十五邊等形之一邊其乙戊弧為全圏十五分之一得二十四則乙戊為二十四度弧之相當弦六題總表邊 弧度 弦數三 一百二十 一七三二○五○八四 九十 一四一四二一九六五 七十二 一一七五五七○四六 六十十 三十六 六一八○三四○十五 二十四 四一五八二三四既得全數今推半弧(即半角)半弦弧度 半弦六十 八六六○二五四四十五 七○七一○九八三十六 五八七七八五二三十 五○○○○○○十八 三○九○一七○十二 二○七九一一七新法算書卷九
## 卷十
欽定四庫全書
新法算書卷十 明 徐光啟等 撰大測卷二表法篇第四既得前六宗率更用三要法作表要法一 前後兩弦其能等于半徑(圖説系法俱見本篇總論第十二條)要法二 有各弧之前後兩弦求倍本弧之正弦如上甲戊弧三十五度其正弦為戊己得五七三五七六四其餘弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦求倍甲戊而為甲丁弧之正弦其法以乙戊半徑千萬為第一率以戊己正弦為第二率以乙壬餘弦為第三率即得壬庚第四率與辛癸等為四六九八四六二倍之得丁癸為九三九六九二四其弧甲丁七十度論曰乙戊己與乙壬甲兩三角形比例等則乙己與乙壬等而戊己與甲壬亦等乙己與乙壬等故乙壬為餘弦也而乙壬庚乙戊己兩形之比例等故第四率為壬庚壬庚與辛癸同為直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同為直角則甲戊戊丁兩弧等甲壬壬丁兩弦亦等而丁辛與壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲兩形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之為甲癸以減半徑得癸乙為餘弦要法三各弧之全弦上方與其正半弦上偕其矢上兩方幷等句股術也如上甲丁弧之正弦為丁辛其矢為甲辛此兩線上方幷與甲丁上方等系法有一弧之正弦及其餘弦而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正弦為丁辛餘弦為乙辛而求甲戊弧之甲己半弦其法于甲乙半徑減乙辛餘弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并與甲丁通弦上方等開方得甲丁線半之得甲己為甲戊弧之正弦其數如上甲丁弧三十度其半弦丁辛為五○○○○○○乙辛餘弦為八六六○二五四以減全半徑得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方為二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方為一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六開方得甲丁線五一七六三六○即甲丁弧三十度之弦也半之為甲己半弦得二五八八一九○其弧十五度用前三要法即大測表大畧可作又有簡法二題其用甚便但非恒有簡法一 兩正弦之較與六十度左右距等弧之正弦等(見本卷第二篇)解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧為六十度而戊己戊丁兩弧等其前兩正弦一為己辛一為丁庚其較丁癸題言丁癸較與己壬壬丁兩正弦各等論曰試作一己子線則丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子兩三角形此兩角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己兩腰等則丁壬己壬兩直角亦等而丁子子己兩底亦等子丁己子己丁兩角亦等又丙戊弧既六十度其餘戊乙弧必三十度而乙甲戊角為三十度角甲乙庚丁既平行甲戊線截二線于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己為六十度角也丁與全己全子三角既等兩直角(一之三十二)則共為一百八十度于中減全子角六十度則丁己兩全角百二十度而此兩角既等即各得六十度則此形之三角三邊俱等夫丁己己子兩線等則己癸垂線所分之丁癸子癸兩直角亦等而己癸同腰則丁癸與癸子必等丁癸為丁子之半丁壬為丁己之半全線等則所分必等是丁癸與丁壬等與壬己亦等系題兩弧各有其正半弦兩半弦至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等則前兩正半弦之較即後兩半弦如圖丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦為丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚兩半弦相減得丁癸較一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半弦(此數半徑設一萬)次系有六十度左右相離弧之正弦一率又有其原正弦一率而求其相對之彼正弦其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正弦與相離弧之正弦相減其較為小弧之正弦(餘則稱餘倒則稱倒)以小求大者用相離弧之半弦加小弧之半弦即大弧之半弦如上丁壬離弧之正弦即己壬與丁癸較等為一千七百三十六丁庚大弦為九千三百九十六相減得癸庚七千六六○即己丙弧之己辛小弦反之丁癸較為一千七百三十六(即丁壬離弦)以加于癸庚(即辛己小弦)七千六百六十得丁庚大弦九千三百九十六用此法于象限内先得半弦六十率用加減法即得其餘三十率簡法二 有兩弧不等之各正弦又有其各餘弦而求兩弧相加相減弧之各正弦其法有二一相加一相減相加者以前弧之正弦乘後弧之餘弦以後弧之正弦乘前弧之餘弦各得數并之為實以半徑為法而一得兩弧相加為總弧之正弦相減者亦如前法互乘得各數相減餘為實以半徑為法而一為兩弧相減弧之正弦如上甲乙前弧二十度乙丙後弧十五度總三十五度其差五度甲乙弧之半弦為三四二○二○一其餘弧甲丁之半弦為九三九六九二六乙丙弧之半弦為二五八八一九○其餘弧乙丁之半弦為九六五九二五八以甲乙半弦與丙丁餘弦之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半弦與甲丁餘弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三(以下滿半收為一不滿去之)三七七六五九八以半徑為法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半弦若以相減則餘八七一五五七三九六五一一八以半徑為法而一得八七一五五七即○五度弧之半弦此題多羅某所用全弦故説中云半弦而圖與數皆全弦然全與全半與半比例等則亦未有異也有前六宗率為資有後三要法為具(資為材料具如器械)即可作大測全表如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通之他率弧 度 分 用法得半弦數正弧 一二 二○七九一一七(半之) ○六 一○四五二八五(又半之) ○三 五二三三六○(又半之) ○一三○ 二六一七六九(又半之) ○○四五 一三○八九六其餘弧 八四 (六度之餘)第一九九四五二一九八七 (三度之餘) 九九八六二九五八八三○(一度半之餘) 九九九六五七三八九一五(○度四十五分之餘) 九九九九一四三弧 度 分 用法得正弦數(半其餘八十四度)四二 六六九一三○六(半之) 二一 三五八三六七九(又半之) 十○三○ 一八二二三五五(又半之) ○五一五 九一五○一六(半其餘八十七度)四三三○ 六八八三五四六(又半之) 二一四五 三七○五五七四(半其餘八八三○)四十四 十五 六九七七九○五又用前七率之餘弧而求其正弦四八 (四十二之餘)第一七四三一四四八六九 (二十一之餘) 九三三五八○四七九三○(十度半之餘) 九八二二五四九八四四五(五度十五分之餘) 九九五八○四九四六三○(四十三度半之餘) 七二五三七四四六八一五(二十一四十五分餘) 九二八八○九六四五四五(四十四十五分之餘) 七一六三○一九又半前七率而求其正弦二四 (四十八之半) 四○六七三六六弧 度 分 用法得正弦數三四三○(六十九之半) 五六六四○六二一七一五(三十四三十分之半) 二九六五四一六三九四五(七十九三十分之半) 六三九四三九○二三一五(四十六三十分之半) 三九四七四三九又用前五率之餘弧而求其半弦六六 (二十四之餘)第一九一三五四五五五五三○(三十四三十分之餘) 八二四一二六二七二四五(十七度十五分之餘) 九五五○一九九五○一五(三十九四十五分餘) 七六八八四一八六六四五(二十三度十五分餘) 九一八七九一二又半前五率而求其正弦三三 (六十六之半) 五四四六三九○一六三○(三十三之半) 二八四○一五三○八一五(一十六三十分之半) 一四三四九二六二七四五(五十五三十分之半) 四六五六一四五又用前四率之餘弧而求其正弦五七 (三十三之餘)第一八三八六七○六弧 度 分 用法得正弦數七三三○(十六度三十分之餘)第一九五八八一九七八一四五(八度十五分之餘) 九八九六五一四六二一五(二十七四十五分餘) 八八四九八七六又半前四率而求其正弦二八三○(五十七度之半) 四七七一五八八一四一五(二十八三十分之半) 二四六一五三三三六四五(七十三三十分之半) 五九八三二四六又用前三率之餘而求其正弦六一三○(二十八度三十分餘)第一八七八八一一一七五四五(十四度十五分之餘) 九六九二三○九五三一五(三十六四十五分餘) 八○一二五三八又半前六十一度三十分而求其正弦三○四五 五一一二九三一又用前三十○度四十五分之餘而求其正弦五九一五 第一八五九四○六四已上皆十二度所生之率再用其餘弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧為前六宗率之十五邉形也其餘五形如三邊四邉五邉六邊十邉形亦如前法作此既畢即大測表之大段全具矣何者首得者四十五分其次為一度三十分又次為二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半弦一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半弦為六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半弦為三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之後弧而前半弦亦倍于後半弦蓋繇初度之弦與弧切近畧似相合為一線故也則用同比例法(即三率法)以二十二分三十秒之弧為第一率以其半弦六五四四九為第二率設十分之弧為第三率而得第四率為二九○八八再用此法得一分之弧為二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度其求切線皆用三率法以餘半弦為第一率以半弦為第二率以半徑為第三率而得第四切線如三十度之弧其餘半弦八六六○二五四為第一率其半弦五○○○○○○為第二率半徑一○○○○○○○為第三率則得第四率五七七三五○二其求割線亦用三率法以餘半弦為第一率半徑為第二率又為第三率而得割線第四率如前戊乙為三十度之弧其餘半弦甲丙八六六○二五四為一率半徑甲戊一○○○○○○○為二率又以半徑甲乙為第三率而得甲丁一一五四七○○五為三十度弧之割線其求割線之約法不用三率而用加減法如上乙己弧二十度其切線為乙戊餘弧為己丙七十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧與己丁等次作乙辛切線得數以加乙戊切線即兩切線并為戊乙辛切線與甲戊割線等其求矢法以餘半弦減半徑得小矢如丙丁弧五十度餘弧甲丁四十度其餘半弦丁戊即己乙為六四二七八七六以減乙丙千萬得己丙矢已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析為六十今中厯遞用百析為便故須會通前表為百分之表其會通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五為法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十(三五) (六十) (九五十) (十二二十) (十五五十八十二十一五二十四二十 三 三十 四十) (二十七四十五) (三十五十)(三三五五) (三六六十) (三九六五) (四二七十) (四五七五) (四八八十) (五一八五) (五四九十) (五七九五) (六十百)通表法書各度之四種割圓線中西法皆同所不同者分也其分數書五分用其三分之率書十分用其六分之率如是逓至于百所闕者每二率相距少其間四率耳則用加減法求之如二十四度○三分即中五分也其小弦數(小弦者十萬為半徑)(也)四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半弦四○八三三其差八十五分之得十六為一差以加于前小半弦即得四○七六九為中厯二十四度六分之半弦再加一差得四○七八五為七分之半弦三加得四○八○一為八分之半弦四加得四○八一七為九分之半弦五加得四○八三三為十分之半弦合前率矣如是逓加之得六十與百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差數有畸零不盡者如西表二十四度二十七分之半弦為四一三九○又二十四度三十分之半弦為四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四為一差通之則從中表二十四度四十五分首加一差二十四度四十五分 四一三九○(差法)一五 五之四四十六分 (加一差) 四一四○五 五之四四十七分 (加二差) 四一四二一 五之三四十八分 (加三差) 四一四三七 五之二四十九分 (加四差) 四一四五三 五之一五十○分 (加五差) 四一四六九如上有畸零者滿半收為一不滿去之考表法 作表未必無誤其考之之法如表書七十七度一十八分其切線為四四三七三四九九此率如屬可疑則以前後各二率考之表用篇第五表用一 有弧數求其正弦如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分表得六一四二八五三又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本度本分之半弦為六一四二八五三又取次率五十五分之半弦為六一四五一四八相減得差二二九五(若表上有)(差率即取本差)此差以當六十秒用三率法以六十秒為第一率以二二九五差為二率以四十六秒為三率而求四率得一七五九以加所取之前半弦六一四二八五三共得六一四四六一二即所求系凡求切線割線同上法次系有正弧求餘弦視本弧同位之餘度分向正弧表上取其正弦如求三十度之餘弦視正弧表上與同位者為餘弦六十度即向正弧六十度取其弦八六六○二五四即三十度之餘弦(表上逆列同位者為五十九度六十分而此言六十度盖并其六十分為六十度其)(逆列六十度者則是六十一度何者凡所書弧分皆所書弧度之算外分故也)又如求五十度○分之餘弦本表逆列同位者為三十九度六十分即于正弦表上簡三十九度六十分之弦得六四二七八七六即所求三系測三角形欲得見弧(見弧者有己得之弧而求其弦也隠弧者有己得之弦而)(求其弧也凡己得者稱見未得稱隠諸線諸角之屬皆倣此)之各線查表之本度分直取之則各線咸在也如弧三十度求其割圓各線即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度(初分)正弦 五○○○○○○切線 五七七三五○三割線 一一五四七○○五餘(五十九度六十分)弦 八六六○三五四切線 一七三二○五○八割線 二○○○○○○○四系有鈍角求其各線如鈍角一百四十二度六分其正弦則以一百四十二度六分減半周餘三十七度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三如上丙丁正弦當丙乙小弧亦當丙戊大弧故當丙甲丁鋭角亦當丙甲戊鈍角何者甲上鋭鈍二角原當兩直角而表上無鈍角之弧與其正弦故減鈍角于百八十度得鋭角三十七度五十四分其半弦丙丁以當丙戊大弧即以當大弧之鈍角也表用二 有正弦求其弧與前題相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧查表上正弦格得此數即得本度為六十二本分為四十四也又如正弦五七六五八三四求弧查表無此數即取其近而畧小者得三十五度十二分之弦為五七六四三二三與見弦相減餘一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○與前小弦相減餘二三七七以此大差當六十秒用三率法以二三七七大差為第一率以六十秒為第二率以一五一一小差為第三率而得第四率為三十五度十二分三十秒即所求他各線求弦俱倣此表用三 有弧求其通弦如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三十七度五十四分求其正弦得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求如甲乙弧七十五度四十八分半之為乙戊弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦無表故用半弧正弦倍之即是他準此表用四 有弧求其大小矢如乙丁弧三十七度五十四分求兩矢查表截矢數得乙丙小矢為二一○九一五九以減全徑二○○○○○○○得大矢一七八九○八四一如表無小矢即求見弧之餘弦得七八九○八四一以減半徑得小矢測平篇第六測平者測平面上三角形也凡此形皆有六率曰三邊曰三角角無測法必以割圓線測之其比例甚多今用四法以為根本依此四根法可用大測表測一切平面三角形亦執簡御繁之術也凡測三角形皆用三率法(即同)(比例)三率法又以相似兩三角形(幾何六卷四)為宗下文詳之根法一 各三角形之兩邊與其各對角兩正弦比例等一云右邊與左邊若左角之弦與右角之弦如上甲乙丙平面三角形其甲丙兩為鋭角即以甲為心甲乙為半徑作乙戊弧次作乙己垂線即乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲乙為度從丙截取丙庚從丙心庚界作庚辛弧又作垂線庚丁即庚辛弧與丙角之正弦也題言乙角之甲乙右邊與乙丙左邉若左角丙之庚丁正弦與右角甲之乙己正弦論曰乙丙己三角形有乙己庚丁兩平行線即乙丙與乙己若庚丙與庚丁而丙庚原與甲乙等即乙丙與乙己若甲乙與庚丁更之即甲乙與乙丙若庚丁與乙己如上甲乙丙形乙為直角有丙乙丁戊兩平行線即甲丙與丙乙若甲丁與丁戊而乙丙與甲丁等即甲丙與丙乙若丙乙與丁戊反之則丙角之丙乙右邊與丙甲左邊若左角甲之丁戊弦與右角乙之丙乙弦如上甲乙丙形乙為鈍角其正弦丙壬而甲戊線與乙丙等甲角之正弦為戊己題言丙角之甲丙右邊與丙乙左邊若左角乙之丙壬弦與右角甲之戊己弦何也試于形外引甲乙至丁作丙丁線與丙乙等即丁角與乙鋭角等依首條甲丙與丙丁若丙壬與戊己即甲丙與丙乙亦若丙壬與戊己總論之各三角形各兩邊之比例與兩對角之兩正弦比例等者何也試于形外作切圏則三邊為三弦而本形之各邊皆為各對角之通弦即乙丙邉與甲乙邉若甲角之弦與丙角之弦也當已即是豈止同比例而已乎夫全與全半與半比例等則各半弦與各通弦之比例亦等此題為用對角根本根法二 各三角形以大角為心小邊為半徑作圏而截兩邊各為圏内外兩線即底線與兩腰并若腰之外分與底之外分如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲為心甲丙為半徑作圏截底于戊截大腰于庚題言乙丙底與乙甲甲丙兩腰并若腰外分乙庚與底外分乙戊論曰試作乙己引出線即甲己與甲丙等而乙己與兩腰并等乙己乙庚矩内形與乙丙乙戊矩内形兩容等(幾何三卷三五)即兩形邉為互相視之邊而乙己與乙丙若乙戊與乙庚既得乙戊底外分以減全底得戊丙半之得垂線所至為丁丙此題為用垂線根本根法三 有兩角并之數又有其各正弦之比例求兩分角之數如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之數其兩分之大角為乙甲壬小角為壬甲丙未得數但知大角正弦乙丁小角正弦丙戊之比例亦未得數而求兩分角之數其法以乙辛丙弧兩平分于辛作甲辛線乙甲辛辛甲丙兩角等而辛甲壬角為半弧與小弧之差又為大弧與小弧之半差次截辛庚弧與辛戊等作甲庚線即庚甲壬角為大小兩弧之差夫乙丙者總角之弦乙丑平分弧之正弦而己辛為乙辛半弧之切線辛癸為辛丙半弧之切線此二線等而辛壬辛庚各為半差弧之切線亦等又乙丁子子丙戊兩形為兩正弦上三角形此兩形之丁與戊皆直角又同底即兩正弦之對角為子上兩交角亦等(幾何一卷十題)而丁乙子子丙戊兩角亦等(幾何一卷三二)則兩形為相似形而乙丁正弦與丙戊正弦若乙子與子丙(幾何六卷四)先既有乙丁丙戊兩正弦之比例即得乙子與子丙之比例而又得乙子與子丙之較為子寅夫乙丙己癸兩線同為甲辛半徑上之垂線即平行甲乙丙甲己癸兩形之各角等即為相似之形(六卷四)而兩形内所分之各兩三角形如甲庚癸甲寅丙之類俱相似即以兩線之并數乙丙為第一率以兩線之差數子寅為第二率以兩半弧之兩切線己癸為第三率則得兩差弧之切線庚壬為第四率矣而此比例稍繁别有簡者則半之曰丙丑與子丑若癸辛與壬辛也有更簡者則曰乙丙與子寅若辛癸與辛壬也今用第三法云乙丙為兩邉之并數子寅其較數辛癸為兩角總數内半弧之切線而辛壬為大小兩角較弧之切線既得辛壬切線即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以減辛甲丙半角即得壬甲丙小角以數明之乙甲丙角為四十度所包大小兩隠角為乙甲壬壬甲丙其兩正弦乙丁丙戊之比例為七與四即乙子子丙之比例亦七與四而乙丙之總數如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙兩弧各二十度又以大線七與半線相減餘一有半以半線五有半與小線四相減亦餘一有半又甲辛為半徑即辛丙二十度弧之切線辛癸為三六三九七○二即以丑丙五有半為第一率以辛癸切線三六三九七○二為第二率以子丑一有半為第三率而得辛壬切線九九二六四六為第四率既得第四率即得辛壬所當辛甲壬角為五度四十○分八秒以減辛丙二十度餘壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒此題為用切線根本根法四 凡直角三邊形之各邉皆能為半徑其一以弦線為半徑作弧即餘兩腰包直角者各為其對角之正弦如上甲乙丙形其乙丙為對直角之弦線以為半徑作丁丙弧即甲丙小腰為對角乙之正弦甲乙大腰為對角丙之正弦其二以大腰為半徑即小腰為小角之切線而弦線為小角之割線如上甲乙大腰為半徑即甲丙小腰為乙小角之切線而乙丙為乙角之割線其三以小腰為半徑即大腰為大角之切線而弦線為大角之割線如上甲丙小腰為半徑即甲乙大腰為丙大角之切線而乙丙弦線為其割線此題為用割圓各線根本新法算書卷十
## 測天約說叙目
測天約説叙目
測天者脩厯之首務約説者議厯之初言也不從測候無縁推筭故測量亟矣即測候推筭亦非甚難不可幾及之事所難者其數曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自簡者始欲窮其密隠宜自顯者始約説之義則總厯家之大指先為簡顯之説大指既明即後來所作易言易知漸次加詳如車向康莊此為發軔已又古之造厯者不欲求明抑將晦之諸凡名義故為隠語諸凡作法多未及究論其所從來與其所以然之故牆宇既峻經途斯狹後來學者多不得其門而入矣此篇雖云率略皆從根源起義向後因象立法因法論義亦復稱之務期人人可明人人可能人人可改而止是其與古昔異也或云諸天之説無從考證以為疑義不知厯家立此諸名皆為度數言之也一切逺近内外遲速合離皆測候所得舍此即推步之法無從可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模實然實不然則天載幽𤣥人靈淺尠誰能定之姑論而不議可矣都為二卷共八篇如左
## 卷十一
欽定四庫全書
新法筭書卷十一 明 徐光啟等 撰測天約説卷上首篇度數之學凡有七種共相連綴初為二本曰數曰度數者論物幾何衆其用之則筭法也度者論物幾何大其用之則測法量法也(測法與量法不異但近小之物尋尺可度者謂之量法逺而山岳又逺而天象非尋尺可度以儀象測知之謂之測)(法其量法如筭家之專術其測法如算家之綴術也)既有二本因生三幹一曰視人目所見一曰聽人耳所聞一曰輕重人手所揣耳所聞者因生樂器樂音手所揣者因生舉運之器舉運之法惟目視一幹又生二枝一曰測天一曰測地七者在西土庠士俱有專書今翻譯未廣僅有幾何原本一種或多未見未習然欲略舉測天之理與法而不言此理此法即説者無所措其辭聽者無所施其悟矣七者之中音樂與輕重别為二家故兹所陳特舉其四曰數曰測量曰視曰測地四學之中又每舉其一二為卷中所必需其餘未及縷悉者俟他日續成之也為他篇所共賴故列於篇次之外曰首篇欲知他篇須知此篇故又名須知篇數學一題比例者以兩數相比論其幾何比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二數相等以此較彼無餘分名曰等比例也若二數不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四與二相比四之中凡為二者二是為以大即命曰二倍大之比例也如以二與四相比倍其身乃得為四是為以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也測量學十八題第一題至十四題論測量之理第十五題至第十八題論測量之法幾何原本書中論線論面論體今第一至第五論線也第六至十四論體也此書中不及面故不論面幾何原本中多言直線圜線其理易明今不及論論其稍異者五題前二題言獨線後三題言兩線第一題(獨線一)長圓形者一線作圏而首至尾之徑大於腰間徑亦名曰瘦圈界亦名撱圏如甲乙丙丁圏形甲丙與乙丁兩徑等即成圏今甲首至丙尾之徑大於己至庚之腰間徑是名長圓或問此形何從生荅曰如一長圓柱横斷之其㫁處為兩面皆圓形若㫁處稍斜其兩面必稍長愈斜愈長或稱卵形亦近似然卵兩端大小不等非其類也(指其面曰平長圓若成體曰立長圓)第二題(獨線三)蛇蟠線者於平面上作一線自内至外恒平行恒為圏線而不遇不盡如上圖自甲至乙者是旋風線者於平圓柱上作一線亦如蛇蟠但蜿蜓騰凌而上如旋風也如上圖自甲至乙者是螺旋線者於球上從腰至頂作一線如蛇蟠而漸髙如旋風而漸小如上圖自甲至乙者是此書獨用螺旋線欲解其形勢故備言之第三題(下三題言二線者或直或不直或相遇或相離)二線相遇者有三但相遇而止名曰至線因至線在所至線之上故又曰在上其割截而過者名曰交線亦曰割線亦曰截線其至而不過又不止者名曰切線其至線而有所分截者亦稱割線或曰截線或曰分線如上圖甲乙線與丙乙丁線丙乙丁圈相遇至乙而止則甲乙為至線又曰丙乙丁上線如上圖甲乙線截丙丁於戊己庚線截辛壬癸圏於辛子丑寅圏截丑卯寅圏於丑於寅皆名交線又如上圖甲乙線遇丙丁圏於丙戊己庚圏遇戊辛壬圈於戊皆名切線如上圖甲丙線分甲乙丙圈者曰分圈線亦曰割圏線亦曰截圏第四題兩線不相遇而相離之度恒等名曰距等線(或稱平行線侶線俱通用)如上三圖甲至己乙至戊丙至丁其相離之度俱等第五題兩線相遇即作角本是一面為兩線所限限以内即成角也如上圖甲乙與乙丙兩線相遇于乙即包一甲乙丙角(第二字即所指角)其球上兩圏線相交亦作角如上圖甲丙乙丁兩線交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也第六題自此至第十四題皆論體諸體中球為第一此書所用獨有球體故未他及(凡物之圓者皆名球諸題中名義凡立圓物皆有之非獨天也)第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理球之内有心心者從此引出線至球面俱相等如上圖甲乙丙球丁為心從丁引出線至甲至乙至丙各等即作百千萬線皆等第七題(球内)徑者一直線過球心兩端各至面半徑者從心至面如上圖甲乙球丙為心一直線過丙兩端至甲至乙即甲乙為徑線其丙乙丙甲皆為半徑線第八題(球内)球不離於本所而能旋轉則其一徑之不動者名為軸軸之兩端名為兩極也凡一球止有一心凡球之轉止有一軸其徑甚多無數可盡如上圖甲乙丙丁球戊為心乙丁過心此球從甲向丙丙又向甲旋轉而不離其處則乙戊丁直線為不動之處是名軸也乙與丁則為兩極球心若離于戊㸃如己則從心所出兩半徑線如庚己己辛必不等故曰止有此心凡軸皆利轉若有二軸二俱轉即相礙一不轉即非軸故曰止有一軸從心出直線茍至面皆徑也故曰無數第九題(球外)球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若從圏剖球為二則其圏之徑過球心也各大圏從圏面作垂線各有其本圏之軸與其兩極如圖甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂線乙丁即乙丁為本圈之軸乙丁兩㸃即其兩極故大圏在兩極間離兩極俱等第十題(球外)小圏者不分球為兩平分不與球同心其去兩極一近一逺愈近所向極愈小愈近心愈大如上圖甲乙為大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作無數小圏衆小圈之間止可作一大圏第十一題(球外)圏不論大小其分之有三等三等者一曰大分一曰小分一曰細分如兩平分之為半圏四平分之為象限此大分也每象限分為九十度此小分也每度又析為百分每分為百秒遞析為百至纎而止西厯則每度析為六十分每分為六十秒遞析為六十至十位而止此細分也第十二題(球外)兩大圈交而相分為角欲測其角之大從交數兩弧各九十度而遇過極之圏兩弧所容過極圏之弧度分即命為本角之度分如上圖戊丁乙為過極圏有甲乙丙甲丁丙兩大圏交而相分于甲於丙問丁甲乙角為幾何度分之角法從甲交數各九十度而遇過極之戊丁乙圈為甲丁甲乙此兩弧間所容過極圏之分為丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角為六十度角第十三題(球外)凡大圏俱相等兩大圏交而相分其所分之圏分兩俱相等凡大圈必于本球之腰腰者最大之線也凡最大之線止有一不得有二故辰轉作無數大圈俱相等圈既相等則以大圏分大圏其兩交線必在球之腰此交至彼交必居球之半故無數大圏各相分所分之兩圏分各相等有不等者即小圏也第十四題(球外)大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名數等其所容各不等如上圖甲乙己為大圈丙丁戊為小圈大圈既相等即多作大圈皆與甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小圏既與甲乙己大圏不等則甲至乙與丙至丁同名為若干度而所容之廣狹不等第十五題(以下四題言測量之法)長方面其中任設一㸃欲定其所在為何度分作經緯度求之法曰先平分其長為若干度分名經線次平分其廣為若干度分名緯線經與緯每度分之小大俱等次視經緯之線其過㸃各若干度分即命為㸃所在之度分如上圖甲乙丙丁長方形欲知戊㸃所在先從乙向丙作距等經線次從乙向甲作距等緯線次視戊㸃在經緯線之交為是何度即命曰在經度之四緯度之八也(乙至丙丙㸃得命為第六乙㸃)(不得命為第一而命為初厯家言算外者俱准此)第十六題其在球也亦如之球之中任設一㸃欲定其所在為何度分亦先作球之經度法曰先於兩極之間作一大圈為腰圏平分腰圏為三百六十度從各度各作一過極大圏即半圈平分為一百八十度是為腰圏上之經度如上圖甲乙丙丁球乙丁為兩極於其間作甲戊丙己腰圈從戊向丙丙向己各作過極大圏即乙庚丁乙辛丁等線皆腰圏上之經度第十七題次作球之緯度即定所設㸃在何度分腰圏之兩旁有兩極從腰圏向極分為九十度每度各作一距等小圏漸逺腰漸小至極而為一㸃即第九十小圏也次視經緯兩線之交命所設㸃在何度分如圖甲乙丙丁球上依前題既作甲庚丙甲辛丙各經線次於乙戊丁腰圏上向甲極分為九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之類皆緯圈也次視經緯各遇㸃之交從腰圈線考其經度從過極線考其緯度即命所設己㸃在從戊向丁之第四經圏從戊向甲之第三緯圏凡言度者各有二義其一一度之廣能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一㸃為界是其限也腰圏度之容以各過極度之線限之過極度之容以各距等線限之凡圏互相為經亦互相為緯如以過極為經則距等為緯若以距等為經則過極為緯如幾何原本之論線互相為直線互相為垂線也第十八題論緯圏以大圏為宗過極經圏皆大圏也皆等距等線限之諸度分之容亦等距等緯圏皆小圏也各不等過極圏限之諸度分之容愈近極愈狹至極而盡矣故緯度之容等于經度者獨有腰圏一線獨有初度初分初秒之一率過此以上無不狹也故當以大圏為宗大圏左右諸緯圏之上凡言經度之容者皆從此推減之圏愈小度愈狹即差愈多也視學一題凡物必有影影有等大小有盡不盡不透光之物體前對光體後必有影焉若光體大於物體其影漸逺漸殺鋭極而盡若光體小於物體其影漸逺漸大以至無窮若光物相等其影亦相等亦無窮測地學四題第一題地為圓體與海合為一球何以徵之凡人任於一處向北行二日半則北方之星在子午線上者必髙一度次後二日半復髙一度恒如是為相等之差向南行亦如之知從南至北為圓體也如上圖甲為北星丁為南星乙辛丙圏為地球人在乙則見甲正在其頂至戊則少一度矣從戊至己與乙至戊道里等又少一度矣迨至辛則不見甲至壬則反見丁安得非圓體乎若云地為平體則見星當如癸從丑向寅至辰宜常見不隠又丑至寅寅至卯若見子之髙下所差等則道里宜不等(别有算數)安得有時不見又恒為相等之差也若人東行漸逺則諸星出地者漸先見西行漸逺漸後見故東西人見日月食遲速先後各異是知東西必圓體也第二題地在大圜天之最中何以徵之人任於所在見天星半恒在上半恒在下故知地在最中也如上圖丙為地東見甲西見乙甲乙以上恒為天星之半知丙在中也若云非中當在丁則東望戊西望己當見天之小半而不見者大半第三題地之體恒不動一不去本所二亦不旋轉云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋轉者若旋轉人當覺之且不轉則已轉須一日一周其行至速一切雲行鳥飛順行則遲逆行則速人或從地擲物空中復歸於地不宜在其初所今皆不然足明地之不轉第四題地球在天中止于一㸃何以徴之人在地面不論所在仰視填星歳星熒惑彼此所見恒是同度故知地體較于天體則為極小若地大者兩人相去絶逺其視三星彼此所見不宜同躔如上圖丙己戊乙為天甲為地丁為星地體若大能為天分數者則人在庚宜見丁在己度人在辛宜見丁在戊度今不然者是地與天其小大無分數可論也名義篇第一測天本義 一條問測天者何事所論者何義也曰此度數之學度數學有七支此為第六也所論者一言三曜(日月星)形像大小之比例一言其各去離地心地面各幾何一言其運動自相去離幾何一言其躔離逆順晦明朓朒一言其五相視五相視者一曰會聚(會聚或同一宿或同一宮或相掩或凌犯)二曰六合照(每隔一宮)三曰隅照(三方相望)四曰方照(四方相望)五曰對照(即衘)一因其行度次舍以定歳月日時此為大端也大圜名數厯十條大圜者上天下地之總名也(亦稱宇宙亦稱天下亦稱六合之内下文通用)天實渾圓其中毫無空隙譬如葱本重重包裹其分數幾何則自下數之(地居天中為最下亦曰最内)第一為地水補其闕(地有卑窪)(水則就之若據地面則水土相半蹠實論之水之視地僅當千分之一)共為一球地外為氣氣之外為七政之天七政之外為恒星(亦曰經星下文通用)之天恒星之外為宗動之天宗動之外為常靜之天問地水與氣相次之序其理易明今何以知七政在下恒星在上曰有二騐焉其一六曜有時能掩恒星(六曜者日)(五星也不言日者日大光星不可見也唐肅宗上元元年五月癸丑月掩昴代宗大厯三年正月壬子月掩畢)(八月己未月復掩畢是月掩恒星也唐髙宗永徽三年正月丁亥歳星掩太微上將五月戊子熒惑掩右執法)(元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星是五緯掩恒星也)掩之者在下所掩者在上也其二七政循黄道行皆速恒星最遲也問七政中復有上下逺近否曰有之月最近也何以知之亦有二驗其一能掩日五星也(月掩日而日為食不待論也唐文宗泰和)(五年二月甲甲月掩熒惑六年四月辛未月掩填星于端門九年六月庚寅月掩歳星於太微武宗㑹昌二年)(正月壬戌月掩太白於羽林是月掩五星也)其二循黄道行二十七日有竒而周天餘皆一年以上是七政中為最速也問行度遲速以别逺近是則然矣太白辰星與日同一歳而周為無逺近乎曰舊説或云日内月外相去遼絶不應空然無物則當在日天之下或云在日天之上二説皆疑了無確據若以相掩正之則大光中無復可見論其行度則三曜運旋終古若一兩説既窮故知從前所論皆為臆説也獨西方之國近歳有度數名家造為望逺之鏡以測太白則有時晦有時光滿有時為上下弦計太白附日而行逺時僅得象限之半與月異理因悟時在日上故光滿而體微(若地日星恭直則不可見稍逺而猶在上則若幾望)(之月也)時在日下則晦(三叅直故晦稍逺而猶在下若復蘇之月體微而光燿煜然)在旁故為上下弦也辰星體小去日更近難見其晦明因其運行不異太白度亦與之同理問熒惑歳星填星孰逺近乎曰熒惑在歳填星之内在日之外何者一為其行黄道速於二星遲於日也歳星在其次外其行黄道速於填星遲於熒惑也填星在於最外其行黄道最遲也又恒星皆無視差七政皆有之以此明其逺近又最確之證無可疑者問何為視差曰如一人在極西一人在極東同一時仰觀七政則其躔度各不同也七政愈近人者差愈大愈逺者差愈小月最大日次之熒惑次之歳星又次之填星最小幾於無有故知月最近填星最逺也如上圖丙為地甲為東目乙為西目甲望戊月在己度乙則在庚度甲望丁星在辛度乙則在壬度己庚差大則月去人近辛壬差小則星去人逺也問東西相去既是極逺何以得同在一時仰觀七政曰此在一時一地亦可測之特縁算數所得難可遽明故以東西權説若月食則亦東西同時兩地並測亦足諗知也問何以知七政之上復有恒星之天曰恒星布列終古常然而一體東行行度最遲殆如不動既與七政異行知其不得共居一天也故當别有一恒星之天衆星皆麗其上矣問恒星天之上何以知有宗動無星之天曰七政恒星其運行皆有兩種其一自西而東各有本行如月二十七日而周日則一歳此類是也其一自東而西一日一周者是也非有二天何能作此二動故知七政恒星之上復有宗動一天牽掣諸天一日一周而諸天更在其中各行其本行也又七政恒星既隨宗動西行一日而周其為戚速殆非思議所及而諸天又欲各遂其本行一東一西勢相違悖故近于宗動東行極難逺于宗動東行最易此又七政恒星遲速所因矣問宗動天之上又有常靜大天何以知之曰今所論者度數也姑以度數之理明之凡測量動物皆以一不動之物為凖譬如舟行水中遲速逺近若干道里何從知之以離地知之地本不動故也若以此舟度彼舟何從可得諸天自宗動以下隨時展轉八極不同二行各異若以動論動雜糅無紀將何慿藉用資考算故當有不動之天其上有不動之道不動之極然後諸天運行依此立算凡所云某曜若干時行天若干度分若干時一周天之類所言天者皆此天也厯家謂之天元道天元極天元分至此皆繫於靜天終古不動矣常靜篇第三總論一條 常靜天者有三理一為此下各動天之一切諸㸃(七政恒星彗孛及諸道諸圏之交之分但須測算者總名為㸃不言星者交與分非星也日月大矣)(亦言㸃凡測皆測其心心則㸃也)藉此天以測知其所在也二為測各動天運行之時之度與夫各㸃之出入隠見以定歳月日時也三為測諸動天之各㸃相去離㡬何也凡常靜天上諸名皆繫之天元因其不動以驗他動也其最尊者有三圏一曰天元赤道圏(或稱中圏或稱腰圏下文通用)以定諸㸃二曰天元地平圏(或稱四方圏或稱八風圏或稱分光圏下文通用)以驗運行三曰天元距圏(或稱去離圏下文通用)以辨去離論三圏共七章論天元赤道圏一條 天元赤道者繫于宗動之天平分天體者也(各圏各有心天元赤道之心即大寰之心也即地心也各圏各有極各有軸天元赤道之)(極之軸即大寰之極之軸也即地之極之軸也)天元赤道之左右各有距等圏以度論則九十為天元緯圏其前後各有過極圏以度論則一百八十為天元經圏過極圏者所以定經度容緯度也如上圖甲乙為中圏其上五經圏為甲丙有兩過極圏以限之丁甲戊限其首丁丙戊限其尾甲丙在其中是大圏上所容之六經度也又如丙己為過極圏上四緯圏則首尾兩㸃有兩距等圏以限之甲丙乙限其首庚己辛限其尾丙己在其中是過極圏上所容之五緯度也論天元地平圏三條 常靜天下諸所測候欲知各㸃所在與各㸃之道各道之交之分則一中圏足矣為地在中心不能透明明為地隔人在各所所見止有半天其分明分暗處有一大圏即地平圏也地球之大人居各所明暗所分處處各異故隨在有一地平圏地平圏分四象限定天下之東西南北故可曰方道亦可名風道所謂不周廣莫八風所來也四象限分為三百六十是地平之經度地平之兩端一在人頂為頂極一在人對足之下為底極地平之左右各有距等小圏從大圏至極各九十為地平之緯度(亦名髙度亦名上度下文通用)其算以大圏為初度次小圏為一度其最髙為九十度即頂極下亦如之(亦名低度亦名下度下文通用)其最下為九十度即底極也從地平經度每度出一過頂大圏凡一百八十以定方維之分數其最尊而用大者有二一曰地平東西圏一曰地平南北圈如天元赤道上之有極至極分二圏也(極至極分見後篇)如上圖甲乙為地平丙為頂極丁為底極丙戊丁南北圏也甲丙乙丁東西圏也丙子丁丙丑丁皆經圏庚寅辛壬卯癸皆緯圏算地平之經度或從東西圏起或從南北圏起其緯度或從地平起或從頂極起各任用地為圓體故球之上每一㸃各有一地平圏從人所居目所四望者即是其多無數如上圖戊己為地甲乙丙丁為天人在戊即甲丙是其地平而庚為頂極人在己即乙丁是其地平而辛為頂極赤道地平二圏比論四條 常靜天上有天元赤道天元南北極恒定不動就人目所視又有天元地平圏今以二圏合論則六合之内共有三球一為正球二為欹球三為平球正有一平有一離此即欹欹者無數正球者天元赤道之二極在地平則天元赤道與地平為直角而其左右緯圏各半在地平上半在地平下如上圖甲戊丙己為天甲乙丙丁為地平甲丙即天元赤道之兩極戊乙丁己為地平之東西圏亦即天元赤道庚辛壬癸等則地平之經圏是正球也欹球者天元赤道之二極一在地平上一在地平下赤道與地平為斜角(斜角者一鋭一鈍之總名)而天元赤道與地平之各經緯圏伏見多寡各不等其極出地之度為用甚大測候者所必須也赤道緯圏之中隨地各有一緯圏為用甚大名為常見緯圏凡極出地若干度即有一去極若干度之緯圏其底㸃常切地平者是也如上圖甲丙乙丁為地平戊己為赤道極若己乙為極出地四十度則壬癸乙常見緯圏亦去極四十度而緯圏之乙㸃即地平之乙㸃平球者一極在頂天元赤道與地平為一線各距等圏皆與地平平行也如圖甲乙丙丁為地平即為天元赤道而戊極在頂庚辛等緯圏皆與地平平行論地平南北圏一條 地平大圏上之過頂圏一百八十名頂圏皆地平圏之伴侣故又名侶圏其中大者二曰東西曰南北其又最尊者南北也其兩極在地平與東西侶圏之交此圏平分球為東西二方不但過頂極亦過天元赤道極與天元赤道相交為直角亦不動與地平圏等但其游移也人於地面上南北遷此圏止有一不得有二東西遷則隨在不同與地平俱無數如上圖甲乙丙為南北圏人在戊在己在庚俱南北一線則恒以甲乙丙圏為頂移極不移圏故云有一無二也若從己東西遷丁為其頂即以甲丁丙為南北圏矣地平南北圏與天元赤道比論一條 此圏交於天元赤道即為天元赤道之極髙從天元赤道至頂極之度即北極出地之度如圖甲己為赤道丙為頂極乙為赤道極戊丁為地平今言甲丙與乙丁等者甲乙弧丙丁弧各相去九十度各減一丙乙弧則甲丙與乙丁等若赤道極髙之甲戊弧亦與丙乙弧等其理同也論地平東西圏二條 東西亦地平之侣圏也其兩極在地平與南北侣圏之交過此兩極者有六大圏亦分天元球為十二舍地平以上常見者六舍最尊者地平與南北圏也其次序從東地平起算為初舍入東一舍為第一入東二舍為第二至南北圏之底起第四西地平上起第七南北之頂起第十此法為用甚大醫家農家及行海者所必須也如上圖丙丁壬為東西侣圏甲乙為兩極甲丁乙為地平圏甲戊乙甲庚乙等皆過極大圏也其用之則以此圖甲乙丙丁為地平甲為東地平起一舍己為底極起四丙為西地平起七戊為頂極起十也東西圏平分球為南北二方造日晷必用之論天元去離圏二條 天元三大圏其一赤道其二地平若欲知兩㸃相距幾何則二圏為未足也故有去離大圏過所設二㸃自此㸃至彼㸃其間之容則相去離之度分也若此二㸃俱在天元赤道或俱在其過極圏或俱在地平圏即所在圏為去離圏不用百游去離圏(游者)(游移不一百言其多)如上圖甲乙丙丁為地平戊己為南北極庚辛為黄道設壬癸㸃則子癸壬丑大圏上之癸壬是其度分或問二㸃或俱在緯圏則即以緯圏為去離圏不可乎曰凡測量必用准分之尺度准度者止有一不得有二靜天上之大圏分則准度也各緯圏之小大與其度分之廣狹一一不等若多寡不齊之尺度豈能得物之准分乎故測去離必用大圏不得用緯圏也新法算書卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書
新法算書卷十二 明 徐光啟等 撰測天約説卷下宗動篇第三總論二條 論宗動有二端一言本天之㸃與線二言本天之運動三曜皆有兩種運動宜以兩物測之猶布帛之用尺度也七政恒星皆一日一周自東而西則以赤道為其尺度又各有遲速本行自西而東則以黄道為其尺度凢動天皆宗于宗動天故黄赤二道皆繫焉(三曜者日月星也)論本天之㸃與線 凢三章論赤道七條 赤道于諸大圏為最尊其義有三不知赤道則諸大圏無從可解一也赤道之理特為易明二也一日一周乃七政恒星之公運動赤道主之三也其兩極即大圜之兩極何者為本道與天元赤道相合為一線動静雖異終古不離也大圜之心中圏之心赤道之心地之心同是一㸃為赤道與大圏中圏同為大圈故也赤道既為大圏其分數亦有半圏有象限有三百六十度及分秒其算數則從一至三百六十與黄道地平異黄道分十二宫各以三十為限地平分四象各以九十為限故赤道亦有過極經圏一百八十為用甚大其左右旁各有距等侣圏(即緯圏)毎至極各九十不甚為用為與天元緯度一一同線故其用則以赤道之經緯度測各㸃之所在命為各㸃赤道經緯度如上圖赤道上任設甲㸃從赤道初㸃乙數至甲為幾度分即甲㸃之赤道經度分也為在赤道上故無緯度若所設甲㸃在赤道外則於過極大圏數甲㸃至赤道交即定赤道初㸃至設㸃之經度為六甲㸃至赤道即所容之緯度為五凢分南北大分獨六合之内(即大圜也)及日以赤道分之他則否論黄道十條 黄道亦大圈也兩交於赤道兩交之間最逺於赤道者二十三度有竒黄道之兩極去赤道兩極亦二十三度有竒與二道相離最逺之數同也如上圖甲至丙為黄赤二道相離最逺之二十三度有竒則庚至戊亦黄赤二極相離之二十三度有竒黄道分數其四象限三百六十度與赤道同又十二分之為宫二十四分之為節氣七十二分之為候與赤道異十二宫曰𤣥枵娵訾降婁大梁實沈鶉首鶉火鶉尾夀星大火析木星紀後厯家從便命之曰子亥戌酉申未午巳辰卯寅丑節氣曰冬至小寒大寒立春雨水驚蟄春分清明穀雨立夏小滿芒種夏至小暑大暑立秋處暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪毎一節分為三候節氣中以二至二分為主黄赤道交處為春秋分相離最逺為冬夏至黄道左右各八度以定月五星出入之道名為月五星道(又名六曜道下文通用)諸曜出入于黄道度多寡不同最逺者八度也又總名為黄道帶(古法左右各六度)如上圖平分二十四氣者為黄道帶甲至乙廣八度丁戊巳庚為赤道圈辛壬癸為夏至圏子丑寅為冬至圏丙則地心也周天分十二宫非獨宗動天之面也凢六合之内(即大圜)一切所有從宗動之面下至地心皆以十二分之故凢言宫者有四義其一黄道帶上有一長方面為甲乙丙丁甲乙長三十度乙丙廣十六度凢七政彗孛等從地心作直線過本㸃至此面之某度分即命為本㸃在本宫之某度分也其二以甲乙丙丁為面從地心戊出四線上至方面之甲乙丙丁各角成鋭角體凢六合之内一切所有但入此鋭體中即命為在本宫之某度分其三為宗動天之内規面十二分之一以黄道兩大經圈各至極之巳庚為首尾中相去三十度之辛壬為腰其中容即此分面也則凢諸㸃之在其面或在其下者皆命為在本宫之某度分其四巳辛庚壬為面從面分至地心癸為橘房體則入此體中者皆命為本宫之某度分黄道有經度(一名長度)有緯度(一名廣度)從黄道作過極圏以定其經度法與赤道同但本道本極異耳若起筭從春分始其義有二一為是黄赤道二大圏之交也二為其為大圜之中中者二極之間也黄道之過極圏容其各緯度限各經度其左右侣圏限其各緯度容各經度黄道比論八條 比論者一與赤道比一與地平圏比一與地平南北圏比與赤道比論 黄赤道之交為春秋分從此作過極大圏名為極分交圏從二道最逺處作過極大圏為極至交圏此二大圏分黄赤道各為四分毎分各為九十度如上圖甲乙為赤道極丙丁為赤道戊己為黄道庚為二道之交則甲庚乙為極分交圏甲丙己丁為極至交圏黄赤道相距不用黄道之緯度(經緯線交為直角一名廣度)而用赤道之緯度(從黄道出線與黄道為斜角至赤道作直角名偏度)如降婁宫三十度若用廣度則相距十三度今用偏度則十二度半所以然者為黄道斜迤若用廣度則分及一象限無法可分矣不若用赤道之平直四象皆通也(本以黄道之三十度立筭而用赤道)(之侶圏且與赤道為直角與黄道為斜角故名為赤道上之黄道偏度非從赤道目為偏度也其在赤道自名)(旁度侶度)黄道一象限九十度各有其偏度最逺者二十三度有竒不言三百六十者餘三象限與一同理故也如上圖甲丙為黄道弧若廣度則値丙乙偏度則値丙丁即作庚丙丁辛去離圏丙丁在其上為距度測黄道弧之經度亦不用黄道之經度而用赤道之經度如降婁宫本三十度以赤道測之則二十七度為此宫之黄道斜而長赤道直而狹故不命降婁一次黄道上之長度曰三十而命赤道上之黄道升度曰二十七也(本以黄道之三十度立筭而用赤道之經度二十七其去離圏亦與赤道為直角名為赤道上之黄道升)(度非從赤道目為升度也在赤道自名上度)如上圖甲乙為黄道弧若長度則値甲丁升度則値甲丙於赤道上命甲丙曰黄道之升度從黄赤交至北最逺黄道圏上有九十度毎度作一圈與赤道之距等圈平行其初圈則赤道也其第九十即為夏至圈南迄冬至亦然是名日轍圈亦曰日距圈如上圖甲乙為赤道丙丁為黄道辛丁為冬至圏丙庚為夏至圏己戊等皆其日距圈也赤道緯圏去極二十三度有竒者過黄道極名為極圏南北同如上圖甲乙為黄道丙丁為黄道極過此二極之赤道緯圏為丙己為戊丁名南北極圏與地平圏比論 黄道與地平相遇作角其角隨時隨地大小不同正偏球皆然平球則否與地平南北圏比論 兩圏交而作角自六十六度有竒而至九十九十為二至則直角六十六為二分則鋭角論本天之運動 凢四章總論一條 宗動天常平行終古無遲疾赤道繫焉故其行亦終古無遲疾諸㸃與地平比論十八條 凢先在地平下不見後見在地平上為出反是為入凢平球各㸃見地平上者皆與地平平行無出入七政則否如上圖甲乙為地平與赤道同線丙丁等為距等圏凢戊巳等㸃皆與地平平行獨七政循黄道行則否若黄道極在天頂則黄道毎日一次與地平為一線一瞬則六宫在地平上六宫在地平下矣此非圖像可明視渾球則得之離黄道極圈而外則出入皆有法一宫先出一宫繼之入亦然若黄道極圈之内赤道極之外則反是欲測各㸃運行視其出入于地平測法必以赤道之升度為其尺度也何者赤道恒平行是名有法是為有准分之尺度故平球而外凢各宫出地平上在黄道俱三十度赤道則有長短測法俱不用黄道之長度而用赤道上之黄道升度如北極出地十度為丙乙其黄道初宫出地為丁戊三十度則截取赤道先與黄道初度同出今與黄道第三十度同在地平線上者為己戊得二十四度弱是為黄道初宫之地升度凢論時刻及各㸃出入皆用之不用丁戊也凢測升度有二或連或㫁連者俱初宫初度起至本㸃依前法視赤道同出度即得若有别設二㸃在黄道上欲測二㸃之升度是為㫁也法以前㸃視初宫相距之升度幾何是為前升度以後㸃距初宫之升度幾何是為總升度於總升度中減去前升度即得後升度如上圖乙甲為别設㸃求其升度則丙乙為戊丁之升度是前升度戊甲為丙甲之升度是總升度次于戊甲減戊丁所存丁甲是乙甲之後升度問黄道弧而用赤道之升度為其不等故也亦有等者乎曰有之論正球則黄赤道從二分二至起筭各出地九十度其黄道弧與升度等周天之中其相等者四而已問正球黄赤道之四象限其升度與弧俱等者何故曰黄赤道俱為二大圈相等則所分之相似圈分俱等一也又極至極分二大圈定黄赤道為四象限此二大圈出入地時即地平與四象限之交相合為一線故黄道之象限交必與赤道之象限交偕出偕入二也若欹球則黄道之半圏從分起從分止與赤道升降度等而周天之中其相等者二何者黄赤道二分之交同時至地平即二大半圏必相等故欹球二相等之外其他升度與黄道弧皆不等問二象限同升常自不等何以至九十度則等曰黄道弧與升度從初宫初度始毎度之升度各有差初差漸多後差漸少漸近漸少至極逺而平故也過二至則反是若正球則四象限之黄道弧與升度常相似其差甚少不過三度欹球則所差絶多如上正球甲乙赤道軸即地平故丁丙弧與丁戊升度相似欹球北極面則辛壬弧與辛癸升度所差多升降有二有正升降有斜升降各弧與升度同出入若赤道上升度大于黄道弧謂之正升降小者謂之斜升降愈大愈正為黄道與地平為角近于直角愈小愈斜為逺于直角正球但有四宫為正升冬夏至前後各二宫是也冬至先後者析木星紀夏至前後者實沈鶉首餘八宫有斜者有半斜者若欹球則恒有六宫為正升正升謂之遲升斜升謂之疾升欹球有六宫焉正球有八宫焉問欹球之正升者六為何宫曰若北極出地一度至六十六度則鶉首鶉火鶉尾夀星大火析木是也此六宫則正升正升則斜降南極出地者反是球愈欹則黄道與地平為角亦愈斜以升降比論四條 論正球黄道上兩㸃去離二至二分(亦名為四大㸃)各等則其升度亦等其相對之宫升度亦等如降婁夀星各二十七之類是也若欹球則相對宫之升度各不等有兩㸃去春秋分大㸃等則其升度亦等以正欹球比論二條 從降婁至鶉尾六宫欹球之升度小而正球大從夀星至娵訾六宫反是有兩弧在黄道上相對相等其正球之兩升度并為一率欹球之兩升度并為一率此兩率等以黄道之出入比論(即升降度之合也)五條 各宫各弧各㸃之出度必等于入度(不論正偏球)各宫之出入度并與相對宫之出入度并等欹球各宫之出入度雖等而正斜不等此正升則彼斜降此斜升則彼正降一宫一弧在正球有升度在欹球有升度此兩升度相減之較名升差如上圖降婁一宫在正球之地升度二十六為甲乙北極出地四十度之欹球地升度十六為丁己以二率相減得十度是為兩球升度之差(省曰升差)正球之升降度從地平起筭可從地平南北圏起筭亦可為赤道與地平圏與南北圏相遇俱為直角故等欹球則否必用地平也太陽篇第四(不稱日者篇中有時日之日故别言之月稱太隂同)總論 宗動天之下則有列宿又下則塡星則嵗星則熒惑何以序先太陽其義有三一列宿與六曜之理皆繫太陽不先論此不得論彼二理較易明先明其易難者并易三萬光之原諸曜皆從受光焉月若其配星其從也從本體論 凡三章論太陽之形象本是圓體 圓有面有體太陽之為圓面舉目即是不待言矣其為圓體何從知之曰凡物未有有面無體者太陽之為物大矣知其必有體也凢自然生者初生者無物不圓太陽之生亦本自然曽無雕琢初生則然曽無遷變又諸體中圓為最尊以太陽較天下有形之物亦是最尊知其必為圓體也論太陽之大 欲知物大先知其徑徑有二一為視徑視徑者人目所視也舊云太陽之徑一度近來測騐實止半度如上圖甲乙乙丁丁戊為宗動天内規面之三度人從辛視太陽之己庚徑于天度僅得乙丙不滿乙丁之一度約如乙丙者七百二十則滿黄道周故知視徑為半度也一為本徑欲知本徑先論其去地之逺太陽去地有時近有時逺折取中數則以地全徑為度(里數太多難計故以地徑之里)(數為其尺度也地之周約九萬里其全徑約三萬里)二十四其地徑自之得五百七十六是太陽去地之中數也(其比例云地之徑與太陽去地之半徑若一與)(五百七十六也)既知其視徑又得其去地之逺因以割圓術求其本徑得太陽之容大于地之容一百餘倍也(割圓術有專書)(二徑相比見幾何原本第十二卷第十八題容者體之容筭術謂之立圓積非徑線亦非面也其筭法後篇詳)論太陽之光 日為大光六合之内無微不照有不透明之物隔之則生影地在天中體小于日故影漸逺漸殺以至于盡其影之長不至太陽之衝如上圖甲乙為日丙丁為地其影至戊而止不至己太陽面上有黒子或一或二或三四而止或大或小恒于太陽東西徑上行其道止一線行十四日而盡前者盡則後者繼之其大者能減太陽之光先時或疑為金水二星考其躔度則又不合近有望逺鏡乃知其體不與日體為一又不若雲霞之去日極逺特在其面而不審為何物從運動論 凢五章太陽之動有二其一與黄道赤道比論其一與地平比論與黄赤道比論 如從冬至一㸃起筭行天一日一周明日不在冬至即此一圏作螺旋一周次日復然迄夏至㸃行一百八十餘周而通作一螺旋線也苐冬至線與次日一周線相離甚近以次漸逺迄春分而甚逺過此漸近迄夏至而甚近過此又漸逺如是循環無窮耳詳見後篇又冬至初日之線其螺圏甚小次日漸大至春分甚大過此漸小迄夏至而甚小如是小大循環者何也為緯圏中冬夏至皆小圏赤道為大圏故也從冬至迄夏至此為成嵗之半矣若從夏至迄冬至亦作螺旋行毎日一周百八十餘日通作一螺旋線但此線非復前線而别作一線毎日與前線作一交耳此為成嵗之全也如圖作螺旋圏不能為三百六十作二十四以明其意已上所説螺旋線是太陽之體理實作如是運動無可疑者但螺旋則無法之線也以此測候亦復無法可立故天官家别用他術如下文測候之術 如用春分起筭初日從初㸃循赤道行迄一周是為一日明日即不在赤道而在其第二圏又不直距于初㸃而東西相去為黄道之一長度其南北距度即不及一度也此一周即為赤道之一距等圈矣太陽恒在黄道下行故無黄道之廣度至第三日復作第三距等圏與次日同凢九十日行黄道九十度即于赤道旁作九十距等圏其第九十則夏至圏夏至圏去春分圏止二十三度半故太陽之行亦如是而止此九十距等線以當全螺線之半也用此術則從夏至迄秋分亦有九十距等線其線即春夏距等之原線矣至秋分即復行赤道一日無距度距圏與前春分日所行同線相對其兩對處則有極分交圏以為之限也自春迄秋二分之間行一百八十度黄道長度與赤道之距度其數皆等從秋分而後毎日作一距等圏其第九十則冬至圏也凢諸距度圏皆交于黄道獨二至之兩圏切于黄道為其行至是盡矣其兩盡處則極至交圏為之限也秋分迄冬至亦二十三度半與其迄夏至等故其間距等圏與其迄夏至之距等圏亦等從冬至以後亦依前所行距等原線以迄春分而嵗成矣太陽之行恒在黄道下無廣度亦恒在兩至之内故兩至之内皆為太陽所行之道而太陽毎日行一度弱故兩至間之距等圏凢一百八十二有竒毎一圏嵗兩經焉如此術即分太陽所行為二路其一分計毎日所行各行于赤道侣圏皆在兩赤道極之間其二總計毎嵗所行皆行于黄道在兩黄道極之間其一日一周于黄道為一長度于赤道上不及一上度此一上度弱者名為黄道一日之升度黄道之升度毎宫與赤道不等故毎日黄道之升度一一不等(見本設表)螺旋合術與黄赤分術比論 論合術則自東而西毎日不及一度故云日遲論分術則自西而東毎日循黄道行一度故云日疾其實一也但螺旋于理甚合而無法可推分術則分數易明其間即有參差不能及一微一纎非儀象可測故厯家專用分術(加減法也)以便推步與地平比論 太陽至地平上為出為明從東而西沒于地平下為入為晦論正球春分日太陽出于東方行赤道赤道即東西圏漸升至頂極即至南北圏為極髙之弧此地平以上之半晝分也亦謂之東半晝弧午正後漸降至地平謂之西半晝弧東西合則為全弧行盡全弧為一晝其一日之中地平上凢有表即得影日出則為無窮之西影漸短至頂僅得一㸃(或云是為無影安得一㸃不知無表即無影若令表離于)(地平即有與表等大之影)午正後影漸長至地平復為無窮之東影日既入地平下則有朦朧分(一名昏度一名黄昏)行地平之低度十八(低度者非黄道赤道之度乃地平之緯度也在下故名低度在上名髙度)後此為夜如上圖甲乙為赤道即東西圏丙甲丁為南北圏甲髙九十度滿一象限己戊為表日出辛表端影在庚至壬影在癸至庚則在辛也至甲止一㸃丙丁即地平低度十八至子丑而止日至于南北圏下為半夜迨近地平下十八低度復為朦朧分(一名晨度一名昧旦一名黎明一名昧爽)凢黎明将盡日将出地平上有雲則為朝霞黄昏之始日初入地平上有雲則為晚霞所以赤色者為日光返照如火出烟本是黒色與火並見即黒見烟不見火即為紅烟矣問日出入則大日中則小何故曰地居天中日周其外因于太陽如受燔炙恒出熱氣是名清蒙之氣此氣之厚去地不能甚逺日出入時人目衡視積氣甚多如物在水中其體大于本體故出入時日形似大非果大也至日中時以垂線照地人直視之積氣甚少日不受蒙則似小矣若出入時或深紫或微紅或似長圓亦皆是氣之厚薄疎宻所為也其春分次日太陽離赤道即不出于東西圏之初度而在其稍北之濶度(即地平之經度不言廣者以別于黄道緯度也)其相去也與其日之距度等(為正球則赤道與地平為直角故也欹球則否)太陽既稍北則其表影亦稍南其晝分與初日等其南北圏下之極髙弧則稍減于九十度又次日則濶度愈大極髙弧愈小以迄夏至其濶為二十三度有竒其髙弧為六十三度有竒從赤道南迄冬至亦如之其方之晝與夜恒等何者赤道與地平為直角即一切經緯圏其隱見恒相半故如上圖甲乙為赤道即東西圈春分日日從此道行次日以後漸向丁戊行甲至丁乙至戊各二十三度有竒庚至丁其髙弧六十三度有竒論欹球一嵗中獨春秋分兩日得晝夜平何者是其日太陽在赤道下赤道與地平皆大圏交而相分即所分之圏分相等若赤道距等圏大小不等以地平分之其圏分上下皆不等如上圖甲乙為南北極丙丁為赤道丑寅為地平春秋分兩日日在戊為黄赤道之交則地平上下圏分等過春分日漸北如至辛壬距等圏則丑寅地平分晝夜于子過秋分日漸南如至己庚距等圏則地平分晝夜于癸上下皆不等又一嵗之中凢兩晝之距兩至等則其晝分之長短亦等凢兩晝之距兩分等即一在赤道南一在赤道北其距度等而此日之晝與彼日之夜等凢球愈欹極愈髙即髙至(不曰冬夏至而曰髙至通南北言之)之日愈長凢正球之南北濶度等欹球則否凢正球之二至日中時其髙下恒相等欹球則否日中時其二至一甚髙一甚低論平球則以半年為一晝以半年為一夜何者北極與頂極合即赤道與地平亦合故九十距等圏從赤道迄一至皆在地平上其在下亦如之也其表恒作無窮及最長影不作短影毎日為一周亦作十二時或二十四但百八十周恒在晝耳論䑃朧(早為晨分暮為昏分或并曰晨昏或省曰朦曰朦影朦度)太陽在二㸃二㸃之距一至等其朦亦等何者去至等則同在一距等圏上故若二㸃之距一分等其朦不等孰大孰小近于上極者則大逺則小北極出地處則北六宫之朦大于南六宫南極出地處反是北極出地處太陽在北六宫愈近夏至朦愈大迄夏至極大過夏至漸小南方近冬至愈大迄冬至則極大過冬至漸小北極出地處迄冬至不極小極小者在赤道冬至之間南方迄夏至不極小極小者在赤道夏至之間太陽在北六宫愈北朦愈大平球之處其太陽入地低度不過二十三去朦度之十八未逺也故其晨昏最長一年之中明多于晦幾乎不夜正球上兩㸃在赤道南北其距赤道等其朦亦等其距赤道不等其朦亦不等孰大愈逺赤道者愈大故二至之朦甚大二分之朦甚小問欹球北極出地處之朦夏至極大而冬至不極小極小者在赤道冬至之間然則安在曰此在秋分之後特隨地不同皆在分後至前不在其日也如北極出地四十度春分則六刻三十三分夏至八刻六十分秋分六刻三十三分冬至則七刻最小者六刻二十六分有竒在寒露之中候五日也(有本表)太隂篇第五五緯在二曜之上今先太隂者何故一凢論年月日時皆以二曜定之二其理較五緯特為易明三太隂體大晝時亦見四太隂之能力亞于太陽五緯無能及之從本體論論太隂之形象 本是圓體與太陽同雖有晦朔弦望不害為圓詳見後論論太隂之大 太隂去人時近時逺折取中數八其地半徑自之得六十四半徑為三十二全徑是太隂去地之中數也其視徑去人愈近愈大愈逺愈小折取中數亦得半度與太陽等其本徑則小于地球地之容大于月約三十倍也論太隂之光 本自無光受光于太陽故本球之光恒得半以上因太陽之體大于其體故如上圖甲乙為日丙丁為月徑因日大故受光至于戊己太隂面上黒象有二種其一今人人所見黒白異色者是其二小者則日日不同非逺鏡不能見也詳見後論從運動論太隂之運動有二其一一日一周隨宗動天行與六曜同公動也其二循白道(白道月之本道一名月道下文通用)日行十三度有竒迄二十七日有竒而一周本動也因太陽同行二十七日有竒則過周二十七度有竒故又二日有竒乃及于日而與之會白道不與黄道同線而兩交于黄道(兩交名正交中交亦名天首天尾亦)(名龍頭龍尾亦名羅計)兩半交去黄道五度有竒故毎行一周在黄道下者二交初交中是也他詳後論時篇第六 十三條既明二曜之體又明二曜之運次因其運動以得時時者何物凢諸有形之物必有變革變革多端中有遷運一端因其遷運先後從而測量剖分之則為時也問草木鳥獸人事皆有變革遷運亦可用以為時何必二曜曰凢立術有三法一須公共一須分明一須永久惟二曜則然他無有足比者故也時之准分尺度一日是也一日者何太陽行一周而過赤道上之一升度弱(當黄道一度)者是也日之起筭有四法或以早或以晚或以晝之中或以夜之中日有大小分大者為晝夜小者為時辰時辰者十二分日之一也(西厯為二十四分之一)常静天之上有二大圏皆過兩極而分赤道為四平分其一過頂即子午圏其一過東西㸃(東西㸃者赤道交于地平是東西之)(最中)即邜酉圏從邜至午其間又有二圏為辰為巳從午至酉其間又有二圏為未為申此六圏者終古不動凢三曜至某圏上即為某時也(十二時辰不止日也月所至即為月之十二時星所)(至即為星之十二時)其起筭亦有四法或用子或用午或用邜或用酉時又有刻毎時八刻一日則九十六刻東西所同用星官家用百刻取整數易筭也刻又析為百分分析為百秒逓為百以至微西法毎刻為十五分分析為六十秒逓分之皆以六十也其積日者以日加之初加為一旬一旬者甲至癸十日再加為一月一月者太隂行一周而與日會也(稱一月者有二)(義一為二十七日有竒而周于天一為二十九日有竒而及于日因交會之理分明故不用月周而用朔實也)月之分也兩分之為朔望四分之為晦朔弦望太陽行一周三百六十五日四分日之一弱為一嵗謂之太陽年其起筭亦有四法一從冬至一從春分(測天用之)一從秋分(論二十八宿起于角亢在秋分後)一從夏至(古時或用之)用太陽年者四年而閏一日為四分之一也四百年而減一閏為弱也凢論嵗以太陽為法太隂行十二周為一嵗者為其近于太陽年也是謂之太隂年用太隂年者嵗積氣盈朔虚十日有竒三年一閏為十日故五年再閏十九年七閏為有竒故太陽年之分也二分之為半嵗周四分之為四季八分之為分至啓閉(立春立夏為啓立秋立冬為閉)十二分之為節二十四分之為節氣中氣七十二分之為候其積年者以年加之十二年為一紀三十年為一世六十年亦為一紀恒星篇第七向己説常静宗動二天二天之下則恒星天也畧論其凢有四其一為幾何其二為貌状其三為能力其四為遷變幾何 六條萬物中形天為最大大有二義一在上所最逺故最大二能力最大故其體亦大其形象為圓球何以知之天體最為精純無襍最為單獨無二圓之為象亦無襍亦無二體性如此故其形象亦當如此又運行最疾者莫如圓體他體則滯礙也其去地最逺逺之數以地之半徑為度最近處得一萬四千度自此以上非人思力所及知也此端似為難信證見後篇其所在萬物之最上其質最細何以徴之常在上不霣墜知為輕虚細宻也其質又極精純為無他夾襍故貌状 一條天下之物皆以顔色為其美餙顔色之外别有二美餙一為透徹一為光耀也顔色之美美之下分明光之美美之上分何者其形妙好異于他色一也人之見之無不喜悦二也他物不能自見其美惟光能自見三也他物有色惟光能發揚其美妙四也有此四者故為天下眞寳天最尊于萬物故一切顔色不足為其文〔？〕惟光為其〔？〕矣或云天望之蒼蒼然蒼非色耶何謂無色曰蒼蒼非色也太空之中氣盈其處氣亦無色氣積極厚則成蒼蒼之色譬之玻瓈本自透明畧無他色積之數重則成蒼色太空中色亦猶此耳能力 四條天之下濟其于下土有大能力何以徴之運行一周成為四季凉燠寒暑萬物藉為生長收藏一也世間微物無不各有能力稍大則能力稱之天如彼其大也知其能力與之等大二也天之能力下及毎用二器其一光也其一施也光不獨能照天下亦能作熱如用窪鏡對日而成返照則能生火又用玻瓈圓球對日而成折照亦能出火其故為何光于天下為最尊熱于四大物情中(四大情者一熱二冷三燥四濕)亦為最尊以尊生尊是其理也其次亦能生冷亦能生燥亦能生濕為光本非熱非冷非燥非濕而其中有精足當四情故能生熱生冷生燥生濕也(如仁中無芽葉花實而其精足當四)(物故能生四物也)夫光之為體若其發而及物何為施之不盡若其不發則一切所受為從何來故其體其用總非人間意量所及光之外别有施者不屬光也此有二證其一海潮大小不因于光亦不因于冷熱燥濕譬如磁石吸鐵别有相攝相受者則受者為所施攝者為能施也又如懐胎生子七月生則長八月生則殀無不驗者此亦非因于光亦非因于四情亦如磁鐵有别相攝受者故也從上二能知天于下土盖有四徳一曰覆冐一曰包函一曰生育一曰保存也假令不動亦有此徳而又加之運動于此若此于彼若彼變化無端眞非思議所及矣遷變 四條凢物遷變首運動天之運動皆環行何者天體單獨無二故共運動亦應單獨無二環行者單獨無二之行也何謂單行曰凢動如人如鳥獸如風皆襍亂無法之行也單行有二一曰垂線一曰圓線石在空中下墜于地此為垂線一切循環無端者皆為圓線垂線之動勢盡而止惟圓線獨為無窮天以覆函生存下土者也故不能不為無窮不能不為環行矣天之運動恒不去其本所論其各分無一不動而其全體無一分動天之運動有四異其一甚疾一刻分中行幾萬里如鳥如矢如礟如霹厯皆非所及其二恒平行(其中遲速别有故實無一)(不平行者詳見後論)若非一一平行即測候之術無從可用其三恒久不已其四萬物之動此為首何者天下之動于此焉繫故也若無此動即無四季即無生物問運動而外更有遷變乎曰論其體則無變何者為在最上物無及其際者故不能受變于物論其情則有變如月星無光因于日光變而有光一也又如日月有光因于交食而若無光二也新法算書卷十二
## 卷十三
欽定四庫全書
新法算書卷十三 明 徐光啟等 撰測食畧卷上似食實食說(第一)人恒言日食月食矣輙概混焉不知月實食日則似食而寔非食也何者日為諸光之宗永無虧損月星皆借光焉朔則月與日為一線月正㑹於線上而在地與日之間月本厚體厚體能隔日光於下於是日若無光而光實未嘗失也惡得而謂之食望則日月相對而日光正照之月體正受之人目正視之月光滿矣此時若日月正相對如一線而地體適當線上則在日與月之間而地亦厚體厚體隔日光於此靣而射影於彼靣月在影中實失其所借之光是為食也然其食特地與月之失日光耳而其光之失因光在地面與月體之上地與月互相遮掩耳日固自若也總之日也月也地也使三體並不居一直線則更無食矣若食則日體恒居一直線之界末而彼界則月體地體叠居焉月體居界末則月面之日光食於地影矣地影居界末則地之日光食於月影矣實㑹中㑹似㑹說(第二)夫日月星宿之㑹總名也第有實㑹有中㑹有似㑹實㑹者以地心所出直線上至黄道者為主而日月五星政當此線則是實相㑹也如後圖日在甲月在乙地心在丙甲乙丙線直至黄道圜之丁是也即南北相距不同在一㸃而總在此線正對之過樞圜亦為實㑹蓋過樞圜者過黄道之兩極而交㑹於黄道分黄道為四直角者也則從北而視南雖不在地心所出之一線却與地心所出之一線東西不偏而正相對猶一線矣故為實㑹也然月與五星居小輪之邉地心所出線上至黄道而小輪之心正當此線者則為月與五星之中㑹也但日無小輪而日天本圜與地不同心兩心所出必有兩線此兩線若為平行而月輪之心正當居地心線者則是日月中㑹也夫實㑹既以地心線射七政之體為主今此地心線過於小輪之心則謂之中㑹矣如地心為丙日天之圜心為戊月小輪之心為己日在甲甲日與戊心之戊甲徑線而從地心丙出線至黄道辛平行乃是中㑹矣然實㑹中㑹俱凖於地心而吾人所居乃在地面而從心所對一線從面所對又一線惟正當天頂之圜則兩線同在一線與實㑹無異過此而偏左偏右即分兩線矣今人所見日食皆地面上人目所對之線也日月在地心所對之線為實㑹則在人目所對之線不得為實㑹而特為似㑹矣如第二圖地心為丙地面為壬天頂為癸癸壬丙定為一直線也若甲日乙月即在癸丙線上則實㑹併是似㑹矣若日在子月在丑與地面壬為一線則似㑹也必月至寅與地心丙為一線方為實㑹耳則是實㑹在午前必先於似㑹實㑹在午後必後於似㑹也惟日食全以似㑹故地有不同而食之分數時候因之所以隨地所見亦不同也第合朔論實會交食論似會實會似㑹之線在日月本天無度分而全依宗動天上黄道圜十二宫之度分則必當極論㑹線至黄道之處實㑹線所至謂之實處似㑹線所至謂之似處矣以實㑹線上之日月為據而目視日至黄道有日似處目視月至黄道有月似處得其似處可以較實處之距度矣如第二圖子寅丙為實㑹線至黄道卯則卯為實處若壬目視子日至黄道辰視寅月至黄道午則辰為日似處午為月似處也然所用既皆實㑹似㑹而并論中㑹者凢地與日圜不同心而與列宿天則同心心同則徑同而日圜之心在列宿天心與地心之上則日圜之徑亦在列宿天徑與地徑之上列宿天之徑割日圜為大小兩分兩分雖有大小而各應黄道之一百八十度此空度隔度之所出故不得不辯夫必用地中㑹線者求凖對日與黄道遲速不均不平之本動又因而求實㑹之準則焉食之徵(第三)凡日月相㑹未必皆食惟因㑹之有似有實而悉其差之逺近幾何此必須測騐而後得凡人居赤道北者月之似處比實處恒若偏南若偏低者然夫月在日與目之一直線上不偏斜不低昻乃能掩日而為食若精察之較月食更難焉第觀日月似會之時其距度比日月之半徑或大或等者必無食也小則必食矣愈小則食愈大矣考之在龍頭龍尾若正當頭尾或與頭尾不甚逺則當測其食否若與龍頭龍尾相逺而月似㑹之距度過三十四分則無食矣可不必測矣月食則於望日求之月之距望若小於月半徑與地半影者必食也其食之處定在龍頭龍尾之兩傍十三度三分度之一過此則月之行道不相涉而不相掩矣如甲子年八月望日月經龍尾不遠則應測其食而考其所經之躔度乃在黄道白羊宫三度五十六分四十一秒其躔道距度則五分三十六秒矣夫月半徑得十六分四十三秒而地影之半徑則四十五分十三秒二數併之即為六十一分五十六秒距度止五分三十六秒是最小於月徑及地影之半而全體必盡食地影必且有餘矣若乙丑年八月望日其月在龍尾雙魚宫二十三度半夫月半徑十七分十五秒而地影之半徑則四十六分三十七秒二數併之得六十三分五十二秒月距躔道四十八分二秒則小過於地影之半徑而月體必半入地影而不得全食也食之處(第四)龍頭龍尾者何是日躔之兩界月食所經之處也昔人測日月之食必在躔之二處而月之距此益逺則距度益廣廣者象腹則其所起所止象頭尾矣十二宫右旋從頭至尾則左旋而此頭尾二處非定於二宫但設為多圜嫌於繁混故止取龍之頭尾以略徵之也如上圖甲丁乙為日躔圜甲丙乙為月行圜兩圜交於甲於乙而從甲上升左旋至丙至乙故甲為頭乙為尾丙丁相距最廣為腹也但甲在白羊宫則乙在天稱宫而腹在磨羯宫若甲在雙魚宫則乙在室女宫而腹在人馬宫凡十九年乃復原處故日月之食不十九年不能在本躔同宫同度也日月地影之徑說(第五)日月之徑原自平分今因日在本圜月在小輪有逺有近近則見其徑大逺則見其徑小又地影者是日與地所生故日之逺近亦能為影之大小也然無有食而月不居本圜之高處第就月居小輪日居本圜則每食自不同而其徑之大小與小輪與日本圜無一定之規則惟用日月之本動方可考定今考月體本動之法每四刻若行半度則知其徑亦半度矣日體每四刻若行二分三十秒湏以十三乘之則知其徑十三倍於二分三十秒矣此係一定之常法但日月之行時刻不均故以是法測其體之大小未免少差蓋日愈髙其體愈覺小其動亦愈覺遲日愈下其體愈覺大其行亦愈覺速月在小輪其高下遲速亦然其考地影之法須先定日之最逺處月徑假有三十三分即以三率法求月體於影如五與十三之比例即等於三十三與八十五零五分之四之比例也若日不在最逺先當考日之居所離最逺處幾何度次考日行比最逺處幾何疾以疾行之度減去地影則得所求矣食大小遲速辯(第六)夫距度廣狹實為月食大小遲速之分故望日之月視其進地影厚處則其食遲進地影淺處則其食速朔日之月視其似㑹少偏日躔或似㑹大偏日躔而其故總由日月逺乎龍之頭尾也望日之月在頭尾正躔則月食至大至深若少偏而躔影之半徑與月體之半徑等則雖全食而即復若距躔影又遠則食不全也若日雖全食亦不能乆因月徑之似處小僅能遮日體而須臾便過故但能全掩不能乆掩也今欲知食分大幾何必須定其分數幾何葢西洋取日月本體為十二平分移此分寸量月所經之處若日月食十二分有餘者是謂至全至大之食也但欲精察不謬月食則究食甚時月道距躔道幾何日食則究食甚時月似處距實會幾何經候幾何(第七)欲知食之經候幾何須知日月之本動設若日月本動相同則月必不能進影進亦必不復出矣今月行黄道比日甚速能逐及於日而又過日前故但較月過速日過遲之兩候即知日月食經候得幾何也此有筭就立成凡某時刻日月當食其本動之度幾何則以日過遲之少數減去月過速之多數次取立成視月多行之度幾何則得盖以過速之多數除初食至食甚之度數即係初食至食甚經候之度分也食甚至復圓亦如之顧日食之中前中後與月食有異蓋日食惟在躔道九十度正天中者中前中後均平無異若其食偏在東西即有異矣偏東則初食至食甚短於食甚至復圓偏西則食甚至復圓短於初食至食甚故求日食毫釐不差必須較看日月行動先後兩時刻度分其一在未食前其一挨復圓後而初食至食甚度分用以除食前一時刻度分食甚至復圓度分用以除復圓後一時刻度分即是日食中前中後之經候度分也日食月食辨(第八)夫日食與月食固自有異蓋月食天下皆同而日食則否日食此地速彼地遲此地見多彼地見少此地見偏南彼地見偏北無有相同者也而月食則凡地面見之者大小同焉遲速同焉經候同焉唯所居不同子午線者則時刻不同矣蓋月一入影失其借光更無處可見其光也右所舉不過略言食之固然與夫所以然耳若精求合朔之時刻日月之真方位及月離躔道之距度考南北東西差每處不同日月每時行幾何度分與夫月進地影食甚時以較太陽行度幾何遲速及他種種議論種種見解是書皆未及言俱各有本論及立成井井臚列俟翻譯後開卷一目便已了然新法算書巻十三
## 卷十四
欽定四庫全書
新法算書卷十四 明 徐光啟等 撰測食畧卷下月食為地影所隔第一問月食必在於望因日月相對之故其說明矣至謂地影隔之而食竊有疑焉曰月對日而受其光苟日月之間非有不通光之實體為之障蔽則必不能阻日光之照月體無論空中之火空中之氣與夫天體不能掩月即金水二星雖居日月之間其影俱不及地况能過地而及月乎則知能掩日者惟有地體一面受光一靣射影而月體為借光之物入此影中安得不食而半進則半食全進則全食矣月體當食尚有光色第二問無光之月一入地影遂全失其借光也然食時尚有依稀可見之光天文家毎視食月之色預言食之徴驗若人以目切墻屋掩其未食之光體而獨視其既食之烏體其光尚明於星也葢物之可見必借外光不獨能見物體且更能發越物色也月既在地影即失借光安得尚有色乎曰月體雖食尚有㣲光今直以影為明者誤也以影為暗者亦誤也稱影為明暗之中者庶為近之葢日所正照為最光明有物隔之而四傍之氣映射或對面之光反照雖無最光明亦有次光明也如一室之外為最光明一室之内為次光明也雲之上為最光明雲之下為次光明也直至所隔愈深去光愈逺并次光明亦漸㣲㣲而又㣲以至絲毫無光乃為暗耳夫人與地近日與地逺人居地此面日在地彼面至夜子初人在地影至濃之中近物尚能别識何况月在地影至銳之處次光明正盛其有光色又何疑乎且人在極暗則月光雖㣲視之反覺明也日食在朔月體掩之第三問前言月在日前能掩日光是已金水二星亦皆在日前又皆實體且水星雖小而金星則大於月也何獨以食屬月乎曰二星于人甚逺不能掩日百分之一二而日光甚盛即虧百分之一二人亦不覺且二星去日甚近去地甚逺所出銳角之影亦甚短决不能及地面也若夫月體雖不及太白之大然去地近去日逺一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一實體之能全掩日又從西而東過之甚疾唯月為能葢月之右旋比諸天更速且必至合朔方有食則日食於月决然之理也因食知月體不通光第四問月體受光而返照之必不通光如銅鉄鏡葢通光則不能受日光而反照他物亦不能掩日而生影也曰鏡之設譬似矣而尚未盡夫鏡之照物而反生之象其大小逺近必與物體相當然後可以鏡喻月今觀鏡之面有突如球有平如案有□如釡惟平者所生之象乃與物體相當若如釡者所生物象必倍於物體如球者所生物象必小於物體矣試以球鏡照逺物而人又從逺視之則物象必倍小甞持球鏡照太陽之體其小如星倘月體如球鏡欲其反生太陽之象烏可得乎又問合朔後月之下半未受日光而月體㣲光比諸星更顯若不通明則此光又從何生且觀其掩日而日全食時月之邊際覺稍明于月之中心似中間厚處難通而薄處稍可通透乎曰前既言月在地影最中處乃天光映照之明若合朔時則有光之天與月體最為切近而日光上照月體約有大半四邊豈得無光或言月既非極通光如玻瓈或半通光如玉石特因在後之物其體質不明故不能映見在後之物乎曰試觀日食甚之時天光盡黒星體亦現爾時太陽在後體質最為明顯何以不能映見絲毫可知月體絶不通光也或言在月後之物必更堅密於月者然後能照見若較月更通徹即不能見乎曰若然日體在月後堅密不亞於月而亦不能見可言日體為通徹乎又凡目所注必須有色及所照之光此二者必不通徹之體乃能受之則月體從可推矣月食時人目不及見月受光之靣第五上言日光照月體大半則知日比月體至大然日食甚之時人目所見之靣何故絶無絲毫之光曰凡人視圓球止見小半葢球有大圜有小圜若以兩線切大圜其線必為平行今目所注視之線既不能平行則不切至大圜可知而目亦僅能及小圜矣(詳見幾何一卷)(二十八題)又望後三日雖月毎日行十三度有竒而月邊尚似圓圜可見人目正及其小圜也或曰望日所見月體之靣即月所受光之靣其光為大半則二三日其光尚在大半之内則晦後月輪稍移便宜見光而光今竟不即見何也曰月掩日之時一則人所注之圜與日光照月之圜為平行一則日食時不過一兩刻則兩線亦不能相切至望則不同矣又望時日光照月少於他時葢晦日日與月止隔金水二星天而甚近故所照亦多於望日望日與月隔金水二天及月本天之體而甚逺故所照亦少於他日然晦日所照雖多於望日而人目所及止見小圜而月光不即見職由此矣日月毎月不食第六夫月不恒食之故有二一則日體常麗躔道則地影亦常對躔道一則月行常出入躔道故他影不及葢凡光照物必直射而作直線今日在躔道其光自平靣而直通至地則反影亦反射至天如日光之射地其日光繞地一周則影亦繞天一周其地影至月天濶不過一度半躔道平分地影毎邊有四分之三又望日月輪不在龍頭龍尾近處故月體與地影不得相遇故不食此前篇言毎月食三體必在一直線也或曰日食應有多次為其不論月之寔所但論月之似所若論似所則南北所差甚多如此則人住兩極近處者視月逺於躔道亦能食日矣曰人居在北極下而似所與寔所相距不過一度譬如月在地平東西差亦不過一度可見日欲食時月不能離躔道一度强故日食亦少也但論一處則日月之食不等槩論天下日食應多於月食也因月食徴地圓如球第七格物家悉言地圓如球驗之洵不得不然也葢凡物之性重者勢必就下若一無所阻必徑就天心天心者最下處也故大地四旁皆欲就下其勢不得不結為圓然則雖山岳之髙湖海之深亦無損於地體之圓也今以地靣論之日月星之出入東西異則時刻亦異試觀同此月食歐邏巴見於丑正亞細亞見於寅正是可見日之没也先没於亞細亞之東後没於歐邏巴之西也非圓於球者必不然矣大率從西而東七千五百里則應天三十度而先八刻見食設地體如案則天下見食共在一時無有彼此後先矣若地勢如盌則逺於月之處先得見食近於月之處反後得見食矣至若地體如觚而四方或八稜則凡在一靣者見食皆同矣何故有時刻先後之異乎非圓而何也又問地固圓矣但日月初出半露地上圜體切之宜若弧狀今但如弦何也曰地球掩日月之半寔自如弧今見如弦者因地形掩日月處較全圜甚短人目視之如直而寔圓也今設一圜線其長尋丈若截取分寸之長則不見其曲矣問地既為圓球吾措足之地在球靣則所見四旁之地宜皆低也今見近處覺低逺處反覺髙何也曰凡人視物之逺近皆從一直線來入吾目而人之内司從外司憶之故視逺物出線似過髙於近物出線如上圖甲為人目乙為逺處丙丁為近處俱屬一平線乙逺出線來甲目似髙於丙丁近出者也如人立長廊中或長甕道廊道兩頭平正如一而自此視彼只見其髙矣夫視近尚爾况地靣之逺乎惟據寔理察得之則知外司之似誤矣因食徴地海併為圓球第八航海者逺望他舟之來未見其舟先見桅端須臾漸兩相近則㠶檣頭尾全舟畢見矣設海靣為平則此舟全體可見何乃有先後見不見之殊乎幾何家正之云從一㸃出線至一界若其線長短若一則所至界必為圜界之形今從地心出線至海靣如此則海靣果成肖圜界明矣若弗允其說而謂線有長短長者其界更逺而逺於心㸃短者其界更近而近於心㸃如此則地心出線有長有短長處之水獨能居髙而不下也豈不逆水之性乎如圖甲為地心乙丙丁為水平靣丙近地心而為水低靣丁乙逺地心而為水髙靣則乙丁之水逆其性而居髙若居己庚處則更髙乎乙丁水邊也觀此可知地與海為圓之證而其明白顯現者無過於月食敝國有人自依西巴尼亞國至墨是谷國驗月食之時刻則先於依西巴尼亞國然兩地時刻俱一一較凖故知食有後先而地與海為圓球又食時月内烏影不拘何地其影必作圓形而光體未受食處若半規然以接其烏影若影為方為扁則月之烏影安能如圓形哉若言影圓而其生影之體為四方八角種種異形此猶不通之甚矣說更詳於視法諸書其言烏影悉隨其生影之體而肖之也問謂影之圓應地體之圓是已若夫水乃通明之物不能併地而生影亦不能併地而為圓形如何曰水離地之重濁能有幾何即不同體寕非連體乎既水與地為連體則重濁攪混豈得通明而况加以深厚孰謂水之通明全體而不能生影乎葢月之食影惟係地影則海中有島如爪哇老冷蘇門之等星羅碁布在在有之有則皆能生種種之影則射於月體何處分别是水乎是地乎因食知大山不損地圓第九問客從歐邏巴航海來于西海首見分子午之福島其隣地有山說者云從千五十里之逺以見其山脊或言天下髙山此其首矣又利未亞中一山名亞蘭得其髙視之若際天故名天柱又額勒濟亞中一山名百巒說者云其髙出於雲表此數處有山之髙如此則天下各國豈無有類是者然大地有此種種髙山則未免有凹凸之狀今言其形若球不易信也曰地海併為圓體其形如球者非實圓如天球通光滑澤不□不突者也特謂其類天之球而少異焉爾額羅斯德逆甞云地形如球者大都肖球之圓非如工匠車鏇器物之渾圓而毫無凹凸處也否則山之髙谷之深將安所置頓哉然山谷在地靣圓球之上不過為球靣之一㸃塵埃耳今視山谷在地靣雖不齊而視月食烏影未甞不圓若謂山谷與月相望之一靣不能生影則地球與月相切之一邊豈不能生山谷之影而滅地球圓尖之影哉今俱不見其圓可知矣幾何家用通光測量等器測亞蘭得百巒二山垂線之髙只得千二百五十歩况雨雪時天下諸髙山頂處處皆有積雪則較之彼所稱天柱者所差又多矣曽何足損地之圓乎今測大地之圍九萬里矣則其徑應三萬里也以二山之髙歩化為里數而以較地之全徑僅為五千七百二十七之一耳今三倍其髙亦僅為一千七百零八之一是山谷之髙深較地全體之大直九牛一毛耳球上些須之㸃烏能損大地之圓乎因食徴地球在天心第十前論地球居天中心者理勢不得不然也葢四行之重濁下墜者惟地重濁之反而輕清上凝者惟天性之兩相反而兩相去去之至逺者其惟天心乎故地之上下四傍靣靣皆生民所居首俱戴天足俱履地其首上足下攅聚皆不離斯是知地靣上之屋宇樓䑓地靣中之江河湖海千古安於就下之性初未甞見其起離地靣而超越於天也問天之四傍恐未必皆是九十度之髙人視四傍之天似下垂而近乎地又似相接而比乎地矣且朝暮日月之出没若出没於地平之近處則近地平之天未必九十度如天頂也曰欲釋此疑盍驗諸月食夫日月不相望于一直長線之末則終古不能食也設地不居天中而偏近於黄道之上下東西則食不居半圜黄道之一百八十度矣如上圖甲乙丙丁為黄道若地不居中心戊而居己則日居甲而月至庚即食然此日月非正居直長線之末相對相望處其甲丁庚之長未足半圜與古來測驗之凖的不易之常法大相背戾矣若言地居黄道極但去極不必相等是又迂濶之甚葢地影近黄道極則地影不能與月相對而掩其光而月體亦終古不能離黄道而受地影其能服天下髙明之耳目乎夫人視地之四邊若與天近與天相接者尚自有說葢人從此處以目視彼逺物之界悉慿乎中間有寔體與否如於地靣視天所見只有天有地以中間渾無實體以間之也則地靣之四邊與天若近若比此其故矣今試觀林中竹木或城上旗竿魚貫而列若側而視之在逺者若相近在近者反似相逺而逺近恍惚之不定也又河之兩岸各有人立倘在逺處視此二人似覺竝立而無逺近亦不能料二人中間尚有河隔足徴從逺視物易於淆亂而視天何獨不然因食而知黄道六宫恒在上六宫恒在下第十一凡習渾儀之說者即當知黄道之居儀上隨宗動天以運旋第就黄道之隨動而言固有正斜遲速之不等所以然者因其隨宗動天之極而極與黄道之十二宫逺近不同故也又當知黄道之在儀不拘何度次何節氣其黄道宫從地靣而升則其所相對之宫由地靣而没焉夫地平與黄道兩圜在儀為大圜凡圜交錯分為十字者寔為半圜而舉黄道全圜則半在地靣上半在地靣下也右所言不必膠執一定即據渾儀審驗亦可窺見月食之大凡而其故瞭如指掌矣但食居東西兩靣方為相當又見地海全球半居地平上半居地平下葢食在東則日居西食在西則日居東而日月實相對望於至長至平線之末則見日月出線正當穿過地心又見日月至地平上則地球之靣居地平之上矣又見日居東月居西正當半烏影設當此時以通光耳測器平對日月則日光正射月體如此豈不昭然見日月實居地平線之末而貫地球於平線之中乎又見日月及地心竝貫於一平直線如此則自通光耳竅測影處以去地心非如一小㸃乎且凡有月食無拘冬夏天文家正測以日月相去黄道六宫則明見六宫居上六宫居下是又不待食而然四時恒若此也第其宫當從地平游移上下而至於原處地平也據月食即知其實本位所第十二據子午髙處欲求星宿之偏居原不屬地心距度者即因其偏居處求之而知其居於黄道之處所甚易易也故天文家欲求其凖的詳製若干儀象以測驗焉然儀象之巧妙全在通光之竅使其射光處有凖的不移動不更改則是器之用不惟能測地靣足跡所不能至之處即山岳樓臺之髙江湖之闊地里之逺井谷之深凡諸種種悉能測之極而能測量天之星宿與天之彗孛也第今用是器以求月之髙度因而知其在黄道之實本位所惟除地方二十三度内如廣東廣西等處不特難之難且無凖的可據更難於推算也葢月之始出其髙度少則差度多髙度多則差度少由是則時刻之所在其差度恒不一葢凡以儀象測月要當取地心之所方為不謬今勢不能得不為虚器乎但器雖有短心靈無盡故多羅某及諸天文各家言細測月食在于月行本道進影時不居似處而居實處則在食甚時不得不凖對乎日既知其的確處所則知其本動之行本行之異知其順往則知其逆來而食之時刻食之大小食之方所畢知之矣因食而知月有小輪第十三問月有小輪何所據乎抑因其食而證其有乎曰天文家究心殫思屢經測驗月食悉見夫食屢居本圜之極逺其日屢居本圜一處則生影不得不盡一也然食時之分數有多有寡多則月居影厚處寡則月居影薄處必有小輪焉月體居之因其極而動時居輪上則去地靣逺時居輪下則去地靣近如後圖所載云問月既有小輪如五星者則其停居順行退行亦宜若五星然今獨未見何也曰夫月行隨其本圜之疾故不言其停居退行只言其行速行遲也速者因其居小輪下隨本圜之動自西而東遲者因其居小輪上隨其自動自東而西逆本圜之自西而東故也問月體既居小輪隨輪而動則無本動若論其體之圓則宜自能動何如曰有謂月中影象是地體厚處所映者謂月體通光處日光射而逹之不得返照者又謂月體中自有髙卑如山谷者種種異說然此影象恒俯對地靣而人恒仰見之不側不移則月體有本動明矣其動因乎本極而逆乎小輪行之迅速與小輪竝速也影象之明恒下垂之安得謂月輪無本動乎因食而知日有不同心圜第十四問日食有或全食經候多而見食多處者或全食而經候不多而食不在多方者其故何也日天文家正據此以驗日有不同心圜不然何其食同而經候不同掩地靣之廣狹不同也可見日月俱有不同心圜而居不同心圜之上下則為去地之逺近生影之大小也今有一光明之體照一不通光之小物兩體相近則明體照物體之大分而生影小兩體相逺則明體照寔體之小分而生影大此見日食全而大者則日體必逺乎月體日食全而小者日體必近乎月體明矣倘日月無不同心圜之極而以地心為心則其東西行動必規隨夫地心何有逺近之殊耶丁先生者太西髙明之士尤長於天學親見兩日食之異其一于耶穌降生一千五百六十年在哥應巴府見月掩日白晝如夜星宿昭然其一于一千五百六十七年居羅瑪都時見月居日前當中掩之而未全蔽月邊四圍皆有日光即此二食知日月去地靣有逺近而日必有不同心圜也因食而知日月地大小之别第十五問日體甚大於月與地何徴曰昔有人嘆世人止慿肉目不求物理甞設喻曰日出地時設有駿馬疾馳從日始露至全現亦可馳四里縱令日行與馬等速則四里而僅見其全則全體之徑亦必四里矣今駿馬一晝夜所馳於地幾何最速不過全圍百分之一也而太陽日一周焉則其行之疾莫擬也是則馬之四里日之行幾千萬里矣日體之大即此㣲可知也且日月體之大小即食可辯葢凡物之有形象者若空中無所障礙則其體之全體之分無不出其本象於一直線而至乎界之一㸃此凡物皆然不拘方圓稜角等形如有物體于此其基址即物體也其界㸃則線之銳角所至而入人目者也凡寔體出銳角影者照體必大乎實體否則其光不能照寔體之全靣而使對靣銳影之盡處仍聚合而有光也今欲驗日大乎月可視日食月居日前而掩其光是時月邊尚有光是日體在外而其象之入人目非近來自月體乃逺來自日體也其線既為角形則從月體至日體更為廣大是其角形之銳從日來目為一㸃而中間能包月體有餘則日體之大於月體復奚疑哉今欲知日體大乎地者觀諸月食可知月之食地居日前而生角影掩月體也當月食時月體近乎地則入濶影逺乎地則入銳影愈逺愈銳以聚于一㸃若此者孰不信日體之大於地體也設謂日體與地體均則地影大小均為無窮盡之等影若言地體大乎日體則地影必益逺益大為無窮盡之大影其影既逺不獨食諸天之星必且食諸星之天矣則每遇望時月體詎能逸於大影之外乎由此益信月體之小乎地球也葢地影益逺益銳而月食居此影或有全而乆者則月徑更小于影而影小於地故月體地球之大小從可知矣因食而知各地之子午第十六多羅某者天文家之宗匠也其所定子午法諸子皆宗之當時欲定各國各府之子午以便測驗乃先定福島以為西極而此外因海弗論也職方氏謂心憶不如足至多羅某生平足履雖未徧地而垂法之妙足踰百家矣厥後諸天文家身渉多方目測多食益精其遺法之妙而職方圖志益廣其傳焉今欲求經度之準的東西之遠近法莫善乎考兩地之月食以此方之時刻與彼方之時刻相較視所差幾何即知兩地相去幾何度矣假如癸亥年九月望應月食京師及隣近地初食在酉初二十七分食甚在戌初五分復圓在戌正四十三分此中國之食候也若在西洋則初食在巳正四十二分食甚在午正十五分復圓在未初四十八分其差得三時零二刻半則知中國去西洋之度東西相距一百一度十五分可見凡兩處月食之先後即能測兩處道里之遠近矣然既確識東西之經度即以西洋所定測算立成舉而按之用力省而獲便多矣前癸亥九月望月食望承命以西洋法測算是嵗望初來都中未嘗測本地之食莫得其經度不敢輕任嗣後復蒙嚴督因以先寓廣東時所測一次月食之經度又用諸儀較量知京師更東凡三度强于時刻應先十二分離西洋中心勿尼濟亞國東西一百一度十五分據法推算分秒時刻幸不少爽甲子二月望及本年八月望兩度月食承命推算幸亦無爽今乙丑嵗又當月食復䝉命推算敢不祗承謹據西法測驗一一條列于左倘有訛謬則拙算之未至非成法之有訛也諸食圖具後初食月距躔道四十分强食甚距躔道三十六分復圓距躔道三十一分半初食酉初二十七分食甚戌初五分復圓戌正四十三分初食至復圓共一時五刻食甚入影四十分八秒初食月距躔道六分强食甚距躔道十二分弱復圓距躔道十七分半初食子初三刻六分食盡子正三刻十三分食甚丑初三刻三分初復丑正二刻九分復圓寅初三刻食全不見月光共六刻十分初食至復圓共一時七刻九分食甚入影十八分初食月距躔道北十六秒食甚距躔道南五分二十六秒復圓距躔道九分二十八秒初食丑初二刻六分二十七秒食盡丑正二刻十分二十七秒食甚寅初二刻四分三十九秒初復寅正一刻十三分五十一秒復圓卯初二刻二分五十一秒初食至復圓共一時七刻十一分二十四秒食甚入影二十分二十秒初食月距躔道四十五分五十五秒食甚距躔道四十八分二十二秒復圓距躔道五十三分三十一秒初食酉初四分三十六秒食甚酉正二十分二十秒復圓戌初三十六分四秒初食至復圓共十刻一分二十八秒食甚入影五分二十二秒此圖黒圜靣是地影圜靣東西過心一直線是躔道甲乙線是月行道甲圜是月初食丙圜是月食甚乙圜是月復圓然當知天體渾圓而圖為平靣畵圖終不能得天之似故玩圖必須仰觀而以南北字靣一一對如其方向則甲月自西來入地影肖厥天象矣食不言徴應第十七前數則不過粗言其要而已毎有叩(望)以徴應者因喻之曰星宿各有情好也若性情之乾熱者相聚地必暑寒濕者相聚地必冷彗星彩霞火屬也而相值熒惑之星則地之乾燥也亦必矣若此之類理勢必然推驗不謬者豈有日月之食宫次不一而毫無所徴驗乎第人過信其必然之理遂泥其已然之迹不事探求其所謂自然者又不精求其所以使之自然者其道未易言也故先師多羅某精於斯業嘗曰斯業之言非一定之法可永守而不變者望晚學也法師以不言為言而妄言徴應能無駭乎新法算書卷十四
## 卷十五
欽定四庫全書
新法筭書卷十五 明 徐光啟等 撰學筭小辨咨禮部文為恭進厯元以正厯數等事准禮部咨准通政司咨據保定府滿城縣玉山布衣魏文魁為前事具疏令伊男魏象乾賫捧厯元一部到司看得魏文魁雖云考正厯法然未經試騐不敢輕進御覽合咨考騐等因到部相應轉咨查照考騐等因准此看得滿城縣耆儒魏文魁知其名二十餘年矣頗聞邢觀察律厯考多出其手近刻厯測厯元二書則功力識見加勝於前葢苦心力學之士無論一時草澤即百年来治厯名家翹然自負藉甚有聲者所不逮也但事干進奏銀臺謂未經考騐不敢輕進良為有見而本儒身在原籍無憑咨核姑就近刻二書及送到交食一单略舉一二令再為商求務期畫一徴前騐後確與天合因而推歩成厯不惟生平績學可以自見本部亦得取資藉力以襄大典矣百年絶緒非不欲速其成潛隠碩儒非不樂與其善但與其奉㫖之後考究異同致稽題覆不若計定于前應時報命之為愈也辭句頗繁粘連别幅為此合咨貴部希為查照轉逹施行須至咨者崇禎四年六月初一日計開一議交食據单開崇禎四年四月十五日夜望月食今考驗食分則為宻合加時後天一刻亦為親近獨二年五月朔日食監推三分二十四秒初虧已正三刻囘囘科推五分五十二秒初虧午初三刻臨期實候得食止二分初虧已正四刻與本部所據新法宻合此改修之議所從起也今厯測稱三分九秒初虧已初三刻則食多一分時先五刻厯元稱日食一分二十一秒初虧午初初刻則食少一分加時宻合而兩書自相違異食差將及二分加時不啻五刻此宜再加研察并將兩術筭草備細開報以憑查核務須追合天行方可議定成法以垂永久至今年十月朔監推日食二分六十四秒初虧未初一刻本局新法推食二分有竒初虧午正一刻而单開食止九十七秒初虧未初二刻則食少一分有竒加時後天五刻此法異同不須爭論宜待臨時候驗疎宻自見耳一議冬至據厯測不用授時厯加減嵗實亦不用大統定用嵗實而用金重修大明厯小餘二十四刻三十六分則各年冬至宜逓加二十四刻三十六分方合古来成法今查厯元稱崇禎元年戊辰測己巳嵗天正冬至得癸未日午正二刻崇禎三年庚午測辛未嵗天正冬至得甲午日子正初刻兩年之間實差四十九刻平分之得二十四刻五十分亦為宻近但天啓七年丁卯測戊辰嵗天正冬至得戊寅日卯初二刻而前推己巳嵗天正冬至得午正二刻則差二十九刻與小餘不合者四刻六十四分兩測兩推必居一誤矣所宜再加研究以求必合者也右二則略舉目前易見之事欲須審定畫一但山居既無儀器推測得此已屬苦心今欲必求確合當于候臺測驗本部新局亦粗備一二可以審詳或本儒年至未得輒便前来亦可令嗣子門生測量分數細加較筭縱未能即合天行于自立之法自譔之書不宜參商矛盾以啟駁正之端若臨期果有疑義不妨實吿本部共圖剖析事闗國典不至如往代厯師珍其敝帚也再查二書中復有當極論者今略舉數事如左計好學深思者必能豁然領悟不至厭其繁細也此事豈不繁不細可鹵莽而得者哉其一嵗實自漢以来代有減差至授時減為二十四分二十五秒依郭分百年消一今當為二十一分有竒而厯元用楊級趙知微之三十六秒翻復驟加與郭法懸殊矣今詳郭法寢次減率考古驗今實非妄作決宜遵用而厯元所用又似實測得之是以確然自信仍非臆説二義叅差將何決定根尋究竟則皆是也又皆非也其中義據巧厯茫然所宜極論者一其一句股弧矢厯學之斧斤繩尺也每測皆尋弧背每筭皆求弦矢而今厯測中猶用圍三徑一開方求矢之法此之半徑則六十度八十七分五十秒之通弦耳此而可用則六十度八十七分五十秒之弧與其通弦等乎半之則三十度四十三分七十五秒之弧又與其正弦等乎是術一誤何所不悮所宜極論者二其一冬夏二至不為盈縮之定限今考日躔春分迄夏至夏至迄秋分此兩限中日時刻不等又立春迄立夏立秋迄立冬此兩限中日時刻亦不等此皆測量易見推筭易明之事則太陽盈縮之實限宜在夏冬二至之後而各有時日刻分代有長消加減所宜極論者三其一舊厯言太隂最髙得疾最低得遲且以圭表測而得之非也太隂遲疾是入轉内事表測髙下是入交内事若云交即是轉縁何交終轉終兩率互異既是二法豈容混推以交道之髙下為轉率之遲疾也交轉既是二行而月行轉周之上又復左旋所以最髙向西行則極遲最低向東行乃極疾正與舊法相反五星髙下遲疾亦皆准此所宜極論者四其一日食法謂在正午則無時差非也時差言距非距赤道之午中乃距黄道限東西各九十度之正中也而黄道限之正中在午中前後有差至二十餘度者若依正午加減烏能必合所宜極論者五其一交食限定為隂厯距交八度陽厯距交六度亦非也本局考定隂厯當十七度陽厯當八度月食則定限南北各十二度所宜極論者六其一厯測云宋文帝元嘉六年十一月己丑朔日食不盡如鈎晝星見今以郭氏授時厯推之止食六分九十六秒郭厯舛矣不知所謂舛者何也若郭厯果推得不盡如鉤晝星見則真舛耳今云六分九十六秒乃是宻合非舛也夫月食天下皆同日食九服皆異前史類能言之南宋都于金陵郭厯造于燕中相去三千里北極出地差八度日食分數宜有異同矣其云不盡如鉤當在九分左右而極差八度時在十一月則食差當得二分弱郭厯當得七分弱非宻合而何本局今定日食分數首言交次言地次言時一不可闕所宜極論者七右七則因本書所有略引其端事頗賾隠更僕未罄此外有當論定者不止百數必欲集成大業固當一一講究勒為全書令𫝊習者洞曉其法可以隨試輒效後来者通知其意可以因時改革或復墨守其説則各就本法自成一家之言以待天驗以質公評斯亦前朝之恒事無足為嫌者也貴局二議七論其中有是非二字謹領教略答一二滿城玉山布衣魏文魁一議交食據崇禎四年四月十五日月食魁以第二男魏星乾第二孫魏理漕候漏測驗本縣縣尹葛允升縣學生員張爾翥同測驗蠡縣人甲午舉人賈訥己未進士王行健測驗三處測得食既生光刻分魁以法推得分秒以著厯元乞貴局大方家更正咨云獨崇禎二年五月乙酉朔日食厯測稱三分九秒初虧已初三刻是刋書者誤也魁之原稿所存日食一分三十九秒復圓午初三刻將日食分秒作成定用倍而減之初虧自見臨時測驗數處報来及禮部有聞各著厯元乞貴局更正一議冬至據厯測不用加減嵗實亦不用大統嵗實而用金重修大明厯嵗實非余用也原是授時厯大統厯四餘用也貴局不查疑余用之余之所用嵗實者不假思索皆從天得厯元著明千載合天不謬真而不偽諒之諒之咨单中又云或本儒未得輙便前来斯言過也魁疏潜隠未上厯元未進不知下落何處未奉㫖議並無召命私自来京惹人哂耻而来何為耶其一嵗實自漢以来代有減差至授時厯減為二十四刻二十五分是郭守敬自言自大明壬寅嵗距至元辛巳嵗八百一十九年以積年而一積日得嵗實非減而得之也守敬只有這一長處其月䇿轉終交終交泛等並皆仍舊矣百年消長各一決不可用厯元不從用楊級趙知微之三十六分厯元妙而神術人何得知耶郭守敬法考古驗今真是妄作決不可遵用如是遵用貴局遵用在魁不然何謂也守敬云自大明壬寅嵗来壬寅嵗天正冬至乙酉日夜半後三十二刻祖冲之立表所測守敬用百年消長推之得甲午日八十刻失一日二十四刻守敬云天道有失行是天失行邪是人之法失行邪而百年消長遵是乎非乎魁用衆君子所測今年崇禎四年辛未嵗天正冬至甲午日夜半後五十分為應上距大明壬寅嵗一千一百六十九年乗嵗實三百六十五日二十四刻二十七分得中積減氣應以甲子去之餘以減甲子得乙酉日二十九刻天正冬至與天合又以授時至元辛巳三百五十年乗嵗實得中積減氣應以甲子去之餘以減甲子得己未日夜半後六刻冬至與天合其一句股弧矢厯學之斧斤繩尺也猶用圍三徑一是術一誤何所不誤貴局責誤者不責其源清而責流濁余厯測厯元所著句股弧矢三乘之術以誤三百五十餘年誤起於元翰林學士知制誥同修國史欒城李冶其後太史令郭守敬遵而用之既然圍三徑一之誤必也用太一之文三而一二一三之數也弧矢割圓三乗之誤貴局定有良見著為書何如使魏收入厯元以𫝊後世其一冬夏二至不為盈縮之定限殊不知冬至盈初夏至縮初春分前二日四十刻秋分後二日四十刻盈縮逓換即為末限二日四十刻者自平立定三差而来曰極差其一太隂而用圭表所測是真遲疾者何云非非也夫測太陽二至前後晷景年年有之矣若測太隂髙低晷刻有年有月非測太陽之比也非是年是月不得測驗四年半測髙四年半測低九年一率遲疾一更自劉洪粗知而不知平立有差今以尖圓法得平立定三差盈縮遲疾咸備在厯元卷之三天啓癸亥嵗日低月髙之㑹測法細録報貴局查之其一日食法謂在正午則無時差是也非非也所謂時差者言旦夕也不言距度也食在夕者酉初一刻時差多定朔小餘必是七十二刻時差六刻有竒日食在晨刻者卯正三刻定朔小餘必是二十八刻時差六刻有竒日食在午正初刻者定朔小餘必是五十刻不知時差自何而来在厯元卷之二交食元中講之甚明貴局非也是孰非邪以定朔小餘五十刻問司厯氏時差幾何渠止㑹推數不明厯理待報自知也其一日食限定為隂厯距交八度陽厯距交六度亦是也非非也隂陽過此限不食且如宋仁宗天聖二年甲子嵗五月丁亥朔厯官報當午日食五分有竒候之不食以諸厯推筭皆食五分有竒授時厯推之亦然郭守敬云天道失行以魁之術推之是日得隂厯八度三分果然不食嗟嗟厯代無一人知厯數湮沒至今不亦傷乎今貴局定隂厯當十七度陽厯當八度月食則定限南北各十二度此夷外之厯學非中國之有也魁不可得而知之也何謂也言隂厯定限八度陽厯定限六度者是距交前後二度相並也自隂陽八度六度之前後漸漸而寛寛至六度弱漸漸而窄窄至距交隂八陽六二度相並乃㑹食之所也弧矢三乘尖圓之法正謂此云其一厯測云劉宋文帝元嘉六年己巳嵗十一月己丑朔日食不盡如鉤晝星見河北地盡暗黑如夜秦中地震貴局言南宋都金陵三千里郭厯造於燕去河北止千里非三千里不可辯論何謂也貴局報今年四月十五日夜望月食朝鮮虧時與山西太原府同則可知矣夫北極出地南北異東西同求日出日入則可而南北日出入異異者北極出地髙下之故也東西雖同者謂日出卯日入酉也若交食時刻相同則不然交食者或當交或交之前後移刻則交過之而日躔月離去交逺矣如陕西臨洮蘭州河州等處西去上谷纔五千餘里日在酉時帶食此處在天復圓朝鮮王京東去上谷五千餘里上谷西距太原又四百餘里北極出地雖同是言日之出入與交不干假如西域巳時即中國未時也如是日月有食定巳時邪定未時邪欲修厯數必也數理明逹方任其事余觀貴局多厯理明逹者乎諺云水深丈探人深語激是也是也與王廷評答客難昨𫝊来魏處士答問語已悉當須更一辨正否古云有爭氣者勿與言也又曰不直則道不見酌於言不言之間採該局所論次者略節數語開其未悟望致之若更有辨論能依名理雖十往返可也一崇禎二年五月朔日食據云刻書者誤也然原稿未誤者云食一分三十九秒亦恐未確葢日食之難苦于陽精晃耀每先食而後見月食之難苦于游景紛侵每先見而後食故日食一分以下非人目所能見臺官類能言之是日果食一分三十九秒則所見者極微矣而通都共覩實不止一分三十九秒也今年十月朔宻室所候將及二分而外間所見止一分以上此足下所目覩非其明效也一嵗實小餘三十六分據云此趙知微重修大明厯四餘所用授時大統皆仍之處士亦仍之則三十六分特用之四餘不用之氣朔邪豈四餘氣朔當有兩嵗實耶不知五星之嵗實又與氣朔四餘同耶異耶處士自云所用嵗實不假思索皆從天得此疑實測所定果亦近之然何不少費思索并定一五星四餘畫一不爽之嵗實乃猶仍金元諸人之舊也咨单中言或本儒年至未得輙便前来者謂其髙年儻未得来當遣子弟代之此正欲其来不得已命其子弟耳若曰拒之来不来曷不并拒其子弟耶文理自明再繹之一嵗實加減小餘自漢四分厯定為二十五分乾象厯減為二四六一八○南宋大明厯又減為二四二八一四宋統天厯元授時厯又減為二四二五其間七十餘家互有加損總計之則自漢至今皆以漸減也彼皆實測實算以為當然烏得謂元以後遂不應復減耶郭云百年減一分三百五十年来應減三分五十秒當為二十一分五十秒而該局所考正今之定用嵗實乃是二十分四十八秒六十微即又不及百年而減一分明理著數亦猶行古之道也此則不知者聞之將大笑且駭以為該局所推冬至時刻必且先天若干亦先大統若干而又不然如今嵗推壬申年天正冬至大統得在十一月三十日己亥寅正一刻而局推在本年月日辰初一刻一十八分乃後于大統一十二刻用儀器數具前後測驗確與天合並無乖爽此為何故平嵗實非本年冬至可定真冬至時刻非嵗實可推也此説甚長更僕未罄姑就所明通之處士亦知冬至時刻終古無定率乎果有定率則處士所定二十七分嵗嵗加増足矣何為每測必差即厯元所測定二三年間便成叅錯此其間得無諉之儀表未精測候未確不知果精果確乃真見其無定率矣葢正嵗年與步月離相似冬至無定率與定朔定望無定率一也朔望無定率宜以平朔望加減之冬至無定率宜以平年加減之若郭太史所増減之嵗實者平年也故新法之平冬至或在大統前或在後其定冬至恒在大統後也此法一經道破逹者自能豁然但欲窮究其理非虚心定意經厯嵗時難可遽通耳一句股三乘術非誤也特徑一圍三不合耳既稱作者宜自為清源以𫝊後世柰何沿前人之濁流耶弧與弦終古無相等之率無論古率徽率宻率太一率即多分之至萬萬億猶是弦也否則周外之切線也且弧弦之術舉手即須每推一法當數四用之即依古率推演已覺大繁况徽宻以上乎必若此者厯將卒世而不就矣該局既已言之安得無見又安得無書第所𫝊之書有論説有立成有通率都為一十六卷八十餘萬言以入厯元得無本末不相稱耶此書為用甚大故名大測自當孤行于世待知者用之譬如崇臺九成延袤百丈而不混者或未可寄人廡下也老而好學誠往昔之美談然求人之術乃當以排抵為羔鴈耶一舊法冬夏二至為盈縮之定限今云否者古名厯家精詳測候見春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其度分等而中間所厯時日不等又時日多寡世世不等因知日行最髙度上古在夏至前今世在夏至後六度則夏至後六日乃真盈縮之限此即真冬至所自出矣第其説頗奥且賾非好學深思未易與之言也一論太隂遲疾用圭表得之夫太陽用二至前後表景推算在一二日内或亦近之若逺則所得者定非真率何况太隂但太隂之遲疾不在去地髙庳去地髙庳者交道也九年再測者亦非測太隂測月孛也月交東騖月轉西馳兩道違行是生月孛孛者悖也月轉至是則違天行故最遲也九年以内孛實行天一周四年半在髙四年半在庳其測髙測庳之月日太隂必與孛同度既得同度必是最遲豈因圭表所測去地髙下為其遲疾耶且孛則九年而一周月則二十七日有竒而一轉若洞悉交轉之義精探違順之理深明平自之率確審經緯之度即月月自有其遲疾日日可得其髙下何必九年哉必九年乃得者則嵗星須十二年填星須二十九年嵗差須二萬五千餘年誰能待之一日食距午時差舊法以為論時則定朔小餘五十刻是也本局以為論度則黄道九十度限是也時與度有時而合有時而離有食在午中或近午左右而推筭時刻乃不合天者其度限去午左右稍逺故也如今年十月朔日食午正而監推乃在未初囘囘厯在未正亦一證已一日食距交限定為隂厯八度陽厯六度舊法也該局定為隂厯十七度陽厯八度而云不然何不考今年十月朔日食甚距交㡬度耶按是日食甚在未初一刻内五十一分本月十五日夜望月食甚在辰初一刻内一十三分兩食中積為十四日七十三刻月食甚時過正交入隂厯一度依法推得日食甚時月未至中交十四度强而食及一分則初入食限豈非十七度乎何得定為隂厯八度耶至宋仁宗天聖二年甲子嵗五月丁亥朔厯官推當食不食司天奏日食不應中書奉表稱賀乃諸厯推算皆云當食以授時推之亦然夫于法則實當食而於時則實不食苟如宋臣之稱賀是罔上也如元人言日度失行是誣天也此事遂為千古不決之疑今當何以解之按西厯日食有變差一法是日在隂厯距交十度强于法當食而獨此日此地之南北差變為東西差故論天行則地心與日月兩心俱叅直實不失食而從人目所見則日月相距近變為逺實不得食顧獨汴京為然若從汴以東數千里漸見食至東北一萬數千里則全見食也此術於日食法中最為深賾推厯之難全在此等其説甚長已著該局所譔交食厯中未經進呈不敢輕出然論厯至此果所謂得未曽有也古来當食而不食者或推入限不真或夜食而誤為晨夕皆不足論獨是年于法不誤而實不見食乃是百中一二變差法亦厯中𤣥指藉此一駁得為闡明正如洪鐘在懸非因扣擊何從發其音聲哉處士一言謂之有功厯學可矣若隂厯八度三分已入限大半無縁得不食也一據答未後一條語意難明如云河北千里朝鮮虧時等不知何物若本部原咨則有二説一謂南北里差元史稱四海測驗二十七所大都北極出地四十度太强揚州三十三度今測得金陵三十二度半較差八度少加唐書毎度三百五十里則二千九百餘里謬也如近法每度二百五十里則二千餘里為其南北徑線加行路紆曲豈非三千里乎有里差則有食分差安可謂日食時南北之分秒等耶試問之南来人今年十月朔曽見日食與否當自知之一謂東西里差盡大地人皆以日出處為東日入處為西皆以日出時為卯日入時為酉有定東西無定卯酉也南北里差論北極出地若千里而髙下差一度東西里差論七政出入亦若千里而遲速差一度不易之定論驗諸交食最易見矣今反抹去此差而欲議交食乎按漢安帝元和三年三月二日日食史官不見遼東以聞五年八月朔日食史官不見張掖以聞豈非食在早獨見于遼東食在晚獨見于張掖耶據稱西域之巳時即中國之未時則日月有食西域之見時為巳中國之見時為未極易曉何者地有兩時天無二食也推之西域以西中國以東何獨不然安得謂南北異東西同哉今年四月望月食蜀中移文言厯事本部囘咨稱順天府初虧丑初一刻成都府則子正一刻近該省囘文云果在子正是可據為明證若来説中言陕西臨洮等處見日在酉時帶食而上谷乃見在天復圓則必無之理亦宜再查原稿似倒説矣且不論倒否但云一見帶食一見復圓即是東西異見也欲明南北異東西同而所引西域加時及帶食復圓二事又皆東西各異得無以子之矛䧟子之盾乎欲修厯數必也數理明逹方任其事是也是也然論理論數各一是非誰使正之此則古来有法追天而已明年三月九月俱有月食試各預推分秒時刻公諸耳目至期驗定疎宻目見也儻不可待則太隂去離經星經緯度分五星躔度去離經星及凌犯時刻經緯度分皆日日可推夜夜可驗亦各先推後驗公諸耳目孰妙不妙孰神不神孰明不明孰逹不逹如出手見指立表見景將誰欺乎即亦何煩諍論何勞翰墨哉附載前論中二法論食限一法 崇禎四年十月朔日食甚在未初一刻内五十一分本月十五日夜望月食甚在辰初三刻内一十三分兩食中積為十四日七十三刻(分秒不論)月食甚時過正交入隂厯一度論時則過交在食甚前七刻半也以減中積得十四日六十五刻半為月從日食時行至正交之積時在大統法半交周為十三日六十一刻今月食在後當作逆行從正交至日食甚為過中交一日四刻半(或言食甚在中交前一日四刻半)又月行一日距交十三度二十分今一日四刻半則日食甚時月未至中交一十四度强為巳入食限三度弱故食止二分也論變差一法宋仁宗天聖二年甲子五月朔厯官于汴京推得午時日食五分至期不食今考此地此月日在午正前十刻(即已初二刻)合朔非午時也于時日躔實沈二十三度月未至中交十度半入隂厯黄道緯距度五十三分(五十三分者日)(月兩心相距之數也減二徑折半三十分得二十三分是為日月兩周切近之距數)其在本地太陽出地平髙五十二度四十分太隂南北差三十四分因入隂厯去減二十三分得十一分為月應食日之數故諸家成法皆推為當食然是三分之一非五分也再考合朔在午前十刻而太隂距黄道象限三十三度用法求三差得南北一差大半變為東西差(欲明此理此數為書萬言)(未能備述該局譔交食厯指三十卷具載其術)其南北差止一十七分而兩周相距二十三分不能相及遂不復見食矣又東西差十七分變為四刻則視朔亦移前四刻(巳初二刻為天元合朔今云視朔者)(人所見合朔也)為辰正二刻也此在汴京則然若去汴以東七八千里則見食三分又北七八千里亦見食更東北行萬里則見全食右法獨在黄道中限乃無變差雖食午正而在中限左右則亦有之故曰東西時差不以午正為限以黄道九十度之正中為限也變則時時不同或多變為少或少變為多或有變為無或無變為有其多變為少少變為多者人但以為推步未工竟不知未工者安在也無變為有人多不覺然古史所載亦有食而失推者職此之故星厯家雖䝉失占之罰亦竟不知其所繇矣惟有變為無則推步在先至期弗驗不得不𫝊耳故三代以来一切交食皆宜論定為古今交食考以俟虚心學習者考焉今諸大論大表未能得竣無暇及此當以異日禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法徐為欽奉明㫖修改厯法謹開列事宜請乞裁事准禮部咨准都察院咨據巡按四川監督御史馬如蛟呈奉本院勘劄先該本部咨題前事内開博訪得資縣儒學生員冷守中執有成書言論娓娓謹令抄録原書先行呈覽如果堪用行文起取等因到院移咨過部轉咨查覽等因准此看得厯法一家本于周禮馮相氏㑹天位辨四時之敘于他學無與也從古用大衍用樂律牽合傅㑹盡屬贅疣今用皇極經世亦猶二家之意也此則無闗工拙可置勿論惟是厯之始事先定氣朔厯之終事必驗交食今崇禎四年辛未嵗前冬至大統厯推在庚午十一月十八日亥正一刻本部從前推步臨期測驗定在十九日丑初一刻五分四十一秒則于大統厯已是先天一十二刻有竒而于来術所推在酉初四刻又先于大統一十六刻則比于本部新法共先二十八刻有竒燕越蒼素不啻逺矣然而此事奥賾難宜逝駒莫挽彼此是非孰從定之亦姑未論獨辛未年日月交食此可豫推尤難掩覆合離疏宻毫髪畢呈此不必以口舌爭也考是年四月十五日戊午夜望月食欽天監推到食限一十四分九十九秒初虧于正東為丑初三刻食既為丑正三刻食甚為寅初二刻生光為寅正一刻復光于正西為卯初初刻本部新法所推則食限二十六分六十秒其在順天府則初虧在丑初一刻内第二十五分三十秒食既在丑正一刻内第五十一分二十三秒食甚在寅初一刻内第六分四十三秒生光在寅初四刻内第五十九分零二秒復圓在卯初初刻内第二分二十三秒又依各省直道理約畧推得先後時刻不暇徧舉今止論四川成都府則初虧在子正初刻九十一分一十三秒食既在丑初一刻二十六分六十七秒食甚在丑正初刻七十零分六十三秒生光在寅初初刻二十六分四十零秒復圓在寅正初刻五十分七十三秒葢順天府復圓之時月輪准在地平上未入四川復圓之時月輪尚在地平上二十五度有竒来術云加時在晝則此相左之甚而明白易見本部原疏嘗云莫難于造厯莫易于辨厯葢為此也今時日既在指顧事理又若列睂合無聽令本生同該地方隂陽人等至期詣公府一同候驗如果加時在晝即其法夐絶千古本部當盱衡俟之如或在夜則尚宜虚心習學以成先志葢三百年来此道寥寥苟有志焉樂與其進也再照月食分數寰宇皆同不比日食多寡隨處各異特縁地有經度東西易地則先後時刻亦隨處不一如前所推蜀省時刻乃依廣輿圖計里畫方之法揣摩推筭未委果否相合如必欲得真數又須以本地交食之數驗之至期得本地方官令本生同隂陽人等測定初虧真正時刻分秒備細具申轉咨前来使本部得藉手以告成事是所甚願也為此合咨貴部煩為查照轉咨施行崇禎三年十一月禮部為欽奉明㫖修改厯法謹開列事宜請乞裁事祠祭清吏司案呈奉本部送八月十六日准都察院咨七月二十八日據四川巡按監察御史劉光沛呈稱本年五月初五日據四川布政司經厯司呈奉本司劄付本年三月二十日䝉職案驗前事奉本院勘劄准禮部咨祠祭清吏司案呈奉本部送准禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法徐咨稱内准禮部咨准本院咨據巡按四川監察御史馬呈奉本院勘劄先該本部咨題前事内開博訪得資縣生員冷守中執有成書言論娓娓謹令抄録原書先行呈覽如果堪用行文起取等因到院移咨過部轉咨查覽等因仰司呈堂查照劄案内事理轉行資縣喚令生員冷守中到司至期地方官督令本生公同隂陽人等㕘驗交食真正時刻分秒備錄具報以憑轉報施行䝉此同日又䝉本院案驗為月食事奉本院勘劄准禮部咨祠祭清吏司案呈奉本部送禮科抄出禮部尚書兼翰林院學士協理詹事府事督修厯法徐題奉㫖覽奏月食方隅晷刻互有同異便着監督官測候及各省直奏報叅驗自見所陳四事務講求詳確以資修改該部知道欽此仰司呈堂查照劄案内備奉明㫖内事理即便轉行合屬府州縣至期叅驗備錄時刻的確開報以憑轉報囘銷施行䝉此俱經通行合屬遵照行令成都府轉行資縣申送生員冷守中到司諭令本生先將月食分秒開報至期互相叅驗據本生具呈手本開報崇禎四年四月十五日交十六日月食寅正二刻初虧卯初二刻食甚卯正二刻復圓月食一十三分二十八秒至崇禎四年四月十五日戊午夜該本司署印分守川西道叅政賀自鏡㑹同按察司署印軍驛屯鹽茶水道布政司叅政曾棟都司軍政掌印都指揮僉事髙銘僉書林天庚團練叅將王國臣督率合屬文武官吏師生隂陽醫學僧綱道紀人等前詣都司陳設自十五日戊午夜候至巳未子時據成都府隂陽官生鄭良等報初虧子正初刻三更三㸃正東食既丑初三刻四更三㸃食甚丑正初刻四更三㸃生光寅初三刻五更二㸃復圓寅正二刻五更五㸃正西呈報在卷查得生員冷守中預報初虧時刻叅驗交食差錯二時厯法未得不必言矣即隂陽官所報時刻更㸃亦未必一一按接也第據衆目所共見者初虧在東南食甚在正南月光盡掩無餘良久光始東生復圓則在西南月將西沈天色欲曙日尚未出也想治厯家始能推筭分刻的確非草澤所能測度也除冷守中遵奉部文諭令虚心再加習學外等因縁繇前来合行呈報為此具繇呈乞照驗請禮部原奉勘合字號併賜註銷施行等因到院據此擬合就行為此合咨貴部煩為註銷施行咨部送司准此相應轉咨案呈到部擬合就行為此合咨前去煩為查照知㑹施行須至咨者崇禎四年八月二十六日欽天監在局學習官生周𦙍賈良棟劉有慶賈良琦朱國夀潘國祥朱光顯朱光大朱光燦等議訪舉庠生鄔明著叅訂客有𫝊魏處士嵗餘氣至攷専排本局新法吾輩以為議論異同豈無一二可相印正者宜並存之可也既而詳覈其説不過冬至交食兩事則前學厯小辯論之悉矣彼于辯中㫖義茫然不解遂不能節節置對但為模稜籠統之説曰某法合天某法不合天某法先天某法後天至天之所以先與後法之所以合與不合隻字不及也儻然無説彼便詫為已勝不將使實理為强詞所晦耶共議條答應之或曰是者心口如鐵石無隙可通豈箴砭所能至乎余輩曰不然向者己巳之嵗部議兼用西法余輩亦心疑之追成書數百萬言讀之井井各有條理然猶疑信半也久之與測日食者一月食者再見其方位時刻分秒無不〔？〕合乃始中心折服至邇来奉命習學日與西先生探討不直譜之以書且試以器不直承之以耳且習以手語語皆真詮事事有實證即使盡起古之作者共聚一堂度無以難也然後相悦以解相勸以努力譬如行路者既得津梁從之求進而已若未入其門何繇能信其室中之藏吾輩非昔日之魏子耶請以所聞於先生者就来語問説一二聊當耳提處士學久功深儻得幡然覺悟即吾輩之朝斯夕斯上可不負簡書者此非其一班乎即不其然而以公諸人人使夫有志斯道者共論定之政如引流飲渇酌者必䝉其潤豈必魏子衆以為然因共劄記凡得若干則如左一治厯者先立厯元定四應分各䇿皆平行數耳欲求定數必因積測用法筭立術以加減其平行乃始宻合於天行焉有不合者更測更筭必合乃已此非一人一世之功也今處士自云一測即得甚易已第未知處士之厯先有法而後測乎抑先測而後有法乎若先法後測是為合以驗天非順天以求合矣若先測後法恐管闚蠡勺數十年未或闖其藩籬也試為之當自知之跬步未涉者烏能知泰山之顛非一蹴可致耶古来造厯者七十餘家立法者十有三家是皆覺有乖違隨即因而改憲其所更定撰次無不釋囘増美多于前功且皆生有竒抱兼饒學力故能為時主所信用後世所𫝊稱顧未聞其専詡已長恣彈先闕良以創始難工誼不忘其所自耳今處士所用立成悉皆古来舊法何嘗自設一術自布一籌而乃排斥名賢遽謂前無作者此葢未能盡羿之道遂關射羿之弓又何怪同時嫌忌如西國先生者見詆以戴法興乎法興實不勝祖冲之故有當時之詘今試根極理要推尋事驗孰戴就祖尚未知所定抑何言之易耶法興所説持之有故不遇正術固自斐然恐亦未便可輕也一盈縮遲疾加減等三差表為筭交食之根本舊𫝊立成表悉不合天今細查厯元厯測所載太陽盈縮三差從冬至起至第六段巳差三十二刻而測冬至之差不與焉其各段所差又復多寡不一是皆因仍舊法以為己有不一改正則每日所推太陽細行悉無合者至交食加時所差更多矣曷不反覆紬繹從實際探討以求萬一之是而紛紛尚口當復何益一測景以求冬至從来作者用為造厯權輿然三景所得實與天行不合近羅先生撰揆日訂訛一卷論之晰矣儻前後二景不甚相逺即所差無㡬聊可用之其他正法甚多未易殫述總之不論何法惟揆日景不得為求冬至之法葢定冬至必為最長之景而最長之景每嵗無定率也是故從古厯學每論求冬至刻分以取嵗實俱言難定即處士厯元中所測二三年已成叅錯小辯覈之有得有失亦一一可考大明厯合者一郭太史授時厯邢觀察律厯考各有合者惟處士所測遂無一合殆是任意揣摩非繇實測或因村落草剏圭表未精故也試以句股割圓二術面相籌筭是非立見矣又漫言某先某後惟已為獨得豈好髙使氣者能使日再中乎一處士言日食分數止論京師不論各省直異哉自黄帝以来至于今四千餘年矣正閏殊統南北東西殊地而皆有厯將悉從燕冀授術乎將各就其國都立術乎抑一方所立可槩普天之下乎史書所載有食在晨見於東食在夕見於西者有南北所見多寡不同者不數考諸方之異同何繇得此方之必合也嗚呼九州萬國周環大地一一知其入限有無食分多寡加時早晚先言後驗若合符契則目之為小技拘虚局見寳為家珍且復論而不推推而不效則以為大經大法此可謂明于大小之辯者乎若處士者亦幸而生當今之世近聖人之居居故得憑籍金元舊法自為滿足耳試令生洪武之時將用何術從留都推筭又或居滇粤之地將用何術從本鄉測候也古云南北不同分東西不同時又云月食天下皆同日食九服各異是皆厯書之言處士自云何處搜尋不到乃獨遺此數語耶律厯考篇袠稍繁搜括亦備竟未見剏一新法説一大義造一用器有可為革故鼎新之助者是故不知者河漢其言以為自成一家其知者以為皆古人之糟粕也而欲守此以裁成大典沮抑方来吾見其窮己一崇禎四年十月朔日食先報後驗通都共見乃處士先推九十七秒後来直云不食何也是日百司奏鼓兆人屬目果不食言食厯官安所逃罪聖明在上誰為揜䕶而獲免耶若夫宻室測量葢因陽精炫耀非人目可當初虧時率多未見或用水盤映照則免于閃爍又苦動揺故善巧者設為此法用素板作圜界畫分秒以承日光則虧復初終分數多寡灼然不爽所取於宻室者窺光自闇倍蓰分明即眢井茂林日中見星之義僧寮中或為幽房通隙以受塔影亦此理也于時寓目者有周農部名天祚李儀部名長徳及王光禄應遴陳中翰應登本監在局學習官生僉共賞歎以為見所未見此外鄰近来觀者未易縷數又同日於本臺依法測之所見同禮部及觀象臺官生以水盤照之所見亦同何獨處士一人未見耶所以然者似因原推本無定據中心惶惶幸其不食年髙目眩臨時未獲諦見而旁人見者懼于逢怒諛言迎合遂信以為真强詞附㑹耳然而遽形筆劄指通國所見者悉云非是斯誤甚矣凡處士之䕶前自用强人從已皆此類也自欺欺人竟誰屬乎一萬厯四十年壬子五月朔日食處士稱測候不食是也第未知本時候得耶抑先時推得耶若本時候得則人人能言之又何足論若先時推得曷不明言其所以然也依本局新法是日定朔為筭外酉初二刻于時太陽躔實沈宫九度八分未至地平十九度有竒日入戌初一十九分距定朔得一小時四十九分而太隂亦未至地平十九度此實食也論視食尚有髙庳差約一度于時太隂日行十二度約二小時行一度今差一度變為二小時以加定朔并得戌初初刻三十分則太陽已入地故不可得見也又此時太隂在隂厯離黄道四十分而實沈宫當正降故在順天府即日未入亦不能相掩若西國則羅先生親候得午正刻食甚六分有竒葢東西不同時此其一徴已一黄赤二道廣狹不可距升降不可分舊傳距度等表殊多舛謬處士以為無庸改乎奈何因仍用之夫造表之法無論術不能强立義不能妄言即黄赤道以一弧求一矢如處士所抄集古術必用四十餘法而得一率則造一小表亦將抑首終嵗其難甚矣若局中新法一弧一矢特用乘法一次便能得之終嵗之功一日可了此其繁簡巧拙相去㡬何如處士是已非人必欲舍而從彼則局中所撰新法立成其種以百計一種之率大者以萬計儻用其舊術當聚數十人推筭二三百年乃可竣事將何以應詔稱任使乎一聞處士以占候自命未知果否果爾則七政之學尤宜虚心究之何者日月五星經緯度數及其次舍衝㑹合照凌犯與人物為徴應實占候家之準的若言㑹而實未㑹言合而實未合則一切吉凶禍福孰從論之設遇夫曉逹象緯者又孰肯信之今者徐察其語言文字恐分宫賦度或未能盡合天行也何者元監正未能為五星即郭太史亦然今所𫝊九曜法猶是古来相仍舊貫兩家特𫝊録其書耳處士之書亦復如是觀其所爭四餘嵗實尚作小餘二四三六則是五百年前之術也而欲以推今之星躔經緯其能合乎今本局所造皆崇禎元年之數厯兹六載已有微差特未及嵗嵗更定耳而漫録五百年前之術用强求勝吾弗知之矣如必自以為是請先指一星推定某日時刻與某星㑹于某宫某宿若干度分内外去離若干度分至期與衆共驗之不亦可乎果其屢試不差乃可得言禨祥矣更據理論之禨祥者周禮保章氏之職也其言不𫝊于今則為天文科所𫝊之書絶不雅馴仍無義據葢遼金以来星翁卜師之妄作耳此律法所正禁逹識者羞稱也無已則有二焉其一推人生命知其稟受剛柔善惡可用以矯偏克已其二推嵗月時令知其水旱豐凶可用以豫備修救此于身修國治不為無補儒者亦或用心焉顧非精研熟究分秒不失未免喜畏殽雜凶吉倒置矣即使悉無乖舛其所詮説尚多有不驗者焉是以智者諱言之一東西差變為南北差學厯小辯中無是語也第云南北一差大半變為東西差耳此理精微葢必千百年積候千萬里互證方能推究若驟語之雖聰明絶世未易懸曉其然不然也敢以過望于處士乎脱欲知之則宜用渾儀等器耳提面命以彼積學當能了然若以黄道九十度為時差中限理亦如是但恐滿志盛氣已所未知便是必無之理則所謂山中人不信有魚大如木耳老而好學如燈燭之光吾輩甚為處士望之其如不就何巳則不就又欲使人舍而信彼去昭昭入㝠㝠誰能聽之哉一日食距交限學厯小辯中用崇禎四年十月兩食之數剖晰極明處士何惜一覽耶尚執陽六隂八之舊法以為必然不易也夫隂厯十七度陽厯八度不自西法始大統厯亦然處士所抄纂者皆大統法也而于日食第三推亦未之見尤異矣今採録如左大統厯推日食在正交中交限度法曰視其推得交定度全分如在七度以下或三百四十二度以上者皆為食在正交依此則正交前七度正交後二十二度為食限何者置三百四十二度以減全周三百六十四度餘二十二度則將滿全周二十二度入食限也又曰如在一百七十五度以上或二百零二度以下皆為食在中交以上兩數相減得二十七度即中交前後兩食限并也又置一百七十五度以減半周一百八十二度餘七度與正交等又置半周一百八十二度以減二百二度餘二十度則中交前後兩食限為七為二十也一古稱義禮之家有如聚訟惟厯亦然顧惟厯家是非特為易辨何者訟必決于證佐他證佐未足可信也厯以七政為證佐無不可信者矣今欲追天以求決定乎小辨固云日日可推夜夜可驗但恐處士於恒星五星之學未能深入不應傲之以其所不知獨交食法其所侈言而来年甲戌嵗適有三食處士亦推得復圓時刻特未詳耳儻必以巳法為是請與本局各細推諸草宻封送禮部禮科以待臨期測候疎宻自辨矣他諸論撰亦各悉心努力作為成書𫝊之其人自多識者何煩口説也嗚呼茫茫區宇才不絶世人人各有耳目豈其一手可能掩蔽人人各有心思豈其一怒可能降伏耶新法筭書卷十五
## 渾天儀總論
欽定四庫全書渾天儀總論日月諸星之行俱屬厯家専務因前累測之規即可定後應行若干度分或以算得或以儀器簡得此非一時一人之事已也盖遍考古今前後所紀天行之度一一推入算中必至累黍不差然後繪圖製器以發明其所繇來因而設有多圏大小正斜各依本行自然之理逼真現前則但查本圏合成之儀而諸曜之或前或後或左或右視若指掌舉向之測與算或可不煩誠度數家至簡至妙之法也諸曜行有二等一晝夜一周此公行也即屬宗動遲速各行不等此自行也即屬諸曜之本行製儀者欲盡倣諸行非多設其制以盡其用不可乃有設一宗動以為諸曜之歸而多種行度俱可并存其上則渾天儀是也儀之靣本類宗動用之而經緯諸曜如在本天即黄赤二圏初未異于在下諸天所設之圏可槩見也
## 卷十六
欽定四庫全書
新法算書卷十六 明 徐光啟等 撰渾天儀說卷一渾天儀圖古今儀有多種其間最公而易明者無如渾天儀盖不獨以圓形象天且其所載諸象及諸圏悉存天上之象與圏凢大小逺近之比例但一設圏必與天上之圏應故同一渾形而分虚實兩等其實者以儀靣當圓體圖列星或地于靣上並顯黃赤兩道乃所借名曰天球地球者是其虚者特有其圈以聯絡黃赤二道等實圏為法而中無實體外無球靣猶存以公名曰渾天儀者是近或獨取其圏或圏與球合成一儀其分圏尚有大小有多寡然彼此約等故總圖之如左凢儀上諸圏因以顯諸曜之行者必分為三百六十平度或盡書或止以一象限(九十度)為度其圏之大小則以所分平與不平有别大者必平分其儀體有六焉如兩道兩過極圏子午及地平圏而地平子午恒定不移小者即在大圏之左右與大圏為平行原無定數任意多寡之惟以利用取規焉凢旋轉之圏俱貫入子午南北二處而承子午圏者地平也地平圏平置架上不動而子午圏則可上可下以應各方北極出地之度承架短柱任用幾端苐須長短必等總期上為極平以負地平耳架下設一羅針以審方位子午圏内安一時盤取本圏能切時刻詳見後製法中渾天儀之原一天為大圓地實居其中心 天在最外能範圍乎萬物則必有最寛之界以容物于内其為獨圓形也必矣且又旋轉不停動無滯礙恒如是而未嘗出乎其界猶得不謂之圓乎論其體之精微超越有形之美宜乎有形之物美好完全自與天體應總之以容以動以體俱足為圓形之徴如此故分天體而為日為月為星亦莫非圓形焉何也以到處所現之象無不具有圓體耳就其本行論之各曜在小輪上去離左右曽未變弧靣而太隂太白俱有上下弦豈非圓形在中漸顯借日之光以為完缺乎地在天之中心故天體旋轉恒半出地平上半在其下因知地未嘗偏左右也其晝夜長短無他原可徴獨見其夏之日冬之夜相較皆等或距春秋分前後兩日此所加必彼所減則距赤道内外必等因知地正居赤道圏下又未嘗偏内外矣試使地果不居天中何以太隂對日而望必相距半天而始食于地景乎何以四大原行中輕重諸物以去天逺近為趨避之規乎(輕者求在上與天近)(愈輕愈就近矣重者求在下與天逺愈重愈逺而趨至中心矣今之重物惟以倚地為恒規而地豈不居天之)(中乎)或曰人視日月出沒似在其近處則在地平左右之天未必與天頂等曰人從此處視彼遠物之界必中有實體可以約畧其遠不然則遠近無從可得今自地平至日月出沒之界渾無實體以間之故若與天近且若與天接矣試令一人立河之東一人立河之西使從遠處視之祗覺兩人並立不復知兩人中尚有河焉因知人目視逺易亂而視天亦然故見恒星在地平與在天頂小大等其測之也則在地靣如在地心此其故何哉盖天之大地實無與之比且若不能分之一㸃焉雖距目逺近其差為地半徑(約一萬五千里)而畢竟見與測了無異耳一天之旋行不一故設有多圏 天地共一心在萬有形物之中以過心之徑線為樞以兩界至天上為兩㸃乃其極之旋動無終始界夫距兩極愈逺勢愈寛而行愈速在上者能帶下以旋此宗動所原矣既為宗動一切在下諸天隨之以行故以赤道之兩極為共極而日月星所繇以出沒晝夜所繇以攸分也又在下諸天各有旋轉各有樞有極總依黃道南北極為極因以見恒星及諸曜各有本行各行有遲速不等故上下設有多重次苐布列而最上者為宗動天經星天次之緯星天又次之太陽居其中土木火居其上金水月居其下若層叠包褁之也或不以右旋論本行而止設七政俱隨宗動左旋微有遲速不同焉則即以各行度不及滿一周天者以當本行其理一也或曰經緯諸星各有本行各行又自有異何從而知之曰以人目共足證也如日月五星彼此相離相近或在赤道内外隨時不一或距恒星與極遠近無定人雖至愚誰不見之則從此累測前後所得漸有其數反復推求大槩恒星七十年行一度與恒星稍近者為土星三十年一周天次木星行十二年次火星二年次日次金水星俱一年下此則月也為二十七日有竒而一周天盖距地愈逺去宗動愈近得本行較遲而隨宗動反行速矣一天之旋動共歸二等惟宗動與本行而已 凢移物使動必以所至之限别之遠近遲速皆倚頼者也今天之旋行雖各遲速不同尚不至為異類無可止限又天左右並行若相反而不害其為異盖縁黃赤二極不一故今依赤極左旋此在下諸天所同必二十四小時一周乃下以從上者正如舟行水靣並渡所載之人使之與岸逺耳又依黃極右旋各天遲速不等故曰本行乃因下以逆上者正如舟本順流而行而所載之人則自舟首至尾為退行耳試以玻璃瓶注水其中令在内之水右旋而却轉瓶左旋則必見水隨瓶轉而實已右旋矣是瓶其宗動之西行而水本向東者乃亦隨而西耳一地與海并渾得圓形 論東西圓即以諸曜出沒徴向使形非圓而或方或平靣或多平靣則凢居同靣者宜同時見諸曜之東出而今不然也又或為中凹形則在西先見者宜在東反後見乂或其靣長圓如柱或三角等形靣向東西底向南北則宜近兩極恒見與不恒見之星必到處皆同北方見北斗未入南方亦因之乂或本形靣向南北底向東西則亦宜諸星出沒盡靣必同時而今俱不然也是除渾圓一形無能合諸曜東西行之景也論南北圓即以兩極出入徴設地為平靣或四平靣方形或角平靣等形則凢居同靣者宜見此極出地之度與彼極入地之度逺近總如一設地南北中凹則宜距極近反見之低距極逺反見之高又設靣為長形即無異于前論而今亦不然也且于兩極高庳之度較于地靣進退之廣有定比例而知地體必為圓形無疑矣至若海附地以為圓與地同理漂海者毎見島從逺望之有若山巔漸近之而後知其為島也是亦圓形之一徴也或曰地與海之圓亦各自為圓形未必并為一球曰合地與海為一圓形即因月食之闇虚恒為圓而知射景之體原不離乎圓也盖大地與水共有向萬物中心之性必以其體相趨而就矣(地與水皆重物地中之空水即實之故)今見平原之中突出一山或疑地不就圓球而不知此無異于蟻遊麥塲無從損地之形且地特以其大體肖球靣耳豈真如車輪器物之渾圓毫無低昂處乎况其畧不就圓形者亦因其體之堅硬故耳隨天圓形地居中心之驗天以圓形包地在中心其驗有二其一為諸星隨宗動繞地一周或在東西或正過天頂或偏南北其距地逺近恒如一人目視之時有大小踈宻不同乃地之蒙氣使然非星之有遠近也即在天頂每較在地平更小者亦䜿視横視之間氣之多寡已耳其二天毎半出地上半入地下盖地居天之中正如一㸃而人目依地靣周視之故無不得見其半乃所得之界即所謂地平是也地平之大圏以天頂為極平分目所能視之天與不能視之天使正對南北二極以直角交赤道圏此名為正渾儀依此體勢可當正球設使二極一在上一在下不以直角交赤道即名為斜渾儀因之亦可當斜球也地平有二等一屬目人在地平靣或海靣周無所阻之物而目之見界及之即人可當中心周界為圏約得半徑為六十餘里此外不及見地而天已半出其上矣一屬心人在地與海之上雖四周無物以碍之而目力不能盡見天體止以諸曜之可見者顯其半出半入之理已耳盖本圏定諸星出沒能見與否必分為四象限而各象限得九十度則自正東及正西起至正南及正北止此子午圏之定位所繇分矣子午圏為大圏必過天頂及赤道南北二極因而平分赤道等為平行之小圏以之定正子午焉盖以直道交地平本圏可當高弧亦可當緯度圏隨處以諸曜至中之高定赤道高與極出地高及諸星之緯度亦自較較不爽者又地平子午二圏當天外圏故不随天行轉而隨地每見地平各處不同子午除正南北外其餘方亦自不同且實無算今厯家祗記一度一圏其不同者共一百八十取其足用耳而本儀僅一地平一子午盖亦約畧諸圏而為之用也隨宗動之驗渾儀倚南北極如樞一晝夜旋一周令諸星并行各為圏大小不等各圏以極為心自距極逺近又不等譬之車輪然其轂外之廣較輻中之狹逺近遲速皆異而其復于元處也則同試令去極最遠之處有星隨天行為圏則較兩極左右之圏必大此即赤道圏也赤道平分天體相交于地平恒得半在上半在下自有其樞極亦皆與天地共一公樞極故有距天頂與本極出地等者則總得晝夜平矣其所以名宗動帶者亦因其正居兩極之中令渾天平分南北故也依赤道測宗動可定時刻盖每一小時行十五度每二十四小時行天一周此終古不易之定法也雖太陽等曜順黃道行而黃道斜絡天上昇降亦不一又安所得諸曜出沒之限而齊之以定則哉故曰舎赤道别無可以測宗動也較諸星出沒之時于出沒之限亦惟距赤道北者在地平上之時多而在下少盖距赤道愈遠則出愈早而沒愈遲其距赤道南者在地平上之時少而在下反多盖在赤道之極南則出愈遲而沒愈早設一星距南一距北皆等則在北居地平上之時較在南居地平下之時必等反之而北居下南居上其時亦等惟在赤道上者則得見與不見之時等即得東西出入之處亦等總之星距赤道北或與極高之餘度等必不入地平距赤道南或亦與極高之餘度等亦必不出地平雖繞極而上下然相去卒不遠也此北斗之宿常見而老人星常隱者順天府極高使然也甚至數百年後恒星之本行已移南北之距度非故則前之不見者見前之不隱者隱或亦理勢之所必有也隨本行之驗有謂諸曜依宗動毎日西行其所不及滿一周天之度者即其本行(即蔡註謂日行繞地一周不及一度月不及十三度是也亦曰右行或東行)此解諸曜無兩種行度相反之理其說亦是但未詳本行之所以然盖諸曜本行原不以正東正西與赤道平相距其斜迤赤道之上者時在内時在外而内與外又等則必更有一極以為諸行之樞所謂黄道之極是也既極與道異于赤極赤道則東西二行自不相悖而諸曜右旋之名所繇來矣黃道為大圈恒斜交赤道圏上而兩圈相交約得直角四之一雖古今相距較二道畧有變易而今實得二十三度三十一分三十秒因斜交名為斜圈故以黃道為七政本行之道太陽繇中道行以心随線名曰躔道乃依之每日行一度月五星常出入内外各距之不等各行遲速不等而相距最逺者為金火二星約八度設南北共一十六度之廣者即全黃道也或有限其寛于十二度者則從三百六十度起見即一宫得一度之比例也又曰經周得十二宫應緯度寛十二度其理同也黃道交赤道正相對之㸃為春秋二分其距赤道最逺亦正相對之㸃為冬夏二至以四季分四象限各象限得九十度(或三宫)黃極距赤道極亦如兩道最相距之極七政依此以行皆以距太陽為㑹望遠近之序而其本行歸黃道與宗動歸赤道無異也古有以周天分十二宫一宫分三十度算在列宿天者盖不知恒星有本行而今已東移如許矣因設一次宫曰從宗動天算或問分黃道十二宫何故曰太隂行黃道每嵗十三轉其與太陽㑹合者惟十二次又各㑹合之處不同故分黃道為十二宫也即如太隂行天一周約得二十八日其命為二十八宿者大率繇此每宫分三十度者因太陽一日約行一度越三十日已過一宫是以總分三百六十度而大小諸圈悉依之也今諸星距黄道逺近命為入某宫次者何曰厯家設黄極出圈線其過各宫初度自此極至彼極總為十二半圈凢黃道上之星在彼此極中居圏内者曰入某宫如上圖設甲為北極乙為黃道自極過黃道半圏為甲丙甲丁則星在丙與丁線之間任距黄道南北逺近必共入一宫矣十二宫或分南北即以赤道為初末之限自降婁而大梁而實沈而鶉首而鶉火鶉尾為北六宫自夀星而大火而析木而星紀而𤣥枵娵訾為南六宫或以左右較分即冬夏二至為初末之限自冬至迄春分為行盈自夏至迄秋分為行縮又或以正對宫度相較則北初宫與南初宫北末宫與南末宫得彼此距度加減之數必等太陽及太隂本行合宗動之驗太陽為時日之原一日約東行一度于黃道為正而于赤道恒為斜或在兩道之交或北上或南下絶無定居故無一定之時此四季所繇以變易也迨加以宗動即見其出沒之廣不一晝夜之長短有變如日在降婁初度為春分則出正東沒正西晝與夜皆等自此以往漸斜去赤道北出沒較前為廣矣晝長而夜短至夏至為最矣乃從夏至而退行一度其出其沒其晝其夜與前所得等漸退行漸與前等惟過秋分而太陽行赤道南則于前後相對宫度有定比例彼之所廣此之所狭彼之所長此之所短若相背而馳者然黃道上四㸃得太陽躔之為春夏秋冬而即可當各時之極此過極圏所繇也乃過極圈有二一過兩極以并過春秋分為極分交圈一過兩極以并過冬夏至為極至交圏因而共當渾儀之脊骨盖各與赤道以直角交即漸去内外至兩赤極之中亦自以直角相交則總得八三角形而各形之弧各成一象限各皆九十度因可以定太陽及諸曜距兩道内外之緯度又名緯度圏即兩道及兩道之極亦可以得相距度分太隂依本行随黃道約二十九日有竒而與太陽㑹故并論宗動則出沒之廣在地平上下之時皆從赤道緯倣太陽為則且無本光借光于日因體厚不能透所借之光故依本行距日逺近不等有時顯全光有時少顯其光只至正相望而食于地景正相㑹而能自以其體掩日原光又依宗動使下地視之時有先後方位各異茲有本論聊述一二如此隨地圓形之驗厯家論地與海并為圓形以應天上之經緯者何盖每見日月交食東西時刻各先後不等此即地東西圓之驗夫時之先後取規于度在天十五度為一小時在地亦然而大地彼此相距約二百五十里為一度如西安府較順天府恒早二刻餘而見食其見諸曜出地平反遲二刻(東西相距八度半故)因知地以圓體自掩諸曜之光使在東者先得之而徐及在西者耳非天旋之有異也又見各北極出地不同諸曜之在子午線上者距地逺近因之有異此即南北圓之驗夫極與諸星之高漸消或長必與里數相應如極高四十度南去一千里必下四度距天頂之南星反高起四度矣因知地以圓體或自低昂其南北各度之弧亦非極與星有異也論天總分三容渾儀亦倣之天有正有斜有平行設使南北極等赤道為過頂圏則以直角交地平即為正球得晝夜恒等諸曜之出沒或上或下恒如一盖惟此天之容距赤道左右圈各自為平分故諸星隨宗動之旋轉自等又使北極正居天頂以赤道合地平即為平行球此則無晝夜之逓換亦無諸曜每日出沒之行惟太陽半年在地平上恒見不隱半年在地平下恒隱不見盖以黃道斜交地平春秋二節令距北半圏者在上距南半圏者在下而距赤道南北平圏皆與地平為平行故諸星居之亦平行又天下總屬南北二極或正居赤道下者少而在赤道左右兩極之間者多此不拘相距多寡即為斜球盖凢平行圏皆與地平為斜切或多半在地平上少半在下或少半在上多半在下或去赤道向上極之圏以大半出向下極之圈以大半入盖極愈高而上下之弧愈不平此即晝夜之所以異而諸曜自有其出沒之時近兩極處亦有恒見與恒不見之星所繇也渾天儀赤道平行圏前六圏者皆渾儀之大圈也乃更加小圈于赤道南北各二十三度有竒為冬至晝短夜長圈夏至晝長夜短圈或再于二至圏之南北距赤道最逺而小以赤極為心黃極為界為南北兩極圈此四圈并赤道圏分天與地共為五帶中一帶乃赤道下也地甚熱在末之兩帶距赤道逺地反甚寒惟中末之間得煖氣四時不變萬物利于長飬何者冬夏二至之圏限太陽繞地之界令其在圏内過頂恒分晝夜畧等太陽正照下地生熱南北兩極之圏限黃赤二極之距為晝長出十二時之初界(在十二時内晝長之恒法惟南北極圈以往或太陽漸不入得晝為一二)(日漸長至數月或漸不出得夜長如前故兩極圏為晝長出十二時之初)(界)太陽斜照下地生寒惟中末帶二界之間日光不減不増斜正照不甚偏得氣勢平故也如圖中為赤道左右各二十二度三十餘分并得四十七度此中帶之界也又自二至線起南北各寛四十三度為南北煖帶之界又南北各餘二十三度至兩極下即末帶之界也古𫝊中末帶内寒暑過當悮謂人跡罕到而不知邇來大西人周行天下實見中帶人民甚衆風景不亞于他國雖晝夜平等而日之熱常消于夜之凉若末帶因未盡遊不得其詳然北帶内有青土在北諸國極高七十度外冬雖寒夏日之久足以補之其本儀不置此四圏者以黄極能限二赤極圈界而本道最距赤道之邊又能指二至圏即可當五帶云渾天儀増圏本儀内外増設者亦共四圈但在外者不必全圈一為象限用當高弧上自天頂下至地平一為半圏用當立象在子午圈之左右竪合子午倒合地平共當六圈古設此六圈皆在黃極中相交因名十二宫圈今設于子午交地平處平分赤道十二弧總黃道及渾天為十二舍故名天容圈亦名立象圈本圈隨極出地各處不等全與地平同或起或伏順地平而東西地平乃一與七舍之初界子午圈當四與十焉其象限之高弧以直角交地平任游移安置過日月諸星之度故于本弧可求諸曜出地高度並黄平象限等用以螺旋安㳺表于天頂依各地平為規儀内又置太陽本圈安黃道線下度分合黃道上内又一圈為太隂本圏較太陽圏少斜依本行取則焉或南或北時時不一故有正交為太隂往北之界有中交為太隂往南之界而本圏依黃道旋其兩交之自行約十九年一周諸圏俱負本曜安黃樞上以顯二曜㑹望及互相照之理焉天球天球為實靣儀得大圏與前同惟極至極分兩圏可免以子午圈當之足矣儀靣布列經星依本黄赤二道經緯度㸃定其不置緯星者因緯星遲速無定行且南北不一臨用以他色識之度分上可也論經星在七政上距地極逺彼此相距有定度終古如一故西㦄名為恒星而七政則游行如奕遂稱曰游星焉凢星行度距黃赤内外顯體質大小天下皆同其在天頂逺近分合座位立像命名或正照斜照紀數多寡天下皆異西厯依恒星本行以黃道為天之中内外諸象總有六十經黃道者十二宫在内者二十一象餘皆在南或依本然模彷人物取其名或因性情類某人物而借名各象星数不等各星以所居體勢得稱古未詳南極之星止四十八象即盡西國之見界今本國人多逰赤道以南往往見南極下諸星因以兩極為界増象得滿六十焉大統依見界紀星凢逺南極三十六度者(從中)(州為見界)俱不入圖總分為三垣二十八宿二百八十餘座乃象與名天球因之其所占宫度則依經緯取則就中微渺難測從未定度分者悉去之而以近南極者補之得渾天之全圖焉學者欲識星當從七政始七政别于恒星約有三縁恒星多閃爍七政否恒星彼此有定距未嘗自為那移七政總無定距亦無合轍之行恒星一仰視間恍若深䆳七政目之如近且各易為辨别如金星隨太陽前後出沒最逺為四十八度體大而光異他星晝或可見木星次之色雖同體與光少殺距日逺近無限火星小而暗紅燁燁顫動與金木體色各別土星體與火等色青而光滯行動最遲水星光耀似金星色稍紅體質獨小更近太陽前後焉恒星大小凢六等積氣易識以色論有黄如北河白如狼星紅如心宿大星青如老人星以光論有盛如五車㣲如虚宿中等如畢宿大星或以芒角閃爍論有閃多如南河閃少如軒轅大星中等如左肩如玉井大星以形象論如南北斗其象似斗貫索得圓形天津似弓勾陳大星(今當北極)體雖小周無他星可比總之各依本象本度圖之球上與天體脗合焉地球地球倣地之原形必為圓靣儀其得大圏與天球同惟黃道地上無定處故可不用夫天球因二十八宿而以南北引圏線過各宿距星則地球亦因子午線有先後以引其圏乃東西任距十度或十五度而南北各作小圈與赤道為平行以顯南北之距焉古西士紀東西地經一百八十度極西為福島極東為日本紀南北地緯約八十度極南為利未亞月山極北為都力乃謂大地總當一島在北氷海南印度海及大東與大西洋之中此外似無地矣今則不然三百年以來漂海者恒繞利未亞之渾洲至過其赤道極南之地為大浪山距赤道外三十五度復繞北至新増辣距赤道内七十八度又徑過日本東西繞地一周尋得新洲南北各大塊中以小峡接連總較古所識東西地約等雖南極下未及登岸不詳其内境然順濱而行似亦無所不經矣天設圈有大小每圏俱分為三百六十度則凢數等而圏之大小度之廣狭因之乃地亦依此為則故地上依六圏行則凢度相應之里數等依小圏亦有廣狹如距赤道四十度平行圏下之里數較赤道正下之里數必少若距六十七十等之平行圏尤少則求地周里數若干以大圏為凖而左右小圏惟以距中遠近推相當之比例焉里之長短各國所用雖異其實終同西國有十五里一度者有十七里半又二十二里又六十里者古謂五百里應一度波斯國算十六里阿辣比五十里莫卧爾三十五里印度以大牛鳴聲所至為一里不知一度應幾許牛鳴矣至大明則約二百五十里為一度周地總得九萬餘里乃量里有定則古今所同如論古小里一百弓為一里四肘為一弓二十四橫指為一肘四橫麥粒為一指欲以歩求里則應一百二十步為一里歩依幾何法毎得五脚一脚約十六橫指西國人步行或漂海者累考南北直路上一度下所應里數當如前外以日景查對如日輪占本圜若干其地靣正應之下立竪晷必無景今使日在夏至全徑為三十分占本圜七百二十分之一地靣亦應大圏七百二十分之一立表無景古查定同時無表景之地徑寛二百五十餘小里故以二百五十乘七百二十得十八萬即地周行之里數也大明輿地圖以方格限里數查自順天府至應天府二千二百里至杭州府二千七百里至南昌府三千里至廣州府四千八百里因前後北極出地差度乃求毎度應里數若干如應天府較京師差八度南昌差十一度以二百七十二里推一度杭州差十度則用二百七十里廣州差十七度則用二百八十二里所推里數畧不合者或測極高未必確而查竪晷無景亦未必定故止以二百五十小里約計之可也若折中多寡以二百七十里論當得九萬七千二百為地球一周之里數置零數不用尚有九萬餘里渾天儀不置五帶内中末之四圏而地球則異是盖居地不同處多以其四圏為時變天勢地境異同之界先以日景分别之在中帶内者得兩日景時射景正北時射正南在中末界間者得單日景必恒射北或射南在末界内者得轉景恒旋繞無定向是也其居中帶赤道下者因得正天必見諸星出沒晝夜皆平太陽去囘兩過其天頂毎年有兩夏兩冬(一去一來故有兩冬夏)雖至冬不寒樹不脱葉居本帶邊如夏至下者以北極圏為恒見反以南極為不見之界此二界間之星(除在赤道下者)得見與不見之異晝夜為不平太陽惟在夏至則過天頂餘皆偏南總得一冬一夏居中末帶間者最得斜天經星恒多不沒晝夜愈不平太陽恒偏南其二至一冬一夏為定然居本帶之北者得自北極至夏至圈之星恒不沒日躔夏至乃得晝長十二大時躔冬至反得夜長十二大時晝夜甚不平太陽多偏南止躔夏至之時近地平即如偏北也居北極正下者得竪天以赤道為地平故以赤道為見星之界在北者恒見在南者恒不得見六越月為一晝六越月為一夜無夏天止太陽行北時得寒氣少退耳凢此皆居赤道以北之境也居南者亦然惟得正相反之序如此為冬彼為夏此晝長彼夜長此景在北彼景在南故耳以赤道距平行之圈取方向之異同大約分二等或并得子午與平行圈同居赤道南北亦同惟相距之界在赤道正相反之處此太西與大明則然必得四季皆同晝夜長短如一惟日月諸星出沒先後之時不同耳或獨得子午圈同而平行圈之南北相距等其距界以赤道為限此大明與馬力肚(南極地國)則然得午正與子正皆同出沒之時為異四季晝夜長短恒相反此冬彼為夏此晝長彼夜 又或獨得子午圏同而平行距圏與赤道之距界正相反此即大明與大東銀河之較也得地平同但因天頂相反故四季與晝夜出沒等時恒互異如圖甲乙皆在赤道之北屬第一等甲丙一在北一在南屬第二等甲丁在正相對之處故屬第三等 外有距赤道平行圏以晝漸長之刻定界如夏日長二刻即設一圏長四刻設第二圏以此逓設之必皆以太陽距春秋分内外漸遠之度取則故其距赤道近者彼此相距逺距赤道逺者反宻所以然者因晝長之序初得度多而時少後得時多而度少如上圖外圈為子午圈中引直線者皆赤道平行圈也毎以晝長二刻相距雖距時等度數必多寡不等盖極無高度以赤道當天頂則晝凖得六大時設令極漸高至赤道去天頂八度三十四分乃晝長二刻極又高赤道更去頂八度九分(并得一十六度四十三分)乃晝長四刻若再去頂六度二十七分即得晝長六刻至極高六十六度半晝正得十二大時以至極六十七度一十五分即晝長一月復加二度一十五分得晝長二月漸長至六月此皆地球子午圈背靣所見時刻之度也新法算書卷十六
## 卷十七
欽定四庫全書
新法算書卷十七 明 徐光啟等 撰渾天儀說卷二前以天行之效顯儀之理此復依天行之法晰儀之用大端以求三曜(日月星)為要領矣至分論之或依本行與黄赤二道相較彼此得經緯度或依宗動之行與地平天頂及子午等圈相較求諸曜出沒之時又或依方位地平高度彼此相較求星距太陽遠近與出沒之先後伏見之期限總于夲儀得全用焉但恒星距黄道内外甚逺不能盡載圈上又或光色微渺未足測景(以景定度測時)則自有天球之實儀在借之以資本用雖虚實兩儀大意相同而推之亦畧有異此所以並論天球也即本卷諸用尚多缺畧然欲求其難當自其易者始欲求其煩當自其簡者始則從兹而詳及之姑以俟之他篇安儀凢測天諸儀有黄赤道等圈必以本圈正合天上所有之圈為凖如在天有過頂者儀中相當圈宜竪立以應之有距頂向南北東西者儀中相當之圏亦宜向南北或東西地平皆與天上之圏合則日月諸星行度為儀圈所得者即天上諸曜實行之度分也今渾儀雖未盡乎測天然能以日景考查時刻並求各方北極出地之度及太陽高弧距地平等用則必一切方位與天脗合先以兩極依出地度安定徐以羅針所得正其南北又以垂線取凖地平任置䑓几之上以聴次苐用焉求北極出地度北極高庳隨地東西同南北不一此乃晝夜長短寒暑異同日月諸曜距天頂逺近之所繇也法先將本儀取凖地平考正南北隨以㳺表于黃道上定住太陽本日躔度轉儀切子午圏正靣候太陽當正午之時視表周無景即本北極高度已定而極高之度必為子午圈自地平至極中之弧也若表尚射景漸運子午圈于架内或上或下展轉那移至表無景乃止而因以得北極出地之度或先設象限等器于正午時測定太陽出地平髙度次于本儀黃道上查取本日太陽躔度置子午圈正靣下隨運儀令自地平至躔度間子午圈之弧與前所測之度等則自北極至地平度分即本北極出地度分或不候午正即將游表置太陽本躔度與時盤午正初刻正對子午圈後用日晷等器測定時刻以所得時轉儀令居子午圈下後視表無景(如射景將子午圏上下那移無景乃止)則子午圏自地平至極中之弧亦準可得本北極高度或以星求之即近極諸星中(因恒不沒)任測一星先于最庳處識所測高度待旋至最高處復測之所得高度加前測之度總而半之為本北極高度此常法也今不拘出沒或距極逺近之星一測其至天中之高(另用一器)即轉球(天球)令本星居子午圏下較儀上地平與前所測等則本儀北極亦自距地平為弧因得本方北極高度或依所測天中星高度即球上查其本星之赤道緯以加(距南用加)減(距北用減)于至中之高度得本赤道高因得本北極高度如測大角高七十一度球上查緯得距北二十一度宜高度内減之(因距北故)存五十度為赤道高應四十度為順天府北極出地高度求太陽躔度太陽依黃道右旋每日約行一度謂之躔度法先依本北極出地高令地平與子午圈如法安置候午正初刻將遊表以直角切子午圏上下試之遇表無射景乃止轉儀視黃道正居表下之度即太陽本日所躔度又一法用象限等儀測太陽距赤道度因得其距南或北隨于本儀子午圏上㸃定作識乃令全儀運轉視黄道度正交其㸃即本日太陽躔度但距赤道等度與子午圏相交之㸃黄道可有二處必依晝漸長或短求之即得其度在冬夏至之前或後也假如崇禎七年七月初八日壬申厯局午正測得太陽高六十八度一十五分因得距赤道北一十八度一十分(北極高三十九度五十五分即赤道)(高五十度○五分)依之作識得大梁宮二十一度或鶉火宮九度俱與所識㸃相交苐此時夏至已過晝漸短即知所得必為鶉火宮度求恒星黃道經緯度恒星較黃道有經有緯而共以黃極為主必依黃道右行任從冬至或春分起算為之經本道南北為緯法以高弧切球上使從黃極過星所至經度即本星之黄經度所居黃道上及星間之弧即黃緯度但星距北必高弧安之黃北極星距南高弧亦安黃南極如貫索大星距黄道北以高弧從黃北極過本星視至大火宮六度有竒即貫索大星之黃經度又自黃道北至本星處約得四十四度三十分即其黃緯度也若先得星黃經緯度欲查球上星所當在之處亦用高弧依球上本星黃經度因之安高弧初度令末度至黃極中(黄極南北依星距南或北)任黃道内外順高弧數星緯度所止之㸃即星居球上之處假如崇禎元年測定心宿中星在黃道析木宫四度三十六分距南四度二十七分依此度分安高弧至南黃極從球上黃道數起得本距度之限即心宿中星所居之處求太陽赤經緯太陽依黃道行近考定冬夏二至距赤道南北最遠之處為二十三度三十一分三十秒迨二至前後每日相距不等而二道又以斜交惟分至之㸃彼此得同經餘俱不得合一也今求緯度法令本儀轉任取黃道若干度正合子午圏下即于本子午圏視兩道間所容之弧得數即黄赤相距之緯也求經度亦任取春分或冬至起算視黃道度在子午圈為限順數其赤道圏之度即黃道上之赤經度若依地平求之必先安儀使兩極與本地平齊即用地平當子午圏則赤經弧必過赤極與赤道以直角相交而東西所限赤緯弧亦為本圏南北所量雖子午圏本當過極諸圈與赤道正球相交而地平與正球亦不異是故所指度分即得赤道經緯度分求恒星赤經緯法以赤極為凖必順十二宫為經赤道南北為緯先轉其球以所求星切子午圈下後視赤道是何度分此即本星赤經度又視赤道與星在子午圏上所開之弧容何度分乃其星之赤緯度如設狼星居子午圏得本圏下赤道度自夏至起算約七度三十分即狼星赤經度分又赤道南距狼星一十六度乃即本星之赤緯度求五星赤經緯法與同但先以黃經緯㸃星于球上如法使高弧自黄極中至黃道本經度過星處即依高弧之黃緯㸃球作識後轉球令其㸃合子午圈亦可得赤經緯也若先算定恒星赤經緯于球上考其處即從春分依赤道順查星經度移至子午圈下乃本圈上南或北(依星)(距)查其緯度用㸃作識即其星所居之處也如崇禎元年心宿中星得赤經二百四十一度四十三分以本度分轉球至子午圏因星緯度距南二十五度三十分隨以此度正對子午圏下作㸃必指其本星之實處求黃道毎度赤道緯法任取黃道何度移置子午圈正靣即從黃道中線至赤道上視本圏所得若干度為黃道度之赤道緯(南或北依所求)(㸃得所距)若從北極起算亦於子午圈從極數至所求之㸃亦是如求清明初度緯得其距赤道北約五度距北極八十五度寒露初度距赤道南約五度距北極九十五度餘俱倣此求黃道各弧出没之時黃道上出沒較赤道圈之出沒恒異盖赤道等弧或正球斜球(南北兩極并在地平為正球一極出地平上一極入地平下為斜球)所應出入之時恒如一黃道不然遇正出或遲斜出反速每日早晚先後不等隨地有變試以最長之晝其見出止六宮最短之晝亦為六宮如太陽在鶉首初度(晝長時)任北極高若干使本度切儀東地平漸轉至正午必見壽星初度東出矣復轉至西地平即星紀初度東出縂得黃道半圈為其所出沒也又如太陽躔星紀初度(晝短時)在本儀東地平轉至正午為降婁初度東出至本躔度西入則東出者必鶉首初度本等自早至晚亦得半圈是黃道與地平皆大圈相交必各平分故耳法用赤道圈之度或十五三十四十五多寡等弧以限定時刻為黃道所同出入則黃道不拘大小弧縂在其時内行者為是假如北極高四十度依本地求降婁全宮之升度應時若干先以其初度在東地平因并得赤道初升度(二道相交為春分即)(各升度之初界)轉儀使出至本宮末度即見東地平指赤道上一十八度强化為時約得四刻一十二分即降婁宮全升之時也又求其入地平時亦以本初度切西地平試令本宮之度盡入得赤道同入之弧為三十七度四十餘分化為時得十刻有竒即本宮全入之時與先所升之時大相懸逺欲用時盤求之即其初度之或出或入視子午圏所指何時轉儀至全宮之出入已盡復視時盤與子午圏正切者得時刻前後差若干即黃道出入之總時矣因以度數變為時而即以時變度數法總度分秒各數以四相乘所得為次行時之小數如乘度得時之分乘分得時之秒試以一十六度二十分化為時以度乘四得六十四分以二十分乘四得八十秒總為一時○五分二十秒又總時分秒各數以四相除所存為次行度之大數故以時之微得度之秒以秒得分以分得度以時得六十度之弧因之推表或度在初行可當分亦可當秒則時分秒在次行以度數變為時數或時在初行度次之則以分秒微在初行度分秒俱在後行以時數反變為度數若查表總數初行不盡即取其近小者以餘數再查之故列表如左求兩星出没之距時凢兩星在赤經度上同出没者此正球也斜球不然盖距赤道北其較赤道同度之星必先出後没距南者反是故求星出没之距時惟以定其斜升度為先法依本北極高安球任取一星居東地平並識赤道同居之度即本星斜升度(或從春分或從冬至起算其法一)復取一星亦如前查其斜升度乃以後得數受減前得之數若不足減則借全周減之餘赤道弧為二星東出其間相距之弧化為時即二星前後之距時也求星之西入亦然假如北極高四十度移畢宿大星于東地平得赤道同出為四十九度三十分即本星依本地斜升度與井宿距星相較亦令其居東地平得赤道同出為七十度以減前度餘二十度三十分為二星相較之弧化時得五刻半為二星東出之距時若星入時求法同所得距時異如畢宿大星至西地平得赤道同入為七十八度三十分其井宿距星同入之赤道度為一百一十一度三十分相減餘三十三度乃得八刻一十二分為二星西入之距時求星出沒與在地平上之時論恒星之出没難以定時者繇太陽與之逺近逐日不一而在地平上之總時則百餘年後其本行漸變其赤緯而時亦與之不同矣若五星出没隨太陽本行亦無定而在地平上之時則因本行恒出赤道内外亦因之有異法依本北極高安球將太陽本躔度與時盤午正初刻正切子午圏下次轉球任取一星居東地平即于時盤得其星出之時刻復轉球令其星至西地平亦如前得其星入之時刻通計前後因得其在地平之總時或欲宻求應依赤道度法以本日躔度切子午圏下並識同居圈下之赤道度次轉球令星至各地平(東或西)復視此時赤道交子午圏之度為何度兩赤道度以後得數受減前數不足借全周減之餘為星出没之度變之即得若干時刻假如北極高四十度夏至日求畢宿大星出没之時依法鶉首初度在子午圏并得赤道度為九十度移本星至東地平即赤道三百二十度居子午圏以減前九十度餘二百三十度化得一十五時(小時)二十分即寅初一刻○五分(午正起算)為夏至日畢宿大星之東出也又移本星于西地平得赤道在子午圏為一百六十九度減前九十度餘七十九度化得五時一十六分即酉初一刻○一分為本日畢宿大星之西入苐此法亦就恒星近日之本行為然也若執此以求前後數十年或數百年則因其本行有變與太陽相較必不能合其出没亦必自異大率百年中依黄道行約差一度三十五分毎年差五十一秒恒依此數前減後加則得其正矣論五星其在地平上之時必先依本經緯度識之球上而後可以如法查取與前同求黃道升降度黃道每度分出入所得赤道在地平度分同出入者謂之升降度法轉儀任黃道某度在東地平得同居東地平之赤道度即其升度又本黃道度在西地平得同居西地平之赤道度即其降度然惟正球不異于赤經度而斜球則異愈斜則二道之度其差愈逺如實沈初度距春分六十度試令正球在東地平得赤道同居約五十八度如以斜球使北極高三十度得赤道同居約四十七度北極高四十度赤道止居地平四十一度此皆斜球中實沈初度之升度也是赤道較黃道恒少如北極高三十度得赤道與實沈初度之同入約七十度北極高四十度則赤道同入約七十五度此其斜球之降度是赤道較黃道反多也至欲以赤道升降度反查黃道同出入之度法同此求黃道見與不見之弧依北極出地異同故黃道隨處有先後全見或恒見與恒不見之弧因太陽左行遂以出入分晝夜此常法也然亦有出而不入入而不出之時何也北極高度較二道相距最逺之餘弧(二道相距二十三度半餘弧為六十六度有竒)或小或大或等不同小則黃道諸度每日盡為出入無恒見與恒不見之弧而晝夜並得滿二十四小時若極高與二道相距之餘弧等即天頂距極與二道相距亦等必其天旋行能令冬夏二至與地平齊故太陽在夏至之日常不入得晝長二十四小時而無夜太陽在冬至之日常不出必夜長二十四小時而無晝設北極高弧大于二道相距之餘弧即極與天頂近夏至左右之弧黃道常隨天旋不入冬至左右之弧黃道常隨天旋不出則得恒見與恒不見之弧而本地晝夜長短毎至數月試令本儀北極高七十五度則見黃道自大梁宫一十度至鶉火宫二十度為恒見不入之弧太陽此間依宗動行雖數十次周天恒晝無夜又自大火宫一十度至𤣥枵宫二十度為恒不見之弧太陽此間行數十次周天長夜無晝但太陽近地平時毎為蒙氣中暎之使起入得地遲出反得速宜以加减均之乃可(見日躔厯指)求星當見之時依北極出地高各方有恒見恒不見之星盖近北極星常在地平上而近南極星則又在地平下此定理也惟往往出沒諸星毎較太陽遠近以為隱見之限今欲求其見在何時并其時刻若干則如法安球(依本極高)任取一星至東地平並識其黃道同居地平度復查太陽本躔度因其距之遠近定本星之出見假如畢宿大星在東地平因得黃道之實沈十度同出其西沒必為析木十度矣設使日躔在實沈十度即本星曉出昏入通不可見設析木十度為躔度則本星反昏出曉入終夜恒見矣故求其當見之時必先以躔度與時盤午正相對隨查星之大小等第(凢六等)以定其距日光若干為見不見之限乃凖如畢宿大星為第一等距日光(距日光與距日不同)十度其見限也設太陽躔鶉首初度北極高四十度令本度正對時盤午正得本星出地平為寅初初刻漸轉球至太陽將近地平其未出約差十度(以正對星紀初度未入前尚高十度可考)得寅初一刻此後不復見星矣則本日得見畢宿大星者僅一刻又設日躔在鶉首十五度距本星更逺依法轉球得本星東出為丑正初刻至太陽近地平其不見星之時為寅初二刻總計見時約六刻或太陽去之愈逺其見時愈多漸可一夜恒見也求日月諸曜出沒之廣赤道交地平之處為正東正西而從此左右之地平則限諸曜出沒之廣者也法依極高安儀以太陽諸曜至地平相交之處為號限弧即在東或西可得出沒之廣假如太陽躔實沈十五度北極高四十度轉儀令十五度至地平得偏北二十九度強東西皆同此即本度依本地太陽出沒之廣也盖廣弧大小不一其縁有二一縁黃道斜交赤道因相交之㸃前後愈遠必得本弧愈大一縁地平所得有正球斜球(正斜球解見前)因正即廣弧小因斜即廣弧大而愈斜愈大如北極高二十度得鶉首初度出沒廣二十四度極高四十度得鶉首初度出沒廣三十一度使極高五十度即本度廣三十七度此皆斜球也若正球則本度出沒之廣大槩不外二道相距之弧以出沒之廣求本黄道度及北極高度夫出沒之廣或以測得或任設若干度而以之求本黃道度法先定度于地平圏依其在正東西之距南或北令本儀以黃道之中線正交其度乃識黃道何度即本黄道出沒之廣之度也欲求北極高度亦先于地平圏查本出沒之廣所得度用㸃作識遂令儀轉使本太陽躔度正交本地平度盖必相交然後儀上之極高正合天上之極高否則將子午圏低昂試之必躔度與地平所識度脗合乃止求太陽地平經度凢圏有經緯者必以縱距為經橫距為緯若諸曜不正行于圏下即隨其距等之圏可當經行今諸曜較地平以高度相距得緯而最距之極即天頂以南北距得經而初界在正東正西末界在正南正北雖諸曜出離地平而經度仍歸之法如黃道上太陽本躔度未有高度必令之至地平因求地平經度與求出沒之廣同設太陽距地平有高度則依前法求高度若干以高弧過其度下至地平即限其地平經度或在東西之南若北如北極高四十度日躔在實沈初度設本度在西地平高五十度以高弧過之得其至地平距正西南約二十三度即實沈初度依本高度及極高之西地平經度也若依時刻考之先以本躔度正對午正隨轉儀令所得時切子午圏下乃以高弧過其躔度如前查地平經度假令前得二十三度今以申初初刻求之所得復同求太陽出地平高度日月諸曜東昇漸至天中所得高度不獨前後時有異即前後等逐日相較亦皆異者乃其依黃道行去赤道内外逺近恒不一故也法以本儀黃道上本躔度正切子午圏下其正切之處至地平圏即得太陽午正初刻之高因視赤道此時交東地平度依所得度東入十五度隨將高弧過本躔度下至地平圏而高弧所載度分即太陽午初初刻之高度若以前度出十五度必高弧過本躔度至西地平顯太陽未初初刻之高餘時俱倣此欲逐刻求之即以三度四十五分出入赤道為凖盖躔度之交地平距午前後等得高度亦等假如北極高四十度日躔為鶉首初度移居子午圏得其距地平約高七十三度半此時則秋分初度交東地平使依赤道入三十度即已正而高弧過躔度至地平為五十七度三十餘分乃太陽在已正之高度或出三十度即未正而躔度西距地平所得高度亦五十七度三十餘分設太陽躔度紀初度以本度居子午圏得其地平高二十六度三十分乃春分初度在東地平使入三十度為巳正測得高度二十三度四十分轉儀往西如前出三十度得未正高度相等若用時盤求之免查赤道度必先以盤上午正及躔度如法居子午圏任儀左右轉至本時交子午圏亦如前得高度矣或更以日景求高度與求時刻無異(見後叚)但遇表無景處即過高弧以定日高焉用渾儀成高弧表凢製長圓地平象限等日晷界時刻及節氣線必依高弧得所以然法依本北極高正儀隨將黃道上本節氣躔度使之從子午圏或左或右任取一刻或四刻為限而毎限必與高弧相交因得太陽在某節氣某日某時刻高度若干其時刻在午正前後等者得高度亦等故求其左不必復求其右試以夏至初度北極高四十度得其午正高七十三度三十分未初高六十九度一十二分未正五十九度五十一分戌初高四度一十五分午前及他節氣俱倣此但距兩至等得同時高度亦等如芒種與小暑小滿與大暑甚至大雪與小寒之類是也因極高四十度列表如左求恒星地平經緯度恒星較地平經緯與太陽地平經緯不異俱以南北得經高度得緯法先依極高安球隨以太陽躔度移居子午圏並與時盤午正脗合任取某時刻于盤上以之正對子午圏後令高弧與所求星相交即得球上本星本時所向方位及所距地平遠近之度如北極高四十度太陽躔星紀初度如法正對時盤設寅初求角宿南星之地平經緯乃以盤上寅初初刻對子午圏以高弧過其星得交度一十七度為本星當時之高度即本地平緯也因而高弧偏東南二十七度為本星方位即本地平經也復依此視球上方位得氐宿東出五車偏西軒轅距午畧東俱一一與天上相應即更以象限等器測星之高用高弧試于球上鮮有不合者則雖大象森羅而此器殆最為彰著者矣求星前後合伏之時諸星會合太陽前後伏見必依其體之大小而本行遲速則又須時多寡不一盖體大易顯雖近太陽亦得見體小必距太陽遠始見稍近即伏矣遠近約有定限如土星限一十一度木星十度火與水十一度有半金星五度至恒星則依六度定限約為十度十二度十四十五十六及十七度此外最小者惟暗乃見而最大者即更近亦得見矣論遲疾因五緯右旋各有順行退行之異伏見難以時限而恒星則共一本行獨以形體分别其見伏之時耳若依黃道以星與太陽相距定合伏則悮也盖黃道升降有斜正能變其星見之時雖設距度同其見時必異故正球出沒之星自不等于斜球出沒之星也法先于球上任取一星使之交西地平後以高弧為定則必在東地平上量星距日之限令本限交黃道度所得之數即星在西夕伏之度也如使星交東地平安高弧于西量星距日限至黃道上所得交度即星在東晨見度也總以太陽日行分依前後度為限遂得各星合伏不見之時如設畢星大星距太陽十度應伏試令北極高四十度以黃道度相距因本星黄經約在實沈五度宜太陽躔大梁二十五度即星夕伏而今不然也必太陽在大梁十四度星即不見何也使本星交西地平高弧在東以十度交黃道得正對大梁者為大火宫十四度是大梁十四度星㐲黃道上畢宿大星已距太陽二十餘度盖斜入故也復依黃道距論晨見宜太陽躔實沈十五度其星即見而今又不然也直至太陽在本宮二十七度星乃見盖移星于東地平安高弧于西則高弧十度已交析木二十七度乃與實沈二十七度為正相對之處是本星已距太陽二十二度亦繇斜出故也大都躔度前後相距約四十三度因得畢宿大星前後合伏不見應四十三日有半矣若五緯則宜先定其經緯度于球靣餘法同前如崇禎七年十二月二十日大統載金星夕伏至次年正月初三日晨見臨期實測不伏試以天球考之(北極高四十度)此時因金星退行大統所載夕伏之時距太陽甚逺測時尚高十八度固不足論惟次年正月初二日太陽躔𤣥枵二十九度金星在娵訾一度○二分緯距北約九度乃移星至西地平而日躔對度(在東)尚高出五度餘故夕可見(依前定限)其正月初一日太陽躔𤣥枵二十八度金星在娵訾一度三十九分緯距北約八度半復轉星至東地平其西對度較太陽亦高五度餘故次日夕見者前一日反晨見又水星大統載崇禎八年三月十八日晨見至四月二十四日晨伏不見依新法推本星自三月初二日夕伏不見直至六月初六日始夕見前此俱伏何也三月十八日太陽躔大梁一十三度水星在本宫初度距南二十六分依黃道雖出距限之外(十一度半)然使之交東地平而與太陽相對之處止高五度尚在距限内其不得見也宜矣至四月初三日距太陽最遠乃太陽躔大梁二十六度半星仍在本宫初度但距南二度半較日躔之對度亦止高九度故亦不得見凢此者繇于黃道斜升斜降也求晝夜長短太陽左旋因之以分晝夜必依赤道上取同出弧為晝長同入弧為夜長法儀上查太陽本日躔度移至東地平因識赤道同在地平之度後轉儀令本躔度至西地平仍視赤道在東為何度則總前後相距之弧如法化時即得晝長若干因得夜長亦若干假如順天府北極高四十度求最長之晝設夏至太陽躔鶉首初度即令本躔度交東地平並得赤道對黃道之度約七十度(自春分起)(算)隨轉儀令本躔度至西地平即得赤道東出為二百九十三度與前七十度相減餘二百二十三度化時得一十四小時三刻半即順天府最長之晝餘日長短法俱同求夜長本法以前夏至本躔度安西地平得赤道同居為一百一十一度復令本躔度東出則西地平得赤道為二百四十八度相減餘一百三十七度變得九小時○七分餘為當日晝所餘也欲用時盤則以午正與本躔度凖對即晝夜各時俱為子午圏所限而并得太陽出沒之時如前夏至日出子午圏切寅正二刻餘日入切戌初二刻是也以晝長時復求北極出地高法取最長之晝查黃道上太陽本躔度令居子午圏下並與時盤午正脗合後轉儀以本太陽出地平之時正對子午圏為度架内起儀或稍下㳺移試之務使本躔度得交東地平即得本方北極高度假如順天府最長晝(夏至日)約十五小時半之為七時○二刻算得寅正二刻乃太陽自東出至午正之時刻也先以鶉首初度(夏至日)與時盤午正並居子午圏隨將寅正二刻代居其下惟㳺移本圏令鶉首初度至東地平即得儀上極高四十度為順天府北極出地度也求晝時刻太陽西行每三度四十五分為一刻十五度為一小時(四刻)冬夏朝夕皆如此法先依本北極安儀隨置逰表于本躔度移居子午圏與時盤午正相對後令儀轉(東或西)至表無射景則子午圏所切盤上時刻即真時刻或不用逰表止取本躔度與時盤午正居子午圏下隨用他器測日輪高度以所得度識之高弧上如法安弧令高弧與躔度合為一處則視子午圏所指即其時刻求朦朧時刻太陽在地平下體雖不見而光實射于空中則此昏明之際政所謂朦朧時刻是也定限為一十八度如距太陽在限外者固宜地靣周暗合無照光然即在限之内因所行不同為時亦各有多寡或躔度在黃道為正出入則太陽徑離地平其行速為朦朧短或躔度在黃道為斜出入則太陽畧遶地平其行較遲得朦朧長試令如法安儀將高弧上十八度與日躔正對之度(在束用西互易之)從地平數起依限于赤道圏作識隨去高弧視本躔度之對度在赤道上交地平為何度則依赤道相距之弧變時即得朦朧長短時刻欲用時盤則以午正與本躔度正對子午圏餘法同前如北極高四十度太陽在星紀初度若查晨刻必安高弧于西地平令弧上十八度與鶉首初度等即時盤約得卯正(躔度東入十八度故)則是本日朦朧之初刻計至太陽出約差六刻或安高弧于東地平令本儀以鶉首初度與弧上十八度等得酉正為昏刻之末界此時太陽巳西入六刻又如太陽在鶉首初度宜以星紀初度與高弧十八度等東西俱同前法得本日晨初在丑正二刻昏末在亥初二刻總朦朧各得八刻因知朝夕所得同而冬夏所得異也求距太陽出入前後時刻以太陽出没之時較前得時即于晝夜長短中推取此亦一法也然又有從升入之度求得者如法安儀竪表于本躔度轉儀令表無射景因識赤道交東地平度(赤道升降)(是)復轉儀使東至躔度交本地平亦並識其赤道同居之度(日升度是)兩升度相較必前減後餘為日出距本時之弧化時即所求前距時刻或于表無射景時識赤道交西地平度(赤道入度是)又復定赤道與本躔度在西同居之度(日入度是)兩入度相較必後減前得赤道弧為後距時刻如北極高四十度日躔鶉首初度設巳正初刻表無射景必東地平得赤道一百四十九度西地平三百二十九度令躔度至東復得赤道六十九度與前度相減餘八十度化為五小時○二刻即本日巳正之前距時刻若令躔度至西復得赤道一百一十一度借全周減前三百二十九度餘一百四十二度化得九小時○二刻乃本日巳正之後距時刻也欲用時盤必先以午正與本躔度上之遊表居子午圏至表無景處得本時刻隨將躔度交東西地平則本圏兩次所指時刻即距本時之前後時刻求七曜時分七曜輪轉各主一時名為不等時盖晝夜雖共分二十四時然此則晝自晝夜自夜各平分必得十二時而晝夜之長短所不論也所以赤道上弧亦不得定以十五度為一小時(七曜輪轉之時一太陽二金三水四太隂五土六木七火因推每曜當得一時必自日出)(起算所得第一時之曜即為本日之主如遇昴日其苐一時應太陽本日遂屬太陽依次輪轉次日苐一時屬)(太隂太隂亦為次日之主餘倣此)法先查晝長總時(依前法)化為分以十二除之所得數為本晝不等之一時次于黃道圏查本晝躔度令與時盤午正依法相對復移躔度至東地平以定日出時(依常法)從此依先得七政不等時平分盤周自日出至日沒之處後用表依常法測日依新分盤得時如北極高四十度最長晝為一十五小時化得九百分以十二除之得七十五分為本日一不等時(正五刻)或依前設已正表對太陽無景時盤得新分四時三十分為自日出至巳正之不等時也與十二相減餘七時四十五分為巳正至日没之不等時也求夜時刻太陽依左行分晝夜故此獨為時刻之原乃欲以星曜定時者必先求其赤道上經度距太陽若干隨以相應之距弧加于午正變為時即所當測之時刻法依極安球令本躔度及時盤午正相對後用象限等器測星出地高度并識其方位(東或西)依之安高弧轉球以星對高弧于前所測度視子午圏所切時刻即本時刻或不測星高度(先以本躔度合時盤午正)止將本儀取正南北視至天中之星(或出沒之星亦可)即于球上移居子午圏而圏下所指時刻是其時刻假如太陽躔降婁初度即將本度正合盤上午正設角宿南星至天中乃移球上本星居子午圏下得時為丑初初刻○六分凢星及各節氣躔度俱凖此若依赤道度求時如前法以本躔度及時盤午正居子午圏並識圏下同居之赤道度轉球以星所測得度正對高弧復識其居子午圏之赤道度將前後相距之赤道弧化為時乃星居午正之時刻必加于午正時得所求時刻如前角宿南星至天之中得赤道同居為一百九十六度(從春分起算順數因躔度在降婁初度故止用星赤度化時)查表應十三小時○四分加于午正為丑初初刻○四分(日躔不正在春分後得度)(减去前度不足借全周減之)求太陽等曜距午正之弧法先以本曜所行度與時盤午正居子午圈因識其同居之赤道度後轉儀任所設時居子午圏復識其同居之赤經度兩經度相減所餘必本曜距正午之弧如太陽躔壽星十五度赤經為一百九十四度轉儀令辰正初刻居子午圏則同居赤經為一百三十三度前後度相減餘六十一度即太陽距午正之弧也他曜倣此求日月食之原日月地三體必并居一直線上始有食盖日體恒居一直線之初界而彼界則月體地體叠居焉如月體居界末則月靣之日光食于地景地體居界末則地上之日光食于月景(月體厚不能透光故)但太陽本行恒依黃道中線而地居天之中心一為日光所照則此靣受光彼靣必生景雖所射景與日正對亦不能越黃道之中線以為規也乃太隂本行多在黃道内外大端距日與地所居之直線逺則朔望無食惟出入黃道之處與日與地相參直在一線上則朔望必食試于本儀考之設太隂在隂(黃道)(北)陽厯(黃道南)距兩交甚遠任太陽在何宮度使轉太隂本圏與日體㑹為朔或正對為望從而視之必日月不能與地並居一直線無縁得食若移太隂至正交或中交不拘得何宮度與日相會或相望必日月地之體並居一直線本朔望時雖欲不食不可得也求交食方位日月相食之輪或從失光之處求之或從存光之處求之其起復方位恒自不同此中繇于多縁如黃道斜月在南北二曜居正午前後俱能變易方位一一細推其故甚難惟于儀上視之瞭如指掌法論日食依先所算黃道上二曜視度中心圖一小圏當日輪并依太隂視距或南或北復圖一圏與前約等即當月輪(求初虧俱依二曜初虧各)(視度求食甚復圓必依食甚復圓時之視度)隨令時盤午正與躔度相對轉儀令子午圏切初虧等時後以高弧正居二曜之心所至地平即其所食方位也若月食法同惟與太陽正對之處圖地景圏徑約一度半其左右或前後依月距及各宫度繪圏畧小即得月食之象假如崇禎九年正月月食三分餘因太陽躔娵訾約二度以本度對時盤午正乃于太陽正對處(實沈約二度)圖景並月體圏轉儀令卯初(初虧時)正居子午圏即因月輪距南約五十分(以木行未至景)(心論)以高弧試之尚距正東十餘度得其向東北至食甚時月輪又低東行又多約與景心南北相對故此時得其向正北也若欲查二曜初虧等時距地平高即依時轉儀令高弧從天頂過二曜之中心至地平數之即得二曜高度如前月食初虧依卯初定儀而以高弧過太隂圏心則地平上約得十九度即月初虧高度也求彗星逰星經緯度先任測一恒星之高度如法安球必使高弧依所測星高度與球上本星脗合隨測彗星或五緯地平經緯度而以本經度查于球之地平隨將高弧過所測之星高于球上用㸃作識因較黄赤道所距度皆依前法即得其星之經緯度又一法先測彗星高度并測一恒星與本星相距之度隨依彗星方向將高度于高弧上用㸃作識乃復用規器于赤道上量其二星相距度而以一銳指恒星一銳指高弧所識㸃(高弧進或退必以規銳至其㸃為定)即得彗星經緯度或不必測彗星高度而惟測與一恒星相距之度復以界尺量之更求一恒星與此二星同在一直線而球上任將高弧縱橫安之必依二恒星引對則高弧所得恒星距彗星度㸃之球上又可得彗星實度遊星俱倣此若彗星有尾欲圖全容即依前法先測得其首後測其渾體之長短并量一恒星同居直線上隨于球上使高弧從首至本恒星依先所測之長識之球靣即得星尾之所止或正引高弧向太陽躔度以數其長短于球上為號亦得盖因彗尾多向太陽對度故也新法算書卷十七
## 卷十八
欽定四庫全書
新法算書卷十八 明 徐光啟等 撰渾天儀説卷三立象立象者何任所得時刻應何宫度依之以推定十二舍也而各舍所當居之度分並經緯諸曜皆從本度起算則此因時之變得天之容乃占驗所繇以生苐此中𦂳要在定每舍之初界(即初度)舉所應得分數繪以方圖或圓形隨㸃入星曜即渾天之象成矣法依本北極高安球以本日躔度與時盤午正較對始轉球與盤將先所得時刻居子午圏下而本球宛然一當時之天象次于西地平識同居之赤道度並得相應之黄道度即苐七舍初界次起半圏至赤道上距三十度之限所得黄道度乃苐八舍初界遞起遞加盡得地平上各舍初界而地平下諸舍則以黄道相對處可定如一與七二與八三與九四與十五與十一六與十二之類是也假如崇禎九年正月十五日辛酉曉望月食順天府食甚在卯正一刻二分日躔在娵訾宫一度五十三分因此時求各舍躔度先以日躔對時盤午正依法轉儀得西地平交赤道一百五十度交黄道鶉火宫一十三度此即七舍初界正對東地平得𤣥枵宫一十三度為苐一舍初界(即命宫是)上居天中得析木宫二度為苐十舍初界正下得實沈宫二度為苐四舍初界半圏交赤道一百八十度(距前數三十度)得黄道壽星宫初度為苐八舍初界正對之降婁初度起苐二舍又以半圏交赤道二百一十度得大火宫九度為苐九舍正對之大梁九度即苐三舍後移半圏至子午圏之東得析木宫二十度為苐十一舍星紀一十度為苐十二舍而正對處即實沈鶉首相等之處為苐五及苐六舍因而上下左右四角(四角占驗最得力處)定矣復求緯星所居之舍或依表預算或徑用推定七政細行則以本北極高及本時刻取各曜相應度分入其舍若星近舍初界有距度或可入前舍中必先以黄經緯安球上隨以本曜所居之處求于本舍而以前所立象定球漸移半圏如法起舍乃星入前後界内者即得本舍是也若地平下各舍之星法起南極于架上與北極等高移前苐一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居地平上即得諸曜本舍之界如以鶉火十三度交西地平至壽星初度總弧内得前月食惟木星與太隂畧近查丙子年七政細行食甚時木星躔鶉火二十九度五十七分而火星則躔大火三度三十分應入八舍土星躔星紀一十一度三十分緯北三十四分必在十二舍之初界太陽金水二星皆在娵訾宫因同入命舍其土星依本經度惟緯北三十四分故得在十二舍之初界若距黄道北或一度半或二度試以舍圏限之必其已入十一舍因近頂緯多故也求恒星法同此盖此象一立則凡各曜性情勢力强弱可考而知窮理之家借以觀變于未然鮮有不騐者(其法詳天文卷中)求兩星于立象圏上相合之時凡兩星本各無力一合即増力此實足為所立象損益之原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安東地平(依本地北極高)即應查其與某星相合否盖轉立象圏于球面上下得二星在通徑上即命星在地平時其星必合否則令球與立象圏各自那轉後求其當合時法必得二星能如此合遂識赤道交子午圏度次移本日躔度合子午圏併識其同居赤道度乃以前赤道交度減後赤道交度餘度化為時刻即得二星應合之時如極高四十度一星在鶉尾宫二度距緯南三度又一星在本宫四度距緯北一度本日躔鶉首宫七度試轉儀併半圏見子午圏西未合必過東近地平方可得合而合時赤道則以七十五度交子午圏便移日躔至子午圏下得同居赤道九十七度為前度所減(先借全周後減)餘三百三十八度化為時得二十二時二刻四分即二星去午時後合圏下之限求經緯星相照度凡兩星相照増力或阻力多以向黄道為凖大約有五等如㑹合即同度同分為宻而同度不同分者則謂之疎六照以六十度為界四照止于一象限三照以四宫相距而云然望照則以正相對而得半圏之距乃此數照又各有親或逺者盖星體居正照之界即親而力强若體未正居其界而苐以光居之即逺而力弱至若光之前後雖同而各星所定之限有異如土得十度(前十後十)木十二度火八度太陽十七度金水皆七度太隂復十二度經星凡苐一等有七度三十分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三十分五六等最微力弱不入其數總之除㑹望二照餘皆以順十二宫為左照逆十二宫為右照試于儀上考之法用規器量黄道上任取一照之界(六十九十等度)以星為心于黄道左右分順與逆照之限假如求大角四照以九十度為限將規一銳居本星體一銳指左界九十度必至星紀十七度為順照指右界九十度必至鶉首十七度為逆照若七政必先依各經緯度安其本位餘法同前又一法用立象半圏先依北極出地安球任取本時升度居地平乃移半圏徑過其星依之于赤道上作識後轉球從前所識赤道度相距三四等照界仍移半圏其上所指黄道度即星照所至界也假如升度在夀星十六度求軒轅大星六照限必移升度于東地平立象圏過星指赤道一百三十八度復加六十度應一百九十八度居立象圏即併得壽星宫十六度居本圏為軒轅大星六照之左限其右限則以反減六十度為法求嵗旋凡從前所取時刻至太陽復躔元度分其中相去總數謂之嵗旋盖依後時所立象較前象所得七政等星居舍内應増或阻前星之力即效驗所繇變也法令球依前立象之時定住視赤道交子午圏若干度為前象天中升度今越若干年復求後象天中之升度必每去一嵗加八十八度四十九分滿全周則去之餘數即後象赤道交子午圏度使之于本圏正合可得天容依嵗旋之時因以定各舍宫度而各星安舍法亦同前假如崇禎元年正月酉正時立前象因太陽躔𤣥枵一十六度一十九分依法轉球令時盤酉正交子午圏得赤道交本圏之升度為五十度設相去八年復立象為崇禎八年十二月二十九日(太陽躔元度是)則以八乗八十八度四十九分去全周餘四十度三十三分為後象之升度移居子午圏得本圏指酉初二刻為嵗旋之時如用立成表細求即後嵗中先查太陽躔元度分之日為嵗旋終之日次以後象升度減太陽是日之升度(不足減借全周減之)餘數化為時刻分即得當日立象之時刻焉假如因十二月二十九日太陽躔元度為嵗旋終之日其升度三百一十八度四十八分後象升度四十度三十三分不足減借全周共得四百度三十三分減去前數餘八十一度四十五分化為五小時一刻一十二分(從午正起算)加升度表引照元與増力元相合凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是謂照元設更有一星或一宫所居舍能増力或阻前效即謂為増力元二元必各依定時著力乃就中求以前者至後之位或反以後者至前之位俱依赤道弧相應二元之距為限轉球查其弧之大小為引則一度應一年度數旣定應在何時亦可限矣故引後至前以順宗動為正而引前至後則因五緯逆行時用之遂名曰反引皆于球上可得正引者何轉球先依天象安定令黄道應苐一舍初界之度正居東地平次查照元移象圏徑過其上併識赤道合子午圏度又轉球右行以増力元至半圏復識赤道交子午圏度則先後所識之間弧乃指正引限而總數可推年時也欲反引安球令之轉同前惟立象圏宜先徑過増力元復識轉球時赤道過子午圏弧因以定其中相去之年假如北極髙四十度設大梁十度在苐一舍初界太隂離黄道娵訾二十度距北二度為照元火星近東地平躔大梁六度距南三度為増力元必先依各經緯度帶二曜于球上然後令象圏過太隂處所交赤道㸃約為三百五十二度(用本圏與用子午圏同)次定住象圏移火星與本圏正對約得赤道交圏㸃為二十八度以所得前後度相減餘中弧為三十六度即正引之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南極依北極出地度令黄道苐一舍初界之度正居西地平餘法同前(見前苐二卷)求引二元應止黄道何度因照元漸離初得之象圏乃更有黄道相應故任至某年亦可求其相應度法先安球依本象令象圏與照元合隨查赤道交子午圏度因之順或逆取本度與年數所止限移至子午圏必此時交象圏黄道度即其年所引照元止限也如北極髙四十度設壽星十六度東出太陽躔𤣥枵六度為照元依去四十二年之數復求躔度因安壽星十六度于本地平安象圏于鶉火六度(與𤣥枵對)(度因後在地平下故)得子午圏交赤道一百一十度以加四十二度依之應一百五十二度交子午圏得象圏交鶉尾一十六度即娵訾一十六度(正對宫度是)為照元去四十二年所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年數轉球復居本角黄道度即照元所止度設壽星十六度為照元而出地平者亦即此度則得地平交赤道二百零一度令球右轉以赤道四十三度至地平則所并居之大火十九度即為照元任取之年後止限又設増力元亦居地平等角即以同居赤道度減年數之度所止限復移至地平等角亦即得黄道交地平等角為其當年所至之限或増力元不正居角仍用象圏與之交并識其所過赤道度減總年數餘度限移至本象圏復得并交黄道度為増力元當年之限也依渾儀解圓線三角形圓線三角形者何乃過球心大圏相交三弧之形而各弧不及圏之半周所成也盖形内每兩弧共抱一角在間者謂之腰弧而與角相對之弧即底弧或又謂直角三角形内以所抱直角弧為底弧及垂弧即與勾股不異而以所正對直角者為弦弧論角其大小以對弧之大小為則盖用規器以本角為心以九十度為界則兩腰間之弧(腰先引長)必量其角得本弧為一象限即對角為直角過象限為鈍角不及象限乃為鋭角凡弧或角不及滿象限之度名之為餘又凡兩腰引長至合一㸃則得抱角之對三角形以底弧為公底以對角為等角而餘弧餘角皆前三角形所不及滿一百八十度之餘弧餘角者也因止一直角三角形得餘皆鈍角者則與直角正對之形内腰間角必直餘反皆銳也如止一直角三角形得餘一鈍一鋭者則與鋭角正對之形内惟前形直角相連之角為直角餘皆銳角也如圖乙戊丙形内設戊為直角乙丙皆鈍角即其對形乙甲丙内得甲為直角乙丙皆銳角也又丁丙戊形内設丙為銳角戊直角丁鈍角即其對形為丁巳戊而戊角獨直丁巳皆銳角論斜角形如三角總為鋭角必對形獨存一鋭角餘皆鈍角也設乙甲丙形内甲為鋭角即得對形乙戊丙内戊亦為銳角乙丙皆鈍角如三角總為鈍角乃對形反存一鈍角餘皆銳角也設乙戊丙形内戊為鈍角即乙甲丙内甲亦鈍角今解三角形法多論不及一象限之弧即鋭角之底是也因以斜鈍角形先變為鋭角形以直角形有一或二鈍角者亦先改為對形則就中推求之法與解原形不異即餘弧餘角之理所繇出也今用渾天儀解之亦倣此但先解直角形盡之于三比法有以先得一鋭角并與各弧者又餘鋭角復并與各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左任取一弧一鋭角求餘弧及餘角設甲乙丙三角形内甲為直角其底乙丙餘弧即腰則乙與丙皆鋭角也先設得乙丙直角之底弧及乙角欲求餘盡解本三角形法架内北起子午圏令赤道前髙依本角之度然後或東或西自赤道交地平處與本地平查底多寡之度以為限移過極圏至此限上即三角形儀上定矣如乙角為二十三度半以前子午圏弧為則使赤道依之其左右交地平角即得對弧以定大小今甲為直角必于赤道交過極圏處求之則地平上得底若設乙丙底弧為六十度而移過極圏至本度(從乙角算起)因大腰在赤道弧約為五十八度小腰在過極圏弧為二十度有半自過極圏交地平查各圏滿一象限即以其限安髙弧得二圏間之弧為丙銳角之對弧約七十八度又設以小腰及本角求餘弧及餘角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧(如二十度半)與過極圏上為㸃移之至交地平必自得腰與底弧合前度即丙角亦在髙弧同矣或以大腰查求其餘亦先定乙角而轉儀以漸進赤道弧入地平令自其二圏相交之處獨餘五十八度至過極圏交赤道之角必餘法餘度亦合前也今試以三弧各與丙角為先得如底為六十度求餘弧餘角法移過極圏至地平距子午東或西三十度(六十度餘是)定住球使髙弧距二圏相交之處各滿一象限得間弧為七十八度即所設之形凖否則宜前或後起子午圏必令髙弧對丙角如其度為止即子午圏自地平以上得對乙角之弧而直角兩腰皆明矣或設先得大腰與丙角必進或退赤道圏定其腰之大小(如五十八度)即安髙弧而起子午圏依前法求餘弧及餘角也或以小腰及丙角求餘即先于過極圏查腰弧大小之度使之交地平以試髙弧得全形盖對角弧不及其度即球宜北起過極圏宜南下若對弧已過其度則球反宜南起隨移過極圏東西得正然後餘角餘弧皆依前法凖得矣任取一腰一底或二腰求餘弧及諸角先設得小腰與底弧皆依前度法令球轉東或西以過極圏限底弧之度(如六十度)視本過極圏自赤道至交地平弧若正合其度(如二十度半)即三角形已定否則前後起儀求小腰務合于地平乃所對大腰亦復得五十八度而查乙角丙角必同前又設得大腰與底弧亦先定底弧度漸起球或下令之左右轉以并對大腰度即小腰亦自合而求角必依前法也或復設得二腰求底與角即先定大腰令球下或起即得餘腰與底而求角亦不異前也解斜角三角形總為六題其一曰以二腰及間角求底弧及餘角如甲乙丙三角形内丙為鈍角甲乙皆鋭角設先知甲角(即間角)則乙丙為底餘弧皆腰也如甲角為三十度大腰六十度小腰止五十度法于子午圏查距極(南北不拘)六十度之弧移其限于天頂次用過極圏令距子午圏左或右而以赤道三十度為限末安髙弧東西必依極圏所居方位令之交極圏距極限五十度即三角全形定矣大都子午圏為大腰極圏為小腰髙弧為底因而如前圖得乙丙底為二十六度有半乙角以地平為對弧在子午圏及髙弧之間得五十九度有半所餘丙鈍角欲求其對弧未免再移球故先依髙弧于球面上界線後轉極圏令交髙弧之㸃正居子午圏下而并其子午圏起之以當天頂乃復依先界之線安髙弧而以至地平為限則此限及子午圏之中弧即丙餘角之對弧為一百八十度所減存得丙角一百零三度若用渾儀求之線宜界于黄道上或髙弧本位不與黄道遇即于未轉極圏之先移髙弧于正對地平度所遇多寡度界線其上餘法同前而所得弧即正丙鈍角之對弧也其二曰以二弧及先所得一弧之對角求餘弧餘角如前圖設先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半及丙角一百零三度法起子午圏以二十六度半為距極之限令之居天頂則自極至頂得乙丙弧將秋分經圏西距子午圏十三度(依赤道為則)或將春分經圏東距十三度則自二至經圏至子午圏其中得赤道弧為一百零三度乃丙角之對弧也又安髙弧使之以六十度(自頂下數)交過至經圏即以髙弧得甲乙以經圏得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙必為五十度乙角則自髙弧至子午圏在地平上必五十九度半所餘甲角因依髙弧于黄道上界線然後移經圏交髙弧之㸃以正居天頂而依界線復安髙弧得交地平至子午圏之中弧為三十度或不移球止安髙弧于地平正對之處用規器于前交經圏及髙弧一象限之界量二圏所距亦必得三十度為甲角之度也設反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以求餘弧餘角法起子午圏令距極五十度之限在天頂次轉儀使過極圏距子午圏之東或西依赤道上三十度為則即于髙弧自頂而下數至二十六度半以之交經圏即得餘弧于本圏為六十度而髙弧在地平上其距子午圏一百零三度乃為丙角之對弧仍依髙弧在黄道上作線令前交之經圏六十度居頂用髙弧順線下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以二角及先所得一角之對弧求餘角餘弧設甲乙丙形先得乙角為十度半丙角為一百五十四度半又得甲丙弧對乙角為二十三度半宜求甲角與甲乙及乙丙弧但既先得甲丙對乙角之弧亦應知甲乙對丙角之弧過象限否今使過象限法查經圏左右赤道上之十度半令之正居子午圏隨于地平上從北去南查一百五十四度半以之安髙弧因而起或下子午圏必視其所交經圏之㸃距北極出象限外乃并視經圏所交髙弧之㸃必距天頂二十三度半一得距度凖即本形定矣盖乙角在極中經圏及子午圏之間與正對赤道得其若干(十度半)丙角于地平(一百五十四度半)甲乙弧于經圏上約得一百零六度乙丙于子午圏上得八十四度半止餘甲角必起髙弧與經圏所交之㸃至頂而求其角于地平依前法得其為二十七度其四曰以二角及角間之弧求餘角餘弧如前形内設甲角為三十度丙角一百零三度甲丙弧為五十度法自極中查子午圏上五十度令之居天頂為甲丙弧查地平去子午圏北一百零三度以安髙弧為丙角末以赤道上距經圏三十度之限移居子午圏乃得甲角而餘弧自明矣因而髙弧上得乙丙為三十六度半經圏上得甲乙為六十度若求餘角必起髙弧所交經圏之㸃至天頂依前法查之乃得其五曰以三弧求諸角設甲乙弧為六十度乙丙為五十度甲丙為二十六度半法使甲乙弧在子午圈出極中至天頂即以之安髙弧令以二十六度半(從頂算)交經圏距極五十度之限必得乙角于赤道圏甲角于地平而丙角則起經圏五十度至頂依前法求也或使乙丙五十度在子午圏而以髙弧安經圏之六十度即乙角可在赤道上得丙角則反在地平甲角則起球求之法同前其六曰以三角求諸弧設甲角為五十九度半乙角為三十度丙角為一百零三度法轉經圏于子午圏之東或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三度皆以赤道弧為則必得相應之角在經圏過極之處安髙弧亦同法蓋其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而相應之角則在天頂但安髙弧必先于地平取凖乃于天頂未定之時漸起或下儀試二弧逺近相交之處以對餘角其法或識髙弧交經圏之㸃于頂而地平上試所求角正對之弧或用規器從髙弧與經圏相交之各㸃距一象限量其二弧所距(必先轉髙弧于地平正對度)得合餘角即初起之球必凖否即更移之總以試定三角後而其弧自明矣依比例原法復解圓線三角形圓線三角形中之比例總歸四原因生四公論以盡解或直或斜三角形之理一論曰凢多直角三角形得銳角同近底線者以較其弦及埀線之正弦必皆互得比例設後圖于儀上甲乙丙丁為地平戊為天頂從戊過甲戊丙與庚戊巳皆以直角交地平彼為子午圏此為髙弧乙辛丁當赤道圏以直角交子午于辛以斜角交地平于乙于丁盖多三角形中取二形即丁辛丙及丁壬巳乃二形中有丁辛與丁壬為弦線辛丙與壬巳為埀線丁丙丁巳皆底線銳角在丁依常法以辛癸及壬寅兩弦線之正弦與辛子及壬丑兩埀線之正弦互相較先得三線其餘線俱可得矣今用渾儀顯之試以二弦線及大形中之垂線求小形中之垂線因而設丁辛得九十度為赤道一象限丁壬為赤道四十二度之弧辛丙則其地平髙得四十八度二十五分法移髙弧在壬下至地平得壬巳弧為三十度二分或安髙弧以三十餘度交赤道圏即自限小形之弦可并得兩弦線欲求大形中之垂線則辛丙必為子午圏上之弧自地平至赤道髙四十八度二十分或以二垂線及大形中之弦線求小形中之弦線各依前所定度則自壬髙弧交赤道處至本赤道交地平丁必得四十二度二論曰凢多直角三角形得銳角同近底線者以較其底線之正弦與弦弧之切線必皆互得比例如前圖三角形同而大形底弧之正弦癸丙其切線即卯丙小形底弧之正弦己巳其切線為辰巳皆可反復相解或求垂線或底線必以算乃得今于渾儀上查之設赤道髙同前髙弧交處亦同前度必所得垂線亦不異前若求丁巳底線即自赤道交地平至髙弧切地平之處得其弧為三十度五十餘分因依常法凡弦弧之正弦與垂線之正弦得比例可互求而底線之正弦較垂線之正弦則否何也盖垂底兩弧之正弦各圓線形内不能合成一直線三角形故(見前苐一圖)用渾儀可免直線形止須以圏相交處即得各弧之長短大小焉三論曰凡圓線三角形其線之正弦必與對角之正弦得正比例如後圖設甲乙丙為直角三角形直角在丙餘皆鋭角各邊引長為一象限至壬至戊至丁自丁復引象限至子至庚因得乙丁巳斜角三角形今依常法直角形内求甲丙邊即因先比之丙角與甲乙或甲角與乙丙推乙角與甲丙之比例求乙角即因甲乙反比之丙角或乙丙與甲角亦算得甲丙與乙角又求乙丙應以甲角較推如丙比甲乙同而反求甲角應以乙丙邊推如甲乙比丙同此反復用八線表推求法也若用渾儀即本圖内子甲壬自當地平必得天頂在丁而子丁壬為子午圏設辛乙戊為赤道丁乙丙為黄道或當髙弧則直角形中之三邊各顯于本圖各有定度可取盖論角則丙角自顯為直角以丁子弧可徴餘角皆以對弧得則甲角以戊壬乙角以辛癸是也試于斜角三角形内先求乙巳邊必以丁對角推之用乙與丁巳或巳與丁乙之比例求乙巳等角亦以對邊求之法必同前但查表或疑其所求角應鋭與否(如查正弦九二七一八應六十八度并應一百一十二度)必以取凖圖形為正或用天球尤易明盖設丁庚為髙弧得丁角于丙庚地平弧乙角在兩道相交之處必對則在過二至之圏弧巳角旣為鈍角乃左右之邊無以定其象限必球上自頂順髙弧界線而線交乙巳弧之㸃移至頂則球一面依先界線安髙弧必盡于地平一面赤道亦自至地平彼此間地平弧即能量定巳角矣四論曰凡圓線三角形兩邊各小于象限先以兩邊弧自并後又以小邊并大邊之餘弧而即以此後總弧之正弦或減先并總弧之餘弦或加其過象限弧之正弦所得線半而用之乃以求第三邊即前兩邊間角之矢與他線如全數與前半線所復得線為後并弧之正弦所減必餘第三邊之餘弦或為後并弧之正弦所加亦餘第三邊過象限弧之正弦若反求角則他線與角之矢如前半線與全數而他線亦為後并弧之正弦以内減第三邊之餘弦或加其過象限弧之正弦所生因此三角形中之兩邊并較象限或等或小或大而各依之以推第三邊設角時直時斜皆同但推角設邊反異盖兩邊并較象限相等或小則設第三邊必小于象限獨兩邊并大于象限所設第三邊亦能大于象限故法雖同臨推種種畧異此等三角形歴家無所不用雖加減法若省然亦未免于煩欲查渾儀則捷若指掌何也以二邊及間角求餘邊先設兩邊并與象限等其一為四十七度其一為四十三度間角為五十度試于儀上極髙四十度即安髙弧令地平上依間角自南去東距子午圏五十度自頂于髙弧上查四十三度亦自頂于子午圏餘四十七度得其中黄道弧從娵訾宫一十四度至降婁宫一十七度共為三十三度即形内餘邊也復設兩邊并小于象限如各為三十五度間角與極髙同前得三邊在中黄道弧則自降婁宫九度至大梁宫六度共為二十七度又設兩邊并大于象限如各為六十度餘皆同前得第三邊在黄道弧自𤣥枵宫二度至娵訾宫十五度共為四十三度若求角即以先所得三邊反查髙弧及子午圏之間角則所得三弧必生五十度之角苐原法凡得三邊小于象限者用其餘弦與後并弧之正弦相減大即以其大弧之正弦相加乃儀上亦無二法如黄道自𤣥枵宫一十八度至實沈宫初度共一百零二度為苐三邊其對角當在髙弧及子午圏相距之地平上得一百一十度此則抱角之二弧并必大于象限也今試以公論用儀解日食内所算三角形則凡直角形歸一種斜角形又歸一種其列二等如左求時圏與地平交角時圏與赤道經圏及過赤極圏皆一而獨以其所用有分别焉設太陽居正午其過時圏至地平正交必為直角若午前後因斜交地平得角亦斜且大小不一復設太陽在正東距正子午圏共六小時則過時圏至北極得九十度其交角大小與極髙度同使交角在正午及正東西間即以髙弧求其大小法從交㸃各圏上正去九十度安髙弧(地平上算)必本弧上從地平至交時圏間度為時圏交地平角也假如太陽躔降婁宫初度設時為辰正二刻先將午正與本躔度并居子午圏下後轉儀令辰正二刻正切子午圏乃本時圏交地平從正東起南去四十度以之安髙弧又距本度滿一象限則又在正北之四十度以此度復安髙弧從地平上數起得交時圏五十三度為時圏交地平角也求地平與黄道交角法用髙弧過黄平象限下至地平即因髙弧為大圏以所正對交角之弧能量其大小則必自地平至其交黄道㸃乃得黄道交地平角也假如北極髙四十度設實沈宫初度居地平東出得平象限偏子午圏之東以髙弧從此㸃過至地平約得三十四度一十分為地平及黄道二圏之交角盖黄道因半周恒在地平上而平分左右各得九十度獨冬夏二至此限正合子午圏外此則限每偏東或西所以查交角用髙弧不能用子午圏也求黄平象限距子午圏為三形之弧黄道隨宗動左旋其交子午圏也時髙時庳因而兩象限之中㸃距天頂亦時近時逺且以斜升斜入故則九十度限大半偏東或西乃從冬至迄夏至限常在東從夏至迄冬至限常在西即從而得限及子午圏中之弧也今依法加髙弧使之過其限必以直角相交其角左右之弧一在髙弧一在黄道而相對之底弧在子午圏則三弧共為直角三角形也明矣本形内各弧亦能自顯度分乃限距天頂又距子午圏等度皆見于弧若更求髙弧距子午圏中黄道之對角必應查于地平即以髙弧距子午圏之中弧量之乃得且本弧大小正與黄道出没之廣弧等如北極髙四十度設大梁宫初度為平象限因偏東十四度以安髙弧得其至地平切子午圏東二十七度即象限偏子午圏對角之弧與黄道自正東去北之出正西去南之人等而髙弧自頂至交限㸃則三十度也求子午圏及黄道交角凡黄道以冬夏二至交子午圏成角者必為四直角因子午圏當過黄極並二至圏此間必正相交故也使以春秋二分交即為斜角得對弧正與兩道最相距之餘弧等從此距分漸逺交角亦漸易必自冬至至夏至交得鋭角向東北或西南自夏至至冬至亦交得鋭角向西北或東南法以黄道度正合子午圏定住移交㸃至天頂從此至地平兩圏各成象限則其間地平弧能量交角之度如大梁宫初度交合子午圏七十九度(從北極算)必移其七十九度在頂與本宫初度相交其二弧至地平間必抱七十度東北與西南皆等又設鶉火宫以十五度相交因在子午圏七十四度移本度居頂得二圏至地平中弧必為七十二度西北與東南皆等求髙弧與黄道各度之交角先依黄道距午正前後度以赤經圏交黄道角或加或減于高弧交經圏之角乃得高弧與黄道或正或餘(形内外是)之交角此原法也今用渾儀可免加減徑安高弧交黄道于其距正午度即依前法界線隨移本度至頂復依線安高弧必得角于對地平弧矣如北極高四十度設大梁宫初度距午正六十四度(東西無異)使髙弧交其躔度因得界線後起大梁初度居頂依線復安高弧即得所指地平五十八度為髙弧交黄道角也或不必轉儀而獨移髙弧于地平對度用規噐于髙弧及黄道弧距前交㸃九十度之界量其二弧相距則地平上亦得五十八度如後圖甲為天頂丙戊黄道弧甲丁為子午圏平象限距其東設在乙日食在戊或丙依前第三及第四題公論以二曜躔度丙及定朔時先得丙丁黄道弧必使丁居正午以髙弧過丙為甲丙丁斜角三角形内求甲丙弧(二曜地平)(髙之餘弧)及丙交角盖以甲丙查得太隂高庳差(丙巳是)丙角與小形内交角等因并得所餘巳角(壬自為直角)而以之推丙壬時差及壬已氣差故也或依第一及第二題公論以先得黄道交子午圏丁㸃于儀上并得平象限相距之乙丁弧即安髙弧過乙限先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距頂之弧而更使髙弧過丙躔度乃復得甲乙丙直角三角形内求甲丙弧及丙角皆依前法因解丙巳壬小形以求視差其法尤省新法算書巻十八
## 卷十九
欽定四庫全書
新法算書卷十九 明 徐光啟等 撰渾天儀說卷四依渾儀製日晷法太陽左旋以定晝夜十二時(二十四小時)則常依赤道三度四十五分為一刻每十五度為一小時故諸圏以二十四平分之而每分又以四平分之乃得時盤必周分各與赤道皆等之度相應令之竪立與赤道高下等而中依直角安表則表景所射即能定時而赤道晷所繇起也今不必恒以竪立合赤道圏或正立面向南北為立晷或正倒面向天頂為地平晷或復正立面東西正向為子午晷或又正立面偏正南左右或不正立面偏地平各以所向天上之圏得名而各以其面承接日光故立表或正或斜不一即表射景逺近與面分時刻廣狹亦不得一雖太陽左旋同諸時刻平行同而線則實繇景得射景旣異相距之線安得不異此諸晷公有日平行之原而私則各有所異總于本儀可得而明矣求諸晷方位法日晷之製原以度數考求而度數必有相應之定處則又在取凖方位焉故凡平面日晷所向方位多變大約相較有二原或較地平即與之為平行有正立有曲立種種不同皆應度數不等或較子午圏亦與之為平行乃有偏左偏右而多寡復以間度為則者又或有偏于地平偏于子午兼地平子午而别為一種總不外此二原乃復得一方位者必先置木或銅取四方直角平面形為甲乙丙丁依其長邊面内作戊己線與甲乙為平行線應平分于壬即以壬為心以辛為界作己辛戊半圏乃平分一百八十度也從中線壬辛左右各一象限而另設垂線于壬則定方位之器全矣臨用時如求地平方位即令此器以丙丁邊倚晷面正立得垂線合壬辛中線者即得其面正與地平同若垂線偏距中線左右則必查象限得晷面前後離地平若干度以垂線依象限辛㸃之前後度為法或令甲丙邊依直角倚晷面得垂線正合壬辛線者即其面正立在地平若得垂線距辛㸃内外則依其距度于象限上亦可得晷面偏前後之廣欲求距子午圏方位即令甲乙邊以直角倚晷面從此器中心壬出尺能旋轉于半圏諸度尺末設指南針其上隨尺同轉乃先安器後轉尺而以羅針對下順尺線者為凖隨以尺距中線之度定晷面距子午圏之廣但羅針未免畧差故又一法晷面上界線自上一直下于線上立表表末另懸垂線候日光射垂線之景必合晷面上線乃凖且將渾儀依法測得日輪高度而以太陽躔度對高弧則高弧所指地平度或正東西或偏左右因偏若干亦可定晷面離正南北之廣也其求重複方位各依所向可得乃向地平如前向子午别有法于晷面立二表任意相距表銳各設垂線距面皆等候日輪出視其二線凖對即於儀上測其地平高以與高弧正合而地平經度可得子午圏方位亦定矣製正球日晷凡日晷之表等雖北極出地不等得各時線相距等者謂之正球晷此其製原易可不須球然舍球又無以明其理也如赤道晷因諸時圏與赤道交其相距皆于球心相切設以本儀之樞當表其射景必順時圏行赤道使各依極安儀而表之長短同則時圏在赤道上相距之度亦同或論赤極晷因其面正合卯酉時圏設本面距儀心任表長短等而諸時圏與中心相切從心過晷面相距不等則正午線合儀樞可當儀面中線而餘線左右相距漸逺皆平行如上圖以長方形為晷面其丙丁横線者即赤道與之相切線其甲午正南北線者即合儀樞從赤道頂過時圏所為線也立圏者乃赤道周平分以指諸時圏相交之㸃者也盖時圏必皆切表頂(當地心是)而復開之使過至丙丁線上為時線所居之界故本晷諸線交心在面外而以表頂為心彼此相距皆平行今設表長短同雖極高多寡不同其線則二晷相距無異又設甲午線依天樞斜竪令晷面偏東或西則午時線不能定在面之中必依面所偏多寡而晷面亦移左右不等至其面向正東正西乃以中線為卯正酉正餘線漸逺惟午時線不入晷面而丙丁線則尚為赤道所切雖時線皆平行乃晷則應以一面斜起庶合赤道高度而得中所横線其高低度與之等也製斜球正日晷凡日晷之表等因北極出地不等得各時線相距亦不等者謂之斜球晷其製法原不一今用渾儀列簡法如左如製地平晷先起儀依本北極高乃令過極圏正合子午圈而子午圏之左或右毎扵赤道上查十五度移居子午圏下即識過極圏交地平正南北度復於赤道上查十五度如前移居子午圏下又得過極圏交地平度以此逓查逓移必至盡過極圏交地平度之界而止則諸時線在晷面相距之廣全得焉盖晷面上先作兩直線以直角相交其一為子午線其一為卯酉線而以交㸃為心任意大小作虚圏或用比例尺或依本圏預分度取儀上地平所識度為法(自夘酉線至子午線或反之以應儀上所識度為凖)從心出線過此者皆平晷時線也如北極高四十度以過春分經圏居子午圏下必在地平之正南北初度為午正移之去東十五度(依赤道度)得經圏東交地平十度(距子)(午圏算)為午初移之去西十五度得經圏西交地平亦十度為未初(距午前後等時恒得距度等)巳正及未正約得二十度半己初及申初約得三十三度辰正申正得四十八度辰初酉初得六十七度半至夘正酉正則各滿九十度而夘酉外與前距時等必皆得度等若求刻線亦依赤道上三度四十五分為一刻如前法逓查之安表使之出晷心向午正距晷面漸逺以北極出地度為則必懸子午線上以正合本地天樞是也若正南北立晷亦用儀上赤道求距度漸移至子午圏法同前其所異惟在交度盖髙弧與過極圏相遇處為交度而高弧則定居東西或夘正酉正茍不用高弧惟以極高所餘度求之如北極高四十度依其地製立晷必使儀北極出地平上五十度如前法定時線盖五十度即極高四十度之餘度其安表漸距晷面正下以至本地赤道高為止此晷自卯正至酉正獨十二小時向南而夘前酉後之時面皆向北其表漸距晷面與前同從上反求得正矣製斜球单偏日晷若不正立面向南北製法略與正立同但用高弧必依其偏容有異盖向南面偏北者必查偏度于子午圈從儀頂去北即此安高弧面向南者則偏度宜求於頂之南以此界出高弧其向北晷面偏南者即依偏度於頂南求界或面反偏北尤宜于頂北求界總之偏度多寡及所向方位皆應查于子午圏距頂南或北之處以安高弧而高弧下至地平恒在正東正西之㸃表位必在正午時線從晷心漸距其面與高弧上距北極等若不正立面偏正東正西法用立象半圏先於高弧上取偏度如設面向東而偏西三十度令髙弧自頂下至正西量三十度為限即安半圏于其限以當地平必識其與極圈相交之㸃為各時線之距如北極高四十度安高弧及半圏如前將時盤與夏至圏對試於太陽出時必得春分經圏北交半圏十六度夘初交十二度漸過以南交二十六度後七十等度至未正一刻餘太陽過半圏西晷面無景其本晷表位偏午正線左右距晷面較地平面高不等求其位法使經圏與立象半圏以直角相交即因經圏自交㸃至極中弧得表之高半圏自交㸃至交北地平得表位與午正線相距之逺如依前極高等數則表距三十八度高二十二度若正立面偏東或西製法亦與正向南北立晷同獨高弧下至地平不得定在正東正西之處必依晷面偏度因之距東西等如面向南偏西三十度即高弧距正西亦北去三十度面偏東必高弧距正西之南向北面偏東西皆倣此但偏晷所得高弧度午前後必異時刻多寡不等試令北極高四十度晷面向南偏西三十度先以高弧北距正西三十度轉經圏西十五度(赤道上取或用時盤亦同)得其交高弧㸃距頂十二度為未初乃自正午相距線也又漸轉儀每十五度為限得午後時刻各依交度不同之廣未正交二十三度申初交三十三度半申正交四十四度酉初交五十五度酉正交六十九度戌初交八十七度復移高弧在東距正東之南亦三十度隨轉過極圏東十五度得午初交高弧九度巳正交二十九度巳初交四十八度辰正交七十度辰初則交地平雖夏日最長亦不能全見午前半晝景安表必先查其偏東西若干距晷面多寡法令高弧至地平居本晷偏度限(晷面偏東用高弧于東地)(平偏西用高弧於西)乃轉儀使過極圏距子午圏與偏度等必得以直角交高弧則自頂至交㸃於高弧上得表在晷面上垂線之度自極至交㸃于經圏上得表距晷面之度假如前設偏西三十度之晷將高弧下至西地平北距正西三十度過極圏亦應於北地平距子午圏三十度得其與高弧以直角相交則自交㸃至北極中約四十二度為表出心漸距晷面之高復自交㸃至頂約三十度為表漸距中垂線之廣此立晷之面南偏西用高弧及經圏之法與面北偏東而面南偏東與面北偏西者亦同但表末於面南晷以向南極為正而面北晷反應向北極也製斜球重偏日晷若不正立面向南北復偏東西則較本晷面與地平面或偏向或偏離為交角時鋭時鈍之異故依偏容分别其晷為二種先論鋭角向地平者法查本晷所偏東西度於其本向地平或晷向西南東南必從子午圏南交地平起其所止限為高弧當至之處則自頂依高弧求晷面偏地平度即以合度處於球上作識復自高弧交地平處去北九十度為限因之以安高弧移居頂而過前所識處即於高弧上得諸時線相距之度則因交前所識及子午圏間弧為晷面中垂線距正午線之廣也次轉球過極圏以十五度為交高弧之界與前法同得午前或後依面向東或西各時線之距而餘方則移高弧於正對地平度轉球使極圏漸交高弧各時俱可定矣若以鈍角向地平法反查偏東西度於本晷所向正對地平或晷向西南東南則從子午圏北交地平起所止限亦為高弧當至之處乃於球上作識依之求時線相距皆與前同獨高弧宜去南九十度以定復安之限雖高弧不能過球上所識并至子午圏惟令立象半圏過正相對地平而左右轉球則午前後時線度半圏上可得假如北極高四十度晷面偏西距正南三十度向地平偏二十度必使高弧在子午圏西與地平三十度合令夏至圏正居子午圏下乃自頂依高弧量二十度得近黄道處為實沈宫二十一度與高弧二十度合為㸃作識後復安高弧或立象半圏在地平正西之北三十度從前㸃過(球尚不動)與正相對之度至地平則所交子午圏處距頂約二十三度距㸃一十二度則一十二度為晷中垂線距午正線之度便轉球西一十五度(用時盤亦可)夏至圏必交高弧八十七度為未初次交七十二度為未正次五十八度次四十五度次三十三度次一十八度末五度為申初申正等時以至戌初始盡復轉球令夏至圏距子午東一十五度得交對度高弧六十四度為午初次四十六度次二十六度次一十一度次即入地平盖辰初不載晷面因其偏西故也欲安表必先查其應距晷面若干偏午正線左右若干因而從晷心出依偏距度起射景與各時正合求距面度法使高弧在晷正面地平(末求餘方時之前)漸轉球以過夏至圏得北極及高弧中最小之弧即因本弧量表距面之廣或於本方使過至圏與高弧以直角交則自交處至極中弧亦為表距面度查表偏午正法用高弧交過至圏與前同獨偏度當於高弧上從交㸃至子午圏上求之必中弧為相應之距度假如前晷求表安高弧在西地平北去正西三十度使之上距頂南二十三度轉球令過至圈以直角交高弧即從交㸃至北極中約得六十度為表距晷面度復從交㸃至高弧切子午圈約得五十五度為表距午正時線之度餘倣此畧節氣線於正球日晷凡節氣在黄道上正相對者以較赤道其距内外天上必等盖隨宗動左旋必為平行圏故乃平晷節氣線則不然雖赤道線為直線而内外節氣線其形甚曲多縁彼此相距漸逺或不以赤道為中界故較赤道平有異向焉惟赤道晷之節氣線亦自為平行圏亦内外相距等其形正與天合試就渾儀先論之設儀上赤道為實圏天樞上任取其表之長作識切赤道面向外并取過極圏上與表相等弧識之從所識處量各節氣之距而每界出直線過表頂得凡線至晷面所止之處因以定節氣當居之位焉法用規器以赤道心為心以線止位為界作平行圖如左外圏限赤道晷面周平分為時刻其中心出表為甲戊設庚己辛為過極圏即從庚外取庚己與甲戊等而己為諸節氣距内外之中界盖以戊為心作辛己壬弧從己至辛至壬取二十三度三十一分得夏至及冬至界取二十度一十三分得大暑小滿及大寒小雪其餘節氣皆倣此乃從其各界引辛戊乙等直線得乙丙丁等圏於向北晷為赤道北節氣向南晷為赤道南節氣也凡正球晷之節氣線以赤道為中線餘線凡相對者左右距必等而各漸開距必不等法設儀心為表頂其面任距逺近必依表長短為則與前製晷法同即將過極圏於赤道内外識各節氣之距度隨以各度出直線從儀心過使至本時線上必得赤道在中左右諸㸃為節氣應過之處此即界線之所以然臨製時以表頂為心時線交赤道㸃為界作圏即得切割等線依八線表取用盖赤道為全數時線左右為切線從圏心出線與時線相交得割線故將全數載比例尺餘線依之取載晷面是也如後圖上下為時線設製赤極晷即午正居中卯酉居邊製東西正向晷午正居邊卯酉居中而赤道横交諸時線彼此必同甲丙為表長依之為圏而左右定節氣之距如丙己丙丁等弧即得甲丙全數丙己丙丁直線為切線甲己甲丁其割線以定夏至及冬至於午時或卯酉時線而定兩至中節氣亦不異此試於申巳時線必以乙為心(表頂之距)作壬丁辛圏左右取丁壬丁辛各至之距弧餘節氣線弧皆與前同即乙丁為全數丁壬丁辛直線為切線甲壬甲辛為割線而節氣宜過其㸃位亦依之定矣又試于午初酉初即丙為心以作圏求子庚子癸兩至距赤道中界而求他節氣皆同一法也界節氣線于斜球日晷凡斜球晷之節氣線雖以赤道分内外然各節氣正相對者距赤道逺近不等而自為曲形則其曲必等故設過極圏以定各節氣初度之距令出直線過儀心至各時線上皆與前同法先依本地北極高求各節依各時應出地平高(見前二卷)隨以高弧考對即儀心當表末依所行直線各至時線為㸃而毎時識㸃處連之必為曲線以指本節氣也假如儀心在乙以辛庚為晷面得甲乙表癸巳為過極圏設北極高四十度欲製地平晷節氣線即辛庚為午時線辛壬為天樞距面四十度入地于辛以定出時線之心任安表于甲即因表鋭當地心亦并為過極圏之心得癸丁弧為赤道出地平高而餘節氣初度則必距赤道内外皆在戊己二至之中設從各距度引直線至乙㸃復引過晷面午正線而赤道止於丙夏至在子冬至過赤道下在庚又設過極圏在表頂周轉以對未申等時(午前後同)而赤道二至等節氣初度皆合高弧上本時所對高度令出直線過表頂必至本時線為㸃以引節氣于此過矣凡製立晷節氣線即辛壬距晷面宜依赤道高癸丁弧依北極出地高(癸為天頂)(癸丁弧即赤道距頂弧必與北極出地等故)餘節氣度俱依之出直線至午未等時線上以赤道上者為冬赤道下者為夏則各節氣自明矣如圖以乙為心甲為界作甲丑弧即乙子乙丙乙庚等線皆為割線甲子甲丙甲庚皆為切線以表為全數查節氣依各時高度於八線表用比例尺或平分直線如法簡取盖依本北極出地地平晷用餘切線立晷反用正切線何也地平晷算高度于癸巳弧而用甲丑弧之切線立晷則于癸巳算節氣距面之弧其餘即正高度亦應甲丑上取切線也偏晷同一法以各節氣依各時高度出直線過表頂下至晷面定其曲線宜引之㸃則除正向南北偏晷外其餘安表必于午正線外求位盖因天樞斜過晷面故乃樞正下别為直線從晷心出與赤道線以直角相交則線上交表線中節氣線相距最近左右復開展相距必等依前圖論表既不竪在午正線而在天樞線上則癸乙過極圏徑不以本線平行且以直角與甲乙表相交雖轉以對各時線交表法必不變矣界地平經緯等線于日晷凡日晷有面與表為公而載線其私也一切定時分節氣列方位種種各異種種能互為用而總入諸晷之面與表矣即地平一晷時刻節氣線外尚有可界于其上者如地平經線(太陽方位線)相交于表位自為直線其相距必等地平緯線(太陽高度)以表位為心周皆為平行圏線相距不等十二舍線為南北平行乃相距逺近不等之直線太陽出沒後時線皆偏左或右皆斜交赤道線亦自為直線七政時線左右向其中線亦皆為直線晝夜長短線復倣節氣線之曲形而疎宻復異東西諸方相距線與時線同任用多寡乃所以異何也地平經線即高弧自頂至地平所為者儀上移高弧任取十度或多或少距限恒等而依之視正對地平度必為直線故恒得儀心居間此本線所以合於表位也其地平緯線必安高弧于定處從下漸上以相等之距限視儀心則以目光線所射之面為界初寛而後狹若移高弧他處亦依此為法此以表位為心而圖平行圏之所以然也其製法惟量表大小依之開比例尺于上取各距度之切線從表位帶入面上為圏即地平緯度限則表景所至必指太陽出地平高度隨將地平緯度平分或五或十等距度(從午正線起)則表位所出直線皆過其分弧界即地平經度已定而表景所至必指太陽所向方位論十二舍線即立象半圏所為本圏儀上皆合子午圏交地平為一㸃者但若左右倒耳故正東西從儀上視之至面必為平行直線其製法亦不異正向東西之偏晷也論太陽出沒已距時線即過極圏依各赤緯度所為起儀依本極高將時盤午正與過極圏合令之轉東或西以太陽本方春秋分出沒為止則即地平分赤道及二至圏皆不等而赤道恒得六時至午正夏至若過冬至反不及今設去夷地平圏上一時或二時至滿半晝時皆并過横線至第六時其線赤道上必交子午圏夏至上未及冬至上已過即因其横線指太陽出沒相離時若干依之從渾儀心視晷面必皆斜交赤道而愈離愈斜法必先于晷面界赤道線就内或外加一節氣得晝時雙數者因以太陽至本節氣出沒之時定為初時而餘時漸依之列也如北極高四十度太陽至立夏晝長約十四時而立冬止得十時皆雙數則因立冬日出辰初必得辰正為距日出第一時而餘時次之立夏日沒戌初而戌正即日沒後第一時餘時亦隨次之今赤道上辰初恒為日出後第一時戌初為日没後之初時即前所識節氣線上諸時㸃與赤道上相應之時㸃以直線連引之得太陽出沒後諸時線也論七政時線其向中線繇赤道等圏則自午前及午後以至地平皆平分各六時盖夏至午前後弧大于冬至午前後之各弧而赤道得居中必與諸時線斜相交是以其線自向中也法先依最長之晝平分時盤或六或十二分遂于地平求各時相距度(皆依前二卷)帶入夏至節氣必得其平分午正左右各六時也然後將赤道與夏至相應之時以直線連之得左右皆同皆與斜球斜交赤道其晝長短線總繇赤道緯度任用疎或宻故其理不異節氣線製法亦同若諸方相距東西線皆子午圏所為與時圏同必以過兩極圏取凖與製地平晷線同法以上晷面所得諸線依本容因之有異必從其儀上所得圏視儀心至面止俱依前法如試於立晷即地平與赤道為平行故地平緯似節氣線形地平經皆上下平行逺疎而近午時則宻全倣赤極晷線十二舍線皆出地平與子午線相交太陽出沒距時線如前地平面同七政線亦出地平交子午線之㸃晝夜長短亦如節氣線諸方相距東西線亦與正時線同製法各隨本類全載日晷本欵此不復詳地球用法地球以圓形倣地之本體又以旋動反其性情者總欲因各處向頂之自然也盖地居萬物之中心隨處向天即如圓圏中心出直線無一線不正向其界者然乃製之為球反若偏居(在地面故)距天此近彼遠(俱以子午圏求天頂故)必宜活動以隨處能移至頂與天相近而從之向頂可也故安球必先取平以合于地平使子午圏南北得正而因以諸方向得本所焉後令球前後起或左右轉務以本處至中頂乃得向天之勢有以二處相提而論或經緯皆異者或經同而緯異者或求二處相距之里及所向之位緯同而經異者總于本球得明矣先論其經緯皆異者法任令一處居頂而從此下高弧至地平使之南北游移以正交其彼處為度乃識交度與頂之中弧化為里則得二處直相距之里數又復識本高弧交地平度因以得彼處較前處所居之方位假如順天府北極出地四十度令球極起四十度隨轉球使順天府至子午圈即以之居頂乃依之安高弧過雲南則自頂至交㸃約二十二度即算得六千里(依二百七十里一度算)而高弧至地平則從正南去西五十二度即西南第四向位也(各向)(詳下文)又使高弧過星宿海得自頂至本海之中弧為一十八度化得四千八百餘里而高弧至地平乃距正南六十二度則因本海較順天府在西南第三向位矣若經同而緯異即先移其處同居子午圏下以本圏上度識二處各距赤道若干度以之相減乃得其相距度因以化為里如順天府與南昌府約在同經試於子午圏上得南昌北距赤道二十八度順天距四十度相差十二度化得三千六百餘里設一處在赤道内一處在赤道外各以所得數相加即其相距度乃因以化為里若緯同而經異即先各以其處移至子午圏下從鶯島圏線起至子午圏下止赤道上算各經度以之相減即得二處經度差但距赤道内外逺近者依赤道平行小圈似不能如前法求里數盖小圏所應一度之里較本赤道度相應者不等因而度小里數亦應少今惟于球上用高弧乃有一簡即得者何也以一處居頂安高弧使從地處過則止視高弧上交㸃與頂之間弧即其相距度因復算得里數如前假如大西之極西地得北極高四十度與順天府同緯因屬距赤道四十度之平行小圏論其本經度應差一百三十度依度求里亦應距三萬五千一百有奇今止以高弧為主則二處直相距約九十度算得為二萬四千三百里而相應之向位且亦不在正東西焉使以順天府居頂極西地必北去正西五十餘里入從西第五方位使以極西地居頂順天府亦必北去正東五十餘度以入東第五方位凡此皆地為圓形而更得斜容故也任以一處依經緯度安於球地球以東西為經南北為緯與天球不異但求緯甚易惟一測其極出地高即得其頂距赤道度而緯定矣若經度必以其所先定處為界依之東去加度至某處止乃較前所得距度是其本經度也如測緯依測北極諸法即以所得極高度于子午圏上從赤道徃極數至本度隨識之球上乃得緯圏應過之界焉測經一法以月食為凖因先知某處月食初虧食甚等時分秒今復得他處所測分秒以之相較必得二處相距之時乃化為度盖前處居西所得差度加前經度前處居東所得差度減於前經度乃因得本處之經度次於本球赤道上從前處查得其度而於本度左或右即以距弧所至之處復移至子午圏則本圏交前緯圏之㸃即某處在地面方位也第月食不常遇更有一法止須測太隂在黄道度并識其臨測之時刻而復考他處所載太隂細行(務求)(極凖者)應于何時至所測度分則較二時所距化為度如前加減乃復得二處距經度然太隂每多視差必候其在冬夏至之時于正過子午線上測之乃可免視差也又或以其角依上下垂線取凖盖兩角居一線上則月體正在黄平象限全無時差否則上角偏東即未及上角偏西即已過也因之求時與度法同前又一法可于行程中求之于起程時以自鳴鍾凖合天任去一二日復以他器測日考時得之與鍾正合則較前處必南北相距東西猶同若不合即以所差時加減之乃得二處東西相距之時而鍾必求其分毫之不爽者始克有濟求海中舟道漂海者依指南針行此定法也總分針盤為三十二向如正南北東西乃四正向如東南東北西南西北乃四角向又有在正與角之中各三向各相距一十一度一十五分而各向線乃其過頂及交地平之大圏也臨行時其道有三等皆依盤上向線引舟而實有與盤所載直線異同者盖正南北行則依針線所引之道與所指子午圏同正東西在赤道下行則以東西線所引之道與所指過頂之赤道圏同若正東西在赤道内外行者雖依東西線引舟而其實所行之道與赤道為平行與線所指之圏則不同(線指過頂交地平大圏因至地平并交赤道與之斜行乃舟離去二界皆)(距赤道等而路以直角交中子午圏必與赤道平行)若西南西北東南東北行雖依針盤所分正角中諸線引舟而其實所引之舟與所行之道異盖所行之道非大圏亦非平行圏且亦非圓圏線何者大圏因過天頂斜交子午圏則所交子午圏之角不等必漸逺得角漸大而平行圏皆以直角交乃舟道之交子午者為等角隨處方向同故自與大小等圏不同也今舟行正南北或正東西赤道下即未嘗離子午或赤道因而皆為大圏則須以度加減之乃可得其路程即正東西與赤道為平行亦不離此小圏而以所去度化為赤道度(平行圏度大小不等)復以加減求之亦可得惟斜行推路甚煩故或以經緯推距度及方向或以經及方向推距與緯又或以緯與距度推經及方位或以方向及距推經緯必先知總方所引(西南西北東南東北全圏四分之一)及原界之緯度所開乃依本球求得此簡法也以經緯推距度及方向法於子午圏上識開舟時二界(繇此界以至彼界故名二界)相距之緯隨於球上任用一方向線以交子午圏於前緯為度因以得二界相距之經乃轉球令之東或西(依引舟總方是)視本方向線能復交前緯㸃則其線必為舟所應隨之線否則另試一方向線務以得交如前法假如利未亞洲之西獅山距鶯島東一十五度二十分距赤道北七度三十分設於此處開舟引之至依勒納島乃更距東九度一十分距赤道南一十五度三十分試轉球以東南之偏南中線交子午圏距北七度三十分復轉球西(因去界在)(東故)過赤道九度一十分(二界經度差是)則得本線距赤道南一十五度三十分交子午圏乃依針盤本線引舟至依勒納島也又一法用規器于球上量二界之距必本則正合方向線在二界緯圏上即本線必為引舟之線矣假如取瓊州府與小琉球之距因瓊州府距赤道北一十八度小琉球距赤道北二十二度必求方向線于十八及二十二度各緯圏線上得在東南之偏東中線依之從瓊州府去小琉球必正道也向線定矣因求二處相距之至法用規器于里表上取相應半度之數(為一百三十五)(里愈少取愈凖)依二處緯圏中之向線量之得數與一百三十五相乗因得總里數或用後表更凖初行指一總方向線之數次三行指大向度分秒所應各向線之緯度如自瓊州府至小琉球其路為東北之偏東中者應從正八百二十一里為此二處之總路餘倣此以經及方向求距與緯法將球本向線至子午圏與開舟處之緯相交復轉球令其經度差過子午圏(東西必繇彼界之距)亦視其向線在何度復交子午圏即是舟所至界之緯設從依勒納島舟行西北之偏西中向相距經約二十四度因使本向線交子午圏得距赤道南一十五度三十分(本島緯是)隨轉之東行至二十四度止得原向線交子午圏為距赤道南五度三十分即舟所至界之緯而其距前界之里數亦可依前法推定矣以緯與距度推經及方向法依前小表自顯于球如從利未亞洲白山(最西邊)徃西北行其所應止之緯為距赤道北三十度三十分相去四千八百六十餘里乃白山在赤道北二十度三十分則緯差十度以所應里總數推一度應里四百八十六以二百七十除之餘一度四十八分為應一緯度之距查表得第五向線即西北偏西左向線為舟行之道耳方向已定隨查球上本向線交所至界緯圏㸃乃自本㸃至前界中赤道弧即得二處經度差以距及方向推經緯法畧同前假如從大浪山開舟繇西北之偏北中向行二千九百二十五里乃先求所止界之緯因本向為去正北第二線則此緯一度之距應平度一度零五分得里數二百九十二有半故總行之里數得十度為三十五度所減(大浪山在赤道南三十五度故)餘二十五度即舟行所止之緯因求經度如前大小圏度相應表大小圏皆以三百六十平分為度但各圏不等必隨其圏之大小為則又小圏距中大圏愈逺得度愈狹故必依南北緯算表乃可初行載諸緯度次二行載諸緯過小圏所應一度之分秒因而緯逺得分秒漸少其所量小度亦更小以至近極之一小度得對大圏度之一分耳用表法或以里數推經度或以經度反求里數如從順天府一直東去至鴨緑江為二千二百里或一直西去至寧夏其里等盖東西路皆與赤道平行相距俱四十度因表中查四十度之緯得小圏一度為大圏之四十五分五十八秒應里數二百零七里為二千二百所除得二處各距順天府十度三十七分以之較順天府總經度東加西減即得二處各經度若以經度求里數法於球上子午圏對二處之緯得同度即轉球識二處赤道上距即經度也經已定隨用表中相應之緯分秒以推彼此相距之里如成都府與杭州府皆距赤道北三十度試以杭州居子午圏漸轉球使成都亦居子午圏得赤道中弧約一十五度今二緯各三十度應五十一分五十七秒乃以此數與十五度相乗得十五小度之分秒而以一平度相應之里求比得二處直相距之里為三千五百六里有竒凡南北小圏俱倣此新法算書卷十九
## 卷二十
欽定四庫全書
新法算書卷二十 明 徐光啟等 撰渾天儀説卷五渾天儀製度儀中諸圏宜合天上相應之圏而相合必有定處大小皆如法乃始成一渾儀也但前以所分之儀平與不平定圖大小之異今則不然而以能合一器各不失乎應天之理者為則因有三圏内外相等為赤道及兩過極圈又有二圈内等而外異為子午及地平圏又二圏外等而内異為太隂本圈及過羅計以從黄極之小圏餘則各不等各依本儀大小定度焉製内外等圈論過極圏為渾儀之脊骨須先從此圈製起而諸圏依之可定任用銀或銅製二圈為匾形各厚約半分(此就)(徑過六七寸者論耳其餘以儀大小為度後倣此)闊約二分(以其上能刻度與字為則)大小任意兩面磨之使光復如法圏之安于銅板上(小銲)(銲住)以求中心隨用規器齊其内外之周邊並於面上作圈線以别度與字之間處必于刻度處縮之刻字處寛之乃度居外而字居内也其度數每面為三百六十至五線稍引長至十其線徑過圏面而字乃識度之數者從正對之二處起至九十度于正對之二處止乃初界為赤道交二圏之限末界其二圏自相交之㸃因以定南北極焉須各圏以兩面度及字彼此準對而兩圏尤以諸面皆等為務(諸圈當磨之使光乃復齊之使)(平刻度等皆倣此)圏製矣必以十字直角交之使合法于止數正對之界圏各開小方孔其孔較圏面有半一内一外若公母筍者然乃用銅成二圓條厚分半餘長五六分一大端開十字方孔以受二圏之交㸃一小端不令開孔少銳之便入子午圏以當儀樞復于二圏各起數正對之界與赤道圏如前法各開半孔直角相交以為總合之處如圖甲乙為二圏相交之地加丙丁各條利其堅且當天樞故向内開孔以受儀樞向外小鋭以入子午圏中為南北極戊己庚辛皆圏腰之孔皆距極等乃所以受赤道圏者蓋二圏既交必少制之使不緊便于入赤道圏矣隨從二圏相交之㸃任于一圏上數二十三度半其正相對處皆等復用二銅條一端開小孔少許入其處一端向内任意長短又開一小孔偹以受月本圏者(如前圖壬癸皆指銅條小孔自)(顯于壬)即月圏本極可當黄道極乃其圏必為過冬夏二至之圏赤道圏周分三百六十度二面俱等順書其數亦二面同乃初度與九十度及一百八十度與二百七十度皆應開孔則初度與一百八十度所交之圏必為定春秋二分過極圏九十度與二百七十度為限冬夏二至過極圏之交界葢春分得初度右行九十度為夏至逓而秋分而冬至至三百六十度止漸又至春分矣即此可以查升度其製法與製二圏同内外周邊以規器齊之各面以圏線分度與字度居外字居内皆如前圏圖可不贅製内等外不等圏論子午及地平圏内周邊之齊同較前三圏約寛一分葢安髙弧與時盤必使諸圏利于旋轉勢不得不少處其盈也且分四象限以九十度正對之合處為止而度反居内字反居外其子午圏之兩面度數同地平獨用一面惟度數外更増以時與刻故較子午必倍其體也今詳各圏之所異子午為諸圏所倚較他圏獨厚乃取其堅而濶與之等或微過焉其一面于度數初起處各加一銅耳以便于受天樞因樞左右有釘或螺旋轉安于圏面故如圖甲乙為各數初起之界并為南北二極而丙丁正對處則各滿一象限乃正戊己及壬辛為銅耳長盡于安釘濶止于圏面之半厚以與圏能開孔容天樞為則故本面當儀之正中臨用時或安髙弧或就時盤定時皆以此面為界前卷所謂子午圏正面是也地平或安于木架上厚薄不拘獨下面用三四銅釘透入木中使之固且令不隨子午圏起動焉或不用木架而用銅架止令數處倚于銅柱亦可自立其子午正對處各開一口深與子午圏及銅耳之濶等寛如其圏與銅耳之厚取其便于髙下出入已耳如圖内層分三百六十度為四象限毎象限各九十度外層周分刻數並十二大時乃午在南子在北甲乙其口也寛窄之勢以𦂳容子午圏及銅耳為度而子午圏之面則又平分地平居渾儀之中焉製外等内不等圏因太隂本圏用以顯交食者故體勢稍小居儀之中距日約逺應隨渾儀旋轉又能依左右那動乃代月輪從黄道并出黄道内外者必更借一輪與之等以支之法本輪兩面皆無度數獨以十字平分為四界即于正相對二界上各安銅條外出少許各條于末端少鋭用以入黄極所出二銅條中即安于前所云過冬夏二至之圏者復于彼二界向内斜開小孔深入圏面之半以其能受月輪圏且得出入黄道内外其太隂圏外周與前圏等齊内周畧濶為其另加竪圏為月輪所附以旋轉者亦無度數獨一面分四界為正中二交隂陽二厯之限故于交處外開小孔與前圏斜孔相交加以銅結入圏其中以固之從交處向左因其圏偏内即以所交為正交内半圏皆隂厯從此而圏復偏外即以所交為中交外半圏皆陽厯如圖甲乙丙丁為所借圏于正對處載銅條為乙丁乙處少鋭應入南黄極丁之鋭入北黄極即月本輪隨之轉因以得隂陽厯黄道内外者是其甲丙相交處(一正一中)必居黄道正下使月可得南北緯度其加戊己二結者以總合二圏故也庚辛為太隂本圏載前四限于其上(二交左右可識日月食限多寡須依法)其内周加竪圏為壬癸周約等濶半分餘即月輪所倚以旋轉者其南黄極于甲乙丙丁圏内出小表為子表末正向隂厯限為太隂本圏之中心乃開小圓孔内載一銅弧如弓形以此弧之一末安其心一末帶月轉如上圖甲為入心之鈎乙即附于竪圏之背使月輪自倚其正面以旋動然未安赤道之前不可不預偹此免後安置之煩耳製内外不等圏全不等圏者即黄道髙弧及時圏是小大形勢各不一葢黄道有二一在外圍儀周為匾圏任寛十二或十六度雖總分三百六十度然復依十二宫為界其横線毎三十度為一宫限引長之為全線毎十五度為一節亦引半線以别之度分細界于中一邊書節氣一邊書二十八宿各以本度得節氣而宫名可免矣一在内製與赤道及餘圏等獨一面書度數各以三十度為限大小較他圏不等外邊周與赤道及過極圏之内周等齊任于三十度正對之界開小口用以合乎過冬夏二至極圏所留之口内邊周開一深圏即從南黄極中出銅弧如弓形其一末入樞心一末帶日輪于深圏中轉俱不異于月輪焉如圖上圓形為黄道圏之正面甲乙為口丙為帶日輪之弓形開小圓眼于丁加鈎于戊乃戊鈎在本圏之背日輪在前能對度數旋轉其下長方形為黄道帶之一方(舉一以槩其餘)中線為太陽躔道左右刻度春秋二分迭易之以便觀也先將内黄道圏如法安住(以其縫入内合之或釘或銲令刻度分者向北)其外圏(黄道匾圏)務令春秋分準合過極圏之中以與赤道交夏至則過赤道北(在内)而冬至則又過赤道南(在外)其㸃亦與極圏合乃圏所應合之四界微開小孔以釘固之復依黄道外圏之濶更製小表為測景表如圖甲乙合黄道之濶如法扣之使𦂳丙為彎形銅以冷製之得硬體安放進退如意髙弧為匾圏四分之一以地平或子午圏之内邊為長短之則寛取其能容度數及所刻字一端中開小孔以能抱合天頂不脫一端加一小足度數外復餘少許能入地平初度之下如筍之有所受者然其書度分從下而上如圖甲為上口度末齊子午面乙為小足初度倚地平餘入其下但天頂與髙弧全依北極出地度安置故更有天頂為丙中開一長方口以入子午圏下留小釘為戊安住髙弧其丁為螺旋宜入丙孔定住子午圏可任游移用也時盤以銅為實圓形其勢少拱取其與儀圓體相合中心𦂳抱北極之樞能隨諸圏轉亦能自轉其時刻自右而左書之盤周以之安于子午圏内而子午圏正面可當切時之表或時盤在子午圏外定住不移盤之上必須加一銅尺以指時刻其尺𦂳與樞抱能隨諸圏轉必能自轉與前盤同苐盤周所分時刻從左而右與前盤異焉如圖甲乙為時盤在子午圏内即丙丁為子午圏能自切時刻戊己為時盤在子午圈外樞端出中心為庚辛為時尺乃隨儀周轉以指南刻者以上諸圏如法合成隨安置于架中必使子午圏半在地平上半在下而負儀之柱長短務如法必先試之而後乃定住所開之孔亦與地平之孔等以其能凾子午圏及兩耳可游行不碍也架之下安指南針必線與子午圏正合或與之為平行臨用時一與針對而本儀之南北得即東西可定矣製天地球十二長圓形法凡造渾球可任意大小界黄赤道等圏其上又依度數帶入諸星此元法也但其功甚難故别為簡法先製星圖及地圖刋于平板以楮印之糊于球面必合因其圖形為長圓設長直線以三十平分之從苐一分為心十一分為界作弧漸次以往止于十二弧後復從下對前弧亦如前作十二弧得十二長圓形如前圖其中横線應球上黄赤等道兩末至極中諸弧並其中順直線者皆應經圏令弧自得圓自能應其圏形獨中之直線較弧反短倘不伸之使長便不能至二極又或伸之使長必令球畧大中腰必寛即長圓形腰線亦應長矣故楮雖宜堅且耐終末得全合欲免楮闕更有捷法求小圏與大圏之比例以限長圓形之旁線大約線稍曲畧就中線而中線無伸長之患可易合法曰全數與小圏相距之餘弦如三百六十度與小圏全周或如九十度與小圏一象限或如一度與小圏一度之分秒得弧後餘數復以六十相乘以全數减得分數再乘再减即得秒數如求黄道一宫三十度應如距四十度小圏之弧乃距度之餘弦為七六六○四與三十相乘總數二二九八一二○與全數相减得二十二度餘數與六十相乘總數五八八七二○○復與全數相减得五十八分今將球上三十度帶于比例尺百平分線上為長圓形之腰線又使之與長直線以直角平分相交遂于比例尺約取二十三度帶腰線形左右于直線四十度之距界而各等圏弧依距度推求取于比例尺得直線兩旁曲線應過之界以成其長圓形或不必算即設直線得大圏與球徑之比例(一百五十七與五十)(或三百一十四與一百皆約為準)為甲乙十二平分之為横線以直角交大線之界乃于中線以丙為心以最近左右横線為界作圓圏宜從丁戊平分毎邊十二分而毎正對㸃以直線相連使線過毎止于本横線如圖葢從甲丁乙甲戊乙依其交㸃兩旁過曲線必為長圓形凖與球面合即得之矣隨以楮殻或銅木等板依之裁製一長圓形皆以中横線正對為黄赤道線臨㸃星畫地圖時分黄赤道三百六十度以定經長圓形任一邊分一百八十度以定緯(球製已以)(于子午圏定緯因以㸃星盡地圖用虚緯度亦足)其十二星圖等圓形皆以中横線為黄道以兩末為南北各黄極因諸星依黄經緯度㸃入故横線内外各引赤道及冬夏至等線而赤道獨分為度餘皆依本緯相距總于球上合為圓圏也地圖亦分十二形但中横線指赤道分為度餘内外線即冬夏二至南北兩極圏各于本緯取定也其毎距十度横過線者乃與赤道平行線而過赤道線毎距十度至二極中㸃復合者為經度線其中能量各處東西之距且可較赤道上度因得各處實度化之為里又于十二㸃(赤道上四㸃赤道内外相距等各又為四㸃)出彎線各三十二以定方向者乃用以分舟行海上之道耳今總天地各球十二等形如左天地各球十二長圓形圖因前圖未盡圓形至二極中尚差十度故復以此圓圏補之各以十二平分而中心當極可合前圖成圓球也臨糊時先從此圏始次將長圖各于相應之界連接之(法詳之後篇)球製已完必地平子午圈髙弧及時盤指南針等與渾儀同乃可以全球之用但前圖大小有定則而子午地平必依其則以為徑今定其式如左與圏内周之邊等即球與圏相問之空俱在算内而天地球圏同一式矣製球法球之製全取其準與便準則必貴極圓以能合天載諸圏與度數相對便則以輕為最體雖大尤宜易為遷動設以銅為之欲其薄且圓固不易製即用木體質渾實亦不便于移置莫若以木板數塊漸合成球繪天地等圖于其上或糊前長圓形亦可葢球未合時内鑿之使空而已合後外得旋圓使之與圖符或用楮須預偹一木模塗膏于上并用堅楮依前所偹長圓形裁十二圓外有二小圏心宜通以抱模樞易于進乃自塗以膏餘十二圓必先漬以水兩末微糊圏上使其周盡圍模面次用楮裁圓形漸次合之以滿其體之厚為度(厚一分餘)乃更造一半圏任用銅或鐡與應製之球面等以為騐圓之圏(以長圓圖之徑取正一面宜合樞之中心)安樞上而樞又自安于本架二竪柱上乃令球轉髙者去之低者補之必漸得圓乃止也取球法先備其樞隨用兩木較球徑長數寸製為方形其中起槽以藏銅絲為球之極兩木已合自中左右量球内空之徑(以除球體之一倍得之)于各界留結兩結間木以旋轉為圓任厚若干于球未合之先安本樞即從外入小釘至兩結中定住球如圖甲乙為樞之結相距與楮球内面等丙丁皆出球外之鋭中凾銅絲乃球合後亦去之與面為平欲取球即于架轉依騐圏之中線界球腰線以十二平分從第一至第七分界依騐圏面至兩極引線得正中分球次本線之左右各加平行線各距等依之切楮二三層復界中線又横加數短線必于中線開球依横線得合為法球取矣遂于中安樞復合二半圓用膠封固之縫宜合之堅後轉球試樞居其中否乃隨窒之綰于内結務令球得均匀若少有偏即詳其輕處鑽小孔製一木螺絲轉如下圖 以甲為柄乙入球内有數小孔實鉛其中得平乃止其出球之柄亦去之與球面等焉上長圓圖于球面法欲上圖先于球面加以白楮安球于架依騐圏之中線復界腰線于上以為赤道又分赤道為四象限使于各界依騐圏面過線至兩極中以為二分二至之極圏次下球于銅樞上貫以楮板如尺狀從樞心出直線使之順球至赤道上為㸃乃自㸃至樞心分九十度裁其半依長圓形圖以赤或黄道為腰線用楮尺先于球面為線令與圖上之線相應如設赤道為天中即依楮尺距各極二十三度半為㸃以界兩極圏又距六十六度半為㸃以界冬夏二至圏更分赤道為十二界各界過線至兩極中合即得經圏并為長圓形所依而上界如法黏合矣若設黄道為天中即先依楮尺于二至經圏正對處㸃二十三度半為黄道極後必用曲腰規器以黄極為心以二分經圏交赤道為界作圏得黄道又合規器任意多寡從各黄極為圏得與黄道為平行乃總應平分以為十二長圓圖之界而皆取準于經圏也諸圏已分用楮尺依分界至黄極中引線兩線間得長圓形之界故將圖于周線中截之先將一半黏上後復合其餘半皆以其線合球上線者為準而種種俱得法矣然天球或依前騐圏或依新安子午圏各宜界二十八宿線過本宿距星與前界經圏同但線不必至二極中正于恒見與恒不見之界圏可總之依本北極出地度取則而地球則無線可加也矣附黄赤全儀說全儀共有四圏一赤道圏一黄道圏其赤道圏正居天中一面分二十八宿各距宿度分一面分三百六十平度當天上經度而黄道則斜交赤道圏上兩相交處即春秋二分兩相距最逺界即冬夏二至圏上一面依本道分十二宫一面仍分二十八宿其各宿大小則依本黄極測定故異于赤道宿度矣次子午圏以直角交黄赤兩圏乃從赤道内外各分九十平度其距赤道最逺之界則為南北兩極而極之兩端各出一鐡軸令全儀懸安其上以利旋轉焉三圏内又一圏為定經度圈亦名測景圏或安赤極下依赤道旋或安黄極下依黄道旋乃任兩道公用者于赤極上另置一盤周分時刻曰時盤隨全儀運轉亦有時能自轉令正午與太陽躔度相對因以定時者復有一小表任游移兩道上一面開一長孔深入景圏而以螺旋定住一面所開孔較短而中有一銳尖以指度分儀架前後竪兩木柱而以全儀懸置其上其前柱之端出一銅弧分度數者乃約畧中華南北之廣依各北極出地數以上下其南極者如 京師北極出地四十度則南極度入地四十度廣東極南之地北極出地二十度則南極應入地二十度是以上至二十下至四十度也後柱端一銅表如手形者乃用以指時刻葢隨全儀之逺近以為進退者架之下有三螺旋則因前後或左右以起全架令與地平相準而復設一垂線以考之又設以羅針以定子午大槩為測時計也安儀法凡測天之儀必以諸圏正對天上所設之圏令其似直者應直似横者應横乃可葢日月經緯諸星本圏上所得度分乃天上實行度分也今本儀或測諸曜實行度分或測晝夜相當時刻必先以其圏與天上所設之圏取正而後徐議測法焉依本北極出地數起儀而以地平取凖復以羅針取定子午向次用垂線于後柱之左右相較務令線與柱上下為平行則全儀之東西正矣否則以後螺旋進退之盖垂線逺于東者則架宜東起或西下逺于西者反是末以前螺旋于地平取正南北葢懸垂線于子午圏本極出地度上令線下過正相對之度亦與上同如上在四十度下亦過四十度則地平之南北正矣否則又以前螺旋或出或入便可如法定子午線法用黄道正面上查本日太陽躔度移測景圏正居其下以表如法定住令全儀漸轉若得黄道圏與測景圏内並無日光則子午正矣如兩圏内不能并得景必稍那其架之前或後至兩圏内無光乃止用儀法測五緯宿度法從北極中出三線一線直過儀心以穿南極謂之内線餘二線俱從赤道上復合于南極謂之外線而逺近可任意游移者臨測時將外一線界定某宿初度令與内線并天上本宿距星相叅直復移一線與所欲測之本緯星正對亦令其與内線共在一線上測兩星同見其間度即相距之實度而緯星所在之宫度即本星赤道上宿度若欲依黄道測之則移景圏與線于黄極下法與赤道同所得度即黄道宿度測恒星相距度法用二十八宿距星以外一線安本宿初度以一線正對當測之星俱取與内線相叅直或另測儀所未載之恒星須先查恒星經緯表依本經度識之本圏上測時移線于所識處即因以同測他星必兩線中得兩星依本道相距之經度(黄赤同一法)測星黄經度依常法以恒星求經緯諸星經度即可得其恒星所居今恒星有本行較黄道終古如一而較赤道不能為一欲求其實處必從太陽躔度可定法安景圏于黄極下對定太陽本日躔度于日未出之先任取一恒星(測五星不異)測其與太隂或太白相距若千度候太陽出地平上轉儀正對令黄道圏與景圏内無日光乃止而復測太白得其距太陽度與前所測兩星之距度相加即本星距太陽黄經度或日未入之先依此法先與太白同測太陽後以太白并測恒星終亦得恒星距太陽度則其本黄道經度也測星赤經度法移景圏安本赤極下或晨測夕測俱與前同第景圏既正交赤道即于黄道為斜絡不能實指兩道相當之度須先查升度表以黄道度取赤道上相應度依之安表于本赤道上如前法測之即得本赤道經度如測星赤緯度從春分㸃中出二線一線直過儀心以穿秋分㸃可當内線一線從子午圏上過復合于内線之元㸃可當外線逺近任意游移臨測時亦如測赤經度法將外一線那對所欲測之星亦令其與内線相叅直從子午圏上視其距赤道南北度即得星緯南北若干度測太陽定時法先查太陽本日赤道度(用升度表求之)約為景圏對黄道本度所指轉時盤午正與景圏相對後轉全儀至黄景二圏内無光則後指所指即本時刻如未安景圏先以外線在赤道太陽本度對時盤午正即午正線後以目窺之必得線過赤道南者或在北者及午正者皆合一線則準而時刻亦依前法求之乃得測恒星定時法先對時盤于太陽相應赤道本度皆與前同後任用二十八宿距星即以外線定本宿初度或别用大星須先查本星赤經度識之本圏以定線臨測轉全儀令内外兩線與本星及人目相叅直則後指所指時刻即本時刻測交食凡交食有三端可測一為食之時其法與晝夜測時無異苐月食時或夜有微雲星體不顯乃以測月為法必先安景圏于太陽實度并對時盤午正臨測時以太陽所正衝景圏用以窺月體令内線與外線叅直則後指所指時刻即食甚時刻可合天若初虧復圓因太隂先未正對太陽或後已過彼此約差半度(東行之度)化為時得二三分則先减後加于見測之時亦可合天一為食之分别有本儀此不論一為方位因人目不能正對太陽故止于測月食以黄道圏及景圏取法葢太隂當食時恒在黄道或黄道内外相近處今儀器既與天合則諸圏亦合天上之圏惟順黄道及景圏窺太隂缺光之邊則以二圏所向與月虧之邊相較即可得其方位矣測北極出地髙法用羅經或别求定子午線以正本儀之南北次安景圏與太陽依赤道所算度分正對而前漸起儀令黄道圏與景圏皆無日光隨以螺旋定住則即前極髙弧上得本地北極髙度或以垂線于子午圏上下所得相應之度即本方極髙度若以本儀製日晷先如法安儀令子午圏竪立合天(以垂線考)(正是)時盤上之午正與本圏對準後將白紙一幅依當製之晷或立或倒或在儀左右安之使從赤道上毎三度四十五分出線至本紙上所得㸃引長之為時刻線假如欲製地平晷必安紙在儀下與地平面平行即順赤道側以目下視引線至紙上作識或用二三㸃連之得直線乃赤道線依本線從子午圏交赤道角上下正視之得㸃為午正處次轉儀任時盤所行一刻二刻以至于盡亦如前作識(依時盤刻數與依赤道度同覺此更簡便)得午前或午後一邊之時刻線則他邊之刻數等其相距亦與之等次求晷之心以引其時刻線立表法當于時之距午逺者任指一刻作識隨于赤道往南較逺者順切子午圏視下紙作識從本刻引線過此又從午正引與赤道以直角交之線至此其兩線交處即晷之心也若製立晷宜竪紙在儀後法與前同獨出線立表心當向北極後求之若製東西晷宜竪紙于正東或西法亦同但時刻線皆為平行線而表則正居赤道卯酉線上其長短以四十五度之切線取規故恒自心至上或下十二刻量之為止若諸偏晷即依偏度多寡安紙與前同一法其求心立表惟以目隨内線至極為安表之地必斜出于晷面以當天樞是也總之偏地平晷倣正地平晷表作式偏立晷倣正立晷表作式各依或以北極或以赤道髙取之若欲以直角立表即用儀心為表位其長短俱依切線即本儀半徑矣黄赤全儀之用約不外此新法算書卷二十
## 卷二十一
欽定四庫全書
新法算書卷二十一 明 徐光啟等 撰比例規解論度數者其綱領有二一曰量法一曰算法所量所算其節目有四曰㸃曰線曰面曰體總命之曰幾何之學而其法不出于比例比例法又不出于句股第句股為正方角而别有等角斜角句股不足盡其理故總名之曰三角形此䂓名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若線若面若體若弧矢方圓諸法凡度數所須該括欲盡斯亦竒矣所分諸線篇中稱引之說特其指要各有本法本論未及詳焉若所從出與其致用則三角形之比例而已按幾何原本六卷四題云凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邊為相似之邊六題云兩三角形之一角等而對等角旁之各兩邊比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等作者因此二題創為此器今依上圖解之如甲乙丙與丁乙戊大小兩三角形同用乙角即為等角則甲乙與乙丙之比例若丁乙與乙戊而對等角之邊如甲丙與丁戊為相似之邊也又顯兩形為等角形而對各相似邊之角各等也今此規之樞心即乙角兩股即乙甲乙丙兩腰甲丙為底即與乙丁戊為等角形而各相當之各角各邊其比例悉等矣任張翕之但取大小兩腰其兩底必相似也或取兩底其兩腰必相似也或取此腰此底其與彼腰彼底必相似也以數明之如甲乙大腰一百乙丁小腰六十而設甲丙大底八十以求小底丁戊即定尺用規器量取丁戊為度向平分線取數必四十八不煩乘除矣又如平方積一萬其根一百求作别方為大方四之三即以一百為腰分面線之四㸃為大底次以三㸃為小腰取小底為度向平分線得八十六半強為小方根自之約得七千五百為小方積不煩開平方矣又如立方積八千其根二十求作大方倍元方即以二十為小底分體線之一㸃為小腰次以二㸃為大腰取大底為度于平分線得二十五半自之再自之約得一萬六千為大方積不煩開立方矣篇中言某為腰某為底設某數得某數皆此類也䂓凡二靣靣五線共十線其目如左目第一平分線第二分面線第三更面線第四分體線第五更體線第六分弦線第七節氣線第八時刻線第九表心線第十五金線右比例十類之外依幾何原本其法甚多因一器難容多線故止設十線其不為恒用者姑置之稍廣焉更具四法如左一平面形之邊與其積二有形五體之邊與其積與其面三有法五體與球或内或外兩相容四隨地造日晷求其節氣比例䂓造法(一名度數尺其式有二)一以薄銅板或厚紙作兩長股如圖任長一尺上下廣如長八之一兩股等長等廣股首上角為樞以樞心為心從心出各直線以尺大小定線數今折中作五線兩股之面共十線可用十種比例之法線行相距之地取足書字而止尺首半䂓餘地以固樞也用時張翕游移一以銅或堅木作兩股如圖厚一分以上長任意股上兩用之際以為心規餘地以安樞其一規面與尺面平而空其中其一剡規而入于彼尺之空令密無罅也樞欲其無偏也兩尺並欲其無罅也樞心為心與兩尺之合線欲其中繩也用則張翕游移之張盡令兩首相就成一直線可作長尺或以兩半直角相就成一直角可作矩尺比例䂓之類别有二種一為四銳定心規一為四銳百游規不解之其造法頗難為用未廣姑置之第一平分線分法 此線平分為一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之為二又平分為四又各五分之為二十自此以上不容分矣則用更分法以元分四復五分之或以元分六復五分之如上圖甲乙線分丙丁戊為元分之四今更五分之得己庚辛壬元分與次分之較為壬丙為戊己皆甲乙二十分之一為元分五之一(毎數至十至百各書字識之)論曰甲乙(四)與甲丙(一)若甲己(四)與甲壬(一)更之甲乙(四)與甲己(四)若甲丙(一)與甲壬(一)甲己為甲乙五之四即甲壬為甲丙五之四壬丙為甲丙五之一又甲丁為十甲辛為八辛丁為甲丁十之二或丙丁五之二戊庚為丁戊五之三又壬丙為甲丙五之一必為甲壬四之一(幾何五卷)用法一 凡設一直線任欲作幾分假如四分即以設線為度數兩尺之各一百以為腰張尺以就度令設線度為兩腰之底置尺數兩尺之各二十五以為腰斂規取二十五兩㸃間之度以為底向線上簡得若干數即所求分數 凡言線者皆直線依幾何原本大小兩三角形之比例則二十五與得線若一百與設線也更之二十五與一百得線與設線皆若一與四也 若求極微分如一百之一如上以一百為腰設線為底置尺次以九十九為腰取底比設線其較為百之一 若欲設線内取零數如七之三即以七十為腰設線為底置尺次以三十為腰斂規取底即設線七之三(置尺者置不復動下倣此)用法二 凡有線求幾倍之以十為腰設線為底置尺如求七倍以七十為腰取底即元線之七倍若求十四倍則倍得線或先取十倍更取四倍并之用法三 有兩直線欲定其比例以大線為尺末之數(尺百即百千即千)置尺斂規取小線度於尺上進退就其等數如大線為一百小線為三十七即兩線之比例若一百與三十七可約者約之(約法以兩大數約為兩小數其比例不異如一百與三十約為)(十與三)用法四 乘法與倍法相通(乘者求設數之幾倍也)如以七乘十三于腰線取十三為度七倍之即所求數也用法五 設兩線或兩數(凡言數者腰上取其分或以數變為線或以線變為數)欲求一直線而與元設兩線為連比例 若設大求小則以大設為兩腰中設為底次以中設為兩腰得小底即所求如甲乙甲丙尺之兩腰所設兩數為三十為十八欲求其小比例從心向兩腰取三十如甲辛甲己識之斂規取十八為度以為底如辛己次從心取十八如甲丁甲戊即丁戊為連比例之小率得十一有竒 若設小求大則反之以中設為兩腰小設為底置尺以中設為度進求其等數以為底從底向心得數即所求如甲丁甲戊為兩腰丁戊為底次以甲丁為度引之至辛至己而等從辛從己向心得三十即大率論見幾何六卷十一題(凡言等數者皆兩腰上縱心取兩數等下同)用法六 凡有四率連比例既有三率而求第四或以前求後則丁戊為第一率辛己甲丁甲戊為第二又為第三而得辛甲為第四 若以後求前則甲辛甲己為第一辛己甲戊甲丁為第二又為第三而得丁戊為第四(甲辛與辛己若甲丁與丁戊故也)用法七 有斷比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日幾何即用三率法以元得一十一度為兩腰元行九日為底置尺以二十五度為兩腰取大底腰上數之得二十日(十一之五)為所求日(此正三率法九章中名異乘同除也)用法八 句股形有二邊而求第三法于一尺取三十為内句一尺取四十為内股更取五十為底以為内弦即腰間角為直角置尺若求弦則以各相當之句股進退取數各作識于所得㸃兩㸃相望得外弦線以弦向尺上取數為外弦數(言内外者以先定之句股成式為内甲乙丙是)(以所設所得之他句股形為外甲戊己是) 若求句於内股上取外股作識以設弦為度從識向句尺取外弦得㸃作識從次識向心數之得句求股亦如之(下有開方術為勾股本法可用)用法九 若雜角形有一角及各傍兩腰求餘邊先以弦線法依設角作尺之腰間角次用前法取之(見下二十一用四法)用法十 有小圖欲更畫大幾倍之圖則尺上取元圖之各線加幾倍如前作之用法十一 此線上宜定兩數其比例若徑與周為七與二十二或七十一與二百二十三即二十八數上書徑八十六上書周 有圈求周徑法以元周為腰設周為底次于元兩徑取小底得所求徑 反之以徑求周徑為腰如前用法十二 此線上定兩數求為理分中末之比例則七十二與四十二又三之一不盡為大分其小分為二十四又三之二弱 有一直線欲分中末分則以設線為度依前數取之(幾何六卷三十題)第二分面線今為一百不平分分法有二一以算一以量以算分 筭法者以樞心為心任定一度為甲乙十平分之自之得積一百 今求加倍則倍元積得二百其方根為十四又十四之九即於甲乙十分線加四分半強而得甲丙為倍面之邊求三倍則開三百之根得十七有半為甲丁求五六七倍以上邊法同(用方根表甚簡易)以量分 任取甲乙度為直角方形之一邊求倍則于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈從乙作乙己垂線截圏于己即己乙線為二百容形之一邊(六卷二十六増)求三倍則乙丁三倍于甲乙四倍以上法同於尺上從心取甲乙又從心取乙己等線成分面線試法 元線為一正方(直角方形省曰正方)之邊倍之得四倍容方之邊否即不合三倍之得九倍容方之邊四倍得十六五倍二十五又取三倍之邊倍之得十二再加倍得二十七倍之邊再加倍得四十八倍之邊再加倍得七十五倍之邊若五倍容形之邊倍之得二十倍容形之邊再加倍得四十五倍容形之邊再加倍得八十倍容形之邊(本邊之論見幾何六卷十三)用法一 有同類之幾形(方圓三邊多邊等形)(容與容之比例若邊與邊其理具幾何諸題) 欲并而成一同類之形其容與元幾形并之容等如正方大小四形求作一大方其容與四形并等第一形之容為二二形之容為三三形之容為四有半四形之容為六又四之三其法從心至第二㸃為兩腰以第一小形之邊為底置尺次并四形之容得十六又四之一以為兩腰取其底為大形邊其容與四形之容并等 若無容積之比例但設邊如甲乙丙丁四方形其法從心至尺之第一㸃為兩腰小形甲邊為底置尺次以乙形邊為度進退取等數得第二㸃外又四分之三即書二又四之三次丙形邊為度得三又五之一丁形邊得四又六之五并諸數及甲形一得十又二十之十九向元定尺上進退取等數為底即所設四形同類等容之一大形邊(此加形之法)用法二 設一形求作他形大于元形幾倍法曰元形邊為底從心至第一㸃為腰引至所求倍數㸃為大腰取大底即大形之邊(此乘)(形之法)用法三 若于元形求幾分之幾以元形邊為底命分數為腰退至所求數為腰取小底即得 如正方一形求别作一正方其容為元形四之三以大形邊為底第四㸃為腰(即命分數)次以第三㸃為腰(即得分數)得小底即小形邊(此除形之)(法若設一形之積大而求其若干倍小而求其若干分則以原積當單數用第一線求之)用法四 有同類兩形求其較或求其多寡或求其比例若干法曰小形邊為底為一㸃為腰置尺以大形之邊為度進退就兩等數以為腰得兩形比例之數次于得數減一所餘為同類他形之一邊此他形為兩元形之較 如前圖小形邊為一大形邊為六其比例為一與六則從一至六為較形邊(此减形之法)用法五 有一形求作同類之他形但云兩形之容積若所設之比例法曰設形邊為底比例之相當率為腰次他率為腰取其底為他形之邊用法六 有兩數求其中比例之數法曰先以大數變為線變線者於分度線上取其分與數等為度也以為底以本線上之本數為腰置尺次于小數上取其底線變為數變數者於分度線上查得若干分也此數為兩元數中比例之數 如前圖二與八為兩元數先變八為線以為底以本線之第八㸃為腰置尺次于第二㸃上取其底線變為四數則二與四若四與八也 若設兩線不知其分先于分度數線上查幾分法如前用法七 有長方求作正方其積于元形等法曰長方兩邊變兩數求其中比例之數變作線即正方之一邊與元形等積用法八 有數求其方根設數或大或小若大如一千三百二十五先於度數上取十分為度以為底以本線一㸃為腰即一正方之邊其積一百次求一百與設數之比例得十三倍又四之一以本線十三㸃強為腰取其底于度線上查分得三十五強為設數之根第三更面線分法 如有正方形欲作圓形與元形之積等置公類之容積四三二九六四以開方得六五八正方邊也以開三邊形之根得一千為三邊等形之一邊開五邊之根得五○二六邊形之根為四○八七邊形之根為三四五八邊形之根為二九九九邊形之根為二六○十邊形之根為二三七十一邊形之根為二一四十二邊形之根為一九七圓形之徑為七四二以本線為千平分而取各類之數從心至末取各數加本類之號(言平形者冇法之形各邊各角俱等)用法一 有異類之形欲相併先以本線各形之邊為度以為底以本類之號為腰置尺取正方號之底線别書之末以各正方之邊於分面線上取數合之而得總邊 假如甲乙丙三異類形欲相併先以三邊號為腰甲一邊為底置尺取正方號四㸃内之底向分面線上用十數為腰正方底為底于甲形内作方底線書十次五邊號為腰乙一邊為底如前取正方底向分面線得二十一半即于乙形内作方底線書之次圓號為腰徑為底如前得十六弱并得四十七半弱 若欲相减則先通類如前法次于分面線上相减(用上圖)用法二 有一類之形求變為他類之形同積以元形邊為度以為底從心至本號㸃為腰置尺次以所求變形之號為腰得底即變形邊用法三 凡設數求開各類之根先于分面線求正方之根次以方根度為底本線正方號為腰置尺則所求形之號之底線即元數某類之根(有法之平形其邊可名為根與方根相似)用法四 若異類形欲得其比例與其較則先變成正方依分面線求之第四分體線線不平分分法有二一以算一以量以筭分 從尺心任定一度為甲乙十平分自之又自之得積一千即定其線為一千即體之根今求加一倍積體之根倍元積得二千開立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一為甲丙乃倍體之邊求三倍開三千數之立方根以上同又捷法取甲乙元體之邊四分之一加于甲乙元邊得甲丙即倍體邊又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍體之邊取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍體之邊再分再加如圖試置元體之邊二十八四之一得七以加之得三十五法曰兩根之實數即用再自之數為一與二不逺葢二十八之立實為二一九五二倍之為四三九○四比于三十五倍體邊之實四二八七五其差纔○一○二九約之為一千四百五十二分之一不足為差若用三十六之四六六五六其差為逺 又加倍體七之一得再倍體之邊三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其實為六四○○○元積再倍之數為六五八五六較差纔○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之實六八九二一其差為逺又試倍邊上之體為體之八倍即依圖計零數至第八位為五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八約之為一○七五○之五四三四與二之一不逺則法亦不逺 右兩則皆用開立方之法不盡數難為定法以量分 先如圖求四率連比例線之第二葢元體之邊與倍體之邊為三加之比例也今求第二幾何法曰第二線上之體與第一線上之體若四率連比例線之第四與第一假如丙乙元體之邊求倍體之邊則倍丙乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩形於壬角之兩腰引長之以形心為心如戊作圏分截引長線于子于午漸試之必令子午直線切矩形之辛角乃止即乙丙(即辛庚)午庚子己甲丁(即壬庚)為四率連比例線用第二率午庚為次體之一邊其體倍大於元體(詳雙中率論)若甲丁為乙丙之三倍四倍即午庚邊上之體大于元體亦三四倍以上倣此 用前法則元體之邊倍之得八倍體之邊若三之得二十七倍體之邊四之得六十四倍體之邊五之得一百二十五倍體之邊又取二倍體邊倍之得十六再倍得一二八倍體之邊本線上量體任用其邊其根其面其對角線其軸皆可用法一 設一體求作同類體大于元體幾倍法以元體邊為底從心至第一㸃為腰置尺次以所求倍數為腰得大底即所求大體邊 若設零數如元體設三求作七以三㸃為初腰七㸃為次腰如上法(此乘體之法)用法二 有體求作小體得元體之幾分如四分之一四分之三等法以元體之邊為底命分數之㸃為腰置尺退至得分數為小腰得小底是所求分體邊(此分體之法)用法三 有兩體求其比例以小體邊為底第一㸃為腰置尺次以大體邊為底就等數得比例之數也不盡則引小體邊于二㸃以下以大邊就等數兩得數乃上可得比例之全數而省零數用法四 有幾同類之體求并作一總體 若有各體之比例則以比例之數合為總數以小體邊為底一㸃以上為腰置尺於總數㸃内得大底即總體邊 若不知其比例先求之次用前法(此加體之法)如圖甲乙丙三立方體求并作一大立方體其甲根一乙三又四之三丙六并得十又四之三以甲邊為底本線一㸃以上為腰置尺向外求十又四之三為腰取底為度即所求總體之根用法五 大内咸小所存求成一同類之體 先求其比例次以小體邊為底比例之小率㸃以上為腰置尺次以比例兩率較數㸃上為腰得較底即較體之邊(此减)(體之法)用法六 有同質同類之兩體得一體之重知他體之重葢重與重若容與容先求兩體之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干(同質者金鉛銀銅等同體者方)(圓長立等)用法七 有積數欲開立方之根 置積與一千數求其比例次于平分線上取十分為底本線一㸃以上為腰置尺次比例之大率以上為腰得大底于平分線上取其分為所設數之立方根如設四萬則四萬與一千之比例為四十與一如法于四十㸃内得大底線變為分得三十四強 若所設積小不及千則以一分為底一㸃或半㸃或四之一等數為腰置尺設數内求底而定其分若用半㸃用所設數之一半用四之一亦用設數四之一葢筭法通變或倍或分不變比例之理用法八 有兩線求其雙中率(線數同理)如三為第一率二十四為第四率求其比例之中兩率 法求兩率之約數得一與八以小線為底一㸃以上為腰置尺次八㸃以上為腰取大底即第二率有第二第四依平分線求第三第五變體線變體者如有一球體求别作立方其容與之等分法 置公積百萬依筭法開各類之根則立方之根為一百四等面體之根為二○四八等面體之根為一二八半十二等面體之根為五十二十等面體之根為七六 圓球之徑為一二六 因諸體中獨四等面體之變最大故本線用二百○四分平分之從心數各類之根至本數加字(開根法見測量全義六卷)用法一 有異類之體求相加以各體之邊為度以為底本線本類之㸃以上為腰置尺次從立方㸃内取底别書之各書訖依分體線法合之用法二 有異類之幾體求其容之比例先以各體變而求同容之立方邊次于分體線求其比例乃所設體之比例若知一體之容數因三率法求他體之容數第六分弦線亦曰分圏線 分法有二一法 别作象限圏分令半徑與本線等長分弧為九十度名作識從一角向各識取度移入尺線從尺心起度各依所取度作識加字 若尺身大加半度之㸃可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法 用正弦數表取度分數半之求其正弦倍之本線上從心數之識之(如求三十度弦即其半十五度之正弦為二五九倍之得千分之五)(一九為三十度之弦從心識之)用法一 有圏徑設若干之弧求其弦以半徑為底六十度為腰置尺次以設度為腰取底即其弦移試元圏上合其弧 反之有定度之弦求元圏徑以設弧之弦為底設度為腰置尺次取六十度為腰取底即圏之半徑用法二 有全圏求作若干分法以半徑為底六十度(其弦即半徑也)為腰置尺命分數為法全圏為實而一得數為腰取底試元圏上合所求分(此分圏之法) 約法本線上先定各分之㸃如百二十為三之一九十為四之一七十二為五之一六十為六之一五十一又七之三為七之一四十五為八之一四十為九之一三十六為十之一三十二又十一之八為十一之一三十為十二之一各加字用法三 凡作有法之平形先作圏以半徑為底六十度為腰置尺次本形之號為腰取底移圏上得分用法四 有直線角求其度以角為心任作圏兩腰間之弧度即其對角之度(有半徑有弧求度如左)用法五 有半徑設弧不知其度法以半徑為底六十度為腰置尺次以弧為度就等數作底其等數即弧度反之設角度不知其徑及弧求作圖其法先作直線一界為心任作圏分以截線為底六十度之弦線為腰置尺次于本線取設度之弦線為腰得底以為度從截圏㸃取圏分即設度之弧再作線到心即半徑成直線角如所求因此有兩法可解三角形省布數詳測量全義首卷第七節氣線一名正弦線分法 全數為一百平分尺大可作一千用正弦表從心數各度之數毎十度加字 如三十度之正弦五十則五十數傍書三十二度之正弦五則五數傍書三簡法 第一平分線可當此線為各有百平分則一線兩旁一書分數字一書度數字用法一 半徑内有設弧求其正弦以半徑為底百為腰置尺次以設度為腰取底即其正弦用法二 凡造簡平儀平渾日晷等器用此線甚簡易如簡平儀之干盤周天圈其赤道線左右求作各節氣線先定赤道線為春秋分次於弧上取赤道左右各二十三度半之弧兩弧相向作弦以其半弦為底本線百數為腰置尺次數各節氣離春秋分兩節之數尋本線之相等數為腰取底為度移赤道線左右兩旁作直線與相對之節氣相連為各節氣線(或于赤道線上及二至線上定時刻線之)(相距若干亦可) 如欲定立春立冬立夏立秋(因四節離赤道之度等故為公)(度)法曰立春至春分四十五度則取本線四十五度内之㡳線移於儀上春分線左右 若欲定小暑小寒之線離秋分春分各七十五度則取七十五度内之底線為度移二分線左右得小暑小寒之線第八時刻線一名切線線分法 切線之數無限為九十度之切割兩線皆平行無界故今止用八十度于本線立成表上查八十度得五六七即本線作五六七平分次因各度數加字(一度)(至十五切線正弦微差尺上不顯可即用正弦)第九表心線一名割線線分法 此線亦止八十度依表查得五七五平分之其初㸃與四十五度之切線等(初㸃即全數故等)次依本表加之用法一 有正弧或角欲求其切線或割線法以元圏之半徑為底切線線四十五度之本數為腰割線線則以○度○分為腰置尺次以設度為腰取底為某度之切線割線 反之有直線又有本弧之徑欲求設線之弧若干度以半徑為度以為底設弧之度數為腰置尺又設線為底求本線上等數即設線之弧用法二 表度說以表景長短求日軌髙度分今作簡法用切線線凡地平上立物皆可當表以表長為底本線四十五度上數為腰置尺次取景長為底求兩腰之等數即日軌髙度分 若用横表法如前但所得度分乃日離天頂之度分也安表法見本說用法三 地平面上作日晷法先作子午直線卯酉横線令直角相交從交至横線端為底就切線線上之八十二度半為腰置尺次于本線七度半㸃内取底為度向卯酉線交處左左各作識為第一時分次逓加七度半取底為度如前逓作識為各時分(毎七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五)(度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半)若求刻線則逓隔三度四十五分而取底為度也次于元切線上取四十五度線(四十五度之切線即全數)為底割線初㸃為腰置尺次以本地北極髙度數為腰于本線上取底為表長于子午卯酉兩線之交正立之又取北極髙之餘度線為度于子午線上從交㸃起向南得日晷心從心向卯酉線上各時分㸃作線為時線在子午線西者加午前字如己辰卯在子午線東者加午後字如未申酉日晷圖說 子午夘酉兩線相交于甲甲酉為度以為底以切線之八十二度半為腰置尺逓取七度半之底向甲左右作識如甲乙甲丙次取十五度線之底作第二識如甲丁甲戊毎識逓加七度半毎識得二刻則丁㸃為午初戊為未初餘㸃如圖 次取甲己線上四十五度之切線為底割線之初㸃為腰置尺取北極髙餘度(順天府約五十)之割線為度從甲向南取辛辛為心從心過乙丁等㸃為線為時刻線又割線上取北極髙度之線(順天府約四十)為表長即甲庚也表與面為垂線(立表法以表位甲為心任作一圏次立表表末為心又作圏若兩圏相合或平行則表直矣)用法四 先有表度求作日晷則以表長為底割線上之北極髙度為腰置尺次以極髙餘度為腰取底為度定日晷之心次用元尺于切線上取毎七半度之線如前(凡言表長以垂表為主或垂線)用法五 有立面向正南作日晷法如前但以北極髙度求晷心以北極髙之餘度為表長(又平晷之子午線為此之垂線書時)(創以平晷之夘為此之酉各反之)用法六 若立面向正東正西先用權線作垂線定表處即晷心從心作横線與垂線為直角 若面正東于横線下向北作象限弧若面正西于横線下向南作弧弧上從下數北極髙之餘度為界從心過界作線為赤道線又以表長為底切線線上之四十五度為腰置尺逓取七度半之線從心向外于赤道上各作識從各識作線與赤道為直角則時刻線也其過心之線向東晷為夘正線向西晷為酉正線 若欲加入節氣線法以表長為度從表位甲上取乙㸃為表心從心取赤道上各時刻㸃為度以為底以切線線之四十五度為腰置尺又以二十三度半為小腰取小底為度于各時刻線上從赤道向左向右各作識為冬夏至日景所至之界 如上圖甲乙為夘酉正線以表長為度從甲取乙為表心以切線上之四十五度為腰甲乙為底置尺又以二十三度半為小腰取小底于本線上從赤道甲向左向右各作識即夘酉正時冬夏至之景界 次從表心向卯酉初刻線取赤道之交丙㸃為底切線之四十五度為腰置尺以二十三度半為小腰取小底于丙左右各作識為本時冬夏至之景界次于各時線如上法各作二至景界訖聨之為本晷上冬夏二至之景線 次作二至前後各節氣線以節氣線之兩至㸃為腰(即鶉首之次西歴為巨蟹宫)以各時線上赤道至兩至界為底置尺次以各節氣為小腰取小底為度從各線之赤道左右作識如前法第十五金線分法用下文各分率及分體線置金一度(下方所列者先造諸色體大小同度權之得其輕重之差以為比例)水銀一度又七十五分度之三十八鉛一度又二十三分度之一十五銀一度又三十一分度之二十六銅二度又九分度之一鐡二度又八分度之三錫二度又三十七分度之一先定金之立方體其重一觔為一度本線上從心向外任取一㸃為一度即是金度次以分體線第十㸃為腰此度為底置尺依各色之本率于分體線上取若干度分之線為底從心取兩等腰合於次底作㸃即某色之度㸃又法 取各率之分子用通分法乘之得金四五九五九二五水銀六九二四五二七鉛八六二七四○○銀八四三一二一二一七銅九○○一四○○鐡一○九一四○七五鍚一一七九九○○○次以各率開(立方)求各色之根得金一六六弱水銀一九一弱鉛二○二銀二○四銅二一三鐡二二二錫二二八若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根率為邊成立方即與金為同類(皆為立方)同重(皆為一斤)之體今本線用此以二二八為末㸃如各率分各色之根數加號(石體輕重不等故不記其比例)用法一 有某色某體之重欲以他色作同類之體而等重求其大小法以所設某色某體之一邊為度以為底以本線本色㸃為腰置尺次以他色號㸃為腰取底即所求他體之邊用法二 若等體等大求其重法以所設體之相似一邊為度以為底置尺于他色號㸃取其底兩底並識之次于分體線上先以設體之重數為腰以先設體之底為底置尺以次得他體之底為底進退求相等數為腰即他體之重用法三 有異類之體求其比例先依更體線通為同類次如前法新法算書卷二十一
## 卷二十二
欽定四庫全書
新法算書卷二十二 明 徐光啟等 撰籌算算數之學大者畫野經天小者米鹽凌雜凡有形質有度數之物與事靡不藉為用焉且從事此道者步步蹠實非如談空說𤣥可欺人以口舌明明布列非如握槊奪標可欺人以强力層層積累非如繇旬刹那可欺人以荒誕也而為術最繁不有簡法濟之即當年不能殫惡暇更工他學哉敝國以書算其來逺矣乃人之記函弱而心力柔厭與昏每乘之多有畏難而中輟者後賢别立巧法易之以籌余為譯之簡便數倍以似好學者皆喜以為此術之津梁也遂梓行之傳不云不有博奕者乎為之猶賢乎已是書稍賢於博奕然旅人入來未及他有論著以此先之不亦末乎行復自哂曰小道可觀聊為之佐一籌而已崇禎戊辰暮春廿日羅雅谷識造法一造籌或牙或骨或木或合楮俱可其形長方廣為長六之一厚約廣五之一諸籌相準不得有短長廣狹厚薄須平正光潔便于畫方書字凡籌數任意多寡總之五籌兩面可當一單數說見定數條十籌當十數十五籌當百數二十籌當千數二十五籌當萬數三十籌當十萬數約以衆籌之厚為一籌之長便于作開方籌入匣也詳造匣條二分方每籌横平分為九作九方籌籌相等横列之線線相直方方相對三分角每方自左上至右下斜作一對角線則每方成直角三邊形二横列之則兩籌對角線又成一斜直線其兩直角三邊形又合成一平行線方形四定數數自一至九并○共十位籌有二面五籌可滿十數其數以方數與籌上方數相乘每方之中既以對角線分而為二即每方各成二位右位即零數左位即十數至第九籌第九方九九相承得八十一而止第一籌一面作零數九方對角線之上各畫一圏一面作一數九方對角線之上順書一二三四五六七八九數第二籌一面作二數第一方線右書二第二方線右書四二籌二方二二如四也第三方線右書六二籌三方二三得六也後推此則第四方線右書八第五方線右書○線左書一二籌五方二五得十故左位一右位○以當零數也後推此則第六方線右書二線左書一第七方線右書四線左書一第八方線右書六線左書一第九方線右書八線左書一一面作三數第一方線右書三第二方線右書六第三方線右書九第四方線右書二線左書一第五方線右書五線左書一第六方線右書八線左書一第七方線右書一線左書二第八方線右書四線左書二第九方線右書七線左書二第三籌一面作四數第一方線右書四第二方線右書八第三方線右書二線左書一第四方線右書六線左書一第五方線右書○線左書二第六方線右書四線左書二第七方線右書八線左書二第八方線右書二線左書三第九方線右書六線左書三一面作五數第一方線右書五第二方線右書○線左書一第三方線右書五線左書一第四方線右書○線左書二第五方線右書五線左書二第六方線右書○線左書三第七方線右書五線左書三第八方線右書○線左書四第九方線右書五線左書四第四籌一面作六數第一方線右書六第二方線右書二線左書一第三方線右書八線左書一第四方線右書四線左書二第五方線右書○線左書三第六方線右書六線左書三第七方線右書二線左書四第八方線右書八線左書四第九方線右書四線左書五一面作七數第一方線右書七第二方線右書四線左書一第三方線右書一線左書二第四方線右書八線左書二第五方線右書五線左書三第六方線右書二線左書四第七方線右書九線左書四第八方線右書六線左書五第九方線右書三線左書六第五籌一面作八數第一方線右書八第二方線右書六線左書一第三方線右書四線左書二第四方線右書二線左書三第五方線右書○線左書四第六方線右書八線左書四第七方線右書六線左書五第八方線右書四線左書六第九方線右書二線左書七一面作九數第一方線右書九第二方線右書八線左書一第三方線右書七線左書二第四方線右書六線左書三第五方線右書五線左書四第六方線右書四線左書五第七方線右書三線左書六第八方線右書二線左書七第九方線右書一線左書八五定號號者應于面之左右兩旁厚處露出匣外者記本面數目○至九共十號其旁狹難書一二三四等字姑作横線如○則無線一則一横線也至五則結為一縱線以該之如五則一縱六則一縱一横七則一縱二横也各書本面之右用時視其旁即可得之六平立方籌諸小籌之外别作一大籌長與諸籌等廣約長六分之二兩面横分九方亦與諸籌等其一面平方籌縱作二行其右行九方書一至九之數為平方根其左行九方亦如小籌作對角線以平方根數自乘之各書根數之左第一方線右書一第二方線右書四第三方線右書九第四方線右書六線左書一第五方線右書五線左書二第六方線右書六線左書三第七方線右書九線左書四第八方線右書四線左書六第九方線右書一線左書八其一面立方籌縱作六分右一分作一行九方書一至九之數為立方根中二分作一行九方書一至九各自乘之數與平方籌同左三分作一行九方每方止截左邊三分之二亦如小籌作對角線是每方分為直角三邊形無法四邊形各一也而無法四邊形之中暗具一直角方形在右一直角三邊形在左今止以左中右分之以中行自乘之數再乘之各書方數之左名立方數第一方右書一第二方右書八第三方右書七中書二第四方右書四中書六第五方右書五中書二左書一第六方右書六中書一左書二第七方右書三中書四左書三第八方右書二中書一左書五第九方右書九中書二左書七七造匣匣合紙或木為之其形短方其空廣如籌之長空厚如籌之廣匣有蓋以籌長五分之三為匣之深其二為葢之深使籌入匣而旁號露於匣口之上以便抽取也小籌比立匣中方根籌側於小籌之旁下切匣口上切蓋頂正相容也若蓋之外徑等於匣之外徑則匣口必出筍以入蓋夫方根籌之廣與匣之深并尚不及小籌之長以其不及為筍之高則匣與蓋外切籌與蓋匣内切矣若匣之外徑等於蓋之内徑則匣自為筍蓋冒之可無庸筍也賴用算法(凡三條)算家加減二法并命分法亦用籌所賴故各具一則一加法加者多小幾何并為一大幾何也亦謂之計先以第一小數從左向右横列于上次以第二小數如前横列于下從視之則零對零十對十百對百也分錢兩及寸尺丈俱依此推次視零位若成十成十則進一位又視十位若干百則進一位千萬以上俱依此推假如有銀九萬一千七百六十一兩又八萬二千○七十八兩又四千五百二十兩又九萬○六百五十四兩俱横列則視末位有一八○四并得十三本位書三進位加一與六七二五并得二十一本位書一進位加二與七五六并得二十本位作○進位加二與一二四并得九本位書九首位九八九并得二十六本位書六進位書二得二十六萬九千○一十三兩如物數是斤兩則十六兩成一斤進位尺步畝之類俱依此推二減法減者一大幾何減去一小幾何餘幾何也亦謂之除以大數書于上應減數書于下亦零對零十對十百對百也次於每位對除之若除數多於原數則借前位一以除之蓋前位之一即本位之十也除完則得餘數假如有銀三十○萬○一百七十六兩三錢四分内除去二十九萬八千六百四十三兩八錢五分從左首位起上數三下數二三除二存一次位上數○下數九借前一成一○除九存一三位上數○下數八借前一成一○除八存二四位上數一下數六借前一成一一除六存五五位上數七下數四七除四存三六位上數六下數三六除三存三七位上數三下數八借前一成一三除八存五八位上數四下數五借前一成一四除五存九該存一千五百三十二兩四錢九分三命分二法命分者一大幾何已分幾何尚餘幾何今應命此餘者為幾何分之幾何也又所餘之小幾何再分得幾何今應命此得者為幾何分之幾何也前解曰法數為母餘數為子如法數一六八餘數四九即命為一百六十八分之四十九後解曰得數為子得數前位為母如得數一位則前位為十得數六即命為十分之六得數二位則前位為百得數三四即命為百分之三十四得數三位則前位為千得數二八三即命為千分之二百八十三得數四五位以上推此第前位定于一數十則一十百則一百千則一千萬則一萬(前一法即九章之命分法亦即幾何原本之命)(比例法後一法即九章之小數如衡有錢分釐毫量有尺寸分釐厯有分秒微纖也)用法(凡四條)一乘法乘數有實有法先將實數依號查籌從左向右齊列其兩籌相並所成平行線斜方形合成一位方形内之數并為一數矣次以籌之方位為法數如法數是五則視兩籌第五方是九則視兩籌第九方即得數矣若法有二數則先查法尾所得數横列之次查法首所得數進一位横列之末用加法并之得數法有三數以上依此推顯解曰乘者陞也九九陞積之義也數有二一為實一為法可互用大畧以位數多者為實可也用籌則如實數列籌自左而右次視法數依籌之同數格上横取之并得啇數列書之更視次法如前得次啇數進一位書初啇之下三以上倣此啇畢并諸啇數即乘得之數假如八十三為實以四乘之先列八三兩籌視其第四格八號籌下左半斜方有三兩籌合一斜方有二一并作三三號籌下右半斜方有二并為三百三十二也又如毎銀一錢糴米九升五合今有銀三兩五錢問該米若干則以三五為實九五為法先查實數二籌齊列次視法尾五查二籌第五横行内數是一七五另列再視法首九查二籌第九横行内數有三一五進一位列于前得數之下併之得三三二五該米三石三斗二升五合又如有米一斗賣錢一百二十五文今有米一十八石三斗問該錢若干則以一八三為實一二五為法先查實數三籌齊列次視法尾五查三籌第五横行内數是九一五另列次視法次二查三籌第二横行内數是三六六進一位列于前得數之下次視法首一查三籌第一横行内數是一八三又進一位列于前得二數之下併之得二二八七五該錢二萬二千八百七十五文如法數有○則徑作一○以當其位再查法數如前如六八三為實三○○為法則作二○乃查三籌之第三横行内數從二○左進書之餘放此二除法除法有實有法有啇先將法數依號查籌從左向右齊列次于諸籌從上至下查横行内連數之等于實數或畧少于實數者在第幾行即是初啇數如在第一行即得數是一在第九行即得數是九也次以查得之數減其實數如已盡則止知有初啇未盡則知宜有再啇也有再啇者即再查横行内數之等于存實或畧少于存實者在第幾行即是再啇數又以查得之數減其存數如前又未盡則更有三啇亦如上法三以上倣此若初得已除實數未盡乃實數次位無實則知當有○位即作一○以當次啇或三位俱無則知得有二○即又作一○以當三啇乃從後數查之若雖有餘數而其數小于法數是為不盡法法之數用命分法解曰除法者分率之法也有實有法先列實次以法數平分之故古九章法名為實如法而一或省曰而一也除法有二一歸除一啇除啇除者古法歸除則後來捷法珠算可任用之若書算籌算必獨用啇除也用籌則先如法數列籌自左而右别列實數簡籌之某格與實數相合者或畧少于實數者以減實即初啇數也若未盡即如前再啇三啇以上皆如之又未盡則以法命之假如列實一百○八以三十六為法除之簡三六兩籌列之視其第三格六號籌下右半斜方有八中各斜方有一九共十進一位成百即一百○八除實盡也又如有米九升五合價銀一錢今有米三石三斗二升五合問該銀若干以三三二五為實九五為法先以法數二籌齊列次于各行横數内求三三二有則徑減實數無則取其田 者二八五以二八五減三三二餘四七五為實而此二八五數乃在第三行即三為初啇數次視第五行有四七五正與餘實相等減盡即五為次啇數是三五為得數也該銀三兩五錢又如每錢三百七十四文買米一斗今有錢八萬七千一百四十二文問該米若干以八七一四二為實三七四為法先以法數三籌齊列次視各行横數内求八七一無則取其畧少者七四八以七四八減八七一餘一二三四二為實而此七四八乃在第二行即二為初啇數次視各行中無一二三四及畧少者惟第三行有一一二二以一一二二減一二三四餘一一二二為實即三為次啇數次視第三行有一一二二正與餘實相等除盡即三為三啇數該米二十三石三斗若積數為八七二四八尚有一○六為餘實再欲細分即用命分第一法以餘數一○六為子法數三七四為母即命為三百七十四分之一百○六或用命分第二法于餘實一○六後加一○依上法再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分之得三得數為二八三凡三位即命為一千之二百八十三三開平方法開平方有積數有啇數啇有方法有廉法隅法置積為實從末位下作一㸃向前隔一位作一㸃每一㸃當作一啇次視平方籌内自乘之數有與實首相等者即除之若無相等則取其相近之畧少者除之但實首以左第一㸃為主若㸃前無位則自乘止于零數如一四九是也若㸃前有一位則自乘應有十數如十六至八十一是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是九九為三之自乘在第三格即三為啇數也若有二㸃者即以初啇數倍之如一倍為二三倍為六也即查所倍之籌列于方籌之左如四倍為八即取第八籌九倍為十八即取第一第八兩籌也次視諸籌横行内數之與存實相等者除之而此數在第幾格則第幾數即次啇數如在第五格即五為次啇數也不盡以法命之三㸃以上倣此解曰開平方者即自乘還原也而法實相同無從置算故以積求形必用方廉隅三法啇除之如有積一百啇其根(根者一邊之數四邊皆同)十即盡實此獨用方法無用廉隅矣若一百二十一初啇十除實百餘二十一則倍初啇方根為廉法(任加于初啇實一角之旁兩邊故曰廉兩廉故倍初啇根)次啇一以乘廉得二十以一為隅法實盡則百二十一之積開其根得十一也在籌則右行自一至九者即方根數也左二行即方根自乘之數自乘之數止于二位故隔一位作㸃查實下作幾㸃知方根當幾位也法先于左第一㸃上一位或二位為乘數平行求得其根適足則已不合則用其少者餘實以待次啇也左㸃或一位或二位者㸃在實首則乘數為單數㸃在實首之次位則乘數為十數也如上圖先以第一㸃求初啇根為方法乙為方積也不盡為二㸃之實以初啇根倍之為廉法甲丙之長邊也次啇若干即以為隅法丁方之一邊也并二廉一隅法以除實甲乙丙丁平方也不盡三啇之啇而不盡者以法命之其籌法先列本籌得初啇次啇則列廉法籌于本籌之左本籌之自乘數即隅積也其根隅法也次查所列籌何格中平行并數可當廉法之幾倍及隅方積得其根以除實即得設實下有二㸃則左一㸃之根為十數右一㸃之根為單數故廉法籌為十數本籌數為單數也三㸃以上倣此假如有積六百二十五别列為實從末位五向前隔一位各作一㸃即知啇二位也㸃在實首六為單數視方籌内自乘之數無六其下九過實用其上四實之近少數也平行向右取二為方法(即方)(根)另列之為初啇即以四百減六(百)存二(百)以并次㸃之實得二二五為餘實次倍初啇根得四為廉法(廉有二故)(倍方根)取四號籌列方籌左于列籌内并數取其合餘實或近少于餘實者至五格適合即五為廉次率為隅法為次啇而本方之根得二十五又如積四千四百八十九别列為實從末位九向前作二㸃知啇二位㸃在次位則實首四為十數也視籌内自乘無四四近少為三六平方取六為方法為初啇即以三六減四四存八以并次㸃之實得八八九為餘實次倍初根得十二為廉法取一二號兩籌列方籌左於列籌并數得八八九在第七格除實盡即七為廉次率為隅法為次啇而本方之根得六十七又如有積三萬二千○四十一列為實從末向前隔一位作一㸃得三㸃知啇三位㸃在實首三為單數視籌自乘無三近少為一平行取一為方法為初啇即以一減三存二以并次㸃實得二二○為餘實次倍初根得廉法二取二號籌列左籌方於列籌并數得近少者一八九在第七格即七為隅法為次啇列初啇之右以一八九減餘實得三一以并三㸃之實得三一四一為次餘實次倍前根十七得三四為次廉法取三四兩籌列方籌左于列籌并數得三一四一在第九格適盡即九為三啇為隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有積六十五萬一千二百四十九列為實從末位九向前隔一位作一㸃得三㸃知啇三位㸃在次位則實首六為實數也視籌自乘無六五近少為六四平行取八為方法為初啇以六四減六五存一以并次㸃實得一一二為餘實次倍初根得廉法一六取一六兩籌列方籌左於列籌并數查無一一二亦無近小數即知次啇為○也則於八下加○以當次啇而以一一二并三㸃之實得一一二四九為次餘實次倍前根八得一六進一位得一六○為次廉法取○籌列一六兩籌之右于列籌并數得一一二四九在第七格適盡即七為三啇為隅法列前二啇之下而本方之根得八○七其啇而不盡者以法命之則有二術其一如前第一六十六萬二千七百四十九如前三啇得根八百一十四餘積一百五十三更啇一當倍廉加隅得一千六百二十八今不足則命為未盡者一千六百二十八之一百五十三也法曰凡開方不盡實其命分法倍前啇數(二廉也)加一(立隅)為母(續啇之)餘實為子依法命之然終不能盡如設積六十求開方初啇七餘十一倍七加一得十五為母十一為子可命六十之根為七又一十五之一十一而縮試并初啇及分數自之得四十九又二二五之二四三一約之為一十一是二二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之一八一不及元積若倍初啇不加一為母命為十四之十一試自之得六十○又一九六之一四一過元積而盈其一欲得其小分則通為小數如前第二法更開之當於餘積之右加兩圏(是原積之一化為百也)如法開之得根數當命為一十分之幾分也或加四圏(是原積之化為萬也)得根數命為一百分之幾分也或加六圏(一化為百萬)得根命數為一千分之幾分或加十圏(一化為百萬萬) 得根命為十萬分之幾分也如圖原積六六二七四九已啇得八一四不盡者一五三欲得其細分加六圏(是一百五十三化為一萬五千三百○十○萬○千)(○百○十○也)更開得數為○九三因空位六則命為一千分之○百九十三也欲更細更加空位終不能盡何故六十者本無根之方也四開立方法開立方亦有積數有啇數啇有方法有平廉法長廉法隅法置積為實從末位向前隔二位作㸃每一㸃有一啇次視立方籌内再乘之數有與實首相等者即除之若無相等則取其近少者除之但實首以左第一㸃為主若㸃前無位則再乘止于零數如一如八是也若㸃前有一位則再乘應有十數如二七如六四是也若㸃前有二位則再乘應有百數如一二五至七二九是也而此乘數在第幾格則第幾數即初啇數如所用數是八八為二之再乘在第二格即二為初啇也若有二㸃者以初啇數自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍為一十二為平廉法以初啇數三倍之如二之三倍得六為長廉法次以平廉法數查籌列立方籌左又以長廉法數查籌列立方籌右次視左籌與方籌并之横行内數啇其少于餘實者平行取數為約數即以此數為次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之數與長廉法數相乘進一位書于約數之下以此二數併之除其餘實即得立方根不盡者以法命之三㸃以上倣此解曰立方形者六方面積為一實體也每面等每邊每角各等立方積者一數自乘再乘之所積也線有長面有長有廣體有長有廣有高所謂一乘作面再乘作體是也開立方者亦以積求形之術其異于平方者平方為面面有四等線開之求得四線之一為方根也立方為體體有十二等線開之求得十二線之一為方根也三乘方以上亦皆十二線有等有不等而皆求其最初第一面之一界線為方根也今解立方廉隅法姑作分合圖論之若截木或鎔蠟作八體分合解之尤易曉矣 其一作六方面形一事諸面線角皆相等此名方法體即上圖甲乙丙丁立方體是也 其二作六面扁方體三事其上下面各與方法等旁四面之高少于方法之高(任意多寡開訖乃得)而四稜線皆等此名平廉法體即上圖戊己庚辛是也其三作六面長方體三事其上下左右四面與平廉之旁面等兩端之四界線皆與平廉之高等此名長廉法體即上圖壬癸是也 其四作六面小立方體一事六面之廣袤皆與長廉之兩端等此名隅法體即上圖子丑是也右度數家以度理解數學(度者㸃線面體量法也數者一十百千等算法也)亦以數理解度學如鳥兩翼交相待而為用也今依此借數以明立方之體如初方體之邊各四則一面之積為一六其容積六四平廉之兩大面亦一六其高設五相乘得容積八○長廉之長亦四其兩端之高廣各五則其容積一○○立隅之邊各五則其容一二五此八體并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三長廉補三平廉三闕以立隅補三長廉之闕即成一總立方也 又算法單數乘單數生單數(如四乘六為二四是為六者四積為二十四而其根四乃單數也)單數乘十數生十數(如四乘三十為一二是為三十者四積為一百二十而其根二乃十數也)十數乘十數生百數(如三十乘八十為二四是為八十者三十積為二千四百而其根四乃四)(百也)推之則十乘百生千百乘百生萬也 今依此推前總立方以四十五為全根其初方之一邊為四十其面則為四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容積為一千六百者四十是六萬四千也是十乘百生千也 其平廉之兩大面與初方之面等亦一千六百其高五是單數以乘百得八十者百是八千也是單乘百生百也立廉三三倍之得二萬四千也 長廉之高廣皆與平廉之高等為五是單數其面為二五單根也其長與初方等為四十相乘得四十者二十五是為一百者十則一千也是單乘十生十也長廉三三倍之得三千也 立隅體與平廉之高等為五是單數自乘得二五亦單數也再乘得一二五亦單數也是單乘單生單數也 已上共得九萬一千一百二十五為兩啇之總立方積其根四十五右以數明立體之理其在籌則右行自一至九者立方根數也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之數也自乘再乘止于三位如三自乘再乘為二十七九自乘再乘為七百二十九故列實下隔二位作㸃查實下幾㸃知立方根當幾位也法先于第一㸃以上查實簡籌或適足或畧少者即初啇之立方體平行求得其根也 次初啇根自乘得平廉面與初啇之體等三倍者三平廉也平廉之籌列立方籌之左者立方籌之右行為單數中行為十左行為百平廉籌右行之號亦百數也以合於立籌之左行共為幾百也 次平廉之面積三偕初啇之根三并為分率數以求六廉一隅之高於立籌平籌上求餘實之近少數(不欲太少為尚有長廉之容故也)約可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅籌上所自有也又平行取次啇之平方積乘長廉籌之數得長廉之容長廉之號為十數以列于約數之下進一位作十數 次求七體之總積初體之外有平廉三長廉三立隅一其定位立隅在本籌之上為單數次啇與三長廉法相乘得數為三長廉之實此數之號為十數三平廉之籌加于立籌之外其號為百數通併之以除餘實未盡而原實有三㸃者以先兩啇之總方為初體復如前法三啇之亦并八體為一總體不及啇為一者依法命之同文算指曰先得之根(初啇也)乘于三十今曰三之(長廉)(法也)所得之號為十數也又曰先根之方(初體之面)乘于三百今曰三之(平廉法也)所得之號為百數也一也假如有積四千九百一十三别列為實從末位三向前隔二位各作一㸃即知啇二位也㸃在實首四為單數視立方籌内再乘之數無四下八過實用其上一實之近少數也平行向右取一為方法(即方根)另列之為初啇即以一(千)減四(千)存三(千)以并次㸃之實得三九一三為餘實次用初啇一自乘(為平廉面)而三倍之(三平廉故)得三百為平廉法(亦名倍方數)取三號籌列立方籌左又以初啇一十三倍之(一者長廉邊三長廉故三倍)得三為長廉法(亦名倍根數)取三號籌列立方籌右于列籌(立方籌與平廉籌也)内并數取其少于餘實者為約數第其中有長廉之實不得過少又不得多多者如第九格遇三四二九以為約數近少矣另列之向右平籌自乘數内平行取八十一乘于長廉法三得二百四十三列近少數(三四二九)下進一位并得五八五九則多于餘實也至第七格遇二四四三以為約數另列之向右平籌自乘數平行取四十九以乘長廉法三得一百四十九列近少數(二四四三)下進一位并得三九一三除實盡(平廉籌之二千一百平廉實也立方籌之三百四十三立隅積也平方籌之四十九長廉兩端之面)(也以乘長廉法三十得一四七長廉積也諸籌之上一一分明)平行求其根得七即七為次啇也得總立方之根一十七又如積九百一十五萬九千八百九十九别列為實從末位九向前隔二位作一㸃凡三㸃當啇三位也㸃在實首九為單數視立方籌内再乘之數無九下二七過實用其上八實之近少數也平行向右取二為方法另列為初啇即以八減九存一以并下位得一一五九為餘實次用初啇二自乘而三倍之得一十二為平廉法取一號二號兩籌列立方籌左又以初啇二三倍之得六為長廉法取六號籌列立方籌右於列籌(立方與平廉共三籌)内并數取其少于餘實者為約數試之而無有(最少者為第一格之)(一二○一)則知啇有空位於初啇下作圏以當次啇復開第三㸃之餘實為一一五九八九九前二啇二○(百十也)自乘之得四○○(四萬也)三倍之為一二○○(一千二百)依數取四籌為平廉法列立方籌左前啇二○三倍之得六○取二籌為長廉法列立方籌右於列籌(立方與平廉共五籌)内并數取其少于餘實者為約數至第九格方得一○八○七二九另列之向右平籌自乘數平行取八十一以乘長廉法六○得四八六○列近少數(一○八○七二九)下進一位并得一一二九三二九除實不盡三○五七○其三啇平行取根得九并初二啇得立方根二○九不盡者更欲細分之則用命分第二法於餘實後加三圏得三○五七○○○○為餘實依上法再開之以前啇二○九自乘為四三六八一又三倍之為一三一○四三取此六籌列方籌左為平廉法又以前啇二○九三倍之為六二七取此三籌列方籌右為長廉法於列籌(左籌七)内并數取其近少為約數試之至第二格遇二六二○八六○八為近少于餘實(三○五七○○○○)另列之向右平籌自乘數内平行取四乘于長廉法六二七得二五○八列近少數(二六二○八六)(○八)下進一位并得二六二三三六八八以除實不盡四三三六三一二即取右根二為啇數依法命為一十分之二分也若欲再開則餘實後又加三圏得四三三六三一二○○○為餘實依上法以前啇二○九二自乘為四三七六四六四又三倍之得一三一二九三九二取此八籌列方籌左為平廉法又以前啇二○九二三倍之為六二七六取此四籌列方籌右為長廉法於列籌(左九籌)内并數取其近少至第三格遇三九三八八一七六二七為近少于餘實(四三三六三一二○○○)另列之向右平籌自乘數平行取九乘於長廉法六二七六得五六四八四列近少數(三九三八八一七六)(二七)下進一位并得三九三九三八二四六七以除實不盡三九六九二九五三三即取右根三為啇數依法命為二百○九又一百分之二十三分也若再開則餘實後又加三圏得三九六九二九五三三○○○為餘實依上法以前啇二○九二三自乘為四三七七七一九二九又三倍之得一三一三三一五七八七取此十籌列方籌左為平廉法又以前啇二○九二三三倍之得六二七六九取此五籌列方籌右為長廉法於列籌(左十一籌)并數取約至第三格遇三九三九九四七三六一二七為近少于餘實(三九六九)(二九五三三○○○)另列之向右平籌自乘數平行取九乘于長廉法六二七六九得五六四九二一列近少數(三九三九九四)(七三六一二七)下進一位并得三九四○○○三八五三三七以除實不盡為二九二九一四七六六三即取右根三為啇數依法命為二百○九又一千分之二百三十三也餘實任開之終不盡何者無立方數不得有立方根也算子錢法(増)以籌布算其乘除諸法皆能去繁就簡不待論矣若算章中有用開平立方者有用開無名方者至難至賾也用籌則比他算特為簡易故附載此法 按九章算衰分篇中有借本還利皆用乘法即此法之還原也今法必用開方故為難耳假如借銀若干滿若干年還本息總銀若干問每年息銀若干如本銀一百兩滿一年總還一百二十兩問息若干法兩數(本銀一總銀一)相減餘二十是百兩一年之息也又滿二年總還一百四十四兩問每年息例若干法以母銀數(一百)乘總還數(一百四十四)得數為積開方得根數為實以母銀為法減之所餘者為原銀一年之息也若滿三年總還一百七十二兩八錢問息例若干又滿四年以上皆息轉為本紛莫可尋則依圖法求之圖說圖有直行有横行直行者每年所用之法與數横行者諸同類之法同類之數也其直行之首無年數無總銀數者則上年之次法或又次法任用之(白字為法墨字)(為數)第一横行為滿年數(借日至還日積年之數)第二横行為所還之總銀(母銀并息銀之總數)第三横行為母銀所用之法(或母銀自乘或再乘三乘等以求積而開方)第四横行為母銀用法所乘出數與總銀相乘得數第五横行為各年所用開積之本法(如開方或開立方等)第六横行為所求之數(即滿一年之總數本息俱見者也)減原銀得息例用法假如初借母銀三兩滿四年總還銀四十八兩問每年若干起息(母銀三兩滿一年總還若干即轉為次年之母依前例起息總應若干又轉為)(母如是嵗嵗遞加母數漸増息例如舊)法依圖試查滿四年直行其第一格為年數(即四)第二格為總還(四十八兩)之銀(原銀若干息例若干各依本例積成總數)第三格母銀所用之法為再乘即以原銀三再自之得二十七第四格以二十七(母所乘出之數)乘四十八(總銀)得一二九六為實積第五格本年所用開積之法為開平方二次(積為一二九六)初開得三十六再開得六六者滿一年之總銀減原銀三餘三為滿一年之息又如母銀五十八兩四錢滿三年總還銀一百二十五兩三錢問一年息若干法用本行第三格曰自乘即原數自之得三四一○五六以總銀乘之得四四九二七六一六八第五格法曰開立方用法開得七十六兩五錢(不盡實加三位開零根得)八分九釐八毫不盡減原銀餘十八兩一錢八分九釐八毫為滿一年之息依此例求母銀百兩息幾何用三率法原銀為一率息例為二率今銀(一百)為三率依法得四率三十一兩一錢四分六釐九毫不盡為百兩一年之息此用遞加倍數之法詳見算學全義義見幾何第十卷新法算書卷二十二
## 卷二十三
逺鏡說
人身五司耳目為貴無疑也耳與目又孰為貴乎昔亞利斯多穪耳司為百學之母謂凡授受以耳學問所以彌精彌廣也若目司則巴拉多稱為理學之師何者蓋當其陡與物遇見其然即索其所以然由粗入細由有形入無形理學始終總目為牖矣而不寧惟是明光色光較形聲臭味獨居上分不既属於目乎觀夫亞尼瑪以目為居止孟子謂存乎人者莫良於眸子則凡情開意動之微必達於目善惡莫掩有如執左契然者且耳之於聲也有待目之於形也無待聞每後見每先聞每似見每真聞僅有輕重清濁見豈特𤣥黄采素而已哉物體有大小方圓邪正動靜數有多寡位有逺近疇非於目辨者乎誠若是則目之貴於耳也明矣雖然耳目皆不可廢者也則佐耳佐目之法亦皆不可廢者也第佐耳者用力省以管則逺以螺則清利物出於天成其巧妙自無可得而言佐目者用力煩管以為眶鏡以為睛利物出於人力其巧妙誠有可得而言者無可得而言者言之則誕有可得而言者秘之則欺此逺鏡說之所由述也天啟六年嵗次丙寅仲秋月大西洋湯若望題利用(計二端)夫逺鏡何昉乎昉於大西洋天文士也其用之利可勝言哉蓋凡人視近與大易視逺與小難逺鏡則無逺近無大小者也約畧言之天象地形不出其照而至若山海之間尤為備盜之先資補益人世亦大矣奈何忽為悦目快心之具也今試姑舉一(二)以概其用一利用於仰觀(計六條)用以觀太隂則見本體有凸而明者有凹而暗者蓋如山之高處先得日光而明也又觀月時試一目用鏡一目不用鏡則大小迥别焉用以觀金星則見有消長有上弦下弦如月焉其消長上下弦變易於一年之間亦如月之消長上下弦變易於一月之内又見本體間或大小不一則驗其行動周圍隨太陽者居太陽之上其光則滿居太陽之下其光則虚本體之大小以其居太陽右之上下而别焉用以觀太陽之出没則見本體非至圓乃似鷄鳥卵蓋因塵氣騰空遮蒙恍惚使之然也(即此可知)(塵氣騰空高逺幾許)若卯酉二時併見太陽邊體齟齬如鋸齒日面有浮游黑㸃㸃大小多寡不一相為隠顯隨從必十四日方周徑日面而出前㸃出後㸃入迄無定期竟不解其何故也用以觀木星則見有四小星左右隨從䕶衛木君者四星隨木有規則有定期又有蝕時則非宿天之星明矣欲知其與木近逺幾何宜先究其經道圏處合下即騐矣用以觀土星則見兩傍有兩小星經久漸益近土竟合而為一如卵兩頭有兩耳焉用以觀宿天諸星較之平時不啻多數十倍而且界限甚明也即如昴宿數不止於七而有三十多鬼宿中積尸氣觜宿中北星天河中諸小星皆難見者用鏡則瞭然矣又如尾宿中距星及神宫北斗中開陽及輔星皆難分者用鏡則見相去甚逺焉是宿天諸星借鏡騐之算之相去幾何絲毫不爽因之而觀察星宿本相星宿所好星宿正度偏度於修厯法尤為切要以上六條是聊述觀天之槩也一利用於直視(計三條)樓臺高處用之則逺見山川江河樹林村落雖人物行動如在目前若陡遇兵革之變無論白日即深夜借彼火光用之則逺見敵處營帳人馬器械輜重便知其備不備而我得預為防宜戰宜守或宜安放銃砲功莫大焉海上用之則數十里外之行舟人但見為塊然如山石者我能别其船舟何等帆旂何色或為友伴或為强徒與夫人數之多寡悉無謬焉居室中用之則照見諸逺物其體其色活潑潑地各現本相大西洋有一畫士秘用此法畫種種物像儼然如生舉國竒之以上三條是聊述地海人間之槩也附分用之利(計三端)夫逺鏡者二鏡合之以成器者也其利用既如斯矣乃分之而製造如法則又各利於用焉即中國所謂眼鏡也試言之一利於苦近視者用之(一條)世有自少好逺游喜逺望者年老目衰則不苦視逺物而苦視近物不耐三角形射線而耐平行射線習性使然耳若用逺鏡之中高鏡則物象一㸃之小散射鏡面從鏡平行入目巧合其習性視近不勞而自明也然又有未嘗好逺遊逺望而平日專務平直是視者亦必老至力衰則視物不能斂聚其象象形直射恍惚不真若用中高鏡則物形雖小而暗視之自大而顯矣一利於苦逺視者用之(一條)有書生目不去書史視不踰几席習慣成性喜三角形視近不耐平行視逺者亦有非繇習慣但眸子精力不開廣視物象不得員而滿者是二人者用逺鏡之中窪鏡則物象從鏡角形入目乃合其習性視物自明矣一分用不如合用之無不利(一條)人有目精全衰視物全暗者則與無目同天日不能照固非鏡之所能與力也乃有目精至强視物至明者用鏡亦反加翳焉何也吾人睛中有眸張閉自宜睛底有□屈伸如性高窪二鏡自備目中何以鏡為若二鏡合用之于逺鏡則不然逺鏡者目明益明象顯益顯實備非常之用者也原繇(計三端)一易象不同而逺鏡獨妙於斜透以為利用之原(計)(三條)是鏡之妙妙乎能易物象也何謂易象蓋凡物之有形者必發越本象於空明中以射人目若象目交接之間無所阻礙則象從徑線直射入目矣茍如為他物形所間則本象或斜透其照而易者有之或反映其照而易者有之乃是鏡易象之妙則妙乎有斜透而無反映此其所以利用也何謂斜透而易反映而易蓋象與目交而為物所間槩有二焉一曰不通光之體一曰通光之體不通光之體可借喻鏡面夫鏡有突如球平如案窪如釜之類其面皆能受物象而其體之不通徹皆不能不反映物象反映之象自不能如本象之光明也所謂反映者此也通光之體又分二體一謂物象遇大光明易通徹者比發象元處更光明而形似廣而散焉一謂物象遇次光明難通徹者比發象元處少昏暗而形似斂而聚焉今試以象遇大光明易通徹者言之即如前圖甲象居盂底直射乙目乙目可視乙目偏東則象不現而目不見礙于盂邊也若充水齊邊則象上映於水遇空明氣之大光明即邪射而象更顯焉甲象更廣散於丙丁邊東目視丙邊即視丙象而象體似居戊處矣即東目更移東尚可見象而象體若更浮戊上矣是又因象映而然也又如舟用篙櫓其半在水視之若曲焉張㫁取魚多半在水視之若短焉乂魚者見魚象浮游水面而投乂刺之必欲稍下於魚乃能得魚蓋水氣兩隔恍惚使然漁夫習之熟知其必然而不知其所以然耳試以象遇次光明難通徹者言之即如上圖甲象在空明氣盂底無水直射盂底乙處乙處可視甲象若戊處則象不射戊不見礙于盂邊也盂内充水至於丙丁則空明甲象入水稍暗斂聚於丙丁邊戊視丁邊則明見甲象而象體似居己處矣凡此皆所謂斜透者也夫所云間隔物體大光明能廣散物象次光明能斂聚物象蓋必大與次不同體者也若前後二鏡亦既同體矣而亦有廣散斂聚之别則以同體而不同形耳前鏡形中高類球鏡而通徹焉是即次光明意也所以照日光能漸聚大光於一㸃而且照日生火照第一等星光能透明於紙上夜借燈光亦能逺照後鏡形中窪類釜鏡而通徹焉是即大光明意也所以照日光則漸散大光至於無光而且照日不能生火不能照星不能逺照正與前鏡相反然照象則甚鮮明也一射線不一而逺鏡兼攝乎屈曲以為斜透之繇(一)(條)光明之體間隔物象者有正有邪而物象之來有直有偏以故象直矣而體有未正則象來之線尚多屈曲况象偏乎體正矣而象有未直則象來之線亦多屈曲况體邪乎若二鏡照物之時則必皆正者也但物象射線不能皆直蓋必射線直入鏡之中央方無斜透不然射線去中或近或逺皆不免屈曲所以皆不能無斜透也一視象明而大者繇乎二鏡之合用(計二條)二鏡之性乃相反以相制者也獨用則偏並用則得中而成器焉夫逺物發象從平行線入目則目視逺物亦必須從平行線視象假若二鏡獨用其一則前鏡中高而聚象聚象之至則偏偏則不能平行後鏡中窪而散象散象之至則亦偏偏亦不能平行故二鏡合用則前鏡賴有後鏡自能分而散之得乎平行線之中而視物自明後鏡賴有前鏡自能合而聚之得乎平行線之中而視物明且大也前鏡視逺去目如法物象每見其大焉蓋以全鏡之體照物體之分分則見其大矣若鏡目相近則雖鏡體得照全象分分不遺而象則小矣後鏡視逺近目如法視物每見其大焉蓋以全象視物之體若鏡目相逺則以象之一分視物之體而已總之分二鏡而用之則不免昏暗套筒而合用之則彼此相濟視物至大而且明也造法用法(計九端)造鏡至巧也用鏡至變也取不定之法於一定之中必須面授方得了然若但憑書不無差謬今亦撮其大畧而已一鏡(一條)造法曰用玻璃製一似平非平之圓鏡曰筒口鏡即前所謂中高鏡所謂前鏡也製一小窪鏡曰靠眼鏡即前所謂中窪鏡所謂後鏡也須察二鏡之力若何相合若何長短若何比例若何茍既知其力矣知其合矣長短宜而比例審矣方能聚一物像雖逺而小者形形色色不失本來也一筒(一條)鏡止於兩筒不止於兩筒筒相套欲長欲短可伸可縮一逺近各得其宜(一條)用法曰鏡筒相宜以視二百步為定則因之而視數十里視天象視地形無不同之若視二百步以内物形彌近筒鏡彌長逐分伸長物相明亮即為限止大要伸縮宜緩而不宜急一避眩便觀(計三條)用以視太陽金星則二者光射明烈故須於近鏡上再加一青綠鏡少禦其烈鏡筒再伸分寸許則光相不眩目力乃精視乃不幻也視太陽又有兩法一加青綠鏡如上所云一不必加青綠鏡只以筒鏡兩相合宜以前鏡直對太陽以白淨紙一張置眼鏡下逺近如法撮其光射則太陽本體在天在紙絲毫不異若用硬紙尺許中翦空圓形冒靠後鏡上則日光團聚下射紙面四暗中光黑白更顯體相更真矣若遇依稀雲霧天太陽本體居明暗中不用綠鏡不用硬紙只以平常格式用目視更快也用以視地形物色前鏡勿對日光以日光照鏡則鏡光與相反昏也一安放調停(計二條)將鏡置諸本架或倚著實落處使不搖動視鏡止用一目目力乃專光益聚而象益顯也視欲開廣將鏡牀少少那動欲左而左欲右而右欲上而上欲下而下架無不隨者只用螺絲釘寧住宜堅定不移一衰目短視用訣(一條)清目人用此鏡逺視物體更明且大無惑也乃衰目人短視人亦可用蓋筒内後鏡伸長能使易象於前鏡者仍平行線入目縮短能使易象於前鏡者反以廣行線入目一伸一縮能稱衰目短視人則巧妙又在伸縮得宜焉又短視人尋常用眼鏡者今用逺鏡仍用本眼鏡照之亦可一借照作畫(一條)室中照鏡畫像全閉門窓務極幽暗或門或窓開一孔大小與前鏡稱取出前鏡置諸孔眼以白淨紙如法對置内室則鏡照諸外像入紙上絲毫不爽摸而畫之西土所謂物像像物者此也一習用訣欲知鏡之能照逺及小與夫晝夜無異則必於平常試驗置書數十步内晝借日光夜借燈光用鏡照之字字可誦比諸几案上更顯而大焉平常習熟臨大用時庶可無疑謬也一去垢訣(一條)兩鏡或受塵垢勿用手揩摸只以新淨絹帛輕輕拂拭即復光明用鏡測星法前後二鏡各加一積楮圏圏心開圓孔露鏡而以其周掩鏡邊蓋惟邊掩而心孔攝聚星象益加顯著故也孔之大小視鏡光力前圏孔之大以盡見月徑為率月徑約三十分依此為孔以求兩星相距或相凌犯逺近分數舉目可得其法先以鏡向月心目向鏡心一窺而盡得月左右邊際是可凖而用也乃即用以窺星倘亦一窺之中兩星並見則知彼此相距必在三十分内矣於是移筒使一星切居鏡邊以求此星與彼居中星相距之逺近或當月徑之半而贏或當月徑之半而縮其為幾何分數豈不瞭然可辨乎然所謂一窺盡月徑者逺鏡之短者也若其長者所見轉狹一窺不盡必數移窺乃盡焉其法先用鏡定向月心目則左右任移以盡見月邊為率次以鏡切月邊平行徑内某影(月有多影)止記之又以此影切分為邊平行某影止記之如是數窺必盡月徑即可得每窺滿圏所容之分數幾何於是用以測星或亦再三移窺則併移窺所得分數總計之即是兩星相距之分數矣用鏡測交食法安器於本架筒伸縮令得宜用以直對太陽或太隂焉餘法與視太陽前二法同外所用淨紙預畫一線成圏圏中畫徑線一平分之徑線上畫短線十平分之圏線之大約以二寸為率過大與過小皆足礙光臨測時務使紙與鏡直對平行毋少欹側其相去逺近以光滿圏為率鏡一面向紙一面向日或月當其初虧止見光劣有似游氣後乃黒影漸侵邊内明缺此時務使圏之徑線正與缺當乃視短線即得交食分數新法算書卷二十三
## 卷二十四
欽定四庫全書
新法算書卷二十四 明 徐光啟等 撰日躔厯指厯象以齊七政今首日躔者何也曰七政運行各有一道二極各有三百六十經緯度其度分又各有寔經緯視經緯其會合有寔會視會寔望視望樊然不齊首日躔者乃所以齊之也日躔之能齊七政奈何曰凡測量之法必自其根始如度樹之短長地其根也度舟行之逺近水次其根也度天行之根有二其一在天行之内歳首是也古法以今歳之十一月冬至為來年之天正歳首冬至者則日軌高度分之極少日躔赤道緯之極南也其一在天行之外歴元是也自昔推厯元者必求上古之積年後來歳寔稍宻即無數可論故至授時而廢不用矣授時以至元辛巳為厯年以其氣應為根而求通積以歳寔而一得冬至然此所得者皆平年之冬至非定冬至也今法以崇禎元年戊辰冬至日子正初刻為厯元依恒年表求其根數為平冬至因以法加減之為定冬至定冬至者歳歳加減初無通積可求蓋日軌度之真極少日躔緯之真極南也是則天行之兩根舎日躔皆無從取之矣曰此兩根者六曜皆有行度皆可用以為歳首為厯元何獨日躔乃可乎曰此其故有二其一七曜之中獨日躔之行甚順也其一以他曜測不若以日躔測甚便也何謂甚順太陽之行與本天之本行相合為一繇黄道帯之最中無出入歳月日時各平行有恒度分無永短如是者皆終古不易他曜之行於本天本行之外各有小輪各有緯距度各有遲疾留逆時時不等雖有定法而似無法何能為他行之法譬如畸零不齊之布帛宜以十寸之尺度之若以畸零度畸零無乃欲齊而棼之乎故六曜者畸零之布帛日躔者十寸之尺也若恒星之東行與日相似亦可謂順矣乃行度最遲必六十餘年而一度二萬五千二百餘年而一周推歩者欲求其變動之數卒世而不一得也且考恒星之經度必用太陽之經度自非二分二至為其凖則何從定之星之古測今測更多不合或曰順行或曰否人自為説又何從定之豈若日躔之歳月日時俱可測驗俱可推算哉何謂甚便日光甚大用闚筩諸器即分秒可得諸星體微光眇測候頗難月體大矣而去地甚近其視差甚大已亦不能為主古今法考月離經度者必因其食甚時刻考太陽之經度加半天周得太陰之經度故自昔名厯家先測太陽定其行度經度次及月五星恒星之行度經緯度以為定法是知日行者諸行之本也然厯法首步氣朔兹有氣而未及朔何也曰朔望者日與月比論乃得之也未論月離未可論朔望也其不及歳差何也曰歳差者日與恒星比論乃得之也未論恒星未可論歳差也今以本法諸義著於篇綴之立成表二卷以資推算焉定南北線第一一法天正春秋分日或前一日或後一日亦可午正前後植表臬視表末景所至輙作㸃為識次作直線聨諸㸃即夘酉線其垂線即子午南北線何故為兩分日行赤道下表景自朝至暮止作一直線前後各一日尚未覺有曲線也二法不拘日月於午前用象限儀測得日軌高即於表末景作識午後用本儀測得日軌與午前所取同高亦於表末景作識以直線聨兩㸃即夘酉線何故為東西等高則同經兩經間平分其所容之經即子午經圏右二法不論何物但其體勢可當表臬者即用之三法不拘日月以植表根一㸃為心多作平行圈視午前景末切某圏作㸃午後待景再切原圏作㸃聨兩㸃作直線為夘酉如上圖甲為表根㸃以為心多作丙乙等圈甲乙為午前景甲丙為午後景乙丙平分於丁作甲丁垂線至乙丙線為子午右第一法必待春秋分第二第三法恒日可用但論其理俱未能定夘酉之真線何故為太陽本行去離赤道以前以後終嵗終古皆不作周圈而作螺旋圈也欲得真線别有本法本法用地平經緯儀取最近北極一星測其東西行所至兩經度中分之即正北方也用句陳大星西名小熊尾第一夏至子時在極東冬至子時在極西用句陳第五星西名小熊尾第三冬至酉時在極西夘時在極東(用此即定線一夕得可)若無本噐用兩表之法兩表者一定表其體與地平為垂線一游表其直邉亦與地平為垂線先以二表與星相望參直成一線若星漸移而東則遷游表隨東至不復東而止移西亦如之末從定表望兩游表各以直線聨之成三角形平分其角作南北正線或以權繫垂線可當表但須權末極鋭與垂線相應以切地平定㸃已上諸法必以夜及午正時若或早或晚隨時求之則有别法先定一表景之直線以此線當地平上之太陽經圏即於此時用測器取日軌高以得南北正線如後圖作甲乙丙丁圈其心戊甲丙為地平丙上數本地赤道出地之度如順天府五十度卽至己從己作徑線徑線之或北或南取本日日躔離赤道距等度為己壬作壬癸線為赤道距等圏次從丙甲上數日軌高度分如高三十度得子作子丑線即本時地平上之太陽緯圏也此線交壬癸距圏於夘從夘向甲丙地平引作酉夘辰垂線取子丑緯圏上子午半弦為度從戊心抵酉夘辰線上作斜線得未戊引至圏界成未戊辰線也乙戊丁為東西線未戊申為景線即或左或右如本時刻與夘酉逺近之數成未戊乙角則得申戊丁對角從景線上依法作角得角傍東西正線其本日太陽宫度及北極出地之數或暮夜用星説見本論(有一百法)定北極出地度分第二凡歩日躔月離五星行度等一切測驗推算皆以北極出地之正度分若儀器未精測候末確如春秋分所測午正日軌高差至一分則以算太陽之經度必差二分半推太陽之最高必差一度有奇即日躔行度不能得其真率也以此定冬夏至時刻等無不忒矣故此法最宜詳宻不容率爾以致謬誤凡得日躔經度或某星經度以午正日軌高或出入地平之經度等率可定北極出地度分見本論約有五十法今先具一本法用象限儀取北極附近一星極高極低之數平分之為北極出地度分如用句陳大星(西歴為小熊尾第一)冬至日酉時測得極低三十七度強夘時測之得四十三度強其差六度半之三度與三十七并得四十度強是順天府北極出地之數古法用表景或儀器測冬夏至兩日軌高之差折半以減夏至高得赤道高以減象限即北極高也然人目不在地心在地面故得數未確如上圖甲為地心丁為地面人目在丁用儀器如丁辛戊庚測得冬至日軌高辛戊然寔高乙戊視高辛戊其差為丁戊甲角夏至日軌高為壬其差則丁壬甲角小於丁戊甲角兩視之差不等其所得之數必非真率且用表即景末難定又有日輪半徑之差(寔表非中景故)清蒙之差致差之道多端豈容略率推歩遽定高下之數哉問日躔列宿漸次西移古來名為歳差西厯以為列宿東行度分非日果差西也是既然矣又日躔有最高不惟旋轉東行即兩心又無定距則近星去極亦有時逺近隨時變易安能遽定為一定之法終古不易曰恒星及最高皆一二萬年而一周數十年而一度近星去極雖則游移為動甚微為時甚緩數年之間目力器數固難驗其變易矣既具測候之法待其積時積數灼見違離然後依法更定未為失也論清蒙氣之差第三西厯第谷欲究極日躔行度之理造測器十具體式各異宫度分秒絲毫不錯以定本地北極出地度分訖次用古法(郎二至之高折中取之)測之不合者四分莫知所繇乃造大渾儀一具於黄道上加極細闚筩夏至午正測之又時時測諸經緯度分則二法往往不合毎渾儀所測之緯度高於所算太陽之緯度乃知真高在視高之下因悟差高之縁蓋清蒙之氣所為也清蒙之氣者地中游氣時時上騰入夜為多水上更多其質輕微略似澄清之水其於物體不能隔礙人目使之隱蔽却能映少為大升卑為高故日月出入人從地平上望之比於中天則大星座出入人從地平上望之比於中天則廣此映小為大也定望日時地在日月之間人在地平無兩見之理而恒得兩見或日未西沒而已見月食於東日已東出而尚見月食於西或高山之上見日月出入以較歴家算定時刻每先昇後墜此升卑為高也(試以錢一文寘空盞底人)(立稍逺令盞之邉掩錢體人目不見錢則止更以水注之水半則錢體半見水溝則全見升卑為高其理明矣)清蒙之氣有厚薄有高下氣盛則厚而高氣減則薄而下厚且高則映像愈大升像愈高薄且下則映像不甚大升像亦不甚高其所繇厚且高者若海若江湖水氣多也或水少而土浮虗此氣能令輕塵上升亦厚且高也地勢不等氣勢亦不等故受蒙者其勢亦不等欲定日躔月離五星列宿等之緯度宜先定本地之清蒙差萬歴二十五年丁酉西洋之迤北人汎海至諾瓦生八納之地北極出地七十六度強日躔大寒四度論宗動之法應日出在冬至後五十二日却前出十三日所差二十九度於時太陽寔在平地下五度因本地在大海中蒙氣甚盛太陽久躔地平之下不能消除其濕勢故發見折象尤多令前出十三日也又早晚蒙氣亦不等蓋晝則太陽能消濕氣至暮而盡夜則復生漸生漸盛及晨而多故蒙氣又有晝夜早晚之差清蒙之本性能昇物象令高於寔在之所不能偏左偏右故其差恒在緯度不在經度今先論測緯法借宗動天本論内一則曰凡測高以恒求緯圏量之蓋恒天之内經緯之度皆相連有一自有二若得本地北極出地之數及或東或西恒球上日躔經度可得本時恒天内真緯如上圖甲乙丙為南北圏甲戊丙為地平圏之一弧乙為天頂乙辛己戊為恒球一經圏過太陽之視高辛亦過太陽之寔高已從北極丁作丁己弧成丁乙己曲線三角形此形有丁乙邉為北極高之餘度有丁己邉為日軌距北極之度有丁乙戊角為丙乙戊之餘角(丙乙戊角為乙戊經圈距正午丙之度其弧為丙戊)求乙己即日軌之寔高離天頂度其法己角(即恒球經圈乙己偕北極)(出圏丁己兩線所作角)在本圏恒為鋭角若丁乙己為同類鋭角即如上圖從丁向乙己作丁庚垂弧分元形為兩直角形若丁乙己為異類即於乙己邉引長之從丁作丁庚垂弧必在形外其前圖丁乙庚直角形有丁乙邉乙角求乙庚則全數與乙角之餘弦若丁乙弧之切線與庚乙弧之切線又法全數與丁乙之正弧若乙角之正弦與丁庚之正弦次丁庚己形有丁己邉又有丁庚邉求己庚則全與丁庚之餘弦若丁己弧之割線與己庚弧之割線末乙庚庚己并得己乙為日軌之寔高離天頂度其後圖丁庚乙形有丁乙邉乙角求乙庚法如前但庚乙内減庚己餘乙己即所求假如太陽躔鶉首初度地平經度任置為(從午正或東或西算)九十四度求太陽地平上之正高(太陽距極為六分十六度二十九)丁己為六十六度二十九分(見前全圖)丁乙戊角為八十六度丁乙為五十度(北京赤道高)法全數與丁乙戊角之餘弦(六九七六)若丁乙邉之切線(一一九一七五)與庚乙邉之切線(二三率相乗以全除之)得(八三)(一二)查表得四度四十五分又全與丁乙邉之正弦(七六六○)(四)若乙角之正弦(九九七五六)與丁庚之正弦算得(七六四一○)查表得四十九度五十分又全與丁庚之餘弦(六四五○一)若丁己割線(二五○六一七)與己庚之割線算得(一六一六五○)查表得(五十一度四十七分)己庚庚乙并之得(五十六度三十二分)減九十得(三十)(三度二十八分)乃太陽地平之緯度也(正高也)此四數極出地太陽距極太陽地平經太陽地平緯皆相連相乗右係測緯度之正法若先用器測得經度以此法推得緯度而别測得緯度與所推不合則别測者必高於所推(其差必絲清蒙之氣也減若論測器不在地心而在地面則以地半徑之差數 所測緯度下方詳之)(崇禎三四五年毎年測冬至即用元儀元筩規然所得數非一前後有差一二分或是蒙氣塵灰等故耳)求黄道與赤道之距度世世不等第四(亦名太陽之緯)法曰夏至前後一日用測器數具各依法求午正日軌高若俱合即真率否則擇其相合者用之第二第三日再測如前於所得真率内減去地半徑之差又減去赤道高餘為兩道距度即夏至日躔赤道以上緯度 何以不用冬至以夏至太陽近天頂蒙氣甚㣲不入算冬至近地平蒙氣多則差多何以用前後一二日曰至前後一日日躔去離赤道止一十三秒次日止五十五秒測器之上無從分别與初日不異也若用冬夏兩至之較差不為真率見前論古今各測周顯王二十五年丁丑迄崇禎元年戊辰為一千九百七十二年西古史亞理大各秦二世三年甲午迄崇禎元年戊辰為一千八百四十七年西史阨臘多漢景帝中元元年壬辰迄崇禎元年戊辰為一千七百七十七年西史意罷閣漢光武建武十七年辛丑迄崇禎元年為一千四百八十八年西史多勒某其書為厯家之宗 已上四家測定黄赤相距為二十三度五十一分二十○秒於中分為二十三度八十五分唐僖宗廣明元年庚子迄崇禎元年爲七百四十八年西史亞耳罷徳測定二十三度三十五分於中分為二十三度五十八分三十三秒宋神宗熈寧三年庚戌迄崇禎元年為五百五十八年西史西雜刻測定二十三度三十四分於中分為二十三度五十六分六十七秒宋高宗紹興十年庚申迄崇禎元年為四百八十八年西史亞爾滿測定二十三度三十三分於中分為二十三度五十五分元成宗大徳四年庚子迄崇禎元年為三百二十八年西史波禄法測定二十三度三十二分於中分為二十三度五十三分三十三秒天順四年庚辰迄崇禎元年為一百六十八年西史褒爾罷測定二十三度二十八分於大統厯為二十三度四十六分六十七秒正徳十年乙亥迄崇禎元年為一百一十三年西史歌白尼測定二十三度二十八分二十四秒於大統厯為二十三度四十八分一十二秒萬厯二十四年丙申迄崇禎元年為三十二年西史苐谷造銅鐵測器十具甚大甚准又算地之半徑差及清蒙差歳歳測候定為二十三度三十一分三十○秒西土今宗用之於大統厯為二十三度五十二分三十○秒苐谷覃精四十年察古史測法知從來未覺有清蒙之氣及地之半徑兩差又舊用儀器體製小分度粗窺筩孔大所得餘分不過四分度或六分度之幾而已且古來測北極出地之法未真未確故相傳舊測俱不足依賴以定太陽躔度今欲定黄道各經度分之緯度分若干借宗動一題曰凡得兩道極相距度分及黄道其經度分可推本度分之緯度分如上圖甲乙為赤道一象限甲丙為黄道一象限兩道遇於甲為春秋分乙丙為過兩至兩極之經圏有兩道距度(即二十三度三十一分三十秒之弧)為甲角之度而測他距度 其法如日躔立夏即為丁即從丁向赤道作丁戊垂弧而成甲丁戊曲線直角形此形有甲角二十三度半強又有甲丁弧立夏之經度四十五求丁戊弧緯度則全數十萬與甲丁弧之正弦七○七一一若甲角之正弦三九九一五與丁戊弦之正弦二八二二二查得一十六度二十三分三十九秒為立夏之黄赤距度與立春立秋立冬之距度皆等蓋從兩分之交數經度皆四十五也他各節去離二分或左或右經度等則距度亦等以此法推黄道各經度分之緯度分作表如後反之有太陽之緯求其經如上圖甲丁戊形有甲角丁戊弧緯而求甲丁弧其法全數與甲角之正弦三九九一五若戊丁弧之餘割線三五四三八一與甲丁弧之餘割線一四一四二一查得四十五度其法見宗動天本書凡過極圏截黄赤二道有黄道所截之經度分求截赤道之經度分此即約説所名赤道上之黄道升度也過極圏者在正球為地平攲球為子午圏時圏等如上圖乙甲丙如前若正球(赤道過天頂)則己戊丁弧為地平己丁庚其子午圏己為北極庚為南極甲戊丁形之丁戊為其地平東西或左或右之一分若攲球則丁戊為過極圏(子午時圏等)夫甲戊丁角形有日躔經度之甲丁(四十五度)有甲角而求赤道之弧戊甲其法全數與甲角(二十三度半强)之割線一○九○六四若甲丁弧之餘切線一○○○○○與戊甲弧之餘切線一○九○六七查得四十二度三十一分強春秋兩分時太陽之本度第五厯法家古來有公論二端其一日凡動而有法者三一自上而下如土石等重物以地心為界(為界者欲至地心而正)二自下而上如氣火等輕物以月天為界此二動自行必成直線名為直動三循還行一周至元界如天行一周成全圏名為周動也三者而外皆名無法之動(詳見本論)其二曰凡天體及七政恒星等必平行不平行則推歩之術無從可立無從可用矣然而入目所見各有遲疾順逆時時遷革百千萬年無一平行者又何也厯家因此推求悟有不同心之圏及諸小輪等雖有彼此前後多互異之説總之若得其不平行之故而又不失其乎行之恒理不得不然耳(詳見七政性理之論)太陽之公動其理不一其屬宗動天而定晝夜之時之類後篇詳之今略論其本行曰太陽既為周動又必平行則人目所見經厯歳月日時悉宜平等則從天正春分至秋分又從秋分至春分平分一歳其日亦宜平等乃從春分晝夜平至秋分厯一百八十六日有竒而平從秋分晝夜平至春分厯一百七十八日有奇而平所差八日有竒安得謂之平行又人目所見太陽之體冬至則大夏至則小見大去人必近見小去人必逺又冬至月食小於夏至之食蓋大光之體愈逺其景愈長愈大月過地景之時愈多故知時多者景大景大則光體必逺既兩有冬夏逺近又安得謂之周動且漸遲漸速漸大漸小非驟然遷變即又日日刻刻皆非平行也今欲明遲速之故而又不失為平行欲明大小之故而又不失為周動将何説以處於此如圖甲為地心乙丙丁為宗動天庚己辛戊為日輪本天庚辛為春秋兩分戊己為冬夏兩至若兩圏為同心者即庚戊辛半周辛己庚半周所得圏分必等今不等必縁不同心(其差)(數詳見下方)故人目不在太陽本天之心壬而在宗動天之心甲則日行本輪天恒平行而人目所見者庚戊辛所經之日多於辛己庚所以冬縮而夏嬴也日在戊去甲逺在己去甲近故冬大而夏小也但在本天既平行則推算者必先得平行數為根而後可論其遲疾多寡故須先作平行表其術以歳周為法天周為寔平分之見下文其求天正春秋分日躔本度之法有二其一或春分或秋分前後三四月内於午正初刻測得日軌高與本地赤道離地平度數兩數相減得數為本日日躔緯度以緯度求經度(法見本篇四若赤道度多於日軌高即太陽在南六宫若小於日軌高即在北六宫)既得經度可歩日躔經度得若干時刻而入於交㸃(交㸃即春)(秋分也交者赤黄道之交㸃者無分)其法以歳周三百六十五日二十三刻○四分為法以天周三百六十度為寔而一得毎日太陽平行五十九分○八秒一十九㣲為第一率以日法九十六刻為二率以所得日躔經度為三率依法求得若干時刻為四率次用此時刻於本日午正初刻或加或減得太陽入交㸃時刻(春分赤道多於日軌高為未及交以所得時刻加於)(本日午正時刻若少於日軌高為過交以所得時刻減於本日午正時刻)秋分則加減相反(赤道多於日軌為過交減之少於日軌高為未及交加之)次法測得日軌高與赤道之差以相減每差一分為四刻(春秋加減如前法)何者太陽日平行約一度而春秋分前後第一經度其緯為二十三分五十六秒約為二十四日九十六刻則太陽毎四刻行緯一分故赤道日軌之差一分當得四刻也(此法可用於分前後一二日若過此緯度漸縮矣故第一則為公法)如上圖兩道兩弧遇於甲人在乙測赤道乙丁乙戊日日不異太陽則漸向交漸近赤道如春分太陽在己少於乙戊則未過甲交己戊為太陽之緯己甲為太陽之經若以未及甲一度則後一日而入於交㸃若太陽在丙多於乙丁是己過甲交丙丁為緯丙甲為經若丙過甲一度則前一日己入交㸃秋分反是是為加減之元本假如崇禎三年二月初八日在局午正時測得日軌高五十度一十三分加入地平半徑差一分五十二秒若有清蒙差即應減率今在午日軌之高度多故蒙差極微即不減寔得地心以上日軌之真高五十度一十四分正十二秒若本地極出地三十九度五十○分(順天府北極出地之度有三説未知)(孰是尚須測候歸一今試一一推之)即赤道高五十度一十○分以與日真高相減餘四分五十二秒為本地本日赤道以上太陽之緯度次簡黄赤距度表求其經度得去離降婁初一十二分二十二秒次以太陽日平行五十九分○八秒為一率日法九十六刻為二率今行一十二分二十二秒為三率而求四率得二十○刻弱而日真高多於赤道高則入交㸃在本日午正前二十○刻為辰初初刻若北極出地三十九度五十三分即赤道高五十度○七分與日真高相減餘七分五十二秒為太陽緯依法得經度二十○分用三率法求得三十二刻○七分則入交㸃在本日寅初初刻○八分(毎刻十五分)若北極出地四十度即赤道高五十度減差為一十四分五十二秒求經得三十七分一十五秒用三率法求得五十九刻○七分則入交㸃在初七日戌初三刻○八分若北極出地四十度○一分則入交㸃在初八日午正前六十四刻○七分為是初七日酉正三刻○八分前此諸説未能遽得真率今用西術成數立一較法縁此展轉推求庶幾近之欲得真確須銅鑄儀象亦大亦精累年測候以立萬年不昜之法按逺西之國有厯學名家於萬厯十二年甲申在大尼亞國其地居順天府西以法推其地經度得東西相去一百○四度因推其東西時差得二十七刻一十一分彼國北極出地五十五度五十四分四十五秒連測五年而得太陽入春秋兩分之真率今以時差加率為順天府各年之真率如左萬厯十二年甲申二月初九日西春分在午正後八十六刻正加時差二十七刻一十一分得次日子正後六十五刻一十一分為中春分(午正後八十六刻者中厯日法以子正起算西歴以)(午正起算八十六并二十七得一一三減日周九十六刻存一十七刻又以正起加四十八刻得六十五刻為次日數後傲此)本年距元測一百八十七日西秋分在午正後六十四刻正加時差得次日子正後四十三刻一十一分為中秋分十三年乙酉距元測三百六十六日西春分在午正後一十三刻○四分加時差得本日子正後八十九刻正為中春分本年距元測一百五十二日西秋分在午正後八十七刻四分加時差得次日子正後六十六刻一十四分為中秋分十四年丙戌距元測七百三十○日西春分在午正後三十六刻○八分加時差得次日子正後一十六刻○四分為中春分本年距元測九百一十七日西秋分在午正後一十四刻○八分加時差得本日子正後九十○刻○四分為中秋分十五年丁亥距元測一千○九十五日西春分在午正後五十九刻一十一分加時差得次日子正後三十九刻○七分為中春分本年距元測一千二百八十二日西秋分在午正後三十七刻一十一分加時差得次日子正後一十七刻○七分為中秋分十六年戊子距元測一千四百六十一日西春分在午正後八十三刻正加時差得次日子正後六十二刻一十一分為中春分本年距元測一千六百四十七日西秋分在午正後六十一刻加時差得次日子正後四十刻十一分爲中秋分右法用之可得歲周率及冬至夏至等時刻上論詳測春秋兩分太陽躔度然須以日躔表所算太陽經度考之若測相合則凖不合則不凖也隨日午正測太陽所躔經度宮分置赤道高若干又置午正太陽正高(所測日地平高數内減蒙氣差又加地半)(經差得正高)兩數相減其較為太陽距緯度(距赤道數)以此數查黄赤距度表中横行内求度分上或下得宫度分乃太陽本日午正所躔之度分(若表中無元數即用中比例法)凡赤道數大測數小宜用冬至傍半周宫度分若赤道數小測數大用夏至傍半周宮度分宫在上用上度在下用下度如測日高得六十度四十三分(因高過蒙氣不用差)加地半徑差一分十三秒得六十度四十四分強減赤道高(五十度○五分)餘十度三十九分查黄赤距度表得降婁宫二十七度三十五分(因測大赤小用上行宫度)乃日躔度分或鶉尾二度二十五分又測午正高得三十七度十三分減蒙氣半分加地半徑差二分二十五秒得三十七度十五分赤高内減之得較為十二度五十一分乃太陽距度也查表得大梁三度五十二分或鶉火二十六度○八分太陽平行及寔行第六歳寔者太陽行天一周之月日時刻也太陽之歳有二其一從某節某㸃(二分二至之類皆名節亦皆名㸃)行天一周而復於元節元㸃是名太陽之節氣歳若太陽會於某星行天一周而復與元星會是名太陽之恒星歳恒星有本行自西而東假如今年春分太陽㑹某恒星至來年春分此星已行過春分若干分矣太陽至春分則已滿節氣歳之寔而上未及元星若干分即又須若干時刻逐及於元星而與之會乃滿恒星歳之寔故恒星歳寔必多於節氣歳寔此外又有太陰之歳以日月十二會定為十二月此歳為三百五十四日有奇少於太陽之歳寔十一日有奇也但太陰之視行絶不平(視行者月周天本平行而其小輪有自行度即入轉也自)(行有順逆因其行速故人目視之不見順逆而但見遲疾既有遲疾故晦朔弦望絶不能為平等)故用此紀元者又以太陽之歳寔為本如前篇萬歴甲申春分在午正後一十七刻一十一分越三百六十五日為乙酉在午正後四十一刻相減得小餘二十三刻○四分(毎刻十五分)則歳寔為三百六十五日二十三刻○四分 又用前世寔測前後相較如𢎞治元年戊申西國至家白耳那瓦測得春分為西厯三月二十四日子正後六十四刻○六分越一百年為萬厯十六年戊子名厯第谷測得春分為西厯三月十九日子正後四十(三刻六分)西法歳三百六十五日四分日之一毎四歳之小餘成一日因而置閏則百年中為整年七十五閏年二十五共為三萬六千五百二十五日用兩測中積數(戊申三月二十四日子後六十四刻○六分戊子三月十九日午後四十三刻六分)相減其較七十五刻○五分百而一得毎一年少○刻一十一分一十五秒以減整年實三百六十五日二十四刻得三百六十五日二十三刻○三分四十五秒為今定用歳寔此法與甲申乙酉寔測所得不合其差為二十七秒若用前古數百數千年所傳寔測之數其差更多何者太陽之歳行不等其原有三其一太陽不同心圏之心(不同心之)(天太陽所麗名日輪本天其心非地心也故又名不同心天亦名最高天此歲差所因也亦可名歲差天)順節氣自西而東每歳有自行度故取一㸃今歳與節㸃合百年後便覺去離若干其二太陽不同圏之心去離地心其逺近又復不等其三恒星亦不平行此三差為數甚微故百年之内難於計算數百千年以上乃可得之(因大統歴故百年歳寔減一分)算毎日太陽平行分法置先算定歳寔為三百六十五日二十三刻○三分四十五秒乃太陽行天一周三百六十度也今欲定一日之行而成表法以周天為寔以嵗寔為法除之(欲得細數故以前兩)(數因本類化之如左)置周天三百六十度以六十因七次得一○○七七六九六○○○○○○○○為實置歳實三百六十五日二十三刻(大刻)○三分四十五秒先将三百六十五日以二十四時乗之俱化為時得八七六○時再以三十三刻化為時得五時(毎時四刻二十刻故得五時)加于先得數共為八七六五時尚餘三刻再化為分得四十五分(毎刻十五分)加小餘○三分共為四十八分仍置八七六五時以六十乗之化為分末加四十八分共得五二五九四八分再以六十乗之化為秒末加小餘四十五秒共得三一五五六九二五秒為法與前周天寔數而一得三一九三四九七四塵因先所置寔數俱化為塵(周天度七次化之得第七位數為塵)法數為時之一秒(先化時為分化分為秒)則時之一秒得周天三一九三四九七四塵若取時之一分因進一位周天數亦進一位為末若取一時則周天數亦宜上二位為芒則一時太陽行周天三一九三九七四芒以二十四時乗之得一日行為七六六四三九三七六芒依約法以六十除之得一二七七三九入九俱為纎尚餘三十六芒再以六十除之為微得二一二八九九餘四十九纎又再以六十除之為秒得三五四八秒餘十九微再以六十除之為分得五十九分餘八秒将先各類所餘數并之得太陽一日平行為五十九分○八秒一十九微四十九纎三十六芒前法既得一日之行今再求一時以及各時之行法以前推得一日或二十四小時行五十九分○八秒二十微(前數四十九纎己過大半宜進作二十微)各半之得十二時之行為二十九分三十四秒一十○微再半之得六時之行為一十四分四十七秒○五微又半之得三時之行為七分二十三秒三十二微以三除之得一時之行二分二十七秒五十一微仍以一時之行遞加至二十四時則為一日所行也再逓加至六十分為表次用加法二日至十日又至百日二百日三百日乃至一歲作表求太陽最高之處及兩心相距之差第七最高與夏至異古多羅某(在今一千四百年前)測得最髙去離降婁初為經度六十五度三十五分兩心(地心與日輪本天心)之差為十萬分(半徑全數)之四千一百五十一今在經九十五度四十分兩心之差為十萬分之三千五百六十七(差五百八十四)系曰太陽公動(一隨宗動西行一隨列宿東行)及本行之外别有二種行度一從最髙恒自西而東歳行若干一地心與太陽本論(即不同心之圏)之心相距分歳歳減少意數千年後當相合為一㸃(想當然耳或别有行動不可知也亦有為之説者未能定其然否)問最高何物何繇能知有此曰若不同心最高之㸃恒在夏至如甲則太陽從春分辛至戊行四十五經度之弧與從己至秋分壬亦行四十五經度之弧其時日必等蓋兩心在甲乙線内與丁丙為直角而丁甲丙與辛甲壬兩弧俱兩平分於甲(幾何三卷三十題)則所分各兩弧(丙甲與甲丁辛甲與甲壬)之行度等其所須時日必等乃春分後行四十五度至立夏立秋前四十五度至秋分其行度等而時日恒不等則丙庚丑丁兩弧度必不等而不同圏之心必不在甲乙線上其推歩最高法於春分後四十餘日即每日測午正日軌高求其四十五度以定天正立夏(春分至立夏當行四十五經度其緯當得)(十六度二十三分三十九秒加赤道高約五十度得六十六度二十三分三十九秒若日軌高適滿其數即正)(得四十五度為立夏若過或不及用前篇求春分法得本時刻)遡春分迄立夏總計中間積日時刻以日率五十九分○八秒一十九微五十○纎而一得太陽平行之總度分乃非四十五度而得餘分如後論如圖甲為地心作丙戊丁圈任取甲乙小線(欲求此數故任作之)乙為心作未己庚辛為太陽平行之本圈次作己甲辛為春秋分線過甲地心次於戊上取戊壬為四十五度從壬過甲作直線至未而截己夘弧於庚得己甲庚為四十五度之角次從小圈心乙向庚作直線次作未己線次從未向己辛作子未垂線末從乙向庚未作乙午垂線即庚未線必兩平分於午(庚未為本圈之弦從心出垂線至其上必平分之)則丙甲庚角為從戊壬四十五度以上至最高㸃之角春分後日行戊壬弧為天元經度四十五其視行四十六日一十○刻一十○分以日率准之得平行四十五度二十七分三十四秒則庚己弧也己未庚乗圈角半之得二十二度四十三分四十七秒庚甲己角既四十五度即己甲未角得一百三十五度以加庚未己角共一百五十七度四十三分四十七秒未甲己三角形内得甲未己角即得己角為二十二度一十六分一十五秒倍之為辛未弧四十四度三十二分三十○秒又日行己夘辛弧為春分至秋分時刻得一百八十六日七十四刻其平行為一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧當得一百七十五度五十四分三十六秒辛未己弧内減己角之倍數(即辛)(未弧)四十四度三十二分三十○秒餘未己弧得一百三十一度二十二分一十○秒求得未己弦一八二二五八六八又於未己弧加己庚共得一百七十六度四十九分四十四秒求得未甲庚弦一九九九二三四二既戊壬為經度四十五今欲求壬至丙太陽最高之㸃(或夘)(甲庚角)及乙甲兩心之差各幾何依下文論之己子未三邉直角形既得己角及己未邉求未子線其法全數(萬萬内)與己角(二十二度有奇内)之正弦(一三八九○○○)若未己弦(一八二二五八六八外)與未子邉得六九○七一六八(外)甲子未直角形既有子甲未角(四十五度為庚甲己之交角故)及未子邉求未甲其法全數(内)與未子(外)若子未甲角(四十五度為未甲兩)(角平分子直角故)之割線(一四一四二一○○内)與未甲邉(外)得九七六八二一○庚未弦(一九九九二三四二)平分之得九九九六一七一午未也内減未甲餘二二七九六一午甲也又庚己未弧與半圈其較三度一十○分一十六秒平分之得一度三十五分○八秒乙庚午角也(若庚乙引之至癸癸未弧為較半之為癸庚未)(角)求正弦得二七六五四○乙午線也乙午甲直角形既得甲午午乙兩邉求甲乙用句股法得三五八四一六即兩心之差其全數乙夘為太陽本圈之半徑約之得百分之三分半有奇又求乙甲午角其法午甲邉(外)與全數(内)若午乙邉(外)與甲角之切線得一二一三四一三八(内)其弧五十○度三十分為壬丙即日躔從立夏(天元經度四十五)至最高丙得五十○度三十分以加四十五得最高之處為經度九十五度三十○分在夏至後五度三十○分其最高衝在冬至後五度三十分若用秋分前遡立秋四十五度即用前法但依前圖更右為左論之立秋後至秋分日行戊壬弧為天元經度四十五其視行得四十六日三十八刻一十○分其平行四十五度四十四分一十三秒己庚弧也己未庚乗圈角半其弧得角為二十二度五十二分○六秒其己夘辛弧一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧一百七十五度五十四分三十六秒二率俱如前次求未己弦甲未己三角形既得未角以減庚甲己角四十五度得己角二十二度○七分五十四秒(庚甲己角為甲己未)(形之外角必與未己兩角并等故減未角得己角幾何一卷三十二題)倍之為辛未弧得四十四度一十五分四十八秒以減辛未己弧餘一百三十一度為未己弧求得未己弦一八二四五七三六又於未己弧加己庚共得一百七十七度二十三分○一秒求得未甲庚弦一九九九四七八四又己子未形求未子線其法全數(内)與己未弦(外)若己角(内)之正弦與未子邉(外)得六八七三八三三又甲子未形求未甲邉其法全數(内)與子未邉(外)若未角之割線(内)與未甲邉(外)得九七二一○六八庚未弦(一九九九四七八四)平分之得九九九七三九二午未也内減未甲餘二七六三二四午甲也庚己未弧與半圈之較二度三十六分五十九秒癸未也平分之得一度一十六分二十九秒乙庚午角也求正弦得二二八二四四乙午線也乙午甲形求甲乙用句股法得三五八三八八即兩心之相距又求乙甲午角其法午甲邊(外)與全數(内)若午乙邊(外)與午乙之切線(内)得八二六○三七四其弧三十九度三十三分為壬丙以加壬戊四十五得八十四度三十三分以減天正象限九十度餘五度二十七分為最髙過夏至之數此秋分前數與春分後數較差三分然可不論蓋測午正太陽之髙或多或寡所差一分即此算内當差一度今算内差三分則兩測中有差三秒者三秒居一度中為三千六百分之三安從覺之若兩心之差因此三分之差亦復不合然其較為一千萬分中之二十八至微矣右二法皆用天元四十五經度若用天元六十經度則一經度之緯度十二分五十六秒每緯度一分當八刻若用七十經度則緯度一分當十四刻若春分前四十五度秋分後四十五度亦可用但蒙氣多難定其確數耳古今測候最髙所得前後各異今録取三家以備參考意罷閣於漢景帝七年壬辰迄崇禎元年戊辰為一千七百七十七年多禄某於晉永和七年庚辰迄崇禎元年為一千五百八十八年所測太陽最髙其法先求夏至之日從天正春分迄夏至其視行得九十四日四十八刻(日九十六)(刻)夏至迄秋分得九十二日四十八刻共一百八十七日以日率求平行則九十四日四十八刻行九十三度○九分九十二日四十八刻行九十一度一十一分如上圖甲為太陽本圏心乙為地心丙為春分丁為秋分戊為夏至己為冬至兩至線與兩分線遇於乙為直角次作乙甲辛過兩心線辛為最髙之㸃其戊丙戊丁兩弧并之多於半周天則最髙在丙戊丁弧内又丙戊弧大於戊丁則最髙心在丙乙乙戊兩線以内亦在春分後夏至前如甲次從甲作庚甲壬癸甲午兩直線相遇於甲為直角與丙乙乙戊各平行夫丙戊弧九十三度○九分戊丁弧九十一度一十一分并得一百八十四度二十○分平分之各得九十二度○十分為丙庚丁庚丁庚内減丁戊平行一象限餘○度五十九分為戊庚弧其正弦一七一六為乙子句丁庚内減癸庚天正一象限餘二度○十分為癸丙弧其正弦三七八○為甲子股用句股法得四一五一為甲乙弦即兩心之相距又求甲乙子角其法子乙邊(外)與子甲邊(外)若全數(内)與甲乙子角之切線(内)得二二○二七其弧六十五度三十五分日躔春分後至最髙之㸃為實沈五度三十五分兩心相距為十萬之四千一百五十一約之為百分之四以較前第一法所得之數不無互異其較為十萬之五百八十一兩得數不等其元測必不等然此古法以日躔天正夏至之時刻為根夏至之定時最為難得何者夏至後天元一經度得緯僅一十三秒若北極出地四十度之處用一丈之表測午正日軌髙得二十六度半強其景為千萬之四百九十八萬五千八百一十六若加十三秒之景應加千萬之六十五分約之為十萬之六分強通之為六微雖復巧手明目何從覺之又本地本時蒙氣之映髙亦得二分四十○秒又天正夏至未確若先後一日即最髙之處及兩心相距必前後若干度分以此論之纖芥參差諒無足恠乃愈見斯人之不為牽合斯術之最為密親矣亞耳罷徳後多禄某七百四十年於唐僖宗廣明元年庚子迄崇禎元年七百四十八年測算得最髙在實沈二十二度一十七分(即夏至前七度四十三分)不同心之差得十萬之三千四百六十五白耳那瓦於𢎞治元年戊申迄崇禎元年一百四十年測得日躔從春分迄秋分行一百八十六日九十○刻○十分從春分至立夏行四十六日一十四刻○五分從立秋至秋分行四十六日三十五刻○五分因而推算庚己弧此為四十五度二十九分一十三秒(前法為四十五度二十七分三十四秒)行四十六日一十四刻○五分(前法為四)(十六日一十○刻一十○分)己夘辛弧此為一百八十四度○三分二十一秒(前法為一百八十四度○五分二十四秒)行一百八十六日九十○刻一十○分(前法為一百八十六日七十二)(刻三十○分)己未辛弧此為一百七十五度五十六分三十九秒(前法)(為一百七十五度五十四分三十六秒)己甲庚為四十五度角其餘己甲未角一百三十五度同前未甲庚線為一九九九二七六八己甲未形有己未邊有角求甲未邊得九七六四八○三未午為未甲庚之半得九九九六三八四内減甲未得甲午二三一五八一癸未弧三度○四分五十四秒乙庚午角一度三十二分二十七秒其正弦午乙二六九七乙午甲直角形有兩邊求甲角甲乙邊得午甲乙角四度一十五分一十○秒為立夏最髙之度分甲乙邊三五四八○七為兩心之差其全數則太陽本圏之半徑乙夘最髙在夏至後四度一十五分一十○秒(前法為五度三十○分差)(○度一十四分五十○秒)兩心差三四四八○七(前法為三五八四一六其較三四一一則一千萬分中之三千)(四百一十一分一萬分中之三分有竒也)推太陽之視差及日地去離逺近之算加減之算第八按天問畧等書皆言地體居天中止一㸃是也然各重天髙下大小不等各天與地球比例之大小亦不等惟恒星一重天比於向下諸天甚逺甚大以地球較之極微無數可論故測候之家以恒星為求視差之本如上圖甲為地心甲乙為地半徑丁辛為日躔最髙圏丙為髙衝圏日行在最髙丁人在乙見日躔於外天(恒星)(宗動常靜皆是)己壬己弧為其地平上之視髙然從地心測之則壬戊為其地平上之實髙兩髙之差為戊丁己角或乙丁甲角若日行髙衝丙從地心測其實髙仍在戊與在最髙丁等則從地面乙視之見日躔於外天庚從乙丙庚線定視髙為壬庚較前視髙壬己為小故大陽之實髙等隨時所見視髙不等其視差之數亦不等凡有日軌髙若干度欲定其視差若干先求本時太陽去地逺近之數其法借三大論(論日月地相去逺近及大小之比例)中一則曰以日月食推地徑與日輪本天徑之比例歌白泥定地半徑與日天半徑之比例若一與一千一百四十二如上前圖甲戊丁為太陽本圏甲為最髙乙為其心丙為地心乙丙為兩心之差日在戊甲戊為日距最髙度之弧乙戊為本圏之半徑今欲求日地相離之線曰戊乙丙直線三角形有乙戊半徑全數又有兩心之差乙丙(三五八四一六)又有甲乙戊角之餘角為戊乙丙而求丙戊邊其法如増圖全數(乙丙内)與乙丙邊(外)若戊乙丙角餘角之正弦(丁丙内)與某數(増圖之丁丙邊外)又全數(乙丙内)與乙丙邊(外)若戊乙丙角餘角之餘弦(若戊乙丙為鈍角其餘角為丁乙丙)(此角之正弦為丁丙餘弦為乙丁)與某數(増圖之乙丁邊外)以所得第二數加乙戊半徑(増圖之戊丁全邊)為股第一數為句各自之并而開方得丙戊既得丙戊次以半徑乙戊全數為第一率以所倍於地半徑之一千一百四十二為第二率以丙戊若干為第三率而求四率為丙戊所倍於地半徑之數(見本表)若戊乙丙為鋭角其法全數(内即乙丙)與乙丙邊(外)若乙角之正弦(外即丙丁)與丙丁(外)亦若乙角之餘正弦(内)與丁乙邊(外)次於乙戊内減乙丁餘丁戊用句股法丙丁丁戊各自之并而開方得丙戊加減差者太陽本圏中平行與視行之差也如上論從天正春分至立夏日行經度四十五其在本圏行四十五度二十七分三十四秒此兩行之較為加減差太陽從最髙下行至最髙衝此半周内應減算從最髙衝上行至最髙此半周内應加算如上圖外圏為宗動天之黄道與地同心為丙内圏為太陽之本天其心丁有最髙最髙衝之線過丁心若太陽在𤣥枵娵訾降婁大梁實沈春分前後半周平行在實沈初度而視行己至甲即平行算外應加實至甲之弧或丁乙丙角得太陽實躔若在鶉尾夀星大火析木秋分前後半周平行在鶉尾初度而視行纔至戊即平行算内減尾至戊之弧或丁乙丙角得實躔凡最髙左右距弧等其加減之算亦等求一即得二丙乙丁角形有丁丙兩心差有丙乙日地相離數有乙丁丙角(上圖為鈍角)而求丁乙丙角為減差其法全數(内)與丁丙邊(外)若丙丁乙角餘角(即丙丁午)之正弦(即丙午内)與某數(外)又丙乙邊(外)與全數(内)若某數(即丙午外)與乙角之正弦(即丙)(午内)若丁為鋭角(最髙前後九十度必鈍最髙衝前後九十度必鋭)其法全數(内丁丙)與丁丙邊(外)若丁角之正弦(内丙)(子)與某數(外丙子)又丙乙邊(外)與全數(内)若某數(外丙子)與乙角之正弦(内丙子)用前法推各度分之差列表如後求地半徑差法同如上丁丙邊為地半徑丙乙為太陽距地心之數乙甲為日躔距天頂之數丁乙丙為視差角而求乙角為視差之數其法全數(内)與丁丙邊(外)若甲丁乙角之正弦(内)與某數又丙乙邊(外)與全數(内)若某數(外)與乙角之正弦(内)簡表得其度分以加所測之數加者視髙小於日髙也論日差第九稱日者日行一晝夜循宗動一周而復於元界也其界為子午圏或地平圏用子午者以子正或午正時起算用地平者以夘正或酉正時起算也日分十二時九十六刻然其實行度分日日不等如太陽甲日午正在天正春分一㸃乙日午正春分㸃行天一周滿經度三百六十而太陽尚不及者一度既至則春分㸃已去離一度太陽更東行一度而後成為一日此一度者有贏有縮日日不等絶非平行故步日躔月離經緯諸星凡稱日者皆不用贏縮之日而用平日平日者行赤道一周并太陽一日之平行為三百六十度五十九分○八秒一十九微也(見本表)新法算書巻而十四
## 卷二十五
欽定四庫全書
新法算書卷二十五 明 徐光啟等 撰日躔表厯元後二百恒年表説厯之有元也其可考者自漢四分厯始也四分之歲實小餘為二十五刻故上推前古之甲子朔旦冬至僅積一萬餘年止耳後世小餘之分愈細積年之數愈多或至三億八千萬有竒宏濶迂逺大而無當矣厯之不用積年也自郭守敬始也其法隨時推測以至元辛巳為厯元其氣應為五十五日六百分氣應者從本年冬至時刻上遡至甲子日子正初刻以為厯本至今宗用之不可復易有欲仍用積年者謬也嵗實之有上長下消也亦自守敬始也彼見四分之小餘為二十五刻後來積漸後天修厯者七十餘家因之積漸減率無驟減者亦無減而復加者是皆隨時測算所得不可謂千餘年間悉皆妄作也故因宋之統天厯減為二十四刻二十五分是亦當時測候推算以為宜然又自漢至元一千二百餘年而減七十五分以前凖後故曰上推則百年長一分下推則百年消一分也元統修大統厯悉用守敬之舊而獨棄消長一法豈以有消無長消于何止耶且或實見當時用郭之法未免先天是以堅持其説李徳芳争之而不得也然徳芳誤以一分為一日則亦安能與統争乎自是以來二百五十餘年悉不用減分而所推各年冬至未見後天使元統而在得無自詫以為去之誠是耶然而非也厯自四分以後代有改修亦代減嵗實何獨此三百年中不應復減恐天行之數非長則消决無中立之理且自元統以來未嘗實行測驗安見其不應復減而前此七十餘家漸次減率者皆妄作也是則守敬消長之說必不可易而近世有尊用其法者減歲實小餘二十四刻又二十二分以之推算謂大統冬至實後天十刻許似可為定法矣然而又非也今推算冬至定時驗以實測則大統冬至實先天十刻許比之減實推步者共差二十刻許反不若大統之不用消長猶為近之奈何可為定法耶于是有謂歲實不宜消減更宜加增因用金趙知微重修大明厯所定歲實小餘為二十四刻三十六分推算冬至以為䑓厯氣差九刻夫嵗實既加則節氣必在大統之後不惟斷棄守敬之法并近年尊用郭法者亦遽爾背馳計非本于測驗何從得此然而又非也天之道浸既已浸差浸減減至于今消極而長絶無端倪安得改消為長又驟長至十分以上則千五百年間獨知微為是而前後減率者七十餘家又皆妄作也無是理也展轉皆非則何道之從而可曰論歲實實應漸減則守敬為是而二四三六墨守其故者為非論正節䑓厯實未後天則改用大明者近是而十刻二十刻失在先天者為非然一前一後既相去若干刻燕越蒼素何從得合而有定法也夫天行之數不能為僣差又不能無叅差僣差者如元史所稱日度失行必不然也無叅差者如測定歲實即千百年永永如是亦必不然也葢正歲年有二法一為平歲一為定歲如月之有平朔定朔平望定望者然非惟歲月日亦有之向之氣應起算積歲平分所得前若干刻者平冬至也消實之説近之更以加減差分并入平數乃得後若干刻者定冬至也加實之説近之平冬至者測定春秋二分總計平行度分折取中數然日軌尚髙緯度猶北晷景亦短故稱平不稱定也定冬至則日軌最下緯度極南晷景甚長然多寡之數歲歲不同有加減可推無恒率可據故稱定不稱平也有此二者即氣應通積之法于正節之理殊為未盡惟以有恒率之平歲為根以加減差定之然後差而不差非齊而齊矣向之言消言長各見其一不消不長者又執子莫之中皆未聞加減之術故也夫月以朔䇿為平朔用遲疾視差等加減之年以歲實為平年用宿行最髙等加減之日以一度弱為平日用嬴縮升度等加減之其一理也乃漢劉洪造乾象厯已知定朔而定年定日至今未喻者月無定朔有日食可驗定年定日無事證可明也然如前三説展轉俱非安得不有此術一為之剖析㢤後此數百年歲實愈消加減愈多此術愈不可少苐消者必有時而長減者又有時而加則非今日所能豫知故當究極理數以為千數百年後來作者增修之地耳新法(依百分算)定用平行歲實為三百六十五日二十四刻二十一分八十八秒六十四微以崇禎元年戊辰歲為厯元作二百恒年表表中書紀年度分者平冬至之根數葢是本日夜子正四刻以前上遡至平冬至時刻之日躔度分與氣應同理者也其最髙衝度分者是加減差所用合于加減差表依法推算則得定冬至也其宿紀日者是年之冬至次日若加差滿一日則為本日也今先列求天正冬至法四氣時刻約法及日躔經度法次列其立成表如左求天正冬至時刻欲求來年天正冬至於來年太陽平行根表内取根數以減日平行(五十九分○八秒二十○微)所餘為太陽之經數以此經數加于本年之最髙衝數為引數以此引數于加減表内求均數以此均數與經數并變為時刻分得今年根日之前一日某時刻加日差八分為太陽躔冬至一㸃之時刻(若所得時滿一日二十四時之數則不用根之前一日而用本日如後苐二假如)如崇禎戊辰年求來年己巳之天正冬至其平行根三十九分一十六秒一十七微以減日平行五十九分○八秒二十○微餘一十九分五十二秒○三微為太陽之經數也經數從冬至前子正初刻起算加本年之最髙衝六度○○分四十四秒得六度二十○分三十六秒○三微為引數以此引數于加減表内求其均數得一十三分五十二秒二十○微以加經數一十九分五十二秒○三微共得三十三分四十四秒廿三微於度分變時刻表内求得為一十三時十二分○九秒根前一日為井癸未命是日子正後未初初刻十二分○九秒加日差八分為未初一刻○五分二十九秒爲己巳年天正冬至又如崇禎庚午求來年辛未冬至其平行根一十分三十七秒三十三微以減日平行餘四十八分三十○秒四十七微為太陽經數以加最髙衝六度○二分一十四秒得六度五十分四十五秒為引數以求均數得一十四分五十七秒以加經數共得六十三分二十七秒四十七微變為時九十六刻外餘三刻○五分○秒加日差八分共為三刻一十三分二十秒根數本日為星甲午命是日子正後三刻一十三分二十秒為辛未年天正冬至(乙最髙衝)如上圖甲乙線為黄道之一弧查日平行最髙衝表有平冬至與相距之數丁乙線也有(甲初日子正) 子正甲丙線也(五十九分○八秒二十○微)今所求者為初日子正至本日或次日定冬至之甲戊線其法查表取根數丁丙以減日平行甲丙所餘為太陽經數甲丁以加于本年之最髙衝丁乙得甲乙為引數次于加減表内查甲乙之均數得丁戊次于本表查號或加或減此求係加號則以丁戊加于經數甲丁得甲戊以變時刻加日差為定冬至若根數少或均數多則定冬至或在次日子正後如次戊求二十四節氣日率(節氣日率有平有實如太陽行有平有實平者為天周二十四分之一實者太陽行某宫節之日率也今用實)天周分為三百六十平度以分四正宜四平分之各正得九十度四正者天上四㸃太陽在此其行有變如冬至極南之處太陽一底其界即囘北故名曰至又為晝極短夜極長之限夏至為其衝其底北界亦如是又為晝極長夜極短之限春秋二分太陽過赤道分天平分處也故晝夜平四正各分為六節毎節有十五度共二十四節氣若從冬至加十五度得第二節氣冄加十五度得第三遞加遞得俱依此法一節氣各相等數皆為十五平度其日數則各不同(所以然者)(見日躔厯指)又毎節氣之日數年年亦自不同(為最髙行與兩心差等故)然二三十年之差總計不過一時故所算節氣日率多年亦自可用法曰先定某節氣距冬至度數次查周歲平行表中(日躔表一)(卷)度分横行求本節氣小近度分内減本年最髙衝度分為引數查加減表得均數以本號于節小近數或加或減得數為某度乃某日數太陽所行之度(查表中行有度上行)(有日數凡取度須識為某日之度)若合于節氣度數者所得日數為某節氣之日數若盈或縮則相減以較數變時(以本日太陽距冬至)(日數查細行變時表見本表説)若實行過節氣度即以所得時分減日數若實行不及即以所得時分于日數并加之又查日差表本節氣下或加或減日差分而得從冬至到某節氣日數若干以算節氣皆從冬至起若節氣日率相減得各節氣之日數又以冬至時刻加于節氣日率得某年某節氣在某日某時假如崇禎五年癸酉問從冬至到小寒日率若干周歲平行表中求小寒小近度數本數為十五度于十五日下得十四度四十七分○五秒減去本年最髙衝行六度四分餘八度四十三分為引數查表得均數為十九分○一秒號為加加之得十五度六分六秒乃太陽冬至後十五日所行之度分也因過節氣度數當相減其較為六分六秒于變時本表中(此時太陽一日行為六十一分十秒)(即表中本行求六分小近數)求時(先遇五分六秒得二時又少一分或作六十秒求之遇五十八秒三)(十八微得二十三分又少一秒二十二微因表數無一秒或作八十二微求之遇七十六微尚少于原數以第)(一數遞加之得三十二秒并之得二時二十三分三十二秒)得二時二十三分三十二秒以十五日内減之得十四日二十一時三十六分二十八秒乃太陽從冬至到小寒日率也二假如本年求大寒于周歲平行表三十日下得二十九度三十四分十秒減最髙衝六度四分餘二十三度三十分十秒為引數查表得均數為四十九分五十六秒并加于經度得三十度二十四分○六秒以節氣三十度盈其較為二十四分○六秒變時(大寒距冬至三十日則一日視行為)(六十一分本表中求二十四分元遇二十二分五十七秒得九時又少一分十九秒或六十九秒入表遇六十)(八秒三十六微得二十七分强)得九時二十七分强三十日内減之得二十九日十四時三十三分弱乃太陽從冬至到大寒日時率也以小寒節氣日減大寒日率餘十四日十六時五十六分三十二秒乃太陽從小寒到大寒日時之率也三假如求本年立冬距冬至日時若干周歲平行表求立冬度數三百一十五度即三百一十九日下遇三百一十四度二十五分十七秒二十六微減去最髙衝六度四分餘三百○八度二十一分為引數查表(十一宫八度度數在)(下行)得一度三十七分四十三秒號為減減之得三百一十二度四十七分三十五秒即太陽三百十九日未到立冬少(以滿三百十五度)二度一十二分二十五秒即冄試加二日即三百二十一日下得三十六度二十三分三十四秒減六度四分得三百一十○度十九分查表得一度三十五分二秒減之得三百一十四度四十八分三十二秒以滿節氣度數少十一分二十八秒變時得四時三十三分强即于日數加之(因得數不滿節氣數宜加)得立冬節氣距冬至(順天等處)為三百二十一日四時三十三分四假如未來甲子年(距厯元為五十六年)求小寒日時法如上十五日下得數内減去甲子年最髙衝行六度四十二分餘八度○五分五秒引數也求均數得十七分三十八秒其號為加加之得十五度四分四十三秒所餘變時得一時五十一分減之得十四日二十二時九分比先算癸酉年差三十○分有竒若算厯元後一百五十年戊戌得最髙衝行為七度五十二分半減去于十五度餘七度七分半為引數查表得均數為十五分三十三秒加之得十五度○二分三十八秒變時得○時五十八分十五日内減之得十四日二十三時二分乃當時太陽從冬至到小寒之日率也求太陽交節時刻法以某年平冬至紀日及時刻加節氣日率得節氣紀日及時如第一假如崇禎癸酉年平冬至在甲辰日子正後七時○三分(根數為四十一分十七秒○十九微以日平行減去得十八分一秒變時為七時○)(三分乃平冬至也用前一日紀字及宿)加小寒日率即十四日二十一時三十六分二十八秒得己未日子正後四時三十九分太陽到小寒之日時刻也他倣此厯元戊辰年二十四定節氣日率(凡時係小時所得日時刻乃從平冬至起算)推小寒氣策十四日二十一時三十三分(加日差一分半)推大寒氣䇿二十九日十四時三十二分(減日差五分)推立春氣䇿四十四日○九時○五分(減日差八分)推雨水氣策五十九日○四時五十二分(減日差七分)推驚蟄氣䇿七十四日○三時四十四分(減日差五分)推春分氣策八十九日○五時四十六分(日差○○)推清明氣䇿一百○四日十一時○八分(加日差四分半)推榖雨氣䇿一百一十九日十九時五十五分(加日差八分半)推立夏氣策一百三十五日○七時四十八分(加日差十一分)推小滿氣策一百五十日二十二時三十五分(加日差十二分)推芒種氣策一百六十六日十五時二十七分(加日差十分)推夏至氣䇿一百八十二日○九時三十三分(加日差六分半)推小暑氣䇿一百九十八日○四時○八分(加日差四分)推大暑氣䇿二百十三日二十二時十五分(加日差二分)推立秋氣䇿二百二十九日十四時三十五分(加日差三分)推處暑氣䇿二百四十五日○四時五十五分(加日差六分)推白露氣䇿二百六十日十六時○八分(加日差十分半)推秋分氣䇿二百七十六日○時○七分(加日差十六分)推寒露氣䇿二百九十一日○四時四十九分(加日分差二十 半)推霜降氣䇿三百○六日○六時○八分(加日差二十四分)推立冬氣䇿三百二十一日○四時三十一分(加日差分二十四)推小雪氣䇿三百三十六日○時二十九分(加日差二十一分)推大雪氣䇿三百五十日十八時十二分(加日差十五分半)推冬至氣策三百六十五日一十時五十九分(加日差八分)求各處節氣時刻及日躔度分右上法所算躔官度分皆順天府或南北同經度等方也若在東或西不得相同法于左依法算節氣時刻若徃東一千里(廣輿圖總圖毎方五百里南北同行謂同)(經度東西同行謂同緯度若某地距順天府一方即五百里差二度若距二方即千里差四度三方四方如此)(在南在北則不拘)或二度變時得八分(變時法一度為四分十五度一小時度之一分)(為時之四分有表見測夜時卷中)即以所得節氣時加八分若往東距二方則加十六分毎方八分又若某方在順天府西一方宜減八分距二方宜減十六分若輿圖細分即宜細算如圖上登州在京師東為二方半宜加二十分置癸酉年冬至為甲辰日午正外三十八分(崇禎五年算)加二十分得登州為午正外五十八分又按圖西安府在京師西三方半得二十八分減之得冬至在午正刻外六分他處倣此若欲某處某時算日躔則以設時刻又設某處距順天若干分在東者兩數相減之在西者兩數相加之得時依法求日躔之度分隨時求太陽所躔經度分於本年從冬至起表内取平行經度及最髙衝度兩數又於太陽周歲各日平行表内以所設日距根之日數又於前取其兩數若設時又於時刻細行表内取數以所得三數各就本類并為兩總數以兩總相減得較為引數次于加減表内求其均數依本號或加或減于經總數所得即為太陽本日本時之度分如崇禎四年辛未正月初一日子正初刻求日躔度分查正月初一日為女乙亥距根四十一日於各日平行表内求其本行得四十度二十四分四十一秒三十三微其最髙衝五秒又夲年辛未之根數一十○分三十七秒三十三微其最髙衝六度○二分一十四秒因子正初無時數各數并得經總四十度三十五分一十九秒得最髙衝總數六度○二分一十九秒兩得數相減存三十四度三十三分○秒為引數次查表取其均數一度一十○分五十三秒以加于經總數得四十一度四十六分一十二秒得𤣥枵一十一度四十六分一十二秒即太陽本日本時之躔度也求太陽躔宿度分算太陽躔黄道宿度(日躔黄道即宿度宜用黄道上之度分若欲赤道亦用赤道距星度各有解)法置太陽所躔官度分查距宿表本宫(日躔之宫)小近宿數相減其較數即太陽所躔某宿度分若夲宫小近宿度比所躔為大而不能減者即用前宫小近宿數以其宫度分減三十度内所餘與太陽所躔經度并之得某宿度分乃太陽所躔之度也如置太陽躔鶉火宫二十八度三十七分查鶉火宫小近數得星宿二十二度○九分相減得較為六度二十八分即得太陽所躔在星宿六度二十八分也又如太陽躔𤣥枵一度三十八分查𤣥枵宫小近數即無小近(葢女宿有八度比日所躔為大)用前宫小近宿得牛二十八度五十四分以滿三十度(一宫度數)少一度○六分并加日所躔𤣥枵一度三十八分得二度四十四分為太陽在牛宿二度有竒十二宫距宿表乃崇禎元年所算者因星行厯元以後毎年加五十一秒十年加八分三十秒二十年加十七分○○秒若欲求赤道上宿度分先将恒星厯指所算本年各星赤道上距度立成表又以日經度求同升赤道度數為度查表(如上)算二百恒年表根法置崇禎元年平冬至分秒(測數見日躔考中)又置歲實三百六十五日五時四十八分四十五秒因厯元恒在冬至後第一子正時即不滿一歲但用三百六十五日之年歲則以一日太陽平行五十九分八秒一十九微四十九纎乘三百六十五日得三百五十九度四十五分四十秒三十八微即與前年根數加之減全周三百六十度所餘為次年厯元根若總數不滿天周宜加三百六十六日之行而減全周如崇禎元年戊辰厯元根宿次為井紀日為己卯本日子正順天府太陽平行在星紀宫初度五十三分三十五秒三十九微加三百六十五日太陽行即三百五十九度四十五分四十秒三十八微得三百六十度三十九分十六秒十七微減全周得某日子正太陽過冬至到星紀初宫三十九分有竒又與井宿字加一得鬼又以己卯紀日字加五字得甲申則鬼甲申日子正太陽在星紀宫三十九分有竒己巳年歲厯元也又如崇禎四年辛未宿為星紀日為甲午根數為十分三十七秒三十三微若加三百六十五日所行度分得三百五十九度五十六分一十八秒一十一微而不滿天一周則用三百六十六日之行加之得三百六十度五十五分二十六秒三十一微減去全周餘者為第五年壬申之根又以宿星加二字得翼又以紀日甲午加六字得庚子乃壬申年翼庚子日子正太陽過冬至五十五分有竒宿字為二十八若以二十八除三百六十五(日數)得十三餘一故凡用三百六十五日法曰加宿一字得來年根日之宿若用三百六十六日法曰加宿二字葢三百六十六以二十八除之餘二紀日字六十即以六因之得三百六十以滿年日數少五故法曰紀日字加五若用三百六十六日宜加六凡用三百六十五日謂之平年用六十六日謂之閏年葢多一日而閏之表厯元以後算二百年若欲往前反算之約法先以三百六十五日行減全周三百六十度餘十四分十九秒二十二微即以元根減之葢或加三百五十九度四十五分減全周或減三百五十九度四十五分所不滿天周之差所得無二若減不足借六十分而減十五分十一秒二微乃三百六十六日行以滿三百六十一度之較也凡不足減而加一日為之閏年太陽細行簡法算表置天正冬至在子正初刻用周歲表求一年之細行乃簡便㨗要之法本表有四直行是四類數一為日數從冬至起二為太陽平行積數三為細行積數四為一日之行乃此表之本數也用法以某年冬至子正太陽所躔之分數另列而以冬至後子正毎日經行度分遞加之乃得一年細行推月離及土木火三星用太陽毎日實行表即第三行金水及太陽以算其細行皆用平行即第二行推節氣入宫之時用日行分即第四行新法算書卷二十五
## 卷二十六
欽定四庫全書
新法算書卷二十六 明 徐光啟等 撰日躔表卷二日躔表加減算算加減表說假如太陽距最高三十度求加減度法(全圖見日躔厯指今用半圖)如圖日距最高甲為三十度至乙丙戊兩心差為三五八四折半於辛為一七九二作丙乙辛辛乙戊線 乙丙辛形有丙辛一七九二有乙丙全數十萬有丙辛乙角三十度從丙作丙丁垂線於辛乙分元形為二 一為丙丁辛 一為丙丁乙兩三角形丙丁辛直角形有丙辛邊一七九二有辛角三十度辛為心丙為界作弧以辛丙為全丙丁為辛角之正弦辛丁為餘弦法全數十萬(内)與丙辛一七九二外若辛角正弦五○○○○(内)與丙丁八九六外全與丙辛若辛角餘弦八六六○三與辛丁一五五一次以乙為心丙為界作弧乙丙為全丙丁為乙角之正弦丁乙為乙角之餘弦查表得乙角三十分四十六秒乙丁邊九九九九六乙丁丁辛并之得一○一五四七為乙辛邊 乙辛戊形有辛戊一七九二有乙辛邊一○一五四七又有乙辛戊角三十度之餘為一百五十度乙辛引長作戊丁垂線成辛丁戊直角形夫形有辛戊邊一七九二有戊辛丁角為鈍角之餘三十度辛為心戊為界作弧定戊丁八九六為辛角之正弦辛丁一五五一為餘弦法全與辛戊若辛角之正弦與丁戊或餘弦與丁辛次以乙辛辛丁并之得一○三○九八乙丁戊三角形有乙丁邊一○三○九八有丁戊邊八九六求乙角與乙戊邊 乙為心丁為界作弧定丁戊為乙角之切線 法乙丁一○三○九八與全若丁戊八九六與乙角之切線八六九查表得二十九分五十三秒兩角并之共得一度○分三十九秒為甲乙距最髙三十度之加減均數如表假如太陽距髙衝三十度求加減度法乙丙辛形有丙辛一七九二有乙丙全數乙辛引長作丙丁垂線成丙丁辛直角形夫形有丁辛丙角三十度為丙辛乙之餘有丙辛邊求丙丁丁辛辛為心丙為界作弧定丙丁為辛角之正弦辛丁為其餘法全與丙辛若辛角之正弦與丙丁八九六餘弦與丁辛一五五一丙丁乙大形有丙乙為全數十萬丙丁八九六求丁乙邊及乙角乙為心丙為界作弧定丙丁為乙角之正弦因丙乙為全數以丙丁查正弦表得三十分四十六秒為辛乙丙角又取其餘弦為九九九九六乙丁丁乙内減丁辛一五五一餘九八四四五為辛乙辛戊乙形有辛戊一七九二有辛乙九八四四五及戊辛乙角三十度求辛乙戊角從戊作戊丁垂線分元形為兩直角形辛戊丁形有辛戊及辛角以辛為心戊為界作弧定戊丁為辛角之正弦辛丁為其餘法全與辛戊若辛角之正弦與戊丁八九六餘弦與辛丁一五五一辛乙内減丁辛得九六八九四為丁乙丁戊乙形有戊丁八九六有丁乙九六八九四求乙角乙為心丁為界作弧定戊丁為乙角之切線 法丁乙與全若丁戊與乙角之切線算得九二五查切線表得三十一分四十四秒為戊乙辛角戊乙辛辛乙丙兩角并之得一度二十分三十秒為太陽距髙衝三十度之加減均數如表太陽周歲細行變時表說太陽之行度有二一曰平行即一日為五十九分○八秒有奇一曰自行(自行亦名視行又名實行細行)自行有大有小極大者為六十一分二十秒極小者為五十七分六秒(見周日細行表)置太陽細行表法取自行之極大者六十一分二十秒逓減半分迄五十七分六秒而止共十類成表(如六十一分六十分)(三十秒等)算法以二十四時化微為實以細行分秒化微為法而一得日行六十分對時之數各半之再半又以約法收之微收為秒秒收為分分收為時故設表有日行分其對又有時分秒微也查表法凡有太陽所行之分數命變時則以本日細行分數取本表又以所行之分數向右行日行分下求其相當數之對即得其時分也若元數尚有秒則命右行分為秒其所得亦為分秒微亦如之假如崇禎戊辰年算冬至得距子正為三十三分四十四秒二十微命變時查冬至表右行求三十三其時為十二時五十四分四十六秒五十七微又查四十四秒得十七分一十三秒三微再查二十微得七秒四十九微并之共得十三時十二分○七秒四十九微若所設日細行與表上方日行不合則用其相近數若欲得細數則取其多寡兩數用中比例法然所差不能過秒其數極微故不細録又如戊辰年算立夏得距子正三十八分五十六秒五十七微命變時因立夏日距冬至為一百三十五日用一百三十一日表向右行查三十八分得十五時四十三分二十六秒五十三微又查五十六秒得二十三分十秒二十一微再查五十七微得二十三秒三十五微并之共得十六時○七分○秒四十九微反之以時求分則於本日細行表中行求所設之時得右行之相對數為分若中行無設時用近小數取其分又以設時及近小兩數較之再查中行數右行得秒又用近小數再求之得微并之得行之分秒微假如有時積一十四時二十九分○五秒一十二微而求太陽之平行分則於本表(無本表則相近表為五十九分可用)中行取近小數即十四時十四分十四秒十四微其右行有三十五分又以設數與近小數較之為十四分五十秒五十八微以十四分查中行之相近數右行有三十六秒又有時之十二秒查得三十微并之得三十五分三十六秒三十微日差表說測太陽行度以春分為本因春分時無分平日用日(太陽兩行)(略同)故從春分起算立日差表日差所以然者其故有二一太陽平視兩行差一兩道正球升度差然求四正日差其故僅一蓋四正時兩道正球升度無差故免日差之一根夏至求日差則兩行差為一度五十分(夏至在最髙前約六度則從春分至)(夏至為八十四度除分秒不算求均數得十三分以二度三分全均數或春分均數内減之餘一度五十分)乃黄道上從春分至夏至兩行之差因時刻用赤道度則求春分左右黄道一度五十分得赤道同升一度三十八分(均數大差在春分故用春分左右升度)變時(赤道一度為時之四分度之一分為時之)(四秒)得六分三十六秒約半分如表平行小視行大故表用加號加於平時得視時秋分則從春分起算兩行差為四度六分變時得十六分二十四秒(不及三十秒故不算)如表平行小視行大故亦用加號冬至未到最高衝(兩行無差之限)相距亦約六度均數為十三分宜與二度三分全差加之得二度十六分查赤道升度得二度○五分變時得八分二十秒(不滿三十秒故不算若欲微數秒亦)(可用)號曰加立夏均數(從最髙起算)為三十六分赤道上為三十三分減去春分兩道升度差十三分餘二十○分(兩行之日差第一根也)又黄道四十五度(立夏㸃)得赤道同升為四十二度二十九分其較為二度三十一秒(赤道升度小則用日為大平日為小宜加又平行大)(則用日小亦宜加)以兩故之兩數并之得二度五十分變時為十一分十六秒其號為加立春均數其兩行差為三十五分(從最低起算)赤道上為三十三分(平春分兩道差為十三分今不算蓋春秋分兩數相均)又立春赤道上得四十七度二十九分(從冬至起算)其盈黄道數為二度二十九分而與升度日差兩數相減(平行大視行小其差宜加於平日赤道數)(大黄道小宜減則兩數為異類也因均法相減當從實數之號)得一度五十六分變時為七分四十四秒約算八分其號為減各節氣算表如上若用古世兩行大差或黄赤兩道各大距度(從古各法距度不同)或最髙距夏至多寡直再算作立成首直行為十二宫次行為節氣首横行為宫度用法置所算太陽經宫度及節氣(所算經度皆平日度)視所置首直行宫節與首横行度數横直相遇得差數查本號與平時加減之得用日時如癸酉年冬至算得十二時三十一分半查本表冬至得八分號為加加之得三十九分為用時若以某用日時刻求太陽經度先約得日躔宫度入表得數反用其號加減之得平時可算太陽之平經度(其假如見)(日躔厯指)清蒙地半徑表用法清蒙氣說見日躔厯指第三其用表法先測得日軌高若干度查表得本度下之清蒙分秒以減日軌高得日躔地平上之實高如日軌高十六度查表十六度下得清蒙七分以減十六度餘十五度五十三分為日躔地平上之實高地半徑說見日躔厯指第八其用表法先測得日軌高若干度次視本日最高三距如夏至左右三宫屬最高春秋分各左右三宫屬中距冬至左右三宫屬最高衝于日高度下查本距日之地半徑分秒以加日軌高得日躔地平上之視高如夏至測得日軌高十六度屬最高查表十六度下得地半徑差二分四十七秒以加日軌高得十六度二分四十七秒内減清蒙差七分餘十五度五十五分四十七秒為日躔地平上之視高其法以此差率減所測視高度分得實髙度分新法算書卷二十六
## 卷二十七
欽定四庫全書
新法算書巻二十七 明 徐光啟等 撰黄赤正球巻一之二黄赤道距度表用法黄赤二道各有二極亦各平分天體日躔黄道於春秋二分則二道之交也於冬夏二至則去二道最逺故名南北至焉二道相去南北度分是為距度即赤道之緯度二至之距二十三度三十一分三十○秒二分之日則無距度二分以後日日加多迄至而極二至以後日日加少迄分而極厯家計日立差作距度表今述其用法一二如左一用太陽午正髙之經度求極出地之度如太陽躔大梁初度午正髙六十度查表得大梁初度之緯一十一度三十○分四十三秒因在北六宫應減則以緯度減日髙餘四十八度二十九分一十七秒為本地之赤道髙度以減象限餘四十一度三十○分四十三秒為極出地之度若太陽在南六宫應加則以緯度并日髙為赤道度二有極出地之度求太陽之經度如順天府極出地三十九度五十五分其餘五十度○○五分為赤道髙測得午正日軌髙三十度以減赤道髙其餘為本日太陽之緯度於表中查其緯度之相當數得某宫度分為本日太陽之經數(見厯指一卷)三以赤道經緯度推五星恒星之經緯度(見恒星厯)四以緯度推日月食之分數多寡(見交食厯)五以造簡儀日晷等諸圖諸器(有本論)大梁宫大火同 鶉火宫𤣥枵同實沈宫析木同 鶉首宫星紀同實沈宫析木同 鶉首宫星紀同黄道經度 距緯度 (差) 黄道經度十度十分 十度十分十秒 (分十秒) 十度十分三十初○ 二三三一三○ (○○一) 初初○升度表用法升度者黄道與赤道同升之度也七政皆依黄道行然赤道平分天體一定不易黄道則出入其内外迤斜交絡故兩道之升降南北相望其度分參差不齊不齊之中又分有無多寡測驗之法於一歲周計各日二道同升參差之數爲升度立成表推歩者所必須也升度有二一曰正同升一曰斜同升正同升者推各日天體中兩道參差之數而以赤道爲主故又名赤道上之黄道升度此則二分二至皆爲平等其餘日不等也斜升度者天體則一而兩極出入地平諸方各異故兩道之升降于地平亦諸方各異極出地度數愈多其升度愈斜此則春秋二分獨爲平等餘日皆不等也正升止有一不得有二故設表一歲周而止斜升則毎極出地一度當爲一歲周表今自一十六度至四十五度止則南包海外北逾絶漠矣都爲七卷仍畧舉其用法一二如左用正升一定平日定日之差平日者子正至子正凡百刻也定日者太陽一日東行一度弱又有加減差日日不同故名定日其二率之差亦日日不同也二定黄赤二道相望同升之度分三測兩曜相距之度分四測星以定時刻用斜升一定諸方晝夜長短時刻二定逐時黄道出入地平之宮度分三隨時求某星或見或隱或東或西所躔宮度分黄道交極圏角表説極圏者乃出赤道兩極球上大圏也此圏交赤道必作直角葢出其極故也若交球上他圏或作直或作斜如交黄道則亦作直角如兩至兩極圏交黄道皆作直角兩至外皆爲斜角如子午圏時圏等觀渾球可見今借用測量全義八卷四題之圖及法甲乙丙球上形甲乙爲赤道一弧乙丙爲黄道一弧兩道相交於乙乃春或秋分一㸃甲丙爲極圏一弧定甲乙相距若干丙角爲黄道與過極圈交角夫角或鈍或鋭所用者爲鋭如丙推算角之度分而成表見七卷四設表上下有天宮次其旁有度上宮用右度下宮用左度凡有黄道宮度入表本行上右相遇之數爲交角之度分其用見交食厯指六卷中新法算書卷二十七
## 卷二十八
欽定四庫全書
新法算書卷二十八 明 徐光啟等 撰月離厯指卷一步七政次月離者何也曰其故有六月與日視體相若雖偕恒星五緯同借日光而獨能繼照古今以之配日稱為二曜則尊於諸星一也太陽以定春夏秋冬而成嵗太陰以定晦朔弦望而成月嵗與月錯綜損益厯法興焉以知天時以授民事二也日食于定朔月食于定望恒用日躔月離諸行以求食分加時日食之繁倍于月食其三視差皆從月生三也太陽五緯恒星漸次髙逺差數漸微大小髙下難可遽得惟月去人最近差數為大易見易測故測候諸曜皆用月差較量繇顯入微悉能推見四也日與星不並見欲測太陽躔度距某星幾何無法可得古法於晝時測日月之距至夜測月星之距并之得日星之距五也大圜之中百昌庶物生長之縁有二日以暄之月以潤之諸風雲雨露霜雪等皆係于月其在物也各有盈虚消息亦係月之虧復進退其與太陽經緯諸星或㑹或衝或三合四合六合各有順逆承制之理測候推算之法醫家藉此以工治療農家藉此以爰稼穡商賈藉此以行舟泛海六也(上五則有關厯學者書中略已論述)(後一則各有本學兹不備著)有此諸端故推步之法宜求宻合而欲求宻合政復未易如日躔之行止有三種月離則有七種參錯之中欲求齊一非明理無以立法非立法無以致用其曲折繁細十倍日躔矣乃勝國至今此學湮廢星官家徒𫝊舊法若求其立法之原與乖違之故即無片言隻字可資考證好學者偶一測驗偶一致思便欲輕言改作不復究本來之條貫求目前之徴實計後世之變遷譬如勺水于河曷甞遡源于星海窮委于歸墟者哉今據西法譯該厯指四卷闡理著數似覺井然厯表四卷條畫分明以步月離經緯度比于舊法可省工力三分之二以步交食可省四分之三其為宻近似復勝之且令數百年後據兹義指得以改憲求合焉謹論列如左月離各種行度第一月離行度與日躔異日躔恒依黄道其行度三而已隨宗動天西行一也自行二也最髙行三也若月離則有七種行度如左一曰隨行隨行者自東而西依宗動天一日一周七政恒星共繇之其起算之界為子正初㸃或午正初㸃與太陽同二曰平行(一名本行)平行者月之本天自西而東日平行一十三度有竒二十七日有竒而行天一周其界有二一以太陽為界從合朔起算每日去離太陽若干度分以命太隂之本行度分累積之一以宫次節氣為界(宫次如降婁大)(梁等節氣如春分秋分等)從各初㸃起算每日去離若干以命太隂之本行度分累積之此行謂之交周滿一周為交終其初交曰正交其次交曰中交其行各及半曰正半交曰中半交 其兩界命兩種行度分異名同理詳下方三曰自行(一名本輪舊名小輪也因小輪非一故改名之)自行者太隂之行不平不順有時疾有時遲既爾紛紜無憑布度古厯因想近月四周有一本輪太隂既隨本天循交道(即白道)東行(右旋)又依此輪自東而西(左旋)一日行十三度有竒二十七日有竒而行輪一周此亦平行也而與交道平行參錯不一所以下土視之時疾時遲矣因其疾遲以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本輪則疾時與交行相合遲時與交行相背亦宜如五緯之法有逆行度分此獨言遲不言逆者月行甚疾但見其遲不見其逆也此周謂之轉周滿一周為轉終分四象限首限曰正轉二限曰正半轉亦曰本輪之最髙三限曰中轉四限曰中半轉亦曰本輪之最庳曰最髙衝(或省日髙衝)行最髙極遲行最庳極疾也(最髙最庳之一周又名不同心圏其與本輪異名同理詳)(見下方)四曰次輪次輪者太隂之最髙既依白道行則月離最髙時其距地心之逺近宜等迨測之則時時不等古厯又想本輪之周復有一次輪循本輪左旋月在次輪之上循周右旋也此法古厯所未有以意命之其行次輪一周名為次轉終也四分之則為小四象第一名正初象第二名正半象第三名中初象第四名中半象也五曰交行交行者從測候見太隂行白道(古法月有九行殊謬元授時厯)(廢不用獨言白道交周是也一名月道)出入黄道約五度有竒不行黄道中線(何名黄道中線七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入如太白最逺出入約六度故黄道左右廣)(十二度名為黄道帶而太陽獨行其最中故名中線也黄道一名躔道)而兩交於中線兩交之㸃一名正交(亦曰羅㬋)一名中交(亦曰計都)兩交之行自東而西與他行異亦名羅計行度也六曰又次輪古來無有也萬厯間西史第谷測候極宻得太隂行兩小輪(其一本輪其一次輪)其各兩半時(兩小輪各有正半中半)之兩均數與實測之度分往往未合故知次輪而外當有又次一輪此之為數微眇難分其於厯法未關損益故無暇及也七曰面輪面輪者太隂既依本輪又依次輪各周行即月面宜恒向次輪心下土所見時時旋轉須當不一若之何終古恒如是故當復有本行使面恒下向也此亦未關疎密不復備著測月平行度第二測月之法於七政為最難其故有六其一月天最小距地甚近即地球與其本天有小大之比例乃測器之心不居地心而居地面則所得月軌髙乃地面之視髙非地心之實髙也(此在日躔厯指謂之地半徑差)其二有地球與月天之比例乃可推地半徑差既得地半徑差乃以加所測之髙定其實髙不先得此無縁得彼其三凡得各曜之髙必減清蒙之髙以定實髙各曜之蒙差髙下不等測月者未知距地若干即無差數可減所測髙則非實髙其四月體恒虧缺不全若用太陽法令其光過窺表即虚淡難見光體不圓亦無從得其中心之光若目察窺表見月體不全無從測其心其五若測以地平經緯儀或黄赤道經緯儀縱得其經緯度分又以三視差故測得之數無一合者(三視差見交食厯指)其六依測日星法以恒星測驗推算而得其經緯度似可用亦因三視差故無一合者然則何如按西厯古今法則月離度分必於月食時簡知之晉史姜岌亦以月食衝簡知太陽所在不知考太陽之躔度易考太隂之離度難而姜倒用之兩率皆疎矣今法於月食時推太陽之經度其對衝即太隂之經度(考大陽經度法見日躔表一卷)若日食則不可用何故日食時因于視差是生中食實食視食(中食者兩平行所得平朔也實食者加減平朔而得地月日三)(心㕘直定朔也視食者加減定朔而得其加時先後此地此時人目所見也)隨地隨時都無定率故右法任用一月食皆足簡知行度若求月平行率則用前後兩㑹食取中積平分之其法與日平行相似而難易迥别何者月或全食或不全食或食于南或食于北或于遲限食或于疾限食各各不等顧須求其相等一不等即所得非真率也然兩食猶為未足宜精擇所宜用之四㑹食㕘互稽求以定月厯今詳論其法如左夫月不平行古今治厯者之公言也欲求平行之率必用擇食之法欲明擇食之理先解不平行之理其徵有二其一初日測太隂過子午圏註定時刻(定時法測星第一水漏自鳴鐘等器)(次之)次日測過子午定時刻如之第三第四日復測皆如之次取各日所註時刻較之必一一不等知其非平行若平行者宜一一等也如一周三百六十平度初日行一百刻次日亦行一周而得一百刻有竒或九十九刻有竒多寡不等其厯時多者必行遲也厯時寡者必行疾也其二取月食三事各以其中積時相減必有多寡知其非平行 如西測食略所記天啓三年癸亥九月望月食食甚在戌初初刻○五分(日九十六刻刻十五分下倣此)日躔夀星宫一十四度四十一分月離降婁宫度分同 又記天啓四年甲子二月望月食食甚在丑初三刻○三分日躔降婁宫一十四度二十九分月離夀星同 又記本年八月望月食食甚在寅初二刻○四分三十九秒日躔夀星宫三度五十五分五十三秒月離降婁同 推得先兩食中積時為一百七十八日二十六刻十三分太陽行一百八十度一十二分一十一秒太隂行滿六交㑹置中積(一百七十八日二十七刻○一分)六為法而一得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微為一㑹望策後兩食中積時為一百七十六日○七刻一十二分三十九秒太陽行一百六十九度二十七分○四秒太隂行滿六交㑹置中積六而一得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微為一㑹望䇿 右前後兩㑹望策不等差三十七刻餘前六㑹積分多必行遲後六㑹積分少必行疾又前兩食間太陽行經度與後兩食間不等其較一十度四十六分○七秒而積分之較僅二百二十○刻八十七分八十○秒經度積時多寡不等足徵非平行也右二則皆不平行之徵也所以然者其縁又有三三縁者其二在月其一不在月不在月者日躔經度是也前論以月食簡知月離經度謂食甚時二曜經度正相對也然日躔自有贏縮自非恒平何能定月離之平何者日躔有最髙最庳其去地也時近時逺是生地景(一名闇虚)時大時小時長時短若日躔最髙其景則長則大月之過景加時則多日躔最庳其景則短則小月之過景加時則少此第一差之縁也二在月者一為月轉遲疾也月行遲限則過景時多月行疾限則過景時少此第二差之縁也一為月轉最髙最庳也在最髙月體小又入于小景則過時少在最庳月體大又入于大景則過時多此第三差之縁也是故厯家設擇食之法擇者導擇也去其不齊之緑以求其齊也不齊之縁第一在日躔經度或在贏或在縮則擇食之第一法宜擇兩食之日躔經度所在等既免此縁則餘二縁在月之本行本輪日無與也如圖甲為地球乙日體在最庳從乙發光地景則短丙日體在最髙從丙發光地景則長月循戊丁本輪行如在丁近地過丁小景又在戊逺地過戊小景而此二小景等則何從知月在其最髙戊乎或者其最庳丁乎惟先知日躔所在在其最庳景宜短或不至戊或至戊宜更小所見小景者丁也而月離在其最庳也日在其最髙景宜長過月之最庳宜作己庚大景而所見小景者戊也則月離在其最髙也故兩食之太陽髙庳等則景大小等可免第一差之縁也夫景之末地之心太陽之心三者恒相對也地景之行度分即太陽之行度分太陽之髙庳兩食不等即行度之遲疾不等而景之行度遲疾亦不等若髙庳等則兩行之遲疾皆等是故前後兩㑹望皆全食又兩食之黄道同度(差自分秒以上)(至一二度無害)即兩景之大小等兩過景之加時等又得其月離之距地心等即其本輪之轉分所至亦等(轉分之所至等者距)(地之逺近等也然月在本輪之最髙庳則其逺其近一而已若在正轉中轉則距地之逺近雖等而在左在右)(未定也法見下文理本論或用不同心圏其 則一)其擇食之第二法即兩食之月距地心等也若同在本輪之最髙或最庳不論左右若欲定其左右則以恒星經度測之若兩食之經度等加時等即其或在左或在右亦等 既得月轉分之所在等即可測食前月體之徑若徑等即其距地必等(測月體有本法本論見後篇)可免第二三差之縁也如上言欲求月平行率必用各率均齊之前後兩食欲得此前後食必考於古之𫝊記今考二十一史各天文志大都有年月日而無時刻分秒經緯度數將于何取之不得已借西厯㑹通用之又考古至百千年以上若用朝代年號紛綸不齊若用甲子細碎無紀故近古有虚立積年略如章蔀紀元法以十九年為一章二十八章為一袠十五袠為一總一總者四百二十○章七千九百八十○年也每年為三百六十五日四分日之一每四年加一日為三百六十六日(說見厯指一卷)今用此推算通以厯代紀年則為法超簡仍不妨符合矣崇禎元年為總期六千三百四十一年總期之四千二百八十六年為周考王十四年癸丑西史黙冬推定十九年而太隂滿自行本輪之周復與太陽同度(每年三百六十五日四分日之一為月二百三十五)是為章嵗漢史所謂月行之終復㑹于端也西厯謂之金數用以求月之日(求月)(之日者於太陽月之某日求太隂之日數法以十九數及通閏數測之别有本論)崇禎元年為章嵗之第十四通閏得二十四日也(西數)雖然尚未能確見分齊如漢人以章月平分推太隂各日平行為十三度十九分度之七後世譏其疎漏因而代代改率然不於千數百年間詳考天行得其決定均齊之數未免揣摩影響西史依巴谷用實法考驗定為三百四十五平年又八十二日四刻(平年者古法三百六十五日無餘分)或一十二萬六千○○七日四刻實兩交食各率齊同之距也于時交㑹轉終皆復其始(交㑹者太隂距太陽之行或太隂距節氣之行滿一周為定望也轉終者)(太隂之本輪自行度亦滿周而復其故處也)計其中積凡為交㑹者四千二百六十七為轉終者四千五百七十三以中積分(一十二萬六千○○七日四刻)為實交㑹數(四千二百六十七)為法而一得㑹望䇿二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎(古西法以六十分為一日)或二十九日五十○刻一十四分○三秒(今西法)通率為二十九日六時(日十二時)三刻(毎時八刻)○五分九十○秒二十七微求日平行分以天周(三百六十度)為實㑹望䇿為法而一得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒為太隂一日平行距太陽之度也(日有平日有用日見日躔厯指)倍之得二日三倍之得三日可列表(如别卷以距太陽平行分 合太陽)(日平行分當加以合羅計日行分當減)求通閏以平年日為實日行平分為法而一得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎除滿十二交㑹(一年十二月)外餘一百二十九度三十七分有竒為一平年(三百六十五日)之通閏約得為十日有竒也中通閏是嵗實與十二朔之較西通閏是平年與十二朔之較(年無小餘)以平年通閏加小餘得中通閏求刻平行分以日平行為實九十六刻為法而一得一刻平行分秒(見本表)求交分(即太隂黄道上之日行度滿一周)置太隂日平行分加太陽日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末(古測之數)得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末用乘法得十日百日乃至一年得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微用除法得一刻一分秒之平行率以滿天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒是為交中分求轉分(即太隂本圏之最髙行滿一周)置前中積(一十二萬六千○○七日四刻)為實以轉數(四千五百七十三)為法而一得二十七日五十二刻一十一分五十○秒為轉終分又以天周(三百六十度)為實轉終分為法而一得一日之轉分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末用乘法得十日百日乃至一年得四千七百六十八度或約十三轉外餘八十八度四十三分○七秒四十五微用除法得一刻一分秒之轉率可立表測月平行次論第三法用太隂四㑹食其擇法欲前兩㑹之中積平行度中積日其比例與後兩㑹之比例等又第一與第二月行本輪同勢(勢者遲疾最髙庳等同者俱在小輪一象限内)第三與第四亦然又第一與第二之中積實行度等第三與第四亦然若是則前兩㑹後兩㑹兩中積間月在本輪必各滿自行之周(如是均齊乃得實平行度分)解曰如圖已為地心丙丁乙戊為小輪乙為最髙丙為最髙衝(即最庳)己丁己戊為兩切線(凡月在戊在丁其變行之勢亦借名為留)(段葢月行甚速留時絶少僅一瞬耳)(然遲疾之間度分難測故借名為留)(段也)從乙丙分小輪為四象限各象有變形之勢(如在最髙乙為極遲)(最庳丙為極疾丁戊為留詳見下方)假令簡得第一㑹時月在辛第二㑹在同象限(同在乙丁象限内如同類之行)如庚第三㑹在他象限如壬第四在同象限(同在乙戊象限内為同類之行)如癸即不可用何者上法言所求同行同類同時者必庚所至亦在辛癸所至亦在壬若如圖庚與辛癸與壬各去離若干雖以同時故同行辛庚弧(前兩㑹之差)與壬癸弧(後兩㑹之差)必等然一弧之均數用加一弧之均數用減其時(平行)與行(視行)不得相等(兩弧等者其自行雖等而視行不等)故法言庚㑹必仍在辛癸㑹必仍在壬而後為月滿自行之全周系凡簡㑹食不當在戊與丁兩切線之上葢目在己巳丁巳戊兩視線切圏其所切之處難辨其髙下之準分也(視法曰凡斜望圓圏圏作一直線又曰視線切圓圏之兩旁人目謬見曲線為直線其謬直線中間有上)(行下行者雖動而目視之若不動)此古法依巴谷等所共用其書不全所用四㑹食之行度時日等各率皆無𫝊故略舉其正法如右方測正中交行度第四正中交者黄白二道之兩交也正交亦曰羅㬋亦曰天首亦曰隂厯初陽厯末西厯謂之龍頭中交亦曰計都亦曰天尾亦曰陽厯初隂厯末西厯謂之龍尾月行及于黄道曰交月本圏之自行度曰轉而轉終分多於交終分故轉滿一周交終未及恒居其後交不及轉之度即兩交退行之度故謂兩交為逆行也(自東而西)測法亦用交食而考古無𫝊不能得其真率西史依巴谷如前法用兩月食擇其前後各率均齊如太隂或同在隂厯同在陽厯太陽之自行同度去兩交之兩㸃或前或後同限食分等加時等即太隂之轉分所至等因以定兩交行天若干周而復于故處其原測之中積為交會五千四百五十八兩交行天周為五千九百二十三置中積㑹數(五千四百五十八)以㑹望䇿(二十九日五十○刻一十四分○三秒)乘之得一十六萬一千一百七十七日五十八分(西古六十分為)(一日)五十八秒○三微二十五纎為中積日次以中積㑹數乘天周(三百六十度)得二百一十三萬二千二百八十○度為實以中積日為法而一得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末是太隂距交一日行度次于兩交日行度去減太隂黄道上行度(即平行分日十三度一十分三)(十四秒五十九微)得兩交逆行日三分一十一秒毎年行一十九度○一十九秒四十三微用乘法得積年度用除法得時刻度列表(如别卷)以上諸率皆依巴谷古測所定後多禄某歌白尼及第谷各加宻測仍用試法數端推得合㑹之數每年不足為一十四分一十八秒一十○微一十九纎應加轉終分毎年盈為五十四微一十二纎應減交行每年盈為一秒二微四十二纎應減今新厯表所用率朔實二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微通得二十九日五十三刻○六分九十二秒轉終二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微交終二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微依上三數本法可得大統所用别率及其異同之數通論七政本輪異名同理第五日躔厯指論太陽贏縮疾遲之理設太陽所行之道與地為不同心圏今論月行亦用不同心圏亦用小輪此二者異名同理葢藉以分布度數指記運行隨人所立期于不爽而止若大象森羅其孰然孰不然或皆不然則非智計所能測也今略解如左不同心者一圏之内别函一圏兩各異心也若圏周之上任用一㸃為心别作小圏則為小輪如圖甲乙圏内别有丙丁圏戊巳不同心又庚辛壬圏周以辛為心作癸子圏是謂小輪解曰日躔厯既言不同心(贏縮今古共知言不同心近而易明)月離厯又言小輪(回回厯已著小輪之目因仍用之)且諸厯中或復錯出故宜詮釋同異以絶疑端此法七政所同今借太陽為解他可類推也按日行夏遲冬疾春分過夏至迄秋分厯時日多秋分過冬至迄春分厯時日少何故若以不同心圏解之作甲乙丙丁外圏戊為心分黄道十二宫為天元宫次又以已為心作庚壬辛癸圏次從降婁夀星各初度相對作直線必過地心戊而任分庚辛壬癸圏為二必上為大半下為小半己心在戊心之上故也日平行一嵗盡庚壬辛癸圏即夏半周(夏至左右春分迄秋分)庚壬辛為大分冬半周(冬至左右秋分迄春分)辛癸庚為小分大分厯時多小分厯時少日自恒平行人從地心戊視之則為贏縮遲疾矣若用小輪則如左圖戊為地心甲乙丙丁大圏名負小輪圏(或日帶小輪)其周上乙㸃為心作小輪如丁為心己庚為周也小輪從丁向甲乙丙行一年而復日體亦行小輪周一年而復(復者復于故處)置日體在最庳巳小輪心丁循大圏行四十五度至壬日從己行小輪四十五度至庚次丁心行大圏九十度至甲日行小周亦九十度至寅丁心至癸日至子心至乙日至丑心至午日至夘心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小輪周上行成己庚寅子丑夘辰未圏即是不同心之圏其心為酉而酉戊兩心相距之度即小圏之半徑又如上一圖用不同心圏午為日從地心戊本圏心酉各作線至午成戊酉午三角形如二圖用小輪子為日子癸為小輪半徑從地心戊作戊子線成戊子癸三角形其戊酉午形與戊癸子等戊酉與子癸等子丑弧與午乙等(圈大小不等而)(度分等)即子癸丑角與乙酉午角等其餘角午酉戊與子癸戊亦等戊午戊子兩邊等(日距地心之度等故)則戊酉午與子癸戊兩形等形等則所求之日距地心若干太陽平行自行之差日體大小之類或用不同心圏或用小輪其得數同也測定本輪之大小逺近及其加減差第六(借西古史多禄某及近世歌白泥之論)法用三㑹食測算(此多禄某所用)第一食總期之四千八百四十六年為漢順帝陽嘉二年癸酉五月(西厯之月今三月)初六日子正後(順天府時刻)一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分第二食四千八百四十七年為陽嘉三年甲戌十月(建戌之月)二十四日子正後(順天府)一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分第三食四千八百四十九年為永和元年丙子三月(建寅之月)(或建夘)初六日子正後三十七刻○五分(順天府為在晝不見)月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行為一十一度一十四分前二㑹中積太陽太隂兩視行皆為一百六十一度五十五分(各減全周)是為黄道上兩㑹相距之度積日為五百三十一日九十三刻若平日為九十三刻○七分于時月平行距日為一百六十九度三十七分月自行為一百一十○度二十一分(本輪行度)視平兩行之較得七度四十二分以為加減率(平行大視行小用減)(法為月自行過小輪或不同心圏之最髙 在最髙逆行故)後二㑹中積太陽太隂兩視行皆為一百三十八度五十五分是為黄道上兩㑹相距之度積日為五百○二日二十○刻若平日為二十二刻于時月平行距日為一百三十七度三十三分月自行為八十一度三十六分視平兩行之較得一度二十一分以為加減率(平行小視行大用加)(法為月未至最髙)大圖說 外大圏白道也小圈為太隂之本輪第一㑹月之視行在子平行(小輪心在丁庚丑線)在丑(視行大必在前)第二㑹月之視行在午平行在丑(平行大必在前)第三㑹月視行在未(小輪上㑹)(一㑹月在甲第二㑹在乙第三在丙 甲乙丙三㸃以後所用)小圖說(即前大圖中之小輪分圖)此借古史成法用二小輪(一為本輪一為次輪)以齊月行似為足矣别有諸家異同之說更僕難罄未能悉舉如圖以地心丁為心作午未丑子黄道弧(大圖言白道者度分相若互言之)庚為小輪心依黄道自西而東(右旋)二十七日有竒而一周天此為交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月體在小輪(即本輪)之上從甲向乙(左旋)二十七日有竒而一周本輪此轉周也日行十三度三分有竒太隂日轉自行度也(小輪亦分三百六十度與周天等說)(見本篇第五時所謂月體在小輪之上者乃朔望之 也其外非在此見下文)依上法列平行立成表取小輪心行度推某日太隂在某宫某度分即丁庚丑線所指黄道度分也又用測法或㑹食時推算求太隂所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等線定丑丁午丑丁子等角即兩行之差也以為加減之率如大圖三㑹食第一食月在甲去甲一百一十度(兩㑹)(自行相距之度)而至乙乙者第二㑹食之月離度也(甲乙之間平行多視)(行少則乙在小輪之右又乙行遲段故月在小輪之上弧)推得兩㑹中積視行平行之差為七度四十二分即黄道上子午也又去乙八十一度二十一分而至丙(乙丙之間視行與平行差少故)(丙亦在小輪之右又丙行疾段則在小輪之下)推得兩㑹兩行之差為一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分(丙甲之間自行大平行小丙行疾段在小輪下)月行丙甲弧兩行之差為六度二十一分(以前午子午未二差相減得未子較為此兩行之較)又如上圖乙丙丙甲兩弧并即平行少視行多必在最庳之兩旁(行疾段故)甲乙反之即平行多視行少必在最髙之兩旁(行遲段故)次定己為最髙從甲從乙從丙作甲丁乙丁丙丁各線甲丁割小輪圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三線成乙戊丙形乙戊丁等形乙戊丁形有乙戊丁角(甲戊乙角之餘甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧)(得五十五度一十分半為甲戊乙角後凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度)一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角(其對弧為黄道弧之子午七度四十)(二分)即戊乙丁角(以滿一百八十度)必四十七度二十八分半依三角形用法以角求邊之比例(三角形外作切)(圏即乙角對戊丁弧其弦為戊丁線丁角對乙戊弧其弦為乙戊線戊角對乙丁弧)(其弦為乙丁線)十萬為全數(全周之半徑)查表(八線表中有法)得乙戊為二六七九八戊丁為一四七三九六(半弧度查表求正弦倍正弦得通弦)戊丙丁形有戊角(甲戊丙角之餘也甲乙乙丙二弧并為一百九十一度五十七分因乘圏)(半之為甲戊丙角度其餘為丙戊丁角度)八十四度一分半有戊丁丙角(戊丁)(丙角之弧為兩行之差未子)六度二十一分自得戊丙丁角依三角求邊之比例得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用變率法通之(變率者變兩戊丁為同數他率從之也用三率法次戊丁為第一率次戊丙為二率先戊丁為三率)(求四率得先戊丙即兩比例之數俱同類)得兩戊丁俱一四七三九六戊丙一六三○二戊乙二六七九八又乙戊丙形有乙戊戊丙兩邊有乙戊丙角(乙丙弧之半)求乙丙得一七九六○乙丙線者乙丙弧之弦也乙丙弧為八十一度三十六分若設小輪全徑為二十萬分即乙丙弦為一二○六八四用變率法(見前)乙丙之先數得丙戊丙丁為某數(云某數者先乙丙為一率先戊丙為二率相偕為比例也)乙丙之次數得某數算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙弦求其弧得七十二度四十六分一十秒為戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以減全周餘九十五度一十六分五十○秒為甲戊弧其弦一四七七八六為甲戊線甲戊弧於全周為小分則圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁線定己為最髙壬為最庳次依幾何原本(三卷三十六題)甲丁戊丁兩線内矩形與己丁壬丁兩線内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并與庚丁上方形等則甲丁丁戊相乘加全數庚壬上方積以開方得庚丁為一一四八五五六次設庚丁全數為十萬用變率法得庚己八七○六是為月天半徑與小輪半徑之比例次從庚心作甲戊之垂線平分甲戊線于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁(先得丁戊戊甲今庚辛線平分甲戊以辛)(戊加戊丁得)一一四六五七七又有庚丁一四八五五六求辛庚丁角得八十六度三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以減半周餘九十三度二十一分半為癸己弧先得甲戊弧為九十五度一十六分五十○秒甲癸半之為四十七度三十八分三十○秒以減癸己餘四十五度四十三分為甲己是第一㑹食太隂未至最髙之度也以減甲乙餘六十四度三十八分為己乙是第二㑹食太隂過最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三㑹食太隂距最髙之度依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也為第一食兩行之差(小輪心指黄道上之丑㸃本行從丑向子則月在子居前平行在丑居後)應于平行加丑子度分為視行又甲丁乙角七度四十二分減去甲丁丑角餘己丁乙角四度二十一分于黄道弧為午丑是第二食兩行之差(乙在最髙之後)(月視行未至丑)應于平行減午丑度分為視行又丙丁乙角先為一度二十一分以減午丁丑角餘丙丁丑角二度四十九分于黄道弧為未丑是第三食兩行之差(丙未至最髙衝)應于平行減未丑度分為視行末第一食月視行離大火宫一十三度一十五分于黄道弧為子(太陽躔其衝大梁宫度分同)今得兩行之差丑子三度二十二分減視行率得平行小輪心度丑為在大火宫九度五十三分第二食視行離降婁宫二十五度○六分于黄道為午兩行差四度二十一分以加視行率得丑為在降婁宫二十九度三十分第三食視行離鶉尾宫一十四度一十二分于黄道為未兩行差三度二十二分以加視行率得丑為在鶉尾宫一十七度○四分一系因上論可得小輪半徑(庚壬)與月天半徑(庚丁)之比例二系可得兩行之極大差法從地心丁作丁夘線切小輪于夘因幾何(三卷三十六題)丁夘切線上方形與己丁壬丁兩線矩内形等今先有己丁壬丁兩數以相乘開方得夘丁既夘丁庚形有三邊以求夘丁庚角是為兩行之極大差(此差古今測法同得數小異别有圖表見後卷)五度一分上法用不同心圏得數無異測本輪大小逺近及加減差後法第七法同上用三㑹食(此近世歌白尼法今時通用)第一食總期之六千二百二十四年為正徳六年辛未十月(西厯之月今九月)初七日子正後二十八刻(順天府時刻下同)月全食太陽躔夀星宫二十二度二十五分平行為二十四度一十三分第二食六千二百三十五年為嘉靖元年壬午九月初六日子正後三十一刻月全食太陽躔鶉尾宫二十二度一十二分平行為二十三度四十九分(今作八月)第三食六千二百三十六年為嘉靖二年癸未八月二十六日子正後四十二刻一十分月食太陽躔鶉尾一十一度二十一分平行一十三度○二分(今作八月)前兩㑹食黄道上相距之中積視行度(減全周)為三百二十九度四十七分中積日為三千九百八十七日平時三刻一十分于時交周上中積平行度(減全周)為三百三十四度四十七分本輪自行(減全周)為二百五十○度三十六分因自行度是生平行視行之差五度以為加減率(中積之視行大平行小故月在小輪之右)後兩㑹食黄道上相距之中積視行度為三百四十九度○九分中積日為三百五十四日平時十二刻○九分于時交周上中積平行度為三百四十六度一十分本輪自行為三百一十六度四十三分因自行度是生兩行之差二度五十九分以為加減率(中積之平行大視行小因差少月仍)(在小輪之右)第一食月在甲從甲數前二㑹之自行中積二百五十度三十六分至乙即乙為小輪周上第二食月離所在而乙甲餘弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧為午子五度是人目所見黄道上兩行之差又從乙(第二㑹月離所在)過戊申數三百一十六度四十三分至丙即第三㑹月離所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧為午未二度五十九分是黄道上兩行之差又乙丁甲角去減丙丁乙角餘甲丁丙角為子未二度○一分為黄道上兩行之差次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以減全周餘一百九十七度一十九分為丙己甲弧是周之大半即周之心在其弦内次作丁庚丑線定己為最髙從甲從乙從丙作甲丁乙丁丙丁各線丙丁線割小輪圏於戊次作乙甲甲戊戊乙三線成甲乙戊形乙戊丁形有戊丁乙角(二度五十九分)又有乙戊丁角(丙戊乙角乘丙乙弧)(二十六度三十八分半其餘以滿一百八十度為乙戊丁角一百五十三度二十一分半)即戊乙丁角(第三為二)十三度三十九分三十○秒以求各腰(倍角之數求其弦即對邊之數)得乙戊邊為一○四二戊丁為八○二四次甲戊丁形有甲丁戊角(未子二度一分)有甲戊丁角(甲戊丙角乗甲己丙)(弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其餘為甲戊丁角九十一度二十○)(分半)即有戊甲丁角有三角求其邊若戊丁為八○二四則甲戊為七○二次甲戊乙形有戊乙(一○四二)戊甲(七○二)兩邊有乙戊甲角(乗甲)(己乙弧二百五十○度三十六分半之為一百二十五度一十八分)求甲乙得一二二七若小輪之半徑庚壬為全數即因甲己乙弧之度推得甲乙弦又用變率法推乙戊戊甲戊丁各線與庚壬全數為同比例之數算得甲乙為一六三二三戊丁為一○六七五一戊乙為一三八五三有戊乙弦即得戊乙弧為八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其弦得一八八五○為丙戊以并戊丁得一二五六○二次依幾何原本(三卷三十六題)丙丁丁戊兩線内矩形與己丁丁壬兩線内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并與庚丁方等則以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方(庚壬全數為一萬)一萬萬并為積開方得庚丁方之邊為一一六二二六次設庚丁全數為十萬變庚壬為八六○四是為月天半徑與小輪半徑之比例與前古法所得小異次從庚心作丙戊之垂線平分丙戊線于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁(一一六二二六)有辛丁(先得戊丁)(一○六七五一又有丙戊一八八五二半之為辛戊九四二六以并戊丁為一一六一七七)求庚丁辛角得一度三十九分為未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分為癸壬弧并丙癸(先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其)(半為丙癸七十度二十九分)得一百五十八度五十○分其餘(以滿半周)為丙己二十一度一十分是第三食月距小輪最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分為其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三度五十一分為其距最髙之自行又己丁丙角為未丑一度三十九分月在平行之後則第三食平行内應減未丑丙丁乙角為午未二度五十九分月在平行之後則第二食平行内應減午未兩角并得午丑四度三十八分為第一食應減之數而甲丁乙角先得五度因月在小輪下弧則為應減之數一加一減相準餘壬丁甲角為丑子弧○度二十二分則第一食平行内應加丑子末第一食月視行經度離降婁宫二十二度二十五分減丑子弧二十五分(視行内應減平行内應加)得平行為在降婁宮二十二度○三分第二食月視行離娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行為在娵訾二十六度五十○分第三食日視行離娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行為在娵訾宫一十三度皆食時之經度也因上二論以推加減立成表如後卷試舊推平行率各術疎宻第八依前法用太隂加減差表定前後兩㑹食之中積時可得太隂之平行率又用上論求兩食之本輪自行度若此兩率之距本輪最髙或最庳等則所定平行率為確合如前本篇第六所用第二㑹食為總積之四千八百四十七年係漢順帝陽嘉二年(多禄某所用)其各率見本章 又第七所用第二㑹食為總積之六千二百三十五年係正徳六年(歌白尼所用)其各率見本章其中積率為平年(三百)(六十五日)一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其間交㑹滿一萬七千一百六十六周其自行本輪亦滿全周則為確合今依上古法推(依巴谷在周顯王時)減全周外餘三百五十九度四十八分○七秒(轉周不及交㑹一十一分五十)(三秒)依中古法推(多禄某在陽嘉年)減周外餘三百五十九度三十七分四十九秒(轉不及㑹二十二分一十一秒)依近世法推(歌白尼在正徳)(年)減周外餘四分則知近世之法視古為宻葢測驗推步一二千年積功力積智巧所定諸法漸次加精故也定太隂平行自行之厯元第九厯元者於某地之某年月日時刻定某曜躔本天之某度分為推步之根本上遡既往下迄將來靡不準此或加或減以得隨時所躔各度分也今擬定崇禎元年戊辰天正冬至後子正初刻為厯元其地則京師順天府定為厯元之本所厯元則上下推步略同古法論地則自唐至元有測驗北極出地之法是為地之緯度若其東西經度從古未有也今立法以本府為根其南北北極出地三十九度五十五分有竒九服皆隨地測驗東西則以本府為初度初分九服依此為準或加或減推算各地本時本曜之各所求度分别有本法本論(如後卷)右北極出地度通為四十○度四十九分有竒中西二率悉與古法不合葢前人未悟地半徑差蒙氣差於兩至所測之髙應加應減故也說見日躔厯指用厯元前一月食之嵗月日時及厯元之嵗月日時取其中積日求太隂之平行若干度分減朔䇿(一交㑹之全周)餘度分為厯元之平行度分則朔應也又考月食時得自行若干度分亦算中積時之自行若干度分兩數并得為厯元之自行度分則轉應也新法算書卷二十八
## 卷二十九
欽定四庫全書
新法算書卷二十九 明 徐光啟等 撰月離厯指卷二解第二均數第十如上論因月有本輪自行度以致不平不順定朔定望多寡不一今用其自行度分加減其平行視行以定均數則于定朔定望及交食之法始無遺漏乃厯家詳測宻推以為未足盡月行之理故又立次輪一法以定均數與本輪第一均數並用之今解其義如左古今測月行審有自行度與平行不合立為本輪法(或不同心)與自行加減以定朔望以正交食然其朔望之極大差不過五度此本輪之半徑也是知定朔定望時太隂恒在本輪之周矣其在上下弦之差則不然古厯於上下弦日推太隂自行本輪之二限四限(左右兩傍之盡處所謂留際也如此)(則為去最髙之極大差)又在黃道之九十度限(一名黃平象限如此則無東西視差)以定本日之經度若如本輪法則此差止應得為五度及用圓渾儀測候或以距太陽求月之視行經度或以恒星求其黄道上之視經度得數乃與先推殊不合論推算宜得五度論測度則得七度四十分從古至今累測皆如之又測弦前後若干日亦與推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小輪周餘日去離逺近多寡各有本行度分因從其差數以立差法仍定本輪周上復有次小一輪循本輪右旋(與七政行同與自行異)半月一周因其行度作加減差以定第二均數列表(如後)(卷)求次輪之比例第十一既論有次小輪今論其大小以定加減率如圖丁為地心庚為本輪心甲乙丙為本輪周作庚丁過心線作本輪之丁甲切線即庚丁甲為五度角(視行平行之極大差)朔望時次作庚甲戊線作丁戊線成庚丁戊角為七度四十○分視平兩行上弦下弦之大差次庚為心戊為界作戊巳圈太隂在定朔定望時必循甲乙丙本輪周左行在兩弦時必循戊巳周左行両弦前後半月間則自甲向戊戊向甲右旋為次輪之自行若庚丁線為一萬全數即庚甲為八百七十二(五度之正弦)庚戊為一千三百三十四(七度四十分之正弦)相減得甲戊四百六十三甲戊線平分于辛庚為心辛為界作辛壬為負次輪圏(一曰帶次輪)即甲辛為二百三十一以并庚甲得庚辛一千一百○三為負次輪辛癸圏之半徑則本輪次輪兩半徑為一一○三與二三一也系有二小輪之比例可解前一推一測異同之極大差又可推朔望前後之視行疑於無法而實有法(朔望前後三十)(八度其視行絶異故云疑於無法詳後論)如圖兩圏為本次二輪丁為地心甲為本輪之最髙丙為其心乙為次輪心作丙乙線為一一○三從乙心作次輪圏其半徑二三一(如上兩輪之比例)次從丙作丙戊丙子線切次輪於戊於子成戊子兩直角設月體在戊今論之凡月行本輪周左旋(依宗動天自東而西)如圖庚為本輪心甲乙為白道丁為最髙己為最庳其平行則自甲向丙庚至乙其自行則自丁而丙而己而戊而復于丁從丁(即正半轉即最髙)入轉行極遲向丙(即中轉亦留際)其遲日損至丙而及平行度謂之遲初限從丙向己(即中半轉即最庳)遲損疾益至己而極疾謂之遲末限從己向戊(即正轉亦留際)其疾日損至戊而及平行度謂之疾初限從戊而復向丁疾損遲益至丁而極遲謂之疾末限最髙左右二限謂之遲厯逆經度行(逆七政經度也後省曰逆)(行)最庳左右二限謂之疾厯順經度行(後省曰順行)二十七日有竒而周(即轉周)若次輪則如圖乙為其心甲巳為本輪周壬戊癸子為次輪周壬為最近癸為其最逺(本輪可言髙庳次輪不得言髙庳故言逺近謂逺近于本輪心)其順本輪左旋則自甲向巳其自行右旋(如七)(政自西而東)則自壬而戊而癸而子而復于壬從壬入轉至戊為遲初限從戊至癸為遲末限從癸至子為疾初限從子至壬為疾末限最近左右二限為遲厯逆行最逺左右二限為疾厯順行十五日弱而周謂之次轉周夫甲巳弧者約太隂距太陽之半周也(朔與望相距之一百八十度)次輪心行甲巳半周則月循次輪行滿一周是月體循本輪周行一度即循次輪周行二度次輪心從甲至乙月從壬至戊比本輪上之兩行皆在遲厯皆逆行一至戊切㸃則為逆行之末順行之始順行則始疾故戊切㸃為月行次輪順逆兩行之大差今以數明之作乙戊線為切線之垂線成乙戊丙形戊為直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二十八分為次輪上月行之最大差是本輪心行度(甲乙)外應加應減之數乙丙戊角既一十二度二十八分戊乙丙角必七十七度三十二分壬戊弧也半之得二十八度四十六分為甲乙弧(甲乙為壬戊之半)系凡次輪心距本輪最髙三十八度為大差之限朔望前後各等論太隂次輪異名同理第十二前卷推月不平行之縁為有本輪次輪因立兩均數以定其實行(此歌白泥術)而首卷又有異名同理一章(第五)言用不同心圏立法得數不異是則止論本輪未及次輪也今并論兩小輪與兩不同心圏亦復異名同理得數無二(比馬日諾術)如左如圖是月本天之大圏平面也本天中函有諸球體有厚薄行有順逆遲速此圖平面亦函有諸圏譬猶剖球為面其中所有一一具見矣内外凡六圏甲為地心亦為月本天之心外第一圏為黄道平分十二宫次圏為交道(黄白經度畧等)己見前解第二第六總名為負太隂中距之天其第二之外規面第六之内規面則與地同心(甲也)其第二之内規面第六之外規面則與地不同心而以中距之心為心兩天各有厚薄不等其厚薄處恒相反相對(此二)(天同一色繪之)此天平面之外圏斜交于黄道内函月行諸圏為一體順經度行(右旋)每日六分四十○秒五十五㣲○六纖八平年三百一十二日有竒而行天一周周行無首尾其起算之界用外規之最薄即本天之最髙第三第五總名為太隂中距天又名為正不同心天(上有)(二面同心此四面不同心)其心為乙距地心甲以最外規(丁也)之半徑(丁甲也)為度十分之約得一有半為乙甲求其厚得丁甲十五分之四為丁戊此天内函月行之軌道為一體順經度行(右旋)其外雖為負距天所挈一體順行又自有其行度毎日二十四度二十二分五十三秒有竒凡一十四日七十三刻○七分有竒而行天一周(在歌白泥法為次輪上月行之)(周)其起算之界為最近地心之處(已也如上次輪法)本表目其本行度為日月相距之倍度是為次引數凡月朔望間必行一周故朔望時月恒在于最近即無此圈行度亦不用次均數皆與前法所論次輪同理此圏又名為引數之圏以其函負月軌圏為定均數之根第四名為月軌圏葢太隂自行之軌道也與第三第五正不同心之天又不同心其心丙故又名次不同心之天乙丙兩心相距以中距天(即第三第五)之全徑(外規過心相距)為度六十平分之得其一分半弱次不同心之心丙旋遶正不同心之心乙作一小圏月體循第四天行雖最外為負距天所挈一體順行又為中距天所挈一體順行其自行則又逆經度左旋譬之負距天如流水中距天如舟月體如人水自順地勢東行有水之行度舟亦順水勢東行又自有舟之行度人却從船首向船尾西行又自有人之行度也其起算以自天之最髙為界日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒三十一日七十八刻有竒而行天一周其在前解則自行本輪也前解定次輪上(或正不同心圏理同)太隂一日順行二十四度有竒今減本輪上(或次不同心圏理同)逆行一十一度一十八分有竒餘一十三度○三分有竒因兩行相背故相減所得較數為前引數兩不同心圏各有最髙最庳(前解在次輪者為最逺最近此解亦名最髙最庳)則太隂所至有逺近四限與前解同其數以中距天之半徑丁乙為度半徑六十則極逺距地心為六十八次逺為六十五分○九秒次近為五十四分五十一秒極近為五十二分(皆歌白泥所測也)第二圖次不同心之心在丙其最髙在丁正不同心之最髙在戊(中名月孛西名平最髙)甲乙戊線定黃道上月孛之經度甲丙巳線定已為正最髙之經度(甲丙巳線過甲丙兩心則己為月軌距地之極逺)乙丙丁線定月軌道最髙之經度從巳至月前解名為月自行古史各有本表今用前兩輪解已作表不復備著右二法外第谷及其門人又有别解更細更宻特為竒玅以步月離倍勝前法特㣲眇難見以步交食精粗判然今并論如左第谷宻測月離覺月自行在朔望時遇初宮或六宮及左右平距(最髙庳之左右其距地等)即自行四限(髙庳左右)但依古法用一均數一本輪自行足以齊太隂之不平行矣自非然者即用古法多見參差因依古步五星法於月離法中亦加一均輪均輪者古推步五星自行用兩不用心圏一為負本輪心之圏一為均行之圏(均行圈者與本輪心圏又不同心而出入)(其内外古推五星但依本輪心圏未能悉合别依此圏推步然後度分不謬故名均行之圈或用均輪也歌白)(泥謂月離法中可省此第谷覺有未合復用之乃合)其解於五星厯中詳之今月離亦用之是為新法依此作五輪月行全圖如左方如圖甲為地心取甲乙線為半徑(前法為次輪之半徑)乙為心甲為界作甲丁丙圏(前法為次輪)從圏周任取丁為心作戊己癸圏其半徑丁戊是為月與地之平距(平距者最髙庳之間)即五十六地半徑也(前法為月本天半徑)(或負本輪圈之半徑)若丁戊為全數十萬即甲乙為二千一百七十分右為二三一又於戊巳癸周任取癸㸃為心取癸辛線五千八百分為半徑作午辛辰本輪又取辛庚線二千九百分為半徑作庚壬子均輪得癸庚線(兩小輪之兩半徑并)八千七百此八千七百者于前法為本輪之半徑但前用一本輪以齊太隂朔望之行此析為二析為二者以前法之本輪半徑三平分之二為新本輪之半徑一為均輪之半徑新本輪之半徑者月朔望時近逺之實半較也凡月之定朔定望時丁心與地心甲合為一㸃丁心右旋(順經度行)循甲丙丁圈(從甲向丙而丁而復于甲)半月而周(此圏以當前法之次)(輪故如前月體循次輪周半月而復)則甲丙丁周上之弧為月距太陽之倍數本輪之癸心循戊癸未圏(從戊向癸而未而復于戊)右旋(順經度行)二十七日有竒而周均輪庚子之心辛循本輪周左旋(違經度行從辰向辛而壬而午而復于辰)亦二十七日有竒而周即辰辛戊癸兩弧之行恒為等度分而此兩圏皆當前法之一本輪其行周皆轉終分也月體則循均輪周右旋(順經度行從子)(向壬向庚而復于子)十三日有竒而周(是轉終之倍數)凡朔望時丁心必在甲若自行為初宮初度則如一圖癸心在戊辛心在辰月體在子無均數自行為六宮則如後圖癸心在未辛心在午月體亦在子亦無均數朔望圖見交食厯朔望之外依圖用三角形法推算則得月離之宫度分可無用表依新法則戊為月孛葢最髙也甲丁巳所指為平最髙今以二法較論同異則月與地之中距(五十六地半徑)兩家㣲異(前後為本輪心距地新法亦然皆丁戊也)若自行初宫初度則月距地比于中距前法盈十萬之八千五百分新法盈二千九百分是損三分之二也(此第谷所定也以視差及宻測月髙庳法得之)若自行三宫則兩家所定最大差為小異其以次小輪(前為次輪)(今為均輪)為自行之倍數新舊一也今用合圖明之合圖説(實線為前論歌白泥法半虚線為第谷新法)不論次輪前法次輪在上新法次輪在下其理不二故也(五緯厯中見其論)前法丁地心亦為戊寅庚夘圏心戊丁其半徑戊本輪心以平行右旋厯丑寅庚夘等㸃月從丙自行左旋向乙設戊平行三十度至丑月左旋從丙至乙自行二十九度一十三分(每平行一度自行五十九分四十六秒故)平行六十度至寅即自行五十八度二十六分亦從丙至乙(丙乙恒為自行弧)又至庚至夘等皆同此推若依丁戊線從丁向戊取丁申線與戊丙等申為心丙為界作圏必遇各乙㸃是名過乙圏亦為髙庳圏(不同心圏)新法丁戊半徑戊寅庚夘圏同前别取戊午線為戊丙三分之二戊為心午為界作本輪(較舊本輪之徑減三分之一)次平分戊午于己午為心巳為界作均輪(得舊本輪徑三分之一)月體在己設戊心平行至丑即戊乙戊丙兩線開展(午心循子午本)(輪左旋為各子午弧)如張箑之勢(丁戊丙直線戊午乙過兩小輪心線若自行初宫初度即兩線)(合為一線後漸展開至三宫九十度成直角至六宫復合為一)己月從最近酉(最近本輪心也)右旋(順經度行)至己為自行之倍數如戊行至丑兩心線為丑酉午乙月在己則酉巳弧倍于丙乙弧或午子弧(丙乙)(午子與戊丑等而乙丑乙寅等線恒與戊丁平行)餘悉同此(酉巳弧行倍於丙乙)次依丁戊線從丁取十萬分之二千九百為未未為心已為界作圏過各己㸃是為均行之圏兩法至〔？〕㸃即相近依前法推加減表則用丁丑乙一三角形求丁角新法用午己丑及丑己丁兩形求丑丁巳角兩得數之差自行十五度為四分三十三秒自行三十度為八分○九秒自行四十五度為九分五十六秒自行六十度為九分三十二秒自行七十五度為七分○三秒自行九十度為三分○六秒前法以自行九十五度為大差之限則四度五十六分一十九秒新法以自行九十一度為大差之限則四度五十八分二十七秒兩得數之差隨在皆乙丁巳角而最髙左右均數新法比前法為大最髙衝左右新法比舊法為小凡月離諸表今皆依新法推算推太隂之實經度第十三前論因本輪之自行度加減立第一均數以得定朔定望朔周轉周又因兩弦之自行差與朔望異用次輪之自行加減立第二均數於理為盡從是可得太隂之視行實經度今論次如左查平行表簡得太隂太陽之相距度分及月距本輪最髙度分用平面三角形法可得其實經度(用古法解之)第一法西古史依巴谷在羅徳島(地中海島北極出地三十六度)於總積之四千五百八十七年為漢武帝元朔二年甲寅三月(建寅之月)初七日子正後八十四刻一十四分(順天府時刻)用渾儀測得月距太陽為四十八度○六分于時日視行躔鶉首一十○度四十○分即月視行度必在鶉火二十八度三十七分此時此地為午正後一十二刻依正升斜升表算得月凖在黃平象限無東西差今用月離表試之依表是時太陽之平行為鶉首一十二度○三分均數為一度二十三分當時太陽最髙在實沈宮初以減四十八度○六分得四十六度四十三分為太隂距太陽之平行度(此於實距内減均數而得平行葢太陽在最髙後平大視)(小用減法若在最髙衝平小視大用加法)查表于時太隂自行為三百三十三度又平行距太陽為四十五度○五分視平兩行之較為一度三十八分更用兩小輪圖試之從自行之最髙甲左旋過己至乙得三百三十三度乙為心作次輪圏作乙丙聨兩心線割次輪于壬從壬至戊為日月相距之倍數九十○度一十分次作乙戊戊丁戊丙三線成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角(壬戊弧九十○度一十分)求丙戊邊及戊丙乙角(乙為鈍角宜引長丙乙邊作戊子垂線成戊乙子直角形有乙戊邊二三)(一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙過九十之餘也先求戊子得二五七弱)(次求乙子得○○一以并)(丙乙得一一○四戊子子)(丙各自之并而開方得一)(一二五不盡為戊丙又子丙與全數若戊子與丙角之切線得一十二度一十○分為乙辛弧)次以甲巳乙弧并乙辛得三百四十五度一十一分其餘弧一十四度四十九分為甲辛或甲丙辛角次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角(戊丙甲角之餘)一百六十五度一十一分丙丁為全數求戊丁丙角(引長丁丙邊從)(戊作戊子垂線戊子丙直角形有角有邊求戊子為二八七子丙為一○八五)(子戊丁直角形有兩邊求第三丁戊得一○一八五為月距地心次求丁角為)(子丁邊數與全若戊子邊數與丁角之切線二八四查表)得一度三十八分如上所測數為確合第二法太陽經二百六十九度○四分太隂經二百五十七度四十三分太隂自行為一百二十二度四十九分日月相距為一十一度二十一分倍之為二十四度四十二分如圖甲乙為太隂自行度壬戊為倍數丙乙戊形有丙乙乙戊兩邊有乙角壬戊弧之角求丙角得五度五十二分為辛乙弧求丙戊邊得五十六分以乙辛減乙甲(自行不過半周故應減)餘一百一十六度五十三分為甲辛弧其餘六十三度○七分即辛丙丁角次丙戊丁形有丙戊丙丁兩邊有丙角求丁角得四度四十二分為白道上之庚癸弧因在自行前半周以減平行得二百五十三度五十七分是太隂本時之實經度(從春分起算)篇中屢言黃平象限者是黃道在地平以上之九十度限也兩道在地平上下皆半周赤道恒定不易其半周上之九十度限恒在午正線黃道斜迤時時不一其九十度限時東時西又隨地多寡若極出地四十度則差多者至距午二十五度惟南北二至乃與午線同度分耳其法其表詳載交食厯今略舉如左 法欲求本地本時之黃平象限於本月日時簡本地本宮之黄平限表其第一直行本日之月離宫度也第二第三四行為其時分秒第五第六為其月離象限度分先約得月離經度若干極四十度表有時之秒他極減之而少一行查表取其橫相對時分(子正起算)得某時月在黃平象限更以本時簡月表求月離經度得某宮某度分又對取其時分為月在象限之正時 假如崇禎四年八月十四日求本日何時月在黃平象限先約月在娵訾宮六度本表求時得二十一時○一分五十三秒以此時查月表求月經度得本宫七度一十分查時得二十一時三分五十三秒為月在黃平限之時可測其髙欲宻合更以此時求經度更求時系凡月生明或生魄作直線聨兩角此線若過天頂為地平上之垂線即太隂必在黃平限㸃上而此直線亦與白道為直角引長之必過黃道之極(黃白二道在太隂厯中每作一)(道論其差甚㣲故)此線直過天頂及黃道極必分地平上之黃道弧為兩平分(此兩圏相交有細解其本論見球圏原本)月望時無從得角從月駁定月體之南北兩極如前直線用之知其過黃道極及在黃平象限之上二十八宿距度第十四中西古今厯法理同數異大同小異理大同者共戴一天同資七政也數小異者如周天有平度日度度法有用六用十之類會而通之罔或弗合亦無害其大同也獨恒星宮次中厯依赤道為二十八宿北為三垣南方無垣則附見於諸宿西厯依黃道為十二象通計南北為五十二象此即大不相侔矣以故回回厯翻譯並存今恒星厯各註黃赤經緯度分星名位次皆按中厯更定免致凌雜而間考西古太隂厯則亦有二十八舍譯謂月所宿留之處即又與宿次同義且二十八距星亦皆脗合其不合者獨觜宿距星不用觜用天闗耳竟不知其何繇而同若疑上古相通則此法之外又何以畢無一合亦一竒也其諸法義圖表俱見恒星厯指今欲推太隂宫宿度仍用本表先定黃道所離經度依表求得本時刻太隂所離某宿某度法曰表中求月所離之宮度數内減去近小宿數所餘者為本宿之度分假如月離鶉火二十八度三十七分本宮近小數為星宿二十二度○九分相減之得六度二十八分乃月在星宿六度有竒宿距星在宫次 度 分 宿 宫次 度 分擇月食以定交周第十五如上論定朔望轉周實經度訖次當定交周度分其法亦用兩月食兩食者須太陽之距最髙等須太隂自行度等須食分等須食在陽厯或在隂厯亦等乃可推月行交道滿若干周而復還于故處第舊史不載食分亦不載隂陽厯無憑推步即西古多禄某(漢順帝時)亦未覺太陽之最髙隨天運行(順七政右旋每百年約行一度)故所擇兩月食見黃道上之經度等即謂太陽之距最髙亦等而實則不等兵法亦不可用至近世歌白泥(正徳間)擇用兩食於法為合但所用兩食一在陽厯一在隂厯雖内外不等而度分之對待相等如日月之在朔望皆名交會不害為可用也第一食總積之四千五百四十年為漢文帝六年日躔大梁宮六度四分五月(酉月也實建申之月)初二日子正後三十一刻(順天府時刻不見食甚)月食十二分之七在陽厯中交即月在南初虧東北于時月自行為一百六十三度三十三分(多禄某歌白泥兩算同)均數為一度二十三分(未滿半周一百八十度故用減法)第二食(歌白泥所記)六千二百二十二年為正徳四年己巳日躔實沈宮二十一度六月(實建酉之月)初二日子正後二十四刻一分(順天府時刻不見食甚)月食十二分之八在隂厯正交即月在北初虧東南于時月自行為一百五十九度五十五分兩食時月自行差止三度半可勿論其日躔前後相距不等然多禄某所測太陽最髙為實沈六度所用食時日躔在最髙前三十度弱歌白泥時最髙在鶉首五度所用食時日躔在最髙前十四度兩距之較雖十六度以最髙旁近度距地心之數為差㣲即地景大小無二亦可勿論今論兩食時之月自行畧等太隂距地心之度分畧等則所差者在食分也為十二分之一計兩食之中積為平年(三百六十五日)一千六百八十三年八十八日九十刻○五分或六十一萬四千三百八十三日九十刻○五分得交會(即朔望)二萬○八百○五會交終則二萬二千五百七十二周外餘一百七十九度二十四分(後食大于前食為十二分之一月體之徑于天度畧為三十分則食差為二分三十秒交前後之緯)(距二分三十秒其經度為三十分次食既大于前食即近交其較半度則未滿丰周之較為三十分查表求兩)(食之兩均數一加一減其較二十一分以減三十分得九分為不及半周之數實餘一百七十九度五十一分)上文推定(依巴谷及多禄某先後推定見本篇第四)月交會五千四百五十八則交終五千九百二十三依此用三率法以交會率(二十)(九日有竒)為法中積日為實而一得二萬○八百○五會再用三率法以交終為法而一得二萬二千五百七十七交半置交數(二二五七七半)以三百六十乘之以會數(二○八○五)而一得一會時(二十九日有竒)交行之度分又以會數(五四五八)為一率交數(五丸二三)為二率一日之太隂平行(一十二度一十一分二十七秒)為三率求得一十三度一十三分四十六秒為一日交行之度以日求月求年凖此法論交行第十六交行有二一順經度行一逆經度行順行者月平行一日一十三度一十三分四十六秒是為月行距交之度則以交為界又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五㣲是為月行距宮次或節氣之度則以宮次或節氣為界兩數之較得三分一十一秒是則兩交一日逆行之數所謂羅計行度也順行者如七政右旋自西而東逆行者如宗動左旋自東而西右旋者先降婁次大梁左旋者先𤣥枵次星紀故月行兩界一為定界一為不定界定者宮次如娵訾等節氣如冬至等不定者謂正中二交也兩界則兩數其較則為不定界之行分不定界之數大于定界之數故累積其較則與月行相背矣交有平行又有自行與日月相似自行有遲有疾黃白二道之相距亦時多時少古來未覺有此第谷累年宻測得交行惟朔望時無加減(與日在最髙最髙衝同理)恒得五度弱過此漸加至兩弦而極而此自行恒半月滿一周(與太隂次輪行)(度同理)如圖甲為月天球上之黃道一極人目在他極外斜看黃道面戊庚己為黃道圏去甲五度○八分得乙乙為心作戊癸己球上大圏為平白道兩圏相遇各平分于己于戊為兩交庚癸相距之限五度○八分是為兩交相距之中數(兩相距之小數為四度五十八分三十秒)(大數為五度一十七分三十秒相減得較半之以并小數得五度○八分相距之中數也)而己戊為兩交平行之處次乙為心作丁丙小圏其徑為大小兩數之較一十九分小圏之周恒負正白道之心(如黃極遶赤極作一圏名極圏又白極遶黃極)(作一圏名白極圏此小圏與之同理正白道之心如丙丑丁寅皆是也)半月(十四日有竒半朔策也)行一周若正白道之心在丑(最近黄道極惟朔望則然)以丑為心作球上大圏如辰辛子辛為正白道(若球上作大圏過白黃兩極宜為乙丑庚弧今依視法作)(直線)其距黃道為辛庚(本大圏之一弧)辛癸為中白道正白道之差而正白道兩交黃道于辰于子則辰子為兩道(朔望時)之正交是交食所用之兩交也若正白道之心在寅(兩弦時)以寅為心作夘壬未大圏定癸壬為中白道正白道之差而庚壬得五度一十七分三十○秒是為黃白二道相距之極逺(寅心距甲心為極逺故)則夘未為兩逺交距戊巳兩平交為戊夘未巳距夘未兩近交為夘辰未子(逺近者兩弦之交近交者朔望)(之交平交者半弦策之交)凡正白道心在寅之上(兩弦前後)丑之下(朔望前後)若干度分則中正兩白道之大距(相距之最逺)在壬之上辛之下亦若干度分而兩交在夘未之上辰子之下亦若干度分若正白道心或在丙或在丁則正中兩道之大距相合于癸弧之上而丁甲癸或丙甲癸為兩象限兩交則在辰夘子未之間戊巳之左右本厯表中有正交之加減有正白道與黃道相距之度分其原葢出于此如圖正白道為辰辛子即有辛辰庚角可推正白道之各度分距黃道若干(與黄赤二道距度同法)若在癸在壬俱倣此若正白道在辛癸壬之外(在辛壬限内而不在三㸃之上)則先求丁之上下距甲若干以得癸之上下距〔？〕若干葢丁甲癸為一象限甲癸庚亦一象限甲丁大癸庚亦大若小亦小其加減率及用法見本厯表定交行之厯元第十七上文言擇兩月食以定交周因其經時若干而滿周以知交終及歳月日時交行之數然止用兩食相對較勘多寡不知其距交幾何度分今欲審某時距交若干以定交應亦須兩月食其距太陽之逺近等兩食分等兩食之在隂厯陽厯正交中交等既諸率各等則距交必等因而析取中數則得本時正交所躔度分(此歌白泥法)第一食(多祿某所記即前第六章定本輪所用第二食)總積之四千八百四十七年為漢順帝陽嘉三年甲戌十月(建戌之月)二十四日子正後一十七刻(順天府時刻)一十分月食十二分之十在黃道南初虧東北于時太陽躔夀星宮二十五度一十分月自行為六十四度三十○分用減法得均數為四度二十○分第二食(歌白泥所測)總期之六千二百一十三年為𢎞治十三年庚申十一月某日子正後三十一刻正(順天府時刻)月食十二分之十在黃道南初虧東北日躔大火宮二十三度一十一分(兩食之中積時為一千三百六十六年其間太陽行最髙一十六度有竒以減日躔)(兩度差二十八度得一十二度為前後日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚㣲地景無二與無差同)月自行為二百九十一度三十五分用加法得均數為四度二十八分兩食時月本輪最髙前後等距(前過最髙六十四度後未至最髙六十九度其較五)(度距地之差甚㣲與無差同)食分大小等初虧方位等則兩食之月距交等度(中積為一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分)此時自行滿交周外其距交為一百五十九度五十五分如圖甲乙丙丁為白道乙丁為正中二交甲為北為内為上為隂厯丙為南為外為下為陽厯乙戊己丁為距交等之兩弧是兩食時月體一過交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之後前食用減法得均數四度二十○分(減者月在)(自行之前半周依表平交行為甲乙庚減庚戊得甲乙戊戊為月所至之實處)取戊庚後食用加法得均數四度二十八分(加者月在自行之後半周依表平交行為甲丙辛加)(辛巳得甲丙己巳為月所至之實處)取己辛庚辛為兩食中積月距交之平行一百五十九度并戊庚辛巳得戊丙巳兩距之實行一百六十八度四十三分其餘一十一度一十七分為乙戊丁巳兩弧并半之得五度三十九分為兩食時月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲為界則甲乙庚得九十九度五十九分是第一食時之交行根所謂交應也若他時他處求交應依此加減之今擬崇禎元年戊辰天正冬至為厯元順天府為厯元本所如日躔表推算本曜恒年表(如後卷)交行兩界任用但月體行度多端差數繁曲既成加減均齊則或用定界從宮次節氣起算或用不定界從羅計起算所得正等測黃道白道相距度分第十八西史多禄某(漢光武時)其地為北極髙三十○度五十八分用三直儀(測髙儀皆可用)測得月軌極北距天頂二度○七分以減北極出地度得二十八度五十一分為月距赤道度分于時黃赤距度為二十三度五十一分(黃赤距古逺今近説見日)(躔厯指)以減太隂距赤度餘五度正為黃白相距之度此測因月近天頂地半徑差極㣲可以勿論又軌度最髙在清蒙限外亦無差分若在近濁測月軌髙不先定地半徑差清蒙差以為加減即所得者非實度分西古史多言黃白距五度正上古則云四度五十八分回囘厯則五度○二分皆不逺近世第谷(萬厯間)宻測詳推功倍古人其言曰朔望時古測僅少一分半若上下兩弦則五度一十七分本書有測法有算數今略舉如左總積四千八百○○年為漢章帝章和元年丁亥八月(建未)(之月)十八日(本地)午正後二十九刻一十分月在正午時為上弦依本表算得距交八十六度一十七分于時測得月距黃道(地半徑蒙氣二差俱加減訖外)為五度一十三分 (右二則所言度)(分通為日度則五度一分半者當為五度九分八十二秒五度一十七分者當為五度三十六分五度一十三)(分者當為五度二十九分)大統以前諸厯黄白相距俱六度正通為平度則是五度五十五分距度恒大于西術以推算月食往往小于天驗殆縁於此西術定黃白距度求月軌極髙得距赤度分去減黃赤距度餘為黃白距度此古今通法但多禄某當漢光武時去今一千四百餘年于時黃赤距為二十三度五十一分所減大所餘必小今時則二十三度三十一分半所減小所餘必大故今之黃白距較古為大(是黄赤漸近而黃白不移)(其所以然難可窺度)又恒星厯言近至之恒星古今緯度不一在冬至則南緯度小北緯度大在夏至反是亦黃赤漸近之徴也今推黃白距度列表略同黃赤距度法(見日躔厯指及測量八卷)其用法見月離表論月視差第十九日躔厯指論地球半徑與月天半徑為比例若本天視地為逺為髙則比例為小若為近為庳則比例為大(兩數相近)(其比例名謂大相逺名為小)凡視差有三(清蒙不與)一曰地平緯差二曰黃道經差三曰去極緯差其根則一地球之半徑是也葢推算之地平緯恒與地心為對人目所見之地平緯恒與地面為對故因地之半徑而生視差若日月星在天頂即實行與視行為一線即測騐與推算為一率自此而外七政皆有視差但以去地逺近出地髙庳分别大小耳今所論者地平緯差也(餘二差詳見交食厯指)前史謂之南北差因曜實在北所見在南故立此名今通稱之求月視差法依表算得月在極南(即冬至但此論經度非時也故稱南至以别之)近冬至十度以内又在兩交之中(正半交中半交黄白相距極逺之際)又在黃平象限之上測其地平以上之髙是為視髙次用赤道出地度南至距赤緯度太隂距黃緯度推得月在地平以上之髙是為實髙次以視髙減實髙其較為地半徑之視差 若不用南至任以恒日依表推月過子午線或黃平象限上求其黄道上經度及其距交經度距黃緯度得地平以上之實髙亦測其視髙兩數之較為地半徑之視差此法古今累測所得數無異略舉如左總積四千八百四十八年為漢順帝陽嘉四年乙亥十月(建酉之月)初三日西史多禄某在本地極髙三十○度五十八分太陽躔夀星宮五度二十八分月在子午線亦為黃平象限(凡兩至在黃平象限與子午線同度)推其經度為星紀宮三度○九分月距交為七十四度四十○分其距黃緯度為四度五十九分計本地赤道髙五十九度○二分星紀三度九分之距赤緯于時為二十三度四十八分以減赤道髙得緯度髙為三十五度一十四分(黄道某度地平上髙)加月距黃緯度(在黃道北故加)得四十○度一十三分為太隂之實髙次測得三十九度○五分為視髙一推一測其較一度八分為地半徑視差又總積六千二百三十五年為嘉靖元年壬午九月(建申之月)二十七日午正後二十二刻一十分西史歌白泥測得月軌視髙七度一十分于時日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度為本輪之最髙推黃道經為在星紀一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黃緯為四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分減去月距赤道度餘七度五十七分為月在地平上之實髙一測一推之較為四十四分即月在最髙地半徑視差右兩術所推太隂之地半徑差各依本法論定太隂出入地平時若在本輪之最髙則多禄某為○度五十三分歌白泥為五十分若在最髙衝則多禄某為一度一十九分歌白泥為六十六分異同若此將何適從所以然者縁兩史測月時未悟月近地平有清蒙一差故也(説見)(日躔厯指)清蒙映物能升卑為髙凡測月之地平髙所得數乃所見之視髙(與人目平行)非月行之實髙(與地心平行)以地半徑差減實髙則為視髙又以清蒙差加視髙則為真視髙近世第谷依此法推得太隂出入地平時在最髙為五十六分二十一秒在最庳為六十六分○六秒其各逺近之差在多禄某為二十六分歌白泥為一十六分第谷為一十分三家皆有地半徑差表今以第谷(新術為正)以地半徑大差求月距地心第二十如圖甲為地心乙丙為視地平乙甲為地半徑丙角為視差(用第谷之大數)六十六分○六秒乙為直角乙甲半徑為度(為度者恒呼為一以上累加之)求月距地心之甲丙法為全數(内)與乙甲(外)若丙角之餘割線(内)與甲丙得五十二又十萬之二萬一千○二十五是月極近地為五十二地半徑有竒若用小數五十六分二十一秒推得六十一又十萬之二千七百八十二系既定甲乙乙丙之比例若有月距天頂之戊丁弧或稱戊乙丁角或稱丁乙甲之餘角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恒為地半徑之角如前論月本天本輪次輪各半徑之比例為十萬為一一○二為二二一并之得地心至太隂極逺(最髙)之線一一三三三次用變率法一一三三三得六十一地半徑又十萬之二千七百八十二則本輪之半徑一一○二得若干次輪之半徑二三一得若干依此推之系如圖得丁戊(月距地心十萬分之)(幾)若干數亦可得月距地心若干地半徑數有表(圖説見前)二系地半徑差月距地心恒互推三系若定地半徑若干里亦可得月近逺若干里(有本解)論太隂清蒙氣第二十一日躔厯指有論有法以測清蒙差度分因之列表凡測太隂得其視髙則求地半徑差加之得數又以清蒙氣差減之為其實髙凡推太隂得其實髙則以地半徑差減之得數又以清蒙氣差加之為其視髙但清蒙之差因地因時所在各異今表其折衷通用之率也必求本地本時之確數宜隨處所積歳月累測以定之測月徑地景徑第二十二測日月徑度西古史有本用儀器今以月食立法則厯家之正術也總積四千○九十三年為周襄王三十一年〔？〕子月日子正後(順天府時刻下同)四十一刻○五分月食十二分之三約為四之一于時日躔降婁宮二十七度○五分月離夀星二十七度○五分月自行為三百四十○度○五分月距交九度二十分距黃道北四十八分半(依表算)又總積四千一百九十一年為周景王二十二年戊寅月日子正後一十四刻○五分月食十二分之六約為半徑于時日躔星紀一十八度一十二分月離鶉首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分(前食月距本輪最髙)(二十度弱兩食之較八度有竒俱在本輪上弧不能變逺近之數)月距交七度四十八分距黃道南四十分四十秒如圖日光照地面即地背生景形如角體漸小以趨盡月過交入地景(一名)(闇虛)有髙庳食分為之大小今兩食時同在最髙之左右其距地等食分一為半徑一為四之一其較為四之一距黃道一為四十分四十秒一為四十八分三十秒其較七分五十秒依法算月徑四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似徑也測月徑度法詳見三圜比例説系凡食分為月之半徑即月距黄道為景之半徑因上數當食時地影半徑為四十分四十秒二系若食時能測定食分又推算得躔離自行距交距黄等諸率可得月徑及景徑不必用古兩食法日月距地率日月實徑率地景長率總論第二十三如圖乙甲丙為日已丁戊為地日光照地以兩光線從乙過己從丙過戊而遇于丑是生已戊丑角體之景次從乙從丙至地心作乙丁丙丁二線又作甲丁丑線過日地兩心次從地心丁上下取月距地心之數(地半徑為度如上文)(所定)為丁庚為丁寅兩距等作庚辛壬巳戊寅子線皆平行其太陽似徑之度為三十一分二十○秒(欲解其義先定太陽)(之似徑此在三圜説有各種法今用者古多禄某所定也又太陽行最髙最庳不等似徑亦不等本章所用者)(日在最髙之似徑也論月亦在小輪之最髙如下文)庚辛丁直角形有庚丁(月距地)六十四又六之一有丁角(甲丙)(庚)一十五分四十○秒求庚辛法為全(内)與丁庚六十四又六之一(外)若丁角之切線四五五(内)與某數(外)得地半徑十萬分之二萬九千一百九十六次求寅子(〔？〕壬)(丑三角形内有庚壬丁戊寅子三線相距等用遞加法三率之第一第三井為第二率之倍數)庚辛為月最髙半徑度依多禄某説約與日半徑度等又寅子為地景之半徑四十分四十秒即兩數之比例(庚辛十五分四)(十秒寅子四十分四十秒)為若五與十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子為地半徑十萬分之七萬五千九百○九以并〔？〕辛得一十○萬五千一百○五以滿丁戊之倍數二十萬為不足地半徑十萬分之九萬四千八百九十五為辛壬(丁戊倍之為二十萬與〔？〕壬寅子并等于倍數内減〔？〕辛寅子井所餘為辛壬)次丙戊戊丁兩線所作戊角擬為直角(實非直角其差極㣲非算所及)丙戊甲丁兩線亦擬為平行(實非平行以差㣲故)用幾何法(第六卷第二題)為戊丙與壬丙若丁丙與辛丙又丁甲與庚甲若戊丁(地半徑十萬)與壬辛(九四八九五)既丁甲與庚甲若戊丁與壬辛則甲丁為十萬(若戊丁)庚甲為九四八九五(若壬辛)所餘之庚丁必為○○五千一百○五先定〔？〕丁為六十四地半徑又六之一依變率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半徑者一千二百一十也以上係古法後世累代宻推有亞巴徳於總積五千六百○四年為唐昭宗大順二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥於正徳間推得一千一百七十九倍第谷於萬厯間推得一千一百八十二倍此差列數至微推算極難或日徑月徑加減以分計則其差以數百倍計故名厯家於此殫思竭慮焉今時所用大都歌白泥之率也一系依上論丁戊地半徑為一萬分庚辛月半徑為一萬分之二千九百二十六是為地月之兩實徑用此比例可推兩體之比例二系甲丙丁庚辛丁兩形相似則庚丁與庚辛若丁甲與甲丙推得日實徑與月實徑之比例三系可得甲丙與丁戊日地兩實徑之比例 以上三系詳見三圜説四系置日距地度及日與地之比例又距月行本輪距地度(於上圖為丁寅)可得月所過地景之徑列表其引數為月本輪自行之數然圖説所設者日在最髙若去最髙即復異此故表有本行名地景差其引數為太陽之引數以所得之分與引數相減即得(無加法)葢日在髙景大在庳景小故也月距地視差視徑三家異率第二十四漢章帝時西史多禄某術月距諸率為地半徑 地半徑視差 月視徑十單又十分(六十為半徑)度十分(天度) 十分十秒正徳間西史歌白泥術萬厯間西史第谷術第谷及其門人刻爾白改之法今所用又測太陽視徑為冬至三十一分半夏至三十分新法算書卷二十九
## 卷三十
欽定四庫全書
新法算書卷三十 明 徐光啟等 撰月離厯指卷三三圜比例說第二十五三圜者日一月二地三皆為圜體厯家先求其比例大小逺近之數為測騐推算之基本此諸數者驟言之似出恒聞習見之外故是信情所不能及如太陽之體目視之不過數寸耳曰大于地球之體一百五十倍誰即信之月與日人目不能别其大小曰月之體小於日㡬千倍誰即信之然從古至今諸厯名家測騐推算以理以數反覆論定咸宗斯指迨用以求七政行度交食合㑹一切諸法非此不合即又無能不信也先臣鄧玉函定著一書甄明此術引入月厯疑於過繁今擇其要切者著于萹凡為題十借題一共十一題借題(借題者不屬本論借外論以為義據下文所必須也)一地體為圓球(見表度説及地球圖説)二地球在大圜之中心(見測天約說及表度)三目見物僅能定其似大小 目接于物物之諸分皆發本象來至於目目則全收其象云收象者非在目之外郛也睛本圎球有同鳥卵重重抱裹收象之處在其最中謂之瞳心若目視物之兩端則四和線發來至瞳心合而成角為角體之形若視物之兩端則兩腰線發來至瞳心合成三角面之形凡角之末鋭必在瞳心名為視角角之大小稱物之大小若視角極㣲目不見物乃不能定其大小若視角過大則目眶所限不能盡角之廣必移目兩視乃得全見四同是一物在近見大在逺見小 以三角形之理明之如圖甲乙同底若腰長則底之對角必小(甲乙線以近逺生目中視角大小)五未定物之近逺目不能定其實大小 近逺大小視法皆有比例六近逺兩物大小不等若小者在近大者在逺而視角等則目定其大小亦等(如日月之視徑等不知者疑其大小亦等不能辨其逺近不能)(分似大實大故也)七有光之體體之各分能發光八光景之限難分凡有光之體體之四周皆有切氣借光於體亦可當有光之體而發浮光故表景之末漸至虛淡其濃實者是正光之景其虛淡者則浮光之景第一題測太陽太隂之視徑 凡八法月去人近日去人逺先得月之視徑及其視差乃可求日之大小逺近故先求月之視徑 視大小之度在瞳心之視角角之度分即對弧之度分 人目在大圜之心(或在地心或在地面今此無分不煩别論)則天上度分為目所定視大小之度分故論日月視徑皆用周天度如曰半度曰三十分則周天七百二十之一也第一法 古用壺漏法(西土厄日多國人所剏)從午正初啟霤至明日午正止權其廢水得重若干次候月初升啟霤(用原)(壺原水)升竟則止權其廢水得重若干次用三率法先水若干得九十六刻後水若干得幾何刻分為月徑全升之時再用三率法得為全周之幾何古亞利谷以此定為七百二十一分之一約為二十九分五十九秒 古依巴谷定為三十三分一十四秒 加白蠟定為三十六分 以上三術未定太隂最高庳自行近逺數多不合又水漏法參差之縁甚多難于切準或用沙漏自鳴鍾其定太隂升降與此同法 以下諸法測日多通用第二法 後此厯家謂太隂出入升降舒亟無恒或經時不行(太白升降有時遲至一刻不見運動)或俄然隕墜凡此皆清蒙之氣所為也則蒙氣之中未可以行定時以時定徑更立法植物為表或版或牆在目之南表之西際以當午線目在表北依不動之處候月之西周至于午線便須啓霤(或水或沙或自鳴鐘)候體全過午止霤考之得時得度與前法同第三法上法測用月午可免清蒙之差然月行自有遲疾以時定徑亦未能得其實經度也第谷别立一法兩人用兩象限儀候月正午同時並測一測其上弧距地平若干一測其下弧距地平若干兩數之較為月半徑如總積六千三百○○年為萬厯十五年丁亥在其本地測得上弧距地一十五度二十分下弧距地一十四度四十分其較三十四分為目之似徑度分第四法或用横直二表及景符直表平圭定上弧之高横表立圭定下弧之高相減得徑(用表求高)(法見測量十卷)第五法兩人同時同測一以表景求高一以象限求高兩高之較日月之半徑也表景得上弧之高象限得心之高第六法 第谷及其門人刻白爾借古依巴谷多禄某法爲木候儀先作木架立柱高與人等柱端爲兩運之軸(一周)(轉一上下)木爲長衡三分之一在前二在後而入之軸上下左右無所不可至也衡之兩端各立一表上表中心爲圓孔徑二三分下表與上表同心從心作圏與上孔等圏之外更作數平行圏兩表之間為景簫(法見測量全義十卷新儀觧)以束上景而致之下表也簫之下端剡寸許缺之令旁見下表之景圏或不用景簫則設之幽室獨直上表其外以受日光達於下表室須黝黒絶無次光(日月火所照皆為正光所照之外而能見物皆其次光也)乃得實景用時以上表承日光在下表則成圓形必合一圏(不合更作合者)如甲為下表之心甲乙圏與上孔等光之半徑為甲丁取丙丁與甲乙等作丙圏即甲丙與乙丁亦等乙為日周其光至丁甲為日心其光至丙是兩表相距若干因生大甲丙之光若干用三角形法求甲丙于兩表之距度得幾分即見日視角之度分法表相距之幾丈尺與全若甲丙與視角之切線(查八線表取數)刻白爾用此候得冬至日徑為三十一分半夏至減一分有竒為是三十分則半度也第谷之表間一丈四尺冬至得三十一分(較刻白爾為少半分)系日視徑有大小則為日之近逺既有近逺安得無最高最庳大不恒在冬至小不恒在夏至而有運移安得謂最高最庳不有運移假令不信日有自行則視徑大小無義可説 若無本儀則于宻室中穴牆壁以版如上表法承日别用平表凖下表以受光諸法同前作孔或方或撱無所不可若測月徑光淡難分則上表之孔特宜加大刻白爾所測為月平(兩留際也)距地少至二十九分半强多至三十一分一十二秒弱(光淡難定故)極近距地少至三十二分強多至三十四分一十八秒弱第七法 以逺鏡求冬夏二至兩徑之差法木為架以逺鏡一具入于定管量取兩鏡間之度後鏡之後有景圭欹置之管與圭皆因冬夏以為頫仰其管圭之相距則等至時從景圭取兩視徑以其較較全徑為二至日徑之差第八法 測月求附近兩恒星一左一右與月叅直以月之兩弧當兩星用紀限儀或弧矢儀測其兩相距度分得徑分系月高庳有四限一在本輪次輪之兩最高為極逺二在兩輪之兩最庳為極近三在本輪之高次輪之庳為中逺四在本輪之庳次輪之高為中近各限之徑諸家所測多不等極近或曰三十三分或曰三十四乃至三十五分三十秒中逺中近或曰三十一分或曰三十二分三十五秒極逺曰二十九分三十杪問古今一月也古今一儀也諸名家所測乃爾參差何以故曰其故多矣或人目有利鈍不等或夜有幽明不等或太空氤氲之氣有清濁厚薄不等是皆能變易視徑為大小其正法以月食為本(見本篇第)本卷求日月徑多從歌白泥所測葢取諸天騐月厯中大都宗本其說第二題日月視徑大小古史記日食既者或言晝晦恒星皆見鳥棲獸宿或言月不盡掩日有金環系如圖中月全掩日即其似徑與日似徑等此則食既于東生光于西既與甚同時不移晷也如右圖月體不足掩日則有金環月之似徑為小如三圖則食既以後更有食甚久而生光月之似徑為大所以然者日在最高月在本輪最庳日高故視徑小月庳故視徑大則掩日有餘也日在最庳月在最高日之視徑大月小則掩日不足也俱在最高俱在最庳故兩視徑等則掩日適足也第三題日食時月視徑之小大随地不等舊法於日全食時測定月之視徑随時不等曰日在最庳月在最高則兩視徑約皆三十一分是以月掩日為適足若日高月庳是日小月大以月掩日則贏矣而或謂全食時有金環是有時月小而日大或曰無之此兩說者古來通士疑弗能明也至近今二十年間名厯蔚興世濟其美辨義既晰測候加精因而南北恭訂然後乃知兩視徑隨地各異究極根緣又知日食時絶難定視徑之大小遂使千年疑障豁爾蠲除繇是觀之理彌析而愈有智日出而靡涯數甚賾而難窮豈可見限自封謂循古為己足哉按總積之六千三百一十四年為萬厯二十九年辛丑十二月(建丑之月)朔西士某者第谷之高第弟子也於諾物亞國北極高六十四度有竒本日未初刻測候得日全食月掩日不足四周都有金環廣寸許約兩視徑為日大與月小若六與五于時推得日躔星紀宫二度二十二分是近最高衝其視徑當為三十一分月自行四度三十八分是近最高其視徑亦當為三十一分依恒法即兩曜之視徑宜畧等以相揜宜適足今實測為大小不等若六與五同日其同門刻白耳於玻厄米亞國北極出地五十○度有竒則得月之視徑為三十分半其相揜乃至盡又總積之六千三百二十一年為萬厯三十六年戊申八月(建酉之月)朔於某地北極高約五十一度依法推得日食六分之一至期實測適合是為兩視徑相等同日於某地北極高五十七度推得日食十二分之一有竒至期實候悉不見食是為日大月小兩視徑不等從上兩食兩名士功力悉敵秒分不爽人所共信宻推宻測無從得言作用有差而易地相方乖違乃爾盖逾近北日體逾大月逾小逾向南日體逾小月逾大以此見兩視徑不止随時大小亦随地大小又見日食時未能得兩視徑之真率又見日食分數未合不必盡因推步然其故何也因之推本其故有二一曰蒙氣差一曰光體差一者清蒙之性能令有光之體展小為大如日月星出入地時本體皆見為大其相距間亦見大又如平面玻璃鏡以鑒物則景較形為大如輕雲薄霧籠罩日體亦見為大皆是也今二史者一在諾物亞于時日軌高僅三度又冬月地寒在海中皆積氣厚蒙之縁也故日體得展小為大月無光則小于日一在玻厄米亞極出地減前一十四度又居平原不邇江河湖海于時日軌高一十六度蒙氣已消日體無繇得大則兩視徑等也是一差也二者月在日下人目視之叅直是生角體之形其底月體其末銳入于人之瞳心其周面則有光無光之界也兩界間蒙氣愈厚生光愈多其照耀之勢侵入于角體則月之魄體能為小如圖目與月與日相恭直依推步法兩視徑等然自目至月其間有氣氣映日生光必越本界而侵入于角體之限人目遂不能全見月魄故魄本非小視之若小系日食時因氣清濁為人見大小二系日食之視分多寡因去極逺近若本地去北極近則日軌庳則氣多則分數少去極逺則日軌高則氣少則分數多(推步得數等窺視即不等)何者蒙氣多日軌庳熯濕之力未獲全成即光大魄小故也日高者反是因上論日之光體人視之有時能為大月之魄體人視之有時能為小近嵗名厯家既明其義(第谷之遺書多所未竣門人刻)(白耳輩增修其業日就精㣲)因用視法(依日軌高庳論蒙氣厚薄)用測量法(推步定法)立為均數列表以定日食時太隂太陽之視徑從極出地二十度至七十四度或于太陽用加差或于太隂用減差其理一也表入交食厯中第四題日月之視徑與食徑大小絶異是其徵有七凡視徑(與似徑同)時見大時見小必非其實也視也一徵也即有時等而日在上去人逺月在下去人近則日之實徑必大月必小二徵也月掩日下土所見九服各異如此方此時日全食南北相去四五度(二百五十)(里而一度)即不見全食東西同時亦不見全食是則月入地球為小地視日亦小月視日更小三徵也地景短不能食熒惑何况歲星以上則地小于日月過地景則食食時見月小于地景則更小于日四徵也七政各有性情能力施暨下土其勢畧等乃其視行有疾有遲行遲者其天周大人見為遲本行自疾所以然者逺故也近者行疾其天周小如舟行大水逺見行遲近見行疾因是能方所施近而疾者其見功亟逺而遲者其見功緩五徵也月距日九十度其光過半圏則發光之體大受光之體小六徵也因上推月距地為地全徑者三十日距地為地全徑者六百○五則日天比月天其大(算周)約二十倍日本天半度月本天半度則其比例為一與二十七徵也第五題月視地為小義見全題三徵四徵第六題月天視七政天為小去人最近曷知之以交食知之凡言食者物在于彼有他物隔焉或虧或蔽則謂之食所食者必逺能食者必近也所食者必在外能食者必在内也以球論則内近心者必小外逺心者必大也試觀月掩日日為之食日外月内不待言矣月掩恒星星為之食星外月内不待言矣獨月與五星厯家言有時星食月有時月食星亦未然也夫星固未始有在月下者也厯稽古史多言月食五星而不言五星食月斯著明已今録略如左月食辰星一總積五千四百六十八年為唐𤣥宗天寳十四年乙未十二月月食太白一總積五千五百五十○年為唐文宗開成二年丁巳二月己亥日二本年七月丁亥日三五千五百五十五年為唐武宗㑹昌二年壬戌正月四本年三月五六千○五十五年為元順帝至正二年壬午七月乙未日月食熒惑一五千五百二十五年為唐憲宗元和七年壬辰正月辛未日二五千五百四十四年為唐文宗㤗和五年辛亥二月甲申日三六千○百二十七年為元仁宗延祐元年甲寅三月壬申日月食嵗星一五千四百七十五年為唐肅宗寳應元年壬寅正月癸未日二五千五百一十九年為唐憲宗元和元年丙戌二月壬申日三五千五百四十八年為唐文宗㤗和九年乙夘六月庚寅日四本年十月庚申日五五千五百五十二年為唐文宗開成四年己未二月丁夘日月食塡星一五千五百四十一年為唐文宗泰和二年戊申正月庚午日二五千五百四十五年為唐文宗泰和六年壬子四月辛未日三六千○○七年為元世祖至元二十一年甲午九月丙寅日第七題求月之實徑測月之實徑用地徑古法也今依歌白泥術月平(兩留際)距地度為三十地全徑又四之一其視徑三十二分二十八秒推算如左如圖丁為地心乙甲丙為月徑三十二分丁甲為月距地三十地全徑成甲丁丙三角形有角有邉求乙丙得千分地全徑之二百七十六弱為月全徑約之得月一地三倍有半强若以周徑法求之則七(徑也)與二十一(周也)若六十○半地徑(月天之半徑)與月天之周依法算得一百九十地徑又七之一以三百六十(天周平度)而一得一度為三十六分地徑之一十九次以六十分而一率(六十分一度也)三十六之一十九為二率三十二分為三率求得二千一百六十分地徑之六百三十六約得二十四之七或三有半之一同上率(若用月五限數所得大數同上零數小異)(不足算)若用古多禄某數平距為四十九地半徑視徑為三十六分算得月實徑為千分地徑之二百七十或二百六十七不合天騐今不用若用第谷數得千分之二百七十九比歌白泥嬴千分之三不足算第八題求日之實徑如圖日距地為地全徑者五百八十九有半日視徑三十一分四十秒(歌白泥術)即甲乙丁三角形有乙直角有甲丁乙視角有丁乙句求甲乙股法為全與五八九半若一十五分五十秒之切線與股(日半徑也)算得二又千萬之七百一十五萬一千一百九十一半徑也倍之得五又千萬之四百三十○萬二千三百八十二約得日全徑為地全徑者五又百分之四十三或五又半 或又周徑法求之所得數同第九題定日月實徑各里數天度里差古今不一今約定南北二百五十里而差一度以天周三百六十乗之得九萬里求徑得二萬八千六百四十八里以日徑數(地一日五又百之四十三)乗地徑之里數得日之實徑為一十五萬五千五百六十五里月之實徑為地徑千分之二百七十六以乗地徑之里數得七千九百○七里第十題求日體之容用測量全義第六卷法有徑求周(法以二十二乘徑七而一)得日體周為四十八萬八千九百一十九里求周之圜面積(法以)(徑乗周)得七百五十六億(數萬至萬曰億)五千八百六十八萬四千一百三十五里求正面積(大平圏之積也法以周之圜面積四而一)得一百八十九億一千四百六十七萬一千○三十四里求其容(法以徑三之二乗大平圜之積生球容之數)得一千九百五十○萬一千二百六十五億三千三百四十六萬九千五百三十里為日體之容積也(測體之里度者乃實也六面之體各面一里見測量六卷)若以日體較地球之容用上比例數(地徑一日徑五又百之四十三)其法置五有竒再自之得一百五十一為日體容地球之數若用第谷術(日距地為一千一百五十地半徑日視徑為三十一分)地球徑與日體徑為一與五又六之一置五又六之一再自之得一百三十九有竒為日體容地球之數較前術差一十二若用古多禄某術得七十六不合天今不用第十一題求月體之容月之實徑與地求徑若二與七(或六十分之一十七分九秒或千分之二百八)(十六)置兩數各再自之得三百四十三與八置三四三八而一得四十三為月一地四十三以求里數同上法依第谷術為四十二日地月三容積之比例 月一地四十二地一日一百五十一以四十二乗一百五十一得六千三百四十二為日體容月體之數因上法能推日本天月本天可容地球之數測月距地之高第二十六用此法可測日月五星去人逺近度分及自相距各度分第一法兩地並測一人在北如順天府北極出地三十九度五十五分(平度)測時月在午正得其距天頂設四十三度一十三分又一人在南與順天府之地經度等數(地球有南北度如云北極出地若干)(度南行二百五十里而減一度北行加一度是也名曰地緯度若兩地同時刻而見月食是兩地同在一子午)(圏下是東西經度也赤道下兩地亦相去二百五十里而差一度是名地經度)如廣州府(順天府經)(度約在廣州之東為五分刻之三或赤道三度高數甚大不因此差以為乖爽)北極出地二十二度一十二分測時月在午正得其距天頂二十五度一十九分如圖丙為地心卯丑甲為地面辛巳丁為子午圏戊丙為赤道線(截球如簡平儀法)距赤道戊二十二度一十二分為已是廣州之天頂作己丙線截地面于乙乙即廣州也又距赤道戊三十九度五十五分為丁是順天之天頂作丁丙線截地面于甲甲即順天也次從甲從乙作甲丑乙夘切地球之兩線為兩府之各地平線兩人在甲在乙各測月作視線為甲辛為乙辛作辛丙為月距地心線又作甲乙底線今所求者辛丙也法甲乙丙角形有甲丙乙丙兩等腰(俱地球之半徑俱為全數)又有乙丙甲角(兩地相距之度)一十七度三十八分求甲乙線(法有二一用三)(角形法一用通弦甲乙線者甲午乙弧之通弦也)算得乙丙為十萬即甲乙為三○六五四次辛乙甲角形有甲乙邉又有甲乙兩角何者甲丙乙形丙角為一十七度三十八分以減兩直角一百八十度餘甲乙兩角并為一百六十二度二十四分平分之得八十一度一十二分為乙甲丙角又先測定己甲庚角四十三度一十三分即兩角并得一百二十四度二十五分以減兩直角餘五十五度三十五分為乙甲庚角也 次以甲乙丙角八十一度一十二分減兩直角餘九十二度四十八分為甲乙壬角又先測定壬乙癸角二十五度一十九分即兩角并為一百一十八度○七分為癸乙甲角也 以求辛乙邊法引長辛乙邊作甲酉垂線成甲酉乙直角形形有乙角為辛乙甲(即癸乙甲)角之餘有甲乙求得甲酉邊又求得乙甲酉角以并辛甲乙(即庚甲乙)角得辛甲酉角又求得乙酉邊 次甲辛酉直角形有甲酉邊有甲角求得辛酉邊去减乙酉餘為所求辛乙邊得五四三四五○約為五十四地半徑次辛乙丙角形有乙丙地半徑(即全數)有辛乙邊又有辛乙丙角何者先得甲乙丙角八十一度一十二分又得甲乙辛角一百二十四度○八分并得二百○五度二十分以減全周得一百五十四度四十分以求丙辛邊法引長辛乙邊從丙角作丙子垂線成乙子丙直角形形有丙乙邊又有丙乙子角(即丙乙辛角之餘)二十五度一十九分先求丙子及子乙次辛丙子直角形有丙子句辛乙子股求辛丙弦法丙子辛子各自之并而開方得五五四一約五十五地半徑又十分之四强為月距地心之度也第二法本地自測用月全食於食甚時測月軌高又推太陽經度以定太隂經度查高弧表或用測量(全義八卷)法求月在本時本經度之地平實高與所測視高相減為視差角則成三角形其一邊為地半徑一角為月視高角之加角(本角外加一象)(限)一為視差角法求視餘角之對邊得月距地若干如西士玉山玉幹(厯學名家)於總積六千一百七十四年為天順五年辛巳六月(建巳之月)某日亥正初刻(本地時刻)月食太陽躔鶉首宫九度三十四分三十四秒月離星紀同食甚測月軌視高十七度半又因本法推日下度月實高度俱一十八度三十一分視實兩高之較六十一分為視角之度分如圖已為日甲為地壬為月叅直乙丙為實地平癸寅為視地平測日在癸視線為癸辰夘視差角為癸壬甲癸壬甲形有癸甲(地半徑全數)有壬癸甲角(午癸辰為視高角更加一象限為壬癸甲角)一百○七度三十○分有癸壬甲(視差)角六十一分又有癸甲壬角(實高角丙甲戊之餘角)七十一度二十九分求甲壬邊法曰對角之正弦與對角之正弦若角與角置甲癸全數為一算得五十四有半是本時月距地為五十四地半徑又半弱第三法本地自測用日食西儒丁氏於總積六千二百八十○年為隆慶元年丁夘四月(建夘之月)初九日午正(本他羅瑪府時刻)時日食測候得日軌高五十九度一十分食既有金環于時日躔降婁宫二十八度三十八分赤道北距一十一度○一分四十一秒本地極高四十一度五十○分二十○秒因食既必地月日相叅直為一視線随用月厯表及三視差法推得月實距太陽二十九分以加測高度(五十九度)(一十分)得五十九度四十二分四十四秒為月之實高度分如圖甲為地心乙為地面為測目所在己為月丙為日甲辛為實地平庚為天頂從地心過日心作甲丙壬線過月心作甲巳戊線定日月兩實高度(或稱辛壬弧辛戊弧或稱其餘)(庚甲壬角庚甲戊角)又從目過日月心作乙巳丙丁線定日月並距天頂度為庚丁弧或庚乙丁角因成甲乙巳三角形形有甲乙邊為地半徑有己甲乙角為月實高之餘度(實高五十九度四十二分四十四秒其餘三十○度一十三分一十六秒)又有甲乙巳加角(所測之月視高度加一象限共為一百四十九度一十分)求甲巳邊(有二角自有第三角其法兩角)(之正弦與兩角各對邊比例等)筭得五十六地半徑弱為月距地心之度第四法本地自測用月食恒星時如上以日食時推月之實高測月之視高立法今以恒星立法如總積六千一百九十九年為成化二十二年丙午太陽躔大火宫六度三十分西史玉山玉幹晨見月周下切軒轅大星随時測得本星高四十五度本地極出地四十九度二十六分于時為夘正初刻月離鶉火二十二度四十○分在黄道北距二十六分 有時有極高度有日躔有星高有月下周之視高(恒星之實高與視高為差極㣲)有月之經度緯度可得月之實高(若以月心)(為實高減月半徑一十六分得用下周為實高)兩高之差以求月距地心如上法第五法推月在黄平象限時或推在南至時或候午線時測其高随時推其實緯度兩高加減得視差之角見前卷測日距地之高(附)第一法用測月第一第二法午正時測得日軌之視高随推其本時經度緯度得其實高兩高相减得數為視差(名地半徑差)或用日躔厯指圖有地心人目在地面日在視地平成三邊直角形有目心邊(地半徑)有目心日角(目見日出入時其半在地平上半在地平下疑為初度分非初度分也為所見者視)(地平非實地平也其在中距為差三分最高二五四最庳三○七見日躔表)求心日線法全數(内)與目心邊(外)若日角之餘割線(内)與日心線(外)算得一千一百四十五地半徑為日距地心之度 若日在地平上亦如在午法一測一推求視差第三法用月食正法也(見上章)總論月天象數及表原第二十七依上論分别太隂象數凡為球體者四第一與第二為表裏皆與地同心第一球之太圏(一名中圏一名腰圏)為白道白道與黄道兩交而分為斜角兩交之處一曰正交一曰中交第二球者複球也複球以外大球以内函兩小輪焉小輪之大者為第三球名曰本輪亦曰自行輪輪之徑為兩大球之距小輪之小者為第四球名曰次輪如圖外大圏白道也又名月天大圏(〔？〕他輪其中)又名斜圏(斜交)(于黄道)亦名交周亦名龍頭龍尾之圏(正交為龍頭中交為龍尾本圏兩交黄道)(其兩交㸃時時遷運)亦名九道(一白道也在黄)(道之四方皆有内外并黄道為九焉元以來不用此術)表裏二天中容小輪一體左旋(如宗動天行與七政違行)小輪從之一日行三分一十秒四十七㣲一平年(三百六十五日)行一十九度一十九分四十三秒凡六千八百九十三日有竒而一周四球合體總名曰月本天其南北二極距黄道二極各五度有竒(上論黄白道相距或内或外最逺者五度有竒)夫黄道行天不以黄道極為樞而以赤道極為樞故黄道極去赤道極二十三度有竒而環行名曰黄道極圏月道行天不以白道極為樞而以黄道極為樞故白道極去黄道極五度有竒而環行名曰白道極圏(如上圖或圖有兩黄其外則外天黄道 日天或宗動任意之)月本天中自有三行一曰交行二曰本輪自行三曰次輪自行三行各有軌轍其轍迹安在在其大圜平面也何謂大圜平面如本天白道為大圏(球之腰圏最大)從白道判本球為二即所判之處為兩大平面交行在其周本輪次輪行皆在其面也兩交一名正交一名中交月在正交向黄道内行九十度謂之正半交此半周謂之隂厯過半周為中交向黄道外行九十度謂之中半交此半周謂之陽厯過半周而復于正交為交終西厯謂之龍頭龍尾蓋兩道間成蟠曲之形腹粗末細有若蟲蛇非謂有龍食月如俚俗之說也又謂之登降之交月行黄道内自南之北漸高于地平則言升行黄道外自北之南漸向地平則言降或稱外内或稱上下其義一也若羅㬋計都之名非古厯所有疑出于九執唐人再用九執厯僧一行寫之而未盡陳𤣥景爭之而不得獨兩交猶仍其譯言耳本厯恒年表横分四節其第三節為正交行度(即羅計行度)因其左旋(與七政違行)故歲減歲行之率(太陽恒年表紀年有平年閏年序減忽加)(者閏年也忽缺一宿者閏年也太隂紀年與之同法)每平年減一十九度一十九分四十三秒(三百六十五日行度)每閏年減一十九度二十二分三十三秒(三百六十六日行度)若用加法則平年每加一十一宫一十度四十○分一十七秒閏年加一十一宫一十度三十七分○七秒其得數同也恒年表以冬至為界每年從天正冬至子正後起算是為實根若每日每時刻之細行交分不以冬至為界則為虚根但随日随時計其度分累積之(日行三分一十一秒)凡累積皆用減法平行圏者太隂全天表裏二球之中圏也與地同心為本輪心平行之軌道故名負小輪圏其行順七政右旋(自星)(紀至𤣥枵也)其界有三 第一以節氣為界如冬至春分等(或以宫次)一日行一十三度一十分三十五秒○一微為月之距節平行分(止右旋一行)滿一周得二十七日三十○刻一十三分○五秒為交終 第二以太陽經度為界太陽平行經度日五十九分○八秒二十○微月之日行多太陽之日行少以少減多得一日之相距一十二度一十一分二十三秒四十九微滿一周又逐及于日為朔策(或㑹望策陽太隂距太陽行二十七日有竒而一周其間太 亦行二十七度有竒則太隂行一周)(外又二十七度有竒而逐及于日與之㑹共為二十九日有竒也)其日率西厯前後四家大同小異 一多禄某為二十九日五十○刻○九分○三秒二十○微正 豊所王(大餘同上)小餘二微五十八纎五十一〔？〕二十二末 歌白泥一十微三十八纎○九〔？〕二十○末 今世第谷八微三十九纎四十六〔？〕四十八末第谷之測筭極密今新厯用之 第三以正交為界正交逆行(左旋)太隂順行(右旋)一向左一向右兩相違背故距交一行謂之雜行兩行相并(正交行三分一十一秒太隂行一十三度十分三十)(五秒)得一十三度一十三分四十六秒 此第三行度即太隂恒年表第三節之交行度用均數訖為月距黄緯之引數 如圖從冬至至月經線為月平行經度之弧自行輪周者次輪心平行之軌道也(即本輪)次輪行於本輪周左旋(與七政違行)以本輪之最高為界初逆行(向左)約九十度(至留際即轉初)順行(向右)至半周(過最庳至留際)(即轉中)復逆行如圖月在次輪周從地心作兩線切本輪周即月在兩切線外(本輪之上半周)逆行在兩切線内(本輪之下半周)順行 若月在心線(從地心過本輪心)是為本輪之最庳即兩行(一平行一自行)度分等若在心線前或後即其視經度與平行度必不等 次輪心從最高起算日行一十三度○三分五十三秒五十六微(是為轉度分)二十七日五十二刻一十一分五十四秒而一周(次輪心從最高行一周而復于故處)是為轉終度分次輪者月體所行之軌道也其界向本輪心為最近界之衝為最逺試以一線聨兩心線即其界矣(如圖甲丙乙丁線是也)月體在次輪近地心之半周即月體逆經度行而順本輪行若在其逺地心之半周即月體順經度行而逆本輪行從本輪心出兩線切次輪之兩旁即定本輪心第二均加減之界如上測月行諸論以定朔望則用一自行之均數足矣為朔望時月體必在本輪之内甲乙丙丁圏上故也去離朔望即宜用兩均數自朔至望望至朔必行次輪一周而復故月實行距太陽一百八十度則行次輪一周三百六十度而次輪周之日行度必倍于距太陽之日行度每日得二十四度二十二分四十七秒三十○㣲行一周為一十四日七十三刻○七分有竒半月之率也(天上周圏不論大小皆平分三百六十度)系凡月行距日九十度(兩弦是也)次圏周行一百八十度則在次輪之最逺而距平行經度為極逺如上圖小輪上之月體所麗為視行平行之極大差因上兩小輪行度在本輪有最高最庳在次輪有最近最逺定為自行之四限凡月在次輪之最逺(逺近以去離本輪心論)次輪心又在本輪之最高則月距地心為極逺圖為甲月在次輪之最逺次輪心在本輪之最庳則月距地心為極近為乙若在次輪最近本輪最高則為次逺為丙在次輪最近本輪最庳則為次近為丁因此四限屢變視行之勢也惟朔望時月恒在次輪之最近月表原 太隂立成表横分為四節第一節為月平行度分(冬至為界從之起算)則本輪心循白道右行所得黄道上平行度分也第二節為自行度分則次輪之最近一㸃所行軌道是為本輪之内圏(中圏為負次輪心之軌道外圏為最逺㸃之軌道)其界則本輪之最高㸃其行逆經度左旋也此行所至名曰前引數其所當有距地心之角角所對為黄道上之弧弧之數名曰月之行初均數夫月之行若止循本輪之周則或加或减藉一引一均而足矣乃古今積測惟定朔定望則月體在本輪内之如丙如丁周其距本輪心之度恒等朔望以外則月體去次輪之最近線漸逺乃至極逺又漸近而復其于前引數初均線(從地心過次輪之最近以)(至黄道)或時在前或時在後是生次均數以較初均數或加或減以得月離黄道之實經度(所謂朔望一均數為足不論此數有二根)(第谷所用不同心圏及均數并生初均表中所排)是故厯家先置月在次輪之最近(即本輪之内圏)算初均加減表與太陽加減差表同(諸率定數)(見上卷)若月在最近之左右上下則去離本輪心必逺于最近自地視之遲疾順逆皆非本輪之本率也因以月距兩心線(從心過最近至次輪)之度求第二均數(月從最近循次輪周右行得數)(從月體向次輪心作線截本輪之内圏得數以加減前均數為第二均數)夫從本輪之心以視月體之次自行有此次均數亦瞭然矣然人目所見不在本輪心而在地面又安能令次均數合于黄道而以之加減為實經度也故又用三角形法以次均次引求得第三均數以加減于第一為實均數以實均數加减黄道平行為實經度分如圖丙戊圏為次輪最近之軌道論月向乙心行或用夘心酉圏之弧或用丙戊圏之弧其理一也 若向丁地心因朔望時月在次輪之最近戊故推前均數用丙戊弧推月表同圖觧丁為地心甲乙丁為太隂平行線以定黄道上經度(表稱月平行經度分)如甲為降婁宫某度某分是也夘心酉為本輪自行之中圏(次輪心之軌道)戊巳癸為次輪心為其心乙戊過心線定次輪距本輪最高之度即丙戊弧也前引數即丙丁戊角之甲辛黄道上之弧初均數即其黄道上之甲辛弧因引數丙戊未過半周於法應減即于平行經度減甲辛得月在黄道辛㸃之某度分也但得月恒在戊即于丁辛初均線用此加減足矣然特朔望為然離朔望即月不在戊而丁辛均線不足定月之經度試如在己即作乙申巳線定戊乙巳角或戊申弧(本輪之弧)為本輪上月距心之度是名第二均數以此次均數或加或減于丙戊得丙申為實引數今欲得次均次引合于黄道即因實引數及戊巳弧作丁巳庚過月體線成戊丁巳角得庚辛弧是為第三均數而以之或加或減于甲辛得庚甲是名實均數 加減法如月從戊至己上下兩次輪其行度等在上圖則以第三均數加于第二在下圖則以第三均數加于第一若月在癸則兩圖俱加第三均之根有二故表中列兩數一丙申弧為月在本輪自行之度分一戊巳弧為月在次輪距日(距朔望日)之倍數查表求得辛庚辛壬辛午等度分依本號加减之(表名)(為太隂二三均表表前有用法)推太隂日差 日躔厯有日差表以推太陽經度若推太隂經度其日差不得與太陽同法盖太隂不行黄道中線其相距或南或北各五度有竒即其正升度與黄道不等又太隂行度又從太陽行推算(次輪上太隂自行度倍于距太陽之)(度)故别立太隂日差表法有二其一設時求太隂經度先均時(均時者以均數變用時為平時)以求時太陽所躔宫度分為引數表上下横行各一書宫次者是也(冬至星紀起算)左右兩直行書度(宫次在上順數至下宫次在下)(逆數至上)從太陽躔宫直行從躔度横行相遇得均數用均數依本號或加或减于用時(與太陽表同法)得平時以推太隂經度一法先用所設用時以推太隂經度次求日差均數半之依本號或加或减于先得之經度(半之者時變為度月行一分即時約)(為經度之半分故于所得均數二分取一以加以减)例見本表用法新法算書卷三十
## 卷三十一
欽定四庫全書
新法算書卷三十一 明 徐光啟等 撰月離厯指卷四太隂小論第二十八第一論太隂晦朔伏見 太隂晦朔伏見古今立論踈宻逈殊漢儒洪範傳曰晦而月見西方謂之朏(亦曰朓)朏者政緩所致朔而月見東方謂之側匿側匿者政急所致夫晦在朔後晦失也朔在晦前朔失也厯則失之而歸咎于政誣甚矣唐厯家以晦日之晨月見東方因立進朔之法使月隐晦晨明藏朔夕此則鉤索未能而妄生遷變使月有兩朔食乃在晦将誰欺乎宋元史皆非之頗為辨晰然未能縷形其所以然也夫月距晦朔見有疾遲因乎天度因乎地度即此方近處合朔于亥子之交而甲日之晨乙日之夕兩見㣲明亦時有之此之進退將安徃焉況海以南數千里則有甲晨乙夕終嵗恒見者漠以北數千里則有朔在午中朝暮皆見者亦將使晨隠夕藏其可得乎今法若時若地應速應遲皆從籌算可宻推用儀器可指數先事可豫言臨時可確按又何庸轉移避就為也以此備述所繇徵之度數如下論問太隂合朔以後恒以三日見于西方亦有二日者其在晦以前亦如之何故曰是其因有三 一因赤道上之黄道升降度有正有斜正升則斜降斜升則正降正升斜降者秋半周六宫(秋分左右各三宫)是也斜升正降者春半周六宫(春分左右各三宫)是也(皆論斜球非正平球)正升者赤道之升度多黄道之升度少正降者赤道之降數多黄道之降數少斜升斜降則反是(凡南極出地者與上論悉相反)若太隂離正降六宫則朔後疾見若離斜降六宫則朔後遲見其在晦前亦如之離正升六宫則遲隠離斜升六宫則疾隠也如二圖各有子午圏有地平有極出地等有黄道宫次二圗上圗月離大梁為正降宫次距太陽十五度日入月在地平上為十三度半即能見下圗月離大火為斜降宫次距太陽十五度日入月在地平上為十度即不能見一也 一因白道南北如圗設月距黄道五度距太陽皆十五度而緯分南北(日月各有一日所行之軌道即赤道距等圏也今如)(圖設黄道左右五度各一圜交于距等月在焉兩月各至地平)(其弧有大小則入地有先後人見有遲速)若在北即入地後黄道疾見若在南即入地先黄道遲見二也 一因月視行度若視行為遲叚則朔後見月遲為疾叚則朔後見月疾三也 右第一因月之見界以十五度為限其疾者朔後一日又四分日之一而見也若三因并合又不待此如合朔在亥子間則甲日太陽未出亦見東方乙日太陽已入亦見西方何以徵之設月在黄道北五度太陽躔實沈一十五度本地北極高四十度即晝長(甲之日也)五十九刻(日九十六刻)加一日刻(甲之夜乙之日)共一百五十五刻(甲晨至乙夕)于時月行約得二十三度平分之(合朔前後)得一十一度半以加實沈十五度(日躔也)得實沈二十六度半是乙日日入時月之距日經度也以減十五度得實沈三度半是甲日日未出月之距日經度也日躔實沈十五度其斜升五十三度一十三分月離實沈三度半又北距五度其斜升三十六度半日月兩升度相減得一十六度四十三分為甲日之晨日月赤道上出地平之差(月先日後)變時為月出四刻半而日出得見月東方也乙日太陽正降為九十五度月離實沈二十六度半其正降為一百一十三度兩降度相減得一十八度為乙日之夕日月赤道上入地平之差(日先月後)變時為日入五刻而月入得見月西方也 若日躔冬至月離黄道南推日月出入之差不過八度變時為二刻則不見一系凡極出地愈高愈疾見因斜升度之差為多否則遲見二系極甚高朔後數日不見三系月距黄道南五度若極出地六十二度月盡夜不見四系極甚高合朔在午正則一日之間晨見東方夕見西方如極高五十二度躔離度同上推得日月升降差一十二度時為三刻皆在月見界之内五系既定月之見界為距日十二升度亦可推遲見之日數如極出地四十度日躔降婁月南距五度推得兩斜升差為一十二度即得月距日之經度為四十度月行當三日有竒則朔後三日有竒而見月西方晦前亦如之三因之外又有兩因一曰朦朧分(即晨昏度一名昧爽黄昏)日入地平下一十八度為朦朧之未分因升降有正斜斜又有大小則月距日十二度有時得見有時不得見一曰氣清濁差如同是子正時有時見極㣲之星有時不得見四五等之星氣則使之其在月也亦然第二論月體 月體為圓球何以知之凡圓體于諸體中為最尊如天如日月星如地亦於萬象中為最尊故應圓凡物之初體皆圓(如核如卵如胎)諸大象皆始造時之初體故應圓又月之體半為明半為魄其明魄之界時為弦直線時為弧曲線若果平體何從得生弧線且既為平面日照之宜全體發光如平面之鏡一向日即全面發光也月為不然則非平面 試以人目居中置一燭東方稍逺置一球西方稍近相恭直即見球全受光次不動目燭獨移球西南隅即見球大半為明小半為魄更移球正南必明魄各半其界為直線更移得魄大明小更移正東必見全魄燭為太陽目為地為人球為太隂以近逺日為光大小其明魄界半周之間為直線者一而已餘皆弧線也論其體質非清非純虛實雜也故能映光不能透光能發光不能廻光何謂透光如水如玻璃水晶金剛石皆純清故能透光不止映光非惟不能㢠廻光亦且不能發光何謂廻光如明鏡為全實故能廻光不止發光非惟不能透光亦且不能映光月皆不然而虚實疎宻介在其間故能映能發也 然則何似稍似於雲雲掩日月皆能映光質薄則光顯質厚則光㣲早日未出夕日已入照雲成霞霞照下土虹霓之屬本因雲氣而成光采是為發光體實則光大體虚則光小月實似之獨雲之映光多發光少月之映光少發光多此為異耳第三論月駁 月面不純一色如斑駁然昔人以為山河大地之景不然也山河大地之體東西不等云何月中之景時時不變乎然則如何此有二説一曰月本圓體特其體中疎宻虚實不得純一不能如鏡光合體㢠廻返所受之光第因其本質所至自為發光宻實處發光大虛疎處發光㣲(如金剛石勝玻瓈玻瓈勝水其質疎宻虚實不等故)凡大光明中間有弱光可指則曰大光中之駁㸃也如大赤霞中間有淡紅可指則曰大赤中之駁㸃也是故名為月駁也一曰月體如地球實處如山谷土田虚處如江海日出先照高山光甚顯次及田谷江海漸㣲如人登大高山視下土崇卑其明昧互相容也試用逺鏡窺月生明以後初日見光界外别有光明㣲㸃若海中島嶼然次日光長魄消(日漸逺明漸生如人上山漸逺漸見所未見)則見初日之㸃或合于大光或較昨加大或魄中更生他㸃(如日出地先照山顛次照平疇)(等)以光先後知月面高庳此其徵已第四論月光 太陽為萬光之原本其體至實(光大小如體虚實如)(煉鐵之光大于煉炭之光鐵體實于炭也)其質極地(質不純者光亦不純則不能大)其體為全球曲面(凡發光者不論曲面直面必須順平若凹凸之面不能發大光稍有偏欹光則相奪亦不)(能大)故在大圜中為大光之獨體月及經緯諸星之光皆從禀受焉(月借日光古語則然)何以明之如月食甚時地球隔太陽之光露光極微目所難見一也日食甚時月在日與人目之間月之下魄不受日光人目見之則為黑色二也問月既無光乃兩食甚時亦有淡光此為何故曰體實無光而能受光而能發光兩食之時不受日光而經緯諸星亦能映照相受相發因生微光矣月光有二一為對日而發光名曰正光一為日光不至而從所受之處相映發為微光名曰次光問月近日人見光小逺日人見光大何故曰月合朔時外大半受光(日體大月體小則日必照月之大半)人自下土止視其内小半則無光既而生明所見漸大至一象限則己見其受光之大半故漸逺漸大也何謂日照月之大半如圖甲為日乙為月戊丁巳丙兩光線切月體從丙從丁向乙作兩垂線成戊丁乙巳丙乙兩直角則丁乙乙丙兩線不成一直線何者凡一直線截平行兩線其内兩角并與兩直角等反之若兩直線不平行即一端漸近一端漸逺其漸近内兩角必大于兩直角今設丁丙兩直角則丁乙乙丙不能以一直線與乙為角若從乙心作徑線必在丁丙兩㸃之上則丁庚丙必月周之大半矣系月近日受光之分大逺日受光之分小月體自無運動曷知之人所恒見斑駁之象終古不易月朔時上大半為明下小半為魄月望時上小半為魄下大半為明兩弦各明魄半也如圖甲為日乙丙丁戊為月本天人在地為己月或上或下恒半為明半為魄從人目作視線自見月距日近光小距日逺光大(從生明以後漸長生魄以)(後漸消)人止見月體之小半人目一㸃也從㸃作兩線切一圏兩切線之内弧必圏之小半(如圖)系如上言日照月得大半人見月得小半則定望前後各數刻月猶能發全光滿大半之限然後魄生而光減非若晦朔之間一瞬即生明也問日照月人見月各幾何數曰日月去地去人各有高庳近逺不等古法分月體周為三百六十度折中推得日照月為一百八十一度六分度之一人目見月為一百七十八度四分度之一日照地為一百八十○度二十五分半(月體地球其周分為三百六十度與天等)如圖甲為日乙為月己為地日月之視徑約等(月在最高日在)(最高衝)人目在戊則戊丙戊丁兩視線定見月之丙庚丁弧從月心乙向丙向丁作乙丙乙丁兩垂線成乙丁戊丙斜方形從乙戊平分之作乙丁戊直角形形有丁戊乙角一十五分四十○秒(日月視徑並約為三十一分二十秒)即丁乙戊角必八十九度四十四分二十○秒其丁庚為見月之半弧倍之得一百七十九度二十八分四十○秒若月徑為二十八分則所見弧之小餘三十二分若月徑為三十三分則小餘二十七分因上圖推合朔時日照丙辛丁弧丙辛丁者丙庚丁之餘也是為一百八十○度三十一分二十秒用日距地之數及其比例推得日照地為一百八十○度二十五分三十六秒問月生明後其光曲抱月體至上弦下弦明魄之界則為直線望前望後明魄之界又為弧曲之線何故曰月本球體人目所見似為平面其理正如平儀然儀之子午圏可當月周皆大圏也儀之極分交圏可當上下弦明魄之界皆直線也儀之時圏可當太隂每日距太陽漸長漸消明魄之界皆弧曲線也凡儀上大圏皆分球為兩平分其全見者獨子午圏耳他諸圏皆半見半在儀之彼面彼面者在月則為上半球也(人所不見)平儀曲線(即時線)本是大圏斜絡于球止見其半故為不等撱圏(人視之為撱圏漸消漸長故不等)之半月面中明魄界之弧曲線本亦大圏因其斜絡止見為半亦不等撱圏之半也其與平儀本理未能全合者儀上圏皆分球為兩平分此依上言月受光者大半不受者小半則明魄之照界别成一小圏為大圏之距等而非月球之中圏(中圏必大圏也)(分球為兩平分)人目所見之界其直線則距等圏之似直線(本是)(圏也人視為直)其弧曲線則亦距等撱圏之半也以此之故朔後三四日新月之兩端能過半周之界問月行每日去離太陽約十二度等也然朔前後光魄消長之分數少兩弦前後消長之分數多望前後復少人于定望前後一二日見月光如不易何故曰月體本圓圓面之上必有兩圏皆為明魄之界一為日所照之界一為人所見之界兩圏於定朔時相合為一(照與見相反)定望時亦合為一(照與見相同)過朔望漸相離(如兩交圏結于兩極漸展)(漸離相離之處若黄赤二道之距逺度也)兩界圏之距間則人所見月體有光之分也以此推之人目所見為球之正面如平儀之極分交圏也兩界合圏在球之側面如平儀之子午圏也初日相離距度若干人側視之則見少如時圏之近子午度分等人側視之則見狹兩弦時距度亦若干人平視之則見多如時圏之近極分圏度分等人平視之則見廣也故朔望之消長非少而見少兩弦之消長非多而見多也如圖甲為日乙為地丙為月丁丙戊庚為人所見月之半己丙庚丁為日所照月之半丁庚為兩界之距間即本時人見月體有光之面也(從目日及月心作甲乙丙三角平面平分月體則己丁庚戊為圖面)甲乙丙角形有甲乙(日距地心)約一千二百地半徑有乙丙(月距地心)約六十地半徑又有甲乙丙角為月距日之度(試作癸子弧即得乙角之度)求丙甲乙角設月距日之乙角為四十度算得一度五十五分以并四十度得四十一度五十五分又引長乙丙成甲丙辛外角即與丁丙庚角等(庚丁壬丁壬辛皆四分之一各減共用之丁壬)(其兩餘等)甲丙辛外角與相對之兩内角等即丁庚弧亦與兩内角等則月距日四十度人所見月體有光之分約得四十二度(言約者未定之辭也如上論月體明魄兩界圏似大圏而實距等圏則有差又約月)(距地為六十地半徑然時多時少日距地為一千二百地半徑亦時多時少又月經度距日四十度或在南或)(在北亦有差是故約言之)系若測得月體明魄兩界之比例可推月距日之度即上圖說反用之二系若欲圖某日之月光界先求月距太陽若干度分次依上法求月面半徑上明魄界若干度分從兩極(月面上兩極定為過白道兩極)(之大圏線或與白道為直角)作撱圏之半乃本日所見月面有光之界也若未至九十度光作角形若過九十度作未成圓形如圖甲丙為月之兩極丁戊為明魄之界甲戊丙線為本日之月光界甲戊丙丁為兩角之形甲戊丙乙為未成圓形用上法推凡月光界為全徑十分之一距日二十六度十分之二距日四十度半十分之三距日六十度十分之四距日七十二度半十分之五距日九十度弦也十分之六距日一百○七度半十分之七距日一百二十度十分之八距日一百三十五度半十分之九距日一百五十四度滿十分距日一百八十度望也以上數依目測為定若推算當求月高庳求白道緯度當有㣲差問月望時中心光色稍淺四周光色特深何故曰月體圓中心體一分發光一分四周體三分發光一分一分者所受日光少故發光淺三分者所受日光多故發光深如圖甲為月體乙為目見月之角從角分為十分中一分見月周一十一度有竒旁一分見月周二十(五度有竒)問日月出地平之高度等同用一表其景長短不等何故曰上文言月距地視日為甚近又曰地面與月天有比例則表末不在地心者簡二論按圗甚易明論四餘辨天行無紫炁第二十九舊厯七政之外别有四餘謂之四隐曜一曰羅㬋為火之餘氣二曰計都為土之餘氣三曰紫炁為木之餘氣四曰月孛為水之餘氣羅計之名梵語也其説後出隂陽家以此推人禄命頗不經至于紫炁一曜即又天行所無有而作者妄增之後來者妄信之更千餘嵗未悟也今欲測候既無象可明欲推算復無數可定欲論述又無理可據所以未從斷棄者或不能考定三之實有故不能灼見一之實無耳兹各論如左羅計者黄道與白道相遇之兩交也舊法謂之正交中交亦名天首天尾西法謂之龍首龍尾若求月距羅計宫度法先推月離宫度以加交行宫度即得其行度體勢詳本篇第四第二十五月孛者月行之最遲也本篇本法用兩小輪則為次輪行本輪之最高為月離次輪之最逺於距地為極逺以視平行為極遲然依本法本論則無從得其周天行度欲得周天行度依次法用不同心圏鮮之則月孛者其負中距圏之最高也前本觧定其本行為每日六分四十○秒五十五微○六纎每年行四十○度三十八分○九秒三十二微凡三千二百三十二日三十七刻一十二分而行天一周或稱八平年三百一十二日有竒而行天一周推月孛距度法依太隂恒年表有平日太隂距節氣若干有太隂距自行輪最高若干(是名引數)兩數相減得太隂距孛㸃若干又于月離某宫度去減距孛度分得孛㸃所在宫度分孛者悖也是為月行之最遲一悖也又逆經度行二悖也又違天左旋三悖也厯家遂以當彗孛謬甚矣彗孛非時之變象豈有行度可指可推乎又因其在最高故極遲若在最庳則極疾舊說謂最高極疾最庳極遲即遲疾順逆一一相背繇不知月轉左旋故耳謂天行無紫炁者何也曰舊説謂紫炁生于閏餘閏餘者朔周不及氣盈之數也是不屬太陽不屬五緯則為太隂厯中之行度率無疑矣考太隂厯之行度展轉相生凡有十種此外無有今先述如左第一太隂每日距節氣行一十三度一十○分三十五秒第二太隂每日距本輪最高行(名前引數)一十三度○三分五十三秒五十六微第三距交日行一十三度一十三分四十五秒三十九微(距節行并入交行分)諸厯上三行為月厯之根本篇一二卷測定訖因此三行更生七行第四於第一行内去减太陽日平行五十九分○八杪二十○微為每日太隂距太陽得一十二度一十一分三十六秒四十一微第五以一二行相減得六分四十一秒○五微為自行本輪之最高行分即月孛第六以一三相減得交行每日三分一十一杪因月平行順經度右旋交行逆經度左旋積日相違故是名正交中交即羅㬋計都第七太陽日平行交行兩并得六十二分一十九秒二十○微為太陽每日距交分第八置太陽平行分去減太隂最高行(月孛行分)得五十二分二十七秒一十五微為太陽每日距太隂最高之行分第九太隂最高行交行兩并得九分五十二秒○五微為太隂最高之距交分第十太隂行次輪日二十四度二十二分五十三秒強以減太隂自行一十三度○三分五十三秒五十六○㣲餘一十一度一十九分弱為兩自行之較差分右十行皆用太陽太隂諸行反覆加減而得所以然者六曜各有平行自行次自行匪平匪順必依太陽為凖以得其實行故也又六曜之行不相連逮月厯諸行止此十端無縁得有閏餘一行糅雜其間矣凡天行之數其初也必發于端其究也必復于端發端者起算之界復端者滿周而還于故處也從此論其合違齊其多寡大至萬億細極纎芒始于紛綸終于畫一矣若紫炁以閏餘為紀竟不知何所起何所止據云二十八年而行天一周謂此十閏之數閏何以終于十乎十閏者不足二十七年非二十八也其初根又始于二十二十者何物乎意者十九年而一章從兹託始乎依彼法乗除正得二十七年而十九年之七閏又非定率也又何以從七閏始十閏終也或又以二十為土木相㑹之年是則誠然然氣朔盈虛于二星曷與焉此為牽合傅㑹不倫尢甚特遁辭矣三率乗除之法必縁比例等也通閏之與二十氣策之與紫炁周積是何比例而得聨為四率履端無始歸餘無終舉正無中妄作焉耳周天諸道諸行諸㸃皆天之所設也因而測量揆度立為諸率以便推算皆人之所設也閏餘之法既有氣盈朔虛為天設之㸃因而以少减多得其通閏每嵗十日有竒則人之所為足濟于事矣柰何復以加減之一率妄設一周行于天上乎即如嚮者太隂十率皆從加減得之以為推步之用亦可各設一周行于天上乎五緯諸星略似太隂若皆然者周天各道不亦紛紜(而無所至極哉)四餘厯自漢太初以至元授時諸名家皆不著即西國之厯屢行于前代矣唐人再用九執厯一為太史令瞿曇羅一為太史監瞿曇悉逹傳其法者為厯官陳𤣥景寫其術而未盡者為大慧禪師僧一行元人嘗行萬年厯其人為扎馬魯丁隂用其法者為王恂郭守敬國初譯回回厯其人為靈䑓郎海達兒回回大師馬沙亦黒馬哈木傳譯則簡討吳伯宗亦皆無所謂四餘者何故羅計二行則己為正中二交月孛一行則己為最遲行度不煩更借他名紫炁一術則亦皆知其無當矣故無論唐以前未聞其說即唐以後傳其説矣而中西兩家凡為正術者皆棄弗錄也葢其法名為西厯而實西國之旁門如所稱西域星經都頼聿斯經及婆羅門李弼乾作十一曜星行厯皆詖辭耳鮑該曹士薦嘗業之然士薦所為書止羅計二隠曜立成厯而先是李淳風亦止作月孛法五代王朴作欽天厯以羅計為蝕神首尾行之民間小厯可見紫炁一術即用彼法者猶棄弗錄也今世傳金重修大明厯四餘法或以譏元時造厯者為失傳夫金元相去未逺元初本承用金厯何遽失傳則是趙知㣲之猥濫如此術及轉神厯皆俚鄙不經殆耶律楚材王恂郭守敬諸人所諱也何足述哉古今交食考第三十崇禎元年戊辰為總積六千三百四十一年今上考總積三千九百九十三年為周平王四十九年己未西三月十九日曜三日(言三日者火星之日為翼尾室觜宿)太陽躔娵訾宫二十四度半子正後八刻○五分(順天府時刻下同)月全食三千九百九十四年為周平王五十年庚申西三月初八日曜七日(十日者填星之日為氐女胃栁宿)太陽躔娵訾宫一十三度四十五分子正後一十八刻○五分月食四分之一在南本年西九月初一日曜二日(二日者太隂之日為心危畢張宿)太陽躔鶉尾宫三度一十五分子正後四刻○五分月食大半在北四千○九十三年為周襄王三十一年庚子西四月二十二日曜一日(一日者太陽之日為房虛昴星宿)太陽躔降婁宫二十七度○五分西子正後四十一刻○五分(言西時刻者中厯食在畫不見)(下同)月食四分之一在南四千一百九十一年為周景王二十二年戊寅西七月丁六日曜五日(五日者木星之日為角斗奎井宿)太陽躔鶉首一十八度一十二分子正後一十四刻○五分月食二分之一在北四千二百一十二年為周敬王十九年庚子西十一月十九日曜三日太陽躔析木(度分闕)子正後一十六刻一十分月食四分之一在南四千二百二十三年為周敬王二十九年庚戌西四月二十五日曜五日太陽躔大梁(度分闕)子正後一十六刻○五分月食六分之一在南四千三百三十一年為周安王十九年戊戌西十二月二十三日太陽躔析木十八度一十九分西子正後四十七刻月食小半(食限内六刻)四千三百三十二年為周安王二十年己亥西六月十八日曜六日(六日者太白之日為元牛婁鬼宿)太陽躔大梁二十一度四十九分子正後六刻○五分月全食(食限内十二刻)本年西十二月十二日曜一日太陽躔析木十七度半子正後十四刻○五分月全食(食十二刻)四千五百一十三年為漢高祖六年庚子西九月二十二日曜七日太陽躔鶉尾二十六度○六分子正後一刻○五分月全食四千五百一十四年為漢高祖七年辛丑西二月二十日曜三日太陽躔娵訾二十六度一十七分子正後二十七刻月全食(食十二刻)本年西九月十二日曜四日(四日者水星之日為軫箕壁参宿)太陽躔鶉尾十一度一十二分 子正後四十五刻月全食四千五百四十○年為漢文帝六年丁卯西五月初一日曜七日太陽躔大梁六度○四分 子正後三十一刻月食十二分之七在北四千五百七十三年為漢景帝後元三年庚子西正月二十七日曜四日太陽躔𤣥枵五度○八分子正後十四刻○五分月食四分之一在南四千八百三十八年為漢安帝延光四年乙丑西四月初五日曜五日太陽躔降婁約一十五度子正後七刻○四分月食六分之一在南右十七食上古依巴谷墨端等所測四千八百四十六年為漢順帝陽嘉二年癸酉西五月初六日曜四日太陽躔實沈十三度一十四分子正後八刻○一十分月全食四千八百四十七年為漢順帝陽嘉三年甲戌西十月二十日曜四日太陽躔夀星二十五度○六分子正後十七刻一十分月食六分之五在北四千八百四十九年為漢順帝永和元年丙子西二月初六日曜二日太陽躔娵訾十四度一十二分 子正後三十七刻一十分月食二分之一在北右三食多禄某所測五千五百九十六年為唐僖宗中和三年癸卯西七月二十三日太陽躔鶉火四度○二分子正後三刻○九分月食六分之五五千六百○四年為唐昭宗大順二年辛亥西八月初八日亞刺得國北極出地三十○度一十五分在順天府西里差一十九刻本方午正後四刻○五分太陽躔鶉火一十九度一十四分日食三分之二五千六百○五年為唐昭宗景福元年壬子西正月二十三日本國午正後五刻太陽躔析木八度三十七分日食二分之一五千六百一十四年為唐昭宗天復元年辛酉西八月初三日太陽躔鶉火十四度三十六分本國子正後三十三刻○五分月食不盡右四食亞巴徳所測嘉靖二十四年乙巳總積六千二百五十八年西十月二十六日禄法府北極出地五十○度五十○分在順天府西里差三十○刻四十○秒本地午正後十六刻日將入(極高近冬至故日短)順天府為午正後四十六刻○五分(不見)(食)日食三十一分之一十二分嘉靖二十五年丙午總積六千二百五十九年西正月二十四日本地子正後三十五刻○八分順天府為午正後五刻○七分一十六秒日食六分之五在南右二食日瑪用弧矢儀測正徳六年辛未總積六千二百二十四年西十月(望日闕)太陽平行躔夀星二十四度一十三分視行躔二十二度二十五分子正後二十八刻○五分(順天府時刻下同)月全食嘉靖元年壬午總積六千二百三十五年西九月望日太陽平行躔鶉尾二十三度四十九分視行躔二十二度一十二分子正後三十一刻月全食嘉靖二年癸未總積六千二百三十六年西八月望日太陽平行躔鶉尾十三度○二分視行一十一度二十一分子正後六十三刻○五分月食(分數闕)正徳四年己巳總積六千二百二十二年西七月月在正交前太陽躔實沈二十一度子正後二十四刻一十分月食四分之三在南𢎞治十三年庚申總積六千二百一十三年西十一月太陽躔大火二十三度一十一分子正後三十五刻一十分月食六分之五天順元年丁丑總積六千一百七十○年西九月望日子正後二十四刻一十一分月全食食既至生光為時五刻一十分(若翰王山所測用星之高定時)天順四年庚辰總積六千一百七十三年西七月望日子正後一十三刻○三分月食三分之一強本年西十二月望日子正後三十三刻一十一分月全食食既至生光為時四刻○八分初虧時北河大星月南河大星叅相直復圎時北河次星月南河大星叅相直此於瞻測時用恒星推算定原推之疎宻也天順五年辛巳總積六千一百七十四年西十二月望日月食六分之五隂雲不見初虧復圓以星測得食甚為子正後一刻○九分成化十七年辛丑總積六千一百九十四年西三月望日入爾瑪你亞國北極出地四十九度二十六分在順天府西里差二十八刻○二分日食十二分之十一用日軌高測得本地初虧午正後一十三刻一十一分復圓二十一刻一十三分右十食歌白泥所測近嵗西史第谷細測月食為今譔月離表新法之原萬厯元年癸酉總積六千二百八十六年西十二月望日子正後十二刻○三分月全食(時刻為食甚下同)原推太陽躔析木二十六度五十分臨時實候得月離與太陽衝在五十一分月離表與天驗差一分於時月自行為二百三十四度二十四分萬厯四年丙子總積六千二百八十九年西十月望日子正後二十五刻一十分月食先推太陽躔夀星二十四度三十○分二十○秒實測月離三十三分表驗差二分二十○秒萬厯五年丁丑總積六千二百九十○年西四月望日子正後十五刻○五分月全食先推太陽在降婁二十二度四十七分一十秒實測月離五十二分表驗差四分五十○秒本年西九月望日子正後三十二刻○三分月全食先推太陽在夀星十三度二十三分二十○秒實測月離二十四分四十秒表驗差一分二十○秒萬厯六年戊寅總積六千二百九十一年西九月望日子後三十三刻○九分月食二十四分之五先推太陽躔夀星二度一十九分實測月離二十一分一十五杪表驗差二分一十五杪萬厯八年庚辰總積六千二百九十三年西正月望日子正後二十○刻○十分月全食先推太陽躔𤣥枵二十一度二十八分一十秒實測月離二十五分四十五杪表驗差二分三十五秒萬厯九年辛已總積六千二百九十四年西正月望日子正後二十○刻月全食先推太陽躔𤣥枵十度○四分五十○秒實測月離二分表騐差二分五十○秒本年西七月望日子正後四十八刻月全食先推太陽躔鶉火三度四十○分五十○秒實測月離三十七分三十○秒表驗差三分二十○秒萬厯十二年甲申總積六千二百九十七年西十一月望日子正後三十二刻○九分月全食先推太陽躔大火二十五度四十九分一十五杪實測月離五十○分三十六秒表驗差一分二十○秒萬厯十五年丁亥總積六千三百○○年西九月望日子正後十八刻月食四十八分之三十九(約十六分之十三)先推太陽躔鶉尾二十三度○八分三十六秒實測月離十分四十○秒表騐差二分萬厯十六年戊子總積六千三百○一年西三月望日子正後四十○刻○二分月全食先推太陽躔娵訾二十二度四十九分實測月離四十八分表驗差一分萬厯十八年庚寅總積六千三百○三年西十二月望日子正後八刻月食(分數闕)先推太陽躔星紀十九度○一分二十○秒實測月離三分四十○秒表驗差三分二十○秒萬厯二十年壬辰總積六千三百○五年西六月望日子正後二十一刻○五分月食三分之二先推太陽躔鶉首三度一十五分實測月離一十六分表驗差一分本年西十一月望日子正後十刻一十一分月食先推太陽躔析木二十七度一十五分二十○秒實測月離十六分一十五秒表驗差五十五杪萬厯二十二年甲午總積六千三百○七年西十月望日子正後五十刻○一分月食先推太陽躔大火五度二十九分三十○秒實測月離三十一分三十○秒表騐差二分萬厯二十三年乙未總積六千三百○八年西四月望日子正後四十六刻月全食先推日躔大梁三度二十四分三十○秒實測月離二十九分表騐差四分三十秒本年西十月望日子正後六十二刻月全食先推太陽躔夀星二十四度一十五分四十五秒實測月離十八分二十○秒表驗差二分三十六秒萬厯二十四年丙申總積六千三百○九年西四月望日子正後一十七刻一十分月食先推日躔降婁二十三度○九分三十六秒實測月離十三分一十五秒表騐差三分四十○秒萬厯二十六年戊戌總積六千三百一十一年西二月望日子正後五十二刻○七分月食二十五分之二十三先推太陽躔𤣥枵二度二十二分實測月離三十○分二十四秒表驗差一分二十六秒本年西八月望日子正後十刻○七分月全食先推太陽躔鶉火二十三度一十二分一十五秒實測月離八分二十○秒表驗差四分萬厯二十七年己亥總積六千三百一十二年西正月望日子正後五十一刻一十一分月全食先推太陽躔𤣥枵二十一度一十一分實測月離一十分三十秒表驗差一分右二十一食第谷所自測萬厯三十七年己酉總積六千三百二十二年西七月望日子正後二十八刻○十分月食先推太陽躔鶉首二十四度一十分實測月離十二分一十二秒表騐差二分○十二秒萬厯四十一年癸丑總積六千三百二十六年西十月望日子正後九十一刻一十二分月食先推太陽躔大火五度一十三分一十五秒實測月離十三分五十○秒表騐差三十五秒右二食第谷門人所測新法算書巻三十一
## 卷三十二
欽定四庫全書
新法算書卷三十二 明 徐光啟等 撰月離表卷一月離表用法諸表皆用以求月離宫度分也凡步月離有二法皆先求月平行度分次一法用三角形法推求均度以加以減又一法用加減立成表查均數以加以減但正朔望時止用一均數一加減表餘日皆用二均數二加減表今列用表十法如左一設某日時刻求月經度先以所設之用時變為平時(日躔)(厯有論分時為平時為用時平者平行用者定時也凡日月五星諸立成表皆以平時求經緯度而設時必是)(用時故當先變為平時此以步日躔經度為用未大葢時差僅以分計每一刻太陽行僅大半分而太隂行疾)(乃至四分度之一有竒也交食法中為用尤大)法先約算太陽所躔宫度於太陽日差表求其分求其號或加或減反用之(日差表以平時變用時今以用時變平時故查其加減之號反用之)而均用時為平時太隂亦有日差表亦用以均其時其加減則用本號(補見月表二卷數)二求太陽本時所躔宫度分法(見日躔表一卷第九)先於恒年表取平行經度及最髙衝兩數又於日細行及時刻各表各取其兩數各就本數并為兩總數兩總相減得較為引數查加減表依本號或加或減於經總數得太陽本時正躔經度分三求月平行法於太隂恒年日時三表求各行數就本數并之以求引數均數略與太陽同法(月諸表有初宫宜穪算外)四求前均數法以太隂自行為引數於前均表(即自行加減表)求均數查表宫直行度分横行縦横相遇為均數(宫數有二順數従○下至五則其度)(分數在首横行逆數従六上至十一則其度分數在末横行上下各有加減字號)依本號加減於太隂平行及自行得太隂實平行及實自行(實自行於月離)(厯指第二卷為次輪最近㸃所當白道上之度即地心所出線遇近㸃至白道上之度朔望之時實平行為正)(經度)五求太隂距太陽度法先求得太陽所躔宫度分以減太隂實平行不足益全周而減半周餘為相距之度即次引數若無餘分即日月同度是為定朔若所餘為六宫正即日月正相對是為定望也因上論朔望時太隂止用一均數故白道上所得實平行度即為視經度六求次均數法以次引數(日月相距之宫度分)及實自行(即實引數)查二三均表(本表)(右兩直行有順逆兩數有宫有度即日月相距數即次引數上下兩横行有宫度數上順數下逆數皆太隂實)(自行數)得兩引數縦横相遇為次均數依本號或加或減得設時之太隂所離度分七求正交行度(正交即羅㬋亦稱龍頭是太隂入隂厯之初度分従南向北之交也)法於本恒年表查本年正交行度去減本日時正交行度(正交逆行故用減法)得本時正交距冬至之平行經度次查本加減表以日月相距為引數求交行均數(查表左右兩直行為太陽)(太隂相距宫分上下有其度分及其加減號)以加或減得正交距冬至若干度分若推交食不用此法八求兩道之大距本表交行均數下别有度分秒是兩道之大距度也(朔望)(時兩距度為一故不用此法)九求月距黄道之緯度法以月視行(即正經度)減正交距冬至度分得引數又先得兩道之大距亦作引數於兩道相距表查數(右直行有宫數上下)(有度數是月距正交宫度又次直行冇黄白大距)得太隂或南或北距黄道緯度若干十求太隂黄道經度月離厯指諸論皆於白道取太隂經度不於黄道者其差甚微故也今細推黄道上正經度有本法其本表曰黄白道同升表十一求月孛法於恒年表日平行表求月孛所在度分其行極遲九年而周故不用時刻表十二求羅㬋如前法求得正交距冬至度分即羅㬋所在也其對衝為計都十三求月離宿如前法求得月離經度查宿表得某宿之經度少于月經度即于月經度内減宿經度得月離某宿之若干度分十四求月到某星法於未會前約用一時推月經度與某星經度各得數以月經減星經得餘度分於日時表中横行求時分以加設時得月到某星之時如上法皆用表求加減均數以得實數設假如三則如左若不用表則用三角形法推算説見月離厯指二卷交食厯指三卷第一假如崇禎四年十月十五日乙夘夜望(乙夘夜望月食甚在晝實)(丙辰日)辰初一刻内一十六分六十六秒月食求日月經度 上加時為日百刻若以九十六刻為一日通之得食甚加時為子正後六時(小時)五十一分(時六十分)今求太陽經度宜先均時約太陽在大火宫一十六度(或十宫一十五度従冬至最庳起算)為引數查日差表(在日躔表第二卷中)得二十四分其號為加反用之以減設時得丙辰日子正後六時二十六分(平時也)次查本年辛未恒年表取其數列書之其根日為甲午至本日丙辰積三百二十二日(甲午至丙辰得二十二中積滿五旬周得三百)次查日平行表得數查時刻平行表得數各類列恒年數下并之得平行經度次求太隂經度用本法均時查表得九分五十六秒(作十)(分)其號為減以減設時得六時四十○分(查月離表)(度分總數内若過三百六十度天一周宜減之而用其餘)凡月距交不過半周在黄道北為入隂歴南為入陽歴交行度於年根減日時并者交本逆行故也月朔望交行無均數用月距近交為引數查本表羅㬋即正交在大火宫一十四度五十七分計都即中交在大梁宫同度分推月離宿度分用宫宿度通表於黄道宫度查月經度因本法得胃宿四度八十七分第二假如崇禎五年三月癸丑夜望子正後二十○時一十四分月食求日月經度(從根至本日為一百三十三日)以太陽行均時查表得十一分其號為加反減為二十○時○三分以太隂行均時查表得十分其號為減減之得二十時四分月距交過半周即在黄道南入陽厯推月離宿度分月經為大火十四度二十七分去減氐宿入本宫九度五十四分得月食氐四度三十三分右二法皆朔望日故止用第一均數若在朔望之外則用次均數如下法(朔望時差一二分不論交食厯有細法)第三假如崇禎四年十月十二日壬子夜(或癸丑日)子正後六時○三分舊法云月食犯木星今求太隂經緯度正之依舊表於時木星在降婁宫十度三十二分逆行(或作距冬)(至一百○○度三十二分)其緯黄道南二度(經緯度俱未合)求日經度均時得十四分減之得五時四十九分求月經度均時得六分減之得五時五十七分年根日為甲午至癸丑中積三百一十九日月實經去減日經不足益一周為實減之黄白距四度五十八分三十五秒月已過中交入陽厯用月距中交表黄白相距數求緯度得二度四十七分四十六秒為月在黄道南緯度前得木星距冬至一百○度三十二分月距冬至一百○度七分是經度未合者二十四分又緯度未合者四十七分故月不掩木星月在南月孛入宿法同前二則厯元後二百恒年表二百恒年表亦崇禎元年戊辰以後二百年太隂諸行表也表首書紀年次月距冬至者月平行之根數以求平經度次月自行者月行次輪度分以合於加減差表而求定經度也次正交行者正交逆行之度分又次月孛行者月自行最髙最遲順行之度分也最下為宿為紀日者本年冬至後首日之星宿干支也用法與日躔恒年表略同詳見月離厯指各卷中周嵗各日平行表二百恒年表為各年之各行此為一年三百六十六日各日之各行右首直行為日數次為月距冬至次月自行次為龍頭即正交行也各横行為各行之度分秒恒年表既得一嵗之總度分有零日依此表查數并入推算周日時刻平行表恒年各日既各有其各行此為周日時刻之各細行也時分六十則二日有半上横行列六十數各相當之直行列各行之度分秒數若首横行為設時則得度分秒為設分則得分秒微為設秒則得秒微纎依上年日表得總度分有零時分依此表查數并入推算新法算書卷三十二
## 卷三十三
欽定四庫全書
新法算書卷三十三 明 徐光啟等 撰月離表卷二自行加減表自行加減者太隂之第一均數也右首直行有宫數(算外)(有初宫無十二宫)順數者自○至五逆數者自六至十一順數之宫度在上横行逆數之宫度在下横行各直行每十分為一率各率之數即右首行各宫之相當度分也有自行之宫數有自行之分數簡表縦横相遇為均數順數之宫其號為減(書于上行)逆數之官其號為加(書于下行)若十分上下設有零分則用中比例法黄白距度表兩道相距表右直行有宫(有初宫穪算外)次直行有兩道之大距度(或穪兩道之交角)上下有度數上宫用上度下宫用下度皆月距正交宫度也縦横相遇得緯度分交均距限表此表每宫有二種行度交均者以日月相距(月距日或距日之衝)為引數查表求交行均數依本號以加以減求正交距冬至度分也距限者黄白二道最逺之大距以為引數求太隂南北緯度也左右直行有宫(宫三十度有初宫宜穪算外)上下横行有度分右宫用上横行度分左宫用下横行度分直行六十分為一率有零分用中比例法黄白二道同升表二道同升表者用以密推黄道上之月離經度也測量全義第八卷論黄赤二道同升度白黄二道同升度推步皆同一法皆用兩道之大距度今表中白黄兩道之大距有多率然其差極微用推升度不以異也表上下横行有宫右直行有順逆行度上行宫用順數之度下行宫用逆數之度其宫其度(有初宫穪算外)則月距正交宫度以為引數縦横相遇得分秒依本號以加以減于白道所得經度得黄道所求經度月離日差表説月離日差表上下横行有宫右直行有度其宫其度則太陽所躔宫度也以為引數縦横相遇得分秒依本號以加以減于用時得平時新法算書卷三十三
## 卷三十四
欽定四庫全書
新法算書卷三十四 明 徐光啟等 撰月離表卷三二三均數加減表説二三均數者月有本輪有次輪第一均數者以均本輪之自行二三均數者以均次輪之自行也表右兩直行上下兩横行各有宫有度各有順數有逆數凡用右行順數之宫度則以當上横行順數之宫度用右行逆數之宫度則以當下横行逆數之宫度直行宫度者月距日或距日之衝也上下横行宫度者月之實自行也(初自行以初均加減訖故名實自行亦名實引數)推月離既以第一均數均其平行自行為實平行實自行又以實自行為本表之引數簡表於右直行有月距日之引數於上下行有實自行之引數兩引數縱橫相遇為次均數或上或下各有加減之號其中面有曲折線相隔者為變號之界新法算書卷三十四
## 卷三十五
欽定四庫全書
新法算書卷三十五 明 徐光啟等 撰月離表卷四太隂二三均數總數加減表下新法算書卷三十五
## 卷三十六
欽定四庫全書
新法算書卷三十六 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷一(總論)周天各曜序次周天諸曜位置有髙庳包函有内外去人有逺近何繇知之以其相食相掩知之凢相食相掩必叅相直叅相直必分三界人目為此界所食所掩為彼界則食之掩之者必在其中界也第一最近為太隂太隂能食日能掩他星他星不能掩太隂(月掩他星見月離厯四卷) 第二為水星(此古法多禄某及其門人所定也下六同)第三為金星 第四為太陽 第五為火星第六為木星 第七為土星 第八為恒星第九為宗動天 中世于恒星天上又增東西歲差一天南北歲差一天共為十一重天(此歌白泥所定也近第谷以來不復用之)恒星本天在七曜天之上古今諸家之公論也試法有三其一緯星能掩恒星恒星不能掩緯星(如唐髙宗永徽三年正月丁亥歲星)(掩太㣲上將正月戊子熒惑掩右執法元武宗至大元年十一月戊寅太白掩建星之類)其二緯星有地半徑之差各去地有逺近而差有多寡恒星古今宻測絶無地半徑差則以較緯星必為極逺極髙其視地球正為一㸃(日躔厯月離厯皆以此地半徑差求日月逺近)其三為恒星天之本行極遲則當為極髙極逺解曰諸星行天之能力必等(或以自力行或依他力行見本篇)行力既等而各所見之本行有遲有疾必所行之軌道有大有小故也月天甚近于地甚小故二十七日有竒而行一周恒星必六十餘年而行一度甚遲必甚大甚逺矣三者相因之勢也(因此論亦得諸星相距之髙庳)太陽在諸曜適中之處亦古今無疑試法有四其一諸星受光于太陽若在甚髙或甚庳即不能平分其光又太陽為萬光之原其在衆星之中若君主在衆臣之中其二日躔月離各厯指測算太陽距地之逺為地半徑者一千一百个有竒太隂距地之逺六十个有竒則月天與日天相距當一千个有竒其間不應空然無物㑹當有星則金水兩星之天在其中矣若此外土木火三星其行甚遲其所行本天甚大故非日月兩天之間所能容受也其三諸星之視差與地半徑差各各不等太陽之兩差不能多于太隂太白不能少於木星土星則當在其中處(各星之視差見五星後論)其四中西厯家所立法數種種不同其同者有二一周天分二十八宿其距星合者二十七不合者獨觜宿耳二以七政𨽻於各日初日為太陽日次為太隂日三為水星日四為火星日五為木星日六為金星日七為土星日也夫七政自上而下當首日次金水月土木火今云然者日分二十四時七政分屬焉周而復始今所指直日者各日之首時也如初日之首時為太陽時次金星時三水星時四太隂時五土星時六木星時七火星時滿二十四時為水星則次日之首時為太隂矣故太陽之次日即為太隂之日可見上古厯宗初立此法者知太陽在衆星之中處也上三論古今無疑其不同者古曰五星之行皆以地心為本天之心今曰五星以太陽之體為心古曰各星自有本天重重包裹不能相通而天體皆為實體今曰諸圏能相入即能相通不得為實體古曰土木火星恒居太陽之外今曰火星有時在太陽之内解曰用逺鏡見金星如月(見本篇)有晦朔弦望必有時在太陽之上有時在下又火星獨對衝太陽時其體大其視差較太陽為大則此時庳于太陽水星木星土星不能以正論定其髙庳但以遲行疾行聊可證之古圗中心為諸天及地球之心第一小圏内函容地球水附焉次氣次火是為四元行月圏以上各有本名各星本天中又有不同心圏有小輪因論天為實體不相通而相切新圗則地球居中其心為日月恒星三天之心又日為心作兩小圏為金星水星兩天又一大圏稍截太陽本天之圏為火星天其外又作兩大圏為木星之天土星之天此圗圏數與古圗天數等第論五星行度其法不一(見各星本厯及下總論)依新圗可見金星以太陽為本天之心在上則得全光在下則無光也又可見火星對衝太陽時則庳于太陽皆與所見所測合 又金水二星以太陽之平行為本天之平行古今不異則三天之行(日月太白)皆繇一能動之力此能力在太陽之體中也問金水二星既在日下何不能食日曰太陽之光大于金水之光甚逺其在日體不過一㸃是豈目力所及如用逺鏡如法映照乃得見之 依本測法太陽之面大于太白之面一百餘倍辰星尤㣲問古者諸家曰天體為堅為實為徹照今法火星圏割太陽之圏得非明背昔賢之成法乎曰自古以來測候所急追天為本必所造之法與宻測所得畧無乖爽乃為正法茍為不然安得泥古而違天乎以事理論之大抵古測稍粗又以目所見為凖則更粗今測較古其精十倍又用逺鏡為凖其精百倍是以舎古從今良非自作聰明妄違廸哲問金水二星其孰上孰下何從知之曰水星之天小于金星之天知水星必在其内(水星左右距日二十餘度金星左右距日四十餘度)又曰太白行遲于水星之行則其軌道必大(金星次行約二十月而一)(周水星次行約四月而一周)問金星居兩留叚時即與弦月不異辰星豈不當爾乎曰論理宜然特因體小出没必于晨昏難見故未覺其盈虧消息耳問土木火三星孰上孰下曰火星在日之衝其視差大于日之視差其體亦大宻測宻推知其庳于太陽過此以徃其視差小于日之視差其體亦小推算所得又髙于太陽若土木二星視差恒小于日必在日上無疑也又土木火三星行度不等遲行者必在上土星是也疾行者必在下火星是也行在遲疾之間則木星位置宜在火土之間矣此三星上下古今同論(土星三十年一周天木星十二年一)(周天火星二年一周天)問宗動天之行若何曰其說有二或曰宗動天非日一周天左旋于地内挈諸天與俱西也今在地面以上見諸星左行亦非星之本行葢星無晝夜一周之行而地及氣火通為一球自西徂東日一周耳如人行船見岸樹等不覺已行而覺岸行地以上人見諸星之西行理亦如此是則以地之一行免天上之多行以地之小周免天上之大周也然古今諸士又以為實非正解葢地為諸天之心心如樞軸定是不動且在船如見岸行曷不許在岸者得見船行乎其所取譬仍非確證正解曰地體不動宗動天為諸星最上大球自有本極自有本行而向内諸天其各兩極皆函于宗動天中不得不與偕行如人行船中蟻行磨上自有本行又不得不隨船磨行也求宗動天之厚薄及其體其色等及諸天之體色等自為物理之學不闗厯學他書詳之(如寰有詮等)厯家言有諸動天諸小輪諸不同心圏等皆以齊諸曜之行度而已匪能實見其然故有異同之說今但以測算為本孰是孰非未湏深論(闕)中又記孝武寧康二年十一月癸酉金星掩火星太陽上水星下又記總積五萬五千二百一十年為元和三年戊子西厯五月初一日見水星在日輪之下如黒㸃而過日輪之面又曰水星出入日輪時為隂雲掩之木上金下中史記唐肅宗至徳二年八月金星掩木星于鶉火木上火下中史記世宗大定十年八月(即孝宗庚寅六年)木星掩火在參畢間金水相掩中史記宣帝大建十二年十二月癸酉水在金上甲戌金水交相掩夫金水互相掩用新法之圗則明若用古圗則必不能得之矣測五星原上古生人之初見天上列星相近相逺年年世世了無變易因命之曰恒星謂其不動也其有恒也恒星而外别有緯星時相近時相逺時順行(順天自西而東)時逆行(自東而西)時留不行因之測其經緯度分以推定其相衝相合測算既成遂列為立成表以垂法式此治厯之始也緯星有五曰土星(亦名填星)木星(亦名歲星)火星(亦名熒惑星)金星(亦名太白)(少隂啓明長庚)水星(亦名辰星)五星之公名可謂游奕之星正與恒星相反古稱經緯亦此意也初時測五緯星先于某年某月日時距某恒星若干度分積若干年月日時行天一周而復于故處因約得土星之率為三十年木星為十二年火星為二年金水二星一年乂覺其所行者非太陽太隂之軌道時在黄道南時在北各星之各軌道不同又覺前世所行之軌道與後世所行之軌道又各不同因之多立法儀務求齊一先定各星之天幾何時而行天一周又一歲一日一時各行天若干度分命之曰平行以為度量之凖式焉平行而外又見五星在日之衝恒逆行遲行其體則大其與日合也恒疾行順行其體則小自衝合而外或進或退或留或疾絶無畫一因知其有多種行度又宜先從太陽近逺取之葢惟星在日之對衝行度稍有定則其衝也約每年一次其合也亦約每年一次似此歲歲測之得其每歲之中積度分此所謂歲行也又以歲行多寡不等因而覺有本行之法如今年測得星在日衝次年如之又次年以迄多年皆如之通計各年所得中積日時悉皆不等(此所得中積不論太陽之平度實度其用畧等向後乃宻推之)則以各年之視行較各年之平行或大或小推其盈縮不齊之故焉如某星在日之衝其左右各一宫之行度差數相等偕為視行小平行大此則贏縮不齊之界限也(如日月之最髙)(最庳)次查某宫以後視行小于平行既行半周至某宫視行大于平行即知某星非平行其依太陽行度而外别有本行之法時疾時遲時與平行等欲齊此行宜用不同心圏或小輪(見次篇)此行名謂本行以别于次行次行者依太陽逺近行即向所謂歲行也平行本行而外又有或南或北緯度之行其根有二一為本圏平面切黄道之平面兩道相距相近如黄赤兩道相距相近同理一為歲輪亦切本道而于黄道恒為平行面此小輪或能加能減于本輪之緯度然不能變其勢如北緯變而為南或南變而為北也(見本厯指第七卷)測五星經度平行五星凡㑹日或在其衝用一均數足矣然在衝之正度分殊未易定其法如左凡星之距太陽度分等(累年所測擇其前後各一測星皆在日之左或皆在日之右其距度)(分等)其在黄道經度亦等則其行必滿周而復于故處其中積之年日數必等(年日數等者任用若干測其前兩測與後兩測中積之年日數必等)一解曰測五星之黄道經度必以恒星為本用法(測量)(全義九卷)求之有本星之經度可得其距太陽若干度(今不)(言緯度置星圏于黄道下論之)所以欲得距太陽等度者星之次行(即歲行也)以太陽為行動之原距有近逺則行有遲疾髙庳若距度等者即星之前後兩測其遲疾等其髙庳亦等其行必滿周也所以或左或右必求同方者星距太陽一左一右雖度等其時不等亦不能滿一周而復于故處也所以求黄道之經度等者謂太陽亦在元經度(先測次測)(皆在一度)則太陽無髙庳遲疾之差又日同經度則星在本圏之故處(距本圏之最髙或最庳既等即兩測之時星為同類之行又滿其周率)二解曰或用兩留之中積星既再留而復于故處則其行亦滿周矣然不可用者逆行之率有大有小前留與後留不能滿率又當留時星無視動尤難定其進退之界也或用星之初伏初見然難定其氣之清濁則所得伏見或非伏見之實初也且正升斜升宫數不等即距日之時不等亦不可用三解曰若後測時星未至其故處尚有若干分秒法約計先得之平行一日一時應分秒若干用以補之如少一度于本時加一度相當之時若差多次日測之又次日測之下得一時之星行度分用以補之定五星之平行率古史依上法測算各星平行得數如左(今未論各星之最髙行)土星以五十九年(節氣或天周年)又一日四分日之一弱(古多禄某推算)(與今時大同小異見本表)行次行圏(即歲行)五十七周(㑹日五十七次對衝亦五十七)(次)行天周(節氣周)二周又一度四十三分木星以七十一年不及四日又六十分日之五十四行次行圏六十五周此積時間星行本圏(天周或節氣或經度)六周不及四度又五十○分火星以七十九年又三日六十分日之一十六行次行圏三十七周經周行四十二周又三度○十分上三星之中積年數(太陽行全天之周數)去減本星次行之周數其較為星本行周天之數如土星五十九年減次行五十七周較二為土星行全天二周(上三星者火木土也下二星者水金也)金星以八年不及二日又六十分日之一十八行次行圏五周其平行與太陽同水星以四十六年又一日六十分日之三行次行圏一百四十五周平行與太陽同以積年變日以天周化度得數如左土星二萬一千五百五十一日一十八分(日六十分下同)行二萬○五百二十○度木星二萬五千九百二十七日又三十七分行二萬三千四百○○度火星二萬八千八百五十七日又五十三分行一萬三千三百二十○度金星二千九百一十九日又四十分行一千八百○○度水星一萬六千八百○二日又二十四分行五萬二千二百○○度若以度為實日數為法而一得各星一日之細行土星一日行(距太陽之行)○度五十七分四十三秒四十一㣲四十三纎四十○芒木星一日行(距日)五十七分○九秒○二㣲四十六纎二十六芒火星一日行二十七分四十一秒四十○㣲一十九纎二十○芒五十八末金星一日行三十六分五十九秒二十五㣲五十三纎一十一芒二十八末水星一日行三度○六分二十四秒○六㣲五十九纎三十五芒五十○末若太陽一日之平行去減各星一日之細行其較為各星之平行得上三星之平行(下二星金水之平行與太陽等)土星一日平行○二分○三秒一十三㣲三十一纎二十八芒五十一末木星一日平行○四分五十九秒一十四㣲二十六纎四十六芒三十一末火星一日平行三十一分二十六秒三十六㣲五十三纎五十一芒三十三末有一日之平行可細推一時一分又推得一年之平行土星一平年(三百六十五日)行三百四十七度三十三分○○四十六㣲有竒木星一平年行三百二十九度二十五分二十一秒有竒火星一平年行一百六十八度二十分半有竒金星一平年行二百二十五度○一分三十二秒有竒水星一平年行全周外又五十三度五十六分四十二秒有竒又以太陽行一年之全周去減各星之平行其較為各星一年之經度土星一平年經行十二度一十三分二十三秒五十六㣲有竒木星一平年經行三十○度二十○分二十二秒五十一㣲有竒火星一平年經行一百九十一度一十六分五十四秒二十二㣲有竒依上行數先置厯元一數可列向後各年及日時之立成表定五星之本行五星既定平行之後積候多年亦覺有最髙之行然當先求其處(如前測在某宫度後測在某宫度)次求其行之法以定各星之軌道以觧其各種行度(諸行皆與平行為異類)日躔厯有兩公論曰動類有三其一自上而下其二自下而上二者自然之行必成直線名曰直動其三循環行一周至元界成全圏名為周動若不成全圏即無法之行也星行皆環周行(人目所見不煩觧說)必成全圏否者為無法之行與夫目見器測理則相反 又曰天體及七政恒星必于本圏内平行不平行則推歩之術無從可立無從可用矣然而人目所見各有遲疾順逆時時遷革百千萬年無一平行者又何也厯家因此推求悟有不同心之圏及諸小輪等立法推歩然後得其不平行之故而又不失其平行之常耳日躔月離皆有法以齊其異類之行若齊五星之行其法尤多今擇取一二觧之五星次行圏及本行圏古法(本行即本天也次行即本輪亦名歲輪古名小輪)先論上三星如圖甲為地心丙乙為太陽本行天辛庚壬為某星本行天辛巳庚為某星之本輪丁為心丁心行自西而東(自丁而辛星之本行也)星則循本輪周亦順天行如已行經辛戊庚而復于已凡太陽在乙星在戊太陽在丙星在已(太陽在乙星在其衝太陽在丙星與之㑹)太陽自丙向癸乙而復于丙滿本天一周星自已向辛戊庚而復于已滿本輪亦一周則平行之較數(如土星十二度有竒)為星(或次輪心)從丁右行之數 又從地心甲至辛至庚作兩線切本輪于辛于庚分本輪為上下兩弧凡星在上弧(庚巳辛)其行從庚向辛則順天行而星之本輪心丁行于本天周星之行于本輪周皆自西而東星行則疾若星至辛至庚兩切線上因目在甲不覺其行則星為留若在辛戊庚弧則違天行亦違丁心行目見從辛過戊至庚星行則遲(丁心之行必遲于本輪周行葢)(太陽一年行一周星行本輪亦一年一周丁心之行不過幾度速者幾宫不滿一周故兩行不得相補而本輪)(周之逆行灼然易見非如太隂之平行自疾足以相補但見其遲不見其逆也)次論下二星甲為地心丙癸乙為太陽本行天丁壬為某星本行天已辛戊庚為本輪(或稱次行輪)甲丁丙為太陽及某星之平行線星循本輪周順行從已向辛戊庚而復于已作甲辛甲庚兩切線凡星在上弧庚巳辛目在甲見順行疾行星在下弧辛戊庚目在甲見逆行遲行在辛在庚為留叚同上因本行圏與地不同心有最髙有最庳凡本輪在本行圏之髙弧逆行之時為多在本行圏之庳弧逆行之時為論(下有本論)又圖髙庳各作本輪作切線則戊甲丁視角大于庚甲巳視角(因近故大)戊乙丁視角小于庚丙巳視角(此兩三角形之各三角并必等丁巳既為直角則甲大者乙必小甲小者丙必大)角小則所乘之弧亦小(視學詳之)弧有大小行弧之時刻亦有多寡又各星之本輪大小不等則其疾行逆行亦不等均圏解七政之本行圏皆與地為不同心圏(日躔月離厯指觧日月之本圏不與地同)(心五緯厯後各有本論)然獨太陽恒順行此外六曜皆有他行其齊之之法有三其一本圏之外别作一圏名均圏(畧見月離二卷今詳解之)即小輪心所行之圏(先求本行均數止用小輪心行度葢星在日之對衝未有次均恒在小輪之最近如無隨)(日之行則與無次行輪等但以本行髙庳去地逺近為異耳今推經度亦止用此無二法)如圖甲為地丙為某星之戊巳本圏心丙甲為兩心相距若干(各星自推)凡星距本圏之最髙戊約一象限為癸作丙癸甲癸線成丙癸甲角此角為均數角(丙心上有戊丙癸鈍角甲為直)(角兩角之較為癸角是丙心上平行甲心上視行之差)或先依各星本法測得角亦推丙甲距若干皆因戊癸為某星之本圏弧用三角形法置星距戊(最髙)若干又有丙甲丙癸(丙子同)兩邊求子角為均數此古法也然所推與所測多不合星在戊或癸乃合去此則差因立他法平分丙甲線于乙乙為心作丁壬癸均圏為小輪心所行之圏然不平行平行度在戊癸己圏如下文設星(或次輪心)在壬作丙壬乙壬甲壬成丙壬甲三角形形有壬丙甲角(丁丙壬之餘)為平行之餘角(從戊最髙至壬為平行之弧或言角)(一也)而丙壬乙形有乙壬邊(均圏之半徑)有丙乙邊(兩心差之半)有丙角求壬乙丙角及乙壬丙角次乙甲壬形有乙角(先得)(之餘)乙甲邊(兩心差之半)及乙壬邊求乙壬甲角兩壬角并為平行(丙心上算)視行(甲心上算)兩行之差此法則以戊癸圏量星之平行而星却令行丁壬圏若但用丁壬圏即星在癸非大均角矣葢乙甲線非丙癸甲形之底故也古者以此法齊星本行之異行若星在子成丙子甲形算得子為均角恒與所測不合(各星厯有本算)上法以算立成表其數不謬必究其理則星行乙心之均圏而測用丙心之戊圏終非正論其二歌白泥法星之行亦成一均圏而不失為正論如第二圖甲為地心丙為不同心戊癸圏之心兩心相距為前圖甲丙四分之三戊(最髙之處)為心作戊丁小輪(是名小均輪)其半徑為前圖丙甲四分之一為本圖丙甲三分之一(丙甲數如前法為四分此法用三分外一分為小均輪之半徑)星行小均輪周上(曰星實非)(星體也是為次行輪之心星體居次行之周今通用之理)(亦不謬)戊心東行一周星依小均輪亦順行一周(在最近處如丁逆行)(在庚順行至癸即星在壬壬癸與丙癸為直角)凡戊心在最髙(本輪之髙)星在丁為小均輪之最近距甲地心為半徑(不同心之半徑丙戊)又兩心相距二之一(如前法丙甲四故乙甲為二之一)與前法等若在最庳如庚距甲地心為半徑去減兩心相距二之一上下之較為兩心相距之全數(丙甲初數四分)若不用前法(丙甲為三不用四)星在中距(距最髙一象限為中距)以求均角亦仍用甲丙八分(多祿某上星法用八分餘四曜不同然其比例皆如八與六與四與二)假如第一圖甲丙(兩心相距數)為八乙甲其半為四甲丁為半徑(均圈乙丁半徑)又四分即星在丁距甲為半徑又四分又星在庚甲庚比乙庚半徑少乙甲四分上多下少其較為八分如第二圖甲丙爲六分(前圖八之六)小輪半徑為二(甲丙三之一)星在丁距地之甲丁線得半徑(戊丙也)又四分(乙甲也丙甲六分減)(戊丁二餘乙甲為四即二)若星在庚距地之甲庚為半徑弱四分(丙巳)(半徑減丙甲六又加已庚二餘為半徑少四)上半徑外餘四下半徑内弱四并之得八為髙庳之較如前 此八六等數非公法也各星有本數然其比例略相似或戊丁小均輪置丙上其周為星本圏心所行之軌道所見所測俱同前第一法大均角為甲癸丙角丙癸邊為半徑丙甲八分第二法分均角為二丙癸甲形有丙癸半徑有丙甲六分得丙癸甲六分之角又壬甲癸形壬癸為二分即壬甲癸角為二分之角甲癸兩角并得八分如前而星小輪上之軌迹實作一均圏如前法其算法不同得數無二其三第谷之均圏新法不用不同心圏及均圏即用兩小輪推初均數(星本行之均數)為便(月離厯略觧今詳之)甲為地心丙戊癸為星本天其周上取丙㸃為心作乙子小輪是名本行輪(即當不同心圏)丙乙其半徑為六分(為前兩法八分之六)其周上取乙㸃為心作丁年次小輪乙丁其半徑為二分是名均圏(當前法之均圏)丙心右行向戊癸復于丙為星之平行乙心在上左行向丑子復于乙與丙心同時滿一周星(或次輪心)在均輪周丁為在下右行向午較之乙心其形倍疾丙心乙心行滿一周丁星行滿二周也本輪心在丙星在丁距甲地為甲丙半徑又丙丁四(丙乙為六减乙丁二餘丁丙甲)丙心行至戊均輪心至丑星至庚庚戊成一直線并為八分甲戊庚形直角在戊有甲戊半徑有戊庚八分求庚甲戊均角若本輪心至癸(丙之衝)星在壬距甲地為半徑弱壬癸四分則星在丁為最髙在壬為最庳其較八與前二法同土木二星之歲年輪如三家圖可解為何朝夕兩留行界非一或時逆行度多或時度少其根有二其一因各法各星有均圏負載年嵗輪之心夫均圏與地非一心有最髙及其衝嵗輪在最髙目因逺見小在其衝目因近見大如圖甲為地心乙為某星天之心為心作丁丙巳戊圏(但用兩弧省圖)庚為最髙辛為其衝庚辛為心同徑作兩小輪又從甲(人目)作切線定已甲戊丁甲丙兩角各角為逆行之度(從子過内癸丁)(歸子丁子丙順行丙癸丁)(逆行下圖亦如此巳午戊)(為順戊壬巳為逆)題言丁甲丙角比戊甲巳角為小又曰丁癸丙弧比戊壬巳(各在兩切線中)為大作戊辛巳辛丙庚丁庚各半徑線而切戊甲等線為直角論取庚丁甲戊辛甲兩直角形相比庚丁戊辛兩邊為等庚甲丁甲比辛甲戊甲各為長則庚甲丁角比戊甲辛為小(直角形之理見幾何)一系兩心差數多者見小輪大小之較為大(大小乃次均數多寡)二小輪逺者本輪上逆行之弧更大若近者為少(庚甲丁等○角)(為小即庚角為大或丁癸弧大丁癸戊壬兩弧各倍之得丙癸丁戊壬巳逆行之兩弧丙癸丁比戊壬巳大依)(圖見之)三凡小輪在逺處本周上逆行之日時數為多在其衝為少(盖小輪上星行為平)其二根為太陽兩心之差凡用歌白泥及第谷二新法因太陽體為五星或本行之心若太陽近逺必小輪亦近亦逺亦大亦小此根之差土木二星因與地甚逺以測不覺大差火星因近太陽時在其上時在其下差數見大本厯詳之金水下二星因以太陽平行為本行又為小輪之心亦從其髙庳以為髙庳然金星本天最髙不逺於太陽最髙(差不過十度)其小輪大小亦以本天髙庳為本或本天及太陽幷為其大小差之根無所考水星或亦從本天最髙及太陽最髙亦無所考上三星歲行說共四圖 第一乃古多祿某用不同心圏均圏得壬歲圏之心依各星本測作庚辛年歲圏人在甲見星從辛徃庚逆行從庚到辛順行在子㑹太陽在午衝太陽第二圖歌白泥不用大均圏祗取小均圏而齊歲圏心壬之行(見上)壬為心作小歲圏如前但甲丙為前圖甲丙兩心差四之三又小均輪半徑為四之一順逆兩行界如上第三圖第谷亦不用不同心及均兩大圏祗用兩小輪其一當不同心圏其二當均圏(字號四圖中皆有定指如乙常指均圈心上下同)以二小輪齊年歲心之行年歲圏心在壬同前第四圖乃第谷及歌白泥總法以太陽為五緯行之心甲為地已庚辛為太陽本輪置太陽在巳巳為心在星本天又取兩心差四之三(依本圖)到丙作乙戊弧得心在壬如前二圖置太陽行已辛弧壬㸃亦行而成壬丑弧太陽到庚壬㸃亦到寅又復囘于已壬㸃又復到元處而成壬丑寅圏如已辛庚圏等(壬巳丙角不變)(改又丙巳最髙線于已甲常行平行依幾何法可論之)凡太陽在午星到子因在甲午子一直線謂之相㑹凡日在未星在申謂之相衝在子于地極逺在申極近太陽順天行巳午辛未庚然星從寅壬子到丑順天行從丑申到寅于甲人目似逆行寅丑為兩行之界此法乃第谷本法以太陽本圏一輪免上二星之歲圏因各星近逺解各星之大小又曰太陽于諸星如磁石于鐵不得不順其行故此法算三星因用太陽正躔度别法用平行所算之度分上四圖各觧順逆疾遲留等歲行之驗下總圖合四法以明之理一而已總圖有實線叠線虚線三類實線法古用黒字叠線第谷法元用紅字虚線歌白泥及第谷總法古法引數取于丁角第谷取午癸弧之已角及角庚弧乃其倍歌白泥取酉角又取寅戌辰(小輪上)角各用三十度算均數古法得甲庚丁角第谷得己甲庚角歌白泥得寅酉戌及酉寅巳兩角成一均數又置星距太陽一百一十度前兩法從卯起到寅寅為其星之體(卯㸃在庚甲線上卽人目辛圏心庚之中)歌白泥取其餘申未弧太陽在未亦得星體在寅如前二法(申未圈與卯寅圏等)新星解按古今厯學皆以在察璣衡齊政授時為本齊之之術推其運行合㑹交食凌犯之屬在之之法則目見器測而已然而目力有限器理無窮近年西土有度數名家造為窺筩逺鏡能視逺如近視小如大其理甚㣲其用甚大具有本論今述其所測有闗七政者一二如左其一用逺鏡見周天列宿為向來所未見者不可數計說見恒星厯指三卷其二土星向來止見一星今用逺鏡見三星中一大星是土星之體兩邊各一小星係新星如圖兩新星環行于土星之上下左右有時不見葢與土星體相食或曰土星非渾圓體兩旁有附體如鼻以本軸運旋故時見圓時見長此土星之兩異行未定其率葢本周極遲初見時至今年尚未滿一周天故也或曰時見三星相距有近有逺安得謂之合體二說不同未知孰是湏乆測乃知之其三木星目見一星今用逺鏡見五星木星為心别有四小星常環行其上下左右時相近時相逺時四星皆在一方時一或二或三在一方餘在他方時一或二不見皆用逺鏡可測之初測者作此直線圖共九測一為萬厯壬子年太陽在𤣥枵初度辰時二為癸丑年太陽在𤣥枵二十六度子正時三為本年次日寅初三刻四為本年太陽在娵訾二十三度亥初刻五為次日丑正刻六為甲寅年太陽在大梁八度亥初一刻七為本日子初刻八為次日子正二刻九為本日寅初刻 依上測得其相距極近之圏半徑為木星三徑(用木星半徑為法葢無他物可與為比)次小星圏半徑為木星四徑第三為五徑第四為十徑其行右旋在上順行在下逆行(順者自西而東逆者自東而西)近本星疾行距逺遲行順行與木星㑹則不見葢木星食之逆行不食可知其環行也又木星為其環行之心又環行之大圏平面不與木星之本道同面而四小星之各圏平面又不作一大圏平面葢其髙下不一在髙者距南在下者距北次圏線圖木星甲為心作乙丙丁戊圏距心見上毎圏為一小星之軌道外圏從戊向丁巳庚行餘倣此乙星行滿本周為一日七十四刻丙星行一周為三日五十三刻有竒丁星行一周為七日十六刻戊星行一周為十六日七十二刻弱皆從木星㑹合時起算不用距木星之極逺葢衆星依本小輪行至左右為留叚不見其行無從得眞率也又小星在甲巳左右兩線内即隱不見木星掩之故也在甲壬左右兩線内亦隱不見葢入木星之景故也(設日)(所在如圖照木星生甲壬景因木星距日幾何得甲壬景所在)今日恒見四時見三所不見者必在已或壬兩暗處系木星全為暗體小星之體亦自無光光借于日故入木星景如壬目所不見四小星去木星逺見大近則木星光大能奪小星之光問晨昏時比中夜見小星之光為大何故曰晨昏之光朦朧之光也其光不大故能助目之光又問逺鏡中若少離木星之體即不得見小星何故曰本星光助目以能分小星之體已上兩言聊以荅問未知其正理安在俟詳求之測四小星當於其較著時一為木星與日衝照(此時木星距地)(甚近)一在本輪之最庳一晨昏時一月明時其四為金星旁無新星特其本體如月有朔望有上弦下弦(見本厯第五卷)其五太陽四周有多小星用逺鏡隱映受之每見黒子其數其形其質體皆難證論目以時多時寡時有時無體亦有大有小行從日徑徃過來續明不在日體之内又不甚逺又非空中物此須多處多年多人宻測之乃可不闗人目之謬用器之缺詳見性理書中又以逺鏡窺太陽體中見明㸃其光甚大又日出入時用逺鏡見日體偏圓非全圓也其周如鋸齒狀然因其行無定率非厯家所宜詳亦解見性理新法算書卷三十六
## 土木二星厯指敘目
土木二星厯指敘目
土木二星之行有經有緯又有遲速諸行測其平行之率已見本部首卷厯家茍欲推明其行必用小輪及均圏等然此二星之測法則同其于他星則異矣法以星正衝太陽三測之盖在此無歲行之差故也若測在晝法曰求太陽與二星衝照之日於其先後幾日累測之算用二星日時刻細行數如測月離亦用三食方免他行之差焉其右今三測列之如左
## 卷三十七
欽定四庫全書
新法算書卷三十七 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷二測土星最高及兩心之差先法(第一章)右多禄某擇取土星在日之衝前後三測第一測總積四千八百四十年為漢順帝永建二年丁卯西厯三月廿六日酉正本地測得土星經度為夀星一度十三分于時太陽平行躔其衝得降婁一度十三分第二測總積四千八百四十六年為漢順帝陽嘉二年癸酉西厯六月初三日申正本地測得土星經度在析木宫九度四十分太陽平行對衝在實沈宫九度四十分第三測總積四千八百四十九年為漢順帝永和元年丙子西厯七月初八午正本地測得土星經度在星紀十四度十四分太陽平行對衝在鶉首十四度十四分前二測中積為二千二百六十○日又二十二日(二十四時為一)(日)此時依前所定平行數得土星行七十五度四十三分又兩所測土星之視經度差(從壽星一度十三分至析木九度四十分)得六十八度二十七分平行視行相減得七度十六分為均數又平行大視行小(用小輪法)可知星在自輪之上(自輪當不)(同心圏也星在其上即逆行必減平行為視行而視行為小)後二測中積為一千一百三十○日又二十○時此時土星之平行三十七度五十二分又兩測視經度相減(析木宫九度四十分至星紀宫十四度十四分)得三十四度三十四分又平行視行兩數相減得三度一十八分為均數平行大視行小星亦在自輪之上依上三測可見平行與視行不一又視行時大時小前二測以減均數得視經後二測以加均數得視經可見視行時疾時遲用右測亦用古圖則不同心圏及大均圏如圖甲乙丙圏為土星本天(亦名本圏亦名不同心圏)取甲㸃為第一測土星所躔本圏上度(未定最髙左右故任取之)從甲至乙為前兩測之中積平行七十五度四十三分乙為第二測土星所躔本圏上度從乙至丙為後兩測之中積平行三十七度五十二分丙為第三測時土星所躔本圏度也又本圏心外任取一㸃為丁以當黄道心作甲乙甲丁乙丁三線又從第三測丙過丁作丙丁戊線(此先用甲乙兩測或用乙丙或用甲)(丙皆可)至周上又作甲戊乙戊二線成多三角形丁㸃為黄道心則視行之度用黄道上所測之弧或用其輳心之角一也(丁㸃為黄道心其周上各分之弧與其輳心之各角各幷之皆得三百六十度各弧與各角相)(當弧角兩名亦互用)一乙戊丁形有乙戊丁角(戊角在界乘乙丙弧則為乙丙弧度之半)為一十八度五十六分又有乙丁戊角(乙丁丙丁為後兩測黄道上土星之度則乙丁丙為兩測)(中積視行度之角得三十四度三十四分乙丁戊為其滿)(半周之餘角)為一百四十五度二十六分乙角必為一十五度二十八分(三角形之三角當兩直角或當一百)(八十度)有三角求三邊(側量全義首卷九題日邊與邊若各邊對角之正弦則以各角之度)(查正弦表得數為各對邊之數)乙丁邊得三二四四七(戊角之正弦)戊丁邊得二六九四八(乙角之正弦)戊乙邊得五六七三六(丁角之正弦)(言三測之弧言在界所乗之弧皆本圏上之平行弧言輳丁心各角相當之弧皆黄道上之視行弧故弧同數)(異也)二甲戊丁形有甲戊丁角(甲戊丁角在界乘甲乙丙弧用半數甲乙七十五度四十三分)(乙丙三十七度五十二分并之得一百一十三度三十五分半之得五十六度四十七分半)為五十六度四十七分半有甲丁戊角(甲丁乙乙丁丙兩角并為一百○三度○一分)(以滿一百八十度為甲丁戊角)為七十六度五十九分第三角即戊申丁必為四十六度一十三分半有三角求三邊(法如前)得甲丁邊為八三六六八(戊角之正弦)甲戊邊為九七四三○(丁角之正弦)戊丁邊為七二二○六(甲角之正弦)三乙戊丁甲戊丁兩形同用戊丁邊是戊丁邊有二數以此兩戊丁依通率法通為同類之數(兩形數相通元法置一虛數依各邊之比)(例求各兩虚數之幾何也)用三率法(法日乙戊)(丁形之戊丁為先數二六九四八為一率甲戊丁形之戊)(丁為次數七二二○六為二率乙戊丁形之乙戊為先數)(五六七三六為三率如法得甲戊丁形之乙戊為次數)求乙戊邊次數(次數與戊丁邊次數同類)得一五二○二一即與甲戊丁形數同類四甲乙戊形有甲戊乙角(戊角在界乘甲乙弧弧為平行七十五度四十三分用其半)為三十七度五十一分半有甲戊戊乙兩邊(甲戊邊第二算所得也乙戊邊則第一算所得而用通法為與丁戊或甲戊同)(類)求甲乙邊(法從甲角作甲午垂線分元形為兩句股形用甲午戊形)(求甲午為全與甲戊邉若戊角之正弦與甲午得五九七八三又求午戊為全與甲)(戊邊若戊角之餘弦與午戊得七六九三三又以午戊減戊乙得七五○八八次甲)(午乙形有甲午股午乙句求乙甲弦兩數各自乘并而開方得甲乙邊)得九五九八○五甲乙線有兩數一為甲乙弧之弦(甲乙弧先兩測之平行七十五度四十三)(分)一二二七四三一為前推甲乙戊之邊九五九八○以此兩甲乙線通之求甲戊弦與甲乙弦同類(法甲乙邊為外數為一率)(甲乙弦為内數為二率甲戊邊外數為三率如法得甲戊)(弦内數)得一二四五二六有甲戊通弦之數查表求甲戊通弧之度(法用半弦為六二二八九查表得半)(弧三十八度三十一分半倍之為甲戊弧)得七十七度四十三分六甲戊甲乙乙丙三弧之度數并得一百九十度三十八分丙乙甲戊弧也求其弦得一九九一四四丙戊線也七丙乙甲戊弧為圏之大半即圏之心在其内(弧弦形之内)置心在已作庚巳丁壬過巳丁兩心之徑線(甲丙弧大于甲戊即已心)(又在丙丁甲形内)截丙戊弦于丁求戊丁丁丙兩弦分(丁戊線有兩數)(乙戊丁形内一甲戊丁形内一此甲戊丁形之甲戊邊有本形邊之外數又有内弦數以三率法求戊丁弦内)(數若干甲戊邊本數九七四三○甲戊弦數一二四五二六戊丁邊次外數七二二○六依法得戊丁弦次内)(數九二二八○以減戊丙全弦得丁丙弦數)算得戊丁為九二二八○丁丙為一○六八六四八求己丁兩心之差(幾何三卷三十五題丙丁丁戊兩線内矩形與庚丁丁壬兩線内矩形等)(又二卷五題庚丁丁壬矩形及己丁方形并與庚巳方形等)置庚已半徑全數上方(庚巳為十萬其)(方積為一百萬萬)以戊丁丁丙矩形積(九八六一四○九九二○)減之餘(一三八五九○○八)(○)其方根為己丁線得一一七七二丙心之差也(土星天心距地心之數也)九丙戊弧平分之于辛作己辛線截戊丙線于癸成己丁癸句股形形有己丁一一七七二(兩心差)有丁癸(先有丙戊半之)(為癸戊以戊丁減之餘丁癸)七三六六求癸巳丁角算得三十七度三十五分已為心即壬辛弧為已角相當之弧壬辛辛丙(辛丙弧為丙戊弧之半得八十四度三十二分)并得一百二十二度○七分為第三測土星(或次輪心)距最髙之衝壬或距最髙庚為五十七度四十三分丙度弧也(庚為最髙壬為其衝庚壬線過兩心故也)丙庚弧去減乙丙得乙庚十九度五十一分為土星第二測距最髙又甲乙弧去減庚乙得五十五度五十二分為土星第一測距最髙之弧十置兩心差及星自行(距最髙之度)求上三測之均數用上圖不同心圏甲乙丙作甲巳甲丁諸線成各三邊形如甲巳丁形有甲巳半徑有甲巳丁角(第一測甲距最髙之餘)一百二十四度八分有己丁(一一七七二)求丁甲巳均角得五度二十五分為均數(因星近最髙均數用減)以減庚甲得五十○度二十七分甲丁庚角也次星在乙求己乙丁角(形有己丁己乙兩邊及乙己丁角為乙巳庚之餘)算得二度○六分以減庚乙(在最髙之近故)得十七度四十五分乙丁庚角也又星在丙求己丙丁均角算得五度二十四分半甲乙兩均角并得七度二十二分半為前兩測中積之均數然先所測均數為七度一十六分今所算均數較前測盈六分半後兩測今所算中積均數(丙丁庚角去減乙丁庚角)(餘為二三測均數差)三度十八分半較前所測均數盈半分已上十條求土星距本圈之最髙及兩心之差古今兩數相近然止用不同心圏算加減均數則與實測之數不能悉合(星在最髙或其衝則無加減均數又星在髙庳之中則依兩心之差均數為合四限外不)(合)古多禄某曰星(或次輪之心)所行非不同心之庚乙壬也其軌道盖有他圏試作丑寅卯圏(是名均圏)子為心居兩心之間(己丁)(兩心線平分之于子子為心子丑與己庚兩半徑等)星體(或次輪心)行丑寅卯圈其自行之度數乃在庚巳壬圏設星在寅(在均)(圏周)距最髙為丑寅弧或丑子寅角依彼測算是不用寅丑弧為自行度而借庚乙弧或庚巳寅角為自行度得己寅子角為本均(本均所從出者本圏丑寅上之本行也)度數用此求本均數可以合天(古數小差於法為正新數依此别解之)然非正法大違厯算測量二家之公論(公論日諸星行本圏上必順行必以本心為心)(而成全圏今日星行丑寅卯圏其自行之度却于庚乙圏上測之不以本圏心為心故曰非正論今試别解之)(如左)十一本均正法已為心作甲乙丙戊圏(名載均輪之圏)取已于兩心相距四分之三(前卷)(初法己丁四今取其三為己丁一為小均半徑)丁為地心甲乙周上取四㸃(最髙最庳左右兩平)(距)甲乙丙戊以為心用己丁三之一為度以為界作四小輪(名小均輪)星(或天輪心)依此均輪周上行若均輪心在最髙如戊星在均輪之最近為庚均輪心順行至甲(中距之處)星逆行(在下半周故日逆行非違天上也)至癸至均輪心行滿大圏一周星亦行滿均輪一周同時復於故處星所行之軌迹必成庚甲壬丙一大均圏與前法等在甲在丙為兩極大均數兩法所得無二(見本厯第一卷)十二依古法用三測求本均正數 置大均圏之心子於己丁兩心之間星行本圏至甲(第一測)即大均圏上在酉距最髙庚為庚巳甲角五十五度五十二分(上算所得)又作己甲酉子甲丁丁酉四線成已子酉子酉丁丁酉甲三形求丁酉巳均角(己酉子形有已子為兩心)(之半距有子酉為均圏半徑有酉已子為自行度甲庚之)(餘角求酉角自得已子酉角又酉子丁形有子丁有子酉有酉子丁為已子酉之餘角求酉角兩酉角并)得五度二十五分半以較巳甲丁角盈九分第二測如上法算得均數二度一十二分第三測得均數五度三十九分半先兩測兩均數相并得七度三十七分半較所測(七度一十六分)盈二十一分半後兩測相減得三度二十七分半較所測(三度一十八分)盈九分半理雖允正數不合天十三多禄某因上所推數不合天别定兩心之差為一一二七七又最髙順天進移一度一十三分即第一測距最髙為五十七度○五分(先算為五十五度五十二分)第二測距最髙為十八度三十八分(先算為十九度五十一分)第三測距最髙為五十六度三十分(先算為五十七度四十三分)十四用上數依本圖再算第一測得己酉丁均角為五度一十八分以減星自行距最髙得星視行距最髙為五十一度四十七分第二測算均角得一度五十八分以減自行距最髙得一十六度四十○分為星視行距最髙第三測算均角得五度一十六分以減自行得五十一度一十四分為星視行距最髙十五先二測相距為六十度二十七分(兩測距最髙度數并)與所測等後二測相距為三十四度三十四分(兩測距最髙度之較)與所測等又先測兩均數并為七度一十六分後兩測均數并為三度一十八分各與所測等多祿某因推數與測數密合遂借所設數為正數十六第一測土星在壽星宫一度一十三分又得視行距最髙五十一度四十七分兩數并(第一測土星在最髙前故相加)得在大火宫二十三度土星天最髙之經度也十七多祿某步土星術於兩不同心圏外更用一小輪(名歲)(輪一歲行一周)星依此輪周行如第三測歲輪心在丙(圏號如前)依丙心作午未卯歲輪(今不論其徑後推之)作己丙自行線(出自圏心)作丁丙視行線(出地心)凢星在最近未(近地)為太陽之視行衝在卯即以視行㑹太陽然午或甲為歲輪平行之界則第三測時星在未距午平視行之差五度十六分歲輪行一周者非三百六十五日也五星皆以行一周天而與日㑹為歲行其率土星一年十二日有竒木星一年三十三日有竒火星二年四十九日有竒金星一年二百一十九日有竒水星一百一十五日有竒皆謂之歲行周十八約上論列各類之數以便簡覽今論定數測 宫 度十分 千百十日十時測 十度十分 十度十分 度十分先用兩心差一一七七二算得數不合測 度 分 度 分(十秒) 度 分(十秒)測 度 分 秒 度 分 秒後用兩心差一二二七七算得數密合測 度 分 度 分測 度 分 度 分 度 分測土星最髙及兩心之差後法(第二章)多祿某于漢順帝時定土星天之最髙及兩心差測算如前此時無上古所傳舊測何從知取髙復有運行度數正德間歌白泥因千年積候再測再算得此時最髙距多祿某時積歲運行度分近萬厯間第谷及其門人再測再算復定最髙歲行若干度分今具一法如左第一測總積六千二百二十七年為正德九年甲戌西厯五月初五日子正前一時一十二分本地測得土星距婁宿距星(西名白羊角大星)二百○五度二十四分為太陽之衝(于時婁星經度為降婁宫二十七度一十五分五十三秒算土星宫得鶉尾一十九度二十六分太陽平)(行在娵訾宫十九度二十六分)第二測總積六千二百三十三年為正德十五年庚辰西厯七月十三日午正時本地測得土星距婁宿距星二百七十三度二十五分為太陽衝(于時婁星經度為降婁宫二十七度二十)(一分算得土星在𤣥枵宫初度四十六分太陽躔鶉火宫初度四十六分)第三測總積六千二百四十○年為嘉靖六年丁亥西厯十月初十日子正後六時二十四分本地測得土星距婁宿初度七分為太陽衝(于時婁星經度二十七度二十七分算得土星在降婁宫)(二十七度三十四分太陽躔壽星度分同)前二測中積為二千二百六十○日又六十分日之三十三此時土星視行為六十八度○一分平行為七十五度三十八分兩行之較為均數七度三十八分後二測中積二千六百四十四日又六十分日之四十六此時土星平行為八十八度二十九分視行為八十六度四十二分兩行之較為均數一度四十七分圖與前同其號其算法皆同一算乙丁戊形求各邊二算甲丁戊形求各邊三戊丁有兩數通乙戊令與甲丁戊形同類四甲戊乙形求甲乙邊五甲乙線有外數(先得甲乙丁之邊)有内數(為甲乙弧之弦)用兩數依通法求甲戊弦數以求甲戊弧六甲戊甲乙乙丙三弧并求其弦丙丁戊弧大圏心必在其内如已以甲乙兩數求戊丁弦數因得丁丙弦數七戊丁丁丙相乗得數以減半徑上方積其餘開方求根為兩心之差得一二八戊丙弧平分之作己癸辛垂線巳癸丁三角形求癸己丁角得三十二度四十二分即辛壬弧九有辛壬弧求丙庚為第三測之土星距最髙得一百二十八度三十二分求乙庚為第二測距最髙得四十○度○三分求甲庚為第一測距最髙得三十五度三十六分(此算數不合測數若用小均輪算各測之均數亦不合天歌白泥用别數試之乃得合天以為正法)(其己丁相距八五四以其三之一為甲未半徑又進移最髙二度十四分如庚甲先得三十五度三十六分今)(為三十七度五十○分庚乙庚丙各減之)用上别定數求各測之均數如歌白泥圖用小均輪大圏為載小均輪之圏(即不同心圏)其心已作庚巳丁壬徑線取己丁四分之三為兩心差地心丁為甲乙丙三測之心又取兩心差四之一為度以為半徑作各小均輪又作甲巳乙巳丙巳三線各割小均輪于丑凢小均輪心距庚最髙若干即土星體(或歲輪之心)距丑亦若干如一測則丑未與甲庚大小兩弧等二三測亦如之次各作甲未未丁諸線(二為乙未三為丙未)成甲未丁諸形又成甲巳丁諸形因星之平行在甲距最髙為庚巳甲角視行距最髙為庚丁未角兩角之較為均數第一測己甲丁形有己丁(兩心差四之三即九○○)有己甲(全數)有甲巳丁角(庚巳甲之餘一百四十四度二十四分)求甲丁兩角及甲丁邊得己甲丁角為二度二十二分丁角為三十五度五十八分甲丁邊為一○六七九第二測已乙丁角為二度四十二分乙丁己角為三十四度○四分丁乙邊為一○六九七第三測己丙丁角為四度一十三分己丁丙角為一百二十一度○五分丙丁邊為九五三二又各測甲未丁諸形有甲丁(前筭)諸邊甲未丁諸角(先得己甲丁諸)(角又未甲丑諸角與甲庚諸弧等各兩角并得未甲丁諸角)及甲未諸邊(小輪半徑)求未丁甲諸角第一測為一度三分第二測為○度五十九分第三測為一度十六分如上圖己丁甲等角皆為小均輪心距庚最髙之視行度又未丁甲諸角皆小均輪上之星行均數以減甲丁庚諸角得未丁庚諸角為星正距最髙之度 一測為三十四度五十五分 二測為三十三度○五分 三測為一百一十九度四十七分前二測之數并得六十八度為兩測相距之視度較所測差一分後二測相減得八十六度四十二分為兩測相距之視度與所測等又庚巳甲諸角庚丁未角之較第一測得三度五十五分二測得三度四十四分三測得五度五十三分為各測平視兩行之差均數也前兩均并得七度三十八分與所測等後兩均相減得一度四十七分與所測亦等得數皆合天知其根數必合無疑第一測得土星距婁宿距星為二百○五度二十四分今得星未到最髙為三十四度五十五分兩數并得二百四十○度一十九分是為總期六千二百二十七年即正德九年甲戌土星天最髙距婁宿之經度分加婁宿經度共得二百六十七度三十五分或稱析木宫二十七度三十五分多祿某元定最髙在大火二十三度相減得二十四度三十五分其中積一千三百八十年有奇以最髙行度為實年數為法而一得一年最髙行分(率數見下文)近萬厯間第谷及其門人再測再算所得之數不遠試以土星表較古今兩測(第三章)用古多祿某第三測及近世歌白泥第三測相比計兩測中積為一千三百九十二平年又七十五日六十分日之四十八依本表歌白泥時土星自行(全周外)為三百五十九度四十七分四十二秒是多祿某測自行(從最髙起)為一百七十四度四十四分今歌白泥測自行為一百七十四度二十九分相減較十五分為今測未及古測之度分依表算以滿全周不足一十二分則千四百年間算測之差僅三分極㣲矣此中積内土星行歲輪為一千三百四十四周不足四分度之一又太陽全周外平行八十二度三十分内減土星行度(三百五十九度四十五分)得八十二度四十五分(乃土星四十七周外平行之度數也)定土星表厯元(第四章)或用古測或新測同法以所測年月時與所定厯元年日時相減得較為中積於土星零年日表求中積時之行度分以加所測之土星行度分(凢測在前厯元在後用加法若測在後厯元在)(前用減法)得厯元時土星之平行經度又測星之地非厯元所定之地則以東西里差時刻用日細行表以加減法均之(測地在西用減法測地在東用加法)本厯所用土星表以新測十五條推算考驗(第五章)一總積六千二百九十五年為萬厯十年壬午西厯八月二十一日八刻(子正起算)太陽躔鶉尾七度二十六分(視行也)測土星經度得娵訾宫七度二十六分為太陽衝用表查得平行三百○九度二十三分四十秒(春分降婁宫起算)自行為七十七度三十四分四秒用加減表得土星視經度為娵訾七度二十二分○四秒以較測數縮三分有竒二總積六千二百九十六年為萬厯十一年癸未西厯九月初三日一時太陽躔鶉尾十九度五十○分測土星經度得娵訾十九度五十分為太陽衝用表查平行得三百二十八度二十六分二十一秒自行為九十度一十七分一十五秒用均數得土星視經度為娵訾十九度四十八分以較測數縮二分三總積六千二百九十七年為萬厯十二年甲申西厯九月十五日六時半測土星正對太陽經度為降婁宫二度三十四分以算較測盈一分四總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉西厯九月二十八日十九時半測土星正對太陽經度為降婁十五度三十九分半以算較測縮十五秒五總積六千二百九十九年為萬厯十四年丙戌西厯十月(闕日時)測土星經度為降婁二十九度○二分以算較測盈二分六總積六千三百○○年為萬厯十五年丁亥西厯十日二十六日九時測土星經度為大梁十二度四十六分算與測密合七總積六千三百○一年為萬厯十六年戊子西厯十一月初八日十時午分測土星經度為大梁二十六度四十四分以算較測盈二十秒八總積六千三百○二年為萬厯十七年己丑西厯十一月二十二日十四時半測土星經度為實沈十度五十三分以算較測盈三十六秒九總積六干三百○三年為萬厯十八年庚寅西厯十二月初六日二十時半測土星經度為實沈二十五度十分以算較測縮一分有竒十總積六千三百○四年為萬厯十九年辛卯西厯十二月二十一日一時測土星經度為鶉首九度二十四分半以算較測縮一分有竒十一總積六千三百○八年為萬厯二十三年乙未西厯正月三十日二十一時測土星經度為鶉火二十一度一十五分半以算較測盈三分十二總積六千三百二十年為萬厯三十五年丁未西厯七月初九日三時測土星經度為星紀二十六度五十三分以算較測盈四分有竒十三總積六千三百二十二年為萬厯三十七年己酉西厯七月二十一日十三時測得土星經度為𤣥枵八度三十一分以算較測盈一十二秒十四總積六千三百二十三年為萬厯三十八年庚戌西厯八月初二日二十二時半測土星經度為𤣥枵二十度十分以算較測盈四分有竒十五總積六千三百二十四年為萬厯三十九年辛亥西厯八月十五日十六時測土星經度為娵訾二度一十二分以算較測盈一分半測土星次行先法(次行一名歲行一名他行)上論用不同心圏及均圏(大小一理)以齊土星之自行(或稱本行)二十九年有竒而一周天今論其次行(一日歲行毎一㑹日稱一周)有二説盖古今厯家皆言土星在日之衝則逆行則遲行其正衝之㸃為逆行遲行兩限之界若土星與日㑹則順行則疾行其正㑹之㸃為順行疾行兩限之界也然日有平行有視行未知定兩限之界者為日平行之衝與㑹耶抑日視行之衝與㑹耶故有二說上世每用日平行之衝為逆行之限今世則自宜用日視行之衝為逆行之限(即歲輪極髙極庳之㸃)兩法皆可推定次均表其差甚微似不妨任用之今以法齊歲行依古測用古圖依新測用新圖古法多祿某於總期四千八百五十一年為漢順帝永和三年西厯十二月二十二日子正前四時(即戌正)本地測土星經度為𤣥枵宫九度○四分(測土星經度以大渾儀用月用畢宿大星)(本書詳記其衝)于時太陽平行躔析木九度一十五分較前所用第二測則此測在後八百九十七日又八時其時土星最髙在大火二十三度土星在𤣥枵九度 四分則視行距最髙為七十六度○四分又第三測時平行(歲輪)(心之行)距最髙五十六度三十○分兩測之中積平行為三十○度○三分以并第三測其得八十六度三十三分為此測時土星平行距最髙之度分也(古不知有最髙行故平行)(自行異名同理)又第三測時土星體居歲輪周一百七十四度四十四分(從最逺起算)二測中積星間行歲輪周一百三十四度二十四分并之得三百○九度○八分為土星從歲輪極遠所行之度今有星之視經度自平行及歲行各若干又有其均數兩行較為十度二十九分及兩心之差求歲輪徑大小若干如圖已子丁庚四號同前歲輪心為未庚未弧八十二度三十三分作己未甲線甲為歲行極逺之界從甲過丑取三百○六度八分至丙為土星之體又作子未丁未丁丙未丙四線成諸三角形己未子形有已角(自行弧庚未八十六度三十三分之餘為九十三度二十七分)有已子邊(兩心差之半)有未子(全數)求己未邊又己未丁形有己丁己未兩邊有丁巳未角求歲輪心距地丁未若干得一○○八○○又求先均數之己未丁角得六度二十九分即己丁未角為八十度○四分是歲輪心未正距最髙庚之度分而所測土星本體丙距最髙為七十六度○四分其較四度則歲輪均數也丙丁未角也丙丁未形有丁未邊有未丁丙角有丙未丁角(歲行為甲丑丙)(弧減半周甲卯餘卯丙又有卯丑為己未丁角之弧即丙卯卯丑兩弧并得丙丑弧或丙未丁角)求丙未邊得一○八三三為歲輪半徑之數(子未截未心圏之半徑為全數)(十萬也)多祿某所定己丁丙未兩線依以推算凢有土星自行(庚巳未角)及歲行(丙未丁角)皆可得土星全均數(庚丁丙庚巳未兩角之較)本書有例今用新法新數不煩備述測土星次行後法(第七章)近年第谷門人用多祿某法作别圖稍訂定前數丁地心為心作庚未壬黄道圏(或土星本圈如白道為月本圏)庚為最髙取庚未弧(順天取之)為土星自行度未為心作甲丑圏其半徑八七二一(古圖為兩心差四之三數小異)作丁未甲線甲為不同心輪極逺之界從界左行取甲丑弧與庚未弧等丑為心作己丙圏其半徑為二九○七(古圖為兩心差四之一此兩小輪第一當不同心圏第二)(當小均圏)又作未丑線恒與最髙庳線平行割己丙圏于己巳為最近未心之㸃亦為丙巳圏右行之界從已右行取己丙弧倍庚未弧(未心行庚未圏一周丙㸃行丙巳圖二周)又以丙為心作戊乙辛寅圏名歲圏(古圖名小輪)其半徑一○四二六(較古數少增)土星體循此圏一㑹歲(日與土星相㑹名一㑹歲)行滿一周(作丁丙辛線辛)(為歲行極遠之界)凢未心在庚(自行初度分)丑又在甲丙又在巳星若在辛即土星之各行皆為初度初分土星在最髙土星體從戊右行過乙辛寅而復于戊為一周用此圖可推土星均數有例如左此新圖法仍用新測即測算俱合今具兩測一為減均一為加均第一測總積六千三百○三年為萬厯十八年庚寅西厯二月初八日午正後三十四刻第谷于本地親測土星經度為實沈宫七度三十二分緯度為黄道南一度五十二分于時太陽視行躔娵訾宫初度初分四十秒依表得土星平行距春分為七十五度一十○分○五秒平經度也自行為一百六十八度五十一分四十秒本圏上之行引數也(歲行丁定)如圖丁為地心庚壬為土星本圏與地同心壬為最髙衝從壬逆取十一度○九分(自行從最髙庚起至最庳壬不足若干或從最髙計)(自行本數或從最庳逆數其餘)得未未為心作甲丑當不同心圏作丁未甲線從甲左行取自行度數之甲丑弧一百六十八度五十一分丑為心作己丙卯均圏作未己丑線從已過卯取自行之倍弧三百三十七度四十二分至丙作丑丙丙未二線又丙為心作戊乙辛歲圏作丁戊丙辛線從戊右行取土星距太陽若干至乙乙為土星體用三角形算求乙丁未全均數之角如左丑丙未形有丑丙丑未兩邊(其數見上)有丙丑未角(巳丙弧也巳卯)(丙倍自行即巳丙倍壬未為二十二度一十八分)求未丙邊得六一二○又求丑未丙角得十度二十二分二十四秒此角與甲未丑過半周之大角(甲卯丑弧之角)并去減半周得丙未卯或丙未丁角為二十一度三十○分四十四秒丁未丙形有未丙(前得)丁未(半徑)兩邊有丙未丁角求未丁丙角(土星自行前均數)得一度二十一分四十八秒以此角減土星經度餘七十三度四十八分一十七秒實經度也以減太陽視經度餘二百五十六度十一分二十三秒為土星距太陽歲行度分又求丁丙邊得九四三三○丁乙丙形有戊丙乙角(土星實經度距日視行減半周之數)為七十六度一十二分二十三秒有乙丙丙丁兩邊求乙丁丙角(歲均)(數)得六度一十六分一十七秒因太陽未到土星為減則于平行經度内減自行均及歲行均兩數餘六十七度三十二分或實沈宫七度三十二分與所測等(凢自行或)(引數少于半周者其均數宜減又土星順天距太陽大半周則于實經亦宜減按圖見之)第二測為本年西厯九月初七日子正時本地測土星經度得實沈二十八度○六分其緯為黄道南一度一十一分在伏後留段(日在鶉尾為合伏土留在實沈故為伏後)為歲均最大之處于時太陽躔鶉尾宫二十四度二十六分三十五秒土星平行為八十二度十四分四十秒自行(不同心上度最髙起)(算)為一百七十五度五十五分一十七秒(引數也)圖略如前壬未為四度○四分四十三秒(自行之餘)甲丑為一百七十五度五十五分一十七秒(自行度)己卯丙為三百五十一度五十○分三十四秒(倍自行)先求己未丙角得四度○十二分一十六秒又求未丙邊行五八五二次求未丁丙自均角得○度三十○分○三秒為減均則減之(自行未滿半周)餘八十一度四十四分○三秒乃均經度也(從春分起)又求丙丁邊得九四二三四均經度以減太陽經度得九十二度四十四分土星距太陽歲行數從辛過甲取九十二度至乙 末求丙丁乙角得六度二十一分二十三秒以加均經度得八十八度六分與所測密合(因土星距太陽小半周故減之)依上二測可知所定諸數悉為正法合天故也若有平行有均數而求正經度或視行度用圖如上或有均數有平行數而求各圏之半徑大小亦用上圖土星表所用諸率(第八章)最髙行 一年為一分二十○秒一十二微一千年行二十二度一十六分四十五秒一萬六千一百六十○年滿一周平行 一平年為一十二度一十三分三十五秒二十○微一日為二分○秒三十二微一時為五秒○一微一萬○七百四十七日一十八時○七分滿一周(二十)(九平年又一百四十二日一十八時○七分)自行 一年為一十二度一十二分一十五秒又用前法定厯元之根推筭土星加減表土星新測式(厯局訪舉及欽天監官生同測)崇禎七年甲戌歲八月初七庚申日戌時用線測土星見在房宿第三星及建星第一星之中成一直線又見土星在宋星與天江第二星之中亦成直線(土星略向西一線未全掩)(其體)測量全義九卷載有測法設四恒星之經緯度求緯星經緯度今繪星圖各兩星以直線聯之兩直線相割乃某星所躔度分也今以恒星表取四星經緯度房宿第三星經為大火宫二十八度六分(因距根七年加六分)緯為北○一度○五分建星第一星經為星紀宫八度二十七分緯北○一度四十五分宋星經為析木宫十二度五十三分緯北七度十八分天江第二星為析木宫十六度十一分緯南一度三十二分測星圖説中線黄道也有經度(從大火宫二十七度至星紀宫十度為足盖所用星經度皆在其中)有南北緯度(北至八南至五所用星亦不過此)因上各星之經緯安本度分相對以直線聯之兩線相遇之處即是土星求其經度得析木宫十四度五十八分緯北一度二十五分天圓形與平形為異類直線曲線未可相比但所用星皆于黄道不逺用平面形以測圓形之度未免差有秒數細測考之或在一分之内得土星真經度分依土星表設年日數推算經緯度 (算置初八辛酉日子正距根二)(百五十一日)土星視經度為析木宫十五度○一分測得十四宫五十八分差三分 星果未到宋星天江中線新法算書卷三十七
## 卷三十八
欽定四庫全書
新法算書卷三十八 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷三測木星最髙處及兩心差古多祿某擇本星在太陽之衝三測如左一測為總積四千八百四十六年陽嘉二年癸酉西厯五月十七十八日内夜(本地)亥正測木星在大火二十三度十一分太陽平行躔大梁同度(不分平時用時葢土木兩心之行極遲分刻之)(時不到行之半分故)二測為總積四千八百四十九年永和元年丙子西法八月三十一日九月初一夜亥初測木星經度得娵訾宫七度五十四分當時正對太陽之平行則以筭太陽躔鶉尾宫七度五十四分三測總積四千八百五十年永和二年丁丑西法十月初八夘初測木星經度得星在降婁宫十四度二十三分行因算得太陽躔壽星宫同度前第二測中積為一百二十一日及二十三時此時木星視行行一百○四度四十三分(從大火二十三度到娵訾宫七度中積数也即)(兩視行之較也)又以中積日數查平行經度之表得木星自行為九十九度五十五分兩行(視行平行)之較為四度四十八分乃均數也後二測之中積為四百○二日七時此時木星視行為三十六度二十九分(從娵訾宫七度到降婁宫十四度)又以平行表求兩測中積日之平行得三十三度二十八分兩行(視行平行)之較為三度三分均數也作圖如土星解中等甲乙丙為三測丁為黄道心作丙丁戊戊甲甲丁丁乙乙甲乙戊各直線成多三角之形(其論甚長分為二十端)一戊乙丁形有乙戊丁角為十六度四十三分(乙戊丁角負圓即為)(丙乙弧度數之半數丙乙弧為後二測中積木星之平行)(三十三度二十八分折半用之為戊角之度)又有戊丁乙角為一百四十三度三十一分(丁㸃為黄道心乙丁丙角為後二測中積木星視行之度數以滿一百八十度)(天半周或以滿戊丁丙線丁㸃上兩直角所少者為乙丁戊角)乙角自為十九度四十六分(三角形三角并一百八十度先有兩角并之以一百八十減之所餘為苐三角之數)有三角求各邊之數(虚數但以得三邊之比例)查正弦之表(邊之比例若對邊角之正弦等)(見測量一卷)得丁乙邊為二八七六四戊乙邊為五九四五九戊丁邊為三三八一九上三虚之比例為三邊之比例二甲戊丁形有戊角為六十六度四十一分三十秒(戊角在圓)(負甲乙丙弧第一第三測中木星平行折其半為甲戊丁角之度數)有甲丁戊角為三十八度四十八分(甲丁戊角在黄道心上為第一第三測中積木星視行之度天半周内減之所)(餘為戊丁甲角之度也或丁㸃上滿兩直角)甲角自為三十四度三十分半(三角并一百八十度)形有三角求各邊之比例(亦用虚數如上法等)查表得甲丁邊為九一八四○甲戊邊為六三六三○戊丁邊為九六三六八乃各對角之正弦數也三因戊丁線兩形同用即有各形之數以其兩數求戊乙線比甲戊為若干用三率法(其論在土星觧中)得一六九四二九即甲丁甲戊戊丁戊乙四線為同類之數四甲乙戊形有戊角為四十九度五十七分半(甲戊乙角在圜負甲)(乙弧甲乙為前二測中積木星平行折其半為甲戊乙角之度數也)又有甲戊甲乙兩邊用法求甲乙邊(測量一卷中)得為一三七七四一(亦是虚數也)五甲乙弧為九十九度五十五分查其弦(弧之度數折半求其正弦即倍)(正弦之數得全弧之弦)得一五三一一六甲乙線也六甲乙線為某三角形之邊又為某弧之弦即有兩數(弦數)(名内邊數名外下同)即以其兩數求甲戊線内數若干(甲乙甲戊各有同類之數)(見上)用通法(土星解中見之)得六九六五四甲戊線内數也或甲戊弧之弦查表求度(弦數折半為正)(弦求弧倍之得全弧)得四十○度四十六分七戊甲甲乙乙丙三弧并之得一百七十四度○七分查表求其弦(求之法見上)得一九九七三四即戊丁丙線内數八以甲戊線兩數(内外二數)求戊丁線内數(甲戊戊丁上算有同類之數)推算得一○七一二四(用通法如前)即丁丙内數也九戊丙内數(上得之)減去戊丁線内數存九二六一○即丁丙線内數也十因戊甲丙弧不滿天半周即圏之心在戊丙其弦外(幾何)(言之)試置在已作庚巳丁壬過兩心之線(黄道心下及本星道心已)定本星道最髙為庚壬為其衝己丁為兩心相距之度十一求己丁(論見土星厯)法以丙丁線之内數乗丁戊線内數又全數自之(十萬為全數)兩數相減(全之方及丙丁丁戊兩線内矩形)其餘為方積開方得八九○二即己丁線也兩心之矩度也十二戊丙線内數平分之于癸作癸巳辛線分戊庚丙弧為兩平分(凡圏中一線過心亦名平分圏内他線者必亦平分其弧幾何言之)又成癸巳丁句股形(因過心而平分戊丙線癸角為直角)十三癸巳丁直角形有丁癸邊(以戊丁數減去戊丙之半數或戊丁丙兩線之半較)為一三五七又有己丁邊(前推得之)八九○二求癸巳丁角依法算之(法見測量首卷)得五十四度十二分乃癸巳丁角或庚巳辛角之度或庚辛弧之度數也十四先得戊甲丙弧以全天周減之其餘折半為九十二度五十六分半即戊庚辛弧也以戊庚辛弧減庚辛弧餘三十八度四十四分半即庚戊弧也庚戊戊甲(戊甲弧上)(推得之)兩弧并之得七十九度三十分半甲庚也十五第一測木星在甲則距最髙為甲庚弧或七十九度有半加甲乙弧(一二兩測相距平行)得一百七十九度二十五分半庚甲乙弧也第二測木星距最髙也又(口力)乙丙(二三則相)(距平行)得二百一十二度五十一分半即第三測(距最髙之數也)十六置所得兩心相距之數及各測木星以平行距最高度數依法求各測之均數(圖及法見土星中今畧説)圖號如上作己甲丁甲等線成己甲丁形依法求甲角又求乙角及丙角皆測三均數也甲角為四度五十六分半第一測均數也乙角為○度三分半(用巳乙丁形算之)前二測距最高度數不過天半周則在縮邊為同類兩均數之較為兩經較之均數算得四度五十三分(前兩測中積行平行之差)視然先測之得四度四十八分算不合天為五分 又丙角為二度五十九分(用己丁丙形算之)第三測均數也此第三測距最髙過天半周(一百八十度以上)在盈邊則于第二測為異類故第二三均數相加得三度三分而于所測之均數為等而不差(不差葢兩均數為異類相平又二測距最低小數)十七因測及算不合多禄某用均圏再算(均圏用故見土星厯)圖如土星等庚甲壬不同心圏也其心為己丁為地心(于黄道心等)己丁平分于子子為均圏之心星在午均圏上先算星在甲則甲午兩處之差為甲丁午角依法求之(土星中見)得三分因距最髙數在縮邊宜先得均數減得午丁均角為四度五十三分 第二測亦再算得乙丁午角一分亦減之餘二分半兩均數減之得四度五十分半又不合所測之數差二分半故均圏不足十八多禄某見均圏不能全合木星之行則試而再試移最髙㸃順天二度十五分則兩心之差又長為九一七定數如此用上圖再算得第一測木星以視行距最高為七十二度十一分(庚丁午角也)均數為五度○四分(丁午)(巳角也)第二測木星距最髙為一百七十七度十分均數為十六分兩均數(一二測兩均數)較為四度四十八分木星兩經度相距為一○四度四十三分 第三測木星距髙衝為三十三度二十三分均數為二度四十七分第二三測均數相加并得三度三分又兩經度相減得三十六度二十九分各數合天故多禄某以為法十九第一測測木星在大火宫二十三度十一分又因上算距最高為七十二度十一分即以大火宫度内減之得鶉尾宫十一度分為木星道最高處若加六宫得其衝為娵訾宫同度二十置兩心差及均圏之理因三角形之算可細算木星逓加減表或本行之加減表夫表如他星等表非平分或八段等葢非勾股法(見日躔考)多禄某因無已前所記木星之測不知本星道最髙世世那移而順天行故依上法定之後士再測覺之今再譯其測二十一多禄某得丁甲乙均角甲為嵗輪心作亥丑圏凡星在亥依本法為太陽之衝然未到極近處丑差亥丑弧乃均角之弧 第谷曰星真在丑極近者為太陽真衝葢太陽為星之心故用直行非平行上古測木星法(谷白泥親測所記) (第二)第一測為總積六千二百三十三年正徳庚辰十五年(西法)四月三十日(本方)子初測木星得距婁宿距星為二百度二十八分或測木星在大火宫十七度四十八分(當時婁宿)(距星距春分為二十七度二十分)太陽平行躔其衝即大梁同度第二測為總積六千二百三十六年嘉靖六年癸未(西法)十一月二十九日寅初測木星得距婁宿距星為四十八度三十四分或在實沈十五度五十四分太陽平行躔其衝即析木宫同度第三測為總積六千二百四十二年嘉靖八年己丑(西法)二月初一日戌初測木星距婁宿距星為一百一十三度四十四分或鶉火二十一度四分太陽在其衝躔娵訾宫同度前二測中積為一千四百○二日又六十四刻其視行度為二百○八度○六分其平行為一百九十九度四十分兩行之差為八度二十六分此為加減數或均數也後二測中積為七百九十六日六十刻十一分其視行為六十五度十分平行為六十六度十分其較為一度分均數也前用三測之圖求兩心差得萬分之一一九三又求木星道最高距婁宿得一百八十度十三分或壽星二十七度三十三分(第一測距最髙為二十八度十五分第二測距二百二十七度五十五分第三)(測距二百九十四度○五分)置上兩星測及各測木星距最髙若干推算均數第一測得二度五十五分第二測得七度二十五分前二均數為異類(一測木星距最髙不過一百八十度二測過故也)相加得前二測中積均數為十度二十分比所測甚多第三測均數為九度三十三分二三測為同類(皆木星距最髙各過一百八十度故)相減其較為二度○八分乃後兩測中積均數與所測更多若用均圏而算其均數亦不能對天則如谷白泥所云宜移木星道之最髙順天一十六度四十七分又兩心差減之為萬分之九一七分用本圖為六八九均圏為二二九圖乃谷白泥法所用小均圏(見土星解)及不同心圏庚為木星道之最高甲第一測庚巳甲角(本道心上角)為四十五度二分則甲巳丁形有甲巳(全數)己丁六八九兩邊及已鈍角一百三十四度五十八分求甲丁(均輪心距地)得萬分之一○四九六分又求巳甲丁角得二度三十九分又丑未弧或己丁未角與庚甲弧為等加巳甲丁角并得丁甲未角為四十七度三十四分甲未丁形有甲角甲未邊(小輪)(半徑)甲丁邊先推之求甲丁未角得○度五七分因庚巳甲為鋭角均數并減之得四十一度二十六分即未丁庚角也木星本身視距庚最髙之數也第二測己乙丁形有丁巳乙角為六十四度四十二分有己丁邊求丁乙得萬分之九七二五求巳乙丁角得三度四十分又未乙丁形有未乙乙丁兩邊及丁乙未角(庚己乙大角之餘加巳乙丁角并得丁乙未角得六十八度二十二分)求未丁乙角得一度十分以庚巳乙為一百一十五度十八分減巳乙丁角(二度四十分)又減未丁乙角(因庚丁乙為鈍宜減)存一百一十度二十八分木星身第二測未到最髙之度數也一二測距最高數并之得一百五十一度五十四分乃相測相近之度其餘(以滿天半周)為二百○八度六分與所測度分等又兩測之兩均數相加得八度二十六分亦合天第三測亦與未丁庚角推算得四十五度十七分全均數為三度五十一分後二測相距度為六十五度十一分及兩均數較同類相減餘一度五十九分亦合天谷白泥定木星天之最髙及兩心差均圏度如第三測木星在鶉火宫二十一度四分加第三測距最髙(四十五度)(十七分)得木星道最髙在壽星宫六度二十一分谷白泥法如此因圖凡有木星平行得其均數而又常常合天時多及門從之者今世第谷及其門人細細再測依本圖定數如左測定數圖因三測先算兩心差乃各測距最髙次算次算均數各合天其根必准古今中積一千三百九十三年有竒以中積為法行度為實除之得最髙行之率木星新圖(測) (第三)上古二法以木星衝太陽之平行度分為根而求本星道最高又本行均數等然今世第谷細細再測云宜用木星衝太陽正所躔之度又以之再試得諸圏半徑之數比古所定略異木星新測共八條如左是為新法之本一測為萬厯癸未年(本方在西二十八平刻)九月初六日辰正十分(西法)太陽實躔鶉尾宫二十三度三十三分此時測木星在娵訾同度(度因少不害經度之測)二測為萬厯甲申年十月十三日戌初一刻五分太陽躔大火宫二十二度木星正對太陽在大梁同度三測為萬厯辛夘年四月二十三日辰刻太陽躔大梁十三度十分木星正衝太陽即大火宫同度四測為乙未年九月十二日酉正初十分太陽躔鶉尾二十八度五十六分木星在日之衝即娵訾宫同度五測丙申年十月十八日子正太陽躔大火宫五度四十分木星衝日在大梁宫同度六測為丁未年九月十七日子初十分太陽躔壽星宫四度十分木星為太陽之衝即降婁宫同度七測為辛亥年正月初一丑正四十分太陽躔星紀宫十九度三十六分木星對日即鶉首同度八測為癸丑年三月初一日已正太陽躔娵訾宫二十一度四十五分木星衝日即在鶉尾宫同度第谷及其門人用本圖及用右八測而試今畧亦課之丁為地心庚甲壬木星道甲丁半徑為十萬甲為第一小輪之心當不同心圏甲乙其半徑一十萬分之七一五五乙丙均圏半徑為二三八五以本法見土星厯中置木星距庚最髙若干(平行表上)(取之) 戊乙弧為與庚甲同度己丙均圏上取其倍乃丙己弧為庚甲弧之倍作線成丙甲乙形夫形有乙角乙丙乙甲兩圏各半徑求丙甲邊又求甲角次戊甲乙乙甲丙兩角并之以半周減之得丙甲丁角即丙甲丁形有甲丁全數有甲角甲丙邊可推丁角乃本星本圏均角也又推丙丁邊乃星距地若干(凡求第一均數諸法非為星之體在丙即為嵗行圏之心葢星在年行之初恒在丙丁線中或上或下人)(目在丁常見丁丙線如一㸃)依上八測第谷門人於總積六千三百十三年為萬厯庚子得木星最高處在辰宫七度三十二分再筭多禄某古所測總積四千八百四十九年為永和丙子得最高在己宫十四度○分兩測中積為一千四百六十四年兩處之差為二十三度三十二分乃最髙所行經度依法求一年之行以所行度數為實年數為法而一得五十七秒五十二微又從萬歴庚子至本厯元中積為二十八年以所測處加二十八年之行得如表木星年嵗圏大小及其次加減(第五)年嵗圏者(古二法名小輪或次小輪)為木星㑹太陽兩次中積所行之輪也一年為二會之中積日率然非太陽之年嵗而為三百九十餘日依此圏之行可觧木星之進退遲疾多類之行其全觧見本厯指一卷今求其大小多禄某用本圖測本星太陽衝之外總積四千八百五十二年永和四年己卯太陽平行躔鶉首十六度十一分(本方)為卯初(月日不記有日行為是)用渾儀移得降婁二度在午圏上木星當時比月及畢宿大星測得視行在實沈十五度四十一分下圖為丁辛線圖號如上上木星衝太陽三測第三以前距此測為六百四十一日(時刻不等其差甚微)依表求中積各行得木星平行為五十三度十七分丙己午角次輪行為二百一十八度三十一分(全周外)第三測視距最髙衝為三十三度二十三分壬丁内也減第三測均數二度四十七分己丙丁角餘三十度三十六分壬己午角加中積行丙己午得八十三度五十三分(壬己午角也)用法求第一均數己午丁角得五度十五分丁午己壬加之得午丁壬乃嵗輪心視距最髙衝之度又求丁午線得九九七七七(己午全為十萬)第三測時最髙衝測定在娵訾十一度木星今測實沈某度則距髙衝為九十四度四十五分較小輪心距度為五度三十七分(午丁)(丑角)第三測時起算界申不到小輪極近(起數之界)少申未弧(己丙丁均角)為二度四十七分加于中積行得二百二十一度十八分未酉子也(未為極近)(甲未弧在黄道上則本天外故申平行前未視在後算從下未起虚界用平行若干必宜加申未弧得從未到)(子今測之弧)減半周(未酉戊)餘四十一度十八分戊子弧也丁午子形有午丁邊有午丁子角先推及子午丁鈍角(子午)(戍之餘)求午子邊乃小輪之半徑也多禄某得一九一九四(比巳午半徑全數十萬)木星天測置巳午半徑十萬己丁兩心差為九一七○小輪半徑為一九一九四多禄某如此又試其法用上古測木星而算又得其所定之數為准古測為總記四四八五年秦王政十八年壬申太陽平行躔鶉尾九度五十六分木星初晨初見見星體食鬼宿苐四星當時經度為鶉首七度三十三分緯度不拘然因今測為細不譯其古谷白泥再測再算得木星道最髙在壽星宫六度二十分又兩心差為萬分之六八七均圏半徑二二九并為九一六分年圏半徑為一九一六此圏年之數如多禄某同第谷及門人色物利諾再細測得第小輪(當不同心圏)為十萬分之七一五五均圏為二三八五年圏半徑為百萬分之一九二九四八又移進最高比谷白泥所算為四十分及平行亦進四分而依此算上記木星八測而測與筭大差不過五分可取為法測木星視經度依三角形算年嵗圏半徑 (苐六)用第谷門人所測總計六三○六年萬厯二十一年癸巳年(西法)九月二十八日(本方)戌正測木星在星紀一十三度五十六分(先測木星距天壘城第十星為三十三度五十九分又距宋星三 二度三十三分)(又測地平上髙得九度又測赤道之緯為南二十三度七分因測量九卷中法求木星經度得如上求黄道緯)(得在南○度二十五分兩視差先算)此時依平行本表從冬至起得三十度二十分半又最髙在壽星宫七度三十二分二十秒即木星前均輪之心距最高為一百一十二度四十八分十秒(亦謂引數)求苐一均圖説甲為心丙乙戊木星之道丙為最髙衝從丙取丙乙辛丁各如引數之弧(餘六十七度十二分)庚戊其倍作戊甲線先用戊丁乙形有乙丁丁戊兩邊(小輪兩半徑)及戊丁乙角(引數)(丙乙弧之倍)求戊乙邊得一一五九二又求戊乙丁角得十度五十五分五十秒 次戊甲乙形有戊乙邊(上推)有戊乙甲角(戊乙丁角加與丁乙辛角之餘)為七十八度七分四十秒甲乙為全數求戊甲邊得九八五四六二(全數為百萬)先以表算木星距冬至為三十度二十分減去均數引數未滿半周故得星紀宫二十五度十三分二十秒乃均圏心之經度 所測度較為十一度十七分二十秒即次均數也時太陽視行躔壽星宫十五度十七分以到均圏心少九十九度五十六分五十秒次引數乃木星未完年圏之度數也此次引數生次均數十一度有餘可求年圏半徑若干上圖戊為心作壬癸圏截甲戊線于癸從癸最逺處止壬取星距日(九十九度有餘)壬為木星之體(凡星㑹太陽在癸後徃庚順行為疾)(到酉為太陽衝逆行或用太陽距星之度從癸徃庚酉壬算之或用太陽以到星少若干度即從癸逆行徃壬)(算之各用)作壬戊壬甲二線成壬戊甲形夫形有壬甲戊角(次均數即十一度餘)有戊甲邊(上得即九八五)(四六二全數為百萬)又有甲戊壬角(癸壬)(弧之角餘)求壬戊邊推之得一九二九四八(全為百萬)乃嵗圏之半徑也若設有各圏半徑之數及平行年行數依上圖及法可算木星之經度木星新測一用圖算式崇禎六年癸酉嵗十月十七日丁丑夜望監局同測木星見在井宿苐一星及鉞星兩星之中鉞星井宿作一線木星向北約二十分而畧近于井則三分線之一三分線之二距鉞(井宿)(第一星表上經度為鶉首宫○度六分加厯元後六年之行五分得○度十一分鉞)(星經度為實沈宫二十八度十五分加五分得二十八度二十○分兩經度之較為)(一度五十一分三分之得三十七分减于井宿經度得實沈宫二十九度三十四分)(乃木星之處也)依上得木星在實沈廿九度三十四分緯南三十六分本日測夜望推算用子正時為便日干丁丑距年根乙巳為三百三十二日以本表求平行得距冬行為五宫十八度十四分二十四秒自行為八宫九度十一分四十一秒如圖新法用各圏半徑即甲乙七一五五(全數十萬)丙一二三八五丙庚一九二九四從戊最髙逆行取自行宫度數至乙(約輪心)從己極近逆行亦取自行數至丙丙心作嵗圏作線如法所用三角形諸法見測量全義首卷一甲乙丙形有甲乙乙丙兩腰(先定兩圏半徑)有丙乙甲角(己丙大弧)(為自行度數丙己小弧為其餘此弧為丙乙甲角之度分也)為一百三十八度二十三分二十八秒求丙甲乙角法兩腰相并得總相減得較角之餘數以滿半周半之其切線以較數乗之以總除之得數查切線求度分以角餘數之半減之得丙甲乙角次丙乙邊數乗丙乙甲角正弦以甲角正弦除之得丙甲邊二甲丙丁形有甲丙(前推)有甲丁全數(十萬)及有丙甲丁角(以自行數戊乙弧減)(半周又于存者加乙甲丙角得丁甲丙角)求甲丁丙角 法甲丙丁角正弦餘弦二數各乗甲丙邊之數以全除之餘弦所得以全數減之得數自之又正弦所得自之二方數并之開方得丙丁邊又正弦所生全數為實所得方根為法除之查切線表得度乃甲丁丙角也二丙庚丁形有丙丁邊(前推)丙庚邊(嵗圏半徑)一九二九四又有丁丙庚角(置太陽本時距度得十宫二十六分三十八秒又以木星實行减之得木星距太陽其餘)(以半周為)庚丙丁角求庚丁丙角法兩腰相加得總相减得較 角數之餘(以滿半周)半之以其切線乗較以總除之得數查切線得度以餘之半減之得丙丁庚角之度于實行算法列後存數乃丙丁庚角也嵗圏均數也加于實行得視行則木星在五宫二十九度三十二分十六秒比所測差三分極㣲差也此測用表法中再以表算所得比三角形算差不到一分大概歩星測算所差二三分内法亦合天木星新測二用表算式崇禎癸酉嵗十一月十六日甲辰夜望見木星食司怪第二星或曰兩星之體實未合一細看果然及用逺鏡分二星相距分數忽天有雲不見其時為戌末亥初算置十七日乙己子正大統厯載木星十六日夕退即衝對太陽又載十三日木星在參宿四度十九日在參三度(逆行也)若然則木星十六日當在參宿三度半新法以赤道算司怪第二星赤道經度為八十六度八分減去參宿距星赤道上經度七十八度二十四分餘八度四十四分乃十一月十七日子正木星躔赤道宿次也較大統盈五度十五分司怪第二星黄道上在實沈宫二十五度五十分緯南○度一十三分測星時算太陽躔度癸酉年根日為乙巳本年十一月十七日亦為乙巳相距計十二箇月滿六紀法為三百六十日乃距年根之日數也逺鏡見木星圖小星乃本星所随之星目力不能見算木星與司怪苐二星兩星之差六分系木星實未食恒星然木星照光并恒星光相交如一體又依逺鏡所窺兩星實未合木星見東恒星見西皆在六分之内中分(三八五)髙庳○分 此法差不及半分較分三十三秒系木星經度未及太陽之衝為二十六分因逆行為越過二十六分變時(太陽一日之行為六十一分木星一日之行七分因逆行并之得六十八分以)(三率求二十六分之行得九時十分)以乙己子正減之得甲辰日未正三刻五分乃木星實對衝太陽新法算書巻三十八
## 卷三十九
欽定四庫全書
新法算書卷三十九 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷四(火星)按古天圖火星屬第四重天在太陽之上土木之下今因新測及新圖又博考前賢遺論凡會合伏太陽則在其上凡夕退衝太陽則在其下而于地更近也火星視行絜他星之行更竒或行逾二百餘日不及天周一宫或越四旬日而行過一宫不達其道者曰無法之行也古比利尼阿(西大士)曰火星之行不能測度言甚難也勒爵(亦西精厯之士)測火星之曲路欲求作圖永為世法厯年乆而無成功自懟虚費功力悶而幾斃後世之士益敏學如第谷二十年中心恒不倦每夜密密測算謀作圖法未竟而斃其門人格白爾續之著為火星行圖一部分五卷七十二章而定其經緯髙低之行然但窮其理未有成表測法雖明未解其用闕然未備後馬日諾及色物利諾二人相繼作表而用法始全兹本指以古今講測諸法擇其最要者譯之如土木二星等法測火星本天兩心差及其最髙必用火星衝太陽測蓋以是時無歲行之差而但有本天之盈縮差也凡十有五章如左測火星最高及兩心差先法(第一章)用古三測與測土木二星法同第一測總積四千八百四十三年為漢順帝永建五年庚午十二月十一日丑初(西厯本地)測火星經度為實沈宫二十一度○分于時太陽平行躔其對衝宫度為析木宫同度(測星算曰二者並重彼此測算相比可得其相對之時不謬)第二測總積四千八百四十八年為漢順帝陽嘉四年乙亥二月二十一日亥初(西厯)本地測火星經度在鶉火宫二十八度二十分于時太陽平行躔其衝𤣥枵宫度分同(以算得之)第三測總積四千八百五十二年為漢順帝永和四年己卯五月二十七日亥正(西厯)本地測火星經度在析木宫二度三十四分于時太陽平行躔其衝實沈宫同度分前二測中積為一千五百二十九日二十二時(小時)此時依前所定平行數得火星行八十一度四十四分全周外又兩所測火星之視經度差(從實沈宫某度至鶉火某度)為六十七度五十分平行視行相減得十三度五十四分為均數也平行大視行小(用不同心圏)可知二測在最髙之左右後二測中積一千五百五十六日四刻此時依平行率火星平行全周外為九十五度二十八分視行(兩測兩經度之較)九十三度四十四分兩行相減得較為一度四十四分乃均數也均數小因知兩測並在最髙同方或左或右以三測中積兩行數及其較用不同心圏作圖如土木二星等此三測置火星在本道下如本圜平面内測之不求其緯蓋火星緯南北比土木二星更多又凡衝太陽其緯益大即測其經度者亦不得指為黄道度又不得為本道度然測法或用黄道度或本道度因其差有限不碍于算也故用如在一平面上甲乙丙戊為火星本行之圏于黄道不同而于相交處任取甲為第一測火星所在從天順數右行本圏上取前二測中積平行之度分即八十一度有竒至乙乙為第二測火星所在之處又順天再數得後二測中積平行之度即九十五度有竒至丙丙為第三測火星所布之處也此本圏之心非地心乃火星平行圏之心又因上論甲乙二測在最髙左右則地心在本圏心下任取一㸃如丁為黄道之心(不知兩心差故任取)從甲乙丙三測到丁作甲丁乙丁丙丁三線又丙丁引長到圏周如戊作戊申戊乙甲乙三線六線成各三角形如左一乙丁戊形有戊角四十七度四十四分(乙丙弧之半數)有乙丁戊角八十六度十六分(丁為地心)(見乙丙兩測視行相距為九十三度四十四分乃乙丁丙)(角也乙丁戊為以滿兩直角之餘)乙角自為四十六度無分乙丁戊形中有三角求三邊之比例(用各角之)(正弦得其比例或置丁戊邉為全數求乙戊邊)多祿某先定丁戊為全數求乙戊得一三八七二○二甲丁戊形有甲戊丁角八十八度三十六分(甲乙丙弧之半數即)(一三測中積平行之半數)又有甲丁戊角十八度二十六分(一三測中積視)(行為甲丁丙角取其餘)自有戊甲丁角甲戊丁形有三角再置戊丁為全數求甲戊邊得三三○六九三甲乙戊形有甲戊乙角四十度五十二分(一二測中積平行之半數)(或甲乙之半弧)又先推算甲戊戊乙兩邊求甲乙得一一五七三六(全數十萬)四算得甲乙甲戊戊乙三線為同類(丁戊常為全數十萬)今甲乙線因為甲乙弧之弦可得甲戊及戊丁兩線弦内之數若干及得甲戊弧若干法以甲乙弧八十一度之餘求其弦為一三○八六○又先得甲戊為三七三八八(用三率法甲乙)(外數得弦内數甲戊外數得若干弦内數又丁戊若干内)(數)戊丁為一一三○六六用甲戊弦求其弧得二十一度五戊甲甲乙乙丙三弧并之得一百九十八度五十三分為周天之大半也則甲乙丙圈之心在于弧弦之中置在己又作己丁兩心線上至庚為火星道最髙下至辛為最低也六因幾何二卷五題庚巳(半徑)方形與庚丁丁辛内矩形及己丁上方形并等又因三卷三十六題辛丁丁庚内矩形與戊丁丁丙内形亦為等今知戊丁丁丙若干(戊丙線即)(戊甲乙丙弧之通弦為一九七二九六減去戊丁餘八四二○三○)法兩數相乘所得數内減去全數之方所餘方根為二一八六一則己丁也乃地心與火星道之心相距之數(庚己半徑為全數十萬)七從己與戊丙作垂線到圏周為己癸壬成己癸丁勾股形夫直角形有己丁邊(上推)又有癸丁邊(先得丙丁戊為一九七二九三)(六其半為戊癸又先得戊丁線即兩線之較為癸丁一四)用法(測量首卷)求癸己丁角得四十一度十五分乃壬辛弧也(辛圈為最低之㸃)八先有戊乙丙弧則其餘(以滿全周三百六十度)為一百六十一度○七分折半為壬丙弧也以壬丙減去壬辛弧之度數所餘辛丙為三十九度一十九分則第三測火星在丙距辛最低之度數也或以半周天内減之得丙庚弧為一百四十度四十一分則第三測火星距庚最髙之度數也夫數内減去二三兩測中平行之度(九十五度二十八分)餘四十五度一十三分則庚乙弧也乃第二測火星在乙距最髙之數也又一二兩測中平行數八十一度四十四分内減去庚乙弧餘三十六度三十一分乃甲庚也則第一測火星距過最髙之數也九試推各測有平行距最髙若干有兩心差求其均數又用均圏如土木星等依圖第一測推算得丁甲己(不同心圏)(上)角為六度十八分丁午巳(均圏上)為六度五十分第二測推算得丁乙己為七度五十分(不同心圏)丁申巳(均圏上)為八度十三分第三測推算得丁丙己(不同心圏)為九度二十七分丁未己(均圏上)為八度三十七分十前二測均數為異類故加(不同心圏上)得十四度八分或(均圏)(上)得十五度○三分此二測推兩均數比所測(十三度五十三)(分)數皆為多又二三測均數相減(同方故)得四十七分(不同)(心)或二十四分(均圏上)比所測(一度四十四分)皆少所得兩心差或最髙處未真不足為準十一多祿某見所算與測兩數不合因更置别數厯厯試驗而得其準始定火星最髙宜順天移前五度二分又兩心差為二○○○○分(全數為十萬)用此數推算斯與所測相符而真合天矣今宗其法十二巳午子形有己子(兩心差半數)有子午(均圏半徑全數十萬)有午巳子角(甲庚弧或庚巳午角以滿半周之餘)求己午子角依法得三度四十八分次子丁午角形有午子丁角(先有戊己庚角次得巳午子角兩數相減)(得午子巳角其餘為午子丁角)有子丁及子午(半徑)兩邊求丁午子角為三度十三分兩均角數并之得七度三分減于甲己庚角餘三十四度三十分乃人目見火星第一測距最髙庚之度數也十三第二測星在乙用三角形法如上一測求巳申丁角(均圏上)得六度五十一分減于乙己庚角餘三十三度二十分乃人目見星距最髙之度數第三測星在丙推算己未丁角得八度三十四分加于丙巳辛角得五十二度五十五分乃人目見星距最髙之衝十四前兩測各均數相并(凡星在最髙同方均數為同類宜相減星在異方均數為異類)(宜相并同類者乃平行比視行或大或小蓋從最髙起算至其衝平行為大視行為小均數為減若從最低起)(算則平行為小視行為大均數應加兩均數同類以得中積均宜相減異則宜加)得十三度五十四分必與所測合又兩測距最髙數并得六十九度四十三分亦與測合十五後二測兩均數相減存一度四十三分又距最髙兩數相減餘九十三度四十五分咸合于天此多祿某法得其準定為其率之本也十六第三測星視行測在析木宫二度三十四分又距最髙衝一百二十七度○五分即逆數之得最髙在鶉首二十五度二十九分古者未覺最髙之行近世始明其理得真最髙越年多而行稍移宜借用谷白泥法古今兩法相比乃為全也谷白泥亦用三測如後測火星最高及兩心差後法(第二章)谷白泥測算必用其圖第一測總積六千二百二十九年為正徳十一年丙子(西厯)六月初五日丑初(本方)測火星在太陽平行之衝距婁宿第二星(谷白泥法以此恒星為界)為二百三十五度三十三分算宫得火星在析木宫二十二度四十六分第二測總積六千二百三十一年為正徳十三年戊寅(西厯)十二月十二日戌正測火星衝太陽平行得距婁宿第二星為六十三度○二分算宫得鶉首宫初度十八分第三測總積六千二百三十六年為嘉靖二年癸未(西厯)二月二十二日卯初測火星衝太陽平行得距婁宿第二星為一百三十三度二十分算宫得鶉尾宫十度四十一分前二測中積為二千三百八十一日有七十二刻依平行率得火星平行行一百六十八度○七分視行行一百八十七度二十九分兩數相減得均數為十九度二十二分後二測中積為一千五百三十二日有四十九刻火星平行行八十三度○分視行行七十度一十八分兩行之較為十二度四十二分均數也先用一不同心圏及小均圏如谷白泥本法作圖圖如土木星等丁為地心己本圏心己丁相距本圏半徑(設萬分)為一千四百六十甲為第一測順天數一百六十八度餘止乙乙為第二測之處又加八十三度餘止丙丙為第三測之處一二測中均數大則兩測之各均必為異類兩測必在兩心線之左右二三測均數亦大必亦為異類兩測亦在兩心線之左右二三測平行小視行大指在最髙旁置小均圏半徑為五百分(全數)(如上)第一測距最髙為一百二十五度二十九分(庚己甲角)第二測距最髙為六十六度十八分(庚巳乙角)第三測距最髙為十六分三十六分(庚己丙角)此數屢測屢算谷白泥所定因其恰于天脗合今借其數試之己丁甲形有己甲半徑有己丁邊及丁己甲角(庚己甲之餘)求己甲丁角得七度二十四分減于庚己甲角内得庚丁甲角又求丁甲邊得九二二九(谷白泥法先以均數或加或減于先引數得次)(引數今因其數宜減減之)丁甲午形有甲角及午甲甲丁兩邊求午丁甲角得二度十二分次均數也兩均并得九度三十六分全均數也己丁乙形如前求各均數并之得九度四十七分第一第二測兩均數為異類則相加得十九度二十三分測符所算指各數合天己丁丙形如上算得總均數為二度五十六分第二第三測之兩均亦為異類相加得十二度四十三分亦合于天又第一測平行距最髙一百二十五度有竒減均數(凡星在最)(髙後半周内宜減在最髙前半周内宜加)得一百一十五度十三分第二測(順天數)距最髙為二百九十三度四十二分加均數得三百○三度二十二分第三測距最髙十六度三十六分減均數得十三度四十分第三測時火星距婁宿第二星為一百三十三度二十分減三測距最髙得一百一十九度四十分乃最髙距婁宿二星之度又加二十七度二十一分(當時婁宿二星距降婁宫初度)得一百四十七度○一分或鶉火宫二十七度一分又火星最髙之處也多祿某第三測為總積四千八百五十二年谷白泥第三測總積為六千二百二十六年兩測差一千三百八十四年此時火星最髙行三十一度餘比恒星之行多十度餘可識火星天之最髙有本行與恒星迥異大統厯及回回厯俱未之覺也其細率條析于左用古今兩測試平行之率(第三章)古多祿某第三測距谷白泥第三測為一千三百八十四平年有二百五十一日三十二刻因本厯第一卷所定率得此時火星衝太陽平行為六百四十八次又五度三十八分二十四秒兩測有同類之加減均數乃減類也兩測兩均數(古者為二)(度五十六分今者為八度三十四分)之較為五度三十八分與所算等(衝太)(陽之圴數為當時火星未到小輪相近之處今均數為大言今測比古者過五度)用兩測中積火星衝太陽之數以全周數乘之加五度三十八分為實以中積日數為法除之得火星小輪上一日之行為二十七分四十一秒四十微一年為一百六十八度三十分三十六秒火星天最高行(第四章)古多禄某總積四千八百五十二年(本算第三測)用火星衝太陽平行得火星天之最髙在鶉首二十五度半此時太陽躔星紀宫某度距最低為三十五度當時太陽最髙在實沈宫十度(其衝析木同度)均數為一度半號為加又日細行為六十分火星為二十五分(衝日為逆行)兩行并之得一日太陽與火星相近為一度二十五分用三率法一日相近行若干以行太陽均數一度半用時若干得廿五時廿四分乃火星預先衝太陽之實經度依此法補前第一第二測再算得當時最髙在鶉首廿八度十五分今第谷近測總積六千三百十三年為萬厯二十八年庚子測得火星在鶉火二十八度五十五分中積為一千四百六十一年行度為(古今兩經度較為中積之行)三十度二十七分以年數除之入法得一年之行為一分十四秒五十二微百年行二度四分四十七秒三十九微萬厯庚子至崇禎戊辰厯元距廿八年以鶉火廿八度五十五分加廿八年之行得廿九度三十分表上有七宫(從冬至起)廿九度三十分加一年之行則得第二第三年等記今測火星衝太陽實行十四測(第五章)(此第谷及其門人所測更密更細今為本厯厯測)先具第谷所用之率平行如上兩心差(用第谷圖兩小輪下冇圖)為百萬分之一四八四○小均輪半徑為三七一○(兩數并之為一八五五○比多祿某及谷白泥小一百分或今用太陽實)(行古用太陽平行而取火星之衝然細測密合如此當依為法)一測總積六千二百九十三年為萬厯八年庚辰十一月十八日未初二刻(本方距順天府為二十八刻又西厯月號于大統厯異然有太陽所躔之)(度可考因得知為大統厯之某月日餘傚此)測算得火星視行在實沈宫六度二十七分半大正衝太陽之視行太陽躔析木宫同度右測用表算得火星平行距最髙為二百六十七度十一分十一秒加均數十度三十三分又算最髙末得實沈宫六度二十七分半與測正合(算法見本厯諸表用法)二測總積六千二百九十五年為萬厯十年壬午十二月二十八日申正測得火星衝太陽在鶉首宫十六度五十四分半因表算得五十五分半差一分太陽躔其衝星紀宫同度三測總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉二月初一日辰初一刻測得火星在鶉火宫二十一度三十五分算得三十七分差二分太陽躔其衝𤣥枵宫同度四測總積六千三百年為萬厯十五年丁亥三月初六日戌初刻半測得火星在鶉尾宫二十五度四十二分依法算亦得四十二分不差太陽躔娵訾宫同度五測總積六千三百二年為萬厯十七年己丑四月十四日酉正一刻半測得火星在大火宫四度二十三分算得二十六分差三分太陽躔大梁宫同度六測總積六千三百四年為萬厯十九年辛卯六月初八日戌初三刻測得火星在析木宫二十六度四十二分算得四十五分二十秒差三分二十秒太陽躔實沈宫同度七測總積六千三百六年為萬厯二十一年癸巳八月二十六日卯初二刻測得火星在娵訾宫十二度十五分算得十四分强不差太陽躔鶉尾宫同度八測總積六千三百八年為萬厯二十三年乙未十月二十一日午正二刻十分測得火星在大梁宫十七度三十分强算得二十九分强差一分太陽躔大火宫同度九測總積六千三百一十年為萬厯二十五年丁酉十二月十四日寅正測得火星在鶉首宫二度二十七分算得二十六分差一分太陽躔星紀宫同度十測總積六千三百一十三年為萬厯二十八年庚子正月十九日丑正測得火星在鶉火宫八度三十七分算為三十七分强不差太陽躔𤣥枵宫同度十一測總積六千三百一十五年為萬厯三十年壬寅二月二十一日丑正一刻測得火星在鶉尾宫一十二度二十六分强算得二十四分差二分太陽在娵訾宫同度十二測總積六千三百一十七年為萬厯三十二年甲辰三月二十九日寅正一刻五分測得火星在壽星宫十八度三十六分算亦如之正合太陽躔降婁宫同度十三測總積六千三百二十一年為萬厯三十六年戊申七月二十四日未正測得火星在娵訾宫十一度十分算得十三分差三分太陽在鶉尾宫同度十四測總積六千三百二十三年為萬厯三十八年庚戌十月初九日寅正三刻五分測得火星在降婁宫二十五度以上十四測大槩與算相合最差不過三分蓋因測器或人目有不到又或其圏之半徑畧差難定其準然算之差在三分内謂之極微其合于測亦謂之親切矣火星歲圏大小古法(第六章)歲圏解見總論及土木二星厯指不重著古多禄某因本圖(丁地心子均圏心巳本圏心癸申均圏弧午未引數圏等)曰申丙歲圏之半徑比子申均圏半徑為六十分之三十九分有半(古以六十為申子半徑今用全數)或十萬分之六五八○○凡有先引數癸巳申角可算丁申己角先均數之度分又凡有星距衝太陽之處若干度分置戊壬(戊為火星衝太陽之處置)(火星逆行初將留在壬)用申壬丁三角形可算申丁壬角乃次均之數于癸丁申實行之角并加得癸丁壬角乃火星視行距最髙度分谷白泥再測因本圖法算所得于多禄某大同小異二法各有表用太陽平行然後人細測于所算對有不合天因以今時測算定為本厯之元火星歲圏大小新測(第七章)第谷及其門人密測密算厯年滋久不厭精詳末得火星天之心非地心乃太陽體輪為火星自行之心系凡太陽躔本輪最髙近處而火星在其衝第一加減之數視為大若太陽在最髙衝而火星在其衝則第一加減之數視為小髙低前後相衝之均數亦有損益何者太陽逺火星心近則視差大(置二測置引數為等所得之均數大小不繇本輪别)(有他故因從太陽)反是則太陽近地火星處逺故均數小如圖丁地心乙甲為太陽近逺兩處各為心同徑作己戊庚己丙庚兩弧火星圏弧也日在乙逺火星行之心在丙為近于地日在甲近于地火星在戊逺處均數大小從太陽逺近而生理也(見本厯首卷)又曰凡測火星在本天最髙其歲圏半徑比測火星在最髙衝所得更大與土木二星及視學之法相反論在最髙極逺處宜見之小在最髙衝極近處宜見之大乃依所測不然蓋在最髙最庳之中其大小有比例數具下文從上二論試之格白爾曾著有書備詳測算諸論頗繁今姑譯其法之一二如測火星歲圏之半徑先擇火星在本天最髙低之中而免其差之一根第一測總積六千三百七年為萬厯二十二年甲午(西厯)正月初三日戌初第谷測得火星在降婁宫十八度三十八分此時因平行表算得火星平行(從冬至起算)為一百三十八度二十三分三十秒引數為二百五十九度四十二分二十秒用兩心差算先均數(法見用法)得十度三十三分三十秒其號為加加之得一百四十八度五十七分乃實經度也時太陽視行躔星紀宫二十三度三十分四十秒于火星經度相減得一百二十五度二十六分二十秒以減半周得五十七度三十三分四十秒乃歲圏上從極逺處之引數也又測火星得(從冬)(至起)一百○八度三十八分以先算實經度減之得四十度十九分乃歲圏之均數也設數求火星歲圏半徑圖說設乙以太陽之體輪為心作丙丁壬火星本行之圏作丙丁線丙為火星最髙丁為其衝從丙過丁右行取引數之度止壬于壬心作乙壬線子丑癸圏從子極逺處右行取子癸丑引數之度以丑為心作卯寅辰均輪又作壬丑兩心之線從辰極近處左行過寅卯數引數之倍必滿一周餘辰寅弧一百五十九度二十四分四十秒火星體在寅又作乙寅線成寅乙壬均角十度有竒又作乙寅甲角四十度有竒乃年歲行均角又取甲為地心作乙戊己圏乃太陽所行之圏也又作戊甲己線與乙寅線平行星之行從丙過丁到壬右行乙乃日輪亦右行則乙辛己回于乙之行也小均輪心丑行從子午癸到丑星體寅行從辰向寅卯回辰今置到寅以便于算分圖先用引數求前均數乃壬乙寅角也壬丑寅形有寅丑線乃均圏之半徑即三七一○分有丑壬線乃不同心圏之半徑即一四八四○又有壬丑寅角為一百五十九度二十四分四十秒(引數之倍内減全周餘者乃辰寅弧)(也)求壬寅邊依法算得一八三五九又求寅壬丑角得四度○五分二十秒 此丑壬寅角為丑巳弧之數加于子癸丑引數之弧共得二百六十三度四十七分四十秒減子午癸半周餘癸巳弧八十三度四十七分四十秒乃己壬癸角也次壬乙寅形有乙壬全數(本天半徑)先亦得寅壬邊寅壬乙角(癸丑己弧)求寅乙壬角得十度三十三分三十秒乃先均數也又求寅乙邊得九九六九七又甲乙寅角形先得乙寅邊有甲乙寅角(年歲行引數太陽經行距火星實經)五十四度三十五分四十秒又有甲寅乙角(歲行均數先測後算得四十度十九分)求甲乙線乃歲圏之半徑得六四七三八乃太陽在最髙衝近處火星在中距之處歲圏半徑之數也(乙壬恒為全數)依上圖算法之序反覆測算以求歲圏半徑之數其法不一今約譯四測于左第一測總積六千三百十三年為萬厯二十八年庚子(西厯)三月初六日(本地)戌正二刻測得火星在鶉首宫二十九度十八分此時依算得實行為鶉火二十九度三十二分距過本天最髙為五十分太陽躔娵訾宫二十六度三十七分相減得火星實經度距太陽為二百○七度四分(從火星順天到太陽實居)或取其餘得一百五十二度五十六分如上圖為甲乙寅角又求甲寅線得一一一二九七以實經與視測相減得較為三十度十四分○五秒乃甲寅乙角也依法求甲乙線得六六五八六第二測總積六千三百年為萬厯十五年丁亥(西厯)正月初一日辰初初刻八分測得火星在壽星宫一度四分三十六秒此時依表得實行在鶉火宫二十七度十七分二十秒未到本天最髙為一度六分太陽細行躔星紀宫二十度三十九分三十六秒兩數相減得一百四十三度四十七分十五秒即寅乙甲角也又以先法求甲寅為一一一二九五又以火星實經減其視測之經度得三十三度四十七分十五秒甲寅乙角也依法求甲乙得六五六九一以上二測火星實經度皆近于本天之最髙(先定最髙在鶉尾初度二)(測距幾度未到因視法最髙左右幾度不辨髙低近逺)而免本天髙低之差根其所得歲圏半徑兩數之差為十萬分之八百九十五分若問其故則格白爾有曰太陽于地近逺不同第一測太陽在中距之處為二分之時第二測太陽在極近之處為冬至時也太陽近斯火星歲圏半徑更小與他星逈别再以二測徴之第三測總積六千三百四年為萬厯十九年辛卯七月二十六日戌初初刻十二分測得火星在星紀宫十八度三十六分此時實行在娵訾宫四度二十四分求寅甲線得八八九一四九分也太陽躔壽星宫十二度四十五分四十秒以火星實經減之得二百一十八度二十一分四十秒(從火星順天數至大陽)其餘為一百四十一度三十八分二十秒乃寅乙甲角也又以實經視測兩數相減得較為四十五度四十八分乃甲寅乙角也以求甲乙得六四○七七第四測總積六千三百二年為萬厯十七年己丑十一月初一日酉正十分測得火星在星紀宫二十度五十九分十五秒此時火星實經在𤣥枵宫十度二十九分五十五秒太陽躔大火宫十九度十四分兩數相減得一百度四十一分為寅乙甲角也寅乙線為八八八八○○又以實經減視測得較為三十八度五十五分四十秒乃甲寅乙角也用法求甲乙得六三三九四以上二測火星在本最髙衝之近按常法宜比前二測歲圏半徑視更大然視更小又後二測之差為十萬分之六八三蓋二測太陽于地更近火星小輪更小右格白爾于此時始覺火星歲圏之大小與他星有異不可一例推算因細細測算乆而不倦其心得備著于書今不盡譯但取其大小兩界為千萬分之二千二百二十五(本天半徑為全數千萬)算歲圏大小兩界(第八章)上測太陽未到髙庳之兩極則火星歲圏半徑大小未定用以成表宜先定大小兩極之較如圖乙丙丁戊為太陽小輪(日躔厯指用不同心圏以齊太陽盈縮之行然亦可用小)(輪之圖蓋所得之均數無二今借用以詳火星之行)乙為其最髙丁為最髙衝丙戊為中距之兩處○上第一測火星在本天最髙免本天之差太陽在中距用上數算得太陽距最髙衝丁為八十度五十八分丁巳弧也其正弦己庚其餘弦庚甲第二測火星亦在本天最髙近太陽距最低丁為十五度十一分丁辛弧也作辛癸辛壬兩正餘弦線庚癸線為太陽距最低兩處兩餘弦之較(用表查丁辛丁己兩弧之餘弦相減為庚)(癸數)為八○八○八三六○(全數為千萬)用三率法庚癸某數得八九五(上一二測歲圏半徑之差)乙丁全徑(太陽髙低兩較之界)若干算得二二一五乃火星歲圏大小繇太陽行之較數也(火星本天)(半徑為十萬)若用第三四兩測火星在最髙之衝因右法得二四一五兩數差二百分平分之以加于小減于大得二三一五然須再用别測末得二三五方可作準用以為算火星在本天髙低受太陽之變今置太陽距地等處而免其差火星因本圏亦有歲圏半徑大小之變試舉一二徴之上第一測太陽在中距地之處(娵訾二十七度約為髙低之中)歲圏半徑得六六五八六第三測太陽亦在中距之處(壽星宫十二度距最)(髙九十六度第一測未到九十九度其差㣲)歲圏半徑為六四○七七兩數相減差二五○九乃第一測火星在本天最髙處之近當時最髙在鶉尾宫初星在鶉火第三測為逺星在星紀宫十八度此于最髙近逺乃為大小差之根因前法求大差(用多測相比算定末所得)為千萬分之二五八五○(乙壬)(全數也)若并太陽與火星兩差相比約其子母數得十一與十則繇本天者為大從太陽者為小算火星歲圏半徑盈縮表(第九章)用前圖乙丁(全徑)得大差(從太陽為二三五○○從本天為二五八五○)乙戊丁丙為引數之圏設乙戊己某弧求其餘線乙庚曰乙甲丁全徑得大差某數今乙庚某數得若干從乙最髙㸃隔一度求其餘弦用三率法排表如左表用省文但書從太陽之差其從本天者用比例法乃十與十一初列先得數又下一位再列并之得本天之差查表時若有单度有分者則用中比例用法設太陽實引數(距最髙度分)入本宫本度分對行得數(先以比例)(法取雙度外单度分秒之數)列書次以火星引數亦入表得數以十一乘以十而一所得兩數并于歲圏極小半徑之數即六三○二七五加之得火星當時歲圏半徑之數火星諸行率(第十章)火星最髙行一年行一分十四秒五十二㣲以百年計之行二度四分四十七秒三十二㣲約千年行二十度四十七分五十六秒三十㣲火星平行一日行三十一分二十七秒以百日計之行五十二度二十四分二十六秒以一年三百六十五日計之為一百九十一度十七分○八秒火星滿周天之行以前二行計之為六百八十六日十九時(小時)四十二分十三秒推算火星經度式(第十一章)其一用三角形及前平行率算火星經度全假如第谷門人于總積六千三百二十六年為萬厯四十一年癸丑三月(西厯)二十五日寅正測得火星體會合于井宿第五星(在距星東北新表為第五)當時此星經度為鶉首宫四度三十一分二十秒(在厯元前十五年恒星之行六年為五分則十五年計行十四分于新表減之)(得數)黄緯度為二度十一分北(本夜用多儀屢測無可疑)此時因平行表得火星平行距冬至二百一十七度三十四分(順天數在鶉火宫七度)又距本天最髙為三百三十八度二十七分四十秒引數也又求太陽實行得降婁宫十四度三十一分二十秒又求其實距最髙得二百七十八度四十二分如上圖甲為地心作辛乙己太陽所行之圏任作甲庚線定庚為太陽最髙順天數太陽實引數沿庚己乙弧到乙乙為太陽之體又以乙為心作壬丙丁圏即火星本輪也又作丙乙線乃火星髙低之線(先置庚為太陽最髙在鶉首約六度火星髙在鶉尾)(初如辛則丙乙宜為辛甲之平行丙當鶉尾初度)從丙取丙丁壬弧(火星引數)又以壬為心作子癸圏及壬乙線又取子癸丑引數之弧作壬丑卯線又丑為心作卯寅圏從辰過卯取引數之倍(減全)(周)如卯寅弧寅乃火星體之處作圖如上一丑寅壬形有丑寅丑壬兩邊(數見前)有壬丑寅角(引數以滿周少二十一度三十二分二十秒倍之得四十三度四分)(四十秒)求丑壬寅角得十一度四十八分又求壬寅邊得百萬分之一二三八八○(乙壬全數)于子壬丑引數角加丑壬寅角并之得子壬寅角為三十三度二十分二乙壬寅形有乙壬壬寅兩邊及寅壬乙角(子壬寅之角以滿半周之)(餘)為一百四十六度三十九分四十秒求寅乙壬先均角算得三度三十一分三十秒其號為加(引數過半周故也)于平行加之得火星實行為二百廿一度五分三十秒或鶉火宫十一度又求寅乙邊得一一○五三○五(百萬全數)三甲乙寅形有乙寅邊又有寅乙甲角(或寅乙未角火星實經寅㸃未到太)(陽衝之差太陽躔降婁宫其衝為壽星宫火星在鶉火宫未至日衝所少為六十三度二十五分寅乙未角也)又有甲乙歲圏半徑之數(因上論以太陽實引九宫八度入表得一三五二七先差)(又以火星實行引數十一宫十一度入表得二二九二四此數)(以十一乘十而一得二五二一六此數先差及歲圏極小半徑)(六三○二七五上三數并之得六六九○一八乃當時歲圈半)(徑之數甲乙也)為六六九○一八分因法求甲寅乙角得三十六度三十五分十五秒乃歲圏次均數也此時火星過日之會而將衝故此次均數之號為減(于實經内減之)得鶉首宫四度三十分十五秒所算比所測少一分極㣲之差也其二用表算崇禎四年閏十一月十七日戌初于順天府親測火星見軒轅大星與火星及本座第十三星並在一直線(用界尺定)(之)又見火星在本座第十三星南為四十分(用月體比之)查恒星表求第十三星黄經度得鶉火宫二十二度四十七分加五年之行(距新厯元之行)為四分得五十一分又因兩心直線向東則置二十三度强又恒星之緯為四度五十二分火星緯四度十二分然火星光大炫目測以界尺或移幾分故難定二三分内也以設時查火星平行表(因過冬至宜用壬申年之根又測日屬丙寅距根庚子為二十六日)(又從子正至戌初算得一十九小時以各數查本表排算如圖)以引數查表得均數為四度○五分四十秒其號為加以得歲均用三角形求之如上圖一先用壬丑寅形夫形有丑寅丑壬兩腰(如前等)有壬丑寅角(引數以滿全周所餘之倍數)二十五度有竒求寅壬邊得一二七九○(乙壬為全數百萬)又求丑壬寅角得十一度五十四分又以丑壬寅角并加于子壬丑角(引數之餘)得三十八度有竒乃子壬寅角也二壬乙寅形有壬寅壬乙兩腰及寅壬乙角(子壬寅之餘)求壬乙寅角得四度○五分先均數也查表之號為加則以加于平行得七宫八度三十二分又求寅乙邊得一一○三五八○三用諸表求甲乙歲圏半徑之數以本時太陽實引數(用日)(躔表算得六宫二十二度○一分從最髙起)入表得八五七又以火星引數入表得三四九八八以兩數及半徑小數六三○二七五并之得六五五二六三甲乙邊也太陽實躔○宫二十八度四分減火星實經數得五宫十九度三十分(順天)(算)即乙甲寅角也四甲乙寅形有甲乙乙寅兩腰及甲角求甲寅乙角得十四度三十四分因火星未衝太陽法宜加則于實經加之得七宫二十二分四十九秒或鶉火宫二十三度七分算與測合右測親切可用為徴火星表之厯元新法算書卷三十九
## 卷四十
欽定四庫全書
新法算書卷四十 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷五(金星經度)上土木火三星各以自行能衝太陽亦各有本行不隨太陽是以其平行或本天之行與太陽不同外亦有嵗行凡衝太陽為年嵗之界即于此起算然或會太陽必無均數即在太陽之衝亦無年嵗之均數古以三測衝太陽時刻度分可得本天兩心之差及極大之均數等金水二星不然其行不衝太陽而且恒隨太陽雖亦有離太陽之時或左或右其距度東西不一在東距度時多時寡會日之時或順或逆二次人目不見古人以為難測莫定其行之道今依多禄某所著為法古者以太陽平行度為土木火上三星嵗行之本若星或會或衝太陽平行者則為在嵗行之界今則不然乃以太陽實行為嵗行之本凡上三星或會或衝太陽實行者始為嵗行之界而金水二星又不然乃以太陽平行即為本天之平行本天非太陽之天另有一圏載次輪上三星因能衝對太陽約一年再相會所用圏以齊其順逆等行名謂之嵗圏金水二星雖行亦有順逆然此圏不能稱嵗圏葢以一周有二伏有二見之時故厯指中亦名為伏見圏或名次輪古因用二不同心圏此伏見圏名曰小輪今新法繪二小均輪可免伏見圏之稱也各法詳著于後金星天以太陽為心(第一章)本厯總論有七政新圖以太陽為五緯之心然土木火三星在太陽上難徵今以金星測定無可疑後詳之試測金星于西將伏東初見時用逺鏡窺之必見其體其光皆如新月之象或西或東光恒向日又於西初見東將伏時如前法窺之則見其光體全圓若于其留際觀之見其體又非全圓而有光有魄葢因金星不旋地球如月體乃得齊見其光之盈縮故曰金星以太陽為心如圖月在太陽人目之間為丙則無光金星在太陽人目之間為乙亦無光若地在戊日丁月之間則月光滿若太陽戊在金星甲地球之間則金星光滿若在左右則月及金星各有半光光之大小如按古圖不析其理雖千百世不能透其根也古者言太白在本輪上體小光盛在本輪下體大光淡在左右體不甚大而光甚盛今如圖解之在髙于時為望其體逺則見小全透其光故盛也在庳于時為晦不可得見晦朔左右去地為近則體見大哉生明故稍淡也在左右為上下弦所見半體故不甚大逺近之間又見半光故甚盛也又金星因嵗輪于地時近時逺逺時顯其體小而光全若以逺鏡窺之難分别其或圓或缺之體在極逺左右數十度亦然若在中距者其光稍淡則逺鏡可略測其體之形然光芒鋭利亦難明别為真體或為虚暎之光惟在極近數十度則光更淡又于地近其體顯大可明見之系凡金星為遲行或逆行用逺鏡窺之可測其形體若更近見其體缺更大測金星之最髙(第二章)測金星距太陽兩次其距度分為等者則太陽兩平行中度分為金星本天之最髙或髙衝之處解曰用不同心一圏及小輪一圏作圖如古丁為地心己本天心庚辛為兩心線置庚為最髙辛為其衝最髙庚左右等度分取甲乙兩㸃各為心作等徑之兩小輪從己從丁到甲到乙作線又從人目丁作丁丙丁壬切小輪兩線置夕一測金星在丙晨一測在壬甲乙小輪兩心為太陽及金星同用平行之經度庚己甲為距最髙度之角(平行數又引數)庚丁丙角為金星體距最髙視角(視角視行正經一同)從丁作丁未丁酉與己甲己乙平行兩線而成未丁丙酉丁壬兩角乃平行庚己甲視行庚丁丙兩角之較題言凡星在丙在壬而丙丁未壬丁酉兩角之度分為等者庚最髙㸃必在甲乙兩㸃之中欲試之更置其一測乙移在亥星亦在壬則亥丁壬為距太陽之視角比甲丁丙角更大(觀圖自明不須贅論葢亥㸃比乙更近)則反先所定而命取二測皆有距太陽平行之角而為同度必丁乙于丁甲丁壬于丁丙各兩線相等因幾何(三卷七題)若非等者其距庚辛兩心線必不能為等其距視角必亦不等若所測之得為等則兩測兩平行之中有最髙距太陽極大數者為等則其近逺(與地)亦等本天均數亦等葢皆相連之圖也古測金星最髙及其衝(第三章)多禄某記古得剜總積四千八百四十五年為陽嘉元年壬申(西厯)三月初八日夕測金星得大梁宫一度半(用昴宿星)(比測)當時太陽及金星之平行為娵訾宫十四度十五分兩行之差為四十七度十五分乃金星距平行大數也亦名均數又總積四千八百五十三年為永和五年庚辰(西厯)七月三十日金星見東方多禄某親測得在實沈宫十八度半(用井宿第七星比測定之)當時太陽及金星之平行為鶉火宫五度四十五分兩行之較為四十七度十五分用兩測兩平行相減(從娵訾宮十四度十五分順天數到鶉火宮五度四十五分)得中積為一百四十一度三十分折半得七十度四十五分并加于娵訾十四度十五分以減全周得大梁宮二十五度其衝大火同度乃金星兩心之線也孰為最髙尚未之定再用次測次測乃得剜總積四千八百四十年為永建二年丁卯(西〔？〕)十月十二日晨測得金星在鶉尾宮初度二十分太陽平行為壽星宫十七度五十二分星距太陽為四十七度三十二分乃兩行之較也(用右執法星比測金星得數)又多禄某于總積四千八百四十九年為永和元年丙子(西厯)十二月二十五日昏親測見金星近壘壁陣第八星在東如月其小徑為二十四分時金星光大因用恒星比測得在𤣥枵宫十九度三十六分時太陽平行為星紀宮二度四分星距太陽為四十七度三十二分用前後兩測太陽平行相減折半亦得大梁宫二十五度或大火等度乃兩心之線也(亦未定最髙之宮分)多禄某記前人二測并親測定金星兩心線如上然未知最髙或在大梁或大火乃因前論互用取金星平行之近大梁或近大火而測其大距度曰依不同心圏均數極微則大距度全從小輪而生若距度小指平行小輪心于地極逺若距度大指小輪心于地極近逺近之分即最髙及其衝也定論如此用得剜測一用親測一(見本厯首卷總説)總積四千八百四十二年為永建四年己巳(西厯)五月二十日晨比金星于婁宿第二星及天囷座第四星測算得金星在降婁宫十度三十六分其緯度在南一度半當時太陽平行得二十五度二十四分大距度(兩行之差)為四十四度四十八分多禄某自測總積四千八百四十九年為永和元年丙子(西厯)十一月十八日昏以牛宿第二星比測得金星在星紀宮十二度五十分當時太陽平行為大火二十○度半大距度為四十七度二十分大距指最髙衝則小距指最髙也系金星天最髙多禄某于總積四千八百五十三年庚辰為永和五年測定在大梁宮二十五度其衝在大火宮同度又曰在大火時金星距日度極多日在大梁時星距日度極少他處大距度在兩限之中(近逺各有比例見下文)金星最髙行(第四章)前章記古測定金星最髙在大梁宮二十五度又依後所記第谷九測在總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉測得金星天最髙在實沈宫二十九度十五分(其行極微先後數年不碍算)兩測比算則以中積一千四百四十五年為法以兩測最髙行之較三十三度十五分為實法入實而一得一年之行為一分三十二秒五十七微有竒約百年行二度一十八分十六秒十二微今厯元總積六千三百四十一年距第谷測四十三年則于所測約如五十分得最髙厯元見本表求金星伏見輪半徑及兩心之差(第五章)如圖丁地心己金星本天心作庚丙辛圏及己丁兩心線又于庚辛髙低二處各為心作甲乙兩小圏相等而當小輪亦名次輪伏見輪互用又從丁地心作丁甲丁乙二線切于小輪指庚丁甲辛丁乙乃人目所見金星視行距太陽平行度之角也如前所測定上下成兩直角三角形甲丁庚形有甲丁庚角四十七度二十分(前測)依法置庚丁邊全數十萬求丁角之正弦得七三五三一乃甲庚邊之數即小輪半徑之數也又丁乙辛直角形有乙丁辛角四十四度四十八分置辛乙邊為七三五三一(甲庚)(乙辛相等)求丁辛邊以法推算(查四十四度四十八分正弦加五位為實以辛乙七三五)(三一之數為法而一)得九五八二七夫庚丁全數十萬甲庚七三五三一辛丁九五八二七皆同類之數也庚丁丁辛相減得數半之為二○八六乃己丁線之數即兩心之差也(或庚丁丁辛兩數并之得庚辛全線折半為己庚以庚丁減之得己丁兩心之差如上)若置己庚本天半徑為十萬全數(與他星同理)用通法求同類己丁為二一二九求甲庚或辛乙為七五○九八丁辛為九七八七一乃所求各線之數也求金星均圏(第六章)凡金星小輪心在最髙及其衝距太陽之限或見大見小而算不同心圏之差先置兩心差從最髙各度算距限(距限乃不同心圏及小輪兩均數或相并或相減所得之數)所得若不合天則亦如他星宜用均圏此二圏相割處乃本天大均數也必距最髙為九十度若以前得兩心差求小輪在此之大距度為九十度又以星視距平行大距度測之因先有不同心圏及其心之差算小輪視距所得以所測相減之較為本天大均數若本天半徑為全數此較度分數為切線之角查表得均圏心距地心或得兩小均輪各徑之總數圖設庚辛最髙庳也甲癸各距庚九十度在癸用一均圏(古圖用不同心圏)星在戊戊丁癸角為大距平行癸之度因前得癸壬線(上圖為丁己兩心差)及壬戊線上圖為庚甲或辛乙推算戊丁癸角以壬癸丁壬丁戊二句股形可推算癸丁戊角見表比所測為小用右圖加乙丙次均小圏如新圖所用二均圏為足法曰用壬癸線求戊丁壬嵗輪所生之視角以己丁甲角于大距所測之角減之餘丙丁甲角乃本天之均角也其切線為丙甲先得甲乙(或癸壬或前圖丁己各等)減之餘乙丙乃次均圏之半徑也多禄某務求得真數乃用二測一於總積四千八百四十七年為陽嘉三年甲戌(西厯)二月十七日晨(擇心宿大星用渾儀對測)測金星距太陽大數得金星在星紀宫十一度五十五分時太陽平行為𤣥枵宫二十五度半兩數相減得大距度為四十三度三十五分第二測總積四千八百五十三年為永和五年庚辰(西厯)二月十八日昏(擇畢宿大星比測)得金星在降婁宫十三度十五分太陽平行在𤣥枵宮二十五度半兩行之較為四十八度二十分乃金星距太陽大度數也用古測亦用古元圖求均圏心距地心若干作圖庚丁辛為本天髙庳之線丁為地心置均圏心于乙丁乙兩心相距未知其數即所求乙上立垂線乙甲(命曰垂線葢置平行)(距最髙為三宫則庚乙甲角必為直故)任取甲為心作丙戊小輪圏又從人目丁作丁丙丁戊兩均線丙指星辰見所在戊指昬見所在又作丁甲甲丙甲戊丁戊各直線丙丁戊角為晨昬兩大距總度即九十一度五十五分折半得四十五度五十七分丙丁甲角也甲丙丁形有甲丙邊(先定七五○九八)及丁角求甲丁邊得一○四五○一丙戊弧兩大距度之總半之得丙己内減丙壬第一晨測星在丙距壬平行之度餘壬己為二十二度二分半即壬甲己角也甲乙丁直角形有甲丁邊(先算)及甲角(壬巳弧)求乙丁得四三三○即均圏距地心之差也若比于先得不同心圏之心距地心二○八六約為倍數則如上三星等圖第谷及其門人再測以古今諸測相比得均圏心距地心為十萬分(甲乙全數)之三千二百○八分折半得不同心圏心距地心或用本圖第一均圏半徑為二四○六第二均圏半徑為八○二是乃從後所記九測之數而出也求金星小輪行率束(第七章)置古所得兩心差用古一測求金星小輪上距極近處(小輪)(近處者從平行心到小輪心作線必割小輪周所載之㸃謂之近處)又用今時一測以法求金星小輪上距近處以金星行滿小輪周幾轉化度為實以兩測年日中積數為法除之則得一年一日小輪上之平行可成表(見下文)古厯士弟末加于總積四千四百二十年為周赧王四十三年己丑(西厯)十月十二日晨見金星蝕左執法星(多禄某記)當時執法星(依新厯法)在鶉尾宮三度十分緯北為一度十六分即此為金星經緯度也又此時算太陽平行得在壽星宫十六度六分半則星距日平行為四十二度五十六分半越三日再測得金星與日更近一度則因本圖法知金星必過大距之處而在小輪之上半弧(從地人目)(出兩線切小輪在兩切線中之弧謂之下于目近在兩線外謂之外又凡在下弧逆行會日之前每日更近于)(日距度更少過會每日更逺至上下兩弧之界以後順行每日更與日近今見金星東邊順行又更近日因知)(必在小輪上弧)又因古今多測相比得當時金星本天最髙在大梁宮十六度十分以日平行減之得小輪心距最髙為一百四十九度五十六分半其餘為三十度三分半乃距最髙之衝如圖(古測用新圖理同)丙地心人目作丙丁線丁為最髙衝丙以上取甲㸃為本天心作丁乙弧(甲丙新法為二四○六)從丁取三十度有竒至乙(左邊取葢引數未到半周)乙為心作午戊均圏(乙戊為八○二甲丙)(乙戊兩數并為三二○八比古所定少九百五十二然古者所測因無先遺之測無可比證今再攷算而得其)(謬葢屢用日星測驗而得其準始各改定如此)作各線(法見上三星厯因省文)從午均輪最逺左行取午戊弧于乙丁弧等度至戊戊為心作小輪癸己辛戊心上作癸戊辛線與甲乙平行定癸極近辛極逺兩處乃嵗輪上起算之界也又辛己癸嵗輪上取己㸃為金星所居即在東上半弧依三角形法求辛癸己弧乃古測金星距小輪極逺之處此乃次引數也一甲丙乙形有甲丙(先定二四○六)甲乙全數(半徑)兩邊及丙甲乙角三十度有竒求甲乙丙角得○度四十二分二十秒又求丙乙邊得九七九四○(三角形諸法備測量全義後不贅述)二丙乙戊形有戊乙八○二及丙乙(前得)兩邊之兩數與戊乙丙角(戊乙午為引數之餘三十度有竒則戊乙丙為正引數)一百四十九度有竒加先所得甲乙丙角四十分二十秒有半并之得一百五十度三十八分五十秒求乙丙戊角得○度十三分三十四秒又求丙戊邊得九八六五五三以甲乙丙乙丙戊兩角并之得○度五十六分三秒乃癸戊丙角先均數也四丙己戊形有戊己(小輪半徑依新法為七二二四八)丙戊兩邊及己丙戊角(以先測星距平行數内減去均數從最髙衝起于丁乙宜加于乙己宜減)為四十二度○分半求丙戊己角得七十一度五十五分甲乙線定平行線也乃小輪上子巳弧次均數也(從最近算對日之處)五因辛極逺處為算之界則于己子内減癸子先均數又以所餘加辛癸半周并得二百五十度五十九分乃當時金星小輪上之引數也今再譯近世一測以比于古測可徵平行之率第谷于總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉(西厯)九月十五日晨測金星得在鶉火宮十五度五十八分(先均蒙氣及地半徑差)當時太陽平行躔壽星宫三度四十八分二十秒金星最髙為實沈宫二十九度十四分五十秒則金星平行距最髙為九十四度三十三分三十秒引數也又平視兩行之較為四十七度四十九分四十秒依上法求金星嵗圏上去極逺處若干如圖號名如上丁最髙丁乙午戊兩弧各為引數星在己晨測也一甲乙丙形有甲丙甲乙兩邊(法如上)有丙甲乙角引數之餘求甲乙丙角得一度二十二分二十六秒又求丙乙邊得九九八三七二丙戊乙形有丙乙乙戊兩邊及戊乙丙角(戊午弧為引數加午申弧或甲乙丙角并得丙)(乙戊角)為九十五度五十六分六秒求戊丙乙角得○度二十七分二十六秒又求丙戊邊得九九九二五三前兩均數(甲乙丙乙丙戊兩角之數)并為一度五十分因從最髙起而引數不過半周宜于子己減之其餘四十六度○分乃戊丙己角也四己丙戊形有丙戊戊己兩邊及戊丙己角求丙戊己角得三十九度○分子己弧也内減去子癸先均數得三十七度十分如半周得二百十七度十分乃星體從辛極逺小輪上所行之度數也兩測中積為一千八百五十六年不及二十七日(化日)或六十七萬七千八百七十七日為法(以三百六十五日又四分日之一為年也)時刻不算葢兩測在晨其差不及刻數中積甚大無所比此中積時金星行滿伏見輪全周為一千一百六十轉又三百二十六度二十分(第一測星在小輪上距最髙二百五十度五十九分)(第二測得二百一十七度十分相減得三十三度四十九分乃第二測未到第一之處以全周減之得三百二)(十六度一十九分)為實以法入實而一得星一日平行為三十六分五十九秒二十九微有竒以乗法求一平年之行為二百二十五度一分五十秒以此數作立成表又以某日所測得金星小輪上之度以加以減得本厯金星引數成二百年表或用新測金星一度亦可為引數之根新法所用測金星以定其行之率及厯應(第八章)一測總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉(西厯)九月十四日十七小時一刻(從午正起)中厯為九月初二日午正一刻測得金星經度為鶉火宫十五度五十三分緯南二度八分(此測皆先均定蒙氣及地半徑差下同)以表算得平行距冬至九宫三度四十八分二十秒此時最髙距冬至五宫二十九度十四分五十秒則引數為三宫四度三十三分三十秒小輪上為七宮七度十分(從極逺起)以三角形算得金星體該在鶉火宫十五度五十八分十秒比所測少四分强二測萬厯十五年丁亥(西厯)正月十五日四時四十分中厯為丙戌年十二月初七日午初三刻測得金星經度為娵訾宮十六度五十五分緯北二度三十九分當時算表得平行距冬至為一宮十四度十七分十五秒引數為七宮五度○分四十五秒小輪上為三百○七度四十三分十七秒以法算得娵訾宮十六度五十一分比所測少四分三測萬厯十六年戊子(西厯)二月十五日酉正五分(中厯為春正月)(二十六日丑正五分)測得金星經度為娵訾宮十六度一分緯北為八度五十六分當時平行距冬至二宮十度四十八分四十八秒引數為八宮十一度三十二分十五秒小輪為六宮○度三十三分七秒以加減算之得娵訾宮十五度四十九分比測少十二分因小輪度為六宮○度必星在極近處其近于日平行均度為五度(本天及實引數生)則距平行西五度又太陽同平行均數二度為加以五度内減之得三度乃金星順距太陽之體也當時緯度北不及九度四分若置如直線用開方法得金星距日體約十度葢本方北極髙為五十六度又娵訾宮為斜升(于地)(平如平行)太陽將出地平金星在地平上十度可得見又四測小輪引數亦為六度亦可見之(説見月離厯指四卷并本部八卷)四測為本年三月初二日卯初二刻(距第三測十七日)中厯為二月初五日午正二刻測星經度得娵訾宮十度七分緯北八度二十六分當時平行距冬至為二宮二十度九分二十秒引數為八宮二十度五十二分三十秒小輪之行為六宮六度二十三分三十八秒以法算得視行為娵訾宮十度十四分比所測多七分五測萬厯十七年己丑十二月十四日辰初三刻中厯為十一月初八日未正三刻測得經度為大火宮十七度十分緯北三度十分當時平行為初宮三度五十二分十四秒引數為六宮四度三十三分十五秒小輪行七宮十九度二分十秒以法算得視行為大火宮十七度六分比測少四分六測萬厯十九年辛卯(西厯)十二月十七日辰正測星經度得析木宮二十度緯北○度二十分當時平行為初宮六度二十一分十五秒引數為六宮六度五十九分二十五秒小輪行十宮二十度五十七分九秒算得視行為析木宮二十度四分半比測多四分半七測萬厯二十一年癸巳十二月十五日酉初十分中厯為十一月十四日子正十分測得經度在𤣥枵宫二十一度緯南一度十六分當時平行為初宮三度四十八分五秒引數為六宮四度二十一分四十五秒小輪行為四宮二十度四分二十秒以法算得𤣥枵宮二十一度六分比測盈六分八測萬厯三十八年庚戌十二月十二日申正四十分中厯為十一月初八日子初二刻測得星經度為𤣥枵宮十七度五十八分緯南一度二十九分當時平行為初宮初度五十七分四十八秒引數為六宮一度九分半小輪行為四宮二十一度八分三十三秒以法算得𤣥枵宮十八度四分比測多六分九測萬厯四十四年丙辰三月初九日卯初中厯為二月初三日午正測星經度為𤣥枵宫十五度二十四分當時平行為二宮二十八度○分五十三秒引數為八宮二十八度六分十五秒小輪行為八宮一度二十八分四十秒推算細行得𤣥枵宮十五度二十四分符所測以上九測因密測詳審可為金星諸行之元金星諸行率(第九章)本天最髙行每年一分二十二秒五十七微百年行二度十八分十六秒十二微約一萬六千餘年而滿一周本天上平行如太陽三百六十五日二十三刻有竒而行滿一周小輪上之行每日三十六分五十九秒有竒一平年(三百六十五日)行七宫十五度一分五十秒計六百六十二日十四小時(不及四分)而滿一周若平行減最髙行得引數一日為五十九分八秒一平年為十一宫二十九度四十四分十七秒又算加減二表置兩心差為三二○八(全數本天半徑為十萬)用新圖分二小圏其一為二四○六其一為八○二小輪半徑為七二二四八有半(全數如上)本天大均數為一度五十分十六秒在引數三宮一度小輪在最髙時大均數為四十五度十九分二十秒最髙最庳之差為二度四十六分四十九秒以上諸數用以起算定表不外乎此金星新測(十一率)崇禎七年十月十五日戊戌酉時在局用弧矢儀比測金星于壘壁陣第四星得相距十七度五十分弱此時金星緯向南二度餘恒星亦向南二星相距之度如黄道上之度其差微恒星厯元經度為𤣥枵宮十八度二十三分加八年之行為七分得十八度三十分因金星在西減相距之度得本宮初度四十分强乃本時太白之經度也今用表推算得金星經度為一宫○度四十七分比所測盈七分或測時過酉正而在戌初一小時差二分半又金星光大難測差分已得其準用表算式新法算書卷四十
## 卷四十一
欽定四庫全書
新法算書卷四十一 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷六(水星經度)水星乃五緯之一其行與金星相似而異於木火土其形亦小於四星故光不甚大不越晨昏二時且不嘗見而嘗伏是以測其行與定其率及其應古今皆以為難昔西士多録某(厄日多國人)其本國地氣清朗得測水星之經緯最徹惜其時所用儀器小所分度數未為精細至近世谷白尼及第谷兩家留心厯學但其所居在北極高五十度有竒為欹球之地夏月不辨晨昏冬月雨雪多而蒙氣盛又甚寒冷難於測歩谷白尼因借他人之測以詳其理多未經目説雖明而猶難確據後来第谷及其門人深研此道隨在推測不憚勤勞既竭心思又殫目力而厯學始全今新厯譯其書以為法詳列於後水星本天象(第一章)水星以太陽平行處為本行之心即以太陽之平行為自行之平行如金星無二然其兩行之差非太陽兩行之差則必有自行本圏而載其次輪又此圈或圏上之行非平有高有低與他星等何以知其然耶曰見其距太陽之大距度時有大小因知其次輪必有逺近也今以圖略解其所測於左後詳釋之(次輪亦名伏見輪)古圖設甲為地心任取甲乙某線分為五平行又以乙為心取甲乙線五分之一為半徑作辛丙壬小圏名曰均圏又於小圏周上取丙㸃為心作己丁庚戊大圈又作甲乙丁線為兩心線取丁㸃作己癸庚圈是名水星次輪(木火土三星名曰嵗輪金水不然盖以其率非滿一年而所差復逺故名次輪又名伏見輪)行法甲丁線順天平行每年一周如太陽平行無二其自載乙㸃均輪心及丁次輪或伏見輪之心如丁心行丁庚戊本天圈一年一周其心在辛壬丙均輪上而行此本天之心有行之理獨水星如是而他星不然葢他星有定兩心差之數不加不減故其嵗輪心(如丁)所行之跡亦為渾圓圈(見本厯首卷)惟水星小輪心丁所行之跡有如卵形上寛下窄故曰己丁庚本圈之心於甲㸃時近時逺又時在乙甲線内或時在外如置丁心在兩心線上其行之心在辛極逺處丁心行本天一周必行辛壬丙小圈三次丁心在戊最低其行心在丙系凡丁心在本輪上平行一周即於小均輪上之行有三周本輪上行一度均輪上行三度(以一周與三次論之則知一度三度)伏見輪心運行圖説(第二章)丁乙甲戊各號如前甲為心任作午未申等圖(用半圖簡法也)分為六平分於未於申等又作甲未甲申等線人在甲所見伏見輪心丁距本天最高之度又均圏往在辛㸃為心作丁弧(本天一弧)又因丁甲未角為三十度(先分午丑半周為六分)均輪上從極逺處辛順天向壬取其三倍即九十度止壬壬為心用辛丁元半徑亦作寅一弧截甲未線於寅又以丙均圏極近處為心(丙辛半周乃午申六十度之三倍)作卯弧以巳為心作辰弧以辛為心作巳弧以壬為心作子弧末以丙為心作戌弧共為七㸃即以曲線聨之得形如圖(又於午丑半周細細分畫作三十分各有六度)(又辛壬丙圈分二十分各分有十八度作甲寅等線又小圈各㸃為心作多弧必可定丁心運行之跡)右依前圖可解水星之諸行并可齊其所行之異新法亦有水星天本象略引之新圖用二小均圏如他星但辛壬丙載伏見圏心小輪之行為三倍於丁㸃大圏上之行皆自行數如古圖無二其乙心留行之迹亦與古圖之卵形相似算法亦同丁心往癸乙心往戊辛心往壬比乙及丁疾行為三倍水星體在子往午未各滿其周擇測水星以定其最高(第三章)金星厯曰凡朝夕測得金星距太陽平行兩大距度為等者則於兩測之兩平行中度抄半得為金星兩心線之處然其最高低之分尚未定也今水星或有兩大距度等者乃若折半不得為兩心線之處覺測此星為難古今厯家測得本天一周内伏見輪有多度不見前後多測大距度之差如距地無逺近等故法曰取用朝夕兩大距等及前後多日各測之行相反并平視兩行有差可知兩測兩平行中折半為兩心之線所在曰相反者何一測之行為盈一測為縮必知在兩心線左右曰兩行有差言一測星在此無近逺處或測十日前後之行為等因可知其引數為等如圖(字號如前)戊為最低依各圏之行若伏見輪心到子到巳甲子甲巳距地心兩視線略等不見近逺故亦不見星距太陽大距度之有大小也試作甲壬線先求甲戊線若干分置丙戊本天半徑為十萬甲乙置為五六八五(後以測得算)乙丙為乙甲五分之一數之得一一三七以減丙乙得四五四八丙甲也又以丙戊全數内減之得九五四五二乃甲戊線也為星最低距地心之數又置伏見輪心丁在子其心在壬(丁甲子角一百五度從心往壬數其三倍)(得一周外有九十度即在壬)先用甲乙壬直角形夫形有乙甲乙壬(與乙丙等)兩邊之數依法求甲壬邊得五七九八(用句股法)又求乙甲壬角得十一度十九分次用甲壬子形夫形有壬子全數有壬甲邊及壬甲子角(先得乙甲壬又先設丁甲子為一百五十度内)(減乙甲壬角十度有竒餘壬甲己為)一百三十八度四十一分依法求甲子得九五六○六比甲戊多為一四四約為千分之一半若置星在己其心在辛用辛甲己形夫形有辛甲(于甲)(乙并加五之一得六八二二)辛己兩邊及辛甲己角(先設戊甲亦六十度用其餘以)(滿半周)一百二十度求甲巳得九六四○九比甲戊多一○五七約為百分之一比在子差更大系凡水星次輪心在戊最低左右(理同)三十度或四十度内其距地不見大差伏見輪視徑亦無小大其大距度亦如之故星在此或左或右不足以定最低之經度分湏候星在辰或在卯及其對㸃始可定也古測算水星最高(第四章)多禄某總積四千八百五十一年為漢永和三年戊寅(西厯)六月初四夕測得水星經度為鶉首宫七度(用軒轅大星北)當時太陽平行為實沈宫十度半即水星距太陽為二十六度半次測為總積四千八百五十四年為永和六年辛巳(西厯)二月初二日辰測水星在星紀宫十三度半(用心宿大)(星比)當時太陽平行為𤣥枵宫十度大距度為二十六度半如上測以前後兩測兩平行折半得壽星宫十度十五分或降婁宫十度十五分乃兩心線之處也右多禄某所測姑舉其二以證所定之處其所多記親測每以古測相比因謂水星天最高行一百年一度與恒星等及後来再加細測積年既乆覺當時所謂猶非也谷白尼記總積六千二百○四年為大明𢎞治三年庚戌(西厯)九月初九日瓦而得(厯學名士)晨測水星經度在鶉尾宫十三度半緯北一度五十分當時太陽平行在鶉尾宫二十六度四十七分(用谷白尼表算)得星距太陽平行十三度十七分此非大距之測故又記曰此時水星將伏前此數日測見順行於日更近可知水星當時在次輪之上弧次測總積六千二百一十七年𢎞治十七年甲子(西厯)正月初九(本方)卯正二刻大火宫十度在天頂測得水星經在星紀宫三度二十分時太陽平行在星紀宫二十七度七分算得星距太陽二十三度四十七分又記本年三月十八日夕測得星經度在降婁宫二十六度六分太陽平行在本宫五度三十九分星距太陽二十七度一十七分依上二測谷白尼算得水星最高線本世(總積六千二百十七年前後㡬)(年不碍算)在大火宫二十八度半最低在其衝即大梁宫同度記今測十端以定厯元(第五章)此地谷及其門人所記比古測精細因用為新厯之本第一測總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉中厯十月初四日未初(西厯)為十一月十四日卯正四刻測得水星視經在大火宫十三度四分緯北二度十八分時太陽平行為析木宫四度○分十五秒(新法算)星距日為二十度五十六分一十五秒依多測再算得本年最髙行在析木宫初度三十分以平行減之得引數為三度半次輪行為八宫十六度二十二分二十秒推算星視經度得大火宫十二度五十七分比所測少七分二測比前測後九日辰初二十分測得星經度在大火宫二十五度三分緯北一度二十五分時太陽平行在析木宫十二度五十三分二十秒引數為○宫十二度二十三分小輪行為九宫十四度二十二分半算得大火宫二十四度五十八分比測少五分三測總積六千二百九十九年為萬厯十四年丙戌十月二十四日辰初十分(中為九月二十日未正十分)測得星經度在壽星宫二十二度三十二分緯未記太陽平行為大火宫十三度四分半引數為十一宫十二度三十四分次輪行八宫五度六分半以算視行比測少七分四測比三測後四日見星在壽星宫二十六度三十二分緯北二度十七分平行為大火宫十六度四十九分半引數為十一宫十六度二十九分次輪行八宫十七度二十七分用算比測少五分五測總積六千三百年為萬厯十五年丁亥正月初九日申正五十分(中厯為十四年十二月十一日)測得星在𤣥枵宫十七度四十八分緯北○度一分太陽平行為星紀宫二十八度二十二分五十秒引數一宫十六度五十二分次輪行四宫二度二十八分二十秒用算比測少一分六測總積六千三百三年為萬厯十八年庚寅三月初六日酉正五十分(中厯二月十二日丑時)測星在降婁宫十三度四十四分緯北一度四十二分太陽平行為娵訾宫二十三度引數為三宫二十三度二十分次輪行三宫十一度四十一分十秒用算少測數八分七測總積六千三百五年為萬厯二十年壬辰二月初三日酉初四十分(中厯正月初一日子正四十分)測星得娵訾宫十二度二十分緯北○度四十七分太陽平行為𤣥枵宫二十二度五十分四十五秒引數二宫二十二度十五分次輪行三宫二十三度八分三十秒用算比測盈九分八測總積六千三百六年為萬厯二十一年癸巳五月十一日亥初二刻(中厯四月二十二日寅正二刻)測星在實沈宫二十三度十六分緯北二度○分太陽平行在娵訾宫二十九度二十三分引數五宫二十八度五十一分次輪行三宫二十二度四分依算少測十二分九測總積六千三百二十年為萬厯三十五年丁未四月十五日亥初(中厯四月初一日寅正)測星在大梁宫二十一度五分緯北一度四十分平行為大梁宫三度二十分五十秒引數五宫二度十八分次輪行二宫十五度五十分六秒推算盈所測七分十測總積六千三百二十三年為萬厯三十八年庚戌十二月初五日戌初(中厯十一月初一日未正)測星在析木宫二度四十二分緯未紀太陽平行在析木宫二十四度四十分引數初宫二十三度三十四分次輪行八宫十度十一分推算少測七分右十測如法推算盈縮大較不過十二分其差甚㣲非若右表未經親測者真可用為水星厯元之測又本方向北凡星緯在南難見難測故上不測皆緯北焉定最高處及其行(第六章)總積六千二百九十八年為萬厯十三年乙酉第谷測算精宻定本年最髙在析木宫初度三十分以古測總積四千四百四十九年(多祿某所記)為周赧王五十年丙申(西厯)十一月十五日晨見水星在大火宫二度三十五分太陽平行大火宫十九度五十六分半(用古表)緯南為二度二十分依此測及後屢測(多祿某所記本世距周赧王四百年後有多測多算今不詳譯)(省文也)得水星當時最高在壽星宫六度五分兩測中積為一千八百四十九年計兩測中積最高之行為五十四度二十五分(析木宫初度半内減去壽星宫六度五分得數)以中積最高度分化秒為實以積年數為法除之得一年最高行為一分四十五秒有竒有一年則百年千年俱有成表如以萬厯十三年之行加之得崇禎元年最高行之應以平行内減去最高得引數説見後水星伏見輪半徑大小(第七章)古多禄某用二測其一為總積四千八百四十七年十月初三日晨測得水星伏見輪心在本天最高算求距太陽大距度為十九度○三分太陽平行在壽星宫九度十五分多禄某時最高在大火宫二度此測未到最高少二十三度因水星天之象最高及其衝前後一宫於地不見逺近大差見上文其二夕測(為次年四月初五)水星次輪心在最高衝大距度為二十三度十五分平行為降婁宫十一度五分此測亦未到高衝少二十一度與上測相對系凡大距度為小者其次輪心必在載圏之高若距度為大者其心必低先定兩心線如上測星在降婁距大在壽星距小如圖甲地心壬本天心戊為最高丙為其衝次輪心在戊最高星在巳為戊甲巳距平行極大角(人在甲見星在巳視)(星距戊平行之度數)上測得十九度○三分又次輪心在丙最高衝視距太陽平行大距度為庚甲丙角依上測得二十三度十五分作戊己丙庚各線於甲己甲庚成直角依三角形法甲戊己為直角形有己直角有甲角大距度自亦有戊角己甲戊之餘即為七十度五十七分有三角求戊己戊甲之比例設戊甲十萬戊己即為十萬分之三二六二九(正弦數也)又甲丙庚形有三角(因直角形之理有甲乙角自有丙角)求甲丙丙庚兩腰之比例設甲丙十萬丙庚為十萬分之三九四七四(甲角之正弦)先定丙庚戊己兩圏半徑為等者(以上下兩次輪無二)今以三率法通之設甲戊十萬戊己或丙庚為二三六二九丙甲為八二六二五戊甲甲丙并之折半得九一三四二即戊壬線也今有戊壬戊甲戊己同類之三線又設戊壬本天半徑為十萬全數求他線之數以法得戊甲為一○九四七九減戊壬全數餘九四七九乃壬甲兩心差之數也又壬甲數以六除之得一五八○乃載本天心小輪之半徑説見水星本天象論戊己為三五七二乃伏見輪半徑也多禄某依親測得水星各圏比例如此然所記載測數中有可疑(恒星及太陽之行各不精細)第谷及其門人因加宻測宻算依上記十測設戊壬全數戊己為三八五○○(丁庚同數)壬甲為六八二二取壬甲六之一即一一三七為壬心所行圏之半周系水星近於地為本天十萬分之五四六七二極逺為一四五三二一算水星經度用三角形試法(第八章)用上所記第五測時刻以三角形及上定各圏之數求水星經度(用新圖)當時查表得太陽平行在星紀宫二十八度二十二分半水星最髙在析木宫初度二十九分半兩數相減得引數為五十七度五十三分圖上為庚乙己丙兩弧之度(繪圖及其行之數見上二章)此引數三倍之得一百七十三度三十九分為戊丁弧丁乃伏見輪心作壬次輪圏從壬極逺順算得一百二十二度二十八分至辛丁丙乙形有丁丙乙角(戊丁弧以滿半周去之餘)六度二十一分有丙乙(上定兩心差六分之五即五六八五)及丙丁(兩心差六分之一即一一三七)兩邉求丙乙丁角得一度三十五分又求丁乙邉得四五五一二甲乙丁形有甲乙丁角(己丙弧或己乙丙角内減去丙丁乙角餘丁乙己其餘為)一百二十三度四十二分(凡引)(數為六十度以下用減六十度至一百二十度用加一百)(二十度至一百八十度用減一百八十度至二百四十度)(用加又自二百四十至三百度用減三百至三百六十度)(用加)又有甲乙全數(半徑)及丁乙(上得數)兩邉求乙甲丁角為二度七分又求甲丁邉得一○二六○○三丁辛甲形有丁辛次輪半徑(前所定三八五○○)有甲丁丙邉及辛丁甲角(次輪為癸辛弧加壬癸弧或壬丁癸角或丁甲乙角皆為同得壬辛弧其餘辛午)五十五度二十五分求乙甲辛角得二十一度二十九分乃次均數次輪之視差也因次輪行在前半周法宜用加得𤣥枵宫十七度四十五分比所測縮三分若以測法求丁辛次輪半徑亦可得之則於丁辛甲形中設丁甲邉丁甲辛角(以表得乙甲庚引數角内減丁甲乙本天均數得丁甲庚角以測得)(辛甲庚角相減得丁甲辛視差之角)及壬辛弧或辛丁甲角依法求之若以引數及各圏半徑從小輪上水星本行處用下圖各三角形之法亦得算癸丁辛角有假如(見十章)水星平行率(用古今二測) (第九章)以測求伏見輪上之行宜擇星近太陽非留行或大距度之處葢留時伏見輪上之行人自覺其大距度多日不變然星更行故測以得近太陽者為確古多禄某所記總積四千四百四十九年為周赧王五十年丙申(西厯)十一月十五日卯初在本方測得水星經度為大火宫二度三十五分緯南為二度二十分當時太陽平行在大火宫十九度五十六分半時水星最髙在壽星宫六度五分兩數相減得四十三度五十一分半乃水星之引數也又平行視行相減得十七度二十一分半設引數及各圏之半徑與星視行距太陽之平行求水星體在伏見圏之度分(星體距伏見輪極逺之處若干)用新圖諸號如上一庚乙己丙兩弧各為引數之度戊丁弧為引數之三倍一百三十一度四十九分三十秒二丙丁乙形有丙丁丙乙兩邊各圏半徑及丁丙乙角(戊丁)(弧以滿半周之餘)四十八度十分求丁乙邊得十萬分之(全數)五○○二又求丙乙丁角得九度四十五分三己丙弧或己乙丙角内減去丁乙丙角餘丁乙己為三十四度五十六分半其餘以滿半周為丁乙甲角是為一百四十五度四十八分半四丁乙甲形有甲乙(全數)乙丁(前所)(算)兩腰及丁乙甲角求丁甲邊為一○三九○二又求丁甲乙角得一度三十三分乃均數之度分也其號為減(引數未過半周)減之得丁甲庚角為四十二度二十四分又以最髙之宫度加之得丁㸃(次輪心)在大火宫十八度二十四分先測水星在本宫二度三十五分相減得較為十五度四十九分乃次輪之視差也均數也圖上為丁甲辛角測為晨刻則水星在太陽後次輪右邊五丁辛甲形有丁甲(先所算)丁辛(先所設)兩邊及辛甲丁角(次輪)(視角)求辛丁甲角得三十一度三十三分乃辛丁午角或辛午弧水星體距小輪極近處午㸃之度分又加半周(一百八十度)得二百一十一度有竒即壬午辛弧然所定次輪極逺非逺於地心乃比平行為逺(故圖中命作癸午線與巳甲平行而)(壬丁癸角恒於乙甲丁均角為等)則因先均數類亦均之若加加之若減減之今減得癸午辛弧為二百一十度○分乃當時水星次輪上之行本章多禄某所記及前第五章所記第谷十測中第五測兩測相比中積為一千八百五十一年又五十五日十一小時依法化年為日(總積平年為三百六十五日第四年閏一日為三百六十六日)得六十七萬六千一百三十二日為法兩測次輪之行相減得較為八十三度二十五分因今測小則以遡到古測或滿全周少八十三度有竒或滿全周外多二百七十六度三十五分中積時水星行滿次輪全周為五千八百三十六轉外二百七十六度有竒化作秒得七五六四四九七○○○為實以前法入實而一得一日之行為一一一八四秒為竒約之得水星次輪上一日之行為三度六分二十四秒有竒(欲窮其數)(各再化作忽算之)有一日可得一年百年之行又以分法可算一時一分之行水星一小時行七分四十六秒一日行三度六分二十四秒一平年行三全周外有五十三度五十三分三十二秒一閏年三全周外行五十七度三分五十六秒一百一十五日二十一小時三分二十二秒行小輪一周新法算書巻四十一
## 卷四十二
欽定四庫全書
新法算書卷四十二 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷七(五緯緯度)太陽乃萬曜之君其所行之道為直道凡天上諸星悉繇以定其行左右距太陽之道謂之緯而土木火金水五星嘗在太陽之左右不能直行故名曰五緯太隂之行亦斜交太陽之道竝可名緯古測未覺月亦有緯南北二行直謂之離然其南北之離比五星更純無多緯之雜其差甚㣲故仍其名也厯家非以定日月之行為足又湏兼齊五緯而七政始全其五星經行業詳著各厯指然以明理適用則某星随時所在躔次及某時應㑹某星并同某星出入與凌犯近逺見伏諸類必明晰詳盡始全其學若不知緯行南北多寡無從得其凖故第谷名士深心攷究制為多儀宻測宻算定其進退之兩限南北之距度立為成表皆務得各星之眞路本道之行限詳解緯圖盖以止晰經行不能全定其處也新厯按古今厯家兩測之論以明五星緯行之理各有數端其一為本天輪其一為嵗圈輪此二根五星皆同若夫金水别有緯行之根異于土木共著論八條古測緯行(第一章)王寳翰(距今百五十年)曰五星緯行前古未有識者迄多禄某始覺其理而明其法測騐功深乃得立成而布算(前人但以經度)(為本未覺緯行之所以然多禄某宻測精求因㡬何元本等書以定星行之率始得緯道立成諸法)一覺五星之緯各有天半周恒緯黄道南有半周恒緯黄道北一覺此南北之交處非一時六宫在南六宫在北或時七宫南五宫北盖此南北之行非繇視行以所測視行求實行末得各星黄道某宫度以實行到此或南變北或北變南三測各星極大緯而得其距交度約三宫曰星所行非黄道乃各星有本道而斜交于黄道再測得土木二星凢近壽星宫火星近鶉火宫者皆距黄道北極大緯度若三星在其衝之處(土木為降婁宫火星為𤣥枵宫)則距黄道更南四用本圖不同心圈及小輪擇各星在南北大緯或在極近合伏太陽之處(凡星在嵗輪極逺者其心㑹合太陽不能窺測惟越前後多日方得其凖)或在極近衝日之處或在中距遲留之近處各有異相比測未得星在極近加本緯之度數(本緯乃從本道加加緯度繇于嵗輪)(下平加緯上半減緯)在極逺減本緯之度數若在中距者無大差所云加緯度者如在近處星道向南則加南緯向北則加北緯詳見下文細究緯形之故古者借圖形解之曰日月五星之本行更順更平各有全圈各圈置一平靣盖圈者乃圓形之外周而面者乃圓形外周内所容之積也不曰積而曰面者以積有厚之形靣乃無厚之形也(見㡬何界説)凡曰黄道白道相交宜想兩圓形相容相割如東西兩堵牆相遇不止而過此兩靣相割之處為一直線如黄赤兩道以春秋兩分之一線上割之兩分謂之兩道之交即兩面相割之限五星本道及小輪相交各圈之靣相割若以楮為圈之像可明其理一系置多禄某所言各星有本道之靣及小輪之靣曰凡年嵗小輪之徑線(從人目過小輪之心則近逺兩處之線)全在黄道之外而不相割相交凡負小輪圈在黄道或南或北則小輪全體亦在或南或北二系見星緯黄道或南或北則知星之本道交于黄道今見小輪或加或減本道之緯必小輪交于本輪兩靣相割不則在一平靣何能置其加減乎又五星之緯古來未有名界即借太隂用之凡各星本道緯向北者謂之隂厯向南者謂之陽厯從南徃北之交謂正交從北徃南謂中交凡小輪在其近半周者謂之外盖恒向黄道本道之外而加凡在其逺半周者謂之内盖恒在黄道本道之中而減又擇小輪心(即算時所得實行)在黃道本道兩交之上及星距日天周四之一(如其時星在小輪近逺之中)測得星在黄道下則無緯度分又凡小輪心在黃道下各星在小輪上不拘度分(于太陽或近或逺)星恒不見緯度三系小輪心在交上無緯度者其平靣與黄道平靣相合為一多禄某曰土木火三星本天(即不同心圈)之靣斜割黄道靣可定其斜交之角(如赤黄二道斜相割其交角為二十三度半)又曰割小輪靣而交本天為不定之角其小輪近逺兩限中有一直線于近逺線在兩交之中為直角與在交上相合為一乃于兩交線恒為平行分小輪上下兩平分此線當小輪之樞因之轉動其上半極逺之㸃若在黄道北則在本道南若在黃道南則在本道北盖小輪恒于黃道為平行面故也黄道本道交角(第二章)黃道星道兩平靣相割一直線上(靣割交靣生一線如線交線生一㸃名曰交㸃)(㸃之兩端生四角相對相等而兩靣亦生相交割一直線亦生四角等)曰同交線此線通黃道之心即地心也系交線割星道靣不平分盖星道不過黃道之心不同心圈故也其大半(六宫以上)向北其小半(六宫以下)向南大半在北則北緯比南緯更大如圖丁地心作丙乙戊甲黃道圈(圈或靣互用)又任取己為某星天之心作庚甲壬乙圈又作甲丁乙同交線分黃道為平分分星道則任分多禄某曰此交線以異角交各天兩心之線今如法土星兩心線(即最髙)在析木宫二十七度六分(甲子年所算為厯元)(之本見本表)其正交在鶉首宫二十度三十九分相距一百六十五度二十七分中交在其衝木星最髙在壽星宫八度五十四分其正交在鶉首七度八分相距為八十九度十四分中交在其衝火星最髙在鶉火宫二十九度二十六分其正交在大梁宫一十七度相距一百○二度二十六分中交在其衝金星正交在本天最髙前十六度此時在實沈宫十四度(金水二星差數㣲免繪圖)水星正交于最髙為一此時在析木宫一度系因圖可見各星交線之異任分本天凡兩心線及交線之交角近于直角者其兩任分之較更大若交角甚鋭者兩任分之較更小如木星本天交線上之弧比土星交線上之弧更大觀圖可見二系各星本行(即平行)時行周天向北之弧比行南弧更多弧之多寡與行時多寡相應故也問南北兩弧若干曰用上各星之圖從己至正交中交兩處作線成己丁正己丁中兩形夫形為加減均數之形以視行角己丁中求平行角丁己中之餘即髙中弧之度用加減表求之相并得土星北弧勝南弧為五度二十分木星北弧勝南弧為五度五十四分火星北弧勝南弧為二十一度五十六分依上多禄某所定黃道本道正交中交之角上見星在此恒無緯度又緯類從此變或以南徃北或自北徃南取星在兩交之中測其緯得上三星凡在小輪極逺者緯度少在小輪近者緯度多以多寡之較求小輪之心或本道距黃道若干得數如左土星本道交黃道角(或一圓球上兩大圈相交之角或兩道之平靣相割各用之)為二度二十六分小輪平靣割本天面交角小輪在兩交之中為四度半凡在正交或中交之上者交角為二度二十六分乃兩道之角也星木道交黃道角為一度二十四分小輪交本道為二度三十分火星本天交黃道角為一度○分小輪交本天為二度十一分依上論小輪髙庳則視緯有多寡如加減表凡引數在髙者均數少在低者均數多如圖(依視法凡對周㸔一平面或圜形者所見之形)(為一直線如簡平儀諸線為直線即當圜形曲線今兩道及小輪各對周㸔成直線兩線交角當兩靣之交角)丁地心戊丁亥線當黃道己為某星天之心作庚己壬線當某星本道置庚丁戊角為兩道交角(數見上)又從己心取己庚己壬等線壬庚為小輪心作午庚未乙壬甲兩線于黃道平行亦兩線相等未庚己為小輪及本天之交角上下無二從丁(人目所在)作丁甲丁未視線定髙庳兩處未丁戊甲丁亥兩緯角題言在最髙未丁戊角為小在髙衝甲丁亥角為大甲壬丁庚丁未兩形各有等底甲壬庚未又有壬庚兩角等庚丁邉比壬丁邉更大則其對角未比甲角亦大又其餘各反之則庚丁未角小甲丁壬角大大角恒于大腰相照幾何之言也若作丁午丁乙兩線定星在極逺午乙兩處必壬丁乙為大午丁庚為小今述多禄某定各星所在大緯于左土星小輪心在兩交之北星若在小輪上如庚線者緯度為二度三分若在下如未線者緯度為三度二分小輪在兩交之南若星在上如乙處緯度為二度二分在下如甲緯度為三度五分木星小輪若在北星在上者緯度為一度六分在下者為二度四分小輪若在南星在上者緯度為一度五分在下者得二度七分火星小輪若在北星在上者緯度為○度五分在下者為四度三十分小輪若在南星在上者為○度四分在下者為六度五十分金水二星下有本解上三星諸輪圖説(第三章)星之所行為全圓圈人目或在其心或近其心時見如直線又時見扁圈線以視學論之設上諸圖如人目在天外對黄道之周而㸔則圈形如直線若人目在南北二極而㸔則見如全圓形然某平靣于某平靣或平或相切或相距不能分别故視學因置人目在黄道及其極之中若可見各圈相距近逺如左二圖一目在極正視一目在黄道及本極之中而斜視圖上外圈為黃道第一第四同心函中不同心圈此一四兩圈于黃道平靣二三兩圈為不同心又于黃道非平靣如第二圖其中有均圈指小輪圖畫如一平靣然非一平靣者亦如下圖上三星本道切割黃道圖外大圈為兩至兩極圈指黃道黄道圈上列有宫次其内有同靣同色之圈于前圖為一四其軸為甲乙其斜切宻作㸃虛靣為星圈即不同心圈中有均圈為白圈軸為丙丁此間有小輪亦斜切異心圈然平行于黃道如前上圖可見本輪或行或留之跡皆為圓形其黃道本道兩軸相切及小輪軸于黃道軸為平行其本輪為直線者視法也眞圓靣也三圖指各星各㸃所行留之迹各圈有本名但眞一直線有名曰本輪靣因對周天而㸔法以圓平靣變為一直線乃視法 若觧此諸圈之理須用渾天儀此儀有赤黃二道有冬夏二至及二極乃為明暢四圖説甲乙丁線為黃道本道相交之線(因相近相逺必有相交之一線)甲丙乙戊為本圈(今用不同心圈及小輪觧説更易)丙戊二處極距兩交為九十度乃兩道大相距之兩處也甲為正交(本天向黃)(道北隂厯初)乙為中交(本天向黄道南陽厯初)置小輪甲在乙等處從人目丁作丁庚丁戊等線名近逺線又作子午諸線皆過小輪心而于甲乙交線為平行此子午己庚二線相交之角非一小輪在兩交上二線合而為一小輪在大距處丙戊兩線相交成直角 午子線當小輪之樞上半下半繇樞而運盖以本天從南徃北從北徃南嘗嘗活動須得黃道之平距為本故斜交本天之角于本天斜交黃道之角嘗為等如小輪在甲或乙兩交上即一體合于黃道若在丙隂厯本天距黃道北大距處則小輪下半子巳午向本道北在兩道外上半向本道南在兩道内若在戊陽厯本天距黃道南大距處則小輪下半午巳子向本道北在兩道内上半向本道南在兩道外從丙到乙有九十度在丙在戊兩線為直角在己近處為本道大距即大緯度徐行徃乙則己丙子甲更小己距黃道之度亦更小至乙而盡系小輪在丙在戊或合伏太陽如庚或衝太陽如巳時星有大緯度盖星距太陽九十度則庚子弧在樞線及本道上但有本道之緯若小輪到辛距交四十五度兩線交角亦為四十五度或合伏如庚或衝如己非大緯度盖庚己比壬癸二處為小(距子午樞線為象限故大距度在此不在己)上圖金水二星亦可用其詳見下新測上三星緯(第四章)本厯總論曰以齊五星諸行或用兩心法及小輪以地為諸行之心又或以太陽為星行之心理可通用新法乃以太陽為心為近于正因上譯古多禄某緯行之論以地為心今依本法舉各星之緯再詳觧之第谷依本法測得各星黄道緯大數(古法曰星任小輪下)土星北緯二度四十八分南緯二度四十九分木星北緯一度三十八分南緯一度四十九分火星北緯四度三十三分緯南六度四十二分土木二星其不同心差為少又更髙逺小輪(見小)故南北差亦少火星近小輪大故其差亦多金水益多下詳之各星兩交中有南北兩㸃及距最髙度分用三角形法可推小輪心及星體距各天之心亦可得各星年嵗圖半徑依法(見各星厯指南北兩㸃距最髙乃引數求距心若干法用三角形算)得土星南㸃為降婁宫二十度三十八分距心為(全數十萬)九七五九三年嵗圈半徑為一○四二六木星南㸃在降婁宫七度八分距心為九五二三○年嵗圈半徑為一九三四九火星南㸃在𤣥枵宫十八度七分距星為八九○九○年嵗圈半徑為六五○九五置前推得數求各星天距交黃道若干如圖甲地心丁甲卯為黃道庚甲丑為本道辛巳為小輪前測有己甲戊大南緯角求庚甲乙本天距黃道(省文繪圖與前一致)用庚己甲形夫形有庚甲邉(星距心各數見上)有庚巳邉(小輪半徑)及庚己甲角(辛巳線引長到壬作甲己壬直角辛巳小輪面與黃道平行則)(己甲戊角大緯度與甲乙壬等庚己甲為其餘)用法則邉與邉若角正弦與角正弦以庚己乗己角正弦以庚甲除之得己甲庚角以減于己甲戊數得庚甲乙角乃兩道之交角也又辛庚甲形夫形有庚甲庚辛兩邉及辛庚甲角(即庚甲乙)(之餘或庚己甲己庚甲兩角之總)求庚甲辛角乃星在上之緯角下圖倣此若用太陽為五星之心置甲為地心丁戊為太陽之天日在丁星在辛日在戊星在己若日在丁者則日在人目甲及星辛之中謂之星㑹日若日在戊則人目甲在日戊星己之中謂之星衝日兩法以乙甲己角為黃道緯之大角推算各角之法與前法同(丁戊圈乃太陽之圈但用)(丁戊線如辛己小輪亦但用一直線視法也)算各星緯度用三角形法(第五章)如總積六千三百六年為萬厯二十一年癸巳西厯八月初十日丑初三刻時第谷推算太陽及火星諸數于左太陽實引數(距最髙實行)為五十二度視行在鶉火宫二十七度三十八分火星實引數為二百度二十分視行在娵訾宫二度四十二分距心為八八九○○年嵗圈半徑為六四九二八距太陽為一百七十四度(逆算其餘為順天算)五十六分火星體距本天正交(正交在實沈宮十八度○分)為七十五度十八分圖説乙地心甲太陽天乙甲為太陽天半之徑即火星年嵗圖平徑也丁己為黄道一弧戊丁為火星本道一弧與黃道相交于丁則丁為正交戊丁為星距正交若干(上有數)作甲己火星距心之線作甲戊戊己又作乙己火星距地線作乙戊線成戊乙己角乃視緯角也所求之度分也一戊丁己三角曲線形有丁角(先定本天交黄道為一度五十分)有丁戊己直角(己戊弧因測緯度必為直角于戊)求戊己弧(置全數甲己本天半徑為百萬)得三○四九五(若用度為一度四十六分餘今用分數可比于别直線故戊己為如直線非如弧弧)(小圈大于直線其差甚㣲)二先推星在己距甲心為八八九○○○用法通戊己(則二)(線為一全數之分法日百萬得八八九○○○今三○四九五應得若干用乗除算之)得二七五一○(甲己己戊兩數之比例也)三戊己甲直線三角形有己甲己戊兩邉又有戊甲己角(戊己弧一度四十六分四十三秒)求戊甲邉得八八五七三四戊乙甲形有戊甲(先得數)及甲乙(嵗圈半徑)戊甲乙角(火星黃道上未)(衝日之數即距太陽以滿半周之餘)五度四分求乙戊得四八五一七五戊乙己直角形有戊乙戊己求戊乙己角得六度十九分乃人目在乙見己火星距戊黃道緯之度分也系凡有某星距交及距太陽兩數可推其緯度若用圖亦可算圖説乙人目也乙戊為黃道靣之線乙庚為星本天靣之線戊庚上圖為戊己弧乃小輪心庚距黃道丁丙小輪靣線丁己丙為小輪圈夫圖有丁己弧為星距太陽之度數作己辛垂線于丁丙小輪徑線(辛徑上當己周上曲線球上之理也)又作辛乙丙乙庚乙等線一以前圖戊丁己形求戊己弧本圖為庚乙戊角二以夲法求庚乙星距地(各星本厯有均角形可求距地之分數)三庚丙乙形有庚乙庚丙兩邉又有丙庚乙角(小輪交本天)求庚丙乙角又求丙乙邉以此庚乙丙角亦有其數(丙庚兩角)(所并餘數)四辛丙乙形有丙辛(丁己乃辛距日己丙其餘庚辛為己丙弧之餘弦説見八線表)有丙乙邊及辛丙乙角求丙乙辛角五先有戊乙庚又有庚乙丙兩角并之減辛乙丙角其餘為辛乙戊乃星在己視距黄道之角也(丁己丙圈立春以庚丙戊面為)(直角其軸線為丁丙星在己或在辛無二)定五星本天交行(第六章)月離有白道交行乃逆行也(右行)先降婁次娵訾次𤣥枵星之交行不然首降婁次大梁次實沈順天而左行故五星緯行引數比本行數少太隂緯離行之引數比自行數多古多禄某所測定五星正交之宫度比今所測非一有行有衝(測各星正交處見上文)如多禄某于漢順帝永建時測得火星大距處及其最髙同度正交在降婁宫二十五度五十一分(用夲數以日躔細行及恒星眞行相較所差不逺)今第谷于萬厯年間測得火星正交在大梁宫一十六度五十三分兩測中積為一千四百六十四年其差為二十一度○二分則以差數為實以中積為法除之得一年之行為五十二秒五十七㣲比恒星多一秒五十七㣲(名嵗差)古者有作同行木星正交行古測得鶉首宫一度二十一分今測在本宫六度五十三分兩數之較為五度三十二分為實如前中積數為法得一年之行為十三秒三十六㣲(其行甚㣲)古有曰不行土星交行古測得鶉首宫三度二十一分今測在本宫二十度二十三分兩數之較為十七度二分為實以前中積為法得一年之行為四十一秒五十三㣲于太陽最髙約為同行而少三秒金星交行于最髙約為同行但恒在最髙前逆行為十六度水星交行于最髙為同行同處無異古今測乃萬厯二十八年所定也以法求之得新法厯元之數以定其應及年交行率作立成表(見各星二百恒年表)土星厯元正交為六宫二十度三十九分四十秒(從冬至起算)木星正交為六宫七度八分一十三秒火星正交為四宫十七度二十分二十九秒金星正交為五宫十四度十六分○六秒水星正交為十一宫○一度二十五分四十二秒一年行成前後之表(平年閠年不論)金水二星前緯説(第七章)上三星之緯其故有二本天斜交黃道一也小輪亦斜交本道二也金水二星不然其本道于黃道皆在一平靣(如大小多環在一平靣上旋轉各有本行不相撞遇)無緯南緯北其緯全從小輪而生(曰小輪伏見輪異名同理詳見下文)二星本天有相衝二處小輪心到此星緯恒變或以南徃北或以北徃南而交黃道古者此二㸃亦名為正交中交金星正交在本道最髙前十六度即實沈宫十四度中交在其衝析木宫水星二交即與最髙最庳為一最髙在實沈宫初度最庳在其衝金星過正交在最髙後五宫餘行縮厯時緯即向北以滿半周其半周行盈厯時緯恒在南水星反是其在縮厯時緯向南盈厯時緯向北右論乃古今從天宻測所得上三星小輪交本道有一線名曰樞線恒于兩道交線為平行小輪上半如向南則下半向北金水二星小輪亦有樞線亦于兩交線為平行分小輪上下二半又有近逺線若金星小輪心在兩交之中星在近逺線之上其黃道距緯為一度二分若星在近逺線之下其緯更多至九度二分若小輪心在交線上星在樞線上則無前緯之數若水星小輪心在兩交之中星在小輪之上其黃道緯為一度三十四分如星在小輪之下其緯為三度三十三分若心在兩交上及近逺二處無前緯數金水二星後緯説(第八章)上言此二星有二緯皆從小輪生前緯業已觧之今借第三章四圖以明後緯之理圖上小輪子午線恒于交線平行為上三星小輪緯行之樞此線上三星從本天與黃道為近為逺又凡星在兩交之中子午樞線之極皆在本道甲小輪心距大距處子午樞線兩極不能在本道上盖先所定小輪靣恒于黃道平行則本輪于黃道兩交中處之外二㸃不能為平行故子午線因以得小輪靣恒為黃道平行必不能在本天之上如甲心在本天上子向如南午向如北上三星本道離黃道不多則子午樞線兩極離本道亦不多故其差可不算乃金水二星本道與黃道為一靣而子午兩樞離黃道有大緯數若星在兩交中之處子午兩極不離黃道金星若在交上或南或北則離黃道為二度三分若星距最逺即為一百三十七度則大離數為二度三十三分水星在交上而小輪在樞線上九十度距極逺處得為一度三十分其大離數在一百一十二度從極逺起則為一度四十八分系五星小輪或嵗輪伏見輪之心釘于本天靣上小輪上下二半繇樞線活動如下半向南則上半向北為緯之原又以樞線之直角線(庚己線也三星圖上為壬癸線)為軸若子徃本天左而北則午徃本天右而南彼此相反二系如甲心在兩交外及在交中處之外或星在庚子之中如酉則星有二緯之類置庚在本道南置子在本道北星在酉因子庚午上半向南星亦有南緯因庚子巳下半向北星亦有北緯法曰以兩緯異類數相減所餘存為實數上所定數皆從實測乃第谷及其門人所説以便算則于表上用中分及緯限其法與經度加減表中有中分較分同類不再譯新法算書卷四十二
## 卷四十三
欽定四庫全書
新法算書卷四十三 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷八(諸曜凌犯論)按大綂及古厯皆粗定五星見伏之限而已其緯行不見于書意亦未講明及此又凡于兩星相會著為災祥之説于理更謬葢天上諸星紛布自古迄今其行不忒合所不得不合會所不得不會皆理之常初無犯戾縁厯家未明合朔凌犯之故庶民因不知會合之宜駭為變異耳夫星曾何變異之可言哉然亦有足徵者如農家以之占歳醫家以之療疾及人身之羸壯天時之雨𤾉皆日月五緯所屬故必得其所同居度分及相對等度分亦為切要也因著凌犯論共十七章如左界説(第一章)七政凌犯厯家恒言顧有所以然之理未明其理未透其根則測與算難相符合惟明其所以然則先推後測無弗合者葢七政之行有遲疾不等是以後先參錯其所呈象約有五種作界説一會聚界會聚者是彼此兩曜在黄道上同經度若月于太陽曰朔星于太陽曰合伏星于星曰凌曰犯(古占法二星相距七寸内曰犯)(二星光相切曰凌)若經緯度俱同在日月曰食星于星或月于星曰掩(同經度有二或同黄道或同赤道在赤道同度謂之同升此謂同度苐指黄道言也)二對照界對照者乃相距天周之半為經度一百八十度月對日曰望經緯俱對曰月食星對日曰夕退統名曰衝照(月與)(土木火三星皆能于日對照亦能各相對照金水二星不然葢其不離日之左右故于日不對照亦不相對照)三方照界方照者相距天周四之一即九十度也月距日曰上下弦(其象如弓中明晦之界如弦)他曜相距綂名曰方照四隅照界隅照者相距天周三之一乃一百二十度也亦名三角形照五六合照界六合照者乃相距天周六之一即六十度也以上諸照視諸曜之性情或相益或相損或相勝或相和象懸于天而宇下徵驗因之厯家所算尤不可爽也五照圖説周圏為黄道各分其照之界以相距之度著其名而照有先後先者順天數後者逆天數諸曜伏見説(第二章)凡星會太陽時太陽光大勝于星光人目不能見星故曰伏夕伏者星比太陽行遲合後太陽故夕初伏不見亦名西伏如土木火三星及金水二星逆行之時晨伏者星比太陽行疾合先太陽故晨初伏不見亦名東伏(惟金水二星及月名晨伏上三星非晨伏)夕見者星比太陽行疾過合而先行故夕見亦曰西見(惟金)(水二星及月名夕見上三星非夕見)晨見者星比太陽行遲合後太陽故晨見亦名東見如土木火三星及金水逆行合太陽之後或初見或初不見之限有本篇同升者是二星同過子午線或同出地平或同入地平七政遲疾二行論(第三章)日月有遲有疾五星有遲疾兼有順逆星之逆行有限遲行無限葢遲則不行而留今須求疾遲逆一日之行若干始可攷其凌犯之自也疾者何視行勝平行謂之疾平行勝視行謂之遲逆行實不能言疾葢退未進之行也或依舊法言謂之疾遲葢(闕)名如意耳大綂厯所記有疾初末遲初末等皆從疾遲二行之限而生無他解太陽及諸政之行在本天最髙極遲在其衝極疾何者凡物逺見小近見大如太陽一日平行一度此一度近于人目則見大逺則小大小之分在人目之視角或天上所掩之分弧大則近小則逺太陽近則視行多逺則視行少逺者最髙也近者最卑也各星加減表俱平與實一度之差置太陽一日平行度為五十九分八秒廿㣲求最髙卑五十九分得均數若干或加或減于平行在遲疾二行之度太陽無歳輪無次均則以本天均數若足太隂與五星遲疾之行其根有三本天最髙卑一也小輪二也太陽之行三也合此三根乃得遲疾或逆行之限(曰根于太陽葢以太陽視行亦有遲疾則所生之行從之金水因用太陽平行免此三根)法曰置小輪心在本天最髙求一日平行之均數又置星體在小輪極逺處亦求一日所行分之次均亦置太陽在最髙卑之中兩均并之于平行減之得極遲行五星凡在小輪極近處逆行若逆行大順行小相減得大逆之限太陽疾行為六十一分二十秒遲行為五十七分太隂疾行為十五度十七分九秒遲行為十一度一十九分四十九秒二十三㣲土星順疾為八分九秒逆疾五分十三秒木星順疾為十四分二十四秒逆疾七分四十四秒火星順疾四十七分二秒逆遲三十五分十一秒金星順疾一度十六分逆遲三十八分水星順疾一度五十四分逆疾一度○五分系觀下太隂細行之圖可見遲疾二行較平行之數非一遲行以平行減一度四十七分疾行加二度○三分諸星同此算太隂遲疾限式設太隂在本天最髙又小輪極逺即弦時距太陽三宫亦一日太隂距太陽遲行之均數他星皆用此法得之五星留説(第四章)五星厯指用歳輪伏見輪(亦名小輪)以明各星進退遲留諸理如諸星在小輪上半順天疾行合伏太陽在小輪下半逆行或土木火三星衝太陽金水二星再合伏太陽其順逆兩行之界謂之留後有圖有説凡星在小輪上半順天行即于星本天上亦順行兼并小輪之行在人目益見為疾行凡星在小輪二切線上人目不得見小輪上之行而但見本天之順行凡星在小輪極逺處之左右人目見其逆行葢小輪極逺處其逆行多勝本天之順行若略逺則逆行少亦不見其逆如圖丁為地心乃人目所見測星之所己戊為黄道一弧畫有分度以定本行又作丙子一弧亦畫分度以定小輪視行甲為小輪心己庚乙為小輪分度丁甲己為平行線星體行小輪周置星在己極逺處左行往庚一日行一度又丁己線順天亦行一度人目在丁見己弧行一度己小輪上亦行一度共視行為二度(凡星行其見界亦行二行并為一行)故為疾若星到庚從人目于庚各度作線到黄道兩線之中弧則漸少以至于無然丁丙線之本行則尚行也若星從庚漸向乙小輪上度分掩黄道弧為㣲為小到未則掩弧為大凡平行弧(下圏)小輪度掩弧為等者星在此為留其將到未所掩弧大比平行弧逆勝于順人見之曰逆行凡星在小輪下得一日逆行多寡與本天順行等謂之留今欲定此順逆之限所謂留限于次均表上(小輪之均)得一日逆行是與順行等(上三星以太陽一日之行減星一日之本行下二星即以太陽之行為本行)如土星本行一日為二分以太陽一日行減之得五十七分即于次均表求五十七分之行生二分之逆行(表上均數從○度漸長到某度後又)(漸少少則為逆乃小輪下半)查第一宫逓至二宫三宫均數俱漸長至三宫六度以後漸少又次均行查三宫二十四度求五十七分行之均數得二分即與本行等相均是小輪上行從極逺一百一十四度有竒左右人目實不見星之行是為留之二限上論用土星平行得距本天最髙為九十三度中距之數也若在本天最髙或最卑其一日之行有多寡以逆行補之不能定小輪上一度而為恒限因各星有本行定其留行之限用前法求之土星在最髙一日行一分四十七秒在中距行二分在最卑行二分十三秒他星倣此得各星三限如左土星一限(最髙)一百十二度三十八分 二限(中距)一百十四度 三限(最卑)一百十五度二十一分算日得第二平限為一百一十九日十三時一十八分木星一限(最髙)一百二十四度八分 二限一百二十五度四十五分 三限一百二十七度十九分算日得第二平限為一百五十一日八時五十六分火星(火星亦繇太陽之行不能全定其限略得其近數)一限為一百五十七度三十七分 二限一百六十三度二十分 三限一百六十八度五十六分算日得第二平限三百五十三日二十時五十四分金星一限(從順合伏)一百六十六度一分 二限一百六十七度十分 三限一百六十八度十五分算日得平限為二百七十一日三時三十分水星一限一百四十六度五十分 二限一百四十三度五十五分 三限一百四十六度算日得平限為四十九日十時五十三秒以上皆平行之限也若實限則不能一定葢以太陽平視二行亦非一也法曰推算星之經度二三日相比得其不行為留若尚行則前後再相比之凡以太陽平行為五曜行之規可得五曜留之定限然本法以太陽實行為規故不立留限之表以前法算之會聚説(第五章)會聚者是二曜同度也同度有二或經緯皆同或同經而不同緯有曰翔曰食曰合伏曰犯曰凌曰掩諸義詳著篇首但各類有平會實會視會平會者是二曜因平行得同度未用均數加減(月于日名經朔)實會者因各曜加減諸法得天上真會然人目未見會故第三曰視會第一第二以天上平實二行相分二三以天上之行及地平上之行亦相分在月與日便得其交食之數説見本厯而諸曜亦同此理下文略舉其法言之推算諸曜會合時刻其法有二其一以本表求平會之時刻而以均時得實會視會之真時其一至各曜細行在某日子正同度者為實合若此時細行未同度則以相近度分變為時刻加于子正時刻亦得會合之實時但先法是本法更密更細次乃捷法(先置有一年各曜之細行)雖便于算然不能得其細(在日月會朔或差幾刻若他星亦不甚差)二法各有説算諸曜合會表説(第六章)月會日而再會其中積謂之朔實求朔實法以太陽一日平行減太隂一日平行得十二度有竒為法以周天三百六十度為實除之得二十九日有竒設以平朔日時刻如朔實得次平朔他星如日月其互相會合法亦無二如土星一日平行二分木星一日平行五分相減得較為法周天三百六十度為實除之得十九年有竒乃土木二星再相會之中積也他星倣此又此中積時求各星之平行得本天各在同度分乃疾行者已滿天周而外有遲行之度分則又以先測二星之本處求測時之平行以加減求合應推算土木會合中積之率土木二星七千二百五十三日有竒相會合時以表求平行得土星本天上行八宫○二度四十二分三秒木星此時滿一周天又行八宫有竒各曜會策土木再會中積為七千二百五十三日十三時弱土火中積得七百三十三日十二時四十分土日金水得三百八十七日六時強土月二十七日八時五十分木火八百一十六日十時三十五分強木日金水三百九十六日十一時三十分木月二十七日九時五十六分火日金水七百二十六日十一時四十六分火月二十八日十時三十六分日月二十九日十二時四十四分二星會合圖説 設土木二星如上為式(第七章)如圖外圏為黄道内第一圏為土星天第二圈為木星天第三圈為太陽天置土木日俱會合于甲木星一年約行一宫十二年滿天一周而回元處甲(如置甲于降婁宫初度等)土星一年約行十二度十二年方行四宫二十六度到乙木星加四年之行亦到乙而土星此時又行四十八度至丙木星追上會合如前所云俱在八宫○二度有竒此時太陽之行已滿天周十九次外又行十宫八度十分矣内減土木二星相會宫度餘二宫五度二十八分是土木二星各距歳輪極逺之處也(餘倣此)上論用太陽平行定歳輪之行本厯用太陽視行其差或有二度又二星加減雖為同類然均數不得一其歳輪同度之均數亦不得一故所定乃平行之會合非人目所見之會合二星再會之中積數見前然非于元處再會今欲得會于元處之中積問該若干法曰以再會宫度倍之又倍以所得數減去十二宫而盡如上八宫三倍之得二十四減去十二宫無餘數即會合中積以三乗之得二一七六○日有半(約三十九年半)又以三乗八宫二度四十二分三秒減去全周餘七度六分九秒俱化為秒而除全周得一百三十三次又三二四一分之九四七則以一百三十三乗前日數二一七六○所得數以歳實除之得七千九百九十九平年又六十四日乃土木二星再會合于元處度分也諸星皆可依此法推之然無闗大用舉其一為則爾求太隂一年會合諸照法(第八章)先以本年首朔日數加紀日之數并得冬至後第一平朔日時刻隨以日月引數查表求均數兩數如本號或相加或相減即以所得度分變時或加或減于首朔之時則當實朔之時(若交食再算葢所算未細或有盈縮時之一刻但算會朔可不必細)若于首朔加一平月之諸行(表中名朔實)則得冬至後第二朔會一年中如之若加半月之行(表中名望策)得冬至後第一朔後月望之時用均法得實望第二第三法亦如之若以首朔加一象限之策得首朔後弦日時刻又舉朔實以三以六分之則得隅照六合照之諸策以加于首朔乃得平隅照平六照之時若求其定時亦用均數然依月離諸論月朔望時以一均數能得其實朔望外則有他均數故交食表不能全定日與月諸照之日時分也次法用日躔月離兩表取某年日月各表厯元用加減各表得某年冬至後日月之兩經度相減得月距日若干若距度為五照數之一必某日太隂于太陽有某照若較數未合照數則于近數相減以所得數于月距日平行表内變時而加于厯元日置日再算日月經度相減或得五照數之一若近則于太隂時刻表中求時以加以減乃得真視照之時若某年首得日月一照之日時以加各照之平行再查表求各照之時刻如崇禎六年冬至後子正(表上為甲戌年根)日平行距冬至二十六分四十七秒四十七㣲以均數求實行得十四分半即星紀宫初度十四分半本年月表依法算得距冬至平行為八宫十一度十九分五十秒即二百五十一度有竒未合照數因取近為隅照以後數二百四十度加一日行之度分内減隅照數得十一度五分二十秒乃因平行月已過隅照之界或以下弦數二百七十度比之得月平行未到下弦為十八度五十四分四十秒查月行表約得一日又十時則于厯元日月平行各加一日十時之行而均之斯得月未到下弦之界以此再試之末于厯元日加二日之行算得太陽躔星紀宫二度十七分太隂在九宫一度四十分減去日行數餘八宫二十九度三十七分乃月距日之數到下弦其數尚少二十三分變時刻四十二分約三刻即甲戌年根後二日為壬子日子正後三刻月距日順天為九宫乃下弦之數也若加月平行三十度之日時刻再算日月各經度求月于太陽若照時刻則逓加逓算乃得一年諸照日時刻若設某日命算某照法如前先于所設某日求日月經度相比或盈或縮于某照之度數如上加時減時再試但所得為平時刻宜用日月均時表或加或減乃得本照之定時(法見交食)上言以每日七曜細行求合朔諸照法見五緯表用法今略釋其根法曰以相連兩日二曜細行互減為法次二曜未相合所少數若干以二十四乗之以法數除之得時數(分秒)(先細化之方合算)加于子正得合朔諸照之時此三率法也如圖置甲乙為二曜如甲一日行甲丁弧乙行乙丙弧兩行之較為丙丁乙丙丙丁各作四平分置半日行乙行到戊甲行到戊外有較之一半丙庚(甲丁線任分之全線之半等幾其各半與)(何法也)若用四分日之一亦宜分甲丙丙丁作四分各取四分之一今不用甲丙乙丙分數而用丙丁分數得疾行者比遲行者所盈之度時全較數為一率一日時刻分為二率未相合之分數即交行之分數為三率入法得某時刻七曜互會合之數(第九章)古多禄某乃天文家所祖其所定七曜會合有一百二十如土星會木火日金水月則土星有六會合木星有五火星四太陽三金二水一共為二十一若取二星并而合于他星得三十五若取三星并而合于他星亦得三十五若取四星并合于他星得二十一若取六曜并合他曜得七又七并合一處得合之六類共為一百二十是七曜互會合之數若求其各會之中積則太繁賾未能罄書也諸曜細行表説(第十章)細行者是人目所見各曜一日西東運旋進退之行皆謂細行以兩曜一日之細行可推其會照之時刻又查一各曜之細行皆可推其躔度此厯家切要之法所宜詳也求細行法有二其一以算得某曜相連二日之行相減則得某日之視行然有一日之行又有一時之行如日躔有表曰細行變時乃設太陽一日之視行因以所行某分數可求其時刻若干又以某節候定太陽之行若干其用以求太陽入宫及交節之時今以求各曜入宫宿之時刻并求相會合及凌犯恒星之時刻則于日躔變時同類之表為喫𦂳也(其算法見本表名七政凌犯表)五星極㣲之行是○度○分○秒乃留而不行也其極大之行數有多寡不一如一度五十五分乃水星一日極疾之行若作變時表即設此一日一度五十五分之行析作二十四分得每一時應行若干(用度分俱化作秒以二十四除之次欲得刻數如法以九十六除之成表)二法以加減表從最髙一日之行均數加歳輪從極逺起一日所行度分之均數是得一日之細行如土星一日平行二分其均數為六秒三十微又歳輪一日約行五十七分求均數得五分三秒先均號為減則于一日平行減之次均號為加則加之末得六分五十八秒三十㣲是土星在兩輪最髙一日之細行因其行極㣲可隔五度一算成土細行表此大約法諸行如之右法因用歳輪一日平行其㣲毫之數不能悉葢歳輪上行繇太陽視行而生則又非平行而有多寡然于五星細行所差不過㣲數亦得作表問火金二星之行其極疾退時或但見緯行不見經行比土木更順其所以異者何也曰火金二星其小輪比土木更大與他近逺甚差其小輪一度行黄道上所掩之度分亦大差如火星在本天最髙小輪極逺一度掩黄道二十二分極近一度掩黄道一度三十分上下相比得一與四又置火星在本天最卑小輪一度上掩黄道二十六分下掩黄道二度三十五分二數之比得一與六金星亦同此理故在上或下見其細行如無法者二星緯限大于土木約火星有七度弱金星得九度強其留時前後一宫經度亦行遲星在此處依視法其緯行見大比經行一日分數更多故見如往南往北之行若不見往東往西之行土木二星行遲小輪不失緯限亦少故不見有異行之類算留逆順諸行式 以木星立算(第十一章)崇禎七年十月内木星當晨留今求其晨留及退行并夕留順行之時與二留之中積法先于九月推算木星之經度隔十日一算得十日中經度若小則知此十日内其行為留又每日再算其經度得相連二日不加不減乃名為留(時刻不算葢此一日之行在一分下一時)(不過數秒可略之)其衝太陽并夕留亦隔十日一算與上法等九月初七日庚申距根三百一十日以法求木星經緯度得在鶉火宫三度九分三十秒(表中為七宫)緯北為十九分三十秒越十日庚午算經度得在本宫三度四十分再十日庚辰得四度五分又十日庚寅得四度二分二十八秒此數比前為少則知此十日内有留因取其中乙酉日算得四度六分三十六秒此數比庚辰為多則取前後相近㡬日再算得甲申日四度五分三十秒丙戌日得四度六分七秒丁亥日得四度五分三十六秒則定乙酉日為木星進退之界是為晨留乃十月初二日也(大統在前十二日)又本年九月三十日癸未在局用天弧矢儀測得木星距軒轅大星(表上為第十四星)相距為二十度四十分軒轅星經度為七宫二十四度四十六分内減相距之度得四度六分是為木星之經度測算合又兩星之緯皆向北軒轅緯為二十七分木星緯為十九分不大差二者如在一圏上可用為法求木星衝太陽依法算得十一月初二日乙酉太陽在一宫○度三十六分五十六秒木星在六宫二十八度四十分五十秒以正衝差一度五十六分乃太陽已過衝以太陽一日距木星行一度九分四十七秒(木星逆行故兩細行)(并之為相距行)求衝之時得一日又五時三刻以乙酉減之得壬午日酉正一刻乃木星實衝太陽之日時刻也又求夕留依法算得八年乙亥正月乙亥日(距根為八十日)太陽躔二宫木星在六宫二十四度五十四分二十九秒次日丙子得在本度五十三分二十七秒仍為逆行再算得壬午日得本度四十九分二十九秒癸未日得四十九分二十秒甲申日得四十九分四十三秒比癸未日數多二十三秒則甲申日順行癸未為夕留二留中積為一百一十八日系二留中積折半非衝太陽之日葢從晨留乙酉日到衝太陽日壬午相距五十七日又從衝日壬午至夕留癸未相距六十一日二留之限差四日五星過宿(附日月過宿) (第十二章)宿者是從某距星到他距星之度分也此度數非二星體相距之度乃黄赤兩道上相距之度如從黄道極過二星作二弧割黄道相距若干則得某宿黄道上之距度若從赤道極過二星作二弧割赤道相距若干則得某宿赤道上之距度各宿黄赤二道上積度(從冬至或春分起算)及距度不一厯書中有其故又古今各數見恒星厯如角宿黄道積度為一百九十八度三十九分赤道為一百九十六度二十六分本距度黄道為十度三十五分赤道上為十一度四十四分他宿各有多寡不等如此凡問某星入宿先宜定黄赤之辨不可紊也論黄道宿五星與日月及交食用法無二五星有緯無緯所差有限(有緯時非眞在黄道惟土木二星不逺火唫大緯或有六度但二星在本天二交之中與黄道如同升其)(差極㣲如兩至左右升度之差為細不算)故或用起宿宫度或用宿積度皆可論赤道宿則有緯無緯之異若無緯者(七曜同論)以黄道經度求赤道同升度即為某曜赤道上之經度以近小赤道經度宿減之即得某曜躔赤道上某宿之度如圖星距春分三十度在黄道丙從赤極作丙甲弧定乙甲弧為星赤道上距春分以升度表求之得二十七度五十三分黄赤差二度七分以三十度求黄道宿得婁宿一度十四分(用厯元表)以二十七度五十三分求赤道宿得四度二十一分黄赤二類差三度弱若有緯之星(月亦同論太陽非是)上法不足如圖置某星黄經為乙丙三十度緯北五度星體在丁從赤極過丙作丙甲弧此弧不過星體又從極作過星體之弧為丁戊是戊乙弧為赤道上星之實經度此兩道差有表可求戊乙弧測量及恒星厯俱詳其法如設某星黄道上經緯度求赤道經度今略舉一法如後圖圖有黄赤二道有二極某星在乙黄道北若干度從黄極丙作丙乙己弧又從赤極丁作丁乙甲成丙丁乙三弧形夫形有丙乙弧是星從己黄道經至乙某度之餘數有丙丁是二極相距之度分又有丁丙乙角是某星黄道上距某至之經度(圖減)(從夏至算則右從冬至星在冬至右算亦然)或用己(黄道上星之經處)壬弧或用丁丙乙角(角與其對弧同度)皆可求丙丁乙角法曰從乙到丙丁弧作乙庚弧庚為直角先用丙乙庚形夫形有丙乙邊有丙角求庚乙丙庚兩邊次用丁庚乙形夫形有庚乙有庚丁(庚丙内減丙丁)二弧求庚丁乙角夫角負辛甲赤道上之弧從夏至起算則曰某星體在乙其黄道經在己距至為己壬弧其赤道經在甲赤道經為辛甲壬己辛甲二弧定兩道上各相異之宿度分算五緯犯恒星式(以木星犯鬼宿積尸氣為式第十三章)崇禎七年閏八月報木星犯積尸氣又曰十一月再犯又曰越五月又犯今列其法一本年閏八月二十七日庚戌求木星經緯度得在鶉火宫(七宫)二度十二分五十九秒(圖式見下)緯北二十分十一秒依算未到積尸氣為三分又在積尸氣南五十六分然氣體非一㸃有二十分餘徑又木星有二分餘徑各折半并之得十二分減于緯距得四十四分乃木星氣體相距之分數為相犯之限也如交食非心與心乃周與周相交謂之食欲得同度之真時則求木星一日之細行得四分四十二秒經距之三分變時得十五時則庚戌日申初為木星真與氣體同度(黄道上算)系木星日行遲或前或後二日皆可言犯葢在其限内故曰二十四日初犯二本年十一月初六日戊午求木星經緯度得七宫二度十分十九秒因逆行過積尸氣為六分退算減一日細行四分半得丁巳日經距星為一分五十秒(星經為十六分四十秒)變時得十時以丁巳日減之得丙辰日未正為木星與氣體黄道上同度求木星緯得向北三十二分弱積尸氣在北為一度十四分各因在北相減得四十二分是木星積尸氣両心相距減各半徑得體相距為三十分在犯限内三崇禎八年四月二十三日壬寅求木星經緯度得七宫二度七分五秒未到積尸氣少九分(一日細行為十一分)得戌正為同度求緯得向北三十九分距氣為三十五分其體相距為二十三分算式圖列後崇禎七年甲戌閏八月二十七日庚戌(木星犯積尸三百日)崇禎七年十一月初五日丁巳木星逆行犯積尸氣崇禎八年四月二十三日壬寅(木星順行再犯積尸氣距根一百六十七日)諸曜凌犯恒星(第十四章)先于恒星表内取在黄道南北八度内諸星而録其順天之經數(從冬至起每年距限分數若干如數加之)次以某曜某日之細行入恒星表求本宫同度近大經度星相減若較數比某曜一日細行為多則本日非犯若少者必到同度查緯向亦是同度必為食為掩若緯度相距算在四十二分内謂之犯(中法用七十分通之得四十二分)若兩相切則為凌欲得凌犯時刻則以恒星經度分減本曜經度分所得較數查本曜細行表求時以加于子正時則得某曜凌犯恒星之某時刻若二緯南北相距一度以外不算又恒星五等以下亦不算因其光㣲五星凌犯時不得見故可略也五星見不見之界(第十五章)大隂西初見東初伏之故詳見月離厯指五星略相似第星體小在太陽之光内比月難見今借古論略解其要多禄某曰先宜求太陽在地平某星相距若干人目能初見否次求星黄赤兩道上距太陽若干三求各宫近逺太陽若干亦依人目可見四立成表以便算初見不見之界共五題圖説置星在黄道上無緯度又置星出地平初見在乙置日未出地平在丙星距日經度為乙丙距日光為甲丙葢日在丙地平下其朦光未勝星光而人目得以見星也(圖見後)古測土星初見曰凡土星在鶉首宫可測其與日相距之度葢本天正交在此宫内其左右數度無大緯差又合伏前後數日小輪之行緯度亦無大差凡星無緯度即在黄道上木星之正交亦在此宫若火星在大梁宫金水亦在鶉首宫測之又測因定得土星出太陽光即太陽在地平下十一度得見木星約十度火星十一度半皆得見但人目有利鈍此乃略法非人見共見之公法金水二星有夕初見夕初伏有晨初見晨初伏大槩金星距日五度水星距日十度人目能見(金星或亦有晝見葢其光大不)(在此限内)設五星無緯度者在本地某宫求五星經度距日若干如圖(多禄某曰日星之行皆弧線宜用曲線形然無大用且算繁難用直線行簡易亦無大差今用之)甲乙丙直角形有甲丙是星距日光或太陽在地平下各星有本數有甲乙丙角(是星黄道上某宫度于地平之角見交食黄平象限表用)(法或用太陽經度以求甲乙丙角所得非定數然差㣲不算)求乙丙邊之度分乃某星經天距太陽若干如土星在鶉首宫太陽躔鶉火宫初度土星晨時初見如極出地四十度(順天府)求乙角得五十八度五十分甲丙為十一度用法得丙乙為十二度五十二分是土星晨初見距太陽經度若求夕初不得見求在西乙角得三十四度三十分求乙丙得十九度三十六分是昏時土星距日經度之數而為見之末伏之初若極出地有多寡假如極出地二十度則末見為十一度初見為十度有竒若極出地六十度則初見為十九度末見為六十餘度他星倣此依法可推各星見伏各宫度之表若星有緯或南或北某度亦可求距日若干及初見或末見如圖丁為星戊為星黄道上經度緯北戊丁弧求戊丙是星經距日若干戊丁乙甲丙乙二直角形皆為同比例(各有直角各用乙角見㡬何六卷四題)先得甲丙丙乙乙甲三腰之比例(先設甲丙以法求丙乙又以句股法可求甲乙)今置丁戊若干求戊乙(丁戊當甲丙戊乙當甲乙丁乙當丙乙)或丁戊丙形依本法有乙角及丁戊邊求戊乙若干以丁乙減乙丙得戊丙是星初見或末見距日若干若緯南星在辛其經度在庚亦先庚辛乙形而似甲乙丙形如前求庚乙弧而加于乙丙得丙庚是星初見末見距太陽之經度假如崇禎七年冬至前七日土星合伏太陽(距一二日不碍算)約合伏前十日太陽距析木宫十四度土星在析木宫二十四度緯北一度二分先求丙乙得十七度二十二分又求戊乙(丁戊一度二分用乙角餘切線)得一度十九分減之得戊丙為十六度三分為土星本年距太陽不見之限若求初見置星合伏後十日太陽躔星紀宫四度土星在析木宫二十四度求乙角得四十四度求乙丙得十五度四十四分求乙戊(如上所差㣲)一度十九分減之得土星晨初見距太陽為一十四度二十四分(太陽前後一度乙角或差)(二十分以求乙戊或差一二分)推每歳月大月小之原(第十六章)天厯紀月有大有小從太隂太陽合朔始葢首合朔再合朔其中積曰經朔或曰平朔此朔策為二十九日有半若真合朔則于二十九日半或盈或縮其中積年久不得相同如置甲為首朔用轉終或引數為○宫度分或月在最髙次月以平行必相距二十五度四十九分查加減表得二度七分又太陽一平策約行二十九度查均數(置在最髙)得一度以此二均數并之得三度七分變時得二十六刻為六小時半(用月距日行一十二度算此大數非細算詳見本論)若月在引数三宫左右求朔䇿均得○度三十七分以太陽均減之得三十三分變時得一時系三正合朔中二積大差約六時半小差為一時或二月相連大小之較大為六時半(二十六刻)小為一時(四刻)以上月大小之論乃厯家從天測算真原今民厯所云月大月小非本於此月大者是兩合朔内中積有三十箇子正或二朔日干字相同如首朔在乙夘日亥時加朔䇿並其均得次朔在乙酉某時此月謂之大盖二朔日午字皆同乙或其中積有三十箇子正月小者是兩合朔内中積無三十箇子正或二朔日干字為異如首朔在乙丑次朔在甲午其中但有二十九日謂之小系月大月小之根非由於時之長短一月有長時反謂之小如首朔在甲子日丑時加二十九日七十八刻(兩朔中積約之為大)得次朔在癸巳日戌時而謂之月小盖以次朔非同甲日也一月有短時反謂之大如首朔在甲子日亥時加二十九日二十二刻(兩朔中積為小)得次朔在甲午日丑時而謂之月大葢以次朔于同甲故也一所定月大小之法非公法因非從天測乃繇方所而定如順天府首朔在甲子日子正一刻到次朔西安府在癸巳日子初三刻順天府前月為大西安府為小(朔之時刻)(往西為少往東為多)一大綂法月之大小皆從順天府定今新法亦然葢以順天府為推算厯元之地定每月節氣及閏法(第十七章)大統有各月中節具見民厯然節氣有二類有平節氣有實節氣平節氣者為十五日有竒乃平分歳周二十四分之一分也實節氣者乃天上太陽所行之節以天周三百六十度作二十四平分各得十五度(平節氣謂之地節氣實節)(氣謂之天節氣)然太陽行此十五度冬夏日數不同冬月約十四日十六時夏月十五日又十九時是歳周二十四分有盈有縮此測太陽在天之行實節氣日不得平分也問閏月如何曰無宫次之月是閏月天上十二宫為一年十二月各月有定宫次如冬至在星紀宫為十一月之中節大寒在𤣥枵宫為十二月之中節若一月之中積内太陽無入宫次謂之閏系若用實節氣以定閏月則夏時多冬時少葢冬至二十九日三十二刻太陽行一宫此數于二朔之小中積相近夏至太陽約三十一日行一宫比二朔之大中積更多其中有二朔葢合朔大數不過二十九日八十餘刻也新法算書巻四十三
## 卷四十四
欽定四庫全書
新法算書卷四十四 明 徐光啟等 撰五緯厯指卷九(五緯後論)五緯之理最奥且賾故各有本指以分解之又復有總論以合明之然猶有所未備也因著為後論以補其遺而于奥賾終難窮盡凡十二章五緯天各距地(第一章)月離厯指第二十六章求月距地之髙其法有五又求太陽距地其法有三皆以地半徑為度又各法因髙差(亦名)(視差地半徑差等)或日月交食為本恒星厯指三卷中亦測恒星之逺借用五星之測略定土星之髙并亦得恒星在上之髙今因五緯無視差(土木二星)(甚逺其視差不過數秒如無差難測水星常在蒙氣中亦不能測火星或有視差然不足為測其髙之本説見)(下)欲測其髙法有二算或用古圖或新圖各有本論如左左右圖以地為日月五星恒星諸天之心設諸曜各居一層天其厚内函有小輪(亦名歳輪)各層相切而無空又各層上下有兩面下内為凹上外為凸各天之厚因函小輪其小輪于地有近有逺如兩心差之理則各天之厚為小輪全徑及兩心差之倍分數(謂分數者)(葢各有均圏于最髙減距髙去兩心差之㡬分)圖上各天小輪比本天許小以指外有兩心差數本厯測各星小輪及兩心差定本天半徑皆為十萬分若加小輪半徑及兩心差數必得其最髙距地若干若減之則得最卑距地若干如圖系凡設一層天上面距地若干度(以地半徑為一度)必得次層下面距地之若干度葢兩面中無空隙又設内面所距若干度及次層上下兩面距本心比例以三率法求之并可得其厚距地之度法曰依内面距本心多寡分數得度多寡則上距分之某數必亦可知其度月離設三家之數以測定其距地之度今所為第谷法曰太隂大距地為六十地半徑有六十分之三十六或百分之六十水星天兩心差為六八二二(十萬分為全本天半徑下同)小輪半徑為三八五○○兩數并之(水星均圏法凡在最髙不減其距地見本厯指)又加半徑(全數)得一四五三二二乃水星最大距之數又前兩數相并於全數内減之得五四六七八乃極近之數也置極近數為六十度有六十分之三十六乃月天極髙數也以此度數或約為五分之三乗極髙之數以小距數除之得一六一乃水星天上面距地之度也金星在水星上則其下面距地為一六一(竒零不算)設金星兩心差為三二○八用其半因有均圈用其半他星倣此為一六○四小輪半徑為七二二四八兩數并加于全數得大距數為一七三八五二又兩數相并減于全數得二六一四八為近距之數法以内面距度之數乗大距數以近距數除之得一○七一乃金星外面距地之度數也太陽有本法求其中距地得一一四十二地半徑諸家小異以求大距或用均圏(見日躔厯有表)或不用均圏兩法略差今不用只因太陽兩心差求之得近距為一一○一逺距為一一八二問太陽天内面切金星外面是也今因太陽本算其内面盈金星外面三十度兩算不合何也曰此測難求其密其較雖盈三十度以全數計之不及百分之三數則小矣又曰所測定各天之數皆以日月星諸體之心為測其體之厚未嘗入數必月及水星金星各數略大而後算始無差又曰所用之數乃新圖之數不謂各曜各麗一天而相切故其數于此論不合或曰星體到本天最髙在此其天或仍厚㡬許要未可知所定之數亦其大略而已火星兩心差為一九六○取五分之三(均圏心距地心為三分不同心圏心)(距地心五分)為一一七六○小輪極大半徑(有盈有縮故用大數)為六五八○○兩數并之加于全數得逺大距為一七七五六○兩數并之減于全數得近小距為二二四四○用法以太陽大距數一一八二乗火星逺大距數以近距除之得九三五二乃火星外面距地之度數或木星天内面距地之數也木星兩心差為九一六○用其半得四五八○小輪半徑為一九二九四兩數并加全數得一二三八七四乃木星逺大距數兩數并減于全數得小距數為七六一二六依前法以内面乗大距以小距數除之得一五二一七乃木星上面距地之數或土星下面距地之度數也土星兩心差為一一六二八用其半得五八一四小輪心半徑為一○四二六兩數并加于全數得一一六二四○乃土星大距數也若以前兩數并減于全數得小距數為八三七六○依前法乗除得二一一一七乃土星上面距地之數或恒星天距地之數也右算皆用古圖以明今測之數然亞耳罷德于唐僖宗廣明右算得水星本天中距地為一百一十五度金星中距為六百一十八度火星中距為四千五百八十四度木星中距一萬○千四百二十三度土星中距為一萬五千八百度恒星中距為一萬九千度因各星距地及其體之視徑亦并可推其大小下有本篇用新圖算各星距地(第二章)新圖以地為太陽太隂恒星所行之心别五緯以太陽為本行之心又土木火三星以太陽所行之圏為古法所謂年歳圏即上所用法今非其真因用本法又新圖不言各星各有一天而強星在本重之内但各所行之輪或相切或相割耳土木火三星以太陽為本行之心又因其心從太陽即以太陽所行之輪為人目所見每年各星之行(見本厯指)欲知小輪于本天及兩心差各數比例則設太陽距地若干可得各星距地若干如圖設甲乙(日距地或小輪半徑)乙丙(星本天半徑為全數)及丙丁(兩心之差)又設甲乙為若干度依法可得乙丙丙丁各線之度并之得甲丁乃星距地之度也上三星之法無二今置土星各圏之數如上用三率法甲乙(小輪半徑)為一○四二六得距地為一千一百四十二度(太陽中距度)今乙丙全數(本天半徑)得若干算得一○九五三有竒又丙丁五八一四(兩心半差)得六三六以甲乙乙丙丙丁三線之數并之得一二九三二度或地半徑乃土星大距地之數也若于乙丙全數或乙戊半徑數内減去甲乙及戊己(與丙)(丁等)一七七八得九一七五乃土星近距數若求其中距地(引數為三宫九宫)得一○五五○木星用法如上求得大距度數為六一九○中距為三九九○近距為五九一九火星用法求得大距為二九九八中距為一七四五近距為二二二下金水二星因不圍地球其算法與上三星略不等如圖甲乙為日距之線或小輪心距地之線乙丙為小輪之半徑以乙甲加減得大小兩距之數金星兩心差半之得一六○四并加小輪半徑得一七三八五二用法乙甲全數(本天半徑)得距地二四二度今算乙丙分數得度為八四三以加于甲丙得一九八五乃金星距地之度數也若減之得三百度乃近距之度也水星以法求之得大距度為一六五九小距為六二五度以上因其度數可推各距地之里數葢以地半徑為度有一度之里數因可得各距之里數置地半徑為二萬八千六百六十二里以各星距地之度乗之先用古圖數月距地小數為六十萬七千六百四十六里有竒大距數為八十六萬七千里有竒此古今小異水星小距數與太隂大距數等其大距數為四百六十一萬二千三百二十八里金星大距數為三千○六十七萬二千○○八里太陽中距為三千二百七十一萬六千○一十六里大距為三千三百八十六萬一千九百三十六里火星大距數為二萬六千七百九十一萬六千○九十六里木星大距數為四萬三千五百八十五萬六千六百一十六里土星大距數為六萬○四百九十五萬九千八百一十六里恒星依法切土星上面則得其距地之數若用新圖推算亦可得各星之里數五星視差(地半徑差第三章)各星既有距地之度數則可知視差之分數借日躔視差圖以明之甲地心乙人目丙為某星甲乙為一度若知甲丙邊之度則可得乙丙甲角乃視差角也(甲丙當全數甲乙為)(切線)依古圖得各星視差如左(設星在地平求其視差地平以上若星更髙其差更小在)(頂無)月近地視差水星距逺視差為二十一分金星距逺視差與太陽距近差數等為三分七秒太陽中距為三分大距為二分五十四秒火木土三星其視差皆不滿一分故不算若用新圖日月各視差無二金水二星中距與太陽為近金星距逺視差為二分弱極近距為十一分水星大距亦為二分小距為六分上三星之差亦㣲但火星在極近之距即太陽之衝其差為十五分葢其道切割太陽之道而于地更近以上視差之數日月以外難測難定是以各家不合且不常用故不設表五星體視實兩徑(第四章)測日月視徑實徑見月離及交食諸書皆有本論但日月體大可用儀器測定五緯體小測之為難惟以人目所見或于日月相比以定其視徑後以近逺之數求其實徑大小相比等數亞耳巴得其學本多禄某有曰水星中距地之時(本算得一)(百一十五度)其視徑比太陽視徑如十五分之一即天度(周天)(三百六十度之度也)之二分金星中距時(本算為六百一十八度)其視徑為太陽視徑十分之一即天度之三分火星中距(本算為四千五)(百八十四度)其視徑為太陽視徑二十分之一即天度之分半木星中距(本算為一萬○四百二十三度)其視徑為太陽視徑十二分之一即天度之二分半土星中距(本算為一萬五千八百○○度)其視徑為太陽視徑十八分之一即天度之一分四十三秒又星髙有視徑以法求實徑如圖甲人目(地心無異)乙庚太陽半視徑乙己某星半視徑其比例如乙己于乙庚若星在太陽如丙丁則其比例為丙丁與丙戊(丙戊當太陽視徑)用法得丙丁天上度之㡬分有丙丁分數則有本天周之分數因周與徑之比例(見測量全儀五卷中)甲丙半徑得地半徑若干則其周得若干以周之某分若干得各星比例半徑大小又以各星同類之分數求其容(見月離三大比例)依法算得水星體比地球小為一萬一千分之一分金星體小于地球為三十六分之一分火星體大為一地球又三分之一木星體比地球大為八十一倍又曰九十五倍土星體大于地球為七十九倍又曰九十一倍恒星六等之大小見本厯指用新圖求各星大小新圖以太陽為五星之心金水二星或在日上或在日下與古法大異第谷曰水星視徑中距時(一一五○度)為二分○十秒其實徑與地徑為三與八則其體小于地球為十九分之一于古法甚逺金星視徑中距時(一一五○度)為三十三分十五秒其實徑為地球徑十一分之六則其容為地球六分之一火星中距(一七四五度)視徑為二分弱則其實徑為地徑六十分之二十五強其體小於地球為十三分之一弱木星中距(三九九○度)視徑為二分四十五秒其實徑于地為十二與五則其體大于地球為十四倍土星中距(一○五五○度)視徑為一分五十秒其實徑為二地球徑又十分之一則其體大于地球為二十二倍若欲以里數求各星之大則先求地球之容得里數次依各比例數求之(見月離三大比例)問古今兩數相懸何者為確曰各有本論然以金星證之見其繞太陽亦有弦望之異覺新法為凖(見五緯總論)五星光色(第五章)月以光以魄知其光非本體之光乃所借于太陽之光金星亦然葢以逺鏡窺之見其體亦如月有光有魄故也他星覺無所倚然以相似之理論之亦可謂其光非自光乃如月與金星竝借光于太陽者也問五緯之光既皆為日光之分乃其色各不同者何也曰如鏡如水如金諸能發光之物咸受太陽之光而所發之光皆非一色葢亦繇本體之色所染故也然則五星之色亦各為本體之色從日光而發見耳五星本體之色從其各類本質及其面之平與不平或其體之虚實堅脆等勢所發加利婁曰凡大光照某體能發光之類其所發之次光非全受本體之色而變為他色如大光照黒體(若鍊鐵)其所發之光為紅色如火星(以此西名火星亦謂之鐵星)若照淡紅體其所發光色如木星(紅銅色為淡紅故木星亦名為銅星)若白體其發光色如土星若黄體其發光色如金星若青體其發光色如水星試以黑鐵等類煉之細閲其光色必如上又曰星色非純從目審視可見乃知各星亦非純質也(見格)(物諸書)五星時有顫動其理與恒星無異或空中浮氣之游移或自體閃爍如燭光之揺又或人目之缺五星中厯考(第六章)按中厯舊法自古迄今修訂諸家皆以測定太陽太隂之行為本而五緯次之今新法亦然但求真切不差之理須闢從來舛謬之根故著為日躔考及古今交食考以備叅證而五緯行度之差舊法之因循更甚尤宜講求今訂其謬于左一日測晨夕二留日時折半得合伏之日時非也解曰所測之留乃視行之行也星有視行有平行及均數先于視行以均數或加或減得平行乃恒定之行也星在留際有損分益分其中積大小原自不等此根有二其一從本天行所謂盈縮法此盈縮之數或繇小漸大或繇大漸小逓有加減其行非順如盈初十度與盈末十度損益差分非一從留初到合伏又從合伏到次留若度數等其均數必不等其二為二留中積時太陽之行亦非一如置首合伏在冬至太陽行疾次合伏在春分太陽行平第三合伏在夏至太陽行遲則星各合伏太陽其行亦各有多寡之異又如留初在盈厯次留在縮厯以視行得平行或先留宜減均數或次留宜加均數或二留均數皆宜加皆宜減難膠于一如圖置太陽在中其左右為二留際凡二留損益分為同類者太陽非在其中界若異類乃在其中界系二留之中積非一又太陽不在二留平行之中間則折半之說必不能得合伏太陽之真時刻故曰非也又按五星損益表前後度同而盈縮差非一如設星合伏前後五十度前五十度得某差後五十度又得某差差數非一則時刻亦非一又留際之日時刻最難測其真葢星繇漸而遲如先一日行㡬度次行㡬分以至㡬秒此時星在進退二行之中誰能别之若留際不測其日時刻而測天上别宿度分與之相比折半則得合伏之度分此因盈縮差段目非均非順則合伏前後視行果不如一前行疾後行遲欲得其真難矣二曰用表晷或簡儀以測五星非正當之法其一表晷非公法如水星晨夕距太陽極多為二十三度見時太陽下地平十五度(或多或少兹取其中)水星在地平上不過十度設表一尺圭應長五尺五寸若用表八尺圭應設四丈四尺如不便設是法非公也其二若用簡儀及赤道儀測五星亦不足葢五星所行非赤道亦非黄道其所測得五星在某宿度是赤道宿度非真黄道及本道度又星在南在北某宿與某宿相距之度非星之經度測時欲得其真有數度之差測五星正法(第七章)新法測定五星為本法厯元皆以恒星為本設五星與某恒星相距若干依法得其經緯度測星之儀為黄道渾儀及弧矢六合等儀(見恒星厯指)法曰先定恒星二星與某緯星相近用儀測其相距若干度分以法求緯星之黄道經緯度(見測量全儀九卷及恒星厯指)首宜密測者乃緯星衝太陽之時刻法曰如本日測得其星經度隨推太陽經度相距為天半周即為相衝之時若有多寡則測之又測務得其衝歳歳如此求之以兩測中積日所行之度相比則可得其盈縮差也(見各星厯)(指)次測晨夕二留留時推算太陽經度必得前後二留距太陽之日度多寡非一若太陽在某宫宿次星在某宫宿次相比得距太陽度數多寡取其大距數而以本法推之可成加減表(詳見五緯厯指)測星緯行古來無法新法用黄道渾儀比測恒星又求某星而變其緯或從南往北或從北往南得各星黄道上有二相衝之處定六宫為南六宫為北又測各星衝對合伏太陽及二留時之經度多測亦可得其緯(有本論)五星盈縮厯考(第八章)太陽有盈縮之限或疾遲兩行之界古法定在冬夏二至新法曰不然葢以今世最髙卑在兩至後六度為盈縮之限太陽于限近逺得均數大小而視行有差太隂最髙乃月孛也太陽太隂二最髙俱有本行而非恒星之行五星亦有盈縮之行有盈縮限及遲疾損益之界古法未認其本行而恒定于恒星某宿某度則非也此不合天之一根也又曰所定于某宿之度分亦非真盈縮初末等界如古法定木星在虚約四度或𤣥枵宫二十二度新法定木星二行之界在降婁宫十度他星各有前後(見本厯指)五星盈縮立成考(第九章)大綂厯分天周為二十二段以十一段為盈十一段為縮各段十五度有竒以三差法置各星盈縮大積度求得各段之均數今有可疑葢各星大均數多寡各有真數如云木星有六度半實不過五度弱土星有八度又四分度之一實不過六度半弱他星類此若中段所立之均數因三差法尤不足以得真數(見日躔考)此又不合天之一根也厯局新推土火金木四星會合凌犯行度(第十章)一九月初四日丁巳昏初新法推得火星與土星同度南北相距差一度五十四分大綂推在初七日同度 二法約差三日一九月初七日庚申夘正二刻新法推得金星與土星同度南北相距差三度三十分大綂推在初六日同度 二法約差一日一九月十一日甲子昏初新法推得金火二星同度南北相距差一度三十分大綂推在初三日同度 二法約差八日一閏八月二十四日丁未新法推得木星犯鬼宿内積尸氣一九月初一日甲寅新法推得木星在鬼宿二度有竒先於閏八月十五日巳入鬼宿初度大綂推在鬼宿初度先於閏八月二十四日始交鬼宿初度 二法約差九日新法四星經緯圖式列後已上五測本年八月十八日疏奏奉㫖臨期登臺公同測騐與本局所推悉合覆奏因命再測又皆相符今所繪木星犯積尸氣圖算悉照曩日進呈者其先後相犯時日及已經測騐過各星行度與大綂相去懸逺者約録于後以徵二法之孰疎孰密云崇禎七年十一月初三日木星以赤道于積尸氣為同度同分依黄道則于初五日為同度同分此日木星細行為百分度之十一迨十月二十日木星自鬼宿東南東北兩星中而入于本宿座至十一月二十日乃繇西南西北兩星中線而出鬼宿其木星體距積尸氣體為百分度之五十四而為犯八年四月二十三日木星以赤道于積尸氣為同度同分依黄道則于二十四日為同度同分此日木星細行為百分度之十九自二十三日午時繇鬼宿西南西北二星之中而入本宿座至本月三十日酉時繇東南東北二星之中而出鬼座其木星體距積尸氣體為百分度之三十八而為犯(云五十四三十八者即古書所謂五寸四分及三寸八分也)本年新法推水星三四五六等月俱晨不見而大綂載三月十八日晨見至四月二十一日晨伏迨本月會同監局屢測委無水星出見又新法推水星于七月二十五日晨見至八月二十三日晨不見大綂載八月初七日晨伏不見至九月二十一日夕見及公同測騐果于八月二十三日以前皆晨見本年八月十二日巳丑夜新法推木星會合軒轅大星依黄道算本月十二日夜即十三日子正初刻木星在鶉火宫二十四度三十九分緯北五十分軒轅大星本年在鶉火宫二十四度四十七分緯北二十七分本時木星在出極一直線上未及軒轅八分而南北相距約二十三分依赤道算本時木星在張宿四度○分是日與軒轅大星俱在出極大綂載在張一度與新法約差三度因于本日公同登臺測騐果測得水星與軒轅大星同度同分本年八月二十七日測木火二星同度以黄道算本日未時二星會同于鶉火宫二十七度二十六分火在北三十分依赤道算二星在張宿六度三十三分至子正時二星皆在出極一直線下距夏至為五十九度五十分大綂推此日木星在張宿四度火星在張宿三度相會合在二十九日則木星差二度半火星差三度半會合差二日○又是日夘正初刻月與木同度月在南三十六分然因視差算得寅正二刻月木火約同度(用直線過月之)(中心)至本日子丑時隂雲監官未到迨至寅時天巳開霽本局官生親測得月木火皆為一直線本年新法推金星八九等月俱晨見至十月初三日始晨不見大綂載九月初九日晨伏則此後皆不見時矣及九月十七等日會同公測委見金星曉出又新法推水星八月二十六日晨不見至十月初六日始夕見大綂推九月二十一日夕見至十月二十四日夕伏不見則前此皆見時矣及九月二十八等日會同公測委無水星出見九年二月十二十三十四等日大綂推木星在張宿二度舊法謂軒轅大星在張宿三度又五分度之一則此時木星該見于軒轅大星之西一度弱新法推此日木星逆行將留在張六度又六分度之一新法謂軒轅大星在張四度則木星在東軒轅大星在西相距二度強至測時木星果在軒轅大星之東本年新法推水星自二月十二日至二十六日嘗見大綂推本日夕伏後此皆不見共差十四日迨部監同測委見水星未伏本年大綂推火星從三月二十七日起至五月初八日止夕退夕留夕遲共三十九日嘗在軫宿十六十七度内新法推此時火星嘗在角宿一二三度内逆行不入軫宿是舊法差四十日而宿度亦差三度矣且據舊法推在軫宿則火星當在角宿大星之西新法推在角宿則火星當居角宿大星之東及疏請親覽每至戌時火星果在角宿大星之東相距不過一度本年新法推木星七月十四日夕不見大綂推七月二十三日始夕不見據舊法推則前九日皆為見期也迨會同公測委無木星出見此上所録皆係會同部監公同測騐過者其未經測者每年相差甚多兹不備録古測五星相掩或掩他星摘推目(十一章)新厯列有日月五星永表者或用以稽上古五星之凌厯犯掩或用以推未來千百年各星之行故逆推而能上騐往古因知其亦必下合將來矣按史傳所紀某星之行每有僅録年月日而未有時刻夫星有一日行度分者今既無時刻何能正合于表乎故于不紀時者竝不援以為證又紀各星聚于某宿不言相距度分及不言本宿某度者亦不借證又如凌犯古紀甚多迨考其時刻距度仍皆掛漏亦莫能用即若言相掩者則惟土木可得其凖縁其行遲耳至于火金水則每日或行一度或行半度葢行疾則苐可僅得之而已然其緯度數日但移數分又可以得其凖也古史恒謂或金或水失行當見而不見不當見而見此則新厯備闡伏見正法故亦援一二以徵之表首横行為甲子數自帝堯八十一年為第一甲子至天啟四年則綂紀甲子者六十六下為本甲子内之年古測五星記(甲子)年(數數)(二一二四)周將伐殷時 五星聚房(三二八九) 河平二年十月下旬土在井近軒轅大星尺餘木在西北尺所火在西北二尺所皆從西來後皆貫鬼十一月上旬木火西去土亦西北逆行(四二○九)漢和帝永元五年四月癸巳 金火水俱在東井七年八月甲寅 火土金俱在軫十二月丙辰 火金水俱在斗(四一一九)漢安二年六月乙丑 火犯土光芒相及(四四一三) 永康元年火留太㣲中百日(四五一六) 靈帝元和三年十月 木火金三合于虚相去各五六寸(四二二九) 孝獻建安十八年秋 土木火俱入太微逆行留守帝座百餘日(四三三四)晉武帝咸寧四年九月 太白當見不見(四四三九) 惠帝元康三年 土木金三星聚于畢昴(四○四二) 光熙元年四月 金失行自翼入尾箕 (然翼至尾相越)(七十度豈失行至此)(四○四四) 懐帝永嘉二年正月庚午 太白伏不見二月庚子始晨見東方三十日(四四)八 懷帝永嘉六年七月 火木土金聚于牛女之間孝武十七年九月丁丑 木土火同在亢氐十九年十月 金土火合于氐(四三四四) 咸康四年四月己巳月掩金七月乙巳月又掩金(四四四一) 穆帝一年正月癸酉土掩鉞星(四一) 永和元年閏九月辛未 火在左執法光芒相接(四三) 三年七月甲寅 木入鬼四年正月丙戌 木留鬼中五十日(五○) 穆帝永和十年正月癸酉 土星掩鉞星(四五)四 海西公太和三年六月甲寅 金星掩火星在太㣲端門中一 哀帝興寧三年七月 木犯鬼四 天賜二年十一月丙戌(即晉安帝元興甲辰三年) 金掩鈎鈐(一○) 孝武寧康二年十一月癸酉 金星掩火星在營室(四一五二) 太元元年四月丙子 火掩南斗第四星(四一五一) 孝武寧康三年九月戊申 火星掩左執法(四二五二)唐明宗丙戌元年十二月乙巳 月掩庶子(四一)晉安帝義熙元年十月 火星掩土星在營室三年丁未二月癸亥 火土金水聚于奎婁三年閏八月已夘 金星掩火星(四九) 九年三月壬辰 木火土金聚于東井(五一) 十一年八月 金星掩左執法(四二六二)宋文帝元嘉二十三年二月 金火水合于東井(三二)南齊更元孝建三年二月一日 土火水合于南斗(四七) 泰始七年六月十七日 金木土合于東井(四五六二) 承明元年五月己亥(即宋蒼梧王元徽四年丙辰)金火皆入軒轅庚子相逼同光(五八) 建元四年九月戊申 火犯木己酉火犯木芒角相接(五九) 五年九月乙未 火逆行在哭泣星東相距半寸隆昌元年三月乙丑 火入鬼西北東一寸癸酉在積尸東北七寸(四七)五 節閔普泰三年五月己亥(中大通六年甲寅)火逆行掩南斗魁第二星(一七) 世宗景明二年正月己未(即齊和帝中興元年辛巳)金火俱在奎光芒相掩(一八) 景明三年正月(即梁髙祖天監元年壬午)火犯房北星光芒相接(二三) 永平二年十二月乙酉(即梁武帝天監八年己丑)木逆行入太微掩左執法(二四) 三年閏 月壬申 木又順行犯之相去一寸(二八) 延昌元年三月丙午(即天監十一年壬辰) 木掩房上相(五三)梁武帝大同三年三月 木星掩建星武帝天和四年二月 木星逆行掩太㣲上將建德二年二月癸亥 火星掩鬼西北星四月己亥 金星掩鬼西北星壬寅又掩東北星天和六年齊宜陽四月 先時火入太微二百日犯東蕃上相西蕃上將句已往還至此月甲子出端門宣帝大象元年七月壬辰 火星掩房北頭第一星靜帝大定元年正月乙酉 火星掩房北第一星(四三八五) 宣帝大建十一年四月己丑 木金水合于東井(三六) 十二年十二月癸酉 水在金上甲戌水金交相掩後主天綂五年二月戊辰 木逆行掩太㣲上將(四九) 唐大業十九年七月壬午 金犯左執法光芒相及(四八) 永徽三年正月丁亥 木掩太㣲上將又五月戊子 火掩右執法(五四○一)唐中宗神龍元年乙巳七月(辛巳) 火星掩氐西南星(四二) 二年閏正月丁夘 月掩軒轅後星(五三一○) 代宗寶應八年四月癸丑 木星掩房(三三)唐肅宗至德二年丁酉四月壬寅 木火金水聚于鶉首(三五) 本年八月 金星掩木星于鶉火(五三一五) 肅宗乾元二年癸丑 木蝕月星(三六) 肅宗上元元年十二月癸未 木星掩房(四九) 大厯八年四月癸丑 木星掩房八年内不能再掩或為大厯七年(五六) 建中元年十一月 木食鬼天尸(此木星食鬼尸有疑葢木星緯)(在北不過一度鬼尸有一度十四又四分度之一何得食之)(五二)四 德宗真元四年五月乙亥 木土火聚于營室(二九)唐憲宗元和八年癸巳十二月 火星掩左執法(三一) 十年六月辛未 木火金水合于東井(三二) 十一年十二月 土金水聚于危(三五) 十四年八月丁丑 木金水聚于軫(四一) 敬宗寶厯元年己巳四月壬寅 火星入鬼宿掩積尸(四四) 文宗太和二年戊申七月甲辰 火星掩鬼質星(四五) 三年己酉二月壬申 火星掩右執法(四八) 六年十月 金火土聚于軫(五二) 開成元年正月甲辰 金星掩建星(五五) 四年正月丁巳 水金火聚于南斗(五一)○ 武宗會昌四年二月 木星守房掩上相一 五年二月壬午 金星掩昴(二○)唐懿宗咸通五年 月 火土金水聚于畢昴(四四) 僖宗文德元年八月 木土金聚于張(五三) 會昌四年十月癸未 金火合于南斗火土金水聚于畢昴(五四)七梁太祖乾元元年四月 火土金聚于營室(四八)後周太祖廣順二年壬子九月(庚辰) 金星掩右執法(五六)宋太祖建隆五年三月 五星如連珠聚于奎(五二五三) 太宗雍熙四年十二月丁巳 金土木合于南斗(四二) 真宗景德三年七月己酉 水木金合栁(五六)○ 天聖七年八月 木犯鬼八年四月 木犯鬼九月 木犯軒轅(五一七三) 哲宗紹聖四年七月丁巳 火星掩犯積尸氣(四七) 章宗明昌三年四月己未(即宋光宗紹興壬子三年)火掩右執法色怒而稍赤大元元年四月甲申 火掩南斗第四星(五三) 熙宗天會十五年正月(戊辰即宋髙宗丁巳七年)木犯積尸氣(五八)八宋仁宗明道元年八月 金星掩軒轅左角(二四) 孝宗乾道四年八月己亥 水金火木土又俱見(二六) 世宗大定十年八月戊申朔(即孝宗庚寅六年)木掩火在參畢間十二年八月辛亥(即孝宗壬辰八年)火掩井東扇北第二星十月己酉 火掩鬼西北星(三○) 十四年八月庚辰(即孝宗甲午十年)火犯積尸氣(三四) 十八年十二月甲戌(即淳熙戊戌五年)土掩井西扇北第一星(三五) 十九年八月辛亥(即淳熈己亥六年)火掩南斗杓第二星十一月辛未 火掩木(三七) 二十一年四月(即孝宗淳熙辛丑八年)火掩斗魁第二星(四二) 淳熙十三年閏七月戊午夜五星皆夕伏至戊辰五星伏聚在軫又至八月乙亥日月五星俱聚軫(五三) 寧宗慶元三年八月甲戌 金火木合于翼(五一) 寧宗慶元丙辰二年(即七年九月)夘初木在輿鬼中(五九)二 開禧二年二月壬申 金木土合于昴(一五) 嘉定己夘十二年(即定興三年八月丁夘)木犯鬼東南星四年三月木犯鬼積尸(一九) 癸未十六年(即元光二年八月乙亥)火入鬼掩積尸(二七) 理宗紹定壬辰五年(即天興元年七月乙巳)金木火太陽俱會于軫翼(六一○四) 大德九年十一月庚戌 木金土聚于亢(一二)元世祖中綂十三年丙子十二月辛酉 火掩鈎鈐(四一) 大德九年五月癸亥 木掩左執法(一九) 二十年三月癸酉 木掩房第三(四四) 武宗至大元年十二月戊寅 金掩建星泰定二十五年十二月庚午 木掩房北第一星(四八)元仁宗皇慶元年十二月甲申 火土水聚于井(五七) 英宗至治 年正月甲辰 水金火土聚于奎(六一)一 泰定二年二月庚寅 火木土聚于畢二 三年三月庚午 土金木聚于井二十五年閏十月戊辰 金水火聚于斗測五星經緯度(十二章)一用黄赤全儀此儀制有黄赤二道上繋移線二一用測經一用測緯最為盡善之器善用之者則各星所行宫度分秒靡不可得其作法見渾儀説中一凡見某緯星掩某恒星之一即稽恒星表之經緯度分亦為某緯星所際之經緯度分也一凡某星近犯恒星則經度可得其真而緯度則僅可得之葢經度乃從黄極過二星之心必定于黄道一度分上若緯度者不能用儀惟以目測其相距若干故莫能得其真也一凡某星介于四恒星之或中或外在一直線之交即取恒星圖界二直線聨而算之亦能得其經緯或不用圖但用算亦可其法見測量全儀九卷中一凡某星在午線上或有恒星亦在午則苐測恒星髙弧即可得某赤道經緯一凡某星在地平而得其出没㸃之地平經度即可得其緯葢地經度乃正夘酉距南北之若干也或此時有一恒星在午亦略可得某星經緯(用星球渾儀可算)一用弧矢儀測某星距二恒星若干用法推算可得其經其緯法見測量全儀九卷以上槩言其測法也大抵測星得其赤道經緯度分似易而最要者則在于以法變黄道之經緯云駁古測之舛一以赤道儀測其行而莫能變黄道經緯是其度分非從本樞所出也安得無舛一測月掩某星者甚謬葢月有氣時二差恒失其經緯之真度也一紀掩犯等會不詳時刻乃星恒有其行時刻既略胡可細算其經度乎一用移線人目迫近于線則目瞳子較線為大焉得視而不失測五星儀目黄赤全儀(即渾儀之類也其制不用他圈惟具黄赤二道及子午規而已測星繋移線以用之)簡儀(以一盤當赤道其移線則代活赤道云)天環(亦渾儀之類也)弧矢儀(以全規六分之一為弧用半徑為矢)樞儀(以細綯繋極用代夫樞然當定准北極出地及對正子午庶㡬不差若二星以赤道在同度者此可測之)直線或界尺(用量二星成一直線)經緯象限(測地平髙及經度)過極圏(用之可得赤道緯度)新法算書卷四十四
## 卷四十五
欽定四庫全書
新法算書卷四十五 明 徐光啟等 撰五緯表卷首日躔月離二書皆有厯指及表厯指以明其理表以著其數五緯如之然不明其用則算者無從下手故著為諸説且列諸式以詳論夫諸表之元及其用法之異土木二星表為一法金水二星同一法火星獨為一法條分縷析庶各用之不迷而推求之不舛也其次如左二百恒年表説(第一章)新法日躔厯指以崇禎元年戊辰平冬至後子正為厯元即天啟七年十一月十六紀日己卯宿在井之日也太隂交食諸表悉因此厯元日起算而五緯亦因之故二百恒年各表直行上紀年下紀宿并日中積有各本年本日之數(宿紀字皆從先冬至起)定五星諸行厯元之應用西法古今兩測及厯局新測參訂成表按廿一史多言某緯星會某恒星可得其經緯之度用此法以查新表似為切要然廿一史未載時刻或晨或夕無從知之則多半度或少半度不得其中新法以為猶粗也欲知本年是平是閏先置某年各行之應查表中次年所載日宿及紀字便可得也加首年諸行之率得次年諸行之應與推太陽無二見日躔表一卷紀字隔五為平年隔六為閏年宿字隔一為平年隔二為閏年平為三百六十五日閏為三百六十六日其原皆本太陽所躔一年之度分故諸星之年即借太陽所定無以異也崇禎元年測定五星厯元諸行之應詳列于左土星厯元諸行應平行距冬至為十一宫十八度五十一分五十一秒本年最髙行距冬至為九宫八度五十七分五十九秒平行距最髙即引數為二宫九度五十三分五十二秒正交行距冬至為六宫七度九分八秒一平年(三百六十五日無餘)平行為十二度十三分三十一秒最髙行一分二十秒十二㣲以最髙行減平行得十二度十二分十五秒乃一年之引數也閏年(三百六十六日無餘)平行為十二度十五分三十五秒引數為十二度十四分十五秒正交行一年為四十二秒(其行甚㣲平年閏年不差二秒)木星諸行應平行距冬至為八宫二十八度○八分三十一秒本天最髙行為十一宫廿七度十一分十五秒平行距最髙即引數為九宫○度五十七分十六秒正交行為六宫二十度四十一分五十二秒一平年距冬至平行為一宫○度廿分三十二秒最髙行為五十七秒五十二㣲兩數相減得一宫○○度十九分三十四秒乃一平年之引數一閏年距冬至平行為一宫○度廿五分三十一秒引數為一宫二十四分三十三秒正交行一年為一十四秒(平年閏年同)火星諸行應平行距冬至為五宫○四度五十四分三十秒本天最髙在七宫二十九度三十分四十秒平行距最髙即引數為九宫○五度廿三分五十秒正交行為三宫十七度○二分二十九秒一平年距冬至平行為六宫十一度十七分一十秒最髙行一分十四秒兩數相減得六宫十一度十五分五十五秒一閏年距冬至平行為六宫十一度(一百九十一度)四十八分三十六秒引數為六宫十一度四十七分二十一秒正交行一年為五十三秒(平閏同)金星諸行應平行距冬至(與太陽同度)為○宫○度五十三分三十五秒三十九㣲平行距最髙即引數為六宫○度五十六分五十五秒伏見行從極逺處起為○宫九度十一分○七秒最髙行在六宫○度十六分○六秒(鶉首初)一平年距冬至為十一宫廿九度四十五分四十秒三十八㣲自行引數為十一宫廿九度四十四分十七秒伏見行為七宫十五度○一分五十秒最髙行為○宫○度○一分二十一秒一閏年距冬至及自行加五十九分○八秒伏見行加三度○六分二十四秒乃一日之行也金星正交在最髙前十六度即五宫十四度十六分其行極㣲故未定其率然于最髙行不大差水星諸行應平行距冬至與太陽同度平行距最髙即引數為○宫廿九度二十分○二秒伏見行(從極逺處起)為三宫廿九度五十四分一十六秒最髙在十一宫○度五十二分四十二秒一平年距冬至與太陽同度自行或引數為十一宫二十九度四十三分五十一秒伏見行滿三周外有一宫廿三度五十七分廿六秒一閏年引數為十二宫○○度四十二分五十九秒伏見行全周外為一宫廿七度三分五十二秒正交行或曰于最髙同度難測故不敢定然或非與最髙同亦必不逺永年表者逓以六十甲子為法從帝堯八十一年起計至天啟四年算得其為第六十六甲子兹表列有各星行度之根又有宿數及紀日以定厯元本日然從帝堯迄今則作六十五甲子自今遡後又推算得六十六甲子計表中通共列甲子者一百三十二云甲子表逓以六十年為率故立六十年表亦列宿數紀日二數以得本年厯元日根夫六十年及永年表皆成于三百六十五日四分日之一故每畢四年而閏一日也其用法設某年欲求厯元則先視本年在某甲子表中查定其數别識之次簡距甲子為若干歳再于六十年表中求其數然後以二數併之即可得某年某日各星平行矣周歳平行表説(第二章)以一平年諸行之率為實一年之日數為法(三百六十五日)除之則得一日之行累加之而成周歳之表此表中不録正交及最髙細行葢其行極微一年之内不出分外則以求視行所差止于幾纎非大數故不用金水二星因其本行于太陽之行一年内止差一二分如欲算時即取日之平行表而亦可用故兹不再録云周日時刻表説以一日諸行之率為實以二十四小時為法除之則得一時之行然表不止二十四而止六十者葢以一時有六十分如以時入表則所得為分秒㣲以時之分入表則所得為秒㣲纎與日躔月離同一用法也或用簡法周日表以六十日為止倍之得一百二十日再倍之得一百八十日以至三百六十日如設日求表或所設距根為四十四日于本日表求之即得其日行之數若所設為一百四十四日則先查一百二十日表得數再查二十四日表得數并之即為一百四十四日之行也前加減表總説(第三章)算各星加減大均數若干或兩心差數置某星距最髙若干為引數又置各星兩心之差用圖推算(有假如見各星厯指)得自行均數凡星會太陽或在其衝者則次引為初宫度或為六宫以平行或加或減為足此自行均數得星之視行葢星體在兩心(一地心一小輪心)線上如圖己丁乃兩心之差庚乙引數之弧己丁乙算均數之形己乙丁角為均數乃庚己乙自行角庚丁乙視行角之差凡星在丁乙實行線上即兩心線如子如午以一均數得庚丁午角乃視行角也星所距本天最髙從地心看亦名實行此先均數五星不一葢各星有本天不同心圏若均輪其理同也算前加減表用新圖(第四章)丁地心庚火星天最髙設引數度分若干即庚甲弧(最髙左右)(同法但在左以平行減均數在右於平行加均數)作丁甲線置丁甲十萬取一四八四○分為度于甲心上作丙乙圏從乙(乙丙圏極逺之處亦)(可名謂最逺)取乙丙弧乃引數之度止丙丙為均輪心即丙己半徑為甲丁十萬分之三七一○又從己極近處倍引數數止戊戊乃年歳圏心之處凡星衝太陽時人目在丁見星于丁戊線中(近逺不拘)而求甲丁戊均角設庚甲引數為三十度先算甲丙戊形夫形有丙戊丙甲兩邊(兩圏之半徑)又有丙角六十度(引數之倍)依法作戊午垂線先求戊午邊得三二一三次求丙午邊得一八五五以丙甲全線減之得午甲為一二九八五次求午甲戊角得十三度五十四分又求戊甲邊得一三三七二次甲戊丁形有甲丁十萬甲戊(先得)有戊甲丁角(先置乙甲丙引數三)(十度次得丙甲戊十三度有竒并之得四十三度五十四分其餘乃戊甲丁角也)一百二十六度○六分依法作戊午垂線先求戊午線得九二七二又求午甲線得九六三五并加甲丁全數得一○九六三五午丁也午戊丁形有午戊午丁兩邊求丁角得四度五十分乃三十度引數之均數也又求丁戊得一○九九○三乃火星年歳圏心距地心之數也右因圖并法可知丙甲戊角比乙甲丙角或相加或相減則凡引數(距最髙度)不過九十度者宜相加若過九十度者宜相減又兩圏半徑并之因甲丁全數即為戊丁甲極大角之正線查表得十度三十四分二秒(凡戊甲丁角為直角者丁)(角更大)土木金水四星次均表説(第五章)五星次均之理土木金水為同而火星為異故别論之今先論四星之同者凡星與太陽不會不衝之時必不在丁乙實行線上而在或左或右多寡之間則前所得丁乙巳角之均數猶不足以定星之視行如後圖置星在小輪左如夘作夘丁乙角則宜減于先所得庚丁乙實行角而得夘丁庚視行角若星在小輪右如丑則作乙丁丑角宜加于先乙丁庚角而得視角此角名謂之次均數乃星會太陽之時在子故次均表自子起從子丑午夘回子滿三百六十度先半周子丑午為加後半周午夘子為減算夘丁乙等角先置設乙夘線若干(小輪半徑數見各星厯指)又設午乙夘角(或左或右無二法從子到夘弧)(度之餘)又設丁乙邊(即前算加)(減所得數)可推夘丁乙等角然乙丁線之數非一若乙心近于庚最髙則乙丁大若乙心近辛最低則丁乙小若乙心在髙庳之中有多寡則丁乙線亦有大小乙丁線有大小則夘丁乙均角亦有大小欲算全表宜先設庚乙若干度從庚至辛為一百八十度則一百八十度算夘丁乙等角一百八十次又夘乙丁角非一則從子極逺至午極近亦一百八十度則庚辛各度及子午各度皆宜算一百八十次當有三萬二千四百角不亦煩且難而表且賾乎故約為中分法如曰最髙及其衝之中先定小輪在庚最髙因法設夘乙丁角自一度至一百八十推算所得數于表中子夘弧度下即次均數書之又置小輪在辛最髙衝推算夘丁乙角一百八十所得數與在最髙本弧各數相比其較于表中子夘弧度次均度下亦書之各謂之較分有極髙極卑兩數則可推其中數今試舉土星為法如左己乙兩心差為十萬分之二七○八因均圏用其半得五八五四加于己庚半徑全數得丁庚線又減之得丁辛線小輪半徑乙丑為一○四二八用夘丁乙直角試法(置直角于夘便算)求夘丁庚角為五度三十九分十五秒(法以小輪)(半徑加五位為實以庚丁線一二五八五四為法而一查切線表)即夘丁乙角也其餘八十四度二十八分四十五秒為夘乙丁角或夘午弧則其餘子夘弧為九十五度三十九分入表九十五度有竒次均數下書五度有竒又置乙心在辛最卑依法推算(丁辛線為九四一四六)夘丁乙角得六度二十一分三秒兩數之較為四十一分四十八秒於九十五度有竒較分行内書之中分較分説(第六章)凡有大小之較兼有距兩限若干因法亦可得較數之比數或減于大或加于小則得中處之本數如置小輪平行距庚最髙為五十度求己乙丁前均角得四度五十四分二十七秒減之得四十五度○五分三十三秒乃己丁乙角也用法以己丁乙形求丁乙線得一○七八○五(己乙半徑十萬全數)減全數以所餘除兩心之差得三之一法曰乙丁丑角比庚丁夘角(最髙角)為大則大小兩數差分三之一解曰小輪近逺為次均數大小之根置在近逺之中則其均數在大小之中古定逺近之差為六十分法曰六十分得全差若屬㡬分應得若干又從最髙庚起則所得若干加于在庚之均數以近逺之分數用己丁乙形定庚乙弧若干而求丁乙線之數此以六十乗以己丁倍除之得數為分為秒于本表庚乙弧即自行引數本宫度下書之名謂之中分(用三率比例法庚丁)(丁辛兩線全差得六十分今庚丁丁乙兩線應差若干)又法庚丁丁辛兩線之交以六十除之取一分而于庚丁線減之得某數用己乙丁形此形有己丁兩心差有己乙全數又有丁乙線比庚丁為少于大差六十分之一形有三腰依法求乙己丁角其餘為庚己乙或庚乙弧為中分一分之弧則小輪在此逺近差為六十分之一若以庚丁再減六十分之二三四再算得二三四分之數亦于本弧表中自行引數宫度下書中分之數畫六十中分圖以己為心庚為界作本圈又以丁地心為心最髙及其衝為界作圈又兩圏中積作六分或六十分以丁心作六圈各切本行之圈從庚最髙左右本圈上至交同心圏數度分則得一中分十中分之度分數若亦畫小輪而作丁夘丁丑線上下亦可見乙丁夘各角之差此中分表上以自行(即庚乙弧)為引數乃從本天所生之數也中分較分用法(第七章)以自行引數求第一加減均數又求中分數另記次以日實行内減去星實行得相距為次引求二均即小輪如在最髙之均數又求較分乃某星在小輪某度髙卑之較差用三率法髙卑大差内數六十分為中分得小輪某度之某數為較分今從最髙所得中分即六十分中之幾分欲得較分若干入法以乗除得之其所得數名謂三均恒加于二均數得實次均數并或加或減于實行得視行曰恒加者葢所得次均為在最髙極小在最髙外恒大故命恒加見假如火星加減表説(第八章)表設宫度分及自行均數與諸星無二但其行獨異他星故其加減理非一致其引數每度下有三類一名距日二名日差三名半徑火星以太陽為本行之心如太陽以地為心亦非本行之心因有不同心圈火星從之近逺各不等此火星與日近逺之數書于本表宫度之下曰火星距日數即距心數其算法載本星厯指第七章内測設引數為二百五十九度四十二分二十秒用本法算得自行均數為十度三十二分半又求本圖上乙寅線乃火星體寅距太陽乙若干得九九六九七乃表上引數下所列火星距日之數也(因分秒表上之中約取其中分)本厯指有論曰火星歳輪半徑大小所以有二其一從太陽髙卑近逺之行有本表今以簡法于本表各度下記之所名日差(用太陽引數即從最髙起算)又論火星歳輪半徑大小繇本天髙低其數約為太陽之算十之十一即以十一乗太陽差數以十除之或減尾後一字此二數恒宜加于小輪極小半徑即六三○二七五今本表已加過本輪差兩書于宫度下即以火星平引數行歳輪半徑但宜加太陽之差耳引數以每十分為逓加而有均數與上三數不同者葢每度逓加因二度中所差有限可用中比例此則不然是以詳而不略表旁有引數各十分各數之較以加得某度分之本數加減表用法(第九章)表上下有宫度分皆從最髙起算名引數上横行從○宫○度○分起順列止六宫下横行從六宫起自後逆列往前至滿天周而止上下相對二引數第有一均數與諸加減表法同若用第一加減則上者曰減下者曰加葢前六宫為減後六宫為加也引數屬上行則從順查引數屬下行則從逆查所得均數以加以減于平行則得視行若欲宻推亦用中比例法第二均凡前六宫即順算曰加後六宫即逆算曰減今以圖明其理上下二引數于最髙左右距弧之度為等如圖庚最髙左右取庚乙庚丙相等二弧各得己乙丁己丙丁二均角(因㡬何法)亦相等然庚己乙平行角比庚丁乙丁視行角為大故法曰先六宫即庚乙辛以均數減于平行得視行而庚己丙平行外角比庚丁丙視行外角為小故法曰從六宫即辛丙庚以均數加于平行得視行(系一均數有二引又有二號在乙曰減在丙曰加)五星各均數限(第十章)土星本天上歳輪(又名年歳圏小輪下同)心距最髙九十三度得其均數為六度三十八分十七秒乃首引數之極大均數歳輪心在本天最髙從其極逺處九十六度得次均數五度三十九分一十五秒若在本天最髙衝從極逺處一百○二度得次均數六度二十一分二十秒乃次均之極大數也二大均數并得一十二度五十九分三十七秒乃平視二行之大差也木星本天上歳輪心距最髙九十三度有竒得五度二十七分乃首引數之大均數歳輪心在最髙者從極逺處九十九度得十度三十八分三十三秒在最髙衝距極逺處一百一十度得十一度四十三分○二秒乃次均大數也二大數并之得十七度一十分乃木星平視二行大差也火星本天歳輪心距最髙九十六度得十度三十四分二十秒乃首引數之大均數論歳均差則有四限如火星歳輪心及太陽各在本天最髙從極逺處一百二十六度五十六分得三十六度五十六分二十六秒若火星歳輪心在最髙太陽在本天最卑得三十七度四十二分若太陽在最髙星在最卑得四十六度十五分若兩各在最卑得四十七度二十一分四十五秒大小之差為十度二十五分兩大均數并之得五十七度四十六分乃火星平視二行之大差也金星伏見輪心距本天最髙九十一度得一度五十分十六秒乃自行之大均數也 伏見輪在最髙從極逺處為一百三十五度得四十五度十九分二十秒若在最卑得四十七度十二分兩數并之得四十九度○一分一十六秒乃金星平視二行大差也水星伏見輪心距本天最髙一百○八度得三度三十四分乃自行之大均數也 伏見輪心在最髙星距極逺處一百二十一度得二十一度七分三十三秒乃伏見輪大均數也若在最卑得二十三度四十四分三十三秒二數并之得二十七度十九分三十三秒乃水星平視二行大差也金水二星以太陽平行為自平行若前大差為加號而太陽有減號之均二均并之金星得五十餘度水星得二十六度乃各引距太陽之視行五星緯行表説(第十一章)緯行有二根其一為本天斜交黄道半在北半在南交有逺近則緯度有多寡其一為歳圏亦斜交本道而恒為黄道之平行欲得緯度之真宜用二引數歳輪心距正交若干所謂實行(本天之緯)又星距日或歳輪上星距極逺之處表中以第一引數求中分以距日之引數求緯限數即本天從交九十度以二道同升度分六十分次設歳輪在距交九十度推小輪各度之緯名為緯限排表用三率法(如加減表中有中分較分之數)如星距交九十度或六十分得緯度若干今距交四十五度或三十分應得緯度若干向南向北各有本數表有宫有度先以距交求中分次以距日求緯限度分凡距交在六宫下者緯在北用向北之數在六宫上者緯在南用向南之數以中分乗緯限度分則得正緯度分(先六宫向北該正交為隂厯之初)金水二星緯行表説二星緯行根亦有二皆繇伏見輪亦斜交本天其類有二故分前後二表前者與上三星同後者二星之本緯也(見五緯厯指)二表各有中分以星距正交為引數(金星正交恒在最髙後十六度故以實引)(加十六度數得緯行中分之引數水星正交于最髙所差不逺即以自行引數為緯行中分之引數)伏見輪行數作緯度分之引數各表引數皆有應用之號緯有南北若所得二緯數同類則宜加異類則宜減或加或減乃得真視緯數五星緯及伏見等表目土木二星緯表 五星黄赤二道升度表火星緯表金星緯前表金星緯後表水星緯前表水星緯後表五星伏見表恒星受凌犯表五星緯表查法土木二星合為一表每半頁左右貼邊兩行為距正交宫度其中逓隔五度次乃中分諸數亦為二星同用各星有向南度分其對引數宫度可查之若星向北者或加或減若干故各星别有一行曰北加分火星緯表宫度如上度數每以二度逓隔其他數皆同金水二星二表查法各有前表後表每隔二度前表一面金見中分之宫上下二行各行直對有其緯之向又列有各該用之引數以入表可得之後表亦有其緯向及引數等類南加北減五星晨夕伏見表查法以某星(五星及恒星同用)黄道經宫度入表視首直行晨夕本號求其宫度之横行(凡星經宫度比太陽宫度順算在前即用夕宫若在其後則用晨宫云)又視本星直行下與宫度横行相遇格數是乃星距日光見不見之限界凡星有南北緯行再入次表視星經宫度如上簡本緯度下直行相遇之數以此數于先得度數每在北減而在南加即得某星在某官之某緯該距太陽經度若干而即可知或晨得出而見得伏而不見焉恒星受凌犯表説五星及月因有緯行故得掩多恒星以成凌犯然欲便算其凌犯時刻故于恒星表内取黄道左右每至八度内四等之星别為此表表分七行列有宫次度分星名及本座之數并其緯向緯度以至大小等第云設五星或月宫度至某年月日于本表上某星宫度或為同經同緯即為凌厯或二緯數相近四十三分以内者謂之相犯(古曰七十分通之得四十三分)月因視差多變其緯于南故測算不合然用本法求其視差均其緯度庶乎可得五星無甚視差日在二三(分之内即成凌犯也)五星黄赤升度表查法置星緯之向視表左右向南向北宫度本行取本星或南或北號下黄道所算經宫度分及識其加減之號次以星之緯度視上横行至經緯直横二行相遇度分是即該加該減于星之黄道經度乃可以得星赤道之經度矣新法算書卷四十五
## 卷四十六
欽定四庫全書
新法算書卷四十六 明 徐光啟等 撰五緯表卷一(土星上)土星表目上卷二百年表 永年表 六十年表周歲表 時分表下卷加減表土星二百恒年平行表新法算書卷四十六
## 卷四十七
欽定四庫全書
新法算書卷四十七 明 徐光啟等 撰五緯表卷二(土星下)加減表查法此表上下各面中分每以十二横格為限各有二宫一順一逆順者自空宫起至六宫止用上行之度分逆者自六宫起至十一宫止用下行之度分也每上下十二横格内各分四度數順逆二宫皆用之二均數二行各有其加减之號然而相反凡第一均以順為減以逆為加第二均則以順為加以逆為減其所以然見本厯指云初宫 十一宫 一宫 十宮初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算書卷四十七
## 卷四十八
欽定四庫全書
新法算書卷四十八 明 徐光啟等 撰五緯表卷三(木星上)新法算書卷四十八
## 卷四十九
欽定四庫全書
新法筭書巻四十九 明 徐光啟等 撰五緯表卷四(木星下)以星距本天最高為引數而于本宫度分查自行均數及其中分另記又以星實行距太陽實數宫度分為引數于本宫度之下查其次均及較分初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一官 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法筭書卷四十九
## 卷五十
欽定四庫全書
新法筭書卷五十 明 徐光啟等 撰五緯表卷五(火星上)新法筭書卷五十
## 卷五十一
欽定四庫全書
新法算書卷五十一 明 徐光啟等 撰五緯表卷六(火星下)表以求火星第一均數與他星無異外各度下註有本星天之數三種其每種側各註差分是乃引數各十分該加該減于本數若干也然前數更大其差分宜加若少則減其差分云新法算書卷五十一
## 卷五十二
欽定四庫全書
新法算書卷五十二 明 徐光啟等 撰五緯表卷七(金星上)金星表日上卷二百恒年表 永年 六十零年 周嵗時分表下卷加减表金星周歲平行表金星周嵗平行表新法算書卷五十二
## 卷五十三
欽定四庫全書
新法算書卷五十三 明 徐光啟等 撰五緯表卷八(金星下)查金星加減如他星無異距髙低較分或有度分秒即度分皆寫一行内用時核覺之金星 初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算書卷五十三
## 卷五十四
欽定四庫全書
新法算書卷五十四 明 徐光啟等 撰五緯表卷九(水星上)水星表目上卷二百恒年表 永年表 六十年表 周嵗表時分表下卷加減表水星二百恒年平行表新法算書卷五十四
## 卷五十五
欽定四庫全書
新法算書卷五十五 明 徐光啟等 撰五緯表卷十(水星下)初宮 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算書卷五十五
## 卷五十六
欽定四庫全書
新法算書卷五十六 明 徐光啟等 撰恒星厯指卷一測恒星法第一 一章凢治厯以七政經緯度分為本欲知七政經緯度分以恒星度分為本欲察恒星得其所居定處必用測星之法測星之法有三其一用太隂用太隂者令太隂居太陽恒星之間早測則太陽未出先測星與太隂之距度既出即測太隂與太陽之距度晚測則太陽未入先測隂陽之距度既入即測太隂與星之距度各以兩測合推之得恒星度分也其二用器器者水漏自鳴鐘等一切定時之器細考恒星過子午線時刻並測其高又别求太陽所躔本度因得恒星經緯度也其三用太白用太白者略同前太隂法早則先測恒星太白之距次測太白太陽之距晚則反是亦各以二距推得恒星度分也問此三法孰愈曰太白為愈用太隂者古法也而未盡善者有三太隂之體大欲測其中㸃甚難欲測其邊亦復未易一也本行疾速先與太陽同測次與恒星同測兩測之間所過時刻又自有經行度分二也太陰有視差早晚間高度愈寡差度愈多三也用器者近世之法若人器俱精多能巧合顧其用法繁細而又多風塵寒熱之變亦難保其必合也若用太白則近歲之法較前二為勝者其體小測以窺筩則全見之行度遲緩兩測之間遷變甚少又視差絶㣲通無乖悞之緣也測法曰午後太陽未入得並見太白時即測其兩相距度分器用紀限大儀一人從通光定耳中窺太白之體一人從通光㳺耳上取太陽之景次數儀邉兩距即日星之距又同時用渾儀求其出地平上之兩高弧及其距赤道之兩緯度次于日入後既見恒星更依前法求太白與恒星之距度及其兩高弧兩距赤緯度仍並識兩測相距之時刻推兩測間太白經行分秒加减之即得三曜之各定度分即得太白左右太陽與恒星相距之定度分也既得此星所纒赤道經度又先已測得距赤緯度因推得其黄道經緯度又用此一星徧測餘星其經緯度分悉可得矣西土士第谷七八年精習此法度越倫軰每連日比測又早晚並測必求太陽與太白晚測所居高所居緯度及離地逺近比次日早測所得一一符合乃已何者高度同則視差亦同以東補西即不必計視差故也獨測恒星法第二 五章以太白居中左右測恒星太陽之距度必用兩測一求太白距太陽一求太白距恒星也然湏連日比測湏早晚並測者欲以相等之兩視差相補可不論視差此簡法也今不用比測並測或早或晚一測即得故名獨測此則必論視差本法也求太陽經度萬厯十年壬午西二月二十六日申初二刻苐谷用紀限大儀測太白太陽之距得四十六度一十○分三十○秒又用渾儀得太白在赤道北一十五度二十一分四十○秒於時太陽在地平上一十五度一十分太白高四十八度三十分(二測亦用渾儀或象限儀)因考太陽經度查本表得娵訾一十七度四十九分四十二秒是其實躔而今求視躔於法减太陽之東西差二分一十一秒為在本宫一十七度四十七分三十一秒其視經總度得三百四十八度四十七分三十秒(總度皆從春分起筭)次查本表得其緯度分依法以視差相加得視緯偏南四度五十二分一十五秒更有太白前見測視緯度及與太陽相離經度則得所求二總經度差如下文求太白高下視差(從地半徑所得故為高下視差)欲推太陽與太白之經度差必先求太白之東西視差然太白之視差有二一為高下差一為東西差又先從高下差以得東西差如圖太白居本天為甲地心為丙地靣為乙成甲乙丙三角形次引長甲乙至丁從丙作丁丙垂線成乙丙丁三角形此形有乙丙為地半徑全數丁為直角乙内與乙外兩角等(乙内者丁乙丙角也乙外者甲乙戊角也)(乙外角為太白高之餘弧角)依三角形法得丙丁線為六六二六二(全數)(十萬)又甲丙丁三角形内之甲丙線為太白離地心其相距以地半徑為度得八百一十五為半徑全數又先有丁直角及丙丁線即推得甲小角二分四十八秒為太白之高下視差求太白東西視差(即經度視差)既得高下差因以之求東西差(亦名經度視差)如圖甲為天頂亦為地平辛壬之極已庚為赤道其極乙太白在戊其高下視差為丙戊弧即有甲乙戊三角形其甲乙為地平赤道兩極之差於本地為三十四度○五分一十五秒是其北極出地度之餘弧也戊甲為太白出地平高度之餘弧四十一度三十○分乙戊為太白在赤道北緯度之餘弧七十四度三十八分二十○秒以曲線三角形之法因其三邊求其角得本三角形之戊角為九度四十八分又於視差丙向丁作垂線成丙丁戊小三角形有丁直角有戊銳角又有先所得丙戊視差弧二分四十八秒依此用曲線三角形法得其兩角與對角之一線可推其餘邊餘角得所求丙丁線三十二秒為太白之經度視差(丙丁線小圏弧也與黄道平行)求太白與太陽經度差視差既定次求經度差如圖甲為赤道極甲乙甲戊俱過北極之大圏弧乙為太陽丁為太白乙丁為兩視處之距弧丙乙丁戊為各距赤道之度即成甲乙丁曲線三角形也今欲求甲角以得赤道之經度差丙戊依前法用三邊求角三邊者甲丁為太白距赤道之餘度甲乙為太陽距赤道之緯度帶一象限乙丁為二測之距度即三邊具而因以求得甲角知太白離太陽之赤道經四十一度五十四分五十八秒更加入太陽之視經總度(從春分起算為三百四十八度四十)(七分三十○秒)及太白之視經重差(重差者一為黄道徑差三十二秒一為赤道差三十秒)則自春分起數减周得太白所在為實經三十○度四十三分三十○秒(加减視差訖乃得實經)求畢宿大星赤道經緯度本日戍初初刻測畢宿大星其西距太白三十○度五十九分其赤道緯一十五度三十六分太白高二十七度三十○分在赤道北一十五度二十五分一十○秒今求兩距之赤道經度差如圖丁戊為赤道甲為赤道極乙為太白丙為畢大星甲乙為太白緯度之餘弧甲丙為畢大星緯度之餘弧乙丙其兩測之距弧依上法得甲角三十二度一十一分○六秒兩星之經度差也又依此時刻定太白之本行為是日合行五十七分先後兩測間得八分一十八秒以加太白之實經度又以後測之高下視差再用前高下差圖求得三分四十五秒以求東西視差亦再用前東西差圖求得二分○七秒以减太白之實經度共得春分至太白之視經三十○度四十九分四十一秒以加太白距畢大星之視經三十二度一十一分○六秒得此星離春分六十三度○○四十七秒重測恒星法第三 四章前法因視差之煩恐有悞不如早晚左右測之兩得數相除相補簡而易就所謂重測也求娄宿北星赤道經緯度萬厯十四年丙戌西十二月二十六日申初二刻第谷測得太白距太陽四十六度三十○分太白在赤道南一十一度一十五分三十○秒高二十三度正太陽高三度其距赤道查本表得在南二十二度四十一分三十○秒躔星紀一十四度五十一分五十三秒總經得二百八十六度○八分四十二秒(春分起算)如圖甲為赤道南極乙為太白丙為太陽甲乙為太白距南之餘弧七十八度四十四分三十○秒甲丙為太陽距南之餘弧六十七度一十八分三十○秒乙丙為兩測之度差依三角形法推得甲角四十七度二十一分○五秒為太白距太陽之經度差其總經為三百三十三度二十九分四十七秒再於本日申正三刻求娄宿北星距太白經度差得五十二度二十一分太白高二十○度三十○分兩測間太白之本行四分五十四秒以加經度差總得太白經度三百三十三度三十四分四十一秒以加二星經度差减周約存娄宿北星赤道視經二十五度五十五分四十一秒求角宿距星赤道經緯度又戊子年西十二月十五日巳初初刻測得太白距太陽四十六度三十六分出地平高二十度居赤道之南十四度○四分太陽高三度躔星紀三度五十三分四十一秒在赤道南二十三度二十八分○二秒其總經二百七十四度一十四分四十九秒如圖甲為南極乙為太白丙為太陽丙甲為太陽緯度之餘六十六度三十二分乙甲為太白緯度之餘七十五度五十六分乙丙為兩測之距四十六度三十六分依法推得乙丙距之經度差為丁戊四十八度二十六分一十八秒以减太陽經度餘二百二十五度四十八分三十一秒為太白之總經度本日辰初三刻先測太白距角宿距星二十九度三十三分三十秒居赤道南一十四度○二分出地平上一十九度今依前圖乙為角距星丙為太白餘同上乙甲為角距星緯度之餘弧八十一度○二分四十五秒丙甲為太白緯度之餘弧七十五度五十八分乙丙為兩星相距二十九度三十三分三十秒依法推得甲角二十九度四十四分二十一秒為兩星之經度差又兩測間太白赤道度三分四十七秒以减前太白之總經度得二百二十五度四十四分四十四秒再减角距星與太白經度之差得總經一百九十六度○分二十三秒更求角宿距星赤道經度前借西土所測三星之度仍用三角形証之百簡其二三以明法之宻合其法再取角距星以較兩年所測而定其凖數如前丙戌年測娄北星得二十五經度五十五分四十一秒若加娄角二星元經度之差一百六十九度五十一分五十一秒即丙戌年角距星之經度共得一百九十五度四十七分三十二秒此比戊子年所得之一百九十六度○分二十三秒差一十一分一十一秒論赤道經度之星差兩年間不得有此所以然者因當日所測之星及太陽皆居赤道南與地平相近其視差為多繇有清蒙之差地半徑之差其視差愈多故也雖然其東西兩測之高度既同距度又同若以前差分秒平分之减多益少即得平矣故于戊子年减恒星差五十秒以進一周丙戌年反加之以退一周折中為丁亥年冬至之後角距星之經度有一百九十五度五十三分五十八秒與前獨測畢大星之經度正相合何者彼所得六十三度○分五十三秒而本星距角距之元經為一百三十二度四十八分一十○秒兩測之相距六年更加經五分(恒星東行每年五十一秒六年得五分○六秒)(赤經略同)并之得角宿距星丙戌年兩測為俱在同度同分僅隔五秒矣證獨測不如重測之便測恒星之經度向所云獨測為本法重測為簡法其大端矣重測之為簡法者獨測之求視差甚難重測則不論視差也所以不論視差者先於西邊測太陽之高度後於東邊測太陽之高度兩高度既同即其距赤道兩率不甚相逺而太白之兩高度與其兩距度亦然即有偏斜微細難推可勿論也此兩測所得數若有贏縮則兩視差所為矣而兩測之高同緯同則視差必同若依本法推論視差所得數於兩測一宜减一宜加今以贏縮之總率平分之加一於此减一於彼損有餘補不足適得其平與兩推視差何異焉故曰重測則不論視差苐谷之新法甚為簡㨗者也以赤道之周度察恒星之經度第四 二章近黄赤兩道有大星任定若干為距星用前測法或自西而東或自東而西求其兩測之距度及其距赤道之緯度即用三角形法推得其經度差如是相連綴求之以迄一周所得各赤道經度總之合於赤道周即如所測各距星之經度俱為宻合用此距星為衆星之界測量推算鮮不合也先右旋求四大距星之經度今借用萬厯十三年乙酉苐谷所測之星以為法如圖甲乙丙為極分交圏乙丙為赤道甲為赤道極庚為角宿距星距河鼓中星已九十七度五十○分在赤道南八度五十六分二十○秒河鼓已距娄宿北星丁九十○度一十五分在赤道北七度五十一分三十○秒娄北丁距北河東星戊七十四度四十五分三十○秒在赤道北二十一度二十八分三十○秒北河東戊又距角距星九十○度四十六分二十○秒距赤道二十八度五十七分左旋一周連綴測得各星之經度總之合於赤道周即各測俱不謬而可用為距星以測衆星矣依前法先推甲巳庚三角形其第一邊甲巳為河鼓中星緯度之餘八十二度○八分三十○秒第二邉甲庚為北極至赤道南之角大星共九十八度五十六分二十○秒第三邊庚巳為兩星之距度依上測為九十七度五十○分用三角形法推得九十六度四十五分○九秒為甲角之弧即兩星相距之赤道經度也次推甲巳丁三角形有第一甲巳邊有第二甲丁為北極至娄北得六十八度三十一分三十秒第三巳丁河鼓中娄北之距依上測為九十○度○十五分依法推得甲角之赤道弧九十三度二十二分五十八秒又轉推甲丁戊在左甲戊庚在右兩三角形其甲戊六十一度○三分為同用邊餘邊皆見上文依法推甲角左對弧八十三度五十七分三十三秒右對弧八十五度五十四分一十八秒此四星相距之各經度差并之得三百五十九度五十九分五十八秒以較赤道全周止差二秒若以秋分為界則於半周减一十五度五十二分一十八秒為秋分與角太星之距度次加各星之經度差以合於全周後左旋求六大距星之經度上文随恒星之本行自西而東測得其經度此自東還西反測之以證其宻合亦用角宿距星為首依萬厯乙酉所測赤道與前解不異所得諸星距度及赤道經緯度若數一二於眉睫之下也六大星 距赤道 度 分 秒 相距度 分 秒乙角宿距星 南 八 五十六 二十 五十四 二 ○丙軒轅大星 北 十三 五十八 ○ 五十四 三十三 四十五丁井宿距星 北 二十二 三十八 三十 五十八 二十二 ○戊娄宿大星 北 二十一 二十八 三十 三十四 三十七 十五已室宿大星 北 十三 ○ 四十 四十七 四十九 二十庚河鼓中星 北 七 五十一 二十 九十七 五十 ○六距星用大三角形輳甲者六角其第一乙甲丙形從甲過赤道至乙共九十八度五十六分二十○秒甲丙為軒轅大星距赤道之餘七十六度○二分乙丙為二星之距五十四度○二分推得甲角對二星之經度差四十九度一十九分二十○秒第二丙甲丁形先有甲丙其甲丁為井宿距星距赤道之餘六十七度二十一分三十秒丙丁為二星之距五十四度三十三分四十五秒推得甲角弧五十七度○四分一十○秒第三丁甲戊形先有甲丁其甲戊為娄宿北星距赤道之餘六十八度三十一分三十秒丁戊為二星之距五十八度二十二分推得甲角弧六十三度二十八分三十秒第四戊甲巳形先有甲戊其甲巳為室宿距星距赤道之餘七十六度五十九分二十○秒戊巳為二星之距三十四度三十七分一十五秒推得甲角弧四十四度五十八分第五巳甲庚形光有甲巳其甲庚為河皷中星緯度之餘八十二度○八分四十○秒巳庚為二星之距四十七度四十九分得甲角弧四十八度二十五分第六庚甲乙形先有兩腰其庚乙為二星之距九十七度五十○分得甲角弧九十六度四十五分一十○秒已上所得六經度差并之得三百六十度即赤道周若從二分起算則先定近分第一星近分之度以加减前測所得不異今依上述萬厯乙酉所測春分以後總經度如左星名 赤道經度 分 秒 赤道緯度 分 秒娄宿大星 二十六 ○ 三十 二十一 二十八 三十畢宿大星 六十三 三 四十五 十五 三十六 十五井宿距星 八十九 二十九 一十 二十二 三十八 三十北河東星 一百九 五十八 ○ 二十八 五十七 四十五軒轅大星 一百四十六 三十二 四十五 一十三 五十七 四十五角宿距星 一百九十五 五十二 一十八 八 五十六 二十河鼔中星 二百九十二 三十七 二十 七 五十一 二十室宿距星 三百四十一 二 三十 一十三 ○ 二十以恒星赤道經緯度求其黄道經緯度第五 六章前定赤道上之恒星經緯度可用以推考七政矣欲求備法湏更求黄道上經緯度也盖黄道上恒星之緯度終古不易其經度雖隨時變易而每星相距之經度差亦終古如一無相離無相就也所以然者恒星本行之極即是黄道之極故用赤道者為其與天元宻合用黄道者為其與本行宻合二道二極兩經兩緯兼而用之七政逺近灼然不爽矣欲推其理非三角形無繇得之今更依前所測諸星申明此法如左星居兩道之北如圖外周為極至交圏丁巳為赤道戊庚為黄道乙為赤道極丙為黄道極甲為娄宿北星之本位今設赤道距度甲丁經度辛丁以求黄道經度辛戊緯度甲戊其法用甲乙丙三角形有乙丙邊(兩極相距)有甲乙(赤道緯度之餘)有乙角(對邊丁辛)(巳丁辛為赤道經度辛為春分辛巳為象限)依三角形法先求得甲丙八十度○三分為黄道緯度之餘次求得丙角其弧戊壬得五十八度○六分五十○秒為黄道經度之餘壬夏至也辛春分也以戊壬减壬辛象限得戊辛三十一度五十三分一十○秒為黄道經度又以甲丙减丙戊象限得甲戊九度五十七分為黄道緯度求餘星倣此其居黄赤道南北左右位置不同别用三角形求之今畧舉如左星居兩道之中如甲為畢宿大星有赤道緯度甲丁依前用甲乙丙三角形求得丙極出弧過黄道戊至甲共九十五度三十○分五十一秒即象限外五度三十○分五十一秒為黄道之南距緯度而丙角之弧戊壬二十六度○二分以减象限得戊辛六十三度五十八分為畢大星之黄道經度又如甲㸃為井宿距星其甲乙丙三角形求甲丙法以乙丙乙甲兩邊及乙角推得甲丙九十度五十二分五十七秒為南距緯度其在黄道南者止五十二分五十七秒其丙角亦止二十八分四十○秒其餘辛甲即本星之黄道經度也星居兩道之南如角宿距星居黄赤二道之南圖中甲乙丙三角形與上相似即推法亦同但乙丙則南極耳形之甲丙弧八十八度○一分即甲星在黄道南一度五十九分是其緯度而丙角之對弧庚戊七十一度五十六分五十○秒即黄道經度自戊至秋分辛得一十八度○三分一十○秒星居兩道相交之左此圖則辛為春分辛巳為黄道辛庚為赤道冬至移左夏至移右而經度亦從左起算故甲乙丙三角形與上第一圖正相反上求甲丙此則甲乙上求丙角此乙角也如甲為河鼓中星依法求得乙極至甲六十○度三十八分三十秒即甲丁二十九度二十一分三十秒為黄道緯度而乙角之弧丁巳一百五十四度○四分减象限巳辛得辛丁六十四度○四分為距春分之黄道經度若甲為室宿距星依法求得乙極至甲七十○度三十四分即甲丁一十九度二十六分為黄道緯度而乙角丁巳一百○七度有竒可推其距春分之經度星居兩道相交之右此圖則辛又為秋分餘皆如前一二圖而甲星在秋分辛夏至癸之間即其經度必過一象限如甲為北河東星依法求得甲丙八十三度○二分○八秒即緯度在黄道北六度五十七分五十二秒而丙角於一象限外加一十七度三十○分二十六秒為其黄道經度若甲為軒轅大星即甲丙之餘甲戊在黄道北止二十六分三十○秒為其緯度而丙角之弧於夏至癸一象限外加五十四度○四分四十○秒為其黄道經度星名 黄道經度 分 秒 黄道緯度 分 秒娄宿北星 三十一 五十三 ○ 北 九 五十七 ○畢宿大星 六十四 ○ ○ 南 五 三十一 ○井宿距星 八十九 三十一 二十 南 ○ 五十三 ○北河東星 一百七 三十 三十 南 五 五十八 ○軒轅大星 一百四四 四 四十 北 ○ 二十六 三十角宿距星 一百九八 三 ○ 南 一 五十九 ○河鼓中星 二百九五 五十六 ○ 北 二十九 二十一 三十室宿距星 三百四七 四十四 ○ 北 十九 二十九 ○以恒星測恒星第六 二章前以太白求恒星簡知太陽所在因是推定各星度數其理著明矣今既得恒星為界即不必以太陽與距星比測直以星相比可得其實躔度數也測近赤道之恒星凡恒星近赤道四十度以下藉儀噐測之聊可省功太逺即不可葢渾儀中圏正合天元赤道乃至地平過極等圏皆切對其所當度分所以近赤道諸星不論在何方向即可指本星之赤道經度差及其距度也但湏用二星左右同見先得其逺近度差依法求得第三星之真經度(真經度者)(從降娄起算至本星)若彼此分秒相符即為宻合若有微差則平分其較以多益寡假如測井宿南第二星得赤道北緯一十六度四十○分左有軒轅大星其北緯一十三度五十七分四十五秒相距五十一度一十一分即所求經度差為五十三度○八分三十秒此應减於先得之軒轅經度而存九十三度二十四分一十五秒為是井二星之經度也(春分起算)右有畢宿大星其北緯一十五度三十六分一十五秒相距二十九度○九分即所求經度差三十度二十一分一十五秒應加於畢宿大星之本經度乃得井二星之經九十三度二十五分也兩測相比則右方所得數較餘四十五秒减半以益左得九十三度二十四分三十六秒為井二星赤道上真經度矣今更求黄道經緯度即以所得赤道經緯度依前第五題法即得井二星甲之經度在鶉首三度一十八分五十○秒其南緯六度四十八分三十○秒居黄赤二道之間其餘星各依本方本向或南或北各依三角形法推算俱倣此測近兩極之恒星隆慶六年壬申有客星甚大在䇿星東北甚近苐谷詳究其經緯度先測定四周諸星然後與本星兩兩相比即得其實所今先用所測王良西星以明其法按王良西星距娄北星四十一度二十○分四十五秒距北河南星七十七度二十五分如上圖甲為娄北星乙為北河丙為王良西星從黄道極丁出弧過各星至戊至已至庚成甲乙丁甲乙丙乙丙丁三三角形今所求者為王良西星距黄道之餘弧丁丙及丁角以得黄道上之戊庚弧定其經度也先論甲乙丁三角形其兩腰弧為二星距極之弧即其距黄道之餘弧也一為八十○度○三分一為八十三度二十二分其乙丁甲角之弧戊巳則二星之黄道經度差為七十五度三十七分如前法得甲乙底七十四度四十五分○八秒又得乙角八十一度二十七分一十五秒次論甲乙丙三角形其腰線即王良西星與二星之距而底線即上甲乙因推甲乙丙角四十二度三十四分一十八秒而存丙乙丁外角三十八度五十二分五十七秒(下文)(用此)末論乙丙丁三角形前已得乙丙乙丁丙弧及乙角因推得丙丁弧三十八度四十五分二十二秒其餘弧丙庚為王良西星距黄道之緯度又推得丁角七十八度○八分三十○秒是王良西星與北河南星之黄道經度差真經度所出也若更求其赤道經緯度即因所得度分如上圖之甲丙線及丙角依前第五題法即得本星之赤道經三百五十六度四十三分二十○秒其北緯五十六度四十八分三十○秒餘星皆依此法測恒星之資第七 一章測恒星測七政躔度公理也而有四資一曰測噐二曰子午線三曰北極出地度分四曰視差四資既具非其時又不可測焉測噐者何也凡測星有三求一求其出地平上度分二求其互相距度分三求其距黄赤二道之何方何度分所用噐亦有三一為過天頂之圈如𧰼限儀立運儀等此為測地平高度之噐一為紀限儀此為測兩距度之噐一為渾天儀南北觀𧰼臺所有即是是為兼測二道經緯之噐今所用測星者則紀限渾天二儀而非大不得凖非堅固不得凖非界畫均平安置停穏垂線與闚筩景尺一一如法亦不得凖也子午線者七政行度升之極而降之始也北極出地者凡用儀必以儀之極與本地之高極(高極者出地上之極也)相當而後各經緯皆相當乃始展轉測候焉若無子午以正東西升降無高極以正南北高下即一切綴算之法無從得用故二者測天之本也視差者何也凡七政之視差有二一為地半徑差一為清䝉氣差地半徑差月最大日金水次之火木土則漸逺漸消恒星天最逺地居其中止于一㸃故絶無地半徑差而獨有清䝉之差清䝉地氣去人甚近故不論天體近逺但以高卑為限星去地平未逺人目望之星為此氣所䝉不能直射人目必成折照乃能見之一經轉折人之見星必不在其實所即星體在地平之下人所目見乃在其上矣(說見日纒厯指)迨升度既高䝉氣已絶則直射人目是為正照雖星月之間微有濕氣不能為差也試用一星於地平近處測其去北極之度迨至子午圈上又測之即兩測必不合或用兩星於地平近處測其距度迨至子午圈上又測之即兩測亦必不合此其證也此氣晴明時有之人目所不見而能曲折相照升卑為高故名清䝉若雲霧等濁䝉直是難測不論視差矣苐谷累年測候妙悟此理剙立差分恒星視差比日躔視差更弱止近地平二十度以下乃能覺之表如下方作此表者其本方極出地之度與此方不等且視差亦随天氣各有多寡厚薄但數既宻微測得其時則此表可共用之所謂時者如雲霞霧霿無論已即使晴明時日而二十度以下䝉氣乃所必有若所測兩星俱在二十度以上即可不論視差若一在二十度上與䝉氣相絶一在二十度下居䝉氣之中則近地平之星必升卑為高而成視差兩星之經度非真率矣至若日躔𤣥枵於時為立春於候為東風解凍濕氣尤盛此際測星其視差必多於他時更宜消息加减之也此四資者為測星所須舉其大畧若全理全用具載本論測恒星之噐第八 二章測量全義之末篇論諸測噐畧備矣此所系獨測候恒星二噐者因上文每言測法必先明噐理然後能通其言意也測恒星相距之噐如前圖甲乙丙為全圏六分之一名紀限儀者厯家以六十為紀法以别於四分一之象限也甲為全圏之心乙丙為紀限之弧分六十度度分六分十二或三十任儀大小作之儀愈大分愈細即愈善耳甲丁尺為度尺樹圓表於甲以為尺樞其末丁游移弧上以定度分切度分之處剡其半為中線以直當甲心之一㸃丁上立一通光耳耳上於中線兩旁各作一罅各與中線平行兩罅之間與甲表之徑等是耳随尺游移故名通光游耳又於乙上立一耳常定不移是名通光定耳又别作一耳用則加之否則去之是名通光設耳三耳之用不同其制一也又於已上立一小表弧之上去乙二十度為戊去乙丙各三十度為庚巳戊線與甲庚平行使從戊闚已從庚闚甲其度分等而通光設耳之本所則戊也全噐以架承之或為圓球架或為三樞架令上下左右偏正無所不可以便展轉測諸曜之距度分測法先定所測之二星順其正斜之勢以儀靣承之以搘杖支之次令一人從定耳之一罅窺甲表同方之一邊令目與表與第一星相叅直又一人從游耳窺第二星亦如之次視兩耳下兩中線之間弧上距度分即兩星之距度分也若兩距度分絕少難容兩人並測即加設耳於戊以戊巳當乙甲向已表窺第一星而丁甲度尺對第二星如前從庚右數之即所測之距度因戊巳與庚甲為平行線故也凡測日與月月與星星與日皆倣此但日光照耀表景多虛淡不明宜用展縮木筩一具加度尺之上以束光聚影則灼然易見矣測恒星赤道經緯度之噐如前圖乙為子午圏周分三百六十度游移架上以就本方北極出地之高平分其周而設之軸平分其軸而設之表當天頂而設之垂線下置垂權至於壬而止以取平也架之下設螺轉之𣙗四以為足展轉視垂權而高下之以取平也軸之兩端入於乙圏之鑿欲其利轉也其交於己圏也己圏之交於丙丁圏也持之欲其固也丙丁圏者赤道也平分兩極而居於己圏之中界故又名中圏也已與丙丁兩圏為一體旋轉相從而兩圏之内又設為戊辛之圏戊辛與外圏同軸自為旋運不交於外圏而丙丁戊辛兩圏之上各設兩游耳游耳者可離可合百游無定之通光耳也兩圏之各兩靣皆平分為三百六十以定度分其測星也用赤道圏求經度法以兩通光耳一定焉一游焉一人從定耳窺軸心之甲表與第一星叅直一人移游耳展轉遷就窺甲表與第二星叅直兩耳間之度分即兩星之真經度差也用戊辛圏求緯度亦以通光耳遷就焉若測向北緯度即設耳於赤道南測向南緯度即設耳於赤道北皆凖諸軸心之甲表令目與表與所測星叅直乃止次簡游耳下本圏之度分在赤道圏或南或北凡若干即本星之距赤道南北度分新法算書巻五十六
## 卷五十七
欽定四庫全書
新法算書卷五十七 明 徐光啟等 撰恒星歴指卷二恒星本行第一 五章前卷所借西史測星之法為恒星厯之基本此卷應凖前法仍借舊測諸星經緯度立表以待推算然舊測在萬歴十三四年今相去四十餘載不復可用宜作新表又須先明新舊所以異同之故不得不論其本行次乃定時下各星之經緯度表恒星本行之徵七政之運行也時相㑹時相對其與恒星也時相近時相遠其本曜之光時消時長(月有晦朔弦望近論大白辰星熒惑皆有之)其東西出没於卯酉也時南時北其過子午圏也時高時下人目所見變動不居故從古迄今人人知其自有運動因生各曜推步之法無可疑者若恒星則無先相㑹後相望無先相近後相遠其光不消不長其東西出没其過子午圏雖百數十年無從覺其有差安知其有本運動乎夫恒星移運非一世之事前古厯家既已測其定度欲更得其轉移之數必百年數十年誰能待之是故一人之身絶無能覺之緣也後來學者傳受先賢所測度數復身試測之往往見其不合先人所見與四節相近者後人測之漸遠又後之人測之又漸遠從是推知恒星有本行之實度分及其移易之所以然也如角宿大星古地未恰於周赧王二十年丙寅測得其經度在秋分前鶉尾宫二十二度後多祿某於漢順帝永和三年戊寅測在鶉尾宫二十七度後尼谷老於嘉靖四年乙酉測得過秋分在壽星宫一十七度後第谷于萬厯十三年乙酉測在壽星宫一十八度軒轅星亦如之周赧王丙寅在鶉首宫二十七度漢永和戊寅在鶉火宫三度三十分今測在鶉火宫二十四度四十分餘星皆如之是以帝堯之世日中星鳥謂春分則初昏時鶉火中也而周末在井今在參矣堯時冬至日在虛漢唐在斗今在箕矣非其自有本行安得冬至離虛宿而西鳥離子午而東乎恒星本行之極十政本行以黄道為道以黄道極為極終古恒然何繇知之葢人目所見出没于地平之卯酉南北不一過午之高度多寡不一又有時離赤道而南有時復還於赤道之北以此知其行必非循赤道行以此知其極必非宗赤道極也然七政之循黄道或浹旬可得或周嵗可得恒星之循黄道必上下古今然後可得何者上古有測中古有測今時有測乃恒星出没地平之處今非中古之處中古非上古之處其過午之軌高亦然而恒移不定者赤道之距度恒定不移者黄道之距度也以此推知其循黄道行宗黄道極與七政同理灼然無疑矣更徵實論之凡恒星距赤道之度從星紀迄鶉首則在赤道之南者必古多而今漸少在赤道之北者必古少而今漸多不似七政之行從冬至逾春分而夏至自南趨北乎從鶉首迄星紀則在赤道之南者必古少而今漸多在赤道之北者必古多而今漸少不似七政之行從夏至逾秋分而冬至自北趨南乎如外屏第二星堯時在赤道南十二度强因此時入娵訾宫故距度漸減至多祿某尚在南二度四十九分後漸過赤道以北今北距五度矣井宿距星堯時在赤道北一十四度弱因入實沈宫故距度漸加至多祿某得二十度正今北距二十三度與夏至圏相近也又軒轅大星堯時距赤道北二十四度因入鶉火宫故距度漸減至多祿某得一十九度三十分今止一十三度三十分角宿大星堯時距赤道北十度因入鶉尾宫故距度漸減以至于盡盡而復加至多祿某過赤道距南三十分而今漸遠距南得九度一十分以此三四星為徵餘者盡然知其不隨赤道而循黄道行宗黄道極也且七政皆右行而恒星亦右行以此推之尤著明矣恒星本行古測多祿某見恒星距赤游移不一先以上古所測星之赤道距度黄道距度及其兩道相距度依三角形法測得其黄道經度後以自測之赤道距度如前求所當之黄道經度以兩距時之經度差得中積之本行假如地末恰在其前四百三十二年所測角宿大星距赤道北一度二十四分距黄道南二度正此時之兩道相距為二十三度五十一分因推其黄道經度在鶉尾宫二十二度二十分後自測其黄道距度已過赤道而南三十分其黄道距度及兩道相距如前因得本星黄道經度在鶉尾宫二十六度三十八分以較地末恰所測差四度一十八分以四百三十二年分之約得一百餘年而行一度此多祿某所定為恒星本行也泥谷老後多祿某一千三百八十六年又以時史所記恒星距赤道度及所自測以推其本行漸次戚速葢從多祿某至巴徳倪七百四十一年共得本行一十一度二十六分為六十五年而一度又六百四十五年至見測時行九度一十一分是為六十一年而一度以是論恒星之本行有遲速初無恒度可為常定不易之法也因立為遲疾加減法今畧解之云凡恒星去離四節有兩説或云恒星離四節(二分二至)而右行毎六七十年進一度或四節離恒星而左行毎六七十年退一度其理則同此所用者左行而退度也如圖甲戊子大圏為黄道甲為天元春分古時合于婁宿南星後來春分去離天元甲而積漸西移以至于戊乃其行遲疾不一故推步之法以從甲至戊之本行為春分去天元之平行以戊為心作午子巳小平面圏帖合于圓球面上以子未全徑指量平行與視行(視行即實行也)之差度其癸己辛邊上為自行度立加減法若在巳未午半圏則減于甲戊之平行以得其實行若在午子巳半圏即加于甲戊之平行以得實行也依此所求有三一求春分節戊隨時去離天元甲若干為平行二求小圏之最遠巳隨時向辛未行若干為自行三求子未小圏半徑内加減度所當小圏邊之自行度即顯恒星實本行之度也恒星本行今測從古厯家既知恒星自有本行後相去二千餘年其所行度尚未及周天十二分之一(三十○度)其遲如此乃欲藉此推測全周欲定其運行體勢厯嵗多寡譬如隙中窺豹所見一斑而遽欲槩其全體何從取證乎故古來諸家所定或六十年或七八十年或百年而行一度各不相合若于諸家所定長短不齊之中立為别法又甚繁而未必是也第谷精思累年用前賢之成法展轉㕘訂始信恒星運動常是平行雖從前諸測不無差殊究所從來各有因起窮極理勢終歸一致其説先以泥谷老所測角宿距星試之於正徳九年甲戌測得赤道南距八度三十六分第谷疑前測地面其北極出地高度尚非真率使人用大器密測實得彼所用高度尚差二分四十五秒因辨角距星距度中宜減二分四十五秒為北極不及之度又以所自測本星之黄道南距一度五十九分及此時之兩道相距二十三度三十一分三十秒依前卷三角形法改泥谷老時所測黄道經應得過秋分一十七度○三分三十○秒又自于萬厯甲申年測算得十八度○三分兩測時相距七十年而角南星行五十九分三十秒即一年得五十一秒為恒星本行之恒數也又疑七十年時日太少不足以推驗全周再引係巴科於漢武帝元朔六年戊午所測軒轅大星在鶉首宫二十九度五十分至自測時逾一千七百一十三年乃在鶉火宫二十四度○五分即所行二十四度一十五分以距年而一亦得五十一秒為一年之本行凡七十年又七閲月而行一度可為定率矣又因此距太遠復引巴徳倪在係巴科後一千○六年為唐僖宗中和四年甲辰所測軒轅大星得其黄道經度在鶉火宫一十四度○五分比元朔戊午嬴一十四度一十五分迄第谷時越七百○五年而差一十度正䆒其比例又得五十一秒為一年之本行且無遲速若兹㕘伍知千年數百年此率猶當未變也或問前言古名厯若地末恰若多祿某各有測驗第谷時曷不用此二家之説並加㕘伍乎曰依地末恰多祿某測法即二家所得本行先自不合用之㕘伍將何從而可乎試簡彼兩測角距星地末恰測在鶉尾宫二十二度二十○分越一千八百七十九年而第谷測得經度東行二十五度四十三分即一年平行僅得四十九秒一十五微多祿某測在鶉尾宫二十六度四十○分越一千四百四十六年而第谷測得東行二十一度二十三分即一年平行五十三秒一十五微何從而可乎若損有餘補不足亦宜以五十一秒為正何況有係巴科巴徳倪第谷三測並較並無乖舛安得舎此之密合而從彼之紛紜哉又問古者測驗何故多有不合而今所當用全屬第谷之新法乎曰第谷測星非得其分秒不用非三四器三四人同時並測而所並得在一分以内不用故其法為獨密也古法寛疎或儀器未善或未覺知天行變易之詳所測度數差在數分之内自謂足矣安得如新法之精乎又第谷于恒星一一測候皆躬親為之又苦心數十年乃得就此若古測不能遍及諸星又皆遠借係巴科所遺之經緯度表加以後來行度率爾立法未如第谷之實測實見確有據依可以信今傳後也若泥谷老所立恒星測法設平行自行以遲疾加減求得實行當其時誠為密合今以測星法細考之已覺稍遠將來愈久愈遠後有作者當自得之不待繁稱也恒星本行表因列宿本行恒平分無遲速可用加減法於厯元以前厯元以後時時推得黄道經度所在也若因黄道距度稍有變易恒星本行亦當小差此在數百載之後隨時測定若經度分即數百年後亦當未變況第谷所測近在四十年間今借用之豈非濵河汲水甚易而實是乎崇貞元年戊辰為厯元下推應加上推應減(分秒法俱六十)加(毎年五十一秒)減(同上) 加(同上) 減(同上) 加(同上) 減(同上)戊辰(分○○秒○○)戊辰 丁丑(○七三九)已未 丙戌(一五一八)庚戌已已(分○○秒五一)丁卯 戊寅(○八三○)戊午 丁亥(一六○九)已酉庚午(分○一秒四二)丙寅 巳卯(○九二一)丁巳 戊子(一七○○)戊申辛未(分○二秒三三)乙丑 庚辰(一○一二)丙辰 已丑(一七五一)丁未壬申(分○三秒二四)甲子 辛巳(一一○三)乙卯 庚寅(一八四二)丙午癸酉(分○四秒一五)癸亥 壬午(一一五四)甲寅 辛卯(一九三三)乙巳甲戌(分○五秒○六)壬戌 癸未(一二四五)癸丑 壬辰(二○二四)甲辰乙亥(分○五秒五七)辛酉 甲申(一三三六)壬子 癸巳(二一一五)癸卯丙子(分○六秒四八)庚申 乙酉(一四二七)辛亥 甲午(二二○六)壬寅加(毎年五十一秒)減(同上) 加(同上) 減(同上) 加(同上) 減(同上)乙未(分二二秒五七)辛丑 庚戌(三五四二)丙戌 乙丑(四八二七)辛未丙申(分二三秒四八)庚子 辛亥(三六三三)乙酉 丙寅(四九一八)庚午丁酉(分二四秒三九)已亥 壬子(三七二四)甲申 丁卯(五○○九)已已戊戌(分二五秒三○)戊戌 癸丑(三八一五)癸未 戊辰(五一○○)戊辰巳亥(分二六秒二一)丁酉 甲寅(三九○六)壬午 已已(五一五一)丁卯庚子(分二七秒一二)丙申 乙卯(三九五七)辛巳 庚午(五二四二)丙寅辛丑(分二八秒○三)乙未 丙辰(四○四八)庚辰 辛未(五三三三)乙丑壬寅(分二八秒五四)甲午 丁巳(四一三九)巳卯 壬申(五四二四)甲子癸卯(分二九秒四五)癸已 戊午(四二三○)戊寅 癸酉(五五一五)癸亥甲辰(分三○秒三六)壬辰 已未(四三二一)丁丑 甲戌(五六○六)壬戌乙巳(分三一秒二七)辛卯 庚申(四四一二)丙子 乙亥(五六五七)辛酉丙午(分三二秒一八)庚寅 辛酉(四五○三)乙亥 丙子(五七四八)庚申丁未(分三三秒○九)已丑 壬戌(四五五四)甲戌 丁丑(五八三九)巳未戊申(分三四秒○○)戊子 癸亥(四六四五)癸酉 戊寅(五九三○)戊午已酉(分三四秒五一)丁亥 甲子(四七三六)壬申 巳卯 丁巳嵗差第二嵗之有差亦多故矣一因太陽最高行度一因太陽本圈心去離地心漸次不等此二者為自差之根或因測驗未合或因北極出地之高度未真此二者為偶差之根若無北四緣即太陽所成嵗周終古若一何難之有哉然而太陽最高地心去離皆緣古今測候灼然無爽故當依彼自差剙意立法若恒星行度叅錯短長既未能確見其所繇而平行一法又千數百年來的有可據則短長之因亦宜斷歸于偶差而巳何必强定為自差揣摩臆度定為㕘差之法并向下諸天亦與之為㕘差牽率天行憗從彼管窺未定之説耶今依實測實理則恒星經嵗之間其東行實得三百六十五日二十四刻○九分二十六秒四十三微常有定率絶無多寡以較日躔定用嵗實實贏一刻○五分四十二秒以變經度得五十一秒為恒星周嵗離四節而東行之經度恒星嵗實古今定嵗實之法有二一為星嵗恒星行周嵗而復於故處是也一為節嵗日行周嵗而復于故處是也近古厯家專用節嵗者多矣尼谷老于正徳年間欲復用星嵗其説引恒星之嵗實三一上古之實為三百六十五日二十四刻一十一分其一中古之實為三百六十五日二十四刻○九分一十二秒又自行測驗約畧改定為三百六十五日二十四刻○九分四十秒以先後三率較之所差僅一分四十八秒以為密親又用古今所測節嵗相較二千年以來有差至八九分者以為疎遠此其復用星嵗之本意也然第谷更密考之并恒星嵗實所得日數亦復小異其法取多祿某所測太陽及恒星度分以較所自測度分又除去最高差不同心差專求太陽從婁西星平行之度(上古春分節密合于婁西星後節漸違星而西星漸違節)(而東推步者從天元春分以迄婁西定為若干度分是名嵗差根也)自多祿某以迄自測得兩距之中積度分用中積嵗而一為毎年之嵗實也按多祿某于漢順帝永和三年戊寅測得天正秋分第谷于萬厯十六年戊子亦如之次加兩測地之東西差(兩測地有東西差即中積嵗之率有多有寡加之者令兩測之中積嵗等)得中積距一千四百五十五年三百五十三日五十九刻一十○分依此查太陽平行得若干周如左多祿某測太陽在秋分節其最高在實沈宫五度三十分其本圏心距地心之度為六十分本圏半徑之二分二十九秒三十微如圖甲為㝡高丙為最高心戊為地心甲乙為太陽離最高之弧弧之對甲戊乙與丙戊乙同角則乙丙戊三角形内有乙丙為本圏之半徑有丙戊為本圏心離地心之遠有丙戊乙角對太陽去最高之遠可推得丙乙戊角為中處(日平行所至)與實數(以見測視行依法加減訖即實行)之差因在夏後冬前宜以中實差加於實處(若冬後夏前則以減于實處)即太陽實處改為中處而離春分得六宫二度一十分當時嵗差根止六度三十六分(因此時測得角距星距赤道三十○分推得其)(黄道經度距春分為一百七十六度三十六分内減角距婁西之本距一百七十度正餘六度三十六分為此)(時之嵗差根)以減太陽距節平行度六宫二度一十分得太陽距婁西星平行度五宫二十五度三十四分為陽嘉元年壬申之太陽平行根後第谷亦測太陽在秋分此時最高移至鶉首宫五度三十○分如圖甲為最高丙為太陽本圏心戊為地心二心之距丙戊為六十分本圏半徑之二分○九秒乙為太陽之實處(見測之數已經加減訖)距最高八十四度三十○分所對甲戊乙與丙戊乙同角即乙丙戊三角形内有乙丙丙戊兩邊有戊角可推丙乙戊角為中處與實處之差得二度二分三十○秒以加實處得中處六宫○二度○二分三十○秒為太陽距春分之平行度也内減此時之嵗差根二十八度○五分三十○秒得太陽去離婁西星平行五宫○三度五十七分以較前多祿某所測五宫二十五度三十四分所差二十一度三十七分為太陽中積年間之平行以恒星之中積度分推太陽之右旋得一千四百五十五周三百三十八度二十三分以四率比例推得日行度五十九分○八秒一十一微二十七纎一十四芒二十六末五十四塵一年行一十一宫二十九度四十四分四十九秒四十○微四十二纎五十三芒三十八末三十○塵為恒星嵗實較尼谷老所定實少一十三秒一十六微三十○纎變時得三百六十五日二十四刻九分二十六秒四十三微三十○纎自多祿某以來至于今恒如是問星嵗無差而有定算如此何近古厯家不復用之曰欲立嵗限以定處為主節嵗于纒道有定處于四節有定處于天氣寒暑有定處若星嵗雖有定算而無定限隨恒星右旋若隨火木土而已以此較彼將孰愈也其餘尚有他故厯指詳之恒星變易度 第三向言恒星有本行足明其黄道經度日日變遷且有定率矣若用此以推赤道經緯度及黄道緯度可否移易及其經度差互相近互相遠俱未及詳也今論次如左恒星赤道經緯度變易定恒星向赤道之度必從赤道起算右行則為經度而去離南北則距度也若從赤道兩極出大圏過春分名極分交圏乃為界首經度所始而星居其上者不論在赤道之或南或北皆無經度分因在初度初分故也一離此圏不論左右遠近皆名正升度之圏(是從)(黄道上行而與赤道同出地平同入地平者名升度圏其在正球處名正升在欹球處名斜升然止論赤)(道度則皆用正升)乃以限赤道之經度容赤道之緯度也又赤道大圏為南北距度所始星居其上則無緯度一離此圏不論南北遠近乃至兩極皆名距等圏(或云赤道)(緯圏)乃以限赤道之緯度容赤道之經度也但赤道既斜交于黄道而恒星依黄道有本行必與赤道緯圈皆以斜角相交相過即星雖在赤道緯圏上得限距度而以迤行故即黄赤兩距圏毎相違遠矣故星之升度圏能得黄赤經度合一不離者獨有二一為同在極至交圏一為同在兩道交之兩㸃自此而外更不可得雖行黄道經度均平如一其行赤道經度時時變動所以然者赤道之升度圏與黄道極所出圏相遇有疎有密隨在不等故也如圖赤道極乙所出升度圏乙午乙子乙癸等黄道極甲所出圏甲庚未甲丑未等若星在黄道緯之丙己圏行近于黄道即黄赤兩極所出兩圏相去畧等其經度或赤道或黄道東行亦畧等若星距黄道遠在戊丁圏從戊至庚設一十五度即星厯黄道經圏若干時得戊庚十五度而厯赤道升度圏亦若干時所過乙壬乙癸(各十五度)將及乙甲幾四十度矣所以然者甲庚未弧限黄道經度至戊庚己稍寛而乙壬乙癸等弧限赤道經度至此尚密所以星行厯黄道經度少厯赤道經度多也又使有星在黄道緯之辛丁圏上行即乙午乙子等弧限赤道經度者反寛而甲辛未等弧限黄道者反密則星行時所厯黄道經度反多厯赤道經度反寡矣總言之為星行二道之經度恒自不等再論星厯赤道緯度亦常不等如圖甲為星在赤道南二十三度三十○分若行一周必至分節乙即無距度然隨黄道行必過赤道而北極遠處又在北二十三度三十○分矣又丙為星行一周即離赤道圏丙漸至己行愈遠去赤道亦愈遠至丁必離四十七度若更在戊距赤道丙己向北二十度過庚行愈遠距亦愈遠至壬為本圏距赤㝡遠之界更加二十度總為六十七度矣餘皆倣此葢左邊距赤之度毎多于右邊距赤之度如庚之距乙多于戊之距丙也至北極癸即左滿九十度若過極即周行皆在癸丙九十度間戊辛之間加一度即癸辛之間減一度(減者減癸丙九十度也)若至黄道極辛即其距度終古不易矣二十八宿各宿度變易或問二十八宿有次第葢日月五星各以本行先厯角宿至亢至氐房心等古昔如此今世不然所見先入參度而後過觜度自餘不覺者宿度寛也其實皆有之何故曰二十八宿不以赤道極為本行之極而以黄道極為極故其行度時近時遠于赤道極行漸近極即北極所出赤道經圏漸密七政過之其行則疾漸遠極即赤道經圏漸疎七政過之其行則遲七政行度疾于恒星遠甚其逐及于近極之恒星在古覺速在今覺遲其逐及于遠極之恒星在古覺遲在今覺速皆緣二道二極能使其然非七政有異行亦非恒星有易位也如圖赤道南北極甲上所出各圏相去皆設一十度黄道兩極乙上所出各圏亦如之有星為丁即限其赤道經度者為甲丁癸圏而星却不依赤道行乃依黄道自丁向戊行約毎七百年行一十度也又一星為己原設在丁前一十度其限赤度者為甲己子圏而所行亦依黄道自己向庚七百年十度因是己星依黄道至壬時丁星亦依黄道至辛己壬以黄道算得十經度而丁辛亦正對寅卯為黄道之十經度也然以赤道算之則黄己壬所對赤子丑一十度之弧而黄丁辛所對不止赤癸子一十度之弧更過赤道子而近丑將及二十度即丁星先在己星之後十度而漸向前行至逐及于甲丑圏上即兩星同經度矣過丑則丁反在前矣假令日循黄道亦于丁戊線上行何得不于七百載之先至卯入丁宿度前距己未及數度而七百載之後乃至壬并入丁己二宿同經之度乎此非行有疾遲皆因度有廣狹故也度之所以廣狹者分宿度以赤道所出經圏為限而步七政以黄道所出經圏為限也但此設丁己二星一近北極一近黄道相去稍遠者欲令此理灼然易見若設兩星距度不遠即不必七百年能超踰十度或進一二度亦此理耳若古時七政所歴先後不相越者正當黄赤二度廣狹相等故也考赤道宿度差中厯古分宿度以相并或不成一周天今用之不合天度因自授時以來如上所説宿度變易故也法宜先求今之實宿度以究極古今異同之故仍立法以求古之實宿度如堯時冬至相傳日在虛七度或在初分或在末分皆不可知今折中設在六度三十○分即所用虛宿距星定在析木宫二十三度三十○分為其赤道經度則其距黄道之緯度必八度四十二分以此經緯度依三角形法推其黄道經度所得與赤道經度不遠亦在本宫二十三度三十八分所以然者兩星之黄經度差終古不易依諸距星今相離黄道經度可以定古黄道各宿度而更以黄經緯度覆求各距星之赤道經度及各宿本度也其術俱用三角形法古赤道積宿度(今算定) 今赤道積宿度角一百四十六度三十一分(春分起算) 一百九十六度二十六分亢一百五十九度○五分 二百○八度一十分氐一百六十八度四十四分 二百一十七度二十九分房一百八十一度四十五分 二百三十四度一十分心一百八十七度二十五分 二百三十九度三十八分尾一百八十九度二十○分 二百四十五度四十七分箕二百○七十度○五分 二百六十五度○五分斗二百一十七度二十七分 二百七十五度三十九分牛二百四十二度四十六分 三百○ ○ 度○三分女二百五十○度○十○分 三百○六度五十三分虛二百六十三度三十○分 三百一十八度○○分危二百七十二度三十七分 三百二十六度四十一分室二百九十一度二十四分 三百四十一度三十四分壁三百○七度二十四分 三百五十八度三十四分奎三百一十九度五十三分 六 度五十七分婁三百三十三度四十六分 二十三 度三十二分胃三百四十四度二十分 三十五 度三十六分昴三百五十九度二十二分 五十○度十 六 分畢一十○度二十二分 六十一度四十五分觜二十八度二十五分 參七十八度二十九分參二十○度五十五分 觜七十八度四十三分井三十五度一十七分 九十○度○ 七 分鬼六十五度○八 分 一百二十二度二十一分柳七十二度三十三分 一百二十四度三十○分星八十八度五十四分 一百三十七度二十一分張九十六度二十四分 一百四十三度○九分翼一百一十三度○三分 一百六十度二十八分軫一百三十度○二分 一百七十九度○六分亦道古各宿度 今各宿度 依三百六十五度四分度之算角十二度三十四分 十一度四十四分 十一度九十分四十四秒亢九度三十九分 九度十九分 九度四十五分二十六秒氐十三度○一分 十六度四十一分 十六度九十二分六十六秒房五度四十分 五度二十八分 五度五十四分六十四秒心一度五十五分 六度九分 六度二十三分九十七秒尾十七度四十五分 一十九度一十八分 十九度三十分○秒箕十度二十二分 十度三十四分 十度五十六分六十六秒斗二十五度十九分 二十四度二十四分 二十四度七十五分五十八秒牛七度二十四分 六度五十分 六度九十三分六十一秒女十三度二十二分 十一度○七分 十一度二十七分五十七秒虛九度七分 八度四十一分 八度八十一分○秒危十八度四十七分 十四度五十三分 十五度十分四秒室十六度○○ 十七度○○ 十七度二十四分七十九秒壁十二度二十九分 八度二十三分 八度四十四分五十六秒奎十三度五十三分 十六度三十五分 十六度八十一分六十三秒婁十度三十四分 十二度四分 十二度二十四分二十六秒胃十五度○二分 十四度三十分 十四度七十分五十八秒昴十一度○○ 十一度二十九分 十一度八十一分○二秒畢十八度○三分 十六度三十四分 十六度八十分八十二秒觜二度三十分參○度二十四分 ○度四十分○秒參四度二十二分觜十一度二十四分 十一度五十六分○二秒井二十九度五十一分 三十二度四十九分 三十三度二十九分五十三秒鬼七度二十五分 二度○九分 二度一十五分○秒柳十六度二十一分 十二度五十一分 十二度八十五分○秒星○七度三十分 五度四十八分 五度八十八分四十六秒張十六度三十九分 十七度一十九分 十七度五十六分九十二秒翼十六度五十九分 一十八度三十八分 十八度六十三分三十三秒軫十六度二十九分 十七度二十分 十七度三十三分三十三秒恒星黄道經緯度變易第四前論赤道星度設大圏過南北兩極及赤道上以定諸星赤道經度又赤道左右設不等小圏至兩極横割子午圏以定赤道緯度今論黄道以定其經緯度亦如之但不從赤道南北極論而以黄道南北極論一切行度及行度之有變易皆主此今論其緯度變易與否及其經度差與諸星相近相遠以盡黄道星度之理恒星黄道緯度變易第谷測星數十年得其黄緯度以較多祿某所記微不合且極至交圏側近之星比于極分交圏側近之星其緯度所差尤多反覆研究以古黄經度及赤緯度究其所當黄緯度明其實然又欲定諸星之古時經度宜得一起算之界故先求角宿距星經度(此為近于極分交圈者其黄赤距當不易)依前三角形法求其緯度按地末恰所測角距星距赤道北一度二十四分係巴科所測止距三十六分後多祿某測得其距度在赤道南三十○分其黄道南距度因此時離秋節不遠故恒為二度不變因推得黄經度於地末恰時在鶉尾二十一度五十三分後係巴科時在本宫二十三度五十三分多祿某時至二十六度三十八分繇是以角南為距星先測近二至之星試之然後以測分至兩間之星各得其緯度分知諸星之距黄緯度漸近二至漸有變易焉非星位之有變易也而黄道之時遠時近于赤道也北河西星距角距星之黄經差九十三度三十五分而在左(此為近于極至交圏可驗黄赤距度變易之數)地末恰時其經度在實沈宫一十八度一十八分與夏至近其赤道距度三十三度正後係巴科時稍前在本宫二十○度一十八分赤距度三十三度一十○分又多祿某時更前在二十三度○三分而赤緯度三十三度二十四分因是可求其黄緯度各時所當焉如圖外圈為極至交圈甲丙為赤道甲乙為黄道丁為北河西星甲己為黄經度庚己為過黄道極及本星之弧其赤道緯度三史所測皆設為丁戊今所求為丁己黄道距度也丁辛庚三角形内有丁辛邊為本星距赤道戊丁之餘弧(在地)(末恰時為五十七度蓋三十三度之餘也)有庚辛邊(黄赤二道最遠之距于時為二十三度五十一)(分二十○秒)有辛庚丁角(甲己黄經七十八度一十八分餘己乙一十一度四十二分為辛庚)(丁角之弧)以求庚丁第三邊得其餘弧即本星之黄緯度丁己法從辛至壬下垂線成兩直角形一為壬辛庚一為壬辛丁先壬辛庚内有庚辛邊有庚角有壬直角以求壬辛邊得四度四十二分一十五秒又求壬庚得二十三度二十五分次壬辛丁内有壬直角有壬辛辛丁二邊以求壬丁邊得五十六度五十二分十五秒以并先得之壬庚邊共八十○度一十七分一十五秒為丁庚邊是黄道緯度丁己之餘弧即當時北河西星離黄道極庚之度而其餘九度四十二分四十五秒為本星距黄道之度依係巴科所測赤緯度如前其丁辛邊則五十六度五十○分(三十三度一十○分之餘)兩極相距辛庚仍前二十三度五十一分二十秒辛庚丁角九度四十二分(黄經甲己八十○度一十八分)(之餘)推壬辛邊三度五十四分三十○秒壬庚二十三度三十三分壬丁五十六度四十四分四十五秒并得丁庚八十度一十八分即北河西星黄道之北距丁己九度四十二分依多祿某所測其兩極距如前本星赤道緯三十三度二十四分即丁辛邊為五十六度三十六分黄道經八十三度○三分即辛庚丁角六度五十七分以推壬辛邊得二度四十八分二十秒壬庚二十三度四十二分以加壬丁五十六度三十三分一十五秒并得黄緯之餘弧庚丁八十度一十五分一十五秒其緯度稍强于前兩測為九度四十四分四十五秒總三史所推折中為九度四十三分以較今測北河西星之距黄道一十○度○二分實差一十九分為三史時至今黄赤相距之度漸次改易自遠而近也又河鼓中星角距星之經差九十七度五十二分在右邊(亦近于極至交圈可驗黄赤距變易)地末恰時在析木宫二十九度五十○分距赤道北五度四十八分後稍前至星紀宫一度五十分其距赤緯亦五度四十八分及多祿某時更前至本宫四度三十五分其距赤緯五度五十分此時此星在冬至左右不遠故以黄赤二道相距最遠之度加三測之本星赤緯度即得黄緯度二十九度四十○分為其切近于極至交圏與其在圏也畧等故不用三角形法乃今河鼓中星距黄道二十九度二十一分三十○秒以此證近至之黄赤距度昔遠今近極著明矣前用二星者為其一近冬至一近夏至皆在黄道北必一増一減其黄緯度隨黄道所兩至之處測其違離南北幾何得其漸近于赤道也若考星居分至之間者則其差亦在多寡之間矣如昴宿東第二星地未恰以太陰測之得其北距黄道三度四十○分在降婁三十度後在大梁三度亞仁諾所測未移緯度而今測在本宫二十四度四十五分恒得距黄道三度五十五分較古測强一十五分為此處變易黄道之度也又房宿北星與昴宿為對照地末恰所測在大火宫二度距北一度二十○分後在本宫六度黙聶老所測未移度而今測乃前至二十三度二十分距黄道止一度○五分較古測差一十五分即此時黄道近就于赤道亦一十五分矣或疑黄赤二道之距既能自遠而近則邃古之時必更遠遠于何止乎曰邃古之距無從取證何可妄為之説但近古三史皆以二十三度五十一分為二至距赤之限且測非一人人非一測又皆以太陽二至之高下得之豈有悮乎今世之測驗更細更詳比昔就近實為三分度之一尤無可疑者但自今以後當復更近近何時已近極或當復遠復在何時此則人靈微𦕈無能窮天載之無窮耳或問前所求虛宿等距星上古之經度也而用今之黄緯度能無謬乎曰用今世之緯度微不同千古之緯度但以之推南北度亦微差以求東西經度即無緣致誤矣恒星黄道經度不變易前以恒星之有本行徵其赤道經緯度隨時變易者為諸星循黄道行斜交于赤道故也今論諸星循黄道行互相視有遲速乎曰否藉有遲有速者必有違有就位置有違就者形象必有改革乃自上古以來氐恒似斗尾恒如鈎天津如弓箕宿向冬至行四千年得五十四度虛宿之過冬至也四千年亦五十四度餘皆若此歴數千年形像如故運行如故遲速如故知黄道經度決無變易矣係巴科于二千年前述古記以遺後世論黄道周繞數星或居一直線上或别成形象多祿某在後更測之仍如是迄今不改如當時婁宿自西一二星與天大將軍南二星作一直線天關星偕畢大星天廩南二星同在大梁宫亦如之北河二大星與五諸侯中星為三等邊三角形鶉火宫内御女與軒轅向北第二第四第六星皆相距等遠次相星與角宿北星亢宿北二星在鶉尾宫皆作一直線虛宿二星相距之廣同危宿南北二星相距之廣也此皆古係巴科所傳與今所見一一不爽試用尺度向地平二十度以上既離蒙氣之處一一量度甚易見也此以知恒星各相距或遠或近窮古今恒如是矣考黄道宿度差星自循黄道上行而分别宿度之過極經圏乃從赤道極上出故以黄道之星厯赤道之度迤行斜過疎密疾遲變遷不一出黄極者諸星依之運動相距遠近行度遲速終古如一也故當有諸恒星之黄道經度法先以堯時冬至日躔虛六度三十○分用三角形法推得其正麗黄經度二百六十三度三十八分而以經度差定率厯推古今之黄道各宿積度各宿本度並列于左黄道宿古積度 黄道宿今積度(平度)角一百四十四度○三分 一百九十八度三十九分亢一百五十四度三十八分 二百○九度一十四分氐一百六十五度一十八分 二百一十九度五十四分房一百八十三度一十二分 二百三十七度四十八分心一百八十七度五十八分 二百四十二度三十四分尾一百九十五度三十一分 二百五十○度○七分箕二百一十一度○七分 二百六十五度四十三分斗二百二十○度二十七分 二百七十五度○三分牛二百四十四度一十八分 二百九十八度五十四分女二百五十一度五十九分 三百○六度三十五分虛二百六十三度三十八分 三百一十八度一十四分危二百七十三度三十七分 三百二十八度一十三分室二百九十三度四十四分 三百四十八度二十分壁三百○九度二十五分 ○ 四度○一分奎三百二十○度五十六分 ○一十五度三十二分婁三百三十四度一十分 ○二十八度四十六分胃三百四十七度一十分 ○四十一度四十六分昴三百五十九度○一分 ○五十三度三十七分畢○ 八度四十分 ○六十三度一十六分參○二十二度三十八分 ○七十七度一十四分觜○二十三度五十九分 ○七十八度三十五分井○三十五度三十二分 ○九十度○八分鬼○六十五度五十七分 一百二十度三十三分柳○七十○度三十三分 一百二十五度○九分星○八十七度三十三分 一百四十二度○九分張○九十五度五十六分 一百五十度三十二分翼一百一十四度○○分 一百六十八度三十六分軫一百三十一度○○分 一百八十五度三十六分右黄道積度是各宿離春分東行之度其十二次度分表見後方各宿黄道本度 依三百六十五度四分度之一分各宿度角一十度三十五分 一十度七十三分七十六秒亢一十度四十○分 一十度八十二分二十二秒氐一十七度五十四分 一十八度一十六分一十秒房四度四十六分 四度八十三分六十二秒心七度三十三分 七度六十六分○一秒尾一十五度三十六分 一十五度八十二分七十六秒箕九度二十○分 九度四十六分九十五秒斗二十三度五十一分 二十四度一十九分七十八秒牛七度四十一分 七度六十三分五十四秒女一十一度三十九分 一十度九十七分九十九秒虛九度五十九分 一十度一十二分九十秒危二十度○七分 二十度四十一分○一秒室一十五度四十一分 一十五度九十一分二十一秒壁一十一度三十一分 一十一度六十七分六十七秒奎一十三度一十四分 一十三度四十二分二十六秒婁一十三度○○分 一十三度一十八分九十六秒胃一十一度五十一分 一十一度九十六分一十六秒昴九度三十九分 九度七十八分一十一秒畢一十三度五十八分 一十四度一十七分○四秒參一度一十一分 ○一度三十五分○秒觜一十一度三十三分 一十一度七十一分○二秒井三十度二十五分 三十度八十六分○二秒鬼四度三十六分 四度六十五分八十二秒柳一十七度○○分 一十七度二十四分七十五秒星八度二十三分 八度五十分五十六秒張一十八度○四分 一十八度三十三分○一秒翼一十七度○○分 一十七度二十四分七十九秒軫一十三度○三分 一十三度二十四分○三秒新法算書卷五十七
## 卷五十八
欽定四庫全書
新法算書卷五十八 明 徐光啟等 撰恒星厯指三以恒星之黄道經緯度求其赤道經緯度第一 三章前論恒星以本行依黄道漸移而東既有平行經度而緯度南北移就為數甚少非歴嵗久遠不可得見以此互相推較其經度差無時不同緯度相距遠近又無從可改必至數百年後測騐差數乃得依法推變也若論赤道經緯度則否星行既依黄道其向赤道時時遷改欲從赤道求之無法可得故求赤道經緯必用黄道經緯蓋星之去離赤道無恒而去離黄道有恒黄道赤道之相去離也又有恒以兩有恒求一無恒無患不得矣其推步則有多法或用曲線三角形依乘除三率推算為第一此初法也或用曲線三角形加减推算為第二此約法也或用簡平儀量度加减推算為第三此簡法也或造立成表簡閲得數并免臨時推算之煩為第四此因法也第一法前第一卷已備論之今所論者每具二則為第二第三法如左方若立成表作者甚難用者甚佚但恐狥末忘本則繇而不知者多矣今附載之求恒星赤道緯度前法(即第二法)前法用曲線三角形加减推算如圖有星在甲甲辛為黄道緯度其餘弧甲乙為甲乙丙三角形之一邊辛戊為黄道經度以加戊己象限得甲乙丙角又乙丙為兩極距度則是甲乙丙角形有甲乙乙丙兩邊有乙角可求甲丙邊甲丙之餘弧甲丁則本星距赤道之緯度也其法以三角形内之小弧加于大弧之餘弧得總弧求其正弦(求緯恒用正弦求經恒用切線)為先得數其總弧或正得九十度或較多或較寡若正得九十度即半先得之弦為次得之弦又以大小兩弧所包之見角求其倒弦(為角)(之弧過象限故用倒弦倒弦者對本角過弧之正弦)則後得之弦也今用三率法為全數與次得之弦若後得之倒弦與他弦既得他弦以减先得之弦所存為三角形内第三弧之餘弦即所求赤道緯之正弦也假如參宿腰星之西有五等小星其黄道經度于崇禎元年推得七十四度二十二分其緯度距黄道南二十三度三十二分使黄道在南距赤道二十三度三十二分(云使者假設之數不用實分秒)則三角形内甲乙大弧得六十六度二十八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙丙角對辛戊經度弧及戊己象限弧共得一百六十四度二十二分甲辛為甲乙大弧之餘弧得二十三度三十二分依法加于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分其正弦七三二一五為先得之弦即半之(適足一象限故)得三六六○七為次得之弦次求甲乙丙角之倒弦(即己辛弧之弦)一九六三○一(首一者己戊全弦也)為後得之弦依三率法以乘次得之三六六○七得七一八五九為他弦以减先得之七三二一五餘一三五六為甲丙弧之餘弦即甲丁弧之正弦為本星距赤道圏緯度四十六分三十五秒若三角形内之總弧過一象限即次得之弦非折半可得法以大弧之餘弧减小弧所存求其弦以加于先得之總弦半之為次得之弦其後得者甲乙丙角之倒弦依前用三率法但所求得之他弦若小于先得之弦其法同前若等則所求三角形内第三弧之弦正為九十度之弦而星必在赤道上無距度若他弦大于先得之弦則以小弦减大弦(不論何弦但以小减大)餘為本星距赤道之弦假如畢宿大星于崇禎元年距黄道南五度三十一分在甲其黄道經度為辛戊六十四度三十五分三十秒即甲乙為大弧八十四度二十九分乙丙為小弧二十三度三十一分三十秒(兩極之距度)兩弧所包甲乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧甲乙之餘弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒求其弦四八五四四為先得之總弦又以餘弧甲戊减小弧乙丙存一十八度○分三十秒其弦三○九一五以加先得之總弦四八五四四得七九四五九然後半之得三九七二九為次得之弦其後得者甲乙丙角之倒弦一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二九得他弦七五六一四因他弦大于先得之弦故于他弦内减先得之四八五四四存二七○七○查得十五度四十二分為甲庚弧是本星距赤道之度若總弧不及一象限則如前求先得之總弦次以小弧减大弧之餘弧所存查其正弦又以减先得之弦所存半之為次得之弦其餘同前第一法假如崇禎元年大角星距黄道北三十一度○二分三十○秒其經度過秋分一十九度○二分三十○秒其兩弧間之角甲乙丙得一百○九度○二分三十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小弧二十三度三十一分三十秒今大弧之餘弧甲己三十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分三十秒得五十四度三十四分其弦八一四七九為先得數又甲己内减乙丙小弧存七度三十一分其弦一三○八一以减先得之弦存六八三九八半之得三四一九九為次得之弦次依三率法以乘甲乙丙角之倒弦一三二六一二得四五三五一為他弦以减先得之八一四七九存三六一二八為本星距赤道之弦查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒求赤道緯度後法(即第三法)後法用簡平儀或量度或加减推算(簡平儀者以圓平面當渾儀也圓平面者)(以極至交圈為界作過心平面也以面當球與平渾儀同意論球則半在面前可見今以直線當弧半在面後)(不可見其直線當弧與前半同理下文言某線為某弧或言前弧後弧等俱本此)量度者用規器量度所有之見度分即於分度等圈上量取所求之隱度分也加减者亦於本儀取數其算法即前法也量度則省算然每星當作一圖亦不能得細分秒加减則一圖能算多星可省圖可得細分秒特未免乘除之煩總之先得各星之黄道經緯度即從星作直線與赤道平行至外周從線尾起算至赤道為本星之赤道緯度弧可量亦可算也今并具二法用者擇焉試先解儀上諸線如丙壬寅子大圈為極至交圏壬丑線為赤道大圏辛寅線為黄道大圏春秋二分俱在癸若星距黄道北則辛為夏至寅為冬至星距黄道南則寅為夏至辛為冬至今所測星為乙癸甲線為星之黄道緯度對丙辛弧甲乙線為星之黄道經度對辰卯弧丙乙子線為過星之距等小圏與黄道平行丙卯辰子即過星距等圏之半在儀上為立面與儀面為直角在弧為丙卯辰子在儀面為丙乙甲子自人視之卯㸃即乙㸃辰㸃即甲㸃也卯辰為星之黄道經度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁線與赤道平行截極至交圏於午即從午至赤道壬為所求本星之赤道緯度弧矣今用規器量度則先定黄道緯度之丙辛弧經度之辰卯弧從經緯線相交之乙星上出乙午線則壬午弧必所指赤道距度也以加减推算則用直線三角形先從丙出垂線至己半之得己戊從戊作線與丁乙平行必至甲(丙甲為丙子之半故丙戊為丙己之半)又從子出子己底線偕丙己垂線作丙己子直角即成三角形者三而求丙丁弦以减丙庚正弦存丁庚弦為星之赤道緯度假如乙為句陳大星其黄道經于崇禎元年為八十三度二十五分二十七秒黄道緯六十六度○二分當用第二圖推本星距赤道之緯度法以星距黄道之丙辛(六十六度○二分)加于黄道距赤之壬辛(二十)(三度二十一分三十○秒)得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正弦丙庚九九九九七今欲推己庚線(己庚者子丑弧之正弦子丑者星距等圏)(近赤之弧)法以黄道距赤之丑寅(二十三度三十一分三十○秒)减星距黄道之子寅(六十六度○二分)得丑子弧四十二度三十分三十秒其正弦己庚六七五六九以减丙庚餘丙己三二四二八半之得丙戊弦一六二一四又勾陳黄道經度甲乙八十三度二十五分二十七秒以减全數十萬(一率)存乙丙六五八(二率)以乘丙戊弦(三率)得一○六為丙丁弦(四率)也次以一○六减丙庚正弦得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九分為勾陳大星距赤道之度其比例甲丙與乙丙若戊丙與丙丁也更之甲丙與戊丙若乙丙與丙丁(幾何六卷四)算恒星赤道緯度以右法為例若各星纒度不同即加减法亦異今為六圖畧率論次如左凡星距黄道北其緯在二十三度三十一分三十○秒以内其黄道經度自春分起至秋分止用第一圖推算或星距黄道南亦在二十三度三十一分三十秒以内而經度過秋分至春分止者同凡星距黄道北過二十三度三十一分三十○秒而不過六十六度二十八分三十○秒(在本象限之内)其黄道經度自春分至秋分用第二圖推算若星距黄道南過二十三度三十一分三十○秒又不過六十六度二十八分三十○秒而過秋分至春分者同凡星在黄道北其緯過六十六度二十八分三十秒經度自春分至秋分用第三圖推算若在黄道南緯度同前而經度自秋分至春分亦用三圖為兩至距赤度星距黄度并之(壬丙弧也)過九十度而丙庚正弦亦不在癸辛象限之内故凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内而經度自春分至秋分用第四圖若星距黄道北亦二十三度三十一分三十○秒以内而經度自秋分至春分者同凡星距黄道南過二十三度三十一分三十○秒而不過六十六度二十八分三十○秒其經度自春分至秋分用第五圖若星距黄道北緯度同上而經度反過秋分至春分亦用五圖凡星距黄道南過六十六度二十八分三十○秒其經度自春分至秋分用第六圖若星距黄道北緯度同前而經度自秋分至春分即壬丙總弧過九十度亦用六圖總之星距黄道之弧任在南在北其與黄赤距弧於圖右推算即相加於圖左推算即相减為恒法也凡星黄距度大於黄赤距度則以其較弧之正弦减先得總弧之正弦若小則以較弧之弦加先得總弧之正弦如第三圖子寅(星黄距)大於丑寅(黄赤距)則以其較弧(子丑)之正弦(子未或己庚)减丙壬總弧之正弦丙庚而得丙己若小如第一圖子丑(星赤距)為寅丑(黄赤距)之較弧則以較弧之正弦庚己加丙壬總弧之正弦丙庚而得丙己凡星黄距黄赤距之總弧大於一象限用其通餘弧之正弦如第三圖壬丙過九十度壬丙丑為通弧丙丑為通餘弧則用其正弦丙庚凡星之經度弧少不及二至圏則取其正弦加减于全數以得其餘矢若大而過二至之圏則取其通餘弧之正弦求其餘矢求法在前三圖用减在後三圖用加如各圖從甲辰分節起算至卯乙辰卯為經度弧其正弦甲乙(俱在前半圏)若過至節之界或子或丙至卯乙則卯辰為經度之加弧(在後半圏)又前三圖内甲乙减甲丙得乙丙後三圖内加之得乙丙皆為餘矢也(以正弦减半徑為餘矢大弧過九十)(度其限外弧為加弧并九十度為過弧)各圖皆以丙丁弦减丙庚正弦惟星在兩道間如第四圖丙丁大于丙庚則以丙庚减丙丁而得丁庚(赤道緯)其餘法簡各圖自明求恒星赤道經度前法(第二法)前法求緯度用曲線三角形并兩腰分盈縮適足三等加减得之此為黄經緯求赤經緯以二求二故也既得赤緯則以三求一故不拘大小皆歸一法止用兩緯度之餘弧及見角之餘角以推他角所對赤道經度之餘弧如圖甲丙為星赤道緯之餘弧甲乙為黄道緯之餘弧甲乙丙為對黄經度之見角丁乙庚其餘角是甲乙丙三角形内有三邊有乙角今求甲丙乙他角以推戊己是為赤道經度之餘弧假如甲為大角星其赤道緯于崇禎元年得二十一度一十分五十一秒為甲戊其餘弧甲丙六十八度四十九分得正弦九三二四四為第一率黄道緯三十一度○二分三十秒為庚甲其餘弧甲乙五十八度五十七分三十秒得正弦八五六七九為第二率其黄道經度過秋分辛一十九度○二分三十秒為辛庚即甲乙丙角之餘弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正弦九四五二八為第三率求得八六八五六為戊己弧之正弦查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限存二十九度四十二分三十○秒為大角星秋分後之赤道經度求赤道經度後法(第三法)用簡平儀與前求緯法同今所求者為辰卯弧而先得者赤黄二緯度故三角形之底線與黄道平行星緯弧與兩道距弧在圖之左即相加在圖之右即相减如圖乙為勾陳大星其黄道緯六十六度○二分其先得之赤道緯甲癸八十七度一十九分辛壬為黄赤距弧(二十三度三十一分三十秒)以加赤道緯度弧壬丙(八十七度一十九分)得辛丙(一百一十度五十分三十秒)總弧其通餘弧丙寅之正弦(九三四五七)為丙庚也又因星在圖之右應以星緯弧兩道距弧相减得(六十三度四十七分三十秒)為寅子弧其正弦(八九七二○)為子未或己庚以减丙庚正弦餘(三七三七)為丙己半之存(一八六八)為丙戊今本星黄道緯弧(六十六度○二分)為辛午其弦(九一三七八)為丁庚以减丙庚正弦得丙丁(二○七九)因以丙戊為第一率丙甲全數為第二丙丁為第三得丙乙弦(一一一二九六)去其首位(丙甲全數)存(一一二九六)為甲乙弦所對辰卯弧(六度二十九分一十秒)即本星之赤道經度並求恒星赤道經緯度(第四法)依前法用立成表可並求經緯度且省算如圖星在甲其黄道緯甲丁經丁庚而求赤道緯甲乙經乙庚即用此兩曲線三角形取之其法于甲乙丙三角形内因三表可得甲乙弧為赤緯及丙乙弧以得乙庚赤經先用赤道升度表查取相當之黄道經度如圖戊庚為赤道弧辛庚為黄道弧今反之以辛庚為赤道即原黄道之丁庚升度今以當赤道之弧即可得相當之庚丙上度也次以黄赤距度表用其經弧查其緯弧既得經弧之度丙庚即知兩道相距之緯度丙丁也更用過極圏截黄交角表因辛庚當赤道即星上過極之壬丙弧截見當黄道之戊庚弧於丙則得甲丙乙交角次以黄緯甲丁加兩道距丁丙得甲丙為第一三角形之弧夫甲乙丙既為直角又有後得之甲丙乙角即先推甲乙弧為星之赤道緯後得乙丙以减先得之丙庚存乙庚為星距分節之經弧假如婁宿東星于崇禎元年距黄道北(九度五十七分)距春分節(三十二度二十九分四十八秒)為見當赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宮查升度表于大梁宮得其度分其相當者為見當黄道上之度(三十)(四度四十八分)庚丙也又用兩道距度表以庚丙弧四度四十八分于大梁宮查其相當之距緯得(一十三度一十○分)為黄赤距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宮之四度四十八分得(七十度二十○分二十四秒)為甲丙乙角今以甲丁(九度五十七分)加于丁丙(十三度一十分)得(二十三度○七分)為三角形之弧甲丙其正弦(三九二六○)為第二率甲丙乙角之正弦(九四)(一六七)為第三率甲乙丙直角全數為第一率求得(三六九九)(九)為四率即甲乙弧之正弦查得(二十一度四十二分五十三秒)為本星距赤道之緯弧又以甲乙丙角全數為一率甲丙乙餘角(一十九度三十九分三十六秒)之弦(三三六四四)為二率甲丙弧之切線(四二六八八)為三率而求乙丙底弧之切線得(一四三六四)為四率查得(八度一十分二十六秒)以减庚丙弧(三十四度四十八分)存(二十六度)(三十七分三十四秒)為本星赤道之經弧乙庚若經少緯多星越赤道極之軸線戊丁而近黄道極法當先用升度表次用黄赤距表又次用交角表以三率求乙丙則甲丙乙角之餘弦與甲丙弧之切線相乘得數為乙丙弧之切線内减先升度表所取之丙丁弧餘丁乙以减三百六十度所餘環周之大丁乙即赤道經也再以丙角甲丙正弦相乘得數即赤道緯甲乙若黄緯過九十度之外諸法同前但去九十度而用零數法以零數之餘弧取其正弦乘丙角之正弦得甲乙緯又以零餘弧之切線乘兩角之餘弦得丙乙之餘切線又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减全周所存通弧為本星之赤道經度假如紫微垣新増少弼外南星其黄經五十○度○九分黄緯八十○度三十八分查升度表得五十二度三十五分為丙丁查距度表得一十八度二十九分為丙己查交角表得七十五度一十二分為丙角今以距度丙己加黄緯甲己得甲丙九十九度○七分為過象限則去九十度獨用其零數九度○七分以其餘弧八十○度五十三分查八線表得九八七三七為正弦以乘丙角之正弦九六六八二得九五四五○一為赤緯甲乙之正弦查得七十二度三十九分又查零餘弧八十○度五十三分其切線六二三一六○以乘丙角之餘弦二五五四五得一五九一○六為丙乙之餘切線查得三十二度○九分以加前所去九十度得一百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五分存六十九度三十四分以减全周三百六十存二百九十○度二十六分為本星之赤道經度若星在黄赤道之間法以黄緯减黄赤距度其餘同前用相乘之數减丙丁所得數為赤經數若星在兩道南丙丁為赤經法當以乘出之乙丙數加乙丁為赤道經度是黄經短赤經長也前所求在降婁大梁實沈三宮則可若在鶉首鶉火鶉尾其法異是何也此星方位出象限之外經度已轉過至節故前减者此宜加前加者此宜减又前黄緯過九十度即越北極軸線故减于三百六十度内方得所求今從春分轉至秋分雖過九十度而無軸線可越(不得至黄南極故也)故不必减于全周自秋分以往對待六宮如壽星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在南右用北左法此為異耳以度數圖星象第二 三章平渾儀義古之作者造渾天儀以準天體以擬天行其來尚矣後世増修遞進乃有平面作圖為平渾儀者形體不甚合而理數甚合為其地平圏地平距等圏及過天頂横截之弧與天夫黄赤二道黄赤距等圏及過兩極横截之弧皆確應天象故以此言天特為著明能畢顯諸星之經緯度數也厯家稱為至公至便超絶衆器今詳其應用多端不後于渾儀其要約簡易則勝渾儀且渾儀所用大環欲其纖毫不爽勢不可得未若平面之直線當一環圓界當一環直者必直圓者必圓無可疑也然論其本原即又從渾儀出何者凡于平面圖物體若依體之一面繪之定不合于全體必依視學以物影圖物體或圓或方或長短各用其遠近明暗斜直之比例則像在平面儼然物之元體矣但光體變遷出光之處無數則所作影亦無數而受影之半面有正有偏則影之變態又無數故視學家分為二品一為有法物像一為無法物像(以可用為有法不則無法)今論渾儀之影能生平儀儀本于此必求平面之上能為實用可顯諸曜之度數以資推算者則為有法而於諸無法像中擇其有法者特有三一設光于最遠處照渾儀正對春分或秋分則極至交圏為平面之圏界以面受影即顯赤道及其距等圏皆如直線而各過極經圏皆為曲線之弧此有法之第一儀也次設光切南極則赤道為平面之圏界諸赤道距等皆作平面上圓形而極至交圏又如直線此為有法之第二儀也又次設光切春分或秋分在極分圏與赤道之交則亦以極至交圏為平面之圓界以面受影即赤道與極分交圏為直線而其餘皆為曲線之弧此有法之第三儀也今繪星圖惟用第二儀次則第三以其正對恒星之度其第一儀不用也為是平渾所須并論之總星圖義設渾儀以北極抵立平面其軸線為平面之垂線有光或目切南極正照之儀上設㸃其影或像必徑射于平面即北極居中設㸃之影去北極漸遠者其在平面之兩距亦漸遠乃至南極則為無窮影終不及于平面矣又平面之上北極所居㸃為過兩極軸線之影為渾儀衆圏之心平面上諸赤道距等圏離此愈遠即其影愈寛大至近南極者則平面無可容之地也假有渾儀為甲丙乙丁甲為南極乙為北極以乙極抵丑乙子平面有光或目在甲極先照近北極之圏辰己即其影自己迄辰為本圏之全徑因以乙為心己辰為界即平面作圏準渾儀之實環也又照夏至圏癸壬之圓界其影至卯寅即以卯寅為徑次照赤道圈丙丁之圓界影至己戊以己戊為徑各如前作圏各得準其本環次有冬至圏辛庚雖近甲南極小于赤道之丙丁圏而影在平面為丑子反大于赤道影己戊蓋乙甲丑角大于乙甲己角故也若至午未南極圏其影在平面更遠而終竟可至惟甲南極為左右直影與子丑平行終不至于平面也今作星圖不用兩至兩極圏獨用赤道之左右度分度分近乙北極即平面上影相距亦愈近遠亦愈遠經度既爾緯度亦然蓋經度從心向外出線其左右各侣線愈遠心相距亦愈廣緯度從心向外作圏其内外各侣圏愈遠心相距亦愈寛也問經度遠心即愈廣易見矣何以知星之緯度在平儀之上愈遠心相距愈寛乎曰以幾何徴之設有甲乙丙丁圏以全徑甲丙抵戊己平面為垂線若平分圏界如一十二從甲出直線各過所分圏界至戊己庚辛平面上各㸃得戊庚寛于庚辛面庚辛又寛于辛壬餘線盡然蓋從甲出各侣線至平面以各㡳線連之其各腰與各底為比例則甲庚與庚辛若甲壬與壬辛也今甲庚大于甲壬則庚辛必大于辛壬(見幾何第六卷第三題)試以丙為心作壬辛庚三侣圏其在儀各所分圏界則為距等而壬辛之相距與辛庚之相距廣狹大異矣依此作圖則去心遠者各所限經緯度漸展漸大與近心者不等而經緯度之比例恒等即所繪星之體勢與天象恒等不然者經度漸展緯度平分依經緯即失體勢依體勢即失經緯乖違甚也斜圏圖圓義渾儀諸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及諸過極經圏也斜者如黄道圏地平圏及其各距等圏也以視法作為平面圖設照本(或光或人目)在南極則正受照之圏影至平面必成圏形或直線如前說矣若斜受照之圏其影在平面當作何形像乎此當用角體之理明之按量體法(測量全義六卷)中論角體有正角有斜角兩者皆以平圓面為底皆以從頂至底心之直線為軸線其為正與斜則以垂線分之若自角下垂線至底與軸線為一如第一圖甲乙垂線即甲丙丁戊角形之軸線則甲丙丁戊為正角體若兩線相離如第二圖甲己為軸線甲乙為垂線則甲丙戊庚丁為斜角體也更以斜角體上下反截之為甲辛壬小角體(既斜截為上下)(兩體更若從軸線自上而下縱截之為兩平分其截面三角形大小比例)(相似則名反截之角體若不合比例則為無法)依斜角體之本理則小體之底與大體之底相似不得不成圓形今欲推黄道等斜圏不能正受照本之光則于平儀面所顯何像法依第二斜角圖以甲當南極照本之㸃壬辛為渾儀上斜圏丙戊庚為平面上斜圏之影次用三圖徴為圓影焉假如甲乙丙為極至交圏甲當南極為照本之㸃斜受光之圏為乙丁從甲照之過乙丁邊直射至己戊平面為甲己甲戊兩線即得甲己戊及甲乙丁皆直線三角形此為渾儀平面形影之體勢以角體法論之己戊為乙丁圓圏之影即甲己戊為全角體而甲乙丁其反截之小角體矣又甲丙垂線非甲庚樞線即甲己戊為斜角體而己戊其底自與甲乙丁小角體其底乙丁各相似也問反截之角體與平面所得三角形何云兩相似乎凡相似兩三角形必三角各等三邊之比例各等此有諸乎曰有之甲為共角從乙作直線至辛與己戊為平行即甲丙之垂線而甲乙辛角與甲己戊角俱在平行線上必等又甲乙辛甲丁乙俱在界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛兩弧等即兩角必等而甲丁乙與甲己戊兩角亦等其餘角甲乙丁及甲戊己亦等則乙丁小角體之底與其所照平面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近于照本其影必長距遠則短如從南極照黄道斜圏其半弧乙在赤道南近甲即甲己必長于甲戊然分較之雖南影長于北影合較之則平面上圓影不失黄道之圓影矣問以視法圖黄道既為圓形從何知其心乎曰從照本之㸃出直線為斜圏徑之垂線引至平面則黄道之心也蓋本圖大小三角形既相似而甲丙與甲庚兩線又相離即各分為兩三角形各相似其甲丙戊與甲丙己一偶也甲辛乙與甲辛丁一偶也是以甲己庚角與己甲庚角等而甲庚線與庚己線亦等又甲戊庚角與戊甲庚角等何者因前圖得己角與丁角等此圖得丁角與乙甲辛角等即己角與乙甲辛角亦等因得乙戊兩角等又得乙角與庚甲戊角等即戊角與庚甲戊角亦等而戊庚與甲庚兩線亦等因得戊庚與庚己兩線等而庚為己戊徑之心繪總星圖第三古法繪星圖以恒見圏為紫微垣以恒隱圏界為總圖之界過此南偏之星不復有圖矣西歴因恒見圏南北隨地不同又漸次不同故以兩極為心以赤道為界平分為南北二圖以全括渾天可見之星此兩法所繇異也赤道平分南北二總星圖以規器作赤道圏即本圖之外界也縱横作十字二徑平分為四象限限各九十又三分之分各三十又五分之分各六又六分之分各一此為全周三百六十度矣次從心至界上依度數引直線為各經度其作緯度有二法一用幾何則依界上經度于横徑之左定尺于横徑之右上下游移之每得一界限度(界限度者或一度二度為一限或五度十)(度為一限以至九十)即于直徑上作識則直徑上下所得度與界限度各相應而疎密不等經緯相稱矣用數則依切線表求界限度之相當數以規器取之(用比例規甚便無規)(先作半徑百平分之用以取數)若表中求一十度即徑上下得二十度表中求二十徑上下得四十所得比所求恒多一倍也假如欲依界限度以分徑如第一圖甲乙丙丁為赤道所分徑為甲丙于乙上定尺從右徑末丁向上移尺至一十二十等限于甲丙徑上作戊己等一十二十諸識各識愈離心其侣距愈遠矣若以數分之依第二圖如求四十度癸庚則表中查二十度之切線相當數為三十六用規器向庚辛直線取庚子三十六移至甲乙徑上自中心乙至己為三十六即得四十度矣蓋以丁為心作乙丙象弧其半弧乙壬之切線為平面之半徑甲乙即乙己為二十度弧乙戊之切線若引丁戊割線至庚則癸庚得四十度與前法合也見界總星圖見界總星圖者以北極為心以恒隱圏為界此巫咸甘石以來相傳舊法也然兩極出入地平隨地各異而舊圖恒見恒隱各三十六度三十六者嵩高之北極出地度耳自是而南江淮間可見之星本圖無有也更南閩粤黔滇可見之星本圖更無有也則此為嵩高之見界總圖而非各省直之見界總圖也又赤道為天之大圏其左右距等侣圏以漸加小至兩極各一㸃耳于平面作圖而平分緯度自極至于赤道緯度恒平分而經度漸廣廣袤不合即與天象不合向所謂得之經緯失之形勢得之形勢失之經緯者也况過赤道以南其距等緯圏宜小而愈大其經度宜翕而愈張若復平分緯度即不稱愈甚其相失亦愈甚矣今依此作圖宜用滇南北極出地二十度為恒隱圏之半徑以其圏為隱見之界則各省直所得見之星無不備載可名為總星圖矣又依前法為不等緯距度向外漸寛則經緯度廣袤相稱而星形度數兩不相失矣但前以赤道為界設照本在南極所求者止九十緯度則所用切線半之止四十五度至赤道止矣用為平圖之半徑經緯度猶未甚廣足可相配若此圖則否其半徑過赤道而外尚七十度并得一百六十度半之為八十度從南極㸃出直線必割圓八十度乃合于百六十度之切線也此其長比赤道内之半徑不啻五倍經緯皆愈出愈寛以比近北極之度分大小殊絶矣如圖甲為平圖之心乙為南極甲丙為半徑亦即為四十五度甲戊弧之切線若從乙出直線割八十度之弧甲丁然後與甲丙引長百六十度之線遇于己其長于甲丙幾及六倍也如是而依本法作圖若圖幅少狹即北度難分若北度加寛即圖廣難用矣今改立一法設照本稍出南極之外去極二十度起一直線以代乙己其與甲丙之引線不交于己而稍近丙以歛所求之度定平圖之半徑則廣狹大小皆適中矣但照本所居宜有定處去極遠則切線太促不能分七十度之限太近則半徑過長畧同前說也今法如上圖甲為平圖之心欲其外界出丙己壬赤道之外遠至七十度先求照本隨所照光圖之作甲丙直線去赤道徑甲癸七十度正次作乙丙垂線為二十度之正弦次作丙丁線為二十度之切線令丁㸃在南極之外為照本則甲丙與乙丙若丙丁與乙丁何者甲乙丙乙丙丁兩三角形相似故也次引丁丙切線與甲癸之引長線遇于辛則辛㸃定百六十度之限為平圖之半徑矣次以緯度分甲辛線恒令丁戊與戊己若丁甲與甲庚則赤道内庚分向北之緯度赤道外庚分向南之緯度也欲得各丁戊線以加减取之向南距度之正弦以减甲丁割線得小丁戊因得大甲庚向北距度之正弦以加甲丁割線得大丁戊因得小甲庚也蓋正弦雖在癸己左右因甲戊其平行線即與正弦等故(左邊為北右邊為南)問赤道緯度其内外廣狹既爾不齊則欲作黄道圏用何法乎曰此因照本不切南極以照黄道斜圏之邊不能為直角即不能為軸邊之心而有二心故其影不能為正圓而微成撱圓與前南北平分總圖稍異法也當于甲辛徑上從赤道向内數黄赤距二十三度三十一分三十○秒若所得為子午即作午壬直線平分之于未從未出垂線向甲辛徑上得黄道向北半圏之心為下庚而其邊依緯度之狹則小次于赤道外自癸至辛數得二道距度如前求得黄道向南半圏之心為上庚其邊因緯度之寛則大也極至交圏平分左右二總星圖前分有法物象三儀其第一照本在最遠者星圖所不用其用者第二第三也第二法照本在南極以赤道圏為平面界則前説赤道平分二圖是己第三法照本在二分以極至交圏為平面界今解之設照本切春分即用所照平面之心以準秋分以極至交圏為界赤道圏極分交圏則為直線諸赤道距等圏諸過極經圏則為曲線之弧以此定經緯度及半天恒星之方位也又設照本切秋分則以春分為心其餘圏影皆同上可定餘半天恒星之方位矣圖法先作極至交圏為圖界假設甲乙丙丁圏為赤道(本極至交圏假為赤道借用第一圖)平分三百六十度借丙㸃為赤道與極分圏之交從丙向己庚等邊界引直線過乙丁徑作辛壬等識即各過極圏之經度限也次即用甲乙丙丁圏為極至交圏(即第一圖)則甲辛丙甲壬丙等過極經圏之弧可定恒星之赤道經度矣次欲作赤道距等圈先假設甲乙丙丁為極分交圏(本極至交圈假)(為極分借用第二圖)借乙㸃為赤道與極分圈之交從乙向己庚等邊界引直線過甲丙徑上作辛壬等識即各赤道距等圏之緯度限也次即用甲乙丙丁為極至交圏(即第二圖)則己辛庚壬等皆赤道距等之弧而丁戊乙為赤道可定恒星之赤道緯度也若欲以黄道為心作圖則以乙丁線當黄道甲丙為黄道之兩極而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道緯度平面界圏亦為過黄道極之經度圏如前所作赤道平分二圖皆改赤道極為黄道極赤道面為黄道面皆可定恒星之黄道經緯度也恒星有等無數第四 三章恒星以芒色分氣勢以大小分等第所載者有數不能載者無數可盡也今畧論其體等及其大數别定黄赤二道之經緯度作圖作表如後卷恒星分六等古多祿某推太陽太陰本體之容積先測其視徑及月食時之地影及地球之徑容展轉相較乃能得之(詳見三大論)後巴徳倪借用其法以考五星及恒星離地之遠又測諸大星之視徑如圖甲辛為太陽離地之遠其視徑甲乙為太陽居最高及最高衝折中之半徑也今設丙為鎮星其離地為辛丙即太陽之半徑至此見如丙戊而鎮星居此所見大僅得太陽視半徑一十八分之一為丙丁用三率法辛丙與丙戊若辛甲與甲乙次以地徑推得丙戊總線數即可得丙丁分線數古法推七政及恒星之體大畧如此蓋因其視徑及距地之遠可得渾體之容積也但恒星已知離地最遠而無視差可考止依其視徑以較五星即其體之大小十得七八矣第谷則以鎮星較之因測鎮星得其視徑一分五十秒亦微有視差為一十五秒弱推其離地以地半徑為度得一萬○五百五十因得其全徑大于地之全徑二倍又一十一分之九是鎮星之渾體容地之渾體二十有二矣此測為鎮星居最高最高衝折中之數也若在最高測其距地為地半徑一萬二千九百(後論五星更詳此理)而恒星更遠居其上設加一千即約為一萬四千因以所測之視徑分其等差○先測明星如心宿中星大角參宿右肩等其視徑二分即得大地四徑有奇何也因設星離地一萬四千依圏界與圏徑之比例(徑七圍二十二)即星所居之圏界得八萬八千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又六十分之每分得四視徑二分得八有奇是恒星之全徑二分當渾地之八半徑也即四全徑也又以立圓法推之即此星渾體之容大于渾地之容六十有八倍此為第一等星也此一等内尚有狼星織女等又見大一十五秒其體更加二十餘倍若見小一十五秒如角宿距星等即反之其體减二十餘倍次測北斗上相北河等其視徑一分三十秒設其距地與前等推其實徑大于地徑三倍有奇而其渾體大于地之渾體二十八倍有奇此為第二等又次測婁箕尾三宿等星其視徑一分○五秒依前距地之遠其實徑大于地徑二倍又五分之一其體大于地體近一十一倍為第三等又次測參旗柳宿玉井等星其視徑四十五秒其實徑與地徑若三與二其體大于地體四倍有半為第四等又次測内平東咸從官等小星得視徑三十秒其實徑與地徑若五十與四十九其體比于地體得一又一十八分之一為第五等又次測最小星如昴宿左更等得視徑二十秒其實徑與地徑若一十五與二十二即其體比于地體得三分之一為第六等右恒星相比約分六等若各等之中更有微過或不及其差無盡則匪目能測匪數可算矣問前言恒星居鎮星之上離地皆等故依其視徑以推其體之大小則不等若設其遠近不等即其實徑不隨其視徑從何推知其體乎曰假令諸恒星之體實等因其中更有遠近不等故見有大小不等即以六等星比第一等所見小大乃爾必更遠于前率十餘倍矣蓋測此大小星比其視徑如天田西星與大角星差一分五十五秒即其遠近距當得一十四萬一千大地之半徑與鎮星最高及大角之距地畧等此中空界安所用之且小大彬彬雜以成文物之理也若何舍此而強言等體乎七政恒星遠近大小皆從視徑視差展轉推測理數實然無庸不信然而宏濶已甚猶有未經測算難于遽信者焉况此遠近等體之說非理非數則是虚想戲論而已又誰信之哉恒星無數自古掌天星者大都以可見可測之星求其形似聯合而為象因象而命之名以為識别是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星焉世所傳巫咸石申甘徳之書是也西厯依黄道分十二宮其南北又三十七像亦以能見能測之星聯合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五蓋有名者一千二百六十六餘皆無名矣然而可圖者止此若依法仰觀所見實無數也何謂依法今使未諳星厯者漫視之漫數之樊然淆亂未足實證其無數也更使諳曉者按圖索象則依法矣如是令圖以内之星悉皆習熟若數一二然而各座之外各座之中所不能圖不能測者尚多有之可見恒星實無數也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣於晦朔之夜比弦朢之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼比鈍眼又多矣至若用遠鏡以窺衆星較多于平時不啻數十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿傳云七星或云止見六星而實則三十七星鬼宿四星其中積尸氣相傳為白氣如雲耳今如圖甲為距星乙為本宿東北大星其間小星三十六瞭然分明可數也他如牛宿中南星尾宿東魚星傳說星觜宿南星皆在六等之外所稱微茫難見者用鏡則各見多星列次甚遠假如觜宿南一星數得二十一星相距如圖大小不等可徴周天諸星實無數也天漢渾天衆圏有大有小如黄赤二道過極經圏極至極分交圏地平圏等凡與地同心者皆大圏也如冬夏二至圏常見常隱圏各距等圏凡與地不同心者皆小圏也若天漢者論其界不可謂圏凡圏以圓線為界此以廣面為界故也論其心實與黄赤二道相等不可謂非大圏蓋其心必同地心且兩交黄道兩交赤道旁過二極皆一一相對正與黄道相反斜絡天體平分為二故也欲測其廣無定數大約兩至之外廣于兩至之中從天津又分為二至尾宿復合為一過夏至圏以井宿距星為限正切鶉首初度過北極西距二十三度半前過冬至圏則星紀初度約居其中又轉至南極東距亦二十三度半而復就夏至總為過兩至與黄道相反之斜圏也古多祿某測其兩涯所過星宿與近世不異在赤道北則從四凟始南三星當其中北一星不與焉次水府次井西四星切其左邊天關一星五車口切其右更前積水在左大陵從北第二星在右王良所居在其中若洲渚然次天津横截之兩端平出其左右河鼓中星在右其對邊為天市垣齊星此赤道北兩涯所經諸星也在赤道南者以天弁東星為界次斗第三星次箕南二星其對邊則天市垣宋星尾宿第一星而入于常隱之界迨過南極以來復起于天稷過弧矢天狼以至赤道此為赤道南所經諸星也問天漢何物也曰古人以天漢非星不置諸列宿天之上也意其光與映日之輕雲相類謂在空中月天之下為恒清氣而已今則不然遠鏡既出用以仰窺明見為無數小星蓋因天體通明映徹受諸星之光并合為一直似清白之氣與鬼宿同理不藉此器其誰知之然後思天漢果為氣類與星天異體者安能亘古恒存且所當星宿又安得古今寰宇覯若畫一哉甚矣天載之𤣥而人智之淺也温故知新可為惕然矣新法算書卷五十八
## 卷五十九
欽定四庫全書
新法算書卷五十九 明 徐光啟等 撰恒星表卷一降婁宫(共計二等三三等十六四等三十五等二十九六等十八)降婁宮降婁宮降婁宫新法算書卷五十九
## 卷六十
欽定四庫全書
新法算書卷六十 明 徐光啟等 撰恒星表卷二新法算書卷六十
## 卷六十一
欽定四庫全書
新法筭書卷六十一 明 徐光啟等 撰恒星圖説第一見界總星圖見界總星圖者以赤道之北極為心以赤道為中圏以見界為界見界者取北極出地三十度為限則閩粤以北可見諸星無不具在矣自此以南難以復加者為是渾天圓體赤道以南天度漸狹而在圖則漸廣形勢相違是故無法可以入圖也必用赤道為界分作二圖以二極為心然後體理相應故作赤道南北二總圖次焉本圖外界分三百六十五度四分度之一者赤道經度也正南北直線名子午線線上分極以南極以北各一百六十度者赤道緯度也從心至界分二十八直線者依二十八宿各距星分二十八宿各所占度分也此各宿度分元史載古今前後六測如漢落下閎唐僧一行宋皇祐元豐崇寧元郭守敬等或前多後寡或前寡後多或寡而復多多而復寡種種不一元世造厯者推究至此茫然不解但揣摩臆度以為非微有動移則前人所測或有未密而已夫謂前人未密他術有之此則千四百年如彼其久二十八宿如彼其多諸名家所測如彼其詳而悉無一合安得悖謬至是且其他諸法又何以不甚參商謂繇誤測必不然也若曰微有動移庶㡬近之而又不能推明其所以然之故今以西厯詳考黄赤經緯變易盖二十八宿分經者從赤道極出線至赤道乃止而諸星自依黄道行是以嵗月不同積久斯見若精言之則日日刻刻皆有叅差特此差經二萬五千四百餘年而行天一周正所謂微有動移非久不覺故後此數十年百年依法推變正是事宜而前代各測不同者皆天行自然非術有未密也此説已具恒星厯次卷中今略舉一二如北極天樞一星古測去離北極二度後行過北極今更踰三度有奇矣觜宿距星漢落下閎測得二度唐一行宋皇祐元豐皆一度崇寧半度元測五分今測之不啻無分且侵入參宿二十四分今之各宿距星所當宫度所得多寡悉與前史前圖不合蓋緣于此此圖皆崇禎元年戊辰實躔赤道度分其量度法如求某星之經緯度分若干用平邊界尺從圖心引線切本星視圖邊得所指某宫某度分即本年本星之赤道經度分次用規器依元定界尺從赤道量至本星以為度用元度依南北分度線上量得度分即本年本星之赤道緯度分次視本圖本星所躔宫分查本宫表所註度分即知繪圖立表測天三事悉皆符合若黄道在本圖中止畫一規及經度其查考經緯度分别具黄道分合各圖中第二赤道南北兩總星圖赤道南北兩總星圖一以北極為心一以南極為心皆以赤道為界從心出直線抵界凡十二者為十二時線又細分為三百六十則赤道經度也與總圖所分經度不同者彼分三百六十五度四分度之一準一嵗日行周天之數名為日度此平分三百六十名為平度也凡造器測天推歩演算先用平度特為徑捷測算既就以日度通之所省功力數倍故兩用之也其正南北直線為子午線平分十二宫左右各六線上細分南北各九十為赤道緯度亦平度也去極二十三度半有奇復作一心者黄道極也從黄極出曲線抵界亦十二者黄道經度也分十二宫三百六十度其黄赤同度同分者獨二分二至四線其餘各有叅差欲考黄赤異同于此得其大意矣南總圖自見界諸星而外尚有南極旁隠界諸星舊圖未載此雖各省直未見從海道至滿剌加國悉見之滿剌加者屬國也考一統志輿地圖凡屬國越在萬里之外皆得附載何獨略于天文如海南諸國近在襟帶間所見星辰厯厯指掌而圖籍之中可闕諸乎惟是向来無象無名故以原名翻譯附焉查考赤道經緯度法畧同見界總圖不具論若赤道左右星座爲赤道所截分載兩圖求其全像亦在見界總圖矣第三黄道南北兩總星圖黄道南北兩總星圖一以黄道北極為心一以黄道南極為心皆以黄道為界從心出直線十二抵界者分黄道十二宫次又細分為三百六十平度為黄道經度南北直線從心上下各細分九十平度則黄道緯度也凡恒星七政皆循黄道行與赤道途徑不同故行赤道經緯時時變易其行黄道經緯則終古如一矣前赤道三總圖後黄道二十分圖皆書各星座名數與立成表相符足備簡閲此不煩贅述故加七政字號分别某恒星之〔？〕色氣勢與某政相若因七政情性可得本星情性考其㑹聚衝照三合四合六合中有下濟敷施之理焉南極旁新譯諸星倣此其近界星座為黄道所截分屬兩圖亦查前見界總圖或後黄道分圖皆可得其全像量度法畧同見界總圖後此二十分圖從此圖出其分截之處位座未全者於此二圖考之第四黄道二十分星圖分星圖獨依黄道者恒星與七政皆循黄道行依此為分其正術也必用分圖者總圖尺幅既狹如星座如宫次如度分如等第未能明晳用以證合天象頗覺為難分之則一覽瞭然世傳丹元子歩天歌分三垣二十八宿為三十一圖臺官亦有為圓方二圖者皆本此意但歩天歌悉不載宫度方圖稍分宿次亦係舊率其經緯度分悉未開載星形等第與天象不能盡合則兩圖等耳今分為二十圖首一圖即紫薇垣而與舊圖畧異者彼以赤道之北極為極此以黄道之北極為極也彼以恒見星為界故從心至界為三十六度是嵩髙之恒見星界他方不然今取三徑均平止二十二度半盖以黄極為極則恒見諸星不復可論也外周分黄道三百六十平經度全徑四十五則此圖之黄道平緯度是名北極分圖也次六圖上狹下廣上狹者各以本宫本度與北極分圖相接下廣者亦以本宫度各與黄道中界六圖相接也以十二宫次分六圖毎圖得二宫毎宫得三十為黄道經度也北不至黄北極二十二度半南不至黄道二十二度半中間四十五度為此圖中之黄道平緯度是名黄道北界六分圖也又次六圖各上下平分中間最廣為黄道上下界皆稍狹上狹者以本宫度與北界分圖相接下狹者以本宫度與南界分圖相接毎圖二宫毎宫三十度為黄道經度黄道以北近夏至圏黄道以南近冬至圏各二十二度半并得四十五度為此圖之黄道緯度是名黄道中界六分圖也又次六圖上廣下狹上與中界圖相接下與南極圖相接分宫分度分經分緯與北界分圖同法是名黄道南界六分圖也又次一圖與第一圖畧等所有諸星皆在恒隠界中舊傳所無今譯名増入是為南極分圖也諸圖中星名位次皆巫咸甘石舊傳各依舊圖聨合大小分為六等各以本等印記分别識之中虚者舊疑非星因稱為氣今用逺鏡窺測則皆星也因恒時不見分異姑為散圏以象之其有位座如恒而星實未見用青圏為識與蒼同色明其無有之間也凡若干星合為一座各以數識之本座之外復有餘數又不相聨則其附近之有測新星表中各註經緯度分星名之下稱為増入者也其不書數目者無測之星表中所未載也諸圖總以黄道為中界復有曲線斜絡于黄道之上下者赤道也又有斜絡于赤道之上下者冬夏至線也其與天體異色斜絡天體廣狹不等者自昔稱為雲漢疑與白氣同類其實亦皆星也若星座同名而叅觀兩在覺其體勢不同者因天本渾圜所分宿度當為弧線今居平面不免變易是黄赤同圖則線分曲直兩次並列則線分斜正而安星本法皆依各線布置遇曲直與為曲直遇斜正與為斜正寧使形模小異尚可證以根繇儻令經緯微遷懼無辭於爽謬矣且一星一表毫髪難移㸃綴既畢自然肖象非若畫繪之家先想成形而追形定位雖欲更移秒末以就成體勢固不可得也量度則兩圎圖與總圖同法十八方圖則上下求經左右求緯各以直線求其相等度分星居兩線之交則各兩相等度分為星之經緯度分新法算書卷六十一
## 卷六十二
欽定四庫全書
新法算書卷六十二 明 徐光啟等 撰恒星出沒表卷上算近黄道四十五大星斜升斜入並在中各節氣時刻原法先查本地各節氣太陽斜升斜入度及半晝弧並赤道經度(各有本表)次查各星經緯表中所載赤道經緯度分依三角形算各星所得各節氣斜升斜入並在中度如圖設辛癸壬圏線為子午圏己庚為赤道辛壬為地平各半圏二赤極在癸今設一星在乙距赤道北以甲乙弧當求甲丙為斜正差度(乙星于正球必與赤道甲㸃同出沒今于斜球不然乃同丙㸃出沒)或星在戊距赤道南以丁戊弧應求丁丙為斜正之差度(因星正與丁今斜與丙同出故)法依甲乙丙或依丁戊丙三角形推算葢形内有甲與丁皆直角其丙角為本地赤道髙度左右必等甲乙與丁戊皆為本星赤道緯度乃求甲丙或丁丙為斜正差度法全數與甲乙丁戊(星赤緯度)之切線若丙角(赤道髙度如順天府五十度○五分是)之餘切線與甲丙丁丙(斜正差度)之正弦查八線表所得度緯北于本星赤經内减之得斜升(不及减星經内加全周减之後倣此)加于赤經得斜入緯南加得升减得入假如角宿南星赤經為一百九十六度二十六分在緯南九度○九分求甲丙斜正之差法全數與甲乙之切線一六一○七若丙角之餘切線八三六六二與甲丙之正弦一三四七五查八線表得七度四十五分為甲丙因星緯在南以本星赤經一百九十六度二十六分加甲丙七度四十五分共得二百○四度一十一分為斜升度復于星經内减甲丙餘一百八十八度四十一分為斜入度以此斜升斜入度為各節氣所用之公度任指太陽在某節氣依法可求本星出入及在中時刻設太陽躔鶉首初度為夏至依京師北極出地度查太陽本表鶉首初度得太陽斜升六十八度三十四分斜入一百一十一度二十六分其半晝弧為一百一十一度二十六分赤經為九十度○分(如無太陽斜升入等表即依前圖推算法)(與前同但定半畫弧其斜正差度應加或减于一象限後乃得于甲己或丁庚弧是若正升度即設己庚為赤)(道辛壬為黄道則全數與二道最相距之餘攷若太陽躔㸃距二道交處之切線與正升度之切線或三角形)(内甲或丁直角與丙角之餘若丙乙與丙甲或丙戊與丙丁得丙甲丙丁皆正升度弧是也)則以此公數求本星斜出時法以本星斜升度二百○四度一十一分内减太陽斜升度六十八度三十四分餘一百三十五度三十七分所餘度再减半晝弧一百一十一度二十六分實餘二十四度一十一分查赤道變時表應一時(小時)三十七分從午正起算得未正二刻○七分(每十五分為一刻)為角宿夏至出地之時刻若求本星在中時法以太陽赤經九十度内减本星赤經一百九十六度二十分因不及减于太陽赤經内加全周共得四百五十度内减星經度餘二百五十三度三十四分變時得一十六時五十四分從午正前逆數應戌初初刻○六分為角宿夏至在中之時刻若求本星斜入時法以本星斜入度一百八十八度四十一分内减太陽斜入一百一十一度二十六分餘七十七度一十五分再加半晝弧共得一百八十八度四十一分變時得一十二時三十五分從午正起算應子正二刻○五分為角宿夏至入地之時刻餘倣此查表求二十四節氣昏旦中星法欲考各節氣昏旦中星必先定太陽各節氣昏旦時刻(有本)(表)次簡恒星出沒表内本節氣各星之在中時刻有與太陽之昏旦時刻相合者即為本節氣昏旦中星時刻推之任何時刻可知某星在子午之中反之若某星在中亦可定為某時某刻例如左假如京師春分節昏刻為戌初二刻五分查本恒星出沒表春分之在中者得戌初一刻八分為北河第三星即春分昏刻之中星旦刻為寅正一刻十分查表得寅正一刻八分為尾宿距星即春分旦刻之中星也餘倣此北京各節氣昏旦時刻表(北極髙四十度)春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入處 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入處 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入雨 水 驚 蟄星 出 中 入 出 中 入雨 水 驚 蟄星 出 中 入 出 中 入新法算書卷六十二
## 卷六十三
欽定四庫全書
新法算書卷六十三 明 徐光啟等 撰恒星出沒表卷下列表不及他省者因逐處推求别有簡法(如星球等器可考)而依原法算止就一二可槩其餘故首舉京師次考南都彼此互證用法俱同南京各節氣昏旦時刻表(北極髙三十二度)春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入小 滿 芒 種星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入處 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入處 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入處 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入小雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入雨 水 驚 蟄星 出 中 入 出 中 入雨 水 驚 蟄星 出 中 入 出 中 入雨 水 驚 蟄星 出 中 入 出 中 入新法算書卷六十三
## 卷六十四
欽定四庫全書
新法算書卷六十四 明 徐光啟等 撰交食厯指卷一或問日月薄蝕是災變乎非災變乎若言是者則躔度有常上下百千萬年如視掌耳豈人世之吉凶亦可以籌算窮也若言否者則古聖賢戒懼脩省又復何説曰災與變不同災與災變與變又各不同如水旱蟲蝗之屬傷害民物者災也日月薄蝕無患害可指然以理揆之日為萬光之原是生暄燠月為夜光之首是生濕潤大圜之中惟是二曜相資相濟以生萬有若能施之體受其蔽虧即所施之物成其闕陷矣况一朔一望兩光盛長受損之勢將愈甚焉是謂無形之災不可謂非災也夫暈珥彗孛之屬非凡所有者異也交食雖躔度有常推步可致然光明下濟忽焉掩抑如月食入景深者乃至倍于月體日食既者乃至晝晦星見嘻其甚矣是則常中之變不可謂非變也既屬災變即宜視為譴告側身脩省是以有脩德正事之訓有無敢馳驅之戒兢業日慎猶懼不塈矣曰既稱災變凡厥事應可豫占乎可豫備乎曰從古厯家不言事應言事應者天文也天文之學牽合傅㑹儻過信其説非惟無益害乃滋大欲辨真偽總之能言其所以然者近是如日月薄蝕宜論其時論其地論時則正照者災深論地則食少者災减然月食天下皆同宜專計時日食九服各異宜并記地矣迨于五緯恒星其與二曜各有順逆乖違之性亢害承制之理方隅衝合之勢為其術者一一持之有故然以為必然不爽終不可得也惟豫備一法則所謂災害者不過水旱蟲蝗疾癘兵戎數事而已誠以欽若昭事之衷脩勤恤顧畏之實過求夙戒時至而救之者裕如則所謂天不能使之災又何必徵休咎于梓禆問祲祥于京翼乎然則星厯之家概求精密尤勤于交食者何也曰太隂去人最近饒有視差凡人目所見人器所測則視度而已其實行度分非人可見非器可測必以食甚時知為定望與日正相對從是知其實度從是知其本行自餘行度漸可推算也又因月食知地景為角體之形月體過之其距地同而入景之淺深不同可推日在其本天行與地為不同心也又因日食推月距地時時不等知其有本輪有次輪也又兼以日月食推日月體之小大及日月距地之逺近也别有度地之學因月食可推地在天之最中其四周皆以天為上人則環居地面也又因月食知地景為圓體而居東者漸逺漸後見食即非月食以地為先後特因各所見之時刻為先後也因以推地為圓體而水附于地合為一球也又以月食與子午線相距逺近知諸方之地經度也若泯薄蝕於二曜即造厯者雖神明黙成無所措其意矣是則交食者密術之所繇生故作者述者咸于此盡心焉今譔厯指有合論有分論月食術稍簡以附合論之末日食頗繁釐為别卷諸立成表以類從之謹列條目如左界説 七章凡物體能隔他物之象使不至目則為暗體若以體之一面受光而光復透射出於彼面則為徹體(如玻瓈水精是也)目所司存惟光惟色而色又隨光發見故解徹體必以通光解暗體必以其能隔他象如月掩日而日全食晝為之晦恒星皆見爾時太陽在外體質明顯又堅密無比光力甚厚乃為月體所隔不能映見微光可證月乃全非徹體而全為暗體 徹體有二通明之極全無隔礙者為甚徹雖則透光而微雜昏蒙者為次徹光在本體為原光其出而顯他物之象為照光 日有原光地與月皆借之為光者照光也謂顯他物之象者因他物之勢隨施隨受有原先後無時先後也非如寒熱燥濕之類漸及于物力盡而止原光以直徑發照為最光因而旁及者為次光 日光正照以直線至於物體則為最光有物隔之旁周映射則生次光如雲之上日體所照最光也雲之下不復見日而猶有光是次光也滿光者原光之全體所發少光者原光之半體所發 日未全出地平上所生光為少光全昇在上則生滿光日食時未全食則存少光既以復圓即得滿光景之四周有最光遶之即景為次光 以景為明者誤也以影為暗者亦誤也稱景為明暗之中庶幾近之葢全無光乃為暗今至夜子初人在地景至深之中去最光極逺而近目之物尚能别識即見景中猶存微光不失為次光也最光所不及為初景次光所不及則為次景 景與光并行光漸微景漸厚故次景與最光相反若初景即次光也最光全不及之處則為滿景若受正照之微光即為缺景滿景與光正相反無景之極則為滿光無光之極則為滿景假如甲乙為施光之物丙為暗球從甲出正照之光過丙球左右其切丙之界者得甲戊及甲己從乙出光又得乙戊及乙丁其庚戊辛為最光全不及之處則滿景也若庚戊辛戊以外則甲乙光體之多分漸照之至乙丁甲己乃全光之界即自戊至丁至己丙球之景漸薄以趨于盡矣太陽光照月及地第一日月地三球體大小不等地為靜體日月則有諸種行度則有髙庳内外其去地去人逺近不等法當以大小之比例及其相逺相近之比例推其施光受光之體勢乃得景之體勢因而得交食之體勢葢交食者生於景景生于光不尋其本而求其末無法可得其説五章一曰有兩球于此一為暗體一為明體而小大等即明者以半面施光暗者以半面受光 如圖甲為明球乙為暗球小大等即其徑丙丁及戊己各與甲乙線為直角而丙丁與戊己等即甲丙甲丁乙戊乙己與甲庚乙辛皆以半徑相等而丙庚丁半球與戊辛己半球亦相等今于明球之旁從丙從丁出兩切線至暗球之旁戊己戊己與丙丁為平行線即丙戊與丁己亦平行線也(見幾何一卷三十三題) 又因丙戊乙及丁己乙俱為直角即戊丙甲及己丁甲亦俱直角(見幾何一卷二十九題)即丙戊丁己線不能割兩球而止切兩周于丙于戊于丁于己其所抱為丙庚丁為戊辛己是甲乙兩球之各半也若日月地三球相等而月與地皆以半面受太陽之光如上所説則定朔日食半地面宜皆見之安得復有南北不等食分望日太隂全食時纔食既即生光安得復有食甚時刻及既内分今皆不然可見三球無相等之球二曰明體大暗體小則施光以小半受光以大半 如圖甲為明球乙為暗球作兩切線為丙己為戊庚從四切㸃作横線為丙戊為己庚甲既大球即己丙戊為鋭角丙己庚角為鈍角如曰不然或皆為直角即庚戊丙戊庚己亦皆直角兩切線必平行而乙球與甲球等(見幾何一卷二十八題)必不然也或己丙戊反為鈍角而丙己庚反為鋭角即兩切線不能相交于癸又不然也今以兩切線相交于癸明己丙戊為鋭角丙己庚為鈍角即于丙丁戊弧内作負圏角必鈍角矣于己壬庚内作負圏角必鋭角矣(見幾何三卷三十一三十二題)故丙丁戊施光者不及半圏己壬庚受光者又不止半圏也因此推知太陽照地及太隂必各照其大半而暗體所隔之日光漸逺又漸歛漸進以趨于一處即景居暗球之背不得不為角體之形矣又因此推求望日先後人目所見太隂受日之光不長不消者久之而後生魄此為何故葢亦因月體以大半受光以小半入于人目光不輒轉而魄未遽見故未望時已見全光已望後猶未失全光矣三曰明體小暗體大則施光以大半受光以小半 如前圖反論之可明太隂何以照地而地何反隔日之光也四曰大施小受愈相近則施者之小半愈小受者之大半愈大 如圖丙為小暗球甲與乙皆大明球作庚未直線過三球心以交于左右切線其乙球之兩切線交于午甲球之兩切線交于未即庚未長于乙午而庚丁未與乙辛午兩角庚丁與乙辛兩線皆相等則庚未線與庚丁線之比例大于乙午與乙辛而丁庚未角大于辛乙午角也(見幾何五)(卷八題)又庚未線過三球之心必截丁己辛癸兩線為兩平分而庚甲丁乙子辛兩形内之甲與子皆為直角則其餘庚丁兩角并乙辛兩角并皆等一直角卽兩并率等(幾何一卷三十二題)兩并率之甲庚丁角大于子乙辛角各减之所存庚丁甲角必小于乙辛子角矣次以庚丁甲及乙辛子不等之兩角各减庚丁未及乙辛午相等之兩直角所存甲丁未角更大于子辛午角又丁戊己弧内作負圏角必等于甲丁未角辛壬癸弧内作負圏角必等于子辛午角辛壬癸弧之負圏角既小于丁戊己弧之負圏角則辛壬癸弧必大于丁戊己弧(幾何三卷三十一三十二)(題)夫辰寅已與辛壬癸相似之弧也丑寅卯與丁戊已亦相似之弧也(大小圈左右各有切線其切㸃過分圈之線其所分大小圈分各相似其大小)(兩弧亦相似)即辰寅已弧亦大于丑寅卯弧可見明球在近比在逺者尤能照小暗球之多分也 因此推知日全食而視為大者日體去月體逺故也日全食而視為小者日體去月體近故也何以分逺近日與月俱有自行圈與地不同心其行于自行圈之上下為最髙最庳則為距地之逺近因生景之大小也日既全食矣又何以分大小月掩日至既有時晝晦恒星皆見蟲飛鳥棲此為全食而大月在日内從中掩蔽雖至食既而其四周日光皆見厯家謂之金環此為全食而小矣若然者日與月與地相去或逺或近之所繇生也五曰小施大受愈相逺則施者之大半加小受者之小半漸大 如圖甲乙皆為小明球丙為大暗球乙去丙逺于甲作各切線過三球心之直線皆如前次從暗球心丙至各切㸃作丙丁丙已丙庚丙辛各半徑得丙丁為丁壬之垂線丙庚為庚癸之垂線而丁與庚皆為直角丙丁與丙庚兩線又等則丙癸線與丙庚半徑之比例大於丙壬與丙丁而丙庚癸角又大于丙丁壬角也(幾何五卷八題)依顯丙辛癸角亦大于丙巳壬角以并前率為庚丙辛合角亦大于丁丙巳合角而其弧庚戊辛必大于丁戊已可見小明球照大暗球愈遠愈照其多分也今依本圖設丙為地外切線(癸辛也)以内為地景(日光)(過丙大球所出景)甲乙兩小球為月體其兩小球之小大既等則同以外切線為外光之界或為内景之界惟因月體循本輪行時居上周如乙則去地逺時居下周如甲則去地近以是月食之分數有多有寡月居影厚處如甲左右則食多月居影薄處如乙左右則食寡故曰月食有多寡者亦相距或逺或近之所繇生也景之處所第二凡光以直線照物體其無光之處則有景之處也欲于交食時求影所在理不異此葢月與地能出景者不在其受光之面或其左右必于受光反對之面日光不照之地在日食則為月景之處在月食則為地景之處矣説二章一曰景與光所居正相反 暗體得光于此面射影于彼面是景之中心與原光之心暗體之心㕘相對如一直線則暗體隔光于景使原光之心恒居一線之末界其正相反之彼界其景之心在焉如曰不然設原光在甲其照及乙乙為暗體隔光生景據云景不射丙(丙者與甲正相)(對之處)為甲乙丙直線而斜射丁則乙甲丁者角也有角則有幾何凡幾何皆分之無窮能出直線至于無數而皆至乙丁邊夫甲既為原光之體其所照必以直線出之(試諸儀器足以為證)即乙丁皆在受光之地何自能為乙暗體之景乎因此明景與光正在相反之兩界論暗體者其受光之面必向光所出之原界其生景之面必向景所射之彼界亦正相反也論日與月獨至兩交之處而有食亦依此理二曰明暗兩體任一運動景隨之移 試以暗體移動其所借之光隨處不一即所生之景亦隨處不一蓋景與光既如一直線即暗體所居定為景之末界如直線之首首移而線尚不移則是曲線非直線也又試以明體移動設甲為明體乙為暗體乙丙為影則甲乙丙如一直線如曰明體甲移至丁丁仍照乙而乙尚射景至丙則丁乙丙猶直線也有是理乎問太陽照室僅通隙光光照墻壁奕奕顫動太陽既自順行墻隙仍無遷變則此顫動為從何來或者光與景未必定為直線而能微作曲勢乎曰西古博物者亞利斯多言空中嘗有浮埃輕而不墜微而不顯莊周氏謂之野馬或亦稱為白駒幽室之内原光既微次光反厚即顯此物在于光中紛入沓出能亂光景之界使目視景絪緼浮動而寔非景動乃景之界線為浮埃所亂致使其然也更以氣為證今觀太陽出地地面以上多生蒙氣氣在日體與人目之間即見日之光界亦如顫動非獨日也日中晴朗切視地面光耀閃爍如波浪然熾炭在罏炭之四周火光燁燁亦如顫動凡若此者一皆繇氣而生在日在地在炭固無顫動之理是以景必繫于暗體如輪必繫于樞軸光上景即下光東景即西必相對也無相就也故太陽照地其光繞地一周則景在其相衝之界亦繞天一周葢日光從其本天直射至於地面而景在地之彼面亦直射至于月天苐日體常依黄道中線則地景亦常依黄道中線而月行常出入黄道中線之内外是以月體與地景不得恒相遇合大都不合時多合時少故日月不食時多食時少以此景之形勢第三求食分之幾何必先求景之幾何景幾何者以日月地之大得景之形勢以日月地相距之逺近分數得景之變易大小分數也此所論則景之形勢後考其變易之勢得景分以定食分焉凡二章一曰二體相等其影平行而無窮明小暗大其景漸展而無窮 論相等者證以平行之切線也如圖甲乙兩球等丙己丁戊為兩球之切線與兩球之徑丙丁己戊遇于切㸃皆為直角則互為平行線又球等即徑之長短亦等以遇丙己及丁戊無不為平行線也(幾何一卷三十三題)若兩球之周遭切線無數皆同此論則引之至庚辛以迨無窮終平行終不能相遇而其形為長圓柱之無窮體論明球小于暗球則推以三角形相似之比例也如圖乙丙為小明球丁戊為大暗球兩球之切線丁乙及戊丙引長之過小球必相遇于甲成甲丁戊三角形又從丁戊底作己庚平行線在大球之外成庚甲己三角形與甲丁戊相似則甲己庚角與甲丁戊角相等其各邊各角皆相似而甲丁與丁戊若甲己與己庚也反而更之己庚與丁戊若甲己與甲丁也甲己長與甲丁則己庚亦長與丁戊愈逺愈長可見大球之影漸逺漸拓矣(幾何六卷四題)更論丁戊線之内外角則在内者為鋭角在外者為鈍角故引切線向内過小球必相遇引之向外愈逺愈拓終不相遇而其形為無限長無限廣之角體又因兩球所居逺近不同景之張翕隨而變易故兩球相近即乙丙底線為小其景愈狹而乙甲丙角形愈短兩球相逺即底線為大其景愈拓而角形愈長也今驗諸日食有食分同而所厯時刻不同者月景之在地面廣狹不同也月與日㑹月在日與地之間或月近地而日在逺則目之見界過月周至日體其界廣日過遲其見食時刻多或月逺地而日反近則目之見界過月周至日體其界狹日過速其見食時刻少也姑以前圖明之目在甲乙丙為月體丁戊為日體切線甲丁及甲戊為目所見之界若日在近為丁戊即從丁過戊道近行速其食時寡若在逺為己庚從己過庚道逺行遲其食時多皆太陽有不同心圏而太隂又有小輪所繇生也二曰日月地三體大小不同 凡暗體出角景者施光之體必大于暗體否者其光不能照暗體之大半而使其景漸小以趨于盡也試觀月食時月體近地則入大景逺地則入小景愈逺愈小必至于盡安得不信日體大于地體乎設謂日體與地體或等則景宜亦等或小則宜漸大又當皆為無窮之景遇望時月體必不能出大影之外不應有不食之望矣有不食者是地景之益逺益鋭也月食於地景之中又有全而且久者是月徑更小于景而景小于地也地景之逺而益鋭者是日大于地也此以景理推論三體之小大畧可明矣若又以日體之大推月地之景則更有法可考其大小之比例也昔人因太陽照地所生之景及其逺近其視徑時時不同又以較于他體得其實體之大説見月離厯指中此獨用視徑定食時刻分之數其論實體為景與食之原畧舉一二如左幾何原本論三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所作角必大于相對角如圖甲乙為太陽之徑丙為目從逺視之丁亦為目從近視之此所謂内外兩三角形也今先以線論因内形之甲丁乙丁兩腰小于相對之甲丙乙丙兩腰則所作丁角比相對之兩角亦近于共用之甲乙底近則見大故丁目視甲乙日徑必見大于丙目所視之甲乙徑也次以角論因内兩線所作丁角大于相對丙角則此内角所對線亦似大于外角所對線而丁目所見之甲乙大于丙目所見之甲乙也此太陽視徑不同之縁也求太陽實體之大第谷設最髙最庳之中處得其距地一千一百五十地半徑全數十萬其半徑一十五分三十秒得正弦四百五十一以三率算法推其全徑得地之全徑五又七十五之一十四如三百八十九與七十五也又以其徑與其周之比例得太陽體之立方五千八百八十六萬三千八百六十九地球之立方四十二萬一千八百七十五其終數得一百四十弱為太陽大于地之倍數也此其照月照地生角體鋭景之原也景之作用第四月與地若各以其景相酧報然如月望則地景隔日光令月不受照有時失滿光有時全失光也至月朔則月體隔日光令地不受照有處射滿影有處留少光而已説三章一曰月食于地景 月食在望縁日月相對其理明矣獨謂闇虛為地景者或致疑焉今解之月對日受光藉非日月之間有不通光之實體為其映蔽則何繇阻日光之直照若天體及空中之火空中之氣皆通明透徹不能作障使月失光也即金水二星亦是實體有時居日月之間然其景俱不及地况能過地及月乎則知能掩月者惟有地體一面受光一面射景而月體為借光之物入此景中無能不食半進而半食矣全進而全食矣二曰日食者月掩之 恒言月在内去人近日在外去人逺故定朔時月體能掩日光是已苐金水二星亦皆時在日内又皆不通光之實體水星雖小金星則大于月也何獨月能食日乎曰二星雖有時在日内則去人甚逺逺則視徑見小不能掩日百分之一二而日光甚盛所虧百之一二非目力所及且二星比月去日更近所出鋭角之景更短不能及地面也若月體之大雖不及太白而去地甚近去日甚逺一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一實不通光之體全掩日體者惟月為能又自西而東不及三十日而周其行度較于諸天最為疾速故每望定朔皆同經度皆能有食其不食者繇距度不及交耳三曰因景之徑生多變易 月以距度廣狹為食分多寡一因去交有逺有近去黄道中線有正有偏一因入地景有淺有深故也今論其全食者而大小遲疾猶多變易曽非一定葢日在自行本天月在小輪相距逺近往往不等日距月近較距逺時更照月體之多分從月體出景更短其景至地更小則日雖全食月體見小厯時亦速也日與地亦然以兩體相距之逺近為地景之大小使月食時入于地景在其近末之鋭分則闇虛之體見小食分少厯時速皆因三體之相距逺近以生大小遲疾地景月景皆無一定之徑致令隨時變易如此若月景地景二徑之小大又自不等故日食盡于食既而月則食既以後尚有既内餘分葢地景大于月景故兩食皆全其虧復遲疾無能不異矣又月食天下皆同日食則否日食則此地速彼地遲此地見多彼地見少此地見偏南彼地見偏北無不異也月食則凡居地面者目所共見其食分大小同虧復遲疾同經厯時刻同唯所居不同子午線者則見食之時刻先後不同耳葢月一入景失去借光更無處可見其光也又槩論天下日食應多于月食為二徑折半其近交時加以南北視差易相逮及故論一方則日食應少於月食為月食共見日食因地故(見後卷詳之)月在景之光色第五月既暗體當全食時一入地景遂應失其借光非復人目可見也葢可見之物悉無原光必借外光以顯其象無外光即無從見有此物安從更顯物色乎今月居厚影尚有微光可見更發色象或赤色或青黑色或襍色此何從生今畧解之凡三章一曰月不獨食于地影 論通光者有二體一謂物象遇甚徹之體易于通射比于發象元處更加透明則形若開而散焉一謂物象遇次澈之體難于通射比于發象元處少襍昏暗則形若歛而聚焉其遇甚徹者如舟用篙艣半在水中發象上出出於水面所遇空明氣之光甚澈之體也則其象散而斜射視之若曲焉其遇次澈者如太陽入地平下其光照地旁本宜直上乃所遇清蒙之氣次澈之體也則其象合聚而射于地面凡地平以上皆得其次光為朦朧焉(即昧爽黄昏亦曰晨昏)此兩者皆以一物經繇兩體其勢曲折皆謂之折照(若一物在一體之中以一直線)(入目謂之直照)夫同是日光也在地面之上能折入于地景之根際則自地面而上何獨不能折入於景之中際至月體經行之處乎如圖甲為太陽乙為地球藉非清蒙氣能迎太陽之光而成折照則宜從子出光至丙從丑出光至丁切地面徑過而復合于庚為地景鋭角也今不其然因清蒙氣周遶地球日光至丙至丁遇其次澈之體難于透射則曲而内聚止于戊己地面矣而大圜中大氣無不受日之照光光在壬癸者遇于蒙氣即内歛至于卯辰此為初折從卯辰切地而過若遂以直線引之即復合于辛成卯辰辛襍線三角形為地之滿影自此以外全景之中皆得太陽折照之光與朦朧次光相類而實為初景能食望月之滿光也欲求滿景之長姑先依初折之光引直線復出于蒙氣之外(姑先云者不宜遽引直線)(也葢初折之光至於卯辰既抵地面又復内歛謂之次折則兩線之交尚在辛㸃之内今云然者姑先明初折)(之理約定乙辛之數如太隂之言交泛言平朔言本輪也其次折之理次二章詳言之求辛㸃以内之定距率)(矣)而借第谷所測清蒙差與多禄某所定地景角之大得辛辰庚角三十四分(近地平之氣差大率如此)得卯庚辰全角二十五分三十六秒半之為辛庚辰角一十二分四十八秒其相對之外角乙辛辰為四十六分四十八秒(辛庚辰辛)(辰庚相對之兩内角并)次乙辛辰三角形其乙辛辰角既得四十六分四十八秒乙辰辛為切線與垂線所作角必直角此直角與乙辛邊如乙辛辰角與乙辰地半徑即得乙辛短線長于地半徑七十三倍若論地之全景乙庚線尚長三四倍也夫月食於地景必依其景之體勢顯其食之貌象今全景之中既以地景兼蒙氣之景則并有初景有滿景月入于中隨其所至變易光色無足異矣或曰從古論食月者全屬地景今云不止地景而更加之氣景此為全景方之地景不亦愈長愈廣乎則從上古以來以地徑度月體過景之數以地徑定日月之視徑以地徑較日月之兩髙以地徑求日月之去地逺近悉皆乖舛而當更定新率然乎抑否乎曰不然所論蒙氣之景謂太陽之光因于此氣能令全景之中分别厚薄變易景中之色象非謂地之徑因景而加大也譬如眼鏡本無厚之體徒以變易物象顯其用耳且氣景之于地景亦何能加長加大乎計清蒙出地之髙不能過極髙之山極髙之山測其垂線不能過千四百步大地之徑則三萬里以髙山之步數化為里數而較地徑則五千分之一耳此氣之厚何能加于地徑而云設此論者有妨於地徑測量之法乎二曰月體當食而成赤色是氣景所生 月全食時其光色往往更迭變易其初食既與未生光當此二際則成赤色夫月入地景果必失光宜為純黒不應復顯他色今赤色者得無是其本光乎曰次光之物惟無光之處能顯其光一遇大光之體則次者之光泯矣今以地景言之月居其甚厚之際即甚逺于大光果有自體之光於此尤宜顯著乃今測之則在淺見盛在深見微可證食時所見非月體自有之光也故應論定月能食于氣景如上所説矣然食時亦能變易諸色何以獨言赤色試觀太陽下照地面受之論其本然皜明無色日地之間或發昬蒙之氣即地面所見時轉為黄時轉為赤皆因所遇之氣如玻瓈映目色青見青色緑見緑也今日照地旁照光所過清蒙之氣因於斜穿而成厚體月體所顯光色尤深成為赤色矣試論其所以視學家有公論凡象斜射次澈之體以垂線為主曲折通之初入則聚折而向于垂線既出則散折而離于垂線也何謂垂線葢于澈體之面過受形之㸃作線下垂則是折照所向所離之線如圖圓體甲戊乙方體甲丁戊皆次澈也當其面有斜照之光在丙至甲㸃而入至乙㸃而出則甲丁與丁乙皆為垂線照光至甲㸃而入必聚而折向于甲丁垂線至乙㸃而出必又散而折離于乙丁或乙壬垂線若言光至乙㸃出或不照庚而更照己則是返照之光非折照之光也依此申言上章所推地球滿影之長如圖太陽之光遇于蒙氣從壬癸折入作壬卯癸辰線為初折又從卯辰折出作卯午辰未線為次折以復合于己别生午己未雜線角形乃因乙己未角生己未辛及己辛未為外兩角并之得乙己未内角一度二十○分四十八秒今設從滿景之角己出切線至地球辰得乙己辰直三角形則因乙己辰角一度二十○分(乙己辰角比乙己未角差數甚微畧得四十八秒故)(以算景之長不論為數)如前比例得地滿景之心長于地半徑四十三倍比月最庳之入景處近地一十一地半徑也(月最)(庳入景五十四最髙入景五十八)今圖月在景之形勢地球為甲乙内圏其四周有氣為丙乙圏氣外切邊之光復合于卯是為全景透氣之光自丙至戊因戊以上所照必聚而止于地面無從透達也則光至丙為太陽之外邊所照光至戊乃其近中體所照以丙較戊更斜從庚而來入氣處更曲從辛來之光己透氣而復出更直故令丙丁線割戊己線于壬為丁己壬角形是為次光又為初景其角形周遭為環體抱滿景而居全景之中也丁己壬角形既盡于壬而又展開至癸左右相交至丑寅愈逺愈拓復出乎影矣則丁己壬以内壬丑寅以内皆初景之所居也因此設月體為子入景正初景展拓之處月食既正在其中將復光亦如之是故兩時皆顯赤色食甚離于次景入于滿景乃變青黒矣三曰月體當食而成青黑色是借光所生 月居食甚之中時顯襍色時但青黒皆須因光而見若并無光當純黑色也前已言既入此界即無太陽入氣折照之光則所繇見色者意或月體自有微光乎曰凡襍色之映見皆不繇于純光純光自當無色也雜色所從著見者必因濕氣居其中間如虹霓是己若虹霓是濕雲所映無從可證試以玻瓈瓶滿貯清水别為宻室止穿一隙以達日光瓶水承隙則光透墻壁亦成虹霓大氣之體本是熱濕因於地氣時重時輕若太陽之光從地旁過而地景在濕氣之中則月體所至生種種色亦此理矣若青黑色月在滿景多見之則因去光最逺所得希微之光不足顯其本體故光色近于純黑果絶無光又不能顯此色矣苐所謂希微之光者實非本光如前言人在地景最厚處天光尚映照之近日之物畧能别識若月食時則受光之天去月體最為切近而諸星環遶四周皆有借光可照月體較人在地面尚為景之薄處豈得無微光可借聊顯色象乎何必假此疑為自有之本光問合朔以後月之下半未受日光而月體微光亦顯青黑之色若無本光此光又何從而生曰生明以後魄顯微光然能去離月體足知其非本光去離者未至上弦此光漸消漸不可見也若寔為本光則上下弦前後深夜視之比朔後之月尚近太陽者尤為窈黑其本光愈宜顯著今為不然深夜即無初昏即有其為此時地面反照之光甚易明矣(此論月為暗體絶無本光與月離厯指四卷第二十六所論不同葢)(西土原有此二説不妨互存之)日月食有定時第六日月交食皆有定時者在月則因地景在日則因月景景之推移既隨日躔所至終古不爽又月行本道所距黄道度分亦有定法是以一在定朔一在定望當食必食多寡先後上下千百世可知也説二章一曰日食恒在定朔月食恒在定望者何也地球在天心故也驗諸日食必兩曜同居一線而月在地與日之間正隔日光于地又驗諸月食令日月不相望于一直線兩界之末則終古無食也設地不居天中或偏近于黄道之上下左右則食不在半周而月食之衝非太陽所在矣(古法以月食衝簡知太陽所在) 如圖甲為地從甲心作乙丁丙戊圏為宗動天之地平則甲必為天之心也何者從乙出直線至丙丁至戊亦如之乙為東並為鶉首初度丙為西亦為星紀初度丁為鶉火戊為𤣥〔？〕皆初度也則有視學之公論三其一曰目所視物必從直線乃見之使目在甲能徧見乙丁丙戊即甲乙甲丁甲丙甲戊皆直線也其二曰若光從一窺表出能射黄道正相對之兩㸃必為徑線此乙丙及丁戊能過甲亦如光過窺表甲能至黄道鶉首星紀等宫正相對之初度則乙丙及丁戊必為本圏之徑更試測日月定望時得並在地平此出彼没若距度同即日月畧居其一徑之兩末則乙丙及丁戊為圏徑無疑也其三曰凡圏中有多徑線交而相分其兩分線必等此兩徑乙丙及丁戊交而相分于甲即甲乙甲丙甲丁甲戊線皆相等又幾何一卷第十七三卷第三界説皆言圏中一㸃所出多直線至其界皆相等即此㸃定為圏之心今甲㸃出甲乙甲丙等直線至乙丁丙戊各界諸線皆相等即甲必為本圏之心因此推之地球在天之心甚易明矣二曰食之大小疏宻因月距度昔人測日月食必在正中二交月體去交漸逺則食分漸少以至無食何也月以本體掩日而日為之食又以本體入于地景而自為食故恒言日月地居一直線之上則食偏則否三球之所以偏者有二一則日體恒行黄道中線地景恒在其正衝度分一則月行常出入黄道中線是故有時不入地景則食與不食皆因月行本道與日與景之距度多寡而已若其距度較日月景之二徑折半或大或等者必不食也小則必食也愈小則食愈大也但月與景之二徑折半大不大過一度日與月之二徑折半止三十餘分耳故兩交左右之距度或在陽厯或在隂厯各有食限不入食限者雖遇朔望無縁相及故一歲之中不能多有食矣即入于食限而去兩交有逺有近則其距度有廣有狹即食分有寡有多相因致然不能齊一也日月食合論第七日食與月食不同勢食日謂之障食食月謂之藏食何謂障食日為諸光之宗月與星皆從受光焉月之食日非真食日也定朔則地與月與日自下而上為一線相㕘直月本暗體今在日與地之間以暗體之上半受光于日以下半射景於地如屏蔽然特能下揜人目而不能上侵日體日之原光自若也是故人見為食而實非食也何謂藏食定望則日月相對日光正照之月體正受之人目正視之若于此際經度相及適及兩交日與地與月亦為一線相㕘直而地在日與月之間地既暗體以其半體受光于日以其半體射景于月若月體全入于景中則純為晦魄必待出於景際然後蘇而生明如没而復出者然是則可謂真食也總之日月兩曜若同行一道之上則每朔每望無不食矣日月地三體若并不居一直線則永無食矣惟各行於一道時及於兩交故日與月皆隔五月而一食或六月而一食歲歲大率有之不食者半食於夜日食則此方所見他方所不見耳其食也日體恒居一直線之此界其彼界則月體地體叠居焉月居末界即月面之日光食于地景矣地居末界即地面之日光食于月景矣如上圖甲為地己為日卯辰圏為黄道乙丙為白道其大距(兩距之最逺)五度弱(二分)丁戊為兩交(即龍頭龍尾亦名羅㬋計都)論月食日照地球其光自庚辛至地切兩旁過之而復合于壬自甲至壬角體之形為地景地景之心恒隨太陽而行黄道中線若躔處去兩交逺二徑折半小于兩道之距度分月行本道從旁相過不能建及則不食矣若正遇于兩交或交之左右二徑折半大于二道之距度分則兩相涉入月為之食其食分多寡在距度廣狹距度廣狹在去交逺近也論日食則人目所見恒在地面推得實㑹仍須推其視㑹若僅據實㑹則是地心之見食非地面之見食凡有無多寡加時先後悉皆乖失矣如圖丁為月或正居于兩交或在交之左右日月二徑之各半合之小于距度分則月能掩日日為之食不然則不食也所謂實㑹視㑹兼推則合者地面所見推食于地平以上至天頂之正中則獨推實㑹便為視㑹自此以外地面所見先後大小遲疾漸次不同如圖人在地面癸依丁月之徑適滿太陽之庚辛徑則見為全食若人在地面子依丁月之徑乃見兩切線所至為己寅則月掩太陽止于己庚半徑見為半食矣大凡日欲食時月不能離躔道一度强自此以上無縁相涉故定朔之日有食時少無食時多也新法算書卷六十四
## 卷六十五
欽定四庫全書
新法算書卷六十五 明 徐光啟等 撰交食厯指二日月本行圖第一日居本圏月居本輪行度參差因而有交食因而毎食不同此略圖二曜本行以明交食之原月離圖獨言朔望者交食時必在其本輪内圏之周也太陽本行圖甲為地球在天心其大小之比例難可計算略言之則地之與天若尺土之與大地也如圖外大圈為黄道與地同心内圏為太陽本天其心在乙乙之離地心依第谷算為全數十萬分之三千五百八十四約之為百分之三有半也其最高今時在鶉首宫六度為丙太陽右行從辛過丙一周天而復于辛為三百六十五日二十三刻三分四十八秒是謂歲實任躔某宫某度分皆以地心甲為主而地心所出直線至戊黄道指為太陽之實行其平行則又以本圜之乙心為主故人在地所測之實行時速時遲而太陽因最高在北任分本圏則北為大半故北六宫之日數多於南六宫幾八日有竒也依此見求太陽之躔度必用兩法一者定其平行如隨乙丁己直線窺之從乙心見黄道上之己㸃二者定其實行如隨甲丁戊窺之乃從地心見黄道上之戊㸃先得其平行又以加减求實行而平實之差為戊己弧以甲丁乙三角形求之即得也其自丙過秋分至庚兩行之差必减平行而得實行自庚過辛春分至丙則加于平行而得實行若用表則從丙最高起算或從庚最庳起算至日體之本度為引數以求加减之度太隂朔望本行圖月離之術依歌白泥論有本圜有本輪有次輪本輪之心依本圏之邊滿一轉即次輪之心依本輪之邊得兩轉故朔望時月體皆在次輪之最近最近者近於本輪之心也因是不用次輪但以最近處為界得圓圏月離厯指謂為本輪之内圏此可名朔望之小輪也假如丙丁戊為太隂朔望時之本圏則與地同心(因無差故設為同心)本輪為乙丙丁其心在本圜之邊甲右距日得每日十二度一十一分其最高在乙最庳在己月體則又居次之邊左行自乙至丙而己而丁謂之引數最外有黄道為辛庚若從地心出直線上至黄道而次輪心正居此線之上則所指者為太隂之平行度分也又從地心出直線上至黄道而月體正居此線之上則所指者為太隂實行度分也凡月轉或在高或在庳正當一宫初度(乙也)或七宫初度(己也)則平行即是實行過此必有兩行之差則以差數加减于平行度分得其實行度分又月在乙丙己半轉則以减得之若在己丁乙半轉則以加得之以在朔望故平實行相距之極大差不過四度五十八分二十七秒(甲丙甲丁是也)過此為兩弦之差則更少與交食無與月離厯詳之若用不同心圏論則并不用此本輪其加减平行度分而得實行度分理則一也因日月以平實分本行故平朔平望時兩體未必正相合正相對凡實㑹之或先或後日月各以其平行直線相遇而合為一直線則是中㑹實㑹中㑹視㑹第二測天約説言日月之行有隅照(相距三之一)有方照(相距四之一)有六合照(相距六之一)然悉無交食而獨相㑹(朔也亦名合㑹)相對(望也亦名照㑹)則能有食故本篇所論者止于相㑹相對也抑㑹者總名也細言之有實㑹有中㑹有視㑹三者皆為推歩之原故言交食之術必先言相㑹相對言相㑹相對之理必從實㑹中㑹始實㑹中㑹以地心為主實㑹者以地心所出直線上至黄道者為主而日月五星兩居此線之上則實㑹也即南北相距非同一㸃而總在此線正對之過黄極圏亦為實㑹葢過黄極圏者過黄道之兩極而交㑹于黄道分黄道為四直角者也則從旁視之雖地心各出一線南北異緯從黄極視之即見地心所出二線東西同經是南北正對如一線也是故謂之實㑹若月與五星各居其本輪之周地心所出線上至黄道而兩本輪之心俱當此線之上則為月與五星之中㑹日無本輪本行圏與地為不同心兩心所出則有兩線此兩線者若為平行線而月本輪之心正居地心線上則是日與月之中㑹也葢實㑹既以地心線射太隂之體為主則此地心線過小輪之心謂之中㑹矣若以不同心圏之平行線論之因日月各有本圏即本圏心皆與地心(即黄道心)有相距之度分即日月循各本圈之周右行所過黄道經度必時時有差(與地不同心故)(也)其從地心出直線過日月之體上至黄道此所指者為日月之實行度分也設從地心更出一平行直線與本圏心所出直線偕平行而上至黄道此所指者為日月之平行度分也葢太陽心線與地心一線平行太隂心線亦與地心一線平行恒時多不相遇至相遇時兩地心線合為一線則是日月之中相㑹若太陽實行之直線與太隂實行之直線合為一線則是日月之實相㑹合㑹望㑹皆有中有實其理不異先依小輪法作圖甲為地心亦為黄道心亦為太隂本圏心(太隂與地同心者為用本輪故葢本輪周即太隂圏心繞地心之周其理一也)乙為太陽本圏心(與地不同心)太陽在丁太隂在戊甲戊丁線直至黄道圏得辛指日月實相㑹之度如太陽在丁太隂亦在甲辛直線上為庚而此線至黄道圏得丙即指日月實相望之度若太隂在癸與太陽不同一線之上乃過月本輪之心己而至黄道壬此直線所指則日月中相㑹之度也如月在庚從地心出平行線甲子與甲壬太陽平行為一線而至黄道子亦指日月中相望之度矣次依不同心圏法如後圖黄道與太陽之本圏皆同前獨太隂無本輪而易為本圏其心與地心不同在甲乃在丙此亦以日月並居一直線為實㑹如太陽在丁太隂在本圏之邊戊地心所出甲戊丁線至辛則所指為實㑹而正對月體至黄道寅則所指為實望若中㑹中望則以平行線為主葢甲壬為地心所出直線既偕太陽本圏心所出過日體之直線乙丁為平行線又偕太隂本圏心所出過月體之直線丙庚為平行線則是兩偕行之直線合為一甲壬而至黄道故所指者為日月中相㑹之度也其至相對之黄道上為癸則所指者為日月中相望之度設過此交㑹之時太隂在丑則月圏心出者為丙丑線地心出者為甲己線兩線自偕為平行而甲壬與乙丁自偕為平行甲壬甲己不得合為一線矣故地心所出之兩偕行線能合為一甲壬者必指中交之度為日月相㑹之共界也實㑹中㑹相距無定度日月本圏各與地不同心故兩圏心所出直線各與地心所出直線雖恒為平行線而又與地心所出直線其相距廣狹恒無定數設日在本圏之最高月在本圏之最庳其實行所至即平行所至則中㑹即實㑹矣或太陽在最庳太隂在最高或兩最高兩最庳在黄道上同度則中㑹實㑹亦皆無距度也惟日月去本圏之最高及最庳右行漸逺則地心所出平行直線漸相去至半圏周則甚相逺而為實中兩㑹之相距最大差假如甲為太陽之最高乙為太隂之最庳若太陽在甲太隂在乙即兩本圏心及地心所出直線上至黄道皆合于甲乙線則實㑹無分于中㑹也若太陽至丙太隂至丁去最高各不甚逺則地心所出辛平行線距本圏心所出直線亦左右稍逺即中㑹亦稍遠于實㑹矣又使太陽在戊太隂在己則三直線相距更逺而實㑹中㑹相距亦更逺此則以太陽之引數九宫二度得戊辛弧二度三分一十五秒應减以太隂之引數八宫二十八度得辛庚弧四度五十八分二十七秒應加依法合之得戊庚弧七度○一分四十二秒為太陽太隂實㑹相距數實㑹中㑹互相隨因有變易實㑹與中㑹多不同時或中㑹在先實㑹在後或實㑹在先中㑹在後惟日月各居其本圏之最高或最庳或一居最高一居最庳則中㑹不分于實㑹(因平行度乃正是寔行度)即不用加减度分若彼此俱加于平行度或俱减于平行度而所加减之度分等則中㑹亦不分于實㑹也(兩均)(數相减若俱等無所减故)又依黄道右行論之使中㑹之時太陽之實行在前太隂之實行在後則實㑹在前中㑹必隨而在後(月行速過中而得實㑹)若中㑹時太隂在前太陽在後則實㑹必後于中㑹也(實㑹之後月乃過中)若太陽與太隂或皆在本輪中轉之半周(從最高至最庳)則兩曜所得加减度其一較狹者必在前也或皆在本輪正轉之半周(從過庳至最高)則兩加减度其一較廣者必在前也若其不同在最高庳之間而各居一半周則過最高者在前過最庳者反在後矣如圖太陽在本圏太隂在次輪外圏為黄道從地心出直線至黄道而過本輪心所指者為日月兩平行度之中㑹葢地心所出日月兩平行線合為一線也若地心線從中㑹線之左右過日月兩體而至黄道所指者為日月之實行度而兩線相距之廣即日月相距之度法應化為時刻分以加以减于中㑹乃得實㑹也又日月平行同在甲或在乙加减度不同類(一寔在前一寔在後)則兩率并之得日月相距之度若日月同在丙丁戊己加减度同類(或都在前或都在後)則兩率相减之餘為日月相距之度也依本圖論日月在甲則以太陽之加减度加于平行而得實行(在前故也)太隂則减之而得實行(在後故)其所差時刻則以加于中㑹得實㑹也(月過中而逐及于日故)日月在乙其加减度則太陽用减(在後)太隂用加(在前)其時刻則相减以得實㑹也(既㑹之後月乃過中)若在丙太隂之加减度大太陽小皆减之其時刻則加之以得實㑹(月欲)(及日故)若在丁太陽之加减度大太隂小亦皆减之其時刻亦减之而得實㑹(月己過日故)若在戊太隂之加减度大太陽小皆加之(皆過中故)其時刻則减之得實㑹(月己)(過日故)若在己太隂之加减度小太陽大皆加之其時亦加之得實㑹也(月欲及日故)總論之行度在中㑹前即當加(甲日乙月戊己之日月)在中㑹後即當减(甲月乙日丙丁之日月)時刻月實行在日後則當加(甲丙己是)月實行在日前則當减也(乙丁戊是)推中㑹實㑹元法第三日月同居黄道經度分秒不異是為正相㑹正相㑹者實朔也日月相距正得黄道半周分秒不異是為正相對正相對者實望也其推歩之法因二曜之實行度不同其實行之變易又時時不同故先以平行求得其中相㑹中相對而後漸得其實相㑹實相對焉苐中㑹之法以紀首(甲子為紀首)以每年每日每時之平行度分推歩易得耳實㑹法必用幾何術中三角形弧弦切割諸線非是則無從可得故今交食厯中所列諸表不過求中求實兩法而求實甚難不得不繁曲不得不詳密也求中㑹月行黄道視日行甚速其在後也能逐及于日其既及也又超于日前其在朔也有時隔日光于在下其在望也有時失光于地景求朔望法先定太陽之平行度分以求太隂距日之度分若同居黄道經無距度分秒則為朔若相距正得半周則為望外此則中㑹在先必减其己過之時刻而得中㑹若中㑹在後則加以不及之時刻而得中㑹假如壬申年二月十六日癸丑日月相望求太陽平行其紀首為天啓四年甲子天正冬至後第一日子正時太陽在九宫○度五十一分四十五秒至本日癸丑午正時得中積時為八年一百三十五日六時用太陽平行度每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒每日五十九分八秒二十微每小時二分二十七秒五十一微并得中積度為三千○一十一度三十八分四十七秒加紀首前宫度得總數滿平周(三百六十度)去之餘四十二度三十○分三十一秒為本日午正時太陽躔大梁宫之平行度分次如前法求同時太隂中積度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微每日一十二度一十一分二十六秒四十一微為太隂自太陽平行度分加紀首前十度一十七分三十六秒五十三微并得二千六百九十九度七分二十四秒滿平周去之餘五宫二十九度七分二十四秒為本日午正時月距太陽之經度分以减半用為不及者五十二分三十六秒未得正望求其時用不及度三十分二十八秒三十七微為一小時其餘得時四十三分三十三秒為正中望算外得未初二刻一十三分三十三秒求引數凡日月在最高或最庳其實行與平行無異外此則不同行而兩行相距又無定數故從最高右行指其平行所至黄道之弧為引數因之以求太陽太隂兩處所差加减度若太隂則從其本輪之最高起算左行為引數之弧也苐須先定日月在中㑹時之平行度如前太陽正午在大梁十二度三十分三十一秒一小時又行二分二十七秒五十一微尚未至中㑹須行四分一十五秒(并小時)得中㑹時刻以加前得數其中㑹平行度在本宫一十二度三十四分四十六秒其正相對為太隂平行度分則在大火宫矣若太陽平行度正合于最高則無引數亦無加减過之即相减不及則于平行度外加一平周(三百六十度也)而减最高餘為引數假如最高每年行四十五秒從甲子至壬申年三月得六分一十七秒以加于紀首之最高得三宫○五度五十六分五十八秒并得三宫○六度○三分一十五秒為太陽最高行度因太陽平行度在二宫不及加平周减之得十宫○六度三十一分三十一秒為太陽中㑹時引數同時依太隂每年之本行二宫二十八度四十三分八秒每日行一十三度三分五十四秒其中積得二千四百八十度五十九分五十三秒加入紀首前六宫一十七度四十六分二十三秒滿平周去之得五宫八度四十六分一十六秒為太隂壬申年三月中㑹時之引數也求實㑹法先求太陽加减度依前所得最高及平行作圖外圏為黄道從春分向左計其平行度從地心出直線指之次從心又出一直線至最高度線上任取一㸃為太陽本圈心從太陽圏心又出直線與平行度之指線為平行線至黄道更從黄道心(即地心)出直線過太陽體之心至黄道指其實行度也如圖外圏為黄道其心甲出直線至丁即前所推太陽平行在大梁十二度又出直線至三宫六度為當㑹時之最高行度内圏為太陽本圏其心乙出直線過太陽至己更作甲丙直線引至戊指太陽之實行度即戊己弧爲加减度應推丙角用甲乙丙三角形如法求之如圖引數之餘弧為丁辛或己辛五十三度二十八分二十九秒(止論角故異弧同度)即丙乙辛外角也甲乙兩心之差為全數十萬分之三五八四今以弦線求加减度先依甲乙線作甲乙庚直角三邊形用句股開方求弦線其比例為甲丙線與甲庚丙角之正弦若甲庚線與甲丙庚角之正弦得一度三十六分五十五秒為太陽加减度若用切線則更省以全數加兩心之差數得一○三五八四恒為第一率又相减得九六四一六為第二率引數之角隨時不一半之而求切線為第三率如法求得第四率為切線查其本度分以减半引數餘為加减度若本圖則引數餘弧之角半之為二十六度四十四分一十四秒其切線五○三九○為三率如法得第四率四六九○三為二十五度九分四十一秒之切線以减半引數得一度三十六分三十三秒為太陽加减度也次求太隂加减度按西厯近世名家先有歌白泥後有第谷從前所論㑹法兩家之説略同至論太隂則第谷之術更為精宻今先言舊法次言宻法舊法曰如圖黄道内作同心圏從太陽平行度越半周而定太隂平行度之一從心出直線至此㸃必為本圏之過心線而指本輪之心次從本輪最高左旋查其引數又從黄道心作一直線過太隂體兩線所至黄道間得一弧此弧為太隂之加减度也(加减度即名均數)假如太隂平行度在大火宫正對太陽其引數自戊左行至丙未及半周月體在丙兩直線並出甲甲乙戊指平行度甲丙己指實行度戊己弧為所求加减度其求之者甲乙丙三角形也若用句股法則自丙至丁下垂線開方求得甲丙弦則甲丙線與甲丁丙角若丙丁線與丁甲丙角也如用切線則甲乙全數十萬本輪之半徑乙丙八六○○相加得一○八六○○相减得九一四○○又半引數求其切線如恒法即得均度之切線矣以此推歩交食未免微差第谷新法更為詳宻鮮不合者今諸列表悉用此術故應説其義指如下文宻求實㑹(第谷法)月離厯指論太隂之本行故備晦朔弦望此説交㑹故圖説止于朔望也太隂交㑹僅用三圏一為本天一為本輪一為次輪本天即本圏也與地同心負本輪之心其半徑當十萬則本輪之半徑得五千八百從最高左旋負次輪之心如次輪心從最高丁行至己其自行度即表中所名引數用以求加减度加减度即均數也若本輪在子或寅則月體在庚自行在初宫初度或五宫末度則無引數可計亦無均度可求矣若本輪在丑則月體在丙自行得三宫初度為交㑹時之極大差欲得此數用甲乙丙三角形求之甲乙線為全數乙己與己丙相加得乙丙為八千七百甲乙丙角係自行之象限必為直角依前法以切線求乙甲丙均度角必得四度五十八分有竒若自輪在卯為十宫月體在辛必用兩三角形乃得均度其一為甲卯辛形所求均度為卯甲辛角形中特有全數無從得角宜先推卯己辛三角形形有本輪之半徑卯己有次輪之半徑己辛有引數餘弧之倍角卯己辛如法推得卯辛線及己卯辛角以减于引數得其餘弧之數為甲卯辛角因此可求卯甲辛角為均度也更論次輪之周月體循而右旋其半徑僅得本輪半徑之半以較全數得十萬之二千九百兩半徑并得八千七百為㑹時所用之數以推最大均度太隂在次輪從最近庚起算恒倍本(輪行)如丁己為本輪之一象限而太隂行小輪從庚至丙得半周是自行得半周太隂行全周故前言本輪在子在寅月體至庚悉無加减數也今依圖求太隂均度如前設得其自行五宫八度四十六分一十六秒距太陽半周其經度在大火宫一十二度則本輪在乙從地心引直線為甲乙全數從乙出直線至自行之限丙必與中最高線甲戊為平行線而定引數為庚丙倍引數從最近右旋得太隂在次輪丁從乙至丁引乙丁直線則得乙丙丁三角形其乙丙丙丁兩線為兩小輪之半徑乙丙丁角為倍引數(辛壬丁是)之餘角(丁辛弧是)即可求丙乙丁角與乙丁直線也又甲乙丁三角形欲求乙甲丁均度之角以切線算之宜先得己乙丁角以偕全數及乙丁線乃得其所包角矣法見下文如圖求丙乙丁角倍引數(辛壬丁也)得三百一十七度三十二分三十二秒餘(丁辛)四十二度二十七分二十八秒為乙丙丁角其餘角(乙丁兩角也)總而半之得六十八度四十六分一十六秒其切線得二五七四三○為三率兩輪之半徑相加得八七○○為一率相减餘二九○○為二率算得第四率切線八五八一○其弧四十度三十八分以减前總餘角之半數得二十八度○八分一十六秒為丙乙丁角也次求乙丁線則丙乙丁角之正弦(四七一六○)與丙丁(二九○○)若乙丙丁角之正弦(六七五○五)與乙丁線算得四一二九次以甲乙丁大三角形求均度先得己乙丙角(引數之餘未滿半周)以加丙乙丁角得己乙丁角四十九度二十二分其餘角(甲丁兩角)總而半之得六十五度一十九分查切線二一七五八二為三率以乙丁線加全數共一○四一二九為一率相减得九五八七一為二率算得第四率切線二○○三二○其弧六十三度二十八分一十七秒以减前六十五度一十九分餘一度五十分四十三秒為所求太隂均度與列表合今以兩所得均度求實㑹時查圖視均度或以加于平行度或以减于平行度即見太隂距對處若干或過之或不及則以其相距之度分化為時刻依前法或加或减于中㑹時刻必近于實㑹時刻如前推壬申三月月食其㑹時太陽之平行在實行後則以均度加于平行得實行太隂之平行在實行前則以均度减實行又以二實行相較見太隂視正相對不及者三度二十七分三十八秒化為二十七刻三分四十五秒以加前中㑹算外得實㑹在戌正二刻二分一十八秒復求實㑹時日月之兩實行變動不居非一圓形能盡其理幾何家欲徑測徑推無法可得故須先用平行以漸推其實行顧又非一推可遽合也蓋初用之引數其所指者中㑹之引數非實㑹之引數則其加减度所推實時特近于實時非正實時也法宜更求中實㑹之間日月自行度分依加减時法或加或减于前之平自行乃得次引數求其均度復查二曜實相距度化為時刻或加或减于中㑹時刻乃得正實時刻若三推之終所得時刻分秒不異于次得即合天無疑矣假如前得差二十七刻三分四十五秒其間太陽復平行一十六分四十七秒以加初平行得一宫一十二度五十一分三十三秒减其最高(最高不動即用前數)得自行一十宫六度四十八分一十七秒餘弧(至滿周)五十三度一十一分四十二秒半之而求切線得五○○七○為三率以全數加不同心差為一率相减為二率算得四率四六六○五其弧一度三十六分三十四秒為太陽次均度也太隂中實㑹之距時間(即前二十七刻有竒)復平行三度二十七分二十八秒以加前經度總得經度七宫一十六度二分二十四秒為本輪居本圏之處而本輪此時間亦向右自行三度四十二分三十一秒以加前自行得次自行五宫一十二度二十八分四十七秒即次引數也為次輪心居本輪周之處倍之得太隂居次輪周之度也借前圖則乙丙丁角今為三十五度二分二十六秒餘角(乙丁兩角)總而半之得七十二度二十八分四十七秒其切線三一六七六八為三率一二率如前算得一○五五八八其弧四十六度三十三分以减前半弧七十二度二十八分四十七秒得二十五度五十五分二十二秒為丙乙丁角次求乙丁線則此角之正弦四三七一六為一率丙丁半徑為二率乙丙丁角之正弦五七四一六為三率算得三八○八為乙丁直線也 今求均度以自行餘之甲乙丙角并丙乙丁角為己乙丁角四十三度二十六分三十五秒餘者(甲丁)(兩角)總而半之得六十八度一十六分四十二秒為三率第一及二為乙丁線一加一减于全數(甲乙也)算得二三二五九六求應减之度而得次均度一度三十二分三十三秒又以太隂次均度加于太陽次均度見太隂視正相對不及者三度○九分○七秒化為時刻得二十四刻一十二分一十七秒以加于中㑹算外得實㑹在戌初三刻一十分五十秒推㑹時簡法第四前依幾何法用日月行度推㑹時者論其所以然也若恒時推歩别用諸表諸表雖從圖出其用之甚易不煩故名簡法然以此便初學耳明理之家正須從難處入不宜恃此為足也列表法交㑹表從前圖出者止均度二表(即加减度表)一為太陽均度一為太隂均度論太陽如圖甲丙乙丙兩直線至黄道之相距弧為均度用三角形法求甲丙乙角則與求丁戊弧不異葢丁戊能代丁己繇甲丙乙角能代丁甲己角(見幾何一卷二十九題)但丁甲己非三角形無從可得均度故用甲乙丙則恒有乙丙全數有甲乙兩心之相距(三五)(八四)又有自行之正或餘角如庚乙戊角即周圈之上任所至可以三角形推得均度也論太隂如上圖獨交㑹時其本輪與地同心則有本輪之加减度最大者為次輪之最逺在最高最庳之間因月體至此去本輪心最逺故其二輪之半徑必合為乙丙直線而指月體其數八七○○又有甲乙全數有本輪上自行度丁戊成甲乙丙三角形依前法可推乙甲丙角之均度外此則月居次輪最近或最逺之左右從地心出直線指實行即月體所居無兩半徑合并之數故所求均度非一三角形可得須用兩形求之如圖月居丙因在次輪之左必得乙丙直線乃生乙丙丁及甲乙丙兩三角形矣求中㑹時厯元後推首朔至二百年每年可當厯元法先定崇禎元年戊辰天正冬至後第一日子正時為根而恒减通閏一十日六十○刻一十一分一十二秒遇閏年多减一日不滿數加朔䇿二十九日一十二時四十四分三秒减之得次首朔若用加法則以太隂年(十二朔䇿)三百五十四日八時四十八分三十八秒加所得之數而减太陽年三百六十五日遇閏年則三百六十六日不滿亦加朔䇿减之厯元前總甲子亦於每甲子年定首朔表自六十六甲子(天啓四年)逆遡而上每加六十太隂年滿朔䇿去之餘為三日七時一十三分○六秒依此遞加共為若干甲子而得若干總數滿朔䇿去之餘為本甲子年首朔也更有每年零用表與厯元後二百恒年同法亦歳减通閏每四年加閏一日則先一年减之為一十一日一十五時一十一分一十二秒得次上首朔又有太陽引數太隂引數二表有交行度表有太陽經度表太陽引數者是太隂年本行减最高行即一十一宫一十九度一十六分八秒(亦即三百五十四日八時四十八分三十八秒)加朔䇿得一十八度二十二分二十九秒太陽經度者從最庳起算太隂年所行得一十一宫一十九度一十六分五十二秒加朔䇿得一十八度二十三分一十六秒太隂引數者太隂之自行也從本輪最高起算太隂年所行除正周外得十宫九度四十八分○一秒加朔䇿得十一宫五度三十七分○一秒交行度者太隂年所行除全周外得八度○二分四十七秒加朔䇿得一宫八度四十三分一秒四表皆同一法恒加太隂年行度若首朔表加朔䇿諸表亦加朔䇿但首朔表論閏日後四表不論閏日耳其通閏在零年順推則首朔用减下四表用加在甲子年逆推則首朔用加下四表用减用表求中㑹中㑹法若下推將來用厯元後五種行度表第一格簡得冬至後首朔次用朔實十三月表加之即得若上推既往用厯元前總甲子表得甲子年首朔而所求交㑹即在本年則於十三月表查朔䇿或望䇿加之即得所求交㑹不在本年先查六十零年表加相距之年後加相距之朔䇿或加望䇿即得假如壬申年九月庚戌夜望有食用本年下首朔○日一十六時二十五分二十一秒紀日三十七從冬至至本月望相距十月又半故朔實十三月表内對十月得二百九十五日七時二十○分三十一秒加望䇿一十四日一十八時二十二分二秒總得三百四十七日一十八時七分五十四秒滿旬周(六十日)去之餘得中㑹在庚戌日時刻從子正起算得在酉初七分五十四秒又試用厯元前總甲子表於六十六甲子下得○日○三時四十四分○八秒紀日五十五至壬申積八年查零年表八年下得○日一十二時四十一分一十三秒紀日四十二朔䇿望䇿皆如前總得四百有三日滿旬周去之餘亦得庚戌日時分秒悉如前推㑹朔則不加望䇿餘法同若盡求一年之中㑹則于首朔或首望加朔䇿于總數以後累加之至十二次然後從首㑹加太隂年三百五十四日八時四十八秒得合于終㑹即所推十二㑹悉合矣用表求實㑹兩中㑹之間朔䇿也定為二十九日十二時四十四分○三秒○九微實㑹則二曜之自行所至有時過朔䇿有時不及朔䇿過不及之大差多禄某定為一十四時三十○分第谷去减二十分法用引數依均度表加减求之故推中㑹並列太陽太隂兩引數以求加减度又列太陽平行經度後來亦用太陽均度加减為實行度而以兩均度所推得之近實時約略改為目見器測之視時如下文表中太陽自行從最庳起算其經度從冬至起算前圖所説或從最高或從春分其理不異假如求崇禎五年壬申三月癸丑夜望時先定中時如圖總數一百七十○日去二旬周餘五十○乃所用為㑹(時一 六) (○一一二八三)隂(度一一一○ 二三二八)相合次以太陽引數時(分二 五) (五二四六二三)引(分三一五四 五六四六)對四宫六度查均度秒(二一) (一○三三二六)數(秒三○三○ 八○○八)得一度三十七分三太(宫一 一)一(○○○三○四)太(宫○○○○ ○三○四)十六秒差度一分一陽(度二 五) (二一○六四六)陽(度○二一一 一六四二)十六秒偕引數之小引(分三 二) (二三三五三○)經(分三二三三 五五三四)餘用三率法(六十分為一率)數(秒一 五) (二一四三○八)度(秒一三一○一分一十六秒為二 三七二二率小餘三十分四十)(八秒為三率)求得本差三十九秒又因向後之均度漸少故以本差三十九秒减本均度止一度三十六分五十七秒次從表首行查號為加即書加又以太隂引數對五宫八度得一度五十五分○七秒差度四分五十八秒向後均度亦漸少亦以差度偕引數小餘所求本差分秒减本均度止得一度五十一分二十○秒其號為减即書减依前法兩均度一加一减宜相加即得日月實相望差度如上圖次用四行時表查月距日時得其差時分秒或加或减于中㑹則不逺于實㑹若均度皆號為加而太隂所得小于太陽所得或均度皆號為减而太隂所得反大于太陽所得或太隂為减太陽為加則所化時刻恒加于中㑹時刻否則恒减于中㑹時刻以得實時刻今三度二分五十二秒得六時又度餘二十五分二十五秒查得時餘五十分○二秒加于前一十三時四十三分三十六秒得實㑹在二十○時三十三分三十八秒為戌正也密求實㑹前以中㑹之引數求實㑹今云密者以前經加减故得次引數與實㑹相近復如前求得時刻復加或减于中㑹乃得正實㑹法依前所用四行時表以時刻反查度分因太陽自行一日不異其平行仍用其平行表以六時五十分得一十六分五十秒加于前引數得太陽總引數四宫六度四十七分三十七秒此距間於本表查得太隂行三度四十三分一十一秒以加于前引數總為五宫一十二度二十九分一十七秒又以此兩引數求得均度如上圖亦以一加一减故當相加而兩均度(太陽太隂月距均度均度日度) 之差較前更少變為時亦少即依本表三度二分五十二秒得六時又度餘六分六秒得時餘十二分度餘二十八秒得時餘五十五秒總加于中㑹復得十九時五十六分三十秒為正實㑹在戌初三刻一十一分三十○秒更欲宻推則用次得之實時又求苐三引數以復求均度以較次得之太陽均度其二曜相距之弧亦變為時刻若同前即前得無疑若異者用後得為正實㑹也依表算㑹時依圖算㑹時新法算書巻六十五
## 卷六十六
欽定四庫全書
新法算書卷六十六 明 徐光啟等 撰交食厯指三求視會實會第一前所得實會時刻雖則合天于人目所見儀器所測未盡合也所以然者太陽行度赤道交子午圏有升度差隨時變易日日不均(詳見日躔厯指)而今依厯元推步或用表查算無能不均須用加减時表以求本地可見可測之實時又推步者但依本地所定子午線其在地方不同子午線者難可通用故又用里差加减以求諸方所見所測之實時也實時改視時如前求太陽實度得中實兩會相距時刻查太陽平行時表得分數依前加减時刻亦加亦减于前得太陽經度乃得實度 假如前推壬申三月望會太陽平經度為四宫(冬至起算)一十二度三十四分○一秒中實兩會之差得六時一十二分五十五秒其距間又得太陽平行一十五分一十八秒以加于中會時之太陽平經度得其實會時平經度四宫一十二度四十九分一十九秒更加其次均度一度三十六分三十六秒則太陽實度四宫一十四度二十五分五十五秒今查加减時表得○九分五十五秒其號為加則以加于實會共得二十時○五分四十四秒算外得癸丑日戌正五分為順天府所見所測之食甚時見食隨地異時月食分數天下皆同第見食時刻隨地各異何也人各就所居之地目力所及者則見月食而各所居地皆以子午正線為主若其地同居一子午線者(南北地緯雖異東西地經則同)則所見月食之分數遲速皆同也若地易子午線易則時刻并易矣所以然者時刻早晚因太陽行度隨人所居各以見日出入為東西為卯酉即以日中為南為子午而平分時刻故月食時必本地之日未東升或己西沉乃得見之若在其晝時刻不可得見也天啟三年九月十五夜望月食順天府及南北同經之地則初虧在酉初一刻一十二分食甚在戌初初刻復圓在戌正二刻一十三分各算外高麗及其同經之地即初虧在酉末戌初而西洋意大里亞諸國日尚在天頂為午正則不見月食以里差推之西洋之初虧在己正三刻四分食甚在午正一刻○七分復圓在未初三刻一十分各算外雖月入景七分五十六秒所居宫度彼此逺近皆同而以里差故彼地彼時太陽在午正二十二分太隂反在子正二十二分食甚正在日中何從見之今壬申年九月十五日夜望月食初虧在卯初三刻則陜西四川等處得見南京山東等近海東境不可得見也秦蜀之子午異于東方之子午故今以順天府推算本食因定各省直之食時宜先定各省直視順天子午線之里差幾何後以其所差度數化為所差時刻每一度應得時四分向東以加于順天推定時刻向西則减乃可得各省直見食時刻也若日食則其食分多寡加時早晚皆係視差東西南北悉無同者必須隨地考北極高下差其距度隨地測子午正線差其經度乃可定其目見器測之視時定子午術見西測食略中法于當身所居目見器測考定一月食之時刻與先所定他方之月食時刻較算或兩地兩人同測一月食彼此較算乃以所差時刻得所差度分也前順天府所推月食時刻并具各省直先後差數因未得諸方見食確數無從遽定地之經度但依廣輿圖計里畫方之法略率開載耳既而咨報多相合者然非甄明之輩躬至其地測極高下見食早晚終未敢以耳聞臆斷勒為成書也左方所記政所謂略率開載者欲求决定當竢異日故稱約加約减焉南京應天府及福建福州府約加四分(凡一十五分為一刻)山東濟南府約加五分山西太原府約减一刻○九分湖廣武昌府河南開封府約减一刻陜西西安府廣西桂林府約减二刻○四分浙江杭州府約加十二分江西南昌府約减一十分廣東廣州府約减一刻○五分四川成都府約减三刻○七分貴州貴陽府約减二刻○八分雲南雲南府約减四刻○八分證子午差變易見時萬厯元年癸酉十一月望依大統厯推月食初虧丑正一刻食甚寅初三刻本夜第谷在西國測得食甚在戌正○三分于時太陽近冬至所測時即定望時無加减大統所推稍踈大略東西差時三十餘刻為順天府所見後于西國也萬厯五年丁丑三月十五日夜望依大統厯月食甚寅正一刻第谷測戌正三刻○五分先後差七小時一刻一十分為一彼一此子午異線變易加時也萬厯二十年壬辰十一月望大統厯記食甚寅初二刻第谷測在戌初二刻○七分加時差二分總得差七小時三刻○二分則西國之夜望為順天府之曉望西國半夜後所測在順天為次晝不可得見也萬厯四十年壬子四月十五日夜望厯官報月食初虧寅正一刻既實測得寅正四刻當時西國把沕辣有測戌正三刻○八分者更西多勒都測得戌正○三方同測不必加减時得順天府較極西差九小時正較中西差八小時○七分(闕)天啟四年甲子八月十四日夜望厯官報月食一十三分六十五秒初虧丑正初刻既測得一十六分六十三秒初虧丑初二刻○六分小西洋北國測得子初三刻○八分泰西教主京都測得酉正三刻一十三分較得北印度視順天府偏西差七刻一十三分視泰西差六小時二刻○八分天啟七年丁卯十二月望月食厯官報初虧寅正三刻復圓辰初三刻既實測得初虧寅初初刻○一分復圓卯正三刻○六分與西法合于時太陽在𤣥枵宫一度順天府出地平上為辰初一十一分依大統厯推復圓在辰初三刻則在日出後二刻不可得見而同時陜西西安府則見復圓在天測得大角星高四十七度其北極出地三十四度一十九分得月食初虧丑正二刻○三分将復圓測角南星高四十一度五十分得卯正一刻○二分視京師偏西差二刻○四分為八度半也崇禎四年辛未四月十五日戊午夜望依大統厯月初虧丑初三刻依新厯初虧丑初○六分三十八秒實測得丑初○五分大角星髙四十九度四十分距午正三十九度加其距太陽一百五十七度二十七分得太陽過正午一十三小時○五分二十八秒去半日刻餘一時○五分為丑初○五分新厯初報各省較順天差數在四川成都府初虧子正一十四分三十八秒彼中實測正合是成都府視京師偏西差三刻○六分得一十二度四十五分為兩子午線之度差較各處實測食之時如此凡有兩處東西相距則所得時刻必差若相距愈逺則所得食之時刻差必愈多葢因子午不同證見食時故不同推步交食本論第二步交食之術有二一曰加時早晚一曰食分淺深加時者日食于朔月食于望當豫定其食甚在某時刻分秒也食分者月所借之日光食于地景地所受之日光食于月景當豫定其失光幾何分秒也加時早晚非在日月正相會相望之實時而在人目所見儀器所測之視時乃視時無均度可推故日月兩食皆先求其實時既得實時然後從視處密求日食之定時(詳見後篇)惟月食則實時即近視時也然日與月實相會之度分未定即欲求其實時無從可得故須先推中會時計其平行及自行而得均數然後以均數加减求得其實會因得其實時矣古法所謂躔離朓朒即自行均數之謂兹特深求原委以故倍加詳密耳若食甚之前為初虧食甚之後為復圓此兩限間亦應推定時刻分秒其法于前後數刻間推步日躔月離求其實行視行(月有遲疾經時則生變易故宜近取)以得起復之間時刻乆近也食分多寡謂日食時月體掩日體若干月食時月體入地景若干也其法以日月兩半徑較太陰距黄道度分得其大小次求二曜距交逺近與古法不異苐日月各有最高庳景徑因之小大黄白距度有廣狹食限為之多少至于日食三差尤多曲折此為異矣前論交食原及推交會時太陽太隂皆同一理次後論兩食之徵亦然更後即不復能為合論故先論太陰入景淺深與其食時乆近次以三視差論太陽之食分加時難易逈殊詳略亦異也推月食有無欲徵月之有食一論交之左右一論交之前後論左右者視太隂距黄道之緯度以方於月半徑地景半徑并而緯度為小則食若大者過而不相涉若等者過而相切皆不得食也論前後則食之處必在正交中交之或前或後而不甚逺甚逺則距度廣月與景亦過而不相渉也近則距度狹狹則必小于兩半徑并而無能不食矣是故徵食有兩法一略一詳略法者未定月食之實時先求中會時亦聊可測其距度也試用表查平望之宫度并註其同格相當之交周度若正得六宫或○宫初度則太隂在正交中交之二㸃(即羅計即龍首龍尾)無距度必食若過交或不及交而度分相近不出食限之外亦食也假如考壬申年三月會望用厯元後表查首朔相當之交周度得七宫一十八度四十二分一十一秒為當時正合經朔之平交度次用十三月交周度表查第四月又得四宫○二度四十○分五十六秒加望策六宫一十五度二十分○七秒得總數滿平周去之餘六宫○六度四十三分一十四秒是太隂過中交六度有奇入食限内己六七度即月體必半入地景而定為有食也(時一一一一○ ○○四八七) 周度並列之次查其零年亦如(分五一一二四 七二二二三) 之次加朔策或望策亦如之總(秒一二○○五 四九九二四) 之即得中望及其相當之交周(宫一○○○○ 一八三六六) 度萬厯五年丁丑三月壬寅夜(度二一○一○ 四七二五○) 望大統厯紀月食一十二分五(分四五○二○ 七七○○五) 十秒本年在六十五甲子第十(秒二二四○三 三一二七三) 三年列數如上得癸卯為本食(時○一一一○ 三五二八一) 當時過交中止○五分三十三(分一二四二五 六七四二○) 秒深入食限之内宜得全食不(秒三三○○一 五○三二○) 止十二分五十秒也(宫一○○○○ ○○一六六) 綱目紀唐肅宗乾元二年己亥(度一二○一○ 八七○五一) 春二月月食今上推其食分加(分四○四二四 一三○○五) 時法查本表五十一甲子及零(秒二二三○三 六八二七三) 年朔策等依前列數如上依總數得太隂過中交止一度四十五分有奇宜全食食甚時在丁未日丑初三刻也其詳法則更推太隂實望時之距黄緯度以較二徑折半若距緯度小者即月不能不入于地景因而有食如下文求太隂實望時距度中望時表中己得相當之交周度今更以加减之時更求交周度復加或復减于前所得即實望時之平交度也次又以均度或加或减乃得實望時之實交度矣假如壬申年三月中望時交周度過中交六度四十三分一十四秒時差(實會與中㑹相距)得六時一十二分五十五秒交周時表中查得三度二十五分三十四秒因時加度數亦加(若减亦减)總得一十度○八分四十八秒猶是平交度也更减前均度一度三十二分五十秒得實交度八度三十五分五十八秒今以交周度求距度用太陰距度表于六宫八度得四十一分二十九秒表中次度多五分○九秒故以交周度之餘三十六分得差三分五秒相加得太隂距黄道南四十四分三十四秒因交周度為太陰之右旋度相加于左旋之交行度(即兩)(交行一名羅計行度)故所用均度不異于自行之均度其平行一年得四宫二十八度四十二分四十五秒一日得一十三度一十三分四十六秒一時得三十三分○五秒以此求距度用甲子年為紀首于時太隂去正交八十三度二十九分二十四秒依法算得總平行數六宫一十度○九分○五秒次减前均度所得數六宫○八度三十六分一十五秒為實交度也次依三角形之比例則全數與(黄白)全距度之正弦若交周度之正弦與距度之正弦葢黄白道之全距算交食無過五度交周度之弧又從近交所始也如圖甲丁為白道甲戊為黄道己丙乙為過黄極及交周度之弧各一象限丁戊為黄白之全距(相去最逺)太陰在丙近于中交甲求其距度丙乙則甲丁與丁戊若甲丙與丙乙算得四十四分三十三秒今依距度四十四分三十三秒考壬申年三月會望有食與否簡半徑表中用太陰引數○五宫一十二度得月半徑地半景并為一度四分三十五秒而距度止四十四分三十四秒距少徑多太隂之行無能不入景即無能不食矣推日食有無欲考會朔有食與否須定會朔時太隂之視距度以較于日月兩半徑并若視距度大于二徑折半或等者不食也小則食矣視距度者生于視差而本于高度故當先求高度法于會朔時以太陽本日距赤道度加于本方之赤道高度得本方之子午最高度又于赤道高度去减距赤道度得本方之子午最庳度次求兩數之正弦并而半之為三率以太陽距午正弧之正矢為二率全數為一率依法算得第四率以减子午最高或最庳餘者為二曜高弧之弦大約太陽距赤道北則所得之數與子午最高相减若太陽距赤道南則與最庳相减假如崇禎七年甲戌二月朔日順天府定朔在己正一十四分日月距午正線七刻○一分于赤道得二十六度半用其餘弧求正矢得一○五○七為二率因太陽在降婁宫八度三十分四十秒得其距度在赤道北三度二十二分以加赤道高得五十三度二十七分為子午最高相减餘四十六度四十三分為子午最庳次求其二正弦并而半之得七六五六五為三率算得四率為八○四四以减五十三度二十七分之正弦餘七二二九○查得四十六度一十八分太陽在地平上之正弦也今查日月高庳差表(即地半徑差在日食表中)于轉周度得太陰距地之逺其下依高度取其相當之視差得四十三分去减太陽之視差二分(于高度左方取之)餘四十一分以减太隂之距北實度四十八分五十五秒餘○七分五十五秒為太隂視距度以較二徑折半為甚小知月之掩日分數為多矣凡人目所見太陰在天頂南則月之視所較其實所恒偏南偏庳故其距度多能變易太陽之食分又月在黄道南則當以視差加于距度人所居愈向北所得視差愈大其視月愈偏南而所見日食愈小若月在黄道北所得視差或小或等于距度當以减于距度則視處反近于黄道而北方所見日食大于南方矣苐視差之大若過于距度之大而去减距度即北方視月又偏居黄道之南比南方所見更逺而得日食又小試如崇禎二年己巳五月己酉朔日食四年辛未十月辛丑朔日食今以相較己巳年太陰實所距南八分四十九秒(陽厯)順天府本時之地平高得七十三度一十八分其二曜高庳差一十七分四十秒以加距度八分四十九秒總得視距度二十六分二十九秒以减于二徑折半三十二分○四秒餘止五分三十五秒以推日食所見宜少矣若浙江杭州府高度八十三度一十四分推二曜高庳差得七分○九秒以加距度八分四十九秒得一十五分五十八秒視二徑折半為一倍小即月掩日宜得大半也辛未歳不然太隂距度在黄道北一度一十五分二十二秒順天府合朔時得日月高止三十五度四十一分二十○秒二曜高庳差四十八分以减距度餘二十七分二十二秒視二徑折半不及者五分一十六秒即見日食若杭州府高度四十三度四十八分得高庳差四十四分以减距度尚餘三十一分二十二秒是其視距度略等于二徑折半則月不能掩日也大約太隂實距度在黄道南(論中國相等同緯之地)其六十度以下之高庳差必大或等于二徑折半即使無距度猶未得食也若距在北則太隂之視差能偏南一度强(最大)(者六十三分减日視差二分得六十一分)必距度之大倍視差之大乃不食否則有食詳見後篇累推厯元前後交食交食之法上推往古下驗将来百千萬年當如指掌若悉用古法推步窮年累月不能得竟矣此交食諸表所為作也用表則遠遡唐虞下㳂萬䙫開卷瞭然不費功力如讀先秦古書見春秋前後一切日食皆不記月日今欲一一考定是何月日又如目前推得見食而欲累求向後若干年應得若干食是皆不用交食全法依交周(世紀四紀四總五總一日十日月數月數)度表便可得之法先求某年第(甲子) (二年) (一) (一) 一中㑹(即首朔也)用表取相當之交(日二一一四一三四五 七○四○八○七七)周度若入食限即第一食也求(時○ 二) (二一) (○○一一二二五八)次食加五月或六月亦必入食(分一 ○) (四七) (五五四三六三○三)限矣若初所求交周度未入食(宫○ 四) (○三) (○○○○四○五五)限則查交周度十三月表求某(度二 六) (一八) (○一○二二八三一)數相加而入食限者用之(分四 四) (四一) (四○二二一五一六)假如周考王六年乙巳史記年表但云日月食不言某朔望今求其月日則是年八月一日食三月九月兩月食也依表本年在三十一甲子首朔為二十七日○二時一十○分二十九秒其相當之交周在四宫二十六度四十四分一十八秒紀日一十零年乙巳在表為第四十二年首朔得一十四日二十一時四十七分二十四秒相當之交周度為三宫一十八度四十分三十八秒紀日四十并兩交周度未入食限更加四月(是春三月癸巳朔)所得距正交不逺然定朔在二時五十四分則是丑正三刻有奇非此方所見古未有記夜食者亦非也更加五月得其交平行列數如上以一十八時三十三分知中會在酉正三刻此時用太陽引數得均度一度四十一分太隂引數得均度三度五十四分并之得日月相距五度三十五分化為時得一十一以减平朔得定朔在辰初三刻是為周考王六年八月辛酉朔本地所見地平上之日食矣求本年月食則于前總甲子及零年乙巳數外總加望䇿得第一平望其交周度在兩交之間無食更加三月則丁丑夜望月過交中分數甚少必全食然定望在晝但見其初虧不見其食甚更加六月得交周度○宫○甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯六度四十七分太(宿一二○一二○一二○一一二 四三四二一二二一二一九八)隂入食限又時在紀(日二二一四四四三三三二五五 四一八六三○八五二九七四)九月乙亥日用均時(時一一二一一二○○一一○一 二七一三七二二七一五七一)度得定望為戌初(分五二四二五一四○二五三五 九三七八二六一五九三四八)三刻但見其復圓交(宫○○○○一○○○○○一○ ○六○五一五○六○六一五)不見其初虧也是周(度○一一一二二○○○一一二 七一五八二六○四八三六○)兩皆帶食故史官度(分二二三五五五五五五○二二 九九○二三四六七九○一二)紀焉又日一食月再食故統言之曰日月食也甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯欲下推累年之交(宿二○一二○一二○一二○一 七八八七八七五六五四六五)食先如前求第一紀(日○○○○五五二二一一一○ 九六四一八五三○七四二九)食自此以後或越時(時一二○○一一○一一二○○ 八三三七二六八二七一一六)五月而一食或越(分三○二五一三一四○三五二 七一五○四八九三七二六○)六月而一食日月交(宫○一○○○○○一○一○○ 五一六○六○五一五一六○)皆然此其大凡也周(度二二○○○一一一二二○○ 二六○四八二五九三七一五)法查交周度十三度(分○一一一一一三三三四四四 九○一三九五七八九一二四)月表用片楮别書五月六月之數向本表之各月下遞并而試之但合于食限以内者即有食之月也如崇禎七年甲戌第一日食在三月朔算本年及向後各年有食之朔如前圖每兩平朔皆入食限惟乙亥之兩朔間戊寅後己卯前之兩朔間各越五月餘皆越六月其食也太隂有晝有夜太陽有晝夜又分南北故非一方所見惟用此考其可見者推之求平望法同此如後圖圖中獨丙子後越五月餘皆越六月凡交食得某月入食限即次後一二三四月皆無食必至五至六或十一十二月則食欲更求本方所見則推實朔望以時刻定之食分多寡之原第三推日食分數則以太隂距黄道之視度日月兩視徑之半以及三視差此並有其本論後篇詳之此求月食分數則用太陰之實距黄道度及其視半徑地景半徑即可得之今先論日月景之各半徑次乃定食限及食分也視半徑所繇變易凡圓球之去人逺則目視之為平面欲測其大小者不依其形依其徑也目之視徑雖以平行線受其像然相距有逺近即所測得之大小隨而變易近則見大逺則見小矣暗球生景其理準此故受光之體小于施光之體即其景亦隨相距逺近而有變易距逺者景鉅而長距近者景細而短也如上日月食合作一圖甲為地球太陽在最高為丁在最庳為戊太隂日食時在其最高為己在其最庳為庚月食時在其最高為壬在其最庳為辛若從最逺之太陽周癸丑引直線切地周乙丙必相遇於卯從最近之太陽周子寅切地周者必遇于辰子寅辰在癸卯丑限内在内者細且短在外者鉅且長因太陽距地逺近不同故也論太隂其在最高己目依甲未甲午兩線視之若在最庳庚又依甲申甲酉兩線視之故兩所之小大不同若在壬在辛其理準此上言日月地景三視徑能為變易則日月最高最庳相距之逺近為其緣也自此而外更有二緣一為地所出之蒙氣隨地不一一為人所禀之目力隨人不一蒙氣居日月與目之間氣厚能散日月之光使易其本象如玻瓈水晶等體厚光徹以照他物之象能改易之是以人所見日食時太隂掩日之視徑實大于太陽之視徑或相等一遇厚蒙之氣(蒙之厚薄或本地固然或因時増减)即太陽之光體因而展拓比于依法推步之視徑每多不合故全食時四周亦顯有金環也若蒙色微薄則月之視徑能掩日之視徑全食時晝晦星見矣其在月也遇蒙氣亦饒有餘光其初虧復圓光曜展拓亦能侵入地景使食時先後稍損于推步之加時也欲明其理姑以數事徵之試用一平邊尺切目窺月體則白月之光能侵入于尺尺之暗體當月之處似有闕焉此其一也生明之月其有光之半周大于無光之半周光之兩端芒角犀鋭似欲包其魄體至日食時魄體入日日之光體不收光以讓月反舒光以拒月故其兩端不作鋭角而作鈍角也此在晴明時蒙氣微薄猶不免爾况濃且厚乎此又其一也日輪西沒将及地平適遇雲氣全輪若為停軌累測不移少遷則忽焉而入又其一也况日食時月之魄體月食時地景之角體全居蒙氣之中蒙氣所受日光尤盛四周皆能消景則日食時太隂居日目之間其視徑豈能大于日之視徑而全掩日體月食時地景之角體豈不能稍殺于推步之實景而損其初末之加時乎若論目力亦能變日月景之各視徑者目力既衰大光損之每每易于見暗難于見明故月食時較少壮之目能先見月食侵周之景若日食時太陽光耀初虧不能遽見其闕也西史苐谷測月每夕用五六人皆利眼能手悉用大儀種種合法所測月徑趨求畫一乃經二十二測得其徑為三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目當之者利鈍不齊徑之小大隨異也葢人目之難憑如此(月無大光不能入于窺表通光之竅須人日測有此不齊若日光透表其有不齊繇器䟽密矣)定視徑分秒之數古多禄某限日月地景三徑之數定太陽為三十一分二十○秒不論最高最庳恒如是太陰最大者定為三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不過四十六分也然多禄某所當之時乃爾迨其後太陽本天之心與地之心漸次相就至于今最高之去地近于多禄某時其最庳乃去地稍逺而太陽視徑遂不得過三十一分太陽稍縮則地景稍贏亦不若曩時之細且短也以故第谷所立新法定太陽之視徑在最高為三十○分在最庳為三十二分若太隂則雖距地同所限朔望二時之視徑猶不同也葢合朔時月會太陽四周環受其光則此時全魄小于望日之全光幾及四分之一是以月在最高即望時得徑三十二分朔時止二十五分三十六秒在最庳望時得三十六分朔時二十八分四十八秒也又第谷測候之地其北極出地五十六度清蒙之氣甚厚故推步交食必依此徑乃可得合何者月望時明光甚盛蒙以厚氣光乃加顯徑即似大月朔時遇日之大光自已失光而受光之蒙氣環圍照映若或消减其魄徑即似小也然此第谷所當之地乃爾用之他方未能必合何者此所限大小之徑以步日食雖則食既猶顯金環月不能全掩日體若他方食既則有晝晦星見蟲飛鳥棲者故知一方所定未可槩諸㝢内以為公法也假如崇禎二年己巳五月朔日食依新厯先推食甚二分有竒至日實測得二分若以第谷所限徑用之此日即見食分數僅得一分一十○秒謬于實測逺矣崇禎四年辛未十月朔日食新厯先推食甚二分一十二秒至日實測不及二分若用小月徑推算即所得更少不及一分也視徑因乎蒙氣而為小大如此豈可强執一率以槩諸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之蒙氣差以限本地之視徑又宜累驗本地之食分加時然後酌量消息蒙差視徑可得而定也今所考求酌定者太陽最高得徑三十○分在最庳徑三十一分太陰不分朔望(蒙氣稍薄故也)在最高視徑三十○分三十○秒在最庳視徑三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳處之間視徑亦漸次不一故列表左右並紀太陽及太隂自行宫度以考日月地景各相當之分數是為視半徑表太陰視徑差視半徑表計太陰從其最高至最庳漸次加大也若論蒙氣則南北二方亦有差别西國之北地濱大海其氣更厚故月朔應减月望應加以改表中之半徑如北極高三十度其加减于半徑一十○秒高四十度其加减三十○秒過五十至七十極高度即所加减更多至六分以上也中國北極出地雖止四十二度半亦近海故用加减數如前所列然亦須測驗數食審其果否乃可執為恒法耳地景視差地景半徑之最小者為四十三分今本表中太隂自行○宫○度與相當者是也繼此漸大至太隂自行六宫初度其相當四十七分則為最大其求之有二法一以測候一以推步苐兩法所得却又不同則氣能變景故也以推步者用太陽在其最高時下照地球所生景長以為定率若太隂過景之處則依其逺近隨時算之如第谷當太陽在最高時測其距地之逺得一千一百八十二地半徑此所推全景之長得二百五十二地半徑又六十分之二十三恒如是若太隂在其最高距地之逺得五十八地半徑又八分欲求其所當地景者先于全景内减太隂距地之徑數餘者為過太隂以外之景角(景角者景為角體也)得一百九十四地半徑又一十五分如上圖甲乙地半徑定為六十萬甲丙為全景亦通為一五一四三分(臨算末加五位)丁丙為過月以外之景角一一六五五分(臨算末加)(五位)而求月食相當之處丁戊幾何廣則甲丙與甲乙若丁丙與丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角為所限目窺丁戊之大則甲丁為太隂距地逺通為分得三四八八分甲丁戊為直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁與丁戊若全數與丁甲戊角之切線得一三○五查表得四十四分五十○秒為太隂在最高時所過地景之半徑也若太隂在最庳求其食時過景之半徑用全景長如前内减五十四地半徑五十二分餘一百九十七地半徑又三十一分為丁丙直線依前法算得四六四二八○四為丁戊線求角以太隂距地之分三二九二為一率丁戊線為二率直角為三率算切線為一四一○查得四十八分二十八秒為太隂在最庳時所過地景之半徑也今表中列地景半徑小者四十三大者四十七皆少于推得者為月過地景不論高庳皆受外光圍迫侵銷其景故也論其實則推歩所得為真然不可得見耳若太隂在高庳之間求其過景者依此法隨時求丁丙線推算也以測候者用前後兩月食擇食之法欲太陰去其最高最庳距度同則其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以兩距度及兩食分求得其所過之景徑也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距順天府西八十一度卯初時得見食于是太隂交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全徑一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上順天府寅初時得見食于時太陰交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如圖己乙戊丙圏為地景兩食為太隂所過乙甲丙線為黄道如前圖第一食太陰在丁次食在戊各依食分入景為己辛為戊庚其太陰之距度為甲丁四十八分三十○秒甲戊四十○分四十○秒而甲戊與甲己必相等(地景之兩半徑)則甲丁减甲戊餘己丁七分五十○秒(兩距度之較)又己丁為月徑四分之一而先得月徑三十一分二十○秒四分之為己丁今去减己丁所餘為甲己半景四十○分四十○秒或以距度與食分相較則食差三分與距度之差七分五十○秒若全食一十二分與全月徑三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若後圖兩距度一大于半景一小于半景亦用此比例以求景假如初食三分得距度四十七分五十四秒次食十分距度二十九分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒則七分與一十八分一十七秒若全食一十二分與全月徑三十一分二十○秒今既食三分即全月徑四分之一為七分五十○秒以减距度餘四十○分○四秒為地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全徑三分之其一為一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒地景實差表中記地景差不及半分恒减于地景葢前所論之景實無差或因蒙氣有差耳其有差者太隂以其自行高庳有距地之逺近入于最中時時不同也又太陽居其最高所生之景最大過此漸向最庳去地漸近即從地出景漸小漸短也故月食時先以太隂自行定地景之半徑又以太陽自行求此實景差而减之乃正得太隂過景之處矣推算之法設太陽先在最高推所生景又設在最庳推所生景得二景之最長最短又設太陽先後距地同而以先過景之徑比于後過景之徑其二徑差即表中之地景差假如丁己為太陽半徑第谷所測為甲庚地半徑五又四十一分依戊庚平行線减丁戊地半徑餘戊己得地半徑四又四十一分設戊庚為太陽在最高距地之逺一千一百八十二地半徑則戊己與戊庚若甲庚與甲辛得甲辛地景于太陽在最高時其長二百五十二地半徑又二十三分太隂在其最高最庳之間距地之逺得五十六地半徑又四十三分為甲乙以减甲辛餘乙辛一百九十五地半徑四十○分以推月食之半景乙丙則乙辛與乙丙若甲辛與甲庚得乙丙四六五一六五四(算法以原數通為分又于每率後加五位乗除之)又求乙甲丙角所限目窺乙丙之大以太隂距地之逺依前法算得切線一三六四查八線表得四十六分五十二秒又依此法以太陽在最庳距地之逺一一四一地半徑推算地景為二百四十三地半徑又三十八分去减太隂在高庳之間距地之徑餘一百八十六地半徑又四十五分依前算得四五九九一二四為乙丙線次以太隂距地之逺三四○三推得切線一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒為地景之最大實差其餘者以太陽自行距最高逺近依法次第求之新法算書卷六十六
## 卷六十七
欽定四庫全書
新法算書巻六十七 明 徐光啟等 撰交食厯指巻四食限第一食限者日月行兩道各推其經度距交若干為有食之始也而日與月不同月食則太隂與地景相遇兩周相切以其兩視半徑較白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食則太陽與太隂相遇雖兩周相切其兩視半徑未可定兩道之距度為有視差必以之相加而得距度故特論半徑則日食之二徑狹月食之二徑廣論日食之限反大於月食之限以視差也太隂食限表中地景半徑最大者先定四十七分太隂半徑最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月兩道之距在此數以内可有月食(可食者可不食也)以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分為月食限推法最大距度(四度五十八分半)與象限九十度若距度與交常之弧也其最小者地半徑定四十三分月半徑一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度與之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月過景必有食(必食者無不食也)也抑此兩者皆論實望時之食限耳若論平望其限尤寛如圗甲乙為黄道甲丙當白道乙為地景心丙為太陰心月切景在丁其最大兩半徑為乙丙得一度○四分二十○秒則相值之甲丙得一十二度二十八分為定望食限設平望尚在前為戊則戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇為丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇為太陰切景之時以其心距兩交之度西古史多禄某定實望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定視半徑最小之食限一十○度五十○分何謂平望距定望最逺得二度三十八分曰太陽均度最大者二度○三分一十五秒太隂均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒為兩交時日月以實度相距極逺之弧也從此太陰逐及于日行訖七度○二分此時間太陽又自行三十二分二十八秒太隂又須逐及更行三十二分此時間太陽又行三分弱共為三十五分以加太陽均度得二度三十八分為日月之實會望距其中望也如圗甲乙為地心所出過本輪心直線至黄道乙指中會太隂實行在丙太陽實行在丁總丙丁弧七度○二分太隂行至丁太陽己過丁而前又逐及之終合于己故丁己弧三十五分加乙丁共得乙己中實兩會相距二度三十八分太陽食限表中太陽之最大半徑一十五分三十○秒太隂之最大半徑一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所謂二徑折半也以此推相值之交常為六度四十○分是太陽不論視差不分南北正居實會之食限也苐日食不在天頂即有髙庳視差太隂每偏而在下交會時以此差故或就近于太陽或移逺隨地隨時各各不同安得以實度遽定日食之限乎測太隂交食時最大髙庳差得一度○四分(因距逺五十四地半徑故)減太陽之最大髙庳差三分餘一度○一分(此為太隂偏南之極多者凡日食時必有一方能見其然是為)(大地公共之最大差)以加二徑折半得總視距度一度三十三分五十○秒外此即無日食在其内則可食依前法求食限得兩交前後各一十八度五十○分為兩大視徑折半之限也若以小半徑求食限與前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分為小視徑折半之日食限若日月㑹入此限内者日必食但非總大地能見必有地能見耳若以中㑹論食限又須加入實㑹距中㑹之度其最大弧三度則中會有食之限二十餘度如圗甲乙為黄道甲戊為白道太隂以實度在己以視度在丙太陽乙與太隂丙視相切于丁則己丙為髙庳差己戊為東西差而丙戊為南北差南北差之最大者一度○一分以加乙丙為總距度乙戊若乙丙為大折半(二徑折半省曰折半)推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分設中會更在前為辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北極也今依南方極出地十八度北方極出地四十二度定日食之限則最廣者太隂距南其交常度七度三十一分太隂距北其交常度一十七度三十五分為可食之限最狹者太隂距南交常七度距北交常一十六度五十三分為必食之限其所繇廣狹者因二徑折半有大有小即相會時所當距度不同故所限交周度亦異也太隂分南北而定最大日食之限有二義其一論地總本界中有一方焉距北之最大者以十七度為限又有一方焉距南之最大者以七度為限非謂一方所見距北可得十七距南又可得七也其一論黄道度謂本界中有地有時太隂或南或北距天頂最逺則其視距度最大以加于太隂實距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非謂諸宮交㑹皆可得七度十七度之限也今試于本界中論地先論其極髙四十度者又於本地論時先論其不甚逺於天頂者如日月交㑹在夏至鶉首宫初度設當時不㑹於正午其髙庳差變為南北差者必少而所增視距度亦少即所得者不為其最大限必設實㑹正午月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分以推髙庳差一十八分○八秒全變為太隂南北差依法加於二徑折半得五十○分五十八秒為黄白兩道之視距度則所值交周度得一十○度為順天府北極同髙地黄道本度月距北日食之最大限可食也設月距南則二徑折半共三十二分五十○秒反減太隂南北差一十八分○八秒得兩道視距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分為本地本度月距南日食之大限可食也次論其甚逺于天頂者設日月在冬至星紀宫初度㑹亦正午其髙弧二十六度三十○分推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒加二徑折半得黄北兩道總距一度二十九分一十四秒為月實距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所見日月以兩心合會必在太隂所離視道交黄道之處距其兩道實交尚一十一度又本南北差減二徑折半得距度二十三分三十四秒相當者得四度三十二分為太隂尚不及實交未過黄道南而以視差故人目所見則已過交出日食限之外矣如圗丙為太隂丁為太陽甲為黄白兩道之實交論實距度則日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太隂之視行循丙乙視道尚在己距甲逺即己切太陽周入日食之限後太陽丁行黄道至乙與太隂視道相遇是為視交即二曜以兩心合㑹能全食若更前至辛日月亦未及實交甲太隂實未過黄道南而視行則己過太陽之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可見太隂實距北在己為順天府同緯地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况過甲而後實距南其視度距太陽甚逺安得尚有食乎再于本界中論地論其極髙一十八度者先設日月在冬至星紀宫初度實㑹在正午得髙弧四十八度三十○分髙庳差全變為南北差四十一分五十八秒加二徑折半總得兩道相距一度一十四分四十八秒外此無日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至實交也若行至實交則太隂以視度過交而南四十一分五十八秒矣以較二徑折半則視距為大不已出兩食限之外乎安得有食設日月會于夏至鶉首宫初度此在天頂北五度三十○分得髙弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二徑折半得三十八分五十八秒為太隂入陽厯兩道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北則兩半徑減南北差餘二十六分五十二秒僅得五度一十○分為日食限也如圗地居夏至之南目視丙月則偏北故太隂之實度在黄道南為本道上之乙與太陽之實度丁甚相逺却以南北視差移而就近及以甲乙為食限二曜相掩必未至甲也若其過實交甲至己在黄道北則因南北差見月更在北與太陽相距更逺不復能相掩矣太陽太隂越六月皆能再食越六月者如寅月食申月得再食也如圗甲丙乙丁為太隂離道交黄道于甲于乙甲丙乙為其距北半圏餘乙丁甲為距南半圈己庚戊辛皆為食限依多祿某隨迤北諸方所定中會時甲己及乙戊入隂厯為日食限二十○度四十一分(地愈向北食限愈大故也)甲庚及乙辛入陽厯得一十一度二十二分則限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中積交周一百八十四度有奇(先去全周)則大于己丙戊及庚丁辛兩弧故初月在食限内與正交相近者六月後則近中交亦在食限内而日能再食若月食不論隂陽厯其限皆一十五度一十二分則己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中積交周度故初月交周度入己甲庚食限内後六月又在戊乙辛食限内而月能再食太隂越五月能再食越七月不再食以距月之中積交周度與初月食限外之弧相比若度贏者則此食限内能起彼食限内能止即兩皆有食若度縮者則一起一止或在兩食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分(去全周己)月食于髙庳中處其實限一十一度三十○分南北同得限外無食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧則五平月中不可得兩食矣亦有可兩食者則大月也太陽躔赤道南在其最庳左右必速行同時太隂去全周在其最髙遲行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太陽均度四度三十八分又太隂五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加減得其并均度八度四十○分太陽均度應加(實度距最庳左右比平度逺故)太隂均度應減(設月逐日實未追及故)得日月以實行相距總弧一十三度一十八分為月逐日未及之弧如圗太陽從秋向春行本天小半周以當黄道正半周必速行以甲乙直線中分其平行左右各得丙丁均度太隂在本輪自戊過最髙辛至己遲行以甲辛平分其遲行弧左右得壬辛及庚辛均度日月兩均度不同類一加一減并之得一十三度一十八分為太陽以實行在前太隂以實行在後之弧而太隂逐太陽行一十三度此時間太陽更行一度○六分以并于太陽均度總得五度四十四分為五大月過五平月之度亦為實交周過平交周之度以加平交周一百五十三度二十一分得一百五十九度○五分較食限外之弧羸二度○五分則月食于甲乙限内為壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月復可食于庚然食之分數少矣又證太隂越七月不能復食者則小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太陽在其最髙左右遲行太隂在其本輪最庳左右速行因而成小月夫七月之平朔策得二百○三度四十五分同時太隂自行一百八十○度四十三分如圗甲乙分日月平行甲辛分太隂自行太陽左右各得最大均度丙丁并為四度四十二分應減(實度距最)(高左右此平度近故)太隂均度壬辛及庚辛并為九度五十八分應加(設月以實行過太陽故)一加一減并兩均度得一十四度四十○分為太隂過太陽之弧此時間太陽亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是為七小月間實行不及其平行之度又為七月間交周平行之弧所減以成七小月實行之度今以平行二百一十四度四十二分去減五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧(此第論太隂在其髙庳中處甲丙左右四食限)為戊乙壬或己庚丁僅得二百○三度小于七小月之實交周二百○八度有奇則月初食在戊丁限内後七月不能于己壬限内再食也太陽越五月或七月皆能再食此越五月能再食者必大月也其間交周實行可得一百五十九度○五分設日月在髙庳中處得二徑折半三十二分二十○秒設太隂距度亦正得三十二分二十○秒則以前法求得距交六度一十二分當在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一百六十七度三十六分若太隂絶無視差者即食限外之弧乙丙丁大于實交周弧八度三十一分日月合會先在甲乙弧内有食越五大月復㑹必不能及丁戊為再食矣然太隂既有南北視差則以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之兩加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太隂在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒減二徑折半餘視差二十二分三十○秒倍之得己及辛兩視差共四十五分則諸方能得南北差及此分者所見太隂必偏南下掩太陽得有食也今所論五大月太陽速行先于太隂一十三度一十八分又于太隂逐及時間行一度○六分總得一十四度二十四分太隂行盡此度乃及日須一日○九刻是為五大月過五平月時刻則五大月得一百四十八日一十八小時故先定朔在酉正後必在午正若先在午則後在卯又太陽五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在壽星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度諸方地面得極髙二十餘度見太隂離是二壤值是二時南北視差并得四十五分則越五月得再食此外極出地愈髙南北差愈大食限愈寛凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北者可見兩食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限入居赤道南者可見兩食謂太陽越七月而再食則小月也否則交周度大于正交及中交之總食限而先在内後必在外不食矣若七小月間交周行依前得二百○八度四十七分而設無南北差者則以日月兩半徑為食限得甲乙及戊丁各六度一十二分而總乙己丁弧一百九十二度二十四分小于交周一十六度二十三分即太陽先食于丁戊限内越七月後必己出甲乙限外亦不食也既常有南北視差則以較餘交周弧一十六度二十三分平分之以加于甲乙及戊丁得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分而壬己癸與交周弧相等又甲壬及戊癸一十四度二十三分得相值之距度一度一十三分三十八秒減二徑折半得四十一分一十八秒為各視差倍之得一度二十三分則諸方有此視差者得有食也今所論七小月太陽遲行後于太隂共一十四度四十○分為太隂一日五小時所行之弧是一日五小時者七小月不及七平月之時刻也總七小月得二百○五日一十二小時故越七月得再㑹先會在卯後㑹必在酉又太陽行七小月實得一百九十八度(前已證)從最髙平分之得先㑹太隂在陬訾宫二十七度後㑹在壽星宫一十五度則凡離是二壤值是二時所見太隂南北視差并得一度二十三分者必越七月得再見日食也此為極出地三十四度以上盖距赤道愈逺視差愈大所見食分愈多矣食分第二欲知此月内有無交食則以食限求之(見上文)欲知此食食分幾何則以距度求之距度者在月食為太隂心實距地景之心兩心愈相近月食分愈多在日食為日月兩心以視度相距其近其逺皆以目視為凖不依實推盖定朔為實交㑹天下所同而人見日食東西南北各異所以然者皆視度所為也日食詳說見後篇此先解月食分則論定望實㑹人所見者東西九服各異南北天下不殊也如左太隂食甚分數太隂在食限内過地景其兩心最相近時為食甚而食分必多欲知食甚之處用距度求之盖距度與地半景及月半徑相減得月入景之分(此言分者天周度數之分非平分月徑之分也稱分)(有二類見下二文)如兩半徑得一度距度四十○分相減餘二十分為所求月入景之分也但距度與半景或等或不等若過不及之分小于月半徑則月不全入景而止食其半或太半或少半而己若距度小于半景者為太隂之正半徑則雖全食隨復生光其食分即太隂之全徑以月自行推之若絶無距度即太隂遇景正在兩交則并其兩半徑可推月食之分也假如甲乙為地景(定望時月)(入此則失光亦名闇虚)之半徑乙丙為太隂半徑總得甲丙為月食限限者乙㸃為二周相切之處食從乙㸃起漸入漸大若兩周相分于乙㸃則不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一圗甲丁為黄道丁辛當白道月心在辛即入景者半是為半食或月心在庚則如二圖入景者大半是為大半食或在戊則入景者少半為少半食皆不全食也求食分法以距度減二徑折半如圖甲己與甲丙等為二徑折半甲戊為距度以甲戊減甲己餘戊己戊己與戊庚恒相等故于二半徑減距度即得其入景辛庚為此食之分也全食者如三圗月心在戊距度甲戊兩道如前而距度入于半景者為太隂之半徑戊己則己庚入景之分為全徑但全入以後太隂或向交行欲至丁或離交行欲至辛其周旋出景外則無既内分矣以上二者皆有距度則皆不食于交㸃皆偏食也若如第四圗太隂食甚時絶無距度則月心與景心皆㑹于甲甲乙為半景徑甲戊為平月徑兩半徑并為甲丙設甲乙丙為黄道甲丁為白道太隂從丁行以戊邊至甲己全入于丁甲半景之内矣又行至邊及戊乃食甚故更得甲戊為既内分總得丁戊兩半徑并為此食之分此月食之最大食于交㸃者也正食也食分二類求食分之大幾何有二類其一為天周度數之分如上文所論者皆是也月食之最大者可得一度○四分有奇其一為太隂本徑之分則惟厯家所命如命月體之全徑為十二平分則最大食得二十二分五十四秒也如命為十平分則最大食得一十九分○五秒也又此二類者皆係太隂及地景之視徑雖距度同分而大小多寡猶多變易設距度恒為二十五分因太隂自行在最髙得月食度數之分為三十三分一十五秒太隂在最庳得食度數分為三十九分二十○秒其自行在一宫或在一十一宫(俱近最髙)得三十三分三十八秒在二或十宫得三十四分三十六秒在三或九宫得三十六分在四或八宫得三十七分三十○秒在五或七宫(俱近最庳)得三十八分四十五秒如前法以太隂半徑半景并每去減二十五分即得此食分之數他距度依此推之其所繇漸漸有差者則因太隂距其最髙愈逺則視徑愈大故也又平分本徑亦有多寡有大小盖太隂在最庳其全體之天度分為三十四分四十○秒得平徑一十○分設食甚正在交㸃無距度則二徑折半得天度一度○四分二十○秒推總食之平徑分得一十八分三十四秒而一平徑分當天度三分二十八秒又設太隂在髙庳之中食甚距度如前其平徑亦一十○分以兩半徑推總食得一十八分四十四秒而一平徑分當天度三分一十五秒與前不同則以視徑故更設太隂在最髙其視徑更小僅得天度三十○分三十○秒食甚在交皆如前亦得平徑一十○分而所推總食分更多于前為一十九分○五秒則一平徑分當天度三分○三秒可見距度同平分徑同而食分不同者月自行有髙庳其去地之逺近異視徑亦異故也求月食徑分太隂入景以本徑分明暗之限為人目所見之分若全食更加入景之餘分(即既内分)推得總食分則距度能翕張其二徑為食分多寡之緣也今或依第三巻所定太隂及地景視徑表用引數求之并而去減其距度則太隂視徑與十平分若其二半徑減距度之餘分與食分或依第二巻前所設求太隂均度之圗用甲乙丁三角形求之盖乙甲丁太隂均度角之正弦與乙丁直線若甲乙丁總自行餘弧角之正弦與甲丁直線既得甲丁為太隂距地逺次求太隂視徑則其距地逺甲丙與太隂實徑之正弦丁乙若全數與丁丙乙角之切線次以太隂半徑與地半景大小之比例為一五○與四○三推地景視半徑盖一五○與四○三若太隂視半徑之正弦與景視半徑之正弦也既得視半徑用三率法如前推算食分欲用表則於引數查視半徑而以月視徑及兩半徑減距度之餘數查食分然表中列數從引數出其理一也求月食面積分前論月食分皆目可見器可測之視徑分也若求其不全食之面入景之分則有别法設甲為地景之心乙為太隂之心以距度得其兩心相距為甲乙直線又先得甲丙為地景視半徑得乙丙為太隂視半徑則甲乙丙三角形内有其三直線可求三角又甲乙丁三角形與甲乙丙三角形等則以丙甲丁總角得丙戊丁弧亦以丙乙丁總角得丙乙丁弧今欲以徑與圏之比例推丙戊丁及丙己丁兩弧與其本圏半徑同類之分若干(弧曲線與直線異類以周徑法變曲線分為直線分故曰同類)其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁兩半徑弧形(兩半徑弧)(形者兩半徑為兩腰弧為底求得其容積也說見測量全義第三卷)亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁兩半徑弧形又丙丁直線為等腰兩三角形之公底線求其半得丙辛以乘甲辛得甲丙丁三角形之積以乘乙辛得乙丙丁三角形之積次以兩三角形之積各減其兩半徑弧形之積所餘丙戊丁己長圓形為太隂入景之面可得其餘不入景之面也假如崇禎五年壬申九月十四日夜望月食四分四十二秒食甚太隂距度四十四分其視半徑一十六分二十五秒地半景四十三分二十三秒設甲乙為距度乙丙為月半徑甲丙為景半徑則最大線甲乙與餘兩腰線甲丙丙乙若兩腰線相減之餘線甲丁與大線之分也即算得大線之分甲戊以其餘平分之為戊辛辛乙次從丙作丙辛必為甲乙之垂線矣既得各線如圗皆通為秒以求甲角及乙角則甲辛與全數十萬若甲丙與丙甲辛角之割線算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分為丙戊丁地景之弧又辛乙與全數若乙丙與辛乙丙角之割線算得乙角七十七度○六分倍之得一百五十四度一十二分為丁己丙太隂周之弧次求其各與本圏半徑同類之分則月徑及地景徑各與其本周若七分與二十二分也推得地景周一六三六一月周六一九一因此用丙戊丁及丙己丁兩弧各求其本圏徑同類之分則全周一六三六一與所截丙戊丁弧之分若全周三百六十度與本截弧四十三度二十○分算得一九六九為丙戊丁弧其半九八四為丙戊半弧也又太隂全周之分六一九一與丙己丁弧之分亦若三百六十度與本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一為丁己丙弧半之得一三二五為丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景兩半徑弧形之積二五六一三五二以乙己乘丙己得丙乙丁太隂兩半徑弧形之積又丙甲辛角之切線(乙丙也)與丙辛若全數(甲丙也)與甲辛得丙辛九六○則彼此求兩等邊直線三角形之積與求兩半徑弧形之積通為一法得甲丙丁三角形之積二三二二二四○乙丙丁三角形之積二一一二○○各減其兩半徑弧形之積得丙辛丁戊分圏形之積二三九一一二丙己丁辛一○九三九二五并之得總數一三三三○三七即丙己丁戊全形之積也又以太隂半徑九八五乘其半周三○九得三○四八五七五與總數比得太隂入景之面與其未食之面若一十三分與三十○分也食甚前後時刻第三食甚前初虧也食甚後復圎也兩限間之時刻多寡其緣有三一在太隂本時距度因距度或多或寡每食不同即太隂入景淺深不同淺則時刻必少深則時刻必多其二在月及景兩視半徑半徑小太隂過之所須時刻少半徑大太隂過之所須時刻多其三在太隂自行自行有時速有時遲雖則距度同視徑同而自行遲疾不同即所須時刻不同矣推距度及視徑皆依前所設法此專求太隂實行以定食時刻分月食起復行度太隂入景自初虧至食甚之弧與其出景自食甚至復圓之弧兩者畧相等故求其一倍之得在景之總弧如圗甲為景心躔甲乙黄道乙丙為白道太隂心至丁為初虧在丙為食甚復圎在戊丁戊者周天之弧也而所截弧極小故作直線用之人甲乙丙三角形也而乙角極小乙丙與乙甲畧等故作平行線用之因而甲丙可為垂線因而丁丙與丙戊亦可為等今自甲出兩直線為甲丁為甲戊皆當太隂地景之兩半徑而甲丙為太隂距度故甲丁戊三角形以甲丁方減甲丙方得甲丁方其根為太隂初虧至食甚行過太陽之弧若不用開方則有别法以角求對邊線如甲丁線與丙直角若甲丙線與甲丁丙角既得丁角餘為丁甲丙角則丙直角與甲丁線若甲角與月行景之半線丙丁也雖食分不同或半月入景或全體在景求初虧至食甚之弧恒倣此次求食既至食甚亦倣此倍之得太隂全入景至生光及復圎之總弧如圗甲乙為黄道乙丙為白道太隂心行至丁則全入景既至戊即生光得丙丁及丙戊略相等故先得丙丁倍之即丁戊也此則以甲丙為距度甲丁為地半景減月半徑之餘于甲丙丁三角形用此兩線及甲丙丁直角推丙丁線與前同法若欲精求之不聽甲乙乙丙為平行仍作兩線斜交於乙太隂初虧在丁食甚在丙復圎在戊丙丁是太隂在景之半為距交一十二分之一即作丁庚線與甲乙平行取丙庚亦丙甲距度一十二分之一以減甲丙得甲庚是太隂初虧之距度以加甲丙得甲己是太隂復圎之距度次以甲丁甲庚兩線及庚直角求得庚丁線以庚丁庚丙兩線及庚直角求得丙丁線為初虧至食甚行度後以甲己甲戊兩線及己直角求得戊己線以戊己己丙兩線及己直角求得丙戊線為食甚至復圎行度也食甚距度線與白道當為垂線求食時刻設太隂食甚前行度與食甚後行度等即距度線必當為白道之垂線不然者必行度前後不等而時刻亦不等如圗甲乙為白道甲丙為黄道太隂在丁自庚黄極出線過丁月為庚丁弧至戊黄道指太隂實度在戊因太隂在丁得交常分甲丁而庚丁與庚乙若甲丁與甲戊(皆用正弦算)若得甲丁四十五度與甲戊最差之限得六分(甲戊少于甲丁在圗為己丁)若甲丁在食限内其與甲戊差又不及三分矣因兩道之最大距不過五度故也設甲丁弧得二十○度而以甲乙與乙丙之比例推甲丁與丁戊得丁戊距度一度四十二分今作戊己與甲乙為垂線又以甲丙與丙乙之比例推甲戊與戊己亦得戊己相距一度二十四分可見丁與己見有差戊己與戊丁有微差不足見也今不用戊丁開方而用戊己又以戊己平分太隂入景與出景之弧其不得有差甚眀矣太隂食在景時刻前第二巻論月食以食甚時為主于食甚前之初虧至食甚後之復圓總推定時刻分秒其法以太隂在景中行度變為時刻如先得食甚前行度求所當初虧至食甚時刻倍之得其餘行度亦變時刻皆依先所定行度用比例法推算也如崇禎五年壬申三月望太隂初虧至食甚行四十○分一十六秒欲變時用三率法太隂行三十三分一十一秒得一小時今四十○分一十六秒應得一時一十二分四十三秒但太隂自行恒異平行食時間恒不居本輪之一處故所用一小時之行分以定食間行之時不得用平行必須考將食之實行查太隂實行時表法恒以自行宫度得一小時之實行每度所值各各不同如太隂平行一時得三十○分二十九秒以本時自行求均度或加或減于平行得實行若加減度表對自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒以減三十○分二十九秒得二十七分四十三秒為表中相當引數初宫初度之率也加減度表對自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒以減一小時之平行餘二十八分○四秒為相當引數一宫及一十一宫之率也其餘皆倣此第自行在本輪最髙左右必減均度得一時之實行在最庳左右必加均度得一時之實行耳既以實行推定總時刻則以食既至食甚之時減先定食甚時刻分秒得食既時刻分秒以相加得生光時刻分秒又以減食甚前總時得初虧以相加得復圎又以初虧減復圎得總食之時刻分秒若初虧在子時前復圎在子時後則即以丑初為十三時(午正起算用小時)丑正為十四時如是接續減之交食圗義第四求日月失光之面向何方位則有兩緣其一從太隂距黄道度作大圏令過太隂太陽兩心(此日食也)或太隂與地景兩心(此月食也)下至地平周遭移指交食所向之方也其二黄道斜交于地平日月隨之行遇食必有時向東南西北有時向東北西南也欲繪交食圗必先察日月所向起復方位苐舊法祗以隂陽二厯分别南北殊粗率今法必可得其度分頗為繁細耳距度變日月食所向方位太隂食起復之間以本行屢遷其度分即作過兩心(月心地景)(心也)大圏至地平時刻各異所向方位亦時刻各異欲盡推之其多無數故當求其初虧食既食甚生光復圎五向而止如圖甲為地景心甲乙為黄道戊丙為白道兩道之大距不逺故作平行線論初虧太隂在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆過月地景兩心之弧因太隂漸近于地景心甲其距度逺近漸次不同而乙甲丙角乙甲丁角乙甲戊角之小大亦不同則太隂所向地平之方位度分亦不同故恒以本距度推本角如甲丙初虧之距為半景月半徑并之甲丁食既之距為半景減半月徑之甲戊食甚則為太隂之正距度也甲戊丁角可當直角不論其甲戊線與甲丙戊對角若甲丙線與丁戊甲直角得甲丙戊角與乙甲丙角相等(乙甲丙為)(所求)又甲丁戊三角形依此法推甲丁戊角與乙角丁角(此為所求)相等而食甚乙甲戊為直角故在甲諸角其線不等即所向方位不等論日食則甲丙為日月兩半徑甲戊為太隂距太陽食甚之視度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作圗甲為景心乙丙為黄道若太隂初虧在乙其入景之面必正向東若復圎在丙(初虧在乙復圎必不在丙故曰若指他食也)其出景之面必正向西皆無距度故若其距北在丁或在戊即入景之面向東南或西南若其距南或在己或在庚即入景之面向東北或西北也論日食設甲為太陽心其理同此但出入之面所向與月食所向正相反此為異耳黄道出没變日月食所向方位黄赤兩道之兩交切地平若一在正卯一在正酉不偏南北即諸方俱無濶度矣外此或黄道距南或距北其距漸多其出没之濶度去離卯酉亦漸多又南北極愈髙其相離更逺如北極出地三十六度黄道度去離春秋分或南或北一宫其濶度左右各一十四度一十五分若去離二宫則更逺其濶度各二十五度一十三分最逺者得二十九度二十九分若北極出地四十度即一宫得濶度一十五度○四分二宫得二十六度四十五分最逺則三十一度一十九分也太隂既隨黄道行其食也亦必依其濶度則起復之所向方位太隂亦必依濶度之左右也今欲定其多寡如圗南西北東為地平圏丁甲戊為黄道食時得濶度戊距正東若干太隂心在丙景心在甲過兩心之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正東逺己隨之距正東亦逺而丙月之初入景所向為己也今求東己弧先設辛為天頂出髙庳弧過甲至壬為頂極圏又作一癸午弧與甲庚為直角次甲乙丙小三角形有乙丙距度有甲丙兩半徑有甲乙丙直角依比例推得甲角次以食時及甲景所躔黄道度得戊甲辛角即得其餘辛甲乙角又得辛甲乙所分之辛甲午角(减乙甲丙小角)次甲辛午三角形有甲角有午直角又以北極髙及黄道距赤度得甲辛弧可推得辛午線以加辛癸象限得午癸總弧為午己癸角其餘角為甲己壬也而己甲壬為辛甲午之對角甲壬為辛甲之餘弧因可推壬己弧又戊甲壬三角形有原推之甲戊有甲壬戊直角有乙甲辛相對之壬甲戊角因可推壬戊弧去減先得之壬己餘己戊為所求太隂初入景所向東南維之地平經度以加初所得東戊弧則得東己總弧月食圗西厯恒推日月食所向方位以其所虧及復圎距度作圖求距度食甚前與食甚後為一法以太隂自初虧至食甚之實行加入太陽同時所行分秒得太隂初虧至食甚在景之總分以加前所定食甚交常度得復圎交常度以減得初虧交常度次求初虧距度則全數與其交常度若黄白之大距度與其距度求復圎距度倣此假如崇禎五年壬申三月望太隂初虧至食甚景中行過太陽四十○分一十六秒為時四刻一十二分四十三秒同時太陽行二分五十七秒以加前行得四十三分一十三秒為太隂在景之總行其食甚交常度為過中交八度三十五分五十八秒以加太隂總行四十三分一十三秒得復圎交常度一十○度一十九分一十一秒其正弦一七九一四以減得初虧交常度七度五十二分四十五秒其正弦一三七一○算得太隂初虧距度四十一分復圓四十九分三十○秒若用表以時分查太陽本行以交常度查太隂距度更易得矣欲依本食作圗其外大圈之半徑為月半徑地半景并得一度○四分三十二秒(量用比例規或先平分一直線)内取食時所得地半景(此為四十六分三十五秒)作内圈以當景次查距度此食在南初虧四十一分復圓四十九分得太隂初在乙後在丁食甚亦依其距度在丙為食之定分圗上下左右書四方其起復所向方位必與天合也新法算書巻六十七
## 卷六十八
欽定四庫全書
新法算書卷六十八 明 徐光啟等 撰交食厯指巻五視差以人目為主第一 四章前言實㑹中㑹視時食限等皆日月食之公法也是皆凖於地心今再論月食生於地景景生於日故天上之實食即人所見之視食無二食也日食不然有天上之實食有人所見之視食其食分之有無多寡加時之早晚先後各各不同推步日食難於太隂者以此其推算視食則依人目與地面為凖視㑹凡交㑹者必參相直不參直不相掩也日之有實食也地心與月與日參居一線之上也其有視食也人目與月與日參居一線之上也人目居地面之上與地心相距之差為大地之半徑則所見日食與實食恒偏左偏右分為兩直線各至於宗動天其所指不得同度分是生視差而人目所參對之線不得為實㑹而特為視㑹如圖甲為地心乙為地面丙為天頂若丁為日戊為月即在甲丙一直線上則實㑹即為視㑹因地心與人目無分線故也若日在辛必月在壬方與地面乙作一線為視㑹矣若月至己與地心甲作一線則實㑹也今言交食惟以目見為慿故日食全論視㑹若所居地面不同即食分多寡加時早晏亦随之異也又視㑹實㑹在日月本天皆無度分可指而全依宗動天之黄道圏度分則此實㑹線所指謂之實度視㑹線所指謂之視度如圖甲辛線所指為黄道之庚則庚為太陽之實度若乙目視辛日至黄道癸視己月至黄道午則癸為太陽之視度午為太隂之視度也日月目見之度非實度譬之畫圖者作平圓形則一舉手一運規即得矣若欲為螺旋線先須依法作識又依法作線乃成形焉測天之法亦猶是耳今欲知日月纒離東西南北亦轉儀闚表一覽可知若欲定其本行所在則非聊一寓目遽能得之必先後累測度分展轉較勘乃可定也假令目居地之中心(地之心即宗動天之心)極目所見則有恒星以當彼界兩界中間有日月五星是名七曜七曜相視有逺有近無有同者即論一曜亦各時逺時近無時同者是則目所能見也然因目所見得其視度於彼界因以視度測其與某恒星相距若干度分因以是度推其實與地相距若干逺近則可謂即目所見遂得其實行能分别其去地逺近則不可何者七政諸本天雖居恒星天之内乃不見火木土等内天之星以本體能掩最外之恒星則何從辯其内外逺近乎又目所見者太隂太陽二體相若何從知其内外之相距絶遠二體之小大絶不相等乎内天之兩星參對於外天之兩經星目見之能知外者之兩相距甚逺内者之兩相距不甚逺乎是三者皆目力難慿之效也或曰是則然矣測量之法皆慿目所見也則可廢乎曰何可廢也惟測内天之星得彼界所指之㸃以為即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以測其輳心之角無弗真者目測恒星之天其在地面與其在地心也無以異(地居恒星天中止當一㸃)若測内天諸曜目雖不在地心相距亦不甚逺故測日月五星於彼界上得㸃即與實度相近(曰聊可得之曰距不甚逺曰近其實度皆因有地半)(徑視差故)但恒星有時不見或與内天諸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺視之噐以助目力得日月五星之視度分依法推步乃正得其實度分矣人目差兩目賅存不惟相助以為明相代以備患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心(目睛最中之一㸃為心)受外物之象其過心之兩直線至物體則相遇為兩腰兩睛心自相距為底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是謂目差縁此可推天上之視差以小喻大其理一也若物大逺於人目則底線極小兩腰極長是過睛心之兩徑線與平行無異正如地球比恒星天之高特以一㸃為底視差無所繇生矣如圖兩目之心為甲為乙目所視之物為丙若甲乙線可比於甲丙線(可比者不甚逺則有比例)則兩戊己徑線漸相就如己而相遇於丙若物更相近為丁則兩徑速相就為辛庚(甲乙丙及甲乙丁兩三角形皆等邊又同一底線則丁角)(大於丙角而丁甲乙角必小於丙甲乙角)而兩目之光線皆從己歛向於庚自覺所視之物變逺為近矣若物與目相去甚逺則無比例者因兩徑絶難相就絶難相遇故也今借此理明視差之公理如本圖設丁物之前有横堵為壬癸令甲目獨視丁物則所見若在壬令乙目獨視丁則所見反在癸而丁前丁後兩交角形必相似即丁物亦不逺於壬不逺於癸葢視之目分兩線為交角即能分本物之逺近也若不能分兩線即不能分逺近地半徑差目視星欲辨六曜(月五星也)在恒星之内勢不能也則當借地體之大補目力之不及法用地半徑為底以推測量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之實處如圖甲乙兩目相距為底則二寸耳今以兩地相距數千里或數里當之以為底如甲為順天府乙為廣州府丁為太隂兩人同測之一在甲一在乙因此大底之逺近比於各距太隂之兩腰得大小之比例則甲丁及乙丁兩直線必覺彼此相就以趨於丁矣再使壬癸為列宿天之兩恒星(或壬癸為太陽之全體壬當其南周癸當其北周)測者一從甲見太隂丁若在壬以夲體合於一星之體(或太)(隂之南周齊太陽之南周)一從乙測太隂反在癸轉就北以合於他星(或太陽之北周)若甲乙兩測之距愈相逺即所見丁月兩指之極高亦愈相逺(一偏南一偏北東西亦同)而人在甲能見太隂掩日為日食人在乙即不可得見矣以此壬癸當宗動天上之弧正所謂視差與前言目見之小視差其理一也第兩人相距千里萬里同時並測太隂其勢甚難故立别法代之(詳見本書第六卷下文畧言之)假令人正居地心推其所得太隂距天頂應若干度分又同時居地面者實測太隂距天頂得若干度分兩度之差即所謂視差也如圖甲乙丙為地球丁為天頂甲戊丁直線所至也若太隂在此線左右為己從甲地心測月見之當在庚自地面乙測之乃在辛則先推定丁甲庚角或所當之丁庚弧後推丁乙辛角或所當之丁辛弧(乙距甲與乙距丁無比例甲乙至小故)以兩角或兩弧相減得視差之弧庚辛問一星距天頂測其宗動天上所指度分在地心測之則距近在地面測之則距逺若論角則地面之乙角大於地心之甲角何以證之其故何也曰因其一逺一近如圖太隂在本天其距頂之弧為己戊己戊之距地心甲與其距地面乙逺近之差則目所能識也所能分也(因地之半徑與月本天之半徑有比例故)則目之在甲與在乙所受己戊弧之象實不能無大小為己戊弧等而兩角之大小不等(目受物象皆以角形見交食第一卷)相近者必大逺者必小也角既有大有小所相當之弧不得不有大小則辛之距天頂視庚之距天頂不得不逺矣又論辛庚視差實為辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙線與甲庚線無比例(小大絶逺故)而甲乙與甲己則有比例即甲己與甲庚亦無比例也既甲乙與甲己同為微末不以入算則用辛己庚角代辛甲庚角無以異矣若論角則丁乙辛角與丁辛弧相當(因甲乙與)(乙丁無大小之比例)又丁乙己角與乙甲己及甲己乙兩角并等(見幾何第一卷十六題)則兩角并亦與丁辛弧相當矣今丁庚弧既與丁甲庚角相當則餘弧庚辛必與餘角甲己乙或辛己庚相當也視差以天頂為限第二 六章人目在地面或在地心仰視天所得日月道相參直者止有一不同者無數過兩目之垂線止一至頂之線此外分離處處各異三視差視㑹與實㑹無異者惟有正當天頂之一㸃過此以地半徑以日月距地之逺測太陽及太隂實有三等視差其法以地半徑為一邊以太陽太隂各距地之逺為一邊以二曜高度為一邊成三角形用以得高庳差一也又偏南而變緯度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而變緯度得東西差三也因東西視差故太陽與太隂㑹有先後遲速之變二曜之㑹在黄平象限度東即未得實㑹而先得視㑹若在黄平象限西則先得實㑹而後得視㑹所謂中前宜減中後宜加者也因南北視差故太隂距度有廣狹食分有大小之變如人在夏至之北測太隂得南北視差即以加於太隂實距南度以減於實距北度又東西南北兩視差皆以黄平象限為主葢正當九十度限絶無東西差而反得最大南北差距九十度漸逺南北差漸小東西差漸大至最逺乃全與高庳差為一也(三差恒合為句股形高庳其弦南北其股東西其句至極南則弦與)(股合至極東極西則弦與句合也)論日月視高差太陽出地平上漸升至天頂得九十度在夏至則離赤道北二十三度半為丁辛如北極出地四十度即赤道離地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太陽未至子午圏别作一高弧從甲過太陽垂至地平上為甲乙丙弧其乙丙既太陽未及午正之圏即其高不至七十三度也兩曜去天頂有高庳與恒星有逺近時時處處不同故其視差大小亦各不同惟曜在天頂則無差若下幾度則少差愈庳愈差庳至於地平則得其極大差矣今先論太隂如圖甲為地心乙為地面丙為天頂丁己為太隂本天丙戊為恒星天若人在地心甲視太隂正在地平己直至戊在參宿第三星下人在地面乙視太隂己直至壬在參宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分為太隂之極大視高差若太隂高至庚至辛視差漸減如在丁直視至丙人在甲與在乙悉無交角無差分矣太隂距地心最近者為乙地面至其本體得為地半徑者五十六个(後言一个者皆一地半徑省文也)若太陽甚逺於地自地面至日輪得一千餘个其差更小日出地平之最大差止三分漸高漸小矣凡推日食恒以太陽之視差減太隂之視差得兩曜之視差假如甲乙為地球丙丁為日月本天皆如前於最上之天(或指宗動或指)(恒星其理同也)得戊庚為太隂視差得己庚為太陽視差相減得戊己為兩曜之高庳視差求太陽高庳差凡地半徑與星距地心之逺此兩直線若能為大小之比例者即人在地面所測與星所在之實度分不一是為視差若星距地甚逺其距逺之線極大地半徑極小兩線絶不能為比例即人所測與地心所出兩直線所指之度不能分即不能為視差故求星之距地逺近恒以視差為證以視差之多寡不等推其距地逺近亦不等如測恒星無視差可證其距地最逺測填星㣲有之僅得數秒而測太隂所得過一度因知七政之最逺者為填星最近者為太隂而太陽得視差三分當在其中央矣太陽太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半徑反推其視差定為高庳差表如圖甲乙為地半徑甲戊為太陽距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之間皆有小異今設在高庳之間者如日初出在丙則甲乙丙三角形内乙甲丙為直角甲角直線為甲乙者一千一百四十二个(此中數也)推得甲丙乙角三分為太陽之最大高庳差若太陽在丁其丙丁高弧三十度則以餘弧之乙甲丁角推得高庳差二分三十六秒為甲丁乙角若丙丁高弧六十度則甲丁乙為一分三十秒依高度推高差皆凖此至天頂戊即無差求太隂高庳差太隂之距地既近視差既大即其在本輪之最高最庳次輪之最逺最近視差大小亦皆變易其在本輪最高次輪最逺(一限)則距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得視差二十五分二十八秒若在本輪最高次輪最近(二限)距地六十五个三十○分以同前高度推視差二十六分三十八秒若在本輪最庳次輪最近(三限)其距地五十五个○八分以同高弧推得視差三十一分四十二秒若本輪最庳次輪最逺(四限)距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是為同六十度弧之最大視差若他高度其法同此所推視差各異矣又太隂在小輪高庳逺近時時變易視差随之無能不變欲考其幾何如圖甲為太隂本輪之心從地心壬出直線過甲至辛指最高於乙最庳於丙是為次輪心一在最高一在最庳而己丁及庚戊兩弧皆設六十度引乙丁及丙戊直線得甲乙丁及甲丙戊兩三角形今先求次輪在本輪最高逺近之間各度生何視差借太隂厯指所定以地半徑量諸輪之半徑得甲己為五个一十一分甲壬為六十个一十八分而己辛止得二个五十一分則甲乙丁三角形内得乙丁為一个二十五分(地半徑為个个六十分)甲乙為六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁線六个○七分以并壬甲總得六十六个二十五分大於壬己線五十五徑分有竒是名剰分今更設比例分論之如壬己為六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰徑分五十五當化為四十六比秒又己辛當六十比分依法推得一十八分正(六十與一十八若二分三十七)(秒與四十六秒)為次輪上六十度己丁所求高差應減於最近己高差也次論甲丙戊三角形其兩線甲丙戊角及剰分同前但壬庚線得五十五个○八分亦以當六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰徑為五十五比秒又庚癸當六十比分亦推得一十八分(六十與一十八若三分○七秒與五)(十五秒)是為次輪上六十度庚戊所求高差應加於最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之間高於己得視差少於己故剰分推視差以減於己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之間庳於庚得視差多於庚故剰分所推視差以加於庚得太隂在戊正高庳差也其餘次輪之逺近度求視差皆凖此太隂在朔高庳視差本書二卷論太隂交㑹時恒居次輪之最近所謂第二第三限在前圖為己為庚也因太隂食日加時恒不在本輪之最高最庳而月行次輪周恒倍於本輪周故朔望時太隂恒在次輪之最近最近所行之周名本輪之内圏是大於次輪小於本輪以己庚相距之線為徑今欲求内圏之上下左右各度得何高庳視差如圖己丙庚内圏己為高最逺庚為庳最近乙距地心甲為地半徑六十个一十八分(設歌白泥之數以為)(法)己丙弧六十度乙丙得五个一十一分與甲乙六十个十八分同類之徑分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙線六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今設己庚為六十○比分即推得一十四比分(六十與一十四若己庚十个二十二)(分與剰徑二个二十八分)為剰分以推太隂在丙之視差加於在己之視差得太隂之真視差假如太隂距天頂四十二度在本輪七十二度在次輪六十○度總論其變視差以距頂倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以較第一限贏一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分與一分二十九秒若一十八分與二十七秒則於二限高庳差減二十七秒餘三十五分○四秒是一二限間次輪行六十度之高庳差也又第三限較第四限之視差不及者二分一十九秒而六十與二分一十九秒若一十八分與四十二秒以四十二秒加於第三限之四十二分一十九秒為四十三分○一秒是三四限間六十度之高庳視差今太隂行本輪七十二度又在二三限之間法以丁戊上兩視差相減餘七分五十七秒於時太隂自行得二十比例分則六十與七分五十七秒若二十與二分三十九秒以二分三十九秒加於前推一二限間次輪六十度之視差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之間本輪七十二度距天頂四十二度次輪六十○度之真視差三十七分四十三秒凡以距天頂餘度求四限間之視差法皆凖此其在二三限日食所用有立成視差表依諸高度及距地逺近簡之測日月求高庳視差借月食推太陽太隂距地心逺近而求視差以三角形推算為常法欲從天行求之則測日月高度以比其實緯度兩度之較為高庳差也隆慶六年壬申有客星見王良北西史第谷以視差求其距地之逺立數法試之其一候其至子午圏同恒星在極高度測其相距逺俟行半周在極庳度復測之得逺近之差以推定其高庳差其一用北極出地度考之從極上極下測一恒星得其高庳差度半之以加於下測之度或減於上測之度若未得北極出地之高度即有視差其一南北相距兩地同測一星以較於北極或於恒星彼此得度有差則有視差其一測星之高度依法以加以減不正得其赤道上之本緯度則視差所移易也今測日月其距極甚逺又有出有入非如北極恒星常見不隠二曜亦不能同時並測即諸法不可盡用備述此者明測候之理且以需他用耳假如萬厯十一年秋八月太隂黄經度從冬至起得一十五度四十○分黄道緯距北二度四十二分第谷測其子午高得上周一十三度三十八分其半徑一十五分蒙氣八分皆以減於高度餘實高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以減本地赤道高度得太隂赤道緯度二十○度五十○分第以前黄道經緯推本方之實赤道緯僅一十九度五十七分則以相減得五十四分為太隂一十三度一十五分之高庳視差也又萬厯十五年六月太隂黄經度從冬至起得七度五十○分黄緯五度有竒推其赤道實緯度一十八度○五分測其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得徑三十四分太隂心高一十五度○三分内減蒙氣六分餘與赤道高相減得一十九度○八分為太隂赤道距度較實推贏一度○三分是為本方之高庳視差也從兩視徑觀之可見徑大者近於最庳小者近於最高故所測高度畧同所推視差大相逺矣又萬厯十四年九月測太隂高四十五度其視徑三十四分於時離鶉火宫十一度一十○分而本度距地平正當黄道九十度限不必用赤道緯度以求視差祗以黄道實緯度四度四十五分減視緯度距南五度三十○分得四十五分為太隂高四十五度之高庳視差也以四方分視差第三 五章視高差無定方惟日躔月離所在從天頂下垂線過曜至地平為直角其過曜處分視實之高庳而已至黄道經緯度亦依視高而有變易則因日月視度從黄道偏南北或偏東西或正或斜随所在得其横直視差為南北東西差三視差總圖前論視高差為過天頂大圏之弧止向地平随方取之今論南北差是過黄極大圏之弧為黄道兩平行圏所限也其一過實度其一過視度東西差則黄道之弧為過黄極兩大圏所限也亦一過實度一過視度三視差弧獨黄道正南北或正東西則合為一弧外此必成三角形以法推每邊之度分也如圖甲乙為地半徑丙為太隂丙丁為月本天戊己庚為黄道壬己癸為過天頂象限從地心出直線過太隂為甲丙至宗動天指其實度為辛若從地面出乙丙線指其視度為午則辛午弧為太隂高庳視差午申弧與黄道平行過太隂視度於午未辛酉弧亦與黄道平行過太隂實度於辛則兩平行弧間午未或辛亥為太隂南北視差又亥辛及午未為過黄道極大圏之弧則亥午在其中為太隂東西視差合三視差得午未辛或亥辛午三角形今依本圖設日食在黄平象限西太隂以實行在子正對太陽在己人在乙尚未見食必太隂過東至丙乙丙己參相直則見食是為視㑹是實㑹在先視㑹在後也若食在黄平象限東即反是如次圖更易見設乙甲丁為地平戊為天頂甲辛己為黄道丙為其極太陽或太隂在己為實度但人不在地心在地面如庚視太隂在壬則己壬為高差從丙至己至壬作丙己丙壬兩弧線即得甲己線交黄道於辛而辛己為東西差辛壬為南北差高弧正交黄道南北東西差以高弧與黄道相交之角分南北東西差可得其㡬何葢兩弧相交以直角則高弧正為距度弧不偏東西即絶無東西差而高庳差徑為南北差若黄道自為高弧而太隂在交處無距度則高差徑為東西差而絶無南北差若太隂有距度則黄道不同於高弧太隂不免有東西差亦並有南北差如圖甲戊為黄道即為高弧與地平為直角甲為天頂太隂在丁則其高差丁戊即為東西差若太隂距南或北作大圏過黄道之兩極為乙丙其距度為丁乙丁丙得甲乙甲丙弧與甲丁弧必不等又不交於乙丙弧之極故甲乙丁甲丙丁不能為直角而並得南北東西差且太隂愈近天頂乙丙兩角愈鋭南北差愈多太隂愈逺於天頂兩角漸大殆如直角而南北差漸少高弧斜交黄道南北東西差太隂有距度求視差甚難其理甚繁其在交無距度者稍易稍簡故先之設黄道為甲乙丙其斜交之高弧為丁乙戊太隂無距度在乙其視高差為乙戊得南北差為丙戊東西差為乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊為過黄道兩極之弧則乙丙戊為直角有丙乙戊角其相當弧甲丁過高下圏及黄道極之弧也有乙戊視高差法以曲線三角形之理推乙丙丙戊兩視差之弧但此三角形小其三邊皆為大圏之弧可用直線法推之再設太隂不正在交有距度或南或北如圖丁乙為過地平兩極之高弧甲乙丙為黄道太隂距南在戊距北在己其黄經度在乙從天頂得丁戊為太隂距南高弧丁己為太隂距北髙弧因實度在戊在己視度在庚在壬得戊庚及己壬為太隂視高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂視經度與黄道為直角今以實經緯及北極出地度算南北東西差假如以北極高得乙丁過頂弧又有乙戊為太隂距度弧有甲乙丁為高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己為高弧交黄道角之餘角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己視高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧則子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚為直角可推庚癸視距度去減乙戊實距度得南北差亦可推子癸黄道弧減子乙得乙癸東西差其太隂距北則乙癸己三角形内有距度乙己有乙己癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧及乙癸己角去減己壬視高差得壬癸弧又壬辛癸為直角可推辛癸及壬辛於乙己距度去減壬辛視距度餘為南北差乙癸減辛癸餘乙辛為東西差如上説細論視差於理為盡若恒時推步别有㨗法力省大半盖丁乙己角可當丁戊乙角甲乙丁角可當乙癸己角丁乙弧亦可當丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天頂太隂之大距五度又在本天最庳則差至六分不得用此若太陽将食即太隂居食限之内距度不過一度半依省法算所差者不過一分四十五秒欲并無差仍用原法太隂無距度以視高差求南北東西差依圖乙壬戊為子午圏乙甲丙為地平壬為天頂丁甲戊為黄道壬己為高弧太隂在辛則辛己為視高差自黄極癸出癸辛癸己兩大圏弧限辛庚為東西差庚己為南北差此三角形有己庚辛為直角辛己為高差更得高弧交黄道之角庚辛己則視高差辛己之正弦與南北差庚己之正弦若全數與庚辛己角之正弦假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分一十五秒其正弦九○三二四視高差弦辛己得五十八分三十六秒正弦一七○四算得正弦一五三九查其弧得五十二分五十四秒為太隂南北差庚己此用正弦法也或用加減算求南北差則以辛己高差減庚辛己角餘六十三度三十六分三十九秒得餘弦四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其餘弦四一三六八兩餘弦相減餘三○七八半之得一五三九為南北差之正弦也或用線求東西差則全數與庚己南北差之割線若辛己高差之餘弦與庚辛東西差之餘弦或用角求東西差則庚辛己曲線三角形甚小可用直線三角形法其高差之正弦與東西差之正弦若全數與高弧交黄道角之餘弦假如用線推南北差五十二分五十四秒得割線一○○○一一八五視高差五十八分三十六秒其餘弦九九九八五四七推得九九九九七三一為餘弦得二十五分一十秒為庚辛東西差再以角求東西差則庚辛己角之餘弦四二九一三高差之正弦一七○四算得七三一為正弧亦查得二十五分○八秒為東西差或用加減算則高弧交黄道角之餘二十五度二十四分四十五秒減高差餘二十四度二十六分○九秒其餘弦九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其餘弦八九五八○兩餘弦相減餘二四六二半之得正弦七三一查得二十五分○八秒為庚辛東西差太隂有距度以高差求南北東西差前題算有距視差法簡矣又有簡於此者但依太隂時距南時距北分兩圖解之如圖甲己丙為子午圏甲乙丙為地平乙丁為黄道天頂在己太隂在子則己癸為高弧子癸為高差又辛當北極北極圏為戊庚負黄道極戊自戊出大圏之弧戊壬過丑指太隂實經度而丑子為實距度又出一大圏弧戊癸至太隂視度癸從癸作垂線至壬得壬子癸三角形而子壬為南北差壬癸為東西差(丑壬寅癸兩弧小故)(壬癸可當丑寅)欲求其幾何先依第一法從天頂己連赤道極黄道極為己戊辛三角形形有兩極相距之弧辛戊有北極出地之餘弧己辛有極至交圏交於子午圏之己辛戊角可推黄極距天頂之線己戊次己戊子三角形有黄極距天頂之弧己戊有太隂出地高之餘弧己子又有戊子在第一圖為象限戊丑加太隂實距度丑子之總弧在第二圖為太隂實距度丑子之餘弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是為太隂南北視差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸東西差假如第谷測太隂在𤣥枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北極出地五十五度五十四分三十○秒即升度為三百一十二度四十三分去減鶉首初之升度餘為極至圏交於子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊兩弧皆不及九十度則己辛戊為鋭角法全數與第一弧之正弦若第二弧之正弦與他數(名先得之數)又全數與先得之數若兩弧所包角之正矢與他數(名後得之數)而後得之數恒加於兩弧較差之正矢得第三弧之正矢如前圖依第谷測己辛戊三角形求己戊弧則兩道大距弧辛戊(第一弧)之正弦三九九一五其夲方極高餘己辛弧(第二)(弧)之正弦五六○五二求先得之數為二二三七三又己辛戊角(兩弧所包角)四十二度四十三分得正矢二六五二八求後得之數為五九三五以加兩弧較差之正矢一六九六得七六三一為己戊弧(第三)(弧)之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角則己戊子三角形内全數與第一旁線之餘割線若夲角旁次線之餘割線與他數(名先得之數)又兩旁線較差之正矢與對夲角線之正矢相減餘為他數(名後得之)(數)而全數與先得之數若後得之數與本角之正矢如前圖己子(角旁次線)為太隂距天頂弧八十○度四十○分餘割線一○一三四二戊子(第一旁線)為太隂距南加象限共九十四度三十八分餘割線一○○三二八算得一○一六七四為先得之數其較弧較差一十三度五十八分得正矢二九五六減己戊弧之正矢七六三一得四六七四為後得之數依法算得四七五四為己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧則全數與子癸高差弧之切線若壬子癸角之餘弦(壬子癸與己子戊兩交角等)與子壬弧之切線而子癸弧之切線一五九四壬子癸角之餘弦九五二四八算得壬子弧之切線一五一八查得五十二分一十○秒為太隂南北差之子壬弧以求東西差則全數與子癸弧之餘弦九九九八七五一若子壬弧之正割線一○○○一一五一與壬癸弧之正割線算得九九九九九○二為壬癸弧之正切線查得一十五分一十○秒為太隂東西視差壬癸或寅丑又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道極皆同前此圖加戊辛為太隂實經度出地平高之餘弧而戊辛己三角形内又有太隂實高度之餘弧戊己有太隂實距度己辛以此三邊徑推戊己辛角為高弧交太隂緯弧之角其餘角(前圖)或交角(後圖)為壬己庚角假如依前算戊己八十○度四十○分得餘割線一○一三四二太隂距南辛己四度三十八分餘割線一二三七九四七算得一二五四五六○為先得之數以本兩弧之較差七十六度○二分得正矢七五八六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相減得二八一為後得之數又算得四七六○為戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面幾何太陽有全食或周邊無光而晝晦星見者有全食而周顯金環者又有食不全而此地見食之分多彼地見食之分寡者今欲求見全食之地幾何廣見金環幾何逺自見全食之地至盡不見食之地幾何更求相距幾何地即見食漸差一分此四者大概依視差推算種種具有法焉全食不見光之地面依第谷測定蒙氣之高距地面上約有九里欲求全食時得人所共見里數若干即以蒙氣高與太隂視徑及太陽光氣内曲之角定之葢交㑹時太隂當日目之中掩太陽光其視徑必大於太陽視徑而人目所周之地平自無光矣但日光從最通明處射地而来一遇次通明之蒙氣即曲而斜照(見本厯指第一卷)必依氣之高低漸漸聚合廣狹不等如氣太高則光不至地面而聚合可無滿景氣太低則光一曲即至地月景反覺開展不止恒測之界今設氣高九里以絶日光必月景近地占千餘里必太隂視徑大於太陽視徑四分有餘乃可論食在天頂也若食在下度則月徑可小景或反大圖中蒙氣高為甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光氣之拓界乙丁乙丙皆地半徑約一萬二千里則乙丁與全數若甲乙與甲乙丙角之割線算得一○○○六○查本表得一度五十九分為甲乙丙角又全數與本角之切線若丙乙線與甲丙線得里數為五百一十九即太隂在頂滿景之半徑也而全徑則一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂視徑大於太陽視徑止一分必滿景徑得千餘里視徑加大里數亦多然䝉氣差表未譯故止以地半徑差别求之法日月兩半徑相減以差數加太陽視差即於表中本高度前後查太隂高下視差與得數等即以高度差前後各得滿景半徑若視差與得數不等即以中比例法求相應之高弧加於高度差如太陽行最高得視半徑一十五分太隂行最庳得視半徑一十七分二十○秒差數為二分二十○秒試以食在天頂(廣東廣西等處夏至時是)下二度為八十八以本度查太陽視差表得六秒加兩半徑差數得二分二十六秒於太隂視差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者為一十二秒依比例算得一十一分宜加於二度即更下去頂愈逺也故天頂正下為滿景之心前下二度一十一分景缺即初見光其界限約五百四十六里後下高弧等得里數亦等共得一千○九十二即同食甚時同見食掩地面之廣也欲論先後時刻自初見滿景至復見生光則日月並随宗動天行之度化為里數所得見滿景必不止數千里矣若太陽行最高太隂在高庳之正中其差數加太陽視差共一分二十○秒算食甚時得滿景二度二十八分為里數六百一十七又太陽及太隂皆在最庳得總差數一分五十三秒算食甚時得八百四十二里為滿景至於兩徑相等或太隂不甚大於太陽即無滿景因蒙氣曲光内射故也試食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得視差二十一分四十六秒更下二度得視差二十三分四十九秒差二分○三秒至兩半徑差數餘一十七秒加太陽在最高從七十至下二度強所變視差度○七秒總得二十四秒即以比例算應高弧二十四分總得二度二十四分化為里得六百即地平上自中往後見滿景之地也若往前設地平高七十二太隂視差一十九分四十○秒較於太隂高七十度之視差差二分○六秒至兩半徑差餘一十四秒加太陽變視差七秒(上下加求太隂)(從太陽視差故)總得二十一秒因以比例算得二十分加於七十二度化為里得五百八十三即往前之滿景前後相加總得一千一百八十三里乃食甚同見滿景之地也依本法推算食甚距天頂愈逺得滿景愈大而自其中心論前後兩半徑必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分為八百四十六里(景之)(前應高度多查表求後景之後應高度少查表求前)在後得三度三十八分為九百○八里總七度○一分為一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分後行二千二百○八里即八度五十○分總三千六百九十一里為滿景因視差近地平變少必度多即得變數與兩徑差數等徑差少(或太陽在最庳或太隂距最庳畧逺)即高度進退亦少里數亦減矣見金環之地面太陽在最高其視徑較太隂在最高之視徑畧小較在中或最庳愈小無比故全食之食甚不顯餘光而周無金環明矣其在中距與太隂在最高之視徑等雖因蒙氣可顯金環然以大小之故不能畢露且蒙氣所生大小随時随處不一則亦無從可定耳自中距以下太陽視徑漸大較太隂在最高至最庳即大三十○秒矣設食甚在天頂因周大一十五秒得四圍去中心逺四分度之一而可見金環者約有六十二里乃全徑則一百二十五里為此時所同見至先後可見之地者又不止此若食甚距天頂愈逺得金環愈大假如距四十度(高弧五十)(度)依前一十五秒應得二十分全徑則四十餘分以三十度高弧應得全徑一度二十度高弧應得一度半一十○度應得四度化為里約一千里何也因視差近地平變少得度多故也若論蒙氣愈加得金環愈大因此第谷居北方設月朔半徑大於望半徑亦此意也總見食之地面求滿景及金環俱以日月視徑為主如太隂大於太陽則生滿景太陽反大即為金環此一定之理也今欲得滿與缺之景㡬何或從見滿景地面(食既是)至漸不見景地面(復圎是)即以兩曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高見食地面少皆在最庳見食地面反多(因正在高庳故倘相距漸)(逺其食景大小亦漸變易)一在高一在庳則見食多寡均矣論天頂全食法加日月兩半徑以總數查表所得數或等或小加此兩數之差更加太陽視差復得總數復查表其旁所得高度即自景中心至不見食之界也(總數不正合髙度用中比)(例法求之)假如日月皆在最高加其半徑總得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所對六十高度得三十○分○六秒較兩半徑總數差九秒太陽視差○一分二十七秒三數併加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八間(自頂往下故)以中比例推得四十六分乃自天頂至周界得三十一度四十六分為總見食地面之半徑而全徑則六十三度三十二分化為里共得一萬五千八百八十三使日月皆在最庫兩半徑數并得三十二分五十○秒查表本方内得相對高度五十九依前法推得不止五十八度即見食之界距頂三十二度五十○分共六十五度四十分為里一萬六千四百一十七若太陽在最高太隂在最庳總得六十四度一十八分即一萬六千零七十五里使太隂在最高太陽在最庳算得六十四度五十二分為里一萬六千二百一十七若論全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景則人目在地面同見食之廣不全依高低度何云食愈低其景愈大視日月兩輪大小約等以中心與目正對皆居一直線上雖相距實逺目視之若同為一輪同在一度今欲見其兩心相離不正在一線則自此地至彼地勢若横行然葢高度全食前後左右皆於日月為横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或後(以髙弧及)(同見為主前後非東西南北可定必随日月所居方併過目圏為是)多為對行而非横行愈下愈對必行之多始得其體之離惟多行故遲出景外所以食在下度愈低得景愈廣矣何云不全受景見日食即因日月目併居一直線上(此論以體相對雖心不正在一直線㑹合)(亦無妨)今全食在高度或前或後行凡日月目直線可對者自正以心相對惟去離漸逺至以邊相對則以見食至復圓為止若全食在下度目少進即見食漸高至兩曜以邊居直線上亦能盡見其復圓使目退行少許見食漸低兩曜先至地平不及以邊居線上因而體雖尚對而所餘食分為目所不見矣縱使更退亦不得見復圓故地面所受之景乃地景(日巳沒故)非日食之景耳推下度全食之景法日月兩半徑并與食甚高度太隂之視差順表相減餘數加太陽視差總數復查表得數等其旁所遇高度即為前行見食之界若不等以中比例求相應之高度與表兩半徑并加太隂視差更加太陽自食甚高度至夲總數相應高度所變視差而末所得總數必應高度即後行見食之界如日月皆在最高兩半徑并得三十○分一十五秒設食甚高八十○度太隂視差在此為一十○分二十九秒兩分數相減餘一十九分四十六秒約應高度七十一得太陽視差五十六秒以加總得二十○分四十二秒乃又應高弧六十九度五十五分即前行至日月過頂二十○度○五分而見食地面共為三十○度○五分若後行兩分數宜加得四十○分四十四秒約應高弧四十七度太陽視差自八十至此變一分二十九秒以加總得四十二分一十三秒應四十五度一十六分即日月高相離之界共為三十四度四十四分乃後行見食地面之徑也設食甚高為六十○度依本法算得前行見界距三十○度○九分過天頂較前徑畧長後行則景長無比必行六十度始見下地平其未見復圎者八十餘秒而前後地面見景為九十餘度設食甚高四十度必前行三十四度一十四分後行四十度乃下地平尚見食五分八十餘秒總見景者七十四度設高二十度往前得四十三度二十分往後行二十度止得見復光約一分總度六十三度有餘愈下愈見少即此可知同見食之廣不全依高低度因地面不全受景故也若日月皆在最庳得半徑并最大數為三十二分五十○秒設高八十度必前行三十一度後行三十六度共六十七度所同見食較前畧廣設高六十○度即前行三十一度後行六十度未可見復圓葢所少為一分二十秒耳大概依餘日月半徑及餘高度求同見食之地面皆倣此算而以度數更求里數論先後見食則以總食之時及時氣兩視差細求之可也見食進退一分應地面幾何太陽任在本輪高庳距天頂逺近及在四方偏正俱分一十平分而見食地面則依高弧取前後以定其徑葢徑之大小依高度前後不能為同即前所云較食在下度與食在高度自得更大乃論滿景之公公論也今又設為全食如前行即太陽從下生光漸至上復圓若後行即從上生光至下復圓總進退間止在一十分内欲算法於度數之分所應任取之徑分加太陽視差及日月各半徑不等之分秒總數查表其旁所對高度即本徑分之景界化為里得見本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天頂設生光為一徑分(食退是)求所應之度即十徑分與三十○分(太陽全徑度數之分)若一徑分與三度數之分以本三分入表查太陽視差九秒更有日月兩半徑不等之一十五秒總得三分二十四秒應三度一十三分即去頂生光之界共八百零四里若生光得太陽半徑即五徑分當一十五度數之分加太陽視差四十五秒及兩半徑不等之一十五秒共得一十六分應一十五度二十四分距頂之界試以復圓即三十○分查太陽視差一分二十七秒加半徑不等之秒總得三十一分四十二秒應三十一度四十六分乃與前求總景之數正合若食若在下度如高六十○度求一徑分相應之高弧即以三度數之分如本六十高度太隂視差得三十三分○六秒約對五十七高度因至此太陽變視差八秒宜加且更加兩半徑不等之秒總得三十三分二十九秒應五十六度一十○分即自食甚至一徑分生光得三度五十分較前算自頂退一徑分多得三十七分為一百五十餘里若求五徑分應幾何即於六十度太隂視差加一十五分得四十五分○六秒對四十一度查太陽變視差四十四秒加兩半徑不等之秒總得四十六分○五秒應四十○度四十五秒自食甚至半徑生光得一十九度一十五分較前多三度五十一分若日月在本圏别度得視徑大小較最高不同必先求徑分所應度數之分幾何然後依本法算而進食之分與生光之分亦同一理也日食掩地面總圖甲為太陽乙為太隂丙為目三者於食甚時皆居一直線上以心相正對也設太陽視徑小於太隂視徑為丁戊即地面得滿景為壬辛必自中心丙至壬至辛乃可見丁戊日輪之邊耳設太陽視徑大於太隂視徑為庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直線見太陽庚癸邊必周得金環倘退至壬或進至辛即不見之矣論滿景總為丑卯自中心丙進前至卯即以卯丁直線見日輪復圓退後至丑即以丑戊直線亦見復圓徑之大小在高度低度其理一也新法算書卷六十八
## 卷六十九
欽定四庫全書
新法算書卷六十九 明 徐光啟等 撰交食厯指卷六外三差前論交食法有東西南北髙庳三差皆生於地徑蓋以地為太圜之心為此界以宗動天為彼界日月在兩界之間因地徑之小於日大於月生彼界之視三差也今言外三差者於三差之外復有三差不生於日月地之三徑而生於氣氣有輕重有厚薄各因地因時而三光之視度為之變易三者一曰清蒙髙差是近於地平為地面所出清蒙之氣變易髙下也二曰清蒙徑差亦因地上清蒙之氣而人目所見太陽本徑之大小為所變易也三曰本氣徑差本氣者四行之一即内經素問所謂大氣地面以上月天以下充塞太空者是也此比於地上清蒙更為精微無形質而亦能變易太陽之光照使目所見之視度隨地隨時小大不一也外三差之義振古不聞西史第谷於萬厯年間殫精推測鈎深索隱厯家推重以為冠絶古今而此秘未睹至其暮年方行萬里乃始洞徹原委尚未及著書其門人述遵遺指撰集論次然後交食之法於理為盡則近今十餘年事耳盖厯學之難言如此清蒙髙差厯家測騐日月及經緯諸星積累所得其光入人目徃徃不依直線而至夫太隂太陽有地徑視差無怪其然也恒星無地徑差人測之在地面與在地心不異宜所見者必依直線若之何不然且兩星相距近於地平與其相距近於天頂絶不同其各體之大小亦不同又太陽太隂固有地徑差其視體偏下視髙度宜少而所得者忽復多定望時二曜正居天地徑之兩端以理論見一不得見二或並見則半體而已今有時全見之何也古度數家見直物入水中折成曲象空水之交則有鈍角以此鈍角喻諸星射目之折線於理為允則近地面之氣可比於水天體至清可比水晶光在有氣無氣之交必成折角而能令諸曜之象升卑為髙也若星距頂愈遠所射光之折線角愈減其鈍而視髙之去實髙也愈多蓋近地則濕氣愈厚故受蒙為甚而又實非雲霧等有質之物且在地濁之上(厯言入濁言濁中近濁入則不見視此為異也)謂之清蒙也因此凡測候兩星若距度線與地平平行者其氣所升視之巳在赤道上迨太陽近午出蒙氣之外復測之始以實行交於赤道為真春分秋分反是先以近午之實行在赤道上為真秋分迨昬測之日巳入過赤道而北矣視度乃復在赤道上自朝至中不能有兩春分自中至夕不能有兩秋分則朝夕所見皆視度非實度也則皆清蒙之高差也問清蒙之氣能變易太陽太隂之實度是已其言隨地隨時又各不同者何謂也曰第谷測定清蒙諸差太陽與太隂大約相等而與諸星則不等其五星所得之差又與恒星不等因此推知致差之因不在距地遠近其差大小皆氣之所為也氣厚薄時之所為也距地遠近地之所為也凡考七曜之蒙差皆候其高弧至於無蒙之處得其實度而以較於有蒙之處得其視差幾何如第谷所居北極髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其測候太陽之蒙差必於夏月太陽出蒙氣之上乃可得之測恒星之蒙差又於冬月若夏測星冬測日則盡日盡夜皆在蒙氣中無法可得而氣之厚薄冬與夏必有分矣故所定氣差隨之異也若論地則山阜之上蒙氣為在髙之距與在庳之距必小有異若不與地平平行而兩高弧各異者不論或正(與地平為直角)或斜(與地平為斜角)其在髙之距與在庳之距亦小有異總之星愈近於地兩距之實度愈少遠則愈多矣第谷之本地北極高五十五度有竒測定太陽太隂之蒙氣差大約相等自地平以上至四十餘度髙差漸少更高則無有而近地之最大差得三十四分故太陽極近地平以地徑視差之偏庳三分蒙氣差之視髙三十四分相減得太陽高弧之視差三十一分則目視太陽將入以下周至地平見謂在上而其實體已全入於地太隂以最大之地徑視差六十三分蒙氣差之視高三十三分相減餘三十○分目視之見謂全没而其實體猶全在地平上也多祿某以渾天儀測太陽行春秋分積年所得皆以本日兩交於赤道遂為千古不决之疑不知者意其差在儀器儀器果差安得百無一合又安得悉在地平之上竟無差而在下者乎至近世而後知為清蒙之差也第谷用器甚多甚精諸器畢合不可謂有器差而其所得亦復如是所以然者太陽臨春分論實度尚在赤道南晨測之為蒙少平地乃多澤國尤多海濱更多葢此氣周生於大地之靣外規之界距地心悉等而地靣有高庳其距氣界各各不等此為淺深厚薄之緣正如海底有坳突之勢因有淺深若海水之靣恒平而已然論其恒勢淺氣所生之視差少深氣為多論其變淺氣或忽然増加少易而多深氣乃鮮有變時也萬厯十八年庚寅夏六月西厯記月食太陽以半體出地其太隂正相對尚高二度入景中已多分及太隂半没而太陽已高二度出地平之上若以恒理論之則太陽心方出地平景心宜同時而入太隂之西周實入於地又當在景心入地之前今太陽心出矣而景心尚高二度非蒙氣所為安得此乎然此視高差可謂甚大則以本地近於大山之下大河之濱其蒙氣為厚遇夜清氣上騰凌晨更甚故也若他地他時未必盡同此數故治厯者當先定本地之諸曜蒙差叅以時令乃能立表推歩其法須累測交食之多寡早晏斟酌定之勿謂精於本法便可隨地隨時必無舛戾也若立差旣定而臨食時氣候忽更此則難可豫料然所失無幾矣此髙差惟月食累遇之若日食則二曜之蒙氣差大畧相等髙弧旣同鮮有變易徑可勿論也清蒙徑差太陽全食晝晦星見恒事耳中史及西史皆數記之若太隂全在日與人目之間而不能盡掩日體四周皆有餘光厯家謂之金環或有闕如鈎或云依日月周徑本法則不應有此何者凡此一視徑或大或等于彼一視徑則以此體寘之人目與彼體之間無不全受掩蔽者今止論太陽在其最庳全視徑為大得三十一分太隂在其最高全視徑為小得三十○分三十○秒其較三十○秒為全徑六十分之一耳卽定朔果在此時日月以兩心正㑹何因四周能見太陽之邊乎(或有時可見詳下文)此説是也然而古今所記實見實測乃復多有之如隆慶元年丁夘三月朔日太陽近於最高得全徑三十分太隂在高庳之正中得全徑三十二分三十四秒則全掩太陽之外尚餘二分三十四秒乃西土實侯至食甚時二曜以心正㑹見有金環又萬厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太陽復如是論地則此測在西國之内地前測在海濱論北極則此測髙五十度前測正髙四十二度論臨食時此測有雲前測無雲也(雲氣雖不掩日月亦)(能變易光曜損益分秒)而第谷專精候騐多在北海之濱北極高五十六度累年宻測終不見太隂盡掩太陽晝晦星見是則日光恒贏月魄恒縮又將疑掩之不盡為恒事矣迨萬厯二十八年庚子六月朔於内地北極高五十度測得日食五分有半依本地原推正應四分較多一分有半則又日光縮月魄贏也又萬厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷門人於本地北極高六十餘度測得食甚時見金環四周皆廣一分有半(太陽徑十二分)萬厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北極高五十一度測食甚時得二分正同時向北更四度論高視差宜減一分猶宜見食一分而第谷門人宻測乃不見食此兩測者皆日先居贏且贏甚也而皆無雲綜其大都極出地甚髙近海或大澤食時多雲氣則日光贏測數少於推數極出地迤庳居地平髙去水澤遠食時無雲氣則月魄贏推數少於測數展轉推求即清蒙之氣隨地隨時有無厚薄不等能淺深受光於日而變易其照耀之勢使人目所見或增或減迄無定限也再騐之海中有小島其視體甚小於太陽之視徑日初出時正當其中平分太陽之體則石之兩旁皆顯大光若不當其中而石居太陽之左右則不能映蔽日光如兩相退讓而露太陽之全體此為何故石之蔽日隱顯之間雖以一線為界乃海中蒙氣極厚日之施光蒙氣受之故人目所見日光能侵軼於本界之外也喻月魄於石體其理正同故蒙氣盛者全食時如石當日之正中少食時如石當日之左右即髙弧至於午正人目見日無横斜之線不能升卑為高乃地以上之蒙氣猶能承受日光使溢界外而展小為大月不蔽日職是故矣如圖地心為甲日心為丙太隂正當日目之中為乙月景之最中人目所在為己設太陽之邊實為丁為戊其光下照所限月景之界宜為丁甲戊甲兩線此限外之氣皆得最光也然因乙太隂隔太陽原光於已目目所能正見者非丁戊乃是庚辛而作己辛直線則目宜全不見日周之微光矣苐太陽正照之最光下及於月景四周之外而外氣之近地者為次徹之體則太陽之光借此體以侵入於月景本界之内别作一界線曲而向内即人目所正見為癸而癸既切景較遠景之處加有光焉(光愈正照愈明切景之光甚似垂線若正照然故比距遠之處加明)(焉)故景之四周從癸至壬目所見皆成日光是為癸壬金環癸壬所在實於空中非太陽之光果外溢至辛也從下視之若在月之四周與太陽同天而太陽之原光若丁戊以外更餘辛庚一環矣但癸壬之廣狹依氣厚薄隨地隨時一一不同耳曽有人試以銅薄規為小圓形依直角線寘長竿之末退後一丈又寘一規正對前規與為平行後規之心開細孔以目切孔正覷前規之心其前規之全徑較兩規相距之遠得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒與本時太隂光滿近最庳之全徑等則目視兩規與目視二曜大小遠近之比例亦等次從後規視前規理宜全掩太隂之體乃所見者四周皆顯大光更移後規向前二尺有竒以遠近之比例論則前規可掩弧度四十一分然而尚有微光也可見日月近地平固因蒙氣有視度之高庳差即去地平遠猶有視徑之大小差矣本氣徑差金環又有二種一為虛環人目所見其内規(如上圖之癸)為最光向外漸微至外規(如上圖之壬)則似次光此為地上清蒙之氣所生上文所說是也一為實環若内若外悉是最光此所見者必為太陽原光矣所以然者太隂在最高太陽在最卑則太隂之視徑畧小於太陽之視徑上文所云六十分之一者是也但實環旣為原光在太陽之周非復向之虛環從蒙氣中隱映而得者則人居月景之中何自得見之即在景之偏際亦宜見左失右何自得全見之曰此亦因太陽出光折照至於人目雖正在景中猶得見之折照之繇即非地上清蒙之氣而在空中之本氣前交食第一卷論月體當食顯赤色是氣景所生此論地靣當食而見光色是空中本氣所射其理一也設甲為太陽其實邊乙丙太隂在癸其實邊丁戊人居地靣在己辛之間不能以直線見太陽所以得見者太陽全輪旣受掩於月體為壬庚所餘庚乙實環皆為原光而以庚壬内規之光正照丁戊月邊過丁戊則折而内向以至於地面己辛其所繇内折者欲就於甲癸垂線也(詳本篇一)(卷第五)己辛以内皆為月景得界丁辛及戊己成三角形(戊丁為底圖未盡景末)又太陽乙丙外規之光正照太隂近處為子丑過子丑又折入景中而相遇於寅(此折甚於前折者愈遠於垂線)(愈欲急就之也)得寅己辛角形形以内為折入景中之重光人目在重光之中從卯辰兩交得見光環意疑在丁丑旋遶月輪其實則太陽之原光庚己也問本篇首卷言凡象射次澈之體則成折線故本章言日光過地靣則折入於景為蒙氣故也空中本氣則甚澈之體何能受光而折入於人目乎曰空中本氣為甚澈之體此恒理也然亦有時而變如彗孛攙搶乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有難究其所生之縁而實則恒有之今言日食有金環者大抵皆虛環也其實環甚為希有萬一有之不得不究所從來故作此論蓋虛環旣蒙氣所為無可疑者則實環之緣不得不在蒙氣之上旣在其上不得不歸之空中本氣舍是别無可推之理耳兹有蒙氣以上變易之徵聊足解此萬厯三十三年乙己八月西國北極高四十度測太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚餘赤光如火廣數度依此地論必言蒙氣所生不足疑亦無待辯矣從此向西北一國北極高五十餘度同時測日不全食未盡一分三十餘秒日周以外太隂餘分甚多而此地尚見是大光豈兩地相遠如此尚當言蒙氣相同之故乎縱使相同而蒙氣距地靣極髙無過二百里此不全食之地其交景之頂尚在二百里以上全出蒙氣本界之外則安得有本地靣之蒙氣受照為光且四周皆見乎彼所見滿景四周之光旣不為蒙氣所生必為空氣所生矣假如甲為太陽乙為太隂丙為地丁戊為蒙氣界若全食則所生金環在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之頂為子亦見光(此光非金環因在日周故其理)(不二)而光中甚黒則非丁戊氣所能生矣蓋目從己視太隂之下周庚必以己子庚線視其上周必從己壬至太陽辛則太陽之辛癸原光正照己目及蒙氣之界面丁壬丁壬之中絶無月景而丁壬等高之景全在己子庚直線之下安所得生光之原乎可見日四周之光必生於蒙氣以上必為空氣所生或近於月輪在庚子兩線之中或在月輪之下不遠矣日食晝晦星見凡前史記日食晝晦必因全食若星則不全食而見者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太陽未全食之光也而大星已見也又或不全食而見者有之故厯家下推將來雖得全食其見星與否未可豫定蓋見星不見星之縁不盡在於食分多因蒙氣與隂晴耳若食時遇氣甚清人目先見最光而習之忽爾失光雖日不全食亦似向晦星乃可見如從大光中暫焉入室見為甚闇也若食時遇氣甚厚或多雲霧則目先習是次光後見失光不以為異又醲厚之氣受返照之光光亦不能甚失日雖全食未及甚晦正如浮雲在天雖太陽已没曚曨宜盡而尚有餘明星不可見矣自此之外更有太陽正照斜照之緣如太陽當晨昬時斜照於地上氣得其正照之光則能返照地面若此時以日食絶正照於氣中則地無返照之光又本無正照之光安得不為甚晦乎故午前日食初虧至食甚時加晦生光至復圓時稍明午後食則反是蓋太陽愈庳愈能正照氣中而地得其返照之光太陽愈高愈正照於地靣而以有食絶其正光惟四外反有從旁斜入之次光耳又或太隂近最高其視徑不甚大於日之視徑則太陽四周光曜散溢雖則全食地面之次光乃大於少食者亦多有之又使日食切近地平太隂㣲高於日則地靣所見日下周之原光雖不盡如鈎而上氣乃與日月叅相對絶其正照即地面絶無返照之光此時亦變為甚晦也推視㑹交食第三卷求定望改實時為視時所以然者為有升度差也今日食以地心之實㑹改為地面之視㑹所以然者為有地半徑差也以地半徑差論實㑹視㑹不同上章已詳之矣此求視㑹則依視差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧與黄道之交角因以得南北東西差次求視㑹與實㑹之時差以加以減於實㑹之時刻而得日月正視㑹之時刻其加減則以黄道九十度為限(即黄平象限)日月距地平高弧視差有多有寡必依太陽出地平所得高度多寡(日月㑹合若同)(高度或差一度以下其視差甚㣲故得太陽高度不必復求太隂高度必求細率則以太陽高度查太隂高差)(先加於太陽高弧得太隂高真度也)欲求高度幾何則用定㑹(即定朔也)之實時及本時之太陽躔度先以躔度推太陽距赤道之緯度次以定㑹實時推其距子午圏若干(詳見下文用法中)得二角形形有北極出地之餘弧有太陽距赤道之餘弧有兩弧間角為太陽距子午圏弧之相當角算得本形之第三弧為太陽出地高弧之餘弧也如圖甲乙丙為子午圏甲丁丙為地平丁戊為黄道太陽在庚則乙庚己為高弧壬庚為太陽距赤道之餘弧因得乙壬(本地極高之餘弧)及壬庚(太陽距赤)(道之餘弧)兩弧及乙壬庚角(太陽距子午之相當角)以推第三乙庚弧得其餘弧庚己太陽出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己髙弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以對角求南北東西差法如次圖設庚癸為高差辛為黄道極則辛癸大圏之弧以直角交黄道於壬為庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬為餘角則全數與高差若壬庚癸角與壬癸南北差又全數與高差若壬癸庚角與壬庚東西差或用簡平儀求高弧可免算第其圖愈大所取太陽高度分愈眞乃足推算視差如圖己戊辛為子午圏甲乙為赤道北極在丙太陽距赤道北依丁戊線行與行壬戊弧其理一也至戊為正午至丁如復至壬午前與午後同所以然者戊丁直線不可得度分數必用戊壬弧量度為凖(戊壬與戊丁皆距等小圏兩弧皆小圏之弧即等試想戊壬圏置戊丁線上與戊丙圏縱横為直角)(則得其理)如彼面之丁為己時至戊為午行至此面之丁為未與壬為己至戊為午復轉至壬為未其理一也次作丁庚直線與地平甲己線平行則得己庚弧為太陽在己時或在未時出地平上之高弧也别有表以日食之實時及太陽距赤道緯度查其出地平度而推兩曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形(前圖之己庚丁)推算法用太陽髙度於太陽距黄道九十度限表中查角(即庚角)詳本表又有南北東西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直線三角形推算(因三差線小雖在天實為大圏之弧亦可以直線句股法)(求之與三角形圎線法所求不異)黄道九十度為東西差之中限地半徑三差恒垂向下但高庳差線以天頂為宗下至地平為直角南北差者變太隂距黄道之度以黄道極為宗下至黄道為直角東西差則黄道上弧也故論天頂則髙庳差為正下南北差為斜下而東西差獨中限之一線為正下一線以外或左或右皆斜下論黄道則南北差恒為股東西差恒為句高庳差恒為弦至中限則股弦為一線無句矣所謂中限者黄道出地平東西各九十度之限也(黄平象限省曰度限)舊法以子午圏為中限新厯以黄道出地之最髙度為中限(東西各九十度則是最高)兩法皆於中前減時差使視食先於實食皆於中後加時差使視食後於實食第所主中限不同則有宜多而少宜少而多或宜加反減宜減反加凡加時不得合天多縁於此此限在正球之地距午不遠若北極漸高即有時去午漸遠時在午東時在午西大都北極高二十三度三十一分以上者(若高二十三度三十一分以下者則日月有時在天頂南有時在北三視差隨之今)(未及論此)獨冬夏二至度限與子午圏相合為一從冬至迄夏至半周恒在東居午前從夏至迄冬至半周恒在西居午後問日月諸星東出漸高至午為極髙乃西下漸卑而沒則午前午後之視差豈不分左分右漸次高庳以正午為中限乎曰南北差東西差皆以視度與實度相較得之而日月之實度皆依黄道視度因焉安得不并在黄道從黄道論其初末以求中限乎推太隂之食分以其實距黄道度為主推太陽之食分則以太隂之實距度先改為視距度所改者亦黄道之距度也論實望實㑹欲求其實時以黄道經度為主今求視㑹其所差度必不離黄道經度而因度差多寡求其相當之時差以得正視㑹理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限為東西差有無多寡之限猶冬夏至為晝夜永短之限午正時為日軌高庳之限也惟嵗惟時自宗赤極不借黄道之度中為限東西視差自宗黄極何乃借赤道之午中為限耶昔之治厯者未能悉究三差之所從生徒見午前食恒失於後天午後食恒失於先天故後者欲移而前前者欲移而後又見所移者漸向日中漸以加少遂疑極高至午中則無差不知黄道兩象限之自有其髙也亦自有其中也必如彼説以午正為東西差之中限設太陽實食午正遂以為無時差遂以為定朔為食甚倘此時之度限尚在西愈西則愈有西向之差法曰中以東則宜減安得不見食於午前乎儻此時之度限尚在東愈東則愈有東向之差法曰中以西則宜加安得不見食於午後乎如萬厯二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初虧己正三刻食甚與定朔無異皆在午正初刻至期測得初虧己正一刻後天二刻此所謂中東宜減見食於前者也今試依新法減時則推定朔在午正初刻内四分四十九秒於時日月躔度在鶉尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太陽躔度一十六度○八分太陽定朔之高尚有五十○度查得太隂髙差三十八分先求髙弧交黄道角為日距度限弧之切線與本角若全數與髙弧之切線得視差小三角形内正對東西差邊之角二十○度一十一分再推本角之正弦與東西差若全數與髙庳差得一十三分○四秒為此時之東西差因此求時差得太隂行一十三分應為時二十四分二十六秒於法宜減故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初虧約用前四刻依法復求視差其時黄道度限在鶉尾宫初度二十○分即午後一十四度四十○分距太陽二十八度四十六分太陽高四十八度得太隂高差四十○分東西差二十四分求其視行度得四刻行二十一分又以開方法得太陽自初虧至食甚行三十一分今視行二十一分得四刻則三十一分應得五刻一十三分五十四秒以減食甚時得初虧在己正一刻内一十一分四十三秒與實測時刻宻合凡九十度限去子午圏不遠新舊兩厯所推之定朔不遠則兩所得之時差亦不遠若相距遠而度限在東則食在午前或在午後新厯所得時刻皆多於舊厯度限在西食在午前午後新厯所得時刻皆少於舊厯如萬厯三十八年庚戌十一月朔大綂厯推食甚在申初一刻至期實測得申初四刻先天三刻於時度限距子午圏二十一度○四分在東距太陽五十九度四十七分日月並高一十六度得太隂高差五十四分一十五秒從是算得東西差二十八分三十一秒應時差四刻○一分三十五秒依法與實時相加而實時與大統厯算小異在未正三刻○四分得視時乃大異是繇度限在東加數宜多而午正為限者加數則少安得不先天也又萬厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂厯推食甚在辰正初刻新厯推得在辰正三刻内此時度限亦在東距午正一十五度四十二分較太陽距正午為更近所得東西差止一十九分二十四秒應時差四十七分四十六秒依法宜減則實時己初一刻○六分改視時為辰正二刻○三分此兩食者皆所謂度限在東則食在午前午後新厯所得時刻皆多於舊厯者也又其甚者若日食在正午及度限之間則宜加者反減之宜減者反加之所失更多如崇禎四年辛未十月朔日食大綂推初虧未初一刻較新厯遲三刻有竒食甚未正初刻新厯推未初一刻内至期實測果在本刻内所以然者新厯以黄道九十度限為中所得時差與實時相減則食甚後退故合大綂以午正為中所得時差反加而前進去之逾遠矣蓋本日食甚實時日月並已過午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒則度限在午西二十三度五十一分○四秒算得東西差三分三十四秒應時差○五分為減而先推實㑹在未初八分四十○秒因時差退減為未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏為中限則本時日月過午己十七度有竒在西東西差既宜少而多時差又反減為加即多得時刻若此者就用西法算兩曜髙三十五度四十八分及其距午正之度能生東西差一十一分一十三秒應得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不為未正可見中限異同實為加時離合之根也算視㑹必求黄道九十度限交食以黄道出地之最高度為中限固矣但限内所應加減者則有時差(日食在九十度西時差宜加在東宜減)此實食視食之所繇以先後(詳見上篇)故算視㑹者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依簡法止推兩曜當食之時居九十度東西何方而不必問其宫度先以常法論設甲乙丁斜三角形甲為天頂乙為黄道交子午圏日月俱在丁以升度得乙丁弧以太陽距度得甲乙弧查本表得其兩弧間之角以甲乙丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙為垂線指九十度距甲頂若干更求乙丙為九十度限與子午相距若干則丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧與乙丁弧及兩弧間之角因求得時差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太煩乃簡法則惟算黄道何度分當九十度即此斜角三角形内徑求甲丁弧為日月高弧之餘弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角則視差小三角形内(見前五卷三題)以高弧得高差以本角得交角及餘角而推所對之弧為南北東西差固已㨗若指掌矣再欲察日食在九十度限東若西亦得兩法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若則以定朔所得太陽躔度較先所得在正午黄道度即得太陽在九十度限東西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙(子午圏交黄道之處)使星紀宫初度或鶉首初度在乙乃為正九十度此外則以食時按極出地度求之蓋北極髙過二十三度三十一分凡自星紀初度至鶉首初度黄道度在午者必九十度偏東自鶉首至星紀黄道度在午者反為九十度偏西而距午最遠者則在大火宫或𤣥枵宫隨極髙低不一亦隨宫度各處不一也試以極髙二十四度則九十度限距午最遠特一十五度耳極髙四十度則九十度限能距午二十四度餘宫度在九十度限亦距午漸近因而推日食在九十度之或東或西較較不爽也又一法以黄道交髙弧角求之更凖蓋本角向子午圏者在午前為鋭角午後為鈍角則食必在九十度之東若本角午前為鈍角午後為銳角則食必在九十度之西如此可免再求矣求視㑹復算視差之故第三日食與九十度相近則太隂之偏東西不多所得時差於本食之實時不甚相遠可免復求東西差倘所食遠距九十度之限則太隂偏左偏右(左右即東西)者必多而能變其實行以為視行使不再三考求何從而知故必先算太隂之視差化之為時差次求其視行與太陽實相距若干則用以推東西差可得食甚至若初虧復圓總不外太隂之視行而得之此推歩日食者所以復算視差求太隂視行定太隂東西差須得其與太陽相㑹之實度應先(如在九十度東)應後(在九十度西)乃使太隂實行即從自行可得則或二十八分一小時或三十○分或三十三分有竒(因最髙最庳中距不)(等故)以三率法推其度差則相應幾何時刻因與定朔加減之其所得時亦可於真視㑹不遠但先後㑹之度差必以太隂實行為主然因視差故每每移其本實行故以實行求時差多謬而以視行求之乃凖矣法曰日食在九十度東則較定朔前一小時食在九十度西則較定朔後一小時復求東西差以兩差不等之分秒或加或減於太隂一小時因以實行得其視行若次得之東西差大於先得之東西差其兩差不等之數為減若次得之差數小於先得數則兩差不等之數為加乃得太隂一小時視行也或不用一小時先於定朔算東西差而以實行化為時差或加或減於本時得視㑹又以視㑹與定朔相去不拘若干惟於此時再求東西差兩差不等之數依前法加減之必得太隂視行時差因以復算真時差假如崇禎四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此時順天府得東西差三分五十○秒太隂一小時實行為三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒為時差因食在九十度東故減得未初○一分四十六秒即相近視㑹時也次升度先在正午自春分起為二百二十六度二十五分四十○秒因時差宜減一度四十三分則以餘升度查本表得躔度在正午者為大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西離二十三度三十五分比日月距午更遠七度四十四分三十八秒又以太陽髙三十六度一十四分算得髙弧交黄道角八十四度一十七分則以餘角復得東西差四分五十○秒兩差不等之數為○一分因後得之差大故先得差内減一分實得○二分五十○秒為太隂過太陽之視行也前時差○六分五十四秒今以三率法依本視行得前東西差○三分五十○秒應九分一十九秒為真時差因減故算得視㑹在午正三刻一十四分二十一秒(一十五分為一刻)考真時差眞時差者為太隂視行反覆推求再三加減脗與視㑹相合者也欲更考其實須算太隂實距太陽幾何若所得分數與太隂所當視㑹之東西差等則所得視㑹亦凖若㣲有不等則以不等之分數化為時依兩曜實相距之分數較之視差或大或小依法加減於前視㑹如距度大日食在九十度東則時差為加食在九十度西則時差為減如距度小則九十度東宜減九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求東西差而以本視㑹時復求九十度限與其距天頂及距太陽度因以本高弧及高弧交黄道角復算視差如前假如得真時差九分一十九秒何以知其然也因減時九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天頂五十三度四十○分距午二十三度三十一分較太陽復西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推東西差○五分一十三秒故以三率法用太隂實行三十三分二十○秒一小時以真時差得五分一十○秒為太隂實距太陽分數見其與纔得之東西差相等則前時之時差亦凖若未等則求所差分數如前東西差三分五十○秒得九分一十九秒為時差此不等之三秒亦得七秒依前法視㑹内應減實得午正三刻一十四分一十四秒乃真視㑹也求初虧復圓俱依視差算凡算月食推初虧復圓先以開方求其自初虧至食甚所行之度分若干又自食甚至復圓所行之度分亦若干故所推食甚前後時刻大約相等算日食則不然雖太隂在食甚前後所行度數相等而所應之時刻鮮有不參差者蓋視差能變實行為視行有前得之時較後得為多亦有後得之時較前得為多此中種種不一如圖甲為太陽乙丙丁皆為太隂甲乙或甲丙為兩曜視半徑甲丁為太隂食甚視距度則甲乙線之方數減甲丁線之方數其餘數開方得乙丁線為太隂自初虧至食甚所行之度與丁丙至復圓數畧相等但太隂行過乙丙線時(除食甚正在九十度)前後未嘗相等故求之之法必於前時以東西差求其視行則得初虧距食甚之時又於後時復以東西差求其視行乃得復圓與食甚相距之時然初虧與食甚或皆在九十度東則因初時之東西差大于後時之東西差其兩差不等之數減於太隂實行則得視行若初時之東西差反小於後時之東西差其兩差不等之數則加于太隂實行而得其視行或初虧與食甚皆在九十度西而初時之東西差大後時之東西差小其兩差不等之數用加如初時之東西差小後時之東西差大其兩差不等之數用減與前法相反此較初虧與食甚若較食甚與復圓皆為一理第其兩相比量俱以先東西差與次東西為主故求初虧則食甚為後時而求復圓則食甚又為前時也或前後兩時不同在九十度之一邊如初虧在東食甚在西則求東西差必不止食甚前後之兩次因九十度而中分之則一視行求其時之多半又一視行求其時之餘乃合之為初時至後時太隂視㑹所行度分矣假如視㑹在鶉首宫初度午後正二刻距九十度西得東西差○五分設得視行二十二分則太隂自九十度至本視㑹之度兩刻間視東行一十一分如前圖乙丁線為二十八分減一十一分所餘一十七分為太隂在九十度東自初虧至食甚時所行即因九十度前一小時以東西差得太隂視行二十一分故其行一十七分必須時三刻○四分乃自初食至正午(此正午與九十度同故)為太隂所行之時并午前後時總得五刻○四分為太隂自初虧至食甚過乙丁線所行時也算日食復求太隂視距度之故第四前以實㑹而不得其視㑹則所求者在東西差乃今視㑹真矣然何以知其所食大小之分數及以月掩日所向之方位乎曰此皆由於太隂視距度也故推歩者必先於食甚求視距度則得日應食幾何分又於初虧復圓求視距度則得月掩日之光在何方日食分數凡推月食以太隂實距度較其半徑及地景半徑即得月食之分今算日食法雖同然因視度為主則必以太隂視距度與日月兩輪之半徑相較乃得日食分矣依法於視徑本表查日月半徑并之減視距度為太隂掩日之分(天度數之分)次以三率法求食之分(日徑分十分之分)因先於食甚求太隂實距度則太隂視㑹及實㑹間之本行或加或減于其交周度依時差加減得視㑹時太隂交周度用算或查表即得距度假如時差為三十五分二十一秒宜加此間太隂過太陽行一十七分五十六秒太陽本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒為太隂本行今設交周實度為五宫二十九度因時差應加則交周多得一十九分二十三秒終得太隂食甚時實距北○一分四十一秒次以南北視差本實距度改為視距度故凡於三差小三角形内考時差并求南北差乃所得為正視㑹若太隂距黄道北人居夏至北則實距度恒減視差為視距度若太陽距黄道南則視差反加於實距度為視距度假如萬厯二十四年丙申歲八月朔日食厯官報應食九分八十六秒實測得八分强弱之間依新法算當食甚時太陽高五十○度○五分得太隂高差三十八分因九十度距太陽西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分為南北差線其對角為南北差得三十五分因當時太隂近交中在黄道北二十八分五十○秒與南北差相減得○六分一十○秒乃太隂視距在黄道南矣又日月兩輪半徑并得三十二分○五秒減視距度得二十五分五十五秒以此求食分數得○八分二十九秒乃與所測適合也日食圖說新法以圖顯本食所向之方故上下書南北左右書東西其繪圖則以太隂距度為主但食時先後太隂距度常有變易或初虧距度多而復圓距度少或初虧距度少而復圓距度多此其故蓋因食在交處前後之不一也若前後離交相等則雖距度同而所向南北未免有不同矣故日食前後求太隂視距度必以交周所應食甚視距度減其自初虧至食甚所行徑度則得太隂初虧視距度又以加於自食甚至復圓所行徑度則得其復圓視距度也復求交周所應太隂食甚視距度惟查距度表内上下左右則得交周度及其在交前後分數○假如前萬厯二十四年食甚得視距度○六分一十○秒即交中後查本表右得○一度一十二分其本表上則得六宫乃所應視距度交周也又當時自初虧至食甚太隂所行徑度三十一分○七秒與交周相減得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初虧及復圓交周也依此交周復查表得初虧視距度○三分三十三秒而復圓得八分五十三秒因此畵本食圖如乙丁及丙戊兩直線以直角在甲相交指南北東西方乙丁為黄道甲心為太陽居其中依前食論其太陽半徑得一十五分一十五秒較太隂半徑畧小甲戊線則并兩輪半徑為三十二分○五秒因太隂食甚在辛甲辛乃當時視距度○六分一十○秒初虧在壬即乙壬與甲己相等只三分三十三秒復圓在庚得丁庚與甲癸相等共八分五十三秒而壬辛庚皆視距南也新法算書卷六十九
## 卷七十
欽定四庫全書
新法算書卷七十 明 徐光啟等 撰交食歴指卷七測食分算食而不測食将何以攷其法非强天即自欺故必隨測隨算了了於目了了於手則視差視徑時分俱凖而法乃得矣測太隂食分常法全頼目力因分太陽徑為一十分太隂徑亦如之食甚時則以所見不食之徑約略不能見之餘分設并見失光之體庶㡬所食有半者依此以測猶可此外則多有謬焉何也太隂未食以前欲用器測全徑食甚時又測光所存之餘徑此際甚難(其光微又無從定中線故)且不正合于法今補此闕用太隂地景兩徑之比例及太隂見缺之邊如圖地景心在丙得乙戊辛弧為邊太隂心在甲以其乙丁辛邊弧入景中為所缺自乙至辛作直線更一直線聯其兩心及兩邊交切之界于乙或辛為甲乙乙丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之邊乙丁辛為六十度因半之于丁得乙丁對乙甲己角為三十度必餘角甲乙己為六十度(甲己乙直角故)甲乙割線二萬乙己止一萬則以甲乙與乙丙之比例(一與三是)乙丙得六萬為丙乙己角之割線查八十度二十四分本角之切線五九一二三六為丙己而甲己為甲乙己角之切線一七三二○五兩切線為甲丁及丙戊所减(甲丁與甲乙丙戊與丙乙自相等)餘丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九為甲乙二萬分比例之分因以推太隂之食分盖設太隂半徑得一十六分與之相乘用二萬除得食二分五十一秒(度數之分)即徑分止有五十三秒以此測雖微有差所推徑分終近矣測太陽食分宻室中對太陽開小圓孔以受其光因孔小出光之體大則所正照之光必為角形其底在太陽其角在孔之中夫光一入内又復展開為角形以致底所對之牆轉其原形以上為下以左為右使牆與光直角相遇則底為圓形不則為圓長形使孔不圓且小則光底在牆或彷彿孔形而所像太陽之形大都不眞何也太陽孔牆三者皆有逺近大小之比例盖孔距牆得其本徑數與太陽所距本徑數等則光底在牆必像太陽圓形及孔之多邊形各等為雜形若兩徑數不等而太陽距牆得徑數多則光底失去原形轉隨孔形得徑數少則光底必因之愈少故測食者恒設孔小而圓乃可逺近無差因以牆上所缺之形徵太陽所食之分法以規器于紙上先畫大小不等數圓圏各以徑分之其徑以十或更宻平分之臨測室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光為凖既合便轉紙使其圏徑横過餘光形中平分兩角則光缺之界即所食分數方光與圏合時遂以筆于光景間微識三四小㸃求心因之作圏略得太隂掩太陽大小之比例如圖甲乙丙丁為太陽食外之餘光正與甲乙丙圏界相合其心在戊其徑與丁以直角交景而平分甲及丙兩光角則得太陽食七分有竒更取三㸃為甲丁丙以己為心(㡬何三卷二十四題)以甲丁丙辛為太隂乃以己丁較戊乙亦得日月兩徑大小之比例日食射光之容測日食以最微之孔對照之西土用綠色玻瓈僅見日周俱掩去餘耀反照則用水盤欲細則以平面鏡所接之光反射牆上可略得分明苐對照水中反照皆非實測之法惟射光于牆略近然因尚容次光亂其景猶未足故前以宻室測食之分為本法今再全觧之欲光從外入室内以其形正彷原形盡乎大小之比例倘孔非最小(㡬何稱無分㸃之小)而圓則太陽食照必畧變其餘光之角形為不彷原之一又太隂掩太陽其徑略小即失天上視徑之比例為不彷原之二因徑小所食之分較天上之眞分亦少為不彷原之三三者皆歸一緣盖接光之孔稍廣則從中心攝太陽之形全顯于牆或紙亦併周孔邊之每㸃全進焉乃每㸃所進射之形雖圓其出外與孔之圓不平行而每㸃射形之公界復與之平行且内抱中心所射之形亦與之平行如圖乙丙丁界内為光即太陽總形也其内圏壬庚癸為孔之廣因圓故其受光至平面亦圓苐太陽大不可比其光一入復寛為戊己辛形與内圏平行以其中心甲與太陽正對故以逺近之比例可推本形甲戊半徑與太陽視半徑大小之比例然庚内圏之㸃射太陽形為丙己辛較于中圏更以戊丙徑線出外(戊丙與甲庚孔之半徑等)而壬癸及餘㸃皆射圓形則外得乙丙丁總圏其甲丙與太陽半徑無大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以兩形合别為雜形今測太陽設圓孔原形無從可變(除上為下左為右)而食之時其自變形露角射于宻室内又與孔之圓形不合因而損其角似圓矣如圖太陽食之餘光實為甲乙丙丁乃從甲孔之心射入以丙丁乙弧不異于孔形而丁甲乙角形則異矣故本界四周以孔半徑展開(甲戊丙己乙辛丁壬皆半徑)外得戊辛己壬為總界與前圖所觧同則以辛己壬弧元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其彷之之規必依孔半徑故丁乙各為心得壬癸及辛庚弧皆變為圓角耳室中測食日月兩徑有定差依本食圖丁甲乙弧為太隂掩太陽之邊其心在癸從癸心出直線至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之過庚為圏而從其甲心引直線至壬至辛至己因甲乙丙丁為日食餘光之真形實合于原則癸甲與甲丙或癸乙與甲乙癸丁與甲丁(甲丙甲乙甲丁皆太陽半徑癸甲癸乙癸丁皆太隂半徑)得真大小之比例亦與原視半徑全合今宻室之中辛己壬戊光形實以甲戊孔之半徑周展其界則太陽亦展半徑自甲致之于壬于辛于己而甲辛與甲癸太陽半徑之比例必過甲乙與本甲癸之比例太隂半徑亦然移癸甲為癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙與癸戊之比例又大于甲乙與癸甲之比例而甲辛愈大(因甲辛大于甲乙故)可徴兩徑在光形宻室之中比于兩徑實在食時必依孔之廣狹變其大小未嘗正合焉室内測食食之分有定差依前圖總光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏則甲乙元為食分與丙乙太陽全徑實得比例今總光形之徑己丁較之丙乙長兩孔之半徑(即己丙及乙丁)故本徑與食分變比例因而甲乙比于己丁線不如比于丙乙線得大小之理若丁戊(光形食之分)則既乙丁與甲戊等亦自與甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣或問測食與算食分數不合而每每所測分數恒不及必因食形假耳今欲改為真形從何法得曰以太隂半徑加孔半徑于太陽餘光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即從甲太陽形心及丁太隂形心推定也定食分及兩徑比例必係真光形推算食分以定多寡法以兩曜視徑較于距度求之今欲于所測對騐亦以日月兩徑以其兩心相距㡬何即可得矣但測時因太陽行速依前法于形中㸃號以求徑並距孔時逺時近就景于先所畫圏亦不易故紙距孔須定度(用窺管前開小孔後置白牌彼此以平行相照)可免多圏多量之煩受景之底大小依逺近如圖外有己壬辛大圏為定周分度數共作四象限(用以取食方向見下文)中有乙戊丙丁小圈以甲為軸能轉動此乃受光形之圈故以丁戊指太陽全徑以甲心及孔之中心與太陽中心正對本圏上安量尺即戊丁中空以兩旁與圏徑平行其尖鋭直至大圏以能指度為用量尺上仍有方尺為乙丙中開一小陷道以合于下前後可任進退將用渾器對太陽時便轉中圏令其徑平分餘光之角隨以方尺就之其交徑之㸃必用號以識之有光無光之邊交徑㸃亦然即以此定乙甲丙弧分食與不食之形不須别㸃如二圖設乙丙丁戊為太陽食形得心在甲丙戊為徑以方尺(乙己丁)切光之鈍角(乙丁)交徑于己景邊交于戊今依孔半徑得己庚作壬庚辛直線與方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺為垂線必自為平行線因而庚己亦于方尺為垂線(因作法盖庚己為丙己徑之分)則庚己壬丁辛乙三線皆等既等而庚己為孔之半徑則餘兩線亦各半徑可知壬辛兩㸃當孔中心為真形之鋭角則日月兩邊實于此㸃相交而壬癸辛為太陽壬子辛即太隂兩弧中必食分外則為所存光之真形也或問真原形既定何以依之推兩徑之比例及太陽食之分數曰孔與形相距之度與甲癸真形之半徑若全數與原視半徑之切線查表得太陽視半徑試以全形為一百分孔徑一十分相距萬分一百减一十餘癸丑為九十半之得甲癸四十五以算終得一十五分二十八秒(度數之分)論太隂半徑此以庚辛中比例線求之蓋先以庚癸太陽徑分求庚辛(見㡬何三卷三十五題)次以庚子與庚辛若庚辛復與庚寅得全子寅論食分則癸丑與一十平分若子丑與食之分或若癸子與未食之分于十分相减餘則為所食之測日食細法用方尺量食之形或景淡而景符無處可用欲以所測推太隂視徑未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受光形之表中有軸能令小輪轉動輪上定量尺隨以同轉則因以載方尺而外指度數矣此則兩尺俱不用本小輪改為方形如圖甲為表中之軸亦為太陽景心(先依太陽在本圏某宫度取視徑作圏)乙丙丁戊則大方形也轉以甲軸以辛為表鋭用鋭以指外圏之度左右(大方形)開兩小陷道能受小方形為己庚癸壬此中亦有小圏即掩太陽之太隂也周圏先去孔半徑形(得圏大小不等預以引數取定或備數面)(以待臨期更換亦可)其四圍(小方形)開空止存六小條與方相連以支圏將測用大方置衡上(長方尺為衡其圖在下前所言窺管亦可)與孔以定度相距小方貫入其前令中圏以邊合于景食甚時見本圏上方餘光先至而左右尚未及必圏小宜換大若左右先與光齊而上方未及則圏大宜换小總以正合為凖萬厯二十九年辛丑冬至後兩日苐谷門人在西土測日食用本器大方中圏設一百一十分小方圏七十五分兩數總而半之得九十二分三十秒即初虧時太隂與太陽以中心相距之分(任取無度數之分)故至食甚時所見食之分(略得八分)此中必减去餘分乃兩心相距之分苐先定太隂視徑因小方圏正食于景而設徑有七十五分二十八秒以加孔徑一十六分三十○秒總得九十二分以此求度數之分得太隂在最髙本徑三十分三十秒若求食之分因當時形中得食八分(徑平一二分之)(十分)以比例法算得七十四分(任取分之分)與兩心初虧相距之分相减餘一十八分三十秒化為度數之分得六分○八秒(光形一百一十分减孔全徑一十六分三十秒餘分為法數太陽在最痺徑三十一分為實數)(算得六分○八秒)如圖甲丙太隂半徑减甲乙兩心之距餘乙丙為九分○七秒加乙丁太陽半徑(一十五分三十秒)得丙丁為二十四分三十七秒(度數之分)即月體掩日之分故以三十一(全徑)為法以十二平分為實算得九分三十二秒即太陽實食之分較于形中所見食多一分三十二秒矣或問測食常法因難分食與未食之徑不待言矣今室中測食雖能明分之而所見食分非真食分所測徑非真徑則古測又奚足用曰因分得日月兩徑大小之比例及明暗之界即推真食分及真徑之根蓋古之定日月兩徑多依此測不能無差今從而改之此外尚有測其徑之多法(見月離厯指)以真視徑比例推食之實分測食者于室中任用器之長短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列視徑表定食分為止法以所測之光形作圏以光景之界弧求心(㡬何三卷二十五題)即太隂心亦作圏必量兩圏徑(用比例尺或預分定數百平分之線)得各分數若干總而半之即于兩曜視半徑并分數等何為分數等也日食形内光與景各失其本然止以邊論則猶是若兩心相距則非矣盖兩心相距與原形恒有比例因彼所張此反損各半徑與原半徑不合而兩并與原并數則有合焉故以此總(兩半徑量之分)與彼總(兩半徑度數之分)之比例各本分(或日或月)推相應之半徑(形中非真半徑)與真半徑比較得差數因以復推食分加于測食分即得所食之實分矣假如萬厯十八年庚寅七月朔苐谷門人在西土測日食見食六分正(依十二徑分大統亦能見推食五分有竒依十徑分)光景各半徑并得四十七分太陽近最髙得半徑一十五分○二秒太隂距最髙四十餘度得半徑一十五分二十五秒兩半徑并為三十○分二十七秒即與前四十七分等故一為法一為實求二十三分(太隂或景任取之分)相應度數之分若干算得一十四分五十四秒比太隂視半徑差三十一秒而差數或加或减于太陽半徑則以真半徑為法(當差)(數加也)推得六分一十三秒(孔小故受景正而測之分比推算之分略近)為真食之分又一法用逺鏡或于宻室或在室外但在外者必以紙殻圍窺筩以掩餘耀若絶無次光者然而形始顯矣葢玻瓈原體厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小為大可用以細測(以小為大非前所云光形周散也因鏡後玻瓈得缺形光以斜)(透其元形無不易之使大見逺鏡本論)然距鏡逺近無論止以平面與鏡面平行開闔長短俱取乎正(光中現昏白若雲氣則長邊有藍色則短進管時須)(開闔得正)餘法與前同崇禎四年辛未十月朔在于厯局測日食用鏡二具一在室中一在露臺兩處所測食分俱得一分半(徑分十分)先依順天府算以太陽引數三宫二十七度取視半徑一十五分四十二秒以太隂引數五宫一十九度取半徑一十七分五十八秒半徑俱悞用大故并而减太隂當時視距度二十七分二十二秒餘六分一十八秒因算得食二分試依新列表改之則太陽得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而復减視距度餘五分一十六秒算得一分四十三秒為真食分必如鏡所測也夫鏡所測形為丁乙丙戊即太陽食邊之下映者與實在天所食之形相反(大光過小孔之)(故)依丁乙丙弧求己心即太隂心設其半徑己乙為五十分甲戊四十八分兩半徑并得九十八分(皆比例之分)為法數兩半徑又并作三十二分三十八秒(度數之分)為實數則以太隂五十分推得一十六分三十九秒為己乙度數之分必較于己壬真視半徑得差三十八秒為乙壬今論徑分(以十分分)(之)以三十八秒算得一十二秒宜加所測之辛乙一分三十秒總得辛壬為一分四十二秒正合于所算食分矣或問逺鏡前後有玻瓈在前者聚光漸小至一㸃乃在後者受其光而復散于外則後玻瓈可當一㸃之孔何所射之光形不真乎曰後玻瓈不正居聚光之㸃必略進焉以接未全聚之光乃復開展可耳(見逺鏡本論)故謂此當甚微之孔則可謂當無分㸃之孔則不可所以用鏡測者縱或不真然較之不用鏡者不但能使所測之形大而顯亦庶㡬于真形不逺矣測食方位古多祿某以交食占驗欲定何州郡則以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太陽視經緯而以所測定其視行也測日食方位太陽本食或正向南北東西則目力所及一見能决惟不盡出於正而偏有所距則因以分别所偏若干定分數多寡此必實見之測乃可得耳前論食分設兩輪盤并在一平面上與太陽正對亦與外耳進光者平行其下大盤不動分以過圈徑從徑左右邊分全度數用以測食方向上小盤則能運轉載量尺與下輪邊以對度數為主将測全器對太陽下盤之徑線對髙弧以光形之角較本線或正或偏因推所向方位設兩輪底方以直角安表衡上為甲乙與外耳戊正對太陽毫不偏于左右則乙戊衡正居過天頂及太陽圈之平面(前所云髙弧也)而甲乙直線自上至下亦當天上本圏徑之分外有木矩架為丙丁己(全形見月離三卷)以丁己柱正立取地平柱端作運軸使衡能上下轉以入架腰定丙乙太陽出地平髙度而全架則又周轉如轆轤也用法日食時表衡對太陽以甲乙方之面正受其景則上下輪環轉而方尺與餘光兩角或積或平行其量尺所指輪邊度分即太陽本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太陽髙度則得時分因得太陽及髙弧距正東西以加或减于日食之角偏去髙弧度分終得食景偏去正東西度分設衡下無架可分太陽髙度則以别法求時刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直線及渾衡亦合于髙弧圏之面若不用量方兩尺依前第二法用兩方形有圏者以上方進入下方之中圏直至形前掩景周圍與光齊而左右小條當方尺與兩餘光之角或相積或平行其外鋭亦指本景所向之方與前同如太陽初虧測方向得偏髙弧距三十度太陽出東地平髙四十一度三十四分躔降婁宫初度因得己時髙弧距正東四十八度○四分(或查表或以三角形算)减食方向距髙弧度餘一十八度○四分即初虧向西北度若太陽復圓其方向髙度時分皆如前則一十八度○四分為復圓向東南度又設方向距髙弧過象限三十度(角上左旋)髙度時刻俱同前則與髙弧距正東相加得七十八度○四分即初虧向東南復圓向西北度(初虧向東南復圓必不在西北此盖指前)(後兩食論也)或問所測方向距髙弧線之度何以知其宜加與减于本髙弧距正東以得其自距正東之度曰日食時設有大圏徑過日月兩曜中心左右至地平此即太陽失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧則向位距正東或正西之度與髙弧距子午圏之度等(地平圏上算)本圏合于髙弧通為一圏則髙弧至地平所指度亦為本食所向度若夲圏斜交髙弧則以下輪盤外圏因知兩距度宜加與否(兩距度者過心圏距髙弧髙弧距子午圏者)盖午前過日月兩心之線測得在右上象限或左下象限宜加餘象限冝减午後則反是(不拘初虧復圓)或見日食餘光之上角在髙弧及子午圏線中則過心線之距加于髙弧子午兩線之距此在午前後共法設甲乙丙丁為下輪盤之外圏分四象限各象限分九十度甲為天頂甲丙線當髙弧甲己甲戊皆子午線中小圏即太隂掩太陽者或食甚或初虧復圓時在其東西南北及中央皆一類(天上向位在西圖中反在東諸方皆如此)設庚為太陽過兩心之線為庚乙因以直角交甲丙線其至地平必兩相距正九十度故丙距己(地平上算)乙距正東之度皆等又設辛為太陽則過兩心線與甲丙同為一線故甲丙所至地平度亦為太陽辛食所向之度也又設壬為太陽則以壬癸過兩心線者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角(因太)(陽壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午後故)得總或餘角以定日食向盖過兩心之圏恒指向位又恒隨髙弧設髙弧與子午圏全合為一必過心圏以直角交者所指向位在正東(食復圓時)或正西(食初虧時)若斜交則因角大小不等食形所向度距東西逺近亦不等其髙弧不正與子午圏合而相距在其左右則過兩心圏雖以直角交猶隨髙弧距正東西左右若斜交則本圏更距東西不等盖以此兩故求其距度直至與髙弧合則惟髙弧定距度也以長圓形求日食方位前論宻室測日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正對太陽其景必圓今以斜對之平面亦在宻室中受景孔仍如前小則所得形必長圓(凡地平距黄道内者對太陽宜斜)其長徑線可當髙弧法用白紙置地平上(任置何處宜與地平等)令受日景必自為長圓形次于本形兩端各識數㸃又于兩光缺角亦各識一㸃以便用規器取食偏距髙弧度設乙丙為長圓形之大徑當髙弧線求丁戊景缺偏距乙丙線若干則平分徑于甲以甲為心丙為界作圏次與甲丙作垂線過丁戊兩角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直線則得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角設丙辛乙半圏分一百八十度以規取丙辛弧定度分若干試依先測之横徑(若未測以太陽髙度求之)以甲為心作中小圏從兩光缺角引直線與長徑平行至本圏之邊得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直線者交于小圏之弧為兩平分則知先所取丙辛食方向距髙弧之度無謬也因長圓形之心不正居光角形之樞線而横徑較光角形之正底亦微過焉故欲求其正設角形中線至子以太陽髙度之餘推子乙子丙則于本髙餘度加一十五分(太陽半徑依引數取)又减一十五分得三不等度查各度切線以相較得乙丙長徑之正度也如甲乙丙為光角形至地平乙戊因斜遇為長圓形其長徑為乙丙太陽在甲當髙三十七度餘五十三度角形樞線甲子則戊子為五十三度之切線减一十五分餘五十二度四十五分其切線戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切線為戊乙今戊乙减戊丙餘二四○九為丙乙即形中長徑也求横小徑則全數與太陽距天頂之割線若太陽半徑之切線與横小徑算得一四八六(兩徑自較得一十與一十七之比例)(欲各較于全數設全數為十萬)因此依前圖算設乙丙為大圏之徑則以本比例得小圏作長圓形引丁己及戊壬垂線如法半之終得辛甲丙角為二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏與前法同測月食方位治銅為一匾圏約寛二三寸許周分三百六十度其圏内俱開空止留四線如十字交羅中心交羅處安量尺方尺其尺徑較圏徑略長皆能旋動與前測食分器同将測時從初度取上下正對太隂以垂線取凖地平轉其方尺令對兩餘光角則量尺抵邊所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不顯必室外測乃可若用地平經緯儀上置前圏以象限載之轉中線對髙弧須凖與地平合可免算髙弧距正午度又簡法以界尺對兩角令其或取恒星或五星同居一直線上加太隂髙差(以髙度于本表取)得其向恒星若干免以髙弧復求别距度何也因切兩角之線其過景邊交月邊處必俱以直角交過月景兩心之線故得角與星居一直線則從此相距九十度逺者必為本食所向之方矣太陽初虧能向東復圓能向西否太隂初虧能向西復圓亦能向東否從來論日食者俱以初虧向正西或西南或西北復圓即向正東或東南或東北月食初虧向東復圓即向西或偏東偏西此定法也今細考之殊多不然盖初虧復圓兩向相反者此非一食可有之事必兩食而日月體不全食或有之先以月食論如圖以甲為心即地景之中心以其半徑為界作圏從上至下引乙丙直線可當髙弧横作丁戊當黄道斜入西地平下得乙甲丁為其兩圏之交角又作己辛直線與黄道線以直角交于甲心設太隂本心在己或在辛此為定望故甲己甲辛各為月景各半徑并與距度等又己為隂厯漸小必己庚(白道)距黄道漸近辛為陽厯漸大必辛壬(白道)距黄道漸逺此太隂未及辛先與甲近彼太隂過己後漸與甲近兩者未免微有食(距度比甲)(己甲辛兩半徑并較少故)其所食大則從甲心出直線至白道以直角所交之㸃下為癸上為子是也試以甲癸或甲子當五十八分較甲辛甲己略少(兩半徑并共六十分)則五度(最大距度)之割線與全數若五十八分與兩心之距(月心地景心)得五十七分四十七秒餘二分一十三秒變為食分即四十四秒故依圖一食之初虧在己他食之復圓在辛而復圓向東初虧向西者此耳可遂守為一定不易之成説哉若東地平黄道斜升其上亦與前同設癸子為黄道乙甲子為黄道交髙弧之角則丁戊線以直角交黄道者上有丁為隂厯漸小而壬丁白道與黄道漸近下有戊為陽厯漸大而戊庚白道距黄道漸逺必辛一食之初虧向西丙他食之復圓向東萬厯四十一年癸卯十月十六夜大統厯官報月食四分四十八秒初虧子正三刻復圓丑正三刻西土第谷門人測三分强總時得八刻弱與大統略合但先後兩處不能不異盖此(中土)太隂初虧略過子午圈彼(西土)出東地平髙未及二十度因行陽厯而距正東去北其初虧向正西復圓偏西南論日食其方向之變不但以黄道斜升故即視差亦有之盖降婁東出必黄道交地平角漸大至鶉首出則愈大故太隂在地平上不論何宫度其隨宗動徃北甚多以本行去南反少氣差亦少而太陽夲食距赤道南午後其初虧可向東距赤道北午前復圓可向西又壽星出則至降婁為半周本角漸小太隂去南較其本行回北己多必氣差更大而太陽距赤道北午前初虧可向東距赤道南復圓反可向西今試以黄道斜升之故設太陽在降婁一十五度出東地平髙一十○度北極髙四十度當此有食則太隂在陽厯距南二十○分(視距度分)雖不全食約有三分之一如圖丁壬為地平丁庚為黄道兩圏斜交于丁則戊為正東壬為正午庚癸過九十度限之弧髙有三十度太陽在甲髙一十○度太隂在乙初虧距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙兩心之距當三十一分(日月各半徑并)求甲角以定甲乙過兩心之線至地平何度即本食之向位盖甲乙線與乙丙線若全數與甲角之正弦得甲角為四十一度四十八分餘對角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊為直角庚丁癸角三十度必餘丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度則全數與甲戊髙弧之正弦若甲角之切線與戊己弧之切線(圖中設為直線天上實為弧)得戊己為三十九度四十四分因髙弧于此至正東則戊壬為九十度减戊己弧餘五十度一十六分即所向偏東南過子午圏東之度若設隂厯太陽復圓皆同度則太隂在辛而己辛弧又北過子午圏向西北亦距北之西五十餘度若氣差變向之故則如萬厯二十七年己亥七月朔苐谷測太陽東北出地平(日躔鶉火初度故)其本體之頂有缺則必西南為所食向方又太隂雖行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得氣差少則復圓尚居太陽西而本食方位已不可轉而東矣又萬厯十六年戊子正月朔太陽躔娵訾七度有食初虧在午後六刻第谷測其過日月兩心之圏距髙弧偏西七十二度有竒復圓在未正三刻半又測得本交角尚有一十二度(兩弧相距)可徵尚未向東而初虧食甚復圓皆以西為方向矣如圖甲乙當髙弧丙丁為黄道太陽在己太隂在戊過兩心之弧己戊求其距甲己若干以太陽食時躔度及北極髙度(五十五度五十五分)先定甲己丙髙弧交黄道角為五十四度二十四分則餘對角一百二十五度因太陽半徑一十五分二十秒太隂半徑一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒為己戊線太隂距北一度○八分减氣差四十三分○五秒餘二十四分五十五秒為丁戊線因而丁為直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分與甲己丁角相减餘七十二度五十一分為初虧距髙弧向西北度論復圓則甲己丙交角有四十四度四十四分太隂距度一度○五分减氣差三十八分四十四秒餘二十六分一十六秒為丁戊線其己戊同前推得丁己戊角五十七度○三分减甲己丁角餘一十二度一十九分為戊己距甲己髙弧即復圓向西之度當時太陽初虧鶉火宫二度復圓本宫一十五度出東地平故黄道髙太陽近北氣差漸少令太隂距太陽不能復過東矣假使北極更低必得黄道愈髙太隂徃北减氣差愈多因知復圓距東更逺萬厯二十三年乙未八月朔第谷門人在東西兩處測驗或得食二分半或得食三分蓋在西者測太陽初虧微過正午故髙弧與子午圏略同而向位距本圏偏東尚有九度在東者測太陽後一刻有竒得其初虧正向天頂則地平北子午圏之東是其向位也從是知初虧向西即復圓向東非定論也且初虧不盡向西復圓不盡向東又已彰明較著有如是也成法悞人可勝浩歎以方位算太隂視經緯萬厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初虧後測食約有一分(十五分一刻十二分一徑)太陽徑線三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引數所定其本食所向過兩心線交髙弧者測得九十度正為直角如圖甲乙丙為子午圏丁為赤極髙依本地四十七度○二分丙為天頂太陽在己以丙己為髙弧丁己定距度弧太隂在壬因日月各半徑并得三十一分四十○秒减二分三十三秒(即所食一分化為度數分)餘二十九分○七秒為己壬日月兩心相距之分又丙己壬角測九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道視緯度辛己即太隂距太陽視經度先求九十度限距天頂即甲丙庚三角形内丙庚邊也盖太陽躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减測時距午所應升二十三度一十五分餘升度三百二十四度三十二分應黄道居天之中𤣥枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度一十一分為甲乙弧加乙丙赤道距天頂與北極依本地出地平髙等得甲丙為六十一度一十三分此時出地平黄道度為實沈宫二十二度三十一分則娵訾宫二十二度三十一分當九十度限為庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒為直角則本三角形内以甲庚及甲丙兩邊求庚丙第三邊(于甲丙弧割線加五)(空位以甲庚弧割線除之)得五十六度○四分即九十度限距天頂之弧欲免算則以太陽躔度及測時刻依法查本表即得九十度距天頂也以己庚丙直角三角形因得庚丙邊(五十)(六度○四分)庚己邊(太陽在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十)(一分相减餘五度四十八分為庚己也)于庚丙弧切線加五空位以庚己正弦除之餘庚己丙交角為八十六度○七分對甲己丙角必為九十三度五十三分(此太隂初虧在太陽之西比子)(午圏略近所居)第測壬己丙角正為九十度餘壬己辛角止三度五十三分因求太隂視經緯度則于壬己辛小三角形内(因小可當直線三角形)以壬己邊(日月兩心之距)及先所得諸角(辛為直角因算己角得三度五十三分壬即餘角)算得壬辛視緯度距北一分五十七秒己辛視經度距太陽前二十九分○二秒即此可見測食方位之用有如此測交食變形之時交食形者乃日月食起復之間光為景所損而變遷其態以相示者也但受損之光初少漸多多而復少今欲逐時逐刻以宻求之其形無數且可不必大都初虧食甚復圓為太陽太隂所共而食既生光則太隂所獨此五限測法須先求時對食分及食所向方位與距恒星度分乃可一一得矣測太隂食之時常法測恒星髙度若未見星先測太隂自髙度乃以升度求時(見髙弧用法)苐谷用自鳴鐘或刻漏将渾天紀限等儀屢測太隂餘光邊距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏識之若太隂正在黄道九十度限則從恒星之近者起算為易得其本心及地景心升度可知恒星距太陽度因以取凖時刻有用界尺測太隂兩角或對地平圏平行或對恒星居一直線上或尺線過兩角之中對月景兩心皆以求太隂視處定其經緯以推時刻萬厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷門人測之預備刻漏取其能細指時至分秒者試以數日令遲速脗與天合于太隂未食之前測大角星在正午考時得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分(即亥正三刻四分)木星居正午髙二十四度三十二分(極髙五十度)亥正一十八分(亥正三刻一十四分)初虧向位在東南距髙弧自徑線下起算四十五度三十分亥正二十三分(子初○四分)向位距四十二度前此太隂未食約四刻時與心宿大星同髙弧此已離去距西蓋因視差故亥正二十九分半(子初一十○分)向位距三十九度三十分從土星對月景兩心得一直線過亥正四十二分(子初一刻)(九分)周星(天市垣者)至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所過土星今反距其下矣亥正五十一分(子初二刻二分)向位距二十八度稍遲得食五分子初二分半(子初二刻○七分)土星在正午髙二十一度四十七分子初九分(子初三刻○四分)缺太隂圏之半周子初一十九分(子正○一分)太隂心至正午其餘光邊髙一十九度○七分子初二十四分(子正○六分)向位距一十五度子初四十三分(子正一刻一十分)餘光兩角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分(子正二刻一十四分)兩角與木星皆居一直線其一角略髙向西因知食甚已過子正二十三分(丑初○五分)向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分(丑初二刻)向位距三十度丑初三分(丑初三刻)距西三十二度丑初一十四分(丑初三刻一十一分)尚距三十二度将復圓其邊有次景因用土星測向位然必定土星之經緯乃無遺漏當測時其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其過子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒萬厯四十四年丙辰八月去順天西一百○度四十五分(西邏瑪京都)親測月食以星髙度及自鳴鐘推得時刻初虧河鼓中星過西髙二十一度得一十三時四十四分三十秒(時為小時從午正起算即丑初三刻)(十五分作一刻後倣此)左肩在東髙一十一度得一十三時四十四分二十秒畢宿大星髙三十一度得一十三時四十一分一十二秒當時鐘有一時○九分(從子正起算後同此)盖鐘所指時分每後太陽三十四分先後兩日試驗俱如一即一十三時四十三分食既織女大星距子午圏西髙一十五度得時一十五時○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五時○五分乃鐘指二時三十七分即一十五時一十一分生光織女髙一十一度得一十五時三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五時三十三分四十五秒鐘得三時三十五分復圓測天津第四星西髙一十九度得一十七時○四分一十二秒乃鐘有四時二十二分即一十六時五十六分又同都一人另居一地測有四十六次所得時刻初虧復圓與前測同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算復圓全與此合其餘限雖微有參差然亦不逺三四分矣測太陽食之時太陽出東地平左旋漸髙至午正則最髙過午復漸低至西則没此太陽自行一晝之時刻也故得其髙度即可求時其初虧食甚復圓等限惟以此為常測法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用見月離三卷各細分度數下方為地平從正東正西至子午圏諸弧之切線衡為太陽距天頂之割線矩架之股又為太陽距頂之切線此三度所以全本器之用也測時将方架置几上以中線對南北一手轉矩架隨太陽行並動其衡使之上下以受光一手對輪盤上之尺纔一對景即于衡矩架下方架各識以號(號宜同如一二等數是)而以號所對各器之度加輪盤所測之景因推太陽食時及向位食分諸用萬厯庚子嵗六月朔刻白爾距順天府西九十九度一十五分用本器在宻室中測本食共測一十五次作號一二等如左號 一二 三四五六 七八九(一一一一○一二三) (一一四五)其下方架東西邊所分各當二千分自後至中左右各當一千二百分先安置與子午圏對(以太陽距正午左右相等之髙度或)(先一日或測後攷對得架偏必差度或加或减于推測之度得地平正弧)然後測得地平弧以推時刻今依一十五號列所測分及相應之地平弧號一二三四五六七八九十(一一一一一一二三四五)如左測(七一一一一一一八八七六六五四四 一八六三○○)首一及二號所分(五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一)對測分在方架度(二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○)北自中起數至分(三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五)東餘轉東北角徃南其度分則架上平分所推即目正午漸去西太陽所對地平弧也以測分推度分法二千與測分若全數與地平弧之切線假如甲乙丙丁為下方甲丁乙丙每邊分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正對子午圏亦二千當測得戊己即七五一平分求戊辛弧則壬戊與戊己線若壬辛全數與戊辛弧之切線算得三七五五○查表得二十○度三十五分若景過丁角在甲丁邊上遇庚則甲庚為戊庚弧之餘切線故壬甲與甲庚線若全數與戊庚弧之餘切線(壬甲與戊丁等)刻白爾轉矩架時下架悞隨之動使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地號一二三四五六七八九十(一一一一一一二三四五)平弧因推時(五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九)刻如左弦(○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四)矩架之立柱(二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七)當句其數宜股(五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七)作五○四○句(五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○)今則少異欲依之算亦無謬而矩架之底為股上衡為弦其長短隨太陽髙低時時不等故數亦不等此求太陽距天頂或以股或以弦皆同法而句與弦與股若全數與太陽距天頂之切線次以髙度(日距天頂之餘)求地平弧則全數與極出地髙之割線若太陽髙度之割線與先得之數(為)(待用之數)次北極太陽兩髙差度之餘弦與太陽距赤道度之正弦相减餘次得數則兩數(先得與次得)為實全數又為法算得地平餘弧之矢依測本食之地極髙四十七度○二分其割線一四六七一九太陽距天頂之餘六七四度○四分其割線二二八六六三算得三三五四九一為先得數兩髙度差一十七度○二分查餘弦九五六一三為减太陽當時距度(二十二度一十六分)之正弦三七八九二餘五七七二一即次得數算得一九三六四八為矢故减首位以所餘查八線表得六十九度二十八分即從正西起地平弧餘二十度三十二分即對太陽過正午地平之弧以此求時則乙丙丁斜角三角形内得乙丁為極髙之餘得乙丙為太陽距赤道之餘得乙丁丙角為對地平(此二十度一十八分)至半周餘弧之角求丁乙丙即對赤道弧之角以定相應之時欲依直角三角形必丙丁引至甲得甲直角則先求甲乙丁角(可用十設算見測量全義七卷本角得七十四)(度五十一分一十八秒)次求甲乙線甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙兩線以甲直角推甲乙丙角(此八十四度一十九分一十八秒)則乙總角减甲乙丁角餘丁乙丙角為所求(此餘九度二十七分四十)(六秒化為時得三十七分五十○秒過正午)測本食之復圓上衡微有阻碍不及受太陽全景故以髙弧推時較地平所推差四分宜半之借此補彼則得二時五十七分三十○秒為正時新法算書卷七十
## 卷七十一
欽定四庫全書
新法算書卷七十一 明 徐光啟等 撰古今交食考日食書經𦙍征 惟仲康肇位四海乃季秋月朔辰弗集于房按唐大衍厯作仲康五年癸巳嵗九月庚戌朔日食在房二度元授時厯亦稱仲康五年癸巳九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分依此得太隂尚距交前約九度新法亦推得九度二十三分然皆中㑹時平行若視㑹時實行則交常度為五宫一十八度一十七分因得實距一度餘在陰厯本食距加減時限(即黄平象限東)甚逺必得時差多氣差反少因氣差止一十六分為實距分所減餘視距四十四分乃并日月兩半徑得三十一分三十三秒以較視距分尚不及則月不能掩日而癸巳年九月庚戌朔絶無食又以厯年考之仲康五年無癸巳乃丙寅也癸巳去丙寅後二十七年就使九月朔日有食亦非書所載之食况本不食乎新法推得仲康時僅四年與五年正交與秋分近兩曜已入食限其餘年交距秋遠雖兩曜㑹合入食限内應食者有之不在季秋月朔與書所載無與惟四年乙丑九月壬辰朔太陽躔壽星一十度三十分實交周一十一宫二十七度二十分得太陽實距黄道南一十七分二十秒即入食限與秋分近但加氣差五十分三十餘秒較兩半徑并距度太大必不食况此乃定朔之距度而定朔在酉正一刻外(依今加減表算)日入巳二刻矣若視㑹必須加時即二曜絶無視距因得食甚尚在酉正後六刻餘併無帶食試更西去四刻或少加時(不依今加減表)存定朔於地平上且依北極出地一十八度算(雲南交趾等處因與二曜益近故)其定朔則在酉初一刻得視㑹與日入不甚逺應見帶食苐氣差為三十八分以加實距總得四十六分與二曜半徑并相較亦無食蓋繇氣差加以實距使太隂偏南不能掩日非獨加減時故也若五年丙寅季秋月丙戌朔太陽平行躔壽星初度五十一分與書所載之房宿合寔交周為○宫五度二十四分查表得實距北二十八分而以氣差一十三分相減餘一十五分為二曜半徑并所減餘一十六分三十八秒推得見食五分三十餘秒但依古安邑及北極出地三十六度用今加減表算定朔應在次日丁亥太陽出之前時差應減因得食甚不可見試東去一二時必能見食何也蓋太陰實距北得氣差使之掩日九州内有處可見如以二十八分查太隂視差表中行得上横行髙度應六十三度餘二十七度為二曜距天頂度因以太陽實躔查黄道九十度表所得側對二十七度者乃北極出地二十五度即全見食地也(因設二曜在正九十度上絶無時差而氣差全變為髙下差即所減去前二十八分故)距此南北内外亦應見食惟分數多寡不一耳設東來一時依北極出地二十五度算得氣差二分四十五秒為寔距所減餘二十五分四十秒即視距分與二曜半徑并相較餘六分應推見食二分論定朔此時二曜髙尚有一十七度在辰初二刻(日出卯正前約二分)雖時差復有所減能使視㑹在卯前不見食甚然可多見𢃄食至復圓而曚氣差亦畧補地半徑差使日月可早出總之論中土之西不能見食非太隂不甚掩太陽乃時差無從得算蓋時差必先求定朔定朔即依加減所得而加減復歸太陽本圜心去離地心故但二心相距古今不等(見日躔厯指)即加減亦異新法為求均度止立二百恒年表者亦以見此後數未免畧變至求所變幾何止可及中古未能及上古乃書僅云仲康五年辰弗集于房此外不紀食于何時測于何方見食若干分儻因之退求二心之距依法立表自可得其食之必然况與年月宿度俱符者乎再帝堯時大槩春在昴秋在房仲康去堯未逺俱依此為定故得日在季秋月朔遂謂辰弗集于房其寔房漸移東是日尚居氐宿末度非真至于房也或因不凖得時刻誤以他年且晦朔不明及謂太隂距逺不能掩日之光亦滋惑矣詩小雅 十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之醜(大夫刺幽王也)案周正建子十月乃夏之八月是在周幽王六年乙丑歲十月辛卯朔授時推是日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限梁太史令虞鄺唐僧一行亦步得是日日食今以法依本地去順天府西約減二刻考之是日定朔己初三刻内一十分太陽寔躔鶉尾宫○四度三十九分算以時差得減一時三十六分乃得食甚在辰正初刻○四分授時得辰正四刻未推地經加減故于視㑹時得實交周○宫八度五十九分查表得實距四十六分三十六秒減氣差一十五分一十六秒餘太陰視距在黄道北三十一分二十秒與兩曜半徑并相減餘三十一秒則得食分止三十秒耳授時推交泛一十四日等數欲以正交起算則與日月不合若從中交起算則得平交周與新法所得去正交北畧逺雖能入食限亦不過此食分矣春秋襄公 二十有四年秋七月甲子朔日有食之既案魯春秋仍用周正七月乃夏正建寅之五月也今以法考之是月甲子日未正二刻定朔申初初刻○八分食甚實交周○宫○三度二十二分二十秒實距度一十七分三十二秒因在黄道北減氣差一十六分一十二秒得視距一分二十秒應見全食且本月徑大于日徑掩太陽邉周有竒經稱日既政與法宻合襄公 二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之傳曰十有一月乙亥朔日有食之案周十二月即夏十月依法推步本月不入食限且無乙亥朔惟十一月則夏之九月也是月新法推得定朔在巳初一刻一十分食甚在辰初四刻内一十二分實交周度五宫二十八度二十三分在隂厯實距分八分三十四秒與氣差一十六分五十三秒相減餘視距八分一十九秒減兩半徑并數查表得食分七分六十三秒月朔則以傳所載為是漢景帝中三年甲午嵗九月戊戌晦日食幾盡今以法考之是日定朔依本地算在午初一刻○分四十六秒日實引一十一宫○一度三十七分三十八秒月實引四宫一十四度四十九分四十八秒太陽寔躔大火宮一十四度二十四分二十一秒黄平限在壽星宫一十三度○七分初東西差二十二分四十二秒次東西差三十○分四十八秒應減一時○五分一十四秒為巳正初刻一十○分三十二秒食甚因得實交周○宫○九度○八分五十八秒太隂實距黄道北四十七分二十四秒改視距九分二十四秒應食七分四十餘秒則是十月戊戌日日食而漢厯誤推為晦何也漢成帝河平元年癸巳嵗四月己亥晦日食不盡如鈎劉向云日蚤食時從西北虧起今以法考之是日乃五月己亥朔非四月晦也日實引六宮○九度一十九分二十一秒月實引六宫二十二度一十七分三十八秒本地定朔在巳正二刻○九分四十四秒太陽實躔實沈宫二十四度一十八分四十七秒因得初東西差一十六分五十四秒次東西差二十二分四十三秒為巳初三刻○四分二十一秒食甚太陰實距黄道北一十六分四十七秒内減氣差一十四分二十六秒為視距二分二十一秒應九分半有竒所云日食不盡如鈎脗與法合及先一時查表得東西差三十五分二十一秒月行分三十二分一十六秒視行一十九分三十八秒應辰正初刻一十一分初虧正劉向所謂蚤食時也夫上下千百年而分數時刻一一不爽如此則此日之推步為何如哉漢安帝延光四年乙丑嵗三月戊午朔日食隴西酒泉朔方各以狀上史官不覺今以法考之是日定朔依本地算未正二刻○三分日實引四宫一十度三十六分月實引三宫○五度二十七分太陽實躔降婁宫二十九度○九分初東西差五十二分一十二秒次東西差五十六分四十一秒因得加時一時五十三分食甚在申正一刻一十分此時實交周○宫○六度二十三分即太陰實距北三十二分五十秒氣差一十二分五十二秒因實距改為視距度一十九分五十八秒應得食分三分八十四秒夫時在申正已非夜食可比食及三分亦不得藉口不救三方各以狀上而史官不覺漢之厯法可知矣毎讀兩漢前後史誤朔為晦至差一二日當食失推郡縣以聞者屢屢漢人又安得為知厯哉陳宣帝太建八年即周建徳五年齊後主武平七年丙申嵗周書六月戊申朔日食齊載六月戊申朔太陽初虧劉孝孫言食于卯時張孟賔言食于申時鄭元偉董峻言食于辰時宋景業言食于巳時至日食乃于卯申之間陳無今以法考之是日日實引六宫二十九度一十二分三十三秒月實引五宫二十一度二十二分二十四秒太陽實躔鶉首宫二十一度○五分案陳都金陵(今應天府)定朔在辰初二刻○八分三十三秒次黄平象限在大梁宫三度○九分次東西差五十四分二十七秒應減一時三十六分○九秒為卯正初刻○二分二十四秒食甚實交周五宫二十三度五十三分一十八秒太隂實距三十一分四十四秒内減南北差二十一分一十二秒為視距分十分三十二秒應食七分一十六秒夫食及七分而不載食陳厯之踈可知甚于卯正應虧于卯初之先齊人之言卯者為近而言辰者逺言巳者則愈逺矣隋文帝開皇十四年甲寅嵗七月朔日食案劉暉駁張胄𤣥大業厯曰是日依厯時加巳上食食十五分之十二半強候至未後三刻日乃食虧起西北食半許入雲不見食頃暫見猶未復生因即雲障今以法依西安府考之是日癸巳朔申初二刻一十二分食甚未正三刻内一十三分初虧查實交周五宫二十四度四十五分實距分二十七分四十五秒與氣差三十二分○六秒相減餘視距四分二十一秒得并徑減距餘數二十八分應見食九分三十五秒與劉暉未後三刻日乃食少頃猶未復生之語最相符合唐開元十三年乙丑嵗天正南至東封禮畢(是年封㤗山)還次梁宋史官言十二月庚戌朔日當食帝乃徹膳素服以俟卒不食大衍推是月入交二度弱當食十五分之十三而陽光自若纎毫無變雖術乖謬當不至此今以法考之是日定朔申正初刻○三分太陽在星紀宫二十一度三十八分二十八秒宻求食甚時刻距黄平限九十八度則太陽已西入地平下矣雖實交周度約在○宫○七度二十九分應得有食但求初虧度限又與升度相距八十六度地平已近且日光閃爍毎毎先食而後見謂之纎毫無變宜也惜當日厯官見不及此徒留徹膳素服一案以來後世之指〔？〕耳宋太祖乾德三年乙丑嵗二月壬寅朔日食騐天不食議者俱指為當食不食日度失行今以法考之是日定朔巳正三刻一十二分二十九秒本地真時差五分五十四秒視距分二十二分四十二秒并徑減距得八分四十秒食止二分五十四秒想當日厯官或推時太蚤至期不騐遂謂不食一當食時又或片雲掩蔽而所食無幾倐忽已過誤而不覺耳且食不及三分不救與不食同是未可知特一拈破宋真宗大中祥符七年甲寅嵗十二月癸丑朔日食驗天不食綱目書司天監奏日食不應羣臣表賀是日壬子推得平望一十七時四十一分二十六秒月實距日三度三十九分四十九秒其時為加應加七時一十二分四十五秒因太陽躔星紀宫八度三十八分一十九秒復減三分○五秒共得二十四時五十一分○六秒進一日為癸丑定朔在子正三刻○六分○六秒則食在夜誤推在晝司天氏之過也乃不罪推步者而輙紛紛稱賀宋人之欺罔也甚矣宋仁宗景佑三年丙子歲四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半候之不食綱目無依法推得是日定朔辰初一刻○三分三十八秒太陽實躔大梁宫一十四度○四分一十二秒宻求九十度限在娵訾五度五十三分距天頂四十七度○三分交角餘度四十度五十一分得南北差四十二分一十二秒雖實交周在○宫一度五分三十八秒太陰實距五分四十二秒但氣差數大改視距分為三十六分三十秒兩半徑并實無此數又安得有食分可見乎日食二分半之説誤矣候之不食是宋慶厯四年甲申嵗十一月戊申朔日當食不食綱目無依法推得是月戊午朔誤推戊申朔其日定朔酉正一刻○三分三十七秒太陽實躔析木六度二十三分四十七秒九十度限在娵訾二十五度五十五分相距一百○九度三十一分其為夜食無疑矣綱目刪之是也又安所得當食不食哉宋神宗元豐元年戊午嵗六月癸卯朔太史言日當食驗之不食議者云是日卯時日食史云驗之不食而綱目載食想當時原食也今以法考之是日在辰初初刻一十一分四十一秒太陽實躔鶉首二十四度三十一分五十秒因宻求視㑹黄平限在大梁二度二十六分相距八十二度○六分得氣差二十二分○六秒雖食甚應卯初三刻一十二分二十五秒而實交周五宫一十六度四十九分二十七秒距分減去氣差尚餘視距四十四分五十二秒其驗之不食宜矣又安所謂當時原食哉宋哲宗紹聖二年乙亥歲二月丁卯朔太史言日當食驗之不食今以法考之是日定朔寅正二刻一十二分○六秒太陽實躔娵訾二十四度○一分二十七秒查黄平限在大火宫二十三度一十六分與太陽相距甚逺其為夜食無疑矣誤推在晝司厯過也宋徽宗崇寧五年丙戌嵗七月朔日當食不虧今以法考之是日定朔在午正初刻○三分二十秒太陽實躔度在鶉火宫一十四度○四分四十六秒次度限在本宫七度五十一分距天頂一十六度一十五分交角餘度一十九度二十七分氣差一十六分五十一秒實交周○宫○九度三十三分五十一秒距分四十九分三十一秒減氣差一十六分五十一秒餘視距三十一分四十秒減兩半徑并數實餘二十八秒應不見食其不虧宜也有謂是日史不載而綱目有之想當時日官誤推不食既而見其食則諱而削之未可知也亦獨何哉至本年十二月戊午朔原不入食限應不食南宋髙宗紹興三十一年即金正隆六年辛巳嵗正月甲戌朔日食太史言日當食而不食帝不受朝金無以法考之是日定朔辰初一刻○一分五十秒太陽躔娵訾一十五度一十二分三十六秒黄平限在析木一十三度五十五分地平上無髙弧已非在晝且實交周六宫一十九度不入食限不應食金人無之是也帝不受朝厯官當受過矣宋孝宗乾道三年即金大定七年丁亥嵗金書四月戊辰朔日食宋無金主避正殿減膳伐皷應天門内百官各于本司庭立明復乃止依法推得是日定朔未初一刻○五分太陽實躔大梁○七度○四分四十一秒交角餘度三十九度三十分氣差二十分三十秒求得時差四十四分三十八秒為未正初刻○四分三十九秒食甚實交周○宫○七度三十分五十七秒太陰實距三十八分五十八秒因在黄道北改為視距一十八分二十八秒得食分四分四十秒夫食在日中已非夜食不書者比見食四分四十秒又非三分以下不救之類而乃當食失推致令河北獨專其美何哉富弼曰萬一契丹行之豈不為朝廷羞其即此日之謂也宋寧宗嘉泰二年即金太和二年壬戌嵗五月甲辰朔日食太史言午正食甚草澤趙大猷言午初三刻日食三分驗之午初一刻起未初刻復如大猷言今以法考之是日定朔午初二刻○七分三十五秒太陽躔度在實沈宫八度○二分東西差四分一十五秒氣差八分應午初二刻食甚實交周一十一宫二十六度四十九分共得視距二十四分四十八秒應見食二分三十秒與大猷所推較親明隆慶六年六月乙卯朔日食䑓官候得初虧卯正三刻復圓巳初三刻約食有八分大統推得見食八分二十一秒初虧卯初二刻食甚辰初初刻復圎辰正二刻今以法考之是日定朔巳初一刻一十四分太陽實躔鶉首二十七度○四分三十九秒黄平限在實沈九度二十一分距天頂一十八度一十九分太陽髙差四十五分五十三秒交角餘度六十五度○八分得東西差三十九分二十一秒食在東應減時差一時二十七分為辰正初刻○一分五十八秒食甚實交周○宫○四度一十一秒太隂實距二十分四十七秒内減氣差一十八分一十八秒餘視距度二分二十九秒減兩半徑并數得二十八分約食九分餘復求得太陽距黄平限六十三度一十二分日食月行分三十分四十一秒視行二十三分○八秒應減一時一十九分三十三秒為卯正三刻内初虧脗與測合再求九十度限在實沈一十七度三十八分視行二十三分二十○秒應加一時一十七分四十四秒為巳初二刻内復圎與所測較親若大統則初虧先天五刻復圎亦先天五刻矣萬厯三年乙亥歲四月初一日己巳朔日食䑓官候得初虧未初二刻復圎申初三刻約食有六分餘大統報初虧未初一刻食甚未正一刻復圎申初二刻見食六分六十秒今以法考之是日太陽實引四宫二十一度四十九分一十八秒太隂實引五宫○四度五十四分三十二秒定朔未初一刻○四分四十三秒太陽實躔大梁二十八度二十二分一十四秒黄平限在實沈二十五度五十一分距天頂一十六度三十三分髙下差三十一分五十三秒東西差二十六分四十八秒氣差一十七分二十四秒應未正一刻○一分二十四秒食甚實交周○宫○一度二十七分一十一秒視距分九分五十秒應食七分二十八秒減一時得黄平限在實沈一十八度一十六分東西差一十九分一十八秒應未初一刻一十分一十九秒初虧實與測合惟復圎則在申初一刻○分二十五秒乃臺官謂候得申初三刻恐食甚既在未正一刻而虧復間當不懸逺至此萬厯十一年癸未嵗十一月初一日己卯朔日食䑓官候得初虧午初三刻食甚未初二刻復圎未正二刻約食九分餘大統推得初虧午初二刻食甚未初初刻復圓未正二刻食九分六十七秒今以法考之是日太陽實引一十一宫一十六度四十四分二十七秒太隂實引○宫○七度三十八分一十七秒定朔午正二刻○九分四十秒太陽寔躔析木二十一度四十二分○七秒度限在星紀四度四十分距天頂六十三度二十八分髙差五十三分五十五秒東西差六分○一秒氣差五十三分三十四秒食在限西應加二十一分三十五秒為未初初刻○一分一十五秒食甚實交周○宫一十度○九分四十五秒得視距度一分應食九分三十一秒脗與測合其初虧則在午初二刻○七分○七秒與測較親復圎為未正三刻○一分似與測逺矣萬厯二十二年甲午嵗四月初一日己酉朔日食臺官候得初虧巳初四刻食甚巳正四刻復圎午初四刻約食三分餘大統推得初虧巳初三刻食甚巳正三刻復圎午初三刻食三分九十一秒今以法考之是日太陽實引四宫二十一度五十二分一十五秒太隂實引三宫一十四度二十八分○八秒定朔午初初刻○八分三十七秒太陽實躔大梁二十八度四十分二十四秒次度限在本宫二十一度○八分距天頂二十二度五十二分得髙差二十三分四十七秒東西差七分氣差二十二分三十四秒應巳正四刻内食甚與所測合實交周○宫○八度三十六分○一秒太隂視距度二十一分四十秒應食三分一十八秒與測宻合再減一時度限在大梁八度一十二分髙差三十三分二十四秒東西差一十九分三十秒應巳初三刻内初虧加一時度限在寔沈一度四十三分髙差二十分一十九秒東西差二分四十二秒其復圎時刻似與所測較遠萬厯二十四年丙申嵗閠八月初一日乙丑朔日食臺官候得初虧巳正二刻食甚午初四刻復圓午正四刻約食八分餘大統推得初虧巳正三刻食甚午正初刻復圎未初一刻食九分八十六秒今以法考之是日太陽實引八宫二十五度三十六分○四秒太隂實引四宫○八度四十一分五十四秒定朔午正初刻○四分三十三秒太陽實躔鶉尾二十九度○九分三十三秒次黄平限在本宫六度二十六分距天頂三十三度四十四分高差三十八分二十六秒交角餘度二十九度二十分東西差一十八分一十八秒氣差三十三分一十二秒應午初二刻内食甚實交周五宫二十四度○八分○三秒改視距度二分四十四秒應食九分四十六秒與大統算合減一時得度限在鶉尾七度○分東西差一十六分三十九秒應午正三刻内初虧加之度限在壽星二度五十五分東西差二分四十九秒求得視行一十分四十七秒應午正四刻復圎與測宻合萬厯三十一年癸卯嵗四月初一日丁亥朔日食臺官候得見食八分餘初虧辰初二刻食甚辰正三刻復圎巳初三刻依大統算初虧食甚皆先天三刻復圎先天一刻餘今以法考之是日太陽實引四宫一十二度三十七分太隂實引二宫二十五度二十四分定朔巳初一刻外○六分實日躔大梁宫九度四十七分以次時差得減時四十七分應辰正三刻内○四分食甚查表得日食月行分三十一分二十五秒以食甚前視行推得一時一刻○二分應辰初二刻内○二分初虧又以食甚後視行推得一時一十分應巳初三刻内一十四分復圎俱與測合再查實交周五宫二十二度五十五分實距分三十六分五十秒内減氣差三十四分二十八秒餘二分二十二秒為兩半徑所減餘數查表得食八分八十秒大統推九分六十二秒似未合天萬厯三十五年丁未嵗二月初一日甲午朔日食厯官推得初虧酉初三刻候至日入未見虧食今以法考之是日太陽實躔娵訾宫七度三十二分順天府晝長四十四刻日入酉初二刻末雖定朔應申正二刻○七分然時差近地平最大以加時得食甚酉正一刻○九分初虧酉初一刻一十分此時日雖未入相去無幾而陽光閃爍微秒難窺謂之不見虧食宜也萬厯三十八年庚戌嵗十一月初一日壬寅朔日食大統推得初虧未正一刻食甚申初三刻復圎酉初初刻臺官實測得初虧未正三刻食甚申正初刻至申正四刻日巳入未見復圎今以法考之是日太陽實引一十一宫一十七度五十六分太隂實引一十一宫一十九度四十一分定朔在未正三刻○四分實日躔析木宫二十三度一十六分求時差得一時二十分應加在申正初刻○九分食甚因以太隂一時視行求得一時一十三分應未正三刻一十一分初虧俱與所測親其復圎距分與初虧同應酉初一刻○九分查應天府是日日入申正四刻若順天則在申正二刻○五分是復圎時日巳入三刻有竒不見復圎是也萬厯四十五年七月初一日癸亥朔日食大統推酉正二刻日未入見食八十九秒候至其時日體全明不虧今以法考之是日太陽實引七宫○四度一十六分太隂實引一十宫○五度四十分定朔在戌初初刻○四分即日入後○一分矣實日躔鶉火宫○九度○分半晝為二十八刻○三分求時差得太陽距黄平限九十度三十分則最大時差二十九分四十一秒氣差至滿一度依時差得加一時○二分應戌正初刻○六分日入蓋已久矣求初虧則先一時算得時差三十二分一十二秒以太隂視行三十一分二十三秒推得五十分與食甚相減應戌初一刻○一分則日入巳一十三分何能見食八十餘秒哉天啟元年辛酉嵗四月初一日壬申朔日食大統推得見食四分初虧申正三刻食甚酉正初刻復圎戌初初刻日已入未見復八十秒臺官實測得初虧酉初一刻復圓在天欽天監罰俸三月今以法考之是日太陽實引四宫二十三度一十一分太隂實引二宫二十二度一十三分定朔在申正一刻一十四分實日躔實沈宫○度一十七分算得次加時一時二刻○九分應酉正初刻○八分食甚酉初初刻○八分有竒初虧俱宻與天合復于食甚後一時求得太陽距黄平限八十九度一十八分近于地平推得時差一時○二分應戌初初刻一十分復圎查表得是日日入戌初初刻一十二分即復圎後已二分因無帯食分月食宋仁宗嘉祐八年癸卯嵗十月癸未望月食候得卯七刻食甚授時推辰初刻食甚大明亦然今以法考之是日太陽實引一十宫二十四度二十一分四十五秒太隂實引二宫二十五度三十四分四十九秒實交周六宫○一度一十九分四十五秒實望六時四十九分○五秒加視分九分四十三秒汴京距順天西一千里應減一刻在卯正三刻食甚謂卯七刻者政與法宻合若授時大明所推則又後天二刻矣至是日得食一十七分二十五秒寅正二刻一十二分初虧卯初三刻○二分四十一秒食旣辰初二刻○九分五十五秒生光辰正三刻○分三十四秒復圎俱可不論明天順四年庚辰嵗閏十一月戊午望月食卯正二刻見食四分強弱之間厯官不報食今依新法考之是日太陽實引○宫一十一度三十二分一十二秒太隂實引五宫二十四度一十九分○三秒實交周一十一宫二十六度二十二分五十五秒月食一十二分四十五秒實望七時四十九分四十八秒内減視分五分二十五秒應辰初二刻一十四分二十三秒食甚得初虧距分一時五十二分四十秒應卯初三刻○六分四十三秒初虧查髙弧表得本日日出辰初一刻○七分則日未出月已入地平下其見食僅四分強弱之間是也若大統謂是日初虧辰初一刻日出卯正四刻誤推在晝故不報厯法踈宻于此可見一斑矣萬厯五年丁丑嵗閏八月十六日庚子曉望月食厯官推得卯初四刻初虧候至其時月體全明未見虧食今以法考之是日太陽實引九宫一十度○四分三十八秒太隂實引○宫一十一度二十七分一十一秒實交周○宫○三度五十四分五十六秒應食一十二分四十○秒實望八時○一分四十二秒加視分四分一十九秒應辰正初刻○六分○一秒食甚得初虧距分一時五十七分四十六秒應卯正初刻○八分一十五秒初虧查髙弧表是日日出卯正一刻則初虧時政日將出時安有分秒可見哉其報見食一分三十三秒者誤矣萬厯十七年己丑歲十二月十五日戊子夜望月食厯官報子初二刻食甚候至其時月體全明未見虧食今以法考之是日太陽實引○宫二十四度○七分四十三秒太隂實引一十一宫○五度三十分一十六秒實交周一十一宫一十六度四十八分三十三秒距黄道南一度○八分○三秒太陰地景兩半徑并五十八分○三秒其不及距分者尚有十分又安所得食分哉謂之月體全明政與法宻合萬厯二十六年戊戌嵗七月戊戌夜望月食厯官報食九分一十二秒至期臺官實測得十分餘為食既今以法考之是日得實交周一十一宫二十五度二十一分查表實距南二十四分并兩半徑減之餘四十分三十二秒此時太隂自行過最庳一十一度其全徑為三十四分四十秒入景最深應食一十一分五十秒大統以兩半徑恒如一不知其變大是以不推食既也萬厯二十九年辛丑嵗五月壬子夜望月食臺官實測得見食四分餘食甚丑初一刻復圎丑正三刻而初虧止前食甚三刻今以法考之是夜得平望亥初一刻○二分加時一十五刻○二分為實望太陽躔實沈宫二十四度更加升度時差四分應丑初一刻内○八分食甚脗與測合此時太隂與最髙相近實交周一十一宫二十一度○六分實距南四十六分與兩半徑并相減餘一十三分查表得食四分○七秒凖與天合其初虧距分推得五刻○六分與食甚相減應子初四刻内○二分初虧加之應丑正三刻内○九分復圎總計食分食甚復圎新法俱與測合惟初虧不合者此乃漏刻科誤報之罪何也蓋月食太隂入景自初虧至食甚與出景自食甚至復圎兩時俱相等未有後距六刻而前僅三刻之理考右明前後月食不下數百條而時刻自相矛盾者居多甚矣臺官之溺職也萬厯二十九年辛丑嵗十一月己酉夜望月食厯官報食七分八十一秒至期實測得八分餘今以法考之是日太隂自行五宫二十一度○三分得其半徑為一十七分一十八秒地景半徑四十六分一十九秒并之減距度三十二分三十三秒餘數查表得食八分八十三秒與所測合其報七分餘者蓋此日太隂近最庳入景深分數應多而大統依恒定之景徑推算故分數少耳至測初虧為食甚前六刻復圎為食甚後九刻者詎臺官政在醉夢中耶萬厯三十年壬寅嵗四月丙午夜望月食臺官測得初虧子正一刻食既丑初一刻大統俱先天二刻測食甚丑正一刻大統先天三刻其餘俱測不精以前食甚者為八刻後食甚者為十二刻非也又識復圎為卯初一刻計總食共二十刻亦非也今以法考之是日太陽實躔實沈宫一十三度四十分算得順天府日出寅正三刻内○九分舊法依南京日出分故見復圎在日將出時遂誤為卯初一刻而不知實後三刻也此時平望在卯正初刻○六分減時一十六刻○四分餘數復加升度之時差六分得食甚丑正一刻内○八分以太隂實引一十一宫實距分四分查表得初虧子正一刻内○二分食既丑初一刻内一十分皆與測數合因而生光復圎可知矣又何得若是懸絶哉萬厯三十年壬寅嵗十月甲辰夜望月食寔測得月已出見食十分餘生光酉初三刻復圎酉正二刻大統後天二刻識月出時為酉初二刻此乃應天府日入分非順天府日入分也且依之算食旣前宜見月今以法考之是日太陽實躔析木宫六度五十八分順天見入地平為申正二刻一十二分大統推食旣申正三刻不合天也依法算得平望在本日巳正二刻加時六時一十四分更加升度時差八分應申正三刻○七分食甚日入後已十餘分矣以太隂實引四宫實距分一十分查表得加五十九分為生光應酉初三刻○六分總加一時五十五分得復圎應酉正三刻○二分皆親于測數萬厯三十四年丙午嵗二月乙卯夜望月食臺官實測得酉正一刻月已出見食一十餘分戌初一刻生光戌正一刻復圎今以法考之是日太陽實躔降婁宫四度入酉正初刻○五分南北地畧同謂酉正一刻日出是但大統推食甚後天二刻依法算得平望寅正二刻○七分加時一十三時○一刻一十三分更加升度時差二分應酉正一刻内○七分食甚以太隂實引三宫實距一十五分查表得食甚時加五十五分為生光應戌初一刻内○二分總加一時五十七分為復圎應戌正一刻内○四分俱與天宻合天啓六年丙寅嵗十二月十五日癸丑望月食厯官報一更一㸃初虧測候初虧在晝今以法考之是日太陽實引一宫○四度二十分四十秒太隂實引九宫○六度四十五分五十一秒實交周一十一宫二十四度○分四十一秒月食九分一十一秒實望一十八時三十九分五十秒内減視分九分四十八秒應酉正二刻○分○二秒食甚求得初虧距分一時四十三分○五秒應申正三刻○一分五十七分初虧查表得本日日入申正三刻一十三分是初虧在日未入之前已一十一分○三秒測得在晝是也一更一㸃之説誤矣天啓七年丁卯嵗十二月十四日丁未望月食厯官報復圎辰初三刻不見復光八分四十六秒測候復圎在天今以法考之是日太陽實引○宫二十三度三十九分四十四秒太隂實引七宫一十七度一十二分五十二秒實交周○宫○一度四十七分二十○秒月食一十六分一十二秒實望得五時一十分二十五秒内減視分八分三十五秒應卯初初刻○一分五十秒食甚初虧寅初初刻○七分五十四秒食既寅正初刻○一分一十九秒生光卯正初刻○二分二十一秒其復圎應在卯正三刻一十分四十六秒查髙弧表得本日日出辰初初刻一十四分則見復圎巳一刻有竒又安有所為不見復光八分四十六秒哉凡十五分為一刻四刻為一小時二十四小時為一日新法算書卷七十一
## 卷七十二
欽定四庫全書
新法算書卷七十二 徐光啟等 撰交食表卷一算交食諸表法交食有本表有借用表大都算交㑹交食分數及視徑視差食既復圓諸用者為本表葢原為㑹食設數列表則止以算食鮮及他用也若算日躔月離及渾天儀等項諸表亦可用以算交食此為借用之表也今所論列表獨交食所用餘通用者各見本厯指無不詳明其法厯元後二百恒年五行表(算法)二百恒年五行表者太陽及太隂當此時或為自相較所行或與定處較所行宫度分也何謂自相較乃首朔為每年厯元後第一平朔而餘行皆以隨合之為準(厯元為冬)(至後第一子時昔朔即本時之後第一朔)何謂與定處較乃日月引數彼為太陽當時從最庳自行此為太隂當時從最髙亦自行及太陽經度乃其從冬至平行而交周度即太隂當時所過羅㬋宫度也欲算首朔則恒于原根或加太隂年或減通閏法(見交食厯指二卷新厯平歳三百六十五日減十二朔實餘數為通閏因與大統畧)(異)假如崇禎元年戊辰首朔為一十四日加太隂年即十二朔實得日數三百六十九于太陽平歳相減只餘四日若復加太隂年日數少太陽平歳無可減故與己巳之根四日等數加一十三朔實而總數乃能減之至壬申年為閏則總數三百六十六日皆全減去是以其根無日止得十六時等數也用減法則戊辰年通閏可減而次己巳年不可復減因根數少故必先加一朔實而後減也至壬申年因閏一日故前數宜減一十一日而無餘日也算太陽太隂引數及交周與太陽經度表法皆相同或以加則用其十二朔實之行(見交食厯指二卷)或以減則全周三百六十度減太陽十二朔實之自行餘數(一十○度)(四十三分五十二秒)為本年之根所減得次年之根但首朔有加朔實之處此必用全周減十三朔實自行之餘數(為一十一宫一十一度三十七分三十一秒)與前根相減乃得次年之根耳假如戊辰年有根為九度二十一分二十二秒因首朔加太隂年十二朔實此依加法亦加是年間太陽及太隂之自行交周及太陽之平行其太陽自行總數為一十一宫二十八度三十七分三十○秒即己巳次年之根也又本年首朔因加十三月此亦加十三月間太陽自行得一十六度五十九分五十九秒為庚午之根至壬申宜閏雖首朔多減一日此不須論也依減法戊辰年論太陽引數減一十○度等數而次年減一十一宫等數是因本己巳年首朔根借一朔實故餘皆倣此用法表首行書首朔者天正冬至後第一子正後之首平朔也以求日月平㑹次太陽太隂引數者平朔日所當日月之自行度也以求均度而推定朔次交周度者以求距度次太陽經度者以求視時此四行皆平行皆與首平朔日時相當列表每年最上書紀年向下五行所列時日宫度分秒皆從本年天正冬至後第一子正起算最下書宿書紀日皆用數為本年天正冬至後第一日所得宿及干支也推交食上得年中得首平朔及同時四種平行下得宿滿二十八去之餘為所用又得日滿六十去之餘為所用厯元前總甲子表(算法)前表紀首朔即厯元後第一經朔此則不然乃用以冬至相近者為首朔不拘在先與後也試以太陽經度對六十六甲子首朔得在冬至及厯元之中盖太陽經行只○一分○五秒化為時得其過冬至止二十六分首朔減二十六分餘三時一十八分為冬至在本戊午日之時與首朔先後差二十六分矣算表先求六十年五行之總數葢首朔以通閏為第一年之根恒以加通閏得次年及後年之諸根滿朔實減之每四年閏一日餘四行用太隂年間本行為首根而復加之恒如此得諸年之根遇首朔減一朔實之處此加一朔實間之行而不論閏日六十年總行已有定法(兩甲子相隨之數相减餘數即六十年之行數表中查之以此為恒法)則上推首朔恒用加推餘行恒用減滿一朔實彼此共去之(俱交食厯指二卷)用法總甲子者第一甲子為唐堯八十一年第六十六甲子則天啟四年也凡欲上推往古則用此表先查所求年在第幾甲子次查本年為本紀中第幾零年餘法與厯元後二百恒年表同六十零年散用五行表 (算法)朔實減通閏餘數(一十八日二十一時三十二分四十一秒)為太隂一太陽平歳所欠以滿十三朔實者或十三朔實減太陽平歳所餘與上同故本數能定次年之首朔即表中起首之數也第太陽平歳必餘有數時漸滿一日為閏日乃朔實内所先減去得一十七日等時為首數以後凡隔四年多減一日若餘數少于通閏無可減必借加一朔實然後可減矣太陽引數等行恒以加十二朔實之行為表其首數必應合與日數即十三朔實先除全周之行也日數凡加朔實而減者亦加當時之行以更加十二朔實之行滿周恒除之故不用閏日也用法與厯元後二百恒年表同十三月表用法十三月表不論首朔以朔實為主每以一朔實加首朔即得次朔如是逓加可求本年諸平朔也凡五表第一上紀日時分秒右首行紀月數次各行為朔實每加一朔實則加一月如三月則朔實八十八日有奇也後四表上紀宫度分秒右首行皆紀月次各行皆本行之宫度分與所求各月相當之數下紀望策以加首朔則得首平望次依本月數先加朔實次加一望策得本年諸平望餘四表下皆列本望策加法同加減度表 (算法)加減度表有太陽均度從最庳起為初宫初度有太隂均度從其本輪最高而起最高或最庳左右之數雖皆同(盈初與縮末盈末與縮初)上下相對之數反異(縮初與盈初縮末與盈末)故表中以兩曜本輪之初度對末度從初宫起順數從六宫起逆數則表中于上下所應數無不合矣欲算表先求自行為引數則太陽以本圏半徑及兩心之差(夫本圏心與地中心)太隂以兩輪(小輪及次輪)及本輪之半徑皆依三角形可得第本表及次四行時表皆為借用之表必查本厯指乃得其詳法而算之用法加減度表以太陽太隂之引數查均度以均度或相加或相減于平行得二曜實經度其首行所書太陽太隂各加減者順加逆則減順減逆則加故各項下俱有加減而上則總以順逆各貫下也次行是其各度分秒上下各一横行上為順數下為逆數所記宫度者乃太陽太隂公用之引數湏照各宫順逆字號順逆查也各直行所當太陽太隂或加或減者均度也兩引數相較有分秒兩均度相較則有較分以其較分依中比例法可得細引數之細均度也四行時表用法平朔望或在定朔望之前或在其後若在前則以所差不及時刻加于平而得定若在後則以所差過時刻減于平而得定也四行表者皆所用以加減前後時刻也上書時自一至六十亦可當分亦可當秒其法先查時次查分查秒依表得數總計之為所求若無時止有分秒其法同也四行第一數為月距日度分秒第二為太隂引數第三為交周度第四數為太陽平行亦為其自行一日之間二行所差甚少故也表右行度數亦當分亦當秒以時查得度以分得分以秒得秒惟太陽行遲數時間無過分秒故不列度數加減時表 (算法)算加減時表必較太陽所躔宫度與赤道升度(可以用升度表)兩度惟在二分二至則相同此外漸有差數自二分右行黄道度多升度少自二至亦右行升度反多躔度為少其最差之數在分至折中略得二度二十九分法以兩道升度之差化為時分所得最差逺之處止九分假如降婁一十度對赤道升有九度一十一分○二秒差四十八分五十八秒化為時得三分一十六秒因在春分後夏至前躔度大過升度故用加若在夏至後躔度不及升度時分則用減如鶉首宫三十度對升度一百二十二度一十一分五十三秒所過躔度得二度等零數化時為八分四十七秒表中號為減以平時求定時必依表上下所書加減之號若以定時反求平時則易加為減易減為加如測太陽在降婁宫十度為正午時乃躔升兩度差五時三分一十六秒應減得太陽在本宫度之平時用法求視時以太陽之實度本表查分秒得太陽所躔宫在上順數用所求分秒依號加于實時得視時若太陽所躔宫在下逆數用所求分秒依號減于實時得視時左右書太陽所躔實度横入表至太陽所躔宫下相值者即所求數加減時表上半加減時表下半十二宫距宿鈐此出恒星厯指定各宿距星躔度皆于崇禎元年應合故去數年相逺求食在何宿何度以得其在分秒之内必先或加或減是中積年恒星之本行則可得也(每年五十一秒)(以後推算宜加以前反減)用法以太隂當食時所躔之度減前少宿度者餘度為日月食在本宿黄經度如太隂在大火宫二十四度三十三分二十四秒因氐宿距星躔本宫九度五十四分此乃前少數為太隂躔度所減餘一十四度三十九分二十四秒即氐宿太隂食時所躔之度再設太隂食時在大火宫正二度則前少數為壽星宫二十九度一十四分亢宿距星所居故大火宫二度借前一宫而減二十九度一十四分餘二度四十六分乃本亢宿太隂食時所躔之度也十二宫距宿鈐(依黄道)宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分星紀斗 ○五○三 鶉首井 ○○○八牛 二八五四 鶉火鬼 ○○三三𤣥枵女 ○六三五 柳 ○五○九虛 一八一四 星 二二○九危 二八一三 鶉尾張 ○○三二娵訾室 一八二○ 翼 一八三六降婁壁 ○四○一 壽星軫 ○五三六宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分降婁奎 一七一七 壽星角 一八三九婁 二八四六 亢 二九一四大梁胃 一一四六 大火氐 ○九五四昴 二四四七 房 二七四八實沈畢 ○三一六 析木心 ○二三四參 一七一四 尾 一○○七觜 一八三五 箕 二五四三十二宫距宿鈐(依赤道)宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分星紀斗 ○五三九 鶉首井 ○○○七𤣥枵牛 ○○○三 鶉火鬼 ○二五六女 ○六五三 柳 ○五一七虛 一八○○ 星 一七二一危 二六四一 張 二三○九娵訾室 一一三四 鶉尾翼 一○二八壁 二八三四 軫 二九○六宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分降婁奎 ○九二五 壽星角 一六二六婁 二三三二 亢 二八一○大梁胃 ○五三六 大火氐 ○七二九昴 二一二一 房 二四一○實沈畢 ○一四五 心 二九三八參 一八一九 析木尾 ○五四七觜 一八四三 箕 二五○五升度表用法日月皆依黄道行故止以當食所躔度徑求相應宿黄經度依前表用法則可若欲以日月黄道度求相應宿赤經度必先定黄赤二道相望同升之度分令日月與星皆同歸一道後依前表用法以日月赤經求宿赤經則可矣用表必日食時以太陽實度月食時以太隂實度查初行本宫下方内所對度分乃為日月當食時赤經度分即以之查前表距宿赤道度焉推算表法具在測量全義中新法算書卷七十二
## 卷七十三
按右係太陰距度表底本前闕一頁視半徑表 (算法)太陽及太隂距地最逺或最近得何視徑生何地景前已詳之厯指無庸贅兹特就逺近中依各引數求所當視徑以列表法本輪全徑與其髙庳差(髙庳謂遠近)若每度之矢與相當之差所得數半之加于小減于大乃所得即其視半徑也假如太陽行最髙距地逺其視徑為三十分行最庳距地近得視徑有三十一分差止一分細算一分當化為六十秒欲求太陽距最髙或最庳各六十度應作何視徑因六十度之矢為五○○○○以乗六十秒得三○○○○○○除二萬(全徑也)餘一十五秒半之得七秒以加七秒于太陽最小視半徑作一十五分○七秒查表中所列引數得二宫○度(此距最髙六十度)以減于太陽最大視半徑餘一十五分二十一秒查表得八宫○度(此距最庳六十度)餘算皆如是至若太隂距地不用表則惟推其均數時本三角形多設一三率法算第三邉即太隂距地線也用法求交食分必以日月地景之各半徑而太陽行最髙最庳其距地逺近不等故地景之大小亦不等表中先得地景向下查差數為地景所減月距地數則推步日食求視差所用也表上下書日月引數上順數下逆數以日引數查太陽半徑及地景差數以月引數查太隂地景各半徑及月距地數太隂實行表 (算法)太隂一小時有自行有均度有距日行必以自行之均度或加或減于距日行乃始得太隂自最髙起在某宫某度一小時實行也蓋太隂自行一小時得三十二分四十○秒而均度則因所距髙庳逺近恒不一故以三十二分四十○秒随引數求而加減之何也自最髙均度漸長至髙庳折中又漸消必以自行分所得數于均度長處與距日行相減消處相加即得太隂某宫某度實行矣假如以○宫初度表得太隂均度○五分○四秒以比例算三十二分四十秒得○二分四十六秒于太隂距日一小時行度相減餘二十七分四十三秒即太隂在○宫初度實行自一宫初度得○二分二十五秒猶減餘二十八分○四秒至二宫只四秒亦減餘三十分二十五秒過此至四宫均度漸少故所得○一分二十四秒應加于太隂距日行得三十一分五十二秒餘宫度算法俱同此用法求太隂初食至食甚各時刻必以其本時行度變為時刻但太隂自行或疾或遲時時不同故表中查與食甚相近一小時之實行用三率法推總行時左右書宫上下書度皆太隂自行宫度以宫横行以度直行得相遇分數為當時一小時之實行太隂實行表食分表 (算法)查前表得太隂及地景各視半徑并之總數減太隂距度餘為實數以一十相乗(一十太隂全徑平分也)而太隂視徑即法數也故依本表設最大視徑為三十四分四十○秒最小者為三十○分自大至小(表中每隔一十秒)各為法數餘數自○一至六十四(兩半徑并最大數也)各為實數亦以一十乗以徑數除乃列表苐日食則以日月兩半徑并減太隂視距度餘數為實而太陽本視徑為法算亦與前同用法表上横行自三十四分四十○秒漸減至三十○分者乃太隂全徑最大最小之限直下入表第二右行者乃太隂地景兩半徑内減距度所餘數也横至兩數相值即為所求之月食分秒若日食則上横行分秒者當太陽全徑而右行則太陽太隂兩半徑内減距度所餘之數查表法同前兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數兩半徑并減距度餘數月食時分表 (算法)月食時分者自初虧至食甚又自食既至食甚總之以食甚為主各以倍得先後時分法于太隂距度每分之方數減太隂引數所應得月景各半徑并之之方數開方得根為太隂自初虧至食甚行度依本引數用其實行求相當之時刻即初虧至食甚時也求食既之時分亦然蓋月景各半徑相減所餘數之方數減太隂距度毎分之方數求其根即太隂自甚既所行度而以本實行所化為時假如設太隂距度一十三分(凡大數化為秒)其方數六○八四○○依引數○宫初度其半徑及景之半徑并為五十八分一十五秒(查徑有本視徑表)得方數一二二一五○二五以兩方數相減所餘數開方得其根三四○六即五十六分四十六秒乃太隂自初虧至食甚行度又以本引數初度查本表得其實行二十七分四十三秒因推得八刻○二分五十三秒乃其入景至食甚之時今求食既以後之時則仍以前引數用兩半徑相減餘二十七分四十五秒其方數為二七七二二二五減前十三距度分之方數以求根得一四七一為太隂所行度復以太隂亦于前實行推應得時數為五十三分○四秒此止以十三分距度推第一行對引數初宫食甚及食既時若餘宫尚有六行皆以十三分距度算須用每宫視半徑及太隂一時實行因不能相同故所推食甚食既時亦有異至以餘距度分推算食時俱同此法第此特設太陽行最髙引數所顯地半景者若太陽去最髙則地景略有變必先考定差數然後如前法算又太陽離最髙其景之變不過數十秒棄之無甚大謬可不必逐宫度宻求故本表止用太陽三處所生地景之異一為最髙法具前一為最庳乃于每行對太隂引數所得景半徑宜減二十八秒一為中距則地半景宜減一十七秒後亦如前法算所以分為上中下三表或問算食既時須地半景求餘方數與距度之方數相減而算今至何距度分可無食既與否曰太隂視半徑加距度分得總數大于地半景則無食既時分若小則太隂全體入景必應食既矣假如本表以上二十七分加于太隂半徑一十五分一十五秒(應第一行引數半徑也)總數四十二分一十五秒尚未及此處地半景四十三分則太隂全體仍入景中又試以二十八分得總數四十三分一十五秒則知月不全入景乃如第一行無食既若第三行太隂半徑一十五分四十七秒地半景四十三分四十九秒月半徑加距度分二十八分總數亦四十三分四十七秒則此數以上雖無食既以下微有之又未可執一論也用法查表必須太陽太隂各引數及太隂距黄道度(此三行前表已取定)以太陽引數知其距最髙或最庳若干因而用上中下表若引數不正合于表首所書三限可取相近者用以太隂引數查表側十二宫亦取相近者乃横進則知所用時分之在何行(欲細算必依比例法求兩引數中之時差)復以太隂距度上下差表遇本食之横行即食甚食既時分太陽最髙限太陽在中距太陽最髙限新法算書卷七十三
## 卷七十四
欽定四庫全書
新法筭書卷七十四 明 徐光啟等 撰交食表卷五黄道九十度表(筭法)總分表為五方其第一方從白羊宫起順書十二宫二方書時分卽以十二宫度之升度取時分盖距春分漸遠時數漸多不必論北極出地度至第三方則為九十度限第四方為距子午圏第五方為距天頂各項因北極出地逐處不同欲以定度齊之必不可得故極之髙度異其數亦異今算以黄赤距度及黄道與子午圏交角因三角形内得一角一邉(見本厯指六卷)則全數與交角之餘弦若黄道度距天頂之切線與九十度距正午之切線盖以黄經于本表查交角又于本表查其距度若經度在赤道内則以北極出地度減距度得黄經距天頂度若黄經在赤道外則其距度反加于北極出地度得其距天頂度始推得九十度限距正午卽表中第四方所列數次于本九十度距子午度加第一方所對宫度得九十度限在某宫某度分卽第三方所列數又全數與黄道度距天頂之正弦若交角正弦與九十度距天頂之正弦算得表中第五方所列數假如北極髙三十四度求白羊宫五度得九十度在何方(設五度當天之中在正午諸如此類)夫白羊五度距赤道北有二度與極髙度相減餘三十二度其正弦五二九九二切線六二四八七以本五度查交角表得六十六度三十四分其正弦九一七五二餘弦三九七六八先求距子午度則依法算得切線二四八四八查八線表得十三度五十七分為第四方應白羊五度數以加本五度作十八度五十七分為第三方相應數又以正弦依法算得正弦四八五二○查表得二十九度○三分卽五方所應得數也若簡法則冬夏兩至各左右九十度距子午圏距天頂皆等故表中數亦等如金牛初度與獅子末度春分與秋分赤道内外皆如此然論九十度限則以距至節前後等兩數并得三十度如雙兄二十七度對限二十七度一十三分在夏至前正三度夏至後亦三度(巨蟹三度)得對限二度四十七分前後兩數相加得三十度故于兩至前之數減三十卽得兩至後之數可省算全周之半交用法以太陽實行查表第一方所列横對時分加于原得時分(論日食此為定朔)次查總時數其横對則有九十度限有距子午圏距天頂等度分皆應本時所得數如太陽在金牛宫一十○度其時為二時三十○分設原時為卯正卽一十八時(從正午起皆小時也)因加前時總得二十小時三十○秒復查表卽得卯正九十度諸度分新法算書卷七十四
## 卷七十五
欽定四庫全書
新法算書卷七十五 明 徐光啟等 撰交食表卷四算黄道九十度表所以然設渾天儀為甲丙丁戊其戊庚丁已圏當地平以丙為極即天頂甲庚已圏為黄道交地平於庚於巳半圏在地平上半在下戊丙丁圏過黄極及天頂而交黄道于甲為九十度限則甲庚甲己各為象限也乙丙辛為子午圏交黄道于乙而黄道又交赤道于壬赤道亦交子午圏于癸則依本儀論九十度限所距何度皆于甲乙丙三角形内求算本形為直角三角形以甲為直角(黄道過天頂圏此處交故)而甲乙丙角因黄道在此交子午圏于本表以黄經宜查乙丙邊因赤道距天頂依極髙恒有定故查距度表得交子午圏之黄道度距赤道若干本距度以加或減于赤道距天頂度必得黄道交度距天頂之弧即三角形内乙丙邊也(依本儀黄道交度距赤道之弧為乙癸在丙赤道内故丙癸赤道距天頂減乙癸餘乙)宜求甲乙邊即九十度限距正午弧(表中第四方)及甲丙邊即本限距天頂(表中第五方)又設壬黄赤兩道相交之節為春分則壬乙為降屢初度過子午圏之弧即表中第一方以加于甲乙得甲壬總弧即九十度限距春分弧故法云于九十度距子午度加第一方所對宫度作第三方即本九十度宫度分也 用法云原時加于太陽躔度所對時分然後以總時分查表得所求九十度限設太陽至子午圏為正午時依前圖乙為太陽因在午無時可加而表中所對時即乙丁弧以升度求得者(乙丁弧之升度)(在赤道上算為癸丁三度四十分得一刻三十○度得一時)餘所對數徑為甲㸃及甲乙甲丙弧也設太陽過正午至丁為未時或不及午止巳為巳時則或加(過者加)或減(不及者減)一時于表中升度先定之時何也當躔度為金牛初度在乙得乙丁弧為三十度以癸丁升度得時為七刻○七分此更無時可加躔度在丁則丁壬為三十度其升度得時為八刻加躔度之時分總得一十五刻○七分若躔度在巳以戊乙得八刻減七刻七分餘八分至午則黄赤兩道未及午相交而在正午者必為雙魚二十八度夫九十度限依此或進或退距午逺近不一故距頂多寡皆不等也新法算書卷七十五
## 卷七十六
欽定四庫全書
新法算書卷七十六 明 徐光啟等 撰交食表卷五南北髙弧表説南北髙弧表者太陽于某地入某宫度加某時刻各地平上之髙弧度分也云某地者諸方之極出地髙下不等即同日同時而太陽出地平上之髙下不等故列表用表皆于本地先定極出地之髙次依法推之云某宫度者太陽距赤道逺近日日不等故求赤道南北緯度當先定其經度次查南北距度表得南北各緯度云時刻者太陽東昇漸髙至午正而極髙後乃漸降以至西入中間各時各刻分一一不等也有極髙有緯度有時刻設此三率而得第四則太陽地平上之髙弧度分今算表隨地推之難可通用其可通用者相距一度以下日髙差甚微故間度作表亦可 太陽南北緯度日行多寡不同其在春秋分時日行二十四分在冬夏二至時日行止一二分故表中不用黄道經度而用緯度(距赤道之)(緯)即每方首行所列赤道緯若干度是也緯度又分南北北在上南在下每方上列時刻上下各列度分則本方本時太陽出地平上之髙弧也又午正前後其距午之刻等則地平上之髙必等故一行中並列午前午後時刻算法推算髙弧詳見測量全義兹更立一便法以列表葢午正太陽在赤道上無距度則赤道髙即太陽髙而午前午後相距之時刻必等其全數與赤道髙之正弦若太陽距午正之餘弦與其在本時髙度之正弦設太陽去赤道内外有距度在午正距北度宜加距南度宜減此外則須另算法以太陽距赤道度于本地髙度一加一減得總數及餘數兩數之正弦並而半之将本半數于前總數或餘數之正弦相減餘為卯酉之正弦以查太陽距北至卯酉之髙度也次以半數之正弦乗太陽距午正之餘弦(時刻化為度)總數以全數除所餘數加于卯酉之正弦得太陽距北某時髙弧之正弦減于卯酉之正弦即得太陽距南某時髙弧之正弦如卯酉正弦大于餘數則餘數不能減而太陽距南某時無髙度必入地平矣若卯前酉後其正弦足以減除餘數得其正弦查所值時刻即為太陽之髙弧使卯酉正弦較餘數小無可減則太陽卯前酉後之某刻亦未有髙度也假如赤道髙五十二度(北極髙三十八度)設距二十度以加于赤道髙得七十二度減於赤道髙得三十二度則兩度正弦并而半之得七四○四九以減于前正弦得卯酉之正弦為二一○五七試以辰或申時距午度因本時正得六十以餘弦五○○○○乘七四○四九而以全數除之餘三七○二四加卯酉正弦二一○五七得五八○八一查三十五度三十○分為太陽本時距北二十度地平髙弧減卯酉正弦二一○五七餘一五九六七查九度一十一分即太陽距南二十度地平髙弧又試於辰初酉初因太陽距午七十五度餘弦二五八八二與七四○四九(前兩正弦并半數)相乗以全數除餘一九一六四較卯酉為少因不能減且反為正弦所減餘一八九三查一度○五分是其所得髙弧凡極髙三十八度太陽距南二十度則日未出日巳入兩時絶無髙度如距北二十度不但辰酉初太陽在地平上即卯初戌初亦在地平上有一度○五分矣算時須先簡本時刻求太陽距午度(東與西等)查其餘弦為表(待用之表)更依赤道髙以黄道在其内外之距度先求正弦葢于每一距度求每刻之髙弧又於每刻太陽距午之度求凡距赤道之髙度一一得其正弦則巳瞭若指掌矣用法一以時求太陽出地平髙因推地半徑差及太隂之三視差法先于黄赤距表查太陽所躔宫度或南或北距赤道若干得本時太陽緯度于本地本緯度表中求本時刻(若刻前後有若干分則用中比例法)因緯度南北得其同行中或上或下度分即太陽地平上髙弧度分假如考宋仁宗天聖二年甲子五月朔日食所得實食時為巳初二刻其地則汴京北極出地三十五度有竒其時則太陽距北緯度二十三度二十○分(日躔實沈二十三度)查表得髙弧五十二度四十分二以髙求時(測對食時必用此法日恒星皆同所得時皆為距子午圏時)法于本方本緯度表依南北號或上或下求測髙度分(如無同數用中比例法求)(差以加于近小之率)即中行中所得午前後時刻(一大時三十度一刻三度四十)(五分)假如崇禎四年十月辛丑朔日食初虧測日午正髙三十八度比時日躔大火宫一度二十分得距南一十二度用本度表中(北極出地四十度)查三十八度于本行中得時為午正一刻是本食日初虧時刻 論月食如天啓七年丁卯嵗十二月丁未望夜西安府(極髙三十四度二十分)月初虧測得大角星出東地平髙四十七度其緯在北二十一度一十三分查表因無極出地數欲細算宜用中比例法則依極出地三十六度以本星髙度查表得距午一十一刻一十三分依極髙三十四度正得星距午十二刻○七分所差九分即兩極髙度之時差因極髙多二十分(依西安府算)得一分三十秒為十二刻○七分所減則于本極出地三十四度二十分以大角髙得其距午一十二刻○五分三十秒(依此算太煩終得小差當取近數免比例或求兩髙)(度差可免復求兩極髙差總以數相近者為主)今求實時(實時即太陽本行度)則太陽昇度三百○二度四十二分(因在𤣥枵宫初度三十二分従春分起算)減大角昇度二百○九度三十二分餘九十三度一十○分化為時得六小時一十二分四十秒加星距午三時○五分三十秒得太陽距午九時一十八分一十○秒即本夜丑正三刻初虧脗與時合太陽距赤道表黄赤二道相距南北度分是為距度即赤道之緯度也春秋二分則為二道之交太陽行此無距度冬夏二至乃二道相去最逺者得二十三度三十一分三十秒日躔二分以後漸距多二至以後漸距少故表上六宫始于二分止于二至下六宫反是查表用上宫度必求於右下宫度則求於左而中方所對度分即本宫本度距赤道度分也新法算書卷七十六
## 卷七十七
欽定四庫全書
新法算書卷七十七 明 徐光啟等 撰交食表卷六算髙弧所以然算髙弧有法法有原必出于天上所設圏非可意為揣度也如圖以甲為心作乙丙丁為子午圏乙丁為地平甲壬為赤道從地平取北極髙(設為四十度)得丁戊則餘戊丙(為五十度)與壬乙赤道髙等今太陽在赤道行必從甲出地平上為卯正漸髙距甲三十度為辰距六十度為已距九十度至壬為午又漸低距壬三十度六十度為未為申至九十度復在甲為酉正此春秋兩分晝夜所以等也此時求太陽每時刻得何髙度法以甲壬為全數較于壬庚即壬乙弧之正弦若較甲巳即壬巳赤道弧之餘弦(設壬巳戊圈竪立與壬已甲赤道同)與巳辛即乙癸弧之正弦得太陽在已時髙若干為乙癸弧所量也如太陽不在春秋二分距赤道或内或外多寡恒不等則其髙度較赤道髙亦不等故距内離赤道漸逺亦漸髙若距外愈逺愈不及其髙以此時求髙幾何更有一法如次圖赤道左右有平行線太陽距度在内者為乙丙在外者為戊巳内則交地平於丁得晝線丁乙大夜線丁丙小外則交地平於壬得壬戊為晝線小壬巳為夜線反大而丁乙與巳壬丙丁與戊壬即夏晝與冬夜冬晝與夏夜葢太陽南北距同度則皆等法于癸庚赤道髙加庚乙太陽距内度得癸乙弧其正弦乙壬線又與癸庚赤道髙減等太陽距外度為庚戊餘癸戊弧其正弦戊子線與丙丑線等(因冬晝夏夜同距度)(故算恒設内外距度等圏中替戊子恒用相等之丙丑)又法云兩正弦并而半之即丙丑加于乙壬作乙寅半之於卯得乙卯或卯寅各半正弦又云本半正弦于總或餘數之正弦相減餘卯酉時之正弦即乙壬減乙卯餘卯壬或卯寅減壬寅亦餘卯壬而卯壬與甲辰等甲辰即太陽在卯正或酉正出地平髙故卯壬為本時髙弧之正弦以查其度分若太陽在午正則以其距南北度或加或減于夲赤道髙得太陽午時正髙若午前或後則如第三圖以甲為心作乙辛丙半圏當竪立分十二時(小時)乙為午辛為卯為酉與在乙甲丙線等以此算髙弧無論太陽在午前後及南北距俱不異法祗取時刻為準法以半數之弦乘太陽距午之餘弦以全數除得餘數為南北通用數也設太陽距午三十度(已及未時)則圗中在赤道内得乙戊正弧餘弧戊辛而餘弦甲巳在赤道外得丙癸為正癸辛為餘而甲庚即餘弦與甲巳等又全數甲乙與甲丙亦等乙丁半數之弦與丙丑線等所算得己壬與卯庚亦等故在北一得巳壬在南不必算求卯庚葢巳壬線者彼此通用何也法以加卯酉之正弦得太陽距北在本時髙弧正弦反減之即得太陽距南亦本時髙弧正弦如圖壬子及卯寅各與甲辰等則巳壬加壬子得巳子即太陽在己(巳即戊距午三十度)距赤道北出地平髙度也卯庚減卯寅餘寅庚即太陽在庚(庚即癸距午亦三十度)距赤道南出地平髙度也求食在晝否簡本表日食必先以太陽經度查其距赤道表得在南或北若干次以本距度及食之時依本地查表遇空行則以無髙度知太陽在地平下雖食本地不得見矣論月食亦以太隂經度查赤道距度表與前同苐其不正在兩交則自未免有距度以之或加或減于赤道距終得正距葢太隂距内入兩道間則以距赤道度減其距黄度若太隂距外出黄道更距赤道逺則以加其距黄度得正距赤道度而查本表亦依極出地以距度以食時查與日食同新法算書卷七十七
## 卷七十八
欽定四庫全書
新法算書卷七十八 明 徐光啟等 撰交食表卷七天頂黄道兩圏交角表(算法)以太陽地平高及其距黄平象限度求交角法全數與太陽距天頂之餘切線(卽太陽交角㸃所居)若太陽距黄平象限之切線與交角之餘弦查八線表得交角若干度(見本厯指五卷)卽以每高度與太陽距黄平象限度依法推算列全表(中外共用謂之全表)上横行書一至八十九爲太陽距黄平象限度右直行書二十七至八十九爲地平高度此表處處可用第中土九十度最低止二十六度而太陽之距限與地平高亦相近於二十六度故表中祗取相近之二十七度起算而此數以下不與焉今算表以地平高度爲法則全數與太陽距黄平象限之正弦若地平高度之切線與本角之餘切線以太陽距限之度自一至八十九與地平高自二十七至八十九逐度如法推之卽得黄道與高弧相交之各角㸃假如地平高三十度查切線爲五七七三五與太陽距黄平象限一度之正弦一七四五相乗以全數除之得一○○六為餘切線查八線表得八十九度二十五分為交角餘角為三十五分又設地平高四十度其切線八三九一○太陽距黄平象限一十○度得正弦一七三六五算得餘切線一四五七○查交角得八十一度四十二分餘角八度一十分而所得之正角為氣差餘角即為時差今表中所載皆餘角也若求正角即以餘角之餘簡本表之相當數即得正角餘俱倣此用法表右直行從二十七起至八十九止分三段為地平高度(地平高度即距天頂之餘)上横行從一至八十九為太陽距黄平象限之度算日食必以黄平象限表求太陽距本限若干又求本限距天頂若干度查本表横直兩數所值之數即得所求交角餘度天頂黄道兩圏交角表新法算書卷七十八
## 卷七十九
欽定四庫全書
新法算書卷七十九 明 徐光啟等 撰交食表卷八太陽太隂視差表(算法)視差者乃太陽太隂髙下視差皆以距天頂度及距地心地半徑數所求得者蓋太陽距地逺近以最髙最庳為限兩限中逺近之數依中比例法可算但差數甚微止用髙庳折中于諸距頂度較定視差即自無謬而太隂則不然太隂有小輪有次輪其次輪之心在小輪之最髙而月居次輪之邊最逺此為太隂距地心初限使居次輪邊之近處即其次限又次輪心在小輪最庳月居其邊與小輪心近即三限逺即四限諸限俱以互相距之逺近與其距地心之逺近各有比例因各推視差所得自不同矣如太隂從次輪近處行或至逺處必減次限之視差(設心在小輪最髙因距地漸逺故)或加三限之視差(設心在小輪最)(庳因距地漸近故)此求在中視差多寡比例之一縁又太隂次輪心不恒在小輪髙庳兩處而每環轉于左右上下時時不一亦為視差多寡不同之一縁故以本心在髙庳中比例復加逺近度于前算定以太隂體旋次輪邊之逺近度得正距地度與距天頂度因推得太隂髙下正視差以此列表對地平髙度書兩中限(次限及三限)之視差左右書兩末限之差數(初限及四限)更紀月體逺近次輪心上下比例差成太隂視差公表(月食外亦可用故謂之公表見本厯指五卷)今因太隂朔望時無次輪且于次輪最近處旋繞亦别為小輪(見本厯指二卷)而其體卒不能出兩中限之外(次限三限)以距地故算表可免求比例之煩特就其在次限三限間距地逺近(約為五十四至五十八地半徑)每隔一地半經與其距頂每一度較算列本表假如太隂在朔望小輪最髙距地心五十八半徑○八分總化為分數得三四八八則本數與一地半徑(六十分也)若全數(十萬)與太隂在地平之正弦得一七二三查表(八線表)得五十九分一十六秒為太隂距地五十八半徑○八分極大之視差也設使髙有數度(多寡俱一法)則地半徑一加一減于其距地之逺得總數及餘數各化為分數又太隂髙度加一象限總而半之查切線則前總數與餘數若本切線與他切線得度于前半者宜減餘度即本太隂髙度視差如地半徑為一太隂距地五十八半徑○八分總得五十九半徑○八分減之餘五十七半徑○八分髙度加象限一一○半之五五查切線得一四二八一五算得一三七九五八查弧五十四度○四分于五十五相減餘五十六分即太隂髙二十度距地逺之視差若距地五十四半徑依二十髙度算得他切線一三七六二二查五十三度五十九分四十八秒于五十五相減餘一度○分一十二秒即本表所書數餘算法同此用法表上書髙弧度即太陽太隂所共用度得太陽髙度隨查度下視差大者不過三分論太隂則以視徑表中太隂引數查其距地逺于本表旁數相對取近者横查本髙度下數即為太隂視差分秒如表無本髙度則以中比例法算太陽太陰視差表距地半徑數距地半徑數距地半徑數距地半徑數距地半徑數距地半徑數距地半徑數時氣差表(算法)時氣差非髙差及交角度無從可列(見本厯指本卷)葢三差并以三小弧為直角三角形其中髙差對直角交角對氣差而餘角則對時差因弧小能當直線故全數與髙差若交角正弦與氣差或餘角正弦與時差交角大則餘角小而氣差多者時差反少若兩角等兩差亦等彼所加必此所減所以右書順左書逆亦此故也用法表上先查髙差既對即以交角横查表左右(因交角有在順數者有在)(逆數者)如交角四十五度以下得時差在右行氣差在左行四十五度以上者反是故上有時差下必書氣差或上氣差下必書時差恒與交角互相隨時氣差表日食月行表(算法)日食月行者為日食自初虧至食甚而太陰此時所行度分也葢日食毎以視行求時分乃視行食甚先後不等未若月食能以倍數即得其復圓必須再以太陰視行推算其此時所行度分乃可法太陽及太陰各半徑并化分為秒以所化數求其方數隨以太陰視距度方數相減求其根即得太陰自日初虧至食甚所行度分第距度逐分求其方數而兩半徑則隔一宫以求之其列表如前月食時分將最高中距最庳三處分上中下用法亦與之同日在最髙日在中距日在最低新法算書卷七十九
## 卷八十
欽定四庫全書
新法算書卷八十 明 徐光啟等 撰交食表卷九算時氣差簡法治厯一書交食為最乃交食中諸法所難者尤在視差西史從天儀圖以三角形算此常法也間有用表者亦云簡矣然就中所列非一表所求非一端終不得為簡也刻白爾(第谷友也)反覆三差之原總其理而撮其要依之作表力省功倍故名曰簡法太陰距目等得極出地髙黄道交地平限則氣差周亦皆等云太陰則太陽五星同一理云極出地髙因極髙低不等則天頂之距黄道人目之距日月五星本體逺近不一視差無不因之有變云黄道交地平因黄道未定隨天左旋時距頂逺時距頂近而日月五星從之雖距地心同距目微有異亦得視差之變故以定黄道定極髙求七曜逺近則視差可得而論矣如圖甲為地心以乙丙丁為地靣以丙為人目所居故甲丙線上至戊為天頂設丁正居黄極下則乙丁為黄軸與己壬作垂線而己壬乃黄道也今使太陰距天頂最近視度在己為丙目以丙己直線所望者則因戊己為髙弧而庚己髙下視差以丙己辛角或己丙庚角量之(兩角為平行線内相對角故等)故凡從丙出直線居己戊癸過頂圏之平靣與丙己相等者至己壬黄道周邊所作角周亦等何也丙辛既為己壬之垂線則己壬黄道于過頂圈相交之公界兩圈以直角交必丙辛線與諸黄道平靣上之線等為垂線其得丙辛己丙辛壬及諸黄道靣上線凡為丙辛所至之角安得不等為直角夫使丙己周至黄道皆等(因太陰距目等故)則丙辛底同餘丙己辛角之所周必等(幾何一卷八題)蓋本角原以戊己當髙弧能量髙下視差今復以之當出黄極經圏于黄道上定氣差則同一角也同一量也角周等得氣差無不等太陰距地心等雖距目不等其氣差周略等人目正居黄道下則月隨黄道圏行絶無氣差可求惟目或居黄極下則以黄軸去地心太陰周距地心等必距目亦等而氣差自等故目在黄圏黄極之中周視太陰之行雖時近時逺而逺近之最差在正中處其距黄圏黄極皆等彼此約有四十五度如圖太陰距地心以甲己線一周等則距目以己乙線正前所謂居黄道下絶無氣差者也然或以己丁線則目在黄極下矣得丁己丁壬周距太陰線者皆等而其不等之距必在丁乙兩限之間最不等者在丙即丁乙限之正中氣差之有變易者此也今目在丙欲求太陰將出地平與其至正午兩處差異同若干設太陰距地心最近得地半徑五十四在黄道己或壬則甲己較甲丁有五十四與一之比例(細算甲己作五四○○○○○甲丁)(即一○○○○) 故丙乙四十五度查正弦七○七一一為丙辛必與丙癸等因而甲辛亦等甲己减甲辛餘五三二九二八九為辛己甲壬加甲辛得五四七○七一一為辛壬先求丙己辛角(氣差角也)則辛己與辛丙若全數與本角之切線算得四十五分三十八秒次求丙壬辛角則辛壬與辛丙若全數與本角之切線算得四十四分二十六秒兩角差止一分一十二秒第前設己角在正午而壬實與之對則壬角必在子矣此不須論差惟以丙辛為底其上立辛戊與甲丙辛平靣為垂線自甲出甲戊與甲己等以定其短長自丙出丙戊與甲戊等得丙戊辛甲戊辛兩角亦等(甲辛與辛丙等甲辛戊及丙辛戊皆直角而辛戊又同故見幾何一卷八題)葢因己辛戊為直角設太陰在戊必去己正九十度出地平上而丙戊辛角則能量氣差矣欲算之與前同丙戊與丙辛若全數與本角得四十五分○一秒較己角差三十七秒可見太陰距地心等雖距目差地半徑所得氣差亦庶幾等太陰距地心等雖距目不等而目視之若在視黄道下得氣差實等何云視黄道如圖甲丙為地半徑較真黄道天之逺絶無比例故目在丙與在己壬線同而戊乙平行線亦可當己壬線則己壬為真黄道而戊乙其視黄道也今以丙目設太陰居戊居乙其目必以丙戊丙乙不等之線始能視之則因此在視黄道距地心以甲戊甲乙兩直線皆等即本線至視黄道周所作角亦等何也甲乙戊三角形因得兩腰等則戊乙底線兩端之兩角亦無不等(幾何一卷五題)而周兩腰所作角自等則本角因丙在黄極所出圏之平靣皆當氣差可見氣差周等時差變必以太陰距九十度限為主如前圖甲乙丁過天頂圏之平靣上立戊丙垂線得戊丙甲戊丙己皆為直角又本靣上于癸立戊癸直線則因戊在己戊壬圏而己戊壬圏與本平靣以直角相交(當竪)(立之圏)必甲癸戊角為直角與甲癸己甲等太陰居戊甲戊甲己相等而甲癸同則兩三角形内餘相當之腰及餘角皆等必全甲癸戊三角形能當全甲癸己三角形因以本形顯氣差為甲癸線所對而甲癸丙亦直角則丙戊癸三角形内亦顯氣差為戊角所量丙癸線所對也(甲癸以直角横黄道行丙癸順黄道)(行故)苐前設戊丙甲為直角則戊庚相距九十度(此庚戊當髙弧)太陰居戊正在地平以丙戊癸形所顯即其最大時差(癸丙為黄極距頂之正弦使其距度不變則其弧不異而時差亦同又使黄極距天頂或逺或近時差亦必依)(之為大為小而大小皆太陰在地平是其最大時差也)今太陰或去地平逺所得時差漸變又無髙弧可測則不必以戊丙庚角而惟以戊丙己角量其多寡可也葢己癸壬視黄道圏以直角交丁乙出黄極經圏(與庚己戊外圏同靣此當倒圏)得九十度限在己故太陰在戊就己愈近得戊丙己角愈小因而戊丙癸三角形中餘丙角大則對角亦小雖丙癸線不異其時差為戊角所量無不異矣(丙戊癸三角形以丙癸底線合己壬黄經上又以兩腰在)(黄道圏同靣上)至太陰正居限中則丙戊丙己及癸戊三線者皆歸一直線絶無戊角亦絶無時差也或問丙戊癸三角形全在視黄道平靣上代辛戊甲在實黄道靣上三角形故甲戊線較之癸戊線微長未免癸戊丙角較之甲戊辛角略異即時差何能真乎曰試以丙丁弧得半象弦為四十五度此即差之極逺處(若丙目在乙則兩底線及兩角形全合為一若丙目在丁則兩腰歸一全)(無時差可論)欲求兩差同異設太陰距地五十四地半徑為甲己算(法同前)得甲己癸角為四十五分○一秒因而癸己線(與癸戊線同)五三九九五三二與丙癸底線(四十五度之正弦)合算得丙戊癸角為四十五分若甲戊合甲辛同算得甲戊辛角亦四十五分弱半秒又不待言矣合論三差列表因太陰距頂九十度在戊以戊丙甲為直角以甲戊丙得其最大髙下視差為甲丙則太陰距地與地半徑若全數與本髙視差又因甲癸戊為直角而甲戊癸當氣差必癸戊丙為時差欲求戊氣差則太陰距地與九十度限距頂之正弦若全數與本角之正弦欲求戊時差則先求癸戊腰線全數與甲角之正弦若太陰距地與本線乃癸戊線與丙餘角若丙癸底線與本戊角苐最大時差為太陰近地平所得者則以甲丙癸三角形求之全數與黄極距頂之正弦若最大髙差與最大時差今列表其上横兩行一地半徑數即從諸曜至太陰止為七政距地數也一最大髙下視差即諸曜近地平為本圖甲戊丙角所推得也表右行書九十度即黄道九十度限距天頂以查氣差者或本限距地平(限距地平與黄)(極距天頂同)以查時差者故算表任用何距度大端都歸于一假如九十度限距天頂五十度或限髙五十度所推分秒皆同試以太陰距地五十四地半徑得髙下視差六十三分則全數與六十三分若五十度之正弦與四十八分一十六秒此分秒時當氣差時當時差因度限距頂為五十度或反距地平亦五十度故也或問本表既别求九十度限定其髙度及距天頂若干然後查求視差較諸法不甚大異今獨别之曰簡法此簡之玅可得言乎曰常法或依三角形算或依表查若三角形除九十度限及髙度外須更算距子午圏日月髙弧黄道過髙弧交角諸法乃敢求髙氣時三視差查表則須太陽距赤道表髙弧表交角表又須各視差本表種種推求亦綦繁𤨏顧有一開卷而三差俱備如是尚不謂簡乎雖然算交食者因其當然求其所以然必多方磨勘而其故始明其理始得尤不當以簡為定法用法未算視差先求定朔以兩曜實經及本食實時查黄道九十度限表求本限距天頂若干餘度即為距地平髙也次求氣差則以限距天頂本度查右行以太陰距地心查上第一横行(用視徑表内太陰距地數)其下得本距地太陰所應最大髙視差减太陽最大髙視差(大陽行最髙或近應一分行最庳應三分)(在髙庳之中應二分俱因此改)以餘數入表兩數相遇即得氣差次求時差必兩次查表亦以限距頂之餘度從右以本髙視差從上至中得最大為本太陰距地之時差(近地平所生為最大)又以太陰實經較限所躔宫度得其相距度則以最大時差從上以限曜兩相距度從右查表至中格得所正應時差若成數有竒零先以度查表得分秒又以分查表得秒微或求氣差或求時差俱如此假如崇禎七年甲戌歲三月朔日食定朔在巳正○七分四十九秒日月實㑹在降婁宫八度三十分以本度查九十度限表得應時三十一分加巳正八分總得二十二時三十九分(俱小時從午正起算)以此時復查九十度限表得限距頂四十四度○四分餘四十五度五十六分即限距地平髙度以太陰引數(七宫一十四度)查表得太陰距地五十五地半徑又查本表得最大髙視差六十二分减太陽在中距最大髙差二分餘六十○分求氣差上以六十○分右以四十四度入表中得四十一分四十一秒即食時所應得太陰氣差也(較以三角形所得止差一十七秒)上行又以六十分右以四十五度查表得四十二分二十五秒因而限距地平髙度外尚有五十六分故又上行以六十○分右以五十六分查表得四十九秒四十四微與前相加總最大時差四十三分一十五秒今太陰在降婁宫八度三十○分九十度限在降婁宫初度五十九分(查本表得)相距七度三十一分則復查表以四十三分(最大)(時差)從上以七度從右得五分一十五秒又以三十一分(相距之零數)從右本四十三分以下得二十二秒次一十五秒從上(最大時差之零數)七度從右得一秒五十○微總為時差五分三十九秒較三角形所算止差一十五秒他算俱凖此列表之法上兩横行一以地半徑從多數逓至少數一以髙下差從一逓至六十六每數各列五次旁以黄道九十度距天頂及距地平數從九十逆書至一分五段焉因上每一數通關旁之九十等數一二行不能盡書故分為五段旁數既分五段上方自不得不各列五次而中方之時氣差亦以五段列出用表時須㑹此意查之新法算書卷八十
## 卷八十一
欽定四庫全書
新法算書卷八十一 明 徐光啟等 撰八線表卷上割圓八線表用法割圓八線表即大測表也其數之多其用之廣於測量百法中皆為第一故名大測分言之則有正弦數切線數割線數矢數餘弦數餘切線數餘割線數餘矢數皆于割圓之一分以其相當之直線與其曲線相求而為測量推算之用故名割圓八線也其義與法畧見大測二卷中今此刻與他本小異故先述其列表法次述用法一二如左列表法二條一既稱八線刻中何以無矢矢者弦之互餘相減即得也(法見後條)今所列者以一弧之正弦切線割線彚為一方又以其相反相對弧(如初度之相反相對則八十九)之三線彚為一方兩方平列并為同面一覽可得故于初右方為弧初度順列至四十四度皆在右方也于初左方為弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行順書正弧某度下行逆書餘弧(正弧反對)某度其中直列第一格為本弧之分自上而下書初(作○)至三十第二格為本弧之正弦三十率各與其本分横相直也第二格書切線第三格書割線亦如之初左方之上下亦各一横行上行順書餘弧某度(度與右方之上行同)下行逆書正弧某度(度與右方之下行同)其中直列之末一格為本弧之分自下而上書三○至六○其順列三線與右方同也次右方中第一直行為本弧之分順書三一至六○次左方中末行逆書○至三○餘同前合二面為正餘各一度其六十分之各三線咸在目矣次三左右方書次度俱如前法二大表之全數或八位或九位十位今小表止全數六位以便推算表中用線相求法九條一設弧背上圓線之度分秒求其相當之各正線法先查取所設度於本度各直行查所設正分於本行中横查所求某號(正弦切線之數是也)其相對數即所求正數若度分外有設秒表中所無也而求各正線則用中比例法取設秒上下之兩正分相減餘為差以差數乘設秒數為實以全秒六十為法而一得數以加于設分下所得數并為所設度分秒數假設三五度四十分之弧求其正弦如法求本度分本號得五八三○七即是又假設二十三度三十一分三十秒求其割線用中比例法則所設秒在三十一分三十二分之間也查本度分本號得三十一分之割線為一○九○五八三十二分之割線為一○九○七二相減餘一四以三十秒乘之得四二九為實以六十為法而一得七以加三十一分之割線為一○九○六五所為求數(其比例則六十與一四若三十與七也)二設弧之度分秒求其相當之各餘線假設二十三度三十一分之正弧求其餘弦查二十三度三十一分之他方同行本號下取數得九一六九四若設秒用中比列如前三設正弦等直線數求其弧之度分秒法於本號横取所設數相合者即其相當之本度分也不合則取表中一數與設數相近而較少者以相減得差以乘六十得數為實以表中較多一近數與初近數相減得差為法而一得數以加初近數之弧度分為設數之弧度分假設八八六八八為正弦求其弧查得六十二度二十九分正為適足又假設七六五四二為正弦求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正弦七六五二九相減餘一三以六十乘之得七八○為實以多少兩近數相減之較一八為法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十㣲(其比例則一八與六十若一三與四三三也)四設某直線數為某弧之餘某線求其弧於設數本方本號求得本線數查他方本横行得弧度分五若圏半徑為不全數(滿十為全數餘皆為不全數)而求某弧之各直線法以設弧先求本表本線之數(第二率)乘不全之半徑(第三率)以全數(第一率)而一得所求設弧之某直線(第四率其比例則第一與二若第三與四也)如測天句股説謂用天徑一百二十一度七十五分今設二十三度三十一分之弧求其正弦先于本表查本弧之正弦得三九九○一(第二率)以周天半徑(第三)(率)乘之減末五位得二四二九○○○(第四率不用而一者第一)(率為全數故乘訖即是也)六求矢法求設弧之餘弦以減全數得正矢如設二十三度三十一分求正矢查其餘弦得九一六九四以減全數得○八三○六為二十三度三十一分之正矢若求餘矢則以正弦減全數得餘矢七有不全徑之數設矢求其弧法以全數(第三率)乘設矢以不全徑(第率)一而一得數(第四)(率)以減全數為餘弦求其弧如半徑六十萬(古法)為不全數設四四一為正矢求其弧法以全數乘設數得四四一○○○○○以不全徑六十萬而一得七三五查得七十四度三十九分為設矢之弧八有弧求其通弦以設弧之半求其正弦倍之即設弧之通弦九求通弦之弧以設弦之半為正弦查度倍之得通弦之弧表外用法八條一有天度(三百六十五度四分之一)弧求其各直線先以天度通為平度(三百六十度用通率表)次依前法求之如舊法問半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通為平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一(第三率)以不全半徑六○八七五(第三率)乘之得數減後位得五度一十一分四十一秒二造簡平儀定時線節氣線用正弦數倍省工力三造平渾儀等器定經緯度圏之心用切線數甚便甚凖四造日晷用切線割線可減多圏多線倍省工力五測天量地俱以割圓八線為本(見本説)六圓線與直線異類也亘古迄今未有相通之比例此割圓八種本是直線其原出于圓線其用之也可令異類之線相比相似所差極㣲故厯家推算以為津梁無能舍置也七球面上大小圏最難得其比例因此諸線可相比相凖不失分秒八地平上用此諸線可定諸方相距之里差可定太陽出入時刻可定晝夜長短時刻可定日月交食真㑹視㑹相距時刻(各有本論)右用法畧舉一二他用甚廣各見本法中(其造法見大測諸篇)新法算書卷八十一
## 卷八十二
欽定四庫全書
新法算書卷八十二 明 徐光啟等 撰八線表卷下增 凡所設之弧過象限而求其正弦等線者即以半周内減之用其較查表即得所求如設一百三十度之弧求其正弦即以一百八十度減之餘五十度查五十度之正弦切割等線圖説見前論乙丁為一百三十度之弧其正弦為丁己其餘丁庚則丁己線為乙丙丁弧及丁戊兩弧之正弦他線類如此則查表用五十度之弧亦得一百三十度之弦等線數八線表代句股開方法一設股弦求句 用正餘弦代 (直角傍兩腰各能當句股兩名互用之同理)法以弦(外數)為一率 全數(十萬)為二率股(外數)為三率 如法求得第四率(即正弦内數)查八線表正弦相近而略少者取(其餘弦以設)弦乗之得數右减五位即所求勾數如弦為五十八股為二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正弦四三一○三查表正弦與此數相近而略少之餘弦九○二三三以設弦五十八乗之得五二又三三五一四為所求句外數一 五十八(弦外數設數) 一 十萬(弦内數) (即全)二 十萬(全數) 二 五十八(弦外數)三 二五○○○○○(股外數) 三 九○二三三(勾内數即餘弦)四 四三一○三(正弦内數) 四 五二又三三五一四(勾外數)二設勾弦求股(亦用正餘弦代)法以弦外數為一率 全數十萬為二率勾外數為三率 如法求得第四率(即勾内數正弦)查八線表正弦相近而略少者取其餘弦以設弦乗之得數即所求股數如弦為一萬二千九百四十五勾為七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以弦一萬二千九百五十四除之得正弦六○○○○查表正弦與此數相近而略少之餘弦八○○○三(去三作○)以設弦一萬二千九百四十五乗之得一○三五六為所求股外數一 一二九四五(弦外數) 一 十萬(全數數弦外)二 十萬(全數) 二 一二九四五(弦外數)三 七七六七○○○○○ 三 八○○○○四 六○○○○ 四 一○三五六三設勾股求弦用割切線代法以勾外數為一率全數為二率股外數為三率如法求得第四率(即切線内數)查八線表切線與此數相近者取其割線以句外數乗之得數右减五位即所求弦數如句設一百五十六股設四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八(即切線内數)查表切線與此數相近者之割線得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四(即所求弦○)一 一百五十六(句外數) 一 十萬(全數)二 十萬(全數) 二 一百五十六(設句)三 四七○○○○○ 三 一○四四四○(割線内數)四 三○一二八 四 一六二九二六四○新法算書卷八十二
## 卷八十三
欽定四庫全書
新法算書卷八十三 明 徐光啟等 撰㡬何要法㡬何總論㡬何家者脫物體而空窮度數數其截者度其完者度有三曰線曰面曰體線以度長短面以度廣狹體以度厚薄線自㸃始㸃引為線線展為面面運為體㸃者無長線者無廣面者無厚㸃為線之界線為面之界面為體之界體不可為界㸃線面體㡬何之論起焉界說章第一(十六則)界者一物之始終解篇中所用名目作界說第一界㡬何者度與數之府也第二界㸃者無分無長短廣狹厚薄故無分如上圖甲㸃真圓□一真平相遇處止一㸃畢世積㸃不能結線(凡圖十干為識)(干盡用十二支等字)第三界線止有長無廣厚如一平面光照之有光無光之間不容一物是線也如上甲乙圖畢世積線不能結面第四界面者有長有廣無厚一體所見為面凡體之影極似於面無厚之極也如上甲乙丙丁圖畢世積面不能結體第五界體有長有廣有厚如上甲乙丙丁戊己庚圖第六界分者㡬何之㡬何也小能度大而盡之無贏不足者以小為大之分若小不能盡度大當稱㡬分㡬何之㡬如上甲乙四與丙丁八戊己十二等數皆能盡分者則甲乙四為丙丁八戊己十二之分若庚辛四與壬癸六一即贏二即不足不能盡度者不得正名為分則稱之為三分六之二(他數倣此)第七界㸃者非㡬何故不能為線及諸㡬何之分第八界線非廣狹之㡬何故不能為面之分第九界面非厚薄之㡬何故不能為體之分第十界線有曲直線之一㸃能遮兩界是直線如上圖甲乙不遮則不直如下圖丙丁第十一界面之中間線能遮兩界不礙不空是平面如上圖甲乙丙丁不遮則不平如下圖戊己庚第十二界直線垂於横線之上為横線之垂線如上圖丁乙為甲丙之垂線第十三界兩直線於同面行至無窮不相離亦不相逺終不得相遇者為平行線如上甲乙丙丁兩線第十四界兩㡬何以㡬何相比之理為比例兩㡬何者或兩數或兩線或兩面或兩體各以同類大小相比謂之比例若線與面或數與線此異類不為比例若同類相比而不以㡬何亦不為比例也如白線與黑線或有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例有窮之線畢世倍之不能及無窮之線故也凡比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之比例本卷論量法之比例第十五界比例相續不斷為連比例其中率與前後兩率遞相為比例而中率既為前率之後又為後率之前如上圖甲二與乙四比乙四又與丙八比是也第十六界中率一取不再用為斷比例如上圖甲四自與乙八比丙六自與丁十二比是也備噐章第二㡬何在厯家則多用圖畫圖必先備噐噐有三曰尺曰規曰矩尺以畫線而貴直規以畫圜而貴調矩以畫方而貴凖噐凖矣不識用法則茫無措手今以用法著於篇審尺章第三畫圖首畫線線貴直線界於尺故先求尺直如甲乙為尺面丙丁為尺側一稜先以丙丁畫一戊己線丙合戊丁合己次轉丙丁稜畫一己戊線丙合己丁合戊不出不入則尺直矣不直再當琢削畫線章第四尺既直矣線可無曲然畫時又有法須以鐡或銅鑄筆上長其柄令可把手下截濶出復漸窄而下其正面削極平背令稍圓去末寸許作一小窩窩下漸細至末用時以墨汁入小窩以平面𦂳倚尺作線則墨汁自就下或恐墨汙其地將尺削去丙丁側一稜則墨線瑩細如絲即作於規末亦得審平面章第五平面者諸方皆作直線法曰如甲乙丙丁為面欲審其平即用直尺施於甲角繞面運轉不礙不空全合直尺是平面也引線章第六有一短直線求平引長之法曰如有甲乙線欲平引長之先以甲為心以乙為界畫小半圜以乙為心任取一度於小半圜上下各作規界線為丙為丁次以丙丁為心任取一度向前作短界線相交為戊末引甲乙線至戊則得所求若欲更引長仍依此法平分直線章第七(法有二)有有界之線求兩平分之第一法如有甲乙線求兩平分先以甲為心任用一度但須長於甲乙線之半愈長愈凖向上向下各作一短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末用尺作丙丁直線即甲乙有界之線兩平分於戊矣第二法若所分之線下面無地可作短界線即於甲乙線上先畫兩短界線於丙次或開或收規度仍前從甲從乙向上又作兩短界線於丁規度愈相逺畫線愈凖末以丙丁二交用尺如前畫線則得所求作垂線章第八(法有四)有一直線任於一㸃上求作垂線第一法甲乙直線任指一㸃於丙求丙上作垂線先於丙㸃左右任用一度愈逺愈凖各截一界為丁為戊次以丁為心任用一度但須長於丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處為己從己至丙以尺畫線則得所求第二法於丙左右如上法截取丁與戊即任用一度以丁為心於丙上下方各作短界線次用元度以戊為心亦如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直線交於丙㸃即得所求若丙㸃在甲乙端上則當暗引長甲乙線後如前作亦得第三法若直線甲端上求立垂線又甲㸃外無地可暗引線則先以甲乙原線上方任取一㸃為丙以丙為心甲為界作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次自丁至丙依前法作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求第四法若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線末甲界上甲外無餘線可截則於甲乙線上任取一㸃為丙如前一二法於丙上立丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之(分法在後三卷第四章)為己丙線次以甲丙為度於丁丙垂線上截戊丙線又用元度以戊為心向己作短界線為庚末自庚至甲作直線得所求立垂線章第九(法有四)有無界直線線外有一㸃求自彼㸃作垂線至直線上第一法如有甲乙無界直線直線外有丙㸃求自丙㸃作垂線至甲乙線先以丙為心向直線兩處各作小半圜或兩短界線為甲為乙次仍用一度以甲為心向丙㸃相望處作短界線又以乙為心亦如之兩線相交處為丁末自丙至丁作直線截甲乙線於戊則丙戊為垂線第二法於甲乙線上近甲或乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界於丙㸃及相望處各稍引長之次於甲乙線上視前心或相望如前圖或進或退如後圖任移一㸃為心以丙為界作一圜界與前圜交處得丁末自丙至丁作直線得丙戊垂線第三法若丙㸃垂於甲乙線之界不能於丙㸃左右畫圜如前二圖又或不能暗引長甲乙線則當以甲為心於丙㸃及相望處各作短界線於丙於丁又進以乙為心以丙為界仍相望作兩短界線末從丙丁二交處作直線則得所求第四法若甲乙線在面之邉且下無地可措規如前四圖則當用前章第三法或以丙為心任指甲乙線上兩㸃為丁為戊次任取一度以丁為心向丙上作短界線次用元度以戊為心仍向丙上作短界線交於己末自己至丙作直線引長之至庚得所求又有便法在後平行線中作平行線章第十(法有三)一㸃求作直線與原設直線平行第一法於甲㸃求作直線與乙丙線平行先任作甲丁線與乙丙斜交次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長於戊己次取戊己圜線為度於庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直線即所求第二法先以甲㸃為心於乙丙線近乙處任指一㸃作短界線為丁次任用一度以丁為心向丙截取一分作短界線為戊又用丁戊元度以甲為心對甲平行作短界線為己次用甲丁元度以戊為心對甲平行作短界線於己末自甲至己作直線即所求註曰凡有不等度須一度用一規始元度不爽如一規而數易其度則元度永不復矣此丁先生秘法註曰以上二法以甲㸃定逺近若無甲㸃任指所欲逺近為界可當甲㸃第三法此法比前法更簡易即西本㡬何亦未載乃敝師伯先生所授如有甲乙線任逺近求作平行線近甲取心向上以所求逺近為度作小半圜次用元度近乙取心向上復作小半圜末以尺依半圜為界作直線即所求註曰以上平行數法可推用作沿邉直線之垂線如有甲乙線求乙線界上作一垂線先以乙為心向甲任取一㸃為丙又用元度以丙為心向甲指一㸃為丁又以乙為心任取一度向上方作一短界線愈逺愈凖又以丁為心用元度仍向上方作一短界線與前界線相交於戊次自戊至丙作垂線末以前作平行線法隨用一法以丙乙為度作平行線正垂在乙㸃上即得所求求分一直線任為若干平分章第十一(法有四)凡造厯象數欲分直線為不等分不諳其法大費手力抑且不凖宜熟後法以便用第一法如甲乙線求五平分先從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作五平度為甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直線末用平行線法作丁壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即壬癸子丑與甲乙為五平分第二法如甲乙線求五平分即從乙任作乙丙線為丙乙甲角次於乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小於甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙於子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之而分甲乙於丑於寅於卯於辰為五平分第三法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨即分甲乙於己於辰於卯於寅為五平分第四法此法極簡極神可分百千不等之線與百千不等之分先作一噐如丙丁戊己為平行線任平分為若干格噐愈大格愈宻其用愈廣格毎分作平行線相聨今欲分甲乙為五平分即規取甲乙之度以一規髀任抵戊丙線上一規髀抵第五庚辛線上如不在庚辛者即漸移之至線界而止既至壬即戊壬之分為甲乙之分又如有甲乙線求十七平分先以規取甲乙之度以一規髀抵戊丙線一處以一規髀抵此噐庚辛第十七格為壬次從戊至壬畫一直線次取所過兩格相距之度以此為凖分甲乙直線則得十七分矣或圖小而所分者大欲廣其用則逓倍之如圖一尺欲分一丈為十九分須取一丈十分之一為一尺用前法為十九分後以尺逓十倍之則一丈己分為一百九十分矣毎十分作識如所求餘以此推之一直線求截所取之分章第十二(法有二)第一法如有甲乙直線求截取三分之一先從甲任作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作乙己直線末作丁庚線與己乙平行即甲庚為甲乙三分之一也第二法如甲乙直線求截取七分之三先以前章法分甲乙線為七分後取其三於庚則得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之數亦如之有一直線求截各分如所設之分章第十三(一法)法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聨於甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聨末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線於己於庚若甲丙分於丁戊焉有直線求兩分之而兩分之比例若所設兩線之比例章第十四(一法)法曰如甲乙線求兩分之而兩分之比例若所設丙與丁先從甲任作甲庚線為庚甲乙角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即分甲乙於辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁有兩直線求别作一線相與為連比例章第十五(法有)第一法有甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例者任合兩甲乙甲丙為甲角而甲乙與甲丙之比例若甲丙與所求他線也先於甲乙引長之為乙丁與甲丙等次作乙丙線相聨次從丁作丁戊線與丙乙平行末於甲丙引長之遇於戊即丙戊為所求線(若以甲丙為前率倣此)第二法以甲乙乙丙兩線聨作甲乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線於丁即乙丁為所求線三直線求别作一線相與為斷比例章第十六法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引長之遇丙戊於戊即丁戊為所求線兩直線求别作一線為連比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平分於戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率新法筭書卷八十三
## 卷八十四
欽定四庫全書
新法筭書卷八十四 明 徐光啟等 撰㡬何要法總説圜成於線線有二種為曲為直直線或單或衆前卷已詳之衆線或三而成三角形或四而成方形或多而成諸不等形曲線或半或全半線有不等之用全線或成圜形或成卯形等角形及方形卯形詳見後卷今先論圜形界說章第一(十二則)第一界圓形於平地居一界之間為圜第二界外圓線為圜之界第三界圜之中處為圜心第四界自圜之界作一直線過中心至他界為圜徑如上圖甲丁乙戊為圜界丙為心甲乙為徑第五界凡直線切圜界過之而不與界交者為切線如上圖甲乙丙線是也若先切圜界而引之入圜内則謂之交線如丁戊是也第六界凡兩圜相切而不相交者為切圜相切而相入者為交圜加上圖第七界凡直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邉為形内切形如上圖丁戊己為甲乙丙形内切形第八界凡直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各角為形外切形如前圖甲乙丙為丁戊己形外切形其餘各形倣此二例第九界直線形之各角切圜之界為圜内切形如上圖甲乙丙形之三角各切圜界於甲於乙於丙是也圜之界切直線形之各角為形外切圜同上圖第十界直線形之各邉切圜之界為圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜於丁於己於戊是也第十一界一圜之界切直線形之各邉為形内切圜如前圖第十二界一直線之兩界各抵圜界為合圜線如上圖之甲乙線造規章第二(法有四)圜形以至圓為凖至圓必出於規規必欲極凖極順其用甚活乃堪造厯凡造規之法有四詳列於後第一法先以銅或鐡範成二股上濶下窄至末而鋭近頭小半截作凹凸狀令可相合次以釘釘其圓頭貴寛𦂳得宜任意可開收規下半截為規髀一規髀作墨池如首卷第三章法以適用凡欲造厯象必須備規其造式見後規圖第二法凡規有三用一畫虚線則須鉛條當先以銅葉為管虚其中横開小路上套小銅圜可上下鬆𦂳以出入鉛條末畧奓出以留小圜如下甲圖一畫墨線則當作墨路如前章法如下乙圖一畫銅板線須以純鋼為末如下丙圖右三髀俱另作不相連本規其本規如前法造但截去一髀臨截處長半寸許作一小箱狀虚其中亦令方可受規髀柄如下圖丁處箱面作旋螺用時任入一規髀以銅消息如旋螺者貫定之如下戊圖則任意可畫線而一規可具三用矣此為第二法如下圖第三法造厯恒用規依比例法分線分圜或以大形移變小形或以小度移變大度其分法稍難今作一四髀規或銅或鐡畧如剪形上下作四規髀上短下長令上凖下度或半或三之一或十之一及種種不等則作線圜時或欲以大變小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小變大先以上髀取度次以下髀移度則得所求其或半或三之一或十之一俱從髀之長短而分下愈長則度愈大上愈短則度愈促第四法前三種規長不踰尺止堪小用如欲造璣衡大噐則當更變其式如下圖其規以銅範為極方條上下如一任作㡬尺於條左末作錐垂下二三寸以純鋼為之更造一錐與前錐等上方寸許仍鑿方孔令透可受方條任逺近可推移方孔旁更鑿圓孔仍前法作旋螺貫定方條使兩錐堅定不爽分毫可畫大圜如下圖有圜求兩平分之章第三(一法)如有甲乙丙圜求兩平分用尺任以圜一處為界正過心畫一直線則圜體兩平分矣有圜之分求兩平分之章第四(一法)如有甲乙丙圜分求兩平分之先於圜分兩界作甲乙線次兩平分之於丁從丁作丙丁為甲乙之垂線(一卷第八章)即丙丁分甲乙圜分為兩平分若有圜不露其心又求兩平分之亦如此法有圜求四平分之章第五(一法)凡立天象多用四分圜為周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙線過戊心兩平分之次依作垂線法於戊心上自丙至丁作垂線得所求有圜求六平分之章第六(一法)凡厯家分周天度多用六數或十二或二十四今詳其法如有一圜求作六分不用他法惟以畫圜之元規周圜界六歩則自然分為甲乙丙丁戊己六平分矣有圜求十二平分之章第七(一法)先以本卷五章法四平分於甲乙丙丁次以畫圜元規從甲從乙上下各指一㸃又從丙從丁左右各指一㸃則得所求若欲二十四分毎分為兩則得所求矣有圜求三百六十平分之章第八(一法)凡厯家所用細分周天度以三百六十為率今詳其法如有甲乙丙圜先依前法四平分之為四象限次以規元度依前法十二平分為十二宫就以所分十二宫各三分之各包十度次毎十兩平分之各包五次毎宫又五平分之各包六今用六度之規至終不改從子宫初一度歩起完一周又次從初五度初十度十五度二十度二十五度各歩完一周則平分三百六十分矣有圜之分任截㡬度章第九(一法)如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必須先求圜分之心依後十一章法成圜後均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法頗繁今有簡妙法先備一銅板分一子丑寅象限為九十分合極凖設有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先從甲至圜心作甲丙半徑線如與子丑寅象限半徑合則移彼度子卯至甲乙線上至庚即得所求如大小不合則以規取子丑寅半徑以丙為心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外則當引長甲丙線至丁取子丑寅限三十五度以丁為始移於丁戊圜上至己從丙心過己作一直線截甲乙於庚則甲庚為甲乙圜上三百六十分之三十五也若所範銅板欲其用廣當從寅心重重作圜與子丑平行又自子丑外圜逐度引直線至寅心後所欲取圜分之度若其半徑與子寅不等或同於他子丑内圜之半徑則可徑移其度於所分圜上不爾仍用前法有圜求㝷其心章第十(一法)如有甲乙丙丁圜欲求其心先於圜之兩界任作一戊己直線次以平分線法作丙丁垂線兩平分之於庚則庚為圜心有圜之分求成圜章第十一(一法)如有甲乙丙圜分求成圜先於圜分任取三㸃於甲於乙於丙從甲至丙丙至乙各作一直線各兩平分於丁於戊次於丁戊上各作垂線相交處為己末以己為心以圜為界旋轉即得所求任設三㸃不在一直線求作一過三㸃之圜章第十二(法有二)第一法如有甲乙丙三㸃求作一圜貫之先以甲為心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙為心向甲仍用元度上下各作小圜分相交處為丁為戊次又以甲為心向丙上下作小圜分如前次以丙為心亦如之相交處為己為庚次從丁至戊從己至庚各作直線相交處為辛末以辛為心任取一㸃為界旋規成圜即得所求第二法先以三㸃作三直線相聨成甲乙丙三角形次平分兩線於丁於戊次於丁戊上各作垂線合相遇於己末以己為心甲為界作圜即得所求有圜求作合圜線與所設線等此設線不大於圜之徑線章第十三(一法)如有甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大於圜之徑線徑為圜内之最大線更大不可合先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小於徑者即於乙丙上截取乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜於甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等則與丁等三角形求作形外切圜章第十四(一法)甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉於丁於戊次於丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇於己末以己為心甲為界作圜必切甲乙丙而為三角形之形外切圜三角形求作形内切圜章第十五(一法)甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分之作乙丁丙丁兩直線相遇於丁次自丁至角形之三邉各作垂線為丁己丁庚丁戊末以丁為心戊為界作圜即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉於戊於己於庚此為形内切圜有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角章第十六甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜於甲次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即圜内三角切形與所設丁戊己形等角有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角章第十七甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先於戊己邉各引長之為庚辛次於圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末於甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜於甲於乙於丙而相遇於子於丑於癸(若作甲丙)(線即癸甲丙癸丙甲兩角小於兩直角而子癸丑癸兩線必相遇餘倣此)此癸子丑三角與所設丁戊己三角各等有圜求作内切圜直角方形章第十八有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内切圜直角方形有圜求作外切圜直角方形章第十九(法有二)第一法甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交於戊次於甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑末界之垂線而相遇於己於辛於壬於庚即己庚壬辛為外形第二法以戊甲為度依平行線法作己庚辛壬上下兩線與乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右兩線與甲丙平行即得所求同前圖有直角方形求作形内切圜章第二十甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各兩平分於戊於己於庚於辛而作辛己戊庚兩線相交於壬末以壬為心戊為界作圜必過戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是為形内切圜有直角方形求作形外切圜章第二十一甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線為甲丙乙丁而交於戊末以戊為心甲為界作圜必過乙丙丁甲而為形外切圜有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角各倍大於己角次於圜内作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分作丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聨即甲乙丙丁戊為五邉内切圜形而五邉五角俱自相等有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三如有甲乙丙圜心為丁先作甲丙過心線次作乙丁垂線次平分丁丙線於戊作乙戊線次取戊乙度移於徑線為戊己次作乙己直線盖乙己為甲乙丙圜五分之一以此為度可作内切圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂線相遇於庚於辛於壬於癸於子五垂線既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己自己作己丙己丁己戊三線次從己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂線末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子庚而為甲乙丙丁戊五邉形之内切圜五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇於己次從己作己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末以己為心甲為界作圜必過乙丙丁戊甲即得所求求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜兩圜相交於丙於戊次從庚心作丙庚戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聯即得所求求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉當圜十五分之五次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉當圜十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分取乙己度兩平分於壬則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合圜線即得所求(以此為例推用逓分可作無量數形)圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等章第二十九如有甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求於甲乙丙大圜内作多邊切形不至戊丁小圜其多邉為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜於戊也次從戊作庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜於戊也次以甲丙兩平分於乙乙丙兩平分於壬以壬丙兩平分於癸則丙癸圜分必小於丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所求切圜形之一邉也次以癸丙為度遞分一圜各作合圜線得所求形新法算書卷八十四
## 卷八十五
欽定四庫全書
新法算書卷八十五 明 徐光啟等 撰幾何要法界説章第一(凡十則)第一界角者兩線縱横相遇所作線有曲直兩直相遇為直線角兩曲相遇為曲線角一直一曲相遇為雜線角曲雜兩線角更有别論今先明直線角第二界凡直線正垂於横直線之上必成兩直角相等如上圖甲乙為垂線丙丁為横線而乙之左右兩角相等為兩直角若反以甲乙為横線則丙丁為甲乙垂線也(如今用短尺一縱一横互相為)(直線互相為垂線)第三界垂線斜交於横直線之上必成兩不等角兩不等角一大于直角一小于直角大為鈍角小為鋭角如上圖戊己庚為鈍角戊己辛為鋭角故直角惟一而鋭鈍兩角其大小不等乃至無數第四界凡二直線不能為有界之形故直線之形有界者至少有三角有三直線為邊名曰三邊形亦曰三角形如上圖三邊形止有三種第五界三邊線相等為等邊三角形亦為平邊三角形如上甲乙丙圖第六界兩邊線相等為一不等三角形如上丁戊己圖第七界三邊線俱不等為不等邊三角形如上庚辛壬圖第八界三邊形有一直角為三邊直角形有一鈍角為三邊鈍角形有三鋭角為三邊各鋭角形如上三圖第九界凡三邊形恒以在下者為底在上邊為腰如上圖甲乙甲丙為腰乙丙為底第十界凡言角者俱用三字為識其第二字即所指角也如甲乙丙角其乙字指角三髀規章第二規以二髀為常法或倍之於兩端為四髀前卷己詳之矣兹有三髀規新式造法兩髀如常如前二卷中所設是也旁一髀即附於二髀之樞稍引長之出頭其頭端上有眼銜旁一髀令其圓活可上下左右如下圖用法見後於有界直線上求立等邊三角形章第三如甲乙直線上求立等邊三角形先以甲為心乙為界或上或下作一短界線次以乙為心甲為界亦如之兩短界線交處為丙末自甲至丙丙至乙各作直線即所求於有界直線上求立一不等三角形章第四如甲乙直線以甲為心任取一度或長或短於甲乙線上用前法作一短界線次以乙為心用前度亦如之兩短界線交處為丙從丙至甲至乙各作直線即所求於有界直線上求立三不等角形章第五如甲乙直線以甲為心或長或短用一度如前作短界線次以乙為心甲度長今用短度甲度短今用長度于甲乙不等作短界線交處為丙從丙至甲至乙作兩直線即所求有直線角求兩平分之章第六如乙甲丙角求兩平分之先於甲乙線任截一分為甲丁次于甲丙線截甲戊與甲丁等次或用元度或任取一度以丁為心向乙丙間作一短界線次以戊為心亦如之兩線交處為己從甲至己作直線即所求若向乙丙無地可作短界線則宜仍以丁以戊為心向甲上作短界線為己從己至甲作直線即所求(如上圖)有直角求三平分之章第七如甲乙丙直角求三平分之先任于一邊立平邊角形為甲乙丁次分對直角一邊為兩平分丁戊從此邊對角作垂線至乙即所求有角任分為若干分章第八如乙甲丙角欲分為四為八為十六等分則先分兩分又各兩分之得四又各兩分之得八又各兩分之得十六愈分愈倍如任欲分為幾分如三五七九之類則先以甲為心向乙作一圜分次以規分圜分任作幾何分末從所分度至甲作直線即所求如上圖有三直線求作三角形其三邊如所設三直線等章第九如甲乙丙三線毎兩線并大于一線任以一線為底以底之甲為心第(二三)線為度向上作短界線兩界線交處為丙次向下作丙甲丙乙兩腰即所求設一三角形求别作一形與之等章第十以所設三角形之三邊當甲乙丙三線以前法作之即所求或又用前所備三髀規以規形所設三角形度移于别處即所求一直線任于一㸃上求作一角如所設角等章第十一如甲乙線上有丙㸃求作一角如所設丁戊己角等先於戊丁線任取一㸃為庚於戊己線任取一㸃為辛自庚至辛作直線次以前法於甲乙線上作丙壬癸角形與戊庚辛角等即所求有三角形求兩平分之章第十二如有甲乙丙三角形求兩平分之任于一邊兩平分之于丁向角作直線即所求凡角形任于一邊任作一㸃求從㸃分兩形為兩平分章第十三有甲乙丙角形從丁㸃求兩平分之先自丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊作戊己線與甲丁平行末作己丁直線即分本形為兩平分有三邊直角形以兩邊求第三邊長短之數章第十四如甲乙丙三角形甲邊直角先得甲乙甲丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并旣與乙丙上所作直角方形等(原本卷四十七)則甲乙之羃(自乗之數)(曰羃)得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲乙甲丙上兩直角方形并旣與乙丙上直角方形等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百減三十六得甲丙之羃六十四六十四開方得八即甲丙八也求甲乙倣此新法算書卷八十五
## 卷八十六
欽定四庫全書
新法算書卷八十六 明 徐光啟等 撰幾何要法界説章第一(凡八則)第一界方形者四直線兩縱兩横相遇所成亦謂之四邊形如上甲圖第二界四邊形之四線等而四直角者為直角方形如上甲圖第三界四邊兩兩相等而俱直角者為長直方形如上乙圖第四界四邊等但非直角者為斜方形如上丙圖第五界四邊兩兩相等但非直角者為長斜方形如上丁圖第六界已上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形如上戊圖等本卷多以直方形為論為其多有用也第七界凡形毎兩邊有平行線為平行線方形如上已圖第八界凡平行線方形若于兩對角作一直線其直線為對角線又于兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形如甲乙丙丁方形于丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊巳線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊巳庚辛兩線交羅相遇于壬即作大小四平行線方形矣則庚壬巳丙及戊壬辛乙謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形審矩章第二凡作方形必欲用矩故先論審矩法後論棄矩求方之法矩以兩尺縱横而成然必成直角方準若稍出入必為鋭鈍兩角而不成矩今欲審直角先審兩尺之稜如首卷第一法後于他堅體上作半圜中畫徑線次以矩角倚半圜之界視二尺稜正切徑線與圜相交處則矩準而可用矣若有出入則當更改或于堅體上作一直線更作一垂線四邊作直角以一矩準四直角不爽則至準矣一直線上求立直角方形章第三如甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等次作丁丙線相聯即得所求有直線形求作直角方形與之等章第四甲直線無法四邊形求作直角方形與之等先作乙丁形與甲等(本卷第五第六章)而直角次任用一邊引長之如丁丙引之至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平分于庚其庚㸃或在丙㸃或在丙㸃之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣若庚在丙外即以庚為心丁己為界作丁辛己半圜末從乙丙線引長之遇圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等如上圖丙辛壬癸有三角形求作平行方形與之等而方形角又與所設角等章第五設甲乙丙角形丁角求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平分如乙丙邊平分于戊次作丙戊己角與丁角等次自甲作直線與乙丙平行而與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙庚而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等而有丁角有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角又與所設角等章第六設甲乙丙五邊形丁角求作平行方形與五邊形等而有丁角先分五邊形為甲乙丙三(三角)形次依前章法作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角次于戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與乙等而有丁角末復引前線作壬癸子丑平行方形與丙等而有丁角即此三形并為一平行方形與甲乙丙併形等而有丁角自五邊以上可至無竆俱倣此法有多直角方形求并作一直角方形與之等章第七如五直角方形以甲乙丙丁戊為邊任等不等求作一直角方形與五形等先作己庚辛直角而己庚線與甲等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線而己子線上所作直角方形即所求有平行方形求作三角形與之等而三角形角如所設角等章第八如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角與戊等遇甲丙線于己次以乙丁線引長之為庚取丁庚度與乙丁等末作己庚直線乙丙庚三角形與甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角又與所設角等章第九設甲線乙角形丙角求于甲線上作平行方形與乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚角與丙角等次于庚己線引長之作己辛線次作辛壬線與戊己平行次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與對角線遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子線得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲線立形則先依本章法作己辛子丑方形次于甲線一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求設不等兩直角方形如一以甲為邊一以乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與元設兩形并等章第十先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聯末于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁兩腰相遇于己而等即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙戊丙丁上所作兩直角方形等兩直線形不等求相等之較幾何章第十一甲與乙兩直線形甲大于乙以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方形與甲等次于丙丁線上依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等即得辛庚戊己為相減之較矣有圜求作一直角方形與之等章第十二方圓圓方之法自古名賢究折而未準吾師丁先生幾何六卷之末設此神法其法之用甚廣今撮其要以推作方圓圓方之法先設甲乙丙丁直角方形次以乙為心以甲為界作甲丁限象任分為若干度今姑分為九十度又分甲乙丙丁兩線如前數為九十次自乙心至象限逐度皆作虛線次從甲乙丙丁兩線對望作平行線其與限象線交處俱作㸃次從甲作曲線貫諸㸃貫諸㸃之線則甲戊線為方圓圓方之根線而乙甲為邊乙丁為底次自甲至戊作一直線若乙戊直線與所設欲方之圜半徑等則甲乙線為所設圜限象之界線若圜半徑長則于乙丁線上截乙己與半徑等引長甲乙線作己庚與戊甲線平行庚至乙即長徑圜限象之界線若圜半徑短則于乙丁線上截乙辛與半徑等作辛壬線與戊甲平行則壬至乙即短徑圜限象之界線今有子丑圜或大或小其半徑與乙辛等先作一寅卯直線立一辰己垂線次從己起取己午午未各與乙壬等次取己申與乙辛等次兩平分申未于酉以酉為心以申或未為界作半圜切垂線于辰末取己辰作直角方形之一邊則此方形與所設圜等以此可推不特一方與一圜即方之一邊線與圜一限象等方之半邊線與圜半限象等有直角方形求作一圜與之等章第十三如有甲線為方之邊先取一圜依前法求其作方之線如前度得申己次作辰申直線次截戊己如所設甲線等次自戊作戊卯線與辰申平行末以己卯為半徑之度作一圜即得所求推用一法依兩章方圓圓方之法可推任有直線形可作一圜與之等又任設一圜可作直線形與之等須先依前章法求多邊直線形作一方形與之等次依本章法作一圜形與直角方形等則得一圜與所設直線形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方與所設圜等次依前法作三角形如所設方形等則所作三角形如原設圜等新法算書卷八十六
## 卷八十七
欽定四庫全書
新法算書卷八十七 明 徐光啟等 撰測量全義叙目測量全義十卷前九卷屬法原後一卷屬法器法原者法之所以然也凡事不明於所以然則其已然者茫茫不知所来其當然者昧昧不知所徃即使沿其流齊其末窮智極慮求法之確然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯數之賾且隠也而不究其原可乎旋觀徃代如二十一史所載漢以後諸家之厯詳矣大都專求法數罕言名理即才士間出亦各窺一二莫覩大全雜以易卦樂律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一則象緯之原也天事也其一則推測之原也人事也象緯之原如測天約說所論百中之一二耳其他散見於七政本論㑹而通之聊足著明矣此書所論則推測之原也古今言推測者又有二其可以形察可以度審者謂之叀術不可以形察不可以度審者謂之綴術此所論者又綴術也綴術之用又有二其一總物以為度論其幾何大曰量法也其一截物以為數論其幾何衆曰算法也厯象之家兼用二法如鳥之傅兩翼也則無所不可之矣凡幾何之屬有四曰㸃曰線曰靣曰體㸃引為線線展為靣靣積為體究此四者諸有形有質之物細若纎芥鉅若大圜悉可極其數而盡其變所以能範圍不過曲成不遺也㸃不可為度線不可為形必三線交始成三角形焉凡度與數不用此形即巧厯無從布算故三角者雖形體之始基實測量之綱要諸卷中當首論者此也凡言度數必通大小通近逺者也三角形繇兩視線一徑線徑線者所測物之廣也徑之兩端出兩直線入交於目睛之最中而成形如分寸咫尺為近小之形乃至大圜七政為逺大之形形絶不等然其為三角等則比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫學難者必自近也學微者必自顯也最難且微莫如天之三光最易且顯莫如地之百物次卷所測測地與物以此故也然而測一物之髙一山之髙與測日月星辰去地之髙也無以異則亦通大小通逺近者也其次進而測靣靣者平方平圓之類其變不可勝窮也然而測物之靣與測地景之靣測日月星之靣其理一也又進而測體體者立方立圓之類其變不可勝窮也然而測物之容與測地之容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者也既曰通焉而不言逺大先言近小者則所以習之也習之奈何習手與目以求其貫也習心與意以求其信也不習不貫未有能信者也習且貫未有不信者也故習小習近言逺大者之所求也夫論度數至於測體深矣微矣然而皆平靣直線也天則圓體其靣圓靣其線曲線也測圓靣之難十倍平靣測曲線之難十倍直線蓋圓與曲謂之弧而測弧無法於無法中求有法其勢不得不難世有傳弧矢算術測圓術者皆非術也其本術稍見於大測其為數則割圓八線表而此書第七至第九則言其理與法也蓋以弧背求弦矢用測曲線三角形展轉推求展轉變易凡周天衆規相交相距所以經緯七政運行四時推遷運㑹者上下百千萬年可知也諸天諸曜種種運行悉無一定之法其為紛賾莫可勝原此弧弦諸法則何以能追求至盡乎蓋所論者非諸曜自行之度數而宗動天之度數也宗動者不依七政而能為七政之凖則厯家謂之天元道天元極天元分至終古無變易也因此推歩是以有恒御無恒厯家之立法最難在此其用法最易亦在此矣終之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不驗教者非器無以措其辭學者非器莫能領其意巧者非器未繇見其長拙者非器有所匿其短是以唐虞欽若首在璣衡厯代以還屢更其制據今所有則渾天儀簡儀立運儀渾天象四器也而年逾數百久闕繕治地址傾墊樞軸鏽蝕渾天一儀不復運動簡儀立運猶似堪用復少黄道規環且測候多端止慿一器架柱森列多成映蔽均賦辰度尚未精宻刻定宿度則又元時所測非今測也此卷中分列諸器擇其最急畧有五種曰測髙儀曰距度儀曰地平經緯儀曰赤道經緯儀曰黄道經緯儀有此諸儀相襲並用彼礙則此通可以無求不得矣更求宻測責以分秒無差則一式又湏三器三器俱列用相參較三測並合則製器精工安置如式測驗得法灼然具見矣有不合者可以推究病源更求釐正釐正之後測復參差則擇其同者用之若止據一器有得即真烏從知其然不然可不可乎且舊儀大環徑止五尺二寸度止十分今擬新式用半徑者六尺則三倍大也度得百分則十倍細也用全徑亦六尺度可六十分亦六倍細也夫今之改憲欲求倍勝於古非倍勝之器諒無從得之矣或疑法器重大取數復多即用物必奢是又不然今之舊儀不能揣知輕重大都唐宋以来考諸史志約畧相等宋史言東都渾儀四座每座約銅二萬餘斤今擬諸式槩從輕省若得宋元一儀之費足以盡造諸器有餘矣且每式三器誠不可少若宛轉相就則經緯儀可以得距地平儀可以得髙一倍本數亦能通用或五大既全稍從狹小以為副貳兼用精鐵以省銅材固無不可則所計一儀之費尚可損其半也惟是舊儀欲將脩改則一器止堪一用其脩改之費恐過於造作計不當為之耳惟渾天象止以測到度分量度經緯在於施用未為闗切今體製完美無煩再造矣界說二十三則第一界正弧全圏四分之一或大焉或小焉如圖甲乙丁為全圈之半乙丙丁為四分之一是名一象限九十度正弧之大無過於此若甲乙丙則大於象限丙丁則小於象限但小者皆名正弧而大者則名過弧第二界餘弧正弧之剰分如庚己正弧庚乙為餘弧是正小於己乙也如庚丁過弧則大於丁乙而庚乙為過弧之餘弧也第三界通弦者通弧之相當線分圏為兩分(相當線亦名對線)如庚丙線與庚乙丙弧相當又與庚己子丙弧相當第四界圏内線極大過心者為圏徑如己戊丁是第五界正弦弦之半如丙甲庚弦半之為丙甲正弦當丙乙弧又丙辛子弦半之為丙辛正弦當丙丁弧或曰正弦者從圏上一㸃作垂線至己丁徑上則丙辛為丙丁弧相當之正弦第六界餘弦餘弧之正弦如丁丙正弧則丙乙其餘弧丙甲為丙乙之正弦丙丁之餘弦第七界倒弦者餘弦與半徑之較亦名矢如丙甲餘弦與辛戊線等以辛戊减丁戊半徑存辛丁為丙丁弧之倒弦亦為丙丁弧之矢第八界全弦徑之半象限弧之正弦第九界直線角在圏心或大或小皆居對弧兩腰間(相當弧亦曰對弧)如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧則角生於丙戊丁戊兩腰間第十界餘角者餘弧之正角(對角亦名正角亦名相當角)如丙戊乙角為丙丁正弧之餘角即丙乙餘弧之正角第十一界切線者圏徑界之垂線亦名切圈線在圏外(如下界之丙甲線)第十二界割線者直角之對線亦名交線亦名截線在圏之内外如甲戊丙形甲直角(凡言甲角當九十度弧之直角)戊為心丙戊交圏於乙割線也此線限心上角限甲乙弧則角與弧胥生於甲戊戊丙兩腰間又曰正割線者正弧之割線如甲乙正弧則戊丙正割線也第十三界餘切線者餘弧之切線第十四界餘割線者餘弧之割線如戊丁餘弧乙己為割線是甲戊弧之餘割線第十五界全圏三百六十度半徑之全數十萬平分(或用一萬或用百萬千萬皆可)第十六界設弧者任取全圏之一分(凡言設者先有定數也或稱有或稱得)如甲戊丙角形戊為心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度則甲乙為設弧也第十七界設角者設弧之角如戊心甲戊戊乙兩腰弧甲乙則因弧而稱甲戊乙角言角之度分即對弧之度分第十八界設正弦如丁戊半徑十萬分先言丙辛若干分則所設丙丁弧之正弦第十九界設切線如甲乙全數先言甲丙若干數則所設切線第二十界設割線如甲乙全數先言乙丙若干數則所設割線第二十一界設邉線如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所設邉線第二十二界方數者方形邉自乗之數如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等方形根者開方所得方形一邉之數第二十三界平形有方有矩(方者直角方形矩者矩内直角形)矩形邉兩兩自相等有一邉有實用算得所求他邉開方法有本論本書今别撮為圖欲求根一簡即得省布算焉簡法見籌算測量全義卷一第一題通弦與通弧正弦與正弧比例等(比例等後省曰若)解曰有己庚乙丙丁圏其通徑己戊丁戊上作乙戊垂線别作庚甲丙線與己丁平行則庚甲丙為庚乙丙通弧之對弦題言庚甲丙通弦與庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦與乙丙正弧論曰戊心上垂線作直角平分庚乙丙弧則庚甲戊丙甲戊兩角形等何者庚戊丙戊從心至界等甲兩旁直角等甲戊同邉則兩形必等兩角之對弧亦等(幾何三卷二十)(六)故庚甲丙偕庚乙丙兩全與丙甲偕丙乙兩半比例等第二題圏内正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅為徑設丁丙乙寅兩正弧等從丙從乙作丙戊乙己兩垂線截徑於辛於壬作直角平分兩弦(三卷第三)亦平分丙丁戊乙寅己兩弧(三卷三十)是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各兩半與丙丁戊偕乙寅己之兩全比例等則其弦丙辛戊乙壬己之兩全與丙辛辛戊偕乙壬壬己之各兩半比例亦等題言丁丙乙寅兩正弧既等則丙辛乙壬兩正弦必等論曰丙丁與乙寅兩弧既等則作丙庚乙庚自心至界之兩等線得丙庚丁角與乙庚寅角等(三卷二十七)丙辛庚與乙壬庚兩直角亦等而丙辛庚乙壬庚兩三角形必等故丙辛乙壬兩正弦必等反之丙辛與乙壬丙庚與乙庚各等丙辛庚乙壬庚兩直角等則丙庚辛乙庚壬兩角亦等(一卷第八)而丙丁乙寅兩對弧必等(三卷第二十六)第三題圏之内大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧各相對解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧題言己卯弦大於庚寅弦論曰試取甲辛弧與丙庚弧等從庚乙己辛各作垂線過甲丙徑至於丑於丁於癸於子其庚寅辛壬兩半等(本卷二)即庚丑辛子兩全亦等(三卷第三)己癸近心大於辛子(三卷)(十五)是全大於其全也(五卷十五)己卯視辛壬半不大於其半乎次論曰試截卯己於午與庚寅等午上作垂線至辛與丙甲徑平行午卯庚寅既等自與辛壬等(皆在兩平行線内)甲辛丙庚兩弧亦等己甲全弧大於辛甲分弧己卯大弦必大於辛壬小弦是大弦對大弧小弦對小弧也第四題圏徑截弦亦截弧任分弦之兩分與兩弧之正弦各相似解曰有圏徑乙辛截丙丁通弦於己截丙乙丁通弧於乙其丙乙乙丁兩分弧之各正弦為丙甲戊丁題言丙己己丁兩分弦與甲丙戊丁兩正弦比例等論曰丙甲己丁戊己兩角形相似何者兩形有相等之己交角有相等之兩直角即丁角與丙角必等(一卷三十二)是形與形邉與邉俱相似而丙己己丁兩分弦之比例與丙甲丁戊兩正弦自相似第五題(三支)三不等角形作垂線任分底為二其大分依大邉大邉上方大於小邉上方其較為底全線偕分餘線矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大為底(凡邉大者為底)從丁角作垂線至底題言分底為二者謂垂線之甲㸃在形内蓋乙丙邉大即對角之乙丁丙角亦大乙丙兩角必小如謂㸃在形外即以乙丙邉引長於己而令己作直角將丁己乙三角形内有丁乙己鈍角(甲乙丁為銳角故也)又有己直角是兩角大於兩直角也可乎次解曰丁甲垂線任分乙丙底題言甲丙大分依丁丙大邉論曰丁丙邉既大於丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方與甲丁甲丙上兩方幷等(一卷四十七)則甲丁甲丙兩邉幷亦大於甲丁甲乙兩邉幷試减同用之甲丁則所存甲丙亦大於甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大於丁乙方其較乙丙偕戊丙矩内形論曰試截甲戊與甲乙等其乙戊線平分於甲有引增戊丙線則乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷與甲丙上方形等(二卷第六)次各加一甲丁上方形則乙丙偕戊丙矩内形及乙甲(即甲戊也)甲丁上兩方形或丁乙上方形(乙甲甲丁兩方幷與丁乙方等一卷四七)與甲丙甲丁上兩方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上兩方形獨少乙丙偕戊丙矩内形則丁丙上方大於丁乙上方形之較為乙丙偕戊丙矩内形第六題(四支)三不等角形從角作垂線任分底為二知其邉數即知各分數解曰同前圖乙甲甲戊等戊丙為任分之較法曰丁乙丁丙上兩方之實相减餘者以底數而一得戊丙以减底數餘者半之得乙甲小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八為法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三題乙丙為兩銳角則丁丙上方小於丁乙乙丙上兩方其較為乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前數乙丁一百乙丙三百二十四兩方形幷為四百二十四减去丁丙方形之數二百二十五存一百九十九為實底數一十八為法而一得乙甲之數約之為五又三十六之十九者二三解曰以丁大角為心丁乙小邉為界作全圏截丁丙於己乙丙於戊丁丙引長於辛丁乙丁辛兩半徑等則辛丙偕己丙與乙丙偕戊丙兩矩内形等(三卷三十六)乙甲甲戊又等(三卷三)丙乙大邉有戊丙分在圏外法曰用前數丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己與丁乙等則辛己徑為二十以己丙五乗辛丙得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六又十八之十七為戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角為心丁丙大邉為界作全圈乙丙底引長於戊丁乙邉引長於庚於己即庚乙乙己矩内形與丙乙乙戊矩内形等(三卷三十五)丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙兩邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五與庚乙相乗得一百二十五為實乙丙十八為法而一得六有竒為戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七題斷比例之四率以三推一名三率法解曰四幾何為兩比例等先有三推得第四或同類或異類其前其後不得更易用反理亦用轉理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九題中率相乗與首尾兩率相乗得數等故二三相乗為實第一為法而一得四率也昔人因其用大算家必需稱為全法焉(同類)(異類反理轉理俱見幾何四卷)第八題三邉直角形銳角為心底為界作象限圏半徑為全數在心角對邉為其弧之正弦其旁為正弧之餘餘弧之正解曰如前圖甲乙丙直角形乙銳角為心乙丙底為界作丁己象限圏引乙甲邉於丁從心作乙己垂線題言甲直角乙丙為對邉作全數(本界說八)丙甲邉為在心角之對邉即丁丙弧之正弦(本界說五)而甲乙邉為丁丙正弧之餘弦為丙己餘弧之正弦所以然者試從丙作丙戊與甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角則丙戊甲乙兩線等(一卷三十四)丙己弧為丁丙正弧之餘弧丙戊為丙己餘弧之正弦為丁丙正弧之餘弦(甲乙同)又如後圖用銳角丙為心乙為界則乙甲為丙角之對邉為乙丁正弧之正弦甲丙其餘弦(乙戊同)第九題三角形邉與邉之比例若各對角之正弦解曰題一言直角形依前論各邉為對角之正弦在心角與正弧與正弦俱同理則弧與弧弦與弦角與角其比例俱等二言三邉等即三角俱等(一卷五)角之正弦亦等則邉與邉皆若角與角三言己乙丙雜角形三邉形不等則以己乙小邉引長於丁為乙丁與己丙等丙為心己為界作己庚弧又乙為心丁為界作丁戊弧末作丁辛甲己兩垂線至乙丙底論曰丁辛乙甲己乙兩直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似(六卷四)則乙丁與乙辛若乙己與乙甲又先設乙丁己丙等是丙己邉與丁辛若己乙邉與甲己也夫丁辛為乙角之正弦甲己為丙角之正弦更之則丙己邉與己乙邉若乙角正弦之丁辛與丙角正弦之甲己也第十題有三角即有三邉之比例解曰直角形設一銳角自有其二(一卷三十二)三邉等形設一邉自有其三兩邉等形有腰間角以减兩直角平分其較自得底上角雜角形有兩角幷以减兩直角其較為第三角(雜角者總直鈍銳也下文以直角為例)如乙角四十二度查正弦得六六九一三丙角四十八度得七四三一四則丙甲邉與乙甲邉若六六九一三與七四三一四約之為三十三與三十七有竒也其乙丙與丙甲若全數與乙角之正弦六六九一三也鈍角同理第十一題三角形有設角之比例即有各角之幾何解曰乙丙丁角形丁角與乙角若三與四乙角與丙角若四與六題言可得各角之幾何論曰三幾何分之有比例幷之亦有比例(五卷十八)乙丙丁三角幷得十三其與丙若十三與六與丁若十三與三與乙若十三與四如求每角幾度則用三率法三角幷為第一兩直角幷一百八十為第二每角之分數為第三推之得第四或用四卷八題之法三與四四與六四數横列之以第一第三相乗所得為第一率以第二第三相乗所得為第二以第三第四相乗所得為第三(再用前法)又如乙與丙若三與四丙與丁若五與六列數如圖第十二題 論直角三邉 (四支)三角形有銳角及直角之對邉求餘邉一法曰置弦(三角形之弦直角之對邉也)如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角為心作丁丙戊象限弧則乙丙全數也丙甲邉乙角之正弦也一率甲直角之全數十萬二率丙乙邉外數二十五尺(言内者八線表數言外者今所求得數如丈尺等)三率乙角(三十六)一度五十二分 或用丙角五十三度正弦内數五九九九五 其正弦内數八○○○三四率得一四九九約得一丈四尺 四率得二丈為甲丙邉外數 為甲乙邉外數用加减法凡全數為第一率如置十萬即第二第三率之數進為萬加○若過萬則退位兩率各當正弦向各表上取其弧兩弧幷而相减求總存兩弧之各餘弦若總數過九十者兩餘弦相加其半為第四率總數不過九十者兩餘弦相减所存半之為第四率如全數與二十五若五九九九五與所求數法二十五作二萬五千正弦表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分兩弧幷得五十度二十分其餘弦為六三八三三相减存二十二度二十四分其餘弦九二四五五兩餘弦之較二八六二三半之得一四三一為第四率與三率乗除所得同用切割兩線二法曰丙乙角為心甲為界作甲戊己弧截乙丙於戊則乙甲邉全數也甲丙乙角之切線也乙丙乙角之割線也有乙設角即有其切線與割線而求甲乙邉則乙角之割線與乙丙(外)若乙甲全數與乙甲(外)又求甲丙邉則乙角之割線與乙角之切線若乙丙(外)與丙甲(外)一乙角三十六度五十二分之割線三四九九五二乙丙外邉二十五 或二乙角之切線七四九九一三全數十萬 ○三乙丙外邉二十五四得二十為外甲乙邉 四得十五為外甲丙邉三法曰設直角傍之一邉如乙丙甲角五十三度八分用正弦則乙丙為全數其法為丙角之正弦與乙甲外數若甲直角之全數與乙丙底外數丙角五十三度八分之正弦八○○○三乙甲邉外數二十乙丙全數十萬 乙角之正弦五九九九五得二十五强即乙丙底外數 得一十五强乃甲丙邉外數用割切二線四法曰設乙甲邉與乙角則甲乙全(内數)與其外數若乙丙割線(内數)與其外數或若甲丙切線(内數)與其外數底與邉俱得乙甲全數十萬乙甲邉數二十乙角割線内數一二四九九五 乙角切線内數七四九九一得二十五强即乙丙外數 得一十五强即甲丙外數第十三題(三支)有兩邉求餘邉又求其角一支兩邉在直角之傍一法曰先求邉用勾股法兩邉數自之幷而開方得直角之對邉(一卷四十七)次以邉求其角因角與角之比例若邉與邉用正弦數為丙乙邉之外數與甲角之全數若丙甲邉外數與乙角之正弦亦若甲乙邉外數與丙角之正弦丙乙外數五全十萬甲乙外數三 甲丙邉外數四用剖切線二法曰丙銳角為心丙甲為全數甲乙其切線丙乙割線也先求角則甲丙邉外數與全數若甲乙邉外數與丙角之切線丙甲外數四全十萬甲乙邉外數三得七五○○○為丙角之切線查得三十六度五十二分有丙角自有乙角而求丙乙邉則全數與甲丙外數若丙角之交線與丙乙外數全十萬甲丙外數四丙角交線一二五○二二得五為丙乙邉外數二支一邉為直角之對一邉在直角之傍三法曰先用勾股法兩設邉各自之相减餘開方得所求邉有邉求角則角與角之比例若邉與邉四法曰不用開方用第一支求角法有二邉即有對角之數次求邉則丙乙全數與丙乙外數若乙角之正弦與丙甲外數全數十萬乙丙外數五乙角之正弦八○○○三得四為甲丙邉外數用割切兩線五法曰求角用乙角之割線則乙甲外數與全數若乙丙外數與乙丙内數内乙丙者乙角之割線也乙甲邉外數三全數十萬乙丙外數五得一六六六六六為乙角之割線查得五十三度五十二分(丙角三十六度○八分)六法曰求邉用乙角之切線則乙甲内全數與乙甲外數若乙角之切線與甲丙外數乙甲内全數十萬 或乙角之割線一六六六七九甲乙外數三 乙角之切線一三三三四九乙角之切線一三三三四九 乙丙邉外數五得四為甲丙邉外數 得四為甲丙邉外數又問有一邉及兩邉之比例餘邉幾何法曰設一邉與第二邉有比例或大或小則以大比例為前數為第一率設邉數為二率比例之後數為三率用三率法得四率為第三邉之數次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲與甲丙若二十與二十五得甲丙一丈二尺五寸次用開方求之又問設兩邉總之較問各邉若干此測量不常用見勾股索隠又增題 三邉直角形設兩腰以求角法曰設甲乙七十五甲丙百則以乙丙底平分於丁作丁戊垂線交丙甲腰於戊從戊至乙角作戊乙線是與戊丙等(一卷十)次以戊為心乙為界作丙乙己半圏丙甲腰引長至己即乙甲為丙甲甲己之中比例線(六卷十三)是乙甲上方形與丙甲甲己矩内形等次以乙甲邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己徑之數即知丙戊及戊乙半徑之數用三率法外戊乙與全數若外乙甲與乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半於心角則因乙(戊甲)角得丙角(三卷二十)(題)甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一與丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半徑戊丙七八又八之一全十萬甲乙七五乙己弧正弦九六○○○查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切線甲丙全數也丙甲為丙乙甲角之切線則甲丙一率也全數二率也甲乙三率也所得丙角之切線也第十四題(論雜角三邉形)有三角及一邉求第二第三邉解曰依前論邉與邉若角與角如設乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○歩法曰所有邉其對角之正弦為第一率邉數為二率所求邉對角之正弦為三率得四率即所求邉數丁角之正弦五八七七九乙丙邉數一十丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六○○一得十七為丁乙邉 得十五為丙丁邉若三角形有鈍角當借用其餘角之正弦第十五題(三支)有角及其旁兩腰求餘邉餘角一支不論角之體勢 如丁乙丙角形乙丁邉一十二歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙邉乙角丙角先以丙丁邉引長之丁為心乙為界作乙壬辛戊弧截引長邉於戊次作戊乙通弦從丁作丁庚辛線與丙乙平行末平分戊乙弦作丁甲壬線解曰乙丁丙角二十四度半强則乙丁戊角必一百五十五度半弱庚丁戊角與丙角等(在平行線内)庚丁乙角亦與丁乙丙角等蓋丁乙線交兩平行線故其相對兩内角等則乙丁邉與丙角之正弦或庚丁戊角之正弦若丁丙與乙角之正弦或庚丁乙角之正弦依顯戊庚弦與庚乙弦若庚丁戊角之正弦與乙丁庚角之正弦亦若乙丁(一十二)與丁丙(一十五)也(本卷四題)次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半為外一率甲丁戊角之切線為内二率甲戊内减比例之小數戊庚存甲庚一有半為外三率求得甲丁庚角之切線為内四率查得本角之度知甲丁戊角則亦知甲戊切線知甲庚庚戊之比例則亦知甲丁庚角之切線甲庚也甲丁庚為乙丙兩角之較以加减得各角之數乙丁邉十二丁丙邉十五總二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小數即十二餘一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙兩角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也法曰乙丁丁丙兩邉數幷半之為第一率乙丁戊角之數半之為甲丁戊其切線為二率甲戊内减去比例之小數十二所存甲庚為三率得甲丁庚角之切線查度以减甲丁戊外角所存為庚丁戊角之度即丙角之度既得角則用前法求邉(或兩腰總數作第一率兩腰較作第三率)甲戊十三有半甲丁戊角之切線四五八○○一甲庚有一半得五○八一五為甲丁庚角之切線查得二十六度五十六分甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分餘五十度四十五分為丙角則乙丁邉與丁丙邉若丙角與乙角二支所設為鈍角解曰如丁乙丙角形丙鈍角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙邉一十五歩用設邉如乙丙引長之從丁作垂線至引長邉得甲㸃在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙鈍角則丙丁乙丙乙丁兩角小於甲丁乙丁乙甲兩角蓋每角形之三角幷等兩直角鈍大於直則所餘兩角幷必小於直角之兩餘幷矣故丁甲線在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其餘角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正弦用開方丁角為心丁乙邉為界作戊乙辛圏分又丁丙為界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙兩邉其法全數與丁丙若甲丙丁角之正弦與甲丁甲丙亦如之既得兩邉開方求丁乙邉(甲丙丙乙幷之得勾丁甲為股故也)全數十萬丁丙邉外數十二甲丙丁五十度角之正弦七六六○四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九得九又一百之十九為甲丁邉外數 得七又一百之七十一為甲丙邉外數(甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十九)自之幷得一萬之六○○二四三五開方得一百之二四四九即丁乙邉約之得二十五不足有三邉以求角則丁乙邉與全數若丁丙邉與乙角之正弦查得二十二度有竒用割切兩線丁為心作甲己象限圏即丙丁為丙丁甲角之割線甲丙其切線也乙丁為乙丁甲角之割線甲乙其切線也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙兩銳角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙兩腰得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩又一百之七十一以丙乙丙甲幷為甲乙邉二十二歩有竒則甲丁乙三角形有甲丁甲乙兩邉開方求丁乙底得二十四歩半有竒甲丁丙角割線一三○五四丁丙邉外數十二全數十萬 甲丁邉角切線八三九一○得九又一百之十九為甲丁邉外數有三邉以求角則甲丁邉外數與全數若甲乙邉外數與乙丁甲角之切線甲丁邉數九歩一十九分全數十萬甲乙邉之數二十二歩七十一分得二四七一一六為乙甲丁角之切線查得六十度五十分三支所設為銳角解曰如丁乙丙角形乙銳角二十四度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五之十一一法用正弦數亦用開方從乙丙底之對角丁作垂線分元形為甲乙丁甲丙丁兩形次以丁為心丙為界作寅丙壬弧又以乙為界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙為全數設乙角則甲丁為正弦甲乙又丁角之正弦用法求甲丁為一十五歩求甲乙為二十二歩又一十五之一十一則以甲乙减丙乙存甲丙線二十歩依顯丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙二十歩用開方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁角得三十六度五十○分全數十萬丁乙邉外數三十六乙角之正弦四六六七 乙角之餘弦九○九○六得十五為丁甲邉外數 得二十三又十五之十一為乙甲邉外數丁丙邉二十五甲丁邉十五全十萬得六○○○○為丙角之正弦查得三十六度五十五分用割切兩線丁為心丁甲垂線為界作己甲午半圏丁甲乙角形丁甲為全數丁乙邉為乙丁甲角之割線甲乙其切線也又丁甲丙角形丁甲為全數丁丙邉為丙丁甲角之割線甲丙其切線也丁乙甲角形有丁乙邉三十六歩有丁角為乙之餘角六十五度二十二分用法求丁甲甲乙兩邉於丙乙减甲乙存二十為甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲丙兩邉用法求丙角亦求丁丙邉乙丁甲角之割線二三九九九九丁乙外邉三十六全數十萬 乙丁甲角之切線二一八一七三得十五為所求外丁甲 得三十二又十五之十一為外甲乙求角甲丁邉十五全數十萬甲丙邉二十得一三三三三三為甲乙丙角之切線查得五十三度○七分求邉全數十萬甲丁丙角之割線一六六六六五丁丙邉十五得二十五弱為丁丙邉甲丙甲丁兩邉之正方實幷而開方得丁丙二十五弱第十六題(四支)雜角形設兩邉及一邉之對角求餘邉餘角一支不論角之體勢依邉與邉若角與角比例之法先求乙角則丁乙為外一率其對角(即丙角)之正弦為二率丁丙為外三率所得為乙角之正弦以丁二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列數得之丁乙邉二十五歩弱丙一百三十度用五十度角之正弦七六六○四(為一)(弦當大小兩弧)丁丙邉十二得三七五○○為乙角之正弦查得二十二度○二分幷乙丙兩角之度以减一百八十餘二十七度五十八分得丁角次有角求丙乙邉則乙角之正弦與外丁丙若丁角之正弦與外丙乙乙角之正弦三七五○○丁丙邉十二丁角之正弦四七○○○得十五為丙乙邉二支所設為鈍角(數如前)用所設兩腰間之丁角為心以丙以乙為界各作弧用正弦數如十四題第一圖丁丙乙鈍角一百三十度則甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度(甲直角故)求甲丁邉用前法(如一圖)又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角(如二圖) 又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙角依前法求丙乙邉(如三圖)全數十萬丁丙邉十二甲丙丁五十度角之正弦七六六○四得九又一百之十九為甲丁邉數丁乙邉二十四歩半 乙角之正弦三七五○全十萬 丁丙邉十二甲丁邉九歩又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六得三七五一為甲乙丁角之正弦 得十五為乙丙邉用割切兩線甲丁為全數丁丙為甲丁丙角之割線甲丙其切線也丁乙為甲丁乙角之割線甲乙其切線也今有丁丙乙角一百三十度餘角甲丙丁必五十度則甲丁丙直角形有兩角有丁丙對直角之邉而求甲丁邉一圖甲丁丙四十度之割線一三○五四一丁丙邉十二全數十萬得九又一百之十九為甲丁邉外數二圖或甲丁丙角之切線八三九一○為三率得七又半不盡為甲丙邉外數三圖甲丁邉九有竒丁乙二四半全數得二六六五九四為甲丁乙割線查得六十七度二十三分(乙角之度二十二度○十○分)四圖全數甲丁邉九有竒丙切線之較一六一三五得十五為丙乙邉又甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙角之切線丙乙為兩切線之較則全數與甲丁邉若切線之較與丙乙(如四圖)三支三角形有兩邉及銳角其二亦銳角如丁乙丙形有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁乙丙銳角二十四度三十七分丁丙為其對邉法用所設兩腰間之丁角作甲丁垂線至丙乙邉用正弦數丁為心丙為界作戊丙弧乙為界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有乙角可求甲(丁甲乙兩)邉(如一二圖)甲丁丙角形有甲丁丁丙兩邉可求丙角(如三圖)可求丙甲邉(如四圖)一圖全數十萬丁乙邉三十六乙角之正弦四六六七得十五為甲丁邉外數二圖或乙丁甲角之正弦九○九○六為三率得三十二又十五之十一為甲乙邉外數三圖丁丙邉二十五全數十萬甲丁邉十五得六○○○○為甲丙丁角之正弦查得三十六度五十○分四圖全數十萬丁丙邉二十五○○○○甲丁丙角正弦八○○○○得十五為甲丙邉外數用割切兩線丁乙為乙丁甲角之割線甲乙其切線也即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙兩邉(如一)(二圖)又甲丙丁角形有甲丁丁丙兩邉可求甲丁丙角甲丙邉(如三四圖)一圖乙丁甲角之割線二三九九九九全數十萬丁乙邉三十六得十五為甲丁邉外數二圖或乙丁甲角之切線二一八二五一得三十二又十五之十一為乙甲邉外數三圖甲丁邉十五全數十萬丙丁邉二十五得一六六六七九為甲丁丙角之割線查得五十三度八分四圖全數十萬甲丁丙角之切線一三三四九甲丁邉十五得二十七又十五之四為甲丙邉外數四支所設為銳角有兩邉其旁為鈍角一法用正弦數如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙銳角二十二度○二分丙為鈍角用第二支圖作丁甲垂線即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲乙兩邉(如一二圖)甲丁丙直角形有甲丁丁丙兩邉可求甲丁丙角(如三圖)甲丙邉(如四圖)一圖全數十萬乙丁邉二十四歩半乙角之正弦三七五一五得九歩又一百之十九為甲丁邉二圖或甲丁乙角之正弦九二六九七為三率得二十二又一百之七十一為甲乙邉三圖丁丙邉十二全數甲丁邉九又一百之十九得七六六○一為甲丁丙角之正弦查得五十度四圖全數丙丁甲角之正弦六四三○一丁丙邉十二得七又一百之七十五為甲丙邉外數用割切兩線法與前同第十七題三角形有三邉求三角三邉等則三角亦等各角皆六十度於一百八十度為三分之一或兩邉等如丁乙丁丙法從丁作丁甲垂線至乙丙底分本形為甲丁乙甲丁丙兩角形而等何者丁乙丁丙兩腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰則兩形必等(一卷八)即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角與角若邉與邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之為乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减兩直角餘為乙丙兩角幷之數半之得兩角數為兩角等故丁乙邉五全數乙丙邉三得六○○○○為乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙為七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分為乙丙兩角之幷數半之得五十三度○八分為乙丙兩角之各本數或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角為心(此角在兩小腰間)丁乙為界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引長至戊依五題求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲丙兩邉求得丙丁甲角(如一圖)因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角(如二圖)因得甲乙角又幷兩角得丙丁乙角亦得丙乙兩角為是丁上兩角之餘故一圖丁丙邉十五甲丙邉十二半全數得八三三三三為丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分二圖丁乙邉十乙甲五半全數得五五○○○為甲丁乙角之正弦查得三十三度二十二分即丙角新法算書卷八十七
## 卷八十八
欽定四庫全書
新法算書卷八十八 明 徐光啟等 撰測量全義二第一題平靣測遠(三支)一支測兩物之能到者 一法曰甲乙為地平靣上江河之廣或土田道里之遠欲從甲測去乙幾何於甲角上平安象限儀之心(後言象限或言儀平安言安省文)兩邊向乙向丙作直角次從甲向丙行任取一十二步為丙㸃丙上再安象限邊向甲窺衡望乙交象限之周線于丁定丙角為四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙邊丙角而求甲乙邊法為全數與甲丙邊外數若丙角之切線與甲乙邊外數也算得一十三步又三之一為甲與乙平靣相距之遠(象限儀法見本篇第三卷窺衡或作指尺義同)二法曰丁乙為兩所不能作直角或不欲或地非平靣(山水林木屋舍所隔)則丁安象限邊向乙窺衡向丙定丁角為六十二度向丙行任取一十二歩丙上再加象限邊向丁窺衡望乙定丙角爲八十度成丁乙丙角形此形有丁丙邊丁丙兩角自有乙角而求乙丁邊法乙角之正弦與丁丙邊外數若丙角之正弦與丁乙邊外數算得一十九歩又五之一爲乙與丁相距之逺丁爲鈍角亦如之 三法曰或從丁向丙線持象限前却取得甲直角是乙丁為直角之對邊也法全數與外甲丁若丁角之交線與外乙丁四法曰若丁爲鈍角上安象限面移丁丙線外邊向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角爲五十度以并戊丁乙直角得鈍角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁邊一丈二尺丙角二十四度法乙角之正弦與外丁丙若丙角之正弦與外乙丁得一丈七尺七寸五法曰丁安象限邊向乙衡向任取之丙表得二丈從丁直視過丙至己任定丙己爲一丈以上安象限邊向戊衡向丙令己角與丁角等末前却令戊過丙至乙作直線則丙己與己戊若丙丁與丁乙論曰丁乙丙丙己戊兩角形相似何者己丁兩角等丙上兩交角又等是形與形相似(六卷四題)即相當邊之比例必等用三率法丙己一丈為一率己戊三丈為次率丁丙二丈為三率算得六丈為乙丁六法曰甲乙為兩所從乙引長任取二十步為丙又任作丙丁戊直線任取丙丁二十五步丁安象限邊向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角與丁角等量丁戊得六十一步法丙丁與丁戊若丙乙與乙甲(六卷二)算得十二步又一十五之四不用布算法七法曰乙丁為兩所乙安象限邊向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次從丙乙直線上求戊令戊角半於丁乙丙角則戊乙與乙丁等論曰丁乙丙外角與相對之兩内角等(一卷三十二)戊角半丁角亦半兩角等兩腰亦等八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直線上求丙亦作六十度角則乙丙與乙丁等論曰乙丙兩角各六十度則丁角亦六十度而乙丁丙為三邊等形九法曰若乙丙短則向乙向丁求甲直角得甲乙為乙丁之半論曰丁乙甲直角形乙角既六十度則丁角三十度因角與角之正弦若邊與邊是三十度之正弦全數之半也故乙甲為乙丁之半也十法曰任設乙角為四十度次以半周上餘度平分為七十度于乙丙線上前却令丙角亦七十度則乙丙與乙丁等論曰丙角為外角之半丁角亦半乙丙與乙丁兩線必等用矩度法 用矩度者以器上小形當所測大形也如所測為甲乙則矩度之邊壬丙或己辛與甲乙平行其相當數為比例必等所設兩在邊為甲丙則矩度之邊壬辛或丙己與甲丙平行其相當數為比例必等(一卷)(二十九三十二題)置法同前甲恒為直角十一法曰一解窺衡交線(後省曰交或曰視交)在對角則丙甲與甲乙等論曰丙己辛丙甲乙兩角形相似何者兩形有己甲各直角同用丙角則兩相似(六卷四題)而矩形丙己與己辛等則丙甲與甲乙亦等二解視交在兩所平行邊如戊則丙己與己戊若丙甲與甲乙論曰丙己戊丙甲乙兩角形相似何者兩形有己甲各直角同用丙角則兩形相似(六卷四題)而矩形之丙己與己戊若甲丙與甲乙三率法丙己一百分為首率己戊七十分為二率丙甲一十五步為三率算得甲乙十一步半(兩所平行邊後省曰平邊)三解視交在兩測平行邊如丁則丁壬與壬丙若丙甲與甲乙(兩測平行邊後省曰立邊)論曰丁壬丙丙甲乙兩角形相似何者兩形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲兩角在平行線内則相當線之比例必等 三率法丁壬六十分為一率壬丙百分為次率丙甲一十二步為三率算得二十步為甲乙省算法 十二法曰交戊甲丙六十步即于丙己邊自己至未取六十分與甲丙比例等自未至視線作未子為丙己之垂線從子作子午為辛己之垂線得子午戊形戊午之若干分為甲乙之若干步論曰子午戊丙甲乙兩角形相似何者兩形各有直角有相等之戊角與乙角則各邊之比例等先作未己或子午與甲丙比例等則戊午甲乙比例亦等 若交在丁從壬至午取六十分作午子垂線二支測兩所之不能到者一法曰乙丙為兩所俱不能到獨甲可到即於甲上立表令甲乙丙為直線安象限邊向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁邊向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁兩直角形甲乙丁角形有甲丁邊丁角可求甲乙邊(本書首卷十二題二解)甲丁丙角形有甲丁邊丁角可求甲丙邊末以甲乙减甲丙所餘乙丙用切線可求乙丙邊如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度則甲丁為全數而甲乙為甲丁乙角之切線甲丙為甲丁丙角之切線兩切線之較為乙丙用三率法全數一甲丁二十四步二切線較三算得一十步一十五之七為乙丙二法曰乙丙為兩所直線上更任取兩所如丁如庚次作庚壬線任取壬㸃安象限邊向丙窺庚定壬角之度次辛㸃上安象限向乙向庚游移令辛角與壬角等次戊安象限向丁(乙丙直線上)向庚游移令戊角與壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各幾何用三率法與戊庚與辛壬若庚丁與乙丙三法曰乙丙直線上任至一處如庚庚上安象限邊向乙丙窺丁定丁庚乙角之度又從庚丁直線上至戊戊上安象限作庚戊己角與丁庚(乙角)等即戊己線與丙庚平行次于巳上窺過丁到丙戊己之間游移窺過丁到乙得辛則戊丁與辛己若丁庚與乙丙論曰丙乙丁辛己丁兩角形相似戊辛丁乙庚丁兩角形亦相似則各邊之比例自等省算 四法曰乙庚為兩所直線上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限邊向甲窺乙窺庚作甲丁乙甲丁庚兩角次甲乙直線上尋戊作甲戊丁為乙丁甲之餘角尋巳作甲己丁為甲丁庚之餘角則得戊己與乙庚等論曰甲乙丁甲戊丁兩形等何者戊為甲丁乙之餘角則與乙角等同用甲丁邊故兩形等依顯甲庚丁甲丁己兩直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等五法曰甲丁直線上取戊安象限窺乙作戊角為四十五度丁上窺庚亦令丁角為四十五則戊丁與乙庚等(戊甲乙為直角)論曰丁戊各半直角則庚與乙亦如之甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然減相等之甲乙甲戊則所存亦等六法曰若庚乙丁戊兩線上所得角未眞則于乙庚線上取丙安象限作六十度角丙丁線上尋戊尋丁望乙望庚作戊丁二角各六十度則戊丁與乙庚等論曰丁丙庚角形之三角同為六十度乙戊丙亦如之減相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等七法曰置丙角六十度令戊丁為兩直角則戊丁為庚乙之半論曰庚丙丁乙丙戊兩直角形有丙角六十度乙角必三十度因邊與邊若角與角之正弦則三十度之正弦戊丙為全數乙丙之半又庚丙為全數丁丙為庚角之正弦視全數亦半庚丁乙戊既平行則庚丙與丁丙若乙丙與戊丙分之乙丙與戊丙若庚乙與戊丁戊丙為乙丙之半則戊丁亦乙庚之半八法曰若丙為鈍角則以丙角之餘度平分之次于丙丁線上尋戊尋丁各作丙角餘之半則戊丁與乙庚等論曰乙丙戊庚丙丁兩角形相似乙戊庚丁四角等則邊亦等減相等之戊丙乙丙所存之戊丁乙庚亦等用矩度九法曰庚向乙直線上行取甲甲上安矩度作甲丁垂線行至丁得若干步安矩度邊向甲窺乙與庚各交矩度邊 一解交乙庚平行邊于己于戊則丁壬與戊己若丁甲與乙庚(戊己與乙庚平行故曰平行邊)論曰己丁壬庚丁甲兩直角形同用丁角則相似是丁壬與壬己若丁甲與甲庚又丁壬戊丁甲乙兩直角形同用丁角亦相似是丁壬與壬戊若丁甲與甲乙更之丁壬與丁甲若壬戊與甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲兩全内所取之分也(五卷十一)則所餘戊己與乙庚若壬己與甲庚亦若丁壬與丁甲矣三率法丁壬一百分為首率戊己四十分為次率甲丁六步為三率算得二步又十分之四為乙庚二解交立邊于午于子論曰午丁辛丁庚甲兩直角形相似以求甲庚邊子辛丁丁甲乙兩直角形相似以求甲乙邊庚甲内減甲乙較為乙庚省算于丁壬邊取丁寅之分數如丁甲之步數(每步取一分或)(二或三俱得)寅上作垂線交兩視線于酉于卯則卯酉之分數為乙庚之步數論曰卯寅丁庚甲丁兩形相似酉寅丁乙甲丁兩形亦相似卯寅内減酉寅庚甲内减甲乙則丁寅與卯酉若丁甲與庚乙三解互交兩邊于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内減甲乙餘為乙庚邊其求甲庚為丙己與丙丁若甲丁與甲庚求甲乙為丁壬與壬戊若甲丁與甲乙 省算丁壬邊上取丁寅之分數如甲丁之步數寅上立垂線交兩視線于午于子則午子之分數如乙庚之步數三支物莫能到復不能作線與㕘直一法曰乙己兩物不能到復不能向乙己作直線則于甲上安象限邊向乙窺己成甲乙己角(形向丁次)行至丁得若干步上安象限邊向甲窺乙成甲丁乙角形復窺己成丁乙己角形若乙甲丁形有丁角為三十八度丁甲十步而求甲乙邊法為全數與外甲丁邊若丁角之切線與外甲乙邊算得七步又六十之四十九(若甲非直角則定其)(角之度)次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己邊法為己角之正弦與外甲丁邊若丁角之正弦與外甲己邊算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙邊七步又六十之四十九甲己邊一十五又六十之四十九而求乙己邊即從乙到戊作垂線分本形為兩直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊邊法為全數與外甲乙邊若乙角之正弦與外甲戊邊算得七步又六十之五次求乙戊邊法為全數與外甲乙邊若甲角之正弦與外乙戊邊算得三步又六十之一十八末于甲己内減甲戊餘八步又六十之四十四為戊己其乙戊己角形有乙戊戊己兩邊以句股法求之得乙己九步有竒二法曰任内丙表安象限邊向乙窺巳定己丙(乙角)之度丙乙直線上取丁安象限邊向己窺過丙到乙定己丁丙角為己丙乙角之半又於己丙直線上取戊安象限邊向乙窺丙到己令乙戊丙之角為丙角之半則得丁戊與乙己等論曰丙丁己角為乙丙己外角之半則己角亦半夫角等者腰亦等則己丙與丁丙等乙戊丙角為乙丙己外角之半則乙角亦半而乙丙與丙戊等夫乙丙己丁丙戊兩形之兩腰等兩腰間角等則乙己與戊丁兩底亦等第二題斜靣測遠(三支)一支不論根之能到與否一法曰乙甲為山之髙其坡乙丙欲測坡若于于丙或左或右置象限作直角一邊向丁至丁上置象限邊向丙窺乙令丁為四十五度角則得丙丁與乙丙等論曰乙丁丙直角形丁角四十五度則乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之對邊也必等二支根之能到者 二法曰置丙象限邊向甲根窺乙定丙角之度此形有甲丙邊丙角而求乙丙邊法為全數與外甲丙若丙角之割線與外乙丙 三法曰丙甲直線上求丁置象限令其角為乙丙甲角之半則丙丁與乙丙等四法用矩度一解曰表在丁窺交平邊于辛為辛庚與辛丁若甲丁與乙丁二解曰表在丙窺交為對角線依句股法丙甲自之倍之開方得弦三解曰表在戊窺交立邊于己為戊寅與戊己若甲戊與戊乙五法省算矩邊從丁到午取分數如丁甲之歩數立午子垂線成午丁子角形與甲丁乙形相似則丁子之分數為乙丁之步數從戊亦如之三支根之不能到者 六法曰丙丁直線上用象限兩次于丙于丁成乙丙丁形此形有丁丙邊丁丙兩角用正弦法得乙丙邊七法曰以意置乙甲垂線用丁乙甲丙乙甲兩角之切線較為一率外丁丙為次率丙乙甲之割線為三率所得為外率乙丙(或丁乙甲交線為三)(率所得四率乙丁)用矩度(八法)一解交平邊法曰在丙交辛於甲丙直線上退至丁得若干步而交己則己辛與辛丁(即辛丙)若丁丙與丙乙論曰壬辛丙角形與甲丙乙角形相似丁己壬角形與乙丁甲角形相似于壬己減壬辛甲丁減甲丙則丁丙與己辛相似二解交立邊法曰在丙交辛退丁交己則于矩靣上作子午線與丁戊平行截辛丁線(即辛丙)于子遇己丁線于午成子午丁角形與丁丙乙角形相似則子午與子丁若丁丙與丙乙或矩靣外作辛庚線與丁戊平行則庚辛丁形與乙丁丙形相似是庚辛與辛丁若丁丙與丙乙次求辛丁線法以辛戊戊丁各自之并而開方得所求次求辛庚線法己戊與戊丁若辛己與辛庚為丁己戊辛己庚兩直角形有庚丁兩角在平行線内即相似故論曰丁午子丁丙乙兩形相似葢子午丁午丁戊為平行線内相對之兩角等辛子午辛丙壬兩角等(在平行線内)則乙丙丁辛子卯兩餘角自等辛子卯午子丁兩交角亦等既兩形之各角俱等即各邊自相似 省算取子午之分數為丁丙之步數三解互交法曰在丙交辛在丁交己以平邊引長之遇于庚成庚辛丁角形則庚辛與辛丁若丁丙與丙乙論曰庚辛丁乙丙丁兩角形相似葢辛庚丁丙丁乙相對之兩内角等壬辛丁角與甲丙乙角等其餘角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛與辛丁若丁丙與丙乙第三題望高測遠一支平靣上有餘地 一法曰甲乙為山或樓臺而直線不能至甲欲借乙頂測丙與甲相距之遠則於丙上置象限定角度却從丙到丁得若干步置象限定角度乙丙丁角形有丁丙邊丁丙兩角可求乙丙邊有乙丙邊而求甲丙邊法為全數與乙丙邊若乙角之正弦與甲丙邊二法用切線乙為心甲為界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁兩角切線之較則丙丁切線較與外丙丁步數若甲丙切線與外甲丙步數三法曰丙外不能作直線則或左或右作丁丙乙直角行至丁置象限求作四十五度角即丙丁得三十一步又三十之二十三以乙丙為全數丙丁為丁乙丙角之切線丙甲為甲乙丙角之正弦是丁丙切線與外丁丙之步數若丙甲正弦與外甲丙之步數四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度為丙角之半却于地平靣之丙丁線上作丙丁戊角與甲乙丙角等為二十六度丁戊線上求戊作直角則丙戊之步數即甲丙之步數論曰丁戊丙甲丙乙兩直角形有丁乙兩角等乙丁丙為乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙兩腰必等丙丁戊形與甲乙丙形有等角有同邊即丁戊與甲丙必等用矩度 五交平邊法曰丙上立矩度成午壬丙形與甲乙丙形相似丁上立矩度成午己丁形與丙丁乙形相似則己午與壬午若丁丙與甲丙六交立邊法曰在丙交午在丁交己則午己與己壬若丁丙與丙甲論曰試從己作己戊線與午丁平行即午壬丁形(即午壬丙)與甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊兩形亦相似己壬丁甲乙丁兩形亦相似夫戊己壬形之壬戊為小甲丙己丁壬形之丁壬為小丁甲丁壬之内減戊壬丁甲之内減甲丙則戊丁小丁丙也午己與己壬既若丁戊與戊壬必若丁丙與丙甲矣七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊邊引長之遇丁午線于子成子戊丁角形與乙丙丁相似則子戊與戊壬若丁丙與丙甲論曰甲乙丁午己丁兩形相似午己丁丁壬子兩形亦相似則丁壬子甲丁乙兩形亦相似夫壬戊丙形(即壬戊丁)與甲乙丙形原相似是壬子當甲丁壬戊當甲丙即戊子當丁丙矣戊子與戊壬不若丁丙與甲丙乎矩靣加庚午衡線同上論二支平靣上無餘地 一法曰甲不可到丙外復無餘地則立表柱于内權線取直上丁下丙各置象限定丁丙兩角成乙丙丁形此形有丁丙邊有角則乙角之正弦與外丁丙若丁角之正弦與外乙丙(如丁為鈍角無)(正弦則以餘角之正弦)次甲乙丙形有乙丙邊有角則全數與外乙丙之步數若乙角之正弦與外甲丙之步數用矩度 二法一解交立邊在丙交己成己壬丙形與甲乙丙形相似在丁交辛成己辛丁形與乙丙丁形相似則己辛與丁壬若丙丁與甲丙論曰丁壬邊引至庚得庚丁與甲丙平行夫己壬當乙甲辛壬當乙庚則辛己丁丙皆當甲庚二解交平邊在丙交己在丁交辛則以丁己戊庚兩邊各引長之遇于寅截丁乙視線于子而成寅子丁形與乙丁丙形等角又成寅庚己形與甲乙丙形等角則各相似而寅戊丁形亦與寅庚己形相似則寅子與戊丁若丁丙與丙甲三解互交平邊交己立邊交未則以丁己戊庚兩邊各引之遇于寅因前論寅未與戊丁全邊若丁丙與丙甲五法曰省算于矩面上兩視線内加一直線與丁丙平行其分數等如申酉則丁酉之分數為丙甲之步數第四題對坡測遠法曰有高為甲乙于對坡丙上見乙戊欲測甲丙相距幾何於丙置象限向戊向乙向丁定戊丙乙乙丙丁兩角之直次步於丁置象限向乙向戊向丙定乙丁戊戊丁丙兩角之度末引長丁丙線遇乙戊線于甲而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求乙丙邊戊丙丁形有丙丁邊丁丙兩角可求戊丙邊乙丙戊形有乙丙戊丙兩邊有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙邊乙丙兩角即得甲丙邊如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙為一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度(甲丙乙四十八度之餘角)乙角一十度而求乙丙邊則乙角之正弦與外丙丁之步數若丁角之正弦與外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙邊則戊角之正弦與外丁丙之步數若丁角之正弦與外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙兩邊丙角一十二度而求乙角則作戊辛垂線至乙丙邊其全數與外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正弦與戊辛(七又○六三)亦若戊丙乙角之餘弦與辛丙(三三)(一四)于乙丙三十五又四五四○内減辛丙三十二餘二又三一四○為乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛兩邊而求乙角為乙辛與全數若戊辛與乙角之切線得二八六三九五查角之度為七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角則甲角必五十八度五十八分而求甲丙則甲角之正弦與乙丙邊若乙角之正弦與甲丙邊得四十一步又三七六一(一萬分為步)值丙在坡下法與前同第五題登髙測遠一支測根與他物之遠一法曰登乙山欲測甲根與丙相距之遠乙置象限向丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有角可得甲丙邊二法曰用矩度交立邊為壬辛與全邊若乙甲與甲丙交平邊為全邊與壬辛若乙甲與甲丙二支測兩他物之遠 三法曰乙山上欲測丙與丁相距之遠乙置象限作甲乙丙甲乙丁兩直角形用正弦法求甲丙復求甲丁以甲丙减甲丁所餘為丁丙邊若用切線為全數與外甲乙若丁乙甲丙乙甲兩切線之較與外丙丁四法曰用矩度交平邊則乙壬與己辛若乙甲與丙丁(一圖)交立邊則壬辛與壬乙若乙甲與甲丁(二三圖)又壬己與壬乙若乙甲與甲丙(三圖)次以甲丙减甲丁餘丁丙為兩邊之較若先求甲丙則乙壬與壬己若乙甲與甲丙(三圖)又壬辛與壬乙若乙甲與甲丁(三圖)三支不知高欲測根與他物之遠 五法曰不知甲乙高欲測根與丁相距之遠于戊于乙兩置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁兩形以乙丁甲戊丁甲兩角切線之較為一率外乙戊為二率全數為三率所得四率為外甲丁相距之遠六法曰兩交平邊于己于辛(一二圖)引長壬庚邊遇乙丙戊丙兩視線于寅于癸則乙壬當甲丙乙癸當丙戊乙寅當乙丙又壬癸當甲戊壬寅當甲乙則癸寅與乙壬若乙戊與甲丙兩交立邊于辛于己(三四圖)則己辛當戊乙己壬當戊甲餘如前 互交兩邊于己于辛(二三圖)引長壬庚邊遇乙丙視線于癸則辛癸當乙戊辛壬當戊甲餘如前四支 七法曰乙戊上兩置象限各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁乙丙三形乙丙戊形有乙戊邊乙戊兩角可求乙丙邊乙丁戊形有乙戊邊乙戊兩角可求乙丁邊末丁乙丙形有丁乙乙丙兩邊乙角可求丁丙邊八法曰在髙處其對山有二坡欲測其相距之遠法以丙丁變乙戊反用之(查四題一圖)義同前但甲角或鈍或鋭異耳第六題測髙之廣法曰有室欲量其簷廣如丁乙先于丙求丙丁乙丙兩斜線次向丁向乙定丁丙乙角而成丙丁乙形此形有丙角丙丁乙丙兩邊可得丁乙邊第七題測髙三支解曰凡測高以架承測器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持測器加目至地之度一支其底之能到者 一法曰人立丙欲測甲乙山之髙其底能到目在丁測立象限望乙成戊丁乙直角形此形有丁戊步數有丁角為全數與外丁戊若丁角之切線與外乙戊加甲戊得甲乙全高用正弦法亦如之二法曰於甲丙底線上從丙向甲或前或却側立象限令丙為四十五度角得甲丙與甲乙等三法曰任得丙角後於地面丙上立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角與乙角等(丙餘角即乙角)則甲乙丙甲戊丙為兩相等形而丙戊之遠即甲乙之高(側置後省曰立)用矩度立矩度以測高立邊當高平邊當遠用三率法視交在立邊則全邊與交邊若遠與高在平邊則交邊與全邊若遠與高四法曰在丙交平邊于己己壬得五十分甲丙五步則己壬五十與全邊百若五與甲乙之十在丁交立邊于戊戊庚得八十分則丁庚全邊與戊庚之八十分若甲丁一十二步與甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲測高而平邊得五十則高倍遠得四之一則高四倍于遠反之則髙一遠四二支其底之不能到者五法曰甲不可到丙外又無直線丙上立象限定乙丙甲角次轉器向乙向丁命作丙左右兩等角次丙丁上進退求丁安象限向乙向丁命作丁直角則乙丙丁乙丙甲兩形等丙丁當丙甲乙丁當甲乙六法曰丙外無餘地上立象限作甲丙乙角從丙至丁任若干步加象限定甲丁乙角正弦切線任用之用矩度以所測高為底法與測遠同七法曰截髙如乙甲求若干以測遠法反用之底不能至亦如之三支非平行非高之底八法曰甲乙高人在丁更高測法立象限作丙丁乙丙丁甲兩角其甲丙丁直角形有丁丙邊丁角可求甲丁邊次丁乙甲角形有甲丁邊丁甲兩角可得甲乙邊或先得甲丙以丁為心作丁戊線與甲丙平行戊為界作弧丁戊為全數以乙丁戊甲丁戊兩角之切線較求之九法曰甲乙高人在戊次高求測之先求甲丙因成戊乙甲形依地平作戊丁線與甲丙等分乙戊甲為乙丁戊甲丁戊兩直角形各有戊丁邊有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用第八題因遠測高一法曰知甲丙之遠乙上立象限作甲乙丙形測之二法曰不知甲丁之遠山上求樹求屋作乙丙垂線各向丁立象限成乙丙丁形意置甲丁地平平行線引乙丙垂線至甲正弦切線任用測之(亦重表法)三法曰在山上知丙丁之遠測乙甲高乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂線及甲丙地平平行線正弦切線任用測之四法曰丁高之上欲測乙戊先求甲丙次作丁戊乙形測之五法曰次高戊上測最高乙甲于丁戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙兩形測之第九題測井之深深者立遠也去人而近地心測深與測高通人在物底為量高在物頂為量深一法曰測井從口一邊垂線至底或視口廣狹從口邊投之以石至底作旋渦定其處如甲戊丙丁井甲戊口丁丙底投石作旋渦得乙為視線之界戊立象限向乙成甲戊乙直角形有甲戊邊戊角得甲乙之深二法曰不知井口于口邊立表表端加象限作甲丁乙形測之第十題登山測谷之深一法曰丁乙丙谷在於欲測甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙兩形測之二法曰丙可到丁于丁于丙立象限成丁丙乙角形有丁丙兩角有丁丙邊用切線較得之新法算書卷八十八
## 卷八十九
欽定四庫全書
新法算書卷八十九 明 徐光啟等 撰測量全義卷三取地平線法 増題一凡測髙深廣逺必用直角者以小句股求大句股也地平為句所測髙為股股者垂線也垂線之末加權焉以定地平有本器本論今用象限與矩度則於器心施權線平直相切於象限之邊其表邊所向之處别立他表則他表與器之心為平行線如一圖甲乙為物髙丙上加器表邊在上旁以權線凖之從丙直視至甲定甲為他表則甲丙線為地靣上平行線何者垂線從天頂向地心與地靣上平線為直角故也若道里相距太逺難定其髙下之較何者地靣為地球之一分〔？〕分也逺則目與物為〔？〕背所隔不相及矣法以相距之逺分為若干分每兩分定其髙下之較末以各較加減之得總髙下之較如二圖甲乙相距四里許乙上加器别立丙表令乙與丙等髙丙上加器别立丁表令丙與丁等髙丁上加器望甲令甲與丁等髙次量各表距地各幾何加減之得甲乙之較值兩地之間為山城所隔如三圖量乙距丙幾何令乙與丙平丙之表端為丁距戊幾何令丁與戊平戊下取己與丙平戊己距庚辛表幾何定己與庚平戊與辛平庚辛距壬癸表幾何令辛庚與壬癸平從壬癸望甲令癸與甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并兩數相減餘為兩地髙下之較如近乙之丁丙與己戊并多於近甲之庚辛與壬癸并則乙下而甲髙深淺反之若山城中窮于用器則于山腰用之又别有簡法曰山頂戊用器求甲與乙之深兩數之較則髙下之較(四圖)如在乙欲測甲髙乙上用器令乙與丁平則量丁乙之逺而求甲丁之深(五圖)矩尺測量法 増題二法曰如一圖欲於丁測甲乙之髙丁上立表表端為山口矩尺之直角加焉以己戊尺向髙際乙稍移就之令己戊乙為直線次從戊己尺上依直線向地平得丙成丁戊丙甲乙丙相似兩形則丙丁與丁戊若丙甲與乙甲以髙求逺則戊丁與丁丙若乙甲與甲丙若據髙求逺如二圖丁丙與戊丁若戊丁與丁乙若因逺求髙則戊丁與丁丙若乙丁與戊丁 論曰戊丁乙戊丁丙兩形有丁直角丁丙戊丙戊丁并為一直角丙戊乙亦為直角兩角内減丁戊丙角餘戊丙丁丁戊乙兩角等夫直角形有兩角等即形相似則丙角之對邊戊丁也乙戊丁角之對邊丁乙也其比例必等求井之深則於井口邊甲上立表向井底乙向地平之丁成甲丁丙丙戊乙兩形相似是丙甲當廣甲丁當深也測極逺别法 増題三兩郡邑相距太逺以髙求逺表法為窮則用四表遇地靣不平四表法又窮别法每邑取一髙若山巔若樓䑓若林木俱可或并為諸物又地平為他物所礙則又窮當於氣清日朗風恬時燒狼烟直上作兩處之表次于近山之頂取甲取乙甲山上加象限向所測之丁與丙又向乙山定丙甲丁乙甲丁兩角乙山上加象限向甲向丁向丙定丁乙丙甲乙丙兩角夫甲乙丙形有甲乙邊乙甲兩角可求甲丙邊甲乙丁形有甲乙邊甲乙兩角可求甲丁邊未甲丁丙形有甲丙甲丁兩邊可求丁丙相距之逺若一次不能測則分測之如以甲乙測丁丙以乙辛測丙戊以辛庚測戊己量髙逺深 増題四用方木表承以鼎足之跗垂權取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔長寸許廣三分貫以横表游移無定亦以十或百平分之縱横作直角解曰如一圖欲測甲乙之髙丙上立表横表游移令丁戊乙為直線成丁戊己丁乙庚兩相似形即丁己若干分與己戊一百分若丁庚與乙庚加甲庚得全髙以髙求逺則戊己一百分與丁己若干分若乙庚與庚丁減丁己得甲丙逺物在下目在上如二圖令戊丁丙作直線則戊己與己丁若戊甲與甲丙若無髙求逺則用重表如三圖以丑壬兩測之較當庚癸相距之逺髙上測髙用重表再測但須定表横用游表直用在丙得己丙在丁得丁戊其較庚己以當丙丁横表己辛以當甲乙在一髙測兩下在丁向乙向丙定横表之兩數則丁戊當丁甲戊辛當甲丙己辛當乙丙己戊當甲乙用五圖以逺求髙其理亦同以逺求深或井口上立柱用四圖以井口之度求深用二圖造象限儀法(篇中或省曰象限或曰儀)用銅或木板作圏四分之一去板邊三分作甲乙直線平靣中任取丙為心甲為界作甲丁虚圏交甲乙線于戊從戊過丙作直線交甲丁圏于丁從甲至丁作直線成丁甲乙直角(幾何用法)次以甲為心去版邊一二分取乙為界作乙庚圏即四分全圏之一象限也圏限外餘版剡去之次離乙庚弧以内約二分作相似弧兩弧間平分各度分又同前作相似弧兩弧間識其十度或五度從庚從乙皆可起算互用之庚後作小孔貫以權線至甲(若作兩指尺可不用權線)窺衡一名指尺銅為之首為小圜徑三四分從心出直線名指線以定度分所至也廣三分厚一分長與象限之半徑等上設二表一近心一近秒秒以鉤鉤象限邊令游移而不脫表形方髙廣約四三分中作直線鑢通之下為小孔表之下端為半枘入尺中令兩表之前後兩縫兩孔皆相對不爽毫髮于指線為垂線象限邊上亦設二表如上法葢測量法每用兩指線以定兩測所在也或作兩指尺同心同線可定可移尤便如圖以木為架上為半圏兩端開山口深三四寸以受象限用象限法架口受象限之甲乙邊以庚甲線取平焉儀靣正對所測物從窺衡覷物與指線相參直得指線如弧所當度分則從乙至指線者地平上之髙也從指線至庚距天頂之髙也次法以架口受象限之弧甲心上别用權線下垂過弧甲庚邊上立表游移覷表與物參直審權線之度定物之髙從乙角起者地平上之髙也從庚角起者距天頂之髙也三法若地或平或欹則别作圓轉之架上端為球空大半作實球與空球等入空中鐡枘指外徑二分長寸許旋轉廻斡不出大球之口空球旁加螺旋三具俟實球之體定而固之 儀後靣中心作孔受實球之枘用時以枘入孔轉儀得其靣與所測物為直線以螺旋固之象限之用有二一定儀如首圖其一邊與地平為平行線以窺衡定地平上之度一游儀如二圖用權線其理同也何者游表邊與定衡同向一物作平行線定儀之立邊與游儀之權線作平行線則窺衡與立邊所作角表邊與權線所作角等弧亦等造矩度法用銅木板作正方直角形如象限法任用一角為心兩旁作直角兩線如甲乙甲丙次用元度乙丙各為心各作小弧交于丁次作丙丁乙丁兩線成甲乙丙丁正方形各邊作一百分毎對邊分以直線相聮成網目形器小每五分十分作直線器大更細分之角止作心加窺衡加權線任用架具於前定儀于立邊書髙深平邊書逺游儀于表旁邊書逺對邊書髙深以便别識約法象限弧之内空作矩度其窺衡指線上分即矩度邊之分是指線當權線也為用殊大若欲取最小之分則加兩窺衡兩指線相合為一線用時分指焉安衡法管端之小圜心開圓孔象限心則方孔為螺柱當圓為圓當方為方末圓而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙兩角各為心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙為三分而等各又三分之為九分又各半之為十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界為心左右參差定㸃毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同(論見幾何用法)分矩度法先平分之又平分之又各五分之為二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分造小象限法正方版一角為心作象限之弧弧外兩邊二平分之又三平分之至四至五六七八九十各平分用界尺從心至各分為界弧上作踈宻線線以内書各分其弧外餘板去之加權線與矩度同用用法 以表向物如前遇權線截弧表之旁則髙多逺少截表之對邊則髙少逺多如截表旁為二分則逺一髙二截五分則逺一髙五反之則髙一逺二逺一髙五說見二卷矩度法中又法以甲乙邊當一百依前法分乙戊弧為一百不平分若權線至己則股一百句五十也至辛則股一百句一十也轉用之權線至庚則甲丁股一百句五十也法用平版如几案置儀其一端儀之心以當兩測之初所定儀用㳺表左右遷移令二表與次所相叅直即于兩表間作一線名曰主線主線之左右視所繪之物令與兩表相叅直即如前作線虚記本物之名號次用指南針定其方向又各兩線中間書其度分之數畫訖至次所置儀於版之他端以儀心加主線之上主線與初所相叅直令初測之儀心在兩所之間也定儀如前用兩表視所繪之物各作線審方注度即每物各有兩線在圖版之上必相遇相遇之㸃乃實註本物之名號末去各線成所求作圖若欲知此物之距測所遠近多寡先定兩測之所相距若干為主線之里數或歩數或丈尺數依三角形法主線為底向一物之兩線為兩腰是有底及底上之兩角求兩腰為本物距兩測䖏若干又兩物之兩交作一線相聮與一測䖏成三角形從測所至兩㸃之線為兩腰聮線為底如前先得腰再用其角可得底為兩物相距之數如一圖甲為兩測之初所加儀向次所乙先作主線次向午己戊癸等物作各線後至乙亦如之即得各兩線之交為午己戊癸各物之定所若物在中不可得至欲繪其形即用儀幾次周遭測之如二圖新法算書卷八十九
## 卷九十
欽定四庫全書
新法算書卷九十 明 徐光啟等 撰測量全義界説第一界面者有長有廣第二界平面者一面平第三界曲面者一面曲無界者如球卵之面有界者如窑橋之面第四界一界之面一曲線内之形如圓形在圏界之内凡有三一平圓從心至界各線俱等一撱圓如圓柱而斜剡之得兩面焉一無法曲線如桃棃之面第五界二界之面如兩弧或無法之曲線或一直線一曲線而形之有法與否則視曲線第六界三界之面三邊或直或曲以曲線為邊者先定曲線之有法與否面因之量與二界同法以直線為本如丙丁戊曲邊形從丙角至丁作丙丁直線成丙乙丁兩角襍形從丙至戊從戊至丁亦如之細分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三邊形或俱等或俱不等或兩邊等或有直角或無直角皆有法之形也第七界四界之面方面有五邊角俱等者正方也角等邊不等者長方也邊等角不等者斜方也各對角對邊等者長斜方也邊角俱不等者無法之方也首兩種之外皆屬無法葢有設邊無設角或大或小容積因之異焉欲求其容須定角之度或中長線也第八界五以上多界之面邉角俱等者有法之形也或邉或角不等者皆無法之形也第九界定度者求兩物之比例凡量度萬形先定一有幾何之度如三丈之物以一丈之度量之謂之某物與定度為三倍大則一丈之度名曰公度因其能量之勢定各所量之物也凡量髙長廣逺皆屬線類則以線為公度葢比例之兩率為同類也故量線者先具一定線或一丈或一尺以為公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉等角直以為公度量線用直線以直線在萬線中為最短故量面用平面用正方以平面在萬面中為最短正方之理視萬形之理為最凖故(量體亦定一度如一石斗為六面體各面等各角及邉等)第十界量算丈尺寸分滿十進位畆法歩法則否二百四十方歩為畆二十五方尺為歩一百方寸復為尺也凡若干歩之積歩約為畆以二百四十方歩而一若干尺之積約為歩以二十五方尺而一若干寸之積約為尺以一百方寸而一約歩約畆則逓以歩法畆法除之第十一界中垂線從形心至邉作直角者為中垂線有法形之各中垂線必等無法形各邉不等中垂線亦不等第十二界中長線從形之一邉或一角至對邊作垂線是各邉上極逺之線以得本形中之直角三邊形第十三界直線為有法形之徑直線形本無徑聊借圓形之徑名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用切圏周故圏之徑亦可謂容形之徑第一題量四邉形(其法有三)形之類有二有直線有曲線兹先解直線形若曲線形後方詳之公量為方有法之方形二有正方四邉四角俱等(直角也)以所設一邉自之得面之容如正方田一叚各邉四歩自之其容為十六方歩有長方以所設兩邉相乗得面之容如長方田一叚縱五横六相乗其容為三十方歩若斜方具邉無角亦無法之類也有中長線之數則以底數乘之得斜方之容若無中長線之數而知一角之數則先以角求中長線如乙丁斜方形有長濶若干有丁角之數即從丙鈍角作丙甲垂線(即中長線)則丙丁甲直角形有丙丁邊丁角依法求甲得數以乗乙丙得元形之容若等邊斜方形作兩對角線分元形為四句股形兩對角線之交為直法法以兩對角線相乗二而一四邉形有上下不等而在平行線内者名梯田舊法并兩廣半之以中長線乗之 論曰戊己丁丙形從上廣之兩界己戊作己甲戊乙兩垂線(即中長線)中成長方形旁有兩句股形次引戊己廣至庚得庚己與乙丙等成己庚丁句股形與丙乙戊形等則庚乙方形與梯田形等丙乙甲丁為兩廣之較半之者損下廣以益上廣也兹舊法所自出也凡斜田箕田諸法俱同前兩腰之等與不等角之等與不等俱以平行線為本若不知中長線而知斜邊或一角者如下文知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁為兩廣之半較有己丁弦法以兩數自之相减開方得己甲中長線知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲即全數與丁角之切線若丁甲邊與己甲邊舊法曰一面長乗中濶得形之容駁曰中廣必垂線乃准垂線而外皆斜線必長于中長線况斜邉乎今設兩形之同邊異積如上圖其理易見二不等田東長三十六西長三十北廣二十五無南廣問田舊法并兩長折半乗北廣駁曰若北兩皆直角者即梯田之類也否則從何定南廣之度乎舊法四不等田北四十二南五十六東六十四西五十八并東西兩邉半之并南北兩邉亦半之兩半相乗得二九八九歩為其容駁曰若甲為直角試作乙丁對直角線成甲乙丁句股形有句股以求弦為七十六又一五三之九四其積為一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七(此法見後第三題)并兩形積得二八七一知法為未合也論曰兩廣或兩長在平行線内者并而折半損有餘補不足改為方形也以中長線乗之則得其容若四不等無法形也損此益彼一不能為方一不能為中長線何縁得合乎第二題量三邉形乙丙丁三邊形有邉數無角數求實其法并三邉數半之為實以每邊之數為法各减之三較連乗得數以半總數乗之為實平方開之得實如三邊為七為十二為九并得二十八半之為一十四减七較七减十二較二减九較五三較連乗得七十以半總十四乘之得九百八十○開方得三十一又六十二之一十九不盡又如三邊為十三十八二十一并得五十二半之為二十六减十三較十三减十八較八减二十一較五三較連乘得五百二十○以半總數二十六乘之得一萬三千六百二十○開方得一百一十六又二三二七之一六四不盡解曰如圖乙丙丁斜角形先平分丙丁二角作丙戊丁戊二線遇于戊從戊向各邊作垂線為戊壬戊己戊庚三線皆等(戊壬丙戊己丙兩直角形同用戊丙邉兩丙角)(亦等形必等則戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚兩直角)(形同用戊丁邊兩丁角亦等形必等則壬戊戊庚亦等)次從乙作乙戊平分乙角乙戊己乙戊庚兩直角形有己戊戊庚兩邉等同用乙戊邉形必等則兩乙角亦等依三角形推壬丙與丙己己乙與乙庚庚丁與丁壬各等共六線三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之為元形三邉并之半(或丁庚庚乙壬丙或每相等兩形邉减一邊得三較亦元形三邉并之半)次乙丙邊引長之取丙辛與丁壬等乙丁邊引長之取丁癸與己丙等則乙辛乙癸皆元形三邊并之半亦三較之總數也次從辛從癸作兩垂線遇于子乙戊引長之亦與辛子癸子遇于子(乙癸子乙辛子兩直角形之乙癸乙辛兩邉等兩乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等)次截丙午與壬丁等作午子線又截辛丑與壬丙等作丑子線即丑子與丁子必等(癸丁子辛丑子兩直角形之丁癸與辛丑等癸子與)(辛子等則其弦丁子丑子必等)又午丁子辛丑子兩形亦等(丁子與丑子等丁午)(與辛丑等則午子與辛子必等)則午為直角(相似之辛角先已為直角)而丙辛子丙午子兩直角形亦等又此兩形并成一斜方形而丙辛子午四角内减午辛兩直角餘子丙兩角并為兩直角(凡四邉形)(之四角并為四直角)又□ 丙壬壬丙辛兩角并亦等兩直角而减共用之壬丙辛餘午子辛壬丙己兩角等其各半角亦等(即丙子辛己丙戊兩角)即己丙戊辛子丙兩直角形相似(己辛等為直角)(己丙戊辛子丙兩角又等即其對邉相似)而戊己(小句一率)與己丙(小股二率)若丙辛(大句三率)與辛子(大股四率)次以線變為數(乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十)(七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今約用成數令直截易算也)則戊己十二與己丙十八若丙辛三十二與辛子四十八也又以第一率乘第四以第二率乘第三得數必等則戊己辛子之矩内實己丙丙辛之矩内實(各五七六)通用可也又戊己(小句一率)與辛子(大句二率)若乙己(小股三率)與乙辛(大股四率)而以第一自乘又以乘第二其兩方之比例亦若第三與第四(見幾何七卷十七題)則戊己方(一四四)與戊己(十二)辛子(四八)矩(五七六)若戊己(十二)與辛子(四八其比例皆四之一)亦若乙己(十七)與乙辛(六八何者乙己戊乙辛子)(兩直角形同用己乙戊角則相似則乙己與己戊若乙辛與辛子)反之則乙己(十七一率)與乙辛(六八二率)若戊己方(一四四三率)與戊己辛子矩(五七六四率)或與己丙丙辛矩(又四率亦五七六也一二與三四異類而為比例者根與根若積與積也四與)(四異形而為同比例者論積不論形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也)又四率法既云一乘四二乘三兩矩積等今依法乘之即得乙己根(十七一率)乗己丙丙辛矩(五七六第)(四率)所得數(九七九二)與乙辛根(六八二率)乗戊己方(一四四第三率)所得數(九七九二)等次再以乙辛乗之即得乙辛根(第一率六十八二邉總之半)乗乙辛根(六八)偕戊己(元形中垂線)方(一四四)之矩實(共九七九二為第二率)所得數(六六)(五八五六)與乙辛根(第三率六十八三邉總之)(半)乘乙己根(十七)偕己丙辛丙矩(五七六乙己己丙辛丙者三差之各數也)之矩實(共九七九二為第四率)所得數(六六五八五六)等依此用三較連相乘又以半總乘之得數為實開平方得元形之積此用前所得數本法也或用元形中垂線自乘以乘半總又以半總乘之得數為實開平方亦得元形之積此用後所得數證法也何謂中垂線自乘以乘半總又再乘而得積以句股法解之如戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍積即己戊壬丙兩形并之積(兩形等故)又乙戊己句股形以戊己句乘乙己股得倍積即乙庚戊己兩形并之積又以戊壬句乘壬丁股(或戊己乘)(丙辛)得倍積即庚戊壬丁兩形并之積故戊己乘乙辛得元形之積如此即一乘可得何待他法然元法中無戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得積與三較連乘以乘半總之元法所得大積等故以開方而得元形之積亦等則知元法之不謬故謂垂線三乘為證法也又論二法之相合者算術中兩方相乘開方得兩根相乘之數如圖戊己(一二)自乘為戊子方(一四四)以乘乙辛(六八即戊寅)為戊丑長方(九七九二)又以乘乙辛為戊寅大方(六六五八五六)此前證法所得數也若以乙辛(六八)自之得(四六二四)以戊己方(一四四)乘之所謂兩方相乘也(得六六五八五六)開方各得八一六即戊己根(一二)乙辛根(六八)相乘之數也若三較連乘又以乘乙辛雖不成方形而連乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以開方亦得八一六故三較連乘之元法無證以垂線三乘法為證也若直角三邉形以句股數相乘得數半之為形之容葢方形與三角形同底同在平行線内則方形之容倍于三邉形之容或用半若三邉等形則有中長線者法與句股同為本線分元形為兩直角形也無中長線者以法求之如乙丙丁三邉等形從丁角作垂線至乙丙邉平分元形為二(一卷二十六)用句股法以乙丁乙甲兩方相减餘為甲丁方其根則甲丁中長線也如設乙丙線一即乙甲線為二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减餘四之三甲丁上方也開方得四之三之方根(何謂四之三之方根)(葢四之三為方之實可明而其根不可明算家謂之不發之根若方實百開其根為十則能發之根也既不能)(發即有别法以求之故摽之以號曰四之三之方根四之三方實也四之三之方根根號也法見下文)次以四之三乘甲乙四之一(甲乙四之一與乙丙一皆有能發之根為同類故可以相)(乘若能發之根與不發之根為異類不可相乗故别求同類者乘之同類者則兩方數也算法根乘根得方開)(方得方之根方乘方得方方開方得根之方今于兩率各减其根號獨用兩方相乘得數以分法開之得異類)(兩根相乘之容方積也詳見句股索隱)得方方根(即根之方)十六之三為元形之容次用分法開之得九十之三十九約之為三十之十三元形之容也然不能畢合以開方不盡故系三十為元形乙丙邉上方形十三為乙丙丁三邉形之容葢兩形同底則其比例為三十與十三求分之母為全數全數者一也則一邉之方數亦一其根亦一法曰三角形邊上方形與三邉形之容若三十與十三則用一邊之方數乘十三以三十除之得三邊形之容如各邊設十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也又如各邊為十其半五五自之得二十五以减全邉方之一百餘七十五開方得八又一百之六十六以五乘之得四十三又十之三較前少差以開不盡故公法先求形之中垂線以形之半周乘之得形之容凡有法之形通用此解曰設三邊等形從心向各邊作垂線又向各角作線必分元形為六直角形而等夫甲皆直角甲乙邊俱等則其為句股形亦各相等半句(即甲乙之半)乘股(即甲)(丙中垂線)得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次(為半句者六也)乘甲丙故法曰形周之半乘中垂線得形之容如設各邊十則甲乙為五乙全角六十度則甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一邊用法求甲丙邊則全數與甲乙五若乙角三十度之切線五七七二五與甲丙邊之數二八八六八五有竒為中垂線也各邊十共三十半之得十五以甲丙中垂線二八八六八五乘之得四三三○二七五若所設各邊十為一尺約之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法試用本題第一法邊之總數為三十半之為十五减邊之較各五五連自乘得一二五又以半總十五乘之得一八七五開方得四三同前法一系若三邊等形之邊為全數如十百千等其中長線及其容積皆不發之數(十四卷十二)二系二邊等形先求中長線如三邉等形之法如兩腰各五底六半之三自之得九以减腰五上方二十五得十六開方得四中長線也餘與前等三系三邊不等形有一明角而求中長線則從一隱角向對邊作垂線成句股形有角有弦以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙丁十二丁乙十五乙角二度二分從丁作丁甲垂線成兩句股形其甲丁乙形有丁乙邊乙角而求丁甲邊為全數(内)與丁乙邊十五(外)若乙角之正弦三七五一五(内)與甲丁邉五六二七二五(外)約得五尺有竒以所得與底之十二又四之一相乘得六八九三四約之得六十八方尺有竒元形之容也(凡先設先得者為明所求為隱邉角同下文倣)(此)若俱隱角則用本書一卷六題法從大角至底作垂線求兩任分底之各分若干既分元形為兩句股各有弦又求得句以求股若干即元形之中長線法曰丁乙丁丙兩小邉相并為總相减得存存總相乘為實底數為法而一數與底相减所餘半之得相小邉之小半底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相减開方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七兩小邉并得三十二總也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减餘一八一又九之八開方得十三又三十七之十三不盡中長線丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之積也試用本題一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减較為四為十三為十一連乘得五七二以半總乘之得一六○一六開方得一二六有竒不盡若有角求一邉或有二角求二邊亦先求邉(本書一卷十五十六題)若形之邉為斷幾何如圓果平積之邉其法以邉數自之又加邉數半之為形之積假如各邉有三自之得九加邊得十二半之得六形積也又如設邉五自之得二十五加邉三十半之得十五積也見算章逓加法第三題量多邉形一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆為兩邉等三角形故不論㡬何邉俱同法法曰多邉形從心至各作線悉分為兩邉等三角形各形有邊數有角數求其中長線得各三角形之容并之得元形之容如八邊邉設十歩從心至角作線輳心成八角皆等凡輳心必四直角分三百六十度八而一每角得四十五度乙丙丁角形二邉等有丁丙底有丁乙丙角則丁丙兩角并得一百三十五度半之得六十七度又二之一為乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲(半元邉為五)求甲乙垂線即全數(内)與丁甲(五外)若丁角之切線(二四一四二一内)與甲乙邉(一二○七一○五外)約之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得六二三五五二五約六十歩有竒八之得四八八四二四○○約得四百八十八歩有竒為元形之容若有中長線如甲戊以其半乘半周所得與前等又如十二邉有法形邉設十歩以十二除三百六十度得三十度為丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度從心作乙甲線至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙線即全數(内)與甲乙(五外)若丁角之切線(三七三二○五内)與甲乙(八一八六六○二五外)約得十八歩有竒甲乙中垂線也次如前或用正弦數法曰各邉為本弧之弦即半邉為半弧之正弦而中垂線為半弧之餘弦以邊數除三百六十得設邊之弧邉數及弧度各半之次用半弧度求其正弦及餘弦末用三率法以半弧之正弦為第一半邉數為第二餘弦數為第三得第四為正垂線即乙甲如五邉等形邉設十二以五除三百六十得七十二半之得三十六其正弦五八七七九為一率(内)其餘弦八○九○二為三率(内)半邉六為二率(外)得九又九之一為四率(外)即一邉上之垂線次以形周乘四率得數半之為形之積五邉形之周為六十乘得五四六又九之四為五邉形之并積多邉有法形之比例 多邊有法形之具三曰邉曰周曰積形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例每形之邊為一(一虚數也丈尺寸分唯所設之)三邊形之周三積為三十之十三四邉形之周四積為一五邊之周五積為一又一一七七五七○六之八四六九七一九約為十一之八不盡六邉形之周六積為二又五百萬之二九九○三八一約為五之三不足七邉形之周七積為三又八六七七六七四之五五○七二二一約為八之一而盈八邉形之周八積為四又一九一三四一七之一五八五一二七約為十九之十六不足九邉形之周九積為六又六八四○四○二之一二四三七五五約為十七之三不盡十邊形之周十積為七又一二三六○六八之八五八○八九約為三之二不足用法設他形之邊求積以其邊數自之以上所列同類形之積數乘之若設他形之積求邊則上所列同類形之積數除之所得之根設形之邊也舊法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二為實半面七為法乘之得八四積也試用前法分元形作兩句股形各形有弦有句以求股而求積得八四又三十之二十八幾為八五非八四論曰所以然者古法正六面七謂丙乙十四則丙甲十二故七六相乘得四十二為丙乙丁之實八十四矣不知丙乙十四乙甲七各自之相减開方乃十二有竒非十二也且七除又七乘安用之舊法六角形每面十五以面數自之得二二五以三乘之得六七五今用幾何四卷十五之系六邉等形内有三角等邊形六用古法得各形之積為九十六又七之六六因之得五九一又七之一非六七五論曰所以然者十五自之為二二五彼以為此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之實也不知二二五者乙丙上正方形之實此乙丙丁戊則斜方斜方與正方同邉而異積也斜方之積必少于正方之積故實少而誤以為多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六為實面數自之得一九六為法减之餘九六○八角形積也正法作圖每兩邉引長之遇于甲成正方形其内有元八邉形又有甲乙丙四句股形以丙乙元形邉十四為弦求丙甲而句股等法以弦十四自之得一九六半之得九八開方為九又十九之十七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁元形之邉得三十二又十九之十七為甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之積也次求句股四形之積得一九六弱以减正方積餘九四四有竒元八角形之積也古法曰九六○謬矣論曰所以然者古法方五斜七不知方五則斜七有竒不發之根也彼以甲乙等各句各股俱為十則乙丙邉與乙丙弦俱十四不知各率皆是而獨乙丙弦非十四也故八角形之積實少而誤以為多新法算書卷九十
## 卷九十一
欽定四庫全書
新法筭書卷九十一 明 徐光啟等 撰測量全義卷五圓靣求積凡圓面積與其半經線偕半周線作矩内直角形之積等依此法則量圓形者以半徑乘半周而已古髙士亞竒黙徳作圜書内三題洞燭圎形之理今表而出之為元本焉第一題圓形之半徑偕其周作句股形其容與圓形之積等解曰丙丁戊己圓形其心乙其半徑乙丙即以為股形之周為句成午申酉句股形題言两形之容等論曰設有言不等必云或大或小云圓形為大句股形小者索其較為亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直線形從心至八角形之各邊作甲乙等中垂線試於圓形内減其大半所餘又減其大半末所餘以比較形亥必能為小矣(十卷首題)如先減丁丙己戊方形次減丙癸己等三角形八末餘丙庚丙癸等二角雜形八必小于亥形也次作午未戌三邊形與丙庚丁八角形等必小于午申酉三邊形何者未午乙甲也小于圏半徑乙庚先設午申酉三邊形及亥較形始與圏等今午未戌三邊形及八兩角雜形適與圏等夫午申酉三角形大于午未戌三角形亥形又大于八兩角雜形是合兩大形(即午申酉及亥)(較形)與圏等者復謂合兩小形(即午未戌)(及八兩角雜形)與圏等有是理乎次論曰若言圏形為小句股形大者索其較為亥形即于圏外作子寅丑己正方形又作卯辰八角形夫寅己方形大于午申酉三角形者方形之周線大于圎形之周線也内减其大半(即元圈)又减其大半(即卯辰子等四三角形也)末餘丙卯庚庚辰丁等三角雜形八必小于較形亥又作午申亢三角形與丙卯辰八角形等兹形為圏之外切必大于元圏而午亢為外形之周必大于午酉内圏之周先設圏及亥形與午申酉三角形等今并圏及三角襍形八(即丙卯庚等八雜形也)反大于午申酉三角形是圜偕八雜小形而為大者又偕亥大形而為小可乎第二題凡圏周三倍圏徑有竒(二支)此有二法其一云三倍又七十之十則朒其二云三倍又七十一之十則盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊為心甲戊乙戊為两徑輳心作直角從甲作午子切線從乙從丁作乙己丁壬線與乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等形之邊設甲午股一百五十三(任設此數以便推算)午子或午戊弦必三百○六各自之股方得二萬三千四百○九弦方得九萬三千六百三十六相减餘七萬○二百二十七為句方開得二百六十五有竒為戊甲句半徑也則戊甲與甲午之比例為二六五有竒與一五三次平分午戊甲角作戊庚線任分午甲于庚則午戊與戊甲若午庚與甲庚(六卷三題)合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午并戊甲而與午甲(即午)(庚偕甲庚)若戊甲與甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲為一五三則戊午并戊甲與甲午之比例若五七一與一五三若設甲庚一五三則戊甲與甲庚之比例為五七一與一五三矣即以兩數自之并而開方得五九一又八之一不盡為庚戊線(戊甲甲庚之弦)則庚戊與甲庚之比例若五九一又八之一不盡與一五三次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚并戊甲一一六二又八之一與庚甲一五三若戊甲與甲辛若設甲辛一五三則戊甲為一 一六二又八之一有竒兩數各自之并而開方得二七二又八之一為辛戊線(甲戊甲辛之弦)則辛戊與辛甲之比例若二七二又八之一與一五三次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊并戊甲二三三四又四之一與辛甲一五三若戊甲與甲寅若設甲寅為一五三則戊甲為二三三四又四之一有竒兩數各自之并而開方得二三三九又四之一有竒為寅戊線(戊甲甲寅之弦)則寅戊與寅甲之比例若二三三九又四之一有竒與一五三次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊并戊甲四六七三半有竒與寅甲一五三若戊甲與甲未若設甲未為一五三則戊甲為四六七三半有竒論曰午戊子元角為三等角形之一即一直角三之二午戊甲其半則三之一庚戊甲其半則六之一辛戊甲其半則十二之一寅戊甲其半則二十四之一未戊甲其半則四十八之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申角形其戊角為直角二十四之一而未申〔？〕為象限〔？〕二十四之一于全周為九十六之一未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與圈全徑之比例若戊甲四六七三半與甲未一五三末置九十六邊形之一邊為一五三因周為一四六八八徑為四六七三半有竒則九十六邊圈外形之周與圏徑之比例為一四六八八與四六七三半約之為三又七之一不足則徑為一九十六邊圏外周為三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙徑從丙作六邊形之一邊丙甲與半徑戊丙等(四卷十五)從乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内則甲為直角(三卷三十一題)設甲丙句七百八十○乙丙弦一千五百六十○兩數自之相减開方得一千三百五十一不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一三五一與七八○次平分甲乙丙角作乙丁線又作丁丙線成乙丁丙丙丁己兩直角形相似盖同用丁直角在半圏内甲丁丁丙兩所乘之〔？〕等則丁丙己丁乙丙兩〔？〕之角必等(三卷二十一)夫兩形有兩角等者各腰俱相似則乙丁(大形之股)與丁丙(大形之句)若丁丙(小形)(之股)與丁己(小形之句)又乙丙(大形之弦)與丁丙(大形之句)若己丙(小形之弦)與丁己(小形之句)更之乙丙與己丙(兩弦)若丁丙與丁己(兩句)是乙丁與丁丙(兩股)丁丙與丁己(兩句)乙丙與己丙(兩弦)三比例皆等又乙丙與己丙(兩弦)若乙丙并乙甲(兩腰)與甲丙底之兩分(見前解)則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并為二九一一弱甲丙先設七八○則乙丁與丁丙亦為二九一一弱與七八○各自之并而開方得三○一二又四之一弱為乙丙(乙丁丁丙之弦)則乙丙與丁丙之比例為三○一三又四之一弱與七八○次平分丁乙丙角作辛乙線因前比例論得乙辛與辛丙比例之數盖丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三○一三又四之一乙丁二九一一弱并為五九二四又四之一弱今丙丁為七八○則乙辛與辛丙為五九二四又四之一弱與七八○欲省數改設辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛為五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛為一八二三弱兩數自之并而開方得一八三八又十一之九弱為乙丙線(乙辛辛丙之弦)則二四○與一八三八又十一之九為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙兩線辛乙乙丙兩數并為三六六一又十一之九弱與辛丙二四○為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六六依三率法乙壬為一○○七弱兩數自之并而開方得一○○九弱則六六與一○○九為壬丙與乙丙兩線之比例末平分壬乙丙角作乙庚庚丙兩線乙庚與庚丙若壬乙并乙丙二○一六又六之一與丙壬六六兩數自之開方得二○一七又四之一弱為乙丙(乙庚庚丙之弦)則庚丙與乙丙兩線之比例為六六與二○一七又四之一弱論曰丙甲〔？〕為全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚為九十六邊内切圏形之一邊也以九六乗六六得六三三六為九六邊内切形之周乙丙徑為二○一七又四之一弱兩數約之一得三又七一之十強形之周也一得一圏之徑也夫圜周在多邊形之外即大則謂三倍徑又七十一之十不又盈乎第三題圜容積與徑上方形之比例解曰一為十一與十四而朒一為二百二十三與二百八十四而盈先解朒者乙戊辛圈甲丙戊方引長甲丙邊為甲丁其大于甲丙為三倍又七之一則與周等為句甲乙邊圈之半徑也為股成甲乙丁角形其積與圈積畧等(不甚差故)又乙甲丙直角形因丙甲與甲丁若七與二十二則甲乙丙與甲乙丁兩形之積亦若七與二十二(六卷一題)甲乙丁與圏等則甲乙丙形與圈積亦若七與二十二夫甲乙丙為方形四之一四之得二十八即兩形積之比例為二十八與二十二約之為十四與十一也次解盈者甲丙設七十一甲丁二百二十三與圏周等則甲乙丙與甲乙丁兩形之積為七一與二二三四倍七一得二八四全方之積與甲乙丙形之比例為二二三與二八四一題之系 半徑全周成三邊形與圏積等依句股法半徑偕半周矩内方形與圏積等若全徑偕全周矩内方形則四倍圏積幾何(六卷二題)曰相似形之比例為兩相似邊再加之比例故邊倍則實四之二題之一系 設圏徑求周求容 凡設徑求周用盈法七為一率二十二為二率所設徑為三率得四率為所求周 用朒法為七十一與二二三若徑與周古士論圏大小大都准此二論反之以周求徑亦然二系 圈之徑與徑若周與周子之徑與徑亦若母之周與周假如一圏之徑為七周為二十二他圏大于元圏四倍其徑二十八則其周八十八亦四倍大于元圏之周三系 周線上方形與圏之積若八九二與七十一則盈若八八與七則朒周與他周若徑與他徑 周線上方與他周上方若徑上方與他徑上方(十二卷二題)徑方與他徑方若圏與圏則周方與他周方亦若圏與圏更之周之方與本圏之積若他周之方與其圏之積如設周一用一系之法則八九二一率也七十一二率也所設一三率也所得之徑為二二三之七十一其容積為八九二之七十一周之方一全數也通之為八九二圏之積零數也為七十一是謂周方與圏為八九二與七十一而盈或二十二與七其徑二十二之七其積為八八之七周之方一全數也通之為八八圏積為零數則周方與圏為八八與七也三題之系 設徑求圏積則比例之母十四為一率子十一為二率徑之方數為三率所得為圏之積而盈或三八三為一率二二三為二率徑之方數為三率所得為圏之積而朒假如設徑十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之設圈容求徑則十一與十四若圜容與某數其方根為徑又設周求圏之容因一系之法八九二與七十一若周之方數與圏之容而盈或一八八與七若周之方數與圏之容而朒反之設圏求周則七與八八若圏容與某數其方根為周徑與周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之數積至二十一字為萬億億難可施用○徑一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○(大周)三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七(小周)三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六約之首取三字為一百之三百一十四則三倍又百之十四再約得七之一又朒如前論曰總之不論若干位但加一即贏减一即縮贏即外切線縮即内弦也皆非周也古設周問積法曰周自之十二而一此猶是徑一圍三較之徑七圍二十二者尤疎也故不合古設徑問積法以徑自乗三之四而一如設徑一自之得一三之得三四而一則四之三為圏之積全數(即母數)為徑上之方形則知徑上之方與圏之積為四與三然前論為一四與一一而合今之四與三則所謂虛隅二五也如圖甲乙設十自之為一百平分之為乙丙丁五十又平分之為丁戊乙丙三角雜形丁戊乙二角雜形各二十五二角雜形必小于三角雜形安得合乎量撱圓法 撱圓形者斜截圓柱所成兩面形也形有長短二徑古士黙徳本論曰兩徑之中比例線為徑作圏與撱圓等則兩徑為第一第三率相乗所得方數為第二率又同線上之正方與圏容為一四與一一今兩率相乗者即中率正方之數(此比例法見幾何六卷三十三題之第十)(增)故以兩徑相乗得數以一一乗之以一四除之得撱圓之積也量圈之一分第一圖(名兩半徑〔？〕形)設半徑及〔？〕用全與全若分與分之比例 法曰以半徑乗〔？〕得積半之為本形積盖全周與全圈積若周之分與圈積之分如半徑六〔？〕十二相乗得七十二半之三十六為本形積第二圖(名兩弦内〔？〕形)設兩弦兩〔？〕丙戊為徑從心作甲乙甲丁線成甲乙丙甲丁戊各兩半徑〔？〕形依前法各求積又甲乙丁直線形兩腰等有丁乙弦求其積三形積并為乙丙戊丁設形之積第三圖即第二圖之半同理第四圖(名〔？〕形)有本圈徑設弦求其積法先求半圈積次求兩弦形之積兩數相减餘為設形之積如丙乙巳戊圈其徑丙戊設乙丁弦求乙已丁〔？〕之積置乙巳丁〔？〕一一又七之六圈徑十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之為十八又七之六内减設形之〔？〕一一又七之六餘七為丁戊乙丙兩〔？〕之數半之為三半丁戊〔？〕也作丁甲乙甲兩線因前法求丁戊乙丙兩弦形之積得二十八又九之八又求半圈之積得五七又七之四内减兩弦形之積二十八又九之八得二十七又六十三之四十二為設形之積若不知弦因丁甲乙形有丁甲乙甲兩邊有丁甲乙角得丁乙邊為設形之弦若〔？〕形大于半圈者以兩弦之積加於半圈之積若不知本圈之徑則先求徑其法丁乙弦半之作巳辛垂線量其度得數為法弦之半數自之為實而一得本圏之徑(㡬何三卷五十五)如量己辛得一又九之五法也丁辛為四自之十六實也除之得十又九之二加己辛得十二全徑也若辛己不可得量是屬無法之形第五圖設小半〔？〕形如甲乙丙則以甲丙句甲乙股各自之并而開方得乙丙弦成乙丙小〔？〕形有乙丙弦依前法求積次求甲乙丙句股形之積并之即得(一圖)若止設一直線為徑之一分(甲丙也)而知本圏之徑法先求丁戊丙象限積次求丁乙甲戊兩弦形之積相减餘為甲乙丙形之積(二圖)若所設乙甲丙非直角而知本圏之徑法先求戊丁丙象限積次求甲乙辛句股積盖形有甲辛兩角甲乙邊可得餘邊即得其積末用前法求乙辛丙半〔？〕形之積内减甲乙辛句股積餘為設形之積(三圖)若乙甲丙為銳角乙辛股線在設形之内則以甲乙辛形之積加于半〔？〕形積(四圖)或設本圏之徑作戊乙線法以半徑乗〔？〕得數半之得戊乙丙形次求甲乙戊直線形之積則乙戊半徑也乙甲設形之邊也戊甲為丙甲與半徑之較依法得積以减戊乙丙兩半徑形之積餘為設形積(五圖)或依三角形法作乙丙線成甲乙丙三角形有甲乙甲丙兩邊有甲角以求乙丙餘如前(六圖)若半〔？〕形之邊如甲乙甲丙大于半徑即作乙戊線先求乙戊丙兩半徑形之積次求甲戊乙三邊形之積并之如前若不知本圏之徑則屬無法形之法(七圖)或依三角形法以甲乙甲丙兩線及甲角求乙丙邊求積次求乙丙〔？〕形之積如前法(八圖)第六圖(名兩〔？〕之形)若知各〔？〕之徑者法與一〔？〕形等若設兩〔？〕亦設中長線則分元形為兩〔？〕形 若不知本圏之徑亦不知中長線屬無法之形第七圖以弦分之成直線形者一成〔？〕形者三四以上各以前法量之若為球體撱圓體圓角體之外面法見量體法中(第六卷)古法設長濶問積見長方又設長闊總數長濶較等問見句股義量面用法以木造矩錐平者為盤直者為幹盤徑五六寸厚二寸面畫兩徑輳心成直角刻成渠深五分廣一分下作鑿以受幹也幹徑一寸以上長四五尺令平立者目切其盤之面幹之末施鐡鍤焉别具望竿數事略與幹等器成先試之法于平地卓錐從一徑之渠向左向右各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線又從他徑之渠向前向後各距若干丈尺卓兩竿與徑為直線次轉器易徑以望先立諸竿仍作直線則為如法之器第一題直線内一㸃上求作垂線(㡬何一卷十一)法曰設㸃上卓錐轉器令一徑合于設線次從他徑卓數竿題言諸竿所作直線與元線為直角與盤上直角等第二題直線外一㸃上求作垂線法曰設㸃上卓一竿持器循設線上㳺移遷就令一徑合于元線一徑與望竿為直線次從㸃至錐下作線則元線之垂線也凡設田形量其歩畆前法足矣然未知直線形之是否直角曲線形之是否中〔？〕且高下之數非目營可得欲求其度立公法如下文總之以句股為本凡圖中斷線所作線也聨線元形線也邊上有○卓錐之處也三邊田法從大邊用器㳺移遷就向對角立垂線分元形為兩句股形(一圖)四邊田先用器試各角是否直角直者用正方量之不直依圖分句股形令分餘者各兩對邊為平行線用正方長方法量之(二三四圖)多邊形田從大邊如甲上作甲乙垂線從大邊兩界如丙如丁作丙戊丁己兩垂線丁己線上立乙辛垂線又立庚寅己午兩垂線丙戊線上立酉乙垂線是元形内有二方形七句股形量時依元設丈尺步數化大為小作圖亦用元度作新立諸線各如數算之并之得元形之積(五圖)若田形以曲線為邊宜先求直線形法取一線為徑徑上宻宻卓錐作諸平行線末各直角上加器成諸長方形亦成諸三邊形曲線為邊者大圏之〔？〕也即依直線法量之所差甚微(六七)(圖)或田中為房舍林木等物所隔難作中長線法于田外依一邊作大方形形邊上向田之各角作線是元形之外方形之内有若干句股形并諸句股積以减方形積餘為元形之積(八圖)增題 多邊無法形量法從田心如癸加象限邉向乙角窺丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向辛各定其癸角之度次以公量法量癸乙癸丙等線元形内有三邊形七每形有一角兩邉因法求餘邉求毎形之積并而得元形之積中空田法先求大形之積次求空形之積如方田一叚各邊十丈中為圓池徑七丈則方形之積一百丈池之積三十八丈半减餘六十一丈半為設形之積求環田積用兩圏之徑或周以次求大小圓積相减餘為環田之積如設環之外周為四十四内周為二十二則大圓積一百五十四小圓積三十八半减餘一百一十五半環田之積也變形法其一設三角形求變為等底等積方形凡設形求變者皆截元形之實補求形之虛也如上一圖甲乙丙元形求變為丙丁戊方形其元形之大邊為底法平分兩腰作中線與底平行次以中線為底作對角垂線成甲乙兩形從元底兩端向中線各作垂線成戊丁兩形則截甲實形移補交角之丁截乙實形移補交角之戊成丁丙戊方形與元形等底等積如二圖小邊為底亦平分兩腰作平行中線次從上角從鈍角各向中線作垂線成甲乙兩句股形及丙斜角形次截甲實形移為交角之乙并丙乙實形移為交角之丁成丁戊方形如所求如三圖鈍角上垂線截中線出元形之外甲戊丁己兩線為等作己垂線成甲小形則截交角之乙實形移為甲并甲兩實形移為交角之丁并丁己成四邊實形移為相似之戊(形并戊庚如所求)如四圖兩腰甚長亦如前作中線于中線上截取庚丁壬己各形之邊皆與底等而成各直角四邊形又從兩交截取癸形與夘等即甲與乙夘癸與夘各交角之兩形各等先截取癸實形移補交角之虛夘次并夘乙作三邊實形移補交角之虛甲次并甲丙作四邊實形移補相似之虛壬次并壬丑作四邊實形移補相似之虛丁次并丁戊作四邊實形移補相似之虛己次并己寅作四邊實形移補相似之虛庚次并庚辛即所求其二設一方形一線求變為他方形其邊與設線等如上一圖設丁戊方形求變他形其邊與甲等法從乙丁邊取乙丙與甲等從戊角作戊丙迤線(丙非角故不名對角)引長之與己丁之引長線遇于辛成丁辛丙三角虛形次于己戊邊取己庚與甲等次從庚作垂線成壬庚戊三角實形以此實形移補丁丙辛虛形又以戊丙迤線上形移置壬辛迤線上即成庚辛方形如所求如二圖設形為斜角與上同法若所設線甚小幾倍之得為元形邊則平分元形為幾形如前法變得各小形并之為一大形如所求如三圖所設線大于元形邊則引長己戊邊為己庚與甲等作庚丁對角線成戊庚壬三角虛形次取丁丙與壬庚等成丁辛丙實形移補壬戊庚虛形又乙壬丁實形之壬角移為庚角成庚辛角形即所求其三設矩内形變為正方形如圖以設形之兩邊連為一直線求心作半圏次從兩線之界㸃作垂線為兩率之中比例線即用為設線依前法變設形為他形其邊為設線其四設多邊形變為正方形先以直線分元形為若干三邊形次依第一法變各三邊形為矩内形三任取一線為設線依上法變各矩形皆為等邊形四并各等邊形成一大矩形五依第三法求大矩形兩邊之中比例線成正方形以上四法若反求之則亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之矩内形是也其五兩正方形變為一正方(㡬何原本一卷四十七題備論其理此則用法)置兩正方形以角相切令其邊為直線角之外為直角即成甲句股虛形其弦聨兩元形之各一角即以為底作正方形其積與兩元形并積等其變法作丙戊庚己丁矩形及乙寅線又截壬形與子形庚形等次截取癸實形移補丙丁虛形次取丙子實形移補甲虛形次取壬實形移補庚虛形次取庚丑實形移補戊(己庚)虛形次取戊實形移補辛虛形成夘辰午未正方形其六設矩形求變為他矩形其邊各有比例如設一形欲作他形等積而兩邊之比例若五與四法分大邊為五小邊為四作平行分線如甲乙形次依丙丁罄折線截訖移就成戊己形第四題截形法借題云設多邊形截為多三角形求作多線以當各形之比例如圖甲乙丙丁戊多邊形從甲角作甲戊甲丁甲丙各對角線分元形為四三角形求其比例法曰從各角向各對線為垂線如己向庚戊向辛丁向壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因對角線短故垂線在形之外盖三角形論底論高不論垂線内外因幾何六卷第一題增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁兩形同用甲戊為底即己庚壬丁兩垂線為兩形之比例又甲戊丁甲丁丙兩形同用甲丁為底即戊辛丙癸兩垂線為兩形之比例甲丁丙甲乙丙兩形同用甲丙線為底即丁子乙丑兩垂線為兩形之比例也今欲作四線之比例與此四形之比例等依幾何原本六卷第十九題三直線為連比例則一線上形與二線上形若一線與三線今以一垂線當一形以第二第三率通為一比例而求末率(即第)(三線)則一形與二形若一線與三線也如上圖壬丁之形與戊辛之形同底而壬丁為一率戊辛為二率己庚之形與某線之形同底而己庚為三率某線為四率則以戊辛之數通為己庚之數而求其線即壬丁與戊辛若己庚(元數)與某線而某線之數為己庚之次數又丁子與丙癸若乙丑(元數)與某線而某線之數為乙丑之次數今一設三角形從一角命截幾分之幾法于角之對邊平分如命數從角作線截取一分為得數如甲乙丙形從甲命分四之三即四平分丙乙線為丁戊己次從甲作甲丁分元形為二其比例如丙丁與丁乙又命分四之一而其截線求與命角之對邊(如丙乙)平行法四平分甲乙腰四乗三(命分)(數内减得分以其餘乗命分)得十二開方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至丁作丁戊線與乙丙平行截元形為二其積如三與一而丁丙為四之一甲乙戊為四之三二設多邊形從一角命截幾分之幾法依前借題分本形為若干三邊形又如前次第求各形之比例線(因形求線)合之成一直線如圖為乙丙丁戊己若命分為四之一即四平分之若第一分在乙丙線内則分甲乙丙形之乙丙邊如乙丙比例線其一分所至為乙壬作甲壬線截甲乙壬形為元形四之一若欲截分在甲己之旁則分甲己戊形之己戊邊如戊己比例線其一分所至為己辛作甲辛線截甲己辛形為元形四之一若命分之界不在元形之角如甲乙邊内取庚㸃為界法從庚向各角作線求各形之比例線如前上二法俱從甲或庚為截分之總界其他形若能為對角線在形之内者任用各邊各角皆可為截分之界若作對角線而切本形邊或出形之外則不能為截界如圖甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁諸線各切本邊但可從丙截之三設方形命截幾分之幾法任分一邊如命分數取得數作平行線或正方或斜方或矩形皆同理若以角為截界則與上文多邊形同法四設梯田命截幾分之幾如四分之一法上下兩(邊各四平分而取其一作直線聨之)或用角為截界則與前多邊形同法若命截線與底平行則用三率法依設形成三角形得其腰求兩形之比例得全三角之積若干小三角形之積若干以小减大得梯形積若干因算梯形之㡬分得全形之幾分隨用前第一設截三角形之法得所求假如大底為十上邊為六斜邊得四上下邊之較四半之得二為第一率大底半數五為二率斜邊四為三率算得全形之腰為十此全形有兩腰有底求其積得四十三又三之一其小形有兩腰各六有底六求其積得十五又五之三以減全積得二十七又三之二弱為元梯形之積今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全積得六有五之二弱為元形四之一亦為全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒為母五有竒(减一得子)為子相乗開方得五○○即從全形上角分全腰為六分有五之二弱内取五又五之四強作平行線分元形如所求(或取三十二而取二十九)若近小底命作截線其理同上但母子數不同上得元形四之一分為六又六十之四十六畧約五之四今所求者四之三則三倍之得二十又三十之九以倍數與全數相乗得數開方得二十九半即從上角如法取作平行線分元形如所求(或分全腰為四十三又三之一從上角取二十九半作線)凡梯田在平行線内但底等即其積等不論角大小若兩梯田截法先求各形之積次算此形所截之分為彼形之㡬分其用法如前此外别形尚多各有本法本論於法算諸書中詳之此不及備著新法算書卷九十一
## 卷九十二
欽定四庫全書
新法算書卷九十二 明 徐光啟等 撰測量全義卷六論體厯家所重全在測量所當測者略有三事一曰線測其長短二曰面測其長短廣狹三曰體測其長短廣狹厚薄所以測體者何也即如交食一法日與月各有不同心本天各有最髙度最髙衝度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所見二曜之體大小恒不等若此者必于地體推之故有日與月與地三大之比例(别有本書)不用此比例何繇知交食之歳月日時地影(即闇虛)比于月體小大之數幾何乎不因地月之比例何從推日輪之視體幾何大去人幾何逺乎則何繇知日食旣之有無金環乎何繇知月食過分之闇虛幾何大乎何繇定食限之幾何時刻乎不知地球之大何繇定東西相去幾何里即交食前後相去幾何時刻南北相去幾何里即日食應有應無有則幾何分秒乎則安得不講于量體之法乎然則測線測面者何也曰體者諸面之積也未能測面安能測體面者又諸線之積也未能測線安能測面又測候七政行度皆以句股弧弦諸法諸法則皆線也諸線之積為面不知面理則亦不能晰線之體勢故三測為並重也雖然測天皆曲線曲面也直線與平面何為乎曰曲線法從直線出也曲面法從平面出也猶圓體法從方體出也故繇線而面而體繇直線而曲線平面而曲面方體而圓體譬之跬步前步未行後步不可得進也是測量之全義也體者面之積或實如金木土石等或空如盤池陶穹等俱同理同法其界為面面居體之周(面截面生稜如線遇線生角也又稜為兩面之共界)一面之體如球如卵二面之體如半球半卵圓角圓堆三面之體如剖球卵之一分四面之體如三面角體而四面等即三面角體第因各面俱等故屬四面五面之體如四面角體(因角體之面無定數故左方不列其名)六面之體如立方正立方斜立方八面之體八面俱等十二面之體十二面俱等二十面之體二十面俱等(自四六八十二二十面之外不能為等面胥無法之體也)公量如斗如升皆足為體之量總之以立方為本如用尺寸分為度而一尺之體其長其廣其袤各一尺八俱直稜八俱直角乘法一千實寸為一實尺一千實分為一實寸則以立方之體再自之耳此為物數均齊推算簡易者也幾何原本一十一卷詳解其理今略引一二如左有法之體二其上者各面俱等盖設一邊即知其面其容也其次則對面為平行面或同類之體有公法如角體者是也球亦有法之體盖其徑其周其外面其容之比例恒相等第以比例無盡分之數亦屬次焉第一體名立面體如正立方斜立方多邊立體正立圓體扁圓體(因其上下為平行面亦屬等面)公法以高乘底之積得其容(高深)(兩名互用)其高之度則垂線也幾何原本十二卷七增題曰兩平行面内之體或同高兩體其比例為體與體若底與底但取同類相求以正高為據不論體勢直與不直又本卷三十二題曰同類之體與體(凡比體者皆以其容積相比)為其邊與邊三加之比例 解曰三加之比例者四幾何為同理之連比例則一與二為一加與三為再加與四為三加也(五卷十界)此云三加者謂體之一與二若其邊之一與四也如二 四 八 十六為四幾何同理之連比例其首二尾十六為三加之比例則小體之邊二大體之邊四其小體之容與大體之容若小邊之二與大邊之十六也系凡同類數體測定一體之容即其容與他體之容為其邊與邊三加之比例設有立方體其邊八其容五一二又設次體其邊十二即八與十二再加之得十八三加之得二七(其超法為一身有半)則初體與次體若八與二十七或用三率法八與二十七若五一二與一七二六或以四率連比例之第二率再自之得數同第二體名角體底廣上銳如堆垜錐亭峰之類其法同也幾何十二卷七題之系曰同底同高之角體與平行面體(即同高體)之比例若一與三法曰如方錐之底邊設九則底積八十一設髙十八以乘底積得一四五八以三為法而一得四八六方錐之容也又如圓堆之底周設十二尺設高五尺則先求周之徑得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四為法而一得十一又十一之五底積也以高乗之得五七實尺又十一之三以三為法而一得十九又十一之一為圓堆之容(系凡委粟及倚垣等角體)(皆求立體之容三除之為角體之容)若不知其正高但知其底及稜則先求其正高法曰若稜為偶數如上圖得四甲乙丙丁為底之四邊各八又半甲丙對角線十二弱戊為角頂戊甲戊乙戊丁戊丙為四稜各十而求次圖之中長線戊己(次圖何物如上圖戊甲丁丙乙為全體若從戊頂向)(甲丙對角線平分之為二即所截之兩面各成戊甲丙三角形甲丙底十)(二弱戊甲戊丙各十以此三邊求中長線戊已即角體之高)法以半底甲已自之得三十六(句方)以減腰方一百(弦方)餘六十四(股方)開方得甲已八為角體之正高餘如前若稜為竒數如五底之各邊為十二稜之度為二十則先求一面之中長線(各體有底有面有稜底之邊隨體無)(定數面則恒各為三邊形形之底線即底之一邊兩腰即稜也)依句股法半底邊得六(為句)自之得三十六(句方)稜度自之得四百(弦方)相減得三百六十四(股方)開方得一十九又一十三之一(即股即面形之中長線)次求底形之中長線用正弦法以五(底之邊數)為法三百六十(全圈之周)為實(幾何論凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各邊)而一得七十二度為一邊之弧半弧之正弦(即底之半邊)為五八七七九第一率也(内)半邊之數六為二率(外)半弧之餘弦八○九○二為三率(内)算得八又四之一不盡(外)為五邊底形從心所出之中垂線又正弦(内)與半邊(外)若全數(内)與半徑(外)得一十又五之一强(形外圈之半徑)兩數并得一十八又二十之九强為五邊形之中長線次以面形之中長線底形之中長線及一稜之度三線相遇成一三角形(平分全體所分之兩面)有三邊之數求中長線得一十六又半不盡為所求元體之正高底之周六十半之得三十以中垂線乗之得五七二又十三之四為底積以正高乗之得九四三八三而一為元體之容得三一四六也若稜之度長短不等則用最長之稜及其對面之中長線求體之正高論曰角體為立面體三之一者何也如正立方體自上而下對角平分之為兩塹堵毎一塹堵得正立方二之一又于塹堵之兩方面自上而下對角平分之成大小二分大者為陽馬得塹堵三之二小者為鼈臑得塹堵三之一則一正立方分之為塹堵得二陽馬則三鼈臑則六角體者陽馬也故得立面體三之一也(說見九章算)又外切圈之半徑為句稜數為弦用句股法求股即元體之正高(此法甚簡易但須各稜俱等乃可非公法也)截圓角體法有五從其軸平分直截之所截兩平面為三角形一也横截之與底平行截面為平圓形二也斜截之與邊平行截面為圭竇形(頂不銳近底之兩腰稍平行)三也直截之與軸平行截面為陶邱形(頂曲漸下漸直底兩旁為銳角)四也無平行任斜截之截面為撱圓形五也内第一第二第五(有本)論第三第四其面皆為一直線一曲線兩界之面所截體之一分皆為兩平面一曲面三界之體亞竒黙徳備論其量法然非測量所必須又各截面皆有底有軸(即中長線)有曲線若轉軸環行即徑線為平底界曲線為曲面界生二界之體其邊名曰平曲之邊平曲者從曲頂而下漸趨平也若以此體為空體則皆造作燧鑒之法以其淺深為光心之逺近亦非測天所用未及詳焉第三名斗體古名方窖圓窖等其上下兩面不等而相似盖角體之截分也引長其稜即相遇而成全角之體(凡置)(斗體大面居下本角體之截分角體欲自立底必在下也其置截分亦然)法曰若知本角體之高即先求本角體之容後求所闕截分之容相減餘為元體之容假如斗體之底長方一邊得八一邊得九則其積七十二以全高二十四乗之得一七二八以三為法而一得五七六全角體之容也次置斗體上面之一邊四一邊四又半其積十八(即闕分之底)以闕分之高十二乗之得二一六以三為法而一得七二闕分之容也以減全角體其較五○四斗體之容也若不知全角體之高則截體分求之法曰如甲乙丙丁斗體之大面也邊各二十四戊已庚辛小面也邊各一十八用垂線截斗體從戊已邊向下至午未底分元體為二從辛庚邊向下至申酉底從庚已至戍亥從辛戊至子丑皆如之分元體為九一居中成立面體四邊四體為塹堵(正二面一立一斜側二面為句股)四隅四體為陽馬(即角體亦名方錐)各以本法求其容并為斗體之容(塹堵以高乗底積二而一陽馬以高乗底積三而一)立面體上下兩面等各邊十八其積為三二四以高十五乗之得四八六○塹堵(一名句股體)其底長方辛子三(兩面之較六折半得)(三)辛庚為十八乗得五十四為底積以正高乗之得八一二為法而一得四○五四倍之得一六二○(四邊四體故)陽馬其底各三其積九以正高乗之得一三五以三為法而一得五四四倍之得一八○若斗面為多邊形而無法或其稜不等亦用次法從上邊向下截成衆體如圖甲皆為塹堵乙皆為陽馬其中間無法之形則以形為底分之中作一立面體餘為四三邊形各形有稜有高可知其容又公法(上二法遇圓體而窮)設上下面之邊與正高與兩面之積法曰上下兩面積各開方兩根相乗得數并入兩面積以正高乗之得數三而一為斗體之容如斗體各率同前下面各邊二四其積為五七六上面之各邊一八其積為三二四兩根相乗得四三二與前兩積并以高一五乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗體之容也又便法(小差而不逺)并兩面之邊半之自乗得數以高乗之得斗之容如前數上面邊一八下面邊二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差為一四七之一耳凡有法之體五其面其稜皆等其大小相容相抱與球相似(幾何十一十二十二十四卷極論此理今稍引用為比例之法)一曰四面體各面為三邊等形用堅楮依圖裁而合之成一全體有六稜四隅設各邊一百因前法求其容為一一七四七二半 此下五則皆名法體求容凡同類之體皆依此為例以顯推隱故下文稱例體例邊二曰六面體立方也各面各稜等有十二稜八隅其面為正方形設各邊一百因前法求其容為十萬三曰八面等之體各面為三邊等形有十二稜六隅各邊設一百因幾何求其容為四七一四二五有竒四曰十二面等之體各面為五邊等形有三十稜二十隅邊設一百其容為七六八六三八九五曰二十面等之體各面為三邊等形有三十稜十二隅邊設一百其容為五二三八○九依幾何之説得一體之容可推同類(同類者同若干面數也)萬體之容盖同類兩體之容之比例與兩體邊上立方之比例等假如置四面兩體大者邊設一百小者邊設五十兩數各再自之得一百萬與一二五○○○此兩數為兩體之容之比例而以大不等為一百萬之一二五○○○約為八之一用三率法則命分數為一率得分數為三率前所立例體之容為二率得四率為所求他體之容如前數欲知五十邊上小體之容以例體大邊上立方一百萬為一率以所求小體邊上立方為二率以大體之容為三率用法得一四六八四又四之一為小體之容(第三率大體之容於前法體求容五例内簡其同類者即用之)一率 一百萬二率 一二五○○三率 一七七四七二半為前例所立大體之容四率得一四六八四又四之一為所求小體之容又欲知十二面體之容各邊二五法以同類之例體邊再自之得一百萬所設體之邊亦再自之得一五六二五如前推之一率 一百萬二率 一五六二五三率 七六八六三八九為前例所立十二面體之容四率 得一二○○九九為所求十二面體之容又設一體之容欲知其邊若干因此容與他容若此邊上立方與他邊上立方其法以例體之容為一率設體之容為二率例體邊上之立方數為三率得設體邊上之立方為四率開方得根即所求邊也如有一四六八四又四之一為今設四面等之容求其邊若干查前例其同類之體邊一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根為五十即所求設體邊數一率 一一七四七二半(例容)二率 一四六八四又四之一(設容)三率 一百萬(例邊)四率得一二五○○○為所求邊上立方開得五十為所求設體之邊量圓球之容圓球之全體見亞竒黙徳圓球圓柱書併見幾何一十四卷兹借數題明之第一題球上大平圜之積為本球圜面積四之一(此亞竒黙徳之一卷三十一題)(也大平圜者從大圏過心剖球體為二所分兩平面是也圜面積者全球大曲面之平積也)系 凡周乗徑生球圓面之積亦生大平圜積之四倍大圜周線上方形與球圓面之比例若大圜之周線與其徑 解曰如圖甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其徑(與球徑等)己辛與圜之周線等上成己壬方形形之庚辛與甲丙徑等而己壬方形外復成庚戊方形題言己庚矩形為大平圜之四倍壬戊矩形與庚己矩形等盖壬辛己辛同為矩方形之一邊戊辛辛庚亦同為矩方形之一邊則兩矩方形必等夫己壬周線上之方形也壬戊為大平圜之四倍而與球之圓面等則其比例如己辛與辛戊矣(五卷二周與徑比例之數為二二三之七一或)(二十二之七)又大圜徑上方形與球之圓面若圜之徑與其周盖己庚矩方形與球之圓面等庚戊為徑上之方形則兩形之比例必若己辛周與辛戊徑矣二系 球徑上方形與球之圓面為一與三又七一之十或一與三又七之一第二題徑三之二乗大平圜之積生球容之數(亞竒黙徳之一卷三十二題)解曰設大平圜之周一(凡大測當以全數為母則易推故設周為一自之再自之恒為)(一)其大徑為二二三之七一其半為四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈積也又以六六九之一四二(此大徑三分之二)乗之約之為二九八三七四之五○四一得球容之數又大平圜之周再自之恒為一知大圜周上立方與球容之比例何者全數為母(即一幾何謂之命分數)是周上之立方也子數(幾何之得分數)為球容則球容與大圜周上立方之比例若五○四一與二九八三七四而盈用小徑之數得四九與二九○四又球徑上立方與球容之比例若二十一與一十一而盈若四二六與二二三而朒法置球徑一大平圜之大積為十四分徑上方之十一以徑三之二乗之得四十二之二十二約之得二十一之十一為球之容又球徑上立方為一則其與球容之比例為二十一與十一而盈或用朒法則大平圜之小積得四二六與二二三亦徑上立方與球容之比例也(右徑上立方與球容之比例)因前論置球之徑 一求球之圜面以二十二乗徑數以七除之以所得之徑乗之得圓面之積(用二十二與七而盈用二)(二三與七十一則朒) 一求球之容以二十二乗徑以七除之得數以徑三之二乘之得球之容(右以徑求圜面積及球之容)又徑上立方與球之容若二一與一一而盈若四二六與二二三則朒 置大圜之周大圜周上之立方與球容若二九八三七四與五○四一而盈若二九四與四九則朒 置徑置球之圓面相乗六而一置徑(四之一乗圓面三之二三之一乘圓面二之一) 乗大圜之積三而二或徑乗積三分之二 或徑三分之二乗積俱得球之容或半徑乗大圜積三分之二所得為球容之半 或大圜半積乘徑三分之二所得亦半量球一分之曲面凡截球面過心其一分為全球之若干量法與全球無異(或半球或四之一或五之一俱同法) 若截球面不過心為直面而曲面界為球上之圏則借天球之界以明之解曰甲丁己辛為子午圏甲比己南丁辛為夏至之圏從夏至圏截之甲至丁作直線用此線為半徑作甲丁别圏亞竒黙徳之一卷四十題曰甲丁别圏之積與丁甲辛球分之曲面等又從巳至丁作直線為他圏之半徑其圏之積亦與丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干分則為無法之形量球一分之容取球之一分截面過心其曲面之界為圏亞竒黙德曰想圓角體其底之圏幾何與所截凸面之一分等其高為球之半徑此體之容與今所解之球分等如甲丁己辛球丁甲辛庚為截分丁甲辛為凸面丁庚辛庚截面過心則先求丁甲半徑倍之以二二乗之以七除之所得之半以半徑乗之為凸面之積次以甲庚半徑乗之三而一為丁甲辛庚球分之容若截為直面不過心如甲丁辛之一分而求其容則先求甲丁辛凸面之積以徑乗之六而一為丁甲辛庚體之容次丁辛截面至心則想丁辛庚圓角體求其容以減丁甲辛庚體之容餘為丁甲辛球分之容量撱圓體之容撱圓亦有法之體也又次於圓球其為體則長圓形之長徑為軸旋轉所生如一㸃直行生線一線横行生面一面上行生體平圓面以徑為軸轉軸環行是生圓球長圓面則有二徑一長一短以長徑為軸轉軸環行是生撱圓之體以短徑為軸轉軸環行是生扁圓之體撱圓之體或名為卵體非也凡烏卵一端大一端小是為無法之體撱圓體則兩端等亞竒黙徳之第一卷備解此體及分角體之理今略述之凡截圓球生兩圓面成兩圏若平分之即過心過心之截分恒相等若撱圓體從小徑横截之生兩平圓面因小徑過心故若從其長徑直截之生兩長圓面即元體之長圓也若横截與小徑平行亦成平圓面若斜截之則其面皆不等皆成長圓形凡圓角體其底之徑為撱圓體之小徑其高半長徑則其體之容為撱圓體四之一如甲乙為長徑丙丁為小徑即丙戊丁甲半撱圓體倍大于甲丙丁角體解曰小徑以二十二乗之七而一小徑之周也得數以乗小徑四而一小徑之平圓面積也得數以乗半長徑圓柱之容也三而一角體之容也得數四之撱圓半體之容也若截面與小徑平行如庚己壬求撱圓分體如庚甲壬之容黙徳法曰先求庚壬甲角體之容次用三率法己乙(大分之軸線)與戊乙(半長徑線)甲己(小分之軸線)并若角體甲庚壬之容與撱圓小分庚己壬甲之容若求大分之容先求角體庚壬乙之容次用三率法甲己(小分之軸線)與甲乙(長徑)戊乙(半長徑)并若角體庚壬乙之容與撱圓大分庚己壬乙之容量無法之體解曰以錫為正方櫝各邊一尺或五寸若用木則以三和灰塗其罅令不漏實之以水投所量物其中則水溢取出物量水減幾何得物之容如減一寸而櫝邊設一尺則得一百寸為物之容盖各邊一尺上面積為一百寸水減一寸則為一百寸若水減不及寸或過焉則量若干分以面積乘之得物之容新法算書卷九十二
## 卷九十三
欽定四庫全書
新法算書卷九十三 明 徐光啟等 撰測量全義卷七 球面曲線形圏内線相當之理每弧毎角有八種線曰正弦曰正切線曰正割線曰正矢曰餘弦曰餘切線曰餘割線曰餘矢幷全數為九種諸線内各有相當之理皆依三邊形等角比例法(㡬何六卷四題)如上圖丙丁為正弧甲丁為正弦丙辛為正切線乙辛為正割線甲丙為正矢戊丁為餘弦己壬為餘切線乙壬為餘割線戊己為餘矢乙己乙丁乙丙皆全數也即辛丙乙壬己乙兩形相似何者己丙兩直角己乙辛丙為平行線辛乙直線割兩平行即其相對兩内角必等既丙辛乙壬乙己兩角等即其對邊相似一全數為正弦餘割線兩率之中率如丙丁弧之正弦為甲丁全數為丁乙餘割線為乙壬則甲丁與丁乙若乙己與乙壬矣丁乙乙己皆全數必等則甲丁與丁乙若丁乙與乙壬也又全數為餘弦正割線之中率如戊丁與丁乙若丁乙(與乙丙等故)與乙辛一系凡四率全數為中率(或二或三)若第一率為正弦即棄正弦而變餘割線為中率全數為第一省而一 若第一率為餘弦則變正割線為中率 若第一率為正割線則變餘弦若第一率為餘割線則變正弦 凡所變者皆以易全數而使為第一率論曰凡有連比例之三率一率與二(如二與六)若二率與三(如六與十八)别有二數其比例若連理之一率與二(如八與二十四)即可代用或連理之一率與二(如二與六)若他數與别數(八與)(二十四)可也或連理之二率與三(六與十八)若他數與别數(八與)(二十四)亦可也為其比例等故也(皆三之一)今連理之一率為甲(正弦)二率為乙(全數)三率為丙(餘割線)次有斷理之第三率丁第四率戊即可代用謂一甲(正弦)與二乙(全數)若三丁與四戊可也謂二乙(全數)與三丙(餘割線)若三丁與四戊亦可也是于連理之三率二比中棄前比而用後比初以全數為第二餘割為三今以全數為一餘割為二也如三十八度一十七分之正弦六一九五五與全數若三十度之正弦與某數常法二三率相乘以一率為法而一得第四今法用三十八度一十七分之餘割線一六一四○七為二率以易全數而為第一以二三率相乘即得第四何者正弦全數餘割線為連比例故也二系凡四率中無全數若第一率為正弦則變餘割線為第一率若第一率為餘弦則變正割線為第一率法用一二率相乘得數以全為法去後五位所存若干位與全數等而一又以乘第三率得數如前而一得四率(名為而一者再皆以全數為法止减末位不難也常法一乘一除此用兩乗猶是㨗法)假如一十八度四十○分之正弦三二○○六與二十五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度三十二分之切線二○○八六二與某數其常法二三率相乘第一率而一今用㨗法取一十八度四十分之餘割線三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○為實以全數為法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全為法而一得一六七九二二為四率二三○七三五 六十四度十九分之正割線又假設三率如一二二三四一二三四三二第一率變取六十四度十九分之餘弦四三三四○以乗第二率得數减後五位以所存乘第三率得數又减後五位所存即第四率二全數為正餘兩切線之中率如上圗辛丙與丙乙若乙己與己壬何者丙乙乙己皆全數則辛丙丙乙(或乙己)己壬為三率連比例系凡四率斷比例全數為中率若第一為正切線變餘切線為中率以易全為第一若第一為餘切線變正切線為中率以易全為第一三正弦與餘弦若全數與餘切線餘弦與正弦若全數與正切線如前圗甲丁與丁戊(即甲乙故)若乙己與己壬戊丁(即甲乙故)與甲丁若乙丙與丙辛系四率斷比例若一二率為正弦與餘弦變為全數與餘切線若為餘弦與正弦變為全數與正切線四凡兩弧之正割線與其餘弦為互相視之線兩弧之餘割線與其正弦為互相視之線如上圗丙癸丙丁兩弧丙癸弧之正割線為乙寅丙丁弧之正割線為乙辛丙癸弧之餘弦為庚癸丙丁弧之餘弦為戊丁則乙寅與乙辛若戊丁與癸庚論曰全數在正弧(丙癸)為其正割線(乙寅)及其餘弦(癸庚)之中率在他弧(丙丁)亦為其正割線(乙辛)及其餘弦(丁戊)之中率兩理之各前後矩内形各與全數上方形等(各為其中率故)即兩矩内形自相等其邊互相視(㡬何六卷十四)五凡兩弧之正切線與其餘切線為互相視之線同上論卷中諸圏皆以曲線當圎球之大圏相交相截人目視球曲面或近或逺或上或下或左或右所見不同有時視曲線而為直線即同是曲線而形象不一葢平面圖球不能盡球之理宜從論説中領其意義乃得耳圓球原本内借論題 古徳阿多西阿撰一大圏皆與球同心 系大圏皆相等若從大圏分球過心必為兩平分(一卷六)二兩大圏於球上相交各為兩平分三反之兩圏於球上相分為兩平分必兩皆大圏(一卷十一十二)(如赤道黄道等)四大圏過他圏之兩極必相交為直角(一卷十五題如子午圏過赤道極則)(兩圏交處皆為直角)五大圏與本極距一象限九十度六大圏交兩大圏若作直角則元圏之極在兩圏之交如赤道與極至交圏極分交圏為直角則兩圏之交在赤道極七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去離大圏一分其小圏之各分必小於大圏之各分八兩大圏相交其交角必等或上或下兩角幷必等兩直角與直線相交同理九球上大圏不能相偕為平行弧一心止一圏故也若同心而能為多圏則是距等小圏非大圏矣分球上三角形之各類球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形為大測之本(若有小圏之一弧即未能定圏大小之數安能定其弧數明大測不用小圏之弧也)球上角形或三邊等其角必等邊之度若四之一(九十度)則角為直角過四之一則鈍角不及則鋭角(如正球之赤道地平子午)(圏皆相交為直角則各邊俱九十度)或二邊等其對角亦等若邊過象限為鈍角不及為鋭角或各邊不等各角亦不等球上角形或三直角其邊皆四之一或兩為直角其兩對邊皆四之一此二類自明勿論所論者一為直角餘或鈍或鋭各有本法如左一圗外大圏内兩大圏分皆相交為直角則各圏之極在他兩圏之交(用號作十者指直角作○者指鈍角作丨者指鋭角)(邊云多者謂過四之一云少者謂不及四之一)二圗兩直角形第三角或鋭或鈍(己上二圗俱不)(論)三圗甲乙丙形甲為直角餘皆鋭其邊少甲丙戊形甲直角丙鈍戊鋭鈍角之對邊大即甲已戊弧鋭角之對邊小即甲丙弧或一直角兩鈍角如乙丙丁形乙丙兩鈍角其對邊過四之一即乙壬丁弧凡兩角或鋭或鈍若同𩔖其間所容弧不及四之一直線三角形與球上曲線三角形異理一直線形之三角幷與兩直角等曲線形之三角幷其數不定但不能及四直角(四直角者三百六十度也)二直線形得兩角即得其三曲線形否三直線直角形有兩邊以句股開方法求其三曲線形否四直線形有三角不能求三邊若干但得其比例耳曲形設三角可推三邊若干五直線形各邊能當全數曲線之各邊否六兩直線形等角即兩形之邊有比例曲線等角形之邊必等七直線形但有一易法以垂線分元形是也曲形有六易法八直線形不過二種一直角二或鈍或鋭角其邊雖有長短不變其𩔖曲形邊有大小其法不同球上斜三角形因各角各邊不等分為九種(或恒用或否俱見下文)第一三角皆鋭其邊皆小於四之一(如第一圖)(甲形)第二三角皆鈍其一邊適足四之一其二邊大於四之一(後凡四之一皆言足小於四之一者皆言少大於四)(之一者皆言多如第二圗乙形)第三三角皆鈍其兩邊多一邊少(如三圖丙形)第四三角皆鈍其三邊皆多(如四圖丁形)第五一角鈍兩鋭其三邊皆少(如三圗戊形)第六一角鈍兩鋭其兩鋭間之一邊多鈍角之兩旁少(如四圖己形)第七一角鈍兩鋭一鋭角之對邊少餘皆多(如三圖庚形)第八一角鈍兩鋭鈍角之對邊足餘皆少(如二圖壬形)第九一角鈍兩鋭其邊皆不等一多一少一足(如二圖辛形)球上三角形相易其法有五第一甲乙丙直角形甲為直角於乙甲乙丙各引長之滿象限為乙丁乙戊又甲丙邊引長之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限(乙丁乙戊俱象限則丁戊己弧心為乙又丙甲乙為直角)(乙丁戊亦直角則甲己丁己遇于己而己為乙丁弧之心)得丙戊己直角形若甲乙丙形設甲乙乙丙兩邊若干即有甲丁丙戊兩餘弧次丙戊己形有戊直角有丙戊邊即有己角(其弧甲丁)若元形有直角之對邊及直角旁一邊即次形有直角旁一邊及其對角(一圖)若元形有二角即次形有一角一邊(二圖)若元形有一角及直角之對邊即次形有直角旁兩邊(三圖)第二甲乙丙直角形於甲乙引長作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆滿象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作庚辛癸弧成辛己癸形此形與元形甲乙丙相當何者元形有乙丙兩角即次形有兩邊(有乙角之弧戊丁即有其餘弧戊己有戊)(己弧卽有己癸邊與乙角之數等有丙角即辛庚丙形之丙角弧為庚辛其餘弧為辛癸)元形之乙丙易為癸角(乙丙邊餘為丙戊丙戊之餘為戊庚是癸角之度)元形之甲乙邊易為辛己癸角(甲乙弧之餘為甲丁其對角為丁己甲或辛己)(癸皆甲乙之餘弧角)元形之丙甲邊易為辛己邊(甲丙弧之餘為己丙己丙弧之餘為辛己則辛己與)(甲丙等)第三斜角形(兩腰等角或鋭或鈍)兩腰引長至半周必相遇成他形與元形相當如圖甲乙甲丙兩腰引至丁成丁乙丙他形從乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此兩他形者皆與元形相當何者有甲乙邊自有其半周内之餘乙丁亦有其半周内之餘甲已即乙丙與戊己等(丙乙戊乙戊己皆半周故)又丁角與甲角等(凡兩大圏相交為兩角必等如黄赤二道相交于春秋分是也)丁乙丙為甲乙丙之餘角乙丙丁為甲丙乙之餘角甲戊己為乙丙甲之餘角甲己戊為丙乙甲之餘角則元形變易而生兩形各相似相當 問本用曰元形邊大(多于象限)角鈍易為次形邊小角鋭三角形六問中所用也(六問詳見後篇)第四甲乙丙三不等形從乙甲弧作甲辰戊全圏次甲角為心作丁壬辰大圏分乙角為心作戊癸寅大圏分丙角為心作己丑夘大圏分三圏分必相交成癸寅丑形此形與元形相當而元形之邊易為角角易為邊何者甲壬弧滿一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬與丙甲等壬午弧限壬丑午角之度其餘角為癸丑寅又甲丁乙戊皆象弧减同用之乙丁即甲乙與丁戊等丁戊為寅癸丑交角之度又乙辛丙子皆象弧减同用之丙辛即辛子與乙丙等辛子弧即辛寅子角之度則元形甲乙邊易為次形之癸角甲丙邊易為癸丑寅餘角乙丙邊易為寅角元形之三邊易為次形之三角(邊易為角)又元形乙角之餘易為癸寅邊甲角易為癸丑邊丙角易為寅丑邊(角易為邊)第五凡斜角形設一角二邊法從他角作垂弧至其對弧為直角如一圖(若不能則引長其對弧令受垂弧如二圖)若設二角一邊法從他邊之對角作垂弧如圖乙丁丙形有丙角丙乙丙丁兩邊即作乙甲垂弧分為兩直角形其甲丙乙形有一角一邊可求其餘甲丁乙直角形先得甲乙甲丁兩邊可求其餘凡底邊兩旁角為同類垂弧在形内若異類垂弧在形外凡曲線三角形如得實球即指畫易明直角形直角之對邊名底斜角形大角之對邊名底凡言直角其邊小於象限則用之大於象限則依前法變為小而用之球上直角形各邊角正弦等線之比例第一題直角形人數數(即直角之本數)與某角之正弦若底弧之正弦與某角對邊之正弦欲明此論宜以渾體解之今權設渾象以堅厚楮作一圓形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如極分交圏之半周也又作一半周形合於全形之直角兩徑相切共為半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下㳺移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之兩弧上合下分一置三半周之中如極至交圏為定弧一以下端㳺移平弧上恒與平弧為直角上割中弧而遇定弧於極㸃之上謂之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而此一定一㳺兩弧者皆如過極之經圏也恒偕平弧為三弧兩邊等直角形今於平面作圖擬彼圓象用意推測聊足可明其諸名義亦借渾天以便識别也如上圖乙丁寅圏為赤道乙丙癸為黄道乙寅為春秋分癸為夏至午辰為南北極午癸丁辰為極至交圏午丙甲為過極經圏以限黄道之經度容赤黄二道之距度平置乙丁寅赤道圏從黄癸下垂線為極至圏上癸丁相距弧之正弦從赤丁上立垂線遇夘癸半徑之引長線於戊得戊丁與癸己平行為癸丁弧之切線夘戊其割線也己夘則癸丁弧之餘弦也又從黄道若干度之㸃如丙作兩線一丙辛垂線為過極經圏上丙甲斜弧之正弦辛壬(乙寅徑之垂線)其餘弦一丙壬為寅乙極線之垂線即丙乙黄弧之正弦次從赤道過極兩圏之交甲立甲子直線又於寅乙(黄赤交之對截線)上作甲丑垂線次于乙丙癸圏黄平面上從丑作丑子為乙寅之垂線過甲子于子子甲者過極圏上丙甲弧之切線也而甲丑為甲乙赤弧之正弦丑夘其餘弦則圖中有直線直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似題言癸夘(全數)與癸己(癸乙丁角之正弦)若丙壬(丙乙底弧之正弦)與丙辛(丙甲為乙角之對邊丙辛其正弦)如上圖甲乙丙形(凡稱甲者恒為直角)全數(一率)與乙角之正弦(二率)若丙乙邊之正弦(三率)與丙甲邊之正弦(四率)此比例用㡬何五卷之六理云更之則一與三若二與四又反之二與一若四與三又反而更之三與一若四與二系若以大圏割本形作戊丁直角弧則丁戊與甲丙若乙戊與乙丙(俱用正弦)第二題全數與某邊(如甲丙)之餘弦(即丙戊弧之正弦)若他邊(甲乙)之餘弦(即戊)(角之正弦)與底(直角之對弧如丙乙)之餘弦(即丁丙弧之正弦)若直角形内有一鈍角或二鈍角其理同本題第三題直角形全數與某角(丙)之正弦(即丁丙戊角之正弦)若設角(丙)旁邊(甲丙)之餘弦(即戊丙底之正弦)與其邊對角(乙)之餘弦(即丁戊邊之正弦)此題之丁丙戊形與一題之甲乙丙皆有底有一角其理同也一系依相當第四法及此第一題顯全數與乙角(乙丙角互用)之正弦若角對邊(甲丙)之餘割線與底弧(乙丙)之餘割線(三四率各有正弦可用其餘割線當之)二系依相當第四法及第一題顯全數與底(乙丙)之正弦若某邊(甲丙)之餘割線與對角(乙)之餘割線(三四率有正弦互易為餘)(割線)三系依相當第一法及此第一題顯全數與某角(乙)之餘割線若對邊(甲丙)之正弦與底(乙丙)之正弦(第一題之比例為角之正弦與全若角對邊之正弦與底之正弦相當法則以正弦)(當餘割線也)四系依相當第一法及此第一題顯全數與底(乙丙)之餘割線若邊(甲丙)之正弦與對角(乙)之正弦(一題内底之正弦與全若邊之)(正弦與角之正弦今易底之正弦為餘割而居第二以全為第一)五系依相當法第四及第二題顯全數與某邊(甲丙)之餘弦若底(乙丙)之割線與他邊之割線(二題云全與邊之餘弦若他邊之餘弦與)(底之餘弦此云底之割線與邊之割線葢以割線當餘弦而為三四率也)六系依相當第一法及第二題顯全與某邊(甲乙)之割線若底(乙丙)之餘弦與他邊(甲丙)之餘弦(第二題之四率反用之為二與一若四與)(三則第一率為餘弦第二率為全數也今依相當一法易之為全與割線)七系依第四相當法及三題顯全數與角(乙)之正弦若他角(丙)之割線與他角對邊(甲乙)之割線(三題言全與角之正弦若設角)(旁邊之餘弦與他角之餘弦今用相當第四法反四率為三三率為四易餘弦為割)(線葢兩弧之餘弦與其正割線為互相視之線)八系依三題第四相當法顯全與邊(甲丙)之餘弦若邊對角(乙)之割線與他角(丙)之餘割線(三題三四率邊旁角之正弦與他角之餘)(弦今互變邊對角之割線與他角之餘割線)九系依相當第一法及第三題之四率前後易之顯全數與角之餘割線若他角之餘弦與其對邊之餘弦十系三題之四率前後相易用第一相當法顯全與邊之割線若邊對角之餘弦與他角之正弦十一系因一系反理及相當一法顯全與角之割線若底之餘割線與角對邊之餘割線十二系因上五系反用其率及相當一法顯全與邊(甲丙)之割線若他邊之割線與底之割線十三系因九系反用其率及相當一法顯全與角之餘割線若邊之割線與其對角之割線第四題曲線直角形其全數與角(乙)之切線若角旁邊(甲乙)之正弦與角對邊(甲丙)之切線(如前圗)解用一題平面全圖之甲乙丙形甲為直角戊丁為甲乙丙角之切線甲丑為甲乙邊之正弦子甲為丙甲邊之切線可見夘丁與乙角之切線丁戊若乙角旁邊甲乙之正弦甲丑與乙角對邊甲丙之切線甲子(三角形皆相似故見一題)系用相易第一法則全與邊(甲乙)之餘切線(或丁甲弧之正切線或戊)(己丙角之正切線)若邊旁角乙之餘弦(即戊己弧之正弦)與底之餘切線(即丙戊之正切線) 按本題第二率為乙角之切線系易為丁戊之餘弧或己戊邊三率為角旁邊(甲乙)之正弦系易為邊(戊己)旁角(己)或丁甲弧之餘弦(即甲乙正弦)四率為角對邊(甲丙)之切線系易為底之餘切線或甲丙弧之正切線二系全與底之餘弦(或甲丙邊之正弦)若角(丙)之切線(兩形為交角)與他角(已)之餘切線(即甲乙邊之正切線)三系依相當五法餘切線能當正切線(二三率可互易)為全數與邊之正弦若他邊之餘切線與其對角之餘切線四系若一二三四率反用為二與一若四與三即變第一率切線為餘切線則為全數與角之餘切線若角對邊之切線與他邊之正弦向下諸系皆用相當法及反理省文不解五全數與邊之餘切線若他邊之切線與其對角之切線六全與角之餘弦若底之切線與角旁邊之切線七全與邊之切線若底之餘切線與角旁邊之餘弦八全與角之割線若底之餘切線與角旁邊之餘切線九全與底之割線若角之餘割線與他角之切線十全與角之餘切線若他角之餘切線與底之正弦十一全與邊之餘割線若邊旁角之餘切線與他邊之餘切線十二全與邊之餘切線若邊對角之切線與他邊之餘割線十三全與角之割線若角旁邊之切線與底之切線十四全與底之切線若邊之餘切線與邊旁角之割線十五全與角之切線若他角之切線與底之割線因上四題即每一設形有十二算法 今設甲乙丙一形有乙丙底(三十度)及甲丙邊(十一度三十一分)求乙角一為乙丙邊之正弦(五○○○○)與全(十萬分)若甲丙之正弦(一九九六五)與乙角之正弦(三九九一)(三)查得二十三度三十一分三十○抄二為全(十萬)與丙乙之正弦(五○○○○)若甲丙之餘割線(五○)(○八六九)與乙角之餘割線(二二○六一七)三為甲丙之餘割線(五○○八六九)與全(十萬)若丙乙之餘割線(二○○○○○)與乙角之正弦(三九九一三)四為全(十萬)與甲丙之正弦(一九九六五)若乙丙之餘割線(二○)(○○○○)與乙角之正弦(三九九一三)五為乙丙之餘割線(二○○○○○)與全(十萬)若甲丙之餘割線(五○○八六九)與乙角之餘割線(三二○六一七)六為甲丙之正弦(一九九六五)與全(十萬)若乙丙之正弦(五○○○)與乙角之餘割線(二二○六一七)七為乙丙之餘弦(八六六○三)與乙丙之餘切線(一七三二○五)若甲丙之正弦(一九九六五)與乙角之正弦(三九九一三)八為乙丙之餘切線(一七三二○五)與乙丙之餘弦(八六六○三)若甲丙之餘割線(五○○八六九)與乙角之餘割線(二二○六一七)九為乙丙之正弦(五○○○○)與甲丙之切線(二○三七六)若甲丙之餘弦(九七九八七)與乙角之正弦(三九九一三)十為甲丙之切線(二○三七六)與乙丙之正弦(五○○○○)若甲丙之正割線(一○二○五五)與乙角之餘割線(二二○六一七)十一為甲丙之割線(一○二○五五)與乙丙之餘割線(二○○○○○)若甲丙之切線(二○三七六)與乙角之正弦(三九九一三)十二為甲丙之正弦(一九九六五)與乙丙之切線(五七七三五)若乙丙之餘弦(八六六○三)與乙角之餘割線(二五○六一七)以上十二法俱可得乙角因除法為繁故約用乘法如下方球上直角形相求約法球上直角三邊形有三角三邊此六者有三可推其餘交互為三十求各以乘法得之第一設乙丙兩角(凡甲皆直角乙丙或鋭或鈍)一求甲乙邊為全數與乙角之正弦若丙角之割線與甲乙邊之割線或全與乙角之餘割線若丙角之餘弦與甲乙邊之餘弦 丙角定數解曰同類者或皆過九十度或皆不及若丙角過九十度則所求之邊亦過九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下倣此二求甲丙(甲丙甲乙兩邊互用乙丙兩角亦互用)為全數與丙角之正弦若乙角之割線與甲丙邊之割線 或全與丙角之餘割線若乙角之餘弦與甲丙邊之餘弦 乙角定類三求丙乙(對直角之底)為全與乙角之切線若丙角之切線與乙丙邊之割線 或全與乙角之餘切線若丙角之餘切線與乙丙邊之餘弦或乙或丙兩角定類凡定類有二號者若二號為同類所得為不足九十度若兩號為異類所得為過九十度第二設乙角及乙甲邊 四求丙角為全與乙角之餘割線若乙甲邊之割線與丙角之割線 或全與乙甲邊之餘弦若乙角之正弦與丙角之餘弦(直線直角形設一得二取)(其較也此與異者曲直兩線為異類故也) 甲乙弧定類五求甲丙邊為全與甲乙之正弦若乙角之切線與甲丙邊之切線 或全與乙甲邊之餘割線若乙角之餘切線與甲丙邊之餘切線乙角定類六求乙丙邊為全數與乙角之割線若甲乙邊之切線與乙丙邊之切線 或全數與乙角之餘弦若甲乙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線 乙角或甲乙邊定類第三設乙角及甲丙邊 七求丙角為全數與甲丙邊之割線若乙角之餘弦與丙角之正弦或全數與甲丙邊之餘弦若乙角之割線與丙角之餘割線 乙角或甲乙邊定類八求甲乙為全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正弦 或全數與甲丙邊之餘切線若乙角之切線與甲乙邊之餘割線 乙角或甲丙邊定類九求丙乙為全數與乙角之餘割線若丙甲邊之正弦與丙乙邊之正弦 或全數與乙角之正弦若丙甲邊之餘割線與丙乙邊之餘割線 乙角定類第四設乙角及乙丙邊 十求丙角為全數與乙丙之割線若乙角之餘切線與丙角之切線 或全數與乙丙邊之餘弦若乙角之切線與丙角之餘切線 乙角及乙丙定類十一求甲乙為全數與乙角之餘弦若丙乙邊之切線與甲乙邊之切線 或全數與乙角之割線若乙丙邊之餘切線與甲乙邊之餘切線 乙角及乙丙定類十二求甲丙為全數與丙乙邊之正弦若乙角之正弦與甲丙邊之正弦 或全數與丙乙邊之餘割線若乙角之餘割線與甲丙邊之餘割線 乙角定類第五設丙角及甲乙邊 十三求乙角為全數與甲乙邊之割線若丙角之餘弦與乙角之正弦 或全數與甲乙邊之餘弦若丙角之割線與乙角之餘割線 丙角定類十四求甲丙邊為全數與甲乙邊之切線若丙角之餘切線與甲丙邊之正弦 或全數與甲乙邊之餘切線若丙角之切線與甲丙邊之餘割線 甲乙邊定類十五求乙丙為全數與丙角之餘割線若甲乙之正弦與乙丙邊之正弦 或全數與丙角之正弦若甲乙邊之餘割線與乙丙邊之餘割線 丙角定類第六設丙角及甲丙邊 十六求乙角為全數與丙角之餘割線若甲丙邊之割線與乙角之割線 或全數與甲丙邊之餘弦若丙角之正弦與乙角之餘弦 甲丙邊定類十七求甲乙邊為全數與甲丙邊之正弦若丙角之切線與甲乙邊之切線 或全數與甲丙邊之餘割線若丙角之餘切線與甲乙邊之餘切線 丙角定類十八求乙丙邊為全數與丙角之割線若甲丙邊之切線與乙丙邊之切線 或全數與丙角之餘弦若甲丙邊之餘切線與乙丙邊之餘切線 丙角及甲丙邊定類第七設丙角及丙乙邊 十九求乙角為全數與丙乙邊之割線若丙角之餘切線與乙角之切線 或全數與丙乙邊之餘弦若丙角之切線與乙角之餘切線 丙角及丙乙邊定類二十求甲乙邊為全數與丙乙邊之正弦若丙角之正弦與甲乙邊之正弦 或全數與乙丙邊之餘割線若丙角之餘割線與甲乙邊之餘割線 丙角定類二十一求甲丙邊為全數與丙角之餘弦若丙乙邊之切線與甲丙邊之切線 或全數與丙角之割線若丙乙邊之餘切線與甲丙邊之餘切線 丙角及丙乙邊定類第八設甲乙甲丙兩邊 二十二求乙角為全數與甲乙邊之餘割線若甲丙邊之切線與乙角之切線 或全數與甲乙邊之正弦若甲丙邊之餘切線與乙角之餘切線 甲丙邊定類二十三求丙角為全數與甲丙邊之餘割線若甲乙邊之切線與丙角之切線 或全數與甲丙邊之正弦若甲乙邊之餘切線與丙角之餘切線 甲乙邊定類二十四求乙丙邊為全數與甲乙邊之割線若甲丙邊之割線與乙丙邊之割線 或全數與甲乙之餘弦若甲丙之餘弦與乙丙之餘弦 甲乙甲丙定類第九設甲乙乙丙兩邊 二十五求乙角為全數與丙乙邊之切線若甲乙邊之餘切線與乙角之割線 或全數與乙丙邊之餘切線若甲乙邊之切線與乙角之餘弦 甲乙及乙丙定類二十六求丙角為全數與乙丙邊之餘割線若甲乙邊之正弦與丙角之正弦 或全數與丙乙邊之正弦若甲乙邊之餘割線與丙角之餘割線 乙角定類二十七求甲丙邊為全數與甲乙邊之餘弦若乙丙邊之割線與甲丙邊之割線 或全數與甲乙之割線若乙丙之餘弦與甲丙之餘弦 甲乙及乙丙定類第十設甲丙乙丙兩邊 二十八求乙角為全數與丙乙邊之餘割線若甲丙邊之正弦與乙角之正弦 或全數與乙丙邊之正弦若甲丙邊之餘割線與乙角之餘割線 甲丙邊定類二十九求丙角為全數與乙丙邊之切線若甲丙邊之餘切線與丙角之割線 或全數與乙丙邊之餘切線若甲丙邊之切線與丙角之餘弦 甲丙及丙乙定類三十求甲乙邊為全數與甲丙邊之餘弦若乙丙邊之割線與甲乙邊之割線 或全數與甲丙邊之割線若丙乙邊之餘弦與甲乙邊之餘弦 甲丙及丙乙定類球上斜角形各邊角正弦等線之比例第一題各角之正弦與其對邊之正弦皆為同比例若形是直角則借彼第一題為全數(甲)與某角(乙)之正弦若底弧(乙丙)之正弦與某角(乙)對邊(甲丙)之正弦則用更理為甲角全數與其對邊乙丙若乙角與甲丙或若丙角與甲乙用反理亦然(凡不言某)(線者皆正弦也下倣此)若斜角形借相易第五法如丙丁乙形從乙從丁從丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其對邊為直角因前論甲乙丙角與甲丙邊甲乙丁角與甲丁邊為同比例合之丙乙丁角之正弦與丙丁邊之正弦若乙丁丙角之正弦與乙丙邊之正弦(若戊為直角則)(戊丁丙角與戊丙邊若戊乙丁角與戊乙邊合之乙丁丙角與丙乙邊若某角與某邊或用壬直角其理不異)若甲直角在形外其理亦同 如乙丙甲乙甲丁兩角對乙甲乙丁兩邊乙丁甲乙甲丙兩角對甲乙乙丙兩邊各减共用之甲直角即丙對甲乙乙丁兩邊丁對甲乙乙丙兩邊又各减共用之甲乙則丁角之正弦與乙丙邊之正弦若丙角之正弦與乙丁邊之正弦乙角與丁丙邊同理第二題四率斷比例若第一率為全數則全數上方與二三率之矩内形若第一率與第四率解曰甲乙全數線上方(數與線兩類相當互解)丙丁丙戊為二三率之矩内方己方形之容與丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四線為斷比例題言甲乙上方與丁戊矩方若甲乙線(一率)與壬線(四率)論曰因㡬何(六卷十)甲乙壬兩率矩内形與丁戊兩中率矩内形等或與已方形等即甲乙己壬三線為連比例第一率上方與第二率上方若第一率與三率等(六卷十七)則全數(甲乙)上方與二三率之矩内方(丁丙丙戊矩丙形或已形)若甲乙線(一率)與壬線(四率)系若二三率為切線或割線或正弦即相乘以全數除之得第四率第三題球上斜角形全數上方形與兩腰之正弦矩内形若兩腰間角之矢與兩矢之較兩矢者其一為底弧(即角對邊)之之矢其一為兩腰較弧之矢圗説乙丙丁斜角形於乙丙乙丁引長之各滿半周遇於戊其極線為戊己乙己為心戊丙乙己為平面上半圈戊丁乙為斜面半圈兩半圈各平分于辛于寅作己辛己寅已丙皆半徑又作寅辛弧即乙角之弧也其正弦為寅庚其矢為庚辛又取乙壬弧與乙丁腰等作丁壬小圏之弧次從丁作丁甲從壬作壬甲各為戊乙之垂線則小圏之半徑亦為乙丁腰之正弦(即丁戊弧之正弦)次從丁作丁酉即丁壬小圏弧之正弦其矢為酉壬又取丙癸弧與底弧丁丙等又從乙從壬從癸向丙己半徑作乙辰壬夘癸午各垂線末從酉向壬夘作酉子垂線解曰乙辰為乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚為乙角(亦寅辛弧)之正弦其矢庚辛午夘為兩腰較弧(壬丙)之正弦其矢夘丙癸午為底(丁丙亦丙)(癸)之正弦其矢午丙午夘(酉子同)為兩腰較弧(壬丙)之矢(夘丙)與底弧(丁丙或丙癸)之矢(午丙)之較矢丁甲(壬甲同)為乙丁大腰之正弦題合全數(乙己丙己之類)上方形與乙辰偕壬甲兩正弦矩内形若辛庚(乙角之矢)與兩矢之較午夘論曰丁甲酉寅己庚兩形相似(酉與庚皆直角甲己兩角之腰平行又同在兩)(靣内即等)則寅己全數(辛己同)與庚己若乙丁弧之正弦丁甲(壬甲同)與酉甲或辛己(寅己同)與庚己若壬甲(丁甲同)與酉甲依㡬何(五卷十九)之論辛己與辛庚若壬甲與壬酉(全與全兩所截)(取之分比例等則兩截取之餘分必等)或辛己(全數)與壬甲(乙丁大腰之正弦)若辛庚(乙角之矢亦寅辛弧之矢)與壬酉(丁壬弧之矢)又乙己辰壬子酉兩直角形相似(壬夘乙辰兩線平行即壬甲乙三角幷為)(一形之角而甲壬夘為辰乙己角之餘又辰己乙角為乙角之餘則與夘壬甲角必等)則乙己(全數)與乙辰(乙丙小腰之正弦)若壬酉(丁壬弧之矢)與子酉(兩矢之較也午夘同)同乘理之法兩理(前兩比例)之第一率(一辛巳一乙己)相乘得全數上方形兩理之第二率(一乙丁大腰之正弦壬甲一乙丙小腰之正弦乙辰)相乘得兩弧之正弦矩内形依合理(㡬何五卷)為若乙角之矢辛庚(一理之第三率)與兩矢之較子酉(二理之第四率)系斜角形全數與所得之第四率(第四率者如上題全數為一率兩腰之正)(弦為二三率用三率法乗除所得則第四率也)若兩腰間角之矢與某矢(某矢者兩)(矢之較兩矢者一為底弧之矢一為兩腰較弧之矢)二系斜角形全數上方形與兩角之兩正弦矩内形(或全)(數與第四率)若兩角内邊之矢與某矢(某矢者兩矢之)(較兩矢者一為邊對角之矢一為兩角較角之矢)解用第四相易法設角易為邊即兩弧之正弦矩内形與兩角之正弦矩内形必等或兩腰内角之矢與兩角内邊之矢必等第四題全數上方形為兩腰(或兩角)兩正弦矩内形及兩腰兩餘割線矩内形之中率解曰乙(正弦)與丙(全數)若丙與丁(餘割線)如有兩正弦兩全數兩餘割線各以類相乗其形依合理為比例等反之或用餘弦矩内形及正割線矩内形亦同系若兩正弦兩餘割線各以類相乘(或用餘弦及正割線)以全數除之所得兩數亦全數為中率假如乙丙丁形(乙丁邊五十四度五十分丁丙邊五十八度)求其正弦其餘割線相乘以全數除之從尾截去若干位所存如全數之位則(五十四度五十分之正弦八一七四八五)(十八度之正弦八四八○五)相乘得六九三二六三九一四○(五十四度)(五十分之餘割線一二二三二七五十八度之餘割線一一七九一八)相乘得一四四二四五五五一八六全數為兩數之中率試之一全數上方積為實所得第一率為法除之或用减九數法亦可二系兩弧之正弦餘割線互乘所得兩數亦全數上方形為中率(或用餘弦正割線理同)如前系一弧之正弦全數與其餘割線作三率連比例為第一理一弧之餘割線全數與其正弦作三率連比例為第二理用合理以兩理之第一率相乘得數二三亦如之所得三數之比例與前同理則一弧之正弦他弧之餘割線矩内形全數上方形一弧之餘割線他弧之正弦矩内形為三率連比例形(如前法試之)若三率形皆以全數除之比例如前則一弧之正弦他弧之餘割線相乘以全除之所得為一率全數為二率一弧之餘割線他弧之正弦相乘以全除之所得為三率三系兩弧之正切線矩内形兩弧之兩餘切線矩内形亦全數上方形為中率(如圖戊正切與己全若丙全與丁餘)(切用合理如前)若三率形皆以全數除之所得三數之比例如前系四系若一弧之正切線乘他弧之餘切線或一弧之餘切線乘他弧之正切線亦全數上方形為中率若三率形皆以全數除之比例亦然五系一弧之正切線他弧之正弦矩内形又一弧之餘切線他弧之餘割線矩内形亦全數上方形為中率(如上)(系戊正切全數丁餘切為連比例反之則丁與丙丙與戊用合理如前)若三率形以全數除之比例亦然六系一弧之餘切線他弧之正弦矩内形一弧之正切線他弧之餘割線矩内形亦全數上方為中率七系一弧之正切線他弧之餘弦矩内形一弧之餘切線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率八系一弧之餘切線他弧之餘弦矩内形一弧之正切線他弧之正割線矩内形亦全數上方為中率若各三率形各以全數除之比例皆同第五題無直角形從一角向其對邊為垂弧分元形為二直角形各直角對邊之餘弦若底弧(受垂弧者為底)兩分之餘弦解乙丙丁形從丙作丙甲垂弧甲為直角則丙丁弧之餘弦與丙乙弧之餘弦若丁甲之餘弦與甲乙弧之餘弦又兩邊之割線若兩分之割線論曰依前直角形第二題為全(一)與某邊之餘弦(二)若他邊之餘弦(三)與底之餘弦今用更理二率與一若四率與三以論甲丙丁形則甲丁邊之餘弦(一)與全(二)若丙丁(直角形之底即直角之對邊)之餘弦(三)與丙甲之餘弦(四)以論甲丙乙形則甲乙(一)與全(二)若丙乙(三)與甲丙(四)此二理平之則甲丁與甲乙(兩理之兩)(一率)若丙丁與丙乙(兩理之第三率)各弧之餘弦成割線其理皆同(為丙丁邊之割線與全若甲丁邊之割線與甲丙邊之餘弦又丙乙割線與全)(若甲乙割線與甲丙邊之餘弦今用兩理平之則一丙丁與一丙乙若三甲丁與三甲乙各弧之割線)第六題垂弧旁兩角之正弦若他兩角之餘弦解甲丙丁甲丙乙兩角之正弦若丁乙兩角之餘弦又丙上兩分角之餘割線若丁乙兩角之正割線解依直角第三題甲丙丁角之正弦(一)與全(二)若丁角之餘弦(三)與丙甲邊(四)又曰全(一)與甲丙乙角之正弦(二)若丙甲邊之餘弦與乙角之餘弦今以第二理更之為二與一若四與三又以二理平之一與一若三與三則甲丙丁角(一)與甲丙乙角(一)若丁角(三)與乙角(三)又用三題十三系可算割線之比例第七題垂弧旁兩弧之餘切線若垂弧旁兩角之餘解丙甲垂弧遇丙丁丙乙兩邊於丙即丁丙甲角之餘切線與甲丙乙角之餘切線若丙丁邊之餘弦與丙乙邊之餘弦用直角第四題依前論試之又兩弧之正切線若兩角之正割線 亦用四題之系及十三系試之第八題垂弧旁兩弧之餘割線若垂弧相對兩角之正弦又兩弧之正弦若兩角之餘割線解丙甲垂弧旁兩弧為丙丁丙乙又丙甲垂弧之對角為丁為乙 用直角三題試之第九題垂弧分底為二兩分之正弦若垂弧相對兩角之切線又兩分之餘割線若兩角之正切線又兩分之正割線若兩對邊之正切線又兩分之餘切線若兩對角之餘切線右各題之理皆從直角形之理出前解已明今不贅斜角形相求約法凡所設為異類(或邊與角或角與邊)用第五易分兩直角形法見前凡形之弧或角過九十度用三四易得相似形其弧不及一象限設三邊若二邊等即用垂弧分為兩直角等形各形有元形之一邊有元底之半求其角解丙乙丙丁兩弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各兩平分依圓球原本第一卷二十一題知兩形必等若三邊各不等求某角有三法其一以本角旁兩腰之正弦相乘以全除之得數名初得數又以兩腰之正矢相乘以全除之得數名次得數以次得數與角對邊之弦或相加或相减(解見下文)得數以全乘之以初得數除之得某角之餘弦解凡角之對邊大以象限而角之兩腰同類(同類者或皆大于象)(限或皆小)則兩數相加(所求之角為鈍)角若異類則兩數相减其次得數為實(大而受减者為實)則角鋭次得數為法(小而以减者為法)則角鈍 凡角之對邊小于象限而兩腰同類則兩數相减其次得數為實即角鈍次得數為法即角鋭若異類則兩數相加角為鋭角其二角兩腰之(餘割)線相乗以全除之得初數又兩腰之(餘弦)相乗以全除之得次數以次數與角對邊之(餘弦)或加或减如前法以所得數乗第一得數以全除之(得角之餘弦)三法用前斜角三題全圗解為全數與一腰之正弦若他腰之正弦與初得數又初得數與兩矢之較(兩矢者兩腰較)(弧之矢及底弧之矢此名次得數)若全數與角之矢球上三角形比類法見宗動天諸問向上諸篇皆先言其理(諸問見本篇八卷)上法之外尚多别法或用實球從球面界畫諸圏測之或用平立環渾儀測之或用平渾儀測之或用比例規或用宗動天之象限或用規于平面畫圗以綴術算之或先算成各度分之數而列為立成表俱有本書本論本㨗法然方之前法則踈而不宻故近来厯家舍置不用也古法用弦數以推步七政必湏句股開平立三乘方等術至繁而易紊用力多而見功少今悉置不用獨用乘除簡矣此卷中幷除法不用而獨用乘法更簡也又有加减術幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然後用加减取徑㨗焉三角形有三邊求角三法假如丙丁邊十九度三十分丙戊邊十五度五十八分戊丁邊十二度九分求戊角 第一法兩腰(戊丙戊丁)正弦(丙戊為二七五○八戊丁)(為二一○四七)相乘以全除之初得五七八九又餘弦相乘以全除之(丙戊為九六一四二丙丁為九七七六○)次得九三九八八丙丁邊餘弦為九四二六四比次得數為大(因兩腰同類其三為小)即戊角為鋭其較為二七六加五○以初得數除之得四七六七為角之餘弦查表得八十七度十六分 二法兩腰餘割線(丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三)相乗以全除之初得一七一七二二九其餘弦如上法次得九三九八八與第三邊餘弦相減得較以較乗初得數以全除之得如前此法更便可免除法 三法兩腰正弦如上兩矢較如前解求兩腰之較度得三度四十八分其矢為二二一又對邊之矢為五七三六兩數相减得五五一五為實加五○以初數除之得角之矢為九五二三一其度如上新法算書卷九十三
## 卷九十四
欽定四庫全書
新法算書卷九十四 明 徐光啟等 撰測量全義卷八 解正球上大圏相交之度分正球之大圏有三種一為赤道二為斜截赤道之圏(如黄道等)三為直截赤道之圏(直截赤道者截赤道為直角其極如正球之地平圏各處)(午圏時圏等)三者相交相距是生多種三角形如己甲庚為赤道丁丙寅為黄道相交於丙為斜角戊為己庚赤道圏之一極(極者球面)(上大圏之心凡分球宜用球體之心體之心不可得而以大圏之心當之故不名心)(名極亦即軸之兩端也)從戊極作戊甲乙辛圏辛為赤道之又一極戊甲辛弧截赤道於甲為直角亦截黄道於乙成甲乙丙直角曲線形也此形之乙至丙為黄道之經度丙至甲為赤道之經度乙甲為乙㸃距赤道之度(即赤道之緯度)丙為赤黄二道之交角乙為過兩極圏與黄道之交角甲為過極圏與赤道之交角(即直角)一形有三角三邊凡六種先有三可求其餘一題凡有兩道極相距之度分(交角之度分同)及一道之經度分求其餘如丙角為二十三度三十一分三十○秒丙乙為黄道經三十度(如大梁等一宫)求其緯度乙甲(過極圏之一弧)此為直角形有丙角及直角之對邊丙乙求其餘三一求黄道若干度之赤道緯度(即乙甲邊)法(見本篇七卷直角形㨗法第七)(設)為全數與丙角之正弦(三九九一六)若乙丙弧之正弦(五○)(○○○)與乙甲弧之正弦(一九九五七)查得一十一度三十○分四十秒即黄道經三十度之赤道緯度二求正球同升之度甲丙(若甲乙邊為正球之地平弧即丙甲丙乙兩弧必同出入)(名正球同升之弧也又若甲乙為子午圏即丙甲丙乙為同過子午圏之兩㸃名雖)(不同其理無二詳見左方)法為全數與丙角之餘弦(九一)(六九○○)若乙丙之正切線(五七七三五)與甲丙邊之正切線(五二)(九三○)查得二十七度五十三分四十三秒三求乙角(即黄道與子午等過極圏之交角)法為全數與乙丙之割線若丙角之餘切線與乙角之切線(若知黄白二道)(交角之度及太隂之本行經度可知其去離南北之度而定食限之度見月離厯及)(本表)用上三法可作兩道各度分相距之緯度表又可作每度之同直升表又可作每度與過極圏之交角表三者其用甚大為推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度附同升解黄赤二道交於春秋二分必相截爲兩平分若别大圏截兩道其交角從本圏之體勢直斜不一其一大圏過兩道之兩極必與兩道相交為直角則從兩道之交至大圏之交其兩道之〔？〕必等此大圏為極至交圏也因過赤黄兩道之極與兩道為直角則從春分迄夏至兩道之〔？〕必等為九十度也其二大圏獨過一道之兩極(如過北極則赤道極也)此大圏與所過極之本圏必相交為直角若與所不過之道則否從春分至過極圏之交所截黄赤兩道之〔？〕必不等(蓋兩道與)(過極圏交而作角必有鈍有銳為異類故也)而此兩道之兩〔？〕(從春分起數)名正球同升或同降之度(正球内升降之度必等蓋地平為過極之一圏也欹球則否)亦名同過子午圏之度(蓋子午圏亦過赤道之極)如過極圏截黄道大梁初度(去離春分三十經度)截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度與赤道二十八度弱同升同降或同過子午圏反之亦謂正球赤道二十八度弱與黄道三十度同升同降同過子午圏其理皆同若春分迄夏至於黄道第一象限順數之秋分遡夏至則否用所得赤道升度以减象限所存數又加一象限九十度得黄道某㸃之正升度如鶉尾初度距秋分三十度從秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二為鶉尾初從春分起與赤道同升之度若秋分迄冬至用所得赤道升度與春秋二象限一百八十度并得黄道從春分至某㸃之正升度如大火初距秋分三十度從秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初從春分起與赤道同升之度若從春分遡冬至則用所得赤道升度以减象限得數與春分迄春分三象限二百七十度并得黄道從春分至某㸃之正升度如娵訾初距春分三十度從春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度為娵訾初從春分起與赤道同升之度其三大圏不過兩道之極如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等則從春分計某地兩道同升之兩〔？〕數名欹球同升之度如順天府赤道約高五十度設大梁初度從地平上升因本法推赤道上之同升度一十八(從春分起數)則大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之兩㸃若欲定其斜入則倒球取之用彼球之卯當此球之酉用彼球之升爲此球之降則某㸃為彼球之斜同升即此球之斜同入如順天府北極出地約四十度有夏至同升之度欲求其同降則用南極出地五十度之彼球以彼球之冬至為此球之夏至則彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度巳上言正球有正升度欹球有斜升度此兩數相减之較名兩升之差如大梁初度之正同升二十八度順天府大梁初度之斜同升一十八度其較十度即順天府大梁初度之升差已上所説用渾球解之則易明二題有黄道經緯度求兩道交角之度如上有直角之對邊乙丙及其旁邊甲乙而求丙角求乙角求赤道之〔？〕甲丙俱用本書七卷十設因設數難定不須詳别三題設兩道交角之度及黄道某㸃之緯度而求其㸃之黄道經度如丙為交角丁甲其對邊之緯〔？〕求丙甲赤道之〔？〕(見七卷三設)爲全與丙角之餘切線若甲丁〔？〕之切線與甲丙邊之正弦(此即赤道經度凡經緯二數恒相連)求丙丁黄道之〔？〕為全與丙角之餘割線若甲丁邊之正弦與丙丁邊之正弦(丙丁為黄道經即兩圏上之兩㸃丁甲恒相對同升於地平同)(過於子午等圏)求丁交角為全與甲丁邊之割線若丙角之正弦與丁角之正弦(三角形各形有十設)(各設三求今約取其必用者解之)四題有丙交角(丙恒為交角)及甲丙赤道之〔？〕求丁角(黄道與過極圏)(之交角)求丁丙(黄道同升之〔？〕)求甲丁(黄道上某㸃之緯度法見)(七卷第二設)解欹球上大圏相交之度分正球上大圏有三種欹球則有四種地平圏一也天頂圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之時圏四也與正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大一題有赤道與地平交角之度(子午圏過天頂亦過赤道極則交角之度與極出地)(平上之餘度必等)又有黄道某㸃之緯若某㸃或升或降在地平求黄道與地平交角之度如圖癸丙甲為地平壬寅戊為赤道丁丙庚為黄道己為二道之交丙爲黄道地平之交從赤道極乙㸃過丙至赤道上寅㸃作乙丙寅〔？〕即丙寅〔？〕定黄道丙㸃之緯度丙乙其餘也即甲丙乙直角形之丙角為過極圏與地平之交角又丁丙乙爲黄道與過極圏之交角兩角并得丁丙甲角 用前正球一題第三求得乙丙丁角(彼云乙角)次甲丙乙形甲乙爲極出地之髙若干度乙丙爲寅丙緯之餘度用第九設第二求得之(此問日食)(算中所必用故詳解之仍須作立成表)如有大梁初度(即黄道經三十度為乙丙邊)又有兩道之交角(丙角二十三度三十一分半)而求過極圏(甲乙)與黄道之交角(乙)法爲全數與乙丙之割線(一一五四三○)若丙角之餘切線(二二九七○○)與乙角之切線(二六五一四二)查得六十九度二十分有竒次求甲丙乙角(即前本圖上形)爲全數與乙丙邊之餘割線(大梁)(初度之緯十一度三十一分其數五○○八六九)若甲乙邊之正弦(如順天府北極出地三十九度五十分其正弦六四○五六)與乙角之正弦(五四三六七)查得三十二度五十六分先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本圖甲丙丁角之度若巳交角(即黄赤交)與丙(即黄道地平之交)同㸃即黄道極必在子午圏内或巳爲春交在東則以黄赤距度減赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在東即以距度加赤道髙或巳為春交在西亦加爲秋交在西亦減(用渾球明之)二題有黄道某㸃之緯度及北極出地之度求本㸃出入地平之濶度(濶度者地平之經度各㸃出入於卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入於)(正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南)如圖丁庚戊爲子午圏丁丙戊為地平庚乙己為赤道交地平於乙辛丙壬為赤道南距等圏交地平於丙從天頂子(地平圏之極)作子甲乙為地平第一經圏乙㸃即正卯酉此圏分則出入南北之中界也次從赤道極癸作癸丙過極經圏而成甲乙丙直角形形之甲丙邊為某㸃距等圏之緯度甲乙丙角(庚戊〔？〕也)為赤道出地之度(北極出地之餘)甲為直角(從赤道極癸出線而截赤道於甲故也)乙丙爲黄道某㸃之濶度求法用三設之第三求為全數與乙角之餘割線若甲丙邊之正弦與丙乙邊之正弦假如順天府赤道高五十度五分乙角也其餘割線(一三○二二三)甲丙邊冬至之緯度也為二十三度三十一分半其正弦(三九九○二)算得乙丙邊之正弦(五一九六)(一)查得三十一度一十九分 因乙㸃為正卯酉癸爲北極則丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角(丁己〔？〕也)爲赤道入地之度如上圖三題有北極出地度及黄道之某㸃求晝夜長短(即各欹球黄赤)(道同升之㸃)解曰凡測時以赤道為主何者日十二時九十六刻終古常然不以冬夏為永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各滿一象限不與黄道偕盈縮二相配合則赤道過一宫而爲一時過三度四分度之三而爲一刻故赤道為各種日晷之宗法測時候之公本原也其在欹球獨春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内兩道過子午圏及出入地平常是同㸃則從午至酉赤道過子午圏而西者為九十度得二十四刻也過此以徃日躔積漸南北晝夜亦積漸永短赤道在午正左右之第九十度亦積漸出地上或入地下則定晝夜分者當求赤道與日躔過極圈交㸃之度其法從北極過日體作過極圏之一〔？〕為癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之㸃其赤黄兩道之兩㸃庚辛同過子午等圏轉渾令辛㸃到地平如丙即庚㸃必至甲若太陽在北六宫庚㸃必過地平如癸丙甲在南六宫庚㸃必不到地平如癸甲丙此或過或不及之差名兩升之差(一是正球過子午圏一是)(欹球過子午圏)亦謂之晝夜長短之根今欲測辛㸃從午至入地平之刻分必先定庚甲(庚甲大圏之〔？〕度與辛丙小圏之〔？〕度同在癸甲癸庚兩)(過極圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏無法必用庚甲測之)而庚乙必九十度須知甲乙然後或加或減可得甲庚即半晝分倍之得晝夜以加減四十八刻得半夜分如上圖甲乙丙形有乙角為赤道與地平之交角有甲丙為某㸃之距度求甲乙則全數與甲丙邊之切線若乙角之餘切線與甲乙邊之正弦如甲丙爲冬至之距緯二十三度有竒其切線四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其餘切線八三四一五算得三六五一一為甲乙邊之正弦查得二十一度二十五分以減九十度得六十八度三十五分算時刻得一十八刻四分(每刻十五分)二十抄(每分六十秒)為順天府之冬至半晝分倍之得三十六刻○ 八分四十○秒為晝長以減九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜長 因上法可作諸方半晝分立成表(見别卷)四題有赤道之高及太陽出入之濶度可得黄道本㸃之緯度亦自有其經度即用上圖有乙角爲赤道之高丙乙爲大陽出入之濶求黄道之緯度甲丙亦求欹球同升之差甲乙(見七卷第四設)若有赤道之高及丙角亦可求其餘(見七卷第一設)若置半晝分及赤道之高可得黄道本㸃之緯度及太陽出入之濶度(若半晝分為時刻則以本法易為度分以加减九十度所得數為甲乙邊)五題有黄道某㸃及北極出地之度求欹球同升之度如上圖求得黄道某㸃之正升甲及兩升之差甲乙以此兩數或相加(在北六宫内)或相減得某地面黄赤兩道同升(從春分起算)之兩〔？〕如順天府析木初度正升為二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差為一十八度兩數相加得二百五十五度四十八分○七秒則黄道〔？〕爲二百四十度(從春分起算)赤道弧為二百二十五度四十八分○七秒為本地面兩弧同斜升之度若求其同降之度則用黄道上對㸃求其斜升加一百八十度 如析木之對為實沈求實沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度升降三類(正球同升一斜球同升二正斜升之差三)其用甚大如定晝夜長短及太陽與某星相距之度及夜以星定時刻之屬皆所必須故須詳講之熟習之(另卷有本表及其用免算)六題有極出地之度及赤道之升度(從所近交起算)求黄道同升之經度如圖己癸為地平午丙辛為赤道戊丁庚為黄道交地平於乙兩道之交成丁丙乙斜角形丁為兩道之交角丁丙邊為赤道上升度(從所近交)(起算)丁丙乙為赤道高丁丙癸之餘角求黄道弧丁乙其法從丙角作丙甲垂弧分元形為二其甲丙丁形有丁角有丁丙邊用直角第四設求丁丙甲角丙甲邊丁甲邊次於丁丙乙角内減丁丙甲角餘甲丙乙角即甲丙乙形有丙角及丙甲邊用直角第二設求甲乙以并丁甲得丁乙弧上法為是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙斜角形有丁丙邊有丁丙兩角從乙角作乙甲垂弧分元形為二先於甲乙丁形求甲乙甲丁次甲乙丙形有丙角甲乙邊求甲丙以并甲丁得丁丙邊七題有極出地之度分多於兩道相距之餘度分求此地周歳中太陽恒見恒隱之日數解曰正球之赤道及其距等圏皆與地平為直角故晝夜恒等其在欹球極高六十六度半弱(兩道距二十三度半强之餘度)以下者太陽日日有出入周嵗中日日有晝夜依上第三題求其晝夜分若極高六十六度半弱以上即周嵗中太陽有時恒見不隱每日周遭地平之上有時恒隱不見每日周遭地平之下以法求得其𨼆見之日數然此所得者實隠見也又因清蒙之氣入恒遲出恒早此為視隠見説見厯指一卷其法以赤道之髙(極出地之餘度)當太陽之緯度因緯度求其經度(從春分或秋分起數)取經度之餘度(即太陽去離夏至或冬至)倍之約一度為一日得本地太陽恒見恒隠之日數如上圖癸己為地平午辛為赤道乙丙為夏至壬庚為冬至乙庚為黄道子丑為兩極若太陽在夏至乙從乙轉丙丙復轉乙不割癸己地平即常見若太陽至丁己距圏從丁轉己已復轉丁雖切地平于已而不割亦常見假如極出地七十六度赤道髙十四度即以當太陽之十四緯度求經得三十七度二十分其經餘五十二度四十分倍之得一百○五度二十分約一度為一日得一百○五十有竒太陽日日周行地平之上并為一晝若太陽躔南六宫則日日周行地平之下并為一夜第因清䝉之氣即視見恒在真見之前視隱恒在真隱之後各有日數因本地之蒙氣厚薄以為多寡八題有黄道交子午圏之㸃及極之髙求黄道之九十度限從地平以上數至黄道之九十度名為黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道極多不在子午圏中故上半周任交於子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若極在東則從地平西右數至子午圏黄道之度恒過九十從地平東左數至子午圏黄道之度恒不及九十若極在西則反是故春分前後六宫從冬至迄夏至交於子午則黄平限在東秋分前後六宫從夏至迄冬至交於子午則黄平限在西今所求者此九十度限之一㸃去離天頂若干度分也其用法詳日食本論法有黄道交午圏之㸃求九十度限即先求正球上在午㸃之同升赤道㸃加赤道從午至地平九十度得總數定儀求本地欹球上之黄道同升㸃於黄道在午至地平數内減九十度得黄道去離地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升為赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球(順天府極出地四十度弱)上之黄道同升得鶉火出地平一十一度弱於黄道從午至地平數内減九十度得大梁十一度弱為黄道九十度限在東又如黄道𤣥枵初度在午其正同升為赤道三百○二度强加九十得三百九十二(凡度數滿全周用其餘此三百九十二减三百六十)(即總數為三十二)次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度於黄道從午至地平數内减九十度得𤣥枵一十二度為黄平象限亦在東系有在午之㸃及九十度限其較為午㸃至九十度限之黄道一〔？〕如上第二設九十度限為𤣥枵一十二度午上之㸃為𤣥枵初度則其相距為一十二度反之有黄道之出地度求在午之㸃及九十度限法曰有地平上黄道㸃求其本地欹球上之赤道同升㸃减九十度得數求正同升之黄道上度為在午之㸃又於本㸃去離地平數内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升為一十八度减九十(凡實數小法數大借全周三百六十并而減之)得二百八十八度求其正同升之黄道上度得𤣥枵一十七度强為九十度限距午之度又黄道大梁初度在地平於地平距午數内減九十度得𤣥枵初度為九十度限九題有黄道交子午圏之㸃及極之髙求九十度限而不用同升度如圖丁丙戊爲子午圏乙甲丁為黄道乙㸃為某宫某度分丙為天頂甲為九十度限從丙過甲作丙甲己地平經圏成甲乙丙形甲為直角乙爲黄道交於子午圏之角(見正球説有本表)丙乙為黄道某㸃距天頂之度(若某㸃係南六宫求其緯以減赤道髙若係北)(六宫求其緯以加赤道髙各得丙乙)而求甲乙邊法為全與乙角之餘弦若丙乙之切線與甲乙之切線(另卷有表又見交食厯)假如乙㸃是大梁初度則乙角為六十九度二十一分(法見正球四題)其餘弦爲三五二六六其緯一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其餘為二十八度一十分丙乙也其切線為五三五四五算得一十度四十八分為甲乙弧(上題用同升表一十一度弱今亦用表數云一十度四十八分因上題棄去零數故也)十題有黄道交於子午圏之㸃及極之髙而求九十度限距天頂之度如前圖求丙甲弧法為全與丙乙之正弦(四七四六○)若乙角之正弦(九三五七五)與甲丙邊之正弦(四三四一九)算得二十五度四十四分為甲丙弧 因甲庚庚己各九十度則甲己爲庚角之弧其角為黄道截地平之角即上第五題圖之丁乙丙角十一題有在地平㸃之濶度及在午㸃之距天頂度而求黄平象限距天頂度如前圖從天頂丙作地平經初度丙壬黄道截地平於庚成庚甲己形甲己為兩直角(丙己經圏過地平之極故己為直角甲分地平)(上黄道為兩平分即過地平之極亦過黄道之極故甲為直角)則相對之兩腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自為九十若减同用之壬己即所餘庚壬與己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角(或己戊或壬庚濶升度)可得甲丙法為全與濶升度之餘弦若丙乙邊之切線與丙甲邊之切線十二題有午上之㸃求在地平㸃之闊升度即庚壬或己戊或甲丙乙角法為全與丙乙邊之餘割線若甲乙邊之正弦與丙角之正弦(或庚壬濶〔？〕之正弦)十三題有午正前後時刻之度分(時刻之度分者以時刻易為度分也每四刻為)(一十五度一刻為三度四十五分刻之一秒分為度之四分之一刻之一秒為度之四)及太陽之經度求在午之度因求黄平象限度法如時在午前即以太陽經度求其正同升之度减時刻之度得赤道數以求黄道正同升之度即在午之度如太陽躔大梁初度於己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升為赤道二十八度减去三十度(己正)(初刻之度)餘三百五十八(實少于法借全周)查其正同升之黄道度得娵訾二十八為在午之㸃次於赤道數加九十得八十八(滿全周去之)求本地欹球同升之度得鶉首一十七(零數)(省文去之)為黄道本球本時出地平之度減去九十度得降婁一十七為黄道九十度限若時在午後則用加法如未正初刻則於二十八度(大梁)(之正同升)加三十(時度)得赤道五十八查其正同升得實沈初度為在午之㸃次於赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鶉尾五度半為黄道本時本球之出地度減去九十度得實沈五度半為黄道九十度限十四題有太陽躔度及時刻度求太陽地平上之髙度其法有四或太陽在赤道上(春秋分第一圏)或時度過九十(二圖)或在北六宫(三圖)或在南六宫(四圖)第一圖己戊丁壬為子午圏戊丙庚為赤道太陽在乙從天頂丁作丁乙甲弧過太陽至地平為直角成甲乙丙直角形此形有乙内邊(戊乙時度之餘)有丙角(赤道之高度)求甲乙為全與乙丙邊之正弦(己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正弦八六六○三)若丙角之正弦(順天府赤道髙五十度則丙角五十度其正弦七六六○四)與乙甲邊之正弦(六六)(三四一)算得四十一度四十七分為太陽本時之髙第二圖時度過九十即從北極辛作辛乙午〔？〕交地平於癸成癸午丙三角形午為直角有午丙為時度過九十之較有癸丙午為赤道與地平之交角求午癸邊及午癸丙角(午癸丙角)(為過極圏或時圏與地平之交角求法見第七卷直角形之用法)次以午癸與午乙或加或减得癸乙〔？〕(用二圖時度過九十即相减若不過九十者如三圖太陽在北六宫即相)(加如四圖太陽在南六宫即相减所并所餘皆為癸乙〔？〕)次乙甲癸形甲為直角有先加減所得之癸乙邊有乙(癸甲)角可得太陽之髙乙甲如三圖日躔大梁初度其緯得一十一度三十分半乙午也巳正時戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分(或午丙癸角)次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸邊法為全與午丙之正弦(八六六○三)若丙角之切線(一一九八八二)與午癸之切線(一○三八五五)算得四十六度○五分(因大梁在北六宫故)次加太陽之緯度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又於此形求癸角法為全與丙角之餘割線(一三○二二三)若午丙弧之正割線(二○○○○○)與癸角之正割線(二六○四)(一七)算得六十七度二十四分癸角也次癸乙甲形甲為直角有癸角及癸乙邊求甲乙法為全與乙癸弧之正弦(八四四五三)若癸角之正弦(九二三二一)與甲乙邊之正弦(七七九五二)算得五十一度一十三分甲乙也是為本地本時黄道某度地平上之日軌髙若太陽躔南六宫如雙魚初度其緯亦一十一度三十○分三十秒則如第四圖之癸午邊減乙午得三十四度三十四分為乙癸邊其正弦(五六七三六)乗癸角之正弦(九二三四三)得三十一度三十六分十五題有太陽之緯度有日軌髙有極出地度求時刻如上題第一圖(太陽乙在赤道)甲乙丙形有日軌髙甲乙有乙丙甲角為赤道高求乙丙邊(戊乙之餘)法為全與丙角之餘割線(丙角五十度○五分)(其餘割線一三○一九二)若甲乙弧之正弦(甲乙日軌髙三十度其正弦五○○○○)與乙丙之正弦(六五三二○)算得四十度三十七分乙丙也戊乙其餘為四十九度二十三分易為時得午前或午後一十三刻○二分三十二秒又如上題第二三四圖用辛丁乙形(太陽在乙)有乙辛為太陽距極度(若乙在北六宫則乙辛為緯度之餘)(若在南六宫則于緯度加九十得乙辛)有丁乙為日軌髙之餘度有丁辛為北極距天頂之度(北極髙之餘)求辛角(辛為赤道極丁)(辛乙角之〔？〕為戊午戊是午正則以戊午定午前後時刻之數)法見第七卷斜角形用法今解之如辛丁為五十度一十分丁乙(日軌髙之餘)六十度辛乙八十度(太陽緯午乙十度其餘得八十度)法以辛角旁兩腰之正弦相乗(五十度一十分之正弦七六七九一八十度之正弦九八四八一)以全除之得(七五六二○)名初得數又以兩腰之餘弦相乗(五十度一十分之餘)(弦六四二七九八十度之餘弦一七三六五)以全除之得(一一○六)(九)名次得數以次得數與角對邊之餘弦(六十度之餘弦為五○○○○)相減(丁乙邊小又兩腰同類故也)所存(三八九三九)以全乗之以初得數(七五六二○)除之得辛角之餘弦(五一六九○)算得五十八度五十三分易為時得一十五刻一十三分四十二秒又如辛丁丁乙如前而辛乙為一百度(日在南六宫距度十)則以丁辛之正弦(七六七九一)辛乙之正弦(九八四九一百度而用八十度之正弦者)(大弦過象限則用其餘弧之弦)相乗得(七五八三一)以全除之為初得數又以兩弧之餘弦(丁辛之餘弦為六四○五)(六辛乙之餘弦為一七三六五)相乗以全除之得(一一一二三)爲次得數以加角對邊丁乙之餘弦(丁乙邊小又兩腰為異類故)得數(六一一二三)加五位為實以初得數為法除之得(八○六○四)為辛角之餘弦查得三十六度一十七分易為時得九刻一十分○八秒如上法或用月之髙求月時則用月之緯度或用星之高求星時則用星之緯度十六題有極出地之高有日軌高及其緯度求地平經度(地平經度者或從卯酉正或從子午正起算皆得)如前圖辛丁戊為子午圏丁為天頂丁乙甲為本時日躔(天頂經圏)今求壬甲弧(或壬丁甲角)或甲己弧(或甲丁己角)宜用辛丁乙角形求角列數如上題(丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度)法以辛丁丁乙兩弧之正弦相乗以全除之先得(六六六八六)又兩弧之餘弦相乗以全除之次得(三二○二八)加乙辛之餘弦(一七三六五)於次得數共(四九三九三)加五位(以全乗之故)為實以先得數除之得(七四○六即丁角之餘弦)查正弦表得四十七度四十七分為乙丁戊角(即甲己弧)辛丁乙之餘角也辛丁乙係鈍角(因對角邊乙辛小于九十度兩腰為同類故相)(加次得數大于乙辛底之餘弦故所得為鈍角)故乙丁戊角之餘為四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分為太陽之本頂圏距北向南之度壬甲也(此係太陽在北六宫)亦名地平之經度(造日晷之法内用)又如辛乙為一百一十三度三十一分半(太陽在南六宫躔星紀)丁乙為七十度求丁角法兩腰之正弦相乗(丁辛之正弦為七六七九一丁乙之正弦為九三九)(六九)以全除之先得(七二一五八)以兩弧之餘弦相乗(丁辛為六四○)(五六丁乙為三四二○二)以全除之次得(二一九○九)以乙辛之餘弦(三九)(九○二)加次得數共(六一八一一)加五位為實以先得為法除之得(八五六六六)即丁角之餘弦查得五十八度五十六分為乙丁戊角因丁為鈍角(角之對邊辛乙大于九十度兩腰為同類故相加又次得)(數小于乙辛底之餘弦故丁為鈍角)故加九十得一百四十八度五十六分為辛丁乙角之度(即壬甲弧)是太陽本頂圏距北向南之度若用餘角則從南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也(餘者一百四十八度五十六分之餘)十七題有時度有日軌髙及極出地之度求太陽之緯度又求地平之經度如前圖辛乙丁斜角形辛乙邊為太陽本日距等圏距北極之度此形有辛角(即戊午弧)時度也有丁辛弧極髙之餘也有丁乙弧日軌髙之餘也而求太陽距北極之緯度辛乙即如次圖從丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛(用七卷直角形第四設二三求)次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙(用七卷第八設)(之三求)乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平經度(乙丁辛角也)則丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角(若辛為鈍角即乙丁辛為鋭角若辛為鋭角即乙丁)(辛為鈍角)新法算書卷九十四
## 卷九十五
欽定四庫全書
新法算書卷九十五 明 徐光啟等 撰測量全義卷九 測星太陽行度止於黄道帶中間一線終古不易故日躔厯中所用止黄道赤道過極天頂地平五大圈而已若恒星及五緯不然各有黄道之緯度(一名廣度)恒星則終古不易五緯則隨時不同也各有黄道之經度(一名長度)恒星則東行每百年一度二十五分五緯自有其本行也各有赤道之緯度(一名距度)則恒星緯星皆隨時不同也各有赤道之經度恒星則為黄道之同升度(或名同過極圏之度非赤道本圏之上度)五緯自有其本行亦皆隨時不同也蓋二種星四種度其不易者止一恒星之黄道緯餘皆時時變易矣欲測經緯各星之本度法用儀器定赤道上之經緯度可推得黄道上之經緯度或先測得黄道上經緯度可推得赤道上經緯度又以法求各欹球上之各星升降時刻見上卷其測星之器之法及行度各論各表見别卷第一題有某星之黄道上經緯度求其赤道上經緯度(星者通稱也或恒星或五)(緯或客星彗孛皆是後論倣此)凡星之經度皆從春分或左或右起算厯家兼用二分葢皆兩道之交無緯度但取其距近者為便耳如河鼓中星其黄道經二百九十六度有竒以滿全周少六十三度有竒即用春分向右起算為相距未及一象限故黄道分四象限春分迄夏至九十度為一限夏至迄秋分一百八十度為二限秋分迄冬至二百七十度為三限冬至迄春分滿三百六十度為四限凡論星之經度先定在黄道某象限之或左或右相距近則易測(圖說如左)若論星之緯度或在二道之北或在二道之南或在二道之間(或在黄之南赤之北或在黄之)(北赤之南)亦如後圖圖說丁戊庚寅為極至交圏(南北圏過)(二道二極亦過二至)壬為心戊壬寅為黄道丁壬辛為赤道交于壬為春秋兩分戊為夏至寅為冬至已為赤道極庚為黄道極從春壬向夏戊轉秋壬至冬寅為四象限之弧也今設一星如乙從黄道極庚(或北極或南極與緯度同理)作象限弧過乙至黄道之子㸃子乙即黄道上本星之緯度也次從赤道極已過乙作己乙甲象限弧乙甲即赤道距本星之緯度也又定本星經度距交分之度為甲壬今欲求本星之赤道緯度甲乙及其赤道經其法有二一用己庚乙斜角形此形有兩極之相距己庚有黄道緯乙子之餘弧乙庚有對戊子弧之庚角(庚角之子戊弧即本星距交分之餘弧亦即其距至之弧)求乙己庚角(其餘乙己午角為甲丁〔？〕之角即本星赤道上距至之弧)法用七卷第五易以庚己弧引長之從乙作乙午垂弧成乙庚午直角形此形有庚角有庚乙邊求午乙又求午庚(二求法見下第一假)(如)以己庚减午庚得午己次午己乙直角形有午乙有午己求己乙求午己乙午己乙者甲丁弧之角甲丁者所求赤道經壬甲之餘弧己乙者所求赤道緯甲乙之餘弧也假如乙為句陳大星(西名小熊尾第一)天啓甲子年黄道經為八十三度二十三分壬子也其黄道北緯度為六十六度○二分子乙也因經度不過九十故在第一象限内從春壬向夏戊遇子即從庚過乙作庚乙子象限弧次從北極已(緯度在北)過乙作己乙甲象限弧成己乙庚形此形有乙庚庚己及庚角從乙作乙午垂弧成午乙庚直角形此形有乙庚二十三度五十八分(黄緯之餘)有庚角六度三十三分求午乙邊法為全與乙庚之正弦(四○六二一)若庚角之正弦(一一四○七)與午乙邊之正弦(四五三三)查得二度三十六分又求午庚邊法為全與庚角之餘弦(九九三四七)若庚乙之切線(四四四五三)與午庚之切線(四四一六四)查得二十三度四十九分三十秒次以己庚减午庚得午己弧○度一十八分次午己乙形有午乙午己兩邊求乙己法為全與午己之餘弦(九九九九九)若午乙之餘弦(九九八九七)與乙己之餘弦(九九八九三)查得二度三十九分為句陳大星與己北極之距餘八十七度二十一分為本星赤道北之緯度又求午己乙角為全與午己之正弦(五二四)若午乙之餘切線(二二○二一七一)與己角之餘切線(一一五三八)查得八十三度二十五分為午己乙角之甲丁弧則甲壬得六度三十五分為本星赤道上之經度又假如乙為南河東星(西名小犬大星)甲子年黄道經度為一百一十○度二十七分三十○秒其南緯度為一十六度○十分因經度過九十故在第二象限内從戊數限外得二十○度二十七分為戊子從黄南極庚作庚子象弧其緯度為子乙因乙星在赤道北從赤北極作己乙甲弧成庚乙己大三角形此形有庚角(子戊也黄道經之餘弧)有庚乙邊(黄道緯之餘弧)又有己庚大弧(庚戊)(象限九十度戊己為黄道夏至距赤道極六十六度二十八分三十秒得一百五十六度二十八分三十秒)求己乙邊及己角從乙角作乙午垂弧在形内(為己庚邊過象)(限又己庚兩皆銳角)其庚乙午直角形有庚角有庚乙邊求庚午得七十二度四十九分四十○秒又求乙午得一十九度三十三分一十四秒次以午庚减己庚餘八十三度三十八分五十○秒為午己次午己乙直角形有己午午乙求己乙得八十四度○一分為赤道緯度之餘即緯度甲乙為五度五十九分次求巳角之對弧甲丁得二十一度二十一分三十○秒因在第二象限加九十度得一百一十一度二十一分三十○秒為赤道上經度(加九十度者從壬起算越丁而轉至甲故也)或從赤南極巳作己甲乙弧成乙庚己(南極)形乙庚邊引長之又從己角作己午垂弧成庚己午形此形有己庚午角與戊庚子角等(相對交角)有己庚(兩極之距)求午己午庚兩邊及午己庚角次午乙己形有午己午乙(午庚庚乙并)求己乙為某星距南極之度(减己)(甲九十度餘為赤道北之緯度甲乙)次求午己乙角内减午己庚角餘庚己乙角其對弧甲丁即某星之赤道上經度也假如河鼓中星天啓甲子年黄道經二百九十六度二十八分三十三秒其黄緯為二十九度二十一分三十○秒求赤道上經緯度如圖春壬夏戊為黄道初限(九十)(度)夏戊秋壬為黄道二限(百八十度)秋壬冬寅為黄道三限(二百七十度)冬寅春壬為黄道四限(全周)星之經度二百九十六即在寅壬四限内於經數内减三限(二百七十度)餘二十六度二十八分三十三秒為從寅起算至子之經度次從黄北極庚 至子作庚子象限從子向北計其黄二十九度二十一分三十○秒為子乙次從北極巳過乙作己乙甲象限弧成庚己乙形此形有庚己(黄赤距二十三度三十一分三十○秒)有乙庚(黄度之餘六十○度三十八分)(三十○秒)及己庚乙角(或子庚寅角之餘為一百五十三度三十一分三十○秒)用七卷相易法從乙作乙午垂弧至己庚辛弧上成庚乙午直角形有庚乙邊有乙庚午角求午乙法為全與庚乙邊之正弦(八七一五七)若庚角之正弦(四四五七九)與午乙邊之正弦(三八九二三)查得二十二度五十四分三十○秒為乙午邊次求庚午法為全與庚角之餘弦(八九四七四)若庚乙之切線(一七七七二三)與午庚之切線(一五九○一四)查得五十七度五十○分加庚己(二十三度三十一分三十○秒)得己午八十一度二十一分三十○秒次乙己午直角形有己午有午乙求己乙法為全與己午之餘弦(一五○二六)若午乙之餘弦(九二一一○九)與己乙之餘弦(一三五四九)查得八十二度一十三分為己乙其餘七度四十○分為乙甲是河鼓中星在赤道北之緯度又求乙己午角法為全與午己之正弦(九八五七○)若午乙之餘切線(二三六六三六)與己角之餘切線(二三四三二)查得二十三度○八分為己角即甲辛弧為從辛起算之赤道上經度也因在第四限加二百七十度得二百九十三度○八分為河鼔中星之赤道上經度其二法用前圖庚子象弧交赤道于丑上下有壬子丑乙甲丑兩直角形而求乙甲(乙星之赤道緯)及甲丁(己角之弧星經距至之弧)或甲壬(星距交分之弧)其壬子丑形有子直角有丑壬子角(兩道之交角)有壬子邊(星黄道距交分之弧)求丑子丑壬及子丑壬角次以乙子丑子或相加或相减(丑在乙子)(之間則减子在乙丑之間則加)得乙丑次乙丑甲形有甲直角有乙丑邊有乙丑甲角(子丑壬之交角)求丑甲加丑壬得乙星赤道上距壬交之經度又求得甲乙為乙星之赤道上緯度如乙為婁中星黄道經三十二度二十六分三十○秒壬子也其北緯九度五十七分子乙也求赤道經緯度其壬子丑形有子直角有壬子(黄道經)及壬角(黄赤距弧)求子丑法為全與子壬之正弦(五三六四六)若壬角之切線(四三五三三)與子丑之切線(二三三五三)查得一十三度○八分四十○秒次求壬丑法為全與壬角之割線(一○九○六四)若壬子之切線(六三五六一)與丑壬之切線(六九三二)(一)查得三十四度四十三分五十七秒次求丑角為全與壬角之餘割線(二五○五二○)若子丑之割線(一一八四九一)與丑角之割線(二九六八四三)查得七十○度一十八分五十二秒并乙子(星之黄道緯九度五十七分)子丑(本形初求一十三度○八分四十○秒)得二十三度○五分四十○秒又乙丑甲形有乙丑及丑角求乙甲邊為全與乙丑之正弦(三九二二七)若丑角之正弦(九四一六六)與乙甲之正弦(三六九六四)查得二十一度四十○分三十○秒赤道之緯度也又求丑甲為全與丑角之餘弦(三三六九一)若乙丑之切線(四二六四一)與丑甲之切線(一四)(三六五)查得八度一十○分三十○秒以减先得之丑壬餘二十六度三十三分二十七秒為本星赤道之經度第二題有某星之赤道上經緯度求其黄道上經緯度如前圖用己乙庚形此形有乙己(甲乙赤道緯度)(之餘)有乙己庚角(其餘為甲己丁角先有赤道經度壬甲即有甲丁弧)(或甲己丁角)有己庚(兩極距度)求黄道經度之庚角或子戊弧(壬子之餘)或用第二法引長乙甲弧交黄道于卯成卯甲壬直角形有壬角(兩極距度)有壬甲(赤道經度)求甲卯及甲卯壬角以乙甲甲卯或相加或相减得卯乙次卯乙子形有卯乙有乙卯子角(先為甲卯壬角)求乙子為黄道之緯度亦求卯子壬卯卯子或加或减得壬子為本星距交之黄道經度(星在黄道南北如上圖在兩道間如下圖)第三題有某星黄道赤道上之經緯度求兩道之距度法用上圖乙己庚形有庚己兩角(兩道之經度)有庚乙或乙己邊求庚己邊第四題有某星之黄道經度赤道緯度而求赤道經度黄道緯度法用上圖乙己庚形有庚角(黄道經度)有己乙(赤道緯度之餘)求己角(赤道經度)及庚乙邊(黄道緯度之餘)第五題有某星之地平經緯度及極出地之度求其赤道緯度如圖丙丁己為子午圏丙壬辛為地平庚為天頂己為北極丁壬為赤道星在乙從己作己戊乙弧定戊乙為星距赤道之度從庚作庚乙甲弧定甲乙為地平之緯度又定甲庚丙角(即甲丙弧)為地平之經度(從南起算)成庚乙己形有己庚邊(極出地之餘)有乙庚(地平緯之餘)有乙庚己角(即甲辛弧之角)求乙己减九十度得戊乙為星距赤道之緯度若有星之赤道緯度及其地平經緯度而求極出地之度如圖庚乙己形有己乙乙庚兩邊有庚角求己庚弧為極距天頂度(即極出地之餘)若有赤道上丁㸃(在子午圏)之經度可知某星之赤道經度如圖求乙己庚角其弧為丁戊則以丁㸃或加或减于丁戊得星之赤道經度第六題有某星之赤道經度地平緯度北極出地之度求時刻(時者)(赤道過子午圏之平度分也太陽赤道上經度某㸃過子午圏三十度即成八刻是太陽之時也在星亦然凡)(星之赤道上經度某㸃在午正線即為某星之午正時更過三十度即某星之午後八刻若以某星之時刻求)(太陽之夜時刻即先求太陽及星之赤道上兩經度以加减得太陽時刻法見下文)如上圖丁戊弧求某星之距午時刻(即庚己乙角)其地平緯度為甲乙即有乙庚赤道緯度為戊乙即有乙己(若星緯向)(北則以戊乙减戊己九十度若向南則加之各得乙己弧)庚己為本地北極高之餘是乙庚己斜角形有三邊求己角(本書)(七卷)法曰庚己乙己為所求角(己)旁之兩弧以此兩弧之度分相加為總相减為較查總較數之兩餘弦若總數過九十即以兩餘弦相加不及即相减得數半之為先得數次以乙己己庚相减得較弧求其矢與庚乙邊(所求己角)(之對邊)之矢相减存數為實末加五位以先得數而一得己角之矢(即丁戊弧之矢查表得丁戊弧)假如河鼔中星天啓甲子年在赤道北七度五十五分三十○秒乙戊也餘乙己必八十二度○四分三十秒地平高三十五度甲乙也餘乙庚必五十五度庚己五十○度○十分(順天府北極距天頂)是庚乙己形有三邊而求己角法以所求角(己)之兩腰(庚己五十度○十分己乙八十二度○四分)相加得總數(一百三十二度一十四分)相减得較數(三十一度五十四分)查兩得數之餘弦(百三十二度一十四分以比半周少四十七度四十六分求其正弦為六七九八六總數之餘弦也)(又八四三三九為較數之餘弦)因總數過九十應相加得(一五二三二五)半之為(七六一六二)則先得數也兩腰之較弧為三十二度三十○分其矢為(一五六六○)己角對邊庚乙之矢為(四二六四二)兩矢相减餘(二六九四二)為實加末五位以先得數而一得(三六)(九一一)查得丁戊弧五十○度五十三分變時得三小時二十三分三十○秒若星在午線右則為午後星之本時若在午線左則以减半日十二時得子後星時為八時三十六分三十○秒若有星時求太陽時其法以星之赤道上經度去减太陽之赤道上經度其較為星與日之距度也變為時加减以星之時得太陽之正時若太陽經度小於星之經度亦相减得星日之距但以距度變時加入於星時如圖外圏為時刻内圏為赤道設星在鶉火初度(設經為一百二十二度有竒)設太陽在析木初度(設經為二百三十七度有竒)又設星時為己正初刻(午前八刻或子後四十刻)兩經相减得日星之距弧丑己變為時若星日俱在東則以星時加入距時為太陽之午前時(如一圖)若一在西一在東則以星之時去减于距時得太陽時(如一)(圖)若星日俱在西則以星時加入距時得太陽時(如三圖)第七題有某星之赤道緯度及北極出地度求地平上時刻(太陽為晝)法與求太陽之晝時同如圖丁壬為赤道己為極星或北或南出入地在乙從已極作己乙截赤道于甲成甲乙壬直角形有甲乙(星之緯度)有甲壬乙角(赤道高弧之角)求甲壬弧若星在北以甲壬加壬丁九十度得星之半晝星在南以甲壬减壬丁得星半晝 若星之近出極緯度小於極出地之度即此星常見不𨼆若近入極緯度小於極入地之度即此星常隱不見(滿剌加以北則北為出極南為入極)第八題有星之經緯度以定出入之濶度如上圖之壬乙邊是也反之有某星出入之濶及極出地之高求其緯度及其晝時皆於本圖内展轉得之第九題有兩星同在一天頂圏内測其高若一星有赤道之緯度即可推他星之緯度及兩星之赤道經度差如圖丙庚辛為子午圏丁壬為赤道巳為極庚為天頂兩星一在乙一在子測得甲子甲乙兩星之高若知乙星之緯度乙戊可推子星之緯度子丑及兩星之經度差丑戊法用庚己乙形有庚己(極高之餘)有庚乙(乙星高之餘)有乙己(乙星距極之度)三邊以求庚乙己角次乙己子形有乙己(乙星距極)有乙子(兩星高之差)有己乙子角(庚乙)(己角之餘)求己子邊以比九十度其較為子星之緯度又求乙己子角其弧戊丑為兩星之經度差若有兩星同在一天頂圏内而各有其經緯度可推極出地之度如上圖先用子乙己形有子己及己乙(兩星緯之)(餘)有己角(兩經度之差)求乙角次庚己乙形有己乙庚乙及庚乙己角求庚己為極距天頂之度若先知兩星之經緯度又測其高可推恒星之清蒙差但恒星極逺蒙差極微則法須極准極細乃可第十題有兩星之地平經緯度(經者距地平南北圏緯者地平上高)若知一星之赤道經緯可推他星之赤道經緯(兩星須俱在東或俱在西)圖圏如前但從天頂庚作庚子卯象限弧定子星之高卯子(地平緯)亦定子星距北之弧卯辛(地平經)又甲辛弧為乙星距北之經自得卯甲弧(或卯庚甲角)為兩星之地平經差 今論先知乙星之赤道經緯則用庚乙己形有庚己邊(極距天頂)有庚乙(乙星地平緯之餘)有乙己弧(乙星距極)依法求得己庚兩角次于乙庚己角用卯庚甲角或加之或减之得子庚己角又己乙弧(乙星過極之圏)交庚卯弧(子星之天頂圏)于酉其庚酉己形有庚己邊又得己庚兩角依法求得庚酉酉已兩邊及酉角次酉子己形有酉子(庚子為子星高之餘内减庚酉存酉子)有己酉子角(庚酉己角之餘)又有酉己邊依法求得酉己子角其弧戊丑即兩星之經度差又求子已即子星距極之度若先知子則用子庚己形有庚己庚子子己求得己庚兩角次于己庚子角加乙庚子角得乙庚己全角次庚乙己形有庚己庚乙及庚角求得乙己邊即乙星距極之弧又求庚己乙角以减庚己子角餘乙己子角其弧戊丑即兩星之經差若一星在午圏上即午己丁己合為一弧不成三角形無從考其度分不用此法若一星在東一星在西即戊己極圏不能割庚卯天頂圏亦不成三角形不用此法第十一題有兩星之黄道經緯度求兩星之距度如圖丙戊為兩星己壬為黄道之一弧丁為極己丙為丙星之緯丙丁其餘戊壬為戊星之緯戊丁其餘己丁壬角為兩星之經度差求距度丙戊法以大圏弧聨兩星成戊丙丁斜角形有丙丁丁戊兩邊有丁角次從戊(從丙亦可)作戊甲垂弧依法求得戊甲甲丁又甲丙戊形求丙戊即兩星之距(若地球上)(有兩方之經緯度可推其距度如丁為北極丙丁戊丁為北極之兩高丙丁戊角為東西里差丙戊為兩方大)(圏上相距之度分以里法二百五十里通之得丙戊斜相距之里)第十二題有兩星正午上之高及相距度求其赤道上經度差如圖丁為北極己壬為赤道丙戊為兩星丙丁戊形有丙丁戊丁為兩星距北極之度(正午)(高之餘各加北極距天頂之度得星距北極之度)及丙戊邊求丁角法為丁丙丁戊兩腰相加得總數相减得較數各求其餘弦若總數過九十者即兩餘弦相加不及即相减得數半之為先得數次以兩腰弧較之矢及丙戊底之矢相加相减(几底過九十合為總不及九十减為較)所得或總或較為實以先得數為法而一得丁角之矢第十三題有新星(未知其經緯度即恒星亦名新星客星及彗孛同)測得其去兩舊星之各距度而先知兩舊之經緯度以推新星之經緯度(三星所居)(之緯度有三類或俱在北或俱在南如一圖或一南一北或一南二北一北二南如二圖或三距周遶一極如)(三圖言經緯度者或赤道或黄道皆用此葢以二求一其理同也)如一圖丁角為極己辛壬為對角之弧丙戊為兩舊星乙為新星從丁極作丁丙己丁乙辛丁戊壬三象弧又以大圏弧聨三星如丙乙乙戊戊丙今先求兩舊星之弧丙戊用丙戊丁角形有丁丙丁戊兩邊(兩星緯度之餘)及丙丁戊角(兩星之經度差)依法求丙戊邊亦求丙戊丁角次丙乙戊形有三邊(先測乙丙乙戊今得丙戊)依法求丙戊乙角末乙戊丁形有戊丁(戊星緯度之餘)有乙戊(兩星相距之弧)及乙戊丁角(丙戊丁丙戊乙兩角并)求乙丁邊即新星乙緯度之餘又求乙丁戊角(即辛壬弧)先己知己壬弧度分(兩星之經度)今得辛壬弧即知辛㸃所在為乙星之經度差二圖用戊乙丙形及丙乙丁形求得如前法三圖極在乙戊丙形内(星緯之餘小于相距度則近極故極在形内)先用丙戊丁形求丙戊邊及丙戊丁角次丙乙戊全形求丙戊乙全角于全角减丁戊丙角得其餘丁戊乙角次丁乙戊形求丁角及丁乙邊今借用西史舊測一則為例(二北一南)如萬厯十九年辛卯太陽近夏至逺西馬日諾測北極出地四十五度有竒中西里差一百○二度三十○分用象限儀測火星(熒惑也為乙新星)得其距河鼓中星丙四十四度○三分為丙乙其距心大星戊二十一度五十一分求火星之經緯度法用河鼔中丙本年之經緯度(經為二百九十六度○一分己㸃是北緯二十九度二十一分丙己是)及心中戊本年之經緯度(經為二百四十四度○五分壬㸃是南緯四度二十七分戊壬是加丁壬九十度得戊丁)兩經相减得較為經差己壬五十一度五十六分(己上用上圖己)(下用下圖)次丙戊丁形有丙丁丁戊兩邊有丁角從丁丙邊引長之從戊作甲戊垂弧成戊甲丁直角形求戊甲(全與)(戊丁之正弦若丁角之正弦與戊甲)得四十三度二十○分又求丁甲(全與)(丁角之餘弦若戊丁之切線與丁甲之切線)得四十七度三十八分次以丁甲丁丙相减餘四十六度四十九分甲丙也次丙甲戊直角形有甲丙四十七度有竒有甲戊四十三度有竒求丙戊(全與甲丙之餘弦若甲戊之餘弦與戊丙之餘弦)得六十度○九分次二求丁丙戊角則先求甲丙戊角(全與甲丙之餘割線若甲戊之切線)(與丙角之切線)得五十二度一十八分其餘(并上以滿半周)一百二十七度四十二分即丁丙戊角(以求丙戊丁角亦同) 次三丙乙戊形(此下復用上圖)先有丙乙乙戊(兩星距新星之度)今得丙戊邊求乙丙戊角(見斜角形本法)以丁丙戊乙丙戊兩角相减餘乙丙丁為八十九度三十六分三十○秒 次四丁丙乙形有丁丙(六十○度三十九分)丙乙(四十四度○三分)兩邊及乙丙丁角(八十九度三十)(六分)求乙丁邊依法得八十六度○四分四十○秒其餘三度三十五分二十○秒為新星之北緯度乙辛又求乙丁丙角得其經度差己辛為二十一度五十四分第十四題有新星求其經緯度不用儀器從本星之四隅取四舊星成十字形可以四星之經緯度推新星之經緯度(法用直邊)(之尺望新星與其相近二星皆切尺邊成縱直線次又望三星切尺邊成横直線即五星成十字形不論逺近)(上下前後隨其位置以諸三角形推算如下文)如圖乙為黄道極(二道俱可推此以黄為例)子辛壬為黄道弧丙丁己庚為舊星戊為新星從乙極過諸星各作象弧為乙丙子乙丁卯乙戊寅乙己辛乙庚壬從乙定各舊星緯度之餘子卯為丙丁兩星之經差卯寅為丁戊兩星之經差寅辛為戊己兩星之經差辛壬為己庚兩星之經差今求新星戊之經緯度有丙戊庚三星成一直線(即三)(星在一大圏上)從丙戊庚弧引長遇黄道于丑(若星在南則先遇丑)又丁戊己三星成一直線從丁戊己弧引長遇黄道于亥先用丙庚乙形有乙丙(丙星緯之餘)有乙庚(庚星緯之餘)有丙乙庚角(丙庚兩星之經差)求得丙角 次二丁乙己形有丁乙己乙(兩星緯之餘)及丁乙己角(兩星之經度差)求得乙己丁角 次二丙子丑直角形有丙子(丙星之緯)有子丙丑角(乙丙庚角之餘)求得丑角(過兩星圏遇黄道所作角) 次四求得丑子弧(既知丙星之經度在子㸃可知黄道)(上之經差丑子) 次五己亥辛直角形有己角(乙己丁角之餘)及己辛(己星之緯)求得亥角 次六又求得亥辛弧(既知己星之經度在辛㸃可知)(黄道上之經度亥辛) 次七亥戊丑形有亥丑兩角及亥丑弧(知亥)(丑兩㸃黄道上之經度因知其距度)求得亥戊邊 次八亥戊寅直角形有亥角及亥戊邊求得亥寅邊為戊星黄道上距交㸃之經度又求得戊寅為戊星之緯度第十五題有過午圏赤道之㸃及某星地平經緯度求其赤道上經緯度如圖戊壬丙為地平丁壬寅為赤道從天頂庚(地平極)作庚乙子象限弧子乙為星之地平緯度子丙為其經度(從北圏丙起算)又從己極作己乙甲象限弧得星距極之弧乙己(緯度之餘)成庚乙己形形有庚乙(星地平緯之餘)有庚己(極距天頂)有己庚乙角(丙子弧之角)求得己角(赤道弧丁甲之角)即星距午上赤道㸃之角又求得己乙邊為星距極之度即緯度之餘第十六題有新星之赤道上緯度(測得午正之高以加减赤道高得緯度)及距一舊星之度(有其經緯度)求新星之經緯度子為舊星乙為新星己為赤道極辛丙為赤道弧其己乙子形有己子(舊星緯之餘)有己乙(新星緯之餘)及乙子(兩星之距度)求得己角為新星赤道上距子星之經度差第十七題一新星兩舊星作直線若測得新星距一舊星之度可推新星之經緯度丁丙為二舊星乙為新星己丁丙形有己丁己丙兩邊及丙己丁角(兩舊星之經度差)求得丁丙邊及己丁丙角又己丁乙形有己丁丁乙(即丁丙丙乙)求己乙邊即新星緯度之餘又求丁己乙角即辛庚弧為乙丁兩星之經度差新法算書卷九十五
## 卷九十六
欽定四庫全書
新法算書卷九十六 明 徐光啟等 撰測量全義卷十 儀器圖說古三直游儀第一(西古多祿某所造以測七政地平上髙度與下丈六環儀皆彼中之鼻祖)(後來増修其術漸趨巧便然非古莫因故並存之)鑄銅為方柱名旋柱(或鐵或木皆可權用)髙五六尺廣厚各二寸(更大)(更小任意作之)下端有軸為臺或架以入軸(臺架或銅鐵木石或定或移任意作)(之)左右旋轉令可周窺也上施垂線線末繋之垂權取正焉别造一直衡曰窺衡衡之長畧與柱等其廣其厚減三分之一衡首為小圓形形之心横穿圓孔為樞以合于柱之上端左旁令可髙下游移也衡之下面從樞心中出直線名曰指線衡之末向下斜剡之為鋭邊合于指線以指定度分衡之上面兩端不盡二寸許各設一通光耳耳各作二孔一小一大相等相向直列之兩孔相連之直線為指線上之垂線(窺衡或名窺管通光耳或名窺表通用)柱有二樞上樞合于衡之上端下樞與上樞相去如窺衡之長(凡言長者皆以樞心衡末之一㸃為度不論全體)别造一直尺曰弦尺尺之長與衡之長如七與五方廣與衡等尺之一端亦為小圓形形之心横穿圓孔以合于柱之下樞尺之上面從樞心出直線亦名曰指線三物合之成一三角形獨衡與尺之末恒相離也又欲其恒相切也則于旋柱之上横穿圓孔軸貫其中軸之兩端各加轆轤繫䋲于尺引從轆轤而下末加鉛墜以掛尺令窺衡之銳邊與弦尺之面恒相切分尺法干設旋柱之兩樞間若干尺當為一百平分或一千平分(柱恒為全數不必分度分度者弦尺耳此言設分者何也柱之長與窺衡等則窺衡亦恒)(為全數此兩者恒為三角形之兩腰弦尺恒為底用之則兩腰準周天之半徑弦尺截分之外想見為一截弧)(而弦尺所得分恒為其截弧之通弦)弦尺之上截一度與樞間等亦百平分或千平分之(必用全數者以便推算若一分中或二或三四五六任為小分)從尺之樞心起數元度百千分之外有餘地依前度分之盡尺而止用法 三物既成三角形又左右上下斡運俯仰可以旋觀徧測用以求日月星辰之髙度先轉柱令衡與尺皆正向所測㸃(凡測皆言㸃者星止一㸃日月雖大亦測其中心一㸃)舉衡尺上下移就之令日月光從通光前耳兩竅中透照後耳之兩竅則本㸃與窺衡相叅直若測星則目從後耳竅中透前耳之竅而窺見星即星與衡相叅直次視窺衡之末銳所指弦尺得何度分即某㸃距天頂之弧之通弦於八線表查得本弧之度分秒(查法平分通弦於正弦表得所當半弧倍之為)(全弧)論曰如小圖甲乙為旋柱甲丙為窺衡其度等乙戊丙為弦尺甲丙衡上下游移成丙己乙弧乙戊丙尺切甲乙半徑于乙切甲丙半徑于丙則為乙己丙弧之通弦有弦即有弧則乙己丙為丁㸃距天頂之弧度分以減一象限得地平上之弧度分 按元史所載西域儀象有測驗周天星曜之器其説與此畧同而多禄某當漢光武建武間己有之則元人所用亦古法也此器體制頗簡造作良易且可合可解最便于四方行測又二法以窺衡當半徑為全數以弦尺之長與全數以内之窺衡等者為通弦平分通弦為若干全數(或百千萬十萬)數之旁依八線表並列其相當度分用時移窺衡就弦數若干即得其度分若干免查表窺衡與弦尺宜相連宜相切其法用銅如圖作山口山口之空如弦尺之厚下安螺柱上穿一軸窺衡之末不盡半寸許作孔以入軸入弦尺于山口以軸關之弦尺在其空中可進退也用時開螺柱入尺移窺衡向日轉螺柱而固之以進退取景而定度分古六環儀第二(亦多禄某所造以測七政經緯度)冶銅為六環外内相次而逓結于黄赤二道之南北極故歛之則自黄道一圈而外皆合為圓平面展之成渾球焉外第一甲圏包括内儀而側立於半空球之架平分三百六十度從天頂起算南北各去頂一象限即為地平此圏恒定不移以象静天亦名天元子午圏次内二乙為子午圏外規面切甲圏兩旁合為平面可以南北移不能左右旋從心出庚辛直線平分圏體線之兩端則赤道南北極也各為圓孔以受次内丙圏之軸查本地赤道極出地之度以極線上下游移俾合于甲圏之本度分如順天府北極出地四十度弱從甲圏地平起上數至四十度以北極切本度分則定為本地之儀故又名載極圏也次内三丙圏平分圏體線之兩端各施小軸入于乙圏之庚辛二孔左右環行是為宗赤道極而過冬夏二至名為極至交圏也圏之上去赤道二十三度五十一分(多祿某時兩道相距之度後世不然此舉其成法故仍之)仍作小圓孔以受内圏之黄道極次内四丁圏平分設壬癸二軸兩端出内外規面外入于丙圏内入于戊圏三圏同軸者同宗黄道極也亦同去赤道極二十三度有竒而旋繞環行此圏限黄道之經度容黄道之緯度故名黄道經限圏也本圏去本極前後各九十度設一黄道圏周分十二宫三百六十度其大與丁圏等而縱横置之相交為直角兩交之處為冬夏二至從黄極視之為平行從赤極視之則冬南而夏北也去交最遠之兩㸃為兩分次内五戊圏與丁圏同極亦平分三百六十度為黄道緯度圏次内六已圏切戊圏兩切之内外規面一為渠一為牡相入焉可前後移兩旁偕為平面若一甲與二乙平分圏設兩窺表相向用法 測日躔經度因甲乙圏巳定本方極出地度分轉黄道丁圏向日見黄道圏以内無光知儀上黄道必當天上黄道(上弧揜下弧故無光則知日與上弧下弧叅相直)次定儀獨轉黄緯戊圏縱横加于黄道之下此為黄道極上所出過太陽之圏也此圏以内亦無光查黄道圏得兩圏所交某宫某度為本日本時之日躔經度測月與測日同法若月光蒙昧用測星法如左以月測星之黄道上經緯度於日將入時依前法定黄道上之太陽經度又轉戊圏以己圏之窺表向月輪令月與二表叅直即得月離經度日入後又轉黄道圏以己圏之窺表向月用元定黄道獨轉戊圏以己圏之窺表向星則戊圏所定黄道一㸃為星之定經度先有日月之黄道上定經度今有星之定經度可推某星之經度定緯度則以己圏之窺表向星依星或南或北從戊圏上定本星之緯度按此儀與渾儀同法故多祿某依巴谷皆用之不言廣袤者自咫尺以至尋丈無不可也但諸圏一一宻切製造匪易時時張翕分秒或爽不若渾儀之一成不易測候為便若狹小制度以供行測則亦未可廢耳古象運全儀圗古象運全儀第三(西中古日白耳所造)儀有十二物方版二句股形版四圎盤三半周盤一窺衡二首定置甲乙方版為儀之底名地平版從版心作子午線依本方赤道髙作乙丙丁句股形版二定置子午線之兩旁與平行股向南更作乙戊方版定置句股版之上與底版相切于乙以鉸具聨之作角為本方赤道距地平之角次于赤道版上亦依地平版作子年線平分子午為心版邊為界作圏圈一寸以内更作一同心圈兩圏間平分三百六十度從子午起算版之心立樞軸與版為直角貫以庚己游盤盤之大與内圏等盤中作兩徑線盤周分十二宫盤邊之外依冬至線作度指以定赤道經度是名赤道盤赤道游盤上定置辛壬句股版二其角二十三度三十○分(兩道相距之度)與兩至線平行股向夏至次于辛壬句股版之弦上定置辛癸圓盤是名黄道盤周分十二宫三百六十度從兩道之極遠處起數為夏至從盤心立樞軸與盤面為直角貫以丑寅窺衡衡之兩端各設一窺表窺衡之上定立卯辰等四柱(或側板)與衡為直角附柱側立己午定圏平分三百六十度從本圏之横徑起數其直徑線為黄道之垂線是名黄道緯圏圏之心立樞軸與圏為直角貫以未申窺衡衡之兩端各設一窺表未申之上各定置一短横柱與衡為直角曰未酉曰申戌兩柱之端各穿圓竅别作一方衡兩端為圓枘貫入竅中方衡之上定置一半周盤平分百八十度因酉戌軸之利轉恒下垂也半周之心出一垂線末繫垂權據此儀物以配𤣥象則甲乙平版地平也乙戊欹版赤道也若運赤道盤必挈黄道盤以上與偕行于時辛壬股在南者即黄道盤政當天上之夏至午正時若辛壬股在北者即黄道盤政當天上之冬至午正時黄道緯圏偕丑寅衡同轉即定黄道之經度若以未申衡向某星即定黄道之緯度(緯圏之直徑與黄道盤為直角横徑為平行則平行徑之上之下可)(定黄道之南北緯度)因以垂線所至定此星出地平之髙測地平上之髙度轉丑寅衡或未申衡向日與叅直視權線所至去離半周徑之度即日躔距天頂之度測月若星亦如之測日躔經度運赤道盤至黄道盤之上下面俱無光此為日與盤之上下弧叅直也定黄道盤獨轉丑寅衡至緯圏之前後面俱無光此為日與圏之上下弧叅直也即丑寅衡所指黄道之某宫度是本時之日躔經度測星之經緯度因日月光再測如前儀法按此儀重規叠矩纒連累積測候所須亦略備矣第其展轉欹傾崔嵬搖颺體過大則作用俱艱體或小則分數未宻故後來名厯姑舍是焉古弧矢儀第四儀有七物幹一衡一管一窺表四幹之長約六尺方廣各七分冶銅為之(或用鐵若用木則加大)衡之長當幹之長二十分之九方廣減于幹四之一幹與衡各先為一管四分衡之長以其一為管之長管之空幹與幹等衡與衡等入之宻而不濇則甘苦衷也既成幹管置下衡管置上各以其一端縱横相切鎔金合之(如圖)幹管之上端加窺表一(此表止一方銅版不作竅下同)横之兩端各定置一窺表别作一游表加于衡可離可合轉移用之兩管之旁各作螺柱每移管至其所欲至則旋螺而止之分法 横之一面二百平分之(或二千平分用比例規尤便)用元度以加于幹之同方面四百平分之從一端起算則為幹首末位所加為幹尾尾有餘地亦用元度分之盡幹而止幹與衡之數遇十百皆刻而識之幹之一面既為平分其對面則以度分分之分度法有二一法作版與幹等長廣為衡之半(用几亦可)案依長邊作長線依衡邊(一百)作衡線兩線為直角衡線之末為心角為界作象限弧分九十度(若細分度或二或三四五六量用)用尺從心過弧上各度分至長線作短界遇五書識之次依長線上度分移分幹面從幹首向下起數遇五刻識之幹尾亦向上起數則八十(正數)與一十(倒數)七十與二十六十與三十五十與四十四十與五十三十與六十二十與七十一十與八十初分與九十度俱同線其向下度分至八十而止者切線漸遠則無數若至九十與衡之上端平行矣故凡切線皆止八十度幹長加一二焉二法半衡為全數查八線表各度分之切線數向幹之分數面考其相當數之各度分各作度分線刻識之用法 此儀之用有二一以測日月星之髙度距度厯學所用一以測髙深廣遠地學所用(測地法畧見第三卷増題)今所解者測天之用法也一測日月星之髙度距度法正立幹幹首居上管加其首貫衡于衡管之中左右出等旋螺固之權䋲取直次轉向所測令衡端之景揜幹之分度面視所得度分即日月之距天頂度分以減象限得地平上髙度分論曰如圖衡之甲端為心半衡甲乙之百分為半徑乙丁幹四百為切線甲乙既為横表則甲端之景至幹面為戊倒景也此戊景所得實日體下邊辛上之景謂之視景若日心庚所出景當從甲至己為正景其較為日體之半徑(日體約三十分半之約十五分)則所得距天頂之數應減十五分何者為庚之距頂近于辛也所得地平髙度應加十五分何者庚之距地遠于辛也如是為所求之正度分也若用壬癸正表則寅為直景實日體上邊子上之視景而日心庚所出正景為丑則所得距天頂之度應加十五分為庚之距遠于子故所得地平髙之度應減十五分為庚之髙近于子故(因上論知古來圭表測景未有景符不能定太陽之)(實髙盖直景失加倒景失減故也然加減各十五分以論圓儀則可若圭上十五分之寅丑差近表愈少遠表)(愈多倒景則反是安所得定數而加減之是知圭表測天實為未確)若横置幹以當地平加垂權衡上取直半衡之未景物幹得度分為日月之地平髙度分二測星之髙度横置幹直置半衡目切幹首遷管于衡進退之令幹首之角衡首之窺表與星為直線得幹面度分為星之地平髙度分向先以衡居幹首半衡為全數幹上得切線數之推定度分今衡不居幹首而居中身何以均為全數幹上度均為切線度曰如圖乙甲半衡居幹首甲丁丙半衡居衡中丙以丁乙直線聨兩衡之末成甲丁長方形四皆直角即甲丁乙丙兩對角線必等則目在甲從丁測目在丙從乙測依句股法甲丙與丙甲兩切線必等而甲丙所當之丙己弧丙甲所當之甲戊弧亦等即與天上之距弧俱相似其餘弧庚己辛戊與天上之地平髙弧亦相似三測兩星相距之度 欲測甲乙兩星之距度用儀倚他物為安目在幹首之上角丙向衡首丁表之上邊測甲星又向衡中戊表之上邊測乙星執管移衡進退之至目與兩表兩星俱叅直視衡所截幹上度分為兩星相距度分 若兩星相距太遠用衡端之丁己而表測之進退衡令兩叅直得幹度分倍之為兩星相距之度分 若星距甚近用游表簡衡上數去幹面(此不用度分面用平)(分面)十分置之如前進退測兩星令叅直以衡之十分為全數幹上所得為切線查表得度分為星距四測日月之徑分 衡在幹尾日在幹首加游表衡上向衡中表左右移測之令目過兩表見徑之兩端俱叅直得兩表間之衡上分四而一(幹數四百故)即百為全數所得為切線查表得所當分秒為二曜之徑分秒問太陽光大目不可正視當用何法可測曰輕雲薄露時可測日出入時可測又問日出入時方之午正時其體較大何以得其定分曰日體安得以早晏大小盖出入時因清蒙之氣映小為大(論見日躔厯指)人目自訛日體不變也試觀近地平兩星元測有定距度分其出入時相距之勢必甚大于午正時(此星之午正時)然地平周三百六十度兩距出入時果大于正中時則徧測地平上一周之星合并距度當較三百六十而贏不贏則安得變兩距之度分今以日徑之兩端當兩星星之出入與其正中也無異度分日安得有異分按此儀於地學中用測髙深廣遠為徑捷法若以測天微成乖迕所以然者有數端焉儀體過大即度分宻矣而日景虚淡體小景直即度分不宻一也所分度數或依切線表或以規二法不同皆以直求曲則為異類二也目視兩物成兩直線來至于目相遇作角其角當在目睛最中之處外輪己非何况輪外幹首之角殆非真角角既非真邊之比例亦當小異三也目視手運微有振動四也一時用目兼測兩星其間度分必難確合五也竿與衡應成直角乃兩管交互相合焉保無差差之甚微其失甚鉅六也今厯家知此六訛不復施用别作新弧矢儀如左新儀器解天體為立圓面為環周線為弧曲圓與方曲與直則異類也異類相求亘古無相等之率凡圭表弧矢等儀所得度數不能全與天行相當相準致差之根殆非一二(見圭)(表說揆日訂訛右弧矢儀說)是以此等皆屬權法而古今名厯大都以圓儀為正用論其殊致畧有四端儀之體正同天體截為度分正合天之度分平儀則否(如圭表測景日髙景短一度得一寸)(日低景長一度得二三寸)一也圓儀用窺衡窺表景簫等竅止容針通光極細所求分秒毫芒不失平儀不能得此二也圎儀舉手得數即是度分平儀尚須立成表推算三也圓儀七政共用一當三四平儀止堪本用四也下文並著圗法以待用器者擇焉儀器之用有六一測日月星地平髙之緯度二測地平東西南北之經度三測日月星各兩㸃相距之度分四測日月星赤道上之經度緯度五測日月星黄道上之經度緯度六測定時刻古今儀器造法百變綜而論之其形體則大儀勝小儀其材質則銅儀勝鐵儀木儀其置頓則恒儀勝游儀何者儀大則分畫愈細可得分秒小則每度僅容分許古稱若干度半者是也或分四古稱半及少半太半者是也或分五則稱二十四十是也故曰大勝小也銅儀不受侵蝕永無渝變鐵多鏽損雕鎪更難木多欹斜易致毁折故曰銅勝他材也(或用銅鐵雜或用銅木雜隨宜造之或雜錫木者則應猝小器易于)(雕刻亦便屢更皆屬權法不堪久用銅亦宜純黄色須銅多鍮少若出山銅純赤則起䵄雜錫則太堅亦不可)(用)恒儀定方向置之永久不易恒與天行相準游儀動盪得數未真故曰恒勝游也諸儀為用皆以求七政恒星分畫之界域躔離之期限運行之體勢其功力所必資者則分與窺其大端也分欲極細欲極均窺欲極宻欲極確此二者厯學之資用儀器之權輿古今名史咸究心焉今先具兩公法首端向後諸器悉此取資無煩備載一窺法 窺法之用器有二一曰窺衡一曰窺表窺衡者即古之窺管窺簫也管孔大即測騐未真今欲造一管其孔僅大于黍米或小于芥子長數尺欲以之從上照而得日景以之從下覷而見星體則無法可作故用窺衡焉測日之衡長與儀等廣與定度平分其廣去其半而不盡其一端所不盡者其長與廣之元度等是為衡首衡首之制剡為圓形形之心是為衡之心亦即為儀之心從心出線至于衡之末依半衡之邊作一直線名曰指線近衡之兩端各立一銅版其形長方廣四則髙六可也是名窺表立表與衡之平面為直角表之兩面各取中作指線之垂線名曰心線兩心線之上去衡面等各作一㸃是為表心表之近衡心者曰上表上表從心作圓孔最大者無過一分(寧用周尺勿用市尺若儀大孔)(小二表之相去逺日光必淡孔大距遠則光愈大非下表可容若儀小則表小孔亦小為距近得光易)其在衡末者曰下表表心不作孔從心作大小數平行距心圏務令上表之孔下表之心俱與指線相直而去衡之平面等髙次剡薄木板為方管三中管之廣如衡首之廣其長如衡三之二兩端之管小于中管其長如中管二之一其廣無度既成入之中管宻而不濇可也中管之中相去尺餘為螺旋之柱二三以合于衡面小管入于中管出入之各切其所當之表即兩表間無容光之隙故三表之總名曰景簫景簫者承上表所受之光束而致之下表也下管之切下表不盡五分刻方孔令從旁得見下表之面用時加管受光因表間之黝黒即下表之受景也真(日體正圓孔圎所受)(之景亦圎)次令景之圈合表面之距心圏轉儀及衡左右下上之必合乃止次視指線之末所當度分即所求之度分若不用衡則從表向儀心之線為指線盖圓儀之弧上所定度分皆宗儀心故測星之窺衡則異前法上表之髙廣各若干下表倍之下表之面作方形三線與上表等線外三面作方孔孔之長稍殺于中方之長其廣無過一分用時目居下表之後令中方揜星從三孔察上表之同方邊各見星即目與兩表與星皆叅直 或兩表各依心線一左一右各去其四之一令星居兩闕間一線之上亦得目與表與星相叅直若不用衡則以圎柱代上表其髙廣與之等(用衡者上下兩表恒平行不用衡則下表依弧遷而上表不與偕遷即不得為平行代以圎柱則隨所至與上)(表等廣不失為平行)表或柱若在大儀宜得一寸以下恐暮夜不可得見也凢儀不用窺衡即為游表置之〔？〕上以當下表游表之制或用翕版或用螺柱以合于弧如圗甲乙為表版丙丁乙戊二版與甲乙為直角以夾〔？〕而稍寛戊乙版上别加一剛鐵薄版其廣與戊乙等其長三倍之己庚兩端稍昂起按之則下令兩夾入于〔？〕邊弛之復起即庚己兩端急合于弧令抱而不脫故庚己名翕版也或不用庚己而於戊乙版心作螺旋之孔為辛以螺柱從下轉入之漸轉之亦急合於弧一分法 凢平圎面從心出四線四平分之每分為一象限分度者或以全或以一象限其分法有二一舊法一新法舊法用象限平面直角為心弧邊為界自外而内作四十五距等平行圏外一圏分九十次内二分八十九次三分八十八次四分八十七如是逓減一分以至四十五弧為四十五分每弧之端識以命弧之數每弧之分遇十遇五各識之加窺衡加權線以架承之用法凡測日月星之髙用權線或窺衡之指線必切一弧之一分 若切外一圏之一分因弧為九十度即所切為所求正度 若切向内某弧之一分則以本弧之若干分為一率以所截某分為二率以九十為三率推第四率得度不盡以六十乘之以本弧分數除之得分又不盡又如前乘之除之得秒又不盡又如前乘之除之得微假如截第二十圏之四十分本弧之分數為七十則七十與四十若九十與某數算得五十一不盡三十 六十乘之七十除之得二十五不盡五十○再乘再除得四十二不盡六十 再乘再除得五十一總之得五十一度二十五分四十二秒五十一微 如取數欲宻如前再乘除之欲簡視所餘滿半收為一不滿去之右法有本論有分圖本法西儒丁氏所創能於一線所至悉得度分秒微可謂巧思絶人矣然而分圏己繁悉分諸圏則又繁每求一率當乘除數四則又繁埀線所至交于多分遇有二三疑似亦難辨決且儀面平實體質過重以彼材物造為空中之儀豈不倍大故近來名史改用後法焉新法一象限分九十度每度又當為六十分一度之弧不容分矣今以直角為心邊為界作弧次内復作一弧兩弧相距為五十分半徑之一約每兩度兩弧之間各成甲乙丙丁方形又從心作線六平分之成戊丁庚己等六長方形各形作戊丁等對角線每線十平分之儀大則二十平分之是一小分為六十分度之一一分也或為百二十分度之一三十秒也因戊丁對角線大于丁己弧則其小分亦大于弧上之小分論曰凡直線方形之對角線任為若干分從各分作線與兩腰平行必分底而底之分與弦之分比例等(幾何六卷)(十題)今從心所出之甲丁乙丙兩腰非直線形之兩腰即甲乙丁丙兩底不等或疑以為難用不知儀大弧小(六分度之一五千四百○分象弧之一)以較直線形所差極微或言度數之學在于慎小一秒之差獨非差乎曰然姑以數計之則所差者非目所能見亦非推算所及用也試如本書四卷所推半徑為十萬全周為六二九一五五三百六十度為用六乗之得全周之分弧如丁己者二一六○以除全周得二九一又四之一不盡丁己所得周數也又于半徑減五十分之一得九八○○○從心至甲至乙之徑也求其周得六三○二八六以二一六○除之得二九六又三之一不盡甲戊所得周數也兩數之較五即丁己弧大于甲戊弧之數約為六十分之一則十秒也又各十分之則兩小分小大之較一秒也若所求數為一度則最後小分之較三千六百秒之一秒也十度則三萬六千秒之一秒也豈目力所及見推算所及用哉新法測髙儀第一 凡六式一式曰象限懸儀作象限直角為心旁一邊定置窺表二分弧為九十度又細分如前法從窺表邊起算儀心為樞倚柱柱之下端為圓軸以入於架從樞以髙下舉從柱以左右旋可周窺也從樞心出垂線加權用測日月星之髙轉儀向所測垂線所加度分即距天頂度分(或日月星近地平近天頂儀體過重難舉亦可儀中作樞不必定在直角)二式曰平面懸儀作平圎面頂有連環隨所在懸之自為垂線從心作横直線為地平周分三百六十度儀小依幾何法(三卷二十題)分一百八十每分當二度又六十分之如前法儀周作兩平行圏以容度分内弧之上從頂左右各取二十二度半作圎孔各加轉表一(或止用一)(表)轉表者依表之心線為枘以入于儀周之孔其端外出以螺旋止之儀心為樞貫以窺衡衡之首依指線作度指以取度分衡之末稍短勿及于弧周之表又須訂取其重心令左右平(凡物皆有重心以為機軸則易轉如衡之樞兩端置等重之物訂之而平則樞為重心説見造形法)衡首之指線交于内弧之一㸃作孔亦加轉表與儀邊之轉表同居内弧一線之上也儀邊表從心向上每五度十度刻識之至九十度而止若二表則各向上交錯並識之用測日月星轉衡令兩表與某㸃叅直轉表令平行(兩表)(上兩孔相對即平行)則度指所當度分為地平上之髙度分如圖甲丁為儀上之兩表其距天頂等即甲丁線為地平丙乙為窺衡乙為衡首之轉表乙從甲向日得光相叅直即丁乙弧為地平上之日軌髙何者丁丙乙為在心分圏角乗丁乙弧丁甲乙為在界負圏角亦乗丁乙弧幾何言兩角所乗之弧等則分圏角倍大於負圏角(三卷二十)今丁乙為六十度弧(三百六十分之)即丁丙乙為六十度之角丁丙乙半之即三十度之角(甲㸃止論負圏不論在分)(圏角之内外)元分周以一百八十度今從丁起算至乙得三十度是丁甲乙角之弧(元設以二當一)三式曰象限立運儀造象限分度如前法訂取重心置軸與立邊平行軸之兩端加以鐵樞上下各以架受樞平邊在上加窺衡權線如常法下架有立柱柱之端為鐵環以承下樞環之徑三倍於樞之徑環之三面各加螺柱横入於環出入展縮以進退樞令就合于垂線也四式曰象限座正儀如前造象限縱横木為架架底之四隅加螺柱三展縮髙下以取平令合於垂線五式曰象限大儀木造大象限鍛銅為分弧之邊為窺衡之面為表半徑長十尺以外細分弧可得至十秒此儀體質重大運動惟艱可依正子午線倚臺牆定置之以測日月星午正時之赤道緯度六式曰三直游儀見舊法第一章新法地平經緯儀第二 凡一式地平經度者分地平圏為三百六十從天頂向各度作一百八十過心大圏以限地平之經度容地平之緯度也從午正向東向西各起算或從北從東西皆可儀法作全圏循周為渠以注水(或用準平之器)弧分三百六十度每度任細分之中心為圎孔定置之去地二尺餘與地平平行承以六礎或以臺架别作象限其半徑與平圏之全徑等平分其徑與平邊為直角而傅之軸軸之下端入于平圏之孔即象限側立于平圏之上相與為直角而環行不滯可周窺也平邊之下依正線(過平圏心之線亦過軸心之線)為衡左右出其一端居儀之背立斜柱以支儀一端居儀面作指線為度指以取平圏之度其窺衡等如前法用法定儀依子午線取正水準取平(求子午線諸法見厯指一卷指南針)(此地徧東無定度難可為據)測日或星(各用本測窺表)轉象儀向本㸃升降窺衡取叅直即得地平上之髙為緯度度指所當平弧之度分距子午或卯酉為地平之經度依此經緯度可推赤道經緯度可推日月五星之視差地半經差清蒙氣差等詳論造法為移動之儀宜三足足下以螺柱取平 大儀難運則其底切地盤處加兩轆轤之軸 儀髙恐搖揚不直則長其軸上切于儀背下入于架之底架之底為鐵窽以承之軸欲粗或儀背作一句股形其股切儀其句合于地盤枎柱以取直也 窺衡欲廣欲厚細而薄則撓而不直以定髙下前後不相應衡之末為鉤以止之儀之後螺旋以固之 窺表宜為二具一測日一測星新法距度儀第三 凡三式測日月星兩㸃相距别有二法一同時測兩㸃之地平經緯度以推其相距度一用赤道儀求其赤道上經緯度以推距度俱見本書第六卷今用儀器三式測得之省算弧矢新儀圗一式曰弧矢新儀畧如舊式一幹二衡幹長四五尺大衡之長與之等小衡之長為幹二之一平分兩衡之中而為鑿幹之兩端俱為方枘入之各左右為支柱凡四支柱之兩端各以兩螺柱固之不用可解而散也凡螺柱十六兩衡之交于幹也左右各為直角前後各為平面幹與衡之方廣用木則三四寸用銅鐵則周尺一寸以下其表小衡上有三皆圓柱定置之大衡二一定一游分法幹之一面為一百平分或一千平分仍以元度分大衡(細分可用對角線如前分法)其對面則依前舊儀法分度數幹之度數從幹首起算幹首者近大衡之一端也衡之度數從衡心起算左右分列之小衡之分用切線之數左右分列之各至十度而止小衡之定表三中一左右各一皆圎柱也(表之徑線合十度之線)别作窺表二則于大衡之上游移用之又定置一窺表居大衡之心儀之全體訂取其重心以為儀心刻識之為架以承儀架有柱為山口以合于儀心螺旋固之柱與架為三運之樞軸左之右之髙之下之平之側之惟所用之(三運之法山口之下為横軸以髙下運横軸之下為鶴膝以平側運鶴膝之下為立軸以左右)(運又名六合之紐)用法測兩星相距置儀于架一人從大横之中表過小中表窺某星叅直定儀一人用游表于大衡之上進退之過小中表窺他星令叅直次取大中表至游表之指線所定度分即兩星之距度分若兩星太近難容並測則一人置游表於大衡之左十度向小左表對某星一人置游表于大衡之右向小中表游移之與他星取直則大衡心至右表之度分為兩星之距度分何者左兩表之視線與中兩表平行兩線與右表之視線各作角必等若兩星距遠過儀之度限非前法可測則置游表於大衡之左十度一人從大左表向小右表一人用大右表游移向小左表交測之得大衡之兩表距以加小衡之兩表距(定為二十度)為兩星相距遠之度解曰甲乙為幹丙乙己為大衡丁甲戊為小衡甲丁乙丙各十度己為游表目從丙(大左表)過戊(小右表)見星作丙戊視線從己(大右表)過丁(小左表)見星作己丁視線兩視線遇于庚成丙庚己角即兩星相距之角何者試從丙作丙丁線與甲乙平行成丙丁戊形丁戊為丙角之切線(定為二十度角)又成丙丁己角丙己其切線則丁為大衡兩表之距度角而丙丁兩角之度并之為丁戊丙己兩線之數夫己庚丙角為丁庚丙三角形之外角必與丁丙兩對角等(幾何一卷十六)故曰丙己丁戊兩線數并為兩星相距度者丙庚己角也二式曰弩儀儀一幹一弧幹之長為弧之半徑弧之通弦其長與幹等左右為支柱各一弧之中設定表一旁用游表各一幹之末弧之心也定置窺表一兩人並測如上法三式曰紀限儀(紀限者六十度也)其弧為全圏六分之一兩旁各作一半徑成三角等腰雜形以堅木為之中多説輄縱横以為固鍛銅加于弧之邊依法作細度分弧之心測星用圎柱測日用窺表更置之弧上設兩游表訂取重心依重心為三運之樞以架承之或以臺承之用法一人從弧上一表過圓柱見某星一人從他表過圓柱見他星兩游表間度分為星距度分 三運法儀背加兩環圓軸入之又依圓軸為徑作半周圈架心立圓柱可周轉柱上為山口以容周與徑容周之處空而利轉容徑之處為小圓軸以聨之三運處寧苦無甘寛則難定也新法赤道經緯儀第四 凡二式測赤道緯度别法星在正午圏測其地平緯度(即地平上)(髙)得數内減赤道髙度為某星之赤道緯度若星在天頂北測其北髙内減北極髙度為星距北極之緯度若星在子午圏外則測地平經緯度可推赤道緯度此借法也其本法當用本儀赤道經緯簡儀圖一式曰赤道經緯簡儀用全周圏一半周圏一全圏之用在其外弧設縱横諸輄以固其内半圏之用在其内䂓設正斜支柱以安其外當全圏之心而設軸與圏面平行軸之兩端為兩極設架北髙南下各為圓竅以受極其髙下之較本地北極出地之度分也是為過極經圏半圏者仰儀也内䂓向上斜置之為赤道之地下半周與全圏為直角轉全圏則切其内䂓面而過之分法全圏從極起算又從赤道起算交互識之半圏從子午線起算分識之全圏之上設游表軸之心設柱表如前圖甲乙丙丁為全圏甲丙為兩極乙戊丁為赤道乙己丁為半圏庚辛為架底于庚辛架上從癸别作一横底兩端立柱以承半圏之丁乙定置之半圏之己亦定置于元架之壬轉全圏則乙戊丁赤道切半圏環行用法轉儀用游表左右進退過柱表而見星即從弧上行星距赤道南北之緯度分或距北極之緯度分又全圏切半圏得赤道上星距子午圏之經度差赤道經緯全儀圖二式曰赤道經緯全儀用四全圏外第一甲圏分三百六十度如本方北極出地之度斜入于半圏之架定置之是為子午圏次内二乙圏乙之外規面與甲之内規面宻相切而結于南北兩極是為過極圏亦名載赤道圏次三丙是為赤道圏縱横合于乙圏兩交處皆作直角又各作凹以相入令兩圏之内外皆為平面也次内四丁亦結于兩極為過極圏以容赤道之緯度又名赤道緯圏與乙丙二圏宻相切兩過極圏貫以一軸而合于甲三游圏之各兩側面皆依法為細度分亦作游表數具於各弧之上游移用之軸心立圎柱表架之上兩端準地平以定極出入之度置儀依子午線以取正加垂權以取直凡聚圏為儀欲極圓令規面相切宻而不礙樞軸欲正傅軸勿於規面於側面軸之心與側面為一㸃刻面為半圓而合之加伏兔以受之何故為度分之界指線所切窺表所及皆在側面故用法以測兩星赤道經度差一人用游表於緯圏向中柱表對星又一人用游表於載赤道圏向中柱對他星即兩過極圏所限赤道圏上度分為兩星之經度差又兩圏上兩游表相距度分即兩星距赤道南北之緯度分新法黄道經緯儀第五 凡一式黄道經緯度儀與赤道經緯儀畧同用四全圏外第一甲圏斜入于架查本地北極出地度定置之為子午圏次内二乙圏外切甲而結于赤道兩極為過極圏距赤極二十三度三十一分三十○秒為黄道極距黄極九十度横置次三丙圏曰黄道圏與過極圏交為斜角(即六十六)(度二十八分三十秒之角)故乙圏又名載黄道圏也乙丙之交為凹以相入令内外規皆平面次内四丁圏宗黄道極外切于黄道圏是名黄道緯度圏中設黄道軸軸中心立圓柱表作游表用架用權線等與赤道同法用法求某星之黄道經緯度一人于黄道圏上查先得某星之經度分(測黄道度必以顯推隠顯者為先得之某星隠者為今所求先得之初星必用)(日月太白逓求之法見恒星厯指)加游表其上過柱表對星定儀又一人用游表于緯圏上過柱表對星游移取直即緯圏上游表之指線定某星之緯度又定儀查黄道圏與某圏相距度分即某星之經度差右黄赤二儀用法詳見恒星厯指西史第谷所用儀器總目(附)近四十年前西史第谷覃精星厯四十年中朝夕候驗無間寒暑諸方行測不遠數千里有門下髙足十餘人所用儀器甚多皆酌量古法精加研審多所創造出人意表體制極大分限極精勘驗極確嘗自選厯器解其造法用法著書一卷近來厯學推為名宿於器於法多宗用之今畧叙其器目如左測髙象限 計六式一式銅版為象限半徑一尺五寸中平面刻先儒丁氏分弧法有鐵座有立樞有垂權座之四隅有螺柱以取平二式裁銅為二徑一弧合成儀中虚則體輕三式冶銅為大象限半徑八尺倚墻南向定置之其細分可至五秒用游表測七政過午正度分四式以木為徑弧銅版為弧面有游表有樞軸有架旋轉周測半徑七尺五式鐵為象限外有矩度下有地平圏以測地平經緯度其半徑八尺各有度分小衡用柱表小弧用游表可測相近兩星之距度分下設三運之樞餘如常法三式為䂓儀冶銅為兩股長七尺上端為樞心有弧入于股之下端開闔之兩腰間加螺旋之弧隨弧開闔欲止則以兩螺圏固之樞心立柱表弧上設游表黄赤道經緯度儀 計四式一式為赤道簡儀一全周一半周徑一丈一尺二式為三圈儀即赤道圏載赤道圏子午圏徑七尺三式為赤道四圏儀徑七尺四式為黄道四圏儀徑七尺渾球大儀 計一式作實圓球内木外銅徑一丈十年乃成上定各星經緯度諸道諸圏無不備具可量度宗動天之度數球外有子午全圏地平全圏地平緯象限弧等此外有古弧矢平渾環儀等體制既小分數未宻止堪行測不為大用别有圖說兹未備載圭表儀(附)用圭表以測日髙見表度說有五題今引用之詳見本篇一地球在天之中(云天中者在恒星天宗動之中也七政則否說見厯指)二日輪隨本天周動下向地平其環轉皆平行故地體之上立表取景亦平行(日有最髙最髙衝不得為平行此之然者以測日髙所差甚㣲)(可置弗論耳)三地球小於日輪從日輪下視地球上于一㸃(若細測細推則)(地與日有比例有地半徑差非大圓儀測候不可得算此聊畧取景不能及此說見厯指)四地本圓體(山髙海深或疑非圓不知髙深甚微如一大圓徑數十丈加之一芥損之毫末不害)(為圓)五表端為地心(以此測恒星則可若日月五星則以地平距地心之半徑為差測七政本天距)(地之度分安得棄而不用乎特所差甚微此姑不用可耳)分表用全數或百分或千分欲得其度分數從八線表取之造表有二法一為直表以取正景表直則為平圭一為横表以取倒景表横則為立圭其法畧同凡圭與表必相與為直角直角者從表末施垂線繫以末銳之權下至表面所切圭面之一㸃即以起算是直角也(取景以表末為主不論表之體勢)圭欲極平立圭欲極直平圭者或為渠以水準之或為準平之器以定之立圭則以垂權正之分圭之度即用分表之度圭之長倍表極愈下表當加長量作之日升表前即表後得景則表圭日光成三角形表為股圭為句日光為弦表為半徑全數圭為切線日光為割線(見本書一卷論直角形法)查八線表切線數得度分即日躔天頂度分以減象限得日髙度分按元史言表短則分秒難别表長則景虛而淡又以表端測晷所得者日體上邊之景實非中景郭守敬輩創為景符今臺官遵用之郭氏此法既得實景復得中景可謂思致𤣥通度越前人矣其制以銅葉博二寸長加博之二中穿一竅若針芥然以方閵為跌一端設為機軸令可開闔搘以一端使其勢斜倚北髙南下往來遷就于虚景之中竅達日光僅如米許隠然見横梁于中令臺官以方木代銅便于旋轉以隙縫代圓竅易于得景其理則同或問景符之得實景則從隙孔透光至于圭面不至散越其理甚明矣若用景符而得中景其理謂何曰此屬度數家之視學也具有本論今畧借五題解之一曰有光之體自發光必以直線射光至所照之物二曰有光之多體同照光複者必深而各體之本光不亂三曰有大光體中有暗體分光體為二即一光體為有光之兩體四曰光體射光過小圓孔若所照不遠則光仍如本光體之形五曰兩光體各射光過小孔反照之上體之光在下下體之光在上右在左左在右用横梁暗體也分日輪為上下二分即成兩光體兩體之兩光過隙則日上分之光在下下分之光在上横梁在上下之間實得中景塔影倒垂義同於此若不用梁用表末而欲得中景即定用郭氏舊式用圓孔遷就于虚景之中令見半圏之光此半光者弦必在下弧必在上而其弦則表末之景也盖日輪半在表末之上半在表末之下而上下相易故新法算書卷九十六
## 卷九十七
欽定四庫全書
新法算書卷九十七 明 徐光啟等 撰新法厯引厯學維新厯學有法有用法者測各重天之運行體勢以審諸曜出入隠現以求本行軌道以定凖則也用者取本法測定之分數隨方隨時以推步日月五星次舍衝照交食凌犯順逆等情也二者闕一不可然而立法難矣語云毫釐之差千里之謬在厯學為尤甚中國自漢迄元造厯者七十餘軰立法者僅十有三家且皆不免乖違後人難憑致用有謂得一冬至之正時即為密近者非也測冬至之于厯術未及百分之一聞一知百世無其人有謂得一歳實一朔實及轉終交終等䇿為巳定者非也此皆諸曜平行之率何由遽定視行有謂測率四應可以無忒者非也此不過推算平行之界而已有謂多測交食稽其某法先天某法後天而後彚計籌䇿折中取之者亦非也厯家法數繁𤨏用以筭步交食不下四十餘條究竟何項何欵可以折中取半者因知古來修改門户雖岐實則互相依傍間有出一二新意亦未必洞曉本元跡其大端猶不過截前至後通計所差加减乘除分𣲖各歳之下便謂修改己耳即使僅合一時豈能施諸久逺後惟授時厯庶稱精密顧其法亦未盡善在當日已有推食不食食而失推之弊何况沿襲至于今日哉他若囘囘厯者其厯元為西域所定使非中厯先推太陽躔度至春分之日彼亦茫然無據以得支干以合中國所用歳月也况其厯元已厯千年不可復用乎兹惟新法悉本之西洋治厯名家曰多禄某曰亞而封所曰歌白泥曰苐谷四人者盖西國之于厯學師傳曹習人自為家而是四家者首為後學之所推重著述既繁測驗益密立法致用俱臻至極旅軰採其精詳究其奥賾而又叅以獨得發所未發焉更審今測以廣古測必求合天年世互考中西名例半皆仍舊合異歸同成書已進闕庭新法已行天下用彰昭代厯典度越前古暨質諸來〔？〕雖億萬年永永不爽云地球地在天之中心常静不動與天相較不啻稊米之于喬嶽也其形渾圓古謂方者盖指其徳耳凡居處地球者其視日景之不同分有五帶其中則自赤道南北各以二十三度半為限(此即二極出地之髙)名為煖帶居其下者午正立表揆日測景必自射南射北顧每歳必有二日其表無景即春秋二分太陽正過其天頂之日也(此指正居赤道下者春秋二分日中無景過春分則景在南過秋分則景在北)此帶惟一又于其南其北各自二十三度半外各截至六十六度半為限名為溫帶其下居南者表景恒射南居北者表景恒射北歳有一日其景極短然太陽則不經其天頂矣此帶有二以上三帶皆太陽每日有出有入者也又于南北二方自六十六度半外各底其極名為冷帶其下或表景周圍旋轉有日太陽繞其地恒見有日太陽繞其地恒隠隠見之候或久至半歳或數月不等此帶亦二是為大地共分五帶之槩也因此推知距赤道之南北二方其氣侯必相反如太陽躔星紀宫向北之方為冬至向南之方為夏至春秋二分以及諸節莫不皆然又因此推知地球為人所止以天頂而分四方亦可界為三百六十度以合天行東西為經測以赤道南北為緯測以子午(規名)(解見下篇)但測南北者有二極以為之端欲測東西則湏先定一所以為起界(新厯悉以京師為起界他方雖未親測亦據輿圖以定其經緯)而後地之經緯皆可得而明焉苟不諳此則無以知幅〔？〕相距之數而諸方太陽節氣五星經度凌犯交食時刻日食分秒悉無從推步矣(日食南北東西各不同月食分數皆)(同但東西不同時耳)且不惟是即古測今測歳實之異日出日入晝夜永短之差咸取準于地之緯度所係大矣其可忽諸天道天體渾淪穹然莫辨必也相形酌理判立界限以為依據而後推測之功可施則夫設立諸規以著象數為用甚大且急較為厯家首務也新法總有四大規一曰地平一曰赤道一曰黄道一曰子午四規闕一不可盖地平規者從人足所附極目四望之界而設也人附地靣所可望見者天之半耳其半恒繞于地下人不可得而見也即此可見不可見之界而諸曜由是而出入明暗晝夜由是而分因設此規剖為四象以應四方象各限以九十度是為地平經度而各曜出入之方位以辨矣又自地平上至天頂設距等圈以為地平緯度而各曜漸升之度以明各曜出地離赤道之緯度并北極出地之數皆可得而稽之矣赤道規者從南北二極相距正中之界而設也古曰天行健又曰天左旋左旋而行健則知南北必有其極矣極也者天體永久不動之兩㸃周天倚為環動之樞者也(極非星也云極星者盖指其最近極之星以命耳)如一極出地必一極入地其出入之度惟均厯家乃于二極相距最中之界設有赤道一規平分天體為南北南者為外為陽而北者為内為隂其亘于天中也終古不易推步者畢賴之為準則無容置議也本規列度三百有六十辰十有二刻九十有六天體一日一周之運于是焉紀晝夜刻分之永短于是焉定黄道出入之廣狹于是焉齊春秋二分之晷景于是焉限南北緯算于是焉起大地全圓于是焉度凡此皆其用也黄道規者從太陽旋周一歳之界而設也盖太陽行天一歳所周軌蹟旋以成規是名黄道本規斜絡于赤道其半在南最南界為冬至其半在北最北界為夏至二道相交之兩㸃為春秋分以故四平分之為象限限各九十度者是即二分二至四正之限也總計為三百六十度十二剖之為宫二十四剖之為節氣七十二剖之為候盖用以節七曜列宿之行用以審日月交食之限至較著也子午規者從諸曜升降度適中之界而設也太陽一日旋天一周見于東方漸升至髙為正午此地平以上東半晝分過午向西漸底地平是為西半晝分乃謂之降他曜皆然于此升降度之中界立有一規名為子午諸曜際此謂為在子在午是規透過赤道及地平各二極其偕赤道地平而交為直角也恒然不動但人在地面南北遷此規惟一東西遷則隨在各異也(與地平同)巳上四規各有本用所係非小厯家測候欲求七政行度會望等諸法舍此無從措手以此未言象數先以詳明諸規為首務也一系赤道有恒動恒不動二用恒不動者以定各方時刻恒動者以相交相割于黄道也俗謂赤道有二者盖即指此二用非實有二道也二系赤道正居天頂則兩極適與地平相當至若赤道斜交地平之所則極出地度數即赤道距天頂度數矣其經度即過極圈緯度即距等圈也三系黄道與赤道斜交故其極自有本極謂之黄極黄極者恒星與太陽本行之樞也論二道最逺之距(即南至北至之距)今古不同今測定為天度二十三度三十一分三十秒上古較多數十分後此則漸减矣四系周天諸道用立多規以便測驗但其為規也非止旋周一線而已盖一滿平圓面也面為各曜之所經行故謂之道某曜在某靣上即謂之在某道云厯元所謂厯元者乃以諸曜之平行同時而求各所厯數厯家因之用為起算之根也新法則以天聰戊辰前太陽過天正冬至後第一子正為厯元其日干則己夘也斯時太陽躔星紀宫初度五十三分太隂在六宫初度五十分他曜皆以此時行度為準不用冬至時刻與舊厯異縁冬至有正有平最難得其真率也夫厯元為諸算先資稍有舛忒即諸行皆謬矣况諸曜終歳細行莫不以子正起筭又安用冬至時刻為哉厯算舊以周天判為三百六十五度又四分度之一所謂日度也盖以太陽之行黄道日一度度析百分分析百秒且又均之分為宫次氣候法用竒零勢難齊一且天度者歳實之日分也中厯所用歳實諸家多寡不等是其分天非一定之術而為游移之法欲以是决定諸曜之行豈不難乎若夫新法之分周天厯度也即于天度以三百六十平剖之度析六十分分析六十秒盖六十者半之則為三十三之一則二十四之一則十五餘任剖析皆為自然而然之分往古厯紀未始繁載但于測得之數曰某度幾何分之一而巳錯綜離合其于厯算甚便也請言厯算夫厯之為數祗就天行無假淹貫九章而其所須用者加减乘除開方五法古用觚稜近便珠算西法第資毫頴今復有算籌之創簡㨗尤甚矣所謂加法者以類相比倂多分以成全如度倂度分倂分秒併秒時刻倂時刻是也此湏知定位及進位之法如積六十秒為一分積六十分為一度秒進于分之位分進于度之位而與他度分秒并之若加時刻則以十五分進一刻四刻進一時二十四時進一日二十四西法謂之小時也此加法也减與加反用稽所餘其法先湏較數多寡多中减寡理數易明若于少内减多必立借法以通其變如借度化分借分化秒為本類以用之乘法者九九互積之義有實數有法數凡单數乘度分秒不變位若度乘度復生多度分乘分以生秒秒乘秒以生微則皆變位(分秒相生皆指竒零而言)此不可不知也除法者以少剖多分分除减意也為法有二或以单數商除亦不變位苟分度不盡即以餘度化分除之分秒亦然開方者以化法求其微數用籌乗除然後再受為度或用三率法亦可是五法者盡厯算矣然而新厯之算諸星經緯及交食等項也盖有二術其一取所圖各宿曜本行規之半徑幷其所設某日平行(即本圈上之弧)用諸三角形法推演乃可得經緯細行或交食之分數時刻此術最為縝密果能精心于此即諸天周行軌迹隠微㒺不洞然其二以先所推定諸表握筭設如某日某刻欲求太陽經度則第用加减二法檢表二三次以求即可得其宫度較之中厯節氣求經朔之法簡便數倍餘如五星太陰等曜以及交食皆各有表可稽火星兼用乘除他則但資加减立法雖難致用則易然而一趨超徑萬一操觚小失恐幷迷昧元初之理所以二術不可偏廢皆為推步家之所朝夕從事者也勾股勾股之術從來尚矣古九章周髀載之究不過一三邊直角形而巳垂線為股横線為勾斜線為弦測量家立表代股平圭代勾而景為其弦善斯術者髙深廣逺無不可求而測天之為用尤大然而舊法雖有三元五和五較等用不過設二求三且泥于直角一形若遇斜角〔？〕角無以措用矣新法變而通之既名其公曰三角形又審其平靣球面曲線雜線鋭角鈍角之别即知天為圜體宜測以弧宿曜逺近諸道互交宜測以多類之弧遂生多類之三弧形于是各形咸備有三弧三角互設三以求餘三是謂以圓齊圓于法為善故雖天道隠微象數零雜未有能遁焉者也割圓割圜古法亦即以圜求圜之意但古法設弧以求弦矢欵目四十餘項頗為艱繁新法易之以表開卷即得盖因圜形之弧與角總代以直線數種稽其數名為八線表云夫圜形半徑為本規六平分之通弦若二半徑各自乘之并而開方可得本規四平分之通弦用幾何諸法又可得各度分之通弦其各弧及其通弦折半乃得正弦正弧有弦弧即有其矢矣故矢不另立表也通弦之外有切線割線通弦全在規内切線全在規外線從規心出于規周之外則為割線然而弧有正有餘弦矢切割四者因亦各有正餘如一象限為本表之限或于限内取幾何度謂為正弧其或逾九十度者即謂之餘矣正餘各有弦矢割切四線都為八線也恒星恒星亦名列星亦名經星云恒者謂其象終古不易也云經者以别于五緯南北行之義其數甚夥莫能窮盡就中有光體𣺌微非目可及非儀可測者畧而不錄其在等第之内已經新法測定者南北二極共一千七百二十有五星稽其大小分為六等第一等大星如五帝座織女類者一十有七二等如帝星開陽類者五十有七三等如太子少衞類者八十有五四等如上將柱使類者三百八十有九五等如上相虎賁類者三百二十有三六等如天皇大帝后宫類者二百九十有五此皆有名之星計共一千一百六十有六餘皆無名者矣至于天漢斜絡天體古昔多謬解邇來窺以逺鏡知是無算小星接攅一帶即如積尸氣等亦小星攅聚以成第非人目所能辨遂作如是觀耳小者不足論論其大者古厯以周天諸星分為三垣二十八宿各定有名位座次每座每宿星數多寡不齊顧其所謂宿者盖取七曜經行止宿之義且用以便測算經度又為其各能主施徳也西古厯亦列二十八舍所定二十八距星皆與中古脗合第觜距西用天闗為小異耳此二十八宿者各以一字命名分註每日之下内以房虚星昴四宿為屬太陽之日心危畢張為屬太陰之日此外五緯各屬四宿每以七日為期每日各屬一宿西厯亦然西經傳上古有一大師名諾厄者廣宣厯理以遍萬國則亦有所本也一系星之命名多係借義非可過泥虚名便謂實有其驗比如貫索一星中以其象囹圄名以貫索西以其象冠冕名以冠冕一吉一㐫全由人意豈天星實然乎至謂諸星情性不同旉施互異是又理所必然不得槩置弗論也故總圖于某星屬某緯者咸附註之二系圖星之法有二一渾球有南北二極有地平子午諸規界判黄赤二道運之能肖天體旋轉以審各星經緯度分以辨星中出沒以測夜時甚便也一面平圖雖乏以上諸用然諸星位置宫度瞭若視掌為用亦大因有多種之分曰見界圖以北極為心其最南隠于地中星極非此方人目可見者則截出之一曰赤道圖黄道圖二者各以其極為心其道為界盖皆以天之南北平剖為二圖者也曰分星圖依黄道分天為二十圖均賦經緯署以維辰按圖指陳天象莫晰于此外有渾盖所用天盤以極為心截冬至規為界亦圖星于儀上肖天運動以覘諸星出沒升降又有平儀從二極剖天為南六宫北六宫二靣亦繪辰宿可代渾儀旋轉至若古傳星經圖步天歌等雖亦分有宿座便于觀覽而經緯度分悉皆茫然掛漏于測候無用也星中出沒太陽右旋一日一度終歳行天一周必復與某恒星合又必有某星與之衝厯家無從測其合者測得其衝者謂為歳差所從來矣然由本方極出地度恒星有出沒者亦有不出不沒者如京師北極出地四十度則星距極四十度以外皆為恒見而距南極四十度以内者在京皆不能見矣至論恒星見伏亦由太陽右旋至某宿度附近之星光為日奪故不能見迨太陽去離漸逺則此星光漸升東方見而不伏矣緣是而升至午㸃即曰中星此其星中出沒在立象學為用甚鉅而厯家但于中夜資之以定時刻而已日軌太陽之行黄道也論其積歳平分之數新法以天度計為五十九分八秒有竒所謂平行度分是也然平行齊而實行則固非齊矣冬盈而夏縮矣所以然者盖縁黄道圈與日輪天不同心而黄道之心即地球心是日輪天與地球不同心也心既不同則日行距地近逺不等距近即行疾疾則所行之度過于平行而為盈每冬月一日計行一度一分有竒以較平行盈二分矣距逺即行遲遲則所行之度不及平行而為縮每夏月一日計行五十七分有竒以較平行則縮二分矣盈縮相差若此豈可謂之齊乎終歳之間但逢最髙限最卑限二日平實二行度數惟一此外兩行之較日日不等新法因其或過或不及也故有加分减分謂之加减差盖以有恒率之平行為根而以加减差定之然後差而不差非齊而齊矣至論太陽之入某宫次以分節氣也亦有平實二算盖算平行十五日二十一刻有竒為一節氣乃一歳二十四平分之一耳若用躔度之日以算則冬夏不齊冬一節氣為十四日八十四刻有竒夏一節氣為十五日七十二刻有竒總由夏遲冬疾故其差如此皆非舊厯之所解也系太陽天距地極逺之㸃謂之最髙極近之㸃謂之最髙衝(亦名最卑)此二㸃者乃盈縮二行之界古法于冬夏二至謂其恒在一㸃其實非也按古今諸測皆各不齊古測最髙在夏至前數度今則在後六度矣以此推知一年之内太陽自行四十五秒也年月紀年者何太陽随列宿東行旋天一周之期也太陽之行界二其一從某宫次度分行天一周而復于元度其數為三百六十五日二十四刻二十一分有竒其一為太陽㑹于列宿天之某星行天一周而復與元星會但其星每嵗有本行故湏加本行以定歳而其所湏加者新法定為五十一秒所謂歳差也然而日厯紀年惟以全日推算不用小餘如以太陽十二次會合太陰為歳也為三百五十四日每二年三年而閏一月中厯是已如以太陽周十二宫次為歳也為三百六十五日每四年而閏一日西厯是已此紀年之槩也紀月有二或因太陰會朔一次以定謂太陰之月或因太陽行一宫次以定謂太陽之月顧其十二分年之一分則一也一月之終分有大盡小盡者比如初朔子正苟二朔者過二十九日外而不及第三十日之子正則謂之小過子正則謂之大大則二朔同一天干小則不同矣故有三十日弱時刻不及者厯家不得名大或二十九日强而時刻巳逾者厯家仍不得名小也且宇内地度不同而月之大小因以互異比如京師第二朔在子初二刻未到子正其月為小而西安此朔則己在子正初刻又當為大盡矣地度愈逺時刻愈差非可强而同之也月有閏者太陽躔一宫之時與月會合二次以成者也其月因無中氣故謂之閏但古法置閏用平節氣而新法用太陽所躔天度節氣故閏有合有否或先後一月不等也晝夜晨昏太陽随宗動天西行一周而復于元界謂之一日東升西降循環無端其在厯家起算判定一界以為依據則恒以太陽在子在午為凖也論從子午起算之日每歳實行度分日日不等差較一刻有餘盖縁黄道夏遲冬疾差餘四分而黄赤二道又廣狹異距則率度必不同分此其所當審者也今論晝夜太陽在地平上人目可得而覩謂之晝太陽漸隐地平之下人目無見則謂之夜是晝夜者全由人居以分随方(極出地若干)随時(太陽躔某宫)其晝夜刻分皆可依法推算焉然而法算與目見恒異盖太陽體大算法皆以體心出地為晝始而人目以一見日輪即為晝始又日出沒升降度有斜正不同又地平各曜出沒之界受清蒙氣有變凡此皆非人目能辨故厯家立有視差法也一晝一夜平分為十二時時各八刻一日十二時共刻九十有六此恒率也其晝夜永短逓遷之故則不但日行南陸北陸不同而已亦由北極出地髙卑互異而永短因焉比如赤道正過天頂之地兩極合于地平其晝夜均停絶無永短又極在天頂赤道與地平平行其下晝夜亦無長短之較但太陽百八十日恒見百八十日恒隠耳此外諸方各有永短顧其一歳之中晝夜均停者四日握算者引而伸之據四日之一日逐漸加减因得九十日之晝夜長短随可以推終歳之數也再論晨昏是分晝分夜之二界也太陽将出未出數刻之前其光東發星光漸為所奪是名為晨太陽已入迴光返照亦經數刻始逌然滅盡是名為昏其久暫分數亦因冬夏而分短長新法以日在地平下十八度内為晨昏之限但太陽行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若論極髙七十二度以上之處則夏月晨昏相切雖至丙夜無甚黯黑也太陰太陰之行參錯不一推歩籌算為力倍艱苟或分秒乖違交食豈能密合故必細審其行度所以然而後可立法致用也盖月較諸曜本旋之外行復多種第一曰平行一日十三度有竒但此行之界凡四一界是從某宫次度分起算此界定而不動二界為本天之最髙此非定界每日自順天右行七分有竒是月距本天最髙一日為十三度三分有竒也故其平行二十七日三十刻有竒為一周已復于宫次元度又必再行二十三刻有竒為二十七日五十三刻始能及于本天之最髙此行新法謂之月自行中厯于此周謂之轉周滿一周謂之轉終其最髙則行八年有竒而周天謂之月孛三界為黄白二道相交之所所謂正交中交此界亦自有行乃逆行也(自東而西)每日三分有竒則月平行距正交一日為十三度十三分有竒至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃回于元界厯謂之交終四界是與太陽去離太陽一日約行一度則太陰距太陽為十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒逐及太陽復與之會厯謂朔䇿是也凡上四行總歸第一平行其第二行曰小輪每一朔内行滿輪周二次每日為二十四度有竒(若以不同心圈論此即太陰中距圈也)因有此行復生第二損益加减分云第二者盖于朔朢所用加减分外再加再减故也此行中厯所無以上太陰諸行新法定其軌轍不外三者均圈一不同心圈一小輪一然不同心圈與小輪名異而理實同厯家資以推算兩用互推所得之数正等也一系月道惟一古謂月行九道者乃白道正交行及四正陰陽二厯各異命之因有八名加以公名共有九耳非真有九道也白道兩交黄道論最逺之距謂為五度此係二厯未甚大差之數新法測得凡朔望外相距皆過五度上下二弦則為五度一十七分三十秒推知二道相交之角非定而不動者要其廣狹之行恒以十五日為限也二系合朔後月夕西見遲疾不一甚有差至三日者其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見遲叚則遲見一因黄道升降或斜或正正必疾見斜必遲見一因白道在緯南緯北凡在陰厯疾見陽厯遲見也此外又有極出地之不同朦朧分與炁差諸異所以遲疾難齊也交食凡日月之行二十九日有竒而東西同度謂之會朔至若日行在黄道近交人視為與日同經同緯是人目與月日相參直而月魄正隔日光于人目則為日食日食者非日失其光光為月掩耳凡太陰距太陽百八十度而正與之衝謂之朢若當衝時月行近于兩交必入地景而為闇虚此乃月日同在一線而地居其中間日光為地所阻不能射照月體則月失其光而為月食此日月二食者躔度有恒持籌推步分秒確然而厯家各法之踈密于此更難掩也試言其畧黄白二道相交之二所名正交中交凡日月行及二交為同度同度則有食矣然而論交又湏論限及交而在限内則食限外則不食此不可不審也顧限度諸方不一盖太陽于諸方之地平髙度不同而陰陽二厯之各限亦異論煖帶下之地二厯互相受變如白道向南極半周有時在天頂及黄道之中勢必反謂為陰厯白道向北半周是時在黄道外勢必反謂為陽厯故其下日食之限莫得而定之也他域更近于北必陰厯限多陽厯限少更近于南必陽厯限多陰厯限少比如京師近北約算陽厯八度陰厯二十一度則知日月相會凡在陽厯近二交八度在陰厯近二交二十一度其下必見日食而過此限以往則否即北可以推南莫不以逺近分多寡矣然而二厯食限之度有異者其故盖在月輪月輪比日最近于地而月又小于地人目見月之所又在地靣不在地心故以月天論地平雖天與地球皆為平分直過其心而人在地靣髙所以視天地之兩界則似地球與月天非平分也少半在上多半在下而差約一度故以本法推算月己出正地平其于人目所視之地平尚少一度此其較謂之視差盖惟月在天頂正地平與視地平之極皆以一直線合于天頂無有視差過此左右不免有差愈逺天頂愈近地平差必愈甚夫視差無他恒降下月體數十分耳設令日月同度同在近交之南又因同度並在正地平上髙二十度則太陽于視地平為十九度五十八分祗降二分太陰于視地平為十九度直降一度矣而日月二差之較為五十八分故以算論雖二曜同髙同度而人目視之太陰恒下于太陽一度弱不掩日光則不食若二曜在地平上髙七十度則太陽無視差太陰視差止二十分其降于太陽亦止二十分勢必相切或至掩數分而成食若二曜在交北又當以太陰算在太陽之上庶因視差所降而掩陽光以為食也顧此二地平之差又分二類一加减交食分數謂之氣差一加减時刻謂之時差厯算之艱且劇莫過于此所最當究心者也系日食之全與不全其故有二一由天上之行一由食時地平上髙弧之度故均一食也有見全食者有見食多寡不等者有全不見食者就南北論見食地界設如北京見全食其南北各距四十五度之地為萬一千有餘里皆見有食然而多寡不等就東西論各距六十度為萬五千有餘里各見食而分數多寡亦不等焉即月食時刻南北亦有不同而東西為甚也三餘三餘舊加紫氣名為四餘亦謂之四隠曜然詳求天行實無紫氣且絶無當于推步之術故西法棄而不錄第取三餘一羅㬋一計都一月孛羅㬋即白道之正交計都即中交也月道自南遡北以交于黄道之一㸃此㸃有本行每日左旋三分有竒而羅㬋正對之㸃即為計都盖兩規斜絡其兩交之二㸃必正相對也月孛是月所行圈極髙極逺之㸃謂月離于是其行極遲其體見極小盖孛云者指其交轉兩行相悖之義故其平行右旋每日七分有竒是三㸃者土木火諸星本圈亦有之名義皆同苐其各行不同耳古厯悉所未諳悉置不推不錄新法用算五星之緯故于本厯各詳其名數云獨惜日者之流以羅計月孛等名皆指為星謂其所躔宿度各有吉凶用以推人禄命不知周天諸道諸㸃皆人所設以便揆算其行度耳並非實物何與吉凶至紫氣一曜或謂生于閏餘或謂土木相會或謂古人以是紀直年宿故二十八年而一周天都無義理可考故月離厯指詳論其必無是曜也五緯異行土木火金水五曜名為緯星者謂其日有近南近北之行與恒星異也夫五緯之行各有二種其一為本行如填星約三十年行天一周日二分歳星約十二年一周天日五分熒惑將滿二年一周天日三十五分太白辰星皆随太陽每年旋天一周各有盈縮各有加减分各有本天之最髙與最衝即其最髙又各有本行論其行界亦分四種非若囘囘厯總一最髙也其二在于本行之外西法稱為歳行盖各星會太陽一次成一周也因此歳行之規(亦名小輪)推知各星順逆留疾諸情故依新法圖五緯各有一不同心圈一均圈一小輪凡星在小輪極逺之所必合太陽其行順而疾其體見小凡在小輪極近之所其行逆而疾其體見大土木火行逆則衝太陽金水行逆夕伏而合行順晨伏而合其各順行轉逆逆行轉順之兩中界為留留非不行乃際于極遲行之所也留叚前後或順或逆皆有遲行其土木火行逆即衝太陽而金水則否者縁土木火之本天大皆以太陽為心而包地得與太陽衝而金水之本天雖亦以太陽為心而不包地不能衝太陽也金水不能衝太陽而能與之離金離太陽四十八度水離二十四度五緯緯行太陽之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之緯南緯北也各二十三度有半以成二至是黄道者太陽之軌蹟也太陰本道又斜交於黄道最逺之距為五度以生陰陽二厯五星之道雖相距緯度各異而其斜絡黄道則與月道同理故皆借月道諸名名之其兩交之所亦謂正交中交其在南在北兩半周亦謂陰陽二厯審是而五星緯行庶可詳求矣盖各本道外之歳行小輪恒與黄道為平行而又斜交於本道其上半恒在黄本二道中凡星躔于此則减本道之緯其下半恒在本道外星躔于此則加其緯然此小輪之緯向則恒不變如土星三十年行天一周其在正中二交之下必無緯度分十五年恒北十五年恒南耳凡衝太陽因在小輪下半即加本道緯度凡會太陽因在小輪上半即减緯度他星亦猶是也其或行近于地小輪加緯益多太白至夕伏合之際因其近地其緯幾及八度矣中厯不諳緯行之原一見金星在緯南北七八九度即詑謂本星失行豈非誣乎又中厯亦有五星南北緯行圖亦界以黄道本道似矣但其逆行之蹟恒作一斜方形此甚非也五緯不行直線安得方形以此新法圖分二種一設人在地仰觀天上進退諸行故於上三星衝太陽下二星夕伏時第作一僅似之圓形凡衝太陽如在本道交上則不作圓形即彷彿一之字形而已一各星近逺於地之圖要皆舊厯所未諳也五星伏見五星之光與日相較譬猶螢火之于庭燎光本非滅第為大光所奪人莫能睹耳舊厯亦曉此理故用黄道距度以定諸星伏見如謂太陽在降婁初度歳星在十五度即以為見限似矣然而諸星各有緯南緯北之分黄道有正斜升降之勢各宫不同何得泥距度以定限乎新法定限惟以地平為主縁地平障蔽日光能使星或伏或見耳夫日之下于地平其光漸殺所謂晨昏此晨昏光之久暫四時不等即㝠漠等矣而星見時刻又自不等所以然者太陽由黄道而下地平或十度或十五度或至三十度有竒原自不等而星在黄道南相距必多數度在北相距必少數度其限豈可泥乎大畧土木火三星較太陽行遲行後太陽夕伏晨見金水二星順天東旋較太陽行疾行先太陽晨伏夕見逆行反是其與太陽遇也亦夕伏晨見太陰行較太陽更疾晨伏夕見至于金星之緯不及八度則凡逆行合太陽于壽星大火二宫而其緯又在北七度以上雖與日合其光不伏一日晨夕皆可見之水星之緯惟四度餘若其緯向南合太陽于壽星此後去離夕必不見合太陽于降婁此後去離晨必不見金合而不伏水離而不見此二故者渾儀解之他如恒星亦有夕伏晨見者一因黄道之經緯度一因其小大等第即為見伏之限故亦可推也測太陽諸曜森羅太陽其宗主也或推或測必首太陽顧其應測之行不外三種一曰盈縮之限一曰盈縮細行一曰盈初縮末之所中厯之測太陽未嘗及此三行即所測止冬夏二至猶未盡善也其法立八尺表用星符器于冬至前後三四日測定三景因以三景之較數求太陽到冬至時刻其法未嘗不是所以為未盡善者盖表景短長乃太陽行南行北所生論其近二至之候南北之行極微計一日所行天度有分半者有一分者有半分者乃于冬至近期建表尋丈而其所得二景差為一分二釐(量度則云分秒量景則云丈尺分釐)釐為八刻而此一二釐間相差甚微彼景符曷能定之况景符光線恒占數釐或更稍為進退其失彌甚是恒差數十刻也若測夏至則倍難矣今新法用八線表法查古所遺之數以用于推步庻稱密近耳然又不但用表亦時用别法以相濟也比如春秋二分太陽之南北行較大日行天度二十四分乃于其前後數日先測極出地度得赤道髙次用象限儀測日軌髙不免相差一分而其于本算日軌入交㸃時刻則約差四刻耳較之以尋丈表測冬至差釐數而乖違數十刻者豈不大相逺哉且新法于太陽實躔宫度分秒逐日可測而舊法于二至外推步遂窮何也又新法本測曰太陽從春分底立夏行黄道四十五度厯四十六日十刻十分又從立秋底秋分亦四十五度而所厯則四十六日三十八刻十分是逐日刻數不等所謂春行盈秋行縮也故定此盈縮初末之界非在二至㸃也乃在二至之後六度(古今不同)若如舊法謂恒在二至則是前後行度等也何為所厯之期日刻數不等乎此率古稱盈末縮初新法稱為最髙因有此最髙遂晰太陽之行為一不同心規也其行遲者在最髙行疾者在最髙之衝此最髙本行亦猶太陰之有月孛云測恒星測星之法不一大要以太陽為主而以太陰或太白或歳星為中次任取某星為界互相測度即得其度法于太陽將入之時測月或太白或歳星其距太陽度分若干日既沒再測月或太白或歳星其與某星相距度分若干合兩測即得太陽與此星之距然後查太陽本日躔某宫度則知此星所在宫度矣測一星之經度如此他星可以類推于是又測此星出地平之最髙即其距極距赤道之緯度并可得也然而恒星之經緯度分有二其一以黄極為樞每歳東行五十一秒有竒而其距本極之緯度則亘古無變其一則因赤道以算其經緯南北星位古今大異如堯時外屛星全座在赤道南今則在北角宿古在北者今亦在南星緯變易類多如此至以赤道論各宿距度亦有異者如觜宿距星上古為三度厯代逓减今且侵入參宿二十四分他宿互有損益距度各各不同因知赤極非恒星之極而其經緯之度亦非赤道之經緯度分也由是觀之象數精微彌測彌明彼自畫者流輙謂循古已足豈其然哉測太陰太陰行度所當測定者五一遲疾之限一遲疾初末一月孛行一每日細行一交行五測有一不詳月離之違合難齊矣又月有氣差時差(即地半徑所生)所測之經緯度分于正度分復有相較以此測月于七政中為最難舊厯用表于午正測定三景以求之越四載而得一次測驗之時九載而復推定疑太拙矣新法用三會食推算其法以食甚正對太陽得月經度以食甚分秒得距交若干以各食中積時日刻數不等并得天上所行不等度分于是用本法以求月天之孛或最髙(即極遲之行)亦遂得平視二行相較之度以簡御繁法莫善于此矣其測上下二弦經度亦有本法盖弦乃太陰實距太陽或東或西九十度即周天四分之一也先以本儀測定某限次用法算其平行因其加分恒與所測差二度餘賴有二三均數測算乃合又弦時去離南北所測與算亦較天度差四分之一緣白道斜交黄道相距度分各廣狹不同故也至太陰之掩恒星測其出入亦可以知月離度分但湏先以地半徑差均之測五緯上三星為土木火與太陽相衝會然于衝會之二時各無歳行加減分縁其會太陽即在歳行圈之最髙而衝之即在其最卑于實行為合故也湏知實行與平行不同平行百千萬年維均各星本天各有遲疾(即最髙最卑)然而星合太陽無從可測毎于其衝測之(測其)(對太陽用恒星各經度或太陽躔度推算)得此衝經度即有中積天度日數及本星随日數之平行而後用此三率以求各星本天最髙之所于是又得其盈縮大差因幷得衝時各星以平行距冬至之界若干矣下二星為金水以其不能衝太陽也測之較難法先于或晨或昏求其與太陽距度者數次然後依法測算即可得其本天諸情也凡歳行之測以二留為本二留之限各星不同即所躔天度亦不同然而星在二留非衝太陽乃折中之度故本之以測歳行也下三星亦然又二留之際因無歳圈緯度故可得其本天之緯其或在日之衝距緯極逺又可得歳圈之本緯矣五星之天皆斜交黄道與白道同但其相距之緯各多寡不等又白道交行右旋而五星左旋此其異也測器夫測器之在厯家猶之工師之凖繩規矩不可湏臾離也盖宿曜運行樊然不齊苟欲齊之非器不可矣然而簡便是求制作未能盡善雖欲齊烏得齊古厯所紀原有數種而今靈臺所存止有圭表景符簡儀渾象等器耳新法所增置曰象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾盖簡平儀黄赤全儀日星等晷諸器或用推諸曜或用審經緯或用測極或用求時是諸儀者皆為厯學名家酌量增修精加研審多厯年所始趨巧便此外尚有多種以其不堪大用置弗錄而其最竒巧者則近時所製逺鏡尤為窺天要具用之能詳日食分秒能見太白有上下弦能見歳星旁四小星又填星為撱形旁附有兩小星昴宿星三十餘鬼宿中之積尸氣以至光體微渺之星用此奚啻多數十倍抑且界限分明光耀璀璨噫造器至此異甚矣時晷凡日月交食會合五星凌厯犯守其時刻所由取凖者賴有時晷也然而大地之廣時非合一古法不分方土第用時牌揆景以定者非也新法製晷但湏預定本方北極出地之度随在随處雖垣墻正側皆可製造能于一晷之靣視太陽所躔節氣宫次度分及定日之髙度并黄道各時出沒其稱最者則地平晷立晷百游晷通光晷數種他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等不下數十餘種而此外又有星晷與測月之器以為夜中測時之需云若遇陰雨則又有自鳴鐘沙水等漏之製水漏與古壺漏異古或以水入壺而時箭浮新製以水出壺而時牌轉壺體並不開孔似為勝之新法算書卷九十七
## 卷九十八
欽定四庫全書
新法算書卷九十八 明 徐光啟等 撰厯法西傳引說凡學非能驟成莫不始于格物以致其知而後從而推廣從而精詳焉以故古人因目所見心悟頓啓紀而騐之接續成書以詔來世乃成一學卽厯學亦然矣其初所悟者㮣不岀日月交食及冬夏四正五緯凌犯等觸目易見者數事因而再求之然後乃知月有本道焉交食有期有率焉又因而推廣之精詳之以及他數他理而厯學始為大全此如原泉一脉涓涓流而為壑浸假而百川彚集由湖由江以入于海浩浩乎無涯際矣後有好學者留思古人之學叅以己見曽無㡬許而附以傳世是為坐收其成豈可擅稱超悟屈抑前功哉余著厯書百卷大要取之古人而又括以厯引今復為此編先明西厯古書大指而次則遂及余書蓋一則著新法非一人之法非近創之法良由博古深思叅互考訂以得一真無容妄議一則令後之人便于循習曉暢數百年後測審差數推徃知來善于變通也或疑中西異法如格碍何余謂天行無隱君命非私厯至今日中人亦西學矣且即就中厯而論其根亦本于西如列宿距星皆同又列宿有屬太陽者四屬太陰者四亦同是知根本既同而清其枝幹通其脉絡有成書在展卷研求無不可見豈足相難哉學者勉之可也西古厯法西庠之學其大者有五科一道科二治科三理科四醫科五文科而理科中旁出一支為度數之學此一支又分為七家曰數學家曰㡬何家曰視學家曰音律家曰輕重家曰厯學家曰地理家七家俱統于度數要皆師傳曹習確有根據者也若多祿某即西洋厯學名師在郭守敬前一千百有餘年漢順帝永建時人著書一部計十有三卷第一卷詳証厯學大指如諸星運行天體渾圓地與海共為一球地居天與空氣之正中地較天大不過一㸃等項次著角理不但以句股測直線之長短且用曲線三角形量天是為以圓齊圓所得諸星相距度分最凖又求二至相距幾何度分在赤道内外㡬何度分并二曜相離最遠為㡬何度分設黄道緯度求赤道相應經度設黄道經度求赤道相應緯度第二卷論宗動天設黄道在地平上之㸃求其距赤道之地平弧設日之高求正側各景之長短又求黄道各㸃之半晝弦解正儀晝夜等衆星常見之故偏儀二至規下歲一次無景距赤道愈遠晝夜愈不等而兩極下毎歲為一晝夜第三卷考太陽行求二分時刻辯二至氣至時難求時刻求歲實與毎日太陽平行乃作平行立成表又推論日行用同心規及小輪或同心及不同心合一之理推地心與日規相距㡬何遠隨求太陽最遠㸃(亦名最髙)定太陽厯元及太陽行度毎日不等之數第四卷論太陰行証求太陰真行度即月食可考月有遲疾平三行乃求月平行併月每日緯度即以齊月諸行或用同心圏及小輪或不用同心圏二法同理設三月食求同心規及小輪兩半徑以定月諸行厯元又求月行正交中交之時推二交逆行之數第五卷解月自行以求月經緯度必用小輪推月加减立成表求月之更大緯度與月之地半徑差度復求日月二輪與地球半徑之比例及日月與地景之似徑(地景其形如角所求之徑乃月所過截地景之處)又求月半徑及景半徑與地半徑之比例求日真徑求日遠于地求景之長大(以上三求皆以地半徑為度)求日月地之比例(原書稱三大即日月與地)設日月之遠求地半徑差推視差立成表比日月兩視差分月視差有三種第六卷解日月合㑹求日月平朔平望併定朔定望時及其宮度分求地景及月半徑定日月食限論日月半年中能再食月食後五閱月中能再食七閲月中不再食日于五閲月中各地能兩食七閲月中一地能兩食日于三十日中一地不能再食更求月正緯度設月真所在求視所在求月正會前後四刻之視行及日月似㑹(卽日食)即求日食初虧食甚復圓三時定日食分秒第七卷論諸恒星遠近終古如一証其晝夜行外别有他行論其順天經行以黄道極為本極定歲差度設三星相距以二星經緯度求第三星經緯度詳測星法第八卷論天漢起没詳天漢中大星所在及衆星拱向并其出入設黄道經緯度求赤道緯度等第九卷求五星每年及每日平行解五星大小輪理求水星之本行求水星最高求水星大小圏半徑比例又求水星小輪上平行以求水星各行厯元第十卷解金水二星之行求金星最高及不同心輪與小輪半徑比例設時定金星諸行厯元求土木火三星之小輪及小輪之本行(亦名歲行)設火星三處求其最高測從地心至不同心圏其遠㡬何求火星小輪之半徑推火星平行定火星諸行之厯元第十一卷解土木二星之理即求地心與木星本心之差及木星本輪與小輪之半徑并其平行定木星之厯元後設土星三次舍以求其最高求土星小輪之半徑而定其厯元設五星之平行求其實經度第十二卷解五政行度有退留疾等之故即求其留界及逆行之半弧更求金星左右距日之極大弧度并水星與日最遠度第十三卷論齊五星緯度之法求火木土三星各本圏及黄道交角并定其緯度論五星伏見先求火木土三星伏見相距之時次求金水二星伏見及其相距之時以上十三卷屬多祿某所著除右引各目外尚有三百餘欵可為厯算之綱維推歩之宗祖也但其辭句太古淺學罕能習之故諸名家更互演譯各有論著今不及敘後又有亞而封所乃極西寶祐時人身居王位自諳厯學捐數萬金錢訪求四方知厯之人務依先師所著創立成表以佐推算諸曜之法其功不在多祿某下緣屬祖述成書故今亦不及敘又其後四百年有歌白尼騐多祿某法雖全備微欠曉明乃别作新圖著書六卷今為序次之如左第一卷天動以圓解第二卷天并七曜圖解衆星各及其次舍解第三卷論歲差而証其行較古有異論歲實求太陽最遠㸃及隨年日時太陽躔度第四卷取古今月食各三度求月小輪之徑求大輪小輪之比例并月經緯度推日月交食第五卷求五星平行用古今各三測經度求大小兩輪之比例等終求其正經宫度分第六卷求五星緯度以上歌白尼所著後人多祖述焉有西滿者嘗証多祿某歌白尼兩家之法惟一麻日諾又取歌白尼測法更為多祿某之圖益見其理無二矣近六十年西土有多名家先後繼起較前人用測更精立法更盡造圖更美其一未葉大因悟不同心規與小輪難于推算于是更創蛋形圖以解天文根本設七政三測求最遠㸃又求地心與不同心差又求各輪比例等理其二第谷竭四十年心力窮究厯學備諸巧器以測天度不爽分秒第谷本大家饍養知厯人造器市書計用二十萬金著書計六卷第一卷取二分真氣至時第二卷取北極之高并解前人之謬解蒙氣反光之差取二至真氣至時并解二至難得真時之故求太陽最逺㸃并地心與太陽心之差求加减數証最遠㸃之行度及太陽平行求歲實并推立成表用立成求日躔宫度而考其法第三卷以二十一月食求月平行設月行新圖以齊月行用兩大規及三小輪詳其所以然推立成并其用法仍各設假如求月緯度加圖及立成表算法因求月食又求月與地相距㡬何立推交食法因測五緯之真經緯度先考列宿之真經緯度第四卷解測星應用儀器乃駁古測有誤取金星與日與某星相距度以求某星距日度分㡬何取近黄赤二道距度并之以合周天全度復取六星之距度以經度相併適合周天之全度求角宿經緯度以起周天之度再求近赤道十二星經緯度証星之黄道緯度今古不同求星之經度并解其時八百餘星之真經緯度(五十三年前)復加百餘星赤道經緯度說第五卷解其時新見大客星計十二章一詳初起及漸大至與金星等并漸减二取附某宫星以定其經緯度三解測新星所用諸器四取新星與他星距度五解其更度幾何六用各法以求新星經緯度七求新星赤道經緯度八証新星不麗空際而麗列宿天九考新星之大小十取新星之似徑得三分三十秒十一証新星大倍于日大于地三百六十倍十二考衆星參差第六卷測器諸圖圖計五章一解用測器求三曜之高二解用測器求星之緯度三解用測器求星相距度四解各儀象五為天文答問又第谷彗星解十卷測彗星之高度尾之長短光之隱顯及其方向考十二星在黄道上度以求彗星之真所在設彗星離兩星之度求黄赤道經緯度求彗星毎日赤道經緯度求彗星所行之道及其道交黄赤之角處依每日彗星行黄赤二道作立成表証彗星在月上較月更遠于地為三百地半徑故知彗星在日月二天之中証其尾恒向日與金星作彗星行度圖徵彗星之大為月二之一尾長為九十六地半徑(每地半徑為一萬五千里)因考前人彗星之論當否第谷沒後望遠鏡出天象微渺盡著于是有加利勒阿于三十年前創有新圖發千古星學之所未發著書一部自後名賢繼起著作轉多乃知木星旁有小星四其行甚疾土星旁亦有小星二金星有上下弦等象皆前此所未聞且西旅每行至北極出地八十度即冬季為一夜又嘗周行大地至南極出地四十餘度即南極星盡見所以星圖記載獨全以上諸賢所著皆屬推解厯理近因古學奥深學者為難厯學家别有立成表及測天諸器以便初學又有永年厯亦立成之類預紀七政經緯及交食凌犯諸行取凖於天具舉其証葢由推測二功相佐而成不可疑也今論測器惟渾儀為最用之取日光求其躔度求日緯度求北極出地㡬何日出求東西之緯度求太陽午正之高推時求日星之高求太陽赤道經度求星出地平之時刻求太陽距子午規時刻求太陽出入并晝夜時刻以日星高求時刻又作地平日晷求朦朧時刻隨時求東出黄道宫度分又渾儀挾持未便因又約為平儀體製雖異而施用不殊(名渾葢)乃有造平儀及百游各儀法其説甚多其用甚廣又有日晷多種約言其法如作象限作卵形考墻面之方向求子午線設時求日之高設日之高求時分論有法日晷葢有六種一地平上晷一向南平靣晷一向東平面晷一向西平面晷一向北平面晷一向赤道平面晷詳每日晷有十二種線以景証日之行如此從地平起時線從子午起時線節氣線晝線過頂圏線日高線地球之徑圏八十二種高線㡬節氣出地平上線日出地平算某時刻日入地平算某時刻每日平分晝為十二時線(名七)(政時線)又有向南向北斜面雜向立面雜向倒面挖面或正圓或長圓正球偏球各日晷及各正表斜表法槩因無有定向稱無法日晷又設日晷一圖以大為小以小為大焉夫日晷大不越數尺小僅數寸而天之高遠太陽之行度經緯悉備變相以通其理多方以盡其能故曰厯學之廣大即日晷可徵也右皆造日晷法然造晷用圖平行垂線最多下手為難乃用立成表其法更精成功更速又日晷之度數或用立成表查或用㡬何要法或用比例尺諸規矩究竟所得皆符不爽毫髮即此而推所算日躔之密合亦并可見矣合而觀之西庠之于天學厯數千年經數百手而成非徒慿一人一時之臆見貿貿為之者日乆彌精後出者益竒要不越多祿某範圍也已前所引在全書僅十分之一覽者即所見以推所未見可也西新厯法余著新法悉本西傳非敢强天就法也乃為法以合天以測候為厯家之首務故修政以來除西製大銅儀數具外在局别造有半徑儀三座自心至邊或一丈或八尺具刻宫度分秒一一詳明以求適用日督同監局官生晝測日夜測月星三儀所測或並同或兩同者取以為凖若三各不同則置之俟再測如是者數年列宿距星遠近異同悉于是時考定凡遇五星凌犯伏見日月交食公同部司赴觀象臺測騐務求密合累蒙欽遣内臣同來審視又因交食差官四方測騐異同嗣後奉命造進黄赤大儀及星晷天球大日晷等或内庭親測或偕内靈臺諸臣測如是者又數年于是上下相孚朝野悅服上乃决計散遣魏文魁等囘籍一意頒行新法惜兵事倥〔？〕未免有待將來耳中土徃代修厯不過加减四餘四應歲實等項已耳一時合天乆則仍錯有數十年一改者有數年一改者前改既非後改亦復如是厯學廢弛非一日矣余初奉命修厯時亦有以畧改舊法請者謂作者可免創始之勞述者兼得習熟之便然而不能也詳考舊法其錯非在算數乃在基本不清其基而求積壘不治其本而理枝幹其術未有濟焉者余故不辭艱瘁晝夜測騐天行叅考西法然後正其紕繆補其闕畧約有數十餘欵于是著成厯書解明法原詳整法數自太陽太陰恒星交食以迄五緯莫不條分縷析綱舉目全共計百有餘卷已經進呈御覽蒙恩宣付史舘刋本傳布四方與海内知厯者共之矣兹更將法原諸書逐卷挈其大指以便觀覽如左日躔厯指測凖歲實平視二行盈縮元及大差大距度等其題一求南北正子午線以定諸徑圏及十二時之界以記太陽行滿晝夜毎日之始末乃取凖于天非如從前徒用一指南針而已一求北極出地度分以定日出入晝夜長短日月帯食日食有無并諸曜正斜照地等類此用象限儀或測日軌午正高得距赤道度餘即北極出地高度或測近極一星在最高又測之在最卑折中取之即正北極高也一求各氣差氣從地發蒙昧空中故自天頂以迄地平諸曜逐緯詳測定差分秒多寡因而加减原測卽得各曜真位也一求黄赤二道之距以定太陽赤緯于夏至前後一二日測午正日軌(必于午正者免蒙氣也)乃于所測度内减去地半徑差并赤道高餘即二道相距真度分一求太陽盈縮之元以定平行加减乃得每宫度相應之實行葢設太陽以平行旋天毎日前移一度則宜自秋至春與白春至秋日行之度數相等矣今天度等而所行日數不等相差八日有竒此何以故葢因地在太陽天内非其正中也故設一直線貫地心而以兩端接日天必分為大小兩半大半之頂距地遠日行經過之時乆小半之頂距地近日過此必速矣且日體近冬至現大近夏至現小冬至之月食大小又異于夏至之食總由地景長短大小係于日光遠近之故西古厯家二千年以來闡明此理並立測法傳之後人即日躔並日月交食皆正其本矣乃此中厯家羲和而下守敬而上舉無有悟此者何也又一求太陽年日及時之平行以定歲實以確立推算之根所謂厯元也法先後隔數年或春或秋于午正時測日軌務得二分之凖時(太陽在二分其緯大日約)(得二十四分分應四刻故較他時所得為凖)乃于先後間總時以中年分之得毎年之平行即真歲實而歲實又以周天平度(三百六十)分之得一日之平行時亦倣此但因日天心異于地心漸移右行二心相距遠近未有定數雖所移甚微而一二百年後必少覺之千年後差乃顯著則依本法復測復推以加以减即造厯無異今時故新法實永法也昔郭守敬若知此法可免歲餘上推百年増一下推百年减一之議惜乎不能也一求太陽最高所在及地心與日輪天心相距之差以定加减始末以得隨時推日實行確法葢太陽西行及東本行之外其最高亦順十二宫漸漸東行二心(卽太陽本圈心與地球心)相距歲歲减少古測斷不可泥厯家若不諳此日躔無根又何慿以推五緯乎古西土去今千八百年以三角形測日軌記最高在申宫五度三十五分兩心之差為全徑百分之四分強千年後又一士測之得最高在申宫二十二度十七分二心相距為百分之三分半强及據今測又在未宫六度强二心之差不及百分三之半矣中厯從來以夏至為凖泥在未宫初度相沿不改豈非大誤一求太陽視差即地半徑差此差旣由各天與地球大小之比例而生則欲求此差者須取一天與地最遠無可比例者為之則恒星天是已故于恒星天設三角形查與太陽交角相對之弧(他曜倣此)弧有大小而本差之多寡即見矣一論日差以齊諸曜之行所關者大故詳推一立成表以便厯算即太陽實行嬴縮毎日不等是也彼旋地一周復于元界(子午圏是)為日必等者稱用日葢民間所用也厯家若亦泥之則大惑矣恒星厯指三卷其一以金星測恒星及黄赤道度等法于日未出時先測恒星與太白之距日出後又測太白太陽之距晩測反是先測太白與太陽而日沒後乃測太白與恒星因而求太白經緯視差及太陽經度則以曲線三角形法推得兩經度以較同測之星加减之并得本恒星之經度今以畢宿大星婁宿北星角宿距星等為假如定赤道經緯即餘星倣此可推矣又測近黃赤二道所有諸大星任定㡬星晷距星為界或自西而東或自東而西求兩測之距度及距赤道之緯度用三角形法推得其經度差因連綴求之以迄一周所得經度若旣合于赤道周則所測各距之經度必皆密合矣乃復用之為界以測衆星皆可無不合者再以恒星赤道經緯度推其黄道經緯反復相求非三角形無由而得葢或星居兩道之中或南或北或居兩道相交之左右必設各極所出之曲線遇星而交而復相離各底本道而止乃為三角形者數矣最便推算且恒星依本法彼此相推不但其緯度終古不易即相距之經度差亦終古不易故凡推七政者必用恒星為界而後諸曜之遠近灼然不爽也終引所資以測恒星者如測器如子午線如北極出地高如視差等皆是也葢測星有三求一求出地平上度分則用象限儀二求相距則用紀限儀三求距黃赤二道之度則用渾天儀若子午線者諸星行度升之極降之始也北極出地者所以正高下也凡用儀必以儀上極與本地之極高下相當即經緯皆相當故測星者使無子午以正東西升降無極高以正南北高下即一切推算之法無從措手若視差就地半徑差論恒星以距地遠得免就清蒙差論則恒星近地平必皆有之測時宜用减矣第二卷測恒星黄赤本行其行黄道上即歲差也中厯論歲差有曰未能測其所以然第以全厯推之二萬六千八百八十年差一周天毎歲差一分三十餘秒上推至帝嚳甲子四十年日在虚六度至夏王不降乙未三十五年日退入女宿啇武乙丙寅四年日退入牛宿周簡王丁亥十二年日退入斗宿宋度宗戊辰四年日退入箕宿四度二分餘且言此定算也又或測日度者以月食衝求之可謂巧矣然而皆非也夫毎歲所差甚少月食分數頗寛安得借此求彼此其謬一謂日退者即日逆行古來測日但有盈縮有公行有本行退逆之行理所必無此其謬二旣言未測其所以然何從而得一定之算此其謬三西法則以黄道二分二至為界據古所測某恒星距界之度從而復測之乃見遷移以較中古上古此星離冬至漸遠如前此居冬至者虚也今已順行東去繼之者為女為牛為斗又後為箕矣是知歲差係恒星前行與七政依黄道本行無異此為真所以然非日退之說也且西測星非詳得其分秒置不用非三四器三四人同地並得在一分以内者置不用此新法所以獨密也所得歲差定數為五十一秒(依六十算)由此得恒星歲實小餘為二十四刻九分又約二十七秒乃古今不易之則也問星歲無差旣有定算如此厯家不用以推年日何曰立歲限以定所為主如四時如二至二分等日行皆有定所星算雖定而其右旋于各節氣恒無定所故難用推年日也考黄赤道宿度今古變易緣諸星隨黄道斜交赤道故也每見太陽之行黄道夏日距赤道北冬距其南逐年如此豈非由二道斜交之故乎厯家同時測日經而兩道上所測度分必異又所差日各不等此為日經之變如從兩極各出直線以交日心引之徑過以至赤道兩線必不復㑹于一㸃以是知日經緯在赤道恒變即恒星亦然逐漸右旋即赤道宿度逐漸有變其數多寡前後必異惟黄道經度則終古如一而星亦終古如一斗恒似斗尾恒似鈎古二星在一直線者今時亦然彼此相距皆同也累測黄赤兩道恒星之經度以推古今各宿積及本度並載厯指讀者以參觜不仍舊次為疑不知宿在黄赤二道原有分别其依黄道不變之度分參前觜後終古恒然若依赤道而論在昔雖先觜後參而近自二百年來則參先而觜後矣葢因兩道從兩極出線以定度數故有異也第三卷以黄道經緯變赤道經緯及繪星圖數法葢星之去離赤道無恒而其去離黄道有恒即黄赤二道之相距亦如有恒以兩有恒求一無恒則依曲線三角形以乘除三率等法推算可得若直欲從赤道求之無由而得矣緣星行依黄道以向赤道時有遷移故也繪圖舊以恒隱圏界為總圖界星偏河南之南不復有圖矣新法因見隱圏南北隨地不同故以兩極為心以赤道為界或又簡以中土恒見之圏為界繪總星圖閩粤以北可見諸星無不具載至圖内正斜各圏直曲各線依星本經緯應入其中者本卷一一詳之乃除天漢積屍氣等無算小星外凡可見可測者别以六等令星在圖在天大小異形無不相肖月離厯指計四卷首卷論測月平行䇿及遲疾加减正數如各種行度一隨宗動天日一周行二依本天順白道自西而東平行此或以太陽為界從合朔起算或以宮次節氣為界從各㸃起算謂之交周滿一周謂交終三依本輪自行從東而西然依輪之上順行依輪之下則逆本天而行但緣月行甚疾地面但見其遲不見其逆此行謂之轉行滿一周謂轉終四隨次輪乃本輪之周復有一小輪其心隨本輪左旋月在其上則又右旋滿一周名為次轉終也五為交行月行白道出入黄道西行所交于黄道中線兩㸃一名正交一名中交舊所稱羅計是也外又一次輪實測則有而據之以推度數頗微無大用又一面輪使月一面恒照下向地此亦無關疎密皆置不論論測月平行乃因視差及蒙氣差參錯難分月體且月體恒虧無從測心以此測月最繁度分難得其凖須按西古今法于月食時騐而知之晉史姜岌亦以月食衝騐太陽所在然而考太陽之躔度易考太陰之離度難在姜為倒用兩率皆疎矣且平行亦非一食可騐也葢任用一食僅得當時之行度何由遽定平行必擇前後兩食各率均齊者以為兩限然後取其中積平分之庶免日去地時近時遠所生闇虚時大時小與夫月轉時遲時疾時在最高時在最卑諸凡月行不平之綠也但欲得此前後食務須求之記載今考二十一史天文志但記有年月日而畧時刻分秒無已借西厯補之論測正中交行度葢月本圏之自行度曰轉行及于黄道曰交而轉滿一周曰交終其在後不及轉之度即謂兩交之逆行也測法亦用月食考古無傳仍依西史如前法用兩月食測其前後各率均齊得交逆行日三分十一秒歲十九度零十九秒四十三微此為二千年前古測後史各加密測推得交行毎年盈一秒四十二纎應减論用不同心圏與用小輪名異理同皆藉以分布度數解明七政盈縮遲疾之行乃公借古今測定本輪之大小遠近之比例以求加减差立推算各表之法然而創始難工増修易善厯家積功二千餘年至近代測騐而後漸次加精較古為密也終定太陰諸行厯元宜命一定地以慿起算即依本地初度初分為凖以加以减推算各地本時本曜之各所在度分此法從古未有且測北極出地中率不合葢前人未悟地半徑差與蒙氣差于二至所測之高應有加减故未得真高也二卷論測次輪次加减遲疾及半徑差月徑地景徑等乃引古今西史月天諸輪之圖解各所遲疾行之理并經緯隨時度分更推假如令數與圖互相發明因知欲求月離真所非一均數可定葢雖加减本輪之自行度可得定朔定望緣距限在五度内故然而二弦及弦左右之自行差則異于朔望其距限大至七度半强矣故據次輪之自行加减立第二均數于理為盡從是可得太陰之視行實經度次定交周交行及交行之厯元皆于月食取法葢須前後兩月食其距太陽之最高遠近均等兩食分等兩食之在陰厯陽厯正交中交亦畧等則因兩食之中積而得交㑹及交終之數依此用三率法以各數推得交行之度分又得月平行距交之度並其平行距宫次或節氣之度兩數之較為三分十一秒是為兩交一日逆行之數所謂羅計行度也若交行之厯元亦于兩月食得其諸率各等則必并得其距交亦等葢交終由兩食之經時而知今定交應則因兩食之月距交等度考其中積時自行滿交周外即得其距交㡬何度分是厯元也遂命曰某年天正冬至為厯元而某處某府為厯元本所又次測黄白二道相距度分法求月軌極高以免諸視差加减故乃得距赤度分去减黄赤距度餘為黄白距度此西古今通法中厯黄白相距恒大于西術謬矣其推月食恒小于天騐殆緣于此論月視差此因地半徑而生與他曜同但月天視地為近為卑則地與本天各半徑之比例其視差並大古今累測得數無異約一度故測太陰先得其視高乃以地半徑差加之得數又以蒙氣差减之此為實高如反推則得其實高乃以地半徑差减之得數又以蒙氣差加之此為視高具見本表但蒙氣之差因地因時所在各異必求本地勢本時刻之確數定之終測月徑地景徑或由月食測定食分并推求其自行距交距黃道等率而得或以測太陽之似徑比于地而并記其月距地設三角形推月與地各徑又地半徑之比例而兩徑可定三卷論測日月地大小近遠之比例引古今法數種先求各視徑大小如日食時月視徑隨地不等其各視徑與實徑大小絕異又如月視地為小月天視六曜天為小去人又近後定日月之實徑推各體之容詳測日月各距地之高論月天象數及諸月表之原四卷論測太陰見伏光體并四餘辯天行無紫氣等引古今交食以証新法並為後學之資葢因中史失載交食分秒及陰陽厯與太陽之距最高太陰之自行度分等後人無慿推歩以資修改故悉取之西史交食厯指第一卷詳太陽光景地景及日食之故先引界說如何為暗體原光照光次光滿光又如何為初景次景滿景葢食生于景景生于光滿景非暗也稱光暗之中即日月食可辨凡交食或地食光于月景為日食或月體食光于地景為月食乃日月地三球各體大小不等有静有動去人有遠有近當求其大小遠近之比例推其施光受光之體勢乃得交食之體勢今設兩球大小等一暗一明明者半面施光暗者半面受光無分遠近未有交食者也若明球小暗球大暗以小半受光明以大半施光此為太陰照地而地受其隔日之光也凡大施小受施以小半受以大半二體彌近大者施光之小半彌小小者受光之大半彌大此即日居最卑而食之勢也若夫小施大受則又二體彌遠而施者亦彌小受者亦彌大此月食之分數有多有少而月近地居景厚處食分多遠地居景薄處食分少總由大小遠近之比例而生也又詳景之處所在受光之背面乃因月與地勢能出景在日食則為月景下至于地月食則為地景上至于月景形為角形緣出景之圎體與太陽大于地于月之倍數相當也月望月有食乃地景隔日光令月不受照有時失滿光有時全失光月朔日有食乃月隔日光令地不受照有處射滿景有處存少光皆係景之作用也至論月在景之光色或赤或雜或青黒色皆有占騐或生于氣景或映于旁光或染于近地之清蒙氣皆能令月現種種色也論食之期二景旣隨日月所至終古不爽即有定候一在定朔一在定望當食必食多寡先後上下千百世可知此則本卷益加詳焉第二卷詳交食諸類及推交食之原與簡法葢日月之行雖有隅照方照六合照等悉無交食獨相㑹相望(亦名合㑹照會)有食詳之則有實㑹中㑹視㑹之别皆為推歩之原三㑹或較于地心或較于地面各異實㑹中㑹相距又無定度必先推求各元法從本天大小圏以厯元並以三角形細推乃能成表為密求法以便後人葢因得其所以然而後握簡御繁無難也第三卷求推交食依人目所見儀器所測之時刻及所食分數之原必應改實時為視時而此地此時見食彼地則異時見食也故可隨地推交食之有無又可上推徃古下騐將來萬年悉如指掌若食分之多寡旣原于日月地景之各視半徑則定視徑分秒之數逆計太陰居最高或最卑本視徑差地景即因太陽居高居卑不同其照地生景之差以得各實差然後食分可得而定矣第四卷詳食限食甚前後時及繪食圖以解各食向位論限日與月不同葢雖同以所行各道經度距交㡬何為有食之始然而月食則太陰與地景遇因而兩周相切即以兩視半徑並較白道距黄道度推交周度以定食限日食則太陽與太陰遇雖亦兩周相切而有視差必先加入視差而後得距度定其食限也惟其食限各異故推太陰越五月能再食越七月不再食而太陽越五月七月皆能再食至于食分則以距度求之葢兩周之心相距之度也在月食則為太陰心實距地景之心愈近食分愈多在日食則為日月兩心以視度相距其近遠不依實度而依目視之所及為凖此即月食分天下皆同而日食分隨人目東西南北各異之(原也)食分以緯度而定食甚前後時刻則並以經緯而定葢太陰本時距度多寡不同即入景淺深亦不同淺則厯時少深則厯時多此葢從緯定也若就經論太陰之自行時疾時遲緯與視徑雖同而自行每食不同即所得時刻亦必不同但太陰入景之弧與出景之弧畧等故依其行弧推食甚前之時倍之隨得食甚後至復圓之時乃日食時刻則又以視差有異焉交食圖列方位方位者日月失光之靣所向之方也法先考本食是陰厯或陽厯更考黄道是斜交地平與否葢黄道斜交日月亦依以斜行食時方向必異不可不審也故繪圖以一直線過日月二心審其與地面相遇之勢乃定日食方位過日景二心審其與地平相遇之勢乃定月食方位舊法徒以陰陽二厯求之疎矣騐時安得合乎第五卷詳日月視差及日食掩地面㡬何凡推歩日食要以人目為主目見之㑹非實㑹而視㑹也此差雖由地半徑生(以人目在地面不在地心故)更為人目差分别有三等一高卑差以天頂為限一南北差以黄道為限此限能變諸曜緯度一東西差以黄道九十度為限其左右能變經度及時刻測此三差悉用三角形因設地半徑為一邊日月各距地高為一邊各距地靣之遠為一邊測之乃得高弧或正或斜交于黄道以四方分視差然東西南北二差又時有變務彼此相較展轉推求可也論日食之掩地面必係全食或係應不見光之地面又或本日太陽適在最卑而其視徑大似太陰之視徑若此則雖二曜之心合而周邊大小微異乃見金環焉又總論見食之地其廣㡬何且見食進退一分應地面㡬何由是以推各國各省能見食與否並食分多寡等義第六卷依原算日食以顯推表及其所用之所以然必以視差求視㑹因詳前引三差恒垂向下高卑差為正下南北差為斜下東西差獨中限之一線為正左右皆斜此是太陰所變距黄道度及順黄道經度用以加减時刻並求食分可矣但除地半徑差外别有三差名外差不生于日月地而生于氣一曰清蒙高差乃地所出清蒙之氣能變易高下二曰清蒙徑差日月居其中隨變本徑之大小三曰本氣徑差本氣者即月天以下空中氣也較清蒙為更精微亦能變太陽之光照令目所見之視度視徑隨地隨時大小不一也第七卷測考食分方位及時刻務推與測並行以自騐其法密與否西厯家創法之初審之于天以求其當然成法之後復考之于天以証其必然正此意也交食推法旣備前卷本卷則引測交食多寡之式如測日月各食分或于室内或于室外以真光形如遠鏡等承其射光之容即食分多寡可得非舊法水盤所能及也至二曜食時所向之方位或正或偏測與算合不爽毫末又日月或全或零食之時其變形之限如二食所共者初虧食甚復圓月食所獨者食旣生光皆可得其凖也五緯厯指一卷公論定各星古今次序測五星平行均數據古傳太陰最近地其次為水為金為日而火而木而土而恒星古又謂諸天皆以地心為本心今測則惟日月與恒星為然五星各與地不同心即各視差及各高卑距地遠近可徵也五星諸行較恒星與太陽而得古今共法也乃先記其各平行而因各本行圏皆與地為不同心圏并亦定其本行而更以古今圖様解之且增以新測五星左右異像焉第二卷至六卷毎卷測定五緯一星之最高及本天與地中兩心之差並各星表厯元以得各自行及歲行加减等度分但金水二星之行相似與火木土異葢火木土或㑹或衝太陽以其實行為歲行之界而金水即以太陽平行為本天之平行其本天不出太陽之本輪因加小均輪以齊其順逆行天一周有二伏二見之時非彼三星每歲一㑹一衝太陽可比也又火星或以其行甚曲或以其行之遲疾不等有時四五旬日行過一宫有時二百餘日不及一宫行似無法兹窮究其理以著于圖定其經緯高卑之行使測與推諸用法皆明也第七卷論五星緯行推其與恒星或互相照或同出入以定其凌犯近遠見伏諸類葢舎緯行南北多寡而止論經行即凌犯諸類無從得其全也故引古今累測遊星之緯記其各本道與黄道之交角並繪圖用三角形所推兩道濶狹以顯其實相距之比例又定五星各本天交行而較火木土于金水詳其緯從何而生從何而有異同也第八卷著諸曜凌犯相照伏見之原解七政遲疾二行五星留逆順合衝各情並著表繪圖求入宫入宿等法并論農家占歲醫家療疾人預知天時之雨暘皆由日月五星所命又定月大月小節氣閏月諸法第九卷依古今法測五星各距地之遠近以推其降施之力測各視徑及實徑之大小定其凌犯及諸照之密合查五星光色以考其照物之性情葢星皆借日光之分而所發光色各異有如鏡者有如水者有如金者殆由各染本體之色而然又據新法新測以考中厯之古測乃知古測晨夕二留日時折半以求合伏之時非法也又其所用表晷簡平等儀皆與星行之道絶不相似而用以測五星則非其器也大約測五星須用黄赤全儀弧矢儀經緯象限等與其行相類者而又常較之于恒星乃可得其凖也以上畧引書目皆歸厯原以全修厯之學闕一不可古之論厯者或務改厯元如氣應等或務正定歲差不則求之合朔求之五星求之宿度而已總皆掛一漏萬其法立窮必如新法乃為無歉且此外更著學厯要書如割圓法八線表視學㡬何要法測量全義渾天儀用法比例規籌算開方等法以為旁通之學而厯學于是乎大備後有學者宜究心焉新法算書卷九十八
## 卷九十九
欽定四庫全書
新法算書卷九十九 明 徐光啟等 撰新法表異卷上總說帝王圖治求端于天厯事由是興焉炎帝八節俶農功也軒轅甲子系日成也帝嚳序星徵天象也堯置閏月四時乃定舜造璣衡七政以齊夏后周人其敎漸詳月令記于戴禮協紀載于箕疇自是以迨春秋率歲登臺測驗日至然而閏多失置晦朔國殊疎舛為甚六厯出于周秦之際後人疑其偽作而今不可考矣漢初張蒼承秦用顓頊厯洛下閎太初劉歆三統始立積年日法以為推歩之準後世因之而行之愈不能久者不知順天求合之道也其後李梵造四分厯七十餘年而儀式方備又百三十年劉洪造乾象厯始减歲餘創制月行遲疾隂陽黃赤交錯以合天度為推歩師表又百八十年後秦姜岌造三紀厯始以月食衝檢知太陽躔度所在又五十七年宋何承天造元嘉厯始悟測景以定冬至又六十五年祖沖之造大明厯始悟太陽有歲差及極星去不動處有一度餘又五十二年北齊張子信始悟日月交道有表裏五星有遲留伏逆又三十三年劉焯造皇極厯始知日行有盈縮又三十五年唐傳仁均造戊寅元厯頗采舊儀高宗時李淳風造麟德厯以古厯章蔀元首分度不齊始為總法用進朔以避晦日晨月見又六十三年開元時僧一行造大衍厯始以月朔建為四大三小諸法較宻又九十四年穆宗時徐昻造宣明厯始悟日食有氣刻時三差又二百三十六年徽宗時姚舜輔造紀元厯始悟食甚汎餘差數又一百七十餘年元郭守敬造授時厯兼綜前術時創新意然亦僅能度越前代諸家而求其宻合天行垂之永久而無敝終未能也明初作大統厯襲授時之成法二百餘年不知變通訛舛特甚萬厯間曾議改修至崇禎己巳乃召望等前來著書演器厯成亟欲頒行恭遇聖朝建鼎遂用新法造時憲寶厯頒行天下豈非一代之興必有一代之厯預修二十年以備興朝萬年之法傳哉於戱盛矣古來治厯者稱七十餘家考之前史僅四十有餘人而已畧引各朝各厯繼以本朝新厯之凡槪以質諸世之知厯者精粗疎宻展卷即得夫孰得而掩乎漢武帝太初元年丁丑洛下閎鄧平造太初厯成帝綏和二年甲寅劉歆造三統厯積年一十四萬四千五百一十一日法八十一二厯同法歆即衍閎平之法而為三統非有異也厯家立積年日法以準推歩葢始諸此其法以律起厯說多傅㑹初稱脗合積漸後天至元和初失天益遠晦朔弦望差天一日宿差五度後漢章帝元和二年乙酉李梵編訢造四分厯積年一萬五百六十一日法四是時舊厯舛甚乃詔梵等另造新厯乃以二十五刻為歲實小餘以四分度之一為斗分天數與日數齊而日無盈縮月無遲疾止用一平朔歩厯疎謬可知至永光十五年七月甲辰造黃道銅儀獻帝建安十一年丙戌劉洪造乾象厯積年八千四百五十二日法一千四百五十七漢厯三統四分皆四分之一餘分太强劉洪始覺冬至後天乃减歲餘更以五百八十九為紀法百四十五為斗分考冬至日日在斗二十二度精思二十餘年始悟月行遲速之理創列差率以囿進退損益之數又知月行隂陽交錯于黃道表裏日行黄道于赤道宿度復進有退作乾象厯魏明帝景初元年丁巳楊偉造景初厯積年五千零八十九日法四千五百五十九先是黃初中韓翊因乾象厯减斗分太過後必先天乃少益斗分作黃初厯至是楊偉忿翊之非復作此厯行之乾象黃初二厯參校多年更相是非無時而决至於景初大槩不出乾象範圍而其推五星尤為疎濶晉武帝太元九年甲申姜岌造三紀厯岌病古今諸厯斗分皆疎以致日月交㑹無驗復作三紀厯其言曰治厯之道必審日月之行然後可以上考天時下察地化一失其本則四時變移矣于是考古今斗分疎密不同法數各異殷厯斗分粗故不施于今乾象斗分細故不通于古景初斗分雖在粗細之中而日之所在乃差四度日月虧已皆不及其次假使日在東井而食以月驗之乃在參六度差違乃爾安可以考天時治人事乎乃作三紀厯歲實小餘二四六八三八朔實餘五三○五九五轉終餘五五四五一○交終餘三二一六一三凡八萬三千八百四十一算較前為詳而交終之多則與景初同于五星亦未見考正其獨創者則以月蝕衝檢日宿度所在為厯術者宗焉惜其厯未見之施行也宋文帝元嘉二十年癸未何承天造元嘉厯積年六千五百四十一日法七百五十二承天病前厯昧于日所在之宿度又合朔交食不在朔望因比歲考校于元嘉二十年作元嘉厯行之其上表畧曰漢代雜候清臺以昏明中星課日所在雖不可見月盈則食必當其衝以月推日則躔次可知焉堯典日永星火以正仲夏今季夏則火中又宵中星虛以殷仲秋今季秋則虛中邇來二千七百餘年以中星檢之所差二十七八度則堯冬至日在須女十度左右也漢太初歴冬至在牽牛初後漢四分魏景初法同在斗二十一臣以月蝕檢之則景初今之冬至應在斗十七又以土圭測景考較二至差三日有餘然則今之二至非天之二至也宜隨時遷改以取其合乃以一百九十二章積三千六百四十八年為元法以七百五十二為日法又改歲實小餘為二四六七一朔實餘為五三○五八五轉終餘為五五四五二一交終餘為三二一六○四于是厯成較前為宻至武帝時祖冲之覺其疎謬乃議改厯武帝大明七年癸卯祖冲之造大明厯積年五萬二千七百五十七日法三千九百三十九冲之因元嘉畧于置法乖遠已見作大明厯法上之其言曰何承天意存改革而置法簡畧今已乖遠日月所在差覺三度二至晷景幾失一日五星伏見至差四旬留逆進退或移兩宿分至乖失則節閏非正宿度違天則伺察無凖臣率愚瞽更剙新厯是即大明厯也四應等稍加改易而其改易之意有二内一欵因冬至宿度古今不同謂天數旣差則七曜宿度漸與厯舛乖謬旣著輙應改制今令冬至所在歲歲微差此言得之魏明帝正光二年辛丑龍祥李業興造正光厯積年一十六萬八千五百九日法七萬四千九百五十二時龍祥等九家厯合為一厯以李業興為主改元正光名正光厯魏書稱元起壬子律始黄鍾考古合今可為最宻今就其厯考之大約踵宋厯為之者東魏静帝興和二年庚申李業興造興和厯積年二十萬四千七百三十七日法二十萬八千五百三十壬子厯氣朔稍違熒惑失次四星出伏厯亦乖舛興和元年齊獻武王入鄴復命李業興改正武王上言之得詔施行 考洛京已來四十餘歲五星出沒歲星鎭星太白業興厯首尾恒中及有差處不過一日二日一度兩度他厯之失動校十日十度熒惑一星伏見體自無常或不應度祖冲之厯多甲子厯十日六度何承天厯不及三十日二十九度今厯還與壬子同不有加增辰星一星沒多見少及其見時與厯無舛今此亦依壬子元不改太白辰星唯起夕合為異業興以天道高遠測歩難精五行伏留推考不易人自仰闚未能盡宻但取其見伏大歸畧其中間小謬如此厯便可行若專據所見之驗不取出沒之效則厯數之道其幾廢矣北齊文宣帝天保元年庚午宋景業造天保厯積年一十一萬一千二百五十七日法二萬三千六百六十文宣受禪景業奉命叶圖䜟造天保厯行之後武平七年董峻鄭元偉立議非之畧曰景業有心改作不㑹真理乃使日之所在差至八度節氣後天閏先一月朔望虧食旣未能知其表裏遲疾之厯歩又不可以傍通妄設平分虛退冬至冬至虛退則日數减于周年平分妄設故加時差于異日五星見伏有違二旬遲疾逆留或乖兩宿又是年六月戊申朔太陽虧劉孝孫言食於卯時張孟賓言食於申時鄭元偉董峻言食於辰時宋景業言食於巳時至月食乃於卯申之間其言皆不能中大都五代諸厯家俱踵元嘉大明故法改換章蔀斗分妄自各立門戸争相妒競以塗人耳目如是而已後周武帝天和元年丙戌甄鸞造天和厯積年八十七萬六千五百七日法二萬三千四百六十静帝大象元年己亥馮顯造大象厯積年四萬二千二百五十五日法一萬二千九百九十二西魏入關尚興李業興正光厯後周明帝詔有司造周厯頗謬及武帝天和元年甄鸞造天和厯終于宣政元年至大象元年太史上士馮顯更造大象厯此厯氣多朔少所差實遠而顯自以為叅校精宻過矣隋高祖開皇四年甲辰張賓造開皇厯積年四百一十二萬九千六百九十七日法一十萬二千九百六十高祖初行禪代之事欲以符命曜于天下道士張賓揣知上意自云洞曉星厯盛言代謝之徵由是大被知遇命造新厯賓乃依何承天法微加增損作開皇厯厯旣行劉孝孫與冀州秀才劉焯並稱其失駁有六條及以古今交食并測景辨其是非互有短長如聚訟然殊不知張賓止依元嘉舊法微加增損安得無差卽孝孫等議厯亦止就舊法辨論總之于盈縮遲疾之竅未得其真雖辯萬言何益仁壽四年甲子劉焯造皇極厯積年一百萬九千五百一十七日法一千二百四十二開皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道升平行次道霸代行下道葢日去極近則景短而日長去極遠則景長而日短今自隋興晝日漸長開皇元年冬至之景長一丈二尺七寸二分自爾漸短至十七年短于舊三寸七分矣上臨朝謂百官曰日長之慶天之佑也今當改元乃改明年為仁壽元年因以厯事付皇太子東宮劉焯以太子新立修增其書名皇極厯與張胄元互相駁難是非不决焯罷歸四年太史奏日食不効帝召焯欲行其厯胄元排之又會焯死厯竟不行煬帝大業四年戊辰張胄元造大業厯積年一百四十二萬八千三百一十七日法一千一百四十四史稱胄元博學多通精于術數時輩多出其下乃擢拜散騎侍即兼太史令賜物千段改定新厯至是行之大抵學祖冲之之法而小變其説葢與劉焯皆踵舊法為之無甚竒異也總之隋人歩厯不精氣策未善冬至或差二三日則其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥稱仁壽舛矣卒之厯年三十傳國二世然則景長之效壽耶不耶唐高祖武德二年己卯傅仁均造戊寅厯積年一十六萬五千三日法一萬三千六百高祖受禪將治新厯東都道士傅仁均善推歩之學太史令庾儉丞傅奕薦之詔仁均與儉等叅議合受命歲名為戊寅元厯時稱戊寅厯其大要可考驗者有七唐以戊寅歲甲子日登極厯元戊寅日起甲子如漢太初一也冬至日短星昴合于堯典二也周幽王六年十月辛卯朔入食限合于詩三也魯僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大二小則日食常在朔月食常在望五也命辰起子半命度起虛六符隂陽之始六也立遲疾定朔則月行晦不東見朔不西朓七也高宗因詔司厯起二年用之擢仁均員外散騎侍郎三年正月望及二月八月朔當食比不効為祖孝孫王孝通等所駁十八年李淳風上言仁均厯有三大二小云日月之食必在朔望十九年九月後四朔頻大詔集諸解厯者詳之不能定庚子詔用仁均平朔仁均厯法祖述胄元稍以劉孝孫舊議參之麟德間仁均厯較淳風最疎更相出入其有所中淳風亦不能逾之高宗麟德二年乙丑李淳風造麟德厯積年二十七萬四百九十七日法一千三百四十高宗時戊寅厯漸差岐州雍人太史令李淳風作麟德甲子元厯以古厯有章蔀元紀日分度分參差不齊乃為總法千三百四十以一之損益中晷術以考日至為渾儀表裏三重以測黄道初隋末劉焯作皇極厯未行淳風約之為法改作麟德厯行之淳風又以晦月頻見故立進朔之法謂朔日小餘在日法四分之三已上者虛進一日以避晦月見不知月之隱見本天道之自然朔之進退出人為之牽强孰若廢人用天不復虛進為得哉𤣥宗開元十二年甲子僧一行造大衍厯積年九千六百九十六萬二千二百九十七日法三千四十開元九年一行奉詔作新厯推大衍數立術以應之十二年測景于天下南至安南北至鉄勒十五年厯成而一行卒詔張説陳元景等次為厯術七篇畧例一篇厯議十篇稱㫖明年説表上之起十七年頒行其大要著于篇者十二内厯本議有曰日行曰躔其差曰盈縮積盈縮曰先後古者平朔月朝見曰朒夕見曰朓今以日之所盈縮月之所遲疾損益之或進退其日以為定朔舒亟之度乃數使然躔離相錯偕以損益故同謂之朓朒月行曰離遲疾曰轉度母曰轉法遲疾有衰其變者勢也月逶迤馴屈行不中道進退遲速不率其常過中則為速不及中則為遲積遲謂之屈積速謂之伸陽執中以出令故曰先後隂含章以聽命故曰屈伸日不及中則損之過則益之月不及中則益之過則損之尊卑之用暌而及中之志同觀晷景之進退知軌道之升降軌與晷名舛而義合其差則水漏之所從也總名曰軌漏中晷長短謂之陟降景長則夜短景短則夜長積其陟降謂之消息遊交曰交會交而周曰交終交終不及朔謂之朔差交中不及望謂之望差日道表曰陽厯其裏曰隂厯五星見伏周謂之終率以分從日其差為進退卽此議觀之頗勝前人然亦不過從古二十三家之厯增宻而已乃欲去増修之名標獨創之美强作議論仍用算數展轉相合附會大衍令不知厯術之人稱為作者此則欺人甚矣夫大衍之數自古有之假令一行生前漢時能舍四分三統而獨創此厯乎前無劉洪姜岌祖冲之何承天之屬吾知其必不能也肅宗實應元年壬寅郭獻之造五紀厯積年二十七萬四百九十七日法一千三百四十先是肅宗初大衍厯有誤詔韓穎直司天臺增益舊術行至德厯至寶應元年六月望月食不効乃詔司天臺郭獻之等復用麟德元紀更立歲差增損遲疾交食及五星差數以寫大衍舊術上元七曜起赤道虛四度帝為製序題曰五紀厯史稱獻之加減大衍偶與天合遂頒用之德宗興元元年甲子徐承嗣造正元厯積年四十萬三千三百九十七日法一千九十五是時五紀厯氣朔加時後天詔司天徐承嗣與夏官正楊景風等雜麟德大衍之㫖治新厯上元七曜起赤道虛四度建中四年厯成名為正元要不出五紀舊術範圍也穆宗長慶二年壬寅徐昻造宣明厯積年七百七萬五百九十七日法八千四百憲宗卽位司天徐昻上新厯名曰觀象起元和二年用之然無蔀章之數至于察歛啓閉之候循用舊法測驗不合至穆宗立以為累世纘緒必更厯紀乃詔日官改撰厯法名曰宣明上元七曜起赤道虛九度其氣朔發歛日躔月離皆因大衍舊術晷漏交㑹則稍增損之更立新數以歩五星大約皆凖大衍厯法其分秒不同則各據本厯母法云起長慶二年自敬宗至于僖宗皆遵用之昭宗景福元年壬子邊岡造崇𤣥厯積年五千三百九十四萬七千六百九十七日法一萬三千五百是時宣明厯數漸差詔太子少詹事邊岡治新厯岡巧于用算然實㝠于本原其上元七曜起赤道虛四度其氣朔發歛盈縮朓朒定朔弦望九道月度交會入食限去交前後皆大衍之舊餘雖不同亦殊塗而至者景福元年厯成賜名崇𤣥按岡用算巧能立術簡㨗雖仍大衍而皆變其名如策實曰歲實揲法曰朔實乾實曰周天分之類明白使人易曉較之閉藏閃爍者不同是可尚也其治晷度凖陽城日晷前後消息加减得宜九服中晷各於其地立表候之在陽城之南之北者各有距差以加减陽城二至中晷九服所在各於其地置水漏以定漏率各以陽城二至晷漏母除之得加時黃道日躔交道有差其術甚善後世郭守敬倣之測驗諸方惜未能盡用其術也周世宗顯徳三年丙辰王朴造欽天厯積年七千二百六十九萬八千七百七十七日法七千二百五代初用唐厯後諸國各有厯皆行之未久法不傳惟周世宗欽天厯乃端明殿學士王朴所造其厯以隂三陽二化成之數得諸法較之八十一取之黃鍾三千四十取之大衍其牽附為尤甚行五行周亡宋太祖建隆三年壬戌王處訥造應天厯積年四百八十二萬五千八百七十七日法一萬零二太平興國六年辛巳吳昭素造乾元厯積年三千五十四萬四千二百七十七日法二千九百四十眞宗咸平四年辛丑史序造儀天厯積年七十一萬六千七百七十七日法一萬一百顯德欽天厯行五年周亡宋初猶用之建隆二年五月以其厯推驗疎濶乃詔司天少監王處訥等别造厯法四年四月新法成賜名應天至太平興國間有上言應天厯氣候漸差詔處訥等重加詳定六年表上新厯會冬官正吳昭業所獻新厯氣朔稍均衆所推服遂用之賜號乾元應天乾元皆御製序焉眞宗嗣位命判官司天監史序等考驗前法研覈舊文取其樞要編為新厯咸平四年三月厯成賜號儀天夫天道運行皆有常度厯家之術古今不同葢變法以從天隨時而推數故法有疎宻數有繁簡雖條例稍殊而綱目一也仁宗天聖元年癸亥宋行古造崇天厯積年九千七百五十五萬六千五百九十七日法一萬五百九十宋興百餘年至乾興初詔厯官宋行古等改造新厯至天聖元年八月厯成詔翰林學士晏殊制序而施行焉命曰崇天其積年上考徃古歲减一算下騐將來歲加一算厯成以來年甲子歲用之是年五月丁亥朔日食不效詔候騐至七年會周琮言古之造厯必使千百年間星度交食若應繩凖今厯成而不驗則厯法為未宻又有楊皥于淵者與琮求較驗而皥術于木為得淵于金為得琮于月土為得詔增入崇天厯具改用率數云英宗治平元年甲辰周琮造明天厯積年七十一萬一千九百七十七日法三萬九十崇天厯行至嘉祐末英宗卽位命殿中丞判司天監周琮等作新厯三年而成琮言舊厯節氣加時後天半日五星之行差半次日食之候差十刻旣而司天中官正舒易簡等更陳家學于是詔翰林學士范鎭等考定是非上推尚書辰弗集于房與春秋之日食參今厯之所候而易簡等所學疎濶不可用新書為宻遂賜名明天厯詔翰林學士王珪序之未久以月食不效詔厯官重造新厯至神宗熈寧元年上之占驗亦差遂復行崇天厯神宗熈寧七年甲寅衛朴造奉元厯積年八千三百一十八萬五千二百七十七日法二萬三千七百厯行十八年至元祐間測有差哲宗元祐七年壬申皇居卿造觀天厯積年五百九十四萬四千九百九十七日法一萬二千三十厯行十一年崇寧間冬至有差徽宗崇寧二年癸未姚舜輔造占天厯積年二千五百五十萬一千九百三十七日法二萬二千八十厯行三年不效崇寧五年丙戌姚舜輔造紀元厯積年二千八百六十一萬三千四百六十七日法七千二百九十厯行二十一年金太宗天會五年丁未(南宋高宗建炎元年)楊級造大明厯積年三億八千三百七十六萬八千六百五十七日法五千二百三十大定二十年庚子(南宋孝宗淳熈七年)趙知微重修大明厯積年八千八百六十三萬九千七百五十七日法五千二百三十天會五年司天楊級始造大明厯十五年春正月朔始頒行之其法不知所本或曰因宋紀元厯而增損之至正隆戊寅三月辛酉朔推日當食而不食大定癸巳五月壬辰朔日食甲午十一月甲申朔日食加時皆先天丁酉九月丁酉朔食乃後天由是占候漸差至庚子乃命史官趙知微重修大明厯十一年厯成二十一年十一月望月食驗知知微厯為親遂用之南宋高宗紹興五年乙卯陳得一造統元厯積年九千四百二十五萬一千七百三十七日法六千九百三十厯行三十二年孝宗乾道三年丁亥劉孝榮造乾道厯積年九千一百六十四萬五千九百三十七日法三萬厯行九年淳熈三年丙申劉孝榮造淳熈厯積年五千二百四十二萬二千七十七日法五千六百四十厯行十五年光宗紹熈二年辛亥劉孝榮造會元厯積年二千五百四十九萬四千八百五十七日法三萬八千七百厯行八年寧宗慶元五年己未楊忠輔造統天厯積年三千九百一十七日法一萬二千厯行八年開禧三年丁卯鮑澣之造開禧厯積年七百八十四萬八千一百五十七日法一萬六千九百厯行四十四年理宗淳祐十年辛亥李德卿造淳祐厯積年一億二千二十六萬七千六百七十七日法三千五百三十厯行一年寶祐元年癸丑譚玉造會天厯積年一千一百三十五萬六千一百五十七日法九千七百四十厯行十八年度宗咸淳七年辛未陳鼎造成天厯積年七千一百七十五萬八千一百五十七日法七千四百二十厯行四年高宗時中原旣失星翁離散紀元厯亡紹興二年高宗重購得之乃命常州布衣陳得一改造統元厯厯成詔翰林院學士孫近為序頒行乃有司不善用之暗用紀元法推歩推得乾道三年丁亥歲十一月甲子朔裴伯壽陳統元法當進作乙丑于是依統元正之光州士人劉孝榮言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分旣而精明不食是年孝宗命孝榮治厯乃採五代民間萬分厯作三萬分以為日法造乾道厯時談天者各以技術相高互相詆毁紛紛不已至淳熈三年因推太陽不合仍命孝榮改厯四年頒行賜名淳熈淳熈末驗合朔差光宗紹興二年詔改新厯仍命孝榮為之賜名會元四年布衣王孝禮言陳得一造統元厯劉孝榮造乾道淳熈會元三厯皆未嘗測景是以冬至皆後天一日今宜立表測驗是時朝廷雖從未暇改作慶元四年會元厯占候多差日官草澤互有異同舊厯後天十一刻詔楊忠輔造新厯五年厯成賜名統天是年六月乙酉朔推日食不驗又嘉泰二年五月甲辰朔日食統天厯先天一辰有半乃詔草澤有通厯者應聘修治開禧三年大理評事鮑澣之言統天厯氣朔五星皆立虛加虛减之數氣朔積分乃有泛積定積之繁其餘差漏不可備言楊忠輔今見統天厯舛私成新厯容臣太史草澤諸人所著厯參攷之檢討曾漸亦言願以諸厯下本省參攷以最近者頒用于是改定新厯厯成賜名開禧詔以戊辰年權附統天厯頒之于是附行於世四十五年嘉定十一年太史局推七月朔日食不驗因命李德卿改造新厯淳祐十年厯成賜名淳祐是年淳祐新厯推壬子歲立春時刻與開禧厯所推相差六刻又推日食分亦差六刻有餘十二年秘書省言李德卿厯與譚玉所進新厯各有得失請商確推算合衆長而為一未幾厯成賜名㑹天寶祐元年行之咸淳六年十一月三十日冬至後為閏十一月旣已頒厯浙江安撫司凖備差遣臧元震言十九歲為一章至朔同日謂之章月今以十一月三十日為冬至又以冬至後為閏十一月自淳祐壬子至咸淳庚午凡十九年是為章歲以十九年七閏推之則閏月當在冬至前不當在冬至後以至朔同日論之則冬至當在十一月初一日不當在三十日因更造厯六年成七年頒行卽成天厯也按宋史云宋開國以來其厯曰應天曰乾元曰儀天曰崇天曰明天曰奉天曰觀天曰紀元迨靖康丙午百六十餘年而八改厯南渡之後曰統元曰乾道曰淳熈曰㑹元曰統天曰開禧曰㑹天曰成天至德祐丙子又百五十年復八改厯使其初立法脗合天道則千歲日至可坐而致奚必數數更法以求幸合𤣥象哉雖然天歩惟艱古今通患天運日行左右旣分不能無忒謂七十九年差一度雖視古差宻亦僅得其槩耳又况黃赤道度有斜正濶狹之殊日月運行有盈縮朏朒表裏之異測北極者率以千里差三度有竒晷景稱是古今測驗止於岳臺而岳臺豈必天地之中餘杭則東南相距二千餘里華夏幅員東西萬里發歛晷刻豈能盡諧又造厯者追求厯元踰越曠古抑不知二帝授時齊政之治畢殫于是否乎今其遺法具在方册惟奉天㑹天二法不存大抵數異術同因仍增損以追合乾象俱無以大相過也元國初承用金大明厯庚辰歲太宗西征五月望月食不効二月五月朔㣲月見於西南中書令耶律楚材以大明厯後天乃為更改又創里差以增損之名為西征庚午元厯表上之不果頒用至元四年西域扎馬魯丁撰進萬年厯世祖稍頒行之十三年平宋遂詔前中書左丞許衡太子贊善王恂都水少監郭守敬改治新厯乃創簡儀仰儀高表諸器測候日月星辰消息運行之變兼考前代厯法叅别同異酌取中數以為厯本當時測景之所二十有七東極朝鮮西至滇池南踰朱崖北盡鐵勒十七年冬至厯成詔賜名曰授時厯十八年頒行按授時厯不用積年日法革去人為附㑹之失而惟順天以求合又以日月實合時刻定朔而不用虛進法誠為卓見超越前代矣約畧計之其所考正者凡七事一曰冬至自至元十四年丁丑至十七年庚辰各冬至詳測日晷酌取至日前後同者為凖二曰歲餘自宋大明壬寅年距今八百一十年每歲合得三百六十五日二十四刻二十五分卽用二十五分為授時厯歲餘合用之數較大明厯减去一十一秒并定上推百年增一下推百年减一之議三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食旣推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黃道九度有竒較大明厯差七十六分六十四秒四曰月離自丁丑後每日測知逐時太隂行度推算變從黃道求入轉極遲疾幷平行得大明厯入轉後天又因考驗交食加大明厯三十刻五曰入交自丁丑五月後憑每日測得太隂去極度比擬黄道去極度得月道交于黃道仍依日食法度推求皆有食分得入交時刻六曰二十八宿距度自漢太初以來距度不同互有損益大明厯則于度分附以太半少皆私意牽就未嘗實測其數授時新儀皆細刻周天度分每度為三十六分以距線代管窺宿度餘分並依實測不以私意牽就七曰日出入晝夜刻大明厯止據汴京為凖刻數與大都不同授時一以大都為正所創法者五事一曰太陽盈縮用四正定氣立升降限求得每日行分初末極差積度二曰月行遲疾古厯用二十八限授時以萬分日之八百二十分為一限析為三百三十六限求其遲疾度數逐時不同三曰黃赤道差依新算求得度率積差差率四曰黄赤内外度據累年實測内外極度度分求每日去極若干五曰白道交周舊法黄道變推白道以斜求斜授時用立渾比量得月與赤道正交春秋二正度分擬以為法推逐月每交二十八宿度分已上考正創法共十有二事守敬擅稱此術槪在于是顧欲據是遂謂上通徃古下驗將來無不宻合可垂永久而無敝豈其然乎何者求理未精立法未全也夫天有不同心圏地有緯度太陽高卑限不在二至月與五星有小輪有緯行七政各有視差有清蒙氣差諸如此類縷舉之不下數十種凡皆守敬所未聞也而厯家舍此數十種必無密合天行之理無惑乎授時厯成至大德三年八月推日當食而不食六年六月又食而失推守敬亦付之無可柰何也且當日加工僅于日月而畧于五星五星則猶沿用大明厯然則其厯術之淺深可知矣明洪武初年首命太史監正元統釐正厯典統上言一代之興必有一代之厯隨時修改以合天度遂以洪武十七年甲子歲為厯元作厯法四卷改名大統而其法皆襲授時獨棄去百年消長之法李德芳争之不從于是相沿二百餘年不知變通交食旣訛節候亦爽五星伏見益復謬迷改修之議始于萬厯决于崇禎歲次己巳望等應召前來著書演器閱六年厯成叅前驗後無不宻合天行時有布衣魏文魁以曉厯著聞曾隨觀察邢公雲路著有律厯考一書乃率門徒上疏要求設局以角勝負卒以測驗屢疎散遣囘籍新法算書卷九十九
## 卷一百
欽定四庫全書
新法算書卷一百 明 徐光啟等 撰新法表異卷下國朝前明自改厯已來新法著聞于世久矣猥以國家多事頒行有待乃歲次甲申恭遇聖朝建鼎本年八月一驗日食時刻分秒方位無差奉有新法盡善盡美之旨遂用新法造時憲書頒行天下天時人事巧相㑹合豈偶然哉算書共計百卷覃思竭精黙符乾造理明數著度越前朝謹撮舉其凡概如左天地經緯天有經緯地亦有之葢大地隨人所止依天頂以分四方東西為經南北為緯厯家不明各方經緯之度則無以知幅〔？〕相距之數卽所推太陽節氣與五星經度凌犯及交食時刻日食分數行之一方不能通之各方矣至于日出日入晝夜長短並凖地緯定之方適于用須知天地經緯相應古云地方言其德耳地形實圓月食時闇虛之圓是其景也周偏生物戴履不殊各以覩日為晝兩極下極寒以半載為晝夜赤道下極暑以二分為夏二至為冬北行累日北星漸出南星漸沒由是推之形圓明矣大約二百五十里當天之一度經緯皆然諸曜異天諸曜各天高卑相距遠甚此創論也然有實驗姑舉二端一驗以測法試立表于此于一線上窺二星其距表正等而其射景則長短不等豈非高者長而卑者短乎一騐以視差設月與星在天實行同度人從地靣視之皆有差分然月差一度有餘星差有少至數分者此何以故差少者高差多者卑也舊厯測驗不精認作同天為誤匪小圜心不同太陽本圜與地不同心二心相距古今不等卽加减亦異卽今二百年後其數小變乃能測審差數以為萬年通變之法舊法不知也蒙氣有差欲測七政經緯度分先須定本地之蒙氣差葢地中時有游氣上騰其質輕微雖不能隱蔽天象却能映小為大升卑為高故日月出入人從地平上望之比于中天則大星座出入人從地平上望之比于中天則廣此映小為大也定望日時地在日月之間人在地平無兩見之理而恒得兩見或日未西沒而已見月食于東日已東出而尚見月食于西或高山之上見日月出入以較厯家算定時刻每先升後墜此升卑為高也且蒙氣又有厚薄有高下近水與浮虛之地氣盛則厚而高堅燥之地氣减則薄而下厚且高則映象愈大升像愈高薄且下則映像不甚大升像亦不甚高大約地勢不等氣勢亦不等故受蒙者其勢亦不等欲定日躔月離五星列宿等之緯度若非先定本地之蒙氣差終難密合也測算異古天氣渾圓其靣與諸道相割所生三弧形不一而足乃古法測天惟以句股為本用平立定三差總是平形豈能測圓又句與股交為直角一遇斜角其法立窮新法測以天弧三角形算以割圓八線表是為以圓齊圓遇直遇斜無徃不合且其用甚大其法甚簡弧矢諸線乘除一次卽得非若句股必須展轉商求累時方成一率也測算皆依黃道日行由黃道中線月與五星亦皆出入黃道内外不行赤道厯家測天若但用赤道儀所得經度宿次尚非本曜在天之宮次新法就其所得又通以黃赤通率表乃與天行宻合且月星之距赤極古今不同而其距黃極則皆終古如一以此新法日月五星皆依黃道起算卽恒星亦從黃極以定歲差改定諸應七政本行各分平實二行乃平行起算之根是卽某曜某日時刻躔某宮之數其名為應新法改定諸應悉從天聰二年戊辰前冬至後己卯日第一子正為始節氣求眞舊法平節氣非天上眞節氣也葢太陽之行有盈有縮而盈縮又各不等舊法平分氣策一十五萬二一八四三七五以為歲周二十四分之一是以平數定節氣不免違天矣于是節氣之差或以時計或以日計至若春分則後天二日秋分則先天二日為誤匪小新法悉皆改定盈縮眞限歲實生于日躔由日輪之轂漸近地心其數浸消徃厯强欲齊之今古不相通矣授時創立消長上考徃古百年加一下驗將來百年减一此說為近然而據算測天則又未合者須知日有最高最卑二㸃盈縮遲疾從此而生乃舊法以高卑二㸃泥在二至遂以二至為盈縮之定限非也新法精詳測候見春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其行度等而中間所厯時日不等又時日多寡世世不等卽秋分至立冬立春至春分亦然因知日行最高卑度上古在二至前今世在二至後六度有竒則二至後六日乃眞盈縮之限而沿守授時者猶從二至起算如此歲實安得齊也今用授時消分為平歲更以最高卑差加减之為定歲因計最高最卑之各一㸃每年自行四十五秒表測二分舊以圭表測冬至非法之善也葢表景長短之差上應太陽南北之行顯則俱顯微則俱微二至前後三日内太陽一日南北行為天度六十分之一設表長一丈冬至兩日之景約差一分三十秒凖此細求之應差一秒為六刻七分然而圭上一秒之差人目不能無誤且景符之光線較濶不止數秒一秒得六刻有竒如差三秒卽為二十刻矣又安所得凖也新法獨用春秋二分葢是時太陽一日南北行二十四分景差一寸二分縱令測差一二秒算不滿刻所差無幾較二至為最宻太陽出入及晨昏限諸方北極出地度數不同太陽出入時刻因以各别大統厯自永樂後造自燕都乃猶從江南起算且又執一方以槩天下則都城與諸方晝夜長短並與天違甚至日月東西帶食所測不合所算矣新法雖從京都起算而諸方各有加减然後各得眞正時刻卽論晨昏舊以二刻半為限新以十八度為限然而太陽行此十八度各宮又各不同因是有五刻七刻之别若北極出地七十二度以上之處則夏月晨昏相切雖至中夜亦未甚有黯黑也晝夜不等晝夜之分厯家皆從子午起算一歲行度日日不等其差較一刻有竒新法獨明其故有二一緣黃道夏遲冬疾差四分餘一緣黃赤二道廣狹不同距則率度必不同分也改定時刻晝夜定為九十六刻葢一晝一夜平分十有二時時各八刻積十二時為九十六刻其于推算甚便舊增四刻凑成百數求整齊耳乃其分派百刻則謂每時八刻又三分之一則是每時有一竒零益為繁瑣矣且舊法亦自知百刻之不適于用也其于推交食求時差分仍用九十六刻為法定之則舊增四刻為贅矣置閏不同餘氣歸終積而為閏凡閏之月太陽之躔某宮先後㑹月者二是本月之内太陽不及交宮因無中氣遂置為閏月乃舊法置閏用平節氣非也新法用太陽所躔天度之定節氣與舊不同太隂加减月與五星本輪之外皆有次輪所以行度益繁就月言之同心輪負本輪之心而右本輪又負次輪之心而左俱一周而復月復循次輪而右半周而復次輪半徑半于本輪半徑并之得五度弱為二弦唯朔望月在本輪内規不須次輪加减止一加减已足餘日則于一加减外另有二三均數多寡不等月行高卑遲疾舊厯言太隂最高得疾最卑得遲且以圭表測而得之非也太隂遲疾是入轉内事表測高下是入交内事若云交卽是轉緣何交終轉終兩率互異明是二法豈容混推以交道之高下為轉率之遲疾也交轉旣是二行而月行轉周之上又復左旋所以最高向西行則極遲最卑向東行乃極疾正與舊法相反五星高下遲疾亦皆凖此朔後西見合朔以後月夕西見或遲或疾甚有差至三日者新法獨明其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見遲叚則遲見一因黃道升降有斜有正正必疾見斜必遲見一因白道在緯南緯北凡在隂厯疾見陽厯遲見也此外又有北極出地不同之故并朦朧分與氣差諸異所以遲疾恒不能齊也交行加减正交中交行度古定一日逆行三分終古皆為平行今細測之有時月在交上以平求之必不相合因設一加减為交行均數月緯距度太隂緯度舊法以交食分數及交泛等測定黃白二道相距五度因以為率不知朔望外距交尚有損益其至大之距計五度又三分之一也又遇一月兩食則二弦又須另用儀測方能審知距度幾何彼拘泥五度豈能合天交食有無交食有無惟于入交限定之入交適當交㸃必食卽前後距㸃不遠亦食不則不食葢距交近則其度狹狹則小于兩半徑故食距交遠則其度廣廣則月與景過而不相渉矣何食之有然此論交前後也又當論交左右視太隂與黃道之緯度相距幾何度分月食則以距度較月與景兩半徑并日食則以距度較日月兩半徑并而距度為小則食若大則過而不相渉等則過而僅相切皆不得食也但距度在月為實距度而在日為視距度此則不同耳日月食限不同食限者日月行兩道各推其經度距交若干為有食之始也然而日與月不同月食則太隂與地景相過兩周相切以其兩視半徑較白道距黃道度又以距度推交周度定食限若日食則雖太陽與太隂相遇兩周相切而其兩視半徑未可遂以之定兩道之距度為有視差故必加入視差而後得距度因知特論半徑則日食之二徑狹月食之二徑廣論日食之限乃反大于月食之限以視差也日月食分異同食分多寡惟于距度定之距度在月食為太隂心實距地景之心兩心愈近食分愈多愈遠則食分愈少矣在日食為日月兩心之距距近食多距遠食少與月食同但日食不據實距而據視距葢定朔為實交㑹天下所同而人見食分多寡則東西南北各異所以然者皆視度所為也實㑹中㑹以地心為主實㑹者以地心所出直線上至黃道者為主而日月五星兩居此線之上則實會也卽南北相距非同一㸃而總在此線正對之過黃極圏亦為實㑹葢過黃極圏者過黃道之兩極而交㑹于黃道分黃道為四直角者也則從旁視之雖地心各出一線南北異緯而從黃極視之卽見地心所出二線東西同經是南北正對如一線也是故謂之實㑹若月與五星各居其本輪之周地心所出線上至黃道而兩本輪之心俱當此線之上則為月與五星之中㑹日無本輪本行圏與地為不同心兩心所出則有兩線此兩線者若為平行線而月本輪之心正居地心線上則是日與月之中㑹也葢實㑹旣以地心線射太隂之體為主則此地心線過小輪之心謂之中㑹矣若以不同心圏之平行線論之因日月各有本圏卽本圏心皆與地心(卽黃道心)有相距之度分卽日月循各本圏之周右行所過黃道經度必時時有差(與地不同心故也)其從地心出直線過日月之體上至黃道此所指者為日月之實行度分也設從地心更出一平行直線與本圏心所出直線偕平行而上至黃道此所指者為日月之平行度分也葢太陽心線與地心一線平行太隂心線亦與地心一線平行但時多不相遇至相遇時兩地心線合為一線則是日月之中相㑹若太陽實行之直線與太隂實行之直線合為一線則是日月之實相㑹合㑹望㑹皆有中有實其理不異視㑹以地面為主前言實㑹中㑹食限等皆日月食之公法也皆是凖于地心然有視㑹新法所創也夫月食生于地景景生于日故天上之實食卽人所見之視食無二食也日食不然有天上之實食有人所見之視食其食分之有無多寡兩各不同推歩日食難于太隂者以此其推算視食則依人目與地面為凖葢人目居地面之上與地心相距之差為大地之半徑則所見之食與實食分兩直線各至宗動天各有所指度分是生視差而人目所見之食非實㑹也特為視㑹黃道九十度為東西差之中限地半徑三差恒垂向下但高卑差線以天頂為宗下至地平為直角南北差者變太隂距黃道之度以黃道極為宗下至黃道為直角東西差則黃道上弧也故論天頂則高卑差為正下南北差為斜下而東西差獨中限之一線為正下一線以外或左或右皆斜下論黃道則南北差恒為股東西差恒為句高卑差恒為弦至中限則股弦為一線無句矣所謂中限者黄道出地平東西各九十度之限也舊法以子午圏為中限新厯以黃道出地之最高度為中限(東西各九十度)(卽是最高)兩法皆于中前减時差使視食先于實食皆于中後加時差使視食後于實食第所主中限不同則有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加時不得合天多緣于此三視差視㑹卽實㑹者惟當天頂之一㸃為然過此則以地半徑以日月距地之逺測太陽及太隂實有三種視差其法以地半徑為一邊以太陽太隂各距地之遠為一邊以二曜高度為一邊成三角形用以得高卑差一也又偏南而變緯度得南北差二也以黃道九十度限偏左偏右而變經度得東西差三也因東西視差故太陽與太隂㑹有先後遲疾之變二曜之㑹在黄平象限度東卽未得實㑹而先得視㑹若在黃平象限西則先得實㑹而後得視㑹所謂中前宜减中後宜加也因南北視差故太隂距度有廣狹食分有大小之變如人在夏至之北測太隂得南北視差卽以加于太隂實距南度或以减于實距北度又東西南北兩視差皆以黃平象限為主日距九十度限漸近東西差漸小南北差漸大近之極則無東西差而南北差與高卑差合為一矣距九十度限漸遠南北差漸小東西差漸大遠之極則無南北差而東西差與高卑差又合為一矣葢三差恒為句股形高卑其弦南北其股東西其句至極南則弦與股合至極東極西則弦與句合也外三差交食有東西南北高卑三差皆生于地徑然更有外三差不生于地徑而生于氣氣有輕重有厚薄各因時因地而三光之視度為之變易一曰清蒙高差是近于地平為地平所生清蒙之氣變易高下也二曰清蒙徑差亦因地上蒙氣而人目所見日徑之大小變易也三曰本氣徑差本氣者四行之一卽素問所謂大氣地面以上月天以下充塞太空者是也此比清蒙氣更為精微無有形質而亦能變易太陽之光照使目所見之視度隨地隨時小大不一也此外三差之義振古未聞近始得之然論交食至此于理為盡矣虧復不一日食初虧復圓時刻多寡不一此非二時拆半之說也其故葢在視差夫視差能變實行為視行則用視差以較食甚前後不免參差又安能令視行前後同一乎新法直以視行推變時刻則初虧復圓時刻不一之故了然矣交食異算諸方各依地經推算交食時刻及日食分夫諸方所見日月出没及在天中各有前後不同卽所得交食時刻互異日月二食皆同一理但日食又因視差隨地不一卽太隂視距不一而所見食分亦因以判焉日食變差日食古來有推食不食者或算入限不眞或夜食而誤為晨夕此皆不足置論獨有據法應食而實不見食無可柰何遂云日度失行誣天甚矣朝臣有稱賀者㒺上甚矣據新法變差而論必係此日此地之南北差變為東西差故論天行則地心與日月兩心相叅直實不失食而從人目所見則日月相距近變為遠實不得食然惟此地為然若在他方未必不漸見食并全見食也此亦千百年偶遇一二次非常有者也推前驗後交食之法上推徃古下驗將來百千萬年當如指掌若悉用古法推歩窮年累月不可得竟矣今用新法諸表遠遡唐虞下沿萬〔？〕開卷瞭然不費功力如春秋以來有比月書食者有不書日不書朔者依法考求斷其是非定其日朔至易也又至當也至欲累求向後若干年應得若干食是皆不用全表但檢交周度表便可得之五星凖日推算五星皆以太陽為凖其近太陽而伏則疾行其對太陽而衝則退行且太陽之行又遲疾不一則推五星宜于各本行外并太陽遲疾之行俱入算内始為得之乃舊法于合伏日數時多時寡徒以本星叚目定之故不免有差一二度者計日則或十日或半月矣新法改正伏見宻合五星伏見各以距太陽之度分為限顧舊法惟用黃道距度如謂太陽在降婁初度歲星在十五度卽定為見限非也須知五星有緯南緯北之分黃道又有正斜升降之勢各宫不同所以加减各異此理未明故有差至一二旬或一月甚且推見而實伏推伏而實見者新法改正五星緯度太隂本道斜交黃道因生距度與隂陽二厯卽五星亦然五星相距緯度多寡不一而其斜交黃道莫不與月同理故其兩交亦曰正交中交其在南在北兩半周亦曰隂陽二厯從是各定加减方可合天又土木火三星衝太陽緯大合伏太陽緯小金水順伏緯小逆伏緯大新法一一詳求舊未能也金水伏見金星或合太陽而不伏水星離太陽而不見所以然者金緯甚大凡逆行緯在北七度餘而合太陽于壽星大火二宮則雖與日合其光不伏一日晨夕兩見者皆坐此故水緯僅四度餘設令緯向是南合太陽于壽星嗣後雖離四度夕猶不見也合太陽于降婁嗣後雖離四度晨猶不見也此二則用渾儀一測便見非舊法所能知也五星測法測五星須用恒星為凖測時用黃道儀或弧矢等儀將所測緯星視距二恒星若干度分依法布算乃得本星眞經緯度分又或繪圏亦可免算恒星東移恒星以黃極為極故各宿距星行度時近赤極亦或時遠赤極葢行漸近極卽赤極所出過距星線漸宻而其本宿赤道弧較小行漸遠極卽過距星線漸疎其本宿赤道弧則較大此由二道各極不同非距星有異行或易位也卽如觜宿距星漢測距參二度唐測一度宋測一度迄半度元測五分今測之不啻無分且侵入參宿二十四分此其明驗也然其故至今日始明又宋時所定十二宮次各在某宿度今皆不然正因恒星有本行宿度已東移十餘度矣舊法未諳故所算日月五星過宮俱多舛錯新法改正繪星大備舊法繪星僅依河南見界卽中國所見之星亦未全備新法周天皆有不但全備中國見界而已又新法所定二十八宿先後大小俱合天象其分恒星大小有六等之别前此未聞又依各星光測各星性為天文占驗大用亦新法所創有也天漢破疑天漢斜絡天體與天異色昔稱雲漢疑為白氣者非也新法測以遠鏡始知是無算小星攢聚成形卽積尸氣等亦然足破從前謬解四餘删改羅㬋卽白道之正交乃太隂自南遡北交于黃道之一㸃㸃有本行而羅㬋正對之㸃卽為計都卽為中交矣月孛乃月所行極高之㸃至此其行極遲孛者悖也謂其交轉兩行若相悖云爾乃從前日者之流指羅計月孛為星謂其所躔宿度各有吉凶惑世誣民莫此為甚至于紫氣一餘細考諸曜實無此種行度欲測候無象可眀欲推算無數可定欲論述又無理可據明係前人妄増後人傅㑹今俱改删測器大備欲齊七政首重璣衡所藉以驗合改差者器也古厯尚有數種近代靈臺所存惟有圭表景符簡儀渾象等器頗不足用新法増置者曰象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾葢簡平儀黃赤全儀日星等晷諸器或用推諸曜或用審經緯或用測極或用求時盡皆精妙而其最巧最竒則所製遠鏡更為窺天要具用之能詳日食分秒能觀太白有上下弦能見歲星旁四小星塡星為撱形旁附有兩小星昴宿有三十餘鬼宿中之積尸氣以至體微光渺之星用此所見奚啻多數十倍又且界限分明光芒璀璨然此亦西洋近時新増之器百年前未有也欲求倍勝之法必資倍勝之器測器雖不一種然而有渾有平有全有隅其平而隅者較之渾而全者徑廣三倍分細十倍黃赤分器莫不精審舊法未能也日晷備用单論求時則晷為最凖葢古法時牌不分方土為用最拙新法之創斯晷必預定各方北極出地之度以故隨處可用且無拘垣壁正側咸可制造或用羅鍼或不用羅鍼且又能于一面視太陽所躔節氣宮次度分及定日之高度定黃道各時之出沒其稱最者則地平晷立晷百游晷通光晷等數種他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等或正或欹之類不啻數十種而此外更有星晷及測月之器以為夜中測時之需云新法算書卷一百◆ 《測量法義-明-徐光啟》（KR3f0014）
## 0
欽定四庫全書 子部六
測量法義 天文算法類一(推步之屬)測量異同 天文算法類一(推步之屬)勾股義 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹案測量法義一卷測量異同一卷勾股義一卷明徐光啟撰首卷演利瑪竇所譯以明勾股測量之義首造器器即周髀所謂矩也次論景景有倒正即周髀所謂仰矩覆矩卧矩也次設問十五題以明測望髙深廣逺之法即周髀所謂知髙知逺知深也次卷取古法九章勾股測量與新法相較證其異同所以明古之測量法雖具而義則隠也然測量僅勾股之一端故於三卷則專言勾股之義焉序引周髀者所以明立法之所自來而西術之本於此者亦隠然可見其言李冶廣勾股法為測圓海鏡已不知作書之意又謂欲説其義而未遑則是未解立天元一法而謬為是飾説也古立天元一法即西洋借根方法是時西人之來亦有年矣而于冶之書猶不得其解可以斷借方法必出於其後也三卷之次第大畧如此而其意則皆以明幾何原本之用葢古法鮮有言其義者即有之皆隨題講解歐邏巴之學其先有歐几里得者按三角方圓推明各類之理作書十三卷名曰幾何原本(按後利瑪竇之師丁氏續為二卷共十五卷)自是之後凡學算者必先熟習其書如釋某法之義遇有與幾何原本相同者第註曰見幾何原本某卷某節不復更舉其言惟幾何原本所不能及者始解之此西學之條約也光啟既與利瑪竇譯得幾何原本前六卷並欲用是書者依其條約故作此以設例焉其測量法義序云法而系之義也自嵗丁未始也曷待乎于時幾何原本之六卷始卒業矣至是而傳其義也可以知著書之意矣乾隆四十六年十二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀題測量法義西泰子之譯測量諸法也十年矣法而系之義也自嵗丁未始也曷待乎于時幾何原本之六卷始卒業矣至是而後能傳其義也是法也與周髀九章之句股測望異乎不異也不異何貴焉亦貴其義也劉徽沈存中之流皆嘗言測望矣能説一表不能説重表也言大小句股能相求者以小股大句小句大股兩容積等不言何以必等能相求也猶之乎丁未以前之西泰子也曷故乎無以為之藉也無以為之藉豈惟諸君子不能言之即𨽻首商髙亦不得而言之也周髀不言藉乎非藉也藉之中又有藉焉不盡説幾何原本不止也原本之能為用如是乎未盡也是鼷之于河而蠡之于海也曷取是焉先之數易見也小數易解也廣其術而以之治水治田之為利鉅為務急也故先之嗣而有述者焉作者焉用之乎百千萬端夫猶是飲于河而勺于海也未盡也是原本之為義也欽定四庫全書測量法義明 徐光啟 撰最目先造器次論景本題十五首附三數算法造器測量者以測望知山岳樓臺之髙并谷之深土田道里之逺近也其法先造一測望之器名曰矩度造矩度法用堅木版或銅版作甲乙丙丁直角方形以甲角為矩極作甲丙對角線次依乙丙丙丁兩邊各作相近兩平行線次以乙丙丙丁兩邊各任若干平分之從甲向各分各作虚直線而兩邊之各外兩平行線間則作實線如上圖即外兩線間為宗矩極之十二平分度也其各内兩平行線間則于三六九度亦作實線以便别識若以十二度更細分之或每度分三分五分六分十二視矩大小作分分愈細即法愈詳密矣次于甲乙邊上作兩耳相等耳各有通光竅通光者或取日光相射或取目光透照也或植兩小表代耳亦可其耳竅表末須與甲乙平行末從甲㸃置一線線末垂一權其線稍長于甲丙對角線用時任其垂下審定度分(既設表度十二下方悉依此論 若有成器欲驗已如式否亦同上法 其用法如下方諸題)論景法中俱用直景倒景布算故先正解二景之義次解其轉合于矩度以資後論直景者直立之表及山岳樓臺樹木諸景之在平地者也若于向日牆上横立一表表景在牆則為倒景如上圖作甲乙丙丁直角方形于乙丙丁丙各從丙任引長之令丁丙為地平面或為地平平行面其乙丙亦向日作面與地平面為直角即甲丁為丁丙平面上直立之表而甲乙為乙丙平面上横立之表也次以甲為心丙為界作戊巳丙圜次引甲乙甲丁線各至圜界夫地球比日天既止一㸃(說見天地儀解)即甲㸃為地心丁丙面在地心之下而戊巳丙圜為隨地平上日輪之天頂圜矣即戊乙亦可當地平線而巳丁線為正過頂圜矣則丁丙面離地平線者甲丁表之度而乙丙面離過頂圜線者甲乙表之度也故日輪在庚其光必過地心甲截丁丙面于辛而遇乙丙之引長面于壬則甲丁表在丁丙面上之丁辛景為直景而甲乙表在乙丙面上之乙壬景為倒景若日輪在癸則丁丑為直景而乙子為倒景若日輪在寅則丁丙為直景而乙丙為倒景是甲乙丙丁直角方形之内隨日所至其直景恒在丁丙邊倒景恒在乙丙邊也凡測量十二景得一即可推算但須備曉二景之理何者有直景過丁丙邊之外有倒景過乙丙邉之外如上圖者則直景過丁丙邉如丁丑當用倒景代之倒景過乙丙邊如乙壬當用直景代之也若日光至丙即直倒景等可任意用之因兩景各與本表等故欲知目前日景所至在丙耶在丁丙乙丙之内耶又有一法如日輪離地平四十五度即景當在丙日在四十五度以上即景在丁丙之内日在四十五度以下即景在乙丙之内論曰戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊既四皆直角即等而對直角之各圜界亦等(三卷廿六)是每分為四分圜之一也而戊巳亦四分圜之一也又甲丙對角線分乙甲丁角為兩平分(一卷三十四注)即丁甲丙丙甲乙兩角等戊甲寅寅甲巳兩交角亦等(一卷十五)而戊寅寅巳兩圜界亦等夫戊巳圜界既九十度即戊寅必四十五度則日在寅景必在丙日在寅之下倒景必在乙丙之内日在寅之上直景必在丁丙之内(凡云某卷某題者皆引幾何原本為證下同)今從上論解二景之轉合于矩度者如日輪髙四十五度而其光過甲乙即矩度上權線在丙日在四十五度以上即權線在乙丙邉之内日在四十五度以下即權線在丁丙邉之内故矩度上之乙丙邉為直景而丁丙為倒景論曰前圜之甲戊巳分圜形既四分之一試兩平分之于庚即日在庚為四十五度在辛為四十五度以上在壬為四十五度以下設于辛庚壬各出日光下射為辛甲乙庚甲乙壬甲乙三景線同過甲心而以矩度承之其甲為地心而甲乙邉與日景相直次以巳甲線引長之至地心下為丙而甲丙為矩度之權線夫戊庚庚巳圜界既等即戊甲庚庚甲巳兩角亦等(三卷廿七)戊甲巳既直角即戊甲庚庚甲巳皆半直角(一卷十五)而矩度上之乙甲丙角在庚甲乙景線及甲丙權線内者亦半直角凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分即甲丙為依庚甲乙景線之甲乙丙丁直角方形之對角線(一卷三十四注)則日在庚為四十五度權線必在丙又巳甲辛角小于巳甲庚半直角即辛甲乙景線及甲丙權線内之乙甲癸交角亦小于半直角(一卷十五)凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分(一卷三十四注)則于依辛甲乙景線之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙對角線其權線必不至丙必在乙丙之内而分乙丙邊于癸是日在四十五度之上其權線必在乙丙邉之内也又巳甲壬角大于巳甲庚半直角即壬甲乙景線及甲丙權線内之乙甲癸交角亦大于半直角(一卷十五)凡直角方形之對角線必分兩直角為兩平分(一卷三十四注)則于依壬甲乙景線之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙對角線其權線必過丙必在丁丙之内而分丁丙邉于癸是日在四十五度之下其權線必在丁丙邉之内也故矩度之内其傍通光耳之分度邊為直景而對通光耳之分度邊為倒景本題十五首第一題日輪髙四十五度直景倒景皆與表等在四十五度以上則直景小于表而倒景大于表在四十五度以下則直景大于表而倒景小于表依矩度即可明此題之義葢上已論日輪在四十五度權線必在丙即顯乙丙直景丁丙倒景皆與甲乙甲丁兩表等何者直角方形之各邊俱等故也若日在四十五度以上權線必在乙丙分度邊上而倒景當在丁丙之引出邊上是直景小于倒景而倒景大于甲丁表若日在四十五度以下權線必在丁丙分度邊上而直景當在乙丙之引出邉上是倒景小于直景而直景大于甲乙表第二題表隨日所至皆為直景與倒景連比例之中率先設日輪在四十五度而權線在丙題言甲乙或甲丁表皆為乙丙直景與丁丙倒景連比例之中率論曰甲乙丙丁直角方形之四邊既等即乙丙直景與甲乙或甲丁表之比例若表與丁丙倒景何者三線等即為兩相同之比例故次設日輪在四十五度以上權線在乙丙直景邊内分乙丙于戊而倒景在丁丙之引出邊上遇權線于已題言甲乙或甲丁表為乙戊直景與丁巳倒景連比例之中率論曰乙與丁兩直角等而乙甲戊與已相對之兩内角亦等(一卷廿八)即甲乙戊巳丁甲為等角形(六卷四)則乙戊直景與甲乙或甲丁表之比例若表與丁巳倒景是甲乙或甲丁表為兩景之中率(六卷八之系)後設日輪在四十五度以下權線在丁丙倒景邊内分丁丙于戊而直景在乙丙之引出邊上與權線遇于已題言甲乙或甲丁表為丁戊倒景與乙巳直景連比例之中率論曰丁與乙兩直角等而丁甲戊與巳甲戊丁與乙甲巳各相對之兩内角各等(一卷廿八)即甲丁戊甲乙巳為等角形(六卷四)則丁戊倒景與甲乙或甲丁表之比例若表與乙巳直景是甲乙或甲丁表為兩景之中率(六卷八之系)注曰直景表倒景三線既為連比例即直景倒景兩線矩内直角形與表上直角方形等(六卷十七)故表度十二則其羃為一百四十四若以為實以所設景數為法除之即得所求景數假如權線所至在倒景之三度即以三為法除其實一百四十四得四十八度為直景又如權線所至在所設景之五度三分度之二即所求景為二十五度十七分度之七何者以五度三分度之二為法除其實一百四十四即得二十五度十七分度之七是二景互變相代法(畸分除法見後附)第三題物之髙立于地平以直角其景與物之比例若直景與表亦若表與倒景解曰物之髙以直角立于地平如巳庚其景在地平上為庚辛題言直景與表之比例若庚辛與巳庚又言表與倒景之比例若庚辛與巳庚(凡言地平者皆依直線取平若不平者煩先準平然後測量後倣此)先論權線在丙者曰權線恒與物之髙為平行線何者兩線下至庚辛皆為直角故(一卷廿八)即辛甲丙角與巳角等(一卷廿九)而乙與庚兩直角又等則甲乙丙巳庚辛為等角形(一卷廿二)是乙丙直景與甲乙表之比例若庚辛景與巳庚髙(六卷四)二論曰若權線在乙丙直景邊内而分乙丙于戊依前論顯乙甲戊角與巳角等(一卷廿九)乙角與庚角等則甲乙戊巳庚辛為等角形(一卷三十二)是乙戊直景與甲乙表之比例若庚辛景與巳庚髙(六卷四)三論第一圖之倒景曰權線在丙其巳角丁丙甲角各與乙甲丙角等(一卷廿九)即自相等丁角與庚角又等則甲丁丙與巳庚辛亦等角形(一卷三十二)是甲丁表與丁丙倒景之比例若庚辛景與巳庚髙(六卷四)後論曰若權線在丁丙倒景邊内而分丁丙于戊依前論顯乙甲戊角與巳角等(一卷廿九)即丁戊甲角與巳角亦等(一卷廿八)丁角與庚角又等則丁戊甲巳庚辛為等角形(一卷三十二)是甲丁表與丁戊倒景之比例若庚辛景與巳庚髙(六卷四)注曰前既論(本篇第一題)日輪在四十五度直景倒景皆與表等在四十五度以上直景小于表在四十五度以下表大于倒景即顯日輪在四十五度各物在地平之景與其物之髙等在四十五度以上即景小于物在四十五度以下即景大于物如上三圖可見第四題冇物之景測物之髙法曰如前圖以矩度向日甲耳在前取日光透耳兩竅以權線與矩度平直相切任其垂下細審所值何度何分若在十二度之中對角線上則景與物必正相等(本篇三題注)故量其景長即得其物髙若權線在直景邊即景小于物(本篇三題注)則直景與表之比例若物之景與其髙用三數法以直景上所值度分為第一數以全表度十二為第二數以物景之度為第三數算之即所得數為其物髙(三數算法見後附)注曰欲測巳庚之髙以矩度承日審權線如在直景乙戊得八度正庚辛景三十步即以表度十二庚辛三十步相乗得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即巳庚之髙四十五步若權線在倒景邉即景大于物(本篇三題注)則表與倒景之比例若物之景與其髙用三數法以表為第一數以倒景上所值度分為第二數以物景之度為第三數算之即所得數為其物髙注曰欲測巳庚之髙以矩承日審權線如在倒景于戊得七度五分度之一庚辛景六十步即以丁戊七度五分度之一庚辛六十步相乗得二千一百六十為實以表度六十分為法除之得三十六即巳庚之髙三十六度(因權值有畸分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表度十二亦通作六十分說見算家六分法)第五題有物之髙測物之景法曰如前圖以矩度承日審值度分若權線在丙則景與物等(本篇三題注)若權線在直景邊即物大于景(夲篇三題注)即直景與表之比例若景與物反之則表與直景若物之髙與其景(五卷四之系)用三數法以表為第一數直景度分為第二數物髙度為第三數算之即所得數為景度若權線在倒景邊即物小于景(本篇三題注)則表與倒景之比例若景與物反之則倒景與表若物之髙與其景(五卷四)用三數法以倒景度分為第一數表為第一數物髙度為第三數算之即所得數為景度第六題以目測髙法曰欲于辛目測巳庚之髙先用一有度分之表與地平為直角以審目至足之髙次以矩度向物頂甲耳在前目〔？〕乙後而乙辛為目至足之髙以權線與矩度平直相切任其垂下目切于乙不動而以甲角稍移就物頂令目光穿兩耳竅至物頂作一直線(如不能以目透通光耳中只取兩耳角或兩小表相對亦可)細審權線值何度分依前題論直景與表之比例表與倒景之比例皆若庚辛或等庚辛之乙壬(若自乙至壬作直線即與庚辛平行相等見一卷三十四)與巳壬(壬庚與乙辛等見一卷三十八)觀上論(本篇三題)及本圖自明葢三圖之甲乙丙甲乙戊甲丁戊各與其巳壬乙為等角形則量辛庚之度而作直景與表之比例或作表與倒景之比例皆若辛庚與三數法所求得之他數即得巳壬之高次加目至足乙辛之高即得巳庚之高注曰如欲測巳庚高權線在直景即以直景乙戊為第一數表為第二數庚辛為第三數若在倒景即以表為第一數以丁戊倒景為第二數庚辛為第三數各算定各加自目至足乙辛數即得若權線不在丙而有平地可前可却即任意前却至權線值丙而止即不必推算可知其高若辛不欲至庚或不能(或為山水林木屋舍所隔或地非平面)則用兩直景較算其法依前用矩度向物頂審權線在直景否如在倒景即以所值度分變作直景(本篇二題注)次從辛依地平直線或前或却任意逺近至癸仍用矩度向物頂審權線在直景否如在倒景亦以所值度分變作直景(本篇二題注)次以兩直景度分相減之較為第一數以表為第二數以辛癸大小兩相距之較為第三數依法算之即得巳壬之高加自目至足乙癸即得巳庚之高何者兩景較與其表之比例若兩相距之較與物之高故下論詳之論曰以兩直景之小乙戊線減其大乙戊線存子戊線為景較以兩相距之小庚辛線減其大庚癸線存癸辛線為距較則子戊較線與甲乙表之比例若癸辛較線與巳壬線何者依上論(本篇三題)大乙戊直景與甲乙表之比例若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之逺與巳壬之髙更之即大乙戊直景與大相距癸庚之比例若甲乙表與巳壬之高(五卷十六)依顯小乙戊直景或等小乙戊之乙子與小相距之庚辛之比例若甲乙表與巳壬之高則大乙戊直景與大相距庚癸之比例亦若乙子小直景與小相距之庚辛也夫大乙戊與大相距庚癸兩全線之比例既若兩所減之乙子與庚辛(五卷十九)轉之即大乙戊與庚癸兩全線之比例亦若兩減餘之子戊與辛癸(五卷十九)而前巳論乙戊全與庚癸全之比例若甲乙表與巳壬之高則兩減餘之子戊與辛癸之比例亦若甲乙表與巳壬之高(五卷卜一)更之則景較子戊與甲乙表之比例若距較癸辛與巳壬之高(五卷十六)注曰如前圖欲測巳庚之高先于辛得直景小乙戊為五度次却立于癸得直景大乙戊為十度景較五度以為第一數以表度為第二數次量距較癸辛十步以為第三數依法算得二十四步加自目至足乙辛或一步即如巳庚髙二十五步如後圖先于辛得直景小乙戊為十一度次却立于癸得倒景九度即如前法變作大乙戊直景十六度景較五度以為第一數以表度為第二數次量距較癸辛二十步以為第三數依法算得四十八步加自目至足乙辛或一步即知巳庚高四十九步若山上有一樓臺欲測其樓臺之高先于平地總測樓臺頂至地平之高次測山髙減之即得有樓臺高數層欲測各層之高倣此第七題地平測逺法曰欲于巳測巳庚地平之逺先用一有度分之表與地平為直角以審目至足之高為甲巳若量極逺者則立樓臺或山岳之上以目下至地平為甲巳(欲知山岳樓臺之高巳具前測高法)次以矩極甲角切于目以乙向逺際庚如前法稍移就之令甲乙庚為一直線細審權線值何度分如權線在丙則高與逺等若在乙丙直景邉即高大于逺而矩度上截取甲乙戊與甲己庚為等角形何者兩形之乙與己各為直角庚甲己與乙甲戊為同角即其餘角必等故(一卷三十二)則甲乙表與乙戊直景之比例若甲巳高與巳庚逺也(六卷四)若權線在丁丙倒景邉即髙小于逺而矩度上截取甲丁戊與甲己庚為等角形何者兩形之丁與己各為直角巳甲庚與甲戊丁相對之兩内角等(一卷廿九)即其餘角亦等故(一卷三十二)則丁戊倒景與甲丁表之比例若甲巳髙與巳庚逺也(六卷四)次以表為第一數直景為第二數以倒景為第一數表為第二數各以甲巳為第三數依法算之各得巳庚之逺第八題測井之深法曰己壬辛庚井其口之邊或徑為己庚欲測己壬之深用矩極甲角切目以乙從己向對邊或徑之水際辛如前法稍移就之令甲乙己辛為一直線即權線垂下截取矩度之甲乙戊與己壬辛為等角形何者兩形之乙與壬各為直角壬巳辛與乙甲戊兩角為巳壬甲癸兩平行線(井甃必用垂線故與權線平行)之同方内外角等(一卷二十九)即其餘角亦等故則乙戊直景與甲乙表之比例若等巳庚口之壬辛底與巳壬深也(六卷四)次以直景為第一數表為第二數巳庚為第三數依法算之即得巳壬之深若權線在倒景即表與倒景之比例若井之巳庚口與巳壬深觀甲癸丁角形可推何者癸與乙甲戊相對兩内角等(一卷廿九)即與壬巳辛角等故以表為第一數倒景為等二數巳庚口為第三數依法算之亦得巳壬之深注曰乙戊直景三度巳庚井口十二尺依法算得四十八尺即巳壬之深丁癸倒景四十八度依法算同第九題以平鏡測高法曰欲測甲乙之高以平鏡依地平線置丙人依地平線立于丁目在戊向物頂甲稍移就之令目見甲在鏡中心是甲之景從鏡心反射于目成甲丙戊角即目光至鏡心偕足至鏡心兩線作戊丙丁角與甲丙乙角等(此論見歐几里得鏡書第一題)即甲乙丙戊丁丙為等角形(乙丁兩皆直角故)則足至鏡心丁丙與目至足之高丁戊之比例若物之底至鏡心乙丙與其高甲乙也(六卷四)今量丁丙為第一數丁戊為第二數乙丙為第三數依法算之即得甲乙之高注曰可以㿻水當鏡若測極逺可以水澤當鏡第十題以表測高法曰欲測甲乙之高依地平線任立一表于丙為丁丙與地平為直角(凡立表以線垂下三面附表即與地平為直角)次依地平線退立于戊使目在巳視表末丁與物頂甲為一直線若表僅與身等或小于身則俛首移就之可也(或别立一小表為巳戊亦可)次量目至足之數次想從巳目至甲乙上之庚㸃作直線與乙戊平行而分丁丙表于辛即巳辛丁巳庚甲為等角形(六卷四)則等丙戊之辛巳與辛丁之比例若等乙戊之庚巳與庚甲也次量丙戊為第一數辛丁為第二數乙戊為第三數依法算之即得甲庚之髙加目至足之數巳戊即得甲乙之高若戊不欲至乙或不能則用兩表較算如前圖立于戊目在己巳得辛巳等丙戊之度次依地平線或前或却又立一表(或即用前表或兩表等)為癸壬依前法令丑子與巳戊目至足之度等而使丑癸甲為一直線即又得寅丑等壬子之度其壬子若移前所得必小于丙戊何者巳辛與辛丁之比例若巳庚與庚甲丑寅與寅癸若丑庚與庚甲(六卷四)而巳庚與庚甲大于丑庚與庚甲(五卷八)即巳辛與辛丁亦大于丑寅與寅癸也又辛丁與寅癸既等(癸壬丁丙元等所减寅壬辛丙等即所存亦等)即巳辛必大于丑寅也(五卷十)次以兩測所得之巳辛與丑寅相減得卯辛較以為第一數以表目相減之較丁辛或癸寅為第二數以兩相距之較戊子或巳丑為第三數依法算之即得甲庚之髙加目至足之數即得甲乙之髙論曰兩測較外辛與表目較辛丁或癸寅其比例若距較戊子或巳丑與庚甲何者巳辛與辛丁既若巳庚與庚甲(五卷四)更之即巳辛與巳庚若辛丁與庚甲也(五卷十一)依顯丑寅與丑庚若寅癸與庚甲也則丑寅與丑庚亦若辛丁與庚甲也(辛丁與寅癸等故)而巳辛全線與巳庚全線若巳辛所截取之巳卯(巳印與丑寅等故)與巳庚所截取之丑庚也則巳辛全與巳庚全亦若巳辛分餘之卯辛與巳庚分餘之巳丑也(五卷十九)前巳論巳辛與巳庚若辛丁與庚甲即卯辛與巳丑亦若辛丁與庚甲也更之即兩測較卯辛與表目較辛丁若距較等子戊之巳丑與甲庚也若却後而得壬子則反上論之第十一題以表測地平逺法曰欲于甲測甲乙地平逺先依地平線立一表為丙甲與地平為直角其表稍小于身之長次却立于戊目在丁視表末丙與逺際乙為一直線次想巳丙作直線與甲乙平行而分丁戊于巳即丙巳丁丙甲乙為等角形(六卷四)何者甲與巳兩為直角丙丁巳乙丙甲為平行線同方内外角等(一卷廿九)即其餘角必等故(一卷三十二)則表目較丁巳與表目相距之度巳丙之比例若丙甲表與甲乙也次以丁巳為第一數丙巳為第二數丙甲為第三數依法算之即得甲乙之逺第十二題以矩尺測地平逺(今木工為方所用)法曰欲于甲測甲乙地平逺先立一表為丁甲與地平為直角次以矩尺之内直角置表末丁以丁戊尺向遠際乙稍移就之令丁戊乙為一直線次從丁丙尺上依一直線視地平得巳次量巳甲為第一數丁甲為第二數又為第三數依法算之即得甲乙之逺論曰巳丁乙既直角若從丁作丁甲為巳乙之垂線即丁甲為甲巳甲乙之中率(六卷八之系)次以丁甲表自乗為實以甲巳之度為法除之即得甲乙之逺(六卷十七)第十三題移測地平遠及水廣法曰欲于乙測乙戊地平逺及江河溪壑之廣凡近而不能至者於此際立一表為甲乙與地平為直角次以一小尺或竹木等為丙丁邪加表上稍移就彼際戊作一直線次以表帶尺旋轉向地平視丙丁尺端所直得巳次自乙量至巳即得乙戊之數論曰甲乙戊與甲乙巳兩直角形等即相當之乙戊與乙巳兩邊亦等則量乙巳得乙戊(一卷廿六)又論曰若以乙為心巳戊為界作圜即乙巳戊為同圜之各半徑等注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁如上測之尤便第十四題以四表測遠(前題測逺諸法不依極髙不得極逺此法于平地可測極逺)法曰欲于乙測甲遠(或城或山凡可望見者皆是不論平否)擇于平曠處(前云依地平線者必依直線取平此不必拘)立一表于乙次任却後若干大尺更立一表為丁令兩表與甲(甲者是所測處指定一物或人或木或山及樓臺之頂皆是)為一直線次從乙依乙丁之垂線任横行若干丈尺更立一表為丙次從丁與乙丙平行任若干丈尺稍逺于乙丙又立一表為戊(四表俱任意長短)從戊過丙望甲亦作一直線次以丁戊乙丙相減之較為第一數乙丁為第二數乙丙為第三數依法算之即得甲乙之逺論曰試作丙巳直線即得丙巳戊與甲乙丙為等角形(六卷四)何者甲乙丙丙巳戊兩為直角丙戊巳甲丙乙為平行線同方内外角等(一卷廿九)即餘角必等故則戊巳與等丙巳之乙丁之比例若丙乙與乙甲注曰如丁戊為三十六乙丙為三十乙丁為四十即以三十與三十六之較六為第一數以四十為第二數以三十為第三數依法算之得二百四十為甲乙之遠第十五題測髙深廣逺不用推算而得其度分不諸布算難用前法其有畸分者更難今求不用布算而全數畸分俱可推得與布算同功其法曰凡測髙深廣遠必先得三率而推第四率三率者其一直景或倒景其二所立處至所測之底若不能至者則景較或兩測較其三表或距較也設如測一髙景較八距較十步其景較八與表十二之比例若距較十步與所求之髙(此不論目至足之髙)則于平面作甲乙甲丙兩直線任相聨為甲角從甲向乙規取八平分任意長短以當景較為甲丁次用元度從丁向乙規取十二平分以當表度次從甲向丙規取十平分其用度依前度任等不等以當距較為甲戊次從戊至丁作一直線次從乙作一直線與戊丁平行而截甲丙線于丙次規取自甲至戊諸分内之一分為度從戊向丙規得若干分即所求之髙論曰甲乙丙角形内之戊丁與乙丙兩線平行即甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙(六卷二)則戊丙當為十五分與三數法合加目至足之髙即得全髙又法曰若景較七度有半距較八步三分步之一即物髙度十三步三分步之一如後圖加目至足之髙即得全髙若恒以甲丁為第一數丁乙為第二數甲戊為第三數即恒得戊丙為第四數三數算法(附)三數算法即九章中異乗同除法也先定某為第一數某為第二第三數次以第二第三兩數相乘為實以第一數為法除之即得所求第四數如月行三日得三十七度問九日行幾何度即以三十七度為第二數九為第三數相乗得三百三十三數為實次以三為第一數為法除之得一百一十一數即所求第四月行九日度數如有畸分即用通分約分法依上算如一星行八日三時得十二度二分度之一問十四日六時行幾何度即以八日三時通作九十九為第一數以十二度二分度之一通作二十五為第二數以十四日六時通作一百七十四為第三數次以二十五與一百七十四相乗得四千三百五十為實以九十九為法除之得四十三分九十三次以二分為一度約得二十一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十四日六時度分之數測量法義欽定四庫全書測量異同明 徐光啟 撰九章算法勾股篇中故有用表用矩尺測量數條與今譯測量法義相較其法畧同其義全闕學者不能識其所繇既具新論以攷舊文如視掌矣今悉存諸法對題臚列推求同異以竢討論其舊篇所有今譯所無者仍補論一則共為測量異同六首如左第一題(與前篇第四題同)以景測髙欲測甲乙之髙其全景乙丙長五丈立表于戊為丁戊髙一丈表景戊丙長一丈二尺五寸以表與全景相乗得五萬寸為實以表景百二十五寸為法除之得甲乙髙四丈此舊法與今譯同第二題(與前篇第十題同)以表測髙欲測甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙為丁丙高一丈却後五尺立于戊使目在巳戊至巳高四尺視表末丁與甲為一直線次以丁丙表髙十尺減目至足丁辛四尺得表目之較辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺為實以丙戊五尺為法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺此舊法以甲壬丁為大三角形以丁辛巳為小三角形今譯以甲庚巳為大三角形丁辛巳為小三角形其實同法同論何者甲壬與壬丁若甲庚與庚巳也(六卷四)第三題(與前篇第八題同)以表測深甲乙丙丁井欲測深其徑甲乙五尺立一表于井口為戊甲高五尺從戊視丙截甲乙徑于巳甲至巳得四寸次以井徑五尺減甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸為實以甲巳四寸為法除之得井深五丈七尺五寸此舊法以戊甲巳為小三角形巳乙丙為大三角形今譯當以戊甲巳為小三角形戊丁丙為大三角形其實同法同論何者戊丁與丁丙若丙乙與乙巳也(一卷三十四可推)第四題(與前篇第十題後法同)以重表兼測無遠之高無髙之逺欲于戊測甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至則用重表法先于丙立丁丙表髙十尺却後五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺視表末丁與甲為一直線次從前表却後十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺却後八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四尺從丑視癸甲亦一直線次以表髙十尺減足至目四尺得表目較癸辛或丁寅六尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺為實以兩測所得巳寅丑辛相減之較卯辛三尺(此較舊名景差今名兩測較)為法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以兩測所得之小率丙戊五尺與表間度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺為實以卯辛三尺為法除之即得乙丙逺二十五尺此舊法測髙以癸辛或丁寅與辛卯偕甲辰與壬等丙之丁癸為同理之比例今譯以癸辛或丁寅與辛卯偕甲庚與等戊子之巳丑為同理之比例(舊用壬丙表間也今用戊子距較也)其實同法同論何者甲辰與辰丁若甲庚與庚巳也辰丁與丁癸若庚巳與己丑也(六卷四)平之則甲辰與丁癸若甲庚與己丑也補論曰舊法以重表測逺則卯辛與等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁與等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛丑為等角形(六卷三十二)即丑辛癸辰為相似邊(六卷四)甲辰丁丁寅巳為等角形即巳寅丁辰為相似邊是丑辛與癸辰若巳寅與丁辰也(六卷四)更之則丑辛與巳寅若癸辰與丁辰也今于丑辛減巳寅之度存卯辛于癸辰減丁辰存癸丁則卯辛與巳寅若癸丁與丁辰也(所减之比例等所存之比例亦等)第五題(與前篇第十四題同)以四表測逺欲測甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙二表與甲為一直線次于已表之右戊上視丙表與甲為一直線戊巳相去三寸次以乙丙乙丁相乗得一萬寸為實以戊巳三寸為法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一此舊法與今譯同第六題(與前篇第十題後法同理)以重矩兼測無廣之深無深之廣(稍改舊法以從今論)有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂線立戊甲巳句股矩尺甲巳句長六尺從股尺上視句末巳與谷底丙為一直線而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂線取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂線更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦長六尺從股尺上視句末癸與谷底丙為一直線而遇辛壬股于辛辛壬髙八尺次以前股所得庚甲五尺與兩句間壬甲十五尺相乗得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺與兩句間十五尺相乗得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺測深論作癸巳丑直線與本篇第四題重表測逺補論同測逺論與前篇第十題重表測髙論同測量異同欽定四庫全書句股義明 徐光啟 撰句股即三邊直角形也底線為句底上之垂線為股對直角邊為弦句股上兩直角方形并與弦上直角方形等故句三股四則弦必五(一卷四七注)從此可以句股求弦句弦求股股弦求句(一卷四七注)可以求句股中容方容圓可以各較求句求股求弦可以各和求句求股求弦可以大小兩句股互相求可以立表求髙深廣逺以通句股之窮可以二表四表求極髙深極廣逺以通立表之窮其大小相求及立表諸法測量法義所論著畧備矣句股自相求以至容方容圓各和各較相求者舊九章中亦有之第能言其法不能言其義也所立諸法蕪陋不堪讀門人孫初陽氏刪為正法十五條稍簡明矣余因各為論譔其義使夫精於數學者覽圖誦說庶或為之解頥第一題句股求弦法曰甲乙股四乙丙句三求弦以股自之得十六句自之得九并得二十五為實開方得甲丙弦五第二題句弦求股法曰如前圖乙丙句三自之得九甲丙弦五自之得二十五相減得較十六開方得甲乙股四第三題股弦求句法曰如前圖甲乙股四自之得十六甲丙弦五自之得二十五相減得較九開方得乙丙句三巳上三論俱見一卷四十七題(凡言某卷某題者皆引幾何原本為證下同)第四題句股求容方法曰甲乙股三十六乙丙句二十七求容方以句股相乗為實并句股得甲戊六十三為法除之得容方辛乙乙癸各邊俱一十五四二八論曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以為實即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三為法即成甲戊線除實得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形與甲乙丙丁形等(六卷十六)而巳庚邊截乙丙句于癸甲丙弦于壬即成乙辛壬癸滿句股之直角方形何者甲乙丙丁與甲戊己庚兩形互相視即甲乙與甲戊若乙癸與乙丙(六卷十五)分之即甲乙與乙戊若乙癸與癸丙是甲乙與乙丙亦若乙癸與癸丙也(乙丙乙戊元等)又甲辛與辛壬若壬癸與癸丙(六卷四)更之即甲辛與壬癸若辛壬與癸丙也而辛乙與壬癸等乙癸與辛壬等則甲辛與辛乙若乙癸與癸丙矣夫甲乙與乙丙既若乙癸與癸丙而甲辛與辛乙又若乙癸與癸丙則甲乙與乙丙亦若甲辛與辛乙而乙辛壬癸為滿句股之直角方形(六卷十五增題)又簡論曰如前圖以甲乙戊為法而除甲丙實既得甲庚戊巳各與方形邊等今以等甲乙戊之丙乙戊為法而除甲丙實得庚丙戊巳亦各與方形邊等則辛乙癸壬為直角方形第五題餘句餘股求容方求句求股法曰甲丁餘股七百五十戊丙餘句三十求丁乙戊巳容方邊以丙戊甲丁相乘得二萬二千五百為實開方得容方乙丁丁巳各邊俱一百五十加餘股得股九百加餘句得句一百八十論曰甲丁戊丙相乘為實即成巳壬辛庚直角形與丁乙戊巳為甲丙角線形内之兩餘方形等(一卷四三)而壬巳與巳戊偕丁巳與巳庚為互相視之邊(六卷十四)故巳壬辛庚之實即丁乙戊巳之實開方得丁乙戊巳直角方形邊又論曰甲丁與丁巳既若巳戊與戊丙(六卷四之系)即方形邊當為甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增題)今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之數其法以前率比後率為二十五倍大之比例二十五開方得五則中率當為五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十則方形邊一百五十為甲丁丙戊之中率(六卷界說五)第六題容方與餘句求餘股與餘股求餘句法曰容方乙丁丁巳各邊俱一百五十戊丙餘句三十求甲丁餘股以容方邊自之為實以餘句為法除之得甲丁餘股七百五十以容方與餘股求餘句法同論曰如上論兩餘方形等實故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁又論曰方形邊既為甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增題)即方形邊自乘為實以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙(六卷十七)第七題句股求容圓法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圓以句股相乘得一萬九千二百倍之得三萬八千四百為實别以句股求弦得甲丙弦六百八十(本篇一)并句股弦為法除實得容圓徑乙子二百四十論曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之為實即丙丁戊己直角形求得甲丙弦幷句股得一千六百於甲乙線引長之截乙庚與句等庚辛與弦等得甲辛為弦和和線以為法除實得辛壬邊二百四十即成甲辛壬癸直角形與丙丁戊巳形等(六卷十六)而壬癸邊截乙丙句於子次從子作子丑寅乙直角方形即此形之各邊皆為容圓徑曷名為容圓徑也謂於甲乙丙三邊直角形内作一圜其甲丙弦截子丑寅乙直角方形之卯辰線與乙子子丑丑寅寅乙諸邊皆為切圜線也則何以顯此五邊之皆為切圜線乎試于甲乙丙形上復作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午與乙丙等未午與甲乙等未丙與甲丙等即兩形必等(一卷二十二可推)次依丙午未直角作午申酉戌直角方形與乙子丑寅直角方形等次于戌酉線引之至亥又成甲戌亥直角三邊形以甲為同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌為容圓徑次于亥戌寅丑兩線引之遇于乾又成乾寅亥直角三邊形以亥為同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅為容圓徑次作丙兊線遇諸形之交加線于離于兊次作甲震線遇諸形之交加線于巽于震次作亥辰線遇諸形之交加線于坎于辰次作未乾線遇諸形之交加線于艮于卯而四線俱相遇于坤夫午丙與乙丙兩線等而減相等之午戌乙子即戌丙與子丙必等丙離同線丙戌離丙子離又等為直角戌離丙子離丙又俱小于直角即丙離戌丙離子兩三角形必等而兩形之各邊各角俱等(六卷七)則丙兊線必分甲丙未角為兩平分矣(一卷九)又子離與戌離兩邊既等(本論)子離震戌離卯兩交角又等(一卷十五)卯戌離震子離又等為直角即卯離戌離震子之各邊各角俱等而兩形亦等(一卷廿六)又子離與離戌兩邊既等離卯與離震兩邊又等(本論)即子卯與戊震兩邊亦等子丑與戌酉各為相等之直角方形邊必等而各減相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉兩角又各為離卯戌離震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等為直角即卯丑辰震酉坎之各邊各角俱等而兩形亦等(一卷廿六)依顯午巽辰與坎艮乙之各邊各角俱等而兩形亦等巽寅兊與兊艮申之各邉各角俱等而兩形亦等又子丙戌丙之數各八十乙子戌午各二百四十以諸率分數論之則丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二(算見測圓海鏡之句股步率)則減丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙弦則一百七十也(本篇一)次減丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌離兩三角形之辰丑卯離戌卯既等為直角丑卯辰戌卯離兩交角又等丑卯與戌卯復等即兩形必等而其各邊各角俱等(一卷廿六)依顯子離震與震酉坎兩形亦等依顯諸形之交角者皆相等其連角如酉亥坎乙亥坎兩形亦等而子離離戌皆四十八也則酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙與戌酉等子丙與酉亥復等則乙丙與戌亥必等而甲為同角甲乙丙甲戌亥又等為直角則甲乙丙甲戌亥之各邊各角俱等而兩形亦等(一卷廿六)甲亥與甲丙既等各減相等之丙戌乙亥又減相等之乙寅戌午即甲寅與甲午必等夫甲巽午甲巽寅兩形之甲寅甲午既等甲巽同線甲午巽甲寅巽又等為直角即兩形必等而各邊各角俱等(六卷七)是甲震線必分丙甲亥角為兩平分也(一卷九)甲乙丙一形内既以丙兌線分甲丙乙角為兩平分又以甲震線分丙甲乙角為兩平分而相遇于坤則以坤為心甲乙為界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邉而為甲乙丙直角三邊形之内切圜即乙丑直角方形之各邊為容圓徑(四卷四)展轉論之則各大直角三邊形内之分角線皆分本角為兩平分皆遇于坤而坤心圜為各形之内切圜即兩直角方形邊為各句股形内之容圓徑又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二十與甲丙弦六百八十相減亦得乙子二百四十論曰如前論諸大句股形之分餘句俱八十諸句股和與諸弦相減之較亦俱八十則初分句二百四十為諸形之容圓徑第八題句股較求股求句法曰甲丙弦四十五甲乙股甲丙句之較為甲丁九求股求句以弦自之得二千○二十五倍之得四千○五十較自之得八十一以減兩弦羃存三千九百六十九為實開方得句股和六十三加較九得七十二半之得三十六為甲乙股減較得二十七為乙丙句論曰弦冪為甲戊直角方形倍之為己丙直角形較冪為甲庚直角方形與甲辛等相減即得減甲辛形之己辛丙磬折形也今欲顯己辛丙磬折形開方而得句股和者試察甲丙上直角方形與甲乙乙丙上兩直角方形并等(一卷四七)即甲戊一弦冪内有一甲乙股冪一乙丙句冪也己丙兩弦冪内有兩甲乙冪兩乙丙冪也故以己丙為實開方即得丑辰直角方形其丑寅與卯辰兩形兩股冪也丙壬與癸子兩形兩句冪也而丑寅卯辰之間則重一等甲辛之卯寅形減之即丑辰直角方形與己辛丙磬折形等矣乙丙為句丙丑與甲乙等故乙丑邊即句股和也若于乙丙句加甲丁較即與甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之為甲乙股以甲丁較減甲乙股為乙丙句第九題句弦較求句求弦法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙弦之較為甲丁十八求句求弦以股自之得一千二百九十六較自之得三百二十四相減存九百七十二為實倍較為法除之得二十七為乙丙句加較得四十五為甲丙弦論曰股冪為甲戊直角方形較冪為丁庚直角方形與辛癸等相減存甲壬戊磬折形為實次倍甲丁較線為乙寅線以為法除實即得乙子直角形與甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等較冪之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即與股冪之甲戊直角方形等也又何者甲丙弦冪之甲辰直角方形内當函一句冪一股冪(一卷四七)試于甲辰形内截取丁庚較冪之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三線各與甲丁較線等庚申未戌未辰午酉四線各與等乙丙句之丁丙線等夫未酉酉戌并與句等即申未未酉并亦與句等而庚申未辰各與句等即庚未未午兩形并為句冪而丁庚午丁兩形并為股冪矣丁戌戌酉兩較也乙卯卯寅亦兩較也而丁丙與乙丙元等即丁午乙子兩形等丁庚與乙丑兩形又等即丁庚午丁并與子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形與股冪之甲戌形等此兩率者各減一等較冪之辛癸乙丑形即乙子直角形與甲壬戊磬折形等又法曰股自之得一千二百九十六為實以句弦較十八為法除之得句弦和七十二加較得九十半之得弦四十五減較得句二十七論曰股冪為甲己直角方形以較而一為甲辛直角形即得甲壬邊與乙丙丙甲句弦和等何者甲丙弦冪之甲丑直角方形内當函一股冪一句冪(一卷四七)試于甲丑形内截取子卯丑辰邊各與甲丁較線等即卯丑辰丙俱與等乙丙句之丁丙線等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四邊皆與句等句冪也即甲卯卯辰兩形當與股冪等亦當與甲辛形等而甲庚卯寅皆較也甲子弦也卯丑句也則甲辛形之甲壬邊與句弦和等第十題股弦較求股求弦法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙弦之較為丙丁九求股求弦以句自之得七百二十九較自之得八十一相減得六百四十八為實倍較為法除之得甲乙股三十六加較得甲丙弦四十五論曰句冪為乙己直角方形較冪為丙丑直角方形與丙庚等相減存乙庚己磬折形為實次倍丙丁較線為乙辛線以為法除實即得辛壬直角形與乙庚己磬折形等而乙壬邊與甲乙股等何者甲丙弦冪之甲癸直角方形内當函一句冪一股冪(一卷四七)試于甲癸形内截取丙丑較冪之外分作甲丑丑癸丑子三直角形即丑子與股冪等而丙丑甲丑丑癸三形并當與句冪等次各減一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并與乙庚己磬折形等亦與辛壬直角形等辛乙與寅丑丑丁并等即乙壬與甲丁或寅癸等亦與甲乙等又法曰句自之得七百二十九為實以較為法除之得股弦和八十一加較得九十半之得弦四十五減較得股三十六論曰句冪為丙戊直角方形以較而一為丙己直角形即得丙庚邊與甲乙甲丙股弦和等何者甲丙弦冪之甲辛直角方形内當函一股冪一句冪(一卷四七)試于甲辛形内依丙丁較截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形與股冪等而丁辛丁癸兩形并當與句冪等亦與丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆較也而甲丁與股等丙辛與弦等即丙庚與股弦和等第十一題句股和求股求句法曰甲丙弦四十五甲乙乙丙句股和六十三求句求股以弦自之得二千○二十五句股和自之得三千九百六十九相減得一千九百四十四復與弦冪相減得八十一開方得句股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙句二十七論曰以句股和作甲丁一直線自之為甲己直角方形此形内函甲辛癸己兩股冪乙寅庚壬兩句冪而甲辛癸己之間重一癸辛直角方形夫甲丙弦之冪既與句股兩冪并等(一卷四七)以減甲己形内之甲辛乙寅兩形即所存戊辛寅磬折形少于弦冪者為癸辛形矣乙辛股也乙丑句也則丑辛較也第十二題句弦和求句求弦法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句弦和七十二求句求弦以股自之得一千二百九十六句弦和自之得五千一百八十四相減得三千八百八十八半之得一千九百四十四為實以和為法除之得乙丙句二十七以減和得甲丙弦四十五論曰以句弦和作乙丁一直線自之為乙戊直角方形次用句弦度相減取丙庚兩㸃從丙從庚作庚辛丙壬二平行線依此法作癸子丑寅二平行線即乙戊一形中截成丙子丑辛丁卯午己句冪四庚未辰壬癸辰未寅較句矩内直角形四卯午較冪一也今欲于乙戊全形中減一甲乙股之冪則于卯己弦冪内(一句一冪并為弦)存午己句冪而減子午辛磬折形即股冪矣何者卯己弦冪内當函一句冪一股冪也(一卷四七)又庚未與未寅等即庚壬形亦股冪也以庚壬形代磬折形即丁辛丙己兩形為和冪與股冪之減存形也半之即丙己形以等句弦和之乙己除之得乙丙句又法曰股自之得一千二百九十六以句弦和七十二為法除之得十八為句弦較加句弦和得九十半之得四十五為弦減較得二十七為句此法與本篇第九題又法同論第十三題股弦和求股求弦法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以句自之得七百二十九股弦和自之得六千五百六十一相減得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙弦四十五論曰乙丁和冪内之戊己句冪也餘論同本篇十三題又法曰句自之得七百二十九以股弦和八十一為法除之得九為股弦較加股弦和得九十半之得四十五為弦減較得三十六為股此法與本篇第十題又法同論第十四題股弦較句弦較求句求股求弦法曰甲乙股甲丙弦較二乙丙句甲丙弦較九求句求股求弦以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為弦和較加句弦較九得甲乙股十五加股弦較二得乙丙句八以句弦較加句或股弦較加股得十七為甲丙弦論曰股弦較甲丁二自之得四為己庚直角方形句弦較乙戊九自之得八十一為辛壬直角方形兩冪并得八十五以二減九得七即句股較自之得四十九為乾兊直角方形元設兩較互乘為癸戊子丑兩直角形并得三十六以三十六減八十五亦得四十九何以知癸戊子丑三十六為實開方得六之寅卯直角方形邊則弦和較也凡直角三邊形之弦冪必與句股兩冪并等(一卷四七)甲乙丙既直角形則甲乙乙丙兩冪并必與甲丙冪等今于甲乙股加甲辰弦丙乙句加乙午弦甲丙弦加丙未句未申股各作一直線以此三和線作一三邊形(一卷廿二)即甲申上之甲酉直角方形必不等于丙午上之丙戌直角方形乙辰上之乙亥直角方形并而此不相等之較必句股較冪之四十九也何者若于甲酉丙戌乙亥三直角方形各以元設句股弦分之即甲酉形内有弦冪一股冪一句冪一股弦矩内形二句弦矩内形二句股矩内形二而乙亥形内有弦冪一股冪一股弦矩内形二丙戌形内有弦冪一句冪一句弦矩内形二次以甲酉内諸形與乙亥丙戌内諸形相當相抵則甲酉内存句股矩内形二丙戌或乙亥内存弦冪一次以此兩存形相當相抵則一弦冪之大于兩句股矩内形必句股較冪之四十九也何者一弦冪内函一句冪一股冪今試如上圖任作一甲乙弦冪其乙丙為句冪則丁丙戊磬折形必與股冪等乙己為股冪則丁己戊磬折形必與句冪等次以乙庚辛壬兩句股矩内形輳乙角依角傍兩邊縱横交加于弦冪之上即得句股之較冪丙己而乙丙上重一句冪次以所重之句冪補其等句冪之丁己戊磬折形則甲乙弦冪之大於乙庚辛壬兩句股矩内形必丙己句股較冪矣故知向者乙亥或丙戌内與甲酉内兩存形之較必句股較冪之四十九也則乙亥丙戌兩形并其大於甲酉形亦句股較冪之四十九也今於辛壬較冪内減句股較冪四十九之乾兌直角方形其所存乾離震兊兩餘方形及離震己庚兩直角方形并必與癸戊子丑兩形并等次以癸戊子丑兩形開方為寅卯形則減寅卯之甲酉形與減辛壬之丙戌形減己庚之乙亥形并必等而減寅卯之甲酉形内元有弦冪如甲寅者四有弦偕寅卯形邊矩内形如寅巽者四減辛壬之丙戌形内元有句冪如丙辛者四有句偕句弦較矩内形如辛坎者四減己庚之乙亥形内元有句冪如己辰者四有股偕股弦較矩内形如甲己者四今以四弦冪當四句冪四股冪(一卷四七)則甲己辛坎兩形并必與寅巽形等甲丙與巽申等弦也丙申句股和也則兩弦間等寅卯形邊之丙巽不得不為弦和較矣既得丙巽六為弦和較即以元設兩較相加可得句股弦各數也何者巽申弦也巽艮句弦較也艮申句也丙申句股和也于丙申句股和減艮申句則丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲弦也丙坤股弦較也坤甲股也巽甲句股和也于巽甲句股和減坤甲股則巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲則弦也第十五題句弦和股弦和求句求股求弦法曰甲丙乙丙句弦和七十二甲乙甲丙股弦和八十一求句求股求弦以兩和相乘得五千八百三十二倍之得一萬一千六百六十四為實平方開之得弦和和一百○八以股弦和減之得乙丙句二十七以句弦和減之得甲乙句三十六以句股和減之得甲丙弦四十五論曰兩和相乘為乙己直角形倍之為丁戊直角形以為實平方開之得己庚直角方形與丁戊等即其邊為弦和和者何也丁戊全形内有弦冪二股弦矩内形句弦矩内形句股矩内形各二與己庚全形内諸形比各等獨丁戊形内餘一弦冪己庚形内餘一句冪一股冪并二較一亦等(一卷四七)即己庚方形之各邊皆弦和和句股義◆ 《渾蓋通憲圖說-明-》（KR3f0015）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
渾蓋通憲圖説 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案渾蓋通憲圖説二卷明李之藻撰之藻有頖宫禮樂疏己著錄是書出自西洋簡平儀法蓋渾天與蓋天皆立圓而簡平則繪渾天為平圓渾天為全形人目自外還視蓋天為半形人目自内還視簡平止于一面則以人目定於一處而直視之之所成也其法設人目自南極或北極以視黄道赤道及晝長晝短諸規憑視線所經之㸃歸界於一平圓之上次依各地北極出地以視法取天頂及地平之周亦歸界于前平圓之内次依赤道經緯度以視法取七曜恒星亦取歸于前平圓之内赤道為中圏赤道以外愈近目則圏愈大而徑愈長赤道以外愈逺目則圏愈小而徑愈短之藻取晝短規為最大圏乃自南極視之晝短規近目而圏大其意以為中華之地北極髙凡距北極百一十三度半以内者皆在其大圏内也卷首總論儀之形體上卷以下規晝度分時刻及制用之法後卷諸圖咸根柢於是梅文鼎嘗作訂補一卷其説曰渾蓋之器以蓋天之法代渾天之用其製見於元史札馬魯丁所用儀器中竊疑為周髀遺術流入西方然本書黄道分星之法尚缺其半故此器甚少蓋無從得其制也兹為完其所缺正其所誤可以依法成造云云又有璇璣尺解一卷皆足與此書相輔而行以己見文鼎書中兹不復贅焉乾隆四十六年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷上
欽定四庫全書渾葢通憲圖説卷上明 李之藻 撰渾象圖説天體渾圜運而不息古今制作渾儀最肖就中割圜截弧即是蓋天茲為徑尺之儀法取平懸不得不割截算之然不能離渾天度法故先論渾天之製設一平環名地平規周刻二十四向承以四柱立於四維下為十字渠以水平之規之子午際稍稍刻入以受子午之規子午規在地平規内徑廣稍殺側立之令半出地平規上半入地平規下分為三百六十度其南北鑽通二竅以受渾天南北極之軸此内又作二圜形徑相等而視子午規又稍殺一為冬夏至規一為春秋分規兩規十字相結於結處施鐡軸是為南北二極可旋轉於子午規之内此二規相合其形正圜又一規則横束於分至二規之半為赤道規去南北極各九十度所謂帶天之紘也俱分三百六十度而自赤道中循冬夏至規南北各二十三度半之齘再設二次圜為日行南陸北陸限又作一大圜徑同赤道為黄道規以斜絡赤道之上南北盡結於小圜之齘此圜勻分二十四氣最南曰冬至為景長候最北曰夏至為景短候東交赤道者為春分西交赤道者為秋分皆晝夜平候若勻分三百六十五度有奇則可細列宿度今且作三百六十鍥之其南北極離二十三度半處又各作一小圜而於圜齘當冬夏至規處對貫一軸為黄道軸最中作小圜為地形外加一圜貫軸旋轉為月輪規上施月㳺輪徑十二度輪心正綰規上亦可旋轉以系太隂轉之則為九道此外一圜稍大亦貫軸内為日輪規以系太陽形用此二圜可辯日月交食之理此皆渾天象也古四游六合諸儀大率類此而法有詳略今臺儀仍襲舊制有横簫瞡測而無日月地三形又北極出地鑄為定度而無子午提規以隨地度髙下元史所載西域諸儀亦有綴銅釘通方竅以代横簫或畫圜形周度而不具星宿者隨時消息皆可施用至論天體此為簡明故首著之此渾儀如塑像而通憲平儀則如繪像兼頫卬轉側而肖之者也塑則渾圜繪則平圜全圜則渾天割圜則蓋天夫渾天不可圖也今强圖之以識梗槩地居天中乃設平規於象外者以分地上地下界也側立者乃子午規北極之出地南極之入地各隨所在測定渾象納此規中以二極為圓樞一日一周渾天極圜今割去黄道短規以南一小〔？〕為平儀所不用者此内大〔？〕自午中冬至度逾北極際迄夜半冬至度共徑二百二十七度平儀截用為蓋天形而置北極於中央云赤道規界說天體無涯難以器測强從南北二極之中界判一線細道名曰赤道因設此規亦曰晝夜平規在天則太陽躔度際此天下晝夜均平在地則國當赤道之下者通年晝夜皆平也此規之設用以度天行一日一周之運用以定晝夜刻分之永短(刻分長短雖據黄道實以赤道為宗)用以齊黄道出入不齊之度用以限春秋分之晷景而又由此判天道之南北以起南北之緯算以紀天下之地員用之大者凡七黄道規界說七政所經行者命曰光道亦曰黄道黄道與赤道如兩環相疊然半出赤道北半出赤道南以三百六十度計之則南北所出經度各一百八十度而緯度之最逺者大約二十三度有半其經度每三十度為一宫十五度交一氣正北為天正冬至之始(月建在子半其宫磨羯之初)次稍東為小寒(月建丑初)大寒(丑中其宫寳瓶)立春(月建寅初)雨水(寅中其宫雙魚)驚蟄(月建夘初)而交於赤道為春分(夘中其宫白羊)稍轉而南為清明(建辰)穀雨(辰中其宫金牛)立夏(建巳)小滿(巳中宫入隂陽)芒種(建午)盡於夏至(月建)(午中宫入巨蟹)稍西為小暑(建未)大暑(未中宫入獅子)立秋(建申)處暑(申中宫入)(雙女)白露(建酉)又交赤道為秋分(月建酉中宫入天秤)次為寒露(建戌)霜降(戌中宫入天蝎)立冬(建亥)小雪(亥中宫入人馬)大雪(建子)而又值天正冬至更細鍥為三百六十五度四之一則二十八宿列焉凡月建與宮界常差十五度而中厯太陽所躔星紀等次又與西厯白羊等名常差數日(西厯所謂動的月不動的月天有九重則)(黄道亦有九重推法甚活)今只據西厯取其便於鍥度則以白羊戌宫為始所謂步戌成歳者也所以分黄道為十二宫者日月相逐㑹於黄道者歳十二次而一歳四時有十二變取數於十二其義最精半之則為六三之則為四四之則為三凡諸曜之行歳時之變總之不出於此凡天下寒暑榮瘁皆由黄道中國當赤道之北故太陽之行黄道也北陸而暖而萬物生南陸而寒而萬物死也而黄道一規有四用一以節七曜列宿逆天右轉之度(黄道内惟日行道中一線餘各别有一小輪因有疾遲退伏離地愈逺則其規)(愈覺小也)一以審日月交食大抵近黄道則食一以其出地多寡定天下晝夜長短一以分星宿之南北及紀其緯度凡論黄道宮分者固不止規上一線凡二極之内周天星宿皆以十二判之但在本宮界内皆以本宮立算(義同剖〔？〕中厯從北極剖之紀以二十八宿西厯則以磨羯之初去)(北極二十三度半處為黄道極而剖分焉)晝長晝短南極北極四規說此四規分天下寒暑氣候為五截日景亦五截赤道之下其地四時皆燠而春秋分為甚為適當日道之下也冬夏至稍減而其為燠則同為僅去日道二十三度半也其春秋分日中無景過春分則景在南過秋分則景在北長短二規之下其地每歳一極寒一極暑而正相反在長規者夏至暑冬至寒日有東南西三景而南景為常在短規者反是日有東北西三面景而北景為常過此二規則日不經天頂過矣惟赤道與長短二規相離適中之地冲和之氣鍾焉中國去赤道十九度至四十二度凡此自東徂西一帶正當其界毓靈孕秀遂多聖賢豪傑之儔此外過〔？〕過寒皆屬偏氣雖有人類蠢頑不靈漸近南北二極之規黄道之所不至晝夜永短偏勝之極此二規内則天地之氣極寒周圍皆有日景而以半年為晝半年為夜矣子午規說此規靈臺所無今增設於渾象之外而以渾象之極納之令其旋轉太陽從天上經此規為午中地下經此規為子中故名子午規設此規其用有五一以分半晝半夜刻數一以尋列曜極高過頂之度當此之謂中星一以此規計日凡毎日自子半起正當此規之下一檢夜半中星以定太陽正宿一此規分周天度亦可縁太陽以求赤道縁赤道以求北極而萬國全圖所列曲線皆係此規但取中分南北過頂一線為名隨地而異地平規說此規平分渾象之半凡北極日月列星在此上者可見在此下者不可見日在此上為晝在此下為夜而可以定北極赤道離地之度可以定星辰出入之分及何星常見不伏何星常伏不見可以定宿曜同出同入之度及先後出入度可以定太陽各曜所出地離赤道幾何緯度(假如夏至日離赤道二十三度半惟赤道之下其出地入地過午皆)(同若北京在四十度惟午時所離赤道如前至於出地入地却差於緯度也更北則漸差漸多)可以辯各曜出入方位可以算各曜漸升之度自一度上至九十度止(通憲専重此度)此規應設二規一當地中半處一當地面若太陽經星及木火土三星離地絶逺即以地中作平規算法亦無差若算太隂及金水二星離地不甚逺則當就地面起算方得確度耳此運規之器以銅鐡為之圓頂二髀可閤可開一居中一旋轉銳施精鋼離銳少許鑚孔劃綖以便用墨凡為圓必取中規乃為至圓為直必取中繩乃為至直方亷隅角莫不皆然差之毫釐繆以千里凡圓舒線成直中判成隅耦交則方參立則平萬形皆出於圓謂圓出於方者非也渾蓋舊論紛紜推步匪異爰有通憲範銅為質平測渾天截出下規遥逺之星所用固僅倚盖是為渾度蓋模通而為一面為俯視圓象背則璿璣玉衡中樞兼有南北二極系以瞡筩及定時衡尺其上弁以提紐用則懸之儀之陽有數層上為天盤其下皆為地盤各具三規中規為赤道(今名晝夜平規)内外二規為南至北至之限(内規為日)(行最北之道今名晝長規外規為日行南至之道今名晝短規詳具於後)而黄道絡於内外二規之間天盤渾是天體用黄道以紀太陽周天之度度分三百六十剖為十二宫二十四氣其度斜刻𦂳切地盤以便觀覽錯以經星星不具載載其最明鉅者各以鍼芒所指為凖地盤隨地更換各視所用地方北極出地之度為率其盤分地上地下二限最下一曲線為晨昏界(今名朦影規)稍升一曲線為出地入地之界(今名地平規)自此以上度數以漸平升直至天頂勻為九十度以觀太陽列宿漸升漸降所到其中央一直線則當子午之中其過頂一曲線結於赤道夘酉之交者則為正東西界(南午北子東夘西酉)其餘方向皆有曲線定之近北窄而近南寛蓋若置身天外斜望者然其晨昏界下諸曲分為五停又為夜漏之節云儀之隂中分十字界其衡界以分入地出地之限其最上近紐處為天中外規周分三百六十度自地上至天頂左右俱鐫九十度中央運以瞡筩筩立兩表各有大小二竅以受大陽列宿之影以觀其影離地而上得幾何度其三百六十度每三十度作一宫内次層則分三百六十五度四分度之一以具歳周全數備刻節氣列宿以與外盤相凖為用皆以瞡筩審定此為太陽行天實度也中央上截另為分時小軌下截方儀以勾股測逺近高深各有詳其圖說天體混淪不立度數則窺望曷據通憲之度全用渾儀而有地盤以平布於下分方隅第升度有天盤以平覆於上列黄道羅星宿而外盤則剗周天之度測三光之景總挈而左右瞡焉周天之象為度三百有六十凡以日揣天者度法三百六十而餘五度四分度之一今但用三百六十舉捷數也法於儀之中作一句線為夘酉線一股線為子午線外周規分為四停毎停九十度共三百六十度刻之外盤之隂而瞡筩則綰之樞中中分一線左右各殺其半兩端對立二表表有孔大小各二以望太陽列宿之度樞則旋轉盤上提衡定之如懸正儀儀外盤之陽亦分三百六十度毎度為六十分(外一層)而以三十度為一時中股線最上為午中最下為子中句線左為夘中右為酉中凡子午夘酉中之左右界各盡十五度共三十度為一時餘時以次序列(中一層)毎時分八刻共九十六刻(内一層)凡日法百刻刻法六十分凡毎時八刻零二十分初初刻一十分初一刻初二刻初三刻初四刻各六十分正初刻一十分正一刻正二刻正三刻正四刻俱六十分也今減去餘分但作八刻以便起算昔梁天監中作厯亦曾用此天體一而已人居地上東西異而日月星升沈之候異焉然寒暑發斂同其𤣥象未有移也南北異則晝夜長短刻分俱異矣北極赤道之高卑亦異矣故有晝短規有晝夜平規有晝長規而短規最大平規次之長規最小蓋平儀系極中央中央之極實該南北二極試設八尺渾儀於此人自南極之外以望北極晝短之規最近定覺最大晝夜平規次近則覺次大晝長之規最逺則亦覺其最小平儀立法取此而中國在赤道以北故置晝長規於赤道内晝短規於赤道外凡晝短規以内其星稠而在望近短規以外其星有不可望者矣夫是以畧也(說詳後篇)分規之法先以晝短規分周天度就子午線之中右行尋廿三度半為齘從此斜畫一線貫子午而右到酉中而止取其與午線遇處從樞心旋一圜是為晝夜平規即赤道規又於赤道規分周天度從午中右行數廿三度半斜畫一線到酉中取其遇午線之處為界從心畫一圜是為晝長規而三規具焉赤道當天地之中置晝長規於赤道内則凡赤道之内通謂之北而中樞則專為北極其外則通謂南方圖天文者中北極而以内外天官四布於外内北而外南平儀正同此理惟是配以地盤别以地度則其創耳凡太陽行赤道之内近北極則晝長行赤道之外逺北極則晝短總之以廿三度半為南北至(亦有變遷今不具悉)故平儀以廿三度半為長短規線之限自赤道至北極九十度北極居中不動地與極漸逺則斜倚而移故變地度以就極樞而平長短三規不易焉測晷之法先定天頂(舊名嵩高)自天頂周垂而下至於地平犂為九十度即列為二十四向無不為九十度也者以辯太陽諸星出地之度而筩以瞡之自地心平規為始累而上之毎一規為一度至天頂而九十度終焉天頂者二十四向之㑹至中極正其際不可以鍼芒爽總之不出子午一線然而隨人身所立以為移易其為術也屢遷所居之地若離亦道一度則天頂亦離赤道一度第赤道在天無形故但以北極出地定之凡北極移一度則天頂亦移一度人居赤道下以赤道為天頂人居北極下以北極為天頂居晝長晝短規之下亦各以其長短規線為天頂其餘地度各有推定之法總與地平之法相因先将赤道規分周天度(以後凡赤道規皆分周天度)乃於夘線北行起算依地方北極出高幾度幾分立齘於赤道之規而畫弦以貫盤心北左齘為北極南右齘為南極此名南北極軸又於午線之東亦尋北極度分為齘此齘正當二極之中赤道之位亦貫盤心畫弦謂之赤道軸自此赤道南軸斜望酉中經過午線再畫一弦取其交午線處即為所求天頂若自北極齘畫弦過酉中則交午者即地平際也原所以取赤道夘酉中為凖者蓋赤道紘天地之中夘酉又分赤道之中借夘酉以為地心因望地心以求天頂儀體雖平其用則圜而其經緯從衡之妙全在赤道一規平視之而分子午夘酉側視之而寄南北二極二極結子午之正寄二極於赤道者借赤道之規為子午規者也後凡地盤度皆自赤道為凖既得天頂則自天頂以對地心有一規總謂天頂規此規上下過天地之中東西交赤道夘酉之中辯方正位於是乎取其法自赤道規酉中起數地方赤道出地之度或自子中起數北極出地之度其法皆同但數一處刻齘自酉中按齘作弦長出求其交子中線處即是地下對頂中際從此上望天頂折半求中以是為樞旋而規之即成天頂之規此規既立地面以上方隅俱可按法而得又法自赤道酉中為樞作大半規以包晝短規於内而循樞畫一直線與子午並垂以為半規之限將半規分周天全度從夘酉横線中分為二停又中分為四停每停刻九十度而即借南北二停中之弦線為子午線以近横線中之百八十度為周天東半之度以最南北之百八十度為周天西半之度因借赤道酉正之樞以為南極而設直線以便分度縁赤道分度界線衡易從難故變通其法以求確當理則一也法自半規之中夘酉横線而上尋赤道出地之度望酉中虚畫一弦取其過午線處為天頂齘又自半規之下循直線左行亦數赤道出地之度望酉中虚畫一弦取其過子線處以為地下對頂之齘兩齘折中為樞旋規即得天頂不異前法但地心際其界甚逺恐盤小則不易及另有不必地際徑取中樞之法其法有二一法自赤道規酉線起左行尋赤道之數數外又加一倍刻之為界自酉線按此畫弦斜射子午其子線所得之齘即是頂規之樞一法即從半規求之即得半規上赤道出地之數乃於數上再加一倍上望酉中作弦其與子午交處亦得頂規之樞二法合而試之乃可無差凡日月星辰之可見者見其出地者也地平規以下無所庸測已地而上出濁入濁雖微有所蔽可度而按也人居赤道之下平望南北極以夘酉直線為地平居此極之下以赤道規為地平其餘各有求測之法自北極出地一度至八十九度餘各有定則北極出地淺則規最大漸出漸高則其規漸小至於北極為天頂赤道為地平則其規最小矣赤道而南反此互用凡求地平之法先自赤道規夘中起量北極出地幾度幾分至其度分齘之從所齘過子線對酉中作弦取其遇子線處以為最北地平之界此界之上為地上此界之下為地下凡剗度而望日星之晷望其在地平以上者也又將此北極之齘貫心作軸而自酉中望南極之齘斜弦以達午線取午線所交之齘為最南地平之界此界直出盤外大抵以北極出地之高下為逺近其南北兩界之半定為中樞旋器成規是為地平規凡地平規東西必與夘酉之之中相交此規可以分出地入地之度可以起地上平升之度可以求地下之朦影可以分地上為六分地下為六分詳具於後又法亦自酉中作樞旋大半規與子午線並行作直線以為規限将半規分周天全度又從横線中分為二又分為四如求天頂之法而以北極之度為據假如北極出地四十度即自直線之上右行尋四十度之際望酉中作一弦以過午線處為南方地平之際又自夘線以下右行尋四十度之際亦望酉中作一弦以過子線處為北方地平之際兩際折中旋規之即得地平曲線此南北弦際在赤道者與前從赤道數度飛線之法相同而更為凖確又有不必折半即得中心二法其一即以赤道所得之度再加一倍如出地四十度即尋八十度之類得此加倍之齘因自酉中透弦取其午線所當即為中心其一即於半規之上再加一倍尋其所到度數亦望酉中畫弦取其午線所當亦是中心二法合而試之即無差失其餘漸升度數亦可依此而求既有地平之規即攷漸升之度自地平上升躋於天頂九十度毎度一規或三度五度一規視器之大小為之凡求漸升度以前圖南北極軸線為齘去齘北不用自齘而南以半規勻分百八十度或兼二度則分作九十兼五度則分作三十六中定赤道軸線以求天頂次自北極左行第一度望酉中畫一弦又自南極右行第一度望酉中畫一弦二弦皆過盤中子午線而取子午線上所得之齘上下折半為樞旋規是為漸升第一規當出地之第一度餘自二度至九十度亦如之南疎北密以為常凡地上升一度則南北極外各漸進一度至天頂止又法即用前大半規假如北極出地四十度則就夘酉横線起右行尋四十度處為北極又自直線上際右行尋四十度處為南極南北各對酉中畫弦以取子午之交定地平規如前法而即自南北極度之中各離九十度處仍望酉中作天頂線而以天頂左右至南北極界百八十度為用假如欲尋地平以上第一規則尋南北極以内第一度而各對酉中作一弦以其經過子午線上者為南北之際因而規之如作地平規法是為第一規次自第二規以至八十九規而止莫不皆然凡百八十之度每二度共得一規若盤小欲取二度三度作一規則減度畫線其法仍前既有漸升之度又當知地上四方十二方或二十四向之所在而後星辰所到之位易知也且如子午二向則原有在盤直線可定其理易知欲尋夘酉正中雖有盤中横線但其線正倚北極地度遷移不當夘酉正中之向必當直剖天頂之中以天頂一規東西絡於赤道規夘酉之交方為正向故天頂規亦名夘酉規子午夘酉既明則諸凡方位皆可按規而定俱以天頂大規為主就此規心再横一線與子午線為十字形左右長出此線横截地中即借之為地平線凡分方各規之樞皆不離此次取大規從子午勻分八分或十二分廿四分三十六分各望天頂為樞用尺按其所分之齘畫弦斜出尋其到横線上者㸃記為心然後毎位皆依此心旋而規之毎規俱取過頂即為地上各方定位凡近夘酉者規樞較近惟近於子午者規心較逺云又法以天頂規最上一半分齘求心畫線未確别立簡易半規以當周天全度先從天頂横一線與夘酉横線平行以為半規之限次就天頂為樞望下旋半規如仰月形以半規分八方或十二宫或二十四向或三十六分而以尺按齘自頂畫弦仍以夘酉大規横線為際一一記其交處為樞而各望頂中旋規則亦與前法相同右以横線立樞旋規雖各規大小不同但上過天中則其下亦過地中若自地中為樞向上畫成半規如偃月形照前分其度位按齘畫弦記於大規横線法亦不異此見規法之妙晝夜之分地平規判矣若乃晝有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊古人以分刻制漏踐更作役用亦不細此以毎畫為五分毎夜為五分而節氣晝夜長短弗論焉刻之地盤與十二時之法相參其法不計赤道細度但以平規分晝夜齘限取晝長晝短晝夜平三規於地平界上下各自分為五停先要識三點同圜之法假如立定三㸃須要先知三點之心何在即可以一圜貫之先取甲點與乙點相擬用規各作半圓相切取其圓之兩交處直分一線長出又将乙㸃與丙㸃相擬用規各作半圓相切取其圓之兩交又分一線長出而以兩長出線相交之處為樞旋規則三㸃俱在一規之中凡晝夜五分之法以此為宗假如地平而下晝長規勻作五分晝短規作五分晝夜平規亦作五分欲知日入第一停之齘即尋地平規右下第一停檢之毎停各得三㸃以三㸃依前法求交又依交處求樞成規即三點聨為一線凡四線而五分之限成焉其欲定更點細度者當自晨昏線下扣除初更前二㸃及五更後二㸃勻作二十一點刻之亦照前法但地平以上有漸升方位諸線分度已多不便重複今分地平以下為圖大都可以互見七政列宿皆寄黄道黄道十二宫之旋轉於天也不論赤道逺近北極高低大抵出地六宮入地六宮蓋赤道出入於地其度分隨時互有多寡若黄道則斜絡赤道隨處皆上下相半故二十八宿常有十四宿在天可見其法既有赤道規又知地平曲線乃以赤道規勻分十二齘兩兩過心相對加以地平曲線之遇子午線處為一點成三點照前三點合圜之法畫成十二宮蓋毎宮皆以地平子午之交為心而以赤道上相對二點定之太陽出沒是分晝夜其輪之大於地也凡百餘倍光照極逺故将出之先既沒之後俱有朦朧之影焉在朝為晨在夜為昏古法定以二刻半為率不知朦影多寡固以候異亦以地異總之北極高下不同黄道輪旋日之入地又有斜直故朦影亦有長短凡朦影皆在出地前入地後十八度内今以平儀之度畫線界之居可知己其法自赤道夘中右行數本地北極出地之數又外加十八度為齘次於午中左行取本地赤道出地之數亦外加十八度為齘兩齘相望而自酉中望北齘畫弦取其與子線遇處以為朦景之北盡界自酉中望南齘亦畫一弦貫午中長出齘外如求地平南界之法取其交午線處以為盤外朦景之南盡界南北兩界折中為樞作規即得盤内朦景曲線右法邉際大逺又法就前北極出地之數望南極聨弦為軸又就前兩十八度加出之齘亦聨一弦為朦影軸而設赤道軸線(即南北極九十度之中)令之長出直與朦影軸線相遇作直角形乃取直角之中為用望酉中畫一長弦北過子線抵赤道規視其所指規齘從此用規左旋量至前赤道軸齘為率又自軸齘左旋再加一倍量至盡處鍥之按此復自酉中用尺畫弦斜出得其交於午線者便為朦景曲線之樞比前法近一半云又法即以地平曲線完成一規規心横一線作十字形規上分周天度乃從地平北際子中右旋取十八度為齘又於南際午中左旋取十八度為齘而上下相對虚一線以虚線與横線交處為凖而自酉中望此畫弦斜上得其交於午處即是朦朧曲線中心天盤黄道圖說第十二日月星行度皆順黄道右旋黄道斜交赤道南北出入其最逺者各廿三度三十分(厯取二十四度冇奇今節去五度四分度之一故只)(用二十三度半)為南北至故晝長晝短之規皆以為率此地盤法也天盤黄道即以地盤長短規為凖從晝短規之南到晝長規之北為二際折中為樞旋規此規必與赤道規及夘酉平線三合方凖是為黄道規其樞當就赤道數夘中以上四十七度望對靣酉中畫弦而取其過午線者以為規樞凡太陽行黄道歳與太隂十二㑹因分之為十二宮(厯法𤣥枵星紀等宫尚過節氣數日今即以節氣為交宫之限而仍以西法白羊諸)(像紀名非立異同蓋便界畫所謂不動的月也)每宮三十度毎十五度交一氣且以地盤十字線為限言之自平線以下夘中起初入白羊宮交春分又十五度交清明右行凡三十度而盡入金牛為穀雨立夏又三十度入隂陽宮則小滿芒種也又三十度而際子中入於巨蟹夏至以之其繼為小暑次乃入獅子為大暑至於立秋又次入雙女其躔處暑白露終三十度而又得平線以上則酉中天秤也秋分主之繼乃為寒露次乃天蝎霜降立冬其候也又次人馬是為小雪大雪而交於午中磨羯之初天正之冬至若小寒則實司之次入寶缾為大寒十五度而一歳終焉又閱十五度當立春正月之節故寳缾之半新舊之交也次則入雙魚兩水驚蟄而盡復抵於夘中白羊凡此十二宮者以地盤對之則巨蟹如子磨羯加午白羊乘東天秤衡西彼此換宫遥對蓋地上之子午夘酉静而有定天行之子午夘酉動而不居平儀之制理取倒影故以遥射立法至於春分之晨秋分之昏則午南子北夘東酉西各宫自歸其位此則於用法見之固與分宮之法異耳今厯家約分四大限定為常氣則二至雖同而春分在日行赤道後三日秋分在日行赤道前三日其餘各差一二度另有外盤歳周之法詳檢之云細分二十八宿則當刻於歳周規三百六十五度四分度之一之上然此處亦可畧見(大畧白羊初度交壁初其九度交奎廿六度交)(婁金牛初度交婁五其七交胃廿三交昴隂陽初度交昴七其四交畢廿一交觜交參巨蟹初際參井獅子初)(交井三十其一交鬼三交栁十六交星廿三交張雙女初度交張七其十一度交翼天秤初度交軫初其十七)(交角天蝎初度交亢初其十度交氐廿七度交房人馬初度交房三其三度交心九交尾廿七交箕磨羯初度)(交箕三其六交斗寳瓶初度交牛初其七交女十八交虚廿七交危雙魚初度交危三其十三交室也經星亦)(是逆天古轉西法以為六十六年行一度顧遲疾亦有不同此即歳差之論今所較姑以萬厯甲辰為率)凡黄道細分之度其疎密與赤道迥異赤道以盤心北極為心黄道則别有旋規之樞又有斜望之樞赤道度分勻排黄道則南北疎密有異且如只以赤道推求則當先論赤道一度與黄道所差幾何然後可以布列剗度另有算定成法具圖於後圖不細載第攷五度差率其餘可推依此算定分界貫盤心畫其宫度黄赤二道差率畧(三百六十度立算)又法不必對檢赤道但尋黄道斜轉之極在天黄道極原去北極廿三度半(入磨羯初分)其錯行赤道内外亦只去廿三度半故其法先從赤道一規酉中右上數至廿三度半為齘望對宮夘中黄赤之交過午作弦取其交午為用以為黄道之極如再増廿三度半即是前圖黄道規樞規中與極中只差廿三度半也既得此極因將赤道規勻分十二宫以分處一一貫於極心按尺斜出點記黄道規上於是乃以盤心為心望黄道所點記者而畫界焉或分十二宫或每宫分三十分皆照此法比前算不殊而術更簡又法亦尋黄道之極如前法次求黄道南極旋成大規法於天秤角(即黄赤相交右角)左行尋日離赤道盡處亦二十三度半為齘而用尺自交對齘望下斜畫長弦至與子線相交而止此為黄道南極在於盤外者自此望上盤内黄道北極折半為心儘兩極之界旋為大規此為黄道全體之規規中再横一線即地心線直長貫出規外次以此規分為十二宫齘仍自黄道北極為樞逐一對齘畫線旁引直貫刻記地心横線因以所刻為心旋規以分黄道諸宫假如欲求獅子宫界則於全規之下右行尋第一齘以尺按此上儘黄道之極旋成一規記於黄道之規此規南上一段即得獅子此下一段亦得寳缾餘法皆同欲分每宮三十度亦照此法若恐黄道全規近上一半齘線不易確凖則自黄道之北極旋半規作仰月形如前分位之法亦可已上三術各有所用第一術不必尋黄道之極但就赤道分度加算其法頗簡而算法不易第二術但以廿三度半求黄道斜望之極不必起赤道算然以直線分黄道止得適當黄道一線之度其出入南北圓體尚須别求第三術亦不起算第求黄道之北極又求其相對之南極而渾天圓體與黄赤二道之宫數在目中但以規大為難然欲求安星正位於用最切又法分黄道度者但勻分赤道作三百六十度以所分之度逐一南北相對作虚直線以識於夘酉横線之上而依前法以求黄道之極併其南極因取其大規之樞心以為用自此處上望横線所識齘用尺逐一作弦透畫於黄道之規凡一弦即可分上下二度在横線以上之百八十度則寬在横線以下之百八十度則窄合之共三百六十度得黄道度其赤道虚度不用又法且将黄道虚分三百六十勻度而借虚度以取實度上下相對貫黄道之極以取之欲分在南之百八十度則用在北虚分之度欲分在北之百八十度則用在南虚分之度皆以黄道極為總轄而一一過之視直線之所擬而為之齘以成南稀北宻之度假如欲分磨羯之第一度則将子線北右虚分之第一度望上用尺過黄極視其午線以西所得之度在於何處刻之欲尋巨蟹第一度則又将午線南右虚分之第一度貫黄極視子線以東所得之度刻之其餘倣此又法亦以三百六十勻分黄道且將黄道極畫一横線次於赤道尋廿三度半為齘畫長弦求黄道之南極如前法乃自南極為樞用尺一一擬上虚度作弦而以極上横線界之上下互取借虚度以刻實度如刻極横線以上百八十度則用線下所勻分者為用尺之界以成天秤至雙魚之度如刻極横線以下百八十度則用線上所勻分者為用尺之界以成白羊至雙女之度此自黄道南極以望其北極因而斜倚分之以見縱横曲折無不中度之妙以上三法俱只論適當黄道一線之度若稍南稍北另有地心横線旋規之法渾蓋通憲圖説卷上
## 卷下
欽定四庫全書渾蓋通憲圖說卷下明 李之藻 撰經星位置圖說第十三太陽當空列曜俱熄至夜而星可測也星莫燦於五緯然各有遲留伏匿不易取齊又金水去地最近猶太陰然不可以地面為較是故棄緯求經(地周九萬里半徑一萬四千三百一)(十八里九分里之二為地面人所測處月離地中心四十八萬二千五百二十二里有餘辰星離地中九十一)(萬八千七百五十里餘太白離地中二百四十萬○六百八十一里餘日離地中一千六百○五萬五千六百九十)(里餘熒惑離二千七百四十一萬二千一百里餘歲星離一萬二千六百七十六萬九千五百八十四里餘填星離)(二萬○五百七十七萬○五百六十四里餘經星離三萬二千二百七十六萬九千八百四十五里餘此外即係一)(日一周之天包絡轉運此天離地六萬四千七百三十三萬八千六百九十里有餘自太陽以上諸星離地絶逺且)(其體極鉅以之較地為甚微則地面地心總之不異故可以通憲測之若太隂金水二星去地不甚逺必須就地心)(測之法宜另算地形半徑)凡經星以四萬九千歳一周天(是為歳差)亦時有移動但其移也密百年之内所差未多故可以定儀取之其細古稱萬有一千五百二十可名者中外星官三百六十未易悉列然品其光耀約有數等(凡經星之體分為六等上等全徑大於地)(全徑一百零六倍乂六分之一次等大於地八十九倍又八分之一其三等大七十一倍又三分之一其四等大五)(十三倍又十二分之十一五等大三十五倍又八之一六等大一十七倍十之一 附載七曜形體填星全徑大)(於地全徑九十倍又八之一歲星大於地九十四倍半熒惑大半倍日徑大於地一百六十五倍八之三地大於太)(白三十六倍二十七之一地大於辰星二萬一千九百五十一地大於月三十八倍又三之一然則日大於月六千)(五百三十八倍又五之一也别有算法人目所睹近者雖小亦大逺者雖大亦小不可以井窺泥之)今畧舉大者一二以俟宵測其法有依黄道算者有依赤道算者總之先論各星所值宮度次察各星所離黄赤道度分幾何與其在於黄道或赤道之南北以至異體大小之等而各布其所當之位凡依黄道起算者以黄道分南北以黄道之極為樞(說見分黄道度)依赤道起算者以赤道分南北而以北極為樞具列於後用黄道經度赤道緯度立算黄道過宫 離赤道 體等(一)勾陳三星 白羊(一五度十 分) 北(八十五度五十一分) 三(二)閣道南二星 白羊(三度) 北(五十三度四十五分) 三(三)天綱星 白羊(四十一度三 分) 南(二十度分二十六) 三(四)奎宿大星 白羊(十十三度四 分) 北(三十四度一十三分) 三(五)天倉右三星 白羊(二十三分二 分) 南(十二九度三十 分) 三(六)大陵大星 金牛(十一度二十分) 北(三十九度三十二分) 二(七)天囷東一星 金牛(十十一度二 三分) 北(二八度十 分) 三(八)天船西三星 金牛(十四度五 分) 北(四十七度四十二分) 二(九)昴宿二星 金牛 北 俱五(十)畢宿大星 隂陽(三八度十 分) 北(十五度分五十五) 一(十一)五車右北 隂陽(十十一度二 一分) 北(四十四度五十六分) 一(十二)參右足星 隂陽(十三度分四十八) 南(九四度十 分) 一(十三)參左肩星 隂陽(二十二度三十七分) 北(六六度十 分) 一(十四)天狼星 巨蟹(五十三度三 分) 南(十五度分四十九) 一(十五)北河中星 巨蟹(十四度) 北(三十一度二十八分) 二(十六)南河東星 巨蟹(十六度分四十三) 北(六九) (度分) 一(十七)北河東星 巨蟹(十十六度四 九分) 北(二十八度四十三分) 二(十八)星宿大星 獅子(十三度十四分) 南(四十二度三 分) 二(十九)軒轅大星 獅子(二十二度十一 分) 北(十四度十九分) 一(二十)軒轅南三星 獅子(二十四度四十九分) 北(二十二度一十九分) 二(二十一)北斗天樞 雙女(五九度十 分) 北(六十二度三十六分) 二(二十二)太微西垣上相 雙女(九十度三 分) 北(二十二度五十一分) 二(二十三)太微帝座 雙女(十九度十六分) 北(十七度九 分) 一(二十四)北斗玊衡 天秤(七七度十 分) 北(五十八度七 分) 二(二十五)角宿南星 天秤(十五度十三分) 南(八六度十 分) 一(二十六)北斗開陽 天秤(十五度三十分) 北(五十七度二十四分) 二(二十七)北斗揺光 天秤(二十二度五十七分) 北(五十一度四十二分) 二(二十八)大角 天秤(二十九度二十一分) 北(二十一度四十五分) 一(二十九)招搖 天蝎(四) (度) 北(四十二度三十 分) 三(三十)氐右南星 天蝎(七十一度五 分) 南(十三度分二十九) 二(三十一)氐右北星 天蝎(十十四度二 八分) 南(七八度十 分) 二(三十二)貫索大星 天蝎(二十度十一分) 北(二十八度五十一分) 二(三十三)市垣梁 天蝎(二十九度) 南(一十八度五 分) 三(三十四)心宿中星 人馬(一十七度二 分) 南(二十四度三十六分) 二(三十五)市垣帝座 人馬(十一度分四十六) 北(十十五度二 七分) 三(三十六)天棓大星 人馬(十六度一 分) 北(五十二度一十一分) 三(三十七)市垣候星 人馬(十八度十 分) 北(十三度十一分) 二(三十八)織女大星 磨羯(三十一度五 分) 北(三十八度三十六分) 一(三十九)河鼔中星 磨羯(十八度分五十二) 北(七九度十 分) 二(四十)天津右北三 寳缾(三十五度五 分) 北(四十三度四十三分) 二(四十一)天鈎大星 寳缾(十四度十 分) 北(六十度四十分) 三(四十二)壘壁西星 寳缾(十五度八 分) 南(十八度分四十六) 三(四十三)危宿北星 寳缾(十七度分四十一) 北(七五) (度分) 三(四十四)羽林軍大星 雙魚(四五度十 分) 南(十八度) 三(四十五)室宿北星 雙魚(七十七度四 分) 北(二十五度三 分) 二(四十六)室宿南星 雙魚(八) (度) 北(十二度分四十一) 二右法用黄道經度先稽此星在何宮何度於黄規所當之度為齘對盤心作一虚弦為經度線已知此星只在此線之上矣次論星位在南在北(在赤道内為北外為南)凡星在北方者去極為近法自赤道午中順天左旋數至本星所離赤道之數為齘望黄赤相交酉中作一虚弦名緯度線而専取其與子午線交處為凖自此迴量取其至於盤心長短幾何以此轉置黄道經線用規自盤心起視其所當何地即是安星正位若星在南方者去極為逺則於午中逆天右轉數起至其離赤道度亦對酉中作弦取其子午交處量至盤心移歸經線此法經線則一而緯線有左右之殊逺者取度於右遇子午於赤道外近者取度於左遇子午於赤道内(此圖以角宿南星為例後圖同)用赤道經度北極緯度立算(依臺本宿度以二百六十度折算)赤道入宿 離北極 體等(一)勾陳三星 壁(一十九度五 分) (三) (度) 三(二)閣道南二星 壁(六三度十 分) (三十六度三十分) 三(三)天綱星 壁(七十六度四 分) (一百一度五十八分) 三(四)奎左北五星 奎(三十六度五 分) (六十三) (度分) 三(五)天倉右三星 奎(七十六度四 分) (一百一度五十八分) 三(六)天船西三星 胃(五十二度四 分) (四十一度五十二分) 二(七)大陵大星 胃(三十五度四 分) (五十三度四十六分) 二(八)昴宿二星 (胃十五度十分昴一度五分) 俱五(九)天囷東大星 胃(八七) (度分) (八十五度四十二分) 三(十)畢左大星 畢(一十八度五 分) (七十五度二十一分) 一(十一)五車右北 畢(八十三度五 分) (四十五度四十八分) 一(十二)參右足星 畢(十十二度四 八分) (九十八度三十分) 一(十三)參左肩星 參(五十度二 分) (八十二度四十四分) 一(十四)天狼星 井(八十二度二 分) (一百六度二十二分) 一(十五)北河中星 井(十六度分三十三) (五十八度 六) (分) 二(十六)北河東星 井(二十度十八分) (六十度五 分) 二(十七)南河東星 井(二十度十八分) (八十四度十 三分) 一(十八)星宿大星 星(初十八度二 分) (九十七度四十三分) 二(十九)軒轅大星 張(三八) (度分) (七十五度四十五分) 一(二十)軒轅南三星 張(三十七度二 分) (六十八度二十八分) 二(二十一)北斗天璇 張(十五度八 分) (三十一度十 分) 二(二十二)北斗天樞 張(十五八度二十 分) (二十五度三十六分) 二(二十三)北斗天璣 翼(十三度) (三十三度十 分) 二(二十四)北斗天權 翼(十三度二十分) (二十九度四十分) 三(二十五)太微帝座 翼(十三度分七十一度分三十六 五十四) 一(二十六)微西垣上相 翼(二十七度五 分) (六十六度三十分) 二(二十七)北斗玉衡 軫(十十一度二 分) (三十一度一 分) 二(二十八)角宿南星 角(初) (度) (九十八度三十分) 一(二十九)北斗開陽 角(一一度十 分) (三十二度一 分) 一(三十)北斗揺光 角(七十二度五 分) (三十七度二十六分) 二(三十一)大角 亢(一十六度四 分) (六十七度五十八分) 一(三十二)招揺 亢(六十六度三 分) (四十九度十五分) 三(三十二)氐宿右北 氐(初) (度) (一百三度五十五分) 二(三十四)氐宿右南 氐(四十六度五 分) (九十八度五十分) 二(三十五)貫索大星 氐(四十六度四 分) (五十六度九 分) 二(三十六)天市垣梁 房(四十六度五 分) (九十一度三十六分) 三(三十七)心宿中星 心(一十八度五 分) (一百十五度一十 五分) 二(三十八)天市垣候星 尾(二十九度四 分) (七十六度二十一分) 一(三十九)天市垣帝座 尾(七十二度五 分) (七十四度五十一分) 三(四十)天棓南二星 箕(三十六度五 分) (四十度分二十三) 三(四十一)河鼔中星 斗(十八度二十分) (八十三度四十四分) 二(四十二)織女大星 斗(二十度三十分) (五十一度四十三分) 一(四十三)天津右北三星 女(二十) (度分) (四十七度十七分) 二(四十四)天鉤大星 虚(二十二度二 分) (三十度五十分) 三(四十五)壘壁西星 虚(三五度十 分) (一百九度五十分) 三(四十六)危宿北星 危(初十八度二 分) (八十七度十 分) 三(四十七)室宿北星 室(初) (度) (六十五度三十分) 二(四十八)室宿南星 室(初) (度) (七十八度十 九分) 二(四十九)羽林大星 室(九十五度四 分) (一百六度五十二分) 三右法先定各宿之度以檢各星入宿所在自星度對盤心畫經線其緯度自盤心起算自一度至九十度皆在赤道規内視前法則為倒除其九十一度以外者皆出赤道之南用法同(此亦用角宿南星而以宿度代宮度)黄道經緯合度立算(此黄道樞入磨羯初度離北極廿三度半截算以萬厯甲)(辰夏至為凖) 過宫 離白羊 離黄道 體等(一)天鉤大星 白羊 (八八) (度分) 北(六十九度) 三(二)天倉右三星 白羊 (十十六度二 八分) 南(二十度三十分) 三(三)奎左北五星 白羊 (二十五度十 八分) 北(二十五度二十分) 三(四)婁宿中星 白羊 (二八) (八度 分) 北(七十度二 分) 三(五)閣道南二星 金牛 (三十二度十 八分) 北(四十六度四十五分) 三(六)天囷東大星 金牛 (三八) (九度 分) 南(十一度二十分) 三(七)大陵大星 金牛 (五十一度八 分) 北(三十三度) 二(八)昂宿二星 金牛 北(四度三十分五度) 俱五(九)天船西三星 金牛 (五十六度十一分) 北(三十度) 二(十)畢宿大星 隂陽 (六十四度八 分) 南(五十) (度分) 一(十一)參右足星 隂陽 (七十十度二 九分) 南(三十一度三十分) 一(十二)參左肩星 隂陽 (八十三度二十八分) 南(十七度) 一(十三)句陳三星 隂陽 (八十一度三十八分) 北(六十六度) 三(十四)五車西北 隂陽 (七十六度二十八分) 北(二十二度三十 分) 一(十五)天狼星 巨蟹 (九十九度八 分) 南(三十九度十 分) 一(十六)北河中星 巨蟹 (一百四度二十八分) 北(九十度三 分) 二(十七)北河東星 巨蟹 (一百七度五十八分) 北(六五度十 分) 二(十八)南河東星 巨蟹 (一百十度三十八分) 南(十六度十 分) 一(十九)北斗天樞 獅子 (一百三十二度八 分) 北(四十九度) 二(二十)星宿大星 獅子 (一百四十一度二十八分) 南(三十度三十分) 二(二十一)軒轅南三星 獅子 (一百四十二度三十八分) 北(八十度三 分) 二(二十二)軒轅大星 獅子 (一百四十三度五十八分) 北(○十) (度分) 一(二十三)北斗玉衡 雙女 (一百五十三度三十八分)北(五十三度三十分) 二(二十四)北斗開陽 雙女 (一百五十九度二十八分) 北(五十五度四十分) 二(二十五)北斗揺光 雙女 (一百七十一度十八 分) 北(五十四度) 二(二十六)微西垣上相 雙女 (一百五十五度三十八分) 北(十三度四十分) 二(二十七)太微帝座 雙女 (一百六十五度五十八分) 北(十一度五十分) 一(二十八)招揺 天秤 (一百九十一度八 分) 北(四十九度) 三(二十九)角宿南星 天秤 (一百九十八度八 分) 南(二) (度) 一(三十)大角 天秤 (一百九十八度二十八分) 北(三十一度三十分) 一(三十一)貫索大星 天蝎(二百十六度八 分) 北(四十四度三十分) 二(三十二)氐宿右南 天蝎 (二百十九度二十八 分) 北(○十度四 分) 二(三) (二)氐宿右北 天蝎 (二百二十三度三十八分) 北(八十度三 分) 二(三十四)市垣梁 天蝎 (二百三十七度二十八分) 北(十六度三十分) 三(三十五)星宿中星 人馬 (二百四十四度八 分) 南(四) (度) 二(三十六)市垣帝座 人馬 (二百四十九度八 分) 北(三十七度三十分) 三(三十七)市垣候星 人馬 (二百五十六度十 八分) 北(三十六度) 二(三十八)尾宿 人馬 (二百五十八度五十八分) 南(十三度二十分) 三(三十九)天棓南二星 人馬(二百六十一度三十八分) 北(七十五度三十分) 三(四十)織女大星 磨羯(二百七十八度四十八分) 北(六十二度) 一(四十一)河鼔中星 磨羯(二百九十五度十 八分) 北(二十) (九度 分) 二(四十二)危宿北星 寳缾(三百二十六度四十八分) 北(二十一度三 十分) 三(四十三)北落師門 寳缾(三百二十八度二十八分) 南(三十三度) 一(四十四)天津右北三星 寳缾 (三百三十度三十八分) 北(六十度) 二(四十五)羽林大星 雙魚 (三百三十三度八 分) 南(七十度三 分) 三(四十六)室宿南星 雙魚 (三百四十八度八 分) 北(十九度四十八) 二(四十七)室宿北星 雙魚 (三百五十三度三十八分) 北(三十一度) 二(四十八)天綱 雙魚 (三百五十七度八 分) 南(二十度二十分) 三右法先稽此星離白羊幾度又離黄道幾度在南在北而立黄道分天曲線依前分宮法尋黄道極次於酉中左行尋廿三度半作弦取遇子線止為對極之心折半求樞旋大規横畫地心長線如前法乃以大規分周天度而自黄極午中左旋數四十七度齘用尺按對斜望地心横線畫記以此為心旋規到黄極際作一曲線即為黄道分天線此線交於赤道處右去午中左去子中各得二十三度半覈定為凖自此線之内為北此線之外為南於是乃察星離白羊經度幾何儀法以夘中為白羊(即初交白羊之際)從此循黄道右行尋其定在幾度依前黄極大規度法於地心横線取樞上際黄道極旋而規之即得本星經度然未知緯度何在則稽此星所離黄道緯度幾何就以分天曲線限其内外假如星在北方黄道之内却於赤道規分天線外南北並向外數至本星緯度為齘望酉中各作斜弦此二弦又皆取其子午交處以之為齘上下相對折半求中以規按此中為極儘界為限運規移置本處經度曲線之上即其經緯相值正位若星在南方却於赤道規分天線以内數其離黄緯度餘法相同假如欲置畢宿大星已知此星之去白羊六十四度八分即從白羊右行尋其躔度要從此望黄道之極作一曲線以成經度之規即於黄道大規横線尋一樞心法於黄道極頂與本星度齘上各作半規相向取其兩交畫線直望黄道大規横線上求之即得經線之樞又知此星在黄道南五度十分即於赤道分天線内兩頭各數緯度望酉作弦以取交於子午之處折中運規移置原有經度(凡度數自白羊起者逆行至子中為九十度酉中為百八十度餘倣此)又法兼用黄赤二道另立平行規起式尤為簡便借天秤為心(初交天秤即酉位中)側望儀度以布星位作大半規分周天度如前法而稍贏其西南縮其東北法就赤道規子午線二中際各數二十三度半(南數則左旋北數則右轉)各為齘望天秤畫長弦此二弦名黄道斜絡線南北皆當黄道規之盡際次自白羊南行亦數二十三度半再對天秤畫弦以分前二弦之中而透過黄道之樞名北極直線其左右各勻作九十度共百八十度得半規之半凡星在黄道以内者此百八十度主之又將斜絡線外兩際各勻九十度亦共百八十度當半規之半凡星在黄道以外者此百八十度主之乃於外作一長界線貫天秤心為半規弦此弦直下適當天秤以下二十三度半之度與前北下南極之心相凖亦以驗分度之齊否又於黄道旋規之樞横一線名黄道截心線(白羊上尋四十七度望天秤虚一線)(㸔午線所得為樞)以待求度直線而一一量之為尋樞旋規張本其說詳後(此法斜絡兩線與前圖黃道分天曲線同齘)次查星離黄道内外幾度假如角宿南星離黄道南二度當於前圖斜絡線之西上下皆循西數各二度望天秤為虚弦取其過子午處兩刻其界而折半求心以規之但折半求心未能無錯則取其虚弦之過黄道規處上下相連再虚一直線與子午線竝行而取其經於黄道截心線者(從横相交小十字線)自天秤對此作弦透出子午之線以所經子午線處為樞然後儘前子午所刻兩界為際而旋為一規此法無誤是名黄道平行之規本星緯度只在此規之上若星在黄道之北者就前斜絡線之東上下皆循東數到其緯度亦望天秤分界取樞作規如前法次乃求其經度則作赤道平行之規其法取赤道規度起算而以子午線東西分列其數如星在黄道之南則取午線東為數如星在黄道之北則取午線西為數假如此星離黄道以南二度則於赤道規午中右旋望白羊數二度之齘而對天秤畫弦以過午線處為旋規之際乃就盤心為樞成小圜於赤道内是為赤道平行之規或星在黄道之北者於赤道午中望天秤左旋數去如前法大都星在黄道南則規在赤道之内而小星在黄道北則規在赤道之外而大此其槩也次察此星離白羊若干假如角宿南星原離白羊百九十八度八分即於平行赤規分其躔度而從白羊右轉數及所當度分乃自黄道之極直畫一線貫出遇前黄道平行規而止是為此星經度其赤道平行規度難於一一細分自有原立赤道規度可以對較此安星法其午線南出務令贏而有餘(星在南則赤規反小星在北則赤規反大原所重在黄道之極故互換其規引極度以就)(規度)又法已有黄道平行規即不立赤道平行規但以黄道平規分周天度而取其對宮對度貫黄道之極而畫弦求之假如角宿南星在天秤之十八度却尋白羊十八度齘從此畫弦以貫黄道之極直至對宮規上相值之處即是星位蓋勻分不合黄道惟從對宮貫極上疎下密其度自合(此與前分黄道宮與黄極者同)與前赤道平規所得無異而法更捷云(凡分勻度法不能毎規細量但設一平版或銅或堅木為式細畫周天度四分之一)(如扇面然用時以規移置其上量取即得)凡位置星辰必須兼前數術以相叅騐始可無爽若盤小星密只擇簡要大星用之如左(婁宿中星星大陵大星星畢宿大星軒參左肩星五車北右 天狼星 宿中星 轅大星)(太微帝座織女大星) (角宿南星北落師門) (大角右二星心宿大星天津 室宿北星)右凡安星之法皆取鍼鋩為星以對度分縁星體遥逺微茫不能别為他法故剉銅為鍼根巨末銳繫之天盤稍取屈曲以防損壊歳周對度圖說第十四凡平儀皆列三百六十度以從捷要若乃一歳之周實三百六十五日三時則每日太陽之行實不能及一度若槩以毎日一度求之其失不細今於儀之背周天度内另立一規以合歳周以對節氣中氣其法先定奥日奥日者從天頂中線入巨蟹九度為齘望盤心作一線用規自度齘至盤心折半求中又自中至盤心折半凡為折半者五其第五次之心則自盤心至度齘三十二分之一也即以此處為旋規之樞上儘九度齘旋大規分三百六十五度四之一為歳周規較周天規稍偏以歳規自天頂中勻分十二得中氣又勻分二十四得節氣而各畫其界蓋厯家以南至北至分二至復折二至相距之中以定春秋分故太陽已過赤道三日半而為春分太陽未交赤道三日半而為秋分先後共差七日必以規筩先攷内輪歳周之度視其所當外輪天度在於某齘然後准此以視天盤黄道方與天合也其二十八宿細度亦隨歳周鍥之自冬至起交箕四度(以甲辰躔為率)右行至春分交壁三度夏至交參九度秋分交翼十七度凡二十八宿定度箕九度半斗二十三度半(其三度太入丑宮)牛七度女十一度(其二)(度入子宮)虚九度危十六度(十二度太入亥宫)室十八度少壁九度少奎十七度太(一度太入戌宫)婁十二度少胃十五度太(三度太入)(酉宫)昴十一度畢十六度半(七度入申)觜五分參一十度少井三十一度(八度少入未宫)鬼二度栁十三度(四度入午)星六度少張十七度太(十五度少入巳)翼二十度軫十八度太(十度入辰)角十二度太亢九度半氐十六度半(一度少入夘)房五度半心六度少尾十八度(三度入寅)此皆約其大畧不能細具分秒(大約過三)(之二為太三之一為少二之一為半)而臺厯過宮之度亦可槩見(儀載白羊等宮)(率取便於鍥度蓋西國厯法不動的月從戌推起所謂步戍成歳若中厯太陽過宮見前註)六時晷影圖說第十五晝夜長短刻數前法備矣又有不論長短但以自晨至昏勻為六時者古法有之按軌顧影亦可知一日之中已過幾許起學人寸隂之惜也刻之平儀之背隙處旁借周天度以測日景中取地平横線上半規為用於半規之中為樞上際規線下際盤心横線作一小規此為午線規(當第六停之界)次以平線上之大半規勻分十二停各刻其界以為規際而俱過盤心以旋之其各規之樞依三㸃聯圜之法取諸天頂直線之中大約皆在午線南上以為規樞也東第一規為第一分界其次規為二界以漸計之其用先審本日是何節氣午中日高幾度幾分取其最高之景為用以瞡筩中線置於旁鐫分天度而審其正當内規所在以墨點記尺上(此㸃有二三日可用)因以所點測太陽景視其所到高低以占時候勾股弦度圖說第十六天地之道盡於方圜圜以規天方以條地刻方度於圜度之内而用瞡筩四游以凖之九數以歸之以御逺近高深之數有燦然者矣法取儀背地平線下半規為半方形兩角對樞心各作一斜線曰弦以為勾股相交之限在下者曰勾在側者曰股以望高若深為大股率取儀小股凖之以望逺若近為大句率取儀小句凖之皆據瞡筩以定其度凡二股二弦一句其句勻分二十四度其兩股各勻分十二度而毎度之中又各勻為十二度其兩股各匀分十二度而每度之中又各勻為十二分每停共一百四十四分如不能細分則刻作三分或五分七分舉其大畧亦可但毎畫皆宗樞極凡有所測以筩對影而審察其度云其法另具定時尺分度圖說第十七取儀面半衡為用當中分一直線首設横線如十字以十字為樞就平衍器上用規量度先倣儀度作赤道半規自平線至頂際左右各列九十度而從夘上一度起望酉中作弦就午線一一刻之如取長短規法至一百十三度半而㑹於短規之際稍引長焉仍去其分中之半以便檢對十字心鑽竅與瞡筩共入一樞此尺度用定時刻若以審太陽列星出入赤道幾何此亦切用或不能逐度細分則二度一齘亦可用例圖說第十八凡盤隂外輪度專藉瞡筩為用其瞡筩全用立表二竅仰對日景以測日高幾度幾分及星高幾度幾分先以二大竅睹其畧次以一細竅審其微凡晝觀太陽者先以瞡筩定其度分高卑因檢是日太陽在某節氣之幾日以歳周對度圖定之置其躔於黄道度上因以黄道躔配合地盤所當漸升之度次以定時尺加黄道齘直指外輪時刻不惟可知時刻抑且知其細度云凡審知太陽毎日所在宮度即知太陽對衝宮度若未審太陽宿所在確度而欲以通憲檢正之者一面另下漏箭至子正四刻以筩求星對地盤度而視午中線得對衝視子中線得本躔度凡以瞡筩測太陽午影而未知其為已過午未過午者用參伍法初測之在某度再測之在某度若初下再高則未過午也初高再下是已過午也未過午置日度於盤左已過午置日度於盤右凡夜觀近南星宿未知其在東在西亦如前以筩連瞡二次漸高者在東方漸卑者在西方凡欲知太陽列宿高低幾何不論何日何時但以黄道星宿盤按時旋轉就地盤漸升度求之雖未測景可以盡算凡欲求太陽出地最高之度於正午時驗之用參伍法取本日最高影為據但定一歳則他歳同節候及同離節候第幾日者其太陽皆同凡欲徧攷毎節毎日午景最高幾度即審其日黄道所躔何在而以躔加於午線後就漸升度算之頃刻可以周知一歳即以定時尺檢之亦同此在已知地度之後又法即以本地所離赤道之度與後所列太陽出入赤道緯度二數相參若春分後太陽北行即加所得緯度於地度外秋分後太陽南行即減所得緯度於地度内太陽離赤道緯度圖右圖以節氣配過宫聊便檢閱其白羊天秤之初為太陽正交赤道之候今厯註晝夜五十刻之日是也乃是春秋正中獨有此日立表於地自朝至暮表顛日景如矢直指夘酉之正天下皆同製有晷影可驗厯法但定二至日因折衷以取二分共作四大限所以春分在太陽未交赤道前三日秋分在太陽已交赤道後三日今但依歳周對度圖攷之自凖凡天隂測日其景不能通竅但以瞡筩二大竅仰窺雲内微景亦可畧知凡稽時於夜者以星為凖以瞡筩二竅仰望所求之星在何度分務求確當以星檢盤按度加於漸升度上仍查本日太陽所躔黄道度處而以定時尺所指視其某時某刻此法惟太陽及經星可用若太隂去地甚近則當算地中為凖難以地面測之辰星太白亦然又五星各有遲留退逆故雖熒惑歳填去地絶逺亦不繁及凡晝夜不拘長短可以勻作十二分而以太陽所到測定但因地盤漸升度密難以細載且將地平規下勻分但以太陽對衝法推之自可互見盤隂又有小規若天盤黄道正儀以之用星亦可凡欲知各節候晝夜長短須考日出日入時刻以黄道先定日躔加於地平線界而以定時尺視其刻分循此上至午中得幾何刻為半晝數倍之得全晝數其外輪時刻毎三十度得一時每三度四十五分得一刻右圖且以四刻為一時以便推算毎時共六十分毎刻得一十五分而以一分為六十秒一秒為六十忽自上視之則以度化時化分自下視之則以度之分化時之分若秒以度之秒化時之秒若忽也凡計日百刻者毎刻作六十分毎時有八刻又零二十分作二小刻今節去餘分以便鐫記故毎日止九十六刻通算另有乘除之法(以瞡筩所測得時刻或逐節所查得度與中法一百相乘為實)(而以九十六為法除之即得若有零分零秒者化之)凡欲查天下晝夜長短細數以北極出地多寡為候先檢前圖日離赤道逺近緯度乃與本地方下所列黄赤差率相凖(如後圖)視其所差若干度依前化度為時即得其地晝夜長短之數蓋北極多寡既異則黄道斜轉其度自各不同極之出地少則所差度少晝夜刻差亦少若北極漸高則黄道所差視赤道之下漸多故北方冬至晝短夜長比於南方迥異夏至亦然周髀曰北極之下其人朝種暮穫蓋以春秋分之際判朝暮一晝夜當期之日若地當赤道之下則通年晝夜平分以渾儀視之可知非誕說也黄道緯與赤道經差率(第一行七曜所躔黄道緯也以後皆北極出地度下所註)(度乃赤道三百六十内外増減之數此北極度已盡中國幅員逺國不暇具載)右圖以黄道所離赤道之緯而對北極度下所註以算天下各節氣之晝夜長短應有餘為長率不足為短率依此可得半晝之數加一倍為全晝數就九十六刻内減晝刻分數可得夜刻分數以減夜數亦得晝數此圖不能細具零分其緯度有零分者視前格與後格中差幾何而以零分併全度所化乘之以度法六十歸之若求百刻法則另用乘除如前凡盤中未定朦線而欲以時尺定之者取平線以上十八度為凖假如欲知晨段朦景幾刻則將本日所躔加於西地平日未沒前十八度齘而以定時尺審其相去日沒幾刻其對衝度即是晨度刻數求昏度者倣此如已定朦線者則以日躔置朦線上與日出日入之時相較而其刻數多寡可知大約北極愈高則朦朧影亦愈久而一日之内晨昏可以互見一歳之内日躔緯度相同者亦可以互見凡勻分一晝為十二度而測定之者有盤背小度名分曜晷以本日太陽午影最高度㸃識瞡筩隨日高低望之法具前圖如欲分為五分而審其已過幾分則以黄道置地盤日所到度而以對宫度詳之看在分更線上第幾畫即是日間已過幾分之數如大暑日則視大寒度是也凡昏旦中星晝夜刻數不齊朦影又不齊殊難確當此儀却有四要可攷一天中一地中乃子午之正向一出地一入地定東西之升沉以日以星定其時時正而某星當中某星初出某星初入暸然也因而推日躔某宿某度亦瞭然也但以節氣為限則毎歳皆同至過百年後列宿推移未免稍差則天盤度當推改耳凡查太陽離赤道内外幾度以日躔加午線上而視其地盤赤道之瞡相離度分若干列宿同法或以定時尺度加上日星之躔亦得其數日躔每日有差星位終年不動百餘年或差一度半度亦以去極逺近為率推改如前例云凡察北極高卑晝取太陽夜取列宿皆可審定於正午時瞡望太陽出地高幾何度而查是日節氣所躔原在某度因以前日離赤道緯度為算如日行赤道内則用減日行赤道外則用加如前法假如大寒後十四日離赤道外十六度五十七分日影高三十三度三分以日影加赤道數得五十度便知赤道高五十度其北極去赤道九十度除去五十度即知北極出地四十度(若厯紀晝)(夜各五十刻之日午景所得正在赤道之上最為易算)又法以筩測影専算正午日離天頂幾度假如大寒後十四日驗得日離天頂五十六度五十七分是日太陽行赤道南十六度五十七分除十六度五十七分仍剰四十度則知赤道出地五十度北極出地四十度(大約於九)(十度内除赤道度即得北極度若除北極度即得赤道度)凡以星察北極出地幾度者隨取一大星為凖以筩測其曾到午位正中否若未知地位之正亦如觀太陽法參伍驗之如已知地正者俟其既到午位再㸔離地幾度因查此星原去北極幾度去赤道南北幾度而乘除算之假如畢宿大星原在赤道北十六度今測之離地六十六度二十分内除十六度尚有五十度二十分便知本地赤道出地五十度二十分於九十度内除去五十度二十分即是北極出地三十九度四十分須知地方北極高低度分乃可安頓地盤凡南北相懸者驗以北極至於東西異地則當以月蝕驗之先知一處地方月食定在何時何刻為食初候或食甚復圓之候至於他處蝕時按憲觀其初蝕及蝕甚復圓在於何時何刻與前所定時刻相去幾度或以合朔推算其法亦同俱可測其地差大約毎四刻應差十五度假如時差八刻則晷影應差三十度是地方相距亦三十度也再以北極高低參算斜直定其里數自北至南毎北極差一度即地差二百五十里其自東至西者赤道之下亦如之漸南漸北其度漸窄則其里數亦減有立成算法(右法以地凖之則每度徑得二百五二里毎分徑得四里零六分里之一凡積十四秒零 十四忽為一)(里積二一分二十四秒為十里積里十四分為百里積四度為 千里積四十度為一萬 此皆以弦直道論)(云)凡視地盤度不知為何地合用之度者自地平線數至盤心可以知北極出地之數自天頂數至赤道可以知地方去赤道之數凡察太陽同出同入之星先定太陽躔度置地平線而視其同在線上者是何星宿即係當日同出同入之星若欲求某星以何日與太陽同出同入則以星置地平線檢黄道躔即得欲求同過午中者亦如之而以午線為法凡欲豫定各星當以何時出地何時入地或何時到某位何時過午中俱以星盤輪轉而審其太陽所躔以時尺按之以外輪對之一一可見凡經星隨日東出或西入欲知何日離日可以晨見者以其星置東地平規上而視其日出以前朦影是值黄道何度即得此星東方晨見之期若視西朦影下黄道所值即知此時此星西方昏見之期或查某星何日入地不見或近太陽不見者則置西平地規亦檢太陽其法正與前反凡審辯方位者以子午線定南北以過頂曲線之交於赤道者定東西其餘八方或十二辰或二十四向或六十四卦位或三百六十度皆以地盤定之茲且設二十四線毎線該十五度自地平達天頂凡太陽及諸星見在某位或豫定某時當在某位及從何位下出地何位下入地按圖皆如指掌故已知方隅正位雖不用升度亦可若未知方隅正位即以通憲定之亦自精當不拘何時以筩瞡得日高度即運黄道躔加於地盤升度視其見在何方及何細度乃以背仰頓平處移瞡筩之中線嚮之復以目仰望日影令其上下相對既定一向則其餘東西南北皆據儀背外輪之度一切審定夜用列星亦同此法凡星辰隠見多寡皆視北極高卑古稱近北極三十六度星辰常見不隱近南極三十六度星辰常隠不見殊未必然茲以盤心為極樞以列宿盤旋轉觀之凡不離地平線上者皆為常見之星其餘隨時各有出入則南北顯見多寡遲疾皆可推測凡查五更時候瞡定星度安置升度以尺就太陽視所躔見在朦影之下幾線若在初一線内為初更其餘依次凡初學未識星宿者但認取一星見在之度餘星以瞡筩測望而凖之以在垣度分參之以地盤宮位亦可推廣假如到晚朦影盡時向高曠可望處所置本日所躔於朦線上即視何星方出何星将入或在正東或在正西正南北者一一認取何向次將憲背仰頓平處先定南北之位次以瞡筩旋轉與星相望則可知地平以上之星若欲辯認稍高之星則查其星在於何方及離地幾度然後對度向方亦可檢取如京師夏至二日安本日度於朦線上則見危宿北星自正東夘中出室南星出地離正東以北一十八度天船大星出地離正北以東十一度壁北星將出離東北艮方稍東一十四度軒轅大星將沒離正西稍北十三度依前法以憲背觀之自當了了又查河鼓大星在東地平上十一規有半即是高三十四度半位在正東稍南十二度則置瞡筩於三十四度上向東測求餘星倣此凡厯家每日以七曜之一為本日所直宿蓋取天體層數定之晝夜勻作二十四分如第一分屬太陽則第二為金三為水四為月五為土六為木七為火周而復始則其第八第十五第二十二皆屬太陽至二十四屬水而一日終焉次日之第一乃當屬月厯取首分之曜為一日之直因以月繼日而以日月火水木金土作每日之序云其所云二十四分者不論晝夜長短但勻日出後十二分日入後十二分亦非一時截作兩時今以地盤勻分二十四分相對推之可見其序此外别有推論祲祥及人誕生所值智愚夀殀諸法此不悉載句股測望圖說第十九凡句股以御逺近高深但有影可射者用瞡筩竅視其影如無影可射者以目力對望之凡所望皆如筩竅所指為據凡筩在句股之交者句與股等知句即知股知股即知句其不適在句股之間者别有算法凡以矩法御勾股者先須熟識變互之法變法者變句度為股度變股度為句度也各以方儀細度為凖方儀每隅皆分細度共作一百四十四數立此為積而以筩中綖所值之度分焉即得變度假如筩在股三度今欲化為句度即以一百四十四為實以三數為法歸之是得四十八為句度數假如筩在勾五度零三分度之二今欲化為股度即以一百四十四為實而以五度三分度之二為法歸之是得二十五度零十七分度之七為股度數也因句法平行股法直上直上之度逾上逾寛不可以平度等假如股之一度乃句之一百四十四度故必須立算互換始窮真數矩法之妙全在於此有餘分者悉以全度化為零分其細度百四十四者亦從化法凡以筩望高者以所望為大股以我足下至彼股下為大句而以儀之小句股知之㕘伍於儀度以凖之 若筩之齘在小句則大股之長過於大句也已知大句是幾何歩即以儀度乘之(即十二度)以小句所得度分之而其大股之高可知焉假如望之而筩齘在小句八度(無餘分)其大句長三十步則以儀度十二乘大句三十(得三百六十步)而以小句之八數分之(得四十五)是知大股之高四十五步也若齘在小股則大股不及大句也已知大句是幾何步却以小股所得度乘之而以儀度分之(即十二度)假如齘在小股七度而大句長六十步以小股之七乘大句六十(共四百二十步)而以表度之十二分之(得三十五)是知大股高三十五步 大抵所求在大股者筩在句則用以分而乘數在儀筩在股則用以乘而分數在儀 然須以自目至足之數加大股上 如先知大股而欲求大句之數者其乘分之法反用如已知塔高若干而欲覆知其塔影所底之類筩在句則用以乘而分用儀度筩在股則用以分而乘用儀度一互換之凡以筩望高而筩齘所值有餘分者取其總度悉化為餘分以乘之亦化為餘分以歸之假如筩齘在小股七度零五分度之一是有餘分也即毎度皆化為五分是為三十六分此望股值股與大股為乘法其大句長六十步以所值小股數(三十六分)乘大股六十數(共二千一百六十)而以儀度為分法亦毎度皆化五分(共六十分)以歸之(得三十六)是知大股高三十六步也如筩齘在小句者亦倣前例化用之皆加自目至足數若以筩望高既不知大股之數亦不知大句之數須以重差測之先以筩遙望審其齘在於某度又或前或却若干步(要取逕直)審其齘在於某度其兩次筩上所測凡差幾度為筩差在人足所立為表差各以儀度(十二)乘表差而以筩差為法分之然有正算有變算凡望大股之數而筩在句度用正法若望大股之數而筩在股度者用變法 假如初測筩齘在句一度次測齘在句十一度此望股得句也用正法其筩差十度用為分法其表差二十五步用以與儀度(十二)相乘是為正算而取其乘之所得(計三百)以筩差歸之(得三十)加以自足至目之數或加一步併入大股為高三十一步 假如初測筩齘在股九度次測齘在股四度此望股得股也用變法變股為句變九度為一十六度變四度為三十六度(九分一百四十四得)(十六四四分一百四十 得三十六)其法如前兩筩齘差二十度用為分法其表差五十步與儀度(十二)相乘而取其乘之所得(計六)(百)以筩差歸(得三十數)加自目至足一步為三十一步高其已知大股幾何高而欲覆知其大句之數為幾何逺是為以高量逺即以前法互換為乘分云附録一法以鏡量高置一鏡於平地對所量處却立取其最高倒影入鏡中心先定自目至足為小股幾何尺自鏡心至所求之足為大句幾何尺兩數相乘而以吾足至鏡心為小句之數以分之其分得之數即其所望之數或以水㿻代鏡亦同又法立表求高先對望立一長表次依直線退行若干步直立一短表(或不用短表即以已身自目至足數代之尤便)以目自短表際(或即吾目處)望長表際及所望最高之際三際相齊以所望為大股而取前表較後表高差幾何為小股又自後表至所望最高之址幾何尺為大句以小股與大句相乘而以前後表相距之尺寸為法分之加短表顛至地之數即知大股之高如不能知其大句之數則立四表而互徵之先立一表退立一短表(或即以已目代之)望短表際與長表際及所望最高之際相齊乃量長短表相距幾何為前數又或前或郤但取直線再立長表(移前表用之亦可)亦退後立短表自短表際望長表際及最高際皆齊又量長短表相距幾何為後數乃較前後數相差幾何為表句差次以長表較短表多幾何為表股差次察前短表距後短表地幾何為大句差以大句差與表股差相乘而分之以表句差焉算定加短表之數即得大股數凡以筩測深者以所望之深為大股以水徑為大句以儀中度為小句數而參伍於儀度以凖之先以筩竅自此對射水際審值何度如在句度則以儀度乘水徑數而以小句所值度分之假如以筩量井深幾何其小句值三度上其井水徑十二尺即以十二乘儀度(亦十二一共乘得)(百四十四)以小句三數歸之(得四十八尺)是知井深四十八尺也如在股度則以小股度與井水徑相乘却以儀度分焉凡以筩望逺者務取身立處與所望處相平或望極逺則立於高臺大山以望之亦須先知臺址山址到吾目幾何丈尺方可布算而以所望之逺為大句以吾目至足或臺址山址之與彼相凖處為大股以儀為小句股而測之凡筩在句度者是大句不及大股也以小句所值度乘大股而以儀度(十二)分之其分之所得為大句數若筩在股度者是大句逺於大股也以儀度(十二)乘大股而以小股所值度分之亦如前附録一法立表求逺者遥望立一長表(或以已身自目至足代之)取直進幾步立一短表自長表際望短表際及所取最逺之際相齊乃以長表較短表多幾何為表股差率次量二表相距幾何為表句差率長表高幾何為大股率以表句與大股相乘而以表股差分之即得大句逺數又有望極逺平立四表者不論表之長短但取四隅立算其法尤精先對所望立一表為前表次退若干步立一表為後表作直弦相望次於前表或左或右相去幾何立一表為前輔表(前後表與所望處如弦直射則此表與前表須)(取方横列不可稍徧於前後也謂之直角形與前後表如曲矩)又於後表左右立一表為後輔表自後輔望前輔及所望之逺處亦如直弦(後輔亦與後表横對不可稍差蓋前後二表與後輔亦如曲矩是也)其自後表至後輔比於前表至前輔尺寸必多乃較其所多之數為大句差以前表至後表數為小股差以前輔表至前表為小句差而以小股乘小句以大句差分之即得逺數又法立表用矩者(即木匠曲尺)立一表置矩心於表顛其矩専視曲轉兩際以稍昻一際直射所望之逺處須自矩角對矩昻際及逺處如直弦然次乃迴望稍低一際視其射於何處亦自矩角對低際及地上如直弦然而畫記之其畫處至表址甚近也乃以矩角至表址數自乗而以表址至畫記之數分之即得所望逺數又法欲知江河之濶若干就水旁立一表加一短尺或竹木之枝但以一物為標斜射彼岸水際望定表端所射即将其表旋向平地視其所射之際量之即得河水濶數如不用表則以身代之及取一器映目為率迴身取數更便渾盖通憲圗說卷下◆ 《圜容較義-明-》（KR3f0016）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
圜容較義 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案圜容較義一卷明李之藻撰亦利瑪竇之所授也前有萬厯甲寅之藻自序稱凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜至多渾圜之體難名而平面之形易析試取同周一形以相叅考等邊之形必距於不等邊形多邊之形必距於少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分杪不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圓惟多邊等邊故圜容最鉅昔從邢公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設角形以徴渾體云云盖形有全體視為一面從其一面例其全體故曰借平面以測立圜面必有界界為線為邊兩線相支必有角析圜形則各為角合角形則共成圜故曰設角以徴渾體其書雖明圜容之義而各面各體比例之義胥於是見且次第相生於周髀圓出於方方出於矩之義亦多足發明焉乾隆四十六年十二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 序
圜容較義序
自造物主以大圜天包小圜地而萬形萬象錯落其中親上親下肖呈圜體大則日躔月離軌度所以循環細則雨㸃雪花潤澤旉於涓滴人文則有旋中規而坐抱鼓況顱骨目瞳耳竅之渾成物宜則有穀孕實而核含仁暨鳶翔魚泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩發苞藏團欒于焉保合俯視漚浮水面仰觀暈合天心摶風滃乎蘋端湛露擎于荷葢砂傾活永任分合以成顆鮫泣明珠撒柈杆而競走無情者飛蓬轉石斡運總屬天機有情若鼄網蟲窠經營自憑意匠若乃靈心濬發尤多規運成能壁水明堂居中而宣政敎六花八陣周衞而運正奇樂部在懸簫鼓共圜鐘迭奏軺車欲駕輪轅貫樞軸其旋戲塲有蹴鞠彈棊雅事對莆團蓮漏忽然一啑成如珠如霧之談奇謾説恒沙滿三千大千之國土至於火炎鋭上試逺矚而一㸃圓光水積紆迴指寥天而兩縫規合葢天籟地籟人籟聲聲觸竅皆圜如象官象事象物粒粒浮空有爛所以龜疇蓍䇿用九之妙無窮羲畫文重圍圜之圖不改草𤣥翁之三數安樂窩之一丸先天後天此物此志云爾凡厥有形惟圜為大有形所受惟圜最多夫渾圜之體難明而平面之形易晰試取同周一形以相參考等邊之形必鉅於不等邊形多邊之形必鉅於少邊之形最多邊者圜也最等邊者亦圜也析之則分秒不億是知多邊聨之則圭角全無是知等邊不多邊等邊則必不成圜惟多邊等邊故圜容最鉅若論立圜渾成一面則夫至圜何有周邊周邊尚莫能窺容積奚復可量所以造物主之化成天地也令全覆全載則不得不從其圜而萬物之賦形天地也其成大成小亦莫不鑄形于圜即細物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何復疑乎第儒者不究其所以然而異學顧恣誕於必不然則有設兩小兒之争以為車葢近而盤盂逺滄涼逺而探湯近者不知二曜附麗於乾元將旦午之近逺疇異氣行周繞于地域其厚薄以斜直殊觀初𤾉暎氣故暉散影巨而炎旭應㣲亭午籠虚則障薄光澄而曝射當烈又有造四大洲之誑以為日月遶須彌為晝夜地形較縱廣於由旬者試問須彌何物凌日與月而虧天且縱廣奚稽乃狹與彎之變相積由旬至億千萬則地徑有度金輪豈厚載所容統忉利謂三十三則象緯正圜諸天之棊絫可怪且夫極辨者方圜之體若白黒一二之難欺最精者方圜之度當㣲渺毫茫之必析沖虚撰模稜而侮聖釋氏騁荒忽以誣民彼曽不識圜形惡足與窺乾象夫寰穹邈矣豈排空馭氣可以縱觀乃道理躍如若指掌按圖無難坐得昔從利公研窮天體因論圜容拈出一義次為五界十八題借平面以推立圜設角形以徵渾體探原循委辨解九連之環舉一該三光映萬川之月測圜者測此者也割圜者割此者也無當于厯厯稽度數之容無當於律律窮絫黍之容存是論也庸謂迂乎譯旬日而成編名曰圜容較義殺青殺竟被命守澶時戊申十一月也柱史畢公梓之京邸近反人汪孟樸氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒廣略異聞實亦闡著實理其於表裏祘術推演㡬何合而觀之抑亦解匡詩之頤者也圜容較義序
## 圜容較義
欽定四庫全書圜容較義明 李之藻 撰萬形有全體目視惟一面即面可以推全體也面從界顯界從線結總曰邊線邊線之最少者為三邊形多者四邊五邊乃至千萬億邊不可數盡也三邊形等度者其容積固大於三邊形不等度者四邊以上亦然而四邊形容積恒大於三邊形多邊形容積恒大於少邊形恒以周線相等者驗之邊之多者莫如渾圜之體渾圜者多邊等邊試以周天度剖之則三百六十邉等也又剖度為分則二萬一千六百邊等也乃至秒忽毫釐不可勝算凡形愈多邊則愈大故造物者天也象天者圜也圜故無不容無不容所以為天試論其槩凡兩形外周等則多邊形容積恒大於少邊形容積假如有甲乙丙三角形其邊最少就底線乙丙兩平分於丁作甲丁線其甲乙甲丙兩腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等則甲丁線為乙丙之垂線(幾何原本一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊與丁丙平行戊丙與甲丁平行視前形增一角者(一卷四又三十六)既甲丁丙甲丁乙兩形等而甲丙戊與甲丁乙亦等(一卷三十四)則甲丁丙戊方形與甲乙丙三角形自相等矣以周論之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邊皆與乙丁相等甲丙邊為弦其線稍長試引丙戊至已引丁甲至庚皆與甲丙甲丁線等而作庚丁己丙形與甲乙丙三角形同周則贏一甲庚己戊形故知四邊形與三邊形等周者四邊形容積必大于三邊形凡同周四直角形其等邊者所容大於不等邊者假有直角形等邊者每邊六共二十四其中積三十六另有直角形不等邊者兩邊數十兩邊數二其周亦二十四與前形等周而其邊不等故中積只二十又設直角形其兩邊各九其兩邊各三亦與前形同周而中積二十七又設一形兩邊各八兩邊各四亦與前同周而中積三十二或設以兩邊為七以兩邊為五亦與前同周而中積三十五是知邊度漸相等則容積固漸多也試作直角長方形令中積三十六同前形之積然周得三十與前周二十四者逈異令以此周作四邊等形則中積必大於前形凡同周四角形其等邊等角者所容大於不等邊等角者設甲乙丙丁不等角形從丙丁各作垂線又設引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三十五)與不等角形同底原相等(一卷十九又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙線則贏於己丁戊丙線是甲乙丙丁之周大於戊丙己丁之周試引丁己至辛與乙丁等引丙戊至庚與甲丙等而作庚丙辛丁形則多一庚戊辛己形因顯四等角形大於不等角形以上四則見方形大於長形而多邊形更大於少邊形則圜形更大於多邊形此其大略若詳論之則另立五界說及諸形十八論於左第一界等周形 謂兩形之周大小等第二界有法形 謂不拘三邊四邊及多邊但邊邊相等角角相等即為有法其欹邪不就規矩者為無法形第三界求各形心 但從心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即係圜與形同心第四界求形面 謂周線内所容人目所見乃形之一面第五界求形體 如立方立圜三乘四乘諸形乃形之全體第一題凡諸三角形從底線中分作垂線與頂齊高以中分線及高線作矩内直角方形必與三角形所容等解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂線至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角題言直角與三角形等先論曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁線次從甲作戊己線與乙丙平行又作己丙戊乙二線成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形(一卷四十一)故甲乙丙三角形與甲丁丙己形等(一卷三十六)次論曰作甲丁垂線而第二圖丁非甲乙之平分第三圖甲在方形之外皆從甲作戊己線引長之與乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂線視甲丁為平行亦相等(一卷三十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己長方形分三角形底線半故(一卷三十六)第二題凡有法六角等形自中心到其一邊之半徑線作直角形線其半徑線及以形之半周線舒作直線為矩内直角長方形亦與有法形所容等解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直角線為庚辛另作壬癸線與庚辛等作癸子與甲乙丙丁線等即半周線也題言壬癸子丑直角形與甲乙丙丁戊己形之所容等論曰自庚到各角皆作直線皆分作三角形皆相等(一卷八)其甲乙庚三角形與甲辛辛庚二線所作矩内直角形等(以甲辛分甲乙之半故本篇一題)若以甲乙丙丁半形之周線為癸子線以與壬癸線共作矩内直角形即與有法全形等葢此半邊三箇三角形照甲乙庚形作分中垂線其矩線内直角形俱倍本三角形故第三題凡有法直線形與直角三邉形並設直角形傍二線一長一短其短線與有法形半徑線等其長線與有法形周線等則有法形與三邉形正等解曰甲乙丙有法形其心丁從丁望甲乙作垂線又有丁戊己直角形其邊丁戊與法形丁戊有等其戊己線又與甲乙丙之周線等題言丁戊己三角之體與甲乙丙全形等論曰試作丁戊己庚直角形兩平分于壬辛作直線與丁戊平行則丁戊辛壬直角形與甲乙丙形相等(本篇二題)何者戊辛線得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即與有法形全體等故也其丁戊己三角形與丁戊壬辛直角形等則丁戊巳三角形與甲乙丙全形亦等第四題凡圜取半徑線及半周線作矩内直角形其體等解曰有甲乙丙圜其半徑為丁乙又有丁乙戊巳直角形兩丁乙等之半圜線與戊乙等題言甲乙丙所容與丁乙戊巳直角形所容等論曰試以乙戊引長到庚令庚戊與乙戊等則乙庚與圜周全等次從丁望庚作直線既丁乙庚三角形之地與全圜地相等(在圜書一題)而丁乙戊巳又與丁乙庚三角形等(本篇四又一卷)(四十註)則丁乙戊巳自與全圜體等第五題凡直角三邊形任將一銳角于對邊作一直線分之其對邊線之全與近直角之分之比例大於全銳角與所分内銳角之比例解曰有甲乙丙直角三邊形丙為直角從甲銳角望所對丙乙邊任作甲丁線題言丙乙線與丙丁線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例論曰甲丁線大於甲丙而小於甲乙(一卷十九)若以甲為心以丁為界作半規必分甲己線于乙之内而透甲戊線于丙之外其甲乙丁三角形與甲己丁三角形之比例大於甲丁丙三角形與甲丁戊之比例何者一為甲乙丁大形與甲己丁小形比一為甲丁丙小形與甲丁戊大形比也則更之乙甲丁形與丁甲丙形之比例大於己甲丁形與丁甲戊形之比例(五卷二十七)合之則乙甲丙形與丁甲丙形即是乙丁線與丁丙線之比例(形之比例與底線之比例相等在六卷)固大於甲己戊形與甲丁戊形之比例其甲己戊圜分與甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角與丁甲戊角之比例(六卷三十三系)則乙丙線與丁丙線之比例大於乙甲丙角與丁甲丙角之比例也第六題凡直線有法形數端但周相等者多邊形必大於少邊形解曰設直線有法形二為甲乙丙為丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邊多于丁戊己(不拘四邊六邊雖十邊與十一二邊皆同)(此論)題言甲乙丙之體大于丁戊己之體論曰試於兩形外各作一圜而從心望一邊作庚壬作辛癸兩垂線平分乙丙于壬分戊己于癸(三卷三)其甲乙丙形多邊者與丁戊己形少邊者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧則乙丙邊固小于戊己邊而乙壬半線亦小于戊癸半邊矣兹截癸子與壬乙等而作辛子線又作辛戊辛己及庚丙庚乙諸線次第論之其己丁戊圜内各切線等即勻分各邊俱等而全形邊所倍于戊己一邊數與全圜切分所倍于戊己切分地亦等則甲乙丙内形全邊所倍于乙丙一邊與其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分與戊丁己全圜之切分若戊辛己角之與全形四直角(六卷三十三題之系)則以平理推之移戊己邊于甲乙丙全邊亦若戊辛己角之於四直角也而甲乙丙内形周與乙丙一邊猶甲乙丙諸切圜與乙丙界之一切圜亦猶四直角之與庚乙丙角也(六卷三十三之二系)則又以平理推戊己與乙丙即戊癸與乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角與乙庚丙角亦若戊辛癸之與乙庚壬也(五卷十五)夫戊癸與癸子之比例原大於戊辛癸角與子辛癸角之比例(本篇五)則戊辛癸與乙庚壬之比例大于癸辛戊與癸辛子之比例(五卷十三)而癸辛子角大于壬庚乙角(五卷十)其辛癸子與庚壬乙皆係直角而辛子癸角明小于庚乙壬角(一卷三十二)令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角則其線必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬與乙兩角等于丑癸子三角形之癸子兩角而乙壬邊亦等于子癸邊則丑癸線亦等于庚壬線而庚壬實贏于辛癸(一卷二十六)令取庚壬線及甲乙丙半周線作矩内直角形必大於辛癸線及丁戊己半周線所作矩内直角形也(本篇二)然則多邉直線形之所容豈不大于等周少邊直線形之所容乎第七題有三角形其邉不等于一邊之上另作兩邊等三角形與先形等周解曰有甲乙丙三角形其甲乙大於丙乙兩邊不等欲於甲丙上另作三角形與甲乙丙周等兩邊又等其法作丁戊線與甲乙乙丙合線等兩平分於己甲乙乙丙兩邊併既大于甲丙邊(一卷十)則丁己己戊兩邊併亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣(一卷三十)(二)以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自相等而甲丙同邊則二形之周等而甲庚丙與甲乙丙為兩邊等之三角形(此庚㸃必在甲乙線外若在甲乙邉)(上過辛則辛丙線小于辛乙乙丙合線即不得同周)第八題有三角形二等周等底其一兩邊等其一兩邊不等其等邊所容必多於不等邉所容解曰有甲乙丙形其甲乙邊大於乙丙令於甲丙上更作甲丁丙三角形與甲乙丙等周(本篇上)而丁甲丁丙兩腰等亦與甲乙乙丙合線等題言甲丁丙角形大於甲乙丙論曰試引甲丁至戊令丁戊與丁甲等亦與丁丙等又作丁乙乙戊線夫甲乙乙戊合線既大於甲戊即大於甲丁丁丙合線亦大於甲乙乙丙合線此兩率者令減一甲乙則乙戊大於乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙兩邊與丁丙乙三角形之丁丙丁乙兩邊等其乙戊底大於乙丙底則戊丁乙角大於丙丁乙角而戊丁乙角踰戊丁丙角之半(一卷三十二)令别作戊丁己角與丁甲丙角等則丁己線在丁乙之上而與甲丙平行(一卷廿八)又令引長丁己與甲乙相遇而作己丙線聨之其甲丁丙甲己丙既在兩平行之内又同底是三角形相等也(六卷)(一)因顯甲己丙大於甲乙丙而甲丁丙兩邊等三角形必大於等周之甲乙丙矣(問戊丁乙角何以踰戊丁丙角之半曰丁甲丙與丁丙甲)(兩角等而戊丁丙為其外角凡外角必兼兩内角故也)第九題相似直角三邊形併對直角之兩弦線為一直線以作直角方形又以兩相當之直線四併二直線各作直角方形其容等解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊兩角為直角而甲與丁丙與己角各相等甲丙與丁己相當甲乙與丁戊相當題言併甲丙丁己為一直線於上作直角方形與併甲乙丁戊作直線及併乙丙戊己作直線各於其上作直角方形兩併等論曰引長丁戊至庚令戊庚與甲乙同度次從庚作線與戊己平行又引丁己長之令相遇于辛從己作己壬線與戊庚平行(一卷二十九)則巳壬辛之角形與丁戊巳相似而丁戊巳與甲乙丙相似矣(一卷三十二)何者巳壬辛角與庚角等庚角與丁戊巳角等己角又與乙角等而辛角與丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角與甲角亦等(一卷)(三十四)又巳壬邊與戊庚相等則亦與甲乙相等而壬辛與乙丙巳辛與甲丙俱相等(一卷二十六)故丁辛線兼丁巳甲丙之度丁庚線兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也(一卷三十)(四)然則丁辛上直角方形與丁庚及庚辛上兩直角方形併自相等矣第十題有三角形二其底不等而腰等求於兩底上另作相似三角形二而等周其兩腰各自相等解曰甲乙丙丁不等兩底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰與巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大於丙丁者則戊角大於己角(一卷二十五)而兩三角形不相似求於兩底上各作三角形相似而兩腰各相等其周亦等法曰作庚辛線與甲戊戊乙丙己己丁四線等而分之于壬令庚壬與壬辛之比例若甲乙與丙丁(六卷十)甲乙既大于丙丁則庚壬亦大於壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛於子庚壬與壬辛既若甲乙與丙丁則合之而庚辛之視壬辛若甲乙丙丁併之視丙丁矣(五卷一)夫庚辛併既大于甲乙丙丁併(兩邊)(必大于一邊在一卷二十)則壬辛大于丙丁而庚壬大於甲乙也(五卷十四)甲乙庚癸癸壬三線每二線必大於一線而丙丁壬子子辛亦然令於甲乙上用庚癸癸壬線作甲丑乙三角形為兩腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊)(甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度過之故)於丙丁上用壬子子辛線作丙寅丁三角形亦兩腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚壬)(之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二)論曰併甲戊戊乙丙己己丁四線之度既與併甲丑丑乙丙己己丁四線之度相等則甲丑乙丙寅丁兩形自與甲戊乙丙己丁兩形同周而其兩腰亦自相同至於兩形相似何也甲乙與丙丁若庚壬與壬辛而減半之庚壬與壬子(五卷十五)又若丑甲與寅丙丑乙與寅丁也則更之而甲乙與甲丑若丙丁與丙寅而甲丑與丑乙若丙寅與寅丁是兩形為同邊之比例自相似(六卷五)第十一題有大小兩底令作相似平腰三角形相併其所容必大于不相似之兩三角形相併其底同其周同又四腰俱同而不相似形併必小於相似形併解曰甲丙丙戊兩底上設有甲乙丙及丙丁戊兩三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四線俱等令於兩底上依前題别作甲己丙及丙庚戊兩形相似而與前兩三角形相併者等周題言甲己丙丙庚戊併大於甲乙丙丙丁戊併論曰將甲丙丙戊作一直線而甲丙底大於丙戊底乃從已過乙作己壬線兩分甲丙于壬又從丁過庚作丁辛線兩分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙兩邊與乙己丙三角形之己丙己乙兩邊等而甲乙乙丙兩底又等則甲己乙角與丙己乙角亦等(一卷八)又甲巳壬三角形之甲巳巳壬兩邊與丙巳壬三角形之丙巳巳壬兩邊等則甲巳壬角與丙巳壬角等而甲壬壬丙之兩底亦等(一卷四)壬之左右皆直角因顯丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸與丁辛同度而從癸過丙作癸丑直線則丁丙辛三角形之丁辛辛丙兩邊與辛癸丙三角形之辛癸辛丙兩邊等而辛之上下角亦等為直角丁丙丙癸兩底等而丁丙辛角與癸丙辛角俱等(一卷四)丁丙辛角既大於庚丙辛角而庚丙辛角相似與巳丙壬角即相等(一卷五)而丁丙辛即癸丙辛總大於巳丙壬其癸丙辛角等於對角之丑丙壬(一卷)(十五)是丑丙壬亦大於巳丙壬而引癸丑線當在于丙巳之外也若夫癸丙丙乙二線涵癸丙乙角向壬試作癸乙線以分壬丙于子而併乙丙丙癸二線必大於癸乙線(一卷二十)則巳丙丙庚併亦大於乙癸線何也此四形者兩兩相併為等周則甲乙乙丙丙丁丁戊四線併與甲巳巳丙丙庚庚戊四線併原相等而減半之乙丙丙丁即乙丙丙癸與巳丙丙庚亦相等故也併巳丙丙庚二線為一直線就其上作直角方形必大于乙癸線上之直角方形夫己丙丙庚併之直角方形與己壬庚辛併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併相等(九題)而癸乙上之直角方形與乙壬併辛丁(即辛癸)上直角方形及壬子子辛上直角方形併又自相等(九題)(從子上分兩對角其角等而壬與辛俱為直角相似之形令移置辛癸與乙壬之下移置壬辛為癸垂線則乙)(壬辛癸為股壬辛為句乙癸為弦矣)此己壬庚辛線併之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形併明大于乙壬丁辛併之直角方形及壬子子辛上之直角方形併也此兩率者每減一壬辛上直角方形則巳壬庚辛共線上之直角方形大于乙壬丁辛共線上直角方形矣而己壬庚辛兩線併大於乙壬丁辛兩線併矣此兩率者令一減乙壬一減庚辛則己乙豈不大于丁庚乎壬丙原大於丙辛(以甲)(丙原大于丙戊故)則己乙與壬丙矩内直角形大于丁庚與辛丙矩内直角形而乙己丙三角形為己乙壬丙矩内直角形之半何者令從壬丙作垂線與乙己平行而以乙己為底就作直角形此謂己乙壬丙矩内直角形其中積倍于己乙丙三角形反之則己乙丙角形為己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也則己乙丙三角形大於丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形為丙乙己三角之倍者亦大於丙庚戊丙形為丁庚丙三角之倍者矣此兩率者又每加甲乙丙與丙庚戊之三角形則甲己丙及丙庚戊之兩三角形併豈不大于甲乙丙及丙丁戊之兩三角形併哉第十二題同周形其邊數相等而等角等邊者大於不等角等邊者先解曰有甲乙丙丁戊己多邊形與他形同周同角者較必邊邊相等乃為最大之形論曰若謂不然先設甲乙乙丙不等邊如第一圖又作甲丙線于上作等邊三角為甲庚丙形與甲乙丙等周(本篇七)則甲庚丙丁戊己形亦與甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大於甲乙丙三角形(本篇八)令每加丙丁戊己角形則甲庚丙丁戊己形亦大於甲乙丙丁戊己形故知不等邊者不為最大其他如丙丁邊之類或不等者亦如此推次解曰又設甲乙丙丁戊己等邊形與他形同周同邊者較必角角相等乃為最大之形論曰依上論各邊俱等則甲乙丙丙丁戊為等邊三角形(邊角俱等)而甲乙乙丙與丙丁丁戊相等若謂不然而乙角可大于丁角則甲丙線必大于丙戊線(一卷二十四)試於甲丙丙戊兩底上别作三角形為甲庚丙為丙辛戊如第十題相似形令與甲乙丙丙丁戊併者等周則甲庚丙併丙辛戊者大於甲乙丙併丙丁戊(本篇十一)而每加丙戊己角形則甲庚丙辛戊己必大於甲乙丙丁戊己也何得以等周等邊而不等角者為最大乎第十三題凡同周形惟圜形者大於衆直線形有法者解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邊有法形其周等題言甲乙丙大於丁戊己論曰庚為甲乙丙之心辛為丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邊形與丁戊己相似(四卷十六註)而從壬癸切圜于甲者作半徑線于庚則庚甲為壬癸垂線而分壬癸之半(三卷十八)又從辛作子丑垂線則辛丁亦分子丑之半(三卷三設于兩多邊形外作切形圜而以壬癸子丑)(為切圜線向心作垂線則垂線必分切線之中央故説在四卷十二)兩形相似其壬全角與子全角等則半之而甲壬庚角與丁子辛角亦等壬甲庚直角與子丁辛直角亦等(一卷三十二)然乙壬癸丙之周大於圜周而圜周與丁戊己形相同則是乙壬癸丙周原大於丁戊己周矣夫兩形相似而壬癸邊大于子丑邊則半之而壬甲亦大于子丁又壬甲與甲庚若子丁與丁辛之比例(六卷四)而壬甲大於子丁則甲庚亦大於丁辛(五卷十四)是故取甲庚線與半圜周線以作矩内直角形其與圜地等也大於取丁辛線與丁戊己半周線以作矩内直角形其與形地等也(本篇四)系曰推此見圜形大於各等周直線形(第五題証有法形同周者多邉為大又十二題証等周及邊數)(之等者有法為大又本題証等周之有法形惟圜為大則圜為凡形等周者之最大)第十四題銳觚全形所容與銳頂至邊垂線及三分底之一矩内直角立形等解曰有觚形不拘幾面如甲乙丙丁戊底其頂己又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子與觚等髙題言此寅庚形與觚形所容等論曰從立形底諸角與相對一角如子角者皆作線以成庚辛壬癸子觚形此形與寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三(十二卷六註言兩觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦)(等底倍亦倍)寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三(以同㡳同髙故在十)(二卷七系)則寅庚全方與己甲觚等第十五題平面不拘幾邊其全體可容渾圜切形者設直角立形其底得本形三之一其髙得圜半徑即相等(可容渾圜〔？〕形者必)(圜形與諸面相切若長廣不切諸面者不在此論)解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外線甲乙切圜于戊(十一卷三題)試從戊壬割圜之半作戊己庚辛圜(圜形書一卷一題)從壬心望各切圜之㸃作壬戊為甲乙垂線(三卷十八)壬己為乙丙垂線壬庚為丙丁垂線壬辛為甲丁垂線别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁體三之一而其髙辰子與圜半徑等題言此直角立方形與甲乙丙丁全體等論曰從壬心與甲乙丙丁各角作直線即分其體為數觚形其面即為觚底而皆以壬心為觚銳頂此各觚皆以其三分底之一及至銳髙之數為直角立方形皆與觚所容等(本篇十四)又併為一形即與甲乙丙丁體等亦與午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙合圜半徑也第十六題圜半徑及圜面三之一作直角立方形以較圜之所容等解曰有甲乙丙渾圜其心為丁又有直角立形之戊在甲丁徑及甲乙丁渾圜三之一矩内題言戊形所容與甲乙丙渾圜等論曰若言不等謂戊大於渾圜形其較有己者合以丁為心外作庚辛壬渾圜大於甲乙丙而勿令大於戊第令或等或小以驗之而於庚辛壬内試作有法形勿切甲乙丙圜(十二卷十七)自丁心至形邊各作垂線則垂線必長于甲丁又自丁心至形各角作直線以分此形為幾觚其庚辛壬法形諸直線為觚底而垂線至丁心為觚銳頂試取各觚底三之一及丁垂線之髙以作直角立形與觚等(本篇十四)則併為大直角立形亦與庚辛壬内之法形等(本篇十五)如云以甲丁為髙而以各觚底三之一為直角立形併為大形則必小於前形因顯庚辛壬三之一大於甲乙丙三之一而戊形甲丁徑及甲乙丙圜三之一内小於庚辛壬體而謂庚辛壬不大於戊形則向庚辛壬之内形尚大於戊形也又論曰戊形小於甲乙丙渾圜體者其較為己試從丁心再作癸子丑圜小於甲乙丙而勿令小於戊或大或等者以驗之於甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑(十二卷十七)而從丁至甲乙丙各面為垂線此垂線大於丁癸之半徑又從丁向法形諸角作直線以分此形為數觚以形之各面為觚底丁心為觚銳頂而取觚底三之一及底至丁之垂線以作直角立形與觚等若使以甲丁為髙而以各觚三之一為底以作直角立形則其形必髙於前形既甲乙丙圜之面大於其内形之面則圜面三之一大於内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊體矣愈大于甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大於戊豈癸子丑圜大於甲乙丙圜而分大于全與則戊體不小於甲乙丙矣從後論不可為小從前論不可為大故曰等也第十七題圜形與平面他形之容圜者其周同其容積圜為大解曰有甲圜其心甲其半徑甲乙又丙形與甲等周其周内可作諸切邊圜形而從心至邊為丙丁題言甲圜大於丙形論曰甲圜外試作與丙相似形(十二卷)而從甲心至各邊切處作半徑垂線皆等(本篇十五有解)其一為甲乙甲圜外形大於甲圜其周面亦大於丙面而甲乙垂線亦大于丁丙垂線以甲半徑為髙乃以三分圜體之一作直角立方形即與甲圜形等(本篇十六)以丙丁線為髙而以三分丙形之一作直角立方形亦與丙形等而甲之立方固大於丙之立方(本篇十五)則甲圜與丙形雖同周而甲圜所容為大矣第十八題凡渾圜形與圜外圜角形等周者渾圜形必大於圜角形解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四數相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之類等邊等角近于圜形者又作戊壬過心線為樞以轉甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋為立圜之體則其形為圜外圜角之形而角與邊周遭皆等(圜書一卷廿二)(廿七)又有渾圜形寅與圜角形等周題言寅圜大于圜角形論曰圜角外形既大於内之甲乙丙圜形則寅圜亦大於甲乙丙圜寅圜之半徑亦大於甲乙丙圜之半徑也夫渾圜中剖是為過心最大之圜此過心大圜之面恒得渾體四分之一(圜書一卷三十一題)令倍寅徑以作卯辰徑其圜面四倍大於寅之圜面(此專以圜而相較也卯辰徑既倍寅徑則卯辰圜□四倍)(於寅圜以圜與圜為徑與徑再加之比例故也在六卷附一增題)則卯辰圜與寅渾圜等(此卯辰圜為欲見角故畫作扁圜實正圜也)次作未申圜與卯辰等作未面申圜角形而取寅半徑為酉戌之髙又於卯辰上亦作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半徑為己午之髙兩圜體等而未酉申圜角形髙於卯巳辰圜角形則亦大於卯巳辰圜角形(圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四題)夫割寅渾圜之中半以為底(即過心大圜也)而以其半徑之髙為圜角形恒得寅渾圜四分之一(此旋摶所成尖頂半圜形非只論其一面也在圜書一卷)(三十二)則是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大於寅圜則未酉申圜角形固與寅之渾圜形等矣(圜角)(形同髙之比例若其㡳之比例故也在十二卷十一題)其卯巳辰圜角形底原等戊己庚形之面(戊己庚之面與寅圜之面等故)而巳午之髙亦等於甲圜半徑即戊己庚辛角形自與卯巳辰圜角形等(圜書一卷二十九題論凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜體過心)(大圜為底而以圜半徑為髙旋作圜角形即與圜外諸圜角等)卯巳辰圜角形既小於未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形寧大於同周之寅乎圜容較義◆ 《歷體畧-明-》（KR3f0017）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
厯體畧 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案厯體畧三卷明王英明撰英明字子晦開州人萬厯丙午舉人是編成于萬厯壬子上卷六篇曰天體地形曰二曜曰五緯曰辰次曰刻漏極度曰雜説中卷三篇曰極宫曰象位曰天漢下卷則續見歐羅巴書撮其體要曰天體地度曰度理之差曰緯曜曰經宿曰黄道宫界曰赤道緯纒曰氣候刻漏凡七篇又附論日月交食一篇然其上中兩卷所講中法亦皆與西法相合盖是時徐光啟新法算書雖尚未出而利瑪竇先至中國業有傳其説者故英明隂用之耳所論皆天文之梗槩不及後来梅文鼎薛鳯祚諸人兼備測量推步之法然學天文者必先知象緯之文與運行之故而後能因其度數究其精㣲是書説雖淺近固初學從入之門徑也卷首冠以五圖據翁漢麐序英明原著書而不著圖此本順治丙戌英明之子懩官江南督糧道時以原本重刋屬漢麐所補今考書中步天歌第一章下有附註稱步天歌無善本兹從先生訂正庶鮮魚魯之訛云云核其文義亦漢麐之語則是書盖經漢麐重訂非其原本矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 序
厯體畧序
澶淵王公來旬江南仁明廉斷所為造命吾民者指不勝屈於是方千里内歡聲載途惟公覆幬是德而不知公之以實惠勤民者乃其先夫子之以實學詒訓也先夫子才識淵博於厯律兵屯河防水衡之事无弗沉究卓然為世大儒少登髙科朝野並擬以公輔之望而絶意公車閉關修道四方名碩户屨恒滿每相朂以今日操觚家類晉清談學者當務為有用故闡發經㫖㕘決性命而外即捃摭先代故實及時局窽要答問之下手演成帙幾至充棟雖遭兵火猶有存者今公不忍私其家珍将次第就鋟首先厯體一書而以補圖屬小子小子則烏知厯而敢冒昧哉雖然事類續貂情同附驥且辱公有命夫何敢辭勉竭愚鈍折衷今昔衡量分寸比擬方圓凡夫位置之髙下疎宻度數之廣狹經緯惟恐少戾于乾象以忝是書而鄙衷則實有未慊者北辰髙下三十五六度其位在北而圖則不能不移置于中央一不合也天體半在地下旋繞无定而圖則不能不平列為靜局二不合也天度皆斜分而圖以直行三不合也自北極而分者至南極而合故赤道以南度漸就狹而圖則四垂反張四不合也此無他天體渾圓四方上下旋還无端今以尺幅改為平圓則是葢天而非渾天其體有萬萬不相肖者始悟王夫子著書而不著圖非闕略也圖不可著故以不著著之今第使讀是書者知垣何以三野何以九宿何以二十八則一覽可盡庶无茫茫於仰睇已耳敢謂是圖真足補是書哉惟公推其家學惠教小子使得預於管窺斯為頂佩又寧特供輸一事共有衆歌覆幬已也東吳翁漢麐敬識厯體畧序昔箕子以神禹叙倫之道授周武王而五紀實終於厯數厯者帝王經世之洪範吾儒用世之大業也何云體即天體是兩極廿八宿天體也七曜十二次天體也爲物不貳地體亦天體也厯之象之授時急焉何占候家課以事應令堯舜欽若之典為梓慎禆竈軰借資耶末流之弊日官挾國禁以為重矣愚世受尚書於厯象為本業恒怪不習者相諱為不可知曹諉為不切務即號為能名理大儒於此多作夢中語也爰取實測定度暨古今格言節略成編為兒子治經之助而諸凡語涉不經者一切斥去之經緯兼舉大體昭然其為用則璣衡靈憲之法也乘除推歩之數也錯行代明無非至理具在别著中兹不詳若繁星之號為秦漢以來依託者悉仍舊貫何則名天者即廿八宿亦假也書既畢總秘之帳中不敢示人萬厯壬子古澶王英明書
## 恒星圖
厯體圖
日月五星列宿運動各各相反便知所麗之天原非一重先儒曰天左旋日月五星右旋則知左旋者在諸星天之外是以有第九重天也九重之説向固有之自天學諸儒由西海航入中國發明其義更爾精詳其為性命之學更在九重之上號曰靜天所謂造化之原萬物之本也談天者請于斯更進一籌焉日輪恒躔黄道一道不出入于南北界非如月五星之出入于十二度内也其上下四時各有定度不稍前後也黄道周天三百六十度分為四分每分九十度為四象限又一象限分六分每分十五度為一節氣共二十四節氣而嵗成焉厯所繇定也日蝕非日失其光乃月體掩之也日天在月天之上朔時月輪正過日輪之下東西同經南北同緯故掩其光非如俗所傳有異物以食之也地懸于六合中央如雞卵黄在白内故日繇西炤地地必有景射東照東必有景射西夫日輪恒在黄道上若遇望日而月輪亦在黄道上與日正對望則地球障隔在日月之間月輪必入地景之内太陽不能照之故失光而食也漸出地景之外太陽能照之乃漸復得原光矣
## 卷上
欽定四庫全書厯體畧卷上明 王英明 撰天體地形大圜者上天下地之總名也水附地以成一球凝奠居中天為大圜包其外有氣以充實其間在天則有度數在地則有經緯以地合天而太陽節氣與五星凌犯及各方之交食可得而推矣周天之度縱横皆三百六十五度有竒北極為天樞與南極相距一百八十二度半强(古曰天行健又曰天左旋繇其旋與健則知南北必有其極矣極者非星乃天體永久不)(移二㸃周天所以為環動之樞也一極出地必一極入地其出入之度惟均所謂極星者蓋指其最切近於極之一星以命耳)赤道帶天體之紘距兩極各九十一度少强(二極相距正中之界謂之赤道平分天體為南)(北南者為外為陽北者為内為隂)黄道斜絡於赤道(黄道者太陽所行之軌蹟也斜絡赤道南北各二十三度)(半太陽厯竟則成一嵗而二十四節氣由此而成矣詳見後文)冬至日躔黄道距北極一百一十五度有竒在赤道外二十三度太强夏至日躔黄道距北極六十七度有竒在赤道内二十三度太强春秋二正日(即大統厯晝夜五十刻是)日躔距兩極各九十一度少强乃黄赤道相交之處也(黄赤道交處即是春秋分)黄道冬至自箕宿三度起厯南斗之杓天籥南斗之魁建星天雞以及牛宿羅堰十二國之秦代壘壁虚梁雲雨霹靂又前過天囷天廪天隂昴之月星畢之附耳天街天髙諸王天關觜參之司恠遂至井鉞天罇五諸侯積薪鬼中積尸酒旗軒轅右角暨御女左角太㣲西垣之靈臺上相乃至進賢平道亢氐西咸鉤鈐鍵閉罰星東咸星宿中星天江而復于箕為一周是為太陽所經然非古今一定者日躔漸漸退移則所經之星亦從而異所謂歲差也赤道分周天之列舍而黄道則識太陽之經行二道度分之不齊者斜正廣狹勢使然耳地在寰宇之中常靜不動與天相較政若稊米之於喬岳其形渾圓即突者為邱陵凹者為谿谷仍無損其萬分之一易謂天圓而地方者指其德也人處地球以天頂而分有東西南北亦界為三百六十餘度以期合於天行東西謂之經南北謂之緯求經度者於赤道上測之求緯度者於子午線測之隨方用儀測極出地每南北行二百五十里則差一度東西離三十度則差一時所謂里差也二曜日與月為隂陽之宗而日尤為君天之得以為天歲之得以成歲者日而已矣不得其軌度欲以步厯何道之從而可日者太陽之精循黄道右行三百六十五日有竒而周天黃道起箕斗間北距赤道二十三度九十分迤邐東北至壁一度入赤道北又東北至參十度則南距赤道亦二十三度九十分遂折而東南至軫初度出赤道南又東南旋於尾箕周而復始長三百六十五度二十五分六十四秒其與赤道交也自南入北曰内道口自北入南曰外道口二交之口隨歲差左移日行於此冬至居析木津躔箕小寒躔斗大寒躔牛立春躔虚雨水躔危驚蟄躔室春分躔壁清明躔奎穀雨躔婁立夏躔胃小滿躔昴芒種躔畢夏至躔參小暑大暑俱躔井立秋躔柳處暑躔張白露秋分俱躔翼寒露躔軫霜降躔角立冬躔氐小雪躔房大雪躔尾而二十四氣備矣冬至後九日入星紀之次大寒後十日入𤣥枵之次雨水後六日入娵訾之次春分後九日入降婁之次榖雨後十日入大梁之次小滿後十一日入實沉之次夏至後十日入鶉尾之次大暑後九日入鶉火之次處暑後十日入鶉首之次秋分後十三日入夀星之星霜降後十四日入大火之次小雪後十二日入析木之次而十二過宫備矣冬至前後日行一度零百分度之五有餘曰盈段其前其後各十有八日日損一分有竒春秋分日行一度無盈縮夏至前後日行百分度之九十五不足曰縮段其前其後各十有八日益一分有竒約一歲間截盈補縮日得一度歲行黄道三百六十五度二十四分二十五秒不及周天一分五十秒是曰歳差約六十六年八箇月而差一度(歲差有二故一太陽從某宫次度分行天周而復於元度不及其數)(也二太陽㑹列宿天之某星行天周而復與元星㑹其星每歲有本行又當加其本行以定歲斯二者推步家)(所謂歲實周歲歲差也)月者太隂之精循白道右行白道半出黄道外半入黄道内相距逺者六度○二分兩環相交如赤道之於黄道也其相交處自内出外(自北而南也)曰陽厯口世謂羅㬋(亦名龍頭)自外入内(自南而北也)曰隂厯口世謂計都(亦名龍尾)羅計日行黄道上每十有八日五十八分五十二秒九十四㣲五而移一度月行一交移一度四十六分四十一秒八十㣲四(羅㬋即白道之正交乃月道自南遡北以交於黄道之處而羅)(㬋正對之處即計都矣月孛者是月所行極髙極逺之處月離於是其行極遲其體見小孛云者指其交轉兩)(行相悖之義也日者之流以羅計月孛等處皆指為星謂其所躔宿度各有吉凶因以推人禄命夫周天諸道)(諸㸃皆人所設以其便於揆算其行度也以人所虚設之名即謂能為吉為凶宇内顧有是理歟若月道交孛)(有吉有凶何彼土木火諸星交孛獨不然也至於紫炁一曜或謂生於閏餘或謂土木相㑹或謂古人以是紀)(直年宿而天上實無是星其為不經不待辨晰而自明矣)羅居午計居子則月道出黄道東古謂青道羅居子計居午則月道出黄道西古謂白道羅居酉計居卯則月道出黄道南古謂朱道羅居卯計居酉則月道出黄道北古謂黑道各分内外是曰八道並黄道為九道實惟一道也月行十八年而遍九道所謂春行青道夏行朱道秋行白道冬行黑道者妄也月行二十有七日五十五刻四十六分八十八秒而疾遲一周又行一日九十七刻有竒共二十有九日五十三刻○五分九十三秒而與日㑹則為合朔其遲疾一周也名轉終折半為轉中之日其轉終前後月行疾日十有四度七十一分五十四秒轉中前後月行遲日十有二度○四分六十二秒終中之間月行平日十有三度三十六分八十七秒半每一轉終行三百六十八度三十七分○五秒五十八㣲七五折半為轉中之度所在名曰孛月行最遲處也(合朔以後月夕西見遲疾不一或有差至三日)(者其因有三一因月視行度若視行為疾段則疾見遲段則遲見一因黄道升降有斜有正正必疾見斜必遲)(見一因白道在緯南緯北凡在隂厯疾見陽厯遲見也三因之外又有極出地之不同以及朦朧分與炁差諸)(異所以遲疾恒不能齊也)月行二十七日二十一刻二十二分二十四秒為交終折半為交中之日每一交終行三百六十三度七十九分三十三秒一十九㣲六一折半為交中之度其交終前六度一十五分三十四秒曰正交交中後六度一十五分三十四秒曰中交正交近羅㬋中交近計都月離(去聲)其度而與日遇則日食與日對則月食也(日月行二十九日有竒東西同度月視行在於黄道近交人適視為同經同緯則人目與月日相㕘)(直月魄正隔日光於人目是為日食非日失其光月魄掩之耳太隂距太陽一百八十度而正與之衝月行近)(於兩交地球居日月東西之中體影間隔則日光不能照射於月人目視之若月失其光是為月食非月失其)(光也地影隔之耳然必日月及於正交或中交為同度則食餘則不能食也)五緯(漢律厯志曰三辰合於三統五星合於五行則歲填辰太白熒惑其本名也直作木金水)(火土者非)五曜之各一天也伏見順逆皆有常軌不得其軌而妄言事應誣天甚矣紀軌度而襲舊舛如謂歲星以攝提格之歲居丑單閼之歲居子者寧無誤後人哉木曰歲星其行約有十二年一周天法夕伏合伏各一十六日八十六刻各行三度八十六分晨出東方疾遲共一百一十二日行十有七度八十四分畱二十四日晨退夕退各四十六日五十八刻各退四度八十八分一十二秒半復畱二十四日遲疾共一百一十二日行一十七度八十四分則又夕伏而伏見一周其行以卯年居夘宫建夘月與氐房心夜半見東方辰年居寅宫建辰月與尾箕夜半見東方已年居丑宫建己月與斗牛夜半見東方午年居子宫建午月與女虚夜半見東方未年居亥宫建未月與室壁夜半見東方申年居戌宫建申月與奎婁夜半見東方酉年居酉宫建酉月與胃昴夜半見東方戌年居申宫亥年居未宫子年居午宫丑年居巳宫寅年居辰宫各以其年之月與其宫之宿夜半見東方凡五星之行嬴縮與日同火曰熒惑其行約二歲一周天法夕伏合伏各六十九日各行五十度晨出東方疾遲共二百八十有四日行一百六十六度畱八日晨退夕退各二十八日九十六刻四十五分各退八度六十五分六十七秒半復畱八日遲疾共二百八十有四日行一百六十六度而又夕伏為一周其疾也日一度有半土曰鎮星約二十九歲一周天法夕伏合伏各二十日四十刻各行二度四十分晨出東方疾遲共八十六日行七度六十五分留三十日晨夕退各五十二日六十四刻五十八分各退三度六十二分五十四秒半復畱三十日遲疾共八十六日行七度六十五分而又夕伏為一周或名地候金曰太白其行先後太陽歲一周天法晨伏合伏各三十有九日各行四十九度五十分夕出西方疾遲共二百三十一日行二百五十度五十分畱五日夕退一十日九十五刻一十三分退三度六十九分八十七秒夕退伏六日退四度三十五分其合退伏如夕退伏其晨退如夕退復畱五日遲疾共二百三十一日行二百五十度五十分而又晨伏其行也晨先日出東謂之啟明夕後日入西謂之長庚以辰申為界晨見於巳位夕見於未位為晝見過午位為經天為失行或謂金為長庚水為啟明非也水曰辰星其行亦先後太陽歲一周天法晨伏合伏各一十七日七十五刻各行三十四度二十五分夕出西方疾遲共二十七日行三十一度五十分畱二日夕退伏合退伏各一十一日一十八刻八十分各退七度八十一分二十秒晨留二日遲疾共二十七日行三十一度五十分而又晨伏一周焉(土木火金水五曜名為緯星者謂其較於恒星則無)(日不有近南近北之行也凡五星在歲行極逺之所必合於太陽其行為順而疾厥體見小凡在歲行極近之)(所其行為逆而疾厥體見大若土木火三星行逆則衝太陽金水二星行逆必夕伏而合行順必晨伏而合其)(各星之順行而轉逆逆行而轉順之兩界中為留留者非星不行乃際於極遲行之所也留段前後或順或逆)(皆有遲行其實五星之光與日相較政猶螢光之於庭燎其光本不滅人苐莫覩耳○按小大諸星各有距太)(陽若干度分以為見伏之限此限度新舊二法各異如太陽在降婁宫初度或歲星在十五度即謂為見限然)(未必也諸星有緯南緯北之分黄道有正斜升降之勢各宫不同何能泥此以定公法今崇禎厯書各星見伏)(之限惟以地平為主縁地平障蔽日光能使星為見與不見耳今夫日之下於地平也其光漸淡所謂晨昏此)(晨昏光之久暫四時各各不等即冥漠矣而星見時刻又自不等所以太陽由黄道而下於地平或有十度或)(十五度甚至有三十餘度為限者總之星在黄道南必多數度若在北必少數度故統論其見伏之因凡四一)(以太陽下於地平一以星在緯之南北一以極出地髙一以黄道升降斜正凡此數者諸星伏見之大端也如)(謂太陽距某數即可以定伏見恐未然耳存以俟訂)○按厯有四餘躔度或曰孛生於月遲紫生於月閏然係占候運命家言與授時無關故黜之而羅㬋計都前太隂内己見此不重著(四餘説見)(前篇)辰次十二辰度數古今不同如漢律厯志春秋分野月令章句通志天文略諸書各異葢未嘗實測而承譌襲舛者也今一依授時之度紀之大火起氐一度一十一分六十四秒太於辰在卯析木起尾三度一十五分四十六秒少於辰在寅星紀起斗四度○九分二十七秒太於辰在丑𤣥枵起女二度一十三分○九秒少於辰在子娵訾起危十二度二十六分一十二秒太於辰在亥降婁起奎一度五十九分九十四秒少於辰在戌大梁起胃三度六十三分七十五秒太於辰在酉實沉起畢七度一十七分五十七秒少於辰在申鶉首起井九度○六分三十八秒太於辰在未鶉火起栁四度○○二十○秒少於辰在午鶉尾起張十四度八十四分○一秒太於辰在巳夀星起軫九度二十七分八十三秒少於辰在辰右十二辰分界從赤道剖之乃占候家遂配以郡國分野夫十二次盡乎天矣華夏郡國亦盡乎地耶多見其為坐井也刻漏極度日出為晝日入為夜一周共為百刻以十二辰分之每辰八刻零三分刻之一晝短則夜長夜短則晝長無問南北在所皆同春秋二分日之出入正當赤道晝夜適等各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去北極近夜短而晝長自秋分以及冬至日出赤道外去北極逺晝短而夜長自地中揆之長不過六十刻短不過四十刻地中以南其長有不足六十刻者短有過四十刻者地中以北其長有過六十刻者短有不足四十刻者葢此地中乃中國之中非天地之中而中國在赤道之北故也晝夜長短禀之極星髙低而極星髙低又係地方之距極逺近兹列至元二十七所所測於左東極髙麗西至滇地南踰朱崖北盡鐵勒大都北極出地四十度太强夏至晷影長二尺三寸四分日出寅正二刻入戌初二刻晝六十二刻夜三十八刻冬至日出辰初二刻入申正二刻晝三十八刻夜六十二刻(即今順天府)東平北極出地三十五度太益都北極出地三十七度少登州北極出地三十八度少髙麗北極出地三十八度少西京北極出地四十度少太原北極出地三十八度少興元北極出地三十三度半强(即今漢中府)西凉州北極出地四十度強(即今甘肅)西安府北極出地三十四度半强成都北極出地三十一度半强大名北極出地三十六度南京北極出地三十四度太强河南陽城北極出地三十四度太弱(在今禹州西)平陽北極出地三十五度少夏至影長一尺五寸揚州北極出地三十三度鄂州北極出地三十一度半(即今武昌府)雷州北極出地二十度太瓊州北極出地一十九度太吉州北極出地二十六度半北京北極出地四十二度强上都北極出地四十三度少南海北極出地一十五度夏至景在表南長一尺一寸六分日出卯初二刻入酉正二刻晝五十四刻夜四十六刻冬至日出卯正二刻入酉初二刻晝四十六刻夜五十四刻衡嶽北極出地二十五度夏至日在表端無景晝五十六刻夜四十四刻冬至晝夜反是嶽臺北極出地三十五度夏至晷影長一尺四寸八分日出寅正三刻入戌初初刻晝六十刻夜四十刻冬至日出辰初初刻入申正三刻晝四十刻夜六十刻和林北極出地四十五度夏至晷影長三尺二寸四分晝六十四刻夜三十六刻冬至晝夜反是鐵勒北極出地五十五度夏至晷影長五尺一分晝七十刻夜三十刻冬至反是北海北極出地六十五度夏至晷影長六尺七寸八分日出丑正初刻入亥初三刻晝八十二刻夜一十八刻冬至日出已初三刻入未正初刻晝一十八刻夜八十二刻洪武間金陵測得夏至日出寅正四刻入戌初初刻晝五十九刻夜四十一刻冬至日出辰初初刻入申正四刻晝四十一刻夜五十九刻天體地形雜説厯以歩天然地勢移則天度隨而異如前各所北極髙低是巳迂儒襲誤有謂天形圜而地形方者有謂東不可為西上不可為下者有謂冬夏非日之往來乃地之游動者悠謬若此無怪乎北極出地一之以三十六度而不知隨在為髙卑也兹輯古聖賢格言以詔羣蒙嗚呼豈細故也與哉将造化性命之微關焉通此者謂之逹天昔者單居離問於曾子曰天圜而地方者信有之乎曾子曰離而聞之云乎單居離曰弟子不察此以敢問也曾子曰天之所生上首地之所生下首上首之謂圜下首之謂方如謂天圜而地方則是四角之不相揜也且來吾語汝參嘗聞之夫子曰天道曰圜地道曰方黄帝素問曰立於子而面午立於午而面子至於自夘望酉自酉望夘皆曰北面立於夘而負酉立於酉而負夘至於自午望南自子望北皆曰北面(自子望北皆曰北面言北方之)(北尚有北也不愈証地之圓乎)周髀曰春分日之夜分以至秋分日之夜分日内近極極下常有光秋分日之夜分以至春分日之夜分日外逺極極下常無光故春秋分之夜分日所照適至極隂陽之分等也冬至夏至者日道發斂之所生晝夜長短之所極也趙君卿註天至髙地至卑非合也人目所窮而見其合也北辰正居天之中央人所謂東西南北者非有常處各以日出之處為東日中為南日入為西日没為北北辰之下從春分至秋分六月見日從秋分至春分六月不見日見日為晝不見日為夜一歲之周北辰之下一晝一夜也我之所在北辰之南非天地之中也我之夘酉非天地之夘酉也日陽從冬至始月隂從夏至始往來之端也又曰北極之下為天地之中其地最髙滂沱四隤而下三光隱映以為晝夜天體亦然故日運行處在極北北方日中南方夜半在極東東方日中西方夜半在極南南方日中北方夜半在極西西方日中東方夜半晝夜易處南晨而北昏四時相反南暑而北寒也北極左右夏有不釋之氷此陽微隂彰晝夜分歲物朝生而暮穫中衡左右冬有不死之草此陽彰隂微故萬物不死五穀一歲再熟沈括曰舊謂中國於地為東南當偏西北望極星置極不當正北又謂天常傾西北極星不得居中夫以中國觀之天當北倚可也謂極星偏西則不然所謂東西南北者何從而得豈非以日之所出者為東日之所入者為西乎古人測天自浚儀至安南纔六千里而北極差十五度漸北不已庸詎知極星之不直人上也又北而背負極星其理可推矣臣始讀黄帝素問所論南面北面之語不喻其理久而思之乃悟其常以天中為北而對之者皆為南也南北取諸天中以極星中天耳素問真善言天者今南北纔五百里則北極輒差一度太強而東西南北數千里間日分之時候之日未嘗不出於夘半而入於酉半固知天樞既中則日之所出者定為東日之所入者定為西天樞常為北無疑矣此殆放乎四海而同者何從知中國為東南也彼徒見中國東南皆際海而爲是説也其亦井蛙之見矣内經曰帝曰地之為下否乎岐伯曰地爲人之下太虚之中也曰何憑乎曰大氣舉之也(太虚之中即是太虚之下圓物之重在乎)(中心則中即最下之處)晉束晳云人之視天旁方與上方等旁視則天體存於側故日出時視日大也(按日初出有水土之氣浮於地上故其影大至髙度則水土之)(氣清故其形小)日無大小而所存者有伸厭厭而形小伸而形大此人目力之殊日無逺近也是故置器廣庭則函牛之鼎如釡堂崇十仞則八尺之人猶短葢其理耳姜岌云渾天之體圜周之徑詳之於天度騐之於晷影而知大小之異由人目也參伐初出在旁則其間疎在上則其間密以渾儀測之度則均也旁之與上無或殊也宋天台車若水曰天地本黑也以日而光本寒也以日而煖日入則復黑日逺則復寒矣周髀云冬至晝極短日之出入炤三不覆九夏至晝極長日之出入炤九不覆三炤三者巳午未也不覆三者亥子丑也此正北海北極出地六十五度之晝夜刻也毉家五運起於月初各節氣是也六氣起於月中各中氣是也晝夜漏刻古厯有用百二十者不須發斂即得加時西厯六十分為度即此法之折半也古辰次及星宿與今不同按國語云辰角見而雨畢天根見而水涸木見而草木節解駟見而隕霜火見而清風戒寒則亢為天根非氐矣考工記云龍旂九斿以象大火也則尾為大火非房心矣又云熊旂六斿以象伐也則連卷言之而無左右肩足矣龜蛇四斿以象營室也則合東壁言之為一宿矣史記天官書有參罰而無觜有建星而無斗有狼弧而無井鬼作角亢氐房心尾箕建牛女虛危室壁奎婁胃畱濁參罰狼弧注張星翼軫則二十八舍古今不同北齊顔之推在修文令曹有山東學士與關中太史競厯凡十餘人紛紜累歲内史牒付儀官平之之推曰大抵諸臣所爭四分并減分兩家耳厯象之要可以晷影測之今騐其分至薄蝕則四分疎而減分密疎者稱政令有寛猛運行致盈縮非算之失也密者則云七政有遲速以術求之預知其度無災祥也疏則藏奸而不信密似任數而違經且儀官所知不能精於訟者以淺測深安有肯服舉曹咸以為然有一禮官强欲考覈朝夕聚議背春涉冬怨誚滋生乃𧹞然而退厯體畧卷上
## 卷中
欽定四庫全書厯體畧卷中明 王英明 撰(按三垣二十八宿居天體之全宜先七政先生以厯體為指故先七政而以垣宿冠中卷之首)(葢厯成於七政而垣宿為垂象之大規也)極宫言星者皆以三垣並稱然紫薇為北極之宫天樞中奠綱維六合司天者宜首重之若太微天市旁列乃占候家取象離宫亦名之曰垣固不可與天極並也史漢書志但暨四象為五宫未有垣名深得此理兹特表紫薇中宫而斥兩外垣於不伍葢為厯數者不為占候著也又古今星官所屬各異今從步天歌便誦習焉紫薇宫居天中北倚若葢廣袤各七十有二度垣星一十有五環布兩列左八右七石氏云左右皆八也(紫薇宫取)(極星周圍近度定之諸星旋轉不没居中御外有宸居之象焉故名紫薇)前後二門嘗大火大梁之次大火為夘前門向之故夘為天根也前門為閶闔門左垣首一(猶言一星也後倣此)曰左樞次上宰少宰次上輔少輔次上衛少衛次上丞右垣首一曰右樞次上尉次上輔少輔次上衛少衛次少丞亦名長垣石氏多少尉一星此垣中者紫薇大帝之座也垣之最中曰天樞亦名北辰亦名北極(此天樞言天之樞紐非謂星也辰有二義日月所㑹曰辰垣亦稱辰)(言無星之處曰辰是影響之詞也)凡五星株連而薇曲携前門之天牀首一明者曰太子所謂前星也次曰帝星最明赤所謂太乙之座次曰庶子次曰後宫最㣲第五差(平聲)逺而不甚明者即曰天樞(此天樞指星非指樞紐也)是為極星天運無窮三光迭曜而此處不移所謂居其所而衆星共之者也極星旋繞其外僅僅咫尺若轂口之繞軸轊或以極星為北辰非也抱極星四星曰四輔極旁六星如斗狀曰鉤陳鉤陳中一星曰天皇大帝緯書所謂耀魄寳者也鉤陳口下五星如聚花曰五帝内座座後十有六星曲杠九聚頂七曰華葢以覆帝座臨鉤陳之上瀕漢當葢後九星曰傳舎舎北六星曰閣道所謂絶漢抵營室者也舎東南一星曰䇿二官歌中皆屬奎座右六星曰六甲座前五星曰天柱柱前傍鉤陳四星匡立曰女御女御左一星曰女史女史前一星近左垣曰柱下史女前五星在太子東曰尚書尚書前二星曰大理大理右二星曰隂德或分為隂陽二德隂德前六星適當前門曰天牀天牀之右右樞之内近少衛二星曰内厨皆在垣以内者也北斗七星在右垣外太微垣之北魁枕參觜衡殷南斗杓携龍角亦名帝車運乎天中以定諸紀者也一曰樞二曰璇三曰璣四曰權五曰玊衡六曰開陽七曰揺光其樞入張度或云一至四為魁魁為璇璣五至七為杓杓為玊衡是為七政開陽左一星曰輔星揺光右一隂星曰弼星是為貪巨禄文廉武破輔弼也魁内四星曰天理魁外近璇六星曰天牢牢左四星曰勢勢左一星入張度曰太陽守其左一星當權衡之南入翼度曰相相之左三星在杓南曰三公天乙一星在右樞開陽間太乙一星在天乙右入軫度或云二星也天槍三星在天牀右斗杓左天棓(棓音棒)五星在天牀東北臨箕上當天市垣之北入氐度𤣥戈一星或名天戈亦入氐在揺光左遥連招揺為北斗九星考要云一徐二梁三冀四荆五兖六揚七豫八雍九青天官書云杓端有兩星内為矛招揺外為盾天鋒即招揺𤣥戈也文昌六星在北斗魁上形如半月天之六府也一曰上将二曰次将三曰貴相四曰司禄五曰司命六曰司冦其右六星曰内階魁及文昌間三星亦曰三公或曰三師其南一星在下台之上入翼度曰太尊以象貴戚階右八星近傳舎曰八穀舎右近上丞二星曰賛府府右九星岐卷斜入漢湄曰天鉤鉤右六星在東藩少衛之東北曰天厨其東南七星曰扶筐於歌中屬女石氏又有天維三星在斗杓後附歩天歌曰中垣紫薇宫北極五星在其中大帝之座第二珠第一前星太子居第三之號為庶子四為后宫五天樞左右四星是四輔天乙太乙當門路左樞右樞夾南門兩面營衛二八伍太尉少尉右樞連依序上輔與少輔上衛少衞次上丞後門東邊兩賛府門西喚作一少丞依次却向前門數隂德門裏兩黄聚尚書以次其位五女史柱史各一户女御四星五天柱大理兩星隂德邊鉤陳尾指北極巔鈎陳六星六甲前天皇獨在鈎陳裏五帝内座後門是華盖并杠十六星杠作柄象葢繖形葢上連連九箇星名曰傳舎如連丁垣外左右各六珠右是内階左天㕑階後八星名八穀㕑下五箇天棓宿天牀六星左樞在内㕑兩星右樞對文昌斗上半月形稀疎分明六箇星文昌之下曰三師太尊只向三師明天牢六星太尊邉太陽之首四勢前一箇宰相太陽側更有三公相西偏即是𤣥戈一星圓天理四星斗裏暗輔星近著開陽淡北斗之宿七星明第一主帝名樞精第二第三璇璣星第四名權第五衡開陽揺光六七名揺光左三天槍紅(丹元子隨人隱者之流不著名氏作步天歌句中有圖言下成象或)(約或多無掛無漏不言休咎而頗便習誦仰觀向藏靈臺擁為秘笈名曰鬼科竅近世相傳然無善本兹)(從先生訂正庶鮮魚魯之訛焉)象位在天成象左蒼龍右白虎前朱鳥後𤣥龜奠四方而運四時繋天絡星耿耿然依附分屬之左前二象有二垣葢象中之垣也武密及乾象新書諸家以垣中諸星分屬列宿乃合天度然舉全垣則跨半象矣别系其後(按春秋傳曰二十八宿分在四方方各七宿共成一象鳥獸在地有象在天東蒼龍西白虎皆)(南首北尾南朱雀北𤣥武皆西首東尾從角起而左旋戴記亦曰前朱鳥而後𤣥龜左青龍而)(右白虎葢言象也而後世妖妄之徒號曰六神分吉凶夫天何故預立凶神以禍世耶且天道)(旋轉春秋分朱鳥大火見於午位冬夏至白虎蒼龍見於初昏究未嘗定而不移也而二十八)(宿又各增為小象獐羊蝠䑕種種各别豈亦言其象而傅㑹者謂諸蟲獸真形在於是吾不知)(真形之説何居也)蒼龍七宿居夀星大火析木(爾雅云角亢夀星也或曰水土聚於辰木得水土資)(氣故曰夀晉士弱曰心為大火公羊傳曰大火為大辰爾雅云大辰房心尾也諸宿中惟房心尾及參最明故)(曰大辰尾箕析木津也或曰木生於寅故名析木天漢所起故名曰津)之次横亘七十有九度二十分以建午未申酉月昏見南方午位起太微左垣終天市左垣有角有心有尾儼然一龍體也謂之東陸角二星南北相直夾黄道踦赤道西北距太㣲垣不三四度是為天關黄道經其中其南為陽道其北為隂道其距南星廣十有二度一十分起夀星九度盡二十一度考要云一星為李一星為将兩星之間少右横二星曰平道平道右一星近太微上相曰進賢角北二星曰天田亦曰李其北三星近郎将曰周鼎角南二星曰天門天官書云左角李李天田也右角将将天門也門南一星曰平星東北一星曰陽門平星南十星六大彎曲為庫四小方斜為樓是為天庫西入軫度其中十五星三三而聚曰柱中央四小星曰衡又中央小星陣兵也南二大星曰南門歩天歌云角兩星南北正直看中有平道上天田總是黒星兩相連别有一烏名進賢平道右畔獨淵然最上三星周鼎形角下天門左平星雙雙横於庫樓上庫樓十里屈曲明樓中五柱十五星三三相聚如鼎形其中四星别名衡南門樓外兩星横亢四星狀若張弓在角東黄赤道間其距南第二星廣九度二十分亢北左右攝提各三星鼎足句中適直斗柄所指故曰攝提格中夾拱一大星曰大角亦云帝座入亢三度半亢南七星連亘而屈曰折威東南二星石氏曰顓頊或作頓頑歩天歌曰亢四星恰似彎弓状大角一星直上明折威七子亢下横大角左右攝提星三三相聚如鼎形折威下左顓頊星兩箇斜安黄邑晶頊下二星號陽門色若顓頊直下存氐四星状如側斗踦黄道出其南為龍〔？〕為天根其距西南星廣十有六度三十分起夀星末度盡大火中度大火卯也故云天根氐北三星曰帝席席北三星曰梗河又北西一星曰招揺與𤣥戈相直遥連斗杓帝席之右近攝提六星在亢宿上曰亢池帝席之左近天市西垣一星曰天乳氐南三星曰陣車又南二十七星三三而北曰騎官中一星為騎陣将軍其西南三星曰車騎天輻二星在騎官之東步天歌云氐四星似斗側量米天乳氐上一黑星世人不識稱無名一箇招揺梗河上梗河横列三星状帝席三黑河之西亢池六星近攝提氐下衆星騎官出騎官之數二十七三三相連十欠一陣車氐下騎官次騎官之下二騎位天輻兩星立陣旁将軍陣裏振威霜房四星跨踞黄道為龍腹四星之間黄道之所經也南間曰陽環其南為太陽北間曰隂環其北曰太隂亦曰天駟自南而數首左驂次左服次右服次右驂又名天廐又名農祥左傳農祥晨正是也其距南第二星廣五度六十分起大火十六度盡二十一度房北二小星曰鉤鈐東北一星曰鍵閉亦曰牽東咸西咸各四星在房左右状如房房之門户也為日月五緯之道其西咸入氐度兩咸正中稍南三星南北而列曰罰房西南一星曰日日南二星曰從官石氏有巫官二星天福三星其天福或是天輻步天歌云房四星直下主明堂鍵閉一黄斜向上鉤鈐兩箇近其旁罰有三星植鍵上兩咸夾罰似房状房下一星號為日從官兩箇日下出心三星在黄道南謂之火春秋傳火猶西流詩曰七月流火是也其於中星為帝座為大辰前星為太子後星為庶子其距西第一星廣六度五十分起大火二十一度盡二十七度東咸與罰皆在其上上為天市垣其西南十有二星在房下曰積卒歩天歌云心三星中央色最深下有積卒共十二三三相聚心下是尾九星在黄道南状如鉤亦名九子星其距西行從西第二星廣十有九度一十分起大火二十七度盡析木十六度第三星旁一星曰神宫尾北近市樓四星曰天江尾左一星曰傅說亦名天䇿左傳云天䇿焞焞即傅説也説左一星曰天魚在尾後天漢内尾南五星曰天龜歩天歌云尾九星如鉤蒼龍尾下頭五黑號龜星尾上天江四横是尾東一箇名傅説傅説東畔一魚子龜西一星是神宫所以列在后妃中箕四星在黄道南天漢内龍所糞也日月宿之風起其距西北星廣十度四十分起析木津十六度盡二十六度舌外一星曰糠糠南三星為木杵歩天歌云箕四星形状如簸箕箕下三星為木杵箕前一星是糠粃以上認取天市垣黄道迤北天江邇天市垣(紫薇垣如天子都而天市垣又後人推以象離宫如天子巡狩必有駐蹕之地倘亦強附之説)(也)在析木之次臨尾箕上西離於氐東入於斗垣星左右各十有一南門左一星為宋次南海次燕次東海次徐次吳越次齊次中山次九河次趙次代右一星為韓次楚次梁次蜀次粤次秦次周次魯次甌次閩次河中皆借其地而名之亦云天旗庭也帝座一星在市之正中座南五星曰斗與帝座皆入尾度又南四星曰斛又南六星當韓宋間臨箕上曰市樓樓左二星曰車肆肆北二星曰宗正在候星之南其左四星曰宗人又左二星曰宗星其東北二星為帛度帛度左二星為屠肆帝座東南一星曰候入箕度候右四星斜布座前曰宦者入尾度其西南二星在斛西北曰列肆垣北九星當尾上曰天紀紀西九星當氐房上曰貫索索口一星為門漢志云十五星也索北七星横列氐上曰七公紀北三星當尾箕上曰女牀石氏有天棒五星在女牀東北天官書云房東北曲十二星曰旗旗中四星曰天市中六星曰市樓而已無垣名而以貫索附紫薇中宫其所云曲十二星者葢垣西藩也歩天歌云下垣一宫名天市兩扇垣墻二十二當門六角黑市樓樓左兩星是車肆兩箇宗正四宗人宗星一雙亦依次帛度兩星屠肆前候星還在帝座邉帝座一星常光明四箇㣲茫宦者星以次兩星名列肆斗斛帝前依其次斗是五星斛是四垣北九箇貫索星索口横者七公成天紀恰似七公形數著分明多兩星紀北三星名女牀此座還依織女旁按帝座有五一在紫薇宫一為亢之大角一為心之中星一在天市垣一在太微垣象黻扆之隨處而設也𤣥龜七宿居星紀𤣥枵娵訾之次(古者厯紀日月五星皆起於牽牛之次故)(曰星紀爾雅云𤣥枵虚也𤣥黒色枵虚中也營室東壁娵訾也室壁各二星如口象又在西北隅娵隅置也訾)(口象也)横亘九十有三度八十分以建酉戌亥子月昬見南方起天漢左終羽林左謂之北陸𤣥龜一名天黿國語曰辰在天黿即女虚𤣥枵之分也而室上有螣蛇二十二故曰𤣥武象為龜蛇或云𤣥蛇也武龜也虚危以前象蛇室壁象龜斗六星踦漢在黄道南将有天子之事占於南斗其距柄第三星廣二十有五度二十分起析木二十七度盡星紀二十二度斗柄西八星當箕上曰天籥斗東北六星曰建南臨黄道斗建之間七曜所由行也建上九星入河中曰天弁魁東二星南北相直曰天雞雞南二星東西相直曰天狗狗南四星曰狗國象鮮卑烏桓之夷也斗西南一星在箕之東曰農丈人魁南十四星曰鼈鼈東十星曰天淵亦曰天池歩天歌云斗六星其状似北斗魁上建星正相對天弁建上三三九斗下圓安十四星雖然名鼈貫索形天雞建背雙黑星天籥柄前八黄晶狗國四星雞下生天淵十星鼈東邊更有兩狗斗魁前農家丈人狗下眠天淵色黄狗色𤣥牛六星二角觺然下四星句立在黄道北其距中央大星廣七度二十分起星紀二十三度盡二十九度牛上四星曰天桴桴北三星踞漢湄曰河皷世謂之牽牛中大星為大将軍南星為左将軍北星為右将軍左右旗各九星夾河皷偃卷漢内右旗在建星上入斗度左旗上有天津九星漢北近天紀三星一大二㣲曰織女織女東足四星曰漸臺西足五星曰輦道織女漸臺輦道皆入斗度牛東三星曰羅堰牛南九星曰天田田南九星曰九坎歩天歌云牛六星近在河岸頭頭上雖然有兩角腹下從來欠一脚牛下九黑是天田田下三三九坎連牛上直建三河鼓鼓上三星號織女左旗右旗各九星河鼓兩畔右邊明更有四黄名天桴河鼓直下如連珠羅堰三烏牛東居漸臺四星似口形輦道東足連五丁輦道漸臺在何許欲得見時近織女(按張衡云牽牛)(織女七月七日相見者即此也爾雅云河鼔謂之牽牛又歌曰東飛伯勞西飛燕黄姑織女時相見黄姑)(即河鼔也音譌耳有謂牽牛即牛宿者然以之配織女恐當是河鼓若是六星之牛宿則當配以四星之)(女宿矣原註)女四星如箕在黄道北謂之須女亦名婺女其距西南星廣十有一度三十五分起星紀二十九度盡𤣥枵十度女北五星曰離珠珠上五星曰敗𤓰其上五星曰匏𤓰其北九星若張弓横亘河内曰天津八牛度津北四星在輦道東曰奚仲入斗度其北近紫垣七星曰扶筐亦云扶箱女南十六星或比或散為十二國北列左二為代次二為秦次二為周次二為趙南列左一為魏次韓次晉次燕次楚次齊次鄭次越按天之所覆者廣而華夏所分主者牛女下十二國耳其以十二國分野配十二辰次者妄也歩天歌云女四星如箕主嫁娶十二諸國在下陳先從越國向東論東西兩周次二秦雍州南下雙雁門代國向西一晉伸韓魏各一晉北輪楚之一國魏西屯楚城南畔獨燕軍燕西一郡是齊隣齊北兩邑平原君欲知鄭在越下存十六黄星細區分五箇離珠女上星敗𤓰珠上匏𤓰生兩箇各五二𤓰明天津九箇彈弓形兩星入牛河中横四箇奚仲天津上七箇仲側扶筐星虚二星夾赤道其距南星廣八度九十五分起𤣥枵十度盡十八度其第六度子中也虚北二星曰司命又北二星曰司禄又北少西二星曰司危又北二星曰司非虚南二星在代之東曰哭哭東二星曰泣在危上泣南十三星状如貫索曰天壘其南四星曰敗臼二入危二入室臼西三星在韓晉之東曰離瑜離瑜與哭皆入女度歩天歌云虚上下各一如連珠命禄危非虚上呈兩虚之下哭泣星哭泣雙雙下壘城天壘團團十三星敗臼四星城下横臼西三箇離瑜明危三星如矩在赤道北其距南星廣十有五度四十分起𤣥枵十九度盡娵訾三度危北五星當司命上曰人星入虚度人左三星曰杵杵南四星曰臼杵北七星連卷而大首東近河抵司非曰車府河中五星如敗𤓰曰造父亦曰伯樂河畔九星岐卷曰天鉤見紫薇宫危南二星曰蓋屋屋左四星曰墳墓其東南四星曰虛梁其南十星正圜曰天錢在北落西北羽林之西歩天歌云危三星不直舊先知危上五黑號人星人畔三四杵臼形人上七烏號車府府上天鉤九黄晶鉤上五鵶字造父危下四星是墳墓墓下四星斜虚梁十箇天錢梁下黄墓旁兩星能葢屋身著黑衣危下宿室二星北近天漢謂之營室離宫六星兩兩而比附其㫄爾雅云營室謂之定詩云定之方中是也其距南星廣十有七度一十分起娵訾四度盡二十一度室北二十二星蜿蜒而翔曰騰蛇又上即造父也室南六星曰雷電其右二星在墳墓上曰土功吏雷電南十二星西南抵虚東近壁形如重擔曰壁壘陣陣南四十五星三三而聚曰羽林軍其西南一星曰天綱天綱左羽林南一星曰北落師門以上五官皆入危度其左三星曰鈇鉞下二星即敗臼也其東南九星状如天田曰八魁入壁度石氏有天海十星歩天歌云室兩星上有離宫出遶室三雙有六星下頭六箇雷電形壁壘陣次十二星十二兩頭大似升陣下分布羽林軍四十五卒三為羣壁西四座星難論仔細厯厯看區分三粒黄金名鈇鉞一顆珍珠北落門門東八魁九箇子門西一宿天綱是電㫄兩黒土功吏螣蛇室上二十二壁二星如虚在室東謂之東壁其距南星廣八度六十分起娵訾二十一度盡二十九度壁北十星曰天廐又北近垣五星王良也壁南二星曰土公又南五星曰霹靂又西南四星曰雲雨二官入室度羽林左五星曰鈇鑕入奎度歩天歌云壁兩星下頭是霹靂霹靂五星横着行雲雨次之曰四方壁上天廐十圓黄鈇鑕五星羽林㫄(一本多土公兩黒壁下藏一句)白虎七宿居降婁大梁寔沈之次横亘八十有三度八十五分以建丑寅夘月昬見南方起羽林左終天側左謂之西陸奎(一作䖯)十六星在天漢南為溝瀆其距西南大星名天豕目廣十有六度六十分起娵訾末度盡降婁(爾雅云降婁婁)(也萬物至戌皆降而聚於婁故曰降婁)十五度奎北天漢内五星曰王良其四星連曲為天駟一星為御官御官動為䇿馬史曰王良策馬車騎滿野此也㫄一星近天鉤曰䇿入壁半度良左一星曰附路附路左六星曰閣道奎南七星曰外屏屏南七星如鉤曰天溷溷右一星曰土司空在八魁之西南入壁度歩天歌云奎腰細頭尖似破鞵一十六星遶鞵生外屏七烏奎下横屏下七星天溷明司空左畔土之精奎上一宿軍南門河中六箇閣道形附路一星道㫄明五箇吐花王良星良兮近上一䇿名婁三星不勻在奎東南為聚衆其距中央大星廣十有一度八十分起降婁十六度盡二十九度婁東西各五星曰左更右更婁北天漢内十一星左右列各五中一大星曰天大将軍入奎度(其南一星即軍南門)婁南六星曰天倉亦入奎度又南四星曰天庾步天歌云婁三星不勻近一頭左更右更烏夾婁天倉六箇婁下頭天庾四星倉東脚婁上十一將軍侯胃三星鼎足立在婁東北近漢為倉廪其距西第一星廣十有五度六十分起降婁二十九度盡大梁(大梁昴畢也昴)(畢間七曜所入要道若梁然)十二度胃北八星如鉤曰大陵陵中一星曰積尸東天漢内九星與大陵分勢者曰天船船内一星曰積水胃南左四星曰天廪廪又臨赤道十三星形如乙字曰天囷步天歌云胃三星鼎足河之次天廪胃下斜四星天囷十三如一形河中八星名大陵陵北九箇天船名陵中積尸一箇星積水船中一黑晶昴七星四三相承一星獨大南臨黄道史記天官書作留毛傳亦以為留也又曰旄頭主胡其距西南星廣十有一度三十分起大梁十三度盡二十四度昴北六星卷如曰卷舌舌中一星曰天讒舌後四星在五車北曰礪石昴左一星近黄道曰月星右一星曰天阿月南阿東五星曰天隂天囷南六星曰芻藁亦曰廥積其南十六星曰天苑天阿以下五官入胃度步天歌云昴七星一聚實不少阿西月東各一星月下五黄天隂名隂下六烏芻藁營營南十六天苑形河裏六星名卷舌舌中黑㸃天讒星礪石舌㫄斜四丁畢八星欹倚黄道謂之罕車天之雨師也天官書作濁爾雅云濁謂之畢其大星曰天髙其距口北星廣十有七度四十分起大梁二十四度盡實沈(實沈髙辛氏季子名也主參故)(以是名)十度傍一小星為附耳其上二星夾黄道曰天街東六星珠連曰諸王諸王北漢中五大星斜對畢口曰五車車旁九小星三三而聚曰三柱亦曰三泉車中五星曰天潢其上三星曰咸池車南一星曰天關畢畔諸王下四小星亦曰天髙畢南耳下八星大首而曲柄曰天節其東九星連蜷直五車曰參旗旗南九星夭矯而下垂曰九斿斿旁九星如圜而長曰九州殊域天苑南十三星曰天園入昴度步天歌云畢恰似爪乂八星出附耳畢股一星光天街兩星畢背旁天節耳下八烏色畢上横列六諸王王下四皁天髙星節下團團九州城畢口斜對五車口車有三柱任縱横車中五箇天潢晶潢畔咸池三黒星天關一星車脚邊參旗九箇參車間旗下直建九斿連斿下十三烏天園九斿天園參脚邊觜三星隅置在參北曰觜觽為虎首其距西南星廣百分度之五觜北河中九星直井鉞上曰坐旗入井度旗西南四星曰司怪入畢度歩天歌云觜三星相近作參蕋觜上坐旗直指天尊卑之位九相連司怪曲立坐旗邊四鵶大近井鉞前參十星肩負黄道為白虎中横三星為衡石下三星為伐(史記天官書作罰)其外四星左右肩足也其距中西第一星廣十有一度一十分起實沈十度盡二十一度參右足下四星曰玊井其南四星曰軍井又南二星曰屏屏左四星曰厠厠下一星曰天矢矢南有丈人子孫各二星俱屬井歩天歌云參總有十星觜相侵兩肩雙足三為心伐有三星足裏深玊井四星右足隂屏前兩扇井南襟軍井四星屏上森左足下四天厠臨厠下一物天矢沉朱鳥七宿居鶉首鶉火鶉尾之次横亘百有八度四十分以建夘辰巳午月昬見南方謂之南陸井八星横列漢湄謂之東井其距北西星廣三十有三度三十分起實沈二十一度盡鶉首二十四度井西一星曰鉞附鉞南四星曰水府入參度東北三星居漢北滸曰北河井南三星居漢南滸曰南河兩河天闕間為關梁七曜之道也北河之南五星在井東曰五諸侯侯南三星曰天樽又積水一星在北河之西積薪一星在北河之東其南四星居漢中曰水位井西南四星曰四瀆又南三星曰闕丘亦曰天闕闕丘西下十三星在南河之南形若天錢曰軍市中一星曰野雞精市東一大星曰狼狼東南九星状若張弓曰弧矢弧南有一星曰老人近南極中國不見南海上候之唐張籍送鄭尚書赴廣州詩云此處莫言多瘴癘天邊看取老人星是也軍市西南二星曰丈人其東二星曰子子東二星曰孫皆入參度步天歌云井八星横列河中淨一星名鉞井邊安兩河各三南北正天樽三星井上頭樽上横列五諸侯侯上北河西積水欲覔積薪東畔是鉞下四星名水府水位東邊四星序四瀆横列南河裏南河下頭是軍市軍市團團十三星中有一箇野雞精子孫丈人市下列各立兩星從東説闕丘三箇南河東邱下一狼光蒙茸左畔九箇彎弧弓一矢擬射頑狼胸有箇老人南極中春秋出入夀無窮鬼在天漢東黄道北四星多置如匱謂之輿鬼中一星名積尸氣為質書曰徳成衡觀成潢傷成鉞禍成井誅成質是也其距西南星廣二度二十分起鶉首二十四度盡二十六度北四星直軒轅西在井之東北曰爟南七星横河中曰天狗弧矢南六星曰天社二官入井度天狗東六星曰外厨其南一星曰天紀二官入栁度步天歌云鬼四星冊方似木櫃中央白者積尸氣鬼上四星是爟位天狗七星狼北是外厨六星柳星次天社六箇弧東倚社東一星是天紀柳八星在鬼東南黄赤道間天官書作注朱鳥之注也其距西頭第三星廣十有三度三十分起鶉首二十六度盡鶉火(栁為鳥喙星為鳥頸張為烏嗦三宿連體故總謂之鶉火)十度栁北三星近軒轅右角曰酒旗入星度南即外厨天紀也栁近上台張近中台翼近下台步天歌云栁八星曲頭垂似栁近上三星號為酒享晏大酺五星守星七星如鉤踦赤道為鳥頸其距大星廣六度三十分起鶉火十一度盡十七度星北十七星卷曲而翼飛形如騰龍度跨星張曰軒轅其大星前一星為御女左角為少民右角為大民周禮天府祭天之司民司禄謂此天文星第四星也或曰黄龍之體黄帝之神為後宫為權其東近中台四星曰内平入張度酒旗南三星曰天相相南五星曰天稷步天歌云星七星如鉤栁下生星上十七軒轅形軒轅東頭四内平平下三箇名天相相下稷星横五明張六星在赤道南為鳥嗉其距西第二星廣十有七度二十五分起鶉火十七度盡鶉尾三度(南方七宿取朱鳥為象井鬼為)(首翼軫為尾故曰鶉尾)南十四星曰天廟入星度步天歌云張六星似軫在星旁張下只是有天廟十四之星冊四方長垣少㣲雖向上星數歌在太微旁太尊一星直上黄翼二十二星在赤道南北連太微垣若承捧然為鳥翼其距中行西第二星廣十有八度七十五分起鶉尾三度盡二十三度南五星曰東甌入張度步天歌云翼二十二星大難識上五下五横著行中心六箇恰如張更有六星在何許三三相連張畔附若必不能分處所更請向前分度取五箇黑星翼下頭欲知名字是東甌軫四星在赤道南為鳥尾為車轄二星附兩旁其中一星名長沙其距西南星廣十有七度三十分起鶉尾二十三度盡夀星八度右轄西南二星曰軍門其南四星曰土司空其左七星曰青邱其南三十二星曰器府歩天歌云軫四星似張翼相近中央一箇長沙子左轄右轄附兩星軍門兩黄近翼是門下四箇土司空門東七烏青丘子青丘之下名器府器府之星三十二以上便為太微垣黄道向上看取是太㣲垣在北斗之南鶉尾之次西臨翼初東盡軫末垣星左右各五南中為端門夾端門二星曰左右執法執法之東西為左右掖門掖門之北左四輔南相北将右四輔南将北相各有上次四輔間各三門南曰東西太陽中曰東西華北曰東西太隂端門内右執法北四星曰内屏屏北五星為五帝座中曰黄帝蒼赤白黑四帝各居其方座北一星曰太子太子右一星曰從官左一星曰幸臣左執法東北一星曰謁者謁者東北三星曰三公内座三公北三星曰九卿内座九卿北五星曰内五諸侯侯北十有五星依烏曰郎位或云二十四星也東北一大星曰郎将從官右一星在西垣之外上相之西下台之南曰虎賁郎位北七星如畢狀曰常陳常陳右六星兩兩相比起文昌列招揺抵太㣲曰三台亦曰三能西二星近文昌為上台司命在栁北其北星入栁六度次二星對軒轅為中台司宗其北星入張二度東二星近太微為下台司禄在垣西藩北其北星入翼二度東方朔願陳泰階六符孟康曰三台也南四星雁行近上相曰少㣲處士星也其南四星入張度曰長垣右垣西南三星曰明堂堂西三星近上相曰靈臺二官皆入翼度天官書無垣名而曰南宫朱烏權衡衡太㣲權軒轅考要亦云南宫之宿其大者曰權衡衡為太微之庭權為女主之宫步天歌云上垣太㣲宫昭昭列象鋪蒼穹端門只是門之中左右執法門西東門左皂衣一謁者以次即是烏三公三黒九卿公背傍五黑諸侯卿後行四箇門西主軒屏五帝内座於中正幸臣太子及從官烏列帝後從東定郎将虎賁居左右常陳郎位居其後常陳七星不相誤郎位陳東一十五兩邊宫垣十星布左右執法是其數宫外明堂布政宫三箇靈臺候雲雨少微四星西南隅長垣雙雙㣲西居北門外西接三台與垣相對無兵災右列宿度分皆以赤道立距各過宫中星皆以萬厯年間爲凖古言星官者唐虞以前莫考其見於尚書則四象列宿僅僅有其三漢以來石申甘德兩家最著後又有巫咸家出然象於朝者皆襲秦官意其非巫咸本文也馬遷班固書志巳多不同張衡靈憲以為中外之官常明者百有二十可名者三百二十為星二千五百微星之數萬有一千五百二十吳太史令陳卓乃偹列甘德石申巫咸三家之星總二百八十三座為星一千四百六十四石申紫㣲垣一十三座六十四星中官四十八座二百八十六星外官三十六座二百七十七星皆赤甘德紫薇垣二十一座一百二十星中官五十七座一百九十八星外官四十座二百一十一星皆黑巫咸紫薇垣四座一十八星中官九座三十一星外官二十座九十三星皆黄即今步天歌中所謂黄赤黑者也其名同者三公星有三兩在紫薇垣一在太㣲垣從官星有二在太㣲垣者一星屬房宿者二星天紀星亦有二在天市垣者九星屬鬼宿者一星御女亦有二在軒轅之下者一星在紫薇垣内者四星天田星亦有二屬角宿者二星屬牛宿者九星杵星亦有二箕屬危屬皆三星也又土司空有二屬奎者一星屬軫者四星胃屬有積尸在大陵中其在輿鬼内者名積尸氣也角屬有衡星又太微為衡北斗第五星為玊衡也斗星有三在紫薇垣者謂之北斗七星在元武象者謂之南斗六星在天市垣者則五星也司禄亦有三其一屬危其一為文昌第四星其一為三台東二星也兩太子一在太微垣一為北極第一星心宿之前星亦為太子也兩積水一在井一在胃兩五諸侯一在井一在太微垣房屬有罰參中之伐亦作罰天市垣之諸國與女下之十二國亦多同其相似者如内屏外屏之與屏星内㕑外㕑之與天㕑天雞之與野雞天溷之與天厠臼星之與敗臼鉤星之與天鉤相星之與天相狗星之與天狗狗國三公内座之與三公五侯内座之與五侯軍門之與軍南門土功之與土功吏五柱之與三柱實繁有徒餘不著者無名回回厯暨郭太史俱有新測無名諸星但不便於考記故不著今所用乃宋皇祐間校定而皇祐一本之丹元子步天歌紫薇垣三十八座一百八十四星太微垣一十九座七十八星天市垣一十八座八十七星列舎并附官二百一十二座一千一百三十八星中外官共二百八十七座一千四百八十七星然一座之星有兼跨兩宿勢難割裂步天歌但取其相近者屬之而觀測則不合故今雖從歌紀之而仍明註入某度入某度(紫薇垣正)(處天中度次徧入於列舎凡星在赤道内為中宫赤道外為外宫原註)(古厯以周天諸星分為三垣二十八宿各各定有名位座次每座每宿星數又各多寡不齊然其所謂宿者盖)(取七曜經行止宿之義且用以便於測算經度又謂其各能主施德也星之命名或彷彿其形似或因其光色)(或因其德性或命以官以國以人以物以事種種借義咸以便司天氏之仰觀耳○又按二十八宿恒星也常)(定不移故謂之恒由今驗之實未常不移者如角大星周赧王二十年丙寅測得經度在秋分前鶉尾宫二十)(二度後於漢順帝永和三年戊寅測在鶉尾二十七度嘉靖四年乙酉測得過秋分在夀星宫一十七度萬厯)(十三年乙酉測在夀星宫一十八度軒轅星亦如之赧王丙寅在鶉首二十七度漢永和戊寅在鶉火三度三)(十分今測在鶉火二十四度四十分餘星皆如之是以帝堯之世日中星鳥謂春分則初昏時鶉火中也而周)(未在井今在參矣堯時冬至日在虚漢唐在斗今在箕矣過此以往又安知其不更異於昔耶即在天諸星巫)(咸石申甘德之徒分次識别如前所定垣宿是矣實有不止於是者如昴宿世傳七星或云六星而實則三十)(七星鬼宿四星其中積尸氣相傳為白氣如雲實則其間有小星三十六但微茫難見耳)天漢天漢自昔志天官者遺之然絡帶南北為天之大界宿次舎垣借此以分昭昭乎與星辰俱垂象也烏可遺乎天漢謂之天河張衡云金之氣或云水之精精氣發升宛轉若流與河海通余謂不然直是成象之在天者與星月同耳其南入南極不可見可見者自尾箕始經龜魚𫝊説天江糠星天籥斜行上連箕斗天弁河皷左右旗倒分一派西映天市之吳越自坤抵艮至宗人宗星而止其大勢上絡天津而至車府造父螣蛇王良附路閣道大陵天船則漸下而南行厯卷舌五車諸王天關司怪水府入東井過四瀆闕邱天狗弧矢之墟在社稷七星之南而入於南極内也步天歌云天河亦名曰天漢起自東方箕尾間遂乃分為南北道南經傅説入魚淵開籥戴弁鳴河鼓北經龜宿貫箕邊次絡斗魁冒左旗又合南道天津湄二道相合北西行分夾匏𤓰絡人星杵畔造父螣蛇精王良附路閣道平登此大陵泛天船直到卷舌又南征五車駕向北河南東井水位入吾驂水位過了東南游經次南河向闕邱天狗天紀與天稷七星南畔天河没厯體畧卷中
## 卷下
欽定四庫全書厯體略卷下明 王英明 撰前所輯皆自古談天成說也近有歐邏巴人挾其厯自大西洋來所論天地七政厯厯示諸掌創聞者不能無駭且異徐繹之悉至理也夫禮失而求之野擇其善者而從之不猶愈於野乎述西厯體(歐邏巴國名其地亦在赤道北北至北極出地四十五度實與中國東西相對俱有理學文字其俗)(素精天文專以尊事天主上帝為學俗呼大西洋也自利瑪竇於神廟初挾其彼國圖書器物由海)(道自西南諸國以入中華尚食京師發明九重天奥義自後同學相繼而來所譯教義諸書不下充)(棟而厯法一部如幾何原本同文算指表度等說測量全義日月星躔表天問畧測天約說及渾天)(儀測蝕等書確當詳明逺過前代今總彚為崇禎厯書百餘卷實推步家之指南也集中所載僅撮)(其度數經緯及天體地形日月星辰躔宿薄蝕等義足以左右厯指者其文辭先後自相發明故鮮)(所詮註也)天體地度凡厯象日月星辰者南北東西隨地理之差為移易故不知輿地者不可以厯天兹首著渾天包地之故而以天躔經地度信乎其為物之不貳也東海西海心同理同吾中前聖舊蓋有其說矣恨語焉不詳耳於乎請勿怪生齒之反足相對也天有九重第九重號為宗動天體無星辰帶下八重天轉動一日一周自東而西第八重列宿天二萬四千四百年一周第七重填星天二十九年一百五十五日二十五刻一周第六重嵗星天一十一年三百一十三日七十○刻一周第五重熒惑天一年二百二十一日九十三刻一周第四重日輪天三百六十五日二十三刻一周第三重太白天第二重辰星天俱隨日作三百六十五日二十三刻一周第一重月輪天二十七日三十一刻一周此八重天者俱自西而東右旋而俱為宗動天帶之左旋九天層疊包裹如葱頭雖體極堅而通透光亮清虚無礙不異琉璃水晶也日月星辰在其體内如木板之節各因本天而動焉天之内包火火之内包氣氣又包水土而水土合為一丸即地也火輕揚故升於九重天之下土重濁故凝於天之中水輕於土故浮土之上氣不輕不重故乗水土而負火此係元火附於天而隨之環動偕之一周極淨甚炎而無光也何以無光無薪炭等體以傳其光耳一遇外物衝撃則發光矣世所云天裂星流是也試觀陶窰之久燒者初除薪炭雖内不見火光而熱氣甚盛物入之即焚正猶是耳乃氣又有上中下三域上域近火故大熱下域近水土而水土為太陽所射故發煖中域上下隔絶故大寒而霜雪凝於斯然三域又廣狹弗等南極北極之下太陽不到隂氣甚盛其上下熱煖之域狹而中寒冷之域廣若赤道之下正當太陽隂氣甚微其上下熱煖之域廣而中寒冷之域狹地與海合為一丸本是圓形居渾天之當中㣲止一㸃謂地為方者乃語其定而不移之性非語其形體也天既包地則彼此相應故天有南北二極地亦有之天分三百六十度地亦同之天中為赤道自赤道而南二十三度半為南道赤道而北二十三度半為北道中國在北道之北日行赤道則晝夜半行南道則晝短行北道則晝長故渾天有晝夜平道於中晝短晝長二道於南北為日行之界地亦有三界對於下焉但天包地外為甚大其度廣地處天中為甚小其度狹耳測得直行北方者每路二百五十里北極出髙一度南極入低一度直行南方者每路二百五十里北極入低一度南極出髙一度則審地形果圓而每二百五十里為地之一度也信地之東西一周南北一周各九萬里而不異也夫地厚二萬八千六百三十七里零二十五分里之九上下四旁皆生齒所居渾淪一丸原無上下葢在天之内何瞻非天總六合内凡足所履即為下凡首所戴即為上其專以身之所居分上下者皆不逹者也余自西海汎舟而來南行至亦道下見南北二極皆在平地略無髙低又南過大浪山但見南極出地三十六度而北極隱而不見則大浪山與中國上下相為對待矣而余彼時惟仰天在上未嘗見其在下也故謂地形圓而周圍皆生齒者信然矣以地圓故凡自海西岸上船者乗正東風遶地一週於東岸下船則一年止三百六十四日其理固自明也以天度分山海自北而南為五帶一在晝長晝短二界之間其地甚熱近日故也二在北極界之内三在南極界之内此兩處甚冷逺日故也四在北極晝長二界之間五在南極晝短二界之間此兩處皆謂之正帶不冷不熱日輪不逺不近故也南北緯度定天下之縱視其緯度可以知各極出地幾何度自赤道一綫之界而起平分天下之中北至北極南至南極凡地在赤道以北主北極則為北方在赤道以南主南極則為南方中國主北極而釋氏謂為南〔？〕部州其謬甚矣葢地距赤道度數與各極出地度數相等但在南方則著南極出地之數在北方則著北極出地之數故北京在赤道以北四十度則知北京北極髙四十度也大浪山在赤道以南三十六度則知大浪山南極髙三十六度也凡同緯度之地其極出地之數同則四時寒暑同若兩處距赤道度數相同但一離而南一離而北則四時之晝夜刻數皆同惟時相反此之秋彼為春此之夏彼為冬耳離赤道愈逺則晝夜長短愈多其長晝長夜之地每度長幾何則自西徂東離赤道度數皆一焉東西經度定天下之衡視其經度可以知兩處相離幾何辰葢日行一日一周天每時行三十度而兩處相距三十度為差一辰故女直距緬甸東西三十度則女直為夘時緬甸為寅時也其他倣是若差六辰則兩處晝夜相反焉若晝夜相反者離赤道度數同而一南一北則兩處人行立正對足底故中國金陵離赤道以北三十二度而大東洋之瑪八作離赤道以南三十二度東西相距一百八十度則金陵與瑪八作相對足底行立矣從此知同經度地并同辰而同時見日月食也(列宿即二十八宿世謂恒星填星即土星歲星即木星熒惑即火星太白即金星辰星即)(水星火氣水土為四元行元火謂無形之火也天裂流星今夏秋夜見俗所謂星移者謬也元火在上日)(蒸人物之氣上觸而現為光正猶是耳南極夏至太陽不到北極冬至太陽不到東西南北一周各九萬)(里而不異以地里數凖天度數可考而知釋氏謂南〔？〕部洲言日月繞須彌山而成晝夜天文荒誕如此)(地理可知矣凡同緯度之地言東西國也極東極西與中國止差早晚而冬夏寒暑則等止因緯度之同)(耳)度里之差凡北極差一度則地差二百五十里測之無不合者然渾天之體經度在所各同而緯度自東周西乃惟正當赤道之下為得一度漸南漸北則漸以狹其里數亦難概以二百五十也略舉其凡如左赤道北抵北極九十度以次漸逓加殺(凡六十分為一度凡六十秒為)(一分)則直得一度横得若干分秒是故從赤道起第一度横得五十九分五十九秒第五度横得五十九分四十六秒第十度横得五十九分○五秒第十五度横得五十七分五十七秒第二十度横得五十六分二十三秒第二十五度横得五十四分四十九秒第三十度横得五十一分五十八秒第三十五度横得四十九分○九秒第四十度横得四十五分五十八秒第四十五度横得四十二分二十六秒第五十度横得三十八分三十四秒第五十五度横得三十四分二十五秒第六十度横得三十○分○秒第六十五度横得二十五分二十一秒第七十度横得二十○分三十一秒第七十五度横得十五分三十二秒第八十度横得一十○分二十五秒第八十五度横得○五分一十四秒至第九十度則分秒俱無矣此略舉隔五之數實則每度不同焉自赤道抵南極亦然以地凖之則每度徑得二百五十里每分徑得四里零六分里之一即六十步凡積十四秒零二十四微為一里積二分二十四秒為十里積二十四分為百里積四度為千里積四十度為萬里皆以弦直道論云(里差每一度差二百五十里此從渾天儀可驗者經緯濶狹理所固然但隨南隨北天體)(髙圓未嘗少異恐經緯亦隨處而皆然也俟訂)緯曜太陽當空列曜俱熄至夜而星可測也星莫燦於五緯然各有遲留退伏又金水太隂距地最近不可以地面為較自太陽以上諸曜距地絶逺則地面地心總之不異且其形體各不相等人目所睹近者雖小亦大逺者雖大亦小不可以井闚泥之地周九萬里其半徑一萬四千三百一十八里零九分里之二月距地中心四十八萬二千五百二十二里餘辰星距地中心九十一萬八千七百五十○里餘太白距地中心二百四十○萬六百八十一里餘其光有消有長如月輪然日距地一千六百○五萬五千六百九十○里餘熒惑距地二千七百四十一萬二千一百○○里餘歲星距地一億二千六百七十六萬九千五百八十四里餘四周有四小星遶行甚疾或此東彼西或彼東此西或俱東俱西鎮星距地二億○五百七十七萬○五百六十四里餘形如雞卵兩側有兩小星鎮星全徑大於地全徑九十倍又八分之一歲星全徑大於地全徑九十四倍半熒惑大半倍日大於地一百六十五倍又八分之三地大於太白三十六倍又二十七分之一地大於辰星二萬一千九百九十一倍地大於月三十八倍又三分之一日大於月六千五百三十八倍又五分之一(皆以徑論)經宿凡經星以二萬四千四百年一周天是為歲差但其移也密百年之内所差不多故可以定度取之中外星官三百六十未易悉列兹舉大者數十以俟宵測總之論各星所入赤道宿次度分與其在赤道南北幾何距極幾何以至異體大小之等皆載焉凡經星距地三億二千二百七十六萬九千八百四十五里有餘此外即一日一周之天包絡轉運此天距地六億四千七百三十三萬八千六百九十○里有餘所謂宗動天也其經星之體凡有六等上等全徑大於地全徑一百○六倍零六分之一次等大於地八十九倍零八分之一其三等大於地七十一倍零三分之一其四等大於地五十三倍零十二分之一其五等大於地三十五倍零八分之一其六等大於地一十七倍零十分之一舉其著者五十二官若今所謂天漢者則小星稠密光顯相聨若白練然非白氣也勾陳三星體等三入壁二度距北極三度赤道北八十五度太閣道南二星體等三入壁六度少距北極三十六度半赤道北五十三度太天綱體等三入壁七度太距北極一百○二度赤道南二十度半奎左北第五體等三入奎三度太距北極六十二度赤道北三十四度少天倉右三星體等三入奎七度太距北極一百○二度赤道南十三度太大陵大星體等二入胃三度太距北極五十三度太赤道北三十九度半天船西三星體等二入胃五度太距北極四十一度太赤道北四十七度太天囷東一星體等三入胃八度少距北極八十五度太赤道北二度少昴宿兩星體等俱五入胃十五度少昴一度距北極六十八度少赤道北二十一度太畢宿大星體等一入畢二度距北極七十五度少赤道北十五度太五車右北體等一入畢八度太距北極四十五度太赤道北四十五度參右足體等一入畢十二度太距北極九十八度半赤道南九度少參左肩體等一入參五度少距北極八十二度太赤道北六度少天狼體等一入井八度少距北極一百○六度少赤道南十五度太北河中星體等二入井十六度半距北極五十八度少赤道北三十一度半南河東星體等一入井二十度少距北極八十四度少赤道北六度少北河東星體等二入井二十度少距北極六十度少赤道北二十八度太星宿大星體等二入星初度半距北極九十七度太赤道南四度半軒轅大星體等一入張三度少距北極七十五度太赤道北十四度少軒轅南三星體等三入張三度半距北極六十八度半赤道北二十二度少北斗天樞體等二入張一十五度半距北極二十五度太赤道北六十二度太北極天璇體等二入張一十五度少距北極三十一度少赤道北五十九度太微西垣上相體等二入翼三度距北極六十六度半赤道北二十二度太北斗天璣體等二入翼十三度距北極三十三度少赤道北五十七度北斗天權體等三入翼十三度少距北極二十九度太赤道北六十度少太微帝座體等一入翼十三度太距北極七十一度太赤道北十七度少北斗玊衡體等二入軫十度少距北極三十一度赤道北五十八度少角宿南星體等一入角初度距北極九十八度半赤道南八度少北斗開陽體等二入角一度少距北極三十二度赤道北五十七度少北斗揺光體等二入角七度太距北極三十七度半赤道北五十一度太大角體等一入亢一度距北極六十八度赤道北二十一度太招揺體等三入亢六度太距北極四十九度少赤道北四十度半氐右南星體等三入氐初度距北極一百○四度赤道南十三度半氐右北星體等三入氐五度距北極九十八度太赤道南七度少貫索大星體等三入氐四度太距北極五十六度少赤道北二十八度太市垣梁星體等三入房五度距北極九十一度太赤道南二度心宿中星體等二入心二度距北極一百一十五度少赤道南二十四度太市垣候星體等二入尾二度太距北極七十六度少赤道北十三度少市垣帝座體等三入尾七度太距北極七十四度太赤道北十五度半天棓大星體等三入箕四度距北極四十○度少赤道北五十二度少織女大星體等一入斗一十八度少距北極五十一度太赤道北三十八度太河鼓中星體等二入斗二十度半距北極八十三度太赤道北七度少天津右北三星體等二入女二度少距北極四十七度少赤道北四十三度太天鉤大星體等三入虚二度少距北極三十○度太赤道北六十○度太壁壘西星體等三入虚三度少距北極一百○九度太赤道南十八度太危宿北星體等三入危初度太距北極八十七度少赤道北七度少室宿北星體等二入室初度距北極六十五度半赤道北二十五度室宿南星體等二入室初度距北極七十八度少赤道北十二度太羽林大星體等三入室九度太距北極一百○六度太赤道南十八度北落師門體等一入室(闕) 距北極赤道南右中外星官燦爛著明可立距七曜者略備矣若初學之士未能盡識更擇取簡要大星用之如左大陵大星天船三星畢宿大星五車右北參左肩右足天狼北河兩星南河東星星宿大星軒轅大星太微帝座微垣上相角宿南星大角心宿中星河鼔中星織女大星北落師門天津右二室壁兩宿北斗七星右所紀度分節去五度四分度之一而零分以太半少約之以地圜故凡人在南方則見北方所不見之星在北方者亦見南方所不見之星人之行漸南漸北其南北之星隨而漸次隱見也(中邦處赤道之北以北極出地三十度為率則閩粤以北諸星皆可)(見赤道以南漸難於闚測矣)黄道宫界帶天之紘爲赤道七曜經行爲黄道兩環斜交各自有極以三百六十度計之則經度每三十度交一宫十五度為一氣起磨羯之初為冬至月建子中小寒月建丑初是盡一宫次交寳瓶宫為大寒丑中立春寅初次交雙魚宫為雨水寅中驚蟄卯初而際於赤道交白羊宫為春分卯中清明辰初次交金牛宫為穀雨辰中立夏已初次交隂陽宫為小滿已中芒種午初既盡此宫遂轉而交巨蟹宫為夏至午中小暑未初次交獅子宫為大暑未中立秋申初次交雙女宫為處暑申中白露酉初又際赤道交天秤宫為秋分酉中寒露戌初次交天蝎宫為霜降戌中立冬亥初次交人馬宫為小雪亥中大雪子初乃又值天正冬至而一歲周焉凡天下寒暑榮悴皆由黄道中國當赤道之北故太陽之行黄道也一北而暖而萬物生一南而寒而萬物死也其反是者不論兹以白羊戌宫為始紀之所謂步戌成歲云白羊宫三十度初度起壁初於辰為酉中戌初金牛宫三十度初度起婁五於辰為申中酉初隂陽宫三十度初度起昴七於辰為未中申初巨蟹宫三十度初度際參末於辰為午中未初獅子宫三十度初度起井三十於辰為巳中午初雙女宫三十度初度起張七於辰為辰中已初天秤宫三十度初度起軫初於辰為卯中辰初天蝎宫三十度初度起亢初於辰為寅中卯初人馬宫三十度初度起房三於辰為丑中寅初磨羯宫三十度初度起箕三於辰為子中丑初寳瓶宫三十度初度起牛初於辰為亥中子初雙魚宫三十度初度起危三於辰為戌中亥初赤道緯躔太陽之出入於赤道也南二十三度半而冬至北二十三度半而夏至内外不異而往來有漸兹著二十四氣每日所躔九服凖之可以知在所赤道出地髙低因以推在所之北極焉氣候刻漏隂陽之運於天地間也為寒暑為晝夜而一禀之太陽是故厯象以測日為第一義而日影隨在不同其氣候寒熱與刻漏長短隨之兹以天凖地凡在九萬里内者悉一一著焉凡天下寒暑氣候為五截日景亦五截赤道之下其地四時皆燠而春秋分為甚為適當日道之下也冬夏至稍減而其燠則同為去日道僅二十三度半也春秋分日中無景過春分則景在南過秋分則景在北其地以四十五日為一時一年共八時有兩春兩夏兩秋兩冬草木一歲再榮再枯故自赤道北二十三度半至赤道南二十三度半一帶地方立表每歲間東西南北日影俱到也日行南北二道之下其地每歲一極寒一極暑而正相反在北道者夏至暑冬至寒日有東南西三面景而南景為常自赤道北二十三度半至六十六度半一帶地方皆同在南道者反是過此二界則黄道之所不至日不經天頂過矣其地四時皆寒周圍皆有日景而以半年為晝半年為夜草木朝生暮死故自赤道南北各六十六度三十分至九十度一帶為二極界内之地晝夜永短偏勝之極每晝間日景東西南北周到也盖赤道南北各二十三度半乃黄道所經冬夏二至之界其六十六度半乃極南極北之界而冬夏晝夜長短於此分焉自赤道以北諸國觀之日行北道則晝長夜短至夏至而極極則返而南日行南道則夜長晝短至冬至而極極則返而北其赤道以南諸國反是故惟黄道與南北二極之界相距適中之地冲和之氣鍾焉凡此自東周西一帶毓靈孕秀遂多聖賢豪傑之儔中國自距赤道十九度至四十二度正當其處此外過寒過燠皆屬偏氣雖有人類蠢頑不靈矣晝夜永短關乎緯度是故赤道距兩極各九十度每度每分之地其晝夜永短各各不同略舉其大則北極之下長晝長一百八十二日六十二刻葢自春分至秋分通為一晝矣漸而南五度夏晝長一百七十七日九十八刻又五度夏晝長一百六十一日二十一刻又五度夏晝長一百三十四日二十○刻又五度夏晝長一百○四日○四刻又五度夏晝長六十四日五十五刻皆夏至前後通為一晝無夜餘漸有夜至秋分而平又五度夏晝長八十八刻又五度夏晝長七十七刻又五度夏晝長七十一刻又五度夏晝長六十七刻又五度夏晝長六十四刻又五度夏晝長六十二刻又五度夏晝長五十九刻又五度夏晝長五十八刻又五度夏晝長五十六刻又五度夏晝長五十五刻又五度夏晝長五十三刻又五度夏晝長五十二刻至九十度夏晝長五十刻各以減百刻為夜刻則赤道之下也總之平分於赤道而南北反對南為長晝則北為長夜北為長晝則南為長夜北為夏晝南為冬晝南為夏晝北則冬晝其兩極之下長晝長夜則半年有日光半年無日光者也(巳上諸說西法製有增式渾天儀旋轉可測算也)附録凡厯家每日以七曜之一為本日所直宿葢取天體層數定之晝夜勻作二十四分如第一分屬太陽則第二為金三為水四為月五為土六為木七為火周而復始則其第八第十五第二十二皆屬太陽至二十四屬水而一日終焉次日之第一乃當屬月厯取首分之曜為一日之直因以月繼日而以日月火水木金土作每日之序云其所云二十四分者不論晝夜長短但勻日出後十二分日入後十二分亦非一時截作兩時也西國以此論人禄命及占候祲祥今疇人相㳂用之而不知其自故附見於此人在地上視日月大小不逺然月之離地一十○萬四千四百○一里又百分里之八十一日之離地一千五百九十一萬二千三百八十二里人目之視近者大而逺者小其常也今逺近異而體象等所以知其有大小也然何以知日大於地地大於月也答曰凡以光相施者丸之大小相等則其受光與不受光相半而所蔽之暗影至於無窮惟以小蔽大則小者之受光必過於半體而其暗影漸逺亦漸尖細逺之極無復暗影焉其影有窮也故月有蝕而星無蝕月近地而星逺地也地影不能及星也若月與地等何以蝕既又有蝕甚耶若地與日等或更大焉則衆星皆蝕矣所以知其大小之分也又問日月蝕之理如何曰日蝕者縁朔時月至黄道在日之下遮掩日光人不能見日輪謂日蝕也然日輪了無失光故其蝕非天下相同之蝕或此處蝕他處不蝕或此處全蝕他處半蝕此因所當有偏正之異故也月蝕天下皆同也葢月與衆星皆借日為光地在九重天之當中若望時月至黄道正與太陽相對地形障隔其中不得相射則月失其光而人以為蝕乃地影䝉之耳出地影而復光矣此交蝕之大略也厯體略卷下◆ 《御製歷象考成-清-》（KR3f0018）
## 御製律厯淵源序
御製律厯淵源序
粵稽前古堯有羲和之咨舜有后䕫之命周有商高之訪逮及厯代史書莫不志律厯備數度用以敬天授民格神和人行於邦國而周於鄉閭典至重也我皇考聖祖仁皇帝生知好學天縱多能萬幾之暇留心律厯算法積數十年博考繁賾搜抉奧微叅伍錯綜一以貫之爰指授莊親王等率同詞臣於大内蒙養齋編纂毎日進呈親加改正彙輯成書總一百卷名爲律厯淵源凡爲三部區其編次一曰厯象考成其編有二上編曰揆天察紀論本體之象以明理也下編曰明時正度密致用之術列立成之表以著法也一曰律呂正義其編有三上編曰正律審音所以定尺考度求律本也下編曰和聲定樂所以因律製器審八音也續編曰協均度曲所以窮五聲二變相和相應之源也一曰數理精藴其編有二上編曰立綱明體所以解周髀探河洛闡幾何明比例下編曰分條致用以線面體括九章極於借衰割圜求體變化於比例規比例數借根方諸法蓋表數備矣洪惟我國家聲靈逺届文軌大同自極西歐羅巴諸國專精世業各獻其技於閶闔之下典籍圖表燦然畢具我皇考兼綜而裁定之故凡古法之歲乆失傳擇焉而不精與西洋之侏〔？〕詰屈語焉而不詳者咸皆條理分明本末昭晰其精當詳悉雖專門名家莫能窺萬一所謂惟聖者能之豈不信歟夫理與數合符而不離得其數則理不外焉此圖書所以開易範之先也以線體例絲管之别以弧角求經緯之度若此類者皆數法之精而律厯之要斯在故三書相爲表裏齊七政正五音而必通乎九章之義所由試之而不忒用之而有效也書成纂修諸臣請序而傳之恭惟聖學高深豈易鑽仰顧朕夙承庭訓於此書之大指微義提命殷勤歲月斯乆尊其所聞敬効一詞之贊葢是書也豈惟皇考手澤之存實稽古準今集其大成高出前代垂千萬世不易之法將欲協時正日同律度量衡求之是書則可以建天地而不悖俟聖人而不惑矣雍正元年十月朔敬書
## 總目
欽定四庫全書 子部六
御製厯象考成總目 天文算法類一(推歩之屬)上編十六卷下編十卷表十六卷(臣)等謹案御製厯象考成四十二卷康熙五十二年聖祖仁皇帝御定律厯淵源之第一部也按推歩之術古法無徵所可考者漢太初術以下至明大統術而已自利瑪竇入中國測驗漸宻而辨爭亦遂日起終明之世朝議堅守門户訖未嘗用也國朝聲教覃敷極西諸國皆累譯而至其術愈推愈精又與崇禎新法算法圖表不合而作新法算書時歐邏巴人自秘其學立説復深隠不可觧
## 提要
聖祖仁皇帝乃
特命諸臣詳考法原定著此書分上下二編上編曰揆天察紀下編曰明時正度集中西之大同建天地而不悖精微廣大殊非管蠡之見所能測今據其可以仰窺者與新法算書互校如黄道斜交赤道而出其内外其相距之度即二至太陽距赤道之緯度新法算書用西人第谷所測定為二十三度三十一分三十秒今則累測夏至午正太陽髙度得黄赤大距為二十三度二十九分三十秒較第谷所測度 少二分葢黄赤二道由逺而近其所以古多今少漸次移易之故非巧算所能及故當隨時宻測以合天行者也又時差之根其故有二一因太陽之實行而時刻為之進退葢以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時刻為之消長葢以分至為加減之限也新法算書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宫度引數必不能相同合立一表歳乆必不可用今分為二表加減二次而於法為宻矣又新法算書推算日食三差以黄平象限為本然三差並生於太隂而太隂之經緯度為白道經緯度當以白平象限為本太隂在此度即無東西差而南北差最大與髙下差等若在此度以東則差而早宜有減差在此度以西則差而遲宜有加差其加減有時而與黄平象限同有時而與黄平象限異故定交角有反其加減之用也又厯来算術定月食初虧復圓方位東西南北主黄道之經緯而言非謂地平經緯之東西南北也惟月實行之度在初宫六宫望時又為子正則黄道經緯之東西南北與地平經度合否則黄道升降有邪正而加時距午有逺近両經緯迴然各别所推之東西南北必不與地平之方位相符今實指其在月體之上下左右為衆目所共睹較舊法更為親切又新法算書言五星古圖以地為心新圖以日為心然第谷推步均數惟火星以日為心若以地為心立算其得數亦與之同知第谷乃虚立巧算之法而五星本天實皆以地為心葢金水二星以日為心者乃其本輪非本天也土木火三星以日為心者乃次輪上星行距日之跡亦非本天也至若弧三角之法新法算書所載圖説殊多龎雜而正〔？〕又遺黄赤互求之法今以正〔？〕約之為對邊對角及垂〔？〕矢較三比例則周天經緯皆可互求而操之有要矣此皆訂正新法算書之大端其餘與新法算書相同者亦推衍精宻無差累黍洵乎大聖人之制作萬世無出其範圍者矣乾隆四十九年六月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 職名
雍正二年五月十七日奉㫖開載纂修編校諸臣職名承㫖纂修和 碩 莊 親 王(臣)允 祿和 碩 誠 親 王(臣)允 祉彚編日講官起居注詹事府少詹事兼翰林院侍講學士加一級(臣)何國宗翰 林 院 編 修(臣)梅㲄成分校原任湖南巡撫都察院右副都御史(臣)魏廷珍翰 林 院 編 修(臣)王蘭生原 進 士(臣)方 苞考測會 考 府 郎 中(臣)成 徳㕘 領(臣)阿齊圖原 任 吏 部 員 外 郎(臣)顧 琮工 部 員 外 郎 加 一 級(臣)照 海食員外郎俸欽天監五 官 正(臣)明安圖兵 部 主 事 加 一 級(臣)平 安福 建 汀 州 府 知 府(臣)何國棟江 西 袁 州 府 知 府(臣)李 英翰 林 院 筆 帖 式 加 一 級(臣)豐盛額校算兵部郎中兼管欽天監左監副事加二級(臣)何國柱刑 部 員 外 郎(臣)倫大理欽 天 監 左 監 副(臣)四 格内 閣 中 書(臣)黄 茂欽 天 監 博 士 加 一 級(臣)潘汝瑛山 東 莒 州 知 州(臣)陳永年廣 東 西 寧 縣 知 縣(臣)薩 海京 衛 武 學 教 授(臣)胡 振舉 人 揀 選 知 縣(臣)髙 澤㑹 考 府 筆 帖 式(臣)傅明安吏 部 筆 帖 式(臣)戴嵩安候 補 筆 帖 式(臣)黑 都生 員(臣)秦 宁生 員(臣)五徳寳䕶 軍(臣)楊 格校錄翰 林 院 侍 讀(臣)呉孝登翰 林 院 侍 講(臣)留 保刑 部 郎 中 加 一 級(臣)朱 崧户 部 主 事(臣)黒 赫禮 部 主 事(臣)穆繼倫刑 部 主 事(臣)玉 羾工 部 主 事 加 一 級(臣)色合立户 部 司 庫 加 一 級(臣)穆成格工 部 司 庫(臣)伍大夀行 人 司 行 人 加 一 級(臣)顧陳垿湖 廣 黄 州 府 同 知(臣)郎 瀚江 南 通 州 知 州 加 一 級(臣)白暎棠河 南 孟 津 縣 知 縣 加 一 級(臣)陳永貞監 生 候 選 州 同 知(臣)張嘉論生 員(臣)焦繼謨
## 上編卷一
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷一厯理總論天象地體厯元黄赤道經緯度歲差天象虞書堯典曰欽若昊天厯象日月星辰楚詞天問曰圜則九重孰營度之後世厯家謂天有十二重非天實有如許重數蓋言日月星辰運轉於天各有所行之道即楚詞所謂圜也欲明諸圜之理必詳諸圜之動欲考諸圜之動必以至静不動者準之然後得其盈縮蓋天道静專者也天行動直者也至静者自有一天與地相為表裏故羣動者運於其間而不息若無至静者以驗至動則聖人亦無所成其能矣人恒在地面測天而七政之行無不可得者正為以静驗動故也十二重天最外者為至静不動次為宗動南北極赤道所由分也次為南北歲差次為東西歲差此二重天其動甚微厯家姑置之而不論焉次為三垣二十八宿經星行焉次為填星所行次為歲星所行次為熒惑所行次則太陽所行黄道是也次為太白所行次為辰星所行最内者則太隂所行白道是也要以去地之逺近而為諸天之内外然所以知去地之逺近者則又從諸曜之掩食及行度之遲疾而得之蓋凡為所掩食者必在上而掩之食之者必在下月體能蔽日光而日為之食是日逺月近之徵也月能掩食五星而月與五星又能掩食恒星是五星髙於月而卑於恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗動天以渾灝之氣挈諸天左旋其行甚速故近宗動天者左旋速而右移之度遲漸遠宗動天則左旋較遲而右移之度轉速今右移之度惟恒星最遲土木次之火又次之日金水較速而月最速是又以次而近之證也是故恒星與宗動相較而歲差生焉太陽與恒星相㑹而歲實生焉黄道與赤道出入而節氣生焉太陽與太隂循環而朔朢盈虚生焉黄道與白道交錯而薄蝕生焉五星與太陽離合而遲速順逆生焉地心與諸圜之心不同而盈縮生焉厯代專家多方測量立法布算積久愈詳已得其大體其間或有豪芒之差諸説不無同異者蓋因儀器仰測穹蒼失之纎微年久則著雖有聖人莫能預定惟立窮源竟委之法隨時實測取其精密附近之數折中用之每數十年而一修正斯為治厯之通術而古聖欽若之道庶可復於今日矣地體欲明天道之流行先達地球之圓體日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同時出入居東方者先見居西方者後見東西相去萬八千里則東方人見日為午正者西方人見日為夘正也周天三百六十度每度當地上二百里是故推驗大地經緯度分皆與天應測緯度者用午正日晷或測南北二極測經度則必於月蝕取之蓋月蝕與日蝕異日之食限分數隨地不同月之食限分數天下皆同但入限有晝夜人有見不見耳此處食甚於子者處其東三十度必食甚於丑處其西三十度必食甚於亥是故相去九十度則此見食於子而彼見食於酉相去百八十度則此見食於子而彼當食於午雖食而不可見矣設如午酉子卯為日天甲乙丙丁為地球日在午人居甲者日正在其天頂得午時人居丙者日却在其天頂對衝而得子時東去甲九十度居丁者得酉時而西去甲九十度居乙者又得卯時矣夫居甲丙者以酉乙丁卯為地平而居乙丁者則又以午甲丙子為地平蓋大地皆以日到天頂為午正也是故測東西之經度者兩地同測月食虧復時刻或相約於同夜測月與某星同經度分為其時刻分秒相隔一時則東西相去六千里如測南北之緯度則於兩地測北極出地之度所差一度即相去二百里此皆地球圓體之明驗也厯元治厯者必有起算之端是謂厯元其法有二一則逺溯古初冬至七曜齊元之日為元自漢太初以來諸厯所用之積年是也一則截算為元若元授時厯以至元辛巳天正冬至為元今時憲厯以崇禎元年戊辰天正冬至為元是也二者雖同為起算之端然積年實不如截算之簡易也夫所謂七曜齊元者乃溯上古冬至之時歲月日時皆㑹甲子日月如合璧五星如聨珠是以為造厯之元使果有此雖萬世遵用可矣而廿一史所載諸家厯元無一同者是其所用積年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已當其立法之初亦必有所驗於近測遂援之以立術於是溯而上之至於數千萬年之逺庶幾各曜之躔次可以齊同然既欲其上合厯元又欲其不違近測竒零分秒之數決不能齊勢不能不稍為遷就以求其巧合其始也據近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣杜預云治厯者當順天以求合不當為合以驗天積年之法是為合以驗天也安得為立法之盡善乎若夫截算之法不用積年虚率而一以實測為憑誠為順天求合之道治厯者所當取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻為厯元(即康熙二十二年十一月初五日子正初刻)七政皆從此起算其應用諸數皆係實測庶數有可徵而理有所據矣黄赤道天包地外圜轉不息南北兩極為運行之樞紐地居天中體圓而静人環地面以居隨其所至適見天體之半中華之地面近北故北極常現南極常隠平分兩極之中横帶天腰者為赤道赤道距天頂之度即北極出地之度也赤道以北為内為隂以南為外為陽斜交赤道而半出其南半出其北者為黄道乃太陽一歲所躔之軌迹也黄赤道相交之兩界為春秋分距赤道南二十三度半為冬至距赤道北二十三度半為夏至七政所行之道紛然不齊惟恃黄赤二道以為推測之本蓋太陽循黄道東行而出入於赤道之南北太隂與五星各循本道東行而又出入於黄道之南北故弦赤二道之位定則晝夜永短寒暑進退以及晦朔弦朢薄蝕朓朒皆從此可稽矣經緯度恒星七政各有經緯度蓋天周弧線縱横交加即如布帛之經緯然故以東西為經南北為緯然有在天之經緯有隨地之經緯在天則為赤道為黄道隨地則為地平赤道均分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十度六分之為紀限各六十度十二分之為宮為時各三十度是為赤經從經度出弧線與赤道十字相交各引長之㑹於南北極皆成全圜亦分為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道俱九十度是為赤緯依緯度作圜與赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近則大距赤道逺則小其度亦三百六十俱與赤道之度相應也赤道之用有動有静動者隨天左旋與黄道相交日躔之南北於是乎限静者太虚之位亘古不移晝夜之時刻於是乎紀焉黄道之宮度並如赤道其與赤道相交之兩㸃為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏至距兩交各一象限六分象限為節氣各十五度是為黄經從經度出弧線與黄道十字相交各引長之周於天體即成全圜其各圜相湊之處不在赤道之南北兩極而别有其樞心是為黄極黄極之距赤極即兩道相距之度其距黄道亦皆九十度是為黄緯而月與五星出入黄道之南北者悉於是而辨焉故凡南北圏過赤道極者必與赤道成直角而不能與黄道成直角其過黄道極者亦必與黄道成直角而不能與赤道成直角惟過黄赤兩極之圈其過黄赤道也必當冬夏二至之度所以並成直角名為極至交圈又若赤道度為主而以黄道度準之則互形大小何也渾圓之體當腰之度最寛漸近兩端則漸狹(距等圏之度也)二至時黄道以腰度當赤道距等圏之度故黄道一度當赤道一度有餘二分時兩道雖皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度當赤道一度不足也此所謂同升之差而七政升降之斜正伏見之先後皆由是而推焉至於地平經緯則以各人所居之天頂為極蓋人所居之地不同故天頂各異而經緯從而變也地在天中體圓而小隨人所立凡目力所極適得大圓之一半則地雖圓而與平體無異故謂之地平乃諸曜出沒之界晝夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之為四方(子午卯酉)各相距九十度二十四分之為二十四向各十五度是為地平經從經度出弧線上㑹於天頂並皆九十度(從地平下至天頂之衝亦九十度)是為地平緯又名髙弧髙弧從地平正午上㑹天頂者其全圜必過赤道南北兩極名為子午圏乃諸曜出入地平適中之界而北極之髙下晷影之長短中星之推移皆由是而測焉是故經緯相求黄赤互變因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃厯象之要務推測之所取準也歲差歲差者太陽每歲與恒星相距之分也如今年冬至太陽躔某宿度至明年冬至時不能復躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之覺至晉虞喜始知之因立歲差法厯代治厯者宗焉而所定之數各家不同喜以五十年差一度劉宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋楊忠輔以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒約之得每年差五十二秒半元郭守敬因之較諸家為密今新法實測晷影驗之中星得七十年有餘而差一度每年差五十一秒此所差之數在古法為冬至西移之度新法為恒星東行之度徵之天象恒星原有動移則新法之理長也(詳恒星厯理)御製厯象考成上編卷一
## 上編卷二
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷二弧三角形上弧三角形總論弧三角形綱領弧三角形凡例正弧三角形論正弧三角形圖說正弧三角形八線勾股比例圖說正弧三角形用次形圖說正弧三角形邊角相求法正弧三角形設例七則弧三角形總論弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黄赤相準之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率視古為密但其法用三乘方取數甚難自西人利瑪竇湯若望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相應之八線弧與弧相交即線與線相遇而勾股比例生焉於是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有經可以知緯有緯可以知經厯象之法至此而備勾股之用至此而極矣弧三角形綱領凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規戊己為赤道庚辛為黄道壬乙癸丁為地平規如此之類皆為大圈其周度皆相等故可以相為比例凡圈皆有極極距圈皆九十度如赤道則有南北極黄道則有黄極若圈不相等則為距等圈如子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而與大圈平行雖亦為三百六十度其分則小於大圈距大圈愈逺距極愈近則其圈愈小至極一㸃而止不能與大圈為比例故弧三角形之角度邊度皆大圈之度也凡兩弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度則必取其兩弧各足象限九十度其對角之弧即為本角之度如甲乙丙丁為黄道甲戊丙己為赤道甲丙二處相交相距各半周一百八十度即如春秋分試於甲丙弧之各平分九十度處作丁己乙戊垂弧(凡言垂弧皆曲)(線畫圖於平面不能顯出故作虚線以别之)則丁己弧為甲丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距為春秋分之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰圈所謂大圈者是也凡弧三角形之三弧不足九十度者必引長至九十度其對角之弧方為本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度則将甲乙弧引長至丁甲丙弧引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引長至己乙丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引長至辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也凡弧三角形其角適足九十度者為直角為正弧三角形甲圖是也大於九十度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊皆弧故與直線三角形不同直線三角形有一直角或一鈍角餘二角必銳弧三角形則有一直角二銳角者如丁形有一直角二鈍角者如戊形有一直角一鈍角一銳角者如己形有二直角一銳角者如庚形有二直角一鈍角者如辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三角之形勢大概盡於此數端矣弧三角形凡例一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大於一百八十度但不得滿五百四十度(因其有三鈍角每一鈍角不得滿一百八十度故三鈍角)(不得滿五百四十度)一直線三角形知兩角即知其所餘一角弧三角形雖知兩角其餘一角非算不知一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實有尺度之可量弧三角形之邊俱係弧度必在半周一百八十度之内但合三邊不得滿三百六十度(葢三百六十度則成全圜而不得成角矣)一直線三角形之八線惟用於角弧三角形之八線并用於邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股為比例也一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊必各相同也一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其餘理與直線三角形同一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其餘理與直線三角形同一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線三角形作中垂線之理同一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角為比例理與直線三角形同一正弧三角形弧角不相對者則用次形法一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求邊者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之間者先用次形法将角易為邊邊易為角然後用總較法或用垂弧法正弧三角形論正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經圈與赤道相交所成之角俱為直角其相當之弧皆九十度又凡有一圈即有兩極其過兩極經圈與本圈相交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形盖以弧角之八線所成勾股比例不生於本形而生於次形而次形者乃以本形與象限相減之餘度所成故用本形之餘弦餘切即用次形之正弦正切也其法可易弧為角易角為弧(若斜弧三角形可易大形為小形易大邊為小)(邊易鈍角成銳角)邊與角雖不相對可易為相對且知三角即可以求邊其理實一以貫之也今以黄道赤道與過極經圈所成之三角形設例而正弧三角形比例推算之法無不統於是矣正弧三角形圖說(設黄赤大距二十三度三十分)如甲乙丙丁為赤道甲戊丙己為黄道相交於甲丙甲為春分丙為秋分戊為夏至己為冬至庚為北極辛為南極庚戊乙辛己丁為二極二至交圈戊至乙己至丁俱二十三度三十分為黄赤大距今作庚壬癸辛為過南北二極經圈與黄道交於壬與赤道交於癸成甲癸壬正弧三角形甲為黄道赤道交角當戊乙弧二十三度三十分癸為直角葢庚辛二極即赤道之極皆距赤道九十度故凡過南北極經圈與赤道所成之角皆為直角其相當之弧皆九十度又如子丑為黄道兩極若從子丑二處作子寅卯丑過黄極經圈與黄道交於卯與赤道交於寅成甲寅卯正弧三角形則卯亦為直角葢子丑為黄道兩極皆距黄道九十度故凡過黄極經圈與黄道所成之角皆為直角其相當之弧皆九十度由此推之凡有一圈必有兩極其過兩極圈與本圈相交必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形可知矣正弧三角形八線勾股比例圖說(設黄道四十五度)甲為黄道赤道交角甲乙為黄道四十五度甲丙為赤道同升度乙丙為黄赤距度成甲乙丙正弧三角形甲丁甲戊皆象限丁戊為黄赤大距二十三度三十分即甲角度己為北極庚為南極己丁庚壬為二極二至交圈甲為春分丁為夏至辛為秋分壬為冬至癸為地心己乙丙庚為過南北二極經圈其甲乙丙三角形之八線各成相當比例之勾股形丁子為甲角之正弦子癸為甲角之餘弦丑戊為甲角之正切丑癸為甲角之正割戊癸丁癸皆為半徑成丑戊癸及丁子癸同式兩勾股形乙寅為乙丙距緯弧之正弦乙卯為甲乙黄道弧之正弦将兩正弦之寅卯二處作虚線聨之成乙寅卯勾股形(兩正弦之末立於各半徑寅卯)(二處而寅卯二處皆未抵於弧界故不得為正弦今)(以虚線聨之者為眀勾股之理也)辰丙為乙丙距緯弧之正切丙己為甲丙赤道弧之正弦将正切正弦之辰巳二處作虚線聨之成辰丙巳勾股形午甲為甲乙黄道弧之正切未甲為甲丙赤道弧之正切将兩正切之午未二處作虚線聨之成午未甲勾股形此三勾股形與前二勾股形皆為同式形夫甲癸辛原係一線如将甲癸辛平視之則甲癸辛合成一㸃而辛癸卯己甲五角皆合為一角甲戊象限亦成一直線而戊癸半徑寅卯聨線丙己正弦未甲正切亦皆合為一線矣赤道既平置則黄道斜倚従辛視之甲丁象限亦成一直線而丁癸半徑乙卯正弦辰巳聨線午甲正切亦皆合為一線矣夫五勾股形既同角而各股皆合為赤道之一線各弦皆合為黄道之一線則各勾必皆與赤道徑線相交成直角而自将平行故皆為相當比例之勾股形而可以互相比例也正弧三角形用次形圖說如甲乙丙形可易為乙己丁次形葢甲戊甲丁己丙己戊四弧皆象限九十度於甲丁象限弧内減去甲乙弧餘乙丁弧即次形之乙丁邊於己丙象限弧内減去乙丙弧餘己乙弧即次形之己乙邊於己戊象限弧内減去丁戊弧(即甲角度)餘己丁弧即次形之己丁邊於甲戊象限弧内減去甲丙弧餘丙戊弧即次形之己角度是次形之三邊一角即本形三邊一角之餘度而用弦形之餘弦餘切實即用次形之正弦正切也弦次形之丁角為直角與本形之丙角等乙為交角其度又等故算乙己丁形即得甲乙丙形也又甲乙丙形可易為己庚辛次形葢庚丁為象限弧與己戊等則庚己與丁戊等(丁戊即甲角度)故本形之甲角即次形之庚己邊乙辛壬庚乙壬皆為象限弧與甲丁等則壬丁即與甲乙等故本形之甲乙邊即次形之庚角(庚壬與庚丁俱象限故壬丁弧為庚)(角度)乙壬與乙辛既皆為象限則辛壬弧即乙角之度故象限内減去乙角之辛壬弧餘即次形之庚辛邊丙戊弧即己角之度故於甲戊象限弧内減去甲丙弧餘丙戊弧即次形之己角又次形之辛角為直角與本形之丙角等次形之辛己邊與本形之乙丙邊等(辛乙與己丙等故辛己與乙丙等)故算己庚辛形亦得甲乙丙形也正弧三角形邊角相求法正弧三角形邊角相求錯綜變換共三十則用黄赤交角所生八線勾股比例者九用黄道交極圏角所生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類列目於前按法循序設問於後以便觀覽有直角有黄赤交角有黄道求距緯(第一)有直角有黄赤交角有黄道求赤道(并見第一)有直角有黄赤交角有黄道求黄道交極圏角(并見第一)有直角有黄赤交角有赤道求距緯(第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道(并見第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道交極圏角(并見第二)有直角有黄赤交角有距緯求黄道(第三)有直角有黄赤交角有距緯求赤道(并見第三)有直角有黄赤交角有距緯求黄道交極圏角(并見第三)有直角有黄道有赤道求黄赤交角(第四)有直角有黄道有赤道求距緯(并見第四)有直角有黄道有赤道求黄道交極圏角(并見第四)有直角有黄道有距緯求黄赤交角(第五)有直角有黄道有距緯求赤道(并見第五)有直角有黄道有距緯求黄道交極圏角(并見第五)有直角有赤道有距緯求黄赤交角(第六)有直角有赤道有距緯求黄道(并見第六)有直角有赤道有距緯求黄道交極圏角(并見第六)有直角有黄道交極圏角有黄道求赤道(與第一之)(理同)有直角有黄道交極圏角有黄道求距緯(與第一之)(理同)有直角有黄道交極圏角有黄道求黄赤交角(與第一之理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求赤道(與第二之)(理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求黄道(與第二之)(理同)有直角有黄道交極圏角有距緯求黄赤交角(與第二之理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求黄道(與第三之)(理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求距緯(與第三之)(理同)有直角有黄道交極圏角有赤道求黄赤交角(與第三之理同)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求黄道(第七)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求赤道(并見第七)有直角有黄赤交角有黄道交極圏角求距緯(并見第七)設如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距緯度及赤道度併黄道交極圏角各㡬何(第一)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角甲乙為黄道弧求乙丙距緯弧則以丙直角為對所知之角其正弦即半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分為對所求之角其正弦三百九十八萬七千四百九十一為二率甲乙弧四十五度為所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為三率求得四率二百八十一萬九千五百八十二為乙丙弧之正弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖丁癸為半徑丁子為甲角之正弦乙卯為甲乙弧之正弦乙寅為乙丙弧之正弦丁子癸勾股形與乙寅卯勾股形為同式形故以丁癸與丁子之比同於乙卯與乙寅之比也求甲丙赤道度則以半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為二率甲乙弧四十五度之正切一千萬為三率仍得四率九百一十七萬零六百零一為甲丙弧之正切檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖丁癸為半徑子癸為甲角之餘弦午甲為甲乙弧之正切未甲為甲丙弧之正切丁子癸勾股形與午未甲勾股形為同式形故以丁癸與子癸之比同於午甲與未甲之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為一率甲角二十三度三十分之餘切二千二百九十九萬八千四百二十五為二率半徑一千萬為三率求得四率三千二百五十二萬四千六百八十三為乙角之正切檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦為丁子而甲角之餘切即乙己丁次形之己丁弧之正切為丑丁又乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切為寅壬而丑丁子勾股形與寅壬癸勾股形為同式形故以丁子與丑丁之比同於壬癸與寅壬之比也此法用乙己丁次形有丁乙邊(甲乙餘弧)己丁邊(甲角餘弧)及丁直角求乙角即與有赤道有距緯求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角丁乙即如赤道己乙即如黄道己丁即如距緯其八線所成之勾股皆由乙角而生故其相當之比例皆同也設如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距緯度及黄道度併黄道交極圈角各㡬何(第二)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角甲丙為赤道弧求乙丙距緯弧則以半徑一千萬為一率甲角二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五萬八千八百二十一為三率求得四率二百九十三萬八千八百一十九為乙丙弧之正切檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖戊癸為半徑丑戊為甲角之正切丙己為甲丙弧之正弦辰丙為乙丙弧之正切丑戊癸勾股形與辰丙己勾股形為同式形故以戊癸與丑戊之比同於丙已與辰丙之比也求甲乙黄道度則以甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為一率半徑一千萬為二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七萬零六百零一為三率仍得四率一千萬為甲乙弧之正切檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖子癸為甲角之餘弦丁癸為半徑未甲為甲丙弧之正切午甲為甲乙弧之正切丁子癸勾股形與午未甲勾股形為同式形故以子癸與丁癸之比同於未甲與午甲之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以半徑一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秘之餘弦七百三十七萬零九十八為二率甲角二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率二百九十三萬八千八百二十為乙角之餘弦檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為己庚辛葢甲丙弧之餘弦即己庚辛次形之己角之正弦為卯辰而甲角之正弦亦即己庚辛次形之己庚弧之正弦為庚己又乙角之餘弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦為庚午而庚午巳勾股形與卯辰癸勾股形為同式形故卯癸與卯辰之比同於庚己與庚午之比也此法用己庚辛次形有己角(甲丙餘弧)己庚邊(與甲角等)及辛直角求庚辛邊(乙角餘弧)即與有黄赤交角有黄道求距緯之理同葢己角即如黄赤交角己庚即如黄道己辛即如赤道庚辛即如距緯其八線所成之勾股皆由己角而生故其相當之比例皆同也設如黄赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度併黄道交極圈角各㡬何(第三)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角乙丙為距緯弧求甲乙黄道弧則以甲角二十三度三十分為對所知之角其正弦三百九十八萬七千四百九十一為一率丙直角為對所求之角其正弦即半徑一千萬為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秘為所知之邊其正弦二百八十一萬九千五百八十二為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之正弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖丁子為甲角之正弦丁癸為半徑乙寅為乙丙弧之正弦乙卯為甲乙弧之正弦丁子癸勾股形與乙寅卯勾股形為同式形故丁子與丁癸之比同於乙寅與乙卯之比也求甲丙赤道度則以甲角二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為一率半徑一千萬為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三萬八千八百一十九為三率求得四率六百七十五萬八千八百二十一為甲丙弧之正弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖丑戊為甲角之正切戊癸為半徑辰丙為乙丙弧之正切丙己為甲丙弧之正弦丑戊癸勾股形與辰丙己勾股形為同式形故丑戊與戊癸之丙同於辰丙與丙己之比也求黄道交極圈之乙角則用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為一率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為二率半徑一千萬為三率求得四率九百五十五萬八千四百一十七為乙角之正弦檢表得七十二度五十四分三十四秘即黄道交極圈之乙角度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦為己未而甲角之餘弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦為巳申又乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦為辛酉而巳申未勾股形與辛酉癸勾股形為同式形故巳未與巳申之比同於辛癸與辛酉之比也設如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距緯度併黄道交極圈角各幾何(第四)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲乙為黄道弧甲丙為赤道弧求黄赤相交之甲角則以甲乙弧四十五度之正切一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七萬零六百零一為二率半徑一千萬為三率仍得四率九百一十七萬零六百零一為甲角之餘弦檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖午甲為甲乙弧之正切未甲為甲丙弧之正切丁癸為半徑子癸為甲角之餘弦午未甲勾股形與丁子癸勾股形為同式形故午甲與未甲之比同於丁癸與子癸之比也求乙丙距緯度則用次形法以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之餘弦七百三十七萬零九十八為一率半徑一千萬為二率甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為三率求得四率九百五十九萬四千二百六十六為乙丙弧之餘弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子又乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未而丙辰癸勾股形與乙子未勾股形為同式形故丙辰與丙癸之比同於乙子與乙未之比也此法用乙己丁次形有己角(甲丙餘弧)乙丁邊(甲乙餘弧)及丁直角求乙己邊(乙丙餘弧)即與有黄赤交角有距緯求黄道之理同葢己角即如黄赤交角己乙即如黄道己丁即如赤道乙丁即如距緯其八線所成之勾股皆由己角而生故其相當之比例皆同也求黄道交極圈之乙角則以甲乙弧四十五度為對所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒為對所求之邊其正弦六百七十五萬八千八百二十一為二率丙直角九十度為所知之角其正弦即半徑一千萬為三率求得四率九百五十五萬八千四百一十六為乙角之正弦檢表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交極圈之乙角度也如圖甲申為甲乙弧之正弦甲酉為甲丙弧之正弦戌癸為半徑戌亥為乙角之正弦甲酉申勾股形與戌亥癸勾股形為同式形故甲申與甲酉之比同於戌癸與戌亥之比也此與有黄道有距緯求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙為黄道乙丙即如赤道甲丙即如距緯其八線所成之勾股皆由乙角而生故其相當之比例皆同也設如黄道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度併黄道交極圈角各㡬何(第五)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲乙為黄道弧乙丙為距緯弧求黄赤相交之甲角則以甲乙弧四十五度為對所知之邊其正弦七百零七萬一千零六十八為一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒為對所求之邊其正弦二百八十一萬九千五百八十二為二率丙直角九十度為所知之角其正弦即半徑一千萬為三率求得四率三百九十八萬七千四百九十一為甲角之正弦檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖乙卯為甲乙弧之正弦乙寅為乙丙弧之正弦丁癸為半徑丁子為甲角之正弦乙寅卯勾股形與丁子癸勾股形為同式形故乙卯與乙寅之比同於丁癸與丁子之比也求甲丙赤道度則用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為一率甲乙弧四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為二率半徑一千萬為三率求得四率七百三十七萬零一百一十三為甲丙弧之餘弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未而甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子又甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而乙子未勾股形與丙辰癸勾股形為同式形故乙未與乙子之比同於丙癸與丙辰之比也求黄道交極圈之乙角則與前第四問有黄道有赤道求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙為黄道乙丙即如赤道其勾股比例同也設如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度併黄道交極圈角各㡬何(第六)甲乙丙正弧三角形丙為直角甲丙為赤道弧乙丙為距緯弧求黄赤相交之甲角則以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五萬八千八百二十一為一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三萬八千八百一十九為二率半徑一千萬為三率求得四率四百三十四萬八千一百零九為甲角之正切檢表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如圖丙己為甲丙弧之正弦辰丙為乙丙弧之正切戊癸為半徑丑戊為甲角之正切辰丙己勾股形與丑戊癸勾股形為同式形故丙己與辰丙之比同於戊癸與丑戊之比也求甲乙黄道度則用次形法以半徑一千萬為一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之餘弦七百三十七萬零九十八為二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之餘弦九百五十九萬四千二百六十七為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之餘弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢甲丙弧之餘弦即乙己丁次形之己角之正弦為丙辰而乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦為乙未又甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦為乙子而丙辰癸勾股形與乙子未勾股形為同式形故丙癸與丙辰之比同於乙未與乙子之比也求黄道交極圈之乙角則與求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角乙丙即如赤道甲丙即如距緯其勾股比例同也設如黄赤交角二十三度三十分黄道交極圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度併距緯度各㡬何(第七)甲乙丙正弧三角形甲為黄赤交角丙為直角乙為黄道交極圈角求甲乙黄道弧則用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正切三千二百五十二萬四千六百八十三為一率半徑一千萬為二率甲角二十三度三十分之餘切二千二百九十九萬八千四百二十五為三率求得四率七百零七萬一千零六十八為甲乙弧之餘弦檢表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切為寅壬而甲角之餘切即乙己丁次形之丁己弧之正切為丑丁又甲乙弧之餘弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦為丁子而寅壬癸勾股形與丑丁子勾股形為同式形故寅壬與壬癸之比同於丑丁與丁子之比也求甲丙赤道弧亦用次形法以甲角二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為一率乙角七十二度五十四分三十四秒之餘弦二百九十三萬八千八百二十為二率半徑一千萬為三率求得四率七百三十七萬零九十八為甲丙弧之餘弦檢表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為己庚辛葢甲角之正弦亦即己庚辛次形之庚己弧之正弦為庚己而乙角之餘弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦為庚午又甲丙弧之餘弦即己庚辛次形之己角之正弦為卯辰而庚午己勾股形與卯辰癸勾股形為同式形故庚己與庚午之比同於卯癸與卯辰之比也求乙丙距緯弧亦用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正弦九百五十五萬八千四百一十七為一率半徑一千萬為二率甲角二十三度三十分之餘弦九百一十七萬零六百零一為三率求得四率九百五十九萬四千二百六十七為乙丙弧之餘弦檢表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距緯弧之度也如圖甲乙丙正弧三角形之次形為乙己丁葢乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦為辛酉而甲角之餘弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦為巳申又乙丙弧之餘弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦為己未而辛酉癸勾股形與巳申未勾股形為同式形故辛酉與辛癸之比同於巳申與巳未之比也御製厯象考成上編卷二
## 上編卷三
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷三弧三角形下斜弧三角形論斜弧三角形邊角比例法斜弧三角形作垂弧法斜弧三角形用總較法(次形法附)斜弧三角形設例八則斜弧三角形論弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角(或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角)則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角(或三邊求)(角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間)則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣斜弧三角形邊角比例法凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角者則用邊角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙為對所知之邊甲為所知之角甲乙為對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正弦與對所求之甲乙邊正弦之比同於所知之甲角正弦與所求之丙角正弦之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己角為對所知之角丁戊為所知之邊丁為對所求之角乃以對所知之己角正弦與對所求之丁角正弦之比同於所知之丁戊邊正弦與所求之戊己邊正弦之比也斜弧三角形作垂弧法凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角者則用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角以丁角正弦(即半徑)與甲角正弦之比同於甲乙邊正弦與乙丁垂弧正弦之比而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘弦之比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之比而得甲丁分邊以甲乙邊正弦與甲丁邊正弦之比同於丁角正弦(即半徑)與乙分角正弦之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於半徑與乙分角餘弦之比而得乙分角以丁角正弦(即半徑)與乙分角正弦之比同於乙丙邊正弦與丁丙邊正弦之比而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊有辛直角以辛角正弦(即半徑)與庚角正弦之比同於己庚邊正弦與己辛垂弧正弦之比而得己辛垂弧以半徑與庚角餘弦之比同於己庚邊正切與庚辛虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚邊正弦與庚辛邊正弦之比同於辛角正弦(即半徑)與己虚角正弦之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切與半徑之比同於己辛垂弧正切與戊辛邊弦弦之比而得戊辛總邊以己辛垂弧正弦與戊辛邊正弦之比同於戊角正弦與己角弦弦之比而得己總角既得戊辛總邊内減去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減去己虚角即己角也斜弧三角形用總較法凡斜弧三角形知三邊求角者則用總較法以角傍之兩邊相加為總弧相減為較弧各取其餘弦相加減(總弧較弧俱不過象限或俱過象限則兩餘弦)(相減若一過象限一不過象限則兩餘弦相加其或)(過二象限者與過一象限同過三象限者與不過象)(限同)折半為中數又以對邊之矢與較弧之矢相減餘為矢較乃以中數與矢較為比同於半徑與所求角之正矢之比也如知兩邊一角而角在兩邊之間者以半徑與所知角之正矢為比同於中數與矢較之比既得矢較與較弧之矢相加即得對邊之矢也如甲乙丙斜弧三角形有三邊求甲角則以甲角傍之甲乙甲丙二邊相加得乙丁(甲丙甲戊甲丁三弧同為丁戊距等圈所截故)(其度相等)為總弧其正弦為丁己餘弦為己庚甲乙與甲丙相減餘乙戊為較弧其正弦為戊辛餘弦為辛庚兩餘弦相加得己辛(乙丁總弧)(過象限乙戊較弧不過象限其兩餘弦在圜心之兩)(邊故相加)折半得辛壬與癸子等為中數乙丙對邊與乙丑等(乙丙與乙丑兩弧同為丑寅距等圈所截)(故其度相等)其正弦為丑卯餘弦為卯庚正矢為乙卯以乙卯與乙戊較弧之正矢乙辛相減餘辛卯與辰巳等為矢較戊辰巳與戊癸子為同式兩勾股形故癸子與辰巳之比同於戊子與戊巳之比也又午庚為半徑戊子為距等圈之半徑午未與戊己兩段同為甲丙申大圈所分則戊子與戊己之比原同於午庚與午未之比是以中數癸子與矢較辰巳之比即同於半徑午庚與甲角正矢午未之比也以午未與午庚半徑相減餘未庚為甲角之餘弦檢表即得甲角所當午申弧之度也若先有甲角及甲乙甲丙二邊求乙丙對邊則以半徑午庚與甲角正矢午未之比即同於中數癸子與矢較辰巳之比既得辰巳與辛卯等與乙戊較弧之正矢乙辛相加得乙卯為乙丙對邊之正矢也如有甲乙甲丙乙丙三邊求乙角則以乙角傍甲乙乙丙二邊相加得甲丁(乙丙乙丁乙戊三弧同為)(戊丁距等圈所截故其度相等)為總弧其正弦為丁己餘弦為己庚甲乙與乙丙相減餘甲戊為較弧其正弦為戊辛餘弦為辛庚兩餘弦相減餘辛己(甲丁總弧甲戊較弧皆不過象限其兩餘)(弦同在圜心之一邊故相減)折半得辛壬與癸子等為中數甲丙對邊與甲丑等(甲丙與甲丑兩弧同)(為寅丑距等圈所截故其度相等)其正弦為丑卯餘弦為卯庚正矢為甲卯以甲卯與甲戊較弧之正矢甲辛相減餘辛卯與辰巳等為矢較戊癸子與戊辰巳為同式兩勾股形故癸子與辰巳之比同於戊子與戊巳之比也又午庚為半徑戊子為距等圈之半徑戊巳與午未兩段同為乙丙申大圈所分則戊子與戊巳之比原同於午庚與午未之比是以中數癸子與矢較辰巳之比即同於半徑午庚與乙角大矢午未之比也(凡鈍)(角所用諸線皆與外角同惟矢則有正矢大矢之别)(如庚未為乙銳角所當申酉弧之餘弦亦為乙鈍角)(所當午申弧之餘弦檢表銳角即得本角度鈍角與)(半周相減亦即得本角度而未酉為乙銳角之正矢)(乃於酉庚半徑内減庚未餘弦午未為乙鈍角之大)(矢乃於午庚半徑加庚未餘弦也此正矢大矢之别)(過弧亦然)於午未大矢内減午庚半徑餘庚未為乙角之餘弦檢表得乙外角度與半周相減餘即乙鈍角之度也若先有乙鈍角及甲乙乙丙二邊求甲丙對邊則以半徑午庚與乙角大矢午未之比即同於中數癸子與矢較辰巳之比既得辰巳與辛卯等與甲戊較弧之正矢甲辛相加得甲卯為甲丙對邊之正矢也斜弧三角形知三角求邊者則用次形法如甲乙丙形可易為丁戊己次形葢甲角之度當庚辛弧而庚辛與己戊等(庚己與辛戊皆象限故庚)(辛與己戊等)故本形之甲角即次形之己戊邊乙外角之度當壬癸弧而壬癸與己丁等(壬己與癸丁皆象限故壬癸與己丁等)故本形之乙外角即次形之己丁邊丙角之度當子丑弧而子丑與戊丁等(子戊)(與丑丁皆象限故子丑與戊丁等)故本形之丙角即次形之戊丁邊是本形之三角即次形之三邊也又次形丁角之度當癸丑弧而癸丑與乙丙等(丙丑與乙癸皆象限故癸丑與乙丙等)故次形之丁角即本形之乙丙邊戊外角之度當辛子弧而辛子與甲丙等(丙子與甲)(辛皆象限故辛子與甲丙等)故次形之戊外角即本形之甲丙邊己角之度當庚壬弧而庚壬與甲乙等(乙壬與甲庚皆象限故庚)(壬與甲乙等)故次形之己角即本形之甲乙邊是本形之三邊即次形之三角也故用丁己戊次形仍用總較法算之求得次形之三角即得本形之三邊也如有乙角丙角及乙丙邊而求甲角亦用丁戊己次形有己丁邊戊丁邊及丁角仍用總較法算之求得己戊邊即甲角也設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道緯度幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽乙丁戊己為子午經圏乙丙癸戊為地平經圏丁己為地平庚辛為赤道庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸為太陽髙三十二度(即地平緯度一名髙弧)與乙癸象限相減餘太陽距天頂五十八度即乙丙邊丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒與丁己半周相減餘癸己九十八度一十七分一十二秒即乙角丙壬為太陽距赤道緯度與甲壬象限相減餘甲丙邊為太陽距北極度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙邊求甲丙邊以甲角六十度為對所知之角其正弦八百六十六萬零二百五十四為一率乙角九十八度一十七分一十二秒為對所求之角其正弦九百八十九萬五千五百九十三為二率乙丙五十八度為所知之邊其正弦八百四十八萬零四百八十一為三率求得四率九百六十九萬零一百七十六為所求甲丙邊之正弦檢表得七十五度四十二分零一秒即甲丙弧之度與九十度相減餘一十四度一十七分五十九秒即太陽距赤道北之緯度也此法用邊角相比例與直線三角形同但直線三角形以角之正弦與邊相比(見數理精)(藴第十七卷)此以角之正弦與邊之正弦相比其比例之理一也又以正弧之理明之試將甲乙弧引長至丁自丙角作丙丁垂弧則成甲丁丙乙丁丙兩正弧三角形先求乙丁丙形丁角正弦(即半徑)為一率乙角正弦為二率乙丙正弦為三率丙丁正弦為四率此第一比例也次求甲丁丙形甲角正弦為一率丁角正弦(即半徑)為二率丙丁正弦為三率甲丙正弦為四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而二率三率相乘與一率四率相乘之數等故用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例之四率此有對角求對邊之法也設如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒測得髙弧三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求係何時刻甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽丙壬為太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒甲丙即為太陽距北極七十五度四十二分零一秒丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒癸己為九十八度一十七分一十二秒即乙角庚壬為太陽距午正赤道度即甲角故用甲乙丙三角形有乙角及甲丙乙丙二邊求甲角以甲丙七十五度四十二分零一秒為對所知之邊其正弦九百六十九萬零一百七十六為一率乙丙五十八度為對所求之邊其正弦八百四十八萬零四百八十一為二率乙角九十八度一十七分一十二秒為所知之角其正弦九百八十九萬五千五百九十三為三率求得四率八百六十六萬零二百五十四為所求甲角之正弦檢表得六十度即甲角度以六十度變得二時從午正初刻後計之(因偏西故為午正後)為申正初刻也此有對邊求對角之法也設如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十二度求太陽距赤道緯度及地平經度各幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽甲己為北極出地四十度甲乙即為北極距天頂五十度庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度丙壬為太陽距赤道緯度甲丙為其餘丁癸為地平經度即乙角之外角(甲乙)(丙形之乙角當癸己弧其癸乙丁外角即當丁癸弧)故用甲乙丙三角形有甲角及甲乙乙丙二邊求甲丙邊及乙角乃自乙角作乙丁垂弧分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形先求甲乙丁形以丁角正弦即半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八百六十六萬零二百五十四為二率甲乙五十度之正弦七百六十六萬零四百四十四為三率求得四率六百六十三萬四千一百三十九為乙丁弧之正弦檢表得四十一度三十三分三十九秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求距緯之法)(葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黃道甲丁即如赤)(道乙丁即如距緯)又以半徑一千萬為一率甲角六十度之餘弦五百萬為二率甲乙五十度之正切一千一百九十一萬七千五百三十六為三率求得四率五百九十五萬八千七百六十八為甲丁弧之正切檢表得三十度四十七分二十三秒即甲丁弧之度也(此即)(正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道之法)又以甲乙五十度之正弦七百六十六萬零四百四十四為一率甲丁三十度四十七分二十三秒之正弦五百一十一萬八千八百八十八為二率丁角正弦即半徑一千萬為三率求得四率六百六十八萬二千二百三十四為乙分角之正弦檢表得四十一度五十五分四十八秒即乙分角之度也(此即正弧三角形有黃道)(有赤道求黃道交極圏角之法)次求乙丙丁形以乙丁四十一度三十三分三十九秒之餘弦七百四十八萬二千五百二十六為一率乙丙五十八度之餘弦五百二十九萬九千一百九十三為二率半徑一千萬為三率求得四率七百零八萬二千零九十一為丙丁弧之餘弦檢表得四十四度五十四分三十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃道有距緯求)(赤道之法葢丙角即如黃赤交角乙丙即如黃道丙)(丁即如赤道乙丁即如距緯)又以乙丙五十八度之正弦八百四十八萬零四百八十一為一率丙丁四十四度五十四分三十八秒之正弦七百零六萬零二十七為二率丁角正弦即半徑一千萬為三率求得四率八百三十二萬五千零三十為乙分角之正弦檢表得五十六度二十一分二十四秒即乙分角之度也(此即正弧)(三角形有黃道有距緯求黄赤交角之法葢乙分角)(即如黃赤交角乙丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁)(即如距緯)乃以甲丁丙丁相併得甲丙七十五度四十二分零一秒即太陽距北極度與九十度相減餘一十四度一十七分五十九秒即太陽距赤道北之緯度(如甲丙大於九十度則減去九十度餘為太陽距赤)(道南之緯度)以兩乙分角相併得九十八度一十七分一十二秒與一百八十度相減餘八十一度四十二分四十八秒即太陽距午正偏西之地平經度也此作垂弧於形内之法也設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度幾何甲乙丙三角形甲為北極乙為天頂丙為太陽丙癸為太陽髙三十二度乙丙即為太陽距天頂五十八度庚壬為申正初刻距午正赤道六十度即甲角丁癸為地平經度偏西八十一度四十二分四十八秒即乙角之外角甲己為北極出地度甲乙為其餘故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙邊求甲乙邊乃自丙角作丙丁垂弧補成甲丙丁乙丙丁兩正弧三角形先求乙丙丁形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙角九十八度一十七分一十二秒之正弦九百八十九萬五千五百九十三為二率乙丙五十八度之正弦八百四十八萬零四百八十一為三率求得四率八百三十九萬一千九百三十九為丙丁弧之正弦檢表得五十七度零三分一十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法葢乙角即如黃赤交角乙)(丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁即如距緯)又以半徑一千萬為一率乙角九十八度一十七分一十二秒之餘弦一百四十四萬一千二百六十為二率乙丙五十八度之正切一千六百萬零三千三百四十五為三率求得四率二百三十萬六千四百九十八為乙丁弧之正切檢表得一十二度五十九分一十七秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道)(之法)次求甲丙丁形以甲角六十度之正切一千七百三十二萬零五百零八為一率半徑一千萬為二率丙丁五十七度零三分一十八秒之正切一千五百四十三萬一千零五十九為三率求得四率八百九十萬九千一百二十六為甲丁弧之正弦檢表得六十二度五十九分一十七秒即甲丁弧之度也(此即正弧)(三角形有黃赤交角有距緯求赤道之法葢甲角即)(如黃赤交角甲丙即如黃道甲丁即如赤道丙丁即)(如距緯)乃以甲丁與乙丁相減餘甲乙五十度即北極距天頂又與九十度相減餘四十度即北極出地度也(若求丙角則求得丙總角與丙虚角相減即得)此作垂弧於形外之法也設如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北二十度五十八分四十七秒黃極赤極(即北極)相距二十三度三十分求黃道經度赤道經度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為大角星丁戊為黃道己庚為赤道丙辛為黃道緯北三十一度零三分乙丙即為星距黃極五十八度五十七分丙壬為赤道緯北二十度五十八分四十七秒甲丙即為星距赤極六十九度零一分一十三秒丁辛為星距夏至後黃道經度即乙角己壬為星距夏至後赤道經度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有甲乙甲丙乙丙三邊求甲乙二角先求乙角則以夾乙角之甲乙邊二十三度三十分與乙丙邊五十八度五十七分相加得八十二度二十七分為總弧其餘弦一百三十一萬三千九百一十三又以甲乙乙丙兩邊相減餘三十五度二十七分為較弧其餘弦八百一十四萬六千二百二十兩餘弦相減(總弧較弧)(俱不過象限或俱過象限則兩餘弦相減若一過象)(限一不過象限則兩餘弦相加其或過二象限者與)(過一象限同過三象限者與不過象限同)餘六百八十三萬二千三百零七折半得三百四十一萬六千一百五十四為中數為一率以對乙角之甲丙邊六十九度零一分一十三秒之正矢六百四十一萬九千六百二十五(餘弦與半)(徑相減得矢度)與較弧三十五度二十七分之正矢一百八十五萬三千七百八十相減餘四百五十六萬五千八百四十五為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率一千三百三十六萬五千四百五十四為乙角之大矢(凡矢度過於半徑者為大矢其)(角即為鈍角)内減半徑一千萬餘三百三十六萬五千四百五十四為乙角之餘弦檢表得七十度二十分與半周相減餘一百零九度四十分為乙角度即星距夏至後黃道經度自夏至未宫初度逆計之為卯宫一十九度四十分也如圖甲乙與乙丙相加得甲癸為總弧(乙丙乙癸乙子三弧同為癸子距等)(圈所截故其度相等)其正弦為癸丑餘弦為丑寅甲乙與乙丙相減餘甲子為較弧其正弦為子卯餘弦為卯寅以丑寅與卯寅兩餘弦相減餘卯丑折半得卯辰與巳午等為中數又對乙角之甲丙邊與甲未等其正弦為未申餘弦為申寅正矢為甲申以甲申與甲子較弧之正矢甲卯相減餘卯申與酉戌等為矢較遂成子酉戌與子巳午同式兩勾股形故巳午與酉戌之比必同於子午與子戌之比也又丁寅為半徑子午為距等圈之半徑子戌與丁亥兩段同為乙丙辛黃道經圈之所分則子午與子戌之比原同於丁寅與丁亥之比是以中數己午與矢較酉戌之比即同於半徑丁寅與乙角大矢丁亥之比也既得丁亥大矢内減丁寅半徑餘寅亥即乙外角之餘弦檢表得乙外角所當辛戊弧之度復與半周相減即得乙角所當丁辛弧之度也既得乙角則以對邊對角之法求之即得甲角度矣如先求甲角則以夾甲角之甲乙邊二十三度三十分與甲丙邊六十九度零一分一十三秒相加得九十二度三十一分一十三秒為總弧其餘弦四十三萬九千七百二十九又以甲乙甲丙兩邊相減餘四十五度三十一分一十三秒為較弧其餘弦七百萬零六千五百六十八兩餘弦相加(總弧過象限較弧不過象限故兩餘)(弦相加)得七百四十四萬六千二百九十七折半得三百七十二萬三千一百四十八為中數為一率以對甲角之乙丙邊五十八度五十七分之正矢四百八十四萬二千一百四十一與較弧四十五度三十一分一十三秒之正矢二百九十九萬三千四百三十二相減餘一百八十四萬八千七百零九為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率四百九十六萬五千四百四十五為甲角之正矢與半徑一千萬相減餘五百零三萬四千五百五十五為甲角之餘弦檢表得五十九度四十六分一十六秒即甲角度與半周相減餘一百二十度一十三分四十四秒即星距夏至後赤道經度自夏至未宫初度逆計之為卯宫初度一十三分四十四秒也如圖甲乙與甲丙相加得乙癸為總弧其正弦為癸子餘弦為子丑甲乙與甲丙相減餘乙寅為較弧其正弦為寅卯餘弦為卯丑兩餘弦相加得卯子(因兩餘弦在圜心之兩邊故相加)折半得卯辰與巳午等為中數又對甲角之乙丙邊與乙未等其正弦為未申餘弦為申丑正矢為乙申以乙申與乙寅較弧之正矢乙卯相減餘卯申與酉戌等為矢較遂成寅巳午與寅酉戌同式兩勾股形故巳午與酉戌之比同於寅午與寅戌之比又庚丑為半徑寅午為距等圈之半徑寅戌與庚亥兩段同為甲丙壬赤道經圈之所分則寅午與寅戌之比原同於庚丑與庚亥之比是以巳午中數與矢較酉戌之比即同於半徑庚丑與甲角正矢庚亥之比也既得庚亥正矢與庚丑半徑相減餘亥丑即甲角之餘弦檢表即得甲角所當庚壬弧之度也既得甲角則以對邊對角之法求之亦即得乙角度矣此三邊求角之法也設如大角星黃道經度距夏至一百零九度四十分赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黃赤兩過極經圈交角二十三度四十二分四十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙為兩極距度丙為大角星丁戊為黃道己庚為赤道丁辛為黃道經度距夏至一百零九度四十分即乙角己壬為赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四秒即甲角之外角丙角為甲壬乙辛兩經圏交角二十三度四十二分四十五秒丙辛為黃道北緯度乙丙為其餘丙壬為赤道北緯度甲丙為其餘故用甲乙丙三角形有甲乙丙三角求乙丙甲丙二邊乃用次形法先求乙丙邊將甲乙丙形易為癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑邊(甲角當庚壬弧與子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑邊(乙角之外角當戊辛弧與癸丑等)本形之丙角即次形之癸子邊(丙角當寅卯弧與癸子等)本形之甲乙邊即次形之丑角(丁己)(弧與甲乙等即丑角度)本形之乙丙邊即次形之癸角(辛寅弧與乙丙)(等即癸角度)本形之甲丙邊即次形子角之外角(壬卯弧與甲丙)(等即子銳角度為癸子丑形子鈍角之外角)故用癸子丑三角形有三邊求癸角(即乙丙邊)以夾癸角之癸子邊(即丙角)二十三度四十二分四十五秒與癸丑邊(即乙外角)七十度二十分相加得九十四度零二分四十五秒為總弧其餘弦七十萬五千五百四十四又以癸子癸丑兩邊相減餘四十六度三十七分一十五秒為較弧其餘弦六百八十六萬八千二百三十二兩餘弦相加(總弧過象限較弧不)(過象限故兩餘弦相加)得七百五十七萬三千七百七十六折半得三百七十八萬六千八百八十八為中數為一率以對癸角之子丑邊(即甲)(角)五十九度四十六分一十六秒之正矢四百九十六萬五千四百四十五與較弧四十六度三十七分一十五秒之正矢三百一十三萬一千七百六十八相減餘一百八十三萬三千六百七十七為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率四百八十四萬二千一百七十四為癸角之正矢與半徑一千萬相減餘五百一十五萬七千八百二十六為癸角之餘弦檢表得五十八度五十七分即癸角度亦即乙丙邊度與象限相減餘三十一度零三分即黃道北之緯度也既得乙丙邊則以對邊對角之法求之即得甲丙邊矣如先求甲丙邊則用癸子丑次形求子角(子角之外角當壬卯)(弧與甲丙等)以夾子角之子丑邊(即甲角)五十九度四十六分一十六秒與癸子邊(即丙)(角)二十三度四十二分四十五秒相加得八十三度二十九分零一秒為總弧其餘弦一百一十三萬四千八百七十四又以子丑癸子兩邊相減餘三十六度零三分三十一秒為較弧其餘弦八百零八萬四千一百五十二兩餘弦相減(總弧較弧俱不過象限故兩餘弦相減)餘六百九十四萬九千二百七十八折半得三百四十七萬四千六百三十九為中數為一率以對子角之癸丑邊(即乙外角)七十度二十分之正矢六百六十三萬四千五百二十五與較弧三十六度零三分三十一秒之正矢一百九十一萬五千八百四十八相減餘四百七十一萬八千六百七十七為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率一千三百五十八萬零三百三十七為子角之大矢内減半徑一千萬餘三百五十八萬零三百三十七為子角之餘弦檢表得六十九度零一分一十三秒即子角之外角度亦即甲丙邊度與象限相減餘二十度五十八分四十七秒即赤道北之緯度也既得甲丙邊則以對邊對角之法求之亦即得乙丙邊矣此三角求邊之法也設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七分黄極赤極相距二十三度三十分求赤道經度緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為土星丁戊為赤道己庚為黃道己辛為黃道經度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丙辛為黃道南緯度二度三十七分乙丙為星距黃極九十二度三十七分丙壬為赤道南緯度甲丙即星距北極度丁壬為距夏至赤道經度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有乙角及甲乙乙丙二邊求甲丙邊及甲角先求甲丙邊以半徑一千萬為一率乙角一百二十二度二十九分之大矢一千五百三十七萬零五百四十二為二率以夾乙角之甲乙邊二十三度三十分與乙丙邊九十二度三十七分相加得一百一十六度零七分為總弧其餘弦四百四十萬二千零四又以甲乙乙丙兩邊相減餘六十九度零七分為較弧其餘弦三百五十六萬四千六百六十二兩餘弦相加(總弧過象限較弧不過象限故兩餘弦相)(加)得七百九十六萬六千六百六十六折半得三百九十八萬三千三百三十三為中數為三率求得四率六百一十二萬二千五百九十九為矢較與較弧六十九度零七分之正矢六百四十三萬五千三百三十八相加得一千二百五十五萬七千九百三十七為甲丙對邊之大矢(凡矢)(度過於半徑者為大矢其弧即為過弧)内減半徑一千萬餘二百五十五萬七千九百三十七為甲丙邊之餘弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度内減九十度餘一十四度四十九分一十四秒為赤道南之緯度也如圖己癸為半徑己子為甲角之大矢甲乙與乙丙相加(乙丙與乙丑乙卯皆相等)得甲丑為總弧其正弦為丑寅餘弦為寅癸甲乙與乙丙相減餘甲卯為較弧其正弦為卯辰餘弦為辰癸兩餘弦相加得辰寅折半得辰巳與午未等為中數又對乙角之甲丙邊與甲申等其正弦為申酉餘弦為酉癸大矢為甲酉以甲酉與甲卯較弧之正矢甲辰相減餘辰酉與戌亥等為矢較遂成卯午未與卯戌亥同式兩勾股形而卯未與卯亥之比同於午未與戌亥之比又卯未為丑卯距等圈之半徑卯亥與巳子兩段同為乙辛丙黃道經圈之所分則卯未與卯亥之比原同於己癸與己子之比是以半徑己癸與乙角大矢己子之比即同於中數午未與矢較戌亥之比也既得戌亥矢較與甲卯較弧之正矢甲辰相加得甲酉即為甲丙弧之大矢内減甲癸半徑餘酉癸為甲丙弧之餘弦亦即丙乾弧之餘弦檢表得丙乾弧之度故與半周相減始為甲丙弧之度也次求甲角則以甲丙弧一百零四度四十九分一十四秒之正弦九百六十六萬七千三百一十六為一率乙丙弧九十二度三十七分之正弦九百九十八萬九千五百七十三為二率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為三率求得四率八百七十一萬六千六百七十一為甲角之正弦檢表得六十度三十九分一十秒即甲角之度與半周相減餘一百一十九度二十分五十秒即星距夏至赤道經度自夏至未宫初度逆計之為辰宫二十九度二十分五十秒也又法將乙丙弧引長至丁自甲作甲丁垂弧補成甲丁乙甲丁丙兩正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率三百三十六萬三千六百三十八為甲丁弧之正弦檢表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法)又以半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之餘弦五百三十七萬零五百四十二為二率甲乙二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為三率求得四率二百三十三萬五千一百七十八為乙丁弧之正切檢表得一十三度零八分三十八秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角)(形有黄赤交角有黃道求赤道之法)次求甲丁丙形以半徑一千萬為一率乙丙弧九十二度三十七分與乙丁弧一十三度零八分三十八秒相加得丙丁弧一百零五度四十五分三十八秒其餘弦二百七十一萬六千一百七十八為二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之餘弦九百四十一萬七千三百一十八為三率求得四率二百五十五萬七千九百一十一為甲丙弧之餘弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度也(此即正弧三角形有赤道有距緯求)(黃道之法)既得甲丙邊則以對邊對角之法求之即得甲角矣此兩邊夾一角之法也設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道經度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黃極赤極相距二十三度三十分求黃道緯度赤道緯度各幾何甲乙丙三角形甲為赤極(即北極)乙為黃極甲乙相距二十三度三十分丙為土星丁戊為赤道己庚為黃道己辛為黃道經度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丁壬為赤道經度距夏至一百一十九度二十分五十秒即甲角之外角丙辛為黃道南緯度乙丙為星距黃極度丙壬為赤道南緯度甲丙為星距赤極度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及甲乙邊求甲丙乙丙二邊乃用次形法先求丙角將甲乙丙形易為癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑邊(甲角當壬戊弧與子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑邊(乙外角當辛庚弧與癸丑等)本形之丙角即次形之癸子邊(丙角)(當寅卯弧與癸子等)本形之甲乙邊即次形之丑角(丁己與甲乙等即丑)(角度)本形之乙丙邊與半周相減之餘度即次形癸角之外角(乙丙邊與半周相減餘丙辰與卯辛)(等即辛癸卯角為癸子丑形癸角之外角葢卯丙與)(辛辰皆象限各減辛丙故卯辛與丙辰等)本形之甲丙邊與半周相減之餘度即次形之子角(甲丙邊與)(半周相減餘丙巳與寅壬等即子角度葢寅丙與壬)(巳皆象限各減壬丙故壬寅與丙巳等)故用癸子丑三角形有丑角及癸丑子丑二邊求癸子邊(即丙角)以半徑一千萬為一率丑角二十三度三十分之正矢八十二萬九千三百九十九為二率以癸丑邊(即乙外角)五十七度三十一分與子丑邊(即甲角)六十度三十九分一十秒相加得一百一十八度一十分一十秒為總弧其餘弦四百七十二萬零八百零七又以癸丑子丑兩邊相減餘三度零八分一十秒為較弧其餘弦九百九十八萬五千零二十四兩餘弦相加得一千四百七十萬五千八百三十一折半得七百三十五萬二千九百一十五為中數為三率求得四率六十萬九千八百五十為矢較與較弧三度零八分一十秒之正矢一萬四千九百七十六相加得六十二萬四千八百二十六為癸子對邊之正矢與半徑一千萬相減餘九百三十七萬五千一百七十四為癸子對邊之餘弦檢表得二十度二十一分四十一秒為癸子邊之度亦即丙角度也次求乙丙邊則以丙角之正弦三百四十七萬九千三百八十七為一率甲角六十度三十九分一十秒之正弦八百七十一萬六千六百五十七為二率甲乙邊二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率九百九十八萬九千五百七十三為乙丙邊之正弦檢表得八十七度二十三分與半周相減餘九十二度三十七分即乙丙邊之度内減九十度餘二度三十七分即星距黃道南之緯度也次求甲丙邊以丙角之正弦三百四十七萬九千三百八十七為一率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率仍以甲乙邊之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率九百六十六萬七千三百三十一為甲丙邊之正弦檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度内減九十度餘一十四度四十九分一十四秒即星距赤道南之緯度也又法將乙丙弧引長至丁自甲作甲丁垂弧補成甲丁乙甲丁丙兩正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半徑一千萬為一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三萬五千四百七十七為二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八萬七千四百九十一為三率求得四率三百三十六萬三千六百三十八為甲丁弧之正弦檢表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有黃道求距緯之法)又以甲乙弧二十三度三十分之正切四百三十四萬八千一百二十四為一率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七萬一千七百五十二為二率半徑一千萬為三率求得四率八百二十一萬四千四百六十七為甲虚角之餘弦檢表得三十四度四十六分一十二秒即甲虚角之度也(此即正弧三角形有黃道有赤道求)(黃赤交角之法)次求甲丁丙形以丙甲乙角六十度三十九分一十秒與甲虚角三十四度四十六分一十二秒相加得九十五度二十五分二十二秒為丙甲丁角乃以其餘弦九十四萬五千零六十四為一率半徑一千萬為二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七萬一千七百五十二為三率求得四率三千七百七十九萬三千七百五十七為甲丙弧之正切檢表得七十五度一十分四十六秒與半周相減餘一百零四度四十九分一十四秒即甲丙邊之度也(此即正弧三角形有黃赤)(交角有赤道求黄道之法)既得甲丙邊則以對邊對角之法求之即得乙丙邊矣此兩角夾一邊之法也御製〔？〕象考成上編卷三
## 上編卷四
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷四日躔歴理南北眞線北極髙度地半徑差黄赤距緯清蒙氣差測歲實以定平行本天髙卑為盈縮之原求兩心差及最髙最髙行及本輪均輪半徑求盈縮差時差(原名日差)曚影刻分晝夜永短節氣時刻南北眞線辨方定位厯象首務盖必先定南北然後可以候中星歩日躔然南北之大勢雖若昜知而立線定向必豪釐不失乃得其眞即用指南針亦有所偏向不可為準其所偏向又隨地不同故欲得南北之眞線者必以測量星日為主法於春秋分日植表於案令極平取日影自午前至午後視表末影所至隨作㸃為識次聯諸㸃成一直線即東西線取東西線之正中作垂線即南北線也或不拘何日植表取影自午前至午後視表末影所至隨作㸃為識次取與表心最近之一㸃為午正表影乃太陽出地平最髙之度依此㸃向表心作直線即南北線也又法用方案令極平作圜數層植表於圜心以取日影凡影圜上者皆作㸃識之乃視午前午後兩㸃同在一圜上者作直線聯之即東西線取東西線之正中向圜心作垂線即南北線也又法植表取日影别用儀噐測得午前日軌髙度作㸃於影末又測得午後日軌髙度與午前等亦作㸃於影末乃以兩㸃作直線聯之即東西線取東西線之正中向表作垂線即南北線也又法於冬至日前後用儀噐測勾陳第五星初昏時此星在北極之西候其漸轉而西至不復西而止至五更後此星在北極之東候其漸轉而東至不復東而止兩表視線之正中即南北線也葢勾陳第五星冬至日酉時在極西卯時在極東他星則離極右逺故止取此星可以得東西之準他時非不可測但或日永夜短卯酉二時星不可見故必於冬至日前後測之也又法取恒星之大者用兩儀噐測之一測其髙度一測其地平經度視此星在東時測其髙度若干隨測其地平經度俟此星轉而西測其髙度與在東時等者復測其地平經度此兩經度之正中即南北線此法與前同然不拘冬至他日皆可用較前法為簡便也北極髙度北極為天之樞紐居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之進退晝夜之永短因之而各異焉盖厯法以日躔出入赤道之度定諸節氣而北極出地之度即赤道距天頂之度倘推測不精髙度差至一分則春秋分必差一時而冬夏至必差一二日日躔既差則月離五星之經緯無不謬矣故測北極出地之髙下最宜精宻不容或略也授時厯測得京師北極出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分約之為四十度零九分五十一秒新法算書京師北極出地三十九度五十五分今測得暢春園北極出地三十九度五十九分三十秒法於冬至日前後用儀器測勾陳大星出地之度酉時此星在北極之上候其漸轉而髙至不復髙而止為最髙之度卯時此星在北極之下候其漸轉而低至不復低而止為最低之度乃以所測最高最低之度折中取之即北極出地之度也盖北極無星其髙低不可得而見故取星之環繞北極上下者測之惟勾陳大星冬至酉時在最髙卯時在最低可以得髙低之準也又法取恒星之大者測其最髙為若干度若此星為赤道以南之星則以其距赤道之緯與其髙相加得若干即赤道之髙度若此星為赤道以北之星則以其距赤道之緯與其髙相減得若干即赤道之髙度既得赤道之髙與一象限九十度相減餘若干即北極出地之度也此法較之前法為少煩盖因赤道南北之星距赤道之緯俱係測得北極之髙度而後可得而恒星有歲差其緯度亦有増損然存此法與前法參互考騐可也地半徑差凡求七曜出地之髙度必用測量乃測量所得之數與推歩所得之數徃徃不合蓋推歩所得者七曜距地心之髙度而測量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度為眞髙距地面之髙度為視髙人在地面不在地心故視髙必小於眞髙以有地半徑之差也(或有大於眞髙者則清蒙氣所為也)盖七曜恒星雖皆麗於天而其髙下又各不等惟恒星天為最髙其距地最逺地半徑甚㣲故無視髙眞髙之差若夫七曜諸天則皆有地半徑差今欲求太陽之眞髙必先得地半徑差欲求地半徑差必先得地半徑與日天半徑之比例今随時測太陽之髙度求得地半徑與日天半徑之比例最髙為一與一千一百六十二最卑為一與一千一百二十一比舊定地半徑與日天半徑之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太陽髙卑之故由於兩心差然最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半(詳見本輪均輪半徑篇)舊表日天半徑乃依兩心差全數所定故最髙較實測則多最卑較實測必少也如圖甲為地心乙為地面甲乙為地半徑乙丙為地平丁戊己為太陽天庚辛壬癸為恒星天戊為太陽人從地面乙測之對恒星天於壬其視髙為壬乙丙角若從地心甲計之則見太陽於戊者對恒星天於辛其真髙為辛甲癸角此兩髙之差為乙戊甲角即地半徑之差然又時時不同者其故有二一太陽距地平近其差角大漸髙則漸小一太陽在本天上又有髙卑髙則距地心逺其差角小卑則距地心近其差角大(如戊甲線其長短時時不同其所以)(逺近之故詳見於後)今約為最髙與中距及最卑三限(太陽本天髙卑)(細推之每日不同然用以求差角所差甚㣲故止用)(三限)於夏至春秋分冬至時各以所測地面上太陽之髙度求太陽距地心之戊甲線(太陽夏至前後行最髙限春秋分前後行)(中距限冬至前後行最卑限故於三時測之)康熙五十四年乙未五月二十九日甲子午正(夏至後八)(日也以本日太陽躔本天之最髙為距地心之最逺)在暢春園測得太陽髙七十三度一十六分零二十三㣲同時於廣東廣州府測得太陽髙九十度零六分二十一秒四十八㣲以之立法甲為地心乙為暢春園地面庚為天頂子為廣州府地面丑為天頂戊為太陽寅為赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒為暢春園赤道距天頂之度寅丑弧二十三度一十分為廣州府赤道距天頂之度(赤道距天頂數俱係實測所得)以兩處赤道距天頂度相減餘一十六度四十九分三十秒為庚丑弧即庚甲丑角以暢春園髙度與一象限相減餘一十六度四十三分五十九秒三十七㣲為庚乙戊角於廣州府髙度内減去一象限餘六分二十一秒四十八㣲即戊子丑角(戊在天頂丑北)先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲邊俱地半徑命為一千萬乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七為乙子邊又以甲角與半周相減餘數半之得八十一度三十五分一十五秒為乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角八十一度四十分四十五秒二十三秒(半周内減去甲乙子角又減去)(庚乙戊角餘即戊乙子角)有戊子乙角九十八度一十八分二十三秒一十二㣲(半周内減去甲子乙)(角又減去戊子丑角餘即戊子乙角)即有乙戊子角五十一秒二十五㣲求得戊子邊一一六一三二二三八三九次用戊子甲三角形此形有戊子邊有子甲邊(地平徑一千萬)有戊子甲之外角六分二十一秒四十八㣲(即戊子丑角)求得戊甲邊一一六二二六四二五一二為太陽在本天最髙時距地心之逺以地半徑較之其比例如一與一千一百六十二也(乙甲一千)(萬與一一六二二六四二五一二之比同於一與一)(千一百六十二有餘之比)末用乙戊甲三角形乙甲邊為一戊甲邊為一一六二戊乙甲之外角一十六度四十三分五十九秒三十七㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角五十一秒零五㣲為最髙限太陽髙七十三度一十六分之地半徑差以加暢春園視髙七十三度一十六分零二十三㣲得七十三度一十六分五十一秒二十八㣲為暢春園太陽之眞髙也於乙戊子角五十一秒二十五㣲内減去乙戊甲角五十一秒零五㣲餘二十㣲為甲戊子角乃最髙限太陽髙九十度零六分二十一秒之地半徑差(即八)(十九度五十三分三十九秒之地半徑差)以減廣州府視髙九十度零六分二十一秒四十八㣲(視髙)(過九十度故減)得九十度零六分二十一秒二十八㣲為廣州府太陽之眞髙也又康熙五十五年丙申三月初五日丙申午正(春分後八)(日也以本日太陽躔本天之中距為距地心之適中)在暢春園測得太陽髙五十三度零三分三十八秒一十㣲同時於廣東廣州府測得太陽髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲減去緯差一十四秒餘六十九度五十三分五十四秒三十八㣲(測得廣州府子午線)(在京師之西三度三十三分其午正時乃京師午正)(初刻十四分也夫太陽距緯度夏至時每日止差四)(十餘秒其一刻所差甚㣲可不論若春分時每日差)(至二十四分則十四分時可差一十四秒又春分後)(太陽自卑而髙緯度既差一十四秒則午正之髙度)(亦多一十四秒故必於所測之度減去緯差始為與)(京師子午相當地面之髙度也此即東西里差詳後)(節氣時刻篇)以之立法庚為暢春園天頂丑為廣州府天頂戊為太陽寅為赤道乙甲子三角形之三邊三角俱與前圖等以暢春園髙度與一象限相減餘三十六度五十六分二十一秒五十㣲為庚乙戊角以廣州府髙度與一象限相減餘二十度零六分零五秒二十二㣲為戊子丑角先用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角六十一度二十八分二十三秒一十㣲(半周内減去甲乙子角又減去庚乙戊角餘即戊乙)(子角)有戊子乙角一百一十八度三十分五十秒二十二㣲(半周内減去甲子乙角加入戊子丑角即)(戊子乙角)即有乙戊子角四十六秒二十八㣲求得戊子邊一一四一○三一○二九九次用戊子甲三角形此形有戊子邊有子甲邊(地半徑一千萬)有戊子甲之外角二十度零六分零五秒二十二㣲(即戊子丑角)求得戊甲邊一一四二一八六七七三○為太陽在本天中距時距地心之逺以地半徑較之其比例如一與一千一百四十二也末用乙戊甲三角形乙甲邊為一戊甲邊為一一四二戊乙甲之外角三十六度五十六分二十一秒五十㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲為中距限太陽髙五十三度零三分三十八秒之地半徑差以加暢春園視髙五十三度零三分三十八秒一十㣲得五十三度零五分二十六秒四十二㣲為暢春園太陽之眞髙也於乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲内減去乙戊子角四十六秒二十八㣲餘一分零二秒零四㣲為子戊甲角乃中距限太陽髙六十九度五十四分零八秒之地半徑差以加廣州府視髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲得六十九度五十五分一十秒四十二㣲為廣州府太陽之眞高也今若以最髙太陽距地心一一六二與中距太陽距地心一一四二相減餘二○為兩限距地心之較則最卑限太陽距地心之逺為一一二二然中距太陽距地心如弦本天半徑如股(圖見後求盈縮差篇)其距最髙之差應少距最卑之差應多故最卑限太陽距地心當不足一一二二欲以實測求之奈冬至後太陽躔本天最卑時髙弧僅二十六度餘蒙氣差甚大難得其眞今以太陽最髙與本天半徑比例數一○一七九二○八(見交食厯理求日月距地與地半徑)(之比例篇)與地半徑比例數一一六二之比即同於太陽最卑與本天半徑比例數九八二○七九二與地半徑比例數一一二一之比是為最卑限太陽距地心之逺也既得三限距地心之逺即各用為一邉(即戊甲)地半徑為一邊(即乙甲為一)太陽出地逐度之髙(即戊㸃)與象限相加為一角(即甲乙戊角)成戊乙甲三角形求得乙戊甲角為三限太陽自地平至天頂逐度之地半徑差以列表黃赤距緯黃道斜交赤道而出其内外其相距最逺之度即二至太陽距赤道之緯度古今所測不同授時厯測得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之為二十三度三十三分三十二秒新法厯書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来於暢春園累測夏至午正太陽髙度得視髙七十三度二十九分十餘秒加地半徑差五十秒得實髙七十三度三十分減去本處之赤道髙五十度零三十秒餘二十三度二十九分三十秒為黃道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黃道每度每分之距緯以立表如圖甲乙為黃道一象限甲丙為赤道一象限甲為春分乙為夏至乙丙為大距二十三度二十九分三十秒即甲角之度設丁㸃為立夏距甲春分四十五度求丁戊距緯若干則用甲丁戊正弧三角形此形有甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒有甲丁黄道四十五度有戊直角九十度今以戊直角九十度之正弦一千萬與甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒之正弦三九八六一五七之比即同於甲丁黄道四十五度之正弦七○七一○六八與丁戊距緯一十六度二十二分一十七秒之正弦二八一八六三九之比也既得立夏之距緯度則立春立秋立冬之距緯度亦同按法於甲乙一象限内逐度逐分求其距緯則其餘三象限之距緯度亦得矣清䝉氣差清蒙氣差從古未聞明萬厯間西人第谷始發之其言曰清蒙氣者地中遊氣時時上騰其質輕㣲不能隔礙人目却能映小為大升卑為髙故日月在地平上比於中天則大星座在地平上比於中天則廣此映小為大也定望時地在日月之間人在地面無兩見之理而恒得兩見或日未西没而已見月食於東日已東出而尚見月食於西此升卑為髙也又曰清蒙之氣有厚薄有髙下氣盛則厚而髙氣㣲則薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地勢殊也若海或江湖水氣多則清蒙氣必厚且髙也故欲定七政之緯宜先定本地之清蒙差第谷言其國北極出地五十五度有竒測得地平上最大之差三十四分自地平以上其差漸少至四十五度其差五秒更髙則無差矣此即新法厯書所用之表也近日西人又言於北極出地四十八度地方測得太陽髙四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆有蒙氣差即此觀之益見蒙氣差之隨地不同而第谷之言為不妄矣今述其測量推算之法於左使觀者知蒙氣差表之所自立云假如太陽髙一十度三十四分四十二秒距正午八十三度(地平經度)於時日躔降婁宫三度三十六分距赤道北一度二十六分如圖甲為地心乙為天頂丙為太陽丁為北極乙戊為子午規乙丙己為髙弧丙己為太陽實髙弧庚己為視髙弧今用丁乙丙斜弧三角形此形有北極距天頂之丁乙弧五十度零三十秒有太陽距北極之丁丙弧八十八度三十四分(以距)(緯一度二十六分減象限九十度得之)有丁乙丙角九十七度(己乙戊角八十)(三度為太陽距正午之度與半周相減即得丁乙丙)(角)求太陽實距天頂之乙丙弧法以乙丙弧引長從丁作丁辛垂弧兩弧相交於心為直角遂成丁辛乙丁辛丙兩正弧三角形先用丁辛乙正弧三角形以半徑一千萬與乙角八十三度之正弦九九二五四六二之比同於乙丁弧五十度零三十秒之正弦七六六一三七九與丁辛弧之正弦七六○四二七三之比得丁辛弧四十九度三十分零七秒又以半徑一千萬與乙角八十三度之餘弦一二一八六九三之比同於乙丁弧五十度零三十秒之正切一一九二一○五六與乙辛弧之正切一四五二八一一之比得乙辛弧八度一十五分五十八秒次用丁辛丙正弧三角形以丁丙弧八十八度三十四分之正弦九九九六八七一與丁辛弧四十九度三十分零七秒之正弦七六○四二七三之比同於半徑一千萬與丙角正弦七六○六六五三之比得丙角四十九度三十一分二十二秒又以丙角四十九度三十一分二十二秒之正切一一七一七九二七與半徑一千萬之比同於丁辛弧四十九度三十分零七秒之正切一一七○九三○二與辛丙弧之正弦九九九二六三九之比得辛丙弧八十七度四十八分零五秒於辛丙弧内減去乙辛弧八度一十五分五十八秒餘乙丙弧七十九度三十二分零七秒為太陽實距天頂之度以乙丙弧與乙己弧九十度相減餘丙己弧一十度二十七分五十三秒為太陽之實髙乃以實髙與視髙一十度三十四分四十二秒相減餘六分四十九秒加地半徑差二分五十七秒得九分四十六秒為地平上一十度三十五分之蒙氣差按法求得逐度之差數以立表測歲實以定平行太陽之實行每日不同歩日躔者必以平行為根而求平行之法則在於定歲實歲實者太陽循黃道右旋一周而復於原界之日時也(或自今年冬至至明年冬至或自今年春)(分至明年春分)古厯定太陽每日所行為一度故周天為三百六十五度四分度之一其後漸覺後天以為歲實太强自漢以来每次修厯必有所減以合當時實測故每日之平行雖定為一度而天周與歲實訖無定率也今法定天周為三百六十度故太陽每日之行不及一度其分秒之進退視歲實之消長得歲實即得毎日之平行矣數歲以来於二分二至遣人各省分測得歲實為三百六十五日五時三刻三分四十五秒(即三百六十五日十分日之二分四二一八七五)乃置天周三百六十度為實以歲實三百六十五日五時三刻三分四十五秒為法實如法而一得太陽每日平行五十九分零八秒一十九㣲四十九纎五十九忽三十九芒(即十)(分度之九分八五六四七三六五八)既得太陽每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時每分之平行以立表(毎日二十四時毎時六十分)測歲實之法古人皆測冬至然冬至之時刻難定不如用春秋分時得數為眞葢冬至時黃道與赤道平行其緯度一日所差不過數十秒儀噐無從分别春秋分黃道與赤道斜交其緯度一日差二十四分其差易見且求平行須用平行歲實而測量止能得視行惟二分時去中距不逺其平行實行之差甚㣲可以不計况冬至時太陽之地平緯度少清蒙之氣甚大古来歲實難得確準此其故也康熙五十四年乙未二月十六日癸未午正於暢春園測得太陽髙五十度零三十二秒三十五㣲加地半徑差一分五十六秒零五㣲得實髙五十度零二分二十八秒四十㣲與赤道髙五十度零三十秒相減餘一分五十八秒四十㣲為太陽在赤道北之緯度即知春分時刻在午正前也如圖甲為春分乙為太陽丙為赤道乙丁為午正太陽實髙丙丁為赤道髙乙丙為太陽距赤道北緯度用甲乙丙正弧三角形此形有甲角大距度二十三度二十九分三十秒有丙直角有乙丙緯度一分五十八秒四十㣲求甲乙弧為太陽過春分之經度法用甲角正弦三九八六一五七與丙直角正弦一千萬之比同於乙丙弧正弦五七五三與甲乙弧正弦一四四三三之比得甲乙弧四分五十七秒四十三㣲用變時法以一日之平行五十九分零八秒二十㣲為一率(二分時太陽之實行)(與平行相近故即用平行為一率若他節氣須用本)(日之實行為一率)二十四時化為一千四百四十分為二率甲乙弧四分五十七秒四十三㣲為三率得四率一百二十分四十九秒一十二㣲以每時六十分収之得二時零四十九秒一十二㣲為春分距午正前之時即已初三刻一十四分一十秒四十八㣲春分也康熙五十五年丙申二月二十七日戊子午正於暢春園測得太陽髙四十九度五十四分四十九秒五十一㣲加地半徑差一分五十六秒一十七㣲得實髙四十九度五十六分四十六秒零八㣲與赤道髙五十度零三十秒相減餘三分四十三秒五十二㣲為太陽在赤道南之緯度即知春分時刻在午正後也依法用甲乙丙正弧三角形求得乙甲弧九分二十一秒三十九㣲為太陽未到春分之經度變時得三時四十七分五十五秒四十八㣲為春分距午正後之時即申初三刻二分五十五秒四十八㣲春分也乃總計兩春分相距得三百六十五日五時三刻三分四十五秒即為歲實本天髙卑為盈縮之原太陽行天每歲一周萬古不忒宜其每日平行而無有盈縮乃徵之目下實測則春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所見時日不同今即其不平行之數求其所以然之故則惟有本天髙卑之説能盡之本天髙卑之法有二一為不同心天一為本輪立名雖異而理則同故髙卑之距盈縮之度皆不謀而合焉不同心天之法盖以天包地外以地為心太陽本天亦包乎地外而不以地為心因其有兩心之差而髙卑判焉如圖甲為地心乙丙丁戊為黄道己為太陽本天心庚辛壬癸為太陽本天其癸庚辛大半周逺於地為髙辛壬癸小半周近於地為卑戊為春分丙為秋分乙為夏至丁為冬至自春分厯夏至以至秋分太陽自癸厯庚以至辛行本天之大半周故厯日多而自地心甲立算其自戊厯乙以至丙止行黄道之半周故為行縮自秋分厯冬至以至春分太陽自辛厯壬以至癸行本天之小半周故厯日少而自地心甲立算其自丙厯丁以至戊亦行黄道之半周故為行盈夫日在本天原自平行因自地心甲立算而不以太陽本天心已立算遂有髙卑盈縮之異故髙卑為盈縮之原而兩心之差又髙卑之所由生也本輪之法盖以本天與地同心而本天之周又有一本輪本輪心循本天周向東而行日在本輪之周向西而行兩行之度相等(輪心)(東行太陽西行二者亦有㣲差然積至周歲纔差一)(分雖謂相等可也)太陽在本輪之下半周去地近為卑則順輪心行故見其速於平行在本輪之上半周去地逺為髙則背輪心行故見其遲於平行在本輪之左右去地不逺不近為髙卑適中故名中距其行與平行等如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為本天其本輪循本天東行由丁向戊而乙而丙而復於丁為平行度(即經度)太陽循本輪西行由下而左而上而右而復於下(本輪以近地心為下逺地心為上)為自行度(名引數)如本輪心在丁則太陽在本輪之下如辛去地心甲最近是為最卑本輪心在乙則太陽在本輪之上如己去地心甲最逺是為最髙最髙最卑之㸃皆對本輪心與地心成一直線其平行實行同度故為盈縮起算之端如本輪心由丁向戊太陽由本輪下向左順輪心行能益東行之度故較平行度為盈至半象限後所益漸少迨輪心行一象限至戊太陽亦行輪周一象限至壬即無所益而復於平行是為中距然而積盈之多正在中距盖平行至戊而太陽在壬從地心甲立算則太陽當本天之子子戊弧以本輪之半徑為正切為盈差之極大也從中距而後太陽行本輪之上半周背輪心行故實行漸縮然因有積盈之度方以次漸消其實行仍在平行前迨行滿一象限至最髙為極縮而積盈之度始消盡無餘其實行與平行乃合為一線故自最卑至最髙半周俱為盈厯也如本輪心由乙向丙太陽由本輪上向右背輪心行能損東行之度故較平行度為縮至半象限後所損漸少迨輪心行一象限至丙太陽亦行輪周一象限至庚即無所損而復於平行是為中距然而積縮之多亦在中距盖平行至丙而太陽在庚從地心甲立算則太陽當本天之丑丑丙弧亦以本輪之半徑為正切為縮差之極大也從中距而後太陽行本輪之下半周順輪心行故實行漸盈然因有積縮之度方以次相補其實行仍在平行後迨行滿一象限至最卑為極盈而積縮之度始補足無缺其實行與平行乃合為一線故自最髙至最卑半周俱為縮厯也此本輪之法於盈縮之理最為顯著然謂與不同心天之理同何也試於本輪上己庚辛壬諸㸃聨為一圜此圜必不以甲為心而以癸為心遂成不同心天之形其癸甲兩心之差即本輪之半徑故求得兩心之差而本輪之徑自見明於本輪之故而盈縮之理益彰然則其理相通其用相輔並存其説實可以參稽而互證也求兩心差及最髙新法厯書用春分秋分立夏三節氣相距日時推得兩心差為三五八四一六最髙在夏至後五度三十分然而未詳何年月日永年表載康熙丁酉年最卑在冬至後七度四十三分四十九秒今以丁酉年實測節氣時刻依法推算得兩心差為三五八九七七最卑在冬至後八度三十八分二十五秒五十五㣲皆與原數不合葢今之春分秋分立夏皆不正當最髙最卑中距之度用兩心差以推其時刻與實測不合則用實測之時刻以推兩心差亦必與原數不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太陽在最髙最卑二㸃平行與實行合為一線本天與黄道皆平分為兩半周太陽厯半周歲而適行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周歲四分之一至中距應行九十度其實行之過於九十度者即積盈之度自最髙厯周歲四分之一至中距亦應行九十度其實行之不及九十度者即積縮之度檢其正切即兩心差之數也今以丁酉年逐日實測日躔度分求得最髙過夏至最卑過冬至各七度四十四分三十六秒四十八㣲又自太陽過最髙之日分加周歲四分之一求其時刻之實行不及中距二度零三分零九秒四十㣲檢其正切得三五八四一六皆與歴書所載相合是故用兩心差之全數以推盈縮維中距與實測合最髙前後兩象限則失之小最卑前後兩象限則失之大所以又用均輪以消息其數方與實測相符今於其相合者得最髙及兩心差所自来於其不相合者得本輪均輪所由設推算之法并述於左用實測最髙最卑中距求兩心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉二至後暢春園逐日測午正太陽髙度求其經度用實行推得五月二十一日甲戌辰正一刻零四十秒四十五㣲交未宫七度五月二十二日乙亥已初一刻一十四分五十七秒二十七㣲交未宫八度十一月二十七日丁丑子正一刻一十二分五十七秒四十一㣲交丑宫七度本日夜子初三刻一十二分二十七秒四十七㣲交丑宫八度夫未宫七度至丑宫七度厯一百八十二日一十六時一十二分一十六秒五十六㣲大於半周歲一時一十七分五十四秒二十六㣲而未宫八度至丑宫八度厯一百八十二日一十四時二十七分三十秒二十㣲小於半周歲二十六分五十二秒一十㣲乃以此兩數立法以求最髙所在如圖甲為地心即宗動天心乙丙丁戊為黃道與宗動天相應(同以甲為心也)乙為夏至丙為秋分丁為冬至戊為春分又設己㸃為心作庚辛壬癸圈為不同心天庚為最髙當黄道之子壬為最卑當黃道之丑則寅夘為其中距(距最髙子最卑丑各)(九十度)過巳甲兩心作庚丑線則平分本天與黃道各為兩半周故厯半周歲一百八十二日一十四時五十四分二十二秒三十㣲適行半周天一百八十度若夫夏至乙則在最髙前有加差時刻早冬至丁則在最卑前有減差時刻遲故夏至至冬至大於半周歲而秋分丙在最髙後有減差時刻遲春分戊在最卑後有加差時刻早故秋分至春分小於半周歲今未宫七度至丑宫七度大於半周歲未宫八度至丑宫八度小於半周歲即知未宫七度在最髙前如辰未宫八度在最髙後如巳丑宫七度在最卑前如午丑宫八度在最卑後如未今以大於半周歲之一時一十七分五十四秒二十六㣲與小於半周歲之二十六分五十二秒一十㣲相併得一時四十四分四十六秒三十六㣲與辰巳或午未一度之比同於大於半周歲之一時一十七分五十四秒二十六㣲與辰子或午丑四十四分三十六秒四十八㣲之比而得辰子或午丑與乙辰或丁午之七度相加得乙子或丁丑七度四十四分三十六秒四十八㣲即最髙過夏至最卑過冬至之度亦即中距過春秋分之度也(丙寅弧夘戊弧皆與乙子弧相等)此所得之數比永年表丁酉年前冬至最卑度多四十七秒比戊戌年前冬至最卑度少一十五秒葢最髙每歲行六十一秒今合最髙最卑取數立算則其所得為中距過秋分之度較之丁酉年前冬至固應差四分之三較之戊戌年前冬至固應差四分之一是所測與永年表合矣又用比例法求得本年五月二十二日乙亥寅初初刻一分三十七秒四十五㣲過最髙加周歲四分之一九十一日七時二十七分一十一秒一十五㣲得秋分後丙午日巳正一刻一十三分四十九秒過中距在黃道應從最髙子行九十度至寅為辰宫七度四十四分三十六秒四十八㣲而在本天則從最髙庚行九十度至辛當黃道之申今以實測求其經度在辰宫五度四十一分二十七秒零八㣲(即申㸃之度)不及中距二度零三分零九秒四十㣲即申寅弧當辛甲寅角與甲辛巳角等檢其正切得三五八四一六為已甲兩心差(亦即本輪半徑)與厯書所載同用實測春分秋分立夏求兩心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉暢春園測得春分為二月初八日癸巳亥初二刻六分四十七秒立夏為三月二十四日己夘亥正二刻一分三十六秒秋分為八月十九日庚子申初二刻四分零三秒則春分距立夏得四十六日三刻九分四十九秒以毎日平行五十九分零八秒二十㣲乘之得平行度四十五度二十二分三十八秒一十六㣲春分距秋分得一百八十六日七十一刻一十二分一十六秒以每日平行五十九分零八秒二十㣲乗之得平行度一百八十四度零四分零三秒五十八㣲如圖甲為地心乙丙丁戊為黃道戊為春分己為夏至丙為秋分庚為冬至辛為立夏戊辛弧四十五度又以壬㸃為心作子丑寅夘圈為不同心天春分時太陽在子實度在戊立夏時太陽在癸實度在辛子癸弧四十五度二十二分三十八秒一十六㣲為平行度秋分時太陽在寅實度在丙子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲為平行度於是過壬甲兩心作丑丁線則丑為最髙當黃道之乙卯為最卑當黃道之丁今命丑壬半徑為一千萬求壬甲兩心差得丑壬半徑之若干分並求辛甲乙角為最髙距立夏之度乃以子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲與全周相減餘一百七十五度五十五分五十六秒零二㣲為寅辰卯子弧又甲辰子三角形其子甲辛外角為四十五度(當辛弧也)戊則子甲辰角必一百三十五度而辰角為癸子弧相對界角必為癸子弧之一半得二十二度四十一分一十九秒零八㣲則子角必為二十二度一十八分四十秒五十二㣲倍之得四十四度三十七分二十一秒四十四㣲為寅辰弧(因與)(子界角相當故)與寅辰夘子弧相減餘一百三十一度一十八分三十四秒一十八㣲為子卯辰弧檢其通弦得一八二二一五六二為子辰邊用三角形邊角相求法求得甲辰邊九七八二九九八又以癸子弧與子卯辰弧相加得一百七十六度四十一分一十二秒三十四㣲為癸子卯辰弧半之得八十八度二十分三十六秒一十七㣲檢其餘弦得二八九○八九即壬巳其正弦得九九九五八二○即辰巳内減甲辰餘二一二八二二即巳甲乃用壬巳甲勾股形求得壬甲弦三五八九七七為兩心差比厯書所載多一千萬分之五百六十一又用邊角相求法求得甲角五十三度三十八分二十五秒五十五㣲為最髙乙距立夏辛之度内減立夏距夏至四十五度得最髙過夏至後八度三十八分二十五秒五十五㣲比永年表多五十四分三十六秒五十五㣲葢目今春分秋分立夏皆不正當最髙最卑中距之度故太陽之自最卑至中距自中距至最髙其行度必有不同所以用實測節氣推兩心差及最髙所在皆不相合是故歴家於本輪半徑(即兩心差)分設一均輪以消息四象限之行分而後與實測相符此均輪之法所由立也最髙行及本輪均輪半徑太陽之行因去地有髙卑遂生盈縮故最髙最卑之㸃即極盈極縮之度而為起算之端但此髙卑之㸃不定在冬夏至而有行分且最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半歴家殫精推測因悟太陽本天之周有本輪而本輪之周又有均輪乃以兩心差三十五萬八千四百一十六四分之取其三分得二十六萬八千八百一十二為本輪半徑取其一分得八萬九千六百零四為均輪半徑而後髙卑之數盈縮之行始與實測相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本輪心之行㣲速於均輪心之行本輪心循本天東行已滿一周而均輪心循本輪西轉尚未滿一周其本輪心與均輪心兩行之差即最髙之行分也但其行分甚㣲積久始著康熙永年表戊午年測得最髙在夏至後七度零四分零四秒至丁酉年則最髙在夏至後七度四十三分四十九秒約毎年東行一分一秒一十㣲(即本輪心毎歲之行速於均輪心每歲之行一分一秒一十㣲也)如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為本天本天之周載本輪心本輪之周又載均輪心本輪心循本天東行由丁而戊而乙而丙而復於丁為經度(每日平行五十)(九分零八秒二十㣲)均輪心循本輪西行由下而左而上而右而復於下其行度㣲不及於本輪名曰引數(每日行五十九)(分零八秒零九㣲有餘)太陽則循均輪周東行由最近而最逺(逺近皆以距本輪心言)而復於最近其行倍於均輪心(均輪心行一度)(太陽在輪周行二度)癸甲為兩心差本輪半徑為癸甲四分之三均輪半徑為癸甲四分之一最卑時本輪心在本天之丁均輪心在本輪之辛(本輪下點)太陽則在均輪之辰(均輪近點)居兩輪心之間從地心甲計之成一直線故無平行實行之差辰丁為兩心差之半辰甲為太陽距地心之逺其卑於甲丁本天半徑者即辰丁兩心差之半也本輪心由丁行九十度至戊為中距均輪心由本輪之下㸃行九十度至壬(本輪左㸃)太陽則由均輪之近㸃行一百八十度至已(均輪逺㸃)從地心甲立算則太陽當本天之子子戊弧為積盈之度(即子甲戊角)其正切已戊為本輪與均輪兩半徑相併之數與癸甲兩心差等最髙時本輪心在本天之乙(由戊行九十度至乙)均輪心在本輪之已(由本輪左㸃行)(九十度至上㸃)太陽則在均輪之寅(由均輪之逺㸃行一百八十度至近㸃)居兩輪心之間從地心甲計之成一直線故亦無平行實行之差(中距時所積之盈度至此消盡)(而合於平行)寅乙為兩心差之半寅甲為太陽距地心之逺其髙於乙甲本天半徑者即寅乙兩心差之半也本輪心由乙行九十度至丙為中距均輪心由本輪之上㸃行九十度至庚(本輪)(右㸃)太陽則由均輪之近㸃行一百八十度至夘(均輪逺㸃)從地心甲立算則太陽當本天之丑丑丙弧為積縮之度(即丑甲丙角)其正切夘丙為本輪與均輪兩半徑相併之數與癸甲兩心差等夫子戊弧與丑丙弧既皆以兩心差為正切故其度等但子戊為積盈之度(在最)(卑至最髙之半周故也)其平行戊在後實行子在前故子戊弧為加差以加於平行而得實行也(由最卑至最髙之半周皆平行在後)(實行在前故皆為加差也)丑丙弧為積縮之度(在最髙至最卑之半周故也)其平行丙在前實行丑在後故丑丙弧為減差以減於平行而得實行也(由最髙至最卑)(之半周皆平行在前實行在後故皆為減差也)本輪心復由丙行九十度至丁則均輪心復至辛太陽復至辰其積縮之度俱已補足而平行實行復合為一線矣然使兩輪心之行度皆等而無秒忽之不同則最髙卑必常與冬夏至同度(據今最髙所在而上溯之得元世祖至元)(初年最髙卑正與冬夏至同度其前此則在至前也)因兩輪心之行每年相差一分餘積久至今已差七度四十餘分而最髙即在夏至後七度四十餘分矣如圖未為冬至午為夏至本輪心由冬至未行一百七十九度餘将至午而均輪心纔至本輪之申未至上㸃七度有餘(均輪行每年不及本)(輪行一分餘積之遂差七度餘也)而太陽必尚在均輪近㸃之東十四度餘然從地心甲計之則太陽已當本天之午為夏至矣迨均輪心行至上㸃時本輪心復行七度餘至乙而兩輪心始與地心參直太陽亦至寅㸃在兩輪心之間其距地最逺是為最髙而以日躔計之已在夏至後七度餘最卑之在冬至後理亦如之故曰兩輪心行度之差即最髙卑之行分也求盈縮差盈縮差即今所用之均數自最卑至最髙六宫為盈厯為加差自最髙至最卑六宫為縮厯為減差最卑前三宫與後三宫相當最髙前三宫亦與後三宫相當其差數皆相等故止求得最卑後六宫之差數而最髙後六宫之差數視此但加減不同耳(如最卑前三十度與)(最卑後三十度其差數必等但在最卑前者為減差在最卑後者為加差也)授時厯最大之盈縮差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分今推得最大之差為二度零三分一十一秒(即二度零百分度之五分三一)如圖甲為地心即本天心乙丙為本天之一弧今命乙甲半徑為一千萬丁戊已為本輪則丁乙半徑為二十六萬八千八百一十二丁為上㸃已為下㸃(距地)(心近為下㸃距地心逺為上㸃)庚辛壬為均輪而庚己半徑為八萬九千六百零四庚為最近壬為最逺(逺近皆以距本輪心言)假如本輪心乙在本天之最卑則均輪心在本輪之下㸃已而太陽在均輪之近㸃庚是為初宫初度從地心甲計之太陽在兩輪心之間成一直線無平行實行之差無均數也如本輪心乙在本天之最髙則均輪心在本輪之上㸃丁而太陽在均輪之近㸃庚是為六宫初度從地心甲計之太陽亦在兩輪心之間成一直線無平行實行之差亦無均數也如本輪心乙距最卑後一象限為三宫初度則均輪心從本輪下㸃已行一象限至癸而太陽則從均輪近㸃庚行半周至逺㸃壬從地心甲計之太陽當本天之子乙子弧為實行盈於平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙為直角乙壬為兩輪半徑相併之數三十五萬八千四百一十六乙甲為本天半徑一千萬則乙子弧即甲角之度而乙壬為其正切檢表得二度零三分零九秒四十㣲為甲角即乙子弧乃太陽中距時之均數是為加差以加於平行而得實行(實行者太陽實在之行度)若本輪心乙距最卑前一象限為九宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三象限至丑而太陽從均輪近㸃庚行一周復自庚行半周至逺㸃壬從地心甲計之太陽當本天之寅寅乙弧與乙子弧等亦為太陽中距時之均數但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也如本輪心乙距最卑後三十度為一宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三十度至夘而太陽則從均輪近㸃庚行六十度至辰從地心甲計之太陽當本天之巳乙巳弧為實行盈於平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度(即己夘弧)則庚角必六十度有乙庚邊一七九二○八(即乙夘半徑之三分)(之二)求得午庚邊八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半徑一千萬減去乙午一五五一九九得午甲九八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八(庚辰壬三角形與乙午庚三角形之邊角俱相等盖庚為)(交角辰角立於圜界之一半為直角與午角等則壬角必與乙角等是三角俱)(等也庚壬為均輪全徑與乙庚等則辰庚必與午庚等故倍午庚即得午辰也)於是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八㣲即乙巳弧是為加差以加於平行而得實行若本輪心乙在最卑前三十度是為十一宫初度則均輪心從本輪下㸃已行三百三十度至未而太陽則從均輪近㸃庚行一周復行三百度至申從地心甲計之太陽當本天之酉酉乙弧與乙巳弧等但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也用此法求得最卑後一象限之加差即得最卑前一象限之減差如本輪心乙距最髙前四十度為四宫二十度則均輪心從本輪下㸃已行一百四十度至戌而太陽則從均輪近㸃庚行二百八十度至亥從地心甲計之太陽當本天之子乙子弧為實行盈於平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度(即丁戌弧)則庚角必五十度有乙庚邊一七九二○八(即乙戌半徑之三分之二)求得丑庚邊一一五一九三丑乙邊一三七二八一乃置乙甲本天半徑一千萬加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑庚得丑亥二三○三八六於是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三㣲即乙子弧是為加差以加於平行而得實行若本輪心乙距最髙後四十度是為七宫一十度則均輪心從本輪下㸃已行二百二十度至寅而太陽則從均輪近㸃庚行一周復行八十度至夘從地心甲計之太陽當本天之辰辰乙弧與乙子弧等但為實行縮於平行之度是為減差以減於平行而得實行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙後一象限之減差時差(原名日差)時差者平時與用時相較之時分也推歩所得者為平時測量所得者為用時(用時即視時也)二者常不相合其故有二一因太陽之實行而時刻為之進退盖以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時刻為之消長盖以分至為加減之限也新法厯書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宫度引數必不能相同若合立一表歲久即不可用今仍分作二表加減兩次庶於法為宻也如圖甲為地心乙為本輪心冬至後本輪心平行一百一十八度餘至乙太陽從本輪最卑自行一百一十一度餘至丙從地心甲作實行線至丙割黃道於丁丁乙弧即平行實行之差設推得某日申正太陽平行乙未到酉宫尚一度餘因行盈厯實行大於平行故平行乙雖未至酉宫而實行丁巳交酉宫若以平行乙所臨之時刻為交宫之時刻則為申正太陽入酉宫是為平時然平行乙雖臨於申正而太陽丙實在其東一度餘(即丁乙弧)故必以此一度餘變時約得五分為時差以減申正得申初三刻十分大陽入酉宫是為用時也又如夏至後本輪心平行六十一度餘至乙太陽從本輪最髙自行五十四度餘至丙從地心甲作實行線至丙割黃道於丁丁乙弧為平行實行之差設推得某日辰正太陽平行乙巳入巳宫一度餘因行縮厯實行小於平行故平行乙雖入巳宫一度餘而實行丁方交巳宫初度若以平行乙所臨之時刻為交宫之時刻則為辰正太陽入巳宫是為平時然平行乙雖臨於辰正而太陽丙實在其西一度餘故必以此一度餘變時約得五分為時差以加辰正得辰正初刻五分太陽入巳宫是為用時也準此論之凡最卑後半周實行皆大於平行則用時在平時東其時差宜減最髙後半周實行皆小於平行則用時在平時西其時差宜加此以最髙卑為時差加減之限黃道上事也然時刻以赤道為主黃道上之用時猶非赤道上之用時何也黃道與赤道斜交二分之後黃道如弦赤道如股(從赤極出線至赤道成直角勾股形)故黃道一度赤道一度不足赤道度少則時刻増矣(右旋度少則左旋度多故時刻増)二至之後黃道以腰圍大圈之度當赤道距等小圈之度故黃道一度赤道一度有餘赤道度多則時刻減矣(右旋)(度多則左旋度少故時刻減)如圖甲為北極乙戊丙為赤道乙丁丙為黃道乙為春分丙為秋分丁為夏至春分後太陽實行四十五度至已赤道上與已相等之度為庚庚距乙亦四十五度與已相當之度為辛辛庚弧為赤道少於黃道之度得二度二十九分是為升度差如推得太陽本日實行距春分四十五度而即以四十五度之㸃當某位為某時者是以赤道之庚㸃命時也(如庚㸃當午位即為午時)而實度之辛㸃實在其西故必以辛庚升度差變時為時差以加於平時得用時(如庚㸃當)(午正末即午正末為平時以時差加之得辛㸃在未)(初為用時秋分後與春分後同)又如夏至後太陽實行四十五度至已赤道上與已相等之度為庚庚距戊為四十五度與巳相當之度為辛庚辛弧為赤道多於黃道之度得二度二十九分是為升度差如推得太陽本日實行距夏至四十五度而即以四十五度之㸃當某位為某時者是以赤道之庚㸃命時也(如庚㸃當午位即為午時)而實度之辛㸃實在其東故必以庚辛升度差變時為時差以減於平時得用時(如庚㸃當午初即午初為平時以時差減之得辛㸃)(在已正為用時冬至後與夏至後同)準此論之凡分後兩象限用時皆在平時西其時差宜加至後兩象限用時皆在平時東其時差宜減此以分至為時差加減之限赤道上事也是二者一以髙卑為加減之限一以分至為加減之限若以太陽實行宫度求得赤道同升度與平行宫度相減餘度變時為時差逐度立表以加減平時而得用時是合兩次加減為一次加減然而宫度引數又因逐年最髙卑有行分不能相同合立一表慮歲久不可用故仍分作二表一以太陽均數變時用引數查之一以升度差變時用實行查之依法加減兩次庶平時與用時相較之分可得其眞數也曚影刻分曚影者古所謂晨昏分也太陽未出之先已入之後距地平一十八度皆有光故以一十八度為曚影限然北極出地有髙下太陽距赤道有南北故曚影刻分隨時隨地不同其隨時不同者二分之刻分少二至之刻分多也隨地不同者愈北則刻分愈多愈南則刻分愈少也若夫北極出地五十度則夏至之夜半猶有光愈髙則漸不夜矣南至赤道下則二分之刻分極少而二至之刻分相等赤道以南反是如圖甲為天頂乙丙為地平丁戊為地平下一十八度曚影限(乙丁及丙戊皆一十八度)已為北極庚為南極辛壬為赤道癸子為夏至距等圈丑寅為冬至距等圈二分時日行辛壬赤道出入於卯交曚影限於辰則日在卯辰弧地平上皆有光故以卯辰為曚引之刻分也若冬至時日行丑寅距等圈出入於已交曚厯限於午則日在巳午弧地平上皆有光故以巳午為曚影之刻分而巳午與赤道相當之弧為未申其度多於卯辰故冬至之刻分多於二分也夏至時日行癸子距等圈出入於酉交曚影限於戌則日在酉戌弧地平上皆有光故以酉戌為曚影之刻分而酉戌與赤道相當之弧為亥乾其度更多於未申故夏至之刻分不惟多於二分而更多於冬至也夫冬至相當之未申弧度多於二分相當之卯辰弧度其故易知若夏至相當之亥乾弧度多於冬至相當之未申弧度其故則難知葢未申亥乾二分皆係與赤道相當之正弦非弧度也正弦之數近圜心則疎疎則所當之度少近圜周則宻宻則所當之度多試於赤道上之未申亥乾四㸃各作垂線引至圜周其割圜周之㸃為坎艮震巽而坎艮弧為未申弧相當之度(未卯為坎己弧)(之正弦卯申為已艮弧之正弦以未卯與卯申相加)(成未申以坎已與巳艮相加成坎艮故坎艮弧為未)(申相當之度)震巽弧為亥乾弧相當之度(卯乾為巳巽弧之正弦夘亥為)(巳震弧之正弦以卯乾與卯亥相減餘亥乾以已巽)(與已震相減餘震巽故震巽弧為亥乾相當之度)以震巽弧與坎艮弧相較則度之多少自見矣如求二分之曚影刻分則用甲巳辰斜弧三角形求巳角為赤道之辛夘辰弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度(以京師北)(極出地三十九度五十五分立法)有已辰邊九十度有甲辰邊一百零八度用三邊求角法求得巳角一百一十三度四十五分三十六秒即辛卯辰弧變時得六時六刻五分(每度變時之四分)内減去半晝分辛夘六時(即日出夘至午正辛或午)(正辛至日入卯之時刻也)餘卯辰六刻五分為二分時之曚影刻分也如求冬至之曚影刻分則用甲巳午斜弧三角形求巳角為赤道之辛未申弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度有巳午邊一百一十三度二十九分三十秒(巳申)(象限九十度加申午距緯二十三度二十九分三十)(秒)有甲午邊一百零八度用三邊求角法求得已角九十四度二十分零六秒即辛未申弧變時得六時一刻二分内減去半晝分辛未四時二刻五分(即日出巳)(至午正丑或午正丑至日入巳之時刻也)餘未申六刻一十二分為冬至時之曚影刻分也如求夏至之曚影刻分則用甲巳戌斜弧三角形求巳角為赤道之辛亥乾弧此形有甲巳邊五十度零五分為北極距天頂之度有巳戌邊六十六度三十分三十秒(已乾象限九十度内減去戌乾距緯二十三度)(二十九分三十秒)有甲戌弧一百零八度用三邊求角法求得巳角一百四十三度二十三分零五秒即辛亥乾弧變時得九時二刻五分内減去半晝分辛亥七時一刻一十分(即日出酉至午正癸或午)(正癸至日入酉之時刻也)餘亥乾八刻九分為夏至時之曚影刻分也其餘各節氣皆倣此推之晝夜永短晝夜由於日之出入因人所居有南北故見日之出入早晚隨時各異而晝夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚於天頂之南南極入地北極出地故惟春秋分見日出入於卯酉而晝夜平分若秋分以後則出入於卯酉之南隨天左旋之度地平上者少地平下者多故晝短夜永春分以後則出入於卯酉之北隨天左旋之度地平上者多地平下者少故晝永夜短所居之地愈北則永短之差愈多(廣州府北極出地二)(十三度一十分夏晝冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬晝各四十二刻零四分其較一十一刻零七分京)(師北極出地三十九度五十五分夏晝冬夜各五十九刻零五分夏夜冬晝各三十六刻一十分其較二)(十二刻一十分北極愈髙其較愈多)及至北極之下則赤道當地平夏則有晝而無夜冬則有夜而無晝葢以半年為晝半年為夜矣所居之地愈南則永短之差漸少以至於赤道之下則兩極當地平而晝夜常均並無永短盖一歲中為四時者各二矣(以日當天頂為夏日去天頂逺為冬赤道既當)(天頂而太陽一歲必兩躔赤道是兩夏也一躔天頂南二十三度餘一躔天頂北二十三度餘是兩冬也春秋)(亦如之)晝夜永短以南北而異若東西雖相去千萬里苟南北極之髙度同則晝夜之永短亦同故謂之南北里差亦名地平緯差其推歩之法以本地北極出地髙度為主求得各節氣日出入時刻即得晝夜時刻也如圖甲乙丙為子午䂓甲丙為地平丁為北極丁丙三十九度五十五分為京師北極之髙戊為卯正酉正之位巳戊庚為赤道春秋分太陽正當赤道日出於戊為卯正中於巳為午正復入於戊為酉正地平上戊巳之度與地平下戊庚之度等故晝夜平分各四十八刻辛為夏至辛壬癸為赤道距等圈(古名晝長規)即夏至太陽隨天西轉一周之軌壬當卯正酉正之位子為冬至子丑寅為赤道距等圈(古名晝短規)即冬至太陽隨天西轉一周之軌丑當卯正酉正之位夏至日出於辰在卯正前壬辰為日出距卯正之弧與赤道之戊巳度等中於辛為午正復入於辰在酉正後地平上辰辛之度多於地平下辰癸之度故晝永夜短冬至日出於未在卯正後未丑為日出距卯正之弧與赤道之申戊度等亦即與夏至日出距卯正之戊己度等中於子為午正復入於未在酉正前地平上未子之度少於地平下未寅之度故晝短夜永冬至時地平上未子之度與夏至時地平下辰癸之度等冬至時地平下未寅之度與夏至時地平上辰辛之度等故冬之夜同於夏之晝冬之晝同於夏之夜也今求戊巳之度以丁戊半徑一千萬與丁丙北極髙三十九度五十五分之正切丁戌八三六六二四二之比即同於辰巳距緯弧二十三度二十九分三十秒之正切巳亥四三四六三九五與戊巳弧之正弦三六三六二九九之比(渾圓從外視之則弧與正弦俱合為一線)得戊巳二十一度一十九分二十四秒(戌丁戊三角形與亥巳戊三角形為)(同式形其巳角與丁角同為直角戌角與戊角為平)(行線上交錯之角必等故相當之邊皆可為比例)變時得五刻一十分在夏至時為卯前酉後分以減卯正得日出寅正二刻五分以加酉正得日入戌初一刻一十分復倍卯前分得一十一刻五分與四十八刻相加得五十九刻五分為晝刻與四十八刻相減得三十六刻一十分為夜刻也在冬至時為卯後酉前分以加卯正得日出辰初一刻一十分以減酉正得日入申正二刻五分復倍卯後分得一十一刻五分與四十八刻相減得三十六刻一十分為晝刻與四十八刻相加得五十九刻五分為夜刻也其餘節氣各用其距緯之正切為比例即得日出入距卯酉之弧但自春分至秋分半歲日出皆在卯前日入皆在酉後其變時加減並與夏至同自秋分至春分半歲日出皆在卯後日入皆在酉前其變時加減並與冬至同各省各國並依此法推之節氣時刻古厯節氣之日時有二其一取周歲之日(三百六十五日有竒)二十四分之得一十五日有餘為節為氣其日相等以之頒厯授時置閏成歲(置閏之法以無中氣者為閏月)名為恒氣言其各節氣之日皆一定而不易且歲歲有常也其一取周天之度(古三百六十五度四分度之一)二十四分之得一十五度有餘為節為氣其度相等以歩躔離推朓朒名為定氣言以日躔之度為定而不問日時之多寡也(因日行有盈縮故各節氣度數雖等而日時不等)今頒厯亦用定氣(以日躔右旋一)(十五度為一氣)故冬至至小寒止一十四日有餘夏至至小暑則一十六日不足且每年不同葢有加減可推務求宻合於天行也然一歲之中同一節氣而京師各省時刻不同者此則東西之里差亦名地平經差而非天行之故盖地體渾圎與天相應而人居地面各以所見日中為午正今以京師為主在京師東者見日出入皆早其日中必在京師午正之前在京師西者見日出入皆遲其日中必在京師午正之後故東方節氣遲者非日躔之縮乃其見日早也西方節氣早者非日躔之盈乃其見日遲也其時刻之差視偏度之多寡每偏一度得時之四分偏東者加偏西者減要以京師西之節氣時刻加減之即得各省之節氣時刻御製厯象考成上編卷四
## 上編卷五
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷五月離歴理太隂各種行度太隂平行度太隂本輪遲疾四限三月食推本輪半徑及最髙晦朔弦朢太隂四輪總論求初均數求二三均數兩月食定交周黄白大距度及交均視差隱見遲疾太隂各種行度太隂行度共有九種而隨天西轉之行不與焉一曰平行葢太隂之本天帶一本輪本輪心循本天自西而東每日平行一十三度有竒二十七日有餘而行天一周即白道經度也二曰自行葢本輪心循白道行自西而東(即平行經度)太隂復依本輪周行自東而西每日亦行一十三度有竒㣲不及本輪心行而與本輪心之行順逆參錯人目視之遂生遲疾故名自行以别之授時厯名為轉周滿一周為轉終其所生之遲疾差名為初均數也三曰均輪行西人第谷言用一本輪以齊太隂之行往往與實測未合因將本輪半徑三分之存其二分為均輪半徑用其一分為均輪半徑均輪循本輪用行自東而西(即自行轉周度)太隂復依均輪周行自西而東每日行二十六度有竒為輪心行之倍度(均輪心行一度月行均輪周二度也)其所生之遲疾差即今所用之初均數也四曰次輪行葢用本輪均輪推得遲疾之最大差為四度有竒於朔朢時測之其數恰合而於上下弦時測之則不合其大差至七度有竒故厯家又於均輪之周復設一輪循均輪周行命為次輪次輪心自西而東太隂復依次輪周亦自西而東每日行二十四度有竒為本輪心距太陽行之倍度(本輪心距太陽行一度月行次輪周二度也)名為倍離倍離所生之遲疾差名為次均數也五曰次均輪行葢有初均次均以步朔朢以定兩弦則既合矣而於兩弦前後測之又多不合故新法厯書復有二三均數表之加減也細考其表中所列誠皆實測之數但總合二三均數加減之而為一表耳爰思次輪之上必更有一輪以消息乎次均之數今命之曰次均輪其心循次輪周自西而東行倍離之度而太隂則循此輪之周自東而西亦行倍離之度用其所生之差以加減次均數即與太隂兩弦前後所行恰合也六曰交行葢太隂行白道出入於黄道之内外大距五度有竒其自黄道南過黄道北之㸃名曰正交(即如春分自赤道南過赤道北)自黄道北過黄道南之㸃名曰中交(即如秋分自赤道北過赤道南)每交之終不能復依原次而不及一度有餘逐日計之退行三分有餘命為兩交左旋之度(自東而西也)亦名羅計行度也(正交曰羅㬋中交曰計都)七曰最髙行最髙者本輪之上半最逺地心之處而最髙行者平行與自行相較之分也均輪心從最高左旋㣲不及於平行每日六分有竒即命為最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行於每日平行度内減去太陽之行為每日太隂距太陽行二十九日有竒而復與日㑹是為朔䇿九曰距交行以每日平行度與每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名為交周也要之太隂之去地甚近其行最著諸小輪之設雖無象可見而實有數可稽葢藉以推步度數期與實測相符而已至於大象寥廓其或然或不然則非智計之所能及也太隂平行度測太隂平行之法須用兩月食計其前後相距若干日時及月行天若干周用其度分為實中積日時為法除之即得每日平行之率葢月之視差甚大惟月食為月入闇虛無地心地面之殊又食甚時正與太陽衝故將太陽之經度加半周即太隂之經度其得數為真也然所用兩月食亦須詳審葢闇虚與月體有小大之分而行度有遲疾之異必須擇各率均齊之兩月食方可用也其擇之之法第一取兩食時之太陽距地等斯闇虚之大小相等(太陽距地逺則影粗而長太陽距地近則影細而短詳交食)第二取兩食時之太隂距地等斯月體之大小等而入影之粗細亦等(闇虚為尖圓體近地粗漸逺地漸細以至於無故太隂距地近則當闇虚之粗處太隂距地逺則當)(闇虚之細處詳交食)第三取兩食時之自行度等斯入轉之遲疾等而過影之時刻必等考之史志所書月食並無時刻分秒及躔離度數即西人交食考亦不載月轉遲疾無憑取用今依新法厯書載西人依巴谷法定為三百四十五平年(平年者三百六十五日無餘分)又八十二日四刻(每日九十六刻)或一十二萬六千零七日四刻為兩月食各率齊同之距於時㑹朢轉終皆復其始計其中積凡為㑹朢者四千二百六十七為轉終者四千五百七十三置中積一十二萬六千零七日四刻為實會朢數四千二百六十七為法除之得㑹朢策(即朔䇿)二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒(即二十九日零)(十分日之五分三○五九三授時厯同)乃以周天三百六十度為實㑹朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒為法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒(即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授時厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以)(周天三百六十度每度六十分約之得一十二度一十一分二十七秋二十七微)為每日太隂平行距太陽之度加太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授時厯作一十三度三十六分八十七秒五十)(微以周天三百六十度每度六十分約之得一十三度一十分三十五秒二十四㣲)為每日太隂平行經度(即白道經度)又置中積一十二萬六千零七日四刻為實以轉終數四千五百七十三為法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十㣲三十纖四十三忽一十二芒(即二十七日零十分日之五分五四五六八授時厯作二十七日五五四六)為轉終分乃以天周三百六十度為實以轉終分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纖四十三忽一十二芒為法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒(即一十三度零百分)(度之六分四九八四三六一二一)為每日太隂自行度又以每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒與每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒相減餘六分四十一秒零四微三十八纖五十四忽五十七芒(即十分度之一分一一四一○四一○一七)為每日月孛之平行既得以上各種行度每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時每分之平行以立表(毎日二十四時每時六十分)太隂本輪遲疾四限太隂之輪有四而本輪乃遲疾四限之所由生其餘皆所以消息遲疾之數故本輪為步月離之主如圖甲為地心即本天心乙丙丁戊為白道即太陰之本天己庚辛壬為本輪其心循白道右旋每日行一十三度一十分百奇自乙而丙而丁而戊而復至乙是為平行徑度太隂循本輪左旋每日行一十三度零三分有奇自己而庚而辛而壬而復至己是為自行度(一名轉周一名引數)太隂在本輪之己為最高(即月孛)在本輪之辛為最卑最髙最卑之㸃皆對本輪心與地心成一直線故平行實行同度為遲疾起算之端如太隂由己向庚為遲初限以其背輪心行能損右旋之度故較平行度為遲至半象限後所損漸少迨行滿一象限至庚則無所損然而積遲之多正在於庚葢平行在乙而太隂在庚從地心甲計之太陰當本天之癸癸乙弧以本輪半徑庚乙為正切為遲差之極大也從庚向辛為遲末限太隂行本輪之下半周順輪心行其實行漸疾然因有積遲之度方以次相補其實行仍在平行後迨行滿一象限至辛為極疾而積遲之度始補足無缺實行與平行乃合為一線故自最髙至最卑半周為遲厯也如太隂由辛向壬為疾初限以其順輪心行能益右旋之度故較平行度為疾至半象限後所益漸少迨行滿一象限至壬則無所益然而積疾之多正在於壬蓋平行在乙而太隂在壬從地心甲計之太隂當本天之子子乙弧以本輪半徑壬乙為正切為疾差之極大也從壬向己為疾末限太隂行本輪之上半周背輪心行其實行漸遲然因有積疾之度方以次相消其實行仍在平行前迨行滿一象限至己為極遲而積疾之度始消盡無餘實行與平行復合為一線故自最卑至最髙半周為疾厯也三月食推本輪半徑及最髙太隂初均數生於本輪半徑本輪半徑不定則實行不可得而定新法厯書載西人多録某用漢陽嘉永和間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百零六月過最髙三百一十四度一十七分(陽嘉二年三月)(朢)西人歌白泥用明正徳嘉靖間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千六百零四月過最髙一百八十三度五十一分(正徳六年九月朢)迨後西人第谷定本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百月離表定崇禎戊辰年天正冬至次日子正月過最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇禎戊辰年首朔(即年)(前十二月朔)月過最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六時二十六分四十六秒以交日表所定首朔月過最髙之度推其年天正冬至次日子正月過最髙之度應得二百零五度四十二分四十九秒比月離表所定多一十分三十三秒又察其正交行度兩表差至二十餘分今以交食表推步月食其時刻之早晚食分之淺深俱與天行頗合故月過最髙之度宜以交食表為凖但用目下三月食推本輪半徑或微大或微小皆不能合八千七百之數葢用本輪以推實朢惟自行當三宮九宮初度之一㸃方合而目下所測月食其自行皆不正當三宮九宮初度之數用本輪半徑以推實朢既與實測不合則用實測之實朢以推本輪半徑亦必與原數不合因假設三月食以明其法如左設如第一食日躔鶉首宮七度三十五分四十七秒五十三微月離星紀宮七度三十五分四十七秒五十三微月行遲末限之初在本輪右半周之中如甲第二食日躔夀星宮初度月離降婁宮初度月行遲初限將半在本輪右半周之上如乙第三食日躔星紀宮二度五十四分零二秒四十九微月離鶉首宮二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本輪左半周之中如丙第一食距第二食一千一百八十日二十二時一十四分零四秒實行相距八十二度二十四分一十二秒零七微(即星紀宮丁㸃距降婁宮戊㸃)(之度於第二次月離度内減去第一次月離度即得)平行相距八十度二十一分一十秒(即星紀宫已㸃距降婁宫庚㸃)(之度以每日平行與距日相乘減去全周即得)平行小於實行二度零三分零二秒零七微自行相距三百零八度四十七分零七秒二十七微(以每日自行與距日)(相乘減去全周即得)第二食距第三食一千九百一十八日二十三時零五分五十七秒實行相距九十二度五十四分零二秒四十九微(即降)(婁宮戊㸃距鶉首宮辛㸃之度)平行相距八十五度零二十五秒(即降)(婁宮庚㸃距實沈宮壬㸃之度)平行小於實行七度五十三分三十七秒四十九微自行相距二百三十一度一十二分五十二秒三十三微乃以三月食自行相距度列於一本輪之上立法算之如圖癸為地心即本天心丁戊己辛為本天之一弧己為本輪心從丁向戊右旋為平行度月體從本輪最高子向乙左旋為自行度第一食月在甲本天平行度在己實行度在丁從甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己實行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行實行之差從乙行二百三十一度一十二分五十二秒三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己實行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行實行之差乙癸線割本輪於丑從丑㸃作丑甲丑丙二線又作甲丙線即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形乃用此三三角形求本天半徑與本輪半徑之比例先用丑丙癸三角形求丑丙邊此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微(以乙丑丙弧二百三十一)(度一十二分五十二秒三十三㣲折半即得葢乙子丙弧為丑界角之倍度折)(半得丑外角與半周相減得丑内角以乙丑丙弧折半得數亦同故乙丑丙弧)(亦即丑角之倍度)有癸角七度五十三分三十七秒四十九微(即戊辛弧之度)即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑丙邊一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲邊此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微(以甲)(丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七㣲折半即得葢乙甲弧為丑)(界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑内角以甲丑丙乙弧折半得數)(亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度)有癸角二度零三分零二秒零七微(即丁戊弧之度)即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微設丑癸邊為一○○○○○○○求得丑甲邊八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度(以癸丑丙角與)(癸丑甲角相加得二百七十度與三百六十度相減即得)有丑丙邊一六四六九八六有丑甲邊八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒為甲丑弧以甲丑弧與乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒三十三微為乙丑弧於是以本輪半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則乙丑弧之通弦為一六二○八二三六丑丙弧之通弦為一七五七一五三○乃用比例法變先設之丑癸邊為同比例數以先得之丑丙邊一六四六九八六與先設之丑癸邊一○○○○○○○之比即同於今所察之丑丙通弦一七五七一五三○與今所求之丑癸邊之比而得丑癸邊一○六六八九○○六又以乙丑通弦一六二○八二三六折半得八一○四一一八為寅丑與丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四為寅癸又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其餘弦五八五八六○六為寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求弦法求得巳癸弦一一四九四二五二七為本天半徑即得本天半徑與本輪半徑之比例為一一四九四二五二七與一○○○○○○○若設本天半徑為一○○○○○○○則得本輪半徑為八七○○○○求大陰距最髙之度則用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十六微與半周相減餘三十八度四十七分零七秒一十四微為子乙弧即第二次月食月距最髙之度也晦朔弦朢太隂之晦朔弦朢雖無闗於自行之遲疾而自行之遲疾實由於朔朢兩弦而得知其二十七日有奇而一周者太陰之自行也其二十九日半強而與太陽相㑹者朔策也其間猶有朢與上下兩弦之分焉葢太隂之體賴太陽而生光其向太陽之面恒明背太陽之面恒晦而其行則甚速於太陽當其與太陽相會之時人在地上正見其背故謂之朔朔後漸逺太陽人可漸見其面其光漸長至距朔七日有奇其距太陽九十度人可見其半面太陽在後太隂在前其光向西其魄向東故名上弦上弦以後距太陽愈逺其光漸滿至一百八十度正與太陽相朢人居其間正見其面故謂之朢自朢以後又漸近太陽人不能正見其面其光漸虧其魄漸生至距朢七日有奇其距太陽亦九十度則又止見其半面太陽在前太隂在後其光向東其魄向西故名下弦下弦以後距太陽愈近其光漸消至復與太陽相會其光全晦復為朔矣如圖甲為地面乙為太陽丙丁戊己皆為太隂如太隂在丙與太陽正會為朔其光向乙從甲視之止見其背故全晦也離太陽而前距九十度至丁為上弦從甲視之見其半面故半明半晦也至距太陽一百八十度至戊正與太陽相朢從甲視之正見其面故全明也及離太陽而後距九十度至己為下弦從甲視之又止見其半面故亦半明半晦也及至於丙而與太陽復㑹則又全晦而為朔矣太隂四輪總論太隂行度用四輪推之而四輪之法皆係實測而得非意設也西人第谷以前步月離惟用本輪次輪葢因朔朢之行有遲疾故知其有本輪而兩弦之行不同於朔朢故知其有次輪其法次輪與本輪兩周相切太隂行於次輪之上朔朢時太隂正當兩周相切之㸃故云朔朢時太隂循本輪周行而兩弦時太隂則從兩周相切之㸃行次輪半周距本輪心最逺故次輪全徑為兩弦時大於朔朢時平行實行之極大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故於本輪上復加一均輪且因兩弦前後之行又不同於兩弦故又加一次均輪葢用本輪推朔朢時平行實行之極大差為本輪半徑得四度五十八分有餘而徴之實測惟自行三宮九宫初度之一㸃為合在最髙前後兩象限則失之小在最卑前後兩象限則失之大故第谷將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑用求平行實行之差為初均數乃密合於天至於兩弦時平行實行之極大差七度二十五分有餘雖為新本輪半徑并均輪半徑仍加次輪全徑之數然即舊本輪半徑與次輪全徑相併之數也其次均輪行於次輪即如初均輪之行於本輪但所行之度不同耳(初均輪行為引數之度次均輪行為倍離之度)第谷以次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行初均輪則循本輪周行夫用不同心天與用小輪理本相通但兩法合講殊覺紛紜不如専用一法觀之為便至於兩弦前後有二三均數之加減而不言其由次均輪而生今並悉其根源増一負均輪圈移初均輪心使行於此則次輪心即行於初均輪而次均輪心亦得行於次輪葢負均輪圏半徑乃新本輪半徑加一次輪半徑之分朔朢時太隂在次輪之最近㸃又在次均輪之下㸃而次均輪心又必常在次輪周故朔朢時止用初均輪不用次輪及次均輪也兩弦時太隂在次輪之最逺㸃又在次均輪之上㸃而次均輪心亦必在次輪之最逺㸃故兩弦時止用次輪不用次均輪也至於朔朢前後及兩弦前後太隂在次輪之逺近二㸃之間又在次均輪之上下二㸃之間而次均輪心亦不在次輪之逺近二㸃故有次輪與次均輪之相差而或加或減也要之本輪者推本天之髙卑均輪者所以消息本輪之行度次輪者定朔朢兩弦之逺近次均輪者又所以分别朔朢兩弦前後之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數分髙卑左右而為朔朢之加減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數分逺近上下而為兩弦及兩弦前後之加減差也是故非騐諸實測無以知四輪之妙而明於四輪之用則於太隂遲疾之故思過半矣西人第谷以前所用本輪次輪法如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為本輪戊為最髙庚為最卑辛為次輪心辛壬為負次輪之圈己為次輪最近癸為次輪最逺如次輪周在本輪最髙後六十度相切於己朔朢時太隂在己從地心甲作己甲實行線割本天於子子丙弧為平行實行之差故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧為本輪所生初均數也上下弦時太隂則從次輪之巳㸃厯丑至癸從地心甲作癸甲實行線割本天於寅寅丙弧為平行實行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧為本輪所生初均及次輪所生次均之共數也(子丙弧為初均寅子)(弧為次均)第谷用此法求得均數徵之實測在最髙前後兩象限其數失之小在最卑前後兩象限其數失之大故將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑將次輪設於地心又設不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行均輪心循本輪周行如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪辛丙半徑為戊丙半徑三分之二戊子丑為均輪戊辛半徑為戊丙半徑三分之一本輪心循本天右旋均輪心循本輪左旋甲寅卯辰為次輪本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢時本天心與地心同在甲兩弦時本天心在卯離地心極逺總之朔朢以外本天心俱離甲㸃本天皆為不同心之天矣又第谷添設初均輪新法所推均數與本輪舊法所生均數最大之差有九分五十餘秒在最高前後兩象限為大最卑前後兩象限為小如舊法太隂距最髙戊後六十度在已則丙甲巳角為初均數若新法則均輪心距最髙辛後六十度在壬太隂則距均輪之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均數亦如之又如舊法太隂距最卑庚後六十度在已則丙甲已角為初均數若新法則均輪心距最卑癸後六十度在壬太隂則距均輪之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數比舊法初均數丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均數亦如之然第谷所増均輪法極有理而所設不同心天與小輪合用則不便於觀今將次輪置於均輪之周其心循均輪周右旋又將次輪半徑與新本輪半徑相加為半徑作負均輪之圈均輪心則循負均輪圈左旋又増一次均輪以明二三均數之根用此法求各均數皆與第谷之法無異依第谷所添初均輪並新増次均輪合本輪次輪共為一圖如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪巳子丑為原均輪寅卯為新増負均輪之圈其半徑為次輪半徑與新本輪半徑相加之數乃移均輪心於負均輪圈卯作辰巳午均輪與巳子丑原均輪等辰為逺㸃午為近㸃用均輪心行負均輪圈寅卯弧之倍度(即本輪周辛壬弧之倍度)從均輪近點午數至巳以巳為心作未申子次輪其未子全徑與均輪辰午全徑平行未為逺㸃子為近㸃又以次輪周近㸃子為心作酉戌亥次均輪酉為上㸃戌為下㸃如均輪心循負均輪圈從最髙寅厯卯左旋則次輪心循均輪周從最近午厯巳右旋行均輪心距最髙之倍度次均輪心又循次輪周從最近子厯申右旋行太隂距太陽之倍度太陰則循次均輪周從最下戌厯亥左旋亦行距太陽之倍度朔朢時太隂必在次均輪之最下戌次均輪心必在次輪周之最近子(即次輪周與巳子丑原均輪周相切之㸃)從地心甲作子甲實行線即成丙甲子三角形其甲角為初均數葢朔朢時太隂雖在次均輪之周然必在下㸃而次均輪心又必在次輪周與均輪周相切之㸃故求朔朢時之初均數止用均輪不用次輪也(太隂在次)(均輪之戌㸃雖在子㸃之下然俱在實行線上其經度無異也)兩弦時次均輪心從次輪周之最近子行至最逺未太陰從次均輪周之最下戌行至最上酉從地心甲作酉甲實行線成子甲未三角形其甲角為二均數葢兩弦時太隂必在次均輪周之上㸃而次均輪心又必在次輪周之逺㸃故兩弦時止用次輪求二均數不用次均輪也(太隂)(在次均輪周之酉點雖高於未點然俱在實行線上其經度無異也)如在朔朢之後兩弦之前次均輪心從次輪周之最近子行至申太隂從次均輪周之最下戌行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與亥甲申兩三角形其子甲申角為二均數亥甲申角為三均數兩角相減餘子甲亥角為二三均數也如在朔朢之前兩弦之後次均輪心從次輪周之最近子厯最逺未行至申太隂從次均輪周之最下戌厯最上酉行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實行線則成子甲申與申甲亥兩三角形其子甲申角為二均數申甲亥角為三均數兩角相加得子甲亥角為二三均數也求初均數及二三均數法俱見後求初均數太隂之行因遲疾而生加減差朔望用之者名為初均數自最髙至最卑六宫為遲厯為減差自最卑至最髙六宫為疾厯為加差葢因最髙前三宫與後三宫相當最卑前三宫與後三宫相當其差數皆相等故求得最髙後六宫之差數而最卑後六宫之差數視此但加減不同耳(如最髙前三十度與最髙後三十度其差數必等但在最髙前者為加差最髙後者為減差也)授時厯名為遲疾差其最大者為五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分約之得五度二十一分零五秒朔朢兩弦同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒(即四度零十分度之九分七四二)惟朔朢為然名之初均數者所以别於朔朢以外之二三均數也如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十八萬戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三分五十四秒即自行引數太隂則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則太隂在均輪之最近癸從地心甲計之成一直線無平行實行之差故自行初宫初度無均數也如均輪心從本輪最髙戊向己行一百八十度至最卑庚為六宫初度則太隂從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之亦成一直線無平行實行之差故自行六宫初度亦無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則太隂從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之太隂當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙本輪半徑之半二十九萬(於子丙半徑五十八萬内)(減去子癸半徑二十九萬即得)求得癸卯邊一十四萬五千卯丙邊二十五萬一千一百四十七以卯丙邊與丙甲半徑一千萬相加得一千零二十五萬一千一百四十七為卯甲邊以癸卯邊三因之得四十三萬五千為丑卯邊(辛丑癸三角形與丙卯癸三角形為同式)(形葢癸為交角丑角立於圜界之一半為直角與卯角等則辛角必與丙角等)(是三角俱等也辛癸為均輪全徑為癸丙之二倍則丑癸亦必為癸卯之二倍)(故三因癸卯即得丑卯也)於是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧為太隂自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為太隂距地心數存之為後求二均之用)(餘倣此)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宮初度則太隂從均輪最近癸行一周復自最近癸厯辛行三百度至己(癸巳弧為戊辰弧之倍度)從地心甲計之太隂當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之數是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫)(初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫)(初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行九十二度至未為三宫二度則太隂從均輪最近癸歴辛行一百八十四度至申從地心甲計之太隂當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角八十八度則癸角必二度癸丙邊為二十九萬求得癸戌邊二十八萬九千八百二十三丙戌邊一萬零一百二十一以丙戌邊與丙甲邊相減餘九百九十八萬九千八百七十九為戌甲邊以癸戌邊三因之得八十六萬九千四百六十九為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧為太隂自行三宫二度之初均數是為極大之減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯庚行二百六十八度至亥為八宫二十八度則太隂從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百七十六度至子從地心甲計之太隂當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均數與三宫二度等但為實行過於平行之數是為極大之加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求二三均數太隂之加減差朔朢以外用者名為二均三均數其二均數之生於次輪全徑與三均數之生於次均輪半徑亦猶初均數之生於本輪及均輪半徑也故欲求二均三均之數必先定次輪及次均輪之徑而欲定次輪及次均輪之徑又須先測二均及三均之數也厯家於上下弦當自行三宫或九宫時累測之(惟此時太隂距本輪心甚逺平行視)(行之差極大)其極大之均數得七度二十五分四十六秒查其切線得一百三十萬四千内減去本輪均輪兩半徑之共數八十七萬餘四十三萬四千半之得二十一萬七千即次輪之半徑也於兩弦及朔朢之間(約太隂距太陽四十)(五度時)當自行三宮或九宫時累測之其均數常與推算不合差至四十一分零二秒是即次均輪所生之三均數也依法求其半徑得一十一萬七千五百既定次輪與次均輪之半徑乃逐度求其二均三均之數復用三均數以加減乎二均數是為二三均數用以推步月離乃與測驗脗合矣如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑戊丙己為本輪全徑戊為最髙己為最卑庚丙辛為負均輪圈全徑(省曰負圈)庚為最髙辛為最卑壬庚癸為均輪全徑壬為最逺癸為最近子癸丑為次輪全徑子為最逺丑為最近寅丑卯為次均輪全徑寅為最上卯為最下本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度也)為經度均輪心從負圈最髙左旋(即同本輪最髙)為引數(即自行度)次輪心從均輪最近右旋為倍引數次均輪心從次輪最近右旋行倍離之度(即太隂距太陽之倍度)太隂從次均輪最下左旋亦行倍離之度如均輪心在負圈最髙庚為自行初宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之同在一直線即平行實行合而為一故無均數之加減也如均輪心在負圈最卑辛為自行六宫初度則次輪心在均輪之最近癸又當朔朢時則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計之亦同在一直線即平行實行合而為一故亦無均數之加減也如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心則從均輪最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢時次均輪心常在次輪周之最近丑太隂常在次均輪周之最下卯從地心甲計之仍見太隂在丑(太隂雖在丑點之下因在一直線故視之如在)(一處也)其實行不及平行之度為丙甲丑角四度五十八分二十秒即初均數其切線丑丙八十七萬即本輪均輪兩半徑之共數也兩弦時次均輪心常在次輪周之最逺子太隂常在次均輪周之最上寅從地心甲計之仍見太隂在子(太隂雖在子點之上因在一直線故視之如在一處也)其實行不及平行之度為丙甲子角七度二十五分四十五秒内減初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒餘二度二十七分二十五秒即丑甲子角命為二均數丙甲子角之切線子丙得一百三十萬四千内減丑丙本輪均輪兩半徑八十七萬餘丑子線四十三萬四千是為次輪之全徑也此初均數為減差二均數亦為減差葢朔朢之實行丑點在平行丙點之後(本輪心丙循本天右旋故以左為前右為後凡言前後者皆倣)(此)而兩弦時之實行子點仍在丑點之後故於平行内減去初均數丙甲丑角即得朔朢時之實行復減去二均數丑甲子角始得兩弦時之實行也若均輪心從最髙行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心則從均輪最近癸行一周復行一百八十度至最逺壬而當兩弦之時則初均數丙甲丑角與二均數丑甲子角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宫初度次輪心從均輪之最近癸行一百八十度至最逺壬時當朔與上弦之間或朢與下弦之間次均輪心從次輪最近丑行九十度至巳太隂則從次均輪最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒為初均數丑甲邊一千零三萬七千七百七十四為次輪最近點距地心之數(求丑甲邊法見)(前求初均數篇)乃用丑甲己三角形求二均數此形有丑甲邊一千零三萬七千七百七十四有丑己邊三十萬六千八百八十四(即次輪九十度之通弦以半徑一千萬為一率九十度之通弦一千)(四百一十四萬二千一百三十六為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求)(得四率三十萬六千八百八十四即次輪九十度之通弦)有丑角四十九度五十八分二十秒(丙甲丑直角形以丙直角)(與甲角相加得九十四度五十八分二十秒為壬丑甲角内減去壬丑己角四)(十五度餘四十九度五十八分二十秒為巳丑甲角)求得丑甲巳角一度二十二分零五秒與初均數丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒為實行不及平行之度然太隂不在巳而在午於時測得實行不及平行之度為五度三十九分二十三秒相差四十一分零二秒即丙甲巳角大於丙甲午角之午甲巳角命為三均數乃用午甲巳直角三角形求次均輪之半徑此形有巳甲邊九百八十四萬二千六百二十二(用丑巳甲三角形求之而得)有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午邊一十一萬七千五百是為次均輪之半徑也此初均數為減差二均數亦為減差而三均數轉為加差故於二均數内減去三均數餘四十一分零三秒即丑甲午角為二三均數仍為減差(凡二均與三均加減異者相減為二三均)(數仍從大數如二均大於三均則從二均三均大於二均則從三均)葢次輪之最近丑點在平行丙點之後次均輪心巳點又在最近丑點之後而太隂午點却在次均輪心巳點之前故以二均與三均相減餘丑甲午角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲午角始得本時之實行也若均輪心從最髙庚行二百七十度至辰為自行九宫初度次輪心從均輪最近癸行一周復行一百八十度至最逺壬而當上弦與朢之間或下弦與朔之間則初均數丙甲丑角及二三均數丑甲午角皆與三宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心從最髙庚行一百二十度至未為自行四宫初宫次輪心從均輪最近癸行二百四十度至申此時若太隂距太陽一百一十度為上弦後一日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百二十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒為初均數丑甲邊九百八十八萬三千七百六十為次輪最近點距地心之數乃用丑甲酉三角形求二均數此形有丑甲邊九百八十八萬三千七百六十有丑酉邊四十萬七千八百二十七(次輪丑酉弧一百四十度之通弦)有丑角八十四度二十二分一十九秒(丙甲亥三)(角形以甲丙兩角相併與亥外角等丑申子次輪全徑原與癸未壬均輪全徑)(平行則申丑亥角與丑亥丙角為平行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙)(甲亥角四度二十二分一十九秒與甲丙亥角六十度相加得六十四度二十)(二分一十九秒即為申丑亥角又酉丑子為界角對酉子弧四十度則酉丑子)(角必二十度與申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即為酉丑甲)(角)求得丑甲酉角二度二十一分四十秒為二均數又求得酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五復用酉甲戌三角形求三均數此形有酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五有酉戌邊一十一萬七千五百(次均輪半徑)有酉角一百四十度(即次均輪戌卯弧)求得酉甲戌角二十六分零七秒為三均數也此二均三均並為減差故以二均與三均相加得二度四十七分四十七秒為二三均數仍為減差(凡二均與三均加減同者相加為二三均數餘倣此)葢次輪之最近丑點與次均輪心酉點俱在平行丙點之後而太隂戌點又在次均輪心酉點之後故以二均與三均相加得丑甲戌角為二三均數於平行内減去初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲戌角始得本時之實行也若均輪心從最髙庚行二百四十度至未為自行八宫初度次輪心從均輪最近癸行一周復行一百二十度至申而太隂距太陽七十度為上弦前一日餘則次均輪心從次輪最近丑行一百四十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行一百四十度至戌其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲戌角皆與四宫初度之數相等但實行俱在平行之前故俱為加差以加於平行而得實行也如均輪心合朔時在本輪之辰距最卑辛十五度餘則次輪心在均輪之己距均輪最近癸三十一度餘次均輪心則在次輪最近丑太隂在次均輪最下卯迨朔後一日餘本輪心從本天合朔後行十六度至丙則均輪心亦從本輪辰行十五度餘至最卑辛為自行六宫初度次輪心亦從均輪己行三十一度餘至最近癸次均輪心從次輪最近丑行三十二度至午太隂亦從次均輪最下卯行三十二度至未則無初均數乃用癸甲午三角形求二均數此形有癸甲邊九百四十九萬三千(於丙甲半徑一千萬内減去負)(圈半徑丙辛七十九萬七千餘辛甲九百二十萬三千最加均輪半徑癸辛二)(十九萬即得)有癸午邊二十一萬七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒為二均數又求得午甲邊九百六十七萬七千五百零七復用午甲未三角形求三均數此形有午甲邊九百六十七萬七千五百零七有午未邊一十一萬七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒為三均數也此二均三均並為加差以二均與三均相加得一度零三分一十二秒為二三均數仍為加差葢次輪之最近丑點與平行内點在一直線上平行即實行故無初均數而次均輪心午點在平行丙點之前太隂未點又在午點之前故以二均與三均相加得丙甲未角為二三均數以加於平行即得本時之實行也若均輪心在最卑辛而太隂距太陽三百四十四度為朔前一日餘則二三均數丙甲未角與朔後一日餘之數相等但實行在平行後故為減差以減於平行而得實行也如均輪心過最卑辛行五十度至午為自行七宫二十度則次輪心從均輪最近癸行一百度至未而太陰距太陽一百三十五度為朢前三日餘則次均輪心從次輪最近丑行二百七十度至申太隂亦從次均輪最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒為初均數丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五為次輪最近點距地心之數乃用丑甲申三角形求二均數此形有丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五有丑申邊三十萬六千八百八十四(次輪丑申弧九十度之通弦)有丑角八度五十三分零六秒(丙甲戌三角形以丙甲兩角相併與戌外角等)(丑未子次輪全徑原與癸午壬均輪全徑平行則丙戌丑角與戌丑未角為平)(行線内兩尖交錯之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒與甲)(丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒為戌丑未角内減去未丑)(申角四十五度餘八度五十三分零六秒為申丑甲角也)求得丑甲申角一十七分零六秒為二均數又求得申甲邊九百五十二萬八千九百二十復用申甲酉三角形求三均數此形有申甲邊九百五十二萬八千九百二十有申酉邊一十一萬七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二十三秒為三均數也此初均數為加差二均數亦為加差而三均數轉為減差故於三均數内減去二均數餘二十五分一十七秒為二三均數轉為減差(三均)(大於二均故從三均)葢次輪之最近丑點與次均輪心申點俱在平行丙點之前而太隂酉點却在次輪最近丑點之後故以二均與三均相減餘丑甲酉角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復減去二三均數丑甲酉角始得本時之實行也若均輪心未至最卑辛五十度在午為自行四宫十度而太隂距太陽二百二十五度為朢後三日餘其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲酉角皆與七宫二十度之數相等但初均數為減差二三均數為加差以初均數減於平行復以二三均數加之而得實行也如均輪心從最卑辛行一百二十度至辰為自行十宫初度則次輪心從均輪最近癸行二百四十度至己而太隂距太陽三百二十度為下弦後四日則次均輪心從次輪最近丑行一周復行二百八十度至午太隂亦從次均輪最下卯行一周復行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒為初均數丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一為次輪最近點距地心之數乃用丑甲午三角形求二均數此形有丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一有丑午邊二十七萬八千九百七十(次輪丑午弧八十度之通弦)有丑角七十四度一十四分五十一秒(丙申甲三角形以丙甲兩角相併與申外)(角等丑巳子次輪全徑原與癸辰壬均輪全徑平行則己丑甲角與壬申丑角)(為平行線之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度與丙甲申角四度)(一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即為己丑甲)(角内減去己丑午角五十度餘七十四度一十四分五十一秒為午丑甲角也)求得丑甲午角一度三十一分二十三秒為二均數又求得午甲邊一千零一十萬一千六百一十七復用午甲未三角形求三均數此形有午甲邊一千零一十萬一千六百一十七有午未邊一十一萬七千五百有午角八十度求得午甲未角三十九分二十七秒為三均數也此初均數二均數俱為加差而三均數為減差故於二均數内減去三均數餘五十一分五十六秒為二三均數仍為加差葢次輪之最近丑點與次均輪心午點俱在平行丙點之前而太隂未點却在次均輪心午點之後故以二均與三均相減餘丑甲未角為二三均數於平行外加初均數丙甲丑角復加二三均數丑甲未角即得本時之實行也若均輪心在最髙庚後六十度為自行二宫初度而太隂距太陽二百二十度為下弦前四日其初均數丙甲丑角及二三均數丑甲未角加與十宮初度之數相等但實行在平行之後故俱為減差以減於平行而得實行也兩月食定交周白道與黄道斜交月行天一周必兩次過交而交無定處每一交之中退天一度有餘故每日太隂距交行度常多於每日平行經度其較即為每日交行度測法亦擇用兩月食其兩食必須太陽之距最髙等太隂之自行度等食分等食在陽厯或在隂厯亦等(黄道南為陽厯黄道北為)(隂厯)乃可推月行若干交周而復於故處西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒為朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三)與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒相減餘三分一十秒三十八微二十四纖(即百分度之五)(分二九五五五五五五一授時厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度約之得百分度之五分一六)(○七)為兩交每日左旋之度也今擇用兩月食以明其法如左第一食順治十三年丙申十一月庚申朢子正後一十八時四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在陽厯日躔星紀宫一十度三十九分在最卑後三度四十九分於時月自行為三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正後三時二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在陽厯日躔星紀宫二十一度五十二分在最卑後一十四度二十一分於時月自行為三宫二十五度二十四分(兩次月食太陽距最髙差)(一十度餘然地景之大小無異月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿論)以上兩次月食相距中積二百二十三月乃用朔策定數五千四百五十八為一率交終定數五千九百二十三為二率(此二)(數依巴谷所定)二百二十三月為三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二(差千分之一可以不論)為兩次月食相距之交終數又以兩次月食相距中積六千五百八十五日零八時三十九分一十秒與每日太隂平行經度相乗以交終數二百四十二除之得一百二十九萬零八百一十二秒小餘八七九五九八為每一交行度與周天一百二十九萬六千秒相減餘五千一百八十七秒小餘一二○四○二為每一交退行度又以交終數除兩次月食相距中積日分得二十七日二一二二三三為交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微為兩交每日退行度與每日平行經度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微為太隂每日距交行度比舊數止少一微今仍用舊數各以日數乘之得十日百日之行度以時分除之得每時每分之行度以立表黄白大距度及交均白道與黄道相距之緯曰大距度而交均者乃兩交平行與自行之差是二者常相因也葢相距之度時少時多而自行之度有遲有疾故必測得距度極多極少之數而後交行之遲疾可推測大距之法推得月離黄道鶉首宫初度又在黄道北(月在黄道北則近天頂而地半徑差最㣲可以勿論)而距交適足九十度時俟至子午線上測之得地平髙度乃於髙度内減去赤道髙及黄赤距緯度其餘即為黄白大距度也厯家用此法測得朔朢時之大距為四度五十八分三十秒(即四度零十分度之九分七五)上下弦時之大距為五度一十七分三十秒(即五度零十分度之二分九一六授時厯無分朔朢兩弦皆六)(度以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分三十九秒)既得二數乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表如圖甲為黄極乙丙丁戊為黄道用朔朢與上下弦兩距度相加折半得五度零八分為黄白大距之中數取中數為半徑如己甲作己庚辛壬圈為白極繞黄極本輪又取兩距度之較數一十九分折半得九分三十秒為半徑如己癸作癸子丑寅圈為負白極均輪其心循己庚辛壬本輪左旋(從己向庚)每日行三分一十秒有餘白極則循癸子丑寅均輪左旋(從癸向子)行倍離之度半月一周如癸子丑寅均輪心在己朔朢時白極在癸白道交黄道於丙於戊其卯乙弧為大距四度五十八分三十秒與癸甲弧等上下弦時白極在丑白道亦交黄道於丙於戊其辰乙弧為大距五度一十七分三十秒與丑甲弧等如癸子丑寅均輪心從本輪己行至庚朔朢時白極在癸白道交黄道於乙於丁其卯丙弧為大距四度五十八分三十秒與癸甲弧等上下弦時白極在丑白道亦交黄道於乙於丁其辰丙弧為大距五度一十七分三十秒與丑甲弧等惟朔朢與上下弦時白極俱在丑甲線上平行自行相合故無交均數如白極從癸向子交行漸遲至子距癸九十度為朔與上弦之間或朢與下弦之間其行極遲白道交黄道於巳於午其未申弧為大距與子甲弧等(子甲)(為白極距黄極之弧故與未申大距弧等)於是用子甲己正弧三角形求子甲弧此形有己甲弧五度零八分有己子弧九分三十秒有己直角九十度(當癸子弧)求得子甲弧五度零八分零九秒與未申弧等為黄白大距又求得甲角一度四十六分零八秒為交均即自行遲於平行極大之差從子向丑則遲行之度漸減至丑而合於平行矣如白極從丑向寅交行漸疾至寅距丑九十度為上弦與朢之間或下弦與朔之間其行極疾己甲寅角亦一度四十六分零八秒寅甲兩極距弧亦與子甲等從寅向癸則疾行之度漸減至癸而又合於平行矣要之從癸向子至丑為前半周所求之諸甲角俱為減差以減交之平行而得交之實行從丑向寅至癸為後半周諸甲角之度皆以前半周等但俱為加差以加交之平行而得交之實行故用弧三角形法以己庚辛壬圈之半徑五度零八分及癸子丑寅圈之半徑九分三十秒為常用之兩邊以極距癸點之逐度為角得弧三角形一百八十求得各對角之弧為兩極大距(如子甲之類)近黄極之角為交均在前半周為減差後半周為加差而大距及交均之表全矣至於有大距之數而求逐度之小距度與日躔求黄赤距緯之法同視差太隂之視差有四一為蒙氣差能升卑為髙其理與數皆與太陽同一為髙下差(即地半徑差)生於地之半徑能變髙為下其理亦與太陽同而數則過之葢太陽本天半徑與地半徑之比例為千餘分之一而太隂本天半徑與地半徑之此例為五六十分之一故其差角迥别不可同論也又有東西差(即經度差)南北差(即緯度差)皆由髙下差而生算交食用之詳載交食本篇兹不具論如圖甲為地心乙為地面甲乙為地半徑乙丙為地平丁戊己為太隂本天庚辛壬癸為恒星天戊為太隂人從地面乙測之對恒星天於壬其視髙為壬乙丙角若從地心甲計之則見太隂於戊者對恒心天於辛其真髙為辛甲癸角此兩髙之差為乙戊甲角即髙下差然亦時時不同者一因太隂距地平近則差角大漸髙則漸小一因太隂在本天最髙則差角小在本天最卑則差角大與日躔之理同今亦約為最髙最卑中距三限於朢時及兩弦各以所測地面上太隂之髙度求太隂距地心之甲戊線(朢時測中距兩弦時)(測最髙及最卑葢月自行在中距朢時次均輪心在)(次輪之最近月在次均輪之最下微小於本天若兩)(弦時則次均輪心在次輪之最逺已在本天之外月)(又在次均輪之最上未免太過於本天故於朢時測)(中距也又月自行在最髙兩弦時月距地心比朢時)(髙一次輪全徑又髙一次均輪全徑故於此時測最)(髙月自行在最卑兩弦時月距地心北朢時卑一次)(輪全徑又髙一次均輪全徑猶在朢時月體之下故)(於此時測最卑也)如暢春園測得太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微同時於廣東廣州府測得太隂高七十九度四十七分二十六秒一十二微(廣東子午線在京師西三度三十三)(分然髙下差甚微可勿論)於時月自行三宫初度月距日一百八十度(即朢時)以之立法甲為地心乙為京師地面庚為天頂子為廣州府地面丑為天頂戊為太隂寅為赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒為暢春園赤道距天頂之度寅丑弧二十三度一十分為廣州府赤道距天頂之度以兩處赤道距天頂度相減餘一十六度四十九分三十秒為庚丑弧即庚甲丑角以暢春園髙度與一象限相減餘二十七度一十九分零八秒一十七微為庚乙戊角以廣州府髙度與一象限相減餘一十度一十二分三十三秒四十八微為丑子戊角先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲俱地半徑命為一千萬乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七為乙子邊又以甲角與半周相減餘數半之得八十一度三十五分一十五秒為乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子邊二九二五九七七有戊乙子角七十一度零五分三十六秒四十三微(以庚乙戊角與子乙甲角相加得一百零)(八度五十四分二十三秒一十七微以減半周即得)有戊子乙角一百零八度三十七分一十八秒四十八微(於半周内減去乙子甲角八十一度三十)(五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三)(十三秒四十八微即得)即有乙戊子角一十七分零四秒二十九微求得戊乙邊五五八二六五二五四末用戊乙甲三角形此形有乙甲地半徑一千萬有戊乙邊五五八二六五二五四有戊乙甲角一百五十二度四十分五十一秒四十三微(於半周内減去庚乙戊角二十七度一十九分零八)(秒一十七微即得)求得乙戊甲角二十七分四十九秒零四微為中距限太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微之髙下差求得戊甲邊五六七一七一三三四為太隂在本天中距時距地心之逺以地半徑較之其比例為一千萬與五億六千七百一十七萬一千三百三十四若命地半徑為一則月距地心為五十六又百分之七十二也乃依此法於月自行初宫初度月距日九十度時(即上)(下弦)測之求得甲乙線與戊甲線之比例為一與六十一又百分之九十八即月在本天最髙距地心最逺之數又於月自行六宫初度月距日九十度時測之求得甲乙線與戊甲線之比例為一與五十三又百分之七十一即月在本天最卑距地心最近之數於是自最近五十三至最逺六十二之十數逐度求其髙下差以立表隠見遲疾合朔之後恒以三日月見於西方故尚書註月之三日為哉生明然有朔後二日即見者更有晦日之晨月見東方朔日之夕月見西方者唐厯家遂為進朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故葢月之隠見遲疾固有一定之理可按數而推殆因乎天行由於地度無庸轉移遷就也至於漢魏厯家未明盈縮遲疾之差以平朔著厯故有晦而月見西方朔而月見東方者此則推步之疎不可以隠見遲疾論也隠見之遲疾其故有三今並詳於後一因黄赤道之升降有斜正也葢春分前後各三宫(由星紀至實沈六宫)黄道斜升而正降月離此六宫則朔後疾見秋分前後各三宫(由鶉首至)(析木六宫)黄道正升而斜降月離此六宫則朔後遲見如上二圖前圖日躔降婁初度月離降婁一十五度為正降日入時月在地平上髙一十四度餘即可見葢入地遲而見早也後圖日躔夀星初度月離夀星一十五度為斜降日入時月在地平上髙六度餘即不可見葢入地疾而見遲也若晦前月離正升六宫則隠遲斜升六宫則隠早其理亦同一因月距黄緯有南北也葢月距黄道北則朔後見早距黄道南則朔後見遲如圖日躔降婁初度月離降婁一十五度而月距黄道北則月距地平之度多入地遲而見早月距黄道南則月距地平之度少入地疾而見遲也若晦前距黄道北則隠遲距黄道南則隠早其理亦同一因月視行之度有遲疾也葢月視行為遲厯則朔後見遲晦前隠遲視行為疾厯則朔後見早晦前隠早也夫月離正降宮度距日一十五度即可見以每日平行一十二度有竒計之則朔後一日有餘即見生明於西是故合朔如在甲日亥子之間月離正升宮度距黄道北而又行遲厯則甲日太陽未出亦見東方月離正降宫度距黄道北而又行疾歴則乙日太陽已入亦見西方矣御製歴象考成上編卷五
## 上編卷六
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷六交食厯理一(日食月食合)交食總論朔望有平實之殊朔望用時求日月距地與地半徑之比例日月視徑求日月實徑與地徑之比例地影半徑交食總論太隂及於黄白二道之交因生薄蝕故名交食然白道出入黄道南北太隂每月必兩次過交而或食或否何也月追及於日而無距度為朔距日一百八十度為望此皆為東西同經其入交也正當黄道而無緯度是為南北同緯雖入交而非朔望則同緯而不同經當朔望而不入交則同經而不同緯皆無食必經緯同度而後有食也盖合朔時月在日與地之間人目仰觀與日月一線參直則月掩蔽日光即為日食望時地在日與月之間亦一線參直地蔽日光而生闇影其體尖圓是為闇虚月入其中則為月食也按日為陽精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之頃特能下蔽人目而不能上侵日體故食分時刻南北迥殊東西異視也若夫月食則月入闇虚純為晦魄故九有同觀但時刻有先後耳至於推步之法日食須用髙下南北東西三差委曲詳密而月食惟論入影之先後淺深無諸視差之繁故先總論交食之理次論月食乃及日食因日食立法較難故後論加詳焉如圖合朔時月在地與日之間人在地面居甲者見月全掩日居乙者見月掩日之半居丙者但見日月兩周相切而不相掩故日食隨地不同乃月蔽人日不見日光而日體初無異也如地在日月之間日大地小地向日之面為晝背日之面則生尖影人在影中不見日光為夜望時月入影中而不能借日光全為晦魄故月食為普天同視也朔望有平實之殊日月相㑹為朔相對為望而朔望又有平實之殊平朔望者日月之平行度相㑹相對也實朔望者日月之實行度相㑹相對也故平朔望與實朔望相距之時刻以兩實行相距之度為準盖兩實行相距之度以兩均數相加減而得而兩朔望相距之時刻則以兩實行相距之度變為時刻以加減平朔望而得實朔望故兩實行相距無定度則兩朔望相距亦無定時也如圖甲為地心即日月本天心乙為月本輪心丙為日本輪心(日月止用本輪者因明平實之)(理取其易於辨析也)兩輪心俱在甲乙丙及甲乙丁直線上為平朔望而丙為黄道上平朔之度丁為黄道上平望之度如日在本輪之戊月在本輪之己或在本輪之庚俱在甲己戊辛及甲庚壬直線上則為實朔望而辛為黄道上實朔之度壬為黄道上實望之度也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為加均乃實行過於平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁皆為減均乃實行不及平行之度故以辛丙加均與癸丙減均相併得癸辛弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度以壬丁加均與子丁減均相併得子壬弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日為加均月為減均故日實行在月實行之前為實朔望在平朔望之後必計月得若干時分而後行過癸辛弧及子壬弧始能與日相㑹相對故以癸辛弧及子壬弧變為時分以加平朔望而得實朔望也若日為減均月為加均則日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前即以實行相距之時分減平朔望而得實朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為減均乃實行不及平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆為減均乃實行不及平行之度故以辛丙減均與癸丙減均相減餘辛癸弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度以壬丁減均與子丁減均相減餘壬子弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日之減均大於月之減均故日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前必計月己行過與日相㑹相對若干時分為辛癸弧及壬子弧故以辛癸弧及壬子弧變為時分以減平朔望而得實朔望也若日之減均小於月之減均則日實行在月實行之前而實朔望在平朔望之後即以實行相距之時分加平朔望而得實朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚則日之實行度在辛相對之度在壬而辛丙及壬丁皆為加均乃實行過於平行之度月之實行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆為加均乃實行過於平行之度故以辛丙加均與癸丙加均相減餘辛癸弧為兩實行相距之度亦即實朔距平朔之度也以壬丁加均與子丁加均相減餘壬子弧為兩實行相距之度亦即實望距平望之度也此日之加均大於月之加均故日實行在月實行之前而實朔望在平朔望之後必計月得若干時分而後行過辛癸弧及壬子弧始能與日相㑹相對故以辛癸弧及壬子弧變為時分以加平朔望而得實朔望也若日之加均小於月之加均則日實行在月實行之後而實朔望在平朔望之前即以實行相距之時分減平朔望而得實朔望其理亦同也朔望用時太陽與太隂實行相㑹相對為實朔望但實朔望之時刻按諸測驗猶有數分之差(或早或遲差至一刻)以其猶非用時也盖實朔望固兩曜實㑹實對之度而推算時刻則仍以平行所臨之位為時皆依黄道而定今推平行與實行既有盈縮差則時刻亦有增減又時刻以赤道為主而黄道赤道既有升度差則時刻亦有進退故必以本時太陽均數與升度差俱變為時分以加減實朔望之時刻為朔望用時乃與測驗脗合此即日躔時差加減之理也求日月距地與地半徑之比例太陽太隂距地之逺近日躔月離地半徑差篇言之詳矣顧求地半徑差止用最髙最卑中距三限而交食之日月視徑以及影徑影差則逐度不同且太隂在最髙兩弦尤髙太陰在最卑兩弦尤卑交食在朔望其髙卑皆不及兩弦故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心線今依日月諸輪之行求得太陽在最髙距地心一○一七九二○八(本半) (天徑)(加本輪半徑減均輪半徑)其與地半徑之比例為一與一千一百六十二(詳日躔厯理)中距距地心一○○○六四二一(求均)(數時並求太陽距地心之邉即得)其與地半徑之比例為一與一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二(本天半徑減本)(輪半徑加均輪半徑)其與地半徑之比例為一與一千一百二十一太陰在最髙朔望時距地心一○一七二五○○(本天半徑加負圏半徑減均輪半徑又減次輪半徑又減次均輪半徑即得俱詳月離二三均數圖)其與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六中距朔望時距地心九九二○二七三(求初均數時並求太)(陰距地心之邉内減次均輪半徑即得盖朔望時無二三均但距地心少次均輪半徑耳)其與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二(詳月離地)(半徑差篇最髙最卑皆以此為比例)最卑朔望時距地心九五九二五○○(本天半徑減負圏半徑加均輪半徑又加次輪半徑減次均輪半徑即得)其與地半徑之比例為一與五十四又百分之八十四如求太陽在最髙前後四十度距地心與地半徑之比例則以太陽最髙距地心一○一七九二○八為一率一千一百六十二為二率太陽在最髙前後四十度之距地心線一○一三九八九八為三率得四率一千一百五十七即當時日距地與地半徑之比例也求月距地之法倣此日月視徑日月之徑為食分淺深之原所關甚大但人目所見者非實徑乃視徑也實徑為一定之數而視徑則隨時不同盖凡物逺則見小近則見大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其視徑之小大亦不等數年以來精推實測得太陽最髙之徑為二十九分五十九秒最卑之徑為三十一分零五秒比舊定日徑最髙少一秒最卑多五秒朔望時太陰最髙之徑為三十一分四十七秒最卑之徑為三十三分四十二秒比舊定月徑最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今數為密兹将測算之術詳著於篇測太陽徑一法用正表倒表各取日中之影求其髙度兩髙度之較即太陽之徑也盖正表之影乃太陽上邊之光射及表之上邉其所得為太陽上邊距地平之髙度倒表之影乃太陽下邊之光射及表之下邊其所得為太陽下邉距地平之髙度故兩髙度之較即太陽之徑也一法用儀器測得太陽午正之髙度復用正表測影亦求其髙度兩髙度之較即太陽之半徑也盖儀器所得者太陽中心之度表影所得者太陽上邊之度故兩髙度相較即得太陽之半徑也一法用中表正表各取日中之影求其髙度兩髙度之較即太陽之半徑也盖中表係横梁上下皆空太陽上邊之光射横梁之下面太陽下邊之光射横梁之上面其所生之影必當太陽之中心故以中表所測之髙度與正表所得太陽上邊之髙度相較即得半徑也一法治一暗室令甚黝黒於室頂上開小圓孔(徑一寸或)(半寸)以透日光孔面頂平不可欹側室内置平案孔中心懸垂線至案中線正午時日光射於案上必成撱圓形爰従案上對垂線處量至撱圓形之前後兩界垂線至前界加孔之半徑為前影垂線至後界減去孔之半徑為後影乃以垂線(即孔距案面)為一率前後影各為二率半徑一千萬為三率得四率並查八線表之餘切線得前後影之兩髙度相減之較即太陽之全徑也盖太陽上邊之光従孔南界射入至案為撱圓形之前界與正表之理同太陽下邊之光従孔北界射入至案為撱圓形之後界與倒表之理同故兩髙度之較即為太陽之徑也至於前後影必加減孔之半徑者因量影時俱對孔之中心起算然前影則自孔之南界入在中心之前而後影則自孔之北界入在中心之後較之中心並差一半徑故必須加減半徑而後立算也測太陰徑一法春秋分望時用版或墻為表以其西界當正午線人在表北依不動之處候太隂之西周切於正午線看時辰表是何時刻俟太陰體過完其東周纔離正午線復看時辰表是何時刻乃計太陰過正午線共得㡬何時刻以時刻變度(每時之四分為一度)内減本時分之太陰行度餘即太陰之徑也一法兩人各用儀器候太陰當正午時同時並測一測其上弧髙度一測其下弧髙度兩髙度之較即太隂之徑也一法用附近恒星以紀限儀測其距太陰左右兩弧之度其兩距度之較即太陰之徑也以上諸法逐時測量即得太陽太陰自髙及卑之各半徑以立表又法不用逐時測量止測得最髙最卑時之兩半徑相減用其較數與本輪之矢度為比例即可得髙卑間之各半徑數也如太陽最髙之徑為二十九分五十九秒最卑之徑為三十一分零五秒相差一分零六秒化為六十六秒今求距髙卑前後六十度之視徑則命本輪徑為二千萬為一率六十度之矢五百萬為二率徑差六十六秒為三率得四率一十六秒半以加最髙之徑二十九分五十九秒得三十分一十五秒半為最髙前後六十度之視徑以減最卑之徑三十一分零五秒得三十分四十八秒半為最卑前後六十度之視徑也太陰之法並同求日月實徑與地徑之比例日月地三體各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯書載日徑為地徑之五倍有餘月徑為地徑之百分之二十七强今依其法用日月髙卑兩限各數推之所得實徑之數日徑為地徑之五倍又百分之七月徑為地徑之百分之二十七弱皆與舊數大致相符足徵其説之有據而非誣也凡明暗兩體相對明體施光暗體受之其背即生黑影若兩體同大則其影成平行長圓柱形其徑與原體相同其長至於無窮而無盡也如甲圖然若明體小暗體大則其影漸大成圓墩形其徑雖與原體相同其長至於無窮其底之大亦無窮也如乙圖然惟明體大暗體小則其影漸小成尖圓體其徑與原體等其下漸小而盡成鋭角如丙圖然使日小於地或與地等則地所生之影宜如甲乙兩圖其長無窮今地影不能掩熒惑何况嵗星以上諸星是地影之長有盡必如丙圖而日之大於地也其理明矣又凡人目視物近則見大逺則見小如丁戊與己庚兩物同大人目視之成兩三角形丁戊近目其兩腰短故底之對角大己庚逺目其兩腰長故底之對角小若去人目有逺近而視之若等則逺者必大近者必小今仰觀日月其徑畧等而日去地甚逺月去地甚近則月必小於日也可知矣夫地徑小於日而地影之徑又漸小於地月過地影則食食時月入影中多厯時刻而後生光則月必小於地影月既小於地影則其必小於地也又何疑焉求日實徑之法如圖甲為地心乙為日心甲乙為兩心相距乙甲丙角為日視半徑角乙丙為日半徑用甲乙丙直角三角形此形有丙直角有甲角十四分五十九秒三十微為日在最髙之視半徑有乙甲邊一千一百六十二為日在最髙距地心之數求得乙丙五又百分之七為日實半徑即為地半徑之五倍又百分之七也求月實徑之法倣此地影半徑太陽照地而生地影太陰過影而生薄蝕凡食分之淺深食時之乆暫皆視地影半徑之大小其所係固非輕也但地影半徑之大小隨時變易其故有二一緣太陽距地有逺近距地逺者影巨而長距地近者影細而短此由太陽而變易者也一緣地影為尖圓體近地麤而逺地細太陰行最卑距地近則過影之麤處其徑大行最髙距地逺則過影之細處其徑小此由太陰而變易者也今依太陽在最髙所生之大影為率而以太陰従髙及卑各距地心之地半徑數求其相當之影半徑為影半徑表復求得太陽従髙及卑所生之各影各求其太陰在中距所當之影半徑俱與太陽在最髙所生之大影相較餘為影差列於本表之下用時以太陰引數宫度查得影半徑復以太陽引數宫度查得影差以減影半徑即得所求之地影實半徑也如圖甲為地球乙丙皆為太陽乙為最髙丙為最卑太陽従最髙乙發光則地影長大為丁己戊従最卑丙發光則地影短小為丁庚戊太陰遇丁己戊大影而在最髙辛則其所當之影徑如辛壬在最卑癸則其所當之影徑如癸子若太陰遇丁庚戊小影而在最髙辛則其所當之影徑如丑寅在最卑癸則其所當之影徑如卯辰其兩半徑之較為辛丑與癸卯是所謂影差也求地影半徑有二法一用推算一用測量而推算所得之數比測量所得之數常多數分盖因太陽光大能侵削地影故也如甲為地球乙丙丙丁為太陽實半徑従乙丁作兩線切地球戊己兩邊而交於庚則成戊庚己影然太陽光芒常溢於原體之外如辛壬従辛壬作兩線切地球戊己兩邊而交於癸則成戊癸己影而小於戊庚己影論其實則推算之數為真欲合仰觀則測量之數為準故地影表所列之數皆小於推算之數也推算之法命地半徑甲己為一百分則太陽實半徑丙丁為五百零七分(太陽實徑)(為地徑之五倍又百分之七今以地半徑為一百分則太陽實半徑為五百零)(七分)以甲己與丙丁相減餘丙子四百零七乃以丙子四百零七為一率太陽在最髙距地心之丙甲一十一萬六千二百(即地半徑之一千一百六十二倍)為二率甲己地半徑一百為三率得四率甲庚二萬八千五百五十為地影之長盖丙子甲勾股形與甲己庚勾股形為同式形故其相當各界皆可為比例也既得甲庚地影之長乃求得甲庚己角一十二分零二秒又於甲庚地影之長内減去太陰在中距朔望時距地心之甲丑五千六百七十二(即地半徑之五十六倍又百分之七十二)餘二萬二千八百七十八為丑庚於是用丑庚寅直角三角形求得丑寅八十有餘又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒為太陰在中距時所過地影之半徑查地影半徑表為四十四分四十三秒多三分五十一秒測量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其實引為二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半徑零百分之四十一測得緯度在黄道北三十六分一十八秒月半徑為一十六分一十秒食分為二十三分三十秒乃以黄道緯度三十六分一十八秒求得白道緯度三十六分二十六秒為食甚距緯與食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内減月半徑一十六分一十秒餘四十三分四十六秒為地影半徑查地影半徑表為四十三分五十四秒相差八秒乃本時太陽之影差也(表數乃太陽在最髙之影今太陽在八宫故差八秒)如圖子丑寅為黄道卯辰己為白道卯子寅己為地影午丑為地影半徑未申酉為月未辰為月半徑月行白道従卯至辰距地影心丑最近是為食甚午酉即為食分辰戌為黄道緯度辰丑即白道緯度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角與黄白交角等有戌直角有辰戌邊求得辰丑為食甚距緯以午酉食分與辰丑距緯相加成亥丑内減與月半徑未辰相等之亥午餘午丑即為地影之半徑也推算所得之數既大於測量所得之數則太陽光大之能侵削地影可知矣然不得太陽之光分雖逐時測量又有影差雜於其内則地影之大小終不能得其真今立法以太陰在中距之地影半徑四十四分四十三秒為準(前測月食實引二宫)(三度近中距而其影畧與表合故以中距之地影為準)求太陽之光分命地半徑甲巳為一百分則太陰在中距朔望時距地心之甲丑為五千六百七十二丑甲寅角即為四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅為七十三小餘七八甲寅為五千六百七十二小餘四八又用甲巳寅直角三角形(巳為直角)求得巳甲寅角為八十八度五十九分二十四秒於象限内減去巳甲寅角又減去丑甲寅角餘一十五分五十三秒為卯甲己角乃用卯甲己直角三角形(已為直角)求得甲卯為一百又千分之一甲卯内減去與丑寅相等之甲辰餘二十六小餘二二一為辰卯於是以卯辰寅勾股形(辰寅與甲丑等)與卯甲庚勾股形為比例得甲庚二萬一千六百三十二即地影之長又以甲己庚勾股形與丙丁庚勾股形為比例得丙丁六百三十七即太陽之光分為地半徑之六倍又百分之三十七也既得丙丁太陽之光分又得甲庚地影之長乃於甲庚内減太陰在最髙距地心之甲巳五千八百一十六餘己庚一萬五千八百一十六以甲卯庚勾股形與巳午庚勾股形為比例得巳午七十三小餘一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒為太陰在最髙所過地影之半徑於甲庚内減太陰在最卑距地心之甲未五千四百八十四餘未庚一萬六千一百四十八以甲卯庚勾股形與未申庚勾股形為比例得未申七十四小餘六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒為太陰在最卑所過地影之半徑比舊表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖舊表固由實測要亦準於太隂之髙卑今測太陰之在最髙較舊數為稍卑故月徑大而影徑亦大太陰之在最卑較舊數為稍髙故月徑小而影徑亦小然月徑約以三十分為十分影徑差一十二秒食分止差四秒固不失為密合况影徑隨月徑而大小尤不致舛謬也於是以隨時太陰距地心之地半徑數各與地影之長相減以求得地影之半徑線又各求其相當之角即得太陰隨時之影半徑以立表求影差之法用太陽在最髙所生之長影求得太陰在中距時所當之影半徑四十四分四十三秒為率而以太陽在最卑所生之短影亦求得太陰在中距所當之影半徑為四十四分零八秒相差三十五秒為太陽最髙最卑兩限之影差其餘影差俱依此例推之御製厯象考成上編卷六
## 上編卷七
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷七交食厯理二(専論月食)太隂食根月食分秒月食五限時刻見食先後定月食方位繪月食圖太陰食限食限者推太陰交周度距交若干為入食限之始也太陰半徑與地影半徑相切即入食之限故以兩半徑相併之數當黄白兩道之距緯度而求其相當之經度得距交一十一度一十六分四十五秒為必食之限距交一十二度一十六分五十五秒為可食之限盖必食者無不食可食者或食或不食也二者皆實望之限若論平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即為有食之限矣解之如左地影半徑最小者四十二分三十八秒太陰半徑最小者一十五分五十三秒三十微相併得五十八分三十一秒三十微黄白距緯度在此數以内者月必食以此數當距緯求其經度則用黄白大距四度五十八分三十秒之正切與半徑為比例即得一十一度一十六分四十五秒為必食之限如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為二道之交乙為地影心丙為月心兩周相切於丁乙丁丙為兩半徑之共數若距度在此數以内則月周侵入地影内而見食故用甲乙丙正弧三角形求甲丙交周度距交若干此形有丙直角有甲角黄白大距度四度五十八分三十秒有乙丙兩半徑相併五十八分三十一秒三十微今以甲角正切與半徑之比同於乙丙距緯正切與甲丙經度正弦之比而得一十一度一十六分四十五秒為甲丙距交之度也地影半徑最大者四十六分四十八秒太陰半徑最大者一十六分五十一秒相併得一度零三分三十九秒黄白距緯度在此數以内者月可食以此數當距緯按前法求經度得一十二度一十六分五十五秒為可食之限其或不食者何也盖必兩半徑俱最大而後得食若有一半徑畧小即兩周不得相切而不食矣平望之限又寛於實望之限而為一十四度五十四分何也盖太陽最大之均數二度零三分一十一秒太陰最大之均數四度五十八分二十七秒相併得七度零一分三十八秒為兩實行相距最逺之度如圖甲為地心乙為黄道上平望之點日之實行正對之度在丙乙丙弧為二度零三分一十一秒月之實行度在丁丁乙弧為四度五十八分二十七秒兩實行相併得丁丙弧七度零一分三十八秒為日實行正對之點與月實行相距之度迨月實行逐及於日實行正對之丙則曰正對之點又行三十一分餘至戊月更行至戊則日正對之點又行二分餘至己月必又行至己方為實望共計乙己弧得二度三十七分有餘為實望距平望之數以此數與實望之限相加得一十四度五十四分乃為平望之食限也月食分秒月食分數之淺深視黄白距緯之多少距緯愈少太陰心與地影心相去愈近則太陰入影愈深故用太陰半徑地影半徑相併而與距緯相較併徑大於距緯之較即為月食之分若併徑小於距緯則月不食若太陰恰當交點而無距緯則併徑全為食分為月食之最深也但太陰與地影之半徑分秒皆係弧度而論食分則以太陰全徑直線計之其法命太陰全徑為十分以太陰視徑分秒與併徑距緯之較之比(無距緯者即以併徑為比)同於太陰全徑與食分之比也如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙為二道之交丙甲丁戊己庚皆為黄白距度辛甲壬戊癸庚子乙皆為地影半徑丙丑丁寅己卯乙辰皆為太陰半徑如太陰心在丙地影心在甲丙丑辛甲兩半徑相併小於丙甲距緯則太陰不入於影故不食也如太陰心在丁地影心在戊丁寅壬戊兩半徑相併大於丁戊距緯其較為壬寅即太陰入影之分也又如太陰心在己地影心在庚己卯癸庚兩半徑相併大於巳庚距緯其較為癸夘與太陰全徑相等即太陰入影之分此為月食十分盖月體全入影中纔食既而即生光也又太陰恰當交點全無距緯太陰心地影心相㑹於乙即以子乙乙辰兩半徑相併為太陰入影之分月食遇此其食分為最深也設太陰在最髙其視半徑一十五分五十三秒三十微地影半徑四十三分一十三秒相併得五十九分零六秒三十微乃以太陰視徑三十一分四十七秒為一率併徑五十九分零六秒三十微為二率太陰全徑十分為三率得四率一十八分三十七秒為月食之最大分也月食五限時刻月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初虧月将入影兩周初切也一曰食既月全入影其光盡掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰復圓月全出影兩周方離也是二者在食甚後月食十分以上者有五限十分以下者止三限無食既與生光也其時刻之多寡則由於入影之淺深過影之遲速盖距緯有寛狹寛則入影淺而時刻少狹則入影深而時刻多又月與影之半徑各有小大月大影小則過影速而時刻少月小影大則過影遲而時刻多抑且自行有遲疾遲則出影遲疾則出影速故雖距緯同半徑同而自行不同即時刻亦不同也其食甚前後各限相距之時刻恒等而食甚又非實望之時所差雖微而理則實異夫地影之心即太陽正對之點地影心距交之黄道經度與月心距交之白道經度等是為東西同經即為實望然月心與影心斜距猶逺惟従白極出弧線過影心至白道與白道成直角月心臨此直角之點乃為食甚盖惟此時月心與影心相距甚近食分最深也如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為交點丙為實望之度丁戊己庚為地影乙為影心甲乙與甲丙等辛壬癸子丑為五限月心所在辛為初虧戊為初虧之點壬為食既丁為食既之點癸為食甚癸乙為食甚距緯較丙乙為近此線引長必過白極故與白道成直角子為生光庚為生光之點丑為復圓己為復圓之點癸丙為食甚距實望之弧辛癸為初虧距食甚之弧與復圓距食甚之癸丑弧等壬癸為食既距食甚之弧與生光距食甚之癸子弧等故求得食甚前兩限距食甚之時刻以減食甚時刻得食甚前兩限之時刻以加食甚時刻得食甚後兩限之時刻也若以丙為食甚則丙乙之距大於癸乙必非入影最深之處而前後各限之距俱不相等矣推食甚時刻求癸丙弧法用乙甲癸正弧三角形此形有癸直角有甲角有甲乙黄道度與甲丙交周度等求得甲癸以甲癸與甲丙相減得癸丙乃用變時法以一時之月實行與一時之比同於癸丙度分與食分之比即得時之若干分秒而行癸丙弧為食甚距實望之時分加減實望時刻即得食甚之時刻矣推初虧復圓時刻用辛乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有辛戊月半徑與戊乙影半徑相加之辛乙弧求得辛癸為初虧距食甚之弧亦用一時之月實行比例得時分以減食甚時刻得初虧時刻以加食甚時刻得復圓時刻也推食既生光時刻用壬乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有丁壬月半徑與丁乙影半徑相減之壬乙弧求得壬癸為食既距食甚之弧亦用一時之月實行比例得時分以減食甚時刻得食既時刻以加食甚時刻得生光時刻也見食先後月食深淺分數天下皆同而虧復各限時刻不同者非月入影有先後乃人居地面有東西也盖日之所之為時隨人所居各以見日出入為東西日中為南為子午而平分時刻故其地同居一子午線者雖南北懸殊(北極出地髙下不同)而時刻不異若東西易地雖北極同髙而西方見食必先東方見食必後也凡東西差一度則時差四分今以京師為主視各省之子午線在京師東者以時差加在京師西者以時差減皆加減京師各限時刻為各省各限時刻也是故欲定各省之時刻必先定各省之子午線而欲定各省之子午線非分測各省之月食其道無由也定月食方位厯來厯書定月食初虧復圓方位距緯在黄道北初虧東南復圓西南在黄道南初虧東北復圓西北食八分以上則初虧正東復圓正西此東西南北主黄道之經緯言非謂地平經度之東西南北也惟月實行之度在初宫六宫初度望時又為子正則黄道經緯之東西南北與地平經度合否則黄道升降有斜正而加時距午有逺近故兩經緯迥然各别而所推之東西南北必不與地平之方位相符不如實指其在月體之上下左右為衆目所共覩乃為親切也其法従天頂作髙弧過月心至地平即分月體為左右兩半周乂平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分為東西兩象限乃於初虧復圓二限各求其黄道交髙弧之角若月當黄道無距緯而交角滿九十度則初虧正左復圓正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初虧左稍偏上復圓右稍偏下交角在四十五度以下初虧上稍偏左復圓下稍偏右在黄道東象限者反是若月在交前後有距緯則又須求得緯差角與髙弧交角相加減為定交角然後可定其上下左右也加減之法月距黄道北而在西象限初虧為加復圓為減在東象限初虧為減復圓為加月距黄道南者反是乃視定交角為相加者在九十度以内則虧復之上下左右如前論若過九十度為鈍角則易象限之上下又或定交角為相減者而交角内減去差角則虧復之上下左右如前論若差角内減去交角則易象限之左右也求黄道髙弧交角如圖甲乙丙為子午規甲為天頂乙丙為地平甲丁戊為髙弧己庚辛為黄道壬庚癸為赤道庚為春分子為北極子丑丁為過極經圏丁庚為月距春分黄道度丑庚為月距春分赤道度壬丑為月距正午赤道度(即食)(甚時太陽距子正赤道度)壬庚為春分距正午赤道度月實行度在丁求黄道與髙弧相交之丁角先用庚辛癸斜弧三角形求黄道交地平之辛角此形有庚角為春分角有癸角為赤道髙減半周之餘有庚癸春分距地平弧為春分距正午之餘求得辛角為黄道交地平之角并求得庚辛弧為黄道距地平之邊乃以丁庚月距春分度與庚辛弧相加得丁辛弧因用丁辛戊正弧三角形求丁角此形有丁辛弧有辛角有戊直角即求得丁角為黄道與髙弧相交之角也緯差角者初虧復圓時月與地影兩心相距之線與黄道相交之角也如圖甲乙丙為黄道丁戊巳為白道乙為地影心庚戊辛皆為月心乙戊為距緯即食其時兩心相距之數乙庚為併徑即初虧時兩心相距之數壬庚為距緯乙辛亦併徑為復圓時兩心相距之數癸辛為距緯如月適當黄道無距緯則初虧復圓時兩心相距之線與甲乙丙黄道相合而無差角矣因有緯度故乙庚兩心相距之線與甲乙丙黄道相離即成甲乙庚角乙戊之距愈寛其差角愈大也法以乙庚併徑之正弦與初虧距緯壬庚之正弦為比同於半徑一千萬與乙角之正弦為比即初虧之緯差角也又以乙辛併徑之正弦與復圓距緯癸辛之正弦為比同於半徑一千萬與乙角之正弦為比即復圓之緯差角也月正當交點無距緯則無緯差角如圖甲乙丙為黄道一象限庚為初虧月心辛為復圓月心如在黄道西象限則黄道左昂右低而甲乙丑或丙乙卯交角在四十五度以上故初虧子點在月體之左稍偏上復圓寅點在月體之右稍偏下也(如交角在四十五度以下則初虧為)(上稍偏左復圓為下稍偏右)若在黄道東象限則黄道左低右昂而甲乙卯或丙乙丑交角在四十五度以下故初虧子點在月體之下稍偏左復圓寅點在月體之上稍偏右也(如交角在四十五度以上則初虧為)(左稍偏下復圓為右稍偏上)如月距黄道之南而在黄道東象限如圖甲乙卯或丙乙丑為黄道交髙弧之角庚乙甲為初虧緯差角辛乙丙為復圓緯差角因月距黄道之南初虧時宜以庚乙甲緯差角與甲乙卯交角相加得卯乙庚為定交角在四十五度以上故初虧子點在月體之左稍偏下復圓時須以辛乙丙緯差角與丙乙丑交角相減餘丑乙辛為定交角在四十五度以下故復圓寅點在月體之上稍偏右也若在黄道西象限則初虧之緯差角為減復圓之緯差角為加與此相反如月距黄道之北而在黄道東象限如圖甲乙卯或丙乙丑為黄道交髙弧之角庚乙甲為初虧緯差角辛乙丙為復圓緯差角因月距黄道之北初虧時宜以庚乙甲緯差角與甲乙卯交角相減餘卯乙庚為定交角在四十五度以下故初虧子點在月體之下稍偏左復圓時須以辛乙内緯差角與内乙丑交角相加得丑乙辛為定交角在四十五度以上故復圓寅點在月體之右稍偏上也若在黄道西象限則初虧之緯差角為加復圓之緯差角為減與此相反繪月食圖凡繪月食圖先作横豎二線直角相交横線當黄道豎線當黄道經圈用地影半徑為度於中心作圜以象闇虚又以月半徑與地影半徑相減用其餘數為度作内虚圈為食既生光之限又以兩半徑相併為度作外虚圈為初虧復圓之限次視實交周在初宫十一宫於外虚圈上周黄經線右取黄白大距五度作識實交周在五宫六宫於外虚圈上周黄經線左取黄白大距五度作識乃自所識作線過圜心至外虚圈下周即為白道經圈於此線上自圜心取食其距緯度作識即食甚時月心所在従此作横線與白道經圈相交成直角即為白道而白道割外虚圈右周之點乃初虧時月心所在割内虚圈右周之點乃食既時月心所在割内虚圈左周之點乃生光時月心所在割外虚圈左周之點乃復圓時月心所在也末以五限月心所到之點為心月半徑為度作各小圜以象月體即初虧食既食甚生光復圓之象俱備矣如圖甲乙豎線如黄道經圈丙丁横線如黄道戊己庚圈為地影甲丙乙丁外虚圈為初虧復圓之限其丙辛半徑為月與地影兩半徑相併之數壬癸内虚圈為食既生光之限其癸辛半徑為月與地影兩半徑相較之數設實交周五宫或六宫則於外虚圈上周甲乙經線之左取黄白大距五度如子従子作線過圜心辛至下周丑為白道經圈於子丑白道經圈上自圜心辛向上取食甚距緯度如寅辛此寅點即食甚時月心所在也(此以實交)(周五宫為例其緯在北故自圜心辛向上取寅點若)(實交周是六宫其緯在南則自圜心辛向下取寅點)乃従寅取直角作卯辰線與子丑白道經圈相交即為白道而白道割外虚圈右周卯點為初虧限割内虚圈右周巳點為食既限割内虚圈左周午點為生光限割外虚圈左周辰點為復圓限於卯巳寅午辰五點各為心月半徑為度作圜以象月體即見月心在卯其周正切闇虚而光将缺是為初虧月心至巳其體全入闇虚而光盡掩是為食既月心至寅其體深入闇虚兩心相距甚近是為食甚月心至午其體将出闇虚而光初吐是為生光月心至辰其體全出闇虚而光纔滿是爲復圓也御製歴象考成上編卷七
## 上編卷八
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷八交食厯理三太陽食限日食三限時刻黄平象限白象限之同異日食三差求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧求東西南北差求日食食甚用時食甚交周食甚實緯求日食食甚真時及食甚視緯求日食初虧復圓用時求日食初虧復圓真時日食分秒定日食方位繪日食圖太陽食限日食之限不同於月食月食惟以太陰地影兩視半徑相併之數當黄白二道之距緯推距交之經度即為食限日食因有南北差其視緯度隨地隨時不同故太陽太陰兩視半徑不能定食限也夫最大之南北差一度零一分太陽最大之視半徑一十五分三十二秒三十微太陰最大之視半徑一十六分五十一秒兩視半徑相併得三十二分二十三秒三十微與南北差一度零一分相加得一度三十三分二十三秒三十微為視緯度以推距交經度得一十八度一十五分一十三秒為可食之限太陽最小之視半徑一十四分五十九秒三十微太陰最小之視半徑一十五分五十三秒三十微兩視半徑相併得三十分五十三秒與南北差一度零一分相加得一度三十一分五十三秒為視緯度以推距交經度得一十七度五十六分五十六秒為必食之限然在黄道北者必食在黄道南者或食或不食在黄道北者亦非普天之下皆見食但必有見食之地耳葢視差因地里之南北而殊而視緯又因實緯之南北而異故食限不可一槩而論也今以北極髙一十六度至四十六度之地而定食限則太陰距黄道北平朔之限得二十度五十二分實朔之限得一十八度一十五分太陰距黄道南平朔之限得八度五十一分實朔之限得六度一十四分要之視差之故多端食限不過得其大槩欲定食之有無必按法求得本地本時視緯度與太陽太陰兩視半徑相較若兩視半徑相併之數大於視緯者為有食小於視緯者為不食也如圖甲乙為黄道丙丁為白道戊為實交巳庚為視白道辛為視交太陽從甲乙黄道行太陰實循丙丁白道行因髙下差變髙為下遂生南北差視之如循巳庚行也如太陽在壬太陰距黄道北在癸距戊交約一十八度去太陽甚逺因視差之故見太陰在子巳與太陽兩周相切故北緯以距交一十八度為有食之始也如太陽在丑太陰距黄道南在寅距戊交約六度雖無視差己與太陽兩周相切故南緯以距交六度為有食之始也至於平朔之限又寛於實朔者因實朔距平朔之行度約二度三十七分故以此數與實朔之限相加乃為平朔之限與太陰食限之理同日食三限時刻日食止有三限一曰初虧一曰食甚一曰復圓而無食既生光葢太陽太陰之視徑畧相等食甚之最大者不過食既方食甚即生光故止求三限時刻三限時刻維何曰用時曰近時曰真時此三者雖為三限所同而三限之中尤以食甚為本故今發眀三限時刻先詳食甚時刻次及初虧而復圓如之食甚之理大槩與月食同但月食以太陰實經度當最近地影心之㸃為食甚故以實朢交周求得食甚交周相減為交周升度差以月實行比例得時分加減實望用時即得食甚時刻而無用時近時真時之名日食因有東西差(詳後日食三差篇)必以太陰視經度當最近太陽之㸃為食甚其實經度與視經度既不同而實行與視行又不同故先以實朔交周求得食甚交周相減為交周升度差以月實行比例得時分加減實朔用時為食甚用時(詳後求食甚用時篇)次以食甚用時求得東西差(詳後求東西南北差篇)仍以月實行比例得時分加減食甚用時為食甚近時又以食甚近時求得東西差與用時東西差相較得視行然後以視行與用時東西差比例得時分加減食甚用時方為食甚真時(詳後求食甚真)(時篇)是則食甚用時者乃在天實行日月相掩最深之時刻食甚真時者乃人目所見日月相掩最深之時刻而食甚近時者所以定視行以求用時與真時相距之時分者也夫食甚既有用時近時真時則初虧復圓亦必有用時近時真時乃今求日食初虧復圓用時則不以初虧復圓距食甚之時分加減食甚用時而以初虧復圓距食甚之時分加減食甚真時為初虧復圓用時(詳後求初虧復圓用時篇)次以初虧復圓用時求得東西差與食甚之東西差相較得視行乃以視行與初虧復圓距食甚之度比例得時分加減食甚真時即為初虧復圓真時(詳後求初虧復圓真時篇)然而不用近時者葢為近時所以求視行今食甚巳有東西差則與初虧復圓東西差相較即可以得視行故不必又求近時也要之求日食三限時刻必先求食甚真時而欲求食甚真時必先求食甚用時有食甚用時然後可以知三差之大小而三限時刻皆由此次第生焉此日食所以異於月食也如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為交㸃丁為太陽戊為太陰甲巳為實朔交周與甲丁等故巳㸃為實朔用時之度然丁巳相距猶逺試自白極過太陽丁作丁戊垂弧與白道成直角則丁戊之距必近於丁巳故戊㸃為食甚用時之度甲戊為食甚交周丁戊為食甚實緯戊巳為交周升度差以一小時之月實行與戊巳交周升度差相比得時分加減巳㸃實朔用時得戊㸃為食甚用時(此太陰在兩交後由甲向丙故甲巳度多甲戊度少)(應減戊巳距時若太陰在兩交前由丙向甲則丙巳)(度少丙戊度多應加戊巳距時)既得食甚用時如戊則自用時求近時今太陰實經度雖在戊因有東西差而用時之視經度却在庚則尚在食甚前故求得庚戊東西差以一小時之月實行相比得時分加於戊點食甚用時得辛點為食甚近時(庚戊與戊)(辛等)若使辛點近時之東西差與戊點用時之東西差等則實經度在辛視經度即在戊而近時即為真時又何用求真時然近時實經度雖在辛而近時之東西差復不同於用時之東西差故近時之視經度却又在壬則仍在食甚前夫食甚用時因東西差而見太陰在庚食甚近時又因東西差而見太陰在壬是自戊點食甚用時至辛點食甚近時止見太陰行庚壬之分故以庚壬視行與戊辛弧所變時分之比即同於庚戊東西差與戊癸弧所變時分之比加於戊點食甚用時得癸點為食甚真時葢食甚真時之東西差如戊癸必使太陰實經度在癸而視經度乃在戊方為人目所見日月相掩最深之時刻也(此太陰視經度)(在實經度西故加東西差所變時分若太陰視經度)(在實經度東則減東西差所變時分詳下二篇)又如子為初虧限太陰所在丑為復圓限太陰所在丁子丁丑皆太陽太陰兩視半徑相併之數今命丁戊為食甚視緯(丁戊原係食甚實緯)(今借為食甚視緯以明其理)用正弧三角形求得子戊或戊丑為初虧復圓距食甚之弧(子弧)(與弧丑等)以一小時之月實行相比得時分即初虧復圓距食甚之時分今求初虧復圓用時論理當於戊點食甚用時内減子戊弧所變時分得子點為初虧用時然後求初虧近時及真時但丁戊既為食甚真時之視緯則求初虧用時即於食甚真時内減初虧距食甚之時分得數為密故於癸點食甚真時内減與子戊弧相等之寅癸弧所變時分得寅點為初虧用時因初虧用時之東西差不同於食甚真時之東西差其視經度却在夘則己過初虧後夫食甚真時因東西差而見太陰在戊初虧用時又因東西差而見太陰在夘是自寅點初虧用時至癸點食甚真時止見太陰行夘戊之分故夘戊即為視行而不必又求初虧近時以夘戊視行與寅癸弧所變時分之比即同於子戊初虧距食甚之度與辰癸弧所變時分之比於癸點食甚真時内減之得辰點為初虧真時葢初虧真時之東西差如辰子必使太陰實經度在辰而視經度乃在子方為人目所見日月兩周初切之時刻也復圓時刻倣此但與食甚時刻加減相反黄平象限白平象限之同異新法厯書推算日食三差以黄平象限為本(黄平象限乃黄)(道在地平上半周折中之處東西距地平各一象限故名黄平象限又名九十度限)今按三差並生於太陰而太陰之經緯度為白道經緯度用白道較之用黄道為密(詳見下日食三差篇)故今推算日食三差以白平象限為本(白平象限即白道在地平上半周折中之處東西距地平亦各一象)(限)然求白平象限諸數必由黄平象限諸數而得不合論之不見其同異不分論之不得其疎密今将黄平象限白平象限之同異詳具圖說如左如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極(即北極)戊巳庚為赤道按黄赤大距二十三度二十九分三十秒作辛壬負黄極圈任取癸點為黄極則子丑為黄道自黄極癸過天頂甲作癸甲子寅過黄極經圈則子點為黄平象限夘為黄道出地平之點辰為黄道入地平之點子夘子辰皆九十度黄道與赤道交於巳午己為春分午為秋分宗動天左旋惟赤極丁點不動自赤極丁過天頂甲之經圈即子午圈故赤道地平上半周折中之戊點常在正午若黄極則隨天左旋一曰繞赤極一周惟黄極正當赤極之上如辛或正當赤極之下如壬則黄赤大距當正午自黄極過天頂甲之黄道經圈即與子午圈合故黄平象限亦在正午今黄極癸在赤極西半周則自黄極癸過天頂甲所作之癸甲子寅經圈其南半周必在子午圈之東故黄平象限子點即在正午東出地夘點在赤道北入地辰點在赤道南春分後未點當正午而子未即黄平象限距正午東之度子寅即黄平象限距地平之髙也若黄極癸在赤極東半周則自黄極癸過天頂甲所作之癸甲子寅經圈其南半周必在子午圈之西故黄平象限子點即在正午西出地夘點在赤道南入地辰點在赤道北秋分前申點當正午而申子即黄平象限距正午西之度子寅即黄平象限距地平之髙也夫黄極隨天左旋一日既繞赤極一周則白極隨天左旋一日亦繞黄極一周今按朔望時黄白大距四度五十八分三十秒作酉戌負白極圈任取亥點為白極則乾坎為白道自白極亥過天頂甲作亥甲乾艮過白極經圈則乾點為白平象限震為白道出地平之點巽為白道入地平之點乾震乾巽皆九十度白道與黄道交於離坤離為正交坤為中交惟白極正當黄極之上如酉或正當黄極之下如戌則黄白大距當黄平象限自白極過天頂甲之白道經圈即與黄道經圈合故白平象限與黄平象限同度今白極亥在黄極西半周則自白極亥過天頂甲所作之亥甲乾艮經圈其南半周必在黄道經圈之東故白平象限乾點即在黄平象限東出地震點在黄道北入地巽點在黄道南正交後兊點當黄平象限而乾兊即白平象限距黄平象限東之度乾艮即白平象限距地平之髙也設太陰在乾兊之間則所當黄道度為限東視經度差而東其時刻宜減而白道度實為限西視經度差而西其時刻則宜加也若白極亥在黄極東半周則自白極亥過天頂甲所作之亥甲乾艮經圈其南半周必在黄道經圈之西故白平象限乾點即在黄平象限西出地震點在黄道南入地巽點在黄道北中交後亢點當黄平象限而乾亢即白平象限距黄平象限西之度乾艮即白平象限距地平之髙也設太陰在乾亢之間則所當黄道度為限西視經度差而西其時刻宜加而白道度實為限東視經度差而東其時刻則宜減也又白平象限距地平之乾艮弧髙於黄平象限距地平之子寅弧則白道直而昻黄道斜而低白道髙弧交角必小於黄道髙弧交角如白平象限距地平之乾艮弧低於黄平象限距地平之子寅弧則白道斜而低黄道直而昻白道髙弧交角必大於黄道髙弧交角也按京師赤極髙四十度弱黄平象限最髙者七十三度餘最低者二十六度餘白平象限最髙者七十八度餘最低者二十一度餘黄平象限距正午偏至二十四度餘白平象限距黄平象限偏至十度餘地愈近南赤極愈低則限距地平愈髙而所偏之度愈少地愈近北赤極愈髙則限距地平愈低而所偏之度愈多也日食三差推歩日食較之推歩月食為甚難者以有三差也三差維何一曰髙下差(即地半徑差)一曰東西差(新法厯書為太陰黄)(道經差今定為太陰白道經差)一曰南北差(新法厯書為太陰黄道緯差今定為太陰白道)(緯差)然東西差南北差又皆由髙下差而生其故何也葢食甚用時以地心立算人自地面視之遂有地半徑差而太陽地半徑差恒小太陰地半徑差恒大於太陰地半徑差内減太陽地半徑差始為太陰髙下差髙下差既變真髙為視髙故經度之東西緯度之南北亦皆因之而變也新法厯書求東西南北差以黄平象限為本者葢以太陰在黄平象限東者視經度恒差而東太陰在黄平象限西者視經度恒差而西差而東者時刻宜減差而西者時刻宜加故日食之早晚必徵之東西差而後可定也北極出地二十三度半以上者黄平象限恒在天頂南太陰之視緯度恒差而南北極出地二十三度半以下者黄平象限有時在天頂北太陰之視緯度即差而北差而南者實緯在南則加在北則減差而北者實緯在南則減在北則加故日食之淺深必徵之南北差而後可定也其法自黄極作兩經圏一過真髙一過視髙兩經圏所截黄道度即實經度與視經度之較是為東西差兩經圏之較即實緯度與視緯度之較是為南北差三差相交成正弧三角形直角恒對髙下差黄道髙弧交角恒對南北差餘角恒對東西差惟太陰正當黄平象限則黄道經圏過天頂與髙弧合真髙視髙同在一經圏上故髙下差即南北差而無東西差黄平象限正當天頂則黄道與髙弧合真髙視髙同在黄道上故髙下差即東西差而無南北差過此距黄平象限愈近交角愈大則南北差大而東西差小距黄平象限愈逺交角愈小則南北差小而東西差大故必先求黄平象限及黄道髙弧交角而後東西南北差可次第求焉今按太陰之經度為白道經度食甚實緯又與白道成直角則東西差乃白道之經差非黄道之經差也南北差乃白道之緯差非黄道之緯差也三差相交成正弧三角形亦白道與白道經圏及髙弧所成之三角形非黄道與黄道經圏及髙弧所成之三角形也夫白道與黄道斜交則白平象限之與黄平象限白道髙弧交角之與黄道髙弧交角亦皆有不同新法厯書因日食近兩交黄白二道相距不逺故止用黄道為省算究之必用白道方為密合故今求東西南北差以白平象限為本然白平象限以黄平象限為根而白道髙弧交角又以黄道髙弧交角為據知太陰距黄平象限東西及黄道髙弧交角則可知太陰距白平象限東西及白道髙弧交角矣如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為赤極戊己為負黄極圏戊為黄極庚辛為黄道壬為黄平象限距地平辛九十度癸子為負白極圏癸為白極丑寅為白道夘為白平象限距地平寅亦九十度凡日食求三差必自天頂甲過太陰所在至地平辰作甲辰髙弧即髙下差所由生也設食甚用時太陽在己太陰實髙亦在巳視髙在午巳午為髙下差以黄道論之自黄極戊作兩經圈一至實髙巳一至視髙午截黄道於未兩經度之較為巳未即東西差兩經圈之較為未午即南北差此時太陰實經度巳㸃在黄平象限壬㸃之西視經度未㸃更差而西自人視之尚在食甚前故時刻應加而遲又太陰實髙在巳正當黄道視髙在午在黄道南故距緯應加而逺三差相交成巳午未正弧三角形未為直角對巳午髙下差未巳午角為黄道髙弧交角對未午南北差巳午未角為黄道交髙弧之餘角對巳未東西差故知未巳午角及巳午弧即可求巳未弧及未午弧也今以白道而論則應自白極癸作兩經圈一至實髙巳一至視髙午截白道於申則巳申為東西差申午為南北差此時太陰實經度巳㸃在白平象限夘㸃之西而視經度申㸃亦更差而西太陰實髙在己正當黄道視髙在午亦在黄道南其東西差南北差之加減並與黄道同但三差相交却成巳午申正弧三角形申為直角對巳午髙下差申巳午角為白道髙弧交角對申午南北差巳午申角為白道交髙弧之餘角對巳申東西差此申巳午交角小於未巳午交角故申午南北差小於未午南北差而巳午申餘角大於巳午未餘角故巳申東西差大於巳未東西差以此推食甚之時刻較之用黄道者必稍遲而食甚之距緯較之用黄道者必稍近故必知申巳午角及巳午弧然後可求巳申弧及申午弧也設食甚用時太陽在巳太陰實髙在午午巳為實緯在黄道北(午為直角)視髙在未午未為髙下差以黄道論之太陰正當黄平象限壬午未髙下差即南北差而無東西差故食甚用時即食甚真時今以白道而論則太陰午㸃尚在白平象限夘㸃之西自白極癸作兩經圈一至實髙午一至視髙未截白道於申則申午為東西差申未為南北差自人視之尚在食甚前其時刻應加而遲待太陰由午行至酉則實髙在酉視髙在戌自白極癸至視髙戌作經圈截白道於午截黄道於巳必過日月兩心其視經度正當食甚用時午㸃故太陰行至酉㸃之時刻方為食甚真時而酉午為真時東西差午戌為真時南北差於午戌真時南北差内減午巳實緯餘巳戌為視緯在黄道南也(實緯在黄道北應減南北差因南北差大於實)(緯故於南北差内反減實緯餘即為視緯)此時東西差差三分餘則食甚差至半刻而初虧復圓亦必皆差半刻彼以黄道論者太陽在巳太陰在未固不得為食甚真時而午未髙下差即南北差與午巳實緯亦非一線故不得相減為視緯也若設食甚用時為太陰與太陽黄道同度而食甚實緯為與黄道成直角食甚用時太陽在壬太陰實髙在午午壬為實緯(壬為直角)視髙在未午未髙下差即南北差而無東西差則食甚用時即為食甚真時於午未南北差内減午壬實緯餘午未為視緯然以白道而論則應自白極癸過太陽壬作經圈截白道於戌戌壬為白道緯度(戌為直角)而戌壬近於午壬則太隂在戌為食甚用時而在午非食甚用時也待太陰由戌行至亥則實髙在亥視髙在申自白極癸至視髙申作經圈亦截白道於戌而截黄道於壬必過日月兩心其視經度正當食甚用時戌㸃故亥戌為東西差戌申為南北差於戌申南北差内減戌壬實緯餘壬申為視緯而壬申亦近於壬未則太陰在亥為食甚真時而在午非食甚真時也總之日月相距最近為食甚而近莫近於白道成直角故南北差亦必於白道成直角方可以定視緯又太陰在白平象限西則白道之勢東髙西下髙下差既變髙為下則俟太陰過用時之東其軌漸髙距日漸近故必用白平象限方可以定真時在限東者倣此又設赤極丁出地二十三度黄極戊當地平則庚辛黄道與髙弧合而黄平象限即在天頂丑寅白道在天頂南白平象限夘在正午之西食甚用時太陽在辰太陰實髙在巳巳辰為實緯在黄道北(巳為直角)視髙在午巳午為髙下差以黄道論之自黄極戊作兩經圈一過實髙巳截黄道於未一過視髙午截黄道於申未申畧與巳午等午申畧與巳未等故巳午髙下差即同於未申東西差而無南北差待太陰實經度當黄道之酉則視經度當黄道之辰與太陽同度而太陰行至酉㸃之時刻即為食甚真時然以白道而論則應自白極癸作兩經圈一過實髙巳一過視髙午截白道於戌則巳戌為東西差小於未申東西差戌午為南北差在白道南待太陰由巳行至亥則實髙在亥視髙在乾自白極癸至視髙乾作經圈截白道於巳截黄道於辰必過日月兩心其視經度正當食甚用時巳㸃故太陰行至亥㸃之時刻即為食甚真時而亥巳為真時東西差巳乾為真時南北差於巳乾真時南北差内減巳辰實緯餘辰乾為視緯在黄道南此白道亥巳東西差小於黄道酉辰東西差則時刻必差而早然東西差所差猶少而白道巳乾南北差較之黄道無南北差者則所差甚多此南北差差至三分則食分差一分故新法厯書又以亥巳為距時交周以加於實朔交周為定交周巳過中交坎㸃之後求得酉亥為實緯在黄道南因以黄道立算無南北差即以酉亥實緯為視緯亦畧與辰乾視緯等此乃借補之法今以白道立算故即用巳辰為實緯而不用距時交周也求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧東西南北二差生於髙下差而髙下差生於太陽太隂髙弧今求東西南北二差雖用白道然必先求黄平象限及黄道髙弧交角而求髙下差又止求太陽髙弧葢因合朔時太陰與太陽同度其髙弧畧等也夫黄道與赤道斜交赤道之髙度隨地不同故黄平象限及黄道髙弧交角並太陽髙弧亦隨地不同今求黄平象限所該諸數必按本地本時太陽距正午赤道度求得正午黄道經度及黄赤相距緯度併黄道與子午圈相交之角然後可推黄平象限距午東西與距地平之髙及黄道髙弧交角並太陽髙弧也設太陽實行在春分後一十五度為三宫一十五度食甚用時為申正初刻求黄平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極丁丙為京師赤極髙三十九度五十五分戊己庚為赤道戊乙為京師赤道髙五十度零五分辛為黄極壬癸子丑為黄道己為春分丑為交西地平之㸃壬為黄平象限距丑九十度癸為正午壬癸為黄平象限距正午之度壬寅為黄平象限距地平之度即丑角度子為太陽實行黄道經度子巳為距春分後一十五度子壬為太陽距黄平象限之度子夘為太陽髙弧丑子夘角為黄道髙弧交角辰為申正初刻戊辰為申正距午正六十度辰巳為赤道同升度一十三度四十八分二十三秒與戊辰距午正六十度相加得戊巳七十三度四十八分二十三秒為本時正午距春分赤道經度先用癸己戊正弧三角形求癸巳本時正午距春分黄道經度及癸戊本時正午黄赤相距緯度并黄道與子午圈相交之癸角此形有戊直角有己角為黄赤交角二十三度二十九分三十秒有戊己弧七十三度四十八分二十三秒求得癸己弧七十五度零五分一十秒(用戊己弧察二躔黄赤升度表亦得)即知正午癸㸃距春分後二宫一十五度零五分一十秒為黄道之五宫一十五度零五分一十秒也又求得癸角八十三度三十七分零四秒(用癸己弧察日躔黄道赤經交)(角表亦得)又求得癸戊本時正午黄赤距度二十二度三十九分一十九秒(用癸己弧察黄)(赤距度表亦得)與戊乙赤道髙五十度零五分相加得癸乙弧七十二度四十四分一十九秒為正午黄道距地平之度次用癸乙丑正弧三角形求丑角及癸丑弧此形有乙直角(甲乙為子午圈與地)(平成直角)有癸角八十三度三十七分零四秒有癸乙弧七十二度四十四分一十九秒求得丑角七十二度五十分五十六秒(卿壬寅弧)為黄平象限距地平之度又求得癸丑弧八十八度零一分一十八秒與壬丑弧九十度相減餘壬癸弧一度五十八分四十二秒為黄平象限距正午東之度以壬癸弧一度五十八分四十二秒與本時正午癸㸃黄道五宫一十五度零五分一十秒相加得五宫一十七度零三分五十二秒即黄平象限壬㸃之度内減太陽實行子㸃黄道經度三宫一十五度餘六十二度零三分五十二秒即壬子弧為太陽距黄平象限西之度也於是用丑子夘正弧三角形求子角為黄道髙弧交角及子夘弧為太陽髙弧此形有夘直角有丑角七十二度五十分五十六秒(即黄平象限距地平)(之髙)有子丑弧二十七度五十六分零八秒(即太陽距黄平象限)(壬子弧之餘)求得子角一十九度一十五分一十九秒即黄道髙弧交角又求得子夘弧二十六度三十五分三十秒即太陽髙弧也又隨時求太陽髙弧法春秋分日太陽在赤道上無距緯者則以半徑一千萬為一率本地赤道髙度之正弦為二率各時刻距午正赤道經度之餘弦為三率所得四率即本日各時刻太陽髙弧之正弦也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丁丙為地平戊為北極戊丙為京師北極髙三十九度五十五分己丁庚為赤道己乙為京師赤道髙五十度零五分即春秋分午正太陽之髙己辛為赤道髙度之正弦如求春秋分日巳正太陽之髙則從天頂甲過巳正作甲巳壬髙弧其巳壬即巳正髙弧己癸為己正髙弧之正弦己距午正己三十度己己為距午正三十度之矢己丁為距午正三十度之餘弦(即距夘正六十度之正弦)即成己丁辛己丁癸同式兩勾股形故以己丁半徑與己辛赤道髙五十度零五分之正弦之比即同於己丁距午正三十度之餘弦與己癸己正髙弧之正弦之比而得己癸髙弧之正弦檢表得己壬髙弧即春秋分日己正太陽之髙也葢春秋分日太陽循己丁赤道行從丁出地平為夘正漸髙距丁三十度為辰正(毎一時當赤道三十度毎一刻當赤道三度四十五)(分)距丁六十度為己正距丁九十度至己為午正又漸低距己三十度為未正距己六十度為申正距己九十度復從丁入地平為酉正故春分日與秋分日逐時之髙弧皆等而午前各時與午後各時之髙弧亦等也春秋分前後太陽不在赤道上有距緯則以本時距緯與赤道髙度相加減各取其正弦相加折半為中數相減折半為夘酉髙弧之正弦乃以半徑一千萬為一率各時刻距午正赤道經度之餘弦為二率中數為三率所得四率為加減差加夘酉髙弧正弦得距赤道北各節氣逐日時刻太陽髙弧之正弦減夘酉髙弧正弦得距赤道南各節氣逐日時刻太陽髙弧之正弦若加減差小於夘酉髙弧正弦即為太陽在地平下無髙度也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丁丙為地平戊為北極戊丙為京師北極髙三十九度五十五分己丁庚為赤道己乙為京師赤道髙五十度零五分自春分至夏至以及秋分太陽行赤道北辛巳即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自春分以後太陽距赤道北者皆如之辛壬為夏至距等圈故夏至日太陽行辛壬線從癸出地平自秋分至冬至以及春分太陽行赤道南己子亦即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自秋分以後太陽距赤道南者皆如之子丑為冬至距等圈故冬至日太陽行子丑線從寅出地平求夏至冬至太陽午正前後各時通用之數則以夏至距緯辛己弧與赤道髙己乙弧相加得辛乙弧七十三度三十四分三十秒即夏至午正太陽之髙其正弦辛夘以冬至距緯己子弧與赤道髙己乙弧相減餘子乙弧二十六度三十五分三十秒與丙壬弧等即冬至午正太陽之髙其正弦子辰與壬午等兩正弦相加得辛未半之得辛申為中數兩正弦相減餘酉夘半之得申夘(或以中數辛申與正弦辛夘相減即得申)(夘或以中數申未與正弦夘未相減亦同)為夘酉正弦葢戌為夏至日夘正酉正太陽所在戌亥為其髙弧之正弦却與申夘等故申夘為夘酉之正弦也今求夏至日巳正太陽之髙巳乾為髙弧其正弦巳坎巳距午正辛三十度辛巳為距午正三十度之矢與己艮矢相當巳戌為距午正三十度之餘弦與艮丁相當(辛戌距等圈半徑與己丁赤道)(半徑平行故其分線皆為相當比例)遂成辛申戌巳震戌同式兩勾股形今以辛戌距等圈半徑與巳戌距等圈餘弦之比即如辛申中數與巳震加減差之比因辛戌距等圈半徑與巳戌距等圈餘弦之比原同於己丁半徑與艮丁餘弦之比則己丁半徑與艮丁餘弦之比亦必同於辛申中數與巳震加減差之比矣故以己丁半徑為一率艮丁距午正三十度之餘弦為二率辛申中數為三率得四率巳震為加減差與夘酉正弦震坎相加(震坎與申夘等)得巳坎為巳乾髙弧之正弦檢表得巳乾髙弧即夏至日巳正太陽之髙也(未正之髙弧同)如求冬至日己正太陽之髙巽離為髙弧其正弦巽坤巽距午正子三十度子巽為距午正三十度之矢與兊壬等則兊角亦與巽坤等而壬午又原與子辰等今以壬午與兊角各引長加一夘酉正弦申夘分得壬亢與兊氐其壬亢戌勾股形必與辛申戌勾股形相等(辛戌與戌壬同為距等圈半徑其分既等則所)(餘二邊亦必等)而兊氐戌勾股形亦必與巳震戌勾股形相等故巳震加減差即與兊氐等於兊氐内減去與申夘相等之氐角餘兊角與巽坤等為巽離髙弧之正弦檢表得巽離髙弧即冬至日己正太陽之髙也(未正)(之髙弧同)其冬夏至前後各節氣並以距赤道南北緯度如法求之如立夏在赤道北立冬在赤道南其距緯相等則其加減之數皆同用故求得加減差以加夘酉髙弧正弦得立夏日各時刻太陽髙弧之正弦以減夘酉髙弧正弦得立冬日各時刻太陽髙弧之正弦至於立秋在赤道北與立夏距赤道之緯度等其各時刻太陽之髙弧必等而立春在赤道南與立冬距赤道之緯度等其各時刻太陽之髙弧亦等故用一比例可得四節氣各時刻太陽之髙弧也又隨時求太陽髙弧用斜弧三角形法設如秋分後二十五日太陽距赤道南一十度求巳初初刻太陽髙弧若干則以太陽距北極為一邊北極距天頂為一邊巳初距午正赤道經度為一角用知兩邊一角而角在兩邊之間求對邊之法求得對邊為太陽距天頂之弧與一象限相減餘即太陽距地平之髙弧也如圖甲乙丙為子午圈甲為天頂乙丙為地平丁為北極戊己為赤道戊為午正赤道南一十度如庚庚辛為距赤道一十度之距等圈己初距午正赤道經度為四十五度赤道上四十五度為戊壬從北極丁出經圈過赤道壬㸃至庚辛距等圈癸㸃即本日己初太陽所在壬癸為距緯一十度從天頂甲過太陽所在癸至地平子作甲癸子髙弧即成丁甲癸斜弧三角形此形有丁角四十五度(當戊壬弧)有丁甲邊北極距天頂五十度零五分有丁癸邊太陽距北極一百度求得甲癸邊六十四度五十九分四十八秒為太陽距天頂與甲子象限九十度相減餘癸子二十五度零一十二秒即此日巳初初刻太陽距地平之髙弧也求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧雖由黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧而得然而用弧三角細推之止用黄平象限用捷法加減之止用黄道髙弧交角細推之法食甚用時不在兩交㸃者得數為密而立表則甚繁葢白道之交於黄道即如黄道之交於赤道黄平象限既因赤道之髙度而隨地不同則白平象限亦必因黄道之髙度而隨時不同也加減之法食甚用時不在兩交㸃者得數少差而入算則甚簡葢食限距交不過一十六度食限距緯不過一度太陰正當黄道者其數本同太陰雖不正當黄道者而得數亦畧相等也要之細推之法為眀其理加減之法為便於用今按法列圖如左設食甚用時太陽距黄平象限西六十二度零三分五十二秒黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒太陽髙弧二十六度三十五分三十秒黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太陰適當正交無緯度求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道辛為黄平象限壬為白極癸子為白道丑為白平象限食甚用時太陽在寅辛寅為太陽距黄平象限西六十二度零三分五十二秒寅庚為其餘辛夘為黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒即庚角度寅辰為太陽髙弧二十六度三十五分三十秒庚寅辰角為黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太陰適當正交亦在寅丑寅為太陰距白平象限西之度寅子為其餘丑己為白平象限距地平之度即子角度寅辰亦即太陰髙弧子寅辰角為白道髙弧交角先用庚寅子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子己角之外角)及寅子弧(乃太陰距白平象限丑寅弧之餘)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有寅角為黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太陽距)(黄平象限辛寅弧之餘)求得子角一百零二度四十六分零二秒與半周相減餘七十七度一十三分五十八秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十七度一十九分一十六秒與九十度相減餘六十二度四十分四十四秒即丑寅弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅辰正弧三角形求寅角為白道髙弧交角及寅辰弧為太陰髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角内減庚寅子黄白交角之餘(庚寅子角即朔望時黄白大距)故止於庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内減庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒餘子寅辰角一十四度一十六分四十九秒即白道髙弧交角又太陰適當正交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧故凡太陰適當正交無緯度者即如此加減並不用細推也又此所得白道髙弧交角既小於黄道髙弧交角即知太陰距黄平象限近距白平象限逺在黄平象限辛㸃西者必更在白平象限丑㸃之西而黄道髙弧交角足減黄白交角即知白平象限雖髙於黄平象限猶未與髙弧合仍在天頂南也設食甚用時太陽仍在寅而太陰過正交後如午食甚交周過正交後五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)實朔交周過正交後六度如寅未(實朔交周黄道)(度也)則午申為太陰髙弧子午申角為白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子巳角)(之外角)及未子弧(為與午未相加即太)(陰距白平象限之餘也)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有未角為黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅為太陽距黄平象限之餘二十)(七度五十六分零八秒減寅未實朔交周過正交六)(度餘二十一度五十六分零八秒即未庚)求得子角一百零二度三十一分四十一秒與半周相減餘七十七度二十八分一十九秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得未子弧二十一度二十六分五十三秒與午未食甚交周過正交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十七度二十五分三十二秒與九十度相減餘六十二度三十四分二十八秒即丑午弧為太陰距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角為白道髙弧交角及午申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角七十七度二十八分一十九秒有午子弧二十七度二十五分三十二秒求得子午申角一十四度零三分一十六秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度四十三分一十二秒即太陰髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈與寅庚平行而午申亦畧與寅辰平行則酉午申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧與庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故於庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内減去庚未子黄白交角四度五十八分三十秒餘一十四度一十六分四十九秒即如酉午申角内減去酉午子角餘子午申角為白道髙弧交角也較細推所得之數多一十三分三十三秒而太陰亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天頂南又午申太陰髙弧亦畧與寅辰太陽髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度三十五分三十秒較細推所得之數少七分四十二秒然用此二數求三差髙下差僅多一秒東西差僅少二秒南北差僅多一十二秒而時刻食分皆不過差數秒可以不計且立算甚簡捷可省白平象限立表之繁也凡太陰距黄平象限西而在正交前後則白道入地平之子㸃必在黄道南太陰由未向午入陰厯白道交弧交角皆小於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限西而在正交前後者皆於黄道髙弧交角内減黄白交角餘即為白道髙弧交角若太陰距黄平象限東而在中交前後則白道南地平之子㸃必在黄道南太陰由午向未入陽厯白道髙弧交角亦小於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限東而在中交前後者亦於黄道髙弧交角内減黄白交角餘為白道髙弧交角也設食甚用時太陽仍在寅而太陰適當中交無緯度求白平象限諸數則先用庚寅子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及寅子弧(乃太陰距白平象限丑寅弧之餘)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角)(之外角)有寅角為黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太陽距黄平象限辛寅弧之)(餘)求得子角六十八度二十七分二十秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十八度四十六分零二秒與九十度相減餘六十一度一十三分五十八秒即丑寅弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅辰正弧三角形求寅角為白道髙弧交角及寅辰弧為太陰髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角加庚寅子黄白交角之數故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒與庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒相加得子寅辰角二十四度一十三分四十九秒即白道髙弧交角又太陰適當中交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧故凡太陰適當中交無緯度者即如此加減並不用細推也又此所得白道髙弧交角雖大於黄道髙弧交角而猶未滿九十度即知太陰雖距黄平象限逺距白平象限近而猶未至白平象限亦仍在白平象限丑㸃之西而白道髙弧交角既大於黄道髙弧交角即知白平象限低於黄平象限更在天頂南也設食甚用時太陽仍在寅而太陰過中交後如午食甚交周過中交後五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)實朔交周過中交後六度如寅未(實朔交周黄道)(度也)則午申為太陰髙弧子午申角為白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及未子弧(為與午未相加即太陰距白平象限之餘)(也)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距)(地平髙之辛庚夘角之外角)有未角為黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅為太)(陽距黄平象限之餘二十七度五十六分零八秒減)(寅未實朔交周過中交六度餘二十一度五十六分)(零八秒即未庚)求得子角六十八度三十八分一十一秒即丑子巳角為白平象限距地平之髙又求得未子弧二十二度三十六分零七秒與午未食甚交周過中交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十八度三十四分四十六秒與九十度相減餘六十一度二十五分一十四秒即丑午弧為太陰距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角為白道髙弧交角及午申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角六十八度三十八分一十一秒有午子弧二十八度三十四分四十六秒求得子午申角二十四度二十四分四十秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度二十二分四十三秒即太陰髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈與寅庚平行而午申亦畧與寅辰平行則酉午申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧與庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒與庚未子黄白交角四度五十八分三十秒相加得二十四度一十三分四十九秒即如酉午申角加酉午子角得子午申角為白道髙弧交角也較細推所得之數少一十分五十一秒而太陰亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天頂南又午申太陰髙弧亦畧與寅辰太陽髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度三十五分三十秒較細推所得之數多一十二分四十七秒然用以求三差所差亦甚㣲可以不計凡太陰距黄平象限西而在中交前後則白道入地平之子㸃必在黄道北太陰由未向午入陽厯白道髙弧交角皆大於黄道髙弧交角故凡太陰距黄平象限西而在中交前後者皆以黄道髙弧交角如黄白交角即為白道髙弧交角若太陰距黄平象限東而在正交前後則白道出地平之子㸃必在黄道北太陰由午向未入陰厯白道髙弧交角亦大於黄道髙弧交角故太陰距黄平象限東而在正交前後者亦以黄道髙弧交角加黄白交角為白道髙弧交角也設食甚用時太陽距黄平象限西五度黄平象限距地平二十七度零五分零九秒太陽髙弧二十六度五十八分二十八秒黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太陰食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒實朔交周過中交後六度三十八分零七秒求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道辛為黄平象限壬為白極癸子為白道丑為白平象限食甚用時太陽在寅辛寅為太陽距黄平象限西五度寅庚為其餘辛夘為黄平象限距地平二十七度零五分零九秒即庚角度寅辰為太陽髙弧二十六度五十八分二十八秒庚寅辰角為黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太陰過中交後在巳巳午為食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒(食甚交周白道度也)寅午為實朔交周過中交後六度三十八分零七秒(實朔交周)(黄道度也)丑未為白平象限距地平之度即子角度己申為太陰髙弧子己申角為白道髙弧交角先用庚午子斜弧三角形求子角及午子弧此形有庚角一百五十二度五十四分五十一秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角之外)(角)有午角為黄白交角四度五十八分三十秒有午庚弧七十八度二十一分五十三秒(寅庚為太陽距黄平象限之餘)(八十五度減寅午實朔交周過中交六度三十八分)(零七秒餘七十八度二十一分五十三秒即午庚)求得子角二十六度三十分即丑未弧為白平象限距地平之髙又求得午子弧八十八度一十分與己午食甚交周過中交後六度三十六分三十七秒相加得己子弧九十四度四十六分三十七秒内減九十度餘四度四十六分三十七秒即丑巳弧為太陰距白平象限東之度次用子巳申正弧三角形求巳角為白道髙弧交角及巳申弧為太陰髙弧此形有申直角有子角二十六度三十分有巳子弧九十四度四十六分三十七秒求得巳角九十二度二十二分三十二秒即白道髙弧交角又求得己申弧二十六度二十四分零三秒即太陰髙弧也捷法自巳作巳酉距等圈與寅庚平行而巳申亦畧與寅辰平行則酉巳申角畧與庚寅辰角等(庚寅辰角即黄)(道髙弧交角)酉巳子角畧與庚午子角等(庚午子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角八十七度二十六分五十三秒與子午庚黄白交角四度五十八分三十秒相加得九十二度二十五分二十三秒即如酉巳申角加酉巳子角得子巳申角為白道髙弧交角也此所得白道髙弧交角過九十度即知太陰過白平象限丑㸃之東又寅辰太陽髙弧畧與巳申太陰髙弧等故即命太陰髙弧為二十六度五十八分二十八秒也此太陰距黄平象限西而在中交前後應以黄道髙弧交角加黄白交角為白道髙弧交角因加過九十度即知太陰過白平象限東若黄道髙弧交角加黄白交角適足九十度即知太陰正當白平象限而無距度凡黄道髙弧交角加黄白交角適足九十度或過九十度者倣此設赤極二十三度以下(為使)(黄平象限近天頂白平象限過天頂北也)食甚用時太陽距黄平象限西四十度黄平象限距地平八十七度五十五分太陽髙弧四十九度五十七分一十八分黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太陰適當正交無緯度求白平象限諸數如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為赤極戊為黄極己庚為黄道己即為黄平象限辛為白極壬癸為白道壬即為白平象限食甚用時太陽在子己子為太陽距黄平象限西四十度子庚為其餘己丑為黄平象限距地平八十七度五十五分即庚角度子寅為太陽髙弧四十九度五十七分一十八秒庚子寅角為黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太陰適當正交亦在子壬子為太陰距白平象限西之度子癸為其餘壬夘為白平象限距地平之度即癸角度子寅亦即太陰髙弧癸子寅角為白道髙弧交角先用庚子癸斜弧三角形求癸角(乃白平象限距地平髙之壬癸夘角)(之外角)及子癸弧(乃太陰距白平象限)(壬子弧之餘)此形有庚角八十七度五十五分有子角為黄白交角四度五十八分三十秒有子庚弧五十度(乃太陽距黄平象限己子弧之餘)求得癸角八十八度五十二分二十七秒與半周相減餘九十一度零七分三十三秒即壬癸夘角為白平象限距地平之髙因其過於九十度故知白平象限在天頂北又求得子癸弧四十九度五十八分零五秒與九十度相減餘四十度零一分五十五秒即壬子弧為太陰距白平象限西之度次應用子寅癸正弧三角形求子角為白道髙弧交角及子寅弧為太陰髙弧然癸子寅角即庚子癸黄白交角内減庚子寅黄道髙弧交角之餘故止於庚子癸黄白交角四度五十八分三十秒内減庚子寅黄道髙弧交角三度一十四分零六秒餘癸子寅角一度四十四分二十四秒即白道髙弧交角又太陰適當正交與太陽同度太陽髙弧即太陰髙弧也此太陰距黄平象限西而當正交入陰厯應於黄道髙弧交角内減黄白交角餘為白道髙弧交角因黄道髙弧交角小於黄白交角不足減故於黄白交角内反減黄道髙弧交角即知髙弧在黄白二道之間而白平象限在天頂北凡黄道髙弧交角不足減黄白交角者倣此以上諸圖皆以黄平象限在天頂南設例若黄平象限在天頂北則加減反是求東西南北差求東西南北二差以白道髙弧交角及髙下差為比例葢三差相交成正弧三角形直角恒對髙下差交角恒對南北差餘角恒對東西差故以半徑與交角餘弦之比即同於髙下差正切與東西差正切之比而半徑與交角正弦之比即同於髙下差正弦與南北差正弦之比也然交角雖有九十度而東西南北差止用四十五度前後互為消長其數相當亦如割圜八線四十五度前後互相為正餘也設如白道髙弧交角二十五度二十五分髙下差四十五分五十七秒求東西南北差如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道甲庚為髙弧太陰實髙在辛視髙在壬己辛庚角為白道髙弧交角二十五度二十五分辛壬為髙下差四十五分五十七秒自白極丁至視髙壬作經圈截白道於癸辛癸為東西差壬癸為南北差乃用辛壬癸正弧三角形求辛癸壬癸二弧此形有癸直角有辛角二十五度二十五分有辛壬弧四十五分五十七秒求得辛癸弧四十一分三十秒為東西差又求得壬癸弧一十九分四十三秒為南北差也總之二差之大小由於髙下差如髙下差大則二差俱大髙下差小則二差俱小而二差之互為消長則由於交角如同一髙下差而交角大於餘角則東西差小而南北差大餘角大於交角則東西差大而南北差小故設交角九十度東西南北差止用四十五度前後可以互用如四十度之東西差即五十度之南北差四十度之南北差即五十度之東西差也求日食食甚用時食甚交周食甚實緯食甚用時者太陰實行與太陽實行白道同度之時刻食甚交周者食甚用時太陰距交之白道經度而食甚實緯者食甚用時太陰距太陽之白道緯度也太陽距交之黄道經度與太陰距交之白道經度等是為東西同經即為實朔其距交之度為實朔交周然此時太陽與太陰相距猶逺惟自白極過太陽作經圈與白道成直角太陰實經行至此直角之㸃則與太陽相距最近是為食甚用時其距交之經度為食甚交周其相距之緯度即食甚實緯法以太陽距交黄道度(即實朔交周)求其相當之白道度即為食甚交周求其距緯即為食甚實緯以食甚交周與實朔交周相減餘為交周升度差以一小時月實行相比得時分加減實朔用時即為食甚用時既有用時則可以東西差求近時與真時既有實緯則可以南北差求視緯故日食之時刻分秒雖不以用時與實緯而定而實以用時與實緯為入算之本也設實朔用時為申正一刻九分四十七秒實朔交周過正交後一十二度一小時月實行為三十三分求食甚用時及食甚交周食甚實緯如圖甲乙為黄道甲丙為白道甲為正交甲戊為實朔交周過正交後一十二度與甲丁等戊㸃為實朔用時之度己㸃為食甚用時之度甲己為食甚交周丁己為食甚實緯乃用甲丁己正弧三角形求甲己丁己二弧此形有己直角有甲角為黄白交角四度五十八分三十秒有甲丁弧一十二度與甲戊實朔交周等求得甲己弧一十一度五十七分二十二秒為食甚交周又求得丁己弧一度零一分五十九秒為食甚實緯以甲己食甚交周與甲戊實朔交周相減餘戊己二分三十八秒為交周升度差乃以一小時月實行三十三分與一小時六十分之比即同於戊己交周升度差二分三十八秒與食甚距實朔四分四十七秒之比而得戊己交周升度差所變時分因於實朔用時申正一刻九分四十七秒内減四分四十七秒得申正一刻五分即食甚用時也此食甚在兩交後太陰由甲向丙而甲戊實朔交周度多甲己食甚交周度少故於戊㸃實朔用時減戊己交周升度差所變時分為食甚用時若食甚在兩交前太陰由丙向甲而丙戊實朔交周度少丙己食甚交周度多則於戊㸃實朔用時加戊己交周升度差所變時分為食甚用時也求日食食甚真時及食甚視緯日食食甚時刻必以東西差加減用時方為真時而東西差之時分最為難定葢太陰因視差之故其行度時時不同若以實行比例加減用時而其時又有東西差必不與用時之東西差相等自人視之或在食甚前或在食甚後猶非食甚真時也故欲定東西差之時分必以視行為比例其法以一小時月實行與一小時之比即同於用時東西差與近時距分之比以加減食甚用時為食甚近時(太陰在白平象限西則加在白平象)(限東則減)又以近時求得東西差與用時之東西差相較得差分以加減用時東西差為食甚視行(用時之東西差小近)(時之東西差大則以差分減用時之東西差大近時之東西差小則以差分加或以用時之東西差倍之)(減近時之東西差所得亦同)乃以食甚視行與近時距分之比即同於用時東西差與真時距分之比以加減食甚用時即為食甚真時也既得食甚真時則以真時求得南北差與食甚實緯相加減即得食甚視緯矣(白平象限)(在天頂南者實緯在黄道南則加南北差而視緯仍為南實緯在黄道北則減南北差而視緯仍為北若)(實緯不足減南北差則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者反是)設食甚用時為申正一刻五分而在白平象限西其東西差三分五十一秒一小時月實行為三十三分求食甚真時及食甚視緯如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道戊為白平象限甲庚為髙弧食甚用時太陰在辛人從地面視之却見太陰在壬當白道之癸尚在食甚辛㸃之西三分五十一秒故辛癸為東西差夫太陰實經度在辛視經度既在癸待太陰行過辛㸃三分五十一秒時而實經度在子則視經度必應在辛故以一小時月實行三十三分計之行辛癸弧三分五十一秒須得時之七分則行子辛弧三分五十一秒亦須得時之七分是為近時距分因於食甚用時申正一刻五分内加七分得申正一刻十二分是為近時也然近時既遲於用時其時亦必有東西差乃以近時復推得東西差為四分五十一秒如子丑大於子辛弧一分然則依用時之東西差辛癸計之太陰在子視之應在辛而依近時之東西差子丑計之則太陰在子者視之必應在丑仍在食甚辛㸃之西一分如辛丑是自食甚用時至食甚近時止見太陰行丑癸之度故以辛丑為差分以減用時之東西差辛癸三分五十一秒餘丑癸二分五十一秒為視行夫行丑癸弧二分五十一秒既須時之七分則行辛癸弧三分五十一秒必須時之九分二十七秒矣故以九分二十七秒為真時距分以加食甚用時得申正一刻十四分二十七秒為食甚真時也葢食甚用時實經度在辛視經度在癸而食甚近時實經度在子視經度在丑則食甚真時實經度必更在子㸃之東如寅人從地面視之却見太陰在夘其視經度正當食甚白道之辛故太陰行至寅㸃方為食甚真時乃以真時推得辛夘南北差為太陰白道緯差以加減白道實緯即為太陰距太陽之視緯也求日食初虧復圓用時欲求初虧復圓距食甚之時刻必先求初虧復圓距食甚之弧度其法以視緯為一邊以太陽太陰兩視半徑相併為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形求得初虧距食甚之弧亦即復圓距食甚之弧其理與月食同但月食初虧復圓距食甚之弧度等而時刻亦等日食因視差之故常變實行為視行其初虧復圓距食甚之弧度雖等而時刻則不等然不等者視行也而相等者實行也非先以實行求其相等之時刻無以求東西差而得視行故以一小時月實行與一小時之比即同於初虧復圓距食甚之度與初虧復圓距食甚時分之比以減食甚真時為初虧用時以加食甚真時為復圓用時既有初虧復圓用時則可以求初虧復圓真時故日食初虧復圓時刻雖不以用時為定而實以用時為入算之本也設食甚真時為申初初刻七分食甚視緯二十分太陽視半徑一十五分太陰視半徑一十六分一小時月實行為三十三分求初虧復圓用時如圖甲乙為黄道甲丙為白道丁為太陽丁戊為食甚視緯二十分食甚時大陰視經在戊初虧時太陰視經在己復圓時太陰視經在庚丁辛與丁壬皆太陽視半徑一十五分己辛與庚壬皆太陰視半徑一十六分丁己與丁庚皆併徑三十一分己戊為初虧距食甚之弧戊庚為復圓距食甚之弧其度相等故用丁戊己正弧三角形求己戊弧此形有戊直角有丁戊弧二十分有丁己弧三十一分求得己戊弧二十三分四十一秒為初虧距食甚之度亦即復圓距食甚之度也但己戊與戊庚之度雖等而大陰行此度之時刻則不等故先以一小時月實行三十三分與一小時六十分之比即同於己戊或戊庚二十三分四十一秒與初虧復圓距食甚時分四十四分二十四秒之比而得己戊或戊庚所變時分因於食甚真時申初初刻七分内減四十四分二十四秒得未正一刻七分三十六秒即初虧用時於食甚真時申初初刻七分加四十四分二十四秒得申初三刻六分二十四秒即復圓用時也求日食初虧復圓真時日食初虧復圓真時即以初虧復圓用時求之而得與求食甚真時又用近時者不同葢食甚己有東西差則可相較得視行以為比例也其法以初虧復圓兩用時各按法求其東西差同限者以其東西差與食甚之東西差相減為差分以加減初虧復圓距食甚之度為初虧復圓時視行異限者以其東西差與食甚之東西差相併為差分以減初虧復圓距食甚之度為初虧復圓時視行(初虧與食甚同在白平象限東而初虧東西差大於)(食甚東西差則以初虧差分減初虧東西差小於食甚東西差則以初虧差分加若初虧與食甚同在白)(平象限西則加減反是復圓與食甚同在白平象限東而復圓東西差大於食甚東西差則以復圓差分)(加復圓東西差小於食甚東西差則以復圓差分減若復圓與食甚同在白平象限西則加減反是若初)(虧在限東食甚在限西或食甚在限東復圓在限西則俱以差分減)乃以初虧視行與初虧用時距食甚時分之比即同於初虧距食甚之度與初虧真時距食甚時分之比以減食甚真時即為初虧真時以復圓視行與復圓用時距食甚時分之比即同於復圓距食甚之度與復圓真時距食甚時分之比以加食甚真時即為復圓真時也設食甚真時為申初初刻七分而在白平象限西其東西差一十八分五十四秒初虧距食甚之弧為二十三分四十一秒比例得時分四十四分二十四秒初虧用時為未正一刻七分三十六秒求初虧真時如圖甲為天頂甲乙丙丁為過白極經圈乙丙為地平丁為白極戊己為白道戊為白平象限甲庚為髙弧食甚真時太陰在辛人從地面視之却見太陰在壬當白道之癸正當食甚之㸃辛癸為食甚東西差一十八分五十四秒子為初虧子癸為初虧距食甚之弧二十三分四十一秒夫太陰行過食甚癸㸃一十八分五十四秒時而實經度在辛視經度既在癸則太陰行過初虧子㸃一十八分五十四秒時而實經度在丑視經度必應在子是故丑子與辛癸等丑辛亦與子癸等丑㸃即為初虧用時然初虧在食甚前其時亦必有東西差乃以初虧用時復推得東西差為一十二分零二秒如丑寅小於丑子弧六分五十二秒然則依食甚之東西差辛癸計之太陰在丑視之應在子而依初虧之東西差丑寅計之則太陰在丑者視之必應在寅己過初虧子㸃之東六分五十二秒如子寅是自初虧用時至食甚真時止見太陰行寅癸之度故以子寅為差分以減初虧距食甚之子癸二十三分四十一秒餘寅癸一十六分四十九秒為視行夫行寅癸弧一十六分四十九秒既須時之四十四分二十四秒則行子癸弧二十三分四十一秒必須時之一時零二分五十秒矣故以一時零二分五十秒為初虧距時以減食甚真時得未正初刻四分一十秒為初虧真時葢食甚真時實經度在辛視經度在癸而初虧用時實經度在丑視經度在寅則初虧真時實經度必更在丑㸃之西如夘人從地面視之却見太陰在辰其視經度正當初虧白道之子故太陰行至夘㸃方為初虧真時也復圓真時倣此日食分秒日食分秒以太陽與太陰兩視半徑相併内減食甚視緯餘為兩體相掩之分乃命太陽視徑為十分以視經度分與十分之比即同於減餘度分與十分中幾分之比而得食分為太陽視徑十分中之幾分也或食甚視緯大於併徑則兩周不相切為不食食甚視緯僅與併徑等則兩周相切而不相掩亦為不食或太陰正當黄道而無食甚視緯即以併徑為食分兩心相掩是為全食若遇太陰視徑小於太陽視徑則四周露光名為金環食也如圖甲乙丙為黄道丁戊己為白道乙為太陽心戊為太陰心乙戊為視緯庚辛為太陽視徑壬癸為太陰視徑乙癸為兩視半徑相併之數内減乙戊視緯餘戊癸與壬辛等為太陰掩太陽之分以太陽全徑庚辛作十分計之則壬辛得五分有餘為食分也又如庚辛為太陽視徑壬癸為太陰視徑乙戊為視緯與乙辛壬戊兩視半徑相併之數等則太陰與太陽兩周相切而不相掩其視緯大於併徑者則愈不相掩矣又如太陰視經度正在兩道之交而無緯度則太陰心與太陽心相合於乙全掩太陽之光是為全食或太陰之視徑壬癸小於太陽之視徑庚辛則大陽四周露光如金環也定日食方位厯來厯書定日食初虧復圓方位月在黄道北初虧西北復圓東北月在黄道南初虧西南復圓東南食八分以上初虧正西復圓正東此東西南北主黄道之經緯言與人目所見地平經度之東西南北頗不相合故今亦如月食之法定初虧復圓之㸃在日體之上下左右乃於仰觀為親切也其法亦從天頂作髙弧過日心至地平即分日體為左右兩半周又平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限乃視月距黄道之南北距黄平象限之東西及交角之大小而初虧復圓之㸃可定矣如月在黄道上無緯度又在黄平象限上而交角滿九十度則初虧正右復圓正左在黄平象限西而交角在四十五度以上則初虧右稍偏下復圓左稍偏上交角在四十五度以下則初虧下稍偏右復圓上稍偏左在黄平象限東者反是若月在交前後有距緯則必求緯差角與交角相加減為定交角然後可定其上下左右也如圖甲乙丙為黄道一象限丁乙戊為髙弧乙為日心因在黄平象限西故黄道左昻右低己為日食初虧之月心庚為日食復圓之月心月心正在黄道上無距緯而甲乙戊或丙乙丁交角在四十五度以下其初虧辛㸃在日體之下稍偏右復圓壬㸃在日體之上稍偏左也若日在黄平象限東則黄道左低右昻而甲乙丁或丙乙戊交角在四十五度以上故初虧辛㸃在日體之右稍偏上復圓壬㸃在日體之左稍偏下也如日在黄平象限西而月在黄道北則初虧以己乙甲緯差角與甲乙戊交角相加得己乙戊為定交角在四十五度以上故初虧辛㸃在日體之右稍偏下復圓以庚乙丙緯差角與丙乙丁交角相減餘庚乙丁為定交角在四十五度以下故復圓壬㸃在日體之上稍偏左也若日在黄平象限東則初虧之緯差角為減復圓之緯差角為加與此相反(求緯差角與加減之法並)(同月食)如日在黄平象限西而月在黄道南則初虧以己乙甲緯差角與甲乙戊交角相減餘己乙戊為定交角在四十五度以下故初虧辛㸃在日體之下稍偏右復圓以庚乙丙緯差角與丙乙丁交角相加得庚乙丁為定交角在四十五度以上故復圓壬㸃在日體之左稍偏上也若日在黄平象限東則初虧之緯差角為加復圓之緯差角為減與此相反繪日食圖凡繪日食圖先作横竪二線直角相交横線當黄道竪線當黄道經圈用日半徑為度於中心作圜以當日體又以日月兩半徑相併為度作虚圈為初虧復圓之限次視實交周係初宫十一宫則於虚圈上周黄經線右取黄白大距五度作識實交周係五宫六宫則於虚圈上周黄經線左取黄白大距五度作識乃自所識作線過圜心至虚圈下周即為白道經圈於此線上自圜心取食甚視緯度作識即食甚時月心所在從此作横線與白道經圈相交成直角即為白道而白道與虚圈右周相割之㸃即初虧時月心所在白道與虚圈左周相割之㸃即復圓時月心所在也末以初虧食甚復圓三㸃各為心月半徑為度各作一圜以當月體即初虧食甚復圓之象宛然在目矣如圖甲乙竪線如黄道經圈丙丁横線如黄道戊巳庚圈如日體甲丙乙丁虚圈為初虧復圓之限其半徑丙辛為日月兩半徑之共數設實交周初宫或十一宫則於虚圈上周甲乙經線之右取黄白大距五度如甲壬從壬作線過圜心辛至下周癸為白道經圈於壬癸白道經圈上自圜心辛向下取食甚視緯度如辛子此子㸃即食甚時月心所在也(此以實交周十一宫)(為例其緯在南故自圜心辛向下取子㸃若實交周)(是初宫其緯在北則自圜心辛向上取子㸃)乃從子取直角作丑寅線與壬癸白道經圈相交即為白道而白道割虚圈右周丑㸃為初虧限割左周寅㸃為復圓限以丑子寅三㸃各為心月半徑為度作圜以象月體即見月心至丑其周切日日體將缺是為初虧從丑至子掩日最大是為食甚從子至寅月已離日日光全滿是為復圓也御製厯象考成上編卷八
## 上編卷九
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷九五星厯理一(五星合論)五星總論五星本天皆以地為心五星衝伏留退俱生於次輪五星次輪之上下兩弧皆非平分五星總論五星行度有平行有自行有距日行太槩與太隂同推歩之法或用兩心差或用小輪或用均輪於本天心或用均輪於本天周其法雖别而理實同月離論之已詳然五星之行雖相似而細較之亦有不同以平行言之土木火各有平行為一類而金水即以太陽之平行為平行是為一類以自行言之土木火金之次輪心皆行倍引數為一類而水星之次輪心則行三倍引數是獨為一類以次輪之大小言之土木金水之次輪半徑皆有定數為一類而火星之次輪在本天最髙則大最卑則小又視太陽在最髙則大最卑則小是獨為一類以次輪之行度言之土木火皆行距日度為一類而金水自有行度又為一類以緯行言之土木火皆有本天與黄道相交以生緯度次輪斜交本天其面又與黄道平行能加減其緯度為一類而金水之本天即為黄道本無緯度因次輪斜交黄道以生緯度又為一類以伏見言之土木火皆有合有衝為一類而金水則有合有退合而無衝是又為一類也如圖甲為地心乙丙丁為本天之一弧(金水本天即為黄道)丙為本輪心戊丙已為本輪全徑戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚為最逺(去本輪心逺也)辛為最近(去本)(輪心近也)壬庚癸為次輪全徑(土木火原名嵗輪金水原)(名伏見輪今俱名次輪從一例)壬為最逺(去地心逺也)癸為最近(去地心近也)本輪心從本天冬至度右旋為平行經度均輪心從本輪最髙左旋為自行引數土木火金四星之次輪心從均輪最近右旋為倍引數獨水星之次輪心從均輪最逺右旋為三倍引數五星皆從次輪最逺右旋在土木火三星為本輪心距日度惟金水二星各有行度因其本輪即以日為心故無距日之度也又土木火三星之次輪皆斜立於本道半周在本道北半周在本道南其壬庚癸全徑恒與黄道之徑平行金水二星之次輪亦斜立於黄道半周在黄道北半周在黄道南其壬庚癸全徑却不與黄道之徑平行故金水雖行黄道而亦有緯度也又星與日與地參直而日在星與地之間則星為日掩是為合伏如地在星與日之間則星與日相距半周天正相對照如月之望是為衝如星在日與地之間則星正當日之下如月之朔此時星必在次輪下半退行故為退伏在土木火三星能距日半周天故有合有衝而無退合金水二星之本輪以日為心常繞日行不能與日相距半周天故止有合有退合而無衝也五星本天皆以地為心新法厯書言五星古圖以地為心新圖以日為心及觀西人第谷推歩均數土木金水四星仍以地為心惟火星以日為心嘗推火星亦以地為心立算其得數與彼相同乃知第谷之推歩火星不過虚立巧算之法非真謂火星天獨以日為心也然則新法厯書之新圖五星皆以日為心者何也盖金水二星以日為心者乃其本輪非本天也土木火三星以日為心者乃次輪上星行距日之跡亦非本天也土木火三星之次輪半徑最大與日天半徑畧等星距次輪最逺之度又與次輪心距日之度等以星行距日之跡觀之即成大圜而為繞日之形其理與日躔連本輪行度成不同心天者相似然星之自行又有髙卑其距日不無逺近謂其成繞日之形則可謂其成不同心天則不可也雖厯家巧算之術以次輪設於本天與以次輪設於地心成不同心天者理本相通然必次輪半徑與日距地半徑等方可以日為心作不同心天立算今土木二星之次輪半徑有定數而日距地則有髙卑火星次輪半徑雖有太陽髙卑差而又有本天髙卑差終與日距地半徑不等則與其設次輪於地心不如設次輪於本天之為便也由是觀之五星之本天皆以地為心可知矣新法厯書又言舊説有謂七政之左旋非七政之行乃地自西徂東日行一周治厯之家以為非理故無取焉而近日又有復理其説者殆欲以地之東行而齊諸曜之各行耳究之諸曜之行終不能齊何若以一静而驗諸動之易明乎古圖五星各有本天重重包裹土木火三星常在日上名為上三星金水常在日下名為下二星今考五星惟土木二星常在日上火金水三星能在日上亦能在日下則重重包裹之説特其大槩耳此古圖不如新圖之密也新圖五星皆以日為心土木二星圈甚大包日天之外故常在日上火星圈亦大但不能包日天而割入日天之内故有時在日之下金水二星圈甚小不惟不能包日天併不能包地故不能衝日然金水之本天即日天此圍日者乃其本輪也土木火亦各有本天此圍日者乃次輪上星行距日之迹也下圖詳之土木二星之本天大次輪小(土星次輪半徑為本天半徑十分之一強木星)(次輪半徑為本天半徑十分之二弱)如圖甲為地心乙丙為日本天丁戊為星本天己庚與辛壬皆為次輪如日在乙次輪心在丁星在己日行至丙星亦行至庚庚丙之相距與己乙之相距等也或日在丙次輪心在戊星在壬日行至乙星亦行至辛辛乙之相距與壬丙之相距等也星之距日既隨在皆相等則連其軌迹即成圍日之形矣試用己乙之距為半徑作圈即成己辛圈為星行軌迹所到而以乙日為心或用庚丙之距為半徑作圈即成庚壬圈亦為星行軌迹所到而亦以丙日為心也雖各星自行亦有髙卑其距日不無逺近之差要不能改其圍日之大致耳火星之本天小於土木二星之本天而次輪則大(火星)(次輪半徑為本天半徑十分之六強)如圖甲為地心乙丙為日本天丁戊為星本天己庚與辛壬皆為次輪己辛圈以乙日為心庚壬圈以丙日為心皆為次輪上星行軌迹所到悉與土木二星同但其次輪甚大割入日天之内星行至此即在日之下也五星衝伏留退俱生於次輪五星之有本輪次輪俱與太陰同太隂之朔望皆在次輪故五星之衝伏亦在次輪然太隂止有遲疾而五星則有留退何也盖太隂之平行甚疾而輪甚小(太隂平行毎日一十三度餘合計本輪次輪之最大均數止七度餘)當其在輪周退行之時但能稍減其平行之度故止見其遲而不見其退若五星之平行甚遲其本輪雖小而次輪則甚大(五星平行毎日不足一度而次均之大者至五十餘度)當其在輪之上弧則見其順行在輪之下弧則見其退行在輪之左右則見其留而不行也以土木火三星論之如圖甲為地心乙丙為太陽本天丁戊為土星本天(以土星為)(例木火同理)俱以甲為心己庚為本輪以丁為心辛壬為均輪以己為心癸子為次輪以壬為心太陽在乙本輪心在丁無距日度星在次輪之最逺癸自地心甲計之日在星與地之間成一直線星伏而不見為合伏設太陽在丑本輪心丁距日九十餘度則星從合伏癸亦行九十餘度至寅自地心甲計之星自上而下成一直線不見其行為前留(或曰順留)設太陽在丙本輪心丁距日半周則星從合伏癸亦行半周至最近子自地心甲計之地在星與日之間成一直線為衝設太陽在夘本輪心丁距日二百六十餘度則星從合伏癸亦行二百六十餘度至辰自地心甲計之星自下而上成一直線不見其行為後留(或曰退留)迨太陽復至乙與本輪心丁參直而星亦復至最逺癸又為合伏矣凡星在辰癸寅上弧則順輪心行自西而東故其行為順為疾星在寅子辰下弧則逆輪心行自東而西故其行為退為遲也以金水二星論之如圖甲為地心乙丙為太陽本天即金星本天(水星之理與金星同)亦以甲為心丁戊為本輪以乙太陽為心己庚為均輪以戊為心辛壬為次輪以庚為心太陽在乙星在次輪之最逺辛在太陽之上自地心甲計之成一直線星伏而不見為順合星在次輪之最近壬在太陽之下自地心甲計之亦成一直線星伏而不見為退合星從最逺辛行一百三十餘度至癸自地心甲計之星自上而下成一直線不見其行為前留星從最近壬行四十餘度至子自地心甲計之星自下而上成一直線不見其行為後留凡星行子辛癸上弧為順為疾行癸壬子下弧為退為遲與土木火三星同也五星次輪之上下兩弧皆非平分五星皆以兩留際分次輪為上下兩弧星行上弧為順為疾星行下弧為退為遲然此兩弧皆非平分上弧常多下弧常少而五星又各不同如土星上弧一百九十二度有餘下弧一百六十七度有餘木星上弧二百度有餘下弧一百五十九度有餘火星上弧或二百八九十度下弧或七八十度金星上弧二百七十度下弧九十度水星上弧二百二十二度下弧一百三十八度其所以參差不齊者盖因五星距地各有逺近而次輪又各有大小也自地心作兩視線至次輪周與次輪半徑成直角則此兩視線即為下半弧之切線其切輪周之㸃為留際即上下兩弧所由分而上弧之度必多於下弧但輪小而距地逺者其上下兩弧相差不甚逺如土木二星是也若輪大而近於地則上弧愈多下弧愈少如火金水三星是也又五星自行各有髙卑其上下兩弧之分亦有増減要之知輪心距地之逺近與輪徑之大小則上下兩弧之多少皆可得而推矣如圖甲為地心乙為次輪心乙丙乙丁皆次輪辛徑從甲作甲丙甲丁兩視線至次輪周與次輪半徑乙丙乙丁成直角則甲丙即為丙戊下半弧之切線甲丁即為丁戊下半弧之切線而乙甲丙與乙甲丁成相等之兩直角三角形此乙甲丙三角形之丙角既為直角九十度則乙角必不足九十度而所對之丙戊弧亦必不足九十度丙戊下半弧既不足九十度則兩半弧相合之丙戊丁弧亦必不足一百八十度此下弧之所以常少於上弧也又第一圖輪小而乙甲之距逺則兩視線長故甲角小而乙角大乙角大則所對之丙戊與戊丁兩弧亦大此丙戊丁下弧雖小於丙己丁上弧而猶不甚相逺也如第二圖輪大而乙甲之距近則兩視線短故甲角増而乙角減乙角減則所對之丙戊與戊丁兩弧亦從之而減此丙戊丁下弧所以愈少丙己丁上弧所以愈多也是故欲求各星次輪下弧之度以次輪心距地心之乙甲線與次輪半徑乙丙或乙丁之比同於半徑一千萬與乙角餘弦之比而得乙角度即丙戊弧或丁戊弧倍之得丙戊丁下弧之度為星退行之共度也御製厯象考成上編卷九
## 上編卷十
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十五星厯理二(専論土星)土星平行度用土星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數土星平行度測土星平行之法用前後兩測取其距恒星之度分等(恒星有嵗差毎年五十一秒測時須加入計之)距太陽之逺近左右亦等乃計其前後相距中積若干日時及星行滿次輪若干周即可得其毎日平行之率盖兩測距恒星之度既等則其行滿一周天而復於故處而距太陽之逺近左右又等則兩測之遲疾加減俱等而次輪之行亦滿全周而復其故處也新法厯書載古測定五十九平年又十六日十分日之三或二萬一千五百五十一日又十分日之三土星行次輪五十七周(即㑹日五)(十七次衝日亦五十七次)置中積二萬一千五百五十一日又十分日之三為實星行次輪周數五十七為法除之得周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒(即三百七十八日零百分日之)(九分二九八二□時厯作三百七十八日○九一六)乃以毎周三百六十度為實周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒為法除之得五十七分零七秒四十三微四十一纎四十四忽三十三芒為毎日土星距太陽之行(即土星在次輪周毎日之行一名嵗)行與毎日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒相減餘二分零三十六微零八纎零七忽零六芒為毎日土星平行經度(即本)(輪心毎日之行)既得毎日之平行用乘法可得毎年毎月之平行用除法可得毎時毎分之平行以立表用土星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙土星之初均數生於本輪半徑而求本輪半徑須用三次衝日與月離用三月食同盖星衝日之時星在次輪最近㸃無次均數故測諸星本輪半徑者必俟此時也新法厯書載西人多録某於漢順帝時用土星三次衝日推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千七百七十二用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在大火宫二十三度(永建二年)(丁夘)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千二百七十七至明正徳間西人歌白泥復用三測推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬二千最髙在析木宫二十七度三十五分(正徳)(九年甲戌)相距一千三百八十七年而兩次所測最髙相差三十四度三十五分乃以三十四度三十五分為實一千三百八十七年為法除之得毎年最髙行一分二十九秒四十六微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千六百二十八後又定兩心差為本天半徑千萬分之一百一十六萬二千本輪半徑為本天半徑千萬分之八十六萬五千五百八十七(此四分之三小比三分之二大)均輪半徑為本天半徑千萬分之二十九萬六千四百一十三(比四分之一大)(比三分之一小)最髙在析木宫二十六度二十分二十七秒(萬厯十八年庚寅)毎年最髙行一分二十秒一十二微用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔娵訾宫一度零三分二十七秒土星在鶉尾宫一度零三分二十七秒如甲第二次衝日日躔娵訾宫二十一度四十七分三十九秒土星在鶉尾宫二十一度四十七分三十九秒如乙第三次衝日日躔降婁宫一十六度五十一分二十八秒土星在夀星宫一十六度五十一分二十八秒如丙第一次衝日距第二次衝日一萬一千三百四十三日五時三十六分其實行相距二十度四十四分一十二秒(即鶉尾宫甲點距乙點之度亦即甲)(丁乙角於第二次實行度内減去第一次實行度即)(得)其平行相距一十九度五十九分五十四秒(以毎日平)(行度與距日相乗減去全周即得)第二次衝日距第三次衝日七百五十五日二十時三十一分其實行相距二十五度零三分四十九秒(即鶉尾宫乙點)(距夀星宫丙點之度亦即乙丁丙角於第三次實行)(度内減去第二次實行度即得)其平行相距二十五度一十九分一十六秒乃用不同心圈立法算之任取戊點為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度一十九度五十九分五十四秒庚巳〔？〕即第二次距第三次之平行度二十五度一十九分一十六秒爰從戊點過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二點作壬庚壬辛二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角二十二度三十九分三十五秒(壬為界角當辛巳弧以辛庚庚)(巳兩弧相加折半即得)有丁角一百三十四度一十一分五十九秒(即甲丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一八二四二六三九次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角一十二度三十九分三十八秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百五十四度五十六分一十一秒(即乙丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊一九七二二九五四末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一八二四二六三九有壬庚邉一九七二二九五四有壬角九度五十九分五十七秒(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角六十度五十八分四十秒倍之得一百二十一度五十七分二十秒為辛壬弧與辛巳弧四十五度一十九分一十秒相加得一百六十七度一十六分三十秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一七四八八六三二己壬弧之通弦為一九八七六八一三乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一八二四二六三九與先設之丁壬一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一七四八八六三二與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊九五八六六七九又平分己辛壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九九三八四○七内減去丁壬九五八六六七九餘子丁三五一七二八又以己癸弧八十三度三十八分一十五秒與九十度相減餘六度二十一分四十五秒為戊巳子角(戊巳子為直角三角)(形戊角當己癸〔？〕故己角為己癸〔？〕減象限之餘)察其正弦得一一○八一八五為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦一一六二六六三為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角七十二度二十三分二十八秒即第三次衝日土星距最髙丑點之度也求初均數土星之初均數授時厯名為盈縮差其盈差最大者八度二五五二三八二一縮差最大者六度二七九○四七一四以周天三百六十度毎度六十分約之盈差得八度零八分一十一秒四十一微縮差得六度一十一分一十九秒三十八微衝合以外各段同用新法厯書最大之初均數為六度三十八分一十九秒零六微(即六度零十分度之六分三八六三三)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為八十六萬五千五百八十七戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬六千四百一十三辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁毎日行二分有餘即土星經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚毎日亦行二分有餘(微不及經度之行毎年少一分二十秒一十二)(微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛毎日行四分有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子〔？〕之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸夘直角三角形求癸夘夘丙二邉此形有夘直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊五十六萬九千一百七十四(本輪半徑内減去均)(輪半徑之數)求得癸夘邊二十八萬四千五百八十七夘丙邊四十九萬二千九百一十九以夘丙與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零四十九萬二千九百一十九為夘甲邊以癸夘邊與丑癸通弦二十九萬六千四百一十三相加(即均)(輪丑癸弧六十度之通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑)(一千萬為一率均輪丑癸弧折半察正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四)(率倍之即丑癸通弦也)得五十八萬一千為丑夘邊於是用甲丑夘直角三角形求得甲角三度一十分零九秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邉為次)(輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為五十六萬九千一百七十四求得癸戌邊四十九萬二千九百一十九丙戌邊二十八萬四千五百八十七以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百七十一萬五千四百一十三為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦五十一萬三千四百零二相加(即均輪申癸〔？〕一百二十度之通弦)得一百萬零六千三百二十一為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角五度五十四分四十九秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向已厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均數土星與太陽衝合之後即有次均其數生於次輪盖星衝太陽之時在次輪之最近合伏之時在次輪之最逺與次輪心及地心參直故求初均數即以次輪心立算而無次均自衝合而外星行次輪周之左右其次輪周星體所在即次均數也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之一萬零八百三十三其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之一百零四萬二千六百今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為八十六萬五千五百八十七戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為二十九萬六千四百一十三庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為一百零四萬二千六百壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度)為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後則星在次輪周之左右(衝太陽之後在次輪之右合伏之後在次輪之左)而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角三度一十分零九秒(即寅)(丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至夘從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲夘三角形求甲角(即辰寅〔？〕)此形有丑角一百二十度(於壬癸夘弧三百度内減去壬)(癸半周餘癸夘〔？〕即丑角度)有夘丑半徑一百零四萬二千六百有丑甲邊一千零五十萬八千九百九十一(求丑甲邉法見前求初均數篇)求得甲角四度五十四分一十八秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙〔？〕三度一十分零九秒相加得辰丙弧八度零四分二十七秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及星距太陽之度以推次輪半徑)(亦用丑甲夘三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角五度五十四分四十九秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行四十五度至夘從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲夘三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(於半周内減去壬夘弧四十五度餘夘癸弧即丑角度)有夘丑半徑一百零四萬二千六百有丑甲邊九百七十六萬七千三百九十二求得甲角四度零五十二秒即寅辰弧為次均數與初均數寅丙弧五度五十四分四十九秒相減(因初均寅點在平行丙點之後而次均辰)(點在寅點之前故相减)餘辰丙弧一度五十三分五十七秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行三百一十五度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十
## 上編卷十一
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷十一五星厯理三(專論木星)木星平行度用木星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數木星平行度測木星平行之法亦用前後兩測與土星同新法厯書載古測定七十一平年又十二日千分日之六百一十七或二萬五千九百二十七日又千分日之六百一十七木星行次輪六十五周(即㑹日六十五次衝日亦六十五次)置中積二萬五千九百二十七日又千分日之六百一十七為實星行次輪周數六十五為法除之得周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纖三十六忽(即三百九十八日零十分日之八分八六四一五授時歴同數)乃以毎周三百六十度為實周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纖三十六忽為法除之得五十四分零九秒零二微四十二纖四十七忽三十二芒為每日木星距太陽之行(即木星在次輪周毎日之行一名嵗行)與毎日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒相減餘四分五十九秒一十七微零七纖零四忽零七芒為每日木星平行經度(即本輪心毎日之行)既得每日之平行用乘法可得每年毎月之平行用除法可得毎時每分之平行以立表用木星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙測木星本輪半徑法與土星同新法厯書載西人多録某於漢順帝時推得兩心差為本天半徑十萬分之八千九百零二用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在鶉尾宫一十一度(陽嘉二年癸酉)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之九千一百七十至明正徳間西人歌白泥復推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬一千九百三十最髙在壽星宫六度二十分(嘉靖八年己丑)相距一千三百九十六年而兩次所推最髙相差二十五度二十分因知毎年最髙行一分零五秒二十微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑十萬分之九千五百四十後又定兩心差為本天半徑千萬分之九十五萬三千三百本輪半徑為本天半徑千萬分之七十萬五千三百二十(比四分之三小比三分之二大)均輪半徑為本天半徑千萬分之二十四萬七千九百八十(比四)(分之一大比三分之一小)最髙在壽星宫八度四十分(萬厯二十八年庚子)每年最髙行五十七秒五十二微用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔鶉尾宫七度三十一分四十九秒木星在娵訾宫七度三十一分四十九秒如甲第二次衝日日躔大火宫二十度五十六分木星在大梁宫二十度五十六分如乙第三次衝日日躔析木宫二十五度五十二分二十七秒木星在實沈宫二十五度五十二分二十七秒如丙第一次衝日距第二次衝日八百零四日一十五時三十五分其實行相距七十三度二十四分一十一秒(即娵訾宫甲點距大梁宫乙點之度亦即甲丁)(乙角於第二次實行度内減去第一次實行度即得)其平行相距六十六度五十三分二十秒(以毎日平行度與距)(日相乘即得)第二次衝日距第三次衝日三百九十九日一十四時四十四分其實行相距三十四度五十六分二十七秒(即大梁宫乙點距實沈宫)(丙點之度亦即乙丁丙角於第三次實行度内減去)(第二次實行度即得)其平行相距三十三度一十三分零八秒乃用不同心圈立法算之任取戊點為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度六十六度五十三分二十秒庚己弧即第二次距第三次之平行度三十三度一十三分零八秒爰從戊點過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二點作壬庚壬辛二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角五十度零三分一十四秒(壬為界角當辛)(己弧以辛庚庚己兩弧相加折半即得)有丁角七十一度三十九分二十二秒(即甲丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一一一五七四三六次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角一十六度三十六分三十四秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十五度零三分三十三秒(即乙丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊一八二一○○九一末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一一一五七四三六有壬庚邊一八二一○○九一有壬角三十三度二十六分四十秒(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角三十四度三十八分二十八秒倍之得六十九度一十六分五十六秒為辛壬弧與辛巳弧一百度零六分二十八秒相加得一百六十九度二十三分二十四秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一一三六八六八二己壬弧之通弦為一九九一四三三二乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一一一五七四三六與先設之丁壬一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一一三六八六八二與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊一○一八九三三二又平分己辛壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九九五七一六六與丁壬一○一八九三三二相減餘子丁二三二一六六又以壬癸弧八十四度四十一分四十二秒與九十度相減餘五度一十八分一十八秒為戊壬子角(戊壬子為直角三角形戊角當壬癸弧故壬角為壬)(癸弧減象限之餘)察其正弦得九二四五七五為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦九五三二七八為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角七十五度五十四分一十五秒與半周相減餘一百零四度零五分四十五秒為戊丁巳角即第三次衝日木星距最髙丑㸃之度也求初均數木星之初均數授時厯名為盈縮差止用一表不分盈縮其最大者五度九九二九八○二八以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分二十四秒三十七微衝合以外各段同用新法歴書最大之初均數為五度二十七分零三秒五十四微(即五度零)(十分度之四分五一○八三三)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為七十萬五千三百二十戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十四萬七千九百八十辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行四分五十九秒有餘即木星經度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日亦行四分五十九秒有餘(微不及經度之行每)(年少五十七秒五十二微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行九分五十八秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊四十五萬七千三百四十一(本輪半徑内減去均)(輪半徑之數)求得癸卯邊二十二萬八千六百七十一卯丙邊三十九萬六千零六十九以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零三十九萬六千零六十九為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦二十四萬七千九百八十相加(即均輪丑癸弧)(六十度之通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑一千萬為)(一率均輪丑癸弧折半查正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四率倍之即)(丑癸通弦也)得四十七萬六十六百五十一為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度三十七分三十秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角)(即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求坎均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為四十五萬七千三百四十一求得癸戌邊三十九萬六千零六十九丙戌邊二十二萬八千六百七十一以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百七十七萬一千二百二十九為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦四十二萬九千五百一十四相加(即均輪申癸弧一百二十度之通弦)得八十二萬五千五百八十三為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角四度四十九分四十六秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均數木星與太陽衝合之後即有次均其數生於次輪蓋星衝太陽之時在次輪之最近合伏之時在次輪之最逺與次輪心及地心參直故求初均數即以次輪心立算而無次均自衝合而外星行次輪周之左右其次輪周星體所在即次均數也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之一萬九千一百九十四其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之一百九十二萬九千四百八十今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為七十萬五千三百二十戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為二十四萬七千九百八十庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為一百九十二萬九千四百八十壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋(本天上與黄道冬至相對之度)為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後則星在次輪周之左右(衝太陽之後在次輪之右合伏之後在次輪之左)而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角二度三十七分三十秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(於壬癸卯弧三百度内減)(去壬癸半周餘癸卯弧即丑角度)有卯丑半徑一百九十二萬九千四百八十有丑甲邊一千零四十萬六千九百八十九(求丑甲邊法見前求)(初均數篇)求得甲角八度二十一分三十三秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧二度三十七分三十秒相加得辰丙弧一十度五十九分零三秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行貫行之差及)(星距太陽之度以推次輪半徑亦用丑甲卯三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角四度四十九分四十六秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行四十五度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(於半周内減去壬卯弧四十五度餘卯癸弧即丑角度)有卯丑半徑一百九十二萬九千四百八十有丑甲邊九百八十萬六千一百四十四求得甲角六度五十七分四十九秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧四度四十九分四十六秒相減(因初均寅㸃在)(平行丙㸃之後而次均辰㸃在寅㸃之前故相減)餘辰丙弧二度零八分零三秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行三百一十五度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十一
## 上編卷十二
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十二五星厯理四(專論火星)火星平行度用火星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙求初均數求次均數火星平行度測火星平行之法亦用前後兩測與土木二星同新法厯書載古測定七十九平年又二十二日千分日之八百八十三或二萬八千八百五十七日又千分日之八百八十三火星行次輪三十七周(即會日三十七次衝日亦三十七次)置中積二萬八千八百五十七日又千分日之八百八十三為實星行次輪周數三十七為法除之得周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纖一十九忽一十二芒(即七百七十九日零十分日之九分四二七八三授時厯作七百七十九)(日九二九)乃以每周三百六十度為實周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纖一十九忽一十二芒為法除之得二十七分四十一秒三十九微三十七纖四十三忽五十五芒為每日火星距太陽之行(即火星在次輪周每日之行一名嵗行)與每日太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒相減餘三十一分二十六秒四十微一十二纖零七忽四十四芒為每日火星平行經度(即本輪心每日之行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每時每分之平行以立表用火星三次衝日求本輪均輪半徑及最髙測火星本輪半徑法與土木二星同新法厯書載西人多録某於漢順帝時推得兩心差為本天半徑十萬分之二萬一千八百六十一用其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑最髙在鶉首宫二十五度二十九分(永和四年己卯)後因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之二萬分至明正徳間西人歌白泥復推得兩心差為本天半徑十萬分之一萬九千六百最髙在鶉火宫二十七度零一分(嘉靖)(二年癸未)相距一千三百八十四年而兩次所推最髙相差三十一度三十二分因知每年最髙行一分二十二秒零一微萬厯間西人第谷又測得兩心差為本天半徑千萬分之一百八十五萬五千本輪半徑為一百四十八萬四千(兩心差之五分之四)均輪半徑為三十七萬一千(兩心差之五分之一)最髙在鶉火宫二十八度五十九分二十四秒(萬厯二十八年庚子)每年最髙行一分零七秒用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左假如第一次衝日日躔元枵宫一十八度五十八分三十八秒火星在鶉火宫一十八度五十八分三十八秒如甲第二次衝日日躔娵訾宫二十三度二十二分火星在鶉尾宫二十三度二十二分如乙第三次衝日日躔大梁宫一度火星在大火宫一度如丙第一次衝日距第二次衝日七百六十四日一十二時三十二分其實行相距三十四度二十三分二十二秒(即鶉火宫甲㸃距鶉尾宫乙㸃之度亦即)(甲丁乙角於第二次實行度内減去第一次實行度)(即得)其平行相距四十度三十九分二十五秒(以每日平行度)(與距日相乘減去全周即得)第二次衝日距第三次衝日七百六十八日一十八時其實行相距三十七度三十八分(即鶉尾宫乙㸃距大火宫丙㸃之度亦即乙丁丙角)(於第三次實行度内減去第二次實行度即得)其平行相距四十二度五十二分三十五秒乃用不同心圈立法算之任取戊㸃為心作己庚辛壬不同心圈則辛庚弧即第一次距第二次之平行度四十度三十九分二十五秒庚巳弧即第二次距第三次之平行度四十二度五十二分三十五秒爰從戊㸃過地心丁至圜周二界作一線為最髙線戊丁即兩心差又引丙丁線至壬自壬至甲丁乙丁二線所割庚辛二㸃作壬辛壬庚二線自庚至辛又作庚辛線即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半徑與兩心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛邊此形有壬角四十一度四十六分(壬為界角當辛巳弧以辛庚庚巳兩弧相)(加折半即得)有丁角一百零七度五十八分三十八秒(即甲)(丁丙角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬辛邊一八八七七六二○次用壬丁庚三角形求壬庚邊此形有壬角二十一度二十六分一十七秒三十微(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十二度二十二分(即乙丁丙)(角之餘)設丁壬邊為一○○○○○○○求得壬庚邊二一八九二六○九末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛邊一八八七七六二○有壬庚邊二一八九二六○九有壬角二十度一十九分四十二秒三十微(以辛壬丁角與庚壬丁角相減即得)求得庚角五十七度二十五分一十五秒倍之得一百一十四度五十分三十秒為辛壬弧與辛巳弧八十三度三十二分相加得一百九十八度二十二分三十秒為己辛壬弧於是以本天半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通弦則辛壬弧之通弦為一六八五二九六五己壬弧之通弦為一九七四三四二二乃用比例法變先設之丁壬邊為同比例數以先得之辛壬邊一八八七七六二○與先設之丁壬邊一○○○○○○○之比即同於今所察之辛壬通弦一六八五二九六五與今所求之丁壬邊之比而得丁壬邊八九二七四八四又平分己壬弧於癸作戊癸線平分己壬通弦於子得子壬九八七一七一一内減去丁壬八九二七四八四餘子丁九四四二二七又以己癸弧八十度四十八分四十五秒(以己辛壬弧與全周相減所餘折半即得)與九十度相減餘九度一十一分一十五秒為戊己子角(戊己子為宜角三角形戊角當己癸弧故己角)(為己癸弧減象限之餘)察其正弦得一五九六六五八為戊子乃用戊子丁勾股形以戊子為股子丁為勾求得戊丁弦一八五四九六一為兩心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三邊有子直角求得丁角五十九度二十四分零三秒即第三次衝日火星距最髙丑㸃之度也求初均數火星之初均數授時厯名為盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二十五度六一九七七九七一以周天三百六十度每度六十分約之得二十五度一十五分零五秒三十微衝合以外各段同用新法厯書最大之初均數為一十度三十四分二十秒(即一十度零十)(分度之五分七六六六)惟星正當衝合之時止用此均數加減若在衝合前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為一百四十八萬四千戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為三十七萬一千辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行三十一分二十六秒有餘即火星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每日亦行三十一分二十六秒有餘(微不及經度之行每年少)(一分零七秒)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行一度零二分五十二秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向已行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸厯壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊一百一十一萬三千(本輪半徑内減去均輪半徑之數)求得癸卯邊五十五萬六千五百卯丙邊九十六萬三千八百八十六以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零九十六萬三千八百八十六為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦三十七萬一千相加(即均輪丑癸弧六十度之通弦故與均輪半徑等若非六)(十度則用比例法以半徑一千萬為一率均輪丑癸弧折半查正弦為二率均)(輪子癸半徑為三率得四率倍之即丑癸通弦也)得九十二萬七千五百為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角四度五十分零八秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸歴壬辛行三百度至巳從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為一百一十一萬三千求得癸戌邊九十六萬三千八百八十六丙戌邊五十五萬六千五百以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百四十四萬三千五百為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦六十四萬二千五百九十相加(即均)(輪申癸弧二百四十度之通弦)得一百六十萬零六千四百七十六為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角九度三十九分一十六秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均數火星之次均數生於次輪與土木二星同但其次輪半徑有本天髙卑之差又有太陽髙卑之差髙則半徑大卑則半徑小無一定之數此則火星之所獨異也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之六萬五千八百以推次均數不合天行其後西人第谷等累年密測方知次輪半徑有髙卑之不同其法於太陽火星同在最卑時測得次輪最小之半徑為本天半徑千萬分之六百三十萬二千七百五十又於太陽在最卑火星在最髙時測得次輪半徑為本天半徑千萬分之六百五十六萬一千二百五十與最小之半徑相較餘二十五萬八千五百此本天髙卑之大差也又於火星在最卑太陽在最髙時測得次輪半徑為本天半徑千萬分之六百五十三萬七千七百五十與最小之半徑相較餘二十三萬五千此太陽髙卑之大差也既得此兩髙卑之差則次輪由髙及卑之各半徑皆可以比例而得之矣如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為一百四十八萬四千戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為三十七萬一千庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑之數隨時不同壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)本輪心從本天冬至度右旋為經度均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪最逺壬右旋行距日之度(即本)(輪心距太陽之度)如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛合伏之時星在次輪之最逺壬衝太陽之時星在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減若衝合以後星在次輪之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行三十度至子為自行一宫初度次輪心則從均輪最近辛行六十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角四度五十分零八秒(即寅)(丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬厯癸行三百度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(於壬)(癸卯弧三百度内減去壬癸半周餘癸卯弧即丑角)(度)本時太陽在最髙後六十度火星均輪心在最髙後三十度卯丑次輪半徑為六百七十二萬零一百八十四(於最小半徑六百三十萬零二千七)(百五十内加本天髙卑差二十四萬一千一百八十)(四又加太陽髙卑差一十七萬六千二百五十即得)(求差之法見後)有丑甲邊一千一百萬零三千零四十九(求丑)(甲邊法見前求初均數篇)求得甲角二十二度零三分二十七秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧四度五十分零八秒相加得辰丙弧二十六度五十三分三十五秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百三十度至己為自行十一宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行三百度至午星從次輪最逺壬行六十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及星距太陽度以推次輪半)(徑亦用丑甲卯三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸則與次輪心丑同在一直線從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角九度三十九分一十六秒(即寅丙弧)為初均數而無次均數若星從次輪最逺壬行一百四十度至卯從地心甲計之當本天之辰其寅甲辰角即次均數乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角四十度(於半周内減去壬卯弧一)(百四十度餘卯癸弧即丑角度)本時太陽在最髙前三十度火星均輪心在最卑前六十度卯丑次輪半徑為六百五十八萬六千六百三十三(於最)(小半徑六百三十萬零二千七百五十内加本天髙)(卑差六萬四千六百二十五又加太陽髙卑差二十)(一萬九千二百五十八即得)有丑甲邊九百五十七萬九千一百六十九求得甲角四十三度零二分三十二秒即辰寅弧為次均數與初均數寅丙弧九度三十九分一十六秒相減餘辰丙弧三十三度二十三分一十六秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行二百四十度至己為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至午星從次輪最逺壬厯癸行二百二十度至未則初均數丙甲申角與丙甲寅角等次均數申甲酉角與寅甲辰角等兩角相減所餘之丙甲酉角亦與丙甲辰角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也求火星髙卑差法命火星本輪全徑為二千萬為一率本天髙卑大差二十五萬八千五百為二率火星自行距最卑之正矢為三率(火星自行距最卑過象限則為大矢以半徑與)(餘弦相加即得)得四率為所求本天髙卑差又以太陽本輪全徑為二千萬為一率太陽髙卑大差二十三萬五千為二率太陽自行距最卑之正矢為三率(太陽自行距最)(卑過象限則為大矢以半徑與餘弦相加即得)得四率為所求太陽髙卑差乃以次輪最小之半徑六百三十萬二千七百五十加所求本天髙卑差及太陽髙卑差即為本時次輪半徑也御製厯象考成上編卷十二
## 上編卷十三
欽定四庫全書御製歴象考成上編卷十三五星歴理五(專論金星)金星平行度用金星距太陽前後極遠度求最髙及本輪均輪半徑求初均數求次均數金星平行度金星之平行經度(即本輪心行度)即太陽之平行經度蓋金星之本輪心即太陽之本輪心故其行度同也至其在次輪周每日之平行亦用前後兩測與土木二星同新法厯書載古測定七平年又三百六十四日千分日之六百六十七或二千九百一十九日又千分日之六百六十七金星行次輪五周(即會日五次退合亦五次)置中積二千九百一十九日又千分日之六百六十七為實星行次輪周數五為法除之得周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纖(即五百八十三日零十分日之九分三三四授時歴)(作五百八十三日九○二六)乃以每周三百六十度為實周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纖為法除之得三十六分五十九秒二十五微五十二纖一十六忽四十四芒為每日金星在次輪周之平行(一名)(伏見行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每時每分之平行以立表用金星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑測金星兩心差之法與土木火三星不同蓋土木火三星各有平行能與太陽衝故測三次衝日之度即可得兩心差及最髙所在金星即以太陽之平行為平行星繞太陽旋轉不得與太陽衝故必測其距太陽極逺之度先得最髙所在而後得兩心差其本輪均輪之半徑方可次第定焉其法於金星辰見時逐日測之取其距太陽極逺之度(星自合伏後距太陽漸逺至極逺又復漸)(近故須逐日測之方得其極逺之度也)夕見時亦逐日測之取其距太陽極逺之度但星距太陽極逺之度亦時時不同蓋本天有髙卑平行(即輪心)近最髙則距地逺而角小平行近最卑則距地近而角大必擇晨夕極逺度之相等者(如晨測距太陽四十七度夕測亦距四十七度)則其兩平行距髙卑左右之度亦等爰以兩平行所當宫度相加折半即最髙最卑線所當宫度然猶未能定其孰為最髙孰為最卑也乃再擇晨見時或夕見時距太陽極逺之度以相較若平行所當宫度近最髙其相距極逺之度較小近最卑其相距極逺之度較大既得最髙而兩心差可得矣(法見後)新法厯書載西人多録某於漢順帝陽嘉三年甲戌測得最髙在大梁宫二十五度兩心差為本天半徑十萬分之二千一百三十取其四分之三為本輪半徑四分之一為均輪半徑因其數與天行不合又改兩心差為本天半徑十萬分之四千一百四十八逮後西人第谷又於明萬厯十三年乙酉測得最髙在實沈宫二十九度一十六分三十九秒每年最髙行一分二十二秒五十七微定兩心差為本天半徑千萬分之三十二萬零八百一十四本輪半徑為二十三萬一千九百六十二(比四分之三小比三)(分之二大)均輪半徑為八萬八千八百五十二(比四分之一大比三)(分之一小)用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左求最髙之法用晨夕兩測取其平行實行之大差相等者用之假如第一次晨測得金星實行在娵訾宫八度二十三分四十七秒如甲太陽平行在降婁宫二十二度一十六分即金星之平行如乙甲乙弧四十三度五十二分一十三秒為平行實行之大差第二次夕測得金星實行在夀星宫二十五度三十分一十三秒如丙太陽平行在鶉尾宫一十一度三十八分即金星之平行如丁丁丙弧亦四十三度五十二分一十三秒為平行實行之大差兩測平行實行之大差既等則最髙最卑線必在兩平行宫度之中試取乙丁兩平行相距之弧折半於戊從戊過地心己至庚作戊庚線即為最髙最卑線而不同心天之心必在此線之上乃於戊庚線上任取辛點為心作壬癸子丑不同心天復從辛點作壬辛丑辛兩線與乙己丁巳平行即以壬丑兩點各為心作兩次輪切己甲線於寅切己丙線於卯第一次晨測時次輪心循不同心天行至壬以太陽平行計之當恒星天之乙(乙距戊之度與壬距辰之度等)故乙點為平行星循次輪周行至寅從地心己計之當恒星天之甲故甲點為實行甲乙相距之四十三度五十二分一十三秒即癸己寅角第二次夕測時次輪心循不同心天行至丑以太陽平行計之當恒星天之丁(丁距戊之度與丑距辰之度等)故丁點為平行星循次輪周行至卯從地心已計之當恒星天之丙故丙點為實行丁丙相距之四十三度五十二分一十三秒即子己卯角此癸己寅及子己卯兩角之大小因平行距最髙之逺近而殊蓋平行距最髙近則不同心天距地心之線長而角小平行距最髙逺則不同心天距地心之線短而角大也今兩已角既相等則癸巳與子巳距地心之兩線必等而乙點與丁點距最髙之度亦必等故以乙點之降婁宫二十二度一十六分與丁點之鶉尾宫一十一度三十八分相加折半得鶉首宫一度五十七分如戊其衝為星紀宫一度五十七分如庚得戊庚為最髙最卑之線也欲定其孰為最髙須再測之假如再用晨測得金星實行在星紀宫一十四度一十八分三十三秒如已太陽平行在娵訾宫初度如午巳午弧四十五度四十一分二十七秒為平行實行之大差試從辛點作辛未線與己午平行即以未點為心作次輪切己巳線於申次輪心循不同心天行至未以太陽平行計之當恒星天之午故午點為平行星循次輪周行至申從地心己計之當恒星天之已故已點為實行已午相距之四十五度四十一分二十七秒即酉己申角此前所測癸己寅角多一度四十九分一十四秒夫先測之平行乙點距鶉首宫戊點近而平行實行之差少是近最髙而差角小也後測之平行午點距鶉首宫戊點逺而平行實行之差多是逺最髙而差角大也然則鶉首宫戊點為最髙而星紀宫庚點為最卑可知矣求兩心差之法亦用兩測擇其平行度一當最髙一當最卑而距太陽極逺者用之假如太陽平行在鶉首宫一度五十七分正當金星最髙之點如戊於時測得金星實行為鶉火宫一十六度二十二分四十五秒如甲其平行實行之差為四十四度二十五分四十五秒即甲巳戊角又於太陽平行在星紀宫一度五十七分亦正當金星最卑之點如庚於時測得金星實行為大火宫一十三度四十分零四秒如乙其平行實行之差為四十八度一十六分五十六秒即乙己庚角乃以戊點為心切己甲線於丙庚點為心切己乙線於丁各作一金星次輪又從戊點至丙庚點至丁作兩半徑即成己丙戊己丁庚兩直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己邊此形有丙直角有己角四十四度二十五分四十五秒命戊丙半徑為一○○○○○○○求得戊巳邊一四二八五一六三又用己丁庚直角三角形求己庚邊此形有丁直角有己角四十八度一十六分五十六秒命庚丁半徑為一○○○○○○○求得己庚邊一三三九七○七五以戊己與己庚相加得戊庚二七六八二二三八為本天全徑半之得戊辛或辛庚一三八四一一一九為本天半徑辛庚半徑内減去己庚一三三九七○七五餘辛巳四四四○四四為兩心差乃用比例法變先所得之本天半徑為同比例數以先所得之本天半徑一三八四一一一九與先所得之兩心差四四四○四四之比即同於今所設之本天半徑一○○○○○○○與今所得之兩心差之比而得三二○八一五為兩心差也求初均數金星之初均數授時歴亦名盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二度一三六三二一三八以周天三百六十度每度六十分約之得二度零九分二十二秒零六微新法厯書最大之初均數為一度五十分一十五秒四十㣲(即一度零十分度之八分三七六八五二)惟星在次輪周之行度正當最逺最近二點之時止用此均數加減若在最逺最近前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為二十三萬一千九百六十二戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為八萬八千八百五十二辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心)(近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有餘(與太陽之平行)(同)即金星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每日亦行五十九分零八秒有餘(微不及於經度之行每年少一分二十二秒五十七微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行一度五十八分一十六秒有餘為倍引數也如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最近癸或均輪心從本輪最髙戊向己行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最近癸歴壬辛行一周復至癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最近癸行六十度至丑(丑癸弧為戊子弧之倍度)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙邊一十四萬三十一百一十(本輪半徑内減去均輪半)(徑之數)求得癸卯邊七萬一千五百五十五卯丙邊一十二萬三千九百三十七以卯丙邊與丙甲本天半徑一千萬相加得一千零一十二萬三千九百三十七為卯甲邊以癸卯邊與丑癸通弦八萬八千八百五十二相加(即均輪丑癸弧六十度之)(通弦故與均輪半徑等若非六十度則用比例法以半徑一千萬為一率均輪)(丑癸弧折半察正弦為二率均輪子癸半徑為三率得四率倍之即丑癸通弦)(也)得一十六萬零四百零七為丑卯邊於是用甲丑卯直角三角形求得甲角五十四分三十秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地)(心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自最近癸厯壬辛行三百度至已從地心甲計之當本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度)(至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度)(至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百二十度至未為四宫初度則次輪心從均輪最近癸厯壬辛行二百四十度至申從地心甲計之當本天之酉酉丙弧為實行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角六十度則癸角必三十度癸丙邊為一十四萬三千一百一十求得癸戌邊一十二萬三千九百三十七丙戌邊七萬一千五百五十五以丙戌邊與丙甲本天半徑一千萬相減餘九百九十二萬八千四百四十五為戌甲邊以癸戌邊與申癸通弦一十五萬三千八百九十六相加(即均輪申癸弧一百二十度之通弦)得二十七萬七千八百三十三為申戌邊於是用甲申戌直角三角形求得甲角一度三十六分一十一秒即酉丙弧為自行四宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥為八宫初度則次輪心從均輪最近癸行一周復自癸厯壬行一百二十度至子從地心甲計之當本天之丑丑丙弧與酉丙弧等故自行八宫初度之初均數與四宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五)(宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八)(宫末度)求次均數金星之次均數亦生於次輪但星在次輪周之行度土木火三星皆自最逺起算金星則自平逺起算蓋土木火三星之次輪徑線與地心參直其次輪周之最逺㸃有分定星在次輪周又行距日度最逺即為合伏最近即為退衝故從最逺起算金星之次輪徑線不與地心參直而與本輪髙卑線平行(從地心過本輪心之)(線)其徑線逺地心之端為平逺近地心之端為平近理與太陰次輪徑線與均輪徑線平行者同蓋太陰次輪之逺近以距本輪心言則與均輪徑線平行金星次輪之逺近以距地心言則與髙卑線平行故最逺㸃無定分而平逺㸃有定分又金星之本輪即以太陽本輪心為心星在次輪周自行伏見度其合伏退合亦不定在逺近二㸃故從平逺起算惟次輪心正當髙卑線上(即均輪心在最髙或最卑時)則平逺㸃與最逺㸃合最髙後半周則平逺差而東最卑後半周則平逺差而西此兩逺㸃之差即初均數然求次均數之法必以最逺㸃為起算之端故均輪心在最髙後半周初均數為減者則於伏見度内加初均數為星距次輪最逺之度(因其差而東也)均輪心在最卑後半周初均數為加者則於伏見度減去初均數為星距次輪最逺之度(因其差而西也)是金星在次輪周之行度雖自平逺起算而求次均數之法仍自最逺起算也新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑千萬分之七百五十萬九千八百其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之七百二十二萬四千八百五十今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為二十三萬一千九百六十二戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為八萬八千八百五十二庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬辛癸為次輪全徑壬辛半徑為七百二十二萬四千八百五十壬為最逺癸為最近(此逺)(近以距地心言)因均輪心在最髙故平逺點與最逺點合而壬亦即為平逺癸亦即為平近本輪心從本天冬至度右旋為經度(即太陽平行度)均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自行度)次輪心從均輪最近辛右旋為倍引數星從次輪平逺點右旋行伏見度如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最近辛星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減過此二點則星在次輪周之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行六十度至子為自行二宫初度次輪心則從均輪最近辛行一百二十度至丑從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角一度三十四分四十九秒(即寅丙弧)為初均數卯為平逺辰為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十四分四十九秒(即壬)(卯弧)與初均數丙甲寅角等如星從平逺卯行三百五十八度二十五分一十一秒正當最逺壬或從平逺卯行一百七十八度二十五分一十一秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺卯厯辰行三百二十度至已則於卯癸辰巳弧三百二十度加壬卯弧一度三十四分四十九秒(即初均數)得壬卯癸辰巳弧三百二十一度三十四分四十九秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其寅甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即午寅弧)此形有丑角一百四十一度三十四分四十九秒(於壬卯癸辰巳弧内減去)(壬卯癸半周即得)有己丑半徑七百二十二萬四千八百五十有丑甲邊一千零七萬五千三百八十七(求丑甲邊法見)(前求初均數篇)求得甲角一十五度五十五分二十七秒即午寅弧為次均數與初均數寅丙弧一度三十四分四十九秒相加(因初均寅點在平行)(丙點之後而次均午點又在寅點之後故相加)得午丙弧一十七度三十分一十六秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊厯己行三百度至未為自行十宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行二百四十度至申星從次輪平逺卯行四十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲寅角等次均數戌甲亥角與寅甲午角等兩角相加之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及伏見度以推次)(輪半徑亦用丑甲巳三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百二十度至子為自行四宫初度次輪心則從均輪最近辛行二百四十度至丑從地心甲計之當本天之寅其丙甲寅角一度三十六分一十一秒(即寅丙弧)為初均數卯為平逺辰為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十六分一十一秒(即壬卯弧)與初均數丙甲寅角等如星從平逺卯行三百五十八度二十三分四十九秒正當最逺壬或從平逺卯行一百七十八度二十三分四十九秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺卯行七十度至已則於卯巳弧七十度加壬卯弧一度三十六分一十一秒(即初均數)得壬卯巳弧七十一度三十六分一十一秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其寅甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即寅午弧)此形有丑角一百零八度二十三分四十九秒(於壬卯巳癸半周内減去壬卯)(巳弧即得)有己丑半徑七百二十二萬四千八百五十有丑甲邊九百九十三萬一千五百一十求得甲角二十九度一十八分三十六秒即午寅弧為次均數與初均數寅丙弧一度三十六分一十一秒相減(因初均寅)(點在平行丙點之後而次均午點在平行丙點之前)(故相減)餘丙午弧二十七度四十二分二十五秒為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴巳行二百四十度至未為自行八宫初度次輪心則從均輪最近辛行一周復行一百二十度至申星從次輪平逺卯行二百九十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲寅角等次均數戌甲亥角與寅甲午角等兩角相減所餘之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也御製歴象考成上編卷十三
## 上編卷十四
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十四五星厯理六(專論水星)水星平行度用水星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑求初均數求次均數水星平行度水星之平行經度(即本輪心行度)亦即太陽之平行經度其在次輪周每日之平行亦用前後兩測與金星同新法厯書載古測定四十六平年又十二日十分日之四或一萬六千八百零二日又十分日之四水星行次輪一百四十五周(即會日一百四十五次退合亦一百四十五次)置中積一萬六千八百零二日又十分日之四為實星行次輪周數一百四十五為法除之得周率一百一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纖五十忽二十四芒(即一百一)(十五日零十分日之八分七八六二授時歴作一百一十五日八七六○) 乃以每周三百六十度為實周率一十一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纖五十忽二十四芒為法除之得三度零六分二十四秒零六微五十九纖二十九忽二十二芒為每日水星在次輪周之平行(一名伏見行)既得毎日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得毎時每分之平行以立表用水星距太陽前後極逺度求最髙及本輪均輪半徑測水星兩心差之法與金星同蓋其行旋繞太陽不得與太陽衝故亦須測其距太陽前後極逺之度先得最髙所在而後得兩心差也新法厯書載西人多録某於漢順帝永和三年戊寅測得最髙在壽星宫一十度一十五分兩心差為本天半徑十萬分之九千四百零七取其六分之五為本輪半徑六分之一為均輪半徑逮後西人第谷又於明萬厯十三年乙酉測得最髙在析木宫初度一十分一十七秒每年最髙行一分四十五秒一十四微定兩心差為本天半徑千萬分之六十八萬二千一百五十五本輪半徑為五十六萬七千五百二十三(比六分之五微小)均輪半徑為一十一萬四千六百三十二(比六分之一微大)用其數推算均數與天行密合今仍用其數而述其測法如左求最髙之法用晨夕兩測取其平行實行之大差相等者用之假如第一次晨測得水星實行在壽星宫一十度一十五分一十四秒如甲太陽平行在壽星宫二十九度三十二分即水星之平行如乙甲乙弧一十九度一十六分四十六秒為平行實行之大差第二次夕測得水星實行在星紀宫二十七度一十二分四十六秒如丙太陽平行在星紀宫七度五十六分即水星之平行如丁丁丙弧亦一十九度一十六分四十六秒為平行實行之大差兩測平行實行之大差既等則最髙最卑線必在兩平行宫度之中試取乙丁兩平行相距之弧折半於戊從戊過地心己至庚作戊庚線即為最髙最卑線而不同心天之心必在此線之上乃於戊庚線上任取辛點為心作壬癸子丑不同心天復從辛點作壬辛丑辛兩線與乙巳丁巳平行即以壬丑兩點各為心作兩次輪切己甲線於寅切己丙線於卯第一次晨測時次輪心循不同心天行至壬以太陽平行計之當恒星天之乙(乙距戊之度與壬距辰之度等)故乙點為平行星循次輪周行至寅從地心己計之當恒星天之甲故甲點為實行甲乙相距之一十九度一十六分四十六秒即癸巳寅角第二次夕測時次輪心循不同心天行至丑以太陽平行計之當恒星天之丁(丁距戊之度與丑距辰之度等)故丁點為平行星循次輪周行至卯從地心己計之當恒星天之丙故丙點為實行丁丙相距之一十九度一十六分四十六秒即子己卯角此癸巳寅及子己卯兩角之大小因平行距最髙之逺近而殊盖平行距最髙近則不同心天距地心之線長而角小平行距最髙逺則不同心天距地心之線短而角大也今兩已角既相等則癸巳與子巳距地心之兩線必等而乙點與丁點距最髙之度亦必等故以乙點之夀星宫二十九度三十二分與丁點之星紀宫七度五十六分相加折半得析木宫三度四十四分如戊其衝為實沈宫三度四十四分如庚得戊庚為最髙最卑之線也欲定其孰為最髙須再測之假如再用晨測得水星實行在鶉首宫一十六度四十二分五十四秒如已太陽平行在鶉火宫六度三十分如午巳午弧一十九度四十七分零六秒為平行實行之大差試從辛點作辛未線與巳午平行即以未點為心作次輪切己巳線於申次輪心循不同心天行至未以太陽平行計之當恒星天之午故午點為平行星循次輪周行至申從地心己計之當恒星天之巳故巳點為實行巳午相距之一十九度四十七分零六秒即酉己申角比前所測癸巳寅角多三十分二十秒夫先測之平行乙點距析木宫戊點近而平行實行之差少是近最髙而差角小也後測之平行午點距析木宫戊點逺而平行實行之差多是逺最髙而差角大也然則析木宫戊點為最髙而實沈宫庚點為最卑可知矣求兩心差之法亦用兩測擇其平行度一當最髙一當最卑而距太陽極逺者用之假如太陽平行在析木宫三度正當水星最髙之點如戊於時測得水星實行為析木宫二十三度四十八分三十二秒如甲其平行實行之差為二十度四十八分三十二秒即甲巳戊角又於太陽平行在實沈宫三度亦正當水星最卑之點如庚於時測得水星實行為大梁宫八度五十八分如乙其平行實行之差為二十四度零二分即乙己庚角乃以戊點為心切己甲線於丙庚點為心切己乙線於丁各作一水星次輪又從戊點至丙庚點至丁作兩半徑即成己丙戊己丁庚兩直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己邊此形有丙直角有己角二十度四十八分三十二秒命戊丙半徑為一○○○○○○○求得戊巳邊二八一四九○三二又用己丁庚直角三角形求己庚邊此形有丁直角有己角二十四度零二分命庚丁半徑為一○○○○○○○求得己庚邊二四五五三八五○以戊己與己庚相加得戊庚五二七○二八八二為本天全徑半之得戊辛或辛庚二六三五一四四一為本天半徑辛庚半徑内減去己庚三四五五三八五○餘辛巳一七九七五九一為兩心差乃用比例法變先所得之本天半徑為同比例數以先所得之本天半徑二六三五一四四一與先所得之兩心差一七九七五九一之比即同於今所設之本天半徑一○○○○○○○與今所得之兩心差之比而得六八二一六○為兩心差也求初均數水星之初均數授時厯亦名盈縮差止用一表不分盈縮其最大者二度二八六一四八四七以周天三百六十度每度六十分約之得二度一十五分一十一秒五十一微新法厯書最大之初均數為三度三十四分二十秒二十三微(即三度零十分度之五分七二三二八七)惟星在次輪周之行度正當最逺最近二點之時止用此均數加減若在最逺最近前後仍有次均數之加減故此名初均數以别之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十六萬七千五百二十三戊為最髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為一十一萬四千六百三十二辛為最逺(去本輪心逺也)癸為最近(去本輪心近也)本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有餘(與太)(陽之平行同)即水星經度均輪心循本輪左旋自戊而己而庚每月亦行五十九分零八秒有餘(微不及於經度之行每年少一分四十五秒一十四)(微)即自行引數次輪心則循均輪右旋自辛而壬而癸每日行二度五十七分有餘為三倍引數也(土木火金四星之次輪心皆起均輪)(最近行倍引數惟水星則起均輪最逺行三倍引數)如均輪心在本輪之最髙戊為初宫初度則次輪心在均輪之最逺辛或均輪心從本輪最髙戊向己行半周至最卑庚為六宫初度則次輪心亦從均輪最逺辛歴壬癸行一周至辛復自辛歴壬行半周至最近癸從地心甲計之俱成一直線無平行實行之差故自行初宫初度及六宫初度俱無均數也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宫初度則次輪心從均輪最逺辛行九十度至丑(辛丑弧為戊子弧之三倍)從地心甲計之當本天之寅寅丙弧為實行不及平行之度乃用丙子丑三角形求丙角及丑丙邊此形有子角九十度(當丑癸弧)有子丙本輪半徑五十六萬七千五百二十三有丑子均輪半徑一十一萬四千六百三十二求得丙角一十一度二十五分一十秒丑丙邊五十七萬八千九百八十五以丙角一十一度二十五分一十秒與子丙庚角一百五十度相加(當子庚弧為自行度減半周之餘)得丑丙庚角一百六十一度二十五分一十秒於是用丑丙甲三角形求甲角此形有丙角一百六十一度二十五分一十秒有丑丙邊五十七萬八千九百八十五有丙甲本天半徑一千萬求得甲角一度零七秒即寅丙弧為自行一宫初度之初均數是為減差以減於平行而得實行也(凡求)(得初均角即求得丑甲邊為次輪心距地心之數存之為後求次均之用)若均輪心從最髙戊向己歴庚行三百三十度至卯為十一宫初度則次輪心從均輪最逺辛行二周復自最逺辛歴壬癸行二百七十度至辰從地心甲計之當本天之己巳丙弧與寅丙弧等故自行十一宫初度之初均數與一宫初度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最髙後三宫之減差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均輪心從本輪最髙戊行一百三十五度至午為四宫一十五度則次輪心從均輪最逺辛歴壬癸行一周復行四十五度至未從地心甲計之當本天之申申丙弧為實行不及平行之度乃用丙午未三角形求丙角及丙未邊此形有午角一百三十五度(當癸未弧)有丙午本輪半徑五十六萬七千五百二十三有午未均輪半徑一十一萬四千六百三十二求得丙角七度零七分二十五秒丙未邊六十五萬三千六百三十四以丙角七度零七分二十五秒與午丙庚角四十五度相加(當午庚弧為自行度減半周之餘)得未丙庚角五十二度零七分二十五秒於是用未丙甲三角形求甲角此形有丙角五十二度零七分二十五秒有丙未邊六十五萬三千六百三十四有丙甲本天半徑一千萬求得甲角三度零四分三十六秒即申丙弧為自行四宫一十五度之初均數是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊向已歴庚行二百二十五度至酉為七宫一十五度則次輪心從均輪最逺辛行一周復自辛歴壬癸行三百一十五度至戌從地心甲計之當本天之亥亥丙弧與申丙弧等故自行七宫一十五度之初均數與四宫一十五度等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也用此法求得最卑前三宫之減差(三宫初度至五宫末度)即得最卑後三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均數求水星次均數之理與金星同新法厯書載西人多録某測得次輪半徑為本天半徑十萬分之三萬五千七百二十其後西人第谷又改為本天半徑千萬分之三百八十五萬今從之如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑一千萬戊丙巳為本輪全徑戊丙半徑為五十六萬七千五百二十三戊為最髙己為最卑庚戊辛為均輪全徑庚戊半徑為一十一萬四千六百三十二庚為最逺辛為最近(此逺近以距本輪心言)壬庚癸為次輪全徑壬庚半徑為三百八十五萬壬為最逺癸為最近(此逺近以距地心言)因均輪心在最髙故平逺點與最逺點合而壬亦即為平逺癸亦即為平近本輪心從本天冬至度右旋為經度(即太陽平行度)均輪心從本輪最髙戊左旋為引數(即自)(行度)次輪心從均輪最逺庚右旋為三倍引數星從次輪平遠點右旋行伏見度如均輪心在本輪最髙戊為自行初宫初度次輪心在均輪最逺庚星在次輪之最逺壬或在次輪之最近癸從地心甲計之與輪心同在一直線故無均數之加減過此二點則星在次輪周之左右而次均生矣如均輪心從最髙戊行六十度至子為自行二宫初度次輪心則從均輪最逺庚行一百八十度至辛從地心甲計之當本天之丑其丙甲丑角二度一十一分四十七秒(即丑丙弧)為初均數寅為平逺卯為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之寅辛壬角亦二度一十一分四十七秒(即壬)(寅弧)與初均數丙甲丑角等加星從平逺寅行三百五十七度四十八分一十三秒正當最逺壬或從平逺寅行一百七十七度四十八分一十三秒正當最近癸則與次輪心辛同在一直線而無次均數若星從次輪平逺寅歴卯行三百三十度至辰則於寅癸卯辰弧三百三十度加壬寅弧二度一十一分四十七秒(即初均數)得壬寅癸卯辰弧三百三十二度一十一分四十七秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之己其丑甲巳角即次均數乃用辛甲辰三角形求甲角(即己丑弧)此形有辛角一百五十二度一十一分四十七秒(於壬寅癸卯辰弧内減去)(壬寅癸半周即得)有辰辛半徑三百八十五萬有辛甲邊一千零二十三萬三千九百六十五(求辛甲邊法見前求初均數篇)求得甲角七度三十分零二秒即己丑弧為次均數與初均數丑丙弧二度一十一分四十七秒相加(因初均丑)(點在平行丙點之後而次均己點又在丑點之後故)(相加)得己丙弧九度四十一分四十九秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴己行三百度至午為自行十宫初度次輪心則從均輪最逺庚行二周復行一百八十度至辛星從次輪平逺寅行三十度至未則初均數丙甲申角與丙甲丑角等次均數申甲酉角與丑甲巳角等兩角相加之丙甲酉角亦與丙甲巳角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也(若測得平行實行之差及伏見度以)(推次輪半徑亦用辛甲辰三角形求之)如均輪心從最髙戊行一百一十度至子為自行三宫二十度次輪心則從均輪最逺庚行三百三十度至丑從地心甲計之當本天之辰其丙甲辰角三度三十四分二十六秒(即辰丙弧)為初均數寅為平逺卯為平近壬為最逺癸為最近其平逺距最逺之寅丑壬角亦三度三十四分二十六秒(即壬寅弧)與初均數丙甲辰角等如星從平逺寅行三百五十六度二十五分三十四秒正當最逺壬或從平逺寅行一百七十六度二十五分三十四秒正當最近癸則與次輪心丑同在一直線而無次均數若星從次輪平逺寅行二百度至巳則於寅癸卯巳弧二百度加壬寅弧三度三十四分二十六秒(即初均數)得壬寅癸卯巳弧二百零三度三十四分二十六秒為星距次輪最逺之度從地心甲計之當本天之午其辰甲午角即次均數乃用丑甲巳三角形求甲角(即午辰弧)此形有丑角二十三度三十四分二十六秒(於壬)(寅癸卯巳弧内減去壬寅癸半周即得)有己丑半徑三百八十五萬有丑甲邊九百七十三萬七千零一十九求得甲角一十三度五十五分四十四秒即午辰弧為次均數與初均數辰丙弧三度三十四分二十六秒相加得午丙弧一十七度三十分一十秒為實行不及平行之度是為減差以減於平行而得實行也若均輪心從最髙戊歴己行二百五十度至未為自行八宫十度次輪心則從均輪最遠庚行二周復行三十度至申星從次輪平遠寅行一百六十度至酉則初均數丙甲戌角與丙甲辰角等次均數戌甲亥角與辰甲午角等兩角相加之丙甲亥角亦與丙甲午角等但為實行過於平行之度是為加差以加於平行而得實行也御製厯象考成上編卷十四
## 上編卷十五
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十五五星厯理七(五星合論)五星交周土木火三星緯度金水二星緯度五星伏見五星視差五星交周五星交周名義雖與太隂同而其行之順逆實相反也(太隂之交逆行五星之交順行)然而本道與黄道交周土木火三星有之而金水二星則無何也土木火三星各有本道與黄道斜交其自黄道南過黄道北之㸃亦為正交自黄道北過黄道南之㸃亦為中交自交而後便生距度此本道與黄道相距所生之緯度也若夫金水二星則皆以黄道為本道因無二道之交㸃故亦無二道相距之緯度也其所以又有緯度者由於次輪之面不與本道平行星行次輪周凡離本道者皆生緯度此又非獨金水二星為然即土木火三星亦然也是故土木火三星本道與黄道相交之兩㸃仍名之曰交周自兩交㸃過地心作徑線名之曰交線自兩交之中過地心作徑線名之曰大距線其次輪面之東西徑線恒當本道之平面而與交線平行者曰樞線次輪面之南北徑線恒與本道斜交而與黄道平行者曰次輪大距線其樞線之兩端恒與本道相當遂成兩交㸃今名之曰次交㸃而金水二星次輪面之東西徑線亦曰樞線南北徑線亦曰次輪大距線其樞線之兩端亦與本道(卽黄道)相當今亦名之曰次交㸃而與樞線平行之本道徑線仍名之曰交線交線之兩端仍名之曰交周(金水二星本無交周因次輪最逺距次輪)(兩交㸃之度即次輪心距交線兩端之度故仍名曰交周)又土木火三星之次輪面不與本道平行而金水二星之次輪面亦不與本道平行此五星之所同次輪心行至本道之兩交㸃則樞線與交線合次輪心行至本道兩交之中星又行至次輪兩交㸃之中則緯度極大故五星之交周㸃即緯度起算之端也新法厯書載崇禎元年戊辰土星正交在鶉首宫二十度四十一分五十二秒中交在星紀宫二十度四十一分五十二秒每年交行四十一秒五十三微本天與黄道相交之角為二度三十一分木星正交在鶉首宫七度零九分零八秒中交在星紀宫七度零九分零八秒每年交行一十三秒三十六微本天與黄道相交之角為一度一十九分四十秒火星正交在大梁宫一十七度零二分二十九秒中交在大火宫一十七度零二分二十九秒每年交行五十二秒五十七微本天與黄道相交之角為一度五十分金星正交恒距最髙一十六度在實沈宫一十四度一十六分零六秒中交在析木宫一十四度一十六分零六秒每年交行一分二十二秒五十七微水星正交恒與最卑同在實沈宫一度二十五分四十二秒(舊作中交)中交在析木宫一度二十五分四十二秒(舊作正交)每年交行一分四十五秒一十四微至於金水二星之次輪面與黄道相交之角則未載其數今按其緯度表推之金星次輪面交黄道之角為三度二十九分水星次輪心在正交當黄道北之角為五度零五分一十秒當黄道南之角為六度三十一分零二秒次輪心在中交當黄道北之角為六度一十六分五十秒當黄道南之角為四度五十五分三十二秒次輪心在兩交之中當黄道南北之角皆五度四十分夫五星之次輪面斜交本道其交角宜相等而輪心南北之角為交錯之角其度尤宜相等惟水星獨不等或因水星近日逼於陽光低昻不定亦未可知然其體甚微且不數見於其應見時謹候之隨見即𨼆無從測騐以得其確準也土木火三星交周如甲為地心乙丙丁戊為黄道乙巳丁庚為星本道丙巳戊庚為過二極經圏星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙為正交丁為中交己丙與戊庚為大距當乙丁二交角土星為二度三十一分木星為一度一十九分四十秒火星為一度五十分乙丁為交線己庚為大距線辛壬癸子為次輪其面與本道斜交(本道上有本輪均輪而次)(輪心在均輪周然本輪均輪皆與本道成一平面自)(地心作視線與本道參直故止将次輪畫於本道以)(便觀覽)而與黄道平行辛壬癸半周在本道南(低於本道之下)癸子辛半周在本道北(昻於)(本道之上)其辛癸徑線恒當本道之平面而與乙丁交線平行今名之曰樞線樞線之辛癸兩端自地心甲視之恒當本道故與本道成兩交點今名之曰次交點辛為次輪正交癸為次輪中交其壬子徑線恒與本道面斜交(壬子線本在兩交之中因與本)(道斜交非平行面故作旁視之形以顯交角)若與本道面平行作丑寅線則壬己丑及寅巳子諸角即次輪面與本道面斜交之角與二道之交角等其壬子二點距本道最大故壬子線今名之曰次輪大距線次輪心在本道乙丁兩交點則無本道距黄道之緯度次輪心在己或在庚則本道距黄道之緯度極大星在次輪辛癸兩交點則無星距本道之緯度星在壬或在子則星距本道之緯度極大然星距次輪兩交之度實由次輪心距木道兩交之度而知盖土木火三星行次輪周皆自合伏起算(即次輪最逺)而合伏距次輪正交之度即與次輪心距本道正交之度等試自地心過次輪心作夘辰逺近線夘為合伏時星當本道視線點辰為退衝時星當本道視線點次輪心行至本道正交乙則合伏所當本道視線夘點與次輪正交辛點合次輪心行至本道中交丁則合伏所當本道視線夘點與次輪中交癸點合次輪心行至本道大距己距正交乙九十度則合伏所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦九十度次輪心行至本道大距庚距中交丁九十度則合伏所當本道視線夘點距次輪中交癸點亦九十度若次輪心距本道正交乙行四十五度至己則合伏所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦四十五度是知次輪心距本道正交之度即合伏距次輪正交之度以星距合伏之度與次輪心距本道正交之度相加即得星距次輪正交之度故本道之乙丁兩交點為緯度起算之端也金水二星交周如甲為地心乙丙丁戊為星本道即黄道丙戊為過黄極經圈本道與黄道既為一體故無二道之交亦無相距之緯辛壬癸子為次輪與黄道斜交辛壬癸半周在黄道北(昻於黄道之上)癸子辛半周在黄道南(低於黄道之下)其辛癸徑線恒當黄道之平面任次輪心在黄道之何處其辛癸徑線皆相為平行今亦名之曰樞線樞線之辛癸兩端自地心甲視之恒當黄道故與黄道成兩交點今亦名之曰次交點辛為次輪正交癸為次輪中交(因辛點為自黄道南過黄道北之點故名正交)(癸點為自黄道北過黄道南之點故名中交與土木)(火三星之本道兩交點相應與次交點相反)其壬子徑線恒與黄道面斜交(壬子線本在兩交之中因與黄道斜交非平行)(面故作旁視之形以顯交角)若與黄道面平行作丑寅線則丑丙壬及寅丙子諸角即次輪面與黄道面斜交之角其壬子二點距黄道最大故壬子線今亦名之曰次輪大距線星在次輪辛癸兩交點則無星距黄道之緯度星在壬或在子則星距黄道之緯度極大然金水二星行次輪周自平逺起算而求次均與緯度皆自最逺起算其距次交點之度無由而知故與樞線平行作乙丁徑線亦名曰交線又自地心過次輪心作夘辰逺近線夘為最逺時星當本道視線點辰為最近時星當本道視線點次輪心行至交線乙則最逺所當本道視線夘點與次輪正交辛點合次輪心行至交線丁則最逺所當本道視線夘點與次輪中交癸點合次輪心距交線乙行九十度至丙則最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦九十度次輪心距交線丁行九十度至戊則最逺所當本道視線夘點距次輪中交癸點亦九十度若次輪心距交線乙行四十五度至己則最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛點亦四十五度故乙點亦命為正交下點亦命為中交丙戊二點亦命為大距所以紀次輪最逺距次交點之度而為緯度起算之端其實無本道之交周點也土木火三星緯度土木火三星緯度之原有四一由本道與黄道斜交本輪心循本道右旋均輪次輪亦隨之而右旋次輪心雖不在本道然當本道之平面自地心計之與在本道等若次輪心適當二道之交則無緯度距交漸逺則緯度漸大今名之曰初緯乃初經度所當本道距黄道之緯度即次輪心距黄道之緯度也一由星循次輪周行其經度既因次均數之加減而不同於初經則緯度亦不同於初緯今名之曰實緯乃實經度所當本道距黄道之緯度也一由次輪面與本道斜交而與黄道平行半周在本道南半周在本道北又生緯度今名之曰次緯乃星距本道之緯度也一由緯度之角生於地心而次緯之角却生於次輪心必求得次緯當地心之角與實緯相加減方為星距黄道之緯度(實緯在黄道北而次緯又在本道北或實緯在黄道南而次緯又在本道南則)(相加若實緯在黄道北而次緯却在本道南實緯在黄道南而次緯却在本道北則相減)今名之曰視緯乃自地心作視線所得之真緯度也然如此立法則甚繁且實緯與黄道成直角而次緯却與本道成直角亦難於加減入算况次輪面與黄道平行星距地心之逺近雖不等而距黄道之逺近必與次輪心距黄道之逺近等夫既有次輪心距黄道之弧即可得星距黄道之邊再有星距地心之邊即可得視緯之角又不必以實緯與次緯相加減而得之也故今立法惟以次輪心距本道正交之度(初經度内減正交度)(即得)求得初緯即以次輪心距地心線與初緯之正弦為比例而得星距黄道線又以星距合伏之度(即次輪最)(逺)用三角形法求得星當黄道視線㸃距地心之逺與星距黄道線為比例而得視緯度要之初緯度小星在合伏前後則距地心逺而視緯度愈小初緯度大星又在退衝前後則距地心近而視緯度愈大也新法厯書載西人第谷測得次輪心在兩交之中星又在次輪最近其視緯極大(兩交之中為二道之大距次輪心在此其初緯)(極大星又在次輪最近其距地心之線極短故視緯尤大)土星北緯為二度四十八分南緯為二度四十九分木星北緯為一度三十八分南緯為一度四十分火星北緯為四度三十一分南緯為六度四十七分(本輪有髙卑則次輪心距地有逺近逺則緯小近則)(緯大因次輪心在本道之北半周當最髙南半周當最卑故南緯大於北緯也)如圖甲為地心乙丙丁戊為黄道乙巳丁庚為星本道丙巳戊庚為過二極經圈星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙為正交丁為中交辛壬癸子為次輪次輪心所當宫度為初經度如次輪心行至正交乙或中交丁則無初緯度次輪心距本道正交乙行九十度至己或距本道中交丁行九十度至庚則己丙或庚戊為初緯度即大距度若次輪心距本道正交乙行四十五度至己則己年為初緯度當己甲午角其法以乙巳九十度之正弦與己丙大距度正弦之比即同於乙巳距交四十五度之正弦與巳午距緯度正弦之比也(此即正弧三角形有黄赤交角)(有黄道求距緯之法盖乙角即如黄赤交角乙巳即)(如黄道乙午即如赤道己午即如距緯也)又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星行至次輪中交癸當本道之未則未為實經度未申為實緯度當未甲申角其法亦以丁巳九十度之正弦與己丙大距度正弦之比即同於丁未距交度之正弦與未申距緯度正弦之比也(與求初緯法同)又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星合伏時所當本道視線夘距次輪正交辛亦九十度其實經度仍當本道之己則己甲丙角為初緯度(即己丙大距度)亦即實緯度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在壬低於夘點之下壬巳夘角為次緯度壬酉線為星距本道視線之逺其當地心之角為己甲壬角與實緯己甲丙角相減餘壬甲丙角乃為視緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至己星退衝時則當本道視線辰其實經度仍當本道之己則己甲丙角為初緯度(即己丙大)(距度)亦即實緯度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在子昻於辰點之上子己辰角為次緯度子戌線為星距本道視線之逺其當地心之角為子甲巳角與實緯己甲丙角相加得子甲丙角乃為視緯度也今立求視緯法先求初緯即求視緯而不用求實緯及次緯焉盖次輪面與黄道平行星距黄道視線之逺近必與次輪心距黄道之逺近等如次輪心行至本道正交乙或中交丁其壬子次輪大距線正當黄道自地心視之則辛壬癸子次輪面與壬子次輪大距線合任星在次輪周之何處無初緯亦無視緯如次輪心行至本道大距己或本道大距庚其壬子次輪大距線與丙戊黄道徑線平行而辛壬癸子次輪面亦與壬子大距線平行任星在次輪周之何處其距黄道視線之逺近皆與輪心距黄道之逺近等惟求得星當黄道視線點距地心之逺與星距黄道之逺近為比例即得視緯之角其法甚便也如次輪心距本道正交乙行九十度至己則己甲丙角為初緯(即己丙大距度)星在合伏壬求視緯則以本天半徑與初緯己丙弧正弦之比即同於己甲次輪心距地心與己亥之比(求次輪心距地)(心見前求初均數篇)而得己亥與壬乾等為星距黄道視線之逺又以本天半徑與初緯己丙弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其乾亥一段即與壬巳次輪半徑等以乾亥與亥甲相加得乾甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以乾甲與壬乾之比即同於半徑全數與壬甲乾角正切之比而得壬甲乾角為星在合伏壬之視緯度也如星在退衝子則星距黄道視線之逺為子坎仍與己亥等而亥坎亦與己子次輪半徑等以亥坎與亥甲相減餘坎甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以坎甲與子坎之比即同於半徑全數與子甲坎角正切之比而得子甲坎角為星在退衝子之視緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至己則己甲丙角為初緯(即己丙大距度)星距合伏壬行六十度至艮其距黄道視線之逺為艮震與己亥等今所求之視緯即艮甲震角艮甲為星距地心之逺震甲為星當黄道視線點距地心之逺艮巽為艮壬弧六十度之正弦與震離等巽己為艮壬弧六十度之餘弦與離亥等而㢲離亦與己亥等故以半徑全數與六十度正弦之比即同於艮己次輪半徑與艮巽次輪六十度正弦之比而得艮巽又以半徑全數與六十度餘弦之比即同於艮己次輪半徑與巽己次輪六十度餘弦之比而得巽己又以半徑全數與初緯己丙弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其離亥一段原與巽己等以離亥與亥甲相加得離甲乃用震離甲勾股形求震甲離甲為股震離為勾求得震甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以震甲與艮震之比即同於半徑全數與艮甲震角正切之比而得艮甲震角為星距合伏六十度艮之視緯度也如次輪心距本道正交乙行四十五度至己則先求得己甲午角為初緯(即己午距)(緯度)又與甲午黄道徑線平行作坤兌線即知合伏時星在坤低於夘辰逺近線之下退衝時星在兌昻於夘辰逺近線之上如星在合伏坤則以本天半徑與初緯己午弧正弦之比即同於己甲次輪心距地心與己亥之比而得己亥與坤乾等為星距黄道視線之逺又以本天半徑與初緯己午弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其乾亥一段即與坤己次輪半徑等以乾亥與亥甲相加得乾甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以乾甲與坤乾之比即同於半徑全數與坤甲乾角正切之比而得坤甲乾角為星在合伏坤之視緯度也如星在退衝兌則星距黄道視線之逺為兌坎仍與己亥等而亥坎亦與巳兌次輪半徑等以亥坎與亥甲相減餘坎甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以坎甲與兌坎之比即同於半徑全數與兌甲坎角正切之比而得兌甲坎角為星在退衝兌之視緯度也如次輪心距本道正交乙行四十五度至己則己甲午角為初緯星過退衝兌行七十度至艮其距黄道視線之逺為艮震與己亥等今所求之視緯即艮甲震角艮甲為星距地心之逺震甲為星當黄道視線點距地心之逺艮巽為艮兌弧七十度之正弦與震離等巽己為艮兌弧七十度之餘弦與離亥等而巽離亦與己亥等故以半徑全數與七十度正弦之比即同於艮己次輪半徑與艮巽次輪七十度正弦之比而得艮巽又以半徑全數與七十度餘弦之比即同於艮己次輪半徑與巽己次輪七十度餘弦之比而得巽己又以半徑全數與初緯己午弧餘弦之比即同於己甲次輪心距地心與亥甲之比而得亥甲其離亥一段原與巽己等以離亥與亥甲相減餘離甲乃用震離甲勾股形求震甲離甲為股震離為勾求得震甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以震甲與艮震之比即同於半徑全數與艮甲震角正切之比而得艮甲震角為星過退衝七十度艮之視緯度也又求合伏退衝視緯㨗法不用求星距黄道視線及星當黄道視線點距地心之逺即以初緯度與次輪心距地心及次輪半徑為三角形算之如次輪心在本道大距己星在合伏壬求視緯則用壬巳甲三角形此形有己甲次輪心距地心有壬巳次輪半徑有己角為初緯壬巳夘角之外角(壬巳夘角與己甲丙角等)求得甲壬己角與壬甲丙角等即星在合伏壬之視緯度也如星在退衝子求視緯則用子巳甲三角形此形有己甲次輪心距地心有己子次輪半徑有己角為初緯角(子巳甲角與己甲丙角等)求得己子甲角與半周相減餘甲子丑角與子甲丙角等即星在退衝子之視緯度也金水二星緯度金水二星緯度生於次輪本無初緯實緯盖因其本道即黄道本輪心循黄道右旋均輪次輪亦隨之而右旋次輪心雖不在黄道然當黄道之平面自地心計之與在黄道等故無初緯星循次輪周行其實行所當本道經度亦即黄道度故無實緯也其次輪與黄道斜交半周在南半周在北乃生緯度今亦名之曰次緯次緯當地心之角即星距黄道之緯度今亦名之曰視緯今立法先以星距次輪正交之度(以星距次)(輪最逺度與次輪心距黄道正交度相加即得)求得次緯即以次輪半徑與次緯之正弦為比例而得星距黄道線又以星距次輪最逺之度用三角形法求得星當黄道視線點距地心之逺與星距黄道線為比例而得視緯度要之次緯度小星在最逺前後則距地心逺而視緯度愈小次緯度大星又在最近前後則距地心近而視緯度愈大也新法厯書載西人第谷測得次輪心在兩交之中星在次輪最近其緯度極大(次輪心在兩交之中則最近即)(次輪之大距故緯度極大)金星為九度零二分水星為三度三十三分(金水二星本道之交點皆近最髙則兩交之中皆近中距故次輪心距地心之逺近皆等而南)(北之緯度亦等)如圖甲為地心乙丙丁戊為星本道即黄道丙戊為過黄極經圈辛壬癸子為次輪次輪心所當宫度為初經度即黄道度故無初緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星行至次輪正交辛當本道之己則己為實經度亦即黄道度故亦無實緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺時所當本道視線夘距次輪正交辛亦九十度然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在壬昻於夘點之上壬丙夘角為次緯度壬午線為星距黄道視線之逺其當地心之角為壬甲午角即視緯度也又如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最近時則當本道視線辰然次輪面與本道斜交自地心計之星雖與夘辰逺近線參直而星實在子低於辰點之下子丙辰角為次緯度子未線為星距黄道視線之逺其當地心之角為子甲未角即視緯度也今立求視緯法先求次緯如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺壬則次輪面與本道斜交之壬丙夘角即次緯以半徑全數與壬丙夘角正弦之比即同於壬丙次輪半徑與壬午之比而得壬午為星距黄道視線之逺又以半徑全數與壬丙夘角餘弦之比即同於壬丙次輪半徑與午丙之比而得午丙與丙甲次輪心距地心相加得午甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以午甲與壬午之比即同於半徑全數與壬甲午角正切之比而得壬甲午角即星在次輪最逺壬之視緯度也如星在次輪最近子則次輪面與本道斜交之子丙辰角為次緯以半徑全數與子丙辰角正弦之比即同於子丙次輪半徑與子未之比而得子未為星距黄道視線之逺又以半徑全數與子丙辰角餘弦之比即同於子丙次輪半徑與未丙之比而得未丙與丙甲次輪心距地心相減餘未甲為星當黄道視線點距地心之逺仍以未甲與子未之比即同於半徑全數與子甲未角正切之比而得子甲未角為星在次輪最近子之視緯度也如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星距次輪最逺壬行三十度至申則以星距最逺壬申弧三十度與最逺距次輪正交辛壬弧九十度相加(辛壬弧與乙丙)(弧等)得辛申弧一百二十度為星距次輪正交度與半周相減餘申癸弧六十度為星距次輪中交度先求次緯以半徑全數與次輪面斜交本道之壬丙夘角正弦之比即同於距交申癸弧之正弦與次緯申丙酉角正弦之比而得申丙酉角為次緯度復以半徑全數與次緯申丙酉角正弦之比即同於申丙次輪半徑與申酉之比而得申酉為星距黄道視線之逺今所求之視緯即申甲酉角申甲為星距地心之逺酉甲為星當黄道視線點距地心之逺申戌為壬申弧三十度之正弦與酉亥等戌丙為壬申弧三十度之餘弦而戌亥亦與申酉等故以半徑全數與三十度正弦之比即同於申丙次輪半徑與申戌次輪三十度正弦之比而得申戌又以半徑全數與三十度餘弦之比即同於申丙次輪半徑與戌丙次輪三十度餘弦之比而得戌丙又以半徑全數與次輪逺近線斜交本道逺近線之壬丙夘角餘弦之比(因次輪最逺距)(次交點九十度故次輪面與本道斜交之壬丙夘角)(亦即為次輪逺近線斜交本道逺近線之角過此則)(先求次輪逺近線斜交本道逺近線之角詳見後)即同於戌丙與亥丙之比而得亥丙與丙甲次輪心距地心相加得亥甲乃用酉亥甲勾股形求酉甲亥甲為股酉亥為勾求得酉甲弦為星當黄道視線點距地心之逺於是以酉甲與申酉之比即同於半徑全數與申甲酉角正切之比而得申甲酉角為星距次輪最逺三十度申之視緯度也如次輪心距本道正交乙行一百五十度至乾則次輪最逺所當本道視線夘點距次輪正交辛亦一百五十度而距次輪中交癸即三十度然次輪面與本道斜交最逺時星在坎昻於夘辰逺近線之上最近時星在艮低於夘辰逺近線之下如星在最逺坎則先以半徑全數與次輪面斜交本道之壬乾丑角正弦之比即同於最逺距交坎癸弧之正弦與最逺距黄道視線之正弦之比而得坎乾夘角為次輪逺近線與本道逺近線斜交之角即次緯度以半徑全數與坎乾夘角正弦之比即同於坎乾次輪半徑與坎震之比而得坎震為星距黄道視線之逺又以半徑全數與坎乾夘角餘弦之比即同於坎乾次輪半徑與震乾之比而得震乾與乾甲次輪心距地心相加得震甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以震甲與坎震之比即同於半徑全數與坎甲震角正切之比而得坎甲震角即星在次輪最逺坎之視緯度也如星在次輪最近艮則次輪逺近線與本道逺近線斜交之艮乾辰角即次緯度以半徑全數與艮乾辰角正弦之比即同於艮乾次輪半徑與艮巽之比而得艮巽為星距黄道視線之逺又以半徑全數與艮乾辰角餘弦之比即同於艮乾次輪半徑與巽乾之比而得巽乾與乾甲次輪心距地心相減餘巽甲為星當黄道視線點距地心之逺乃以巽甲與艮巽之比即同於半徑全數與艮甲巽角正切之比而得艮甲巽角為星在次輪最近艮之視緯度也如次輪心距本道正交乙行一百五十度至乾星距次輪最逺坎行一百五十五度過最近艮一十五度至離則以星距最逺坎艮離弧一百九十五度與最逺距次輪正交辛壬坎弧一百五十度相加(辛壬坎弧與乙丙乾弧等)得三百四十五度為星距次輪正交度而距次輪正交前即一十五度先求次緯以半徑全數與次輪面斜交本道之子乾寅角正弦之比即同於距交離辛弧之正弦與次緯離乾坤角正弦之比而得離乾坤角為次緯度復以半徑全數與次緯離乾坤角正弦之比即同於離乾次輪半徑與離坤之比而得離坤為星距黄道視線之逺今所求之視緯即離甲坤角離甲為星距地心之逺坤甲為星當黄道視線㸃距地心之逺離兌為艮離弧一十五度之正弦畧與坤亥等兌乾為艮離弧一十五度之餘弦而離坤亦畧與兌亥等故以半徑全數與一十五度正弦之比即同於離乾次輪半徑與離兌次輪一十五度正弦之比而得離兌又以半徑全數與一十五度餘弦之比即同於離乾次輪半徑與兌乾次輪一十五度餘弦之比而得兌乾又以半徑全數與次輪逺近線斜交本道逺近線之艮乾辰角餘弦之比即同於兌乾與亥乾之比而得亥乾與乾甲次輪心距地心相減餘亥甲乃用坤亥甲勾股形求坤甲亥甲為股坤亥為勾求得坤甲弦為星當黄道視線㸃距地心之逺於是以坤甲與離坤之比即同於半徑全數與離甲坤角正切之比而得離甲坤角為距次輪最逺一百九十五度離之視緯度也又求最逺最近視緯㨗法不用求星距黄道視線及星當黄道視線㸃距地心之逺即以次緯度與次輪心距地心及次輪半徑為三角形算之如次輪心距本道正交乙行九十度至丙星在次輪最逺壬求視緯則用壬丙甲三角形此形有丙甲次輪心距地心有壬丙次輪半徑有丙角為次緯壬丙夘角之外角求得丙甲壬角即星在次輪最逺壬之視緯度也如星在次輪最近子求視緯則用子丙甲三角形此形有丙甲次輪心距地心有丙子次輪半徑有丙角為次緯角求得子甲丙角即星在次輪最近子之視緯度也五星伏見五星近太陽則伏逺太陽則見而伏見遲速之故有三一由星體之大小一由黄道之斜正一由緯度之南北如星體大黄道正升正降緯度在北則速見遲伏星體小黄道斜升斜降緯度在南則遲見速伏要皆視太陽在地平下之度為準新法厯書載西人多錄某測得金星當地平太陽在地平下五度即可見木星水星當地平太陽在地平下一十度方可見土星當地平太陽在地平下一十一度方可見火星當地平太陽在地平下一十一度三十分方可見盖五星之體金星最大木水二星次之土星又次之火星最小星體大則太陽在地平下之度少即可見星體小則太陽在地平下之度多方可見夫太陽在地平下之度既不等則五星距太陽之度亦不等而伏見之遲速因之不等以此定為伏見之限加以黄道經緯度推之則五星在黄道之何宫度距太陽若干度則見若干度則伏皆可得而知矣如圖甲乙丙丁為過黄極經圈甲為天頂乙丁為地平戊為黄極己庚辛為黄道庚為星當地平又正當黄道無緯度壬為太陽癸壬為太陽距地平之度即伏見之限如庚為金星則癸壬為五度庚為木星水星則癸壬為一十度庚為土星則癸壬為一十一度庚為火星則癸壬為一十一度三十分既知癸壬伏見限度則用庚癸壬正弧三角形此形有癸壬弧有癸直角有庚角為黄道交地平之角(知庚㸃為黄道之某宫某度即)(可求黄道與地平相交之角法詳交食厯理求黄平)(象限篇)求得庚壬弧即星在黄道上距太陽伏見之限星距太陽之黄道度大於庚壬弧則見小於庚壬弧則伏癸壬弧五星既各不等則庚壬弧亦不等此因星體之大小而為伏見之遲速者也又癸壬伏見限五星各有定數而庚角則時時不同設黄道斜升斜降如子丑則庚角小庚角小則庚壬弧轉大設黄道正升正降如寅夘則庚角大庚角大則庚壬弧轉小此因黄道之斜正而為伏見之遲速者也又設星在黄道北如辰其距緯為辰庚其經度仍在庚正當地平而星己在地平之上則庚壬弧不足以定伏見之限試作辰己距等圈交地平於己從黄極戊過己作經圈截黄道於午則午壬弧為星距太陽伏見之限乃用庚巳午正弧三角形此形有午直角有庚角為黄道交地平之角有己午距緯與辰庚等求得庚午弧與庚壬弧相減餘午壬弧為伏見之限盖星在辰其距太陽之黄道度大於午壬弧則見小於午壬弧則伏也設星在黄道南如未其距緯為庚未其經度仍在庚正當地平而星尚在地平之下則庚壬弧亦不足以定伏見之限試作未申距等圈交地平於申從黄極戊至申作經圈截黄道於酉則酉壬弧為星距太陽伏見之限乃用庚申酉正弧三角形此形有酉直角有庚角為黄道交地平之角有酉申距緯與庚未等求得酉庚弧與庚壬弧相加得酉壬弧為伏見之限盖星在未其距太陽之黄道度大於酉壬弧則見小於酉壬弧則伏也此因緯度之南北而為伏見之遲速者也五星視差五星視差生於地半徑其測算之法並與太陽太隂同土木二星距地極逺地半徑與本天半徑之比例土星為一與一萬零九百五十三木星為一與五千九百一十八其最大之視差俱不滿一分可以不計火星在最髙之比例為一與三千一百二十三其最大之視差為一分六秒在中距之比例為一與一千七百四十四其最大之視差為一分五十八秒在最卑之比例為一與四百一十其最大之視差為八分二十三秒金星在最髙之比例為一與一千九百八十三其最大之視差為一分四十四秒在中距與太陽同在最卑之比例為一與三百零一其最大之視差為一十一分二十五秒水星在最髙之此例為一與一千六百三十三其最大之視差為二分零六秒在中距與太陽同在最卑之北例為一與六百五十一其最大之視差為五分一十七秒盖五星距地之逺近不等故視差之大小亦不等今亦約為最髙中距最卑三限用火金水三星距地心與地半徑之比例數逐度各求地半徑差以立表御製歴象考成上編卷十五
## 上編卷十六
欽定四庫全書御製厯象考成上編卷十六恒星厯理恒星總論恒星東行測恒星法三恒星比測考經度推恒星赤道經緯度七政宿度中星時刻恒星出入地平恒星總論恒星之名見於春秋而四仲中星及斗牽牛織女參昴箕畢大火農祥龍尾鳥帑天駟天黿之屬散見於尚書易詩左傳國語至周禮春官馮相氏掌二十八星之位而禮記月令太戴禮夏小正稍具諸星見伏之節葢古者敬天勤民因時出政皆以星為紀秦炬之後羲和舊術無復可稽其傳者惟史記天官書而所載簡畧後漢張衡云中外之官常明者百有二十四可名者三百二十為星二千五百而其書不傳至三國時太史令陳卓始列巫咸甘石三家所著星圖總二百八十三官一千四百六十四星隋丹元子作步天歌叙三垣二十八宿共一千四百六十七星為觀象之津梁然尚未有各星經緯度數自唐宋而後諸厯家以儀象考測始有各星入宿去極度數視古加密矣新法厯書恒星圖表共星一千二百六十六分為六等第一等星一十七第二等星五十七第三等星一百八十五第四等星三百八十九第五等星三百二十三第六等星二百九十五外無名不入等者四百五十九康熙壬子年欽天監新修儀象志恒星亦分六等而其數又與新法厯書微異第一等星一十六第二等星六十八第三等星一百零八第四等星五百一十二第五等星三百四十二第六等星七百三十二總計一千八百七十八葢觀星者以目之所能辨因其形體聨綴成象而命之名其微茫昬暗者多不可考故各家星官之學有古少而今多者亦有古多而今少者而惟列宿及諸大星則中外如一轍也今擇其近黄道諸星及星體之大者為推凌犯中星之用其黄道經緯則依儀象志加嵗差推算為厯元康熙二十三年甲子黄道經緯度云恒星東行恒星行即古嵗差也古厯俱謂恒星不動而黄道西移今謂黄道不動而恒星東行葢使恒星不動而黄道西移則恒星之黄道經緯度宜毎嵗不同而赤道經緯度宜終古不變今測恒星之黄道經度毎嵗東行而緯度不變至於赤道經度則逐嵗不同而緯度尤甚自星紀至鶉首六宮星在赤道南者緯度古多而今漸少在赤道北者緯度古少而今漸多自鶉首至星紀六宫星在赤道南者緯度古少而今漸多在赤道北者緯度古多而今漸少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以過赤道南在赤道南者亦可以過赤道北則恒星循黄道東行而非黄道之西移明矣新法厯書載西人第谷以前恒星東行之數或云百年而行一度或云七十餘年而行一度或云六十餘年而行一度隨時修改訖無定數與古厯累改嵗差之意同迨至第谷殫精推測方定恒星毎嵗東行五十一秒約七十年有餘而行一度而元郭守敬所定亦為近之至今一百四十餘年驗之於天雖無差忒但星行微渺必厯多年其差乃見然則第谷所定之數亦未可泥為定率惟隨時測驗依天行以推其數可也測恒星法恒星東行既依黄道則測定一年之黄道經緯度而逐年之黄道經緯度皆視此矣然欲測諸恒星必以一星作距而欲測黄道經緯度必以赤道經緯度為宗葢諸曜隨天左旋惟赤極不動其經緯既與黄道相當又與地平相應時刻之早晚於是乎紀太陽之躔次於是乎辨非赤道則黄道無從而稽也其法擇恒星之大者測其方中時刻及正午髙弧乃以本時太陽赤道經度與太陽距午正赤道經度相加即星之赤道經度又以正午髙弧與赤道髙度相減即星之赤道緯度既得赤道經緯度則用弧三角法推得黄道經緯度既得一星之黄赤經緯度即以此一星作距或用黄道赤道諸儀測其相距之經緯或用地平象限諸儀測其偏度及髙弧而諸星之黄赤經緯度皆可得矣要之測恒星之法先測一星為準而此星經度必取定於太陽倘於時刻差四分則於天行差一度故須㕘互考驗方得密合或用太陰及太白比測者然皆有視差不如用太陽之確準也設如亥初初刻測得大角星方中正午髙弧七十度四十九分四十秒本時太陽赤道經度為實沈宫一十五度四十九分一十秒求大角星黄赤經緯度如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極戊巳為赤道庚辛為黄道壬為大角星當赤道之戊戊乙為京師赤道髙五十度零五分壬乙為星髙弧七十度四十九分四十秒癸為太陽當赤道之子戊子為亥初初刻距午正赤道經度以亥初初刻距午正之九小時變作一百三十五度自子㸃實沈宫一十五度四十九分一十秒計之得戊㸃為大火宫初度四十九分一十秒即大角星赤道經度又以壬乙七十度四十九分四十秒與戊乙五十度零五分相減餘壬戊二十度四十四分四十秒即大角星距赤道北緯度乃用弧三角法推之即得大角星黄道經度為夀星宫二十度二十二分三十秒緯度距黄道北三十一度零三分也(法與斜弧三角形設例第七則同)設如以大角星作距用黄道儀測心宿第二星如圖甲乙為南北極丙丁為黄極軸甲丙乙丁為過二極經圈戊巳為地平庚辛為黄道庚為冬至辛為夏至壬為黄道心壬癸為黄道心緯表子㸃為夀星宫二十度二十二分三十秒即大角星黄道經度丑㸃為其對衝即降婁宫二十度二十二分三十秒於丑㸃安表耳對丙丁黄極軸見大角星如寅當黄道之子同時於丙卯丁辰黄道經圈辰㸃安表耳對壬癸緯表見心宿第二星如卯當黄道之己乃視己㸃為析木宫五度五十五分三十秒即心宿第二星黄道經度又視辰午四度二十七分與卯巳等即心宿第二星距黄道南之緯度也設如用赤道儀測之如圖甲乙為赤極軸甲丙乙丁為子午圈丙丁為地平戊巳為赤道庚為赤道心庚辛為赤道心緯表壬為心宿第二星正到子午圈上於癸㸃安表耳對庚辛緯表見心宿第二星當赤道之戊距赤道如戊壬同時以甲子乙丑經圈對大角星寅則當赤道之子乃視子戊相距三十二度二十分五十秒與大角星赤道經度大火宫初度四十九分一十秒相加(因在距星東故加若)(在距星西則減)得析木宫三度一十分即心宿第二星赤道經度又視戊壬二十五度四十三分二十秒即心宿第二星距赤道南之緯度既得赤道經緯度用弧三角法推之亦得心宿第二星黄道經度為析木宫五度五十五分三十秒緯度在黄道南四度二十七分也又隨時測恒星法設如子正初刻用地平儀測得室宿第一星地平經度偏西六十一度三十四分五十秒同時用象限儀測得髙弧五十二度五十三分四十五秒本時太陽赤道經度為夀星宫初度五十二分三十六秒正午赤道經度為降婁宫初度五十二分三十六秒求室宿第一星黄赤經緯度如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極戊巳為赤道庚為室宿第一星當赤道之辛乙壬為地平經度偏西六十一度三十四分五十秒即壬甲乙角庚壬為髙弧五十二度五十三分四十五秒庚辛為赤道北緯度即丁庚之餘戊辛為距午正赤道經度即丁角乃用甲丁庚斜弧三角形求丁庚弧及丁角此形有甲丁弧五十度零五分為京師北極距天頂之度有甲庚弧三十七度零六分一十五秒為庚壬之餘有甲角一百一十八度二十五分一十秒為壬甲乙角之外角求得丁庚弧七十六度一十六分一十四秒與丁辛九十度相減餘庚辛一十三度四十三分四十六秒即室宿第一星距赤道北緯度又求得丁角三十度當戊辛弧即距午正赤道經度與戊㸃降婁宫初度五十二分三十六秒相減(因星在午西故)(減若星在午東則加)得辛㸃為娵訾宫初度五十二分三十六秒即室宿第一星赤道經度既有赤道經緯度則用弧三角法推之即得室宿第一星黄道經度為娵訾宫一十九度三十九分三十秒緯度在黄道北一十九度二十六分也此法或用月食時刻或用中星時刻隨時測量不必方中其所得太陽距正午赤道經度較準而所得之地平經緯度亦簡而易用距星測他星倣此三恒星比測考經度前用太陽經度推測各星經度尚恐所測未準又用左右兩星比測中一星以考驗之彼此分秒相符方為密合如原測得參宿第一星赤道經度實沈宫一十九度三十分南河第二星赤道經度鶉首宫一十八度零二分星宿第一星赤道經度鶉火宫一十八度三十一分今用赤道儀先測得參宿第一星與南河第二星相距二十八度三十二分以加參宿第一星赤道經度實沈宫一十九度三十分得南河第二星赤道經度為鶉首宫一十八度零二分又測得南河第二星與星宿第一星相距三十度二十九分以減星宿第一星赤道經度鶉火宫一十八度三十一分亦得南河第二星赤道經度為鶉首宫一十八度零二分彼此參互考驗其數相同方知其不誤也推恒星赤道經緯度恒星赤道經緯度逐嵗不同難以列表儀象志用加分算法固簡捷而理則未精葢二分之後黄道度多赤道度少二至之後黄道度少赤道度多恒星既依黄道東行則升度差亦有増減况黄道與赤道斜交夏至後赤道北之星漸差而近冬至後赤道北之星漸差而逺緯度既差則經度亦必有差今立法以厯元甲子年各星黄道經度加嵗差分得本年各星黄道經度然後用弧三角法推本年各星赤道經緯度設例如左設厯元甲子年河鼓第二星黄道經度為星紀宫二十七度一十分黄道北緯度二十九度二十二分求赤道經緯度如圖甲為赤極乙為黄極甲乙相距二十三度二十九分三十秒丙丁為赤道戊己為黄道戊為冬至己為夏至庚為河鼓第二星當黄道之辛當赤道之壬戊辛為黄道經度距冬至二十七度一十分即戊乙辛角庚辛為星距黄道北二十九度二十二分丙壬為距冬至赤道經度即丙甲壬角庚壬為赤道北緯度即甲庚之餘故用甲乙庚斜弧三角形求甲庚弧及甲角此形有甲乙邊二十三度二十九分三十秒有乙角一百五十二度五十分為戊乙辛角之外角有乙庚弧六十度三十八分為庚辛之餘求得甲庚弧八十一度五十四分五十六秒與九十度相減餘八度零五分零四秒即赤道北緯度又求得甲角二十三度四十一分五十八秒即距冬至赤道經度為星紀宫二十三度四十一分五十八秒也若用加分算依儀象志内載康熙十一年壬子河鼓第二星赤道經度為星紀宫二十三度三十七分緯度在赤道北八度九分自癸丑年起算每年經度加四十六秒一十二微緯度加七秒四十八微至康熙二十三年甲子計十二年經度應加九分一十四秒二十四微緯度應加一分三十三秒三十六微則甲子年河鼓第二星赤道經度為星紀宮二十三度四十六分一十四秒二十四微緯度在赤道北八度一十分三十三秒三十六微較細推所得之數經度多四分一十六秒二十四微緯度多五分二十九秒三十六微十二年之間雖所差無多然而積久則著也七政宿度日月五星皆有宿度古以十二宫定於二十八宿故宿度逐嵗不同者經度亦因而不同今以二十八宿厯於十二宫故宿度逐嵗有差而經度終古不變其法以嵗差五十一秒按嵗積之與各宿第一星黄道經度相加為本年黄道宿鈐乃於七政黄道經度内減去相當黄道宿度餘即七政黄道宿度葢七政恒星皆宗黄道故宿度亦以黄道推也至於日月交食則并用赤道宿因其闗於天行最著故於推算獨詳然各宿赤道經緯度逐嵗不同須按推恒星赤道經度法求得本年各宿第一星赤道經度為本年赤道宿鈐乃於太陽太陰赤道經度内減去相當赤道宿度餘即太陽太陰赤道宿度若夫測量中星每以大星作距儀象志載康熙壬子年二十八宿距星及諸大星赤道經緯度并每嵗經緯加減分為求赤道宿度及測量中星之用其加減分所差無多而各星赤道經緯度則以渾儀比測與推算多不合今用弧三角法推得厯元甲子年二十八宿及諸大星赤道經緯度并每嵗經緯加減分附恒星黄道經緯度表後以為推步之捷徑云中星時刻厯法最重中星有中星可以知時刻有時刻亦可以知中星中星與時刻相符則恒星之經度可稽太陽之躔次可驗而太陰與五星皆於是取徵焉中星求時刻者以中星赤道經度(即本時正午赤道經度)與本日太陽赤道經度相減餘數變時自午正後起算即得時刻時刻求中星者以本時太陽赤道經度與本時太陽距午正後赤道經度相加即得本時正午赤道經度視本年某星赤道經度與正午赤道經度相合即為某星方中若星之赤道經度小於正午赤道經度即為某星偏西大於正午赤道經度即為某星偏東也設心宿第二星康熙六十年赤道經度為析木宫三度一十分夏至日太陽赤道經度為鶉首宫初度求其方中之時刻如圖甲乙丙丁為子午圈乙丁為地平戊為北極甲丙為赤道己庚為黄道辛為心宿第二星當赤道之甲為析木宫三度一十分即正午赤道經度壬為太陽當赤道之癸為鶉首宫初度則於正午甲㸃析木宫三度一十分内減癸㸃太陽赤道經度鶉首宫初度餘甲癸弧五宫三度一十分變時得十小時一十二分四十秒自甲㸃午正初刻起算得亥正初刻一十二分四十秒即心宿第二星方中之時刻也如以時刻求中星則以本時太陽距正午十小時一十二分四十秒變赤道度得五宫三度一十分與本時太陽赤道經度鶉首宫初度相加得析木宫三度一十分為本時正午赤道經度與本年心宿第二星赤道經度相合即為心宿第二星方中也設本日心宿第二星偏西二度十五分求時刻則赤道經度偏西如甲子乃以子甲二度五十分與甲㸃析木宫三度一十分相加(因偏)(西故加若偏東則減)得子㸃為析木宫六度即正午赤道經度内減癸㸃太陽赤道經度鶉首宫初度餘子癸弧五宫六度變時得十小時二十四分自子㸃午正初刻起算得亥正一刻九分即心宿第二星偏西二度五十分之時刻也如以時刻求中星則以本時太陽距正午十小時二十四分變赤道度得五宫六度與本時太陽赤道經度鶉首宫初度相加得析木宫六度為本時正午赤道經度内減本年心宿第二星赤道經度析木宮三度一十分(取本年恒星赤道經度相近者用之)餘二度五十分即為心宿第二星偏西二度五十分也恒星出入地平恒星隨宗動天東出西入旋轉有常因節氣有冬夏晝夜有永短人居有南北故所見恒星出入地平之時刻因時各異隨地不同也夫逐時皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之時刻可以測候而得亦可以推步而知其法用本地北極髙度及本星赤道經緯度求得本星與赤道同出入地平之度乃與本時太陽赤道經度相減即得本星出入地平之時刻也設如京師北極髙三十九度五十五分角宿第一星康熙六十年赤道經度為夀星宫一十七度四十分距赤道南緯度九度三十九分一十秒清明時太陽赤道經度為降婁宫一十五度求其出入地平之時刻則先求本星與赤道同出入地平之度如圖甲乙丙丁為子午圈乙丁為地平戊為北極戊丁為京師北極髙三十九度五十五分甲丙為赤道甲乙為京師赤道髙五十度零五分己為赤道出入地平之度即卯正酉正之位庚為角宿第一星當赤道之辛為夀星宫一十七度四十分庚辛為距赤道南緯度九度三十九分一十秒辛巳為星出入地平在卯後酉前分(星在赤道南為卯後酉前分星在赤道北)(為卯前酉後分與太陽出入地平之理同)乃用已辛庚正弧三角形求辛巳弧此形有辛直角有已角五十度零五分有庚辛弧九度三十九分一十秒求得辛巳弧八度一十分五十一秒以辛巳弧與辛㸃夀星宫一十七度四十分相加得夀星宫二十五度五十分五十一秒為星出地平時卯正赤道度(因辛)(巳弧為卯後分故加若為卯前分則減)又以辛巳弧與辛㸃夀星宫一十七度四十分相減得夀星宫九度二十九分零九秒為星入地平時酉正赤道度(因辛巳弧為酉前分故減若為酉後分則)(加)既得星出入地平時卯正酉正赤道度則於星出地平時卯正赤道度夀星宫二十五度五十分五十一秒内減本日太陽赤道經度降婁宫一十五度(不及)(減者加十二宫減之)餘六宫一十度五十分五十一秒變時得一十二小時四十三分二十三秒自卯正後計之為酉正二刻十三分二十三秒即角宿第一星出地平之時刻又於星入地平時酉正赤道度夀星宫九度二十九分零九秒内減本日太陽赤道經度降婁宫一十五度餘五宫二十四度二十九分零九秒變時得一十一小時三十七分五十七秒自酉正後計之為卯初二刻七分五十七秒即角宿第一星入地平之時刻也御製歴象考成上編卷十六
## 下編目錄
欽定四庫全書御製厯象考成下編目錄明時正度卷一日躔厯法卷二月離厯法卷三月食厯法卷四日食厯法卷五土星厯法卷六木星厯法卷七火星厯法卷八金星厯法卷九水星厯法卷十恒星厯法
## 下編卷一
欽定四庫全書卸製厯象考成下編卷一日躔厯法推日躔用數推日躔法用表推日躔法推節氣時刻法推節氣用時法推各省節氣時刻法推日出入晝夜時刻法定氣推平氣法平氣推定氣法平氣日率推日躔用數康熈二十三年甲子天正冬至為厯元(天正冬至者嵗前冬至即)(癸亥年十一月冬至也)周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒葢七政諸行自度以下皆以六十)(遞析須將度分皆化為秒數微纎忽芒則以六十與一百為比例收為秒之小餘然後便於入算故)(周天度數亦化為秒數則諸曜之行方與天行相應也)周日一萬分(一日二十四時刻則為九十六分則為一千四百四十秒則為八萬六千四百)(法各不同故將一日命為一萬分然後便於入算如有時刻欲通為分數則以一千四百四十分為)(一率所有時刻化分為二率一萬分為三率求得四率即所通之分數如有分數求時刻則以一萬)(分為一率所有之分數為二率一千四百四十分為三率求得四率即時刻之分數乃以六十分收)(為一時十五分收為一刻不滿十五者為分自單位以下則以一百與六十為比例得秒再比例得)(微命時之法初時為子正一時為丑初二時為丑正三時為寅初四時為寅正以次順數二十三時)(為夜子初滿二十四時則去之復為次日子正也)周嵗三百六十五日二四二一八七五(周嵗三百六十五日五時)(三刻三分四十五秒將時刻分秒用周日一萬分通之得二千四百二十一分小餘八七五即嵗實)(也)紀法六十(紀法者自甲子至癸亥之日數其法初日起甲子一日為乙丑二日為丙寅以次順)(數十日為甲戌二十日為甲申三十日為甲午四十日為甲辰五十日為甲寅至五十九日為癸亥)(滿六十日則去之復為甲子即旬周也)宿法二十八(宿法者自角至軫之宿數其法初日起角一日為亢以次順數至二十七日為)(軫滿二十八日則去之復為角也)太陰每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒以秒法)(通之即得)最卑每嵗平行六十一秒小餘一六六六六(最卑每嵗平行)(一分零二秒一十微以秒法通之即得)最卑每日平行十分秒之一又六七四六九(最卑每嵗平行)(六十一秒小餘一六六六六以用嵗三百六十五日二四二一八七五除之即得如以微纎命之則)(為一十微零二纎五十三忽一十八芒)太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑八萬九千六百零四氣應七日六五六三七四九二六(氣應者厯元甲子年天正平冬至距)(甲子日子正初刻之日分乃辛未日申初三刻也葢自甲子日子正初刻起算至庚午日夜子初三)(刻末共得七日又自辛未日子正初刻至申初三刻以周日一萬分計之得六千五百六十三分小)(餘七四九二六乃當時平氣之應上考往古則減下推將來則加皆以此為根也○按康熙五十六)(年丁酉二月乙未夜子初初刻一分零七秒零三微太陽本輪心交戌宫初度為平春分以紀法初)(日起甲子周日一萬分命之得三十一日九千五百九十一分小餘○九三○一加六十日減周嵗)(四分之一九十一日三千一百零五分小餘四六八七五得初日六千四百八十五分小餘六二四)(二六為丁酉年天正平冬至自丁酉年上朔至甲子年共三十四年減一年餘三十三年為積年與)(周嵗三百六十五日二四二一八七五相乗得一萬二千零五十二日九九二一八七五為中積分)(減丁酉年天正平冬至初日六四八五六二四二六餘一萬二千零五十二日三四三六二五 七)(四為通積分其日滿紀法六十去之餘五十二日三四三六二五○七四轉與紀法六十相減餘七)(日六五六三七四九二六即甲子年天正平冬至氣應也)宿應五日六五六三七四九二六(宿應者厯元甲子年天正平冬至距)(角宿值日子正初刻之日分乃尾宿值日申初三刻也宿止論日不論分今並帶分數者葢子正為)(二日之交前後雖差數分即差一日亦必差一宿故宿應亦帶分數從子正起算也)最卑應七度一十分一十一秒一十微(最卑應者厯元甲子年天)(正平冬至次日子正初刻最卑過冬至之度分也葢厯元甲子年天正平冬至太陽本輪心正躔丑)(宫初度而均輪心未及本輪最卑㸃七度餘太陽未及均輪最近㸃一十四度餘必待本輪心行過)(冬至七度餘而均輪心方行到本輪最卑㸃太陽方行到均輪最近㸃平行以實行乃合為一線而)(為盈縮起算之端故此七度餘為當時最卑過冬至之應上考往古則減最卑每嵗之行下推將來)(則加最卑每嵗之行推本年則加最卑每日之行皆以此為根也○按康熙五十六年丁酉測得中)(距過秋分七度四十四分三十六秒四十八微其年秋分後丙午日己正一刻一十三分四十九秒)(太陽過中距距天正冬至次日乙丑子正初刻計二百八十一日四千三百六十六分小餘七八以)(此日分與最卑每日行十分秒之一又六七四六九相乗得四十七秒零八微為自冬至次日子正)(初刻至過中距之最卑行度與中距過秋分之度相減餘七度四十三分四十九秒四十微為丁酉)(年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至之度又丁酉距厯元甲子積三十三年以三十三年與最)(卑每嵗平行六十一秒小餘一六六六六相乗得三十三分三十八秒三十微為自甲子年至丁酉)(年之最卑行度與丁酉年最卑過冬至七度四十三分四十九秒四十微相減餘七度一十分一十)(一秒一十微即甲子年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至之度分也)推日躔法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年(積年者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之年數因本年)(初交天正冬至尚在嵗前故減一年如甲子至癸亥計六十年而癸亥初交天正冬至止五十九年也下)(推將來則順推上考往古則逆溯其法皆同)求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分(中積分者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日分故以積年)(與周嵗日分相乗即得也)求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分(通積分者)(乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至前甲子日子正初刻之日分故下推將來則置中積分)(加氣應上考往古則置中積分減氣應也)求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小餘得天正冬至時分秒(天正)(冬至者乃所求本年天正冬至距冬至前甲子日子正初刻之日分故置通積分滿紀法去之餘為天正)(冬至日分若上考往古則其所餘為距冬至後甲子日子正初刻之日分故轉與紀法六十相減方為天)(正冬至日分也)求年根以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九為二率以天正冬至分(不用)(日)與周日一萬分相減餘為三率求得四率為秒以分收之得年根(年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太陽距冬至之平行經度)(也天正冬至分乃冬至距本日子正初刻後之分數與周日一萬分相減餘為冬至距次日子正初刻前)(之分數故與每日之平行為比例得次日子正初刻太陽距冬至之平行經度也)求紀日以天正冬至干支加一日得紀日(紀日者乃所求本年天正冬至次日)(之干支也既有天正冬至干支可以不用紀日因用表推算起於年根而不用天正冬至若無紀日則無)(以定干支且日數自紀日干支起初日故並用之)求值宿置中積分加宿應五日六五六三七四九二六為通積宿其日滿宿法二十八去之外加一日為值宿日分上考往古則置中積分減宿應為通積宿其日滿宿法二十八去之餘數轉與宿法二十八相減外加一日為值宿日分自初日角宿起算得值宿(求值宿與求天)(正冬至之理同但天正冬至乃冬至本日之干支而值宿乃冬至次日之宿故外加一日)求日數自天正冬至次日距所求本日共若干日與太陽每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乘得數為秒以官度分收之得日數(日數者乃所求本日子正初刻距天)(正冬至次日子正初刻之平行經度也年根從天正冬至次日子正初刻起算故從天正冬至次日起初)(日至所求本日得若干日與每日太陽平行相乗得若干日之平行經度也)求平行以年根與日數相加得平行(平行者乃所求本日子正初刻太陽距冬至之)(平行經度也年根為天正冬至次日子正初刻距冬至之行度日數為本日子正初刻距冬至次日子正)(初刻之行度故相加得本日子正初刻距冬至之行度也)求最卑平行以積年與最卑每嵗平行六十一秒一六六六六相乘得積年之行又以日數與最卑每日平行十分秒之一又六七四六六相乘得日數之行兩數相併與最卑應七度一十分一十一秒一十微相加得最卑平行上考往古則置最卑應減積年之行加日數之行得最卑平行(最卑平行者乃所求本日子正初刻最卑距冬至之行度也下推將來置)(最卑應加積年之行上考往古置最卑應減積年之行則得本年天正冬至次日子正初刻最卑距冬至)(之行度而所求本日又距天正冬至後若干日故下推將來上考往古皆加日數之行得本日子正初刻)(最卑距冬至之行度也)求引數置平行減最卑平行得引數(引數者乃所求本日子正初刻均輪心過本輪)(最卑之行度也平行乃本輪心之行度自冬至起初宫引數乃均輪心之行度自最卑起初宫故置本日)(平行減本日最卑平行得引數也)求均數均輪心自本輪最卑左旋(自東而西)行引數度太陽自均輪最近㸃右旋(自西而東)行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為均數(法詳日躔厯理盈縮差篇)引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減(均數者平行與實行之差卑也引數初宫至五宫在最)(後實行過於平行故加六宫至十一宫在最髙後實行不及平行故減)求實行置平行加減均數得實行(實行者乃所求本日子正初刻太陽實在之行度也)(平行乃本輪心之行度而太陽實在均輪之周其加減差即均數故以均數加減平行得實行也)求宿度以積年與嵗差五十一秒相乘得數與厯元甲子年黄道宿鈐相加得所求本年黄道宿鈐察實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為某宿度分(宿度)(者乃所求本日子正初刻太陽所躔之黄道宿度也實行自冬至起算宿度自各宿初度起算故於實行内減)(本年黄道宿鈐某宿度餘為太陽躔某宿之度也)用表推日躔法(用表推日躔法年根紀日值宿日數最卑均數各檢本表其餘與前法同葢用乗除而得者則用表)(以省算若用加減而得者則已無可省如平行引數實行是也有必不能用表者如宿鈐嵗嵗不同)(難以預為立表須隨時加嵗差以立算是也今並逐條開列以便於用月離交食五星並倣此)求年根用日躔太陽年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣)(此)得年根察本年最卑度分秒得本年最卑行并察紀日值宿(紀日值宿今推日躔俱不逐日開載葢一嵗之日躔推算既畢然後以紀日起干支)(以值宿值日若設某節某干支求日躔則自紀日干支起初日以定日數日數既定不復用紀日故不必)(逐日開載也然為作厯所必需故並詳於此)求日數用日躔太陽周嵗平行表察本日平行宫度分秒得日數并察本日最卑行分秒得日數最卑行求平行以年根與日數相加得平得求最卑平行以本年最卑行與日數最卑行相加得最卑平行求引數置平行減最卑平行得引數求均數用日躔太陽均數表以引數宫度分察其所對之度分秒得均數并記加減號求實行置平行加減均數得實行求宿度以積年與嵗差五十一秒相乘得數與厯元甲子年黄道宿鈐相加得本年黄道宿鈐察實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為某宿度分推節氣時刻法日躔丑宫初度為冬至丑宫一十五度為小寒子宫初度為大寒子宫一十五度為立春亥宫初度為雨水亥宫一十五度為驚蟄戌宫初度為春分戌宫一十五度為清明酉宫初度為穀雨酉宫一十五度為立夏申宫初度為小滿申宫一十五度為芒種未宫初度為夏至未宫一十五度為小暑午宫初度為大暑午宫一十五度為立秋己宫初度為處暑己宫一十五度為白露辰宫初度為秋分辰宫一十五度為寒露卯宫初度為霜降卯宫一十五度為立冬寅宫初度為小雪寅宫一十五度為大雪皆以子正日躔未交節氣宮度者為交節氣本日已過節氣宫度者為交節氣次日(本日子正未交次日子正已過則交節氣必在本日子正後次日子正前)(故未交為本日已過為次日)推時刻之法以本日實行與次日實行相減為一率一千四百四十分為二率本日實行與節氣宫度相減餘為三率(如推立春則以本日實行與一宫一十五度相)(減餘倣此)求得四率為距子正後之分數葢以一日之行度與一日之分數為比同於距節氣之度與距子正之分數為比也乃以六十分收為一小時十五分收為一刻得節氣時刻如本日實行適當節氣宫度而無餘分則交節氣即為本日子正初刻推節氣用時法以交節氣本日均數變時(一度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)得均數時差均數為減者則時差為加均數為加者則時差為減(天左旋日右旋故加減相反)又以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二率本節氣黄道度之正切線為三率求得四率為赤道之正切線檢表得赤道度與黄道度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減(二分後黄道度)(多赤道度少故加二至後黄道度少赤道度多故減)乃以兩時差加減節氣時刻得節氣用時(詳日躔厯理時差篇)如用表則以引數宫度察日躔均數時差表得均數時差以節氣宫度察日躔升度時差表得升度時差依兩時差加減號加減節氣時刻得節氣用時推各省節氣時刻法各省節氣時刻皆以京師為主視各省東西之偏度加減之(詳日躔厯理節氣時刻篇)盛京偏東七度一十五分則加二十九分(毎一度當四分)浙江偏東三度四十一分二十四秒則加一十四分四十六秒福建偏東二度五十九分則加一十一分五十六秒江南偏東二度一十八分則加九分一十二秒山東偏東二度一十五分則加九分江西偏西三十七分則減二分二十八秒河南偏西一度五十六分則減七分四十四秒湖廣偏西二度一十七分則減九分零八秒廣東偏西三度三十三分一十五秒則減一十四分一十三秒山西偏西三度五十七分四十二秒則減一十五分五十一秒廣西偏西六度一十四分四十秒則減二十四分五十九秒陜西偏西七度三十三分四十秒則減三十分一十五秒貴州偏西九度五十二分四十秒則減三十九分三十一秒四川偏西一十二度一十六分則減四十九分零四秒雲南偏西一十三度三十七分則減五十四分二十八秒朝鮮偏東一十度三十分則加四十二分(各省偏度俱依地圖經度所定今測日影以求其節氣時)(刻及月食早晚驗之皆與地圖合)推日出入晝夜時刻法推日出入晝夜時刻法以半徑一千萬為一率北極髙度之正切線為二率本日距緯度之正切線為三率求得四率為卯酉前後赤道度之正弦檢表得日出入在卯酉前後赤道度乃以一度變為四分十五分變為一分春分前秋分後為夘後酉前分以加夘正為日出時刻以減酉正為日入時刻春分後秋分前為卯前酉後分以減卯正為日出時刻以加酉正為日入時刻自日出至日入為晝刻與九十六刻相減餘為夜刻(冬至前與冬至後之距緯同則晝夜時刻亦同夏至前後與冬至前後之距緯)(亦同而南北各異則晝夜時刻相反故求得冬至後一象限之時刻即得餘三象限之時刻)各省日出入晝夜時刻俱以本處之北極髙度立算京師北極髙三十九度五十五分盛京北極髙四十一度五十一分山西北極髙三十七度五十三分三十秒朝鮮北極髙三十七度三十九分一十五秒山東北極髙三十六度四十五分二十四秒河南北極髙三十四度五十二分二十六秒陜西北極髙三十四度一十六分江南北極髙三十二度零四分四川北極髙三十度四十一分湖廣北極髙三十度三十四分四十八秒浙江北極髙三十度一十八分二十秒江西北極髙二十八度三十七分一十二秒貴州北極髙二十六度三十分二十秒福建北極髙二十六度零二分二十四秒廣西北極髙二十五度一十三分零七秒雲南北極髙二十五度零六分廣東北極髙二十三度一十分(各省北極髙度俱係實測所得)定氣推平氣法康熙五十六年丁酉二月初八日癸己亥初一刻一十三分二十九秒四十一微日躔戌宫初度為定春分用時(測法見日躔厯理測嵗實以定平行篇)求平春分日時先以本年天正冬至次日子正初刻最卑過冬至七度四十三分四十九秒四十微與平春分距冬至九十一日之最卑行一十五秒一十四微相加(平春分距冬至為周嵗四分之)(一因最卑每日之行甚微故止用九十一日)得七度四十四分零四秒五十四微為平春分之最卑行與平春分之平行九十度相減餘八十二度一十五分五十五秒零六微為平春分之引數求其均數得二度零二分二十秒與平春分之平行九十度相加(春分時實行在平行前故加)得九十二度零二分二十秒為平春分之實行又以所得均數與平春分之平行九十度相減餘八十七度五十七分四十秒為平春分前虚設之平行(定春分在平春分前故設於平)(春分前求之)減平春分之最卑行七度四十四分零四秒五十四微(春分時近中距均數逐度之差甚微故雖在平春分前仍可用平春分之最卑行)餘八十度一十三分三十五秒零六微為平春分前虚設之引數求其均數得二度零一分四十四秒四十四微與平春分前虚設之平行相加得八十九度五十九分二十四秒四十四微為平春分前虚設之實行乃以兩實行相減餘二度零二分五十五秒一十六微為一率兩平行相距之二度零二分二十秒為二率又為三率(兩平行相距即平春分之均數亦即定春分距平春分之實行度)求得四率二度零一分四十四秒五十四微為平春分距定春分之平行即定春分之均數又以太陽毎日之平行三千五百四十八秒三三○五一六九為一率周日一萬分為二率平春分距定春分之平行二度零一分四十四秒五十四微化秒為三率求得四率二日五百八十六分八四七七一為平春分距定春分之日分於是以所測定春分用時亥初一刻一十三分二十九秒四十一微加均數時差八分七秒(即定春分之均數變時也春分時用時在平時東以平時求用時則減均數時差今以用時求平時)(故加均數時差無升度時差者春分日當赤道故也)得亥初二刻六分三十六秒四十一微為定春分平時以紀法初日起甲子周日一萬分計之得二十九日(癸巳日也)九千零四分二四五三為定春分之日分加平春分距定春分之二日五百八十六分八四七七一得三十一日九千五百九十一分○九三○一為平春分之日分以紀法初日起甲子周日二十四時計之得乙未日夜子初初刻一分零七秒零三微即平春分日時也如圖甲乙為本天之一弧定春分平行在丙實行在丁平春分平行在丁實行在戊今測得平行在丙㸃之日時而求平行在丁㸃之日時必求得丙丁之分然後可以入算但丙丁之度無由而知故先於平行在丁㸃時求其均數為丁戊則戊㸃即為平春分之實行又設己丁與丁戊等己㸃為平春分前虚設之平行求其均數得己庚則庚㸃即為平春分前虚設之實行兩實行相距為庚戊夫兩實行相距如庚戊則兩平行相距如己丁今定春分與平春分兩實行相距如丁戊則兩平行相距如丙丁故以庚戊與己丁之比同於丁戊與丙丁之比(丁戊與己丁等)而得丙丁之分既得丙丁之分則以太陽一日之平行與一日之比即同於丙丁之分與平春分距定春分日分之比與所測平行在丙㸃之日分相加即得平行在丁㸃之日分矣平氣推定氣法以本年天正冬至日分各加平氣日率減一日各得平氣距天正冬至次日子正初刻日分又置平氣宫度減本日最卑行餘為本日引數按法求得本日均數乃以太陽毎日平行三千五百四十八秒三三○五一六九為一率周日一萬分為二率本日均數為三率求得四率與平氣距天正冬至次日子正初刻之日分相加減(均數為加者則減均數為減者則加)又加本年紀日之數滿紀法六十去之各得定氣干支以一千四百四十分通其小餘各得定氣時分秒如推月日則用日食推實朔法推得逐月實朔乃自本月實朔干支計之各得定氣月日(平氣推定氣即古厯步氣朔求次氣之法葢平氣者乃平行交節氣日分)(因有加減之差故定氣有進退也其加減與均數相反者實行為加則交節早故減實行相減則交節遲)(故加)平氣日率小寒一十五日二一八四二四四大寒三十日四三六八四八九立春四十五日六五五二七三四雨水六十日八七三六九七九驚蟄七十六日○九二一二二三春分九十一日三一○五四六八清明一百零六日五二八九七一三榖雨一百二十一日七四七三九五八立夏一百三十六日九六五八二○三小滿一百五十二日一八四二四四七芒種一百六十七日四○二六六九二夏至一百八十二日六二一○九三七小暑一百九十七日八三九五一八二大暑二百一十三日○五七九四二七立秋二百二十八日二七六三六七一處暑二百四十三日四九四七九一六白露二百五十八日七一三二一六一立秋二百七十三日九三一六四○六寒露二百八十九日一五○○六五一霜降三百零四日三六八四八九五立冬三百一十九日五八六九一四○小雪三百三十四日八○五三三八五大雪三百五十日○二三七六三○冬至三百六十五日二四二一八七五御製厯象考成下編卷一
## 下編卷二
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷二月離厯法推月離用數推月離法用表推月離法推合朔弦望法推交宫時刻法推正升斜升横升法推太陰出入時刻法推月離用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十太陰每日平行四萬七千四百三十五秒小餘○二一一七七(太陰毎日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十)(三芒以秒法通之即得)太陰一小時平行一千九百七十六秒小餘四五九二一五七(置每日太陰平行以二十四除之即得)月孛毎日平行四百零一秒小餘○七七四七七(月孛)(毎日平行六分四十一秒零四微三十八纎五十四忽五十七芒以秒法通之即得)正交毎日平行一百九十秒小餘六四(正交毎日平行三分一十)(秒三十八微二十四纎以秒法通之即得)太陰本天半徑一千萬太陰本輪半徑五十八萬太陰均輪半徑二十九萬太陰負圏半徑七十九萬七千次輪半徑二十一萬七千次均輪半徑一十一萬七千五百朔望黄白大距四度五十八分三十秒兩弦黄白大距五度一十七分三十秒黄白大距中數五度零八分(以朔望大距與兩弦大距相加折半即得)黄白大距半較九分三十秒(以朔望大距與兩弦大距相減折半即得)氣應七日六五六三七四九二六太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十六微(太陰平行應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻太陰本輪心距冬至之平行經度也太)(陽自冬至起算躔丑宫初度故以冬至為應太陰亦自冬至起算而不必躔丑宫初度故以冬至次)(日子正初刻為應上考往古則減太陰平行下推將來則加太陰平行皆以此為根也)月孛應三宫零四度四十九分五十四秒零九微(月孛)(應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻最髙過冬至之度分也太陽自最卑起算故以最卑為)(應太陰自最髙起算故以月孛為應上考往古則減月孛平行下推將來則加月孛平行皆以此為)(根也)正交應六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微(正交應者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻正交過冬至之度分也葢黄道與白道斜交)(自黄道南過黄道北之㸃為正交自黄道北過黄道南之㸃為中交每日退行三分有餘故有當時)(正交之應上考往古則加正交平行下推將來則減正交平行皆以此為根也○按康熙六十年辛)(丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本年天正冬至次日丙戌)(子正初刻為三百七十六日九九八六八○一其十時太陰平行過冬至六宫一十一度五十七分五)(三秒五十微月孛過冬至六宫二十二度二十六分零五十一微正交過冬至六宫一十一度三十)(七分一十七秒四十九微自辛丑年上溯至甲子年共三十八年減一年餘三十七年為積年與周)(嵗三百六十五日二四二一八七五相乗得一萬三千五百二十一日六一七三一二四二六為中)(積分加厯元甲子年氣應分六五六三七四九二六減辛丑年天正冬至分六一七三一二四二六)(得一萬三千五百一十四日為積日又加辛丑年十一月平望距本年天正冬至次日子正初刻三)(百七十六日九九八六八○一得一萬三千八百九十日九九八六八○一為平望距厯元日分乃)(以平望距厯元日分與太陰毎日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乗滿周天去之)(餘五宫三度一十六分五十六秒三十四微與辛丑年十一月平望太陰過冬至六宫一十一度五)(十七分五十三秒五十微相減餘一宫零八度四十分五十七秒一十六微即甲子年太陰平行應)(也又以平望距厯元日分與月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乗滿周天去之餘三宫)(一十七度三十六分零六秒四十二微與辛丑年十一月平望月孛過冬至六宫二十二度二十六)(分零五十一微相減餘三宫零四度四十九分五十四秒零九微即甲子年月孛應也又以平望距)(厯元日分與正交毎日平行一百九十秒六四相乘滿周天去之餘一十五度三十六分一十九秒)(五十九微與辛丑年十一月平望正交過冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微相加)(得六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微即甲子年正交應也)推月離法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日(積日者厯元甲子年)(天正冬至距所求本年天正冬至之日數也中積分加氣應分則得厯元甲子年天正冬至子正初刻至)(本年天正冬至之日分故減本年天正冬至分即得厯元甲子年天正冬至子正初刻至本年天正冬至)(子正初刻之日數也上考往古反是○日躔自天正冬至起算故止用天正冬至不用積日月離自天正)(冬至次日子正初刻起算故必兼用積日其餘皆與日躔同)求太陰年根以積日與太陰毎日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日太陰平行加太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十五微得太陰年根上考往古則置太陰平行應減積日太陰平行得太陰年根(太陰年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太陰距冬至之平行經度也以積日與太陰毎日平)(行相乗則得厯元甲子年天正冬至距本年天正冬至之太陰平行故上考往古則減下推將來則加即)(得本年天正冬至次日子正初刻太陰過冬至之平行經度也下倣此)求月孛年根以積日與月孛每日平行四百零一秒○七七四七七相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日月孛平行加月孛應三宫零四度四十九分五十四秒零七微得月孛年根上考往古則置月孛應減積日月孛平行得月孛年根求正交年根以積日與正交毎日平行一百九十秒六四相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日正交平行與正交應六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微相減(正交應不足減者加十二宫減之)得正交年根上考往古則置正交應加積日正交平行得正交年根(太陰本輪)(與月孛皆順行帷正交逆行故上考反加下推反減)求太陰日數以所設日數與太陰每日平行四萬七千四百三十五秒○二一一七七相乘得數為秒以宫度分收之得太陰日數求月孛日數以所設日數與月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乘得數為秒以宫度分收之得月孛日數求正交日數以所設日數與正交毎日平行一百九十秒六四相乘得數為秒以度分收之得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加(滿十二宫去之)得太陰平行求月孛平行以月孛年根與月孛日數相加(滿十二宫去之)得月孛平行求正交平行置正交年根減正交日數(不足減者加十二宫減之)得正交平行(正交逆行故於年根内減日數餘皆與日躔同)求均數時差以本日太陽均數變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一)(分十五秒變為一秒)均數為加者則為減均數為減者則為加求升度時差以本日太陽黄道經度與本日太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求時差行以三千六百秒為一率一小時太陰平行一千九百七十六秒四五九二一五七為二率時差總化秒為三率求得四率為秒以分收之得時差行時差總為加者則為減時差總為減者則為加求用時太陰平行置太陰平行加減時差行得用時太陰平行(太陰平行獨求)(用時者因太陰行度甚疾必加減時差行方為子正初刻之平行度其餘諸平行所差甚微可以不計也)(其加減與時差總相反者時差加而遲則用時子正差而早故減時差減而早則用時子正差而遲故加)求引數置用時太陰平行減月孛平行得引數(引數者乃所求本日子正)(初刻均輪心過本輪最髙之行度也太陽自最卑起算故置平行減最卑行太陰自最髙起算故置平行)(減月孛行也)求初均數均輪心自本輪最髙左旋(自東而西)行引數度太陰自均輪最近㸃右旋(自西而東)行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳月離厯理求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求太陰距地心之邊為求二均之用(初均數者平行與初實行之差也太陰有二三均數故以初别之加)(減與日躔相反者自最髙起算故也)求初實行置用時太陰平行加減初均數得初實行(太陰有二三均數雖)(加減初均數不能即得實行故亦以初别之)求月距日次引置初實行減本日太陽實行得月距日次引(月距日者太陰)(距太陽之度也初實行自冬至起算月距日自太陽起算故置初實行減太陽實行得月距日名曰次引)(者以其為次輪周之行度也)求二均數均輪心自負圏最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度次均輪心自次輪最近㸃右旋(次輪徑與均輪徑平行其近本輪心之一㸃為最近㸃)行月距日之倍度用三角形法以次輪最近㸃距地心線為一邊(即求初均)(數時所得太陰距地心之邊)次輪月距日倍度之通弦為一邊(半徑)(一千萬為一率月距日正弦為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求得四率倍之即通弦)以初均數與均輪心距最卑之度相加(引數與半周相減即均輪心距最卑)(之度)又加減月距日距象限度為所夾之角(月距日與象限相減)(為月距日距象限度如月距日過二象限則減去二象限餘數又與象限相減為月距日距象限度其加)(減之法初均數為減者月距日過一象限或過三象限則加不過象限或過二象限則減初均數為加者)(月距日過一象限或過三象限則減不過象限或過二象限則加若初均數與均輪心距最卑相加之度)(不足減月距日距象限度則轉減餘為所夾之角若相減無餘則無角即無二均數若相加過半周則與)(全周相減餘為所夾之角若相加適足半周則無角亦無二均數若月距日為初度或一百八十度則無)(月距日倍度之通弦亦無二均數)求得地心對通弦之角為二均數如無初均數者則以次輪心距地心線為一邊次輪半徑為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用)(其餘在最髙為所夾之内角在最卑為所夾之外角)求得地心對次輪半徑之角為二均數定加減之法以初均數與均輪心距最卑之度相加為次輪最近㸃距地心線與次輪徑所夾之角此角如不及九十度則倍之與半周相減餘為加減限初均數為減者月距日倍度在此限内則二均數反為加初均數為加者月距日倍度與全周相減餘數在此限内則二均數反為減此角如過九十度則與半周相減餘數倍之又與半周相減餘為加減限初均數為減者月距日倍度與全周相減餘數在此限内則二均數反為加初均數為加者月距日倍度在此限内則二均數反為減若不在限内或其角適足九十度則初均數為加者二均數亦為加初均數為減者二均數亦為減隨求次均輪心距地心之邊為求三均之用(二均數者次輪所生也前以本輪均輪求初均數而太陰)(實在次均輪之周次均輪心又在次輪之周故又求次均輪心距次輪最近㸃當地心之角為二均數也)(○前求初均數以均輪為在本輪周太陰為在均輪周此求二均數以均輪為在負圏周次輪為在均輪)(周二者似異實同葢本輪半徑加次輪半徑為負圏半徑則均輪心去本輪心亦逺一次輪半徑然次輪)(心在均輪周之行度即前所用太陰在均輪周之行度而次輪徑與均輪徑平行則次輪最近㸃去次輪)(心必近一次輪半徑故前所求太陰㸃即此所求次輪最近㸃前所求太陰距地心線即此所用次輪最)(近㸃距地心線也至於定加減之法乃求次輪最近㸃距地心線割次輪周為加減之限次均輪心在此)(限内初均數為減者次均輪心在次輪最近㸃之前初均數為加者次均輪心在次輪最近㸃之後故其)(加減與初均數相反也詳月離厯理求二三均數篇)求三均數太陰自次均輪下㸃左旋行月距日之倍度用三角形法以次均輪心距地心線為一邊(即求二均數時所得次輪心距)(地心之邊)次均輪半徑一十一萬七千五百為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次均輪半徑之角為三均數月距日倍度不及半周為加過半周為減(三均數者次均輪所生也月距日倍度不及半周太陰在輪心前故加月)(距日倍度過半周太陰在輪心後故減如倍月距日為初度則無二均數亦無三均數如倍月距日為一)(百八十度則有二均數無三均數)求二三均數二均數與三均數同為加者則相加為二三均數仍為加同為減者亦相加為二三均數仍為減一為加一為減者則相減為二三均數加數大為加減數大為減求白道實行置初實行加減二三均數得白道實行(白道實行者太陰在白道)(之實行度也論其理當置初實行加減二均數又加減三均數得白道實行今既合二均數與三均數為)(二三均數故合兩次加減為一次加減也)求黄白大距及交均白道極自交均輪最近㸃左旋行月距日之倍度用弧三角法以黄白大距中數五度零八分為一邊黄白大距半較九分三十秒為一邊月距日倍度為所夾之角(過半周者與全周相減用其餘)求得對邊為黄白大距並求得近黄極之角為交均月距日倍度不及半周交均為減月距日倍度過半周交均為加(黄白大距者乃所求本日黄白)(二道之交角交均者正交平行與正交實行之差也葢太陰黄道經緯度並生於距交而黄白交角時時)(不同交行又有加減故必先求兩極相距之度為黄白大距又求白道極與交均輪心之差為交均然後)(太陰之黄道經緯度可推也月距日倍度不及半周者白道極逆輪心行故減月距日倍度過半周者白)(道極順輪心行故加詳月離厯理求黄白大距及交均篇)求正交實行置正交平行加減交均得正交實行(正交實行者白道與黄道相交)(之實行也交均雖以白道極立算然極差則交亦差故置正交平行加減交均得正交實行也)求中交實行置正交實行加減六宫得中交實行(中交者正交之對衝故正交實)(行不及六宫者加六宫過六宫者減六宫得中交實行也)求距交實行置白道實行減正交實行得距交實行(距交實行者太陰距正交)(之實行也白道實行自冬至起算距交實行自正交起算故置白道實行減正交實行得太陰距正交之)(實行也)求升度差以半徑一千萬為一率黄白大距之餘弦為二率距交實行之正切線為三率(距交過一象限則與半周相減用其餘過二象限則)(減去二象限用其餘過三象限則與全周相減用其餘)求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加(升度差者白道與黄道之差也月五星並宗黄道而白道與黄道有)(差故先求其差乃可求黄道度也距交不及象限或過二象限皆白道度多黄道度少故減距交過一象)(限或過三象限皆白道度少黄道度多故加)求黄道實行置白道實行加減升度差得黄道實行(黄道實行者太陰所當黄)(道經度也太陰本行白道加減黄白二道之差則得相當黄道度矣)求黄道緯度以半徑一千萬為一率黄白大距之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得黄道緯度距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南(黄道緯度者太陰距黄道南北之緯度也太陰過正交入)(陰厯故距正交不及半周者皆在黄道北太隂過中交入陽厯故距正交過半周者皆在黄道南)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度求月孛宿度月孛平行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求正交宿度正交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為正交宿度求中交宿度中交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為中交宿度用表推月離法求諸年根用月離太陰年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進)(一秒下倣此)得太陰年根察本年月孛宫度分秒得月孛年根察本年正交宫度分秒得正交年根求諸日數用月離太陰周嵗平行表察本日平行宫度分秒得太陰日數察本日月孛宫度分秒得月孛日數察本日正交度分秒得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加得太陰平行求月孛平行以月孛年根與月孛日數相加得月孛平行求正交平行置正交年根減正交日數得正交平行求均數時差用日躔均數時差表以本日太陽引數宫度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以本日太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求時差行用月離周日平行表以時差總之時分秒各察其與平行相對之數而併之得時差行時差總為加者則為減時差總為減者則為加求用時太陰平行置太陰平行加減時差行得用時太陰平行求引數置用時太陰平行減月孛平行得引數求初均數用月離太陰初均數表以引數宫度分察其所對之度分秒得初均數并記加減號求初實行置用時太陰平行加減初均數得初實行求月距日次引置初實行減本日太陽實行得月距日次引求二三均數用月離太陰二三均數表以引數宫度及月距日次引宫度察其所對之度分秒得二三均數并記加減號(太陰二三均數表乃合二均數與三均數加減所定故用表推算止求二三均數不必先求二均數)(與三均數也)求白道實行置初實行加減二三均數得白道實行求黄白大距及交均用月離交均距限表以月距日次引宫度察其與距限相對之度分秒得黄白大距察其與交均相對之分秒得交均并記交均加減號求正交實行置正交平行加減交均得正交實行求中交實行置正交實行加減六宫(不及六宫則加六宫過六宫則減六宫)得中交實行求距交實行置白道實行減正交實行得距交實行求升度差用月離黄白升度差表以距交實行宫度察其所對之度分秒得升度差并記加減號求黄道實行置白道實行加減升度差得黄道實行求黄道緯度用月離黄白距度表以距交實行宫度按黄白大距相近者察其所對之度分秒得黄道緯度并記南北號求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度求月孛宿度月孛平行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求正交宿度正交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為正交宿度求中交宿度中交實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為中交宿度推合朔弦望法太陰實行與太陽實行同宫同度為合朔限距三宫為上弦限距六宫為望限距九宫為下弦限(詳月離厯理晦)(朔弦望篇)皆以太陰未及限度為本日已過限度為次日(如太陰未及太陽為合朔本日已過太陽為合朔次日太陰距太陽未及九十度為上弦本日已過九十)(度為上弦次日之類)求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日太陰實行與次日太陰實行相減餘為太陰一日之實行乃於太陰一日之實行内減太陽一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日太陽實行加限度(合朔同宫同度無可加上弦加三宫朢加六宫下弦加九宫)減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數葢以太陰距太陽一日之實行與一日之分數為比同於本日子正太陰距合朔弦望度分與距子正之分數為比也乃以六十分收為一小時十五分收為一刻得合朔弦望時刻如本日太陰實行與太陽實行適當合朔弦望限度而無相距度分則合朔弦望即為本日子正初刻推交宫時刻法太陰未過宫為交宫本日已過宫為交宫次日求時刻之法以本日太陰實行與次日太陰實行相減餘為一率一千四百四十分為二率本日太陰實行度(不用宫)與三十度相減餘為三率求得四率為距子正之分數葢以太陰一日之實行與一日之分數為比同於本日子正太陰距某宫初度之度分與距子正之分數為比也乃以六十分收為一時十五分收為一刻得交宫時刻如本日太陰實行適當某宫初度而無餘分則交宫即為本日子正初刻推正升斜升横升法合朔日太陰實行自子宫一十五度至酉宫一十五度為正升自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度為斜升自未宫初度至寅宫一十五度為横升自寅宫一十五度至丑宫初度亦為斜升(月離厯理隠見遲疾篇言春分前後各三宫黄道斜升而正降秋分前後各三宫黄道正升而)(斜降乃以東方出地為升西方入地為降所以明太陰隠見之遲疾也此所謂升乃指西方地平方上之)(黄道升度所以定生明之方向也葢太陰在戌宫初度當黄道之春分入地平時夏至在正午距地平七)(十三度餘西方地平上之黄道㡬與地平經圈等故為正升春分前四十五度為子宫一十五度當黄道)(之立春春分後四十五度為酉宫一十五度當黄道之立夏立春入地平則立夏在正午立夏入地平則)(立秋在正午距地平皆六十六度餘西方地平上之黄道猶未斜倚故自子宫一十五度至酉宫一十五)(度皆為正升也立夏後四十五度為未宫初度當黄道之夏至立春前四十五度為丑宫初度當黄道之)(冬至夏至入地平則秋分在正午冬至入地平則春分在正午皆距地平五十度餘西方地平上之黄道)(即成斜倚故自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度皆為斜升也太陰在辰宫初)(度當黄道之秋分入地平時冬至在正午距地平不過二十六度餘西方地平上之黄道斜倚已甚㡬與)(地平緯圏等故為横升秋分前九十度為未宫初度當黄道之夏至入地平時秋分在正午距地平五十)(度餘然夏至在赤道之極北入地平時緯度雖髙而經度横亘故亦為横升秋分後九十度為丑宫初度)(當黄道之冬至入地平時春分在正午距地平亦五十度餘然冬至在赤道之極南入地平時緯度既髙)(而經度復短不得為横升故自未宫初度至寅宫一十五度為横升自寅宫一十五度至丑宫初度復為)(斜升也正升時月體背正西而向正東斜升時月體背西北而向東南横升時月體背正北而向正南皆)(以黄道方向為定太陰雖行白道然相距不過五度且黄白道之交無定在其緯度常與經度不合故以)(黄道定之則終古不易也)推太陰出入時刻法用正弧三角形法以本日太陽黄道經度求其相當赤道經度又用斜弧三角形法以本日太陰距黄極度為一邊(太陰在黄道北則以黄道緯度與九十度相減在黄道南則以黄道緯度與九十度)(相加得太陰距黄極度)黄極距赤極(即北極)二十三度二十九分三十秒為一邉本日太陰距冬至黄道經度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得對邊為太陰距赤極度過九十度者減九十度餘為赤道南緯度不及九十度者與九十度相減餘為赤道北緯度并求得近赤極之角為太陰距冬至赤道經度(與恒星厯理推恒星赤道經緯度之)(法同)乃以半徑一千萬為一率北極髙度之正切線為二率太陰赤道緯度之正切線為三率求得四率為夘酉前後赤道度之正弦檢表得太陰出入在卯酉前後赤道度太陰在赤道北出在卯正前入在酉正後太陰在赤道南出在卯正後入在酉正前(赤道出地為卯)(正入地為酉正乃太陰所臨時刻之方位非太陽所臨之時刻也與日躔厯理晝夜永短法同)爰於太陰赤道經度内減太陽赤道經度(不足減者加十二宫減之)餘為太陰距太陽赤道度又加減太陰出地在卯正前後赤道度(前減後加)得數變時(一度變為四分)自卯正後計之得何時刻再加本時太陰行度所變之時刻(約一小時行三十分)(變為時之二分)即太陰出地時太陽所臨之時刻又以太陰距太陽赤道度加減太陰入地在酉正前後赤道度(前減後加)得數變時自酉正後計之得何時刻再加本時太陰行度所變之時刻即太陰入地時太陽所臨之時刻葢時刻以太陽為定故推得太陽所臨之時刻即太陰出入之時刻也御製歴象考成下編卷二
## 下編卷三
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷三月食厯法推月食用數推月食法用表推月食法推各省月食法推月食帶食法定朢推平朢法推月食用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十朔策二十九日五三○五九三(朔策者平朔相距之日分也其數二十九)(日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纖四十三忽一十二芒以周日一萬分通之得二十九)(日五千三百零五分小餘九三)朢策一十四日七六五二九六五(朢策者平朢距平朔之日分也以朔)(策折半即得)太陽平行朔策一十萬四千七百八十四秒小餘三○四三二四(以太陽每日平行與朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分二十四秒一十八微)太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒小餘三五八八六五(太陽引數者太陽均輪心在本輪周之行度也以太陽每日平行與最卑)(每日平行相減餘為太陽引數毎日之平行與朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分一十九秒二十二微)太隂引數朔策九萬二千九百四十秒小餘二四八五九(太隂引數者太隂均輪心在本輪周之行度也以太隂每日平行與月孛每日平行相減)(餘為太隂引數每日之平行與朔策日分相乗滿周天去之即得以度分秒微收之得二十五度四)(十九分零一十五微)太隂交周朔策一十一萬零四百一十四秒小餘○一六五七四(太隂交周者太隂距正交之行度也以太隂毎日平行與正交毎日平行)(相加得太隂交周每日之平行與朔策日分相乘滿周天去之即得以宫度分秒微收之得一宫零)(四十分一十四秒零一微)太陽平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微太陽引數朢策一十四度三十三分零九秒四十一微太隂引數朢策六宫一十二度五十四分三十秒零七微太隂交周朢策六宫一十五度二十分零七秒(各以每日)(平行與朢策日分相乘以宫度分秒微收之即得)一小時太陽平行一百四十七秒小餘八四七一○四九一小時太陽引數一百四十七秒小餘八四○一二七一小時太隂引數一千九百五十九秒小餘七四七六五四二一小時太隂交周一千九百八十四秒小餘四○二五四九(各置毎日平行以二十四除之即得)一小時月距日平行一千八百二十八秒小餘六一二一一○八(月距日者太隂距太陽之行度也以太陽毎日平行與太隂每日平行相)(減餘為月距日每日之平行以二十四除之即得)太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑九千六百零四太隂本天半徑一千萬太隂本輪半徑五十八萬太隂均輪半徑二十九萬太隂次均輪半徑一十一萬七千五百太陽光分半徑六百三十七(太陽光分半徑為地半徑之六倍又百分之三)(十七今推月食命地半徑為一百分故太陽光分半徑即為六百三十七也)太隂實半徑二十七(太隂實半徑為地半徑百分之二十七今推月食命地半徑為)(一百分故太隂實半徑即為二十七也)太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八與地半徑之比例為一十一萬六千二百(太陽最髙距地與地)(半徑之比例為一千一百六十二今推月食命地半徑為一百分故與地半徑之比例即為一十一)(萬六千二百也)太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百與地半徑之比例為五千八百一十六(太隂最髙距地與地半徑之比例為)(五十八又百分之一十六今推月食命地半徑為一百分故與地半徑之比例即為五千八百一十)(六也)黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒氣應七日六五六三七四九二六紀日八朔應二十六日三八五二六六六(朔應者厯元甲子年首朔距天正冬)(至次日子正初刻之日分也諸曜皆自天正冬至起筭故以天正冬至為應交食則自合朔起算故)(以首朔為應上考往古則於積日内加朔應日分下推將來則於積日内減朔應日分皆以此為根)(也○按康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本)(年天正冬至次日子正初刻為三百七十六日九千九百八十六分小餘八○一減一朢策一十四)(日七六五二九六五又減十二月朔策三百五十四日三六七一一六餘七日八六六二六七六為)(辛丑年天正冬至後第一平朔距天正冬至次日子正初刻之日分即辛丑年首朔之應又自辛丑)(年天正冬至次日子正初刻上溯至甲子年天正冬正次日子正初刻得積日一萬三千五百一十)(四加辛丑年首朔應七日八六六二六七六得一萬三千五百二十一日八六六二六七六為通朔)(即辛丑年首朔距甲子年天正冬至次日子正初刻之日分以朔策二十九日五三○五九三除之)(得四百五十七朔餘二十六日三八五二六六六為甲子年首朔距天正冬至次日子正初刻之日)(分即甲子年朔應也)首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微(首朔太陽平行應者厯元甲子年首朔太陽本輪心距冬至之平行經度也合)(朔日月同度故不用太隂)首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微(首朔太陽引數應者厯元甲子年首朔太陽均輪心距本輪最卑之行度也引)(數起於最卑行而太陽平行實行之差則專生於引數故不用最卑應而用引數應也)首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微(首朔太隂引數應者厯元甲子年首朔太隂均輪心距本輪最髙之行度)(也引數起於月孛行而太隂平行實行之差則專生於引數故不用月孛應而用引數應也)首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微(首朔太隂交周應者厯元甲子年首朔太隂距正交之行度也交周起於正交行而太隂)(入食限則專生於距交故不用正交應而用交周應也○按康熙六十年辛丑十一月平朢太陽平)(行初宫一十一度五十七分五十三秒五十微自厯元甲子年首朔至辛丑年十一月平朢計四百)(六十九朔策一望策乃於辛丑年十一月平朢太陽平行内減四百六十九朔策一朢策之太陽平)(行三十七周天外又十一宫一十五度三十七分一十秒五十三微餘初宫二十六度二十分四十)(二秒五十七微即甲子年首朔太陽平行應也又辛丑年十一月平朢太陽引數初宫零四度零八)(分五十六秒二十微減四百六十九朔策一朢策之太陽引數三十七周天外又十一宫一十四度)(五十八分二十八秒五十九微餘初宫一十九度一十分二十七秒二十一微即甲子年首朔太陽)(引數應也又辛丑年十一月平朢太隂引數十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微減四)(百六十九朔策一朢策之太隂引數五百零三周天外又二宫零五十七分二十六秒四十三微餘)(九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微即甲子年首朔太隂引數應也又辛丑年十一月平)(朢太隂交周平行初宫初度二十分三十六秒零一微減四百六十九朔策一朢策之交周平行五)(百零八周天外又五宫二十九度四十九分四十秒四十七微餘六宫初度三十分五十五秒一十)(四微即甲子年首朔太隂交周應也)推月食法推首朔諸平行及入交(推首朔諸平行及入交為月食入算之首葢本年逐月太陽太隂之行度必以首朔為根有首朔之)(日分然後可以求平望之日分有首朔諸平行然後可以求平朢諸平行至於入交乃當食之月數)(太隂每嵗兩次入交閏月之嵗或三次入交其不入交之月不必算也月食必在朢不用首望而用)(首朔者以天正冬至或在十一月朢前或在十一月朢後不若首朔之定為年前十二月朔也)求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應二十六日三八五二六六六得通朔上考往古則置積日加朔應得通朔(通朔者乃所求本年天正冬至)(次日子正初刻距歴元甲子年首朔之日分也積日原為本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日)(數故下推將來則於積日内減朔應上考往古則於積日内加朔應得通朔也)求積朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九三除之得數加一為積朔餘數與朔策相減為首朔上考往古則置通朔以朔策除之得數為積朔餘數為首朔(積朔者厯)(元甲子年首朔距所求本年首朔之月數而首朔者本年天正冬至後第一朔距本年天正冬至次日子)(正初刻之日分也下推將來以朔策除通朔得數為厯元甲子年首朔距本年天正冬至前一朔之月數)(故加一月為積朔其餘數亦為本年天正冬至次日子正初刻距前一朔之日分故與朔策相減方為首)(朔日分若上考往古則以朔策除通朔得數即厯元甲子年首朔距本年首朔之月數故即為積朔其餘)(數亦即本年首朔距本年天正冬至次日子正初刻之日分故亦即為首朔也)求首朔太陽平行以積朔與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽平行加首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太陽平行上考往古則置首朔太陽平行應減積朔太陽平行得首朔太陽平行(首朔太陽平行者乃所求本年首朔太陽本輪心距)(冬至之平行經度也以積朔與太陽平行朔策相乘則得厯元甲子年首朔距本年首朔之太陽平行度)(故下推將來則置太陽平行應加積朔之太陽平行上考往古則置太陽平行應減積朔之太陽平行而)(得本年首朔之太陽平行也)求首朔太陽引數以積朔與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽引數加首數太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太陽引數上考徃古則置首朔太陽引數應減積朔太陽引數得首朔太陽引數(首朔太陽引數者乃所求本年首朔太陽均輪心距)(本輪最卑之自行度也餘與太陽平行同)求首朔太隂引數以積朔與太隂引數朔策九萬二千九百四十秒二四八五九相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂引數加首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引數上考往古則置首朔太隂引數應減積朔太隂引數得首朔太隂引數(首朔太隂引數者乃所求本年首朔太隂均輪心距本輪最髙)(之自行度也餘與太陽平行同)求首朔太隂交周以積朔與太隂交周朔䇿一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂交周加首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古則置首朔太隂交周應減積朔太隂交周得首朔太隂交周(首朔太隂交周者乃所求本年首朔太隂本輪心距正交之度)(也餘與太陽平行同)求逐月朢太隂交周置本年首朔太隂交周加太隂交周朢䇿六宫一十五度二十分零七秒再以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微遞加十三次得逐月朢太隂交周(逐月朢太隂交周者乃所求本年逐年平朢太隂本輪心距正交之行度也以首朔太隂交周)(加太隂交周朢䇿則得年前十二月平望之太隂交周故遞加太隂交周朔策則得本年逐月平朢之太)(隂交周也遞加十三次者其年或有閏月則十二月為第十三月也)求太隂入交月數逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食(太隂)(距交前後可食之限一十四度五十四分故逐月朢太隂交周在此限以内者為入交詳交食厯理太隂)(食限篇)推平朢諸平行第一(推平朢諸平行為月食第一段蓋既知本月入交矣必求本月平朢之日分然後可以求實朢必求)(平朢諸平行然後可以求實行太陽平行者所以定太陽之經度而太隂之經度即在其對衝太陽)(太隂引數者所以定本輪周之自行度為求均數之用也其不求平望太隂交周者因求入交月數)(已得本月平朢太隂交周若知入交月數則不求逐月朢太隂交周及入交即以入交月數與太隂)(交周朔策一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘得數加太隂交周朢䇿六宫一十五度)(二十分零七秒與本年首朔太隂交周相加即平望太隂交周也)求平朢以太隂入交月數與朔䇿二十九日五三○五九三相乘得數加朢策一十四日七六五二九六五與本年首朔日分相加再加紀日滿紀法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支以周日一千四百四十分通其小餘得平朢時分秒(平朢者本月太隂本輪心與太隂本)(輪心相對之日時也以入交月數與朔䇿相乘加朢策日分則得平朢距首朔之日分與首朔日分相加)(則得平朢距天正冬至次日子正初刻之日分又加紀日則得平朢距冬至前甲子日子正初刻之日分)(故滿紀法六十去之自初日甲子起算得平朢干支以一千四百四十分通其小餘得平朢時分也)求平望太陽平行以太隂入交月數與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘得數加太陽平行朢䇿一十四度三十三分一十二秒零九微與本年首朔太陽平行相加得平朢太陽平行求平朢太陽引數以太隂入交月數與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘得數加太陽引數朢䇿一十四度三十三分零九秒四十一微與本年首朔太陽引數相加得平朢太陽引數求平朢太隂引數以太隂入交月數與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘得數加太隂引數朢䇿六宫一十二度五十四分三十秒零七微與本年首朔太隂引數相加得平朢太隂引數推日月相距第二(推日月相距為月食第二段蓋平朢固兩本輪心相對矣而日月皆有均數因生距弧既有距弧則)(必有距時也若兩均加減同度分亦同則無距弧亦無距時而平朢即實朢詳交食厯理朔朢有平)(實之殊篇)求太陽均數以平朢太陽引數依日躔求均數法算之得太陽均數引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求太隂均數以平朢太隂引數依月離求初均數法筭之得太隂均數引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧(距弧者日月相距之弧也兩均)(同為加或同為減者則相距為兩均之較故相減得距弧兩均一為加一為減者則相距為兩均之和故)(相加得距弧)求距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一厯三千六百秒為二厯距弧化秒為三厯(一度化六十分一分化六十秒)求得四厯為秒以時分收之得距時太陽太隂兩均數同為加者大陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減(距時者日月相距之時分也太陽均數為加太隂均數為減或同為加而太陽加均)(大或同為減而太陽減均小皆太陽在前太隂在後月未及與日相對故距時為加太陽均數為減太隂)(均數為加或同為加均而太陽加均小或同為減圴而太陽減均大皆太隂在前太陽在後月已過與日)(相對故距時為減)推實引第三(推實引為月食第三段葢日月既有距時則此相距之時分内亦必有引數之自行故又以距時求)(得引弧以加減平朢之引數為實引數也)求太陽引弧以三千六百秒為一率一小時太陽引數一百四十七秒八四○一七二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧以三千六百秒為一厯一小時太隂引數一千九百五十九秒七四七六五四二為二厯距時化秒為三厯求得四厯為秒以度分收之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朢太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朢太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朢第四(推實朢為月食第四段前求日月相距以得距時似可以加減平朢而為實朢矣然此相距之時分)(内引數既有微差則均數亦有微差而距弧與距時亦必有微差故又以實引推實均以求實距弧)(而得實距時然後加減平朢為實朢也)求太陽實均以太陽實引依日纒求均數法算之得太陽實均實引初宫至五宫為加六宫至十一宫為減随求太陽距地心之邊為求太陽距地之用求太隂實均以太隂實引依月離求初均數法算之得太隂實均實引初宫至五宫為減六宫至十一宫為加随求太隂距地心之邊為求太隂距地之用求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一厯三千六百秒為二率實距弧化秒為三厯求得四厯為秒以時分收之得實距時定加減之法與距時同求實朢置平朢加減實距時得實朢加滿二十四時則實朢進一日不足減者借一日作二十四時則實朢退一日推實交周第五(推實交周為月食第五段蓋實朢與食甚尚有微差而距緯與距交亦有進退故又求實朢時太隂)(距正交之實行度然後時刻之早晚距緯之逺近食分之淺深皆可次第推也)求交周距弧以三千六百秒為一率一小時太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九為二厯實距時化秒為三率求得四厯為秒以度分收之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減(交周距弧者平朢距實朢)(太陰交周之行度也蓋平朢與實朢既有距時則此相距之時分内太陰又有距交行故又以實距時求)(交周距弧也)求實朢平交周置平朢太陰交周加減交周距弧得實朢平交周(實朢)(平交周者實朢時太隂本輪心距正交之平行度也平朢太隂交周為平朢時太隂本輪心距正交之度)(加減交周距弧即為實朢時太隂本輪心距正交之度因其為本輪心行故仍名之曰平也)求實朢實交周置實朢平交周加減太隂實均得實朢實交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宫一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宫一十七度四十三分零五秒至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算(實朢實交周者實朢時太隂距正交之實行度也實朢平交周為太)(隂本輪心距正交之度而太陰實行又有加減之差故加減太隂實均為實交周也其入限宫度乃太隂)(距交必食之限詳交食厯理太陰食限篇)推太陽實經第六(推太陽實經為月食第六段盖月食之時刻由於太陽而太陽之時刻定於赤道故求太陽實經所)(以為求時差之用也)求太陽距弧以三千六百秒為一率一小時太陽平行一百四十七秒八四七一○四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減(太陽距弧者平朢距實朢太陽)(本輪心之行度也與交周距弧之理同)求實朢太陽平行置平朢太陽平行加減太陽距弧得實朢太陽平行(與實朢平交周之理同)求太陽黄道經度置實朢太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度(與實朢實交周之理同)求太陽赤道經度以半徑一千萬為一厯黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二厯太陽距春秋分黄道經度之正切線為三厯(太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫)(者與九宫相減過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四厯為赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度以冬至起初宫命之得太陽赤道經度推實朢用時第七(推實朢用時為月食第七段葢實朢固為日月相對之時刻而驗諸實測猶有㣲差因有時差也故)(加減二時差之總為實朢用時)求均數時差以太陽實均變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十五秒)(變為一秒)實均為加者則為減實均為減者則為加求升度時差以太陽黄道經度與太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減(時差之理詳日躔厯理時差及交食厯理朔朢用時篇其加減為時差總者合両次加減為一次加)(減也)求實朢用時置實朢加減時差總得實朢用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在晝即不必算(分晝夜之法以一小時月距日實行二十七分四十三秒為一率六十分為二率最大月半徑)(與最大影半徑相併得一度零三分三十九秒為三率求得四率一百三十八分收作九刻實朢在日出)(後九刻以内日出前可見初虧實朢在日入前九刻以内日入後可見復圓若九刻以外雖食分最大時)(刻最久亦不見食矣故不必筭)推食甚距緯食甚時刻第八(推食甚距緯食甚時刻為月食第八段蓋實朢用時固日月相對之時刻矣然太隂與地影斜距猶)(逺故求其白道緯度為距緯以辨相掩之淺深求其白道經差為交周升度差以定距時之早晚然)(後加減實朢用時為食甚時刻也詳交食厯理月食五限時刻篇)求食甚距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率實朢實交周之正弦為三率求得四率為食甚距緯之正弦檢表得食甚距緯實交周初宫五宫為北六宫十一宫為南(食甚距緯者食甚時太隂距地)(影心之白道緯度也月離求緯度乃黄道之緯度與黄道成直角此所求之距緯乃白道之緯度與白道)(成直角夫求白道緯度應以黄道立筭今用實朢實交周者葢交食推朔朢以白道當黄道太隂白道經)(度與太陽黄道經度相同為朔相對為朢與月離用黄道經度推朔朢者不同故實朢時地影心距交之)(黄道經度與太隂距交之白道經度等用白道即用黄道也至於南北則以黄道為主實交周初宫至五)(宫為正交後入隂厯在黄道北六宫至十一宫為中交後入陽厯在黄道南月食方位所由定也)求食甚交周以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率實朢實交周之正切線為三率求得四率為食甚交周之正切線檢表得食甚交周(食甚交周者食甚時太隂距正交之白道經度也葢實交周為實朢時太隂距正交之白道經度與地影)(心距正交之黄道經度等故用實朢實交周為地影心距交之黄道度求其相當之白道度為食甚時太)(隂距交之白道經度也)求交周升度差以食甚交周與實朢實交周相減得交周升度差(交周)(升度差者食甚時太隂交周與實朢時太隂交周之差也故相減得交周升度差)求月距日實行以一小時太隂引數與太隂實引相加依月離求初均數法算之為後均數與太隂實均相加減(實均與後均同)(為加或同為減者則相減一為加一為減者則相加)得數與一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加減(實均)(與後均同為加者後均加數大則加後均加數小則减同為減者後均減數大則減後均減數小則加一)(為加一為減者後均加則加後均減則減)得月距日實行(月距日實行者一小時月距日)(之實行度也葢初虧在食甚前復圓在食甚後其均數皆以漸而差故設食甚後一小時之引數求其均)(數與實均相較以得食甚後一小時月距日之實行則食甚前一小時之實行視此矣以此一小時月距)(日之實行與一小時為比例然後各相距之時刻可以得其真也)求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時實朢實交周五宫十一宫為加初宫六宫為減(食甚距時者食甚與實朢用時相距之時分也蓋食甚時太隂距交之白道度與實朢時太隂)(距交之白道度既有微差則食甚之時分與實朢用時之時分亦有微差故以一小時月距日實行與一)(小時之比同於交周升度差與食甚距時之比也定加減之法實朢實交周五宫十一宫在交前黄道度)(少白道度多故加初宫六宫在交後黄道度多白道度少故減)求食甚時刻置實朢用時加減食甚距時得食甚時刻自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分推食分第九(推食分為月食第九段葢食分之多寡由於相掩之淺深相掩之淺深由於視徑之大小視徑之大)(小又由於距地之逺近故先求得距地數以得視徑及相掩之分數然後比例而得食分也)求太陽距地以太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八為一率地半徑比例數一十一萬六千二百為二率太陽距地心之邊為三率求得四率即太陽距地(太陽)(距地者月食時太陽距地心與地半徑之比例數也)求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百為一率地半徑比例數五千八百一十六為二率太隂距地心之邊内減次均輪半徑一十一萬七千五百餘為三率求得四率即太隂距地(太隂距地者月食時太隂距地心與地半)(徑之比例數也太隂距地心之邉又減次均輪半徑者因朢時太隂在次均輪下㸃故也)求太隂半徑以太隂距地為一率太隂實半徑二十七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太隂半徑之正弦檢表得太隂半徑求地影半徑以太陽光分半徑六百三十七内減地半徑一百餘五百三十七為一率太陽距地為二率地半徑一百為三率求得四率為地影之長又以地影之長為一率地半徑一百為二率半徑一千萬為三率求得四率為地影角之正弦檢表得地影角又以半徑一千萬為一率地影角之正切線為二率地影之長内減太隂距地餘為三率求得四率為太隂所當地影之濶乃以太隂距地為一率地影之濶為二率半徑一千萬為三率求得四率為地影半徑之正切線檢表得地影半徑(詳交食厯理地影半徑篇)求併徑以太隂半徑與地影半徑相加得併徑求食分以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚距緯餘為三率求得四率即食分推初虧復圓時刻第十(推初虧復圓時刻為月食第十段葢初虧時太隂與地影兩周初相切復圓時太隂與地影兩周初)(相離故以兩半徑相加為兩心相距之度以此斜距之度求其白道度則得距弧以距弧比例得距)(時與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻矣詳交食厯理月食五限時刻篇)求初虧復圓距弧以食甚距緯之餘弦為一率併徑之餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧復圓距弧之餘弦檢表得初虧復圓距弧(初虧復圓距弧者初虧距食甚或食甚距復圓之行)(度也與正弧三角形有黄道有距緯求赤道之法同)求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與食甚同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與食甚同推食既生光時刻第十一(推食既生光時刻為月食第十一段葢食既時太隂全入影中生光時太隂方出影外故以兩半徑)(相減為兩心相距之度以此斜距之度求其白道度則得距弧以距弧比例得距時與食甚時刻相)(加減即得食既生光時刻矣詳交食厯理月食五限時刻篇)求食既生光距弧以食甚距緯之餘弦為一率地影半徑内減太隂半徑餘為徑較檢其餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為食既生光距弧之餘弦檢表得食既生光距弧(如徑較小於距緯則月食必在十分以内即無食既生光)求食既生光距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率食既生光距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得食既生光距時求食既時刻置食甚時刻減食既生光距時得食既時刻不足減者加二十四時減之食既即在前一日命時之法與食甚同求生光時刻置食甚時刻加食既生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與食甚同推太隂經緯宿度第十二(推太隂經緯宿度為月食第十二段所以騐諸實測也)求黄白升度差以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率食甚交周之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與食甚交周相減餘為黄白升度差食甚距時加者亦為加食甚距時減者亦為減(與月離厯法求升度差同)求大隂黄道經度置太陽黄道經度加減六宫(過六宫者減六宫不及六宫者加六宫)再加減食甚距弧又加減黄白升度差得太隂黄道經度(太隂黄道經度者食甚時太隂黄道經度也求實朢時既以白道當黄道則以實朢太陽黄道經度)(加減六宫即得實朢太隂白道經度再加減食甚距弧即得食甚太隂白道經度故又加減黄白升度差)(方為食甚時太隂黄道經度也)求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太隂黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂黄道宿度求太隂黄道緯度以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率食甚交周之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得太隂黄道緯度食甚交周初宫五宫為北六宫十一宫為南(與月離求黄道緯度之法同)求太隂赤道經度赤道緯度以太隂距黄極度為一邊(太隂在黄道北則以黄道緯度與九十度相減在黄)(道南則以黄道緯度與九十度相加得太隂距黄極度)黄極距赤極二十三度二十九分三十秒為一邊太隂距冬至黄道經度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)用斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間求對邊之法求得對邊為太隂距赤極度過九十度者減九十度餘為赤道南緯度不及九十度者與九十度相減餘為赤道北緯度又求得近赤極之角為太隂距冬至赤道經度(與恒星厯)(理推恒星赤道經緯度之法同)求太隂赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太隂赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂赤道宿度推月食方位及食限總時(推月食方位及食限總時亦以騐諸實測盖方位雖無闗於行度而實有合於仰觀仰觀既合則黄)(道之出入白道之交錯皆有明徵矣總時既有闗於遲疾又以騐諸久暫久暫既騐則併徑之大小)(食分之淺深皆有確據矣)求春秋分距地平赤道度以食甚時刻變赤道度(每時之四分變作一度每時之一分變作十五分毎時之)(一秒變作十五秒)又於太陽赤道經度内減三宫(不足減者加十二宫)(減之)餘為太陽距春分赤道度兩數相加(加滿全周去之)為春分距子正赤道度過半周者減半周餘為春分距正午西赤道度不及半周者與半周相減餘為春分距正午東赤道度距正午西過九十度者與半周相減餘為秋分距正午東赤道度距正午東過九十度者與半周相減餘為秋分距正午西赤道度以春秋分距正午東西赤道度與九十度相減餘為春秋分距地平赤道度(春秋分為黄赤二道之交求得春秋分距地平赤道度則春秋分距地平黄道)(度與黄道地平交角皆可推矣然欲求春秋分距地平赤道度必先求春秋分距正午赤道度而欲求春)(秋分距正午赤道度必先求太陽距春分與距子正赤道度葢太陽赤道度起於冬至右旋時刻赤道度)(起於子正左旋故必於太陽赤道經度内減去三宫餘為太陽距春分赤道度與時刻赤道度相加為春)(分距子正赤道度知春分距子正赤道度即知春分距正午前後赤道度或秋分距正午前後赤道度既)(得春秋分距正午赤道度而正午距地平又恒為九十度故以春秋分距正午赤道度與九十度相減得)(春秋分距地平赤道度也)求黄道地平交角以春秋分距地平赤道度為所知之一邊黄赤交角二十三度二十九分三十秒及赤道地平交角(春分在正)(午西秋分在正午東用對赤道髙弧之角如京師為五十度零五分春分在正午東秋分在正午西則以)(赤道高弧與半周相減用其餘如京師為一百二十九度五十五分)為所知之兩角用斜弧三角形知兩角一邊而邊在兩角之間求對角之法求得對角春分在正午東秋分在正午西者則求得之角即為黄道地平交角春分在正午西秋分在正午東者則以求得之角與半周相減餘為黄道地平交角(黄道地平交角者黄道與地平南半周相交之角即黄平象限距地平之髙也春分)(在正午東秋分在正午西則地平黄道在赤道北故求得對赤道之角即黄道與地平南半周相交之角)(春分在正午西秋分在正午東則地平黄道在赤道南故求得對赤道之角為黄道與地平北半周相交)(之交必與半周相減方為黄道與地平南相交之角也)求春秋分距地平黄道度以黄道地平交角之正弦為一率赤道地平交角之正弦為二率春秋分距地平赤道度之正弦為三率求得四率為春秋分距地平黄道度之正弦檢表得春秋分距地平黄道度求太隂距春秋分黄道度春分在地平上者(或在正午前或在正午後皆為在地平上)以太隂黄道經度與三宫相減餘為太隂距春分黄道度秋分在地平上者以太隂黄道經度與九宫相減餘為太隂距秋分黄道度春秋分宫度大於太隂宫度為距春秋分前春秋分宫度小於太隂宫度為距春秋分後求太隂距地平黄道度春秋分在正午西者太隂在春秋分後則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相加太隂在春秋分前則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相減得太隂距地平黄道度春秋分在正午東者太隂在春秋分後則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相減太隂在春秋分前則以太隂距春秋分黄道度與春秋分距地平黄道度相加得太隂距地平黄道度求太隂距限春秋分在正午西者太隂距地平黄道度不及九十度為限西過九十度為限東春秋分在正午東者太隂距地平黄道度不及九十度為限東過九十度為限西求黄道髙弧交角以太隂距地平黄道度之餘弦為一率半徑一千萬為二率黄道地平交角之餘切線為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得黄道髙弧交角(此以上即日食求黄平象限及黄道髙弧交角之理因月食未論及黄平象限故用春秋分距地平及太)(隂距地平黄道度立算以從簡易詳交食厯理定月食方位篇與日食求黄平象限諸法可以參看)求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率初虧交周之正弦為三率求得四率為初虧距緯之正弦檢表得初虧距緯初虧交周初宫五宫為緯北六宫十一宫為緯南求復圓距緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率復圓交周之正弦為三率求得四率為復圓距緯之正弦檢表得復圓距緯復圓交周初宫五宫為緯北六宫十一宫為緯南求初虧緯差角以併徑之正弦為一率初虧距緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧緯差角之正弦檢表得初虧緯差角求復圓緯差角以併徑之正弦為一率復圓距緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為復圓緯差角之正弦檢表得復圓緯差角求初虧定交角太隂在限東者初虧緯南則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相加初虧緯北則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相減得初虧定交角太隂在限西者初虧緯南則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相減初虧緯北則以初虧緯差角與黄道髙弧交角相加得初虧定交角如初虧無距緯則無初虧緯差角而黄道髙弧交角即初虧定交角求復圓定交角太隂在限東者復圓緯南則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相減復圓緯北則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相加得復圓定交角太隂在限西者復圓緯南則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相加復圓緯北則以復圓緯差角與黄道髙弧交角相減得復圓定交角如復圓無距緯則無復圓緯差角而黄道髙弧交角即復圓定交角求初虧方位太隂在限東者初虧定交角在四十五度以内為下偏左在四十五度以外為左偏下適足九十度為正左過九十度為左偏上太隂在限西者初虧定交角在四十五度以内為上偏左在四十五度以外為左偏上適足九十度亦為正左過九十度為左偏下求復圓方位太隂在限東者復圓定交角在四十五度以内為上偏右在四十五度以外為右偏上適足九十度為正右過九十度為右偏下太隂在限西者復圓定交角在四十五度以内為下偏右在四十五度以外為右偏下適足九十度亦為正右過九十度為右偏上(京師)(北極髙四十度故月食方位皆以黄平象限在天頂南而定若北極髙二十三度以下黄平象限有時在)(天頂北則月食方位之左右與此相反)求食限總時以初虧復圓距時倍之得食限總時(食限總時者初虧至復圓之時)(刻也初虧距食甚與食甚距復圓其時分恒相等故以初虧復圓距時倍之即得食限總時也)用表推月食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔諸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微進一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朢太隂交周用交食朔朢䇿表察正月太隂交周朢䇿宫度分秒與首朔太隂交周相加得正月朢太隂交周以下遞加交周朔䇿一宫零四十分一十四秒得逐月朢太隂交周求入交月數逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆為太隂入交第㡬月入交即第㡬月有食推平朢諸平行第一求首朔諸根用交食首朔諸根表察本年首朔日時分秒得首朔根察本年太陽平行宫度分秒得太陽平行根察本年太陽引數宫度分秒得太陽引數根察本年太隂引數宫度分秒得太陰引數根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察紀日求諸朢䇿用交食朔朢䇿表察本月朢䇿日時分秒得朢䇿察本月太陽平行朢䇿宫度分秒得太陽平行朢䇿察本月太陽引數朢䇿宫度分秒得太陽引數朢䇿察本月太隂引數朢䇿宫度分秒得太陰引數朢䇿察本月太陰交周朢䇿宫度分秒得太陰交周朢䇿求平朢以首朔根紀日朢䇿三數相加其日滿紀法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分得平望時分秒求平朢太陽平行以太陽平行根與太陽平行朢䇿相加得平望太陽平行求平望太陽引數以太陽引數根與太陽引數朢䇿相加得平望太陽引數求平望太隂引數以太隂引數根與太隂引數望䇿相加得平望太隂引數求平望太隂交周以太隂交周根與太隂交周望䇿相加得平望太隂交周推日月相距第二求太陽均數用日躔太陽均數表以平朢太陽引數宫度分察其所對之度分秒得太陽均數并記加減號求太隂均數用月離太隂初均數表以平望太隂引數宫度分察其所對之度分秒得太隂均數并記加減號求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時用交食周日諸平行表以距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得距時凡太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三求太陽引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減(太陽每日之最卑行不過十分秒之一則)(太陽引數畧與太陽平行同故求太陽引弧即用太陽平行也)求太隂引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂引數相對之數而併之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平望太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平望太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實望第四求太陽實均用日躔太陽均數表以太陽實引宫度分察其所對之度分秒得太陽實均并記加減號求太隂實均用月離太隂初均數表以太隂實引宫度分察其所對之度分秒得太隂實均并記加減號求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時用交食周日諸平行表以實距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得實距時定加減之法與距時同求實望置平望加減實距時得實望加滿二十四時則實望進一日不足減者借一日作二十四時則實望退一日推實交周第五求交周距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太隂交周相對之數而併之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實望平交周置平望太隂交周加減交周距弧得實望平交周求實望實交周置實望平交周加減太隂實均得實望實交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宮一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宮一十七度四十三分零五秒至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推太陽實經第六求太陽距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實望太陽平行置平望太陽平行加減太陽距弧得實望太陽平行求太陽黄道經度置實望太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度推實望用時第七求均數時差用日躔均數時差表以太陽實引宮度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實望用時置實望加減時差總得實望用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在畫即不必算推食甚距緯食甚時刻第八求食甚距緯用交食黄白距度表以實望實交周宫度分察其所對之度分秒得食甚距緯并記南北號(交食黄白距度表乃以白)(道經度求黄道緯度與黄道成直角若以黄道經度察表則其所得為白道緯度與白道成直角今實望)(實交周宫度與地影心距交之黄道度等故察表即得白道緯度而為食甚之距緯也)求交周升度差用月離黄白升度差表以實望實交周宫度察其所對之分秒得交周升度差并記加減號(月離黄白升度差表乃以)(白道經度求黄道升度差若以黄道經度察表則其所得為白道升度差今實望實交周與地影心距交)(之黄道度等故察表即得交周白道升度差也)求食甚交周實望實交周加減交周升度差得食甚交周(前法先得食甚)(交周而後相減得交周升度差此用表法先得交周升度差而後相減得食甚交周其理一也)求月距日實行用交食月距日實行表以太隂實引宫度察其所對之分秒得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時交周升度差為加者亦為加交周升度差為減者亦為減求食甚時刻置實望用時加減食甚距時得食甚時刻命時之法與平望同推食分第九求太隂半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月半徑相對之分秒得太隂半徑求地影半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與影半徑相對之分秒得地影半徑求影差用交食視半徑表以太陽實引宫度察其與影差相對之分秒得影差求實影半徑置地影半徑減影差得實影半徑(地影半徑表乃以太陽在最髙所生)(之大影立算若太陽不在最髙者其影皆有微差故以太陽引數宫度察得影差以減地影半徑方為實)(影半徑不用求日月距地者因以引數察表則距地之髙卑已在其中也)求併徑以太隂半徑與實影半徑相加得併徑求食分以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚距緯餘為三率求得四率即食分推初虧復圓時刻第十求初虧復圓距弧用交食月行表以併徑分及食甚距緯分察其所對之分秒得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與平望同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與平望同推食既生光時刻第十一求食既生光距弧用交食月行表以實影半徑内減太隂半徑之餘分及食甚距緯分察其所對之分秒得食既生光距弧求食既生光距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率食既生光距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得食既生光距時求食既時刻置食甚時刻減食既生光距時得食既時刻不足減者加二十四時減之食既即在前一日命時之法與平望同求生光時刻置食甚時刻加食既生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與平望同推太隂經緯宿度第十二求黄白升度差用月離黄白升度差表以食甚交周宫度察其所對之分秒得黄白升度差并記加減號求太隂黄道經度置太陽黄道經度加減六宫(過六宫者減六宫不及六宫者加六宫)再加減交周升度差又加減黄白升度差得太隂黄道經度求太隂黄道緯度用交食黄白距度表以食甚交周宫度分察其所對之度分秒得太隂黄道緯度求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太隂黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂黄道宿度求太隂赤道經度用黄赤經緯互推表以太隂黄道經度及太隂黄道緯度察其所對之宫度分秒得太隂赤道經度求太隂赤道緯度用黄赤經緯互推表以太隂黄道經度及太隂黄道緯度察其所對之度分秒得太隂赤道緯度求太隂赤道宿度依恆星歴理求得本年赤道宿鈐察太隂赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太隂赤道宿度推月食方位及食限總時求春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚時刻加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距正午後時分兩數相加(加滿二十)(四時去之用其餘)得春分距午時分(春分距午時分者食甚時春分距正午後赤道)(度所變之時分也不用度數而用時分者為與食甚時刻相應也前法以距地平上立算或春分在地平)(上或秋分在地平上故求春分或秋分距地平赤道度此用表法以距正午後立算或在地平上或在地)(平下皆自春分起數故止求春分距午時分也)求月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數為黄平象限宫度與太隂黄道經度相減餘為月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度太於黄平象限宫度者為限東小於黄平象限宫度者為限西(月距限者太隂距黄)(平象限之度分也宫數之次皆自西而東故太隂黄道經度大於黄平象限宫度者為限東小於黄平象)(限宫度者為限西也)求限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距正午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得限距地髙求黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以月距限及限距地髙之度察其所對之度分秒得黄道髙弧交角求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧距緯用交食黄白距度表以初虧交周宫度察其所對之度分秒得初虧距緯并記南北號求復圓距緯用交食黄白距度表以復圓交周宫度察其所對之度分秒得復圓距緯并記南北號求初虧緯差角用交食緯差角表以併徑分及初虧距緯分察其所對之度分得初虧緯差角求復圓緯差角用交食緯差角表以併徑分及復圓距緯分察其所對之度分得復圓緯差角以下求定交角及方位并食限總時皆與前法同推各省月食法求各省月食時刻以京師月食時刻按各省東西偏度加減之(與推各省節氣)(時刻加減法同)得各省月食時刻求各省月食方位以各省赤道髙度及各省食甚時刻依京師推月食方位法算之得各省月食方位推月食帶食法求帶食距時以本日日出或日入時分與食甚時分相減餘為帶食距時(帶食距時者太隂出入地平距食甚之時刻也月食日月相對則日出時刻即月入時刻)(日入時刻即月出時刻故初虧或食甚在日入前者為帶食出地食甚或復圓在日出後者為帶食入地)(帶食出地者則以日入時分與食甚時分相減餘為帶食距時帶食入地者則以日出時分與食甚時分)(相減餘為帶食距時各省帶食以各省日出入時刻及各省食甚時刻算之)求帶食距弧以三千六百秒為一率一小時月距日實行化秒為二率(即推月食所用月距日實行也)帶食距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得帶食距弧(帶食距弧者太隂出入地平距食甚)(之行度也初虧復圓以距弧求距時帶食以距時求距弧其理同也)求帶食兩心相距以半徑一千萬為一率帶食距弧之餘切線為二率食甚距緯之餘弦為三率求得四率為兩心相距之餘切線檢表得帶食兩心相距(帶食兩心相距者帶食時太隂心與地影)(心相距之度也初虧復圓以併徑斜距之度與距緯求距弧之白道度帶食以距弧之白道度與距緯求)(兩心斜距之度其理同也)求帶食分秒以太隂半徑倍之為一率十分為二率併徑内減帶食兩心相距餘為三率求得四率即帶食分秒(帶食分秒)(者太隂出入地平時與地影相掩之分數為太隂全徑十分中之幾分也食甚兩心相距即距緯故於併)(徑内減距緯為三率帶食則於併徑内減帶食兩心相距為三率其理同也)定望推平望法康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅望月食初虧戌正初刻十二分二十四秒零四微食甚亥正一刻四分零一秒零六微復圓十六日子正一刻十分三十八秒零八微食甚時太陽赤道經度初宫一十三度零六分零九秒一十六微太陽平行過冬至一十一度五十三分四十九秒四十一微(自厯元甲子年天正冬至次日)(子正初刻至本日食甚時刻計一萬三千八百九十日九二九八七三八與太陽每日平行相乗加厯元)(甲子年天正冬至次曰子正初刻太陽平行遇冬至二十分一十九秒一十八微即得)太陽引數過最卑四度零四分五十二秒一十二微(以食甚距厯元)(日分與最卑每日平行相乗加厯元甲子年最卑應得數與食甚太陽平行相減即得)太隂引數過最髙十一宫一十八度三十七分五十六秒四十四微(自崇禎戊辰年首朔至本日食甚時刻計三萬四千三百二十九日二四五五五六二與)(太隂每日自行相乗加崇禎戊辰年首朔太隂遇最髙一宮零七度三十四分三十四秒即得)太陽實均加八分五十六秒五十四微太隂實均加五十六分四十三秒四十四微太隂半徑一十五分五十七秒五十七微地影半徑四十二分三十九秒五十二微一小時月距日實行二十七分四十五秒四十四微推得初虧復圓距弧五十八分三十五秒一十九微食甚距緯在黄道北二分一十二秒三十八微食甚交周為初宫初度二十五分二十二秒五十六微實望實交周為初宫初度二十五分二十八秒三十九微交周升度差五秒四十三微食甚距時減一十二秒二十二微則實望用時為亥正一刻四分一十三秒二十八微均數時差減三十五秒四十八微升度時差減四分一十二秒四十二微則實望為亥正一刻九分零一秒五十八微實距時減一時三十四分零三秒五十八微則平望為夜子初三刻一十三分零五秒五十六微以食甚時刻與平望時刻相減得平望在食甚後一時三十九分零四秒五十微乃以食甚距平望時分之太陽平行四分零四秒零九微與食甚太陽平行相加得平望太陽平行為初宫一十一度五十七分五十三秒五十微加六宫得平望太隂平行為六宫一十一度五十七分五十三秒五十微以食甚距平望之太陽引數四分零四秒零八微與食甚太陽引數相加得平望太陽引數過最卑四度零八分五十六秒二十微以食甚距平望之太隂引數五十三分五十六秒一十五微與食甚太隂引數相加得平望太隂引數過最髙十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微又以實距時一時三十四分零三秒五十八微求得交周距弧五十一分五十一秒零六微與實望實交周相加(因平望求)(實望為減則實望求平望為加)得實望平交周初宫一度一十八分一十九秒四十五微減太隂實均五十六分四十三秒四十四微得平望交周初宫初度二十分三十六秒零一微又置平望太隂平行減平望交周得平望正交過冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微置平望太隂平行減平望太隂引數得平望月孛過冬至六宫二十二度二十六分零五十一微御製厯象考成下編卷三
## 下編卷四
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷四日食厯法推日食用數推日食法用表推日食法推各省日食法推日食帶食法推日食用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十朔策二十九日五三○五九三太陽平行朔策一十萬四千七百八十四秒小餘三○四三二四太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒小餘三五八八六五太隂引數朔策九萬二千九百四十秒小餘二四八五九太隂交周朔䇿一十一萬零四百一十四秒小餘○一六五七四一小時太陽平行一百四十七秒小餘八四七一○四九一小時太陽引數一百四十七秒小餘八四○一二七一小時太隂引數一千九百五十九秒小餘七四七六五四二一小時太隂交周一千九百八十四秒小餘四○二五四九一小時月距日平行一千八百二十八秒小餘六一二一一○八太陽本天半徑一千萬太陽本輪半徑二十六萬八千八百一十二太陽均輪半徑八萬九千六百零四太隂本天半徑一千萬太隂本輪半徑五十八萬太隂均輪半徑二十九萬太隂次均輪半徑一十一萬七千五百太陽實半徑五百零七(太陽實半徑為地半徑之五倍又百分之七今推日食命)(地半徑為一百分故太陽實半徑即為五百零七也)太隂實半徑二十七太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八與地半徑之比例為一十一萬六千二百太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百與地半徑之比例為五千八百一十六黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒氣應七日六五六三七四九二六紀日八朔應二十六日三八五二六六六首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微推日食法推首朔諸平行及入交(推首朔諸平行及入交為日食入算之首其理與月食同但日食在朔故皆不用朢䇿)求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應二十六日三八五二六六六得通朔上考往古則置積日加朔應得通朔求積朔及首朔置通朔以朔䇿二十九日五三○五九三除之得數加一為積朔餘數與朔䇿相減為首朔上考往古則置通朔以朔䇿除之得數為積朔餘數為首數求首朔太陽平行以積朔與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽平行加首朔太陽平行應初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太陽平行上考往古則置首朔太陽平行應減積朔太陽平行得首朔太陽平行求首朔太陽引數以積朔與太陽引數朔策一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太陽引數加首朔太陽引數應初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太陽引數上考往古則置首朔太陽引數應減積朔太陽引數得首朔太陽引數求首朔太隂引數以積朔與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂引數加首朔太隂引數應九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引數上考往古則置首朔太隂引數應減積朔太隂引數得首朔太隂引數求首朔太隂交周以積朔與太隂交周朔策一十一萬零四百一十四秒○一六五七四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積朔太隂交周加首朔太隂交周應六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古則置首朔太隂交周應減積朔太隂交周得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微遞加十三次得逐月朔太隂交周求太隂入交月數逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度五十二分自五宫九度零八分至六宫八度五十一分自十一宫二十一度零九分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食(太隂距正交後中交前在黄道)(北可食之限二十度五十二分太隂距中交後正交前在黄道南可食之限八度五十一分故逐月朔太)(隂交周在此限以内者為入交詳交食厯理太陽食限篇)推平朔諸平行第一(推平朔諸平行為日食第一段其理亦與月食同)求平朔以太隂入交月數與朔䇿二十九日五三○五九三相乘得數與本年首朔日分相加再加紀日滿紀法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支以周日一千四百四十分通其小餘得平朔時分秒求平朔太陽平行以太隂入交月數與太陽平行朔䇿一十萬四千七百八十四秒三○四三二四相乘得數與本年首朔太陽平行相加得平朔太陽平行求平朔太陽引數以太隂入交月數與太陽引數朔䇿一十萬四千七百七十九秒三五八八六五相乘得數與本年首朔太陽引數相加得平朔太陽引數求平朔太隂引數以太隂入交月數與太隂引數朔䇿九萬二千九百四十秒二四八五九相乘得數與本年首朔太隂引數相加得平朔太隂引數推日月相距第二(推日月相距為日食第二段其理亦與月食同若兩均加減同度分亦同則無距弧亦無距時而平)(朔即實朔詳交食厯理朔朢有平實之殊篇)求太陽均數以平朔太陽引數依日躔求均數法算之得太陽均數引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求太隂均數以平朔太隂引數依月離求初均數法算之得太隂均數引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一率三千六百秒為二率距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得距時太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三(推實引為日食第三段其理亦與月食同)求太陽引弧以三千六百秒為一率一小時太陽引數一百四十七秒八四○一七二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧以三千六百秒為一率一小時太隂引數一千九百五十九秒七四七六五四二為二率距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朔太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朔太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朔第四(推實朔為日食第四段其理亦與月食同)求太陽實均以太陽實引依日躔求均數法算之得太陽實均實引初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求太陽距地心之邊為求太陽距地之用求太隂實均以太隂實引依月離求初均數法算之得太隂實均實引初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求太隂距地心之邊為求太隂距地之用求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得實距弧一為加一為減者則相加得實距弧求實距時以一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八為一率三千六百秒為二率實距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得實距時定加減之法與距時同求實朔置平朔加減實距時得實朔加滿二十四時則實朔進一日不足減者借一日作二十四時則實朔退一日推實交周第五(推實交周為日食第五段其理亦與月食同)求交周距弧以三千六百秒為一率一小時太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔平交周置平朔太隂交周加減交周距弧得實朔平交周求實朔實交周置實朔平交周加減太隂實均得實朔實交周自初宫初度至初宫一十八度一十五分自五宫一十一度四十五分至六宫六度一十四分自十一宫二十三度四十六分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算(入限宫度乃實朔距交可食之限詳交食厯理)(太陽食限篇)推太陽實經第六(推太陽實經為日食第六段後求黄平象限皆以太陽經度為根非但為求時差之用而己餘與月)(食同)求太陽距弧以三千六百秒為一率一小時太陽平行一百四十七秒八四七一○四九為二率實距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔太陽平行置平朔太陽平行加減太陽距弧得實朔太陽平行求太陽黄道經度置實朔太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為二率太陽距春秋分黄道經度之正切線為三率(太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫)(者與九宫相減過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四率為赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度以冬至起初宫命之得太陽赤道經度推實朔用時第七(推食朔用時為日食第七段其理亦與月食同)求均數時差以太陽實均變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十五秒)(變為一秒)實均為加者則為減實均為減者則為加求升度時差以太陽黄道經度與太陽赤道經度相減餘數變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實朔用時置實朔加減時差總得實朔用時距日出前日入後五刻以内者可以見食五刻以外者則全在夜即不必算(分晝夜之法以一小時月距日實行二十七分四十三秒為一率六十分為二率最大日半徑)(與最大月半徑相併得三十二分二十三秒三十微為三率求得四率七十分收作五刻實朔在日入後)(五刻以内日入前可見初虧實朔在日出前五刻以内日出後可見復圓若五刻以外雖食分最大時刻)(最久亦不見食矣故不必算)推食甚實緯食甚用時第八(推食甚實緯食甚用時為日食第八段詳交食厯理日食三限時刻及求日食食甚用時食甚交周)(食甚實緯篇)求食甚實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率實朔實交周之正弦為三率求得四率為食甚實緯之正弦檢表得食甚實緯實交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求食甚交周以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之餘弦為二率實朔實交周之正切線為三率求得四率為食甚交周之正切線檢表得食甚交周求交周升度差以食甚交周與實朔實交周相減得交周升度差求月距日實行以一小時太隂引數與太隂實引相加依月離求初均數法算之為後均數與太隂實均相加減(實均與後均同)(為加或同為減者則相減一為加一為減者則相加)得數與一小時月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加減(實均)(與後均同為加者後均加數大則加後均加數小則減同為減者後均減數大則減後均減數小則加一)(為加一為減者後均加則加後均減則減)得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時食甚交周五宫十一宫為加初宫六宫為減求食甚用時置實朔用時加減食甚距時食甚用時推食甚近時第九(推食甚近時為日食第九段詳交食厯理求食甚真時及食甚視緯篇)求用時春分距午赤道度以太陽赤道經度減三宫(不足減者加十二宫減之)為太陽距春分後赤道度又以食甚用時變赤道度(一小時變為十五度一分)(變為十五分一秒變為十五秒)加減半周(不及半周則加半周過半周則減半周)為太陽距正午後赤道度兩數相加(加滿全周去之用其餘)得用時春分距午赤道度(用時春分距午赤道度專以距午後立算蓋太陽赤道度自西而東)(時刻赤道度自東而西時刻既以距午後起算則太陽在正午之西太陽又以距春分後起算則春分更)(在太陽之西故兩數相加得春分距午後赤道度也後倣此)求用時春秋分距午赤道度用時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度(用時春秋分距午赤道度專以地平上立算不論距)(午東西如春分距午不過象限則春分仍在地平上故其度數即為春分距午西赤道度過一象限則春)(分在地平下而在子正前春分既在子正前則秋分必在午正前故與半周相減餘為秋分距午東赤道)(度也他倣此)求用時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率用時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得用時春秋分距午黄道度求用時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率用時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得用時正午黄赤距緯求用時黄道與子午圈交角以用時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率用時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得用時黄道與子午圏交角求用時正午黄道宫度春分在午西者以用時春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以用時春秋分距午黄道度加九宫春分在午東者以用時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分在午東者以用時春秋分距午黄道度與九宫相減得用時正午黄道宫度(春分在午西則正午黄道當春分後)(故加春分距冬至之三宫仍自冬至初宫起算得用時正午黄道宫度也他倣此)求用時正午黄道髙用時正午黄道宫度三宫至八宫則以用時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加用時正午黄道宫度九宫至二宫則以用時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得用時正午黄道髙(正午黄道宫度三宫至八宫則在春分後秋分前距赤道北故加九宫至二宫則在秋分後春)(分前距赤道南故減)求用時黄平象限距午度分以用時黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率用時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為用時黄平象限距午度分求用時黄平象限宫度用時正午黄道宫度初宫至五宫則以用時黄平象限距午度分與用時正午黄道宫度相加用時正午黄道宫度六宫至十一宫則以用時黄平象限距午度分與用時正午黄道宫度相減得用時黄平象限宫度(正午黄道宫度初宫至五宫則冬至後宫度當正午而黄極在子午圈之西黄平象限必在子)(午圈之東故加正午黄道宫度六宫至十一宫則夏至後宫度當正午而黄極在子午圈之東黄平象限)(必在子午圈之西故減用時正午黄道髙過九十度者加減反是)求用時月距限以太陽黄道經度與用時黄平象限宫度相減餘為月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於用時黄平象限宫度者為限東小於用時黄平象限宫度者為限西求用時限距地髙以半徑一千萬為一率用時黄道與子午圏交角之正弦為二率用時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得用時限距地髙求用時太隂髙弧以半徑一千萬為一率用時限距地髙之正弦為二率用時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得用時太隂髙弧求用時黄道髙弧交角以用時月距限之正弦為一率用時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得用時黄道髙弧交角(以上)(並詳交食厯理求黄平象限及黄道髙弧交角并太陽髙弧篇)求用時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫用時月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫用時月距限東則減月距限西則加)得用時白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為用時白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北(詳交食厯理求白平象限及白道髙弧交角并太隂髙弧篇)求太陽距地以太陽最髙距地一千零一十七萬九千二百零八為一率地半徑比例數一十一萬六千二百為二率太陽距地心之邊為三率求得四率即太陽距地求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七萬二千五百為一率地半徑比例數五千八百一十六為二率太隂距地心之邊内減次均輪半徑一十一萬七千五百餘為三率求得四率即太隂距地求用時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊用時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊用時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為用時髙下差(日食時太陽與太隂同度其髙弧畧等故借用)(之其求髙下差之理詳日躔月離地半徑差及交食厯理日食三差篇)求用時東西差以半徑一千萬為一率用時白道髙弧交角之餘弦為二率用時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得用時東西差(詳交食厯理求東西南北)(差篇)求近時距分以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得近時距分用時月距限西為加月距限東為減(以用)(時白道髙弧交角變限不變限為定)求食甚近時置食甚用時加減近時距分得食甚近時推食甚真時第十(推食甚真時為日食第十段蓋近時既與用時不同則近時之東西差亦必與用時不同故又以近)(時春分距午赤道度求近時東西差以定視行惟於太陽距春分後赤道度與太陽距地太隂距地)(仍用前數者因用時與近時之太陽行度所差甚微其距地之差可以不計太隂行度雖或差至數)(十分而太隂距地之闗於髙下差者亦相去不逺故仍用前數)求近時春分距午赤道度以食甚近時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加(太陽距春分後赤道度即前求用時)(春分距午赤道度條内所得之數)得近時春分距午赤道度(加滿全周去之)(用其餘)求近時春秋分距午赤道度近時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求近時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率近時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得近時春秋分距午黄道度求近時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率近時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得近時正午黄赤距緯求近時黄道與子午圏交角以近時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率近時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得近時黄道與子午圏交角求近時正午黄道宫度春分在午西者以近時春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以近時春秋分距午黄道度加九宫春分在午東者以近時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分在午東者以近時春秋分距午黄道度與九宫相減得近時正午黄道宫度求近時正午黄道髙近時正午黄道宫度三宫至八宫則以近時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加近時正午黄道宫度九宫至二宫則以近時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得近時正午黄道髙求近時黄平象限距午度分以近時黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率近時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為近時黄平象限距午度分求近時黄平象限宫度近時正午黄道宫度初宫至五宫則以近時黄平象限距午度分與近時正午黄道宫度相加近時正午黄道宫度六宫至十一宫則以近時黄平象限距午度分與近時正午黄道宫度相減得近時黄平象限宫度(近時正午黄道髙過九十度者加減反是)求近時月距限置太陽黄道經度加減用時東西差(近時距分加者亦為加近時距)(分減者亦為減)得近時太隂黄道經度與近時黄平象限宫度相減餘為近時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於近時黄平象限宫度為距限東小於近時黄平象限宫度為距限西(用時太隂與太陽同度故即以太陽黄道經度與用時黄)(平象限宫度相減為用時月距限度既因東西差而變用時為近時則太陽在限西者太隂實在太陽之)(東太陽在限東者太隂實在太陽之西故加減用時東西差為近時太隂黄道經度以此求太隂髙弧及)(黄道髙弧交角得數又為親切也)求近時限距地髙以半徑一千萬為一率近時黄道與子午圏交角之正弦為二率近時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得近時限距地髙求近時太隂髙弧以半徑一千萬為一率近時限距地髙之正弦為二率近時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得近時太隂髙弧求近時黄道髙弧交角以近時月距限之正弦為一率近時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得近時黄道髙弧交角求近時白道髙弧交角置近時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得近時白道髙弧交角求近時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊近時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊近時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為近時髙下差求近時東西差以半徑一千萬為一率近時白道髙弧交角之餘弦為二率近時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得近時東西差求食甚視行以用時東西差倍之減近時東西差餘為食甚視行求真時距分以食甚視行化秒為一率近時距分化秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得真時距分加減號與近時距分同求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食分第十一(推食分為日食第十一段詳交食厯理求食甚真時及食甚視緯并日食分秒篇)求真時春分距午赤道度以食甚真時變赤道度加減半周(不反半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得真時距午赤道度(加滿全用去之用其餘)求真時春秋分距午赤道度真時春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求真時春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率真時春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得真時春秋分距午黄道度求真時正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率真時春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得真時正午黄赤距緯求真時黄道與子午圏交角以真時春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率真時春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得真時黄道與子午圏交角求真時正午黄道宫度春分距午西者以真時春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以真時春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以真時春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以真時春秋分距午黄道度與九宫相減得真時正午黄道宫度求真時正午黄道髙真時正午黄道宫度三宫至八宫則以真時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加真時正午黄道宫度九宫至二宫則以真時正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得真時正午黄道髙求真時黄平象限距午度分以真時黄道與子午圈交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率真時正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為真時黄平象限距午度分求真時黄平象限宫度真時正午黄道宫度初宫至五宫則以真時黄平象限距午度分與真時正午黄道宫度相加真時正午黄道宫度六宫至十一宫則以真時黄平象限距午度分與真時正午黄道宫度相減得真時黄平象限宫度(真時正午黄道髙過九十度者加減反是)求真時月距限置太陽黄道經度加減近時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得真時太隂黄道經度與真時黄平象限宫度相減餘為真時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於真時黄平象限宫度為距限東小於真時黄平象限宫度為距限西求真時限距地髙以半徑一千萬為一率真時黄道與子午圏交角之正弦為二率真時正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得真時限距地髙求真時太隂髙弧以半徑一千萬為一率真時限距地髙之正弦為二率真時月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得真時太隂髙弧求真時黄道髙弧交角以真時月距限之正弦為一率真時限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得真時黄道髙弧交角求真時白道髙弧交角置真時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得真時白道髙弧交角求真時髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊真時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊真時太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為真時髙下差求真時東西差以半徑一千萬為一率真時白道髙弧交角之餘弦為二率真時髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得真時東西差求真時南北差以半徑一千萬為一率真時白道髙弧交角之正弦為二率真時髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得真時南北差求食甚視緯置食甚實緯加減真時南北差得食甚視緯白平象限在天頂南者實緯在黄道南則加而視緯仍為南實緯在黄道北則減而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者實緯在黄道北則加而視緯仍為北實緯在黄道南則減而視緯仍為南若實緯在黄道南而南北差大於實緯則反減而視緯即變為北求太陽半徑以太陽距地為一率太陽實半徑五百零七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太陽半徑之正弦檢表得太陽半徑求太隂半徑以太隂距地為一率太隂實半徑二十七為二率半徑一千萬為三率求得四率為太隂半徑之正弦檢表得太隂半徑求併徑以太陽半徑與太隂半徑相加得併徑求食分以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚視緯餘為三率求得四率即食分推初虧真時第十二(推初虧真時為日食第十二段詳交食厯理求初虧復圓用時及求初虧復圓真時篇)求初虧復圓距弧以食甚視緯之餘弦為一率併徑之餘弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧復圓距弧之餘弦檢表得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧用時置食甚真時減初虧復圓距時得初虧用時求初虧春分距午赤道度以初虧用時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得初虧春分距午赤道度(加滿全周去之用其餘)求初虧春秋分距午赤道度初虧春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求初虧春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率初虧春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得初虧春秋分距午黄道度求初虧正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率初虧春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得初虧正午黄赤距緯求初虧黄道與子午圏交角以初虧春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率初虧春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得初虧黄道與子午圏交角求初虧正午黄道宫度春分距午西者以初虧春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以初虧春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以初虧春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以初虧春秋分距午黄道度與九宫相減得初虧正午黄道宫度求初虧正午黄道髙初虧正午黄道宫度三宫至八宫則以初虧正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加初虧正午黄道宫度九宫至二宫則以初虧正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得初虧正午黄道髙求初虧黄平象限距午度分以初虧黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率初虧正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為初虧黄平象限距午度分求初虧黄平象限宫度初虧正午黄道宫度初宫至五宫則以初虧黄平象限距午度分與初虧正午黄道宫度相加初虧正午黄道宫度六宫至十一宫則以初虧黄平象限距午度分與初虧正午黄道宫度相減得初虧黄平象限宫度(初虧正午黄道髙過九十度者加減反是)求初虧月距限置太陽黄道經度減初虧復圓距弧又加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得初虧太隂黄道經度與初虧黄平象限宫度相減餘為初虧月距限度太隂黄道經度大於初虧黄平象限宫度為距限東小於初虧黄平象限宫度為距限西求初虧限距地髙以半徑一千萬為一率初虧黄道與子午圏交角之正弦為二率初虧正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得初虧限距地髙求初虧太隂髙弧以半徑一千萬為一率初虧限距地髙之正弦為二率初虧月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得初虧太隂髙弧求初虧黄道髙弧交角以初虧月距限之正弦為一率初虧限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得初虧黄道髙弧交角求初虧白道髙弧交角置初虧黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫初虧月距限宫則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫初虧月距限東則減月距限西則加)得初虧白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為初虧白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求初虧髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊初虧太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊初虧太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為初虧髙下差求初虧東西差以半徑一千萬為一率初虧白道髙弧交角之餘弦為二率初虧髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得初虧東西差求初虧南北差以半徑一千萬為一率初虧白道髙弧交角之正弦為二率初虧髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得初虧南北差求初虧視行初虧與食甚同在限東或同在限西者以初虧東西差與真時東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(初虧與食甚同在白平象限東初虧東西差大則以差分減初虧東西差小則以差分加初虧與食)(甚同在白平象限西初虧東西差大則以差分加初虧東西差小則以差分減)得初虧視行初虧在限東食甚在限西者以初虧東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得初虧視行求初虧距分以初虧視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧距分求初虧真時置食甚真時減初虧距分得初虧真時推復圓真時第十三(推復圓真時為日食第十三段其理與初虧同)求復圓用時置食甚真時加初虧復圓距時得復圓用時求復圓春分距午赤道度以復圓用時變赤道度加減半周(不及半周則加半周過半周則減半)(周)與太陽距春分後赤道度相加得復圓春分距午赤道度(加滿全周去之用其餘)求復圓春秋分距午赤道度復圓春分距午赤道度不過象限者其度數即為春分距午西赤道度過一象限者則與半周相減餘為秋分距午東赤道度過二象限者則減去二象限餘為秋分距午西赤道度過三象限者則與全周相減餘為春分距午東赤道度求復圓春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之餘弦為一率半徑一千萬為二率復圓春秋分距午赤道度之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得復圓春秋分距午黄道度求復圓正午黄赤距緯以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦為二率復圓春秋分距午黄道度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得復圓正午黄赤距緯求復圓黄道與子午圏交角以復圓春秋分距午黄道度之正弦為一率半徑一千萬為二率復圓春秋分距午赤道度之正弦為三率求得四率為黄道與子午圏交角之正弦檢表得復圓黄道與子午圏交角求復圓正午黄道宫度春分距午西者以復圓春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以復圓春秋分距午黄道度加九宫春分距午東者以復圓春秋分距午黄道度與三宫相減秋分距午東者以復圓春秋分距午黄道度與九宫相減得復圓正午黄道宫度求復圓正午黄道髙復圓正午黄道宫度三宫至八宫則以復圓正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相加復圓正午黄道宫度九宫至二宫則以復圓正午黄赤距緯與京師赤道髙五十度零五分相減得復圓正午黄道髙求復圓黄平象限距午度分以復圓黄道與子午圏交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率復圓正午黄道髙之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與九十度相減餘為復圓黄平象限距午度分求復圓黄平象限宫度復圓正午黄道宫度初宫至五宫則以復圓黄平象限距午度分與復圓正午黄道宫度相加復圓正午黄道宫度六宫至十一宫則以復圓黄平象限距午度分與復圓正午黄道宫度相減得復圓黄平象限宫度(復圓正午黄道髙過九十度者加減反是)求復圓月距限置太陽黄道經度加初虧復圓距弧又加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得復圓太隂黄道經度與復圓黄平象限宫度相減餘為復圓月距限度太隂黄道經度大於復圓黄平象限宫度為距限東小於復圓黄平象限宫度為距限西求復圓限距地髙以半徑一千萬為一率復圓黄道與子午圏交角之正弦為二率復圓正午黄道髙之餘弦為三率求得四率為限距地髙之餘弦檢表得復圓限距地髙求復圓太隂髙弧以半徑一千萬為一率復圓限距地髙之正弦為二率復圓月距限之餘弦為三率求得四率為太隂髙弧之正弦檢表得復圓太隂髙弧求復圓黄道髙弧交角以復圓月距限之正弦為一率復圓限距地髙之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄道髙弧交角之正切線檢表得復圓黄道髙弧交角求復圓白道髙弧交角置復圓黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫復圓月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫復圓月距限東則減月距限西則加)得復圓白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為復圓白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求復圓髙下差以地半徑一百為一邊太陽距地為一邊復圓太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太陽地半徑差又以地半徑一百為一邊太隂距地為一邊復圓太隂髙弧與九十度相減為所夾之角求得對地半徑之角為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為復圓髙下差求復圓東西差以半徑一千萬為一率復圓白道髙弧交角之餘弦為二率復圓髙下差之正切線為三率求得四率為東西差之正切線檢表得復圓東西差求復圓南北差以半徑一千萬為一率復圓白道髙弧交角之正弦為二率復圓髙下差之正弦為三率求得四率為南北差之正弦檢表得復圓南北差求復圓視行復圓與食甚同在限東或同在限西者以復圓東西差與真時東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(復圓與食甚同在白平象限東復圓東西差大則以差分加復圓東西差小則以差分減復圓與食)(甚同在白平象限西復圓東西差大則以差分減復圓東西差小則以差分加)得復圓視行食甚在限東復圓在限西者以復圓東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得復圓視行求復圓距分以復圓視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得復圓距分求復圓真時置食甚真時加復圓距分得復圓真時推太陽宿度第十四(推太陽宿度為日食第十四段其理與月食同)求太陽黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈴察太陽黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為太陽黄道宿度求太陽赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為太陽赤道宿度推日食方位及食限總時(推日食方位及食限總時其理亦與月食同但日食有視差故以視緯立算且初虧復圓各有黄道)(髙弧交角故各用本交角為更密耳)求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率初虧交周之正弦為三率求得四率為初虧實緯之正弦檢表得初虧實緯初虧交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求初虧視緯置初虧實緯加減初虧南北差得初虧視緯(加減之法與食)(甚視緯同)求復圓實緯以半徑一千萬為一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦為二率復圓交周之正弦為三率求得四率為復圓實緯之正弦檢表得復圓實緯復圓交周初宫五宫為北六宫十一宫為南求復圓視緯置復圓實緯加減復圓南北差得復圓視緯(加減之法亦與)(食甚視緯同)求初虧緯差角以併徑之正弦為一率初虧視緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為初虧緯差角之正弦檢表得初虧緯差角求復圓緯差角以併徑之正弦為一率復圓視緯之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為復圓緯差角之正弦檢表得復圓緯差角求初虧定交角初虧月距限東者初虧視緯在南則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相加初虧視緯在北則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相減得初虧定交角初虧月距限西者初虧視緯在南則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相減初虧視緯在北則以初虧緯差角與初虧黄道髙弧交角相加得初虧定交角如初虧無視緯則無初虧緯差角而初虧黄道髙弧交角即初虧定交角求復圓定交角復圓月距限東者復圓視緯在南則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相減復圓視緯在北則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相加得復圓定交角復圓月距限西者復圓視緯在南則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相加復圓視緯在北則以復圓緯差角與復圓黄道髙弧交角相減得復圓定交角如復圓無視緯則無復圓緯差角而復圓黄道髙弧交角即復圓定交角求初虧方位初虧月距限東者初虧定交角在四十五度以内為上偏右在四十五度以外為右偏上適足九十度為正右過九十度為右偏下初虧月距限西者初虧定交角在四十五度以内為下偏右在四十五度以外為右偏下適足九十度亦為正右過九十度為右偏上求復圓方位復圓月距限東者復圓定交角在四十五度以内為下偏左在四十五度以外為左偏下適足九十度為正左過九十度為左偏上復圓月距限西者復圓定交角在四十五度以内為上偏左在四十五度以外為左偏上適足九十度亦為正左過九十度為左偏下(京師北極髙四十度故日食方位皆以黄平象限在天頂南而定若北極髙二十三度以下黄平象)(限有時在天頂北則日食方位之左右與此相反)求食限總時以初虧距分與復圓距分相加得食限總時用表推日食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔諸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微進一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒遞加十三次得逐月朔太隂交周求入交月數逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度一十二分自五宫九度四十八分至六宫八度五十分自十一宫二十一度一十分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食推平朔諸平行第一求首朔諸根用交食首朔諸根表察本年首朔日時分秒得首朔根察本年太陽平行宫度分秒得太陽平行根察本年太陽引數宫度分秒得太陽引數根察本年太隂引數宫度分秒得太隂引數根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察紀日求諸朔䇿用交食朔望䇿表察本月朔䇿日時分秒得朔䇿察本月太陽平行朔䇿宫度分秒得太陽平行朔䇿察本月太陽引數朔䇿宫度分秒得太陽引數朔䇿察本月太隂引數朔䇿宫度分秒得太隂引數朔䇿察本月太隂交周朔䇿宫度分秒得太隂交周朔䇿求平朔以首朔根紀日朔䇿三數相加滿紀法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分收為一刻不足一刻者為零分得平朔時分秒求平朔太陽平行以太陽平行根與太陽平行朔䇿相加得平朔太陽平行求平朔太陽引數以太陽引數根與太陽引數朔策相加得平朔太陽引數求平朔太隂引數以太隂引數根與太隂引數朔䇿相加得平朔太隂引數求平朔太隂交周以太隂交周根與太隂交周朔䇿相加得平朔太隂交周推日月相距第二求太陽均數用日躔太陽均數表以平朔太陽引數宫度分察其所對之度分秒得太陽均數并記加減號求太隂均數用月離太隂初均數表以平朔太隂引數宫度分察其所對之度分秒得太隂均數并記加減號求距弧太陽太隂兩均數同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求距時用交食周日諸平行表以距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得距時凡太陽太隂兩均數同為加者太陽加均大則距時為加太陽加均小則距時為減同為減者太陽減均大則距時為減太陽減均小則距時為加一為加一為減者太陽為加均則距時為加太陽為減均則距時為減推實引第三求太陽引弧用交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太隂引弧周交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂引數相對之數而併之得太隂引弧距時為加者亦為加距時為減者亦為減求太陽實引置平朔太陽引數加減太陽引弧得太陽實引求太隂實引置平朔太隂引數加減太隂引弧得太隂實引推實朔第四求太陽實均用日躔太陽均數表以太陽實引宫度分察其所對之度分秒得太陽實均并記加減號求太隂實均用月離太隂初均數表以太隂實引宫度分察其所對之度分秒得太隂實均并記加減號求實距弧太陽太隂兩實均同為加或同為減者則相減得距弧一為加一為減者則相加得距弧求實距時用交食周日諸平行表以實距弧度分秒察月距日相當之數取其所對之時分秒得實距時定加減之法與距時同求實朔置平朔加減實距時得實朔加滿二十四時則實朔進一日不足減者借一日作二十四時則實朔退一日推實交周第五求交周距弧周交食周日諸平行表以距時之時分秒各察其與太隂交周相對之數而併之得交周距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔平交周置平朔太隂交周加減交周距弧得實朔平交周求實朔實交周置實朔平交周加減太隂實均得實朔實交周自初宫初度至初宫一十七度三十五分自五宫一十二度二十五分至六宫六度一十三分自十一宫二十三度四十七分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推太陽實經第六求太陽距弧用交食周日諸平行表以實距時之時分秒各察其與太陽平行相對之數而併之得太陽距弧實距時為加者亦為加實距時為減者亦為減求實朔太陽平行置平朔太陽平行加減太陽距弧得實朔太陽平行求太陽黄道經度置實朔太陽平行加減太陽實均得太陽黄道經度求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度推實朔用時第七求均數時差用日躔均數時差表以太陽實引宫度察其所對之分秒得均數時差并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以太陽黄道經度察其所對之分秒得升度時差并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實朔用時置實朔加減時差總得實朔用時距日出前日入後五刻以内者可以見食五刻以外者則全在夜即不必算推食甚實緯食甚用時第八求食甚實緯用交食黄白距度表以實朔實交周宫度分察其所對之度分秒得食甚實緯并記南北號求交周升度差用月離黄白升度表以實朔實交周宫度察其所對之分秒得交周升度差并記加減號求食甚交周置實朔實交周加減交周升度差得食甚交周求月距日實行用交食月距日實行表以太隂實引宫度察其所對之分秒得月距日實行求食甚距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率交周升度差化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時交周升度差加者亦為加交周升度差減者亦為減求食甚用時置實朔用時加減食甚距時得食甚用時推食甚近時第九求用時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得用時春分距午時分(春分距午時分者即春分距午赤道度所)(變之時分也與月食方位求春分距午時分之理同)求用時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以用時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得用時黄平象限宫度與太陽黄道經度相減餘為用時月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於用時黄平象限宫度者為限東小於用時黄平象限宫度者為限西求用時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以用時春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得用時限距地髙求用時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以用時月距限及用時限距地髙之度察其所對之度分秒得用時太隂髙弧(合朔日月)(同度故太陽髙弧即太隂髙弧)求用時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以用時月距限及用時限距地髙之度察其所對之度分秒得用時黄道髙弧交角求用時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫用時月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫用時月距限東則減月距限西則加)得用時白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為用時白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求太隂距地用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月距地相對之數得太隂距地(太隂距地為求太隂地半徑差至於太陽太隂視半徑己)(以實引列表故不求太陽距地也)求用時髙下差用日躔太陽地半徑差表以用時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以用時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為用時髙下差求用時東西差用交食東西南北差表以用時白道髙弧交角及用時髙下差察其與東西差所對之數得用時東西差求近時距分以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得近時距分用時月距限西為加月距西東為減(以用)(時白道髙弧交角變限不變限為定)求食甚近時置食甚用時加減近時距分得食甚近時推食甚真時第十求近時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚近時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得近時春分距午時分求近時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以近時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得近時黄平象限宫度又置太陽黄道經度加減用時東西差(近時距分加者亦為加近時距分減者亦為減)得近時太隂黄道經度兩數相減餘為近時距限限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於近時黄平象限宫度者為限東小於近時黄平象限宫度者為限西求近時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以近時春分距分時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得近時限距地髙求近時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以近時月距限及近時限距地髙之度察其所對之度分秒得近時太隂髙弧求近時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以近時月距限及近時限距地髙之度察其所對之度分秒得近時黄道髙弧交角求近時白道髙弧交角置近時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得近時白道髙弧交角求近時髙下差用日躔太陽地半徑差表以近時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以近時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為近時髙下差求近時東西差用交食東西南北差表以近時白道髙弧交角及近時髙下差察其與東西差所對之數得近時東西差求食甚視行以用時東西差倍之減近時東西差餘為食甚視行求真時距分以食甚視行化秒為一率近時距分化秒為二率用時東西差化秒為三率求得四率為秒以時分收之得真時距分加減號與近時距分同求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食分第十一求真時春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以食甚真時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)求真時月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以真時春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得真時黄平象限宫度又置太陽黄道經度加減近時東西差(真時距分加者亦為加真時距分減者亦為減)得真時太隂黄道經度兩數相減餘為真時月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於真時黄平象限宫度者為限東小於真時黄平象限宫度者為限西求真時限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以真時春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得真時限距地髙求真時太隂髙弧用交食太陽髙弧表以真時月距限及真時限距地髙之度察其所對之度分秒得真時太隂髙弧求真時黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以真時月距限及真時限距地髙之度察其所對之度分秒得真時黄道髙弧交角求真時白道髙弧交角置用時黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(加減與用時白道髙弧交角同)得真時白道髙弧交角求真時髙下差用日躔太陽地半徑差表以真時太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以真時太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為真時髙下差求真時東西差用交食東西南北差表以真時白道髙弧交角及真時髙下差察其與東西差所對之數得真時東西差求真時南北差用交食東西南北差表以真時白道髙弧交角及真時髙下差察其與南北差所對之數得真時南北差求食甚視緯置食甚實緯加減真時南北差得食甚視緯白平象限在天頂南者實緯在黄道南則加而視緯仍為南實緯在黄道北則減而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南白平象限在天頂北者實緯在黄道北則加而視緯仍為北實緯在黄道南則減而視緯仍為南若實緯在黄道南而南北差大於實緯則反減而視緯即變為北求太陽半徑用交食視半徑表以太陽實引宫度察其與日半徑相對之分秒得太陽半徑求太隂半徑用交食視半徑表以太隂實引宫度察其與月半徑相對之分秒得太隂半徑求併徑以太陽半徑與太隂半徑相加得併徑求食甚以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減食甚視緯餘為三率求得四率即食分推初虧真時第十二求初虧復圓距弧用交食月行表以併徑分及食甚視緯分察其所對之分秒得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以月距日實行化秒為一率三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧用時置食甚真時減初虧復圓距時得初虧用時求初虧春分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以初虧用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得初虧春分距午時分求初虧月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以初虧春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得初虧黄平象限宫度又置太陽黄道經度減初虧復圓距弧復加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得初虧太隂黄道經度兩數相減餘為初虧月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道經度大於初虧黄平象限宫度者為限東小於初虧黄平象限宫度者為限西求初虧限距地髙周交食北極髙四十度黄平象限表以初虧春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得初虧限距地髙求初虧太隂髙弧用交食太陽髙弧表以初虧月距限及初虧限距地髙之度察其所對之度分秒得初虧太隂髙弧求初虧黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以初虧月距限及初虧限距地髙之度察其所對之度分秒得初虧黄道髙弧交角求初虧白道髙弧交角置初虧黄道髙弧交角加減黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫初虧月距限東則加月距限西則減食甚交周為五宫六)(宫初虧月距限東則減月距限西則加)得初虧白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為初虧白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求初虧髙下差用日躔太陽地半徑差表以初虧太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以初虧太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為初虧髙下差求初虧東西差用交食東西南北差表以初虧白道髙弧交角及初虧髙下差察其與東西差所對之數得初虧東西差求初虧南北差用交食東西南北差表以初虧白道髙弧交角及初虧髙下差察其與南北差所對之數得初虧南北差求初虧視行初虧與食甚同在限東或同在限西者以初虧東西差與食甚東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(初虧與食甚同在白平象限東初虧東西差大則以差分減初虧東西差小則以差分加初虧與食)(甚同在白平象限西初虧東西差大則以差分加初虧東西差小則以差分減)得初虧視行初虧在限東食甚在限西者以初虧東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得初虧視行求初虧距分以初虧視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧距分求初虧真時置食甚真時減初虧距分得初虧真時推復圓真時第十三求復圓用時置食甚真時加初虧復圓距時得復圓用時求復圓春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以太陽黄道經度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分义以復圓用時加減十二時(不及十二時則加十二時)(過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十四時)(去之用其餘)得復圓春分距午時分求復圓月距限用交食北極髙四十度黄平象限表以復圓春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得復圓黄平象限宫度又置太陽黄道經度加初虧復圓距弧復加減真時東西差(真時距分加者亦為加真時距)(分減者亦為減)得復圓太隂黄道經度兩數相減餘為復圓月距限度(有一宫作三十度)太陽黄道經度大於復圓黄平象限宫度者為限東小於復圓黄平象限宫度者為限西求復圓限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以復圓春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得復圓限距地髙求復圓太隂髙弧用交食太陽髙弧表以復圓月距限及復圓限距地髙之度察其所對之度分秒得復圓太隂髙弧求復圓黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以復圓月距限及復圓限距地髙之度察其所對之度分秒得復圓黄道髙弧交角求復圓白道髙弧交角置復圓黄道髙弧交角加減黄白道角四度五十八分三十秒(食甚交周為初宫十一宫復圓月距限東則加月距限西則減食交周為為五宫六)(宫復圓月距限東則減月距限西則加)得復圓白道髙弧交角加過九十度者則限東變為限西限西變為限東不足減者則於黄白交角内反減黄道髙弧交角餘為復圓白道髙弧交角限距地髙在天頂北者白平象限為在天頂南限距地髙在天頂南者白平象限為在天頂北求復圓髙下差用日躔太陽地半徑差表以復圓太隂髙弧按太陽實引宫限察其所對之數為太陽地半徑差又用月離太隂地半徑差表以復圓太隂髙弧按太隂距地限察其所對之數為太隂地半徑差兩地半徑差相減餘為復圓髙下差求復圓東西差用交食東西南北差表以復圓白道髙弧交角及復圓髙下差察其與東西差所對之數得復圓東西差求復圓南北差用交食東西南北差表以復圓白道髙弧交角及復圓髙下差察其與南北差所對之數得復圓南北差求復圓視行復圓與食甚同在限東或同在限西者以復圓東西差與食甚東西差相減為差分以加減初虧復圓距弧(復圓以食甚同在白平象限東復圓東西差大則以差分加復圓東西差小則以差分減復圓與食)(甚同在白平象限西復圓東西差大則以差分減復圓東西差小則以差分加)得復圓視行食甚在限東復圓在限西者以復圓東西差與食甚東西差相併為差分以減初虧復圓距弧得復圓視行求復圓距分以復圓視行化秒為一率初虧復圓距時化秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得復圓距分求復圓真時置食甚真時加復圓距分得復圓真時推太陽宿度第十四求太陽黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察太陽黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘即為太陽黄道宿度求太陽赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿鈐察太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘即為太陽赤道宿度推日食方位及食限總時求初虧交周置食甚交周減初虧復圓距弧得初虧交周求復圓交周置食甚交周加初虧復圓距弧得復圓交周求初虧實緯用交食黄白距度表以初虧交周宫度察其所對之度分秒得初虧實緯并記南北號求初虧視緯置初虧實緯加減初虧南北差得初虧視緯(加減之法與食)(甚視緯同)求復圓實緯用交食黄白距度表以復圓交周宫度察其所對之度分秒得復圓實緯并記南北號求復圓視緯置復圓實緯加減復圓南北差得復圓視緯(加減之法亦與)(食甚視緯同)求初虧緯差角用交食緯差角表以併徑分及初虧視緯分察其所對之度分得初虧緯差角求復圓緯差角用交食緯差角表以併徑分及復圓視緯分察其所對之度分得復圓緯差角以下求定交角及方位并食限總時皆與前法同推各省日食法求各省日食時刻分秒以京師食甚用時按各省東西偏度加減之(與推各省節氣)(時刻加減法同)得各省食甚用時乃以各省食甚用時按各省北極髙度依京師推近時真時食分及初虧復圓真時法算之得各省日食時刻分秒求各省日食方位以各省黄道髙弧交角及各省初虧復圓視緯依京師推日食方位法算之得各省日食方位推日食帶食法求帶食距時以本日日出或日入時分與食甚真時相減餘為帶食距時(帶食距時者太陽出入地平距食甚之時刻也初虧或食甚在日出前者為帶食出地食)(甚或復圓在日入後者為帶食入地帶食出地者則以日出時分與食甚真時相減餘為帶食距時帶食)(入地者則以日入時分與食甚真時相減餘為帶食距時各省帶食以各省日出入時刻及各省食甚真)(時算之)求帶食距弧以初虧復圓距時化秒為一率初虧復圓視行化秒為二率(帶食在食甚前用初虧視行帶食在食甚後用復圓視行)帶食距時化秒為三率求得四率為秒以度分收之得帶食距弧(帶食)(距弧者太陽出入地平距食甚之行度也初虧復圓以視行與距時比例得距分帶食以距時與視行比)(例得距弧其理同也)求帶食兩心相距以半徑一千萬為一率帶食距弧之餘切線為二率食甚視緯之餘弦為三率求得四率為兩心相距之餘切線檢表得帶食兩心相距(帶食兩心相距者帶食時太隂心與太陽)(心相距之度也初虧復圓以併徑斜距之度與視緯求距弧之白道度帶食以距弧之白道度與視緯求)(兩心斜距之度其理同也)求帶食分秒以太陽半徑倍之為一率十分為二率併徑内減帶食兩心相距餘為三率求得四率即帶食分秒(帶食分秒)(者太陽出入地平時與太隂相掩之分數為太陽全徑十分中之幾分也食甚兩心相距即視緯故於併)(徑内减視緯為三率帶食則於併徑内減帶食兩心相距為三率其理同也)御製歴象考成下編卷四
## 下編卷五
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷五土星厯法推土星用數推土星法用表推土星法推土星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歲三百六十五日二四二一八七五紀法六十土星每日平行一百二十秒小餘六○二二五五一(土星每日平行二分零三十六微零八纎零七忽零六芒以秒法通之即得)土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三(土星最髙每歲平行一分二十秒一十二微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最髙)(每日平行一十三微一十纎二十九忽二十一芒以秒法通之即得)土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八(土星正交每嵗平行四十一秒五十三微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行六微五十二纎四十九忽一十九芒以秒法通之即得)土星本天半徑一千萬土星本輪半徑八十六萬五千五百八十七土星均輪半徑二十九萬六千四百一十三土星次輪半徑一百零四萬二千六百土星本道與黄道交角二度三十一分氣應七日六五六三七四九二六土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微土星最髙應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微土星正交應六宮二十一度二十分五十七秒二十四微(按新法厯書載崇禎元年戊辰土星平行距冬至八宫二十八度零八分二十七秒最髙)(距冬至十一宮二十七度一十一分一十五秒正交距冬至六宮二十度四十一分五十二秒自崇)(禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每)(日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推土星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歲三百六十五日二四二一八七五相乗得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天至冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求土星年根以積日與土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日土星平行加土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微得土星年根上考往古則置土星平行應減積日土星平行得土星年根求最髙年根以積日與土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得數為積日最髙平行加土星最髙應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微得最髙年根上考往古則置土星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得數為積日正交平行加土星正交應六宫二十一度二十分五十七秒二十四微得正交年根上考往古則置土星正交應減積日正交平行得正交年根求土星日數以所設日數與土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乘得數為秒以度分收之得土星日數求最髙日數以所設日數與土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得數為秒以分收之得最髙日數求正交日數以所設日數與土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得正交日數求土星平行以土星年根與土星日數相加得土星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置土星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理二求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置土星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引(月離厯法求月)(距日次引置初實行減本日太陽實行此求星距日次引置本日太陽實行減初實行蓋太陰之行速於)(太陽合朔後太陰差而東故置太陰經度減太陽經度餘為距日度星行遲於太陽合伏後星差而西故)(置太陽經度減星經度餘為距日度也)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑一百零四萬二千六百為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宮為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行(距交實行者次輪心距正交之)(度故置初實行減正交平行得距交實行也)求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角二度三十一分之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角二度三十一分之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南(星距地心線原以本道立筭而次輪面却與黄道平)(行則星距地心線在合伏前後必差而近在退衝前後必差而逺故五星厯理求緯度篇内又求星當黄)(道視線㸃距地心之逺與星距黄道線為比例然用以求視緯所差甚微可以不計故即用星距地心線)(與星距黄道線比例為省算也木火金水四星倣此)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推土星法求諸年根用土星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得土星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用土星周歲平行表察本日平行度分秒得土星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求土星平行以土星年根與土星日數相加得土星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置土星平行減最髙平行得引數求初均及中分用土星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號(初均者即本輪均輪所生之加減差而中分者則次輪心距地心與最髙)(距地心之較為六十分中之幾分也蓋次輪心在最髙則距地心逺次輪心在最卑則距地心近故以土)(星次輪心在最高距地心之一○五六九一七四與土星次輪心在最卑距地心之九四三○八二六相)(減餘一一三八三四八乃以一一三八三四八與六十分之比即同於今所得次輪心距地心之邊與最)(髙距地心相減之數與六十分中幾分之比也○前法求初均數時即求次輪心距地心之邊此求初均)(數時則求次輪心距地心與最髙距地心之較因表中所列次均乃以次輪心在最髙立算故先求中分)(以為比例實次均之用也木金水三星倣此)求初實行置土星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均及較分用土星均數表以星距日次引宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之分秒得較分并記次均加減號(次均者次輪心在最髙所生之加減差而較分者則次輪)(心在最髙與次輪心在最卑所生加減差之較也蓋次輪心在最髙則距地心逺而次均角小次輪心在)(最卑則距地心近而次均角大故設次輪心在最髙又設次輪心在最卑求其兩次均之較以為比例實)(次均之用也木金水三星倣此)求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同(實次均者即星在次輪周實行之次均也)(因表中所列次均以次輪心在最髙立算故名實次均以别之蓋次輪心在最卑所生之次均旣大於次)(輪心在最髙所生之次均則自最髙至最卑其遞加之差必畧相等今最髙距地心與最卑距地心之較)(旣命為六十分則以六十分與較分之比即同於中分與加差之比故以加差與次輪心在最髙所生之)(次均相加得實次均也)求本道實行置初實行加減實次均得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用土星升度差表以距交實行宫度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用土星距黄道表以距交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線用土星距地表以星距日次引宫度察其所對之數得星距地心線求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯(星距黄道線當以次輪心距地心線與初緯之正弦為比例今表中所列星距黄道線即初緯之正弦而)(星距地心線亦以次輪心在中距立算故其比例仍同也)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷五
## 下編卷六
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷六木星厯法推木星用數推木星法用表推木星法推木星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十木星每日平行二百九十九秒小餘二八五二九六八(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒以秒法通之即得)木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三(木星)(最髙每嵗平行五十七秒五十一微五十九纎五十八忽一十九芒以周嵗三百六十五日二四二)(一入七五除之得最髙每日平行九微三十纎二十一忽四十芒以秒法通之即得)木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七(木星正交每嵗平行一十三秒三十五微五十九纎五十九忽五十八芒以周嵗三百六十五日二)(四二一八七五除之得正交每日平行二微一十四纖零二忽五十三芒以秒法通之卽得)木星本天半徑一千萬木星本輪半徑七十萬五千三百二十木星均輪半徑二十四萬七千九百八十木星次輪半徑一百九十二萬九千四百八十木星本道與黄道交角一度一十九分四十秒氣應七日六五六三七四九二六木星平行應八宫零九度一十三分一十三秒一十一微木星最髙應九宫零九度五十一分五十九秒二十七微木星正交應六宮零七度二十一分四十九秒三十五微(按新法厯書載崇禎元年戊辰木星平行距冬至十一宫一十八度五十一分五十一秒)(最髙距冬至九宫零八度五十七分五十九秒正交距冬至六宫零七度零九分零八秒自崇禎戊)(辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平)(行相乘得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推木星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求木星年根以積日與木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日木星平行加木星平行應八宫零九度一十三分一十三秒一十一微得木星年根上考往古則置木星平行應減積日木星平行得木星年根求最髙年根以積日與木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三相乘得數為積日最髙平行加木星最髙應九宫零九度五十一分五十九秒二十七微得最髙年根上考往古則置木星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得數為積日正交平行加木星正交應六宫零七度二十一分四十九秒三十五微得正交年根上考往古則置木星正交應減積日正交平行得正交年根求木星日數以所設日數與木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘得數為秒以宫度分收之得木星日數求最髙日數以所設日數與木星最髙每日平行十分之一一又五八四三三相乗得最髙日數求正交日數以所設日數與木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得正交日數求木星平行以木星年根與木星日數相加得木星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置木星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理三求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置木星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑一百九十二萬九千四百八十為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度一十九分四十秒之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度一十九分四十秒之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宮為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推木星法求諸年根用木星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得木星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用木星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得木星日數察本日最髙行秒微得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求木星平行以木星年根與木星日數相加得木星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置木星平行減最髙平行得引數求初均及中分用木星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置木星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求次均及較分用木星均數表以星距日次引宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求本道實行置初實行加減實次均得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用木星升度差表以距交實行官度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用木星距黄道表以距交實行官度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線用木星距地表以星距日次引宫度察其所對之數得星距地心線求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷六
## 下編卷七
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷七火星厯法推火星用數推火星法用表推火星法推火星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十火星每日平行一千八百八十六秒小餘六七○○三五八(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纎零七忽四十四芒以秒法通)(之即得)火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九(火星最髙每嵗平行一分零七秒以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最髙每日平行)(一十一微零二十三忽以秒法通之即得)火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三(火星正交每嵗平行五十二秒五十七微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行八微四十一纎五十四忽零一芒以秒法通之即得)火星本天半徑一千萬火星本輪半徑一百四十八萬四千火星均輪半徑三十七萬一千火星最小次輪半徑六百三十萬二千七百五十本天髙卑大差二十五萬八千五百太陽髙卑大差二十三萬五千火星本道與黄道交角一度五十分氣應七日六五六三七四九二六火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微火星最髙應八宫初度三十三分一十一秒五十四微火星正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微(按新法厯書載崇禎元年戊辰火星平行距冬至五宫零四度四十五分三十秒最髙距)(冬至七宫二十九度三十分四十秒正交距冬至四宫一十七度零二分二十九秒自崇禎戊辰年)(天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相)(乘得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯元甲子年諸應也)推火星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求火星年根以積日與火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日火星平行加火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微得火星年根上考往古則置火星平行應減積日火星平行得火星年根求最髙年根以積日與火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得數為積日最髙平行加火星最髙應八宫初度三十三分一十一秒五十四微得最髙年根上考往古則置火星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求正交年根以積日與火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得數為積日正交平行加火星正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微得正交年根上考往古則置火星正交應減積日正交平行得正交年根求火星日數以所設日數與火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘得數為秒以官度分收之得火星日數求最髙日數以所設日數與火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得數為秒以分收之得最髙日數求正交日數以所設日數與火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得正交日數求火星平行以火星年根與火星日數相加得火星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置火星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理四求初均數篇)引數初官至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置火星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求本天髙卑差以火星本輪全徑命為二千萬為一率本天髙卑大差二十五萬八千五百為二率火星均輪心距最卑之正矢為三率(引數與半周相減即均輪心距最卑之度其距最卑過九十度則為□矢)(以半徑與餘弦相加即得)求得四率即本天髙卑差求太陽髙卑差以太陽本輪半徑命為二千萬為一率太陽髙卑大差二十三萬五千為二率本日太陽引數之正矢為三率(引數過半周者與全周相減用其餘)求得四率即太陽髙卑差求次輪半徑置火星最小次輪半徑六百三十萬二千七百五十加本天髙卑差又加太陽髙卑差得次輪半徑(火星次輪)(半徑時時不同故須加本天髙卑差及太陽髙卑差詳五星厯理四求次均數篇)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑為一邊星距日度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度五十分之餘弦為二率距交實行之正切線為三率求得四率為黄道之正切線檢表得黄道度與距交實行相減餘為升度差距交實行不過象限為減過象限為加過二象限為減過三象限為加求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求初緯以半徑一千萬為一率本道與黄道交角一度五十分之正弦為二率距交實行之正弦為三率求得四率為初緯之正弦檢表得初緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率初緯之正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推火星法求諸年根用火星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒下倣)(此)得火星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求諸日數用火星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得火星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日正交行秒微得正交日數求火星平行以火星年根與火星日數相加得火星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求正交平行以正交年根與正交日數相加得正交平行求引數置火星平行減最髙平行得引數求初均及次輪心距地用火星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其所對之次輪心距地數得次輪心距地并記初均加減號(次輪心距地者即次輪心距地心之邊蓋火星次輪)(半徑時時不同則次均數亦時時不同須用三角形推算故先求次輪心距地心之邊為求次均之用也)(其獨不用中分者因次均數時時不同不能以中分比例而得故表不列次均亦即不用中分也)求本天次輪半徑用火星均數表以引數宫度分察其所對之次輪半徑本數得本天次輪半徑(本天次輪半徑者乃火星最小次輪半徑加本天髙)(卑差之數故以引數察表則本天髙卑差已加在其中也)求太陽髙卑差用火星均數表以本日太陽引數宫度分加減六宫(不及六宮則加六宮過六宫則減六宫)察其所對之太陽髙卑差數即太陽髙卑差(太陽引數加減六宫者因火星自最髙起算太陽自最卑起算故加減六宫方)(與表相應)求次輪實半徑置本天次輪半徑加太陽髙卑差得次輪實半徑(次輪)(實半徑者即本日次輪半徑因先有本天次輪半徑故以實别之)求初實行置火星平行加減初均數得初實行求星距日次引置本日太陽實行減初實行得星距日次引求半外角星距日次引不過半周者折半得半外角星距日次引過半周者與全周相減餘數折半得半外角求半較角以次輪實半徑與次輪心距地數相加為一率相減為二率半外角之正切線為三率求得四率為半較角之正切線檢表得半較角求次均數置半外角減半較角得次均數星距日初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求本道實行置初實行加減次均數得本道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求升度差用火星升度差表以距交實行宫度察其所對之分秒得升度差并記加減號求黄道實行置本道實行加減升度差得黄道實行求星距黄道線用火星距黄道表以距交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地心線以次均數之正弦為一率次輪實半徑為二率星距日次引之正弦為三率(星距日次引過半周者減半周用其餘)求得四率即星距地心線(火星次輪半徑旣時時不同則星距地亦時時不同故不能列表而)(用三角形比例求之也)求視緯以星距地心線為一率星距黄道線為二率次輪心距地為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯(前法以半徑為一率初緯正弦為二率次輪心距地心線為三率求得四率為星距黄道線此第一比例)(也又以星距地心線為一率星距黄道線為二率半徑為三率求得四率為視緯正弦此第二比例也因)(第一比例之一率四率即第二比例之二率三率一率四率相乗原與二率三率相乗之數等而表中所)(列星距黄道線又即初緯之正弦故即用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例)(之四率也)求黄道宿度依日纏求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷七
## 下編卷八
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷八金星厯法推金星用數推金星法用表推金星法推金星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十金星每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(與太陽平行同)金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五(金星最髙每嵗平行一分二十二秒五十七微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十三微三十七纎三十五忽四十芒以秒法通之即得)金星伏見每日平行二千二百一十九秒小餘四三一一八八六(金星伏見每日平行三十六分五十九秒二十五微五十二纎一十六忽)(四十四芒以秒法通之即得)金星本天半徑一千萬金星本輪半徑二十三萬一千九百六十二金星均輪半徑八萬八千八百五十二金星次輪半徑七百二十二萬四千八百五十金星次輪面與黄道交角三度二十九分氣應七日六五六三七四九二六金星平行應二十分一十九秒一十八微(與厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太陽平行度同)金星最髙應六宫零一度三十三分三十一秒零四微金星伏見應初宫一十八度三十八分一十三秒零六微(按新法厯書載崇禎元年戊辰金星最髙距冬至六宫初度一十六分零六秒伏見行距)(次輪平逺初宫零九度一十一分零七秒自崇禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至)(次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸應相加即厯)(元甲子年諸應也)推金星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周嵗三百六十五日二四二一八七五相乘得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求金星年根以積日與金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日金星平行加金星平行應二十分一十九秒一十八微得金星年根上考往古則置金星平行應減積日金星平行得金星年根求最髙年根以積日與金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得數為積日最髙平行加金星最髙應六宫零一度三十三分三十一秒零四微得最髙年根上考往古則置金星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求伏見年根以積日與金星伏見每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日伏見平行加金星伏見應初宫一十八度三十八分一十三秒零六微得伏見年根上考往古則置金星伏見應減積日伏見平行得伏見年根求金星日數以所設日數與金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得數為秒以官度分收之得金星日數求最髙日數以所設日數與金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得數為秒以分收之得最髙日數求伏見日數以所設日數與金星伏見每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘得數為秒以宫度分收之得伏見日數求金星平行以金星年根與金星日數相加得金星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求正交平行置最髙平行減一十六度得正交平行(金星正交恒距最髙前一)(十六度故置最髙平行減一十六度得正交平行也)求引數置金星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最近㸃右旋行倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理五求初均數篇)引數初宫至五官為減六宫至十一宮為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置金星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減(伏見平行為星距次輪平逺之度伏見實行為星距次輪)(最逺之度其相差之較即初均數而加減相反詳五星厯理五求次均數篇)求次均數星自次輪最逺㸃右旋行伏見實行度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑七百二十二萬四千八百五十為一邊伏見實行度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數伏見實行初宫至五宫為加六宮至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求黄道實行置初實行加減次均數得黄道實行(金水二星本道即黄道故置初)(實行加減次均數即黄道實行無升度差也)求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行(距次交實行者星距次輪正交之度也伏見實行為星距次輪最逺之度而次輪最逺距)(次輪正交之度與次輪心距本道正交之度等故相加得距次交實行也詳五星厯理七五星交周及金)(水二星緯度篇)求次緯以半徑一千萬為一率次輪面與黄道交角三度二十九分之正弦為二率距次交實行之正弦為三率求得四率為次緯之正弦檢表得次緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率次緯之正弦為二率次輪半徑七百二十二萬四千八百五十為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推金星法求諸年根用金星年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣此)得金星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏見行宫度分秒得伏見年根求諸日數用金星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得金星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日伏見行宫度分秒得伏見日數求金星平行以金星年根與金星日數相加得金星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求正交平行置最髙平行減一十六度得正交平行求引數置金星平行減最髙平行得引數求初均及中分用金星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置金星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均及較分用金星均數表以伏見實行宫度分察其與次均所對之度分秒(三十度進一官)得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求黄道實行置初實行加減實次均得黄道實行求距交實行置初實行減正交平行得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行求星距黄道線用金星距黄道表以距次交實行宫度察其所對之數得星距黄道線并記南北號求星距地用金星距地表以伏見實行宫度察其與星距地所對之數得星距地求距地差用金星距地表以引數宫度察其與距地差所對之數得距地差求星距地用數置星距地減距地差得星距地用數(星距地用數者求視緯所用星)(距地心之數也表中所列星距地數乃設次輪心在最髙所得星距地心之邊而次輪心距地心實有髙)(卑則是距地心之差亦與次輪心距地心之差等故以引數宫度求得次輪心距地心之邊與最髙距地)(心相減餘為距地差於星距地數内減之方為星實距地之數也○土木二星星距黄道線即初緯之正)(弦而星距地心線亦以次輪心在中距立算故其比例同金水二星星距黄道線乃以次輪半徑與次緯)(正弦比例之數原無闗於本天之髙卑而星距地心線又以次輪心在最髙立算故減距地差為星距地)(用數其比例乃相當也)求視緯以星距地用數為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度御製厯象考成下編卷八
## 下編卷九
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷九水星厯法推水星用數推水星法用表推水星法(附推五星伏見及交宮同度法)推水星用數康熙二十三年甲子天正冬至為厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周嵗三百六十五日二四二一八七五紀法六十水星每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九(與太陽平行同)水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三(水星最髙每嵗平行一分四十五秒一十四微以周嵗三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十七微一十七纎一十三忽四十六芒以秒法通之即得)水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒小餘一一六五二四八(水星㐲見每日平行三度零六分二十四秒零六微五十九纎)(二十九忽二十二芒以秒法通之即得)水星本天半徑一千萬水星本輪半徑五十六萬七千五百二十三水星均輪半徑一十一萬四千六百三十二水星次輪半徑三百八十五萬水星次輪心在大距與黄道交角五度四十分水星次輪心在正交當黄道北交角五度零五分一十秒其與大距交角較三十四分五十秒水星次輪心在中交當黄道北交角六度一十六分五十秒其與大距交角較三十六分五十秒水星次輪心在正交當黄道南交角六度三十一分零二秒其與大距交角較五十一分零二秒水星次輪心在中交當黄道南交角四度五十五分三十二秒其與大距交角較四十四分二十八秒氣應七日六五六三七四九二六水星平行應二十分一十九秒一十八微(與厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太陽平行度同)水星最髙應十一宫零三度零三分五十四秒五十四微水星伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七微(按新法厯書載崇禎元年戊辰水星最髙距冬至十一宫零一度二十五分四十二秒伏)(見行距次輪平逺三宫二十九度五十四分一十六秒自崇禎戊辰年天正冬至次日至厯元甲子)(年天正冬至次日積二萬零四百五十三日以積日各與每日平行相乗得數各與崇禎戊辰年諸)(應相加即厯元甲子年諸應也)推水星法求積年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歲三百六十五日二四二一八七五相乗得中積分求通積分置中積分加氣應七日六五六三七四九二六得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求積日置中積分加氣應分六五六三七四九二六(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求水星年根以積日與水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日水星平行加水星平行應二十分一十九秒一十八微得水星年根上考往古則置水星平行應減積日水星平行得水星年根求最髙年根以積日與水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得數為積日最髙平行加水星最髙應十一宫零三度零三分五十四秒五十四微得最髙年根上考往古則置水星最髙應減積日最髙平行得最髙年根求伏見年根以積日與水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒一一六五二四八相乗滿周天一百二十九萬六千秒去之餘為積日伏見平行加水星伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七微得伏見年根上考往古則置水星伏見應減積日伏見平行得伏見年根求水星日數以所設日數與水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得數為秒以宫度分收之得水星日數求最髙日數以所設日數與水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得數為秒以分收之得最髙日數求伏見日數以所設日數與水星伏見每日平行一萬一千一百八十四秒一一六五二四八相乗得數為秒以宫度分收之得伏見日數求水星平行以水星年根與水星日數相加得水星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求引數置水星平行減最髙平行得引數求初均數均輪心自本輪最髙左旋行引數度次輪心自均輪最逺㸃右旋行三倍引數度用兩三角形法求得地心之角為初均數(法詳五星厯理六求初均數篇)引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加隨求次輪心距地心之邊為求次均數之用求初實行置水星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均數星自次輪最逺㸃右旋行伏見實行度用三角形法以次輪心距地心線為一邊(即求初均數時所得次輪心距地心之邊)次輪半徑三百八十五萬為一邊伏見實行度為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)求得地心對次輪半徑之角為次均數伏見實行初宫至五宫為加六宫至十一宫為減隨求星距地心之邊為求視緯之用求黄道實行置初實行加減次均數得黄道實行求距交實行置初實行減最髙平行加減六宫得距交實行(水星正交)(恒與最卑同則最髙平行即中交平行故置初實行減最髙平行又加減六宫方為距正交實行也)求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求交角距交實行九宫至二宫星在黄道北交角為五度零五分一十秒星在黄道南交角為六度三十一分零二秒(距交實行九宫至二宫為次輪心在正交前後故其交角用次輪心在正交當黄道南北交角)距交實行三宮至八宫星在黄道北交角為六度一十六分五十秒星在黄道南交角為四度五十五分三十二秒(距交實行三宮至八宫為次輪心在中交前後故其交角用次輪心在中交當黄道)(南北交角)求交角差以半徑一千萬為一率大距交角較化秒為二率(距交)(實行九宫至二宫星在黄道北大距交角較為二千零九十秒星在黄道南大距交角較為三千零六十)(二秒距交實行三宫至八宫星在黄道北大距交角較為二千二百一十秒星在黄道南大距交角較為)(二千六百六十八秒)距交實行之正弦為三率求得四率即交角差距交實行九宫至二宫星在黄道北為加星在黄道南為減距交實行三宫至八宫星在黄道北為減星在黄道南為加求實交角置交角加減交角差得實交角(實交角者本日星在次輪周所當次輪面)(與黄道斜交之角也蓋水星次輪面與黄道斜交惟次輪心在大距其南北交角皆為五度四十分此外則)(黄道南與黄道北不同而正交與中交又不同次輪心在正交其黄道北交角最小距正交漸逺則交角)(漸大而黄道南交角最大距正交漸逺則交角漸小交次輪心在中交其黄道北交角最大距中交漸逺則)(角漸小而黄道南交角最小距中交漸逺則交角漸大故先以次輪心距正交前後或距中交前後及星)(在黄道南北定其交角然後加減交角差方為實交角也)求次緯以半徑一千萬為一率實交角之正弦為二率距次交實行之正弦為三率求得四率為次緯之正弦檢表得次緯求星距黄道線以半徑一千萬為一率次緯之正弦為二率次輪半徑三百八十五萬為三率求得四率即星距黄道線求視緯以星距地心線為一率(即求次均數時所得星距地心之邊)星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度用表推水星法求諸年根用水星年根表察本年距冬至分秒(三十微進一秒下倣此)得水星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏見行宫度分秒得伏見年根求諸日數用水星周嵗平行表察本日平行宫度分秒得水星日數察本日最髙行分秒得最髙日數察本日伏見行宫度分秒得伏見日數求水星平行以水星年根與水星日數相加得水星平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加得最髙平行求伏見平行以伏見年根與伏見日數相加得伏見平行求引數置水星平行減最髙平行得引數求初均及中分用水星均數表以引數宫度分察其與初均所對之度分秒得初均察其與中分所對之分秒得中分并記初均加減號求初實行置水星平行加減初均數得初實行求伏見實行置伏見平行加減初均數得伏見實行初均為減者則加初均為加者則減求次均及較分用水星均數表以伏見實行宫度分察其與次均所對之度分秒得次均察其與較分所對之度分秒得較分并記次均加減號求實次均以三千六百秒為一率較分化秒為二率中分化秒為三率求得四率為秒以度分收之為加差與次均相加得實次均加減號與次均同求黄道實行置初實行加減實次均得黄道實行求距交實行置初實行減最髙平行加減六宫得距交實行求距次交實行以伏見實行與距交實行相加(加滿全周去之用其餘)得距次交實行初宫至五宫為黄道北六宫至十一宫為黄道南求實交角用水星距限表以距交實行宫度按黄道南北察其所對之度分秒得實交角(水星距限表乃以交角差加減交角而得故用表推)(算即求實交角不用先求交角與交角差也)求星距黄道線用水星距黄道表以距次交實行宫度按實交角相近者察其所對之數得星距黄道線求星距地用水星距地表以伏見實行宫度察其與星距地所對之數得星距地求距地差用水星距地表以引數宫度察其與距地差所對之數得距地差求星距地用數置星距地減距地差得星距地用數求視緯以星距地用數為一率星距黄道線為二率半徑一千萬為三率求得四率為視緯之正弦檢表得視緯求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿鈐察黄道實行足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為黄道宿度推五星伏見及交宫同度法求土木火三星合伏時刻土木火三星黄道實行與太陽實行同宫同度為合伏皆以太陽實行未及星實行為合伏本日已過星實行為合伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日星實行與次日星實行相減餘為星一日之實行乃於太陽一日之實行内減星一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日星實行内減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合伏時刻(與月離求合朔之理同)求土木火三星退衝時刻土木火三星黄道實行與太陽實行相距六宫為退衝(亦名與太陽衝)皆以相距未及六宫為退衝本日已過六宫為退衝次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以次日星實行與本日星實行相減餘為星一日之實行乃以太陽一日之實行與星一日之實行相加為一率(太陽)(順行星逆行則相距為兩實行之和故相加為一率)一千四百四十分為二率本日星實行加六宫減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得退衝時刻求土木火三星晨夕伏見段目土木火三星合㐲後距日漸逺為晨見東方順行(土木)(火三星合伏後漸差而西日出前即可見故為晨見東方其行度在次輪上半周故恒為順行)順行漸遲遲而忽退為留退初(古名前留亦名順留因其順而忽留故曰順留因其)(留而初退故曰留退初)距日半周為退衝退衝之次日為夕見(退衝之後日入時可見日出時不見故曰夕見不曰夕見西方者因初夕見時星尚在東方也)退行漸遲遲而忽順為留順初(古名後留亦名退留因其退而忽留故曰退留因其)(留而初順故曰留順初)順行漸疾復近合伏為夕不見求土木火三星晨夕伏見限度土星限為一十一度木星限為一十度火星限為一十一度三十分合伏前後某日太陽實行與本星實行相距近此限度即以本日本星實行宫度察五星伏見距日黄道度表取其與本星相對之數為距日黄道度又以本日本星實行宫度察五星伏見距日加減差表取其與本星緯度相對之數為距日加減差乃以距日加減差與距日黄道度相加減(緯南則加緯北)(則減)得伏見限度合伏前某日太陽實行與星實行相距近此限度即為某日夕不見合伏後某日近此限度即為某日晨見(土星當地平太陽在地平下一十一度即可見木星當地平太陽在)(地平下一十度即可見火星當地平太陽在地平下一十一度三十分即可見此乃地平緯度因星之經)(緯逐日不同難以逐日推算故以地平緯度當黄道經度察表為省算也餘詳五星衝伏留退俱生於次)(輪及五星伏見篇)求金水二星合伏時刻金水二星黄道實行與太陽同宫同度為合伏皆以星實行未及太陽實行為合伏本日已過太陽實行為合伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以本日星實行與次日星實行相減餘為星一日之實行乃於星一日之實行内減太陽一日之實行餘為一率一千四百四十分為二率本日太陽實行内減星實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合伏時刻(金水二星行度合伏時速於太陽故與土木火三星相反而其理則同也)求金水二星合退伏時刻金水二星退行與太陽實行同宫同度為合退伏(亦名)(退合)皆以太陽實行未及星實行為合退伏本日已過星實行為合退伏次日求時刻之法以本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為太陽一日之實行以次日星實行與本日星實行相減餘為星一日之實行乃以太陽一日之實行與星一日之實行相加為一率一千四百四十分為二率本日星實行内減本日太陽實行餘為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得合退伏時刻求金水二星晨夕伏見段目金水二星合伏後距日漸逺為夕見西方順行(金水二星)(合伏後漸差而東日入後即可見故曰夕見西方其行度在次輪上半周故恒為順行)順行漸遲遲而忽退為留退初退行漸近太陽為夕不見復與太陽同度為合退伏自是又漸逺太陽為晨見東方退行(金水二星合退伏後漸差而西日出前即可見故曰晨見東方其行度在次輪下半周故)(恒為退行)退行漸遲遲而忽順為留順初順行漸疾復近合伏為晨不見求金水二星晨夕伏見限度金星限為五度水星限為一十度合伏前後或合退伏前後某日太陽實行與本星實行相距近此限度即以某日本星實行宫度察五星伏見距日黄道度表取其與本星相對之數為距日黄道度又以本日本星實行宫度察五星伏見距日加減差表取其與本星緯度相對之數為距日加減差乃以距日加減差與距日黄道度相加減(緯南則加緯北則減)得伏見限度合伏前某日太陽實行與星實行相距近此限度即為某日晨不見合伏後某日近此限度即為某日夕見合退伏前某日近此限度即為某日夕不見合退伏後某日近此限度即為某日晨見求五星交宫時刻以本星一日之實行為一率一千四百四十分為二率本星實行距某宫初度之度分為三率(順行者以本日實行)(與三十度相減逆行者即用本日實行)求得四率為距子正之分數以時刻收之得交宫時刻(與太陰交宮之理同但太陰皆順行五星或有逆行耳)求五星同度時刻以兩星一日之實行相加減為一率(兩星皆順行或皆逆行者則相)(減一順一逆者則相加)一千四百四十分為二率兩星相距為三率求得四率為距子正之分數以時刻收之得同度時刻(與求合伏及退合之理同)御製厯象考成下編卷九
## 下編卷十
欽定四庫全書御製厯象考成下編卷十恒星厯法推中星法推中星時刻法推凌犯法推凌犯視差法推中星法(推中星及中星時刻亦可用三角形法推筭但求太陽赤道經度已詳日食厯法求恒星赤道經度)(已詳恒星厯理而本年諸恒星赤道經度又須逐一推定然後可以求某星方中及偏東偏西之度)(數故立法用表以從簡易)求本時太陽黄道經度以一千四百四十分為一率本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為二率以所設時刻化分為三率求得四率與本日太陽實行相加得本時太陽黄道經度求本時太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以本時太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得本時太陽赤道經度求本時太陽距午後赤道經度以所設時刻變赤道度(一小時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒)加減半周(不及半周則加半周過半周則減半周)得本時太陽距午後赤道經度求本時正午赤道經度以本時太陽赤道經度與本時太陽距午後赤道經度相加(加滿全周去之用其餘)得本時正午赤道經度求中星用恒星赤道經緯度表察各星赤道經度又用恒星赤道經緯度嵗差表察各星經度嵗差與各星經度相加減為本年各星赤道經度乃察本年某星赤道經度與本時正午赤道經度相同即為某星方中如經度不相同則察其相近者與本時正午赤道經度相減餘為偏東偏西之度凡星之赤道經度大於正午赤道經度者為偏東小於正午赤道經度者為偏西推中星時刻法求星赤道經度用恒星赤道經緯度表察本星赤道經度又用赤道經緯度嵗差表察本星經度嵗差按嵗積之與本星赤道經度相加減得星赤道經度(或用恒星黄道經緯度表察本星黄)(道經度自厯元甲子起算每年加嵗差五十一秒求得本年本星黄道經度又用黄赤經緯互推表以本)(年黄道經度及黄道緯度察其所對之赤道宫度分亦得星之赤道經度如黄道經緯度俱有零分者用)(中比例三次求之)求太陽赤道經度用日躔黄赤升度表以本日太陽黄道經度察其所對之赤道宫度分秒得太陽赤道經度求太陽距午後赤道經度星赤道經度内減太陽赤道經度(不及減者加十二宫減之)餘為太陽距午後赤道經度求中星時刻以太陽距午後赤道經度加減半周(不及半周者加半周過半周者)(減半周)變時自子正初刻起算得中星時刻(推中星用本時太陽)(赤道度而推中星時刻則用子正太陽赤道度因無時刻可設故即用子正耳又太陽每日東行一度變)(時約得四分雖有微差亦不甚逺若必欲按本時太陽赤道度立筭則於所得中星時刻内每一小時減十)(秒則一日二十四時即減四分於理更密)推凌犯法求凌犯入限太陰凌犯恒星以本日太陰經度與次日太陰經度察本年凌犯恒星經緯度表某星在此限内為凌犯入限復察其間各星緯度如太陰緯與星緯同在黄道北者太陰緯多為太陰在上太陰緯少為太陰在下太陰緯與星緯同在黄道南者太陰緯多為太陰在下太陰緯少為太陰在上一緯北一緯南者太陰緯北為太陰在上太緯緯南為太陰在下(近天頂為上近地平)(為下)太陰在上者相距二度以内取用太陰在下者相距一度以内取用(太陰有地半徑差常變髙為卑太陰在上者雖相距二度或因地半)(徑差而相距一度故於二度以内取用若太陰在下者雖相距一度而加以地半徑差則相距益逺故止)(於一度以内取用也)兩緯相距十七分以内為凌十八分以外為犯(逼近為凌畧逺為犯)兩緯相同為掩太陰凌犯五星以本日太陰經度在星前次日太陰經度在星後為凌犯入限餘與凌犯恒星同五星凌犯恒星無論在上在下皆於相距一度以内取用(五星地半徑差甚小故皆於一度以内取用)兩緯相距三分以内為凌四分以外為犯(五星光小故三分以内方為凌四分以外即為犯)兩緯相同為掩餘與太陰凌犯恒星同五星自相凌犯以行速者為凌犯之星以行遲者為受凌犯之星如兩星行度相同而一順行一逆行者則以順行者為凌犯之星逆行者為受凌犯之星皆以本日此星經度在彼星前次日此星經度在彼星後為凌犯入限餘與五星凌犯恒星同求日行度太陰凌犯恒星以本日太陰經度與次日太陰經度相減得日行度(日行度者乃太陰與恒星一日相距之行度因恒星之行甚遲有似不動)(故止以太陰之行度為日行度也)太陰凌犯五星以本日太陰經度與次日太陰經度相減餘為太陰一日之行度又以本日星經度與次日星經度相減餘為星一日之行度星順行者則以兩數相減得日行度(與交食月距日之理同)星逆行者則以兩數相加得日行度(與交食距交之理同)五星凌犯恒星以本日星經度與次日星經度相減得日行度(與太陰犯恒星之理同)五星自相凌犯以本日此星經度與次日此星經度相減餘為此星一日之行度又以本日彼星經度與次日彼星經度相減餘為彼星一日之行度兩星俱順行或俱逆行者則以兩數相減得日行度兩星一順行一逆行者則以兩數相加得日行度(與太陰犯五星之理)(同)求相距度太陰凌犯恒星以本日太陰經度與恒星經度相減得相距度太陰凌犯五星以本日太陰經度與本日星經度相減得相距度五星凌犯恒星以本日星經度與恒星經度相減得相距度五星自相凌犯以本日兩星經度相減得相距度求凌犯時刻以日行度化分為一率一千四百四十分為二率相距度化分為三率求得四率為分以時刻收之得凌犯時刻推凌犯視差法(凡太陰凌犯諸星夜所可見者則復推視差以求其凖與日食三差之理同其推之之法亦可用三)(角形立算因其理已詳日食故立法用表以從簡易其推可見不可見之法則以太陰出入時刻法)(求之或用天球比算亦得大槩至於五星凌犯恒星及五星自相凌犯其視差甚微可以不計不必)(復推矣)求本時太陽黄道度以一千四百四十分為一率本日太陽實行與次日太陽實行相減餘為二率凌犯時刻化分為三率求得四率與本日太陽實行相加得本時太陽黄道度求春分距午時分用交食北極髙四十度黄平象限表以本時太陽黄道度察黄道宫度取其與時分所對之數為太陽距春分後時分又以凌犯時刻加減十二時(不及十二時則加十)(二時過十二時則減十二時)為太陽距午後時分兩數相加(加滿二十)(四時去之用其餘)得春分距午時分(春分距午時分者即本時春分距午後之時分)(也與日食春分距午時分之理同)求黄平象限宫度用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與黄平象限相對之數得黄平象限宫度(日食推黄平象限宫度與月距限同在一條凌犯視差有專用黄平)(象限宫度之處故另列一條以便於用)求月距限以黄平象限宫度與星經度相減餘為月距限度(凌犯)(時太陰與星同度故以星經度與黄平象限宫度相減餘即為月距限度)星經度大於黄平象限宫度為限東小於黄平象限宫度為限西求限距地髙用交食北極髙四十度黄平象限表以春分距午時分察表内時分相近者取其與限距地髙相對之數得限距地髙求正交經度依月離厯法推得本時正交實行得正交經度求限距交黄平象限宫度内減正交經度(不足減者加十二宫減之)餘為限距交求限距緯用月離黄白距度表以限距交宫度按本日月離黄白大距相近限内察其所對之度分秒得限距緯并記南北號求白道髙度置限距地髙加減限距緯(北加南減)得白道髙度(白道髙度者黄)(平象限上白道距地平之髙度雖黄白距緯與地平髙弧不同然數度之間相去不逺故先求得黄平象)(限距交之度以求其距緯乃與限距地髙相加減即為白平象限距地平之髙雖黄平象限與白平象限)(經度亦自不同而白平象限之髙與當黄平象限處畧相等且以求白道髙弧交角所差無多故借用以)(從簡易)求太陰髙弧用交食太陽髙〔？〕表以月距限及白道髙度察其所對之度分秒(八表以白道髙度當限距地髙)得太陰髙〔？〕求白道髙〔？〕交角用交食黄道髙〔？〕交角表以月距限及白道髙度察其所對之度分秒(入表以白道髙度當限距地髙)得白道髙〔？〕交角(黄道髙〔？〕交角表以月距限及限距地髙立算今旣以白道髙度當限距地髙故所得即為白道髙〔？〕交)(角)求太陰引數依月離厯法求得本時太陰平引得太陰引數求太陰距地用交食視半徑表以太陰引數宫度察其與月距地相對之數得太陰距地求髙下差用月離太陰地半徑差表以太陰髙〔？〕按太陰距地限察其所對之數得髙下差(恒星無視差故太陰地半徑差即髙下差若太)(陰凌犯火金水諸星則各用本星地半徑差表以太陰髙〔？〕按本星引數宫限察得本星地半徑差與太)(陰地半徑差相減即髙下差與日食髙下差之理同)求東西差及南北差用交食東西南北差表以白道髙〔？〕交角及髙下差察其與東西差所對之數得東西差隨察其與南北差所對之數得南北差求太陰距交星經度内減正交經度(不足減者加十二宫減之)得太陰距交(凌犯)(時太陰與星同度故於星經度内減正交經度即得太陰距交)求太陰實緯用月離黄白距度表以太陰距交宫度按本日月離黄白大距相近限内察其所對之度分秒得太陰實緯并記南北號求太陰視緯置太陰實緯加減南北差得太陰視緯實緯在黄道南則加南北差而視緯仍為南實緯在黄道北則減南北差而視緯仍為北若實緯在黄道北而南北差大於實緯則反減而視緯即變為南求太陰距星視緯與星緯同在黄道南或同在黄道北者則相減得太陰距星一在黄道南一在黄道北者則相加得太陰距星相距一度以内者用相距一度以外者不用定太陰在上在下之法與取凌犯入限同求太陰實行用月離太陰實行表以太陰引數宫度察其所對之分秒得太陰實行求視時距分以太陰實行化秒為一率三千六百秒為二率東西差化秒為三率求得四率為秒以分收之得視時距分太陰距限西為加太陰距限東為減求凌犯視時置凌犯時刻加減視時距分得凌犯視時御製厯象考成下編卷十
## 表[目録]
欽定四庫全書御製厯象考成表卷一日躔表卷二月離表一卷三月離表二卷四月離表三卷五交食表一卷六交食表二卷七交食表三卷八交食表四卷九土星表卷十木星表卷十一火星表卷十二金星表卷十三水星表卷十四恒星表卷十五黄赤經緯互推表上卷十六黄赤經緯互推表下
## 表卷一
欽定四庫全書御製歴象考成表卷一日躔表太陽年根表太陽周嵗平行表太陽周日平行表太陽均數表黄赤距度表黄赤升度表黄道赤經交角表升度時差表均數時差表太陽地半徑差表清蒙氣差表太陽實行表太陽年根表太陽年根表以距冬至及最卑逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太陽平行距丑宫初度之分秒也(求逐年距)(冬至法以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百四十八秒小餘三三○五一六九為二率以厯元甲)(子年天正冬至氣應分數六千五百六十三分小餘七四九二六與周日一萬分相減餘三千四百三十六分)(小餘二五○七四為三率求得四率一千二百一十九秒小餘二九五三三六四收作二十分一十九秒一十)(七微四十三纖一十二忽四十芒為厯元甲子年距冬至之數此後用加法以本年距冬至之數加三百六十)(五日之太陽平行三百五十九度四十五分四十秒三十八微一十九纖一十二忽二十四芒滿三百六十度)(減之餘為次年距冬至之數而本年即為三百六十五日是為平年如相加不滿三百六十度則再加一日之)(太陽平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒然後減三百六十度餘為次年距冬至)(之數而本年即為三百六十六日是為閏年又捷法以本年距冬至之數減三百六十五日之太陽平行度與)(全周之較一十四分一十九秒二十一微四十纖四十七忽三十六芒即得次年距冬至之數而本年即為平)(年若不足減則以本年距冬至之數加三百六十六日之太陽平行度與全周之較四十四分四十八秒五十)(八微零九纖零四忽零三芒即得次年距冬至之數而本年即為閏年按法求得逐年距冬至之數滿三十纖)(以上者進作一微不足三十纖者可以去之後倣此)最卑者乃逐年天正冬至次日子正最卑過丑宫初度之度分也(求逐年最卑法厯元甲子年天正冬)(至最卑應七度一十分一十一秒一十微即厯元甲子年最卑過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之最卑行一分零一秒零七微三十四纖一十五忽五十八芒即得次年最卑過冬至之數如)(本年為閏年則加三百六十六日之最卑行一分零一秒一十七微三十七纖零九忽一十六芒即得次年最)(卑過冬至之數)後列紀日值宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所值之宿也(求逐年紀日及值宿法厯元甲子年天正冬至氣應七日為辛未次日為)(壬申即厯元甲子年紀日此後用加法如本年為平年則自本年紀日干支順數加五日即得次年紀日干支)(如本年為閏年則自本年紀日干支順數加六日即得次年紀日干支盖紀法以六十為率三百六十日則紀)(法滿六周故平年加五日閏年加六日也又厯元甲子年天正冬至宿應五日為尾宿次日為箕宿即厯元甲)(子年值宿此後用加法如本年為平年則自本年值宿順數加一宿即得次年值宿本年為閏年則自本年值)(宿順數加二宿即得次年值宿盖宿法以二十八為率三百六十四日則宿法滿一十三周故平年加一宿閏)(年加二宿也)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自歴元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二微其最卑為七度四十八分五十五秒二十八微其紀日為辛夘其值宿為張宿也太陽周嵗平行表太陽周嵗平行表以太陽平行及最卑行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃太陽本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒累加之即得逐日)(平行之各數)最卑行者乃太陽本天自一日至三百六十六日之最卑行各數也(最卑每日行一十微零二纖五十三忽一十八芒累加之即得逐日)(最卑行之各數)用表之法如求冬至後九十二日之太陽平行及最卑行則察本表日數九十二所對各數錄之其平行為三宫零四十分四十六秒二十四微即九十二日太陽平行之共數其最卑行為一十五秒二十四微即九十二日最卑行之共數也太陽周日平行表太陽周日平行表以一日内之時分秒遞降列之蓋時刻之分秒與度數之分秒皆以六十遞析(一日二十四時每時六十)(分每分六十秒)故太陽一時之平行與一分或一秒之平行皆同數不過遞降一位耳如太陽一時行二分有餘一分行二秒有餘一秒行二微有餘其平行之數同為二而為分為秒為微則遞降也表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則太陽逐時逐分逐秒之平行數也(太陽每日之平行用二十四時除之得二分二十七秒五)(十微四十九纖三十四忽四十芒是為一時之平行累加之為逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降)(一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒之平行為秒微纖忽)至於最卑每日止行一十微有餘則時分所行甚少故周日平行表不列最卑行用表之法如求一十二時四十二分五十一秒之太陽平行則察本表一十二時所對之數為二十九分三十四秒一十微四十二分所對之數為一分四十三秒二十九微三十四纖五十一秒所對之數為二秒零五微四十纖一十二忽合計三數得三十一分一十九秒四十五微一十四纖一十二忽即所求之太陽平行也太陽均數表太陽均數表按最卑最髙分順逆列之引數初宫至五宫為最卑後列於上引數六宫至十一宫為最髙後列於下前後列引數度分分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數太陽引數在上六宫者用順度其號為加太陽引數在下六宫者用逆度其號為減用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之均數也表以十分為率若引數有零分者按中比例法求之設太陽引數為二宫五度一十二分求其均數則以二宫五度一十分所對之數一度五十二分三十七秒與下層五度二十分所對之數一度五十二分四十六秒相減餘九秒為一十分之較乃以引數一十分為一率較數九秒為二率設數二分為三率求得四率一秒小餘八收作二秒與二宫五度一十分之均數一度五十二分三十七秒相加(因二十分之均數大於一十分之均數故)(相加反是則相減也)得一度五十二分三十九秒為所求之均數其號為加即為加均也黄赤距度表黄赤距度表按二分二至分順逆列之二分後之各宫列於上降婁大梁實沈三宫係春分後為北緯夀星大火析木三宫係秋分後為南緯其數同二至後之各宫列於下鶉首鶉火鶉尾三宫係夏至後為北緯星紀元枵娵訾三宫係冬至後為南緯其數同太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度用表之法以實行之宫對實行之度分其縱横相遇即所求之距度也表以十分為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道大火宫二十一度一十五分求黄赤距度則以大火宫二十一度一十分所對之數一十八度零五分二十四秒與下層二十一度二十分所對之數一十八度零八分零二秒相減餘二分三十八秒為一十分之較乃以一十分為一率較數二分三十八秒化作一百五十八秒為二率設數五分為三率求得四率七十九秒收作一分一十九秒與大火宫二十一度一十分之距度一十八度零五分二十四秒相加(因二十分之距度火於一十分之距度故相加反是則相減也)得一十八度零六分四十三秒為所求之距度也黄赤升度表黄赤升度表黄道宫度與赤道宫度並列之皆自冬至星紀宫起初宫(即○宫)元枵宫為一宫以太陽經度為次用宫數不用宫名者太陽當交宫之際惟二分二至黄赤同度其餘恒不同宫故用宫數以便列表用表之法以太陽實行察黄道宫度其所對之赤道宫度即所求之赤道升度也表以逐度為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道降婁宫五度二十四分求赤道升度自星紀宫起初宫計之為三宫五度二十四分則以黄道三宫五度所對之數三宫四度三十五分一十五秒與下層三宫六度所對之數三宫五度三十分二十一秒相減餘五十五分零六秒為一度之較乃以一度化作六十分為一率較數五十五分零六秒化作三千三百零六秒為二率設數二十四分為三率求得四率一千三百二十二秒收作二十二分零二秒與三宫五度之赤道度三宫四度三十五分一十五秒相加得三宫四度五十七分一十七秒為所求之赤道升度也黄道赤經交角表黄道赤經交角表(黄道赤經交角乃黄道與過赤極經圏相交之角即正弧三角形所謂黄)(道交極圏角也)亦按二分二至分順逆列之二分後之各宫列於上二至後之各宫列於下太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度用表之法以實行之宫對實行之度其縦横相遇即所求之交角也設太陽實行在黄道實沈宫五度求黄道赤經交角則察實沈宫五度所對之數為七十九度三十五分三十秒即所求之交角也(實沈宫在上故用順度)若實行有零分者亦按中比例法求之升度時差表升度時差表亦按二分二至分順逆列之二分後六宫列於上二至後六宫列於下前後列黄道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度時差即赤道升度與黄道相差度分所變時刻之分秒(每一度變時之四分每十五分變時之一分每)(十五秒變時之一秒)太陽實行在上六宫者用順度其號為加太陽實行在下六宫者用逆度其號為減用表之法以實行之宫對實行之度其縦横相遇即所求之升度時差也設太陽實行在黄道大梁宫八度求升度時差則察大梁宫八度所對之數為九分三十一秒即所求之升度時差其號為加即為加差也(大梁宫在上故)(用順度)若實行有零分者亦按中比例法求之均數時差表均數時差表亦按最卑最髙分順逆列之最卑後六宫列於上最髙後六宫列於下前後列引數度分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數時差即均數度分所變時刻之分秒(每一度變時之四分每一十五分變時之一分每一十五秒變時之一秒)太陽引數在上六宫者用順度其號為減太陽引數在下六宫者用逆度其號為加用表之法以引數之宫對引數之度其縦横相遇即所求之均數時差也設太陽引數為十一宫二十五度求均數時差則察十一宫二十五度所對之數為四十四秒即所求之均數時差其號為加即為加差也(十一宫在下故)(用逆度)若引數有零分者亦按中比例法求之太陽地半徑差表太陽地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(太陽引數自四宫一十五度至七宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自十宫一十五度至一宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙度所生之地半徑差也用表之法如夏至後太陽引數當最髙限推得午正太陽實髙七十三度求地半徑差則察最髙限實髙七十三度所對之數為五十一秒即所求之地半徑差與實髙七十三度相減餘七十二度五十九分零九秒為本日午正太陽之視髙也如先測得午正太陽視髙七十二度五十九分零九秒則以地半徑差五十一秒與視髙相加得七十三度為本日午正太陽之實髙也盖實髙乃地心之度視髙乃地面之度實髙所生之地半徑差與視髙所生之地半徑差應有不同然所差甚微故本表雖以實髙求視髙而視髙求實髙亦可同用髙度有零分者亦按中比例法求之清䝉氣差表清䝉氣差表分兩段列之第一段自初度至二十二度第二段自二十三度至四十五度皆地平之髙度其所對之數則逐度之蒙氣差也用表之法如測得七政或恒星髙四十度求蒙氣差則察四十度所對之數為一十秒即所求之䝉氣差與視髙四十度相減餘三十九度五十九分五十秒為實髙如先推得實髙三十九度五十九分五十秒則以䝉氣差一十秒與實髙相加得四十度為視髙也髙度有零分者亦按中比例法求之太陽實行表太陽實行表亦按最卑最髙分順逆列之最卑後六宫列於上最髙後六宫列於下前後列引數度中列逐宫逐度之太陽實行(太陽實行者太陽一小時之實行也本輪心之行度為平行一小時恒為)(二分二十七秒五十一微而實行則有盈縮盖因均數時時不同故實行亦不同也求法以一度為一率逐度)(均數之較為二率太陽一小時之引數為三率求得四率為一小時均數之較與太陽一小時之平行相加減)(即得太陽逐宫逐度一小時之實行其加減之法均數為加者本度加均小次度加均大則加本度加均大次)(度加均小則減均數為減者本度減均小次度減均大則減本度減均大次度減均小則加)太陽引數在上六宫者用順度太陽引數在下六宫者用逆度用表之法以引數之宫對引數之度縱横相遇即所求之實行也設太陽引數為一宫二十五度求實行則察一宫二十五度所對之數為二分三十一秒即所求之實行也(一宫在上故用順度)引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也御製厯象考成表卷一
## 表卷二
欽定四庫全書御製厯象考成表卷二月離表一太陰年根表太陰周歳平行表太陰周日平行表太陰初均表交均距限表黄白距度表黄白升度差表太陰地半徑差表太陰實行表太陰年根表太陰年根表以距冬至及月孛行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太陰平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至太陰平行應一宫零八度四十分五十七秒一十六微即厯元)(甲子年太陰平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之太陰平行十三周天外又)(四宫零九度二十三分零二秒四十三微四十六纖三十四忽四十一芒滿全周去之餘為次年距冬至之數)(如本年為閏年則加三百六十六日之太陰平行十三周天外又四宫二十二度三十三分三十七秒四十五)(微零二纖四十八忽五十四芒滿全周去之餘為次年距冬至之數滿三十纖以上者進作一微不足三十纖)(者去之後倣此)月孛行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年月孛行法厯元甲子年天正冬至月孛應三宫零四度四十九分五十)(四秒零九微即厯元甲子年月孛過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之月孛行一)(宫一十度三十九分五十三秒一十六微四十四纖四十六忽零五芒即得次年月孛過冬至之數如本年為)(閏年則加三百六十六日之月孛行一宫一十度四十六分三十四秒二十一微二十三纖四十一忽零二芒)(即得次年月孛過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交應六宫二十七)(度一十三分三十七秒四十八微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用減法如本年為平年則減三百六)(十五日之正交行一十九度一十九分四十三秒三十六微即得次年正交過冬至之數如本年為閏年則減)(三百六十六日之正交行一十九度二十二分五十四秒一十四微二十四纖即得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為一宫零三度五十一分五十六秒一十一微其月孛行為六宫二十一度零五分四十八秒二十七微其正交行為六宫一十二度一十五分二十五秒一十五微也太陰周歳平行表太陰周歳平行表以太陰平行及月孛行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃太陰本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(太陰每日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十)(三芒累加之即得逐日平行之各數)月孛行者乃太陰本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行六分四十一秒零四微三十八纖)(五十四忽五十七芒累加之即得逐日月孛行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日退行三分一十秒三十八微二十四)(纖累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十五日之太陰平行及月孛行正交行則察本表日數二十五所對各數錄之其平行為十宫二十九度二十四分三十五秒三十二微即二十五日太陰平行之共數其月孛行為二度四十七分零六秒五十六微即二十五日月孛行之共數其正交行為一度一十九分二十六秒即二十五日正交行之共數也太陰周日平行表太陰周日平行表以一日内之時分秒遞降列之盖時刻之分秒與度數之分秒皆以六十遞析(一日二十四時每時六十)(分每分六十秒)故太陰一時之平行與一分或一秒之平行皆同數不過遞降一位耳如太陰一時行三十二分有餘一分行三十二秒有餘一秒行三十二微有餘其平行之數同為三十二而為分為秒為微則遞降也表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則太陰逐時逐分逐秒之各平行數也(太陰每日)(之平行用二十四時除之得三十二分五十六秒二十七微三十三纖一十忽三十五芒是為一時之平行累)(加之為逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒)(之平行為秒微纖忽月孛行與正交行皆倣此)用表之法如求五時三十六分四十八秒之太陰平行及月孛行正交行則察本表太陰平行五時所對之數為二度四十四分四十二秒一十八微三十六分所對之數為一十九分四十五秒五十二微三十二纖四十八秒所對之數為二十六秒二十一微一十纖零三忽合計三數得三度零四分五十四秒三十一微四十二纖零三忽即所求之太陰平行也月孛行五時所對之數為一分二十三秒三十三微三十六分所對之數為一十秒零一微三十七纖四十八秒所對之數為一十三微二十二纖零九忽合計三數得一分三十三秒四十七微五十九纖零九忽即所求之月孛行也正交行五時所對之數為三十九秒四十三微三十六分所對之數為四秒四十五微五十八纖四十八秒所對之數為六微二十一纖一十七忽合計三數得四十四秒三十五微一十九纖一十七忽即所求之正交行也太陰初均表太陰初均表按最髙最卑分順逆列之引數初宫至五宫為最髙後列於上引數六宫至十一宫為最卑後列於下前後列引數度分分順逆以别加減中列逐宫逐度之初均數太陰引數在上六宫者用順度其號為減太陰引數在下六宫者用逆度其號為加用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之初均數也表以十分為率若引數有零分者按中比例法求之設太陰引數為一宫三度四十六分求其初均數則以一宫三度四十分所對之數二度四十一分四十六秒與下層三度五十分所對之數二度四十二分二十九秒相減餘四十三秒為一十分之較乃以引數一十分為一率較數四十三秒為二率設數六分為三率求得四率二十五秒小餘八收作二十六秒與一宫三度四十分之初均數二度四十一分四十六秒相加(因五十分之初均數大於四十分之初均數故相加反是則相減也)得二度四十二分一十二秒為所求之初均數其號為減即為減均也交均距限表交均距限表按朔朢兩弦分順逆列之朔朢後之各宫列於上月距日初宫至二宫為朔後六宫至八宫為朢後其數同兩弦後之各宫列於下月距日三宫至五宫為上弦後九宫至十一宫為下弦後其數同月距日次引在上六宫者用順度交均之號為減月距日次引在下六宫者用逆度交均之號為加用表之法以月距日次引之宫對月距日次引之度其縦横相遇即所求之交均及距限也表以逐度為率若月距日次引有零分者交均則按中比例法求之距限則取相近者用之(不足三十分者去之滿三十分以上則進作一度察表)設月距日次引六宫八度一十五分求交均及距限則以六宫八度所對之交均三十分一十秒與下層九度所對之交均三十三分四十八秒相減餘三分三十八秒為一度之較乃以一度化六十分為一率較數化二百一十八秒為二率設數一十五分為三率求得四率五十四秒小餘五收作五十五秒與八度之交均三十分一十秒相加(因九度之交均大於八度之交均故相加反是則相減也)得三十一分零五秒為所求之交均其號為減即為減均又察六宫八度所對之距限四度五十八分五十三秒即所求之距限也(因八度一十五分與八度近與九度逺故即用八度之數)黄白距度表黄白距度表按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後為北緯六宫至八宫係中交後為南緯其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前為北緯九宫至十一宫係正交前為南緯其數同太隂距交實行在上六宫者用順度太陰距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縦横相遇即所求之距度也表分六限依距限相近者取用(黄白大距逐日不同故以朔朢時黄白大距四度五十八分三十秒與兩弦時黄白大距五度一十七分三十)(秒均分為六限各求其距緯列表每限大距相差三分有餘夫大距止差三分則距緯所差甚微可以不計故)(依距限相近者取用也)設距限為五度太陰距交實行為一宫五度求黄白距度則察大距四度五十八分三十秒黄白距度表(為與距限五度相近)一宫五度所對之數為二度五十一分零四秒即所求之黄白距度也若距交實行有零分者亦按中比例法求之黄白升度差表黄白升度差表亦按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交白道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之黄白升度差太陰距交實行在上六宫者用順度其號為減太陰距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設太陰距交實行為二宫六度求黄白升度差則察二宫六度所對之數為四分五十秒即所求之黄白升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之太陰地半徑差表太陰地半徑差表按太陰距地與地半徑比例數分十限列之(自距地五十三地半徑至距地六十二地半徑)表内度分秒即各限實髙度所生之地半徑差也用表之法如太陰距地五十三地半徑推得太陰實髙二十六度求地半徑差則察太陰距地五十三地半徑表實髙二十六度所對之數為五十八分四十七秒即所求之地半徑差與實髙二十六度相減餘二十五度零一分一十三秒為本時太陰之視髙也如先測得太陰視髙二十五度零一分一十三秒則以地半徑差五十八分四十七秒與視髙相加得二十六度為本時太陰之實髙也若髙度有零分者按中比例法求之太陰實行表太隂實行表亦按最髙最卑分順逆列之最髙後六宫列於上最卑後六宫列於下前後列引數度中列逐宫逐度之太陰實行(太陰實行者太陰一小時之實行也本輪心之行度為平行一小時恒為)(三十二分五十六秒二十八微而實行則有遲疾葢因均數時時不同故實行亦不同也其理與太陽實行同)太陰引數在上六宫者用順度太陰引數在下六宫者用逆度用表之法以引數之宫對引數之度其縦横相遇即所求之實行也設太陰引數為初宫二十四度求實行則察初宫二十四度所對之數為三十分二十五秒即所求之實行也(初宫在上故用順度)引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也御製厯象考成表卷二
## 表卷三上
欽定四庫全書製厯象考成表卷三上月離表二二三均數表上太隂二三均數表太隂二三均數表按引數及月距日分順逆列之引數初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後月距日宫度亦分順逆列於上下(引數初宫至五宫用上宫度六)(宫至十一宫用下宫度)中列逐宫逐度之二三均數其曲折界線乃加減所由分順度為減者遇界線則為上加下減順度為加者遇界線則為上減下加逆度為加者遇界線則為上加下減逆度為減者遇界線則為上減下加用表之法以太隂引數之宫度對月距日之宫度其縱横相遇即所求之二三均數也(凡月距日滿六宫者即減去六宫用其餘數)表以逐度為率若引數與月距日皆有零分者則用中比例三次求之設太隂引數一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分求二三均數則以引數一宫五度與月距日四宫一度所對之數三十五分五十七秒與下層引數一宫六度與月距日四宫一度所對之數三十七分五十五秒相減餘一分五十八秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十八秒化作一百一十八秒為二率設數二十分為三率求得四率三十九秒與引數一宫五度所對之數三十五分五十七秒相加(因六度之數大於五度之數故相加反是則相減也)得三十六分三十六秒為引數一宫五度二十分月距日四宫一度之二三均數又以引數一宫五度與月距日四宫二度所對之數三十四分二十八秒與下層引數一宫六度與月距日四宫二度所對之數三十六分二十四秒相減餘一分五十六秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十六秒化作一百一十六秒為二率設數二十分為三率求得四率三十八秒與引數一宫五度所對之數三十四分二十八秒相加得三十五分零六秒為引數一宫五度二十分月距日四宫二度之二三均數復以比例所得兩二三均數相減餘一分三十秒即月距日一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分三十秒化作九十秒為二率設數一十五分為三率求得四率二十三秒與比例所得月距日四宫一度之二三均數三十六分三十六秒相減(因二度之數小於一度之數故相減反是則相加也)餘三十六分一十三秒為所求引數一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分之二三均數其號為減即為減均也 又設太隂引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分求二三均數則以引數初宫一十三度與月距日三宫二十五度所對之數六秒與下層引數初宫一十四度與月距日三宫二十五度所對之數二分零五秒相減餘一分五十九秒為引數一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分五十九秒化作一百一十九秒為二率設數一十五分為三率求得四率三十秒與引數初宫一十三度所對之數六秒相加得三十六秒為引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度之二三均數是為減均又以引數初宫一十三度與月距日三宫二十六度所對之數五十八秒與下層引數初宫一十四度與月距日三宫二十六度所對之數一分相加得一分五十八秒為引數一度之較(因上)(層為加下層為減則其較為兩均之和故相加為引數一度之較)乃以一度化作六十分為一率較數一分五十八秒化作一百一十八秒為二率設數一十五分為三率求得四率三十秒與引數初宫一十三度所對之數五十八秒相減餘二十八秒為引數初宫一十三度月距日三宫二十六度之二三均數是為加均(因上層為加下層為減其所加之數漸小故相減餘為加均若不足減則於四)(率内反減之餘即為減均或上層為減下層為加其所減之數漸小亦相減餘為減均若不足減亦於四率内)(反減之餘即為加均)復以比例所得兩二三均數相加(因比例所得兩均數)(一為加一為減故相加若同號則相減)得一分零四秒即月距日一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一分零四秒化作六十四秒為二率設數四十分為三率求得四率四十三秒反減去比例所得月距日三宫二十五度之二三均數三十六秒餘七秒為所求引數初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分之二三均數即為加均也(因前數為減後數為加其所減之數漸小應相減餘為減均今不足減故於四率内)(反減之餘即為加均或前數為加後數為減其所加之數漸小亦相減餘為加均若不足減則於四率内反減)(之餘即為減均也察逆度上下前後反是)御製厯象考成表卷三上
## 表卷三中
欽定四庫全書御製厯象考成表卷三中月離表二二三均數表上御製厯象考成表卷三中
## 表卷三下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷三下月離表二三均數表御製厯象考成表卷三下
## 表卷四上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四上月離表三二三均數表下御製厯象考成表卷四上
## 表卷四中
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四中月離表三二三均數表下之二御製厯象考成表卷四中
## 表卷四下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷四下月離表三二三均數表下之三御製厯象考成表卷四下
## 表卷五
欽定四庫全書御製厯象考成表卷五交食表一首朔諸根表朔朢策表周日諸平行表月距日實行表黃白距度表視半徑表交食月行表首朔諸根表首朔諸根表以首朔及太陽平行太陽引數太隂引數太隂交周逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名首朔者乃逐年天正冬至後第一平朔距冬至次日子正之日時也(求逐年首朔法厯元甲子年朔應二十六日零九時一十四分)(四十七秒零二微零三纖即厯元甲子年首朔之數此後用加法以本年首朔之數加十二朔策三百五十四)(日零八時四十八分三十八秒四十九微二十一纖如本年為平年則減去三百六十五日餘為次年首朔之)(數如本年為閏年則減去三百六十六日餘為次年首朔之數若不足減則再加一朔策二十九日一十二時)(四十四分零三秒一十四微零七纖然後減之而本年即為有閏月也滿三十纖以上者進作一微不足三十)(纖者去之後倣此)太陽平行者乃逐年首朔太陽平行距丑宮初度之度分也(求逐年太陽平行法厯元甲子年首朔太陽平行應初宮二十六度二十分四)(十二秒五十六㣲三十四纖即厯元甲子年首朔太陽平行過冬至之數此後用加法如本年無閏月則加十)(二朔策之太陽平行十一宮一十九度一十六分五十一秒三十九微零八纖滿全周去之即得次年首朔太)(陽平行過冬至之數如本年有閏月則加十三朔策之太陽平行一周天外又一十八度二十三分一十五秒)(五十七微二十二纖即得次年首朔太陽平行過冬至之數)太陽引數者乃逐年首朔太陽自行距最卑之宮度也(求逐年太陽引數法厯元甲子年首朔太陽引)(數應初宮一十九度一十分二十七秒二十一微二十四纖即厯元甲子年首朔太陽自行過最卑之數此後)(用加法如本年無閏月則加十二朔策之太陽引數十一宮一十九度一十五分五十二秒一十八微二十三)(纖即得次年首朔太陽自行過最卑之數如本年有閏月則加十三朔策之太陽引數本輪一周外又一十八)(度二十二分一十一秒三十九微五十五纖即得次年首朔太陽自行過最卑之數)太隂引數者乃逐年首朔太隂自行距最髙之宮度也(求逐年太隂引數法厯元)(甲子年首朔太隂引數應九宮一十八度三十四分二十六秒一十六㣲二十二纖即厯元甲子年首朔太隂)(自行過最髙之數此後用加法如本年無閏月則加十二朔策之太隂引數本輪十二周外又十宮零九度四)(十八分零二秒五十八㣲五十九纖即得次年首朔太隂自行過最髙之數如本年有閏月則加十三朔策之)(太隂引數本輪十三周外又十一宮零五度三十七分零三秒一十三微五十四纖即得次年首朔太隂自行)(過最髙之數)太隂交周者乃逐年首朔太隂平行距正交之宮度也(求逐年太隂交周法厯元甲子年首朔太隂交周應六宮零三十分五十五秒一十四微一十)(六纖即厯元甲子年首朔太隂平行過正交之數此後用加法如本年無閏月則加十二朔策之太隂交周十)(三周天外又八度零二分四十八秒一十一㣲五十六纖即得次年首朔太隂平行過正交之數如本年有閏)(月則加十三朔策之太隂交周十四周天外又一宮零八度四十三分零二秒一十二㣲五十纖即得次年首)(朔太隂平行過正交之數)後列紀日値宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所値之宿也(與日躔表同但日躔表所列者為干支與宿之名此所列者為)(干支與宿之數干支以初日為甲子一日為乙丑宿以初日為角一日為亢俱依次順數之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之首朔諸根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其首朔為二十六日一十八時二十分零八秒其太陽平行為二十六度三十一分零五秒五十九微其太陽引數為初宮一十八度四十二分零六秒零一微其太隂引數為六宮零二度二十六分二十三秒零六微其太隂交周為六宮一十五度四十分四十三秒其紀日為二十七其値宿為二十五也朔朢策表朔朢策表以朔策朢策及太陽平行太陽引數太隂引數太隂交周逐月列之前用月數者自一月至十三月之月數也表名朔策者乃逐月平朔距首朔之日時(求逐)(月朔策法以朔策二十九日一十二時四十四分零三秒一十四微零七纖累加之即得逐月朔策)朢策者乃逐月平朢距首朔之日時也(求逐月朢策法以朢策一十四日一十八)(時二十二分零一秒三十七微零四纖與逐月朔策相加即得逐月朢策)太陽平行朔策者乃逐月平朔距首朔之太陽平行(求逐月太陽平行朔策法以太陽平行朔)(策二十九度零六分二十四秒一十八微一十六纖累加之即得逐月太陽平行朔策)太陽平行朢策者乃逐月平朢距首朔之太陽平行也(求逐月太陽平行朢)(策法以太陽平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微零八纖與逐月太陽平行朔策相加即得逐月)(太陽平行朢策)太陽引數太隂引數太隂交周皆倣此用表之法如求首朔後第五月之朔策則察本表月數五所對各朔策之數録之其朔策為一百四十七日一十五時四十分一十六秒其太陽平行朔策為四宮二十五度三十二分零一秒三十一微其太陽引數朔策為四宮二十五度三十一分三十六秒四十八微其太隂引數朔策為四宮零九度零五分零一秒一十五微其太隂交周朔策為五宮零三度二十一分一十秒零五微即所求首朔後第五月各朔策之數也求朢策倣此周日諸平行表周日諸平行表以一日内之時分秒遞降列之其法與日躔月離周日平行表同表名太陽平行者即逐時逐分逐秒之太陽平行也月距日者乃逐時逐分逐秒之太隂平行内減去太陽平行之數也太隂引數者乃逐時逐分逐秒之太隂自行也太隂交周者乃逐時逐分逐秒之交周平行也用表之法如求五時一十二分二十四秒之太陽平行則察五時所對之太陽平行為一十二分一十九秒一十二分所對之太陽平行為二十九秒三十四微二十四秒所對之太陽平行為五十九微零八纖合計三數得一十二分四十九秒三十三微零八纖即所求之太陽平行也又或有太陽平行一十二分四十九秒三十三微零八纖求時分秒則察太陽平行表内與一十二分四十九秒相近畧小之數為一十二分一十九秒其所對為五時乃以一十二分一十九秒與設數相減餘三十秒三十三微零八纖又察太陽平行表内與三十秒三十三微相近畧小之數為二十九秒三十四微其所對為一十二分又以二十九秒三十四微與餘數相減餘五十九微零八纖復察太陽平行表内與五十九微零八纖相近畧小之數餘數恰合其所對為二十四秒合計三次所得五時一十二分二十四秒即所求之時分秒也餘倣此月距日實行表月距日實行表亦按最髙最卑分順逆列之最髙後六宮列於上最卑後六宮列於下前後列引數度中列逐宮逐度之月距日實行(月距日實行者一小時月距日之實行也本輪心之行度為平)(行一小時恆為三十二分五十六秒二十八微内減太陽一小時之平行二分二十七秒五十一微餘三十分)(二十八秒三十七微為一小時月距日之平行然平行雖同而實行則有遲疾因有均數之加減故也求法與)(太陽實行同)太隂引數在上六宮者用順度太隂引數在下六宮者用逆度用表之法以引數之宮對引數之度其縱横相遇即所求之月距日實行也設太隂引數為初宮二十四度求月距日實行則察初宮二十四度所對之數為二十七分五十七秒即所求之月距日實行也(初宮在上故用順度)若引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也黃白距度表黃白距度表按兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後為北緯六宮至八宮係中交後為南緯其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前為北緯九宮至十一宮係正交前為南緯其數同太隂交周在上六宮者用順度太隂交周在下六宮者用逆度(此即月離黃白距度表六分之一乃朔朢時之大距專為交食之用故以)(十分遞析較月離加詳焉)用表之法以交周之宮對交周之度分其縱橫相遇即所求之距度也表以十分為率若交周有零分者按中比例法求之設太隂交周初宮三度二十五分求黃白距度則以交周初宮三度二十分所對之數一十七分二十秒與下層三十分所對之數一十八分一十二秒相減餘五十二秒為一十分之較乃以一十分為一率較數五十二秒為二率設數五分為三率求得四率二十六秒與初宮三度二十分之距度一十七分二十秒相加得一十七分四十六秒即所求之黃白距度也視半徑表視半徑表按引數宮度分順逆列之初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名日半徑者乃太陽自最卑至最髙逐度之半徑分秒也月半徑者乃太隂自最髙至最卑逐度之半徑分秒也月距地者乃太隂朔朢時自最髙至最卑距地之逺與地半徑比例之數也(太隂兩弦時距地最逺為地半徑之六十二倍有餘距地最近為地半徑之五十三)(倍有餘表為交食而作故止列朔朢時距地之數)影半徑者乃太陽在最髙所生之地影太隂自最髙至最卑所當影半徑之分秒也影差者乃太陽自最卑至最髙逐度所生之地影與太陽在最髙所生之地影相差之數也用表之法設太陽引數初宮五度太隂引數十一宮一十五度求各視半徑數則察太陽引數初宮五度與日半徑所對之數為一十五分三十二秒即所求之日半徑其與影差所對之數為三十五秒即所求之影差又察太隂引數十一宮一十五度與月半徑所對之數為一十五分五十四秒即所求之月半徑其與月距地所對之數為五十八倍又百分之一十二即所求之月距地其與影半徑所對之數為四十三分一十六秒即所求之影半徑也交食月行表交食月行表以兩徑和較及食甚距緯縱橫列之食甚距緯列於前兩徑和較列於上(兩徑和者太陽與太隂或太隂與地影兩半徑)(之和兩徑較者太隂與地影兩半徑之較日食惟用兩徑和月食十分以上兼用兩徑較)中列逐分初虧至食甚或食既至食甚之月行分秒(初虧至食甚與食甚至復)(圓同食既至食甚與食甚至生光同)其有空格者蓋兩徑之和大於距緯方有食小於距緯或僅與距緯等則不食即無月行分秒矣用表之法以兩徑和較之分對食甚距緯之分其縱橫相遇即所求之月行分秒如太陽太隂兩半徑之和三十二分食甚距緯一十二分求初虧至食甚之月行分秒則察兩徑和較三十二分與食甚距緯一十二分所對之數為二十九分四十秒即所求初虧至食甚之月行分秒又如太隂地影兩半徑之較三十分食甚距緯五分求食既至食甚之月行分秒則察兩徑和較三十分與食甚距緯五分所對之數為二十九分三十五秒即食既至食甚之月行分秒若距緯及兩徑和較皆有零秒者用中比例三次求之御製厯象考成表卷五
## 表卷六上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷六上交食表二黄平象限表上(自北極髙十六度度至北極髙二十二)黄平象限表黄平象限表自北極髙一十六度至北極髙四十六度按正午黄道宫度逐叚列之(三宫初度為春分故表從三宫初度起)表名春分距午者乃春分距午赤道度所變之時分秒也(每一)(度變時之四分每十五分變時之一分每十五秒變時之一秒春分距午宫度愈逺則所變時分愈多不因北)(極髙下而殊也)黄平象限者乃本時黄平象限之宫度也限距地髙者乃本時黄平象限距地平之髙度也其過天頂之南北則以界線分之蓋中國地面在赤道北黄道恒在天頂南自北極髙一十六度至北極髙二十三度正午黄道近夏至則黄道過天頂北夏至後復過天頂南故界線所分即南北差之加減所由辨也用表之法設京師北極髙四十度太陽黄道經度三宫一十五度合朔距午後二時零三分求春分距午時分及黄平象限宫度并限距地髙則察本表正午黄道三宫一十五度與春分距午相對之數為五十五分一十四秒與合朔距午後二時零三分相加得二時五十八分一十四秒為所求春分距午時分乃以二時五十八分一十四秒察春分距午時分相近者得二時五十八分零六秒其與黄平象限相對之數為四宫二十三度五十三分四十四秒即所求之黄平象限宫度其與限距地髙相對之數為六十七度五十七分零四秒即所求之限距地髙也御製厯象考成表卷六上
## 表卷六下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷六下交食表二黄平象限表上之二(自北極高二十三度至北極高三十度)御製厯象考成表卷六下
## 表卷七上
欽定四庫全書御製厯象考成表卷七上交食表三黄平象限表下(自北極高三十一度至北極高三十八度)御製厯象考成表卷七上
## 表卷七下
欽定四庫全書御製厯象考成表卷七下交食表三之二黄平象限表下之二(自北極高三十九度至北極高四十六度)御製厯象考成表卷七下
## 表卷八
欽定四庫全書御製厯象考成表卷八交食表四黄道髙弧交角表太陽髙弧表東西南北差表緯差角表黄道髙弧交角表黄道髙弧交角表以日距限及限距地髙縱横列之日距限自一度至九十度分三段列於前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列於上(每段一十度)中列逐度之黄道髙弧交角用表之法以日距限之度對限距地髙之度其縱横相遇即所求之黄道髙弧交角也設日距限三十度限距地髙二十五度求黄道髙弧交角則察日距限三十度與限距地髙二十五度所對之數為七十六度五十二分三十二秒即所求之黄道髙弧交角也若日距限及限距地髙皆有零分者用中比例三次求之太陽髙弧表太陽髙弧表亦以日距限及限距地髙縱横列之日距限自一度至九十度分三段列於前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列於上(每段一十度)中列逐度之太陽髙弧用表之法以日距限之度對限距地髙之度其縱横相遇即所求之太陽髙弧也設日距限六十一度限距地髙二十五度求太陽髙弧則察日距限六十一度與限距地髙二十五度所對之數為一十一度四十九分二十三秒即所求之太陽髙弧也若日距限及限距地髙皆有零分者亦用中比例三次求之東西南北差表東西南北差表以交角及髙下差分順逆列之交角自一度至四十五度順列於前自四十五度至八十九度逆列於後中按髙下差分數列逐度東西南北差之分秒順度用上東西南北差逆度用下東西南北差用表之法以髙下差之分對交角之度其縱横相遇即所求之東西南北差也設髙下差三分交角二十五度求東西南北差則察髙下差三分與交角二十五度所對之東西差為二分四十三秒即所求之東西差其南北差為一分一十六秒即所求之南北差也(交角為順度故用上)(東西南北差)若髙下差及交角皆有零分秒者用中比例三次求之緯差角表緯差角表以并徑及距緯縱横列之并徑自三十一分至六十四分列於前視緯自一分至六十四分列於上(太陽最小之半徑一十四分五十九秒三十微太陰最小之半徑一十五分五十三秒三十微兩半徑相并得)(三十分五十三秒太陰最大之半徑一十六分五十一秒地影最大之半徑四十六分四十八秒兩半徑相并)(得六十三分三十九秒故并徑自三十一分起至六十四分止)中列逐分之緯差角用表之法以并徑之分對距緯之分其縱横相遇即所求之緯差角也設并徑三十四分距緯三分求緯差角則察并徑三十四分與距緯三分所對之數為五度零三分四十四秒即所求之緯差角也若并徑及距緯有零秒者滿三十秒以上則進作一分不用中比例因逐分之緯差角雖有數度之差而定交食方位所差甚微故也御製厯象考成表卷八
## 表卷九
欽定四庫全書御製厯象考成表卷九土星表土星年根表土星周歲平行表土星周日平行表土星均數表土星升度差表土星距黄道表土星距地表土星年根表土星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正土星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至土星平行應七宫二十三度一十九分四十四秒五十五)(微即厯元甲子年土星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之土星平行一十)(二度一十三分三十九秒四十九微二十三纖一十一忽三十芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則加)(三百六十六日之土星平行一十二度一十五分四十秒二十五微三十一纖一十八忽三十六芒即得次年)(距冬至之數加滿十二宫者去之滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宫度也(求逐年最高行法厯元甲子年天正冬至最高應十一宫二十八度二十六分零六秒零五微即厯元甲子年)(最高過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之最高行一分二十秒零八微四十八纖)(三十二忽四十五芒即得次年最高過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最高行一分二十秒)(二十一微五十九纖零二忽零六芒即得次年最高過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交應六宫二十一度二十分五十七秒二十四微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之正交行四十一秒五十一微二十纖零五十七芒即得次年正交)(過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之正交行四十一秒五十八微一十二纖五十忽一十四芒)(即得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其距冬至為十一宫零八度一十七分零三秒三十七微其最高行為十一宫二十九度一十六分五十三秒三十八微其正交行為六宫二十一度四十七分二十八秒五十七微也土星周歲平行表土星周歲平行表以土星平行及最高行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃土星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(土星每日平行二分零三十六微零八纖零七忽零六芒累加之即得逐日平)(行之各數)最高行者乃土星本天自一日至三百六十六日之最高行各數也(最高每日行一十三微一十纖二十九忽二十一芒累加之即得逐日最)(高行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行六微五十二纖四十九忽一十九芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十八日之土星平行及最高行正交行則察本表日數二十八所對各數録之其平行為五十六分一十六秒五十二微即二十八日土星平行之共數其最高行為六秒零九微即二十八日最高行之共數其正交行為三秒一十三微即二十八日正交行之共數也土星周日平行表土星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則土星逐時逐分逐秒之平行數也(土星每日)(之平行用二十四時除之得五秒零一微三十纖二十忽一十八芒是為一時之平行累加之為逐時之平行)(逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為分秒微分之平行為秒微纖秒之平行為微纖忽)用表之法如求一十六時二十五分三十六秒之土星平行則察本表一十六時所對之數為一分二十秒二十四微二十五分所對之數為二秒零五微三十八纖三十六秒所對之數為三微零五十四忽合計三數得一分二十二秒三十二微三十八纖五十四忽即所求之土星平行也土星均數表土星均數表以引數宫度求初均及中分以星距日次引宫度求次均及較分初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者乃土星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宫逐度次輪心距地心與最高距地心之較為六十分中之㡬分也(求中分之法以土星次輪心在最髙距地心之一○五六九一七四與土星次輪心在最)(卑距地心之九四三○八二六相減餘一一三八三四八為一率六十分為二率逐宫逐度次輪心距地心與)(最高距地心相減餘為三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心在最高土星行次輪周逐宫逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宫逐度之次均與次輪心在最高逐宫逐度之次均相較之數也(求較分之法設次輪心在最卑求得逐宫逐度之次均數與次輪心在最高逐宫逐)(度之次均數相減即得)用表之法設土星引數為初宫四度一十分求初均及中分則察初宫四度一十分與初均所對之數為二十七分二十八秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為三秒即所求之中分也(初宫在上故用順度)又設星距日次引為十一宫二十五度求次均及較分則察十一宫二十五度與次均所對之數為二十六分五十五秒其號為減即所求之次均其與較分所對之數為二分五十五秒即所求之較分也(十一宫在下故用逆度)若引數或星距日次引有零分者按中比例法求之土星升度差表土星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度差土星距交實行在上六宫者用順度其號為減土星距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設土星距交實行為一宫八度求升度差則察一宫八度所對之數為一分三十七秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之土星距黄道表土星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)土星距交實行在上六宫者用順度土星距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設土星距交實行為初宫五度求星距黄道線則察初宫五度所對之數為三八二七○即所求之土星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之土星距地表土星距地表按星距日次引宫度分順逆列之初宫至五宫列於上六宫至十一宫列於下前後列星距日次引度中列逐宫逐度之星距地數(星距地者乃次輪心在中距土星行次輪)(周逐宫逐度之距地心線)土星距日次引在上六宫者用順度土星距日次引在下六宫者用逆度用表之法以星距日次引之宫對星距日次引之度其縱横相遇即所求之星距地心線也設土星距日次引為初宫一十二度求星距地心線則察初宫一十二度所對之數為一一○二一九四八即所求之星距地心線也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御製厯象考成表卷九
## 表卷十
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十木星表木星年根表木星周嵗平行表木星周日平行表木星均數表木星升度差表木星距黄道表木星距地表木星年根表木星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正木星平行距丑宮初度之宮度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至木星平行應八宮零九度一十三分一十三秒一十一微)(即厯元甲子年木星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之木星平行一宮零)(二十分三十九秒零八微零二忽三十五芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之木)(星平行一宮零二十五分三十八秒二十五微零七纖零六忽四十二芒即得次年距冬至之數加滿十二宮)(者去之滿三十纎以上者進作一微不足三十纎者去之後倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宮度也(求逐年最高行法厯元甲)(子年天正冬至最高應九宮零九度五十一分五十九秒二十七微即厯元甲子年最高過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之最高行五十七秒四十九微四十一纎五十忽一十七芒即得次)(年最高過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最高行五十七秒五十九微一十二纎一十一忽)(五十七芒即得次年最高過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宮度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交應六)(宮零七度二十一分四十九秒三十五微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之正交行一十三秒三十五微二十七纎三十二忽零五芒即得次年正交過冬至之數如本)(年為閏年則加三百六十六日之正交行一十三秒三十七微四十一纎三十四忽五十八芒即得次年正交)(過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為十宮二十三度零二分五十三秒四十九微其最高行為九宮一十度二十八分三十八秒二十微其正交行為六宮零七度三十分二十六秒二十二微也木星周歳平行表木星周歳平行表以木星平行及最高行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃木星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒累加之即得)(逐日平行之各數)最高行者乃木星本天自一日至三百六十六日之最高行各數也(最高每日行九微三十纎二十一忽四十芒累加之即得逐日)(最高行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行二微一十四纎零二忽五十三芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後二十六日之木星平行及最高行正交行則察本表日數二十六所對各數錄之其平行為二度零九分四十一秒二十五微即二十六日木星平行之共數其最高行為四秒零七微即二十六日最高行之共數其正交行為五十八微即二十六日正交行之共數也木星周日平行表木星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則木星逐時逐分逐秒之平行數也(木星每日)(之平行用二十四時除之得一十二秒二十八微一十二纎四十七忽四十芒是為一時之平行累加之為逐)(時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為分秒微分之平行為秒微纎秒之平行為微纎)(忽)用表之法如求一十五時二十四分三十六秒之木星平行則察本表一十五時所對之數為三分零七秒零三微二十四分所對之數為四秒五十九微一十七纎三十六秒所對之數為七微二十八纎五十六忽合計三數得三分一十二秒零九微四十五纎五十六忽即所求之木星平行也木星均數表木星均數表以引數宮度求初均及中分以星距日次引宮度求次均及較分初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名初均者乃木星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宮逐度次輪心距地心與最高距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以木星次輪心在最高距地心之一○四五七三四○與木星次輪心在最)(卑距地心之九五四二六六○相減餘九一四六八○為一率六十分為二率逐宮逐度次輪心距地心與最)(高距地心相減餘為三率求得四率即逐宮逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心在最高木星行次輪周逐宮逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宮逐度之次均與次輪心在最高逐宮逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設木星引數為初宮四度一十分求初均及中分則察初宮四度一十分與初均所對之數為二十二分四十七秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為四秒即所求之中分也(初宮在上故用順度)又設星距日次引為一宮五度二十分求次均及較分則察一宮五度二十分與次均所對之數為五度一十七分五十六秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為二十五分五十九秒即所求之較分也(一宮在上故用順度)若引數或星距日次引有零分者按中比例法求之木星升度差表木星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宮列於上兩交前六宮列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宮逐度之升度差木星距交實行在上六宮者用順度其號為減木星距交實行在下六宮者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宮對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設木星距交實行為一宮一十五度求升度差則察一宮一十五度所對之數為二十八秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之木星距黄道表木星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後在黄道北六宮至八宮係中交後在黄道南其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前在黄道北九宮至十一宮係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宮逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)木星距交實行在上六宮者用順度木星距交實行在下六宮者用逆度用表之法以距交實行之宮對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設木星距交實行為初宮八度求星距黄道線則察初宮八度所對之數為三二二四九即所求之木星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之木星距地表木星距地表按星距日次引宮度分順逆列之初宮至五宮列於上六宮至十一宮列於下前後列星距日次引度中列逐宮逐度之星距地數(星距地者乃次輪心在中距木星行次輪)(周逐宮逐度之距地心線)木星距日次引在上六宮者用順度木星距日次引在下六宮者用逆度用表之法以星距日次引之宮對星距日次引之度其縱横相遇即所求之星距地心線也設木星距日次引為初宮一十六度求星距地心線則察初宮一十六度所對之數為一一八六六六五九即所求之星距地心線也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御製厯象考成表卷十
## 表卷十一
欽定四庫全書御製厯象考成表巻十一火星表火星年根表火星周嵗平行表火星周日平行表火星均數表火星升度差表火星距黄道表火星地半徑差表火星年根表火星年根表以距冬至及最髙行正交行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正火星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至火星平行應二宫一十三度三十九分五十二秒一十五)(微即厯元甲子年火星平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之火星平行六宫)(一十一度一十七分一十四秒三十三微四十七纖零二忽四十芒即得次年距冬至之數如本年為閏年則)(加三百六十六日之火星平行六宫一十一度四十八分四十一秒一十三微五十九纖一十忽二十四芒即)(得次年距冬至之數加滿十二宫者去之滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙應八宫零三十三分一十一秒五十四微即厯元甲子年)(最髙過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之最髙行一分零六秒五十七微一十九)(纖五十六忽二十八芒即得次年最髙過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最髙行一分零七)(秒零八微二十纖一十九忽二十八芒即得次年最髙過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交應四宫一十七度五十一分五十四秒零七微即厯元甲子年正交過冬至之數此後用)(加法如本年為平年則加三百六十五日之正交行五十二秒五十四微五十三纖三十六忽零八芒即得次)(年正交過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之正交五十三秒零三微三十五纖三十忽零九芒)(卽得次年正交過冬至之數)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數録之其距冬至為四宫二十七度一十八分零五秒四十微其最髙行為八宫零一度一十五分三十七秒五十一微其正交行為四宫一十八度二十五分二十六秒一十一微也火星周嵗平行表火星周嵗平行表以火星平行及最髙行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃火星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纖零七忽四十四芒累加)(之即得逐日平行之各數)最髙行者乃火星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十一微零二十三忽累加之即得逐日最)(髙行之各數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各數也(正交每日行八微四十一纎五十四忽零一芒累加之即得逐日正交行之各數)用表之法如求冬至後三十一日之火星平行及最髙行正交行則察本表日數三十一所對之數録之其平行為一十六度一十四分四十六秒四十六微即三十一日火星平行之共數其最髙行為五秒四十一微即三十一日最髙行之共數其正交行為四秒三十微即三十一日正交行之共數也火星周日平行表火星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則火星逐時逐分逐秒之平行數也(火星每日)(之平行用二十四時除之得一分一十八秒三十六微四十纖三十忽一十九芒是為一時之平行累加之為)(逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纖秒之平行)(為秒微纖忽)用表之法如求一十八時三十二分四十五秒之火星平行則察本表一十八時所對之數為二十三分三十五秒三十二分所對之數為四十一秒五十五微三十四纖四十五秒所對之數為五十八微五十七纖三十忽合計三數得二十四分一十七秒五十四微三十一纖三十忽即所求之火星平行也火星均數表火星均數表按引數宫度分順逆列之初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者火星本輪均輪所生之均數也順度為減逆度為加次輪心距地數者乃次輪心自最髙至最卑逐宫逐度距地心之數也次輪半徑本數者乃火星最小次輪半徑與逐宫逐度本天髙卑差相加之數也(火星次輪半徑在本天最)(髙則大在本天最卑則小故以逐宫逐度之本天髙卑差與最小次輪半徑相加為次輪半徑本數)太陽髙卑差數者乃太陽髙卑所生火星次輪半徑之差數也(火星次輪半徑太陽在最髙時則大太陽在最卑時則小故以太陽引數求其逐宫逐度之差為太陽髙)(卑差數)用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之數也設火星引數為初宫四度五十分求初均及次輪心距地本天次輪半徑則察初宫四度五十分與初均所對之數為四十八分二十二秒其號為減即所求之初均其所對之次輪心距地數為一一一一○一二六即所求之次輪心距地其所對之次輪半徑本數為六五六○七八八即所求之本天次輪半徑也又設太陽引數為七宫二十度求太陽髙卑差則以太陽引數減六宫得一宫二十度(太陽引數過六宫者減六宫不及六宫者加六宫因)(太陽引數初宫起最卑此表初宫起最髙故也)察其所對之太陽髙卑差數為一九三○二八即所求之太陽髙卑差也若引數有零分者亦按中比例法求之火星升度差表火星升度差表按兩交前後分順逆列之兩交後六宫列於上兩交前六宫列於下前後列距交本道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度差火星距交實行在上六宫者用順度其號為減火星距交實行在下六宫者用逆度其號為加用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之升度差也設火星距交實行為一宫二十四度求升度差則察一宫二十四度所對之數為五十秒即所求之升度差其號為減是為減差也若距交實行有零分者亦按中比例法求之火星距黄道表火星距黄道表亦按兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪心距黄道之數)火星距交實行在上六宫者用順度火星距交實行在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縱横相遇即所求之星距黄道線也設火星距交實行為初宫一十二度求星距黄道線則察初宫一十二度所對之數為六六五一六即所求之火星距黄道線也若距交實行有零分者亦按中比例法求之火星地半徑差表火星地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(火星引數自十宫一十五度至一宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自四宫一十五度至七宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙度所生之地半徑差也用表之法如火星引數當最髙限推得實髙五十三度求地半徑差則察最髙限實髙五十三度所對之數為四十秒即所求之地半徑差與實髙五十三度相減餘五十二度五十九分二十秒為本時火星之視髙也如先測得火星視髙五十二度五十九分二十秒則以地半徑差四十秒與視髙相加得五十三度為本時火星之實髙也髙度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚微故也御製厯象考成表巻十一
## 表卷十二
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十二金星表金星年根表金星周歲平行表金星周日平行表金星均數表金星距黄道表金星距地表金星地半徑差表金星年根表金星年根表以距冬至及最髙行伏見行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正金星平行距丑宮初度之分秒也(金星平行與太陽平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宮度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最高應六宮零)(一度三十三分三十一秒零四微即厯元甲子年最高過冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百六)(十五日之最高行一分二十二秒五十三微四十一纖五十九忽三十三芒即得次年最高過冬至之數如本)(年為閏年則加三百六十六日之最高行一分二十三秒零七微一十九纎三十五忽一十三芒即得次年最)(高過冬至之數滿三十纖以上者進作一微不足三十纖者去之後倣此)伏見行者乃逐年天正冬至次日子正金星距次輪平逺之宮度也(求逐年伏)(見行法厯元甲子年天正冬至伏見應一十八度三十八分一十三秒零六微即厯元甲子年伏見行距平逺)(之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之伏見行七宮一十五度零一分三十二秒二十三微)(零一纎四十七忽四十芒即得次年伏見行距平逺之數如本年為閏年則加三百六十六日之伏見行七宮)(一十五度三十八分三十一秒四十八微五十四纖零四忽二十四芒即得次年伏見行距平逺之數加滿十)(二宮者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二微其最高行為六宮零二度二十六分零三秒零八微其伏見行為九宮二十五度零九分三十八秒三十四微也金星周歲平行表金星周歲平行表以金星平行及最髙行伏見行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃金星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也最髙行者乃金星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十三微三十七纖三十五忽四十芒)(累加之即得逐日最髙行之各數)伏見行者乃自一日至三百六十六日金星行次輪之各數也(伏見每日行三十六分五十九秒二十五微五十二纖一)(十六忽四十四芒累加之即得逐日伏見行之各數)用表之法如求冬至後二十八日之金星平行及最髙行伏見行則察本表日數二十八所對各數錄之其平行為二十七度三十五分五十三秒一十五微即二十八日金星平行之共數其最髙行為六秒二十二微即二十八日最髙行之共數其伏見行為一十七度一十五分四十四秒零四微即二十八日伏見行之共數也金星周日平行表金星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩段並與太陽平行同用表之法如求一十六時一十六分二十四秒之金星平行則察本表一十六時所對之數為二十四分三十九秒三十七微一十六分所對之數為二十四秒三十九微三十七纖二十四秒所對之數為三十六微五十九纖二十六忽合計三數得二十五分零四秒五十三微三十六纖二十六忽即所求之金星平行也金星均數表金星均數表以引數宮度求初均及中分以伏見實行宮度求次均及較分初宮至五宮依次順列於前六宮至十一宮依次逆列於後表名初均者乃金星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宮逐度次輪心距地心與最髙距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以金星次輪心在最髙距地心之一○一四三一一○與金星次輪心在最卑距)(地心之九八五六八九○相減餘二八六二二○為一率六十分為二率逐宮逐度次輪心距地心與最髙距)(地心相減餘為三率求得四率即逐宮逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心當最髙金星行次輪周逐宮逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宮逐度之次均與次輪心在最髙逐宮逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設金星引數為初宮一十一度二十分求初均及中分則察初宮一十一度二十分與初均所對之數為二十一分二十二秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為三十二秒即所求之中分也(初宮在上)(故用順度)又設伏見實行為二宮五度三十分求次均及較分則察二宮五度三十分與次均所對之數為二十六度三十四分五十三秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為三十分三十秒即所求之較分也(二宮)(在上故用順度)若引數或伏見實行有零分者按中比例法求之金星距黃道表金星距黄道表按次輪兩交前後分順逆列之兩交後之各宮列於上初宮至二宮係正交後在黃道北六宮至八宮係中交後在黃道南其數同兩交前之各宮列於下三宮至五宮係中交前在黃道北九宮至十一宮係正交前在黃道南其數同前後列距次交實行度中列逐宮逐度之星距黃道數(即次輪半徑與次緯正弦相比例之數)金星距次交實行在上六宮者用順度金星距次交實行在下六宮者用逆度用表之法以距次交實行之宮對距次交實行之度其縱橫相遇即所求之星距黃道線也設金星距次交實行為初宮一十六度求星距黃道線則察初宮一十六度所對之數為一二○九九六即所求之金星距黃道線也若距次交實行有零分者亦按中比例法求之金星距地表金星距地表以伏見實行宮度求星距地以引數宮度求距地差初宮至五宮列於上六宮至十一宮列於下前列順度後列逆度中列逐宮逐度之星距地及距地差(星距地者次輪心在最髙金星行次輪周逐宮逐度之距地心線距地差者乃金星次輪心自最髙至最)(卑逐宮逐度之距地心線與最高距地心線之較也)宮在上者用順度宮在下者用逆度用表之法設伏見實行為一宮二十度求星距地則察一宮二十度與星距地所對之數為一五七八八九一四即所求之星距地也又設金星引數為初宮一十八度求距地差則察初宮一十八度與距地差所對之數為六五一九即所求之距地差也若伏見實行或引數有零分者亦按中比例法求之金星地半徑差表金星地半徑差表分最高中距最卑三限列之其前列實高度(金星引數自十宮一十五度至一宮一十五度為最高限自一宮一十五度至四宮一十五度)(自七宮一十五度至十宮一十五度皆為中距限自四宮一十五度至七宮一十五度為最卑限)表内分秒即三限實高所生之地半徑差也用表之法如金星引數當中距限推得實高三十九度求地半徑差則察中距限實高三十九度所對之數為二分二十秒即所求之地半徑差與實高三十九度相減餘三十八度五十七分四十秒為本時金星之視高也如先測得金星視高三十八度五十七分四十秒則以地半徑差二分二十秒與視高相加得三十九度為本時金星之實高也高度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚微故也御製厯象考成表卷十二
## 表卷十三
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十三水星表水星年根表水星周嵗平行表水星周日平行表水星均數表水星距限表水星距黄道表水星距地表水星地半徑差表五星伏見距日黄道度表(附)五星伏見距日加減差表(附)水星年根表水星年根表以距冬至及最髙行伏見行逐年列之前用紀年者乃厯元後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正水星平行距丑宫初度之分秒也(水星平行亦與太陽平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙過冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙應十)(一宫零三度零三分五十四秒五十四㣲即厯元甲子年最髙過冬至之數此後用加法如本年為平年則加)(三百六十五日之最髙行一分四十五秒零九㣲四十八纎四十六忽五十六芒即得次年最髙過冬至之數)(如本年為閏年則加三百六十六日之最髙行一分四十五秒二十七微零六纎零四十二芒即得次年最髙)(過冬至之數滿三十纎以上者進作一㣲不足三十纎者去之後倣此)伏見行者乃逐年天正冬至次日子正水星距次輪平逺之宫度也(求逐年伏)(見行法厯元甲子年天正冬至伏見應十宫零一度一十三分一十一秒一十七㣲即厯元甲子年伏見行距)(平逺之數此後用加法如本年為平年則加三百六十五日之伏見行三周又一宮二十三度五十六分四十)(二秒三十一㣲五十三纎三十八忽五十芒即得次年伏見行距平逺之數如本年為閏年則加三百六十六)(日之伏見行三周又一宫二十七度零三分零六秒三十八㣲五十三纎零八忽一十二芒即得次年伏見行)(距平逺之數加滿十二宫者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根則察本表紀年自厯元甲子年後第一壬寅為所求之年乃視壬寅所對各數錄之其距冬至為八分一十八秒三十二㣲其最髙行為十一宫零四度一十分三十三秒四十三微其伏見行為七宫零九度零五分四十四秒三十二㣲也水星周嵗平行表水星周嵗平行表以水星平行及最髙行伏見行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃水星本輪自一日至三百六十六日之平行各數也最髙行者乃水星本天自一日至三百六十六日之最髙行各數也(最髙每日行一十七㣲一十七纎一十三忽四十六)(芒累加之即得逐日最髙行之各數)伏見行者乃自一日至三百六十六日水星行次輪之各數也(伏見行每日行三度零六分二十四秒零六㣲五十九纎)(二十九忽二十二芒累加之即得逐日伏見行之各數)用表之法如求冬至後二十九日之水星平行及最髙行伏見行則察本表日數二十九所對各數錄之其平行為二十八度三十五分零一秒三十五㣲即二十九日水星平行之共數其最髙行為八秒二十一㣲即二十九日最髙行之共數其伏見行為三宫零五分三十九秒二十三㣲即二十九日伏見行之共數也水星周日平行表水星周日平行表以一日内之時分秒遞降列之表分兩叚並與太陽平行同用表之法如求一十八時二十分三十二秒之水星平行則察本表一十八時所對之數為二度一十九分四十八秒零五㣲二十分所對之數為二分三十五秒二十㣲零六纎三十二秒所對之數為四秒零八㣲三十二纎零九忽合計三數得二度二十二分二十七秒三十三㣲三十八纎零九忽即所求之水星平行也水星均數表水星均數表以引數宫度求初均及中分以伏見實行宫度求次均及較分初宫至五宫依次順列於前六宫至十一宫依次逆列於後表名初均者乃水星本輪均輪所生之均數順度為減逆度為加中分者則逐宫逐度次輪心距地心與最髙距地心之較為六十分中之幾分也(求中分之法以水星次輪心在最髙距地心之一○六八二一五五與水星次輪心在最卑距)(地心之九五四七一○九相減餘一一三五○四六為一率六十分為二率逐宫逐度次輪心距地心與最髙)(距地心相減餘為三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次輪心距地心之法詳厯理求初均數篇)次均者乃次輪心當最髙水星行次輪周逐宫逐度之次均數順度為加逆度為減較分者則次輪心在最卑逐宫逐度之次均與次輪心在最髙逐宫逐度之次均相較之數也(求較分之法與土星同)用表之法設水星引數為初宫一十一度二十分求初均及中分則察初宫一十一度二十分與初均所對之數為二十一分四十三秒其號為減即所求之初均其與中分所對之數為一分零三秒即所求之中分也(初宫)(在上故用順度)又設伏見實行為二宫五度三十分求次均及較分則察二宫五度三十分與次均所對之數為一十五度五十五分二十七秒其號為加即所求之次均其與較分所對之數為一度三十一分四十秒即所求之較分也(二宫在上故用順度)若引數或伏見實行有零分者按中比例法求之水星距限表水星距限表按正交中交分順逆列之初宫至五宫為正交後列於上六宫至十一宫為中交後列於下水星距交實行在上六宫者用順度在下六宫者用逆度用表之法以距交實行之宫對距交實行之度其縦横相遇即所求之距限也表分南北兩限依星在黄道之南北取用(水星次輪面與黄道相交之角南北不同故分列兩表)設水星距交實行一宫二十二度星在黄道北則察黄道北距限表一宫二十二度所對之數為五度三十二分三十七秒即所求之距限也距交實行有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度交角所差甚㣲故也水星距黄道表水星距黄道表按次輪兩交前後分順逆列之兩交後之各宫列於上初宫至二宫係正交後在黄道北六宫至八宫係中交後在黄道南其數同兩交前之各宫列於下三宫至五宫係中交前在黄道北九宫至十一宫係正交前在黄道南其數同前後列距次交實行度中列逐宫逐度之星距黄道數(即次輪半徑與次緯正弦相比例之數)水星距次交實行在上六宫者用順度水星距次交實行在下六宫者用逆度用表之法以距次交實行之宫對距次交實行之度其縦横相遇即所求之星距黄道線也表分二十限依實交角相近者取用(水星次輪面與黄道相交之角逐度不同故以最小之交角四度五十五)(分三十二秒與最大之交角六度三十一分零二秒均分為二十限各求其星距黄道數列表每限交角相差)(五分夫交角止差五分則星距黄道數所差甚㣲可以不計故依實交角相近者取用也)設實交角五度零一分水星距次交實行為初宫二十二度求星距黄道線則察交角五度星距黄道表(為與實交角五度零一分相近)初宫二十二度所對之數為一二五六九九即所求之水星距黄道線也若距次交實行有零分者亦按中比例法求之水星距地表水星距地表以伏見實行宫度求星距地以引數宫度求距地差初宫至五宫列於上六宫至十一宫列於下前列順度後列逆度中列逐宫逐度之星距地及距地差(星距地者次輪心在最髙水星行次輪周逐宫逐度之距地心線距地差者乃水星次輪心自最髙至最)(卑逐宫逐度之距地心線與最髙距地心線之較也)宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法設水星伏見實行為初宫二十四度求星距地則察初宫二十四度與星距地所對之數為一四二八五三○六即所求之星距地也又設水星引數為一宫二十六度求距地差則察一宫二十六度與距地差所對之數為四○一二七八即所求之距地差也若伏見實行或引數有零分者亦按中比例法求之水星地半徑差表水星地半徑差表分最髙中距最卑三限列之其前列實髙度(水星引數自十宫一十五度至一宫一十五度為最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆為中距限自四宫一十五度至七宫一十五度為最卑限)表内分秒即三限實髙所生之地半徑差也用表之法如水星引數當最卑限推得實髙一十九度求地半徑差則察最卑限實髙一十九度所對之數為五分即所求之地半徑差與實髙一十九度相減餘一十八度五十五分為本時水星之視髙也如先測得水星視髙一十八度五十五分則以地半徑差五分與視髙相加得一十九度為本時水星之實髙也髙度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚㣲故也五星伏見距日黄道度表五星伏見距日黄道度表以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列於上三宫至五宫九宫至十一宫列於下前後分順逆列星之黄道度中列各星之距日黄道度分宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法求晨見晨不見用晨宫求夕見夕不見用夕宫設土星當晨見限度其黄道經度為初宫一十二度求距日黄道度則察晨初宫一十二度與土星所對之數為一十七度一十一分即所求之距日黄道度也星經度有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度距日黄道度所差甚㣲故也五星伏見距日加減差表五星伏見距日加減差表亦以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列於上三宫至五宫九宫至十一宫列於下前後分順逆列星之黄道度中列各星黄道南北自一度至八度之距日加減差宫在上者用順度宫在下者用逆度南緯為加北緯為減用表之法求晨見晨不見用晨宫求夕見夕不見用夕宫設土星當夕不見限度其黄道經度為六宫二十四度緯度在黄道北二度求距日加減差則察夕六宫二十四度與緯二度所對之數為二度四十三分即所求之距日加減差其緯度在北即為減差也星經度有零分者滿三十分以上則進作一度緯度有零分者用中比例求之御製歴象考成表卷十三
## 表卷十四
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十四恒星表恒星黄道經緯度表恒星赤道經緯度表恒星赤道經緯度歲差表凌犯恒星黄道經緯度表恒星黄道經緯度表恒星黃道經緯度表以厯元康熙二十三年甲子之黃道經緯度列之上列星名次列黃道經度次列黃道緯度下列星等用表之法設康熙甲子年日躔黃道初宮八度求黃道宿度則察恒星黃道經緯度表斗宿第一星黃道經度為初宮五度五十分(取相近畧小者用)與日躔黃道經度相減餘二度一十分即太陽入斗宿二度一十分也若求厯元後各年之黃道宿度則以所求之年距厯元若干年與歲差五十一秒相乘得數加於各宿黃道經度然後與諸曜黃道經度相減餘即為諸曜黃道宿度也恒星赤道經緯度表恒星赤道經緯度表亦以厯元康熙二十三年甲子之赤道經緯度列之上列星名次列赤道經度次列赤道緯度下列星等用表之法設康熙甲子年月離赤道一宮二度四十分求赤道宿度則察恒星赤道經度表牛宿第一星赤道經度為一宮初度五十一分(取相近畧小者用)與月離赤道經度相減餘一度四十九分即太陰入牛宿一度四十九分也若求厯元後各年之赤道宿度則以所求之年距厯元若干年與各星每年赤道歲差之數相乘(察赤道歲)(差表)得數加於各星赤道經度然後與諸曜赤道經度相減餘即為諸曜赤道宿度也恒星赤道經緯度歲差表恒星赤道經緯度歲差表以各星每年應加減之數列之上列星名次列經度歲差次列緯度歲差用表之法設康熙六十一年壬寅求斗宿第一星赤道經緯度則以壬寅年距厯元甲子年三十八年與斗宿經度歲差加五十七秒零八微相乘得三十六分一十一秒零四微即赤道經度應加之數與厯元甲子年斗宿第一星赤道經度初宮六度三十三分相加得初宮七度零九分一十一秒零四微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道經度也又以三十八年與斗宿一星緯度歲差減二秒二十五微相乘得一分三十一秒五十微即赤道緯度應減之數與厯元甲子年斗宿第一星赤道緯度南二十七度一十二分相減餘二十七度一十分二十八秒一十微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道南緯度也凌犯恒星黃道經緯度表凌犯恒星黃道經緯度表取黃道南北十度以内之恒星黃道經緯度列之葢七政出入黃道不過十度故列十度以内之恒星為取凌犯之用其經度皆以厯元康熙二十三年甲子為定若求厯元後各年之凌犯須依法每年加歲差五十一秒推之用表之法設本日太陰黃道經度申宮八度二十分次日太陰黃道經度申宮二十度三十一分緯度在黃道南二度一十分則察本表内自參旗第一星黃道經度五宮九度零三分起至天關星黃道經度五宮二十度二十二分止皆為本日太陰所經厯之星乃察其間各星緯度惟天高第一星緯度在黃道南一度五十分與太陰緯度相減餘二十分即為本日太陰犯天高第一星太陰在下相離二十分(太陰在星之南故為下)又天關星緯度在黄道南二度一十四分與太陰緯度相減餘四分即為本日太陰凌天關星太陰在上四分也(太陰在星之北故為上)其餘諸星雖與太陰有經度相同之時(求時刻詳本法)而緯度之南北相去甚遠不得相凌犯矣御製厯象考成表卷十四
## 表卷十五
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十五黄赤經緯互推表上黄道緯北初度至十度黄赤經緯互推表黄赤經緯互推表以黄道經度與赤道經緯度按黄道緯度之南北逐段列之黄道北初度與黄道南初度皆正當黄道無距緯其赤道經度即黄赤升度其赤道緯度即黄赤距緯而距黄道南北有緯度者則赤道經緯逐度不同故以黄道北與黄道南分為上下二卷自黄道北初度至黄道北十度自黄道南初度至黄道南十度又各分為十段(月五星距黄道皆在十度以内)中列相當之赤道經緯度分用表之法按黄道緯度之南北察黄道經度其所對之數即所求之赤道經緯度也表以逐度為率若經緯度俱有零分者用中比例三次求之設黄道經度初宮一十二度二十分黄道北緯度一度二十四分求其相當之赤道經緯度則察本表黄道經度初宮一十二度與黄道緯北一度所對之赤道經度為一十二度五十七分零六秒與下層黄道經度初宮一十三度與黄道緯北一度所對之赤道經度一十四度零一分三十秒相減餘一度零四分二十四秒為黄經一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一度零四分二十四秒化作三千八百六十四秒為二率設數二十分為三率求得四率一千二百八十八秒收作二十一分二十八秒與初宮一十二度所對之赤道經度一十二度五十七分零六秒相加(因十三度之數大於十二度之數故相加反是則相減也)得一十三度一十八分三十四秒為黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北一度之赤道經度又察黄道經度初宮一十二度與黄道緯北二度所對之赤道經度為一十二度五十一分二十二秒與下層黄道經度初宮一十三度與黄道緯北二度所對之赤道經度一十三度五十五分一十七秒相減餘一度零三分五十五秒為黄經一度之較乃以一度化作六十分為一率較數一度零三分五十五秒化作三千八百三十五秒為二率設數二十分為三率求得四率一千二百七十八秒收作二十一分一十八秒與初宮一十二度所對之赤道經度一十二度五十一分二十二秒相加得一十三度一十二分四十秒為黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北二度之赤道經度復以比例所得之兩赤道經度相減餘五分五十四秒為黄緯一度之較乃以一度化作六十分為一率較數五分五十四秒化作三百五十四秒為二率設數二十四分為三率求得四率一百四十二秒收作二分二十二秒與緯北一度之赤道經度一十三度一十八分三十四秒相減(因二度之數小於一度之數故)(相減反是則相加也)餘一十三度一十六分一十二秒即所求黄道經度初宮一十二度二十分黄道緯北一度二十四分相當之赤道經度也求赤道緯度倣此御製厯象考成表卷十五
## 表卷十六
欽定四庫全書御製厯象考成表卷十六黄赤經緯互推表下黄道緯南初度至十度御製厯象考成表卷十六◆ 《御製歷象考成後編-清-》（KR3f0019）
## 目錄
欽定四庫全書 子部六
御製厯象考成後編目録 天文算法類一(推步之屬)卷一日躔數理卷二月離數理卷三交食數理卷四日躔歩法月離歩法卷五月食歩法卷六日食歩法卷七
## 提要
日躔表卷八月離表上卷九月離表下卷十交食表(臣)等謹案御定厯象考成後編十卷乾隆二年奉勅撰新法算書推步法數皆仍西史第谷之舊其圖表之參差觧説之隠晦者聖祖仁皇帝厯象考成上下二編研精闡微窮究理數固己極一時推步之精示萬世修明之法矣第測驗漸久而漸精算術亦愈變而愈巧自康熙中西洋噶西尼法蘭徳等出又新製墜子表以定時千里鏡以測逺以發第谷未盡之義大端有三其一謂太陽地半徑差舊定為三分今測止有十秒葢日天半徑甚逺測量所係秪在秒微又有䝉氣雜乎其内最為難定因思日月星之在天惟恒星無地半徑差若以日星相較可得其凖而日星不能兩見是測日不如測五星也土木二星在日上地半徑差愈微金水二星雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之同與恒星相較其距恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有地半徑差其不等之數即兩處地半經差之較且火星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差以比例算之必更小于火星地半徑差也其一謂清䝉氣差舊定地平上為三十四分髙四十五度止有五秒今測地平上止三十二分髙四十五度尚有五十九秒其説謂䝉氣繞乎地球之周日月星照乎䝉氣之外人在地面為䝉氣所映必能視之使髙而日月星之光線入乎䝉氣之中必反折之使下故光線與視線在䝉氣之内則合而為一䝉氣之外則岐而為二所岐雖有不同而相合則有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為䝉氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成一角二角相減即得䝉氣差角也其一謂日月五星之本天舊説為平圓今以為〔？〕圓兩端徑長両腰徑短葢太陽之行有盈縮由於本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行縮而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一為不同心天一為本輪而不同心天之两心差即本輪之半徑故二者名雖異而理則同也第谷用本輪推盈縮差惟中距與實測合而最髙最卑前後則差因用均輪以消息之然天行不能無差刻白爾以來屢加精測又以均輪所推髙卑前後漸有㣲差乃設本天為撱圓均分撱圓而積為逐日平行之度則卑卑之理既與舊説無異而髙卑前後盈縮之行乃俱與實測相符也據此三者則第谷舊法經緯俱有微差雍正八年六月朔日食以新法較之纎微宻合是以世宗憲皇帝特允監臣戴進賢之請命脩日躔月離二表續於厯象考成之後然有表無説亦無推算之法吏部尚書顧琮恐久而失𫝊奏請増修表觧圖説仰請睿裁垂諸永久凡新法與舊不同之處始抉剔底藴闡發無餘而其理仍與聖祖仁皇帝御製上下二編若合符節益足見聖聖相承先後同揆矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷一日躔數理日躔總論嵗實黄赤距緯清蒙氣差地半徑差用撱圓面積為平行求兩心差及撱圓與平圓之比例求撱圓大小徑之中率撱圓角度與面積相求求均數日躔總論欽若授時以日躔為首務蓋日出而為晝入而為夜與月㑹而為朔行天一周而為嵗嵗月日皆於是乎紀故堯典以賓餞永短定治厯之大經萬世莫能易也其推步之法三代以上不可考漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四限較前代為密西法自多禄畝以至第谷則立為本天髙卑本輪均輪諸説用三角形推算其術尤精上編言之備矣近世西人刻白爾噶西尼等更相推考又以本天為撱圓均分其面積為平行度與舊法逈殊然以求盈縮之數則界乎本輪均輪所得數之間盖其法之巧合雖若與第谷不同而其理則猶是本天髙卑之説也至若嵗實之轉増距緯與兩心差之漸近地半徑差蒙氣差之互為大小則亦由於積候損益舊數以成一家之言今用其法並釋其義云嵗實日行天一周為嵗周嵗之日分為嵗實古法日行一度故周天為三百六十五度四分度之一嵗實為三百六十五日四分日之一(周日為一萬分四分之一為二千五百分)堯典曰朞三百有六旬有六日杜預謂舉全數而言則有六日其實五日四分日之一是也漢末劉洪始覺冬至後天以為嵗實太强減嵗餘分二千五百為二千四百六十二晉虞喜宋何承天祖沖之謂嵗當有差乃損嵗餘以益天周嵗差之法由斯而立元郭守敬取劉宋大明戊寅以來相距之積日時刻求得嵗實為三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一減七十五分而天周即為三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定嵗實為三百六十五日五時三刻三分四十五秒以周日一萬分通之得三百六十五日二四二一八七五較之郭守敬又減萬分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纖五十一忽三十九芒(即十分度之九分八五六四七三六)(五八)嵗差則謂恒星每年東行五十一秒不特天自為天嵗自為嵗而星又自為星其理甚明其用尤便上編仍之厥後西人奈端等屢測嵗實又謂第谷所減太過酌定嵗實為三百六十五日五時三刻三分五十七秒四十一微三十八纖二忽二十六芒五十六塵以周日一萬分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多萬分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纖四十三忽二十二芒零三塵(即十分度之九分八五六四六九六九三)(五一二八二二五)比第谷所定少五纖有竒每年少三十微有竒盖嵗實之分數増則日行之分數減據今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷舊表遲二刻日躔平行根比舊表少一分一十四秒(見推日躔用數)而第谷去今一百四十餘年以數計之其差恰合是亦取前後兩冬至相距之積日時刻而均分之非意為増損也至於嵗實消長統天授時用之新法算書雖為之説而實未用其數兹不具論黄赤距緯黄赤距緯古今所測不同自漢以來皆謂黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所測為二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之得三十三度三十三分三十二秒新法算書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒康熙五十二年皇祖聖祖仁皇帝命和碩荘親王等率同儒臣於暢春園蒙養齋開局測太陽髙度得黄赤大距為二十三度二十九分三十秒今監臣戴進賢等厯考西史第谷所測盖在明隆萬時而漢時多禄畝所測為二十三度五十一分三十秒較第谷為多我朝順治年間刻白爾改為二十三度三十分後利酌理噶西尼又改為二十三度二十九分俱較第谷為少其前後多少之故或謂諸家所用蒙氣差地半徑差之數各有不同故所定距緯亦異然合中西考之第谷以前未知有蒙氣差而多禄畝與古為近至郭守敬則與第谷相若而去多禄畝則有十數分之多康熙年間所用蒙氣差地半徑差俱仍第谷之舊與刻白爾噶西尼等所用之數不同而所測大距又相去不逺由此觀之則黄赤距度古今實有不同而非由於所用差數之異所當隨時考測以合天也近日西法並宗噶西尼故黄赤大距為二十三度二十九分至於測量之術推算之理上編闡奥發微千古不易故不復載清蒙氣差清蒙氣差西人第谷始發其義謂地中遊氣上騰能升卑為髙映小為大而蒙氣之厚薄升像之髙下又隨地不同其所作蒙氣差表謂其國北極出地五十五度測得地平上最大蒙氣差三十四分自地平以上其差漸少至距地髙四十五度猶差五秒更髙則無蒙氣矣厥後西人又言北極髙四十八度太陽髙四十五度時蒙氣差尚有一分餘自地平至天頂皆有蒙氣差上編具載其説而表則仍新法算書第谷之舊也今監臣戴進賢等厯考西史第谷所定地平上蒙氣差其門人刻白爾即謂失之稍大而猶未定有確數至噶西尼始從而改正焉其説謂蒙氣繞乎地球之周日月星照乎蒙氣之外人在地面為蒙氣所映必能視之使髙而日月星之光線入乎蒙氣之中必反折之使下故光線與視線在蒙氣之内則合而為一蒙氣之外則岐而為二此二線所交之角即為蒙氣差角第谷己悟其理然猶未有算術噶西尼反覆精求謂視線與光線所岐雖有不同而相合則有定處自地心過所合處作線抵圜周則此線即為蒙氣之割線視線與割線成一角光線與割線亦成一角二角相減即得蒙氣差角爰在北極出地髙四十四度處屢加精測得地平上最大差為三十二分一十九秒蒙氣之厚為地半徑千萬分之六千零九十五視線角與光線角正弦之比例常如一千萬與一千萬零二千八百四十一用是以推逐度之蒙氣差至八十九度尚有一秒驗諸實測較第谷為密近日西法並宗之具詳圖法於左如圖甲為地心乙為地面乙甲為地半徑一千萬丙乙為蒙氣之厚六千零九十五丁為太陽(月星倣此)照於蒙氣之戊人自地面乙視之則見日於戊者當本天之巳巳戊乙為視線丁戊乙為光線是視線常髙光線常卑視線常直光線常折在戊㸃蒙氣之内則光線與視線合同為戊乙出乎戊㸃之外則視線己戊光線丁戊岐而為二故己戊丁角為蒙氣差角試自地心甲出線過戊㸃至庚則庚甲即為地平上蒙氣之割線己戊庚角為視線與割線所成之角丁戊庚角為光線與割線所成之角而己戊丁蒙氣差角即為兩角之較今既測得地平上蒙氣差為三十二分一十九秒又測定蒙氣之厚為六千零九十五則己戊庚視線角與丁戊庚光線角可以得其比例其術用甲乙戊直角三角形以甲戊一○○○六○九五與甲乙一千萬之比同於乙直角正弦一千萬與戊角正弦九九九三九○八(小餘七一)之比而得戊角為八十八度(小餘百分秒之四二)即己戊庚角又以己戊丁蒙氣差角三十二分一十九秒與之相加得八十八度三十二分一十九秒(小餘四二)即丁戊庚角其正弦為九九九六七四八(小餘二五)夫視線角之正弦己辛為九九九三九○八(小餘七一)則光線角之正弦丁壬為九九九六七四八(小餘二五)若設己辛為一千萬則丁壬必為一○○○二八四一此兩角正弦之比例也既得兩弦之比例而蒙氣差之戊角與視線交蒙氣割線之戊角同以在地平為最大漸近天頂則漸小則是二者常相因而逐度之蒙氣差皆可以兩弦比例而推如求地平上髙二十度癸己弧之蒙氣差則癸戊乙為視線子戊乙為光線丑戊甲為地平上二十度蒙氣之割線戊乙丙角為七十度癸戊丑角為視線與割線所成之角其正弦為癸寅子戊丑角為光線與割線所成之角其正弦為子卯先用甲戊乙三角形求得戊角六十九度五十四分一十五秒(小餘五五)即癸戊丑角又以一千萬與一○○○二八四一之比同於癸寅與子卯之比而得子戊丑角為六十九度五十六分五十五秒(小餘九二)兩角相減餘癸戊子角二分四十秒(小餘三七)即地平上二十度之蒙氣差也餘倣此地半徑差地半徑差者視髙與實髙之差也太陽距地平近則差角大漸髙則漸小又太陽在最卑距地心近則差角大在最髙距地心逺則差角小在中距為適中新法算書用歌白尼所定地半徑與中距日天半徑之比例為一與一千一百四十二地平上最大差為三分上編仍之其測量推算之法言之詳矣自後噶西尼等謂日天半徑甚逺無地半徑差而測量所係只在秒微又有蒙氣雜乎其内最為難定因思日月星之在天惟恒星無地半徑差若以日與恒星相較可得其準而日星不能兩見是測日不如測五星也土木二星在日上去地尤逺地半徑差愈微金水二星雖有時在日下而其行繞日逼近日光均為難測惟火星繞日而亦繞地能與太陽衝故夜半時火星正當子午線於南北兩處測之同與一恒星相較其距恒星若相等則是無地半徑差若相距不等即為有地半徑差其不等之數即兩處地半徑差之較且火星衝太陽時其距地較太陽為近則太陽地半徑差必更小於火星地半徑差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半徑差為二十五秒比例得太陽在中距時地平上最大地半徑差為一十秒驗之交食果為脗合近日西法並宗其説今用所定地半徑差求地半徑與日天半徑之比例中距為一與二萬零六百二十六最髙為一與二萬零九百七十五最卑為一與二萬零二百七十七以求地平上最大之地半徑差最髙為九秒五十微最卑為一十秒一十微測算之法並述於左康熙十一年壬子秋分前十四日火星與太陽衝西人噶西尼於富郎濟亞國測得火星距天頂五十九度四十分一十五秒利實爾於噶耶那島測得火星距天頂一十五度四十七分五秒同時用有千里鏡能測秒微之儀器與子午線上最近一恒星測其相距噶西尼所測火星較低一十五秒(如噶西尼測得火星距恒星下)(四十分一十五秒利實爾測得火星距恒星下四十)(分又逐日細測恒星距天頂噶西尼測得為五十九)(度利實爾測得為一十五度七分五秒各與所測火)(星距恒星之數相加即各得火星距天頂之度)以之立法甲為地心乙為富郎濟亞國地面丙為天頂丁為噶耶那島地面戊為天頂己為火星丙戊己庚為子午線(如兩地面不同在一子午線則)(須按東西里差求其同一子午線之髙度見上編日)(躔厯理)己乙丙角為乙處火星視距天頂五十九度四十分一十五秒己丁戊角為丁處火星視距天頂一十五度四十七分五秒(地面)(為視距地心為實距)辛為恒星辛甲丙角為乙處恒星距天頂之度辛甲戊角為丁處恒星距天頂之度因恒星距地甚逺地面所視與地心無異故無地半徑差假若火星亦無地半徑差則乙處火星實距天頂當為己甲丙角丁處火星實距天頂當為己甲戊角而火星與恒星之相距即同為己甲辛角無髙低之異乃乙處所測火星距天頂為己乙丙角較之實距天頂之己甲丙角低一乙己甲角是即乙處之地半徑差也丁處所測火星距天頂為己丁戊角較之實距天頂之己甲戊角低一丁己甲角是即丁處之地半徑差也夫火星之距恒星一也因乙處所測火星距天頂逺故乙己甲差角大丁處所測火星距天頂近故丁己甲差角小則乙處所測火星距恒星較丁處低一十五秒即兩差角相減所餘之丁己乙角乃兩處地半徑差之較也既得地半徑差較丁己乙角而欲求地平上最大差甲壬乙角則以兩處所測火星距天頂之正弦相減與地半徑差較秒數之比即同於半徑一千萬與地平上最大差秒數之比盖将己乙線引長至癸自甲作甲癸垂線成甲癸乙直角形癸為直角乙角與己乙丙為對角即乙處火星距天頂之度甲癸為地半徑差乙己甲角之正弦(甲己為半徑故)甲乙為地半徑即最大差甲壬乙角之正弦(甲壬為半徑故)其法為乙角正弦與甲癸之比同於癸直角正弦一千萬與甲乙之比檢表而得壬角也又将己丁線引長至子自甲作甲子垂線成甲子丁直角形子為直角丁角與己丁戊為對角即丁處火星距天頂之度甲子為地半徑差丁己甲角之正弦甲丁與甲乙等亦為最大差甲壬乙角之正弦其法為丁角正弦與甲子之比同於子直角正弦一千萬與甲丁之比亦檢表而得壬角也夫兩視距天頂之正弦與兩地半徑差正弦之比既皆同於一千萬與最大差正弦之比則兩視距天頂正弦相減之較與兩地半徑差正弦相減之較之比亦必同於一千萬與最大差正弦之比又地半徑差角甚小其兩正弦之較與兩角度之較可以相為比例則兩視距天頂正弦相減之較與兩地半徑差相減所餘秒數之比亦必同於一千萬與最大差秒數之比矣故以己乙丙角五十九度四十分一十五秒之正弦八六三一三八六與己丁戊角一十五度四十七分五秒之正弦二七二○二三六相減餘五九一一一五○為一率乙己丁角一十五秒為二率一千萬為三率求得四率二十五秒(小餘三七)即甲壬乙角為火星在地平上最大之地半徑差也既得火星地半徑差甲壬乙角而欲求太陽地半徑差甲丑乙角據歌白尼第谷測得火星距地甲壬與太陽距地甲丑之比如一百與二百六十六其法當先用甲乙壬形以乙角正弦為一率甲壬為二率壬角正弦為三率甲乙為四率此第一比例也次用甲乙丑形以甲丑為一率乙角正弦為二率甲乙為三率丑角正弦為四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而一率四率相乗原與二率三率相乗之數等故即以甲丑二六六為一率甲壬一○○為二率壬角二十五秒(小餘三七)為三率求得四率九秒(小餘五三)進為一十秒為丑角度(因壬)(丑二角甚小正弦與角度可以相為比例故壬角用)(秒丑角亦得秒)即太陽在地平上最大之地半徑差也又按上編日躔求地半徑差法以兩處恒星距天頂相減餘四十三度五十二分五十五秒為戊丙弧即戊甲丙角先用乙甲丁三角形甲乙甲丁二邊俱命為一千萬以甲角折半之正弦倍之得七四七三○二三為乙丁邊又以甲角與半周相減餘數半之得六十八度三分三十二秒三十微為乙角亦即丁角次用乙己丁三角形此形有乙丁邊有己乙丁角五十二度一十六分一十二秒三十微(半周内減去甲乙丁角又減去)(己乙丙角餘即己乙丁角)有己丁乙角一百二十七度四十三分三十二秒三十微(半周内減去甲)(丁乙角加己丁戊角即己丁乙角)有乙己丁角一十五秒(乙丁二角相併與半)(周相減餘即己角與前地半徑差較合)求得己丁邊八一二七五一二五一五四(小餘二九)次用己丁甲三角形此形有甲丁邊有丁己邊有丁外角一十五度四十七分五秒(即丁處火)(星距天頂)将己丁線引長至子成甲子丁直角形丁角正弦二七二○二三六(小餘五)即甲子邊丁角餘弦九六二二九○六即丁子邊以丁子與己丁相加得己子八一二八四七四八○六○(小餘二九)為股甲子為勾求得弦八一二八四七四八一一二為甲己邊與甲壬等即火星距地心數以地半徑較之其比例為一與八千一百二十八又以甲壬為一率甲乙為二率一千萬為三率求得四率一二三○(小餘二四)為壬角之正弦檢表得二十五秒(小餘三七)為火星在地平上最大差與前法所得數同(上編求日纒地)(半徑差亦可用前法算但兩處所測太陽一在天頂)(南一在天頂北其差角為地半徑差總當以兩距天)(頂之正弦相加與地半徑差總秒數之比同於一千)(萬與地平上最大差秒數之比耳)用撱圓面積為平行太陽之行有盈縮由於本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行縮而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一為不同心天一為本輪而不同心天之兩心差即本輪之半徑故二者名雖異而理則同也第谷用本輪以推盈縮差惟中距與實測合最髙前後則失之小最卑前後則失之大又最髙之髙於本天半徑最卑之卑於本天半徑者非兩心差之全數而止及其半故又用均輪以消息乎其間而後髙卑之數盈縮之行與當時實測相合上編言之詳矣然天行不能無差元郭守敬定盈縮之最大差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分新法算書第谷所定之最大差為二度零三分一十一秒刻白爾以來屢加精測盈縮之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈縮差最髙前後本輪固失之小矣均輪又失之大最卑前後本輪固失之大矣均輪又失之小乃設本天為撱圓均分撱圓面積為逐日平行之度則髙卑之理既與舊説無異而髙卑前後盈縮之行乃俱與今測相符具詳圖説如左如圖甲為地心乙丙丁戊為黄道己為不同心天之心庚辛壬癸為不同心天乙庚為本輪半徑與甲己兩心差等以本輪之法論之最卑時本輪心在乙太陽在庚中距時本輪心在丙太陽在辛乙丙為平行九十度辛甲丙角為平行實行之最大差以不同心天之法論之太陽自最卑庚行至辛亦九十度己辛甲角為平行實行之最大差與辛甲丙角等故本輪之法與不同心天之法相同以均輪之法論之最卑時本輪心在乙均輪心在子太陽在丑中距時本輪心在丙均輪心在卯太陽在辛最髙時本輪心在丁均輪心在辰太陽在巳辛甲丙角最大差仍當甲己之全而丑乙之卑於本天半徑巳丁之髙於本天半徑者止及甲己之半與甲寅等故以推盈縮差惟中距與本輪同最髙半周比之本輪則大(距地近故角大)最卑半周比之本輪則小(距地逺故)(角小)此其所以消息乎本輪之行度者當時必有所據而自刻白尔以來則謂髙卑之數均輪所定誠是但其數漸減耳至以推盈縮差則均輪之所消息者又屬太過惟以寅為不同心天之心作撱圓形自地心甲𤓰分之計太陽在撱圓周右旋其所行之分撱圓面積日日皆相等而用以推黄道實行之盈縮則在本輪均輪所得數之間而與實測脗合試以寅為心與己丑作十字線又取寅丑之度從甲截横線於午使午甲午己皆與寅丑半徑等乃以甲己兩㸃各為心午為界各用一針釘之圍以絲線末以鉛筆代午針引而旋轉即成丑午己未撱圓形寅丑寅己為撱圓大半徑寅午寅未為撱圓小半徑則撱圓不以甲己為心而以寅為心丑乙之卑於黄道巳丁之髙於黄道者止及甲己之半與寅甲等是髙卑之理與均輪合矣又将撱圓面積以甲為心均分為三百六十分每分之積皆為一度每一度積為六十分太陽每日右旋當每一度積之五十九分有竒是為平行在最卑半周甲心至撱圓界之線短則角度必寛是為行盈在最髙半周甲心至撱圓界之線長則角度必狹是為行縮故太陽循撱圓周行惟所當之面積相等而角不等其角度與積度之較即平行實行之差中距平行至申甲申丑積為撱圓四分之一為平行九十度與寅午丑積等(申午)(酉積微大于酉寅甲積然所差無多故為相等)亦與申己甲角等而自地心甲計之己當黄道之戌戌甲丑角為實行己申甲角為平行實行之差是中距之盈縮差與本輪均輪皆合矣用是以推逐度之盈縮差在最髙半周比之本輪固大比之均輪又微小最卑半周比之本輪固小比之均輪又微大驗諸實測庶為近之推算之法具詳後篇求兩心差及撱圓與平圓之比例新法算書日躔中距之盈縮差為二度零三分零九秒四十微檢其正切得兩心差為三五八四一六上編仍之今測中距之盈縮差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒檢其正弦得一六九○○○為兩心差倍之得三三八○○○比舊數少千分之二有竒乃以兩心差一六九○○○為勾平圓半徑一千萬為弦求得股九九九八五七一(小餘八四)(八○一九一)即撱圓之小半徑而凡撱圓之正弦角度面積與平圓之比例皆同於撱圓之小半徑與平圓半徑之比例焉如圖甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差甲丙為倍差丁戊己庚撱圓為本天乙丁為大半徑一午萬乙戊為小半徑丙戊甲戊皆與乙丁等太陽行至戊甲戊丁分撱圓面積八十九度一分五十四秒為平行其小於九十度之五十八分六秒即甲乙戊勾股積(乙戊丁積為撱圓四分之一必九十度故甲戊)(丁積小於九十度之積即甲乙戊勾股積)亦即乙戊甲角(甲乙戊勾股積甲戊邊即大徑)(乙戊邊即小徑其積介乎大小徑之間與分平圓面)(相似故積度即角度若近甲丁則邊短而角大近甲)(己則邊長而角小詳後篇)戊甲丁角九十度五十八分零六秒為實行其大於九十度者亦五十八分六秒即戊甲辛角與乙戊甲角等亦與丙戊乙角等平行實行之差一度五十六分一十二秒即甲戊丙角折半得五十八分零六秒即乙戊甲角甲戊既為一千萬則甲乙即乙戊甲角之正弦故檢表得一六九○○○即甲乙兩心差以甲乙為勾甲戊為弦求得乙戊股九九九八五七一(小餘八四八○一九一)即撱圓小半徑也既得撱圓小徑則凡撱圓之面線及角度皆可以得其比例以正弦之比例言之試以乙為心乙丁為半徑作丁壬己癸平圓則撱圓乙丁大半徑與平圓乙壬半徑相等戊乙小半徑之小於平圓半徑者即壬戊撱圓差若逐度割之則撱圓之餘弦必與平圓之餘弦相等而撱圓之正弦必小於平圓之正弦然平圓正弦與撱圓正弦之比例必同於平圓半徑與撱圓小半徑之比例也如丁㸃為初度無正弦丁乙為初度之餘弦平圓與撱圓等丁壬弧為九十度無餘弦壬乙為平圓九十度之正弦即大半徑戊乙為撱圓九十度之正弦即小半徑壬戊即九十度之撱圓差丁子弧為三十度丑乙為三十度之餘弦平圓與撱圓等子丑為平圓三十度之正弦寅丑為撱圓三十度之正弦子寅為三十度之撱圓差丁卯弧為六十度辰乙為六十度之餘弦平圓與撱圓等卯辰為平圓六十度之正弦巳辰為撱圓六十度之正弦卯巳為六十度之撱圓差則子丑與寅丑之比卯辰與巳辰之比皆同於壬乙與戊乙之比而子丑與子寅之比卯辰與卯巳之比皆同於壬乙與壬戊之比也奚以明其然也盖撱圓之與平圓處處皆有一小半徑藏乎其内試取壬戊之分於乙心作圜則午乙未乙申乙酉乙皆與壬戊等壬午卯未子申丁酉皆與戊乙等是推而抵於平圓之界各有一小半徑在也又自甲丙二㸃出線合於戊則小徑之端在戊而末在乙自甲丙二㸃出線合於丁則小徑之端在丁而末在酉若自甲丙出二線合於寅則小徑必端在寅而末在戌合於巳則小徑必端在巳而末在亥是引而歸於平圓之徑又各有一小半徑在也夫寅戌巳亥既皆為小徑而申戌未亥又與子丑卯辰為平行則寅戌與子申巳亥與卯未亦必為平行而申戌與子寅未亥與卯巳必各相等故乙子丑與戌寅丑及乙申戌為同式形乙卯辰與亥巳辰及乙未亥亦為同式形而子丑與寅丑之比同於子乙(即壬乙)與寅戌(即戊乙)之比卯辰與巳辰之比同於卯乙(即壬乙)與巳亥(即戊乙)之比又子丑與申戌(即子寅)之比同於子乙(即壬乙)與申乙(即壬戊)之比卯辰與未亥(即卯)(巳)之比同於卯乙(即壬乙)與未乙(即壬戊)之比是平圓與撱圓正弦之比例同於大徑與小徑之比例也以角度之比例言之設卯乙辰角為平圓六十度(即丁卯弧)求撱圓之巳乙辰角試以乙辰為半徑作弧則卯辰為卯乙辰角之正切巳辰為巳乙辰角之正切夫卯辰與巳辰之比既同於壬乙與戊乙之比則卯乙辰角之正切與巳乙辰角正切之比亦必同於壬乙與戊乙之比故以壬乙一千萬為一率戊乙九九九八五七一(小餘八五)為二率卯乙辰角六十度之正切一七三二○五○八為三率求得四率一七三一八○三四為巳乙辰角之正切檢表得五十九度五十九分四十七秒即巳乙辰角而卯乙巳角一十三秒為撱圓差角(卯乙辰角内減巳乙辰角餘即卯乙巳角)又設巳甲辰角六十度五十分三十二秒求卯甲辰角試以甲辰為半徑作弧則巳辰為巳甲辰角之正切卯辰為卯甲辰角之正切夫卯辰與巳辰之比既同於壬乙與戊乙之比則巳辰與卯辰之比必同於戊乙與壬乙之比而巳甲辰角之正切與卯甲辰角正切之比亦必同於戊乙與壬乙之比故以戊乙九九九八五七一(小餘八五)為一率壬乙一千萬為二率巳甲辰角之正切一七九二三八九七為三率求得四率一七九二六四五七為卯甲辰角之正切檢表得六十度五十分四十五秒即卯甲辰角而卯甲巳角一十三秒為撱圓差角是平圓與撱圓角度之比例亦同於大徑與小徑之比例也再以面積之比例言之凡平圓面積與撱圓面積之比例同於平圓外切正方面積與撱圓外切長方面積之比例亦即同於撱圓大徑與小徑之比例(撱圓大徑即平圓徑見幾何原本八卷第十二節)如求撱圓六十度之面積則先設丁卯弧六十度求乙卯丁六十度之平圓面積以比之法以半周率三一四一五九二六五(定率圓徑)(一千萬則圓周為三一四一五九二六五今一千萬)(為半徑故周率為半周)用三分之得一○四七一九七五五為卯丁弧線(因卯丁弧六十度為半周三分)(之一故三分半周率而得卯丁弧線若有竒零則須)(用比例法)與乙卯半徑一千萬相乗折半得五二三五九八七七五○○○○○即乙卯丁分平圓六十度之面積而為丁壬己癸平圓全積六分之一又以壬乙大半徑一千萬為一率戊乙小半徑九九九八五七一(小餘八五)為二率乙卯丁積為三率求得四率五二三五二三九九七二四○九五即乙己丁分撱圓六十度之面積而為丁戊己庚撱圓全積六分之一也(此所)(得六十度積較之全積六分之一尾數稍大因小徑)(之小餘為八四八進為八五之故然於圓度只差纎)(忽可不計也)蓋将平圓撱圓二面積依壬癸横徑縷析之則皆成線矣其線與線之比既同於大徑與小徑之比則面與面之比亦同於大徑與小徑之比故分之丁卯辰弧矢積與丁巳辰弧矢積之比卯辰乙勾股積與巳辰乙勾股積之比皆同於大徑與小徑之比而合之乙卯丁分平圓面積與乙巳丁分撱圓面積之比亦必同於大徑與小徑之比也既得撱圓與平圓之各比例則面線角度皆可得而求至於撱圓正弦以平圓命度而角度不同分撱圓面積與全積相當而角不相應則撱圓差之所生而與平圓之所以别也求撱圓大小徑之中率凡平圓面積自中心分之其所分面積之度即其心角之度以圜界為心角之規而半徑俱相等也若撱圓有大小徑角與積巳不相應矣(見前篇)况實行之角平行之積皆不以本天心為心而以地心為心太陽距地心線自最卑以漸而長逐度俱不等又何以知積之為度而與角相較乎然以大小徑之中率作平圓其面積與撱圓等将平圓面積逐度遞析之則度分秒皆可按積而稽撱圓之全積既與平圓全積等則其遞析之面積亦必相等故分撱圓面積雖非度亦可以度命之而度分秒亦可按積而稽也如圖甲為地心乙為本天心乙甲為兩心差丙甲為倍差丁戊己庚撱圓為本天乙丁為大半徑一千萬乙戊為小半徑九九九八五七一(小餘八四八○一九一)試以乙丁大半徑作丁辛己壬平圓則平圓與撱圓二面積之比例同於平圓外切癸子丑寅正方積與撱圓外切卯辰巳午長方積之比例又試以乙丁大半徑為首率乙戊小半徑為末率求得乙申中率九九九九二八五(小餘八九)作平圓則大半徑所作丁辛己壬平圓與中率所作申酉戌亥平圓二面積之比例亦同於大徑平圓外切癸子丑寅正方積與中率平圓外切乾坎艮震正方積之比例此二比例既同而乾坎艮震正方積原與卯辰巳午長方積等(首率末率相乘與中率自)(乗等)則申酉戌亥平圓積亦必與丁戊己庚撱圓積相等矣乃以己丁大徑二千萬與戊庚小徑一九九九七一四三(小餘六九六○三八二)相乗得卯辰巳午長方積與乾坎艮震正方積等以方與圓之比例定率七八五三九八一六二五通之得三一四一一四三九八二八二三三七為申酉戌亥平圓面積與丁戊己庚撱圓面積等将申酉戌亥平圓面積以三百六十度除之得八七二五三九九九五二二九為一度之面積其形為分平圓面其兩腰皆為中率半徑與乙申等其弧其角皆為一度若将丁戊己庚撱圓面積自甲心亦平分為三百六十分則其形為分撱圓面其兩腰自甲丁極短以漸而長逐度俱不等其弧其角亦不等然其每分之面積則皆與一度之面積等故凡分一段撱圓面積以一度之面積為法而一則面積即可以度分命之然後以面積之度與角度相較而平行實行之差出焉如以甲為心以中率為半徑作平圓則甲巽丁分撱圓面積為太陽距最卑後之平行度與甲離申分平圓面積等亦即與離甲申角等巽甲離角為平行實行之差其實行在平行前甲坤己分撱圓面積為太陽距最髙後之平行度與甲兑戌分平圓面積等亦即與兑甲戌角等兑甲坤角為平行實行之差其實行在平行後也撱圓角度與面積相求前篇言以面積之度與角度相較而平行實行之差以出盖太陽距最卑後平行之度必與太陽距地心線所分之撱圓面積等故可以平行度為面積而求實行也然實行固角度也以實測言之則先得實行後求平行以角而求積也易以推歩言之則先設平行後求實行以積而求角也難故先設以角求積之法可以知數理之實次設以積求角之法可以知比例之術次設借積求積借角求角之法可以知巧合補凑之方反覆參稽而數之離合乃纖悉畢呈焉圖説詳著於左先設以角求積法如圖甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差丙甲為倍差丁戊己庚為本天丁為最卑己為最髙設太陽在辛辛甲丁角為實行距最卑後六十度求甲辛丁分撱圓面積平行若干度分先将甲辛線引長至壬作丙壬垂線成甲丙壬辛丙壬兩勾股形乃以半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八六六○二五四為二率(丙甲壬角與辛甲丁角為對角其度相等)丙甲倍兩心差三三八○○○為三率求得四率二九二七一六(小餘五九)為丙壬邊又以半徑一千萬為一率甲角六十度之餘弦五○○○○○○為二率丙甲邊為三率求得四率一六九○○○為甲壬邊次以丙壬為勾自乗以甲壬與甲辛丙辛兩邊和二千萬相加得二○一六九○○○為股弦和除之得四二四八(小餘二五)為股弦較與股弦和相加折半得一○○八六六二四(小餘一三)為丙辛邊與二千萬相減餘九九一三三七五(小餘八七)為甲辛邊即太陽距地心線次以半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八六六○二五四為二率甲辛邊為三率求得四率八五八五二三五(小餘三○)即辛癸邊次以撱圓小徑九九九八五七一(小餘八五)為一率大徑一千萬為二率辛癸邊為三率求得四率八五八六四六一(小餘五八)即子癸邊檢正弦得五十九度九分五十三秒(小餘六九)即乙角度亦即子丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四萬八千秒為一率半圓周定率三一四一五九二六(小餘)(五)為二率乙角度分化作二十一萬二千九百九十三秒(小餘六九)為三率求得四率一○三二六二二五(小餘)(四七八四○○九)為子丁弧線與乙丁半徑一千萬相乗折半得五一六三一一二七三九二○○五為乙子丁分平圓面積次以撱圓大徑一千萬為一率小徑九九九八五七一(小餘八五)為二率乙子丁積為三率求得四率五一六二三七五三六九二五四六為乙辛丁分撱圓面積次以乙甲一六九○○○與辛癸八五八五二三五(小餘三○)相乗折半得七二五四五二八八二八五○為辛乙甲三角積(辛乙甲三角積以乙甲為底辛癸為髙故與同)(底同髙折半之積等)與乙辛丁積相減餘五○八九八三○○八○九六九六即甲辛丁分撱圓面積以一度之面積定率八七二五三九九九五二二九除之得五十八度三三三四(小餘八七)收作五十八度二十分○秒三十三微即實行距最卑後六十度時之平行度也又法求甲辛太陽距地心線将甲辛線引長至壬使辛壬與丙辛等又自丙至壬作丙壬線成甲丙壬三角形此形知丙甲倍兩心差三三八○○○知甲壬二千萬(甲辛丙辛共二千萬辛壬既與丙辛)(等故甲壬亦二千萬)知甲外角六十度用切線分外角法求得壬角四十九分五十三秒(小餘三六)又求得丙壬邊二○一七一○八○(小餘二九)次将丙壬邊折半於癸作辛癸垂線成壬癸辛直角形以半徑一千萬為一率壬角正割線一○○○一○五三(小餘三五)為二率癸壬邊一○○八五五四○(小餘一四五)為三率求得四率一○○八六六○二(小餘六一)為辛壬邊與甲壬二千萬相減餘九九一三三九七(小餘三九)即甲辛太陽距地心線也此法所得甲辛線較前法多二十二盖因壬角甚小比例易差耳然其角度自不爽故後借角求角之法則用之且以甲為心以二千萬為半徑作圜(如甲壬)又取兩心差之倍度截直徑於丙自丙出線至圜周(如丙壬)折半作垂線(如癸辛)所抵圜徑之㸃即撱圓界(如辛㸃)依法逐度作㸃連之即成撱圓周以此發明撱圓之理最為精巧故附於此又設太陽在壬壬甲己角為實行距最髙後六十度求甲壬己分撱圓面積平行若干度分則以半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八六六○二五四為二率丙甲三三八○○○為三率求得四率二九二七一六(小餘五九)為丙癸垂線又以半徑一千萬為一率甲角六十度之餘弦五○○○○○○為二率丙甲邊為三率求得四率一六九○○○為甲癸分邊次以丙癸為勾自乘以甲癸與甲壬丙壬兩邊和二千萬相減餘一九八三一○○○為股弦和除之得四三二○(小餘六六)為股弦較與股弦和相加折半得九九一七六六○(小餘三三)為丙壬邊與二千萬相減餘一○○八二三三九(小餘六七)為甲壬邊即太陽距地心線次以半徑一千萬為一率甲角六十度之正弦八六六○二五四為二率甲壬邊為三率求得四率八七三一五六二(小餘二五)即壬子邊次以撱圓小徑九九九八五七一(小餘八五)為一率大徑一千萬為二率壬子邊為三率求得四率八七三二八○九(小餘四二)即丑子邊檢正弦得六十度五十分三十一秒(小餘八三)即乙角度亦即己丑弧度次以半周天一百八十度化作六十四萬八千秒為一率半周率三一四一五九二六(小餘)(五)為二率乙角度分化作二十一萬九千零三十一秒(小餘八三)為三率求得四率一○六一八九六二(小餘七六)(六一一一九)為已丑弧線與已乙半徑一千萬相乗折半得五三○九四八一三八三○五五九為乙丑已分平圓面積次以撱圓大徑一千萬為一率小徑九九九八五七一(小餘八五)為二率乙丑己積為三率求得四率五三○八七二三一○九四七二二為乙壬已分撱圓面積次以甲乙一六九○○○與壬子八七三一五六二(小餘二五)相乗折半得七三七八一七○一○一二五為壬乙甲三角積與乙壬己積相加得五三八二五○四八一○四八四七即甲壬己分撱圓面積以一度之面積定率八七二五三九九九五二二九除之得六十一度六八七七(小餘七二)收作六十一度四十一分一十五秒五十八微即實行距最髙後六十度時之平行度也若設平行求實行亦可以所得之平行轉相比例然必累求累較方得恰合(一率兩設平行)(較二率兩設實行較三率今設平行較四率今求實)(行較)法屬繁難故兹不載次設以積求角之法如太陽在辛甲辛丁分撱圓面積為平行距最卑後一度求甲角實行若干度分法以甲丁最卑距地心九八三一○○○(乙丁一千萬減甲乙兩心)(差一六九○○○餘甲丁)自乗得九六六四八五六一○○○○○○為一率中率半徑九九九九二八六自乗得九九九八五七一八四八○一九一(即大徑與小徑相乗之數)為二率甲辛丁一度之面積八七二五三九九九五二二九為三率求得四率九○二六六七七四二○○三以一度之面積八七二五三九九九五二二九除之得一度二分四秒(小餘三○)為甲角度即平行距最卑後一度時之實行度也盖以甲為心以中率為半徑作弧将甲丁線引長至壬甲辛線引長至癸則甲壬甲癸皆為中率甲壬癸分平圓面積與一度之面積為比例即得甲角而甲辛丁分撱圓面與甲壬癸分平圓面為同式形(甲辛長於甲丁然為)(數無多故為同式形)以甲丁自乗正方積與甲壬自乗正方積之比即同於甲辛丁積與甲壬癸積之比(凡同式形兩面積之)(比同於相當界所作正方形之比見幾何原本八卷)(第九節)故先比例得甲壬癸積以一度之面積除之而得甲角也(捷法以甲丁自乗方積除甲壬)(自乗方積即得甲角盖以一度面積為三率與二率)(相乗又以一度面積除今省一乗則并省一除也)又如太陽在子甲子丁分撱圓面積為平行距最卑後二度求子甲丁角實行若干度分則先求平行距最卑後一度時日距地心之甲辛線将甲辛線引長至丑自丙作丙丑垂線成甲丑丙辛丑丙兩勾股形以半徑一千萬為一率甲角一度二分四秒(小餘三○)之正弦一八○五四九(小餘五五)為二率甲丙邊三三八○○○為三率求得四率六一○二(小餘五七)為丙丑邊又以半徑一千萬為一率甲角一度二分四秒(小餘三○)之餘弦九九九八三七○(小餘)(一三)為二率甲丙邊為三率求得四率三三七九四四(小餘九一)為甲丑邊乃以丙丑為勾自乗以甲丑與丙辛甲辛兩邊和二千萬相加得二○三三七九四四(小餘)(九一)為股弦和除之得一(小餘)(八三)為股弦較與股弦和相加折半得一○一六八九七三(小餘三七)為辛丙弦與丙辛甲辛兩邊和二千萬相減餘九八三一○二六(小餘)(六三)為甲辛日距地心線次以甲辛子形與甲癸寅形為比例以甲辛邊自乗得九六六四九○八四五九九七六九為一率甲癸中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一為二率甲子辛一度之面積八七二五三九九九五二二九為三率求得四率九○二六六二八五一七六九為甲癸寅分平圓面積以一度之面積除之得一度二分四秒(小餘二八)即癸甲寅角與先得之癸甲壬角一度二分四秒(小餘三○)相加得二度四分八秒(小餘五八)為子甲丁角即平行距最卑後二度時之實行度也此所求之實行用求積法反求之少半秒强因日距地心線自最卑丁以漸而長中距戊為適中至最髙巳而止今所用一率微小故所得四率微大若每分遞算自得密合然須逐一先求日距地心線若積度多者則須合前法而兼用之故又設後法次設借積求積之法如平行距最卑後四十五度求實行若干度分先從本天心設辛乙丁角為四十五度則乙壬丁積即為分撱圓四十五度之面積三九二六四二九九七八五二九二(将撱圓全積八分之得乙壬丁積數)求得壬乙丁角為四十四度五十九分四十五秒(小餘二七)(法見前)次與乙壬平行作丙癸線使丙角與壬乙丁角等自甲至癸作甲癸線此甲癸線所截甲癸丁分撱圓面積若與乙壬丁積等則癸甲丁角即為平行距最卑後四十五度之實行度乃用甲丙癸三角形求癸甲丁角以半徑一千萬為一率丙角正弦七○七○五六二(小餘七六)為二率甲丙三三八○○○為三率求得四率二三八九八五(小餘○二)為甲子垂線又以半徑一千萬為一率丙角餘弦七○七一五七二(小餘七七)為二率甲丙邊為三率求得四率二三九○一九(小餘)(一六)為丙子分邊次以甲子為勾自乗以丙子與丙癸甲癸兩邊和二千萬相減餘一九七六○九八○(小餘)(八四)為股弦和除之得二八九○(小餘二三)為股弦較與股弦和相加得一九七六三八七一(小餘○七)折半得九八八一九三五(小餘五四)為甲癸邊次以甲癸邊為一率甲子垂線為二率半徑一千萬為三率求得四率二四一八四○(小餘二九)檢正弦得一度二十三分八秒(小餘七九)即癸角度與丙角相加得四十六度二十二分五十四秒(小餘○六)即癸甲丁角度(用切線分外角法得數較捷因癸角度小比例得甲)(癸線難得確凖故用垂線法)然甲癸線所截甲癸丁分撱圓面積比所設乙壬丁四十五度之面積小一甲乙丑積與寅壬癸積等(甲癸丁積比乙壬丁積多)(一卯壬癸積少一甲乙卯積而甲乙與寅癸等甲卯)(與卯癸等乙卯與卯寅等卯壬與卯丑等故甲乙卯)(積與寅癸卯積等卯壬癸積與卯甲丑積等以多補)(少尚少一甲乙丑積與寅壬癸積相等也)乃用前角求積法以半徑一千萬為一率甲角四十六度二十二分五十四秒(小餘○六)之正弦七二三九五一三(小餘六○)為二率甲癸邊為三率求得四率七一五四○四○(小餘六七)即癸辰邊次以撱圓小半徑九九九八五七一(小餘八五)為一率大半徑一千萬為二率癸辰邊為三率求得四率七一五五○六二(小餘五二)即己辰邊檢正弦得四十五度四十一分四秒(小餘九四)即巳乙丁角度亦即巳丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四萬八千秒為一率半周率三一四一五九二六(小餘五)為二率巳丁弧度分化作一十六萬四千四百六十四秒(小餘九四)為三率求得四率七九七三四八五(小餘二八八三七四八)為巳丁弧線與半徑一千萬相乗折半得三九八六七四二六四四一八七四為乙巳丁分平圓面積次以撱圓大半徑一千萬為一率小半徑九九九八五七一(小餘八五)為二率乙巳丁分平圓面積為三率求得四率三九八六一七三二七七五三六七為乙癸丁分撱圓面積内減所設乙壬丁分撱圓四十五度之面積餘五九七四三二九九○○七五為乙癸壬積次以癸辰邊七一五四○四○(小餘六七)與癸寅邊一六九○○○相乗折半得六○四五一六四三六六一五為乙癸寅積内減乙癸壬積餘七○八三四四六五四○為寅壬癸積與甲乙丑積等即甲癸丁積小於乙壬丁積之較(或於乙癸丁積内先減甲乙癸積得甲癸)(丁積再與乙壬丁積相減得數亦同)夫甲癸丁積既小於乙壬丁積則是甲癸丁積不足四十五度而平行距最卑後四十五度時太陽必仍在癸㸃之前如午則甲癸午積與寅壬癸積等甲午丁為分撱圓四十五度之面積與乙壬丁積等實行午甲丁角比癸甲丁角尚大一午甲癸角乃用前積求角法将甲癸線引長至未甲午線引長至申甲未甲申皆為中率半徑成甲未申分平圓面與甲癸午為同式形以甲癸自乗得九七六五二六五○○一六七一五為一率甲未中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一為二率甲癸午積七○八三四四六五四○為三率求得四率七二五二六八○七一六為甲未申積以撱圓一秒之面積二四二三七二二二一除之得二十九秒(小餘九二)為未甲申角(即癸甲午角)與癸甲丁角四十六度二十二分五十四秒(小餘○六)相加得四十六度二十三分二十三秒(小餘九八)為午甲丁角即平行距最卑後四十五度時之實行度也此法乃合前二法而兼用之而午甲癸角止三十秒甲癸甲午二線相差無多得數為密其所以先設辛乙丁角為四十五度乙壬丁積為四十五度而求壬乙丁角以為丙角者第借積以比其大小耳究之撱圓面積逐度皆有成數原不待求且先求壬乙丁角為丙角而求甲癸丁積又與所設之乙壬丁積相差不逺則併先求壬乙丁角亦屬可省詳後法又法逕設丙角為四十五度依前法求得甲癸線九八八一九四四(小餘二八)癸甲丁角四十六度二十三分九秒(小餘一四)甲癸丁積三九二六○七九四六七九三四八與四十五度撱圓積三九二六四二九九七八五二九二相減餘三五○五一○五九四四為甲癸丁積小於四十五度平行積之較即知平行四十五度時太陽在癸㸃之前如午乃以甲癸自乘得九七六五二八二二七五三○二五為一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一為二率積較為三率(即甲癸午積)求得四率三五八八八四一八四一為甲未申分平圓面積以一秒之面積二四二三七二二二一除之得一十四秒(小餘八一)為未甲申角(即癸甲午角)與癸甲丁角四十六度二十三分九秒(小餘一四)相加得午甲丁角為四十六度二十三分二十三秒(小餘九五)即平行距最卑後四十五度時之實行度此法得數與前同而即以平行積度為丙角較前法為省便也又如平行距最卑後九十度求實行若干度分則先設丙角為九十度作丙丑甲丑二線成甲丙丑勾股形依法求得甲丑線一○○○二八五六(小餘一)丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒(小餘○九)甲丑丁積七八五二八七六○一八三六九五與九十度撱圓積七八五二八五九九五七○五八四相減餘一六○六一三一一一為甲丑丁積大於九十度平行積之較即知平行九十度時太陽在丑㸃之後如卯乃依中率半徑截甲卯線於辰截甲丑線於巳成甲辰巳分平圓面與甲卯丑為同式形以甲丑自乘得一○○○五七一三○一五七三○七為一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一為二率積較為三率(即丑甲卯積)求得四率一六○四九八四八○為甲辰巳分平圓面積以一秒之面積二四二三七二二二一除之得百分秒之六六為辰甲已角(即丑甲卯)(角)與丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒(小餘○九)相減餘九十一度五十六分一十秒(小餘四三)為卯甲丁角即平行距最卑後九十度時之實行度也又如平行距最卑後一百二十度求實行若干度分則先設丙角為一百二十度作丙寅甲寅二線成甲丙寅三角形依法求得甲寅線一○○八六六二四(小餘一三)寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒(小餘六九)甲寅丁積一○四七○七九九○六四九五○六與一百二十度之撱圓積一○四七○四七九九四二七四四六相減餘三一九一二二二○六○為甲寅丁積大於一百二十度平行積之較即知平行一百二十度時太陽在寅㸃之後如辰乃依中率半徑截甲寅線於巳截甲辰線於午成甲巳午分平圓面與甲寅辰為同式形以甲寅邊自乘得一○一七三九九八六三三九八九八為一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一為二率積較為三率(即甲寅辰積)求得四率三一三六一九七八九一為甲已午積以一秒之面積二四二三七二二二一除之得一十二秒(小餘九四)為巳甲午角(即寅甲辰角)與寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒(小餘六九)相減餘一百二十一度三十九分三十三秒(小餘七五)為辰甲丁角即平行距最卑後一百二十度時之實行度也右借積求積之法最為精密而理亦易曉然須乗除比例十數次推算則屬繁難故又設後法次設借角求角之法如太陽平行距最卑後四十五度求實行若干度分先從本天心設丁乙辛角為四十五度則乙壬丁分撱圓面積亦為四十五度次将丁乙辛角加癸乙子撱圓差角(九十度以内大一撱圓差角九十度以外)(小一撱圓差角解見後)以撱圓小半徑九九九八五七一(小餘八五)為一率大半徑一千萬為二率所設丁乙辛角四十五度之正切一千萬為三率求得四率一○○○一四二八(小餘三五)為丁乙癸角之正切檢表得四十五度○分一十四秒(小餘七三)即丁乙癸角度次與乙癸平行作丙丑線自甲作甲丑線則丙角與丁乙癸角等而甲丑丁積為分撱圓四十五度之面積與乙壬丁積等是為平行丑甲丁角即為實行乃将丙丑線引長至寅使丑寅與甲丑等則丙寅為二千萬(甲丑丙丑共二千萬)(丑寅既與甲丑等故丙寅亦二千萬)又自甲至寅作甲寅線成甲寅丙三角形用切線分外角法求得寅角四十一分三十四秒(小餘七四)倍之得一度二十三分九秒(小餘四九)即甲丙丑形之丑角度(甲丑寅形之丑角以)(甲丑丙角為外角與甲寅二内角等丑寅既與甲丑)(等則甲角必與寅角等故倍寅角即得甲丑丙角)與丙角四十五度○分一十四秒(小餘七三)相加得四十六度二十三分二十四秒(小餘二二)為丑甲丁角度(丑甲丁角)(為丑甲丙角之外角與丙丑二内角等故以丑角與)(丙角相加得丑甲丁角)即平行距最卑後四十五度時之實行度也然則何以設丙角比平行積度大一撱圓差角而甲丑丁積即與平行積度相等也蓋與丙丑平行之乙癸線截本天於卯所截之乙卯丁積比甲丑丁積多一甲乙巳形(乙卯丁積比甲)(丑丁積少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑與甲辰)(等辰卯與己辰等辰丑卯積與辰甲巳積等以多補)(少尚多一甲乙巳積也)此甲乙巳形之積與癸午倍撱圓差乘乙未餘弦折半之乙癸午三角形積等(癸子辛壬皆撱圓差而辛)(壬㣲小於癸子子午又微小於辛壬然為數無多故)(謂癸午為倍差)亦即與乙卯壬積等(以卯癸子補子壬午弧内弧外所差無多故謂)(相等)夫乙卯丁積比乙壬丁積多一乙卯壬形比甲丑丁積多一甲乙巳形甲乙已積既與乙卯壬積等則甲丑丁積必與乙壬丁積等而乙壬丁為分撱圓四十五度之面積辛乙丁角為四十五度之角癸乙丁角比辛乙丁角原大一撱圓差角丑丙丁角又原與癸乙丁角等故設丙角比平行積大一撱圓差角而甲丑線所截撱圓積即與平行積相等也然則又何以知甲乙巳積與乙癸午積相等也試以乙丁大半徑作乙丁申酉正方形又以乙戊小半徑作乙戊戌亥正方形兩積相減餘酉申丁亥戌戊磬折形積與兩心差自乘之甲乙乾坎正方積等(乙丁與甲戊等為弦乙戊為股)(甲乙為勾股弦兩方相減與勾方等)斜分而半之則乙甲坎勾股積即與酉申戌戊斜尖長方積等而申艮倍撱圓差與酉申相乘折半之乙申艮三角積原與酉申震戊長方積等(乙申艮三角形與酉申震戊長方形同以)(酉申為髙而申艮為申震之一倍以申艮與酉申相)(乘折半得乙申艮三角積故與酉申震戊長方積等)比酉申戌戊斜尖長方積僅多申震戌一小勾股積則借乙申艮三角積為與乙甲坎勾股積相等可也又以方為斜截丁辛弧為四十五度乙辛與乙丁等辛巽為四十五度之正弦辛離為四十五度之餘弦依乙戊小徑截乙辛線於坤依乙甲兩心差截乙辛線於兑與辛巽平行作坤亢兑氐二線與辛離平行作坤房兑尾二線所成正方各為前圖正方積之一半則於離辛巽乙正方形内減房坤亢乙正方形餘離辛巽亢坤房磬折形積亦與乙尾兑氐正方積等乙兑氐勾股積亦與離辛坤房斜尖長方積等而辛箕倍撱圓差乘辛離餘弦折半之乙辛箕三角積原與離辛壬房長方積等(辛壬)(為四十五度之撱圓差辛箕為倍差與辛離餘弦相)(乗折半得乙辛箕積故與離辛壬房長方積等)比離辛坤房斜尖長方積僅多辛壬坤一小勾股積則借乙辛箕三角積為與乙兑氐勾股積相等亦可也由此推之逐度之正弦餘弦所成之勾股雖非正方而斜弦不改則各數比例皆同試自與丙丑平行之乙癸線所截之癸㸃作癸未正弦癸斗餘弦又依乙戊小徑截乙癸線於牛作牛女牛虚二線又依甲乙兩心差截乙癸線於水作水火水金二線皆相平行則於斗癸未乙長方形内減去女牛虚乙長方形餘斗癸未虚牛女磬折形積亦與金水火乙長方積等乙水火勾股積亦與斗癸牛女斜尖長方積等而癸午倍撱圓差乗癸斗餘弦(與乙未等)折半之乙癸午三角積原與斗癸子女長方積等(癸子為撱圓差癸午為倍差與癸斗餘弦相乗)(折半得乙癸午積故與斗癸子女長方積等)比斗癸牛女斜尖長方積僅多癸牛子一小勾股積則借乙癸午積為亦與乙水火勾股積等而甲乙土勾股與乙水火勾股為相等形(同用一乙角土角與火角同為直角而甲乙與)(乙水等故三邊及面積皆相等)比甲乙巳積僅多甲巳土一小弧矢積其差只在微纎之間故謂甲乙巳積與乙癸午積相等也此法所得實行較前法多百分秒之二十四盖乙卯丁積比乙壬丁積多乙卯壬積實與甲乙土積等而比甲丑丁積僅多甲乙巳積則是甲丑丁積比乙壬丁四十五度積為稍大故所得實行丑甲丁角亦稍大計其所大之數適與甲巳土弧矢積度相去不逺至於以乙癸午三角積為與斗癸牛女斜尖長方積等其數微多(多癸牛子)(勾股積)以癸午為倍撱圓差其數微少然其多少之差約足相抵可不計也又如太陽平行距最卑後九十度求實行若干度分先從本天心設丁乙戊角九十度則乙戊丁分撱圓面積亦為九十度次與乙戊平行作丙癸線自甲至癸作甲癸線則丙角與戊乙丁角等而甲癸丁分撱圓面積即為九十度與乙戊丁積等(九十度無撱圓差觧見後)是為平行癸甲丁角即為實行乃將丙癸線引長至子使癸子與甲癸等則丙子為二千萬又自甲至子作甲子線成甲丙子三角形求得子角五十八分五秒(小餘五五)倍之得一度五十六分一十一秒(小餘一○)即甲丙癸形之癸角度與丙角九十度相加得九十一度五十六分一十一秒(小餘一○)為癸甲丁角度即平行距最卑後九十度時之實行度也盖乙戊丁為撱圓四分之一其積為九十度戊乙丁角亦九十度(積度與角度同為一)(線故無撱圓差)丙角既與乙角等甲癸丁積又與乙戊丁積等(甲癸丁積比乙戊丁積多一丑癸戊形少一甲)(乙丑形而甲乙丑積與丑癸寅積等是丑癸戊形比)(甲乙丑形僅多癸戊寅一小弧矢積故謂丑癸戊積)(與甲乙丑積等而甲癸丁積亦謂與乙戊丁積等)故即以平行積度為丙角而求甲角為實行度也此法所得實行較前法多百分秒之六十七盖甲癸丁積比乙戊丁積多癸戊寅弧矢積九十度稍大故實行亦稍大又丙角至九十度則弧矢之癸寅半弦與甲乙兩心差相等是為最長積亦最大故所差最多過此則所差又漸少矣又如太陽平行距最卑後一百二十度求實行若干度分先從本天心設丁乙癸角一百二十度則乙子丁分撱圓面積亦為一百二十度次将丁乙癸角減丑乙寅撱圓差角(九十度以外小)(一撱圓差角故減)則癸乙已外角大一撱圓差角以撱圓小半徑九九九八五七一(小餘)(八五)為一率大半徑一千萬為二率所設癸乙已外角六十度之正切一七三二○五○八為三率求得四率一七三二二九八一(小餘)(九八)為己乙寅外角之正切檢表得六十度○分一十二秒(小餘七六)即己乙寅外角度與一百八十度相減餘一百一十九度五十九分四十七秒(小餘二四)即寅乙丁内角度次與乙寅平行作丙卯線自甲作甲卯線則丙角與寅乙丁角等甲卯丁積為分撱圓一百二十度之面積與乙子丁積等是為平行卯甲丁角即為實行乃将丙卯線引長至辰使卯辰與甲卯等則丙辰為二千萬又自甲至辰作甲辰線成甲丙辰三角形求得辰角四十九分五十三秒(小餘四六)倍之得一度三十九分四十六秒(小餘九二)即甲丙卯形之卯角度與丙内角一百一十九度五十九分四十七秒(小餘二四)相加得一百二十一度三十九分三十四秒(小餘一六)為卯甲丁角度即平行距最卑後一百二十度時之實行度也盖與丙卯平行之乙寅線截本天於巳所截之乙巳丁積比甲卯丁積小一卯己午形與甲乙未形等(乙巳丁積比甲卯丁積少一卯己酉形多一甲)(乙酉形而甲乙酉形與卯午酉形等以多補少仍少)(一卯巳午形又将乙己線引長至未使酉未與酉巳)(等而酉甲原與酉卯等卯午原與甲乙等故作甲未)(弧則卯巳午積即與甲乙未積等)此甲乙未形之積與寅申倍撱圓差乘乙戌餘弦折半之乙寅申三角形積等(寅丑癸子皆撱)(圓差而癸子微小於寅丑丑申又微小於癸子然為)(數無多故謂寅申為倍差與乙戌餘弦相乘折半得)(積與甲乙亥勾股積等比甲乙未積僅小甲未亥一)(小弧矢積故借甲乙未積為與乙寅申積等)亦即與乙子巳積等(與前法同)夫乙巳丁積比乙子丁小一乙子巳積比甲卯丁積小一甲乙未積甲乙未積既與乙子巳積等則甲卯丁積必與乙子丁積等而乙子丁為分撱圓一百二十度之面積癸乙丁角為一百二十度之角寅乙丁角比癸乙丁角原小一撱圓差角卯丙丁角又原與寅乙丁角等故於平行一百二十度内減一撱圓差角為丙角其甲卯線所截撱圓積即與平行度相等而求得甲角為實行度也此法所得實行較之前法多百分秒之四十一盖乙巳丁積比乙子丁積少乙子己積僅與甲乙亥積等而比甲卯丁積則少甲乙未積是甲卯丁積比乙子丁一百二十度積為稍大故所得實行卯甲丁角亦稍大然所差最大者不過半秒有竒不為不密而法最為簡便故日躔求實行用此法也求均數均數者盈縮差也最卑前後兩象限為行盈最髙前後兩象限為行縮然盈縮差自最卑最髙起算最髙前一象限雖行縮而實行仍大於平行故最卑後半周皆為加差最卑前一象限雖行盈而實行仍小於平行故最髙後半周皆為減差上編言之詳矣今求盈縮差用前借角求角之法與不同心天之法畧同但多一撱圓差耳故先以平行求得對倍兩心差之角又以平行求得撱圓差角與對倍兩心差之角相加減而得均數加減之法具詳於左如圖甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差甲丙為倍差丁戊己庚為本天辛壬癸子為黄道以行度言之太陽在最卑前後當子辛辛壬兩象限其本天平行丑甲寅丁面積未及半周而以黄道度計之巳見自子行至壬故為行盈太陽在最髙前後當壬癸癸子兩象限其本天平行寅甲丑已面積巳過半周而以黄道度計之止見自壬行至子故為行縮以盈縮差言之太陽在最卑丁是為初宫初度當黄道之辛甲丁辛成一直線無盈縮差太陽在最髙已是為六宫初度當黄道之癸甲癸己成一直線亦無盈縮差而自最卑後行丁寅戊巳半周實行皆大於平行如平行至寅所截甲寅丁平行積度畧與寅丙丁角度等(爭一撱圓差角故謂畧等)自地心甲視之巳當黄道之壬壬甲辛角必大於寅丙丁角又如平行至戊所截之甲戊丁平行積度畧與戊丙丁角度等自地心甲視之己當黄道之卯卯甲辛角必大於戊丙丁角故皆為加差自最髙後行已庚丑丁半周實行皆小於平行如平行至庚所截甲庚已平行積度畧與庚丙己角度等自地心甲視之方當黄道之辰辰甲癸角必小於庚丙己角又如平行至丑所截甲丑巳平行積度畧與丑丙巳角度等自地心甲視之方當黄道之子子甲癸角必小於丑丙已角故皆為減差此盈縮之理與不同心天之理同至求盈縮差之法當先以平行積度加減撱圓差角(九十度以)(内大一撱圓差角則加九十度以外小一撱圓差角)(則減正九十度無差角解見前)為所設之丙角而求對倍差之角與所設之丙角相加得實行以平行與實行相減乃為均數(解見前借角求角法)然其數竒零不便立算故先以平行求得對倍差之角而後加減撱圓差角為尤便也如設太陽在己甲己丁分撱圓面積為平行距最卑後六十度知己丙甲角度比所設之甲己丁平行積度大一撱圓差角則於己丙甲角内減未丙午撱圓差角餘午丙甲角必為六十度而與甲巳丁平行積度相等故先設午丙甲角為六十度用甲丙午三角形求得對甲丙倍差之午角一度四十一分二十九秒與平行午丙甲角相加則得午甲丁角然太陽原在已當黄道之申實行申甲辛角(即辛申弧)比午甲丁角尚大一巳甲午角故又求得未丙午撱圓差角一十三秒與巳甲午角等(巳甲午角與未)(丙午角同當巳午弧而甲午線短於丙午則角畧大)(然所差甚微故為相等)與午角相加(九十度以内大一撱圓差角故加)得一度四十一分四十二秒是為均數為加差以加於平行而得實行也若太陽在酉當黄道之戌甲酉巳分撱圓面積爲平行距最高後一百二十度而距最卑前六十度則對甲丙倍差之亥角與午角等乾丙亥撱圓差角亦與未丙午角等但其均數爲減差以減於平行而得實行也如設太陽在亢甲亢丁分撱圓面積爲平行距最卑後一百二十度知亢丙甲角度比所設之甲亢丁平行積度小一撱圓差角則於亢丙甲角加房丙氐撱圓差角得氐丙甲角必為一百二十度而與甲亢丁平行積度相等故先設氐丙甲角為一百二十度用甲丙氐三角形求得對甲丙倍差之氐角一度三十九分四十七秒與平行氐丙甲角相加則得氐甲丁角然太陽原在亢當黄道之尾實行尾甲辛角(即辛尾弧)比氐甲丁角尚小一氐甲亢角故又求得房丙氐撱圓差角一十三秒與氐甲亢角等(氐甲亢角與房丙氐角同當亢氐弧)(而甲氐線長於丙氐則角畧小然所差甚㣲故為相)(等)與氐角相減(九十度以外小一撱)(圓差角故減)餘一度三十九分三十四秒是為均數為加差以加於平行而得實行也若太陽在斗當黄道之牛甲斗己分撱圓面積為平行距最高後六十度則對甲丙倍差之女角與氐角等女丙虛撱圓差角亦與房丙氐角等但其均數為減差以減於平行而得實行也用此法求得最卑後半周之加差即得最高後半周之減差列爲表此法與以丙爲心作不同心天之法畧同但多一撱圓差又平圓之半徑爲一千萬撱圓則自甲丙兩心出線合於圓界共爲二千萬耳而太陽距地高卑之差止及兩心差之半與均輪之法不謀而合故撱圓之法正所以合不同心天與本輪均輪而一之也御製厯象考成後編卷一
## 卷二
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷二月離數理月離總論太陰本天面積随時不同太陰本天心距地及最高行隨時不同求初均數求一平均求二平均求三平均求二均數求三均末均求交均及黄白大距地半徑差月離總論古歴皆謂月一日行十三度十九分度之七出入日道不踰六度東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差率元郭守敬乃定為轉分進退時各不同猶今之初均數而其出入日道之大距則仍恒為六度也新法算書初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有遲疾故有初均兩弦又不同於朔望故有二均兩弦前後又不同於兩弦故有三均此經度之差也朔望交行遲而大距近兩弦交行疾而大距逺故有交均此交行之差而亦緯度之差也上編言太陰行度有九種一曰平行二曰自行三曰均輪行四曰次輪行五曰次均輪行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其實均輪行自行度次輪次均輪皆行月距日倍度則九種行度之中又止六種而巳自西人刻白爾創為撱圓之法専主不同心天而不同心天之兩心差及太陰諸行又皆以日行與日天為消息故日行有盈縮則太陰平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有逺近則太陰本天心有進退兩心差有大小而平行面積亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白極繞黄極而轉移則白道度有進退而太陰之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所無而刻白爾以来柰端等屢測而創獲者也夫兩心差既有大小則月距最高雖等而遲疾之差不等故分大中小三數而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在兩弦而在朔弦弦望之間仍名曰二均又月高距日高與月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而遲仍名曰三均又朔後恒差而遲望後恒差而疾因月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交後一象限則交行疾日在交前一象限則交行遲仍名曰正交均此五者末均為昔日之所無其餘諸均亦名同而數異皆刻白爾以来噶西尼等屢測而改定者也至於黄白交角(即大距度)新法算書朔望最小兩弦最大今則謂日在交㸃交角大前後皆小朔望尤小日在大距交角小前後皆大兩弦尤大似皆與新法算書不同然用以推歩交食則皆與實測合而與新法算書亦相去不逺計其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度較舊用行度多四種一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高則其行度共行種矣今考其表中所列誠皆實測之數而要不離乎本天高卑中距四限與朔望兩弦前後參互比較而得之兹為總舉其端而各具測算之法於後庶學者知其立法所自来而推歩考驗咸可通其條貫云太陰本天面積隨時不同太陰初均數生於兩心差兩心差不等則均數亦不等然於平行無與也自刻白爾以本天為撱圓以平行為面積則兩心差不等而撱圓之面積與太陰之平行亦因之不等盖兩心差大者小徑之數小而面積亦小兩心差小者小徑之數大而面積亦大故分撱圓之度數雖同而度之面積各異非先求其面積無以求度數也今取兩心差之大中小三數求其小徑及面積以定平行而後均數可得而推也如圖甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差甲丙為倍差丁戊己庚撱圓為太陰本天乙丁為大半徑一千萬乙戊為小半徑甲戊丙戊皆與乙丁大半徑等以甲戊為弦甲乙為勾求得股即乙戊小半徑也以乙丁大半徑求得丁辛己壬平圓積以乙辛與乙戊為比例即撱圓全積也用度分秒數除之即得一度一分一秒之積也以庚戊小徑與丁己大徑相乗開平方折半即乙癸中率半徑也其理皆與日躔同惟兩心差隨時不同則小徑與面積皆各異具列於左最大兩心差 六六七八二○小徑 九九七七六七五(小餘九○)中率半徑 九九八八八三一(小餘七二)中率半徑方 九九七七六七五九○四一一七二撱圓全積 三一三四五七九三二八四四五六七九十度積 七八三六四四八三二一一一四二一度積 八七○七一六四八○一二四一分積 一四五一一九四一三三五一秒積 二四一八六五六八九中數兩心差 五五○五○五小徑 九九八四八三五(小餘七一)中率半徑 九九九二四一四(小餘九八)中率半徑方 九九八四八三五七一四四七一○撱圓全積 三一三六八二八六四九二○三九六九十度積 七八四二○七一六二三○○九九一度積 八七一三四一二九一四四六一分積 一四五二二三五四八五七一秒積 二四二○三九二四八最小兩心差 四三三一九○小徑 九九九○六一二(小餘九二)中率半徑 九九九五三○五(小餘三六)中率半徑方 九九九○六一二九一五三二七一撱圓全積 三一三八六四三六一○三七八六七九十度積 七八四六六○九○二五九四六七一度積 八七一八四五四四七三二七一分積 一四五三○七五七四五五一秒積 二四二一七九二九一太陰本天心距地及最高行隨時不同太陰之行有遲疾由于本天有高卑其説一為不同心天一為本輪與太陽同西人第谷以前定本輪半徑為本天半徑千萬分之八十七萬即不同心天之兩心差其最大遲疾差為四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距與實測合最高前後則失之小最卑前後則失之大因将本輪半徑三分之存其二分五十四萬為本輪半徑取其一分二十七萬為均輪半徑其高卑之數遲疾之差雖各有不同而其距地之有定數最高之有常行則一也自刻白爾創為撱圓之法専主不同心天而不同心天之兩心差及最高行又隨時不同惟日當月天中距時最大遲疾差為四度五十七分五十七秒兩心差為四三三一九○倍差即為八十六萬有竒與舊數相去不逺若日當月天最高或當月天最卑則最大遲疾差為七度三十九分三十三秒兩心差為六六七八二○日厯月天高卑而後兩心差漸小中距而後兩心差漸大日距月天高卑前後四十五度兩心差適中又日當月天高卑時最高之行常速至高卑後四十五度而止日當月天中距時最高之行常遲至中距後四十五度而止與日月之盈縮遲疾相似而周轉之數倍之是則太陰本天之心必更有一均輪以消息乎兩心差及最高行之數因以地心為心以兩心差最大最小兩數相加折半得五五○五○五為最高本輪半徑相減折半得一一七三一五為最高均輪半徑均輪心循本輪周右旋行最高平行度本天心循均輪周右旋行日距月最高之倍度用切線分外角法求得地心之角為最高均數即最高行之差求得兩心相距之邊為本天心距地數即本時之兩心差也今考其表中所載其最大遲疾差不在中距最高前後九十度多最卑前後九十度少與上編小輪之理同其求兩心差則在本天高卑之適中而亦不正九十度與本編日躔之理同而其測量諸均數則必在高卑中距或高卑中距之間其數乃整齊而易辨要之測得高卑中距之差則兩心差之數巳見而求得兩心差之數則高卑中距之差悉合矣如甲為地心乙為太陰本天心丙為最高丁為最卑戊己為中距(戊己乃實行之中距非平)(行之中距因朔望相對故借實行以明之)設日天最高當月天最高丙太陽在最高後中距戊太陰亦在戊合朔測得太陰實行比平行少四度四十五分四十一秒太陰在最高前中距己望測得太陰實行比平行多五度九分二十一秒又設太陽在最高前中距己太隂亦在己合朔測得太陰實行比平行多四度四十五分四十一秒太陰在最高後中距戊望測得太隂實行比平行少五度九分二十一秒兩測太隂在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然太陽在戊則少數小多數大太陽在己則少數大多數小是必另有一均因太陽在戊而加在己而減者若不因太陽之故則太隂在戊為減在己為加其數必相等也於是以大小兩數相減折半得一十一分五十秒别為一平均以減大數加小數得四度五十七分三十一秒為日距月天最高前後九十度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也又設日天最高當月天最高後中距戊太陽在最高戊太陰在最高後中距戊合朔測得太陰實行比平行少四度五十九分五十六秒太陰在最高前中距己望測得太陰實行比平行多四度五十五分六秒又設日天最高當月天最高前中距己太陽在最高己太陰在最高前中距己合朔測得太陰實行比平行多四度五十九分五十六秒太陰在最高後中距戊望測得太陰實行比平行少四度五十五分六秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度則少數大多數小日天最高在己月天最高距日天最高九十度則多數大少數小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得四度五十七分三十一秒為日距月天最高前後九十度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加與前測合又設日天最高當月天最高丙太陽在最高丙太陰在中距戊上弦測得太陰實行比平行少七度三十五分三十四秒太陰在中距己下弦測得太陰實行比平行多七度三十五分三十四秒又設日天最高當月天最卑丁太陽在最高丁太陰在中距己上弦測得太陰實行比平行多七度四十分二十四秒太陰在中距戊下弦測得太陰實行比平行少七度四十分二十四秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣然上弦則少數小多數大下弦則少數大多數小是必另有一均因上弦而加下弦而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得七度三十七分五十九秒為日在月天最高最卑時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也又設日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太陽在庚距月天最高四十五度太陰在戊距最高九十度而距日四十五度為朔與上弦之間測得太陰實行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太陽在辛距月天最高一百三十五度太陰仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度為下弦與朔之間測得太隂實行比平行少六度五十四分四十九秒又設日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太陽在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度為朔與上弦之間測得太隂實行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太陽在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度為下弦與朔之間測得太隂實行比平行多五度五十七分四十五秒兩測太陰在戊實行皆比平行為少太陰在己實行皆比平行為多是知太陰在最高後則減最高前則加為初均之故矣而朔與上弦之間則少數小多數大下弦與朔之間則少數大多數小是必另有一均因朔後而加朔前而減者而所大所小之數又不及二均加減之多是必又有别均加減於其間而此特為其加減之較於是以大小兩數相減折半得二十八分三十二秒為二均與二平均末均加減之較(查朔後四十五度二均應)(加三十三分一十四秒而日距月天高卑後四十五度二平均應減三分三十)(四秒又月高距日高在四象限之正中朔後四十五度時末均應減一分八秒)(故以二十八分三十二秒為加減之較又查朔前四十五度二均應減三十三)(分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均應加三分三十四秒又月)(高距日高在四象限之正中朔前四十五度時末均應加一分八秒故亦以二)(十八分三十二秒為加減之較詳後各篇)以減大數加小數得六度二十六分一十七秒為日距月天高卑前後四十五度時月距最高前後九十度之初均數最高後為減最高前為加也前測均數之大小皆在月距最高前後九十度時而測兩心差之大小則必在本天高卑之適中其平引(即距最高之平行度)之多於九十度與實引(即距最高之實行度)之少於九十度或平引之少於九十度與實引之多於九十度者皆適相等(見日躔求兩心差篇)如甲為地心乙為本天心甲乙為兩心差甲子為倍差丙丑丁寅撱圓為月本天丙為最高丁為最卑丑寅為中距(丑寅)(為本天高卑之適中丙丑甲分撱圓面積為平引九十度多丑甲丙角為實引)(九十度少然相去不逺故亦名中距以便與日天較算也)乙丁為大半徑一千萬乙丑為小半徑甲丑子丑皆與乙丁等設日天最高當月天最高前中距寅太陽在最高寅太陰在最高後中距丑望其丙丑甲分撱圓面積九十二度二十八分五十七秒五十八微半為平引其大於九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等(與日躔求兩心差同但日)(躔從最卑起算月離從最高起算耳)此時測得太陰實行在最高後八十七度三十三分二十七秒一微半減此時應加之三均二分二十五秒(此時三均應加二分二十五秒若不因三均則實行應少二分)(二十五秒故減)餘八十七度三十一分二秒一微半為實引其小於九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既為半徑一千萬則甲乙即乙丑甲角之正弦檢表得四三三一九○即日在月天中距時之兩心差也又設日天最高當月天最高丙太陽在最高丙太陰在最高後中距丑上弦其丙丑甲分撱圓面積九十三度四十九分四十五秒二微半為平引其大於九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股積與乙丑甲角度等此時測得實行在最高後八十六度一十二分三十九秒五十七微半減此時應加之三均二分二十五秒(同前)餘八十六度一十分一十四秒五十七微半為實引其小於九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角與乙丑甲角等亦與子丑乙角等平行實行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角檢正弦得六六七八二○即日在月天最高最卑時之兩心差也前測日在月天高卑兩心差大日在月天中距兩心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行遲用小輪之法算之如甲為地心乙丙丁戊為最高本輪甲乙半徑為五五○五○五己庚辛壬為最高均輪乙己半徑為一一七三一五均輪心循本輪周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均輪周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均輪上半周順輪心行故最高行速距地心逺故兩心差大本天心在均輪下半周逆輪心行故最高行遲距地心近故兩心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○為最大兩心差日在月天兩中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○為最小兩心差本天最高與甲乙合為一線無最高均數如日距月最高四十五度則本天心自己行九十度至庚本天最高必對甲庚線之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒為最高均數是為最大之加差以加於最高平行而得最高實行求得甲庚邉五六二八六六為本天心距地數即本時之兩心差也(此乙角為直角可用勾股法亦可用切線分外角法若乙角非)(直角則用切線分外角法)如日距月最高一百三十五度則本天心自己行二百七十度至壬本天最高必對甲壬線之上用甲乙壬三角形求得甲角為最高均數與乙甲庚角等甲壬兩心差亦與甲庚等但甲角為最大之減差以減最高平行而得最高實行也既得最高實行與兩心差則以最高實行與太陰平行相減得平引而初均數可求矣求初均數新法算書用本輪均輪推初均數日躔月離數雖不同而其法則一也自刻白爾以平行為撱圓面積求實行用意甚精而推算無術噶西尼等立借角求角之法亦極補凑之妙矣然日天兩心差為本天半徑千萬分之一十六萬餘所差之最大者不過百分秒之六十六(見日躔撱圓角度與面積相求篇)月天兩心差之最大者為本天半徑千萬分之六十六萬餘若仍用日躔之法則其差之最大者即至四十秒雖於數不為踈而於法則猶未宻故又立用兩三角形之法先以半徑為一邊兩心差為一邊太陰平引與半周相減(不及半周)(者與半周相減過半周者減半周)為所夾之角求得對兩心差之小角與前所夾之角相加復為所夾之角仍用半徑與兩心差為兩邊求得對半徑之大角為平圓引數次以大半徑為一率小半徑為二率平圓引數之正切線為三率求得四率查正切線得實引與平引相減餘為初均數依日躔借積求積法細推之其差之最大者不過一十秒較借角求角之法為密云如圖甲為地心乙為本天心甲乙為最大兩心差六六七八二○丙丁戊己為月本天乙丙為大半徑一千萬與乙庚等乙丁為小半徑九九七七六七五(小餘)(九○)設太陰平引距最高後九十度用日躔借角求角法依甲乙之分截乙丙線於辛取丙辛壬角為九十度自地心甲作甲壬線命甲壬丙分撱圓面積為九十度與乙丁丙面積等亦與丙乙丁角度等用甲辛壬三角形丙辛壬外角為平引九十度甲辛為倍兩心差一三三五六四○甲壬與辛壬共為二千萬求得壬角七度三十八分二十八秒(小餘七○)為初均數即得壬甲丙角八十二度二十一分三十一秒(小餘三○)為實引試依日躔借積求積法細推之辛壬邊為九九五五四○一(小餘六四)甲壬邊為一○○四四五九八(小餘)(三六)甲壬丙分撱圓面積為七八三五四五六三一八四七七三與最大兩心差之撱圓九十度積七八三六四四八三二一一一四二相減餘九九二○○二六三六九為甲壬癸積即甲壬丙積小於九十度積之較故知平引距最高九十度時太陰必在壬㸃之後如癸乃依最大兩心差中率半徑九九八八八三二截甲壬線於子截甲癸線於丑成甲子丑分平圓面與甲壬癸為同式形(甲壬)(長於甲癸然為數無多故為同式形)以甲壬自乗得一○○八九三九五六二一三七一五為一率甲子中率自乗方九九七七六七五九○四一一七二為二率甲壬癸積較為三率求得四率九八一○一八二○七五為甲子丑分平圓面積以最大兩心差之一秒積二四一八六五六八九除之得四十秒(小餘五六)為子甲丑角與壬甲丙角相加得八十二度二十二分一十一秒(小餘八六)為癸甲丙角即平引距最高後九十度之實引與平引九十度相減餘七度三十七分四十八秒(小餘一四)即平引距最高後九十度時之初均數前用日躔借角求角法所得實引壬甲丙角比細推少四十秒蓋乙丁丙為撱圓面四分之一其積為九十度今命太隂在壬以甲壬丙分撱圓積為與乙丁丙積等其實甲壬丙積比乙丁丙積多一甲乙寅形少一寅壬丁形而甲乙寅積僅與寅壬卯積等以多補少尚少壬卯丁弧矢積故推得壬甲丙角比細推少四十秒也(日躔)(從最卑起算則推得辰甲戊角比細推為多)又查日天兩心差為一六九○○○小矢為一四二六所得實引比細推差百分秒之六十六月天甲乙兩心差為六六七八二○與壬卯半弦等幾為日天之四倍卯丁小矢為二二二七四(乙丁内減去辛壬餘即卯丁小矢也)幾為日天之一十六倍則壬卯丁弧矢積幾為日天之六十四倍(四因一十六倍得六十四倍)故實引比細推差四十秒亦幾為日躔實引所差之六十四倍也今用兩三角形法先設丙乙庚角為平引九十度用甲乙庚三角形甲乙庚角為九十度乙庚為半徑一千萬甲乙為最大兩心差六六七八二○求得甲庚乙角三度四十九分一十四秒(小餘三五)又與甲庚平行作乙己線自甲至己作甲己線成甲乙己三角形己乙庚角與甲庚乙角等以己乙庚角與甲乙庚角九十度相加得九十三度四十九分一十四秒(小餘三五)為甲乙己角求得乙甲己角八十二度二十三分二秒(小餘四一)為平圓引數次以乙庚大半徑一千萬為一率乙丁小半徑九九七七六七六為二率乙甲己角之正切線為三率求得四率為乙甲午角之正切線檢表得八十二度二十二分一秒(小餘七九)為實引與平引九十度相減餘七度三十七分五十八秒(小餘二一)即最大兩心差平引九十度之初均數也此法推得實引比前細推所得之數仍少一十秒而較之日躔借角求角之法則為己宻葢設丙乙庚角為九十度則乙庚丙分平圓積乙丁丙分撱圓積皆為九十度今與甲庚平行作乙己線甲己丙面與乙庚丙面相等而為平圓九十度積則甲午丙面亦必與乙丁丙面相等而為撱圓九十度積夫甲己丙面内有乙己丙形與甲乙己形乙庚丙面内有乙己丙形與乙己庚形甲乙己積與乙己庚積相等則甲己丙積即與乙庚丙積相等試自己至庚作己庚直線則乙己庚與甲乙己為二平行線内同底同高之兩三角形其積相等(乙己原與甲庚平行庚未正弦與甲申垂線等)(以乙己底與庚未高相乗折半得乙己庚三角積以)(乙己底與甲申高相乗折半得甲乙己三角積庚未)(旣與甲申等故兩三角積必等也)是甲乙己形比乙己庚形尚少庚酉巳弧矢積而甲己丙分平圓面比乙庚丙平圓九十度積甲午丙分撱圓面比乙丁丙撱圓九十度積亦少庚酉已弧矢積故求得實引比細推少一十秒即庚酉巳弧矢積之度然為數無多非若差壬卯丁弧矢積者比故其法較日躔為己宻也又以日躔之法明之日躔設太陰在壬其甲壬丙分撱圓面積比乙丁丙撱圓九十度積少壬卯丁弧矢積故實引壬甲丙角少四十秒今平引用乙角甲乙與乙辛等而乙庚長於辛壬則與甲庚平行之乙己線必在壬㸃下減巳甲午撱圓差角太陰午㸃亦必仍在壬㸃下是甲午丙積比甲壬丙積即多甲午壬積足與所少壬卯丁弧矢積相補故求得實引午甲丙角即比壬甲丙角大一午甲壬角以數計之已午畧與卯丁等甲戌畧與甲辛等則甲已午三角積為壬卯丁勾股積之二倍而甲午壬積約為甲己午積之一半故甲午壬積與壬卯丁勾股積等比壬卯丁弧矢積僅少壬亥丁一小弧矢積故實引止少一十秒且此之平引為九十度乃差之最大者九十度前後愈近最高最卑其差愈少故推太陰初均用此法也依前法設平引九十度甲乙為最小兩心差四三三一九○求得乙甲午角八十五度二分二十九秒為實引與平引九十度相減餘四度五十七分三十一秒為最小兩心差平引九十度之初均數又設甲乙為中數兩心差五五○五○五求得乙甲午角八十三度四十二分一十秒為實引與平引九十度相減餘六度一十七分五十秒為中數兩心差平引九十度之初均數如設平引九十度日距月最高四十五度兩心差為五六二八六六求初均數則以最大兩心差與中數兩心差相減餘一一七三一五為一率最大兩心差之初均數與中數兩心差之初均數相減餘一度二十分八秒化作四千八百零八秒為二率今有之兩心差與中數兩心差相減餘一二三六一為三率求得四率五百零七秒収作八分二十七秒與中數兩心差之初均數相加得六度二十六分一十七秒為平引九十度兩心差五六二八六六之初均數盖均數因兩心差為大小故初均大小之差即用兩心差之較為比例若以甲乙兩心差五六二八六六用兩三角形法算之則得乙甲午角八十三度三十三分四十三秒為實引與平引九十度相減餘六度二十六分一十七秒為初均數與用兩心差之較為比例所得數同故初均表止列大中小三限為省算也餘倣此求一平均新法算書推歩朔望惟用初均數若月在本天最高或在本天最卑則平行與實行合為一線並無初均數矣刻白爾以来奈端等屢加測騐謂月在最高最卑雖無初均數而日在最卑後則太陰平行常遲最高平行正交平行常速日在最高後太陰平行常速最高平行正交平行常遲因定日在中距太陰平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其間逐度之差皆以太陽中距之均數與太陽逐度之均數為比例名曰一平均蓋太陽平行自子正隨天左旋復至子正是為一日月距日一日順行一十二度餘最高一日順行六分餘正交一日退行三分餘皆隨太陽平行為行度故為平行而太陰二均生於月距日之倍度最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度皆以太陽實行立算太陽實行有盈縮則諸行亦隨之有進退此因太陽右旋之盈縮而差者也又太陽右旋加多一度則左旋之時刻差早一度諸行亦隨之而差早一度之行太陽右旋減少一度則左旋之時刻差遲一度諸行亦隨之而差遲一度之行此因太陽隨天左旋之遲早而差者也由是二者故有一平均之法然太陰一平均則惟因左旋時差之故最高平均與正交平均則兼左旋右旋兩差之故焉以太陰一平均言之太陰二均生於月距日之倍度而月距日之度乃置太陰實行減太陽實行而得之太陽右旋之度差而多則月距日之度反差而少太陽右旋之度差而少則月距日之度反差而多是月距日之行不隨太陽右旋之盈縮為進退也惟是太陽左旋時刻差一度倍月距日已差二度太陰又隨之差二度則平行即差四度時差行差早者應減差遲者應加然差早一度者太陽未至子正一度應加一度時差行差遲一度者太陽已過子正一度應減一度時差行是差三倍時差行也故以一小時六十分為一率一小時月距日平行一千八百二十八秒六二為二率太陽中距均數一度五十六分一十三秒變時(每度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)得七分四十五秒為三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収為一十一分四十九秒為太陰一平均太陽均數加者為減減者為加是為太陽實行至子正時之太陰平行度也以最高平均與正交平均言之最高均生於日距月最高之倍度正交均生於日距正交之倍度而日距月最高與日距正交之度乃置太陽實行減月最高與正交而得之太陽右旋之度加而多則相距之度亦多太陽右旋之度減而少則相距之度亦少是最高與正交之行固隨太陽右旋之盈縮為進退也又太陽左旋之時刻差一度日距月最高與日距正交之倍度巳差二度最高與正交又隨之差二度則最高與正交即差四度時差行差早者應加差遲者應減且最高均與正交均皆隨太陽行相距之倍度太陽實行差一度則最高與正交亦隨之差一度之行太陽又加倍差一度則最高與正交又隨之差半度之行是右旋左旋之差皆為一倍有半而未至子正應加巳過子正應減之時差行又其在外者也故以一日太陽平行三千五百四十八秒三三為一率一日最高平行四百零一秒○七為二率太陽中距均數一度五十六分一十三秒為三率求得四率七百八十八秒一六加四倍時差最高行八秒用一五因之再加最高時差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒為最高一平均又以一日太陽平行為一率一日正交平行一百九十秒六三為二率太陽中距均數為三率求得四率三百七十四秒六二加四倍時差正交行四秒用一五因之再加正交時差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒為正交一平均最高順行故加減與太陽均數同正交退行故加減與太陽均數相反是為太陽實行至子正時之最高平行與正交平行也最高一平均與舊表合太陰一平均正交一平均皆少一秒今仍用舊數既得太陽中距之平均而逐度之平均皆由太陽均數立算故以太陽中距均數與中距平均之比即同於太陽逐度均數與逐度平均之比也測法附後如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設月天最高當日天最高丙太陽在中距丁太陰在最卑戊上弦測得太陰實行比平行多一十四分一十五秒太陰在最高丙下弦測得太陰實行比平行多九分二十五秒又設太陽在中距己太陰在最高丙上弦測得太陰實行比平行少九分二十五秒太陰在最卑戊下弦測得太陰實行比平行少一十四分一十五秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多太陽在己實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最卑後則減為一平均之故矣而上弦則多數大少數小下弦則多數小少數大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得一十一分五十秒為太陽中距一平均最高後為加最卑後為減也又設太陽在丁月天最高在丁距日天最高後九十度太隂在丁合朔測得太隂實行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高後二百七十度太隂在己望測得太隂實行比平行多九分二十五秒又設太陽在己月天最高在己距日天最高後二百七十度太隂在己合朔測得太陰實行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高後九十度太陰在丁望測得太隂實行比平行少九分二十五秒兩測太陽在丁實行皆比平行為多太陽在己實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最卑後則減為一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高後九十度則多數大少數小月天最高在己距日天最高後二百七十度則多數小少數大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而減者於是以大小兩數相減折半得二分二十五秒别為三均以減大數加小數得一十一分五十秒為太陽中距一平均最高後為加最卑後為減也又設太陽在庚距最高後四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔測得太隂實行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望測得太隂實行比平行多六分三十二秒又設太陽在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔測得太隂實行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望測得太隂實行比平行少六分三十二秒兩測太陽距最高前後皆四十五度而在最高後庚太隂實行皆比平行為多在最高前壬太隂實行皆比平行為少是知太陽在最高後則加在最高前則減為一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高後四十五度則多數大月天最高在辛距日天最高後二百二十五度則多數小月天最高在壬距日天最高後三百一十五度則少數大月天最高在癸距日天最高後一百三十五度則少數小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得八分一十五秒為太陽距最高前後四十五度之一平均最高後為加最高前為減也查太陽最高前後四十五度之均數為一度二十分五十七秒以太陽中距之均數一度五十六分一十三秒與中距一平均一十一分五十秒之比同於最高前後四十五度之均數一度二十分五十七秒與四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均當以逐度太陽均數為比例也又設太陽在最高後中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正當交㸃此時應無初均惟一平均應加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均應加二分二十五秒然測太隂實行比平行多一十九分一十四秒較之一平均與三均應加之數仍多四分五十九秒為最卑後三十四分一十一秒所應加之初均數夫太隂本在最卑以一平均與三均應加之數計之應在最卑後一十四分一十五秒是必最高又有減差太隂始得在最卑後三十四分一十一秒乃於三十四分一十一秒内減一平均與三均應加之一十四分一十五秒餘一十九分五十六秒為太陽在最高後中距應減之最高平均也又此時太隂正當交㸃應無距緯然測太陰緯度在黄道北二十六秒為太隂距正交後四分四十五秒之緯度夫太隂本在交㸃以一平均與三均應加之數計之則應距正交後一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交後四分四十五秒乃於一平均與三均應加之一十四分一十五秒内減四分四十五秒餘九分三十秒為太陽在最高後中距應加之正交平均也太陽在最高前倣此求二平均前篇言太陰在本天高卑雖無初均數而太陽在本天高卑前後猶有一平均若太陽亦在本天高卑則並無一平均矣奈端以来又屢加精測謂日天最高與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線無諸均數太陽雖在最高卑而在月天高卑前後則平行常遲至高卑後四十五度而止在月天中距前後則平行常速至中距後四十五度而止然積遲積速之多正在四十五度而太陽在最高與在最卑其差又有不同因定太陽在最高距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分三十四秒太陽在最卑距月天高卑中距後四十五度之最大差為三分五十六秒高卑後為減中距後為加其間日距月最高逐度之差皆以半徑與日距月最高倍度之正弦為比例其太陽距地逐度之差又以太陽高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例名曰二平均蓋太陰本天心循最高均輪周行日距月最高之倍度日在月天高卑則兩心差大而撱圓之面積小故平行遲也日在月天中距則兩心差小而撱圓之面積大故平行速也日距月天高卑中距四十五度則兩心差與撱圓之面積皆為適中太隂平行原以適中之數立算故其平行無遲速也然推盈縮遲疾之法皆以小輪上下二㸃為起算之端而以九十度處為差數之極今太隂本天心既循均輪周行日距月最高之倍度則是日在月天高卑時本天心皆在均輪上㸃也日在月天中距時本天心皆在均輪下㸃也日距月天高卑中距四十五度時本天心皆在均輪九十度處也故二平均以高卑中距分加減之限而以四十五度為最大差至其大差之數與比例之法固由測量而得亦可推算而知測算之法並設於左如甲為地心乙為月本天心丙丁戊己為月本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此時太隂初均應加四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行多四度四十二分二十五秒比所推實行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此時太隂初均應減四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推實行少一分五十一秒又設日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此時太隂初均應加四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推實行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距後四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此時太隂初均應減四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行少四度四十二分二十五秒比所推實行多五分一十七秒兩測太陽同在最高前測太陽一在月天最高後四十五度一在月天最卑後四十五度實行皆比所推為少後測太陽在月天中距後四十五度實行皆比所推為多是知日在月天高卑後則減中距後則加為二平均之故矣然前測日天最高在庚月天最高相距三百一十五度則少數大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度則少數小後測日天最高在壬月天最高相距二百二十五度則多數小日天最高在癸月天最高相距四十五度則多數大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三分三十四秒為太陽在最高時距月天高卑中距後四十五度之最大二平均高卑後為減中距後為加也設日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此時太陰初均應減四度二十分二十四秒然測太陰實行却比平行少四度二十六分三秒比所推實行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此時太陰初均應加四度四十七分四十二秒然測太隂實行僅比平行多四度四十五分二十九秒比所推實行少二分一十三秒又設日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距後四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此時太陰初均應減四度四十七分四十二秒然測太陰實行僅比平行少四度四十五分二十九秒比所推實行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此時太陰初均應加四度二十分二十四秒然測太隂實行却比平行多四度二十六分三秒比所推實行多五分三十九秒兩測太陽同在最卑前測太陽一在月天最卑後四十五度一在月天最高後四十五度實行皆比平行為少後測太陽在月天中距後四十五度實行皆比平行為多是知日在月天高卑後則減中距後則加為二平均之故矣然前測日天最高在庚月天最高相距三百一十五度則少數大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度則少數小後測日天最高在壬月天最高相距二百二十五度則多數小日天最高在癸月天最高相距四十五度則多數大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三分五十六秒為太陽在最卑時距月天高卑中距後四十五度之最大二平均高卑後為減中距後為加也設日天最高在丙與月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此時一平均應加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均應加四度四十七分四十二秒實行應比平行多四度五十五分五十七秒然測太陰實行僅比平行多四度五十二分二十秒比所推實行少三分三十七秒是為日在最高後四十五度時距月天最高後四十五度應減之二平均也又設日在壬距月天最高一百三十五度而在中距後四十五度距日天最高亦一百三十五度此時一平均應加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均應加四度二十分二十四秒實行應比平行多四度二十八分五十四秒然測太陰實行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推實行多三分五十三秒是為日在最高後一百三十五度時距月天中距後四十五度應加之二平均也又設日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此時一平均應加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均應加二度四十四分二秒實行比平行應多二度四十八分然測太隂實行僅比平行多二度四十五分四十二秒比所推實行少二分一十八秒是為日在最高後二十度時距月天最高二十度應減之二平均也又設日在寅距月天最高一百一十度而在中距後二十度距日天最高亦一百一十度此時一平均應加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高後二百九十度初均應加四度五十五分一十六秒實行比平行應多五度六分二十八秒然測太陰實行却比平行多五度八分五十六秒比所推實行多二分二十八秒是為日在最高後一百一十度時距月天最高一百一十度應加之二平均也以上測得諸數與本天面積比例相似如甲乙丙丁為最大兩心差之撱圓其面積小甲戊丙己為最小兩心差之撱圓其面積大甲庚丙辛為相加折半之撱圓其面積適中今以適中之面積均分之為平行在小面積必比中積為少故平行遲在大面積必比中積為多故平行速然其遲速之限止在日距月最高倍度九十度之間故其遲速之差亦至九十度而止試以最大兩心差之甲乙壬撱圓九十度積七八三六四四八三二一一一四二與最小兩心差之甲戊壬撱圓九十度積七八四六六○九○二五九四六七相減餘一○一六○七○四八三二五為甲乙戊積折半得五○八○三五二四一六二為甲乙庚積與甲庚戊積等以適中一秒積二四二○二二四九○除之得二百一十秒収為三分三十秒比日在最高之最大二平均僅少四秒今仍用舊數又日在最高距地逺而差數小日在最卑距地近而差數大與轉比例相似試以日在最卑距地九八三一之平方九六六四為一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○為二率(面積從末)(截去十位以便入算)日在最高距地數乗最高二平均三分三十四秒之長方為三率求得四率為日在最卑距地數乗最卑二平均之長方以最卑距地數除之得三分五十六秒强為日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地數與一率最卑平方相乗得最卑距地之立方九五○一五二為一率以三率最高距地數與二率最高平方相乗得最高距地之立方一○五一五六二為二率(立方積從末截)(去十五位以便入算)即以日在最高二平均三分三十四秒為三率則得四率即為日在最卑二平均三分五十六秒與表合日距月最高逐度之二平均以半徑與日距月最高倍度之正弦為比例如甲為地心甲乙為中數兩心差甲丙為最大兩心差甲丁為最小兩心差日在月天最高月本天心在丙面積最小平行最遲自丙向戊所遲漸少迨日距月天最高四十五度則月本天心自丙行九十度至戊面積適中即無所遲而復於平行然積遲之多正在戊故為最大之減差由戊向丁面積漸大平行漸速然因有積遲之度方以次相補迨日距月天最高九十度則月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而積遲之度方補足無缺故自丙至丁半周皆為減差也日在月天中距月本天心在丁面積最大平行最速自丁向己所速漸少迨日距月天最高一百三十五度則月本天心自丙行二百七十度至己面積適中即無所速而復於平行然積速之多正在己故為最大之加差由己向丙面積漸小平行漸遲然因有積速之度方以次相消迨日距月天最高後半周與月天最卑同度則月本天心自丙行一周復至丙平行最遲而積速之度始消盡無餘故自丁至丙半周皆為加差也日距月天最卑後皆倣此今以日距月最高倍度之正弦為比例自丙向戊自丁向己正弦漸大而其較漸小自戊向丁自己向丙正弦漸小而其較漸大故自戊㸃而後所減漸少而所少之較又漸大實即加也加至丁㸃而極自丁㸃而後為加雖所加漸多而所加之較實漸小至己則逐日所加相等是即無所加矣自己㸃而後所加漸少而所少之較又漸大實即減也減至丙㸃而極自丙㸃而後為減雖所減漸多而所減之較實漸小至戊則逐日所減相等是即無所減矣故太陰平行以丙㸃前後為遲丁㸃前後為速而遲速之差至戊己二㸃而止其間逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正弦為比例也太陽距地逐度二平均較以太陽高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例蓋以本日太陽距地之立方與最高距地之立方為比同於最高之二平均與本日太陽距地之二平均為比此正理也(法見前)然以此立表則不勝其繁而逐度太陽距地之立方推算亦不易且其至大之差不過二十二秒用立方較為比例其數巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高時本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑時本日之二平均兩二平均相減為高卑二平均之較乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二與日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相減餘一○一四一○為高卑立方大較為一率高卑二平均之較為二率本日太陽距地之立方與最高距地之立方相減為本日之立方較為三率求得四率為本日二平均較與日在最高之二平均相加即得本日之二平均也求三平均前篇言日天最高與月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑則實行與平行合為一線無諸均數然惟太陽在兩交與大距為然若太陽在兩交後則平行又稍遲在大距後則平行又稍速其最大差為四十七秒名曰三平均蓋白極在正交均輪周新法算書謂行月距日之倍度奈端以来謂行日距正交之倍度(詳見後交均篇)故惟太陽在兩交與大距則白極與均輪心參直其平行無加減太陽在兩交後則白極在均輪心之東而白道經圏之過黄道者亦差而東其黄道舊㸃所當白道度即差而西故平行應減而遲也太陽在大距後則白極在均輪心之西而白道經圏之過黄道者亦差而西其黄道舊㸃所當白道度即差而東故平行應加而速也此其所差止在數十秒之間雖不易得之仰觀而實可稽諸儀象其法以半徑一千萬與均輪半徑切線為比同於本輪半徑與最大三平均切線為比而逐度之三平均皆以半徑與日距正交倍度之正即為比例焉如圖甲為黄極乙丙丁戊為黄道以最大黄白大距五度一十七分二十秒與最小黄白大距四度五十九分三十五秒相加折半得五度八分二十七秒半為黄白大距之中數以中數為半徑作己庚辛壬圏為白極繞黄極本輪又以兩大距相減折半得八分五十二秒半為半徑作癸子丑寅圏為負白極均輪均輪心循本輪周左旋自己向庚每日三分有餘為正交行度白極循均輪周右旋自癸向子每日二度四分有餘為日距正交之倍度日在兩交白極在癸日在大距白極在丑與均輪心參直成一直線故無三平均如日距兩交後四十五度則白道之北極自癸行九十度至子在均輪心之東而白道之南極即轉在均輪心之西白道經圏交白道於卯當黄道之辰在乙㸃黄道度之東而白道經圏之過乙㸃者即當白道之己是白道度退矣白道度退則太隂亦隨之而退故白極在癸子丑半周三平均皆為減差也如日在大距後四十五度則白道之北極自丑行九十度至寅在均輪心之西而白道之南極即轉在均輪心之東白道經圏交白道於卯當黄道之午在乙㸃黄道度之西而白道經圏之過乙㸃者即當白道之未是白道度進矣白道度進則太陰亦隨之而進故白極在丑寅癸半周三平均皆為加差也巳卯子卯寅卯皆九十度巳角子角寅角皆直角巳子巳寅皆均輪半徑八分五十二秒半即卯角度乙卯五度八分二十七秒半與甲己本輪半徑等故以半徑一千萬與卯角正切線二五八一六為比同於乙卯弧之正弦八九六○六六與乙午或乙辰之正切線二三一三為比而得乙午乙辰弧各四十七秒為最大三平均若日距正交之倍度不及九十度或過九十度則巳角或鋭或鈍不得成直角而卯角與乙辰乙午三平均皆以漸而小當用弧線三角形法推算然均輪半徑不過八分餘其逐度之正弦即與卯角等故逐度之三平均即以半徑與日距正交倍度之正弦為比例也今按三平均係白道度當用卯巳與卯未弧又按推交均法将均輪半徑減五十秒餘巳申八分二秒半為小輪半徑則三平均又當用卯酉弧然以數推之卯巳弧為四十八秒卯酉弧為四十三秒其差不逺故即以均輪半徑比例為省算云求二均數新法算書惟太陰兩弦行度止有初均二均兩弦前後始有三均初均之最大者四度五十八分餘二均之最大者二度二十七分餘三均之最大者四十二分餘計兩弦前後最大差共八度弱噶西尼以来屢加測驗謂兩弦太陰行度止有初均三均而三均又不盡關乎兩弦之故二均之最大者不在兩弦而在朔弦弦望之間其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒計兩弦前後最大差共八度强則是今之二均固兼新法算書二均三均之義而其數則又不同蓋太陰去地甚近其行最著又二十七日有竒而一周天一月之中備日行四時之軌至為參錯不齊古人惟重交食故朔望而外置之弗論西人第谷始創二三均之法其門人精測不已又數十年然後改定則其數必實有所據而非為臆説也其法定日在最高朔望前後四十五度最大差為三十三分一十四秒日在最卑朔望前後四十五度最大差為三十七分一十一秒朔望後為加兩弦後為減其間月距日逐度之二均則以半徑與月距日倍度之正弦為比例其太陽距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例與二平均同測算之法並設於後如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設月天最高在日天最高丙太陽在最高丙太陰在庚距最高四十五度距日亦四十五度為朔與上弦之間此時太陰初均應減五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行少四度三十一分一十四秒比所推實行多三十四分五十七秒若太隂在辛距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望後四十五度為望與下弦之間此時太隂初均應加五度四十四分二十九秒然測太隂實行却比平行多六度一十六分比所推實行多三十一分三十一秒又設太隂在壬距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度為下弦與朔之間此時太隂初均應加五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行多四度三十一分一十四秒比所推實行少三十四分五十七秒若太陰在癸距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度為上弦與望之間此時太隂初均應減五度四十四分二十九秒然測太隂實行却比平行少六度一十六分比所推實行少三十一分三十一秒兩測太陽同在最高前測太隂在朔望後四十五度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前四十五度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三十三分一十四秒為太陽在最高時月在朔望前後四十五度之最大二均數朔望後為加兩弦後為減也設月天最高在日天最卑戊太陽在最卑戊太陰在辛距最高四十五度距日亦四十五度為朔與上弦之間此時太隂初均應減五度六分一十一秒然測太隂實行則僅比平行少四度二十七分一十七秒比所推實行多三十八分五十四秒若太隂在庚距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望後四十五度為望與下弦之間此時太隂初均應加五度四十四分二十九秒然測太陰實行却比平行多六度一十九分五十七秒比所推實行多三十五分二十八秒又設太陰在癸距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度為下弦與朔之間此時太陰初均應加五度六分一十一秒然測太陰實行則僅比平行多四度二十七分一十七秒比所推實行少三十八分五十四秒若太陽在壬距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度為上弦與望之間此時太陰初均應減五度四十四分二十九秒然測太陰實行却比平行少六度一十九分五十七秒比所推實行少三十五分二十八秒兩測太陽同在最卑前測太陰在朔望後四十五度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前四十五度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分四十三秒别為三均以減大數加小數得三十七分一十一秒為太陽在最卑時月在朔望前後四十五度之最大二均數朔望後為加兩弦後為減也設月天最高當日天最高丙太陽在最高丙太陰在子距最高三十度距日亦三十度此時太陰初均應減三度三十三分五十七秒然測太陰實行僅比平行少三度三分五十七秒比所推實行多三十分若太陰在丑距最高二百一十度距日亦二百一十度而在望後三十度此時太陰初均應加四度七分一十三秒然測太陰實行却比平行多四度三十四分四十七秒比所推實行多二十七分三十四秒又設太隂在寅距最高三百三十度距日亦三百三十度而在朔前三十度此時太陰初均應加三度三十三分五十七秒然測太隂實行僅比平行多三度三分五十七秒比所推實行少三十分若太陰在卯距最高一百五十度距日亦一百五十度而在望前三十度此時太陰初均應減四度七分一十三秒然測太隂實行却比平行少四度三十四分四十七秒比所推實行少二十七分三十四秒兩測太陽同在最高前測太陰在朔望後三十度實行皆比所推為多後測太陰在朔望前三十度實行皆比所推為少是知太陰在朔望後則加在朔望前則減為二均之故矣然朔後則多數大望後則多數小朔前則少數大望前則少數小是必另有一均因朔後而加望後而減者於是以大小兩數相減折半得一分一十三秒别為三均以減大數加小數得二十八分四十七秒為日在最高時月距日三十度之二均數朔望後為加兩弦後為減也乃以前第一測月距日四十五度倍之得九十度其正弦即半徑一千萬為一率前第一測月距日四十五度之二均三十三分一十四秒為二率第三測月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四為三率求得四率二十八分四十七秒與所測合故知月距日逐度之差以半徑與月距日倍度之正弦為比例也又設月天最高在日天最高丙太陽在辰距本天最高三十度距月天最高亦三十度太陰在己距本天最高六十度距日三十度此時一平均應加五分四十九秒二平均應減三分六秒初均應減五度五十三分二十二秒三均應加一分一十三秒實行應比平行少五度四十九分二十六秒然測太陰實行則僅比平行少五度二十分二十六秒比所推實行多二十九分是為日在日天最高後三十度時月距日三十度應加之二均數與本天高卑比例相合蓋以日在最卑距地之立方九五○一五二為一率日在最高距地之立方一○五一五六二為二率以日在最高之最大二均數三十三分一十四秒加高卑二平均較二十二秒得三十三分三十六秒為三率則得四率三十七分一十一秒為日在最卑之最大二均數以今設日距最高三十度距地一○一四五六之立方一○四四三一九為一率日在最高距地之立方一○五一五六二為二率以日在最高月距日三十度之二均數二十八分四十七秒加本日二平均較一秒(法見前求二平均篇)得二十八分四十八秒為三率則得四率二十九分為本日之二均數此正理也然列表則甚繁而入算亦不易故先以半徑為一率日在最高最大二均數三十三分一十四秒為二率月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四為三率得四率二十八分四十七秒為日在最高月距日三十度之二均數又以半徑為一率日在最卑最大二均數三十七分一十一秒為二率月距日倍度之正弦為三率得四率三十二分一十二秒為日在最卑月距日三十度之二均數兩二均之較為三分二十五秒乃以太陽高卑立方大較一○一四一○為一率兩二均之較三分二十五秒為二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九與最高距地之立方一○五一五六二相減餘七二四三為本日立方較為三率求得四率一十四秒與日在最高之二均相加得二十九分一秒為日距最高三十度時月距日三十度之二均數比前法僅多一秒故太陽距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方較與本日太陽距地之立方較為比例也求三均末均新法算書推歩朔望兩弦皆無三均數而三均之最大者毎在朔弦弦望之間故知三均之差生於月距日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望間之最大差屬之二均而月距日九十度與月高距日高九十度其差正等(見求兩心差第二第三條求一平均第一第二條)月距日四十五度與月高距日高四十五度其差又等(見求一平均第三條求二)(平均第一條求二均第一條)則是三均之差不専係乎月距日之故也於是取月距日與月高距日高之共為九十度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為九十度者等又取月距日與月高距日高之共為四十五度時測之其差與月距日或月高距日高之獨為四十五度者等乃知三均之差生於月距日與月高距日高之總度半周内為加半周外為減其九十度與二百七十度之最大差為二分二十五秒其間逐度之差以半徑與總度之正弦為比例則三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度兩者止有一相距之差則止有三均若月天最高與日天最高有距度日月又有距度則三均之外朔後又差而遲望後又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度時無三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分為九限各於月距日九十度時測之兩高相距九十度其差三分漸近則漸小其間月距日逐度末均之差皆以半徑與月距日之正弦為比例朔後為減望後為加而後推太隂經度之法纎悉具備今考其所測其數之小者只在秒微之間其時又數十年而不一遇然其用意細宻學者茍通乎此何患推測之無術歟如甲為地心乙為日本天心丙丁戊己為日本天丙為最高戊為最卑丁己為中距設日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度與月高距日高共為九十度此時二平均應加三分三十四秒二均應加三十三分一十四秒實行應比平行多三十六分四十八秒然測太隂實行却比平行多三十八分五秒半比所推實行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度與月高距日高共為四百五十度減全周餘亦九十度此時二平均亦應加三分三十四秒二均亦應加三十三分一十四秒實行應比平行多三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行多四十分二十秒半比所推實行多三分三十二秒半又設月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度與月高距日高共六百三十度減全周餘二百七十度此時二平均應減三分三十四秒二均應減三十三分一十四秒實行應比平行少三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行少三十八分五秒半比所推實行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度與月高距日高亦共為二百七十度此時二平均亦應減三分三十四秒二均亦應減三十三分一十四秒實行應比平行少三十六分四十八秒然測太陰實行却比平行少四十分二十秒半比所推實行少三分三十二秒半前測兩距總數共九十度實行皆比所推為多後測兩距總數共二百七十度實行皆比所推為少是知兩距之總度半周内為加半周外為減兩三均之故矣然距日半周内則多數小少數大距日半周外則多數大少數小是必另有一均因朔後而減望後而加者於是以大小兩數相減折半得一分七秒半别為末均以加小數減大數得二分二十五秒為兩距共九十度與二百七十度之三均九十度為加二百七十度為減也設日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半與月高距日高共為四十五度此時二平均應加二分三十一秒二均應加二十三分三十秒實行應比平行多二十六分一秒然測太陰實行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推實行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半與月高距日高共四百零五度減全周餘亦四十五度此時二平均亦應加二分三十一秒二均亦應加二十三分三十秒實行應比平行多二十六分一秒然測太陰實行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推實行多二分八秒五十二微半又設月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半與月高距日高共六百七十五度減全周餘三百一十五度此時二平均應減二分三十一秒二均應減二十三分三十秒實行應比平行少二十六分一秒然測太陰實行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推實行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半與月高距日高亦共為三百一十五度此時二平均亦應減二分三十一秒二均亦應減二十三分三十秒實行應比平行少一十六分一秒然測太陰實行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推實行少二分八秒五十二微半前測兩距總數共四十五度實行皆比所推為多後測兩距總數共三百一十五度實行皆比所推為少是知兩距總度半周内為加半周外為減為三均之故矣然距日半周内則多數小少數大距日半周外則多數大少數小是必另有一均因朔後而減望後而加者於是以大小兩數相減折半得二十五秒五十二微半别為末均以加小數減大數得一分四十三秒為兩距共四十五度與三百一十五度之三均四十五度為加三百一十五度為減也前測日月同度兩高相距九十度三均差二分二十五秒(見求兩心差第二條一平均第二條)兩高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒(見求兩心差第三條一平均第一條)日月同度兩高相距四十五度三均差一分四十三秒(見求二平均第二條)兩高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒(見求)(二均第一條)今測兩距共九十度三均亦差二分二十五秒兩距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生於兩距之總度而九十度之正弦與二分二十五秒之比同於四十五度之正弦與一分四十三秒之比故知逐度之三均以半徑與總度之正弦為比例也前測月天最高在日天高卑前後四十五度月在朔望前後四十五度末均皆為一分七秒半月天最高在日天高卑前後二十二度半月在朔望前後二十二度半末均皆為二十五秒五十二微半可見月天最高距日天高卑前後之度等則其差亦等月距朔望前後之度等則其差亦等而獨四十五度與二十二度半一分七秒半與二十五秒五十二微半無以為比例於是取月天最高距日天高卑前後九十度時按月距日逐度測之設日在最高丙正當交點月天最高在丁距日天最高後九十度月在最高丁距朔後九十度此時無一二三平均亦無初二三均然測太陰實行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以測太陰實行則比平行多三分是知月天最高距日天最高前後九十度而月距日朔望前後九十度時末均為三分朔後為減望後為加又設日在最高丙月天最高在丁距日天最高後九十度月在庚距最高前六十度而在朔後三十度此時太陰初均應加四度一十分五十六秒二均應加二十八分四十七秒三均應加二分六秒實行應比平行多四度四十一分四十九秒然測太陰實行僅比平行多四度四十分一十九秒比所推實行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高後二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望後三十度此時太陰諸均俱與前同然以測太陰實行則比平行多四度四十三分一十九秒比所推實行多一分三十秒又設日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高後六十度距日一百五十度而距望前三十度此時初均應減四度一十分五十六秒二均應減二十八分四十七秒三均應減二分六秒實行應比平行少四度四十一分四十九秒然測太陰實行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推實行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此時太陰諸均俱與前同然以測太陰實行僅比平行少四度四十分一十九秒比所推實行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前後九十度而月距日朔望前後三十度時末均為一分三十秒朔後為減望後為加又九十度之正弦一千萬與三分之比同於三十度之正弦五百萬與一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半徑與月距日之正弦為比例也乃用此法各於月距日九十度時測得月天最高距日天高卑前後九十度最大末均為三分八十度最大末均為二分三十九秒七十度最大末均為二分一十九秒六十度最大末均為二分五十度最大末均為一分四十三秒四十度最大末均為一分二十八秒三十度最大末均為一分一十六秒二十度最大末均為一分七秒一十度最大末均為一分一秒月天最高與日天高卑同度無末均其間月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前後四十五度之最大末均為一分三十五秒半以半徑與月距日四十五度之正弦為比例得本時末均為一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前後二十二度半之最大末均為一分九秒一十五微以半徑與月距日二十二度半之正弦為比例得本時末均為二十六秒二十二微半與前測合求交均及黄白大距正交之行有遲疾由於黄白大距有大小上編言之詳矣授時厯用古法黄白大距恒為六度(以周天三百六十度)(每度六十分約之得五度五十四分三十九秒)朔望兩弦無異故無交均新法算書測定朔望時交角(即大距度)最小為四度五十八分三十秒兩弦時交角最大為五度一十七分三十秒兩距度之較為一十九分交均之最大者為一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以来謂日在兩交時交角最大為五度一十七分二十秒日距交九十度時交角最小為四度五十九分三十五秒兩距度之較為一十七分四十五秒朔望而後交角又有加分因日距交與月距日之漸逺以漸而大至日距交九十度月距日亦九十度時加三分四十三秒交均之最大者為一度二十九分四十二秒皆與新法算書不同然厯家測黄白大距必於月距交九十度時夫月距交九十度而值朔望則日距交亦九十度是今之謂日距交九十度交角小猶與朔望交角小之義同也月距交九十度而值兩弦則日必在兩交是今之謂日在兩交交角大猶與兩弦交角大之義同也惟日在兩交而又值朔望則交角關乎食分之淺深日距交九十度而又值兩弦則加分關乎距緯之逺近是必驗諸實測古今確有不同之處㕘稽經緯以成一家之言而非輕為改定也至其推算之法以五十九為邊總五十六為邊較求得黄極之角為交均以日距交月距日之餘弦比例得加分與最小之交角相加為大距亦與新法算書不同則是作者務出新竒而又取其易於入算故近日西士皆從之稱為新學今並悉其根源具詳圖説於左如圖甲為黄極乙丙丁為黄道以最大距限(距限即大距度)(因大距又有大小故名距限以别之)五度一十七分二十秒與最小距限四度五十九分三十五秒相加折半得五度八分二十七秒半為距限中數以中數為半徑作戊己庚辛圏為白極繞黄極本輪又以兩距限相減折半得八分五十二秒半為半徑作壬癸子丑圏為負白極均輪均輪心循本輪周左旋自戊向己每日三分有餘為正交行度白極循均輪周右旋自壬向癸每日二度四分有餘為日距正交之倍度如均輪心在戊日在兩交時白極在壬正交在乙中交在丁寅丙弧為最大距限五度一十七分二十秒與壬甲弧等日距交九十度時白極在子正交亦在乙中交亦在丁卯丙弧為最小距限四度五十九分三十五秒與子甲弧等惟此二時白極與輪心同在一線故無交均日厯兩交而後白極從壬向癸距限漸小交行漸遲交均俱為加差日距交九十度而後白極從子向丑距限漸大交行漸疾交均俱為減差(正交逆行故加為遲減為疾也)此即上編求交均大距之法惟白極行日距正交之倍度與月距日倍度不同耳然用是以推交均則與今表不合設日距交四十五度白極自壬行九十度至癸交均戊甲癸角當為一度三十九分一秒今表則為一度二十九分四十秒其法以五十九為一率五十六為二率日距正交之正切線為三率求得四率為正切線檢表與日距正交相減得交均盖弧線三角形之小者可作直線算而甲戊癸三角形知甲戊戊癸二邊及壬戊癸外角當用切線分外角法日距正交之度即半外角也則五十九必邊總也五十六必邊較也以數推之戊辰當為四百八十二秒半辰癸當為五十秒用約分比例甲戊一萬八千五百零七秒半為五十七分半則戊辰四百八十二秒半為一分四九九若以甲戊正弦八九六○六六為五十七分半則戊辰正弦二三三九二為一分五○一折中而取之為一分半故相加得五十九分為邊總相減得五十六分為邊較此其為立法所自来斷如矣然用是以求大距則又與今表不合盖均輪之内仍有一小輪試将壬子均輪全徑一千零六十五秒五分之得二百一十三秒除一百六十三秒為加分小輪全徑餘五十秒即為交均小輪全徑與均輪全徑相減餘一千零一十五秒為負小輪全徑小輪心循負小輪周右旋行日距正交之倍度白極自小輪最逺㸃左旋行輪心之倍度如日在兩交無距度則小輪心在己白極在壬無交均仍以壬甲弧為距限也日距交九十度則小輪心自己行一百八十度至午白極自最逺子行三百六十度仍至子無交均仍以子甲為距限也如日距交四十五度則小輪心自己行九十度至未白極自最逺癸行一百八十度至辰戊甲辰角一度二十九分四十秒為交均辰甲五度八分三十四秒為距限也如日距交三十度則小輪心自己行六十度至申白極自最逺酉行一百二十度至戌戊甲戌角一度一十六分三十七秒為交均(表多二秒)戌甲五度一十二分五十八秒為距限也(先用)(戊酉斗三角形求得酉斗邉七分四十一秒一六斗)(戊邉四分二十六秒二五則斗甲為五度一十二分)(五十三秒七五次求得酉戌通弦四十三秒三○與)(酉斗相減餘六分五十七秒八六為斗戌邉然後用)(斗甲戌直角形求甲角及甲戌邉餘倣此)如日距交六十度則小輪心自巳行一百二十度至亥白極自最逺亢行二百四十度至氐戊甲氐角一度一十八分五十秒為交均(表少)(九秒)氐甲五度四分六秒為距限也如此則交均距限理數皆極精宻而推算則屬繁難且交均用小輪與去一小輪全徑作小均輪其角度相去不逺(見前)距限用弦與用股其邉度亦相去不逺(見後)故將戊癸均輪半徑五百三十二秒半減癸辰小輪全徑五十秒餘戊辰四百八十二秒半作小均輪半徑則甲戊與戊辰之比常如五十七分半與一分半之比用切線分外角法即得逐度之交均以半徑一千萬為一率日距正交倍度之正矢為二率(過九十度則用大矢)仍以均輪壬戊半徑五百三十二秒半為三率(酉斗癸戊亢牛等線皆為均輪正弦)(壬斗壬戊壬牛等線皆為均輪正矢故仍以均輪半)(徑為比例)求得四率為距交減分(如壬斗壬戊壬牛之類)與壬甲最大距限五度一十七分二十秒相減即得逐度之距限也(斗甲為五度一十二分五十四秒比戊甲)(少四秒戊甲為五度八分二十八秒比辰甲少六秒)(牛甲為五度四分一秒比氐甲少五秒故日相去不)(逺)然此又惟朔望為然朔望而後交角又有加分因日距交與月距日之漸逺以漸而大至日距交九十度月距日亦九十度時交角比朔望大二分四十三秒蓋白道之上又有小輪其周之下點與白道相切日距交漸逺其徑漸大至日距交九十度時最大全徑為二分四十三秒其逐度之小輪全徑與最大小輪日距正交倍度之正矢等是為距交加差朔望而後白道以漸而張與白道小輪月距日倍度之正矢等(凡正矢過九十度俱用大矢後倣此)是為距日加分如白極在壬無日距交度則無白道小輪即無距交加差如白極在子日距交倍度為一百八十度則白道小輪女卯全徑為二分四十三秒即距交加差(一百八十度之大矢即全徑故小輪)(全徑最大)設兩弦時月距日倍度為一百八十度則白道自卯張至女女卯小輪全徑即為距日加分(一百八十度之)(大矢即全徑故交角加分即與小輪全徑等)與卯丙距限相加(卯丙與子甲等)得女丙為黄白大距設月距日倍度為六十度則白道張至危以半徑一千萬為一率六十度之正矢五百萬為二率(半徑與餘弦相減為正矢)小輪半徑一分二十一秒半為三率求得四率危卯四十一秒為距日加分與卯丙距限相加得危丙為黄白大距又如白極在辰日距交倍度為九十度則白道小輪乾坎全徑一分二十一秒半為女卯最大小輪全徑之一半是為距交加差(九十度之正矢與半徑等故白道小輪全)(徑與最大小輪半徑等)設月距日倍度為一百二十度則白道張至艮以半徑一千萬為一率一百二十度之大矢一千五百萬為二率(半徑與餘)(弦相加為大矢)小輪半徑四十秒七五為三率求得四率坎艮一分一秒為距日加分與坎震距限相加(坎震與辰甲等)得艮震為黄白大距其數悉與今表相合而表之立算則不用距交減分而總用加分其法以半徑一千萬為一率日距正交倍度之餘弦為二率壬戊均輪半徑八分五十二秒半為三率求得四率如斗戊與戊牛之類日距正交倍度九十度以内者與戊子半徑相加得數如斗子之類日距正交倍度九十度以外者與戊子半徑相減得數如牛子之類是為距交加分蓋前以壬斗壬牛等類之距交減分與壬甲最大距限相減此以斗子牛子等類之距交加分與子甲最小距限相加其得數同也至求距日加分則又用兩加差為比例先以半徑一千萬為一率日距正交倍度之正矢為二率最大加分二分四十三秒折半得一分二十一秒半為三率求得四率為距交加差次以半徑一千萬為一率月距日倍度之正矢為二率仍以最大加分之半數一分二十一秒半為三率求得四率為距日加差乃以最大加分二分四十三秒為一率距交加差為二率距日加差為三率求得四率為距日加分蓋距交加差即白道小輪全徑用其半徑與月距日倍度之正矢為比例即得距日加分今距日加差與距交加差同列一表仍以最大加分為全徑立算則其所得距日加差乃差之最大者故以最大加分(即最大小輪全)(徑也)與距交加差之比(即本時小)(輪全徑也)同於最大距日加差(最大小輪全徑所生)與本時距日加分之比也(本時小輪全徑所生)以距日加分與距交加分相加為交角加分與最小距限相加即為黄白大距蓋以距交加分加於最小距限與以距交減分減於最大距限其得數旣同而得距限之後再加距日加分與先以距日加分與距交加分相加而後加於最小距限其得數亦同也論法則用交角減分為明列表則用交角加分為便故推月離之法則兩載之實並行而不相悖也地半徑差太陰地半徑差以太陰距地平及距地心之逺近為大小上編言之詳矣顧舊法高卑距地心有定數而推距地平逐度之視差則皆用三角形立表易而推算難故自五十三倍地半徑至六十二倍地半徑列為十表今法高卑距地心無定數太陰之自行雖同度而距地心之逺近常不同至推距地平逐度之視差則即以距天頂之正弦與地平最大差為比例(見本編日躔地半徑差篇)立表難而推算易故以最大兩心差與最小兩心差各求太陰自高至卑逐度之地平最大差合為一表若兩心差在大小之間者則用中比例求之(法見本表)其求太陰自高至卑逐度地平最大差之法則先求得兩心差最大時最高距地心一○六六七八二○為六十三倍地半徑又百分之七十七最卑距地心九三三二一八○為五十五倍地半徑又百分之七十九兩心差最小時最高距地心一○四三三一九○為六十二倍地半徑又百分之三十七最卑距地心九五六六八一○為五十七倍地半徑又百分之一十九中距距地心一千萬為五十九倍地半徑又百分之七十八(測算之法並同上編)依法求得太陰自高至卑逐度距地心線與地半徑之比例及地平最大差列為表因其為推交食之用故表入交食焉御製厯象考成後編卷二
## 卷三
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷三交食數理交食總論用日躔月離求實朔望用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距求月食初虧復圓時刻(食既生光附)求日月實徑與地徑之比例(視徑附)求影半徑及影差求黄道高弧交角求月食初虧復圓併徑黄道交角(即緯差角)求白經高弧交角求高下差求日食食甚真時及兩心視相距求日食初虧復圓時刻(方位附)求日食帶食交食總論日月相㑹為朔相對為望朔而同度同道則月掩日而日為之食望而同度同道則月亢日而月為之食(朔望日月皆東西同度而南北不皆同道同道則食)顧推步之法月食猶易而日食最難以月在日下人在地面隨時隨處所見常不同也自大衍以至授時其法寖備我朝用西法推驗尤請上編言之詳矣近日西人噶西尼等益復精求立為新表其理不越乎昔人之範圍而其用意細密又有出於昔人所未及者如求實朔實望用前後二時日月實行為比例昔之用平朔平望實距弧者未之及也日月兩心相距最近為食甚兩周初切為初虧初離為復圓皆用兩經斜距為比例昔之用月距日實行者未之及也日食用圖算月之視行不與白道平行帶食日在地平視差即圓之半徑月之視距即見食之淺深昔之言視差者亦未之及也雖其數所差無多而其法實屬可取其他或因屢測而小有變更或因屢算而益求簡㨗則又考驗之常規而推步所當從也各為之說如左用日躔月離求實朔望從來求實朔望有二法一用本日次日兩子正日月黄道實行度比例其相㑹之時刻為實朔相對之時刻為實望推逐月朔望用之(見下編推合朔弦望法)以巳有本年逐日之日躔月離故也一用本年首朔先求本月平朔望之時刻然後求其平行實行之差比例加減而得實朔望之時刻推交食用之(見上編朔望有平實之殊篇及下編)(推日食月食法)因上考徃古下推將來不必逐日悉推其躔離而即可逕求其朔望故也斯二法誠不可偏廢但從前交食求平行實行之差太隂惟用初均故甚整齊簡易今求太隂初均又有諸平均之加減旣屬繁難而黄白大距又時時不同非推月離不得其凖故今交食推實朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日兩子正之日躔月離以求其實朔望之時又推本時次時兩日躔月離以比例其時刻較之舊法似為紆逺然太隂之行甚速因遲疾差之故一日之内行度時時不同且平行實行之差大者至八九度則平朔望與實朔望之相距即至十有餘時今以前後兩時相比例較之止用兩子正實行度相比例者固為精宻即較之以距時為比例者亦又加詳矣用兩經斜距求日月食甚時刻及兩心實相距新法算書以實朔用時即為日食食甚用時以實望用時即為月食食甚時刻皆黄白同經(太隂自道度與太陽黄道)(度相等為黄白同經)上編以此時兩心斜距猶逺惟自白極過太陽作經圏與白道成直角太隂臨此直角之㸃兩心相距最近始為食甚故以白道升度差為食甚距弧以一小時月距日實行比例得時分與實朔望用時相加減方為食甚時刻(月食即食甚時刻日食為食甚用時)其法較前為加密矣(見月食五限時刻日食三限時刻篇)近日西法用日躔月離比例求實朔望是為黄道同經較之新法算書去食甚為尤逺而其求食甚之法則亦以兩心相距最近為食甚實緯以實朔望太隂距最近㸃之度為食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月兩經常相斜距若以太陽為不動則太隂如由斜距線行故求兩心相距最近之線不與白道成直角而與斜距線成直角其距弧變時亦不以月距日實行度為比例而以斜距度為比例較之上編為尤近焉雖度分時刻所差無多而其理更為細密圖說詳著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為中交新法算書以日心在甲月心在丙為實朔影心在甲月心在丙為實望甲乙與丙乙等是為黄白同經無另求食甚之法上編以月行至丁為食甚甲丁距緯與白道成直角較甲丙為近故丙丁為食甚距弧以月距日實行比例得時分加於丙㸃實朔望之時刻方為食甚時刻今用日躔月離黄道度算則以日心在甲月心在戊為實朔影心在甲月心在戊為實望甲戊距緯與黄道成直角是為黄道同經戊之去丁較丙丁為尤逺按上編之法當以甲乙黄道度求丁乙白道升度與戊乙太隂距交白道度相減餘戊丁為食甚距弧而仍以甲丁距緯為食甚兩心實相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁則日亦不在甲而顧謂甲丁為食甚兩心實相距戊丁為食甚距弧者蓋月由戊行至己則日由甲行至庚庚己與甲丁平行甲庚與辛已等庚己與甲辛等丁己與辛己甲丁與庚己皆相差無多故借甲丁為與庚己等為兩心實相距借丁己為與辛己等為日行(月食為影心行與日行等)而戊己原為月行則戊丁即為月距日之行故即以戊丁為距弧以一小時月距日實行為比例即得食甚距時也今求食甚之法以戊乙與甲乙原非平行日月兩經常相斜距己㸃固為直角相對之時而其相距尤近必猶在己㸃之後試與甲乙平行作戊壬線為黄道距等圏取一小時日實行甲癸之分截之於子取一小時月實行截白道於丑則子丑為一小時兩經斜距又與戊子平行作丑寅線與子丑平行作戊寅線則寅丑與戊子等亦為一小時日實行戊寅與子丑等亦為一小時兩經斜距戊寅丑與戊辛己為同式形月行為戊丑則日行為寅丑(與甲癸等)斜距為戊寅月行為戊己則日行為辛己(與甲庚等)斜距為戊辛是日月二道原非平行而兩經斜距則常為一線若以日心為不動將庚㸃合於甲則月心己㸃必合於辛將癸㸃合於甲則月心丑㸃必合於寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距線上行矣乃自甲㸃與戊寅斜距成直角作甲夘線與丑寅平行作夘辰線與甲夘平行作辰巳線則甲己與夘辰等為實朔至食甚之日實行戊辰為實朔至食甚之月實行辰巳與甲夘等即食甚兩心實相距甲夘相距之近尤近於甲辛(甲夘)(為股甲辛為弦股必短於弦也)是月心臨於辰㸃方為食甚其實行在己㸃後也若以日心為不動將己㸃合於甲則月心辰㸃必合於夘故戊夘為食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑邊為一小時日實行戊丑邊為一小時月實行丑角與乙角等即本時黄白交角用切線分外角法求得戊角為斜距交角差(斜距交角差者乃斜距黄道交角與黄白交角)(之差此本係弧線三角形因其形甚小故作直線算以從簡易)並求得戊寅邊為一小時兩經斜距次用甲戊夘三角形以丑戊寅角與丑戊壬黄白交角相加(戊壬寅丑二線皆與甲乙線平行故)(丑角戊角皆與乙角等)得寅戊壬角為斜距黄道交角即與夘甲戊角等(甲戊午與甲夘戊及)(戊夘午皆為同式三角形故寅戊壬角與夘甲戊角等)乃以半徑與甲角餘弦之比同於甲戊與甲夘之比(此亦作直線算)而得甲夘為食甚兩心實相距又以半徑與甲角正弦之比同於甲戊與戊夘之比而得戊夘為食甚距弧然後以戊寅一小時兩經斜距為一率一小時為二率戊夘食甚距弧為三率求得四率為食甚距時蓋月行為戊辰日行為夘辰斜距為戊夘戊夘辰三角形與戊寅丑三角形為同式比例也今設乙角為四度五十八分三十秒(丁甲戊角戊丑寅角丑戊)(壬角皆與乙角等)甲乙為實朔太隂黄道距中交前十度戊甲為太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑為一小時日實行二分二十七秒八五戊丑為一小時月實行三十二分五十六秒四六舊法用甲乙戊三角形求得甲丁兩心實相距為五十一分四十五秒九○戊丁距弧為四分三十秒三五以日月二實行相減得一小時月距日實行為三十分二十八秒六一此例食甚距時得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二與丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二為斜距黄道交角與夘甲戊角等又求得戊寅邉三十分二十九秒一九為一小時兩經斜距次用甲夘戊三角形求得甲夘兩心實相距為五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊夘距弧為四分五十二秒一三以戊寅兩經斜距比例食甚距時得九分三十四秒九四比戊丁距時遲四十三秒是為兩心相距最近之時若實朔望在交後則日由乙向甲月由乙向戊兩心以漸而逺食甚在實朔望前距時比舊為早其法並同求月食初虧復圓時刻(食既生光附)月食求初虧復圓時刻以食甚實緯為一邊併徑為一邊以實緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚時刻相加減即得初虧復圓時刻(初虧減復圓加)上編言之詳矣(見月食五限時刻篇)今以弧線可作直線算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧變時則以一小時兩經斜距為比例葢食甚兩心實相距既與斜距成直角則初虧復圓之併徑亦與斜距成勾股故仍以斜距比例時分也圖說并著於左如圖甲乙為黄道丙乙為白道乙角為黄白交角實望時地影心在甲月心在丙食甚時地影心在丁月心在戊戊丁為食甚兩心實相距與甲己等丙己為食甚距弧初虧時地影心在庚月心在辛辛戊為初虧至食甚之月實行庚丁為初虧至食甚之日實行與壬戊等辛壬為初虧至食甚日月兩行之斜距與癸巳等即初虧距弧(理與食甚同)庚壬卽食甚兩心實相距與甲己等庚辛為併徑與甲癸等復圓時地影心在子月心在丑戊丑為食甚至復圓之月實行丁子為食甚至復圓之日實行與戊寅等寅丑為食甚至復圓日月兩行之斜距與巳夘等即復圓距弧子寅即食甚兩心實相距與甲己等子丑為併徑與甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳甲為相等四股勾形若以地影心為不動以食甚影心丁㸃合於甲則月心戊㸃合於巳以初虧影心庚㸃合於甲則壬㸃合於巳而月心辛㸃合於癸以復圓影心子㸃合於甲則寅㸃合於巳而月心丑㸃合於夘初虧復圓距弧即與癸夘斜距合為一線矣故今求初虧復圓距弧即用癸己甲勾股形以己甲為勾癸甲為弦求得癸己股與巳卯等為初虧復圓距弧夫癸己與己夘二弧既皆為兩經斜距則以二弧變時亦當與斜距為比例故以一小時兩經斜距與一小時之比同於癸己或己夘初虧復圓距弧與初虧復圓距時之比也若食既生光則甲癸甲夘二線為月半徑與影半徑相減之較其法并與初虧復圓同求日月實徑與地徑之比例(視徑附)從來算家謂日月之在天其實徑原為一定之數而視徑之大小則因距地有逺近而時時不同然所謂實徑者仍以視徑之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心數皆與舊不同則日月距地之逺近亦因之而各異且視徑之大小古今所測相差惟在分秒之間在器只争毫釐而在數已差千百則實徑究亦未有一定之數也新法算書載日實徑為地徑之五倍有餘中距日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百四十二月實徑為地徑百分之二十七强中距朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二上編仍之以推最高日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百六十二最卑日天半徑與地半徑之比例為一與一千一百二十一(見日躔地半徑差篇)最高朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六最卑朔望時月天半徑與地半徑之比例為一與五十四又百分之八十四(見交食日月距地與地半徑之比例篇)今監臣戴進賢等據西人近年所測日天半徑與地半徑之比例最高為一與二萬零九百七十五中距為一與二萬零六百二十六最卑為一與二萬零二百七十七月天半徑與地半徑之比例最高為一與六十三又百分之七十七中距為一與五十九又百分之七十八最卑為一與五十五又百分之七十九(詳本編曰躔月離地半徑)(差篇)又用逺鏡儀(西人黙爵所製以逺鏡加衡為窺管)測得日視徑最高為三十一分四十秒中距為三十二分一十二秒最卑為三十二分四十五秒月視徑最高為二十九分二十三秒中距為三十一分二十一秒最卑為三十三分三十六秒用此數推算日實徑為地徑之九十六倍又十分之六月實徑為地徑百分之二十七小餘二六强夫月實徑與舊大致相符而日實徑差至十九倍者蓋今所測日距地數比舊原大十八倍餘則日實徑比舊大十九倍止為大十八分之一故今之日視徑亦比舊大十八分之一是則視徑之大小固各得之實測要亦合諸推算以成一家之言至於日體純陽其光恒溢於常徑之外新法算書謂周圍皆大一分今說謂大一十五秒故推日食之法必於併徑内減去太陽光分一十五秒餘與視緯相較方為受食之分而日之本徑則仍帶光分算其理固應爾也測算之法並見上編求影半徑及影差地影半徑之大小由於太陽距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太陽在最高所生之大影為率求得太隂從高及卑所當地影之濶為影半徑又以太陽從高及卑所生各影小於大影之較為影差與影半徑相減乃為實影半徑上編言之詳矣(見地影半徑篇)今以三角形之理考之日月兩地半徑差相併即與日半徑影半徑相併之數等而日月地半徑差及日半徑皆推交食所必用之數且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半徑惟以日月兩地半徑差相加内減去日半徑餘即為實影半徑以影差已在其中也此外又有視影之說蓋以地上有蒙氣差能映小為大則太陽實徑必小於視徑實徑小則影大矣又月食時日在地下蒙氣轉蔽日光則地影視徑必尤大於實徑計其所大之分約為太隂地半徑差六十九分之一故又以此為影差與實影半徑相加為視影半徑則所謂影差者名雖同而義實異也總之算家立說古今不必相同然測驗皆期於合天而推步必歸於有據舊說謂太陽有光分能侵地影使小今說謂地周有蒙氣能障地影使大此亦極不同之致矣然最大影半徑舊為四十六分四十八秒今為四十六分五十一秒相差不過三秒最小影半徑舊為四十二分三十八秒今為三十八分二十八秒相差四分有餘蓋地影之大小固由於太陽距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗為尤重查最卑太隂距地今昔相差不過百分地半徑之九十五最高太隂距地則相差至百分地半徑之五百六十一夫月之距地既因兩心差而不同則月徑與影徑遂亦因之而各異要皆據一時之所測設法推步以求合而非為臆說也圖說詳著於左如圖甲乙為地半徑甲丙為日天半徑丙丁為日半徑從丁切乙作光線與丙甲線交於戊甲戊為地影之長甲己為月天半徑庚己辛為月行所當地影之濶己甲辛角為影半徑分(詳上編地影半徑篇)試觀甲丁辛三角形丁辛二内角與壬甲辛一外角等而丁角即太陽地半徑差辛角即太隂地半徑差(甲丁線畧與甲丙日天半徑等甲辛線畧與甲巳月天半徑等)(而其角皆與甲乙地半徑相當故其角即為地半徑差角)壬甲巳角與丙甲丁角為對角即日半徑故以丁角太陽地半徑差與辛角太隂地半徑差相加即得壬甲辛角内減日半徑壬甲己角餘己甲辛角即實影半徑蓋日月地半徑差及日半徑既因日月距地之高卑逺近而時時不同故所得影半徑即為本時之實影半徑不復有影差也又蒙氣映小為大丙丁為太陽視半徑丙癸為太陽實半徑從癸切乙作光線與丙甲線交於子則月行所當地影半徑為己丑而己丑之分必大於己辛且地球外蒙氣之厚如乙寅從丁切寅作光線與丙甲線交於夘則月行所當地影半徑為己辰而己辰之分必尤大於己辛矣此辛辰之分當辛甲辰角約為甲辛乙角六十九分之一故又以此為影差與實影半徑己甲辛角相加得己甲辰角為視影半徑也求黄道高弧交角求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上編月食方位求交角之法與日食三差之求交角者微有不同而畧為簡易葢各圏相交皆成弧線三角形轉換相求法可相通而理實一致彼此互相發也近日西法又以黄道赤經交角與赤經高弧交角相加減而得黄道高弧交角用以求月食方位繁簡大槪相同而用以求日食三差則甚為省便葢黄道隨天西轉其象時時不同而黄道赤經交角無異不須逐時推算也因著其法於左如圖甲為天頂甲乙丙為子午圏乙丙為地平丁為赤極戊己庚為赤道辛為黄極壬癸子丑為黄道己為春分丑為黄道交西地平之㸃壬為黄平象限距丑九十度癸為正午壬癸為黄平象限距正午之度壬寅為黄平象限距地平之度即丑角度子為太隂實行經度(日食即為太陽經度月食為太)(陽對衝地影之經度)子已為太隂距春分後之經度子壬為太隂距黄平象限之度甲子夘為高弧丁子辰為赤道經圈辰巳為赤道同升度戊辰為太陰距正午赤道度(日食即太陽距午正赤道度月食為太陽距子)(正赤道度)丑子夘角為黄道高弧交角求之之法先用戊己弧求癸己癸戊二弧及癸角次求癸丑弧及丑角以求子角者日食三差之法也先用己庚弧求己丑弧及丑角以求子角者月食方位之法也今按己子辰角即黄道赤經交角甲子丁角與辰子夘角為對角即赤經高弧交角兩角相減即得丑子夘黄道高弧交角夫黄道交地平之丑角時時不同而己子辰黄道赤經交角則初虧與復圓無異然則先求得黄道赤經交角至求黄道高弧交角則惟求一赤經高弧交角與之加減而己其加減之法以太陰在夏至前後各六宫與距正午之東西為定試以甲為天頂作乙庚丙己地平圏乙甲丙為子午經圏庚甲己為東西經圏庚戊己為赤道丑己未為黄道己為春分當黄平象限丑為冬至當西地平未為夏至當東地平是為夏至前六宫在地平上癸為黄道當正午之度己癸為黄平象限距午東之度設太隂子㸃在正午之西甲子夘為高弧丁辰子為過赤極經圏己子辰角為黄道赤經交角甲子丁角為赤經高弧交角丑子夘角為黄道高弧交角與甲子癸角等是以甲子丁赤經高弧交角與己子辰黄道赤經交角相減餘甲子癸角即黄道高弧交角也設太隂申㸃在正午之東甲申酉為高弧丁申戌為過赤極經圏巳申戌角為黄道赤經交角與丁申未角等甲申丁角為赤經高弧交角酉申未角為黄道高弧交角乃甲申未角之外角是以甲申丁赤經高弧交角與丁申未黄道赤經交角相加得甲申未角與半周相減餘酉申未角即黄道高弧交角也若己為秋分當黄平象限未為夏至當西地平丑為冬至當東地平是為夏至後六宫在地平上癸為黄道當正午之度己癸為黄平象限距午西之度設太隂子㸃在正午之西甲子夘為高弧丁子辰為過赤極經圏己子辰角為黄道赤經交角與丁子未角等甲子丁角為赤經高弧交角夘子未角為黄道高弧交角乃甲子未角之外角是以甲子丁赤經高弧交角與丁子未黄道赤經交角相加得甲子未角與半周相減餘夘子未角即黄道高弧交角也設太隂申㸃在正午之東甲申酉為高弧丁戌申為過赤極經圏己申戌角為黄道赤經交角甲申丁角為赤經高弧交角丑申酉角為黄道高弧交角與甲申癸角等是以甲申丁赤經高弧交角與己申戌黄道赤經交角相減餘甲申癸角即黄道高弧交角也此太隂在午東而亦在限東太隂在午西而亦在限西之常法也若太隂在夏至前六宫而在正午之東如乾以己乾亥黄道赤經交角與甲乾丁赤經高弧交角相加得己乾甲角不足九十度與酉乾丑角等則不與半周相減即以酉乾丑角為黄道高弧交角乃知太隂乾㸃在黄平象限巳㸃之西也葢惟正當黄平象限高弧與黄道成直角在限西者則高弧與限西之黄道成銳角在限東者則高弧與限東之黄道成銳角今己乾甲角既不及九十度故知乾㸃在黄平象限己㸃之西而乾酉高弧乃與限西之乾丑黄道相交成銳角也太隂在午西而在限東者倣此(左圖以二至當)(地平乃黄平象限偏午東午西之極大者如二分當)(地平則黄平象限當正午加減之法並同)至求赤經高弧交角之法則以北極距天頂為一邊影距北極為一邊影距正午赤道度(日食則為日距正午赤道度)為所夾之角用弧三角法算之如太隂在申甲申丁三角形申角為赤經高弧交角甲丁為北極距天頂申丁為影距北極丁角當戊戌弧為影距正午赤道度因丁角為銳角則自天頂甲作甲坎垂弧於形内使坎角成直角求得甲坎丁坎二邊以丁坎與丁申相減即得坎申邊用之與甲坎邊求申角也如太隂在艮甲丁艮角當戊己弧適足九十度成直角則甲丁即為垂弧即用甲丁艮正弧三角形以求艮角也如太隂在震甲丁震角當戊巽弧過於九十度成鈍角則自天頂甲作甲離垂弧於形外使離角成直角求得甲離離丁二邊以離丁與丁震相加即得離震邊用之與甲離邊求震角也又如黄道在天頂北太隂在坤甲坤丁赤經高弧交角大於九十度則自天頂甲作垂弧至兊而所求之丁兊距極分邊反大於丁坤影距北極則以坤兌甲兌二邊求坤角之外角即知甲坤丁角為鈍角也若所求距極分邊與影距北極等即知赤經高弧交角為直角不待求也至於赤經高弧交角有與黄道赤經交角相等者亦有與黄道赤經交角共為一百八十度者有反大于黄道赤經交角而不足減者亦有與黄道赤經交角相加大于半周而又減去半周者如北極出地二十三度二十九分以下夏至前後黄道正當天頂太隂子㸃在夏至未㸃之前而在正午之西當以赤經高弧交角與黄道赤經交角相減為黄道高弧交角今甲子丁赤經高弧交角與己子辰黄道赤經交角相等兩角相減無餘即知黄道與高弧合無交角也又如太隂申㸃在夏至未㸃之前而在正午之東當以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加為黄道高弧交角今甲申丁赤經高弧交角與巳申戌黄道赤經交角相加共一百八十度亦如黄道與高弧合無交角也又如北極出地在二十三度以下夏至前後黄道在天頂北太隂子㸃在夏至未㸃之前而在正午之西當於黄道赤經交角内減赤經高弧交角為黄道高弧交角今甲子丁赤經高弧交角與辰子夘角等反大於巳子辰黄道赤經交角則於辰子夘赤經高弧交角内反減巳子辰黄道赤經交角餘巳子夘角為黄道高弧交角即知黄平象限在天頂北也又如太隂申㸃在夏至未㸃之前而在正午之東當以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加為黄道高弧交角今甲申丁赤經高弧交角與戌申酉角等與巳申戌黄道赤經交角相加大於一百八十度則減去巳申戌角及戌申未角共一百八十度餘未申酉角為黄道高弧交角亦如黄平象限在天頂北也總之黄道出入於赤道之内外隨天左旋其高低斜正旣隨時不同又以人所居之南北異地改觀益多變換然定之以數自無遁形或從地平立算或從子午圈立算或從赤道經圈立算法雖不同理實一致合而觀之益見弧線三角之用至通變矣求月食初虧復圓併徑黄道交角(即緯差角)定月食方位月當黄道無距緯即用黄道高弧交角為定交角若月在交前後有距緯則又求緯差角與黄道高弧交角相加減為定交角上編言之詳矣(見月)(食方位篇)然求緯差角之法必先用初虧復圓交周各求距緯今初虧復圓距弧皆斜距之度須復以斜距與白道為比例方得交周頗為費算且前已有斜距黄道交角與九十度相加減即黄道交實緯角則求得併徑交實緯角與之相減餘併徑交黄道之角即緯差角甚為簡便故質名之曰併徑黄道交角至其與黄道高弧交角相加減之法並同上編兹不復載如圖甲乙為黄道丙乙為白道丙丁為黄道距等圏戊己為日月兩經斜距甲為地影心食甚時月心在庚初虧時月心在戊復圓時月心在己戊甲辛角為初虧併徑黄道交角即初虧緯差角己甲乙角為復圓併徑黄道交角即復圓緯差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角(丙甲庚角與庚丙丁)(角等)與九十度相加得庚甲辛角為初虧黄道交食甚實緯角(甲庚為食甚兩心相距不)(係經圏以其為南北之度故借名實緯)以丙甲庚斜距黄道交角與九十度相減餘庚甲乙角為復圓黄道交食甚實緯角(此論在交)(前地影由甲向乙月由丙向乙故戊為初虧己為復圓若在交後地影由)(乙向甲月由乙向丙則己為初虧其角與九十度相減戊為復圓其角與)(九十度相加)次求得庚甲戊角與庚甲己角等為併徑交食甚實緯角初虧則與庚甲辛角相減餘戊甲辛角即初虧併徑黄道交角復圓則與庚甲乙角相減餘己甲乙角即復圓併徑黄道交角也乃視併徑交實緯角小於黄道交實緯角則初虧復圓在黄道之南北與食甚同若併徑交實緯角轉大於黄道交實緯角則南北與食甚相反蓋太隂近交初虧復圓一在交前一在交後則距緯之南北必變如乙為中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚為食甚實緯在黄道北初虧庚甲壬併徑交實緯角小於庚甲辛黄道交實緯角則初虧亦為緯北與食甚同復圓庚甲癸併徑交實緯角大於庚甲乙黄道交實緯角則復圓變為緯南與食甚相反也食甚實緯在黄道南及食甚在交後者皆倣此旣知初虧復圓併徑黄道交角及其在黄道之南北則與黄道高弧交角相加減為定交角其理并與上編同求白經高弧交角日食三差之法以黄白二道交角與黄道高弧交角相加減得白道高弧交角白道與高弧及白道經圏相交成正弧三角形直角對高下差交角對南北差餘角對東西差上編言之詳矣今以黄赤二經交角加減黄白二經交角得赤白二經交角與赤經高弧交角相加減得白經高弧交角對東西差餘角對南北差蓋白道與白道經圏相交其角必九十度白經高弧交角即白道高弧交角之餘(凡弧角與九十度相減所餘為餘)(餘角)是用白經高弧交角與用白道高弧交角等且以赤經高弧交角與黄道赤經交角相加減得黄道高弧交角(見前篇)又加減黄白二道交角為白道高弧交角須加減二次而黄赤二經交角即黄道赤經交角之餘交食時日必近交黄白二經交角又即與黄白二道交角等故以黄赤二經交角與黄白二經交角相加減得赤白二經交角則為初虧食甚復圓同用之數至求三限白經高弧交角止與赤經高弧交角一加減而得之其法尤為省便也二經交角加減之法以黄道之二至白道之二交為定蓋惟冬夏二至黄經與赤經合無交角冬至後黄道自南而北黄經必在赤經西夏至後黄道自北而南黄經必在赤經東交周初宫十一宫在正交前後白道自南而北白經必在黄經西(猶黄道冬至後)交周五宫六宫在中交前後白道自北而南白經必在黄經東(猶黄道夏至後)乃視黄經在赤經西白經又在黄經西或黄經在赤經東白經又在黄經東則相加得赤白二經交角東仍為東西仍為西若黄經在赤經西而白經在黄經東或黄經在赤經東而白經在黄經西則相減得赤白二經交角黄赤二經交角大則從黄經之向黄白二經交角大則從白經之向若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角也其與赤經高弧交角加減之法則以日距正午之東西為定蓋惟日當正午則赤經與高弧合無交角午前赤經必在高弧東午後赤經必在高弧西乃視赤經在高弧西白經又在赤經西或赤經在高弧東白經又在赤經東則相加得白經高弧交角午東亦為限東午西亦為限西若赤經在高弧東而白經在赤經西或赤經在高弧西而白經在赤經東則相減為白經高弧交角赤白交角小則午東仍為限東午西仍為限西赤白交角大則午東變為限西午西變為限東若兩角相等而減盡無餘則白經與高弧合無交角即知太陽正當白平象限上若兩角相加適足九十度則白道在天頂與高弧合若兩角相加過九十度則與半周相減用其餘即知白平象限在天頂北也是法也不用求黄道高弧交角而逕求白經高弧交角入算甚簡而理亦無遺新法用簡平儀繪圖尤為明顯列圖如左如圖甲為天頂乙丙丁戊為地平圏丙己戊為赤道庚己辛為黄道己為春分庚為冬至辛為夏至癸為赤極(即北極)壬為黄極庚壬癸辛為過二至經圏即過二極經圏冬至日行在庚黄赤二經合為一線無交角冬至後日行自南而北黄經必在赤經西漸逺則角漸大至春分而止如日行在子壬子黄經在癸子赤經西壬子癸角為黄赤二經交角即癸子己黄道赤經交角之餘(己子壬角九十度)春分日行在己壬己黄經在癸己赤經西壬己癸角為黄赤二經交角與戊己辛二道交角等(壬己辛角戊己癸角)(皆九十度)是為最大過此又漸小夏至日行在辛則黄赤二經又合為一線無交角夏至後日行自北而南黄經必在赤經東漸逺則角又漸大至秋分而止如日行在丑壬丑黄經在癸丑赤經東壬丑癸角為黄赤二經交角即癸丑辛黄道赤經交角之餘(癸丑辛角與寅丑夘)(角等)秋分日行在寅壬寅黄經在癸寅赤經東壬寅癸角為黄赤二經交角與丙寅辛二道交角等過此又漸小至冬至乃復合為一線也至白道之交於黄道亦如黄道之交於赤道但其行度自正交起算交食時日月又必近交故其南北東西及兩經交角惟以兩交為定設白極在辰正交在午白道自南而北(猶黄)(道之春分)日行在正交㸃如午或正交前如子正交後如巳白經皆在黄經西黄白二經交角皆與黄白二道交角為相等(惟日在正交午㸃其壬午)(辰黄白二經交角與庚午未黄白二道交角等若在)(交前如子交後如巳其壬子辰與壬巳辰黄白二經)(交角皆微小於二道交角然所差無多故為相等與)(上編捷法同)此黄經在赤經西白經又在黄經西則以黄白二經交角與黄赤二經交角相加為赤白二經交角也設白極在申中交在酉白道自北而南(猶黄道之秋分)日行在中交㸃如酉或中交前如子中交後如已白經皆在黄經東黄白二經交角亦與黄白二道交角為相等此黄經在赤經西而白經在黄經東則以黄白二經交角與黄赤二經交角相減為赤白二經交角黄赤二經交角大則從黄經之向白經亦在赤經西也設黄經在赤經西而中交近二至經圏如戌亥戌白經在壬戌黄經東壬戌亥黄白二經交角反大於壬戌癸黄赤二經交角相減餘癸戌亥角為赤白二經交角則從白經之向白經轉在赤經東也旣得赤白二經交角是為初虧食甚復圓同用之數(初虧至復)(圓太陽行度無幾故二經交角不改)隨時求得赤經高弧交角與之加減即得各時白經高弧交角如日行在子是為午後甲子癸角為赤經高弧交角辰子癸角為赤白二經交角此赤經在高弧西白經又在赤經西則相加得辰子甲角為白經高弧交角白經更在高弧西是知太陽在白平象限西也又如日行在己是為午前甲己癸角為赤經高弧交角辰己癸角為赤白二經交角此赤經在高弧東白經在赤經西則相減餘甲己辰角為白經高弧交角赤白二經交角大白經為在高弧西是知太陽雖在午東而却在白平象限西也蓋惟太陽正當白平象限則白道經圏過天頂與高弧合為一線限東者白經必在高弧東限西者白經必在高弧西是定白經之東西與白平象限一理也又與白道平行作乾坎線則辰子坎角為九十度甲子坎角為白道高弧交角與乾子艮角等甲子辰白經高弧交角即甲子坎角之餘是用白經高弧交角與用白道高弧交角一理也又如癸丁北極出地二十八度赤道距天頂之甲震弧亦二十八度春分巳㸃在午西夏至前巽㸃當正午震巽距赤道北二十三度餘正交在離巽甲距黄道北又四度餘則白道在天頂與高弧合日行在離甲離癸赤經高弧交角與癸離坤赤白二經交角相加得甲離坤白經高弧交角適足九十度蓋白經與白道相交其角必九十度白道既與高弧合故白經高弧交角亦九十度也過此以徃北極愈低則白道極北入地平下南出地平上白道即在天頂北白經高弧交角即大於九十度而成鈍角則與半周相減餘為白道南之經圏與高弧相交之角是不求限距地高而白平象限在天頂之南北俱以白經高弧交角為定也白經在赤經東者倣此求高下差高下差者日月高下之視差也日食食甚用時乃從地心立算人在地面視之則有地半徑差而太陽地半徑差恒小太隂地半徑差恒大故於太隂地半徑差内減去太陽地半徑差始為高下差焉(見上編日食三差及)(日月地半徑差篇)如日月實高本係同度而太陽以地半徑差之故視高比實高低五秒太隂以地半徑差之故視高比實高低三十分則人之視太隂必比太陽低二十九分五十五秒也然求兩地半徑差而後相減其法甚繁今按半徑一千萬與日月距天頂正弦之比既皆同於地平地半徑差與本時地半徑差之比(見本編日躔地半徑差篇)而全與全之比又原同於較與較之比則以半徑一千萬與日距天頂之正弦之比(交食時日月高)(弧畧相等故即以日高弧為月高弧)必亦同於地平高下差與本時高下差之比矣故今求高下差唯以本時太隂距地數求得太隂地平地半徑差内減太陽地平地半徑差十秒餘為地平高下差初虧食甚復圓各以其時日距天頂之正弦為比例其法甚為省便也如圖甲為地心乙為地面丙丁為日天戊己為月天假如日在庚實距天頂為丙甲庚角視距天頂為丙乙庚角與丙甲丁角等其差庚甲丁角即地平太陽地半徑差與甲庚乙角等甲乙地半徑即其角之正弦與庚辛等又如日在壬實高為壬甲丁角視高為壬乙庚角與癸甲丁角等其差壬甲癸角即本時太陽地半徑差與甲壬乙角等將壬乙線引長作甲子垂線即其角之正弦與壬丑等甲乙子勾股形子角為直角乙角與丙乙壬角為對角即太陽視距天頂之度甲乙即地平太陽地半徑差之正弦甲子即本時太陽地半徑差之正弦因其邊度甚小正弦與弧線可以相為比例則甲乙即為地平太陽地半徑差與庚丁弧等甲子即為本時太陽地半徑差與壬癸弧等故以子直角正弦與乙角正弦之比即同於地平太陽地半徑差甲乙與本時太陽地半徑差甲子之比也假如太隂在寅實距天頂為寅甲戊角視距天頂為寅乙戊角與已甲戊角等其差寅甲巳角即地平太隂地半徑差與甲寅乙角等甲乙地半徑亦其角之正弦(甲乙同為地半徑甲庚日)(天半徑大故角小甲寅月天半徑小故角大)與寅夘等又如月在辰實高為辰甲己角視高為辰乙寅角與巳甲己角等其差辰甲巳角即本時太隂地半徑差與甲辰子角等甲子亦其角之正弦與辰午等因以正弦作弧度則甲乙即地平太隂地半徑差與寅己弦等甲子即本時太隂地半徑差與辰巳弧等故以子直角正弦與乙角太隂視距天頂正弦之比亦同於地平太隂地半徑差甲乙與本時太隂地半徑差甲子之比也試以日天半徑與月天半徑為相等而比較之(日天月天半徑不等)(故地半徑雖等而差角不等今以日天半徑與月天)(為相等則差角之不等者其正弦亦不等乃可相較)(也)自地平太陽實高線割月天之未㸃與乙庚視高線平行作未申線則甲未申角與甲庚乙角等甲申即地平太陽地半徑差(甲申)(本係甲未申角之正弦因以正弦作弧度則甲申正)(弦與未已弧等而月天之未已弧與日天之庚丁弧)(同當庚甲丁角其度相等故甲申即為地平太陽地)(半徑差)與甲乙地平太隂地半徑差相減餘申乙即地平高下差(甲乙當寅已弧甲申當未巳弧)(乙申當寅未弧)自本時太陽實高線割月天之酉㸃與乙壬視高線平行作酉申線引長至戌則甲酉戌角與甲壬乙角等甲戌即本時太陽地半徑差與甲子本時太隂地半徑差相減餘戌子即本時高下差與申亥等(甲子當辰巳弧甲戌當酉巳弧子戌當辰酉弧)申乙亥與甲乙子為同式形故以亥直角正弦與乙角日距天頂正弦之比亦即同於地平高下差申乙與本時高下差申亥之比也右求高下差以半徑與太陽視距天頂之正弦為比例今日食所推太陽高弧乃實距天頂之度而即以其正弦比例高下差者蓋實高與視高所差無多故借用之自來實高視高相求皆同一地半徑差加減互用不列二表也如細辨之地平太陽實高在丁太隂實高在已丁乙庚角為地平太陽地半徑差與甲丁乙角等甲乙地半徑為其角之切線當庚丁弧巳乙辛角為地平太隂地半徑差與甲己乙角等亦以甲乙地半徑為其角之切線當辛巳弧前以地半徑為其角之正弦此以地半徑為其角之切線其角度雖有微差然最大者不過半秒愈高則愈小故亦以弧度為比例而甲乙即為地平太陽地半徑差亦即為地平太隂地半徑差也本時太陽實高在壬太隂在癸壬乙子角為本時太陽地半徑差與甲壬乙角等乙丑為其角之垂線當子壬弧癸乙寅角為本時太隂地半徑差與甲癸乙角等亦以乙丑為其角之垂線當寅癸弧丑壬之長小於甲壬丑癸之長小於甲癸則角度必較弧度為稍大蓋視高低於實高其大固宜然所差甚微故亦以弧度為比例而乙丑即為本時太陽地半徑差亦即為本時太隂地半徑差也試自地平太陽視髙線割月天之卯㸃與甲丁實高線平行作卯辰線則乙夘辰角與甲丁乙角等乙辰當辛夘弧即地平太陽地半徑差以乙辰與地平太隂地半徑差甲乙相減餘甲辰當夘已弧即地平高下差自本時太陽視高線割月天之巳㸃與甲壬實高線平行作巳辰線則乙巳辰角與甲壬乙角等乙午當寅巳弧即本時太陽地半徑差以乙午與本時太隂地半徑差乙丑相減餘午丑與辰未等當巳癸弧即本時高下差甲乙丑與甲辰未為同式形丑未二角為直角甲角為日月實距天頂之度故以直角正弦與實距天頂正弦之比同於地平地半徑差甲乙與本時地半徑差乙丑之比亦同於地平高下差甲辰與本時高下差辰未之比也今日食用簡平儀法求地面日影心之所在皆用實高比例高下差設日實高在丁則正射地心照至地面酉㸃之影當月天巳㸃之度照至地面乙㸃之影當月天夘㸃之度是酉乙地面上應日天實距天頂之丙丁弧而其當月天之度則為夘巳高下差也設日實高在壬則正射地心照至地面申㸃之影當月天癸㸃之度照至地面乙㸃之影當月天巳㸃之度是乙申地面上應日天實距天頂之丙壬弧而其當月天之度則為巳癸高下差也若以地平高下差為半徑作地面平圓則甲乙即夘巳之度為地平高下差當乙酉地面(以地球為平面則地面之弧與正弦等甲乙為乙酉)(弧之正弦故甲乙當乙酉弧)與日天之丙丁弧等乙丑即巳癸之度為本時高下差當乙申地面(乙丑為乙申弧之正弦故乙丑當乙申弧)與日天之丙壬弧等由此推之時時實距天頂之度在地面皆與本時高下差等(實距天頂之度原與地面之弧度等簡平儀以)(地球為平面則地面之弧又與地面之正弦等今地)(面之正弦既為高下差故實距天頂之度即與高下)(差等)故隨高弧之所向以高下差之度自圓心取之即日影心之所在隨白經之所向以實緯之度自圓心取之即月影心之所在此所以用實高為比例於視差之理尤為顯而易明也求日食食甚真時及兩心視相距日食求食甚真時及食甚視緯新法算書用渾天儀法以食甚用時之東西差與食甚近時之東西差相較得視行以用時之東西差比例得時分與食甚用時相加減(限西加限東減)而得食甚真時以真時之南北差與食甚實緯相加減(白平象限在天頂南緯南則加緯北則減白平象限在天頂北)(緯南則減緯北則加)而得食甚視緯上編言之詳矣(見日食三限時刻及)(求食甚真時食甚視緯篇)然其求真時也必求太隂視行正當實緯之度乃以視行之道與白道為平行故與實緯成直角而視緯與實緯必合為一線也夫近時之東西差與用時之東西差既不等(因白道髙弧交角及高下差不同之故)則南北差亦不等而視行即不與白道平行視行既不與白道平行則實緯即不與視行成直角而日月兩心相距最近之線亦不與實緯合為一線矣近日西法用簡平儀繪圖算(渾儀從上視如觀平面是為簡平儀)以本日地平高下差(本日地平日月兩地半徑差相減餘為本日地平高下差)為半徑作平圓(即地徑當月天之度)即地受日照之半面上應渾天半周圓心即日射地面至地心之㸃以人視日則人所處之地面即日影心以日照月則月所當之地面即月影心假令人所處之地面正在圓心則必見日當天頂又正當子午圏而月之實緯即日月兩心視相距外此則日影心之所在隨時隨地不同若日影心與月影心同㸃則必見日全食若日影心與月影心之相距大於併徑則不見食故先以食甚用時求其兩心視相距復設一時(限西向後設限東向前設)亦求其兩心視相距以此兩視距線及所夾之角求其對邊為視行自日影心至視行作垂線與視行成直角是為兩心相距最近之處月影心臨此直角之㸃即為食甚真時因垂線不與實緯合故不曰視緯而曰兩心視相距然後以所得真時復考其兩心視相距果與所求垂線合則食甚真時即為定真時不然則又作垂線求之蓋太隂視差時時不同其視行之道既不與白道平行又不能自成直線其兩心視相距最近之線不與白道成直角而與視行成直角(兩心實相距不與白道成直角而與斜距成直)(角兩心視相距又不與斜距成直角而與視行成直角今法與舊法之不同在此)故反覆推求務得太隂正當視行直角之㸃斯為兩心最近之處而食甚乃為確凖也是法也可以圖代算可以一圖而知各地見食之不同新奇精巧與舊法迥殊然其理無不可以相通蓋舊法以渾測渾可實指其東西南北之差而視行之法甚簡新法寫渾於平可實稽其實距視距之異而視差之理尤精今以新法合舊名義㕘觀而詳觧之則理之確者以並觀而並明法之奇者因相較而益顯庶觀者由舊徑以適新途不致有捍格之勢而算者取新規以合舊範更坐収密合之方矣如雍正八年庚戌六月戊戌朔日食太隂實引初宫八度四十七分三十一秒四○地平地半徑差五十三分五十九秒九○内減太陽地平地半徑差十秒餘五十三分四十九秒九○為本日地平高下差以此為乾坎半徑作坎艮震巽平圓(以五十三分作五寸三分以四十九)(秒九○通作八釐三毫繪圖用四分之一後倣此)即地球受日照之半面上應渾天半周而其當月天之度則為五十三分五十秒(四十九秒九○進為五十秒入算仍用小餘他)(倣此)故以地球上應渾天之度而論則乾為日照地面之正中距圓界各九十度(以地球為平面則地面之弧與正弦等半徑為九十)(度之正弦故半徑即九十度)假令人在圓心乾則見日當天頂又當正午坎震赤道徑圏即其地之子午圈艮巽即其地之夘酉圏坎為北震為南艮為東巽為西若人在圓界則見日當地平在坎震線之西者見日為午前在坎震線之東者見日為午後自是以外則見日之高下隨地不同要以人所處之地面為日影心上應本處天頂人距日照地面正中之度即日距天頂之度而以地面所當月天之度而論則地之半徑與地平高下差等人距日照地面正中之度與本時高下差等(見前高下差篇)故隨高弧之所向以本時高下差之度自圓心取之即人所處之地面亦即本時之日影心隨白經之所向以月實緯之度自圓心取之即本時之月影心夫月影心當月天之度即太隂之實緯度而日影心當月天之度不為太陽之實高度而為太陽之視高度則地面日月兩影心之相距因高下差而殊而食甚之早晚食分之淺深所以因視差而變者皆可按圖而稽矣乃以本時日距赤道北二十一度三十八分一十二秒○二取艮離巽坤之分(即離乾艮)(角與坤乾巽角等)作離坤線截赤道經圏於兌作艮兌巽弧為赤道則兌乾即日距赤道北之緯度又作甲乾乙弧為赤道距等圈即太陽隨天西轉之軌又以坎艮九十度之分自離截圓界於丁自坤截圓界於丙作丙丁線截子午圈於戊則戊㸃為北極戊兌為九十度戊乾為日距北極六十八度二十一分四十七秒九八又以本時黄赤二經交角九度二十一分二十秒五七取坎乾己角(本時日在)(夏至後黄經在赤經東故向東取)作己庚線為黄道經圏自乾與己庚線取直角作辛乾線為黄道辛為秋分乾辛為日距秋分前六十七度四十二分五十四秒四三是時京師食甚用時為午正二刻九分五十八秒九五日距午西赤道度為九度五十九分四十四秒二五則京師地面必在坎震線之東故以用時赤經高弧交角二十二度四十三分八秒三九取戊乾壬角以用時日距天頂二十度九分四十八秒二七之高下差一十八分三十三秒三四取壬乾之分作壬乾線自戊向壬作戊壬癸弧則壬㸃為京師之地面即用時之日影心上應京師天頂壬乾為用時日距天頂之高弧在地則與用時高下差等戊壬癸為京師子午圏戊壬為京師北極距天頂五十度五分戊角為用時日距午西赤道度(戊乾壬角)(及乾壬弧俱用戊乾壬三角形求之而得)又以斜距黄道交角五度四十四分五十五秒二九取已乾子角(本時月在中交前白經在黄經東故)(向東取)作丑寅線為白道經圏(即斜距經圏)以月實緯距黄道北二十三分二十八秒四五自乾向北截之於子與丑寅線取直角作夘辰線為白道(即兩經斜距)則子㸃為用時月影心壬子即用時日月兩影心視相距乃用乾壬子三角形乾子為食甚用時日月兩心實相距乾壬為用時高下差以己乾丑黄白二經交角與坎乾己黄赤二經交角相加得坎乾丑角一十五度六分一十五秒八六為赤白二經交角(黄經在赤經東白經又在)(黄經東故相加)與坎乾壬赤經高弧交角相減餘丑乾壬角七度三十六分五十二秒五三為用時白經高弧交角即用時對兩心視相距角(赤經在高弧西白經在赤經東故相減赤白交)(角小白經仍在高弧西)用切線分外角法求得壬角一百四十六度三十四分二秒○七為用時對兩心實相距角又求得壬子邊五分三十八秒七四為用時日月兩影心視相距此時白經實距在高弧西月影心必在日影心之西則食甚用時尚在食甚前也次向後取未初初刻為設時(白經在高弧西)(月影心差而西用時尚在食甚前故向後設若白經)(在高弧東月影心差而東用時已過食甚後則向前)(設)以設時赤經高弧交角三十一度三十三分一秒七三取戊乾己角以設時日距天頂二十二度一十七分四十二秒二六之高下差二十分二十五秒三五取乾己之分作乾己線自戊向已作戊己弧則己點為設時日影心乾己為設時日距天頂之高弧在地則與設時高下差等戊己即京師北極距天頂五十度五分與戊壬等(太陽本隨)(距等圏西轉今以太陽為不動則影向東移亦與赤)(道成距等圏其距北極皆相等)己戊乾角即設時日距午西一十五度(戊乾己角及乾巳弧俱用戊乾巳三角形求之)(而得)次以設時距用時二十分一秒○五與一小時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例得用時至設時之月實行為九分六秒自子向東截之於午則午㸃為設時月影心午子為設時距弧(月由白道東行設時在用)(時後故距弧向東取)午乾子角為設時對距弧角二十一度一十一分二十秒九九午乾為設時兩心實相距二十五分一十秒五八(午乾子角及午)(乾弧俱用午乾子三角形求之而得)己午為設時日月兩影心視相距乃用己乾午三角形以坎乾己設時赤經高弧交角與坎乾丑赤白二經交角相減餘丑乾己角一十六度二十六分四十五秒八七為設時白經高弧交角(加減之理與用時白經髙弧交角同)與午乾子對距弧角相減餘巳乾午角四度四十四度三十五秒一二即設時對兩心視相距角(月在黄道北白經在高弧西對)(距弧角大則實距在高弧東對距弧角小則實距在)(高弧西白經在高弧東者倣此)用切線分外角法求得巳角一百五十五度五十七分四十六秒四○為設時對兩心實相距角又求得己午邊五分六秒六五為設時兩心視相距此時實距在高弧東月影心必在日影心之東則設時巳過食甚後而食甚真時之月實行必在子午二㸃之間矣於是與巳午線平行作壬未線與巳午等為設時兩心視相距又與巳乾平行作壬申線為設時高弧則未壬申角與午巳乾角等以丑乾壬用時白經高弧交角與丑乾巳設時白徑高弧交角相減餘壬乾巳角八度四十九分五十三秒三四為兩白經高弧交角較與乾壬申角等與乾壬子用時對兩心實相距角相減餘申壬子角一百三十七度四十四分八秒七三為設時高弧交用時視距角與未壬申角相加(未壬申角與午)(巳乾角等即對設時兩心實相距角)得二百九十三度四十一分五十五秒一三與三百六十度相減餘未壬子角六十六度一十八分四秒八七為對設時視行角(用時實距在高弧西)(設時實距在高弧東兩角與高弧相背故相加若同)(在高弧之一邊則相減又用時設時兩月影心俱在)(日影心之北兩角與兩視距相背俱為鈍角故相加)(即過一百八十度與全周相減方為兩視距所夾之)(角)乃用未壬子三角形壬子為用時兩心視相距壬未為設時兩心視相距未壬子角為所夾之角用切線分外角法求得子角五十二度二十九分四十五秒六九為對設時視距角又求得子未邊五分五十三秒九五為設時視行次自壬作壬酉垂線與子未視行成直角則壬酉相距為最近故用壬子酉直角形求得子酉分邊三分二十六秒二三為真時視行以子未設時視行與設時距分二十分一秒○五之比即同於子酉真時視行與真時距分一十一分三十九秒八○之比與食甚用時相加得午正三刻六分三十九秒為食甚真時(食甚用時白經在高弧西月影視在西真時在用時)(後故加若白經在高孤東月影視在東真時在用時)(前則減)又求得壬酉垂線四分二十九秒即食甚真時兩心視相距也夫京師之地面一也旣以人所處之地面為日影心而用時日影心在壬設時日影心在已其故何也(此圖用三分之一)蓋人之所處原有定在而太陽隨天西轉其所照之地面時時不同設時太陽旣轉而西人在壬視之則乾㸃亦移而西矣今仍就原乾㸃立算則人之視日如在己視乾是非人所處之地面改也日之所照者改也若就一壬㸃立算則設時日照地面正中之㸃隨距等圏西轉至申白道經圏西轉至戌戊申為太陽距北極與戊乾等申戌為距緯與子乾等戊申戌角為赤白二經交角與戊乾丑角等戊壬為京師北極距天頂與戊巳等申戊壬角為設時日距午西赤道度與乾戊巳角等戊申壬角為設時赤經高弧交角與戊乾巳角等申壬為設時太陽距天頂即設時高下差與乾已等戌申壬角為設時白經高弧交角與子乾巳角等戌未為設時距弧與子午等未申戌角為設時對距弧角與午乾子角等壬申未角為設時對兩心視相距角與巳乾午角等人在壬視之則日影心總在壬而用時則見月影心在子設時則見月影心在未是自用時至設時見月影心循子未線行故子未為設時視行夫子未視行線既不與白道平行則壬酉兩心相距最近之線即不與白道成直角而與視行成直角故以月影心臨於酉㸃為食甚真時以壬酉垂線為食甚兩心視相距也然則與舊法之可以相通者何也蓋舊法從太隂取高下差今從日影心當月天之度取高下差形象雖殊理數則一試與白道平行作壬亥水線與白經平行作壬火木線及未土線則壬亥即用時東西差乾亥即用時南北差與乾子相減餘亥子用壬亥子勾股形亦可求壬子邊壬水即設時東西差申水即設時南北差以申水與申戌相減餘壬火(壬火與水戌等)以壬水與戌未距弧相減餘火未用壬火未勾股形亦可求壬未邊壬亥與火未相加得子土(壬亥)(與子木等火未與木土等)壬火與亥子相減餘未土(亥子與壬木等火木與未)(土等)用子未土勾股形亦可求子未邊既得三邊則用壬子未三角形亦可求中垂線矣是則與舊法之可以相通者然也然則與舊法之所以異者何也按舊法當以壬水設時東西差與戌未設時距弧相減(舊法)(以用時東西差為距弧故即以兩東西差相減)餘火未與子木用時東西差相加(火未與木土等子木與壬亥等)得子土為設時視行乃以白道度算故以太隂視行經度臨於白道木㸃為食甚真時壬木線與白道成直角今以子未為設時視行不以白道度算故以月影心臨於酉㸃為食甚真時壬酉線不與白道成直角而與子未視行成直角是則與舊法之所以異者然也然則設時與近時之不同何也蓋舊法以木㸃為白道當太陽之度故先求實行至木㸃之時刻為近時而近時視行又不正當木㸃故又以近時視行與近時距分為比例而得食甚真時今以實行至未㸃之時刻為設時故以設時視行與設時距分為比例而得食甚真時其所不同者惟在視行與白道平行不平行之殊若均以視行為不與白道平行立算則或用設時或用近時其所得真時正自相同也然則簡平與渾天之同異何也蓋渾天以仰觀立算故以太隂當日天之度為視差簡平以俯視立算故以太陽當月天之度為視差今乾申二㸃之影自日心正射地心乃太陽實高當月天之度壬㸃之影自日心照至地面乃太陽視高當月天之度(見前高下差篇)故壬乾壬申皆為高下差夫太陽視高旣當月天壬㸃而用時月心原在月天子㸃設時月心原在月天未㸃故壬子壬未即皆為日月兩心視相距是以日天當月天之度算也若以月天當日天之度而論則用時月天壬㸃之度當日天之乾而太隂子㸃即當日天之亢故子亢為用時高下差與乾壬等乾亢為用時兩心視相距與壬子等設時月天己㸃之度當日天之乾而太隂午㸃即當日天之氐故午氐為設時高下差與乾己等乾氐為設時兩心視相距與己午等亦與壬未等而亢氐亦與子未等是簡平與渾天本屬一理但自圓外觀耳如以圓内仰觀立算則上為北下為南東西猶舊(此以白平象限在天)(頂南而論如白平象限在天頂北則上為南下為北)(東西相反)用時日心在乾月心實高在子視高在亢子亢為用時高下差一十八分三十三秒三四(此圖用全分)乾子亢角為用時白經高弧交角七度三十六分五十二秒五三與子亢房角等子房為用時東西差二分二十七秒五三與亢斗等房亢為用時南北差一十八分二十三秒五二與子斗等以子斗與子乾二十三分二十八秒四五相減餘斗乾五分四秒九三用乾斗亢勾股形求得乾亢弦五分三十八秒七四為用時兩心視相距設時日心仍在乾月心實高在午視高在氐午氐為設時高下差二十分二十五秒三五午氐牛角為設時白經高弧交角一十六度二十六分四十五秒八七牛午為設時東西差五分四十六秒九一牛氐為設時南北差一十九分三十五秒二二與子女等以牛午與子午設時實距弧九分六秒相減餘子牛三分一十九秒○九為設時視距弧與女氐等以子女與子乾相減餘女乾三分五十三秒二三用乾女氐勾股形求得乾氐弦五分六秒六五為設時兩心視相距次以女氐設時視距弧與亢斗用時東西差相加(女氐與斗)(虚等)得亢虚五分四十六秒六二為用設二時視距和以房亢用時南北差與牛氐設時南北差相減餘虚氐一分一十一秒七○為用設二時緯差較用亢氐虚勾股形求得亢氐弦五分五十三秒九六為設時視行次用乾亢氐三角形求中垂線分為兩勾股法求得亢危分邊三分二十六秒二四為真時視行乾危垂線四分二十九秒為真時兩心視相距(乾亢乾氐兩腰)(各自乘相減以亢氐勾和除之得勾較與勾和相加)(折半得亢危大勾勾弦求股得乾危垂線)其數皆與前同是東西南北差與實距視距一理也如用近時之法算之先以子房用時東西差二分二十七秒五三取子甲之分為近時實距弧以一小時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例而得近時距分五分二十四秒五二為太隂行子甲弧之時分(即近)(時距用時之時分)與食甚用時午正二刻九分五十八秒九五相加(用時月在白平象限西視經度差而)(西近時在用時後故加若月在白平象限東視經度)(差而東近時在用時前則減)得午正三刻零二十三秒四七為食甚近時即太隂行至甲㸃之時刻惟時太隂實高在甲視高在乙甲乙為近時高下差一十九分零百分秒之三十七按法求得甲乙丙角一十度一十二分一秒九二為近時白經高弧交角甲丙為近時東西差三分二十一秒九五丙乙為近時南北差一十八分四十二秒三五與子丁等以子甲近時實距弧與甲丙近時東西差相減餘子丙五十四秒四二為近時視距弧在實緯西(即近時視)(行距實緯之弧月在白平象限西視經度差而西而)(東西差大於實距弧故為緯西若小於實距弧則為)(緯東月在限東反是)與乙丁等以子丁近時南北差與子乾實緯二十三分二十八秒四五相減與丁乾四分四十六秒一○用乾丁乙勾股形求得乾乙弦四分五十一秒二三為近時兩心視相距次以子丙近時視距弧與子房用時東西差相減餘丙房一分三十三秒一一與亢戊等為用近二時視距較(用時東西差與近時視距弧同)(在緯西故相減為視距較若一東一西則相加為視)(距和)以房亢用時南北差與丙乙近時南北差相減(房亢)(與丙戊等)餘戊乙一十八秒八三為用近二時緯差較用亢戊乙勾股形求得亢乙弦一分三十四秒九九為近時視行(即近時距用時之視行)次用乾亢乙三角形求形外垂線補成兩勾股法求得亢已分邊三分二十五秒○三為真時視行(即真時距用時)(之視行)以亢乙近時視行與近時距分五分二十四秒五二之比同於亢已真時視行與真時距分一十一分四十秒四六之比(即真時距)(用時之時分)與食甚用時相加(限西故加限東則減與近時同)得午正三刻六分三十九秒為食甚真時又求得乾己垂線四分二十九秒為真時兩心視相距(乾亢乾乙兩腰各自乘相減以亢乙)(為法除之得數大於亢乙則所得為兩勾和而亢乙)(為兩勾較故知垂線在形外若有得之數小於除之)(之數則所得之數為兩勾較而除之之數為兩勾和)(即知垂線在形内若除得之數與除之之數等則知)(小腰即係垂線成直角也)其數與用設時所得同是用近時與用設時一理也乃以真時午正三刻六分三十九秒按前法求其實高在庚視高在辛乾辛兩心視相距果為四分二十九秒與前所求垂線合而辛角猶未為直角故又求得乙辛邊一分五十秒四九為考真時視行乙壬邊五十一秒○二為定真時視行乾壬垂線仍為四分二十九秒為定真時兩心視相距以乙辛與考真時距分六分一十五秒五三之比(即真時距近時)(之時分)同於乙壬與定真時距分六分一十七秒三二之比與近時相加得午正三刻六分四十秒七九(進為)(四十一秒)始為食甚定真時焉蓋食甚時兩心視相距之線與視行成直角故前後數秒之間其相距皆相等若秒下加小餘細考之則午正三刻六分四十一秒之時相距為四分二十九秒二三八九其三十九秒之時則相距猶為四分二十九秒二三九九至四十三秒之時則相距又為四分二十九秒二三九一故以四十一秒之時為相距尤近然測候之際至分巳密故推算之法總以三十秒進一分秒下之小餘原可不計今考之又考者第以求其確凖耳若用新數而以視行與白道為平行算之則早三分有奇故今推視行之法尤為精宻至求近時則猶求設時之法也求視差則猶求視距之法也理無殊塗法歸一致庶幾質諸徃昔而無疑用之推步而不忒矣求日食初虧復圓時刻(方位附)日食求初虧復圓時刻先以食甚視緯為一邊併徑為一邊以視緯交白道之角為直角用正弧三角形法求得初虧復圓距食甚之弧以一小時月距日實行比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓用時次以初虧復圓用時各求其東西差與食甚真時之東西差相較得初虧復圓視行與初虧復圓距弧比例得時分與食甚真時相加減為初虧復圓真時上編言之詳矣(見食食三限時刻及求初虧復圓用時真時篇)今食甚真時兩心視相距與視行成直角初虧復圓距食甚之弧亦即視行之度則求初虧復圓用時以食甚視行為比例較之以月距日實行為比例者必為近之且初虧復圓用時之東西差旣不與食甚真時等則南北差亦不等雖以初虧復圓視行比例得時分而其時之兩心視相距亦未必與併徑等然則即以視行比例之時分與食甚真時相加減猶未必即為初虧復圓真時也近日西法初虧復圓各設一時為前設時求其兩心視相距(太隂在限西食甚真時在用時後如食甚用時兩心視相距與併徑)(相去不逺則以食甚用時為初虧前設時小則向前設大則向後設太隂在限東食甚真時在用時前如)(食甚用時兩心視相距與併徑相去不逺則以食甚用時為復圓前設時小則向後設大則向前設)又設一時為後設時亦各求其兩心視相距(前設時兩心視相距)(小於併徑初虧向前設復圓向後設大於併徑初虧向後設復圓向前設)乃以兩視距之較為一率兩設時之較為二率後設時兩心視相距與併徑之較為三率求得四率為初虧復圓真時距分與初虧復圓後設時相加減得初虧復圓真時(前設)(時兩心視相距小於併徑初虧減復圓加大於併徑初虧加復圓減)然後又以真時各考其兩心視相距果與併徑等方為定真時焉蓋初虧兩周初切復圓兩周初離日月兩心視相距必與併徑等故務求其恰合而初虧復圓乃為確準也雖其數比舊法所差無多而其理甚為細宻至於設時之法則亦猶食甚用時近時之義耳今亦如食甚之次第先求初虧復圓用時(即前設時)次求初虧復圓近時(即後設時)俾學者知設時之準而其求兩心視相距與以兩視距比例時分則猶是設時之法也旣得初虧復圓兩心視相距與併徑等則求得併徑與高弧相交之角即為方位角圖說並詳於左如雍正八年六月戊戌朔日食日月實併徑三十分一十八秒六五食甚用時午正二刻九分五十八秒九五乾甲兩心實相距在黄道北二十三分二十八秒四五甲乙兩心視相距五分三十八秒七四小於併徑逺甚故向前取午初初刻四分為初虧前設時與食甚用時相減餘一時三十五分五十八秒九五與一小時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例得四十三分三十八秒○一自甲向前截之於丙則丙㸃為初虧前設時月影心甲丙為初虧前設時距弧求得甲乾丙角六十一度四十三分一十三秒四七為對距弧角乾丙邊四十九分三十二秒八三為初虧前設時兩心實相距又以初虧前設時赤經高弧交角二十九度五十六分五十一秒○一取坎乾丁角(午前赤經在高弧東故從赤經向西)(取高 角)以本時日距天頂二十一度四十九分一十一秒○八之高下差二十分零百分秒之五十一取乾丁之分則丁㸃為初虧前設時日影心求得甲乾丁白經高弧交角四十五度三分六秒八七與甲乾丙對距弧角相減餘丁乾丙角一十六度四十分六秒六○為對兩心視相距角用乾丁丙三角形求得丁角一百五十二度三十八分零百分秒之八十三為對兩心實相距角丁丙邊三十分五十五秒○一為初虧前設時兩心視相距比併徑大三十六秒三六則初虧真時必在前設時之後故又向後取午初初刻八分為初虧後設時依法求得甲戊距弧四十一分四十八秒九一甲乾戊對距弧角六十度四十一分二十七秒六三乾戊兩心實相距四十七分五十七秒二一甲乾己白經高弧交角四十三度二十二分六秒七一巳乾戊對兩心視相距角一十七度一十九分二十秒九二戊己乾對兩心實相距角一百五十一度二十二分四十四秒一一戊己兩心視相距二十九分四十八秒四四比併徑小三十秒二一夫丙丁旣大於併徑戊己旣小於併徑則併徑必在二線之間如庚辛乃自丁至己作丁己線又取戊己之分截丙丁線於癸作戊癸線則癸丙為兩視距之較一分六秒五七丙戊為兩設時之較四分壬庚為後設時視距小於併徑之較三十秒二一以丙癸與丙戊之比同於壬庚與庚戊一分四十八秒九一之比為初虧真時距分與初虧後設時相減(後設時兩心視相距)(小於併徑故減)得午初初刻六分一十一秒○九為初虧真時再以初虧真時考其兩心視相距果得三十分一十八秒六三與併徑合則初虧真時即為初虧定真時其對考真時兩心實相距角一百五十一度五十七分二十秒即初虧方位角復圓倣此又法先求初虧用時乾甲為食甚實緯(即食甚用時兩心實相距)乙為食甚真時日影心丙為食甚真時月影心乙丙為食甚真時兩心視相距四分二十九秒二四與乙丙取直角作線以日月併徑三十分一十八秒六五取乙丁乙戊之分合成乙丙丁乙丙戊兩勾股形求得丙丁股二十九分五十八秒六一與戊丙等為初虧復圓平距(初虧復圓距食甚用時之)(度名距弧故此名平距以别之)次以食甚定真時視行一分五十一秒○二為一率(即食甚定真時距食)(甚近時之視行)定真時距分六分一十七秒三二為二率(即食)(甚定真時距食甚近時之時分俱見前篇)初虧復圓平距為三率求得四率一時四十一分五十二秒六六為初虧復圓用時距分與食甚定真時相減得午初初刻九分四十八秒一三為初虧用時以用時距分與食甚定真時相加得未正二刻三分三十三秒四五為復圓用時初虧用時月影心在己甲己為初虧用時距弧四十分五十九秒七五(以初虧用時與)(食甚用時相減餘一時三十分一十秒八二與一小)(時兩經斜距二十七分一十六秒五六為比例得初)(虧用時距弧)日影心在庚辛庚為京師北極距天頂五十度五分乾辛為日距北極六十八度二十一分四十七秒九八庚辛乾角為日距午東一十二度三十二分五十八秒○五乾庚為日距天頂二十一度一十分一十八秒二二在地則為初虧用時高下差一十九分二十六秒五三庚乾辛角為初虧用時赤經高弧交角二十七度二十八分四十五秒一○與辛乾甲赤白二經交角一十五度六分一十五秒八六相加得庚乾甲角四十二度三十五分零百分秒之九十六為初虧用時白經高弧交角(赤經在高弧東白經又在赤經東故)(加)庚壬為初虧用時東西差一十三分九秒三五與甲癸等乾壬為初虧用時南北差一十四分一十八秒九○以甲癸與甲己距弧相減餘己癸二十七分五十秒四○以乾壬與乾甲相減餘壬甲九分九秒五五與庚癸等用庚癸巳勾股形求得庚巳弦二十九分一十八秒四八為初虧用時兩心視相距比併徑小一分零百分秒之一十七則初虧真時必猶在用時前也乃以初虧用時兩心視相距為一率初虧用時距分為二率初虧用時兩心視相距小於併徑之較為三率求得四率三分二十九秒一六為初虧近時距分與初虧用時相減(初虧用時兩心視相距小於併徑故減)得午初初刻六分一十八秒九七為初虧近時蓋就食甚真時乙㸃立算與庚巳平行作乙子線與庚巳等即初虧用時兩心視相距自丙至子作丙子線即初虧用時視行(即初虧用時距食甚定真)(時之視行)以時刻而論即初虧用時距分(即初虧用時距食甚定真時之)(時分)試將乙子線以併徑之分引長至丑則子丑即初虧用時兩心視相距小於併徑之較又將丙子線引長至寅使子丑寅與子乙丙成同式形則乙子與行丙子弧時分之比即同於子丑與行子寅弧時分之比以子寅與丙子時分相加(初虧在食甚前時刻減而早則距食甚前之視)(行愈多故視行為加)得丙寅與丙丑等故以丑㸃為初虧近時之月影心丙丑為初虧近時距食甚之視行其乙丑兩心視相距乃與併徑等也(子丑寅與子乙丙為同式形則丙丑必長於丙)(寅然所差無多故以太隂視行臨於丑㸃為初虧近)(時)初虧近時月影心在夘甲夘為初虧近時距弧四十二分三十四秒八四(以初虧近)(時與食甚用時相減餘一時三十三分三十九秒九)(八與一小時兩經斜距為比例得初虧近時距弧)日影心在辰辛辰為京師北極距天頂五十度五分辰辛乾角為日距午東一十三度二十五分一十五秒四五辰乾為日距天頂二十一度三十三分一十七秒九四在地為初虧近時高下差一十九分四十六秒六五辰乾辛角為初虧近時赤經高弧交角二十八度五十八分五十七秒四二與辛乾甲赤白二經交角相加得辰乾甲角四十四度五分一十三秒二八為初虧近時白經高弧交角辰已為初虧近時東西差一十三分四十五秒六一與甲午等乾巳為初虧近時南北差一十四分一十二秒三五以甲午與甲夘距弧相減餘午夘二十八分四十九秒二三以乾巳與乾甲相減餘巳甲九分一十六秒一○與辰午等用夘辰午勾股形求得辰夘弦三十分一十六秒四五為初虧近時兩心視相距比初虧用時兩心視相距大五十七秒九七而比併徑仍小二秒二○則初虧真時必猶在近時前也乃以用近二時兩心視相距之較五十七秒九七為一率近時距分三分二十九秒一六為二率用時兩心視相距小於併徑之較一分零百分秒之二十七為三率求得四率三分三十七秒一一與初虧用時相減得午初初刻六分一十一秒○二為初虧真時蓋仍就乙㸃立算與辰夘平行作乙未線與辰夘等即初虧近時兩心視相距自丙至未作丙未線即初虧近時視行試依乙未之分將初虧用時兩心視相距之乙子線引長至土則子土即初虧用近二時兩心視相距之較依丙未之分將初虧用時視行之丙子線引長至木則子木即初虧用近二時兩視行之較又依併徑之分將乙子線引長至火與土木平行作火金線将丙木線引長合之於金則子火即初虧用真二時兩心視相距之較子金即初虧用真二時兩視行之較故子土與行子木弧時分之比即同於子火與行子金弧時分之比以子金與丙子相加得丙金與丙水等故以水㸃為初虧真時之月影心丙水為初虧真時距食甚之視行其乙水兩心視相距乃與併徑相等也於是以初虧真時依法求其兩心視相距果得三十分一十八秒六五與併徑合則初虧真時即為初虧定真時(如或大或小則又用比例求之)又以辰午與夘午之比同於半徑與夘辰午角正切線之比而夘辰午角即併徑白經交角與申辰午白經高弧交角相減(辰午與乾甲平行即)(日影所當白道經圏故申辰午角與辰乾甲角等申)(乾高弧在夘辰午角之内故減在外則加)餘夘辰申角為併徑高弧交角日在辰月在夘夘辰為併徑申乾為高弧申為上乾為下初虧方位為上偏右(邊角俱用初虧定真時立算因與初虧近時相去不)(逺故借近時之圖以明之)因即以併徑立算故質名之曰併徑高弧交角不必又求緯差角與黄道高弧交角相加減而後為定交角也復圓倣此求日食帶食推日食帶食法舊以初虧復圓距時之視行(帶食在食甚前)(用初虧視行帶食在食甚後用復圓視行)與日出入距食甚之時分(即帯食距)(時)為比例得日出入距食甚之視行(即帶食距弧)而後與食甚視緯求其兩心視相距下編仍之今推食甚先求兩心視相距而後求視行初虧復圓止求兩心視相距更不求視行則帶食亦可逕求兩心視相距不待先求視行矣且舊法推視行雖不見初虧食甚或不見食甚復圓皆猶多此一算今逕求兩心視相距則以地平為斷凡己初虧而帶出者止求帶出時之相距不用求初虧視行未復圓而帶入者止求帶入時之相距不用求復圓視行若己過食甚而帶出者即以帯食視緯求復圓用時未及食甚而帶入者即以帯食視緯求初虧用時固不用求視行亦不用求食甚其法甚為省便况視行不與白道平行帶食之視緯必不與食甚等則逕求帶食兩心視相距而不用視行者其理尤為確凖也如雍正九年辛亥十二月庚寅朔日食帯食食甚用時辰正二刻一分五十一秒一六日出辰初一刻九分二十九秒二三在用時前四刻七分二十一秒九三以一小時兩經斜距三十三分一十秒二三為比例得甲乙三十七分一十四秒五四為帶食距弧甲為用時月影心乙為帯食月影心乾甲為用時兩心實相距四十三分三十七秒八○甲乾乙角為帯食對距弧角四十度二十九分二秒二八乾乙為帯食兩心實相距五十七分二十一秒八一坎乾甲角為赤白二經交角八度四十分五十秒六八(本時日在冬至後黄)(經在赤經西月在正交後白經又在黄經西故白經)(更在赤經西)坎乾丙角為日出時赤經高弧交角四十五度四十分四十八秒三八(赤經在高弧東)内減坎乾甲角餘甲乾丙角三十六度五十九分五十七秒七○為日出時白經高弧交角(赤經在高)(弧東白經在赤經西故以赤白二經交角與赤經高)(弧交角相減餘為白經高弧交角)與甲乾乙對距弧角相減餘乙乾丙角三度二十九分四秒五八為帯食對兩心視相距角丙為帶食日影心丙乾為地平高下差五十九分二十秒二一用乾乙丙三角形求得丙角五十九度一十一分一十七秒四七為帯食對兩心實相距角即帯食方位角與半周相減餘乙丙丁角一百二十度四十九分為帯食視距高弧交角(方位角止用度分故不計)(秒)丁為上乾為下帯食方位為右偏下又求得乙丙邉四分三秒五七為帯食兩心視相距與日月實併徑三十二分二十一秒四四相減餘二十八分一十七秒八七以日全徑三十二分四十六秒作十分為比例得八分三十八秒一七即帯食分秒也又法以甲乾丙白經高弧交角及丙乾高下差求得戊丙東西差三十五分四十二秒五六與甲己等乾戊南北差四十七分二十三秒三三以乾甲實緯與乾戊南北差相減餘戊甲三分四十五秒五三與丙己等為帶食視緯以甲己東西差與甲乙帶食距弧相減餘乙己一分三十一秒九八為帶食視距弧用乙丙己勾股形求得乙丙弦四分三秒五七為帶食兩心視相距與前所得數同又以丙己與乙己之比同於半徑一千萬與丙角正切線之比而得丙角二十二度一十一分一十五秒與乾丙己白經高弧交角相加(乾丙己角與甲乾丙角等)得乙丙乾角五十九度一十一分與半周相減餘乙丙丁角一百二十度四十九分為帶食視距高弧交角亦與前所得數同此乙丙視距未與視行成直角(甲乙雖非)(視行然相去不逺)帶食在食甚前必按求食甚真時之法求得真時兩心視相距再求復圓用時如帶食在食甚後者則不用求食甚即以丙己帶食視緯為勾丙庚併徑為弦求得己庚股與乙己帶食視距弧相加得乙庚為復圓距弧(甲乙帶食距弧)(大於東西差乙庚大於己庚故加若甲乙帶食距弧)(小於東西差而乙庚小於己庚則減)以一小時兩經斜距為比例卽得復圓距時與日出時刻相加即得復圓用時也(帶食出地)(復圓在日出後故加若帶食入地初虧在日入前則)(減)帶食入地者倣此御製歴象考成後編卷三
## 卷四
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷四日躔歩法推日躔用數推日躔法月離歩法推月離用數推月離法用表推月離法推日躔用數雍正元年癸卯天正冬至為元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歲三百六十五日二四二三三四四二紀法六十宿法二十八太陽毎日平行三千五百四十八秒小餘三二九○八九七(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纖四十三忽二十二芒以秒法通之即得)最卑每歲平行六十二秒小餘九九七五(最卑每歲平行一分二秒)(五十九微五十一纖零八忽以秒法通之即得)最卑每日平行十分秒之一又七二四八(最卑每日平行十微二十)(纖五十六忽以秒法通之即得)太陽本天大半徑一千萬小半徑九百九十九萬八千五百七十一小餘八五兩心差十六萬九千氣應三十二日一二二五四(氣應者癸卯年天正平冬至距甲子日子正初刻之)(日分乃丙申日丑正三刻十一分有奇也○按下編康熙二十三年甲子氣應為七日六五六三七四九)(二六依法以求癸卯年天正冬至則得三十二日一○一六八七四今所定氣應遲百分日之二又○八)(五二六於時差二刻於經度差一分十四秒而緯度則無差也葢算家推測惟憑春秋分而推測之法則)(以所測之視髙度減蒙氣差加地半徑差而得太陽之實髙度然後以距緯求其經度而得節氣時刻焉)(上編謂春秋分太陽髙五十度無蒙氣差而加地半徑差一分五十六秒今法謂地半徑差甚微可以不)(計而減蒙氣差五十秒故所測視髙度雖同而所推實髙度恒低二分四十六秒則經度必差六分五十)(八秒春分日道自南而北時刻必差而遲秋分日道自北而南時刻必差而早故春分均數少加六分五)(十八秒秋分均數少減六分五十八秒則所推與所測合矣然今所測之視髙度春分又比前低二十七)(秒秋分又比前髙二十七秒則經度又差一分十四秒時刻皆差而遲故定氣應遲二刻則經度即减一)(分十四秒緯度即差二十七秒而春秋分之視髙乃與實測脗合也)宿應二十七日一二二五四(宿應者癸卯年天正平冬至距角宿値日子正初刻)(之日分乃軫宿値日丑正三刻十一分有奇也)最卑應八度七分三十二秒二十二微(最卑應者癸卯年天正平冬至)(次日子正初刻最卑過冬至之度分也○按下編甲子年最卑應為七度一十分一十一秒一十微依法)(以求癸卯年最卑應則得七度四十九分五十六秒四十微今所定最卑應多十七分三十五秒四十二)(微葢旣改定均數則春分以加少而遲秋分以減少而早與實測合矣然逐節氣測之春分前之所遲秋)(分前之所早者較多春分後之所遲秋分後之所早者較少故定最卑應多十七分有奇則引數即少十)(七分有奇春分前加均以漸而多引數少則加者少故遲者遂多春分後加均以漸而少引數少則加者)(多故遲者遂少秋分前減均以漸而多引數少則減者少故早者遂多秋分後減均以漸而少引數少則)(減者多故早者遂少而春秋分之前後乃皆與實測脗合也)推日躔法求積年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與歲實三百六十五日二四二三三四四二相乘得中積分求通積分置中積分加氣應三十二日一二二五四得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小餘得天正冬至時分秒求年根以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百四十八秒三二九○八九七為二率以天正冬至分(不用日)與周日一萬分相減餘為三率求得四率為秒以分收之得年根求紀日以天正冬至干支加一日得紀日求値宿置中積分加宿應二十七日一二二五四為通積宿其日滿宿法二十八去之外加一日為値宿日分上考往古則置中積分減宿應為通積宿其日滿宿法二十八去之餘數轉與宿法二十八相減外加一日為値宿日分自初日角宿起算得値宿求日數自天正冬至次日距所求本日共若干日與太陽每日平行三千五百四十八秒三二九○八九七相乘得數為秒以宫度分收之得日數求平行以年根與日數相加得平行求最卑平行以積年與最卑每歲平行六十二秒九九七五相乘得積年之行又以日數與最卑每日平行十分秒之一又七二四八相乘得日數之行兩數相併與最卑應八度七分三十二秒二十二微相加得最卑平行上考往古則置最卑應減積年之行加日數之行得最卑平行求引數置平行減最卑平行得引數求均數以二千萬為一邊倍兩心差三三八○○○為一邊引數為所夾之角(六宫内引數即為所夾之角六宫外引數與全周相減餘為所夾之角)用切線分外角法求得對倍兩心差之角倍之為撱圓界角又以撱圓小半徑九九九八五七一(小餘八五)為一率大半徑一千萬為二率引數(即前所夾之角)之正切為三率求得四率為撱圓之正切檢表得度分秒與引數相減餘為撱圓差角最卑前後各三宫與撱圓界角相加最髙前後各三宫與撱圓界角相減(○一二宫為最卑後九十十一宫為最卑前三四五)(宫為最髙前六七八宫為最髙後)得均數引數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求實行置平行加減均數得實行求宿度以積年與歲差五十一秒相乘得數與癸卯年黃道宿鈐相加得本年宿鈐察實行足減某宿度分則減之餘為某宿度分右法除均數外餘俱與下編同但用數小異耳至用表推算之法則全與下編同故不復載推月離用數雍正元年癸卯天正冬至為元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歲三百六十五日二四二三三四四二紀法六十太陰毎日平行四萬七千四百三十五秒小餘○二三四○八六最髙每日平行四百零一秒小餘○七○二二六正交每日平行一百九十秒小餘六三八六三太陽最大均數一度五十六分一十三秒(入算化作六千九百七十)(三秒)太陰最大一平均一十一分五十秒(入算化作七百一十秒)最髙最大平均一十九分五十六秒(入算化作一千一百九十六秒)正交最大平均九分三十秒(入算化作五百七十秒)太陽最髙立方積一○五一五六二太陽髙卑立方較一○一四一○太陽在最髙太陰最大二平均三分三十四秒(入算化作二百)(一十四秒)太陽在最卑太陰最大二平均三分五十六秒(入算化作二百)(三十六秒)太陰最大三平均四十七秒太隂本天撱圓大半徑一千萬最大兩心差六六七八二○最小兩心差四三三一九○最髙本輪半徑五五○五○五(即中數兩心差)最髙均輪半徑一一七三一五太陽在最髙太陰最大二均三十三分一十四秒(入算化作)(一千九百九十四秒)太陽在最卑太陰最大二均三十七分一十一秒(入算化作)(二千二百三十一秒)太陰最大三均二分二十五秒(入算化作一百四十五秒)兩最髙相距一十度兩弦最大末均六十一秒相距二十度兩弦最大末均六十七秒相距三十度兩弦最大末均七十六秒相距四十度兩弦最大末均八十八秒相距五十度兩弦最大末均一百零三秒相距六十度兩弦最大末均一百二十秒相距七十度兩弦最大末均一百三十九秒相距八十度兩弦最大末均一百五十九秒相距九十度兩弦最大末均一百八十秒正交本輪半徑五十七分半正交均輪半徑一分半最大黃白大距五度一十七分二十秒最小黃白大距四度五十九分三十五秒黃白大距中數五度八分二十七秒三十微(人算化作五萬八千)(五百零七秒半)黃白大距半較八分五十二秒三十微(入算化作五百三十二秒半)最大交角加分二十七分四十五秒(入算化作一千零六十五秒)最大距日加分二分四十三秒(入算化作一百六十三秒)氣應三十二日一二二五四太陰平行應五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微最髙應八宫一度一十五分四十五秒三十八微正交應五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微推月離法求積年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與歲實三百六十五日二四二三三四四二相乘得中積分求通積分置中積分加氣應三十二日一二二五四得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小餘得天正冬至時分秒求積日置中積分加氣應分一二二五四(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求太陰年根以積日與太陰每日平行四萬七千四百三十五秒○二三四○八六相乘得數滿周天一百二十九萬六千秒去之餘以宫度分收之為積日太陰平行加太陰平行應五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微得太陰年根上考往古則置太陰平行應減積日太陰平行得太陰年根求最髙年根以積日與最髙每日平行四百零一秒○七○二二六相乘得數滿周天一百二十九萬六千秒去之餘以宫度分收之為積日最髙平行加最髙應八宫一度一十五分四十五秒三十八微得最髙年根上考往古則置最髙應減最髙積日平行得最髙年根求正交年根以積日與正交每日平行一百九十秒六三八六三相乘得數滿周天一百二十九萬六千秒去之餘以宫度分收之為積日正交平行於正交應五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微内減之(正交應不足減者加十二宫減之)得正交年根上考往古則置正交應加積日正交平行得正交年根(加滿十二宫去之)求太陰日數以所設日數與太陰每日平行四萬七千四百三十五秒○二三四○八六相乘得數為秒以宫度分收之得太陰日數求最髙日數以所設日數與最髙每日平行四百零一秒○七○二二六相乘得數為秒以宫度分收之得最髙日數求正交日數以所設日數與正交每日平行一百九十秒六三八六三相乘得數為秒以度分收之得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加(滿十二宫去之)得太陰平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加(滿十二宫去之)得最髙平行求正交平行置正交年根減正交日數(不足減者加十二宫減之)得正交平行求一平均以太陽最大均數一度五十六分一十三秒化作六千九百七十三秒為一率太陰最大一平均一十一分五十秒化作七百一十秒為二率本日太陽均數化秒為三率求得四率為秒以分收之為太隂一平均太陽均數加者為減減者為加又以太陽最大均數六千九百一十三秒為一率最髙最大平均一十九分五十六秒化作一千一百九十六秒為二率本日太陽均數化秒為三率求得四率為秒以分收之為最髙平均太陽均數加者亦為加減者亦為減又以太陽最大均數六千九百一十三秒為一率正交最大平均九分三十秒化作五百七十秒為二率本日太陽均數化秒為三率求得四率為秒以分收之為正交平均太陽均數加者為減減者為加求二平行置太陰平行加減一平均得二平行(二平行者即子正初刻用時之太隂)(平行度也不曰用平行而曰二平行者以尚有二三平均之加減而後曰用平行也不加減時差行者以一平)(均内已有均數時差而又止就黄道算故不用升度時差也凡推算條目與下編同者已見下編與下編不同)(者已見本編厯理今不盡釋也)求用最高置最髙平行加減最髙平均得用最髙求用正交置正交平行加減正交平均得用正交求日距月最髙置太陽實行減用最髙得日距月最髙(不及減者加十二宫減之)求日距正交置太陽實行減用正交得日距正交(不及減者加十二宫減之)求日距地心數以半徑一千萬為一率太陽實引(太陽平引加減太陽均數為太陽實引)之餘弦為二率(凡用度數查八線度數過一象限者與半周相減過半周者減半周過三象限)(者與全周相減後倣此)倍兩心差三三八○○○為三率求得四率為分股又以半徑一千萬為一率太陽實引之正弦為二率倍兩心差三三八○○○為三率求得四率為勾以分股與全徑二千萬相加減(實引初一二九十十一宫加三四五六七)(八宫減)得勾弦和為首率勾為中率求得末率為勾弦較與勾弦和相加折半為弦以弦與全徑二千萬相減得日距地心數(法見日躔撱圓角度與面積相求篇)求立方較以太陽距地心數自乘再乘得立方積與太陽最髙距地心數一○一六九○○○自乘再乘之立方積一○五一五六二相減餘為立方較(立方較表只用四位今以自乘再乘之位數為)(定則最大立方積用七位足矣)求二平均以半徑一千萬為一率太陽在最髙時之最大二平均三分三十四秒化作二百一十四秒為二率日距月最髙倍度之正弦為三率求得四率為秒以分收之為太陽在最髙時日距月最髙之二平均又以半徑一千萬為一率太陽在最卑時之最大二平均三分五十六秒化作二百三十六秒為二率日距月最髙倍度之正弦為三率求得四率為秒以分收之為太陽在最卑時日距月最髙之二平均乃以太陽髙卑距地之立方大較一○一四一○為一率本時之立方較為二率所得髙卑兩二平均相減餘化秒為三率求得四率為秒以分收之與前所得太陽在最髙時日距月最髙之二平均相加為本時之二平均日距月最髙倍度不及半周為減過半周為加求三平均以半徑一千萬為一率最大三平均四十七秒為二率日距正交倍度之正弦為三率求得四率為三平均日距正交倍度不及半周為減過半周為加求用平行置二平行加減二平均再加減三平均得用平行求最髙實均以最髙本輪半徑五五○五○五為一邊最髙均輪半徑一一七三一五為一邊日距月最髙之倍度與半周相減餘為所夾之角(日距月最髙倍度不及半周者與半周相減過半周者減半周)用切線分外角法求得小角為最髙實均日距月最髙倍度不及半周為加過半周為減求本天心距地數以最髙實均之正弦為一率最髙均輪半徑一一七三一五為二率日距月最高倍度之正弦為三率求得四率為本天心距地數(即本時兩心差)求最髙實行置用最髙加減最髙實均得最髙實行求太陰引數置用平行減最髙實行得太陰引數(不及減者加十二宫減之)求初均以半徑一千萬為一邊本時兩心差為一邊(即本天心距地數)太陰引數與半周相減餘為所夾之角(引數不及半周者與半周相減)(過半周者則減半周)用切線分外角法求得對兩心差之小角與前所夾之角相加復為所夾之角仍以前二邊用切線分外角法求得對半徑之大角為平圓引數乃以半徑一千萬(即撱圓大半徑)為一率本天心距地之餘弦(以本天心距地數為)(正弦對其餘弦即撱圓小半徑)為二率平圓引數之正切線為三率求得四率查正切線得實引與太陰引數相減得初均數引數初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求初實行置用平行加減初均得初實行求月距日置初實行減本日太陽實行得月距日(不及減者加十二宫減之)求二均數以半徑一千萬為一率太陽在最髙時之最大二均數三十三分一十四秒化作一千九百九十四秒為二率月距日倍度之正弦為三率求得四率為秒以分收之為太陽在最髙時月距日之二均數又以半徑一千萬為一率太陽在最卑時之最大二均數三十七分一十一秒化作二千二百三十一秒為二率月距日倍度之正弦為三率求得四率為秒以分收之為太陽在最卑時月距日之二均數乃以太陽髙卑立方大較一○一四一○為一率本時之立方較為二率前所得髙卑兩二均數相減餘化秒為三率求得四率為秒以分收之與前所得太陽在最髙時月距日之二均數相加得本時之二均數月距日倍度不及半周為加過半周為減求二實行置初實行加減二均得二實行求實月距日置月距日加減二均得實月距日求太陽最髙置太陽最卑平行加減六宫得太陽最髙求日月最髙相距置太陰最髙實行減太陽最髙得日月最髙相距(不及減者)(加十二宫減之)求相距總數以實月距日與日月最髙相距相加得相距總數(加滿十二)(宫去之)求三均數以半徑一千萬為一率最大三均二分二十五秒化作一百四十五秒為二率相距總數之正弦為三率求得四率為秒以分收之為三均數總數初宫至五宫為加六宫至十一宫為減求三實行置二實行加減三均得三實行求末均數以半徑一千萬為一率兩弦最大末均日月最髙相距一十度為六十一秒二十度為六十七秒三十度為七十六秒四十度為八十八秒五十度為一百零三秒六十度為一百二十秒七十度為一百三十九秒八十度為一百五十九秒九十度為一百八十秒用日月最髙相距度比例得兩弦最大末均為二率(兩弦最大末均以十度為率日)(月最髙相距有零度者用中比例法求之如十度為六十一秒二十度為六十七秒十五度則為六十四秒是)(也)實月距日之正弦為三率求得四率為秒以分收之為末均數實月距日初宫至五宫為減六宫至十一宫為加求白道實行置三實行加減末均得白道實行求正交實均以正交本輪半徑五十七分半為一邊正交均輪半徑一分半為一邊日距正交之倍度為所夾之外角(日距正交)(倍度過半周者與半周相減用其餘)用切線分外角法以邊總五十九為一率邊較五十六為二率日距正交之正切線為三率(即半外角切線日距正交過一象限者與半周相減過半周者減半周過三象限者與全周相減)求得四率為正切線檢表得數與日距正交相減餘為正交實均日距正交倍度不及半周為加過半周為減求正交實行置用正交加減正交實均得正交實行求月距正交置白道實行減正交實行得月距正交(不及減者加十二宫減之)求交角減分以半徑一千萬為一率日距正交倍度之正矢為二率(凡日距正交倍度過半周者則與全周相減餘為距交倍度凡距交倍度不及九十度則用正矢以餘弦與半)(徑相減過九十度則用大矢以餘弦與半徑相加)黃白大距半較八分五十二秒半化作五百三十二秒半為三率求得四率為秒以分收之得交角減分求距限置最大距限五度一十七分二十秒減交角減分得距限求距交加差以半徑一千萬為一率日距正交倍度之正矢為二率(同前)最大兩弦加分二分四十三秒折半得八十一秒半為三率求得四率為秒以分收之得距交加差求距日加分以半徑一千萬為一率實月距日倍度之正矢為二率(同前)距交加差折半化秒為三率求得四率為秒以分收之得距日加分求黃白大距置距限加距日加分得黃白大距求黃道緯度以半徑一千萬為一率黃白大距之正弦為二率月距正交之正弦為三率(月距正交過一象限者與半周相減過半周者減半周過三象限者)(與全周相減)求得四率為距緯之正弦檢表得黃道緯度月距正交初宫至五宫為北六宫至十一宫為南求升度差以半徑一千萬為一率黃白大距之餘弦為二率月距正交(白道度也)之正切線為三率求得四率為黃道度之正切線檢表得月距正交之黃道度與月距正交相減餘為升度差月距正交初一二六七八宫為交後為減三四五九十十一宫為交前為加求黃道實行置白道實行加減升度差得黃道實行求黃道宿度依日躔求宿度法求得本年黃道宿鈐察黃道實行足減宿鈐内某宿度分則減之餘為某宿度分求月孛宿度察最髙實行足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求羅㬋宿度置正交實行加減六宫足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為羅㬋宿度求計都宿度察正交實行足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為計都宿度用表推月離法求諸年根用月離太陰年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微進一秒)(下倣此)得太陰年根察本年最髙宫度分秒得最髙年根察本年正交宫度分秒得正交年根求諸日數用月離太陰周歲平行表察本日平行宫度分秒得太陰日數察本日最髙宫度分秒得最髙日數察本日正交度分秒得正交日數求太陰平行以太陰年根與太陰日數相加(滿十二宫去之)得太陰平行求最髙平行以最髙年根與最髙日數相加(滿十二宫去之)得最髙平行求正交平行置正交年根減正交日數(不及減者加十二宫減之)得正交平行求一平均用月離一平均表以太陽引數宫度分察其所對之一平均分秒得太陰一平均又察其所對之最髙分秒得最髙平均又察其所對之正交分秒得正交平均俱記加減號求立方較用日距地立方較表以太陽引數宫度察其所對之立方較數得立方較求二平行置太陰平行加減太陰一平均得二平行求用最髙置最髙平行加減最髙平均得用最髙求用正交置正交平行加減正交平均得用正交求日距月最髙置太陽實行減用最髙得日距月最髙(不及減者加十二宫減之)求日距正交置太陽實行減用正交得日距正交(不及減者加十二宫減之)求二平均用月離二平均表以日距月最髙宫度分察其所對之二平均分秒並較秒記之乃以髙卑立方大較一○一四為一率前所得之立方較為二率所記之較秒為三率求得四率與所記之二平均相加得二平均并記加減號求三平均用月離三平均表以日距正交宫度分察其所對之三平均秒得三平均并記加減號求併均二三平均同為加者則相加為併均仍為加二三平均同為減者亦相加為併均仍為減若二三平均一為加一為減者則相減為併均加數大為加減數大為減求用平行置二平行加減併均得用平行求最髙實均及本天心距地用月離太陰最髙均及本天心距地表以日距月最髙宫度分察其所對之最髙均數度分秒得最髙實均并記加減號又察其所對之本天心距地數得本天心距地隨將本天心距地數與中數兩心差或最小兩心差相減餘為距地較為求初均之用(如本天心距地數大於中數兩心差者則)(與中數兩心差五五○五○五相減如本天心距地數小於中數兩心差者則與最小兩心差四三三一九○)(相減)求最髙實行置用最髙加減實均得最髙實行求月引數置用平行減最髙實行得月引數求初均數用月離太陰初均表以月引數宫度分及本天心距地數察其所對之度分秒得初均數表列大均中均小均三段查前所得本天心距地數大於中數兩心差五五○五○五者則以月引數宫度分察其所對之中均數為初均本位察其所對之大均數為初均次位如本天心距地數小於中數兩心差五五○五○五者則以月引數宫度分察其所對之小均數為初均本位察其所對之中均數為初均次位本位與次位相減餘為初均較乃以距地半較一一七三一五為一率(即最小兩心差與中數兩)(心差相減之數亦即中數兩心差與最大兩心差相減之數也)前所得之距地較為二率初均較為三率求得四率與初均本位相加為所求之初均數并記加減號求初實行置用平行加減初均得初實行求月距日置初實行減夲日太陽實行得月距日(不及減者加十二宫減之)求二均用月離太陰二均表以月距日宫度分察其所對之二均分秒並較數記之乃以髙卑立方大較一○一四為一率前所得之立方較為二率所記較數為三率求得四率與所記之二均相加得二均并記加減號求二實行置初實行加減二均得二實行求實月距日置月距日加減二均得實月距日求太陽最髙置太陽最卑平行加減六宫得太陽最髙求日月最髙相距置太陰最髙實行減太陽最髙得日月最髙相距求相距總數以實月距日與日月最髙相距相加得相距總數求三均用月離太陰三均表以相距總數宫度分察其所對之三均分秒得三均并記加減號求三實行置二實行加減三均得三實行求末均用月離太陰末均表以日月最髙相距宫度及實月距日宫度察其縱橫相遇之分秒得末均并記加減號求白道實行置三實行加減末均得白道實行求正交實均用月離太陰正交均數表以日距正交宫度分察其所對之度分秒得正交實均并記加減號求正交實行置用正交加減正交實均得正交實行求月距正交置白道實行減正交實行得月距正交求距交加分用月離交角加分表以日距正交宫度分察其所對之距交加分之分秒得之交加分求距交加差距日加差用月離交角加分表以日距正交宫度分察其所對之加差為距交加差以實月距日宫度分察其所對之加差為距日加差求距日加分以最大兩弦加分二分四十三秒化作一百六十三秒為一率距交加差為二率距日加差為三率求得四率為距日加分求交角加分以距日加分與距交加分相加得交角加分求黃白大距置最小距限四度五十九分三十五秒與交角加分相加得黃白大距求升度差用月離黃白升度差表以月距正交宫度分察其所對之升度差分秒並較秒記之乃以距限大較一十七分四十五秒化作一千零六十五秒為一率所記之較秒為二率交角加分化秒為三率求得四率與所記之升度差相加得升度差并記加減號求黃道實行置白道實行加減升度差得黃道實行求黃道緯度用月離黃白距緯表以月距正交宫度分察其所對之距緯度分秒並較分記之乃以距限大較一十七分四十五秒化作一千零六十五秒為一率所記之較分化秒為二率交角加分化秒為三率求得四率與所記之距緯度分秒相加得黃道緯度并記南北號求黃道宿度依日躔求宿度法求得本年黃道宿鈐察黃道實行足減夲年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為黃道宿度求月孛宿度察最髙實行足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為月孛宿度求羅㬋宿度置正交實行加減六宫足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為羅㬋宿度求計都宿度察正交實行足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為計都宿度御製厯象考成後編卷四
## 卷五
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷五月食歩法推月食用數推月食法推各省月食法推月食帶食法推月食用數雍正元年癸卯天正冬至為元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歲三百六十五日二四二三三四四二紀法六十朔策二十九日五三○五九○五三(太陽每日平行五十九分零八秒一)(十九微四十四纎四十三忽二十二芒與太陰每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纖)(一十六忽一十六芒相減餘一十二度一十一分二十六秒四十一微三十九纖三十二忽五十四芒為)(一日月距日之平行為一率周日一萬分為二率周天三百六十度為三率求得四率二十九日五千三)(百零五分小餘九○五三為朔策即太陰復與太陽會之日數以一千四百四十分通之得二十九日一)(十二時四十四分零三秒零一微一十八纎二十七忽零四芒○按新法算書朔策為二十九日五三○)(五九三以一千四百四十分通之得二十九日一十二時四十四分零三秒一十四微零六纖四十三忽)(一十二芒上編仍之今因太陽每日平行比舊少五纎有奇太陰每日平行比舊多八纖有奇則月距日)(之行每日多一十三纖有奇故朔策比舊少一十二微有奇即萬分分之二百四十七也)望策一十四日七六五二九五二六五太陰交周朔策一十一萬零四百一十三秒小餘九二四四一三三四(太陰每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纎一十六忽)(一十六芒與正交每日平行三分一十秒三十八微一十九纎零四忽一十八芒相加得太陰每日距交)(行一十三度一十三分四十五秒三十九微四十三纎二十忽三十四芒與朔策日分相乘滿周天去之)(得一宫零四十分一十三秒五十五微二十七纖五十三忽一十七〔？〕為交周朔策以秒法通之即得○)(按新法算書交周朔策為一宫零四十分一十四秒零一微上編仍之今因太陰每日平行比舊多八纖)(有奇正交每日平行比舊少四纖有奇則太陰每日距交行比舊多三纖有奇然朔策比舊少一十二微)(有奇故交周朔策轉比舊少五微有奇也)太陰交周望策六宫一十五度二十分零六秒五十八微中距太陰地半徑差五十七分三十秒太陽地半徑差一十秒中距太陽距地心一千萬中距太陰距地心一千萬中距太陽視半徑一十六分六秒中距太陰視半徑一十五分四十秒三十微黃赤大距二十三度二十九分氣應三十二日一二二五四朔應一十五日一二六三三(朔應者雍正癸卯年首朔距天正冬至次日子正初)(刻之日分也以月距日一日之平行一十二度一十一分二十六秒四十一微三十九纎三十二忽五十)(四芒為一率周日一萬分為二率以癸卯年冬至次日子正初刻太陽平行五十一分五十三秒三十一)(微内減太陰平行五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微餘六宫零四度二十四分零四秒三十)(八微為三率求得四率一十五日一二六三三○二為癸夘年天正冬至次日子正初刻距第一朔之日)(分即癸夘年朔應也)首朔太陰交周應六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微(首朔太陰交周應者雍正癸卯年首朔太陰距正交之行度也以癸夘年天正冬至)(次日子正初刻太陰平行五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微内減正交平行五宫二十二度)(五十七分三十七秒三十三㣲餘三度三十分一十一秒二十微為癸夘年天正冬至次日子正初刻太)(陰距正交之度分又以朔應一十五日一二六三三○二與太陰每日距交行一十三度一十三分四十)(五秒三十九微四十三纎二十忽三十四芒相乘得六宫二十度零六分四十一秒二十九微有奇為首)(朔太陰距交行之度分與天正冬至次日子正初刻太陰距正交之度分相加得六宫二十三度三十六)(分五十二秒四十九微有奇即癸夘年首朔太陰交周應也)右推月食用數名義俱見下編因用日躔月離求實望故推太陽太陰平行自行諸用數兹皆不載推月食法推首朔及入交及實望實時(下編以推首朔諸平行及入交為入算之首葢以平望太陽太陰諸平行皆以首朔諸平行為根也今以)(日躔月離求實望則太陽太陰諸平行不以首朔為根而以天正冬至為根故止求首朔之日時及入交)(之月數合之即得平望距冬至之日時而不必求首朔諸平行也)求積年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歲三百六十五日二四二三三四四二相乘得中積分求通積分置中積分加氣應三十二日一二二五四得通積分上考往古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考往古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分一二二五四(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考往古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應一十五日一二六三三得通朔上考往古則置積日加朔應得通朔求積朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九○五三除之得數加一為積朔餘數與朔策相減為首朔上考往古則置通朔以朔策除之得數為積朔餘數為首朔求首朔太陰交周以積朔與太陰交周朔策一十一萬零四百一十三秒九二四四一三三四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘數為秒以宫度分收之為積朔太陰交周加首朔太陰交周應六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微得首朔太陰交周上考往古則置首朔太陰交周應減積朔太陰交周(不及減者加十二宫減之)得首朔太陰交周求逐月望太陰交周置本年首朔太陰交周加太陰交周望策六宫一十五度二十分零六秒五十八微再以太陰交周朔策一宫零四十分一十三秒五十五微遞加十三次得逐月望太陰交周求太陰入交月數逐月望太陰交周自初宫初度至初宫一十五度九分自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度皆為太陰入交第幾月入交即第幾月有食(影半徑最大者四十六分五十一秒)(月半徑最大者一十六分四十八秒相併得六十三分三十九秒以此數當距緯用最小黃白交角四度五十)(九分三十五秒求得距交白道度一十二度一十六分五十四秒為實望可食之限又以最大太陽均數一度)(五十六分一十三秒最大太陰均數七度三十九分三十三秒相併得九度三十五分四十六秒為兩實行相)(距最逺之度計月逐及于日太陽又行五十五分餘與太陽均數相加得二度五十二分為實望距平望之數)(與實望可食之限相加得一十五度九分為平望可食之限圖解見上編太陰食限篇)求平望以太陰入交月數與朔策二十九日五三○五九○五三相乘加望策一十四日七六五二九五二六五與首朔日分相加其所得日數即平望距冬至之日數再加紀日滿紀法六十去之自初日甲子起算得平望干支以周日一千四百四十分通其小餘得平望時分秒求實望泛時以平望距冬至之日數用推日躔月離法各求其子正黃道實行將太陽黃道實行加減六宫與太陰黃道實行相較如太陰實行未及太陽則平望日為實望本日平望次日為實望次日如太陰實行已過太陽則平望前一日為實望本日平望日為實望次日又用推日躔月離法各求其本日或次日子正黃道實行乃以本日次日兩太陽實行相減為一日之日實行本日次日兩太陰實行相減為一日之月實行一日之二實行相減為一日之月距日實行化秒為一率周日一千四百四十分為二率本日太陽實行加減六宫内減本日太陰實行餘化秒為三率求得四率為距本日子正後之分數以時收之得實望泛時(如次日太陰實行仍未及太陽則次日為實望日即以次)(日太陽實行加減六宫内減次日太陰實行餘為三率所得四率為距次日子正後之分數如本日太陰實行)(已過太陽則前一日為實望日即以本日太陽實行加減六宫轉於本日太陰實行内減之餘為三率所得四)(率為距本日子正前之分數與一千四百四十分相減餘為距前一日子正後之分數)求實望實時以實望泛時之時刻設前後兩時(如實望泛時為丑正二刻則以丑正初刻)(為前時寅初初刻為後時)用推日躔月離法各求其黃道實行乃以前後兩時太陽實行相減為一小時之日實行以前後兩時太陰實行相減為一小時之月實行一小時兩實行相減為一小時月距日實行化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率前時太陽實行加減六宫内減前時太陰實行餘化秒為三率求得四率為秒以分收之加於前時得實望實時再以實望實時用推日躔月離法各求其黃道實行則太陰太陽必對宫而同度乃視本時月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推食望用時第一(下編以推實望用時為月食第七段而有推平望諸平行推日月相距推實引推實望推實交周推太陽)(實經六段在其前今推月食以日躔月離求得實望而實望實交周及太陽黄道經度又已在本時日躔)(月離之中故不用前六段而即以推實望用時為月食第一段也)求均數時差以實望太陽均數變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十)(五秒變為一秒)均數加者則為減均數減者則為加求升度時差以半徑一千萬為一率黃赤大距二十三度二十九分之餘弦為二率實望太陽距春秋分黃道經度之正切線為三率(實望太陽黃道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫者與九宫相減)(過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四率為距春秋分赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度與太陽距春秋分黃道經度相減餘為升度差變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實望用時置實望實時加減時差總得實望用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在晝即不必算推食甚實緯食甚時刻第二求斜距交角差以一小時太陰白道實行化秒為一邊(本時次時二月離白道實行相)(減得一小時太陰白道實行太陽倣此)一小時太陽黃道實行化秒為一邊實望黃白大距為所夾之角用切線分外角法求得對小邊之角為斜距交角差求斜距黃道交角置實望黃白大距加斜距交角差得斜距黃道交角求兩經斜距(即一小時兩經斜距)以斜距交角差之正弦為一率一小時太陽實行化秒為二率實望黃白大距之正弦為三率求得四率為秒以分收之得兩經斜距求食甚實緯(即食甚兩心實相距)以半徑一千萬為一率斜距黃道交角之餘弦為二率實望月離黃道實緯化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚實緯南北與實望黃道實緯同求食甚距弧以半徑一千萬為一率斜距黃道交角之正弦為二率實望月離黃道實緯化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距弧求食甚距時以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率食甚距弧化秒為三率求得四率為秒以分收之得食甚距時月距正交初宫六宫為減五宫十一宫為加求食甚時刻置實望用時加減食甚距時得食甚時刻自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初每十五分為一刻不足一刻者為零分推食分第三求太陽實引置實望太陽引數加減本時太陽均數得太陽實引求太陰實引置實望太陰引數加減本時太陰初均數得太陰實引(下編實引從本天心算為求實均此實引從地心算為求距地)求太陽距地以倍兩心差三三八○○○為一邊以二千萬為兩邊和以太陽實引為一角用三角作垂線成兩勾股法算之(實引三宫以内者即以實引為一角過九宫者與全周相減為一角俱作垂線於形外實引過三宫者與)(六宫相減過六宫者減六宫為一角俱作垂線於形内法見日躔撱圓角度與面積相求篇)求得地心至撱圓界之一邊即太陽距地求太陰距地以實望太陰本天心距地數倍之為一邊以二千萬為兩邊和以太陰實引為一角用三角作垂線成兩勾股法算之(實引三宫以内者即以實引為一角過九宫者與全周相減為一角俱作垂線於形内實引過)(三宫者與六宫相減過六宫者減六宫為一角俱作垂線於形外法與求太陽距地同因太陽從最卑起算太)(陰從最髙起算故内外相反)求得地心至撱圓界之一邊即太陰距地求太陰地半徑差(即本日太陰在地平上最大地半徑差)以太陰距地為一率中距太陰距地一千萬為二率太陰中距最大地半徑差五十七分三十秒化作三千四百五十秒為三率求得四率為秒以分收之得太陰地半徑差(此以弧度代正弦算太陽太陰半徑同)求太陽視半徑以太陽距地為一率中距太陽距地一千萬為二率中距太陽視半徑一十六分六秒化作九百六十六秒為三率求得四率為秒以分收之得太陽視半徑求影半徑置太陰地半徑差加太陽地半徑差一十秒減太陽視半徑得影半徑求影差太陰地半徑差化秒以六十九除之得影差求實影半徑置影半徑加影差得實影半徑求太陰視半徑以太陰距地為一率中距太陰距地一千萬為二率中距太陰視半徑一十五分四十秒三十微化作九百四十秒半為三率求得四率為秒以分收之得太陰視半徑求併徑以太陰視半徑與實影半徑相加得併徑求兩徑較以太陰視半徑與實影半徑相減得兩徑較求食分以太陰全徑化秒為一率十分化作六百秒為二率併徑内減食甚實緯餘化秒為三率求得四率為秒以分收之得食分(若食甚實緯大於併徑則月與地影兩周不相切則不食即不必算)推初虧復圓時刻第四求初虧復圓距弧以併徑與食甚實緯相加化秒為首率相減化秒為末率求得中率為秒以分收之得初虧復圓距弧求初虧復圓距時以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率初虧復圓距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與食甚同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與食甚同推食旣生光時刻第五(食甚實緯大于兩徑較則月食在十分以内無食旣生光)求食旣生光距弧以兩徑較與食甚實緯相加化秒為首率相減化秒為末率求得中率為秒以分收之得食旣生光距弧求食旣生光距時以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率食旣生光距弧化秒為三率求得四率為秒以時分收之得食旣生光距時求食旣時刻置食甚時刻減食旣生光距時得食旣時刻不足減者加二十四時減之食旣即在前一日命時之法與食甚同求生光時刻置食甚時刻加食旣生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與食甚同推食甚太陰黃道經緯宿度第六求距時月實行以一小時化作三千六百秒為一率一小時太陰白道實行化秒為二率食甚距時化秒為三率求得四率為秒以分收之得距時月實行食甚距時加者亦為加減者亦為減求食甚太陰白道經度置實望太陰白道實行加減距時月實行得食甚太陰白道經度(食甚與實望旣有距時則白道經度亦有進退又食甚距緯不與白道成直角故其進退)(之差必以食甚距時為比例與舊法加減食甚距弧者法雖不同而理則一也)求食甚月距正交(即食甚實交周)置實望月距正交加減距時月實行得食甚月距正交求黃白升度差以半徑一千萬為一率實望黃白大距之餘弦為二率食甚月距正交之正切線為三率求得四率為黃道之正切線檢表得黃道度與食甚月距正交相減餘為黃白升度差食甚距時加者亦為加減者亦為減求食甚太陰黃道經度置食甚太陰白道經度加減黃白升度差得食甚太陰黃道經度求食甚太陰黃道宿度察食甚太陰黃道經度足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陰黃道宿度求食甚太陰黃道緯度以半徑一千萬為一率實望黃白大距之正弦為二率食甚月距正交之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得食甚太陰黃道緯度南北與食甚實緯同推食甚太陰赤道經緯宿度第七求太陰距二分弧與黃道交角以半徑一千萬為一率食甚太陰距春秋分黃道經度之正弦為二率(食甚太陰黃道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫者與)(九宫相減過九宫者減九宫得太陰距春秋分黃道經度)食甚太陰黃道緯度之餘切線為三率求得四率為太陰距二分弧與黃道交角之餘切線檢表得太陰距二分弧與黃道交角(此正弧三角形)(有赤道有距緯求交角用次形法也葢太陰黃道緯度與赤道緯度旣不同為一線黄白交角與黃赤交角又)(不同在一㸃故有黃道經緯度而求赤道經緯度須用斜弧三角形下編詳其法矣今欲求省便作正弧三角)(形算借太陰斜距二分弧為一邊則距二分弧如黃道黄道如赤道太陰距二分弧與黃道交角即如黃赤交)(角矣論本形當以黃道經度之正弦為一率黄道緯度之正切線為二率半徑為三率太陰距二分弧與黄道)(交角之正切線為四率今欲以乘代除故又用次形法求得太陰距二分弧與黄道交角則與黄赤交角合為)(一㸃而太陰赤道經緯度即可作正弧三角形算也)求太陰距二分弧與赤道交角置黃赤交角二十三度二十九分加減太陰距二分弧與黃道交角得太陰距二分弧與赤道交角食甚太陰黄道經度在秋分後春分前者黄道在赤道南緯南則加仍為南緯北則減亦為南若太陰距二分弧與黄道交角大於黄赤交角則反減即為在赤道北食甚太陰黃道經度在春分後秋分前者黃道在赤道北緯北則加仍為北緯南則減亦為北若太陰距二分弧與黃道交角大於黃赤交角則反減即為在赤道南求太陰距二分弧之正切線以太陰距二分弧與黃道交角之餘弦為一率半徑一千萬為二率食甚太陰距春秋分黄道經度之正切線為三率求得四率為太陰距二分弧之正切線(此正弧三角形)(有交角有赤道求黃道之法)求食甚太陰赤道經度以半徑一千萬為一率太陰距二分弧與赤道交角之餘弦為二率太陰距二分弧之正切線為三率求得四率為太陰距春秋分赤道度之正切線檢表得太陰距春秋分赤道經度自冬至初宫起算得食甚太陰赤道經度(察食甚太陰黄道經度不及三宫者則以距春秋分赤道經度與三宫相減過三宫者則加三宫過)(六宫者則與九宫相減過九宫者則加九宫即得自冬至初宫起算赤道經度)求食甚太陰赤道宿度察食甚太陰赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陰赤道宿度求食甚太陰赤道緯度以半徑一千萬為一率太陰距二分弧與赤道交角之正切線為二率食甚太陰距春秋分赤道經度之正弦為三率求得四率為距緯之正切線檢表得食甚太陰赤道緯度推月食方位第八求影距赤道度以半徑一千萬為一率黃赤大距二十三度二十九分之正弦為二率影距春秋分黃道經度(即太陽距春秋分黃道經度但)(差六宫春分為秋分秋分為春分耳)之正弦為三率求得四率為影距赤道度之正弦檢表得影距赤道度太陽在春分後秋分前影在赤道南太陽在秋分後春分前影在赤道北(地影)(與太陽對衝故南北相反不另求食甚太陽黃道經度者以食與實望相去為時不逺太陽所行無多故即用)(實望太陽黄道經度也)求黃道赤經交角(即黄道交極圜角)以影距春秋分黃道經度之餘弦為一率黃赤大距二十三度二十九分之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黃道赤經交角之正切線檢表得黃道赤經交角求影距北極置九十度加減影距赤道度(影在赤道南則加赤道北則減)得影距北極求初虧復圓影距正午赤道度以初虧復圓各距子正之時刻變赤道度(子正後者則初虧復圓時)(刻即為距子正後之時刻子正前者則以初虧復圓時刻與二十四時相減餘為距子正前之時刻一時變為)(十五度一分變為十五分一秒變為十五秒)得初虧復圓影距正午各赤道度初虧復圓時刻在子正前者影在正午東在子正後者影在正午西求初虧復圓赤經髙弧交角以北極距天頂為一邊(北極髙度與九十度相減餘即北極距天頂)影距北極為一邊初虧復圓影距正午各赤道度為所夾之角用斜弧三角形法自天頂作垂弧至赤道經圏即成兩正弧三角形先以半徑一千萬為一率影距正午各赤道度之餘弦為二率北極距天頂之正切線為三率求得四率為距極分邊之正切線檢表得距極分邊以距極分邊與影距北極相加減為距影分邊(影距正午赤道度不及九)(十度者作垂弧於形内則相減過九十度者作垂弧於形外則相加)次以半徑一千萬為一率影距正午各赤道度之正切線為二率距極分邊之正弦為三率求得四率為垂弧之正切線又以距影分邊之正弦為一率垂弧之正切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經髙弧交角之正切線檢表得初虧復圓赤經髙弧各交角(若子正初刻影在正午無影距正午赤道度則)(赤經與髙弧合無交角若影距正午赤道度為九十度則北極距天頂即為垂弧用正弧三角形法以影距北)(極之正弦為一率北極距天頂之正切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經髙弧交角之正切線)(檢表得赤經髙弧交角若影距正午赤道度為九十度影距北極亦九十度則北極距天頂度即赤經髙弧交)(角度圖見求黃道髙弧交角篇月食方位皆以京師北極出地四十度黄平象限在天頂南而定若北極出地)(二十三度以下黃平象限有時在天頂北則赤經髙弧交角有時成直角或成鈍角見日食法)求初虧復圓黃道髙弧交角置黃道赤經交角加減初虧復圓赤經髙弧交角得初虧復圓黄道髙弧交角太陰在夏至前六宫(初一二三四五宫也)影在午西則減亦為限西影在午東則加加過九十度與半周相減亦為限東若相加不及九十度則不與半周相減變為限西太陰在夏至後六宫(六七八九十十一宫也)影在午東則減亦為限東影在午西則加加過九十度與半周相減亦為限西若相加不及九十度則不與半周相減變為限東(若影在正午無赤經髙弧交角則黃道赤經交角即黃道髙弧交角太陰在夏)(至前六宫為限西在夏至後六宫為限東)求併徑交實緯角以併徑化秒為一率食甚實緯化秒為二率半徑一千萬爲三率求得四率為併徑交實緯角之餘弦檢表得併徑交實緯角(如無食甚實緯則無併徑交實緯角亦無緯差角)求初虧黃道交實緯角置九十度加減斜距黃道交角得初虧黃道交實緯角食甚月距正交初宫六宫為減五宫十一宫為加求初虧併徑黃道交角(即初虧緯差角)以初虧黃道交實緯角與併徑交實緯角相減得初虧併徑黃道交角凡併徑交實緯角小於初虧黃道交實緯角則初虧距緯之南北與食甚同大於初虧黃道交實緯角則食甚為緯北者初虧為緯南食甚為緯南者初虧為緯北若兩角相等則併徑與黃道合無交角求復圓黃道交實緯角置九十度加減斜距黃道交角得復圓黃道交實緯角食甚月距正交初宫六宫為加五宫十一宫為減求復圓併徑黃道交角(即復圓緯差角)以復圓黃道交實緯角與併徑交實緯角相減得復圓併徑黃道交角凡併徑交實緯角小於復圓黃道交實緯角則復圓距緯之南北與食甚同大於復圓黃道交實緯角則食甚為緯北者復圓為緯南食甚為緯南者復圓為緯北如兩角相等則併徑與黃道合無交角求初虧併徑髙弧交角(即初虧定交角)置初虧黃道髙弧交角加減初虧併徑黃道交角得初虧併徑髙弧交角初虧在限東者緯南則加緯北則減初虧在限西者緯南則減緯北則加如無初虧併徑黃道交角則初虧黃道髙弧交角即初虧併徑髙弧交角求復圓併徑髙弧交角(即復圓定交角)置復圓黃道髙弧交角加減復圓併徑黃道交角得復圓併徑髙弧交角復圓在限東者緯南則減緯北則加復圓在限西者緯南則加緯北則減如無復圓併徑黃道交角則復圓黃道髙弧交角即復圓併徑髙弧交角求初虧方位初虧在限東者初虧併徑髙弧交角初度為正下四十五度以内為下偏左四十五度以外為左偏下九十度為正左過九十度為左偏上初虧在限西者初虧併徑髙弧交角初度為正上四十五度以内為上偏左四十五度以外為左偏上九十度亦為正左過九十度為左偏下併徑黃道交角大反減黃道髙弧交角者則左變為右求復圓方位復圓在限東者復圓併徑髙弧交角初度為正上四十五度以内為上偏右四十五度以外為右偏上九十度為正右過九十度為右偏下復圓在限西者復圓併徑髙弧交角初度為正下四十五度以内為下偏右四十五度以外為右偏下九十度亦為正右過九十度為右偏上併徑黃道交角大反減黃道髙弧交角者則右變為左(京師北極出地四十度故月食方位皆以黃平象限在天頂南而定若北極出地二十三度以下黃)(平象限有時在天頂北則初虧復圓方位之左右與此相反併徑黃道交角之加減亦相反)求食限總時以初虧復圓距時倍之得食限總時用表推月食法推入交及實望實時求首朔太陰交周用交食首朔諸根表察本年太陰交周宫度分秒(三十微進)(一秒下倣此)得首朔太陰交周求逐月望太陰交周用交食朔望策表察正月太陰交周望策宫度分秒與首朔太陰交周相加得正月朢太陰交周以下遞加交周朔策一宫零四十分一十四秒得逐月望太陰交周求入交月數逐月朢太陰交周自初宫初度至初宫一十五度九分自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度皆為太陰入交第幾月入交即第幾月有食求首朔根及紀日用交食首朔諸根表察本年首朔日時分秒得首朔根察本年紀日得紀日求望策用交食朔望策表察本月望策日時分秒得望策求平望以首朔根與望策相加所得日數即平望距天正冬至之日數再加紀日滿紀法六十去之自初日甲子起算得平望干支其時分秒即平望時分秒求實望泛時以平望距冬至之日數用推日躔月離法各求其子正黃道實行將太陽黃道實行加減六宫與太陰黃道實行相較如太陰實行未及太陽則平望日為實望本日平望次日為實望次日如太陰實行已過太陽則平望前一日為實望本日平望日為實望次日又用推日躔月離法各求其本日或次日子正黃道實行乃以本日次日兩太陽實行相減為一日之日實行本日次日兩太陰實行相減為一日之月實行一日之二實行相減為一日之月距日實行化秒為一率周日一千四百四十分為二率本日太陽實行加減六宫内減本日太陰實行餘化秒為三率求得四率為距本日子正後之分數以時收之得實望泛時(如次日太陰實行仍未及太陽則次日為實望日即以次)(日太陽實行加減六宫内減次日太隂實行餘為三率所得四率為距次日子正後之分數如本日太陰實行)(已過太陽則前一日為實望日即以本日太陽實行加減六宫轉於本日太隂實行内減之餘為三率所得四)(率為距本日子正前之分數與一千四百四十分相減餘為距前一日子正後之分數)求實望實時以實望泛時之時刻設前後兩時(如實望泛時為丑正二刻則以丑正初刻)(為前時寅初初刻為後時)用推日躔月離法各求其黃道實行乃以前後兩時太陽實行相減為一小時之日實行以前後兩時太陰實行相減為一小時之月實行一小時兩實行相減為一小時月距日實行化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率前時太陽實行加減六宫内減前時太陰實行餘化秒為三率求得四率為秒以分收之加於前時得實望實時再以實望實時各推日躔月離為後諸求之用實望時月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推實望用時第一求均數時差用日躔均數時差表以實望太陽引數宫度察其所對之分秒得均數時差引數有零分者按中比例法求之并記加減號求升度時差用日躔升度時差表以實望太陽黃道宫度察其所對之分秒得升度時差黃道度有零分者按中比例法求之并記加減號求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實望用時置實望實時加減時差總得實望用時距日出後日入前九刻以内者可以見食九刻以外者則全在晝即不必算推食甚實緯食甚時刻第二求日實行以前後兩時日躔黃道實行相減得日實行求月實行以前後兩時月離白道實行相減得月實行求實行總以日實行與月實行相加得實行總求實行較以日實行與月實行相減得實行較求半外角以實望黃白大距與半周相減餘數折半得半外角求半較角以實行較之對數與半外角正切線之對數相加内減實行總之對數餘為半較角正切線之對數檢八線對數表得半較角(切線分外角法以兩邊總為一率兩邊較為二率半外角切線為三率半較角)(切線為四率對數以加代乘以減代除故以實行較之對數與半外角切線之對數相加即以二率與三率乘)(也減實行總之對數即以一率除也○凡察對數表眞數有奇零或對數有多少者俱用中比例法求之○凡)(弧線作直線算者度分皆化秒察之○凡以對數察眞數者首位加一數察之則眞數多一位為單位下之小)(餘過五則進一數用○凡對數止用八位切線過半徑者則用九位後俱倣此)求斜距交角差以半較角與半外角相減得斜距交角差求斜距黃道交角置實望黃白大距加斜距交角差得斜距黃道交角求兩經斜距以日實行之對數與實望黃白大距正弦之對數相加内減斜距交角差之正弦對數餘為兩經斜距之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得兩經斜距求斜距對數較置一小時三千六百秒之對數内減兩經斜距之對數餘為斜距對數較(斜距對數較者一率與二率兩對數相減之數如有距弧求距時以斜距)(為一率一小時為二率當加一小時之對數減斜距之對數今對數較已先減斜距之對數則但加對數較而)(已得也如有距時求距弧以一小時為一率斜距為二率當加斜距之對數減一小時之對數今對數較已減)(斜距之對數則但減對數較而已得也故用對數較)求食甚實緯以斜距黃道交角之餘弦對數與實望太陰實緯之對數相加減半徑之對數(即減首位所進之一)餘為食甚實緯之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得食甚實緯記南北號(與實望黃道實緯同)求食甚距弧以斜距黃道交角之正弦對數與實望太陰實緯之對數相加減半徑之對數餘為食甚距弧之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得食甚距弧求食甚距時以食甚距弧之對數與斜距對數較相加為食甚距時之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得食甚距時月距正交初宫六宫為減五宫十一宫為加求食甚時刻置實望用時加減食甚距時得食甚時刻自初時起子正一時為丑初以次順數至二十三時為夜子初毎十五分為一刻不足一刻者為零分推食分第三求太陽實引置實望太陽平引加減本時太陽均數得太陽實引求太陰實引置實望太陰平引加減本時太陰初均數得太陰實引求太陰地半徑差用交食地半徑差表以太陰實引宫度(實引三十分以上則進一度不)(足三十分者去之)及本天心距地數(見月離)察其所對之分秒得太陰地半徑差如距地心有逺近者按中比例法求之(見本表)求太陽視半徑用交食太陽視徑表以太陽實引宫度(實引三十分以上則進一度不)(足三十分者去之)察其所對之分秒得太陽視半徑求影半徑置太陰地半徑差加太陽地半徑差一十秒減太陽視半徑得影半徑求影差太陰地半徑差化秒以六十九除之得影差求實影半徑置影半徑加影差得實影半徑求太陰視半徑用交食太陰視徑表以太陰實引宫度(實引三十分以上則進一度不)(足三十分者去之)及本天心距地數察其所對之分秒得太陰視半徑如距地心有逺近者按中比例法求之求併徑以太陰視半徑與實影半徑相加得併徑求兩徑較以太陰視半徑與實影半徑相減得兩徑較求食分併徑内減食甚實緯餘化秒察其對數與六百秒之對數相加内減太陰全徑化秒之對數餘為食分之對數檢對數表得眞數為秋以分收之得食分(若食甚實緯大於併徑則)(不食即不必算)推初虧復圓時刻第四求勾弦和以併徑與食甚實緯相加化秒得勾弦和求勾弦較以併徑與食甚實緯相減化秒得勾弦較求初虧復圓距弧以勾弦和之對數與勾弦較之對數相加折半得初虧復圓距弧之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得初虧復圓距弧(此即勾弦和較求股法對數以加代乘以折半代開方故也)求初虧復圓距時以初虧復圓距弧之對數與斜距對數較相加為初虧復圓距時之對數檢對數表得眞數為秒以時分收之得初虧復圓距時求初虧時刻置食甚時刻減初虧復圓距時得初虧時刻不足減者加二十四時減之初虧即在前一日命時之法與食甚同求復圓時刻置食甚時刻加初虧復圓距時得復圓時刻加滿二十四時去之復圓即在次日命時之法與食甚同推食旣生光時刻第五(食甚實緯大于兩徑較則月食在十分以内無食旣生光)求勾弦和以兩徑較與食甚實緯相加化秒得勾弦和求勾弦較以兩徑較與食甚實緯相減化秒得勾弦較求食旣生光距弧以勾弦和之對數與勾弦較之對數相加折半得食旣生光距弧之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得食旣生光距弧求食旣生光距時以食旣生光距弧之對數與斜距對數較相加為食旣生光距時之對數檢對數表得眞數為秒以時分收之得食旣生光距時求食旣時刻置食甚時刻減食旣生光距時得食旣時刻不足減者加二十四時減之食旣即在前一日命時之法與食甚同求生光時刻置食甚時刻加食旣生光距時得生光時刻加滿二十四時去之生光即在次日命時之法與食甚同推食甚太陰黄道經緯宿度第六求距時月實行以月實行之對數與食甚距時之對數相加内減三千六百秒之對數餘為距時月實行之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得距時月實行并記加減號(與食甚距)(時同)求食甚太陰白道經度置實望太陰白道實行加減距時月實行得食甚太陰白道經度求食甚月距正交置實望月距正交加減距時月實行得食甚月距正交求黃白升度差以實望黃白大距餘弦之對數與食甚月距正交(月距正交)(過五宫者與六宫相減過六宫者減去六宫過十一宫者與十二宫相減)正切線之對數相加内減半徑之對數餘為黃道正切線之對數檢八線對數表得黃道度與食甚月距正交相減餘為黃白升度差并記加減號(與食甚距時同)求食甚太陰黃道經度置食甚太陰白道經度加減黃白升度差得食甚太陰黃道經度求食甚太陰黃道宿度察食甚太陰黃道經度足減本年黃道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陰黃道宿度求食甚太陰黃道緯度以實望黃白大距之正弦對數與食甚月距正交之正弦對數相加内減半徑之對數餘為距緯正弦之對數檢八線對數表得食甚太陰黃道緯度并記南北號(與食)(甚實緯同)推食甚太陰赤道經緯宿度第七求太陰距二分弧與黃道交角以太陰距春秋分黃道經度之正弦對數(食甚太隂黃道經度不及)(三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫者與九宫相減過九宫者減九宫得太陰距春秋分黃道經度)與食甚太陰黃道緯度餘切線之對數相加内減半徑之對數餘為交角餘切線之對數檢八線對數表得太陰距二分弧與黃道交角求太陰距二分弧與赤道交角置黃赤交角二十三度二十九分加減太陰距二分弧與黃道交角得太陰距二分弧與赤道交角太陰黃道經度在秋分後春分前者黃道在赤道南緯南則加仍為南緯北則減亦為南若太陰距二分弧與黃道交角大於黃赤交角則反減即為在赤道北食甚太陰黃道經度在春分後秋分前者黃道在赤道北緯北則加仍為北緯南則減亦為北若太陰距二分弧與黃道交角大於黃赤交角則反減即為在赤道南求食甚太陰赤道經度以食甚太陰距春秋分黃道經度正切線之對數與太陰距二分弧與赤道交角餘弦之對數相加内減太陰距二分弧與黃道交角餘弦之對數餘為太陰距春秋分赤道度正切線之對數檢八線對數表得太陰距春秋分赤道度(此合兩比例為一比例也按前法以太陰距二分弧與黃道交角之餘弦為一率半)(徑一千萬為二率食甚太陰距春秋分黄道經度之正切線為三率太陰距二分弧之正切線為四率又以半)(徑一千萬為一率太隂距二分弧與赤道交角之餘弦為二率太陰距二分弧之正切線為三率太隂距春秋)(分赤道度之正切線為四率是當以食甚太陰距春秋分黄道經度正切線之對數與半徑之對數相加内減)(太陰距二分弧與黄道交角餘弦之對數得太隂距二分弧正切線之對數又與太隂距二分弧與赤道交角)(餘弦之對數相加内減半徑之對數而得太隂距春秋分赤道度正切線之對數今第一比例不加半徑之對)(數第二比例亦不減半徑之對數故省一四率也)自冬至初宫起算得食甚太陰赤道經度(察食甚太陰黃道經度不及三宫者則以距春秋分赤道度與三宫相減過三宫者)(則加三宫過六宫者則與九宫相減過九宫者則加九宫即得自冬至初宫起算赤道經度)求食甚太陰赤道宿度察食甚太陰赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陰赤道宿度求食甚太陰赤道緯度以太陰距二分弧與赤道交角正切線之對數與食甚太陰距春秋分赤道經度正弦之對數相加内減半徑之對數餘為距緯正切線之對數檢八線對數表得食甚太陰赤道緯度并記南北號(與太陰距二分弧與赤道交角同)推月食方位第八求影距赤道度以黃赤大距二十三度二十九分正弦之對數與太陽距春秋分黃道經度(實望太陽黃道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過)(六宫者與九宫相減過九宫者減九宫得太陽距春秋分黃道經度)正弦之對數相加内減半徑之對數餘為影距赤道度正弦之對數減八線對數表得影距赤道度并記南北號(太陽在春分後秋分前影在赤道南)(太陽在秋分後春分前影在赤道北)求黃道赤經交角用交食黃道赤經交角表以太陽距春秋分黃道宫度察其所對之度分秒得黃道赤經交角黃道有零分者按中比例法求之(若求黃赤二經交角則以所得黄道赤經交角與九十度相減餘即所求)(黃赤二經交角)求影距北極置九十度加減影距赤道度(地影緯南則加緯北則減)得影距北極求北極距天頂置九十度減本省北極出地度得北極距天頂求初虧影距正午赤道度以初虧距子正之時刻變赤道度(子正後者即用初虧時刻子正前者與二)(十四時相減用其餘一時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒復圓倣此)得初虧影距正午赤道度子正前影在午東子正後影在午西求初虧距極分邊以初虧影距正午赤道度餘弦之對數與北極距天頂正切線之對數相加内減半徑之對數餘為距極分邊正切線之對數檢八線對數表得初虧距極分邊求初虧距影分邊置影距北極加減初虧距極分邊得初虧距影分邊初虧影距正午赤道度九十度以内為減九十度以外為加求初虧赤經髙弧交角以初虧影距正午赤道度正切線之對數與初虧距極分邊正弦之對數相加内減初虧距影分邊正弦之對數餘為初虧赤經髙弧交角正切線之對數檢八線對數表得初虧赤經髙弧交角(此合兩比例為一比例餘同前)求初虧黃道髙弧交角置黃道赤經交角加減初虧赤經髙弧交角得初虧黃道髙弧交角太陰在前六宫影在午西則減亦為限西影在午東則加加過九十度與半周相減亦為限東太陰在後六宫影在午東則減亦為限東影在午西則加加過九十度與半周相減亦為限西若加不及九十度則不與半周相減午東為限西午西為限東(無赤經髙弧交角則)(黄道赤經交角即黃道髙弧交角前六宫為限西後六宫為限東復圓同)求復圓影距正午赤道度以復圓距子正之時刻變赤道度得復圓影距正午赤道度子正前影在午東子正後影在午西求復圓距極分邊以復圓影距正午赤道度餘弦之對數與北極距天頂正切線之對數相加内減半徑之對數餘為距極分邊正切線之對數檢八線對數表得復圓距極分邊求復圓距影分邊置影距北極加減復圓距極分邊得復圓距影分邊復圓影距正午赤道度九十度以内為減九十度以外為加求復圓赤經髙弧交角以復圓影距正午赤道度正切線之對數與復圓距極分邊正弦之對數相加内減復圓距影分邊正弦之對數餘為復圓赤經髙弧交角正切線之對數檢八線對數表得復圓赤經髙弧交角求復圓黃道髙弧交角置黃道赤經交角加減復圓赤經髙弧交角得復圓黃道髙弧交角太陰在前六宫影在午西則減亦為限西影在午東則加加過九十度與半周相減亦為限東太陰在後六宫影在午東則減亦為限東影在午西則加加過九十度與半周相減亦為限西若加不及九十度則不與半周相減午東為限西午西為限東求併徑交實緯角以食甚實緯化秒之對數與半徑之對數相加内減併徑化秒之對數餘為交角餘弦之對數檢八線對數表得併徑交實緯角(如無食甚實緯則無交角亦無緯差角)求初虧黃道交實緯角(以下並與前法同)置九十度加減斜距黃道交角得初虧黃道交實緯角食甚月距正交初宫六宫為減五宫十一宫為加求初虧併徑黃道交角(即初虧緯差角)以初虧黃道交實緯角與併徑交實緯角相減得初虧併徑黃道交角并記南北號凡併徑交實緯角小於初虧黄道交實緯角則南北與食甚實緯同號大於初虧黃道交實緯角則南北與食甚實緯異號若兩角相等則併徑與黃道合無交角求復圓黃道交實緯角置九十度加減斜距黃道交角得復圓黃道交實緯角食甚月距正交初宫六宫為加五宫十一宫為減求復圓併徑黃道交角(即復圓緯差角)以復圓黃道交實緯角與併徑交實緯角相減得復圓併徑黃道交角并記南北號凡併徑交實緯角小於復圓黃道交實緯角則南北與食甚實緯同號大於復圓黃道交實緯角則南北與食甚實緯異號若兩角相等則併徑與黃道合無交角求初虧併徑髙弧交角(即初虧定交角)置初虧黃道髙弧交角加減初虧併徑黄道交角得初虧併徑髙弧交角初虧在限東南加北減初虧在限西南減北加如無初虧併徑黃道交角則初虧黃道髙弧交角即初虧併徑髙弧交角求復圓併徑髙弧交角(即復圓定交角)置復圓黃道髙弧交角加減復圓併徑黃道交角得復圓併徑髙弧交角復圓在限東南減北加復圓在限西南加北減如無復圓併徑黄道交角則復圓黃道髙弧交角即復圓併徑髙弧交角求初虧方位初虧在限東者初虧併徑髙弧交角初度為正下四十五度以内為下偏左四十五度以外為左偏下九十度為正左過九十度為左偏上初虧在限西者初虧併徑髙弧交角初度為正上四十五度以内為上偏左四十五度以外為左偏上九十度亦為正左過九十度為左偏下併徑黃道交角大反減黃道髙弧交角則左變為右求復圓方位復圓在限東者復圓併徑髙弧交角初度為正上四十五度以内為上偏右四十五度以外為右偏上九十度為正右過九十度為右偏下復圓在限西者復圓併徑髙弧交角初度為正下四十五度以内為下偏右四十五度以外為右偏下九十度亦為正右過九十度為右偏上併徑黃道交角大反減黃道髙弧交角則右變為左(求月食方位以黃平象限在天頂南而定若北極出地二十三度以下黃平象限有時在天頂北則初虧)(復圓方位之左右與此相反併徑黃邊交角之加減亦相反)求食限總時以初虧復圓距時倍之得食限總時推各省月食法求各省月食時刻置京師月食時刻按各省東西偏度所變之時分加減之得各省月食時刻(盛京加二十九分浙江加一十四分四十六秒福建加一十一分五)(十六秒江南加九分一十二秒山東加九分江西減二分二十八秒河南減七分四十四秒湖廣減九分零八)(秒廣東減一十四分一十三秒山西減一十五分五十一秒廣西減二十四分五十九秒陜西減三十分一十)(五秒貴州減三十九分三十一秒四川減四十九分零四秒雲南減五十四分二十八秒朝鮮加四十二分解)(見上編日躔節氣時刻篇偏度見下編日躔推各省節氣時刻法)求各省月食方位以各省北極髙度及各省初虧復圓時刻依京師推月食方位法算之(黄平象限在天頂北者併徑黄道交角之加減相反初虧復圓方位之左右亦)(相反)得各省月食方位推月食帶食法求日出入卯酉前後赤道度以半徑一千萬為一率本省北極髙度之正切線為二率本時黃赤距緯(即食甚影距赤道度)之正切線為三率求得四率為夘酉前後赤道度之正弦檢表得卯酉前後赤道度求日出入時分以卯酉前後赤道度變時(一度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)春分後秋分前以減卯正加酉正得日出入時分秋分後春分前以加卯正減酉正得日出入時分(見上編日躔晝夜永短篇)求帶食距時以日出或日入時分與食甚時分相減得帶食距時求帶食距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率帶食距時化秒為三率求得四率為秒以分收之得帶食距弧(食甚兩心相距與斜距成直角帶食兩心相距亦與斜距成勾股故)(用斜距為比例初虧復圓以距弧求距時此以距時求距弧其理一也)求帶食兩心相距以半徑一千萬為一率帶食距弧之餘弦為二率食甚實緯之餘弦為三率求得四率為帶食兩心相距之餘弦檢表得帶食兩心相距(用勾股求弦法算之所得亦同)求帶食分秒以太陰視半徑倍之得太陰全徑化秒為一率十分化作六百秒為二率併徑内減帶食兩心相距餘化秒為三率求得四率為秒以分收之得帶食分秒求帶食赤經髙弧交角以影距赤道度之餘弦為一率(即影距北極之正弦)北極髙度之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經髙弧交角之餘弦檢表得帶食赤經髙弧交角帶出地平為東帶入地平為西(帶食時太陰必在地平北極至卯酉之經圈必九十度卯酉經圈與)(地平相交之角即北極出地度而影距北極經圈與地平相交之角即赤經髙弧交角之餘故用對邊對角法)(算或以髙弧九十度之正弦一千萬為一率影距正午赤道度之正弦為二率北極距天頂之正弦為三率則)(得四率為赤經髙弧交角之正弦亦係對邊對角之法若初虧復圓正當日出入時刻太陰正當地平則初虧)(復圓赤經髙弧交角亦可用此法求之)求帶食黃道髙弧交角置黃道赤經交角加減帶食赤經髙弧交角得帶食黃道髙弧交角太陰在夏至前六宫影在午西則減午東則加(加過九十度者與半周相減用其餘)太陰在夏至後六宫影在午西則加(加過九十度者與半周相減用其餘)午東則減(若黄道赤經交角不足減赤經髙弧交角)(則反減或加過一百八十度則減去一百八十度用其餘黃平象限即在天頂北若黄道赤經交角與赤經髙)(弧交角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則黄道在天頂與髙弧合無交角)求帶食兩心相距交實緯角以帶食兩心相距化秒為一率食甚實緯化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為交角之餘弦檢表得帶食兩心相距交實緯角(與初虧復圓併徑交實緯角之理同)求帶食兩心相距與黃道交角(即緯差角)以初虧或復圓黄道交實緯角(帶食在食甚前用初虧黄道交實緯角在食甚)(後用復圓黄道交實緯角)與帶食兩心相距交實緯角相減得帶食兩心相距與黃道交角帶食兩心相距交實緯角小於黃道交實緯角則帶食距緯之南北與食甚同大於黃道交實緯角則食甚為緯北者帶食為緯南食甚為緯南者帶食為緯北若兩角相等則兩心相距與黃道合無交角(與初虧復圓併徑黄道交角之理同)求帶食兩心相距與髙弧交角(即定交角)置帶食黃道髙弧交角加減帶食兩心相距與黃道交角得帶食兩心相距與髙弧交角食甚前帶出地平食甚後帶入地平者緯南則加緯北則減食甚後帶出地平食甚前帶入地平者緯南則減緯北則加如帶食兩心相距與黃道無交角則帶食黃道髙弧交角即帶食兩心相距與髙弧交角(黄平象限在天頂北者加減相反)求帶食方位食甚前與初虧同食甚後與復圓同(黄平象限在天頂北者左右相反)用表推月食帶食法求日出入卯酉前後赤道度以本省北極髙度正切線之對數與本時黃赤距緯(即食)(甚影距赤道度)正切線之對數相加内減半徑之對數餘為卯酉前後赤道度正弦之對數檢八線對數表得卯酉前後赤道度求日出入時分以卯酉前後赤道度變時(一度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)春分後秋分前以減卯正加酉正得日出入時分秋分後春分前以加卯正減酉正得日出入時分求帶食距時以日出或日入時分與食甚時分相減得帶食距時求帶食距弧置帶食距時化秒之對數減斜距對數較餘為帶食距弧之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得帶食距弧求帶食兩心相距以帶食距弧餘弦之對數與食甚實緯餘弦之對數相加内減半徑之對數餘為帶食兩心相距餘弦之對數檢八線對數表得帶食兩心相距求帶食分秒併徑内減帶食兩心相距餘化秒察其對數與六百秒之對數相加内減太陰全徑化秒之對數檢對數表得眞數為秒以分收之得帶食分秒求帶食赤經髙弧交角以北極髙度正弦之對數與半徑之對數相加内減影距赤道餘弦之對數餘為交角餘弦之對數檢八線對數表得帶食赤經髙弧交角帶出地平為東帶入地平為西求帶食黃道髙弧交角置黃道赤經交角加減帶食赤經髙弧交角得帶食黃道髙弧交角太陰在前六宫東加西減太陰在後六宮東減西加凡加過九十度者與半周相減用其餘(若黃道赤)(經交角不足減赤經髙弧交角則反減或加過一百八十度則減去一百八十度用其餘黃平象限即在天頂)(北若黃道赤經交角與赤經髙弧交角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則黃道在天頂與髙弧合)(無交角)求帶食兩心相距交實緯角以食甚實緯化秒之對數與半徑之對數相加内減帶食兩心相距化秒之對數餘為交角餘弦之對數檢八線對數表得帶食兩心相距交實緯角求帶食兩心相距與黃道交角以初虧或復圓黃道交實緯角(帶食在食甚前用初虧黄道交實緯角在食甚)(後用復圓黄道交實緯角)與帶食兩心相距交實緯角相減得帶食兩心相距與黃道交角并記南北號帶食兩心相距交實緯角小於黄道交實緯角則南北與食甚實緯同號大於黃道交實緯角則南北與食甚實緯異號若兩角相等則兩心相距與黃道合無交角求帶食兩心相距與髙弧交角置帶食黃道髙弧交角加減帶食兩心相距與黃道交角得帶食兩心相距與髙弧交角食甚前帶出地平食甚後帶入地平者南加北減食甚後帶出地平食甚前帶入地平者南減北加如帶食兩心相距與黃道無交角則帶食黃道髙弧交角即帶食兩心相距與髙弧交角(黃平象限在天頂北者加減相反)求帶食方位食甚前與初虧同食甚後與復圓同(黃平象限在天頂北者左右相反)右月食法惟食甚兩心實相距與斜距成直角與舊法不同他若推平望之用日躔月離推方位之用黃道赤經交角及兩心相距與黃道交角則其理相同特用法有殊耳餘惟數目小異至用表推算之法則惟首朔根朔望策時差地半徑差日月視徑黃道赤經交角列有本表餘俱用對數表以加減代乘除以折半代開方甚為簡便學者熟此可以實收對數之功而尤貴明比例之理不可務末而忘其本也御製厯象考成後編卷五
## 卷六
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷六日食歩法推日食用數推日食法推各省日食法推日食带食法日食諸角加減圖推日食用數雍正元年癸夘天正冬至為元周天三百六十度(入算化作一百二十九萬六千秒)周日一萬分周歳三百六十五日二四二三三四四二紀法六十朔策二十几日五三○五九○五三太隂交周朔策一十一萬零四百一十三秒小餘九二四四一三三四中距太隂地半徑差五十七分三十秒太陽地半徑差一十秒中距太陽距地心一千萬中距太陰距地心一千萬中距太陽視半徑一十六分六秒中距太隂視半徑一十五分四十秒三十微太陽光分一十五秒黄赤大距二十三度二十九分氣應三十二日一二二五四朔應一十五日一二六三三首朔太隂交周應六宮二十三度三十六分上十二秒四十九微推日食法推首朔及入交及實朔實時(理與月食同)求積年自雍正元年癸夘距所求之年共若干年減一年得積年求中積分以積年與周歳三百六十五日二四二三三四四二相乘得中積分求通積分置中積分加氣應三十二日一二二五四得通積分上考徃古則置中積分減氣應得通積分求天正冬至置通積分其日滿紀法六十去之餘為天正冬至日分上考徃古則以所餘轉與紀法六十相減餘為天正冬至日分求紀日以天正冬至日數加一日得紀日求積日置中積分加氣應分一二二五四(不用日)減本年天正冬至分(亦不用日)得積日上考徃古則置中積分減氣應分加本年天正冬至分得積日求通朔置積日減朔應一十五日一二六三三得通朔上考徃古則置積日加朔應得通朔求積朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九○五三除之得數加一為積朔餘數與朔策相減為首朔上考徃古則置通朔以朔䇿除之得數為積朔餘數為首朔求首朔太隂交周以積朔與太隂交周朔䇿一十一萬零四百一十三秒九二四四一三三四相乘滿周天一百二十九萬六千秒去之餘數為秒以宫度分収之為積朔太隂交周加首朔太隂交周應六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微得首朔太隂交周上考徃古則置首朔太隂交周應減積朔太隂交周(不及減者加十二宫減之)得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十三秒五十五微逓加十三次得逐月朔太隂交周求太隂入交月數逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十一度一十八分自五宫八度四十二分至六宫九度一十四分自十一宫二十度四十六分至十一宫三十度皆為太隂入交第幾月入交即第幾月有食(太陽最大視半徑一十六分二十二秒三十微)(太隂最大視半徑一十六分四十八秒相併得三十三分一十秒三十微以此數當距緯用最小黄白交角四)(度五十九分三十五秒求得距交白道經度六度二十二分為黄道南實朔可食之限又以最大太陽太隂兩)(半徑相併之數與最大高下差一度一分二十七秒相加得一度三十四分三十七秒三十微以此數當距緯)(用最小黄白交角求得距交白道經度一十八度二十六分為黄道北實朔可食之限各加實朔距平朔之行)(度二度五十二分黄道南得九度一十四分黄道北得二十一度一十八分為平朔可食之限圖觧見上編太)(陽食限篇)求平朔以太隂入交月數與朔䇿二十九日五三○五九○五三相乘得數與本年首朔日分相加其所得日數即平朔距冬至之日數再加紀日滿紀法六十去之自初日甲子起算得平朔干支以周日一千四百四十分通其小餘得平朔時分秒求實朔泛時以平朔距冬至之日數用推日躔月離法各求其子正黄道實行如太隂實行未及太陽則平朔日為實朔本日平朔次日為實朔次日如太陰實行已過太陽則平朔前一日為實朔本日平朔日為實朔次日又用推日躔月離法各求其本日或次日子正黄道實行乃以本日次日兩太陽實行相減為一日之日實行本日次日兩太隂實行相減為一日之月實行一日之二實行相減為一日之月距日實行化秒為一率周日一千四百四十分為二率本日太陽實行内減本日太隂實行餘化秒為三率求得四率為距本日子正後之分數以時收之得實朔泛時(如次日太隂實行仍未及太陽則次日為實朔日即於次日太陽實行内)(減次日太隂實行餘為三率所得四率為距次日子正後之分數如本日太隂實行已過太陽則前一日為實)(朔日即以本日太陽實行轉於本日太隂實行内減之餘為三率所得四率爲距本日子正前之分數與一)(千四百四十分相減餘為距前一日子正後之分數)求實朔實時以實朔泛時之時刻設前後兩時用推日躔月離法各求其黄道實行乃以前後兩時太陽實行相減為一小時之日實行以前後兩時太隂實行相減為一小時之月實行一小時兩實行相減為一小時月距日實行化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率前時太陽實行内減前時太隂實行餘化秒為三率求得四率為秒以分収之加於前時得實朔實時再以實朔實時用推日躔月離法各求其黄道實行則太隂太陽必同宫同度乃視本時月距正交自初宫初度至初宫一十八度二十六分自五宫一十一度三十四分至六宫六度二十二分自十一宫二十三度三十八分至十一宫三十度皆入食限為有食不入此限者不食即不必算推實朔用時第一(理與月食同)求均數時差以實朔太陽均數變時得均數時差(一度變為四分十五分變為一分十)(五秒變為一秒)均數加者則為減均數減者則為加求升度時差以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分之餘弦為二率實朔太陽距春秋分黄道經度之正切線為三率(實朔太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫者與九宫相減)(過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四率為距春秋分赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度與太陽距春秋分黄道經相減餘為升度差變時得升度時差二分後為加二至後為減求時差總均數時差與升度時差同為加者則相加為時差總仍為加同為減者亦相加為時差總仍為減一為加一為減者則相減為時差總加數大為加減數大為減求實朔用時置實朔實時加減時差總得實朔用時距日出前日入後五刻以内者可以見食五刻以外者則全在夜即不必算推食甚實緯及食甚用時第二求斜距交角差以一小時太隂白道實行化秒為一邉(本時次時二月離白道實行相)(減得一小時太隂白道實行太陽倣此)一小時太陽黄道實行化秒為一邉實朔黄白大距為所夾之角用切線分外角法求得對小邉之角為斜距交角差求斜距黄道交角置實朔黄白大距加斜距交角差得斜距黄道交角求兩經斜距(即一小時兩經斜距)以斜距交角差之正弦為一率一小時太陽實行化秒為二率實朔黄白大距之正弦為三率求得四率為秒以分収之得兩經斜距求食甚實緯(即食甚用時兩心實相距)以半徑一千萬為一率斜距黄道交角之餘弦為二率實朔月離黄道實緯化秒為三率求得四率為秒以分収之得食甚實緯南北與實朔黄道實緯同求食甚距弧以半徑一千萬為一率斜距黄道交角之正弦為二率實朔月離黄道實緯化秒為三率求得四率為秒以分収之得食甚距弧求食甚距時以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率食甚距弧化秒為三率求得四率為秒以分収之得食甚距時月距正交初宫六宫為減五宫十一宫為加求食甚用時置實朔用時加減食甚距時得食甚用時推地平高下差及日月視徑第三(下編推食甚用時之後即求三差而旣得食甚真時之後方求日月視徑今求各時高下差皆以本日地)(平高下差為比例而求地平高下差與日月視徑又皆由日月距地而生故以推地平高下差及日月視)(徑次於食甚用時之後為日食第三段也)求太陽實引置實朔太陽引數加減本時太陽均數得太陽實引求太隂實引置實朔太陰引數加減本時太隂初均數得太隂實引求太陽距地以倍兩心差三三八○○○為一邉以二千萬為兩邉和以太陽實引為一角用三角作垂線成兩勾股法算之(實引三宫以内者即以實引為一角過九宫者與全周相減為一角俱作垂線於形外實引過三宫者與)(六宫相減過六宫者減六宫為一角俱作垂線於形内法見日躔撱圓角度與面積相求篇)求得地心至撱圓界之一邉為太陽距地求太陰距地以實朔太陰本天心距地數倍之爲一邊以二千萬爲兩邊和以太陰實引爲一角用三角作垂線成兩勾股法算之(實引)(三宮以内者卽以實引爲一角過九宮者與全周相減爲一角俱作垂線於形内實引過三宮者與六宮相减過六宮者)(減六宮爲一角俱作垂線於形外)求得地心至撱圓界之一邊卽太陰距地求地平高下差以太隂距地為一率中距太隂距地一千萬為二率太隂中距最大地半徑差五十七分三十秒化作三千四百五十秒為三率求得四率為秒以分収之得本日太陰在地平上最大地半徑差減太陽地半徑差一十秒得地平高下差求太陽實半徑以太陽距地為一率中距太陽距地一千萬為二率中距太陽視半徑一十六分六秒化作九百六十六秒為三率求得四率為秒以分収之得太陽視半徑再減太陽光分一十五秒得太陽實半徑求太隂視半徑以太隂距地為一率中距太隂距地一千萬為二率中距太隂視半徑一十五分四十秒三十微化作九百四十秒半為三率求得四率為秒以分収之得太隂視半徑求併徑以太陽實半徑與太隂視半徑相加得併徑推食甚太陽黄赤經緯宿度及黄赤二經交角第四(下編推太陽實經在推實朔用時之前而推黄赤宿度在推復圓真時之後今太陽黄道經度已在)(本時日躔之中而求日食三差則必用赤道緯度及黄赤二經交角與赤道經度宿度皆屬一體故)(以推黄赤經緯宿度及黄赤二經交角並在三差之前為日食第四段也)求距時日實行以一小時化作三千六百秒為一率一小時太陽黄道實行化秒為二率食甚距時化秒為三率求得四率為秒以分収之得距時日實行食甚距時加者亦為加減者亦為減求食甚太陽黄道經度置實朔太陽黄道實行加減距時日實行得食甚太陽黄道經度(下編即用實朔經度今實朔經度已見日躔而月食求太隂白道經度加減距時月實行)(故日食亦同一例究之所差無多故東西差雖亦有日行分而黄道經度皆不另算)求食甚太陽黄道宿度察食甚太陽黄道經度足減本年黄道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陽黄道宿度求食甚太陽赤道經度以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度三十九分之餘弦為二率食甚太陽距春秋分黄道經度之正切線為三率(食甚太陽黄道經度不及三宫者與三宫相減過三宫者減三宫過六宫者與九宮相減)(過九宫者減九宫得太陽距春秋分黄道經度)求得四率為距春秋分赤道經度之正切線檢表得太陽距春秋分赤道經度自冬至初宫起算得食甚太陽赤道經度求食甚太陽赤道宿度察食甚太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐内某宿度分則減之餘為食甚太陽赤道宿度求食甚太陽赤道緯度以半徑一千萬為一率黄赤大距二十三度二十九分之正弦為二率食甚太陽距春秋分黄道經度之正弦為三率求得四率為距緯之正弦檢表得食甚太陽赤道緯度春分後秋分前為北秋分後春分前為南求太陽距北極置九十度加減食甚太陽赤道緯度(緯南則加緯北則減)得太陽距北極求黄赤二經交角以食甚太陽距春秋分黄道經度之餘弦為一率黄赤大距二十三度二十九分之餘切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為黄赤二經交角之餘切線(本為黄道)(赤經交角之正切線故即為黄赤二經交角之餘切線)檢表得黄赤二經交角冬至後黄經在赤經西夏至後黄經在赤經東如太陽在冬夏至則黄經與赤經合無交角求黄白二經交角斜距黄道交角即黄白二經交角實朔月距正交初宫十一宫白經在黄經西五宫六宫白經在黄經東求赤白二經交角黄赤二經交角與黄白二經交角同為東或同為西者則相加得赤白二經交角東亦為東西亦為西一為東一為西者則相減得赤白二經交角東數大為東西數大為西(此之所謂東西乃白經在赤經之東西也)若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角如無黄赤二經交角則黄白二經交角即赤白二經交角東西並同本法推食甚用時兩心視相距第五求用時太陽距午赤道度以食甚用時與十二時相減(不及十二時者於十二時内減之過十二時者則減)(去十二時)餘數變赤道度(一時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒)得用時太陽距午赤道度求用時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉(北極高度與九十度相減餘即北極距天頂)太陽距北極為一邉用時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法自天頂作垂弧至赤道經圏即成兩正弧三角形先以半徑一千萬為一率用時太陽距午赤道度之餘弦為二率北極距天頂之正切線為三率求得四率為距極分邉之正切線檢表得距極分邉與太陽距北極相加減得距日分邉(太陽距午赤道度不及九十度者作垂弧於形内則)(相減過九十度者作垂弧於形外則相加若距極分邉與太陽距北極等則赤經高弧交角為九十度)次以半徑一千萬為一率用時太陽距午赤道度之正切線為二率距極分邉之正弦為三率求得四率為垂弧之正切線又以距日分邉之正弦為一率垂弧之正切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經高弧交角之正切線檢表得用時赤經高弧交角若距極分邉轉大於太陽距北極則所得為外角與半周相減餘為赤經高弧交角午前赤經在高弧東午後赤經在高弧西(若太陽在正午無距午赤道度則赤道與高弧合無交角若太陽距午赤道度為九十度則北極距)(天頂即為垂弧用正弧三角形法以太陽距北極之正弦為一率北極距天頂之正切線為二率半徑一千萬)(為三率求得四率為赤經高弧交角之正切線檢表得赤經高弧交角若太陽距午赤道度為九十度太陽距)(北極亦九十度則北極距天頂度即赤經高弧交角度圖解見黄道高弧交角篇)求用時太陽距天頂以用時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率用時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得用時太陽距天頂求用時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率用時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得用時高下差求用時白經高弧交角用時赤經高弧交角與赤白二經交角同為東或同為西者則相加得用時白經高弧交角東亦為東西亦為西一為東一為西者則相減得用時白經高弧交角赤經高弧交角大東西與赤經高弧交角同赤經高弧交角小東西與白經高弧交角同(如無赤經高弧交角則赤白二經交角即白經)(高弧交角如無赤白二經交角則赤經高弧交角即白經高弧交角東西並同此之所謂東西乃白經在高弧)(之東西也)如無赤經高弧交角亦無赤白二經交角或兩角相等而減盡無餘則白經與高弧合無交角食甚用時即真時用時高下差與食甚實緯相加減(白經高弧交角九十度以)(内南加北減九十度以外南減北加)即食甚兩心視相距求用時對兩心視相距角月在黄道北則用時白經高弧交角即對兩心視相距角實距在高弧之東西與白經同月在黄道南則以白經高弧交角與半周相減餘為對兩心視相距角白經在高弧東者實距在高弧西白經在高弧西者實距在高弧東(若白經高弧交角過九十度則緯南如緯北緯北如緯南)求用時對兩心實相距角以食甚用時兩心實相距為一邊(即食甚實緯)用時高下差為一邊用時對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(用時兩心實相距大於高下差)(則加小於高下差則減)得用時對兩心實相距角求用時兩心視相距以用時對兩心實相距角之正弦為一率用時兩心實相距化秒為二率用時對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得用時兩心視相距(白經在高)(弧西兩心視相距大於併徑者或無食或食未及與併徑等者食甚用時即初虧真時小於併徑者在初虧食)(甚之間白經在高弧東用時兩心視相距大於併徑者或無食或食已過與併徑等者食甚用時即復圓真時)(小於併徑者在食甚復圓之間)推食甚設時兩心視相距及食甚真時第六求食甚設時用時白經高弧交角東向前取西向後取角大逺取角小近取(逺不過九刻近或數分)量距用時前後若干分為食甚設時求設時距分以食甚設時與食甚用時相減得設時距分求設時距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率設時距分化秒為三率求得四率為秒以分収之得設時距弧求設時對距弧角以食甚實緯化秒為一率設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為對距弧角之正切線檢表得設時對距弧角求設時兩心實相距以設時對距弧角之正弦為一率設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為秒以分収之得設時兩心實相距求設時太陽距午赤道度以食甚設時與十二時相減餘數變赤道度得設時太陽距午赤道度求設時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊設時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為設時赤經高弧交角(法與求用時赤經高弧交角同)求設時太陽距天頂以設時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率設時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得設時太陽距天頂求設時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率設時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得設時高下差求設時白經高弧交角以設時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得設時白經高弧交角(法與用時同)求設時對兩心視相距角月在黄道北以設時白經高弧交角與設時對距弧角相減餘為設時對兩心視相距角對距弧角小則實距在高弧之東西與白經同對距弧角大則白經在高弧西者實距在高弧東白經在高弧東者實距在高弧西月在黄道南以設時白經高弧交角與設時對距弧角相加得數與半周相減餘為設時對兩心視相距角白經在高弧東者實距在高弧西白經在高弧西者實距在高弧東如兩角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則兩心實相距與高弧合無交角亦無對設時兩心實相距角即以設時高下差與設時兩心實相距相減餘為設時兩心視相距(若白經高弧交角過九十度則緯南如緯北緯北如緯南)求設時對兩心實相距角以設時兩心實相距為一邉設時高下差為一邊設時對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(設時兩心實相距大於高下差則加小於高下差則減)得設時對兩心實相距角求設時兩心視相距以設時對兩心實相距角之正弦為一率設時兩心實相距化秒為二率設時對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得設時兩心視相距求設時白經高弧交角較以設時白經高弧交角與用時白經高弧交角相減得白經高弧交角較求設時高弧交用時視距角以設時白經高弧交角較與用時對兩心實相距角相加減(緯北為減緯南為加)得設時高弧交用時視距角(若白經高弧交角過)(九十度緯北為加緯南為減)求對設時視行角以設時高弧交用時視距角與設時對兩心實相距角相加減(兩實距同在高弧東或同在高弧西者則相減一東一西者則相加)得對設時視行角加過半周者與全周相減用其餘如無設時對兩心實相距角設時高下差大於設時兩心實相距則設時高弧交用時視距角即對設時視行角設時高下差小於設時兩心實相距則以設時高弧交用時視距角與半周相減餘為對設時視行角求對設時視距角以用時兩心視相距為一邊設時兩心視相距為一邊對設時視行角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(設時兩心視相距大於用時兩心視相距則加小於用時兩心)(視相距則減)得對設時視距角求設時視行以對設時視距角之正弦為一率設時兩心視相距化秒為二率對設時視行角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得設時視行求真時視行以半徑一千萬為一率對設時視距角之餘弦為二率用時兩心視相距化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時視行求真時兩心視相距以半徑一千萬為一率對設時視距角之正弦為二率用時兩心視相距化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時兩心視相距求真時距分以設時視行化秒為一率設時距分化秒為二率真時視行化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時距分白經在高弧西為加在高弧東為減求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食甚考定真時及食分第七求真時距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率真時距分化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時距弧求真時對距弧角以食甚實緯化秒為一率真時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為對距弧角之正切線檢表得真時對距弧角求真時兩心實相距以真時對距弧角之正弦為一率真時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為秒以分収之得真時兩心實相距求真時太陽距午赤道度以食甚真時與十二時相減餘數變赤道度得真時太陽距午赤道度求真時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊真時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為真時赤經高弧交角(法與求用時赤經高弧交角同)求真時太陽距天頂以真時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率真時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得真時太陽距天頂求真時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率真時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得真時高下差求真時白經高弧交角以真時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得真時白經高弧交角(法與求用時白經高弧交角同)求真時對兩心視相距角以真時白經高弧交角與真時對距弧角相加減得真時對兩心視相距角(法與求設時對兩心視相距角同)求真時對兩心實相距角以真時兩心實相距為一邉真時高下差為一邊真時對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(真時兩心實相距大於高下差則加小於高下差則減)得真時對兩心實相距角求考真時兩心視相距以真時對兩心實相距角之正弦為一率真時兩心實相距化秒為二率真時對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得考真時兩心視相距求真時白經高弧交角較以真時白經高弧交角與設時白經高弧交角相減得真時白經高弧交角較求真時高弧交設時視距角以真時白經高弧交角較與設時對兩心實相距角相加減(月在黄道北白經在高弧東設時真時兩實距同在高弧西或白經在高弧西兩實距同在高弧東)(設時白經高弧交角小則加大則減若白經在高弧東兩實距亦同在高弧東或白經在高弧西兩實距亦同)(在高弧西設時交角小則減大則加若兩實距一在高弧東一在高弧西則皆相減月在黄道南設時交角小則)(加大則喊)得真時高弧交設時視距角如無設時對兩心實相距角設時高下差大於設時兩心實相距則真時白經高弧交角較即真時高弧交設時視距角設時高下差小於設時兩心實相距則以真時白經高弧交角較與半周相減餘為真喧尚弧交設時視距角(若白經高弧交角過)(九十度則緯南如緯北緯北如緯南)東對考真時視行角以真時高弧交設時視距角與真時對兩心實相距角相加減(兩實距同在高弧東或同在高弧西者則相減一東一西者則相加如設時實距與高弧合無)(東西者設時高下差大於設時兩心實相距則相減設時高下差小於設時兩心實相距則相加)得對考真時視行角如過半周者與全周相減用其餘(女真時白)(經高弧交角較與設時對兩心實相距角相等而減盡無餘則真時對兩心實相距角即對考真時視行角如)(真時白經高弧交角較與設時對兩心實相距角相加適足一百八十度則真時對兩心實相距角與半周相)(減即對考真時視行角)求對考真時視距角以設時兩心視相距為一邉考真時兩心視相距為一邊對考其時視行角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相減(考真時兩心視相距必小於設時兩心視相距故減)得對考真時視距角求考真時視行以對考真時視距角之正弦爲一率考真時兩心視相距化秒爲二率對考真時視行角之正弦為三率求得四率爲秒以分収之得考真時視行求定真時視行以半徑一千萬為一率對考真時視距角之餘弦爲二率設時兩心視相距化秒為三率求得四率為秒以分収之得定真時視行(如定真時視行與考真時視行等是考真時兩心視相距已與視行)(成直角則食甚真時即食甚定真時即以考真時兩心祝相距求食甚分秒如或大或小則猶未為直角再用下)(法求之)求定真時兩心視相距以半徑一千萬為一率對考真時視距角之正弦為二率設時兩心視相距化秒為三率求得四率為秒以分収之得定真時兩心視相距求定真時距分以考真時視行化秒為一率設時距分與其時距分相減餘化秒為二率定真時視行化秒為三率求得四率為秒以分収之得定真時距分白經在高弧東設時距分小為減大爲加白經在高弧西設時距分小為加大為減求食甚定真時置食甚設時加減定真時距分得食甚定真時求食分以太陽實半徑倍之得太陽全徑化秒為一率十分化作六百秒為二率併徑内減定真時兩心視相距餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得食分推初虧前設時兩心視相距第八求初虧復圎前設時白經在高弧西食甚用時兩心視相距與併徑相去不逺即以食甚用時為初虧前設時小則向前取大則向後取量距食甚用時前後若干分為初虧前設時與食甚定真時相減餘數與食甚定真時相加為復圓前設時白經在高弧東食甚用時兩心視相距與併徑相去不逺即以食甚月時為復圓前設時小則向後取大則向前取量距食甚用時前後若千分為復圓前設時以食甚定真時與之相減餘數又與食甚定真時相減為初虧前設時來初虧前設時距分初虧前設時與食甚用時相減得初虧前設時距分求初虧前設時距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率初虧前設時距分化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧前設時距弧求初虧前設時對距弧角以食甚實緯化秒為一率初虧前設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為對距孤角之正切線檢表得初虧前設時對距弧角初虧前設時在倉甚用時前為西在倉甚用時後為東求初虧前設時兩心實相距以初虧前設時對距弧角之正弦為一率初虧前設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為秒以分収之得初虧前設時兩心實相距求初虧前設時太陽距午赤道度以初虧前設時與十二時相減餘數變赤道度得初虧前設時太陽距午赤道度求初虧前設時赤經高孤交角以北極距天頂爲一邊太陽距北極為一邉初虧前設時太陽距午赤道度爲所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角爲初虧前設時赤經高孤交角(法與食甚用時同)求初虧前設時太陽距天頂以初虧前設時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之弦弦為二率初虧前設時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得初虧前設時太陽距天頂求初虧前設時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率初虧前設時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得初虧前設時高下差求初虧前設時白經高弧交角以初虧前設時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得初虧前設時白經高弧交角(法與食甚用時同)求初虧前設時對兩心視相距角以初虧前設時白經高弧交角與初虧前設時對距弧角相加減(月在黄道北二角同為東或同為西則相加一為東一為西則相減月在黄道南二角同為東)(或同為西則相減又與半周相減一為東一為西則相加又與半周相減若白經高弧交角過九十度則緯南)(如緯北緯北如緯南)得初虧前設時對兩心視相距角如兩角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則兩心實相距與高弧合無交角即以初虧前設時高下差與初虧前設時兩心實相距相減餘為初虧前設時兩心視相距求初虧前設時對兩心實相距角以初虧前設時兩心實相距為一邊初虧前設時高下差為一邉初虧前設時對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(兩心實相)(距大於高下差則加小於高下差則減)得初虧前設時對兩心實相距角求初虧前設時兩心視相距以初虧前設時對兩心實相距角之正弦為一率初虧前設時兩心實相距化秒為二率初虧前設時對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得初虧前設時兩心視相距推初虧後設時兩心視相距第九求初虧後設時初虧前設時兩心視相距小於併徑則向前取大於併徑則向後取察其較之多寡量取前後若干分為初虧後設時以下俱用初虧後設時之數逐條推算法與初虧前設時同推初虧考定真時第十求初虧視距較以初虧前設時兩心視相距與初虧後設時兩心視相距相減得初虧視距較求初虧設時較以初虧前設時距分與初虧後設時距分相減得初虧設時較求初虧視距併徑較以初虧後設時兩心視相距與併徑相減得初虧視距併徑較求初虧真時距分以初虧視距較化秒為一率初虧設時較化秒為二率初虧視距併徑較化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧真時距分初虧後設時兩心視相距大於併徑為加小於併徑為減求初虧真時置初虧後設時加減初虧真時距分得初虧真時乃以初虧真時依前法求其兩心視相距果與併徑等則初虧真時即初虧定真時初虧真時對兩心實相距角即初虧方位角如或大或小則以初虧前後設時兩心視相距與併徑尤近者與考真時兩心視相距相較依法比例得初虧定真時推復圓前設時兩心視相距第十一求復圓前設時距分復圓前設時與食甚用時相減得復圓前設時距分求復圓前設時距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率復圓前設時距分化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓前設時距弧求復圓前設時對距弧角以食甚實緯化秒為一率復圓前設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為對距弧角之正切線檢表得復圓前設時對距弧角復圓前設時在食甚用時前為西在食甚用時後為東求復圓前設時兩心實相距以復圓前設時對距弧角之正弦為一率復圓前設時距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為秒以分収之得復圓前設時兩心實相距求復圓前設時太陽距午赤道度以復圓前設時與十二時相減餘數變赤道度得復圓前設時太陽距午赤道度求復圓前設時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊復圓前設時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為復圓前設時赤經高弧交角(法與食甚用時同)求復圓前設時太陽距天頂以復圓前設時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率復圓前設時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得復圓前設時太陽距天頂求復圓前設時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率復圓前設時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得復圓前設時髙下差求復圓前設時白經高弧交角以復圓前設時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得復圓前設時白經高弧交角(法與食甚用時同)求復圓前設時對兩心視相距角以復圓前設時白經高弧交角與復圓前設時對距弧角相加減(月在黄道北二角同為東或同為西則相加一為東一為西則相減月在黄道南二)(角同為東或同為西則相減又與半周相減一為東一為西則相加又與半周相減若白經高弧交角過九十)(度則緯南如緯北緯北如緯南)得復圓前設時對兩心視相距角如兩角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則兩心實相距與高弧合無交角即以復圓前設時高下差與復圓前設時兩心實相距相減餘為復圓前設時兩心視相距求復圓前設時對兩心實相距角以復圓前設時兩心實相距為一邉復圓前設時高下差為一邉復圓前設時對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(兩心實相)(距大於高下差為加小於高下差為減)得復圓前設時對兩心實相距角求復圓前設時兩心視相距以復圓前設時對兩心實相距角之正弦為一率復圓前設時兩心實相距化秒為二率復圓前設時對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得復圓前設時兩心視相距推復圓後設時兩心視相距第十二求復圓後設時復圓前設時兩心視相距小於併徑則向後取大於併徑則向前取察其較之多寡量取前後若干分為復圓後設時以下俱用復圓後設時之數逐條推算法與復圓前設時同推復圓考定真時第十三求復圓視距較以復圓前設時兩心視相距與復圓後設時兩心視相距相減得復圓視距較求復圓設時較以復圓前設時距分與復圓後設時距分相減得復圓設時較求復圓視距併徑較以復圓後設時兩心視相距與併徑相減得復圓視距併徑較求復圓真時距分以復圓視距較化秒為一率復圓設時較化秒為二率復圓視距併徑較化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓真時距分復圓後設時兩心視相距小於併徑為加大於併徑為減求復圓真時置復圓後設時加減復圓真時距分得復圓真時乃以復圓真時依前法求其兩心視相距果與併徑等則復圓真時即復圓定真時復圓真時對兩心實相距角即復圓方位角如或大或小則以復圓前後設時兩心視相距與併徑尤近者與考真時兩心視相距相較依法比例得復圓定真時又法推食甚近時第五求用時太陽距午赤道度以食甚用時與十二時相減(不及十二時者於十二時内減之過十二時者則減)(去十二時)餘數變赤道度(一時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒)得用時太陽距午赤道度求用時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉(北極高度與九十度相减餘即北極距天頂)太陽距北極為一邉用時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法自天頂作垂弧至赤道經圏即成兩正弧三角形先以半徑一千萬為一率用時太陽距午赤道度之餘弦為二率北極距天頂之正切線為三率求得四率為距極分邉之正切線檢表得距極分邉與太陽距北極相加減得距日分邉(太陽距赤道度不及九十度者作垂弧於形内則相)(减過九十度者作垂弧於形外則相加若距極分邊與太陽距北極等則赤經高弧交角為九十度)次以半徑一千萬為一率用時太陽距午赤道度之正切線為二率距極分邉之正弦為三率求得四率為垂弧之正切線又以距日分邉之正弦為一率垂弧之正切線為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經高弧交角之正切線檢表得用時赤經高弧交角若距極分邊轉大於太陽距北極則所得為外角與半周相減餘為赤經高弧交角午前為東午後為西(若太陽距午赤道度為九十度則北)(極距天頂即為垂弧用正弧三角形法以太陽距北極之正弦為一率北極距天頂之正切線為二率半徑一)(千萬為三率求得四率為赤經高弧交角之正切線檢表得赤經高弧交角若太陽距午赤道度為九十度太)(陽距北極亦九十度則北極距天頂度即赤經高弧交角度圖解見黄道高弧交角篇)求用時太陽距天頂以用時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率用時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得用時太陽距天頂(日食時太陽太隂同度即有距緯之南北而高下差所差無幾故借太陽高弧為太隂高弧)求用時白經高弧交角用時赤經高弧交角與赤白二經交角同為東或同為西者則相加得用時白經高弧交角東為限東西為限西一為東一為西者則相減得用時白經高弧交角赤經高弧交角大午東仍為限東午西仍為限西赤經高弧交角小午東變為限西午西變為限東若兩角相等而減盡無餘則太陽正當白平象限白經與高弧合無交角若相加適足九十度則白道在天頂與高弧合若相加過九十度與半周相減用其餘則白平象限在天頂北求用時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率用時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得用時高下差求用時東西差以半徑一千萬為一率用時白經高弧交角之正弦為二率用時高下差化秒為三率求得四率為秒(秒下必帶小餘)(二位下倣此)以分収之得用時東西差(如無白經高弧交角則無東西差食甚用)(時即真時而高下差即南北差)求用時南北差以半徑一千萬為一率用時白經高弧交角之餘弦為二率用時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得用時南北差(如白經高弧交角為九十度則無南北差食甚實緯即視緯而高下差即)(東西差)求用時視緯以用時南北差與食甚實緯相加減得用時視緯(白平象限)(在天頂南緯南則加仍為南緯北則減仍為北南北差大緯則反減變北爲南白平象限在天頂北緯北則加仍為北)(南則減仍為南南北差大則反減變南為北後倣此)求用時兩心視相距以用時東西差為勾用時視緯為股求得弦即用時兩心視相距求近時距分以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率以用時東西差為近時實距弧化秒為三率求得四率為秒以時分収之得近時距分限西為加限東為減求食甚近時置食甚用時加減近時距分得食甚近時推食甚真時第六求近時太陽距午赤道度以食甚近時與十二時相減餘數變赤道度得近時太陽距午赤道度求近時赤經高弧交角以北極距天頂為一邊太陽距北極為一邉近時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為近時赤經高弧交角(法與求用時赤經高弧交)(角同)午前為東午後為西求近時太陽距天頂以近時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率近時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得近時太陽距天頂求近時白經高弧交角以近時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得近時白經高弧交角(法與求用時白經高弧交角同)求近時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率近時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得近時高下差求近時東西差以半徑一千萬為一率近時白經高弧交角之正弦為二率近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得近時東西差求近時南北差以半徑一千萬為一率近時白經高弧交角之餘弦為二率近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得近時南北差求近時視距弧以近時東西差與用時東西差相減得近時視距弧(限東)(亦為緯東限西亦為緯西)求近時視緯以近時南北差與食甚實緯相加減得近時視緯(法與求用時視)(緯同)求近時兩心視相距以近時視距弧為勾近時視緯為股求得弦為近時兩心視相距求近時視行以近時視距弧與用時東西差相減為勾(近時東西差必大於用時)(東西差故近時視距弧限東必在緯東限西必在緯西與用時東西差同向故皆相減)以近時視緯與用時視緯相加減為股(兩視緯同為南或同為北者則相減一南一北者則)(相加)求得弦為近時視行求真時視行以近時兩心視相距與用時兩心視相距各自乘(即本條弦)(方積)相減以近時視行除之得數與近時視行相加折半得真時視行(如用近二時兩心視相距各自乘相減以近時視行除之得數與近時視行等是近)(時兩心視相距已與視行成直角則近時即定真時即以近時兩心視相距求食甚分秒如或大或小則猶未)(為直角再用下法求之)求真時兩心視相距以用時兩心視相距為弦真時視行為勾求得股為真時兩心視相距求真時距分以近時視行化秒為一率近時距分化秒為二率真時視行化秒為三率求得四率為秒以分收之得真時距分限西為加限東為減求食甚真時置食甚用時加減真時距分得食甚真時推食甚考定真時及食分第七求真時太陽距午赤道度以食甚真時與十二時相減餘數變赤道度得真時太陽距午赤道度求真時赤經高弧交角以北極距天頂為一邊太陽距北極為一邉真時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為真時赤經高弧交角(法與求用時赤經高弧交)(角同)午前為東午後為西求真時太陽距天頂以真時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率真時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為太陽距天頂之正弦檢表得真時太陽距天頂求真時白經高弧交角以真時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得真時白經高弧交角(法與求用時白經高弧交角同)求真時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率真時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得真時高下差求真時東西差以半徑一千萬為一率真時白經高弧交角之正弦為二率真時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時東西差求真時南北差以半徑一千萬為一率真時白經高弧交角之餘弦為二率真時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時南北差求真時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率真時距分化秒為三率求得四率為秒以分収之得真時實距弧求真時視距弧以真時東西差與真時實距弧相減得真時視距弧(太隂)(在限東者東西差大於實距弧為緯東小為緯西太隂在限西者東西差大於實距弧為緯西小為緯東)求真時視緯以真時南北差與食甚實緯相加減得真時視緯(法與求用)(時視緯同)求考真時兩心視相距以真時視距弧為勾真時視緯為股求得弦為真時兩心視相距求考真時視行真時視距弧與近時視距弧相加減為股(兩視距弧同為東或同為)(西者則相減為視距較一東一西者則相加為視距和)真時視緯與近時視緯相加減為勾(兩視緯同為南或同為北者則相減為緯差較一南一北者則相加為緯差和)求得弦為考真時視行求定真時視行以考真時兩心視相距與近時兩心視相距各自乘相減以考真時視行除之得數與考真時視行相加折半得定真時視行(如近真二時兩心視相距各自乘相減以考真時視行除之得數與考真時視)(行相等是考真時兩心視相距已與視行成直角則真時即定真時即以考真時兩心視相距求食甚分秒如)(或大或小則猶未為直角再用下法求之)求定真時兩心視相距以近時兩心視相距為弦定真時視行為勾求得股為定真時兩心視相距求定真時距分以考真時視行化秒為一率以近時距分與真時距分相減餘化秒為二率定真時視行化秒為三率求得四率為秒以分収之得定真時距分近時距分小於真時距分限西為加限東為減近時距分大於真時距分限西為減限東為加求食甚定真時置食甚近時加減定真時距分得食甚定真時求食分以太陽實半徑倍之得太陽全徑化秒為一率十分化作六百秒為二率併徑内減定真時兩心視相距餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得食分推初虧近時第八求初虧復圓平距(即初虧復圓距弧因距食甚用時之度名距弧故此名平距以)(别之)以食甚定真時兩心視相距化秒為勾併徑化秒為弦求得股為秒以分収之得初虧復圓平距求初虧復圓用時距分以定真時視行化秒為一率定真時距分化秒為二率初虧復圓平距化秒為三率求得四率為秒以時分収之得初虧復圓用時距分求初虧用時置食甚定真時減初虧復圓用時距分得初虧用時求初虧用時太陽距午赤道度以初虧用時與十二時相減餘數變赤道度得初虧用時太陽距午赤道度求初虧用時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邉初虧用時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為初虧用時赤經高弧交角(法與求食)(甚用時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求初虧用時太陽距天頂以初虧用時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率初虧用時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得初虧用時太陽距天頂求初虧用時白經高弧交角以初虧用時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得初虧用時白經髙弧交角其加減及定距限東西天頂南北之法並與求食甚用時白經高弧交角同求初虧用時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率初虧用時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得初虧用時高下差求初虧用時東西差以半徑一千萬為一率初虧用時白經高弧交角之正弦為二率初虧用時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧用時東西差求初虧用時南北差以半徑一千萬為一率初虧用時白經高弧交角之餘弦為二率初虧用時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧用時南北差求初虧用時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率初虧用時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率為秒以度分収之得初虧用時實距弧初虧用時早於食甚用時為緯西遲於食甚用時為緯東(初虧固早於食甚然因東西視差之故太陽在限西則食甚恒差而遲夫食甚真時旣遲於食甚用時如東西)(差甚大而食分又甚小則初虧用時或遲於食甚用時者有之矣若太陽在限東則必早於食甚用時也)求初虧用時視距弧以初虧用時東西差與初虧用時實距弧相加減得初虧用時視距弧(限西緯東則減緯西則加限東必在緯西則減)求初虧用時視緯以初虧用時南北差與食甚實緯相加減得初虧用時視緯(法與求食甚用時視緯同)求初虧用時兩心視相距以初虧用時視距弧為股初虧用時視緯為勾求得弦為初虧用時兩心視相距乃視初虧用時兩心視相距與併徑相等則初虧用時即為初虧真時如或大或小則用下法求之求初虧近時距分以初虧用時兩心視相距化秒為一率初虧復圓用時距分化秒為二率初虧用時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧近時距分初虧用時兩心視相距大於併徑為加小於併徑為減求初虧近時置初虧用時加減初虧近時距分得初虧近時推初虧真時第九求初虧近時太陽距午赤道度以初虧近時與十二時相減餘數變赤道度得初虧近時太陽距午赤道度求初虧近時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊初虧近時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為初虧近時赤經高弧交角(法與求食)(甚用時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求初虧近時太陽距天頂以初虧近時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率初虧近時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得初虧近時太陽距天頂求初虧近時白經高弧交角以初虧近時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得初虧近時白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)求初虧近時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率初虧近時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得初虧近時高下差求初虧近時東西差以半徑一千萬為一率初虧近時白經高弧交角之正弦為二率初虧近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧近時東西差求初虧近時南北差以半徑一千萬為一率初虧近時白經高弧交角之餘弦為二率初虧近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧近時南北差求初虧近時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率初虧近時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率爲秒以度分収之得初虧近時實距弧初虧近時早於食甚用時爲緯西遲於食甚用時為緯東求初虧近時視距弧以初虧近時東西差與初虧近時實距弧相加減得初虧近時視距弧(限西緯東則減緯西則加限東則減)求初虧近時視緯以初虧近時南北差與食甚實緯相加減得初虧近時視緯(法與求食甚用時視緯同)求初虧近時兩心視相距以初虧近時視距弧爲股初虧近時視緯爲勾求得弦爲初虧近時兩心視相距乃視初虧近時兩心視相距與併徑相等則初虧近時卽爲初虧眞時如或大或小則再用下法求之求初虧眞時距分以初虧用時兩心視相距與初虧近時兩心視相距相減餘化秒為一率初虧近時距分化秒為二率初虧用時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧真時距分初虧用時兩心視相距大於併徑為加小於併徑為減求初虧真時置初虧用時加減初虧真時距分得初虧真時推初虧考定真時第十求初虧真時太陽距午赤道度以初虧真時與十二時相減餘數變赤道度得初虧真時太陽距午赤道度求初虧真時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊初虧真時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為初虧真時赤經高弧交角(法與求食)(甚用時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求初虧真時太陽距天頂以初虧真時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率初虧真時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得初虧真時太陽距天頂求初虧真時白經高弧交角以初虧真時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得初虧真時白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)求初虧真時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率初虧真時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得初虧真時高下差求初虧真時東西差以半徑一千萬為一率初虧真時白經高弧交角之正弦為二率初虧真時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧真時東西差求初虧眞時南北差以半徑一千萬為一率初虧真時白經高弧交角之餘弦為二率初虧真時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得初虧真時南北差求初虧真時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率初虧真時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率為秒以度分収之得初虧真時實距弧初虧真時早於食甚用時為緯西遲於食甚用時為緯東求初虧真時視距弧以初虧真時東西差與初虧真時實距弧相加減得初虧真時視距弧(限西緯東則減緯西則加限東則減)求初虧真時視緯以初虧真時南北差與食甚實緯相加減得初虧真時視緯(法與求食甚用時視緯同)求初虧考真時兩心視相距以初虧真時視距弧為股初虧真時視緯為勾求得弦為初虧考真時兩心視相距乃視初虧考真時兩心視相距與併徑相等則初虧真時即為初虧定真時如或大或小則再用下法求之求初虧定真時距分以初虧近時兩心視相距與初虧考真時兩心視相距相減餘化秒爲一率初虧近時距分與初虧真時距分相減餘化秒為二率初虧考真時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為初虧定真時距分初虧考真時兩心視相距大於併徑為加小於併徑為減求初虧定真時置初虧真時加減初虧定真時距分得初虧定真時推復圓近時第十一求復圓用時置食甚定真時加初虧復圓用時距分得復圓用時求復圓用時太陽距午赤道度以復圓用時與十二時相減餘數變赤道度得復圓用時太陽距午赤道度求復圓用時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邊復圓用時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為復圓用時赤經高弧交角(法與求食)(甚用時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求復圓用時太陽距天頂以復圓用時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率復圓用時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得復圓用時太陽距天頂求復圓用時白經高弧交角以復圓用時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得復圓用時白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)求復圓用時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率復圓用時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得復圓用時高下差求復圓用時東西差以半徑一千萬為一率復圓用時白經高弧交角之正弦為二率復圓用時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓用時東西差求復圓用時南北差以半徑一千萬為一率復圓用時白經高弧交角之餘弦為二率復圓用時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓用時南北差求復圓用時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率復圓用時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率為秒以度分収之得復圓用時實距弧復圓用時早於食甚用時為緯西遲於食甚用時為緯東(復圓固遲於食甚然因東西差之故太陽在限東食甚真時必早於食甚用時如東西差甚大而食分又甚小)(則復圓用時亦或早於食甚用時若太陽在限西則必遲於食甚用時也)求復圓用時視距弧以復圓用時東西差與復圓用時實距弧相加減得復圓用時視距弧(限東緯西則減緯東則加限西必在緯東則減)求復圓用時視緯以復圓用時南北差與食甚實緯相加減得復圓用時視緯(法與求食甚用時視緯同)求復圓用時兩心視相距以復圓用時視距弧為股復圓用時視緯為勾求得弦為復圓用時兩心視相距乃視復圓用時兩心視相距與併徑相等則復圓用時即為復圓真時如或大或小則用下法求之求復圓近時距分以復圓用時兩心視相距化秒為一率初虧復圓用時距分化秒為二率復圓用時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓近時距分復圓用時兩心視相距大於併徑為減小於併徑為加求復圓近時置復圓用時加減復圓近時距分得復圓近時推復圓真時第十二求復圓近時太陽距午赤道度以復圓近時與十二時相減餘數變赤道度得復圓近時太陽距午赤道度求復圓近時赤經高弧交角以北極距天頂為一邊太陽距北極為一邊復圓近時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為復圓近時赤經高弧交角(法與求食甚用)(時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求復圓近時太陽距天頂以復圓近時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率復圓近時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得復圓近時太陽距天頂求復圓近時白經高弧交角以復圓近時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得復圓近時白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)求復圓近時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率復圓近時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得復圓近時高下差求復圓近時東西差以半徑一千萬為一率復圓近時白經高弧交角之正弦為二率復圓近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓近時東西差求復圓近時南北差以半徑一千萬為一率復圓近時白經高弧交角之餘弦為二率復圓近時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓近時南北差求復圓近時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率復圓近時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率為秒以度分収之得復圓近時實距弧復圓近時早於食甚用時為緯西遲於食甚用時為緯東求復圓近時視距弧以復圓近時東西差與復圓近時實距弧相加減得復圓近時視距弧(限東緯西則減緯東則加限西則減)求復圓近時視緯以復圓近時南北差與食甚實緯相加減得復圓近時視緯(法與求食甚用時視緯同)求復圓近時兩心視相距以復圓近時視距弧為股復圓近時視緯為勾求得弦為復圓近時兩心視相距乃視復圓近時兩心視相距與併徑相等則復圓近時即為復圓真時如或大或小則再用下法求之求復圓真時距分以復圓用時兩心視相距與復圓近時兩心視相距相減餘化秒為一率復圓近時距分化秒為二率復圓用時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓眞時距分復圓用時兩心視相距大於併徑為減小於併徑為加求復圓真時置復圓用時加減復圓真時距分得復圓真時推復圓考定真時第十三求復圓真時太陽距午赤道度以復圓真時與十二時相減餘數變赤道度得復圓真時太陽距午赤道度求復圓真時赤經高弧交角以北極距天頂為一邉太陽距北極為一邉復圓真時太陽距午赤道度為所夾之角用斜弧三角形法求得對北極距天頂之角為復圓真時赤經高弧交角(法與求食)(甚用時赤經高弧交角同)午前為東午後為西求復圓真時太陽距天頂以復圓真時赤經高弧交角之正弦為一率北極距天頂之正弦為二率復圓真時太陽距午赤道度之正弦為三率求得四率為距天頂之正弦檢表得復圓真時太陽距天頂求復圓真時白經高弧交角以復圓真時赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得復圓真時白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)求復圓真時高下差以半徑一千萬為一率地平高下差化秒為二率復圓真時太陽距天頂之正弦為三率求得四率為秒以分収之得復圓真時高下差求復圓真時東西差以半徑一千萬為一率復圓真時白經高弧交角之正弦為二率復圓眞時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓真時東西差求復圓眞時南北差以半徑一千萬為一率復圓真時白經高弧交角之餘弦為二率復圓真時高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得復圓真時南北差求復圓真時實距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率復圓真時與食甚用時相減餘化秒為三率求得四率為秒以度分収之得復圓真時實距弧復圓真時早於食甚用時為緯西遲於食甚用時為緯東求復圓真時視距弧以復圓真時東西差與復圓真時實距弧相加減得復圓真時視距弧(限東緯西則減緯東則加限西則減)求復圓真時視緯以復圓真時南北差與食甚實緯相加減得復圓真時視緯(法與求食甚用時視緯同)求復圓考真時兩心視相距以復圓真時視距弧為股復圓真時視緯為勾求得弦為復圓考真時兩心視相距乃視復圓考真時兩心視相距與併徑相等則復圓真時即為復圓定真時如或大或小則再用下法求之求復圓定真時距分以復圓近時兩心視相距與復圓考真時兩心視相距相減餘化秒為一率復圓近時距分與復圓真時距分相減餘化秒為二率復圓考真時兩心視相距與併徑相減餘化秒為三率求得四率為復圓定真時距分復圓考真時兩心視相距大於併徑為減小於併徑為加求復圓定真時置復圓真時加減復圓定真時距分得復圓定真時推日食方位及食限總時第十四求初虧併徑白經交角以初虧真時視緯化秒為一率初虧真時視距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為併徑白經交角之正切線檢表得初虧併徑白經交角如初虧真時無視緯則併徑與白道合併徑白經交角為九十度求復圓併徑白經交角以復圓真時視緯化秒為一率復圓真時視距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為併徑白經交角之正切線檢表得復圓併徑白經交角如復圓真時無視緯則併徑與白道合併徑白經交角為九十度求初虧併徑高弧交角(即初虧定交角)置初虧併徑白經交角加減初虧真時白經高弧交角得初虧併徑高弧交角初虧在限東者緯南則加(南北以初)(虧視緯論)與半周相減緯北則減(本法以初虧方位角與半周相減)初虧在限西者緯北則加與半周相減緯南則減(本法即用初虧方位角)得初虧併徑高弧交角(若白平象限在天頂北則緯南如緯北緯北如緯南)如無初虧白經高弧交角則初虧併徑白經交角即初虧併徑高弧交角如兩角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則交角為初度求復圓併徑高弧交角(即復圓定交角)置復圓併徑白經交角加減復圓真時白經高弧交角得復圓併徑高弧交角復圓在限東者緯北則加(南北以復)(圓視緯論)與半周相減緯南則減(本法即用復圓方位角)復圓在限西者緯南則加與半周相減緯北則減(本法以復圓方位角與半周相減)得復圓併徑高弧交角(若白平象限在天頂北則緯南如緯北緯北如緯南)如無復圓白經高弧交角則復圓併徑白經交角即復圓併徑高弧交角如兩角相等而減盡無餘或相加適足一百八十度則交角為初度求初虧方位初虧在限東者初虧併徑高弧交角初度為正上四十五度以内為上偏右四十五度以外為右偏上九十度為正右過九十度為右偏下初虧在限西者初虧併徑高弧交角初度為正下四十五度以内為下偏右四十五度以外為右偏下九十度亦為正右過九十度為右偏上白經高弧交角大反減併徑白經交角者則變右為左(白平象限在天頂北左右相反)求復圓方位復圓在限東者復圓併徑高弧交角初度為正下四十五度以内為下偏左四十五度以外為左偏下九十度為正左過九十度為左偏上復圓在限西者復圓併徑高弧交角初度為正上四十五度以内為上偏左四十五度以外為左偏上九十度亦為正左過九十度為左偏下白經高弧交角大反減併徑白經交角者則變左為右(白平象限在天頂北左右相反)求食限總時置復圓定真時減初虧定真時得食限總時推各省日食法求各省日食時刻分秒方位置京師食甚用時按各省東西偏度所變之時分加減之(偏度時分見月食法)得各省食甚用時以各省北極高度依京師推日食法算之得各省日食時刻分秒方位推日食帶食法求日出入夘酉前後赤道度以半徑一千萬為一率本省北極高度之正切線為二率本時黄赤距緯之正切線為三率求得四率為夘酉前後赤道度之正弦檢表得夘酉前後赤道度求日出入時分以夘酉前後赤道度變時(一度變為四分十五分變為一分十五秒變為一秒)春分後秋分前以減夘正加酉正得日出入時分秋分後春分前以加夘正減酉正得日出入時分求帶食距時以日出或日入時分與食甚用時相減得帶食距時求帶食距弧以一小時化作三千六百秒為一率一小時兩經斜距化秒為二率帶食距時化秒為三率求得四率為秒以分収之得帶食距弧求帶食赤經高弧交角以黄赤距緯之餘弦為一率北極高度之正弦為二率半徑一千萬為三率求得四率為赤經高弧交角之餘弦檢表得帶食赤經高弧交角帶出地平為東帶入地平為西求帶食白經高弧交角以帶食赤經高弧交角與赤白二經交角相加減得帶食白經高弧交角(法與求食甚用時白經高弧交角同)本法求帶食對距弧角以食甚實緯化秒為一率帶食距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為對距弧角之正切線檢表得帶食對距弧角求帶食兩心實相距帶食對距弧角之正弦為一率帶食距弧化秒為二率半徑一千萬為三率求得四率為秒以分収之得帶食兩心實相距求帶食對兩心視相距角以帶食白經高弧交角與帶食對距弧角相加減(緯北減緯)(南加又與半周相減)得帶食對兩心視相距角求帶食對兩心實相距角以帶食兩心實相距為一邊地平高下差為一邉(帶食太陽)(在地平故用地平高下差)帶食對兩心視相距角為所夾之角用切線分外角法求得半較角與半外角相加減(兩心實相距大於高)(下差為加小於高下差為減)得帶食對兩心實相距角求帶食兩心視相距以帶食對兩心實相距角之正弦為一率帶食兩心實相距化秒為二率帶食對兩心視相距角之正弦為三率求得四率為秒以分収之得帶食兩心視相距又法求帶食東西差以半徑一千萬為一率帶食白經高弧交角之正弦為二率地平高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得帶食東西差求帶食南北差以半徑一千萬為一率帶食白經高弧交角之餘弦為二率地平高下差化秒為三率求得四率為秒以分収之得帶食南北差求帶食視距弧以帶食東西差與帶食距弧相減得帶食視距弧求帶食視緯以帶食南北差與食甚實緯相加減得帶食視緯(法與求食)(甚用時視緯同)求帶食兩心視相距以帶食視距弧為股帶食視緯爲勾求得弦爲帶食兩心視相距求帶食分秒以太陽實半徑倍之得太陽全徑化秒為一率十分化作六百秒為二率併徑内減帶食兩心視相距餘化秒為三率求得四率為秒以分収之得帶食分秒求帶食方位帶食在食甚前者用初虧方位法求之帶食在食甚後者用復圓方位法求之求帶食初虧復圓時刻帶食不見食甚者以帶食視緯化秒為勾併徑化秒為弦求得股為初虧復圓視距弧與帶食視距弧相加減(帶食東西差小於帶食距弧則加大於帶食距弧則減)得帶食初虧復圓實距弧以一小時兩經斜距化秒為一率一小時化作三千六百秒為二率帶食初虧復圓實距弧化秒為三率求得四率為秒以分収之得帶食初虧復圓距時帶出地平者與日出時分相加得復圓用時帶入地平者與日入時分相減得初虧用時按初虧復圓法求之得初虧復圓時刻右日食法惟食甚用時兩心實相距與斜距成直角食甚真時兩心視相距與視行成直角及初虧復圓帶食逕求兩心視相距與舊法不同若本法又法雖似逈殊理實一致至用表推算則除首朔根等項列有本表外餘俱用對數表其法與月食同故不復載御製厯象考成後編卷六
## 卷七
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷七日躔表太陽年根表太陽周嵗平行表太陽周日平行表太陽均數表黄赤距度表黄赤升度表升度時差表均數時差表太陽距地心表清蒙氣差表太陽年根表太陽年根表以雍正元年癸卯為元其距冬至及最卑之度分與前表小異(求逐年距冬至法以周日一萬分為一率太陽每日平行三千五百)(四十八秒小餘三二九○八九七為二率以癸卯天正冬至氣應分數一千二百二十五分小餘四與周日一)(萬分相減餘八千七百七十四分小餘六為三率求得四率三千一百一十三秒小餘五一六八四三収作五)(十一分五十三秒三十一微為癸卯年距冬至之數此後以本年距冬至之數平年加三百六十五日之太陽)(平行三百五十九度四十五分四十秒零七微零三纎四十九忽零九芒半閏年加三百六十六日之太陽平)(行三百六十度四十四分四十八秒二十六微四十八纎三十二忽三十一芒半滿三百六十度去之即得次)(年距冬至之數求逐年最卑法癸卯年天正冬至最卑應八度零七分三十二秒二十二微即癸卯年最卑過)(冬至之數此後平年加三百六十五日之最卑行一分零二秒五十七微二十四纎四十三忽閏年加三百六)(十六日之最卑行一分零三秒零七微四十五纎四十忽即得次年最卑過冬至之數滿三十纎者進作一微)(不足三十纎者去之後倣此)其紀日值宿並與前表法同用表之法如求乾隆元年丙辰之年根則察本表紀年自癸卯年後第一丙辰為所求之年乃視丙辰所對各數録之其距冬至為四十三分零二微最卑為八度二十一分一十一秒一十九微紀日為乙巳值宿為婁宿也太陽周嵗平行表太陽周嵗平行表以太陽平行及最卑行自一日至三百六十六日逐日列之表名平行者乃太陽自一日至三百六十六日之平行積度也(太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四)(十四纎四十三忽二十二芒零三塵累加之即得逐日之平行)最卑行者乃最卑自一日至三百六十六日之分秒也(最卑每日行一十微二十纎五十七忽累加之)(即得逐日之最卑行)用表之法如求冬至後九十二日之太陽平行及最卑行則察本表日數九十二所對各數録之其平行為三宫零四十分四十六秒一十七微即九十二日太陽平行之共數其最卑行為一十五秒五十二微即九十二日最卑行之共數也太陽周日平行表太陽周日平行表以一日内之時分秒與逐時逐分逐秒之平行數對列之因太陽每日之平行比前表止差五纎有竒而列表至微而止故其數皆與前表同用表之法如求一十二時四十二分五十一秒之太陽平行則察本表一十二時所對之數為二十九分三十四秒一十微四十二分所對之數為一分四十三秒二十九微三十四纎五十一秒所對之數為二秒零五微四十纎一十二忽合計三數得三十一分一十九秒四十五微一十四纎一十二忽即所求之太陽平行也太陽均數表太陽均數表按最卑最高分順逆列之引數初宫至五宫為最卑後列於上引數六宫至十一宫為最髙後列於下前後列引數度分分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數旁列較數太陽引數在上六宫者用順度其號為加太陽引數在下六宫者用逆度其號為減用表之法以引數之宫對引數之度分其縱横相遇即所求之均數也表以十分為率若引數有零分者按中比例法求之設太陽引數為二宫五度一十二分求其均數則察二宫五度一十分所對之均數為一度四十六分二十三秒較數為八秒乃以引數一十分為一率較數八秒為二率設數二分為三率求得四率一秒小餘六收作二秒與二宫五度一十分之均數一度四十六分二十三秒相加(因二十分之均數大於一十分之均數故相加反是則相減也)得一度四十六分二十五秒為所求之均數其號為加即為加均也黄赤距度表黄赤距度表按二分二至分順逆列之二分後之各宫列於上降婁大梁實沈三宫係春分後為北緯夀星大火析木三宫係秋分後為南緯其數同二至後之各宫列於下鶉首鶉火鶉尾三宫係夏至後為北緯星紀元枵娵訾三宫係冬至後為南緯其數同太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度俱與前表同用表之法以實行之宫對實行之度分其縱横相遇即所求之距度也表以十分為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道大火宫二十一度一十五分求黄赤距度則以大火宫二十一度一十分所對之數一十八度零五分零二秒與下層二十一度二十分所對之數一十八度零七分三十九秒相減餘二分三十七秒為一十分之較乃以一十分為一率較數二分三十七秒化作一百五十七秒為二率設數五分為三率求得四率七十八秒小餘五收作一分一十九秒與大火宫二十一度一十分之距度一十八度零五分零二秒相加(因二十分之距度大於一十分之距度故相加反是則相減也)得一十八度零六分二十一秒為所求之距度也黄赤升度表黄赤升度表黄道宫度與赤道宫度並列之皆自冬至星紀宫起初宫(即○宫)元枵宫為一宫以太陽經度為次用宫數不用宫名者太陽當交宫之際惟二分二至黄赤同度其餘恒不同宫故用宫數以便列表俱與前表同用表之法以太陽實行察黄道宫度其所對之赤道宫度即所求之赤道升度也表以逐度為率若實行有零分者按中比例法求之設太陽實行在黄道降婁宫五度二十四分求赤道升度自星紀宫起初宫計之為三宫五度二十四分則以黄道三宫五度所對之數三宫四度三十五分一十六秒與下層三宫六度所對之數三宫五度三十分二十二秒相減餘五十五分零六秒為一度之較乃以一度化作六十分為一率較數五十五分零六秒化作三千三百零六秒為二率設數二十四分為三率求得四率一千三百二十二秒收作二十二分零二秒與三宫五度之赤道度三宫四度三十五分一十六秒相加得三宫四度五十七分一十八秒為所求之赤道升度也升度時差表升度時差表按二分二至分順逆列之二分後六宫列於上二至後六宫列於下前後列黄道度分順逆以别加減中列逐宫逐度之升度時差即赤道升度與黄道相差度分所變時刻之分秒(毎一度變時之四分每十五分變時之一分每十五)(秒變時之一秒)太陽實行在上六宫者用順度其號為加太陽實行在下六宫者用逆度其號為減俱與前表同用表之法以實行之宫對實行之度其縱横相遇即所求之升度時差也設太陽實行在黄道大梁宫八度求升度時差則察大梁宫八度所對之數為九分三十秒即所求之升度時差其號為加即為加差也(大梁宫在上故用順)(度)若實行有零分者按中比例法求之均數時差表均數時差表按最卑最髙分順逆列之最卑後六宫列於上最髙後六宫列於下前後列引數度分順逆以别加減中列逐宫逐度之均數時差即均數度分所變時刻之分秒(毎一度變時之四分毎一十五分變時之一分毎一十五秒變時之一秒)太陽引數在上六宫者用順度其號為減太陽引數在下六宫者用逆度其號為加俱與前表同用表之法以引數之宫對引數之度其縱横相遇即所求之均數時差也設太陽引數為十一宫二十五度求均數時差則察十一宫二十五度所對之數為四十一秒即所求之均數時差其號為加即為加差也(十一宫在下故)(用逆度)若引數有零分者按中比例法求之太陽距地心表太陽距地心表按太陽實引宫度分分順逆列之初宫至五宫順列於上六宫至十一宫逆列於下前後列實引度分中列逐宫逐度之太陽距地心數(表數皆以千萬為率故列)(表止八位今用九位者因較數甚小帶尾數一位比例方準也)及其對數各列較數於其旁宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法以實引之宫對實引之度分其縱横相遇即所求之太陽距地心數也表以十分為率若實引有零分者按中比例法求之設太陽實引為二宫五度一十二分求太陽距地心數則察二宫五度一十分所對之太陽距地心數為九九二六六八七六較數為四四○一乃以實引一十分為一率較數四四○一為二率設數二分為三率求得四率八八○與二宫五度一十分之太陽距地心數九九二六六八七六相加(因二十分之太陽距)(地心數大於一十分之太陽距地心數故相加反是則相減也)得九九二六七七五六即所求二宫五度一十二分之太陽距地心數也求對數法同清蒙氣差表清蒙氣差表分四段列之每段前列距地平之度分後列距天頂之度分中列蒙氣差之分秒第一段距地平自初度至五度三十分距天頂自九十度至八十四度三十分第二段距地平自五度三十分至二十三度距天頂自八十四度三十分至六十七度第三段距地平自二十三度至五十六度距天頂自六十七度至三十四度第四段距地平自五十六度至八十九度距天頂自三十四度至一度其毎段中列蒙氣差之分秒即距地平與距天頂逐度之蒙氣差也(表列距地平度分自初度至七度因距地)(平近距天頂逺其蒙氣差之較數甚大故俱以十分為率自七度至十五度因距地平漸逺距天頂漸近其蒙)(氣差之較數漸小故俱以三十分為率自十五度至八十九度因距地平逺距天頂近其蒙氣差之較數甚微)(故俱以一度為率)用表之法如測得七政或恒星髙四十度求蒙氣差則察距地平四十度所對之數為一分一十秒即所求之蒙氣差與視高四十度相減餘三十九度五十八分五十秒為實髙如先推得實髙三十九度五十八分五十秒則以蒙氣差一分一十秒與實髙相加得四十度為視髙如測得距天頂五十度求蒙氣差則察距天頂五十度所對之數為一分一十秒即所求之蒙氣差與距天頂五十度相加得五十度一分一十秒為實距天頂如先推得實距天頂五十度一分一十秒則以蒙氣差一分一十秒與實距天頂相減得五十度為視距天頂也高度與距天頂有零分者按中比例法求之御製厯象考成後編卷七
## 卷八
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷八月離表上太隂年根表太隂周嵗平行表太隂周日平行表太隂一平均表日距地立方較表太隂二平均表太隂三平均表太隂最高均及本天心距地表太隂年根表太隂年根表以距冬至及最高行(即月孛行)正交行逐年列之前用紀年者乃雍正元年後逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太隂平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法雍正元年癸夘太隂平行應五宫二十六度二十七分四十)(八秒五十三㣲即癸卯年天正冬至次日子正太隂平行距冬至之數此後用加法如本年為平年則加三百)(六十五日之太隂平行十三周天外又四宫零九度二十三分零三秒三十二微三十八纎五十五忽五十六)(芒滿全周去之餘為次年距冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之太隂平行十三周天外又四宫)(二十二度三十三分三十八秒三十四微零三纎一十二忽一十二芒滿全周去之餘為次年距冬至之數滿)(三十纎以上者進作一㣲不足三十纎者去之後倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高過冬至之宫度也(求逐年最高行法雍正元年癸卯最)(高應八宫零一度一十五分四十五秒三十八微即癸夘年天正冬至次日子正最高過冬至之數此後用加)(法如本年為平年則加三百六十五日之最高行一宫一十度三十九分五十秒三十七微五十六纎四十七)(忽四十八芒即得次年最高過冬至之數如本年為閏年則加三百六十六日之最高行一宫一十度四十六)(分三十一秒四十二微零九纎三十六忽三十五芒又四分芒之一即得次年最高過冬至之數)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交過冬至之宫度也(求逐年正交行法雍正元年癸卯正交應五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微即癸卯年天正)(冬至次日子正正交過冬至之數此後用減法如本年為平年則減三百六十五日之正交行一十九度一十)(九分四十三秒零六微零一纎一十三忽五十五芒半即得次年正交過冬至之數如本年為閏年則減三百)(六十六日之正交行一十九度二十二分五十三秒四十四微二十纎一十八忽一十三芒半即得次年正交)(過冬至之數)用表之法如求乾隆壬戌年之年根則察本表紀年雍正元年癸卯後第一壬戌為所求之年乃視壬戌所對各數録之其距冬至為五宫一十七度二十八分一十六秒一十九微其最高行為九宫二十四度一十九分三十一秒五十六微其正交行為五宫一十五度三十分一十六秒零五微也太隂周嵗平行表太隂周嵗平行表以太隂平行及最高行正交行逐日列之其前用日數者自一日至三百六十六日之日數也表名平行者乃太隂自一日至三百六十六日之平行數也(太隂每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纎一十六忽一十六芒累加之即)(得逐日平行之數)最高行者乃太隂自一日至三百六十六日之最高行數也(最高每日行六分四十一秒零四微一十二纎四十八忽四十七芒累加之即)(得逐日最髙行之數)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行數也(正交每日退行三分一十秒三十八微一十九纎零四忽一十八芒累加之即得逐日正)(交行之數)用表之法如求冬至後四十五日之太隂平行及最高行正交行則察本表日數四十五日所對各數録之其平行為七宫二十二度五十六分一十六秒零三微即四十五日太隂平行之共數其最高行為五度零四十八秒一十微即四十五日最高行之共數其正交行為二度二十二分五十八秒四十四微即四十五日正交行之共數也太隂周日平行表太隂周日平行表以一日内之時分秒遞降列之蓋時刻之分秒與度數之分秒皆以六十遞析(一日二十四時每時六十)(分每分六十秒)故太隂一時之平行與一分或一秒之平行皆同數不過遞降一位耳如太隂一時行三十二分有餘一分行三十二秒有餘一秒行三十二微有餘其平行之數同為三十二而為分為秒為微則遞降也表分兩段第一段自一至三十者一時至三十時一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一時至六十時三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所對之數則太隂逐時逐分逐秒之各平行數也(太隂每日)(之平行用二十四時除之得三十二分五十六秒二十七微三十三纎三十忽四十芒是為一時之平行累加)(之為逐時之平行逐分逐秒之平行皆同數而遞降一位時之平行為度分秒微分之平行為分秒微纎秒之)(平行為秒微纎忽最高行與正交行皆倣此)用表之法如求五時三十六分四十八秒之太隂平行及最高行正交行則察本表太隂平行五時所對之數為二度四十四分四十二秒一十八微三十六分所對之數為一十九分四十五秒五十二微三十二纎四十八秒所對之數為二十六秒二十一微一十纎零三忽合計三數得三度零四分五十四秒三十一微四十二纎零三忽即所求之太隂平行也最高行五時所對之數為一分二十三秒三十三微三十六分所對之數為一十秒零一微三十七纎四十八秒所對之數為一十三微二十七纎零九忽合計三數得一分三十三秒四十七微五十九纎零九忽即所求之最高行也正交行五時所對之數為三十九秒四十三微三十六分所對之數為四秒四十五㣲五十八纎四十八秒所對之數為六微二十一纎一十七忽合計三數得四十四秒三十五微一十九纎一十七忽即所求之正交行也太隂一平均表太隂一平均表按太陽引數宫度前後順逆列之初宫至五宫為最卑後順列於前六宫至十一宫為最高後逆列於後中列逐宫逐度之各平均大隂平均順度為減逆度為加最高平均順度為加逆度為減正交平均順度為減逆度為加用表之法以太陽引數之宫度對各平均之數即所求之各平均也表以十分為率若太陽引數有零分者按中比例法求之設太陽引數為一宫六度一十分(引數有三)(十秒以上者進一分不及三十秒者去之後倣此)求各均數則察一宫六度一十分所對太隂平均之數七分零六秒為所求之太隂平均其號為減即為減均也又察一宫六度一十分所對最高平均之數一十一分五十八秒為所求之最高平均其號為加即為加均也又察一宫六度一十分所對正交平均之數五分四十二秒為所求之正交平均其號為減即為減均也日距地立方較表日距地立方較表按太陽引數宫度分順逆列之初一二三四五宫列於上六七八九十十一宫列於下前後列太陽引數度中列逐宫逐度之日距地立方較乃本時太陽距地數之立方與太陽在最高距地數之立方相減之較也宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法以太陽引數之宫對太陽引數之度其縱横相遇即所求之立方較也設太陽引數為一宫零六度(引數有三十分以上者進一度不及三十分者去之)求立方較則察一宫六度縱横相對之日距地立方較為九二三即所求之立方較也太隂二平均表太隂二平均表按日距月最高宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列日距月最高度分中列太陽在最高時距月最高逐宫逐度之二平均傍列較數者乃太陽在最卑時距月最高逐宫逐度之二平均與太陽在最高時距月最高逐宫逐度之二平均相減之較也宫在上者用順度其號為減宫在下者用逆度其號為加用表之法以日距月最高之宫對日距月最高之度縱横察得二平均及較數記之復以高卑立方大較一○一四為一率前所求得本時之立方較為二率所記之較數為三率求得四率與所記之二平均相加即所求之二平均也表以十分為率若日距月最高有零分者按中比例法求之設日距月最高為三宫一十六度一十五分立方較為九二三求二平均則以三宫一十六度一十分所對二平均之數一分五十四秒與上層三宫一十六度二十分所對二平均之數一分五十六秒相減餘二秒為十分之較乃以十分為一率二秒為二率設數五分為三率求得四率一秒與三宫一十六度一十分所對之平均一分五十四秒相加(因二十分之二平均大於一十分之二平均故相加反是則相)(減也)得一分五十五秒記定又察三宫一十六度一十分所對之較數與三宫一十六度二十分所對之較數俱係一十二秒無庸比例即將一十二秒記定復以立方大較數一○一四為一率所記較數一十二秒為二率所設立方較九二三為三率求得四率一十秒小餘九收作一十一秒與所記之二平均一分五十五秒相加得二分零六秒為所求之二平均其號為加即為加均也太隂三平均表太隂三平均表按日距正交宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列日距正交度分中列日距正交逐宫逐度之三平均宫在上者用順度其號為減宫在下者用逆度其號為加用表之法以日距正交之宫對日距正交之度其縱横相遇即所求之三平均也表以逐度為率若日距正交有零分者按中比例法求之設日距正交為八宫二度四十六分求三平均則以八宫二度所對三平均之數三十九秒與下層八宫三度所對三平均之數三十八秒相減餘一秒為六十分之較乃以六十分為一率較數一秒為二率設數四十六分為三率求得四率十分秒之七六收作一秒與八宫二度三平均之數三十九秒相減(因三度之平均小於二度之平均故相減反是則相加也)得三十八秒即所求之三平均其號為減即為減均也太隂最高均及本天心距地表太隂最高均及本天心距地表按日距月最高宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列日距月最高度分中列逐宫逐度之最高均及本天心距地數並各列較數於其傍宫在上者用順度均數之號為加宫在下者用逆度均數之號為減用表之法以日距月最高之宫對日距月最高之度其縱横相遇即所求之最高均及本天心距地數也表以十分為率若日距月最高有零分者按中比例法求之設日距月最高為三宫一十六度一十五分求最高均及本天心距地數則以十分為一率三宫一十六度一十分與二十分之間所對之較分三分五十五秒化作二百三十五秒為二率設數五分為三率求得四率一百一十七秒小餘五收作一分五十八秒與三宫一十六度一十分所對之最高均數七度五十四分五十秒相加(因二十分之最高均大於一十分之最高均故相加反是則相減也)得七度五十六分四十分秒為所求之最高均數其號為減即為減均也又以十分為一率三宫一十六度一十一十分與二十分之間所對之距地較數四四二為二率設數五分為三率求得四率二二一與三宫一十六度一十分所對之本天心距地數四五五七二○相加(因二十分之本天心距地)(數大於一十分之本天心距地數故相加反是則相減也)得四五五九四一即所求之本天心距地數也御製厯象考成後編卷八
## 卷九
欽定四庫全書御製歴象考成後編卷九月離表下太隂初均表太隂二均表太隂三均表太隂末均表太隂正交實均表交角加分表黄白升度差表黄白距緯表太隂初均表太隂初均表按太隂引數宫度分順逆列之初宫至五宫列於上六宫至十一宫列於下前後列太隂引數度分中列逐宫逐度之初均數因太隂兩心差隨時不同故表分大均中均小均三段最大兩心差六六七八二○列為大均中數兩心差五五○五○五列為中均最小兩心差四三三一九○列為小均宫在上者用順度其號為減宫在下者用逆度其號為加用表之法以太隂引數宫度及本天心距地數察其縱横相遇之均數即所求之初均數也表以十分為率若太隂引數有零分及本天心距地數在大均中均小均之間者用三次比例法求之(本天心距地數在大均中均之間者則以大均數與)(中均數相比例本天心距地數在中均小均之間者則以中均數與小均數相比例)設太隂引數為三宫一十八度四十三分本天心距地數為四五五九四一求初均數(本天心距地數在中均小均之間應以小均為本位中均為次位)則以十分為一率引數三宫一十八度四十分所對之小均數四度四十六分五十一秒與下層三宫一十八度五十分所對之小均數四度四十六分三十七秒相減餘一十四秒為二率設數三分為三率求得四率四秒與三宫一十八度四十分所對之小均數四度四十六分五十一秒相減(因五十分所對之小均數小於四十分所對之小均數故相減反是則相加也)餘四度四十六分四十七秒即引數三宫一十八度四十三分之小均數為初均本位又以十分為一率引數三宫一十八度四十分所對之中均數六度零六分零三秒與下層三宫一十八度五十分所對之中均數六度零五分四十六秒相減餘一十七秒為二率設數三分為三率求得四率五秒與三宫一十八度四十分所對之中均數六度零六分零三秒相減(相減之理與前同)餘六度零五分五十八秒即引數三宫一十八度四十三分之中均數為初均次位乃以最小兩心差四三三一九○與中數兩心差五五○五○五相減餘一一七三一五為一率本天心距地數四五五九四一與最小兩心差四三三一九○相減(因本天心距地數四五五九四一在兩心差中數小數之)(間故與兩心差小數四三三一九○相減若本天心距地數在兩心差大數中數之間則與兩心差中數五五○)(五○五相減)餘二二七五一為二率本位初均四度四十六分四十七秒與次位初均六度零五分五十八秒相減餘一度一十九分一十一秒化作四千七百五十一秒為三率求得四率九百二十一秒收作一十五分二十一秒與本位初均四度四十六分四十七秒相加得五度零二分零八秒為所求之初均數其號為減即為減均也太隂二均表太隂二均表按月距日宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列月距日度分中列太陽在最高時月距日逐宫逐度之二均數傍列較數者乃太陽在最卑時月距日逐宫逐度之二均與太陽在最高時月距日逐宫逐度之二均相減之較也宫在上者用順度其號為加宫在下者用逆度其號為減用表之法以月距日之宫對月距日之度分縱横察其二均及較數各記之復以高卑立方大較數一○一四為一率前所得本時立方較為二率所記之較數為三率求得四率與所記之二均相加即所求之二均數也表以十分為率若月距日有零分者按中比例法求之設月距日為十一宫一十九度三十分立方較為九二三求二均數則將十一宫一十九度三十分所對之二均一十一分五十五秒較數一分二十五秒各記定(月距)(日無零分故無庸中比例)乃以立方大較數一○一四為一率前所得之立方較九二三為二率所記之較數一分二十五秒化作八十五秒為三率求得四率七十七秒收作一分一十七秒與所記之二均一十一分五十五秒相加得一十三分一十二秒為所求之二均其號為減即為減均也太隂三均表太隂三均表按日月最高相距與實月距日相加之總數宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列相距總數度分中列相距總數逐宫逐度之三均數宫在上者用順度宫在下者用逆度初宫至五宫其號為加六宫至十一宫其號為減用表之法以相距總數之宫對相距總數之度其縱横相遇之數即所求之三均數也表以十分為率若相距總數有零分者五分以上則進作十分不足五分者去之設相距總數為三宫二度二十四分求三均數則察三宫二度二十分所對三均之數為二分二十五秒即所求之三均其號為加即為加均也太隂末均表太隂末均表按日月最高相距宫度及實月距日宫度分上下前後順逆列之日月最高相距初一二六七八宫每隔十度順列於上三四五九十十一宫毎隔十度逆列於下實月距日初一二六七八宫逐度順列於前三四五九十十一宫逐度逆列於後中列日月最高相距及實月距日逐宫逐度之末均數日月最高相距初一二六七八宫用上度三四五九十十一宫用下度實月距日初一二宫其號為減六七八宫其號為加俱用順度三四五宫其號為減九十十一宫其號為加俱用逆度用表之法以日月最高相距之宫度對實月距日之宫度察其縱横相遇之數即所求之末均也表列實月距日以逐度為率若實月距日有三十分以上者進一度不及三十分者去之日月最高相距以十度為率若日月最高相距有零度者用中比例法求之設日月最髙相距為三宫一十三度實月距日為十一宫一十九度求末均數則先察日月最高相距三宫一十度條内横對實月距日十一宫一十九度之末均為三十秒次察三宫一十度條内横對實月距日十一宫一十九度之末均為二十七秒兩數相減餘三秒為日月最高相距一十度之較乃以一十度為一率較數三秒為二率設數三度為三率求得四率十分秒之九收作一秒與日月最高相距三宫一十度所對實月距日十一宫一十九度之末均三十秒相減(因三宫二十度之末均小於三宫一十度之末均故相減反是)(則相加也)餘二十九秒為所求之末均實月距日十一宫為加即為加均也太隂正交實均表太隂正交實均表按日距正交宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列日距正交度分中列日距正交逐宫逐度之正交實均宫在上者用順度其號為加宫在下者用逆度其號為減用表之法以日距正交之宫對日距正交之度分其縱横相遇之數即所求之正交實均也表以十分為率若日距正交有零分者按中比例法求之設日距正交為八宫二度四十六分求正交實均則以十分為一率日距正交八宫二度四十分所對之交均一度一十四分一十六秒與下層八宫二度五十分所對之交均一度一十三分五十八秒相減餘一十八秒為二率設數六分為三率求得四率一十秒小餘八收作一十一秒與八宫二度四十分之交均一度一十四分一十六秒相減(因五十分之均數小于四十分之均數故相減反是則相加也)餘一度一十四分零五秒為所求之正交實均其號為加即為加均也交角加分表交角加分表按日距正交宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列日距正交度中列日距正交逐宫逐度之距交加分及距交加差宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法以日距正交之宫度縱横察得本表之距交加分為距交加分察得加差為距交加差復以實月距日之宫度亦察本表之加差得距日加差然後以最大兩弦加分二分四十三秒與兩加差比例得距日加分與距交加分相加即得所求之交角加分也表以十分為率若日距正交及實月距日有零分者按中比例法求之設日距正交為八宫二度四十六分實月距日為十一宫一十九度一十六分求距交加分及加差則以十分為一率日距正交八宫二度四十分所對距交加分之數三分四十五秒與下層八宫二度五十分所對距交加分之數三分四十二秒相減餘三秒為二率設數六分為三率求得四率一秒小餘八收作二秒與日距正交八宫二度四十分之距交加分三分四十五秒相減(因四十分之距交加分大於五十分之距交加分故相減反是則相加也)餘三分四十三秒為所求之距交加分記之又察日距正交八宫二度四十分所對加差之數與下層八宫二度五十分所對加差之數俱為二分零九秒無庸比例即以日距正交八宫二度四十分之加差二分零九秒為所求之距交加差記之又察實月距日十一宫一十九度一十分所對加差之數與上層十一宫一十九度二十分所對加差之數俱為六秒亦無庸比例即以實月距日十一宫一十九度一十分之加差六秒為所求之距日加差記之然後以最大兩弦加分二分四十三秒化作一百六十三秒為一率所記距交加差二分零九秒化作一百二十九秒為二率所記距日加差六秒為三率求得四率四秒小餘七收作五秒為距日加分與前所記距交加分三分四十三秒相加得三分四十八秒即所求之交角加分也黄白升度差表黄白升度差表按月距正交宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列月距正交度中列最小交角月距正交逐宫逐度之升度差傍列較秒者乃最大交角月距正交逐宫逐度之升度差與最小交角月距正交逐宫逐度之升度差相減之較也宫在上者用順度其號為減宫在下者用逆度其號為加用表之法以月距正交之宫度分縱横察得升度差及較秒各記之復以交角大較數一十七分四十五秒為一率前所得本時交角加分為二率所記之較秒為三率求得四率與所記之升度差相加即得所求之升度差也表以十分為率若月距正交有零分者按中比例法求之設月距正交為七宫二十度五十一分交角加分為三分四十八秒求黄白升度差察月距正交七宫二十度五十分與七宫二十一度所對之升度差俱為六分二十四秒無庸比例即以七宫二十度五十分之升度差六分二十四秒記之又察月距正交七宫二十度五十分與七宫二十一度所對之較秒俱為四十七秒亦無庸比例即以七宫二十度五十分之較秒四十七秒記之然後以交角大較數一十七分四十五秒化作一千零六十五秒為一率交角加分三分四十八秒化作二百二十八秒為二率所記較秒四十七秒為三率求得四率一十秒與所記之升度差六分二十四秒相加得六分三十四秒為所求之升度差其號為減即為減差也黄白距緯表黄白距緯表按月距正交宫度分順逆列之初一二六七八宫列於上三四五九十十一宫列於下前後列月距正交度分中列最小交角月距正交逐宫逐度之距緯傍列較分者乃最大交角月距正交逐宫逐度之距緯與最小交角月距正交逐宫逐度之距緯相減之較也宫在上者用順度宫在下者用逆度初宫至五宫其號為北六宫至十一宫其號為南用表之法以月距正交之宫度分縱横察得距緯及較分各記之復以交角大較數一十七分四十五秒為一率前所得之交角加分為二率所記之較分為三率求得四率與所記之距緯相加即得所求之黄白距緯也表以十分為率若月距正交有零分者按中比例法求之設月距正交為七宫二十度五十一分交角加分為三分四十八秒求黄白距緯則以十分為一率月距正交七宫二十度五十分所對之距緯三度五十二分零九秒與七宫二十一度所對之距緯三度五十二分四十二秒相減餘三十三秒為二率設數一分為三率求得四率三秒與七宫二十度五十分之距緯三度五十二分零九秒相加(因二十一度之距緯大於二十度五十分之距緯故相加反是則相減也)得三度五十二分一十二秒為所求之黄白距緯記定又以十分為一率月距正交七宫二十度五十分所對之較分一十三分四十四秒與七宫二十一度所對之較分一十三分四十六秒相減餘二秒為二率設數一分為三率求得四率十分秒之二不足半秒無庸相加即將月距正交七宫二十度五十分之較分一十三分四十四秒為所求之較分記定然後以交角大較數一十七分四十五秒化作一千零六十五秒為一率交角加分三分四十八秒化作二百二十八秒為二率所記之較分一十三分四十四秒化作八百二十四秒為三率求得四率一百七十六秒收作二分五十六秒與所記之黄白距緯三度五十二分一十二秒相加得三度五十五分零八秒為所求之黄白距緯其號為南即為南緯也御製歴象考成後編卷九
## 卷十
欽定四庫全書御製厯象考成後編卷十交食表首朔諸根表朔望策表黄道赤經交角表太陽視半徑表太隂視半徑表太隂距地心表太隂地半徑差表太陽實行表太隂實行表首朔諸根表首朔諸根表以首朔及太隂交周逐年列之前用紀年者自癸卯年後逐年之干支也表名首朔者乃逐年天正冬至後第一平朔距冬至次日子正之日時也(求逐年首)(朔法雍正元年癸卯朔應一十五日零三時零一分五十四秒五十五微四十五纎二十四忽二十九芒即癸)(卯年首朔之數此後用加法以本年首朔之數加十二朔策三百五十四日零八時四十八分三十六秒一十)(五微四十一纎二十四忽四十八芒如本年為平年則減去三百六十五日餘為次年首朔之數如本年為閏)(年則減去三百六十六日餘為次年首朔之數若不足減則再加一朔䇿二十九日一十二時四十四分零三)(秒零一微一十八纎二十七忽零四芒然後減之而本年即為有閏月也若首朔日時分在一日八時以内則)(閏月或在上年葢表中所列首朔固是年前冬至後第一朔然係平朔距平冬至次日子正初刻之日時而定)(朔之距平朔最大者有二十一時定冬至之距平冬至本表三百年中最大者有十一時若定朔退而早定氣)(進而遲則定首朔在定冬至之前故本年首朔即為上年十一月朔而閏月即在上年本年即無閏月也表中)(遇此則上年十二月為上年首朔後第十三月本年正月為本年首朔後第二月)太隂交周者乃逐年首朔太隂平行距正交之宫度也(求逐年太隂交周法雍正)(癸卯年首朔太隂交周應六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微二十四纎零一忽一十一芒即癸卯)(年首朔太隂平行過正交之數此後用加法如本年無閏月則加十二太隂交周朔䇿十三周天外又八度零)(二分四十七秒零五微三十四纎三十九忽二十四芒即得次年首朔太隂平行過正交之數如本年有閏月)(則加十三太隂交周朔策十四周天外又一宫零八度四十三分零一秒零一微零二纎三十二忽四十一芒)(即得次年首朔太隂平行過正交之數)後列紀日值宿者乃逐年天正冬至次日之干支並所值之宿也至太陽平行太陽引數太隂引數諸根因用日躔月離求實朔望故皆不載用表之法如求乾隆元年丙辰之首朔諸根則察本表紀年自癸卯年後第一丙辰為所求之年乃視丙辰所對各數錄之其首朔為二十一日一十三時一十四分零一秒其太隂交周為三宫一十一度三十四分一十四秒三十九微其紀日為四十一其值宿為一十五也(紀日不列干支而列數目者以其便於加減也如丙辰年首朔為二十一日紀日為四十一日相加得六十二)(日滿紀法六十去之餘二日自初日甲子起算則知乾隆元年首朔為丙寅日也)朔望策表朔望策表以朔策望策及太隂交周朔望策自一月至十三月逐月列之其求朔望策之法與前表同用表之法如求首朔後第五月之朔策則察本表月數五所對各朔策錄之其朔䇿為一百四十七日一十五時四十分一十五秒其太隂交周朔策為五宫零三度二十一分零九秒三十七微求望策倣此黄道赤經交角表黄道赤經交角表按二分二至分順逆列之二分後之各宫列扵上二至後之各宫列扵下太陽實行在上六宫者用順度太陽實行在下六宫者用逆度俱與前表同因黄赤大距比前表小三十秒故交角之數比前表稍大耳用表之法以太陽實行之宫對實行之度其縱横相遇即所求之交角也設太陽實行在黄道實沈宫五度求黄道赤經交角則察實沈宫五度所對之數為七十九度三十五分四十四秒即所求之交角也(實沈宫在上故用順度)若實行有零分者按中比例法求之太陽視半徑表太陽視半徑表按最卑最高分順逆列之最卑後六宫列扵上最高後六宫列扵下前後列實引度太陽實引在上六宫者用順度在下六宫者用逆度中列太陽視半徑之分秒即太陽自最卑至最高逐度之視半徑分秒也用表之法以太陽實引之宫對實引之度其縦横相遇即所求之太陽視半徑也設太陽實引一宫九度求視半徑則察一宫九度所對之數為一十六分一十九秒即所求之太陽視半徑也(一宫在上故用順度)實引有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度視半徑所差甚微故也太隂視半徑表太隂視半徑表按最高最卑分順逆列之最高後六宫列於上最卑後六宫列於下(太陽引數自最卑起初宫順行故列扵上之初宫至)(五宫為最卑後六宫列扵下之六宫至十一宫為最高後六宫太隂引數自最高起初宫順行故列於上之初)(宫至五宫為最高後六宫列於下之六宫至十一宫為最卑後六宫)前後列實引度太隂實引在上六宫者用順度在下六宫者用逆度中列太隂大小兩視半徑之分秒盖太隂本天心距地數(即兩心差)有大小之不同則視半徑亦有大小之異最高視徑小而兩心差之大者為尤小最卑視徑大而兩心差之大者為尤大故按兩心差之大小各求其逐宫逐度之視半徑而分列之也用表之法以太隂實引之宫度及本天心距地數察其相對之分秒即所求之太隂視半徑也若本天心距地數在大小之間者用中比例法求之設太隂實引為六宫八度本天心距地數為六五九七八九求太隂視半徑則以實引六宫八度所對最大兩心差之視半徑一十六分四十七秒與所對最小兩心差之視半徑一十六分二十三秒相減餘二十四秒為兩視半徑之較(六宫)(在下故用逆度)乃以最大兩心差六六七八二○與最小兩心差四三三一九○相減餘二三四六三○為一率所設本天心距地數六五九七八九與最小兩心差四三三一九○相減餘二二六五九九為二率兩視半徑較二十四秒為三率求得四率二十三秒與最小兩心差之視半徑一十六分二十三秒相加(因最大兩心差之視半徑大扵最小兩心)(差之視半徑故相加)得一十六分四十六秒即所求之太隂視半徑也實引有零分者滿三十分以上則進作一度不用比例因逐度視半徑所差甚微故也太隂距地心表太隂距地心表按太隂實引宫度分順逆列之初宫至五宫順列於上六宫至十一宫逆列於下前後列實引度中列最大兩心差與最小兩心差逐宫逐度太隂距地心數旁列與地倍分宫在上者用順度宫在下者用逆度用表之法以太隂實引宫度及本天心距地數(即兩心差)察月距地數及倍數其縦横相遇即所求之月距地心數及倍數也實引以逐度為率本天心距地數以最大數六六七八二○與最小數四三三一九○為率若太隂實引有零分及本天心距地心數在大小之間者用三次比例法求之設太隂實引為三宫一十八度四十三分本天心距地心數為四五五九四一求月距地心數則以六十分為一率實引三宫一十八度所對之最小兩心差四三三一九○之月距地心數九八四九三八八與下層三宫一十九度所對之最小兩心差四三三一九○之月距地心數九八四二四二四相減餘六九六四為二率設數四十三分為三率求得四率四九一九與三宫一十八度所對之最小兩心差四三三一九○之月距地心數九八四九三八八相減(因十八度所對之距地心)(數大於十九度所對之距地心數故相減反是則相加也)餘九八四四四六七為所求月距地心數本位又以六十分為一率實引三宫一十八度所對最大兩心差六六七八二○之月距地心數九七五四一○八與下層三宫一十九度所對最大兩心差六六七八二○之月距地心數九七四三五五六相減餘一○五五二為二率設數四十三分為三率求得四率七五六二與三宫一十八度所對最大兩心差六六七八二○之月距地心數九七五四一○八相減(相減之理與前同)餘九七四六五四六為所求月距地心數次位乃以最大兩心差六六七八二○與最小兩心差四三三一九○相減餘二三四六三○為一率本天心距地數四五五九四一與最小兩心差四三三一九○相減餘二二七五一為二率本位月距地心數九八四四四六七與次位月距地心數九七四六五四六相減餘九七九二一為三率求得四率九四九五與本位月距地心數九八四四四六七相減得九八三四九七二即所求之月距地心數也如求月距地倍數則以六十分為一率實引三宫一十八度所對最小兩心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十八分與下層三宫一十九度所對最小兩心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十四分相減餘四分為二率設數四十三分為三率求得四率三分與三宫一十八度所對最小兩心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十八分相減餘五十八倍八十五分為所求距地倍數本位又以六十分為一率實引三宫一十八度所對最大兩心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍三十一分與下層三宫一十九度所對最大兩心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍二十五分相減餘六分為二率設數四十三分為三率求得四率四分與三宫一十八度所對最大兩心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍三十一分相減餘五十八倍二十七分為所求距地倍數次位乃以最大兩心差六六七八二○與最小兩心差四三三一九○相減餘二三四六三○為一率本天心距地數四五五九四一與最小兩心差四三三一九○相減餘二二七五一為二率本位距地倍數五十八倍八十五分與次位距地倍數五十八倍二十七分相減餘五十八分為三率求得四率六分與本位距地倍數五十八倍八十五分相減餘五十八倍七十九分即所求之距地倍數也太隂地半徑差表太隂地半徑差表按最高最卑分順逆列之最髙後六宫列於上最卑後六宫列於下前後列實引度太隂實引在上六宫者用順度在下六宫者用逆度中列太隂大小兩地半徑差之分秒乃太隂自最髙至最卑逐度所生地平上之最大地半徑差也盖太隂本天心距地數有大小之不同則地半徑差亦有大小之異最髙地半徑差小而兩心差之大者為尤小最卑地半徑差大而兩心差之大者為尤大故按兩心差之大小各求其逐宫逐度之地半徑差而分列之也用表之法以太隂實引之宫度及本天心距地數察其相對之分秒即所求太隂在地平上之地半徑差也若本天心距地數在大小之間者用中比例法求之設太隂實引為六宫八度本天心距地數為六五九七八九求太隂在地平上之地半徑差則以實引六宫八度所對最大兩心差之地半徑差六十一分三十五秒與所對最小兩心差之地半徑差六十分零五秒相減餘一分三十秒為兩地半徑差之較(六宫在下故用逆度)乃以最大兩心差六六七八二○與最小兩心差四三三一九○相減餘二三四六三○為一率所設本天心距地數六五九七八九與最小兩心差四三三一九○相減餘二二六五九九為二率兩地半徑差較一分三十秒化作九十秒為三率求得四率八十六秒小餘九進作八十七秒收為一分二十七秒與所對最小之地半徑差六十分零五秒相加(因最大兩心差之地半徑差大於最小兩心差之地半徑差故相加)得六十一分三十二秒即所求太隂在地平上之地半徑差也實引有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度地半徑差所差甚微故也如求本日地平髙弧六十度之地半徑差則以半徑一千萬為一率本日太隂在地平最大地半徑差六十一分三十二秒化作三千六百九十二秒為二率地平髙弧六十度之餘弦五百萬為三率(即距天頂之正弦)求得四率一千八百四十六秒收作三十分四十六秒即所求本日高弧六十度之地半徑差也(前表以太隂距地與地半徑比例數及髙度列)(表故中列地平髙弧逐度之地半徑差今以實引列表故止列太隂在地平之地半徑差而求髙弧逐度之地)(半徑差則又用比例法解見日躔地半徑差篇)太陽實行表太陽實行表按最卑最高分順逆列之最卑後六宫列於上最高後六宫列於下前後列引數度太陽引數在上六宫者用順度在下六宫者用逆度中列逐宫逐度之太陽一小時之實行(求太陽實行之法與前表同)用表之法以太陽引數之宫對引數之度縦横相遇即所求之太陽實行也設太陽引數為一宫二十五度求太陽實行則察一宫二十五度所對之數為二分三十一秒即所求之太陽實行也(一宫在上故用順度)引數有零分者滿三十分以上則進作一度不用中比例因逐度實行所差甚微故也太隂實行表太隂實行表按最髙最卑分順逆列之最髙後六宫列於上最卑後六宫列於下前後列引數度太隂引數在上六宫者用順度在下六宮者用逆度中列逐宫逐度太隂一小時之大小兩實行(太隂一小時之平行恒為三十二分五十六秒二十)(八微而實行則有遲疾蓋因均數時時不同故也舊法以朔望時太隂止有初均數無二三均故亦如求太陽)(實行之法以一度為一率逐度初均數之較為二率太隂一小時之引數為三率求得四率為一小時初均數)(之較與太隂一小時之平行相加減即得逐宫逐度太隂一小時之實行今以太隂唯在朔望時無二三均若)(一小時之前與一小時之後則仍有二三均然則前所得太隂實行猶為初實行也以朔望前後之二均計之)(毎度應加七十秒以朔望前後最大之三均計之毎度應加三秒合二三均計之毎度應加七十三秒而一小)(時月距日之行則約有半度强故以毎度應加之二三均七十三秒折半得三十六秒半為毎一小時應加二)(三均之數與前所推一小時太隂初實行相加方為太隂一小時實在之實行也)蓋太隂本天心距地數有大小之不同則太隂之初均數與一小時之實行亦有大小之異最髙行遲而兩心差之大者為尤遲最卑行疾而兩心差之大者為尤疾故按兩心差之大小各求其逐宫逐度太隂一小時之實行而分列之也用表之法以太隂引數之宫度及本天心距地數察其相對之分秒即所求之太隂實行也若本天心距地數在大小之間者用中比例法求之設太隂引數為初宫十五度本天心距地數為六五九七八九求太隂一小時之實行則以引數初宫十五度所對最大兩心差之實行二十九分二秒與所對最小兩心差之實行三十分二十秒相減餘一分十八秒為兩實行之較(初宫在上故用)(順度)乃以最大兩心差六六七八二○與最小兩心差四三三一九○相減餘二三四六三○為一率所設本天心距地數六五九七八九與最大兩心差六六七八二○相減餘八○三一為二率兩實行較一分十八秒化作七十八秒為三率求得四率二秒小餘六進作三秒與所對最大兩心差之實行二十九分二秒相加(最小兩心)(差之實行大於最大兩心差之實行故相加)得二十九分五秒即所求太隂一小時之實行也若引數有零分者則即以所近最大兩心差上下二度之實行比之(所設兩心差與最大兩心差相近故用最大兩)(心差之實行)不用三次比例因最大兩心差逐度實行之較與最小兩心差逐度實行之較所差甚微故也御製厯象考成後編卷十◆ 《欽定儀象考成-清-》（KR3f0020）
## 御製序
欽定四庫全書御製儀象考成序上古占天之事詳於虞典書稱在璿璣玉衡以齊七政後世渾天諸儀所為權輿也厯代以來遞推迭究益就精宻所傳六合三辰四逰儀之制本朝初年猶用之我皇祖聖祖仁皇帝奉若天道研極理數嘗用監臣南懷仁言改造六儀輯靈臺儀象志所司奉以測驗其用法簡當如定周天度數為三百六十周日刻數為九十有六分黃赤道以備儀制減地平環以清儀象創制精宻尤有非前代所及者顧星辰循黄道行每七十年差一度黄赤二道之相距亦數十年差一分所當隨時釐訂以期脗合而六儀之改創也占候雖精體制究未協於古赤道一儀又無遊環以應合天度志載星象亦間有漏略躐次者我皇祖精眀歩天定時之道使用六儀度至今必早有以隨時更正矣予小子法祖敬天雖切於衷而推測協紀之方實未夙習兹因監臣之請按六儀新法參渾儀舊式製為璣衡撫辰儀繪圖著說以禆測候并考天官家諸星紀數之闕者補之序之紊者正之勒為一書名曰儀象考成縱予斯之未信期允當之可循由是儀器正天象著而推算之法大備夫制器尚象以前民用莫不當求其至精至宻矧其為授時所本熙績所關尤不容有秒忽差者折衷損益彰往察來以要諸盡善奉時修紀之道敢弗慎諸至乃基命宥宻所為夙夜孜孜監于成憲者又自有在是為序乾隆二十有一年嵗在丙子冬十有一月御筆
## 奏議
欽天監監正加禮部侍郎(臣)戴進賢等謹奏為請㫖増修靈臺儀象志表以昭遵守事竊(臣)等西鄙庸愚荷蒙我皇上深仁廣覆畀以璣衡重任早夜兢兢唯恐有曠職守伏查康熙十三年蒙聖祖仁皇帝命原任治理歴法兼工部侍郎(臣)南懐仁製造觀象臺測量日月星辰儀器六座又纂成靈臺儀象志一書有解有圖有表皆闡明儀器六座所用之法此書乃(臣)監中天文科推測星象所常用者其中詮解用法儀詳理備但志中原載星辰循黄道行毎年約差五十一秒合七十年則差一度今為時已久運度與表不符理宜改定再查康熙十三年纂修儀象志時黄道赤道相距二十三度三十二分今測得相距二十三度二十九分志中所列諸表皆據曩時分度所當逐一加修脗合天行庶測驗時更覺便於較証又查三垣二十八宿以及諸星今昔多寡不同應以本年甲子為元釐輯増訂以資考測(臣)等受恩日久報稱無能此乃分所應辦故敢冒昧陳奏至修書人員容(臣)於監中揀用數員務期悉心從事書成之日進呈御覽恭請欽定伏候睿鑒施行謹奏乾隆九年十月初六日具奏奉㫖著荘親王鄂爾㤗張照議奏欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏十月初六日發下戴進賢等奏摺一件奉㫖著荘親王鄂爾泰張照議奏欽此該(臣)等議得戴進賢等摺請修靈臺儀象志一書係伊衙門應辦之事又即請用伊衙門所有之人不支桌飯銀兩自應如所請令其精詳修纂完竣進呈御覽伏候聖訓謹奏乾隆九年十一月初六日具奏奉㫖依議仍著荘親王鄂爾泰張照兼管欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為請㫖事乾隆九年十一月二十二日(臣)等奏稱三辰公晷儀制規倣璣衡其用廣大簡易為從前所未有請製造大儀安置觀象臺上以便測量之用如蒙俞允(臣)等㑹同海望三和辦理等因奉㫖好依議欽此本月二十六日奉㫖觀象臺所存舊儀座架廢銅著即為製造新儀之用欽此該(臣)等㑹看得觀象臺現設黄道赤道二儀俱徑六尺座髙四尺五寸今應按其尺度製造謹用五分之一擬製式樣恭呈御覽伏候聖訓再鑄造儀器若另立作厰置辦器具未免糜費錢糧今郎中佛保現在雍和宫辦理鑄造之事請就便交與佛保處遵㫖用舊儀座架廢銅鑄造如有不敷再行配搭添補(臣)等已𣲖出内務府郎中楊作新公義副總領葉文成(臣)館算學教習何國棟原任欽天監五官正劉裕錫㑹同監製督工(臣)等不時前往查看一切作法仍㑹同西洋人戴進賢劉松齡等商酌辨理其需用工料錢糧數目令佛保等細加核估(臣)等另行奏聞為此謹奏請㫖乾隆十年三月三十日具奏奉㫖好照議辦理先依此五分之一式樣製造銅儀一座進呈欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為奏聞事乾隆十年三月三十日(臣)等奏稱觀象臺現設黄道赤道二儀俱徑六尺座髙四尺五寸今鑄造三辰儀應按其尺度製造謹用五分之一擬製式樣恭呈御覽請交與佛保處遵㫖用舊儀座架廢銅鑄造其需用工料錢糧數目令佛保等細加核估(臣)等另行奏聞等因奉㫖好照議辦理先依此五分之一式様製造銅儀一座進呈欽此欽遵(臣)等隨令郎中佛保等将五分之一銅儀一座現今敬謹製造外其觀象臺添設三辰儀據該郎中佛保等約估得鑄造三辰儀并運往安設等項辦買物料計銀八百四十八兩三錢四分六釐食糧匠役一萬三千三百三十工毎工飯銀三分六釐計銀四百七十九兩八錢八分外僱匠役一萬八千八百二十六工毎工銀一錢五分四釐計銀二千八百九十九兩二錢四釐壮夫七百十四名每名銀八分計銀五十七兩一錢六分以上辦買物料匠役工價飯銀共約需銀四千二百八十四兩五錢九分相應向廣儲司領取應用如有餘剰核明繳回倘不敷用再行請領統俟工完之日核實報銷謹將約估需用工料錢糧細數并行取物料另繕清單一併恭呈御覽伏候聖訓謹此奏聞乾隆十年七月十七日具奏奉㫖知道了欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為遵㫖増修靈臺儀象志恒星經緯度表告成恭呈御覽仰祈聖鑒事乾隆九年十一月内欽天監監正戴進賢等奏請増修靈臺儀象志一摺(臣)允禄等遵㫖議覆係伊衙門應辦之事應如所請令其精詳修纂完竣進呈等因奉㫖依議仍著荘親王鄂爾泰張照兼管欽此(臣)等謹查漢以前星官名數今無全書晉志載吴太史令陳卓總巫咸甘石三家星官著於圖録凡二百八十三官一千四百六十四星今亦不見原本隋丹元子步天歌與陳卓數合後之言星官者皆以步天歌為凖康熙十三年監臣南懐仁修儀象志星名與古同者總二百六十一官一千二百一十星比步天歌少二十二官二百五十四星又於有名常數之外増五百一十六星又多近南極星二十三官一百五十星監臣戴進賢等據西洋新測星度累加測驗儀象志尚多未合又星之次第多不順序(臣)何國宗恭奉聖訓宜加釐正(臣)劉松齡(臣)鮑友管率同監員明安圖等詳加測算著之於圖(臣)允禄等復公同考定總計星名與古同者二百七十七官一千三百一十九星比舊儀象志多十六官一百零九星與步天歌為近其中次第顛倒凌躐(臣)等順序改正者一百五官四百四十五星其尤彰明較著者二十八宿次舎自古皆觜宿在前參宿在後其以何星作距星史無明文儀象志以參宿中三星之西一星作距星則觜宿在後參宿在前今依次順序以參宿中三星之東一星作距星則觜前參後與古合亦經順序改正又於有名常數之外増一千六百一十四星按其次序分註方位以備稽考又近南極星二十三官一百五十星中國所不見悉仍西測之舊共計恒星三百官三千零八十三星編為總紀一卷黄道經緯度表赤道經緯度表各十二卷月五星相距恒星經緯度表一卷天漢黄赤經緯度表四卷共成書三十卷書内星圖體制微小謹另繪大圖一併恭呈御覽伏乞皇上訓定欽賜嘉名御製序文冠於卷端交武英殿刋刻以垂永久所有襄事諸臣職名應否載入另摺開列請㫖為此謹奏乾隆十七年十一月二十二日具奏奉㫖知道了書名用儀象考成職名准開載新測恒星並増星圖象著照乾清宫陳設天球式様製造二分進呈欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為請㫖更定時憲書觜參之序以歸畫一事查時憲書内鋪註二十八宿值日古法觜宿在前參宿在後自用西法以來改為參宿在前觜宿在後乾隆五年欽天監修協紀辦方書奏稱星宿值日於算法疎密全無關涉請依古改正經大學士九卿議覆二十八宿值日載在時憲書既於算法全無關涉則亦不必更改等因在案今(臣)等奉命重修儀象志恒星經緯度表查明星座次第順序改正參宿在後觜宿在前列於恒星經緯度表恭候欽定則乾隆十九年之七政書即用此表推算若時憲書之值宿仍依參前觜後鋪註則與七政書不能畫一請以乾隆十九年為始依古觜前參後改正鋪註則七政書之星度時憲書之日宿皆一例順序矣(臣)等未敢擅便伏乞皇上聖鑒勅下大學士九卿再行議覆施行為此謹奏請㫖又夾片謹查二十八宿星次或自下而上(如角室等宿)或自東而西(如虚畢等宿)或自西而東(如心尾等宿)或自中而左右旋轉(如斗牛等宿)而以第一星作距星則各宿皆同惟觜參二宿相近自古星躔分野皆觜宿在前參宿在後西法以參宿中三星之西一星作距星則參宿在前觜宿在後今以參宿中三星之東一星作距星則觜前參後與古合再查二十八宿分列四方每方各七宿星家分配七政皆木金土日月火水為序東方七宿角亢氐房心尾箕屬火箕屬水北方七宿斗牛女虚危室壁室屬火壁屬水南方七宿井鬼柳星張翼軫翼屬火軫屬水皆係火前水後惟西方七宿若以奎婁胃昴畢參觜為序參屬水觜屬火則水前火後與三方之序不協今改觜前參後則火前水後與三方之序脗合乾隆十七年十一月二十四日具奏奉㫖大學士㑹同九卿議奏欽此大學士忠勇公(臣)傅恒等謹題為遵㫖議奏事乾隆十七年十一月二十六日内閣抄出和碩荘親王等具奏内開查時憲書内鋪註二十八宿值日古法觜宿在前參宿在後自用西法以來改為參宿在前觜宿在後乾隆五年欽天監修協紀辨方書奏稱星宿值日與算法疎密全無關涉請依古改正經大學士九卿議覆二十八宿值日載在時憲書既於算法全無關涉則亦不必更改等因在案今臣等奉命重修儀象志恒星經緯度表查明星座次第順序改正參宿在後觜宿在前列於恒星經緯度表恭候欽定則乾隆十九年之七政書即用此表推算若時憲書之值宿仍依參前觜後鋪註則與七政書不能畫一請以乾隆十九年為始依古觜前參後改正鋪註則七政書之星度時憲書之值宿皆一例順序矣伏乞皇上聖鑒勅下大學士九卿再行議覆施行謹奏請㫖又夾片内開謹查二十八宿星次或自下而上(如角室等)(宿)或自東而西(如虚畢等宿)或自西而東(如心尾等宿)或自中而左右旋轉(如斗牛等宿)而以第一星作距星則各宿皆同惟觜參二宿相近自古星躔分野皆觜宿在前參宿在後西法以參宿中三星之西一星作距星則參宿在前觜宿在後今以參宿中三星之東一星作距星則觜前參後與古合再查二十八宿分列四方每方各七宿星家分配七政皆木金土日月火水為序東方七宿角亢氐房心尾箕尾屬火箕屬水北方七宿斗牛女虚危室壁室屬火壁屬水南方七宿井鬼柳星張翼軫翼屬火軫屬水皆係火前水後惟西方七宿若以奎婁胃昴畢參觜為序參屬水觜屬火則水前火後與三方之序不協今改觜前參後則火前水後與三方之序脗合等因具奏奉㫖大學士㑹同九卿議奏欽此欽遵抄出到部該(臣)等㑹議得周天躔度以二十八宿為經星經星之星數多寡不一所占之度數亦廣狹不一而前後相次總以各宿之第一星為距星此天象之自然古今所不易也其間惟觜參二宿相距最近觜止三星形如品字其所占之度狹參有七星三星平列於中四星角出於外其所占之度廣古法以參宿中三星之東一星作距星則觜前參後康熙年間用西法算書以參中三星之西一星作距星遂改為參前觜後故時憲書内星宿值日亦依此序鋪註乾隆五年欽天監修協紀辨方書曾奏稱宿之距星惟人所指星宿值日於算法疎密全無關礙請依古改正當經大學士九卿奉㫖議覆以星宿值日既於算法全無關礙則既經康熙年間改定今亦不必更改等因在案惟是宿之距星惟人所指而以星度考之觜之占度本狹古以觜在前則距參一度而分野之度狹參之占度本廣古以參在後則距井十度三十六分而分野之度廣若如西法以參在前以觜在後是則參反距觜一度而參宿距井之十度三十六分移而歸觜似不如古法為優今荘親王等既奏稱奉命重修儀象志恒星經緯度表查明星座次第順序改正參宿在後觜宿在前列於恒星經緯度表乾隆十九年之七政書即用此表推算並時憲書之值宿亦依古觜前參後改正鋪註等語是觜參之前後現今依古改正至時憲書之值宿雖與七政書算法全無關礙而七政書乃時憲書之所從出其鋪註列宿次第未便與推算之星度互異應如所奏請以乾隆十九年為始時憲書之值宿依古改正仍以觜前參後鋪註觜參之前後既經順序改正與恒星經緯度表相合則二十八宿分列四方星家以七宿分配七政皆木金土日月火水為序者西方七宿亦火前水後與三方之序脗合矣恭候命下之日令欽天監遵照辦理可也再此本係禮部主稿合并聲明(臣)等未敢擅便謹題請㫖乾隆十七年十二月十四日題本月十六日奉㫖依議欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為請㫖事乾隆九年十一月内(臣)等摺奏三辰公晷儀制規倣璣衡其用廣大簡易為從前所未有請製造大儀安置觀象臺上以便測候之用如蒙俞允(臣)等㑹同海望三和辦理等因奉㫖好依議欽此欽遵今已製造安設訖(臣)等謹按尚書蔡沈註云宋錢樂作渾天儀即璿璣玉衡遺法本朝因之為儀三重其在外者曰六合儀次其内曰三辰儀其最在内者曰四遊儀(臣)等從前製造三辰公晷規倣其制省為兩重要帶赤道以其一器而備日月星辰之用故名三辰今製造大儀(臣)等先經進呈式様已即仍為三重惟省黄道地平二環以免遮蔽實即璣衡遺法而更為簡明若僅名三辰於義未備伏請皇上欽賜嘉名并請於儀之正中子午雙環南面鐫刻乾隆甲子年御製清漢字様以垂永久伏祈聖訓為此謹奏請㫖乾隆十九年正月初五日具奏奉㫖知道了硃筆批出璣衡撫辰儀欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為銷算奏聞事先經(臣)等奏稱觀象臺添設三辰儀據原任郎中佛保等約估得鑄造併運往安設等項辦買物料需銀八百四十八兩三錢四分六釐匠役等工價飯食需銀三千四百三十六兩二錢四分四釐以上共需銀四千二百八十四兩五錢九分向廣儲司領取應用如有餘剰核明繳回倘不敷用再行請領統俟工完之日核實報銷等因具奏奉㫖知道了欽此欽遵在案今製造得三辰儀子午圏二個天常赤道圏一個遊旋赤道圈一個過極圏二個四遊圏二個大龍牙二根小龍牙四根龍柱二根獅子八個雲墪一個地平一件山子四個螺螄四個直距窺管三根業經運往觀象臺合對安設訖查鑄造三辰儀共實用過銅一萬四千零二十四斤五兩此内除觀象臺舊有廢銅六千二百二十斤外添用過鑄爐處銅七千八百零四斤五兩辦買物料及匠役工價飯食共實用過銀三千五百六十九兩八錢四分六釐餘剰銀七百十四兩七錢四分四釐謹将用過銅斤辦買物料銀兩及行取過物料數目另繕清單一併恭呈御覽俟命下之日交各該處查照外餘剰銀兩繳回廣儲司可也為此謹具奏聞乾隆十九年正月初五日具奏奉㫖知道了欽此(刑部左侍郎鑲紅旗滿洲副都統兼管欽天監事務臣覺離勒爾森工部左侍郎樂部大臣裏行兼管欽天監事務臣何國宗)謹奏為御製儀器吿成恭疏陳謝并請編著儀説以垂永久事乾隆九年十月二十七日皇上駕幸觀象臺特允荘親王等所請規放璣衡製造大儀安設臺上以裨測候乾隆十九年正月初五日賜名御製璣衡撫辰儀三月十六日鐫刻清漢文訖欽惟(一)皇上道通法象學貫天人欽若授時齊七政而萬邦惟憲文明熙載撫五辰而庶績其凝固已嫓美勲華合符化育矣乃以靈臺舊器赤道動靜未分前代渾儀天度竒零不盡爰稽古制聿闡新規兩極兼三逺紹唐虞遺法七環省二秘參易簡真源誠千古之鉅觀萬年之大寶也(臣)等瞻天仰聖無任屏營抑(臣)等更有請者儀器法理精微功用廣大康熙十三年新製六儀告成(臣)監請修儀象志十六卷星度之外儀説附之乾隆九年(臣)監監正戴進賢等因星度尚有未合奏請重修蒙皇上勅交荘親王管理乾隆十七年十一月書成三十卷賜名欽定儀象考成武英殿刋刻将次竣事今御製璣衡撫辰儀告成伏請仍勅荘親王率同(臣)監編著儀説附成全帙宣付史館以傳永久則理明法備球圖共煥光華象顯義彰奕禩永為典則矣為此恭疏陳謝具奏請㫖乾隆十九年三月三十日具奏奉㫖知道了著交荘親王欽此和碩荘親王(臣)允禄等謹奏為遵㫖編著儀説恭呈御覽仰祈聖訓事乾隆十九年三月三十日(臣)勒爾森(臣)何國宗等具奏御製儀器告成恭疏陳謝并請編著儀説以垂永久一摺奉㫖知道了著交荘親王欽此欽遵(臣)等伏惟唐虞之世首重璣衡漢唐以來代有制作我朝康熙八年聖祖仁皇帝命監(臣)南懐仁新製六儀康熙五十二年命監(臣)紀利安製地平經緯儀精義利用於斯大備我皇上敬天法祖齊政勤民酌古凖今御製璣衡撫辰儀頒設靈臺用禆測候功用廣大法理精微(臣)等欽遵聖訓編著儀説首儀制次製法次用法次算法成書上下二卷並從前具奏所奉諭㫖叙於巻端謹繕稿本恭呈御覽伏請皇上訓定交武英殿刋刻冠於欽定儀象考成之首所有前後監造諸(臣)職名另摺開列應否載入伏候諭㫖遵行為此謹奏請㫖乾隆十九年閏四月二十九日具奏奉㫖著刋刻欽此
## 職名
乾隆十七年十一月二十二日奉㫖開載總理協理考測推算繪圖諸臣職名總理和 碩 荘 親 王(臣)允 禄︵字位過密 無法显示︶ (臣)鄂爾泰原任經筵講官刑部尚書樂部大臣加太子太保吏部尚書(臣)張 照協理刑部左侍郎鑲紅旗滿洲副都統兼管欽天監事務(臣)覺羅勒爾森工部左侍郎樂部大臣裏行兼管欽天監事務(臣)何國宗考測原任欽天監監正加禮部侍郎銜(臣)戴進賢欽 天 監 監 正(臣)劉松齡欽 天 監 監 副(臣)鮑友管推算兵部郎中留欽天監五官正任(臣)明安圖欽 天 監 春 官 正(臣)何國卿欽 天 監 秋 官 正(臣)孫君徳工部主事留欽天監冬官正任(臣)鮑欽輝欽 天 監 博 士(臣)鮑懐仁欽 天 監 博 士(臣)路 銓欽 天 監 博 士(臣)白士傑欽 天 監 博 士(臣)鈕兆鳳欽 天 監 博 士(臣)李 鏊欽 天 監 天 文 生(臣)徐文學欽 天 監 天 文 生(臣)何廷禄欽 天 監 天 文 生(臣)張 肱欽 天 監 天 文 生(臣)鮑懐禮欽 天 監 天 文 生(臣)陳際新繪圖欽 天 監 五 官 靈 臺 郎(臣)歐天瑞欽 天 監 天 文 生(臣)潘從源欽 天 監 天 文 生(臣)金 淵欽 天 監 天 文 生(臣)文有徳乾隆十九年閏四月二十九日奉㫖開載總理協理監造諸臣職名總理和 碩 荘 親 王(臣)允 禄協理原任經筵講官刑部尚書樂部大臣加太子太保吏部尚書(臣)張 照太子少保内大臣户部尚書總管内務府大臣(臣)海 望工部左侍郎樂部大臣裏行兼管欽天監事務(臣)何國宗工 部右侍郎總管内務府大臣(臣)三 和原任欽天監監正加禮部侍郎銜(臣)戴進賢欽天監監正加三品職銜食俸(臣)劉松齡欽 天 監 監 副(臣)鮑友管欽 天 監 監 副(臣)傅作霖監造原 任 内 務 府 郎 中(臣)佛 保内 務 府 郎 中(臣)楊作新内 務 府 郎 中(臣)公 義欽 天 監 中 官 正 (臣)何國棟内 務 府 催 總(臣)舒 山原 任 内 務 府 副 催 總(臣)葉文成欽 天 監 博 士(臣)劉裕錫
## 目録
欽定四庫全書 子部六
欽定儀象考成目録 天文算法類一(推步之屬)卷首上御製璣衡撫辰儀説卷上卷首下御製璣衡撫辰儀説卷下卷一恒星總紀卷二恒星黄道經緯度表一卷三恒星黄道經緯度表二卷四恒星黄道經緯度表三卷五恒星黄道經緯度表四卷六恒星黄道經緯度表五卷七恒星黄道經緯度表六卷八恒星黄道經緯度表七卷九恒星黄道經緯度表八卷十恒星黄道經緯度表九卷十一恒星黄道經緯度表十卷十二恒星黄道經緯度表十一卷十三恒星黄道經緯度表十二卷十四恒星赤道經緯度表一卷十五恒星赤道經緯度表二卷十六恒星赤道經緯度表三卷十七恒星赤道經緯度表四卷十八恒星赤道經緯度表五卷十九恒星赤道經緯度表六卷二十恒星赤道經緯度表七卷二十一恒星赤道經緯度表八卷二十二恒星赤道經緯度表九卷二十三恒星赤道經緯度表十卷二十四恒星赤道經緯度表十一卷二十五恒星赤道經緯度表十二卷二十六月五星相距恒星黄赤經緯度表卷二十七天漢經緯度表一卷二十八天漢經緯度表二卷二十九天漢經緯度表三
## 提要
巻三十天漢經緯度表四(臣)等謹案御定儀象考成三十二卷乾隆九年奉勅撰乾隆十七年告成御製序文頒行卷首上下為御製璣衡撫辰儀卷第一之十三為總紀恒星及恒星黄道經緯度表卷第十四之二十五為恒星赤道經緯度表卷第二十六為月五星相距恒星黄赤道經緯表巻第二十七之三十為天漢經緯度表按璣衡之制馬融鄭元注尚書皆以為渾儀是其遺法唐宋而後日以加詳然規環既多遮蔽𨼆映之患勢不能免郭守敬析之為簡仰二儀人稱其便康熙十三年聖祖仁皇帝命監臣南懐仁新製六儀赤道黄道分為二器皆不用地平圏而地平象限紀限天體諸儀則地平之經緯與黄赤之錯綜皆已畢具又命監臣紀利安製地平經緯儀合地平象限二儀而為一其用尤便皇上親莅靈䑓徧觀儀象以渾天制最近古而時度信宜從今改制新儀錫名曰璣衡撫辰誠酌古凖今損益盡善儀制凡三重其在外者即古之六合儀而不用地平圏其正立雙環為子午圈斜倚單環為天常赤道圏其南北二極皆設圓軸軸本貫于子午雙環中空而軸内向以貫内二重之環又依京師北極髙度而上五十度五分為天頂于天頂拖垂線以代地平圈故不用地平圈也其内即古之三辰儀而不用黄道圏其貫于二極之雙環為赤極經圏結于赤極經圏之中要與天常赤道平運者為逰旋赤道自經圏之南極作兩象限弧以承之測得三辰之赤道經緯度則黄道經緯可推且黄赤距緯古逺今近縦或日乆有差而儀器無庸改制故不用黄道圏也又其在内即古之四㳺儀貫于二極之雙環為四遊圈定于遊圏之兩極者為直距綰于直距之中心者為窺衡㳺圏中要設直表以指經度及時窺衡右旁設直表以指緯度此則古今所同也又星辰循黄道行每七十年差一度黄赤大距亦數十年而差一分靈臺儀象志中所列諸表皆據曩時分度今則逐時加修得歲差真數其三垣二十八宿以及諸星今昔多少不同者並以乾隆九年甲子為元驗諸實測比舊増一千六百一十四星亦前古之所未聞宻考天行隨時消息所以示萬年修改之道者舉不越乎是編之範圍矣乾隆四十六年五月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 卷首上
欽定四庫全書欽定儀象考成卷首上御製璣衡撫辰儀説卷上儀制製法御製璣衡撫辰儀説卷上之一儀制全儀子午圏天常赤道赤極經圏遊旋赤道四遊圏指時度表借弧指時度表指緯度表立表平行立表平行借弧表綰經度表綰時度表平行線測經度表虞書舜典在璿璣玉衡以齊七政孔穎逹疏曰璣衡者王者正天文之器漢世以來謂之渾天儀者是也馬融云渾天儀可旋轉故曰璣衡其横簫所以視星宿也蔡邕云衡長八尺孔徑一寸下端望之以視星辰盖懸璣以象天而衡望之轉璣窺衡以知星宿是其説也上天之體不可得知測天之事見於經者惟此璿璣玉衡一事而已楊子法言云或問渾天曰落下閎營之鮮于妄人度之耿中丞象之幾乎幾乎莫之能違也閎與妄人武帝時人宣帝時司農中丞耿夀昌始鑄銅為之象史官施用焉江南宋元嘉年太史丞錢樂(陳氏師凱曰錢樂本名樂)(之孔疏脱之字)鑄銅作渾天儀傳於齊梁周平江陵遷於長安尚書蔡註曰宋錢樂鑄銅作渾天儀衡長八尺孔徑一寸璣徑八尺圓周二丈五尺强轉而望之以知日月星辰之所在即璿璣玉衡之遺法也厯代以來其法漸密本朝因之為儀三重其在外者曰六合儀平置黒單環上刻十二辰八干四隅在地之位以凖地面而定四方側立黒雙環背刻去極度數以中分天脊直跨地平使其半入地下而結於其子午以為天經斜倚赤單環背刻赤道度數以平分天腹横繞天經亦使半出地上半入地下而結於其卯酉以為天緯三環表裏相結不動其天經之環則南北二極皆為圓軸虚中而内向以挈三辰四遊之環以其上下四方於是可考故曰六合次其内曰三辰儀側立黒雙環亦刻去極度數外貫天經之軸内挈黄赤二道其赤道則為赤單環外依天緯亦刻宿度而結於黒雙環之卯酉其黄道則為黄單環亦刻宿度而又斜倚於赤道之腹以交結於卯酉而半入其内以為春分後之日軌半出其外以為秋分後之日軌又為白單環以承其交使不傾墊以其日月星辰於是可考故曰三辰其最在内者曰四遊儀亦為黒雙環如三辰儀之制以貫天經之軸其環之内則兩面當中各施直距外指兩軸而當其要中之内面又為小窽以受玉衡要中之小軸使衡既得隨環東西運轉又可隨處南北低昻以待占候者之仰窺焉以其東西南北無不周徧故曰四遊此其法之大畧也今考前史漢初落下閎造渾天儀本無黄道或云賈逵所加或云李淳風所加或云一行所加而宋錢樂之渾儀之制雖有黄道並無黄道經圈其四遊圈亦不貫於黄極則亦未盡黄道之用元郭守敬作簡儀乃分渾儀而變其制别設立運圏以測地平經緯度而不設黄道圏盖黄道與黄極經圏成經緯設黄道又設經圏則圏多而不便於測候故不用黄道而專用赤道圈明正統三年鑄銅渾儀簡儀於北京即宋元遺法也我朝康熙八年聖祖仁皇帝命監臣南懐仁新製六儀赤道黄道分為二器皆不用地平圏而地平象限天體諸儀則地平之經緯與黄赤之錯綜皆已畢具康熙五十二年又命監臣紀利安製地平經緯儀合地平象限二儀而為一其用尤便制作之妙於斯極矣我皇上敬天法祖齊政勤民親蒞靈臺徧觀儀象以渾天制最近古而時度信宜從今觀其㑹通斯成鉅典於是用今之數目合古之型模御製璣衡撫辰儀用裨測候誠唐虞之遺意昭代之新規也儀制三重其在外者即古之六合儀而不用地平圏其正立雙環為子午圏兩面皆刻周天三百六十度自南北極起初度至中要九十度是為天經斜倚單環為天常赤道圏兩面皆刻周日十二時以子正午正當子午雙環中空之半而結於其中要是為天緯其南北二極皆設圓軸軸本實於子午雙環中空之間而軸内向以貫内二重之環其下承以雲座仰面正中開雙槽以受雙環東面正中開雲窩以受垂球下面置十字架施螺旋以取平架之東西兩端各植龍柱龍口銜珠開孔以承天常赤道卯酉之兩軸依觀象臺測定南北正線将座架安定則平面之四方正又依京師北極出地三十九度五十五分自北極而上五十度五分即上應天頂自南極而下五十度五分即下對地心而應天頂之衝於天頂施小釘懸垂線而垂適當地心又適切於雙環之面不即不離則上下正立面之四方亦正而地平已在其中故不用地平圏也次其内即古之三辰儀而不用黄道圏其貫於二極之雙環為赤極經圏兩極各設軸孔以受天經之軸兩面皆刻周天三百六十度結於赤極經圏之中要與天常赤道平運者為遊旋赤道圈兩面皆刻周天三百六十度與天之赤道旋轉相應自經圏之南極作兩象限弧以承之使不傾墊測得三辰之赤道經緯度則黄道經緯可推且黄道與赤道之相距古逺今近縱或日久有差而儀器無庸改制故不用黄道圏也其在内者即古之四遊儀貫於二極之雙環為四遊圏兩面皆刻三百六十度定於遊圏之兩極者為直距綰於直距之中心者為窺衡遊圏中要設直表以指經度及時窺衡右旁設直表以指緯度此古今所同無容置議者也是故體制倣乎渾天之舊而時度尤為整齊運量同於赤道新儀而重環更能合應至於借表窺測則上下左右無不宜焉夫羲和遺制不可考已漢世以來或作而不傳或傳而不久盖制器尚象若斯之難也而稽古宜今至我朝乃臻盡善易繫傳云備物致用立成器以為天下利莫大乎聖人詎不信乎子午圈所以正南北也天之南北定於兩極必先測定南北正線而後安置子午圈則子午圈即為南北之正線南北正而後日軌之髙下時刻之早晚中星之偏度可得而稽也其制雙環外徑六尺三寸内徑五尺六寸六分環面濶三寸二分厚九分中空一寸雙環之間四隅各施銅枕合而固之其中空之半為子午正線兩面各畫三百六十度每度六十分自南北極起初度至中要九十度古曰天經環西法舊曰緯圈盖織絲以直者為經横者為緯古以其圈直立故曰經西法以其為横線所界之度故曰緯今按圈直而度横則其圈宜曰經圈而其度乃為緯度周禮賈公彦疏所謂南北之道謂之經元儒陳氏師凱所謂自北數向南去如機上數緯絲是也自兩極起初度者北極出地南極入地其度數皆自兩極起算也中要九十度者赤道為帯天之紘距兩極各一象限也南北極各設鋼軸軸本扁方長三寸濶二寸二分厚一寸實於隻環之間以鋼螺旋結之軸長六寸徑八分正當雙環中空之半内向以貫三辰四遊之環所以象天樞也天常赤道所以正時刻也天左旋一日一周南北極持其兩端而赤道為其横帯以其常定不動故曰天常日循黄道右旋而其隨天西轉則係赤道之度日行臨於赤道之某位即為某時故時刻由赤道而正也其制單環外徑六尺一寸二分内徑五尺六寸四分環面濶二寸四分厚一寸四分平分其厚為赤道之中線兩面各畫周日十二時每時初正各四刻每刻十五分每一時當天之三十度每四刻當天之十五度每一分當天之十五分以其子正午正線當子午雙環中空之半而結於其中要使其赤道中線適當子午圏之九十度兩圈相結成十字直角古曰天緯環西法舊曰赤道經圈盖古以其圈横運故曰緯西法以其為直線所界之度故曰經今按圈横而度直則其圈宜曰緯圈而其度乃為經度周禮賈公彦疏所謂東西之道謂之緯陳氏師凱所謂自東數向西去如機上數經絲是也上面午正時刻線結於子午圈之正北卯正居西酉正居東謂日影對照之時下面則子正居北午正居南卯正居東酉正居西為日行所臨之正位也赤極經圏所以帯赤道也亦曰過極圏制如子午雙環在内而差小外徑五尺五寸六分内徑五尺一寸二分環面濶二寸二分厚八分中空一寸二分兩面皆畫三百六十度每度六十分一面自兩極起初度至赤道九十度以應天經一面自赤道起初度至兩極九十度以應赤緯南北極各設軸孔用扁方銅長三寸濶與環面等厚與雙環中空等中心開圓孔以受天經之軸其孔徑適容軸徑使旋轉不致動摇孔之兩面各施鋼片厚四分使孔徑不致磨損兩軸孔之中徑適當雙環中空之半與兩極徑線參直以鋼螺旋結之環外南北極之兩端各施扁圓鋼子厚五分與内外兩雙環之分縫等貫於天經之軸使赤極經圈之中要九十度線適與子午圈之九十度相凖則内外兩圈上下四方俱合為一線而縱横經緯自宜悉協矣遊旋赤道所以象天之運行而紀其赤道經度也制如天常赤道在内而差小外徑五尺五寸六分内徑五尺一寸二分環面濶二寸二分厚一寸二分平分其厚為赤道之中線兩面各畫周天三百六十度上面分為十二宫每宫三十度每度六十分下面自丑宫起初度右旋三百六十度以其丑宫未宫初度之線當赤經雙環中空之半而結於其中要使其赤道中線適當經圈之九十度兩圈相結成十字直角與天之赤道旋轉相應又於經圏南極之兩旁設象限弧承於遊旋赤道辰宫戌宫之下以螺旋結之使不傾墊有天常赤道之不動者以定時又有遊旋赤道之常動者以紀度則赤道之逐宫逐度皆能周行於十二時而三辰之所躔與兩曜之相距皆可得而稽矣四遊圈所以測三辰之赤道經緯度也制如赤經雙環在内而差小外徑五尺内徑四尺六寸八分環面濶一寸六分厚七分中空一寸四分盖三重雙環之外面皆相平而内重則漸薄中空則漸大取其輕重適宜亦便於設窺衡也兩面各畫三百六十度一面自北極起初度至南極一百八十度為去極度一面自赤道起初度至兩極各九十度為距緯度南北極各設軸孔以受夭經之軸與過極圈同環外南北極之兩端各施扁圓鋼子厚六分與赤經四遊兩環之分縫等貫於天經之軸其下半周之中要安直表以指經度及時刻兩面對南北極各安直距如圓之通徑濶一寸六分厚七分中空一寸四分直距之二面對環之兩極作直徑線對環之九十度作横徑線十字相交中心開圓孔施螺旋小鋼軸而圓其末以綰窺衡窺衡長四尺七寸二分方一寸二分中空一寸上下兩端施方銅盖厚五分内三分方一寸入於管中外二分方一寸二分齊於管面中心開圓孔上端孔心留十字線以便測視管之四面亦各取中線上面安立表下端右面安指緯度表左右兩面之中心各開圓孔使直距中要小軸之末入其中以綰之則窺衡乃能南北低昂而隨雙環東西運轉焉窺衡連盖長四尺七寸六分比四遊環内徑長八分兩端各施鋼篐厚一分中要孔外施鋼眼錢亦厚一分使其左右適切於中空之内面上下兩端入於雙環内徑各四分則上下低昂自無偏側而所測經緯度必皆密合矣指時度表通長七寸三分本長一寸六分形如方筒入於四遊雙環中空之間濶一寸四分與四遊環之中空等平分其濶即當窺衡之中線筒中施左右螺旋以充塞於中空之内使表不動移横帶長三寸二分濶五分兩端各鉤囬二分扣於環面之外表長五寸二分濶一寸其指時度之邊線對方筒之正中亦即窺衡之正中下端二寸四分厚三分切於遊旋赤道之面以指度分上端二寸八分厚二分切於天常赤道之面以指時刻也借弧指時度表其本方筒及横帶長濶並與前指時度表同横帶之下自左向右立安弧背一道長九寸三分濶一寸二分厚一分六釐弧背之末平安指時度表除弧背之厚長五寸二分濶一寸計自表本方筒之中線至指時度表之内邊長六寸七分當遊旋赤道之十五度當天常赤道之一小時測量時指時度表或為子午圏所礙則用此表視其所指之時度加四刻即為所測之時減十五度即為所測之度盖借弧指時度表在窺衡之右所指雖視乎借表而所測則定於窺衡天常之時刻左旋故加三辰之度分右旋故減則用借弧指時度表察之與用指時度表等也指緯度表其形兩曲安於窺衡下端之右面底長三寸濶九分平分其濶為中線對衡面中線以螺旋結之曲横七分與四遊環之厚等又曲長一寸七分切於四遊環之外面從中線減濶之半所以指緯度也立表二座形直底平表髙底長各三寸二分濶九分厚一分平分其濶為中線表直立於底長之半與底面成直角距底面一寸一表向上開長方孔長一寸中留直線又上五分開圓孔徑四分中留十字線安於窺衡之上端一表依前度下開直縫上開小圓孔安於窺衡之下端各對衡面中線以螺旋結之測量時窺衡或為赤道及銅枕所礙則用此表盖兩表之孔心中線距衡面皆相等又與衡面之中線參直則用立表測之與用窺衡等也平行立表二座形曲底平底盤長四寸濶一寸二分厚一分中空長三寸二分濶九分與立表底盤之長濶等表曲如勾股股直如立表髙三寸二分濶九分勾横連於股末長五寸濶九分横植於底盤之末底盤中空冒於立表底盤之外以掐表固之測量時窺衡立表或為子午圏及龍柱所礙則用此表盖平行立表曲如勾股而與立表平行則用平行立表測之與用立表等亦與用窺衡等也平行借弧表制如平行立表而倒正異盖四遊窺衡東西為子午圏及龍柱所礙南北為赤道及銅枕所礙則用平行立表猶是窺衡所能及而管孔被遮故其表平行正立即可見若近北極之星則東西既礙於子午圏南北又礙於極軸窺衡不能及自上測之不能及北極之南六度餘自下測之不能及北極之北六度餘故借十度作平行借弧表一表上植一表下垂則窺衡未及北極十度而窺孔之視線已與北極參直其法以半徑一千萬為一率十度之正切線一百七十六萬三千二百七十為二率表之横勾距窺衡中心二尺三寸三分為三率求得四率四寸一分零八毫為表髙之中數(自窺)(衡中線至直距中線之數)上端之表立植於衡面則中數即表髙(中數)(減衡方之半六分加表端距窺孔中心六分為表端至表本之髙仍與中數等)下端之表自衡面下垂則於中數加衡方之半六分表端距窺孔中心六分又加平行横勾之濶九分得六寸二分零八毫為表之髙距表端下六分開圓孔又下五分開長方孔皆與立表制同凡測近北極之星測得距赤道北若干加十度即得星距赤道北之緯度若測赤道南之星亦可用此表但測得距赤道南若干減十度即得星距赤道南之緯度也綰經度表通長四寸濶一寸四分平分其濶即當窺衡之中線其本方筒長一寸六分髙一寸八分入於四遊雙環之間以左右螺旋固之其末上下二面以夾遊旋赤道上面濶七分減本之半與窺衡中線參直下面以螺旋固之所以綰定遊旋赤道之經度於四遊圈也綰時度表内外二截内截上下内三面綰於遊旋赤道之内規上面之末承於外截之下開二方孔以受外截之方足下面以螺旋固之外截上下外三面綰於天常赤道之外規上面之末覆於内截之上安二方足入於内截之方孔下面以螺旋固之凡以太陽時刻及經度測月星則内外截俱綰定别測月星若以經度求時刻則止綰定内截外截隨之運轉視其所當刻分即得時刻若以時刻求經度則止綰定外截任遊旋赤道之運轉視其所當度分即得經度也平行線測經度表以赤經之平行線與直距之平行線相參直(赤經之平行線在圓周直距之平行線在圓心其平行線之間俱對南北極之中徑)而測距星之經度也其制於直距南北極之兩端各安銅板如工字形正方二寸八分與直距二面之分等(直距二面各厚)(七分中空一寸四分共二寸八分)兩要各缺一長方長一寸六分濶七分與直距一面之分等(直距二面每面濶一寸六分厚七分)扣於直距中空之間中心開圓孔貫於天經之軸四隅距中心一寸九分(銅板方二寸八分對角斜線三寸九分八釐四隅距中心各一寸九分九釐今取一寸九分餘九釐)各安立柱圓頂開孔以穿直線與直距中徑平行下安小環以為結赤經平行線之用又按距星宫度於遊旋赤道安赤經平行線表其制上畫半圓内容半方自對角斜線起初度至横徑為四十五度其中直徑與指度表之邊線參直半圓中心安二遊表各長二寸距中心一寸九分邊留小臍中開小圓孔與直距四隅立柱之距中心等以線穿之上端繫於北極銅板對角之兩環下端貫於南極銅板對角之兩環各以垂球墜之乃視四遊圏之所測與此平行線之所測相距若干度即将遊表對半圓度數安定下面以螺旋中徑以壓表固之此二線必與赤經中徑平行而與直距中徑之二平行線廣狹相等從左線視之與所測參直從右線視之亦與所測參直則此二線即為距星經度之凖線以此線對定距星将遊旋赤道隨之運轉又以四遊圏及窺管測日月及星即得其經緯度也盖以一星作距測日月及星必用兩測舊制黄道赤道二儀南北極之通徑皆係圓軸故測候用通光耳實其正中與軸徑等兩邊各開直縫從左縫對軸左邊見光從右縫對軸右邊見光亦猶用平行線之意也今不用圓軸而用直距兩測相距有逺近則直距對角有斜横斜則二線平距之分狹横則二線平距之分廣(直鉅銅板方分也其對角斜分也二線平距則横分也對角斜)(則平距為斜之方故狹對角横則平距為方之斜故廣)其限自正斜起初度至四十五度而横四十五度以後復由横而斜至九十度與初度同(九十度以後復由斜而横至一百三十五度與四十五度同一百三十五度以後復由横而斜)(至一百八十度與初度同盈半周天而止)如四遊環與平行線表同度是為初度是時直距對角正斜而其二線平距之分為斜之方此二線平距之最狹者也過此而四遊環距平行線表漸逺則直距對角漸横而二線平距漸廣至四遊環距平行線表四十五度則直距對角正横而其二線平距之分為方之斜此二線平距之最廣者也過此則直距對角又漸斜而二線平距又漸狹至九十度正斜而最狹故又與初度同也今欲使赤經平行線與直距平行線廣狹相等必以直距對角斜横之度合於赤道之半圓遊表二線距圓心各一寸九分通共三寸八分即直距銅板對角之斜分也半圓自内方之對角斜線起初度即直距對角之初度為正斜也半圓至横徑為四十五度即直距對角之四十五度為正横也設以二遊表通為一直表則與直距對角之斜横儼為一體但遊表在赤道若通為一直表則其線為赤道所礙而廣狹不靈且通為一表此端在横徑内彼端必在横徑外凡斜線與十字線過心相交其彼端距横徑外之度與此端距横徑内之度必相等而距中徑之濶亦相等故以直表彼端當横徑外之度另用一遊表於横徑内按度安之其距中徑之濶必相等而與直距二平行線廣狹亦相等則用平行線表亦猶用通光耳之意也御製璣衡撫辰儀説卷上之二製法銅質宜精型制宜工鏇磨宜平取心宜中輕重宜審界度宜均兩徑合度合結均齊三重同心安置方正銅質宜精凡鑄黄銅器具應用紅銅六成倭鉛四成鎔錬精到然後鑄之遼厯象志云古之鍊銅黒黄白青之氣盡然後用之故可施於久逺唐一行鑄渾天儀時稱精妙理固然也型制宜工凡鑄儀器以土為型必先治地極平外規較定制微大内規較定制微小其外環面如輪次内如輻次内如轂中留環心務極圓平合度則所鑄之體自亦圓平而鏇磨亦易為力矣鏇磨宜平凡製儀器必用鏇磨圓環中心當治方孔以受軸軸圓而方其端施於環心之方孔使環之上下前後左右不得動揺則鏇之自圓且平矣取心宜中凡製圓器必取中心心中則界正未鏇之前環心尚在圓規方孔皆自環心取中逮鏇之既成則無中心矣而畫儀器之圓線則必先取中心為凖須以直木為環徑其兩端即如環之内規切𦂳安定約其中心嵌定鐵板任於環之内規取三處作㸃用三㸃求圓心法(法見數理精藴)求得圓心即於鐵板作記次以鋼製規徑一規尖二規尖之本開方孔貫於規徑之兩端一尖安於圓心一尖按環面内外規之度各用螺旋固之於環之内外規旋轉比試處處皆當規面則圓心中矣次依環之内外規取外界圓線半徑之度安定規尖畫外界圓線為度之外界即以此半徑度将外界圓線分為六觚毎觚六十度(半徑與六十度之通弦等)又取内界圓線半徑之度安定規尖畫内界圓線為度之内界自外界每觚六十度之㸃平分之得三十度各對中心作直線抵内界其過心對角之線即圓之通徑而平分環面為兩半周則圓界正矣次将直線輕微引出外界至外規用極方正矩度凖於側面單環則自側面即凖於彼面雙環則自此環之側面凖於彼環之側面復自彼環之側面凖於彼環之彼面輕微畫線作記乃用前直木環徑切𦂳安定以縱横二線對於所凖之通徑果於中心相交則所凖確合否則又用前法取心務令得中單環即可如前畫彼面之圓線及十二度線雙環則俟審定輕重合釘枕銅再行比試確凖然後可畫彼面也輕重宜審凡環之兩半周輕重適均則平置無偏側之失運轉無游移之弊審量之法用圓直鐵鋌徑八分(與軸徑等)長逾環徑平分中線卧置之使不動移而以環面之通徑線加於其上易置試之兩半周無有低昂則輕重適均否則非其線有微差即其體質不等細察磨治務得其輕重之適均則天常赤道之子正午正遊旋赤道之丑宫未宫三雙環之南北極皆以此通徑為凖乃将雙環已畫十二度線之一面置於下以通徑凖線四象分中安設銅枕以雙環彼面之通徑凖線合於上釘而固之復用前法比試確凖取定中心然後畫内外界圓線及十二度線則兩面之圓心圓界允協矣界度宜均環心既中環界既正則界度可得而均矣顧諸環皆取度分惟天常赤道取時刻然時刻亦與度分相凖故取度分者将每觚六十度平分之得三十度又三分之各為十度自外界抵内界各畫直線而於内界之外畫圓線一層是為十度界次将每十度又十分之各為一度自外界抵十度界各畫直線而於十度界之外外界之内各畫圓線一層是為度界次於内度界之外外度界之内各畫圓線一層為十分界将每度六分之各為十分畫直線於其界内次於内外兩十分界之間畫圓線九道界為十層自每十分之初至每十分之末各作對角斜線則每一圓線與斜線之交即逐度之一分也取時刻者每三十度為一時平分之得十五度為一小時每一小時分為四刻自外界抵内界各畫直線而於内界之外畫圓線一層是為時刻界次将每刻十五分三分之各為五分自外界抵時刻界各畫直線而於時刻界之外外界之内各畫圓線一層是為五分界次於内五分界之外外五分界之内又各畫圓線一層為一分界而将每五分又各五分之各為一分畫直線與其界内次於内外兩一分界之間畫圓線十一道界為十二層自每一分之初至每一分之末作對角斜線則每一圓線與斜線之交即逐分之五秒也(每分為六十秒十二分之故為五秒)兩徑合度界度既均儀體正矣而其用尤在於軸稍滯則運轉不靈稍滑則游移不定是必軸身與軸孔兩徑相同密相合切而後無滯滑之失其法以極精鋼製成軸本軸身近本徑八分近末微細以銅製為軸孔(軸本軸孔皆扁方體詳前儀制)(本篇)上下孔面各嵌鋼片厚五分開成圓孔較軸身微小乃以油濡軸身轉而入之鋼屑如泥隨轉而出軸外孔内更不容間則以軸身治軸孔即以軸孔治軸身故兩徑密相合切而自無滯滑之弊也合結均齊經緯各環製造既已如式而合結尤宜均齊其法先将子午圏之軸本過極圏四遊圏之軸孔三扁方治令方正十字分中(凡圏皆正立軸本軸孔入於雙環之間軸本扁方先将東西二面及南北兩端各對)(軸徑取中線次将上面作十字線軸孔扁方先将上下二面各對軸孔作十字線次将東西二面南北兩端取)(中線)自中線各取雙環中空之半為其扁方之厚(子午圏中空一)(寸過極圏中空一寸二分四遊圏中空一寸四分)入於雙環中空之間(扁方微厚則不)(動)次於軸本軸孔之中心結通徑線(上下二軸各安銅管其端之中心開)(小圓孔以線結之上下二孔各安銅片其中心開小圓孔以線結之)雙環之中空二極之兩面各結十字線(雙環中空上下對扁方十字直線中間對銅枕厚分之半以線圍而結之)(二極上下對扁方十字横線内面對極中徑以線圍而結之)三線相參(通徑直線一十字圍線二)(縱横皆三)倘一線有毫釐之差則非中心有偏即十字線不正中心有偏者治扁方十字不正者治直線務令三線相合始為得中即於上下二扁方及四銅枕刻線作記以為合結之用乃将軸本軸孔之扁方二極雙環之兩面皆自中線取分各作四孔以銅螺旋結之(徑三分試定易鋼螺旋徑)(四分)次將過極圏與遊旋赤道合結為三辰儀於過極雙環之南北兩半周去極九十度中線之上下各取六分與九十度作平行線自内規面向外各取一寸一分與南北極作平行線依線裁成缺口以受赤道之内入又於遊旋赤道之南北兩半周丑宮未宮之東或西取一寸四分與冬夏至作平行線(作線於東則半弧背自西裁作線於西則半弧背自東裁法理皆同)自外規面向内各取一寸一分與辰宮戌宮作平行線依線裁去半弧背(凡裁弧皆梢留有餘比試合切使令方正)以足過極圏之内容則遊旋赤道適容入於過極雙環之内而丑宮未宮線適當雙環中空之間(遊旋赤道外徑五尺五寸六分南北各裁一寸一分餘五尺三寸四分過極圏内徑五尺一寸二分)(南北各開一寸一分亦得五尺三寸四分九十度中線之上下各去六分共去一寸二分與遊旋赤道之厚等丑宮)(未宮之東或西去一寸四分為雙環厚分之半故遊旋赤道適容入於過極雙環之内而丑宮未宮線正當雙環中)(空之間)乃依裁去弧背之度除雙環分位另製弧背銅補全遊旋赤道(以銅釘固之)並補畵度分仍将補銅拆去合結兩環使丑宮未宮正與所記中線相對又依前法於軸孔結通徑線又自雙環上下扁方直線過丑宫未宫自扁方横線過辰宫戌宫結十字線三線相參合為一線復用半徑之斜度作尺製斜尖二管貫於尺之兩端斜度之一尖直指於南北極之外界一尖直指於辰宫戌宫之外界以螺旋固之轉相比試四象限皆相符合乃将補銅釘而固之又以遊旋赤道結於過極圏之兩要恐東西兩半周日久傾墊故製二象限弧以承其下其方一寸其弧即用過極圏一象限弧之度一端減雙環厚分之半一寸四分抵於過極圏南極之外面一端減赤道厚分之半六分承於遊旋赤道辰宫戌宫之下面外加二足各長一寸二分與環面之濶等以螺旋結之復以前尺斜度之兩象限仍相符合(南極有二弧不可量故惟量北極兩象限)(此兩象限合則彼兩象限亦必合矣)則遊旋赤道與過極圏相交成直角均齊方正而無有偏側矣次於三辰儀之外将子午圏與天常赤道合結為六合儀其子午雙環之南北兩半周去極九十度中線之上下裁成缺口天常赤道之南北兩半周裁去半弧背並另製弧背銅補畫時刻皆與三辰儀同(子午圏内規面裁去一寸二分九十度上下各裁七分乃能容天常赤道數雖小異而其)(理其法則同也)乃立置天常赤道圏(中線左右以木承之使其下可結十字線)以裁去半弧背之半周仰於上納入三辰儀(天常赤道順列之十二時與遊)(旋赤道之十二宫同在一面乃向北極之上面也)将子午圏合結於其外以木橙承其四隅使二環之面相平二極之線參直周圍之分縫皆相等天常遊旋二赤道下半周之分縫以木片實之使周圍亦相等乃将軸本入於子午圏南北極中空之間貫於過極圈南北極之軸孔使扁方之四孔與環面之四孔相合以銅螺旋結之依前法於軸端結通徑線子午卯酉各結十字線三線相參合為一線又用斜尺絜度四象限皆相符合乃将補銅釘而固之則子午圏與天常赤道相交成直角均齊方正無有偏側又卯正酉正有二小軸承於龍柱之珠孔自不虞傾墊矣至於四遊圏與窺衡合結為四遊儀其法較易已詳儀制並見後篇三重同心前篇分言合結之法先正其樞心次正其經緯宜其無不正矣然三重合為一儀必三重同心施之測量乃得允協且以一重而言三線相參視之猶逺二線相切即有一線之差再以二重合之尤易參錯則先合定外二重比較確凖而後加入内一重其中正較為易得也盖子午圏過極圏貫於一軸則子午圈之軸本即天常赤道之中心過極圏之軸孔即遊旋赤道之中心如兩心皆得其中則兩心合而為一遊旋赤道之宫度線必與天常赤道之時刻線相合如一心有偏則兩心岐而為二而宫度線與時刻線不合矣然有偏東西與偏南北之殊又有軸本偏與軸孔偏之異偏東西者軸本軸孔厚分之中線不正當中空之半或偏東或偏西故丑宫未宫線亦偏子正午正之或東或西也偏南北者軸本軸孔扁方之中線不正當環面之徑或偏北或偏南故辰宫戌宫線亦偏卯正酉正之或北或南也治之之法先正東西立置子午圏按方位安定北極在上南極在下午正在北子正在南卯正在西酉正在東(假如先是立置天常)(赤道圏西面午正在北子正在南卯正在下酉正在上則子午圏西首為北極東首為南極乃以氊鋪地将天)(常赤道圏向南推轉至子午圏在下即将子午圏東首轉北西首轉南向北推轉使北極在上則按位安定矣)設以丑宫對於午正而未宫即對於子正轉以未宫對於午正而丑宫亦對於子正則東西正一有不對則東西偏比試兩次而軸本軸孔之偏正乃得而見焉凡兩試俱偏東俱偏西而偏分相等者為軸孔正軸本偏(軸孔)(正則丑宫未宮線正當軸孔中心軸本偏東則挈之而東軸本偏西則挈之而西故所偏同向而偏分相等也)東為軸本偏東西為軸本偏西其偏為偏分之一半(所謂)(偏分者乃丑宫對午正未宫偏子正東西斜線之偏軸本軸孔所偏者乃丑宫未宮與子正午正平行線之偏)(如丑宫對於午正未宫偏子正東二分若以丑宫未宫線與子正午正線平行則丑宫偏午正東一分未宫亦)(偏子正東一分故其偏為偏分之一半)其度之一分為尺之八毫(凡偏分皆以遊)(旋赤道之度分而言遊旋赤道外徑五尺五寸六分周一丈七尺四寸六分七釐有竒以周天三百六十度每)(度六十分除之得每分為八毫零八忽有竒)偏東二分者為軸本偏東一分應向西移一分将上下軸本二扁方之東西記定(凡記方向)(只記一字可定)西面去八毫東面加八毫(以薄銅葉釘之)則軸本正而不偏矣偏西者凖此(凡治軸本軸孔應移八毫者上下各移八毫合之用線比較如上正)(下偏則上之扁方不動下之扁方移一釐六毫如上亦微偏則上移四毫下移一釐二毫或上移六毫下移一)(釐總使上下共移一釐六毫而其十字中心正移八毫上偏下正及偏南偏北者皆倣此治之)凡兩試一偏東一偏西而偏分相等者為軸本正軸孔偏(軸本正則)(子正午正線正當軸本中心設軸孔偏於戌宫之一面丑宫在北戌宫在西是軸孔偏於丑宫未宫線之西挈)(之於軸本則丑宫未宫線必偏於子正午正線之東轉而丑宫在南戌宫在東是軸孔偏於丑宫未宫線之東)(挈之於軸本則丑宫未宫線必偏於子正午正線之西故所偏異向而偏分亦相等也)東為軸孔偏西西為軸孔偏東其偏亦為偏分之一半偏東二分者為軸孔偏西一分應向東移一分将上下軸孔二扁方及環面之東西記定(子午圏有定向故不須記過極圏有轉易故并記之)東面去八毫西面加八毫則軸孔正而不偏矣偏西者凖此凡兩試俱偏東俱偏西而偏分不等者為軸本偏軸孔亦偏偏東分多為軸孔偏西偏西分多為軸孔偏東(軸本)(偏東而軸孔又偏西挈之於軸本則丑宫未宫線必益在子正午正線之東故偏東分多也軸本偏西而軸孔)(又偏東挈之於軸本則丑宫未宫線必益在子平午正線之西故偏西分多也)其軸孔之偏為偏多一半之半偏東多二分者為軸孔偏西半分偏西多二分者為軸孔偏東半分先治軸孔則偏分等(平行線之)(偏既為偏分之一半而軸本軸孔在偏多之偏又為平行線所偏之一半故為一半之半如丑宫對於午正未)(宫偏子正東二分未宫對於午正丑宫偏子正東四分是未宫在北偏東多二分若以丑宫未宫線與子正午)(正線平行丑宫偏午正東一分則未宫亦偏子正東一分未宫偏午正東二分則丑宫亦偏子正東二分是未)(宫在北偏東僅多一分均分其半将軸孔向東移半分則未宫在北丑宫未宫線偏子正午正東一分半丑宫)(在北未宫在南丑宫未宫線亦偏子正午正東一分半試以丑宫對於午正則未宫偏子正東三分轉以未宮)(對於午正丑宫亦偏子正東三分其偏分等)東為軸本偏東西為軸本偏西其偏為偏分之一半再治軸本則不偏矣凡兩試一偏東一偏西而偏分不等者為軸孔偏軸本亦偏偏東分多為軸本偏東偏西分多為軸本偏西其軸本之偏亦為偏多一半之半偏東多二分者為軸本偏東半分偏西多二分者為軸本偏西半分先治軸本則偏分等(如丑)(宫對於午正未宫偏子正東二分未宫對於午正丑宫偏子正西四分是未宫在北偏西多二分若以丑宫未)(宫線與子正午正線平行丑宫偏午正東一分則未宫亦偏子正東一分未宫偏午正西二分則丑宫亦偏子)(正西二分是未宫在北偏西僅多一分均分其半将軸本向東移半分則未宫在北丑宫未宫線偏子正午正)(西一分半丑宫在北未宫在南丑宫未宫線偏子正午正東亦一分半試以丑宫對於午正則未宫偏子正東)(三分轉以未宫對於午正則丑宫偏子正西三分其偏分等)東為軸孔偏西西為軸孔偏東其偏為偏分之一半再治軸孔則不偏矣凡兩試一正一偏者為軸本與軸孔之偏分相等一正一偏東者為軸本偏東軸孔偏西一正一偏西者為軸本偏西軸孔偏東其偏各為偏分一半之半(軸本偏東則子正午正線在軸)(本之西若軸孔亦偏東其偏分等則丑宫未宫線必與子正午正線相合及其轉而之西則軸孔為偏西而丑)(宫未宫線在軸孔之東挈之於軸本盖在子正午正線之東其偏必倍故半之為相等之偏又半之為平行線)(之偏軸本偏西者凖此)先治軸孔則變為俱偏東俱偏西其偏分等再治軸本則不偏矣若先治軸本則變為一偏東一偏西其偏分亦等再治軸孔則亦不偏矣以上凡治軸本軸孔之偏東偏西先并環面之東西記定平置子午圏用木橙承穏解螺旋下之磨治合度復結螺旋立置比試皆合則東西正其南北亦正者則辰宫戌宫與卯正酉正合為一線其南北不正者辰宫戌宫線亦必與卯正酉正線平行乃察其南北依前法以丑宫對於午正未宫對於子正察辰宫戌宫線偏卯正酉正南北幾分轉以未宫對於午正丑宫對於子正察辰宫戌宫線偏卯正酉正南北幾分如此比試兩次則軸本軸孔之偏南偏北亦可得而見焉凡兩試俱偏南俱偏北而偏分相等者為軸本正軸孔偏南為軸本偏南北為軸夲偏北(皆與前法同理但易東西為南北耳)偏南一分者為軸本偏南一分(辰宫戌宫線既與卯正酉正線平行故其偏分即為軸本之偏)應向北移一分将上下軸本二扁方之南北記定環面四小孔向北開八毫軸夲扁方四小孔向南開八毫治令圓正易螺旋結之(環面)(四小孔向北開八毫軸夲固可向北移矣然孔不圓正故将軸夲扁方四小孔向南開八毫治令圓正其徑較)(大故易微大之銅螺旋結之至比試確凖乃易用鋼螺旋也)則軸夲正而不偏矣偏北者凖此凡兩試一偏南一偏北而偏分相等者為軸本正軸孔偏偏南一分者為軸孔偏北一分應向南移一分将上下軸孔二扁方及環面之南北記定環面四小孔向南開八毫軸孔扁方四小孔向北開八毫治令圓正易螺旋結之則軸孔正而不偏矣偏北者凖此凡兩試俱偏南俱偏北而偏分不等者為軸本偏軸孔亦偏偏南分多為軸孔偏北偏北分多為軸孔偏南其軸孔之偏為偏多之一半偏南多二分者為軸孔偏北一分偏北多二分者為軸孔偏南一分先治軸孔則偏分等(辰宫戌宫線既與卯正酉正線平行則軸本軸孔在偏多之偏止為平行線所偏之一半如丑宫對於午)(正辰宫戌宫線偏卯正酉正南二分轉以未宫對於午正辰宫戌宫線偏卯正酉正南四分未宫在北偏南多)(二分是軸孔偏於未宫一分将軸孔向丑宫移一分則丑宫在北辰宫戌宫線偏卯正酉正南三分未宫在北)(辰宫戌宫線偏卯正酉正南亦三分其偏分等)南為軸本偏南北為軸本偏北其偏即偏分再治軸本則不偏矣凡兩試一偏南一偏北而偏分不等者為軸孔偏軸本亦偏偏南分多為軸本偏南偏北分多為軸本偏北其軸本之偏亦為偏多之一半偏南多二分者為軸本偏南一分偏北多二分者為軸本偏北一分先治軸本則偏分等南為軸孔偏北北為軸孔偏南其偏即偏分再治軸孔則不偏矣凡兩試一正一偏者為軸本與軸孔之偏分相等一正一偏南者為軸本偏南軸孔偏北一正一偏北者為軸本偏北軸孔偏南其偏各為偏分之一半先治軸孔則變為俱偏北俱偏南其偏分等再治軸本則不偏矣若先治軸本則變為一偏北一偏南其偏分亦等再治軸孔則亦不偏矣以上凡治軸本軸孔之偏北偏南若與偏東偏西一同比試然後解螺旋下之按分磨治未嘗不可但所偏之向或有互異易致混淆且未正東西必以丑宫未宫線與子正午正線平行方可察其偏南北而察平行線之偏兩端察視較偏子正一端之察視為難故以先正東西而後正南北之為便也六合三辰二重東西南北既正乃平置子午圏解螺旋下之加入四遊儀貫於軸本結螺旋立置如前比試則止有軸孔之偏而無軸本之偏以四遊圏南北極之中線與軸本參直則軸孔之南北正線偏南将軸孔向南移線偏北将軸孔向北移以窺衡之中線與丑宫未宫子正午正線展轉相對則軸孔之東西正線偏東将軸孔窺衡向東移線偏西将軸孔窺衡向西移(窺管中線原應與軸孔參直但毫釐之差甚為難辨)(且窺衡之在直距亦應東西適中如窺衡既已適中則移軸孔如有微偏則移窺衡窺衡東西二面各有眼錢)(如移向東則将東面眼錢易薄西面眼錢易厚如移向西則西面易薄東面易厚總期窺衡中線與子正午正)(丑宫未宫線相合)如此則三重合為一心東西南北皆合為一線用以測量而經緯乃無不協也安置方正前言製造之法亦畧備矣然安置不正則亦不可用其法先於臺面儀基之正中取南北真線(南北真線隨地不同京師偏指)(南鍼西二度三十分)南北中三處各作垂線與之參直依此儀基作南北線又作十字東西線将儀座縱横對凖安定自三垂線視之與座面中線參直用三角中垂線表(木板為之)(制如並矩底長六尺中長三尺兩弦各長四尺二寸四分平分底線為底之中自底線之兩端取弦分相交於)(上尖為角之中自角中至底中作垂線為中垂線中垂線直則底平)仰置座面以取平中心安雲座兩端安龍柱懸垂線以取直座面有兩槽以受子午雙環柱端龍口銜珠半珠開孔以受天常赤道兩傍之小軸自珠孔中心至座面槽底與子午雙環半徑等兩珠孔相距與天常赤道全徑等用三角中垂線表覆於珠孔(表底兩端留小圓軸扣於珠孔自底中掛垂線)表之垂線適當於雲座面之正中則雲座正而珠孔平兩珠孔之距儀心各為天常赤道全徑之一半自三垂線視之與兩槽中線參直則雲座與龍柱皆正矣乃懸全儀安置其上以北極上五十度五分為天頂南極下五十度五分為天頂之衝於子午圏之東面作上下直線對於雲座南北正中之線口(雲座東面南北正中有線口其下有雲窩以受垂球)自天頂施小釘掛垂線適合上下直線而垂球入於雲窩又適切環面不即不離自三垂線視之適當子午雙環中空之半則南北東西皆正候日月星至子午線用窺衡察視經緯悉協夫然後上下四方均齊方正惟用所適無不宜矣欽定儀象考成卷首上
## 卷首下
欽定四庫全書欽定儀象考成卷首下御製璣衡撫辰儀説卷下用法算法御製璣衡撫辰儀説卷下之一用法測太陽時刻測日出入時刻及晝夜永短測太陽赤道緯度測午正太陽髙弧測太陽赤道經度測月星赤道經緯度測恒星求時刻測月五星求時刻測月星當中及偏度測月星出入地平時刻測南北真線測北極髙度測黄赤距度測黄白距度測太陽時刻法以四遊圏東西推轉窺衡南北低昂令太陽從衡孔透光圓正或用薫黒玻璃置於下端衡孔視上端圓孔十字線正當太陽中心則窺衡與太陽參直乃視四遊圏下周指時度表臨於天常赤道之某時刻分即太陽時刻也若二分前後日影為赤道所礙則用窺衡上面立表測之(常時不為赤道所礙亦用此表為便)若午正及卯酉前後日影為子午圏及龍柱所礙則用窺衡上面平行立表測之以四遊窺衡對凖太陽令上端表圓孔十字線影從下端表圓孔正中透出上端表直線影從下端表直縫正中透出(測時刻止用經度可止取直線影若測緯度則必取圓孔十字線影)視指時度表所指即得太陽時刻若指時度表為子午圏所礙則易用借弧指時度表次用平行立表測定日影視借弧指時度表所指時刻加一小時即得太陽時刻盖借弧之長當遊旋赤道之十五度當天常赤道之一小時又借表在四遊圏之西所指時刻在本時前故加一小時即為本時刻分也測日出入時刻及晝夜永短法於太陽出入地平時按前法測得太陽出入時刻乃計距午正前後若干刻分倍之即得晝刻計距子正前後若干刻分倍之即得夜刻測太陽赤道緯度法如前測凖太陽視窺衡下端指緯度表所指四遊圏右面距赤道度分即得太陽赤道緯度表指赤道北太陽緯度為在赤道南表指赤道南太陽緯度為在赤道北盖窺管以圓心為樞上端所窺在赤道北下端所指必在赤道南上端所窺在赤道南下端所指必在赤道北也測午正太陽髙弧法於午正時測得太陽赤道緯度在赤道北與赤道髙五十度五分相加在赤道南與赤道髙五十度五分相減即午正太陽髙弧也測太陽赤道經度法用恒星作距測之取所知近午正前後一恒星(午正前後)(取其蒙氣少易得確凖也)以其赤道經度之對衝用綰經度表於遊旋赤道綰定四遊圏(凡以儀器測星其上當星處為星之正位其下當人目處則星之對)(冲故以星經度之對冲於遊旋赤道綰定四遊圏)又任設一時用綰時度表於其時刻之對衝綰定天常赤道(天常環面乃日影所照之時其對冲則太陽所)(臨之正位故於設時之對冲綰之如設丑正初刻則綰於未正初刻即太陽臨於丑正之位也)乃将四逰圏帶定遊旋赤道用窺衡測凖距星隨之左旋候至所設時刻(或鐘表或漏壺須得確凖)視綰時度表對於遊旋赤道之某宫度分即太陽赤道經度也(環面時刻之對冲即太陽所臨之正位故其所)(對遊旋赤道之宫度即太陽經度)又法先以恒星作距測金星次以金星作距測太陽如金星晨見則於太陽未出之前取在金星西之一恒星作距以其赤道經度用平行線測經度表於遊旋赤道安定(三測皆係經度若距星之經度用對冲則測得之經度又須加減半周故距星不用對冲所測亦即)(得本度也)令一人用此平行線表窺定距星隨之左旋一人用四遊窺衡測金星兩人同時測定乃視四遊圏指時度表所指遊旋赤道之宫度分即金星赤道經度次以金星赤道經度用平行線測經度表於遊旋赤道安定令一人窺定金星隨之左旋一人於太陽始出時用四遊窺衡測太陽乃視四遊圏指時度表所指遊旋赤道之宫度分即得太陽赤道經度若金星夕見則於太陽将入時任於某宫初度安定平行線測經度表令一人窺定金星又令一人用四遊窺衡測太陽視太陽距金星若干度記定俟太陽既入後取金星東之一恒星作距按前法測得金星赤道經度内減太陽距金星之度(星在東日在西故減)即得太陽赤道經度也(太陽光大惟月及金星可以兩見然月有)(視差不如用金星為凖也)測月星赤道經緯度法於昏後曉前任設一時以本日太陽赤道經度與次日太陽赤道經度比例得本時太陽赤道經度(七政時憲書所)(列乃子正之度子正後七政皆有行分故以本日子正之度分與次日子正之度分相減餘為一日十二時所)(行之分與設時距子正之時分為比例得設時距子正之行分加於本日子正之度分得本時之度分)用綰時度表於遊旋赤道綰定又以所設時刻之對冲於天常赤道綰定候至所設時刻用四遊窺衡測月星乃視指時度表所指遊旋赤道宫度加半周(環面時刻之對冲即為太)(陽之正位環面之宮度却為月星之對冲故加半周)即得所測月星赤道經度隨察指緯度表所指四遊圏距赤道南北度分即得所測月星赤道緯度也(緯之南北與前測太陽緯度法同)又法用恒星作距測之以距星之赤道經度用平行線測經度表於遊旋赤道安定令一人用此平行線表窺定距星隨之左旋一人用四遊窺衡測月星兩人同時測定乃視指時度表所指遊旋赤道之度分即所測月星之赤道經度隨察指緯度表所指四遊圏之度分即得所測月星之赤道緯度也測恒星求時刻法先以恒星赤道經度用綰經度表於遊旋赤道綰定四遊圏次約計測時為某時依前法比例得本時太陽赤道經度(太陽每日行一度於時為四分每一時行五分於時為二十秒故約計測量之時比例得)(其時赤道經度即可用以測時刻也)用綰時度表綰定遊旋赤道将四遊圏帶遊旋赤道推轉用窺衡測定恒星乃視綰時度表對於天常赤道之某時刻分加六時即太陽時刻也(天常)(赤道之時刻乃日影對照之時故加六時始為太陽所臨之時刻也)測月五星求時刻法以本時太陽赤道經度用綰時度表綰定遊旋赤道以月五星本時赤道經度之對冲用綰經度表於遊旋赤道綰定四遊圏将四遊圏帶遊旋赤道推轉用窺衡測定月星乃視綰時度表對於天常赤道之某時刻分加六時即得太陽時刻若太陽近子正前後綰時度表為子午圏所礙則向東或西借三十度綰定測之視所對時刻加減一時(向東借則加向西借則減)即得太陽時刻若月五星近赤道或近午正前後為諸圏所礙則用窺管上面立表及平行立表測之與前測太陽時刻法同測月星當中及偏度法以四遊窺衡隨時測月或星視指時度表當天常赤道之某時刻分記之(近午正則易用借弧指時度表加一小時)午正為當中無偏度午正前為偏東午正後為偏西乃以距午時分變赤道度每一時為三十度每一小時為十五度每一分為十五分每一秒為十五秒共之為所偏度凡推月星當中及偏度者用此法測之則離合可辨凡有求時刻者用此法測定則時刻可推也測月星出入地平時刻法以本日子正月五星赤道經度或恒星經度之對冲用綰經度表於遊旋赤道綰定四遊圏又以本日子正太陽經度用綰時度表綰定遊旋赤道爰以四遊窺衡於月星出入地平時測之視綰時度表當天常赤道之某時刻分加六時為本日月星出入時刻之通數復計測時距本日子正後若干時刻比例得太陽行分變時(每一度為四分每十五分為一分每十五秒為一秒)為太陽時差比例得月五星行分變時為月五星時差(恒星則無行分亦無時差)乃於前所測月星出入時刻之通數減太陽時差加月五星時差即得月星出入地平時刻盖日與月星測時皆用子正經度而子正後太陽有右旋之行分則時刻必差而早月五星亦有右旋之行分則時刻必差而遲(時刻左旋七政皆右旋太陽有)(右旋之行分則測時太陽之經度必在所測時刻之前故差而早月五星有右旋之行分則測時月星之方位)(必在所測時刻之後故差而遲)故減太陽時差加月五星時差(若五星逆行則)(時差亦減)方為月星出入地平真時此與前測月星求時刻法同理設時可以預知故先求本時經度而後測月星出入難以懸定故先測而後加減時差其理相通其用尤便也測南北真線法於太陽出地平時測其距午東赤道度又於太陽入地平時測其距午西赤道度(測得太陽出入地平距午正前後若干時分變赤道)(度即得距午正東西赤道度)兩距午度相等則子午圏之向即南北真線若日出距午東之度多日入距午西之度少則子午圏之午正偏西若日出距午東之度少日入距午西之度多則子午圏之午正偏東(此言午正乃子午圏之正南)以兩測之距午度相減折半即所偏之赤道經度(若求地平偏度則用三角)(法推之見算法第八則)依所偏之度作線即南北真線也又法於冬至後測織女第一星昏刻此星當酉正之位以四遊圏安於酉正測其去極度若干(九十度内減赤道緯度餘即去)(極度)旦刻此星當卯正之位以四遊圏安於卯正測其去極度若干(織女星在赤道丑宫七度赤道北三十八度半冬至後半月内昏旦可以兩見故専取此)(星測之)兩去極度相等則子午圏之向即南北真線若卯正位測得去極度多酉正位測得去極度少則東逺西近即子午圈之北極偏西若卯正位測得去極度少酉正位測得去極度多則東近西逺即子午圈之北極偏東以兩測之去極度相減折半即所偏之赤道緯度(若求)(地平偏度則用三角法推之見算法第十五則)依所偏之度作線即南北真線也盖南北真線自北極過天頂平分赤道之地平上半周是為午正故向南測者以午正為凖向北測者以北極為凖太陽隨天左旋其出地入地距午必相等若其不等必儀之午正偏也恒星繞地左旋其在東在西去極必相等若其不等必儀之北極偏也依其偏度正之則南北真線得矣又按渾儀經緯與天同象測太陽亦可用緯度測恒星亦可用經度然不及右二法之簡明推測精熟法理自見今不具悉也測北極髙度法於冬至前後以四遊圏安於正北測天權星(即北斗第四星)昏刻此星在北極之下測其去極度若干旦刻此星在北極之上測其去極度若干(天權星今在赤道辰宫初度赤道北五十八度冬至)(前後半月内昏旦可以兩見故専取此星測之)兩去極度相等則儀之北極髙度與天合若在上之去極度少在下之去極度多則儀之北極差髙若在上之去極度多在下之去極度少則儀之北極差下以兩測之去極度相減折半即所差之地平緯度於儀之北極髙度加減之(差髙則減差下則加)即天之北極髙度也盖天之北極無星故取大星之環繞北極上下者測之星之去極有定度則上下兩測之去極必等若其不等則儀之髙下差也依其差度加減之則在天之北極髙度得矣又按舊法用地平緯儀測鉤陳大星以其在北極上下兩髙度相加折半得北極髙度取其距地髙無蒙氣也今用渾儀測之則鉤陳大星為儀樞所礙須用借弧故取用天權星測其去極之較以備一例若以所測在北極上之去極度與所設北極髙度相加以所測在北極下之去極度與所設北極髙度相減得兩地平髙度相加折半得北極髙度與用鉤陳大星之理同測黄赤大距法於冬至日午正初刻測太陽在赤道南若干度分夏至日午正初刻測太陽在赤道北若干度分若冬至夏至皆在午正初刻則所測日距赤道南北之緯度即黄赤大距度若冬至夏至不正當午正則又用前測太陽赤道經度法測得太陽距冬夏至前後若干度分用有太陽赤道經緯度求黄赤交角之法(見算法第四則)求得黄赤交角即黄赤大距度也盖黄道與赤道斜交春秋分時太陽正當赤道春分後秋分前太陽在赤道北夏至而極北秋分後春分前太陽在赤道南冬至而極南故致日者必於冬夏二至今用弧線三角形法測得逐日之距緯皆可以推大距然春秋分前後黄道斜而緯差大以推大距其理𨼆而難知冬夏至前後黄道横而緯差微以推大距其象顯而易見故冬夏致日古今之通義也測黄白距限(距限即大距因大距又有大小故名距限以别之見數象考成後編)法於春分日上弦秋分日下弦月距交九十度時測得月距赤道北若干度分春分日下弦秋分日上弦月距交九十度時測得月距赤道南若干度分與黄赤大距相減餘為黄白二道最大之距限又於冬至日望月距交九十度時測得月距赤道北若干度分夏至日望月距交九十度時測得月距赤道南若干度分與黄赤大距相減餘為黄白二道最小之距限盖白道與黄道斜交月距交九十度則距黄道最逺故測黄白大距必於月距交九十度時然黄白大距與黄道成直角黄赤大距與赤道成直角惟冬夏二至黄道經圈與赤道經圈合為一線故測黄白大距又必於月當冬夏二至時(上編)(専取月當夏至為其距地髙也若以對待而言則兼用冬夏至)夫月距交九十度而又當冬夏二至則兩交必在春秋二分當是時而值兩弦則日必在春秋分而適當兩交值朔望則日必在冬夏至而距交九十度上編之法謂兩弦時交角大(交角之度即大)(距度)朔望時交角小後編之法謂日在兩交時交角大日距交九十度時交角小極二説之異致至此而得其合故測黄白大距必於春秋分兩弦冬夏至望日(朔日不見月故)(惟用望日)月距交九十度時測之春分之日上弦秋分之日下弦而月距交九十度是月當夏至而日在兩交也春分之日下弦秋分之日上弦而月距交九十度是月當冬至而日在兩交也以兩弦與日在兩交而論皆交角大冬至之日望而月距交九十度是月當夏至而日距交九十度也夏至之日望而月距交九十度是月當冬至而日距交九十度也以朔望與日距交九十度而論皆交角小各測其距赤道度與黄赤大距相減則最大最小之黄白距限皆得矣按月行出黄道南為陽厯為正交(今為中交)入黄道北為陰厯為中交(今為正交)夏至在陰厯冬至在陽厯則月距赤道校黄道為逺故於所測距赤道度内減黄赤大距餘為黄白大距夏至在陽厯冬至在陰厯則月距赤道校黄道為近故於黄赤大距内減所測距赤道度餘為黄白大距又按古法黄白大距不逾六度弦望無殊故曰春秋致月今法交角有大小故又必兼於冬夏至測之也又法推得月離黄道冬夏至時預於前數刻或以太陽作距用綰時度表綰定時刻或以恒星作距用平行線測經度表對定距星皆以四遊圏指時度表對冬夏至宫度安定候月行至二至線上乃以窺衡測月距赤道南北緯度若干與黄赤大距相減餘為月距黄道南北緯度以正交宫度與冬夏至宫度相減餘為月距正交黄道經度用有太陽赤道經緯度求黄赤交角之法(見算)(法第四則)求得交角度分即黄白距限盖月之緯度與黄道成直角其三角形之比例則黄道如赤道白道如黄道黄緯如赤緯黄白交角即如黄赤交角黄白大距即如黄赤大距也前法於分至弦望測月緯度乃測黄白大距正法然其時不易得此法於月離冬夏至時凡見月即可測叅之弦望與日距交之逺近則交角有大小之故亦可得而稽矣御製璣衡撫辰儀説下之二算法有太陽赤道緯度求午正髙弧有太陽視髙弧求午正晷影有太陽赤道緯度求赤道經度有太陽赤道經緯度求黄赤大距有太陽赤道緯度求黄道經度有太陽赤道緯度求出入地平及晝夜時刻有太陽赤道緯度求昏旦時刻有太陽赤道緯度求太陽出入地平偏度(二題)有時刻有太陽赤道緯度求地平經緯度有節氣有太陽午正髙弧求交節氣時刻有日月星赤道經度求月星當中時刻有日月星赤道經度有時刻求月星當中及偏度有日月星赤道經緯度求月星出入地平時刻有月星赤道經緯度求黄道經緯度有月星距午赤道度有赤道緯度求地平經緯度有二星赤道經緯度求二星斜距度有日月五星視髙度求實髙度設如北極出地三十九度五十五分午正初刻測得太陽距赤道北十五度求髙弧幾何如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極戊己為赤道丁丙為北極出地三十九度五十五分戊乙為赤道髙五十度五分庚為太陽庚戊為太陽距赤道北十五度庚乙為太陽髙弧太陽正當午正赤經與髙弧合則以庚戊距緯與戊乙赤道髙度相加得庚乙六十五度五分為午正太陽髙度若太陽距赤道南則以距緯與赤道髙度相減即午正太陽髙度也設如測得午正太陽髙弧四十度中表髙八尺求影長幾何法以半徑一千萬為一率午正太陽髙弧四十度之餘切一千一百九十一萬七千五百三十六為二率表髙八尺為三率求得四率九尺五寸三分四釐零二絲八忽八微為所求之影長也如圖甲乙為中表之髙丙為太陽丁為中影心甲丁乙角為午正太陽髙度乙丁為影長則以丁戊半徑與太陽髙弧餘切戊已之比同於甲乙表髙與乙丁影長之比也設如春分後測得太陽距赤道北十五度黄赤交角二十三度二十九分求赤道經度幾何如圖甲乙丙丁為赤道甲戊丙己為黄道相交於甲丙甲為春分丙為秋分戊為夏至己為冬至庚為北極辛為南極庚戊乙辛己丁為過二極二至經圈乙至戊丁至己俱二十三度二十九分為黄赤大距即甲丙黄赤二道相交之角壬為太陽甲壬為太陽距春分後黄道經度自庚辛南北二極過太陽壬作庚壬癸辛赤極經圏交赤道於癸癸㸃為太陽所當赤道宫度甲癸為太陽距春分後赤道經度壬癸為太陽距赤道北十五度法用甲壬癸正弧三角形有甲角黄赤交角有癸直角有壬癸距緯求甲癸赤道度以甲角二十三度二十九分之乙子正切四百三十四萬四千六百六十六為一率乙丑半徑一千萬為二率壬癸距緯十五度之癸寅正切二百六十七萬九千四百九十二為三率求得四率六百一十六萬七千三百一十四為甲癸弧之正弦癸卯檢表得三十八度四分四十秒即甲癸太陽距春分後赤道經度與甲丁春分距冬至三宫相加得四宫八度四分四十秒即太陽赤道宫度也設如春分後測得太陽距赤道北十五度距春分後赤道經度三十八度四分四十秒求黄赤大距度幾何如圖甲為春分甲角為黄赤交角當戊乙黄赤大距壬為太陽壬癸為太陽距赤道北十五度甲癸為太陽距春分後赤道經度三十八度四分四十秒用甲壬癸正弧三角形以甲癸赤道三十八度四分四十秒之癸卯正弦六百一十六萬七千三百一十四為一率壬癸距緯十五度之寅癸正切二百六十七萬九千四百九十二為二率乙丑半徑一千萬為三率求得四率四百三十四萬六千六百六十六為甲角之正切乙子檢表得二十三度二十九分即甲角黄赤大距度也設如春分後測得太陽距赤道北十五度黄赤交角二十三度二十九分求黄道經度幾何如圖甲為春分甲角為黄赤交角二十三度二十九分壬為太陽甲壬為太陽距春分後黄道經度壬癸為距赤道北十五度用甲壬癸正弧三角形有甲角黄赤交角有癸直角有壬癸距緯求甲壬黄道度以甲角二十三度二十九分之戊辰正弦三百九十八萬四千八百二十三為一率戊丑半徑一千萬為二率壬癸距緯十五度之壬巳正弦二百五十八萬八千一百九十為三率求得四率六百四十九萬五千一百一十九為甲壬弧之正弦壬午檢表得四十度三十分十七秒即甲壬太陽距春分後黄道經度與甲已春分距冬至三宫相加得四宫十度三十分十七秒即太陽黄道宫度也設如北極出地三十九度五十五分測得太陽距赤道北十五度求出入地平及晝夜時刻如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分戊己為赤道戊乙為赤道髙五十度零五分庚為太陽庚辛為太陽距赤道北十五度壬為卯正酉正之位辛壬為日出入在卯前酉後赤道度用庚辛壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛邊求辛壬邊以壬角五十度五分之正切一千一百九十五萬二千七百九十九為一率半徑一千萬為二率庚辛十五度之正切二百六十七萬九千四百九十二為三率求得四率二百二十四萬一千七百二十八為辛壬弧之正弦檢表得十二度五十七分十五秒即辛壬弧為日出入在卯前酉後赤道度變時得三刻六分四十九秒為卯前酉後分以減卯正得日出卯初初刻八分十一秒以加酉正得日入酉正三刻六分四十九秒復倍卯前酉後分得六刻十三分三十八秒與四十八刻相加得五十四刻十三分三十八秒為晝刻與四十八刻相減得四十一刻一分二十二秒為夜刻也又法求己辛日出入距子正前後赤道度用丁丙庚正弧三角形有丙直角有丁丙北極出地度有丁庚日距北極度求丁角以丁庚七十五度之正切三千七百三十二萬零五百零八為一率丁丙三十九度五十五分之正切八百三十六萬六千二百四十二為二率半徑一千萬為三率求得四率二百二十四萬一千七百二十八為丁角之餘弦檢表得七十七度二分四十五秒即辛已弧為日出入距子正前後赤道度變時得五小時零八分十一秒為日出入距子正前後分自子正起算為卯初初刻八分十一秒即日出時刻與二十四小時相減得酉正三刻六分四十九秒為日入時刻復倍日出入距子正前後分得四十一刻一分二十二秒為夜刻與九十六刻相減餘五十四刻十三分三十八秒為晝刻也設如北極出地三十九度五十五分測得太陽距赤道北十五度求昏旦時刻如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分甲丁為北極距天頂五十度五分戊己為赤道庚為太陽庚辛為太陽距赤道北十五度丁庚為太陽距北極七十五度壬癸為太陽隨天西轉之赤道距等圈庚子為昏旦曚影限十八度甲庚為太陽距天頂一百零八度丑寅為地平下曚影距等圈辛㸃為太陽所當昏旦時刻戊辛為太陽距午正前後赤道度用甲庚丁斜弧三角形有甲丁邊北極距天頂有丁庚邊日距北極有甲庚邊日距天頂求丁角距午赤道度以夾丁角之丁庚邊七十五度與甲丁邊五十度五分相加得一百二十五度五分為總弧其餘弦五百七十四萬七千六百七十二又以甲丁丁庚二邊相減餘二十四度五十五分為較弧其餘弦九百零六萬九千二百一十五兩餘弦相加(總弧較弧一過象限一不過象限則)(兩餘弦相加若兩弧俱不過象限或俱過象限則兩)(餘弦相減)得一千四百八十一萬六千八百八十七折半得七百四十萬零八千四百四十四為中數為一率以對丁角之甲庚邊一百零八度之大矢一千三百零九萬零一百七十(餘弦與半)(徑相加得大矢)與較弧二十四度五十五分之正矢(餘弦與半徑相)(減得正矢)九百三十萬零七百八十五相減餘一千二百一十五萬九千三百八十五為矢較為二率半徑一千萬為三率求得四率一千六百四十一萬二千八百七十三為丁角之大矢(凡矢過於半徑者為大矢其角即為鈍角)内減半徑一千萬餘六百四十一萬二千八百七十三為丁角之餘弦檢表得五十度六分四十四秒與半周相減餘一百二十九度五十三分十六秒為丁角度即旦刻太陽距午前昏刻太陽距午後赤道度變時得八小時二刻九分三十三秒與午正十二小時相減得寅初一刻五分二十七秒即旦刻與午正十二小時相加得戌正二刻九分三十三秒即昏刻也如圖丁庚與丁甲相加得甲癸為總弧(丁庚丁癸丁壬三弧同為癸壬)(距等圏所截故其度相等)其正弦為癸卯餘弦為卯辰丁庚與丁甲相減餘甲壬為較弧其正弦為壬己餘弦為己辰以卯辰與己辰兩餘弦相加得巳卯折半得己午與未申等為中數又對丁角之甲庚邊與甲丑甲寅等其正弦為丑酉或寅酉餘弦為酉辰大矢為甲酉以甲酉與甲壬較弧之正矢甲已相減餘己酉與戌庚等為矢較遂成壬庚戌與壬申未同式兩勾股形故未申與戌庚之比必同於壬申與壬庚之比也又戊辰為半徑壬申為距等圈之半徑壬庚與戊辛兩叚同為丁庚辛赤道經圏之所分則壬申與壬庚之比原同於戊辰與戊辛之比是以中數未申與矢較戌庚之比即同於半徑戊辰與丁角大矢戊辛之比也既得戊辛大矢内減戊辰半徑餘辛辰即丁外角餘弦檢表得丁外角所當辛巳弧之度復與半周相減即得丁角所當戊辛弧之度也設如北極出地三十九度五十五分太陽出地平時測得距赤道北十五度求地平偏度幾何如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圈乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分戊己為赤道庚為太陽庚辛為太陽距赤道北十五度壬為卯正庚壬為日出地平偏度用庚辛壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛邊求庚壬邊以壬角五十度五分之正弦七百六十六萬九千七百八十五為一率半徑一千萬為二率庚辛十五度之正弦二百五十八萬八千一百九十為三率求得四率三百三十七萬四千五百二十七為庚壬弧之正弦檢表得十九度四十三分十八秒為庚壬弧度即太陽出地平時正東偏北之度也設如北極出地三十九度五十五分太陽入地平時測得距赤道南十五度求地平偏度㡬何如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分戊己為赤道庚為太陽庚辛為太陽距赤道南十五度壬為酉正庚壬為日入地平偏度用辛庚壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛邊求庚壬邊以壬角五十度五分之正弦七百六十六萬九千七百八十五為一率半徑一千萬為二率庚辛十五度之正弦二百五十八萬八千一百九十為三率求得四率三百三十七萬四千五百二十七為庚壬弧之正弦檢表得十九度四十三分十八秒為庚壬弧度即太陽入地平時正西偏南之度也設如北極出地三十九度五十五分己正初刻測得太陽距赤道北十五度求地平經緯度各㡬何如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極戊己為赤道丁丙為北極出地三十九度五十五分甲丁為北極距天頂五十度五分庚為太陽庚辛為太陽距赤道北十五度丁庚為太陽距北極七十五度辛為己正初刻戊辛為太陽距午東赤道度三十度即丁角甲庚為太陽距天頂庚壬為太陽髙弧即地平緯度乙壬為太陽正南偏東地平經度即甲角之外角用甲丁庚斜弧三角形有丁角距午東赤道度有甲丁北極距天頂有丁庚太陽距北極求甲庚邊及甲角度乃自太陽庚㸃作庚癸垂弧於形外補成丁庚癸甲庚癸兩正弧三角形先用丁庚癸形以半徑一千萬為一率丁角三十度之餘弦八百六十六萬零二百五十四為二率丁庚七十五度之正切三千七百三十二萬零五百零八為三率求得四率三千二百三十二萬零五百零八為丁癸弧之正切檢表得七十二度四十八分二十八秒即丁癸弧内減甲丁五十度五分餘二十二度四十三分二十八秒即甲癸弧又以半徑一千萬為一率丁角三十度之正切五百七十七萬三千五百零三為二率丁癸七十二度四十八分二十八秒之正弦九百五十五萬三千一百八十四為三率求得四率五百五十一萬五千五百三十四為庚癸弧之正切次用甲庚癸形以甲癸二十二度四十三分二十八秒之正弦三百八十六萬二千九百九十六為一率前所得庚癸弧之正切五百五十一萬五千五百三十四為二率半徑一千萬為三率求得四率一千四百二十七萬七千八百六十六為甲角之正切檢表得五十四度五十九分三十五秒為甲角度即太陽正南偏東地平經度又以甲角五十四度五十九分三十五秒之餘弦五百七十三萬六千七百五十六為一率半徑一千萬為二率甲癸二十二度四十三分二十八秒之正切四百一十八萬八千一百零四為三率求得四率七百三十萬零四百七十四為甲庚弧之正切檢表得三十六度七分五十二秒為甲庚弧即太陽距天頂之度與甲壬象限九十度相減餘庚壬五十三度五十二分八秒為太陽髙弧即地平緯度也又法自太陽庚㸃至卯正癸㸃作庚癸弧成庚辛癸庚壬癸兩正弧三角形算之先用庚辛癸形以辛癸距卯正後赤道度六十度之正弦八百六十六萬零二百五十四為一率庚辛太陽距赤道北十五度之正切二百六十七萬九千四百九十二為二率半徑一千萬為三率求得四率三百零九萬四千零一十一為庚癸辛角之正切檢表得十七度十一分三十二秒即庚癸辛角與辛癸壬角五十度五分相加得六十七度十六分三十二秒即庚癸壬角又以庚癸辛角十七度十一分三十二秒之餘弦九百五十五萬三千一百八十四為一率半徑一千萬為二率辛癸六十度之正切一千七百三十二萬零五百零八為三率求得四率一千八百一十三萬零六百一十三為庚癸弧之正切檢表得六十一度七分一十五秒為庚癸弧度次用庚壬癸形以半徑一千萬為一率庚癸壬角六十七度十六分三十二秒之餘弦三百八十六萬二千九百九十六為二率前所得庚癸弧之正切一千八百一十三萬零六百一十三為三率求得四率七百萬零三千八百四十九為壬癸弧之正切檢表得三十五度零二十五秒即壬癸弧度與乙癸象限相減餘乙壬五十四度五十九分三十五秒即太陽正南偏東地平經度又以半徑一千萬為一率庚癸壬角六十七度十六分三十二秒之正弦九百二十二萬三千七百三十三為二率庚癸弧六十一度七分十五秒之正弦八百七十五萬六千四百零一為三率求得四率八百零七萬六千六百七十為庚壬弧之正弦檢表得五十三度五十二分七秒為庚壬太陽髙弧即地平緯度也又法用總較法算之以半徑一千萬為一率丁角三十度之正矢(餘弦與半徑相減得正矢)一百三十三萬九千七百四十六為二率以夾丁角之甲丁邊五十度五分與丁庚邊七十五度相加得一百二十五度五分為總弧其餘弦五百七十四萬七千六百七十二又以甲丁丁庚兩邊相減餘二十四度五十五分為較弧其餘弦九百零六萬九千二百一十五兩餘弦相加(總弧)(過象限較弧不過象限故兩餘弦相加)得一千四百八十一萬六千八百八十七折半得七百四十萬八千四百四十四為中數為三率求得四率九十九萬二千五百四十三為矢較與較弧二十四度五十五分之正矢九十三萬零七百八十五相加得一百九十二萬三千三百二十八為甲庚對邊之正矢與半徑一千萬相減餘八百零七萬六千六百七十二為甲庚弧之餘弦檢表得三十六度七分五十三秒為甲庚太陽距天頂度與甲壬象限相減餘五十三度五十二分七秒為庚壬太陽髙弧即地平緯度也如圖戊癸為半徑戊辛為丁角之正矢甲丁與丁庚相加得甲子為總弧(丁庚丁子丁寅三弧同為子寅距等圏所截故其度)(相等)其正弦為子丑餘弦為癸丑甲丁與丁庚相減得甲寅為較弧其正弦為寅卯餘弦為癸卯兩餘弦相加得卯丑折半得卯辰與巳午等為中數又對丁角之甲庚邊與甲未等其正弦為未申餘弦為申癸正矢為甲申以甲申與甲寅較弧之正矢甲卯相減餘卯申與酉庚等為矢較遂成寅午巳寅庚酉同式兩勾股形而寅午與寅庚之比同於已午與酉庚之比又寅午為子寅距等圏之半徑寅庚與戊辛兩叚同為丁庚辛過赤極經圏之所分則寅午與寅庚之比原同於戊癸與戊辛之比是以半徑戊癸與丁角正矢戊辛之比即同於中數巳午與酉庚之比而酉庚與卯申矢較等既得卯申矢較與甲寅較弧之正矢甲卯相加得甲申即為甲庚弧之正矢與甲癸半徑相減餘癸申為甲庚弧之餘弦檢表得甲庚弧之度與甲壬象限相減餘庚壬弧即太陽髙弧之度也次求甲角則以甲庚弧三十六度七分五十三秒之正弦五百八十九萬六千三百八十九為一率丁庚弧七十五度之正弦九百六十五萬九千二百五十八為二率丁角三十度之正弦五百萬為三率求得四率八百一十九萬零八百二十五為甲外角之正弦檢表得五十四度五十九分三十五秒為甲外角度即太陽正南偏東之地平經度也設如北極出地三十九度五十五分春分日測得午正太陽髙五十度求春分時刻法先以午正太陽視髙五十度減蒙氣差五十秒加地半徑差六秒得午正太陽實髙四十九度五十九分十六秒與赤道髙五十度五分相減餘五分四十四秒為太陽距赤道南之緯度即知春分在午正東春分時刻在午正後也如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分戊已為赤道戊乙為赤道髙五十度五分庚為太陽庚乙為午正太陽實髙四十九度五十九分十六秒庚戊為太陽距赤道南五分四十四秒爰用庚戊辛正弧三角形有戊直角有辛角黄赤交角有庚戊距緯求庚辛太陽距春分黄道度以辛角二十三度二十九分之正弦三百九十八萬四千八百二十三為一率半徑一千萬為二率庚戊五分四十四秒之正弦一萬六千六百七十七為三率求得四率四萬一千八百五十一為庚辛弧之正弦檢表得十四分二十三秒十五微為太陽距春分黄道度乃以一日之日平行五十九分八秒二十微為一率(二分時太陽之實行與平行相近故即用)(平行為一率若他節氣須用本日之實行為一率)周日一千四百四十分為二率太陽距春分黄道度十四分二十三秒十五微為三率求得四率三百五十分十九秒四十微以六十分收之得五時五十分十九秒四十微為春分距午正後之時刻即酉初三刻五分十九秒四十微也設如太陽赤道經度為戌官十五度木星赤道經度為午宫初度求木星當中之時刻(月恒星同)如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極戊已為赤道庚辛為黄道戊㸃為木星所當赤道之午宫初度亦即正午赤道經度壬為太陽當赤道之癸為戌宫十五度則於正午戊㸃赤道經度午宫初度内減癸㸃太陽赤道經度戌宫十五度餘戊癸三宫十五度為太陽距午西赤道度變時得七小時自午正初刻起算得戌初初刻即木星當中之時刻也設如亥初初刻測得太陽赤道經度為戌宫十五度太陰赤道經度為巳宫初度求太陰當中及偏度(五星恒星同)如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極戊已為赤道庚辛為黄道壬為太陽當赤道之癸為戌宫十五度戊為正午之位癸為亥初初刻距正午九小時變赤道度得戊癸太陽距午西赤道度四宫十五度與癸㸃太陽赤道經度戌宫十五度相加得巳宫初度為正午戊㸃赤道經度與太陰赤道經度相合即為亥初初刻太陰當中如太陰赤道經度大於正午赤道經度為偏東小於正午赤道經度為偏西也設如北極出地三十九度五十五分本日子正初刻太陽赤道經度為戌宫十五度太陰赤道經度為申宫初度距赤道北十八度至次日子正初刻太陽赤道經度為戌宫十六度太陰赤道經度為申宫十三度求太陰入地平時刻(太陰出地倣此五星恒星並同)如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分戊已為赤道戊乙為赤道髙五十度五分庚辛為黄道本日子正初刻太陽在壬當赤道之癸為戌宫十五度太陰在子當赤道之丑為申宫初度丑癸為太陰距太陽四十五度子丑為太陰距赤道北十八度寅為酉正之位丑寅為太陰入地在酉正後赤道度用子丑寅正弧三角形有丑直角有寅角有子丑邊求丑寅邊以寅角五十度五分之正切一千一百九十五萬二千七百九十九為一率半徑一千萬為二率子丑十八度之正切三百二十四萬九千一百九十七為三率求得四率二百七十一萬八千三百五十七為丑寅弧之正弦檢表得十五度四十六分二十五秒為丑寅太陰入地在酉正後赤道度與丑癸太陰距太陽四十五度相加得寅癸六十度四十六分二十五秒為太陽距酉正後赤道度變時得四小時三分六秒加酉正十八小時得二十二小時三分六秒為本日太陰入地時刻之通數復以本日次日子正初刻太陽赤道經度相減得一度為一日之日行度以通數距子正後之時分為比例得太陽行分為五十五分八秒變時得三分四十一秒為太陽時差以本日次日子正初刻太陰赤道經度相減得十三度為一日之月行度以通數距子正後之時分為比例得太陰行分為十一度五十六分四十一秒變時得四十七分四十七秒為太陰時差乃於本日太陰入地時刻之通數二十二小時三分六秒内減太陽時差三分四十一秒加太陰時差四十七分四十七秒得二十二小時四十七分十二秒自子正後計之為亥正三刻二分十二秒即太陰入地平之時刻也盖太陰入地時刻之通數乃以本日子正初刻之赤道經度立算然太陰入地在子正後太陽太陰俱有右旋之行分太陽右旋則其赤經已過癸㸃之東時刻必差而早太陰右旋則其赤經亦過丑㸃之東及隨天西轉以至入地時刻必差而遲且太陽行分少太陰行分多是太陽當癸㸃之時太陰尚在地平上逮太陰入地太陽赤經必又在癸㸃之西故於通數内減太陽時差加太陰時差方為太陰入地之時刻也設如黄赤大距二十三度二十九分測得大角星赤道經度卯宫一度七分二十六秒赤道緯北二十度三十分四十二秒求黄道經緯度幾何(月五星同)如圖甲為赤極乙為黄極甲乙為黄赤二極相距二十三度二十九分丙為大角星丁戊為赤道已庚為黄道辛㸃為赤道經度卯宫一度七分二十六秒丁辛為距冬至前赤道經度五十八度五十二分三十四秒即甲角丙辛為赤道緯北二十度三十分四十二秒甲丙為星距赤極六十九度二十九分十八秒壬㸃為黄道經度己壬為距冬至前黄道經度即乙角之外角丙壬為黄道北緯度乙丙為星距黄極度用甲乙丙斜弧三角形有甲角及甲乙甲丙二邊求乙角及乙丙邊先求乙角自大角星丙㸃作丙癸垂弧於形外補成甲丙癸乙丙癸兩正弧三角形先用甲丙癸形以半徑一千萬為一率甲角五十八度五十二分三十四秒之餘弦五百一十六萬八千九百零三為二率甲丙六十九度二十九分十八秒之正切二千六百七十二萬九千六百一十六為三率求得四率一千三百八十一萬六千二百七十九為甲癸弧之正切檢表得五十四度六分十三秒為甲癸弧内減甲乙弧二十三度二十九分餘三十度三十七分十三秒為乙癸弧又以半徑一千萬為一率甲角五十八度五十二分三十四秒之正切一千六百五十六萬一千五百七十三為二率甲癸五十四度六分十三秒之正弦八百一十萬零七百八十六為三率求得四率一千三百四十一萬六千一百七十六為丙癸弧之正切次用乙丙癸形以乙癸弧三十度三十七分十三秒之正弦五百零九萬三千四百六十為一率前所得丙癸弧之正切一千三百四十一萬六千一百七十六為二率半徑一千萬為三率求得四率二千六百三十四萬零五為乙角之正切檢表得六十九度十二分三十九秒為乙外角度即己壬距冬至前黄道經度與十二宫相減餘九宫二十度四十七分二十一秒即壬㸃黄道經度也次求乙丙邊以乙角六十九度十二分三十九秒之餘弦三百五十四萬九千三百零二為一率半徑一千萬為二率乙癸三十度三十七分十三秒之正切五百九十一萬八千七百六十二為三率求得四率一千六百六十七萬五千八百四十八為乙丙弧之正切檢表得五十九度三分一秒為乙丙星距黄極度與乙壬象限九十度相減餘三十度五十六分五十九秒即丙壬星距黄道北緯度也又法先求乙丙邊自黄極乙作乙癸垂弧於形内分為甲乙癸丙乙癸兩正弧三角形先用甲乙癸形以半徑一千萬為一率甲角五十八度五十二分三十四秒之餘弦五百一十六萬八千九百零三為二率甲乙二十三度二十九分之正切四百三十四萬四千六百六十六為三率求得四率二百二十四萬五千七百一十六為甲癸弧之正切檢表得十二度三十九分二十五秒為甲癸弧度與甲丙弧六十九度二十九分十八秒相減餘五十六度四十九分五十三秒為丙癸弧又以甲癸十二度三十九分二十五秒之餘弦九百七十五萬六千九百九十四為一率半徑一千萬為二率甲乙二十三度二十九分之餘弦九百一十七萬一千七百六十為三率求得四率九百四十萬零一百九十為乙癸弧之餘弦次用丙乙癸形以半徑一千萬為一率丙癸弧五十六度四十九分五十三秒之餘弦五百四十七萬一千零四十七為二率前所得乙癸弧之餘弦九百四十萬零一百九十為三率求得四率五百一十四萬二千八百八十八為乙丙弧之餘弦檢表得五十九度三分為乙丙星距黄極度與乙壬象限九十度相減餘三十度五十七分即丙壬星距黄道北緯度也次求甲乙丙角則以乙丙弧五十九度三分一秒之正弦八百五十七萬六千一百八十九為一率甲丙弧六十九度二十九分十八秒之正弦九百三十六萬六千零九為二率甲角五十八度五十二分三十四秒之正弦八百五十六萬零五百一十為三率求得四率九百三十四萬八千八百九十三為乙外角之正弦檢表得六十九度十二分三十七秒為乙外角度與全周相減餘二百九十度四十七分二十三秒為辰宫二十度四十七分二十三秒即大角星黄道經度也設如北極出地三十九度五十五分測得大角星距午東三十度距赤道北二十度三十分四十二秒求地平經緯度各㡬何(月五星同)如圖甲為天頂甲乙丙丁為子午圏乙丙為地平丁為北極丁丙為北極出地三十九度五十五分甲丁為北極距天頂五十度五分戊巳為赤道庚為大角星庚辛為星距赤道北二十度三十分四十二秒丁庚為星距赤極六十九度二十九分十八秒戊辛為星距午東三十度即丁角甲庚為星距天頂庚壬為髙弧即地平緯度乙壬為大角星正南偏東地平經度即甲角之外角用甲丁庚斜弧三角形有丁角有甲丁邊有丁庚邊求甲庚邊及甲角乃自大角星庚㸃作庚癸垂弧於形外補成丁庚癸甲庚癸兩正弧三角形先用丁庚癸形以半徑一千萬為一率丁角三十度之餘弦八百六十六萬零二百五十四為二率丁庚六十九度二十九分十八秒之正切二千六百七十二萬九千六百一十六為三率求得四率二千三百一十四萬八千五百二十六為丁癸弧之正切檢表得六十六度三十八分十秒為丁癸弧内減甲丁五十度五分餘十六度三十三分十秒為甲癸弧又以半徑一千萬為一率丁角三十度之正切五百七十七萬三千五百零三為二率丁癸六十六度三十八分十秒之正弦九百一十八萬零四十七為三率求得四率五百三十萬零一百零三為庚癸弧之正切次用甲庚癸形以甲癸弧十六度三十三分十秒之正弦二百八十四萬八千九百八十五為一率前所得庚癸弧之正切五百三十萬零一百零三為二率半徑一千萬為三率求得四率一千八百六十萬三千四百七十八為癸甲庚角之正切檢表得六十一度四十四分二十六秒為癸甲庚角即大角星正南偏東地平經度又以甲角六十一度四十四分二十六秒之餘弦四百七十三萬四千六百四十九為一率半徑一千萬為二率甲癸十六度三十三分十秒之正切二百九十七萬二千一百五十八為三率求得四率六百二十七萬七千四百六十二為甲庚弧之正切檢表得三十二度七分六秒為甲庚弧即星距天頂度與甲壬九十度相減餘庚壬五十七度五十二分五十四秒即大角星地平緯度也設如土星赤道經度未宫初度赤道北緯度二十四度木星赤道經度酉宫十五度赤道北緯度十六度求二星斜距度幾何如圖甲為赤極乙丙為赤道丁為土星乙㸃為土星所當赤道經度未宫初度丁乙為距赤道北二十四度甲丁為土星距赤極六十六度戊為木星巳㸃為木星所當赤道經度酉宫十五度戊已為距赤道北十六度甲戊為木星距赤極七十四度乙已為二星相距赤道經度四十五度即甲角自丁戊二㸃作丁戊庚腰圍大圏則丁戊為二星斜距弧用甲丁戊斜弧三角形有甲角二星相距赤道經度有甲丁邊土星距赤極有甲戊邊木星距赤極求丁戊二星斜距度乃自丁㸃作丁辛垂弧於形内分為甲辛丁戊辛丁兩正弧三角形先用甲辛丁形以辛直角正弦即半徑一千萬為一率甲角四十五度之餘弦七百零七萬一千零六十八為二率甲丁六十六度之正切二千二百四十六萬零三百六十八為三率求得四率一千五百八十八萬一千八百七十九為甲辛弧之正切檢表得五十七度四十八分十三秒為甲辛弧度與甲戊七十四度相減餘十六度十一分四十七秒為戊辛弧又以甲辛五十七度四十八分十三秒之餘弦五百三十二萬八千二百三十為一率半徑一千萬為二率甲丁六十六度之餘弦四百零六萬七千三百六十六為三率求得四率七百六十三萬三千六百一十六為丁辛弧之餘弦次用戊辛丁形以半徑一千萬為一率戊辛十六度十一分四十七秒之餘弦九百六十萬零三千一百一十二為二率前所得丁辛弧之餘弦七百六十三萬三千六百一十六為三率求得四率七百三十三萬零六百四十七為丁戊弧之餘弦檢表得四十二度五十一分二十二秒為丁戊弧度即土木二星斜距之度也又法用總較法算之以半徑一千萬為一率甲角四十五度之正矢二百九十二萬八千九百三十二為二率以甲戊邊七十四度與甲丁邊六十六度相加得一百四十度為總弧其餘弦七百六十六萬零四百四十四又以甲丁甲戊兩邊相減餘八度為較弧其餘弦九百九十萬二千六百八十兩餘弦相加(總弧)(較弧一過象限一不過象限故相加)得一千七百五十六萬三千一百二十四折半得八百七十八萬一千五百六十二為中數為三率求得四率二百五十七萬二千零六十為矢較與較弧八度之正矢九萬七千三百二十相加得二百六十六萬九千三百八十為丁戊弧之正矢與半徑一千萬相減餘七百三十三萬零六百二十為丁戊弧之餘弦檢表得四十二度五十一分二十三秒為丁戊弧即土木二星斜距度也如圖乙辛為半徑乙已為甲角之正矢甲戊與甲丁相加得丁壬為總弧(甲戊甲壬甲子同為壬子距等)(圏所截故其度相等)其正弦為壬癸餘弦為癸辛甲戊與甲丁相減餘丁子為較弧其正弦為子丑餘弦為丑辛兩餘弦相加得丑癸折半得丑寅與卯辰等為中數又對甲角之丁戊邊與丁巳等其正弦為巳午餘弦為午辛正矢為丁午以丁午與丁子較弧之正矢丁丑相減餘丑午與未戊等為矢較遂成子卯辰與子未戊同式兩勾股形而子辰與子戊之比同於卯辰與未戊之比又子辰為距等圏之半徑子戊與乙巳兩叚同為甲戊已赤道經圏之所分則子辰與子戊之比原同於乙辛與乙已之比是以半徑乙辛與甲角正矢乙已之比即同於中數卯辰與矢較未戊之比也既得矢較未戊與丁子較弧之正矢丁丑相加得丁午即丁戊弧之正矢與丁辛半徑相減餘午辛為丁戊弧之餘弦檢表得丁戊弧之度即土木二星斜距之度也設如測得太陽午正視髙度四十度求實髙度幾何如圖甲為天頂甲乙丙為子午圏丁為地心戊為地面已庚為地平已乙與庚丙為太陽在地平上最大之地半徑差十秒與丁戊地半徑等(巳乙與庚丙弧線甚小可作直)(線算故謂與丁戊地半徑等)戊辛為地周蒙氣之厚六千零九十五(丁戊地半徑設為一千萬戊辛為六千零九十)(五)壬為太陽視髙㸃壬戊巳角為午正太陽視髙度四十度癸為太陽實髙㸃癸丁乙角為午正太陽實髙度戊子壬為視線常直而髙戊子癸為光線常折而下壬子癸角為本時蒙氣差角戊癸為太陽距地面丁癸為太陽距地心戊癸丁角為本時地半徑差角先求蒙氣差自地心丁過子㸃作丁丑蒙氣之割線則壬子丑角為視線與割線所成之角癸子丑角為光線與割線所成之角其兩角之較即壬子癸蒙氣差之角也先用丁戊子直線三角形有丁戊子角之外角(即太陽視距天頂度)有丁戊邊(即地半徑一千萬)有丁子邊(地半)(徑加蒙氣之厚)求丁子戊角以丁子一千萬零六千零九十五為一率丁戊一千萬為二率丁戊子角之外角五十度之正弦七百六十六萬零四百四十四為三率求得四率七百六十五萬五千七百七十八為丁子戊角之正弦檢表得四十九度五十七分三十秒為丁子戊角度與壬子丑角等即視線與割線所成之角乃以視線角之正弦定率一千萬為一率光線角之正弦定率一千萬零二千八百四十一為二率前所得之壬子丑角(即丁子戊角)正弦七百六十五萬五千七百七十八為三率求得四率七百六十五萬七千九百五十三為癸子丑角之正弦檢表得四十九度五十八分四十秒為癸子丑角度即光線與割線所成之角與壬子丑角度相減餘一分十秒為壬子癸角度即蒙氣差角之度也(壬子癸角乃子㸃之角人自地面戊㸃視之則壬戊)(癸角始為蒙氣差角然所差甚微故即以壬子癸角)(為壬戊癸角也)與壬戊已角視髙度相減餘三十九度五十八分五十秒為癸戊已角即無蒙氣差之視髙度次求地半徑差将戊癸線引長至子作丁子垂線即癸角地半徑差之度用丁戊子直角三角形有丁戊邊有子直角有戊角求丁子邊以半徑一千萬為一率戊角五十度一分十秒之正弦七百六十六萬二千六百二十六為二率丁戊十秒為三率求得四率八秒為丁子即癸角地半徑差之度與癸戊已角三十九度五十八分五十秒相加得三十九度五十八分五十八秒為癸丁乙角度即午正太陽實髙度也欽定儀象考成卷首下
## 卷二
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二恒星黄道經緯度表一黄道星紀宫(赤道度附)恒星黄赤經緯度表恒星布列周天古有去極入宿度數入宿即經度也去極即緯度也然黄道度與赤道度不同嵗差亦異葢黄道以黄極為樞赤道以赤極為樞兩道兩極各相距二十三度半故星在兩極之間者黄道屬未宫赤道則屬丑宫星在兩道之間者黄道屬緯南赤道則屬緯北此黄赤不同之極致也恒星循黄道東行每年五十一秒緯度終古不改而經度之差有常赤道與黄道斜交分至前後南北逺近其差不等兩極之間在黄道為差而東在赤道為差而西兩交之際黄道南者差而入赤道北黄道北者差而出赤道南此嵗差不同之極致也今以乾隆九年甲子恒星黄赤經緯度依黄道次序列恒星黄道經緯度表而以赤道經緯附之依赤道次序列恒星赤道經緯度表而以黄道經緯附之各將赤道嵗差列於其下黄道以便推算赤道以便測量厯象之用於斯備矣欽定儀象考成卷二
## 卷三
欽定四庫全書欽定儀象考成卷三恒星黄道經緯度表二黄道元枵宫(赤道度附)欽定儀象考成卷三
## 卷四
欽定四庫全書欽定儀象考成卷四恒星黄道經緯度表三黄道娵訾宫(赤道度附)欽定儀象考成卷四
## 卷五
欽定四庫全書欽定儀象考成卷五恒星黄道經緯度表四黄道降婁宫欽定儀象考成卷五
## 卷六
欽定四庫全書欽定儀象考成卷六恒星黄道經緯度表五黄道大梁宫(赤道度附)欽定儀象考成卷六
## 卷七
欽定四庫全書欽定儀象考成卷七恒星黄道經緯度表六黄道實沈宫(赤道度附)欽定儀象考成卷七
## 卷八
欽定四庫全書欽定儀象考成卷八恒星黄道經緯度表七黄道鶉首宫(赤道度附)欽定儀象考成卷八
## 卷九
欽定四庫全書欽定儀象考成卷九恒星黄道經緯度表八黄道鶉火宫(赤道度附)欽定儀象考成卷九
## 卷十
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十恒星黄道經緯度表九黄道鶉尾宫(赤道度附)欽定儀象考成卷十
## 卷十一
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十一恒星黄道經緯度表十黄道壽星宫(赤道度附)欽定儀象考成卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十二恒星黄道經緯度表十一黄道大火宮(赤道度附)欽定儀象考成卷十二
## 卷十三
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十三恒星黄道經緯度表十二黄道析木宫(赤道度附)欽定儀象考成卷十三
## 卷十四
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十四恒星赤道經緯度表一赤道星紀宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十四
## 卷十五
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十五恒星赤道經緯度表二赤道元枵宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十五
## 卷十六
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十六恒星赤道經緯度表三赤道娵訾宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十六
## 卷十七
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十七恒星赤道經緯度表四赤道降婁宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十七
## 卷十八
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十八恒星赤道經緯度表五赤道大梁宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十八
## 卷十九
欽定四庫全書欽定儀象考成卷十九恒星赤道經緯度表六赤道實沈宫(黄道度附)欽定儀象考成卷十九
## 卷二十
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十恒星赤道經緯度表七赤道鶉首宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十
## 卷二十一
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十一恒星赤道經緯度表八赤道鶉火宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十一
## 卷二十二
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十二恒星赤道經緯度表九赤道鶉尾宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十二
## 卷二十三
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十三恒星赤道經緯度表十赤道夀星宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十三
## 卷二十四
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十四恒星赤道經緯度表十一赤道大火宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十四
## 卷二十五
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十五恒星赤道經緯度表十二赤道析木宫(黄道度附)欽定儀象考成卷二十五
## 卷二十六
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十六月五星相距恒星經緯度表黄道十二宫(赤道度附)月五星相距恒星經緯度表恒星在天各有定位月五星東行過之南北相距一度以内為犯月距十七分以内五星距三分以内為凌同度為掩月五星出入黄道不過十度故取黄道南北十度以内之恒星依黄道次序列為表而以赤道經緯附之并將赤道歲差列於其下推算之法詳見考成上編兹不具載欽定儀象考成卷二十六
## 卷二十七
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十七天漢經緯度表一黄道北天漢度天漢黄赤經緯度表晉書天文志云天漢起東方經箕尾之間謂之漢津乃分為二道其南經傳説魚天籥天弁河鼓其北經龜貫箕下次絡南斗魁左旗至天津下而合南道乃西南行又分夾瓠𤓰絡人星杵造父螣蛇王良附路閣道北端大陵天船卷舌而南行絡五車經北河之南入東井水位而東南行絡南河闕邱天狗天記天稷至七星南而没明史天文志云近年浮海之人至赤道以南見雲漢過天狗之墟抵天社海石之南踰南船帶海山貫十字架蜜蜂傍馬腹經南門絡三角龜杵而屬扵尾宿是為帶天一周靈䑓儀象志天漢經緯度分列黄道南北赤道南北四表與明史合但不按宮次或分二界或分三界或分四界逐度列表其分合曲折之處尚有未詳今亦分黄赤南北四表而各按宮次分南界北界南之北界北之南界各列四層其分合既為明晰至其曲折之處經緯或有不同又扵每度之間細分列表按數圖之庶合懸象云欽定儀象考成卷二十七
## 卷二十八
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十八天漢經緯度表二黄道南天漢度欽定儀象考成卷二十八
## 卷二十九
欽定四庫全書欽定儀象考成卷二十九天漢經緯度表三赤道北天漢度欽定儀象考成卷二十九
## 卷三十
欽定四庫全書欽定儀象考成卷三十天漢經緯度表四赤道南天漢度欽定儀象考成卷三十◆ 《曉菴新法-清-》（KR3f0021）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
曉菴新法 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹案曉菴新法六卷國朝王錫闡撰錫闡字寅旭號餘不又號曉庵又號天同一生吴江人是書前一卷述句股割圜諸法後五卷皆推步七政交食凌犯之術觀其自序葢成于明之末年故以崇禎元年戊辰為厯元以南京應天府為異差之元其分周天為三百八十四更以分弧為逐限以加減為從消剏立新名雖頗涉臆撰然其時徐光啓等纂修新法聚訟盈庭錫闡獨閉戸著書潛心測算務求精符天象不屑屑扵門户之分鈕琇觚賸稱其精究推步兼通中西之學遇天色晴霽輒登屋卧䲭吻間仰察星象竟夕不寐盖亦覃思測騐之士梅文鼎勿菴厯算書記曰從來言交食只有食甚分數未及其邊惟王寅旭則以日月圓體分為三百六十度而論其食甚時所虧之邊凡㡬何度今為推演其法頗為精確又稱近代厯學以吴江為最識解在青州之上云云(案青州謂薛鳯)(祚鳯祚山東益都人為青州屬邑故也)其推挹錫闡甚至迨康熙中御製數理精藴亦多採錫闡之説葢其書雖疎密互見而其合者不可廢也書中於法有未備者每稍别見補遺然此本止扵六卷實無所謂補遺者意其有佚篇歟乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 原序
曉菴新法原序
炎帝八節厯之始也而其書不傳黄帝顓頊虞夏殷周魯七厯先儒謂其偽作今七厯具存大指與漢厯相似而章蔀氣朔未覩其真其為漢人所托無疑太初三統法雖疎違而創始之功不可冺也劉洪姜岌次第闡明何祖專力表圭益稱精切自此南北厯家率能好學深思多所推論皆非淺近所及唐厯大衍稍親然開元甲子當食不食一行乃為諛詞以自解何如因差以求合乎至宋而厯分兩途有儒家之厯有厯家之厯儒者不知厯數而援虛理以立說術士不知厯理而為定法以騐天天經地緯躔離違合之原概未有得也國初元統造大統厯因郭守敬遺法増損不及百一豈以守敬之術果能度越前人乎守敬治厯首重測日余嘗取其表景反覆布算前後牴牾餘所剏改多非宻率在當日已有失食失推之咎况乎遺籍散亡法意無徴兼之年逺數盈違天漸逺安可因循不變耶元氏藝不逮郭在廷諸臣又不逮元卒使昭代大典踵陋襲偽雖有李徳芳争之然徳芳不能推理而株守陳言無以相勝誠可嘆也近代端清世子鄭善夫邢雲鷺魏文奎皆有論述要亦不越守敬範圍至如陳壌摭拾九執之餘津冷逢震墨守元㑹之畸見又何足以言厯乎萬厯季年西人利氏來歸頗工厯算崇禎初命禮臣徐光啟譯其書有厯指為法原厯表為法數書百餘卷數年而成遂盛行於世言厯者莫不奉為爼豆吾謂西厯善矣然以為測候精詳可也以為深知法意未可也循其理而求通可也安其誤而不辨不可也姑舉其概二分者春秋平氣之中二正者日道南北之中也大統以平氣授人時以盈縮定日躔法非謬也西人既用定氣則分正為一因譏中厯節氣差至二日夫中厯嵗差數强盈縮過多惡得無差然二日之異乃分正殊科非不知日行之朓朒而致誤也厯指直以怫已而譏之不知法意一也諸家造厯必有積年日法多寡任意牽合由人守敬去積年而起自辛巳屏日法而斷以萬分識誠卓也西厯命日之時以二十四命時之分以六十通計一日為分一千四百四十是復用日法矣至於刻法彼所無也近始每時四分之為一日之刻九十六彼先求度而後日尚未覺其繁施之中厯則窒矣反謂中厯百刻不適於用何也且日食時差法之九十有六與日刻之九十六何與乎而援以為據不知法意二也天體渾淪初無度分可指昔人因一日日躔命為一度日有疾徐斷以平行數本順天不可損益西人去周天五度有竒斂為三百六十不過取便割圜豈真天道固然而黨同伐異必曰日度為非詎知三百六十尚非弦弧之㨗徑乎不知法意三也上古寘閏恒於嵗終蓋厯術疎闊計嵗以寘閏也中古法日趨宻始計月以置閏而閏於積終故舉中氣以定月而月無中氣者即為閏大統專用平氣置閏必得其月新法改用定氣致一月有兩中氣之時一嵗有兩可閏之月若辛丑西厯者不亦盭乎夫月無平中氣者乃為積餘之終無定中氣者非其月也不能虚衷深考而以鹵莾之習侈支離之學是以歸餘之後氣尚在晦季冬中氣已入仲冬首春中氣將歸臘杪不得已而退朔一日以塞人望亦見其技之窮矣不知法意四也天正日躔本起子半後因嵗差厯丑及寅若夫合神之説乃星命家猥言明理者所不道西人自命厯宗何至反為所惑而天正日躔定起丑初乎况十二次舎命名悉依星家如隨節氣遞遷雖子午不妨異地而𤣥枵鳥咮亦無定位耶不知法意五也嵗實消長昉於統天郭氏用之而未知所以當用元氏去之而未知所以當去西人知以日行髙卑求之而未知以二道逺近求之得其一而遺其一當辨者一也嵗差不齊必縁天運緩促今欲歸之偶差豈前此諸家皆妄作乎黄白異距生交行之進退黄赤異距生嵗差之屈伸其理一也厯指已明於月何蔽於日當辨者二也日躔盈縮最高斡運古今不同揆之臆見必有定數不唯日躔月星亦應同理但行遲差微非畢生嵗月所可測度西人每詡數千年傳人不乏何以亦無定論當辨者三也日月去人時分逺近眎徑因分大小則逺近大小宜為相似之比例西法日則逺近差多而眎徑差少月則逺近差少而眎徑差多因數求理難可相通當辨者四也日食變差機在交分(西厯名交角)日軌交分與月髙交分不同月髙交於本道與交於黄道者又不同厯指不詳其理厯表不著其數豈黄道一術足窮日食之變乎當辨者五也中限左右日月眎差時或一東一西交廣以南日月視差時或一南一北此為眎差異向與眎差同向者加減逈别厯指豈以非所常遇故寘不講耶萬一遇之則學者何從立算當辨者六也日光射物必有虛景虛景者光徑與實徑之所生也闇虛恒縮理不出此西人不知日有光徑僅以實徑求闇虛及至步推不符天騐復酌損徑分以希偶合當辨者七也月蝕定望唯食甚為然虧復四限距望有差日食稍離中限即食甚己非定朔至於虧復相去尤逺西厯乃言交食必在朔望不用朓朒次差(西厯)(名次均加減)過矣當辨者八也歲填熒惑以本天為全數日行規為嵗輪太白辰星以日行規為全數本天為嵗輪(厯指又名伏見輪)故測其遲速留退而知其去地逺近考於厯指數不盡合當辨者九也熒惑用日行髙卑變嵗輪大小理未悖也用自行髙卑變嵗輪大小則悖矣太白交周不過二百餘日辰星交周不過八十餘日厯指皆與嵗周相近法雖巧非也當辨者十也語云步厯甚難辨厯甚易蓋言象緯森羅得失無所遯也據彼所述亦未嘗自信無差五星經度或失二十餘分(西法一十二分)躔離表騐或失數分交食值此當失以刻計凌犯值此當失以日計矣故立法不久違錯頗多余於厯說已辨一二乃癸卯七月望食當既不既與夫失食失推者何異乎且譯書之初本言取西厯之材質歸大統之型範不謂盡墮成憲而專用西法如今日者也余故兼采中西去其疵纇叅以己意著厯法六篇㑹通若干事攷正若干事表明若干事增葺若干事立法若干事舊法雖舛而未可遽廢者兩存之理雖可知而非上下千年不得其數者闕之雖得其數而逺引古測未經目信者别見補遺而正文仍襲其故為日一百幾十有幾為文萬有千言非敢妄云窺其堂奥庶㡬初學之津梁也或曰子雲稱雒下為聖人識者非之嗣是名厯代興業愈精而差愈見徒供人之彈射子今法成而彈射者至矣曰培岡阜者易為髙浚溪谷者易為深夫厯二千年來差愈見而法愈宻非後人知勝於古也增修易善耳或者以吾法為標的則吾學明矣庸何傷昭陽單閼菊花開日曉菴氏自序朱氏彛尊明詩綜王錫闡字寅旭一字昭冥吳江人博綜羣書尤精厯象之學創新法候日月食較宻於前人撰有厯說厯法大統法啟蒙圜解三辰儀晷志等書為人耿介抜俗詩亦不沿時習
## 目録
欽定四庫全書曉菴新法目錄卷一勾股割圜變率通率卷二法數 (度法) (日法)黄道諸數 (天周緯) (歲差) (列宿距星黄道經)赤道辰次日躔諸數 (歲周) (厯周)月離諸數 (月周) (轉) (交)氣朔定名 (四孟節氣季中氣中氣 四 節氣) (四仲節氣望中氣 朔)(弦) (一氣三候)歲星諸數 (合) (轉) (交)熒惑諸數 (合) (轉) (交)填星諸數 (合) (轉) (交)太白諸數 (合) (轉) (交)辰星諸數 (合) (轉) (交)逺近中準視徑中準晨夕隠見 (昏明) (伏見中準)里差諸應 (厯元歲星) (黄道熒惑) (赤道填星) (日躔太白) (月離辰星)(里差)卷三氣朔 (氣候交平朔弦望月離 轉) (盈虛) (日躔入厯)五星 (平合) (交轉)通率 (日) (度) (平行分) (初末限)躔離定度 (朓肭熒次行準月離朓肭定差差歲填 惑後 五星朓肭次)(行定度)氣朔定日 (四正望) (定朔弦望) (五星定合退)内外緯度 (月離正交度黄道内外度) (月五星交定度星月離緯度 五)(緯度)經緯變度 (兩道差度有黄道緯求赤道緯距日定)躔離宿度 (黄道宿度黄道宿度) (赤道宿度) (赤道上)躔離辰次 (赤道) (黄道)九服里差命日 (大餘) (小餘)卷四晝夜永短 (赤道日周日出入分) (升降差昏明分) (晝夜分)五星逺近(補) (逺近定分)月星光體盈虧 (徑體準度分光體汜加分光體次加 光體定分)視徑 (日月徑分) (五星徑分) (闇虛)月星伏見 (赤道離日日周見伏見準度升降較 定伏)極交分卷五氣差視差 (午位黄赤道限黄道午中差度黄道中限 黄道中 髙 黄道髙 極交分)(分日月髙度極交分 三差) (月星髙交黄道)晨昏日月徑 (晨昏徑差) (晨昏徑分)月體光魄定向 (汜向) (次向) (定向)變差(附) (赤道) (黄道)卷六日食 (南北較差日食分秒) (東西較差初虧復明) (食甚定時環既内 金)(徑日食方位 變差) (帶食) (帶食方位) (月)月食 (食甚定時食月食分秒食初虧復明食既内 月 更㸃 月 方位 帶)(帶食方位)太白食日 (太白晨昏定徑食東西南北較差 中食定時 日淺深 日中)(黑子帶出入二限方太白食日方位 食 帶食 位)凌犯 (主客定緯) (次緯較次距時定距定行 分 差法) (平距定合)(隂陽厯淺順逆厯犯晨昏徑分食正合 掩食 深 凌 逺近 掩 初終)(二限轉凌犯初終二限位 時變差 重合) (掩食凌犯方有犯無合)(升降) (昏旦隠見)交㑹辰次 (赤道宿度) (黄道宿度) (辰次)
## 卷一
欽定四庫全書曉菴新法卷一吳江王錫闡撰勾股置四方形從兩隅斜分之損半為三邊之形形之兩邊從横相遇其隅中矩曰勾股横為勾從為股舊法短為勾長為股今不論短長但以從横為定斜行以兩端屬於勾股之端者曰弦此為勾股之弦與割圜法中全正較三弦異理勾股各為冪自因曰冪相從平方開之得弦數弦為冪勾股兩冪相從即弦冪以勾冪消弦冪為股冪即股自因數股冪消弦冪為勾冪即勾自因數各以平方開之得勾股之數假如勾數三股數四勾數自因得九為勾冪股數自因得一十六為股冪兩冪相從得二十五為弦冪平方開之得五為弦數餘倣此割圜置全圜四分之曰象限日度九十一度少強爻限九十六爻平限九十限六分之曰紀限日度六十一度弱爻限六十四爻平限六十限十分之曰專限日度三十六度半強爻限三十八爻四十策平限三十六限參分象限之一曰辰限日度三十度半弱爻限三十二爻平限三十限四分紀限之一曰氣限當辰限之半日度一十五度少弱爻限一十六爻平限一十五限參分專限之二曰髀限日度二十四度強爻限二十五爻六十策平限二十四限三百八十四分圜周之一曰爻限全周三百八十四爻其一爻當日度之九十五分有奇平限之九十三分太三百六十分圜周之一曰平限全周三百六十限其一限當日度之一度一分半弱爻限之一爻又三十分爻之二以歲周分圜周曰度限亦曰日度全周三百六十五度少弱其一度當爻限之一爻五策有奇平限之九十八分半強割圜周之一曰正弧即用弧隨所用大小不拘度分正弧與象限之較曰較弧置象限内減正弧得較弧弧之對邊與兩端屬於弧之兩端者曰全弦全弦之半為其半弧之正弦正弦亦曰正半弦既得正弦復置半弧為正弧正弦與半徑為勾弦求股為較弧之正弦亦為正弧之較弦較弦損半徑為矢矢與正弦為勾股得全弦置半徑内減較弦得矢矢為勾正弦為股勾股求弦得正弧全弦半之又為半弧之正弦用此法可以遞損半弧求其正弦圜之全徑為半周全弦二度半徑為象限正弦亦為紀限全弦一度自為勾股得象限全弦一度自因倍為實平方開之得一度四十一分四十二秒一十三㣲半強即象限全弦全徑為冪四分去一三度平方開之得倍紀全弦倍紀當日度之一百二十一度太弱爻限之一百二十八爻平限之一百二十限其全弦得一度七十三分二十秒五十微太強半之為紀限正弦八十六分六十秒二十五微半弱四分全徑之一為勾五十分半徑為股求弦去勾為專限全弦六十一分八十秒三十四㣲弱其冪與半徑之冪相從平方開之得倍專全弦倍專當日度之七十三度強爻限之七十六爻八十策平限之七十二限其全弦得一度一十七分五十五秒七十㣲半強半之為專限正弦五十八分七十七秒八十五㣲少強紀限專限正弦相損為股兩正弦數俱見上相損存二十七分八十二秒四十微弱較弦相損為勾紀限較弦五十分專限較弦八十分九十秒一十七㣲弱相損存三十分九十秒一十七㣲得髀限全弦勾股求弦得四十一分五十八秒二十三㣲半弱即髀限全弦有不齊之兩弧互以正弦因較弦相從為兩弧相益之正弦相消為兩弧相損之正弦倍正弦因較弦為倍弧之正弦各隨用弧大小不拘度分中分紀限全弦為辰限正弦五十分置辰限求全弦五十一分七十六秒三十八微強半之為氣限正弦二十五分八十八秒一十九微強以弦矢術遞損其半至四分爻限之一之正弦而止四分爻限之一得二十五策其正弦四十秒九十微半強以二十五為法分之為百分爻限之一之正弦百分爻限之一即一策其正弦一秒六十三微半強用兩弧損益之術得三百八十四爻及諸策之正弦又法置髀限以弦矢術遞損其半至二十分爻限之一(即五策)之正弦而止其數八秒一十八微強為實五策為法而一亦得百分爻限之一之正弦半徑因正弦為實較弦為法而一得外切圜分省曰切分半徑自因為實較弦為法而一得割圜界分省曰界分較弧損半其切分如正弧切分即正弧界分較弧損半其切分減正弧界分即正弧切分命半徑為一度諸率以半徑為法因之者可免因法以半徑為法而一者可免分法後俱從省當日度之五十八度有奇爻限之六十一爻有奇平限之五十七限少強其一分當日度之五十八分有奇爻限之六十一策有奇平限之五十七分少強徑一則圍三有奇圍三則徑一不足命全徑為二度得圍法六度二十八分三十二秒不足用分全周得本文諸數變率正弧過一象限者與半周相消設有正弧一百爻是為過一象限之弧與半周初減存九十二爻餘倣此過半周者内損半周設有正弧二百爻是為過半周之弧内減半周存八爻餘倣此至三象限已上者與全周相消設有正弧三百爻是為三象限已上之弧與全周相減存八十四限各以所存之弧代正弧求弦矢諸數割圜器表止一象限而全周之為象限者四故正弧過一象限已上者與全周半周相減以所存之弧求正較弦矢切分界分通率有日度求爻限者以爻限周因之如歲周而一爻限周三百八十四每度得一爻五策一十三分五十七秒少弱有爻限求平限者以平限周因之如爻限周而一平限三百六十每爻得空限九十三分七十五秒有平限求日度者以歲周因之如平限周而一每限得一度一分四十五秒六十一微半強若反求者以因法為分法分法為因法有日度求平限者以平限因之如歲周而一每度得空限九十八分五十六秒四十七微少強有平限求爻限者以爻限周因之如平限周而一每限得一爻六策又參分策之二有爻限求日度者以歲周因之如爻限周而一每爻得空度九十五分一十一秒五十一微半強自一度以上因陟而上分降而下自一度以下因降而下分陟而上假如一度以上者以三度因四度得一十二度故曰因陟而上以四度分三度得百分度之七十五故曰分降而下又如三度之冪得九度四度之冪得一十六度因陟而上也置九度平方開之得三度置一十六度平方開之得四度分降而下也餘倣此假如一度以下者以百分度之二十因百分度之一十得百分度之二故曰因降而下以百分度之一十分百分度之二十得二度故曰因陟而上又如百分度之五十其冪得百分度之二十五因降而下也置百分度之二十五平方開之得百分度之五十分陟而上也餘倣此曉菴新法卷一
## 卷二
欽定四庫全書曉菴新法卷二吳江王錫闡撰法數度法度法百分分秒㣲纎塵芒末遞以百為法爻法百策策法百分分秒以下俱倣此日法紀法六十日十干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十二支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥干支互配得六十故紀法六十日宿紀總法四百二十日又以二十八宿與十干十二支互配得四百二十故宿紀總法四百二十日日法百刻刻法百分分秒以下倣此時法八刻又參分刻之一黄道諸數天周周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九㣲三十二纎半周一百八十二度六十二分八十二秒七十九㣲六十六纎象限九十一度三十一分四十一秒三十九㣲八十三纎内外準内外準分三十九分九十一秒四十九纎内外準分古今消長不同别見補遺内外次準九十一分六十八秒八十六微歲差黄道歲差一分四十三秒七十三微二十六纎一策又九十分策之四十六歲差消長古今不同别見補遺列宿距星黄道經緯角一十度七十三分七十九秒一十一爻二十八策又九分策之八南二度一分二十三秒二爻一十一策又九分策之五亢一十度八十二分二十四秒一十一爻三十七策又九分策之七北三度一分一秒三爻一十六策又九分策之四氐一十八度一十六分一十四秒一十九爻九策又三分策之一北四十三分九十六秒四十六策又九分策之二房四度八十三分六十三秒五爻八策又九分策之四南五度四十六分一十九秒五爻七十四策又九分策之二心七度六十六分二秒八爻五策又三分策之一南三度九十七分三十八秒四爻一十七策又九分策之七尾一十五度八十二分七十八秒一十六爻六十四策南一十五度二十一分九十秒一十六爻箕九度四十六分九十六秒九爻九十五策又九分策之五南六度五十九分四十九秒六爻九十三策又三分策之一右東宫蒼龍七宿七十七度五十一分五十六秒南斗二十四度一十九分八十二秒二十五爻四十四策南三度八十八分九十三秒四爻八策又九分策之八牽牛七度七十九分五十五秒八爻一十九策又九分策之五北四度七十五分一十七秒四爻九十九策又九分策之五婺女一十一度八十二分二秒一十二爻四十二策又三分策之二北八度二十八分五十九秒八爻七十一策又九分策之一虚一十度一十二分九十一秒一十爻六十四策又九分策之八北八度八十二分七十秒九爻二十八策危二十度四十一分四秒二十一爻四十五策又九分策之七北一十度八十五分六十二秒一十一爻四十一策又三分策之一營室一十五度九十一分二十三秒一十六爻七十二策又九分策之八北一十九度七十一分七十一秒二十爻七十二策又九分策之八東壁一十一度六十八分四十八秒一十二爻二十八策又九分策之四北一十二度七十六分七十二秒一十三爻四十二策又九分策之二右北宫𤣥武七宿一百一度九十五分五秒奎一十三度四十二分六十六秒一十四爻一十一策又九分策之五北一十八度五分一十八爻九十八策又三分策之二婁一十三度一十八分九十八秒一十三爻八十六策又三分策之二北八度六十分七十二秒九爻四策又九分策之八胃一十三度二十分六十七秒一十三爻八十八策又九分策之四北一十一度四十三分一十二秒一十二爻一策又九分策之七昴八度六十分七十二秒九爻四策又九分策之八北四度五分八十四秒四爻二十六策又三分策之二畢一十五度一十一分七十六秒一十五爻八十九策又三分策之一南三度四分三十八秒三爻二十策觜觿一十一分八十四秒一十二策又九分策之四南一十三度八十六分六十三秒一十四爻五十七策又九分策之七參一十二度二分三十秒一十二爻六十四策南二十四度九十二分五十四秒二十六爻二十策又九分策之四右西宫白虎七宿七十五度六十八分九十三秒東井三十度八十六分八秒三十二爻又四十五分爻之二十南八十九分六十二秒九十四策又九分策之二輿鬼四度六十六分七十二秒四爻九十策又三分策之二南八十一分一十七秒八十五策又三分策之一柳一十七度二十四分八十二秒一十八爻一十三策又三分策之一南一十二度六十三分一十八秒一十三爻二十八策七星八度五十分五十七秒八爻九十四策又九分策之二南二十三度七十二分七十一秒二十三爻八十九策又三分策之一張一十八度三十三分五秒一十九爻二十七策又九分策之一南二十六度五十八分二十六秒二十七爻九十四策又三分策之二翼一十七度二十四分八十二秒一十八爻一十三策又三分策之一南二十三度一分四十六秒二十四爻一十九策又九分策之五軫一十三度二十四分五秒一十三爻九十二策南一十四度六十二分七十三秒一十五爻三十七策又九分策之七右南宫朱鳥七宿一百一十度一十分一十一秒赤道辰次附子元枵之次亥娵訾之次戌降婁之次酉大梁之次申實沈之次未鶉首之次午鶉火之次已鶉尾之次辰壽星之次卯大火之次寅析木之次丑星紀之次日躔諸數歲周歲周三百六十五日二十四刻二十一分八十六秒六㣲歲周消長古今不同别見補遺半周一百八十二日六十二刻一十分九十三秒三㣲象限九十一日三十一刻五分四十六秒五十一㣲五十纎氣策一十五日二十一刻八十四分二十四秒四十二㣲候策五日七刻二十八分八秒一十四㣲土王策三日四刻三十六分八十四秒八十八㣲四十纎盈策一日一刻四十五分六十一秒六十二微七十九纎四十四塵距至爻法一爻五策一十三分五十七秒一十九微諸率俱隨歲周消長古今不同别見補遺厯周厯周三百六十五日二十五刻四十八分六十八秒八微厯周消長古今不同别見補遺半周一百八十二日六十二刻七十四分三十四秒四㣲象限九十一日三十一刻三十七分一十七秒二㣲厯周歲差一策又三分策之一入厯爻法一爻五策一十三分二十二秒四十七微諸率俱隨厯周消長古今不同别見補遺朓肭準度三度亦名盈縮準度準分八十九秒六十㣲古今消長不同别見補遺月離諸數月周月周二十九日五十三刻五分九十一秒九十七㣲日躔平行三十一爻四策七十二分望策一十四日七十六刻五十二分九十五秒九十八㣲五十纎弦策七日三十八刻一十六分四十七秒九十九微二十五纎虚策九十八刻四十三分五十三秒六㣲五十六纎六十七塵通閏一十日八十七刻五十分八十二秒四十二㣲月行爻法一十四爻五策四十八分二十一秒五十㣲距朔爻法一十三爻三十四分六十四秒通閏法一十一爻四十三策五十九分六十一秒朓肭外準一分三十一秒二十㣲亦名遲疾外準轉轉周二十七日五十五刻四十六分一十三秒七十七㣲半周一十三日七十七刻七十三分六秒八十八㣲五十纎轉終差一日九十七刻五十九分七十八秒二十㣲轉半差九十八刻七十九分八十九秒一十㣲入轉爻法一十三爻九十三策五十九分六十秒轉差法二十七爻五十三策七十一分五十三秒半差法一十三爻七十六策八十五分七十六秒五十㣲朓朒準度五度五十九分亦名遲疾準度用新法會通崇禎厯書得朓朒準度二度準分一分三十二秒三㣲用新法會通崇禎厯書得朓朒準分二分九十秒交交周二十七日二十一刻二十二分二十二秒三㣲半周一十三日六十刻六十一分一十一秒一㣲五十纎交終差二日三十一刻八十三分六十九秒九十四㣲入交爻法一十四爻一十一策一十三分六秒交差法三十二爻七十一策五十二分二十八秒交緯準分八分六十七秒二十五㣲中緯準分八分九十四秒七十㣲交行朓朒準分三分六秒八十㣲亦名交行屈伸準分氣朔定名四孟節氣正月立春四月立夏七月立秋十月立冬四孟中氣正月雨水四月小滿七月處暑十月小雪四仲節氣二月驚蟄五月芒種八月白露十一月大雪四仲中氣二月春分五月夏至八月秋分十一月冬至四季節氣三月清明六月小暑九月寒露十二月小寒四季中氣三月穀雨六月大暑九月霜降十二月大寒朔望弦日月相會為朔月離日一象限為上弦日月相衝為望月離日三象限為下弦正月建寅律中太蔟二月建卯律中夾鍾三月建辰律中姑洗四月建巳律中仲呂五月建午律中蕤賔六月建未律中林鍾七月建申律中夷則八月建酉律中南呂九月建戌律中無射十月建亥律中應鍾十一月建子律中黄鍾十二月建丑律中大吕一氣三候不及候策為初候一候策以上為中候二候策以上為末候歲星諸數合合周三百九十八日八十八刻三十一分七十九秒日躔平行三十五爻三十六策八十七分合中一百九十九日四十四刻一十五分八十九秒五十㣲合周歲差三百五十一爻六十一策四十二分二十六秒平行爻法八策八十六分六十九秒三十一㣲距合爻法九十六策二十六分八十七秒八十八㣲朓朒中準一十九分二十九秒四十八㣲亦名遲疾中準用新法會通崇禎厯書其歲星朓朒中準即為後準轉轉周四千三百三十三日三十七刻九分六十九秒轉中二千一百六十六日六十八刻五十四分八十四秒五十㣲轉象限一千八十三日三十四刻二十七分四十二秒二十五㣲入轉歲差一策九十九分七十九秒四十三㣲入轉爻法八策八十六分一十四秒六十一㣲轉差法三十五爻三十四策六十八分七十九秒一十㣲朓朒準度三度亦名盈縮準度準分二分三十八秒五十㣲交交周四千三百三十一日二十四刻七十八分一十七秒交中二千一百六十五日六十二刻三十九分八秒五十㣲入交周歲差四十一分一十三秒三十九微入交爻法八策八十六分五十八秒五㣲交差法三十五爻三十六策四十二分六秒一十六㣲中緯準分二分五十二秒八十㣲熒惑諸數合合周七百七十九日九十三刻五十一分二十八秒日躔平行五十一爻九十九策三分八秒合中三百八十九日九十六刻七十五分六十四秒合周歲差一百七十九爻八十二策六十四分九十四秒平行爻法五十五策九十分八秒五十五㣲距合爻法四十九策二十三分四十八秒六十四㣲朓朒中準六十五分四十九秒五十㣲亦名遲疾中準用新法會通崇禎厯書得外準一度一十分轉轉周六百八十七日五十二分八十四秒轉中三百四十三日五十刻二十六分四十二秒轉象限一百七十一日七十五刻一十三分二十一秒入轉歲差二策二十二分三十七秒四十四㣲入轉爻法五十五策八十九分四十七秒六十七㣲轉差法四十五爻六十六策二十一分八十秒三十㣲朓朒準度三度亦名盈縮準度用新法會通崇禎厯書得四度準分四分六十三秒七十五㣲用新法會通崇禎厯書得三分七十一秒交交周六百八十六日九十八刻三十二分六十八秒交中三百四十三日四十九刻一十六分三十四秒入交歲差一策五十六分九十五秒入交爻法五十五策八十九分六十五秒五十八㣲交差法四十五爻六十六策三十五分七十七秒三十六㣲中緯準分三分一十九秒九十㣲填星諸數合合周三百七十八日九刻二十二分八十四秒日躔平行一十三爻五十一策四十三秒合中一百八十九日四刻六十一分四十二秒合周歲差三百七十爻九十四策九十一分一十七秒平行爻法三策五十七分三十二秒一十二㣲距合爻法一爻一策五十六分二十五秒六㣲朓朒中準一十分四十二秒八十㣲亦名遲疾中準用新法會通崇禎厯書其填星朓朒中準即為後準轉轉周一萬七百六十七日五十六分八十五秒轉中五千三百八十三日五十刻二十八分四十二秒五十㣲轉象限二千六百九十一日七十五刻一十四分二十秒二十五㣲入轉歲差二策四十六分九十三秒四十㣲入轉爻法三策五十六分六十四秒五十一㣲轉差法一十三爻四十八策四十四分七十六秒六十六㣲朓朒準度三度亦名盈縮準度準分二分九十秒七十㣲交交周一萬七百五十六日八十六刻九分一秒交中五千三百七十八日四十三刻四分五十秒五十㣲入交歲差一策二十四分八秒四十五㣲入交爻法三策五十六分九十八秒一十五㣲交差法一十三爻四十九策七十一分九十三秒八十四㣲中緯準分四分三十九秒太白諸數合合周五百八十三日九十一刻九十九分一十二秒日躔平行二百二十九爻九十策八十三分九十九秒合中二百九十一日九十五刻九十九分五十六秒合周歲差二百四十爻一十九策二十一分八十四秒距合爻法六十五策七十六分二十四秒四十三㣲朓朒後準七十二分二十四秒八十五㣲亦名遲疾後準轉轉周三百六十五日二十六刻五十五分七十秒轉中一百八十二日六十三刻二十七分八十五秒轉象限九十一日三十一刻六十三分九十二秒五十㣲入轉歲差二策四十五分八十一秒五十三㣲入轉爻法一爻五策一十二分八十九秒八十九㣲轉差法二百二十九爻八十六策九十分九十八秒九十㣲朓朒準度三度亦名盈縮準度準分八十秒二十㣲交交周二百二十四日七十刻四十分六十八秒四十二㣲交中一百一十二日三十五刻二十分三十四秒二十一㣲入交歲差二百四十爻一十六策七十六分二秒入交爻法一爻七十策八十九分一十四秒三十二㣲交差法與轉差法同中緯準分四分三十九秒辰星諸數合合周一百一十五日八十七刻七十二分二十四秒日躔平行一百二十一爻八十二策八十四分五十八秒合中五十七日九十三刻八十六分一十二秒合周歲差五十八爻三十五策八十六分四十秒距合爻法三爻三十一策三十八分五十二秒二十五㣲朓朒後準三十八分五十秒亦名遲疾後準轉轉周三百六十五日二十七刻一十九分五十五秒轉中一百八十二日六十三刻五十九分七十七秒五十㣲轉象限九十一日三十一刻七十九分八十八秒七十五㣲入轉歲差三策一十二分七十二秒六十六㣲入轉爻法一爻五策一十二分七十一秒五十七㣲轉差法一百二十一爻八十一策八十四分四十秒九十㣲朓朒準度五度亦名盈縮準度準分一分一十三秒七十㣲交交周八十七日九十七刻一十三秒一十一㣲交中四十三日九十八刻五十分六秒五十五㣲五十纎入交歲差五十八爻三十二策七十三分六十八秒入交爻法四爻三十六策五十一分二十三秒八十二㣲交差法與轉差同中緯準分三分八十一秒一十㣲逺近中準日太白辰一千一百四十二度月五十六度七十二分歲五千九百一十八度六十九分熒惑一千七百四十三度六十四分填一萬九百五十三度三十九分視徑中準日中準八十八秒六十八㣲用新法會通崇禎厯書得八十八秒七十五㣲又得徑差準分八十二秒八十八㣲光徑準度一十二度四十分月中準九十三秒七㣲用新法會通崇禎厯書得九十四秒七十四㣲又得徑差準分二分一秒五十七㣲五星歲八秒熒惑四秒六十九㣲填五秒三十一㣲太白九秒四十五㣲辰六秒五十二㣲晨夕隠見昏明昏明準分三十九分十秒一十七㣲伏見中準月一十七分八十八秒四十㣲用新法㑹通崇禎厯書得一十七分三十六秒五十㣲歲星辰星數同歲一十八分三十三秒用新法會通大統厯得二十分四十九秒熒惑二十二分四十三秒四十㣲用新法會通大統厯得三十二分一十秒崇禎厯書得一十九分九十三秒七十㣲填二十分二十六秒用新法㑹通大統厯得三十分四十七秒崇禎厯書得一十九分八秒一十㣲太白八分八十五秒八十㣲用新法㑹通大統厯得一十七分九十七秒崇禎厯書得八分七十一秒六十㣲辰二十分三十七秒八十㣲用新法㑹通大統厯得夕見晨伏二十八分七十六秒夕伏晨見三十二分一十秒里差北極髙下全差二萬二千五百里東西差準九百里諸應厯元崇禎元年著雍執徐為厯元十干甲曰閼逢乙曰旃蒙丙曰柔兆丁曰強圉戊曰著雍已曰屠維庚曰上章辛曰重光壬曰元黓癸曰昭陽十二支子曰困敦丑曰赤奮若寅曰攝提格卯曰單閼辰曰執徐已曰大荒落午曰敦牂未曰協洽申曰涒灘酉曰作噩戌曰閹茂亥曰大淵獻南京應天為里差之元黄道宿應箕四度三十四分六十秒箕宿四爻五十六策九十一分赤道辰應三百一十度四十八分六十八秒三百二十六爻三十三策二十五分日躔氣應三百七十四日一十刻二十分七十八秒其甲子一十四日一十刻二十分七十八秒厯應三百五十九日一十六刻七十五分一十七秒三百七十七爻六十策三分厯周限六爻三十九策九十七分月離閏應一十三日九十四刻九十七分六十七秒月平行一百八十一爻三十九策五十三分轉應一日六刻七十一分三十秒一十四爻八十七策一十五分轉周限一百六十六爻四十五策二十九分交應一十日五十二刻五十三分四十四秒一百四十八爻五十二策六十三分正交限三十二爻七十九策八十一分用大統厯法㑹通崇禎厯書得交應一十日五十五刻六十一分二十一秒歲星合應一十二日四十一刻九十九分一十一爻九十五策六十五分歲星平行三百七十二爻四策三十五分轉應三千七日五十刻五十九分二百六十六爻五十策九十分轉初限一百五爻五十三策四十五分交應四千一百一十日六十八刻六十一分三百六十四爻四十四策五十四分正交限七爻五十九策八十一分熒惑合應四百四十五日六十八刻八十八分二百一十九爻八十三策五十四分熒惑平行一百六十四爻一十六策四十六分轉應一百八十日八十七刻九十六分一百一爻一十策二十二分轉初限六十三爻六策二十四分交應三百七十五日八十刻九十八分二百一十爻七策五十九分正交限三百三十八爻八策八十七分填星合應九十六日五十一刻七十二分九十八爻二策五十三分填星平行二百八十五爻九十七策四十七分轉應二千七百一十九日二十八刻三分九十六爻九十八策一十八分轉初限一百八十八爻九十九策二十九分交應七千三百九十三日七十一刻一分二百六十三爻九十四策一十八分正交限二十二爻三策二十九分太白合應一十三日九十四刻四十五分九爻一十七策二分轉應三百六十五日三百八十七爻七十一策八分轉初限二十八策九十二分交應一十五日一十八刻九十六分二十八秒二十五爻九十五策七十七分七十三秒正交限三百五十八爻四策二十二分二十八秒辰星合應三十七日七十刻一十九分一百二十四爻九十三策八十五分轉應二百一十一日三十二刻八分二百二十二爻一十五策五十五分轉初限一百六十一爻八十四策四十五分交應三十五日五十三刻四十一分四十五秒一百五十五爻一十一策九分四十二秒正交限二百二十八爻八十八策九十分五十八秒里差北極應三十二度四十分(在應天實測)三十四爻六策曉菴新法卷二
## 卷三
欽定四庫全書曉菴新法卷三吳江王錫闡撰氣朔氣候置歲周以距元積年因之為中積加氣應曰通積足宿紀總法累去之得天正冬至大小餘分日曰大餘刻分曰小餘遞加候策足宿紀總法去之凡以甲子命日俱倣此得各氣候日分天正冬至大小餘分即為冬至初候日分加一候策為冬至中候日分加兩候策為冬至末候日分加三候策得小寒氣日分即為小寒初候日分餘倣此以土王策損四季中氣不及損者加宿紀總法損之凡以甲子命日者俱倣此得土王用事日分上考者以氣應減中積為通積足宿紀總法累去之餘仍與宿紀總法相減得天正冬至大小餘分平朔弦望置中積加閏應曰閏積足月周累去之得天正閏餘日分用損冬至得天正平朔大小餘分置天正閏餘加通閏即次年天正閏餘遞加弦策得各月平朔弦望日分上考者以閏應損中積為閏積足月周累去之餘仍與月周相減得天正閏餘日分盈虛置各候以盈策遞加之得各日氣目刻分其無目之日曰盈日大統厯以無氣目之次日為盈日置平朔弦望以虚策累加之得各日閏目刻分其重目之日曰虚日大統厯以兩目之次日為虚日日躔入厯置中積加厯應足厯周累去之得天正冬至入厯日分半周已下為朓厯已上内減半周餘為朒厯月五星入轉倣此遞加候策得各氣候入厯日分加足全周去之凡足全周者俱倣此以閏餘損天正冬至入厯不及損者加厯周損之凡周率不及損者俱倣此即天正平朔入厯日分遞加弦策得各月平朔弦望入厯日分上考者以厯應損中積足厯周累去之餘仍與厯周相減得天正冬至入厯日分月離交轉置中積加轉應損閏餘曰轉積足轉周累去之得天正平朔入轉日分遞加弦策得各月平朔弦望入轉日分置平朔弦望入轉加轉終差得次月平朔弦望入厯日分置平朔入轉加轉半差朓改朒朒改朓得平望入轉日分以望求朔及兩弦互求者俱倣此上考者置中積損轉應加閏餘曰轉積足轉周累去之餘仍與轉周相減得天正平朔入轉日分置中積加交應損閏餘曰交積足交周累去之得天正平朔入交日分遞加望策得各月平朔望入交日分置平朔望入交加交終差得次月平朔望入交日分上考者置中積損交應加閏餘曰交積足交周累去之餘仍與交周相減得天正平朔入轉日分五星平合置中積加合應足合周累去之得天正冬至前合日分周減合周即後合日分以前合減冬至得至前平合日分後合加冬至得至後平合日分置平合加半周歲填熒惑為退望日分太白辰星為退合日分上考者以合應損中積足合周累去之餘即後合日分與合周相減得前合日分交轉置中積加轉應為五星轉積足各星轉周累去之得天正冬至各星入轉日分内減前合為至前平合加後合為至後平合各入轉日分上考者置中積損各星轉應為轉積足各星轉周累去之餘仍與轉周相減得天正冬至各星入轉日分置中積加交應為五星交積足各星交周累去之得天正冬至各星入交日分内減前合為至前平合加後合為至後平合各入交日分上考者置中積損各星交應為交積足各星交周累去之餘仍與交周相減後天正冬至各星入交日分置平合交轉加合中為歲填熒惑退望太白辰星退合各入轉及入交日分辰周累加合周得次合交轉日分通率日置用時以天正冬至減之為距至日分凡隨用一日時通曰用時以平朔平合減用時為距朔距合日分熒惑太白距合過宿紀總法者以平合減用時加宿紀總法為距合日分置距朔距合以朔合入厯及交轉加之為用時入厯及交轉日分度置距至命日為度即為距至度分求爻策者以爻限周因之如歲周而一為距至爻策捷法置距至度分以爻法因之得距至爻策置距朔距合及入厯交轉日分以歲周因之如各周而一得各度分求爻策者以爻限周因之如各周而一得各爻策捷徑法置距合距朔及入厯交轉日分各以其爻法因之得各爻策以距元積年因厯周歲差為厯周差積損厯應爻策為所求天正冬至入厯爻策加厯元厯周限為所求天正冬至厯周限爻策以距元積年因通閏爻法足爻限周累去之為通餘爻策加厯元月平行得所求天正冬至月平行爻策置歲周足月離轉周累去之餘因入轉爻法為通轉法與距元積年相因累減爻限全周為轉餘爻策加轉應爻策得所求天正冬至月離入轉爻策用減月平行得所求天正冬至月離轉初限置歲周内減月離交周十三次餘因入求爻法曰通交法與距元積年相因足爻限周累去之為交餘爻策加交應爻策得所求天正冬至月離入交爻策用減月平行得所求天正冬至月離正爻限置平朔距至爻策加月周日躔平行爻策得次朔距至爻策強望倣此置平朔弦望月離入轉爻策加轉差法得次朔弦望入轉爻策以轉半差法加平朔入轉爻策疾改遲遲改疾得平望入轉爻策有望求朔及兩弦互求者俱倣此置平朔望月離入交爻策加交差法得次朔望入交爻策五星各置其合周歲差以距元積年因之累去爻限周為合周差餘各加合應爻策得所求天正冬至五星距合爻策歲填熒惑各以天正冬至距合爻策反減爻限周得所求天正冬至平行爻策以距元積年因五星入轉歲差為轉歲差積加厯元轉初限得所求天正冬至五星轉初限爻策歲填熒惑以減所得天正冬至平行爻策太白辰星反減爻限周各得所求天正冬至入轉爻策歲填熒惑以距元積年因入交歲差為交歲差積加厯元正交限得所求天正冬至正交限爻策以減所得天正冬至平行爻策得所求天正冬至入交爻策太白辰星以距元積年因入交歲差足爻限周累去之為交差餘加交應爻策得所求天正冬至入交爻策用減爻限周得所求天正冬至正交限爻策置五星平合距至爻策加合周日躔平行得次周平合距至爻策置五星平合入轉爻策以轉差法加之入交爻策以交差法加之得次周平合入轉及入交各爻策日太白辰星以距至度為平行經度月以距朔度益距至度為平行經度歲填熒惑以距合度損距至度為平行經度爻策倣此又法月行爻法五星平行爻法因距至日分加天正冬至月五星平行爻策各得用時月五星平行爻策月距朔五星距合各爻法因距至日分加天正冬至距朔距合爻策得用時月距朔五星距合各爻策日躔入厯月五星入轉入交各爻法因距至日分加天正冬至入厯入轉入交爻策得用時日躔入厯月五星入轉入交各爻策月置平行經度損入交度為平交度五星置各平行經度損入交度為正交度爻策倣此平行分置歲周如月周及五星合周而一各為平離分用爻限者即距朔及距合爻法日太白辰星皆以一度為平行分月平離與一度相從歲填熒惑平離與一度相消各為平行用爻限者日太白辰星即距至爻法月歲填熒惑即平行爻法初末限日躔入厯月星入轉度在半周以下為朓以上去半周餘為朒爻視朓朒度不及象限者曰初限過象限者反減半周餘曰末限躔離定度朓朒差倍朓朒初末限辰星三倍之申其正弦為勾較弦加減朓朒準度為股倍度過象限者加不及者減辰星朒初朓末反是勾股求弦為初法法分勾為正弦得加減差日月歲填熒惑太白皆曰加差辰星朓初朒末下及紀限曰加差過紀限曰減差朒初朓末反是捷法置勾如股而一為切分得加減差申其界分因股得初法初法因朓朒準分為定用加減差加減初末限為定限定限正弦因定用為勾較弦因定用加減一度為股朓初朒末減朒初朓末加勾股求弦為逺近初分置勾如初分而一為正弦得朓朒差捷法置勾如股而一為切分得朒朓差申其界分因股得逺近初分次行置平行徑度以朓朒差朓益朒損之為次行月歲熒惑填各以次行與日躔次行相減為離度月倍之曰倍離太白辰星置距合度以朓朒差朓損朒益之為離度月倍離在半周以下為朓以上内減半周餘為朒五星離度倣是朓朒不及象限為初限過象限者反減半周餘為末限月離朓朒定差朓朒外準加定用曰次準倍離初末限正弦因外準為勾較弦因外準損益次準為股朓初朒末損朒初朓末益勾股求弦為後準置勾如後準而一為正弦得朓朒次差捷法置勾如股而一為切分得朓朒次差申其界分因股得後準以朓朒次差朓加朒減入轉度曰次轉又有加差加減之入轉度在初限者加末限者減仍依入轉度法求朓朒初末限申其正弦因後準為勾較弦因後準損益一度為股朒初朓末益朓初朒末損勾股求弦為逺近定分置勾如定分而一為正弦得朓朒定差捷法置勾如股而一為切分得朓朒定差申其界分曰股得逺近定分歲填熒惑後準以用時日躔入歴求其逺近分因三星朓朒中準為後準用新法會通崇禎厯書歲填即以中準為後準熒惑以用時日躔入厯求其逺近分與一度相減餘因朓朒中準曰日躔差次以熒惑入轉度準日躔入厯度中日躔逺近分與一度相減餘因熒惑朓朒中準又以外準因之曰入轉差以所得兩差視逺近分過一度者加不及者減各加減於中準為後準五星朓朒次差離度朓朒初末限正弦因後準為勾較弦因後準損益逺近初分為股朓初朒末益朒初朓末損勾股求弦為逺近次分置勾如次分而一為正弦得朓朒次差㨗法置勾如股而一為切分得朓朒次差申準界分因股得逺近次分行定度日躔即以次行為行定度月離以朓朒定差朓加朒減其平行經度為行定度五星各以朓朒次差朓加朒減其次行為行定度五星次日行定度凡言次日上日者皆以子正為限等於上日者為留差在日度一分以下者俱為留段少於上日者為退月日五星各以次日行定度與上日行定度相較為定行分月日五星定行與日躔定行進相消退相從各為離日定行分氣朔定日四正置四仲中氣日躔朓朒差如定行而一得日差朓損朒益四仲中氣日分得四正日分定朔弦望置平朔弦望日月朓朒差同名相從日朓月朒同名為加月朓日朒同名為減異名相消日朓多應加月朓多應減日朒多應減月朒多應加為實月平離為法而一得加減汎差用以加減平朔弦望為前汎時置前汎時覆求加減次差復以加減平朔弦望為後汎時覆求加減後差與次差相減餘自因為實汎差次差相減餘為法而一得數損益其加減後差次差多於汎差者益少者損為加減定差以加減定差加減於平朔弦望得定朔弦望日分前後兩朔於同者前月大盡異者前月小盡兩朔間無中氣者為閏月五星定合退望五星行定度與日躔行定度相減逐日逐時細求之無餘分者即為定合餘半周者為退定望若未合者置其較分如離日定行而一得數加減用時為定合退望日分星行定度多者加日行定度多者減太白辰星順合反此歲填熒惑合前為夕合後為晨望前為晨望後為夕太白辰星順合前為晨合後為夕退合前為夕合後為晨内外緯度月離正交度月倍離初末限正弦因交周朓朒準分為勾較弦因交周朓朒準分損益一度為股朓初朒末損朒初朓末益勾股求弦為緯差法法分勾為正弦得行朓朒差倍離在朓限者交行為朒差倍離在朒限者交行為朓差亦曰屈申差朓差為申朒差為屈捷法置勾如股而一為切分得交行朓朒差申其界分因股得緯差法朓益朒損平交度為正交度月五星交定度月以正交損行定度為交定度五星以正交度損次行為交定度交定不及半周者為正交後其緯距南曰陽厯過半周者去半周餘為中交後其緯距北曰隂厯正交後過象限者反減半周餘為中交前中交後過象限者反減半周餘為正交前黄道内外度黄道距至度半周以下為冬至後以上去半周為夏至後冬至後過象限者反減半周為夏至前夏至後過象限者反減半周為冬至前後但以割圜變率求之亦可較弦因内外準分為正弦得内外度春正限後行赤道北為内秋正限後行赤道南為外春正後即夏至前後秋正後即冬至前後月離緯度月在朔望者以交緯準分因交定正弦為正弦得弦望月緯度不在朔望者以緯差法因中緯準分為緯大限正弦又以交定正弦因之為正弦得月緯度五星緯度五星逺近初分與逺近次分相減餘因中緯準分如次分而一得差較損益中緯準分為各星緯大限正弦逺近初分多者益逺近次分多者損又以交定正弦因之為正弦得各星緯度經緯變度兩道差置黄道度正弦如内外度較弦而一為正弦得赤道經度兩日日躔赤道經度相較餘為日躔赤道定行分月星置交定較弦如緯度較弦而一為較弦得黄道距交度正交前者與正交度相消正交後者與正交度相從中交前者以半周益正交度相消中交後者以半周益正交度相從各得月星黄道經度兩日黄道經度相較為黄道定行分與日躔定行進相消退相從為黄道離日定行分兩道經度相減餘為兩道朓朒差黄道強為朒赤道強為朓月星以本道強為朒黄道強為朓有黄道經緯求赤道經緯内外準分因緯度較弦為先數内外次準因緯度正弦為次數黄道經度較弦因先數為後數月星在黄道外者以後數從次數在赤道外者以後數消次數在兩道間者以次數消後數各為正弦得月星赤道内外度亦曰赤道緯度春正限後月星在黄道北為黄道外赤道南為赤道外秋正限後月星在黄道南為黄道外赤道北為赤道外與末所得月星赤道内外度外為南内為北者不同黄道緯度較弦因黄道經度正弦如赤道較弦而一為正弦得赤道經度兩日月星赤道經度相較為月星赤道定行分與日躔赤道定行進相消退相從為月星赤道離日定行分距日定度月星黄道經度與日躔行定度相較為黄道距日度申其較弦因黄道緯度較弦為較弦得月星距日定度躔離宿度黄道宿度置歲差以距元積年因之用減黄道宿應如不及減者累加前宿減之得天正冬至日躔黄道宿度分與本宿全度相減餘為次宿距星黄道經度如冬至日躔在箕宿其減餘即為斗宿距星黄道經度也遞加列宿分度各得次宿距星黄道經度亦曰黄道宿積如加斗牛兩宿分度即得女宿距星黄道經度之類置七政黄道經度以近少黄道宿積減之得躔離黄道宿度赤道宿度置各宿距星黄道經度及南北緯度依前章求赤道經緯法得各宿距星赤道内外度及經度其經度亦曰赤道宿積置列宿距星赤道經度各減前宿距星赤道經度不及減者加全周減之後倣此得赤道列宿度分如置牛宿距星赤道經度以斗宿距星赤道經度減之餘即斗宿赤道度分列宿俱倣此置七政赤道經度以近少赤道宿積減之得躔離赤道宿度赤道上黄道宿度置赤道宿積較弦以内外次準分之又如正弦而一為勾一度為股勾股求弦弦分勾為較弦得赤道上黄道宿積㨗法置赤道宿積較弧切分如内外次準而一為較弧切分得赤道上黄道宿積與次宿相減得本宿度分置七政赤道經度依上法得赤道上黄道積度以近少赤道上黄道宿積減之得躔離宿度密法以歲周因各宿距星黄道經緯度如黄道天周而一依前章求赤道經緯及本章求赤道上黄道法得數復以天周因之如歲周而一為各宿赤道内外度經度及赤道上黄道宿積如以爻策求之者不用此法但以得數之後以天周因爻策如爻限周而一為度分上考者以距元積年因歲差加宿應足本宿度分遞去之餘為次宿度分即所求天正冬至日躔黄道宿度分躔離辰次赤道積年因歲差以損辰應與全周相減辰應不及損者反損之不與全周相減得元枵中限赤道積度加氣限得娵訾初限積度遞加辰限得以次各辰初限積度各辰初限即各宫界置各辰初限積度以近少赤道宿積減之得各辰宫界入赤道宿次度分密法以初限積度因天周如歲周而一為宫界定積以近少赤道宿積減之得宫界入宿次度分有爻策求度分者以天周因爻策如爻限周而一得度分章内多同七政赤道經度與初限積度等者密法亦用宫界定積即以用時為交宫刻分若未合者相減餘如七政赤道定行而一為刻分損益用時宫界定積多者益七政經度多者損五星退行者反是為交宫刻分黄道置各辰初限赤道積度求得赤道上黄道即各辰黄道經界積度密法亦以天周因之如歲周而一為黄道宫界定積以近少赤道上黄道宿積減之得各辰宫界入黄道宿度依赤道法得七政黄道交宫日分上考者積年因歲差加辰應與全周相減得𤣥枵中限赤道積度九服里差南北里差置南北距元里數如髙下全差而一又以象限因之南減北加於北極應得各方北極髙東西里差北極髙較弦因東西差準為東西差法置東西距元里數如差法而一得東西里差刻分東益西損於氣應得各方氣應命日大餘置大餘命虚甲子算外得宿紀干支如初日為虚甲子一日為危乙丑六十日為奎甲子一百二十日為畢甲子一百八十日為鬼甲子二百四十日為翼甲子三百日為氐甲子三百六十日為箕甲子四百一十九日為女癸亥至四百二十日去宿紀總法仍為虛甲子餘倣此㨗法置大餘足紀法去之餘命甲子算外得日辰干支小餘置時法損半為定時用數得四刻又六分刻之一置小餘如定時用數而一命子正算外得各初正時未及定時用數為子正得一為丑初得二為丑正三為寅初四為寅正至二十三為夜子初各算外餘倣此餘不及用數者命初刻算外得各刻分如定時得二為丑正又餘一刻即為丑正一刻若不及一刻即為丑正初刻某分秒他時及刻分皆倣此曉菴新法卷三
## 卷四
欽定四庫全書曉菴新法卷四吳江王錫闡撰晝夜永短赤道日周置全周加一日日躔赤道定行為赤道日周升降差内外度及北極髙兩正弦相因為實兩較弦相因為法而一為正弦得升降差㨗法内外度及北極髙兩切分相因為正弦得升降差凡求日月星升降差皆同法晝夜分置日躔升降差倍之如天周而一為晝夜差刻分損益五十刻為晝刻分春正後益秋正後損與百刻相減為夜刻分日出入分夜刻損半為日出前汎時加晝刻為日入前汎時置前汎時真刻分凡所得日出入時皆定刻分須借後篇氣差反損益之得真刻分下倣此覆求日出入次汎時兩汎時齊分者即以次汎時為定時若未合者又置次汎時真刻分求日出入後汎時次後兩汎時之較自因如前次兩汎時之較而一曰較差損益後汎時定刻分為日出定時次汎時在前汎時以上為益以下為損置日入定時内損本日日出定時為晝定刻分以日入定時減次日日出定時為夜定刻分昏明分置日出入定時真刻分進退四刻為昏明前汎時日出退日入進下皆倣此求其日躔赤道内外度益北極髙為外較如在一象限以上者與半周相減餘為外較後倣此損北極髙為内較兩申其較弦相從損半為先數以昏明準分損外較或内較較弦日在赤道南損内較赤道北損外較不及損者其日入後至日出前皆為朦朧分為次數如先數而一為矢得距中度次數大於先數者倍先數内減次數餘如先數而一為矢所得距中度過一象限先有弦矢而所得弧度當過一象限者以弧矢入割圜表申其弧度與半周相消即得所求弧度凡言所得弧度過一象限者皆依此法如天周而一為距中刻分以夜定刻損半相消曰朦朧分損益日出入定時得昏明次汎時置汎時真刻分覆求得後汎時置三汎時依日出入法得昏明定時昏明定時與日出入定時相消為朦朧定分求昏明中界者置日出入時真刻分進退二刻求内外兩較及先數以昏明準分之半損外較或内較較弦為次數依上法求之得昏明中界定時五星逺近(補)逺近定分五星中緯準分因交定正弦為正弦得中緯度逺近初分因中緯度正矢用損逺近次分餘為股初分因中緯度正弦為勾勾股求弦得逺近定分月星光體盈虧徑體準度日月星各以逺近中準因逺近定分得逺近定度又以視徑中準因逺近中準得徑體準度光體汎加分月星距日定度正弦因月星逺近定度為勾較弦因逺近定度損益日逺近定度為股月星距日過象限者益不及象限者損不足損者反損之所得汎加分過一象限勾股求弦為實距度置勾如實距度而一為正弦得光體汎加分㨗法置勾如股而一為切分得光體汎加分申其界分因股得實距光體次加分置日徑準度内損月星徑體準度為餘準如實距度而一為先數又置月星徑體準度如其逺近定度而一為次數用損先數為正弦得光體次加分光體定分兩加分及月星距日定度相從不及半周者即為光體定度過半周者與半周相減餘為光體定度在象限以下申正矢以上申正矢損全徑各為實如二十而一得光體定分捷法半其實退位即光體定分視徑日月徑分日月逺近定分與一度相減餘因日月視徑中準如定分而一損益視徑中準逺近定分過一度者損不及者益為徑弦得日月徑分用新法會通崇禎厯書以日月逺近初分與一度相減餘因徑差準分如初分而一得數視初分過一度者減不及者加加減於視徑中準為正弦得日月徑分又増法月逺近定分與逺近初分相減餘因月徑正弦如定分而一得數視定分強於初分者減弱於初分者加加減於月徑正弦仍為正弦得月徑次分五星徑分五星逺近定分與一度相減餘以五星視徑中準因之如定分而一損益視徑中準定分過一度者損不及者益為正弦得各星徑分闇虚置光徑準度去二度曰餘準倍日躔逺近定度如光徑餘準而一曰總率内減月離逺近定度餘倍之如總率而一為勾月離逺近定分為股勾股求弦弦分勾為全弦得闇虛分捷法半勾如股而一為切分得闇虛半徑月星伏見赤道離日日周置赤道日周順損逆益月星赤道離日定行得月星赤道離日日周伏見準度月星逺近初分與一度相減餘以伏見中準因之如初分而一損益伏見中準初分過一度者損不及者益為正弦得伏見準度用新法會通大統厯及崇禎厯書以伏見中準為正弦即得伏見準度升降較以晨夕日躔升降差晨以日出分為限夕以日入為限損益其赤道經度春正後升損降益秋正後升益降損為日躔赤道升降度以晨夕月星升降差損益其赤道經度視月星赤道内外度内度升損降益外度升益降損為月星赤道升降度日躔及月星兩升降度相減為升降較定伏見月離升降較在伏見準度以上者為見以下者為伏五星置升降較如赤道離日日周而一為升降前後刻分損益日出入分星在日西者為前損日出分星在日東者為後益日入分晨伏見者用因全周夕伏見者以減百刻餘因全周為赤道距中度象限以上申較弦加一度象限以下申其矢各為先數次以日躔内外度益北極髙為外較損北極髙為内較兩申其較較弦相從損半因先數日行赤道南損外較赤道北損内較各較弦為正弦得日入地度在各星伏見準度以上為見以下為伏大統厯但以黄道求五星伏見自具大統厯經今不贅用新法會通崇禎厯書求其五星伏見與月同法歲填熒惑順合伏太白辰星合退伏皆夕伏晨見月晦朔太白辰星順合伏皆晨伏夕見月及歲星晝見太白晝見經天皆不在伏見之限極交分置赤道較弦如黄道較弦而一為正弦得過北極弧交黄道分省曰極交分曉菴新法卷四
## 卷五
欽定四庫全書曉菴新法卷五吳江王錫闡撰氣差日躔平行經度與赤道經度相減餘如赤道日周而一得氣差刻分赤道經度強於平行者為損差平行經度強於赤道者為益差損益日下小餘分為定刻分益足百刻者其大餘進一日不及損者加百刻損之其大餘退一日小盡之月遇次月合朔進一日者其月改大盡大盡之月遇月合朔退一日者其月改小盡閏月因夲月退朔得中氣在朔者移閏於前一月因次月進朔得中氣在夲月之晦者移閏於後一月先有定刻分求真刻分者如前兩篇所求日下小餘皆為真刻分其損益反用之凡求經緯諸數皆用真刻分如前兩篇諸法凡求視差諸數以距午距中分斜正多寡者皆用定刻分如本篇諸法視差午位黄赤道先以用時真刻分求得七政黄赤兩道内外經緯諸度分置用時定刻分與五十刻相較為距午刻分用時定刻分不及五十刻者為午前過五十刻者為午後以全周因之為距午赤道度損益日躔赤道經度午前損午後益為午位赤道度其正弦因内外次準為法法分較弦為勾一度為股勾股求弦弦分勾為較弦得午位黄道度㨗法午位赤道較弦因較弧界分如内外次準而一為較弧切分得午位黄道又法以較弧切分如内外次準而一為較弧切分得午位黄道求其内外度損益北極髙内度損外度益與象限相減得午位黄道髙黄道午中差極交分較弦因午位黄道髙較弦如正弦而一為勾一度為股勾股求弦弦分勾股為正弦得黄道午中差㨗法極交分較弦因午位黄道髙較弧切分為切分得午中差黄道中限置午位黄道以午中差損益之午位黄道在半周以下者益以上者損為黄道中限度與七政黄道經度相較得各曜距中度中限度強於七政經度為中後七政經度強於中限度為中前黄道中限髙極交分正弦因午位黄道髙較弦為較弦得黄道中限髙黄道髙度及交分黄道中限髙正弦因距中較弦為正弦得日月星黄道髙度其較弦分中限髙較弦為正弦得髙度交分日月星髙度及交分日躔髙度及交分即以黄道為定月星緯度正弦因黄道髙較弦為先數緯度較弦因黄道髙正弦為次數黄道髙度交分正弦因先數為後數損益次數月星緯北者益緯南者損為正弦得月星髙度黄道髙度較弦因黄道髙交分較弦如月星髙較弦而一仍為較弦得月星髙交分月星髙交黄道分月星緯正弦為實交分正弦因月星緯較弦為法而一為勾一度為股勾股求弦弦分勾為正弦得月星髙距黄道分置月星緯切分如交分正弦而一為切分得月星髙距黄道分置月星緯正弦如月星髙距黄道正弦而一仍為正弦得月星髙交黄道分三差置七政髙度較弦如逺近定度而一為正弦得通差七政髙度交黄道分正弦日躔即黄道髙交分下倣此因通差正弦仍為正弦得南北差七政髙度交黄道分較弦因通差正弦為正弦得東西差晨昏日月徑晨昏徑差置逺近定度去一度曰距地度日月髙度較弦為勾較矢加距地度為股勾股求弦曰距人度如逺近定度而一為晨昏逺近定分與一度相減餘以日月徑分正弦因之如晨昏逺近定分而一為晨昏徑差晨昏逺近定分過一度者為損差不及一度者為益差㨗法距人度與逺近定度相減餘因日月徑分正弦如距人度而一得晨昏徑差晨昏徑分以晨昏徑差損益日月徑正弦仍為正弦得晨昏日月徑分月體光魄定向汎向月離黄道與午位黄道相減為黄道距午度月離黄道強於午位黄道為午前午位黄道強於月離黄道為午後次以午位及月離兩黄道髙度較弦相因為先數正弦相因為次數用次數損距午較弦不及損者反損之下所得弧過象限為後數如先數而一為較弦其弧與半周午前相從午後相消為汎向起子中位算外後皆同次向朔後者以黄道髙度交分中前加汎向中後反減半周餘加汎向望後者以黄道髙度交分中後減汎向中前反減半周餘減汎向各為次向定向月緯度正弦如距日定度正弦而一為正弦得差較分用以損益次向朔後緯南損緯北益望後緯南益緯北損為魄體定向加半周為光體定向又損益一象限為光魄界定向變差(附)赤道厯元以南以里差損北極應不及損者反損之餘為南極出地度其地在赤道南凡以内外度論損益者皆反用之如第四篇第一章晝夜差改用春正後損秋正後益損益五十刻為晝刻分又如第四篇第四章日躔升降差改用春正後升益降損秋正後升損降益損益其赤道經度為日躔赤道升降度月星升降差改用内度升益降損外度升損降益損益其赤道經度為月星赤道升降度又求日入地度法以日躔内外度益南極髙為外較損南極髙為内較兩申其較弦相從損半因先數視日躔在赤道南者損内較赤道北者損外較各較弦為正弦得日入地度凡用北極髙者皆改從南極髙反用損益即得黄道午位黄道行赤道内度強於北極髙者内去北極髙度餘與象限相減為午位黄道髙其午位及中限兩黄道皆在天中之北地在赤道南者午中兩黄道皆在天中北唯午位黄道行赤道外度強於南極髙者内去南極髙度餘與象限相減為午位黄道髙其午中兩黄道皆在天中南凡以黄緯南北論損益者皆反用之如本篇第二章午中差改用午位黄道在半周以下損以上益損益午位黄道為黄道中限度又求月星髙度所得後數改用緯南為益緯北為損損益次數為月星髙正弦又如本篇第四章求汎向其所得弧午後者即為汎向午前者與全周相減餘為汎向又求次向朔後者以黄道髙度交分中前減汎向中後從半周加汎向望後者以黄道髙度交分中後加汎向中前從半周損汎向各為次向唯求定向者全用正文雖有南北緯度不從變差損益凡午中在黄道天中南者皆從正文午中兩黄道在天中北者皆從變差曉菴新法卷五
## 卷六
欽定四庫全書曉菴新法卷六吳江王錫闡撰日食南北較差日南北差與月南北差同向相消異向相從曰南北較差月星緯加黄道中限髙不及象限者即為視差同背過象限者以月星緯正弦因月星距中黄道較弦得數大於中限髙較弦為視差異向小於中限髙較弦為視差同向東西較差月東西差損益月離黄道為先數月離中前為益中後為損凡以月星東西差為損益者皆從月星中前中後為定日東西差損益月離行定為次數日躔中前為益中後為損凡以日東西差損益者皆從日躔中前中後為定兩數相消曰東西較差食甚定時置定朔定刻分東西較差如月離日定行分而一得時差前汎分中前為損差中後為益差下皆同損益定刻分為食甚前汎時欲求真刻分以氣差反損益之下皆同置前汎時先以真刻分求日月經緯諸數次以定刻分求髙度視差諸數篇内俱倣此凡經緯髙度視差諸數各就本時求之篇内皆同覆求時差定汎分與求前汎分同法下倣此損益定朔定刻分為食甚後汎時置後汎時覆求時差後汎分與次汎分相減餘自因為實前次兩汎分相減餘為法而一加減後汎分次汎分多於前汎分者為加前汎分多於次汎分者為減為時差定分損益定朔為食甚定時損益定朔真刻分得食甚定時真刻分以求經緯諸數損益定朔定刻分得食甚定時定刻分以求髙度視差諸數凡以大小餘命日時者皆定刻分如欲密求者再以時差後汎分損益定朔依前法復求時差與後汎分相減餘自因為實次後兩汎分相減餘為法而一得數視後汎分多者加次汎分多者減加減末所得時差為定分更欲密者推此法累求之日食分秒食甚定時南北較差損益月緯視差異背者皆為益視差同背者南緯益北緯損如不及損即反損之餘為南緯若黄道中限在天中北者反是後皆倣此曰定緯南曰陽厯北曰隂厯食甚定時日月兩晨昏徑分凡日月晨昏徑及闇虚月星徑分各就本時求之篇内皆同相從損半曰日食用數内損定緯為日食限不及損者不食如本時晨昏日徑而一得日食分秒初虧復明食甚定時用數正弦與定緯正弦為勾弦求股為正弦得日食行分損益交定初虧損復明益初虧復入交各求緯度損益南北較差損益與日食分秒法同為定緯其正弦仍與用數正弦為勾弦求股為正弦得初虧復明行分如月離日定行而一為虧復泛用刻分損益食甚定時初虧損復明益為虧復前汎時以上諸數俱從食甚定時置虧復前汎時黄道距日度以下諸數各從本時如初虧前汎時即從初虧前汎時諸數復明前汎時即從復明前汎時諸數餘倣此以東西較差損益之初虧中前損中後益復明中前益中後損初虧在朔後復明在朔前者以黄道距日度東西較差初虧有日躔中前月離中後者復明有月離中前日躔中後者皆以東西較差益月離黄道距日度為日月次距如汎用分而一曰時差法虧復前汎時南北較差損益月緯為定緯其正弦為勾用數正弦為弦此用數即以前汎時日月兩晨昏徑分相從損半得數後皆倣此勾弦求股為正弦得前汎時虧復行分與次距相減餘為行差如時差法而一為行差刻分次距強於虧復行分者初虧為益差復明為損差虧復行分強於次距者初虧為損差復為益差後皆倣此損益前汎時為虧復次汎時以虧復次汎時覆求次距及虧復行分兩數相較無餘分者即以次汎時為定時若未齊者復求行差刻分求時差法之術與前汎時同但以虧復次汎時與食甚定時相較為汎用刻分後皆倣此損益次汎分覆求之至虧復行分及次距齊分而止得初虧復明定時行差在一分以下者置為實如時差法而一為刻分損益汎時即為定時初虧與復明定時與食甚定時相减為初虧復明各定用分兩定用相從為日食中積分既内日食至十分者曰既以上為既内以日晨昏徑分損用數此晨昏徑及用數皆從食甚定時金環倣此為既内用數依初虧法求之得食既定時依復明法求之得生光定時各以食甚定時相減為食既生光兩定用分兩定用相從為既内中積與日食中積相消為既外刻分食既生光經緯髙度視差及兩晨昏徑用數皆各從其汎時定時真定刻分求之金環分環合環倣此金環日食限大於月徑者食有金環以月徑損用數為金環用數如日徑而一得金環周廣分秒此日月兩徑即食甚定時晨昏徑分依初虧法得合環定時依復明法得分環定時其合環已前分環以後缺處為玦口合環分環兩定時與食甚定時相減為合環分環各定用分兩定用相從為金環中積分日食方位置七限日躔黄道度初虧食既合環食甚分環生光復明為七限與午位黄道相減為日躔距午度次以午位及日躔兩黄道髙度較弦相因為先數正弦相因為次數與距午較弦相減距午較弦大於次數者下所得弧小於象限距午較弦小於次數者下所得弧大於象限若距午黄道過一象限者不論其較弦與次數大小下所得弧皆過一象限月體光魄汎向法亦同為後數如先數而一為較弦其弧與半周午前相從午後相消為汎向若午中從黄道在天中北者午前以所得弧損全周為汎向午後即以所得弧為汎向初虧以黄道髙度交分中後損汎向中前反減半周餘損汎向各為次向食既合環倣此午中兩黄道在天中北者以黄道髙度交分中後益汎向中前從半周損汎向各為次向復明以黄道髙度交分中前益汎向中後反減半周餘益汎向各為次向生光分環倣此午中兩黄道在天中北者以黄道髙度交分中後益汎向中前從半周益汎向各為次向食甚定時中前依初虧法中後依復明法各得次向置六限定緯正弦日食七限除食甚為六限如三用數正弦而一初虧復明各從本時日食用數食既生光各從本時既内用數合環分環各從本時金環用數是為三用數仍為正弦得差較分用以損益次向初虧緯南益緯北損復明緯南損緯北益食既合環同初虧分環生光同復明為晦體定向食既生光為明體定向合環分環為玦口定向食甚定時以象限損益次向中前緯南益緯北損中後緯南損緯北益為晦體定向置晦體定向損益半周過半周者損不及半周者益為明體定向食既生光置明體定背損益半周為晦體定向食甚定時日月兩晨昏半徑正弦各自因相減如定緯正弦而一為先數日徑大於月徑者内言日月徑皆食甚定時晨昏徑分先數加定緯正弦為次數日徑小於月徑者以先數損定緯正弦不及損者反損之下所得晦界過一象限為次數置次數如日徑全弦而一為較弦得晦界度分用以損益晦體定背為晦明定帶食日食在早晚者以日出入時定緯正弦為勾日月次距正弦為股日食在早從日出時日食在晚從日入時勾股求弦為正弦得日月定距以損本時日食用數為帶食限不及損者無帶食如日晨昏徑而一得帶食分秒食甚時在晝者曰帶食内分在夜者曰帶食外分食在早者以初虧定時減日出時不及減者無帶食餘為不見食刻分與日食中積相消為見食刻分食在晚者以日入時減復明定時不及減者無帶食餘為不見食刻分與日食中積相消為見食刻分帶食方位置日出入時視在食甚前者準初虧食甚後者準復明求得汎向及次向以帶食定距準日食用數求得差較分損益次向損益與求虧復方位法同為帶食定向月徑變差置光徑準度如日逺近中準而一曰光徑準分與日視徑中準相減曰日徑較分月視徑中準因之如月晨昏徑正弦而一曰晨昏較分北極髙矢冪因晨昏較分曰日徑加差加日視徑中準以日晨昏徑正弦因之如日視徑中準而一曰晨昏光徑準分月晨昏徑正弦因日晨昏徑正弦如晨昏光徑準分而一為正弦得里差變徑又曰月晨昏定位凡求日食唯赤道之下止用月晨昏徑其餘各方皆當用月晨昏定徑右以北極髙下求里差變徑亦約畧可得但四時有寒暑燥溼之異九服有平原山澤之分以及雲霞之類皆能變易月徑當隨地隨時測定用之未可執一以為成法故不著於正文而附見章末云月食食甚定時置定望月離黄道經度與日躔行定度相減餘如月黄道離日定行分而一為時差分損益定望真刻分交前益交後損為食甚定時真刻分復以氣差損益之為食甚定時定刻分凡求經緯及闇虚月徑諸數皆從真刻分凡求髙度視差方位及命日命時皆從定刻分章内皆同月食分秒食甚定時月徑分篇内日食凌犯諸法皆用日月晨昏徑唯月食法止用月徑分與闇虚相從損半為月食用數内損月距日定度為月食限緯南為陽厯緯北為隂厯不及損者不食如月徑而一為月食分秒初虧復明食甚定時月食用數及月緯兩正弦各為冪相消平方開之為正弦得月食行分損益交定度初虧損復明益為虧復入交求緯度其正弦為冪以消用數冪平方開之為正弦得初虧復明行分如月黄道離日定行而一為虧復汎用刻分損益食甚定時真刻分初虧損復明益為虧復前汎時以上諸數俱從食甚定時置虧復前汎時月緯及用數兩正弦以下諸數各從本時求之此用數即以前汎時月徑闇虚相從損半得數後皆倣此各為冪相消平方開之為正弦得平距亦名前汎時虧復行分與月離黄道距日度相減餘為行差如月黄道離日定行分而一為行差刻分損益前汎時平距大於黄道距日度者初虧損復明益平距小於距日度者初虧益復明損為虧復次汎時以次汎時覆求行差刻分損益次汎時此損益與前汎時同法為初虧復明定時真刻分又以氣差損益之得初虧復明定時定刻分初虧復明定時與食甚定時相減得初虧復明各定用分兩定用相從為月食中積刻分既内月食至十分曰既以上為既内以月徑損月食用數此月徑及用數皆從食甚定時餘為既内用數依初虧法得食既定時依復明法得生光定時各與食甚定時相減為食既生光定用分兩定用相從為既内中積刻分與月食中積相減為既外刻分月食更㸃置夜定刻五而一為更率倍更率十而一為㸃率置日入時以㸃率遞加之得各更㸃刻分凡更㸃皆用算内如日入時加㸃率二次即為一更三㸃加㸃率五次即為二更一㸃之類餘倣此月食五限刻分初虧食既食甚生光復明為五限在各更㸃刻分以上者即為所交更㸃假如日入時七十五刻即得夜刻五十以一十刻為更率二刻為㸃率置日入時七十五刻加更率一次得八十五刻為二更一㸃又加㸃率一次得八十七刻為二更二㸃視五限刻分在八十五刻以上即交二更一㸃八十七刻以上即交二更二㸃餘倣此一更二㸃以内曰昏分五更三㸃以外曰晨分通曰晨昏分又曰昏明分月食方位置五限月離黄道與午位黄道相減為月離距午度依日食法得汎向初虧以黄道髙度交分中前益汎向中後反減半周餘益汎向復明以黄道髙度交分中後損汎向中前反減半周餘損汎向各為次向若午中兩黄道在天中北者初虧依日食復明法復明依日食初虧法各得汎向食既法同初虧生光法同復明食甚先定望者依初虧法後定望者依復明法各得次向置四限月緯正弦月食五限去食甚為四限如兩用數正弦而一初虧復明各從本時月食用數食既生光各從本時既内用數是為兩用數仍為正弦得差較分用以損益次向其損益與日食相同為晦體定向食既生光為明體定向食甚以象限損益次向食甚定時在定望前者緯南益緯北損定望後者緯南損緯北益為晦體定向置晦體定向損益半周與日食同法為明體定向食既生光置明體定向損益半周為晦體定向食甚定時月闇虚兩半徑正弦各自因相減如月緯正弦而一為先數用損月緯正弦不及損者反損之下所得晦界過一象限餘如月徑全弦而一為較弦得晦界度分損益晦體定向為晦明界定向帶食月食在昏旦者以日出入時月緯較弦因月離黄道距日較弦月食在初昏者從日入時在將旦者從日出時仍為較弦得定距以損用數餘為帶食限不及損者無帶食如月徑而一得帶食分秒食甚在夜者曰帶食内分食甚在畫者曰帶食外分食近初昏者以初虧定時減日入時不及減者無帶食餘為不見食刻分與月食中積相消為見食刻分食近平旦者以日出時損復明定時不及損者無帶食餘為不見食刻分與月食中積相消為見食刻分帶食方位置日出入時視在食甚前者準初虧食既在食甚後者準生光復明求得汎向及次向以帶食定距準月食用數求得差較分損益次向損益與月食虧復方位法同為帶食定向日出入時值月既内者不必求帶食方位太白食日太白晨昏定徑太白逺近定度因日徑較分如月離逺近中準而一為日徑加差加日視徑中準以日晨昏徑正弦因之如日視徑中準而一曰晨昏光徑準分晨昏光徑準分九服不同宜隨地測定酌用之依日月晨昏徑法求得太白晨昏徑分正弦因日視徑中準如晨昏光徑準分而一為正弦得太白晨昏定徑省曰太白定徑東西南北較差以星躔準月離依日食法得太白東西南北較差中食定時置太白退定合時東西較差如太白離日定行分而一得時差前汎分中前為益差中後為損差章内俱倣此損益定合時得中食前汎時日星經緯諸數皆用真刻分髙度視差諸數及命日命時皆用定刻分後俱倣此置前汎時覆求時差次汎分損益定合時為中食後汎時置後汎時覆求時差次汎分依日時法得時差定分損益定合時得中食定時食日淺深中食定時南北較差損益星緯以星緯準月緯即與日食同法後倣此曰定緯緯南為陽厯緯北為隂厯中食定時日晨昏徑太白定徑相從損半曰食日用數内損定緯為食中限不及損者不食如晨昏日徑而一為太白食日入中分秒省曰食中分秒其食中分秒多寡即為食日淺深出入二限中食定時用數正弦與定緯正弦為勾弦求股為正弦得食日行分損益太白交定入日益出日損為出入二限入交各求緯度損益南北較差為定緯其正弦仍與用數正弦為勾弦求股為正弦得太白入日出日行分如太白離日定行而一為出入汎用刻分入日損出日益損益中食定時為出入前汎時以上諸數俱從中食定時置出入前汎時太白黄道距日度以下諸數各從本時宜借日食法類推之以東西較差損益之入日中前益中後損出日反是若入日在合後出日在合前者以黄道距日度反損東西較差入日或日在中後星在中前出日或日在中前星在中後皆以東西較差益太白黄道距日度為日星次距如各汎用分而一曰時差法太白入日準初虧出日準復明依日食法用行差及行差刻分損益前汎時為出入次汎時損益亦與日食法同以出入次汎時覆求次距及出入行分求出入行分與食日次汎時虧復行分同法兩數相較無餘分者即以次汎時為定時若未齊者復求行差刻分損益次汎時遞求之至出入行分與次距齊分而止得太白入日出日定時出入二限定時與中食定時相減為入日出日各定用分兩定用相從為太白食日中積分日中黑子食中限大於太白定徑者太白體全入日為日中黒子置太白定徑如日晨昏徑而一得黒子分秒置食日用數内損太白定徑為黒子用數依太白入日法得太白全入日體定時依太白出日法得太白初出日體定時㨗法置太白出日入日時兩定徑各如其時差法而一入日時損出日時益得全入初出定時全出初入二限定時與中食定時相減各為定用分兩定用相從為内限中積與太白食日中積相消為外限刻分食中限小於太白定徑者星體不全入日不成黒子止求三定限時入日中食出日是為三限太白食日不成黒子者日光盛大人目難見今姑具其理辰星以退定合時依太白法求晨昏定徑得數甚㣲雖入日體人目難見故不著於篇若欲求之悉依太白食日諸法太白食日方位置五限日躔入日全入中食初出出日是為五限依日食法得汎向太白入日準復明太白出日準初虧各依日食法得次向全入同入日法初出同出日法中食中前依出日法中後依入日法各得次向置四限定緯正弦太白食日五限去中食為四限如兩用數正弦而一太白入日出日各從本時食日用數全入初出各從本時黒子用數為兩用數仍為正弦得差較分用以損益次向太白入日南緯損北緯益太白出日南緯益北緯損全入同入日初出同出日為出入定向中食定時以象限損益次向與日食食甚定時相反為中食定向帶食太白食日在早晚者以太白定緯準月定緯依日食法得帶食分秒亦為帶食淺深以中食準食甚得帶食内外分以太白入日準初虧出日準復明依日食法得晝見食夜不見食各刻分帶食方位置日出入時中食前者準太白入日中食後者準太白出日求汎向及次向以帶食定距準食日用數求得差較分損益次向損益與出入定向法為帶食定向凌犯主客月星相犯者星為主月為客經緯兩星相犯者經星為主緯星為客兩緯星相犯者或皆順或皆逆行遲者為主行疾者為客一順一逆者順行者為主逆行者為客次緯月星南北差損益其黄道緯度視差與午中兩黄道南北異向者皆相益午中兩黄道在天中南視差同向者南緯益北緯損不及損者反損南北差餘為南緯午中兩黄道在天中北視差同向者北緯益南緯損不及損者反損南北差餘為北緯求視差異同兩向法見日食時節注中為月星次緯次距置月星黄道經度損益其東西差中前益中後損為黄道次經主客兩曜或月星兩曜或兩緯星或一經星一緯星黄道次經相減得次距定距客星次緯較弦因次距較弦仍為較弦得汎距章内凡稱客星者月離同法置客星次緯正弦如汎距正弦而一仍為正弦得客星交黄道分省曰客星交分汎距與主星次緯兩正弦相因為先數兩較弦相因為次數先數因客星交分正弦為後數次後二數同名相從異名相消兩曜次緯皆南皆北曰同名一南一北曰異名為較弦得定距平距汎距正弦因客星交分較弦為正弦得平距定緯置汎距較弦如平距較弦而一仍為較弦得緯較分緯較分與主星次緯同名相消異名相從各為定緯兩曜次緯南北同者為同名南北異者為異名若主客兩曜次經相同無次距者但以兩次緯同名相消異名相從即為定緯亦為定距經星無東西南北差即以其黄道經緯準次經緯求定距定緯置平距正弦如定距正弦而一仍為正弦得兩曜交分定行較分主客兩曜定行分同名相消異名相從各為定行較分主客兩曜皆順皆逆為同名一順一逆為異名時差法置凌犯之日凡凌犯皆用夜刻唯月歲太白三曜相犯兼用晝刻每間一時求其平距前後兩時平距相減假如子正平距即與丑正平距相減餘倣此若客星次經前時少於主星後時多於主星或前時多於主星後時少於主星者皆以兩平距相從為平距較分如時法而一捷法以十二因之得時差法各以其時命之假如亥正至子正者曰亥正時差法子正至丑正者曰子正時差法餘倣此定合主客兩曜黄道經度相減餘如定行較分而一為加減前汎差客星黄道經度少於主星者順行為加差逆行為減差下倣此客星黄道經度多於主星者順行為減差逆行為加差下倣此加減用時為汎合時置汎合時覆求加減後汎差自因如前汎差而一為加減較分加減後汎差與前汎差加減同者為益較異者為損較用以損益其加減後汎差為加減定差置汎合時以加減定差加減之為兩曜黄道定合時隂陽厯主客兩曜次緯異名者客星南為陽厯客星北為隂厯次緯南北異名者不論緯較分大小皆同法次緯同名緯較分大於主星次緯者南為陽厯北為隂厯次緯同名緯較分小於主星次緯者南為隂厯北為陽厯順逆厯黄道定合時客星順行者其東西差大於主星為順厯小於主星為逆厯客星逆行者其東西差小於主星為順厯大於主星為逆厯既有定合順逆厯即可推正合有無定合而見正合者客星次經先少於主星後多於主星為順厯先多於主星後少於主星為逆厯正合前客星次經小於主星者為順厯大於主星者為逆厯正合後客星次經大於主星者為順厯小於主星者為逆厯有無正合而見凌犯者客星次經小於主星初限為順厯終限為逆厯客星次經多於主星初限為逆厯終限為順厯晨昏徑分依日月晨昏徑法得五緯星晨昏徑分内太白晨昏徑巳見太白食日章中經星無數大小絶異其徑分不可勝紀各以所測徑分準七政晨昏徑用之正合置黄道定合時兩曜平距求各曜經緯諸數皆用真刻分求髙度視差諸數及命日命時皆用定刻分後俱倣此求次經次緯汎距平距定距定緯凡從視差出者皆隨髙度視差用定刻分篇内盡同如時差法而一為時差前汎分順厯中前為損差中後為益差逆厯中前為益差中後為損差定合時平距大於平距較者内減平距較餘為實益差進損差退進退一時申其時差法實如法而一為時差奇分加時法為時差前汎分若餘實又多於次時平距較者於内遞減平距較每減一次進退一時申其時差法置減餘為實如法而一為時差奇分以時法因遞減次數加奇分得時差前汎分以後凡如時差法而一者皆倣此類推之損益定合時為正合前汎時置前汎時覆求時差次汎分順厯客星黄道次經小於主星者為益差大於主星者為損差逆厯客星黄道次經大於主星者為益差小於主星者為損差下倣此損益前汎時為正合後汎時置後汎時覆求時差後汎分自因如次汎分而一為時差定較與後汎分相加減前次兩汎分損益同者相加異者相減為時差定分損益後汎時得正合定時兩曜遲疾相近定合時平距大於定行較分者進退一日依法求之重得正合定時如是屢求之至無正合之日而止為比日凌犯巳上凡言凌犯者皆與掩食相通掩食淺深主客兩曜晨昏徑相從損半為掩食用數内損定緯為掩食不及損者有凌犯無掩食如主星晨昏徑而一為掩食分秒其分秒多寡即為掩食淺深諸數皆從正合定時下一節同凌犯逺近置日度一度為法若諸數本用爻策者亦以日度一度通為爻策為法加掩食用數為凌犯用數視定緯在凌犯用數以下者定緯在凌犯用數以上者無凌犯内損掩食用數餘如法而一得兩曜相距寸分足法數為尺十分法之一為寸十分寸之一為分其相距寸分多寡即為凌犯逺近客星髙定度大於主星曰凌小於主星曰犯以通差損月星髙度即為髙定度凌犯定名皆以初限定時為準掩食初終二限正合定時掩食用數正弦與定緯正弦為勾弦求股仍為正弦得掩食行分如時差法而一為初終二限汎用日刻分掩食行分大於平距較者依時差之術求之㨗法進退兩時者間一時求其平距相消曰平距總較為減法進退三時四時而上至若干日時者皆依此類推之凡進退時日皆以益差為進損差為退此獨以初限為退終限為進損益正合定時得初終二限前汎時損為初限益為終限以上諸數皆從正合定時置初終前汎時掩食用數正弦以下諸數各從本時宜借日食太白食日類推之與定緯正弦為勾弦求股仍為正弦得初終二限各行分與平距相較為行差如時差法而一得行差日刻分初限行分大於平距者為損差小於平距者為益差終限行分大於平距者為益差小於平距者為損差後皆倣此損益前汎時為初終次汎時置次汎時覆求平距及初終二限行分兩數相齊無餘分者即為初終定時若未齊者再求行差刻分損益次汎時遞求之至兩數齊分而止得掩食初終二限定時㨗法行差不及十分刻之一者即以損益其汎時得定時初終二限定時各與正合定時相減為定用分兩定用相從得掩食中積日刻分凌犯初終二限置凌犯諸數依掩食初限法得凌犯初限定時依掩食終限法得凌犯終限定時凌犯初終二限定時與正合定時相消為初終二限各定用分兩定用相從得凌犯中積日刻分掩食凌犯方位順厯主星準日躔客星準月離依日食法得汎向及次向逆厯主星準日躔客星準太白依太白食日法得汎向及次向正合先定合者依初限法後定合者依終限法各得次向四限兩曜交分凌犯初終二限掩食初終二限為四限各與象限為較得差較分損益次向為初終定向經順厯緯陽厯初限益終限損緯隂厯初限損終限益經逆厯緯陽厯初限損終限益緯隂厯初限益終限損正合以象限損益次向為掩食凌犯定向其損益視正合定時先定合者依初限法後定合者依終限法月星相犯視終初二限定向不及半周者益半周過半周者内損半周初限為星入月定向終限為星出月定向轉時變差用時次經與本時前後次經各相較如用時在子初以其次經前與亥正次經相減後與子正次經相減餘倣此大小同名者兩次經或皆大於用時次經或皆小於用時次經即為轉時每間一刻求其平距至損益之交漸増復減漸減復増之際即為轉刻置轉刻與前後時相較為法如子初二刻與前時亥正相較得六刻又六分刻之一為法與後時子正相較得二刻又六分刻之一為法餘倣此轉刻平距與前後時平距相較為轉時較如法而一各為轉時變差用時在轉時者以轉時變差代時差法用之用時在轉刻前者用轉刻前變差在轉刻後者用轉刻後變差重合正合後不及終限行差復大於先掩食凌犯行分大於平距而後刻分行差復大於先刻分行差及合前合後主客次經大小同名者客星次經合前大於主星合後亦大合前小於主星合後亦小是為同名皆有重合行差復大者以先得行差半之為較法以汎用加正合時求得行差為先得行差前後次經大小同名者置平距如時差法而一與汎用相從半之為較法較法損汎用加正合定時為轉際前汎時四分較法之一曰節率進退轉際前汎時為先後二節各求其行差又求前汎時行差減之若先節在正合前其行差與前汎時行差相加後節次經與前汎時異名者兩行差亦相加為行差較兩較相從為法相消因節率為實實如法而一為損益差先節行差小於後節為損差大於後節為益差若兩行差相加為較者反是一加一減者先節加為損差後節加為益差損益前汎時為轉際次汎時四分節率之一為次汎時節率進退次汎時為前後二節依前汎時法得損益差自因如前汎時損益差而一與次汎時損益差相加減兩差損益同名為加異名為減為損益定差損益次汎時為轉際定時以掩食轉際定時兩曜定距減用數餘為轉際食限如用數而一為掩食淺深分秒置凌犯轉際定時兩曜定距如法數而一得凌犯逺近寸分置轉際定時内減正合定時為轉前定用刻分以加轉際定時得重合前汎時依正合法順厯改逆逆厯改順下倣此得重合定時仍與轉際定時相減得轉後定用依正合後終限法得重合後終限定時内減重合定時得終限定用刻分初終二限定時相減得掩食凌犯中積刻分有犯無合無正合時而兩曜定距小於用數者為有犯無合用時後行差漸多者其用時在轉際前漸少者其用時在轉際後以用時行差刻分損益用時轉際前損轉際後益為初限或終限前汎時損為初限益為終限依法求之得定時為先得定時置先得定時掩食凌犯行分或初限定時或終限定時如時差法而一為汎用加減先得定時求行差刻分損半為較法較法減汎用餘以損益先得定時終限以損初限以益為轉際前汎時依前節法得轉際定時與先得初終定時相減為初終定用依前節法得掩食淺深分秒凌犯逺近寸分置轉際定時損益先得定用先得初限者此益轉際為終限先得終限者此損轉際為初限為初限或終限前汎時復依前法求之順厯改逆逆厯改順得定時為後得定時與轉際定時相減為後得初終定用先後兩定用相從為掩食凌犯中積刻分升降掩食凌犯在升降之際者以月星赤道升降度與日躔赤道升降度相減為升降較置升降較如赤道離日日周而一為升降先刻分損益日出入時為月星升降前汎時月星升降赤道過於日躔者益小於日躔者損下倣此置前汎時真刻分覆求升降次刻分損益日出入時為後汎時復求其真刻分求升降後刻分次後兩刻分之較自因如次刻分而一加減後刻分次刻分大於先刻分者加小於先刻分者減為進退定分進退日出入時得月星升降定時凡掩食凌犯皆從先降後升一曜求升降時唯月星相掩從月離求升降時以掩食升降定時兩曜定距損用數餘為升降時掩食限不及損者升降時無掩食如用數而一得升降時掩食分秒置凌犯升降定時兩曜定距如法數而一得凌犯相距寸分定距大於凌犯用數者升降時無凌犯升降定時與初終二限定時相減為掩食凌犯内外刻分升定時與終限定時相減降定時與初限定時相減各得掩食凌犯當見刻分即為掩食凌犯外分以減掩食凌犯中積得不見刻分即為掩食凌犯内分置升降定時依法求得定向即為升降時掩食凌犯方位昏旦隠見掩食凌犯在早晚者以昏明中界為隠見時諸星大小不齊隠見先後亦不等不勝悉辨今但以昏明中界為中數月歲太白不在此限以隠見時準升降定時依前節諸法得隠見時掩食淺深凌犯逺近及方位内外刻分交會辰次赤道宿度置三辰交會諸限赤道經度日月星曰三辰日月食皆曰交會今以太白入日及凌犯掩食附之日月食食甚初虧復明食既生光合環分環七限太白食日食中入日出日全入初出五限掩食凌犯各正合初終轉際重合五限以近少赤道宿積損之得各曜躔離赤道宿次度分黄道宿次置三辰交會諸限黄道經度以近少黄道宿積減之得各曜躔離黄道宿次度分又置各曜赤道上黄道積度以赤道上黄道宿積近少者損之得各曜躔離赤道上黄道宿次度分辰次各曜躔離宿次所在宮舍即為躔離辰次若一宿兩辰者視躔離宿次度分在宮界以下為前辰以上為次辰曉菴新法卷六◆ 《中星譜-清-》（KR3f0022）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
中星譜 天文算法類一(推步之屬)提要(臣)等謹案中星譜一卷國朝胡亶撰亶號勵齋仁和人王晫今世説稱其博綜羣書尤精天官家言日月薄蝕星辰躔度推測毫髪無遺在長安與監中西洋専家反覆辨論羣皆嘆伏所著有中星譜周天現界圖歩天歌行世今所見者惟是編所訂經星凡四十有五乃於二十八舍之外益以大角貫索天市帝座織女河鼔天津北落師門土司空天囷五車参左肩参右足天狼南北河軒轅大星太㣲帝座等十八星用以較午中遲早綴諸時刻首京師附浙江其餘以類而推所論晝夜永短寒暑循環地殊勢異與所引經𫝊記載考定嵗差釐分昏旦皆簡明詳切與今儀象考成中星更録頗能表裏觀其自序撰自康熙八年是此書在欽定算書以前前明徐光啟新法算書以後存其度數以備校証恒星嵗差之行亦不為無所禆矣乾隆四十六年二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 原序
中星譜原序
易曰仰以觀於天文俯以察於地理是二者固皆儒者讀書窮理之所有事也顧地理似易而較難天文似難而較易蓋地之延袤既非轍迹所能周亦非瞻望所可悉按圖志以求索所見與所傳聞多殊何從一一證之故曰難也歩天則不然當夕仰觀則地平以上半周天之星悉燦然在目矣向晨再一仰觀則平地以下半周天之星又悉旋轉於上燦然在目矣其間即有近日之星光揜未能全見晝永之夜見星不滿天周然遲旬月而更一再起視則日右旋而星左出曩所不見者又無不燦然在目矣故曰易也惟是星數本繁學有造始亶以為莫要於先審中星中星者恒星之見於正南午位者也其指肇自堯典所謂星鳥星火星虛星昴各以昏時測其正中以定二分二至此古聖人敬授民時之宏規也三代因以加詳如詩稱定之方中作於楚宫七月流火九月授衣春秋傳云龍見而雩水昏正而栽火中成軍之屬皆壹以候星為考時出政之本其重如此逮月令一書顯於周秦之間以十二月别昏旦中星敘次尤晰論者謂雖出吕覽周公之遺書故載之禮經良有以也漢唐至今厯術加密皆附節氣以記中星載在史志可考然節氣古與今同中星今與古異如堯時冬至昏昴中今時冬至昏壁中四千年之間己移五十餘度其故云何蓋緣恒星與七政各有東西二行其隨赤道而西也大約晝夜一周其隨黃道而東也各有遲速不等惟恒星之東行最遲閲七十年方漸移一度即厯家所云歲差也既有歲差則中星當非一定然一歲之差纔周天三萬六千分(平度三百六十每度百分)之一分有半弱則數十年之内暌離非遠且即中星以驗知歲差因歲差以修改中星易簡之理也亶素好覽厯代史中天官厯志等書後據時憲厯書粗窺大畧顧自慚謭陋無能有所發揮今幸䝉恩予養閒居稍暇竊不自揆爰就成書中酌其簡要易曉者釐為中星譜一卷其目於凡例詳之又取舊本星宿小圖展為大圖經緯度數備具圖譜互稽庶幾中星一覽無遺矣既識中星因按圖以推左右上下諸星即周天無一不可漸識既識周星可以審時候可以定方隅可以察分野可以測知五緯行留順逆及日躔月離之所在因以悟天行之不息感時序之如馳兢兢焉各有進徳修業之思無玩嵗愒日之志其亦有小補矣乎况識星實為治厯根本朝廷方旁求諳曉厯法之人是譜也雖不足以就正博雅抑亦可為始學津逮云爾皇清康熈八年正月仁和後學胡亶謹撰
## 發凡
中星譜發凡
一晝夜循環無刻不有中星晝則太陽光盛星不可見故不備錄今以日入至日出為限通夜中星依次順列較古法止記昏旦者為詳若欲並知晝時中星苐檢隔半年後對待節氣譜内於各星下時刻數其相衝時刻即半年前節氣之晝時星中也所以然者半年後節氣之夜與半年前節氣之晝長短數同此正星囘於天適半周之候故也(假如欲知立春晝星檢對待之立秋譜内視心)(宿在酉正三刻三分中卯酉為衝即知立春心宿在卯正三刻三分中也室宿在丑初二刻七分中丑未)(為衝即知立春室宿在未初二刻七分中也餘星倣此雨水檢處暑之類亦倣此)一月令以十二月記中星月之氣朔不齊法難分畫故註家皆主其月中氣為説今既錄中氣兼錄節氣共為二十四譜亦漢唐以來舊術一古法以日入後二刻半為昏所謂初昏也以日出前二刻半為旦所謂平旦也今時憲新法以太陽在地平下十八度定為昏旦時刻但此十八度内太陽升降有正有斜故各省各節之定昏定旦時刻小異然刻數大約倍於初昏平旦者於時星體全見經緯較明故也若欲知古旦昏時刻苐於譜内日入時刻加二刻六分日出時刻減二刻六分即得蓋古法百刻之二刻五十分即今九十六刻之二刻又十五分刻之六故也一古法每日百刻每刻百分授時厯所謂日法一萬者也但以百刻配十二時無法可均如俗傳子午各多二刻或云子午卯酉各多一刻皆非厯家所用考授時(元厯)大統(明厯)所用者每一時凡八大刻二小刻其前四大刻曰初初曰初一曰初二曰初三俱各百分間以一小刻曰初四止一十六分六十六秒不盡其後四大刻曰正初曰正一曰正二曰正三俱各百分再間以一小刻曰正四亦止一十六分六十六秒不盡合十二時總為九十六大刻二十四小刻其小刻以六準一故名百刻共足萬分之數雖為傳習有據民間頗似難知(宋人有以大刻為各六十分小刻為各一十分者又古語云每時八刻零三分)(刻之一其理並同)今時憲斯法每時止整八刻(初初初一初二初三正初)(正一正二正三)刪去二小刻總共九十六刻較為簡㨗易曉蓋刻數雖省而時不異譬有匹帛於此以小尺量得四丈大尺量為三丈六尺其於匹帛無加損也一古法每刻百分者時憲止用每刻十五分蓋計時至刻巳近矣刻下之分簡則易考也若運算則不嫌遞以百計以便乗除所謂並行不悖也若欲據新法刻分考知古法刻分自有㑹通算法先除後乘即自可知一古法中星止記二十八宿内如井斗度廣候之不免移時今於列宿外增益十七大星共為四十五座大星庶接續易明凡此大星各有經緯度分另於譜後備錄用以按圖比對若合符節其餘衆星皆有中時譜雖不著可以類推一大星四十五座皆係近黃赤道者每座星數多寡不等譜内止拈各座之一星為言如增益十七座明書某大星某南星之類是也其二十八宿專指距星如角宿以南星為距亢宿以南第二星為距之類按圖檢之凡距星皆有經線為界并横書宿名於其端甚易識别一星宿出入地平皆有定時但各省各節刻數不同惟正中之時刻無二亦如日出日入各處時刻不同惟日中皆為午正初刻也一中星既云正南午位如五車天津織女等星實在人頂之北葢以北極視之不嫌為南也一譜内所錄中星時刻皆指其節氣中氣之第一日也若次日則星行天一周而又西逾約一度即須於本星時刻内減十五分刻之四弱以驗其中從此遞日減之以至次節(如立春首日胃宿酉初初刻十三分中若第二日須減四分為酉初初刻)(九分中第三日再減四分為五分中餘星倣此)一日出入及昏旦晝夜長短各省計時大同較刻小異今譜前所列者一依時憲所頒順天府時刻尊京師也他省時刻具在厯前可檢故不復贅惟末附記浙省以備參考一各節氣昏旦時刻不必適遇星中今考其距宿之幾度幾分中附錄於大星經緯度分後以合古法而驗同異第大星經緯係錄平度距宿度分係錄日度其説見星圖發凡中一星宿西行經一晝夜九十六刻每刻十五分共一千四百四十分行天一周按譜内係用平度計周天三萬六千分(三百六十度每度百分)每刻之一分行天之二十五分每一刻行三百七十五分(即三度七十五分)每一時行三千分(即三十度)如用日度計周天三萬六千五百二十五分(三百六十五度四分度之一每度百分)每刻之一分行天之二十五分三十六秒四十五微零(每分百秒每秒百微)每一刻行三百八十分四十六秒八十七微零每一時行三千四十三分三十七秒四十二微零(此與前述節氣次日遞減四分皆是論其大較)(其間尚小有加減别書詳之然要自大體不遠也)
## 中星譜
欽定四庫全書中星譜胡 亶 撰晝四十二刻十二分 夜五十三刻○三分雨水正月中 晝四十二刻十○分 夜五十三刻○五分日入酉初一刻○五分 昏酉正三刻十一分日出卯正二刻十○分 旦卯初初刻○四分驚蟄二月節 晝四十五刻○五分 夜五十○刻十○分日入酉初二刻十○分 昏戌初初刻十四分日出卯正一刻○五分 旦寅正三刻○一分春分二月中 晝四十八刻 夜四十八刻日入酉正初刻 昏戌初二刻○五分日出卯正初刻 旦寅正一刻十○分清明三月節 晝五十○刻十○分 夜四十五刻○五分日入酉正一刻○五分 昏戌初三刻十三分日出卯初二刻十○分 旦寅正初刻○二分穀雨三月中 晝五十三刻○三分 夜四十二刻十二分日入酉正二刻○九分 昏戌正一刻○七分日出卯初一刻○六分 旦寅初二刻○八分立夏四月節 晝五十五刻○九分 夜四十○刻○六分日入酉正三刻十二分 昏戌正三刻○二分日出卯初初刻○三分 旦寅初初刻十三分小滿四月中 晝五十七刻○九分 夜三十八刻○六分日入戌初初刻十二分 昏亥初初刻十二分日出寅正三刻○三分 旦丑正三刻○三分芒種五月節 晝五十八刻十四分 夜三十七刻○一分日入戌初一刻○七分 昏亥初一刻十二分日出寅正二刻○八分 旦丑正二刻○三分夏至五月中 晝五十九刻○七分 夜三十六刻○八分日入戌初一刻十一分 昏亥初二刻○五分日出寅正二刻○四分 旦丑正一刻十○分小暑六月節 晝五十八刻十四分 夜三十七刻○一分日入戌初一刻○七分 昏亥初一刻十二分日出寅正二刻○八分 旦丑正二刻○三分大暑六月中 晝五十七刻○九分 夜三十八刻○六分日入戌初初刻十二分 昏亥初初刻十二分日出寅正三刻○三分 旦丑正三刻○三分立秋七月節 晝五十五刻○九分 夜四十○刻○六分日入酉正三刻十二分 昏戌正三刻○二分日出卯初初刻○三分 旦寅初初刻十三分處暑七月中 晝五十三刻○三分 夜四十二刻十二分日入酉正二刻○九分 昏戌正一刻○七分日出卯初一刻○六分 旦寅初二刻○八分白露八月節 晝五十○刻十○分 夜四十五刻○五分日入酉正一刻○五分 昏戌初三刻十三分日出卯初二刻十○分 旦寅正初刻○二分秋分八月中 晝四十八刻 夜四十八刻日入酉正初刻 昏戌初二刻○五分日出卯正初刻 旦寅正一刻十○分寒露九月節 晝四十五刻○五分 夜五十○刻十○分日入酉初二刻十○分 昏戌初初刻十四分日出卯正一刻○五分 旦寅正三刻○一分霜降九月中 晝四十二刻十○分 夜五十三刻○五分日入酉初一刻○五分 昏酉正三刻十一分日出卯正二刻十○分 旦卯初初刻○四分立冬十月節 晝四十○刻○六分 夜五十五刻○九分日入酉初初刻○三分 昏酉正二刻十○分日出卯正三刻十二分 旦卯初一刻○五分小雪十月中 晝三十八刻○六分 夜五十七刻○九分日入申正三刻○三分 昏酉正一刻十三分日出辰初初刻十二分 旦卯初二刻○二分大雪十一月節 晝三十七刻○一分 夜五十八刻十四分日入申正二刻○八分 昏酉正一刻○五分日出辰初一刻○七分 旦卯初二刻十○分冬至十一月中 晝三十六刻○八分 夜五十九刻○七分日入申正二刻○四分 昏酉正一刻○二分日出辰初一刻十一分 旦卯初二刻十三分小寒十二月節 晝三十七刻○一分 夜五十八刻十四分日入申正二刻○八分 昏酉正一刻○五分日出辰初一刻○七分 旦卯初二刻十○分大寒十二月中 晝三十八刻○六分 夜五十七刻○九分日入申正三刻○三分 昏酉正一刻十三分日出辰初初刻十二分 旦卯初二刻○二分大星經緯度分右十二宫者經度也赤道南北者緯度也俱以平度三百六十度每度百分計算(説見星圖發凡○此係戊辰嵗監局測定距今四十年經度約應東移半度强)(緯度亦應稍有所移苐圖譜所據者赤道而星之東移乃循黄道須憑儀器方可測確記此以備考驗)昏旦中宿度分右分註首行京師宿度也次行附記浙省宿度也俱以日度三百六十五度四分度之一每度百分計算○按各節氣所厯中宿度分多寡懸殊此縁日出入遲早及昏旦參差所生天運自然但以仰觀不忒為宻合不可强齊也數有竒零厯家約分二名不及度者謂之弱過度者謂之强或以過度分三名過未及半曰少過半曰太適半曰半皆約略之辭也少字俱去聲星圖發凡一圖内近紫微垣之圏常見界圏也距北極三十六度次大腰圏赤道圏也距北極九十度距常見圏五十四度又大腰圏斜絡赤道者黄道圏也半在赤道外相距最逺處二十三度半强半在赤道内相距最逺處亦二十三度半强次邉大圏常隐界圏也北距赤道五十四度南距南極亦三十六度繞南極諸星既屬常隐不見又赤道向南極與向北極同理形勢皆宜漸狹而入平面之圖不能不漸濶故愈南愈不可圖止及與常見圏對待之五十四度而止(常見常隐度數就中州言之亦係厯代相)(沿舊法葢北極出地各處不同如順天出地四十度常見亦四十度浙省出地三十度常見亦三十度南極入地理同)一古法分周天為三百六十五度四分度之一蓋依太陽右旋行天一周為三百六十五日四分日之一是為一嵗故即以日行之度為天度也苐拘此數則以分象分宫測太隂測五星處處皆有竒零紛糅難算况四分日之一自古迄今分數漸減又非定論乎新法簡㨗周天止畫三百六十度名曰平度仍存古法名曰日度一切起算皆用平度若欲兼考日度者以乘除法通之一算即得今遵而兩用之其記二十八宿度分用日度三百六十五度二十五分列於内圍其記十二宫次度分用平度三百六十度列於外圍二法㑹通算法附載於後握算即可互知一圖内分二十八經線(直線為經)者二十八宿之距線也十二宫次亦應有十二經線慮渉繁雜止於各圏際用短界線識之亦自可明一天體渾圎經度三百六十緯度亦三百六十(如經度有五度四分度之一即)(緯度亦須有之故知平度為簡)今將緯線(横線為緯凡圍圏皆緯也)寄畫井宿經線之上以便稽考此緯線近北較數向南較疏者縁入圖南面經度漸濶不得不小疏其緯以應之不然即撱形成扁不相肖似矣在天度實係平均非有疏數也一常見圏内有十字線子午卯酉線也一本法經度從春分戌宫初度起自一度右旋以至三百六十度為亥宫之末今每宫各註一十二十三十度理亦同也一緯度俱從赤道起算向北自一十二十以至九十(即本圖中心)向南自一十二十以至五十四(即常隐界圏)一欲考各星經度分用長界尺(長線亦可)從圖心引貫本星中央視界尺末端切某宫度分即本星之經度分欲考緯度分亦如前法用長尺或線從心引抵本星中央視本星離赤道或南或北若干分寸識之即用所識之分寸為度移向緯線依南北量之即本星緯度分一圖内恒星有古志有而今無者如器府天籥之屬有古志多而今少者如羽林積卒之屬厯指稱㨿今實測如此然測星時或遇夜氣有明暗應俟更加詳驗(内有星不分明仍存聯線者亦備查補之意)一恒星有古志無而新增者厯指稱經緯分明不得不為附益今亦不能悉載止載四等以上大星凡圖内無名并無聯線者是也間亦有并載小星者如女宿東南二星天乳北星之屬查别圖有作正者并存以備考一各星悉依圖表惟八魁九星撿晉隋二志及歩天歌宋靈臺秘苑位置實當在此厯指以為不類譯從火鳥名色今寜從舊又南門西星厯指譯入馬尾而以赤道南五十九度在常隐界内之星作南門查五十九度中土所不能見何縁厯代誌之亦為釐正自餘即小有較訂皆據古今厯圖不敢憑臆進退毫末一古志以列宿分四象所謂東方蒼龍七宿之類葢昔賢所定先天方位也天行不息毎日必有適當方位之一刻瞬息即移求其昏時如方位者一嵗止有一夕(次日即移一度)按堯典日中星鳥以殷仲春是其時矣(朱鳥既在南蒼龍必在東白虎必在西元武必在北也)昔賢似據此定之今時則星鳥以季春昏中其象設不變而時令浸移故尊其説為先天方位可也實則東南西北刻刻運旋在某星左即為東在某星右即為西而主北辰為言則常見界外衆星皆可謂之南也一本圖名總圖者以别南北兩分圖也按分圖一以北極為心一以南極為心皆以赤道為邉界在總圖赤道以内諸星與北圖形體無異若赤道以外諸星則宜狹反廣不如南圖之合天象也今另繪周天經緯度二小圖又將南圖尾箕斗相連三宿形模并繪於後以明其意然跨赤道各星在分圖剖開為二頗煩比擬總圖則聯屬無間葢二法各有所宜也一本圖分宫分宿俱依赤道為主葢所考者恒星與七政循赤道西行度分以審其中也與時憲七政躔度厯過宫移宿不能皆同葢七政厯依黄道為主所考者七政循黄道東行度分故也赤道宫次從赤極(即本圖中心)出經線黄道宫次從黄極(距赤極二十三度半强)出經線惟二至同一線二分惟交處同線本末亦異其餘宫次悉參差非一欲因此知彼須用句股算法并從黄道圖察之一天左旋(即西行)日月五星右旋(即東行)從來厯家定説自晉虞喜覺有嵗差而厯術漸宻然嵗差縁於恒星東行則實自時憲厯指發之足擴前賢之己悟而未備也苐厯家舊説皆云天無體即以恒星為天左旋之體今恒星既有東行則孰為主左旋者曰此在恒星天之表非人瞻矚所及厯指名之曰宗動天宋儒云從太虛空裏觀那天理亦符也一圖内恒星約三百座總計一千一百五十七星内第一大者十四星第二五十一星第三一百八十四星第四三百九十三星第五二百二十二星第六二百九十三星外又新增無名一百二十六星(大星在羣星中光燦不同晚先見晨後隐語云落落如晨星大抵一二三等星也)一天度廣逺難以道里數計苐就人目而論如兩星相距一度在圖鱗接者仰視在天相離亦不盈尺古法以月與五星行近恒星七寸以内始名曰犯亦謂同在一度之内故也(此指周天)(均度言其經度與緯度同理不主分宫分宿中間廣而兩端鋭之度也)一以上各説止從本圖及中星譜所及者述其大畧圖譜之外為説尚繁不遑縷述附平度日度會通算法如先有平度分欲知日度分以日度三百六十五度二十五分為實以平度三百六十度為法除之得日度一度○一分四十五秒八十三微零準平度一度凡遇各宫宿之平度分以一○一四五八三乘之即得日度分如先有日度分欲知平度分以平度三百六十度為實以日度三百六十五度二十五分為法除之得平度九十八分五十六秒二十六微零準日度一度凡遇各宫宿之日度分以九八五六二六乘之即得平度分其理同也(如新法度下之分秒微等遞以六十計即須先將分秒微等數俱通六為十次併入度下總乗之)渾球不可圖於平面故剖為二以圖之朱子云天如圓匣赤道是圓匣合縫處是矣圖雖有二應作一渾圖觀斯經緯曉然也中星譜◆ 《天經惑問-清-》（KR3f0023）
## 提要
欽定四庫全書 子部
天經或問 天文算法類(推步之屬)提要(臣)等謹案天經或問四卷國朝游藝撰藝字子六建寧人是書凡前後二集此其前集也凡天地之象日月星之行薄蝕朒朓之故與風雲雷電雨露霜霧虹霓之屬皆設為問答一一闡其所以然頗為明晢至于占驗之術則悉屏不言尤為深識昔班固作漢書律厯志言治厯當兼擇専門之裔明經之儒精算之士正以専門習于成法明于古義精算得其確數欲使互相參攷究己往以知未來非欲髙談雄辨徒究其精微幽妙之理而己也邵子厯理厯數之説亦謂知其當然與知其所以然學者誤㑹其㫖遂以為厯數之外别有厯理孫承澤春明夢餘録因以元授時厯全歸于許衡之明理所載崇禎十四年禮部議改厯法一疏不能決兩家之是非因推原厯本掃除測算尤屬遁詞夫天下無理外之數亦無數外之理授時厯宻于前代則有宋諸儒言天鑿鑿何以三百年中厯十八變而不定必待郭守敬輩乎藝作此書亦全明厯理于歩算猶屬未諳然藝尚能知厯數故反復究闡具有實徵存是一編可知即數即理本無二致非空言天道者所可及也乾隆四十七年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書天經或問卷一閩中游藝撰天渾淪一氣無有重數特以外製内以剛製柔則氣漸遠漸殺以至永靜因分重數以便起測萬化皆由一氣萬動總由一動微妙不測者莫如此動新語曰天體本一而各政居有上下然共一心同為一製諸政皆左旋而有自行輪輪則激退滚進遂有倒逆之形其實皆是進也渾象圖子午對者為南北極南北分者為赤道圜斜絡於赤道者為黄道圜近北者又為晝長圜近南者又為晝短圜周圍列宿布焉諸圜並星共□渾象之内今析為數圖者為渾圖不能全載故也李振之曰天體必要具圖始可明之渾儀如塑像平儀則如繪像兼頫仰轉側而肖之者也塑則渾圜繪則平圜全圜則渾天割圜則葢天夫渾天不可圖今强圖之以識梗概凡設三輪水而臬之則知地平針而丙之則知子午繩而垂之則知上下輪皆有先後天八卦十二宫周期之度是為三輪是為六合是為八觚此大舜璿璣之始圖約法也於是出入地平可定南北二極腰旋黄赤二道形如雙環日月交分經緯皆可距度四破取一是為象限欲求一星立地可得今以有徵無中之理借此彌綸以世言圓皆晝毬如鏡之扁圓也非圓圓也此渾象内日月地三形圖最外一圜周天子午規第二圜日行冬夏至規冬夏規處對貫一軸為黄道軸最中小圜為地球形外一圜貫軸旋轉為月輪規上施月㳺輪徑十二度輪心上綰規上亦可旋轉以系太陰轉之則為九道此九道因月自有遊輪月輪又要隨黄道轉故也此外一圜稍大亦貫軸内為日輪規以系太陽形用此二圜可辨日月交食之理此皆渾天象也地居天中乃設平規於象外者以分地上地下界也側立者乃子午規北極之出地南極之入地各隨所在可測定渾象納此規中以二極為圓樞運轉一日一周以合天體之行度也朔日日月同度月天正居日天之下日光獨炤其向上之半面人在中間仰視獨能見其無光之下半面故朔之日視月全無光過朔日月漸離至初三四日月光如峨嵋至初七八日則月見其上面一分之光為上弦至十五六日則日月對照全光為望焉望之後日漸逺至廿三四日則月見其下面一分之光為下弦晦朔弦望是以月離太陽有逺近故其光無時不消長也朔則日月同其經緯為一線月受日光於上月體隔日光於下是月掩日若無光為日食而光實未常失也望則日月相對如一線日光正照之月體正受之中間地體適當線上在日與月之間地體隔日光於此面而射影於彼面月在影中失其所借之光為月食居丁者正見月于日故見全食居戊者斜見月于日故見半食居己者不見月于日故全不見日食龍頭龍尾是日纒之兩界月食所經之處若龍尾距過數度則無食而日食因地之逺近則見食有多有寡焉湯道未曰日食與月食固自有異葢月食天下皆同而日食則否日食此地速彼地遲此地見多彼地見少此地見偏南彼地見偏北無有相同者而月食則凡地面見之者大小同焉遲速同焉經候同焉唯所居不同子午線者則時刻不同矣葢月一入影失其借光更無處可見其光也然距度有廣狹則月食有大小遲速日離地有逺近則地影有大小不同故有食不食焉天問略曰地為圓體縣於空際上下四旁皆有人居四方之人各以所居子午線為午時太陽在東方甲居東方者為午時日輪在其天頂故也乙居西方者即為夘時日輪至天頂須三時故也丙居正西者即為子時日輪至天頂須六時故也諸地相去自東而西莫不皆然如相去七千五百里即移一時因知居東方者若得午時自此逐漸往西即為己為辰為夘寅丑子矣天體渾圓内以中分南北為赤道圜兩頭盡處為南北極極猶樞紐運轉全天星斗也古天學家唯以北極為心目所見旋繞諸星為圖不列南極是中華處赤道北不及見南極諸星故也世人則以北極為天心周羅諸星為邊幅以南極為空名耳湯道未先生曰人處赤道北則見赤道南天應漸狹而在圖則漸廣形勢相違無法可以入圖故圖惟列北極處赤道南者見北亦然今圖全天地必以赤道中分為界分作二圖以二極為心然後體理相應故作赤道二總圖則見天渾圓全體也今以赤道南北細分之以南北二極二十八宿另為圖以黄赤道南北見界各為圖則知子午相對處為南北極南北中分處為赤道圜赤道之相交斜絡者為黄道圜是故分之求其詳合之無遺漏矣地輿圖者按地在天中如鷄子黄在青之内天運旋於外地靜處居中人依圓體無方隅上下葢在天之内何瞻非天也故定一圓圖倣西士職方之遺意也復作一方圖以九州為心四彝作輔如朱思本之廣輿按其晝方計里修短廣狹偏正曲直如其地形可分可合山川險夷郡邑聨絡有不得盡聞者按其形實一一瞭然非如世圖疎密失準逺近錯誤者也掲子暄禹書經天合地圖説曰昔之作禹圖者東西南北惟按書畫之至地之長短曲折廣狹偏正悉置不問今以天下校古禹迹而畫方計里始如其形故曰合地中土以北極出地三十六度夏至日長六十刻為算不知地自南而北二百五十里差天一度赤道居兩極之中離赤道漸逺則北極漸高夏至日漸長且四方國土日之出入不同時東方先見西方後見兩地相去七千五百里則差一時惟以里度測刻分而多寡早遲始可通推故曰經天藝以地圓形東西升降故時刻之先後不同南北出入故晝夜之長短互異所以環地而轉從東達西時時曉時時黄昏自南而北有半年為晝半年為夜者此圖毎方五百里方各二度南起赤道二十三度北行二十二度縱五千五百里西起地中海七十一度東行二十八度廣七千里其間以單墨行者州界雙墨行者水道以圏行者山道㸃列者貢道也邊之左紀日長右紀出極下紀距日里刻見各地之不同也以其經天合地余故約而布之游藝書天經或問卷一
## 卷二
欽定四庫全書天經或問卷二閩中游藝撰囫圇天地茫茫無際一動一靜體質各異其動有由其靜有自太極既判陰陽之秘從動測天天體非𤣥有形無質度數昭然三百六十左旋右旋樞紐二極位乎南北黄赤二道天之至奥交絡天腹嵗功是造左旋惟疾右旋不一遲疾參差星辰月日不害不悖層次可識其層曰九又為十二數明理實自然之義水土與石凝為地質圍九徑三至靜不易水週於地土間乎石中含庶類實有萬國足底相對上下各背子午夘酉隨在而配至靜至圓從可測焉天内包地地外裹天日月中行化育流宣赤道内外日月所躔日逺而寒日近而炎晝夜永短四時運還備則得中靈氣所潛此春彼秋此永彼短經緯之度乃其所斡或炎不寒或夜寡旦候異氣偏㝠頑多悍得中者靈得偏則蠢化於無心成於無形天動不息地靜永寧化育生生莫知始終始有所始終豈無終欲知所終不外動靜動至不動靜至不靜動靜相反天地道窮化育機塞靈蠢皆㝠自有而無有為無漸自無而有無為有先無極而極貞下起元游子之書天地理全王勷題天體問天之蒼蒼高逺無極其星辰錯綜體象運旋可得聞歟曰天體如碧瓈透映而渾圓七曜列宿層層運旋以裹地(七政運旋有髙下故謂層層云)地如彈丸適天之最中永靜不動而四面人居焉最上一層常靜天為諸天主宰(宋儒謂此天為天殻)(也而不可思議)其次為宗動之天帶轉下諸重天也此天之運依南北二極從東而西左旋十二時厯一周其各天皆因此一動製之而運焉(西士測尚有南北嵗差東西嵗差二重約四萬九千年從西厯)(東行一周)其次為恒星天在七曜之上此天之本動也於赤道上偏南而北從北而南謂之一近一距之動厯七千年行一周從東厯西之正行約二萬五千餘年而行一周(此即嵗差正行之算也)其次土星(土星約二十九年一百五十五日零二十五刻行一周天)木星(木星約十一年三百十三日七十刻行一周)火星天(火星約一年三百二十一日九十三)(刻行一周)其次太陽之天照映世界萬象取光故在七曜之中也(太陽約三百六十五日二十三刻五分行一周)其次金水二星天皆從太陽天行而太陰天最近地(太陰約二十七日三十一刻行一周)此恒星七曜諸天俱從自西而東右旋之行算也左旋一天以靜天極為軸以赤道為天腰右旋諸天以黄道極為軸偏南北各二十三度三十一分即以黄道為天腰赤道之心與靜天之心宗動天之心地球之心同是一㸃其兩極在南北正子午主一日一周七曜列宿之公運悉繫轉楗焉其道與天元赤道相合為一線動靜雖異終古不離其極為正子午也黄道斜絡出入赤道各二十三度半其極非正子午則在己亥也太陽行黄道正線其天心不與諸天同心故其行轉於地面自非平行也黄道左右各八度為太陰五星出入之道而日月經緯俱從黄道極轉故有不同子午之樞也吾儒按九重者因恒星七曜行度各異相次而上權立數重以起測云地體問藏經以四方分為四州鄒衍以瀛海環九州外文長謂水際天是皆以地為扁土也今曰天體渾圓古人亦曰天如卵白地如卵黄是天包於外地亘於中也然天乃輕清之氣地乃重濁之滓既為圓體亘中能浮空而不墜乎四面皆人何以安其居也而能辯其四方乎曰天地渾圓本相聨屬古人云減一尺地則多一尺天然地亦天也以其形言之謂之地唯天虛晝夜運旋於外地實確然不動於中也而地四面窪者為河海突者為山嶽平者為田地人所居立皆依圓體天裹著他運旋之氣升降不息四面𦂳塞不容展側地不得不凝於中以自守也然總無方隅四面都是上無可墜處適天之至中亦無可倚處天之東升西降亦就人所居而言天則無處非升無處非降渾淪環轉而己地圓則無處非中(揭子曰天之虚非虛也虛者氣塞滿之無有空隙如以瓶挈水閉其一孔水使不入氣塞中也氣即)(天也地之實非實也氣出入之雖有土石其堅者悉在皮表進焉則虛濡也然天内有氣故時結為攙搶彗孛)(諸星映為暈珥〔？〕珮諸象地内有空故潮汐呼吸轉為泉源深山大谷吐為雲霧陰伏陽愆發為震撼故㳺子)(曰地亦天也)唯指極星分東西南北測太陽定寒暑晝夜故所居之地日所照不同居赤道之下南北二十三度半之地一圏春秋二分太陽正過其天頂日中無影過春分則影在南過秋分則影在北名為煖帶南北二十三度半以外截至六十六度半之地此地太陽不經其天頂而不近不逺此南北二圏為正帶不甚冷熱(此帶温和而聖)(賢挺生中國處赤道北十八度至四十二度適當其地也)南北二方自六十六度半各抵其極為冷帶有日太陽繞其地恆見有日太陽繞其地恆隱隱見之候或至數月或至半年(揭子曰兩極之下天輪横)(繞半年為晝半年為夜其地甚冷其人耐寒)此五帶之大概也因此推之距赤道南北二方者其氣候必相反如太陽纒星紀(即丑宫)向北之方為冬至向南之方則為夏至諸節莫不皆然又因推之地球為人所止以天頂而分四方亦可界為三百六十度以合天行東西為經測以黄道南北為緯定以子午若測南北有二極為之端(㳺熊曰西學測地球周圍有九萬里)(如往北行二百五十里測極星便髙一度二萬二千五百里便髙九十度在天頂正中再行則又從中漸低無)(北極過南南極過北之理地圓故也)若測東西必先定一處為起界之端(如處某地即以某地為端)方可測也如無測法則寒暑無定東西不辨耳黄赤道問天體無涯難以器測日月五星有形可歩黄赤二道全無影象何所指而名也曰赤道者平分天體為南北從南北二極相距正中之界判一細道名曰赤道(朱子云天體如一圓匣相似赤道是那匣子相合縫處一線也)亘於中天終古不易推步者畢賴之為準則也李振之曰此道列三百六十度分十二辰界九十六刻(以一時八刻算)(餘分不列)而為用有七焉一以度天行一日一周之運一以定晝夜刻分之永短一以齊黄道出入之廣狹一以限春秋分之晷影一以判天道之南北一以起南北之緯算一以紀天下之地圓也黄道者從太陽旋周一嵗之界而設以記月與五星所經行者葢太陽行天一嵗所周軌蹟旋以成規名為黄道此道斜絡於赤道如兩環相叠然半出赤道南最南之界約緯度二十三度半為冬至半出赤道北最北之界約緯度二十三度半為夏至二道相交之所為春秋分四平分之為四象限限各九十度是即二分二至之限也以三百六十度計之十二剖之則為宫二十四剖之則為氣七十二剖之則為候更細鍥之為三百六十五度四分度之一而二十八宿列焉凡月建與宫界常差五度所以分黄道為十二宫者日月相逐㑹於黄道者嵗有十二次而一嵗四時有十二變取數於十二其義最精半之則為六三之則為四四之則為三諸曜之行四時之變總不出於此天下寒暑榮瘁皆由黄道中國處赤道北故太陽之行黄道也北陸煖而萬物生南陸寒而萬物死也(黄子曰如國處赤道)(南者太陽行南陸則反是)黄道一規而用有四焉一以節七曜列宿逆行右轉之度(黄道惟太陽行道中正線餘各别有小輪故有遲疾伏退之異)一以審日月交食之限(月行有九道大抵近黄道則食)一以其出地多寡定天下晝夜長短一以分列宿之南北及紀其緯度南北極問天學家云南北二極是相對也又曰北極出地南極入地則是低昂矣是低昂乎相對乎曰南北極者天體永久不動之兩㸃周天倚為環轉之樞者也故名為極(㳺燕曰極如輪之轂如磨之臍非星也云極星者葢指其近極之星而名)(耳)而居中有不轉之地以為之心故南北有不轉之極以為之樞太虛空洞固有不轉之神化以為之主而後此天得以循行萬古而不越也李振之(名之藻)曰測從極中周圍起線為南北緯度至天之中九十度為赤道界人居赤道之下者以赤道為天頂居二極之下者以二極為天頂極之低昻因人所居而定也從極中分瓣起線為十二宫從宫内分密線為東西經度合至中天則為赤道經度(此皆測法而定)太陽躔黄道行度雖極南極北止離赤道二十三度半也故南北二極之規天輪横繞黄道之所不至晝夜永短偏勝之極二規之内天地之氣甚寒周圍皆有日影而以半年為晝半年為夜矣子午規問渾天以赤道為中分以南北二極為子午又以天頂為午地下為子則是以赤道為子午何也曰南北二極處為正子午是也然天之子午亦南北極之子午天之子午但取中分南北極處過頂之線為名從諸曜升降適中之界而設也太陽一日遶天一周見於東方漸升天頂為午中此地平以上東半晝分謂之升過天頂向西漸低地平是為西半晝分謂之降他曜皆然於此升降之中界設一規為子午規也諸曜際此謂之在子在午也(黄道十二宫之子午以列宿分度而定天之子午以人所居之地而立也)此規透過赤道及地平與二極其偕赤道地平而交為直角也恆然不動但人在地面上南北遷此規惟一東西遷此規隨在各異也極之子午即地之子午靜而有定此有定之子午發線去隨太陽到天頂而轉故天之子午動而不居也(㳺熈曰日行周天子午亦隨而周天是以人所居之天頂而定也餘支亦)(皆然)設此規其用有五一以分半晝半夜時刻一以尋列宿極髙過頂之度當此之謂中星一以此規計日凡毎日自子半起正當此規之下一以撿夜半中星以定太陽正宿一以分周天之度亦可縁太陽以求赤道緣赤道以求北極地平規問子午規者中分南北極過天頂之線為名從諸曜升降適中之界而設也地平規者則何説也曰地平規者平分天地之半從人足所附極目四望之界而設也人附地面所可望見者天之半耳其半恆繞於地下人不可而見也即此可見不可見之界而諸曜由是而出入明暗晝夜由是而分因定此規剖為四象以應四方象各限以九十度是為地平經度可以定北極赤道離地之度可以定星辰出入之分及何星常見不伏何星常伏不見可以定七曜列宿同出同入之度及先後出入之度可以定太陽各曜所出地離赤道幾何緯度可以辯各曜出入之方位可以算各曜漸升之度自一度上至九十度皆可知得而稽也問諸規必須為象方可知之理雖剖晰終屬茫然曰黄赤道南北極子午地平者不過相形酌理設其象為依據如不知此欲知諸曜之行則茫然無措故欲知象先明此為首如此理不諳雖登臺轉象亦茫然耳太陽問諸曜森羅太陽其宗也何不居諸天之上反居列宿之下七曜錯行太陽甚正也何節有舒縮日有永短也曰太陽者黄帝經曰天凝其陽精為日而月與星用之萬物皆用之故居天之中適得上下照映暄及下地能濟萬物故稱星月之宗(黄帝經曰天明則日月不明潛草曰兩間之光皆太陽之火也)(文饒曰兩間變狀皆氣光之所為)若居最上則温煖不及諸物難以滋生若居最下則燥熱太甚諸物受其暵損故日得中和之理萬物之宜也所以一日循黄道一周使萬物得陰陽之育和而周天日恆過太陽一度使南北而有寒暑之候(俞子曰太陽日行黄道一周天則有晝夜萬物得以滋生周天過日一度一嵗則能踵黄道南北節)(氣故有寒暑)行黄道積嵗平分之數以天度計一日為五十九分八秒有竒(是一度以六十分算者)所謂平行度分是也然平行為齊實行則非齊也有冬盈而夏縮矣所以然者葢緣日天心不同宗動天心與地之心則日行距地逺近不等距近則行疾疾則所行之度過於平行而為盈毎冬月一日計行一度一分有竒以較平行則盈二分矣(㳺熊曰平行周天度也實行太陽度也因太陽天心不同宗動天心故有平行實行之度相較而有盈縮矣)故冬一節氣為十四日八十四刻有竒距逺則行遲遲則所行之度不及平行而為縮毎夏月一日計行五十七分有竒以較平行則縮二分矣故夏一節氣為十五日七十二刻有竒總由夏行北陸冬行南陸則有盈縮之差也(揭子曰春分至秋分合一百九十日七時四刻毎十日應縮四十三分六釐共縮八度二十五)(分秋分至春分合一百七十四日七時四刻毎十日應伸四十七分四釐共伸八度二十五分)而逐日測之則太陽實躔宫度分秒逐日有盈縮如太陽從春分底立夏行黄道四十五度則厯四十六日十刻十分原謂之空度從立秋至秋分亦行黄道四十五度而所厯則四十六日三十八刻十分原謂之共度是逐日刻數不等所謂春行盈秋行縮也(俞子曰近嵗宻測而知太陽與宗動不同心故)(知節氣有盈縮原惟平分十五日二時四刻作一節氣而不知春有盈而秋有縮也)故定盈縮之界非在二至之㸃(元算在此)乃在二至之後六度此二㸃為盈末縮初今盈為最髙之㸃縮為最卑之㸃因定此二㸃遂晰太陽之行為一不同心規也其行遲者在最髙之㸃行疾者在最高之衝(即最卑之㸃)此最高本行亦猶太陰之按月孛如太陽之心並二極與宗動天同則日行轉常在赤道之圏絶無距度安得有東西運行之異乃知氣不叅差無以成化時不寒暑無以合序物不錯綜無以生文也太陰問太陰之行不隨黄道之一線又不踵黄道之節氣要自疾行一周又步與日㑹為合朔然太陽之光為世界之切須太陰雖有清光亦無恆照何行反較難於太陽乎曰日之升也布光於色象闡景於山川日之没也諸曜則受光地面則幽暗太陰之體最近於地受日之照反映於下使夜之幽暗者時受清輝焉故與日為敵而運行叅錯不一推步籌算倍艱皆為交食故茍或分杪乖違交食豈能密合故必細審其行度然後可立法致用也葢太陰不循黄道一線自行一月游輪徑約十二度出入黄道内外相距逺者各六度其輪交黄道如一小環繫於黄道帶行焉其本旋之外有平行一日十三度有竒但此行之界有四一界是從某宫次度分起算此界定而不動二界為本天之最高此非定界毎日自順天右行七分有竒是月距本天最高一日之行為十三度三分有竒故其平行二十七日三十刻有竒為一周己復於宫次元度又必再行二十三刻有竒為二十七日五十三刻始能及於本天之最高今謂之月自行元謂之轉周滿一周謂之轉終其最高則行八年有竒而周天謂之月孛(月孛是月行極高極逺之㸃後人謂之月孛星)三界為黄白二道相交之所謂之正交中交此界亦自有行乃逆行也毎日三分有竒則月平行距正交一日為十三度十三分有竒至二十七日二十七刻減交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃囘於元界謂之交終四界是與太陽去離太陽一日約行一度則太陰距太陽遲為十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒遂及太陽復與之㑹謂之朔䇿古謂月行九道是月㳺輪出入黄道内外算也自内出外為陽厯口世謂之羅㬋又名龍首自外出内為陰厯口世謂之計都又名龍尾(㳺熈曰羅㬋計都乃黄赤道左右之内外相交出入之名後人以為火土之餘星)乃白道正交行及四正陰陽二厯各異名之為八道並黄道為九也實一道也月行十八年餘而徧九道(游燕曰九道乃近日逺日而名)(月行黄道東為青道行南為朱道行北曰黒道行西曰白道各分内外為八道並黄道為九也十九年内月行)(九道完而復起所以算日月食惟在十九年内推測度分畧同而時刻稍易皆各有定則)其白道兩交黄道論最逺之距為五度今測朔望外相距皆過五度上下二弦則為五度十七分三十秒也推知二道相交之角非定而不動約其廣狹之行常以十五日為限也日食問日為諸陽之主永無虧損何得有食曰日為諸陽之宗星月皆借光焉而日所行在月天之上月所行在日天之下朔日日與月相遇兩周相切(兩周者日周天月周天也)與南北同經東西同緯則月受日之光於上月體隔日之光於下是日月相值則蔽而不見然日與月雖則相叠而上下相離數百萬里其相值也特相盪而過自人在地面上仰視之則見其月掩日於是日若無光然實未常失光也人不見其光故謂之食若日食非月掩則食無常何定在朔而不前後也而食時天上度分唯一處人居圓地則食分隨東西南北人見無有同者厯家不明各方經緯之度(游熈曰天有經)(緯之度地亦有經緯兩合之測則不甚差)則無以知幅〔？〕相距之數而交食時刻與分數行之一方不能通之各方耳如從西面東地隔七千五百里者則東人先八刻見食設若地平形則天下人見食共在一時無有先後也若南北經緯之度距過三十四分者則月從邉行人不見其掩則無食矣問月食宋儒云火日外影中心實暗到望時却當其中暗處謂之闇虛以闇虛之象為月食是否曰天圓形地梗在中心如雞子黄處青之内青之周圍即列宿七曜之天也日一日行一度月一日行十三度餘以周天三百六十度記之自朔至望僅行一半月距日一百八十度而日月正對望中間地球障隔月輪在地影之上月輪在地球之下日光不能照之故失其光而謂之食漸出地影之外日能照之則漸復元光因知月輪失光為食食悉由於地影之蔽入此影中安得不食而半進半食全進全食是食必在望其食之處定在龍頭龍尾(游燕曰即黄白二道相交之所則經緯同故有食)十三度三分度之一過此則月之行道不相涉而地影不能障也龍頭龍尾者是日躔之兩界月食所經之處也然食之時地影從人之下蔽上去故天下皆同(㳺熈曰見月食必在夜而人在地影中立故天下皆同)凡地面見者大小遲速亦同唯居子午線不同則時刻亦不同大抵十九年所躔宫度同而食之時刻淺深亦不同而土木垣宿不及食者影斜而鋭不相透也日行天一周則影亦行天一周月當其影處即食而食之處迄無定所交食問日食月掩也月食地影蔽也然掩蔽俱是無光則食皆同又云月食皆同日食不同因地影也圎也請詳其説曰日月之行二十九日有竒而東西同度謂之合朔而月魄隔日光于下而不偏斜謂之日食(俞大剛曰合朔則月月初一皆)(合合而不食者因月行九道與日度有偏斜則從邊而過故合朔而不食)月距日一百八十度正與之衝謂之望若當衝時必入地影而地居中間日光為地所阻不能射照月體月失其光謂之月食而食常在黄白道相交之所謂之正交中交凡日月行及二交為同度同度則有食而食必凖在限交在限内則食交在限外則不食日食之限與月食之限亦異故推月食越五月能再食越七月不能再食日食越五月能再食越七月亦能再食所以為限各異也至于食分則以距度求之葢兩周之心相距之度也在月食則為太陰之心實距地影之心愈近食分愈多(新語曰夫以火照物對冲必得)(黒影地之居中也日照于東黒影冲西日照于下黒影冲上物過黒影即黒而不見故日月正對地隔于中則)(影射而月黒而食有淺深月之道有浮沉也)在日食則為日月兩心以視度相距其逺近不依實度而依人目視之所及為凖此即月食分天下皆同而日食分隨人目東西南北各異也如白道向南極半周有時在天頂及黄道之中謂之陰厯白道向北極半周是時在黄道外謂之陽厯故其下日食之限莫得而定也比如京師北極出地四十度約算陽厯八度陰厯有二十一度則知日月相㑹凡在陽厯近二交八度在陰厯近二交二十一度其下必見日食過此限以往則否也即北可以推南莫不以逺近多寡定食之驗然二厯食限之度有異者其故在月輪月輪最近於地又小於地人見之所在地面非在地心以月天論地平雖天與地球皆為平分直過其心而人在地面髙所以視天地之兩界則地球與月天非平分也而少半在上太半在下約差一度以本法推算月己出正地平於人所視之地平尚少一度此謂之視差惟月在天頂正地平與地平之極皆以一直線合于天頂無有視差過此左右不免有差愈逺天頂愈近地平其差愈甚夫視無他常降下月體數十分耳假令日月同度同在近交之南又因同度並在地平上高二十度則日于視地平為十九度五十八分祗降二分月于視地平為十九度直降一度以日月二差之較為五十八分矣若日月同高共度而人視之月常下于日一度耳不掩日光則不食若日月在地平上高七十度則日無視差月視差止二十分其降于日亦止二十分勢必相切或至掩數分而成食若日月在交北又當以月算在日之上庶因視差所降而掩日光以為食矣顧此二地平之差又分二焉一加減交食分數謂之氣差一加減時刻謂之時差此測交食之艱也朔望弦晦問月若圓形受日之光朔日月掩日為食望日地影蔽為食月不掩日地影不蔽時宜月體之光俱圓何過朔則漸盈過望則漸虧至上下弦而盈虧各半疑其月體是活物能自發光固能晦能滿能消能長也曰天體如玻瓈月與星即玻瓈中之堅凝圓物也而圓者堅凝則不能透光太陽之火充滿全天天體直透者不能發光星月堅凝者則耀日之光而返照焉故日光照及其體則明不及則暗如月自有光則近日逺日其光恆一絶無消長也朔日日月同度月正居日之下日光照其向上之面不照其向下之面人居地上獨能見其無光之下面不能見其有光之上面故朔之日視月全無光過朔月則東行而漸離于日而日在西月光漸盈距日至九十度日照其下側半面人居地上獨能見其下側半面為上弦距日一百八十度則日月正對月之圓體受日之光全滿為望也過望月則雖東行却是漸離在西日反在東月光漸虧距日至九十度日照月上側半面為下弦下弦以後月光漸消至于無光為晦焉氣盈朔虛閏餘問氣既踵節矣因何有盈朔有常數矣因何有虛又因盈虛而後置閏如盈虛不設閏亦不必置也於數更易何如曰渾天之度一嵗之常數三百有六十太陽行黄道節氣圏一周有三百六十五日三時較常數則多五日三時為氣盈一月以二十九日六十三刻有竒為合朔共十二月得三百五十四日四時四刻較常數則少五日七時四刻為朔虛以朔虛較常數則常數為多以常數較節氣則節氣為多合多十日十時四刻為餘日餘日歸之于終積成一月則置閏約三十二月則一閏十九年則七閏也其閏之月太陽不及交宫必無中氣也如無氣盈則常數不合如無朔虛則晦望不凖如無置閏則夏月為春節冬月成秋候也前賢之測無絲髪之餘故七閏終在十九年子丑之月氣朔分齊為一章之定法也月見遲疾問太陰之測無遺矣則合朔後夕間西見見皆恆一而遲疾偏不一甚有差一二日何也曰人目所見其月近日遠日為差彼有斜正升降而行故也其故有三一因月視行度視行為疾叚則疾見視行為遲叚則遲見一因黄道升降或斜或正正必疾見斜必遲見一因白道在緯度之南又在緯度之北在陰厯(黄道之中)則疾見在陽厯(黄道之外)則遲見此外又有北極出地之不同朦曨影與氣差諸異所以遲疾則難齊也然月亦星類也較星更小為其在天極低人所仰視甚近故有朔望弦晦食與不食之較著也金水二星亦與日同度恆日輪中有黒㸃以星處高人所仰視甚逺故不謂之食若月輪時過二星之下亦能掩其星光今不顯其食如日者乃二星之天高光微而體小人所忽也故月惟主潮汐無與氣候因其近地有光影照地而推也日月右行問太陽一日行一度人見其日日如是未嘗有進退也太陰一日行十三度餘人見其一日遲一日又以為行速何也曰諸天遲速之行七曜錯綜之度尚有未宻者惟日月之行宋儒言之甚詳朱子云天行甚健一日一夜行周天三百六十五度四分度之一(一度如以百分即得二十五分)又進過一度日行速健次于天一日一夜行周天三百六十五正恰好比天進一度則日為退一度積至三百六十五日四分日之一(即一日十二時四分得三時也)則天所進過之度又恰周得本數而日所退之度亦恰退盡本數遂與天㑹而成一年假如天無進過之度則四時中星俱同日亦不能㑹天節亦不能踵嵗矣月實行遲一日一夜行周天三百六十五度四分度之一行不盡比天為退十三度有竒進數自東行西為順天而左退數自西而東為逆天而右厯家進數難算只以退數算之故謂右行為速也且曰日行遲月行速然則日行却得其正也天行過一度問厯以為天一日一周太陽一日行一度今云日行本數恰好是天行過一度豈不悖歟曰若以為天一日一周正恰好不進過一度則四時中星如何㑹不同如此則日日一般而太陽亦無踵星之度節氣亦無定限之所以甚麽去紀嵗五星遲疾伏退問日行步嵗踵節矣月行晦朔弦望矣而測算尚艱五緯之星行度各各不同兼有遲疾伏退之異如何測步知各有異而不順行也曰步天測象誠惟難矣而緯較難五緯之體圓如活珠黄道之軌有若虛槽而五緯之行又各有本行各有異行各有伏見各有加減各有不同心圏各有均圏各有小輪不同心圏與小輪名異而理同皆附黄道左右八度之間而盈縮遲疾之行皆藉以分度布數也各有二道二極各有三百六十度其度分又各有實經緯視經緯其㑹合有實㑹視㑹實望視望樊然不齊惟以日躔齊之如土星三十年少一周天木星十二年少一周天火星二年少一周天金水隨日一年一周天是緯星之本行也緯星在小輪極逺之所必合太陽其行順而疾其體見小在小輪極近之所其行逆而疾其體見大土木火行逆則衝太陽金水行逆夕伏而合行順晨伏而合其各順行轉逆逆行轉順之兩中界為畱留非不行乃際于極遲行之所也留叚前後或順或逆皆有遲行其土木火行逆即衝太陽而金水則否者縁土木火之本天大皆以太陽為心而包地得與太陽衝金水之本天雖亦以太陽為心而不包地如車輪然轂從内轉軸在外者自上下周旋故日之轉也金水或旋而前或旋而後一旋一却亦勢之所至自人從平衡視之祗見其或順或逆而不知其遶日環轉也故不能衝太陽而能與之離金離太陽四十八度水離太陽二十四度此五星之異行也太陽之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之緯南緯北也各二十三度有半以成二至是黄道者太陽之軌蹟也太陰本道又斜交于黄道最逺之距為五度餘以生陰陽二厯五星之道雖相距緯度各異而其黄道則與月道同理故皆借月道諸名名之其兩交之所亦謂正交中交其在南在北兩半周亦謂陰陽二厯審是而五星緯行庶可詳求也盖各本道外之嵗行小輪恆與黄道為平行而又斜交于本道其上半恆在黄本二道中凡星躔于此則減本道之緯其下半恆在本道外星躔于此則加其緯然此小輪之緯向則常常變如土星三十年行一周天其在正中二交之下必無緯度分十五年恆北十五年恆南凡衝太陽因在小輪下半即加本道緯度凡㑹太陽因在小輪上半即減本道緯度他星亦然或行近于地小輪加緯益多太白至夕伏合之際因其近地其緯幾及八度耳原不諳有緯行(此緯行近嵗西士熊羅諸人始測出)一見金星在緯南北七八度之間即詫謂之失行皆不知五星有緯行之故也然五星有緯南緯北之分黄道有正斜升降之勢各宫不同亦不能以距度定限今定限惟在用地平為主縁地平障蔽日光能使星或伏或見耳日之下于地平其光漸殺所謂晨昏晨昏之光四時不等星光時刻亦自不等所以然者太陽由黄道而下地平或十度或十五度以至三十度原自不等而星在黄道南相距必多數度在黄道北相距必少數度其限不能泥也大約土木火三星較太陽行遲行後太陽夕伏晨見金水二星順天東旋較太陽行疾行先太陽晨伏夕見逆行反是其與太陽遇也亦夕伏晨見太陰行較太陽更疾晨伏夕見至于金星之緯不及八度逆行合太陽夀星(辰宫)大火(卯宫)二宫而其緯又在北七度餘雖與日合其光不伏晨夕皆可見之水星之緯惟四度餘若其緯向南合太陽于夀星此後去離夕必不見合太陽于降婁(戌宫)此後去離晨必不見此五星伏見之不同也如土星右行三十年少一周天夕伏合伏各二十日四十刻各行二度四十分(此五)(星一度以百分算者)晨出東方疾遲共八十六日行七度六十五分留三十日晨退夕退各五十二日六十四刻五十八分各退三度六十二分五十四秒半復留三十日遲疾共八十六日行七度六十五分又夕伏復見為一周大約六十年同而日時則不同也(六十年同其遲疾伏退過宫則不同其時刻大)(約要先三時可也)木星右行十二年少一周天夕伏合伏各一十六日八十六刻各行三度八十六分晨出東方疾遲共一百一十二日行一十七度八十四分留二十四日晨退夕退各四十六日五十八刻各退四度八十八分一十二秒半復留二十四日又遲疾共一百一十二日行十七度八十四分則又夕伏而復見為一周大約八十四年同而日時亦不同也火星二年少右行一周天夕伏合伏各六十九日各行五十度晨出東方疾遲共二百八十四日行一百六十六度留八日晨退夕退各二十八日九十六刻四十五分各退八度六十五分六十七秒半復留八日遲疾共二百八十四日行一百六十六度而又夕伏復見為一周大約八十年同而日時亦不同也金星右行先後太陽嵗一周天晨伏合伏各三十有九日各行四十九度五十分夕出西方疾遲共二百三十一日行二百五十度五十分留五日夕退十日九十五刻一十三分退三度六十九分八十七秒夕退伏六日退四度三十五分其合退伏如夕退伏其晨退如夕退留五日疾遲共二百三十一日行二百五十度五十分而又晨伏其行也晨先日出東謂之啟明夕後日入西謂之長庚以辰申為界晨見己位夕見未位大約九年同而日時亦不同也水星亦先後太陽嵗一周天晨伏合伏各一十七日七十五刻各行三十四度二十五分夕出西方疾遲共二十七日行三十一度五十分留二日夕退伏合退伏各十一日十八刻八十分各退七度八十一分二十秒晨留二日遲疾共二十七日行三十一度而又晨伏為一周云約四十七年同而日時亦不同也凡七曜遲速錯綜之行至四千六百一十七年子月甲子朔旦夜半冬至則日月如合璧五星如連珠乃七曜厯元之第一日也上推漢元封七年丁丑子月適當其時也下推康熈三年甲辰以後二千八百四十九年子月甲子朔旦復是其時也四餘羅計氣孛問羅計氣孛元謂之火土木水之餘測算家云羅計見于交食之影氣孛不常見見則有異此是星不常見乎是交食之算乎曰四餘者元皆指為星謂其所躔宿度各有吉凶不知是月行難算設此諸道之交㸃按此名目以便揆算其行度並無實物也羅㬋即白道(即月行之道也)之交㸃計都即白道之中㸃(厯家按此二㸃以便起算交食)月道自南遡北以交于黄道之一㸃曰羅此㸃有本行每日左旋三分有竒而羅正對之㸃為計所謂龍首龍尾内道口外道口也葢兩規斜絡其兩交之一㸃必正相對也月孛是月所行圏極高極達之㸃謂月離于是其行極遲其體見極小盖云孛者指其交轉兩行相孛之義故其平行右旋每日七分有竒此三㸃者土木火諸星本行之圏亦有之但其行不同耳為不算交食晦朔故不設此也(趙希度曰四餘為火土木)(水之餘何金獨無乎則可知其非星也且測其當躔某恆星之度並未見其形象何如吾師言其理甚晰直破)(古今之疑)紫氣者元算生于閏餘或為土木二星相㑹之所或古人以此紀直年耳故二十八年月之閏餘而生氣一周皆是交食之積算也天經或問卷二
## 卷三
欽定四庫全書天經或問卷三閩中游藝撰嵗差客問嵗差曰每嵗太陽行度皆有常數何以有嵗差黄道節氣必以太陽為凖而曰每年冬至日躔不及餘分積數十年而差一度謂之日退又考厯代所紀度分或多或寡而無定則如漢鄧平改厯洛下閎謂百年後當差一度漢末劉洪作乾象厯有核嵗之法晉虞喜始以天為天嵗為嵗立差以追其變以五十年日差一度何承天増之約百年差一度隋劉焯折取二家中數為七十五年差一度劉炫以四十五年差一度梁虞鄺以百八十六年差一度唐僧一行作大衍厯以八十三年差一度宋大明厯以四十年差一度統天厯以六十七年差一度元授時厯以六十六年差一度明大統厯以七十八年差一度萬厯中利西泰(名瑪竇西域人)入仍約以六十八年八閲月差一度每年不及周天一分五十秒熊良孺以六十七年差一度方宻之以六十餘年差一度而差之説紛然以何為據知其差也夫差有一定之法乎抑差必復差無可算測乎惟詳示之曰嵗差者天運日躔之所致日躔一嵗之間行周天度未及星之餘分日已至而星畧移于東似日退而實星進焉故每嵗常移于東之分秒以過其元界謂之差也(㳺燕曰古今謂不及餘分者是日踵其界星則過之是以過為不及也非日不能及星度也)上推帝堯甲辰冬至初昏昴中日躔虚七度(湯道未推帝嚳甲子冬至日躔虚六)(度)夏不降乙未冬至日退女十一度(日退者星進則以日為退也)商武乙丙寅冬至日退牛七度(退即謂之差年年漸退但以此為凖便起算不繁也)周簡王丁亥冬至日退斗二十三度秦莊襄王元年壬子日退斗二十二度漢太初元年丁丑日退斗二十度晉太元九年甲申日退斗十七度宋元嘉十年癸酉日退斗十四度唐開元十二年甲子日退斗十度宋慶厯四年甲申日退斗五度度宗四年戊辰日退斗四度二分元至正元年辛已日退箕十度洪武十七年甲子日退箕七度嘉靖三年甲申初昏室中日退箕三度萬厯四十年壬子冬至日尚在黄道箕三度十九分十九秒在赤道算四度四分二十五秒内道口在壁一度外道口在軫初度至崇禎十六年癸未厯三十一年止差一分三十五秒(此差是進非退湯道未測順治分庚子冬至日在箕三度二十九)嘉靖甲申至崇禎癸未一百二十年日尚進而未退則天道㣲渺之行亦有遲速不可以年限也(掲子曰嵗差不獨遲速不等㳺子詳測而有已)(進而復退也)今從崇禎癸未上距慶厯甲申六百年日差十二度餘則以五十年差一度慶厯甲申上距開元甲子三百二十一年日差五度則以六十四年差一度開元甲子上距漢太初丁丑八百二十七年日差十度則以八十三年差一度太初丁丑上距莊襄王壬子一百四十五年日差二度則以七十三年差一度莊襄王壬子上距尭帝甲辰二千二十八年差二十八度則以七十二年差一度此析而分之也以全厯推之崇禎癸未上距帝尭甲申三千九百二十年共差五十八度則以六十八年零七月十三日三時差一度二萬五千一百有餘年共差三百六十五度有竒為一周天復踵元界矣(㳺熊曰此以虚宿起測則二萬五千餘年踵盧之元位若以斗宿起測二萬五千餘年亦復踵斗之元位也)余復推之崇禎癸未上距帝嚳甲子四千二十年止差五十七度約一嵗差一分少九秒七十年零六月差一度二萬五千七百三十五年差一周天此統而分之也(㳺熊曰諸名家分度不宻以致多寡㳺移差度耳然此統而分之亦有不同)厯代諸家所推各自有據然推差之法如郭守敬許衡王恂輩測影騐氣減周嵗為三百六十五日二十四分二十五秒加周天為三百六十五度二十五分七十五秒强弱相較差一分五十秒積六十六年有竒而退一度定為嵗差振之李子謂經星時有動移但其移也宻百年之内所差未多四萬九千年則差一周良孺熊公以二萬五千餘年差一周謂東行之天以黄道為軸不獨有東西差更因有南北差密之方公以經星行度厯差于静天之度而嵗實日周遂與經星之度迻也日一年從西向東行二十八宿三百六十五度四分度之一尚差一分餘而至六十餘年差一度約積三萬年不足而復于原宿之度矣盖其所差之理亦不能執一法以窮之石齋黄公以易定厯而以守敬萬法積之終不免于灑𣲖納虚也易以數為端幾而定于環輪静天亦猶是也均列定限分别節氣以日所行至者紀于何節之分秒焉日五星所至亦紀之經星所行亦紀之則所差之由與追差之合自犂然也或謂天不可見惟以經星躔次為考静天何所考乎濳夫方公謂算家遇不可問之數則立商法焉商而兩測之以中之度于是乎定今以静天環一定之分秒而使日月五星與經星皆各行其遲速之行豈能逃乎猶之㑹通易幾者無往非河洛則物物之未有物先皆厯厯河洛也因建此意以待神明之士密之方公曰此定恆法也而随時測騐盈虛在其中矣天運盈虚一年有盈虚一日有盈虚又多年而盈多年而虚太西穆公曰地亦有㳺欲據一嵗之測而定之乎欲明其理理則如此盖從前止以經星天而日周之不知經星自行于静天而静天不可見故無悟者掲子宣曰嵗自為嵗差自為差嵗原無差也天有静動静天有一定之度動天有一定之至(此動静合一而言)周静天之度切動天之至以成其嵗節氣齊而南陸極嵗何常有差但仰視諸星稍移分許耳是不可謂之嵗差但可謂之星差亦不可謂之星差但可謂經星周天百十年移一度而或遲或速其數不等也測之者亦止測經星離至幾許周天幾許于嵗無渉也嵗則萬古如一也然人罄一生精力不過數十年亦止見其所行一度半度耳又安能以其遲速概前後之度而逺及于數萬年哉此言差之理但未悉其差數也余謂天地之理之數其妙不測政在于秒忽㣲芒之間而其日月星辰之象隂陽寒暑之候亦有時而不齊亦不能以一定而求之嵗差之測自古及今冬至日躔星度分秒年年不同(各節亦然但以冬至為主)而遲速各異者乎(遲者有百餘年差一度速者四五十年差一差是也)堯時冬至虛者今東移于箕矣而移者有實之理差之法知此則得天甚密也(㳺燕曰測實差法以太陽為主以星行為據太陽之嵗有二其一某節某㸃行天一周而復于元節)(元㸃是名太陽節氣嵗若太陽㑹于某恒星行天一周而復與元星㑹是名太陽恒星嵗恒星有本行自西而)(東假如今年冬至太陽㑹某星來年冬至此星已行過冬至若千分秒耳太陽至冬至則已滿節氣嵗之實而)(尚未及元星嵗之實也積數十年未及一度二萬五千餘年未及一周厯家必以節氣限以其不滿恒星嵗實)(為嵗差也知分節氣嵗實恒星嵗實者則得之矣)漢唐以來祗以年分課䟽密(如知分測統測之法則不必辨其年之多寡為疑也)未曉其所以差之故求其故者宜舉中星以定四時考晷刻以騐永短將黄道二分二至為界又測某恒星距界之度(測差者必以此數法為始)從而復測之乃見推移而復有環轉之差也以較中古上古此星離冬至漸逺如前居冬至者虚也今順行東去繼之者為女為牛為斗為算矣然嵗差實係恒星前行與七政本行無異也經星名位問日為諸陽之宗故名太陽月為諸隂之母故名太隂五星像五行之色故名為金木水火土經星錯綜列布全天何能一一具名而有意義乎曰天象之星元雖無名然地中之事上合于天循序而觀之故分内為紫微太微天市三垣定焉外分為四維東則角亢氐房心尾箕北則斗牛女虚危室壁西則奎婁胃昴畢觜參南則井鬼栁星張翼軫二十八宿布焉三垣二十八宿與天並運而一定不移者為經星也日月五星運行于列宿而無定在者為緯星也恒星布其經七曜運其緯經緯錯落而凡星布列其中則天之文見矣天學家以三垣者曰天市按明堂位也曰太微按朝廷位也曰紫微按宫寢位也明堂位者天子巡狩之居也朝廷位者聽政之居也宫寢位者燕息之居也天市嵗臨之太微日臨之紫微朝夕在焉七曜必遵黄道厯天街嵗一受事太微而出猶大臣受天子之命于朝以行其職也二十八宿分布四方各守其度率諸經星以共紫㣲之帝猶郡國百司各治其職安其民人以承天子也盖周天以紫微垣為中雖天運無窮三光迭曜惟極不移故曰北辰居其所而衆星共之是北辰最尊本無星也極星乃其傍之最近者其實極星未常不動特動之微人不覺耳勾陳中一星曰天皇大帝為帝之主宰帝在紫宫故北辰居其所而周天運轉晝夜不息此獨為之樞也苟非帝以宰之則四輔三師尚書大理女史柱史皆空名耳非極星以樞紐之則其宿度井多至三十餘度觜少不及度其何以定之哉可見天帝有常尊天樞有定所天度有定數也又析舉其大之者言之第一星主月后妃也第二星主日太子也亦為太乙之座第三星主五星庻子也勾陳后宫也天帝之居北四星曰女御官八十一御妻之象也抱北四星曰四輔所以輔佐北極而出度授政也大帝上九星曰華蓋所以覆蔽大帝之座也下九星曰扛華盖之柄也又下五星曰五帝内座扛旁六星曰六甲所以分隂陽而配節候故在帝旁布政教而授農時也極東一星曰柱下史北一星曰女史傳舍九星在華盖上近河賔客之館南河中五星曰造父御官也西河中九星曰鈎星天乙星在紫宫門右星南天帝之神也太乙星在天乙南亦帝之神也紫宫垣十五星其西蕃七東蕃八在北斗北一曰紫㣲大帝之座天子之常居也東垣下五星曰天柱建政教懸圖法門内東南維五星曰尚書主納言尚書西二星曰隂徳陽徳主周急賑撫門左内二星曰大理主理刑門外六星曰天床西南角外二星曰内厨東西維外六星曰天厨此北極紫宫之次也北斗七星在太㣲北七政之樞機隂陽之元本也運乎天中臨制四方以建四時均五行也故曰斗一北而萬物虚斗一南而萬物盈魁四星為璇璣杓三星為玉衡又曰斗為人君之象號令之主也又為帝車取運動之義其第一星曰天樞為天二曰天璇為地三曰天璣為日四曰天權為時五曰玉衡為音六曰開陽為律七曰瑶光為星一至四為魁五至七為杓杓南三星與西三星及魁第一星皆曰三公主宣徳化調七政和隂陽也此北斗之次也文昌六星在北斗魁前天之六府也一曰上將二曰次將三曰貴相四曰司禄司中五曰司命六曰司冦北六星曰内階相一星在北斗南總領百司以集衆事太陽星在相西西北四星曰勢天牢六星在北斗魁下此文昌宫之次也太㣲天子庭五帝之座也十二諸侯府也其外蕃九卿也一曰太㣲為衡衡主平也又為天庭理法平辭監升授徳列宿授符諸神考節舒情稽疑也南蕃中二星曰端門東曰左執法廷尉之象也西曰右執法御史大夫之象也左執法之東左掖門也右執法之西右掖門也東蕃四星一上將二次將三次相四上相皆曰四輔也西南角外三星曰明堂天子布政之宫西三星曰靈臺主觀雲物左執法東北一星曰謁者主贊賔客謁者東北三星曰三公内座朝㑹之所也北三星曰九卿内座九卿西五星曰内五諸侯此太㣲宫之次也黄帝座在太㣲中含樞紐之神也四星夾黄帝座東為蒼帝南為赤帝西為白帝北為黒帝北一星曰太子太子北一星曰從官帝座東北一星曰幸臣屏四星在端門之内所以擁蔽帝座郎位十五星在帝座北郎將在郎位北武賁一星在太㣲西蕃北常陳七星在帝座北為天子宿衛以設防疆禦者也此五帝座之次也三台六星兩兩而居起文昌抵太㣲一曰天柱三公之位也在天曰三台主開徳宣符也西近文昌曰上台為司命主夀次二星曰中台為司中主宗室東二星曰下台為司禄主兵所以昭徳塞違也又曰三台為天階太乙躡以上下一曰太階上階上星為天子下星為女后中階上星為諸侯三公下星為卿大夫下階上星為士下星為庶人所以相隂陽而理萬物也南四星曰内平平罪之官也中台之北一星曰太尊貴戚也此三台之次也二十八宿者角主發育萬物故特先焉亢曰䟽廟氐曰天根房為天子之後寢鍵閉鈎鈐兩咸以防淫而謹内也心天子之象尾主后妃箕承帚掃尾受之以箕示婦道也天寳之間五星聚箕尾斗主薦賢受禄斗為器量所以斟酌也民事莫重于耕織故牛女相聯牛農丈人耕驪珠女獻工也天田九星象天田天狗司夜天雞司晨而使樹蓄及時也羅堰九坎天淵言農桑者先水利也女寵則國虚故哭泣司命司禄附之虛主死䘮危主禍耗故梁與墓附之危則復盈為室室主營建宫室嘉靖甲申五星聚營室壁圖書之秘府奎天子之武庫放軍南門營壘王良策府車騎附之武備莫要于牧飬婁主蓄牧犧牲以供祭祀自室至婁天子之宫館苑囿在焉胃主諸藏五穀之府昴名旄頭主刑獄故卷舌附之畢主外兵昴畢之間有天街分焉參中三星為中軍中星為大將旁為參謀也二肩左右將軍二足前後將軍也中三小星曰伐天都尉也觜行軍之藏府座旗附井主水衡法令平中之事物之平者莫如水故營國制城畫野分州皆取象焉故四瀆五諸侯南北河附之國必有社故天社附之社必有祭故天厨附之鬼主祠祀栁主草木饗燕星為文明之㑹黼黻文章張主宗廟珍寳服用故天廟太尊附之天啓甲子五星聚張翼天子之樂府也軫主車騎任載而復于角焉如揺星隕星鬭星飛星凌犯守畱芒角掩等各以類占之客流妖瑞彗孛等星俱是地上灾祥之氣上着于空故出無常處見無常時而亦無常體也恒星多寡問恒星既循序有名矣然亦有大小不齊者多寡不等者能無遺漏乎曰恒星亦名列宿亦名經星云恒者謂其終古不易也云經者以别五緯南北行也其數甚多莫能窮盡今已測定稽其大小分為六等一等大星如五帝座織女類者一十有七二等如帝星開陽類者五十有七三等如太子少衛類者八十有五四等如上將柱史類者三百八十有九五等如上相虎賁類者三百二十有三六等如天皇后宫類者二百九十有五此皆有名之星共計一千一百六十有六㣲星之概萬一千五百二十至于天漢是無算小星接聚一帶如白練焉較古之測精宻極矣大陵積尸等亦小星攢聚以成此不能以數名總曰天漢積尸云大星位分問經星一一具名矣如何認法知是某星知是幾等是某星在南某星在北曰觀星法先知赤道中分之位界並南北極之位分宵測經星中大星入某宿之位為經以距北極逺近為緯合以黄道過宫之經與離赤道南北之緯如數安置定其體大幾等則無遺矣今録吾師良孺熊公測定宫度之星于後以便學者觀測太陽出入赤道度分問觀星必須先認赤道與北極極有星可指赤道必須測法方可知之不知測法則㳺移數度亦無據也曰定以太陽出入赤道南北各二十三度半内外不異往來有漸以二十四節所躔準之(日距赤道逐日有移惟以節日為準使人)(易測)可以知所在赤道高低因以推所在之北極焉日距赤道(如春秋分日太陽行周天圏即赤道正圏無偏南偏北之度即知南北平分天體之界也)春分 中(本時在中線無距度)清明 北(六度分十九)穀雨 北(十一度三十分)立夏 北(十六度四十分) 小滿 北(二十度十二分)芒種 北(二十二度四十六分)夏至 北(二十三度三十一分)小暑 北(二十二度四十六分)大暑 北(二十度十二分)立秋 北(十六度四十分) 處暑 北(十一度三十分)白露 北(六九度十 分)秋分 中(本時在中線無距度)寒露 南(六度分十九)霜降 南(十一度三十分)立冬 南(十六度四十分) 小雪 南(二十度十二分)大雪 南(二十二度四十六分)冬至 南(二十三度三十一分)小寒 南(二十二度四十六分)大寒 南(二十度十二分)立春 南(十六度四十分) 雨水 南(十一度三十分)驚蟄 南(六九度十 分)經星東移問經星終古所行不易觜星古今推測度分皆不同而恒星亦有移乎曰恒星以黄道極為極而行度時近時逺于赤道極因黄道有斜絡其度故有近有逺若行漸近赤道極所過距星線漸宻其本宿赤道弧較小若行漸逺赤道極所過距星線漸疎其本宿赤道弧較大此由二道之極不同非距星有異行異位也如觜星距星上古測三度厯代逓減今測且侵入參宿二十四分矣是其星在黄赤二道元有分别而恒星以黄道極為極其距本極之緯度參在觜後終古恒然其依赤道而論其極非恒星之極而緯度亦非恒星之緯度在昔雖先觜後參而近自二百年來則參先而觜後矣蓋因兩道從兩極出線以定度故有異也元所定宫次今皆不同因恒星有本行宿度已東行十餘度耳觜宿古今測異問測異之法蓋因出線定度從兩極而知之然觜星故有異他星獨不然乎曰測星之法必以太陽為主太陽將入之時則測月或太白或嵗星測其距太陽度分若干太陽既沒再測月或太白或嵗星測其與某星相距度分若干合兩測即得太陽與此星之距然後查太陽本日躔某宫度則知此星所在宫度矣測一星經度如此他星亦然于是又測此星出地平之最高即其距赤道之緯度並可得也然而恒星之經緯度分有二其一以黄道極為樞每嵗東行五十一秒有奇而其距本極之緯度則亘古無變其一則因赤道以算其經緯南北星位古今大異如堯時外屏星全座在赤道南今測在赤道北角宿古測在北今測亦在南矣星緯變易多類如此以至赤道論各宿距度亦有異者如觜宿距星厯代漸減者因觜度促而近參易見也他星互有損益因度廣而畧之也然距度各各不同是恒星經緯之度非赤道經緯放也若謂循古已足象數精微豈其然乎七曜各麗天問七曜列宿豈不如鳥飛空中魚行水内安得各設一天以麗之乎曰萬物之理静者獨有一静動者獨有一動未有一息之内能動静互見未有二動並出能此動東去彼動西行者也今觀列宿日月五星其運動各各不同故謂其各有所麗之天惟金水二星其所行輪抱日輪外天轉故日轉日轉故金水轉如絮碾然鐵幹中轉二權自左右迭乗故俄而在日前行俄而在日後行似有三動每夜見其東升西沒每日一周者一動也是最上徤行之天所帶動也其附日東行每年一周者二動也本星所麗之天常東旋而其或南或北遲疾靡常者又一動也則本星在所麗之天如循圏然于其一時而有數動似若有天以牽属之為數重焉因名之俟其起測也非如物之層層而分之者也恒星天問然其動静不同似儱統錯綜其行也何以知七曜在下恒星在上曰六曜有時能掩恒星(云六曜者日未算也)掩之者在下所掩者在上且七曜循黄道行皆速恒星近宗動之天故最遲也七曜惟月最近地故能掩日與五星也試立一表候日月俱升至三十度月影必肥而長日影必瘦而短豈非日逺月近之故乎月循黄道行二十七日而周天餘皆一年以上是七曜中月為最速也宗動天問恒星在七曜之上有星可測有動可據宗動天者無星可測其動無據何以知其在恒星之上曰七曜恒星其運行皆有兩種其一自西而東右旋各有本行如月二十七日而周日則一嵗者是也其一自東而西左旋一日一周者是也似有二天故能一時作此二動因知七曜恒星天之上復有宗動宗動之上帝静主之宗動一天牽制諸天一日一周而諸天更在其中各安本所各行其本行也七政恒星既随宗動西行一日而周其迅速殆非思議所及而諸天又欲各遂其本行一東一西勢相違悖故近于宗動東行極難逺于宗動東行漸易此七政恒星遲速之所由也常静天問宗動牽製諸天此理可據常静之天以何為據也曰天亦理也有動必有静凡測星動物必有一不動之物為凖如舟行水中遲速逺近茍非以不動之地為凖則若干道理何從而知之若以此舟度彼舟則茫然耳自宗動以下隨時展轉八行不同(恒星與七政也)二極各異若以動論動雜糅無紀將何憑藉用資考算故當有不動之天其上有不動之道不動之度不動之極然後諸天運行依此立算凡所云某曜若干時行天若干度分若干時行一周天之類所言天者皆此天也不動之極對地中心至大之天至小之地通軸于一而後諸天錯行不〔？〕也故天之動者以静為基天之一日一周者此其常也天之内體漸逺漸遲以至于不動者地球是也天之外體亦漸逺漸遲以至于不動者常静是也諸天運行問有此不動之天與不動之地通軸于一諸天則不錯行然諸天之運静非自然而動也是有為而動也若謂動為自然寕無動更自然也若謂動為有為然則何為乎曰諸天之運行以極為樞軸亦無形質但如勁風之旋升降不息是為天體也亦非天體也實自然也亦是有為也故諸天之動一周厯十二時晝夜迭换曽無停住是有不動之神化為之主也惟有不動所以常動所以不盡動而萬物咸宜皆由于此不盡動之生遂也否則晝夜不均而動静偏勝矣天道違而人事壊矣故赤道内外相距限界皆等者盖所以令日行嵗一周以分四時以生萬物非無故也試觀冬則隆寒元氣閉蓄于下春則和矣萬物資發而上夏之熱也變未化而暢諸情秋之肅也除惡蘖以苞嘉種所以渾天之動為養萬物也七曜離地問渾天之内七曜列宿各有所麗之位則其逺近距地幾何與其高下運旋幾何曰天道㣲妙古明其理而畧其測今徹其理以精其測從地至宗動各有測算利西泰曰測地周九萬里而月離地心有四十八萬二千五百二十里餘辰星離地心九十一萬八千七百五十里餘太白離地心二百四十萬六百八十一里餘日離地心一千六百零五萬五千六百九十里餘熒惑離地心二千七百四十一萬二千一百里餘嵗星離地心一萬二千六百七十六萬九千五百八十四里餘填星離地心二萬五百七十七萬五百六十四里餘經星離地心三萬二千二百七十六萬九千八百四十五里餘此外即係一日一周宗動之天包絡轉運諸天者其離地心有六萬四千七百三十三萬八千六百九十里餘其餘逺近各有測算之法測量之器(㳺熊曰夫測器之在厯象家猶之工師凖䋲規矩也原靈臺止有圭表景符簡儀渾天儀諸器耳今)(西法乃有象限儀百㳺儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾盖簡平儀黄赤全儀諸器巧妙精絶外更有地平)(晷立晷百㳺晷通光晷柱晷瓦晷碗晷十字晷星晷月晷此皆測影之器若遇隂雨則有自鳴鐘沙漏水漏窺)(天則有逺鏡見其界限分明星體㣲渺此諸器晷惟鏡最巧)實非荒唐之言揣摩之見直是一毫不爽者然高低尚有定位而行天轉旋皆可測也如日處七曜之中約一時從宗動之行有九百萬零四萬里經星天在七曜之上約一時從宗動之行有一萬萬零七百二十萬里較行疾于太陽數十倍為近宗動天之故(掲子曰就人息與天行合計之人一日一夜計二萬五千二百息天一日一夜共行)(一周凡人之一息計月所麗天位應行一百二十里日麗天位應行四千零四里餘火星麗天位應行六千八)(百三十七里餘木星麗天位應行三萬一千六百二十里餘土星麗天位應行五萬一千三百二十五里餘經)(星麗天位應行八萬五百又九里餘宗動天位應行一億六萬一千四百六十七里餘)盖諸星處天有高下距赤道亦有高下各有本行本輪各有二道二極故行天有遲速而體叚有鉅細也只因離地絶逺人仰見得鉅者亦㣲也細者如天河積尸等雖星亦夥亦不見其為星也若人從星上視地决如一塵不能見矣日體大小問七曜列宿之天逺近距地有測算矣六等之星次第之徑其大小幾何曰渾盖圖憲測以經星之體分為六等上等全徑大于地全徑(地周圍全徑約九萬里徑二萬八千六百六十里零三十六丈)六十八倍其最大者加二十倍次小者減亦如之次等大于地二十八倍其三等大于地十一倍其四等大于地四倍有半其五等同地稍大其六等得地體三分之一六等之外更有㣲渺難見者則匪目所能測匪數所可算也七曜之體惟日最大其徑大于地一百六十五倍八之三(㳺燕曰此)(以周天之度每度作六十分算者日約大三十分如以地升之日際僅有十餘秒耳他星亦然又以日月在本)(天每半度為一全徑方素伯以半度推之日徑大一十三萬八千二百四十八里半也若據百餘倍推之則日徑)(大四百八十八萬四千零三十五里餘在本天應據十七度一十一萬八千三百零六里矣此初函錯處故素)(伯辨之)填星大于地二十二倍嵗星畧同填星熒惑又不及嵗星地大于太白三十六倍二十七之一而辰星最下則又渺乎小矣地大于月三十八倍又三之一然則日大于月六千五百三十八倍又五之一也予謂人目所睹近者雖小亦大逺者雖大亦小也此以其理測之如求確據則亦鑿矣金水伏見問土木二星大地二十餘倍火星大半倍其可見固也金星小地三十六倍以地球九萬里算之亦庻幾大三千里其天處水月之上可見亦固也水星小地萬餘倍計其大不及十里所處亦在月天之上則無可見之理測其行度如何知之曰金水附日而行其光俱伏而不見西極之國近嵗有度數名家造為望逺之鏡(㳺燕曰其鏡以皮為筒約長一尺餘其大小四五筒叠套)(内小筒鏡向物視之見大為小外大筒鏡向物視之見小為大約百里之遥無雲烟所隔則見人鬚眉嘻笑萬)(厯始有此器入中華其次則有簡天儀測量晷稱為絶巧測天之高下多寡定星辰之度分深淺皆由此器)測木星則旁有四小星周行甚疾土星旁有二小星如附耳焉測太白則見有時晦有時光滿有時上下弦若水星之見必平望于高舂桑榆之間切地上浮㳺之氣即可影小為大如眼帶鏡看字又可影逺為近如著錢于盂水中又水星有本天有附輪之天其輪又頗大盖不大則不能或在日前或在日後也附輪而行有逺地之輪弦有近地之輪弦而其本天之心又不對地之心以不對運既有逺地心之處又有近地心之處故水星之有時可見也以平望切浮㳺之氣影之使大又其所循之輪弦既與地切而本天之行動又與地近備此三端所以可見而測歩甚艱也若恒星之㣲渺難見者如昴星傳云七星惟據目力之見而定也實則三十七星鬼宿四星中白質傳云白氣實有三十六星小星如牛宿中南星尾宿東魚星傅説星觜宿南星皆在六等外㣲渺難見以逺鏡窺之則見多星列次甚逺如觜南一星是二十一里大小不等可見恒星無數三垣二十八舍三百座一千一百六十六官之外樊然淆亂隸首難窮也天漢問天漢傳云河影又云清氣埤雅云河精上為天漢物理論曰水氣發而升精華浮上曰天河靈憲注亦以水精為天河今謂是星恐未然也曰古人以天漢非星不置諸列宿天之上意其光與映日之輕雲相類謂在空中月天之下為恒清氣而已其實不然以逺鏡窺之天河實是小星之隠而不現者然微而甚多攢聚一帶盖因天體通明映徹受諸星之光并合為一直白練焉故名為天河後世因名天河則疑為水之精也然其理與鬼宿中白質大陵積尸等俱似清白之氣耳使其真為清氣之類與恒星異體安能亘古常存其所當星宿又安能古今寰宇覯若畫一哉甚矣天載之𤣥也人據目力所觀曷能窮盡天上㣲妙之理耶(天河十月昏轉南而隠二月昏轉北而見天下皆然方宻之老師在嶺表數年臘月晴煗之夜仍見)(天河朗然若星總不收隠是其星微近則見逺則隠也嶺表之地離赤道二十三度距南不逺所以冬月亦見)(其朗然若星不俟逺鏡亦可知其非清氣也)經星伏見問星分經緯矣分宫度矣分等第矣如南極諸星人不見其出沒雖有其星亦空名耳雖列經星之位亦無據也曰夫天星人只以目所見者言之但諸物當論其全體方無遺漏合天下之耳目為耳目則無管窺之見此南極諸星不見為何由本地處北極出地之度則不見南極入地之度處南極出地之度則不見北極入地之度如京師見北極出地四十度則星距北極四十度以外者常見距南極四十度以内者不見若見南極出地四十度者反是(出地或多或寡者亦然)如處赤道之下南北二極此地皆可見春秋分日正麗天頂冬夏至日僅距頂各二十三度半常見南北二極諸星無一隠者(漢有海中星占亦載南極)(諸星因人不見故缺之近者西士浮海來測之甚悉也)然恒見諸星亦有伏見因其伏見亦可遺乎經星伏見亦由太陽右旋至某宿度附近之星光為日奪故不能見迨太陽去離漸逺則此星之光漸升東方見而不伏矣縁是而升至天頂午位即曰中星此其中星出沒在象學為用甚鉅厯家中夜資之可定時刻不爽矣度分宫舍問恒星之度尚可據而曰天之度曰黄道之度赤道之度又曰宫曰舍何也曰恒星二十八宿亦未始有度也天道冲漠何以考測惟以二十八宿為體隸其度于二十八宿上以此星距彼星算也用以紀日月所躔而已天之度日引之謂之度度之離日行則舒月行則疾㑹而均别之曰赤道之度日行自南而北升降四十八度而迤别之曰黄道之度不可見可見者星也剖周天為十二界謂之宫日月五星之所由有星焉當度之盡者凡二十有八謂之舍舍所以挈度度所以生數度在天者也為之璣衡則度在器度在器則日月五星可以轉乎器中而天不為難知也度分廣狹問既以二十八宿為度而度有狹有濶濶處尚有星可指何不均分以便起算曰天之分星度廣狹為日之所躔或多或寡適與此宿相當者凡二十有八故度之多寡于是生焉斗井之間非無星也然不與日躔相當故其度不得不濶也觜鬼之旁非無星也然與日躔相當故其度不得不狹也夫其得度廣狹亦以所相值者言耳非舉一星全體盡占此度也度属不同問分度以日所躔相當者是也何度内諸星或測属此又測属彼如大角一星兩朝志以為属亢中興志以為属角庫樓十星丹元子以為属角兩朝志以為属軫適相當者不可㳺移乎不相當者可㳺移乎曰測星定度古今畧異唐開元所測與舊經異而宋所測又與唐異皆所争二三度也而天道幽逺測法未宻術家各持一説固未有以訂其是非也則于是此以為軫彼以為角甲以為氐乙以為房然所差者常在禆鄰次舍之間不過㳺移數度耳今定周天為四象限限設三宫宫分三十度大約白羊(戌宫)初度交壁初度金牛(酉宫)初度交婁五度隂陽(申宫)初度交昴七度巨蟹(未宫)初度際參末井初獅子(午宫)初度交井三十度雙女(巳官)初度交張七度天秤(辰宫)初度交軫初度天蝎(卯宫)初度交亢初度人馬(寅宫)初度交房三度磨羯(丑宫)初度交箕三度寳瓶(子宫)初度交牛初度雙魚(亥宫)初度交危三度(㳺熙曰世人但知子属本日始得亥)(為本日終時殊不知子對中正初之刻為本日始時夜子初四刻為本日終時如正月立春建寅過宫則在雨)(水始入寅宫今人謂奎二度在戌宫胃四度過酉宫畢七度過申宫者俱不知宫順行逆又不知宫分時析之)(故)法以線按極心至周天宫度某星在某宫線以内者即属某宫某宿之星星動爍躍問天星行有定度測有定算然星有時閃躍有時動揺似無定也斯動揺閃爍亦關之測算否曰經星之定位無錯綜變換明晦増減之理若將風雨則閃爍動揺皆地氣飛揺騰動其影然非星動也氣躍也故星揺之下當有濕露百里之外則不動不躍矣人目從地氣中窺動日光星光本自如也若切近地平之星比于中天者其躍動更倍則以近地之㳺氣倍厚于中天若昧爽日未出之前地平之星躍動更倍于他時是地氣為日光蒸起倍厚于他時耳故天將曉之候較夜猶暗日將出之處比他處更黒曉行之人由此而知天之將旦理可類推也㳺氣問日月諸星從東起時覺大至中天較小此大小何故乎而大小則經緯之度分㳺移難定也曰測日月諸星經緯度分者先須定本地之蒙氣差盖地中時有㳺氣上騰氣行空中悉成濕性質雖輕㣲不能隠蔽天象却能映小為大升卑為高故濕以太陽自下而上映帶而來晃漾蓬勃人望之以為如是其大耳若太陽當空浮翳盡掃無所映隔真體明浄較之旦暮為小諸星亦然此映小為大也定望日時日月正對地在日月之間人在地平無兩見之理而恒得兩見或日未西沒而已見月食于東日已東出而尚月食于西或高山之上見日月出沒以較厯家算定時刻每先升後墜此升卑為高也且蒙氣又有厚薄有高下近水與浮虛之地氣盈則厚而高堅燥之地氣減則薄而下厚高則映像愈大升像愈高薄下則映像不甚大升像不甚高大約地勢不等氣勢亦不等故受蒙者其勢亦不等欲定日躔月離五星列宿等之經緯度分非先定本地之蒙氣差終難宻合余師司馬熊公(諱明遇)曰天地之象至定不定者氣蒙之也天地之數至定不定者事亂之也達者始終古今深觀時變仰察蒙氣俯識亂事而權衡其理則天官備矣星座問同類之星有各自為用而不相附者何也曰諸星有以一星為一座者有以二三十星為一座者有相為比附者有相比而不附者杠附華盖凡十八星為一座者衡附庫樓凡二十九星為一座者鉞不附井耳不附畢糠不附箕長沙不附軫鈎鈐閉鍵不附房則以属吏自為官也矢得以附弧臼不得附杵以弧矢一人司之杵臼二人司之故也野雞不附軍井雞自守其所司也南門不附庫樓南門不但為庫樓門也如積水不附天船積尸不附大陵天讒不附卷舌咸池天潢不附五車皆有其辯不可臆説也晝夜長短問人居各地而有晝夜長短不同日出入不同節氣時刻不同何以推之知其不同也曰天體一而已人居地上東西異而日月升沉之候異焉然寒暑發歛同其𤣥象未有移也南北異則晝夜長短異矣赤道之高卑亦異矣故有晝夜長短地平之分焉人居見北極出地者則夏之節氣晝長夜短冬之節氣晝矩夜長人居見南極出地者則長短反是諸節亦然互有淺深也故節氣之所反者皆由兩極出地之高下也人居赤道之下者以赤道為天頂兩極合于地平則晝夜均平絶無永短其地極熱以二分之節為夏以二至之節為冬(㳺熙曰此地見兩夏兩冬而無春秋值兩冬之日寒暑亦猶中國值二分之時)(一日數雨而人柰暑)若居南北二極之下者以南北極為天頂則以赤道為天腰日輪旋轉如磨焉而春分後皆晝秋分後皆夜者北極下也而秋分後皆晝春分後皆夜者南極下也(㳺燕曰人能知赤道之下無寒晝夜無永短二極之下無暑半年為晝半年為夜則知天矣)此外諸方各有永短(亦有二三月為一晝夜者)天下不可一律也如此至于東西日月諸星雖每日出入地平一遍但天下國土非同時出入盖東方先見西方後見漸東漸早漸西漸遲如兩地相去九百三十七里則隔一刻相去七千五百里則隔一時(㳺燕曰此從東西一帶算則漸次而遲從分而刻而時以至遲半日)(而止從南北一帶算則有晝夜均平亦漸次從分而刻而時而日而月以至半年為一晝夜而止也)周天三百六十度每度為地二百五十里若相去一百八十度則東方之午為西方之子相去九十度則東方之午為西方之卯故東西晝夜時刻不同皆由于日之出入也日之出入舒縮不同皆由于兩極出地多寡也所以普天之下時時曉時時午時時日晡時時黄昏時時夜半各于其地作如是觀晨昏長短問晝夜長短由于日之出入晨昏亦有長短此何理也曰太陽循黄道而行萬古無瞬息之停人居地上見其漸升地平之上人目可得而覩謂之晝太陽漸隠地平之下人目不見謂之夜而晨昏者是分晝分夜之二界也太陽將出未出數刻之前其光東發星光漸為所奪是名為晨太陽漸入地下廻光返照亦經數刻漸漸減盡是名為昏其久暫分數亦因冬夏而分長短也今測以太陽出入在地下十八度内為晨昏之界但太陽行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若論極高七十二度以上之度晨昏雖至丙夜亦無黯黒也天經或問卷三
## 卷四
欽定四庫全書天經或問卷四閩中㳺藝撰分野問渾天之象星辰周布如無占星紀地則徵應不能劵合然紀地分州與天度相符否曰日月列宿自東徂西原無停住日月無私照列宿無私顧何分彼此乎秦漢謂經星以角亢鄭之分野兖州氐房心宋之分野豫州尾箕燕之分野幽州斗牛呉越之分野楊州女虚齊之分野青州危室壁衛之分野并州奎婁魯之分野徐州胃昴趙之分野冀州畢觜參魏之分野益州井鬼秦之分野雍州栁星張周之分野三河翼軫楚之分野荆州以二十八宿分主十二州也夫星光有下施之功能為人物方隅禨祥所由理或不誣然經星所分如家人子别藉家財何視𤣥昊之不廣也而所分多少逈絶如鄭宋齊魯數百里地而或分三宿二宿已視秦趙異矣斗牛楊州合江南數省延袤亘匝五六千里僅值二宿又四方萬國而無一宿所值然俱在覆載之中抑何不平之甚耶如云自古占星紀地徵應符合而不知治亂循環有一定之理星文無變徵以各地之氣為變徵事多符騐史書于事後牽合傅㑹耳潛草曰地如蓏有蒂臍以赤道之腰分南北東西與二極為六合矩也卵伏必分上下圓物水浮絲懸便自定分三輪五線証知中國當胸西乾當左乳中土以卦䇿定禮樂表性命治教之大成獨為明備中正豈偶然乎當北極之下者無用之地也黄道之下人靈物盛而中國在腰輪之南天地人相應其幾自應地勢符天全地應之一方之地亦應之可以平列可以環列古人因民之所知而列之惜今無神明不能重定中土之分野而猶守隋晉之志更今郡縣名耳是古人因事觸幾用占分野原非限定為後世之執據也如甲子干支亦用分野可推矣世人膠見所以事事礙也年月問一年太陽行天一周謂之年是也月小于日反以三十日為一月以十二時為一日何也曰一嵗者太陽随列宿東行旋天一周之期也其行有二一從某宫次度分一日一度行天一周而復于元界其數為三百六十五日二十四刻二十一分有奇一為太陽㑹于列宿天之某星一日一度行天一周而復與元星㑹是謂一嵗之全數也但其數每嵗自有本行故須加本行以定嵗所以加者恒星東行定為五十一秒(㳺燕曰恒星天圍之大有二秭○畡二京八兆八億三萬九千○二十五里恒星東行全數一嵗復加行八萬)(一千一百五十三里半至二萬五千餘年則加滿全數為嵗差者不差矣此以里數分度算者)所謂嵗差也然而日厯紀年惟以全日推算不用小餘如以太陽十二次㑹合太隂為嵗也為三百五十四日故二年三年而閏一月也紀月有二或因太隂㑹朔一次以定謂太隂之月或因太陽行一宫次以定謂太陽之月顧其十二分年之一分則一也一月之終分為大盡小盡者以二十九日六時餘月㑹日而合朔如初朔子正過二十九日外而不及第三十日之子正則謂之小過子正則謂之大雖有三十日弱而時刻不及者厯家不得名大或二十九日強而時刻已逾者厯家仍不得名小且宇内地度不同而月之大小因而互異比如京師第二朔在子初二刻未到子正其月為小而西安此朔則已在子正初刻又當為大大盡小盡如節氣然亦有各地之不同也(㳺熊曰論詳測不可差分秒則有各處節氣與大月小月之不同依京師為主則各)(處惟存其理只得畧其法而遵之以便民俗也日月食多寡與時刻淺深亦如之)是月合朔要三十日弱故為一月也是為太隂之月也(以合朔定月故名太隂厯)然以冬至為正節宫十二中氣為十二宫(即十二支之宫)則一嵗三百六十五日三時行完一嵗以朔望另算此依宫論氣則不須置閏此法平易苐後世不能行也中國以太隂為厯以月為主故有盈虚而太陽節氣宫度反分註于月之下若以太陽為厯則以節氣為主朔望分紀于節氣之中則不須紛紛言厯矣日者從東厯西行天一周任踵元處而太虚過一度(即恒星過一度)為一日也度分四限限分十二宫一刻太陽行三度四十五分行三十度過一宫為一時一日厯徧十二宫為十二時成一日也厯法問年以太陽行完周天之期為嵗月以合朔為月日以太陽厯徧十二宫時也何周以建子月為嵗首商以建丑月為嵗首夏以建寅月為嵗首然太陽行周天之元界為期而有從丑從寅之嵗首是嵗不拘定某處為期為嵗也月以合朔為初晦為終然厯家又以某日立節為某月節月不以朔晦為月則月亦未以朔望為月是以節氣為月也曰古今定厯必以冬至之日時為厯元是以太陽行北陸至南盡而復囘是復卦一陽初生之時也故冬至之日建子為首周天十二宫必以子為首何常以丑以寅為首也昔伏羲氏始造八卦作三畫以象二十四氣黄帝因之初作調厯厯代十一更五千餘年凡有七厯顓頊以今之孟春月為嵗首因其時正月朔旦立春而五星㑹于天厯營室也氷凍始泮蟄虫始發雞始三唱天曰作時地曰作昌人曰作樂鳥獸萬物莫不應和後謂顓頊聖人為厯宗而夏繼之湯作殷厯弗復以正月朔旦立春建寅為節也更以子月朔旦冬至為嵗首随而易之以建丑也(后魏景初元年亦以建丑為正月)周易之以建子也三代以後皆從夏節據正四時夏為得天以承堯舜從顓頊故也大戴曰虞夏之厯建正于孟春此之謂也孔子曰行夏之時後世因聖人之一言不敢改也余謂必以古今以冬至定厯元為嵗首後人不復有偏執㳺移從丑從寅也方師宻之掲子子宣同余推測辨正以為萬世定法其法當以天為定盤(所謂静天也静天即在動天之中)以黄道為定圏(嵌動天之中始終不改徙者也)以十二宫為定節氣(依地為盤以分子丑)(以氣分宫不以日分宫也)以道淺深定宫(所謂北道長南道短随多寡而分也)以冬至為嵗首(神農高陽周武皆建之為嵗首)以日躔一日為定度(不論遲速一日為一)(度以日分度不以星分度)以日到宫紀日(所謂冬至一日冬至二日行滿此宫則换節另紀以)(上不用測算)以月到宫紀月(月到某節某日合朔某日弦望到南至則為一周)以星到宫紀星(某星于某節日移宫某節日合伏到南至為一周以上用測算)如此則無嵗差(如此日自為日月自為月星自為星分毫不亂何有嵗差)如此則無氣盈朔虚(合朔)(為一朔)如此則無閏月(止須四年増一日而宫節如故)節氣無月首月尾而節定(每節自首至終節節無異矣)嵗無新年舊年而嵗定(每嵗自冬至至)(除夜嵗嵗無異今星算家畧存此意)嵗嵗是此日立春嵗嵗是此日立秋而天定(今逢春迎春逢霜迎霜降畧得此意)嵗嵗是此日興農嵗嵗是此日講武而人事定(今春分栽花驚蟄驚蟲畧得此意)節節是此日數(每節)(自一日始至某日止各有定數)嵗嵗是此日數無増無減而日定(自冬至一)(日始至三百六十五日三時止)一嵗還一嵗一節還一節(並是一日還一日一度還)(一度)天道合人事齊是為天厯是為萬世畫一之厯也終數百年必有起而從之者霄霞問霄未見天之何色而指也霞則見天之五色而著也雖日月星辰不如霞之彩測歩者獨不關之何也曰霄者天之無雲氣而青碧者也天色在五行之外青亦非其真體莊生所謂天之蒼蒼其正色耶其逺而無所至極耶其視下也亦若是則已矣霞者雲正受日光則透白虛斜相交則起色皆假日之光或成五彩也夫雲氣至清虛五色非有定質因時之早晚候之寒暑各借日氣之厚薄掩映人目而成象為五彩成文乃和氣之所散亦視境之所幻故不關之也風雲雨露霧霜問氣一也何以能變水火風雲雨露之不同何也曰天地之間皆氣也氣貫實中而充塞虛廓則一也而其所出之體有輕重爽膩之不同故其變亦有不同耳濕者為水燥者為火火出附天水浮附地天地之間分三際焉有凝形之氣有未凝形之氣水土之塊太陽蒸之是成温際真火同天是名熱際中間通達而冷是名冷際日為火主照及下土以吸動地上之熱氣熱氣炎上而水土之氣隨之是水受陽噓漸近冷際則飄揚飛騰結而成雲雲上隔日氣下隔火氣冷濕之氣在雲中旋轉相盪相薄則旋為千百螺髻勢將變化而萬雨生焉雨既成質必復于地譬如蒸水因熱上升騰騰作氣雲之象也上及于葢葢是冷際就化為水便復下墜雲之行雨即此類也若氣䟽越而燥鬰積上升天上無濕氣以吸之地下無濕氣以助之則此燥鬰之氣飄揚旋轉横騖披呌震撞怒號如人之噫而騖于空者則為風風性本自燥熱随過地方亦帶濕氣海方多濕所以東南之風濕熱西北距海甚逺所以多燥其為利為害亦從所經之地分也有日出而風發者以燥氣為夜冷氣所壓日開其冷風風遂噓發亦有日出而風息者陽氣勝而燥濕之氣散也有暴風者以熱氣被冷雲所圍開雲突出故為暴風或峰島土竅激氣而助發其風亦烈赤道之下有片雲即有巨風以日近故有旋風自上而下者有自下而上者海中能吸舟船四時各有信風者亦随時随地為之不可一律也(㳺燕曰如太平海全無風浪大西洋至大明海四十)(五度以南風有定候四十五度以北風常變亂倐忽更二十四向小西洋至大浪山潮極大而風浪甚險滿剌)(加國則無風而倐起數里之波北極之北海氷堆成山矣哥阿之地無雨常晴晴至數年徳墨多國則多雨泥)(入多國則無雨亦無雲泥禄河一年一漲亞大臘之山頂終古晴明盖其地獨高雲雨皆在其下耳然風雨因)(其地之濕燥日之逺近而不能一律也)若水土濕氣既清且微日中上升即為風日所乾迨至夜時升至冷際乃凝為露夜半寒深氣升稍重故晨露猶繁若届嚴節遂零為霜霜落之時五更偏厚夜有烈風亦受風損故風盛即露微風盛即露亦不降矣若地上濕熱值寒氣蒙葢不能上衝冷際為雨(㳺熊曰地之高下則冷熱之際亦高下日之逺近則冷熱際亦有逺近)又無風散彌漫布濩則成重霧日高霧捲輕颷微噓是陽勝隂霧變為雨是隂氣偏重耳然露與霜不同露能滋物霜能殺物以遏土氣弗使揚散為來春播種之資此霜之力也雨與露不同雨氣昏而露氣清露與霧不同露氣肅而霧氣迷也雪霰問雪寒物也欲下時必先温煖何也霰圓物也霰下成雪而有六稜何也曰雪與雨同理亦挾火氣故將雪之日必先温煖不温煖氣不能上升也天之三際近地之際率皆温也惟温則能生萬物温際以上則為冷也無冷際包褁則温氣直散不復有温便無雨雪霜露矣冬月冷際甚冷(三際上是火際)(不言火際者冬月太陽逺則冷際盛而火際㣲)氣升成雲雲遇冷際而為雨雨在氣中一一皆圓初圓甚㣲以漸歸併成為㸃滴隆冬氣升即成同雲遇冷凝沍悉成散圓(散圓即霰也亦兼雨㸃也)散圓下零又輕于寒遂成米珠雪漸升而上于雲則雲不能復聚遂凝為栁絮雪雨體大而風緊上降下持吹飄之間欲求歸併不可太合則鼔為六瓣遂為六花雪雪花六出者凡物聚方以八圍一聚圓則以六圍一此定理中之定數也水居空中在氣體内氣不容水急切圍抱不令四散水則聚而自保故成圓體此定理中之定勢也然雪之下也厚隂力扶陽氣除霜毒利生物也天亦非無故以為雪也大小雪之節後地自出北極二十七八度起出度愈多雪則愈盛大小暑之月後地自出南極二十七八度起出度愈多雪亦愈盛平見南北極者全無霜雪生植亦異故大地周圍之間時時雷電時時霜雪不獨時時黄昏時時夜半也雹問雹冷物也何以不降于寒而降于暑也或謂蜥蝪所噴或謂龍鱗所藏是乎否乎曰氣之三際中為冷際下近地温上近火熱極冷之處乃在冷際之中二時之雨三冬之雪盖至冷之初際即已變化下零矣冬月氣升其力甚緩非大地同雲不能扶勢故雲足甚廣二時之雲足亦濶雲生緩遲即雨舒徐皆變于冷之初際也夏月鬰積濃厚决絶上騰力專勢迅故雲足促狹隔堘分壠溝澮旋盈盖因其專鋭故能徑至于冷之深際氣升愈厚騰上愈速入冷愈深變合愈驟結體愈大矣遽升入極冷之際驟凝為雹雹體大小又因入冷之淺深雲氣之厚薄也雹中砂土更多于雪雹體中虛以某激結之驟包氣于中也如器盛氷雪外成温潤非極冷與外氣相激之徴乎若夫蜥蝪龍鱗之説則樵牧市語也雷電問世謂雷之擊物也電光耀其先而雷繼之似此當有二神司之永無間者乃何以春則發而冬必藏乎曰雷為陽氣而属火春夏地氣上升日行近天頂(人所居之)(地上為天之頂)照地成熱則有雷日為火母下火騰踔而親又挾水土之氣合迸衝逼雲中都被重雲圍褁四圍冷濕之氣包火成團燃著勢昌旁礴涌沸冷濕亟欲歛聚而下燥火又欲迸出而上東奔西撞所以轟轟猛勢相逼搏激漲破雲竅或如裂繒或為鳴鼓而成聲也而水土之氣挾帶㣲質畧如硝炱火熱發越適暎雲際逢其質氣閃為電光迅疾如金蛇火迸土騰土經火煉凝聚成物是為劈靂之楔矣然雷與電同體火氣切雲互相摩盪帶上土氣一齊㸃著乃見電光光相入目即呈聲氣入耳少待電光之後便繼急雷此則聞之遲速耳或先聞雷而無電者是燥火之氣與雲周旋遇合亦能發聲未曽燃火也或有電無雷雷聲稍疏未曾摩盪而火已燃也夫雷有三種一曰鑽雷尖細如火燄鑿空便過一曰湃雷逢物不擊而燒散一曰燒雷是陰陽鬰怒之氣地有惡氣適與之感㑹則震之而經過便畱火跡有毒之物去毒無毒之物㽞毒有去一毒而生一毒者皆燒雷之所致也(㳺熊曰地若近陽土中能生物如鳥如豕之異形非時觸之殺人此乃陽氣所生之物乘)(陽而出人得以制之非雷也)霾問風雲雨露是地氣蒸上而變也有時雨霾如灰也有時雨粟雨荳似物也有時雨諸物各像其形此種何物耶曰雨霾者火氣踈燥挾土而上水氣輕㣲不能成雨土氣濃厚降下如黄霧蒙蒙者謂之霾也若火氣亦盛則煉而成質或似粟荳與諸物之形皆與落楔隕石同理也夫地氣之升各象其山川之所積所落諸形亦地氣所致而象也彗孛問流星畫一火光瞬息之間見而無定形隕星或落而無形或落有如石者彗則有尾如箒孛則有芒如刺能同天轉此種何物也曰流隕彗孛皆火也火氣從下挾土上升不遇隂雲不成雷電凌空直突至于火際火自歸火挾上之土輕㣲熱燥亦如炱煤乘勢直衝遇火便燃狀如藥引今夏月奔星是也其土勢大盛者有聲有跡下反于地或成落星之石初落之際熱不可摩如埏氣初出若更精厚結聚不散附于晶宇即成彗孛(㳺熙曰火際極熱土氣衝此際如窑中無光投物則)(發光耳結聚其氣論其厚薄大小之分則有彗孛之不同)彗長而孛大故能久不散亦随天轉盛有光刺出鋒曰芒〔？〕長四出曰角〔？〕長而偏出曰彗彗之芒謂之正旗晨見東方芒則西指夕見西方〔？〕則東指而附麗日久勢盡力衰漸乃㣲滅故彗孛無百日不滅者凡彗將見必多大風大旱縁燥熱横滿空中容易變風未帶濕氣不能變雲主多荒而旱以彗燥熱能噏地上饒澤之氣又主多震以彗在上噏氣之𦂳地中之氣欲出所以揺動又主灾病以彗噏動燥氣流動人間水澤之處或有四圍芒角似鐵蒺藜者或為孛亦彗也此是上邉恒星所噏其氣雖不到星却與星對所以周圍芒角也如日月暈此方見彼方不見暈氣厚低不在日月體上也此外更有非所常見之星偶見于天謂之新星客星者然新星著天甚高行度有則初起時小而能漸大後又漸減測法視其所附某宫星以定其經緯度求其離赤道經緯度取其似徑約較有三分三十餘秒不似彗孛止麗空際他實麗列宿之天也但此種俱属火氣非星也總由太陽為諸火之原上耀全天下徹入地火諸變異各随其地挾水土之氣而生也惟大風雨則漸而解矣然水土非氣不升非火不化故宻之方師曰惟火至純不受餘物而能入于餘物水土與虛氣則皆相容相受者也海水夜明燒酒能熱是水有火分也水體同重惟酒則輕是水有氣分也積雪消之砂土下凝是水有土分也雲氣上升激成雷電是虛氣有火分也雨露霜雪虛升實降是虛氣有水分也地中最重自心以至地面虛竅甚多皆水氣火氣與虛所行虛氣與水火皆相接無際而能相化者也地中之氣與水接水随氣到即水所不到而土情本冷氣遇其冷亦化為水故地中皆水也日光徹地則生温熱温熱入地積成亁燥燥亁之極乘氣成火也火氣盛必欲伸則乘氣衝上遇雲雨所鬰褁者即迸裂成雷電也火氣體大而無圍褁者則結之成彗孛故彗孛能久不散随天而轉也如不衝上從地脉經之温柔而散者石氣觸之為硫礜水源經之為温泉故地中有火也(㳺熊曰世人惟)(知地中有水滂沛不知有火如此神異也)氣水在地皆因虛空雖居洞穴終是地上實亦未嘗離其本所火在地中非從本所而降盖由熱生以成濟萬物因縁上升仍歸本所者也虹問虹曰螮蝀疑為䖝属焉有䖝属如此其大而倐忽而生倐忽而沒耶若是雲霞之類何值起時或能吸水吸酒也曰虹係雨際雲在一邉日在一邉日光為雲斜對抵住日氣下垂吸動地下之熱氣則地之熱氣旋湧而起(虹起)(之處或值井值酒之地則其氣随湧而起人謂之虹能吸水吸酒也)以接空中雨際之雲雲之薄處為日光所映射後面却有黒雲濃重者日光透不去此映射之雲(此雲即徴薄之雨也)所以成虹特無顔色以日力㣲耳映日之色以為紅緑也緑者水之氣也紅者火氣也是虹為水火之交虛斜相映也故虹朝西而暮東中天日光盛時則無虹矣試于日在東使一人西邉噴水人從中間看其水珠皆成紅緑之象虹之體穹然外黄中緑而裏紅随雲之邉幅外薄中厚下愈厚故也對日成虹而他處復有一虹者又虹影所自射也然海現蜃樓皆是逺地樓閣上映于空空中濕氣倒影水靣人望之樓閣嶒崚謂之蜃氣者亦如虹謂之螮蝀也時有方士于東海見虹起處掘地得虹䖝能為媚藥亦取其類應耳所以古人以虹為淫氣而属䖝也日月暈問虹是薄雨為日光所映而成紅緑也然則日月四旁時有紅白之氣圍抱成環謂之曰暈此暈是何如曰暈乃空中之氣直逼日月之光圍抱成環其有缺者有團者抱者背者薄者厚者皆是氣所注射又有一等氣在天上外淺中深如井者深是氣厚處日光所照似乎深窈一般淺係氣薄日照之故白色如井欄月暈者必在中天必在望之前後上下弦内將晦朔時則無暈矣然欲風雨月方吸其雲氣而光所射以為暈也故暈氣漸稠而黒者雨徴也有忽然去一邉者風徴也忽然全去者晴徴也然此地見彼地不見縁其氣不甚高也日月重見問日月暈氣是也日為諸陽之尊有重出為之抗者此是何物也曰日有重叠見兩三者以雲對日一層雲稍薄能透光却被日光所射後邉却又有一層黒而厚者攩住日光反透薄雲故成重日之象其旁另有雲又與所透之雲相對復成日象然日在東西平靣下看之則間有中天則無是事以仰觀目力難及午中陽氣力大衝破雲氣且正中㳺氣更薄于東西也月亦如是亦須望前後兩三日見望時月力光大乃能照雲為月大抵日月之重皆雨徵也風雨徵問日月暈與重出皆雨徵也然暈與重出不常見而風雨則常有者更有何徵乎曰氣行空中為濕性所礙不得上升觀之見其宛曲者雨徵也曉間霧開而復擁者雨徵也晨起氣昏者雨徵也煙氣下垂者雨徵也日出時雲多破漏日光散射者雨徵也日光黯淡而色蒼白者雨徵也日出雲霧即掩者雨徵也忽有黒雲擁起者雨徴也晨西北有黒雲堆積者雨徴也昏西北累層煙霧者雨徴也目能射日者雨徴也天低氣昏㳺氣浮蔽雲勢四合俱雨徴也春大寒夏氣蒸秋忽凉冬忽温亦雨徴也日出無雲掩映者晴徴也晨有霧而漸開者晴徴也晨無霧露者亦晴徴也風從東南來者晴徴也煙氣亭亭直上者晴徴也晚霞彩者晴徴也午後多赤雲者晴徴也雲如火光者旱徴也冬大寒而數日忽温煖者雪徴也冬冷而羣鳥飛者雪徴也夏日災氣鬰蒸者雹徴也空中有雲如線不動者雹徴也井水忽溷者雹徴也或雲片相逐雲色慘白聚散不常繞圍日下日月昏暈日赤日圍月過房箕壁軫夜星爍躍參星動揺太白晨見此皆風徴或繼之雨也至于人事物類亦可以徴風雨者如頭痒耳熱靣赤髪潮體燥肢痛鳥雀翻飛噪空圍舞魚出跳躍羣蟻出穴蚓過路蛇曝日石脉潤樹汗流琹聲不清皷音不亮燈燄揺閃燄暴有聲此皆風雨之先徴也天開問偶然夜間天上有紅白大光燄異非常或見兵馬樓臺似有形有聲俗謂之天開門洪範傳謂之天裂孰是曰此是火際偶吸下土之氣鬰積騰燄如金銀在爐冶中鎔躍之狀當在月天之下太虚無際寕有迸裂之事且天體極堅若㑹迸裂則壊久矣若有門可開則開有常矣止惠帝元康二年二月裂一次太安二年八月裂一次穆帝升平五年八月裂一次廣三四丈有聲如雷也何天開天裂而晝不見獨見于夜乎日中太陽之光充滿全天則無此象夜間隂静則有此象與彗孛雷電同理也亦或有晝見兵馬戈㦸行空者或見樓臺宫室森然者是日光為濕雲所蔽濕雲上受日光下吸地影故有此象若倒映水靣即蜃樓之類是也然冬間氣歛火弱則無此象矣且星大地數十倍者人見止一㸃耳而樓閣人物如此其逺人能見之乎地震問云地處天中晝夜元氣運旋諸天包褁而永静不動因何有地震乎曰地本氣之渣滓聚成形質者束于元氣旋轉之中故兀然浮空而不墜為極重亘中心以鎮定也(黄石齋老師云地動)(而天静也地轉而天運也如舟行而岸移非岸移也實舟行也余曽質之曰若地轉而天若運日月之行則不)(偏南北矣五行之度則無遲速矣地無震揺矣節無寒暑矣然天乃輕清故轉速地乃重濁故静定然舟行數)(百里人亦寢食不安地周九萬里而人能安其寢食耶必以天動旋于外地静亘于中乃確也師首肯之)而四圍有竅相通或如蜂窠或如菌瓣水火之氣伏于其中盖氣噴盈欲舒不得舒如人筋轉脉揺亦與雷霆同理如北極之地大寒不能生熱則少震赤道之下為其地氣為太陽所勝易散而息則少震砂土之地氣䟽不受閟則少震泥土之地無空可藏氣則少震温煖之地多石之地下有空穴熱氣吹入為冷氣攝歛極則舒放激搏其地如銃藥在巍樓巨塔之下得火而發無不被其震衝也必無大地通震震乃各處各氣各動也故有一方震時能令地之徙山之移者能令地裂城鄉全䧟者能令地有新山海有新島者能令江河逆流旁散者能令開新泉之脉塞舊派之流者俱由震之輕重而有變異也震後地下燥氣猛廹熱變火而出則震停矣海問百川之水㑹于海海底復有竅穴旋轉運為泉脉此生生不已之運旋也不然海惟承之百千萬年而不能滿乎曰天地萬物有生必死有長必消自然之理乾坤古人謂曰造化如造而不化則太虛充滿矣化而不造則大塊亦消矣物物皆然而水獨運轉以為生生耶圖象幾表曰地中虛竅甚多皆水氣火氣與虛所行虛氣與水火皆相接無際而能相化者也地中之氣與水接水随氣到而土情本冷氣遇其冷亦化為水故地中皆水也水主降而浮于土火主升而生于土虛之積于天下地上而水氣凝質稍輕于土附地居焉惟地形最重凝結水下萬形萬質莫不就之水既在地地如胡桃有凸有凹海則胡桃之凹處也故百川滙海后則漸消而重而鹹矣鹹水問水則皆一也何海水鹹而河水淡也曰水皆有源源出于幽隂山石之空穴空處氣滿穴中最寒氣情本煖煖氣遇寒變成水體積久而洩則流矣夫水流出而未居所者其性輕清尚是本源之質故淡也以流至海則久而沉重而火入故能變質而消而鹹矣故海水之重而鹹者生于火也如火燃薪木既已成灰用水淋灌即成灰鹵亁燥之極遇水即鹹此其騐也地中得火既多亁燥亁燥遇火即成鹹味鹹者之性尤多下墜試觀五味辛甘酸苦皆寄草木獨是鹹味寄于海水足徴四味浮輕鹹性沉重矣(㳺熊曰蜀中鹽井先鑿得泉悉是淡水以)(筩隔之更鑿深下乃得鹵焉又鹽池雨多水味必淡作為斗門洩其淡水下乃鹵焉鹹重淡輕亦一證也)海於地中為最卑下諸鹹就之積鹹即多淡入亦化海中山嶽或悉是鹽豈獨水乎問鹹既火生何不炎上火所在上何故遏居地中耶曰地中火煖多能變化儻火與鹹俱在地上則動植之物皆冺矣蓋日光生熱因熱生火旋用水土壅閼恆使在下助生萬物間一發見即歸本所不得一時流行地上偶一遊行目為災異矣因火之鬰下者生鹹亦令性重恒居在下歸藏于海為人作味鹹能固物使之不腐却能歛物使之不生鹹水生物美于淡水故海中之魚甘于江河之魚鹹水厚重載物則強故入江河而沉者或入海而浮也海月入江騐㾗深淺石蓮試鹵成則蓮浮可見鹹能載物浴則膚赤或至皺裂盖有燥勁之情故比凡水為稠密云温泉問海水由火成鹹何故不熱温泉由火成熱何以不鹹曰圖象幾表云是日光徹地則生温熱温熱之極則火成燼水經其燼因而得鹹故忘其熱而海水不冰者亦具有熱性矣熱極入地積成燥亁則乘氣為火積火所燃土石為燼復乘氣出共成炎上隔于雲雨鬰為雷霆升于晶明上成彗孛此二物者火之精㣲别有洞穴上通全體俱出則為西國火山蜀中火井(㳺燕曰今蜀地鑿井求鹽或得)(火井覆之則火滅投火則随而上焉是則井火在下與水同深遇水成鹵不遇成火矣晉中河曲乃有火石火)(石恒熱大行河西亦産硫黄可見晉中火淺故晉有鹽池亦在淺土又有小鹽刮地作之畧如硝鹻也西地中)(海其水亦鹵周數千里彼其側近遂有火山高數千丈其上火穴徑千餘歩厥火炎上古今不絶足徴鹽之與)(火相切則成亦復相視以為淺深故蜀井深而晉池淺也宋應星曰西川有火井其水甚冷全無火氣但以長)(竹剖開去節合縫漆布一頭挿入井底其上曲接以口𦂳對釡臍注鹵水釡中只見火意烘烘水即滚沸啓竹)(視之絶無半㸃焦炎意未見火形而用火神真天間極竒事也)若遇石氣滋液發生則成硫礜泉源經之即為温泉火道所經填壓不出則為火石故火在地中助于土氣發生萬物五金八石及諸珍寳皆由火煉而成然物中最近火者無如硫黄水過其上則成温泉也潮汐問潮汐藏經以為神龍之變化葛洪以為天河激湧金樓子以為鯨魚之吐納郭璞以為海鰍之出入此恐謬矣然潮汐之長水從何至潮汐之退水從何去曰寰宇隂濕之氣升降于水者皆月主之月為隂精濕能下濟水則上升如呼吸然而相就于月月之所臨則潮起為正攝月之對衝潮亦起為反攝月之氣從前順虛至對衝而極極而不能前則聚聚則必盈故姚令威曰潮盈于朔望消于朏魄日月合朔子夜潮平每日漸移三刻七十二分對月到之位而以日臨之次潮必應之月望後東行潮附日而又西應之張封演曰月周天而潮應也古洲曰朔後三日明出而潮壯望後三日魄見而汐湧月之與水如磁之吸鍼珀之拾芥也月遶地而行潮亦遶地而行是天地内無地不潮無刻不潮惟潮有遲速大小漸暴者乃月輪與土地之分焉月有盈虧輪有高下故潮有盛衰山川有廣狹路途有修逺故潮有遲速黄道有南北海限有逺近故潮有漸暴春夏晝潮常大秋冬夜潮常大盖春為陽中秋為隂中嵗之有春秋猶月之有朔望也故潮之極長常在春秋之中濤之極大常在朔望之内此隂陽消長不失其時天地之常數也(新語曰每月十三二十七日曰水起是為大汎各七日初五二十日曰下岸是為小汎亦)(各七日久晴雖大汎亦不長凡潮生則水長但潮至有逺近鎮江至大海五百里十八日辰時潮至浙江至海)(三百里則十八日丑時潮至潮之大小随月月高潮小月低潮大璦館志江浙欽廉之潮皆有定候半月東流)(半月西流明州潮月如子午則長朱隠老曰月麗卯酉則潮應乎東西月麗子午則潮應乎南北采珠者入海)(底間遇潮則水湧而下虚焉以水則虚以氣則實采珠者中其氣輙病地之喘息寓息于風生氣也寓潮于水)(死氣也中之病)當其潮時江河以及盆盎無處不長長則氣入水為之輕潮降氣出水復故重獨小水之處升降甚微人所不覺也水族之物皆望盈晦縮故月虚而魚腦減月滿而蚌蛤實也草木滋生無不應月月滿氣滋月虚氣燥故上弦以後下弦以前不冝伐竹木為材易蠧以生氣在中也故邵子云海潮者地氣之喘息也所以應月者從其類也(㳺燕曰潮汐考暖姝由筆曰海早晚兩潮惟廣東一潮番禺雜記早潮下晚潮)(上兩水相合曰㳫潮而潮亦異者海潮皆以漸錢塘之潮獨震撼如雷張僧鍳潯陽記鷄籠山湧泉如潮朔望)(尤大拾遺記栁州昔相嶺西麓下有潮井廣百畝一日三湧三落䕫州開縣有三潮溪張佳允記滇大華山有)(聖泉一名海眼應子午邜酉四潮曰三潮者夜不見也韶州有雌雄泉兩潮職方外紀厄勒祭亞有島其海一)(日七潮又旁島有海窖潮盛窖吸水入而不盈潮退則噴水如山𤣥中記貴州城外有漏汋一日百盈渇以應)(刻漏安寕州有潮泉一日三溢三蘸連州水下流有斟泉一日十溢十渇輿地志移風縣有湖鷄鳴長旦清如)(吹角每鳴應潮至䖍州濂泉之旁數十丈有井甚深一日三潮名三潮井當潮時可操瓢而汲温伯芳云崇楨)(末年不至楊穆西野雜記錢塘江隣海口有子午潮不爽歐邏巴西北有勿搦祭亞城建海中以木為椿其海)(無潮廣東金陵間常湧水十餘日不退名曰海嘯故潮有不同也方宻之老師曰人一呼一吸胍且四至水當)(火烹百沸不止亦氣之上下也潮之應月月行有南北陸地異不同耳)望氣問彌天地皆氣望氣知妖祥何辨乎曰物理云一切物皆氣所為也空皆氣所實也物有則空亦有則以費知隠絲毫不爽其則也理之可徴也而神在其中矣故地之發氣也若煙若雲而有色有形所以望之妖祥可徴也然非地上濕熱蒸起濛濛煙霧之氣也(氣也似雲似烟似霧也望之者要辨之真始可徴也)如氣内赤外黄而潤澤耀目者則所發之地不有王者起定有王者㳺往其地也或為城門樓閣華盖龍馬等形隠隠于黄雲紫霧之間或如彩色森森鬰鬰衝天者此皆帝王之氣如龍如獸如火燄如粉沸如旌旗如弓弩者此皆猛將之氣如堤如板如火光如劒㦸如森木如粉沸之騰煙如彩雲之連天此皆軍勝之氣如馬肝如枯骨如死灰如揚灰如壊山如敗穰如捲席如偃葢如猪羊之形如羣鳥亂飛乍起乍沒乍聚乍散如塵之勃勃如霧之始起者此皆敗徴之氣如𤓰蔓連結部隊相逐須臾罷而復出或四望無雲獨有赤雲如旌旗如人持節如虎如豹如白虹如曲鈎此皆暴兵之氣如渾渾青氣髣髴樓臺而有赤氣中衝者如紛紛黒雲相連成圍而有彩色中藏者此皆伏兵之氣或如猛獸如鑼鼓如箕箒如縣衣如飛鳥奔塵如破軍聚營者亦伏兵之氣也然雲氣各象其山川人民所聚積故候息耗者入國邑則視封疆田疇之正治城廓宫室之潤澤皆可候也實息者吉虚耗者凶若非煙非雲郁郁紛紛者卿雲也若霧非霧衣冠不濡者陽氣也若塵非塵慘淡而迷者隂氣也凡天變地動山崩川塞草木禽獸謡俗俚語俱可推也如常有大雲五色出其上者其下必有賢人隠地有祥氣則上徵為青雲紫霧龍文矞彩者其下必有聖賢英傑挺生也地有凶氣則上蒸為風霾旱魃淫雨攙搶者其下必有饑饉兵戈横出也凡海旁蜄氣象樓臺廣野之氣成宫闕(㳺燕曰此氣亦猶空中濕氣倒映水靣之樓臺也濕氣映者影也而鏤雕彩色逼真海中現蜃樓者其氣)(微似樓臺一湧而沒也)戰塲之地寳玉瘞處皆有光氣此皆因其下之氣發徴于上也野火問氣之變也可徴妖祥火之變也而成雷電彗孛雷電能擊物而燒彗孛能随天而轉然春夏之夜有火光燄幽幽數㸃聯珠人逐之則退人去又復依人此火不能燒物又能逐人依人此何火也亦可以占否曰夫野血化為燐腐草化為螢俱以氣滲漉土上為風雨日露所滋照其質雖化其氣尚存故或為螢為燐春夏之間地氣上升火随氣發然得風日䟽散使其上歸晶宇下歸地中則不作光怪惟久雨乍晴上下皆有冷氣致火不能散去横鶩地上偶逢膏膩之氣則燃而成光氣類所感兩兩三三或牛馬人畜血濺之處膏膩稍重其光遂轉大而膠之所以稍久極容易揺動值人行或導人前或随人後或随人轉遶是空中氣滿在人前則氣拒而前在人後則後氣急填行前者之空氣又推之而前随人忽轉又或值他氣稍重故又廹之旁行縁其氣體輕㣲人行衣衫動處皆有㣲風逐之則風嘘故退反則風吸故復依人又有一等在墟墓荒壇遞相傳走出入見者不必驚為鬼怪不知有尸氣牲血之膏膩而于此也故軍中刀鎗上火起其理與野火同(㳺熙曰或有火)(能燒禾者田有濕氣空有冷氣當夏火不能䟽越逼入禾葉如腐草延燒急去田水令下靣冷氣稍減則火氣)(䟽越而不燒也又穀種乘其熱藏者蓄其火氣于種内夏熱太陽下蒸吸其火氣則多燒若下去水則不蒸上)(而燒矣)占候問古今天學家首言占驗方為有補之學今所言者惟理而已或是休咎不言乎不然測步如此繁劇豈不徒費苦心乎曰天者羣物之祖理性之所由出其文即猶理性之耳目也今舍吾耳目之性之理之靈而漫言耳目其不為皮相者鮮矣故西士亦曰天文格物窮理之首務旨哉言也故云測算非闗占候吉凶盖吉所係在吾人心中所造而禍福則自召耳後世不知吉凶禍福係于理而以禍福之未來者當之則以福為吉以禍為凶夫吉凶則致禍福而不可禍福即吉凶也如其順理心安則福固吉禍亦吉也理不順心不安則為禍固凶福亦凶也盖禍福不能自免而理則至定此心所以順之也先知而順之上焉者聖神次焉者君子孟子所謂順受其正不立巖墻之下者此占候之道也故吾師宻之曰星宿極高無變異之理灾異之占天官書云暈適風雲天之客氣發見亦有大運然其與政事俯仰最近大人之符氣幾心幾二而一也隂陽之氣人事之變各自為幾而適與之合嵗有寒暑風雨而蟪螻與蝸蠋當之自灾可取譬也儒者求端于天天人相與甚可畏也静深明理之士觸其幾而知之然不欲盡洩至于聖人則不為隂陽所轉矣時愆氣沴孱夫則病壯夫則否周王龜焦蓍折劉裕竿壊幡亡又何硋乎焦京管郭崔浩戴洋一端之中耳關子明之如響舉人事天道消息之此中論也邵子觀其深矣用三餘一豈思慮所能測度乎四行五行問天有五緯地有五行不易之理也而西國不用金木以水火土氣為四行云火情至輕則躋于九天之下而止土情至重則下凝而安天地之當中水情比土而輕則浮土之上而息氣情不輕不重則乘水土而負火焉所謂土為四行之濁渣火為四行之浄精也火在其本處近天則随而環動每日偕作一周此係元火故極浄甚炎而無光焉謂天下萬象之初皆以四元行結成之理亦誠然而金木之為用果不能敵此四者且釋氏云地水火風邵子云水火土石亦未及金木則四行之義已先言之矣然則何從乎曰黄帝曰六合之内不離于五既言五運又分六氣不參差乎播五行于四時非用四乎易曰一隂一陽之謂道非用二乎五行因世間可見之五材而隠表其五氣之行以謂之五也然氣分其氣以凝為形而形與氣為對待是一之而用二也土形居中而水火二行交旋其虚實之氣焉是土為形主水形流地火形縁物而水火實為燥濕之二氣也金木之形因地而出金則地中之堅氣木則地外之生氣然其為氣也列于東西以為生殺故舉南北之水火而東西之金木寓焉非以為水火對待也是天地之氣必原之水火水之用實重而火之用最神(夢筆録云火為五行之至神非同木土金水之成形也世但知火能生土不知火能生金生木)(生水盖金非火不能生成水非火不能升降木非火不能發榮易稱乾為龍龍火之精也五行之精惟龍神變)(故冇土龍金龍水龍木龍火龍今之土中石中金中海中樹中敲之撃之鑽之無不有火出焉則此火能藏神)(于萬物而又能生萬物也坎卦在子宫所謂天一生水以隂先陽也還知坎中一畫真陽為天地之心也表冬)(至子半者正以坎中一畫真陽為天地之根火之宗也下陽在隂中即龍宫之在海藏神龍之潛九淵所謂陽在)(而勿用即大易寂然不動之宗也復卦以至日閉闗道家藏火伏火之訣正謂此也在胎之前非三縁之火不)(能結搆身既生後非丹田之火不能飬成故百骸五臟六腑十二經絡獨以心火為君命火為臣始能傳生化)(食以資長其骨肉此火一散則百骸廢人初死時百體俱存獨此煖氣一去則四大皆潰散矣所謂世界聖凡)(同是此心所造須當辨其邪火真火能知性空真火性火真空則知薪盡為火傳燈傳為命續矣五徳有形有)(神形也土分之則崩金分之則缺水分之則絶木分之則折獨火為神愈分愈多愈聚愈勝愈與愈有愈傳愈)(久此向上不傳之秘所以分燈列燄而傳乎此火之最神也)而氣藴于火而轉動則為風吹急則為聲聚發則為光合凝則為形是風聲光形總為氣用無非氣也故西國舍金木而專言氣與水火土並舉者指其未凝形之氣以為天地萬物生生之機也則五材之形五行之氣顧不可以生尅為至理掲子曰金能尅木然又不如火之尅木並其形而燬之也火之尅金又不如火之尅木尅木而木不存尅金而金愈精曰土生金又不如土生木木則連山徧嶺金則生不數處曰土尅水然土實生水水非土載而生水能空立乎他物之生生後可判為二水土之相生膠漆不能離焉曰水尅火然水火一也論其質則相尅論其氣則相生論其形氣之交則又相入火見水而死而温泉沸湯則火之氣能入水之形水見火而散而燈脂爝蠟則水之氣能入火之形夫水化氣而火火化氣而為水則水火互相生變化以為道也是二而居之一也然就氣以格物之質理舉其所以為氣者以格物之通理亦二而一也費而象數隠而條理亦二而一也若知二在一中則錯綜變化無不可為者非自神明難析至理地理問觀天文者能推歩測候則預知休咎察地理者明龍穴砂水則預定富貴是知天文地理者皆明吉凶禍福者也何知地理者詳而多知天文者畧而寡曰觀天文者以隂陽消息治厯明時歩天行成嵗者非僅占候也察地理者以南北高深天下形勢定封疆界域者非是葬埋也葬者孝子不忍其親之暴露歛而藏之非有他欲也程伊川曰古人之𦵏欲比化者不使土親膚以防蟻與水壊之今竒玩之物尚寳藏固宻恐其汙損况親之遺骨肯暴露乎故卜其宅兆卜其地之美惡也是孝子仁人不欲其親速朽之意非隂陽家所謂禍福者也吳臨川曰𦵏師之説盛于東南郭氏𦵏經者其術之祖乎盖必原其脉絡之所從來審其形勢之所止聚有水以界之無風以散之然後乘地中之正氣以飬死者之畱骨俾常温煖而不速朽腐死者之體魄安則子孫之受其氣以生者不致凋瘁乃理之自然而非有心覬其效之必然也若曰某地可公可侯可將可相則術者倡是術以愚世人而要重糈者也其言豈足信哉羅大經曰古之擇者亦不過欲其山川廻合草木茂盛使親之遺體得安耳豈真借此以求子孫之富貴乎何今之人有貪求吉地至不能𦵏其親者有既𦵏以為不吉掘至再至三者有因地至訟棺未入土而家已蕭條者有兄弟惑于各房風水之説骨肉化為仇讐者凡此皆不善讀璞書之所誤也温公曰今世之𦵏既擇年月日時又擇山川形勢以為子孫賢愚貴賤盡繫于此而其為術又多不同争辯紛紜無時可决至有失屍柩而不知其處者若使殯𦵏實能致人禍福為子孫者亦豈忍使其親臭腐暴露而自求其利耶悖理傷義無過于此(徐仲光曰從來送死之禮𦵏為大祭次之所以安死者之藏而隠其魄也古諸侯以及士庻之喪無)(有過時而不𦵏者謂不能𦵏春秋譏之其或有過而未𦵏者雖出三年人子之服不變所以著其情而必其時)(也今世之俗詳于祭而畧于𦵏甚者先世遺骸叠累非一身有高堂邃宇之安而乃不能為其親營尺寸之土)(衝風苦雨嚴冰烈日之吹蕩凍炙而莫之顧惜如此而于古之委壑者何異乎大家如此小民之窮窶不知禮)(義者奚所法乎而吾于祖父如此即吾之子孫将復奚責萬一有水火盗賊意外傾崩震撼之患其為疚戾將)(奚續乎此雖人情積惰昧于輕重緩急之所致亦世俗隂陽拘忌之説有以中之達于理者斷斷焉不為世俗)(之所惑矣○家禮或問家貧鄉逺不能歸𦵏則如之何公曰子㳺問喪具夫子曰稱家之有無子㳺曰有無烏)(乎齊夫子曰有毋過體茍無矣歛手足形還𦵏懸棺而窆人豈有非之者哉昔亷范千里負喪郭平自賣營墓)(豈待豊富然後𦵏其親哉在禮未𦵏不變服食粥居廬寢苦枕塊盖閔親之未有所歸故寢食不安奈何舍之)(出逰食稻衣錦不知其何以為心哉世人又有逰宦沒于逺方子孫火焚其柩收燼歸𦵏者夫孝子愛親之肌)(膚故歛而藏之殘毁他人之屍在律猶嚴况子孫乃悖謬如此其俗盖不知始于何時浸染既久習以為常見)(者恬然曽莫之怪豈不哀哉延陵季子適齊其子死𦵏可于嬴博之間孔子以為合禮必也不能歸𦵏𦵏于其地)(也豈不猶愈于焚之哉)掲子曰親之愛子也無所不至而不能必子之賢達何也以其分體而莫之為也父母生而莫之能為而乃問之于朽腐之骨而又問之頑然之土使土而有識則彼水𦵏者其處當絶人類使骨而有知則彼殱死疆場者其子孫顛倒罹凶而不必然者無此理也且人之生貧富貴賤天禀已定謂之天命不可改也豈塜中枯骨所能轉移乎若如其説則上天之命反制于一杯之土矣予謂人之生于地者亦猶萬物之出于土也北之土横而平曠則氣重而為沙烟其生人也壮而堅南之土竪而峯巒其氣清而為雲靄其生人也弱而秀故土有堅弱水有湍緩人之剛肥輕重長育其地之使然也貧富夀夭亦如物物之不齊必非遺骸之所致也若孝子之心慮患深逺歛藏其祖考之遺骸必致其謹重誠敬之心以為安固久逺之計恐淺則有離亂暴露之變深則有水泉螻螘之壊所以不可不擇也惟以利後為慮不以奉先為計尤非孝子仁人之用心也數問天有定位故運旋循度星有定行故遲速合轍而物雖錯綜而有定凖人遇得失必有定數此皆定理之不可易者曰天地萬物有定理惟禍福得失無定理乃人自取耳若言數為定理則非也數可拘于中人不可拘于上人若偶然得禍以為旡妄偶然得禄而至人不受故不可為定理定數也性書曰若人之所作皆有前數則忠臣之死其數應死而非忠降臣之生其數應生而非奸善人之施其數應施而非善惡人殺人其數當殺而非惡而賢否賞罰皆無所庸矣予謂一言有數遂將聖賢名教一概抹殺故數之一字惟庸懦而力不振者後挫折思而悔之歸之于數也若盡心盡力為忠臣為孝子天必然成就之必不以數拘之不得為忠臣為孝子也雖定數亦能挽矣星降生問世之常言星下降為人測天象者必知某星下降然恐不知降是何人也何云昭王恒星之降也東方朔李太白緯星之托也宰相乃高僧之轉也然落星之石有形有跡經緯之降當有據也曰詩之有鳥降生商嶽降生甫皆欽其人而尊以推之非有實事如人夣日入懐而生子不應上天之日䪺亡其精也後世乃效尤其説竒為稟星如劉向東方朔李太白之徒皆有托焉遂使釋典以昭王恒星不見降生西土指實而言至誣孔顔以相口實無論孔顔天地全氣世言佛氏神通希有大過于天所稟不過星五之一則五行之氣亦未全領將以尊之反得其隘且經緯之星萬古無増減每一星大地數倍若降下壓翻世界矣星中靈異不可思議豈降為人數十年血肉之〔？〕耶迨乎晚近多言阿羅高僧轉世夫造物無窮未必不轉竊恐為造物所轉者性命亦未便能定也孔門成周諸賢不見有轉不較上一層也王龜齡蘓子瞻一代偉人亦為開門瞞過殊不知僧衆共擁一皮囊于龕中必非望輕力小之人所能開初閉者料之亦熟矣予見行立而聞道者皆言日用平常之理而無詭異欺人之誑即其實也漢唐不生于鳥嶽已自下矣後世不生于星而生于僧世之逓下矣如此誠恐後世并無一人身降轉矣天經或問卷四◆ 《天步眞原-清-》（KR3f0024）
## 提要
欽定四庫全書 子部
天步真原 天文算法類(推步之屬)提要(臣)等謹案天步真原一卷國朝薛鳳祚所譯西洋穆尼閣法也鳳祚有兩河清彚已著録順治中穆尼閣寄寓江寕喜與人談算術而不招人入耶蘇教在彼教中號為篤實君子鳳祚初從魏文魁㳺主持舊法後見穆尼閣始改從西學盡傳其術因譯其所說為此書其法専推日月交食中間繪弧三角圖三一則有北極出地有日距赤道有時刻而求高弧一則有日距天頂有正午黄道有黄道與子午圏相交之角而求黄道高弧交角一則有黄道高弧交角有高下差而求東西南北二差末繪日食食分一圖鳳祚譯是書時新法初行又中西文字輾轉相通故詞㫖未能盡暢梅文鼎嘗訂證其書稱其法與崇禎新法厯書有同有異其似異而同者布算之同對數之表與厯書逈别然得數無二惟黄道春分二差則根數大異非測候無以斷其是非然其書在未修數理精藴之前録而存之猶可以見步天之術由疏入宻之漸也乾隆四十七年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 天步真原
欽定四庫全書天步真原青州薛鳳祚撰日食原理日月泛遇為平㑹日月地心在一線為正會日月人目在一線為實㑹用東西南北差為視會求食限中華定食限取北中界(地居赤道之北南不至赤道北不至北極)日食依南方北極出地十八度北方北極出地四十二度定食限最廣者太陰距南交嘗度七度三十一分午時高下差全變為南北差以加二徑折半故距度少太陰距北交嘗度一十七度三十五分午時高下差全變為南北差以減二徑折半故距度多為可食之限最狹者太陰距南交嘗七度距北交嘗一十六度五十三分為必食之限 月食不論陰陽厯其限皆一十五度一十二分在日之冲日月交入食限算朔在晝分望在夜分即有食日月越六月皆能再食若五月能再食則大月七月能再食則小月年月積日根數起漢庚辰至崇禎厯元後二十三年庚寅積一千六百五十年入厯減一算先求年變日表次月變日表搃計得第三旬周數 第二旬周數 第一旬周數 日數大西東來應加(一日)日數末一日未成應減二算對仍依原數平朔中積月距日平行表搃計各旬周及日數平行度分以減全周得全周餘度又以距日平行表取近小度數求日時分並加于旬周日數為平朔中積日分如先得本年月朔望䇿只以朔望䇿逓加平朔免積日之煩望䇿一十四日十八小時二十二分○二秒朔䇿倍之二十九日一十二小時四十四分○四秒以中積入表求時分以中積入表求春分平行即以春分平行為引數求加減以中積入表求日平行以中積入表求日心平行即以心行為引數求心差加減及比例分以中積入表求高行以上叚所得心差加減之為真高行以日平行減直高為實引以實引入表求日初均及餘分以比例及餘分求次均度以初均次均度加減日平行為實經又加減春分為日自春分實經以中積入表求月距日度分兩倍之即月心平行以月心行入表求心行加減及比例分以月自行加減心差為月實引以月實引入表求月初均度及餘分以比例餘分求次均以日平行并月距日行得月平行以加減初次均為月實經又加減春分差為月自春分實經求平㑹離正㑹度分 日月相距弧太陽均度與太陰均度若一加一減二均度相加得平㑹離正㑹度分若俱加或俱減以小減大其餘數即平㑹離正㑹度分求日月相距時刻以太陰實引數入表取月一時行度分(若無正度用比例法)以上叚平㑹離正㑹度分用三率法當行幾時刻為日月相距時刻日月在前在後日月均度或俱加加大者在前或俱減減小者在前若加減不同即減者在前月在日前平㑹比實㑹先到日在月前平㑹比實㑹後到相距時刻加減平㑹先到日月相距時刻加實㑹先到日月相距時刻減以加減平朔中積日分變時分為正㑹時刻試法真否以正㑹時刻再筭積日時分變日分日春分平行及加減日平行日心之平行及加減及比例日高行及真高行日實引數日加減度及餘分日次均日實經及自春分實經月距日平行及心行月心差及比例分月平引及實引月加減均度及餘分月次均月平行實經及自春分實經時分變日以下十六法皆同前惟月距日平行筭于太陽實經之後與上法異前後二筭太陽距太陰度差在三十秒以下即可用若差多再筭再筭法太陰實引數取月一時行用三率法 一率月一時行分 二率一時 三率太陰距太陽差分 第四得所求時分太陽在太陰前實㑹先到所得時減太陰在太陽前平㑹先到所得時加筭諸行俱同前應時以太陽實經度查黄赤道變度表得赤道度(無正度用比例法)太陽平行減黄道根數四周紀三十八度三十六分三十四秒平行小加一圏減其餘為黄道餘度變赤道度減赤道根數二百八十度三十五分赤道小加一圏減其餘為赤道餘度黄赤道二餘度相減變時分(黄道餘度大時分加正㑹赤道餘度大時分加正㑹)南京比立表之地又加七時二十八分北京又加二十○分為實㑹應時(以上定朔)求太陽實㑹經緯度太陽黄道實經度變赤道即距赤道實經度太陽黄道實經度用表查緯度南北度分即太陽距赤道緯度求太陽距天頂度(前後三時同用)月在日前月加減大日加減小平㑹先到實㑹後到自應時自午而己辰向後筭三小時若月加減小日加減大月在日後平㑹後到實㑹先到自應時自午而未申向前筭三小時筭丁亥甲大三角有亥甲邉北極出地之餘 有亥丁邉日過白羊初度緯在赤道北以日距赤道緯度減九十度若日過天枰初度緯在赤道南以日距赤道緯度加九十度有亥角距午時刻每時作十五度午後加赤道實經度午前減從不知之角打線從丁從甲皆可今從丁打線至巳先求亥巳線若大于亥丁分線在外小于亥丁分線在内先筭亥巳甲三角用圏線正角第三法有兩角一邉其先有邉為正角對邉法求亥巳邉(先有角相連之邉有巳正角餘有亥角距午度分 有亥甲邉北極出地之 為正角對邉)一率通弦 二率亥角餘線 三率亥甲邉切線四率得亥巳邉切線求甲巳邉(先有角相連之邉此有巳正角用有求邉對亥角 有亥甲邉 為正法今 捷法省此筭)一率通弦 二率亥角正線 三率亥甲邉正線四率得甲己邉正線又筭甲己丁三角(有己正角有己丁邉) (有甲己邉)求己丁邉日距赤道緯度減九十度或加九十度除上所得亥巳邉即己丁邉求甲丁邉一率通弦 二率甲己邉餘線 三率己丁邉餘線 四率得甲丁邉餘線為日距天頂度其餘即距地平筭前後三小時同法但時在午前以距午前分數減六十分所得求度分有時者每一時加十五度時在午後以距午後分數求度分有時者每一時加十五度為距午時有捷法省求甲己邉徑求甲丁邉一率亥巳邉餘線 二率亥甲邉餘線 三率己丁邉餘線 四率即徑得甲丁邉餘線距天頂度(餘距地平)筭差角(前後三時同用)如圖丑甲午為差角然丑甲邉難取而甲己丙角與甲午之大小同故寜算丙甲己鈍用筭丙己邉離午時(即前圖亥角每時十五度)看在午前後在午後(自午而未申)加太陽實經變赤道度(即應時所得)在午前(自午而巳辰)減太陽實經變赤道度為過午時圏度即知入何宫度(如得二百五十)(一度五十分)即入天蝎一十一度五十分變黄道以表中赤道對黄道度數取黄道度有黄道度即可入表求黄道緯度又看黄緯在赤道南北在赤道北(自白羊初至雙女三十度)以緯度減北極出地所得在赤道南(自天枰初至雙魚三十度)以緯度加北極出地度所得為丙己邉筭己角丙己邉内有赤道過午時圏度(離午時加實經所得)有赤道變黄道度此入表不用過午時圏度用變黄道度求交角表有餘分則用比例法得己角筭甲角(即差角)一率丙甲邉距天頂正線 二率己角正線 三率丙己邉正線搃數相較即得甲角正線為差角求地平差(此法或前或後三時同用)東西南北差之本是高卑差高卑差之本是地平差以太隂實引數入表得其相對之分秒有餘數以下度與餘數比例或加或減于相對之數為太隂地平差崇禎厯書作地平徑數求太隂高卑差(此法或前或後俱筭三時)查表以所得地平差分數從上以前得距地平(即距天頂減九)(十度之餘)從右小餘另比例為先得太隂高卑差太陽高卑差以距地平查表得分秒以減先得太隂高卑差為太隂真高卑差(恒減不加)如圖日月在甲人目在地視之不見在甲而見在丁甲丙為日高即甲丁為高卑差就黄道極作一大圏至高卑差丁相交黄道又交過頂圏戊為正角凡各圏過本圏之極其相交之角即正角甲丁為高差日在甲人目視之不見在甲而見在戊即甲戊為東西差戊丁為南北差高卑差南北差東西差三者惟甲丁高卑差至大不過六十分其甲戊東西差戊丁南北差皆小于甲丁高卑差故皆銳角又且分數少在天俱可作直線筭東西差(前後三時同法)以通弦(一○○○○)為一率 以前得差角(即甲角餘線)為二率三率以高卑差分秒俱化成秒求其對數與二率相加去一率通弦求原數以六十成分為東西差筭南北差(前後三時同法)以通弦(一○○○○)為一率 以前得差角(即甲角正線)為二率三率以高卑差分秒俱化成秒求對數與二率數相加去通弦求原數以六十成分為南北差若查表第一行距天頂數第二行東西差邉第三行南北差邉省用前筭三角法如筭東西差 一率六十分 二率取表中第二行東西差邉 三率前取太隂高卑差 即得所用東西差 南北差同法但取表中第三行表中各宫皆初分用法如午時正二刻六分日在天蝎一度四十六分○八秒 如天蝎一分午時得距天頂四十二度三十五分人馬一分午時得距天頂五十一度二十一分其差八度四十六分用下法一率一宫三十度 二率八度四十六分 三率天蝎一度四十六分○八秒搃數較數即其差分以加先得四十二度三十五分即天蝎一度四十六分距天頂度東西南北差同法求視㑹(筭日食月行)以太隂實引數入表其表每隔三度以餘分求比例或加或減于正度之上為太隂一時分實行度有實行取視行第一法月食在黄道九十度限東東西差先大後小(早間)(食辰時在先巳時在後午後食未時在先申時在後)其上所筭第一時東西差與第二時東西差第三時東西差與第二時東西差相減其餘分與實行相減為視行若東西差先小後大其前後二差相減其餘分加實行為視行第二法日食在黄道九十度西東西差先大後小其東西差前後二差相減其餘分加實行為視行若先小後大其東西差前後二差相減其餘分減實行即為視行第三法一半在九十度限東一半在九十度西前後二東西差相減(不論先後大小)其餘與實行相減餘分即為視行視行距度東西差大實行小以實行減東西差其餘為實㑹與視㑹相距度分東西差小實行大即以東西差為實㑹距視㑹度分視㑹相去度變時法第一法若實㑹東西差比視行小其東西差分數要實㑹相近時視行比例分得實㑹與視㑹相去度數變時分第二法若實㑹東西差比視行大除一時月視行餘東西差分數要視㑹相近時視行比例分得實㑹與視㑹相去度數變時分 二叚日食在東皆減實㑹時分為視㑹時分在西皆加實㑹時分為視㑹時分一率太隂實行 二率六十分 三率實㑹去視㑹度分俱化為秒乘除成分為所變時分用第一法加減實㑹為視㑹用第二法一時之外加減實㑹為視㑹試法真不真用所得視㑹再筭距天頂 再筭差角 地平差同前數 再筭太隂高平差 再筭東西差 再筭南北差 日食月行同前數有實行求視行以所得東西差置位 一率六十分 二率月一時實行 三率上叚所得有實行求視㑹變時分 俱化為秒 乘除 成分 與置位東西差相減餘為差分有差分變時分一率上叚實㑹距視㑹度分 二率上叚實㑹距視㑹所變時分 三率差分 俱化為秒 乘 除 成 分 秒為變時差分大東西差小上叚視㑹時分内當減變時分為視㑹差分以加減實㑹為視㑹差分小東西差大上叚視㑹時分内當加變時分為視㑹差分以加減實㑹為視㑹時分差至三十秒内即定視㑹若多又用三試其筭法與第二叚試法同但要所得差分成時與東西差合方定視㑹求日食大小筭交行以日月實㑹時分(用應時定數)入平距度表搃計交行度以太隂均度依號加減之為實㑹交行以加減東西差為日月視㑹交行度實㑹在前東西差減實㑹若在後東西差加求距度以交行宫度分秒查距度表有小餘用比例法為視㑹距度又本表後行餘分比例下度差分為正餘分與太隂心差比例分相較乘除以加距度為真距度(恒加)(不減)日月食若無此比例分及餘分者省此筭距度(○一二宮北下三四五宮南下) (六七八宮南上九十土宮北上)求視距度正交㸔在南在北與南北差同類相加異類相減(北極出地)(二十三度三十一分以上皆在南)為視距度若南北差大于距度其日食交在北者移而南求日月半徑以太陽實引數入表求日半徑以太隂實引數入表求月半徑以兩半徑搃數減視距度餘數為食分距度若距度大于兩半徑搃數即無食食分以太陽全徑為一率 日月兩半徑搃數減視距度為二率西法十二分為三率取第四即西法日食分又作中國分以西法十二分為一率 以所得西法日食分為二率 中法日食十分為三率 取第四即中法日食分用表以日全徑從右以距度分從上再以日全徑小餘從右以距度分從上得食分求初虧以食甚前一時東西差與食甚時東西差相較餘數以加減月實引數所得月一時正行為食甚前一時視行 取法與前有實行求視行同法用表以日月半徑搃數從上以真距交度分從右又以半徑搃數小餘從上以距交從右共得○分秒以太隂食甚前一時視行為一率以一時六十分為二率以表上所取分秒為三率 乘 除 成分得時分以減食甚時刻為初虧求復圓依法再求食甚後一小時距頂 距地平 差角 高差 東西差以食甚後一時與食甚東西差相較餘數以加減月實引所得月一時正行為食甚後一時視行用表同初虧法以加食甚時分為復圓丑卯黄道 未寅白道丑未寅卯為距交子辰為太陽半徑午申為月半徑子丙為日月兩半徑搃數月食原理月食求積年日數筭太陽諸行太隂諸行皆與筭日食同求日月前後日月相距度相距時刻筭日月實㑹皆與日食同再筭試真否皆與日食同求太隂正中交行置實㑹中積日數分秒入太隂平距度表搃計交行度數加減太隂均度得交平行求太隂距交分(餘分有比例分取用無比例分省筆)以太隂平交行入距交度表得距交分無正度分用比例法初一二九十十一宫北三四五六七八宫南求太隂半徑及全徑以太隂實引數入表得太隂半徑無正度用比例法倍之為太隂全徑求地景半徑以太隂實引數入表得地景徑(無正度用比例法)減對行秒餘為真半徑兩半徑減距交餘數月半徑加地景半徑并之以所得距交分數減之所得為二徑餘數食分日月食表月全徑從右二徑餘數從上得月食分月食有初虧食既食甚生光復圓五叚若在十二分以内食不全及全食即生光者去食甚生光二叚西法月作十二分筭 中法月食作十五分如西法筭月食十八分一秒 一率十二分 二率十八分 三率十○分 得中法十五分食既分食甚分月食不全或全食而食盡即生光者所得為食既分若月全食食後不即生光者所得為食甚分食時分表以月半徑地景徑并之搃數從上月交距度從右無正度用比例法為食既與食甚度分初虧分實㑹減食既與食甚分為初虧分有食甚求食既分(月食不全不必再筭)以月半徑減地景半徑從上月交距度從右(無正度用比例法)以減食甚分為食既分生光以前所得有食甚求食既分數加食甚為生光分復圓實㑹並食既與食甚分倍加之為復圓分太隂一時實行表求太隂一時實行(無正度用比例法)以食甚分實行求食(無正)(時用比例法)為食甚時分以食既分實行求時為食既時分求正時太陽平行減黄道根數得黄道餘度太陽實經度黄赤道同升度減赤道根數得赤道餘度二餘度相減以二餘度入變時表查時為時差黄道餘大加實㑹赤道餘大減實㑹又加本地與立表之地所差時分(如南)(京差七時二十八分北京差二十○分)為真實㑹時刻天步真原◆ 《天學會通-清-》（KR3f0025）
## 提要
欽定四庫全書 子部
天學㑹通 天文算法類(推步之屬)提要(臣)等謹案天學㑹通一卷國朝薛鳳祚撰鳳祚有兩河清彚已著錄是書本穆尼閤天步真原而作所言皆推算交食之法按推算交食凡有兩例一用積月積日以取應用諸行度數由平三角弧三角等法逐次比例而得食分時刻方位者一用立成表按年月日時度數逐次檢取加減而得食分時刻方位者鳳祚此書盖用表之例殊為簡㨗精宻梅文鼎訂注是書亦稱其以西法六十分通為百分從授時之法實為便用惟仍以對數立算不如直用乗除為上法惜所訂注之處未獲與之相質云乾隆四十七年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 天學會通
欽定四庫全書天學㑹通青州薛鳳祚撰日食諸法異同萬厯丙申八月朔日食新法求交周六十五甲子下一十一宫二十四度四七二二 三十二年丙申下八宫二十五度三一五二 九月䇿九宫○六度○二○五(以滿周十二宫除之以滿三十度進一宫)一得五宫二十六度二一二(入食限)求首朔六十五甲子下三日一十○時五七一四丙申三十二年下五日○二時四四五二八月九朔䇿下二百六十五日一十八時三十六分二八共二百七十四日八時一十八分三四六十五甲子下紀日四 三十二年下紀日四十八共五十二以加前搃數得三百二十六日以紀法除之餘二十六日得庚寅日求太陽引數六十五甲子下得一十一宫二十七度三六三九丙申三十二年下五度五二二八 九月朔䇿八宫二十一度五七○六得八宫二十五度二六一三為太陽引數求太陰引數六十五甲子下三宫二十度四五四二丙申三十二年下四宫二十三度二四三二八月九月䇿下七宫二十二度二一○一得四宫○六度三一一五為太陰引數求太陽經度六十五甲子下二度四八三二丙申三十二年下六度一六三二八月九月䇿下八宫二十一度五七三九得九宫一度○二分四三為太陽經度求太陽均度以太陽引數八宫二十五度下查表得二度○二分一十九秒以較分一十四秒為二率以引數小餘二十六分一三化作一千五百七十三秒為三率得二二○二二以六十分化作三百六十秒為一率得三十六秒以後度少減二度○二分一十九秒餘二度一分四十三秒為太陽均度(依號為減)求太陰均度以太陰引數四宫六度下查表得四度○五分四十五秒以較分三分三秒為二率以引數小餘三十一分一十五秒為三率以六十分為一率過位得一分三十五秒以加四度○五分四十五秒得四度○七分二十秒為太陰均度(依號為減)求日月相距弧(皆號為減當相減)以太陽均度二度○一分四十三秒減太陰均度四度○七分二十秒餘二度五分三十七秒為相距弧求日月相距時刻查四行時表下二度○五分三七得四時餘三分四十三秒查時得七分餘七秒得十四秒以加首朔小餘共十二時二十五分四十八秒為日月相距時刻求太陽次引數查四時下太陽引數九分五十一秒二三又七分下一十七秒共一十○分十秒以加前引數得八宫二十五度三十七分三六為次引數求太陰次引數查四時下四行時表太陰引數得二度一十○分三十九秒又七分下得三分四十八秒共之得二度一十七分七十八秒以加前引數四宫○六度三一一五得四宫○八度四九三三為太陰次引數求太陽次均度太陽加減表八宫二十五度下得二度二分一九七以較分十四秒為二率次引數小餘三十七分三十六為三率得三一五八四以六十分化三千六百為一率得八秒二五以後度少名減以減二度二分十九秒得二度二分一十○秒為太陽次均度為減求太陰次均度太陰加減表四宫八度下得三度五十九分三五較分三分一十二秒為二率引數小餘四十九分三三為三率得五十七萬○八百一十秒以六十化三千六百為一率得一分五十八秒以加均度得四度○一分三十三秒為減求日月次距弧以太陰均度四度○一分三十三秒減太陽均度二度二分一十秒得一度五十九分二十三秒為日月次距弧求日月實距日(月在日前時宜加)四行時表月距日三時下得一度三十一分二五五餘二十七分五七五五十五分下得二十七分五十六秒餘一秒五得三秒并之得三時五十五分三秒以加首朔小餘八時一十八分三十四秒為一十二時一十三分三十七秒為日月實相距時求日月實㑹時距度置交周五宫二十六度二十一分二十秒差時(中㑹與實㑹差)三時五十五分三秒查四行時交周表三時得一度三十九分一十四秒五十五分得三十分一十九秒三秒得二秒并之得二度九分三十五秒以加交周五宫二十六度二一二得五宫二十八度三分五十五秒為平交度以減太陰次均數四度○一分三十二秒得五宫二十四度二十九分二十三秒距度五宫二十四度下得三十一分○九秒二十五度下得二十五分五十八秒相減餘五分一十一秒五分一十一秒為六十分一度所行今二十九分三十三秒應行若干以二十九分三十三秒化一千七百七十三秒為二率以五分一十一秒化作三百一十一秒為三率得五十五萬一千三百秒以六十化三千六百秒為一率除之得一千五百三十秒又以六十化之得二分三十三秒以減三十一分九秒餘二十八分三十六秒為日月實距度求太陽實㑹度置太陽經度九宫一度○二分四三以減太陽次均度二度○十二分一十秒餘八宫二十八度五十○分三十三秒為實經度(雙女宫)求應時雙女宫二十八度下一十一時五十五分以加實距時一十二時十三分三十七秒共二十四時八分三十七秒為距子正時加十二時為距午正以滿一日除之餘一十二時八分三十七為應時求距頂限及距地平髙度以距午一十二時八分查表得距頂限三十六度四十九分以減九十度餘五十三度一十一分為距地平髙度九十限一十三度一距子午十八度五九求太陰距地及視髙差 及日月半徑以太陰引數四宫八度查表得五十五地半徑三十六分 月半徑一十六分五十三秒以太陰引數八宫二十七度查表得五十五地半徑下得視差六十二分因日在中距減日差二分得六十分為最大視差求氣差以大髙差六十從上以距頂限三十六度從右得三十五分一十六秒又以六十分從上以距頂度小餘四十九分從右得四十五秒一十七㣲并之得三十六分一秒為氣差求時差以六十從上以地平高限五十三度從右得四十七分五十五秒又以六十從上以地平髙小餘一十一分從右得一十二秒并之得四十八分七秒為時差又太陽實㑹經度八宫二十八度五十分三十三秒以十二時所得九十度限雙女宫一十三度一十分減之餘一十五度五十○分三十三秒則復查表以最大時差四十八分從上以一十五度從右得一十二分二十五秒又以五十○分從右得三十六秒四六又以三十三秒從右得三秒并之得一十三分四秒為時差求時分時差十三分一秒 太陰四宫八度實行一小時三十二分十秒三十二分十一秒行一小時今十三分一秒應行若干以十三分一秒化之得七百入十三秒為三率以一時化之得三千六百秒為二率得二百八十一萬七二以三十二分一十一秒化之得一千九百三十一秒為一率除之得一四五一以六十除之得二十四分一十五秒為時分求食甚置定朔十二時十三分三十七秒内減時分二十四分一十五秒得一十一時四十九分二十二秒得午初三刻四分二十二秒在定朔前求食分以日月實距度五宫二十四度二十九分二十三秒又減時分二十四分一十五秒交周行一十三分一十四秒共五宫二十四度一十六分十秒得二十九分八十秒以氣差三十六分一秒減之餘六分二十秒為視距度以前所求太陰半徑十六分五十三秒太陽半徑一十五分一十五秒并之得三十二分○八秒以六分二十秒減之餘二十五分四十八秒以太陽本視半徑并之得三十分○三十秒為法而一得八分三十秒為日食分數距度過黄道南日食猶在陰厯黄道北求初虧置定朔應時十二時八分約用前四刻減之餘一十一時八分度限在雙女宫一度五分即午後一十四度五十五分距頂限三十一度二十五分距地平五十八度二十五分求時差以高差六十分從上以地平高五十八度從右得時差五十一分五十秒為最大時差又以太陽實經二十八度五十○分三十三秒内減前四刻所得限度雙女一度五分除之餘八宫二十七度四十五分三十三秒即距太陽度查表以大時差五十一分從上以二十七度從右得二十三分九秒以四十五分從右得三十六秒三又以五十秒從上以二十七度從右得二十四秒并之得二十四分九秒以二十四分太陰行較前得太陰行一十三分○四秒餘一十一分以四宫八度一小時太陰實行三十二分十秒除之餘二十一分為四刻中太陰視行今二十一分行四刻若自初虧至食甚太陰當行三十一分為時幾何法以四刻作三千六百秒為二率以三十一分化作一千八百六十秒為三率得六百六十九萬六千秒以二十一分化一千三百六十秒除之得五百三十一秒以六十除之得八十八分五十五秒以十五為刻而一得五刻一十三分五十五秒以減食甚一十一時四十九分二十二秒得一十○時三十五分二十七秒為初虧在己正二刻五分二十七秒(按此條數多誤)求復圓置定朔後四刻以定朔應時十二時八分二十七秒加之得一十三時八分二十七秒度限在雙女二十五度二十四分即午後二十二度三十二分以減太陽經度二十八度五十分三三得三度一十六分三十三秒距頂四十二度三十五分以九十減之餘地平高四十八度二十五分求時差以六十從上以地平高四十八度從右得四十四分三五又以二十五分從右得三秒并之得四十四分三秒為大視差以四十四分從上以三度從右得二分十八秒又以十六分從右得十二秒共二分三十秒為時差以二分三十秒太陰行較一十三分○四秒太陰行餘十分四十秒以四宫八度太陰實行三十二分十秒減之餘二十一分三十秒為四刻間太陰行太陰行四刻得二十一分三十○秒今行三十一分當為時若干以四刻化三千六百秒為二率以三十一分化一千八百六十秒為三率得六百九十九萬六千秒以二十一分三十秒化一千二百九十秒除之得五萬二千六百秒以六十秒除之得八十七分六十五秒以十五分為刻而一得五刻一十三分四秒以加食甚得十三時一十七分二十六秒未初一刻二分二十六秒求起復方位置視距度六分二十秒入表得六宫一度一十二分又自初虧至食甚太陰行三十一分七秒與交周相減得初虧交六宫○四十一分五十一秒相加得復圓交六宫一度四十三分○五秒得初虧距度三分三十三秒復圓距度八分五十三秒崇禎壬申三月望月食㑹時一百三十三日一十三時四十三分三六 紀日癸丑太陽引數四宫○六度三○四八太陰引數五宫○八度四六○八太陽經度四宫一十二度三十四分○二秒交周六宫○六度四十三分一四太陽均度一度五七加太陰均度一度五十一分一五減日月相距弧三度三十六分日月相距時刻二十○時三十三分三六太陽次引四宫○六度四十七分三八太陰次引五宫一十二度二九一九太陽次均一度三十六分四五加太陰次均一度三十二分五五減日月次距弧三度九分四十秒日月次距日一十九時五十六分五四太陰實望距度四十四分在黄道南食分太陰引數求月半徑一十七分一五地景四十六分五十秒并減距度餘一十九分六十四秒以十乘之以太陰視徑三十四分三十秒為法得月食五分六十秒食時以太陽在中距以太隂次引五宫一十二度入表得食甚一時五十三分二十五秒食既五十九分三十三秒起復方位初虧月在黄道南三十八分復圓月在黄道南五十分月食經度以太陽經度加太陽次均度又以太陽經行四分三十八秒半之并加得四宫一十四度一十三分○六秒對宫為十宫一十四度三分○六秒(氐四度一)(十九分○六秒)以定望一十九時五十六分五四加食既得二十○時五十○分一十九秒復圓亥初二刻一十九分九秒減食甚得初虧一十九時○三分二九酉正三刻一十二分二九食甚戌初三刻一十一分五十四秒依廣輿圖毎度應時四分順天府以東加之以西減之得各省直見食時刻凡十五分為一刻年太陽 月 日崇禎四年辛未太陰(十月十二日夜子正後六時三分距根三百十九日)崇禎七年甲戌土星(八月初七日庚申日辛距根二百五十一日用初八 酉子正)崇禎七年甲戌木星(閏八月二十七日庚戌距限三百○ ○日)戊寅年火星(正月初四日夘初五小時距根 五十七日根辛未木日戊辰)相未其半切半距減并乘除切得減 (太陽)減減到餘之線徑日為為 線度半 (本年)日距日 較總 數 (最髙)實日冲 數數 存 (數)經恆星差天學㑹通◆ 《歷算全書-清-》（KR3f0026）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
厯算全書 天文算法類一(推歩之屬)提要(臣)等謹厯算全書六十巻國朝梅文鼎撰文鼎字定九宣城人篤志嗜古尤精厯算之學康熙四十一年大學士李光地嘗以其厯學疑問進呈㑹聖祖仁皇帝南廵於徳州召見御書積學參微四字賜之以年老遣歸嗣詔修樂律厯算書下江南總督徵其孫㲄成入侍直律吕正義書成復驛致命校勘後年九十餘終於家特命織造曹頫爲經紀其䘮至今傳為稽古之至榮所著厯算諸書李光地嘗刻其七種餘多晚年纂述或已訂成帙或畧具草稿魏荔彤求得其本以屬無錫楊作枚校正作枚遂附以已説並為補所未備而刋行之凡二十九種名之曰厯算全書然序次錯雜未得要領謹重加編次以立厯者居前而以言算者列于後首曰厯學疑問論厯學古今疏宻及中西二法與囘囘厯之異同即嘗䝉聖祖仁皇帝親加㸃定者謹以冠之簡編次曰厯學疑問補亦雜論厯法綱領次曰厯學答問乃與一時公卿大夫以厯法往来問答之辭次曰弧三角舉要乃用渾象表弧三角之形式次曰環中黍尺乃弧三角以角代算之法次曰歲周地度合考乃考髙卑嵗實及西國年月地度弧角里差次曰平立定三差説推七政贏縮之故次曰冬至考用統天大明授時三法考春秋以来冬至次曰諸方日軌乃以北極髙二十度至四十二度各地日軌按時節為立成表次曰五星紀要總論五星行度次曰火星本法専論火星遲疾次曰七政細草載推步日月五星法及恒星交宫過度之術次曰揆日候星紀要列直𨽻江南河南陜西四省表景並三垣列宿經緯定為立成表次曰二銘補註解仰儀銘簡儀銘次曰厯學駢枝乃所註大統厯法次曰交㑹管見乃以交食方位向稱南北東西者改為上下左右次曰交食䝉求乃推算法數次曰古算衍畧次曰籌算次曰茟算次曰度算釋例俱為歩算之根源次曰方程論次曰勾股闡微次曰三角法舉要次曰觧割圜之根次曰方圓幕積次曰㡬何補編次曰少廣拾遺次曰塹堵測量皆以推闡算法或衍九章之未備或著今法之面形或論中西形體之變化或釋弧矢勾股八線之比例盖厯算之術至是而大備矣我國家修明律數探賾索隠集千古之大成文鼎以草野書生乃能覃思切究洞悉源流其所論著皆足以通中西之㫖而折今古之中自郭守敬以來罕見其比其受聖天子特逹之知固非偶然矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 恭記
壬午十月扈駕南巡駐蹕徳州有㫖取所刻書集回奏匆遽未曽携帶且多係經書制舉時文應塾校之需不足塵覽有宣城處士梅文鼎厯學疑問三巻(臣)所訂刻謹呈求聖誨奉㫖朕留心厯算多年此事朕能决其是非將書留覽再發二日後承召面見上云昨所呈書甚細心且議論亦公平此人用力深矣朕帶回宫中仔細看閲(臣)因求皇上親加御筆批駮改定庶草野之士有所取裁(臣)亦得以預聞一二不勝幸甚上肯之越明年春駕復南巡遂於行在發回原書面諭朕已細細看過中間圏㸃塗抹及簽貼批語皆上手筆也臣復請此書疵繆所在上云無疵繆但算法未備蓋梅書原未完成聖諭遂及之竊惟自古懷抱道業之士承詔有所述作者無論已若乃私家蔵錄率多塵埋瓿覆至厯象天官之奥尤世儒所謂專門絶學者蓋自好事耽奇之徒往往不能竟篇而罷曷能上煩乙夜之觀句譚字議相酬酢如師弟子梅子之遇可謂千載一時方今宸翰流行天下獨未有裁自聖手之書蓄於人間者豈特若洛下之是非堅定而子雲遺編所謂遭遇時君度越諸子者亦無待乎桓譚之屢歎矣既以書歸之梅子而為叙其時月因起俾梅寶奉焉甲申五月壬戌(臣)李光地恭記
## 序
序
厯學疑問梅子定九之所著也先生於是學覃思博考四十年餘凡所撰述滿家自專門者不能殫覽也余謂先生宜撮其指要束文伸義章縫之士得措心焉夫列代史志掀及律厯則几而不視况一家之書哉先生肯余言以受館之暇為之論百十篇而託之疑者或曰子之强梅子以成書也於學者信乎當務歟曰疇人星官之所專司不急可也夫梅子之作辨於理也理可不知乎乾坤父母也繼志述事者不離乎動靜居息色笑之間故書始厯象詩詠時物禮分方設官春秋以時紀事易觀於隂陽而立卦合乎嵗閏以生蓍其所謂秩叙命討好惡美刺治教兵刑朝㑹摟伐建侯遷國之大涉川畜牝之細根而本之則始於太乙而殽於隂陽日星以為紀月以為量四時以為柄鬼神以為徒故曰思知人不可以不知天仰則觀於天文窮理之事也此則儒者所宜盡心也聖之多才藝而精創作必稱周公自大司徒土圭之法周髀蓋天之制後世少有知者漢唐而下最著者數家率推一時一處以為定論其有四出測候踰數千里則已度越古今而未能包八極以立説海外之士乘之真謂吾書之所未有微言既逺冺冺棼棼可勝詰哉梅子閔焉稽近不遺矣而源之務索其言之成則援熙朝之厯以合於軒姬虞夏洙泗閩洛冺然也此固我皇上膺厯在躬妙極道數故草野之下亦篤生異士見知而與聞之而梅子用心之勤不憚探賾表微以歸於至當一書之中述聖尊王兼而有焉昔劉歆三統文具漢志子雲太𤣥平子以為漢家得嵗二百年之書也彼劉揚烏知天皆據洛下一家法而傅㑹以經義云爾今先生之論羅罔千載明皇厯之得天即象見理綜數歸道異日蘭臺編次必有取焉七政三統殆不足儗而書體簡實平易不為枝離佶屈吾知其説亦大行於經生家非如太𤣥之覆醤瓿者而終不顯矣先生之歸也謂余叙之余不足以知厯姑叙其大意以質知先生者先生續且為之圖表數術以繼斯巻余猶得竟學而觀厥成焉淸溪李光地書
## 序
序
厯元起冬至其來舊矣易復卦傳曰先王以至日閉闗商旅不行后不省方孟子曰天之高也星辰之逺也茍求其故千嵗之日至可坐而致故古來治厯者其立算並起冬至夫有所受之也欲騐將來必推已往所謂求其故也秦炬以前古術難徵惟春秋左氏傳僖公五年春王正月辛亥朔日南至公既視朔遂登觀臺以望而書此冬至之有日名灼然可據者自漢以後漸講於測景之法然測景最難真確載在史書可信者不過數十條故元時許衡王恂郭守敬等造授時厯據之以考厯法之疎密也古今厯法七十餘家皆由疎以至密必取其最密者以相參考而其説始定是故唐厯莫善於大衍其次莫善於宣明宋厯莫善於紀元尤莫善於統天金厯莫善於趙知微而授時厯集其大成故以此六家互相稽考也今依其本法求之則合於當時者或戾於古合於古者又不效於今惟授時統天能上考下求而多所合由是觀之厯學之古疎今密約畧可見而嵗起冬至則嵗實之古大今小較然不誣即統天授時上考下求百年消長之法亦自有據並可以深思而得其故矣(按百年消長之法統天厯術中已暗藏其數至授時乃發明之郭太史自言創法五端原未及此)元史厯議已具錄六厯所得日名離合之端然未詳算法茲特各依其本法詳衍使學厯者攷焉宣城梅文鼎
## 卷一
欽定四庫全書厯算全書巻一宣城梅文鼎撰厯學疑問一論厯學古疏今密問三代典制厄於秦火故儒者之論謂古厯宜有一定不變之法而不可復考後之人因屢變其法以求之葢至於今日之宻合而庶幾克復古聖人之舊非古疏而今密也曰聖人言治厯明時盖取於革故治厯者當順天以求合不當為合以驗天若預為一定之法而不隨時修改以求無弊是為合以驗天矣又何以取於革乎且吾嘗徴之天道矣日有朝有禺有中有昃有夜有晨此厯一日而可知者也月有朔有生明有弦有望有生魄有下弦有晦此厯一月而可知者也時有春夏秋冬晝夜有永短中星有推移此歴一嵗而可知者也乃若熒惑之周天則厯二年嵗星則十二年土星則二十九年(皆約整數)夫至于十二年二十九年而一周已不若前數者之易見矣又其毎周之間必有過不及之餘分所差甚㣲非厯多周豈能灼見乃若嵗差之行六七十年始差一度厯二萬五千餘年而始得一周雖有期頤上夀所見之差不過一二度亦安從辨之迨其厯年既乆差數愈多然後共見而差法立焉此非前人之智不若後人也前人不能預見後来之差數而後人則能盡考前代之度分理愈乆而愈明法愈修而愈密勢則然耳問者曰若是則聖人之智有所窮歟曰使聖人為一定之法則窮矣惟聖人深知天載之無窮而不為一定之法必使隨時修改以求合天是則合天下萬世之聰明以為其耳目聖人之所以不窮也然則厯至今日而愈密者皆聖人之法之所該矣論中西二法之同問者曰天道以乆而明厯法以修而密今新厯入而盡變其法以從之則前此之積候舉不足用乎曰今之用新厯也乃兼用其長以補舊法之未備非盡廢古法而従新術也夫西厯之同乎中法者不止一端其言日五星之最髙加減也即中法之盈縮厯也在太隂則遲疾厯也其言五星之嵗輪也即中法之段目也(遲留逆伏)其言恒星東行也即中法之嵗差也其言節氣之以日躔過宫也即中法之定氣也其言各省直節氣不同也即中法之里差也但中法言盈縮遲疾而西説以最髙最卑明其故中法言段目而西説以嵗輪明其故中法言嵗差而西説以恒星東行明其故是則中厯所著者當然之運而西厯所推者其所以然之源此其可取者也若夫定氣里差中厯原有其法但不以註厯耳非古無而今始有也西厯始有者則五星之緯度是也中厯言緯度惟太陽太隂有之(太陽出入于赤道其緯二十四度太隂出入于黄道其緯六度)而五星則未有及之者今西厯之五星有交㸃有緯行亦如太陽太隂之詳明是則中厯缺陷之大端得西法以補其未備矣夫於中法之同者既有以明其所以然之故而于中法之未備者又有以補其缺于是吾之積候者得彼説而益信而彼説之若難信者亦因吾之積候而有以知其不誣雖聖人復起亦在所兼收而亟取矣論中西之異問今純用西法矣若子之言但兼用其長耳豈西法亦有大異于中而不可全用抑吾之用之者猶有未盡歟曰西法亦有必不可用者則正朔是也中法以夏正為嵗首此萬世通行而無弊者也西之正朔則以太陽㑹恒星為嵗其正月一日定于太陽躔斗四度之日而恒星既東行以生嵗差則其正月一日亦屢變無定故在今時之正月一日定于冬至後十一日溯而上之可七百年則其正月一日在冬至日矣又溯而上之七百年又在冬至前十日矣由今日順推至後七百年則又在冬至後二十日矣如是不定安可以通行乎此徐文定公造厯書之時棄之不用而亦畧不言及也然則自正朔外其餘盡同乎曰正朔其大者也餘不同者尚多試畧舉之中法歩月離始于朔而西法始于望一也中法論日始子半而西法始午中二也中法立閏月而西法不立閏月惟立閏日三也黄道十二象與二十八舍不同四也餘星四十八象與中法星名無一同者五也中法紀日以甲子六十日而周西法紀日以七曜凡七日而周六也中法紀嵗以甲子六十年而周西法紀年以以總積六千餘年為數七也中法節氣起冬至而西法起春分八也以上數端皆今厯所未用徐文定公所謂鎔西算以入大綂之型模葢謂此也(就中推閏日用之於恒表積數而不)(廢閏月猶弗用也其總積之年厯指中偶一舉之而不以紀嵗)論今法于西厯有去取之故問者曰皆西法也而有所棄取何也曰凡所以必用西法者以其測算之精而己非好其異也故凡最高卑加減黄道經緯之屬皆其測算之根而不得不用者也若夫測算之而既合矣則紀日于午何若紀于子之善也紀月于朢何若紀于朔之善也四十八象十二象之星名與三垣二十八宿雖離合不同而其星之大小逺近在天無異也又安用此紛紛乎此則無闗于測算之用者也乃若正朔之頒為國家禮樂刑政之所出聖人之所定萬世之所遵行此則其必不可用而不用者也又何惑焉論囘囘厯與西洋同異問囘囘亦西域也何以不用其厯而用西洋之厯曰囘囘厯與歐羅巴(即西洋厯)同源異派而踈宻殊故囘囘厯亦有七政之最髙以為加減之根又皆以小輪心為平行其命度也亦起春分其命日也亦起午正其算太隂亦有第一加減第二加減算交食三差亦有九十度限亦有影徑分之大小亦以三百六十整度為周天亦以九十六刻為日亦以六十分為度六十秒為分而逓析之以至於㣲亦有閏日而無閏月亦有五星緯度及交道亦以七矅紀日而不用干支其立象也亦以東方地平為命宫其黄道上星亦有白羊金牛等十二象而無二十八宿是種種者無一不與西洋同故曰同源也然七政有加減之小輪而無均輪太隂有倍離之經差加減而無交均之緯差故愚嘗謂西厯之於囘囘猶授時之於紀元統天其踈密固較然也然在洪武間未嘗不密其西域大師馬哈麻馬沙亦黒頗能精于其術但深自秘惜又不著立表之根後之學者失其本法之用反借大統春分前定氣之日以為立算之基何怪其乆而不效耶然其法之善者種種與西法同今用西法即用囘囘矣豈有所取舎於其間哉(按囘囘古稱西域自明鄭和奉使入洋以其非一國)(槩稱之曰西洋厥後歐羅巴入中國自稱大西洋謂又在囘囘西也今厯書題曰西洋新法盖囘囘厯即西洋)(舊法耳論中舉新法皆曰歐羅巴不敢混稱西洋所以别之也)論回回厯厯元用截法與授時同問論者謂回回厯元在千餘年之前故乆而不可用其説然歟曰回回厯書以隋開皇己未為元謂之阿刺必年然以法求之實用洪武甲子為元而托之于開皇己未耳何以知之盖回回厯有太陽年太隂年自洪武甲子逆溯開皇己未距算七百八十六此太陽年也而回囘厯立成所用者太隂年也回回厯太隂年至第一月一日與春分同日之年則加一嵗約為三十二三年而積閏月十二所謂應加次數也然則洪武甲子以前距算七百八十六年當有應加閏月之年二十四次而今不然即用距算查表至八百一十七算之時始加頭一次然則此二十四个閏年之月日將何所歸乎故知其即以洪武甲子為元也惟其然也故其總年立成皆截從距開皇六百年起其前皆缺盖皆不用之數也然則何以不竟用七百八十算為立成起處而用六百年曰所以塗人之耳目也又最髙行分自六百六十算而變以前則漸減以後則漸増其減也自十度以至初度其増也又自初度而漸加此法中厯所無故存此以見意也(初度者盖指巨蠏初㸃惟六百六十算之年最髙與此㸃合以嵗計之當在洪武甲子年前一百二十六)(算其前漸減者盖是未到巨蠏之度故漸減也)由是言之其算宫分雖以開皇己未為元而其查立成之根則在己未元後二十四年(即立成所謂一年)既退下二十四年故此二十四次應加之數可以不加自此以後則皆以春分所入月日挨求亦可不必細論惟至閏滿十二個月之年乃加一次此其巧㨗之法也然則其不用積年而截取現在為元者固與授時同法矣論天地人三元非回回本法問治回回厯者謂其有天地人三元之法天元謂之大元地元謂之中元人元謂之小元而以己未為元其簡法耳以子言觀之其説非歟曰天地人三元分算乃吳郡人陳壤所立之率非回回法也(陳星川名壤袁了凡師也嘉靖間曽上疏)(改厯而格不行)其説謂天地人三元各二千四百一十九萬二千年今嘉靖甲子在人元己厯四百五十六萬六千八百四十算所以為此迂逺之數者欲以求太乙數之周紀也(按太史王肯堂筆廛云太乙多不能算厯故以厯法求太乙多不合惟陳星川之太乙與厯法合)然其立法皆截去萬以上數不用故各種立成皆止于千其為虚立無用之數可知矣夫三式之有太乙不過占家一種之書初無闗于厯算乂其立法以六十年為紀七十二年為元五元則三百六十年謂之周紀純以干支為主而西域之法不用干支安得有三元之法乎今天地人三元之數現在厯法新書初未嘗言其出於回回也盖明之知回回厯者莫精于唐荆川順之陳星川壤兩公而取唐之説以成書者為周雲淵述學述陳之學以為書者為袁了凡黄然雲淵厯宗通議中所述荆川精語外别無發眀(有厯宗中經余未見)而荆川亦不知最髙為何物(唐荆川曰要求盈縮何故減那最髙行度只為嵗差積乆年年欠下盈縮分數以此補之云云)(是未明厥故也)若雲淵則直以毎日日中之晷景當最髙尤為臆説矣了凡新書通回回之立成于大統可謂苦心然竟削去最髙之算又直用大統之嵗餘而棄授時之消長將逆推數百年亦已不效况數千萬年之乆乎人惟見了凡之書多用回回法遂誤以為西域土盤本法耳又若薛儀甫鳳祚亦近日西學名家也其言囘囘厯乃謂以己未前五年甲寅為元此皆求其説不得而強為之解也總之回回厯以太隂年列立成而又以太陽年查距算巧藏其根故雖其專門之裔且不能知無論他人矣(查開皇甲寅乃回教中所𫝊彼國聖人辭世之年故用以紀嵗非厯元也薛儀甫盖以此而誤)論回回厯正朔之異問回回厯有太陽年又有太隂年其國之紀年以何為定乎曰回回國太隂年謂之動的月其法三十年閏十一日而無閏月惟以十二个月為一年(無閏則三百五十四日有閏則)(三百五十五日)故遇中國有閏月之年則其正月移早一月(如首)(年春分在第一月遇閏則春分在第二月而移其春分之前月為第一月)故曰動的月其太陽年則謂之不動的月其法以一百二十八年而閏三十一日皆以太陽行三十度為一月即中厯之定氣其白羊初即為第一月一日嵗嵗為常故曰不動的月也然其紀嵗則以太隂年而不用太陽年此其異于中厯而并異于歐羅巴之一大端也然又有異者其毎嵗齋月又不在第一月而在第九月滿此齋月至第十月一日則相賀如正旦焉不特此也其所謂月一日者又不在朔不在朢而在哉生明之後一日其附近各國皆然瀛涯勝覽諸書可考而知也馬歡瀛涯勝覽曰占城國無閏月但十二月為一年晝夜分為十更用鼓打記又曰阿丹國無閏月氣候温和常如八九月惟以十二個月為一年月之大小若頭夜見新月明日即月一也又曰榜葛刺國亦無閏月以十二個月為一年按馬歡自稱㑹稽山樵曽従鄭和下西洋故書其所見如此盖其國俱近天方故風俗並同其言月一者即月之第一日在朔後故不言朔厥後張昇改其文曰以月出定月之大小夜見月明日又為一月也文句亦通然非月一字義也又按一統志天方國古筠冲之地舊名天堂又名西域有回回厯與中國前後差三日葢以見新月之明日為月之一日故差三日○又按素問云一晝一夜五分之隋志云晝有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊則晝夜十更之法中法舊有之○又熊䃪石島夷志曰舶舟視旁羅之針羅羅處甚幽密惟開小扄直舵門燈長燃不分晝夜夜五更晝五更合晝夜十二辰為十更其針路悉有譜按此以十更記程而百刻匀分不論冬夏長短與記里鼓之意略同若素問隋志所云則以日出入為斷而晝夜有長短更法因之而變兩法㣲别占城用鼔打記不知若何要不出此二法論夏時為堯舜之道問古有三正而三王迭用之則正朔原無定也安在用太隂年用恒星年之為非是乎曰古聖人之作厯也以敬授民時而已天之氣始於春盛於夏斂於秋伏藏於冬而萬物之生長收藏因之民事之耕耘收穫因之故聖人作厯以授民時而一切政務皆順時以出令凡郊社禘嘗之禮五祀之祭蒐苗獮狩之節行慶施惠决獄治兵之典朝聘之期飲射讀法勸耕省斂土功之事洪纎具舉皆於是乎在故天子以頒諸侯諸侯受而藏諸祖廟以毎月告朔而行之厯之重葢如是也而顧使其游移無定何以示人遵守乎如回回厯則毎二三年而其月不同是春可為夏夏可為冬也如歐羅巴則毎七十年而差一日積之至乆四時亦可互為矣是故惟行夏之時斯為堯舜之道大中至正而不可易也然則又何以有三正曰三正雖殊而以春為民事之始則一也故建丑者二陽之月也建子者一陽之月也先王之於民事也必先時而戒事猶之日出而作而又曰鷄鳴而起中夜以興云爾豈若毎嵗遷徙如是其紛紛者哉雖其各國之風俗相沿而不自覺然以數者相較而孰為正大孰為煩碎則必有辨矣論語行夏之時古註云據見萬物之生以為四時之始取其易知論西厯亦古疏今宻問中厯古疏今密實由積候固己西厯則謂自古及今一無改作意者其有神授歟曰殆非也西法亦由積候而漸至精密耳隋以前西厯未入中國其見於史者在唐為九執厯在元為萬年厯在明為回回厯在本朝為西洋厯新法然九執厯課既疏逺唐大衍厯既成而一行卒瞿曇怨不得與改厯事訟於朝謂大衍寫九執厯未盡其法詔厯官比驗則九執厯課最䟽萬年厯用亦不乆元太祖庚辰西征西域厯人奏五月朢月當蝕耶律楚材曰否卒不蝕明年十月楚材言月當蝕西域人曰不蝕至期果蝕八分世祖至元四年西域札瑪魯丹撰進萬年厯世祖稍頒行之至十八年改用授時厯回回厯明用之三百年後亦漸䟽明洪武初設回回司天臺于雨花臺尋罷回回司天監設回回科𨽻欽天監毎年西域官生依其本法奏進日月交蝕及五星凌犯等厯歐羅巴最後出而稱最精豈非後勝於前之明驗歟諸如厯書所述多禄某之法至歌白泥而有所改訂歌白泥之法至地谷而大有變更至於地谷法畧備矣而逺鏡之製又出其後則其為累測益精大畧亦如中法安有所謂神授之法而一成不易者哉是故天有層數西法也而其説或以為九重或以為十二重今則以金水太陽共為一重矣又且以火星冲日之時比日更近而在太陽天之下則九重相裹如葱頭之説不復可用矣太陽大於地西説也而其初説日徑大於地徑一百六十五倍竒今只筭為五倍竒兩數相懸不啻霄壤矣太陽最髙卑嵗嵗東移西法也然先定二至後九度後改定為六度今復移進半度為七度竒矣又何一非後来居上而謂有神授不由積驗乎渾盖通憲定奥日在巨蠏九度即最髙也其時為萬厯丁未在戊辰厯元前二十年是利西泰所定厥後厯書定戊辰年最髙衝度在冬至後五度五十九分五十九秒以較萬厯丁未所定之奥日凡改退三度有竒是徐文定公及湯羅諸西士所定今康熙永年厯法重定康熙戊午髙衝在冬至後七度○四分○四秒以較厯書二百恒年表原定戊午髙衝六度三十七分二十九秒凡移進二十六分三十五秒其書成於厯書戊辰元後五十年是治理厯法南懐仁所定論地圎可信問西人言水地合一圓球而四面居人其地度經緯正對者兩處之人以足版相抵而立其説可信歟曰以渾天之理徴之則地之正圓無疑也是故南行二百五十里則南星多見一度而北極低一度北行二百五十里則北極髙一度而南星少見一度若地非正圎何以能然至於水之為物其性就下四面皆天則地居中央為最下水以海為壑而海以地為根水之附地又何疑焉所疑者地既渾圎則人居地上不能平立也然吾以近事徴之江南北極髙三十二度浙江髙三十度相去二度則其所戴之天頂即差二度(江南天頂去北極五十八度浙江天頂去北極六十度)各以所居之方為正則遥㸔異地皆成斜立又况京師極髙四十度瓊海極髙二十度(京師以去北極五十度之星為天頂瓊海以去北極七十度之星為天頂)若自京師而觀瓊海其人立處皆當傾跌(瓊海望京師亦復相同)而今不然豈非首戴皆天足履皆地初無欹側不憂環立歟然則南行而過赤道之表北逰而至戴極之下亦若是已矣是故大戴禮則有曽子之説大戴禮單居離問於曽子曰天圓而地方誠有之乎曽子曰如誠天圓而地方則是四角之不揜也參嘗聞之夫子曰天道曰圓地道曰方内經則有岐伯之説内經黄帝曰地之為下否乎岐伯曰地為人之下太虚之中也曰憑乎曰大氣舉之也素問又曰立于子而面午立于午而面子皆曰北面立于午而負子立于子而負午皆曰南靣釋之者曰常以天中為北故對之者皆南也宋則有邵子之説邵子觀物篇曰天何依曰依地地何附曰附天曰天地何所依附曰自相依附程子之説程明道語録曰天地之中理必相直則四邊當有空闕處地之下豈無天今所謂地者特於天中一物爾又曰極須為天下之中天地之中理必相直今人所定天體只是且以眼定視所極處不見遂以為盡然向曽有于海上見南極下有大星數十則今所見天體葢未定以土圭之法騐之日月升降不過三萬里中然而中國只到鄯善莎車已是一萬五千里就彼觀日尚只是三萬里中也地圓之説固不自歐邏西域始也元西域札瑪魯丹造西域儀像有所謂庫哩葉阿喇斯漢言地里志也其製以木為圓毬七分為水其色緑三分為土地其色白畫江河湖海貫串於其中畫作小方井以計幅員之廣袤道里之逺近此即西説之祖論葢天周髀問有圓地之説則里差益明而渾天之理益著矣古乃有葢天之説殆不知而作者歟曰自揚子雲諸人主渾天排葢天而葢説遂詘由今以觀固可並存且其説實相成而不相悖也何也渾天雖立兩極以言天體之圓而不言地圎直謂其正平焉耳若葢天之説具於周髀其説以天象盖笠地法覆槃極下地髙滂沲四隤而下則地非正平而有圓象明矣故其言晝夜也曰日行極北北方日中南方夜半日行極東東方日中西方夜半日行極南南方日中北方夜半日行極西西方日中東方夜半凡此四方者晝夜易處加四時相及此即西厯地有經度以論時刻早晚之法也其言七衡也曰北極之下不生萬物北極左右夏有不釋之冰中衡左右冬有不死之草五榖一嵗再熟凡北極之左右物有朝生暮穫(趙君卿注曰北極之下從春分至秋分為晝從秋分)(至春分為夜)即西厯以地緯度分寒煖五帶晝夜長短各處不同之法也使非天地同為渾圎何以能成此算周髀本文謂周公受于商髙雖其詳莫攷而其説固有所本矣然則何以不言南極曰古人著書皆詳於其可見而略於所不見即如中高四下之説既以北極為中矣而又曰天如倚盖是亦即中國之所見擬諸形容耳安得以辭害意哉故寫天地以圓器則葢之度不違於渾圖星象于平楮則渾之形可存於葢唐一行善言渾天者也而有作葢天圗法元郭太史有異方渾蓋圗今西厯有平渾儀皆深得其意者也故渾蓋之用至今日而合渾蓋之説亦至今日而合渾蓋之説亦至今日而益明元札馬魯丁西域儀象有兀速都兒刺不定漢言晝夜時刻之器其製以銅如圓鏡而可掛面刻十二辰位晝夜時刻上加銅條綴其中可以圓轉銅條兩端各屈其首為二竅以對望晝則視日影夜則窺星辰以定時刻以則休咎背嵌鏡片二面刻其圗凡七以辨東西南北日影長短之不同星辰向背之有異故各異其圖以盡天地之變焉按此即今渾盖通憲之製也以平詮渾此為最著論周髀儀器問若是則渾盖通憲即盖天之遺製歟抑僅平度均布如唐一行之所云耶曰皆不可考矣周髀但言笠以寫天天青黒地黄赤天數之為笠也赤黒為表丹黄為裏以象天地之位此盖寫天之器也今雖不𫝊以意度之當是圓形如笠而圖度數星象于内其勢與仰觀不殊以視平圗渾象轉為親切何也星圗強渾為平則距度之䟽密改觀渾象圖星於外則星形之左右易位若寫天於笠則其圓勢屈而向内星之經緯距皆成弧度與測筭脗合勝平圗矣又其星形必在内面則星之上下左右各正其位勝渾象矣論厯元問造厯者必先立元元正然後定日法法立然後度周天古厯數十家皆同此術至授時獨不用積年日法何歟曰造厯者必有起算之端是謂厯元然厯元之法有二其一逺溯初古為七曜齊元之元自漢太初至金重修大明厯各所用之積年是也其一為截算之元自元授時不用積年日法直以至元辛巳為元而今西法亦以崇禎戊辰為元是也二者不同然以是為起算之端一而已矣則二者無優劣乎曰授時優夫所謂七曜齊元者謂上古之時嵗月日時皆㑹甲子而又日月如合璧五星如連珠故取以為造厯之根數也使其果然雖萬世遵用可矣乃今卄一史中所載諸家厯元無一同者是其積年之乆近皆非有所受之於前直以巧算取之而已然謂其一無所據而出于胸臆則又非也當其立法之初亦皆有所驗于近事然後本其時之所實測以旁證於書𫝊之所𫝊約其合者既有數端遂援之以立術于是溯而上之至於數千萬年之逺庶幾各率可以齊同積年之法所由立也然既欲其上合厯元又欲其不違近測畸零分秒之數必不能齊勢不能不稍為整頓以求巧合其始也據近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣又安得以為定法乎授時厯知其然故一以實測為憑而不用積年虛率上考下求即以至元十八年辛巳嵗前天正冬至為元其見卓矣按唐建中時術者曺士蔿始變古法以顯慶五年為上元雨水為嵗首號符天厯行於民間謂之小厯又五代石晉髙祖時司天監馬重績造調元厯以唐天寳十四載乙未為上元用正月雨水為氣首此二者亦皆截筭之法授時厯葢采用之耳然曺馬二厯未嘗密測逺徴不過因時厯之率截取近用若郭太史則製器極精四海測驗者二十七所又上考春秋以来至于近代然後立術非舍難而就易也 又按孟子千嵗日至趙注只云日至可知其日孫奭疏則直云千嵗以後之日至可坐而定初不言立元論西法積年問厯元之難定以嵗月日時皆㑹甲子也若西厯者初不知有甲子何難溯古上元而亦截自戊辰歟曰西人言開闢至今止六千餘年是即其所用積年也然厯書不用為元者何也既無干支則不能合於中法一也又其法起春分與中法起冬至不同以求上古積年畢世不能相合二也且西書所𫝊不一其積年之説先有參差三也故截自戊辰為元亦鎔西算入中法之一事葢立法之善雖巧算不能違矣天地儀書自開闢至崇禎庚辰凡五千六百三十餘年聖經直解開闢至崇禎庚辰凡六千八百三十六年通雅按諸太西云自開闢至崇禎甲申六千八百四十年依所製稽古定儀推之止五千七百三十四年月離厯指曰崇禎戊辰為總期之六千三百四十一年天文實用云開闢初時適當春分又云中西皆以角為宿首因開闢首日昬時角為中星也今以恒星本行逆推約角宿退九十度必為中星計年則七千矣與聖經紀年合開闢至洪水天地儀書云一千六百五十餘年聖經直解則云二千二百四十二年相差五百九十二年洪水至漢哀帝元夀二年庚申天主降生天地儀書云二千三百四十餘年聖經直解則云二千九百五十四年相差六百一十四年遺詮又云二千九百四十六年比聖經直解又少八年論日法問上古積年荒忽無憑去之誠是也至于日法則現在入用之數也而古厯皆有日法授時何以獨無曰日法與厯元相因而立者也不用積年自可不用日法矣盖古厯氣朔皆定大小餘大餘者日也小餘者時刻也凡七曜之行度不能正當時刻之初而或在其中半難分之處非以時刻剖析為若干分秒則不能命筭此日法所由立也自日法而析之則有辰法刻法分法秒法自日法而積之則有氣䇿法朔實法嵗實法旬周法與日日法同用者則有度法宿次法周天法又有章法蔀法紀法元法一切諸法莫不以日法為之綱古厯首定日法而皆有畸零葢以此也惟日法有畸零故諸率從之而各有畸零之數矣夫古厯豈故為此繁難以自困哉欲以上合於所立之厯元而為七曜之通率有不得不然者也(如古法以九百四十分為日法其四分之一則為二百三十五所以然者以十九年一章有二)(百三十五月也又古法月行十九分度之七是以十九分為度法亦以十九年一章有七閏也他皆類此)今授時既不用積年即章蔀紀元悉置不用而一以天驗為徴故可不用畸零之日法而竟以萬分為日日有百刻刻有百分故一萬也自此再析則分有百秒秒有百微皆以十百為等而遞進退焉數簡而明易於布算法之極善者也是故授時非無日法也但不用畸零之日法耳用畸零之日法乘除既繁而其勢又有所阻故分以下復用秒母焉用萬分之日可以析之屢析至于無窮(日躔之用有秒則日為百萬月離之用有㣲則日為億萬)而乘除之間轉覺其易是小餘之細未有過於授時者也而又便於用豈非法之無弊可以萬世遵行者哉按宋蔡季通欲以十二萬九千六百為日法而當時厯家不以為然畏其細也然以較授時猶未及其秒數而不便于用者有畸零也有畸零而又於七曜之行率無闗何怪厯家之不用乎若回回泰西則皆以六十遞析雖未嘗别立日法而秒㣲以下必用通分頗多紆折若非逐項立表則其繁難不啻數倍授時矣薛儀甫著天學㑹通以六十分改為百分誠有見也厯算全書巻一
## 卷二
欽定四庫全書厯算全書巻二宣城梅文鼎撰厯學疑問二論嵗實(閏餘)問歲實有一定之數而何以有閏餘曰惟歲實有一定之數所以生閏餘也凡紀歲之㳒有二自今年冬至至來年冬至凡三百六十五日二十四刻二十五分而太陽行天一周是為一嵗二十四莭氣之日(據授時大統之數或自今)(年立春至來年立春亦同)周禮太史註中數曰歲朔數曰年自今年冬至至明年冬至歲也自今年正月朔至明年正月朔年也古有此語要之歲與年固無大别而中數朔數之不齊則氣盈朔虚之所由生自正月元旦至臘月除夕凡三百五十四日三十六刻七十一分一十六秒而太陰㑹太陽於十二次一周是為一歲十二月之日(亦據授時平朔言之)兩數相較則莭氣之日多於十二月者一十日八十七刻五十三分八十四秒是為一歲之通閏積至三年共多三十二日六十二刻六十一分五十二秒而成一閏月仍多三日零九刻五十五分五十九秒積至五年有半共多五十九日八十一刻四十六分一十二秒而成兩閏月仍多七十五刻三十四分二十六秒古云三歲一閏五歲再閏者此也然則何以不竟用莭氣紀歳則閏月可免矣曰晦朔弦望易見者也莭氣過宫難見者也敬授人時則莫如用其易見之事而但為之閏月以通之則四時可以不忒堯命羲和以閏月定四時成歳此堯舜之道萬世不可易也若囘囘厯有太陰年為動的月有太陽年為不動的月夫既謂之月安得不用晦朔弦望而反用莭氣乎故囘囘厯雖有太陽年之算而天方諸國不以紀歳也沈存中欲以莭氣紀歳而天經或問亦有是言此未明古聖人之意者矣論歳餘消長問歳實既有一定之數授時何以有消長之法曰此非授時新法而宋綂天之法然亦非綂天億創之法而合古今累代之法而為之者也盖古厯周天三百六十五度四分度之一一歳之日亦如之故四年而增一日(今西)(厯永年表亦同)其後漸覺後天皆以為斗分太强因稍損之(古厯)(起斗終斗故四分之一皆寄斗度謂之斗分)自漢而晉而唐而宋毎次改厯必有所減以合當時實測之數故用前代之厯以順推後代必至後天以斗分强也(斗分即嵗餘)若用後代之厯據近測以逆溯往代亦必後天以斗分弱也(前推後而歳餘强則所推)(者過於後之實測矣後推前而嵗餘弱則所推者不及於前之實測矣故皆後天)綂天厯見其然故為之法以通之于歳實平行之中加一古多今少之率則於前代諸厯不相乖戾而又不違於今之實測此其用法之巧也然綂天厯蔵其數于法之中而未嘗明言消長授時則明言之今遂以為授時之法耳郭太史自述創法五端初未及此也然則大綂厯何以不用消長曰此則元綂之失也當時李徳芳固巳上疏争之矣然在洪武時去授時立法不過百年所減不過一分積之不過一刻故雖不用消長無甚差殊也崇禎厯書謂元綂得之測驗竊不謂然何也元綂與徳芳辨但自言未變舊法不言測騐有差又其所著通軌雖便初學殊昧根宗間有更張輒違經㫖(如月食時差既内分等俱妄改背理)豈能於冬至加時後先一刻之間而測得真數乎然則消長必不可廢乎曰上古則不可知矣若春秋之日南至固可考據而唐宋諸家之實測有據者史册亦具存也今以消長之法求之其數皆合若以大綂法求之則皆後天而於春秋且差三日矣安可廢乎然則綂天授時之法同乎曰亦不同也綂天厯逐年逓差而授時消長之分以百年為限則授時之法又不如綂天矣夫必百年而消長一分未嘗不是乃以乗距算其數驟變殊覺不倫鄭世子黄鍾厯法所以有所酌改也(假如康熙辛酉年距元四百算)(該消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年嵗餘二十四刻二十二分而辛酉年歳餘)(二十四刻二十一分也以此所消之一分乗距算得四百分則辛酉嵗前冬至忽早四刻而次年又只平運以)(實數計之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年則又是三百六十五日二十四刻二十一分)(其法舛矣)論嵗實消長之所以然問嵗實消長之法既通於古亦宜合於今乃今實測之家又以為消極而長其説安在豈亦有所以然之故歟曰授時雖承統天之法而用消長但以推之舊厯而合耳初未嘗深言其故也惟厯書則為之説曰嵗實漸消者由日輪之轂漸近地心也余嘗竊疑其説今具論之夫西法以日天與地不同心疏盈縮加減之理其所謂加減皆加減於周天三百六十度之中非有所増損於其外也如最髙則視行見小而有所減最卑則視行見大而有所加加度則減時矣減度則加時矣然皆以最卑之所減補最髙之所加及其加減既周則其總數適合平行畧無餘欠也若果日輪之轂漸近地心不過其加減之數漸平耳加之數漸平則減之數亦漸平其為遲速相補而歸於平行一也豈有日輪心逺地心之時則加之數多而減之數少日輪心近地心時則減之數少而加之數多乎必不然矣又考日躔永表彼固原未有消長之説日躔厯指言平嵗用授時消分定嵗則用最髙差及查恒年表之用則又只用平率是其説未有所决也又厯書言日輪漸近地心數千年後將合為一㸃若前之漸消由於兩心之漸近則今之消極而長兩心亦將由近極而逺數千年後又安能合為一㸃乎彼盖見授時消分有據而姑為此説非能極論夫消長之故者也然則將何以求其故曰授時以前之漸消既徴之經史而信矣而今現行厯之嵗實又稍大於授時其為復長亦似有據竊考西厯最髙卑今定於二至後七度依永年厯毎年行一分有竒則授時立法之時最髙卑正與二至同度而前此則在至前過此則在至後豈非髙衝漸近冬至而嵗餘漸消及其過冬至而東又復漸長乎余觀七政厯於康熙庚申年移改最髙半度弱而其年歳實驟増一刻半强此亦一徴也存此以竢後之知厯者(巳未年最髙在夏至後六度三十九分庚申年最髙在夏至後七度七分除本行外計新移二)(十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分實計三百六十五日二十四)(刻十三分前後各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以較庚申年嵗實驟増一刻九分)王寅旭曰嵗實消長其説不一謂由日輪之轂漸近地心其數寖消者非也日輪漸近則兩心差及所生均數亦異以論定嵗誠有損益若平嵗嵗實尚未及均數則消長之源與兩心差何與乎識者欲以黄赤極相距逺近求嵗差朓朒與星嵗相較為節嵗消長終始循環之法夫距度既殊則分至諸限亦宜隨易用求差數其理始全然必有平嵗之嵗差而後有朓朒之嵗差有一定之嵗實而後有消長之嵗實以有定者紀其常以無定者通其變始可以永乆而無弊按寅旭此論是欲據黄赤之漸近以為嵗實漸消之根盖見西測黄赤之緯古大今小今又覺稍贏故斷以為消極復長之故然黄赤逺近其差在緯嵗實消長其差在經似非一根又西測距緯復贏者彼固自疑其前測最小數之末真則亦難為確據愚則以中厯嵗實起冬至而消極之時髙衝與冬至同度髙衝離至而嵗實亦増以經度求經差似較親切愚與寅旭生同時而不相聞及其卒也乃稍稍見其書今安得起斯人於九原而相與極論以質所疑乎論恒星東移有據問古以恒星即一日一周之天而七曜行其上今則以恒星與七曜同法而别立宗動是一日一周者與恒星又分兩重求之古厯亦可通歟曰天一日一周自東而西七曜在天遲速不同皆自西而東此中西所同也然西法謂恒星東行比於七曜今考其度盖即古厯嵗差之法耳嵗差法昉於虞喜而暢於何承天祖冲之劉焯唐一行厯代因之講求加密然皆謂恒星不動而黄道西移故曰天漸差而東嵗漸差而西所謂天即恒星所謂嵗即黄道分至也西法則以黄道終古不動而恒星東行假如至元十八年冬至在箕十度至康熙辛未厯四百十一年而冬至在箕三度半在古法謂是冬至之度自箕十度西移六度半而箕宿如故也在西法則是箕星十度東行過冬至限六度半而冬至如故也其差數本同所以致差者則不同耳然則何以知其必為星行乎曰西法以經緯度候恒星則普天星度俱有嵗差不止冬至一處此盖得之實測非臆斷也然則普天之星度差古之測星者何以皆不知耶曰亦嘗求之於古矣盖有三事可以相證其一唐一行以銅渾儀候二十八舍其去極之度皆與舊經異今以歳差考之一行銅儀成於開元七年其時冬至在斗十度而自牽牛至東井十四宿去極之度皆小於舊經是在冬至以後厯春分而夏至之半周其星自南而北南緯増則北緯減故去北極之度漸差而少也自輿鬼至南斗十四宿去極之度皆大於舊經是在夏至以後厯秋分而冬至之半周其星自北而南南緯減則北緯増故去北極之度漸差而多也(星度詳後)嚮使非恒星移動何以在冬至後者漸北在夏至後漸南乎(恒星循黄道行實只東移無所謂南北之行也而自赤緯觀之則有)(南北之差盖横斜之勢使然)其一古測極星即不動處齊梁間測得離不動處一度强(祖暅所測)至宋熈寧測得離三度强(沈存中測)(詳夢溪筆談)至元世祖至元中測得離三度有半(郭太史候極儀徑七)(度終夜見極星循行環内切邊而行是也)嚮使恒星不動則極星何以離次乎其一二十八宿之距度古今六測不同(詳元史)故郭太史疑其動移此盖星既循黄道東行而古測皆依赤道黄赤斜交勾弦異視所以度有伸縮正由距有横斜耳不則豈其前人所測皆不足慿哉故僅以冬至言差則中西之理本同而合普天之星以求經緯則恒星之東移有據何以言之近兩至處恒星之差在經度故可言星東移者亦可言嵗西遷近二分處恒星之差竟在緯度故惟星實東移始得有差若只兩至西移諸星經緯不應有變也如此則恒星之東移信矣恒星既東移不得不與七曜同法矣恒星東移既與七曜同法即不得不更有天挈之西行此宗動所由立也唐一行所測去極度與舊不同者列後舊經 唐測牽牛(去極)百 六度 牽牛(去極)百 四度須女 百 度(有脫字) 須女 百 一度虚 百 四度 虚 百 一度危 九十七度(有誤字) 危 九十七度營室 八十五度 營室 八十三度東壁 八十六度 東壁 八十四度奎 七十六度 奎 七十三度婁 八十度 婁 七十七度胃昴 七十四度 胃昴 七十二度畢 七十八度 畢 七十六度觜觹 八十四度 觜觹 八十二度參 九十四度 參 九十三度東井 七十度 東井 六十八度以上十四宿去極之度皆古測大而唐測小是所測去極之度少于古測為其星自南而北也又按唐開元冬至在斗十度則此十四宿為自冬至後厯春分而夏至之半周舊經 唐測輿鬼 六十八度 輿鬼 六十八度栁 七十七度 栁 八十度半七星 九十一度 七星 九十三度半張 九十七度 張 百度翼 九十七度 翼 百 三度軫 九十八度 軫 百度角 九十一度(正當赤道) 角 九十三度半(在赤道南二度半)亢 八十九度 亢 九十一度半氐 九十四度 氐 九十八度房 百 八度 房 百一十度半心 百 八度 心 百一十度尾 百二十度 尾 百二十四度箕 百一十八度 箕 百二十度南斗 百一十六度 南斗 百一十九度以上十四宿去極之度皆古測小而唐測大是所測去極之度多於古測為其星自北而南也以冬至斗十度言之則此十四宿為自夏至後厯秋分而冬至之半周論七政髙下問𫝊言日月星辰繫焉而今謂七政各有一天何据曰屈子天問圜則九重孰營度之則古有其語矣七政運行各一其法此其説不始西人也但古以天如棊局不動而七政錯行如碁子之推移西人之説則謂日月五星各麗一天而有髙下其天動故日月五星動非七政之自動也其所麗之天表裏通徹故但見七政之動耳不然則將如彗孛之類旁行斜出安得有一定之運行而可以施吾籌䇿乎且既各麗一天則皆天也雖有髙下而總一渾灝之體於中庸所謂擊焉者初無牴牾也然則何以知其有髙下曰此亦古所有但言之未詳耳古今厯家皆言月在太陽之下故月體能蔽日光而日為之食是日髙月下日逺月近之證也又歩日食者以交道表裏而論其食分隨地所見深淺各異故此方見食既者越數千里而僅虧其半古人立法謂之東西南北差是則日之下月之上相距甚逺之證也又月與五星皆能掩食恒星是恒星最在上而於地最逺也月又能掩食五星是月最在下而於地最近也五星又能互相掩是五星在恒星之下月之上而其所居又各有髙下於地各有逺近也嚮使七政同在一規而無髙下之距則相遇之時必相觸擊何以能相掩食而過乎是故居七政之上最近大圜最逺於地者為恒星恒星之下次為土星又次為木星次為火星次為太陽為金為水最近於地者為月以視差言之與人目逺者視差㣲近則視差大故恒星之視差最㣲以次漸増至月而差極大也以行度言之近大圜者為動天所掣故左旋速而右移之度遲漸近地心則與動天漸逺而左旋漸遲即右移之度反速故左旋之勢恒星最速以次漸遲至月而為最遲也右移之度恒星最遲以次漸速至月而反最速也是二者宛轉相求其數巧合髙下之理可無復疑(夢溪筆談以月盈虧明日月之形如丸可謂明悉而又以問者之疑其如丸則相遇而相礙故輙漫應之)(曰日月氣也有形無質故相值而無礙此則未明視差之理為智者千慮之失)論無星之天問古以恒星不動七曜常移故有蟻行磨上之喻今恒星東移既與七曜同法則恒星亦是蟻而非磨故雖宗動無星可信其有也然西法又謂動天之外有静天何以知之曰此亦可以理信者也凡物之動者必有不動者以為之根動而不息者莫如天則必有常不動者以為之根矣天之有兩極也亦如磑之有臍戸之有樞也樞不動故户能開闔臍不動故磑能運旋若樞與臍動則開闔運旋之用息矣然樞能制户臍能運磑而此二者又誰制之而能不動哉則以其所麗者常静也(如户之樞)(附於屋而屋仍有基基即地也臍植於磑之下半而磑安於架架仍在地也人但知樞之於戸臍之於磑能以)(至小為至大之君而不知此至小者之根又實連於大地之體)唯天亦然動天之周繫於兩極而此兩極者必有所麗其所麗者又必常静故能終古凝然而為動天之樞也使其不然極且自動而何以為動天之所宗乎或曰天不可以戸磑擬也戸磑物也天則一氣旋轉而已豈必有所附著而後其樞不動哉曰天之異於物者大小也若以不動為動之根無異理也且試以實測徴之自古言北極出地三十六度而陽城之測至今未改也元史測大都北極之髙四十度半今以西測徴之亦無分寸之移故言嵗差者不及焉(如黄赤古逺今近日輪轂漸近地心之類皆有今昔之差惟北極出地之度不變)使天惟兀然浮空而又常為動而不息之物北極髙下亦將改易而何以髙度常有定測乎朱子嘗欲先論太虚之度然後次及天行太虚者静天之謂也(朱子曰而今若就天裏看時只是行得三百六十五度四分度之一若把天外来説則是一日過了一度)(蔡季通嘗言論日月則在天裏論天則在太虚空裏若在太虚空裏觀那天自是日日裏得不在舊時處)(又曰厯法蔡季通説當先論天行次及七政此亦未善要當先論太虚以見三百六十五度四分度之一)(一一定位然後論天行以見天度加損虚度之嵗分嵗分既定然後七政乃可齊耳)(臨川吳氏曰天與七政八者皆動今人只將天做硬盤却以七政之動在天盤上行今當以太虚中作一)(空盤却以八者之行較其遲速)論無星之天(其二)問静天為兩極所麗即朱子所言太虛是已然西法又設東西嵗差南北嵗差二重之天其説何居曰西人象數之學各有授受師説故其法亦多不同此兩嵗差之天利西泰言之徐文定公作厯書時湯羅諸西士棄不復用厥後穆氏著天歩真原北海薛氏本之著天學㑹通則又用之故知其授受非一家也今即其説推之則穆與利又似不同何也西人測驗謂黄赤之距漸近此亦可名南北差若東西嵗差則恒星之東移是已而恒星既為一重天不應復有東西嵗差之天則西泰所言不知何指也至于穆薛之説則又不正言南北東西兩嵗差而别有加算謂之黄道差春分差其法皆作小圏於心而大圏之心循之而轉若干年在前若干年在後其年皆以千計有圖有數有法且謂作厯書時棄之非是也然於西泰初説亦不知同異何如耳然則何以斷其有無曰天動物也但動而有常耳常則乆乆則不能無秒忽之差差在秒忽固無損於有常之大較而要之其差亦自有常也善歩者以數合差而得其衰序則儼然有形可説有象可圖焉如小輪之類皆是物也要之為圖為説總以得其差數而止其數既明其差既得又何必執其形象以生聚訟哉論天重數問七政既有髙下恒星又復東移動天一日一周静天萬古常定則天之重數豈不截然可數歟曰此亦據可見之度可推之數而知其必有重數耳若以此盡天體之無窮則有所不能即以西説言之有以天為九重者則以七曜各居其天并恒星宗動而九也有以天為十二重者則以宗動之外復有南北嵗差東西嵗差并永静之天十二也有以天為層層相裹如葱頭之皮密密相切畧無虚隙者利氏之初説也又有以天雖各重而其行度能相割能相入以是為天能之無盡者則以火星有時在日天之下金星有時在日天之上而為此言厯書之説也又有以金水二星遶日旋轉為太陽之輪故二星獨不經天是金水太陽合為一重而九重之數又減二重共為七重也然又謂五星皆以太陽為本天之心葢如是則可以免火星之下割日天是又將以五星與太陽并為一天而只成四重也(一月天二太陽五星共為一天三恒)(星天四宗動天)其説之不同如此而莫不持之有故其可以為定議乎嘗試論之天一而已以言其渾淪之體則雖不動之地可指為大圜之心而地以上即天地之中亦天不容有二若由其蒼蒼之無所至極以徴其體勢之髙厚則雖恒星同在一天而或亦有髙下之殊儒者之言天也當取其明確可徴之辭而畧其荒𣺌無稽之事是故有可見之象則可以知其有附麗之天有可求之差則可以知其有髙下之等(如恒星七政皆有象有差)有一種之行度知其有一樞紐(如動天無象可見而有行度)此皆實測之而有據者也而有常動者以為之運行知其必有常静者以為之根柢(静天與地相應故地亦天根)此則以理斷之而不疑者也若夫七政恒星相距之間天宇遼闊或空澄而精湛或絪緼而彌綸無星可測無數可稽固思議之所窮亦敬授之所緩矣論天重數二問重數既難為定則無重數之説長矣曰重數雖難定而必以有重數為長何也以七政之行非赤道也臨川掲氏曰天無層數七政皆能動轉試以水注圓噐而急旋之則見其中沙土諸物近心者凝而不動近邊者隨水而旋又且遲速洄漩以成㽞逆諸行矣又試以丸置於圜盤而輙轉其盤則其丸既為圜盤所掣與盤並行而丸之體圎亦能自轉而與盤相逆以成小輪之象矣此兩踰明切諸家所未及然以七政能自動而廢重數之説猶未能無滯碍也何也謂天如盤七政如丸盤之與丸同在一平面故丸無附麗而能與盤同行又能自動也若天則渾圓而非平圓又天體自行赤道而七政皆行黄道平斜之勢甚相差違若無本天以帶之而但如丸之在盤則七政之行必總㑹於動天之腰圍闊處皆行赤道而不能斜交赤道之内外以行黄道故曰以有重數為長也曰天既有重數則當如西人初説七政在天如木節在板而不能自動矣曰七政各居其天原非如木節之在板也各有小輪皆能自動但其動只在本所畧如人之目睛未嘗不左右頋盼而不離睂睫之間也若如板之有節則小輪之法又將安施即西説不能自通矣故惟七政各有本天以為之帶動斯能常行於黄道而不失其恒惟七政之在本天又能自動於本所斯可以施諸小輪而不礙掲説與西説固可並存而不廢者也論左旋問天左旋日月五星右旋中西兩家所同也自横渠張子有俱左旋之説而朱子蔡氏因之近者臨川掲氏建寕游氏又以槽丸盆水譬之此孰是而孰非曰皆是也七曜右旋自是實測而所以成此右旋之度則因其左旋而有動移耳何以言之七曜在天每日皆有相差之度厯家累計其每日差度積成周天中西新舊之法莫不皆然夫此相差之度實自西而東故可以名之右旋然七曜每日皆東升西降故又可以名之左旋西厯謂七曜皆有東西兩動而並出於一時盖以此也夫既云動矣動必有所向而一時兩動其勢不能古人所以有蟻行磨上之喻而近代諸家又有人行舟中之比也(七曜)(如人天如舟舟揚帆而西人在舟中向舟尾而東行岸上望之則見人與舟並西行矣)又天之東升西没自是赤道七曜之東移於天自是黄道兩道相差南北四十七度(自短規至長規合之得此數)雖欲為槽丸盆水之喻而平面之行與斜轉之勢終成疑義安可以遽廢右旋之實測而從左轉之虚理哉然吾終謂朱子之言不易者則以天有重數耳曰天有重數何以能㫁其為左旋曰天雖有層次以居七曜而合之總一渾體故同為西行也同為西行矣而仍有層次以生微差層次之髙下各殊則所差之多寡亦異故七曜各有東移之率也然使七曜所差只在東西順逆遲速之間則槽丸盆水之譬亦已足矣無如七曜東移皆循黄道而不由赤道則其與動天異行者不徒有東西之相違而且有南北之異向以此推知七曜在各重之天皆有定所而其各天又皆順黄道之勢以黄道為其腰圍中廣而與赤道為斜交非僅如丸之在槽沙之在水皆與其噐平行而但生退逆也(丸在槽與其盤為平面沙在水與其噐為平面故丸與盤同運而生退逆水與沙並)(旋而生退逆其順逆兩象皆在一平面)盖惟其天有重數故能動移惟其天之動移皆順黄道斯七曜東移皆在黄道矣是故左旋之理得重數之說而益明曰謂右旋之度因左旋而成何也曰天既有重數矣而惟恒星天最近動天故西行最速㡬與動天相若(六七十年始東移一度)自土星以内其動漸殺以及於地球是為不動之處則是制動之權全在動天而恒星以内皆随行也使非動天西行則且無動無動即無差又何以成此右旋之筭哉其勢如陶家之有鈞盤運其邊則全盤皆轉又如運重者之用飛輪其運動也亦以邊制中假令有小盤小輪附於大鈞盤大飛輪之上而别為之樞則雖同為左旋而因其制動者在大輪其小者附而隨行必相差而成動移以生逆度又因其樞之不同也雖有動移必與本樞相應而成斜轉之象焉(此之斜轉亦在平面非正喻其平斜但聊以明制動之勢)夫其退逆而右也因其兩輪相疊其退轉而斜行也因於各有本樞而其所以能退逆而斜轉者則以其随大輪之行而生此動移也若使大者停而不行則小者之逆行亦止而斜轉之勢亦不可見矣朱子既因舊説釋詩又極取張子左旋之説盖右旋者已然之故而左旋者則所以然之理也西人知此則不必言一時兩動矣故掲氏以丸喻七曜只可施於平面而朱子以輪載日月之喻兼可施諸黄赤與西説之言層次者實相通貫理至者數不能違此心此理之同洵不以東海西海而異也(朱子語類問經星左)(旋緯星與日月右旋是否曰今諸家是如此説横渠説天左旋日月亦左旋看来横渠之説極是只恐人不曉)(所以詩𫝊只載舊説或曰此亦易見如以一大輪在外一小輪載日月在内大輪轉急小輪轉慢雖都是左轉)(只有急冇慢便覺日月是右轉了曰然但如此則厯家逆字皆著改做順字退字皆著改做進字)論黄道有極問古者但言北辰渾天家則因北極而推其有南極今西法乃復立黄道之南北極一天而有四極何也曰求經緯之度不得不然也盖古人治厯以赤道為主而黄道從之故周天三百六十五度皆從赤道分其度一一與赤道十字相交引而長之以㑹於兩極若黄道之度雖亦匀分周天(三百六十五)而有經度無緯度則所分者只黄道之一線初不據以分宫故授時十二宫惟赤道勻分各得三十度竒黄道則近二至者一宫或只二十八度近二分者一宫多至三十二度(皆約整數)若是其濶狹懸殊者何哉過宫雖在黄道而分宫仍依赤道赤道之匀度抵黄道而成斜交勢有横斜遂生濶狹故曰以赤道為主而黄道從之也向使厯家只歩日躔此法已足無如月五星皆依黄道行而又有出入其行度之舒亟轉變為法多端皆以所當黄道及其距黄之逺近内外為根故必先求黄道之經緯西厯之法一切以黄道為主其法匀分黄道周天度為十二宫其分宫分度之經度線皆一一與黄道十字相交自此引之各成經度大圏以周於天體則其各圏相交以為各度輳心之處者不在赤道南北極而别有其心是為黄道之南北極自黄道兩極出線至黄道(即黄道上分宫分度之線引而成大圏以輳心者也心即黄極故亦)(可云從極出線)其緯各得九十度而均(極距黄道四面皆均故分宫分度線上之緯度)(皆均)以此各線之緯聮為圏線皆與黄道平行自黄道上相離一度起逐度作圏但其圏漸小以至九十度則成一㸃而㑹於黄極是為緯圏(一名距等圈)曰黄道既有經緯則必有所宗之極測筭所需固巳然則為測筭家所立歟抑真有是以為運轉之樞耶曰以恒星東移言之則真有是矣何則古法嵗差亦只在黄道之一線今以恒星移則普天星斗盡有古今之差惟黄道極終古不動豈非真有黄極以為運轉之樞哉曰然則北辰非黄極也今曰惟黄極不動豈北辰亦動與曰以毎日之周轉言則周天星度皆東升西没惟北辰不動以恒星東移之差言則雖北辰亦有動移而惟黄極不動盖動天西旋以赤道之極為樞而恒星東移以黄道之極為樞皆本實測各有至理也(古今測極星離不動處漸逺具見前篇)論厯以日躔為主中西同法問天方等國以太隂年紀嵗(即囬回法)歐邏巴國以恒星年紀嵗(即西洋本法)若是其殊意者起筭之端亦將與中土大異而何以皆用日躔為主歟曰其紀嵗之不同者人也其起筭之必首日躔者天也夫天有日如國有君史以紀國事厯以紀天行而史之綱在帝紀厯之綱在日躔其義一也是故太隂之行度多端無以凖之凖於日也(太隂有周天有㑹望有遲疾入轉有交道表裏皆以所厯若干日而知其行度之率)五星之行度多端無以凖之凖於日也(五星亦有周天有㑹望有盈縮入厯有交道表裏畧同太)(隂亦皆以日數為率)恒星之行度甚遲無以凖之亦凖於日也(恒星)(東移是生嵗差亦以日度知之而得其行率)不先求日躔且不能知其何年何日而又何以施其測騐推歩哉且夫天下之事必先得其著而後可以察其㣲必先得其易而後可以及其難必先得其常而後可以盡其變故以測騐言之日最著也以推歩言之日最易也以經緯之度言之日最有常也懸象常明而無伏見是為最著(若月與星則有晦伏)立術歩筭道簡不繁是為最易(歩月五星之法皆繁於日)恒星東移而分至不易是為經度之有常月五星出入黄道而日行黄道中線是為緯度之有常古之聖人以賓餞永短定治厯之大法萬世遵行所謂易簡而天下之理得也愚故曰今日之厯愈宻皆聖人之法所該此其一徴矣論黄道問黄道斜交赤道而差至四十七度何以徴之曰此中西之公論要亦以日軌之髙下知之也今以表測日景則夏至之景短以其日近天頂而光從直下也冬至之景長以其日不近天頂而光從横過也夫日近天頂則離地逺而地上之度髙日不近天頂則離地近而地上之度低測筭家以法求之則夏至之日度髙與冬至之日度髙相較四十七度半之則二十三度半為日在赤道南北相距之度也然此相較四十七度者非倐然而髙頓然而下也逐日測之則自冬至而春而夏其景由長漸短日度由低漸髙至夏至乃極自夏至而秋而冬其景由短漸長日度由髙漸低至冬至乃極其進退也有序其舒亟也有恒而又非平差之率故知其另有一圏與赤道相交出其内外也曰日行黄道固無可疑月與五星樊然不齊未嘗正由黄道也今曰七曜皆由黄道何也曰黄道者光道也(古□字从炗从日炗字即古光字)日為三光之主故獨行黄道而月五星從之雖不得正由黄道而不能逺離故皆出入於黄道左右要不過數度止耳古厯言月入隂陽厯離黄道逺處六度西厯測止五度竒又測五星出入黄道惟金星最逺能至八度其餘緯度乃更少於太隂是皆以黄道為宗故也故月離黄道五度竒合計内外之差共只十度竒若其離赤道也則有逺至二十八度半(以黄道距赤道二十三度半加月道五度竒得之)合計内外之差則有相差五十七度竒(以月在赤道内二十八度半在外亦如之併之得此數)金星離黄道八度竒合計内外之差共只十六度竒若其離赤道也則有逺至三十一度竒(以黄赤之距加星距黄道)合計内外之差則有相差六十二度竒(以星距赤道内外各三十一度得之)是月五星之出入黄道最逺者於赤道能為更逺豈非不宗赤道而皆宗黄道哉論經緯度(黄赤)問黄道有極以分經緯然則經緯之度惟黄道有之乎曰天地之間盖無在無經緯耳約畧言之則有有形之經緯有無形之經緯而又各分兩條曷言乎無形之經緯凡經緯之與地相應者其位置雖在地而實在無形之天朱子所謂先論太虚一一定位者此也曷言乎有形之經緯凡經緯之在天者雖去人甚逺而有象可徴即黄赤道也是故黄道有經緯赤道亦有經緯兩道之經度皆與本道十字相交引而成大圏(經度皆三百六十兩度相對者)(連而成大圏故大圏皆一百八十)其圏相㑹交必皆㑹於其極兩道之緯圏皆與本道平行而逐度漸小以至於本極而成一㸃此經緯之度兩道同法也然而兩道之相差二十三度半故其極亦相差二十三度半而兩道緯圏之差數如之矣(以黄緯為主則赤緯之斜二十三度半以赤緯為主而觀黄緯則其差亦然)若其經度則兩道之相同者惟有一圈(惟磨羯巨蟹之初度初分聫而為一圏此圏能)(過黄赤兩極)其餘則皆有相差之度而其差又不等(惟一圏能過兩)(極則黄赤兩經圏合而為一圏以黄赤兩極同居磨羯巨蟹之初也此外則黄道經圏只能過黄極而不過赤)(極赤道經圏亦只過赤極而不過黄極離磨羯巨蟹初度益逺其勢益斜其差益多故逐度不等)此其勢如以兩重罾網冒于圎球則網目交加縱横錯午而各循其頂以求之條理井然至賾而不可亂故曰在天之經緯有形而又分黄赤兩條也論經緯度二(地平)問經緯之與地相應者一而已矣何以亦分兩條曰黄赤之分兩條者有斜有正也地度之分兩條者有横有立也今以地平分三百六十經度(三十度為一宫共十二宫再剖之則二十)(四向)四面八方皆與地平圏為十字而引長之成曲線以輳于天頂皆相遇成一㸃故天頂者地平經度之極也(其經度下逹而輳于地心亦然)又將此曲線各勻分九十緯度(即地平上高度)(又謂之漸升度)而逐度聮之作横圏與地面平行而漸髙則漸小㑹于天頂則成一㸃即地平緯圏也(其地平下作緯圏至地心亦然)(如太陽朦影十八度而盡太隂十二度而見之類皆用此度也)此地平經緯之度為測驗所首重其實與太虚之定位相應者也然此特直立之經緯耳(其經緯以天頂地心為兩極是直立也其地平即腰圍廣處而緯圏與地平平行漸小而)(至天頂亦成直上之形矣)又有横偃之經緯焉其法以卯酉圏匀分三百六十度(亦三十度為一宫此圏上過天頂下過地心而正交地平于卯酉之中即地平經圈)(之一也其三百六十度亦即經圈上所分緯度但今所用只圈上分度之一㸃而不更作與地平平行之緯圈)從此度分作十字相交之線引而成大圏(其圏一百八十半在地平)(之上半在其下其地平上半圏皆具半周天度勢皆自正北趨正南穹隆之勢與天相際度間所容中闊而兩)(末鋭畧如剖𤓰其兩鋭在南北其中濶在卯酉)大圏相遇相交皆㑹于正子午而正切地平即子午規與地平規相交之一㸃(在地平直立經)(緯原用子午規卯酉規為經圏地平規為腰圍之緯圏今則以卯酉規為腰圍而子午規與地平規則同為經)(度圈)此一㸃即為經度之極而經度宗焉(立象學安十二宫用此度也)又自卯酉規向南向北逐度各作半圈如虹橋狀而皆與卯酉規平行(地平下半圏亦然合之則各成全圏)但離卯酉規漸逺亦即漸小以㑹于其極(即地平規之正子午一㸃)是其緯圏也(測算家以立晷)(取倒影定時用此度也)此一種經緯則為横偃之度(其經度以地平之子午為)(兩極而以卯酉規為其腰圍是横偃之勢)一直立一横偃其度皆與太虛之定位相應故曰無形之經緯亦分兩條也不但此也凡此無形之經緯皆以人所居之地平起算所居相距不過二百五十里即差一度(此以南北之里数言也若東西則有不二百五十里而差)(一度者矣何也地圎故也)而所當之天頂地平俱變矣地平移則髙天頂易則方向殊跬歩違離輾轉異視殆千變而未有所窮故曰天地之間無在無經緯也地平經緯有適與天度合者如人正居兩極之下則以一極為天頂一極為地心而地平直立之經緯即赤道之經緯矣若正居赤道之下則平視兩極一切地平之子一切地平之午而地平横偃之經緯亦即赤道之經緯矣論經緯相連之用及十二宫問經緯度之交錯如此得無益増測算之難乎曰凡事求之詳斯用之易惟經緯之詳此厯學所以易明也何也凡經緯度之法其數皆相待而成如鱗之相次網之在綱衰序秩然而不相凌越根株合散交互旁通有全則有分有正則有對即顯見隠舉二知三故可以經度求緯亦可以緯度求經有地平之經緯即可以求黄赤有黄赤之經緯亦可以知地平而且以黄之經求赤之經亦可以黄之緯求赤之經以黄之緯求赤之緯亦可以黄之經求赤之緯用赤求黄亦復皆然宛轉相求莫不脗合施於用從衡變化而不失其常求其源渾行無窮而莫得其隙夫是以布之於算而能窮差變筆之於圖而能肖星躔制之於噐而不違懸象此其道如棊方罫之間固善奕者之所當盡也曰經緯之度既然以為十二宫則何如曰十二宫者經緯中之一法耳渾圓之體析之則為周天經緯之度周天之度合之成一渾圜而十二分之則十二宫矣然有直十二宫焉有衡十二宫焉有斜十二宫焉又有百游之十二宫焉以天頂為極依地平經度而分者直十二宫也其位自子至卯左旋周十二辰辨方正位于是焉用之以子午之在地平者為極而以地平子午二規為界界各三宫者衡十二宫也其位自東地平為第一宫起右旋至地心又至西地平而厯午規以復於東立象安命于是乎取之赤道十二宫從赤道極而分極出地有髙下而成斜立是斜十二宫也加時之法于是乎取之則其定也西行之度于是乎紀之則其游也黄道十二宫從黄道極而分黄道極繞赤道之極而左旋而黄道之在地上者從之轉側不惟日異而且時移晷刻之間周流遷轉正邪升降之度于是乎取之故曰百游十二宫也然亦有定有游定者分至之限游者恒星嵗差之行也知此數種十二宫而俯仰之間縷如掌紋矣然猶經度也未及其緯故曰經緯中之一法也論周天度問古厯三百六十五度四分之一而今定為三百六十何也豈天度亦可增損歟曰天度何可增減盖亦人所命耳有布帛于此以周尺度之則于度有餘以漢尺度之則適足尺有長短耳于布帛豈有増損哉曰天無度以日所行為度毎嵗之日既三百六十五日又四之一矣古法據此以紀天度宜為不易奈何改之曰古法以太陽一日所行命之為度然所謂四之一者訖無定率故古今公論以四分厯最為疎闊而厯代斗分諸家互異至授時而有減嵗餘增天周之法則日行與天度較然分矣又况有冬盈夏縮之異終嵗之間固未有數日平行者哉故與其為畸零之度而初不能合于日行即不如以天為整度而用為起數之宗固推歩之善法矣(周天者數所從起而先有畸零故析之而為半周天有象限為十二宫為二十四氣七十二候莫不先有畸零)(而日行之盈縮不與焉故推歩稍難今以周天為整數而但求盈縮是以整御零為法倍易)且所謂度生於日者經度耳而厯家所難尤在緯度今以三百六十命度則經緯通為一法(若以嵗周命度則經度既有畸零凖之以為緯度畸)(零之算愈多若為兩種度法則將變率相從益多糾葛)故黄赤雖有正斜而度分可以互求七曜之天雖有内外大小而比例可以相較以其為三百六十者同也半之則一百八十四分之則九十而八線之法緣之以生故以製測噐則度數易分以測七曜則度分易得以算三角則理法易明吾取其適於用而已矣可以其出於囘囘泰西而棄之哉(三百六十)(立算實本囘囘至歐羅巴乃發眀之耳)况七曜之順逆諸行進退損益全在小輪為推歩之要眇然而小輪之與大輪比例懸殊若鎰與銖而黍累不失者以其度皆三百六十也以至太隂之㑹望轉交五星之嵗輪無一不以三百六十為法而地球亦然故以日躔紀度但可施于黄道之經而整度之用該括萬殊斜側縱横周通環應可謂執簡御棼法之最善者矣厯算全書巻二
## 卷三
欽定四庫全書厯算全書巻三宣城梅文鼎撰厯學疑問三論盈縮高卑問日有髙卑加減始於西法歟曰古厯有之且詳言之矣但不言卑髙而謂之盈縮耳曰日何以有盈縮曰此古人積候而得之者也秦火以還典章廢闕漢晉諸家皆以太陽日行一度故一歳一周天自北齊張子信積候合〔？〕加時始覺日行有入氣之差而立為損益之率又有趙道嚴者復凖晷景長短定日行進退更造盈縮以求虧食至隋劉焯立躔度與四序升降為法加詳厥後皆相祖述以為歩日躔之凖葢太陽行天三百六十五日惟只兩日能合平行(一在春分前三日一在秋分後三日一年之内能合平行)(者惟此二日)此外日行皆有盈縮而夏至縮之極毎日不及平行二十分之一冬至盈之極又過于平行二十分之一兩者相較為十分之一以此為盈縮之宗而過此皆以漸而進退焉此盈縮之法所由立也曰日躔既毎日有盈縮則歳周何以有常度曰日行毎日不齊而積盈積縮之度前後自相除補故歳周得有常度也(細考之古今歳)(周亦有㣲差此只論其大較則實有常度)今以授時之法論之冬至日行甚速毎日行一度有竒厯八十八日九十一刻當春分前三日而行天一象限(古法周天四之一為九十一度三十分竒下同)謂之盈初厯此後則毎日不及一度其盈日損厯九十三日七十一刻當夏至之日復行天一象限謂之盈末厯夫盈末之行毎日不及一度而得為盈厯者以其前此之積盈未經除盡總度尚過於平行故仍謂之盈若其毎日細行固悉同縮初此盈末縮初可為一法也試以積數計之盈初日數少而行度多其較為二度四十分盈末日數多而行度少其較亦二度四十分以盈末之所少消盈初之所多則以半歳周之日(共一百八十二日六十二刻竒)行半周天之度(一百八十二度六十二分竒)而無餘度矣夏至日行甚遲毎日不及一度厯九十三日七十一刻當秋分後三日而行天一象限謂之縮初厯此後則每日行一度有竒其縮日損厯八十八日九十一刻復當冬至之日而行天一象限謂之縮末厯夫縮末之行每日一度有竒而亦得為縮厯者以其前此之積縮未能補完總度尚後於平行故仍謂之縮若其毎日細行則悉同盈初此縮末盈初可為一法也試以積數計之縮初日數多而行度少其較為二度四十分縮末日數少而行度多其較亦二度四十分以縮末之所多補縮初之所少則亦以半歳周之日行半周天之度而無欠度矣夫盈厯縮厯既皆以前後自相除補而無餘欠則分之而以半歳周行半周天者合之即以一歳周行一周天安得以盈縮之故疑歳周之無常度哉再論盈縮高卑問日有盈縮是矣然何以又謂之髙卑曰此則回回泰西之說也其說曰太陽在天終古平行原無盈縮人視之有盈縮耳夫既終古平行視之何以得有盈縮哉葢太陽自居本天而人所測其行度者則為黄道黄道之度外應太虛之定位(即天元黄道與静天相應者也)其度匀剖而以地為心太陽本天度亦匀剖而其天不以地為心于是有兩心之差而高卑判矣是故夏至前後之行度未嘗遲也以其在本天之高半故去黄道近而離地遠遠則見其度小(謂太陽本天之度)而人自地上視之遲於平行矣(縮初盈末)(半周是太陽本天高處故在本天行一度者在黄道不能占一度而過黄道遲)是則行度之所以有縮也冬至前後之行度未嘗速也以其在本天之低半故去黄道遠而離地近近則見其度大(亦謂本天之匀度)而人自地上視之速於平行矣(盈初縮末半周是太陽本天低處故在本天行)(一度者在黄道占一度有餘而過黄道速)是則行度之所以有盈也且夫行度有盈縮而且日日不同則不可以籌䇿御而今以圜法解之不同心之理通之在高度不得不遲在卑度不得不速高極而降遲者不得不漸以速卑極而升速者不得不漸以遲遲速之損益循圜周行與算數相㑹是則盈縮之徵於實測者皆一一能得其所以然之故此高卑之説深足為治厯明時之助者矣太陽之平行者在本天太陽之不平行者在黄道平行之在本天者終古自如不平行之在黄道者晷刻易率惟其終古平行知其有本天惟其有本天斯有高卑以生盈縮不平行之率以平行而生者也惟其盈縮多變知其有高卑惟其盈縮生于高卑驗其在本天平行平行之理又以不平行而信者也夫不平行之與平行道相反矣而求諸圜率適以相成是葢七曜之所同然而在太陽尤為明白而易見者也(月五星多諸小輪加減故本天不同心之理惟)(太陽最明)論最高行問以高卑疏盈縮確矣然又有最高之行何耶曰最高非他即盈縮起算之端也盈縮之算既生于本天之高卑則其極縮處即為最高如古法縮厯之起夏至也極盈處即為最卑如古法盈厯之起冬至也(亦謂之最高冲或省曰高衝)然古法起二至者以二至即為盈縮之端也西法則極盈極縮不必定於二至之度而在其前後又各年不同故最高有行率也其説曰上古最高在夏至前今行過夏至後毎年東移四十五秒(今又定為一年行一分一秒十㣲)何以徵之曰凡最高為極縮之限則自最高以後九十度及相近最高以前九十度其距最高度等則其所縮等何也以視度之小於平度者並同也(古法以盈末縮初通為一限亦是此意)高衡為極盈之限則自高衝以後九十度及相近高衝以前九十度其距高衝度等則其所盈亦等何也以視度之大於平度者並同也(古法以縮末盈初通為一限亦是此意)今據實測則自定氣春分至夏至一象限(即古盈末限)之日數與自夏至後至定氣秋分一象限(即古縮初限)之日數皆多寡不同又自定氣秋分至冬至一象限(即古縮末限)之日數與自冬至後至定氣春分一象限(即古盈初限)之日數亦多寡不同由是觀之則極盈極縮不在二至明矣曰若是則古之實測皆非歟曰是何言也言盈縮者始于張子信而後之厯家又謂其損益之未得其正由今以觀則子信時有其時盈縮之限後之厯家又各有其時盈縮之限測驗者各據其時之盈縮為主則追論前術覺其未盡矣此豈非最高之有動移乎又古之盈縮皆以二十四氣為限至郭太史始加宻算立為毎日毎度之盈縮加分與其積度由今考之則郭太史時最高卑與二至最相近(自厯元戊辰逆溯至元辛巳三百四十八年而最高卑過二至六度以今率毎年最高行一分一秒十㣲)(計之其時最高約與夏至同度以西又舊率毎年高行四十五秒計之其時最高已行過夏至一度三十餘分)(其距度亦不為甚逺也)故盈縮起二至初無謬誤測算雖宻秪能明其盈縮細分若最高距至之差無縁可得非考驗之不精也論高行周天問最高有行能周於天乎抑只在二至前後數十度中東行而復西轉乎曰以理徴之亦可有周天之行也曰然則何以不徴諸實測曰無可據也厯法西傳曰古西士去今一千八百年以三角形測日軌記最高在申宫五度三十五分今以年計之當在漢文帝七年戊辰(自漢)(文帝戊辰順數至厯元戊辰積一千八百算外)此時西厯尚在權輿越三百餘年至多禄某而諸法漸備然則所謂古西士之測算或非精率然而西史之所據止此矣又况自此而逆溯于前將益荒遠而高行之周天以二萬餘年為率亦何從而得其起算之端乎是故以實測而知其最高之有移動者只在此千數百年之内其度之東移者亦只在二至前後一宫之間若其周天則但以理斷而已曰以理斷其周天亦有説歟曰最高之法非特太陽有之而月五星皆然其加減平行之度者亦中西兩家所同也故中厯太陽五星皆有盈縮太隂則有遲疾在西法則皆曰高卑視差而已然則月孛者太隂最高之度也而月孛既有周天之度矣太陽之最高何獨不然故曰以理徴之最高得有周天之行也論小輪問以最高疏盈縮其義已足何以又立小輪曰小輪即高卑也但言高卑則當為不同心之天以居日月小輪之法則日月本天皆與地同心特其本天之周又有小輪為日月所居是故本天為大輪負小輪之心向東而移日月在小輪之周(即邉也)向西而行大輪移一度日月在小輪上亦行一度大輪滿一周小輪亦滿一周而盈縮之度與高卑之距皆不謀而合囘囘厯以七政平行為中心行度益謂此也凡日月在小輪上半順動天西行故其右移之度遲於平行為減在小輪下半逆動天而東故其右旋之度速於平行為加(五星同理)若在上下交接之時小輪之度直下不見其行謂之留際留際者不東行不西行無減無加與平行等此小輪上逐度之加減以上下而分者也(用第一圖自辛留際過戊最髙至已為上半皆西行自已留過際庚最卑至辛為下半皆東行巳辛两留際循)(小輪之旁不見其動)若以入表則分四限小輪上半折半取中為最髙小輪下半折半取中則為最卑最卑最髙之㸃皆對小輪心與地心而成直線七政居此即與平行同度故為起算之端假如七政起最髙在小輪上西行能減東移之度半象限後西行漸緩所減漸少至一象限而及留際不復更西即無所復減然積減之多反在留際何也七政至此其視度距小輪心之西為大也在古法則為縮初(用第一圖自戊至巳一象限其減度最大為己甲小輪半徑)既過留際而下轉而東行本為加度因前有積減僅足相補其視行仍在平行之西至一象限而及最卑積減之數始能補足而復於平行是為縮末(用第一圗自巳留際至庚最卑一象限)又如七政至最卑在小輪下東行能加東移之度半象限後東行漸緩所加漸少至一限象而又及留際不復更東亦無所復加然積加之多亦在留際何也七政至此其視度距小輪心之東為大也在古法則為盈初(第一)(圗自庚最卑至辛留際一象限加度最大為甲辛小輪半徑)過留際而上復轉西行即為減度然因前有積加僅足相消其視行仍在平行之東至一象限而復及最髙積加之度始能消盡而復於平行是為盈末(第一圖自辛㽞際至戊最髙一象限)此則表中入算加減從小輪之左右而分者也再論小輪及不同心輪小輪之用有二其一為遲速之行在古厯則為日五星之盈縮月之遲疾西法則總謂之加減即前所疏者是也其一為髙卑之距即回回厯影徑諸差是也凡七政之居小輪最髙其去人逺故其體為之見小焉其在最卑去人則近故其體為之加大焉騐之於日月交食尤為著明(别條詳之)是故所謂平行者小輪之心而所謂遲速者小輪之邊與其心前後之差(即東西)所謂髙卑者小輪之邊與其心上下之距也知有小輪而進退加減之行度逺近大小之視差靡所不貫矣然則何以又有不同心之算曰不同心之法生於小輪者也試以第二圖明之甲乙丙丁圏七政之本天即小輪心所行之道也以子為心即地心也假如小輪心在甲則七政在戊為小輪最髙小輪心自甲東移一象限至乙七政之在小輪亦從戊西行一象限至巳為留際小輪心東移滿半周至丙七政在小輪亦行半周至庚為最卑由是小輪心東移滿二百七十度至丁七政亦行小輪二百七十度至留際辛小輪心東移滿一周復至甲七政行小輪上亦行滿一周復至最髙戊若以小輪上七政所行之戊巳庚辛諸㸃聫之即成大圏此圏不以地心為心而别有其心故曰不同心圈也如圖地心在子不同心圈之心在丑丑子兩心之差與小輪之半徑等故可以小輪立算者亦可以不同心立算而行度之加減與視徑之大小亦皆得數相符也論小輪不同心輪孰為本法問二者之算悉符果孰為本法曰晶宇寥廓天載無垠吾不能飛形御氣翺歩乎日月之表小輪之在天不知其有焉否耶然而以求朓朒之行則既有其度矣以量髙卑之距則又有其差矣雖謂之有焉可也至不同心之算則小輪實巳該之何也健行之體外實中虚自地以上至於月天大氣所涵空洞無物故各重之天雖有髙卑而髙卑兩際只在本天(七政各重之天相去甚逺其間甚厚故可以容小輪)(而其最髙最卑皆不越本重之内)非别有一不同之心遶地而轉也(不同)(心之天既同動天西運則其心亦將遶地而旋)况七政兩心之差各一其率若使其不同之心皆繞地環行亦甚渙而無統矣愚故曰不同心之算生於小輪而小輪實已該之觀回回厯但言小輪可知其為本法而地谷於西術最後出其所立諸圗悉仍用小輪為説亦足以徴矣論小輪不同心輪各有所用問小輪與不同心輪既異名而同理擇用其一不亦可乎曰論相因之理則不同心之算從小輪而生論測算之用則小輪之徑亦從不同心而得故推朒朓之度於小輪特親(小輪心即平行度也從最髙過輪心作線至地心為平行指線剖小輪為二則小輪右半)(在平行線西為朒左半在平行線東為朓觀圖易了)而求最髙之行以不同心立算最切然則其理互通其用相輔並存其説亦足以見圜行之無方而且可為參稽之藉矣最髙在天不可以目視不可以噐測惟據朓朒之度以不同心之法測之而得其兩心之差是即為小輪之半徑於以作圗立算而朓朒之故益復犁然是故不同心者即測小輪之法也論小輪心之行及小輪上七政之行皆非自動問小輪心逆動天而右旋日月五星之在小輪也又逆本天而順動天以左旋何若是其交錯歟意者七政各有能動之性而其動也又恒以逆為順歟今夫魚溯川而游順鱗鬐也鳥逆風而翔便羽毛也夫七政之行亦將若是而已矣曰子以小輪心自為一物而不與本天相連乎曰非也小輪心常在本天之周殆相連耳曰七政居小輪之周豈不若小輪心之在本天乎曰然曰然則小輪心在本天七政在小輪體皆相連其非若魚之川泳鳥之雲飛也審矣然則何為而有動移曰小輪心非能自動也小輪之動本天之動也七政亦非自動也七政之動小輪之動也其故何也盖小輪之心既與本天相連必有定處因本天為動天所轉與之偕西而不及其速以生退度故小輪心亦有退度焉厯家紀此退度以為平行(回回厯所謂中心行度)故曰小輪之動本天之動也然則小輪心者小輪之樞也樞連於本天不動故輪能動而七政者又相連於小輪之周者也小輪動則七政動矣故曰七政之動小輪之動也七政雖動不離小輪輪心雖移不離本天又恒為周動而有定法豈若游鱗征鳥之於波瀾風霄而莫限所届哉再論小輪上七政之行問本天移故小輪心移小輪動故七政動是則然矣然何以七政在小輪上西行不與輪心同勢豈非七政自有行法歟曰七政之居小輪也有一定之向本天挈小輪心東移而七政在小輪上常向最髙殆其精氣有以攝之也故輪心東移一度小輪上七政亦西遷一度以向最髙譬之羅金小輪者其盤也小輪心者置針之處也七政所居則針所指之午位也試為大圓周分三百六十度(以法周天)别為大圏加其上使與大圓同心而可運(以法同心輪)乃置羅金于大圏之正午而依針以定盤則針之午即盤之午(此如小輪在最髙而七政居其頂與最髙同處也)于是運大圏東轉使羅金離午而東(此如本天挈小輪而東移也)則盤針之指午者必且西移而向丁向未(因正午所定之盤不復更置則此時之丁之未實為針之)(午此如小輪從本天東移而七政西遷居小輪之旁以向最髙之方)盤東移一度針亦西移一度盤東移一宫針亦西移一宫盤東行半周至大圓子位則針在盤上亦西移半周而反指盤之子(此時盤之)(子實針之午此如小輪心行至最髙冲而七政居小輪之底在小輪為最卑而所向者最髙之方也)盤東移三百六十度而復至午針亦西移一周而復其故矣是何也針自向午不以盤之東移而改其度自盤上觀之見為西移耳七政之常向最髙何以異是(七政在小輪上常向)(最髙之方觀第二圖可見)論小輪非一問小輪有㡬曰小輪以算視行視行非一故小輪亦非一也凢算視行有二法或用不同心輪則惟月五星有小輪而日則否何也以盈縮髙卑即於不同心之輪可得其度故不以小輪加減而小輪之用已蔵其中也或用同心輪負小輪則日有一小輪月五星有兩小輪其一是髙卑小輪為日五星之盈縮月之遲疾即不同心之算七政所同也其一是合望小輪在月為倍離(即晦朔弦)(望)在五星為嵗輪(即遲㽞逆伏)皆以距日之逺近而生故太陽獨無也若用小均輪則太陽有二小輪其一為平髙卑二為定髙卑而月五星則有三小輪其一二為平髙卑定髙卑與太陽同其三為太隂倍離五星嵗輪與太陽異也凡此皆以齊視行之不齊有不得不然者然小輪之用不同而名亦易相亂(如月離以髙卑輪為自行輪又稱本輪又曰古稱小)(輪其定髙卑輪五星稱小均輪月離稱均輪或稱又次輪至于距日而生之輪月離稱次輪五星或稱次輪或)(稱年嵗輪然亦曰古稱小輪)今約以三者别之一曰本輪七政之平髙卑是也一曰均輪七政平髙卑之輪上又有小輪以加減之為定髙卑此兩小輪相須為用二而一者也一曰次輪月五星距日有逺近而生異行故曰次輪而五星次輪則直稱之嵗輪也論七政兩種視行(七政從天月五星又從日)問小輪有三又或為二何也曰小輪舊只用二(一本輪一次輪)新法用三(一本輪一均輪一次輪)然而均輪者所以消息乎本輪為本輪㣲細之用故曰二而一者也是則輪雖有三實則兩事而已何謂兩曰七政皆從天以生本輪而月五星又從乎日以生次輪天西行故七政之本輪皆從天而西轉其行皆向最髙也(日月五星之在本輪俱向本天最髙其本輪心離最髙一)(度本輪周亦行一度似為所攝)日天東移故月五星之合望次輪皆從日而東運其行皆向日也(月五星離日若干次輪度亦行若干是為日所攝)惟本輪從天于是有最髙卑之加減而其行度必始于最髙(本輪行始于本天最髙而均輪即始于本輪之最高卑故本輪均輪至最髙卑皆無加減為起算之端)惟次輪從日于是有離日之加減而其行度必始于㑹日(月次輪行始于朔望星次輪始于合伏故月至朔望五星合日冲日皆無次輪加減)是故七政皆以半周天之宿度行縮厯半周天之宿度行盈厯厯宿度三百六十而本輪一周起最髙終最髙也(因最髙有行分)(故視周天稍贏然大致不變月之遲疾亦然)次輪則月以厯黄道一周而又過之凡三百八十九度竒而行二周起朔望終朔望也五星嵗輪(即次輪)則土以行黄道十二度竒木以三十三度竒火以四百○八度竒金以五百七十五度竒水以一百十四度竒而皆一周起合伏終合伏也治厯者用三小輪以求七政之視行惟此二者故曰兩事也(金水二星)(㑹日後皆行黄道宿一周又復過之然後再與日㑹)論天行遲速之原問天有重數則在外者周徑大而其度亦大故土木之行遲在内者周徑小而其度亦小故金水月之行速七政之行勢畧同特其度有大小而分遲速耳以是為右旋之徴不亦可乎曰此必七政另為一物以行於本天之上故可以度之大小為遲速也今七政既與天同體而非另為一物則七政之東升西没即其本天之東升西没也且使各天之行各自為政則其性豈無緩急而自外至内舒亟之次如是其有等乎盖惟七政之天雖有重數而總為一天制動之權全在動天故近動天者不得不速近地而逺動天者不得不遲固自然之理勢也曰若是則周徑大小可勿論矣曰在外者為動天所掣而西行速故其東移之差數遲又以其周徑大而分度闊則其差又遲是故恒星六七十年而始差一度近動天也然以周徑之大小准之此所差之一度以視月天將以周計矣在内者逺於動天而西行遲故其東移之差速又以其周徑小而分度狹則其差又速是故月天一日東移十三四度者近地而逺動天也然以周徑計之此所差之十三四度以視日天尚不能成一度矣然則周徑之大小但可兼論以考其差而非所以遲速之原也左旋之説可以無疑論中分較分問中分較分何也曰較分者是五星在最卑(本輪)時逐度(嵗輪周)次均之增數也凡算次均皆設嵗輪心在本輪最髙而逐度(嵗輪周)定其均數(或視差在輪心東為加西為減以生遲㽞逆㐲諸行)列之於表命曰次均再設心在最卑亦逐度定其均數所得必大於最髙法以先所得最髙時逐度之均數(即次均)減之其餘為較分若曰此嵗輪上逐度視差在最卑時應多此數也所以者何視差之理逺則見小近則見大嵗輪之在最卑去地為近比在最髙必大故也然則又何以有中分曰較分者次均之較而中分者又較分之較也使歳輪心常在最髙與最卑則只用次均與較分亦已足矣無如自最髙至最卑中間一百八十度嵗輪皆得逓居則次均之較各異(歳輪心行于本輪離最高而下以漸)(近地則星在嵗輪周逐度所生之次均必皆漸大于在最高時而心離最高時時不等即次均之所増亦必不)(等而較分悉變)勢不能一一為表故以中分括之其法以本輪之度分為主若嵗輪各度在本輪最卑時較分若干今在本輪他度則較分只應若干也故以最卑之較分命其比例為六十分(即中分之全分)而其餘自離最卑一度起各有所減減至最髙而無中分則亦無較分只用次均本數矣是故較分於次均恒為加而以中分求較分則於較分恒為減(表所列較分皆輪心在最卑之數各以中分乗之六十除之變為輪心未至最卑之)(較分視在最卑皆為小數)其比例為嵗輪心在某度之較分與在最卑之較分若中分與六十分也故曰中分者較分之較也再論中分問中分之率既皆以較分為六十分之比例則皆以本輪度距最卑之逺近而得中分之多寡乃五星之中分各有異率何歟曰中分之率生于距地之逺近而五星各有其本天半徑之比例則其平行之距地逺近懸殊而兩心差亦各不同則又有本輪半徑與其本天半徑之比例矣至于嵗輪之大小復參錯而不齊如土木本天大而嵗輪小金星本天小而嵗輪大而火星在水星之上則火星本天大而嵗輪反大水星本天小而嵗輪反小積此數端而較分之進退紓亟攸分此五星之中分所以各一其率也要其以最卑為較分之大差當中分之六十一而已矣論囘囘厯五星自行度問諸家多以五星自行度為距日度然乎曰自行度生于距日逺近然非距日之度何也星在黄道有順有逆有疾有遲其距太陽無一平行而自行度終古平行故但可謂之距合伏之行而非距日之度也此在中土舊法則為叚目其法合計前後兩合伏日數以為周率周率析之為疾行遲行退行及留而不行諸叚之目疾與遲皆有順行度數退則有逆行度數其度皆黄道上實度也回厯不然其法則以前合伏至後合伏成一小輪小輪之心行于黄道而星體所行非黄道也乃行於小輪之周耳近合伏前後行輪上半順輪心東行而見其疾衝日前後行輪下半則逆輪心西行而見其遲留且退其實星在輪周環轉自平行也故以輪周匀分三百六十度為實前合伏至後合伏日率為法除之得輪周毎日星行之平度是之謂自行度也若以距太陽言則順輪心而見疾距日之度必少逆輪心而遲退距日之度必多安所得平行之率哉故曰自行者星距合伏之行而非距日之行也論囘囘厯五星自行度二曰自行度既非距日度又謂其生於距日何也曰星既在輪周行矣而輪之心實行於黄道與太陽同為右旋而有遲速當合伏時星與輪心與太陽皆同一度(星在輪之)(頂作直線過輪心至太陽直射地心皆在黄道上同度如月之合朔)然不過晷刻之間而巳自是以後太陽離輪心而東輪心亦隨太陽而東太陽速輪心遲輪心所到必在太陽之後以遲減速而得輪心每日不及太陽之恒率是則為距日行也(即平行距日)然而輪心隨太陽東行星在輪周亦向太陽而東行太陽離輪心相距一度(黄道上度)星在輪周從合伏處(輪頂)東行亦離一度(小輪上度)太陽離輪心一象限(如月上弦)星在輪周亦離合伏一象限乃至太陽離輪心半周與輪心冲星在輪周亦離合伏半周居輪之底復與輪心同度而衝太陽(自輪頂合伏度作線過輪心至星之體又過地心以至太陽黄道上躔度皆成一直線如月之望)再積其度太陽離輪心之衝度而東輪心亦自太陽之衝度而東然過此以徃太陽反在輪心之後假如輪心不及太陽積至三象限則太陽在輪心後只一象限(因其環行)(故太陽之行速在前者半周以後太陽反在輪心之後若追輪心未及者然○如月下弦)星在輪周亦然(自輪底行一象限則離輪頂合伏為三象限而将復及合伏尚差一象限)逮太陽離輪心之度滿一全周而輪心與太陽復為同度則星在輪周亦復至合伏之度而自行一周矣(星輪心太陽三者皆復同為一直線)(以直射地心如月第二合朔)凡此星行輪周之度無一不與輪心距日之度相應(主日而言則為太陽離輪心之度主星而言則為輪心不及太陽之距度其義一也)故曰自行之度生于距日然是輪心距日非星距日也論囘囘厯五星自行度三問輪心距日與星距日何以不同乎曰輪心距日平行星距日不平行惟其不平行是與自行度之平行者判然為二故斷其非距日度也惟其平行是與自行度相應故又知其生于距日也然則自行度不得為星距日度獨不得為輪心距日度乎曰輪心距日雖與自行相應能生其度然其度不同輪心是隨日東行倒算其不及於日之度星在輪周環行是順數其行過合伏之度不同一也又輪心距日是黄道度七政所同星離合伏自行是小輪周度小於黄道度又各星異率(小輪小於黄道而小輪周亦匀分三百六十度其度必小于黄道度而各)(星之小輪周徑各異度亦從之而異)不同二也若但以自行之初與日同度自行半周毎與日冲而徑以距日與自行混而為一豈不毫釐千里哉論新圖五星皆以日為心問五星天皆以日為心然乎曰西人舊説以七政天各重相裹厥後測得金星有弦望之形故新圖皆以日為心但上三星輪大而能包地金水輪小不能包地故有經天不經天之殊然以實數考之惟金水抱日為輪確然可信若木火土亦以日為心者乃其次輪上星行距日之跡非真形也凡上三星合伏後必在太陽之西而晨見于是自嵗輪最逺處東行而漸向下及距日之西漸逺至一象限内外星在嵗輪行至下半為遲留之界再下而退行衝日則居嵗輪之底此合伏至衝日在日西半周也衝日以後轉在日東而夕見又自輪底行而向上過遲留之界而復與日合矣此衝日至合伏在日東半周也故嵗輪上星行髙下本是在嵗輪上下而自太陽之相距觀之即成大圎而為圍日之形以日為心矣其理與本輪行度成不同心天者同也但如此則上三星之圎周左旋與金水異夫七政本輪皆行天一周而髙卑之數以畢雖有最髙之行所差無㡬故可以本輪言者亦可以不同心天言也若嵗輪則不然如土星嵗輪一周其輪心行天不過十二度竒木星則三十三度竒上下旋轉止在此經度内不得另有天周之行知為距日之虚跡也又如金星嵗輪一周其輪心平行五百七十餘度則大于天周二百餘度水星嵗輪一周輪心平行一百一十五度竒則居天度三之一皆不可以天周言惟火星嵗輪之周其平行四百餘度與天周差四十度數畧相近故厯指竟云以太陽為心而要之總是借虚率以求真度非實義也厯算全書卷三
## 卷四
欽定四庫全書厯算全書卷四宣城梅文鼎撰厯學疑問補上論西厯源流本出中土即周髀之學問自漢太初以來厯法七十餘家屢改益精本朝時憲厯集其大成兼采西術而斟酌盡善昭示來兹為萬世不刋之典顧經生家或猶有中西同異之見何以徴信而使之勿疑曰厯以稽天有晝夜永短表景中星可攷有日月薄〔？〕五星留逆伏見凌犯可騐乃實測有慿之事既有合於天即當采用又何擇乎中西且吾嘗徴諸古籍矣周髀算經漢趙君卿所注也其時未有言西法者(唐開元始有九執厯直至元明始有回回厯)今攷西洋厯所言寒暖五帶之說與周髀七衡脗合豈非舊有其法歟且夫北極之下以半年為晝半年為夜赤道之下五穀一嵗再熟必非慿臆鑿空而能為此言夫有所受之矣然而習者既希所𫝊又略讀周髀者亦祗與山海經穆天子傳十洲記諸書同類並觀聊備竒聞存而不論已耳今有歐邏巴實測之算與之相應然後知所述周公受學商髙其說亦非無本而惜其殘缺不詳然猶幸存梗槩足為今日之徴信豈非古聖人制作之精神有嘿為呵䕶者哉論盖天與渾天同異問西術既同周髀是盖天之學也然古厯皆用渾天渾天與盖天原為兩家豈得同歟曰盖天即渾天也其云兩家者傳聞誤耳天體渾圓故惟渾天儀為能惟肖然欲詳求其測算之事必寫記於平面是為盖天故渾天如塑像盖天如繪像總一天也總一周天之度也豈得有二法哉然而渾天之器渾員其度匀分其理易見而造之亦易盖天寫渾度於平面則正視與斜望殊觀仰測與旁闚異法度有踈宻形有垤坳非深思造微者不能明其理亦不能製其器不能盡其用是則盖天之學原即渾天而微有精麄難易無二法也夫盖天理既精深傳者遂尠而或者不察但泥倚盖覆槃之語妄擬盖天之形竟非渾體天有北極無南極倚地斜轉出没水中而其周不合荒誕違理宜乎揚雄蔡邕輩之辭而闢之矣盖漢承秦後書器散亡惟洛下閎始為渾天儀而他無攷据然世猶𫝊盖天之名說者承訛遂區分之為兩而不知其非也載攷容成作盖天𨽻首作算數在黄帝時顓頊作渾天在後夫黄帝神靈首出又得良相如容城𨽻首皆神聖之人測天之法宜莫不備極精微顓頊盖本其意而製為渾員之器以發明之使天下共知非謂黄帝容成但知盖天不知渾天而作此以釐正之也知盖天與渾天原非兩家則知西厯與古厯同出一源矣(元史載仰儀銘以盖天與安訢宣夜等並稱六天而殊渾於盖猶沿舊說續讀姚牧菴集有所改定)(則已知渾盖之非二法實為先得我心詳見鼎所著二儀銘註)論中土厯法得傳入西國之由問歐羅巴在數萬里外古厯法何以得流通至彼曰太史公言幽厲之時疇人子弟分散或在諸夏或在四裔盖避亂逃咎不憚逺涉殊方固有挾其書器而長征者矣(如魯論載少師陽撃磬襄入於海鼔方叔入於河播鼗武入於漢故外域亦有律呂音樂之𫝊厯官遐遁)(而厯術逺𫝊亦如此爾又如𫝊言夏衰不窋失官而自竄於戎翟之間厥後公劉遷邠太王遷岐文王遷豐漸)(徙内地而孟子猶稱文王為西夷之人夫不窋為后稷乃農官也夏之衰而遂失官竄於戎翟然則羲和之苖)(裔屢經夏商之喪亂而流離播遷當亦有之太史公獨舉幽厲盖言其甚者耳)然逺國之能言厯術者多在西域則亦有故堯典言乃命羲和欽若昊天厯象日月星辰敬授人時此天子日官在都城者盖其伯也又命其仲叔分宅四方以測二分二至之日景即測里差之法也羲仲宅嵎夷曰暘谷即今登萊海隅之地羲叔宅南交則交趾國也此東南二處皆濵大海故以為限又和叔宅朔方曰幽都今口外朔方地也地極冷冬至於此測日短之景不可更北故即以為限獨和仲宅西曰昩谷但言西而不限以地者其地既無大海之阻又自東而西氣候略同内地無極北嚴凝之畏當是時唐虞之聲教四訖和仲既奉帝命測驗可以西則更西逺人慕德景從或有得其一言之指授一事之留傳亦即有以開其知覺之路而彼中頴出之人從而擬議之以成其變化固宜有之考史志唐開元中有九執厯元世祖時有札瑪魯丹測器有西域萬年厯明洪武初有瑪沙伊克瑪哈齊譯回回厯皆西國人也而東南北諸國無聞焉可以想見其涯略矣論周髀中即有地圓之理問西厯以地心地面為測算根本則地形渾圓可信而周髀不言地圓恐古人猶未知也曰周髀算經雖未明言地圓而其理其算已具其中矣試略舉之周髀言北極之下以春分至秋分為晝秋分至春分為夜盖惟地體渾圓故近赤道則晝夜之長短漸平近北極則晝夜長短之差漸大推而至北極之下遂能以半年為晝半年為夜矣若地為平面則南北晝夜皆同安得有長短之差隨北極髙下而異乎一也周髀又言日行極北北方日中南方夜半日行極東東方日中西方夜半日行極南南方日中北方夜半日行極西西方日中東方夜半盖惟地體渾圓與天體相似太陽隨天左旋繞地環行各以其所到之方正照而為日中正午其對冲之方在地影最深之處而即為夜半子時矣假令地為平面東西一望皆平則日一出地而萬國皆曉日一入地而八表同昏安得有時刻先後之差而且有此方日中彼為夜半者乎二也周髀又言北極之下不生萬物北極左右夏有不釋之氷物有朝耕暮穫中衡左右冬有不死之草五穀一嵗再熟盖惟地與天同為渾圓故易地殊觀而寒暑迥别北極下地即以北極為天頂而太陽周轉近於地平陽光希微不能解凍萬物不生矣其左右猶能生物而以春分至秋分為晝故朝耕而暮穫也若中衡左右在赤道下以赤道為天頂春分時日在赤道其出正夘入正酉並同赤道正午時日在天頂其熱如火即其方之夏春分以後日軌漸離赤道而北至夏至而極其出入並在正夘酉之北二十三度半有竒正午時亦離天頂北二十三度半竒其熱稍减而凉氣以生為此方之秋冬矣自此以後又漸向赤道行至秋分日復在赤道出入正夘酉而正過天頂一如春分熱之甚亦如之則又為其方之夏矣秋分後漸離赤道而南直至冬至又離赤道南二十三度半竒而出入在正夘酉南正午亦離天頂南並二十三度半竒氣候復得稍凉又為秋冬是故冬有不死之草而五穀一嵗再熱也又其方日軌每日左旋之圏度並與赤道平行而終嵗晝夜皆平上條言地近赤道而晝夜之差漸平以此故也赤道既在天頂則北極南極俱在地平可見然但言北極不言南極者中土九州在赤道北聖人治厯祗據所見之北極出地而精其測算即南極可以類推然又言北極下地髙旁陀四隤而下即地圓之大致可見非不知地之圓也即如日月交〔？〕常在朔望則日食時日月同度為月所掩赤易知之事而春秋小雅但云日有食之古聖人祗舉其可見者為言皆如是也論渾盖通憲即古盖天遺法問盖天必自有儀器今西洋厯仍用渾儀渾象何以斷其為盖天曰盖天以平寫渾其器雖平其度則渾非不用渾天儀之測驗也是故用渾儀以測天星疇人子弟多能之而用平儀以稽渾度非精於其理者不能也今為西學者多能製小渾儀小渾象至所𫝊渾盖通憲者則能製者尠以此故也夫渾盖平儀置北極於中心其度最宻次晝長規又次赤道規以漸而踈此其事易知又次為晝短規在赤道規外其距赤道度與晝長規等理宜収小而今為平儀所限不得不反展而大其經緯視赤道更濶以踈然以稽天度則七政之躔離可知以攷時刻則方位之加臨不爽若是者何哉其立法之意置身南極以望北極故近人目者其度加寛逺人目者其度加窄視法之理宜然而分秒忽微一一與勾股割圜之切線相應非深思造微者必不能知也至於長規以外度必更寛更濶而平儀中不能容不得不割而棄之淺見者或遂疑葢天之形其周不合矣是故渾盖通憲即古盖天之遺製無疑也論渾盖通憲即盖天遺法二問利氏始傳渾盖儀而前此如回回厯並未言及何以明其為古盖天之器曰渾盖雖利氏所𫝊然非利氏所創吾嘗徴之於史矣元史載札瑪魯丹西域儀象有所謂烏蘓都尔喇卜垣者其製以銅如圓鏡而可掛面刻十二辰位晝夜時刻此即渾盖之型模也又云上加銅條綴其中可以圓轉銅條兩端各屈其首為二竅以對望晝則視日影夜則窺星辰以定時刻以占休咎此即渾盖上所用之闚筩指尺也又言皆嵌鏡片二面刻其圖凡七以辨東西南北日影長短之不同星辰向背之有異故各異其圖以盡天地之變此即渾盖上所嵌圓片依北極出地之圖而各一其圖凖天頂地平以知各方辰刻之不同與夫日出入地晝夜之長短及七政躔離所到之方位及其髙度也其圓片有七而兩面刻之則十四矣西洋雖不言占法然有其立象之學隨地隨時分十二宫與推命星家立命宮之法略同故又曰以占休咎也雖作史者未能深悉厥故而語焉不詳今以渾盖徴之而一一脗合故曰渾盖雖利氏所傳而非其所創也且利氏𫝊此器初不别立佳稱而名之曰渾盖通憲固已明示其指矣然則何以不直言盖天曰盖天之學人屏絶之久矣驟舉之必駭而不信且夫殊盖於渾乃治渾天者之沿謬而精於盖天者原視為一事未嘗區而别之也夫渾天儀必設於觀臺必如法安置而始可用渾盖則懸而可掛輕便利於行逺為行測之所需所以逺國得存其製而流𫝊至今也論渾盖之器與周髀同異問渾盖通憲豈即周髀所用歟曰周髀書殘缺不完不可得攷據所言天象盖笠地法覆槃又云笠以寫天而其製弗詳今以理揆之既地如覆槃即有圓突隆起之形則天如盖笠必為圓坳曲抱之象其製或當為半渾圓而空其中略如仰儀之製則於髙明下覆之形體相似矣乃於其中按經緯度數以寫周天星宿皆宛轉而曲肖矣是則必以北極為中心赤道為邊際其赤道以外漸斂漸窄必别有法以相佐或亦是半渾圓内空之形而仍以赤道為邊其赤道以南星宿並取其距赤道逺近求其經緯度數而圖之至於南距赤道甚逺不可見星之處亦遂可空之不用於是兩器相合即周天可見之星象俱全備而無遺矣以故不知者因其極南無星遂妄謂其周不合而無南極也又或寫天之笠竟展而平而以北極為心赤道為邊用割圓切線之法以攷其經緯度數則周天之星象可一一寫其形容其赤道南之星亦展而平而以赤道為邊查星距赤道起數亦用切線度定其經緯則近赤道者距踈離赤道向南者漸宻而一一惟肖其不見之星亦遂可空之是雖不言南極而南極已在其中今西洋所作星圖自赤道中分為兩即此製也所異者西洋人浮海來賔行赤道以南之海道得見南極左右之星而補成南極星圖與古人但圖可見之星者不同然其理則一是故西洋分畫星圖亦即古盖天之遺法也周髀云笠以寫天當不出坳平二製至若渾盖之器乃能於赤道外展濶平邊以得其經緯遂能依各方之北極出地度而求其天頂所在及地平邊際即晝夜長短之極差可見於是地平之經緯與天度之經緯相與錯綜參伍而如指諸掌非容成𨽻首諸聖人不能作也而於周髀之所言一一相應然則即斷其為周髀盖天之器亦無不可矣夫法傳而久豈無微有損益要皆踵事而增其根本固不殊也利氏名之曰渾盖通憲盖其人强記博聞故有以得其源流而不敢没其實亦足以徴其人之賢矣論簡平儀亦盖天法而八線割圓亦古所有問西法有簡平儀亦以平測渾之器豈亦與周髀相應歟曰凡測天之器圓者必為渾平者即為盖(唐一行以平圖寫星)(象亦謂之盖天所異者只用平度不曽以切線分渾球上之經緯踈宻耳)簡平儀以平圓測渾圓是亦盖天中之一器也今攷其法亦可以知一嵗中日道發南斂北之行可以知寒暑進退之節可以知晝夜永短之故可以用太陽髙度測各地北極之出地即可用北極出地求各地逐日太陽之髙度推極其變而置赤道為天頂即知其地方之一年兩度寒暑而三百六旬中晝夜皆平若北極為天頂即知其地之能以半年為晝半年為夜而物有朝生暮穫凡周髀中所言皆可知之故曰亦盖天中一器也但周髀云笠以寫天似與渾盖較為親切耳夫盖天以平寫渾必將以渾圓之度按而平之渾盖之器如剖渾球而空其中乃仰置几案以通明如玻瓈之片平掩其口則圓球内面之經緯度分映浮平面一一可數而變拗為平矣然其度必中宻而外踈故用切線(此如人在天中則渾天之内面乃正視也故寘北極於中心)簡平之器則如渾球嵌於立屏之内僅可見其半球而以玻瓈片懸於屏風前正切其球四面距屏風皆如球半徑而無欹側則球面之經緯度分皆可寫記而抑突為平矣然其度必中濶而旁促故用正弦(此如置身天外以測渾天)(之外面故以極至交圏為邊兩極皆安於外周以考其出入地之度乃旁視也)由是言之渾盖與簡平異製而並得為盖天遺製審矣而一則用切線一則用正弦非是則不能成器矣因是而知三角八線之法並皆古人所有而西人能用之非其所創也伏讀御製三角形論謂衆角輳心以算弧度必古厯所有而流傳西土此反失傳彼則守之不失且踵事加詳至哉聖人之言可以為治厯之金科玉律矣論周髀所𫝊之說必在唐虞以前問周髀言周公受學於商髙商髙之學何所受之曰必在唐虞以前何以知之盖周髀所言東方日中西方夜半云云者皆相距六時其相去之地皆一百八十度(地與)(天應其周度皆三百六十則其相對必一百八十)此東西差之極大者也細攷之則日在極東而東方為日中午時則其地在極南者必見日初出地而為卯時在極北者必見日初入地而為酉時故又云此四方者晝夜易處加四時相及(自南方卯)(至東方午為四時自東方日中午至北方酉亦四時故每加四時則相及矣若以度計之實相距九十)又細分之則東西相距三十度必早晚差一時(如日在極南為午時)(其西距三十度之地必見其為已時而其東距三十度之地必見為未時其餘地准此推之並同)相距十五度必相差四刻堯分命羲仲寅賔出日和仲寅餞内日者測此東西里差也(寅賔寅餞互文見意非羲仲但朝測和仲但暮測也)又周髀所言北極下半年為晝中衡下五穀一嵗再熟云云者其距緯皆相去九十度乃南北差之極大者也細考之北極髙一度則地面差數百十里(屢代所測微有不同今定為二)(百五十里)而寒暑宻移晝夜之長短各異和叔羲叔分處南北以測此南北里差也故曰此法之傳必在唐虞以前也夫東西差測之稍難若南北之永短因太陽之髙下而變日軌髙下又依北極之髙下而殊經商逺遊之輩稍知厯象即能覺之羲和二叔奉帝堯之命考測日景一往極北一往極南相距七八千里之逺其逐地之極星髙下晝夜永短身所經厯乃瞢然不知何以為羲和也哉是知地面之非平而永短以南北而差早晚以東西而異必皆羲和所悉知而敬授人時祗據内地幅員立為常法其推測歩算必有專書而亡於秦焰周髀其千百中之十一耳又何疑焉論地實圓體而有背面問地體渾圓既無可疑然豈無背面曰中土聖人所産即其面也何以言之五倫之教天所叙也自黄帝堯舜以來世有升降而司徒之五教人人與知若西方之佛教及天教雖其所言心性之理極其精微救度之願極其廣大而於君臣父子之大倫反輕此一徴也語言惟中土為順若佛經語皆倒如云到彼岸則必云彼岸到之類歐邏巴雖與五印度等國不同語言而其字之倒用亦同日本國賣酒招牌必云酒賣彼人亦讀中土書則皆於句中用筆挑剔作記而倒讀之北邊塞外及南徼諸國大略皆倒用其字此又一徴也往聞西士之言謂行數萬里來賔所厯之國多矣其土地幅員亦有大於中土者若其衣冠文物則未有過焉此又一徴也是知地體渾圓而中土為其面故篤生神聖帝王以繼天建極垂世立教亦如人身之有面為一身之精神所聚五藏之精並開竅於五官此亦自然之理也論盖天之學流𫝊西土不止歐邏巴問佛經亦有四大州之說與周髀同乎曰佛書言須彌山為天地之中日月星辰繞之環轉西牛賀州南瞻部州東勝神州北具盧州居其四面此則亦以日所到之方為正中而日環行不入地下與周髀所言略同然佛經所言則其下為華藏海而世界生其中須彌之頂為諸天而通明故夜能見星此則不知有南北二極而謂地起海中上連天頂始如圓墖圓柱之形其說難通而彼且謂天外有天令人莫可窮詰故婆羅門等(婆羅門即回回)皆為所籠絡事之唯謹(唐書載回紇諸國多事佛回紇即回回也)然回回國人能從事厯法漸以知其說之不足慿故遂自立門庭别立清真之教西洋人初亦同回回事佛(唐有波斯國人在此立大)(秦寺今所𫝊景教碑者其人皆自署曰僧)回回既與佛教分而西洋人精於算復從回厯加精故又别立耶蘇之教以别於回回(觀今)(天教中七日一齋等事並略同回教其厯法中小輪心等算法亦出於回厯)要皆盖天周髀之學流傳西土而得之有全有缺治之者有精有粗然其根則一也論逺國所用正朔不同之故問回厯及西洋厯既皆本於盖天何以二教所頒齋日其每年正朔如是不同曰天方國以十二個月為年(即回)(回國)歐邏巴以太陽過宮為年月依嵗差而變此皆自信其厯法之善有以接古盖天之道又見秦人蔑棄古三正而以己意立十月為嵗首(今西南諸國猶有用秦朔者)故遂亦别立法程以新人耳目誇示四隣(今海外諸國多有以十二個月為年遵回厯也)盖回國以厯法測驗疑佛說之非故謂天有主宰無影無形不宜以降生之人為主其說近正(所異於古聖人者其所立拜念)(之規耳)厥後歐邏巴又於回厯研精故又自立教典奉耶蘇為天主以别於回回然所稱一體三身降生諸靈怪反又近於佛教而大聲闢佛動則云中國人錯了夫中土人倫之教本於帝王雖間有事佛者不過千百中之一二又何錯之云今但攷其厯法則回回泰西大同小異而皆本於盖天然惟利氏初入欲人之從其說故多方闡明其立法之意而於渾盖通憲直露渾盖之名為今日所徴信盖彼中之英賢也厥後厯書全部又得徐文定及此地諸文人為之廣其畨譯為厯家所取資實有功於厯學其他可以勿論若回回厯雖亦有所持之圓地球及平面似渾盖之器而若露若藏不宣其義洪武時吳伯宗李翀奉詔翻譯亦但紀其數不詳厥㫖至數𫝊之後雖其本科亦莫稽測算之根所云烏蘓都尔喇卜垣之器竟無言及之者盖失𫝊已久殊可惜耳尤可深惜者回回泰西之厯既皆本於盖天而其所用正朔乃各自翻新出竒欲以自異其實皆非夫古者帝王欽若昊天順春夏秋冬之序以敬授人時出於自然何其正大何其易簡萬世所不能易也顧乃恃其巧算私立正朔以變亂之亦見其惑矣徐文定公之譯厯書也云鎔西洋之巧算入大統之型模非獨以尊大統也揆之事理固有不得不然者爾測算以求天驗不難兼西術之長以資推歩頒朔以授人時自當遵古聖之規以經久逺虛心以折其衷博考以求其當有志厯學者尚其念諸(餘詳後論)厯算全書卷四
## 卷五
欽定四庫全書厯算全書巻五宣城梅文鼎撰厯學疑問補下論太陽過宫問舊厯太陽過宫與中氣不同今何以復合為一曰新厯之測算精矣然其中不無可商當俟後來詳定者則此其一端也何則天上有十二宫宫各三十度每嵗太陽以一中氣一節氣共行三十度(如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其餘並同)滿二十四氣則十二宫行一週故厯家恒言太陽一嵗周天也然而實考其度則一嵗日躔所行必稍有不足雖其所欠甚微(約其差不過百分度之一有半)積至年深遂差多度(六七十年差一度六七百年即差十度)是為嵗差厯家所以有天周嵗周之名(天上星辰匀分十二宫共三百六十度是為天周每嵗太陽十二中氣共行三百六)(十度㣲弱是為嵗周)漢人未知嵗差誤合為一故即以冬至日交星紀而定之於牽牛逮晉虞喜等始覺之五代宋何承天祖冲之隋劉焯等言之益詳顧治厯者株守成説不敢輒用嵗差也至唐初傅仁均造戊寅元厯始用嵗差而朝論多不以為然(亦如今人之不信西法人情狃于習見大扺皆然)故李淳風麟德厯復去嵗差不用直至𤣥宗開元某年僧一行作大衍厯乃始博徴廣証以大暢厥㫖於是分天自為天(即周天十二次宫度其度終古不變)嵗自為嵗(即周嵗十二中氣日躔所行天度其度嵗嵗微)(移)厯代遵用(所定嵗差年數微有不同而大致無異)元世祖時用授時厯郭守敬測定六十六年有八月而差一度回回泰西差法略同(今定為七十年差一度數亦非逺)故冬至日一嵗日躔之度已週尚不能復於星紀之元度必再行若干日時而至星紀(十二中氣皆同一理)所以太陽過宮與中氣必不同日其法原無錯誤其理亦甚易知徐李諸公深於厯術豈反不明斯事乃復合為一真不可解推原厥故盖譯厯書時誤仍回回厯太陽年之十二月名耳問回回厯亦知嵗差何以誤用宮名為月名曰回回厯既以十二個月為太隂年而用之紀嵗不用閏月然如是則四時之寒燠温凉錯亂無紀因别立太陽年以周嵗日躔匀分三百六十度又匀分為十二月以為耕斂之節而起算春分是亦事勢之不得不然(堯典寅賔出日始於仲春)(即此一事亦足徴西厯之本於羲和)但彼以春分為太陽年之第一月第一日遂不得復用古人分至啟閉之法及春夏秋冬正名(古者以立春立夏立秋立冬春分秋分冬至夏至為八節其四立並在四孟月之首以為四時之節謂之)(啟閉二分二至並在四仲月之中居春夏秋冬各九十一日之半皆自然之序不可移易今回厯之太陽年既)(以春分為嵗首則是以仲春之後半月為正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日竒遂一併移之於嵗)(終而孟春之前半改為十一月之後半孟春之後半合仲春之前半共三十日改為十二月即春夏秋冬之四)(時及分至啟閉之八節孟仲季之月名無一與之相應名不正則言不順遂不復可得而用矣)故遂借白羊等十二宮以名其太陽年之月彼非不知天度有嵗差白羊不能板定於春分然以其時春分正在白羊姑借此名之以紀月數(即此而知回厯初起時其年代去今非逺)歐邏巴厯法因回厯而加精大致並同回厯故遂亦因之耳徐文定公譯厯書謂鎔西洋之精算入大統之型模則此處宜為改定使天自為天嵗自為嵗則嵗差之理明而天上星辰宮度各正其位矣(如晝夜平即為二分晝極長即為夏至不必問其日躔是)(何宫度是之謂嵗自為嵗也必太陽行至降婁始命為日躔降婁之次大陽行至鶉首始命為日躔鶉首之次)(不必問其為春分後幾日夏至後幾日是之謂天自為天也)顧乃因仍回厯之宮名而以中氣日即為交宮之日則嵗周與天周復混而為一於是嵗差之理不明(如星紀之次常有定度而冬至之日度漸移是生嵗差若冬至)(日即躔星紀嵗嵗相同安得復有嵗差)而天上十二次宮度名實俱亂(天上)(十二宮各有定星定度若隨節氣移動則名實俱左後篇詳之)是故厯法至今日推步之法已極詳明而不無有待商酌以求盡善者此其一端也問者曰厯所難者推步耳若此等處改之易易(但於)(各中氣後查太陽實躔某宮之度即過宮真日)但厯書中所作諸表多用白羊金牛等宮名以為别識今欲通身改換豈不甚難曰否否厯書諸表雖以白羊金牛等為題而其中之進退消長並從節氣起算今但將宮名改為節氣即諸表可用不必改造有何難哉(如厯從白羊起者即改白羊初度為春分初度表從磨羯起者即改)(磨羯初度為冬至初度厯書諸表依舊可用但正其名不改其數更無煩於推算)論周天十二宮並以星象得名不可移動問天上十二宫亦人所名今隨中氣而移亦何不可之有曰十二宫名雖人所為然其來久矣今攷宮名皆依天上星宿而定非漫說者如南方七宿為朱鳥之象(史記)(天官書栁為鳥注注即咮咮者朱鳥之喙也七星頸為員官頸朱鳥頸也員官嚨㗋也張為素素即嗉鳥受食)(之處也翼為羽翮朱鳥之翼)故名其宫曰鶉首鶉火鶉尾(鶉即朱鳥乃鳳也)東方七宿為蒼龍(天官書東宫蒼龍房心心為明堂今按角二星象角故一名龍角氐房心)(象龍身心即其當心之處故心為明堂尾宿即龍之尾)故其宮曰夀星(封禪書武帝詔天下)(尊祀靈星正義靈星即龍星也張晏曰龍星左角曰天田則農祥也見而祀之)曰大火(心為大火)曰析木(一名析木之津以尾箕近天河也)北方七宿為𤣥武(天官書北宫𤣥武)其宮曰星紀(古以斗牛為列宿之首故星自此紀也)曰𤣥枵(枵者虚也即虛危也又象龜蛇)(為𤣥武也)曰娵訾(一名娵訾之口以室壁二宿各二星兩兩相對而形正方故象口也)西方七宿為白虎(天官書奎曰封豕參為白虎三星直者是為衡其外四星左右肩股也小三星隅置曰觜)(觽為虎首)其宫曰降婁(以婁宿得名也)曰大梁曰實沈由是以觀十二宮名皆依星象而取非漫設也堯典日中星鳥以其時春分昏刻朱鳥七宿正在南方午地也日永星火以其時夏至初昏大火宮在正午也(火即心宿)宵中星虛以其時秋分昏中者𤣥枵宫也即虛危也日短星昴以其時冬至昏中者昴宿也即大梁宮也厯家以嵗差攷之堯甲辰至今已四千餘嵗嵗差之度已及二宮(以西率七十年差一)(度約之凡差六十餘度)然而天上二十八舎之星宿未嘗變動故其十二宮亦終古不變也若夫二十四節氣太陽躔度盡依嵗差之度而移則嵗嵗不同七十年即差一度(亦据)(今西術推之)安得以十二中氣即過宮乎試以近事徴之元世祖至元十七年辛巳冬至度在箕十度至今康熙五十八年己亥冬至在箕三度其差盖已將七度而即以箕三度交星紀宫則是至元辛巳之冬至宿(箕十度)已改為星紀宮之七度再一二百年則今己亥之冬至宿(箕三)(度)為星紀宮之初度者又即為星紀宮之第三度而尾宿且浸入星紀矣積而久之必將析木之宫(尾箕)盡變為星紀大火之宮(氏房心)盡變為析木而十二宫之星宿皆差一宮(凖上論之角亢必為大火翼軫必為夀星柳星張必為鶉尾井鬼必為鶉火而觜參為鶉首胃)(昴畢為實沈奎婁為大梁而娵訾為降婁虛危為娵訾斗牛為𤣥枵二十八宿皆差一宮)即十二宮之名與其宿一一相左又安用此名乎再積而久之至數千年後東宮蒼龍七宿悉變𤣥武(嵗差至九十度時角亢氐尾心房箕)(必盡變為星紀𤣥枵娵訾並倣此)南宮朱鳥七宿反為蒼龍西宮白虎七宿反為朱鳥北宮𤣥武七宿反為白虎國家頒厯授時以欽若昊天而使天上宿度宮名顛倒錯亂如此其可以不亟為釐定乎又試以西術之十二宮言之夫西洋分黄道上星為十二象雖與羲和之舊不同然亦皆依星象而名非漫設者如彼以積尸氣為巨蠏第一星盖因鬼宿四星而中央白氣有似蠏筐也所云天蝎者則以尾宿九星卷而曲其末二星相並如蠍尾之有岐也所云人馬者謂其所圖星象類人騎馬上之形也其餘如寶瓶如雙魚如白羊如金牛如隂陽如獅子如雙女如天秤以彼之星圖觀之皆依稀彷彿有相似之象故因象立名今若因節氣而每嵗移其宫度積而久之宮名與星象相離俱非其舊而名實盡淆矣又按西法言嵗差謂是黄道東行未嘗不是如今日鬼宿已全入大暑日躔之東在中法嵗差則是大暑日躔退回鬼宿之西也在西法則是鬼宿隨黄道東行而行過大暑日躔之東其理原非有二尾宿之行入小雪日躔東亦然夫既鬼宿已行過大暑東而猶以大暑日交鶉火之次則不得復為巨蠏之星而變為師子矣尾宿已行過小雪後而猶以小雪日交析木之次則尾宿不得為天蝎而變為人馬宮星矣即詢之西來知厯之人有不啞然失笑者乎論西法恒星嵗即西月日亦即其齋日並以太陽過宫為用而不與中氣同日問西法以太陽㑹恒星為嵗謂之恒星年恒星既隨黄道東行則其恒星年所分宮度亦必不能常與中氣同日厯書何以不用曰恒星年即其所頒齋日也其法以日躔斗四度為正月朔故曰以太陽㑹恒星為嵗也其斗四度盖即其所定磨羯宮之初度也(在今時冬至後十二日)自此日躔行滿三十度即為第二月交寶瓶宫(餘月並同皆以日躔)(行滿三十度交一宮即又為一月而不論節氣)然其十二月之日數各各不同者以黄道上有最髙卑差而日躔之行度有加减也(如磨)(羯宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫即成一月若巨蠏宫日躔最髙行遲故三十一日而行一宫始成)(一月其餘宮度各以其或近最卑或近最髙遲速之行不同故日數皆不拘三十日並以日躔交宫為月不論)(節氣)是則其所用各月之第一日即太陽交宫之日原不與中氣同日而且嵗嵗微差至六七十年恒星東行一度即其各宮並東行一度而各月之初日在各中氣後若干日者又増一日矣(如今以冬至後十二日為嵗首至嵗差一度時必在冬至後十)(三日餘盡然)此即授時厯中氣後幾日交宮之法乃嵗差之理本自分曉而厯書中不甚發揮斯事者亦有故焉一則以月之為言本從太隂得名故必晦朔弦望周而後謂之月今反以太陽所躔之宮度為月而置朔望不用是名為月而實非月大駭聽聞一也又其第一月既非夏正孟春亦非周正仲冬又不用冬至日起算非厯學履端於始之義事體難行二也又其所用齋日即彼國所頒行之正朔歐邏巴人私奉本國之正朔宜也中土之從其教者亦皆私奉歐邏之正朔謂國典何故遂隠而不宣三也(初造厯書事事闡發以冀人之信從惟此齋日但每嵗𫝊單伊教不筆於書)然厯書所引彼中之舊測每稱西月日者皆恒星年也其法並同齋日皆依恒星東行以日躔交磨羯宮為嵗旦而非與冬至中氣同日也此尤為太陽過宮非中氣之一大證據矣或曰厯書所引舊測多在千餘年以前然則西月日之興所從來久矣曰殆非也唐始有九執厯元始有回回厯歐邏巴又從回厯加精必在回厯之後彼見回回厯之太隂年太陽年能變古法以矜竒創故復變此西月日立恒星年以勝之若其所引舊測盖皆以新法追改其月日耳論恒氣定氣問舊法節氣之日數皆平分今則有長短何也曰節氣日數平分者古法謂之恒氣(以嵗周三百六十五日二十四刻竒平分為二十四)(氣各得一十五日二十一刻八十四分竒)其日數有多寡者謂之定氣(冬至前後)(有十四日竒為一氣夏至前後有十六日為一氣其餘節氣各各不同並以日行盈厯而其日數减行縮厯而)(其數増)二者之算古厯皆有之然各有所用唐一行大衍厯議曰以恒氣注厯以定氣算日月交食是則舊法原知有定氣但不以之註厯耳譯西法者未加詳考輒謂舊法春秋二分並差兩日則厚誣古人矣夫授時厯所註二分日各距二至九十一日竒乃恒氣也(厯經厯草皆明言恒)(氣)其所註晝夜各五十刻者必在春分前兩日竒及秋分後兩日竒則定氣也定氣二分與恒氣二分原相差兩日授時既遵大衍厯議以恒氣二分註厯不得復用定氣故但於晝夜平分之日紀其刻數則定氣可以互見非不知也且授時果不知有定氣平分之日又何以能知其日之為晝夜平分乎夫不知定氣是不知太陽之有盈縮也又何以能算交食何以能算定朔乎(經朔猶恒)(氣定朔猶定氣望與上下弦亦然)夫西法以最髙卑䟽盈縮其理原精初不必為此過當之言良由譯書者並從西法入手遂無暇參稽古厯之原流而其時亦未有能真知授時立法之意者為之援据古義以相與虛公論定故遂有此等偏說以來後人之疑議不可不知也其所以為此說者無非欲以定氣注厯使春秋二分各居晝夜平分之日以見授時古法之差兩日以自顯其長殊不知授時是用恒氣原未嘗不知定氣不得為差而西法之長於授時者亦不在此以定氣注厯不足為竒而徒失古人置閏之法欲以自暴其長反見短矣故此處宜酌改也後條詳之再論恒氣定氣問授時既知有定氣何為不以註厯曰古者註厯只用恒氣為置閏地也春秋傳曰先王之正時也履端於始舉正於中歸邪於終(邪與餘同謂餘分也)履端於始序則不愆舉正於中民則不惑歸邪於終事則不悖盖謂推步者必以十一月朔日冬至為起算之端故曰履端於始而序不愆也又十二月之中氣必在其月如月内有冬至斯為仲冬十一月月内有雨水斯為孟春正月月内有春分斯為仲春二月餘月並同皆以本月之中氣正在本月三十日之中而後可名之為此月故曰舉正於中民則不惑也若一月之内只有一節氣而無中氣則不能名之為何月斯則餘分之所積而為閏月矣閏即餘也前此餘分累積歸於此月而成閏月有此閏月以為餘分之所歸則不致春之月入於夏且不致今冬之月入於明春故曰歸邪於終事則不悖也然惟以恒氣註厯則置閏之理易明何則恒氣之日數皆平分故其每月之内各有一節氣一中氣(假如冬至在十一月朔則必有小寒在其月望後若冬至)(在十一月晦則必冇大雪節氣在其月望前餘月並然)此兩氣策之日合之共三十日四十三刻竒以較每月常數三十日多四十三刻竒謂之氣盈又太隂自合朔至第二合朔實止二十九日五十三刻竒以較每月三十日又少四十六刻竒謂之朔虛合氣盈朔虛計之共餘九十刻竒謂之月閏乃每月朔策與兩氣策相較之差也(假如十一月經朔與冬至同時刻則大寒中氣)(必在十二月經朔後九十刻而雨水中氣必在次年正月經朔後一日又八十刻竒其餘月並準此求之)積此月閏至三十三个月間(即二年零九個月)其餘分必滿月策而生閏月矣閏月之法其前月中氣必在其晦後月中氣必在其朔則閏月只有一節氣而無中氣然後名之為閏月(假如閏十一月則冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而閏月只有小寒節氣更無中氣)(則不可謂之為十一月亦不可謂之為十二月即不得不名之為閏月矣)斯乃自然而然天造地設無可疑惑者也一年十二個月俱有兩節氣惟此一個月只一節氣望而知其為閏月今以定氣註厯則節氣之日數多寡不齊故遂有一月内三節氣之時又或有原非閏月而一月内反只有一中氣之時其所置閏月雖亦以餘分所積而置閏之理不明民乃惑矣然非西法之咎乃譯書者之踈略耳何則西法原只有閏日而無閏月其仍用閏月者遵舊法也亦徐文定公所謂鎔西洋之巧算入大統之型模也按堯典云以閏月定四時成嵗乃帝堯所以命羲和萬世不刋之典也今既遵堯典而用閏月即當遵用其置閏之法而乃不用恒氣用定氣以滋人惑亦昧於先王正時之理矣是故測算雖精而有當酌改者此亦一端也今但依古法以恒氣註厯亦仍用西法最髙卑之差以分晝夜長短進退之序而分註於定氣日之下即置閏之理昭然衆著而定氣之用亦並存而不廢矣又按恒氣在西法為太陽本天之平行定氣在西法為黄道上視行平行度與視行度之積差有二度半弱西法與古法略同所異者最髙衝有行分耳古法恒氣注厯即是用太陽本天平行度數分節氣論七政之行並有周有轉有交問月五星之行並有周天有盈縮遲疾有出入黄道之交㸃共三事也太陽亦然乎曰並同也太陽終古行黄道則無出入黄道之交㸃然而黄道出入於赤道亦可名交是故春秋二分即其交㸃亦如月離之有正交中交也因此而日躔有南陸北陸之行古者謂之發斂(行南)(陸為發行北陸為斂並以其離北極之逺近言之)於是而四時之寒燠以分晝夜刻之永短有序皆交道之所生以成嵗周是故嵗周者即太陽之交道也與月離之交終同也然以嵗差之故(西法謂之黄道東行)故每嵗三百六十五日二十四刻竒(此以授時)(古率言之)已滿嵗周矣又必加一刻有半(亦依古率約之)始能復躔冬至元度(假如本年冬至日躔箕宿三度八十分次年冬至必在箕宿三度七十分竒是嵗序已周)(而元度未復故必於三百六十五日二十四刻竒之外復加一刻有半始能復躔於箕三度八十分)是為太陽之周天與月行之周天同也月行周天與交終原非一事是故太陽之周天與嵗周原為兩事也然太陽之行有半年盈厯半年縮厯即恒氣定氣之所由分(古法)(起二至西法起最髙冲尤為親切)亦如月離之轉終是又為一事合之前兩者(嵗周與周天)共為三事乃七政之所同也按月離交終以二十七日二十一刻竒而隂厯陽厯之度一週在月周天前以較周天度為有欠度也轉終以二十七日五十五刻竒而遲厯疾厯之度一週在月周天後以較周天度為有餘度也月周天之日數在二者之間亦二十七日又若干刻而周雖同大餘不同小餘當其起算之初所差不過數度(如交終與轉終相差三十四刻竒即其差度為)(四五度)積至一年即差多度(太隂每年行天十三周半即相差六十餘度)故其差易見日躔嵗周以二十四節氣一週為限因有恒星東行之嵗差故其度在周天前以較周天度為有欠分也(約為七十分度之一)日躔盈縮以盈初縮末縮初盈末一週為限因最髙有行分故其度在周天後以較周天度為有餘分也(亦約為七十分度之一)以一嵗言之三者並同大餘即小餘亦不甚逺(嵗周三百六十五日二十四刻竒増一刻半即周天又増一刻半即盈縮厯周但差刻不)(差時)積其差至七十年即各差一度(嵗周不及周天七十年差一度即恒星東)(行之嵗差而盈縮厯至七十年又過於周天一度即最髙之行于是嵗周與盈縮厯周共相差二度並至七十)(年而後知之也)故其差難見(七十年只差一度故難見也)然雖難見其理則同(以周天之度為主則嵗周之差度退行亦如太隂交終差度之毎交逆退也而盈縮入厯之差度于周天)(為順行亦如太隂之轉終差度毎轉順行也而周天度則常不動)但以太隂之交轉周比例之則判然三事不相凌雜矣問厯法中所設交差轉差即此事乎曰亦微有不同盖交差轉差是以交終轉終與朔策相較(或言其日或言其度並同)兹所論者是以交終轉終與周天相較故其數不同也其數不同而厯法中未言者何也縁厯家所言在交食故於定朔言之綦詳而月之周天反略惟陳星川(壤)袁了凡(黄)所撰厯法新書明立太隂周天日數謂之月周與交終轉終並列為三實有禆於厯學而人或未知故特著之又徴之五星亦皆有周天有厯周(即盈縮如月之入轉)有正交中交是故此三事者日月五星之所同也知斯三者於厯學思過半矣(外此則月有朔望五星有叚目並以距日之逺近而生故大陽所與月五星同者惟)(此三事)論月建非專言斗柄問行夏之時謂以斗柄初昏建寅之月為嵗首議者以冬至既有嵗差則斗柄亦從之改度今時正月不當仍為建寅其說然乎曰不然也孟春正月自是建寅非闗斗柄其以初昏斗柄建寅者注釋家未深攷也何則自大撓作甲子以十日為天干(自甲至癸)十二子為地支(自子至亥)天道圓故以甲乙居東丙丁居南庚辛居西壬癸居北戊巳居中參同契所謂青赤白黒各居一方皆禀中央戊巳之功也十干以配五行圓轉周流故曰天干也地道方故以寅夘辰列東巳午未列南申酉戍列西亥子丑列北易大傳所謂帝出乎震齊乎㢲相見乎離致役乎坤說言乎兊戰乎乾勞乎坎成言乎艮自東而南而西而北其道左旋周而復始也是十二支以配四時十二月静而有常故曰地支也天干與地支相加成六十甲子以紀嵗紀日紀時而皆凖於月以嵗有十二月也此乃自然而然之序不可増減不可動移是故孟春自是寅月何嘗以斗柄指寅而後謂之寅月哉如必以斗柄指寅而謂之寅月則亦有寅年寅月寅時豈亦以斗柄指寅而後得以謂之寅乎是故堯典命羲仲宅嵎夷平秩東作以殷仲春次命羲叔宅南交平秩南訛以正仲夏次命和仲宅西平秩西成以殷仲秋次命和叔宅朔方平在朔易以正仲冬此四時分配四方而以春為嵗首之証也夫既有四仲月以居夘午酉子之四正則自各有孟月季月以居四隅仲春既正東為夘月其孟春必在東之北而為寅月何必待斗柄指寅乎故日中星鳥日永星火宵中星虛日短星昴並祗以晝夜刻之永短為慿以昏中之星為斷未嘗一言及於斗柄也又攷孔子去堯時已及千五百嵗嵗差之度已二十餘度若堯時斗柄指寅孔子時必在寅前二十度而指丑矣豈待今日而後知乎然孔子但言行夏之時盖以孟春為嵗首於時為正非以斗柄指寅而謂之寅月也又攷嵗差之法古雖未言然而月令昏中之星已不同於堯典則實測當時之星度也然堯典祗舉昏中星而月令兼言旦中又舉其日躔所在又於堯典四仲月之外兼舉十二月而備言之可謂詳矣然未嘗一語言斗杓指寅為孟春又攷史記律書以十律配十二月之所建地支而疏其義兼八風二十八舎以為之說而並不言斗建惟天官書略言之其言曰杓擕龍角衡殷南斗魁枕參首用昏建者杓夜半建者衡平旦建者魁是則衡亦可言建魁亦可言建而非僅斗杓夜半亦有建平旦亦有建而非止初昏其言甚圓以是而知正月之為寅二月之為卯皆一定不可移而斗之星直之即謂建固非以初昏斗柄所指而命之為何月也然則謂行夏之時是以斗柄建寅之月為嵗首者盖注釋家所據一家之說而未詳厥故也今乃遂據其說而欲改正月之建寅可乎不可乎再論斗建問說者又以各月斗柄皆指其辰惟閏月則斗柄指兩辰之間由今以觀其說亦非歟曰非也周天之度以十二分之各得三十度竒(在西法為三十度)凡各月中氣皆在其三十度之中半各月節氣皆居其三十度之首尾今依其說斗柄所指各在其月之辰則交節氣日斗柄所指必在兩辰之間矣(假如立春為正月節則立春前一日斗柄所指在丑立春後一日斗柄指)(寅而立春本日斗柄所指必在丑與寅之間餘月皆然)十二節氣日皆指兩辰之間又何以别其為閏月乎若夫閏月則只有節氣無中氣其節氣之日固指兩辰之間矣然惟此一日而已其前半月後半月並非兩辰之間也(假如閏正月則雨水中氣在正月晦春分中氣)(在二月朔而閏月只有驚蟄節在月望則其前半月必指寅後半月必指卯惟驚蟄日指寅與卯之交界縫中)(可謂之兩辰間閏在餘月亦然)地盤周圍分為十二辰首尾鱗次如環無端又何處設此三十度於兩辰間以為閏月三十日之所指乎凡若此等習說並由未經實測而但知斗杓所指為月建遂岐中生岐成此似是而非之解天下事每壊於一知半解之人往往然也又按斗柄之星距北極只二十餘度必以北極為天頂而後可以定其所指之方今中土所處在斗杓之南仰而觀之斗杓與辰極並在天頂之北其斗杓所指之方位原難清楚故古人祗言中星不言斗杓盖以此也(如淮)(南子等書言招揺東指而天下皆春不過大槩言之原非以此定月)又按𫝊言營室之中土功其始火之初見期於司里又言水昏正而栽日至而畢詩亦言定之方中作於楚宫又言七月流火九月授衣古之人以星象授人時如此者不一而足也若以嵗差攷之則於今日並相差一二旬矣然而當其時各據其時之星象為之著令所以使民易知也而終未有言斗杓指何方而作何事者則以其方位之難定也十二月建之非闗斗柄明矣是故斗柄雖因嵗差而所指不同正月之建寅不可易也論古頒朔問論語子貢欲去告朔之餼羊孔子不然其說曰我愛其禮不知周制頒厯其式如何曰頒朔大典也盖王政在其中矣古者天子常以冬月頒來嵗十二月之朔於諸侯諸侯受而藏諸祖廟月朔則以特羊告廟請而行之如是其隆重者何也盖既曰請而行之則每月内各有當行之政令頒於天子而諸侯奉行惟謹焉故告朔之後即有視朔聽朔之禮所以申命百官有司以及黎庶相與恪遵以奉一王之大法此之謂奉正朔也是故大之有朝覲㑹同之期有隣國聘問之節有天子巡狩朝於方岳之時(此等大禮皆以年計而必冇定期如虞書東巡狩必於仲春南巡狩必於仲夏)(之類)其於宗廟也有禴祠烝嘗四時之祭有畊籍田夫人親蠶以預備粢盛衣服之需其於羣神也有山川社稷祈榖報嵗八蜡五祀之典其於黌序也有上丁釋菜冬夏詩書春秋羽籥之制其於農事也有田畯勸農播種収穫溝洫隄防築場納稼之務有飲射讀法遒人徇鐸之事其於軍政也有蒐苖獮狩振旅治兵之政其於土功也有公旬三日之限其於刑罰也有宥過釋滯折獄致刑之月又如藏氷用氷出火内火仲夏斬陽木仲冬斬隂木獺祭魚然後漁人入澤梁豺祭獸然後田獵之類凡若此者皆順四時之序以為之典章先王之所以奉若天道也而一代之典制既藏之太府恪守無斁矣又毎嵗頒示諸侯以申命之諸侯又於每月之朔告於祖廟請而奉行之天子本天以出治無一事敢違天時諸侯奉天子以治其國無一事不遵王命以上順天時唐虞三代所以國無異俗家無異教道德一而風俗同盖以此也故曰頒朔告朔實為大典而王政因之以行也周既東遷矣王政不行魯不吿朔他國可知盖視為弁髦久矣厥後遂有司厯再失閏之愆而大夫陪臣之僭亂紛紛矣以秉禮之國而蔑棄王朝大典何怪其羣相效尤是故夫子曰我愛其禮盖庶幾因此羊而念及先王之典也如謂頒朔祗以識月之大小辨朔望生明死魄之干支何取乎每月告廟之繁文也哉由是以觀則三代時所頒之厯可知己矣論厯中宜忌問厯法中宜忌之說古有之乎曰無之也盖起近代耳堯之命羲和也曰敬授人時曰東作西成曰允釐百工庶績咸熙厯之大用盖如此也何嘗有選擇之事乎司馬遷曰閱隂陽之書使人拘而多畏其說盖起於戰國之時夫箕子陳洪範其七曰稽疑古者有大政既斷之於主心又謀及卿士謀及庶人矣然必謀及卜筮古聖人不敢自專自用而必協謀於神人盖其慎也戰國力爭此義不明太卜筮人之官廢疑事無所决隂陽家言乃紛然以出矣隋唐之季其說愈多故呂才援引古義著論以非之可謂深切著明矣然而教化不行吉凶福禍之說深中於人心黠者乘之各立異說以恫喝聾俗愈出愈攴六十干支而選擇之書乃有九十餘家同此一日而此以為大吉彼以為大凶令人無所適從誣民惑世莫此為甚今官厯宜忌本於選擇厯書不知其為元時所定明初所定然攷史志厯代言厯者初無一字及於選擇又如羅計四餘郭守敬厯經所無而大統増入之然則此等不經之說並元統郭伯玉等所為耳原其初意或亦欲假此以定民之趨然官厯雖頒宜忌而民間偏惑通書通書既非一種而術者私書更多雖户說以渺論不能止也今若能一切刪去只載宜行政事及南北耕耘収穫之節則唐虞三代敬天勤民之至意復覩今日豈不快哉洪武中解大紳庖西封事曰治厯明時授民作事但申播植之宜何用建除之謬方向煞神事甚無謂孤虛宜忌亦且不經東行西行之論天德月德之云臣料唐虞之厯必無此等之文所宜著者日月之行星辰之次仰觀俯察事合逆順七政之齊正此類也按此說甚正惜當時不能用然實為定論聖人所不易也論治厯當先正其大其分秒微差可無深論問厯法至今日可謂詳且宻矣然徴諸交食亦或有微差之刻何歟曰此可以不必深論者也攷漢時不知定朔故日食或不在朔或差而前則食於晦差而後則食於初二日直至唐李淳風麟德厯始用定朔於是蝕必在朔無差日矣然尚有差時厥後大衍厯所推益宻宣明厯又立氣刻時三差至宋統天厯紀元厯又加詳焉迨元授時厯遂無差時但有差刻今西厯言東西南北差以黄道九十度限為宗其理益明其法益善然而亦或有時而差刻分者何也今夫盆盎之中可以照物池沼澄清則岸上之人物花鳥山陵樹木畢現其中然而其邊際所域必有所改易兩鏡相照則多鏡層現於一時而六層以上必有所窮况乎以八尺之璣衡測大圓之宮度其大小之比例道里之遼濶不可以億計而因積候之多用算之巧遂致交食應期虧復應候東西南北方向胥符而但有晷刻之後先分秒之同異即謂之不差可矣國家治厯所重者順天出治以敬授人時日食之類所重在於修省至於時刻小差原非所重但當令司厯者細加測候詳紀其所差之數以待後來修厯者使有所據依以益精其推步而已斷不可因小節之微差而輒更成法也漢唐宋厯法屢改而多不效元明三四百年守一授時法而交食不效只數事而已况今新厯又加精於授時何必復加更變乎或謂厯算之差由於尾數予謂此一端耳尾數有丢収無闗大數所難者乃根數耳盈縮遲疾之根雖有離朱無所施其目並由年深日久然後知之又如最髙之行利氏所定與今所用不同皆根之差厯所以取象於革也厯算全書卷五
## 卷六
欽定四庫全書厯算全書卷六宣城梅文鼎撰厯學答問答祠部李古愚先生厯算之學散見經史固儒者所當知然其事既不易明而又不切於日用故學者置焉博覽之士稍渉大端自謂已足欲如絳縣老人能自言其生之四百四十四甲子者固已鮮矣况能探討其義類乎明公夙夜在公日懋勤於職業而心閒若水孜孜好學用其心於人所不用之處真不易得鼎雖疎淺無似敢不勉竭鄙思以仰答下問之勤乎謹條於左問授時大統二厯厯元並嵗實積日日法諸數按厯元云者厯家起算之端也然授時厯元之法與古不同請先言古法古人治厯必先立元元正然後定日法法立然後度周天其法皆據當時實測以驗諸前史所傳又推而上之至於初古之時取其嵗月日時皆㑹甲子又在朔旦而日月五星皆同一度以此為起算之端是謂厯元自厯元順數至今造厯之時凡厯幾何嵗月是為積年既有積年即有積日而此積日若用整數則遇﨑零難以入算而不能使厯元無餘分故必析此一日為若干分使七曜可以通行而上可以合厯元下不違於實測是為日法即一日之細分也用此細分自一日積之至於二百六十五日又四分日之一弱使一嵗之日盡化為分是為嵗實古厯太陽每日行一度則日法即度法於是仍用此細分自一度積之至於三百六十五度又四分度之一弱使其度亦盡化為分是為周天數者相因乃作厯之根本自漢太初厯以後厯晉唐五代宋遼金諸家厯法代有改憲然其規模次第皆大同而小異耳右古法厯元等項惟元授時厯不然其説以為作厯當憑實測而必逆推上古虚立積年必將遷就其畸零之數以求密合既有遷就久則易差故不用積年之法而斷自至元十七年辛巳嵗前天正冬至為元上考往古下驗將來皆自此起算棄虚立之元用實測之度順天求合一無遷就可謂開拓萬古之心胸者矣至於大統則以洪武十七年甲子為元然特易其名而已一切歩算皆本授時名雖洪武甲子實用至元辛巳也右授時大統厯元惟授時不用積年故日法亦可不立而徑以萬分為日萬分者日有百刻刻有百分故一萬也古諸家厯法雖皆百刻而刻非百分其日法皆有畸零授時以萬分為日竟是整數故曰不用日法然即此是其日法矣右授時日法大統同授時既以萬分為日故其嵗實三百六十五萬二千四百二十五分其數自辛巳嵗前天正冬至(即庚辰年十一月中氣)積至次年壬午嵗前天正冬至(即辛巳本年十一月中氣)共得三百六十五日二十四刻二十五分也若逆推前一年亦是如此(如是庚辰年十一月冬至逆推至巳卯年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分)此嵗實之數大統與授時並同然授時原有消長之法是其新意其法自辛巳元順推至一百年則嵗實當消一分(依法推至洪武十四年辛酉滿一百年其嵗實消一)(分為三百六十五日二十四刻二十四分)若自辛巳元逆推至一百年則嵗實當長一分(依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑滿一百年嵗實長一分為三百六十五日二十四)(刻二十六分)每相距増一百年則嵗實消長各増一分以是為上考下求之準大統諸法悉遵授時獨不用消長之法上考下求總定為三百六十五日二十四刻二十五分此其異也右授時大統嵗實嵗實即一年之日數也自一年以至十年百年共積若干是為積日亦謂之中積分(上考下求皆距至元辛巳立算)假如今康熈庚午嵗相距四百零九算(自辛巳元順推至今康熈庚午)(四百一十年法以積年減一得實距四百零九年)依授時法推得積日一十四萬九千三百八十四日零一刻八十九分(因距算四百以上嵗實當)(消四分為三百六十五日二十四刻二十一分以乘距算四百零九得如上數是為庚午嵗前天正冬至上距)(辛巳嵗前天正冬至之積日若以日為萬分則所得化為一十四億九千三百八十四萬零一百八十九分謂)(之中積分)大統法不用消長則積日為一十四萬九千三百八十四日一十八刻二十五分(中積分一十四億九千三百八十四萬一千八)(百二十五分)兩法相差一十六刻三十六分(以命冬至日辰授時得癸卯日)(丑初三刻大統得癸卯日卯初三刻 兩法皆加氣應)右授時大統積日以上數端並在歩氣朔章是太陽項下事也其厯元七曜同用乃根數所立之處也問授時大統二厯月法轉周交周諸數按月法者即朔䇿也亦曰朔實其法自太陽太隂同度之刻算至第二次同度為兩朔相距之中積分平分之則為望䇿四分之則為弦䇿望者日月相望距半周天弦者近一逺三上弦月在日東下弦月在日西皆相距天周四之一授時朔䇿二十九萬五千三百零五分九十三秒即二十九日五十三刻零六分弱也大統同右月法月平行每日十三度有竒然有時而疾則每日十四度竒有時而遲則每日只十二度竒是為月轉初入轉則極疾疾極而平平而遲遲極又平平而又疾以此遂有疾初疾末遲初遲未四限滿此一周謂之轉終授時轉終二十七日五十五刻四十六分大統同右轉法月不正行黄道而出入其内外故謂之交交者言其道交於黄道也月行天一周其交於黄道只有二處其始從黄道内而出於其外此時月道自北而南在黄道上斜穿而過謂之正交自正交行九十一度(就整數)離黄道南六度自此再行九十一度又自黄道外而入於其内此時月道自南而北亦斜穿黄道而過謂之中交中交行至九十一度時離黄道北亦六度自此再九十一度又自黄道内而出於其外復為正交矣其法以正交後半周為陽厯中交後半周為隂厯滿此一周謂之交終授時交終二十七日二十一刻二十二分二十四秒大統同右交道以上三端朔䇿在歩氣朔章轉終在歩月離章交終在歩交㑹章並太隂項下事也問授時厯有氣應何義按氣應為授時四應數之一其法創立古厯所無也古厯立元皆起初古故但有積年而無根數(即應數)授時既不立積年而用截算不得不有四應數以紀當時實測之數為上考下求之根而氣應居一焉氣即中氣節氣二十四中節皆始冬至故氣應者即冬至相應之真時刻也當時實測辛巳嵗前天正冬至是己未日丑初一刻故曰氣應五十五萬零六百分即五十五日零六刻也其法自甲子日為一數起挨算至戊午日得滿五十五日又加子正後六刻則為己未日丑初一刻矣氣應之外又有閏應以紀經朔轉應以紀月之遲疾厯交應以紀月之隂陽厯亦是截算皆實測辛巳年天正冬至氣應(己未日丑初一刻)所得上距經朔及距入轉距正交各相應之數也 依法推到辛巳年天正經朔三十四日八十五刻半為戊戌日戍正二刻(在氣應冬至前二十日二十刻五十)(分)及己未冬至氣應則為經朔之二十一日 凡此皆厯經所未明言兹特著之問推歩交食之法按厯家之法莫難於交食其理甚精其法甚備故另為一章若知交食則諸法盡知矣然必能推歩而加以講究然後能由其當然以知其所以然是謂真知茍未能然則所知或未全耳請言其槩葢厯法代更由疎漸宻其驗在於交食約畧言之有宜知者二端其一古者只用平朔平朔者一大一小相間故漢晉史志往往有日食不在朔而在朔之二日或晦日者自唐李淳風麟徳厯始用定朔至一行大衍厯又發明之始有四大三小之月而蝕必在朔此是一層道理其一自北齊張子信積候合蝕加時立入氣加減唐宣明厯本之立氣刻時三差至今遵用即授時厯之時差及東西南北差也此又是一層道理前一説由平朔改為定朔其根在天葢以日躔有盈縮月離有遲疾天上行度應有之差天下所同也後一説於定朔之外又立三差其根在地葢以日髙月卑正相掩時中間尚有空隙人所居地靣不同而所見虧復之時刻與食分之淺深隨處各異謂之視差非天上行度有殊而生於人目一方所獨也知此兩端而交食之理思已過半即厯法古疎今宻之故亦大槩可見矣至於入算須看假如諸書中具有成式然但能依法推歩者亦未必盡知其理故謹以拙見畧疏大意不知於來諭所謂已明其理者同異何如統容晤悉問發斂加時之法發斂加時之法按此即九章中通分法也授時厯以一日為一萬分整數今欲均分為十二時每時各得八百三十三分三三不盡故依古法以十二通之每一分通為十二小分則日周一萬通為一十二萬而每時各得一萬故每遇一萬為一時也然滿五千亦進一時者時分初正各四刻竒厯家以子正四刻為今日子初四刻為昨日今滿五千即是半時以當子正之四刻輳完昨夜子初之四刻而成一時故命起子初算外即丑初乃借算也(遇有五千進一時者一時算外是丑初二時算外是寅初餘倣此)若以一萬為一時者命起子正算外即丑正乃本算也(無五千進一時者一時算)(外是丑正二時算外是寅正餘倣此)其取刻數又仍以十二除之何也曰此通分還原也時下零分是以十二乘過之小分今仍以十二除之十二小分收為一大分復還原數則所存者即日周一萬之分而每百分命為一刻矣一法加二為時減二為刻即是前法但以加減代乘除非有二也何以言之乘法是兩位俱動而數陞者位反降加法則本位不動而但加二數於下位也減二亦然凡珠算十二除當一歸二除今用減二則本位不動但於下位減二即定身除也臺官不明算理往往於此處有誤但知以加減代乘除則了然矣是故算數者治厯之本也又按發斂二字乃日道發南斂北之謂葢主乎北極為言則夏至近極為斂冬至逺極為發而自冬至以至夏至則由逺而近自夏至以至冬至則由近而逺總謂之發斂古諸家厯法皆以發斂另為一章其中所列為二十四氣七十二候之類而加時之法附焉故曰發斂加時言發斂章各節候加時法也元統作通軌誤以十二通分為發十二除收刻為斂則以發斂為算法之名失其㫖矣而律厯攷因之以訛不可不知也問以授時法上推春秋魯隠公三年辛酉嵗距至元辛巳二千年中積七十三萬零四百八十九日天正冬至六百零六刻閏餘二十九日四十八刻經朔三十六日五十七刻今依法以滿甲子除中積而求冬至則合以月䇿除中積而求經朔則不合有一日三刻之差其經朔應在冬至前耶抑冬至在經朔前耶按此以百年長一之法上推往古中積諸數原自不錯惟求經朔閏餘則誤加為減故有一日三刻之差而所以差者由於未深明經朔閏餘立法之源也今具論之經朔者日月合朔之常日也冬至者日軌南至而影長之日也日南至而影長是日與天㑹也日月合朔是月與日㑹也月㑹日謂之一月日㑹天謂之一年二者常不齊此厯法所由起也古厯十九年七閏謂之一章章首之年至朔同日其餘則皆不同日矣故天正經朔常在冬至前冬至常在經朔後自經朔至冬至其間所歴日時謂之閏餘以閏餘減冬至得經朔以閏餘加經朔得冬至理數之自然也今自至元辛巳逆推隠公辛酉法當以所得中積七十三萬零四百八十九日在位用至元閏應二十○日二十○刻半減之餘七十三萬零四百六十八日七十九刻半為閏積以朔䇿二十九日五十三刻○五分九十三秒為法除之得二萬四千七百三十六個月仍有不滿之數四刻六十五分五十二秒用以轉減朔策餘二十九日四十八刻四十○分四十一秒為其年之閏餘分即是其年冬至在經朔後之日數也凡求經朔之法當於冬至内減閏餘今推得其年冬至是六日零六刻不及減閏餘故以紀法六十日加冬至而減之得三十六日五十七刻五十九分五十九秒為其年天正經朔是庚子日子正後五十七刻半强也復置經朔三十六日五十七刻五九五九以閏餘二十九日四十八刻四零四一加之得六十六日零六刻除滿紀法去之仍得六日零六刻即是其年冬至為庚午日子正後六刻也庚午距庚子整三十日即知其年冬至在次月朔為至朔同日之年而年前閏十二月矣今誤以閏餘去減經朔為冬至所以差一日三刻也(經朔)(二十六日五十七刻内減去閏餘二十九日四十八刻餘七日零九刻以校先得冬至六日零六刻實多一日)(三刻)問閏月宜閏嵗前十二月乎或閏正月乎先儒辯之今不得其解按閏月之議紛紛聚訟大㫖不出兩端其一謂無中氣為閏月此據左氏舉正於中為説乃厯家之法也其一謂古閏月俱在嵗終此據左氏歸餘於終為論乃經學家之詁也若如前推隠公辛酉冬至在經朔後三十日宜閏嵗前十二月即兩説齊同可無疑議然有不同者何以斷之曰古今厯法原自不同推歩之理踵事加宻故自今日言厯則以無中氣置閏為安而論春秋閏月則以歸餘之説為長何則治春秋者當主經文今考本經書閏月俱在年終此其據矣問至元辛巳至隠公辛酉二千年中閏月幾何按此易知也前以朔䇿除閏積得二萬四千七百三十六月内除二萬四千月為二千年應有之數其七百三十六即閏月也此與古法十九年七閏之法亦所差不多問二千年中交泛若干次入食限若干次及交泛字義何解經朔合朔何所分别按月與日㑹謂之合朔然有平朔有定朔三代以上書籍散軼不可深考所可知者自漢以來祗用平朔唐以後乃用定朔定朔與平朔有差至一日之時然必先求平朔然後可求定朔今曰經朔即平朔也以其為合朔之常數故謂之經得此常數再以盈縮遲疾加減之即定朔矣是故合朔者總名也因有定朔故别之為經朔耳交者月道出入於黄道也授時之法二十七日二十一刻二十二分二十四秒而月道之出入於黄道一周謂之交終以此為法而除中積則得其入交次數矣今依本法求到魯隠公辛酉正月經朔入交十七日三十八刻九六七○自此下距至元辛巳凡滿交終二萬六千八百四十三其出入於黄道也各二萬六千八百四十四至於食限則不可以預定何也入交雖有常數而其食與否又當以加減差及氣刻時三差諸法定之又按入交亦有平日有定日此云泛者亦平義也因先求平日次求定日故命之曰泛泛者以别於定也然厯經本文謂之入交汎日或省文曰入交或曰汎交未有稱交泛者其稱交泛則臺官之語以四字節去首尾而中撮兩字為言文理不安所當改正者也問周髀算經牽牛去極樞共積九百九十二億七千四百九十五萬分以一度積八億五千六百八十萬為法除之復原度一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九用何算法還原按此乃通分法也凡算家通分之法所以齊不齊之分便乘除也若如郭太史以一萬分為度則分有百秒秒有百㣲皆以十百為等自然齊同通分之法可以不用而古厯不然各有所立之法其法又不同母此通分之法所由立也即如周髀所立度法是一千九百五十四里二百四十七歩又一千四百六十一分歩之九百三十三度下有里里下有歩歩下有分其法不同故必以里通為歩乃以零歩納入歩又通為分乃又以零分納入此所謂通分納子也然後總計其分以為度法(即度積)法曰置一千九百五十四里在位以每里三百歩為法乘之得五十八萬六千二百歩如是則里通為歩可以納子矣於是以零歩二百四十七加入共得五十八萬六千四百四十七歩復置在位以歩之分法一千四百六十一為法乘之得八億五千六百七十九萬九千零六十七分則歩又通為分可以納子於是再以零分九百三十三加入共得八億五千六百八十萬分是為度法言滿此分為一度也其外衡去璿璣(即牽牛去極數)二十二萬六千五百里亦以每里三百歩乘之得六千七百九十五萬歩是里通為歩也又置為實以每歩一千四百六十一分乘之得九百九十二億七千四百九十五萬分是歩又通為分也以為實於是以法除實得滿法之數一百一十五命之為度其不滿法之數仍餘七億四千二百九十五萬分不能成一度當以里法收之為里法曰置每里三百歩以每歩一千四百六十一分乘之得四十三萬八千三百分是為里法以里法為法餘分七億四千二百九十五萬分為實實如法而一得一千六百九十五命為里 仍有餘分三萬一千五百不能成一里當以歩法收之為歩法曰置餘分三萬一千五百為實以每歩一千四百六十一分為法除之得二十一歩 仍有餘分八百一十九不能成一歩即命為分用上法求得一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九適合原數縁實數是里數(牽牛去極二十二萬六千五百里是里數也)法數有里有歩有分不便乘除故必以里通為歩歩又通為分乃可乘除故曰齊同法實乘以散之也其不滿法者以里法收之為里又不滿里法者以歩法收之為歩再不滿歩法命為零分故曰不滿法者以法命之又曰位盡於一歩故以其法命餘為殘分也通分之法不過如此乃正法也今周髀所載之法其初通法實並為分末以法命殘分並同惟中間收餘分㣲異則古人截算之法也具如後凡算有除兩次者則以兩次除之之法相乘為法以除之謂之異除同除如以三除又以四除則以三乘四得十二為法除之變兩次除為一次除也若算有法數太多者則變為簡法兩次除之謂之截法如以七十二除之者則以八除之又以九除之即與七十二除同此兩者正相對而其理相通也如餘分七億四千二百九十五萬不滿一度宜收為里法當以每里三百歩乘每歩一千四百六十一共化為四十三萬八千三百分此即異除同除之法也周髀經則先以每里三百歩除之得二百四十七萬六千五百為里實再以周天分(即歩法)為法除之得一千六百九十五里不盡一百○五此即截法變一次除為兩次除也古所得里數與前法不異所異者前法餘分三萬一千五百而今用截法只一百○五此何以故因前法所餘是實分今用截法則餘分是用每里三百歩除過者則此餘分一數内各蔵有三百之數也(是以三百分為一分)餘分内既各𢃄有三百之數則當以三百乘之復還原分之數然後可以收為歩此亦正法也何以言之葢餘分有二頭一次是不滿一度之分則當收為里此餘分又是不滿一里之餘分故當收為歩然而歩之法是周天一千四百六十一分乃實數也此所餘一百○五是三百分為一分非實數也若仍以三百乘之則亦為實數而可以乘除矣故曰正法也周髀之法則又不然雖亦以三乘之而不言百(以三百乘一百)(零五該三萬一千五百今以單三數乘之只三百一十五)則每餘分内仍𢃄有一百之數餘分為實者既以百分為一分則其滿法而成一歩者即是百歩(既是以百分為一分則其滿一千四百六十一之法而成一歩者即是滿了一)(百箇一千四百六十一而成百歩也)故曰不滿法者三之言以單三數乘不滿法之餘分也又曰如法得百歩言此餘分既以三乘則其滿法者為百歩也又自疏其義曰上以三百約之為里之實此當以三百乘之為歩之實而言三之者不欲轉法更以一位為一百之實故從一位命為百也此葢自明其不以三百乘而以三乘之故是欲以得數為百歩也得數為百歩則其實亦百歩之實也故曰省算也刻本三百乘之句遺百字而言三之句遺三字既言如法得百歩而今之餘實只三百一十五在一千四百六十一之下是不能滿法也不能滿法者即不能成百歩也於是以餘分進位(三百一十五變為三千一百五十)為實而以滿法為十歩何也原一分内有百分今雖進位以一分為十分然仍未復原數仍是十分為一分故得數即為十歩也法曰置三百一十五進位為實(變三千一百五十)以法一千四百六十一除得二數命為二十歩不盡二百二十八經曰不滿法者又上十之如法得十歩亦省算也上之即進位也此餘分既各𢃄有十分故復以十乘之即得本數法曰置二百二十八又進位為實(變為二千二百八十)以法一千四百六十一除得一數命為一歩不盡八百一十九經曰不滿法者又上十之得數為一歩又自䟽之曰又復上之者便以一位為一實故從一實為一言末次進位則適得本數為實而得數亦為本數也凡看厯書與别項文字不同須胸中想一渾圓天體併七政旋行之道了了在吾目前則左右逢源有條不紊故圖與器皆足為看書之助右所䟽數條言雖淺近然由淺入深庶幾有序天下最深㣲之理亦即在最粗淺中舍粗淺無深㣲矣謹復答嘉興髙念祖先生律厯天官具載二十一史南北國學並有雕版國家試士發䇿多有及此者本學者所當知也然或者以其不切於辭章之用又其義難驟知讀史者至此則寘而不觀先生獨能縷舉其異同分合之端以為問可見其留心之有素不愧家學之淵源請陳其管蠡之愚以求正定問史記八書三曰律四曰厯分律與厯言之也前漢書合稱律厯改書為志而後漢書晉書北魏書隋書宋史並因之宋書新唐書遼金元三史則皆有厯志而不及律何歟按律厯本為二事其理相通而其用各别觀於唐虞命官羲和治厯䕫典樂各有専司太史公本重黎之後深知其理故分為二書班書合之非也獨是厯書所載非當時所用之法乃殷厯也非漢厯也(其四年而増一日即四分厯之所祖)(又謬以太初元年丁丑為甲寅干支相差二十三年葢禇先生輩所續余於厯法通攷中已詳辯之兹不具悉)而漢太初厯八十一分日法反載於班志意者孟堅以其起數鍾律遂從而合之歟後世言厯者率祖班志故史亦因之厥後漸覺其非而不能改直至元許衡郭守敬乃始斷然以測驗為慿不復以鍾律卦氣言厯一洗諸家之傅㑹故其法特精此律厯分合之由也(人有恒言漢厯)(莫善於太初唐厯莫善於大衍殊不知漢厯至劉洪乾象厯始精若太初則最踈獨其創始之功不可没耳若)(大衍本為名厯測算諸法至此大備後世不能出其範圍特以易數言厯反多牽附其失與太初之起數鍾律)(同也明水公云以律配厯可也而以生厯則不可又云僧一行頗稱知厯而竄入於易以眩衆此誠千古定論)(而經生家所不能知也)至於稱書稱志之不同葢太史公合記古事故名史記班孟堅専述本朝故踵虞書夏書之日而稱漢書全部既稱書不得不别其類為志無深意也問厯書之次曰天官書前漢書改為天文志後漢書晉書宋書南齊書隋書唐書宋金元史並仍之而晉書宋史天文在律厯之前金元二史亦在厯前北魏則改為天象遼史則合厯與天象稱厯象有以異乎按言天道者原有二家其一為厯家主於測算推歩日月五星之行度以授民事而成嵗功即周禮之馮相氏也其一為天文家主於占驗吉凶福禍觀察祲祥災異以知趨避而修救備即周禮之保章氏也班史析之甚明故雖合律厯為一志而别出天文也易天官為天文者星象在野象物在朝象官故星在赤道以内近紫㣲垣者古謂之中官在赤道外者古謂之外官天官之説葢取諸此也易曰觀乎天文以察時變其改稱天文本諸易也易又曰天垂象見吉凶北魏改名天象亦本易也占與測雖分科亦互相為用故遼史合之也至于晉天文志在律厯之前以日月交食五星凌犯皆厯家所據以為推測之用故先之又晉志出李淳風之手其星名占法視古加詳而亦有同異爾後言占者悉本淳風故其次序亦因之也問史書中有一代總無律厯天文志者果盡出於史闕文之意乎按史之有志具一代之典章事事徴實不可一字鑿空而談較之紀傳頗難故三國無志誠為闕事而范氏後漢書本亦無志今志乃劉昭續補也至於天文厯法尤非専家不能故晉隋兩志並出淳風新唐書厯志五代史司天考並出劉羲叟其餘則既無其人又無其書雖欲不闕而不可得此亦史臣之不得已也五代則五十餘年而六易姓紀載無徴故僅有司天職方二考他皆闕如而司天又止有王朴欽天厯法其交蝕凌犯並無可稽故不復稱志而名之曰考也問五行志創始班書乃史記所未有而後漢晉宋南齊隋唐宋金元九史並仍之其義何居按虞書惟言六府洪範始言五行其以五事配五行又以襍占祥異皆件係之而以時事言其應其説葢濫觴于夏侯氏之治尚書而詳於劉向父子太史公時其説未著故始見班書而諸史因之要其説亦有應不應當其應也固足以為警戒及其不應反足以啟人不信之心唐書以後但紀災祥不言事應有合於春秋之義此可以為法者也答滄州劉介錫茂才問左右轄距軫宜平今左近右逺又狼星之邉有弧矢錯亂不齊不其經星亦常移位耶按自古以列宿為不動故曰經星又謂之恒星乃占書中往往有動移之説愚竊疑其未然葢既曰動移則必先知其不移之位然後可以斷其實移而古本圖象大約傳久失真人所目擊不過數十年之内何以知今日之星座必與古異而謂之動移哉又必暫見其移未幾即復本位始謂之變若數十年中所見盡同則常也而非變也查崇禎厯書右轄距軫南右星凡二度竒左轄距軫北左星只半度竒一逺一近誠如尊諭又弧矢天狼不甚整齊皆如所測夫厯書成於前戊辰距今六十四年而星座之經緯如故亦足以徴其非動矣至於厯法中亦自有經星東行之法其理與嵗差相應非如占書之言動移也弧破矢折之論似宜更詳問本年閏七月初八夜太隂食心前星不知何應第三日初十夜大風雨雷電是有解散否查閏七月太隂犯心前星當是初七日戍亥二時月加丁未坤之地非初八也此時月正上弦行至心宿三四度間值月半交在黄道南五度竒與心宿東星逼近理得相為掩犯然皆月道當行之道非失行也又按古人云三日内得雨則解此葢為暈珥虹霓之屬多為風雨之氣所結故應在本方若七政之凌犯多方共覩殆難一例問十數年前親見太白過午者累日是經天耶晝見耶主何休祥按太白星繞日為輪離太陽前後不得過五十度故夕見西方仍沒於西晨出東方仍没於東非不過午也其過午必與日偕為日光所掩故也若日光㣲而星光盛在晝漏明是為晝見晝見不必盡在午地也若在午地則為經天矣然亦有非晝見而能經天者此又别自有説不知所見過午者是晝乎是晨夕乎嘗考前史所載經天之事不一而足占書之説未免過于張皇非其質也愚不敢輙信占書亦正謂此等處耳問來年元旦日食五分十七秒一曰五榖貴一曰主大水孰為實應抑别有徴也又十數年前長星見久應在何時按日食元旦古亦多有然其數可以預推與凌犯同理若長星之見自是災變然聖人遇災而懼實有修省轉移之道故古人言占必兼人事若執定占書一兩言以斷其休咎將修徳彌災語為虛設而天亦可量矣是固不敢妄談問厯法最難解者未宫鬼金羊為主今未宫全係井度而鬼反在午室火猪只十度在亥而餘皆入戍不知天運何年西下諸宿移而天盤動按列宿移而天盤動即嵗差之法也周天列宿分十二宫古今厯法各各迥異要其大端之改易有三自隋以前未用嵗差故天之十二宫皆隨節氣而定如冬至日躔度即為丑初之類一也唐一行始定用嵗差分天自為天嵗自為嵗故冬至漸移而宫度不變以後厯家遵用之所以明季言太陽過宫以雨水三朝過亥二也若今西厯則未嘗不用嵗差而十二宫又復隨節氣而移三也三者之法未敢斷其孰優然以平心論之則一行似勝何以言之葢既用嵗差則節氣之躔度年年不同故帝堯冬至日在虚而今在箕已差五十餘度若再積其差冬至必且在尾在心在氐房在角亢顧猶以冬至之故而名之曰丑宫則東方七宿不得為蒼龍而皆變𤣥武北方宿反為白虎西方宿反為朱鳥而南方朱鳥為蒼龍名實盡乖即西法之金牛白羊諸宫皆將易位非命名取象之初㫖即不如天自為天嵗自為嵗之為無弊矣故新厯之推歩實精而此等尚在可酌不無俟於後來之論定耳先生於此深疑實與鄙意相同至若十二生肖及演禽之法别有本末與厯家無渉亦無與於星占可無深論以星推命不知始於何時然吕才之闢禄命只及干支至韓潮州始有我生之時月宿南斗之説由是徴之亦在九執以後耳每見推五星者率用溪口厯則於七政躔度疎逺若依新法則宫度之遷改不常二者已如枘鑿之不相入又安望其術之能驗乎夫欲求至當則宜有變通然其故多端實難輕議或姑以古法分宫而取今算之七政布之則既不違其本術亦不謬乎懸象雖未知驗否何如而於理庶幾可通矣請以質之髙明問冬夏致日以土圭求日至之景是也而春秋又以致月其説何如按日行黄道有南至北至月亦有之月之北至則隂厯是也月之南至則陽厯是也夫月之隂陽厯隨時變遷而必於春秋測之何耶凡言至者皆要其數之所極則必有中數以為之衷如日道有南至有北至相差四十七度竒而其中數則赤道也月有隂厯有陽厯出入於黄道各六度弱而其中數則黄道也夫黄道之在冬夏既自相差四十七度竒則已無定度又何以為月道之中數乎惟春秋二分之黄道與赤道同度則其東出西沒及過午之度並與赤道無殊於此測月可得隂陽厯出入黄道之真度矣假如二分之望月在其衝(春分之望月必)(在秋分之宿度秋分之望月必在春分之宿度)則日沒於酉正而月出於卯正日出於卯正而月没於酉正其出沒方位必居卯酉正中與日相等然而或等焉或不等焉或有時而出沒於酉正卯正之南則知其在陽厯也有時而在卯正酉正之北則知其在隂厯也又此時日之過午也必與本處之赤道同髙(即冬夏二至日軌髙度折中之處)則月亦宜然然而月之過午或有時而髙於日度則知其在隂厯也有時而卑於日度則知其在陽厯也若月之出沒在卯酉之正而不偏南北月之過午一如日軌之度而略無髙卑則為正當交道而有虧食故曰惟春秋可以測月也康成註曰冬至日在牽牛景丈三尺夏至日在東井景尺五寸此長短之極此言冬夏致日也又曰春分日在婁秋分日在角而月弦於牽牛東井亦以其景知氣至此言春秋致月也賈疏云春分日在婁其月上弦在東井圓於角下弦於牽牛秋分日在角上弦於牽牛圓於婁下弦於東井鄭并言月弦於牽牛東井不言圓望義可知也按此賈䟽增成鄭義足與愚說相為發明葢但以日軌為主則春秋致月亦致日之餘事即於兩弦立説亦足以明若正言致月之理則必將詳攷其交道出入之端與夫隂陽厯逺近之距則兼望言之其理益著也問隂陽厯之法於兩弦亦可用乎曰可凡冬夏至表景既有土圭之定度(夏至尺五寸即土圭之定度也冬至景丈三尺葢亦以土圭之度度之而)(知)則月亦宜然而今測月景每有不齊則交道可知假如春分日在婁而月上弦於東井秋分日在角而月下弦於東井則是月所行者夏至日道也其午景宜與土圭等又如春分日在婁而月下弦於牽牛秋分日在角而月上弦於牽牛則是月行冬至日道也其午景宜與土圭所度冬至長景等而徴之所測或等焉或不等焉其等於定度者必月交黄道之度也其短於定度者必月在日道之北而為隂厯也其長於定度者必月在日道之南而為陽厯也是故兩弦亦可以測隂陽厯也然則隂陽厯之變動若此又何以正四時之叙曰日道之出入赤道也距逺至二十四度月道之出入黄道最逺止六度距二十四度故景之進退也大(夏至尺五寸冬至一)(丈三尺相去懸絶)距止六度故景之進退也小(隂厯陽厯之月景所差於日景)(者不過尺許而已)假如月上下弦在東井而景更短於土圭其為夏至之隂厯更無可疑即使是陽厯而景長於土圭其長不過尺許無害其為夏至之黄道也又如月上下弦在牽牛景加長於土圭所定之度其為冬至之陽厯已成確據即使是隂厯而景短於土圭所定之度其短亦不過尺許無損其為冬至之日道也夫兩弦之月道既在二至之度則日躔必在二分而四叙不忒故曰舉兩弦立說亦足以明也或疑洛下閎製渾儀止知黄道至東漢永元銅儀始知月道至隂陽交道之説後代始宻周禮所言致月或未及此曰洪範言日月之行則有冬有夏是古有黄道也十月之交見于詩是古知交道也洛下閎等草創于祖龍煨燼之餘故制未備而以此疑周禮乎夫謂厯術屢變益精者如嵗差之類必數十年始差一度故久而後覺若月之隂陽厯月必一周視黄道之變尤為易見而謂古人全不之知吾不信也或又疑土圭只尺有五寸則惟北至時可用餘三時何以定之曰經固言日北景長日南景短矣其長其短亦必有數則皆以土圭之尺寸度之耳然則夏日至景如土圭者冬日至景必數倍於土圭而以土圭度之無難得其丈尺故冬夏並言致日也問嘗攷春秋厯法訛舛甚多不知左氏之誤抑古厯不如此也夫驗於古然後可施於今今以最踈之古厯尚不可攷則太初以下其疑難當更何如按厯法古踈今宻乃古今之通論葢謂天體無窮天道幽逺踵事漸増斯臻其善非謂古人之智不及後人也夫攷古厯之踈宻必須得其立算之根今自秦火以來並無一書能言三代以上之厯法所謂殷周六厯率皆偽撰不足為據春秋左氏之不合又何疑焉若夫三代以下太初厯始創規模洛下閎等之功自不可沒自是以後屢代加詳由後之宻厯觀之遂覺其前之為最踈耳厯家之言曰驗天以求合無為合以驗天是故治厯者必當求之天驗求之天驗則當以近代之宻測者為憑而詳徴算術以得其當然之理又知其所以然之故然後備攷古術徐求其改憲源流博稽經史以攷其徴信合者存之疑者闕焉斯不為用心於無益矣尊著以春秋二百四十年月日列序以攷其得失用功甚勤與氏族官制地名等攷皆有功於經傳其書自可孤行若但以厯法言仍當從事於郭太史授時法與今西法庶可以得其門户矣余初學厯原從授時入手後復求之二十一史始知古人立法改憲各有根源見史志僅載算法而無一語注釋因稍稍以所能知者解之遂以成帙最後始得西術此事益明然卷帙既多又竄改無定亦欲俟稍暇再加繕冩以請正髙明耳問日食古無其法漢日食每多先天終漢四百年無人修改則洛下閎張衡皆夢夢歟按古日食每不在朔者以古用平朔耳古所以用平朔者以日月並紀平度也東漢劉洪作乾象厯始知月有遲疾北齊張子信積候二十年始知日有盈縮有此二端以生定朔然而人猶不敢用也至唐李淳風僧一行始用之至今遵用乃驗厯之要然非有洛下閎之渾儀張衡之靈憲則測驗且無其器又何以能加宻測愚故曰古人之功不可沒也問五星遲疾逆留按五星之遲疾逆留漢以前無言之者漢以後語焉而不詳雖授時厯號為至精而於此未有精測至西厯乃能言之此今厯勝古之一大端也問月食地景按月食地影之説肇於泰西驟言之若可駭細審之確有實據然必於厯學深究其根乃知其説為不誣耳問平差立差按平差立差定差之法古無其術乃郭太史所創為以求七政盈縮之度所以造立成之根本也其法日月五星並有之亦非如平朔定朔之用厯家用字偶同如此者多徴實言之乃知其故耳據云依立招差又云依垜疊立招差則似古算術中原有其法而今採用之然不可攷矣愚嘗因李世兄之問而為之衍算頗覺其用法之巧焉與錫山友人楊學山書厯算之學弟生平癖嗜聞有同此者即不憚褰裳相從然如先生之實用其力於幾何三角以溯其根者未多見也前年奉晤吳門不勝喜慰以為可得留連旬日以深領誨益塵事之相牽失於交臂至今悵惘兹年已八三神明消蝕啓處艱難不知仍能續晤否也承借書五本當即抄付但未經重校故僅以抄本奉〔？〕而留其原稿寶蔵之以代靣誨前曽以此意告之吕令親屬為轉致厥後吕返錫山弟鄉居不知遂遲至今幸勿深罪書五種驗收是望承賜問數端皆弟所積疑内日差一事向因日躔表說甚是䝉混嘗為之論辨累紙謂既有二根當定二表以相加減友人皆以為然既而熟思覺其非確宜只用月離交食二表為是大抵厯書表說多是後來所増故往往與表不應若日差表則又不然葢西厯之傳亦各有師授之不同日躔表之兼用二根或是初說其平時定時乃測驗之實用必是後來之說日躔表中日差誤用初說而强為之辭故愈解而愈支拙見如此不知髙識以為何如也月二三均數不與厯指之説相應惟王寅旭嘗論及之餘人但知用表未有求其根者今先生以次均之外設又次均數既合表理復精當誠為創見敬服敬服火星半徑與視學相反真是難解然彼皆得之積候非鑿空之論五星中分亦然皆不敢輕為置論嘗謂厯學至今益宻其理亦愈推明若集中土之賢才以専心致志而為之必更有可觀而無如其不能羣萃州處何也火星借象之圖世人多泥舊說先生輙深信之不疑古所謂一人之知非耶然此圖是與袁惠子先生論辨而作亦頗承其虚懐今惠兄久不得音問心甚念之若先生之知我葢尤深於惠兄安得拏舟溯洄一遂鄙懐乎此學甚孤而學者多執成見或得少為足而遂欲自立門庭惟薛儀甫王寅旭兩先生能兼中西之長而且自有發明然生雖同時而並未得相見庚寅奉過始得一見令祖坤翁先生少伸企懷而鮑燕翌先生又已先歸道山殊為憾事弟又景逼桑榆故圖晤之心甚切非同泛泛也鴻便往來勿吝郵致乙未三月十九日擬璿璣玉衡賦(有序)易言治厯䇿數當期典重授時中星紀嵗葢七政璇璣之制類先天卦畫之圖原道必本乎天儒者根宗之學制器以尚其象帝王欽若之心理至難言以象顯之則理盡意所未悉以器示之則意明故揚雄覃思渾天用成𤣥草平子精探靈憲聿闡元樞覆矩仰規一行以之衍䇿天根月窟堯夫於焉弄丸此聖學之攸先匪術家之私尚也况姬公之法受於商髙而神禹之疇肇諸河洛平成永頼實資句股圜方才藝碩膚爰有南車記里髙深廣逺寸矩以御幾何律度量衡萬事斯為根本既圜頂而方趾敢忘髙而負深茍俯察而仰觀必徴理而稽數家傳大易竊慕韋編世際清寧恭〔？〕鉅製竭歐邏之巧力紹蒲坂之芳型洵心理之胥同中西脗合亶後來之居上今古無雙雖株守山陬遲睹靈臺之美而心儀法象遥忻神器之成僭擬短章臆闚鴻典無禆采聽聊當衢歌云爾至哉渾儀之為器也體天地之撰類經緯之情微顯闡幽窮髙極深殆更僕莫殫其藴累牘難悉其能者矣粤自道生宇宙肇為大圜健運無息東西斡旋七政錯行宿離糾紛交光羅絡終始相嬗雖有離朱孰闚其端聖喆挺生仰俛觀察積候成悟賾探隠索諗六虚之曠邈詎目營兮可獲廼範金兮為儀縱若衡兮八尺厯㠯之治兮象㠯之覈堯命羲和四隅分宅制閏成歳釐工熈績匪有器以御之孰所憑而推䇿虞帝受之璣衡以設敬天勤民兩聖一轍嗣三統兮迭更兹重器兮㒺䙝陳東序兮天球羌大訓兮為列河之圖兮莫先况琬琰與𢎞璧嬴秦力政㒺畏天常遷周九鼎焚燬舊章球圖湮沒莫知其鄉厯紀乖次伏隂愆陽及夫漢造太初渾天初置唯意匠兮經營未詳徴乎昔制曽黄赤兮未分矧歳差兮能治厯唐逾宋代有討論小異大同踵事而増說存掌故約畧可陳外周六合子午為經卯酉交加日月之門三輪八觚象地者衡是立郛郭以挈三辰黄倚赤而相結剖二至與二分判發斂兮南北距紫極兮為言小環四游又居其内左右周闚兩簫更代低昻斜側折旋唯意儀三重兮共樞亶推歩兮精義亦有銅球實惟渾象列星綴離三家殊狀或附益之兩曜類蟻行兮磨上遲速行兮一機或水轉兮磨盪非不研精覃思窮神盡智象重大兮易膠每機闗兮弗利儀重環兮掩暎頗未宜乎闚視加以代異人湮乍成旋廢作之也何難壞之也何易若乃元祖初服廣徴碩儒有美魯齋王郭之徒既作授時備器與書髙表四丈承以景符簡儀候極離立扶踈二綫代管分秒乘除度百刻兮天腹旋立運兮四虛闚几兮測月蓮花兮挈壺正方有案兮定南北懸正座正兮九服之須仰儀兮虚而似釡度斜絡兮南極攸居可謂酌古凖今洵美且都者矣厯年未百有明膺命雖大統兮殊稱實授時兮為政屬作都兮石城旋京邑兮北定既觀臺兮屢遷地更寘兮乖應豈儀器兮多迕抑疇人兮弗敬轉測之或未嫺兮址漸傾兮蔑正寧不善厥初兮歳薦更兮滋釁經生既非所習兮又申之以厲禁専科不相通兮有憤悱兮誰問遂使靈臺徒為文具交食或乖誰知其故帝謂兮草澤疇明理兮習數爾乃理難終隠道有必開天相其衷西儒朅來如禮失兮求埜似問郯兮識官此珍秘兮勿洩彼菽粟兮非難於是吳淞太史仁和水部夜譯晨鈔心追手歩亦得請而開局集歐邏與儒素擷西土兮精英入中算兮罏鑄屢清臺兮襍候良占測兮可据怵巧拙兮相形新術精兮羣妒慨萬里兮作賔兼十年兮發覆厯成兮弗用良書兮徒著何人事兮多違或蒼穹兮有待唯我盛朝度越千代正朔初頒適逢斯㑹唯欽若以為懷奚畛域乎中外洞新法之宻合命遵行為定制哂䜿儒兮固陋謬執古兮非今若肓不杖兮聾别竽笙斯術之無弊兮經指摘兮益明乃詔太史乃咨禮臣謂新厯兮允臧顧儀器兮未成式采銅兮名山鳩哲匠兮上京備製兮六儀各錫兮嘉名赤道兮法動天之西轉黄道兮儷七曜之東征古二道為一器兮景交羅而莫分今别其用兮法以簡而倍精黄既麗赤而左旋兮復自轉而右奔緯度之各異兮亦異其經黄自有極以運兮誠振古之未聞游表所指兮太陽之心時時可驗節候兮若影於鐙地平之儀辨方正位轉線參直三光所至出没之度漸升之意秒忽微茫具可别識象限平轉兮測髙與庳割圓八線兮於是焉施合四為一兮周天在兹度唯九十兮厥數已全紀限六十兮於以參焉正反隅角兮靡幽弗宣用稽距度兮兩星之間弧三角之法兮推其所然五者相資多人分測片晷之餘各盡目力假變行之迅速無須臾之或失别有渾球全賦星躔循黄之極碁罫珠聯列曜逺近南北八度小輪之限凖斯無捂亦依赤極出地有恒或正升兮斜降或正降兮斜升晰伏見之先後諳里差之所因黄緯之列兮百世無改宫分迤差兮恒星東滙以度計年兮六十六載下設旋輪兮水激自動刻漏㒺僭兮機發於踵爰有髙弧繋之天頂地平經緯兹焉互審或象限兮平觀或紀限兮斜距或黄赤儀之所窺絜之球而參遇爛若軒轅之寶鏡兮縮圜形而周布衆儀得其散兮球徴其聚正求兮反暎宛轉兮廻互測量有書兮或不能句摩娑斯器兮曠如揭霧更旋宫兮十二隨道里兮攸殊際地之極南北兮以為之樞子午及平環兮以限四隅隅各三宫兮東方為初次第右環兮大權以區三合六合之照兮凶吉分途惟斯球而可暏兮攷歩笇之宻疏致用萬端未克枚舉洵天府之竒珍永作則乎來者若其鎔金有法棄滓取精磨礲砥礪光輝熒熒旋之中規直之中繩擘劃勻細度萬其分寘儀衡重測重求心力相扶兮㒺偏積歳年兮弗傾趺交之以銅龍兮或海獸以相承為水凖與螺柱兮常消息焉取平天矯兮騰踔攫拏兮猙獰詎美觀兮一時永奠定兮千春乃至崇臺百歩迥出闤闠周以儲胥纎埃攸避上列六臺方圓式異相依兮交讓旋觀兮罔閡施窺筒之竒巧眄千里兮如對晝候兮日靣之星夜占兮句已之態折照浮光兮氣水水氣清濛厚薄兮地心相配交食淺深兮起虧進退地景厚薄兮青綠明昧視差有多少兮命天九重月有弦望兮太白攸同抱日為輪兮互入相容超西法之舊兮信天能之弗窮登斯臺也軒豁洞逹耳目開通揮斥兮八極廣攬兮無終意氣兮飛揚凌虚兮御風習其器也陸離瀟灑繽紛磊砢燦爛兮朝霞孔明兮朱火照曜兮焜煌周流兮軒翥戄對越兮於穆遊吾心兮太古帝載之虛無兮陟降其所垓埏之遼絶兮斂之一黍匪重黎之誕降兮曷其臻乎要眇邈祈姚之不作兮疇則探斯奥窔伊崇效而卑法兮協至徳於太灝定百代之猶豫兮踵危微於帝道畢逺臣之精思兮備前王之所少璿璣玉衡之不傳兮乃今而獲聖人之大寶亂曰巍巍穹窿帝所則兮父乾母坤不敢不及兮寫以良金如塑像兮朝斯夕斯期勿忘兮子之於父視無形兮瞻兹肖貌曷敢以寧兮兢兢業業承天休兮奉若不違升大猷兮祈天永命從兹始兮億萬斯年昊天其子兮學厯說或有問於梅子曰厯學固儒者事乎曰然吾聞之通天地人斯曰儒而戴焉不知其髙可乎曰儒者知天知其理而已矣安用厯曰厯也者數也數外無理理外無數數也者理之分限節次也數不可以臆說理或可以影談於是有牽合傅㑹以惑民聽而亂天常皆以不得理數之真蔑由徴實耳且夫能知其理莫堯舜若矣堯典一書命羲和居半舜格文祖首在璇璣玉衡以齊七政豈非以敬天授時固帝王之大經大法而精一之理即於此寓哉曰然則律何以禁私習曰律所禁者天文也非厯也曰二者異乎曰以日月暈抱珥虹蜺彗孛飛流芒角動揺預斷未來之吉凶者天文家也本躔離之行度中星之次以察發斂進退敬授民事者厯家也漢藝文志天文二十一家四百四十五卷厯譜十八家六百六卷固判然二矣且夫私習之禁亦禁夫妄言禍福惑世誣民耳若夫日月星辰有目者所共睹古者率作興事皆用為候又何禁焉楚邱之詩曰定之方中作于楚宫夏令曰修而場功偫而畚挶營室之中土功其始火之初見期于司里春秋傳曰凡土功龍見而戒事火見而致用水昏正而栽日至而畢此版築之候也豳風之詩曰七月流火九月授衣此裘褐之候也申豐曰古者日北陸而蔵氷西陸朝覿而出之火出而畢賦則蔵氷用氷之候也龍見而雩則雩候也農祥晨正則畊候也三星在天則㛰候也單襄公曰辰角見而雨畢天根見而水涸本見而草木節解駟見而隕霜火見而清風戒寒雨畢除道水涸成梁草木節解而備蔵隕霜而冬裘具清風至而修城郭宫室是故有一候則有一候之星有一候之星則有一候之政令田夫紅女皆知之矣又何禁焉自梓慎禆竈之徒以星氣言事應乃始有灾祥之占而其説亦有騐有不騐有星孛於大辰禆竈曰宋衛陳鄭將同日火若我用瓘斝玉瓚則不火子産弗與已而火作竈曰不用吾言鄭又將火子産曰天道逺人道邇竈焉知天道是亦多言矣豈不或信卒不與鄭亦不火梓慎以日食占水昭子曰旱也已而果旱慎言不效是故唯子産昭子深明乎理數之實乃有以折服矯誣之論雖挾術如慎竈而不為所動故厯學大著則禨祥小數無所依托而自不得行其於政教不無小補與律禁私習之指固殊塗而同歸矣曰世皆謂天文厯數能前事而知以豫為趨避而子謂厯學明則占家無所容其欺妄言之徒不待禁而戢其説可得聞乎曰有説也葢古之為厯也疎久而漸宻其勢然也唯其踈也厯所歩或多不效於是乎求其說焉不得而占家得以附㑹於其間是故日月之遇交則食以實㑹視㑹為斷有常度也而古厯未精於是有當食不食不當食而食之占日之食必於朔也而古用平朔於是有食在晦二之占月之行有遲疾日之行有盈縮皆有一定之數故可以小輪為法也而古唯平度於是占家曰晦而月見西方謂之朓朓則候王其舒朔而月見東方謂之仄慝仄慝則侯王其肅月行隂陽厯以不足二十年而周其交也則於黄道其交之半也則出入於黄道之南北五度有竒皆有常也而古厯未知於是占家曰天有三門猶房四表房中央曰天街南間曰陽環北間曰隂環月由天街則天下和平由陽道則主䘮由隂道則主水夫黄道且有歳差而况月道出入於黄道時時不同而欲定之於房中央不已謬乎月出入黄道既有南北而其與黄道同升也又有正升斜降斜升正降之不同唯其然也故月之始生有平有偃而古厯未知也則為之占曰月始生正西仰天下有兵又曰月初生而偃有兵兵罷無兵兵起月於黄道有南北一因也正升斜降二因也盈縮遲疾三因也人所居南北有里差則見月有蚤晚四因也是故月之初見有初二日初三日之殊極其變則有在朔日初四日之異而古厯未知則為之占曰當見不見又曰不當見而見魄質成蚤也食日者月也不闗雲氣而占者之説曰未食之前數日日已有謫日大月小日髙月卑卑則近髙則逺逺者見小近者見大故人所見之日月大小略等者乃其逺近為之而非其本形也然日月之行各有最髙卑而影徑為之異故有時月正掩日而四靣露光如金環也此皆有可攷之數而占者則以金環食為陽徳盛五星有遲疾留逆而古法唯知順行於是占者以逆行為灾而又為之例曰未當居而居當去不去當居不居未當去而去皆變行也以占其國之灾福五星之出入黄道亦如日月故所犯星座可以預求也而古法無緯度於是占者以為失行而為之例曰凌曰犯曰鬬曰食曰掩曰合曰句已曰圍繞夫句已凌犯占可也以為失行非也五星離黄道不過八度則中官紫微及外官距逺之星必無犯理而占書皆有之近世有著賢相通占者刪去古占黄道極逺之星亦既知其非是矣至於恒星有定數亦有定距終古不變而世之占者既無儀器以知其度又不知星座之出入地平有濛氣之差或以横斜之勢而目視偶乖遂妄謂其移動於是為占曰王良䇿馬車騎滿野天鉤直則地維坼泰階平人主有福中州以北去北極度近則老人星逺而近濁不常見也於是古占曰老人星見王者多夀以二分日候之若江以南則老人星甚髙三時盡見而疇人子弟猶歳以二分占老人星宻䟽貢諛此其仍訛習欺尤大彰明者矣故厯學不明而徒為之禁以嚴之終不能禁也或以禁之故而私相傳習矜為秘授以售其詐若厯學既明則人人曉然於其故雖有異説而自無所容余所以數十年從事於斯而且欲與天下共明之也且子不徴之功令乎經史語孟士之本業也而魯論言辰居星拱行夏之時孟子言千歳日至可坐而致易言治厯明時大傳言五歳再閏三百有六十當期之日堯典中星分測驗之地璣衡之製為萬世法辰弗集房載于夏書詩稱十月之交朔日辛卯春秋紀日食三十六禮載月令大戴禮述夏小正皆詳日所在宿及恒星伏見昏旦之中與其方向低昻之狀用為月節以布政教而成百事又自漢太初以來造厯者數十家皆具其説於史若是者既刋布其書使學者誦習之矣三年而試之程式發䇿往往有及於律厯者其於律之禁寧相背乎是故律禁私習妄言而未嘗禁士之習經史也而顧諉之為星翁卜師之事而漫不加察反令術士者流得挾其不經之說以相炫誘而不能斷其惑是亦儒者之過也故人之言天以占驗為竒吾之言厯以能辯惑為正曰然則占騐可廢乎將天變不足畏邪曰惡是何言也吾所謂辯惑者辯其誣也若夫王者遇灾而懼側身修省以答天戒固欽若之精意也又可廢乎古者日食修徳月食修刑夫徳與刑固不以日月之食而始修也遇其變加警惕焉此則理之當然未敢以數之有常而或懈也此又學厯者所當知厯學源流論梅子殫心厯學數十年而嘆心之神明無有窮盡雖以天之髙星辰之逺有遲之數千百年始見端緒而人輙知之輙有新法以追其變故世愈降厯愈以宻而要其大法則定於唐虞之時今夫厯所歩有四曰恒星曰日曰月曰五星治厯之具有三曰算數曰圖象曰測驗之器由是三者以得前四者躔離朓朒盈縮交蝕遲留伏逆掩犯之度古今作厯者七十餘家踈宻代殊制作各異其法具在可攷而知然大約三者盡之矣堯命羲和厯象日月星辰舜在璇璣玉衡以齊七政厯者算數也象者圖也渾象也璿璣玉衡測驗之器也故曰定於唐虞之世也然厯之最難知者有二其一里差其一歳差是二差者有微有著非積差而至於著雖聖人不能知而非其距之甚逺則所差甚微非目力可至不能入算故古未有知歳差者自晉虞喜宋何承天祖冲之隋劉焯唐一行始覺之或以百年差一度或以五十年或以七十五年或以八十三年未有定説元郭守敬定為六十六年有八月回回泰西差法略似而守敬又有上攷下求増減歳餘天周之法則古之差遲而今之差速是謂歳差之差可謂精到若夫日月星辰之行度不變而人所居有東南西北正視側視之殊則所見各異謂之里差亦曰視差自漢及晉未有知之者也北齊張子信始測交道有表裏此方不見食者人在月外必反見食宣明厯本之為氣刻時三差而大衍厯有九服測食定晷漏法元人四海測驗二十七所而近世歐邏巴航海數萬里以身所經山海之程測北極為南北差測月食為東西差里差之說至是而確是葢合數千年之積測以定歳差合數萬里之實驗以定里差距數逾逺差積逾多而曉然易辨且其為法既推之數千年數萬里而凖則施之近用可以無惑厯至今日屢變益精以此然余亦謂定於唐虞之時何也不能預知者差之數萬世不易者求差之法古之聖人以日之所在不可以目視而器窺也故為之中星以紀之鳥火虚昴此萬世求歳差之根數也又以日之出入發斂不可以一方之所見為定也故為之嵎夷昧谷南交朔方之宅以分候之此萬世求里差之定法也嗚呼至矣學者知合數千年數萬里之心思耳目以治厯而後能精宻又知合數千年數萬里之心思耳目以為之精宻者適以成古聖人未竟之緒則當思羲和以後凡有能出一新智立一㨗法垂之至今者皆有其所以立法之故及其久而必變也又皆有所以變之説於是焉反覆推論必使理解氷釋無纎毫疑似於吾之心則吾之心即古聖人之心亦即天之心而古今中外之見可以不設而要於至是夫如是則古人之精意可使常存不致湮没於耑已守殘之士而過此以往或有差變之微出於今法之外亦可本其常然以深求其變而徐為之修改以衷於無弊則是善於治厯者也厯算全書卷六
## 卷七序
序
厯家所憑全恃測騐昔者蔡邕上書願匍匐渾儀之下按度考數著於篇章以成一代盛典古人之用心蓋可想見然則儒者端居斗室足不履觀臺目不睹渾象安所得測騐之事而親之而安從學之曰所恃者有測騐之法之理在則句股是也遭秦之厄天官書器散亡漢落下閎鮮于妄人等追尋墜緒厯代相承攷訂加詳至于今日厥理大著則句股之用于渾圓是也今夫測量之法方易而圓難古用徑一圍三聊舉成數非有所不知也自劉徽祖沖之各為圓率逮元趙友欽定為徑一則圍三一四一五九二與今西術略同皆割圓以得之非句股奚藉焉(西法割圓比例以直角三邊形為主即句股也但異其名不異其實)然用句股測平圓猶易用句股測渾圓更難厯家所測皆渾圓也非平圓也古有黄赤道相準之率大約於渾器比量僅得梗槩未能彰諸笇術近代諸家以相減相乘推變其差損益有序稍為近之而未親也惟元郭太史守敬始以弧矢命笇有平視側視諸圖推步立成諸數黄赤相求斯有定率視古為密由今觀之皆句股也但其立法必先求矢又用三乗方取數不易故但能列其一象限中度率不復能求其細分之數厯書之法則先求角既因弧以知角復因角以知弧而句股之形能預定其比例又佐之八線互用以通其窮其法以三弧度相交輒成三角則此三弧度者各有其相應之弦弧與弧相割即弦與弦相遇而句股生焉茍熟其法則正反斜側八線犁然各相得而成句股(八線比例以半徑全數為弦正弦餘弦為句為)(股又以割線為弦切線與半徑全數為其句股表中所列句股形凡五千四百)於是乎黃可變赤赤可變黃可以經度知緯可以緯度知經羅絡鉤連旁通曲暢分秒忽微臚陳笇位求諸中心可無纎芥之疑告諸同學亦如指掌之晰即不必匍匐渾儀之下可以不窺牖而見天道賴有此具也全部厯書皆弧三角之理即皆句股之理顧未嘗正言其為句股使人望洋無際(彼云直角三邊形此云句股乃西國方言譯書時不知此理遂生分别)又譯書者識有偏全筆有工拙語有淺深詳略所載圖説不無滲漏之端影似之談與臆參之見學者病之兹稍為摘其肯綮從而䟽剔訂補以直截發明其所以然竊為一言以蔽之曰析渾圓㝷句股而已蓋于是而知古聖人立法之精雖弧三角之巧豈能出句股範圍然句股之用亦必至是而庶無餘藴爾厯法之深㣲奥衍不啻五花八門其章句之詰曲離竒不啻羊腸絙度而由是以啓其扃鑰庶將掉臂游行若揭日月而騁康莊矣文雖不多實為此道中開闢塗徑蓋積數十年之探索而後能㑹通簡易故亟欲與同志者共之余老矣禹服九州之大厯代聖人教澤所漸被必有好學深思其人所冀大為闡發俾古人之意晦而復昭一綫之傳引而弗替則生平之志願畢矣豈必身擅其名然後為得哉余拭目竢之康熙二十三年上元甲子長至之吉勿菴梅文鼎書於柏梘山中
## 卷七
欽定四庫全書厯算全書卷七宣城梅文鼎撰弧三角舉要卷一弧三角體勢弧三角與平異理故先體勢知體勢然後可以用算而算莫先於正弧猶平三角之有句股形也故以為弧度之宗正弧形之之角取法于黄赤交角則有定度而餘角取法于過極圏交黄道之角則隨度而移互用之其理益顯故有求餘角法弧三角以一角對一邊而比例等與平三角同而其理迴别故有弧角比例法斜弧無相對之弧角則比例之法窮故有垂弧法三角求邊則垂弧之法又窮故有次形法垂弧與次形合用則有捷法弧與角各有八綫而可以互視故有相當法(餘詳環中秦尺)(及塹堵測量)弧度與天相應弧三角之法以測渾員渾員之大者莫如天員之至者亦莫如天故弧三角之度皆天度也以平測員其難百倍以員測員其簡百倍而得數且真是故測天者必以弧度而論弧度者必以天為法測弧度必以大圏渾球上弧度有極大之圏乃腰圍之一綫也如赤道帶天之紘原止一綫如黄道如子午規如地平規盡然又如測得兩星相距之逺近亦為大圏之分(若以此兩星之距弧)(引而長之必匝於渾員之體而成大圏不論從衡斜側皆同一法)球上大圏必相等所以必用大圏者以其相等也 渾球上從衡斜側皆可為大圏而其大必相等者以俱在腰圍之一綫也如黄道赤道及子午規地平規俱係大圏必皆相等不相等即非大圏故惟大圏可相為比例(任測兩星之距不必當黄赤道而能)(與二道相比例者以其皆大圏也)球上兩大圏無平行者大圏在渾球既為腰圍之一綫則必無兩圏平行之法若平行即非大圏(如黄赤道並止一綫而無廣即無地可容平行綫也子午規地平規亦然)球上圏能與大圏平行者皆小圏謂之距等圏離大圏左右作平行圏皆曰距等圏謂其四圍與大圏相距皆等(如于黄道内外作緯圏其與黄道相距或近則四靣皆近或逺則四面亦皆逺無毫忽之)(不同平行故也赤道緯圏地平髙度並同)而其自相距亦等故曰距等也(如黄)(道内外或近或逺處處可作距等圏而皆與黄道平行即其圏亦自相平行故並為等距)距等圏皆小于大圏(如黄道内外緯圏但離數分其圍即小于黄道其距益逺其圏益小小之極至一㸃而止)(諸緯圏並然)不能與大圏為比例(大圏惟一距等圏無數無一同者無法可為比例)故為比例者必大圏也如圖甲乙為大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小圏無數漸近圎頂己即其圏愈小而成一㸃大小懸殊故不可以相為比例大圏之比例以度不拘丈尺凡圏皆可分三百六十度(每圏平分之成半周四平分之成象限象限又各平分之)(為九十度成三百六十度)而球大者其大圏大球小者其大圏小皆以本球之圍徑自為比例不拘丈尺(儘本球之圍分為全周之度其球上)(之度即皆以此為準但在本球上為最大故謂之大圏非以丈尺言其大小)古人以八尺渾儀準周天蓋以此也又如古渾儀原有三重其在内之環周必小于外而其度皆能相應者在内環周雖小而在内之渾員以此為大圏即在内之各度並以此為準故也大圏之度為公度凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于本球之大圏又大小不倫則其所分之細度亦皆小于大圈而大小不倫矣惟本球腰圍大圏上所分之度得為公度故凡言度者必大圏也如圖甲乙為大圏一象限丙丁及戊庚各為距等小圏一象限象限雖同而大小迥異又如甲辛為大圈三十度丙壬及戊癸亦各為小圏之三十度其為三十度雖同而大小亦異再細攷之至一度或至一分亦大小異也故惟大圏之度為公度大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等平員有徑有周渾員亦有徑有周立渾員于前則外周可見即腰圍之大圏也旋而視之皆可為外周故大圏之横直皆等(皆以外周度為其度故等)如圖子午規為渾儀外周其度三百六十乃横度也地平為腰圍度亦三百六十乃横度也横度直度皆得為外周故其度相等若依北極論之則赤道又為腰圍而亦即外周也推是言之渾球上大圏從衡斜側皆相等何則旋而視之皆得為腰圍即皆得為外周故也大圏上相遇有相割無相切大圏相割各成兩半分球上從衡斜側既皆成大圏則能相割矣而皆為渾員之外周則必無相切之理(若相切者必在外周之内為距等小圈)如圖甲丙乙為大圏半周能割大圏于甲于乙而不能相切丙丁成小圈則能切大圏于丙于丁如圖甲庚辛乙為大圏半周割外圏于甲于乙則甲己乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于辛而庚辛非半周球上兩大圏相割必有二處此二處必相距一百八十度而各成兩平分如黃赤二道相交於春分必復相交於秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黃道成兩半分赤道亦兩平分也若距等圏與大圏相割必不能成兩平方兩大圏相遇則成角球上大圏既不平行則其相遇必相交相割而成角弧三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有銳鈍共三種而角兩旁皆弧綫與直綫角異如圖己午戊子為子午規辛午乙子為地平規兩大圏正相交于南地平之午北地平之子則皆正角而四角皆等並九十度角也(正角一名直角一名十字角一名正方角)如圖午辛子為地平規丁辛癸為赤道規兩大圏斜相交于辛則丁辛子鈍角大于九十度丁辛午銳角小于九十度兩角相並一百八十度減銳角其外角必鈍若減鈍角亦得鋭角也故有内角即知外角 又兩銳角相對兩鈍角相對其度分必等故有此角即知對角凡此數端並與平三角同然而實有不同者以角兩旁之為弧綫也弧綫之作角必兩直綫剖平員作角形如分餅角旁兩綫皆半徑至周而止弧綫剖渾冪作角形如剖𤓰角旁兩弧綫皆半周必復相交作角而等(如黄赤道交于二分其角相等)角有大小量之以對角之弧其角旁兩弧必皆九十度弧綫角既如𤓰瓣則其相距必兩端狹而中濶其最濶處必離角九十度此處離兩角各均即球上腰圍大圏也故其度即為角度(如黄赤道之二分交角二十三度半即二至時距度此時黄赤道離)(二分各九十度乃腰圍最濶處也)大圈有極大圏能分渾員之面冪為兩則各有最中之處而相對是為兩極兩極距大圏四靣各九十度如圖甲辛乙為赤道大圈己為北極己為南極甲己丁己等弧綫距北極各九十度距南極亦然 若己為天頂甲辛乙為地平大圏亦同如甲正北辛正東乙正南丁東北丙東南所在不同而甲乙等髙弧距天頂各九十度皆等大圏上作十字弧綫引長之必過兩極兩極出弧綫至大圏必皆十字正交如赤道上經圏皆與赤道正交為十字角則其圏必上過北極下過南極也然則從兩極出弧綫過赤道必十字正交矣大圏之極為衆角所輳如赤道上逐度經圏皆過兩極則極心一㸃為衆角之宗(經圏之弧在赤道上成十字者本皆平行漸逺漸狹至兩極則成角形之銳尖)角無論大小皆輳于極而合成一㸃離此一㸃外即成銳鈍之形而皆與赤道度相應所謂量角以對弧度而角兩旁皆九十度以此如圖己為北極即衆角之頂鋭其所當赤道之度如乙丙等則己角為鋭角如丙庚等則己角為鈍角 若己為天頂外圏為地平亦然角度與角旁兩弧之度並用本球之大圏度故量角度者以角為極有弧線角不知其度亦不知角旁弧之度法當先求本球之九十度(其法以角旁二弧各引長之使復作角乃中分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度)(可知)以角為心九十度為界作大圏(與角旁兩弧並本球大圏而其分度等)乃視角所當之弧(即角旁兩九十度弧所界)於大圏上得若干度分即角度也故曰以角為極三大圏相遇則成三角三邊此所謂弧三角形也如黄道赤道既相交於二分又有赤道經圏截兩道而過之則成乙丙甲弧三角形知圖己為北極戊辛為赤道丁庚為黄道二道相交於春分成乙角又己壬為過極經圏自北極己出弧線截黄道於丙得丙乙邊為黄道之一弧亦截赤道於甲成甲乙邊為赤道之一弧而過極經圏為二道所截成丙甲邊為經圏之一弧是為三邊即又成丙角甲角合乙角為三角弧三角不同於平三角之理弧三角形有三角三邊共六件以先有之三件求餘三件與平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度必盈(三邊在一度以下可借平三角立算因其差甚微然其角度視半周必有微盈)但不得滿五百四十度(角之極大者合之以比三半周必不能及)平三角之邊小僅咫尺大則千百萬里弧三角邊必在半周以下(不得滿一百八十度)合三邊不得滿三百六十度(如滿全周)(即成全員而不得成三角)平三角有兩角即知餘角弧三角非算不知平三角有一正角餘二角必銳弧三角則否(有三正角兩正角者)(其餘角有鈍有鋭或兩鋭兩鈍或一鋭一鈍不等)平三角有一鈍角餘二角必銳弧三角則否(其餘角或鋭或正或)(鈍甚有三鈍角者)平三角以不同邊而同角為相似形同邊又同角為相等形弧三角則但有相等之形而無相似之形以同角者必同邊也平三角但可以三邊求角不可以三角求邊弧三角則可以三角求邊(弧三角之邊皆員度也初無丈尺可言故三角可以求邊若干三角邊各有丈尺則)(必有先得之邊以為之例所以不同相前條言有相等之形無相似之形亦謂其所得之度 等非謂其丈尺)(等也)弧三角用八綫之理平三角用八綫惟用於角弧三角用八綫并用於邊平三角以角之八綫與邊相比弧三角是以角之八綫與邊之八綫相比平三角有正角即為句股若正弧三角形實非句股而以其八綫輳成句股平三角以角求邊是用弧綫求直綫也(有角即有弧)以邊求角是用直線求弧線也然角以八綫為用仍是以直綫求直綫也句股法也弧三角以邊求角以角求邊並是以弧綫求弧綫也而角與邊並用八綫仍是以直綫求直綫也亦句股法也(蓋惟直綫可成句股)所不同者平三角所成句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在其内外弧三角之㸃綫面體測量家有㸃綫面體弧三角備有之其所測之角即㸃也但其㸃俱在弧靣(如于渾球任指一星為所測之㸃即角度從兹起如太陽太陰角度)(並從其中心一㸃論之)弧三角之邊即綫也但其綫皆弧綫(如渾球上任指兩星即有距綫或于)(一星出兩弧綫與他星相距即成角而角旁兩綫皆弧綫也)弧三角之形即靣也但其靣皆渾球上面冪之分形弧三角之所麗即渾體也剖渾員至心即成錐體而並以弧三角之形為底(詳塹堵測量)渾員内㸃綫面體與弧三角相應前條㸃綫面體俱在球面可以目視器測但皆弧綫難相比例(比例必用句股句股必直綫故也)賴有相應之㸃綫面惟在渾體内厯員可指雖不可以目視而可以算得弧三角之法所以的確不易也 如渾球中剖則成平員即靣也于是以球面之各㸃(即弧三角之各角)依視法移于平員面即渾員内相應之㸃也又以弧與角之八綫移至平面成句股以相比例是渾員内相應之綫也 又如弧三角之三邊各引長之成大圏各依大圏以剖渾員即各成平員面是亦渾員内相應之面也二平員面相割成𤓰瓣之體三平員面相割成三楞錐體若又依八線横割之即成塹堵諸體是渾員體内相應之分體也此皆與弧面相離在渾員之内非剖渾員即不可見而可以算得即不啻目視而器測矣大圏與渾員同心球上大圏之心即渾員之心(若依各大圏剖渾員成平員面其平員心即渾員之)(心)若距等小圏則但以渾員之軸為心而不能以渾員心為心同心者亦同徑(大圏以渾貟徑為徑若距等圏則但以通弦為徑)渾體内諸綫能與弧三角相應者以此(渾員體内諸綫皆宗其徑弧三角既以大)(圏相割而成必宗大圏之徑徑同故内外相應)弧三角之邊不用小圏亦以此也(距等圏既與大圏異徑則其度不齊不能成邊而所作之角必非真角無從考其度分也)弧三角視法弧三角非圖不明然圖弧綫於平面必用視法變渾為平平置渾儀從北極下視則惟赤道為外周不變而黄道斜立即成撱形 其分至各經圏本穹然半員今以正視皆成員徑是變弧綫為直綫也立置渾儀使北極居上而從二分平視之則惟極至交圏為外周不變其赤道黄道俱變直綫為員徑而成輳心之角(即大距度平面角)是變弧綫角為直綫角也(又距等圏亦變横綫)(而成各度正弦與員徑平行)其赤道上逐度經圏之過黄赤道者雖變撱形而其正弦不變且厯算可見如在平面而與平面上之大距度正弦同角成大小句股比例是弧面各綫皆可移于平面也故視法不但作圖之用即步算之法已在其中以上謂之正視(以黄赤道為式若于六合儀取天頂地平諸綫亦同他可類推)以上謂之旁視(渾員上有垜疊諸綫從旁側視之庶幾可見雖不能按度肖形而大)(意不失以顯弧三角之理為用亦多)角之矢如圖甲丙乙丁半渾員以甲戊乙弧界之則其弧面分兩角為一鋭一鈍以視法移此弧度于相應之平面亦一鋭一鈍即分員徑為大小二矢而戊丙正矢為戊甲丙鋭角之度(戊乙丙亦同)戊丁大矢為戊甲丁鈍角之度(戊乙)(丁亦同)故得矢即得角角之八線如前圖丙戊弧為甲銳角之度與丙庚等則丙戊之在平面者變為直綫即爲甲鋭角之矢而戊巳為角之餘弦戊庚為角之正弦丙辛爲角之切綫己辛為角之割綫皆與平面丙庚弧之八綫等丁巳戊過弧為甲鈍角之度與丁乙庚過弧等則丁戊在平面者變為鈍角之大矢而戊巳餘弦戊庚正弦丙辛切綫己辛割綫並與鋭角同(平面鈍角之八綫與外角同用弧三角亦然)正弧斜弧之角與邊分為各類凡三角内有一正角謂之正弧三角形三角内並無正角謂之斜弧三角形正弧三角形之角有三正角者有二正角一鋭角者有二正角一鈍角者(以上種種不須用算)又有一正角兩鋭角者(内分)(二種一種兩銳角同度一種兩銳角不同度)有一正角兩鈍角者(内分二種一種兩鈍)(角同度一種兩鈍角不同度)有一正角一銳角一鈍角者(内分二種一種銳鈍)(角角合之成半周一種合銳鈍兩角不能成半周)計正弧之角九種而用算者六也正弧三角形之邊有三邊並足者(足謂足九十度)有二邊足一邊小者(在象限以下為小)有二邊足一邊大者(過象限以上為大○以上三種)(可不用算)有三邊並小者(内分二種一種二邊等一種二邊不等)有二邊大而一小者(内分三種一種二大邊等一種二大邊不等一種小邊為一大邊減半周之餘)計正弧之邊八種而用算者五也二邊俱小則餘邊必不能大故無二小一大之形二邊俱大則餘邊亦不能大故無三邊並大之形一邊若足則餘邊亦有一足故無一邊足之形正弧三角形圖一(計三種)正弧三角形圖二(訃三種)以上正弧形三種有同度之邊與角謂之二等邊形内有己形雖無同等之邉角而有共為半周之邉角度雖不同而所用之正弦則同即同度也凡邉等者角亦等後倣此正弧三角形圖三(計三種)以上正弧形三種邊角與丁戊巳三種無異但無同度之邊凡正弧三角形共九種斜弧三角形之角有三角並鋭者(内分三種一種有二角相等一種三角不)(相等一種三角俱等)有二角銳而一鈍者(内分四種一種二銳角相等一種二銳角不相)(等一種鈍角為一銳角減半周之餘一種二銳角相等而又並為鈍角減半周之餘)有二角鈍而一銳者(内分四種一種二鈍角相等一種二鈍角不相等一種銳角為一鈍角減半周之餘一種二鈍)(角相等而又並為銳角減半周之餘)有三角並鈍者(内分三種一種有二角相等一種三角不)(相等一種三角相等)計斜弧之角十有四種斜弧三角形之邊有一邊足二邊小者(内分二種一種二小邊相等一)(種二小邊不等)有一邊足二邊大者(内分二種一種二大邊等一種二大邊不等)有一邊足一邊小一邊大者(内分二種一種大小二邊合之成半周一種合二邊不能)(成半周)有三邊並小者(内分三種一種三邊不等一種二邊等一種三邊俱等)有二邊大而一小者(内分四種一種二大邊等一種二大邊不等一種小邊為一大邊減半周之餘)(一種二大邊等而又並爲小邊減半周之餘)有二邊小而一大者(内分四種一種二小)(邊等一種二小邊不等一種大邊為一小邊減半周之餘一種二小邊等而又並為大邊減半周之餘)有三邊並大者(内分三種一種三邊不等一種二邊等一種三邊俱等)計斜弧之邊二十種斜弧三角形圖一(計四種)以上斜弧形四種並三角三邊同度謂之三等邊形内有二等邊者其一邊為等邊減半周之餘與三等邊同法(以同用正弦故)斜弧三角形圖二(計十二種)以上斜弧三角形十二種並二等邊形内有四種以大小二邊度成半周與二等邊同法(小邊為大邊減半周之餘則同用一正弦)斜弧三角形圖三(計十種鋭厯書只九種遺一 二鈍形)以上斜弧三角形十種並三邊不等(用算只四種)凡斜弧三角形共二十六種通共弧三角形三十五種(内除正弧三種不須用算實三十二種)乙丁寅為赤道乙丙癸為黄道乙與寅為春秋分癸為夏至午癸丁辰為極至交圏午與辰為南北極午丙甲為過極經圈丙乙為黄道距二分之度甲乙為赤道距二分之度(卯同)(升度)丙甲為黄赤距緯成丙乙甲三角弧形甲為正角乙春秋分角與渾員心卯角相應癸丁弧為黄赤大距(即乙角之弧亦為夘角之弧)癸巳為乙角正弦卯巳其餘弦戊丁為乙角切線戊卯其割線卯癸及夘丁皆半徑成癸巳夘及戊丁夘兩句股形又午夘半徑庚午為乙角餘切庚夘為乙角餘割成午夘庚倒句股形丙辛為丙甲距度正弦丙壬為丙乙黄道正弦作辛壬線與丁卯平行成丙辛壬句股形子甲為丙甲距度切線甲丑為甲乙赤道正弦作子丑線與丙壬平行成子甲丑句股形酉乙為丙乙黄道切線未乙為甲乙赤道切線作酉未線與子甲平行成酉未乙句股形前二句股形在癸丁大距弧内外(癸巳邜用正餘弦在弧内戊丁夘用)(割切線出弧外)後三句股形在丙乙甲三角内外(丙辛壬在丙角用兩)(正弦在渾員内子甲丑在甲角兼用正弦切線半在内半在外酉未乙用兩切線在渾員外)論曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安從乙視之則丁乙象限與丁夘半徑視之成一線而辛壬聨線甲丑正弦未乙切線皆在此線之上矣以其線皆平安皆在赤道平面與赤道半徑平行故也(是為句線)赤道平安則黄道之斜倚亦平其癸乙象限與癸夘半徑從乙視之亦成一線而丙壬正弦子丑聨線酉乙切線皆在此線之上矣以其線皆斜倚皆在黄道平面與黄道半徑平行故也(是為弦線)黄赤道相交成乙角而赤道既平安則從乙窺夘卯乙半徑竟成一㸃而乙丑壬夘角合成一角矣諸句股形既同角而其句線皆同赤道之平安其弦線皆同黄道之斜倚則其股線皆與赤道半徑為十字正角而平行矣是故形相似而比例皆等也(其夘午庚倒句股形為相)(當之用與諸句股形亦相似而比例等)又論曰丙辛壬形兩正弦(丙辛丙壬)俱在渾體之内其理易明子甲丑形甲丑正弦在渾體内子甲切線在渾體之外已足詫矣酉未乙形兩切線(酉乙未乙)俱在渾體之外雖習其術者未免自疑厯書置而不言蓋以此耶今為補説詳明欲令學者了然心目庶以用之不疑用法假如有丙乙黄道距春分之度求其距緯丙甲法為半徑癸夘與乙角之正弦癸巳若丙乙黄道之正弦丙壬與丙甲距緯之正弦丙辛也一 半徑全數 癸夘 弦二 乙角正弦 癸巳 股三 黄道正弦 丙壬 弦四 距緯正弦 丙辛 股若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度則反用之為乙角之正弦癸巳與半徑癸夘(若欲用半徑為一率以省除則為半)(徑午夘與乙角之餘割庚夘其比例亦同)若丙甲距緯之正弦丙辛與丙乙黄道之正弦丙壬也一 乙角正弦 癸巳 半徑全數 午夘 股二 半徑全數 癸夘 乙角餘割 庚夘 弦三 距緯正弦 丙辛 股四 黄道正弦 丙壬 弦右丙辛壬形用法假如有甲乙赤道同升度求距緯丙甲法為半徑夘丁與乙角之切線丁戊若甲乙赤道之正弦甲丑與丙甲距緯之切線子甲也一 半徑全數 卯丁 句二 乙角正切 丁戊 股三 赤道正弦 甲丑 句四 距緯正切 子甲 股若先有丙甲距緯而求甲乙赤道則反用之為乙角之切線戊丁與半徑丁夘(或用半徑為一率則為半徑夘午與乙角之餘切午庚)若丙甲距緯之切線子甲與甲乙赤道之正弦甲丑也一 乙角正切 戊丁 半徑全數 卯午 股二 半徑全數 丁夘 乙角餘切 午庚 句三 距緯正切 子甲 股四 赤道正弦 甲丑 句右子甲丑形用法論曰以上四法厯書所有但于圖増一夘午庚句股形則互視之理更明假如有丙乙黄道距二分之度徑求甲乙赤道同升度法為半徑夘癸與乙角之餘弦夘巳若丙乙黄道之切線酉乙與甲乙赤道之切線未乙也一 半徑全數 夘癸 弦二 乙角餘弦 卯巳 句三 黄道正切 酉乙 弦四 赤道正切 未乙 句若先有甲乙赤道而求其所當黄道丙乙法為半徑丁夘與乙角之割線戊夘若甲乙赤道之切線未乙與丙乙黄道之切線酉乙也一 半徑全數 丁夘 句二 乙角正割 戊夘 弦三 赤道正切 未乙 句四 黄道正切 酉乙 弦論曰以上兩條酉未乙形用法予所補也有此二法黄赤道可以自相求而正角弧形之用始備矣外此仍有三弧割線餘弦之用具如别紙十餘年前曽作弧三角所成句股書一册稿存兒輩行笈中覓之不可得也庚辰年乃復作此至辛己夏復得舊稿為之惘然然其理固先後一揆而説有詳略可以互明不妨並存以徵予學之進退因思古人畢生平之力而成一事良自不易世有子雲或不以覆瓿置之乎康熙辛己七夕前兩日勿菴梅文鼎識是日也爲立秋之辰好雨生涼炎歊頓失稍簡殘帙殊散人懐甲乙丙正弧三角形即測量全義第七卷原圖稍為酌定又増一酉未乙形測員之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北極二分二至諸名皆人所習聞故仍借用其號以便識别案圖中句股形凡五皆形相似其一癸巳夘形以癸卯半徑為弦(即黄道半徑)癸巳正弦為股(即黄赤大距弧之正)(弦)巳夘餘弦為句(即黄赤大距弧之餘弦)其二戊丁夘形以戊夘割線為弦(即黄赤大距弧之正割線)戊丁切線為股(即黄赤大距弧)(之正切線)丁夘半徑為句(即赤道半徑)以上二句股形生於黄赤道之大距度乃總法也兩句股形一在渾體之内一出其外同用夘角(即黄道心亦即)(春分角)其三丙辛壬形以丙壬正弦為弦(即黄經乙丙弧之正弦以丙夘黄道半徑為其全數而夘壬其餘弦)丙辛正弦為股(即黄赤距緯丙甲弧之正弦亦以丙夘黄道半徑為其全數而辛夘其餘弦)辛壬横線為句法於赤道平面上作横線聨兩餘弦成夘壬辛平句股形此形以距緯餘弦(夘辛)為弦黄經餘弦(夘壬)為股而辛壬其句也此辛壬線既為兩餘弦平句股形之句亦即能為兩正弦立句股形之句矣厯書以辛壬為丙辛之餘弦誤也然則當命為何線曰此非八線中所有乃立三角體之楞線也其四子甲丑形以子丑斜線為弦(此亦立三角體之楞線也非八線中之線)子甲切線為股(即黄赤距緯弧之正切線以赤道半徑甲夘為其全數而子夘其割線也)甲丑正弦為句(即赤)(經乙甲弧之正弦亦以赤道半徑甲夘為其全數而丑夘其餘弦也)其五酉未乙形以酉乙切線為弦(即黄經丙乙弧之正切線以黄赤半徑夘乙為其全數而酉夘其割線也)酉未立線為股(此亦立三角之楞線非八線中之線)未乙切線為句(即赤經乙)(甲弧之正切線亦以黄赤半徑夘乙為其全數而未夘其割線也)以上三句股形生於設弧之度第三形在渾體之内第四形半在渾體之内而出其外第五形全在渾體之外問既在體外其狀何如曰設渾圓在立方之内而以兩極居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心則黄赤兩經之切線酉乙未乙皆在方體之立面而未乙必為句酉乙必為弦于是作立線聨之即成酉未乙句股形矣此一形厯書遺之予所補也(詳塹)(堵測量)論曰此五句股形皆同角故其比例等然與弧三角真同者乙角也第一(癸巳夘形)第二(戊丁夘形)兩形皆乙角原有之八線即春秋分角也其度則兩至之大距也或先有角以求邊則以此兩形中線例他形中線得線則得邊矣或先有邊以求角則以他形中線例此兩形中線得線則亦得角矣(蓋夘角即乙角也○若欲求丙角則以丙角當乙角如法求之)第三形(丙辛壬形)以黄經之正弦(丙壬)黄赤距度之正弦(丙辛)為弦與股是以黄經與距緯相求或先有乙角有黄經以求距緯(用乙角實用壬角下同)或先有乙角有距緯以求黄經或先有黄經距緯可求乙角亦可求丙角第四形(子甲丑形)以黄赤距緯之切線(子甲)赤經之正弦(甲丑)為股與句是以距緯與赤經相求或先有乙角有赤經以求距緯(用乙角實用丑角下同)或先有乙角有距緯以求赤經或先有赤經距緯可求乙角亦可丙角第五形(酉未乙形)以赤經之正切(未乙)黄經之正切(酉乙)為句與弦是黄赤經度相求或先有乙角有黄經以求赤道同升度或先有乙角有赤道同升以求黄經或先有黄赤二經度可求乙角亦可求丙角又論曰諸句股形所用之夘壬丑乙四角實皆乙角何也側望則弧度皆變正弦而體心夘作直線至乙為夘壬丑乙線即半徑也今以側望之故此半徑直線化為一㸃則乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣癸丁為乙角之度(即黄赤大距二至緯度)癸乙為黄道半徑丁乙為赤道半徑戊丁為乙角切線癸巳為乙角正弦戊乙爲乙角割線已乙為乙角餘弦癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角丙甲為設弧距度其正弦丙辛其切線子甲丙乙為所設黄道度其正弦丙壬(因側望弧度正弦成一線)偕距度正弦丙辛成句股形其乙角即壬角甲乙爲所設赤道同升度其正弦甲丑(因側望弧度正弦成一線)偕距度切線子甲成句股形其乙角即丑角酉乙為所設黄經切線未乙為赤道同升度切線此兩線成一酉未乙句股形在體外真用乙角正弧三角形求餘角法凡弧三角有三邊三角先得三件可知餘件與平三角同理前論正弧形以黄赤道為例而但詳乙角者因春分角有一定之度人所易知故先詳之或疑求乙角之法不可施於丙角兹復為之條析如左(仍以黄道上過極經圏之交角)(為例)假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角則爲乙丙之正弦與乙甲之正弦若半徑與丙角之正弦也假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角則為丙甲之正弦與乙甲之切線若半徑與丙角之切線假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角則為乙丙之切線與丙甲之切線若半徑與丙角之餘弦又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度則為半徑與丙角之正弦若乙丙之正弦與乙甲之正弦或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度則以前率更之為丙角之正弦與半徑若乙甲之正弦與乙丙之正弦又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度則為丙角之切線與半徑若乙甲之切線與丙甲之正弦或先有丙甲距度而求乙甲同升度則以前率更之為半徑與丙角切線若丙甲正弦與乙甲切線又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度則為半徑與丙角餘弦若乙丙切線與丙甲切線或先有丙甲距度而求乙丙黄道則以前率更之為丙角餘弦與半徑若丙甲切線與乙丙切線論曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求餘邊亦如其用乙角也所異者乙角定為春分角則其度不變丙角為過極經圏交黄道之角隨度而移(交角近大距則甚大類十字角)(近春分只六十六度半弱中間交角度度不同他形亦然皆逐度變丙角)有時大於乙角有時小於乙角(乙角不及半象限則丙角大乙角過半象限則丙角有時小)故必求而得之又論曰丙交角既隨度移而甲角常為正角何也凡球上大圏相交成十字者必過其極今過極經圏乃赤道之經線惟二至時則此圏能過黄赤兩極其餘則但過赤道極而不能過黄道極故其交黄道也常為斜角(即丙)(角)交赤道則常為正角(即甲角)又論曰丙角與乙角共此三邊(一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度)其所用比例者亦共此三邊之八線(三邊各有正弦亦各有切線)而所成句股形遂分兩種可互觀也乙角所成諸句股皆以戊丁夘為例内角所成諸句股皆以亥辰夘為例並如後圖如圖丙角第一層句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角兩正弦交于丙在丙角兩正弦交于乙皆弦與股之比例而同弦不同股(乙角丙角並以乙丙黄道正弦為弦而乙角所用之股為)(丙甲正弦丙角所用則乙甲正弦皆正弦也而弦同股别)丙角第二層句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角並以一正弦一切線交于甲為句與股之比例而所用相反(乙角于乙甲用正弦于丙甲用切線丙角則于乙甲用切線于丙甲用正弦皆乙甲丙甲)(兩弧之正弦切線而所用逈别)丙角第三層句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以兩切線聨于乙在丙角以兩切線交于丙皆弦與句之比例而同弦不同句(乙丙兩角並以乙丙切線為弦而乙角以乙甲切線為句)(丙角以丙甲切線為句皆切線也而弦同句别)球面弧三角形弧角同比例解第一題正弧三角形以一角對一邊則各角正弦與對邊之正弦皆為同理之比例如圖乙甲丙弧三角形(甲為正角) 法為半徑與乙角之正弦若乙丙之正弦與丙甲之正弦更之則乙角之正角與對邊丙甲之正弦若半徑與乙丙之正弦也又丙角之正弦與其對邊乙甲之正弦亦若半徑與乙丙之正弦也合之則乙角之正弦與其對邊丙甲之正弦亦若丙角之正弦與其對邊乙甲之正弦論曰乙丙兩角與其對邊之正弦既並以半徑與乙丙為比例則其比例亦自相等而兩角與兩對邊其正弦皆為同比例又論曰甲為正角其度九十而乙丙者甲正角所對之邊也半徑者即九十度之正弦也以半徑比乙丙之正弦即是以甲角之正弦比對邊之正弦故以三角對三邊皆為同比例第二題凡四率比例二宗内有二率三率之數相同則兩理之首末二率為互視之同比例(即斜弧比例之所以然故先論之)假如有甲乙丙丁四率甲(四)與乙(八)若丙(六)與丁(十二)皆加倍之比例也又有戊乙丙辛四率戊(二)與乙(八)若丙(六)與辛(二十四)皆四倍之比例也此兩比例原不同理特以兩理之第二第三同為乙(八)丙(六)故兩理之第一第四能互用為同理之比例(先理之第一甲四與次理之第四辛二十四若次理之第一戊二與先理之四丁十二皆六倍)(之比例也)論曰凡二率三率相乘為實首率為法得四率今兩理所用之實皆乙(八)丙(六)相乘(四十八)之實惟甲(四)為法則得十二若戊(二)為法則得二十四矣法大者得數小法小者得數大而所用之實本同故互用之即為同理之比例也試以先理之四率更為首率其理亦同(丁與辛若戊與甲皆加倍比例)若反之令兩四率並為首率亦同(甲與戊若辛與丁皆折半比例)並如後圖第三題斜弧三角形以各角對各邊其正弦皆為同比例乙丙丁斜弧三角形任從乙角作乙甲垂弧至對邊分元形為兩正角形甲為正角依前正角形論各對邊之正弦與所對角之正弦比例皆等乙甲丁形丁角正弦與乙角正弦若半徑(即甲角正弦)與丁乙正弦是一理也乙甲丙形丙角正弦與乙甲正弦若半徑與乙丙正弦是又一理也兩理之第二同為乙甲第三同為半徑則兩理之首末二率為互視之同比例故丁角之正弦與乙丙之正弦若丙角之正弦與丁乙之正弦也又如法從丁角作丁戊垂弧至對邊分兩形而戊為正角則乙角正弦與丁丙正弦亦若丙角正弦與乙丁正弦 又從丙作垂弧分兩形而壬為正角則乙角與丁丙亦若丁角與乙丙一 丁角正弦 丙角正弦乙丙丁斜弧三角形丁為鈍角 法從乙角作乙甲垂弧於形外亦引丙丁弧㑹於甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚實合形甲為正角乙甲丁形丁角之正弦與乙甲邊若半徑與乙丁邊正弦一理也 乙甲丙形丙角之正弦與乙甲邊若半徑與乙丙正弦又一理也 准前論兩理之第二第三既同則丁角正弦與乙丙正弦若丙角正弦與乙丁正弦也論曰丁角在虚形是本形之外角也何以用為内角曰凡鈍角之正弦與外角之正弦同數故用外角如本形角也若用乙角與丁丙邊則作丙庚弧於形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧於形内取戊正角分兩形則如前法並同用法凡弧三角形(不論正角斜角)但有一角及其對角之一弧則其餘有一角者可以知對角之弧而有一弧者亦可以知對弧之角皆以其正弦用三率比例求之假如乙丁丙三角形先有丁角及相對之乙丙弧則其餘但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此為角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此為弧求角也一 丁角正弦 一 乙丙正弦二 乙丙正弦 二 丁角正弦三 丙角正弦 乙角正弦 三 乙丁正弦 丁丙正弦四 乙丁正弦 丁丙正弦 四 丙角正弦 乙角正弦厯算全書巻七
## 卷八
欽定四庫全書厯算全書巻八宣城梅文鼎撰弧三角舉要巻三斜弧三角形作垂弧説正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形無正角如平三角之有銳鈍形也平三角銳鈍二形並以虚線成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正弦等線立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也斜弧三角用垂弧法垂弧之法有三其一作垂弧于形内則分本形為兩正角形其二作垂弧于形外則補成正角形其三作垂弧于次形總法曰三角俱銳垂弧在形内一鈍二鋭或在形内或在形外(自鈍角作垂弧則在形内自銳角作垂弧則在形外)兩鈍一銳或三角俱鈍則用次形其所作垂弧在次形之内之外(次形無鈍角垂弧在)(其内有鈍角垂弧在其外若破鈍角亦可在内)第一法垂弧在形内成兩正角(内分五支)設甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊求對邊及餘兩角法于乙角(在先有乙丙邊之端乃不知之角)作垂弧(如乙丁)至甲丙邊分甲丙邊為兩即分本形為兩而皆正角(凡垂弧之所到必正角也角不)(正即非垂弧故所分兩角皆正後倣此) 一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙邊為兩角一邊可求丁丙邊(乃丙甲之分)乙丁邊(即垂)(弧)及丁乙丙角(即乙分角) 次乙丁甲形有丁正角甲丁邊(甲丙内減丁丙其餘丁甲)乙丁邊為一角兩邊可求乙甲邊甲角及丁乙甲分角 末以兩乙角并之成乙角或如上圖丁甲角端作垂弧至乙丙邊分乙丙為兩亦同右一角二邊而先有者皆角旁之邊為形内垂弧之第一支(此所得分形丁丙邊必小於元設邊即垂弧在形内而甲為鋭角)設甲乙丙形有丙銳角有角旁相連之丙乙邊及與角相對之乙甲邊求餘兩角一邊法于不知之乙角(在先有二邊之中)作乙丁垂弧分兩正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙邊邊可求乙丁分線及所分丁丙邊及丁乙丙分角 次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁邊有乙甲邊可求甲角及丁乙甲分角丁甲邊 末以兩分角(丁乙丙及丁乙甲)并之成乙角以兩分邊(丁丙及丁甲)并之成甲丙邊右一角二邊而先有對角之邊為形内垂弧之第二支設甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊(在兩角之間)求甲角及餘邊法于乙角作垂弧分兩形並如前(但欲用乙丙邊故破乙角存丙角)一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙邊可求乙丁邊丁丙邊丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁邊丁正角丁乙甲分角(原設乙角内減丁乙丙得丁乙甲)可求乙甲邊甲角及甲丁邊末以甲丁并丁丙得甲丙邊或於丙角作垂弧亦同若角一鈍一鋭即破鈍角作垂線其法並同右二角一邊而邊在兩角之間不與角對為形内垂弧之第三支(此必未知之角為銳角則垂弧在形内)設甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊(與丙角相對與甲角相連)求乙角及餘二邊法于乙角(為未知之角)作垂弧分為兩形而皆正角 一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁邊丙角可求乙丙邊丁丙邊丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成甲丙邊 以兩分角(丁乙甲丁乙丙)并之成乙角右二角一邊而先有對角之邊為形内垂弧之第四支(此先有二角必俱銳則垂弧在内)設乙甲丙形有三邊而内有(乙甲乙丙)二邊相同求三角法從乙角(在相同二邊之間)作垂弧至丙甲邊(乃不同之一邊)分兩正角形(其形必相等而甲丙線必兩平分) 乙丙丁形有丁正角乙丙邊丁丙邊(即甲丙之半)可求丙角乙分角(乃乙角之半)倍之成乙角而甲角即同丙角(不須再求)右三邊求角而内有相同之邊故可平分是為形内垂弧之第五支(此必乙丙乙甲二邊並小在九十度内若九十度外甲丙二角)(必俱鈍當用次形詳第三又法)第二法垂弧在形外補成正角(内分七支)設甲乙丙形有丙銳角有夾角之兩邊(乙丙甲丙)求乙甲邊及餘兩角法自乙角(在先有邊之一端)作垂弧(乙丁)于形外引丙甲邊至丁補成正角形二(一丙乙丁半虛半實形二甲乙丁虚形) 先算丙乙丁形此形有乙丙邊丙角有丁正角可求丙乙丁角(半虛半實)乙丁邊(形外垂弧)丁丙邊(丙甲引長)(邊) 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁邊甲丁邊(丁丙内減内甲得甲丁)可求乙甲邊甲角及甲乙丁虚角末以甲角減半周得原設甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角右一角二邊角在二邊之中而為銳角是為形外垂弧之第一支(此所得丁丙必大于原設邊即垂弧在形外而甲為鈍角)設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之(丙甲乙甲)二邊求乙丙邊及餘二角法於乙角作垂弧(乙丁)引丙甲至丁補成正角 先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角(即原設甲角減半周之餘亦曰外角)有乙甲邊可求甲丁邊乙丁邊丁乙甲虚角 次丁乙丙形有乙丁邊丁丙邊(甲丙加丁甲得之)丁正角可求乙丙邊丙角丙乙丁角 末于丙乙丁内減丁乙甲虛角得原設乙角或從丙作垂弧至戊引乙甲邊至戊補成正角亦同右一角二邊角在二邊之中而為鈍角乃形外垂弧之第二支設乙甲丙形有丙銳角有角旁之乙丙邊有對角之乙甲邊求丙甲邊及餘二角法從乙角作垂弧至丁成正角(亦引丙甲至丁) 先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙邊可求諸數(乙丁邊丁丙邊丙乙丁角) 次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二邊可求諸數(乙甲丁角)(甲乙丁角甲丁邊) 末以所得虚形甲角減半周得原設甲鈍角于丙乙丁内減虛乙角得原設乙角於丁丙内減甲丁得原設丙甲右一角二邊角有所對之邊而為銳角乃形外垂弧之第三支(此必甲為鈍角故垂弧在外)設乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙丙邊求乙甲邊及餘二角法于丙角作垂弧至戊補成正角 先算虚形(甲丙戊)有戊正角甲角(甲鈍角減半周之餘)甲丙邊可求諸數(丙戊邊甲戊邊丙虚角)次虚實合形(乙丙戊)有戊正角丙戊邊乙丙邊可求原設乙角及諸數(乙丙戊角乙戊邊) 末以先得虚形數減之得原設數(丙角内減丙虛角得原設丙角乙戊内減甲戊虚引邊得原設乙甲邊)右一角二邊角有所對之邊而為鈍角乃形外垂弧之第四支(此先得鈍角垂線必在外)設乙甲丙形有丙甲二角(一銳一鈍)有丙甲邊在兩角之中法於丙銳角作垂弧至丁(在甲鈍角外)補成正角 丁丙甲虛形有丁正角甲外角丙甲邊可求諸數(丙丁邊甲丁邊丙虚角)次乙丙丁形(半虛實)有丁正角丙丁邊丙角(以丙虛角補原設丙)(角得丁丙乙角)可求原設乙丙邊乙角及乙甲邊(求得乙丁邊内減虛形之)(甲丁邊得原設甲乙邊)右二角一邊邊在兩角間為形外垂弧之第五支(此亦可于甲鈍角作垂弧則在形内法在第一法之第三支)設乙甲丙形有乙甲二角(乙銳甲鈍)有丙甲邊與乙銳角相對(鈍角相連)法于丙銳角作垂弧至戊(在丙甲邊外)補成正角 甲戊丙虛形有戊正角有丙甲邊甲角(原設形之外角)可求諸數(丙戊甲戊)(二邊丙虛角) 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊邊可求丙角(求得乙丙戊角内減丙虛角得元設丙角)乙丙邊乙甲邊(求到乙戊邊内減甲戊得乙甲)右二角一邊而邊對鋭角為形外垂弧之第六支設乙甲丙形有乙銳角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相對(銳角相連)法于丙銳角作垂弧至戊(在甲鈍角外)補成正角 乙丙戊形有戊正角乙角乙丙邊可求諸數(丙戊乙戊二邊乙丙戊角) 次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊邊可求原設丙甲邊甲乙邊(求到戊甲虚邊以減乙戊得原設乙甲)丙角(求到丙虚角以減乙丙戊角得原設)(丙角)右兩角一邊而邊對鈍角為形外垂弧之第七支第三垂弧又法 用次形(内分九支)設乙甲丙形有乙丙二角有乙丙邊在兩角間而兩角並鈍求餘二邊及甲角法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半周作戊己邊與乙丙等而己與戊並乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内(如己丁)分為兩形(一己丁戊一己丁甲)可求乙甲邊(以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以減半周即得乙甲)丙甲邊(以己)(丁甲分形求到己甲以減半周即得丙甲)甲角(以己丁甲分形求到甲交角)右二角一邊邊在角間而用次形為垂弧又法之第一支論曰舊説弧三角形以大邊為底底旁兩角同類垂弧在形内異類垂弧在形外由今考之殆不盡然蓋形内垂弧分底弧為兩成兩正角形所用者銳角也(底旁原有兩銳)(角分兩正角形則各有兩銳角)形外垂弧補成正角形所用者亦銳角也(底旁原有一銳角補成正角形則虚實兩形各有兩銳角)故惟三銳角形作垂弧于形内一鈍兩銳則垂弧或在形内或在形外若兩鈍一鋭則形内形外俱不可以作垂弧(垂弧雖有内外而其用算時並為一)(正角兩銳角之比例若形有兩鈍角則雖作垂弧只能成一正一鈍一銳之形無比例可求則垂弧為徒設矣)故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得謂之形内然則同類之説止可施于兩銳(若兩鈍雖亦同類而不可于形内作垂弧)異類之説止可施于一鈍兩銳(若兩鈍一銳而底弧之旁一鈍一銳雖亦異類)(然不可于形外作垂弧)非通法矣(兩鈍角不用次形垂弧之法己窮况三鈍角乎)又論曰以垂弧之法徵之則大邊為底之說理亦未盡蓋鈍角所對邊必大既有形外立垂線垂弧之法則鈍角有時在下而所對之邊在上矣不知何術能常令大邊為㡳乎此尤易見設乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩角俱鈍求乙角及餘邊如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形為兩可求乙角(依法求到分形兩己)(角合之為次形己角與乙對角等)甲丙邊(求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙)乙丙邊(求到)(次形己丙以減半周得之)右二角一邊邊與角對而用次形為垂弧又法之第二支此三角俱鈍也或乙為鋭角亦同設乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中法用甲乙戊次形(有乙甲邊有乙戊邊為乙丙減半周之餘有乙外角)作甲丁垂弧分為兩形可求丙甲邊及餘兩角(以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角)(人以甲戊丁形求到甲戊以減半周為丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙對角)右二邊一角角在二邊之中而用次形為垂弧又法之第三支或丙為鈍角則于次形戊角作垂弧法同上條設乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角對法用甲己戊次形(甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲丙減半周之餘戊角為丙之外角)作垂弧(甲丁)于内分為兩形可求丙乙邊及餘兩角(以甲丁戊)(分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲)(交角也又得己角即乙外角也)右二邊一角角與邊對而用次形為垂弧又法之第四支若甲為鈍角亦同論曰先得丙鈍角宜作垂弧於外而乙亦鈍角不可作垂弧故用次形設乙甲丙形有三邊内有(乙甲丙甲)二邊相同而皆為過弧求三角法引相同之二邊各滿半周作弧線聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形為兩(其形相等)可求相同之二角(任以甲丁戊分形求到戊角以減半周得乙角亦即丙角)及甲角(求到甲半角倍之成甲角)右三邊求角内有相同兩大邊為垂弧又法之第五支 若甲為鋭角亦同以上垂弧並作於次形之内設乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間法引乙丙乙甲滿半周㑹於戊成甲戊丙次形自甲作垂弧與丙戊引長弧㑹于丁補成正角可求乙甲邊乙丙邊乙角(先求丙甲丁形諸數次求甲戊丁得甲戊以減半周為甲乙又以丁戊減先得丁丙得丙)(戊以減半周為乙丙又求得戊虚角減半周為戊角即乙對角)右兩鈍角一邊邊在角間而於次形外作垂弧為又法之第六支或自丙角作垂弧亦同設乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對法引設邊成丙戊甲次形(有甲外角有戊鈍角為乙對角有丙甲邊)如上法作丙丁垂弧引次形邊㑹於丁可求乙丙邊(先求甲丁丙形諸數)(次丙丁戊虛形求到丙戊以減半周為乙丙)乙甲邊(先求到丁甲以虛線丁戊減之得戊甲即得乙)(甲)丙角(先求到甲丙丁角内減丙虛角得丙外角即得元設丙角)右二角一邊邊與角對垂弧在次形外為又法之第七支設乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊(丙乙丙甲)法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹於丁可求乙甲邊及甲乙二角(先以甲丁丙形求到諸數再以甲丁戊虛形求甲戊即得乙甲又甲虚角)(減先得甲角成甲外角又戊虛角即乙外角)右二邊一角角在二邊之中垂弧在次形外為又法之第八支設乙甲丙形有甲鈍角有一邊與角對(乙丙)一邊與角連(丙甲)法用丙戊甲次形自丙作垂弧與甲戊引長邊㑹于丁可求乙甲邊及餘兩角(依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虛角減先得丙)(角即丙外角)右二邊一角角有對邊垂弧在次形外為又法之第九支以上垂弧並作於次形之外論曰三角俱鈍則任以一邊為底其兩端之角皆同類矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可與前論相發也弧三角舉要卷四弧三角用次形法次形之用有二正弧三角斜弧三角並有次形法而其用各有二其一易大形為小形則大邊成小邊鈍角成銳角其一易角爲弧易弧為角則三角可以求邊亦二邊可求一邊第一正弧三角形易大為小 用次形如圖戊己甲乙半渾圜以(戊丙甲己丙乙)兩半周線分為弧三角形四(一戊丙乙二己丙戊三己丙甲並大四乙丙甲為最小)今可盡易為小形一戊丙乙形易為乙甲丙形(戊丙減半周餘丙甲又戊乙減半周餘乙甲而乙丙)(為同用之弧則三邊之正弦同也乙丙甲角為戊丙乙外角甲乙丙為戊乙丙外角戊角又同甲角則三角之)(正弦同也故算甲丙乙即得戊丙乙)二己丙戊形易為乙甲丙形(乙甲己及甲己戊並半周内各減己甲則乙甲同己)(戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之餘又甲戊並正角丙為交角而乙角又為己角之外角故算乙丙)(甲得己丙戊)三己丙甲形易為乙丙甲形(乙甲為己甲減半周之餘乙丙為丙己減半周之餘)(而同用甲丙又次形丙角為元形之外角乙角同己角甲同為正角故算乙丙甲得己丙甲)用法凡正弧三角内有大邊及鈍角者皆以次形立算但於得數後以次形之邊與角減半周即得元形之大邊及鈍角(其元形内原有小邊及銳角與次形同者徑用得數命之不必復減半周)斜弧同以上易大形為小形而大邊成小邊鈍角成鋭角為正弧三角次形之第一用(大邊易小鈍角易鋭則用算畫一算理易)(明其算例並詳第二用)第二正弧三角形弧角相易 用次形(内分四支)一乙甲丙形易為丁丙庚次形解曰丁如北極 戊己壬甲如赤道圈 己庚乙如黄道半周 辛丁壬如極至交圈(壬如夏至辛如冬至) 戊丁甲如所設過極經圈 乙如春分己如秋分並以庚壬大距爲其度 丙如所設某星黄道度 丙乙如黄道距春分度其餘丙庚即黄道距夏至為次形之一邊 丙甲如黄赤距度其餘丙丁即丙在黄道距北極度為次形又一邊 庚丁如夏至黄道距北極而為乙角餘度是角易為邊也(壬庚為乙角度其餘庚丁)是為次形之三邊又丙交角如黄道上交角 庚正角如黃道夏至 甲乙如赤道同升度其餘壬甲如赤道距夏至即丁角之弧是邊易為角也則次形又有三角用法假如有丙交角乙春分角而求諸數是三角求邊也(乙丙)(兩角幷甲正角而三)法為丙角之正弦與乙角之餘弦若半徑與丙甲之餘弦得丙甲邊可求餘邊一 丙角正弦 丙角正弦二 乙角餘弦 丙角正弦三 半徑(甲角) (在次形) 半徑(庚角)四 甲丙餘弦 丁丙正弦右以三角求邊也若三邊求角反此用之若先有乙丙邊乙甲邊而求甲丙邊則為乙甲餘弦(即次)(形丁角正弦)與乙丙餘弦(即庚丙正弦)若半徑(甲角即次形庚角)與甲丙餘弦(即丁丙正弦)或先有乙丙邊甲丙邊而求乙甲邊則為甲丙餘弦(即丁)(丙正弦)與乙丙餘弦(即庚丙正弦)若半徑(甲角即庚角)與乙甲餘弦(即丁角正弦)或先有乙甲邊甲丙邊而求乙丙邊則為半徑(甲角即庚角)與甲丙餘弦(即丁丙正弦)若乙甲餘弦(即丁角正弦)與乙丙餘弦(即庚丙正弦)右皆以兩弧求一弧而不用角也以上爲乙甲丙形用次形之法本形三邊皆小一正角偕兩銳角次形亦然所以必用次形者為三角求邊之用也是為正弧三角次形第二用之第一支二己丙甲形(甲正角餘二角丙鈍己銳丙甲邊小餘二邊並大)易為丁丙庚次形法曰截己甲於壬截己丙於庚使己壬己庚皆滿九十度作壬庚丁象限弧又引丙甲邊至丁亦滿象限而成丁丙庚次形此形有丁丙邊為丙甲之餘有庚丙邊為己丙之餘(凡過弧内去象限其餘度正弦即過弧之餘弦故己丙内減己庚而庚丙為其餘弧)有庚丁邊為己角之餘乃角易為邊也(庚與壬皆象限即庚壬為己角之度)(而丁庚為其餘)又有丙銳角爲元形丙鈍角之外角有庚正角與元形甲角等(壬庚既為己角之弧則壬與庚必皆正角)有丁角為己甲邊之餘(己甲過弧以壬甲為餘度説見上文)乃邊易為角也用法假如有甲正角己銳角丙鈍角而求丙甲邊法為丙鈍角之正弦(即次形丙銳角正弦蓋外角内角正弦同用也)與己角之餘弦(即次形丁)(庚邊之正弦)若半徑(即次形庚正角之正弦)與丙甲邊之餘弦(即次形丁丙邊)既得丙甲可求己丙邊 法為半徑與丙角餘弦若甲丙餘切(次形為丁丙正切)與己丙餘切(次形為庚丙正切)得數以減半周為己丙下同(凡以八線取弧角度者若係大邊鈍角皆以得數與半周相減命度後倣此)求己甲邊 法為己角之餘弦(即庚丁正弦)與丙角之正弦若己丙之餘弦(即庚丙正弦)與己甲之餘弦(即丁角正弦其弧壬甲)右三角求邊又如有己甲己丙兩大邊求丙甲邊 法為己甲餘弦(即丁角正弦)與己丙餘弦(即庚丙正弦)若半徑與丙甲餘弦(即丁丙正)(弦)或有己甲丙甲兩邊求己丙大邊 法為半徑與丙甲餘弦(即丁丙正弦)若己甲餘弦(即丁角正弦)與己丙餘弦(即庚丙正弦)(得數減半周為己丙下同)或有丙甲己二邊求己甲大邊 法為丙甲餘弦與半徑若己丙餘弦與己甲餘弦(即上法之反理)右二邊求一邊以上己丙甲形用次形之法本形有兩大邊一鈍角次形則邊小角銳而且以本形之邊易為次形之角本形之角易為次形之邊(後二形並同)是為正弧三角次形第二用之第二支三己丙戊形(戊正角己鈍角丙銳角己丙與戊丙並大邊)易為丁丙庚次形法曰以象限截己丙于庚其餘庚丙截戊丙于丁其餘丁丙為次形之二邊作丁庚弧其度為己角之餘(己鈍角與)(外銳角同以壬庚之度取正弦其餘丁庚為己外角之餘亦即為己鈍角之餘)角易邊也次形又為元形之截形同用丙角又庚正角與戊角等而丁角即己戊邊之餘度(試引己戊至辛成象限則戊辛等壬甲皆丁角之度而又為己戊之)(餘)邊易角也用法假如有丙銳角己鈍角偕戊正角求戊丙邊 法為丙角正弦與己角餘弦(即庚丁正弦)若半徑與戊丙餘弦(即丁丙正)(弦)得數減半周為戊丙(下同)既得戊丙可求己丙 法為半徑與丙角餘弦若戊丙餘切(即丁丙正切)與己丙餘切(即庚丙正切)求己戊邊 法為戊丙餘弦(即丁丙正弦)與半徑若己丙餘弦(即庚丙正弦)與己戊餘弦(即丁角正弦)以上己丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二用之第三支四乙丙戊形(戊正角乙丙並鈍角戊乙戊丙並大邊乙丙小邊)易為丁丙庚次形法曰引乙丙邊至庚滿象限得次形丙庚邊(即乙丙之餘)于丙戊截戊丁象限得次形丁丙邊(為戊丙之餘)而丁即為戊乙弧之極(戊正角至丁九十度故知之)從丁作弧至庚成次形庚丁邊為乙角之餘是角易為邊也(試引庚丁至辛則辛丁亦象限而辛為正角庚)(亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙鈍角之弧度内截丁辛象限而丁庚為乙鈍角之餘度矣)又庚正角與戊等丙為外角丁角為乙戊邊之餘是邊易為角也(乙戊丙截乙辛象限其餘戊辛即丁交角之弧)用法假如三角求邊以丙角正弦為一率乙角餘弦為二率半徑為三率求得戊丙餘弦為四率以得數減半周為戊丙餘並同前以上乙丙戊形三角求邊為正弧三角次形第二用之第四支論曰厯書用次形止有乙甲丙形一例若正角形有鈍角及大邊者未之及也故特詳其法又論曰依第一用法大邊可易為小鈍角可易為銳則第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣(己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易為乙甲丙形而乙甲丙又易為丁丙庚是又次形也)正弧形弧角相易又法 用又次形甲乙丙正弧三角形易為丁丙庚次形再易為丁戊壬形法曰依前法引乙丙邊甲乙邊各滿象限至庚至己作庚己弧引長之至丁亦引甲丙㑹于丁亦各滿象限成丁丙庚次形又引丙庚至辛引丙丁至戊亦滿象限作辛戊弧引之至壬亦引庚丁㑹于壬則辛壬庚壬亦皆象限成丁戊壬又次形此形與甲乙丙形相當論曰乙丙邊易為壬角(乙庚及丙辛皆象限内減同用之丙庚則辛庚即乙丙而辛庚)(即壬角之弧)乙甲邊易為丁角(乙甲之餘度己甲即丁交角之弧)是次形之兩角即元形之兩邊也乙角易為丁壬邊(丁己及庚壬俱象限内減)(同用之庚丁則丁壬即己庚而為元形乙角之弧)丙角易為戊壬邊(丙交之弧弧辛戊其)(餘為次形戊壬)是次形之兩邊即元形之兩角而次形戊丁邊即元形丙甲次形戊角即元形甲角用法若原形有三角則次形有戊直角有戊壬丁壬二邊可求乙甲邊 法為乙角之正弦(即丁壬正弦)與半徑若丙角之餘弦(即戊壬正弦)與乙甲之餘弦(即丁角正弦)求乙丙邊 法為乙角之切線(即丁壬切線)與丙角之餘切(即戊壬正切)若半徑與丙乙之餘弦(即壬角餘弦)既得兩邊可求餘邊以上又次形三角求邊為正弧三角第二用之又法論曰用次形止一弧一角相易今用又次形則兩弧並易為角兩角並易為弧故於前四支並峙而為又一法也第三斜弧三角易大為小 用次形(内分二支)一甲乙丙二等邊形 三角皆鈍如法先引乙丙邊成全圖又引甲丙甲乙兩邊出圜周外㑹于丁又引兩邊各至圜周(如戊如己)成乙丁丙及戊甲己兩小形皆相似而等即各與元形相當而大形易為小形論曰次形(甲戊甲己)二邊為元形邊減半周之餘則同一正弦次形(己戊)二角為元形之外角亦同一正弦(甲乙戊為甲乙丙外)(角而與次形己角等甲丙己為甲丙乙外角亦與次形戊角等)而次形甲角原與元形為交角戊己邊又等乙丙邊(戊乙丙及己戊乙並半周各減乙戊則戊己等乙丙)故算小形與大形同法惟於得數後以減半周即得大邊及鈍角之度(置半周減戊甲得甲丙減己甲亦得甲乙又置半周減己銳角得元形乙鈍角)(減戊鋭角亦得元形丙鈍角其交角甲及相等之戊己邊只得數便是并不用減)論曰凡兩大圈相交皆半周故丁丙與丁乙亦元形減半周之餘又同用乙丙而乙與丙皆外角丁為對角故乙丙丁形與戊甲己次形等邊等角而並與元形甲乙丙相當右二邊等形易大為小為斜弧次形第一用之第一支二甲乙丙三邊不等形 角一鈍二銳如法引乙丙作圜又引餘二邊(甲乙甲丙)至圜周(己戊)得相當次形己甲戊(算戊甲得甲丙算己甲得甲乙算己戊得乙丙)其角亦一鈍二銳(算戊鈍角得丙銳角算己鋭角得乙鈍角而甲交角一算得之)又戊甲乙形 角一鈍二鋭 如法引戊乙作圜又引乙甲至圜周(己)成次形己甲戊與元形相當(算己甲得甲乙算己)(戊得戊乙又同用戊甲邊故相當算甲銳角得甲鈍角算戊鈍角得戊鋭角算己角即乙角)又甲己丙形 三角俱鈍 如上法引丙己作圜又引丙甲至戊成次形己甲戊與元形相當(元形甲丙與戊甲元形己丙與)(己戊並減半周之餘又同用己甲又丙鈍角即戊鈍角甲己兩銳角並元形之外角)右三邊不等形易大爲小為斜弧次形第一用之第二支第四斜弧三角形弧角互易 用次形(内分三支)一乙甲丙形(三角俱鈍)易為丑癸寅形(一鈍二銳)法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未並半周次以甲為心作丁辛癸寅弧乙為心作戊丑癸壬弧丙為心作丑子午寅弧三弧交處别成一丑癸寅形與元形相當而元形之角盡易為邊邊盡易為角論曰甲角之弧丁辛與次形癸寅等則甲角易為癸寅邊(丁癸及辛寅皆象限減同用之辛癸則癸寅同丁辛)乙角之弧己壬與次形丑癸等則乙角易為丑癸邊(癸己及丑壬皆象限減同用之癸壬即丑癸同壬己)丙外角之弧午申(引丑午寅至申取亥申與庚子等成午申)與次形寅丑等則丙外角易為寅丑弧(丑午及寅申皆象限各加同用之午寅即午申等丑寅)是元形有三角即次形有三邊也 又甲乙邊之度易為癸外角(乙己及甲辰皆象限内減同用之甲己則乙甲同己辰為癸外角弧)甲丙邊易為寅角(甲辛及丙子皆象限内減同用之丙辛則甲丙等辛子而同為寅角之弧)乙丙邊易為丑角(乙壬及午丙皆象限内減同用之丙壬則乙丙等午壬而同為丑角之弧)是元形有三邊即次形有三角也又論曰有此法則三角可以求邊(既以三角易為次形之三邊再用三邊求)(角法求得次形三角即反為元形之三邊 三邊求角法詳别卷)又論曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外㑹于申則庚亥與子申並半周内各減子亥即子庚同亥申而子寅既象弧則寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅與以丑午象限(午壬為丑角之弧故丑午亦象限)加午寅必等而申午者丙外角之度丑寅者次形之邊也故丙角能為次形之邊也又論曰凡引弧線出圜外者其弧線不離渾圜面幂因平視故為周線所掩稍轉其渾形即見之矣但所引出之線原為半周之餘見此餘線時即當别用一圈為外周而先見者反有所掩如見亥申即不能見子庚故其度分恒必相當亦自然之理也又論曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形丙酉甲形並可易為甲乙丙則又皆以癸丑寅為又次形矣右三角俱銳形弧角相易為斜弧次形第二用之第一支二未丙酉形(三角俱鈍)易為丑癸寅形(一鈍二銳)法曰引酉未弧作圜又引兩邊至圜周(如乙如甲)乃以未為心作丁辛癸寅辰弧以酉為心作戊丑癸壬己弧以丙為心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外㑹於申三弧相交成丑癸寅形此形與元形相當而角盡易為弧弧盡易為角論曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧(癸丁及寅辛皆象限内減同用)(之癸辛則癸寅即丁辛)酉外角之弧壬己成次形丑癸弧(壬丑及癸己皆)(象限各減癸壬則丑癸即壬己)丙外角之弧申午成次形寅丑弧(準前論庚)(亥及子申並半周則申亥等子庚而申寅為象限與午丑象限各減午寅即寅丑同申午) 是三角盡易為邊也酉未邊成癸外角(酉戊及未丁皆象限各減未戊則丁戊即酉未而為)(癸外角之弧若以丁戊減戊乙己半周其餘丁乙己過弧亦即為癸交角之弧)未丙邊減半周其餘甲丙成寅角(甲辛及子丙皆象限各減辛丙則辛子即甲丙而為寅角之弧)酉丙邊減半周其餘乙丙成丑角(午丙及壬乙皆象限各減丙壬則壬午即乙丙而為)(丑角之弧)是三邊盡易為角也(寅角丑角並原邊減半周則原邊即兩外角弧與酉未成)(癸外角等)故三角減半周得次形三邊算得次形三角減半周得原設三邊右三角俱鈍形弧角相易為斜弧次形第二用之第二支論曰若所設為乙未丙形則未角易為次形癸寅邊(徑用)(丁辛子形内以當癸寅不須言外角)乙外角為丑癸邊(亦以己壬當丑癸與用酉外角同理)丙角為丑寅邊(徑以丙交角之弧甲午當丑寅不言外角) 若所設為甲酉丙形則酉角易為丑癸邊(己壬徑當丑癸不言外角)甲外角為寅癸邊(用丁辛當癸寅即甲外角)丙角為丑寅邊(亦申午當丑寅不言外角)又論曰此皆大邊徑易次形不必復言又次三甲乙丙形(一鈍角兩銳角)易為丑癸寅形如法引甲乙邊作全圜引餘二邊各滿半周又以甲為心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧以丙為心作己午子丑寅夘弧三弧線相交成丑癸寅次形與元形相當而角為弧弧爲角論曰易甲角為次形丑癸邊(於癸丁象限減壬癸成丁壬為甲角之弧於丑壬象)(限亦減壬癸即成癸丑邊其數相等)乙外角為次形癸寅邊(於癸戊象限減癸辛成辛)(戊為乙外角之弧于寅辛象限亦減癸辛即成癸寅邊其數相等)丙角為次形丑寅邊(于丑午象限減丑子成午子為丙角之弧于寅子象限亦減丑子即成丑寅邊其數相等)則角盡為邊又甲乙邊為癸角(于甲丁象限乙戊象限各減乙丁則戊丁等甲乙而癸角角之弧)乙丙邊成寅角(于乙辛及子丙兩象限各減丙辛則辛子等乙丙而為寅角之弧)甲丙邊為丑外角(于甲壬及午丙兩象限各減丙壬則午壬等甲丙而為丑外角之弧)則邊盡為角右一鈍角兩銳角形弧角相易為斜弧次形第二用之第三支論曰若所設為甲丙酉形(三角俱鈍而有兩大邊)則以甲外角為次形丑癸邊酉外角為癸寅邊丙外角為丑寅邊又以三邊為次形三外角(並與第二支未丙酉形三鈍角同理) 若所設為丙未酉形乙未丙形(並一鈍二銳而有兩大邊)皆依上法可徑易為丑癸寅次形觀圖自明甲乙丙形(三邊並大三角並鈍)易為次形法以本形三外角之度為次形三邊(午己為乙外角之度而與癸壬等丑)(辛為甲外角之度而與癸寅等申亥為丙外角之度而與寅壬等)以本形三邊減半周之餘為次形三角(甲乙減半周其餘戊乙或子甲而並與辰丁等即癸角之度甲丙減半周)(其餘戊丙而與丑庚等即寅角之度乙丙減半周其餘子丙而與午亥等即壬角之度)並同前術論曰此即厯學㑹通所謂别算一三角其邊為此角一百八十度之餘者也然惟三鈍角或兩鈍角則然其餘則兼用本角之度不皆外角右三角俱鈍形弧角相易同第二支(惟三邊俱大)子戊丙形(一大邊二小邊一鈍角二銳角)其法亦以次形(癸壬癸寅)二邊為本形(子戊)二角之度寅壬邊為丙外角之度次形(寅壬)二角為本形二小邊之度癸角為大邊減半周之度論曰此所用次形與前同而用外角度者惟丙角其子角戊角只用本度為次形之邊非一百八十度之減餘也 若設戊丙乙形子丙甲形並同(戊丙乙形惟次形癸寅邊為戊外角)(其餘癸壬邊之度為乙角寅壬邊之度為丙角則皆本度子丙甲形惟次形癸壬邊為子外角其餘寅壬邊之)(度為丙角癸寅邊之度為甲角則皆本度)右一鈍角二銳角與第三支同(惟為邊一大一小)第五斜弧正弧以弧角互易(内分二支)一甲乙丙形(甲乙邊適足九十度餘二邊一大一小角一鈍二銳)易為丑癸寅正弧形(癸正角餘銳三邊並小)法曰引乙丙小邊成半周(於乙引至夘補成丙乙夘象限又于丙引至午成丙辛午)(象限即成半周)作夘亥庚丑寅午以丙為心之半周(截丙甲大邊于庚使)(丙庚與丙乙夘等乃作庚夘弧為丙角之度即庚與夘皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙為心)作甲丑癸辛戊以乙為心之半周(引甲乙象限至戊成半周于甲于戊各作)(正角聨之即又成半周而截乙辛成象限與乙戊等即辛戊為乙外角度而此半周以乙為心)作乙壬癸寅弧以甲為心(甲戊半周折半于癸成兩象限從癸作十字正角弧一端至寅一端至乙)(成癸乙象限其所截甲壬亦象限即乙壬為甲角之弧而甲為其心)三弧線相交成一丑癸寅次形與本形弧角相易而有正角論曰次形丑寅邊即本形丙角之度(丑夘及寅庚皆象限各減丑庚則丑)(寅即庚夘而為丙角之弧)癸寅邊即甲角之度(寅壬及癸乙皆象限各減癸壬則癸寅即)(壬乙而為甲角之弧)癸丑邊即乙外角之度(丑辛及癸戊皆象限各減癸辛則丑癸即)(辛戊而為乙外角之弧)是角盡易邊也又寅角為甲丙邊所成(庚丙)(及壬戊皆象限各減丙壬則寅角之弧庚壬與甲丙減半周之丙戊等)丑角為乙丙邊所成(午丙及辛乙皆象限各減辛丙則丑角之弧午辛與乙丙邊等)癸正角為甲乙邊所成(癸正角内外並九十度而甲乙象限為癸外角弧若減半周則乙戊象限為癸交角弧)是邊盡為角而有正角也又辰戊丙形(辰戊邊象限餘並同前)易為正弧形(並同前法觀圖自明)乙丙戊形(乙戊邊足一象限餘並小)易為正角形則丑寅度即丙外角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角為邊也又寅角生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是邊為角辰甲丙形(辰甲象弧餘二邊大三角並鈍)易為正角形則丑寅邊為丙外角丑癸邊為辰外角寅癸邊為甲外角角為邊也又寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲(並準)(前條諸論推變)是邊為角而且有正角也右本形有象限弧即次形有正角而斜弧變正弧為弧角互易之第一支丙乙甲形(丙正角餘兩銳角相等邊三小相等者二)易為己癸壬次形(角一鈍二)(銳銳相等)法以甲為心作寅己丑半周則甲角之度(子寅弧)成次形一邊(己壬)以乙為心作夘己午半周則乙角之度(夘辰弧)成次形又一邊(己癸)此所成二邊相等以丙為心作亥癸壬未半周則丙角之度(癸壬象限)即為次形第三邊 依法平分次形以己壬酉形求壬角得原設甲丙邊(壬角之度癸子與甲)(丙等)乙丙邊(壬癸兩銳角原同度而癸角之度辰壬與乙丙等故一得兼得也)求半己角倍之成己角以減半周得原設乙甲邊(己外角之度午寅或丑夘並與)(乙甲等)論曰本形有正角次形無正角而有象限弧得次形之象限弧得本形之正角矣若設丙戊丁形(丙正角兩鈍角同度二大邊同度一邊小)易為己癸壬次形與上同法惟丁戊用外角若設甲丙戊形(丙正角餘一銳一鈍而銳角鈍角合成半周邊二大一小而小邊與一大邊合)(成一半周)易為己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本角而同度所得次形之邊亦同度(甲外角之度子寅成次形巳壬邊戊本角)(乏度辰夘成次形己癸邊而四者皆同度)其轉求本形也用次形之壬角得甲丙以減半周即得丙戊(或乙丙丁形亦同)右本形有正角而次形無正角爲弧角互易之第二支或三角形無相同之邊角而有正角(其次形必有象限邊)或無正角而有相同之邊角(其次形亦有等邊等角)準此論之次形法補遺(角一銳一鈍邊二大一小)附算例 三角求邊 三邊求角甲乙丙形(甲角一百二十度乙角一百一十度丙角八十五度為一銳二鈍)三角求邊如法易為丑寅癸次形(癸寅邊六十度當甲角丑癸邊七十度當乙角寅丑邊當丙角)(並以角度減半周得之)求甲乙邊(即次形癸外角)法以(甲乙)兩角正弦相乗半徑除之得數(八一三八○)為一率半徑(一○○○○○)為二率(甲乙)兩角相較(十度)之矢與丙角減半周(九十五度)大矢相較得數(一○七一九七)為三率求得四率(一三一七二四)爲次形癸角大矢内減半徑成餘弦(三一七二四)撿表得癸外角(七十一度三十分)為甲乙邊(本宜求癸角以)(減半周得甲乙今用省法亦同)論曰三角求邊而用次形實即三邊求角也故其求甲乙邊實求次形癸角得癸角得甲乙邊矣然則兩角正弦仍用本度者何也凡減半周之餘度與其本度同一正弦也(甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形癸寅邊六十度之正弦乙角一百一十度之正)(弦九三九六九即次形丑癸邊七十度正弦)獨丙角用餘度大矢何也正弦可同用而矢不可以同用也(丙以外角易為次形丑寅邊九十五度其大矢一○)(八七一六而丙角本八十五度是銳角當用正矢故不可以通用)然則兩角較矢又何以仍用本度曰兩餘度之較與本度同故也(甲角乙角之較十度)(所易次形之癸寅邊丑癸邊其較亦十度)所得四率為大矢而甲乙邊小何也曰餘度故也(甲乙邊易為癸外角而四率所得者癸内角也故為甲乙減半周之餘度)用餘度宜減半周命度矣今何以不減曰省算也雖不減猶之減矣(四率係大矢必先得癸外角七十一度半以減半周得癸内角一百○八度半再以癸内)(角減半周仍得七十一度半為甲乙邊今徑以先得癸外角之度為甲乙邊其理無二)求甲丙邊 如上法以邊左右兩角正弦(甲八六六○三丙九九六)(一九)相乘半徑除之得數(八六二七三)為一率半徑(一○○○○○)為二率(甲丙)兩角相較(三十五度)矢(一八○八五)與乙外角(七十度)矢(六五)(七九八)相較得數(四七七一三)為三率求得甲丙邊半周餘度之矢(五五三○四)為四率(撿表得六十三度二十七分)以減半周得甲丙邊(一百一十六度三十三分)論曰此亦用次形三邊求寅角也(以甲角所易癸寅邊丙角所易寅丑邊為)(角旁二邊以乙角所易丑癸邊為對角之邊求得寅角之度辛子與酉丙等即甲丙減半周餘度)求乙丙邊 如法以邊左右兩角正弦(丙九九六一九乙九三九六九)相乘半徑除之得數(九三六一二)爲一率半徑(一○○○○○)為二率(丙乙)兩角較(二十五度)矢(○九三六九)與甲外角(六十度)矢相較(四○)(六三一)爲三率求得餘度矢(四三四○三)為四率(撿表得五十分五度三十二)以減半周得乙丙邊(一百廿四度廿八分)論曰此用次形三邊求丑角也(丙角易寅丑邊乙角易丑癸邊為角旁二邊甲角易癸寅為對)(邊求得丑角度午壬與未丙等即乙丙邊減半周餘度)又論曰此所用次形之三邊三角皆本形減半周之餘度(甲乙同己辰即癸外角度則次形癸角為甲乙邊之半周餘度也寅角之度子)(辛與酉丙等甲丙邊之餘度也丑角之度午壬與未丙等乙丙邊之餘度也是次形三角皆本形三邊減半周)(之餘度矣其次形三邊爲本形三角減半周之餘己詳前註)故所得四率為角之大小矢者皆必減半周然後可以命度若他形則不盡然必須詳審如甲未丙形(甲角六十度丙角九十五未角一百一十)易丑寅癸次形則其角易為邊用本度者二(甲角弧丁辛六十度易次形癸寅邊丙角弧申午九十五度易)(次形寅丑邊)用餘度者一(未角弧壬戊一百一十度其半周餘度己壬七十度易次形丑癸邊)而其邊易為角用本度者二(未丙邊五十五度三十二分與午壬等成次形丑角)(甲未邊餘度未酉七十一度三十分與丁戊等成癸外角則次形癸角一百○八度三十分為甲未邊本度)用餘者者一(甲丙邊一百十六度三十三分其餘度酉丙六十三度二十七分與辛子等成次形)(寅角)若一槩用餘度算次豈不大謬又如乙丙酉形(乙角七○丙角九五酉角一二○)用(癸寅丑)次形(前圖)求丙酉邊如法以邊左右兩角正弦(丙九九六一九酉八六六○三)相乗去末五位得數(八六二七三)為一率半徑(一○○○○○)為二率以(酉外角丙角)相差(三十五度)矢(一八○八五)與乙角矢(六五七九八)相較(四七七一三)爲三率求得正矢(五五三○四)為四率(次形寅角之矢)撿表得六十三度二十七分為丙酉邊論曰此所用四率與前條求甲丙邊之數同而邊之大小迥異一為餘度一為本度也(前條為餘度之矢故甲丙邊大此條為本度之)(矢故丙酉邊小)又所用矢較亦以不同而成其同(前條以兩角相差此則以)(酉外角與丙角相差不同也而相差三十五度則同前條用乙外角之矢此條用乙本角又不同也而矢數六五)(七九八則同)其理皆出次形也求酉乙邊 如法以兩角正弦(乙九三九六九酉八六六○三)相乗去末五位(得八一三八○)為一率半徑為二率(酉外角乙角)相差(十度)之矢與丙角(九十五度)之矢相較(得一○六一九七)為三率求得大矢(次形癸角之矢)為四率(一三一七二四)撿表(得一百○八度三十分)為酉乙邊(此與)(前條求甲乙邊參㸔即見次形用法不同之理如前所論)求乙丙邊 與前條同法(因丙乙兩内角之正弦及差度並與兩外角同而酉角又)(同甲角故也)論曰三角求邊必用次形而次形之用數得數並有用求度餘度之異即此數條可知其槩又論曰在本形為三角求邊者在次形為三邊求角故此數條即三邊求角之例也(餘詳環中黍尺)垂弧捷法(作垂弧而不用其數故稱捷法) 亦為次形雙法(用兩次形故稱雙法)設亥甲丁形有甲亥邊亥丁邊亥角(在二邊之中)求甲丁邊(對角之邊)本法作垂弧分兩形先求甲已邊次求亥已邊分丁巳邊再用甲巳丁巳二邊求甲丁邊今捷法不求甲已邊但求亥已邊分丁已邊即用兩分形之兩次形以徑得甲丁一 亥已餘弦 即次形亥戊正弦二 亥甲餘弦 即次形亥丙正弦三 已丁餘弦 即次形辛丁正弦四 甲丁餘弦 即次形庚丁正弦法引甲亥邊至丙引甲丁邊至庚引甲已垂弧至乙皆滿象限又引分形邊亥已至戊引丁已至辛亦滿象限末作辛庚乙丙戊半周與亥已遇于戊與丁已遇于辛成亥丙戊次形與甲已亥分形相當丁亥辛次形與甲已丁分形相當而此兩次形又自相當(戊角辛角同以己乙為其度則)(兩角等丙與庚又同為正角則其正弦之比例皆等)論曰半徑與戊角之正弦若戊亥之正弦與亥丙之正弦又半徑與辛角(即戊角)之正弦若辛丁之正弦與丁庚之正弦合之則戊亥正弦與亥丙正弦亦若辛丁正弦與丁庚正弦又論曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道半周甲如北極辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距即夏至之緯乃二分同用之角度(即戊角辛角之度)亥丙及丁庚皆赤緯甲亥及甲丁皆距北極之度(即赤緯之度)一 戊亥正弦 黄經 戊亥為未到秋分之度辛二 亥丙正弦 赤緯 丁為已過春分之度似有三 辛丁正弦 黄經 不同而二分之角度既同四 丁庚正弦 赤緯 故其比例等一 亥已餘弦 即亥戊正弦二 亥甲餘弦 即亥丙正弦三 已丁餘弦 即戊丁正弦四 甲丁餘弦 即庚丁正弦論曰此理在前論中蓋以同用戊角故比例同也又論曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距緯(此兩黄經並在夏至後秋分前其理易見)或先有者是丁鈍角甲丁丁亥二邊則先求丁巳線(亦用前圖)一 丁已餘弦 即戊丁正弦二 甲丁餘弦 即丁庚正弦三 亥已餘弦 即亥戊正弦四 亥甲餘弦 即亥丙正弦又論曰假如星在甲求其黄赤經緯則亥丁如兩極之距亥角若為黄經則丁角為赤經而亥甲黄緯丁甲赤緯也若丁角為黄經則亥角為赤經而丁甲黄緯亥甲赤緯也(弧三角之理隨處可施故舉此以發其例)弧三角舉要卷五八線相當法引弧三角有以相當立法者何也以四率皆八線也弧三角四率何以皆八線而不用他線(八線但論度他線則有丈尺)渾體故也(弧三角皆在渾員之面)渾體異平而御渾者必以平是故八線之數生于平員而八線之用專于渾員也曷言乎專為渾員曰平三角之角之邊皆直線也同在一平面而可以相為比例故雖用八線而四率中必兼他線焉(以八)(線例他線則用角可以求邊以他線例八線則用邊可以求角皆兼用兩種線)弧三角之角之邊皆弧度曲線也不同在平面故非八線不能為比例而四率中無他線焉既皆以八線相比例則同宗半徑(有角之八線有邊之八線各角各邊俱非平面而可以相求者同一半徑也)相當互視之法所由以立也錯舉似紛實則有條不紊故爲論列使有倫次云八線相當法詳衍總曰相當分之則有二曰相當曰互視互視又分為二曰本弧曰兩弧但曰相當者皆本弧也又分為二曰三率連比例者以全數為中率也其目有三曰四率斷比例者中有全數也其目有六凡相當之目九互視者亦相當也皆爲斷比例而不用全數若以四率之一與四相乗二與三相乗則皆與全數之自乗等也本弧之互視其目有三兩弧之互視其目有九凡互視之目十二總名之皆曰相當其目共二十一内三率連比例三更之則六四率斷比例十有八更之反之錯而綜之則百四十有四共百有五十相當共九一曰正弦與全數若全數與餘割二曰餘弦與全數若全數與正割三曰正切與全數若全數與餘切以上三法皆本弧皆三率連比例而以全數為中率四曰正弦與餘弦若全數與餘切五曰餘弦與正弦若全數與正切六曰正割與正切若全數與正弦七曰餘割與餘切若全數與餘弦八曰正割與餘割若全數與餘切九曰餘割與正割若全數與正切以上六法亦皆本法而皆四率斷比例四率之内有一率為全數互視共十二一曰正弦與正切若餘切與餘割二曰餘弦與餘切若正切與正割三曰正弦與餘弦若正割與餘割以上三法亦皆本弧皆四率斷比例而不用全數然以四率之一與四二與三相乗則其兩矩内形皆各與全數自乗之方形等四曰此弧之正弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘割五曰此弧之正弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘割六曰此弧之正弦與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘割七曰此弧之餘弦與他弧餘弦若他弧之正割與此弧正割八曰此弧之餘弦與他弧正弦若他弧之餘割與此弧正割九曰此弧之餘弦與他弧餘切若他弧之正切與此弧正割十曰此弧之正切與他弧正切若他弧之餘切與此弧餘切十一曰此弧之正切與他弧正弦若他弧之餘割與此弧餘切十二曰此弧之正切與他弧餘弦若他弧之正割與此弧餘切以上九法皆兩弧相當率也其爲四率斷比例而不用全數則同若以四率之一與四二與三相乗其矩内形亦各與全數自乗之方形等相當法錯綜之理此三率連比例也首率與中率之比例若中率與末率故以首率末率相乗即與中率自乗之積等假如三十度之正弦(○五○○○○)與全數(一○○○○○)之比例若全數(一○○○○○)與三十度之餘割(二○○○○○)其比例皆為加例也更之則餘割(二○○○○○)與全數(一○○○○○)若全數(一○○○)(○○)與正弦(○五○○○○)其比例為折半也又如三十度之餘弦(○八六六○三)與全數(一○○○○○)若全數(一○)(○○○○)與三十度之正割(一一五四七○)更之則正割(一一五四七○)與全數(一○○○○○)若全數(一○○○○○)與餘弦(○八六六○三)也又如三十度之正切(○五七七三五)與全數(一○○○○○)若全數(一○)(○○○○)與三十度之餘切(一七三二○五)更之則餘切(一七三二○五)與全數(一○○○○○)若全數(一○○○○○)與正切(○五七七三五)也用法凡三率連比例有當用首率與中率者改為中率與末率假如有四率其一三十度正弦其二全數改用全數為一率三十度餘割為二率其比例同凡四率之前後兩率矩内形與中兩率矩形等故一與四二與三可互居也右四率斷比例也一率與二率之比例若三率與四率假如三十度之正弦(○五○○○○)與其餘弦(○八六六○三)若全數(一○○○○○)與其餘切(一七三二○五)更之則餘切(一七三二○五)與全數(一○○○○○)若餘弦(○八六六○三)與正弦(○五○○○○)也(第四法)又如三十度之正割(一一五四七○)與其正切(○五七七三○)若全數(一○○○○○)與其正弦(○五○○○○)更之則全數(一○○○○○)與正割(一一五四七○)若正弦(○五○○○○)與正切(○五七七三五)也(第六法)又如三十度之餘割(二○○○○○)與其正割(一一五四七○)若全數(一○○○○○)與其正切(○五七七三五)更之則正切(○五七七三五)與正割(一一五四七○)若全數(一○○○○○)與餘割(二○○○○○)也(第九法餘倣此)用法凡四率斷比例當用前兩率者可以後兩率代之假如有四率其一正弦其二餘弦改用全數為一率餘切為二率其比例同互視此本弧中互相視之率也其第一與第四相乗矩第二與第三相乗矩皆與全數自乗方等故其邊為互相視之邊而相與爲比例皆等假如三十度之正弦(○五○○○○)與其餘割(二○○○○○)相乗(一○)(○○○○○○○○○)其餘弦(○八六六○三)與其正割(一一五四七○)相乗(一○○○)(○○○○○弱)皆與全數自乗之方等故以正弦為一率餘弦為二率正割為三率餘割為四率則正弦(○五○○○○)與餘弦(○八六六○三)若正割(一一五四七○)與餘割(二○○○○○)也(第三法)又如三十度之正切(○五七七三五)與其餘切(一七三二○五)相乗(一○)(○○○○○○○弱)亦與全數之方等故以正弦為一率餘切為二率正切為三率餘割為四率則正弦(○五○○○○)與正切(○五七七三五)若餘切(一七三二○五)與餘割(二○○○○○)也(第一法)或以餘弦為一率餘切爲二率正切為三率正割為四率則餘弦(○八六六○三)與餘切(一七三二○五)若正切(○五七七三五)與正割(一一五四七○)也(第二法)用法此亦四法斷比例故當用前兩率者可以後兩率代之假如有四率當以正弦與正切為一率二率者改用餘切為一率餘割為二率以乗除之其比例亦同餘倣此本弧諸線相當約法其一為弦與股之比例 反之則如股與弦全 正割 餘切 餘割 全 餘弦 正切 正弦正弦 正切 餘弦 全 餘割 餘切 正割 全其二為弦與句之比例 反之則如句與弦全 餘割 正切 正割 全 正弦 餘切 餘弦餘弦 餘切 正弦 全 正割 正切 餘割 全其三為句與股之比例 反之則如股與句全 餘弦 餘割 餘切 全 正割 正弦 正切正切 正弦 正割 全 餘切 餘割 餘弦 全右括本弧七十八法如圖甲丙甲乙甲丁皆半徑全數乙丙為正弧乙丁為餘弧乙戊為正弦庚丙為正切線庚甲為正割線乙己為餘弦辛丁為餘切線辛甲為餘割線此皆一定比例觀圖自明外有餘切餘弦非弦與股之比例則借第二比例更之一 甲乙全數(即甲丁) 辛丁餘切四 辛丁餘切 甲丁全數全數與餘弦若餘割與餘切更之而餘切與餘弦若餘割與全數也餘割與全數既為弦與股則餘切與餘弦亦如弦與股矣正切正弦非弦與句之比例則借第一比例更之一 甲乙全數(即甲丙) 庚丙正切四 庚丙正切 甲丙全數全數與正弦若正割與正切更之而正切與正弦若正割與全數也正割與全數既為弦與句則正切與正弦亦如弦與句矣餘割正割非句與股之比例則仍借第一比例更之一 餘割辛甲 餘割辛甲二 全數甲丁(即甲丙) 正割庚甲三 正割庚甲 全數甲丙四 正切庚丙 正切庚丙餘割與全數若正割與正切更之而餘割與正割若全數與正切也全數與正切既爲句與股則餘割與正割亦如句與股矣(互視自此而分以前為本弧所用共大法三更之則二十有四合相當法則七十有八而總以三率)(連比例三大法為根)(以後為兩弧所用共大法九更之七十有二而仍以本弧之三率連比例為根)九法十二法(以上大法三更之二十有四是以本弧之正切餘切與他弧互視)此皆兩弧中互相視之率也本弧有兩率相乗矩與全數之方等他弧亦有兩率相乗矩與前數之方等則此四率為互相視之邊互相視者此有一率贏于彼之一率若干倍則此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍而其比例皆相等故以此弧之兩率為一與四則以他弧之兩率為二與三假如有角三十度邊四十度此兩弧也角之正弦(○五○○)(○○)與其餘割(二○○○○○)相乗(一○○○○○○○○○)與全數自乗等邊之正弦(○六四二七九)與其餘割(一五五五七二)相乗(一○○○○○○○○弱)亦與全數自乗等則此四率為互相視之邊互相視者言角之正弦(○五○○○○)與邊之正弦(○六四二七九)若邊之餘割(一五五五七二)與角之餘割(二○○○○○)也(第四法)又如有二邊大邊五十度小邊三十度大邊之正弦(○七)(六六○四)餘割(一三○五四一)相乗與全數自乗等小邊之正切(○五)(七七三五)餘切(一七三二○五)相乗亦與全數自乗等則此四者互相視互相視者言大邊之正弦(○七六六○四)與小邊之正切(○五七七三五)若小邊之餘切(一七三二○五)與大邊之餘割(一三○五四一)也(第六法)又如有兩角甲角三十度乙角五十度此亦兩弧也甲角之正切(○五七七三五)餘切(一七三二○五)相乗與全數自乗等乙角之正切(一一九一七五)餘切(○八三九一○)相乗亦與全數自乘等則此 率為互相視之邊互相視者言甲角之正切(○五)(七七三五)與乙角之正切(一一九一七五)若乙角之餘切(○八三九一○)與甲角之餘切(一七三二○五)也(第十法)用法假如别有四率以五十度正弦為第一三十度正切為第二今改用三十度餘切第一五十度餘割第二其比例同如圖壬丙爲本弧乙丙為他弧他弧小於本弧而並在半象限以内本弧(正弦壬癸餘割未甲) (餘弦壬丑正割庚甲) (正切庚丙餘切未丁)他弧(正弦乙戊餘割酉申) (餘弦乙巳正割辛甲) (正切辛丙餘切酉丁)論曰甲丙甲丁皆半徑乃本弧他弧所共也半徑自乗之方冪為甲丙夘丁而本弧中以正弦乗餘割以餘弦乗正割以正切乗餘切所作矩形既各與半徑方冪等則他弧亦然故可以互相視而成相當之率如上圖壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同如上圖壬丙本弧小于乙丙他弧而並在半象限外並同厯算全書卷八
## 小引
小引
環中黍尺者所以明平儀弧角正形乃天外觀天之法而渾天之畫影也天圜而動無晷刻停而六合以内經緯厯然亘萬古而不變此即常静之體也人惟囿於其中不惟常動者不能得其端倪即常静之體所為經緯厯然者亦無能擬諸形容惟置身天外以平觀大圜之立體則周天三百六十經緯之度擘劃分明皆能變渾體為平面而寫諸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之質琢成渾象而陳之几案也又若有鏤空玲瓏之渾儀取影於燭而惟肖也故可以算法證儀亦可以量法代算可以獨喻可以衆曉平儀弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶霑寒疾諸務屏絶展轉牀褥間斗室虚明心閒無寄秋光入户秋夜彌長平時測算之緒來我胸臆積思所通引伸觸類乃知厯書中斜弧三角矢線加減之圖特以推明算理故為斜望之形其弧線與平面相離聊足以彷彿意象啓人疑悟而不可以實度比量固不如平儀之經緯皆為實度弧角悉歸正形可以算即可以量為的確而簡易也病間録枕上之所得輙成小帙然思之所引無方而筆之所追未能什一庶存大致竢同志之講求耳(此第一卷原序也餘詳目録)康熈三十有九年重九前七日勿菴力疾書時年六十有八
## 卷九
欽定四庫全書厯算全書卷九宣城梅文鼎撰環中黍尺卷一之二總論有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三邊求角則未有以處也環中黍尺之法則可以三邊求角(如有黄赤兩緯度可)(求其經)可以徑求對角之邊(如有黄道經緯可徑求赤道之緯)立術超妙而取徑遥深非專書備論難諳厥故矣書成於康熈庚辰非一時之筆故與舉要各自為首尾凡測算必有圖而圖弧角者必以正形厥理斯顯于是以測渾圓則衡縮欹衺環應無窮殆不翅纍黍定尺也本書命名盖取諸此用八綫至弧度而竒然理本平實以八綫量弧度至用矢而簡然義益多通要亦惟平儀正形與之相應一卷之先數後數所為直探其根以發其藏也平儀以視法變渾為平而可算者亦可量即眎度皆實度矣二卷之平儀論所以博其趣而三極通幾其用法也(黍尺名書于兹益著)矢度之用已詳首卷而餘弦之用亦可參觀故又有三卷之初數次數也 初數次數本用乗除亦可以加減代之故有加減法以疏厥義(自三卷以後非非一時所撰今以類相附而仍各為)(之卷)四卷之甲乙數即初數次數之變也而彼以乗除此以加減則繁簡殊矣五卷之法亦加減也而特為省徑故稱㨗焉(用初數不用次數用)(矢度不用餘弦以視甲乙數又省其半)然不可不知其變故又有補遺之術也恒星厯指之法别成規式而以加減法相提而論固異名而同實是以命之又法也(以上環中黍尺之法約之有六用乘除者二其一先數後數其一初數次數也用加減者四初數次數也)(甲乙數也捷法也又法也本書中具此六術然而加減捷法其尤為善之善者歟)外有不係三邊求角之正用並可通之以加減之法者是為加減通法盖術之約者其理必精數之確者為用斯博並附數則于五卷之末以發其例弧三角用平儀正形之理作圖之法有二一為借象一為正形以平寫渾不得已而為側睨遥望之形以曲狀其變然多借象而非正形兹一準平儀法度寘二極于上下而從旁平視之(如置身大)(員之表以觀大員)則渾球上凸面之經緯弧角一一可寫于平面而悉為正形于是測望之法步算之源皆不煩箋疏而解平儀用實度之理斜視之圖無實度可紀(弧角之形聊足相擬其實度非算不知)兹者平儀既歸正形則度皆實度循圖可得即量法與算法通為一術(以横徑查角度以距緯查弧度並詳二卷)平儀用矢線之理八線中有矢他用甚稀乃若三邊求角則矢綫之用為多而又特為簡易信古人以弧矢測渾員其法不易然亦惟平儀正形能著其理(下文詳之)矢線之用有二一矢線為角度之限 鈍角用大矢 鋭角用小矢(小矢)(即正矢也從半徑言之為正矢從全徑言之為小矢)法曰置角度于平儀之周則平員全徑為角綫所分而一為小矢一為大矢(平儀横徑即渾)(員之腰圍故大矢即鈍角度小矢即鋭角度)如圖渾球上甲戊甲丁甲丙三小弧與甲已同度故同用甲已為正矢丁乙戊乙丙乙三過弧與已乙同度故同用已乙為大矢一矢較為弧度之差 大弧用大矢(弧度過象限為大弧故大矢亦大于)(半徑)小弧用小矢(弧度不及象限為小弧故正矢小于半徑)較弧與對弧並同法曰置較弧對弧于員周(角旁兩弧之較為較弧亦曰存弧對角之弧為對弧)(亦曰底弧)則各有矢線而同軸可得其差謂之兩矢較也較弧對弧並小則為兩正矢之較(兩弧俱象限以下故俱用正矢)較弧小對弧大為正矢大矢之較(較弧在象限以下用正矢對弧過象限用)(大矢)較弧對弧並大為兩大矢之較(兩弧俱過象限故俱用大矢)凡較弧必小於對弧則較弧矢亦小於對弧矢故無以較弧大矢較對弧正矢之事法所以恒用加也(若較弧用大矢)(則對弧必更大)如圖丑乙弧之正矢辛乙(庚乙寅乙)(二弧同用)子乙弧之正矢壬乙(癸乙夘乙)(同用)則辛壬為兩矢之較即為(癸乙)(寅乙)兩弧度之較也(或丑乙與子乙或庚乙與)(癸乙或寅乙與卯乙並同) 又如戊乙弧之大矢已乙與丑乙弧之正矢辛乙相較得較已辛或子乙弧之正矢壬乙與丙乙弧之大矢已乙相較得較巳壬皆大矢與正矢較也 又如甲丑弧之大矢辛甲與甲夘弧之大矢壬甲相較得較辛壬則兩大矢較也約法凡求對角之弧並以角之矢為比例(鈍角用大矢鋭角用正矢)求得兩矢較(半徑方一率正弦矩一率角之矢三率兩矢較四率)以加較弧之矢(較弧大用)(大矢較弧小用正矢)得對弧矢加滿半徑以上為大矢其對弧小(遇象限)加不滿半徑為小矢其對弧小(不過象限)此不論角之鋭鈍邊之同異通為一法凡三邊求角並以兩矢較為比例求角之矢(半徑方一率餘割矩)(二率兩矢較三率角之矢四率)得數大于半徑為大矢其角則鈍得數小于半徑為正矢其角則鋭亦不論邊之同異通為一法問用矢用餘弦異乎曰矢餘弦相待而成者也可以矢算者亦可用餘弦立算但加減尚須詳審若矢線則一例用加尤為簡妙先數後數法(此以平儀弧角正形解渾球上斜弧三角用矢度矢較為比例之根也)(先得數者正弦上距等圈矢也與角之矢相比後得數者而矢較也與較弧矢相加)設丙乙丁斜三角形 有乙鋭角 有丙乙弧小于象限丁乙弧大于象限(是為角旁)(之兩弧不同類) 求丁丙為對角之弧 用較弧(角旁兩弧相減)及對弧兩正矢之較為加差法以大小兩邊各引長之滿半周遇于戊作戊甲乙圜徑 又于圜徑折半處(巳)命為渾圜心 又自己心作横半徑(如巳寅辛)則寅辛即乙角之弧亦即為乙角之矢(平視之為矢度實即角度之弧躋縮而成)而寅已即乙角之餘弧亦即為乙角餘弦(因視法能令餘弧躋縮成餘弦) 又自丁作横半徑(巳辛)之平行線(如壬丁甲)此平行線即乙丁大邊之正弦(因平視故乙丁小于乙壬其實)(乙丁弧之度與乙壬同大今壬甲既為戊壬及乙壬之正弦亦即為乙丁之正弦矣)而此正弦(壬甲)又即為距等圈之半徑也(想戊巳乙為半渾圜之中剖國面側立形乃自壬丁甲横)(切之則壬甲為其横切之半徑)則其丁壬分線亦為距等圈上丁壬弧之矢線矣(有距等圈半徑即有其弧)而此大小兩矢線各與其半徑之比例皆等(己辛大圜之半徑大故寅辛矢亦大甲壬距等圈之半徑小故壬丁矢亦小然其度)(皆乙角故比例一也距等雖用戊角而戊角即乙角有兩弧線限之故也)法為已辛與甲壬若寅辛與壬丁一率 半徑已辛二率 (大弧正弦)壬甲(卯距等圈之半徑)三率 (乙角矢)寅辛四率 (先得數)壬丁(即距等圏之正矢)次從丙向已心作丙巳半徑此線為加減之主線(以較弧對)(弧俱用為半徑而生矢度) 又從壬作壬夘為壬丙較弧之正弦(壬乙)(既同丁乙則丁乙弧之大于丙乙其較為壬丙) 又從丁作癸丁午線為丁丙對弧之正弦(因平視故丁丙弧小于癸丙其實丁丙弧與癸丙同大癸午既為癸丙正弦亦即丁)(丙之正弦矣)因兩正弦平行又同抵巳丙半徑為十字正方角故比例生焉此立算之根本 又從丁作丁子線與午夘平行而等(以有對弧較弧兩正弦為之限也)成壬丁子句股形又從丙作丙辰線為乙丙小邊之正弦成已丙辰句股形 此大小兩句股形相似(巳丙辰與卯已奎小形相似則亦與壬丁子形相似)(等角等勢故也)法為丙已與辰丙若壬丁與丁子一率 半徑丙已 弦二率 (小弧正弦)辰丙 股三率 (先得數)壬丁 小弦四率 (兩矢較)丁子 小股省算法用合理(因上兩宗内各冇先得數而一為三率一為四率故對去不用)乃以後得數為矢較加較弧矢(以午夘加夘丙也)成對弧矢(午丙)末以對弧矢(午丙)減半徑(巳丙)成對弧餘弦(午已)檢表得對弧(丁丙)之度又法 以後得數減較弧餘弦(以午夘減夘已)成對弧餘弦(午己)檢表得對弧(丁丙)度亦同(兩正矢之較即兩餘弦較也故加之得矢者減之即)(得餘弦)若先有三邊而求乙鈍角則反用其率(因前四率反之以首率為次率)(三率為四率)以乙角矢(寅辛)減半徑(辛巳)得餘弦(寅巳)檢表得乙角之度右銳角以二邊求對邊及三邊求角並以兩矢較為加差(以差加較弧矢得對弧大三邊求角則為三率)亦為兩餘弦較(依又)(法以差減較弧餘弦為對弧餘弦三邊求角則兩餘弧相減為三率) 角旁弧異類對邊小設亥乙丁斜弧三角形 有乙鈍角 有亥乙小弧丁乙大弧 求亥丁(對角弧) 用較弧正矢與對弧大矢之較為加差戊乙徑為取角度之根亢寅角度及房甲與亥虚兩正弦皆依之以立大矢即鈍角之弧度小矢即鋭角之弧度亥斗徑為加減之根房氐及危心兩正弦依之以立 有兩正弦即有兩餘弦及大小矢而加減之用生焉法以大小兩邊各引長之滿半周遇于戊 又依小邊半周(乙亥戊)補其餘半周(戊辛乙)成全圓 又從戊至乙作圓徑 又作亢辛横徑兩徑相交于已即圓心 則寅辛為乙角之小矢而寅亢為乙角之大矢(寅已亢即乙鈍角之弧度)(平視之成大矢) 若自寅點作直線與戊乙平行取距戊乙之度加象限即角度 又從丁作房丁壬横線與亢辛横徑平行此線即丁乙大邉正弦之倍數(房丁壬與亢辛平行則房乙即)(丁乙也因平視故丁乙小于房乙耳而房甲既為房乙之正弦亦即丁乙正弦也房甲既為正弦房壬則倍正)(弦矣倍正弦即通弦)而此(房壬)倍正弦又即為距等圏之全徑(想全體渾)(圓從壬丁房横切之成距等圈而房壬其全徑)則房丁分線亦即為距等圏上丁甲房弧之大矢(有距等圈全徑即有其全圏而房甲丁其切弧)而此兩大矢線各與其全徑之比例皆等(亢辛全徑大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全徑)(小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊兩弧線之中故各與其全圓之比例等而其大)(矢亦各與其全徑之比例等)即各與其半徑之比例亦等(若以甲為心壬為界)(作半圓于房壬線上則距等之弧度見矣)法為亢辛(全徑)與房壬(距等全徑即倍正弦)若寅亢(鈍角大矢)與房丁(先得數亦距等大矢)而亢已(半徑)與房甲(乙丁正弦亦距)(等半徑)亦若寅亢與房丁一率 亢巳(半徑)二率 房甲(大邉之正弦亦距等半徑)三率 寅亢(鈍角大矢)四率 房丁(先得數亦距等大矢)次從亥過巳心作亥已斗全徑為加減主線(較弧對弧之弦俱過)(此全徑而生大小矢) 又從房作房氐線為房亥較弧之正弦(准前)(論房乙同丁乙則丁乙之大于亥乙其較房亥) 又從丁作心丁婁線與房氐正弦平行而交亥斗徑于危如十字則此線為亥丁對弧之倍正弦(因視法心亥弧大于亥丁其實即亥丁也亥丁為平視躋縮之形心亥為正形而心)(危者心亥弧之正弦也是即亥丁弧之正弦而心丁婁其倍弦矣) 又從丁作丁女線與斗亥徑平行亦引房氐較弧之正弦為通弦而與丁女線遇于女成丁女房句股形 又從亥作亥虚線與亢辛横徑及大邊之正弦房甲俱平行成亥虚已句股形 此大小兩句股形相似(亥巳即徑線與丁女平行亥虚與房甲丁平行則大)(形之丁角與小形之亥角等而女與虚並正角則為等角而相似)法為已亥(半徑)與亥虚(小邊正弦)若房丁(先得數而距等大矢)與丁女(後得數亦即氐危為較弧正矢氐亥及對弧大)(矢危亥之較)一率 半徑已亥 弦二率 (小邊正弦)亥虚 句三率 (先得數)房丁 大弦四率 (後得數)丁女 大句乃以省算法平之乃以後得數加較弧正矢(以氐危加氐亥成危亥)為對弧大矢内减半徑得對弧餘弦檢表得度以減半周為對弧之度又法于後得數内減去較弧餘弦成對弧餘弦(于氐危内)(減氐巳其餘危巳即對弧餘弦)乃以餘弦檢表得度以減半周為對弧之度 大矢與小矢之較即兩餘弦併也内減去一餘弦即得一餘弦矣觀圖自明 前用鋭角是于較弦餘弦内減得數為對弧餘弦此用鈍角是于得數内減較弧餘弦為對弧餘弦若有三邊而求角度者則反用其率一半徑上方 一兩正弦矩 半徑上方二兩正弦矩 二半徑上方 兩餘割相乗矩三鈍角大矢寅亢 三兩餘弦并氐危(即較弧正矢與對弧大矢之較)四兩餘弦并丁女(即氏危)四鈍角大矢寅亢乃于所得大矢内減去半徑成餘弦以餘弦檢表得度用減半周為鈍角之度右鈍角求對邊及三邊求鈍角並用兩矢之較為加差(以差加較弧正矢得對弧大矢又為三邊求角之三率)亦為兩餘弦并(依又法減較弧餘弦得對弧餘弦三邊求角即并兩餘弦為三率) 其鈍角旁兩弧異類對弧大設丁辛乙斜弧三角形有辛丁邊(五十度一十分)丁乙對角邊(六十度)辛乙邊(八十度)三邊並小求辛鋭角法先為戊亢辛全員 作戊辛員徑 又作亢巳横員徑(兩徑十字相交于巳心此線上有角度)次于戊辛徑左右任取自辛數至丁如所設角旁小邊(五十度一十分)之數截丁辛為小邊 又從丁過巳作徑線(此線)(上有加減度)為較弧對角弧兩正弦所依 仍自辛過丁數至房如所設大邊(八十度)之數截房丁為大小兩邊之較弧 又自丁過房數至心如所設對邊(六十度)之數截心丁與乙丁等 仍自丁過辛截婁丁度如心丁乃作婁心直線聨之為心丁對弧之倍正弦 又從房作房甲横線與亢巳横徑平行此為乙辛大邊之正弦(因視法房辛即)(乙辛詳後) 次視婁心倍弦與房甲正弦兩線相遇于乙命為斜弧形之角 乃從乙角向辛作乙辛弧(此弧亦八十度與房)(辛同大)是所設角旁之大邊(理在平儀視法房辛是真度乙辛是視凸為平躋縮之形)(想平儀原係渾體從房乙甲横切之則自房至甲為距等圈之九十度從此線上度度作弧至辛極並八十度)(不惟乙辛與房辛同大即甲辛亦與房心同大也他倣此) 又從乙向丁作乙丁弧(此弧亦六十度與心丁同大)是所設對角之邊(切渾角以心婁距等圈而以丁為極則危)(丁亦六十度與心丁同大矣乙丁同大不言可知) 遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形與所設等 又從乙引乙辛弧線至戊成心乙戊半周側立形此線截亢巳半徑于寅則亢寅為辛角矢度而寅己其餘弦 次從丁作丁虚横線與房甲正弦平行是為辛丁小邊之正弦 又從房作房夘線與心危婁平行則此線為房丁較弧之正弦其心危則乙丁對弧之正弦 又從乙作乙女線與夘危平行而等(線在兩正弦平行線之中而赤平行不得不等)是為較弧與對弧兩正矢之較(房夘為較弧正弦則夘已為餘弦而夘丁其矢又心危為對弧正弦則危巳為餘弦而危丁其矢此兩正)(矢之較為危卯而乙女與之等則乙女亦兩矢之較矣)法曰巳丁虚句股形與房乙女句股形相似(房乙與丁虚平行乙)(女與巳丁平行則所作之大形丁角小形乙角必等而大形之虚小形之女並正角則兩形相似)故丁虚(小邊正弦)與丁巳(半徑)若乙女(即夘危較弧餘弦與對弧餘弦之較)與乙房(先得)(數)又房甲正弦之分為乙房猶亢巳之分為寅亢其全與分之比例皆相似(從房甲線切渾員成距等圏而房甲為其半徑猶渾員之有亢巳為半徑)(也兩半徑同為戊寅辛弧線所分則乙房為距等圏半徑之矢度猶寅亢為大員半徑之矢度也其比例俱相)(似)故房甲(大邉正弦即距等圏半徑)與亢巳(大員之半徑)若乙房(先得數即距等)(圏之矢)與寅亢(後得數即角之矢線)以省算法平之即異乘同乘異除同除較弧(二十九度五十分)餘弦(八六七四八)正矢(一三二五二)其較三六七四八對弧(六十度) (五○○○○) (五○○○○)一半徑方一○○○○○○○○○○(首率除宜去十尾乃先于二率)二餘割矩一三二二三二三四○八九(去五位故得數只去五位即如)三兩矢較 三六七四八(共去十位也)四銳角矢 四八五九二(用減半徑得辛角餘弦五一四○八)檢表得五十九度四分為辛角之度(此與厯書所算五十八度五十三分)(只差十一分)又法徑求餘弦 法曰房甲之分為乙房而其餘乙甲猶亢已之分為亢寅而其餘寅已也故其全與分餘之比例亦相似法為房甲(正弦)與亢己(半徑)若乙甲(正弦)(分線之餘)與寅已(半徑截矢之餘即角之餘弦)准前論小邊之正弦虚丁(句)與半徑丁巳(弦)若較弧對弧兩矢之較乙女(小句)與大邊正弦之分線乙房(小弦)也先求乙房為先得數以轉減大邊正弦房甲得分餘線乙甲一 小邊(五十度一○)正弦 丁虚 七六七九一二 半徑 丁巳一○○○○○三 (較弧二十九度五○對弧六 十度○○)兩正矢較乙女 三六七四八四 先得數(大邉正弦之分線) 乙房 四七八五四以先得數減大邉八十度正弦房甲 九八四八一得大邊正弦内乙房分線之餘乙甲 五○六二七未以分餘綫為三率一 大邊正弦 房甲 九八四四一二 半徑 亢已一○○○○○三 分餘綫 乙甲 五○六二七四 角之餘弦 寅已 五一四○七(檢表得五十九度○四分與先算合)附厯書斜弧三角圖(稍為校正)丙乙丁弧三角形乙丙角旁小弧 壬乙同丁乙角旁大弧 壬丙為較弧癸丙同丁丙為對角之弧甲壬為大弧正弦 辰丙為小弧正弦 壬夘為較弧正弦 癸午為對弧正弦 寅辛為乙角之弧 庚辛為乙角之矢 夘丙為較弧之矢 午丙為對弧之矢午夘為兩矢較 酉壬為先得數 酉子同午夘亦兩矢之較法為全數(己辛)與大弧正弦(甲壬)若角之矢(庚辛)與先得數(酉壬)又全數(巳丙)與小弧正弦(辰丙)若先得數(酉壬)與兩矢較(酉子)也一率全之方 二率兩正弦矩 三率角之矢 四率得兩矢較以兩矢較加較弧之矢為對弧之矢論曰此因欲顯酉壬為甲壬距等半圈之矢度故特為斜望之形其實丁點原在酉寅點原在庚丁壬弧即酉壬線寅辛弧即庚辛線乙寅丁戊弧原即為乙庚酉戊弧也故以平儀圖之則皆歸正位矣所以者何平儀上惟經度有弧線之形其距等圈緯度皆成直線而寅庚為角度之正弦直立下垂從其頂視之成一點矣丁酉者大弧正弦甲壬上所作距等圈之正弦也從頂視之而成一點與寅庚一也其寅已半徑勢成斜倚從上眎之與已庚餘弦同為一線甲丁與甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故謂惟平儀為正形也若乙角為鈍角成亥乙丁三角形則當用房亥較弧之正矢(牛亥)與同丁亥對弧之心亥弧大矢危亥相減成兩矢之較(牛危即女酉)以較加較弧正矢為對弧大矢(法詳前例但前)(例鈍角旁小弧不同乙丙故此圖以相同者論之更見其理之不易)乙為鈍角用大矢之圖(此用平儀正形故丁與酉同為一點)設角之一邊適足九十度一邊大 用銳角(餘角一鈍一鋭)法為半徑與大邊之正弦若角之矢與兩矢較也亦若角之餘弦與對弧之餘弦乙丁丙斜三角形 丙丁邊適足九十度乙丁邊大于九十度丁鋭角求對邊丙乙 法先作平員分十字從丁數丁壬及丁丑並如乙丁度作距等線聫之(壬丑)又于壬丑線上取乙點(法以壬巳為度巳為心作半員)(分匀度而自壬取角度得乙㸃)作庚乙癸直線為對弧之正弦 又取壬丙為較弧作壬夘正弦較弧之矢夘丙對弧之矢癸丙其較夘癸與壬乙等壬已正弦又即距等圈半徑而為丁乙戊弧所分則壬乙如矢乙已如餘弦與角之丙子矢子甲餘弦同比例一 半徑丙甲 一 半徑丙甲二 (大邉正弦)壬已 二 (大邉正弦)壬已三 (角之矢)子丙 三 (角之餘弦)子甲四 (两矢較)壬乙(即夘癸) 四 (對弧餘弦)乙已(即癸甲)若丁為鈍角 用大矢法為半徑與大邊之正弦若角之大矢與兩矢較也亦若鈍角之餘弦與對弧之餘弦借前圖作乙辛為對角之弧成乙丁辛三角形(三角俱鈍)作丑午為較弧丑辛正弦(以丑丁同乙丁故)其庚癸為對弧乙辛之正弦(以庚辛即乙辛故)較弧之正矢午辛對弧之大矢癸辛其較癸午與丑乙等 依前論壬乙為距等圈小矢則乙丑為大矢壬丑為距等圏全徑與其大矢乙丑之比例若丙辛全徑與鈍角之大矢子辛則已丑為距等半徑與其大矢丑乙亦若甲辛半徑與鈍角之大矢子辛也而丑已原為乙丁大邊之正弦(丑乙原與癸午等)故法為半徑(甲辛)與鈍角之大矢(子辛)若大邊之正弦(已丑)與兩矢較(丑乙)(或癸午)也一 半徑甲辛 一 半徑甲辛二 (大邉正弦)丑巳 二 (大邉正弦)丑已三 (鈍角大矢)子辛 三 (鈍角餘弦)子甲四 (兩矢較)癸午 四 (對邉餘弦)乙已(用餘弦入表得度以減半周得對邉之度)一系 距等圏上弧度所分之矢與餘弦與大矢與其半徑或全徑並與大圏上諸數比例俱等又按前法亦可以算一邉小于象限之三角於前圖取乙戊丙斜弧三角形用戊鋭角(餘角一鈍一鋭)有丙戊大邊足九十度有乙戊邊小于九十度 求對戊角之乙丙邊法從乙㸃作壬已線為小邉乙戊之正弦(以壬戊即乙戊故)又從乙㸃作庚癸為對弧乙丙之正弦(以庚丙即乙丙故) 于是較弧之矢為夘丙 對弧之矢為癸丙而得兩矢之較為癸夘 則又引戊乙小邉之弧過半徑于子而合大圏于丁分子丙為戊角之矢子甲為角之餘弦法曰丙甲(半徑)與壬已(小邉弦)若子丙(戊角之矢)與乙壬(兩矢較)也得乙壬即得癸夘捷法不用較弧但作壬已為小弧乙戊之正弦作庚癸為乙丙對弧之正弦其餘弦癸中 又引小邉戊乙分半徑於子得子甲為戊角之餘弦法曰丙甲(半徑)與壬已(小邉正弦)若子甲(戊角餘弦)與乙巳(對邉餘弦)得乙己得癸甲矣又于前圖取辛戊乙三角形用戊鈍角(餘角並鋭)有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度 求對戊鈍角之辛乙邉用㨗法 于乙㸃作壬丑為乙戊小邉之通弦 作庚癸為乙辛對弧之正弦 其餘弦甲癸 又引戊乙小邉割丙辛全徑於子分子辛為鈍角大矢子甲為鈍角餘弦法為甲辛與丑已若子甲與乙巳得乙巳即得癸甲一 半徑甲辛(即丙辛全徑之半)二 (小邉王弦)丑已(即壬丑通弦之半)三 (鈍角餘弦)子甲四 (對邉餘弦)癸甲(即乙巳)若先有三邉而求角則反用其率一 半徑二 小邉餘割三 對邉餘弦四 角之餘弦一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其餘一邉不拘小大通為一法皆以半徑與正弦若角之矢與兩矢較也亦若角之餘弦與對邉之餘弦若置大小邉于員周其算亦同乙丁丙斜弧三角形 乙丁邉適足九十度 丁丙邉小于九十度 有丁銳角 求對邉丙乙 法于平員邉取丙丁度作丙已為小邉之正弦 又自丙作丙甲過心線又作壬夘線為丙壬較弧之正弦 又作庚乙癸線為對弧乙丙之正弦(庚丙即乙)(丙故) 乙壬為丁角之矢 乙甲為丁角之餘弦 癸丙為對弧之矢 癸甲為餘弦 夘丙為較弧之矢 夘甲為餘弦 對弧較弧兩矢之較夘癸(亦即乙辰)法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙(半徑)與丙已(小邉正弦)若壬乙(角之矢)與乙辰(兩矢較)亦若乙甲(角之)(餘弦)與甲癸(對弧餘弦)三邉未角法一 半徑壬甲(即甲丙) 二 (小邉餘割)甲甲三 (對弧餘弦)癸甲 四 (角之餘弦)乙壬又于前圖取乙戊丙三角形 用戊鋭角(餘角一鈍一鋭) 有乙戊邉九十度 有戊丙大邉 求對戊角之丙乙邉用㨗法 自丙作丙已為丙戊大邉之正弦 即從丙作丙甲半徑 乃于乙點作庚癸為丙乙對弧之正弦其餘弦癸甲而戊乙弧原分乙甲為戊角之餘弦法曰甲丙巳句股與乙甲癸相似故甲丙(半徑)與丙巳若乙甲(角之餘弦)與甲癸(對邊餘弦)若丁為鈍角(餘角並鋭) 用大矢借前圖作丑乙為對角之弧成丑丁乙三角(丁為鈍角) 作丑甲寅徑 又作辛丑較之正弦辛午 (以辛丁同丁乙故) 作丑乙對弧之正弦子酉引過乙至亥成通弦 又作辛未線與酉午平行而等 較弧之正矢午丑對弧之大矢酉丑相較得酉午(亦即未辛) 乙辛與丁鈍角大矢 乙甲為鈍角餘弦法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑(半徑)與丑已(小邉正弦)若乙辛(角大矢)與未辛(兩矢較)亦若乙甲(角之)(餘弦)與甲酉(對弧餘弦)又于前圖取乙戊丑形 用戊鈍角(三角俱鈍) 有乙戊邉九十度有丑戊大邉 求對鈍角之丑乙邉用㨗法 自丑作丑已為丑戊大邉之正弦 又自丑作丑甲寅全徑 又自乙作亥酉為對邉丑乙之正弦(以亥丑即乙丑故) 其餘弦酉甲而乙甲原為戊鈍角之餘弦法曰甲丑己句股形與乙甲酉相似故甲丑(半徑)與丑已(大邉正弦)若乙甲(鈍角餘弦)與甲酉(對邉餘弦)又設丙乙丁三角形 乙為鈍角(餘一鈍一鋭) 乙丙邉小丁乙邉大 對邉丁丙大于象限 較弧壬丙亦大于象限惟對邉較弧俱大于象限故所得為兩大矢之較其正弦比例仍用小矢以角為鋭角也壬丙較弧之大矢夘丙加後得數午夘為對弧丁丙之大矢(丁丙即癸丙故) 大矢午丙内減半徑已丙得午已為餘弦以檢表得庚癸之度以減半周得癸丙之度即對弧丁丙之度又法以得數午夘加較弧之餘弦夘巳得午已為對弧餘弦(以兩大矢較即兩餘弦較也餘同上)若于前圖取丁乙庚三角形則角旁兩邉俱大于象限而對邉小於象限較弧亦小于象限乙為鈍角(三角俱鈍)有庚乙與丁乙兩大邉而較弧丑庚小故所得為兩小矢之較其正弦比例則用大矢以乙為鈍角故也 丑庚為較弧其正弦丑亥餘弦亥已 對弧庚丁即庚酉其正弦酉午餘弦午已(兩矢較亥午即餘弦較)又設丙乙丁三角形乙為鋭角(餘一鈍一鋭)乙丙邉小 丁乙邉大 對弧丁丙大于象限 較弧壬丙小于象限 所得為對弧大矢與較弧小矢之較其正弦比例仍用小矢以乙鋭角故兩餘弦并即大矢與小矢之較也法以得數午夘加較弧之正矢夘丙成午丙為對弧之大矢午丙内減去半徑已丙得午巳餘弦乃以餘弦檢表得度以減半周得對弧丁丙之度若于得數内減較弧餘弧夘己亦即得午己餘弦餘如上又于前圖取丁乙庚三角形 乙為鈍角(三角俱饒) 角旁兩邉俱大于象限惟對邉小故用兩正矢較其正弦比例仍用大矢以鈍角故 乙丁弧之通弦丑壬為乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全徑于寅成寅戌為鈍角大矢而比例等 又丑庚為較弧其正弦丑亥其矢亥庚 對弧庚丁之通弦酉癸其矢午庚兩矢之較為亥午以兩矢較亥午加丑庚較弧之矢庚亥成午庚為對弧丁庚之矢(以矢減半徑庚已得對弧之餘弦午巳檢表得丁庚度)論曰先得數何以能為句股比例也曰先得數即距等圏徑之分線也其勢既與全徑平行又其線為弧線所分其分之一端必與對弧相㑹(葢對弧亦從此分也)其又一端必與較弧相㑹是此分線恒在較弧對弧兩正弦平行線之中斜交兩線作角而為弦則兩正弦距線必為此線之句矣而兩矢之較即從兩正弦之距而生故不論大矢小矢其義一也然則正弦上所作句股何以能與先得數之句股相似邪曰兩全徑相交于員心則成角各正弦又皆為各全徑之十字横線則其相交亦必成角而横線所作之角必與其徑線輳心之角等角等則比例等矣大邉小邉之正弦皆全徑之十字横線也較弧對弧之正弦皆又一全徑之十字横線也此兩十字之各線相交而成種種句股其角皆等仍于前圖取丁戊庚三角形 戊鈍角(餘並鋭) 三邊俱小于象限 戊丁弧之通弦丑壬正弦甲壬 又引戊丁弧過全徑于寅㑹于乙則寅戌為戊鈍角之大矢亦割丑壬通弦于丁則丑丁與通弦若寅戌大矢與全徑也 又戊庚弧之正弦庚申為句則已庚半徑為其弦其比例若丑未為句而丑丁為弦也 又丑庚為較弧其正弦丑亥其餘弦亥已其矢亥庚 對弧庚丁之通弦酉癸正弦癸午餘弦午已其矢午庚兩矢之較為亥午(對弧小故用兩小矢之較戊鈍角故以角之大矢為比例並同上條)兩法並用鈍角其度同所求之庚丁弧又同故其法並同即此可明三角之理仍于前圖取丁丙戊三角形 有丁丙及戊丙二大邊有丙鋭角(餘一鈍一鋭)求丁戊對邊 法引丁丙及戊丙二弧㑹于庚作庚丙徑作已亢及已戊兩半徑作癸午為丁丙邊正弦而丁丙弧割癸午正弦于丁亦割亢已半徑丁心則亢已之分為心亢猶癸午之分癸丁也又作戊井為戊丙弧之正弦成戊已井勾股形又從丁作壬甲為對弧戊丁之正弦其矢甲戊又取癸戊為較弧(以癸丙同丁丙故)作癸氐為較弧正弦其矢氐戊兩矢之較為氐甲又從丁作斗丁與氐甲平行而等成丁斗癸小句股形與戊已井形相似則已戊弦與井戊句若癸丁弦與斗丁句也(此因對弧小故所得為小矢之較而用丙鋭角)(故只用角之正矢為比例丁又此因用丙角求戊丁邉矣故另為比例若用戊角求 丙弧則與第一條之法同)以甲氐加較弧之矢氐戊成甲戊為對弧之矢如法取其度得丁戊右例以一圖而成四種三角形皆可以入算而諸綫錯綜有條不紊可見理之真者如取影于燈宛折惟肖也(又丁丙戊三角形亦可以戊角立算餘三角並然角丁乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚)計開一圖中三角形凡四一丁乙丙形 一丁戊丙形 一丁乙庚形 一丁戊庚形全徑凡二一戊乙徑 一庚丙徑算例凡八右前四例皆以乙戊徑為主線丙庚徑為加減綫後四例皆以丙庚徑為主線乙戊徑為加減綫一係 凡三角形以一邉就全員則此一邉之兩端皆可作線過心為全員之徑而一為主線一為加減線皆視其所用之角凡所用角在徑線之端則此徑為主線餘一徑為加減線几用銳角則主線在形外用鈍角則主線在形内凡角旁兩弧線引長之各成半周必復相㑹而作角其角必與原角等凡主線皆連于所用角之銳端或在形内或在形外並同其引長之對角亦必連于主線之又一端也若主線在形内破鈍角端者其引長之鈍角亦然一係 凡兩徑線必與兩弧相應如角旁弧引長成半周其首尾皆至主線之端是主線即為此弧之徑也如對角弧引長成半周首尾皆至加減線之端是加減線即為對弧之徑也主線既為引長角旁一弧之徑又原為全員之徑而角旁又一弧之引長線即全員也故角旁兩弧皆以主線為之徑 加減線既為對弧之徑而較弧在員周其端亦與加減線相連又加減線原為全員徑故較弧對弧皆以加減線為徑一係 凡全徑必有其十字過心之横徑而正弦皆與之平行皆以十字交于全徑引之即成通弦主線既為角旁兩弧之徑故角旁兩弧之正弦通弦皆以十字交于主線之上而其餘弦其矢皆在主線加減線既為對弧較弧之徑故對弧較弧之正弦皆以十字交于加減線而其餘弦其矢皆在加減線一係 凡角旁之弧引長之必過横徑分為角之矢角之餘弦若鈍角則分大矢角旁引長之弧過横徑者亦過正弦通弦故其全與分之比例皆與角之大小矢及餘弦之比例等平儀論 論以量代算之理以横線截弧度以直線取角度並與外周相應如艮已弧距極三十度為申未横線所截故其度與外周未已相應坎乙應戌乙亦同又乾乙弧距極六十度為丑夘横線所截故其度與外周丑乙相應巽已應午已亦同又如戊已辛角有未戊辰直線為之限知其為六十度角以與外周未午辛之度相應也癸乙子三十度角應子丑度亦然又庚已子鈍角有午夘庚直線為之限知其為百五十度角以與外周午未已申寅子弧度相應也壬乙辛百二十度角應戌乙辰夘辛弧亦然論曰平儀有實度有視度有直線有弧線直線在平面皆實度也弧線在平面則惟外周為實度其餘皆視度也實度有正形故可以量視度無正形故不可以量然而亦可量者以有外周之實度與之相應也何以言之曰平儀者渾體之晝影也置渾球于案自其頂視之則惟外周三百六十度無改觀也其近内之弧度漸以側立而其線漸縮而短離邉愈逺其側立之勢益髙其躋縮愈甚至于正中且變為直線而與員徑齊觀矣此躋縮之狀隨度之髙下而遷其數無紀故曰不可以量也然而以法量之則有不得而遁者以有距等圈之緯度為之限也試横置渾球于案任依一緯度直切之則成側立之距等圈矣此距等圈與中腰之大圈平行其相距之緯度等故曰距等也其距既等則其圈踓小于大圈而其為三百六十度者不殊也從此距等圈上逐度作經度之弧其距極亦皆等特以側立之故各度之視度躋縮不同而皆小于邉之真度其實與邉度並同無小大也特外周則眠體而内線立體耳故曰不可量而可量者以有外周之度與之相應也此量弧度之法也弧度者緯度也(量法詳後)然則其量角度也奈何曰角度者乃經度也經度之數皆在腰圍之夫圈此大圈者在平儀則變為直線不可以量然而亦可以量者亦以外周之度與之相應也試于平儀内任作一弧角如乙已丙平員内作已丙戊角欲知其度則引此弧線過横徑于戊而㑹于乙則已戊弧即丙銳角之度戊壬弧即而鈍角之度也然已戊壬兩弧皆以視法變為平線又何以量其度法于戊㸃作庚辛直線與乙丙直徑平行則已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙銳角之度矣其餘庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙鈍角之度矣故曰不可量而實可量者以有外周之度與之相應也然此法惟角旁弧度適足九十度如戊丙則其數明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其餘二邉必與此一邉之兩端相遇于外周而成角此相遇之兩㸃即餘兩弧起處法即從此起數借外周以求其度而各循其度作距等横線乃視兩距等線交處而得餘一角之所在遂補作餘兩弧而弧三角之形宛在平面再以法量之則所求之角可得其度矣此量角度之法也今設乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角法先作戊巳庚丙平員又作巳丙及戊庚縱横兩徑任以丁丙邉之度自直線之左從丙量至丁得五十○度為丁丙邉又自丙左右各數五十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子線聯之為五十五度之距等圈 又自丁作夘丁徑線自丁左右各數六十○度為癸丁及丑丁皆如乙丁之數亦作丑癸線聨之為六十○度之距等圈 此兩距等線相交于乙則乙㸃即為乙丙及乙丁兩邉相遇之處而又為一角也 乃自乙角作乙丙及乙丁兩弧則乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之則丁丙兩角亦俱可知 欲知丙角即用辛子距等線以半線午子為度以午為心作子酉辛半員句分一百八十度此辛子徑上距等圈之真形也乃自乙㸃作直線與午丙徑平行截半員于酉乃從酉數至子得酉子若干度此即乙丙丁銳角之度以減半周得酉辛若于度亦即乙丙辛鈍角之度也 欲知丁角亦即用丑癸距等線以半線辰癸為度辰為心作丑亥癸半員分一百八十度此亦丑癸徑上距等圈之正形也乃自乙㸃作直線與辰夘徑平行截半員于亥即從亥數至癸得亥癸若干度此即乙丁丙鈍角之 度以減半周得亥丑若干度又即乙丁丑鈍角之度也計開丙角七十八度稍弱(以算考之得七十七度五十五分)丁角六十七度三分度之二(以算考之得六十七度三十九分)右量角度以圖代算(欲得零分須再以算法考之即知無誤)又設乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉(對角之邉)法先為巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字徑乃自丙數至辛如所設丁丙邊一百二十○度自丙至子亦知之作辛十子線為一百二十○度之距等圈又以距等之半線辛午為度午為心作辛酉子半圈匀分一百八十度乃自辛數至酉如所設丙角六十度而自酉作酉丁直線與已甲徑平行至丁遂如法作丁丙邉 又自丙數至乙如所設乙丙邉一百○○度又從乙過甲心至夘作大圈徑亦作寅壬横徑乃補作丁乙邉(乙丙丁三角弧形宛然在目) 又自丁作丑丁癸距等線與寅壬平行未自乙數至癸得若干度即乙丁之度計開丁乙線五十九度强(以算考之得五十九度○七分)右量弧度以圖代算(若用規尺可免逐圈匀分之度有例在後條)又若先有乙丁對角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉(仍借前圏)法先作己戊丙員及十字徑線又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等線又作子酉辛半員取辛酉角度作酉丁直線遂從丁作丁丙邉皆如前 次以所設丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲員周取其通弦(即距等線癸丑之度)乃以通弦線就丁㸃遷就游移使合于外周而不離丁㸃成丑丁癸線即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙則乙丙外周之度即所求乙丙邉于是補作乙丁線成三角之象又法以丁乙倍度之通弦(丑癸)半之于辰乃從辰作夘甲辰過心徑線即割大員周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度餘如上又若先有乙丙兩角及乙丙邉在兩角之中(亦仍借前圖)法先作己戊丙員及十字徑線皆如前乃自丙數至乙截乙丙為所設之邉 次作丙角法于戊庚横徑如前法求庚亥如所設丙角之度遂從亥㸃作弧(如丙亥己)則丙角成矣 次作乙角法于乙㸃作乙甲夘徑亦作壬寅横徑乃自寅至未如前法求寅未如所設乙角之度遂從未㸃作弧(如夘未乙)則乙鈍角亦成矣 兩弧線交于丁角乃補作丑癸及辛子兩距等線則弧度皆得(案此兩弧線必)(以雞子形作之方凖若丁㸃離兩横徑不逺則所差亦不多也)再論平儀凡平儀上弧線皆經度而直線皆緯度惟外周經度亦可當緯度又最中長徑緯度亦為經度平儀上弧線皆在渾靣而直線皆在平靣試以渾球從兩極中半濶處直切之(如用極至交圏為度以剖渾儀)則成平靣矣以此平面覆置于案而從中腰横切之(如赤道半)(圏)則成横徑于平面矣(如赤道之徑)又以此横徑為主離其上下作平行線而横切之則皆成距等圏之徑線于平面矣大横徑各距極九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等徑線在平面故曰皆緯度也此線既為距等圏之徑則其徑上所乗之距等圏距極皆等即任指一㸃作弧度其去極度皆等故以為緯度之限也若又别指一處為極(如赤道極外又有黄道極又如天頂亦為極)則其對度亦一極也亦可如前横切作横徑(如黄道之徑)于平面其横徑上下亦皆有九十度之距等圏與其徑線矣(如黄道亦有緯)(度)故直線有相交之用也凖此觀之渾球之外圏隨處可指為極即有對度之極兩極相對則皆有直線為之軸軸上作横徑横徑上下即皆有九十度之距等徑線而相交相錯其象千變而句股之形成比例之用生加減之法出矣(如黄赤兩極外又有天頂)(地心之極而天頂地心隨北極之髙下而變)又此所用外周特渾球上經圏之一耳若凖上法于球上各經圏皆平切之皆為大圏則亦可隨處為極以生諸距等緯線而相交相錯之用乃不可以億計矣(如天頂地心既隨極出地度而異其南北亦可因各地經度而異其東西)由是推之渾球上無一處不可為極故所求之㸃即極也何以言之凡于球上任指一㸃即能于此㸃之上作十字直線以㑹于所對之㸃而十字所分之角皆九十度即逐度可作線以㑹于對㸃而他線之極此㸃上線皆能與之㑹故曰所求之㸃即極也又論平儀凡平儀上弧線皆經度也而弧有長短者則緯度也是故弧線為經度而即能載緯度盖載緯度者必以經度也若無經度則亦無緯度矣平儀上直線皆緯度也而線有大小者則經度也是故直線為緯度而即能載經度盖載經度者必以緯度也若無緯度則亦無經度矣(所云直線指横徑及其上下之距等徑而言)弧線能載緯度即又能分緯度之大小直線能載經度即又能分經度之長短假如平面作一弧引長之其兩端皆至外周則分此外周為兩半員而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆緯度故曰能載緯度也而此平面上所乘之半渾員其經度亦百八十而皆紀于腰圍之緯圏若于腰圍緯圏上任指一經度作弧線必會於兩極而因此弧線割緯圏以成角度故又曰能分緯度也不但此也若從此弧線之百八十度上任取一度作平行距等緯圏其距等圏上所分之緯必小于腰圍之緯圏而其所載距等圏之經度皆與角度等即近極最小之緯圏亦然何以能然曰緯圏小則其度從之而小而為兩弧線所限角度不變也故緯圏之大小弧度分之也然弧線之長短又皆以緯圏截之而成而緯圏必有徑在平面上與圏相應故曰直線能載經度即又能分經度之長短也復論平儀平儀上直線弧線皆正形也問前論直線有正形弧線躋縮無正形兹何以云皆正形曰躋縮者球上度也然其在平靣則亦正形矣有中剖之半渾球于此覆而觀之任于其緯度直切至平面則皆直線也而其切處則皆距等圏之半員即皆載有經度一百八十也從此半員上任指一經度作直線下垂至平面直立如縣針則距等圏度之正弦也若引此經度作弧以㑹于兩極則此弧度上所載之緯度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正弦矣由是觀之此弧上一百八十緯度既各帶有距等圏之正弦即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以側立之故而視為躋縮而平面上弧形非躋縮也故曰皆正形也惟其為正形故可以量法御之也又問平儀經緯之度近心濶而近邉狹何也曰渾員之形從其外而觀之則成中凸之形其中心隆起處近目而見大四周逺目而見小此視法一理也又中心之經緯度平舖而其度舒故見大四周之經緯側立而其度垜壘故見小此又視法一理也若以量法言之則近内之經緯無均平之數數皆紀之于外周外周之度皆以距等線為限而近中線之距等線以兩旁所用之弧度皆直過與横直線所荖少故其間闊近兩極之距等線則其兩旁之弧度皆斜過與横直線縣殊故其間窄此量法之理也固不能强而齊一之矣夫惟不能强而齊故正弦之數以生八線由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而測算之用遂可以坐天之内觀天之外巳取角度又法設如巳戊丙庚員有子辛距等緯線有所分丁辛小緯線求其所載經度以命所求之角(丙角)本法取距等半徑(辛午)作子酉辛半員從丁作酉丁線乃紀酉辛之度為丁辛之度今用㨗法徑于丁㸃作女丁壬線與巳甲徑平行再用距等半徑(午辛)為度從甲心作虚半員截女壬線于亢即從此引甲亢線至癸則數大圈庚癸之度為丁辛角度(即丙角也)解曰試作氐亢房半員其亢甲牛徑既與午辛等則氐亢房半員與辛酉子等而氐亢房半員又與大員同甲心則庚癸之度與氐亢等即亦與酉辛等矣又如先有丙角之度及辛子距等線而求丁㸃所在以作丙丁弧法從大圈庚數至癸令庚癸如丙角之度即從癸向甲心作癸甲線(半徑) 次以距等之半徑辛午為度從甲心作半員截癸甲(半徑)于亢乃自亢作亢丁壬線截辛午於丁即得丁㸃用規尺法設如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛鋭角如法依三邊各作圖法以十字剖平員自主線端辛數所設丁辛五十度竒至丁乃自丁作徑線過已心又依所設丁乙六十度自丁左數至婁右數至丙皆六十度作丙婁線為距等圈之徑又自辛依所設辛乙八十度至房亦左至壬作房壬距等徑線此兩距等線交於乙乃作乙丁及辛乙丙線則三角形宛然在目今以量法求辛角法曰房甲距等半徑與乙甲分線若亢已半徑與辛角之餘弦寅已法以比例尺正弦線用規器取圖中房甲之度于半徑九十度定尺再取乙甲度于本線求正弦等度得角之餘度乃以所得餘度轉減象限命為辛角之度依法得餘弦三十一度弱即得辛角為五十九度强又法以房甲為度甲為心作房癸壬距等半圈又作乙癸正弦與已辛平行如前以房甲度于正弦九十度定尺再以乙癸度取正弦度命為辛角度又法作房癸線用分員線取房甲度于六十度定尺再取房癸線于分員線求等度得數命為辛角之度更㨗論曰既以房甲為半徑則乙癸即正弦乙甲即餘弦房癸即分員皆距等圏上比例也其取角度與分半周度而數房癸之度並同然量法較㨗又求丁鈍角法以丙危為度危為心作婁丑丙半員又作丑乙線當角之正弦則乙危當餘弦乃取距等半徑丙危度于正弦線九十度定尺再取乙危度求得正弦線等度命為鈍角之餘弦以所得加九十度為丁鈍角度依法得餘弦十二度太即得丁鈍角一百○二度太或取丑乙線求正弦線上度命為鈍角之正弦以所得減半周度餘為丁鈍角度(兩法互用相考更確)又法作婁丑分員線取丙危半徑于分員線六十度定尺而求婁丑分員之度分為丁鈍角(亦可與正弦法叅考)論曰兼用弦兩法分員線一法以相考理明數確然比半周度之工尚為省力是故量㨗於算而尺更㨗矣若兼作丙丑分員以所得度減半周亦同如此則分員線亦有兩法合之正弦成四法矣又論曰此條三邉求角前條有二邉一角求弧可互明也故用圖亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也三極通幾平員則有心渾員則有極如赤道以北辰為極而黄道亦有黄極人所居又以天頂為極故曰三極也極云者經緯度之所宗如赤道經緯悉宗北極而黄道經緯自宗黄極地平上經緯又宗天頂亦如屋之有極為楹桷宇梠楶梲之所宗也既有三極即有三種之經緯于是有相交相割而成角度角之鋭端即兩線相交之㸃任指一㸃而皆有三種經緯之度與之相應焉故可以黄道之經緯求赤道之經緯亦可以赤道之經緯求地平上之經緯以地平求赤道以赤道求黄道亦然舉例如後以黄道經緯求赤道經緯 已辰庚斜弧三角形巳丁乙丙為極至交圈巳為北極 丙甲丁為赤道 庚為黄極 壬甲寅為黄道 星在辰 辰庚為黄極距星之緯 辰庚酉角為黄道經度 今求赤道經緯 法自辰作黄道距等緯圈(酉辛)又自辰作赤道距等緯圈(戊午)即知此星(辰)在赤道之北其距緯戊丙(或午丁) 次以赤道距等半徑戊夘為度夘為心作午未戊半員又作未辰直線與已甲平行則未戊弧即為赤道經度(即戊巳辰角)若先有赤道經緯而求黄道經緯亦同以赤道經緯求地平經緯巳子戊三角形(三角皆鋭)戊壬庚辛為子午規 壬辛為地平 戊為天頂巳為北極 丁丙為赤道星在子 子巳為星距北極 巳角為星距午規經度(即緯圈上丑子之距) 求地平上經緯 法自子作寅亥線與辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛(或壬寅) 次作寅酉亥半員(以亥寅半線亥)(午為度午為心)又從子作酉子直線與戊甲天頂垂線平行即子寅為星距午方之度為子戊寅角數酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是為地平上之經度(按此圖為)(星在夘酉線之北數酉辰若干度即知其星距夘酉線若干度也) 若先得地平上經緯(髙度為緯方位為經)而求赤道經緯(星距赤道為緯距午線時刻為經)其理亦同以兩緯度求經度巳子戊斜弧三角形假如北極髙三十度(巳辛髙)戊寅壬為午規 太陽在子距赤道北十度(其距丑丁)(或卯丙緯度) 子丑為太陽距午線加時經度(即子巳丑角)寅壬為太陽髙度(即亥辛)求大陽所在之方 法以太陽髙度(亥辛或寅壬)作亥寅地平髙度緯線又以太陽距赤道緯(丑丁卯丙)作丑卯赤道北緯線兩線相交于子乃以亥午為度午為心作亥酉寅半員(分百八十度)又自子作酉子直線與戊甲平行截半員于酉則酉至寅之度即太陽所到方位離午正之度(即子)(戊寅外角) 若求加時以北極赤緯線準此求之用子巳戊角求北極出地簡法(可以出洋知其國土所當經緯西北廣野亦然與地度弧角可以參用)不拘何日何時刻但有地平真髙度及真方位即可得之法曰先以所測髙度及方位如法作圖取作平儀上太陽所在之㸃(即地平經緯交處)次查本日太陽在之道南北緯度用作半徑于儀心作一小員末自太陽所在㸃作横線切小員而過引長之至邊此即赤緯通弦也乃平分通弦作十字全徑過儀心即兩極之軸數其度得出地度假如測得太陽在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地極髙但知本日太陽赤緯十九度今求北極度如法作圖安太陽于辰(詳下文) 先作丙丁線為地平髙度次用法自正東卯數正弦度至辰得近南三度為地平經度(或以丙卯為半徑作半規取直應度分亦同)次依本日太陽赤緯十九度(以員半徑取庚甲十九度正弦)為小員半徑作子庚小員末自太陽辰作横線戊壬切小員于庚乃自庚向甲心作大員徑線已午則已即北極(數己丑之度為極出地度)依法求得本地極髙四十度論曰此法最簡最真然必得正方案之法以測地平經度始無錯誤厯算全書卷九
## 卷十
欽定四庫全書厯算全書卷十宣城梅文鼎撰環中黍尺卷三之四初數次數法(加減代乗除之法從初數次數而生故先論之)(上卷之法用角旁兩正弦相乗今則兼用兩餘弦故别之為初數次數其法有二其一次數與對弧餘弦)(相加其一相減也相加又有二一鋭角一鈍角也相減有四或餘弦内減次數或次數内減餘弦而又各)(分銳角鈍角也)約法 三邊求角角求對邊餘弦次數相加例(銳角法鈍角法各一)丁乙丙形 有三邊求乙銳角 角旁大弧丁巳(正弦辛戊餘弦巳戊)小弧丙乙(正弦丙癸餘弦巳癸)兩正弦相乗全數除之成初得數戊庚又以兩餘弦相乗全數除之成次得數戊丑(即卯巳)乃以次得數卯巳加對弧之餘弦已戌成卯戌(即申戊)一 初得數 戊庚二 (次得數與對弧餘弦相并)申戊三 半徑 亥已四 角之餘弦 已乾(以餘弦檢表得乙銳角之度)若先有角求對邊則反之一 半徑 亥巳二 角之餘弦 巳乾三 初得數 戊庚四 (次得數與對弧餘弦相并)申戊(以次得數戊丑減之得對弧餘弦丑申即巳戌)論曰辛戊正弦與亥巳半徑同為乙丁弧所分則辛戊全與丁戊分若亥巳全與乾巳分也而辛戊弦與丁戊小弦又若戊庚句與申戊小句也故戊庚與申戊必若亥巳與乾巳若用丁甲丙形其算並同何以明之甲丁者乙丁半周之餘甲丙者乙丙半周之餘其所用正弦並同又同用丁丙為對角之弧甲角又同乙角皆以乾已為餘弦故也右係對邊小于象限角旁弧異類故其法用加而為銳角仍用前圖取丁甲寅三角形 有三邊求甲鈍角 角兩旁弧同類 對角邊大為寅丁其正弦酉戌餘弦戌已 旁弧丁甲其正弦辛戊餘弦已戊 又旁弧寅甲其正弦寅壬餘弦壬已 初得數戊庚(半徑除兩正弦矩) 次得數卯巳(半徑除兩餘弦矩)所用三率與前銳角形並同亦以卯已加已戌成申戊為三率所得四率乾已亦為甲角之餘弦(末以餘弦檢表得度以減)(半周餘為甲鈍角之度)若先有甲鈍角求對邊丁寅則反用其率一半徑亥已二甲角餘弦乾已三初數戊庚四申庚末以次數戊丑去減得數甲戊餘丑申為對弧餘弦論曰對弧寅丁係過弧與銳角形對弧丁丙相與為半周之正餘度同用酉戌為正弦戌已為餘弦角旁弧丁甲即乙丁半周之餘度同用辛戊為正弦戊已為餘弦甲寅弧又與乙丙弧等度其正弦壬寅同癸丙餘弦壬巳同癸巳故加減數並同所異者對弧大而兩旁弧又同類故為鈍角若用寅乙丁形其算並同以同用丁寅對弧而兩弧在角旁者寅乙為寅甲半周之餘丁乙為丁甲半周之餘所用之正弦餘弦並同故也甲角同乙角皆以乾已餘弦度轉減半周為其度右係對邊大于象限而角旁兩弧同類故其法用加而為鈍角正餘交變例若角旁兩邊以象限相加減而用其餘弧則正弦餘弦之名互易而所得初數次數不變三率之用亦不變解曰弧小以減象限得餘弧弧大以象限減之而用其餘亦餘弧也其故何也凡過弧與其減半周之餘度同用一正弦故過弧内減象限之餘即反為過弧之餘弧亦曰剰弧而此剰弧之正弦即過弧之餘弦也若兩弧内一用餘度則其初數次數皆為正弦乘餘弦半徑除之之數然其數不變何也一弧既用餘度則本弧之正弦變為餘弧之餘弦而其又一弧仍係本度則正弦不變然則先所用兩正弦相乗為初數者今不變而為餘乘正乎次數倣此試仍以前圖明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧(即辛)(乙)内減去亥乙象弧其剰弧亥辛之正弦戊已即乙辛過弧之餘弦也又亥辛之餘弦辛戊即過弧乙辛之正弦也然則先以辛戊正弦乗丙癸正弦者今不變為辛戊餘弦乘丙癸正弦乎然但變其名為餘乘正而辛戊之數不變則其所得之初數戊庚亦不變也次數倣論(按此法即測星時第二法所用)若角旁兩弧俱改用餘弧則初數變為兩餘弦相乘次數變為兩正弦相乗盖以正變餘餘變正而所得之初數次數不變試仍以前圖明之丁乙丙形乙角旁兩弧乙丁改用辛亥(義見前)乙丙改用丙亥皆餘弧也則丙癸辛戊兩正弦皆變餘弦(丙癸為丙亥弧餘弦辛戊為辛亥弧餘弦)癸已戊已兩餘弦皆變正弦(癸已為丙亥弧正弦戊巳為辛亥弧正弦)然則先以兩正相乘者今為兩餘然雖變兩餘而其為丙癸與辛戊者不變故其所得之初數戊庚亦不變也次數倣論總例凡弧度與半周相減之餘則所用之正弦同餘弦亦同凡弧度與象限相減之餘則所用之正弦變餘餘弦變正餘弦内減次數例(鈍角法銳角法各一)丁乙丙弧三角形有三邊求乙鈍角 丙乙小弧其正弦丙辰餘弦辰巳 丁乙大弧其正弦癸甲餘弦甲已 是為角旁之兩弧不同類 癸乾初得數(兩正)(弦乗半徑除之數) 午已次得數(兩餘弦乗半徑除之數) 丁丙對邊大其正弦壬卯餘弦卯已 對邊大于象限而角旁弧不同類宜相減 對弧餘弦大于次數法當于餘弦卯巳内減去次得數午已餘午卯(即艮丁)為二率一 初得數 癸乾二 (次得數減餘弦) 艮丁三 半徑 辛已四 角餘弦 寅已對邊大角旁弧異類而次數小減對弧餘弦其角為鈍宜以四率寅已撿餘弦表得度以減半周度其餘即為乙鈍角之度(即寅酉大矢之度)若先有乙鈍角求對弧則反用其率一 半徑 辛巳二 角餘弦 寅已三 初得數 癸乾四 (次得數減餘弦) 艮丁既得艮丁乃以次數加之成卯已餘弦檢表得度以減半周得丁丙對邊之度凡過弧與其減半周之餘度同用一餘弦故以餘弦檢表得度以減半周即得過弧仍用前圖取銳角丁戊庚三角形(係銳角○此形有三銳角)有三邊求戊角 戊庚小邊其正弦庚丑餘弦丑巳 丁戊次小邊其正弦癸甲餘弦甲巳 是為角旁弧同類 初得數癸乾(半徑除兩正弦)(矩) 次得數午已(半徑除兩餘弦矩) 丁庚對邊小其正弦壬卯餘弦卯巳 對邊小于象限而角旁弧同類宜相減次數午已小于對弧餘弦卯已以午已去減卯已餘卯午(即艮丁)一 初得數 癸乾二 (次得數減餘弦) 艮丁三 半徑 辛已四 角餘弦 寅已對邊小角旁弧同類而次數小去減餘弦其角為銳宜以四率寅已檢餘弦表得戊銳角之度若先有戊銳角度求對邊丁度則反用其度一 半徑 辛巳二 角餘弦 寅已三 初得數 癸乾四 (次得數減餘弦) 艮丁以所得艮丁加次數午已檢餘弦表得丁庚對邊之度因銳角角旁弧同類次數小于餘弦得數後宜加次數為對邊餘弦論曰丁戊庚形與丁乙丙形為相易之形故丁戊為丁乙減半周之餘戊庚等乙丙此兩弧所用之正弦餘弦並同則初數次數亦同矣而丁庚對弧亦丁丙對弧減半周之餘則所用餘邊又同加減安得不同次數内轉減餘弦例(銳角法鈍角法各一)丁乙丙形三邊求乙角(係銳角) 丙乙小邊正弦辰丙餘弦辰已 丁乙大邊正弦癸甲餘弦甲已 是為角旁之兩邊不同類 初得數甲乾(半徑除兩正弦矩) 次得數午已(半徑除兩餘弦矩) 丁丙對邊大正弦壬卯餘弦卯已對邊大而角旁弧不同類宜相減 次數午已大于對弧餘弦卯已法當于午己内減卯巳餘午卯(即甲艮)為二率一 初得數 甲乾二 (餘弦減次數之餘) 甲艮三 半徑 辛巳四 角餘弦 寅已對邊大角旁弧異類而次數大受對弧餘弦之減其角為銳宜以四率寅已檢餘弦表得乙鋭角之度(即寅辛矢度)若先有乙角而求對邊丁丙則反用其率一 半徑 辛巳二 角餘弦 寅己三 初得數 甲乾四 (餘弦減次數之餘) 甲艮末以所得甲艮轉減次數午已得對弧餘弦卯巳檢表得度以減半周為對弧丁丙度前圖取鈍角丁戊庚形三邊求戊角(係銳角) 戊庚小邊正弦丑庚餘弦丑巳 丁戊次小邊正弦癸甲餘弦甲巳 是為角旁兩弧同類 初數甲乾(半徑除兩正弦矩) 次數午已(半徑除兩)(餘弦矩) 丁庚對邊小正弦壬卯餘弦卯巳 對邊小而角旁兩弧同類宜相減 次數午巳大於對邊餘弦卯巳當于午巳内減卯已餘午卯(即甲艮)一 初得數 甲乾二 (餘弦減次數之餘) 甲艮三 半徑 辛巳四 角餘弦 寅已對邊小角旁弧同類而次數大内減去餘弦其角為鈍宜以四率寅巳檢餘弦表得度以減半周得戊鈍角之度若先有戊鈍角而求對邊丁庚則反用其率一 半徑 辛已二 角餘弦 寅巳三 初得數 甲乾四 (餘弦減次數之餘) 甲艮末以所得甲艮轉減次數午巳得對弧餘弦卯已檢表得對弧丁庚之度一係 半渾員面所成斜三角形左右皆相對如左銳角者右必鈍也對邊左小者右必大也角旁之邊左為同類者右必異類也(角旁兩弧一居員周一居圓面此員面弧線左右所同用也而員周)(之弧左右有大小故同于左者不同于右)加減法(以代乗除)初數次數並以乘除而得今以總弧存弧之餘弦相加減而半之即與乗除之所得脗合法簡而妙而甲數乙數之用亦從此生矣總法曰凡兩弧相并為總弧相減為存弧(存弧一曰較弧)總弧存弧各取其餘弦以相加減成初數次數 法曰視總弧過弧限則總存兩餘弦相加總弧不過象限則相減皆折半為初數(即原設兩弧之正弦相乗半徑除之之數)以初數轉減存弧餘弦即為次數(即原設兩弧之餘弦相乗半徑除之之數)又法(總弧過象限兩)(餘弦相減不過象限則相加並折半為次數)又法(初數以相加成者以總弧餘弦減初數以相減成者)(以總弧餘弦加並加減初數為次數亦同)又取總弧存弧之正弦相加減成甲數乙數 法曰以總存兩正弦相加折半為甲數(即原設大弧正弦乗小弧餘弦半徑除之之數)總存兩正弦相減折半為乙數(即原設小弧正弦乘大弧餘弦半徑除之之數)又法(以存弧正弦減甲數其餘為乙數亦同)又法(以甲數減總弧正弦即得乙數)總弧在象限内兩餘弦相減大弧丙寅 小弧辰丙(即丑丙) 二弧相加為總弧辰寅相減得存弧丑寅 丑寅存弧之餘弦丑癸(亦即丁乙)辰寅總弧之餘弦卯辰(即癸子亦即乙午) 兩餘弦相減(丑癸内減)(子癸存丑子或乙丁内減乙午存午丁)其餘半之(丑子半之于壬成壬丑即亥丁)為(丙寅)(辰丙)二弧兩正弦相乗半徑除之之數即初得數也以初得數轉減存弧之餘弦(以壬丑減丑癸其餘癸壬亦即亥乙)其餘為大小二弧兩餘弦相乗半徑除之之數即次得數也論曰丙辛大弧之正弦也丑戊小弦之正弦也以句股形相似之故乙丙半徑(弦)與丙辛正弦(股)若丑戊正弦(小弦)與丑壬初得數也(小股)其半而得者何也曰辰戊同丑戊則戊巳亦同丑壬而壬子即已戊則子丑者初得數(壬丑)之倍數故半之即得 辛乙大弧之餘弦也戊乙小弧之餘弦也乙丙半徑(弦)與辛乙餘弦(句)若戊乙餘弦(小弦)與亥乙次得數也(小句)又以存弧餘弦内兼有初得次得兩數故減初得次也(丑癸餘弦内有丑壬初數癸壬次數故減)(丑壬即得癸壬也或于乙丁内減亥丁得亥乙並同)以上用總存兩餘弦加減又丑寅存弧之正弦丑丁(即午子或癸乙)辰寅總弧之正弦辰午(即卯乙)兩正弦相加半之為大弧正弦乗小弧餘弦半徑除之之數即甲數也 以甲數轉減總弧之正弦(以午)(已減辰午其餘巳辰亦即卯未)是為大弧餘弦乗小弧正弦半徑除之之數即乙數也論曰乙辛大弧之餘弦也辰戊小弧之正弦也以兩句股形同比例之故丙乙半徑(弦)與乙辛餘弦(句)若辰戊正弦(小弦)與辰已乙數也(小句)又丙辛大弧之正弦也戊乙小弧之餘弦也而丙乙半徑(弦)與丙辛正弦(股)若戊乙餘弦(小弦)與戊亥甲數(小句)也又以總弧正弦内兼有甲乙兩數故減乙得甲減甲亦得乙矣(辰午正弦内有辰巳乙數巳午甲數故減辰巳得巳午若減巳午亦必得辰巳)以上用總存兩正弦加減若以酉丙為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑(正弦丑丁餘弦)(丑癸)其存弧辰酉(正弦辰午餘弦卯辰)但互易存總之名其他並同論曰凡過象限之弧與其減半周之餘弧同用一正弦如丙酉過弧以減半周得丙寅所用正弦(丙辛)餘弦(辛乙)皆丙酉弧與丙寅弧之所同也故但易總存之名而正餘加減之用不變又法 凡過象限之弧即截去象限用其餘度如法加減但以總弧為存弧存弧為總弧而總存之餘弦為正弦正弦為餘弦如酉丙過弧截去酉甲象限只用丙甲為大弧與丙丑小弧相加減則丑甲為總弧其正弦丑癸餘弦丑丁而辰甲為存弧其正弦卯辰餘弦辰午是總存正餘名皆互易也法以總存兩正弦相減而其餘折半為甲數(丑癸内減卯辰餘丑)(子半之得丑壬為甲數)仍以甲數轉減總弧正弦(甲數丑壬轉減丑癸其餘癸壬)(即乙數)是其名雖易而其實不易也但横易為直論曰去過弧之象限而用之則過弧之正弦為餘餘弦為正矣故加減而得之數皆兩弧之正弦乘餘餘弦乘正之數而非復正乗正餘乘餘之數也何也過弧之正餘互易而小弧之正餘如故也如丙酉過弧去象限為丙甲則其正弦丙庚即過弧之餘弦也(丙庚即辛乙故)其餘弦庚乙即過弧之正弦也(庚乙即丙辛故)而小弧丙丑之正弦丑戊餘弦戊乙皆如舊故先得之丑壬為大弧餘弦丙辛乘小弧正弦丑戊而丙乙半徑除之也非兩正弦相乘也乙數轉減正弦而得之亥乙(即癸壬亦即戊未)為大弧正弦辛乙乘小弧餘弦戊乙而半徑除之也非兩餘弦相乘也又論曰又法即測夜時篇中測星距午之第二法也加減代乗除只此一例而絶不與七卷八卷之乘除求初數次數者相蒙雖有學者何從悟入乎愚故為之詳説以發其覆又論曰元法依圖直看直者正弦横者餘弦又法正餘互易則圖當横看變立體為眠體本以總存兩餘弦加減者變為兩正弦加減然其數並同又論曰又法是用大弦之餘度而小弧則用元度何以言之測星條用星之赤緯即去極之餘度也其用赤道髙則極去天頂之元度也然而赤緯在南者則是于星去極度截去象限之數也何以亦為餘度曰過弧既與其減半周之餘度同一正弦則此減半周之餘度亦即正弧也然則此截去象限而餘者非即正弧之餘度乎大弧過象限若干度與不及象限若干度其正弦並同故加減可通為一法(此又測星條用法之意)約法兩弧俱用本度或俱用餘度相加減以取總存二弧是兩正或兩餘也則用總存兩餘弦加減法取初得數惟視總存二弧俱在一象限則相減或分跨兩象限則相加皆以初數減存弧之餘弦為次得數若兩弧内有一過弧則總弧之正弦小于存弧而餘弦反大當以初數減總弧之餘弦為次數若一弧用本度一弧用餘度相加減以取總存之弧是一正一餘也則用總存兩正弦加減法其加減皆眎兩正弦原法或加或減取甲數即以甲數減總弧正弦餘為乙數若過弧節去象限而用其剰度與餘度同法(凡餘度是以本度減)(象限而得名今反以象限減過弧故别之曰剰)若兩俱剰弧與兩餘弧同法若只一剰弧與一正一餘同法論曰過弧用剰度為餘弧其法甚簡快凡過弧皆當用之可不用本度矣(算普天星經緯歲差宜此)又按凡存弧之餘弦内兼有兩正弦相乗兩餘弦相乗兩數即初次兩得數也凡總弧之正弦内兼有此正弦乗彼餘弦彼正弦乗此餘弦之數即甲乙兩數也故易其名以别之也大弧寅丙正弦丙辛餘弦辛乙 小弧辰丙(即丑丙)正弦辰戊(即丑戊)餘弦戊乙二弧相加為總弧辰寅正弦辰午餘弦午乙 相減為存弧丑寅正弦丑丁餘弦丁乙 存總兩餘弦(午乙丁乙)相并成午丁半之于亥成亥丁即初得數大小二弧兩正弦(丙辛辰戊)相乗半徑除之之數也 以初得數亥丁轉減存弧之餘弦丁乙餘亥乙即次得數大小二弧兩餘弦(辛乙戊乙)相乗半徑除之之數也論曰以句股形相似之故丙乙半徑與丙辛正弦若戊丑正弦與初數丑壬(即亥丁)也皆弦比股也又丙乙半徑與辛乙餘弦若戊乙餘弦與次數亥乙也皆弦比句也以上用總存兩餘弦加減因總弧跨過象限故相加又存弧正弦丑丁與總弧正弦辰午相加成辰乾(以午乾等)(丁艮亦即丑丁也)折半得巳午(即戊亥為辰子折半為巳子子乾折半 午子合之成巳午)為甲數大弧正弦丙辛乗小弧餘弦戊乙半徑丙乙除之也以甲數已午轉減總弧正弦辰午餘辰巳為乙數大弧餘弦辛乙乗小弧正弦辰戊半徑丙乙除之也以上用總存兩正弦加減若用酉丙過弧為大弧丙丑為小弧則其總弧酉丑存弧酉辰但互易存總之名其它並同以過弧酉丙所用之正弦丙辛餘弦辛乙即丙寅弧所同用故也又法于酉丙過弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙則甲丙反為小弧丙丑反為大弧(説見前條)圖式三總弧在象限内兩餘弦相減 乙丙小弧其正弦丙辰餘弦辰已 丁乙稍大弧其正弦丁甲餘弦甲巳戊壬初得數(兩正弦相乗半徑除)(也即庚甲或戊卯) 午戊次得數(兩餘弦相乗半徑除也即巳癸) 今改用加減以省乗除 以二弧相加成總弧丁丙其正弦子丁餘弦子巳 又二弧相較成存弧壬丙其正弦壬辛(卽午巳)餘弦辛巳(卽壬午)于存弧之餘弦辛巳内減去總弦之餘弦巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得數也亦卽戊壬也(或于壬午丙減午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也) 又于存弧餘弦辛已内仍減去初得數辛癸存癸已即次得數也(壬午)(内減戊壬存午戊亦同)此因總弧在象限内故以總弧餘弦減存弧餘弦求初數是初數小于次數解曰以句股形相似之故己丙半徑(弦)與丙辰正弦(句)若丁甲正弦(弦)與甲庚初數也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也又已丙半徑(弦)與辰已餘弦(股)若甲已餘弦(弦)與巳癸次數(股)也右係總存兩餘弦用法又丁庚為甲數(丁甲大弧正弦乗辰巳小弧餘弦半徑除之也亦即庚卯即甲戊) 子庚為乙數(辰丙小弧正弦乗甲巳大弧餘弦半徑除之也即癸甲)今改用加減法以存弧正弦子卯(即辛壬)加總弧正弦子丁成卯丁而半之于庚得丁庚為甲數(亦即庚卯即戊甲) 仍于總弧正弦丁子内減去甲數丁庚存子庚(即癸甲)為乙數此亦總弧在象限内亦總存兩正弦相加求甲數是甲數大于乙數解曰以句股形相似之故已丙半徑與辰巳小弧餘弦若丁甲大弧正弦與甲數丁庚皆弦與股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也又巳丙半徑與丙辰小弧正弦若甲已大弧餘弦與乙數甲癸(即子庚)皆弦與句之比例也右係總存兩正弦用法一係 凡兩弧内無過弧則存弧之餘弦大故其中有初次兩數而總弧則正弦大故其中有甲乙兩數雖兩數相加能令總弧跨過象限此理不變餘弦仍係存弧大正弦仍係總弧大總弧過象限兩餘弦相加乙丙小弧正弦辰丙餘弦辰已 乙丁過弧正弦丁甲餘弦甲已 初得數戊丁(半徑除兩正弦矩即子癸亦即癸辛亦即)(庚甲) 次得數癸巳(半徑除兩餘弦矩)今用加減代乗除以二弧相加成總弧丁丙正弦丁子餘弦子已 又二弧相較成存弧壬丙正弦壬辛餘弦辛巳 乃以總存兩餘弦相加成子辛(子巳加辛巳)而半之于癸得子癸及癸辛(亦即丁戊即庚甲)初得數也 又以初數子癸轉減總弧之餘弦子已餘癸巳次得數也(此因總弧跨過象限故兩餘弦相加求初)(數是初數大于次數)解曰以句股形相似故半徑已丙與正弦丙辰若正弦丁甲與初數丁戊皆弦與股之比例也 又半徑丙已與餘弦辰已若餘弦甲巳與次數癸已皆弦與句之比例也 又壬甲等丁甲則庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得右用總存兩餘弦加減又甲數丑甲小弧餘弦辰已乗過弧正弦丁甲半徑除之也 乙數癸甲小弧正弦辰丙乗過弧餘弦甲巳半徑除之也今用加減搃存兩正弦相加成丑戊(癸戊與正弦丁子等丑癸與正弦辛)(壬等故以相加即成丑戊)半之于甲得丑甲(亦即甲戊)為甲數 仍以甲數丑甲轉減存弧正弦丑癸餘癸甲為乙數(或以總弧正弦癸戊)(減甲數甲戊亦即得乙數癸甲)此亦總弧跨象限外仍係總存兩正弦相加求甲數(甲數)(仍大于乙數)解曰半徑丙已與小弧餘弦辰已若大弧正弦丁甲與甲數丑甲皆以弦比句也 又半徑丙已與小弧正弦辰丙若大弧餘弦甲巳與乙數癸甲皆以弦比股也又壬甲等丁甲則甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得右用總存兩正弦加減一係 凡兩弧内有過弧者總弧之餘弦反大故初次兩數皆在總弧餘弦内而總弧之正弦反小故甲乙兩數皆在存弧正弦内也(此必原有一過弧始用此例非謂總弧過象限也觀圖自)(明)甲數乙數用法(黄赤道經緯相求)黄赤二道經緯相求用斜弧三角形以星距黄極為一邊星距北極為一邊并兩極之距為三邊此本法也今不用距極度而用其餘度(距極度本為緯度之餘今用三角形以距極度為邊故緯)(度皆為餘度)徑取黄緯為一邊(此先有黄緯而求赤緯也若先有赤道而求黄道即用赤)(緯為邊)二至之黄赤大距為一邊(黄赤大距原與兩極之距等)而取二邊之總存兩正弦為用以加減省乘除故在本法為初數次數者别之為甲乙數焉甲數乙數不止為求黄赤而舉此為式其理特著故命之曰甲數乙數用法實黄赤相求簡法矣第一圖 黄緯小于黄赤大距甲數大乙數小甲丙亢危大圈為過兩極之經圈(即二至經圈)心乙亢軸即黄道二分經綫 丙乙室為黄道 心為黄極寅乙危為赤道甲為北極 辰胃婁為黄道北緯(即丙辰之度) 丑尾奎為黄道南緯(即丙丑之度)星在箕 箕心為星距黄極緯度 箕女為星距黄道緯(即丙辰之度) 甲心箕銳角為黄道經度其餘弦女乙甲心為兩極相距(二十三度三十一分半) 寅丙為夏至距緯(同甲)(心之度)今求甲箕為星距北極緯度 其餘弧箕翌為星距赤道緯(即氐危之度)用甲心箕三角形有心角(黄道經)有心箕弧(星距黄極緯)有甲心弧(為兩極之距)而求對角弧甲箕(星赤道北極緯)依加減代乗除改用寅丙夏至距(即心甲)辰丙黄道緯(即心)(箕之餘箕女又即丙丑度) 寅丙辰丙相加為總弧辰寅其正弦辰午 又相減為較弧丑寅其正弦丑丁(亦即丁井亦即午昴亦即子午)以丑丁正弦(即午昴)加辰午正弦成辰昴折半得巳午甲數(巳子為辰子之半子午為子昴之半合之成巳午)甲數(巳午)轉減正弦(辰午)餘(巳辰)為乙數或以丑丁正弦(即子午)減辰午正弦餘辰子折半得辰巳為乙數以乙數轉減總弧正弦辰午得已午為甲數亦同法為黄道半徑(丙乙)與心角之餘弦(女乙)若甲數(巳午)與四率(斗未)也一 黄道半徑 丙乙二 心角餘弦 女乙三 甲數 巳午(即戊酉)四 (減過乙數之赤緯正弦)斗未(即虚栁)論曰丙乙半徑與女乙餘弦原若辰胃與箕胃(辰胃者箕心黄)(緯之正弦即距等圏半徑因箕心角線過箕至女分辰胃正弦于箕亦分丙乙半徑于女故丙乙與女乙若辰)(胃與箕胃皆全與分比例)而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆弦也(戊酉乙大)(句股以戊乙為弦戊酉為句斗未乙小句股以斗乙為弦斗未為句)戊酉(同巳午)斗未皆句也則其比例等故丙乙與女乙能若戊乙與斗乙亦即若已午與斗未以乙數(辰巳即箕虚)加四率(斗未即虚栁)成箕栁即所求赤道緯度正弦檢表得赤緯在北(即箕翌亦即氐危)若先有赤緯黄緯而求黄經則互用其率以三四為一二法為甲數(戊酉)與赤緯正弦内減乙數之斗未若黄道半徑(丙乙)與心角黄經度之餘弦(女乙)也一 甲數 戊酉(即午巳)二 (乙數箕虚減赤緯正弦)半未(即虚栁)三 黄道半徑 丙乙四 心角餘弦 女乙 檢餘弦表得心角之度假如前圖星在尾為黄道南緯則所用之甲數乙數並同所得之四率亦無不同而赤緯逈異何以言之曰心不在箕而在尾則心甲弧(兩極距度)心角(黄道經度)皆不變唯尾心弧大于箕心故甲心箕三角形變為甲心尾三角而所求對角之甲尾弧亦大于甲箕故赤緯異也然則所用之甲數乙數又同何也曰尾心為過弧則用在女尾(尾心内減去女心象限)女尾為黄道南緯與箕女北緯同度亦即同正弦則相加為總弧相減為較弧亦同而甲乙數不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北緯則用加在南緯則用減緯度迥異理勢自然也一 黄道半徑 丙乙二 心角餘弦 女乙 以乙數(辰巳)減四率斗未減盡三 甲數 已午 無餘為星在赤道無緯度四 (加過乙數之赤緯正弦)斗未論曰此因乙數與四率同大故減盡也減盡則甲尾正九十度而星在赤道無緯也亦有四率小于乙數者則當以四率轉減乙數用其餘為緯度正弦在赤道南又論曰星在箕為黄道北在尾為黄道南然所得赤緯皆在北者以箕尾經度皆在夏至前後兩象限中也故所得四率在赤道北而加乙數則北緯大減乙數則北緯小皆北緯也惟四率轉減乙數則變為南緯(此亦惟黄南緯)(星又近二分則雖在夏至前後象限中而有南緯)亦有無四率者心角必九十度其星必在黄道二分經度無角度餘弦為次率故亦無第四率可求但以乙數為用視星在南北即以乙數命為南北緯度之正弦假如前圖中有星在胃是在北也即以乙數胃張(即辰巳)命為赤道北緯之正弦若星在房是在南也即以乙數乙癸(亦即辰巳)命為赤道南緯之正弦又有所得四率北反用減南反用加者心角必為鈍角其星必在冬至前後兩象限其角度餘弦必為大矢内減儀象限之餘則所得第四率在赤道之外(外即南也)而加減後所得皆赤道之南緯也故加減皆反(求北緯以加而南緯必減者星在北也求北緯)(以減而南緯必加者星在南也盖所得第四率原係在北在南兩星緯度之中數 星在北在南皆主黄道言)假如前圖中有星在兑為黄道北而甲心兑三角形心為鈍角其餘弦艮乙為艮丙大矢内減象限之餘故所得第四率未斗在赤道之外為赤道南緯(此南緯是黄道軸距赤道)(軸)而兌星在黄道之北則其南緯正弦小于未斗故必以乙數牛斗(即辰己亦即奎巳)減之其餘牛未(同兌庚)即兌星赤道南緯之正弦若星在巽亦同用心鈍角為甲心巽三角形艮乙餘弦四率未斗在赤道外並同但巽星又在黄道之南則其南緯大于未斗四率故必以乙數虚巽(即辰巳亦即牛斗)加之成巽栁即巽星南緯之正弦亦有四率小于乙數者則以四率轉減乙數用其餘為緯度在赤道北又論曰星在兌為黄道北在巽為黄道南然所得赤緯皆在南者以兌巽經度皆在冬至前後兩象限中也故所得四率在赤道南而以乙數減則南緯小以乙數加則南緯大皆南緯也惟四率轉減乙數者則變為北緯(此亦必黄北緯星又近二分故雖在冬至前後象限中而仍有北緯 凡以乙數及四率相加減成緯度者並)(主緯度之正弦而言後倣此)總論曰凡乙數皆南北兩赤緯度相減折半之數甲數則兩緯度之中數也(如箕女與女尾兩黄緯同度而不能以女庚為兩赤緯弦之中數者弧)(度有斜正故也)而所得四率即所求星南北兩緯正弦中數故與甲數為比例凡所得四率星在夏至前後兩象限四率在赤道北星在冬至前後兩象限四率在赤道南凡總弧正弦内兼有甲數乙數(不論黄南黄北並同一法)但視黄緯之大小若黄緯小于黄赤大距則以總存兩正弦相併而半之為甲數若黄緯大于黄赤大距則以總存兩正弦相減而半之為甲數並以甲數轉減總弧正弦為乙數又法黄緯小于黄赤大距以總存兩正弦相減而半之則先得乙數黄緯大于黄赤大距以總存兩正弦相併而半之亦先得乙數並以乙數轉減總弧正弦為甲數求赤緯約法凡星有黄緯之南北有黄經之南北(黄經南北即南六宫北六宫 星在)(夏至前後先得之黄經為鋭角是經在北也也星在冬至前後先得之黄經為鈍角是經在南)若星之黄緯南北與黄經同者其赤緯南北亦與黄緯同法用四率乙數相加為緯度正弦加惟一法星在黄道北又係夏至前後兩象限先得黄經鋭角是經緯同在北則赤緯亦在北 星在黄道南又係冬至前後兩象限先得黄經鈍角是經緯同在南則赤緯亦在南若星之黄緯南北與黄經異者赤緯有同有異皆四率乙數相減為赤緯正弦減有二法但視乙數大受四率轉減者赤緯之南北與黄緯同如星在黄道北而在冬至前後兩象限黄經角鈍是緯北而經南也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在北星在黄道南而在夏至前後兩象限黄經角鋭是緯南而經北也而乙數大受四率轉減則赤緯仍在南若乙數小去減四率者赤緯之南北與黄緯異 如星在黄道北而在冬至前後黄經角鈍為緯北經南而乙數又小去減四率則赤緯變而南 星在黄道南而在夏至前後黄經角鋭為緯南經北而乙數又小去減四率則赤緯變而北若星在黄道軸線是正當二分經度也其角必九十度無餘弦亦無四率但以乙數為用 星在北即以乙數命為赤道北緯之正弦 星在南即以乙數命為南緯之正弦若遇乙數四率相減至盡者其星正當赤道無緯度第二圖 黄緯大于黄赤大距甲數小乙數反大(有黃道經緯求赤緯)甲北極 心黄極甲心為兩極之距丙室黄道 寅危赤道 寅丙為夏至大距(同甲心) 乙為二分以上並與前圖無二 所異者黄緯丙丑(即丙辰)大于寅丙故乙數亦大于甲數 寅丙之正弦丙辛餘弦辛乙 丙丑之正弦辰戊(或戊丑)餘弦戊乙甲數戊酉乃寅丙正弦乗丙丑餘弦半徑除之也法為丙乙半徑與正弦丙辛若戊乙餘弦與甲數戊酉乙數辰巳(或巳子或戊壬)乃辛乙餘弦乗辰戊正弦半徑除之也法為丙乙半徑與餘弦辛乙若辰戊正弦與乙數辰巳假如星在箕為在黄道北箕心為距黄極之度其餘箕女黄道北緯也有箕心甲心(兩極距)二邊有心銳角(黄經)用甲心箕三銳角弧形求赤緯甲箕為對角之弧依加減代乗除改用寅丙辰丙二弧相加為總弧辰寅其正弦辰午 又相減成較弧寅丑其正弦丑丁(即午子)以丑丁正弦加辰午正弦成辰子折半于巳為乙數(辰巳)(及巳子) 乙數辰已轉減總弧正弦辰午得已午為甲數(即戊酉)本法以丑丁減辰午折半得已午為甲數 甲數巳午轉減辰午得辰巳為乙數法為黄道半徑丙乙與餘弦女乙若甲數戊酉與四率斗未也(理見前式論見)一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以乙數箕二 心角餘弦 女乙 虚加之成箕栁為赤三 甲數 戊酉 緯正弦查表得箕翌四 (以乙數減赤緯正弦) 斗未(即虚栁) 赤緯度在赤道北右係黄緯在北而心為銳角黄經亦在北故法用加而赤緯仍在北若先有黄赤緯度而求黄經則互用其率亦同前式一 甲數 戊酉二 (乙數減赤緯正弦) 斗未三 黄道半徑 丙乙四 心角餘弦 女乙 查餘弦表得心角之度假如前圖星在尾為在黄道南則所用之甲數乙數及所得之四率並同惟赤緯異論曰星不在箕而在尾則甲心箕三銳角形變為甲心尾三角形而心尾弧大于心箕故所求對角之甲尾弧亦大于甲箕而赤緯大異心尾大于心箕而甲數乙數悉同者因用餘弧則女尾南緯與女箕北緯同度故也一 黄道半徑 丙乙 既得斗未以轉減乙數斗二 心角餘弦 女乙 牛得餘未牛(即尾申)為赤緯三 甲數 戊酉 正弦查表得尾卯緯度在四 (乙數内減赤緯正弦) 斗未 赤道南論曰此係乙數跨赤道故乙數内兼有赤緯及四率之數而減赤緯得四率以四率轉減亦得赤緯右係黄緯在南而心為銳角是緯南而經北法當用減而乙數大受四率反減故赤緯仍在南假如前圖星在巽則所用之甲數乙數亦同惟四率異(因巽艮黄緯即室奎之度與丙丑同故甲數酉戊與戊酉同大而乙數斗牛兊乾並同辰巳)又巽星在黄道南而心為鈍角星在秋分後春分前黄經亦在南則赤緯亦在南法當用加一 黄道半徑 丙乙(即室乙)二 (鈍角餘弦即大矢减半徑之餘) 艮乙(艮丙為心鈍角大矢内减丙乙得艮乙)三 甲數 酉戊四 (赤緯正弦内減乙數) 未斗既得未斗以乙數斗牛(即辰巳)加之成未牛為赤緯正弦(即栁巽)查表得震巽緯度在赤道南假如前圖星在兌為黄道北所用之甲數乙數四率並同惟赤緯異(兌艮北緯)(與巽艮南緯並同丙丑之度故甲數乙數同甲心巽與甲心兊兩鈍角形)(同用心鈍角故四率亦同惟心兊弧小于心巽故所求對角弧甲兊亦小)(于甲巽而赤緯異)一 黄道半徑 丙乙 既得未斗以轉減乙數二 鈍角餘弦 艮乙 兊乾得餘兊離為赤緯三 甲數 酉戊 正弦查表得兊坎緯度四 (乙數内減赤緯正弦) 未斗(即離乾) 在赤道北右係黄緯在北而心為鈍角是秋分後春分前為緯北而經南法當用減而乙數大受四率轉減故赤緯仍在北第三圖 赤緯大于二極距甲數小乙數大心甲箕三鋭角形 星在箕 有黄極緯心箕有北極赤緯甲箕有黄赤極距心甲(即室危)求甲角為赤經 辰危赤緯大于危室大距(即心甲)與前圖略同故乙數亦大於甲數 所異者此求赤經故諸數皆生于赤緯謂總弧較弧皆用赤緯也而加減正弦反在黄道矣室危兩極距之正弦室辛餘弦辛乙辰危赤緯(即箕女為甲箕距比極之餘)之正弦辰酉餘弦酉乙甲數戊酉法為半徑室乙與辛室正弦若酉乙餘弦與甲數戊酉也乙數辰已法為半徑室乙與辛乙餘弦若辰酉正弦與乙數辰已(或婁酉正弦與乙數酉壬)也依加減代乗除改用辰危室危相加為總弧辰室其正弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁(即午昴)又以較弧正弦午昴減總弧正弦辰午餘數半之得已午為甲數(即戊酉也法于辰午内截減辰坤如午昴其餘坤午半之于已即得已午)甲數已午轉減辰午正弦餘辰巳為乙數(或以甲數已午加較弦午)(昴成巳昴乙數亦同)箕虚及未牛並同(皆乙數也)又以箕翼黄緯之正弦箕柳與乙數箕虚相減得虚柳(即未斗)以為次率(因箕栁黄緯大乙數箕虚小故于黄緯正弦内減乙數得未斗)法為甲數戊酉與未斗若酉乙與未乙亦即若危乙半徑與甲角之餘弦女乙也一 甲數 戊酉二 (黄緯正弦内減去乙數) 未斗三 赤道半徑 危乙四 甲角餘弦 女乙論曰赤道經度春分至秋分(北六宫)為鈍角秋分至春分(南六宫)為銳角其角與黄經正相反此條星在箕是赤緯在北也而黄緯亦北兩緯同向宜相減成次率而乙數小于黄緯必以乙數減黄緯而得未斗乙數減黄緯而緯在北赤經必南六宫為銳角查表得度為甲角度即赤經也在秋分後以所得減三象限在冬至後以所得加三象限皆命為其星距春分赤道經度若星在尾用甲心尾三角形則以黄緯正弦反減乙數為次率(未牛乙數大于黄緯)(斗牛故以斗牛反減未牛得未斗)餘率並同論曰此條星在尾是赤緯在南也而黄緯亦並在南兩緯同向宜相減而成次率而乙數大于黄緯宜于乙數内轉減去黄緯成未斗也乙數大受黄緯轉減而緯在南赤經必亦在南六宫為銳角一 甲數 戊酉二 (乙數内減黄緯) 未斗三 赤道半徑 危乙四 甲角餘弦 女乙假如前圖星在兊用心甲兊三角形有心兌邊(星距黄極)有甲兌邊(星距北極)有心甲邊(兩極距)求甲鈍角為赤道經度因赤緯同故甲數乙數同星在兊赤緯在北黄緯亦在北緯同向北宜相減而成次率而乙數大以黄緯減之得斗未(乙數兊乾内減去黄緯兊離餘離乾)(即斗未)乙數大受黄緯轉減而赤緯在北必赤經亦在北六宫為鈍角一 甲數 酉戊二 (乙數内減去黄緯) 斗未三 赤道半徑 寅乙四 甲角餘弦 艮乙以艮乙查餘弦表得度用減半周為甲鈍角即赤經也在春分後以象限減鈍角度在夏至後以鈍角度與三象限相減皆命為星距春分赤道經度假如星在巽用心甲巽三角形有心巽邊(距黄極)有甲巽邊(距北極)有甲心邊(兩極距)求甲鈍角為赤經甲數乙數並同惟心在巽是赤緯南也黄緯亦南也兩緯並南宜相減成次率 乙數小黄緯大故以乙數減黄緯得斗未(斗牛黄緯即栁巽也内減乙數未牛餘即)(斗未矣) 乙數小去減黄緯而赤緯在南赤經必在北六宫為鈍角一 甲數 酉戊二 (黄緯内減乙數) 斗未三 赤道半徑 寅乙四 甲角餘弦 艮乙以艮乙餘弦查度春分後用餘弦度減象限夏至後加象限皆命為距春分赤經第四圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小假如星在箕用心甲箕鈍角形有心箕過(距黄極對角邊也其餘箕翼即黄緯)有甲箕邊(距北極即辰危之餘)有心甲邊(兩極距寅丙及危室並同)求甲鈍角赤道經兩極距危室之正弦危辛餘弦辛乙 赤緯危辰之正弦辰戊餘弦戊乙甲數戊酉(為半徑危乙與二極距之正弦危辛若赤緯餘弦戊乙與甲數戊酉也)乙數辰巳(或戊壬赤為半徑危乙與二極距之餘弦辛乙若 緯正弦辰戊與乙數辰巳也)依加減代乗除以辰危危室兩弧相加為總弧辰室其正弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁(或丁井即午昴)以總弧正弦辰午加較弧正弦午昴成辰昴而半之為甲數巳午(巳坤為辰坤之半坤午為坤昴之半合之為巳午)即戊酉又以甲數己午轉減正弦辰午得辰巳為乙數(亦即戊壬)星在箕為赤緯北而黄緯亦在北兩緯同向宜相減而成次率而乙數大當以黄緯轉減之成斗未(牛未乙數内減牛斗)(黄緯餘斗未)乙數大受黄緯反減而緯在北赤經在北六宫為鈍角一 甲數 酉戊 以艮乙餘弦查度春分後二 (乙數内減黄緯正弦) 斗未 用減象限夏至後加象限三 赤道半徑 寅乙 命為距春分經度四 甲角餘弦 艮乙若星在尾用心甲尾三角形則為南緯而黄緯亦南兩緯同向宜相減成次率而乙數小于黄緯故以乙數減黄緯成斗未(虚尾黄緯)(内減乙數氐尾餘虚氐即斗未) 其甲數乙數等算並同 乙數小去減黄緯而緯在南赤經必在北六宫為鈍角一 甲數 酉戊二 (黄緯正弦内減乙數) 斗未三 赤道半徑 寅乙四 甲角餘弦 艮乙若星在兑用心甲兑三角形兑為北緯而黄緯亦北兩緯同向宜相減成次率而乙數小于黄緯故以乙數減黄緯成未斗(兊乾黄緯)(内減乙數兊離餘餘離乾即未斗)甲數乙數並同乙數小去減黄緯而緯在北赤經反在南六宫為銳角一 甲數 戊酉 以女乙餘弦度秋分後減二 (黄緯正弦内減乙數) 未斗 三象限冬至後加三象限三 赤道半徑 危乙 命為距春分赤經(下同)四 甲角餘弦 女乙若星在巽用心甲巽三角形赤緯南黄緯亦南兩緯同向宜相減成次率而乙數大以黄緯轉減之成未斗(未牛)(乙數内減黄緯斗牛即栁巽其餘即未斗)乙數大受黄緯轉減而緯在南赤經即在南六宫為銳角一 甲數 戊酉二 (乙數内減黄緯正弦) 未斗三 赤道半徑 危乙四 甲角餘弦 女乙第五圖 赤緯小于二極距甲數大乙數小黄緯乙數相加成次率(黄緯在南角鋭鈍黄緯在北角)星在巽用心甲巽三角形有心甲邊(二極距)有巽甲邊(距北極度為過弧其)(赤緯女巽在南)有巽心邊(距黄)(極度其餘巽為黄緯在北) 求對巽心弧之甲角 心甲兩極距即危室(或寅丙)其正弦危辛餘弦辛乙 女巽赤緯即危婁(或辰危即丑寅)其正弦辰戊餘弦戊乙甲數戊酉(兩極距正弦危辛乗赤緯餘弦戊乙半徑危乙除之之數也法為危乙與危辛若戊乙與戊酉)乙數辰巳(兩極距餘弦辛乙乗赤緯正弦辰戊半徑危乙除之之數也法為危乙與辛乙若辰戊與辰巳)依加減代乗除改用辰危危室相加為總弧辰室其正弦辰午又相減為較弧婁室其正弦婁丁(即午昴及丁井)以總較兩正弦相加成辰昴折半得巳午為甲數即戊酉(巳坤為辰坤之半坤午為坤昴之半合之成己午)甲數巳午轉減總弧正弦辰午得辰巳為乙數即戊壬黄緯巽氐在北赤緯女巽在南兩緯異向宜以乙數與黄緯正弦相加成次率(以同黄緯正弦巽栁之牛斗加同乙數戊壬之未牛成未斗)乙數黄緯正弦相加而黄緯在北其赤經必在南六宫為銳角法為甲數戊酉與未斗若戊乙與未乙亦即若危乙與女乙一 甲數 戊酉 以女乙查餘弦表得度二 (乙數加黄緯正弦) 未斗 秋分後減冬至後加皆與三 赤道半徑 危乙 三象限相加減命為其星四 甲角餘弦 女乙 距春分赤道經度又如星在箕用心甲箕三角形有心甲邊(二極距)有箕甲邊(距北極度其餘箕艮赤緯在北)有箕心邊(距黄極度為過弧其黄緯翼箕在南)求對箕心弧之甲角甲數乙數同上惟黄緯翼箕在南赤緯箕艮在北兩緯異向宜以乙數與黄緯正弦相加成次率(以黄緯正弦箕張相)(同之牛斗加乙數辰巳相同之牛未成斗未)乙數與黄緯弦相加而黄緯在南其赤經必在北六宫為鈍角法為甲數酉戊與斗未若戊乙與未乙亦即若寅乙與艮乙一 甲數 戊酉 以艮乙查餘弦表得度春二 (乙數加黄緯正弦) 斗未 分後減夏至後加皆加減三 赤道半徑 寅乙 象限命為其星距春分赤四 甲角餘弦 艮乙 赤道經度求赤道經度約法用三邊求角(兩極距為一邊距北極為一邊此二邊為角兩旁之弧距黄極為一邊此為對角之)(弧)以求到鈍角赤道經度在北六宫銳角赤道經度在南六宫法為甲數與次率若赤道半徑與所求角之餘弦其樞紐在次率也凡黄緯南北與赤緯同向者並以乙數與黄緯相減而成次率減有二法凡黄緯南北與赤緯異向者並以乙數與黄緯相加而成次率加惟一法厯算全書卷十
## 卷十一
欽定四庫全書厯算全書卷十一宣城梅文鼎撰環中黍尺卷五之六加減捷法用加減則乗除省矣今惟用初數則次數亦省又耑求矢度省餘弦則角之銳鈍得矢自知邊之大小加較即顯無諸擬議之煩故稱捷法如法角旁兩弧度相加為總相減為存視總弧過象限以總存兩餘弦相加不過象限則相減並折半為初數若總弧過兩象限與過象限法同(其餘弦仍相加)過三象限與在象限内同(其餘弦仍相減)若存弧亦過象限則反其加減(總弧)(過象限或過半周宜相加今反以相減若總弧過于三象限宜相減今反以相加)並以兩餘弦同在一半徑相減不然則加也總存兩餘弦同在一半徑當相減折半圖乙丁丙三角形丁為鈍角丙卯為總弧其正弦卯戊餘弦戊己 庚丙為存弧其正弦庚壬餘弦壬巳 兩餘弦同在丙已半徑宜相減(壬巳餘弦内減戊巳成戊壬)折半為初數丑壬(即甲庚亦即未酉)總存兩餘弦分在兩半徑當相加折半圖乙丁丙形 丁為銳角庚丙為總弧其正弧庚壬餘弦壬巳 卯丙為存弧其正弦卯戊餘弦戊已徑兩餘弦分在丙巳子巳兩半徑宜相加(以戊巳加壬巳)(成壬戊)折半為初數丑戊(即甲酉亦即未卯)三邊求角初數恒為法以兩矢較乗半徑為實法為初數與兩矢較若半徑與角之矢也一 初數(即角旁兩正弦相乗半徑除之之數今以加減得之)二 兩矢較(或兩俱正矢或兩俱大矢或存弧用正矢對弧用大矢)三 半徑四 角之矢(正矢角銳大矢角鈍)角求對邊則以初數乗角之矢為實半徑為法法為半徑與角之矢若初數與兩矢較也一 半徑二 角之矢(或正矢或大矢)三 初數四 兩矢較(並以較加存弧矢為對弧矢加滿半徑以上為大矢其對弧大不滿半徑為正矢其對弧小)乙丁丙形 三邊求丁角小邊乙丁(正弦卯辛)大邊丙丁(正弦壬丙) 初數卯癸(兩正弦相乗半徑除之也)今改用加減兩餘弦相減(餘房戊)折半得丑戊即初數卯癸(與先所得同)一系 總弧過半周而存弧亦過象限則餘弦相減法為卯癸初數與兩矢較牛乙若卯辛正弦(距等半徑)與乙庚(距等大矢)亦即若寅巳半徑與角之大矢酉子一 初數 卯癸(即丑戊)二 兩矢較 牛乙(即房甲)三 半徑 寅巳四 角之大矢酉子若先有丁鈍角而求乙丙對邊則反用其率一 半徑 寅巳二 角之大矢酉子三 初數 卯癸四 兩矢較 牛乙以所得兩矢較加存弧大矢房丙得大矢甲丙乙丁丙形三邊求丁角小邊乙丁(正弦乙辛) 大邊丙丁(正弦戊壬)初數戊癸今用加減兩餘弦相減(餘辰甲)折半得辰丑即初數戊癸對弧(乙丙)大矢斗乙存弧 大矢甲乙(兩矢較斗甲)法為初數戊癸與兩矢較斗甲若戊壬正弦(距等半徑)與丙庚(距等大矢)亦即若寅巳半徑與角之大矢酉子一 初數戊癸(即丑甲)二 兩矢較 斗甲三 半徑 寅巳四 角之大矢酉子論曰此移小邊于外周如法求之所得並同其故何也先有之角及角旁二邊並同則諸數悉同矣然則句股之形不同何也曰前圖是用乙丁小弧之正弦為徑分大矢之比例則所用句股是丁丙大弧之正弦此圖是用丁丙大弧正弦為徑分大矢比例則所用句股是乙丁小弧正弦故句股形異也然句股形既異而所得初數何以復同曰此三率之精意也初數原為兩正弦相乗半徑除之之數前圖用大弧正弦偕半徑為句與弦而小弧正弦用為大矢分徑之比例是以大弧正弦為二率而小弧正弦為三率也今改用小弧弦為二率大弧弦為三率而首率之半徑不變則四率所得之初數亦不變也又何疑焉一系 角旁二弧可任以一弧之正弦為全徑上分大小矢之比例其餘一弧之正弦即用為句股比例不拘大小同異其所得初數並同又論曰以句股比例言之則戊庚通弦為弦(即距等圏全徑)戊女倍初數為句(即總存兩餘弦相加減之數)一也戊壬正弦為弦則戊癸初數為句二也丙庚為弦(通弦之大分即距等大矢)則斗甲兩矢較為句(即丙房)三也丙壬為弦(正弦之分綫即距等餘弦)則斗丑為句(對弧餘弦内減次數丑巳得斗丑亦即丙牛)四也戊丙為弦(正弦之分綫即距等小矢)則午戊為句五也以全與分之比例言之則戊庚為距等全徑與寅子全徑相當一也戊壬正弦為距等半徑當寅巳半徑二也丙庚如距等大矢當酉子大矢三也丙壬如距等餘弦當酉巳餘弦四也戊丙如距等小矢當寅酉正矢五也一系 初數恒與角旁一弧之正弦為句股比例其正弦恒為弦初數恒為句而其全與分之比例俱等又即與員半徑上全與分之比例俱等若倍初數即與全員徑上大小矢之比例等一系 角旁兩弧任以一弧之正弦為徑上全與分之比例初數皆能與之等若先有丁鈍角求對邊乙丙則更其率一 半徑 巳子二 丁角大矢酉子三 初數 丑甲四 兩矢較 斗甲以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙為對弧大矢内減巳乙半徑得斗巳為對弧餘弦撿表得未丙弧度以減半周得對弧丙乙度乙丁丙形 三邊求丁角乙丁邊(九十五度) 丁丙邊(一百一十二度) 乙丙對弧(一百一十九度)總弧丙未二百○七度 餘弦辛巳 八九一○一存弧丙戊一十七度 餘弦壬巳 九五六三○兩餘弦相加辛壬一八四七三一初數卯亥(即半辛壬丑辛)九二三六五對弧大矢癸丙一四八四八一存弧正矢壬丙 四三七○兩矢較癸壬 一四四一一一法曰卯亥(即丑辛)與癸壬若未亥與乙戊亦必若庚巳與甲子一 初數 卯亥 九二三六五二 兩矢較癸壬 一四四一一一三 半徑 庚巳 一○○○○○四 角之矢申子 一五六○二二四率大于半徑為大矢其角鈍法當以半徑一○○○○○減之餘五六○二二為鈍角餘弦撿表得餘弦度五十五度五十六分以減半周為丁角度依法求到丁鈍角一百二十四度○四分論曰試作辰戊綫與倍初數辛壬平行而等又引未辛(總弧正弦)至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸(對弧正弦)至寅作亥丑綫引至斗各成句股形而相似則其比例等一未辰戊大句股 以辰戊倍初數為句未戊通弦為弦一乙寅戊次句股 以寅戊兩矢較為句乙戊(距等大矢)為弦一(未卯亥亥斗戊)兩小句股並以(卯亥斗戊)初數為句(未亥亥戊)正弦為弦辰戊倍初數與寅戊兩矢較若未戊通弦與乙戊距等大矢是以大句股比小句股也卯亥初數與癸壬兩矢較若未亥正弦與乙戊距等大矢是以小句股比大句股也 用亥斗戊形比乙寅戊其理更著又未戊通弦上全與分之比例原與全員徑上全與分之比例等故三者之比例可通為一也(一大句股截數種小句股故又為全與分之比例)仍用全圖取乙丁女形 求丁鋭角乙丁邊(九十五度) 女丁邊(六十八度) 女乙對弧(六十一度)總弧女戊(一百六十三度)餘弦(壬巳)九五六三○存弧女未(二十七度) 餘弦(辛巳)八九一○一兩餘弦并(辛壬)一八四七三一初數卯亥九二三五六一 初數 卯亥 九二三六五二 兩矢較癸辛 四○六二○三 半徑 巳庚一○○○○○四 角之矢申庚 四三九七七 (以減半徑得丁角餘弦入表得丁角度)依法求得丁鋭角五十五度五十六分辛丁乙形三邊求丁角辛丁邊五十度一十分 乙丁邊六十總弧卯辛一百一十度一十分餘弦庚丙二四四七五存弧戊辛九度五十分餘弦子丙九八五三一餘弦并子庚一三三○○六初數子午(即戊癸)六六五○三辛乙對弧八十度對弧矢辛酉 八二六三五存弧矢辛子 一四六九兩矢較子酉 八一一六六一 初數 子午 六六五○三二 兩矢較 子酉 八一 一六六三 半徑 壬丙一○○○○○四 丁角大矢壬甲一二二○五○(用餘弦入表得丁外角減半周得丁角度)依法求到丁鈍角一百○二度四十四分論曰此如以日髙度求其地平上所加方位也乙為太陽乙甲其髙度其餘度丁乙日距天頂也亥乙赤道北緯辛乙為距緯之餘即去極緯度也辛壬為極出地度其餘辛丁極距天頂也所求丁鈍角百○二度太距正北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太陽在正東方過正卯位一十二度太乙丙辛形 有(辛丙三十三度辛乙百卅二度) 對弧乙丙(百度八)求辛角總弧(丙壬)一百六十五度餘弦(己戊)九六五九三存弧(丙庚)九十九度餘弦(己甲)一五六四三 兩餘弦相減餘(戊甲)八○九五○初數甲丑四○四七五 對弧大矢酉丙一三○九○二存弧大矢甲丙一一五六四三兩矢較甲酉 一五二五九一初數甲丑 四○四七五二兩矢較甲酉一五二五九三半徑申巳一○○○○○四角之矢未申三五三五二得辛鋭角四十九度二十八分恒星歲差算例老人星黄道鶉首宫九度三十五分二十七秒為庚角(康熈)(甲申年距厯元戊辰七十七算毎年星行五十一秒)(訃行一度○五分二十七秒以加戊辰年經度鶉首)(八度三十分得今數)黄道南緯七十五度 距黄極一百六十五度為庚辛邊 用巳庚乙三角形(一角二邊)求對弧巳乙(赤緯)餘弦較丁甲二○六六一初數甲戊一○三三○庚角正矢申酉 一三九八一 半徑 申丙一○○○○○ 大矢内減半徑二 庚角矢 申酉 一三九八 取餘弦檢表得三 初數 甲戊 一○三三○ 三十八度廿三四 兩矢較 甲丑 一四四 分半以減半周加存弧大矢巳甲一七八二三四 得星距北極一百得對弧大矢巳丑一七八三七八 四十一度三十六分半為對弧巳乙求到甲申年老人星赤緯在赤道南五十一度三十六分半(以校厯元戊辰年緯五十一度三十三分及儀象志康熈壬子年緯五十一度三十五分可以畧見恒星)(赤緯歲差之理)求巳角(赤經)巳庚角旁弧二十三度三十一分半巳乙角旁弧一百四十一度三十六分半庚乙對弧一百六十五度三邊求角餘弦較子斗 四九五七七初數午斗 二四七八八對弧大矢庚亥一九六五九三存弧大矢庚斗一四七○七六兩矢較亥斗 四九五一七一 初數 午斗 二四七八八 大矢内減半徑得二 兩矢較亥斗 四九五一七 餘弦檢表得度以三 半徑 丙氐一○○○○○ 減半周得已角度四 角大矢亢氐一九九七六一 一百七十六度○二分置三象限以已角度減之得星距春分九十三度五十八分求到甲申年老人星赤道經度在鶉首宮三度五十八分(以校戊辰年赤經九十三度三十九分及儀象志壬子年赤經九十三度五十一分可以見恒星赤經東移之理)加减㨗法補遺㨗法以兩餘弦相加減以兩矢較偹四率其用巳簡然有闕餘弦無可加減闕矢度無可較者雖非恒用而時或遇之亦布算者所當知也一加減變例凡餘弦必小於半徑常法也然或捴弧適足半周則餘弦極大即用半徑為捴弧餘弦 法以存弧餘弦加減半徑折半為初數(視存弧不過象限則相加存弧過象限則相减)又若角旁兩弧同數則無存弧而餘弦反大即用半徑為存弧餘弦 法以捴弧餘弦加减半徑折半為初數(視捴弦過象限或過半周則相加捴弧在象限内或過三象限則相减)以上用半徑為餘弦者六凡加減取初數必用兩餘弦常法也然或搃弧適足一象限或三象限或存弧適足一象限皆無餘弦法即用一餘弦折半為初數不湏加減(搃弧無餘弦即單用存弧)(餘弦存弧無餘弦即單用搃弧餘弦)又或捴弧(適足象限或三象限)無餘弦而兩弧又同數(準前論即以半徑為存弧餘弦)或存弧(適足象限)無餘弦而搃弧又適足半周(即以半徑為搃弧餘弦)二者並以半徑之半為初數不湏加减以上無加减者六一兩矢較變例凡兩矢相較常法也然或其弧滿象限則即以半徑為矢(對弧滿象限則以半徑為對弧矢與存弧矢相較存弧滿象限亦然亦即以半徑與對弧矢相)(較) 㨗法視對弧存弧但有一弧滿象限即命其又一弧之餘弦為兩矢較不更求矢(對弧滿象限即用存弧餘弦存弧滿)(象限即用對弧餘弦並即命為兩矢較與上法同)凡以矢較加存弧矢成對弧矢(正矢則對弧小大矢則對弧大)常法也然或有相加後適足半徑者其對弧必適足象限又有四率中無兩矢較者以無存弧矢故也(凖前論角旁兩)(弧同度無存弧則亦無存弧矢之可較)法即以對弧矢為用不必更求矢較 若角求對邊其所得第四率即對弧矢若三邊求角其所用苐三率亦對弧矢(餘詳後例)設角旁兩弧同度總弧在象限以内 求對角之邊丙乙丁形乙角一百一十度餘弦三四二○二 乙丙 乙丁並三十度兩餘弦相減 五○○○○ 丙庚半之為初數 二五○○○ 丙癸一 半徑 寅已 一○○○○○二 初數 丙癸 二五○○○三 (乙角大矢) 寅午 一三四二○二四 (對弧矢) 丙甲 三三五五○(四率本為兩矢較因無存弧矢故即為對弧之矢)(對弧餘弦) 甲巳 六六四五○求到對弧丁丙四十八度二十二分論曰以半徑為存弧餘弦何也弧大者餘弦小弧小者餘弦大今存弧既相減而至于無則小之至也故其餘弦亦大之至而成半徑也 四率即為對弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既無存弧則亦無矢矣無矢則無可較故四率即對弧矢也 然則其比例奈何曰半徑寅已與大矢寅午若正弦子丙與距等大矢丁丙亦即若初數丙癸與對弧矢丙甲若三邊求角則反其率一初數 二半徑 三對弧矢 四乙角矢若捴弧過三象限其法亦同前圖丁丑丙形丑角同乙角其所用四率以得對弧丁丙並同上法若三邊求角則反其率一初數 二半徑 三對弧矢 四丑角矢一系 兩邊同度無存弧矢則徑以對弧矢當兩矢較之用設總弧滿半周而較弧亦過象限 求對角之邊前圖卯丑丁形丑角 七十度餘弦 三四二○二 午已丑丁 一百五十度丑卯 三十度相減 五○○○○庚丙初數 二五○○○庚癸存弧大矢一五○○○○庚卯丑角矢 六五七九八午酉一 半徑 酉巳 一○○○○○二 初數 丙癸(即庚癸) 二五○○○三 丑角矢 午酉 六五七九八四 兩矢較 庚甲 一六四四九加存弧大矢庚卯 一五○○○○得對弧大矢甲卯 一六六四四九求到對弧卯丁一百三十一度三十八分設三小邊同數求角丙乙丁形三邊並三十度求乙角相減 五○○○○ 丙庚初數 二五○○○ 丙癸對弧(丁丙)三十度餘弦 八六六○三 甲巳矢 一三三九七 丙甲一 初數 丙癸 二五○○○二 半徑 寅己 一○○○○○三 對弧矢丙甲 一三三九七四 乙角矢寅午 五三五八八餘弦午巳 四六四一二求到乙角六十二度二十分 丁丙二角同論曰此亦因存弧無矢故以對弧矢為三率也其比例為初數丙癸與對弧矢丙甲若乙丙正弦丙辰與丙丁距等矢則亦若寅巳半徑與乙角矢寅午一系 凡三邊等者三角亦等前圖丁丑丙形 二大邊同度一小邊為大邊減半周之餘三邊求角其對弧丁丙亦三十度所用四率並同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟餘兩角(丁丙)並一百一十七度四十分皆為丑角減半周之餘若先有角求對邊則反其率又于前圖取丁丑戊形丑丁 一百五十度丑戊 三十度其對弧戊丁(一百五十度)為丑戊(三十度)減半周之餘故所用四率亦同但所得矢度為丑外角之矢當以其度減半周得丑角(一百一十七度四十分)戊角同丑角丁角(六十二度二十分)即丑外角一系凡二邊同度其餘一邊又為減半周之餘與三邊同度者同法但知一角即知餘角其一角不同者亦為相同兩角之外角設角旁兩弧同數而捴弧適足一象限求對角之邊子乙丙形乙角一百度餘弦 一七三六五初數 五○○○○ 丙辛(即半徑之半)一 半徑 壬巳 一○○○○○二 初數 丙辛 五○○○○三 乙角大矢壬丑 一 一七三六五四 對弧矢 丙癸 五八六八二餘弦癸巳 四一三一八求到對弧子丙六十五度三十六分論曰半半徑為初數何也凖前論半徑即存弧餘弦而捴弧無餘弦無可相減故即半之為初數 問捴弧何以無餘弦曰弧大者餘弦小捴弧滿象限則大之極也故無餘弦 其比例可得言乎曰壬巳與壬丑若丙甲與丙子則亦若丙辛與丙癸 若所設為子戊丙形戊角同乙角一百度(戊子戊丙)同為一百三十五度 捴二百七十度(滿三象限)亦無餘弦亦如上法以半半徑為初數依上四率求到對戊角之子丙弧六十五度三十六分若三邊求角則反其率一初數 二半徑 三對弧矢 四角之矢設角旁兩弧之捴滿半周而存弧亦滿象限 求對角之弧 用前圖子戊卯形戊角 八十○度餘弦 一七三六五子戊一百三十五度卯戊 四十五度餘弦無減半半徑為初數五○○○○ 己辛即庚甲存弧滿象限半徑為正矢一○○○○○ 即卯巳半徑一 半徑 辰巳 一○○○○○二 初數 己辛 五○○○○三 戊角矢辰丑 八二六三五四 兩矢較己癸 四一三一七 即對弧卯子餘弦對弧大矢卯癸 一四一三一七 (以兩矢較加存弧矢得對弧大矢)求到對弧卯子一百一十四度二十四分論曰捴弧以半徑為餘弦何也凡過弧大者餘弦大過弧滿半周則大之至也故其餘弦亦最大而即為半徑也 然則存弧又能以半徑為矢何也弧大者矢大存弧既滿象限故其矢亦滿半徑矣問兩矢較巳癸即對弧之餘弦也何以又得為兩矢較曰他存弧之矢有大小而不得正為半徑故其與對弧矢相較亦有大小而不得正為餘弦今矢既為半徑較必餘弦矣若三邊求角則反其率一 初數 巳辛 其比例為巳辛與巳癸若丁甲二 半徑 辰巳 與丁子則亦若辰巳與辰丑三 兩矢較己癸四 戊角矢辰丑設對弧滿象限 三邊求角乙丙甲形對弧乙甲九十度 無餘弦求丙角相加辰癸 一三五六二一初數午癸 六七八一○對弧滿象限矢即半徑已甲一○○○○○用㨗法即以存弧餘弦癸已為矢較一 初數 午癸 六七八一○二 半徑 巳戊 一○○○○○三 矢較 巳癸 四二二六二 即存弧餘弦四 丙角矢 庚戊 六二九○四求到丙角六十八度一十四分其比例為初數午癸與餘弦巳癸若正弦壬辛與距等矢乙辛也亦必若半徑己戊與角之矢庚戊若先有丙角求對弧則反其率一半徑(戊巳) 二初數(午癸) 三丙角矢(戊庚) 四兩矢較(巳癸)以所得四率與存弧矢甲癸(五七七三八)相加適足半徑(成巳甲)命對弧乙甲適足九十度 㨗法視所得四率矢較與存弧餘弦同數即知對弧為象限不必更問存弧之矢設角旁兩弧同數捴弧過象限求對角之弧辛乙丙形乙角七十三度餘弦二九二三七相加折半為初數 八二一三九 癸丙一 半徑 己戊一○○○○○二 初數 癸丙 八二一三九三 乙角矢甲戊 七○七六三四 對弧矢丁丙 五八一二四餘弦丁巳 四一八七六求到對弧辛丙六十五度一十五分若三邊求角則反其率一初數(癸丙) 二半徑(巳戊) 三對弧矢(丁丙)四乙角矢(甲戊)設角旁弧同數捴弧過半周其算並同前圖辛丑丙形辛丑 丙丑並一百十五度捴弧丙丑壬二百三十度餘弦 六四二七九 庚巳丑角同乙角其所用四率求對弧及三邊求角並如上法設捴弧滿半周而存弧不過象限 求對弧前圖辛乙卯形乙角 一百○七度餘弦 二九二三七 甲巳乙卯 一百十五度乙辛 六十五度相加半之為初數 八二一三九 癸庚即子辰一 半徑 寅巳 一○○○○○二 初數 庚癸 八二三一九三 乙角大矢寅甲 一二九二三七四 兩矢較 庚丁 一○六一五三 即辛未加存弧正矢庚卯 三五七二一得對弧大矢丁卯 一四一八七四求到對弧卯辛一百一十四度四十五分加减又法(解恒星暦指第四題三率法與加減㨗法同理)弧三角有一角及角旁二邊求對角之弧法曰以角旁大弧之餘度與小弧相加求其止弦為先得弦 次以角旁兩弧相加視其度若適足九十度即半先得弦為次得弦(此大弧之餘弧與小弧等)若角旁兩弧捴大于象限(此大弧之餘弧小于小弧)則以大弧之餘弧減小弧而求其弦以加先得弦然後半之為次得弦若兩弧捴不及象限(此大弧之餘弧大于小弧)則以小弧減大弧之餘弧而求其弦以減先得弦然後半之為次得弦又以角之矢為後得弦以後得弦乗次得弦為實半徑為法除之得數為他弦一率 全數二率 次得弦(即初數)三率 後得弦(即角之矢)四率 他弦(即兩矢較)並以他弦與先得弦相減為所求對角弧之餘弦若他弦大于先得弦即以先得弦減他弦(不問何弦但以小減大)(右法不載測量全義而附見厯指人自江南來得小兒以燕家信以此為問謂與環中黍尺有合也乃為摘録以疏其義)論曰此亦加減代乗除之一種也加減法以捴弧存弧之餘弦相加減以取初數此則不用存弧而用存弧之餘度(以餘度取正弦即存弧之餘弦故也)又不正用存弧之餘度而用大弧之餘度(以大弧之餘度加小弧即存弧之餘度故也)至其加減又不用捴弧而用大弧餘度與小弧相減之較弧(以此較弧之正弦即捴弧之餘)(弦故也)取徑迂迴而理數脗合非兩法相提並論不足以明其立法之意也舉例如後乙丙丁形(有乙角及角旁二邊)求對弧丁丙(以加減㨗法求得諸數與恒星厯指法相參論之)(乙丙小弧乙丁大弧)正弦(甲丙辰庚)(捴存)弧(戊丙庚丙)餘弦(壬巳癸巳)(餘弦并癸壬初數 癸甲) (即辰寅)(丁丙對弦庚丙存弧)正矢(卯丙癸丙)(一) (半兩矢較卯癸 徑 酉巳)(二三) (角之矢初數) (酉午即辰寅甲癸)(四末兩矢較加癸卯癸卯即丁子 以卯癸 丙得 丙為對)(弧矢乃查其度得對弧丁丙)右加減法也今改用恒星厯指之法 先以酉庚為角旁大弧(乙丁)之餘弧(乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内減乙庚猶之乙午内減乙丁也故庚酉)(即乙丁之餘)又以牛酉當角旁小弧乙丙(乙酉與牛丙皆象限内減同用之丙)(酉同乙丙)二者相加成牛庚取其正弦戊庚是為先得弦次視角旁兩弧(乙丙乙丁)之捴(丙戊)大于象限(丙辛)法當以大弧餘度去減小弧得較(于同小弧之午酉内減同大弧餘度之氐酉其較牛氐與牛房等)而取其弦(牛氐較與牛房等則氐井弦與房井等而即與危戍等是危戌即牛氐較之弦也)以加先得弦(以危戍加戌庚成危庚)然後半之(危庚半之于未成未庚)為次得弦又以乙角之矢(午酉)為後得弦與次得弦(未庚)相乗為實半徑為法除之得他弦(亥庚)未以他弦(亥庚)减先得弦(戌庚)其餘亥戌為對弧(丁丙)之餘弦(查表得對弧)論曰牛庚之正弦戍庚與癸巳平行而等即存弧之餘弦也(牛庚為小弧與大弧餘度之并實即存弧丙庚之餘度故戌庚即同癸巳)次得弦未庚與甲癸平行而等即初數也(以危戍加戌庚而成危庚猶捴存兩餘弦相加成癸壬也)(危庚既同癸壬則其半未庚亦同甲癸)他弦庚亥與卯癸平行而等即兩矢較也末以他弦與先得弦相減而得對弧餘弦猶以兩矢較與存弧之矢相加而得對弧之矢也(兩矢較即兩餘弦較)(也故加之得矢者减之即得餘弦)然則此兩法者固異名而同實矣又論曰加減本法用大弧小弧之捴與較取其餘弦以相加減今此法則用大弧餘度與小弧之捴與較而取其正弦以相加減(如牛庚是大弧餘度與小弧之捴牛氐是大弧餘度與小弧之)(較)用若相反而得數並同者何也曰餘弧與正弧互為消長其數相待是故大弧之餘度大于小弧則捴弧不及象限矣大弧之餘度小于小弧則捴弧過象限矣捴弧過象限宜相加此條是也捴弧不及象限宜相減後條是也宜加宜減之數無一不同得數安得而不同(得數謂初數也在此法則為次得弦)又論曰此法之于加減法猶甲數乙數之于初數次數也初數次數用餘弦甲數乙數用正弦加減法用餘弦此法用正弦所以然者皆以角旁之弧半用餘度也(甲數)(乙數法内一弧用本度一弧用餘度此法小弧用本度大弧用餘度)一加減法乃有四用其省乗除並同而繁簡殊矣乙丙丁形有乙角及角旁二邊求對弧丁丙(乙丙小弧乙丁大弧)正弦(申丙辰庚)(捴存)弧(戊丙庚丙)餘弦(壬巳癸巳)(餘弦較壬癸 初數癸甲)(丁丙對弧庚丙存弧)正矢(卯丙癸丙)(一) (兩矢較卯癸半徑 酉巳)(二三) (角大矢 初數) (酉午甲癸)(四) (兩矢較) (卯癸)(末以卯癸加癸丙成卯丙為對弧矢查其餘弦得對弧丁丙)右加減法也今依恒星法改用大弧之餘度(庚酉即午丁)與小弧(牛酉即乙丙)相加(成牛庚即存弧丙庚之餘度)求其正弦為先得弦(戍庚同巳癸即存弧之餘)(弦)次視兩弧之捴(戊丙)不及象限法當以小弧減大弧餘度(取氐酉如酉庚以牛酉減之)得較(氐牛與牛房等)取其正弦(女房即女氐亦即戍危)以減先得弦(戍危減戌庚餘危庚與癸壬等)然後半之(危庚半之于虚成庚虚與甲癸)(等)為次得弦又以(乙)鈍角大矢(午酉)為後得弦與次得弦相乗為實半徑為法除之得他弦(亢庚與卯癸等)末以他弦(亢庚)減先得弦(戍庚)其餘戍亢(即卯巳)為對弧餘弦查表得對弧丁丙一率 半徑 酉巳二率 次得弦庚虚(即初數甲癸)三率 後得弦午酉(即角大矢)四率 他弦 亢庚(即兩矢較卯癸)乙丙丁形(有丙角及角旁二邊)求對弧丁乙法以(丁丙)大弧之餘(午丁即酉甲)與小弧(乙丙即戊酉)相加(成甲戊)求其正弦(庚甲)為先得弦次視兩弧之總(丑乙)適足象限即半先得弦為次得弦(癸甲或癸庚)又以角之大矢(午酉)為後得弦乘之(午酉乘癸甲)半徑(酉巳)除之得他弦(卯甲即壬未)以減先得弦(甲庚)得對弧餘弦(卯庚即壬巳)查表度得對弧(丁乙)解曰此因大弧之餘酉甲與小弧戊酉同數則無加減故即半先得弦為次得弦也在加減法則為總弧無餘弦而即半存弧餘弦為初數丙戊丁形(有戊角及角旁二邊)求對弧丁丙如法以大邊(丙戊)之餘(卯丙即癸庚)與小弧(丁戊即癸辛)相加(成辛庚)取其正弦(庚乙)為先得弦次眎角旁兩弧之捴(辰丁)大于象限法當以癸庚減癸辛得較子辛(即辛井)而取其正弦(子斗即井斗亦即乙)(甲)以加先得弦(乙庚)而半之(甲庚之半為甲丑)為次得弦又以角之大矢(卯癸)為後得弦以乗次得弦為實半徑為法除之得他弦(牛庚)末以他弦(牛庚)與先得弦(庚乙)相減得(牛乙即壬巳)為對弧之餘弦查餘弦度以減半周得對弧丁丙解曰此為他弦大于先得弦故反減也在加減法則所得為對弧大矢與存弧小矢之較而兩矢較即兩餘弦并也故減存弧餘弦得對弧餘弦補求經度法法用角旁兩弧(大弧用餘度小弧用本度)相加得數取正弦為先得弦又相減得較取正弦以與先得弦相加減(角旁兩弧大于象限)(則相加若小于象限則相減)而半之為次得弦(若角旁兩弧并之適足一象限則徑以先)(得弦半之為次得弦不須加減)用為首率 次以對角弧之餘弦與先得弦相加減得他弦為次率(對弧大于象限相加小于象限則相減) 半徑為三率 求得角之矢為四率(正矢為鋭角大矢為鈍角)假如丙戊丁形有三邊求戊角(借用前圖)一 次得弦 甲丑(乃先得弦甲庚之半)即庚丑二 他弦 壬酉(即牛庚乃對弧餘弦加先得弦因對弧大故相加)三 半徑 巳癸四 鈍角大矢卯癸(卯癸大矢内減巳癸半徑為餘弦查表得度以減半同為戊鈍角之度)論曰角求對邊者求緯度也三邊求角者求經度也二者之分祗在四率中互換無他繆巧厯指注云求緯用正弦求經用切線殊不可曉及查其後條用例亦無用切綫之法殆有缺誤厯書中如此者甚多故在善讀耳加減通法加減代乗除之法以算三邊求角及二邊一角求對角之邊皆斜弧三角之難者也其算最難而其法益簡故凡算例中兩正弦相乗者即可以加減代之則雖正弧諸法實多所通故謂之通法法曰凡四率中有以兩正弦相乗為實半徑為法者皆可以初數取之 有以兩餘弦相乗為實半徑為法者皆可以次數取之 有以餘弦與正弦相乗為實半徑為法者皆可以甲乙數取之假如正弧形有角有角旁弧而求對角之弧(此如有春分角有黄)(道而求距度)本法當以角之正弦與角旁弧之正弦相乗為實半徑為法除之也今以初數取之即命為所求度正弦設黄道三十度求黄赤距度(春分角二十三度三十一分半黄道 三十○度)(捴弧存弧) (五十三度三十一分半 六度二十八分半)餘弦(五九四四七九九三六二)用初數為正弦檢表得度 (相减三九九一五即初數折半一九九五七)求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒又設黄道七十五度求黄赤距度(春分角二十三度三十一分半黄道 七十五度)(捴存)弧 (九十八度三十一分半五十一度二十八分半)餘弦(一四八二四六二二八五)用初數為正弦檢表得度 (相加七七一○九折半三八五五四)求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒又如句股方錐法有大距有黄道而求距緯本以大距正弦黄道餘弦相乗半徑除之也今以甲數取之設黄道六十度求距緯(句股方錐黄道以距二至起算下同)(黄赤大距二十三度三十一分半黄道 六十○度)(捴弧存弧) (八十三度三十一分半三十六度二十八分半)正弦(九九三六二五五四四七)用甲數為正弦檢表得度 (相减三九九一五為甲數半之一九九五七)求到距緯一十一度三十○分四十二秒設黄道一十五度求距緯(黄赤大距二十三度三十一分半黄道 一十五度)(捴存)弧 (三十八度三十一分半 八度三十一分半)正弦(六二二八五一四八二四)用甲數為正弦查表得度 (相加七七一○九為甲數半之三八五五四)求得距緯二十二度四十分三十九秒又如次形法本以一正弦與一餘弦相乗半徑除之得所求之餘弦今以初數取之設甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙邊而求乙角本法為半徑與丙角正弦若甲丙餘弦與乙角餘弦今以初數即命為乙角餘弦 (丙角度度甲丙餘)相(并減)為(捴存)弧各取其餘弦如法相加減而半之成初數即命為乙角餘弦本法用正弦與餘弦相乗而亦以初數取之何也曰甲丙餘弦實次形丁丙正弦也故仍用初數假如斜弧形作垂弧法本為半徑與角之正弦若角旁弧之正弦與垂弧之正弦也今以初數即命為垂弧正弦設丁乙丙形有乙鋭角有丁乙邊求作丁甲垂弧 (乙角度乙丁弧)相(并減)為(捴存)弧而取其餘弦如法相加減而半之成初數即命為丁甲垂弧正弦設丁乙丙形乙為鈍角而先有丁乙邊其法亦同 (乙外角丁乙邊)相(并減)為(捴存)弧而各取其餘弦如上法取初數命為甲丁垂弧正弦又如弧角比例法本為角之正弦與對角邊之正弦若又一角之正弦與其對邊之正弦今以初數進五位即為兩正弦相乗之實可以省乗設乙甲丙形有丙角甲角有乙甲邊求乙丙邊本以甲角正弦與乙甲正弦相乗為實丙角正弦為法除之得乙丙正弦今以甲角度與乙甲弧相并減為捴存弧如法取初數進五位為實以丙角正弦除之亦得乙丙正弦(若有)(乙丙邊求丙角則以乙丙邊正弦為法除之即得丙角之正弦)又如垂弧㨗法本以兩餘弦相乗為實又以餘弦為法除之而得所求之餘弦今以次數進五位為兩餘弦相乗之實即可省乗設甲丁亥鈍角形有亥甲邊有亥丁邊有引長之丁巳邊而求甲丁邊本法為亥巳邊之餘弦與亥甲邊之餘弦若丁巳邊之餘弦與甲丁邊之餘弦也 今以次數代乗(亥甲丁巳)二弧相并為捴弧相減為存弧而各取其餘弦如法相加減而半之為次數下加五○即同亥甲與丁巳兩餘弦相乗之實但以亥巳邊之餘弦為法除之即得甲丁邊之餘弦進五○何也曰初數者兩正弦相乗半徑除之之數故必進五位即同兩正弦相乗之實矣 次數進位之理倣此論之補加減㨗法設壬丙甲弧三角形甲壬邊適足九十度 丙甲邊八十三度 對弧壬丙五十九度求甲角法曰角旁有一邊適足九十度則總存兩餘弦同數當以餘弦即命為初數 依法求得五十八度四十四分為甲角存矢 申丙 七四五矢較 戊申 四七七五一一 初數 九九二五五已申二 矢較 四七七五一戊申三 半徑一○○○○○己癸 查表得五十八度四十四分四 (角之矢) 四八一○九壬癸餘弦 五一八九一壬巳論曰此即算帶食法也凡算帶食其差角必在地平壬甲九十度即髙弧全數丙甲八十三度月距北極也癸丙七度黄赤距度也壬丙對弧極距天頂也其餘弦己戊即極出地正弦所求甲角月出地平時地經赤道差也㨗法以黄赤距度餘弦與極出地正弦相減餘進五位為實仍以距度餘弦除之得差角矢解㨗法曰極出地正弦即對弧餘弦黄赤距度餘弦即存弧餘弦兩餘弦之較即矢較也又解曰巳乙即己申亦即未丙並小弧甲丙正弦也(即存)(弧癸丙之餘弦)未丙與戌丙若己癸與壬癸全與分之比例也又解曰初數是兩正弦相乗半徑除之之數今甲壬邊之正弦即半徑故省乗除竟以甲丙正弦為初數又設壬甲辛鈍角形(即用前圖) 壬甲邉適足九十度 辛甲邉九十七度 對邉辛壬一百二十一度 求甲角依法求得甲鈍角一百二十一度一十六分對弧辛壬一百卄一度餘弦巳戊 五一五○四對弧大矢 戊辛 一五一五○四存弧 矢 癸乙同酉辛 七四五(亦同丁庚)兩矢 較 戊酉同辰辛一五○七五九(亦同丁壬)一 初數 (丁巳同午辛) 九九二五五二 矢較 (丁壬同辰辛)一五○七五九三 半徑 己庚一○○○○○四 角大矢 壬庚一五一八九○餘弦 己壬 五一八九○查表得五十八度四十四分以去減半周得甲角一百二十一度一十六分論曰縂弧過象限及過半周宜以餘弦相加折半成初數今兩餘弦相同而徑用為初數亦折半之理也嚮作加減法補遺自謂巳盡其變不知仍有此法故特記之因算帶食得此其用㨗法更竒甚矣學問之無窮也壬甲丙鋭角形壬甲邉適足九十度 丙甲邉六十七度對弧壬丙五十度 求甲角依法求得甲角四十五度四十二分○五(即為初數)壬丙對弧五十○度餘弦六四二七九 巳戊對弧矢三五七二一 戊丙存弧矢 七九五○ 乙癸(即申丙)矢較 二七七七一 申戊一 初數 九二○五 申巳二 矢較 二七七一 申戊三 半徑 一○○○○○ 己癸四 角之矢 三○一六九 壬癸餘弦 六九八三一 壬巳查表得四十五度四十二分因前圖丙癸度小故復作此以明之算甲餘角又於本圖取辛甲壬鈍角形 壬甲九十度 辛甲一百一十三度 壬丙五十度 求甲鈍角 依法求到甲鈍角度一百三十四度一十八分壬辛對弧一百三十○度餘弦巳戊六四二七九大矢 辛戊 一六四二七九存弧矢 申丙(即乙癸) 七九五○(亦即酉辛)矢較 酉戊 一五六三二九一初數 九二○五○酉巳(即丁巳) 二矢較一五(六三二九)酉戊三半徑一○○○○○庚巳 四(角大矢)一六(九八三○)庚壬餘弦六九(八三○)查表得四十五度四十二分以減半周得甲鈍角一百三十四度一十八分論曰試作庚亥線與辛丙徑平行又引對弧坎戊正弦至亥成庚亥壬句股形即庚乾巳亦同角之小句股形而庚亥同酉戊兩矢較也庚乾同酉巳初數也則初數(庚乾小股)與兩矢較(庚亥大股)若半徑(庚巳小弦)與角之大矢(庚壬大弦)凡角旁弧適足九十度則縂存兩餘弧同數法即以餘弦命為初數日月食帶食出入地平用此算其地經赤道差甚㨗補甲數乙數法丁辛乙斜弧三角形辛丁弧五十度一十分 辛乙弧八十度 丁乙對弧六十度 又若辛乙弧八十度求辛角 辛丁(餘弧)三十九度(五十)分辛乙(餘弧)一十度 縂弧一百十九度(五十)分辛丁弧五十度一十分 較弧 四十度一十分兩正弦總(一五一二四九)半之為甲數(七五六二四)兩正弦較(二二二四七)半之為乙數(一一一二三)丁乙對弧餘弦(五○○○○)内減乙數餘(三八)(八七七)為二率一 甲數 七五六二四二 三八八七七三 半徑一○○○○○四 (辛角餘弦) 五一四○八查表得五十九度○四分為辛角若前形有辛角而求丁乙對弧一 半徑一○○○○○二 (辛角餘弦) 五一四○八三 甲數 七五六二四四 三八八七七以加乙數 一一一二三成對弧餘弦五○○○○查表得六十度此因角旁餘弧小於正弧故乙數亦小於甲數而以所得四率加乙數為對弧餘弦丙乙丁形 乙鈍角一百一十度 (乙丙乙丁)二弧並三十度求丁丙對弧乙丙餘弧六十度乙丁弧 三十度縂弧 九十度正弦一○○○○○較弧 三十度正弦 五○○○○相加 一五○○○○半之為乙數七五○○○相減 五○○○○半之為甲數二五○○○一 半徑一○○○○○二 (乙角餘弦) 三四二○二三 甲數 二五○○○四 八五五○以減乙數 七五○○○得對弧餘弦六六四五○查表得四十八度二十一分此因角旁乙丙餘弧大於乙丁正弧故乙數大於甲數而以所得四率反減乙數為對弧餘弦前例轉求乙鈍角 (乙丙乙丁)二弧並三十度 丁丙對弧四十八度二十一分求乙角一 甲數 二五○○○ 二(對弧餘弦减乙數之餘)八五五○三 半徑一○○○○○ 四鈍角餘弦三四二○二查表得七十度以減半周得一百一十度為乙角縂論曰甲數乙數原以角旁兩弧之正弦錯乗而得今改用加減故角旁兩弧一用正一用餘然有時餘弧大於正弧者角旁兩弧之合數必過象限也有時餘弧小於正弧者角旁兩弧之合必不及象限也若角旁兩弧之合適足象限則餘弧必與正弧等而無較弧又設子乙丙形 乙鈍角一百度 (乙丙乙子)二弧並四十五度求對角乙丙餘弧四十五度乙子 弧四十五度(半之為甲數)五○○○○ 則無可加亦(亦為乙數)五○○○○ 無可減故皆用縂弧正弦折半為甲數亦為乙數一 半徑一○○○○○二 (鈍角餘弦) 一七三六五三 甲數 五○○○○四 八六八二加乙數共 五八六八二(命為對弧矢)得對弧(餘弦) 四一三一八查表得對弧子丙六十五度三十六分若前例三邉求乙角乃置對弧六十五度三十六分之餘弦四一三一八求其矢得五八六八二丙減乙數五○○○○仍餘八六八二為二率一 甲數 五○○○○二 八六八二三 半徑一○○○○○四 (鈍角餘弦) 一七三六四查表得八十度以減半周得一百度為乙角之度補先數後數法前式丙乙丁形 乙角一百一十度 (乙丙乙丁)並三十度求丁丙對弧一 半徑方 一○○○○○○○○○○二 正弦方 二五○○○○○○○○三 乙角(大矢) 一三四二○二四 兩矢較 三三五五○對弧餘弦 六六四五○查表亦得四十八度二十一分此因角旁兩弧同度則無較弧之矢故徑以所得矢較命為對弧之矢前式子乙丙形 乙角一百度 (乙丙乙子)二弧並四十五度求對弧一 半徑方 一○○○○○○○○○○二 正弦方 五○○○○○○○○○三 角大矢 一一七三六五四 矢較 五八六八二(因無較弧矢故即為對弧矢)對弧餘弦 四一三一八查表亦得對弧子丙六十五度三十六分若先有對弧子丙而求乙角一 正弦方 五○○○○○○○○○二 半徑方 一○○○○○○○○○○三 對弧矢 五八六八二(因無較弧矢故即以對弧矢為矢較)四 角大矢 一一七三六五餘弦 一七三六五查表得八十度以減半周得乙鈍角一百度又設乙角六十度角旁(乙丙乙子)二弧並四十五度 求子丙對弧一 半徑方一○○○○○○○○○○二 正弦方 五○○○○○○○○○三 鋭角矢 五○○○○四 矢較 二五○○○ (無較弧即用為對弧矢)對弧餘弦 七五○○○查表得對弧五十三度○八分厯算全書卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書厯算全書卷十二宣城梅文鼎撰歳周地度合攷攷最髙行及歳餘古厯不知太陽有最髙之行郭太史時最髙卑正在二至難於窺測西厯自多禄某以來世有積測定最髙㸃每年東行四十五秒每太陽平行一度髙行七㣲半約八十年行天一度康熙庚申又改測每年行一分○一秒十㣲最髙㸃進移二十八分故辛酉天正冬至最髙在未宫七度○七分○七秒每太陽平行一度髙行十㣲一○四計五十八年十箇月○六日竒行天一度此永年表之新率也但最髙之度既改而又自有行動則每年歳實小餘之數必不均齊夫治厯首務太陽而太陽重在盈縮爰舉歴年髙行及四正相距時日前後互核以騐歳實之消長髙行之遲速列為一卷亦可為後來攷測之資云己未年最髙過夏至六度三十九分春分 甲戌日申正二刻六分中距九十三日十二刻十二分夏至 丁未日戌初三刻三分中距九十三日六十一刻秋分 辛巳日午初初刻三分 距本年(春分一百八十六日七十)(三刻十二分)中積八十九日四十五刻一分冬至 庚戌日亥正一刻四分 距本年(夏至一百八十三日一十)(刻一分)中積八十九日○八分按最髙行為盈縮立差之主其行有序今己未最髙在夏至後六度三十九分而次年庚申即行至七度七分一年之内驟行二十八分必另有新測矣庚申年最髙過夏至七度七分(按永年表所載者年前冬至之數七政厯所載本年)(夏至之數度分同)春分 己卯日亥正一刻十二分 距(己未秋分百七刻十八日四十五)中積九十三日十一刻 (九分己未春分三刻六分百六十五日卄三)夏至 癸丑日丑初初刻十二分 距(己未夏至三百六十五日卄一刻九分)中積九十三日六十一刻七分秋分 丙戌日申正三刻四分 距(本年春分百八十六日七十三刻七分)中積八十九日四十六刻(十三)分 (己未秋分三百六十五日二十三刻六分)冬至 丙辰日寅正二刻二分 距(巳未冬至三百六十五日卄四刻十三分)(本年夏至一百八十三日一十三刻六分)按最髙進移則夏至差而早冬至差而遲意者新測之冬至遲于先測耶又按歳餘二十四刻十三分于授時法得二千五百九十分必無是理其為改測無疑據向後數冬至距冬至春分距春分俱合得三百六十五日二十三刻四分(或五分三分)以較庚申歳實多一刻○九分必為改測矣壬戌年最髙過夏至七度九分春分 庚寅日巳正初刻六分中距九十三日十刻一十二分夏至 癸亥日午正三刻三分 距(庚申夏至七百三十日四十六刻六分)中距九十三日六十二刻九分秋分 丁酉日寅正一刻(十二)分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日四十七刻冬至 丙寅日申正初刻(十二)分 距(庚申冬至七百三十日四十六刻十分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日十三刻九分)癸亥年最髙過夏至七度十分春分 乙未日申初三刻九分 距(壬戌春分三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(十刻十二)分 (壬戌秋分一百七十分八日四十五刻十二)夏至 戊辰日酉正二刻六分 距(壬戌夏至三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(六十二刻)九分 (壬戌冬至一百八十二日九刻○九分)秋分 壬寅日己正一刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)一分 (壬戌秋分三百六十五日二十三刻三分)冬至 辛未日亥正初刻一分 距(壬戌冬至三百六十五日二十三刻四分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日一十三刻十分)甲子年最髙過夏至七度十一分春分 庚午日亥初二刻(十三)分 距(癸亥秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日(十刻)十一分 (癸亥春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲戌日子正一刻九分 距(癸亥夏至三百六十五日二十三刻○三分)中距九十三日(六十二刻)十分 (癸亥冬至一百八十二日九刻○八分)秋分 丁未日申正初刻四分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)一分 (癸亥秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 丁丑日寅初三刻五分 距(癸亥冬至三百六十五日二十三刻四分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日十三刻十一分)乙丑年最髙過夏至七度十二分春分 丙午日寅初二刻二分 距(甲子秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻九分 (甲子春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 己卯日卯正初刻(十一)分 距(甲子夏至三百六十五日二十三刻二分)中距九十三日(六十二刻十二)分 (冬至一百八十二日九刻六分)秋分 壬子日亥初三刻八分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)二分冬至 壬午日巳初二刻十分 距(甲子冬至三百六十五日二十三刻五分)中距八十八日(九十四刻十一)分 (本年夏至一百八十三日十三刻十四分)丙寅年最髙過夏至七度十三分春分 辛亥日巳初一刻六分 距(乙丑秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻八分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲申日午初三刻(十四)分 距(乙丑夏至三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(六十二刻十二)分 (冬至一百八十二日九刻四分)秋分 戊午日寅初二刻(十一)分 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中距八十九日(四十七刻)四分冬至 丁亥日申初二刻 距(乙丑冬至三百六十五日二十三刻六分)中積八十八日(九十四刻)十分 (本年夏至一百八十三日十四刻一分)按日行盈縮細攷之則春分距夏至夏至距秋分雖皆縮厯而其縮亦不同秋分距冬至冬至距春分雖皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同細求之則節節不同又細求之且日日不同矣其故何也葢最髙一㸃不在夏至而在其後數度又且年年移此太陽盈縮之根而歲實所以有消長也甲子年春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥年秋分(一百七十八日四十五刻十三)分 距癸亥年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 丁未日申正初刻四分 距春分一百八十六日七十三刻六分乙丑年春分 丙午日寅初二刻二分 距甲子年秋分(一百)(七十八日四十五刻十三)分 距甲子年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 壬子日亥初三刻八分 距本年春分(一百八十)(六日七十三刻)六分 距甲子年秋分(三百六十五日二十三刻四分)丙寅年春分 辛亥日巳初一刻六分 距乙丑年秋分(一百)(七十八日四十五刻十三)分 距乙丑年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 戊午日寅初二刻十一分 距本年春分(一百)(八十六日七十三刻)五分 距乙丑年秋分(三百六十五日二十三刻三分)以上二分定氣之距皆相同其春分至秋分日行最髙為縮厯多八日二十七刻八分惟丙寅年秋分早到一分只多八日二十七刻七分約之為八日二十七刻半按最髙半周多八日竒者非多八日也以較最卑半周故多八日竒若其本數只多四日有竒耳因最卑亦少四日竒故合之為八日竒熊䃪石乃謂本數多八日則所誤多矣假如乙丑秋分至丙寅秋分共三百六十五日卄三刻三分半之該一百八十二日五十九刻九分而丙寅春分至秋分得一百八十六日七十三刻五分則多四日一十三刻十一分 丙寅春分前距乙丑秋分得一百七十八日四十五刻十三分又少四日一十三刻十一分 合計之則為八日二十七刻七分半周均𣲖各一百八十二日竒者謂之恒氣半周有盈縮者謂之定氣相差八日竒者乃兩半周定氣相較之數非一半周定氣與其恒氣自相較之數也甲子年春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥春分三百六十五日二十三刻四分冬至 丁丑日寅初三刻五分 距癸亥冬至三百六十五日二十三刻四分乙丑年春分 丙午日寅初二刻二分 距前春分三百六十五日二十三刻四分冬至 壬午日巳初二刻十分 距前冬至三百六十五日二十三刻五分丙寅年春分 辛亥日己初一刻六分 距前春分三百六十五日二十三刻四分冬至 丁亥日申初二刻 距前冬至三百六十五日二十三刻五分右冬至之小餘皆卄三刻五分(或四分)春分之小餘皆卄三刻四分差一分以冬至論歳餘得授時萬分日法之二千四百三十○半分大于消分八分法以小餘五分為實刻十五分為法除之得三之一以從刻共得二十三刻又三之一為實九十六刻為法除之得○二四三○五進四位得二千四百三十分强(進四位者以萬乗也)若以春分論歳餘得授時萬分日法之二千四百二十三分六亦大于消分一分六法以卄三刻化三百四十五分并入四分得三百四十九分為實日法一千四百四十分為法除之得○二四二三六進四位得二千四百二十三分半强按授時消分為不易之法今復有長者何耶西法最髙之㸃在兩至後數度歳歳東移故雖冬至亦有加減不得以恒為定也此是兩法中一大節目其法自回回厯即有之然了凡先生頗采用回回法而不知此熊䃪石先生親與西儒論厯而亦不言及何耶丁卯年高冲過冬至七度十四分春分 丙辰日申初初刻十分 距(丙寅秋分一百七十八日四十五刻十四分)中積九十三日十刻七分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 己丑日酉初三刻二分 距(丙寅夏至三百六十五日二十三刻三分)中積九十三日(六十二刻十三)分 (冬至一百八十二日九刻二分)秋分 癸亥日己初二刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中積八十九日四(十七刻四)分 (丙寅秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 壬辰日亥初一刻四分 距(丙寅冬至三百六十五日二十三刻四分)中積八十八日九(十四刻十)分 (本年夏至一百八十三日十四刻二分)戊辰年髙冲過冬至七度十五分春分 辛酉日戍正三刻(十四)分 距(丁卯秋分一百七十八日四十五刻十四分)中積九十三日十刻六分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲午日夜子初(二刻)五分 距(丁卯夏至三百六十五日二十三刻三分)中積九十三日(六十二刻十四)分 (冬至一百八十二日九刻一分)秋分 戊辰日申初一刻四分 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中積八十九日四(十七刻六)分 (丁卯秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 戊戌日寅初初刻十分 距(丁卯冬至三百六十五日二十三刻六分)中積八十八日(九十四刻)七分 (本年夏至一百八十三日十四刻五分)己巳年髙冲過冬至七度十六分春分 丁卯日丑正三刻二分 距(戊辰秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻六分 (春分三百六十五日二十三刻三分)夏至 庚子日卯初一刻八分 距(戊辰夏至三百六十五日二十三刻三分)中積九十三日六十三刻 (冬至一百八十二日八刻十三分)秋分 癸酉日亥初初刻八分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中積八十九日(四十七刻)六分 (戊辰秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 癸卯日辰正三刻(十四)分 距(戊辰冬至三百六十五日二十三刻四分)中積八十八日(九十四刻)八分 (本年夏至一百八十三日十四刻六分)庚午年髙冲過冬至七度十七分春分 壬申日辰正(二刻)七分 距己巳(秋分一百七十八日四十五刻十四分)中積九十三日(十刻)四分 (春分三百六十五日卄三刻五分)夏至 乙巳日午初初刻(十一分) 距己巳(夏至三百六十五日二十三刻三分)中積九十三日六十(三刻) (冬至一百八十二日八刻十二分)秋分 己卯日丑正三刻(十一分) 距本年(春分一百八十六日七十三刻四分)中積八十九日(四十七刻七分) (己巳秋分二百六十五日廿三刻三分)冬至 戊申日未正三(刻三)分 距己巳(冬至三百六十五日廿三刻四分)中積八十八日(九十四刻七分) (本年夏至一百八十三日十四刻七分)辛未年髙冲過冬至七度十八分春分 丁丑日未正一刻(十分) 距(庚午秋分一百七十八日四十五刻十四)中積九十三日(十刻)三分 (分日春分三百六十五 廿三刻三分)夏至 庚戌日申正三(刻三十)分 距(庚午夏至三百六十五日二十三刻二分)中積九十三日(六十三刻二分) (冬至一百八十二日八刻十分)秋分 甲申日辰正三刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中積八十九日(四十七刻七分) (庚午秋分二百六十五日廿三刻四分)冬至 癸丑日戌正二(刻七)分 距(庚午冬至三百六十五日廿三刻四分)(本年夏至一百八十三日十四刻九分)按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共長一刻○三分(中積只十一年)壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分(中積共只八年)又合計癸亥夏至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相較一日○四刻(一分) 辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相較一日○五刻十四分八年中較數増一刻十三分然二分之相距則無甚差何也葢最髙移而東則夏至後多占最髙之度而減度加時之數益多故益長髙冲移而東則冬至後多占最卑之度而加度減時之數益多故益消其近二至處皆為加減差最大之處故消長之較已極也乃若二分與中距雖亦歳移而中距皆為平度不係加减其最髙前後視行小之度固全在春分後半周最髙冲前後視行大之度亦全在春分後半周毫無動移故無甚消長也西國月日攷攷回國聖人辭世年月回國聖人辭世年月據西域齋期(江寕至鴻堂刻單)以康熙庚午五月初三日起是彼中第九月一日謂之勒墨藏一名阿咱而月也至六月初三日開齋是彼中第十月一日謂之紹哇勒一名荅亦月是為大節再過一百日至九月十三日為彼中第一月第十日謂之穆哈蘭一名法而幹而丁月其日為阿叔喇濟貧之期謂之小節鼎嘗以回回厯法推算本年白羊一日入第六月之第八日與此正合又據齋期云本年庚午聖人辭世共計一千○九十六年(此太陽年)攷本單開聖人生死二忌在本年十一月十四日在彼為第三月謂之勒必歐勒傲勿勒又名虎而達查西域阿刺必年是開皇己未距今康熙為一千○九十二算減一為一千○九十一乃開皇己未春分至今康熙庚午春分之積年又查己未年春分在彼中為太陰年之第十二月初五日 以距算一千○九十一減聖人辭世千○九十六相差五年逆推之得開皇十四年甲寅為聖人辭世之年約計甲寅至己未此五年中節氣與月分差閏五十五日甲寅春分當在彼中第十月之初聖人辭世既是第三月則在春分月前七个月為處暑月即今七月也自開皇甲寅七月十四日聖人辭世至今康熈庚午七月十四日正得一千○九十六年故曰共計一千○九十六年也據此則開皇甲寅是彼中聖人辭世之年薛儀甫謂為回回厯葢以此而誤又按聖人以第三月辭世而其年春分則在第十月今彼以第十月一日為大節葢為此也攷泰西天主降生年月據天地儀書耶蘇降生至崇禎庚辰一千六百四十年算至康熈庚午一千六百九十年查康熙戊辰年瞻禮單誕辰在冬至後四日日躔箕宿七度 逆推漢哀帝庚申約差卝四度則是當時冬至在斗宿之末 約計耶蘇降生在冬至前二十餘日為小雪後四五日也自哀帝庚申十月算至隋開皇甲寅七月望回回教聖人馬哈木徳辭世實計五百九十四年不足兩箇多月攷厯書所紀西國年月萬厯十二年甲申西九月十五日日躔夀星二度 又十三年乙酉西九月卄八日日躔夀星十五度半萬厯十四年丙戌西十月(闕) 日日躔夀星二十九度又十五年丁亥西十月卝六日日躔大火十二度太萬厯十六年戊子西十一月初八日日躔大火二十六度太 又十七年己丑西十一月卝二日日躔析木十一度弱萬厯十八年庚寅西十二月初六日日躔析木卄五度又十九年辛卯西十二月卄一日日躔星紀九度萬厯二十三年乙未西正月三十日日躔𤣥枵卄一度萬厯三十五年丁未西七月初九日日躔鶉首廿六度五三 又三十七年己酉西七月廿一日日躔鶉火八度半萬厯三十八年庚戍西八月初二日日躔鶉火二十度又三十九年辛亥西八月十五日日躔鶉尾二度按此所紀皆是以日躔星紀二十度為正月初一日析木二十度(或十九度)為十二月朔 大火(十九)度(或二十度)為(十一)月朔 夀星十八度為十月朔 鶉尾十八度為九月朔 鶉火十九度(或十八度)為八月朔 鶉尾十八度為七月朔(此亦約畧之算細求之尚有太陽盈縮)又正德九年甲戌西五月初五日子正前日躔大梁二十二度四十分 是以大梁十九度為五月朔(所測在子正前)(西厯紀日月午正故曰十九度)正德十五年庚辰西四月三十日日躔大梁十七度四八 是以降婁十九度為四月朔又本年七月十三日日躔鶉火初度 是以鶉首十八度為七月朔嘉靖二年癸未西十一月卄九日日躔析木十五度五四 是以大火十八度為十一月朔嘉靖六年丁亥西十月初十日日躔夀星卄七度 是以夀星十八度為十月朔嘉靖八年己丑西二月初一日日躔𤣥枵廿一度 是以𤣥〔？〕廿一度為二月朔萬厯十年壬午西二月廿六日申初二刻日躔娵訾十七度四十九分四二 是以𤣥枵廿二度為二月朔萬厯十一年癸未西九月初六日日躔鶉尾廿三度是以鶉尾十八度為九月朔萬厯十四年丙戌西十二月廿六日申初二刻太陽在星紀宫十四度五十一分五三 是以析木十九度為十二月朔萬厯十六年戊子西十二月十五日巳初刻太陽在星紀三度五十三分 是以析本十九度為十二月朔萬厯十八年庚寅西二月初八日午正後三十四刻太陽視行在娵訾初四十秒 是以𤣥枵廿三度為二月朔又本年九月初七日子正日躔鶉尾二十四度 據此初一日鶉尾十八度萬厯廿一年癸巳西八月初十日日躔鶉火廿七度是以鶉火十八度為八月朔又漢順帝永建二年丁卯西三月廿六日酉正太陽在降婁一度十三分 是以娵訾七度為三月朔順帝陽嘉二年癸酉西六月初三日申正太陽在實沈九度四十分 是以實沈七度為六月朔順帝永和元年丙子西七月初八日午正太陽在鶉首十四度十四分 是以鶉首七度為七月朔又本年西八月三十一日九月初一太陽在鶉尾七度順帝永和二年丁丑西十月初八日太陽在夀星十四度 是以夀星七度為十月朔順帝永和三年戊寅西十二月廿二日子正前四時日躔析木九度十五分 據此初一日是大火八度當是十一月非十二月順帝陽嘉二年癸酉西五月十七十八日太陽在大梁二十三度 據此五月朔大梁七度按自漢順帝永建丁卯為總積四千八百四十年至明萬厯十二年甲申為總積六千二百九十七年相距一千四百五十七年相差十二三度即歳差之行也漢時月朔俱在各宫七八度之間萬厯間月朔俱在各宫之十八九度或卄一二度據此論之則西厯太陽年用恒星有定度其恒星節氣雖從歳差西行而每月之日次則以太陽到恒星某度為定千古不變也想西古厯法只是候中星每年某星到正中即是某月又按此法于歳差之理甚明但欲敬授民時則不如用節氣為妥天經或問欲以冬至日為第一月第一日可以免閏又可授時謂本于方無可先生然沈氏筆談已先有其説矣今查瞻禮單康熙丁卯年正月十八丁酉日 應西厯三月初一日(亥宫十度二十六分) (危十一度二三)二月二十戊辰日 應西厯四月初一日(戌宫十一度十三分) 壁六度二三二月二十戊戌日 應西厯五月初一日(酉宫十度二十九分) 婁十度五三四月廿二己巳日 應西厯六月初一日(申一十度十五分) 畢六度九分五月廿二己亥日 應西厯七月初一日(未八度四十九分) 井七度五一六月廿四庚午日 應西厯八月初一日(午八度二十一分) 柳二度二二七月廿五辛丑日 應西厯九月初一日(巳八度一十分) 張六度四八八月廿五辛未日 應西厯十月初一日(辰七度三十○分) 軫一度○四九月廿七壬寅日 應西厯十一月初一日(卯八度二十二分) 亢八度一八十月卄七壬申日 應西厯十二月初一日寅八度(四二) 心五度一八十一月(卄八)癸卯日 應西厯正月初一日(丑十度二十分) 斗四度二六十二月(三十)甲戌日 應西厯二月初一日(子十一度五十六分) 女四度三○據此則西國厯日是以建子之月為正月也其法不論太隂之晦朔只以太陽為主然又不論節氣但以太陽到斗宿四度為正月一日耳又其數與新法厯書所載不同豈彼國亦有改憲耶按西厯以午正紀日則以上宿度宜各加三十分依此推之歐羅巴之正月一日在斗宿五度新法厯書萬厯二十三年乙未西正月三十日太陽在𤣥枵卄一度于時日行盈厯逆推初一日是星紀卄一度以歳差攷之萬厯乙未至今丁卯距九十二年計差一度半弱其時星紀卄一度是斗十四度二法相較差十度必是改憲抑彼有多國各一其法耶又按今之斗四度是星紀十度逆推前此六百六十餘年則正是冬至日太陽所躔之度也當此北宋之初瞻禮單必是此時所定若厯書所載斗十四度則又在其前六百六十年距今丁卯共有一千三百二十餘年當在漢時葢其時冬至日躔斗十四度故以為歳首意者厯書所載故是古法而瞻禮單所定乃是新率耶由是觀之則耶蘇新教之起必不大逺又按西法以白羊宫初度為測算之端而紀月又首磨羯何耶曰測算論節氣是以太陽之緯度為主紀月論恒星是以太陽之經度為主故也地度弧角地度求斜距法有兩處北極髙度又有兩處相距之經度而求兩地相距之里數甲乙丙為赤道象弧丁為極(丁角之度為甲乙)戊甲距四十五度甲乙十度半(即經度之距亦即丁角)巳乙距四十度求戊巳之距法作戊庚丙象弧斜交于赤先求庚乙距以減巳乙得庚巳邊又求戊庚邊求庚角成戊庚巳小三角弧算戊庚巳小三角先有一角(庚)兩邊(一戊庚邊一已庚邊)而求已戊邊 法先作已辛垂弧截出戊辛邊并求戊角因得巳戊邊乃以度變成里此所得即大度若距赤同度則但以距赤道餘弦求其比例得里數一率 全 二率 距赤餘弦三率 大度里數(二百五十里)四率 緯圈里數如距赤四十五度依法算得離赤道四十五度之地每一度該一百七十六里二百八十步 如東西相距二十七度該四千七百七十二里三百五十歩弱論曰地有距赤緯度又有東西經度經度如句緯度相減之餘如股兩地斜距如弦既有句有股可以求弦而不可以句股法求者地圓故也又論曰此為一角兩邊而角在兩邊之中法當用斜弧三角法求其對角一邊之度變為里即里數也或用垂線分形法並同補論曰已㸃或在庚上或在其下其用庚角並同 但在下則當于庚乙内減巳乙而得己庚以里數求經度法或先有兩地相距之里數而不知經度法先求兩處北極髙度乃以兩髙度之餘為兩邊及相距里數變成度(用二百五十里大度)又為一邊成弧三角形 乃以三邊求角法求其對里數邊之一角即經度也論曰凡地經度原以月食時取其時刻差以為東西相距然月食歳不數見又必多人兩地同測始能得之况月天最近有氣刻時三差及朦影之改變髙度非精于測者不易得凖 今以里數求之較有把握 得此法與月食法相參伍庶幾無誤 凡以里數論差當取徑直若遇山林水澤峻嶺迴谷則以測量法求其折算之數而取直焉不但左右不宜旋繞曲折斯謂之直即髙下若干亦須用法取平若兩地極髙同度則但以距赤道餘弦(即極髙度正弦)求其比例得經度一率 距赤度餘弦二率 全數三率 里數所變之度(用二百五十里為度)四率 相應之經度(緯圏經度也與赤道大圏相應但里數小耳)論曰北極髙度雖有凖則然近在數十里内所争在分秒之間亦無大差今以里數凖之則當以正東西為主如自東至西之路合羅金卯酉中線斯為正度若稍偏側亦當以斜度改平然後算之視極髙度反似的確里差攷時憲厯各省太陽出入晝夜時刻京師 三十(九度五十五分)夏至晝五十九刻(七分)夜三十六刻(八分)盛京 四十(二度) (天問略無) 六十刻四分 三(十五)刻十(一分)山西 三十八度 五十八刻(八分) 三十七刻(七分)山東 朝鮮 (三十六度) 五十七(刻十三分) 三十八刻(二分)河南 陜西 (三十竒四度) 五十七刻(一分) 三十八(刻十四分)江南 三十二度半 五十六刻(六分) 三十九刻(九分)湖廣 三十一度 五十六刻(二分) 三十九(刻十三分)四川 三 十 度 五十(五刻)十(一分) 四十刻四分浙江 廿 九 度江西 二十九度 五十五刻(七分) 四十刻八分福建 廣西 (二十七度) 五十四(刻十二分) 四十一刻(三分)貴州 二十五度 五十四刻(四分) 四十一(刻十一分)雲南 二十四度 五十四刻 四十二刻廣東 二十三度半 五十三(刻十一分) 四十二刻(四分)此據壬申年厯日數也其刻數與天問略同者京師江南湖廣浙江江西雲南廣東也刻分同則極髙確矣山西天問略長五十八刻六分今八分是所差不多或字畫誤也其極髙三十八度應亦無訛山東天問略長五十八刻四分今只五十七刻十三分是極髙原測三十七度後改測三十六度也時憲厯各省節氣時刻以京師為主 在東者加 在西者減 毎加減四分為經度一度朝鮮 加二刻十分盛京 加二刻浙江 福建 加十二分江南 加八分山東 加五分以上地在京師之東皆加江西 減十分河南 湖廣 減一刻廣東 山西 減一刻五分廣西 陜西 減二刻四分貴州 減二刻八分四川 減三刻七分雲南 減四刻八分以上地皆在京師之西皆減天象同時並見而在東者早見日故其刻分加在西者遲見日故其刻分減假如京師正午時太陽在午線而居東者已見其過午矣故加居西者方見其將午到而猶未正午也故減陜西天問略長五十七刻十三分今只五十七刻一分是極高原測三十六度後改測三十四度奇也河南天問略長五十七刻七分今只五十七刻一分是極高原測三十五度後改測三十四奇也褔建天問略長五十四刻八分今有五十四刻十二分是極高原測二十六度後改測二十七度也廣西天問略長五十四刻四分今亦五十四刻十二分是極髙原測二十五度後改測二十七度也貴州天問略長五十四刻今有五十四刻四分是極髙原測二十四度半後改測二十五度也天問略四川極髙二十九度半江西二十九度南北緯度以北極髙下定 東西經度以月食時刻定地在東一度則見食早其差為十五分刻之四節朔同地在北則晝夜差多南則漸平仰規覆矩 以里差赤緯為用一查地平經度為日出入方位一查赤道經度為日出入時刻約法求每日出入地平廣度(春分至秋分在正卯酉北秋分至春分在正卯酉南)一率 大員半徑二率 極髙度割線三率 赤道緯度正弦四率 日出入卯酉正弦(地平經度)求每日晝刻長短(春分至秋分加秋分至春分減)皆加減半晝二十四刻為半晝刻一率 大員半徑二率 極髙度切線三率 赤道緯度切線四率 日出入加減度正弦(赤道經度) 以變時刻為加減之用求二至日出地廣度圖(廣者地平經度距正卯酉也即日出入方位舉二至為例餘日皆以赤緯定之)已丙極髙度 即甲角之弧(亦即乙甲丁之餘弧) 乙丁為夏至日距赤道之緯 即壬辛(其正弧辰乙即卯甲) 今求乙甲為夏至日出地平之廣(冬至)(同廣但夏至在卯酉北冬至在正卯酉南逐日赤緯)(皆可以此法求之得逐日出地之廣)用甲乙丁弧三角形 法為丙戊正弦與丙甲半徑若乙丁之正弦乙辰與乙甲也(乙甲即正弦庚丙戊正弦即北極髙度之餘弦 甲也以丙甲戊角)(即巳甲丙之餘角) 或用乙甲卯句股形 則為庚甲餘弦(巳甲)(丙角之餘弦)與巳甲半徑若壬辛之正弦卯甲與乙甲也末皆以乙甲查正弦表得弧為出地之廣(壬辛之正弦壬未與乙辰)(卯甲同大即知乙丁與壬辛亦同大而卯甲之弧亦與壬辛同大而今以直視竟成正弦)捷法 以比例尺取丙甲半徑於正弦線之九十度定尺乃以乙甲正弦取對度得弧命為出地之廣法曰半徑與北極出地之割線若赤道緯度正弦與地平出入經度距正卯酉之正弦也此圖已為南極 甲乙為冬至日出入之廣 卯乙為冬至日軌所減於半晝之度 與前圖同理量法從乙作直立線(與午)(甲平行)至戌得戌午弧即乙星出入地平距正卯酉經度(大圈即子午規側望之形故午)(甲線即正卯酉)求時刻法 若欲知卯乙在距等圏之度法以卯為心癸若壬為界作半圏次從卯心出半徑直線至乾平分半員成象限末於乙出線與卯乾半徑平行至象限弧止為乙坎則其所分坎乾之弧即卯乙在距等圏之度此度與甲丁赤道度相應可以知所歴時刻矣或用比例尺 以癸卯(即赤緯餘弦)為距等半徑加正弦線九十度定尺乃以卯乙取對度得弧又算法 求時刻加減度(謂逐日時刻所加減於半晝二十四刻之數春分後加秋)(分後減皆以度變時) 用前圖巳甲乙斜弧三角形 有甲角(極出)(地度)有巳甲邊九十度 有巳乙邊赤緯之餘(按用斜弧法厯書未)(有) 求巳角(其弧甲丁)赤道經度用查時刻法為半徑丙甲與甲角之切線酉丙若已乙之餘切亥丁(乙丁為巳乙之餘弦故也實即)(赤緯之正切也)與已角之正弦甲丁(甲丁即弧即正)(弦以直視故弧線變為直線用法以甲丁查正弦表得角度)右即夏至卯酉前後日行地平上之赤道度以距等圏上之卯乙即赤道上之甲丁以甲丁度化時即得本地卯正前酉正後所多之刻冬至日卯後酉前所減之度及其時刻並同(逐日求之可列表)求乙甲邊(地平經度查日出方位)此為求出地平之廣與前算法並同但用斜弧形故其名頓易 法為半徑丙甲與極出地甲角之割線酉甲若已乙之餘弦乙辰與乙甲邊(乙甲亦即邊即正弦) 末以乙甲邊查正弦表得乙甲邊之度厯算全書卷十二
## 自序
自序
授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積招差立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶載攷厯草並以盈縮日數離為六段各以段日除其叚之積度得數乃相減為一差一差乂相減為二差則其數齊同乃緣此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也於是以平差立差減之則為毎日之定差矣若其布立成法則直以立差六者因之以為毎日平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而試為思之其中原委亦自曉然爰命孫(瑴成)衍為垜積之圖得書一卷
## 自序
幾何補編自序
天學初函内有幾何原本六卷止於測面其七卷以後未經譯出葢利氏既歾徐李云亡遂無有任此者耳然厯書中往往有雜引之處讀者或未之詳也壬申春月偶見館童屈篾為燈詫其為有法之形(其製以六圈成一燈每圈勻為)(六折並周天六十度之通弦故知其為有法之形而可以求其比例然測量諸書皆未言及)乃覆取測量全義量體諸率實攷其作法根源(法皆自楞剖至心即皆成錐體)(以求其分積則總積可知)以補原書之未備而原書二十等面體之算嚮固疑其有誤者今乃徴其實數(測量全義設二十等面體之邊一百)(則其容積五十二萬三八○九今以法求之得容積二百一十八萬一八二八相差四倍)又幾何原本理分中末線亦得其用法(幾何原本理分中末線但有求作之法而莫知所用)(今依法求得十二等面及二十等面之體積因得其各體中稜線及輳心對角諸線之比例乂兩體互相容及)(兩體與立方立圓諸體相容各比例並以理分中末線為法乃知此線原非徒設)則西人之術固了不異人意也爰命之曰幾何補編
## 卷十三
欽定四庫全書厯算全書卷十三宣城梅文鼎撰授時平立定三差詳説太陽行天有盈有縮立成以八十八日九十一刻就整為限者(據盈厯言之)此由測驗而得之也葢自定氣冬至至定氣春分太陽行天一象限(依古法以九十一度三一竒為象限)該歴九十一日三十一刻有竒而今則不然毎於冬至後八十八日九十一刻而太陽已到春分宿度故盈厯以此為限也夫八十八日九十一刻而行天一象限則於平行之外多行二度四十分竒也是為盈厯之大積差若縮厯即其不及之數必行至九十三日竒而後滿一象限也故縮厯之限多於盈厯日數其積差極數亦與盈厯同但此盈縮之差絶非平派或自多而漸少或由少而漸多何以能得其毎日參差之數郭太史立為平立定三差法以齊其不齊可得毎日細差及積差其理則出於垜積招差之法也定差者何曰所測盈縮初日最大之差也凡盈縮末日即同平行其盈縮之最多必在初日今欲求逐日之差必先求初日最大之差以為之凖則故曰定差也既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆以漸而少法當用減故又有平差立差皆減法也然何以謂之平差曰平者平方也其差之増有類平方故以名之也差何以能若平方曰初日以後其盈縮漸減以至於平以常法論之數宜平派即用差分法足矣而合之測驗所得則又非平派也其近初日也所減甚少其近末日也所減驟多假如一日減平差一則二日宜減二而今則二日之平差増為四又初日平差一二日平差四則三日宜為七四日宜為十而今則三日之平差増為九四日増為十六故非平方垜積之加法不足以列其衰序也然則又何以為立差曰立者立方也差何以又若立方曰以平差合之測驗猶為未足故復設此以益之假如初日減平差一又帶減立差一至二日則平差四而所帶之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也乃二十七也葢必如此而後與所測之盈縮相應其分為六段何也曰此求差之法也一二日間雖各有盈縮之差然差少則難辨積至半次其差始多而可見矣故各就其盈縮之日匀分之一年二十四定氣分四象限各有六氣故其分亦以六也既匀分六段矣又以後段連前段何也曰此所謂招差也雖匀分六段其差積仍難細分故惟於初段用本數以其盈縮多而易見也(如盈厯初段積盈七千分是最多而易見也)若末段必帶前段以其盈縮少而難真也(如盈厯末段積差與第五段相減則其本)(段中只共盈七百四十九分數少難分故連前段論之)借彼易見之差以顯難真之數此立法之意也(以太陽盈差為例他倣此)然則各段平差不幾混乎曰無慮也凡前多後少之積差合總數而匀分之即得最中之率如第六段之平差即第四十四日之盈加分(以八十八日九二折半得四十四日四六即最中之處其)(本段平差二百七十餘分與之相應下倣此)第五段之平差即第三十七日之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四一之盈加分其數各有歸著雖連前段原無牽混也然則又何以有一差二差曰一差者差之較也二差者較之較也曷言乎差之較曰各段平差是盈縮於平行之數也其數初段多而末段少各段一差是相鄰兩限盈縮之較也其數初段少而末段反多然則二者若是其相反歟曰非相反也乃相成也葢惟其盈縮於平行之數既以漸而減則其盈縮自相差之數必以漸而増其法於前限平差内減次限平差即知前限之盈縮多於後限若干矣而此一差之數原非平派故初限次限之較最少而次限三限之較漸多三限四限之較又多四限五限更多至五限六限則多之極矣其多之極者何也盈縮之數近末限則驟減也此一差之前少後多正所以為盈縮之前多後少也然則二差又何以有齊數曰不齊者物之情也而不齊之中有所以不齊焉得其所以不齊斯可以齊其不齊矣今各限之一差不齊而前後兩一差相減則仍有齊數為二差是其不齊者差之較而其無不齊者較之較也較之較既為齊數則較數之不齊皆有倫而有脊矣故遂可據之以求定差也泛平積即用第一段平差何也曰今推定差初日之數也前所推第一段平差則第七日之數也故總第一段言之可曰平差而自初日言之但成泛積泛者對定之辭言必再有加減而後為定率也二差折半何也曰以分平差立差之實也葢泛平積差既為初日盈加分多於七日之較則皆此七日中平差立差所積而成之者也而平差之數大立差之數小泛平積之大數皆平差所成而其中有六十九秒(即半二差)則立差所成故分出此數以便各求其數也平差除一次立差除兩次何也曰此平立之分也除一次者段日本數為法也除兩次者段日自乘為法也於是再以段日乘之則本數者如平方之自乘自乘者如立方之再乘矣平立合差何也曰次限少於初限之差也内有兩平差六立差之共數故謂之合差(如盈厯以二分四十六秒為平差三十一微為立差)(今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微為平立合差是有)(兩平差六立差之數葢加分立差原是六個立差也)定差内又減一平差一立差為初日加分何也曰此初日加分之積少於定差之數也既以定差為初日加分矣而積又減此何也曰以定差為初日加分者乃初日最初之率也積滿一日則平差立差各有所減而特其減甚微故各祗一數如平方立方之起數以一也是故此一平差一立差者即初日平立合差也初日之平立合差何獨少耶曰准於平方立方之加法正相應也葢平方幂積以自乘之積為等(其數一四九十六二十五)(三十六四九六四八一也)立方體積以再乘之積為等(其數一八二十七六四百)(二十五二一六三四三五一二也)而平立合差之數亦如之是故初日之盈縮積是於定差内減一平差一立差如平方立方之根一者積亦一也次日之盈縮積是於二定差内減四平差八立差 如方根二者平積必四立積必八也三日之盈縮積是於三定差内減九平差二十七立差如方根三者平積必九立積二十七也四日之盈縮積是於四定差内減十六平差六十四立差如方根四者平積必十六立積必六十四也向後各限並同此推合而言之即皆逐日之平立合差也然則以一平差一立差較次日之四平差八立差固為小矣而以四平差八立差較三日之九平差二十七立差不更小乎何况以三較四則為九平差二十七立差與十六平差六十四立差其相差不更懸絶乎問次日之平立合差只兩平差六立差而今又云四平差八立差三日以後之平立合差只遞増六立差(逐日遞増)(加分立差一秒八十六微是六個立差之數)而今所云者三日有平差九立差二十七其説之不同如此必有一誤矣曰差之積類於平方立方者是總計其所減之數而毎加加分立差者是分論其逐日所減之數也欲明此理仍當求諸少廣(少廣者開方法也)今夫平方以一四九十六二十五等為序者其幂積也若分而言之以一三五七九為序者其廉隅也(以相挨兩平幂)(相減即得廉隅如一與四相減得三四與九相減得五九與十六相減得七十六與二十五相減得九是也)廉隅即較也而遞増以二數者較之較也(一三五七九皆遞増以二)今夫立方以一八二七六四一二五為序者其體積也若分而言之以七十九三七六一為序者其廉隅也(亦以)(相挨兩體積相減得之如一減八得七八減廿七得十九廿七減六十四得三十七六十四減一百二十五得)(六十一是也)廉隅即較也而遞増以六者較之較也(一増六得七七)(増二六得十九十九増三六得三十七三十七増四六得六一)是故平立差之總積是初日以來所積之差也亦如平立方之幂積體積也平立差之加法是逐日遞増之較也亦如平立方之廉隅也合初日以來之加分(即盈縮積度)與定差較則其差如平立方之幂積體積也(平差之序一四九十六二十五十立差之序一八二十七六四一二 五)若以本日之加分與定差較則其差如平立方之廉隅也(平差之序一三五七九十立差之序七十九三十七六 一)若以本日之平立合差與初日較如平立方之廉積(平差)(之増二四六八立差之増六十八三十六六十)若以相近兩日之平立合差自相較如平立方之廉積相較(平差之遞増皆二立差之遞増以六而再増十二為)(二六再増十八為三六再増二十四為四六也)於定差内減平差立差各一為初日加分又於初日加分内減去二平差六立差是共減平差四(本日實減三合初日所減之一則四)立差八(本日實減七合初日所減之一則八)而為次日加分也又於次日平立合差内加入六立差為平立合差(共二平差)(十二立差)以減次日加分是共減去平差九(本日實減平差五合前兩日所)(減四共九)立差二十七(本日實減立差十九合前日所減之八則二十七)而為三日加分也又於三日之平立合差内加六立差為平立合差(共二平差)(十八立差)以減三日加分是共減去平差十六(本日實減平差七合前三)(日所減之九則十六)立差六十四(本日實減立差三十七合前三日所減之二十七則六十四)而為四日加分也故曰合初日以來之加分與定差較其差如平立方之幂積體積而以本日之加分(即本日實減數)與定差較則如廉隅也若論布立成法則不言定差但以初日加分為根以平立合差減初日加分為次日加分是於初日加分内減二平差六立差也又以六立差倂入平立合差以減次日加分為三日加分是於次日加分内又減二平差十二立差於初日加分則為減四平差十八立差也又如上法再増六立差以減三日加分為四日加分是於三日加分内又減二平差十八立差於初日加分内則為減六平差三十六立差也故曰以平立合差與初日較若平立方之廉積而以相近兩日自相較如平立方之廉積相較也平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平差六因立差為平立合差之理也平方之相加以二者始終不變立方之相加以六者毎限遞増此向後立差遞増六數之理也盈縮招差圖説盈縮招差本為各一象限之法(如盈厯則以八十八日九十一刻為象限縮厯)(則以九十三日七十一刻為象限)今只作九限者舉此為例也其空格九行定差本數為實也其斜線以上平差立差之數為法也斜線以下空格之定差乃餘實也假如定差為一萬平差為一百立差為單一今求九限法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八十一並兩數九百八十一為法定差一萬為實法減實餘實九千○一十九即九限末位所書之定差也於是再以九限為法乘餘實得八萬一千一百七十一為九限積數本法以九限乗定差得九萬為實另置平差以九限乘二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十九並兩數得八千八百二十九為法以減實九萬得八萬一千一百七十一為九限積與前所得同本法是先乘後減用法是先減後乘其理一也初日減平差一庚也次日又減平差二甲也實減三並甲庚也合廉隅矣並計初日共減四合平方幂矣第三日又多減平差二乙也實減五並二甲二乙一庚也合廉隅矣並計前兩日共減九合平方幂矣第四日以後倣此推之中心甲一為初限所減立差即垜積形之頂加外圍六乙共七為次限所減立差平廉長廉各三隅一也並上層甲共八成根二之體積是為垜積形之第二層又加外圍丙十二共十九為三限所減立差三平廉共十二三長廉共六隅一也並上兩層共二十七合根三之體積是為垜積形之第三層又加外圍丁十八共三十七為四限所減立差三平廉共二十七三長廉共九隅一也並上三層共六十四合根四體積是為垜積形之第四層又加外圍戊二十四共六十一為五限所減立差三平廉共四十八三長廉十二隅一也並上三層共一百二十五合根五之體積是為垜積之第五層又加巳三十共九十一為六限立差其七十五為三平廉其十五為三長廉其一隅也並上層共二百一十六成體積是為垜積之第六層又加庚三十六共一百二十七為七限立差其百○八為三平廉其十八為三長廉其一隅也並上層成體積三百四十三是為垜積之第七層又加辛四十二共一百六十九為八限立差其百四十七為三平廉其二十一為三長廉其一隅也並上層共五百一十二如體積是為垜積之第八層此姑以八層為式向後倣此推之 因從甲頂平視故類六角平面其實如六角錐也立方廉隅而圖以錐形六角者以表其垜積招差之理也 甲恒為隅朱書者長廉餘則平廉立方之平廉長廉各三離居三方則成六角 六觚形以六抱一毎層増六與立方加法同所異者六觚平面而立方必并其積故以堆垜象之 若算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘見積與立方同以斜立面觀之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己六庚七辛八其底之數各如其層之數(如堆只三層則以三丙為底四)(層則四丁為底毎多一層其各面之底必多一數若辛下再加一層為壬必九數也)實計其毎面六觚之數則甲一乙七丙十九丁三十七戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九(前平)(視之圖乙為甲掩故但見外圍之六丙為乙掩故但見外圍十二餘皆若是也觀者當置身於髙處從甲頂俯)(視即得其理)皆以外圍之數為下層多於上層之數合計其堆垜之積則甲一乙八丙二十七丁六十四戊一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一十二(乙七並甲一成八丙十九並乙七甲一成二十七餘皆若是)其堆垜之積皆如其層數之立方(以底之一面餘乗又以層數乗之也)問平差之根是以段日除積差而得則毎日適得一平差今所減平差甚多殆非實數曰泛平積差是初日多於第七日之數(亦據盈厯言之)而平差之數既如段日則於日數為加倍(盈厯段日十四日竒以此分積差為毎日平差則平差共數亦十四竒於七日為加倍)今倍減平差正合積差原數豈患其多曰若然又何以能合平方曰以本日實減之數與定差較但取其銷盡積差已足(如第七日實減十三平差第八日實減十五平差七日有)(竒在其中半積差必當減盡)故其法若平方之廉隅若合計初日以來減過平差與初日以來定差相較則所減之積皆如平方自乘觀圖自明(如七日共數得四十九八日共數得六十四之類)又如立差以段日自乘除泛立積差而得故其數亦略如段日之自乗而毎日實減亦如立方之廉隅聊足以銷去積差(本日尚有餘秒後一日竒減盡)若合計初日以來共數則亦如立方再乗之積矣右圖以九限為例(九限以後倣論)定差設十萬平差設一千立差設單一如法以本日加法并之為平立合差(如圖平差立差)(各有加法故當並用)以平立合差減先日加分得本日加分合計從前加分為本日盈縮積(或以本日加分加先日盈縮積得本日盈縮積亦同)又簡法置定差内減平差立差各一為初日加分(又即為第一日盈縮積)别置平差倍之加入六立差為初日平立合差以後毎於平立合差内加入六立差為次日平立合差(餘同上)用定差法以日數乘立差得數加入平差再以日數乘之得數乃置定差以得數減之用其餘為實復以日數乘之得本日盈縮積置相近兩盈縮積相減得加分又置相近兩加分相減得平立合差亦同定差本法置定差以日數乘之得數為實又以日數自乘用乘平差得數以日數再自乘用乘立差得數平立兩得數并之為法法減實得盈縮積(餘同上)厯算全書卷十三
## 卷十四
欽定四庫全書厯算全書卷十四宣城梅文鼎撰冬至攷唐宋金元六家算冬至本術唐開元大衍厯(僧一行造)演紀上元閼逢困敦之歳距開元十二年甲子積九千六百九十六萬一千七百四十算通法三千○四十策實百一十一萬○三百四十三策餘萬五千九百四十三策實乘積算曰中積分盈通法而一為積日爻數去之餘起甲子算外得天正中氣辰法七百六十(即半辰法) 刻法三百○四凡發斂加時各置其小餘以六爻乘之辰法而一為半辰之數不盡進位六約為分分滿刻法為刻命辰起子半算外唐宣明厯(徐昻造)通法曰統法策實曰章歳策餘曰通餘爻數曰紀法通紀法為分曰旬周章歳乘年曰通積分演紀上元甲子至長慶二年壬寅積七百○七萬○一百三十八算外統法八千四百章嵗三百○六萬八千○五十五通餘四萬四千○五十五刻法八十四辰法七百 半辰法三百五十宋崇寧紀元厯演紀上元上章執徐之歳距元符三年庚辰嵗積二千八百六十一萬三千四百六十算至崇寧五年丙戌歳積二千八百六十一萬三千四百六十六算日法七千二百九十辰法一千二百一十五 半辰法六百○七半刻法七百二十九期實二百六十六萬二千六百二十六歳周三百六十五日餘一千七百七十六旬周四十三萬七千四百紀法六十置積年期實乘之為氣積分滿旬周去之不滿日法而一為大餘命己卯即所求天正冬至日辰及餘其小餘倍之辰法而一為辰數不滿五因刻法而一為刻數勿菴法小餘進一位刻法收之為刻不盡為刻分刻加二退位得時金趙知微重修大明厯演紀上元甲子距大定二十年庚子八千八百六十三萬九千六百五十六年(大定庚子)(即宋孝宗淳熈七年距元至元辛巳一百一年)日法五千二百三十分歳實一百九十一萬○二百二十四通餘二萬七千四百二十四旬周三十一萬三千八百紀法六十歳實乘積年為通積分旬周去之不滿日法約之為大餘命甲子辰法二千六百一十五 半辰法一千三百○七半刻法三百一十三秒八十凡小餘六因之辰法除之不盡刻法除之為刻宋統天厯演紀上元甲子歳距紹熈五年甲寅積三千八百三十(至慶元己未歳積三千八百三十五至至元辛巳歳積三千九百一十七)策法一萬二千歳分四百三十八萬二千九百一十 餘六萬二九一氣差二十三萬七千八百一十一(法通得一十九日八一七五)斗分差一百二十七紀實七十二萬歳分乘積算氣差減之為氣汎積積算距算相減為距差斗分差乘之萬約(萬約者萬分為分萬)(秒為秒也半以上收為秒半以下則棄之矣)為躔差(小分半以上從秒一)復以距差乘之(秒半以上從分一)以減汎積為氣定積滿紀實去之餘如策法而一為大餘(如其年無躔差及距差乘躔差不滿秒以上者以汎為定)鼎按此即授時厯加減嵗餘法也積算減距算為距差者距紹熈甲寅為算也斗分差乘距差為躔差者百年加減一分也授時毎百年加減一分統天則一分零六秒弱復以距差乘躔差者百年加減一分竒而又以其距年乘之也假如百年授時加減積百分統天則百有六分弱減汎積為定者授時不立元明以當時所測截算為主故有上考下求之别而加減亦明統天則雖以當時所測截算為主而又立元故只用減所求在距算以後減之則冬至差而早早則其嵗實減矣所求在距算以前減之則冬至益早早則其嵗實加矣減之而歳實減人知之減之而嵗實加人不知之此算家轉換之法也若距差乘躔差不滿秒半以上者是所求正在紹熈前後百年内其嵗實平故無加減而以汎為定元授時厯(許衡王恂郭守敬造)不用積年據實測至元十八年辛巳嵗前天正冬至為元上考下求皆距此起算日法一萬分 紀法六十萬嵗實三百六十五萬二四二五(上考者毎百年長一分下求者毎百年消)(一分)氣應五十五萬六百分距算乘嵗實為中積加氣應為通積滿紀法去之得數為天正冬至 上考者以氣應減中積為通積滿紀法去之餘以減紀法得數為冬至(並起甲子算外命其日辰)小餘以十二乘之滿萬為一時命起子正滿五千又進一時命起子初算外得時不滿者以一千二百除之為刻春秋以來冬至日名六厯異同詳衍(按春秋以來冬至多矣而所攷只此者以其測驗之可據也厯議原載四十八事今攷獻公在春秋前無)(信史可徴故刪之而以左傳僖公一條為首實四十七事也)魯僖公五年丙寅歳正月辛亥朔旦冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬○三百六十二)中積分(一百○七兆六千五百九十二)(億五千九百二十二萬四千一百六十六)冬至(大餘四十七日小餘二千八百八十六)辛亥日(九十四刻太强)亥正三刻宣明厯(積算七百○六萬八千六百六十二)通積分(二十一兆六千八百七十○億四千)(三百七十九萬二千四百一十)冬至(大餘四十七日小餘五千六百一十)辛亥日(六十六刻太强)申正初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬一千七百○六)氣積分(七十六兆一千八百二十二億)(七千二百二十九萬九千九百五十六)冬至(大餘三十三日小餘六千一百八十六)壬子日(八十四刻太强)戌正一刻統天厯(積算一千九百八十二)距差(一千八百四十分)躔差(二十三八五)減分(四萬三千四百二十八)氣汎積(八十六億八千六百六十八萬九千八百○九)氣定積(八十六億八千六百六十四萬六千三百七十一)冬至(大餘四十七日小餘二千)辛亥日(一十九刻太强)寅正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬七千八百二十二)通積分(一百六十九兆)(三千一百八十○億九千四百八十九萬二千一百二十八)冬至(大餘四十八日小餘四千)壬子日(八十九刻半强)亥初二刻授時厯(距算一千九百三十五)歳餘(二四四四)中積分(七十○億六千七百四十)(七萬九一四○)通積分(七十○億六千六百九十二萬八五四○)冬至(四十七萬一四)(六○)辛亥日(一十四刻半强)寅初二刻魯昭公二十年己夘歳正月己丑朔旦冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬○四百九十四)中積分(一百○七兆六億千五百九十四)(○六百八十九萬九千七百八十五)冬至(大餘二十五日小餘一千三百八十五)己丑日(四十五刻半强)已正三刻宣明厯(積算七百○六萬八千七百九十四)通積分(二十一兆六千八百七十四億五千)(一百八十四萬三千七百二十五)冬至(大餘二十五日小餘一千七百二十五)己丑日(二十刻半强)寅正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬一千八百三十八)氣積分(七十六兆一千八百二十)(六億二千六百四十二萬九千二百一十四)冬至(大餘一十一日小餘一千八百二十四)庚寅日(二十五刻少弱)卯正初刻統天厯(積算二千一百一十五)距差(一千七百一十五)躔差(二十一分八)減分(三萬七千三百八十七)氣汎積(九十二億六千九百六十一萬六千八百三十九)氣定積(九十二億六千九百五十七萬九千四百五十二)冬至(大餘二十四日小餘)(一萬一千四百五十二)戊子日(九十五刻半弱)亥正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬七千九百五十五)通積分(一百六十九兆)(三千一百八十三億四千八百九十五萬一千九百二十)冬至(大餘二十六日小餘一千五百)庚寅日(二十九刻半弱)辰初初刻授時厯(距算一千八百○二)歳餘(二四四三)中積分(六十五億八千一百七十○萬)(二二八六)通積分(六十五億八千一百一十五萬一六八六)冬至(二十四萬八三一四)戊子日(八十三刻强)戌初三刻劉宋文帝元嘉十二年乙亥歳十一月十五日戊辰景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十二)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億六千九百四十九萬八千○三十六)冬至(大餘四日小餘一千○七十六)戊辰日(三十五刻少强)辰正二刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十二)通積分(二十一兆六千九百○二億八千七)(百九十七萬二千三百六十)冬至(大餘四日小餘二千七百六十)戊辰日(三十二刻太强)辰初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千七百九十六)氣積分(七十六兆一千八百五十)(一億七千四百五十六萬二千二百九十六)冬至(大餘四十九日小餘二千八百八十六)戊辰日(三十九刻半強)巳初二刻統天厯(積算三千○七十二)距差(七百五十八)躔差(九分六)減分(七千二百)(七十七)氣汎積(一百三十四億六千四百○六萬一千七百○九)氣定積(一百)(三十四億六千四百○五萬四千四百三十二)冬至(大餘四日小餘六千四百三十二)戊辰日(五十三刻半强)午正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十二)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億七千七百○三萬六千二百八十八)冬至(大餘四日小餘二千一百六十)戊辰日(四十一刻半弱)巳初三刻授時厯(距算八百四十五)歳餘(二四三三)中積分(三十○億八千六百三十○萬)(五八八五)通積分(三十○億八千五百七十五萬五二八五)冬至(四萬四七一五)戊辰日(四十七刻强)午初一刻元嘉十三年丙子歳十一月二十六日甲戌景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十三)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千○六十○萬八千三百七十九)冬至(大餘九日小餘一千八百一十九)癸酉日(五十九刻太强)未正一刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十三)通積分(二十一兆六千九百○三億九千一)(百○四萬○四百一十五)冬至(大餘九日小餘四千八百一十五)癸酉日(五十七刻少强)未初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千七百九十七)氣積分(七十六兆一千八百五十)(一億七千七百二十二萬四千九百二十二)冬至(大餘五十四日小餘四千六百六十二)癸酉日(六十四刻弱)申初一刻統天厯(積算三千○七十三)距差(七百五十七)躔差(九分六)減分(七千二百)(六十七)氣汎積(一百三十四億六千八百四十四萬四千六百一十九)氣定積(一百三十四億六千八百四十三萬七千三百五十二)冬至(大餘九日小餘九千三百五十)癸酉日(七十七刻太强)酉正二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十三)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億七千八百九十四萬六千五百一十二)冬至(大餘九日小餘三千四百四十)癸酉日(六十五刻太强)申初三刻授時厯(距算八百四十四)歳餘(二四三三)中積分(三十○億八千二百六十五萬)(三四五二)通積分(三十○億八千二百一十○萬二八五二)冬至(九萬七一四八)癸酉日(七十一刻半弱)酉初初刻 先一日元嘉十五年戊寅歳十一月十八日甲申景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十五)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千二百八十二萬九千○六十五)冬至(大餘二十日小餘二百六十五)甲申日(八刻太弱)丑正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十五)通積分(二十一兆六千九百○三億九千七)(百一十七萬六千五百二十五)冬至(大餘二十日小餘五百二十五)甲申日(六刻少)丑初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千七百九十九)氣積分(七十六兆一千八百五十)(一億八千二百五十五萬○一百七十四)冬至(大餘五日小餘九百二十四)甲申日(一十二刻半强)寅初初刻統天厯(積算三千○七十五)距差(七百五十五)躔差(九分六)減分(七千二百)(四十八)氣汎積(一百三十四億七千七百二十一萬○四百三十九)氣定積(一百)(三十四億七千七百二十○萬三千一百九十一)冬至(大餘二十日小餘三千一百九十一)甲申日(二十六刻半强)卯正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十五)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億八千二百七十六萬六千九百六十)冬至(大餘二十日小餘七百六十)甲申日(一十四刻半强)寅初二刻授時厯(距算八百四十二)歳餘(二四三三)中積分(三十○億七千五百三十四萬)(八五八六)通積分(三十○億七千四百七十九萬七九八六)冬至(二十○萬二○一四)甲申日(二十刻强)寅正三刻元嘉十六年己卯嵗十一月二十九日己丑景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十六)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千三百九十三萬九千四百○八)冬至(大餘二十五日小餘一千○○八)己丑日(三十三刻强)辰初三刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十六)通積分(二十一兆六千九百○四億○○二)(十四萬四千五百八十)冬至(大餘二十五日小餘二千五百八十)己丑日(三十刻太弱)辰初一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千八百)氣積分(七十六兆一千八百五十一億八千)(五百二十一萬二千八百)冬至(大餘一十日小餘二千七百)己丑日(三十七刻强)辰正三刻統天厯(積算三千○七十六)距差(七百五十四)躔差(九分六)減分(七千二百)(三十八)氣汎積(一百三十四億八千一百五十九萬三千三百四十九)氣定積(一百三十四億八千一百五十八萬六千一百一十一)冬至(大餘二十五日小餘六千一百)己丑日(五十刻太强)午正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十六)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億八千四百六十七萬七千一百八十四)冬至(大餘二十五日小餘二千○三)己丑日(三十八刻太强)巳初一刻授時厯(距算八百四十一)歳餘(二四三三)中積分(三十○億七千一百六十九萬)(六一五三)通積分(三十○億七千一百一十四萬五五五三)冬至(二十五萬四四四七)己丑日(四十四刻半弱)巳正二刻元嘉十七年庚辰歳十一月初十日甲午景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十七)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千五百○四萬九千七百五十一)冬至(大餘三十日小餘一千七百五十一)甲午日(五十七刻半强)未初三刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十七)通積分(二十一兆六千九百○四億○三百)(三十一萬二千六百三十五)冬至(大餘三十日小餘四千六百三十五)甲午日(五十五刻少弱)未初初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千八百○一)氣積分(七十六兆一千八百五十一億)(八千七百八十七萬五千四百二十六)冬至(大餘一十五日小餘四千四百七十六)甲午日(六十一刻半弱)未正三刻統天厯(積算三千○七十七)距差(七百五十三)躔差(九分六)減分(七千二百)(二十九)氣汎積(一百三十四億八千五百九十七萬六千二百五十九)氣定積(一百三十四億八千五百九十六萬九千○三十○)冬至(大餘三十日小餘九千○三十○)甲午日(七十五刻少)酉正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十七)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億八千六百五十八萬七千四百○八)冬至(大餘三十日小餘三千三百○)甲午日(六十三刻少)申初初刻授時厯(距算八百四十)歳餘(二四三三)中積分(三十○億六千八百○四萬三七二)(○)通積分(三十○億六千七百四十九萬三千一百二十○)冬至(三十○萬六八)(八○)甲午日(六十八刻太强)申正二刻元嘉十八年辛巳嵗十一月二十一日己亥景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千六百一十六萬○○九十四)冬至(大餘三十五日小餘二千四百九十四)己亥日(八十二刻强)戌初二刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十八)通積分(二十一兆六千九百○四億○六百)(三十八萬○六百九十)冬至(大餘三十五日小餘六千六百九十)己亥日(七十九刻少弱)酉正四刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千八百○二)氣積分(七十六兆一千八百五十一億)(九千○五十三萬八千○五十二)冬至(大餘二十日小餘六千二百五十二)己亥日(八十五刻太强)戌正二刻統天厯(積算三千○七十八)距差(七百五十二)躔差(九分六)減分(七千二百)(一十九)氣汎積(一百三十四億九千○三十五萬九千一百六十九)氣定積(一百)(三十四億九千○三十五萬一千九百五十○)冬至(大餘三十五日小餘一萬一千九百五十)(○)己亥日(九十九刻半强)夜子初三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十八)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億八千八百四十九萬七千六百三十二)冬至(大餘三十五日小餘四千五百)己亥日(八十七刻半强)亥初初刻授時厯(距算八百三十九)歳餘(二四三三)中積分(三十○億六千四百三十九萬)(一千二百八七)通積分(三十○億六千三百八十四萬○六八七)冬至(三十五萬九三)己亥日(九十三刻强)亥正一刻元嘉十九年壬午歳十一月初三日乙巳景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百五十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億七千七百二十七萬○四百三十七)冬至(大餘四十一日小餘一百九十七)乙巳日(六刻半弱)丑初二刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百五十九)通積分(二十一兆六千九百○四億○九百)(四十四萬八千七百四十五)冬至(大餘四十一日小餘三百四十五)乙巳日(四刻强)子正四刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千八百○三)氣積分(七十六兆一千八百五十一億)(九千三百二十○萬○六百七十八)冬至(大餘二十六日小餘七百三十八)乙巳日(一十刻强)丑正一刻統天厯(積算三千○七十九)距差(七百五十一)躔差(九分五)減分(七千一百)(三十四)氣汎積(一百三十四億九千四百七十四萬二千○七十九)氣定積(一百)(三十四億九千四百七十三萬四千九百四十五)冬至(大餘四十一日小餘二千九百四十)乙巳日(二十四刻半弱)卯初三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百一十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百○一億九千○四十○萬七千八百五十六)冬至(大餘四十一日小餘六百二十)乙巳日(一十二刻弱)丑正三刻授時厯(距算八百三十八)歳餘(二四三三)中積分(三十○億六千○七十三萬八)(千八百五十四)通積分(三十○億六千○一十八萬八二五四)冬至(四十一萬一七)乙巳日(一十七刻半弱)寅正初刻孝武帝大明五年辛丑嵗十一月乙酉冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬一千四百七十八)中積分(一百○七兆六千六百○)(四億九千八百三十六萬六千九百五十四)冬至(大餘二十日小餘二千一百五十四)甲申日(七十刻太强)申正四刻宣明厯(積算七百○六萬九千七百七十八)通積分(二十一兆六千九百○四億六千七)(百七十四萬一千七百九十)冬至(大餘二十日小餘五千七百九十)甲申日(六十九刻弱)申正二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千八百二十二)氣積分(七十六兆一千八百五十)(二億四千三百七十九萬○五百七十二)冬至(大餘五日小餘五千三百二十二)甲申日(七十三刻强)酉初二刻統天厯(積算三千○九十八)距差(七百三十二)躔差(九分三)減分(七千八百)(○八)氣汎積(一百三十五億七千八百○一萬七千三百六十九)氣定積(一百三十)(五億七千八百○○萬九千五百六十一)冬至(大餘二十日小餘九千五百六十一)甲申日(七十九刻太弱)戌初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬八千九百三十八)通積分(一百六十九兆)(三千二百○二億二千六百七十○萬二千一百一十二)冬至(大餘二十日小餘三千九百一)甲申日(七十四刻太强)酉正一刻授時厯(距算八百一十九)嵗餘(二四三三)中積分(二十九億九千一百三十四萬)(二千六百二七)通積分(二十九億九千○七十九萬二○二七)冬至(二十○萬七九)甲申日(七十九刻太弱)戌初初刻 先一日陳文帝天嘉六年乙酉嵗十一月庚寅景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百八十二)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億一千三百八十四萬二千六百二十六)冬至(大餘二十六日小餘三百八十六)庚寅日(一十二刻太弱)寅初初刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百八十二)通積分(二十一兆六千九百○七億八千六)(百八十一萬九千五百一十)冬至(大餘二十六日小餘一千一百一十)庚寅日(一十三刻少弱)寅初初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百二十六)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億二千○七十○萬三千六百七十六)冬至(大餘一十一日小餘四百八十六)庚寅日(六刻太弱)丑初二刻統天厯(積算三千二百○二)距差(六百二十八)躔差(八分)減分(五千○二十四)氣汎積(一百四十○億三千三百八十四萬○○○九)氣定積(一百四十○億三千)(三百八十三萬四千九百八十五)冬至(大餘二十六日小餘二千九百八十五)庚寅日(二十四刻太强)卯初四刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○四十二)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億二千五百三十六萬五千四百○八)冬至(大餘二十六日小餘四百二十八)庚寅日(八刻少弱)丑初四刻授時厯(距算七百一十五)歳餘(二四三二)中積分(二十六億一千一百四十八萬)(八千八百八十)通積分(二十六億一千○九十三萬八千二百八十)冬至(二十六萬)(一七二○)庚寅日(一十七刻强)寅正初刻臨海王光大二年戊子嵗十一月乙巳景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百八十五)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億一千七百一十七萬三千六百五十五)冬至(大餘四十一日小餘二千六百一十五)乙巳日(八十六刻强)戍正二刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百八十五)通積分(二十一兆六千九百○七億九千六)(百○二萬三千六百七十五)冬至(大餘四十一日小餘七千二百七十五)乙巳日(八十六刻半强)戌正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百二十九)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億二千八百六十九萬一千五百五十四)冬至(大餘二十六日小餘五千八百一十四)乙巳日(七十九刻太强)戍初初刻統天厯(積算三千二百○五)距差(六百二十五)躔差(七分九)減分(四千九百)(三十八)氣汎積(一百四十○億四千六百九十八萬八千七百三十九)氣定積(一百四十○億四千六百九十八萬三千八百○一)冬至(大餘四十一日小餘一萬一千八百)(○一)乙巳日(九十八刻少强)夜子初二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○四十五)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億三千一百○九萬六千○八十)冬至(大餘四十一日小餘四千二百五十)乙巳日(八十一刻少强)戌初二刻授時厯(距算七百一十二)歳餘(二四三二)中積分(二十六億○○五十三萬一千)(五百八四)通積分(二十五億九千九百九十八萬○九百八十有四)冬至(四十一萬)(九○一六)乙巳日(九十刻强)戌初二刻宣帝太建四年壬辰嵗十一月二十九日丁卯景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百八十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億二千一百六十一萬五千○二十七)冬至(大餘二日小餘二千五百四十七)丙寅日(八十三刻太强)戌正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百八十九)通積分(二十一兆六千九百○八億○八百)(二十九萬五千八百九十五)冬至(大餘二日小餘七千○九十五)丙寅日(八十四刻半弱)戌正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百三十三)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億三千九百三十四萬二千○五十八)冬至(大餘四十七日小餘五千六百二十八)丙寅日(七十七刻少弱)酉正二刻統天厯(積算三千二百○九)距差(六百二十一)躔差(七分九)減分(四千九百)(○六)氣汎積(一百四十○億六千四百五十二萬○三百七十九)氣定積(一百四十)(○億六千四百五十一萬五千四百七十三)冬至(大餘二日小餘一萬一千四百七十三)丙寅日(九十五刻半强)亥正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○四十九)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億三千八百七十三萬六千九百七十六)冬至(大餘二日小餘四千一百一十六)丙寅日(七十八刻太弱)酉正三刻授時厯(距算七百○八)歳餘(二四三二)中積分(二十五億八千五百九十二萬一八)(五六)通積分(二十五億八千五百三十七萬一二五六)冬至(二萬八七四四)丙寅日(八十七刻半弱)戌正四刻 先一日太建六年甲午嵗十一月二十日丁丑景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百九十一)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億二千三百八十三萬五千七百一十三)冬至(大餘一十三日小餘九百九十三)丁丑日(三十二刻半强)辰初三刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百九十一)通積分(二十一兆六千九百○八億一千四)(百四十三萬二千○○五)冬至(大餘一十三日小餘二千八百○五)丁丑日(三十三刻少强)辰正初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百三十五)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億四千四百六十六萬七千三百一十)冬至(大餘五十八日小餘一千六百九十)丁丑日(二十三刻少弱)卯初二刻統天厯(積算三千二百一十一)距差(六百一十九)躔差(七分九)減分(四千)(八百九十○)氣汎積(一百四十○億七千三百二十八萬六千一百九十九)氣定積(一百四十○億七千三百二十八萬一千三百○九)冬至(大餘一十三日小餘五千三百)(○九)丁丑日(四十四刻少弱)巳正二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○五十一)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億四千二百五十五萬七千四百二十四)冬至(大餘一十三日小餘一千四百三十)丁丑日(二十七刻半弱)卯正二刻授時厯(距算七百○六)嵗餘(二四三二)中積分(二十五億七千八百六十一萬六九)(九二)通積分(二十五億七千八百○六萬六三九二)冬至(一十三萬三六○八)丁丑日(三十六刻强)辰正四刻太建九年丁酉嵗十一月二十三日壬辰景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百九十四)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億二千七百一十六萬六千七百四十二)冬至(大餘二十九日小餘一百八十二)癸巳日(六刻弱)丑初一刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百九十四)通積分(二十一兆六千九百○八億二千三)(百六十三萬六千一百七十)冬至(大餘二十九日小餘五百七十)癸巳日(六刻太强)丑初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百三十八)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億五千二百六十五萬五千一百八十八)冬至(大餘一十三日小餘七千二百一十八)壬辰日(九十九刻强)夜子初三刻統天厯(積算三千二百一十四)距差(六百一十六)躔差(七分八)減分(四千)(八百○五)氣汎積(一百四十○億八千六百四十三萬四千九百二十九)氣定積(一百四十○億八千六百四十三萬○一百二十四)冬至(大餘二十九日小餘二千一百二十)癸巳日(一十七刻太弱)寅正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○五十四)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億四千八百二十八萬八千○九十六)冬至(大餘二十九日小餘二十六)癸巳日(半刻弱)子正初刻授時厯(距算七百○三)歳餘(二四三二)中積分(二十五億六千七百六十五萬九六)(九六)通積分(二十五億六千七百一十○萬九○九六)冬至(二十九萬○九○四)癸巳日(九刻强)丑正初刻 後一日太建十年戊戌歳十一月五日戊戌景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千五百九十五)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億二千八百二十七萬七千○八十五)冬至(大餘三十四日小餘九百二十五)戊戌日(三十刻半弱)辰初一刻宣明厯(積算七百○六萬九千八百九十五)通積分(二十一兆六千九百○八億二千六)(百七十○萬四千二百二十五)冬至(大餘三十四日小餘二千六百二十五)戊戌日(三十一刻少)辰初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百三十九)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億五千五百三十一萬七千八百一十四)冬至(大餘一十九日小餘一千七百○四)戊戌日(二十三刻少强)卯初二刻統天厯(積算三千二百一十五)距差(六百一十五)躔差(七分八)減分(四千)(七百九十七)氣汎積(一百四十○億九千○八十一萬七千八百三十九)氣定積(一百四十○億九千○八十一萬三千○四十二)冬至(大餘三十四日小餘五千○四十二)戊戌日(四十二刻强)巳正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○五十五)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億五千○一十九萬八千三百二十)冬至(大餘三十四日小餘一千三百)戊戌日(二十四刻太强)卯初四刻授時厯(距算七百○二)歳餘(二四三二)中積分(二十五億六千四百○○萬七二六)(四)通積分(二十五億六千三百四十五萬六六六四)冬至(三十四萬三三三六)戊戌日(三十三刻少强)辰正初刻隋文帝開皇四年甲辰歳十一月十一日己巳景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百○一)中積分(一百○七兆六千六百○六億)(三千四百九十三萬九千一百四十三)冬至(大餘五日小餘二千三百四十三)己巳日(七十七刻强)酉正二刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百○一)通積分(二十一兆六千九百○八億四千五)(百一十一萬二千五百四十五)冬至(大餘五日小餘六千五百四十五)己巳日(七十八刻弱)酉正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百四十五)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億七千一百二十九萬三千五百七十)冬至(大餘五十日小餘七千○七十)己巳日(九十七刻弱)夜子初一刻統天厯(積算三千二百二十一)距差(六百○九)躔差(七分七)減分(四千六百)(八十九)氣汎積(一百四十一億一千七百一十一萬五千二百九十九)氣定積(一百四十一億一千七百一十一萬○六百一十)冬至(大餘五日小餘一萬○六百一十)己巳日(八十八刻半弱)戌初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○六十一)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億六千一百六十五萬九千六百六十四)冬至(大餘五日小餘三千七百一十四)己巳日(七十一刻强)酉初初刻授時厯(距算六百九十六)嵗餘(二四三一)中積分(二十五億四千二百六十九萬)(一九七六)通積分(二十五億四千二百一十四萬一三七六)冬至(五萬八六二四)己巳日(八十六刻少)戌正二刻開皇五年乙巳嵗十一月二十二日乙亥景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百○二)中積分(一百○七兆六千六百○六億)(三千六百○四萬九千四百八十六)冬至(大餘一十一日小餘四十六)乙亥日(一刻半强)子正一刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百○二)通積分(二十一兆六千九百○八億四千八)(百一十八萬○六百一十)冬至(大餘一十一日小餘二百一十)乙亥日(二刻半)子正二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百四十六)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億七千三百九十五萬六千一百九十六)冬至(大餘五十五日小餘六千八百四十六)甲戌日(九十四刻弱)亥正二刻統天厯(積算三千二百二十二)距差(六百○八)躔差(七分七)減分(四千六百)(八十二)氣汎積(一百四十一億二千一百四十九萬八千二百○九)氣定積(一百)(四十一億二千一百四十九萬三千五百二十七)冬至(大餘一十一日小餘一千五百二十)乙亥日(一十二刻太弱)寅初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○六十二)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億六千三百五十六萬九千八百八十八)冬至(大餘一十日小餘四千九百八十八)甲戌日(九十五刻少强)戌正三刻授時厯(距算六百九十五)歳餘(二四三一)中積分(二十五億三千九百○三萬九)(五四五)通積分(二十五億三千八百四十八萬八九四五)冬至(一十一萬一○五五)乙亥日(十刻半强)丑正二刻開皇六年丙午歳十一月三日庚辰景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百○三)中積分(一百○七兆六千六百○六億)(三千七百一十五萬九千八百二十九)冬至(大餘一十六日小餘七百八十九)庚辰日(二十六刻弱)卯正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百○三)通積分(二十一兆六千九百○八億五千一)(百二十四萬八千六百六十五)冬至(大餘一十六日小餘二千二百六十五)庚辰日(二十七刻弱)卯正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百四十七)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億七千六百六十一萬八千八百二十二)冬至(大餘一日小餘一千三百三十二)庚辰日(一十八刻少强)寅正一刻統天厯(積算三千二百二十三)距差(六百○七)躔差(七分七)減分(四千六百)(七十四)氣汎積(一百四十一億二千五百八十八萬一千一百一十九)氣定積(一百四十一億二千五百八十七萬六千四百四十五)冬至(大餘一十六日小餘四千四百)庚辰日(三十七刻强)辰正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○六十三)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億六千五百四十八萬○一百一十二)冬至(大餘一十六日小餘一千○三十二)庚辰日(一十九刻太弱)寅正三刻授時厯(距算六百九十四)歳餘(二四三一)中積分(二十五億三千五百三十八萬)(七一一四)通積分(二十五億三千四百八十三萬六五一四)冬至(一十六萬三四八六)庚辰日(三十四刻太强)辰正一刻開皇七年丁未歳十一月十四日乙酉景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百○四)中積分(一百○七兆六千六百○六億)(三千八百二十七萬○一百七十二)冬至(大餘二十一日小餘一千五百三十二)乙酉日(五十刻少强)午正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百○四)通積分(二十一兆六千九百○八億五千四)(百三十一萬六千七百二十)冬至(大餘二十一日小餘四千三百二十)乙酉日(五十一刻半弱)午正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百四十八)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億七千九百二十八萬一千四百四十八)冬至(大餘六日小餘三千一百○八)乙酉日(四十二刻半强)巳正初刻統天厯(積算三千二百二十四)距差(六百○六)躔差(七分七)減分(四千六百)(六十六)氣汎積(一百四十一億三千○二十六萬四千○二十九)氣定積(一百)(四十一億三千○二十五萬九千二百六十三)冬至(大餘二十一日小餘七千三百六十三)乙酉日(六十一刻少强)未正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○六十四)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億六千七百三十九萬○三百三十六)冬至(大餘二十一日小餘二千三百○六)乙酉日(四十四刻强)巳正二刻授時厯(距算六百九十三)嵗餘(二四三一)中積分(二十五億三千一百七十三萬)(四六八三)通積分(二十五億三千一百一十八萬四○八三)冬至(二十一萬五九一七)乙酉日(五十九刻强)未正初刻開皇十一年辛亥歳十一月二十八日丙午景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百○八)中積分(一百○七兆六千六百○六億)(四千二百七十一萬一千五百四十四)冬至(大餘四十二日小餘一千四百六十四)丙午日(四十八刻强)午初二刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百○八)通積分(二十一兆六千九百○八億六千六)(百五十八萬八千九百四十)冬至(大餘四十二日小餘四千一百四十)丙午日(四十九刻少强)午初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百五十二)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億八千九百九十三萬一千九百五十二)冬至(大餘二十七日小餘二千九百二十二)丙午日(四十刻强)巳初二刻統天厯(積算三千二百二十八)距差(六百○二)躔差(七分六)減分(四千五百)(七十五)氣汎積(一百四十一億四千七百七十九萬五千六百六十九)氣定積(一百四十一億四千七百七十九萬一千○九十四)冬至(大餘四十二日小餘七千○九十四)丙午日(五十九刻强)未正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○六十八)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億七千五百○三萬一千二百三十二)冬至(大餘四十二日小餘二千一百七十)丙午日(四十一刻半强)巳初四刻授時厯(距算六百八十九)歳餘(二四三一)中積分(二十五億一千七百一十二萬)(四九五九)通積分(二十五億一千六百五十七萬四三五九)冬至(四十二萬五六四一)丙午日(五十六刻半弱)未初二刻開皇十四年甲寅歳十一月辛酉朔旦冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百一十一)中積分(一百○七兆六千六百○)(六億四千六百○四萬二千五百七十三)冬至(大餘五十八日小餘六百五十三)壬戌日(二十一刻半弱)卯初初刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百一十一)通積分(二十一兆六千九百○八億七千五)(百七十九萬三千一百○五)冬至(大餘五十八日小餘一千九百○五)壬戌日(二十三刻弱)卯初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬二千九百五十五)氣積分(七十六兆一千八百五十)(五億九千七百九十一萬九千八百三十)冬至(大餘四十三日小餘九百六十)壬戌日(一十三刻少弱)寅初初刻統天厯(積算三千二百三十一)距差(五百九十九)躔差(七分六)減分(四千)(五百五十二)氣汎積(一百四十一億六千○九十四萬四千三百九十九)氣定積(一百四十一億六千○九十三萬九千八百四十七)冬至(大餘五十八日小餘三千八百四十)壬戌日(三十二刻强)辰初二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千○七十一)通積分(一百六十九兆三千)(二百○四億八千○七十六萬一千九百○四)冬至(大餘五十八日小餘七百六十四)壬戌日(一十四刻半强)寅初二刻授時厯(距算六百八十六)嵗餘(二四三一)中積分(二十五億○六百一十六萬七)(六六六)通積分(二十五億○五百六十一萬七○六六)冬至(五十八萬二九三四)壬戌日(二十九刻少强)辰初初刻唐太宗貞觀十八年甲辰嵗十一月乙酉景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百六十一)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億○一百五十五萬九千七百二十三)冬至(大餘二十日小餘一千三百二十三)甲申日(四十三刻半强)巳正一刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百六十一)通積分(二十一兆六千九百一十○億二千)(九百一十九萬五千八百五十五)冬至(大餘二十日小餘三千八百五十五)甲申日(四十五刻太强)午初初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○○一)氣積分(七十六兆一千八百五十七億)(三千一百○五萬一千一百三十)冬至(大餘五日小餘二千二百八十)甲申日(三十一刻少强)辰初二刻統天厯(積算三千二百八十一)距差(五百四十九)躔差(七分)減分(三千八百)(四十三)氣汎積(一百四十三億八千○○八萬九千八百九十九)氣定積(一百)(四十三億八千○○八萬六千○五十六)冬至(大餘二十日小餘六千○五十六)甲申日(五十刻强)午正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百二十一)通積分(一百六十九兆)(三千二百○五億七千六百二十七萬三千一百○四)冬至(大餘二十日小餘一千七百○)甲申日(三十二刻半强)辰初三刻授時厯(距算六百三十六)歳餘(二四三一)中積分(二十三億二千三百五十四萬)(六一一六)通積分(二十三億二千二百九十九萬五五一六)冬至(二十○萬四四八四)甲申日(四十四刻太强)巳正三刻貞觀二十三年己酉歳十一月辛亥景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百六十六)中積分(一百○七兆六千六)(百○七億○七百一十一萬一千四百三十八)冬至(大餘四十六日小餘一千九百九十八)庚戌日(六十五刻太弱)申初二刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百六十六)通積分(二十一兆六千九百一十○億四千)(四百五十三萬六千一百三十)冬至(大餘四十六日小餘五千七百三十)庚戌日(六十八刻少弱)申正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○一十)氣積分(七十六兆一千八百五十七億)(四千四百三十六萬四千二百六十)冬至(大餘三十一日小餘三千八百七十)庚戌日(五十三刻强)午正三刻統天厯(積算三千二百八十六)距差(五百四十四)躔差(六分九)減分(三千)(七百五十四)氣汎積(一百四十四億○二百○○萬四千四百四十九)氣定積(一百四十四億○二百○○萬○六百九十五)冬至(大餘四十六日小餘八千六百九十五)庚戌日(七十二刻半弱)酉初一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百二十六)通積分(一百六十九兆)(三千二百○五億八千五百八十二萬四千二百二十四)冬至(大餘四十六日小餘二千八百)庚戌日(五十四刻少强)未初初刻授時厯(距算六百三十一)嵗餘(二四三一)中積分(二十三億○五百二十八萬三)(九六一)通積分(二十三億○四百七十三萬三三六一)冬至(四十六萬六六三九)庚戌日(六十六刻少强)申初三刻髙宗龍朔二年壬戌嵗十一月四日己未至戊午景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百七十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億二千一百五十四萬五千八百九十七)冬至(大餘五十四日小餘二千五百三十七)戊午日(八十三刻半弱)戌正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百七十九)通積分(二十一兆六千九百一十○億八千)(四百四十二萬○八百四十五)戌正二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○二十三)氣積分(七十六兆一千八百五十七億)(七千八百九十七萬八千三百九十八)冬至(大餘三十九日小餘五千○八十八)戊午日(六十九刻太强)申正三刻統天厯(積算三千二百九十九)距差(五百三十一)躔差(六分七)減分(三千)(五百五十八)氣汎積(一百四十四億五千八百九十八萬二千二百七十九)氣定積(一百四十四億五千八百九十七萬八千七百二十一)冬至(大餘五十四日小餘一萬)(○七百二十一)戊午日(八十九刻少强)戌正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百三十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百○六億一千○六十五萬七千一百三十六)冬至(大餘五十四日小餘三千七百)戊午日(七十一刻强)酉初初刻授時厯(距算六百一十八)歳餘(二四三一)中積分(二十二億五千七百八十○萬)(二三五八)通積分(二十二億五千七百二十五萬一七五八)冬至(五十四萬八二四二)戊午日(八十二刻半弱)戌初三刻髙宗儀鳯元年丙子嵗十一月壬申景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百九十三)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億三千七百○九萬○六百九十九)冬至(大餘八日小餘七百七十九)壬申日(二十五刻半强)卯正初刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百九十三)通積分(二十一兆六千九七百百一十一億二千)(三十七萬三千六百一十五)冬至(大餘八日小餘二千四百一十五)壬申日(二十八刻太)卯正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○三十七)氣積分(七十六兆一千八百五十八億)(一千六百二十五萬五千一百六十二)冬至(大餘五十三日小餘七百九十二)壬申日(一十刻太强)丑正二刻統天厯(積算三千三百一十三)距差(五百一十七)躔差(六分六)減分(三千)(四百一十二)氣汎積(一百四十五億二千○三十四萬三千○一十九)氣定積(一百四十五億二千○三十三萬九千六百○七)冬至(大餘八日小餘三千六百○七)壬申日(三十刻强)辰初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百五十三)通積分(一百六十九兆)(三千二百○六億三千七百四十○萬○二百七十二)冬至(大餘八日小餘六百三十二)壬申日(一十二刻强)丑初三刻授時厯(距算六百○四)歳餘(二四三一)中積分(二十二億○六百○十六萬八三二)(四)通積分(二十二億○五百五十一萬七七二四)冬至(八萬二二七六)壬申日(二十二刻太强)卯初一刻髙宗永淳元年壬午歳十一月癸卯景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千六百九十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億四千三百七十五萬二千七百五十七)冬至(大餘三十九日小餘二千一百九十七)癸卯日(七十二刻少强)酉初一刻宣明厯(積算七百○六萬九千九百九十九)通積分(二十一兆六千九百一十一億四千)(五百七十八萬一千九百四十五)冬至(大餘三十九日小餘六千三百四十五)癸卯日(七十五刻半强)酉正初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○四十三)氣積分(七十六兆一千八百五十八億)(三千二百二十三萬○九百一十八)冬至(大餘二十四日小餘四千一百五十八)癸卯日(五十七刻强)未初二刻統天厯(積算三千三百一十九)距差(五百一十一)躔差(六分五)減分(三千)(三百二十一)氣汎積(一百四十五億四千六百六十四萬○四百七十九)氣定積(一百四十五億四千六百六十三萬七千一百五十八)冬至(大餘三十九日小餘九千一百)癸卯日(七十六刻少强)酉正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百九十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百○六億四千八百八十六萬一千六百一十六)冬至(大餘三十九日小餘三千○四)癸卯日(五十八刻少弱)未初四刻授時厯(距算五百九十八)嵗餘(二四三○)中積分(二十一億八千四百一十五萬)(三一四○)通積分(二十一億八千三百六十○萬二五四○)冬至(三十九萬七四六○)癸卯日(七十四刻半强)酉初三刻明皇開元十年壬戌歳十一月癸酉景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千七百三十九)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億八千八百一十六萬六千四百七十七)冬至(大餘九日小餘一千五百一十七)癸酉日(五十刻弱)午初四刻宣明厯(積算七百○七萬○○三十九)通積分(二十一兆六千九百一十二億六千八百)(五十○萬四千一百四十五)冬至(大餘九日小餘四千五百四十五)癸酉日(五十四刻强)午正四刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○八十三)氣積分(七十六兆一千八百五十九億)(三千八百七十三萬五千九百五十八)冬至(大餘五十四日小餘二千二百九十八)癸酉日(三十一刻半强)辰初二刻統天厯(積算三千三百五十九)距差(四百七十一)躔差(六分)減分(二千八百)(二十六)氣汎積(一百四十七億二千一百九十五萬六千八百七十九)氣定積(一百四十七億二千一百九十五萬四千○五十三)冬至(大餘九日小餘六千○五十三)癸酉日(五十刻强)午正初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千一百九十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百○七億二千五百二十七萬○五百七十六)冬至(大餘九日小餘一千七百○六)癸酉日(三十二刻半强)辰初三刻授時厯(距算五百五十八)歳餘(二四三○)中積分(二十○億三千八百○五萬五)(九四○)通積分(二十○億三千七百五十○萬五三四○)冬至(九萬四六六○)癸酉日(四十六刻半强)午初初刻開元十一年癸亥嵗十一月戊寅景長大衍厯(積算九千六百九十六萬一千七百四十)中積分(一百○七兆六千六百○七億)(八千九百二十七萬六千八百二十)冬至(大餘一十四日小餘二千二百六十)戊寅日(七十四刻少强)酉初三刻宣明厯(積算七百○七萬○○四十)通積分(二十一兆六千九百一十二億七千一百)(五十七萬二千二百)冬至(大餘一十四日小餘六千六百)戊寅日(七十八刻半强)酉正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○八十四)氣積分(七十六兆一千八百五十九億)(四千一百三十九萬八千五百八十四)冬至(大餘五十九日小餘四千一百七十四)戊寅日(五十七刻少强)未初三刻統天厯(積算三千三百六十)距差(四百七十)躔差(六分)減分(二千八百二十○)氣汎積(一百四十七億二千六百三十三萬九千七百八十九)氣定積(一百四十)(七億二千六百三十三萬六千九百六十九)冬至(大餘一十四日小餘八千九百六十九)戊寅日(七十四刻太弱)酉初三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千二百)通積分(一百六十九兆三千二百)(○七億二千七百一十八萬○八百)冬至(大餘一十四日八十小餘二千九百)戊寅日(五十七刻弱)未初二刻授時厯(距算五百五十七)嵗餘(二四三○)中積分(二十○億三千四百四十○萬)(三五一○)通積分(二十○億三千三百八十五萬二九一○)冬至(一十四萬七○九○)戊寅日(七十刻太强)酉初初刻開元十二年甲子歳十一月癸未冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬一千七百四十一)中積分(一百○七兆六千六百○)(七億九千○三十八萬七千一百六十三)冬至(大餘一十九日小餘三千○○三)癸未日(九十八刻太强)夜子初二刻宣明厯(積算七百○七萬○○四十一)通積分(二十一兆六千九百一十二億七千四百)(六十四萬○二百五十五)冬至(大餘二十日小餘二百五十五)甲申日(三刻强)子正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千○八十五)氣積分(七十六兆一千八百五十九億)(四千四百○六萬一千二百一十)冬至(大餘四日小餘五千八百五十)癸未日(八十刻少弱)戌初一刻統天厯(積算三千三百六十一)距差(四百六十九)躔差(六分)減分(二千八百)(一十四)氣汎積(一百四十七億三千○七十二萬二千六百九十九)氣定積(一百)(四十七億三千○七十一萬九千八百八十五)冬至(大餘一十九日小餘一萬一千八百八十)癸未日(九十九刻强)夜子初三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千二百○一)通積分(一百六十九兆三千)(二百○七億二千九百○九萬一千○二十四)冬至(大餘一十九日小餘四千二百五十四)癸未日(八十一刻少强)戌初二刻授時厯(距算五百五十六)歳餘(二四三○)中積分(二十○億三千○七十五萬一)(○八○)通積分(二十○億三千○二十○萬○四八○)冬至(一十九萬九五二○)癸未日(九十五刻少弱)亥正三刻宋真宗景徳四年丁未歳十一月戊辰日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千○二十四)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億○四百六十一萬四千三百三十二)冬至(大餘四日小餘四百七十二)戊辰日(一十五刻半强)寅初三刻宣明厯(積算七百○七萬○三百二十四)通積分(二十一兆六千九百二十一億四千)(二百八十九萬九千八百二十)冬至(大餘四日小餘二千二百二十)戊辰日(二十六刻半弱)卯正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千三百六十八)氣積分(七十六兆一千八百六十)(六億九千七百五十八萬四千三百六十八)冬至(大餘四十八日小餘五千四百四十八)丁卯日(七十四刻太弱)酉初三刻統天厯(積算三千六百四十四)距差(一百八十六)躔差(二分三)減分(四百)(二十八)氣汎積(一百五十九億七千一百○八萬六千二百二十九)氣定積(一百)(五十九億七千一百○八萬五千八百○一)冬至(大餘三日小餘九千八百○一)丁卯日(八十一刻太弱)戌初一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千四百八十四)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十二億六千九百六十八萬四千四百一十六)冬至(大餘三日小餘三千九百)丁卯日(七十五刻)酉正初刻授時厯(距算二百七十三)歳餘(二四二七)中積分(九億九千七百一十一萬二五)(七一)通積分(九億九千六百五十六萬一九七一)冬至(三萬八○二九)丁卯日(八十刻少强)戌初一刻仁宗皇祐二年庚寅歳十一月三十日癸丑景長大衍厯(積算九千六百九十六萬二千○六十七)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億五千二百三十五萬八千九百八十一)冬至(大餘四十九日小餘二千○二十一)癸丑日(六十六刻半弱)申初二刻宣明厯(積算七百○七萬○三百六十七)通積分(二十一兆六千九百二十二億七千)(四百八十二萬六千一百八十五)冬至(大餘四十九日小餘六千五百八十五)癸丑日(七十八刻半弱)酉正三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百一十一)氣積分(七十六兆一千八百六十)(八億一千二百○七萬七千二百八十六)冬至(大餘三十四日小餘一千六百二十六)癸丑日(二十二刻少强)卯初一刻統天厯(積算三千六百八十七)距差(一百四十三)躔差(一分八)減分(二百)(五十七)氣汎積(一百六十一億五千九百五十五萬一千三百五十九)氣定積(一百六十一億五千九百五十五萬一千一百○二)冬至(大餘四十九日小餘三千一百○二)癸丑日(二十五刻太强)卯初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百二十七)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十三億五千一百八十二萬四千○四十八)冬至(大餘四十九日小餘一千一百)癸丑日(二十二刻半强)卯初一刻授時厯(距算二百三十)歳餘(二四二七)中積分(八億四千○○五萬八二一○)通積分(八億三千九百五十○萬七六一○)冬至(四十九萬二三九○)癸丑日(二十三刻太强)卯初三刻神宗元豐六年癸亥歳十一月丙午景長大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百)中積分(一百○七兆六千六百一十一億八)(千九百○○萬○三百)冬至(大餘四十二日小餘二千二百二十)丙午日(七十三刻强)酉初二刻宣明厯(積算七百○七萬○四百)通積分(二十一兆六千九百二十三億七千六百○七)(萬二千)冬至(大餘四十二日小餘七千二百)丙午日(八十五刻太弱)戌正二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百四十四)氣積分(七十六兆一千八百六十)(八億九千九百九十四萬三千九百四十四)冬至(大餘二十七日小餘一千九百一十四)丙午日(二十六刻少强)卯正一刻統天厯(積算三千七百二十)距差(一百一十)躔差(一分四)減分(一百五十四)氣汎積(一百六十三億○四百一十八萬七千三百八十九)氣定積(一百六十三億)(○四百一十八萬七千三百三十五)冬至(大餘四十二日小餘三千二百三十五)丙午日(二十七刻弱)卯正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十)通積分(一百六十九兆三千)(二百一十四億一千四百八十六萬一千四百四十)冬至(大餘四十二日八十小餘一千三百)丙午日(二十六刻少强)卯正一刻授時厯(距算一百九十七)歳餘(二四二六)中積分(七億一千九百五十二萬七九)(二二)通積分(七億一千八百九十七萬七三二二)冬至(四十二萬二六七八)丙午日(二十六刻太强)卯正一刻元豐七年甲子歳十一月辛亥景長大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百○一)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億九千○一十一萬○六百四十三)冬至(大餘四十七日小餘二千九百六十三)辛亥日(九十七刻半弱)夜子初一刻宣明厯(積算七百○七萬○四百○一)通積分(二十一兆六千九百二十三億七千九百)(一十四萬○○五十五)冬至(大餘四十八日小餘八百五十五)壬子日(一十刻强)丑正一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百四十五)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億○二百六十○萬六千五百七十)冬至(大餘三十二日小餘三千六百九十)辛亥日(五十刻半强)午正初刻統天厯(積算三千七百二十一)距差(一百○九)躔差(一分四)減分(一百五十)(三)氣汎積(一百六十三億○八百五十七萬○二百九十九)氣定積(一百六十)(三億○八百五十七萬○一百四十六)冬至(大餘四十七日小餘六千一百四十六)辛亥日(五十一刻少弱)午正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十一)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億一千六百七十七萬一千六百六十四)冬至(大餘四十七日小餘二千)辛亥日(五十刻太弱)午正初刻授時厯(距算一百九十六)歳餘(二四二六)中積分(七億一千五百八十七萬五四)(九六)通積分(七億一千五百三十二萬四八九六)冬至(四十七萬五一○四)辛亥日(五十一刻强)午正一刻哲宗元祐三年戊辰歳十一月壬申景長大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百○五)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億九千四百五十五萬二千○一十五)冬至(大餘八日小餘二千八百九十五)壬申日(九十五刻少弱)亥正三刻宣明厯(積算七百○七萬○四百○五)通積分(二十一兆六千九百二十三億九千一百)(四十一萬二千二百七十五)冬至(大餘九日小餘六百七十五)癸酉日(八刻强)丑初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百四十九)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億一千三百二十五萬七千○七十四)冬至(大餘五十三日小餘三千五百○四)壬申日(四十八刻强)午初二刻統天厯(積算三千七百二十五)距差(一百○五)躔差(一分三)減分(一百三十)(七)氣汎積(一百六十三億二千六百一十○萬一千九百三十九)氣定積(一百)(六十三億二千六百一十○萬一千八百○二)冬至(大餘八日小餘五千八百○二)壬申日(四十八刻少强)午初二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十五)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億二千四百四十一萬二千五百六十)冬至(大餘八日小餘二千五百二十)壬申日(四十八刻少弱)午初二刻授時厯(距算一百九十二)歳餘(二四二六)中積分(七億○千一百二十六萬五七)(九二)通積分(七億○千○百七十一萬五一九二)冬至(八萬四八○八)壬申日(四十八刻强)午初二刻元祐四年己巳歳十一月丁丑景長大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百○六)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億九千五百六十六萬二千三百五十八)冬至(大餘一十四日小餘五百九十八)戊寅日(一十九刻半强)寅正二刻宣明厯(積算七百○七萬○四百○六)通積分(二十一兆六千九百二十三億九千四百)(四十八萬○三百三十)冬至(大餘一十四日小餘二千七百三十)戊寅日(三十二刻半)辰初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百五十)氣積分(七十六兆一千八百六十九億)(一千五百九十一萬九千七百)冬至(大餘五十八日小餘五千二百八十)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻統天厯(積算三千七百二十六)距差(一百○四)躔差(一分三)減分(一百三十)(五)氣汎積(一百六十三億三千○四十八萬四千八百四十九)氣定積(一百六十)(三億三千○四十八萬四千七百一十四)冬至(大餘一十三日小餘八千七百一十四)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十六)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億二千六百三十二萬二千七百八十四)冬至(大餘一十三日小餘三千)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻授時厯(積算一百九十一)歳餘(二四二六)中積分(六億九千七百六十一萬三三)(六六)通積分(六億九千七百○十六萬二七六六)冬至(一十三萬七二三四)丁丑日(七十二刻少强)酉初一刻元祐五年庚午歳十一月壬午冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百○七)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億九千六百七十七萬二千七百○一)冬至(大餘一十九日小餘一千三百四十一)癸未日(四十四刻强)巳正二刻宣明厯(積算七百○七萬○四百○七)通積分(二十一兆六千九百二十三億九千七百)(五十四萬八千三百八十五)冬至(大餘一十九日小餘四千七百八十五)癸未日(五十七刻弱)未初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百五十一)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億一千八百五十八萬二千三百二十六)冬至(大餘三日小餘七千○五十六)壬午日(九十六刻太强)夜子初初刻統天厯(積算三千七百二十七)距差(一百○三)躔差(一分三)減分(一百三十)(四)氣汎積(一百六十三億三千四百八十六萬七千七百五十九)氣定積(一百)(六十三億三千四百八十六萬七千六百二十五)冬至(大餘一十八日小餘一萬一千六百)壬午日(九十六刻太强)夜子初一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十七)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億二千八百二十三萬三千○○八)冬至(大餘一十八日小餘五千○六)壬午日(九十七刻弱)夜子初一刻授時厯(距算一百九十)嵗餘(二四二六)中積分(六億九千三百九十六萬○九四○)通積分(六億九千三百四十一萬○三四○)冬至(一十八萬九六六○)壬午日(九十六刻半强)夜子初初刻元祐七年壬申歳十一月癸巳冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百○九)中積分(一百○七兆六千六百一十一)(億九千八百九十九萬三千三百八十七)冬至(大餘二十九日小餘二千八百二十七)癸巳日(九十三刻弱)亥正一刻宣明厯(積算七百○七萬○四百○九)通積分(二十一兆六千九百二十四億○三百六)(十八萬四千四百九十五)冬至(大餘三十日小餘四百九十五)甲午日(六刻弱)丑初一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百五十三)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億二千三百九十萬七千五百七十八)冬至(大餘一十四日小餘三千三百一十八)癸巳日(四十五刻半强)巳正三刻統天厯(積算三千七百二十九)距差(一百○一)躔差(一分三)減分(一百三十)(一)氣汎積(一百六十三億四千三百六十三萬三千五百七十九)氣定積(一百)(六十三億四千三百六十三萬三千四百四十八)冬至(大餘二十九日小餘五千四百四十)癸巳日(四十五刻半弱)巳正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百六十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億三千二百○五萬三千四百五十六)冬至(大餘二十九日小餘二千三百)癸巳日(四十五刻半强)巳正三刻授時厯(距算一百八十八)嵗餘(二四二六)中積分(六億八千六百六十五萬六○)(八八)通積分(六億八千六百一十○萬五四八八)冬至(二十九萬四五一二)癸巳日(四十五刻强)巳正三刻哲宗元符元年戊寅歳十一月甲子冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百一十五)中積分(一百○七兆六千六百一)(十二億○五百六十五萬五千四百四十五)冬至(大餘一日小餘一千二百○五)乙丑日(三十九刻半强)巳初二刻宣明厯(積算七百○七萬○四百一十五)通積分(二十一兆六千九百二十四億二千)(二百○九萬三千八百二十五)冬至(大餘一日小餘四千四百二十五)乙丑日(五十二刻太弱)午正二刻紀元厯(積算二千八百六十十萬三千四百五十九)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億三千九百八十八萬三千三百三十四)冬至(大餘四十五日小餘六千六百八十四)甲子日(九十一刻太弱)亥正初刻統天厯(積算三千七百三十五)距差(九十五)躔差(一分二)減分(一百一十)(四)氣汎積(一百六十三億六千九百九十三萬一千○三十九)氣定積(一百六十)(三億六千九百九十三萬○九百二十五)冬至(大餘○日小餘一萬○九百二十五)甲子日(九十一刻强)亥初三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百七十五)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億四千三百五十一萬四千八百)冬至(大餘日空小餘四千八百)甲子日(九十一刻太强)亥正初刻授時厯(距算一百八十二)歳餘(二四二六)中積分(六億六千四百七十四萬一五)(三二)通積分(六億六千四百一十九萬○九三二)冬至(○萬九○六八)甲子日(九十刻强)亥初三刻徽宗崇寧三年甲申歳十一月丙申冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千一百二十一)中積分(一百○七兆六千六百一)(十二億一千二百三十一萬七千五百○三)冬至(大餘三十二日小餘二千六百二十三)丙申日(八十六刻少强)戌正二刻宣明厯(積算七百○七萬○四百二十一)通積分(二十一兆六千九百二十四億四千)(○五十○萬一千一百五十五)冬至(大餘三十二日小餘八千三百五十五)丙申日(九十九刻半弱)夜子初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千四百六十五)氣積分(七十六兆一千八百六十)(九億五千五百八十五萬九千○九十)冬至(大餘一十七日小餘二千七百六十)丙申日(三十七刻太强)巳初初刻統天厯(積算三千七百四十一)距差(八十九)躔差(一分一)減分(九十八)氣汎積(一百六十三億九千六百二十二萬八千四百九十九)氣定積(一百六十)(三億九千六百二十二萬八千四百○一)冬至(大餘三十二日小餘四千四百 一)丙申日(三十六刻半强)辰正三刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千五百八十一)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十四億五千四百九十七萬六千一百三十四)冬至(大餘三十二日小餘一千)丙申日(三十七刻太弱)巳初初刻授時厯(距算一百七十六)嵗餘(二四二六)中積分(六億四千二百八十二萬六九)(七六)通積分(六億四千二百二十七萬六三七六)冬至(三十二萬三六二四)丙申日(三十六刻少弱)辰正二刻光宗紹熈二年辛亥歳十一月壬申冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百○八)中積分(一百○七兆六千六百一十三)(億○八百九十一萬七千三百四十四)冬至(大餘九日小餘三百八十四)癸酉日(一十二刻半强)寅初初刻宣明厯(積算七百○七萬○五百○八)通積分(二十一兆六千九百二十七億○七百四)(十二萬一千九百四十)冬至(大餘九日小餘二千三百四十)癸酉日(二十七刻太强)卯正二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千五百五十二)氣積分(七十六兆一千八百七十)(一億八千七百五十○萬七千五百五十二)冬至(大餘五十三日小餘四千一百八十二)壬申日(五十七刻少强)未初三刻統天厯(積算三千八百二十八)距差(二)躔差減分(並無)氣汎積(一百)(六十七億七千七百五十四萬一千六百六十九)氣定積(因無減分以汎為定)冬至(大餘八日小餘五千六百六十九)壬申日(四十七刻少弱)午初一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千六百六十八)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十六億二千一百一十六萬五千六百三十二)冬至(大餘八日小餘二千九百)壬申日(五十七刻少弱)未初三刻授時厯(距算八十九)歳餘(二四二五)中積分(三億二千五百○六萬五八二五)通積分(三億二千四百五十一萬五二二五)冬至(八萬四七七五)壬申日(四十七刻太)午初一刻寧宗慶元三年丁巳嵗十一月癸卯日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百一十四)中積分(一百○七兆六千六百一)(十三億一千五百五十七萬九千四百○二)冬至(大餘四十日小餘一千八百○二)甲辰日(五十九刻少强)未正初刻宣明厯(積算七百○七萬○五百一十四)通積分(二十一兆六千九百二十七億二千)(五百八十三萬○二百七十)冬至(大餘四十日小餘六千二百七十)甲辰日(七十四刻太弱)酉初三刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千五百五十八)氣積分(七十六兆一千八百七十)(二億○三百四十八萬三千三百○八)冬至(大餘二十五日小餘二百五十八)甲辰日(三刻半强)子正三刻統天厯(積算三千八百三十四)距差(四)躔差(○分一)減分(無)氣汎積(一百六十八億○三百八十三萬九千一百二十九)氣定積(距差乘躔差不滿秒半以)(汎為定)冬至(大餘三十九日小餘一萬一千一百二十九)癸卯日(九十二刻太弱)亥正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千六百七十四)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十六億三千二百六十二萬六千九百七十六)冬至(大餘四十日小餘一百七)甲辰日(三刻少强)子正三刻授時厯(距算八十三)歳餘(二四二五)中積分(三億○千三百一十五萬一二七五)通積分(三億○千二百六十○萬○六七五)冬至(三十九萬九三二五)癸卯日(九十三刻少)亥正一刻寧宗嘉泰三年癸亥嵗十一月甲戌日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百二十)中積分(一百○士兆六千六百一十三)(億二千二百二十四萬一千四百六十)冬至(大餘一十二日小餘一百八十)丙子日(六刻弱)丑正一刻宣明厯(積算七百○七萬○五百二十)通積分(二十一兆六千九百二十七億四千四百)(二十三萬八千六百)冬至(大餘一十二日小餘一千八百)丙子日(二十一刻半弱)卯初初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千五百六十四)氣積分(七十六兆一千八百七十)(二億一千九百四十五萬九千○六十四)冬至(大餘五十六日小餘三千六百二十四)乙亥日(四十九刻太弱)午初三刻統天厯(積算三千八百四十)距差(一十)躔差(○分一)減分(一)氣汎積(一百六十八億三千○一十三萬六千五百八十九)氣定積(一百六十八億三千○一十三)(萬六千五百八十八)冬至(大餘一十一日小餘四千五百八十八)乙亥日(三十八刻少弱)巳初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千六百八十)通積分(一百六十九兆三千)(二百一十六億四千四百○八萬八千三百二十)冬至(大餘一十一日小餘二千五百九十)乙亥日(四十九刻半强)午初三刻授時厯(距算七十七)歳餘(二四二五)中積分(二億八千一百二十三萬六七二五)通積分(二億八千○百六十八萬六一二五)冬至(一十一萬三八七五)乙亥日(三十八刻太)巳初一刻寧宗嘉定五年壬申歳十一月壬戌日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百二十九)中積分(一百○七兆六千六百一)(十三億二千二百二十三萬四千五百四十七)冬至(大餘五十九日小餘七百八十七)癸亥日(二十五刻太强)卯正初刻宣明厯(積算七百○七萬○五百二十九)通積分(二十一兆六千九百二十七億七千)(一百八十五萬一千○九十五)冬至(大餘五十九日小餘三千四百九十五)癸亥日(四十一刻半强)巳初四刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千五百七十三)氣積分(七十六兆一千八百七十)(二億四千三百四十二萬二千六百九十八)冬至(大餘四十三日小餘五千○二十八)壬戌日(六十九刻弱)申正二刻統天厯(積算三千九百四十九)距差(一十九)躔差(○分二)減分(四)氣汎積(一百六十八億六千九百五十八萬二千七百七十九)氣定積(一百六十八億)(六千九百五十八萬二千七百七十五)冬至(大餘五十八日小餘六千七百七十五)壬戌日(五十六刻半弱)未初二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千六百八十九)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十六億六千一百二十八萬○三百三十六)冬至(大餘五十八日小餘三千五百)壬戌日(六十八刻太强)申正初刻授時厯(距算六十八)歳餘(二四二五)中積分(二億四千八百三十六萬四九○○)通積分(二億四千七百八十一萬四三○○)冬至(五十八萬五七○○)壬戌日(五十七刻)未初二刻理宗紹定三年庚寅歳十一月丙申日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百四十七)中積分(一百○七兆六千六百一)(十三億五千二百二十二萬○七百二十一)冬至(大餘三十三日小餘二千○○一)丁酉日(六十五刻少弱)申初二刻宣明厯(積算七百○七萬○五百四十七)通積分(二十一兆六千九百二十八億二千)(七百○七萬六千○八十五)冬至(大餘三十三日小餘六千八百八十五)丁酉日(八十二刻弱)戌初二刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千五百九十一)氣積分(七十六兆一千八百七十)(二億九千一百三十四萬九千九百六十六)冬至(大餘一十八日小餘五百四十六)丁酉日(七刻半弱)丑初三刻統天厯(積算三千八百六十七)距差(三十七)躔差(○分五)減分(一十九)氣汎積(一百六十九億四千八百四十七萬五千一百五十九)氣定積(一百六十)(九億四千八百四十七萬五千一百四十○)冬至(大餘三十二日小餘一萬一千一百四十)(○)丙申日(九十二刻太强)亥正一刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千七百○七)通積分(一百六十九兆三千)(二百一十六億九千五百六十六萬四千三百六十八)冬至(大餘三十三日八小餘三百七十)丁酉日(七刻少弱)丑初三刻授時厯(距算五十)歳餘(二四二五)中積分(一億八千二百六十二萬一二五○)通積分(一億八千二百○十七萬○六五○)冬至(三十二萬九三五○)丙申日(九十三刻半)亥正一刻理宗淳祐十年庚戌嵗十一月辛巳日南至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百六十七)中積分(一百○七兆六千六百一)(十三億七千四百四十二萬七千五百八十一)冬至(大餘一十八日小餘一千六百六十一)壬午日(五十四刻半强)未初初刻宣明厯(積算七百○七萬○五百六十七)通積分(二十一兆六千九百二十八億八千)(八百四十三萬七千一百八十五)冬至(大餘一十八日小餘五千九百八十五)壬午日(七十一刻少)酉初初刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千六百一十一)氣積分(七十六兆一千八百七十)(三億四千四百六十○萬二千四百八十六)冬至(大餘二日小餘六千九百○六)辛巳日(九十四刻太弱)亥正三刻統天厯(積算三千八百八十七)距差(五十七)躔差(○分七)減分(四十)氣汎積(一百七十○億三千六百一十三萬三千三百五九)氣定積(一百七十○億三千)(六百一十三萬三千三百一九)冬至(大餘一十七日小餘九千三百一十九)辛巳日(七十七刻太弱)酉正二刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千七百二十七)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十七億三千三百八十六萬八千七百九十八)冬至(大餘一十七日小餘四千)辛巳日(九十三刻半强)亥正一刻授時厯(距算三十)嵗餘(二四二五)中積分(一億萬千九百五十七 二七五)通積分(一億萬千九百十二 二一五) 冬至(一十七萬七八五)辛巳日(七十八刻半)酉正三刻元世祖至元十七年庚辰歳十一月己未夜半後六刻冬至大衍厯(積算九千六百九十六萬二千二百九十七)中積分(一百○七兆六千六百一)(十四億○七百七十三萬七千八百七十一)冬至(大餘五十五日小餘二千六百七十一)己未日(八十七刻太强)亥初初刻宣明厯(積算七百○七萬○五百九十七)通積分(二十一兆六千九百二十九億八千)(○四十七萬八千八百三十五)冬至(大餘五十六日小餘四百三十五)庚申日(五刻强)丑初一刻紀元厯(積算二千八百六十一萬三千六百四十一)氣積分(七十六兆一千八百七十)(四億二千四百四十八萬一千二百六十六)冬至(大餘四十日小餘一千八百六十六)己未日(二十五刻半强)卯初初刻統天厯(積算三千九百一十七)距差(八十七)躔差(一分一)減分(九十六)氣汎積(一百七十一億六千七百六十二萬○六百五十九)氣定積(一百七十一億)(六千七百六十二萬○五百六十三)冬至(大餘五十五日小餘○萬○五百六十三)己未日(四刻半强)丑初初刻重修大明厯(積算八千八百六十三萬九千七百五十七)通積分(一百六十九兆)(三千二百一十七億九千一百一十七萬五千五百六十八)冬至(大餘五十五日小餘一千)己未日(二十五刻强)卯正初刻授時厯(據當時日晷推定無距算無中積分上考下求用為元數)(實測得冬至氣應五十五日○六百分)己未日(六刻)丑初一刻右日名五厯合宣明後一日刻惟授時合統天先一刻餘皆後天大衍至八十餘刻以上自魯僖公以來冬至日名共四十七並至元辛巳有刻為四十八事授時法合者三十八不合者昭公己卯劉宋元嘉丙子大明辛丑陳太建壬辰丁酉隋開皇甲寅唐貞觀甲辰己酉宋景徳丁未嘉泰癸亥共十統天厯同據厯議統天不合者惟獻公戊寅與授時不同今以宋史所載厯術躔差用秒法求之無不同也算式如後魯獻公十五年戊寅歳正月甲寅朔旦冬至統天厯(積算一千七百五十四)距差(二千○七十六)躔差(二十六分四)減分(五萬四千八百○六)氣汎積(七十六億八千七百三十八萬六千三百二十九)氣定積(七十六億八千七百三十三萬一千五百二十三)冬至(大餘五十日小餘一萬一千五)甲寅日(九十六刻强)夜子初初刻躔差三位得之大餘(五十一日)小餘(三百五十三)乙卯日(二刻太强)子正二刻躔差二位得此若躔差只用二位正得乙卯與授時厯議合然非其本法也何以知之按統天厯術歩氣朔章曰躔差小分半以上從秒一距差乘躔差秒半以上從分一如躔差只用分安得有秒距差乘後又安得有分以下之數乎故三位為是魯獻公距算考(附)史記武王九年東伐至盟津周公輔行十一年伐紂至牧野周公佐武王作牧誓克殷二年周公作金縢其後武王崩成王少在襁褓之中成王七年作洛七年後還政成王北面就臣位周公卒子伯禽固前已受封是為魯公(皇甫謐云伯禽以成王元年封)(四十六年康王十六年卒)伯禽卒子考公酋立四年卒弟煬公熈立六年卒子幽公宰立十四年弟㵒弑之自立為魏公五十年卒子厲公擢立三十七年卒魯人立其弟具是為獻公獻公三十二年卒子真公濞立真公十四年周厲王奔彘二十九年周宣行政三十年真公卒弟武公敖立武公九年朝周歸而卒少子戲立是為懿公懿公九年兄括之子伯御殺懿公自立十一年周宣王伐魯殺伯御立懿公弟稱為孝公孝公二十五年犬戎弑幽王二十七年孝公卒子惠公弗皇立四十六年卒隱公攝當國(又史記三代世表魯獻公在夷王燮時十二諸侯年表起魯真公濞十五年庚申一云十四年)按自元至元十八年辛巳上距周武王己卯通二千四百單三年據厯議春秋獻公以來二千一百六十餘年而首列獻公十五年為戊寅是在武王後二百四十年也今世家自伯禽至獻公卒通一百八十九年而已厯議不知何據存之再考厯算全書卷十四
## 卷十五
厯算全書卷十五
## 卷十六
欽定四庫全書厯算全書卷十六宣城梅文鼎撰五星紀要論五星嵗輪五星與日皆東岀而西沒宗動天之所運也土木火三星在太陽上而近宗動故其左旋速于日毎日有所差之分即嵗輪心之平行也五星與太陽有定距嵗輪心旣為宗動所掣漸離太陽而西則星不得不自嵗輪之中線(即平行度)漸移而東以就日而星旣在日之上亦即不得不自嵗輪之頂漸移而下以就日也旣漸移而東又漸移而下則不能平轉而成環行嵗輪之圓象成矣嵗輪心正在太陽之上星又在嵗輪之頂作直線過嵗輪心以過太陽之心而指地心是為合伏合伏以後星在嵗輪上東移有類平轉故其東移速(古謂之疾段)嵗輪心離日漸逺星在嵗輪離合伏之度亦漸逺而向下行則東移之度漸遲(古謂之遲段)嵗輪心離日至一象限星在嵗輪直向下行人自地觀之不見其動(古為留段)過此留段輪心距太陽益逺將至半周星行嵗輪之底轉成向西行(是為退叚)輪心與日冲星正居輪底自輪心作線過星以過地心而直射太陽之心亦為一直線是為退冲未至日冲皆為晨見冲日以後則為夕見夕見者西與日近東與日逺輪心反在日後而西行追日日在西星在東星不得不自輪底西移而就日(故仍為退段)輪心西距日益近則星漸西而亦漸上行以就其距日之定距星旣在輪邊與輪心亦有定距則其西移過半象限不得不轉而上行矣至于西距日一象限上行之勢又直人自地觀之亦不見動(古亦謂留段)過此而輪心距日益近則星亦在輪上漸向東行以就合伏之度以就其距日之常度於是又見其東移之速而至于合伏(古亦謂疾段)是為嵗輪之周論上三星圍日之行左旋問古以七政右旋宋儒以七政周天左旋今以七政恒星皆為一日一周之天所掣而西發明宋説謂右旋之度因左旋而成可謂無疑義矣兹論七政新圖以太陽為心而復謂上三星左旋與金水異何居曰左旋有二前所論七政左旋以地為心者也今上三星左旋以太陽為心者也五星旣為動天所轉而成左旋(一日繞地一周之行)又依嵗輪而右旋(以本輪上定度為心)此五緯之所同也然嵗輪上實行之度與太陽相直有定距則仍以太陽為心又成圍繞太陽之行矣金水二星即以太陽為嵗輪(或伏見輪)之心故嵗輪即圍日之行嵗輪右旋故其圍日之行亦右旋也上三星則嵗輪不以太陽為心但其距日有定度而又成圍日之形以嵗輪上度言之仍是右旋與金水同以圍日之形言之則是左旋與金水異矣五星與日皆為動天所轉繞地左旋但上三星之左旋速於日故合伏之後即在日西(以右旋言為星不及日以左旋言為星過于日)冲日之後乃在日東(以右旋言為日逐星以左旋言則為星逐日)是不特其平行繞地者為左旋而其距日有常以成圍日之形者亦左旋也金水之左旋與日等故合伏之後在日東退合之後在日西則是平行繞地者均為左旋而其圍日之行則右旋也故曰上三星左旋與金水異者主乎圍日以為言者也然則嵗輪之度又何以同為右旋乎曰視行之法逺則見遲近則見疾上三星之左旋雖速于日而在嵗輪上半則見過日之度稍遲下半則見過日之度加速矣金水之左旋雖與日等而在嵗輪上半較日距地為逺則見左旋遲于日下半距地近則見右旋速于日夫上半左旋遲則右移反速下半左旋速則右移反遲而成留退此所以嵗輪上度五星皆為右旋也然五星嵗輪所以有在上在下之分者則以與太陽有定距也因其與日有定距所以能成嵗輪上周轉之行因其在嵗輪上周轉而行所以與日有定距楊學山曰上金水左旋右旋之論猶仍厯書之説以伏見輪同嵗輪後言伏見輪乃繞日圓象金水另有其嵗輪乃勿庵晚年新説耳論五星以日為心之圖法曰上三星其圍日之圏左旋下二星其輪右旋皆以從宗動而西運之行為主(論左旋則星之退行乃其行速)假如上三星合伏時在太陽之上及其毎日左旋一周則星行過日若干分而在日西然其旋也距地則漸近其所以低者以就太陽也自此左旋之周益多則其離日而西之度亦漸逺而益旋益低比至在日西滿半周而冲日則其旋益近地所以然者因在日冲故必下行嵗輪之底以就日也冲日以後其左旋之行轉在日東隨日之後而向日行其旋亦自冲日卑處漸向于髙離冲日若干分則其旋漸髙亦若干分自此在日後左旋追日而益近之以復至合伏則其旋益髙而復在太陽之上矣是故上三星之能為圍日之圏者以左旋言也惟以左旋言之則無論冲合之在恒星何度亦無問各星之冲合各有周率經厯之時日幾何而其以日為心悉同一法也其下二星以嵗輪圍日其理易明然亦是與太陽同為一日一周之左旋而星之左旋遲于日故合伏時在太陽上毎左旋一周則星不及日若干分度而在日東其行亦漸降至於夕留之後又復漸速而追日其度益降至退合伏而極乃復離日而西度亦漸升而復于合伏矣地谷曰日之攝五星若磁石之引鐵故其距日有定距也惟其然也故日在本天行一周而星之升降之跡亦成一圓相厯家因取而名之曰嵗輪也是故上三星嵗輪約畧皆與太陽天同大而今其徑有大小者各以其本天半徑為十萬之比例也地谷新圖其理如此不知者遂以圍日為本天則是嵗輪心而非星體失之逺矣宗動天左旋星與太陽皆從之左旋而有遲速以其所居有髙下離動天有逺近也上三星在日天之上近於動天故其毎日左旋比日為速雖不能與恒星同復故處而所差甚㣲(土星只二分竒木星只五)(六分火星只半度)不能若太陽之毎差一度也論五星本天以地為心問五星之法至西厯而詳明然其舊説五星各一重天大小相函而皆以地為心其新説五星天雖亦大小相函而以日為心若是其不同何也曰無不同也西人九重天之説第一重宗動天次則恒星又次土星次木星次火星次太陽次金次水次太隂是皆以其行度之遲速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知則皆以地心為心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大於太陽之天而包于外金水二星距地心漸近故其天皆小於太陽之天而在其内為太陽天所包是其本天皆以地為心無可疑者惟是五星之行各有嵗輪嵗輪亦圓象五星各以其本天載嵗輪嵗輪心行於本天之周星之體則行於嵗輪之周以成遲疾留逆(嵗輪心行)(于本天周皆平行也星行于嵗輪之周亦平行也人自地測之則有合有冲有疾有遲有留有逆自然之理也)若以嵗輪上星行之度聨之亦成圓象而以太陽為心西洋新説謂五星皆以日為心盖以此耳然此圍日圓象原是嵗輪周行度所成而嵗輪之心又行于本天之周本天原以地為心三者相待而成原非兩法故曰無不同也(上三星在嵗輪上右旋金水在嵗輪上左旋皆挨度平行)夫圍日圓象既為嵗輪周星行之跡則遲留逆伏之度兩輪皆有之故以嵗輪立算可以得其遲留逆伏之度以圍日圓輪立算所得不殊立法者溯本窮源用法者從簡便算如厯書上三星用嵗輪金水二星用伏見輪皆可以求次均立算雖殊其歸一也或者不察遂謂五星之天真以日為心失其指矣夫太陽去地亦甚逺矣五星本天旣以地為心而又能以日為心將日與地竟合為一乎必不然矣厯指又嘗言火星天獨以日為心不與四星同予嘗斷其非是作圖以推明地谷立法之根原以地為本天之心其説甚明其金水二星厯指之説多淆亦乆疑其非今得門人劉允恭悟得金水二星之有嵗輪其理的確而不可易可謂發前人之未發矣論伏見輪非嵗輪問金水二星之求次均也(即遲疾留逆)用伏見輪厯指謂其即嵗輪其説非歟曰非也伏見輪之法起于回厯而歐邏因之若果即嵗輪何為别立此名乎由今以觀盖即嵗輪上星行繞日之圓象耳(王寅旭書亦云伏見輪非嵗輪)然則伏見輪旣為圍日之跡上三星宜皆有之何以不用而獨用之金水曰以其便用也盖五星行于嵗輪起合伏終合伏皆從距日而生故五星之嵗輪並與日天同大而嵗輪之心原在本天周故其圍日象又並與本天同大上三星之本天包太陽外其大無倫又其行皆左旋(所以左旋之故詳其後論)頗費觧説故只用嵗輪也至于金水本天在太陽天内伏見輪既與之同大又其度順行故用伏見輪(亦即繞日圎象)若用嵗輪則金水之嵗輪反大于本天(以嵗輪與日天同大故皆大于本天)故不用嵗輪非無嵗輪也承用者未能深考立法之根輙謂伏見輪即嵗輪其説似是而非不可不知也伏見亦起合伏終合伏有似嵗輪然嵗輪之心行于本天之周而伏見輪以太陽為心故遂以太陽之平行為平行皆相因而誤者也論五星平行然則金水既非以太陽之平行為平行又何以求其平行曰嵗輪之心行于本天是為平行乃實度也實度者周度也(以本天分三百六十度而以各星周率平分之則得其毎日平行如土星二十九年竒而行本)(天一周則二十九日而行一度毎日平行二十九分度之一是為最遲木星十二年周天毎日平行約為十二)(分度之一火星二年周天約為毎日平行半度金星二百二十餘日周天約毎日平行一度半强水星八十八)(日竒而周天約毎日平行四度皆平行實度)若嵗輪及伏見輪雖亦各分三百六十度亦各有其平行然而非實度也(既非本天上平行之度又非從)(地心實測之平行度)乃各星之離度耳因此離度(下文詳之)用三角法從地心測之則得其遲留伏逆之狀亦為實度矣(此實度不平行與本天之平行)(實度不同)本天之度平行實度也嵗輪及伏見乃離度也離度為虚數故皆以半徑之大小為大小伏見輪上行度與嵗輪同所不同者半徑也伏見之半徑皆同本天嵗輪之半徑皆同日天論離度有順有逆問何以謂之離度曰於星平行内減去太陽之平行故曰離度乃離日之行也以太隂譬之其毎日平行十三度竒者太隂平行實度毎日十二度竒者太隂之離度也(於太隂平行内减太陽平行)是故金星毎日行大半度竒水星毎日約行三度皆于星平行内減太陽之平行 因金水行速其離度在太陽之前乃星離于日之度故其度右旋順行與太隂同法也若上三星則當於太陽平行内減去星行是為離度盖以上三星行遲在太陽之後乃星不及于日之度其度左旋而成逆行與太隂相反然其為離日之行度一而已矣(王寅旭五星行度觧謂上三星左旋盖謂此也然竟以此為本天則終非了義)論平行有二用而必以本天之度為宗平行者對實行而言也然實行有二一是本天最髙卑之行亦曰實行一是黄道上遲留逆伏實測亦曰視行是二者皆必以本天之平行為宗若金水獨以太陽之平行為平行是廢本天之平行矣又何以求最髙卑乎圍日之輪(即伏見輪)起合伏終合伏是即古法之合率也本天之行則古法之周率也最髙卑則古法之厯率也又有正交中交以定緯度即如古法之太隂交率也(此一法是)(西法勝中法之一大端)是數者皆必以本天取之故不得以圍日之輪為本天厯指言金星正交定於最髙前十六度水星正交與最髙同度其所指皆本天之度非伏見行之度則伏見輪不得為本天明矣今以七政厯徵之不惟最髙卑之盈縮有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十餘日而南北之交一終水星則八十八日竒而交終此皆論本天實度原不論伏見行是尤其較著者矣論金水交行非徧交黄道問周雲淵言金水遍交黄道不論何宫今日交有定度何也曰雲淵之説盖因回回厯緯表而誤者也何以言之回回厯以自行度小輪心度立表而定其交黄道之度非以黄道度為主而求其交處也故其所謂宫度者皆小輪之宫度也非黄道之宫度也若謂黄道之宫度而可以徧交將正交之度亦無定在矣又安得謂金星正交在最髙前十六度及水星正交定于最髙同度乎必不然矣(正交定度雖出厯書然與回厯原是大同小異)今以七政厯攷之金星水星之交周皆有定期(金星以二百二)(十餘日水星以八十八日竒)但嵗輪心行至正交即無緯度不論其為合伏為冲退為疾為遲或留也以此而斷其必有本天有嵗輪可以勿疑論金水伏見輪伏見輪即繞日圓象也其半徑與本天等本天上嵗輪心所行之周半在黄道北半在黄道南其勢斜立如太隂之出入黄道為隂陽厯也而星體行伏見輪周其勢亦斜立與之相應故其交角等嵗輪心在正交或中交則星無緯度故伏見輪上亦有正交中交 嵗輪心行過正交漸生北緯至離正交九十度則北緯極大如太隂之隂厯半交也(古法正交後陽厯中交後隂厯西法則反用其號然其用不殊)嵗輪心行過北大距(離正交九十度至一百七十九度)北緯漸小至中交而復無緯此如太隂之隂厯半周也 嵗輪心行本天隂厯半周即星在伏見輪上亦行北半周而其緯在北緯有大小無不與之相似嵗輪心行過中交漸生南緯至離中交九十度南緯極大如太隂之陽厯半交也嵗輪心行過南大距南緯漸小復至正交而無緯如太隂之陽厯半周也即星在伏見輪亦行南半周而南緯之大小一一與本天相似聨正交中交成一線此線在本天必過地心以本天圓面與黄道面斜交相割而成也而在伏見輪亦必過日心以伏見輪之繞日圓象亦與黄道面斜交而半在黄南半在黄北圓面相割成線也以此線為横線而均剖之作十字横線則上下兩端所指並半交大距度矣此伏見輪上十字線之理也伏見輪心即太陽太陽行黄道三百六十度伏見輪亦隨之行一百六十度而十字之形不變此正視之形也又正視圖不能見交角故必以旁視明之伏見輪事事與本天等故以本天明之如圖 甲丙乙壬為本天渾員之體(因旁視即為本天渾)(體)甲心乙即本天之星道(因旁視故前平視之外周躋縮成一直線)(也)心即地心(在伏見輪即為太陽)又即為正交中交(因旁視正交中)(交過心横線竟㸔成一點)丁心癸即本天上黄道圈(本天小于黄道然其度一一與黄道相應而成一圈亦因旁視㸔成)(一直線)兩直線相交于心即成緯度角(兩直線相交即兩圈)(相交也亦即為兩圓靣相切兩圓面者一為星道一為黄道在渾體皆成面)甲心丁角在黄道北其弧甲丁其正弦甲庚北大距之緯度也(甲丁)(弧雖在本天然即外應黄道緯)乙心癸角在黄道南其弧乙癸其正弦乙辛南大距之緯度也(乙癸弧在本天外應黄道與甲丁同)問何以分南北也曰甲丁與乙癸兩大距弧各引長之成一全圈在本天渾體即外與黄道上過極經圈相應而北心南直線為之軸北即北極南即南極亦與黄道之南北極相應矣甲心線在黄道北即生北緯乙心線在黄道南即生南緯又何疑哉(甲心半徑也以旁視故正交後北半周一百八)(十弧度並躋縮成直線與半徑等乙心之在南亦然)然何以謂之大距曰甲丁緯弧與甲心丁角相應為北大緯乙癸弧與乙心癸角相應為南大緯甲㸃乙㸃並居半交故其緯最大其未及半交及已過半交其緯並小南北並同也問緯度即角度也角同而緯有大小何也曰角雖同而邊不同也大距度以半徑為全數其餘各度並皆以正弦當全數假如任舉一度如過正交三十度為戊㸃(未至中交三十度亦同)其正弦戊心法為甲心全數與甲丁大距之正弦甲庚若戊心正弦與戊子弧之正弦戊巳也(戊心巳句股形與甲心庚形相似同)(用心角而戊心邊正得甲心之半則戊巳亦甲庚之半而戊子弧亦必為甲丁之半矣他皆倣此)以上所論皆本天之事然伏見輪之理並無有二故此一圖即可作伏見輪觀其旁視之交角甚明也論伏見輪十字線伏見輪既為繞日員象而生於本天之嵗輪故其面與本天等徑而其斜交黄道之勢亦與本天等夫本天之斜交黄道也半在北半在南惟正交中交二㸃與黄道合聨此二㸃過心是為交線即兩員面相切所成也從交線上中分之作過心十字直線至本天周即大距線也何則黄道面上原有十字線正視之兩線合為一直旁視之則本天直線斜穿而成交角故此直線在本天即為大距線也此直線所指本天之度正在二交折半之中其距最大故即為大距線然則此十字線者固本天所原有而伏見輪之斜交黄道既與本天等則其十字線亦無不等矣伏見輪即為繞日之員象則太陽即輪心太陽行于黄道故伏見心釘于黄道也然其心雖釘于黄道而其面則半在北半在南一定不易任輪心在黄道之何度而其斜交之面總與本天為平行故其交線皆不變其十字大距線亦不變也由是觀之伏見輪亦有二面何則伏見輪之面既斜交黄道與本天之面為平行則其相當之黄道亦即有與伏見輪相應之一圏與黄道面平行而與伏見輪斜交亦如本天之與黄道斜交矣如是則伏見輪之交線常與本天之交線平行不論在黄道上何度分也而伏見輪上之從心所出之十字大距線及所相當黄道上從太陽心即輪心所出之十字線亦與本天心黄道之十字線平行而兩十字線正視之成一直線旁視之一直一斜而成大距之交角亦一一與本天交黄道之角分寸不爽故用伏見即如本天也論伏見輪之所以然伏見輪半在日天外半在日天内其半徑與本天等即星體所行也(黄道半徑與金星本天之比例約為十與七二有竒)伏見輪以日為心繞日環行與本天周上嵗輪心行度相應故其大相等本天半在黄道北半在其南伏見輪亦然(門人劉著云譬如人)(放紙鳶人在下環行而紙鳶亦在空際環行盖以紙鳶為風所舉不能下而又為線所引不能不環行可謂善)(於形容)故惟本天之度為實度不惟伏見輪為星繞日行之虛跡即嵗輪周上星行之度亦虛設之員周非硬圏有形質也譬如浮屠髙尖有珠如日人持長竿竿上端有微小之珠(如金星)浮屠之中腰有圓圏梯道斜繞之(如金)(星本天之斜立)人行其上(如嵗輪心之行于本天周)其珠竿直立指天其長也如浮屠尖至其腰圍之心(如星在嵗輪周至嵗輪心之徑與日天半徑等)兩珠相望有繩繫之其繩常引直而有定距與腰圍斜繞之磴道等(如金星繞日有定距與本天半徑相等)持竿者循斜梯繞浮屠旋轉平行之則竿上珠自然亦繞尖上大珠旋轉成員象矣(此如伏見輪為繞日之員象)由是言之可以免嵗輪大小之疑何則嵗輪之心行于本天之周而本天既有髙卑嵗輪心行于髙度則金星在伏見輪者離地逺矣嵗輪心行低度則星在伏見輪者離地近矣近則覺嵗輪之半徑小矣逺則覺嵗輪之半徑大矣若嵗輪為堅靭之物何以能伸屈如此乎更以視法徴之何以在最髙反大在最卑反小乎必不然矣嵗輪之大小又因于太陽髙卑伏見輪既以日為心則太陽行最髙時伏見輪從之亦髙而星去地逺太陽行最卑則伏見輪從之卑而去地近亦遂疑嵗輪之有大小而與視法反若知嵗輪亦非真有輪則羣疑盡釋矣求伏見輪交角伏見輪斜交黄道旣一一與本天等則伏見輪交角與本天交角亦必相等假如本天大距緯度之正弦欲變為伏見輪上大距之正弦法為黄道半徑與本天大距之正弦(即本天交角)若伏見輪半徑(亦即本天半徑)與伏見輪之大距正弦也金星本天交角定為三度二十九分 水星六度 分一 黄道半徑(全數) 一○○○○○二 本天交角(正弦) ○六○七六二 伏見輪半徑 七二二五一四 伏見輪大距緯(正弦) ○四三八九王寅旭中緯准分是○四三九○葢以得數九九七收作一數故也其餘各度並先以全數為一率交角正弦為二率各度正弦為三率得四率為各度緯再以全數為一率各度緯為二率伏見半徑為三率求得四率為各度變率之本緯簡法置交角正弦以各度正弦乘之去末五位又以伏見輪半徑乘之去末五位即徑得各度變率本緯又㨗法 黄道半徑為一率 大距正弦變率為二率各度正弦為三率 得各度本緯為四率假如伏見輪上距交三十度求其本緯一 黄半徑全數一○○○○○二 (大距正弦)變率 ○四三九○乘得二一九五○○三 三十度正弦 五○○○○○○○四 三十度本緯 ○二一九五解曰此以變率求變率故徑得本緯不須再變寅旭用中緯准分即此理也求各度正餘弦變率法置各度正餘弦以伏見輪半徑乘之得數去末五位即得變率之正餘弦求金星視緯法(水星倣此)一求合伏距交法以本日太陽實行在正交後宫度(即伏見輪心距交宮度)命為合伏距交度解曰凡星合伏必與太陽同度太陽行一度小輪上合伏㸃亦隨之移一度故太陽實行度即輪心而輪心距交必與輪周之合伏距交等角二求星距交法以用日距合伏後日數在位用星離日度三十七分弱為法乘之得離日平行以加合伏距交度為星距交平行度再簡本度盈縮差加減之(即加減差從最髙卑起算)為星實行距交度分解曰金星之行速于太陽太陽行一度金星行一度三十七分弱有竒故雖與太陽同行而常在前謂之離日度厯書以太陽之行為星平行非真平行故必併此離日度始為真平行星平行在伏見輪周而根本在本天嵗輪心行於本天有髙卑加減古厯謂之盈縮差伏見輪上行旣與本天上嵗輪心行相應則亦必有盈縮加減矣三求兩距交度入隂陽厯及初末限法以兩距交度(一伏見輪心距交是黄道上度一星體距交是伏見輪周度)並視其在半周以下為入隂厯(○一二三四五宮)滿半周以上内減去半周為入陽厯(六七八九十十一宮)各視其度在象限以下為初限(○一二宮為隂厯初限六七八宮為陽厯初限)滿象限以上用以減半周餘為末限(三四五宮為隂厯末限九十十一為為陽厯末限)四求視緯正弦法以星距交正弦(用變率)及各度本緯(變率)各自乘實相減得數開方得根以加減黄道正弦(即輪心距交度正弦用本數)為黄道正弦又自乘之得數以與本緯自乘實相併(本緯實即上所)(求)為視緯股實開方得視緯正弦(㨗法不必開方只用股實)加減例 視(黄道上輪心伏見輪上星)兩距交度(同在隂厯或同在陽厯則相加或一)(在隂厯一在陽厯則相减)解曰星距地心線如句股之弦即全數也故亦有其正弦為股餘弦為句五求視緯餘弦法以星距交度餘弦(變率)加減黄道餘弦(用本數與正弦同)為視緯餘弦加減例 視兩距交度(仝在正交邊或仝在中交邊則相加若一在正交邊一在中交)(邊則相减)解曰在正交邊者隂厯初限陽厯末限也隂厯初限為已過正交在正交前一象限也陽厯末限為未到正交在正交後一象限也此兩象限共一百八十度在十字直線之右並于正交為近也在中交邊者隂厯末限為未到中交之度在中交後一象限陽厯初限為已過中交之度在中交前此一百八十度在十字直線之左並于中交為近也又總解曰正弦之加減論隂陽厯以十字横線為斷也餘弦之加減論正中交以十字直線為斷也横線者交線也直線者大距線也正弦線並與大距線平行是各度距交線之數餘弦線並與交線平行是各度距大距線之數于此而知十字綫之為用大也六求星距地心線法以視緯正弦餘弦各自之併而開方得星距地心線七求視緯法以各度本緯(變率)加五位為實星距地心為法除之得視緯論曰必如此下算則事事有著落視緯得數始真若前緯後緯之表以中分取數加減法雖巧便得數亦恐不真耳假如金星伏見輪心距正交三十度星距合伏三十五度求視緯如圖大圈為黄道小圈為伏見輪輪心在日距正交為井日弧三十度合伏距正交為合正亦三十度星在戊過合伏三十五度距正交為戊正弧六十五度法先用日乙丙丁戊巳兩三角形依變率法日乙與乙丙大緯正弦若丁戊星距交正弦與戊巳緯次用丁戊巳直角形巳為直角戊丁為弦戊巳為勾求得巳丁股次用戊巳癸直角形巳為直角以巳丁股加丁癸(丁癸即日)(壬為輪心距交井日弧正弦)共己癸為股戊巳為勾求得戊癸為視緯正弦次以星距交正戊弧餘弦丁日即壬癸也與壬心相加(壬心為輪心距交井日弧之餘弦)共癸心為視緯餘弦次用戊癸心形癸為直角戊癸為股癸心為勾求得戊心星距地心線末用心戊巳直角形巳為直角心戊與戊巳緯若全數與戊心巳角之正弦求弧得心角視緯度(圖内諸三)(角形俱是立三角須以渾體觀之便明)按右法未加髙卑之算盖前緯後緯表原亦未用髙卑也若求宻率仍當以髙卑入算為穏説具後條又按依右法用三角形推算可不必立前後緯表亦不用中分厯書盖以作表故用約法以該之也論大距緯之變率又以髙卑而變大距緯者即黄道交角之正弦金水本天半徑皆小于黄道半徑(黄道常為十萬而金星本天半徑得其十之七有竒水星得其十之三有竒)故其大距緯亦小于黄道之大距緯而各度從之皆有變率矣然星本天既有髙卑則其半徑亦時有大小而其距緯亦從之有大小變率之法又當以此為準的也準前論在本天最髙則半徑大而伏見輪半徑亦大即距緯亦大矣在最卑則半徑小(本天與伏見輪並仝)距緯亦小矣(皆變率之距緯)説者遂謂其與視法之理相反殊不然也何則本緯之變率與視緯之變率不同也本緯在最髙則半徑大本緯亦大在最卑則半徑小本緯亦小乃本天自有之數非闗視法(伏見輪上緯仍是本天)視緯星距地逺則大緯變小星距地近則小緯變大全係視法(從地上看伏見輪上星)論黄道亦有半徑之大小黄道半徑常為十萬分全數然黄道旣有髙卑則其半徑必有大小最髙時半徑必十萬有竒最卑時半徑必十萬不足日躔章原有太陽距地髙卑表所當取用者也太陽距地為黄道半徑亦即伏見輪心距地也在上三星用嵗輪即為嵗輪半徑王寅旭曰因黄道之髙卑而嵗輪有大小盖謂此也今按嵗輪與黄道同大厯家筭髙卑或用不同心圏則其距地之數有大小乃是半徑有大小非以此半徑另作一圏也以嵗輪立算乃是數中之象因天運有常故可以輪法測之此可為達者告也論伏見輪半徑亦有大小而本緯因之有大小本天旣有髙卑則半徑有大小而伏見輪並與之等伏見輪半徑旣有大小則其正弦餘弦之變率及大距度之變率與各度之本緯並因之而有大小法以本天髙卑求得各度半徑為伏見輪各度半徑(最髙)(距正交十六度起算)就以半徑為法乘各度正弦餘弦去末五位為正弦餘弦變率又以半徑為法乘大距正弦(金星大距三度二十九分)去末五位為大距變率就以大距變率為法乘各度正弦去末五位為各度本緯以上數端並以最髙變大最卑變小論視緯當兼用兩種髙卑立算準上論黄道半徑有大小伏見輪半徑及正餘弦及本緯並有大小必兼論之則視緯始為宻率法以伏見輪各度正弦變率自乘本緯亦自乘兩得數相減開方求根以加減黄道正弦(髙卑所求)為正弦又自乘之以併本緯自乘為視緯自乘實(即視緯股實)又法不用加減但以伏見輪正弦(變率)為一邊黄道正弦(髙卑所算)為一邊大距度外角(以大距角减半周)為一角用切線分外角法求得視緯正弦自乘為股實亦同又以伏見輪餘弦黄道餘弦相加減(俱用變率)為視緯餘弦又自乘之為句實併視緯股實句實開方得弦即星距地心逺近線也末以星距地心為法本緯(變率)加五位為實實如法而一得視緯宻率黄道髙卑於太陽實行度取輪心距最髙宫度(在正交後若干)(度起算)本天髙卑於伏見輪上星實行度取距最髙宫度(距正交十)(六度起算)又按用此宻率當設兩表一伏見輪上各度半徑表 以金星髙卑算得其大小一伏見輪上各度大距表 即以各度半徑乘大距變率正弦全數除之即得其黄道中各度半徑即用日躔髙卑表不必另作有各度半徑即可求逐度正弦餘弦變率(黄道仝)有各度大距變率即可求各度正緯 以上俱用乘法按金星之最髙不與正交同度相差十六度當於伏見輪上安兩種十字線水星之最髙則與正交同度論金星前後緯表南北之向金星前緯自小輪初宫向北其緯極大為一度二十八分自此漸減至二宫三十度而減盡無緯度(即三宫初度)自三宫初向南漸有南緯至五宫三十度南緯極大為九度○二分(即六宫初度)自六宫初以後南緯漸減至八宫三十度南緯減盡無緯(即九宫初度)自九宫初度復向北漸有北緯至十一宫三十度復為一度二十八分(即初宫初度)據此則金星前緯南緯大北緯小南大緯至九度○二北大緯只一度二八而分為四限自合伏至留際(乃嵗輪上距合伏九十度亦可名為留際)北緯減盡為初限自留際向南至退合南緯至九度○二分(為南緯極大)為次限自退合以後南緯漸減至留際(距退合亦九十度)南緯減盡為三限自留際復向北至合伏北緯至一度二十八分(北緯極大)為末限此盖以嵗輪上合伏之時星距地逺故緯度見小退合之時星距地近故緯度見大此前緯是置輪心在正交後大距處而算伏見輪上一周之緯故其南北之向如此金星後緯自小輪初宫初度無緯度自此向北而生北緯北緯之大為二度三十三分在四宫十五度自此漸減至五宫三十度北緯減盡(即六宫初度)自六宫初度以後向南而生南緯南緯之大亦二度二十三分在七宫十五度又自此漸減至十一宫三十度南緯減盡(復至初宫初度)據此則金星後緯向南向北分為兩限(其增減之分南北相同但有順)(逆而無大小)自合伏始向北而生北緯至距合伏一百三十五度北緯甚大(至二度三十三分)至距合伏一百八十度北緯減盡而無緯度(即退合時其距大緯度相距四十五度)是為北緯限自退合後始向南而生南緯至距退合四十五度南緯甚大(亦二度三十三分)從此漸減至退合一百八十度南緯減盡而無緯度(即復至合伏其距南大緯度一百三十五度)是為南緯限此後緯是置輪心在正交㸃而算伏見輪上一周之緯故其南北之向若此 若水星南北之向俱與金星相反然伏見輪之理則同合前後二緯表觀之距合伏後一象限前後緯宜相加以其同為向北也距退合前一象限前後緯宜相減以前緯已改向南而後緯仍向北也過退合後一象限前後緯又宜相加以前緯仍向南而後緯亦向南也過退合後第二象限(即距合伏前一象限)前後緯又宜相減以前緯已改向北而後緯仍向南也論金星前後緯加減之法前緯起大距(凡言起者即合伏㸃所在)自初宫至二宫共九十度為隂厯末限後緯起正交自初宫至二宫共九十度(○一二宫)為隂厯初限雖分初末皆隂厯也故相加前緯過九十度(三宫四宫五宫)為陽厯初限後緯過九十度(三宫)(四宫五宫)為隂厯末限一隂厯一陽厯南北相反故相減前緯過一百八十度復行九十度(六宫七宫八宫)為陽厯末限後緯過半周復行九十度(六宫七宫八宫)為陽厯初限並陽厯俱在南故亦相加前緯過二百七十度行一象限復至合伏(九宫十宫十一宫)為隂厯初限後緯過二百七十度行一象限(九宫十宫十一宫)復至正交為陽厯末限一隂厯一陽厯故又相減此置輪心(即太陽)於正交(後緯)及正交後大距(前緯)立表若置輪心於中交(為後緯)及中交後大距(為前緯)則隂陽之名相易然加減之法並同並以合伏後一象限相加(○一二宫)第二象限相減(三四五宫)退合後一象限(六七八宫)又相加第二象限又相減(九十十一宫)又按厯書樞線之説盖是謂交㸃移則南北變恐非有翕張之形也假如交在合伏則合伏線與交線合而無緯度若合伏過正交若干度則正交上之合伏後若干度(即合伏㸃距樞線之度)此處無緯度而合伏反有緯度矣是緯度之變動全係乎樞線之移也(即輪心所到)論五星以髙卑變緯度本天髙卑能變緯度理宜有之然按圖詳審其法有三其一於本天之斜交徑上作嵗輪三徑線與黄道面平行逺近不同緯度自異其二于本天斜徑上只作一嵗輪徑線而最髙卑之嵗輪心有時而移即其周之長短隨之逺近其三亦只作一徑線而行最髙時嵗輪圏大行最卑時嵗輪圏小三者雖同用最髙卑立算而加減各異此必徴之實測乃可定之第一法用三線則交角雖不變而嵗輪面與黄道面之逺近頓殊(角既同矣緯何得異曰所用之本天徑線不同也假如中距時交角為三度其所得正弦)(乃中距時徑線為全數也若最髙時則其全數大矣雖亦三度角之正弦而其實數則大矣故緯亦大最卑時)(全數小而正弦亦小彷此論之其留際上下角不同者又在其外也)又有異者若用三線則交㸃亦當有變何也中距面線至正交時與黄道面徑合為一線其餘兩嵗輪面線必一在北一在南(按至交㸃則三線合一此一節可以勿論)第二法嵗輪只用一線其面之距緯本無不同而最髙卑時輪心有動移最髙時輪心在上則正弦線如故而角變小矣(謂小于中距之角)最卑時輪心近下則正弦如故而角變大矣(大于中距角)何則正弦雖同(謂嵗輪面與黄道面平行之緯)而輪心在上則逺于地心而見小矣輪心在下則近于地心而見大矣(又法用不同心於黄道則不但正弦不變角亦不變但人在地心視之則有大小與上法)(二而一者也)第三法只作一嵗輪徑線(凡言徑線皆因旁視而面變為線)而其兩端並作三層線折半為嵗輪心而兩端無参差儘其輪邊(即徑線兩銳尖盡處)為最大圏之徑乃最髙時所用兩端各縮進為界則中距時徑也兩端又縮進為界則最卑時圏徑也西厯論火星嵗輪有大小之故解之以髙卑而王寅旭亦取之用此法也以上三法不知誰為定法故曰必徴諸實測又按三法在上三星其用皆同至金水則又大異何則金水嵗輪大于本天(以其徑同太陽天故)則包過地心退合時輪心在人之背而星在輪周跨過地心在人之上星之下星在輪周與其輪心如月之望而人居其間故最髙時輪心逺于地而星在輪周反近于地緯反變大矣若最卑時輪心近地而星在輪周反逺于地緯反變小矣此自然之勢不得不然者也(此在第一法第二法並同)若用第三法則雖有髙卑而兩端之逺近不變與前二法相反故必徴之實測乃取其合者用之楊學山曰西法歩五星土木火有嵗輪金水有伏見輪雖兩輪行度求角之法皆同然嵗輪上為星離日之虛度輪心在本天伏見輪則自有行度輪心即太陽細按厯書之説盖謂上三星本天包太陽天外星離日而又與日有定距是生嵗輪其半徑恒與太陽天等若金水之本天即太陽天其平行與太陽同距地亦與太陽等(俱一千一百四十二地半徑)而此伏見一輪以日為心繞日環轉而為伏見使非此輪則星無所為伏見(以平行同太陽故也)故名伏見輪之半徑皆有定度(金星七千二百)(竒水星三千八百竒)是其意原非以伏見輪當嵗輪若果即為嵗輪則半徑宜有大小何則火星因與太陽天近尚有日躔本天二差以變次均角豈金水在太陽天下而反無之今測不然是伏見輪另為一種行動為金水之所獨故昔人别立伏見輪之名也其所云即嵗輪者盖因行法相同而混言之耳今勿庵之説又異是謂五星皆同一法皆有嵗輪上三星因本天大故用嵗輪金水因嵗輪大難用故用繞日圓象(即伏見輪如上)(三星圍日之圏)如此可明金水自有本天因得自有髙卑亦自有平行度因在日天下速於太陽本天斜倚黄道因有正交中交之名諸根底俱有著落且五星一貫但依此立算凡星平行自行之根數初均次均之度分南緯北緯之大小皆與厯書數迥異騐之于天末識合否余嘗疑厯指論五星緯説多混淆金水尤略因作五星緯行解一巻明之勿庵之説不敢遽定其是非存之以待參攷焉厯算全書卷十六
## 卷十七
欽定四庫全書厯算全書巻十七宣城梅文鼎撰火緯本法圖説熒惑一星最為難算至地谷而其法始宻圖表具在可攷而知也何嘗云火星天獨以太陽為心不與餘四星同法乎作厯書者突發此語遂令學者沿譌是執圖以觀圖而不以算理觀圖也不知厯算家有實指之圖有借象之圖地谷氏之圖火星所謂借象也非實指也錢唐友人袁惠子士龍受黄三和先生𢎞憲厯學以厯指為金科余故為作此以極論之而徴之切綫分角之法以著其理袁子虛懐見從已復質諸睢州友人孔林宗興秦亦以為然而手抄以去又旁證諸穆氏天歩真原王氏曉菴厯法大㫖亦多與余合火星本法(發厯書之覆)據厯指萬厯癸丑年太陽在降婁宫一十四度有半地谷測火星體㑹合於井宿第五星經度為鶉首四度半緯度在黄道北二度十一分火星平行在壬距冬至二百一十七度半強火星最髙在丙引數自丙厯丁至壬三百三十八度半弱圖説 乙為地心 即為各天平行之心(亦黄道心)大圈為火星平行之天 内圈為太陽平行天皆以地為心(其度皆應黄道) 太陽在本天自春分壁向婁順行 火星嵗輪心在本天自丙過丁至壬順行太陽行速而火星行遲今太陽在後火星在前是太陽與星已過相冲之度而從後逐星也 火星在嵗輪上亦自戌順行過亢至申 合伏時星在戊冲日時星在亢今在申是星己過冲日之限而復向合伏也 太陽距星實行為婁張〔？〕(亦即心氐)以減半周為張角〔？〕為黄道上星距日冲之度(亦即氐未)太陽在黄道上自婁仍順行其冲亦自角順行星亦自氐順行而日速星遲故其距漸近而星距日冲漸逺則星在嵗輪上距合伏之度亦漸近距冲日之度亦漸逺其嵗輪上漸逺漸近之度皆與黄道上距度相應然黄道上婁張是日在後追星嵗輪上是星向合伏(申戌)黄道上日冲度漸離星(角張)嵗輪上是星離冲日(申亢)本法以平行壬為心作子癸小輪自最髙子過癸左行為引數之數至丑 又以丑為心作夘辰小均輪自辰最近右行過夘歴寅復過辰歴夘至寅為引數之倍減去全周得嵗輪之心到寅先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅線次以寅壬乙形求得寅乙線為嵗輪心距本天心之數 又求得壬乙寅角為平行實行之差即前均也因在後六宫其號為加得寅乙申角為實行視行之差此以上厯書之法並同以下則異次以寅為心作嵗輪戊申亢圏也戊為最逺合伏之度也亢為最近冲日之度也今太陽在降婁火星在鶉首是已過冲日之度而日反在後以逐星也其日星之距為降婁至鶉首之度在嵗輪上則為申戊弧乃星行嵗輪末至合伏之度也(厯家謂之距餘盖順數自戊合伏過亢冲日至)(申為距合伏行度以〔？〕全周得申戊為距餘)以申戊減半周得申亢〔？〕為巳過冲日之度即申寅亢角(或申寅乙角)末以申寅乙三角形求申寅半徑 此形有先求得寅乙距心線又有申乙寅角為先測火星視行與所算實行之差度有申寅乙角為嵗輪上己過冲日之度有兩角自有寅申乙角法為申角之正弦與乙角之正弦若寅乙線與申寅線也(此以測得視差而求半徑)若先有申寅半徑而無視差度求乙角者則以切線法求之以申寅邉乙寅邉并之得戊乙為總數(一率)又以申寅減乙寅得亢乙為較數(二率)以申戊〔？〕度半之為距餘半求其切線(為三率)法為總數與較數若半距餘角(即半總角)之切線與半較角之切線也求得四率查切線得其度以減距餘半之度餘為申乙寅視差角乃以視差角減實徑為視徑(已過日冲其差為減)此本法也厯書所載求法得數並同而其圖迥異盖巧算耳下文詳之厯書之法亦是用兩角一邉以求餘邉(星過日冲弧度是一角測得視)(行與實行之差是一角算得寅乙距心線是一邊今以法取嵗輪半徑為所求一邊)然不正作申乙寅視差角而反作乙寅甲為視差角故亦不正作申寅乙星過冲日角而作寅乙甲為星距冲日角然則用本法者惟寅乙距心一線耳然既有寅乙線為主又有寅乙甲為星距日冲度有乙寅甲角為視差度則乙寅甲三角形與申乙寅三角等而甲乙邉必與申寅半徑同矣此倒算㨗法與加減差法不作角於心而作角於邉同一樞軸也其法以先得寅乙線為三角之底其兩端各作角(即先得兩)(角)各引其邉遇於甲則甲乙為半徑(寅甲亦即為星體距心與申乙之距同矣)(又大陽心在降婁其冲未在壽星星實行在氐氐末〔？〕為氐乙未角即星實行己過日冲之真距也正與)(嵗輪上申亢〔？〕度等故用氐乙未角為黄道上星距日冲之度與用嵗輪上申寅亢同此為借象之一根)然又以甲為地心而作圏周分十二宮何也曰此則借象也其法妙在作甲己線與寅乙平行何也先依寅乙線作三角形其寅甲原與申乙平行今己甲又與寅乙平行則寅甲己角與申乙寅角等度而且等勢矣(寅甲線斜交於)(寅乙及甲己兩平行線中則所作寅甲己及甲寅乙兩角等寅乙線斜交於申乙及寅甲兩平行線中則甲寅)(乙與申乙寅角亦等而寅甲己角與申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙線即原用之線也今巳甲)(與寅乙平行故不惟等度而且等勢也)由是而自甲心作春秋分横線井箕直線即與乙心所作大圏上降婁夀星横線及冬夏至直線悉為平行而等勢(横與横平行直與直平行則其勢等)於是而勻分十二宮即無一不與乙心所作大圏等十二宮既與大圏等勢而寅甲己角又與大圏之申乙寅角等度等勢則己甲線即指星實行度寅甲線即指星視行度而可以命其宮度不爽矣推此而辛甲為星最髙指線及作平行線於己甲實行之内一一皆真度矣又以乙為太陽體何也曰太陽實行降婁宮度原在大圏其離降婁之度為乙角今太陽指線過乙至甲則甲角與乙角等度而乙㸃在次圏上(甲心所作之甪)距春分之度與大圏等(圏有大小而角度等)即太陽真度可以命之為日矣乙既命為日則次圏可命為太陽所行之天而乙心所作大圏以太陽之冲處割小圏有火星行嵗圏最近侵入太陽天内之象故遂以大圏命為星行之圏也(又寅乙甲角原為星距日冲之度與申寅乙角同而甲己既與寅乙平行甲未即甲乙之截線則己甲未角又)(與寅乙甲角同而己亥〔？〕與嵗輪上申亢同為星距日冲之〔？〕)此一圖也有嵗輪半徑之數(甲乙)有火星實行視行差度(寅甲己角)有周天宮度有太陽度及火星最髙卑度又有火星行最近入太陽天内之象可謂簡而該巧而妙矣非地谷精於測算神明於法不能為也然則何以謂之借象曰以其一圖而備數端故知之也何以言之甲乙者嵗輪之半徑也不得與日距地心同數一也寅乙距心之線從兩小輪求出而兩小輪在火星本天是從乙心起算不從甲心起算二也因寅乙距心之線以得視差之角亦為乙心之角非甲心之角三也若甲真為地心則與乙太陽有距數太陽乙心所見之差角至地心必不同觀四也視行實行之差角為地面實測非乙心之數不得兩處悉同五也又大圏既為本天而侵入太陽天内則將為嵗輪之心若冲日之時嵗輪心既在太陽天内星又在嵗輪最近將越過地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是觀之此圖但為借象巧算之用而非以是為真象也或者不察遂真以乙為日體則死于古人句下矣或問五星新圖亦以火星天用太陽為心而冲日之處割入太陽天内又何以説焉曰火星之行圍日而能割太陽天者乃嵗輪上周行之跡耳非本天也盖火星本天在太陽之外能包太陽之天因嵗輪之行合伏時在嵗輪之頂去太陽益髙合伏以後離太陽漸逺則行於嵗輪中半與本天齊及其冲日則行嵗輪之底而在本天之内去地益近其去地益近者為日所攝也此理五星所同故土木火三星皆可為圍日之象今新圖五星不以地為心者是也火星則嵗輪最大冲日時稍侵入太陽之天其實嵗輪之心仍係本天在太陽天外耳七政小輪周行於天遂成不同心之圏嵗輪周行於天成圍日之形一而已矣今以實數攷之火星嵗輪半徑約為本天半徑十之六其合伏時則兩半徑相加成十六冲日時兩徑相減只餘十之四其侵入太陽天内約為一二分則太陽天半徑只得火星天半徑十之六有竒而火星合伏時在太陽上約為十分冲日時在太陽下亦約十分而成圍日之形矣是故以日為心者嵗輪上星行之軌迹也非本天也(圖見下)火星嵗輪上軌跡圍日之圖 (土木二星因嵗輪之度而成圍日之形與此同理但)(其天更大而嵗輪小故不致侵入餘里之天)丁庚寅辛為太陽天 戊癸己壬為火星本天甲丑嵗輪以戊為心 丙子嵗輪以己為心丁為日體 甲丙皆星體甲癸丙壬為嵗輪上星行軌跡成一大圈而以丁日為心星天日天各有小輪髙卑其本天則皆以地為心星在嵗輪甲為合伏而去地極逺 星在丙為冲日冲日之時庚丙辛〔？〕割入太陽天庚寅辛之内而去地極近星在嵗輪丙時已割入日天然嵗輪心則在本天已若如衆説以割入日天内者為本天則冲日時當以丙為嵗輪心矣而星在嵗輪之上又當向日豈不越地心乙而過之乎必不然矣切線法解在後火星次均解 (火星次均用切線求嵗輪上視差角乃三角法也)欲明火星次均用切線之法當先明三角形用切線之法甲夘乙三角形有甲鈍角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角法曰以甲角減半周得餘三十度為癸甲乙外角 半之得十五度為丙甲辛角 其切線辛癸(二六七九五)并甲乙(六十)甲夘(一百)共得丙夘一百六十為首率(總數) 以甲乙減甲夘餘得辰夘四十為二率(較數) 半外角之切線辛癸為三率 二率乗三率為實首率為法除之得辛夘(六六九八)為四率即辛甲壬減〔？〕之切線也 以四率查切線表得三度五十分弱為辛甲壬減〔？〕角 以所得辛甲壬減〔？〕角三度五十分減半外角十五度餘壬甲丙角十一度一十分即夘角也今以火星言之丙乙辰圏則嵗輪也甲為嵗輪之心丙甲辰夘過心線即星實行度分也夘為本天之心 甲夘者距心線也(即表中距日數) 甲丙甲乙甲辰皆嵗輪半徑也(即表中半徑合日差而成星數也)先以前均求到星之實行在甲矣然此嵗輪之心而非星也星則自丙合伏順行過辰冲日而漸近合伏其體在乙則丙辰乙為星在嵗輪上行之度(與星距太陽實行之度相等)即相距度也乙丙則距餘度半之為辛丙則距餘半也 乙辰〔？〕為星巳過冲日之度則甲角度也今已知嵗輪心實行之度又已知星在嵗輪上行之度所不知者視差角耳盖自本天心夘作實行線過甲心至黄道又從夘作視行線過乙星體至黄道其差為夘角是故求次均者求此夘角也用上法以距日(即距心)為一邉(甲夘)以星數為一邉(甲乙)以星行過冲日之度(即乙辰〔？〕)為一角(甲角)成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也一率 距日與星數之總(即甲夘并甲乙亦即甲丙)二率 星數減距日之較(即辰夘)三率 距餘半之切線(即半夘角之切線辛癸盖乙甲丙角為距餘即乙甲夘角之餘)(度半之為辛甲丙角即距餘半)四率 減〔？〕之正切線(即辛壬其角為辛甲壬)末於辛甲丙(距餘半角)内減去辛甲壬(减〔？〕角)餘成壬甲癸角與夘角等得視差之度如所求既知三角形用切線之法尤當進而明其所以用切線之理如後圖乙甲夘三角形 甲角一百五十度 甲乙邉六十甲夘邉一百 兩邉之總一百六十為首率兩邉之較四十為次率 甲角之餘角半之求切線為三率(即率癸) 求得四率為半較角之切線辛壬求其度以減半餘角得夘角何以用切線也曰此分角法也凡外角(乙甲丙為乙甲夘之餘角亦為)(外角)内兼有形内餘兩角之度(乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度)試作壬甲線與乙夘平行分外角為兩則壬甲丙角如夘角矣(以壬申及乙夘皆平行線而丙甲夘未一直線故其作角必等)外總角内減去同夘角之壬甲丙角則其餘壬甲乙角必為甲乙夘角矣今但有外角為總角而不知其分角故以比例分之而切線則其比例也又試作乙丙線為外角之通弦又從乙作正線至丁為乙甲壬大角之正弦從丙作正線至戊為壬甲丙小角之正弦而通弦遇壬甲分角線於子成乙子及子丙兩線此大小兩線之比例與大小兩角之正弦比例等何也乙子丁勾股形與丙子戊勾股形以子為交角則相似而乙子(大弦)與子丙(小弦)若乙丁(大股)與丙戊(小股)矣又甲夘大邉與甲乙小邉原若所對之大角正弦(乙角)及小角(夘角)正弦(凡三角形邉之比例與對角正弦之比例皆等)即乙丁與丙戊也(角同則正弦同)則甲夘與甲乙亦若乙子與子丙矣又試作辛甲線分外角為兩平分而各作切線為辛癸為辛己(即半外角之切線)則兩切線聨為一(己癸)而與乙丙平行又引壬子線割之則分為二線而己壬與壬癸之比例若乙子與子丙亦若甲夘與甲乙矣又作庚甲線使庚己如壬癸則庚壬為兩線之較己癸為兩線之總而甲乙甲夘兩邉之較為辰夘其總為丙夘甲夘大邉與甲乙小邉之比例既若大線(己壬)與小線(壬癸)則兩邉之總與較亦必若兩線之總與較矣一率 丙夘(即甲乙甲夘兩邊之總)二率 辰夘(即兩邉之較)三率 己癸(即己壬壬癸兩線之總)四率 庚壬(即兩線之較) 今各半之辛癸半總(即半外角辛甲癸之切線)辛壬半較(即半較角辛甲壬之切線)既得辛壬切線查表得其角度即半較角也以半較角減(辛甲癸)半外角即半角也若以半較角加(乙甲辛)半外角亦即甲乙夘角矣火星測算本法圖説(明厯書之倒算)嵗圏半徑(六四七三八)甲乙查加減表八宫十九度(四十分) 半徑數(六四○八七三)太陽引數星紀二十三度加六宫為六宫二十三度日差(一○一六)相並得(六四一八八)為星數與所測㣲差若用實引得半徑(六四四二五)其數益相近距心數(九九六九七)寅乙平引八宫一十九度(四十二分二十秒)加均數 一十度(三十三分三十秒)實引九宮初度(一十五分五十秒)查加減表八宫一十九度(四十分)距日(九九七○一)所差不多若用實引則距心(一○一六七四)差稍大然按圖用乙寅線宜用實引圖説本宜用寅㸃為嵗輪之心以寅乙申角為嵗輪上視差角即寅未〔？〕也寅申線則嵗輪之半徑也此為本法今厯書所載地谷圖不於寅心作嵗輪圏而以甲為心盖因戌寅亥角與寅乙申視角同度(切線法用此角以代乙角)而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大則甲寅乙角亦即寅乙申視角矣既以甲寅乙角為所測視角則乙㸃即可為嵗圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以嵗圏上星過冲日之度(冲日即近㸃亢星過日冲即乙寅申角亦即亢申〔？〕)移作寅乙甲角自乙嵗圏心依角度作乙甲線與寅甲線遇於甲(先有乙寅甲角自有寅甲線)則甲㸃即嵗輪上星所到度可代申㸃而甲乙即嵗輪半徑可代寅申矣故以甲乙線為半徑者巧法也然則當以乙為嵗輪之心用代寅㸃矣何又以甲為心乎曰甲乙既為半徑則以乙為心甲為界或以甲為心乙為界其半徑等為甲乙也故倒以甲為心其法與諸加減表説作差角於圏界者同也(先倒作均角於寅界法同两術中慣用此)(倒算之法)然則以甲為地心何也曰此則其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙為嵗輪半徑矣又以甲心乙界之輪為嵗輪矣甲既為嵗輪之心又安得為地心乎然則地心安在曰以理論之仍當以乙㸃為地心耳何也星之實經在寅其視經在未寅未之〔？〕成寅乙未角此固實測之度也實測差角從地上得之安得不以乙為地心乎若謂乙為日體則日之去地逺矣日體所見之差角與測所見之差角必有分也而今不然故不得以乙心徑為日體也非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何嵗輪心之非地心易見也乙㸃之非日體難知也以其所易見例其所難知疑則思思則得矣 地心既非地心則日體亦非日體然則其中機彀固以示之矣又論曰借甲為地心妙在作戊己線與乙寅平行葢甲己既與乙寅平行則己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆與乙心所作之度相應矣此用法之巧也先以乙寅甲角代寅乙申視角而取甲乙線以代寅申半徑是倒算也復以甲為心乙為界作嵗圏以甲心代乙心亦倒算也兩番倒算而倒變為順故甲可代乙為地心即本天心也而甲己線與寅乙平行即地心所指實行之度也己甲寅角即視差角也寅甲線即視行指線與申乙同也故天度皆應可作十二宫分細度也若於乙作嵗圏則但能得半徑而十二宫之向皆反矣故借甲為心法之巧也乂取甲為心影出火星能入太陽天之象其實火星入太陽天者乃其嵗輪上度非嵗輪心也若真以此為嵗輪心則火星體将過地心而與日同度如金水矣又用甲為心作十二宫則細度可不碍書若用本法則有兩小輪各線相襍而不能詳書細數故移乙心於甲移寅乙申角為己甲寅角也嗚呼可謂巧之至矣但未説破故後學遂妄為作解耳論曰既火星初均在寅即當以寅為嵗輪心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己與乙寅平行也即均角也又乙寅者嵗輪心距日數也乙甲者半徑也寅乙甲角者先有之角即星日相距之餘數也即己過日冲之度本法以距日數及半徑為兩邉與先有之角求均數角今先測得均角而無半徑故反用其法以求半徑法之巧也盖先有兩角一邉而求餘邉之法也一率 甲角之正弦 (有乙寅兩角自有甲角)二率 乙寅邉 (即距日數實為嵗輪心距本天心)三率 寅角之正弦 (即均角乃所測視行與實行之差度)四率 甲乙邉 (即嵗輪半徑包有日差在内)由是言之甲乃嵗輪心耳非地心也若甲真為地心則甲乙非嵗輪半徑矣火星次均解 查火星嵗輪半徑與本天半徑略如六與十宜即用為比例作圖則所得均角亦近(後數係初稿存)(例非火星正用)圖説 乙甲夘三角形有甲角一百二十度有甲夘邉一百 乙甲邉四十一 求夘角 乙角 乙夘邉法曰以乙甲甲夘二邉并得一百四十一為總(即丙夘)為一率又相減得五十九為較(即辰夘)為二率 丙甲乙外角六十度半之得三十度(即辛甲丙角)其切線五七七三五(即辛癸)為三率求得(壬辛)為四率得二三九八八查表得十三度二十九分四十秒収作三十分(即辛甲壬角)以辛甲壬角減半外角(辛甲丙角)得壬甲丙角十六度三十分即夘角也 又以辛甲壬角加辛甲丙(即辛甲己)得壬甲己角四十三度三十分(亦即甲乙夘角)末以甲乙夘角四十三度三十分之正弦六八八三五為二率乙甲四十一為三率全數為一率法為全數與乙角之正弦若乙甲與甲午也得甲午 又甲乙夘角之餘弦七二五三七為二率乙甲四十一為三率全數為一率法為全數與乙角之餘弦若乙甲與乙午也得乙午 用勾股以甲午冪減甲夘冪餘數 開方得數為午夘乃併乙午午夘共為乙夘邉一系甲夘如火星距心線(即表中距日數)甲乙即如火星嵗輪半徑(即表中半徑加日差為星數之數)丙甲乙外角即如火星行嵗輪上離合伏之度(即日)(星相距度)丙甲辛角即如火星半距度(辛癸其切線)壬甲辛角即火星減〔？〕(壬辛其切線)卯角即均角一系丙㸃如嵗輪合伏度 甲為嵗輪心 夘為本天心 丙甲夘線即嵗輪心平行線一系丙夘乙均角在前六宮是平行線東為加一系嵗輪上加減以夘亥切線所到為限自丙㸃以至亥㸃距合伏度漸從小至大其均度漸増過亥㸃至辰冲日距度漸從大至小均度漸減盖距合伏度大則半距亦大反之則小也一系星行嵗輪過亥㸃則距度大而減〔？〕更大故均數漸減如圖星行至未成甲未夘三角丙甲未外角半之於酉而壬甲酉為減〔？〕其得均角夘與星行在乙等若欲知未甲辰角法用三率求之一率 甲未邉 二率 夘角正弦三率 甲夘邉 四率 未角正弦既得未角以并夘角而減半周其餘即甲角也星行到乙與星行到未同以夘角為均度一系星之離日有定距一系星之嵗輪與日天略等一系日距星為日離星而東日速故也星距日為星離日而西星遲故也一系日距星為日天之度星距合伏為嵗輪之度一系論右旋則日速星遲若左旋則星反速於日故嵗輪心漸逺於日可稱左旋而嵗輪上圍日之象亦左旋也一系星有遲速皆嵗輪心之行而星行嵗輪邉成圍日之行則五星一理一系星本天右旋星在嵗輪上亦右旋而星圍日之行左旋此外仍有自行之髙卑故土星能至甲木能至乙至丙火能至丁各天故不甚相逺自人所見五星所當宿度則距日有逺近之殊而五星在天以徑線距太陽終古如一以此圖觀之見矣所異者五星各有髙卑本輪則有微差而火星則兼論太陽髙卑要不能改其徑線相距之大致算火星前均及距地心線用簡法 依表説用兩小輪圖設平引三十度依表説算得均角四度五十分加減表四度五十分七秒 表説差七秒今用簡法得四度五十分十秒 只差三秒表説又算距心一十○萬九千九百○三加減表是一十一萬○○一十三差十萬分之一百一十(數見表首巻第四章稱為火星年嵗圈心距地心數)今用簡法得一十一萬○○一十九只差十萬分之單六又原法用勾股作垂線以求角求邉今用簡法以半外角切線乗兩邉之較為實兩邉之總為法除之即得半較角以減半外角即為均角工力較前省半其小輪上加減之角用小輪半徑四與一之比例乗除工力尤省數倍求邉之法只用對角之正弦比例工亦省半竊意立表時當是用此法凡諸表數或是西人成法翻譯成書或是厯局依法算演俱不可攷然是入用之數當以為主火星平引三十度算得均角四度(五十分十秒)距心線(一十一萬○○一九)查表均角四度(五十分七秒只差三秒)距心(十一萬○○一三只差十萬分之單六)可謂宻近丙戊甲三角形 求甲角 及戊甲邉 丙甲為一四八四○丙戊三七一○ 其比例為四與一簡法其總為五其較為三 丙角六十度(引數之倍) 先求甲角法以丙角減半周得餘外角一百二十度半之六十度查其切線一七三二○五以較(三)因之總(五)除之得一○三九二三查切線表得其度為四十六度六分○八秒為半較角以半較角減半外角六十度餘一十三度五十三分五十二秒為丙甲戊角表説甲角十三度五十四分是不用秒數也次求戊甲邉法以甲角之正弦(二四○二○)為一率 丙戊邉(三七一○)為二率 丙角之正弦(八六六○三)為三率 求得戊甲邉(一三三七六)為四率次戊甲丁三角形 有甲丁邉(一○○○○○) 有先求到戊甲邉(一三)(三七六) 有甲角(以求到戊甲丙角加引數丙乙三十度共得四十三度五十四分弱為戊甲乙外角餘一百三)(十六度六分强為甲丙角)先求丁角(即三十度視差角)法并(甲丁戊甲)兩邉得總(一一三三七六)為一率 又兩邉相減得較(八六六二)(四)為二率 半外角得(二十一度五十七分弱)之切線(四○三○○)為三率求得半較角切線(三○七九○)為四率查表得角(十七度六分五十秒)以減半外角餘四度(五十分一十秒)即丁角次求戊丁線(即表距日數實即嵗輪心距地心之數)法以丁角之正弦(八四二六)為一率 戊甲邉(一三三七六)為二率 甲角(用餘角四十三度五十四分弱)正弦(六九三三八)為三率 求得戊丁邉(二○○一九○)為四率一系凡兩小輪有比例者俱可用簡法求角七政並同一系凡三角形有一角在兩邉中者遇其邉有比例可用簡法土星 自行輪半徑八七二一小均圏半徑二九○七 其比例為三與一 其總為四 其較為二 總與較之比例為折半簡法(但以半外角之切線折半即得半較角)木星 自行輪半徑七一五五 小均圏半徑二八三五 其比例亦為三與一(法同土星)金星 自行輪半徑二四○六 小均半徑八○二 其比例為三與一(法同土木)水星 地谷宻測自行輪半徑六八二二 小均輪一一三七其比例為六與一 總為七較為五 法用五因七除多禄某舊法自行輪九四七九 小均輪一五八○ 其比例為六與一而强太隂 本輪半徑(八千七百)三平分之二為新本輪半徑(五千八百)一為均輪半徑(二千九百)其比例為二與一其縂為三其較為一法用三為法以除半外角切線得半較角朔望次輪半徑二千一百七十舊為二千三百一十此朔望輪地谷轉用於地心之上太隂朔望次輪全徑四千三百四十以全加於本輪半徑則一萬三千○四十故兩弦之加減至七度四十分 然以比五星嵗輪則太隂最少太陽 兩心差三五八四 折半一七九二王寅旭法兩心差三八八三八八收作三五八四 小均輪半徑為兩心差四之一 第一均輪半徑為兩心差四之三兩均輪之比例為三與一 其總四其較二亦折半比例也與土木金三星並同加減差圖説以兩心差折半作角盖謂此也兩均輪比例求七政各小輪半徑法具厯書今只定其大小之比例兩心差火星最大為一萬八千五百竒 次土星一萬一千六百竒 又次木星○萬九千九百九十 又次太隂八千七百又次水星七千八百五十 太陽數少三千五百八十四 金星更少只三千二百○六上三星軌跡成繞日圓象五星本天並以地為心與日月同至若嵗輪(即古法遲留逆伏之)(叚日)則惟金水二星繞太陽左右而行其嵗輪直以日為心土木火三星則不然並以本天上平行度為嵗輪心(金水以太陽為嵗輪心亦以二星之平行與太陽同度也)然其軌跡所到並於太陽有一定之距故又成繞日左行之圓象西人所立新圖不用九重天而五星並以太陽為心盖以此也然金水嵗輪繞日其度右移上三星(土木火)軌跡其度左轉若嵗輪則仍右移耳七政前均簡法(訂火緯表説因及七政)西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或筆誤無從訂改矣故有表説以發明之然或表説所用之數有與表中互異者則是作表者一人作表説者又一人也余因查火星之表而為之推演然後知立表之法甚簡洵乎此心此理不以東海西海而殊厯算全書巻十七
## 卷十八
欽定四庫全書厯算全書卷十八宣城梅文鼎撰七政細草補註推日躔法先查年根(冬至後一日子正距冬至)隨錄本年髙衝(年根子正髙沖)後查日數(本日子正距冬至後一日子正之平行)隨錄髙行(亦本日子正距冬至後一日子正之髙行)高行加入高衝書於高衝格内(即本日高沖所在)年根日數相加得平行(即本日距冬至之平行)平行内減去髙衝為引數(即得本日)(子正距高沖)以引數查加減表相較(用中比例)得均數隨記加減號均數依號加減於平行即得細行(人目所見視度)細行内按宫度減宿次即得本日宿也鼎按年根者冬至後一日子正之平行也日數者毎日之平行也故相加即為本日之平行邵本云凡算宿鈐以戊辰年為主毎年加五十一秒所積之秒以六○歸之加於宿鈐之内再與細行相減髙衝者太陽最卑㸃距冬至之度毎年東行一分推月離法先查四年根獨正交行加六宫後查四日數俱年日相加得三平行而正交年日相減為正交平行書本日太陽細行即按細行宫度查日差表得數記書加減號按數至時刻平行表内查得日差兩書之依號加減於平行總平行引以平行引查加減表相較(中比例)得均數記加減號均數依號加減於平行總平行引即為實行實行引實行内減去太陽度為月距日次引以月距日次引同實行引宫度查表(二三均數表)相較得次均次均依號加減於實行即白道經度(邵本云即白經恒減)以月距日次引查交均記加減號隨查大距數交均依號加減於正交平行即正交經度正交經度加六宫即中交置白道經度内減去正交經度即月距正交以月距正交查白道同升差表得同升差記加減號白道經度與同升差依號相加減為黃道視行以月距正交與大距數查緯表(即黃)(白距度表)得視緯減宿照日躔減法同邵本云錄本日太陽細行而太陽恒減以太陽恒減查日差表記得數於旁加減號記於月離日差之旁次將所得之數查時刻平行表如查出之數只分秒耳即日差以兩平行與日差照號加減得平行總平引又云以月距日次引查二三均表直行以實行查橫行所遇之處即得如月距日次引過六宫減去然後查表内行宫度順查外行宫度逆查而粗格所在即加減所分按楊學山云月之二三均數以距日而生與五星嵗輪同理但其行法却異於五星兼有又次輪附於次輪之上與次均相消相長表乃二均三均之總數故與五星次均表絶殊其加減之句亦不以六宫而分○月之交均距限亦以距日而生地谷以前無之也推土木星法先查兩年根(冬至後一日子正星距冬至及引數)後查正交行再查日數(年根距冬至及引數之下各書日數)兩書之年日相加得平行平引(年根距冬)(至引數各加日數為平行與平引即所求本日子正)以平引查加減表相較(中比例)得均數隨錄中分(加減表中分)記書加減號均數依號加減於平行得實經(嵗輪心所到)即書本日太陽細行(日躔條求得數)於格太陽内減去實經即次引(本日星在嵗輪距合伏)以次引查次均隨得較分亦相較(中比例)記書加減號中較相乗六十歸之得三均三均與次均恒加即定均將定均依次均號加減於實經即視經(遲留逆伏之度)減宿照日躔減法同置實經於交行下内減交行即得距交(所求日星距正交)以距交查中分(緯表内之中分)以次引(即前所得嵗輪上星距合伏)查緯限中緯相乗六十歸之得視緯定南北以距交宫度定之前六宫(○一)(二三四五)號北後六宫(六七八九十十一)號南按學山云五星三均恒用加者以嵗輪心自最髙至最卑次均皆漸大而表所列次均數乃置輪心在最高時算也五星加減表中分是從高卑立算緯度中分是從交㸃至半交立算乃厯家簡括之法若依三角形算則不用中分矣推火星法先查兩年根(距冬至引數)隨錄正交行後查日數(兩年根之下各書日)(數)兩書之年日相加為平行平引以平引查加減表相較(中比例)得均數即書加減號均數依號加減於平行得實行實引隨錄本日太陽細行太陽内減去實行得相距若相距過六宫則於實行内減去太陽得距餘減距餘之半即得距餘半此係後六宫者若前六宫即將相距減去一半為半距無距餘半太陽内減去髙衝改作對衝宫為日引(加六宫即是從最髙起)以實引查距日及半徑以日引查日差半徑日差相加得星數(星數即歳輪半徑)星數與距日(距日即嵗輪心距地)相加為總相減為較以距餘半查八線表即得半距切線數與較相乗又以總數除之得數再查八線表取相近切線用之即得減弧半距或距餘半内恒減去減弧得次均即看相距在前六宫者加(嵗輪上從)(合至沖)後六宫者減(從沖至合)依號加減於實行即視行宿次照日躔減法同實行内減去正交即距交以距交查中分以相距(日星相距)查緯限(先定南北)緯有加減分距交在北者依號加減為定緯限中分緯限相乗六十歸之得緯以距交定南北前六宫是北後六宫是南按距日半徑俱以實引取之查各式並同天學㑹通亦同按前六宫是自合伏至沖日後六宫是自沖日復至合伏皆以嵗輪言邵本於半距切線下注云從距日至再查切線俱逢十進之按楊學山云火星半距總較切線等用是斜三角形有一角二邊求餘角之法也五星皆可用惟日差星數火星所獨耳推金水星法先查三年根(引數伏見距冬至)後查太陽日數兩書之(即用為星平行)(日數兩書於引數及距冬至下陽金水距冬至平行即日躔表數也金水以太 為平行之心)再查本星表内日數(此則伏見平行之日數)書於伏見行下年日相加得各平行以引數平行查加減表相較(中比例)得前均即書加減號隨得中分(加減表中分)前均依號加減於各平行得實經實引獨伏見行下前均加減號反用得伏見實行(反用均數加減伏見平行為伏見實行)以伏見實行查二均亦相較(中比例)書加減號隨得較分中較相乘六十歸之得三均二均三均恒加即定均并均依號加減於實經即視經減宿與日躔法同實引内恒加十六度(金星正交在最髙前十六度)即得次實引(即星距正交)以次實引查前中分(前緯表中分)以伏見實行查前緯限中緯相乗六十歸之記書南北號其後中分(後緯表中分)後緯限(亦以距交查後中分)亦照前緯查法同(以伏見實行查)(後緯限)亦書南北號如前後緯號同者兩緯相加(俱南緯俱北緯)(則相加)如號異者兩緯相減(一南一北則相減)即得視緯其南北以數大者定之(若異號相減則以南緯大者命其減餘為南北大者則命為北) 水星照此推法同獨無次實引(水星正交與最高同度即以實引為距交)金水伏見行即土木之次引也土木以星行嵗輪心與太陽相減得次引者是星距日度即嵗輪上距合伏之度金水則伏見輪心即太陽無可相減故另有伏見之行金水次實引即土木之距交也因水星即用實引數為距交故金星别之為次實引然殊亂人目不若直名之距交邵本查後中分後緯下有云必中緯同在一篇者方可用以便定南北學山云金水緯行獨有前後二表者以二星之緯皆由伏見輪而生而伏見輪小於黃道斜交側立旋居於本天之周作表須前後兩表以該之非星緯實有前後之分也學山云金水伏見實行與初均加減號相反者以伏見輪心之角斜線錯列適與初均成相反之勢故反加減之得星合伏真度非伏見之行與本輪相反勿誤認袁説推火星諸行假如(甲申年距根一百三十五日)距冬至平行 查(本星)二百恒年表(本年下)距冬至橫行(一十)(一宫○六度五十三分五十九秒)隨查日數(二宫十度四十五分)日數與年根并之得(一宫十七度三十九分)引數平行 查恒年表(本年下)引數橫行(三宫七度○五分二十七)(秒)日數與距冬至同 年根日數并之得(五宫十七度五)(十分)初均數 以引數平行查(本星)加減表得(二度三十分四十二)(秒) (其號順減書減號於均數之旁)隨錄距日數距冬至實行 以(本星)平行内減去初均數得(一宫一十五度○八)(分) (以均數之號為加減)引數實行 以本平行内減去均數之全數得(五宫十五)(度十九分) (以均數之號為加減)太陽 即錄本日日躔細行相距 以太陽内恒減去距冬至實行得(二宫二十)(九度三十五分)半距 即以相距半之 若相距過半周則借全周内減去相距全分即為距餘再將其較半之即距餘半也日引 以本日太陽加六宫減去日躔表内本年下最髙衝得(十宫八度三十一分)距日 以引數實行查加減表得(八九三七四○) 勿菴按距日半徑俱宜用實行半徑 以引數實行查加減表得(六三○七一七)日差 以日引查之得(○一九一四四)星數 以半徑恒加日差得(六四九八六一)總數 以距日内加星數得(一五四三六○一)較 距日内減去星數得(二四三八七九)半距切線 以半距全分查八線表正切線得(九九二四)減弧 以較數與半距切線相乗得(二四二○四二五九)(一一三) 又以總數除之得(一五六八○)以此查正切線得(八度五十五分)次均 半距内恒減去減弧得(一宫五度五十二分)視行 以實行内加次均全分得(二宫二十一度)正交 查(本星)恒年表(本年下)正交橫行得(四宫十七度十)(三分)距交 以實行内恒減去正交得(八宫二十七度五十五分)中分 以距交查首卷本星緯度得(六十分)緯限 以相距查緯表得(一度二十九分)視緯 以緯限數化作(八十九分)與中分(六十分)相乘得(五千三百四十分)為實以六十為法除之得(八十九分)以六十分成度得(一度二十九分)推凌犯法月犯恒星以本年七政厯與恒星鈐表恒星經度及南北緯度月在上相距二度内取月在下相距一度内取之又以本日與次日之月視行相較化分為一率日法一千四百四十分為二率恒星經度内減月經度之較化分為三率二三相乘一率除之得凌犯時刻月犯五星以本年七政查月與五星經度及南北緯度月在上相距二度内取月在下一度内取之次以本日之月視行内減次日之月視行取其較又以五星本日經度内減次日經度取其較視星順行者兩較相減逆行者兩較相加化分為一率日法一千四百四十分為二率以本日五星經度内減月經度為月未及星之距化分為三率求得四率為凌犯時刻五星犯五星以本年七政五星經度及南北緯度相距一度内取用五星各以本日經度與次日經度相減得較如俱順俱逆者兩較相減一順一逆者兩較相加化分為一率日法一千四百四十為二率又以本日五星經度兩相減之較化分為三率如法求得四率為凌犯時刻五星犯恒星以本年七政與恒星鈐表經度及南北緯度相距一度内取用次以五星本日經度内減次日經度得較度化分為一率日法一千四百四十為二率又置恒星經度内減本日五星經度得較度化分為三率如法求得凌犯時刻為四率若五星退行者以五星經度内減恒星經度為三率月與星一度為犯十七分以内為凌同緯為掩 五星與星一度為犯三分以内為凌同緯為掩視凌犯時刻在地平上者取之若在地平下可勿推算定上下以北為上南為下月緯星緯同在北以月緯多者在上少者在下月緯星緯同在南則以月緯多為在下少為在上其兩緯相減 若星月一南一北則以月南為在下月北為在上兩緯相加推月星凌犯密法依本年七政厯並恒星鈐視恒星經度及南北緯度月在上二度内取之月在下一度内取之又以恒星經度内減本日之月視行得度化分為二率以一千四百四十分為三率本日之月視行相減其較數度分為一率二三率相乘以一率除之即得時刻一求太陽細行 以一千四百四十分為一率次日細行與本日細行相減得較為二率凌犯時化分為三率二三率相乘一率除之得四率以四率加於本日細行得太陽細行二求時分 以太陽細行查交食四卷内(九十度表)得時分太陽度過三十分進一度查表得數即是三求總時 以時分及凌犯時刻午後減十二小時午前加十二小時滿二十四時去之餘為總時(即應時)四求九十度限 以總時查交食四卷表與時分相對者錄之得九十度限五求恒星經度 置恒星經度六求限髙度 以九十度減距天頂之度分得限髙度七求月實引 置月離内月實引八求月距地(半徑) 以月實引查交食二卷表内得月距地半徑(邵本作查交食表二卷内視半徑)九求月實行 以月實引查交食二卷表内得月實行十求星距限 九十度限之宫度分内減星之經度宫度分為限大則星在西若不及減置星經度内減九十度限之宫度分為限小則星在東(十一)求置正交(經度) 置月離内正交經度十二求較數 以正交經度内減九十度限宫度若九十度限不足減則加十二宫減之即得較數十三求真髙度 以較數查交食二卷太隂距度表得月實緯分北加南減於限髙度得真髙度六宫以上定北加以下定南減十四求地平差 以真髙度並月距地半徑求地平差(見交食九卷表)十五求時差 以地平差變為髙下差(查交食表九卷)及星距限度求時差十六求較數 以真高度置九十度減之餘為較數十七求氣差 以較數及月距地半徑求氣差(交食九卷)(表内)月距地半徑查上橫行以較數查右直行十八求月實緯 以凌犯時刻化分為三率本日之月緯度與次日緯度相較得數化分為二率與凌犯化分相乘以二十四小時化分為一率除之得數加減於本日緯度視南北號順加逆減即月實緯若南北異號以兩數相加為二率後除得之數用減本日緯度以次日之號定南北十九求視緯 以月實緯度南加北減於氣差得視緯二十求恒星緯 置恒星緯度分廿一求月距星 月視緯北多定上月視緯南多定下以大減小一度以外不用得月距星如一南一北兩數相加(廿二)求凌犯時刻 置凌犯時刻廿三求定時差 以月實行分為一率時差分為二率六十分為三率二三率相乘一率除之得四率有六十分進一時十五分進一刻得定時差廿四求視時 以定時差加減於凌犯時刻即得凌犯視時視星距限度西加東減南北異號(月南在下月北在上兩數相加)南北同號 同(北南)月緯大在(上下)月緯小在(下上)兩數相減按凡推月與五星及恒星凌犯用此式較密攷節氣法(用變時表依法查之更密)凡半月一節氣遇細行一十四度與二十九度即是交節氣之日次日細行與本日細行相減減餘化秒為一率置六十分以本日細行分秒減之減餘化秒為二率化二十四小時為一千四百四十為三率二三率相乘以一率除之得數即四率其分秒用六歸之收作時刻分 查節氣日差加減表(在日躔二卷内凡六十分為一)(小時若過半分作一分用)一百二十分為一大時十五分為一刻如不滿一刻作分算時自子正起算二十九度與次宫○度相較為氣十四度與十五度相較為節查二至限法以二至度為主加以本日太陽經度未滿宫度之餘分即是二至限 如冬至日經度為二十九度二十五分(即此廿五分為未滿之餘分也) 而本至宿為箕三度三十五分加二十五分則為冬至限在箕四度假如五月初十日太陽在申宫二十九度二十三分宿在觜十度十二分問曰夏至限係何宿度分 答曰觜宿十度四十九分假如十一月二十日太陽在寅宫二十九度十五分宿在箕二度五十六分問曰冬至限係何宿度分 答曰箕宿三度四十一分假如正月十四日太陽在子宫十四度二十一分八秒十五日太陽在子宫十五度二十二分三秒問曰立春係何時刻 答曰申初初刻十分假如二十九日太陽在子宫二十九度三十一分二十五秒三十日太陽在亥宫初度三十一分十四秒問曰雨水係何時刻 答曰午初一刻六分定合朔弦望法合朔 以月距日次引滿十一宫二十餘度此日即合朔也滿十二宫即○宫是合朔之次日也求合朔時刻(凡星同度法同)以本日太陽與次日太陽相減得較數另記又以本日之月視行與次日之月視行相減得較仍以兩較數相減得數化分為一率以一千四百四十為二率又置本日太陽減去本日之月視行得數即月不及日之度為三率二三相乘一率除之得數再以六十分收之為時餘以十五分收為刻即得時刻及分假如正月初一日太(陽隂)在子宫(十四度十五分二十秒十度二十三分十二秒)初二日太(陽隂)在子宫(十五度十四分六秒十一秒二十三度三十分三)問曰合朔係何時刻 答曰辰初二刻八分相望 亦以次引滿五宫二十度之上將近六宫即是望也到六宫即望之次日也求弦望時刻以本日與次日太陽之較及月視行之較相減化分為一率以一千四百四十為二率又置本日之月視行内減去本日太陽其餘宫度分上弦輳滿三宫望輳滿六宫下弦輳滿九宫將輳滿之數化分為三率二三相乘一率除之得數再以六十收之為時刻分假如十六日太(陽隂)在(戌辰)宫(十五度十六分九秒秒六度三十分二十一)十七日太(陽隂)在(戌辰)宫(十六度十五分十六秒五秒十八度二十九分三十)問曰望係何時刻 答曰戌初初刻七分上弦 以次引二宫二十餘度將近三宫即上弦也若滿三宫即為上弦之次日也假如初八日太(陽隂)在(亥申)宫(八度三十四分八秒秒七度五十八分四十)初九日太(陽隂)在(亥申)宫(七度三十四分二十秒秒二十度五十五分十六)問曰上弦係何時刻 答曰丑初初刻十分下弦 以次引八宫二十餘度將近九宫即是下弦也若九宫一二度即下弦之次日也假如二十三日太(陽隂)在(酉子)宫(二十一度十一分二十秒十一度三十三分六秒)二十四日太(陽隂)在(酉子)宫(二十二度八分十六秒十秒二十五度二十八分三)問曰下弦係何時刻 答曰酉初三刻四分求月入宫法以次日宫度分内減去本日宫度分餘度分化分為一率本日未滿整宫之餘度分亦化分為二率一千四百四十為三率二三率相乗一率除之即得時刻假如正月初七日太陰在戌宫十八度三十一分初八日太陰在酉宫一度二十四分問曰月入宫係何時刻 答曰亥初一刻八分入酉宫求月升法以朔日之月離宫度定之子宫十五度至酉宫十五度為正升酉宫十五度至未宫初度為斜升未宫初度至寅宫十五度為橫升寅宫十五度至子宫十五度為斜升假如正月初一日月在丑宫十八度四十六分問曰月係何升 答曰係斜升求月孛羅計法以本年所推月離稿内毎月初一十一二十一三日月孛實行正交經度中交經度内減本年宿餘減宿即得三宿分假如正月初一日月孛實行在己宫八度四十四分本年宿鈐在己宫一度八分為張宿問曰月孛係何宿度分 答曰張宿七度三十六分求五星伏見土木火三星與太陽合伏後為晨見 合伏前俱稱夕與太陽衝後為夕見 衝前為晨(葢星行遲太陽行速故也)金水二星順行與太陽合伏曰夕 逆行合伏曰晨假如土星四月十九日合伏問曰土星合伏前後應晨應夕見與不見答曰合伏前係夕不見合伏後係晨見假如水星五月十二日與太陽衝問曰太陽衝前衝後應晨夕見與不見答曰衝前係夕不見衝後即晨見(按水星不沖日今云爾者葢退合亦)(沖之屬也退當云退合伏前係夕不見 合伏後即晨見)求五星衝伏同度時刻法兩星各以次日行與本日行相減得較 兩較相加減為一率同順同逆兩較相減一順一逆兩較相加一千四百四十為三率二三率相乘以一率除之得時刻假如正月十八日(土水)星在子宫(二十六度四十九分二十六度三十三分)十九日(土水)星在子宫(二十六度五十六分二十八度一十七分)問曰(土水)二星係何時同度 答曰寅初三刻十二分假如正月二十五日(太陽水星)在亥宫(二十八度三十分分二十八度四十二)二十六日(太陽水星)在亥宫(二十九度三十分分二十七度四十二)問曰水星係何時與太陽合退伏 答曰丑正一刻九分假如二十日(太陽土星)在(丑未)宫(三度二十六分四度十分)二十一日(太陽土星)在(丑未)宫(四度二十四分四度六分)問曰土星係何時與太陽衝 答曰酉初初刻一分假如二十八日(太陽木星)在子宫(二十七度三十分分二十七度五十五)二十九日(太陽木星)在子宫(二十八度三十分二十八度二分)問曰木星係何時與太陽合伏 答曰午初一刻四分求五星退入宫法本日度分内減去次日度分其較為一率本日餘分為二率(度以上不算止用餘分)一千四百四十為三率二三率相乘以一率除之得時刻假如二十六日金星在戌宫初度三十二分二十七日金星在亥宫二十九度三十八分問曰金星係何時退入某宫 答曰未正初刻十三分退入亥宫求五星順入宫法以次日宫度分内減去本日宫度分餘度分化分為一率諸法俱與月入宫法同(如退入宫者則於本日宫度分内減去次日宫度分)(得數化分為一率以日法為二率即以本日初度分為三率依法求之)假如正月初三日水星在丑宫二十九度四十六分初四日水星在子宫一度三十五分問曰水星係何時刻入某宫 答曰寅初初刻四分入子宫求五星最髙卑中距法凡三宫九宫為中距 ○宫為最卑 六宫為最高火金水三星以實引次實引查 土木星以平引查假如土星平引在四宫八度二十分問曰從何限之上下行 答曰中距下行求五星留逆法凡五星經度自一度二度而行者為順如從十五度十四度而行者為逆 本日係十度五分次日仍十度五分者為留第三日係十度六分為留順初如係十度四分三分為留退初求五星伏見法以天球安定北極出地如四十度求晨在東地平上用本日太陽距星之數求夕在西地平上用次日太陽距星之數以太陽所在之宫𦂳挨地平又看此日之星宫度相距太陽之逺近又用缺規矩較星距太陽之定限如土星定限距太陽十一度木星定限距太陽十度火星定限距太陽十一度半金星定限距太陽五度水星定限距太陽十一度半以缺規矩較定之限挨地平視星所在之宫度及緯南緯北之度視厯算全書卷十八
## 卷十九
欽定四庫全書厯算全書卷十九宣城梅文鼎撰揆日候星紀要求日影法謹按測日之法要先知太陽緯度 其次要知里差其次要知句股算法其次又要知割圓八線太陽緯度有半年在赤道南有半年在赤道北此以節氣定之假如冬至日太陽在赤道南二十三度半為緯度之極南其影極長自此以後太陽漸漸自南而北其南邊緯度漸減則影之長者亦漸減至春分日太陽行到赤道上即無緯度既過春分太陽行過赤道之北於是漸生北緯緯既漸北其影漸短至夏至之日而影短極矣夏至日太陽在赤道北二十三度半為緯度之極北其影極短自此以後太陽漸漸自北而南則北邊緯度漸減而影之短者復漸長至秋分日太陽行到赤道上亦無緯度既過秋分太陽行過赤道之南於是漸生南緯緯既漸南影亦漸増至於冬至之度而復為影長之極矣長極則短短極則長總由太陽南北緯度之所生其緯日日不同故影之長短亦日日不同也凡㸔表上層節氣順數而下自初日至十五日止下層節氣逆數而上亦自初日至十五日止或論日或論度㣲有不同然所差不逺查表法第一表是太陽在赤道南所紀度分是南緯日日不同之數管冬至小寒大寒立春雨水驚蟄(其日期自上而下順推)又管秋分寒露霜降立冬小雪大雪(其日期自下而上逆推)凡順推日期者看右行順下之數逆推日期者看左行逆上之數第二表是太陽在赤道北所紀度分是北緯日日不同之數管春分清明穀雨立夏小滿芒種(日期順推看右行)又管夏至小暑大暑立秋處暑白露(日期逆推看左行)凡查緯度看本日是何節氣則知太陽在赤道南或在其北又看是節氣之第幾日依表順逆查之即知太陽在赤道南北相離幾何度分假如辛未年四月初一日是在穀雨節内檢表便知在赤道北又查交過穀雨已有八日便於穀雨節之下從上順數而下對右行八字之格内(係第九格)尋其緯度是(十四)(度十三分)便是此日太陽距赤道北緯之數也又法不用算日期只於本年七政厯尋本日太陽所到宫度加三十分即是 假如四月初一日七政厯内太陽是酉宫七度三十六分此是夜半子時度數加三十分得八度○六分便是本日午正太陽躔度也以午正太陽入酉宫八度○六分從本表中穀雨節一行内從上順數而下到横對右行順下第八號之格是十四度一十三分便是此日此時太陽離赤道北之緯度也以上論太陽緯度既知緯度則日影長短之縁已得之矣然又要知里差何也緯度不同是天上事乃萬國九州所同然而人所居有南北故所見太陽之髙下各異則其影亦異前所論緯度髙下是毎日不同今論里差則雖同此一日而北方日影與南方不同若不知此則誤矣里差南北論本地北極出地即如四月初一日午正推得太陽在地平上髙六十四度此據京師地勢言之若在别省則其度不同何也北極之出地不同也 後圖明之右圖舉浙江為例其他處各各不同可以類推北極出地度開後京師 四十度 山東 三十七度 陜西 三十六度盛京 四十二度 山西 三十八度 河南 三十五度江南 三十二度 浙江 三十度 福建 二十六度湖廣 三十一度 (江西四川) 俱廿九度 廣西 二十五度貴州 二十四度 廣東 二十三度 雲南 二十二度求赤道髙法各以其地北極出地度減九十度餘為赤道髙度觀前圖自明以上論里差既知太陽緯度又知本地里差則任舉一日可知太陽午正之髙度而測影不難矣然又要知句股算法及割圓八線凡測影有二法一是用直表而取平地之影(又名直影) 一是用横表而取壁上之影(又名倒影)此兩者皆是句股形直表取影是一个正句股形古人用八尺表取影只用直表直影故前所論者亦直影也凡此句股之法生於割圎八線何以謂之割圓周天三百六十度今取其若干度而算之是將渾淪圓形剖開算之故曰割圓也割圓有八種線俱是算句股之法今取日影則所用者切線也切線有正有餘此因直表取影故所用者又是餘切線也凡測影者先以緯度及里差得太陽髙度即用所得髙度入八線中查本度之餘切即得所求直影假如前推四月初一日太陽髙六十四度一十四分即於八線表中尋六十四度十四分之餘切線便是所得直影八線表在厯書中其查法毎度六十分自四十五度以前自上而下四十五度以後至九十度自下而上(其順下逆)(上俱自一分起至六十分止俱要看表旁之分號對而取之)甲乙為半徑(為股)以當表丙乙為餘切線(為句)以當影甲丙為日光斜弦太陽在已光射於表端之甲直至於丙成甲乙丙句股形其己庚髙度與戊丁相對之度等用戊丁即如用己庚也以戊丁為主則丁乙為餘度而丙乙者即戊丁髙度之餘切線也查八線表法先查某度 再查某線 再查某分 以横直相遇處取之其度數有寫在髙處者(自○度起至四十四度止)有寫在下面者(自四)(十五度起至九十度止)其八線之號有寫在上一層者有寫在下一層者其分數有自上而下者有自下而上者此無他故也只看度數寫在髙處者其八線之號(如正切等)亦即寫在上一層而其分數亦自上而下也若度數寫在下面者其八線之號亦即寫在下一層而其分數亦自下而上也(凡一度俱有兩)(張一張自○分至三十分一張自三十分至六十分)假如前推太陽髙六十四度便知此度數寫在下靣即於表中尋下面左角上寫有六四字樣者此則六十四度之表也 度既寫在下便從下一層横看八線之號至餘切字樣處認定此即六十四度餘切之行也 又因度下有一十四分便向表中原寫六四字樣處接了便是○分自此逆上一分二分以至十四分止是所用之横格也依此十四分之號横看至餘切之行其中所書便是六十四度十四分之餘切線數矣他倣此(若依前加)(太陽十五分便尋三十分之號如法求之)又式康熈辛未七月初四日丁亥測正午時日影 京師立表前月二十八日壬午夘時交大暑節本日子正太陽度鬼宿三度七分為六宫四度三十三分午正太陽度鬼宿三度三十六分為六宫五度○二分黄緯十九度○五分在北京師赤道髙五十度 午正太陽髙度六十九度○五分餘切線○三八三八六立八尺表 正午日影該三尺○七分凡立表須正取影之地須平又須正對子午又按此直表也故當以太陽半徑加髙度而取直影(用餘)(切)若横表即當以太陽半徑減髙度而取倒影(用正切)此測影中最精之理不可不知皖城北極髙三十一度赤道髙五十九度 立表八尺 冬至日在赤道外二十三度三十一分半午正太陽髙三十五度二十八分半 餘切線一四○○六五 直影宜加太陽半徑十五分竒共髙三十五度四十四分其餘切線一三八九九四以表數八尺乘餘切線得影長一丈一尺一寸二分 若求倒影宜減太陽半徑十五分竒得髙三十五度一十三分四省表影立成四省表影立成者為友人馬德稱氏作也徳稱系本西域逺祖瑪沙伊克瑪哈齊兩編修公以善治厯見知洪武朝受敕譯西書其文御製稱為不朽之智人欽天監特寘專科肄習子孫世其官皆精其業西域之言厯者宗焉西域之厯有二一曰動的月以弦望晦朔為序乃太陰厯也故齋期以見月為滿一曰不動的月以二十四定氣為端乃太陽厯也故禮拜以晷景為憑然此二者皆有里差而今回回家所傳二十四節氣表景尺度共祗一術故徳稱氏疑焉謂其不足以盡諸省直之用而欲有以是正之以屬余余既稔知西域之以天為教以厯為學經數百年能守其舊俗不變可謂有恒而徳稱氏又能不牽於習見踵事加詳以致其恪恭鄭重之意深為可敬遂力疾為之布算以歸之夫厯學至今日明且確矣而泰西氏之法大綱多出於回回竊意如各省直里差之説必西域所自有或當時存而未譯或譯之而未傳或傳之久而殘缺皆未可知吾願德稱氏與其西域之耆舊尚為之詳徵焉而出以告世庶有以證吾之説而釋夫傳者之疑以正其疎也四省直節氣定日表影考定立表十尺(若表短則用折算假如用表一尺則以尺為寸寸為分分為釐皆折取十分之一若)(表八尺則尺取八寸為十之八)右表影皆以直省城内為準附近二百里内外可用其餘州縣各各不同須以彼處北極髙度定之一凡立表須直不得稍偏於東西南北則影為之變須以線垂而準之古所謂八綫附臬者是也一植表取影之地須極平如砥若㣲有髙下陂陀坑坎拗垤則影不應矣當以水準之一量表量影之尺度須極勻極細一取正午之影須在正南然天上正南非羅針所指之正南也須於羅針正午之西稍偏取之或曰丙午之間縫針與臬影合亦非也蓋針所指在在不同如金陵則偏三度此非正方案則不能定或以厯書法用北極附近星取之以上四事皆求表影者所當知此外又有節氣加時在午前午後之不同則影亦為之加減假如冬至影極長而冬至不在正午或午前或午後則其午影必㣲差而短又如夏至影極短而夏至不在正午或午前或午後則其午影必微長又如小寒至芒種十一氣影自長而短若其加時在午前則午影必㣲短加時在午後則午影必微長又如小暑至大雪十一氣影自短而長若其加時在午前則午影必㣲長加時在午後則午影必㣲短按以上加減只在分釐若所用徑尺之表初無損益可無深論也惟春秋分及前後兩節晷差頗速若其加時又在亥子之間則距午甚逺為差益大不可不知午正太陽髙九十度已至天頂則日中無影其過此者皆在天頂之北而生南影法當以所帶零度轉減九十度而用其餘命為太陽在天頂北之髙度北極出地二十度則赤道在天頂南二十度而夏至日躔在赤道北二十三度半故其日午時已過天頂北三度而影在表南芒種日午正亦過天頂北二度竒影亦在南凡午影芒種必髙於小滿夏至又髙於芒種今皆反之亦此故也自北極髙二十三度以前倣此論之宜邑謝野臣至中州尋古測景之臺所立石表尚存其形似墖上小下大夏至日中無影蓋其根盤半徑即日景所到如句髙尖距地之數為表如股亦表八尺土圭尺有五寸之比例也以此推之則向南州邑並可作夏至無影之石表論恒星中星定時中星之法肇於堯典羲和分職測日之後繼以中星蓋中星所以覘四時騐寒暑定昏旦考節氣察日度辨里差其用甚鉅故與測日均為治厯之大端也第星之麗天左旋之勢則依赤道自行之度則向黃道因此星之經緯度自二道望之叅差不齊法以黄赤二道之極為宗出弧線過星體用弧三角法可推各星之經緯度在古厯未覺有恒星之行(中法謂之歳差不言星行)西用大儀累年密測知恒星亦依黄道毎嵗東行五十一秒其距黄道有定度若赤道因黄道斜絡之勢度分多變動不居因普測周天有名位之星算其二道之經緯度列表今推中星祗用赤道度以時刻憑赤道為主故也法以星赤道度與本日太陽赤道度相離之數變時得星昏旦中之時刻取用星座除二十八舎外止用三等以上之星餘光體茫昧者可勿論也推中星求時法先查本年七政厯太陽宫度分至儀象志八卷内變為赤道度分次查所出之星在十二三卷内係若干度分將星之度分減去太陽所變之度分如不足減數加三百六十度減之所餘之度分移至儀象志第五卷之變時表内變為時刻分從未初起算至所得時刻即所求之時也推時求中星法先查本年七政厯太陽宫度分至第八卷儀象志内變為赤道度分次查所出之時刻從未初起算得幾時刻移至第五卷變時表内變為赤道經度分時之度分加於太陽之度分若滿過三百六十度則去之所餘之度分至十二三卷内比例相近度分之大星宿即所求之星宿也(星宿之度分不及則偏西有餘則偏東)諸名星赤道經緯度加減表二十八宿距星黄赤二道經緯度二十八宿距星赤道經緯度(自春分起算)壬子年度二十八宿距星黄道經緯度 壬子年度二十八宿黄道積度康熈戊辰年各宿距星所入各宫度分(黄道經度)以上戊辰年經度視儀象志又各加一十四分惟斗牛二宿加十五分紀星數大西儒測算凡可見可狀之星一千二十二若㣲小者或不常見者或朦黒者不與焉其大小分為六等又因其難以識認盡假取人物之像以别其名(星非真有象也但人借名)(之耳)毎合數星以成一像凡四十八像其多寡大小不等在黄道北者二十一像第一曰小熊内有七星外有一星二曰大熊内二十七外八三曰龍凡三十一星四曰黄帝内十一外二五曰守熊人内二十二外一六曰北冕旒凡八星七曰熊人内二十九外一八曰琵琶凡十星九曰鴈鵞内二十二外一其十曰岳母凡十三星十一曰大將内二十六外三十二曰御車凡十四星十三曰醫生又曰逐蛇(一醫常取蛇合藥以救世其星如人逐蛇狀)内二十四外五十四曰毒蛇凡十八星十五曰箭凡五星十六曰日鳥(性喜視日)内九外六十七曰魚將軍(性好人聞人歌樂即來聽呼其名漸來就)(人溺水則載之岸邊人取魚彼即領衆魚至呼之彼先躍過網衆魚則罹網矣)凡十星十八曰駒凡四星十九曰飛馬凡二十星二十曰公主凡二十四星二十一曰三角形凡四星共在北者三百六十星一等三二等十八三等八十四四等一百七十四五等五十八六等十三昏者十在黄道中者(按節氣)十二象(即十)(二宫)一曰白羊即春分清明内十三外五二曰金牛即穀雨立夏内三十三外十一三曰雙兄即小滿芒種内十八外七四曰巨蟹即夏至小暑内九外四五曰獅子即大暑立秋内二十七外八六曰室女即處暑白露内二十六外六七曰天秤即秋分寒露内八外九八曰天蝎即霜降立冬内十一外三九曰人馬即小雪大雪凡三十一星十曰磨羯(羊頭魚尾)即冬至小寒凡二十八星十一曰寳瓶即大寒立春内四十二外三十二曰雙魚即雨水驚蟄内三十四外四共在中者三百四十六星一等五二等九三等六十四四等一百三十四五等一百○六六等二十九昏者三在黃道南者十五像一曰海獸凡二十二星二曰獵戶凡三十八星三曰天河凡三十四星四曰天兔凡十二星五曰大犬内十八外十一六曰小犬凡二星七曰船凡四十五星八曰水蛇内二十五外二九曰酒缾凡七星十曰烏雅凡七星十一曰半人牛凡三十七星十二曰豺狼凡十九星十三曰大臺凡七星十四曰南冕凡十三星十五曰南魚内十二外六共在南者三百十六星一等七二等十八三等六十四等一百六十八五等五十三六等九昏者一三方共一千二十二星分其大小一等共十五二等共四十五三等共二百○八四等共四百七十四五等共二百十七六等共四十九昏者共十四新増一十二像(係近南極之星)火鳥十 水委三 蛇首蛇腹蛇尾十五 小斗七飛魚七 南船五 海山六 十字架四 馬尾三馬腹三 蜜蜂四 三角形三 海石五 金魚四夾白二 附白一 異雀十 孔雀十 波斯十一鳥喙六 鶴十二 共一百三十四星據西書言彼地天文家原載可見之星分為四十八像後自𢎞治十年丁巳有精於天文呉黙哥者行至極南見有無名多星復有西士安徳肋者亦見諸星之旁尚有白氣二塊如天漢者嗣於萬厯十八年庚寅有西士胡本篤始測定南極各星經緯度數新増一十二像至萬厯四十八年庚申湯羅兩公航海過赤道南三月有竒見南極已髙三十餘度將前星一一對測經緯皆符但據云一十二像今又有二十一名何耶地谷測定經緯之星數厯法西傳曰地谷著書第四卷取六星之距度以經度相併適合週天之全度求角宿經緯度以起周天之度再求近赤道十二星經緯度証星之黄道緯度今古不同求星之經度并解其時八百餘星之真經緯度(五十三年)(前)復加百餘星赤道經緯度説按地谷實測過者只有八百星則其餘非地谷測也新法厯書星數厯引曰恒星為數甚多莫能窮盡其間有光渺體㣲非目可及非儀可推者則略而不録其在等第之内已經新法所測定者南北兩極共得一千七百二十五星又曰星以大小分為六等第一等大星如五帝座織女類者一十七次二等如帝星開陽類者五十七次三等如太子少衞類者一百八十五次四等如上將柱史類者三百八十九次五等如上相虎賁類者三百二十三次六等如天皇大帝后宫類者二百九十五是皆有名之星共為一千二百六十六餘則皆為無名之星矣西又分為六十二像各命之以名以期便於識别又曰西古厯亦有二十八舎義與中古相侔其所定二十八距星亦皆脗合第觜宿距星西用天闗耳此二十八宿者各以一字命名分註毎日之下内以房虚星昴為屬太陽之日心尾畢張為屬太陰之日是外五緯各屬四宿毎以七日為期毎日各屬一宿西厯亦然義理皆符西經相傳上古有大師名諾厄者所通于天下萬國云按天經或問恒星多寡條與此同但總數作一千一百六十六則總撒符矣 湯道未刪定厯引數同但總數百字上缺畫不明今查經緯表三等星有二百○七除海石等七星仍有二百則云八十五者非矣恒星厯指曰自古掌天星者大都以可見可測之星求其形似聨合而為象命之名以為識别是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星世所傳巫咸石申甘德之書是也西厯依黄道分十二宫其南北又三十七像亦以能見能測之星聨合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五蓋有名者一千二百六十六按此星數與厯引同惟三等星多一百然以總數合之此為是星屏赤道南北兩總星圖説曰舊傳三垣二十八宿共三百座一千四百六十一有名之星如世傳巫咸丹元子之書之類然細測有在疑似者今則非實測不圖舊圖未載而測有經緯亦増入焉南極旁星向來無象無名因以原名翻譯共得星一千八百一十二第一等一十六第二等六十七第三等二百一十六第四等五百二十二第五等四百一十九第六等七十二按此星數細數少五百總數多五百恒星經緯表舊本一等星十七二等六十八三等二百○九四等五百一十二五等三百四十六等二百一十六共一千三百六十二外有傅説積尸氣等不入等之星共七然今刻表又有不同天學㑹通星數論各星大小一等十五星二等四十五星三等二百八十星四等四百七十四星五等二百一十六星六等五十星共一千二十九星按此數合總該一千○八十總撒不符必有誤也薛書若此類頗多查表一等大星畢參二五車狼老人星軒轅五帝座角大角心南門織女北落師門共十五與此合其水委不在此内又查表三等并新増海石等共二百○七則十字衍可知又查表二等星五十又新増海石等十七共六十七與此及厯引厯指俱不同天文實用星數恒星總像例條曰中厯分垣分宿計二百八十座見界諸星盡矣西國於此見界諸星約以四十八像别如近南極諸星都爲六十像騐時依像推效各異古厯家詳察星之形星之性與某物合因以毎物像之白羊宫 起降婁二十八度 止大梁一十八度金牛宫 起大梁一十九度 止實沈二十五度雙兄宫 起實沈二十六度 止鶉首二十四度巨蟹宫 起鶉首二十四度 止鶉火一十二度獅子宫 起鶉火一十三度 止鶉尾一十六度室女宫 起鶉尾一十六度 止大火 六 度天秤宫 起大火 六 度 止大火二十六度天蝎宫 起大火二十七度 止析木二十五度人馬宫 起析木二十六度 止星紀二十八度磨羯宫 起星紀二十八度 止𤣥枵二十二度寳瓶宫 起𤣥枵二十三度 止娵訾一十五度雙魚宫 起娵訾一十五度 止降婁二十七度漢志星數漢書天文志曰凡天文在圖籍昭昭可知者經星常宿中外官凡百一十八名積數七百八十三晉志星數晉書天文志曰馬績云天文在圖籍昭昭可知者經星常宿中外官凡一百一十八名積數七百八十三皆有州國官宫物類之象張衡云文曜麗乎天其動者有七日月五星是也日者陽精之宗月者隂精之宗五星五行之精衆星列布體生於地精成於天列居錯峙各有攸屬在野象物在朝象官在人象神其以神差有五列焉是為三十五名一居中央謂之北斗四布於方各七為二十八舍日月運行厯示吉凶五緯躔次用告禍福中外之官常明者百有二十四可名者三百二十為星二千五百微星之數蓋萬有一千五百二十庶物蠢蠢咸得係命不然何得總而理諸後武帝時太史令陳卓總甘石巫咸三家所著星圖大凡二百八十三官一千四百六十四星以為定紀隋志星數隋天文志又列目曰經星中官乃另起敘星自北極五星起北斗輔星三公止又另起自文昌六星起至少微長垣止太㣲天市二垣俱雜敘其中是為天文上卷次卷天文中列目曰二十八舍乃另起敘星自東方角二星起又北方南斗六星西方奎十六星南方東井八星各另起而於後低三字總結之曰右四方二十八宿并輔官一百八十二星又列目曰星官在列宿之外者乃另起敘星自庫樓十星起青丘土司空軍門止仍低三字總結之曰自攝提至此大凡二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿輔官名曰經星常宿逺近有度大小有差茍或失常實表災異隋天文志曰後漢張衡為太史令鑄渾天儀總序經星謂之靈憲其大畧曰中外之官常明者百有二十可名者三百二十為星二千五百微星之數萬有一千五百二十庶物蠢動咸得係命而衡所鑄之圖遭亂湮滅星官名數今亦不存三國時呉太史令陳卓始列甘氏石氏巫咸三家星官著於圖録并注占贊總有二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿及輔官附坐一百八十二星總二百八十三官一千五百六十五星宋元嘉中太史令錢樂之所鑄渾天銅儀以朱黒白三色用殊三家而合陳卓之數髙祖平陳得善天官者周墳并宋氏渾儀之器乃命庾季才等叅挍周齊梁陳及祖暅孫僧化官私舊圖刋其大小正彼踈密依準三家星位以為蓋圖以墳為太史令自此太史觀生始能識天官客星説(附)厯法西傳曰地谷書第五卷解其時新見大客星計十二章一詳初起及漸大至與金星等并漸減二取某宫星以定其經緯度三解測新星所用諸器四取新星與他星距度五解其更度幾何六用各法以求新星經緯度七求新星赤道經緯度八証新星不麗空際而麗列宿天九攷新星之大小十取新星之似徑得三分三十秒十一証新星大倍於日大於地三百六十倍十二攷衆星參差彗星解(附)厯法西傳又載地谷彗星十卷測彗星之髙度尾之長短光之隱顯及其方向攷十二星在黄道上度以求彗星之眞所在設彗星離兩星之度求黄赤道經緯度求彗星毎日赤道經緯度求彗星所行之道及其道交黄赤之角處依毎日彗星行黃赤二道作立成表証彗星在月上較月更逺於地為三百地半徑故知彗星在日月二天之中証其尾恒向日與金星作彗星行度圖徴彗星之大爲月二之一尾長為九十六地半徑因攷前人彗星之論當否極星攷隋書紐星去不動處一度餘隋天文志曰北極五星皆在紫宫中北極辰也其紐星天之樞也天運無窮三光迭耀而極星不移故曰居其所而衆星共之賈逵張衡蔡邕王蕃陸績皆以北極紐星為樞是不動處也祖暅以儀準候不動處在紐星之末猶一度有餘宋時極星去不動處三度餘宋時天文志載沈括於熙寧七年七月上渾儀浮漏景表三議其渾儀議内一則云前世皆以極星為天中自祖衡以璣衡窺攷天極不動處乃相極星之末猶一度有餘今銅儀天樞内徑一度有半乃謬以衡端之度為率若璣衡端平則極星常游天樞之外璣衡小偏則極星乍出乍入令瓚舊法天樞乃徑二度有半葢欲使極星遊於樞中也臣攷騐極星更三月而後知天中不動處逺極星乃三度有餘則祖恒窺攷猶未為審今當為天樞徑七度使人目切南樞望之星正循北極樞裏周常見不隱天體方正(按祖衡祖恒並誤當作祖暅乃冲之子)按古法自渾儀之南窺渾儀之北皆用衡管則必過心所得之度數亦真惟此候極之樞似有未確何以言之南樞既亦徑七度則人目可中可邊致有遊移若南樞窄小令目常在樞心則目光射星不過儀心而悉成斜望矣且以圓理徵之人目窺處即圓心為起度之根而北極之度變七度為三度有半矣故不如元候極儀之確元候極儀亦徑七度然設於簡儀是從心窺周其度真確又嘗疑西術言極星亦東行而祖暅時離不動處一度沈括時遽離三度竒可謂速矣而至郭太史時仍三度竒何以又遲今以其儀器攷之則宋時離不動處正在二度左右耳祖氏所用儀器恐亦是自南周用目以窺北周則雖云離一度有餘若其真度恐未及一度宋史志極度條又言北極為天之正中而自唐以來厯家以儀象攷測則中國南北極之正實去極星之北一度有半此蓋中原地勢之度數也中興更造渾儀而太史令丁師仁乃言臨安府地勢向南於北極髙下當量行移易局官吕璨言渾天無量行移易之制若用於臨安與天參合移之他往必有差忒遂罷議後十餘年邵諤鑄儀果用臨安北極髙下為之以清臺儀挍之實去極星四度有竒也又敘中外官星言北極五星在紫㣲宫中北辰最尊者也其紐星為天樞天樞在天心四方去極各九十一度賈逵張衡蔡邕王蕃陸績皆以北極紐星之樞是不動處在紐星末猶一度有餘今清臺則去極四度半按此兩條誤以北極出地之髙下差為極星去不動處之距度作史者之疎乃如此 愚前一條言用目自心窺周為測圓正法足証郭太史簡儀之妙然自昔無人見及其理甚微無恠其然也若後兩條之辨茍稍知厯法者宜知之奈何史家瞶瞶也王良閣道攷隋天文志曰天良五星在奎北居河中天子奉車御官也其四星曰天駟旁一星曰王良亦曰天馬其星動為策馬車騎滿野亦曰王梁梁為天橋主御風雨水道故或占津梁其星移有兵亦曰馬病客星守之橋不通前一星曰策王良之御策也主天子僕在王良旁若移在馬後是為策馬則車騎滿野 閣道六星在王良前飛道也從紫宫至河神所乗也一曰閣道主道里天子遊别宫之道也亦曰閣道所以扞難滅咎也一曰王良旗一曰紫宫旗亦所以為旌表而不欲其動揺旗星者兵所用也傅路一星在閣道南旁别道也備閣道之敗復而乘之也一曰太僕主禦風雨亦遊從之義也晉志並同隋但亦曰王良作亦曰梁若移在馬後作若移在王良前居馬後前漢天文志曰紫宫左右星曰天槍右四星曰天棓後十七星絶漢抵營室曰閣道 又曰營室為清廟曰離宫閣道漢中四星曰天駟旁一星曰王梁王梁策馬車騎滿野旁有八星絶漢曰天横天横旁江星江星動則人涉水史記天官書曰紫宫左三星曰天槍右五星曰天棓後六星絶漢抵營室曰閣道 又曰營室為清廟曰離宫閣道漢中四星曰天駟旁一星曰王良王良策馬車騎滿野旁有八星絶漢曰天潢天潢旁江星江星動人涉水又宋均云天潢天津也津湊也主計度也○正義曰天江四星在尾北主太陰也不欲明明而動水暴出其星明大水不禁也宋史天文志並同鼎按史記本云閣道六星而漢書更其文曰十七星不知何據今厯書圖閣道為十餘星其本諸此歟三十雜星攷回回厯書有三十雜星錢塘袁惠子攷其經緯係以中法星名但所攷尚缺第三第四第五第十三第十四第廿四第廿五第廿九壬申秋晤於京師則皆補完余問其何本則皆自揣摩而得非三和授也又以余言改定巨蟹為積尸氣缺碗為貫索薛儀甫厯學㑹通亦有三十雜星之攷亦有缺星名者今余所攷則以囘厯星名同者為証似比兩公為有根本也又查恒星出没表四十五大星内星名同者二十一人坐椅子諸像非西洋六十像之像如貫索在回回厯為缺椀在西洋則為冕旒即此見西占之本出回囘也第五作觜宿南星性情既合又與參宿同象而厯書言逺鏡測之有三十六星則為氣類宜為雜星所收今從袁説查囘回凌犯表有天關及昴宿性情雖同星名不合若如袁説則兩星性情皆係金土亦未可為確據不如缺之攷定三十雜星(戊午年距厯元戊辰五十一年加星行四十三分二十秒)今將原書所載列後西星名 (譯書時所述宫度) (距道黄) 等性原書云以上數星是三百九十二年之前度數如此其星皆往東行一年行五十四秒十年行九分六十六年行一度觀者依此推之厯算全書卷十九
## 卷二十
欽定四庫全書厯算全書卷二十宣城梅文鼎撰仰儀簡儀二銘補註仰儀按元史天文志簡儀之後繼以仰儀然簡儀紀載明析而弗録銘辭仰儀則僅存銘辭而弗詳制度葢以銘中弗啻詳之也庚寅暮春眞州友人以二銘見寄屬䟽其義余受而讀之簡儀銘既足以補史志之闕仰儀銘與史亦多異同而異者較勝豈牧菴作銘後復有定夲耶爰据其夲以為之釋仍附録史志原文以資攷訂焉不可形體莫天大也無競維人仰〔？〕載也言天體之大夲不可以為之形似而今以虚坳似〔？〕之器仰而肖之則以下半渾圓對覆幬之上半渾圓而周天度數悉載其中此人巧之足以代天工故曰無競維人也六尺為深□自倍也兼深□倍絜〔？〕兊也〔？〕形是半渾圓而其深六尺是渾圓之半徑也倍之為廣則渾圓之全徑也兼深與□之度而又倍之渾圓之周也盖仰儀之口圓徑一丈二尺周三丈六尺也兌為口故曰〔？〕兌絜猶度也(此雖亦徑一圍三古率然其器果圓則畸)(零在其中矣)振溉不洩繚以澮也正位辨方曰子卦也〔？〕口周圍為水渠環繞注水取平故曰振溉不洩繚以澮也〔？〕口之面均列二十四方位而從子半起子午正則諸方皆正故曰正位辨方曰子卦也横縮度中平斜載也斜起南極平〔？〕鐓也(度入聲)縮直也仰儀象地平下半周之渾天其度必皆與地平上之天度相對待故先平度之從儀面之卯酉作弧線相聫必過儀心以横剖〔？〕形為二地平下卯酉半規也又直度之從儀面之子午作弧線相聨亦過儀心而直剖〔？〕形為二地平下子午半規也兩半規交於儀心正中天在地平下正對天頂處也故曰衡縮度中然此所謂中乃平度之中(其衡縮度之者並自地平之子午卯)(酉出弧線而㑹於地平下之中心)若在天之度固自斜轉即非以此為中故既平度之復斜度之有兩種取中之法故曰平斜載也(載猶再也)斜度柰何曰宗南極也法於地平下子午半規匀分半周天度乃用此度自地平午數至南極入地度命為斜度之中心故曰斜起南極(言緯度從)(此起)〔？〕鐓者〔？〕之鐓即儀心也(鐓徒對切矛㦸底平者曰鐓曲禮進矛㦸者前)(其鐓類篇矛㦸柲下銅也儀類〔？〕而形仰最坳深處為其底心故謂之鐓)為地平下兩半規十字交處而下半渾圓之心平度以此為宗亦如斜度之宗南極故曰平〔？〕鐓也盖以此二句釋上二句也(不言起省文)小大必周入地畫也始周浸斷浸極外也此言斜度之法也斜畫之度既宗南極則其緯度之常隠不見者毎度皆繞極環行而成圓象(毎度相去約一寸弱)雖有大小皆全圓也(近南極旁則小漸逺漸大毎度相離一寸其圓徑之大小毎度)(必加二寸)故曰小大必周而明其為入地之畫也在南極常隠界内故也若過此以徃則離極益逺緯度之圓益大其圓之在地平下者漸不能成全圓而其闕如玦以其漸出南極常隠界外也故曰始周浸斷浸極外也(亦是以下句釋上句)極入地深四十太也北九十一赤道齘也列刻五十六時配也儀設於元大都大都北極出地四十度太(四分之三為太)則南極入地亦然仰儀凖之近南極四十度内皆常隠界也若四十一度以上則所謂始周浸斷者也至於離南極一象限(四分天周各九十一度竒為象限銘盖舉成數也)則為赤道之齘而居渾天腰圍矣(齘齒相切之界縫也考工記圅人衣之欲其無齘也仰觀)(經緯之度入筭處並只一綫故曰齘)凡晝夜時刻並宗赤道赤道全周匀分百刻以配十二時仰儀赤道乃地平下半周故列刻五十配六時也六時者起卯正初刻畢酉初四刻皆晝時仰儀赤道半周居地平下而紀晝時者日光所射必在其衝也(日在卯光必射酉日在午光必射子餘時亦皆若是)衡竿加卦㢲坤内也以負縮竿子午對也(子元史作夲)末旋機杖(機杖元史作機板)窽納芥也上下懸直與鐓㑹也視日漏光何度在也此仰儀上事件也㢲東南坤西南所定〔？〕口之卦位也横竿之兩端加此二卦者以負直竿也直竿正與口為平面承之者必稍下故曰内也直竿加横竿上如十字其夲在午而末指子故曰對也直竿必圓取其可以旋轉而竿末則方其形類板板之心為圓竅甚小僅可容芥子故曰窽納芥窽即竅也然必上下懸直以為之凖盖直竿之長適如半徑其末端雖自午指子實不至子而納芥之竅正在〔？〕口平圓之心於此懸繩取正則直線下垂亦正直〔？〕底鐓心故曰與鐓㑹也既上下相應無豪髪之差殊則竅納芥處亦即為渾圓心矣凡所以為此者以取日光求真度也何則仰儀為〔？〕形以象地平下之半天而所測者地平上之天也故必取其衝度以命之而渾圓上經緯之相衝必過其心兹也機板之竅既在渾圓之最中中央從此透日光以至〔？〕底視其光之在何度分即可以知天上日躔之度分矣漏即透也暘谷朝賔夕餞昧也寒暑發斂騐進退也此詳言測日度之用也虞書分命羲仲宅嵎夷曰𤾉谷寅賔出日分命和仲宅西曰昧谷寅餞内日此古人測日用里差之法也今有此器則隨地隨時可測日度即里差已在其中不必𤾉谷昧谷而寅餞之用已全矣周禮以土圭致日日至之影尺有五寸為土中又取最長之影以定冬至此古人冬夏致日之法也今有此器以測日道之發南斂北(日躔在赤道以南謂之發在赤)(道以北謂之斂皆以其逺近於北極而立之名)則毎日可知其進退之數(二分)(前後黄赤斜交故緯度之進退速二至前後黄赤平行故緯度之進退緩細攷之亦逐日各有差數)不必待南至北至而可得真度視表影所測尤為親切矣薄蝕終起鑒生殺也以避赫曦奪目害也言仰儀又可以測交食也(日月交食一曰薄蝕)厯家之測騐莫大於交食而測筭之難亦莫如交食是故測食者有食之分秒有食之時刻有食之方位必測其何時何刻於何方位初虧為食之起何時何刻於何方位復圓為食之終何時何刻於何方位食分最深為食之甚自虧至甚為食之進自甚至復為食之退凡此數者一一得其真數始可以騐厯之踈宻以為治厯之資然太陽之光最盛難以目窺今得此器透芥子之光於儀底必成小小圓象而食分之淺深進退畢肖其中(但蝕於左者光必闕於右蝕於右者光必闕於左上下亦然皆取其對衝方位)而時刻亦真不煩他器矣古者日食修徳月食修刑然春生秋殺之理固在寒暑發斂中而起虧進退尤測〔？〕之精理此盖與上文互見相明也南北之偏亦可槩也極淺十七林邑界也深五十二(元史)(作五十竒)鐵勒塞也淺赤道髙人所載也夏永冬短猶少差也深故赤平冬晝晦也夏則不沒永短最也(載當作戴)此言仰儀之法不特可施之大都而推之各方並可施用因舉二處以槩其餘也盖時刻宗赤道赤道宗兩極而各方之人所居有南北北極之出地遂有髙卑而南極之入地因之有深淺則有地偏於南如林邑者其地在交趾之南是為最南故其見北極之髙只十七度即南極之入地亦只十七度而為最淺又有地偏於北如鐵勒者其地在朔漠之北是為最北故其見北極之髙至五十餘度即南極之入地亦五十餘度而為最深南極入地淺則赤道入地深而成立勢其赤道之半在地上者漸近天頂為人所戴故夏日亦不甚長冬日亦不甚短而永短之差少也南極入地深則赤道入地淺而成眠勢其赤道之半在地上者漸近地平繞地平轉故冬日甚短而或至晝晦夏晝甚長而日或不沒永短之最斯為極致也(按元)(史鐵勒北極髙五十五度夏至晝七十刻夜三十刻北海北極髙六十五度夏至晝八十二刻夜十八刻)(未至於夏日不沒則冬亦不至晝晦然北海之北尚有其北北極有漸直人上之時逺徵之周髀所言近)(騐之西海所測夏不沒冬晝晦容當有之銘盖因二方差度而遂以推極其變也)二天之書曰渾盖也一儀即揆何不悖也以指為告無煩喙也闇資以明疑者沛也智者是之膠者怪也此言仰儀之有禆於推歩也渾天盖天並古者測天之法盖同出於一源傳乆而分遂成岐指近代盖天之說浸㣲惟周髀筭經猶存十一於千百而習之者稀今得此器以肖地平下之天雖常隱不見之南極其度數皆如掌紋而渾天之理頼以益明即盖天家所言七衡之説並可相通初無齟齬然後知渾盖兩家實有先後一揆並行而不悖者矣所以者何也多言亂聽喙愈煩而心惑一儀惟肖指相授而目喻也由是而理之闇者資之以明從來疑義渙然氷釋雖其器創作或為膠固者之所怪而其理不易終為明智者之所服矣(周髀筭經云北極之左右物有朝生暮穫趙爽注曰北極之下從春分至)(秋分為晝從秋分至春分為夜是北極直人上而南極益深為人所履赤道平偃與地面平日遂有時而)(不沒地為永短之最觀於仰儀可信其理)過者巧厯不億軰也非讓不為思不逮也将窺天眹造物愛也其有俟然昭聖代也泰山厲兮河如帶也黄金不磨悠乆頼也鬼神禁訶庻勿壊也此承上文而深贊之也言古來巧厯不可數計然不知為此者豈其謙譲不遑乎無亦精思有所未及耳抑天道幽逺将造物者不欲以朕兆令人窺測而或有愛惜耶其或待人而行非時不顯故若有所俟必至聖代而始昭耶然則兹器也實振古所未有而兹器之在宇宙間亦當與天地而常存雖泰山如礪長河如𢃄而兹器也悠乆頼之如黄金之不磨而鬼神且為之呵䕶以庻㡬勿壊矣按史載斯銘引古六天之說而謂仰儀可衷其得失是等盖天於宣夜諸家而歸重渾天也然郭太史有異方渾盖圖固已觀其㑹通兹則並舉渾盖且以仰儀信其揆之一盖牧菴之厯學深矣愚故以斷其為重定之夲也學無止法理愈析益精古之人皆如是上海徐公之治西厯也開局後數年推宗郭法乃重於前惟公則明惟虚受益好學深思者其知所取法哉簡儀(儀制詳元史兹約舉為銘而文章爾雅能略所詳詳所略與史相備因併釋之)舊儀昆侖六合包外經緯縱横天常衺帶三辰内循黄赤道交其中四遊頫仰鈞簫此将言簡儀而先述渾儀也昆侖即混淪古者渾天儀渾圓如球故曰舊儀昆侖也渾天儀有三重外第一重為六合儀有地平環平分廿四方向有子午規卯酉規與地平相結於四正又自相結於天頂以象宇宙間四方上下之定位故曰六合包外經緯縱横也又依北極出地於子午規上數其度分命為南北二極之樞兩樞間中分其度斜設一規南髙北下以象赤道之位而分時刻謂之天常規故又曰天常衺帶也内第二重為三辰儀亦有子午規卯酉規而相結於兩極各為樞軸以綴於六合儀之樞中分兩極間度設赤道規與天常相直又於赤道内外數南北二至日度斜設一規為黄道兩道斜交以紀宿度以分節氣而象天體故曰三辰内循黄赤道交也内第三重為四遊儀亦有圓規内設直距以帶横簫横簫有二並綴於直距而能運動故可以上下轉而周窺規樞在兩極又可以左右旋而徧測故曰其中四逰頫仰鈞簫也凡今改為皆析而異繇能䟽明無窒於視此承上文而言作簡儀之大意也渾天儀經緯相結而重重相包今則析為單環以各盡其用故曰皆析而異各環無經緯相結作之既簡而各儀各測無重環掩映之患故曰䟽明無窒於視也四遊兩軸二極是當南軸攸沓下乃天常維北欹傾取軸榘應鏤以百刻及時初正赤道上載周列經星三百六十五度竒贏此以下正言簡儀之製也簡儀之四遊環用法與渾儀之四遊同而厥製㢠異原亦有經緯相結今只一環(雖用䨇環而左右平列無經緯相結即如一環)又原在渾儀之内為第三重今取出在外而中分其環命為兩極北極樞軸連於上規之心南極樞軸在赤道環心故曰四遊兩軸二極是當南軸攸沓下乃天常也天常即百刻環與赤道相疊言天常不言赤道省文也上規貫北雲架柱之端赤道百刻疊置承以南雲架柱兩雲架柱斜倚之勢並凖赤道但言維北欹傾者省文互見也兩並欹傾則二軸相應如繩正指兩極而四遊環可以運動其勢恒與上下兩規作正方折其方中矩故曰取軸矩應此以上言四逰環也百刻環匀分百刻又匀分十二時時又分初正此二句言百刻環也赤道環疊於百刻環上故曰上載其環匀分十二次周天全度於中又細分二十八舍距度故曰周列經星三百六十五度竒贏也(百刻環即六合儀上斜帶之天常赤道環即三辰儀之赤道然)(皆不用子午規而單環疊置此其異也)地平安加立運所履錯列干隅若十二子地平環分二十四方位與渾儀同(干八干甲乙丙丁庚辛壬癸隅四維)(乾坤艮巽十二子支辰子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥也)然彼為六合儀之一規此則獨用平環臥置以承立運故曰立運所履也立運環渾儀所無兹特設之以佐四逰之用其製亦平環分度而中分之為上下二樞上樞在北雲架柱之横輄下樞在地平環中心二樞上下相應如垂繩之立而環以之運故謂之立運五環三旋四衡絜焉一四遊二百刻三赤道四地平五立運凡為環者五也旋運轉也五環之内百刻地平不動四遊赤道立運並能運轉是能旋者三也衡即横簫古稱玉衡絜猶絜矩之絜用衡測天如筭家之□術絜而度之以得其度也簡儀之衡凡四而並施於旋環之上故曰五環三旋四衡絜焉也(下文詳之)兩綴闚距隨捩留遷欲知出地究兹立運去極㡬何即遊是問兩者兩衡承上文四衡而分别言之先舉其兩也兩者維何一在立運環一在四遊環也闚闚管距直距捩闗捩即樞軸也留遷者言或留或遷惟人所用也闚管綴於直距有樞軸以轉動隨其所測可以頫仰周闚此兩衡之所同也然各有其用欲知日月星辰何方出地及其距地平之髙下則惟立運可以測之若欲知其去北極逺近㡬何度分惟四遊可以測之此又兩衡之所異也赤道重衡四弦末張上結北軸移景相望測日用一推星兼二定距入宿兩候齊視前云四衡而上文已詳其兩尚有二衡復於何施曰並在赤道環也赤道一環何以能施二衡曰凡衡之樞在腰而此二衡者並以赤道中心之南極軸為軸重疊交加可開可合故曰重衡也衡既相重故不曰闚衡而謂之界衡界衡之用在綫不設闚管也用綫柰何其法以綫自衡樞間循衡底之渠貫衡端小孔上出至北極軸穿軸端所結綫折而下行至衡之又一端入貫衡端小孔順衡底渠至衡中腰結之如此則一綫折而成兩並自衡端上屬北極其勢斜直張而不弛半衡如句而綫為之弦一衡首尾二綫重衡則四綫矣故曰四弦末張末指衡端張者状其線之弦直也北軸即北極之軸穿綫處也四弦線並起衡端而宗北極故又曰上結北軸也景謂日影移衡對日取前綫之景正加後綫則衡之首尾二綫與太陽參直故曰移景相望也衡上二綫既與太陽參直則界衡正對太陽衡端所指即太陽所到加時早晚時初時正何刻何分並可得之(百刻環中具列其數)則一衡已足故曰測日用一也測星之法移衡就星用目睨視取衡上二綫與其星相參值則為正對與用日景同理但須二衡並測故曰推星兼二也二衡並測奈何曰二十八舍皆有距星以命初度若欲知各宿距度廣狹者法當以一衡正對距星又以一衡正對次宿距星則兩衡間赤道度分即夲宿赤道度分矣若欲知中外官星入宿深淺者法當以一衡對定所入宿距星復以一衡正對此星稽兩衡間赤道即得此星入宿度分矣既用二衡即亦可兩人並測故曰定距入宿兩候齊視也巍巍其髙莫莫其遥蕩蕩其大赫赫其昭歩仞之間肆所賾考明乎制器運掌有道法簡而中用宻不窮厯考古陳未有侔功猗與皇元發帝之藴畀厥羲和萬世其訓簡儀之製及其用法上文已明此則贊其制作之善歸羙夲朝也言天道如斯髙逺乃今測諸歩仞之間如示諸掌則制器有道耳其為法也簡而適中其為用也宻而不窮歴攷古制未有如我皇元斯器之善
## 厯學駢枝自叙
厯學駢枝自叙
厯猶易也易傳象以數猶律也律製噐以數數者法所從出而理在其中矣世乃有未習其數而嘐嘐然自謂能知厯理雖有髙言雄辨廣引博稽其不足以折疇人之喙眀矣而株守成法者復不能因數求理以眀其立法之根於是有沿誤傳訛而莫之是正厯所以成絶學也然理可以深思而得數不可鑿空而撰然則茍非有前人之遺緒又安所𠂻乎(鼎)自童年受易於先大父又側聞先君子餘論謂象數之學儒者當知謹識之不敢忘壬寅之夏獲從竹冠倪先生受臺官通軌大統厯算交食法歸與兩弟依法推步疑信相參乃相與晨夕討論為之句櫛字比不憚往復求詳遇所難通則廢瞑食以助其憤悱夫然後氣朔發斂之由躔離朓朒之序黄赤道差變之率交食起虧復滿之算稍稍闚見藩籬迺知每一法必有一根而數因理立悉本實測為端固不必强援鐘律牽附蓍卦要其損益進退消息往來於易於律亦靡弗通也爰取商確之語録繫本文之下義從淺近俾可共曉辭取眀暢不厭申重庶存一時之臆見以為異時就正之藉雖於厯學未必有禆亦如駢拇枝指不欲以無用摺之云爾康熙元年歲在元黓攝提格相月既望又三日宣城山口梅文鼎書於陵陽之東樓厯學源流夫治厯以明時乃古今之大典而氣朔為之首章以總七政之要當時有載太史令郭公守敬因氣朔之不齊遂攷景以驗氣更立四十尺之表測至元十八年辛巳歲前天正冬至恒氣日則己未丑初一而為元曰授時謂授人時而已距來歲之冬至則三百六十五萬二千四百二十五分為一歲之實以二十四氣約之是知每氣一十五萬餘二千一百八十四分三十七秒半為之氣盈一月凡二氣計盈四千三百六十八分七十五秒也其月有遲疾而三十日之間與日㑹之同度曰合朔然此非交食無以攷也今朔距來朔則二十九萬五千三百○五分九十三秒為朔實是知一朔之實而少四千六百九十四分○七秒不及三十日為之朔虛併一月之氣盈得九千○百六十二分八十二秒曰月閏積一年凡一十○萬八千七百五十三分八十四秒曰歲閏積三年而過朔實有三萬餘是三年一閏而名曰正閏積五年復成再閏稍未及二朔之實積十九年成七閏為一章之終亦不及七朔實之八百餘分也所以五年之十九年之閏皆曰餘閏稽之於韻閏即餘也餘即閏也故曰閏餘成歲厯之既成在元凡八十七年迨至我朝尤重之勅太史令王公恂撰之立成元公統註諸通軌契厯經不言之奥開來學未遇之疑既而更太史院為欽天監實敬天勤民之盛心授推步官為保章正乃設職從政之美意又何以加於是乎故為序右厯學源流一篇不知誰作味其語意首言氣朔為首章葢即首章之序也案元史授時厯經本有七章曰氣朔曰發斂曰日躔曰月離曰中星曰交㑹曰五星而本書合氣朔發斂為一章又取日躔章之盈縮差月離章之遲疾差使相附麗則經朔之後即求定朔頗便於用大致亦本厯草也然不用授時消分則元統氏之為也元統所傳厯法於日躔月離交㑹五星皆有通軌而此章獨無葢乆為疇人所習簡明易知無煩改作也作此序者又在元統之後其言氣盈朔虛置閏甚有原委字句樸簡猶存古意故仍冠其首
## 釋凡四則
釋凡四則一印心厯生於數數生於理理與氣偕其中有神賾焉而不亂也變焉而有常也於是聖人以數紀之堯命羲和舜在璣衡皆是物也中遭秦炬先憲略亡自太初以後作者數十家人各效才王郭肇興大成斯集夫天不變理亦不變故厯代賢者往往驗天以立法要皆積有其畢生之精力始得其一法之合於理有聖人雖起不能易者而後垂之不刋以至今鼎何人也敢與於斯夫創起者難為功觀成者易為力昔人縁理以立數今兹因數以知理期以信吾心焉耳矣所不能信者不敢知也其或章句繁複往復諄然夫必如是而後自信以信於古人僭越獲罪既無所逃拘滯固陋詒誚通方幸有以敎一存疑大統厯法所以仍元法不變者謂其法之善可以永久也夫既仍辛巳之元合用授時之數乃以今所傳較之厯經參伍多違豈别有説愚故不能無疑也按厯經上考往古則歲實百年長一周天百年消一下驗將來則歲實百年消一周天百年長一此其據往以知來自堯典𦙍征降而諸史所載可以數求者當時則既一一驗之矣而今所傳歲實一無消長此其可疑一也又按厯經諸應等數隨時推測不用為元固也今則氣應仍是五十五日○六百分周應仍是箕十度至於閏原是二十○萬一千八百五十分今改為二十○萬二千○五十分較授時後二百分轉應原是一十三萬一千九百○四分今改為一十三萬○千二百○五分較授時先一千六百九十九分交應原是二十六萬○千一百八十七分八十六秒今改為二十六萬○千三百八十八分較授時後二百○○分一十四秒或差而先或差而後以之上考辛巳必與元算不諧若據厯經以步今茲亦與今算不合然則定朔置閏月離交㑹之期又安所取𠂻也豈當時定大統厯有所測驗而改之與夫改憲則必另立元今氣應周應俱同而獨於數者有更此其可疑二也又按厯經盈縮遲疾皆有二術其一術不用立成其一術用立成然只有用之之法而無其圖其遲疾圖則又仍如古式只二十八日母數而無逐限細率意者當時修史者之遺忽與抑有所禁秘也今據此所載立成以求盈縮二術俱諧以求遲疾則自八十三限以至八十六限與前術有所不合意其所謂立成者有異歟據元史王恂先卒其立成之藁俱未成書郭公守敬為之整齊意者厯經前術為王公未定之藁與此其可疑三也又如日月食開方數乃所求食分横過半徑之數據厯經皆五千七百四十乘之今改月食者為四千九百二十乘是所測闇虛小於原所測者二十分也則其所測月輪圓徑亦小於原測一十分也茍非實有測驗於天又何敢據此以非彼與茍非於交食之際立渾比量周徑縱横之數何從而定與茍非於虧復之際下漏刻以驗之定用分之多少何自而知與此其可疑四也又有自相背馳如立成所載日出入半晝分是自冬至夏至後順數只問盈縮不言初末而通軌求日出入法又似有初末二圖此言不可意斷者至於晝夜永短與元史所載大都刻數不同則以北極高下黄道因之所在而殊理固然也然篇首既不言郡省撰名復載王恂豈當時九服晷漏之永短皆推有圖而元史止載其一歟然畢竟此所列者據何地為則也此其可疑五也凡此數端同異出入未敢偏據姑即所傳畧附箋疏去取是非俟之君子一刋誤大抵一書傳經數手多非其舊或謄冩魯魚或簡編蠧蝕故君子慎闕疑也乃若專守殘文習焉不察有所未解强入以己意參之遂使斲輪不傳糟粕并失金根輒改燕郢何憑今于其尤謬亂者是正數條或據厯經或據本書非敢逞私憑臆以重獲戾於古今也一者日月食限乃算家所憑以定食不食者也而今所載或失而出或失而入失而入不過虛費籌筞而已失而出則將據此以斷不食其有不合將以疑立法之不詳今皆據隂陽食限極之諸差所變以為常準即準本書以定似為稍密脫有不合其必非本算所能御矣其日食夜刻月食晝刻亦據本書及厯經所載時差并定用分得之其月帶食若據厯經定用分尚有微差亦不多也一者月食時差分據厯經為定葢厯考古厯皆與此所載不合故斷從〔？〕經一者黄道定積度原以歲差推變自大衍以後為法畧同今若定鈐何異膠柱今斷從厯經仍以天啟辛酉一年步定為式一者月食既内分據厯經原以既内分與一十分相減相乘平方開之也今則訛為一十五分夫月食十分而既其既内五分倍之為十分而止矣安得有所謂既内十五分乎今以弦較求句股法求得既内小平圓積數皆與所求相應一如厯經原法故斷從之别有圖説以證其理一者日月帶食凡日出入分在初虧已上復圓已下是為帶食而出入也今則訛為初虧已上食甚已下是得其半而失其半求之厯經亦復仍訛故愚亦不敢全據歴經者謂有此等處也今據後已復光未復光條改為復圓分已下厥數實諧於理亦暢又月食通軌前所録數定望并晨分下註誤又月食分秒定子法誤又月食定用分并既内分定子俱誤又月食更㸃歸除法并定數法俱誤又逕求次年天正交泛分條誤多有閏無閏每月加數今皆刋正一補遺算有所必不可畧句與字有所必不可無而或無之或畧之則非作法者之故為秘惜也如日食交前後條正交交定度在七度已下數雖在正交度下而實則陽厯交後度也法宜加交終度減之此算之所必不可畧者也乃此書既不之載至元歴經亦復闕焉何也夫此亦數之易知當必非所甚秘豈非梨棗鉛槧者之責乎將謂精於算者自能知之而無所用書歟今輒斷之以理重為補定古人而得見我何以幸教之也(續讀學厯小辨所載大統交食法有在七)(度以下食在正交語足與愚説相證)又如定子法為乘除後進退而設甚便於初學其立法立意不可謂不至也乃多有遺去言十定一不滿法去一二語者夫定子所以御乘除之變而此二語又所以通定子之窮若無此二語則何如不定子之為愈乎又如求天正赤道黄道度二條皆不用定子夫赤道不定子知其所減者為度位乎為分位乎黃道乘除不用定子固也然何以處夫除不滿法與夫減過積度只剩秒㣲者乎又如食甚入盈縮條遺食甚甚字夘酉前後條遺定望望字凡此皆字與句之所必不可無者也今皆補定
## 卷二十一
欽定四庫全書厯算全書卷二十一宣城梅文鼎撰厯學騈枝卷一大統厯歩氣朔用數目錄元世祖至元十七年辛巳嵗前天正冬至為厯元按古厯並溯太古為元各立積年未免牽合故乆而多差惟授時厯不用積年截用至元辛巳為元一慿實測而無假借故自元迄明承用三四百年法無大差以視漢晉唐宋之屢改屢差不啻霄壤故曰授時厯集諸家大成盖自西厯以前未有精於授時者徐文定公厯書亦截崇禎戊辰為元而廢積年用此法也(又按大統厯以洪武甲子為元然易其名不易其實故臺官布算仍用至元辛巳也)周天三百六十五萬二千五百七十五分半周一百八十二萬六千二百八十七分半天體渾員自角初度順數至軫末度得周天度分均剖之即半周天按天本無度因日躔而有度古厯代更天度異測授時厯用簡儀實測當時度分視古為密度法一萬分按古厯以日法命度並有畸零(如太初厯以八十一分為日法大衍厯以)(三千四百分為日法而度法因之亦有畸零)惟授時厯不用日法故一度即為一萬分而周天三百六十五度二五七五分即命為三百六十五萬二千五百七十五分此王郭諸公之卓見超越千古也又按授時厯周天百年長一今大統不用此其與授時㣲異者也嵗周三百六十五萬二千四百二十五分嵗周一名嵗實自今嵗冬至數至來嵗冬至得此日數實不及周天一百五十分而嵗差生焉半嵗周一百八十二萬六千二百一十二分半均剖嵗周也自天正冬至算至本年夏至又自本年夏至數至本年冬至其日數並同氣䇿一十五萬二千一百八十四分三十七秒半置嵗周日數以二十四氣平分之得此日數謂之恒氣日周一萬分(自今日子正至來日子正共得此數) 刻法一百分(毎日百刻故也)旬周六十分(自甲子至癸亥六十日之積分) 紀法六十日(即旬周也)按日周一萬分乃整齊之數故旬周亦整六十日也太陽行天每日一度前云度法萬分者亦以此也並以整萬分立算而無畸零故曰不用日法也又按授時厯嵗周上考已往百年長一分下推將來百年消一分大統省不用故不言也通餘五萬二千四百二十五分置嵗周減六旬周得餘此數即五日二十四刻二十五分乃一年三百六十日常數外之餘日餘分氣應五十五萬○千六百分此授時厯所用至元辛巳天正冬至為元之日時也是為己未日丑初一刻乃實測當時恒氣之應上考已往下求將來並距此立算以此為根也其數自甲子日子正初刻算至戊午日夜子初四刻得五十五日又自己未日子正初刻算至丑初一刻得六刻合之為五十五萬零六百分嵗䇿三百五十四萬三千六百七十一分一十六秒此十二朔策之積也自今年正月經朔至來年正月經朔得此積分或置嵗實内減嵗閏亦同朔䇿二十九萬五千三百○五分九十三秒此太隂與太陽合朔常數乃晦朔弦朢一周也自本月經朔至次月經朔得此積分又謂之朔實乃十二分嵗䇿之一朢䇿一十四萬七千六百五十二分九十六秒半此朔䇿之半乃二十四分嵗䇿之一自經朔至經朢又自經朢至次月經朔並得此數又謂之交朢弦䇿七日三千八百二十六分四十八秒二五此朢策之半乃四分朔策之一自經朔至上弦又自上弦至經朢又自經朢至下弦至次月經朔其數並同月閏九千○百六十二分八十二秒此一月兩恒氣與一經朔相差之數置氣䇿倍之得三十○萬四千六十八分七十五秒内減朔䇿得之嵗閏一十○萬八千七百五十三分八十四秒此十二箇月閏之積也亦名通閏閏應二十○萬二千○百五十○分此至元辛巳為元之天正閏餘也盖即己未冬至去經朔之數當時實測得辛巳嵗前天正經朔是三十四萬八千五百五十分即至元庚辰年十一月經朔為戊戌日八十五刻半為戌正二刻也閏凖一十八萬六千五百五十二分○九秒置朔䇿内減嵗閏得之盈初縮末限八十八日九千○百九十二分二十五秒此冬至前後日行天一象限之日數盖冬至前後一象限太陽每日之行過於一度故也(四分嵗周所行度得九十一度)(三一○六二五為一象限)縮初盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒此夏至前後日行天一象限之日數也盖夏至前後一象限太陽毎日之行不及一度故也按盈初者定氣冬至距定氣春分之日數縮末者定氣秋分距定氣冬至之日數也此兩限者並以八十八日九十一刻稍弱而行天一象限縮初者定氣夏至距定氣秋分日數盈末者定氣春分距定氣夏至日數也此兩限者並以九十三日七十一刻有奇而行天一象限今現行時憲厯節氣有長短即此法也又按古厯每日行一度原無盈縮言盈縮者自北齊張子信始也厥後隋劉焯唐李淳風僧一行言之綦詳厯宋至元為法益密然不以之註厯者為閏月也大衍厯議曰以恒氣注厯定氣算日月食由今以觀無處不用但每月中節仍用恒氣不似西洋之用定氣耳西洋原無閏月祇有閏日故以定氣註厯為便若中土之法以無中氣為閏月故以恒氣註厯為宜治西法者不諳比氣輒訶古法為不知盈縮固其所矣轉終二十七萬五千五百四十六分此月行遲疾一周之日數也内分四限入轉初日太隂行最疾積至六日八十餘刻而復於平行謂之疾初限厥後行漸遲積至十三日七十七刻奇而其遲乃極謂之疾未限於是太隂又自最遲以復於平行亦六日八十餘刻謂之遲初限厥後行又漸疾亦積至十三日七十七刻奇其疾乃極如初日矣謂之遲末限合而言之共二十七日五十五刻四十六分而遲疾一周謂之轉終也轉中一十三萬七千七百七十三分即轉終之半(解見上文轉其數一名小 中)轉差一萬九千七百五十九分九十三秒置朔策内減轉終得之乃相近兩經朔入轉之相差日數也轉應一十三萬○千二百○五分此至元辛巳天正冬至日入轉日數也盖實測得冬至己未日丑初一刻太隂之行在疾末限之末日也交終二十七日二千一百二十二分二十四秒此太隂出入黄道陽厯隂厯一周之日數也交差二日三千一百八十三分六十九秒置朔䇿内減交終得之乃相近兩經朔入交之相差日數也交應二十六萬○千三百八十八分此至元辛巳天正冬至入交泛日也(乃實測冬至己未日丑初一刻)(月過正交日數)氣盈○日二千一百八十四分三十七秒半此氣策内減十五整日外餘此數(一月兩恒氣共盈四千三百六十八)(分七十五秒)朔虚○日四千六百九十四分○七秒置三十日内減朔策得之乃一朔䇿少於常數三十日之數沒限○日七千八百一十五分六十二秒半置日周一萬内減氣盈得之土王䇿一十二日一千七百四十七分五十○秒又土王䇿三日○千四百三十六分八十七秒半按土王䇿一名貞䇿置嵗實以五除之得七十三日○四八五為一嵗中五行分王之日數又為實以四除之得一十八日二六二一二五為每季中土王日數内減氣䇿得餘三日(○四三六八七五)為土王䇿乃自辰戌丑未四季月中氣日逆推之數土王䇿四因之得十二日(一七四七五)亦為土王䇿乃自四季月節氣日順數之數二者只須用一今並存者所以相考也宿會二十四萬宿餘分一萬五千三百○五分九十三秒日直宿二十八日一周是為宿會以宿會減朔實得宿餘限䇿九十○限○六八三○八六五置弦䇿以十二限二十分乘之得此數故以全加得次限限總一百六十八限○八三○六○(一名中限)置小轉中以十二限二十分乘之得此數故限䇿加滿則用以全減朔轉限䇿二十四限一○七一一四六置轉差以十二限二十分乘之得此數故以全加得次朔限按以上三者為求遲疾限之捷法然可不用盖既有日率相減之法則十二限二十分乘之法已為筌蹄何况限䇿盈䇿六十九萬六千六百九十五分二十八秒置氣盈分為實以氣䇿除之得毎日盈一百四十三分五三四七七五轉用為法以除日周得每六十九日六六九五二八而盈一日是為盈䇿故以加盈日即得次盈虚䇿六十二萬九千一百○四分二十二秒置朔虚分以朔䇿除之得毎日虚一百五十八分九五六一七一轉用為法以除日周得六十二日九一○四二二而虚一日是為虚䇿故以加虛日即得次虛大統厯歩氣朔法求中積分置嵗實三百六十五萬二千四百二十五分為實以距至元辛巳為元之積年減一為法乘之即得其年中積分(定數以嵗實定六子以積年視有十年定一子百年定二子乘法言十加定一子得數後共以八子約之)(為億也)如徑求次年中積分者加一嵗實即可得之中積分者自所求年天正冬至逆推至辛巳為元之天正冬至中間所有之積日積分也積年減一者以嵗前天正冬至為立算之根故也假如康熈元年壬寅距至元十七年辛巳該三百八十二算法祗以三百八十一年入算是為減一用之也盖欲算本年之氣朔必以年前天正冬至為根是所求康熈壬寅年之中積分乃順治辛丑年十一月冬至之數故也定子法者為珠算定位設也其法十定一子百定二子千定三子萬定四子十萬定五子百萬定六子千萬定七子億萬定八子嵗實首位是三百萬故定六子積年有十定一有百定二皆一法也言十加定一子者以乘法首位言之凡法首位與實首位相呼九九數有言十之句則得數進一位故加定一子此條原文缺此句余所補也得數以八子約之為億者謂視原定之子若有八子則乘得數首位是億也未乘之先視法實之數以定子故既乘之後即據所定之子以定得數此法最便初學也附嵗實鈐千百十萬一 三六五二四二五 凡用鈐自單年起有二 七三○四八五○ 十年則進一位用之三 一○九五七二七五 有百年又進一位即四 一四六○九七○○ 得所求中積分並以五 一八二六二一二五 單年無定之位推而六 二一九一四五五○ 上之即算位俱定七 二五五六六九七五八 二九二一九四○○九 三二八七一八二五求通積分置所得其年中積全分加氣應五十五萬○千六百分即得所求通積分如徑求次年亦加嵗實前推中積分是從辛巳厯元天正冬至起算今加氣應是又從辛巳厯元冬至前五十五日○六刻起即甲子日子正初刻也求天正冬至置通積全分滿紀法六十萬去之餘為所求天正冬至分也萬以上命起甲子算外為冬至日辰(欲求時刻依發斂加時條求之)(見後)如逕求次年者不拘有無閏月並加通餘五萬二四二五滿紀法去之即得通積分既從甲子起算故滿紀法去之即知日辰也算外命日辰者以有小餘也凡滿萬分成一日者為大餘九千分以下皆為小餘大餘為日乃先一日之數小餘為時刻乃為本日故取算外也求天正閏餘分置其年中積全分如閏應二十○萬二千○百五十分為閏積以滿朔實二十九萬五千三百○五分九十三秒除之為積月其不滿者即為所求年天正閏餘分也閏餘分滿閏凖一十八萬六五五二○九者其年有閏月(補法閏餘滿十六萬八四二六四五以上者其年冇閏如用閏凖須加兩月閏)如逕求次年天正閏餘者不拘有無閏月並加通閏一十○萬八七五三八四滿朔策去之即得(如却求前嵗閏者置本年閏餘内減通閏得之閏餘)(小于通閏不及減加朔實減之即是)閏餘分者乃嵗前天正冬至距天正經朔數也法當自辛巳厯元天正經朔起算故以閏應通之也閏凖是朔實内去十二箇月閏之數若閏其年十一二月者此法不能御故有補法也若於所得閏餘分加一萬八千一百二十五分六四(兩月閏之數)再用閏凖取之亦同附經朔鈐百十萬一 二九五三○五九三 閏積内與經朔鈐數二 五九○六一一八六 同者減去之減至不三 八八五九一七七九 滿一朔實二十九萬四 一一八一二二三七二 五三○五九三而止五 一四七六五二九六五 其餘數即閏餘分六 一七七一八三五五八七 二○六七一四一五一八 二三六二四四七四四九 二六五七七五三三七求天正經朔置其年通積全分内減去其年閏餘全分滿紀法六十萬去之餘為所求天正經朔分又法置冬至内減閏餘即得經朔如冬至小于閏餘不及減加紀法六十萬減之如逕求次年天正經朔者無閏加五十四萬三六七一一六(十二朔實去紀法之數)有閏加二十三萬八九七七○九(十三朔實去紀法之數)並滿紀法去之即得朔者日月同度之日經者常也經朔者朔之常數所以别于定朔也古人只用平朔故日蝕或在晦二唐以後始用定朔則蝕必於朔然不知經朔則定朔無根故必先求定朔先推通積分自厯元甲子日算至冬至減去閏餘是從甲子日算至經朔故去紀法即得經朔之大小餘也先推冬至分是以紀法減過通積而得乃冬至前甲子日距冬至數内減閏餘即為甲子日距經朔數也如冬至小于閏餘是此甲子日雖在冬至前却在經朔後故加紀法減之是又從經朔前甲子算起也求天正盈縮厯置半嵗周一百八十二日六二一二五内減去其年閏餘全分餘為所求天正縮厯也(補法若其年冬至與經朔同日而冬至加時在)(經朔前則天正經朔入盈厯)如逕求次年天正縮厯者内減去通閏一十○萬八七五三八四得之減後視在一百五十三日○九以下者再加一朔䇿即是按冬至交盈厯夏至交縮厯各得嵗周之半今置半嵗周是減去盈厯半周祇用縮厯半周從夏至日算至冬至日之數也内減閏餘即為從夏至算至十一月經朔日數故恒為縮厯亦有入盈厯者其前必有閏月而至朔同日冬至小餘又小于經朔小餘先交冬至後交經朔其經朔已入盈厯法當於經朔小餘内減去冬至小餘命其餘為天正盈厯也若冬至小餘大於經朔小餘不用此法盖雖至朔同日而朔在至前仍為縮厯此處原本所缺故備著之凡閏餘加通閏即為次年閏餘今所得天正縮厯是半周内減閏餘之數于中又減通閏即如減次年閏餘矣故逕得次年天正縮厯也一百五十三日○九以下者半周内減一朔䇿也減後得此必有閏月在次年天正經朔前故必復加朔䇿而得次年天正朔厯也求天正遲疾厯置其年中積全分内加轉應一十三萬○二○五減去其年閏餘全分為實以轉終二十七萬五五四六為法除之其不滿轉終之數若在小轉中一十三日七七七三以下者就為所求天正疾厯也若在小轉中以上者内減去小轉中則為天正遲厯也如逕求次年天正遲疾厯者加二十三日七一一九一六(十二轉差積數)經閏再加轉差一日九七五九九三並滿轉終去之遲疾各仍其舊若滿小轉中去之者遲變疾疾變遲也中積分原從厯元冬至起算至所求天正冬至止今加轉應減閏餘是從厯元冬至前十三日初交疾厯時起算至所求年天正經朔止故不滿轉終即為天正疾厯也轉中者轉終之半故疾厯滿此即變遲厯也附轉終鈐百十萬一 二七五五四六二 五五一○九二三 八二六六三八四 一一○二一八四五 一三七七七三○六 一六五三二七六七 一九二八八二二八 二二○四三六八九 二四七九九一四求天正入交泛日(原本作交泛分今依厯經改定)置中積減閏餘加交應二十六萬○三八八為實以交終二十七萬二一二二二四為法除之其不滿交終之數即為所求天正入交泛日及分也如逕求次年天正入交日者無閏加六千○百八二○四(十二交差内減去交終之數)有閏加二萬九千二百六五七三(十三)(交差内減去交終之數)即得中積減閏餘與求遲疾法同加交應是從辛巳厯元前二十六日初入正交時算起也故不滿交終即為天正入交日也泛者對定而言也有經朔有定朔則入交之深淺亦從之而移此所得者經朔下數故别之曰泛附交終鈐百十萬一 二七二一二二二四二 五四四二四四四八三 八一六三六六七二四 一○八八四八八九六五 一三六○六一一二○六 一六三二七三三四四七 一九○四八五五六八八 二一七六九七七九二九 二四四九一○○一六推經朔次氣及弦望法置天正經朔全分加五十九萬○六一一八六(即二朔䇿)滿紀法六十萬去之為所求年正月經朔累加朔䇿二十九萬五千三百○五九三為逐月經朔累至次年天正經朔必相同也(次年天正經朔在本年為十一月)復以朢䇿一十四萬七六五二九六五累加各月經朔得經朢又加之即得次月經朔 復以弦䇿七萬三八二六四八二五累加經朔得上弦加上弦即復得經朢又加之得下弦又加之復得次月經朔 凡累加時並滿紀法去之其復得數必與原推分秒不異(或先加弦䇿次加朢䇿亦同)前有逕求次年天正經朔法與此挨次累加之數互相參考即知無誤算法還原之理也以後並同推恒氣次氣法置天正冬至日及分加四十五萬六五五三一二五(即三)(氣䇿)滿紀法去之為所求年立春恒氣累加氣策一十五萬二一八四三七五滿紀法去之得各恒氣加至本年冬至即與前逕推次年天正冬至相同也附二十四恒氣鈐立春(次年)正月節 五十○萬八九七八一二五右鈐以加天正冬至滿紀法去之即逕得各月恒氣大小餘凡恒氣大餘命起甲子算外得日辰小餘命時刻(依發斂加時條取之)並同冬至法推盈縮厯次氣法置天正盈縮厯日及分加五十九萬○六一一八六滿半嵗周一百八十二日六二一二五去之為所求年正月經朔下盈厯也累加朔䇿二十九萬五三○五九三為逐月經朔盈厯也盈厯加滿半嵗周去之交縮厯又累加之滿半嵗周去之復交盈厯也(累加至十一月即與次年天正盈縮)(厯相同) 復以弦䇿七萬三八二六四八二五累加之各得弦朢乃次朔之盈縮厯也(至次朔亦必相同)盈厯滿初限八十八日九○九二二五為有末之盈縮厯滿初限九十三日七一二○二五為有末之縮推初末限法置半嵗周一百八十二日六二一二五内減有末之盈縮厯全分餘為所求各末限日分也 復於各盈縮末限日分累減弦䇿七萬三八二六四八二五得各弦朢及次朔下盈縮末限必相同也 若不及減弦䇿者末限已盡盈交縮縮交盈也(補法置弦䇿以不及減之餘末轉減之即各得所交盈縮)(初限日分相同也)凡盈厯算起冬至縮厯算起夏至並從盈縮初日順推至所求日時若盈末則算起夏至縮末則算起冬至並從盈縮盡日逆推至所求日時故置半嵗周減之而得末限日分也所得末限日分是所求日時距盈縮末盡日逺近之數朔而弦朢入厯益深則其距末盡日益近故在初限累加弦䇿者在末限即用累減而得也推盈縮差法置盈縮厯全分(若係末限則置所得末限全分)減去大餘不用只用小餘(有千分定三有百定二有十定一)並以立成相同日數下取其盈縮加分為法乘之(加分有百定二有十定一言十加定一子)得數以所定八子約之為度位乃於立成取本日下所有盈縮積與得數相倂即得所求盈縮差凡言八子或九子約之為度者乃是於得數上定此虚位以便與盈縮積度相加非言得數有八子九子也假如八子為度位而原所定只有五子即得數為度下三位若盈縮積有度即度得數上第三位加之法於得數首位呼五字逆上數之曰五六七八至八字住於此加積度即無誤也遲疾厯同盈縮加分是本日太陽行度或過或不及于一度之分也(或日行過于一度而有餘分是為盈加分或日行不過一度而有欠分是為縮加分)盈縮積度則是本日以前加分累積之數也(總計逐日盈加分為盈積)(度總計逐日縮加分為縮積度)法當以小餘乘本日加分為實日周一萬分為法除之即得小餘時刻内所有之加分乃以得數倂入本日以前原有之積度則為本日本時之盈縮差矣(厯經云萬約為分即是以日周一萬除乃本法也)兹以定子法約之故以八子為度所得亦同(假如以千乘百共定五子則所得乘數為十萬)(分就用為實以日周一萬為法除之當去四子剰一子則所得除數成十分是于度下為第三位也何以)(言之盖度下有千有百故十分為第三位今于所定五子虚進三位至八子位命為度以加積度即得數)(十分適居度下第三之位而相加無誤矣理前條八子命億而此以八子約為度何也曰無二 也八子)(于乘得數原是億位盖億即一萬萬用萬萬為實以一萬為法除之當去四子剩四子則除後得數為萬)(而成度位今不去子故以八子為度其實即厯經萬約為分之法非有二也)問初限是從盈縮初日順推(盈初從冬至起算縮初從夏至起算並數其已)(過之日)其小餘亦順推(並自本日子正刻起順下丑寅數至所求時刻)若末限則是從盈縮末盡日逆數(盈末距夏至立算縮末距冬至立算皆數其未到之)(日)其小餘亦逆數(並自本日夜子初刻逆轉亥戌數至所求時刻)而加分乘小餘加積度之法並無有異且盈縮互用(盈末所用之加分積)(度即縮初之數縮末所用之加分積度即盈初之數)何也曰凡初限所積之盈縮度分並為末限之所消(假如盈初限共有積盈度二度四十分一交盈末即)(每日有所縮以消其積盈直至盈末盡日其盈消盡而交夏至為縮厯矣又如縮初限共有積縮度二度)(四十分一交縮末即每日有所盈以消其積縮直至縮未盡日其縮消盡而交冬至復為盈厯矣)故同一加分也在初限為日增之分在末限則為日消之分(假如盈末限未到夏至若干日與縮初限已過夏至之日數等則其日行度之所縮亦等故盈)(末日即用縮加分又如縮末日與盈初限之日數等則其距冬至等而日行之所盈亦等故縮末日即用)(盈加分)同一積度也在初限為己積之度分若末限則為未消之度分(假如盈末毎日内各有縮加分以消其盈而今盈末尚有若干日則其縮)(加分末用而積盈亦未消累而計之其數必與縮初限相同日數下之積度等故即用縮積度為盈積度)(也縮末即用盈積度為未消之縮積度其理亦同)今末限既有小餘則此時刻内亦必有未消之零分在積度外故以小餘乘加分而萬約之(即八子為度之法解已見前)倂入積度即知此日此時尚有未經消盡之積度共若干度分而命之為盈縮差矣(盈末日雖用縮加分縮積度取數而仍為盈差縮末日雖用盈加分盈積度取數而仍為)(縮差盖其加分積度為逐日之盈縮而盈縮差分是總計初日以來之盈縮故也)推遲疾厯次氣法置天正遲疾厯日及分加三日九五一九八六(兩轉差數)為所求年正月經朔下遲疾厯也以後累加轉差即得各月經朔下遲疾厯也凡加後如滿小轉中一十三萬七七七三者去之疾變為遲遲變為疾不滿者遲疾不變累加至十一月即與次年天正遲疾厯相同也 復以弦䇿七日三八二六四八二五累加之各得弦朢及次朔之遲疾厯亦滿小轉中去之變遲疾也本宜累加朔䇿而去轉終今用轉差是㨗法其得數同也附轉差鈐一 一日九七五九九三 用鈐加正月經朔下二 三日九五一九八六 遲疾厯可逕求各月三 五日九二七九七九 遲疾厯若加滿小轉四 七日九○三九七二 中去之疾變遲遲變五 九日八七九九六五 疾也六 十一日八五五九五八七 ○日○五四六五一 自七箇月以後為減八 二日○三○六四四 過小轉中之後加後九 四日○○六六三七 即變遲疾若加滿小十 五日九八二六三○ 轉中去之反不變也十一 七日九五八六二三十二 九日九三四六一六推遲疾厯限數法置遲疾厯日及分(十日定五單日定四○日有千定三○日○千有百定二有十定一)以十二限二十分(定一)為法乘之(言十定一)得數以所定有四子為單限五子為十限六子為百限即得各遲疾厯限數如逕求次弦朢之限數者(如自朔求上弦自上弦求朢之類)每加限䇿九十限即得加滿中限一百六十八限去之則變遲疾 如超次月(如以朔求次朔以上弦求次月上弦之類)累轉加朔轉限䇿二十四限一○即得(亦滿中限去之而變遲疾)如累加之至十箇月間有多一限乃二十分尾數積成故有退一限減之之法不必致疑皆以日率為定也遲疾分限數何也太隂行天有遲疾其遲疾又有初末與太陽之盈縮同所不同者太陽之盈縮以半嵗周分初末而其盈縮之度止于二度奇太隂之遲疾以十三日七十七刻奇分初末而其遲疾之度至于五度奇(疾初只六日八十八刻奇而疾五度遲初只六日八十八刻奇而遲五度)厯家以八百二十分為一限(即八刻竒)一日分十二限二十分而自朝至暮逐限之遲疾細分可得而求矣捷法以所得遲疾厯與立成中遲疾日率相較擇其相近者用之(或所得遲疾厯日及分即立成内日率相同或稍强于日率即可取用)即可逕得限數(此法可免十二限乘亦即無退退一限減之之事余所補也)推遲疾差法置遲疾厯日及分以立成内相同限下日率減之(如立成日)(率大不及減即退一限減之)用其餘分為實(有百分定四子十分定三子單分定二子十秒)(定一子)以其下損益分(十分定五子單分定四子十秒定三子單秒定二子)為法乘之(言十定一)得數又為實以八百二十分(去二子)為法除之(不滿)(法又去一子)得數取所定八子為度位視立成是益分即于得數上依位加本限下遲疾積度(如盈縮差加積度法)若是損分即置遲疾積度内減去得數(如八子為度位而所定只五子則于度下第三位減)(之餘倣此)即各得所求遲疾差遲疾日率者毎限八百二十分之積數也(如滿八百二十分則)(為一限滿兩箇八百二十分則為二限乃至滿十箇八百二十分即為十限百箇八百二十分即為百限)(故曰日率)而所得遲疾厯未必能與各限之日率巧合而無零分故以此日率減之即知此日太隂之行度己足過若干限而尚餘若干時刻也(毎限八百二十分即八刻奇未滿此)(數皆為零分)損益分者各限内遲疾進退之差也自初限至八十三限為益分其遲疾為進也(在疾厯則益其疾在遲厯亦益其遲故並為益)(分)自八十四限至一百六十八限為損分其遲疾為退也(在疾厯則損其疾在遲厯亦損其遲故並為損分)此損益分皆整限八百二十分之數零分所有之損益必小于八百二十分之損益故以零分乘八百二十分除也遲疾積度者是本限以前所積之遲疾度分也(如在八十)(三限以前則為日益之積數八十四限以後則為日損之餘數)於是以所得零分内之損益分損之益之便知此時此刻内太隂之遲疾所不同於平行者共有若干度分而命之為遲疾差也定子之法千三百二則萬四常為度位而此與盈縮差並用八子者盈縮差原是萬約為分宜去四子今省不去故八子即是四子也此求遲疾之損益是以八百二十除原非萬約為分而亦用八子為度者因乘時加定四子(餘分百定四子是加定二子也損益分之十分是度下一位宜定千三今)(定五子是又加二子也合之共加定四子)則八子亦是四子其故何也遲疾厯遇八十一限至八十六其損益分多為單秒則定子之法窮故加四數以豫為之地也不滿法又去一子者亦以相除時算位言之(假如法是八實)(亦是八或八以上可以除得一數即為滿法若實在八以下即不能除得一數當退位除之即為不滿法)(也此不論十百千萬之等惟論自一至九之數假如以八十除六百亦為不滿法若以八百除九十亦為)(滿法皆以得數有進位不進位而分算中精理也)盖除法本是降位(如用十為除法)(是以十為一當降一位故去一子百為除法是以百為一當降兩位故去二子)今不能除得一數而退位除之是又降一位故再去一子也按古厯太陽朓朒之行但有各恒氣十五日奇之總率而無毎日細數太隂朓朒之行但有毎一日之總率而無一日内分十二限奇之細數有之皆自授時始皆以平立定三差得之授時之密於古法此一大端也推加減差法視各經朔弦朢下盈縮差與遲疾差如是盈遲縮疾為同名則相倂用之如是盈疾縮遲為異名則兩數相較用其餘分(有萬定四子千定三子百定二十定一)以八百二十分(定二子)乘之(言十定一)得數為實以立成本限下遲疾行度為法(遲用遲行)(度疾用疾行度並以萬去四子千去三子)除之(不滿法又去一子)得數以所定有三子為千分二子為百分即得所求加減差同名者 盈遲為加差 縮疾為減差異名者 盈多疾少為加差 疾多盈少為減差遲多縮少為加差 縮多遲少為減差加減差者時刻之進退也前論盈縮遲疾二差則行度之進退也因日月之行度各有紓亟而時刻因之進退故前既分求之兹乃論之也以右旋之度言之日每日平行一度月每日平行十三度有竒合朔時日月同度厯弦䇿七日(三八二六四八二五)而月度超前離日一象限是為上弦又厯弦䇿而月度離日半周天與日對度是為朢自此以後月向日行又厯弦策而距日一象限是為下弦更厯弦䇿而月追日及之又復同度而為合朔矣凡此者皆有常度有常期故謂之經朔經朢經弦也乃若定朔定朢定弦則有時而後於常期故有加差焉有時而先於常期故有減差焉凡加差之因有二一因於日度之盈夫日行既越於常度則月不能及一因於月度之遲夫月行既遲於常度則不能及日二者皆必於常期之外更增時刻而後能及於朔朢弦之度故時刻加也減差之因亦有二一因於日度之縮夫日行既緩於常度則月易及之一因於月度之速夫月行既速於常度則易及於日二者皆不待常期之至而已及於朔弦朢之度故時刻減也乃若以日之盈遇月之遲二者皆宜有加差以日之縮遇月之疾二者皆宜有減差故(盈與遲縮與疾)並為同名而其度宜倂 若以日之盈遇月之疾在日宜加在月則宜減以日之縮遇月之遲在日宜減在月宜加故(盈與疾縮與遲)並為異名而其度宜相減用其多者為主也如上所論既以(盈縮遲疾)二差同名相從異名相消則加減差之大致已定然而又有乘除者上所言者度也非時刻也故必以此所得之度分(即同名相從異名相消之度分)用每限之時刻(八百二十分)乘之為實每限之月行度為法(即遲疾行度)除之即變為時刻而命之為加減差矣以異乘同除之理言之月行遲疾行度則所厯時刻為八百二十分今加減之度有㡬箇遲疾行度則月行時刻亦當有㡬箇八百二十分故以此乘除而知加減差之時刻推定朔法各置經朔弦朢大小餘各以其加減差加者加之減者減之即各得所推定朔弦朢大小餘大餘命起甲子算外得定日支干小餘命時刻(依發斂加時條求之)其定朔朢日小餘若在本日日出分以下者退一日命之惟朔不退定朔日干名與次月同者其月大不同者其月小 内無中氣者為閏月弦朢退一日者以候月當用更㸃也假如定朢在乙丑日日未出前則仍是甲子日之更㸃故也按節氣為兩月相交之界故謂之節中氣為一月三十日之正中故謂之中月有中氣然後可正其名曰某月(如有冬至則為十一月有大寒則為十二月有雨水則為正月他皆若是)若月内無中氣而但有節氣則在兩月交界之間不能名其為何月而謂之閏月矣凡閏月前一月中氣必在晦後一月中氣必在朔則前後兩月各在定名而此月居其間不得復以前後月之名名之不得不為閏月(如月内但有立春節而無中氣則大寒中氣在)(前月之晦定其為十二月雨水中氣則後月之朔定其為正月前後兩月各有本名不可移動而本月無)(中氣即無月名必為閏月也)厯家以無中氣為閏月則各月之中氣必在本月而不可稍移所謂舉正于中民則不惑也然惟以恒氣注厯始能若是唐一行之説所以確不可易而厯代遵守以為常法非不知有定氣而但知恒氣也(定氣即日行盈縮若于各恒氣求其盈縮差而以盈差為減差縮差為加差即得各)(定氣日及分然而不用者為閏月也)推入交次氣法置天正入交泛日及分加四日六三六七三八(即兩交差)即為所求年正月經朔下入交泛日及分也以後累加交差二日三一八三六九滿交終二十七日二一二二二四去之即各月經朔下入交泛日也累加至其年十一月即與次年天正入交泛日相同也 復以交朢一十四日七六五二九六五累加之亦滿交終去之即得各月經朢下入交泛日加朔得朢加朢得次朔亦必相同也附交差鈐一 二日三一八三六九 用鈐加正月經朔下二 四日六三六七三八 入交泛日可逕得所三 六日九五五一○七 求某月經朔下入交四 九日二七三四七六 泛日若加正月經朢五 十一日五九一八四五 下入交泛日亦可逕六 十三日九一○二一四 得所求某月經朢下七 十六日二二八五八三 入交泛日加滿交終八 十八日五四六九五二 二十七日二一二二九 二十○日八六五三二一 二四並去之用其餘十 二十二日一八三六九○ 數十一二十五日五○二○五九十二 ○日六○八二○四推盈日法視各恒氣之小餘在沒限七千八百一五六二五以上者為有盈之氣也置䇿餘分一萬○一四五(以十五日除氣䇿得)(一萬○一四五六二五止用四位取大數也)内減有盈之氣小餘四位用其餘分為實(以千三百二定之)以六十八分六十秒(以氣盈除十五日得六十)(八分六十六秒九五今亦止用三位)定一為法乘之(言十定一)得數取定四子為日位用加恒氣大餘日滿紀法去之命起甲子算外為所推盈日也又法亦以有盈之恒氣小餘去減䇿餘分餘以一氣十五日乘之為實氣盈二千一百八四三七五為法除之得數以加恒氣大餘滿紀法去之命為盈日亦同若逕求次盈日者置所得盈日毎加盈䇿六十九萬六六九五二八即得第二盈日亦滿紀法去之命干支也盈日即古厯之沒日也凡氣内有盈日者多一日假如甲子日立春則己夘日雨水今盈一日為庚辰日雨水故謂之盈日䇿餘分者十五日除氣䇿之數也盖謂毎大餘一日即帶有盈分○千一百四十五分故必足得䇿餘分(一萬○一四五)之數則為十五分氣䇿之一也六十八分六十秒者氣盈除十五日之數也盖謂毎盈一分在恒氣為六十八分六十秒即六十八分六十秒盈一分也今有盈之恒氣小餘尚不及䇿餘分有若干分則必更厯若干六十八分六十秒而其盈分始足命之盈日也又法以十五日乘氣盈除即六十八分六十秒乘也故其得數同捷次盈以盈䇿加者率六十九日奇而有盈日則毎一嵗周只有五盈日或四日也餘詳用數推虚日法視各經朔之小餘在朔虚四千六百九四○七以下者為有虚之朔也置有虚之朔小餘四位(千定三百定二)為實以六十三分九十秒(朔虚除三十日得六十三分九十一秒竒此用大數故只三位)定一為法乘之(言十定一)得數取定四子為日位用與經朔大餘相加滿紀法去之命起甲子算外為所推虚日也又法以三十日乘有虛之小餘為實朔虚四千六百九四○七為法除之得數以加經朔大餘滿紀法去之為虚日亦同若逕求次虚日者置所得虚日每加虛䇿六十二日九一○四二二即得第二虛日其命干支亦滿紀去之也虚日即古厯之滅日也凡月内有虚日者其月小(以經)(朔言之)故謂之虛日六十三分九十秒者朔虚除三十日之數也盖謂毎虚一分在月内為六十三分九十秒即毎六十三分九十秒當虛一分也今經朔小餘尚有若干分則必更厯若干六十三分九○而其虚分始盡命之虚日也其又法以三十日乘朔虚除即六十三分九○乘也故得數亦同捷次虚日以虛䇿加者率六十三日弱而有虚日則每一嵗䇿亦只五虚日也餘亦詳用數推土王用事法置四季月節氣大小餘(三月用清明六月小暑九月寒露十二月小寒)各加土王䇿一十二萬一七四七五滿紀法去之大餘命起甲子算外各得所推土王用事日辰也又法置四季月中氣大小餘(三月用穀而六月大暑九月霜降十二月大寒)内各減第二土王䇿三日○四三六八七五如不及減加紀法減之所得亦同天有五行而土無專位以體之立者言之則居中以用之行者言之則在隅土者木火金水之所以成終而成始也參同契曰土旺四季羅絡始終青赤白黒各居一方皆禀中宫戊己之功盖謂此也厯家以春木夏火秋金冬水分旺者各得氣策四又十二日(一七)(四七五)而土寄旺於四季之末者各得氣䇿一又三日(○四三六八七五)與四行之數適以相等而嵗功成焉前法用加節氣者是於四時之末而要其終後法用減中氣者是據土王用事之初而原其始餘詳用數推發斂加時法各置定朔弦朢及恒氣之小餘為實以十二時為法乘之(法實並以千三百二定之言十定一以所定四子為萬)取萬為時命起子正有五千起作一時命起子初並以算外命時其不滿五千者取一千二百為刻命起(初正)初刻算外為某刻又法各置小餘加二為時減二為刻不須定數就以千位為時百位為刻有五百起作一時命起子初初刻不起者命起子正初刻也按古法以日行赤道外去北極逺謂之發日行赤道内去北極近謂之斂發斂字義並主北極為言日道之自近而逺逺而復近皆以漸致故不曰逺近而曰發斂也古諸家厯法並有歩發斂一章其所列者月卦律呂氣候之類而加時之法附焉授時亦然故曰歩發斂加時也(授時雖不用律吕月卦惟存七十二候而統以廿四中節盖即其所謂發)(斂而所謂歩發斂加時者以推各氣候初交之時刻發斂字義䝉上文而為説猶云歩氣候加時云爾)大統則省去歩發斂一章故加時之法在氣朔章後而猶云推發斂加時因仍舊名無他義也以十二乘者何也盖以日周一萬分十二時則各得八百三十三分三三不盡故以十二乘之通日周一萬為十二萬則可以匀分乃算術通分法也日周既通為十二萬故以一萬為一時以一千二刻為一刻也有五千起作一時者因時有初正則各得五千其子初四刻為前半箇子時乃先一日之數謂之夜子時子正四刻為後半箇子時乃本日之數本日十二時並從兹起故滿一萬者命起子正也命起子正則算外為丑正矣(因所滿一萬數中有子正四刻丑初四刻在内則前半箇丑時已滿而算)(外為丑正)若但滿五千則算外為丑初(但滿五千則所滿者是後半箇子時)(而交前半箇丑時是為丑初非丑正也)故起作一時而命起子初此是從先日夜子初刻算起借前半箇子時輳合成整以便入算也其又法加二為時減二為刻者加是就身加二即十二乘但不變千位不定子故即以一千為一時而起子正有五百起作一時而起子初也減二即十二除而挨身減二不動算位所謂定身除法也故即以一百為一刻附十二時鈐千百十分十秒 千百十分十秒子正 ○○○○○○ 午正 五○○○○○丑初 ○四一六六六 未初 五四一六六六丑正 ○八三三三三 未正 五八三三三三寅初 一二五○○○ 申初 六二五○○○寅正 一六六六六六 申正 六六六六六六夘初 二○八三三三 酉初 七○八三三三夘正 二五○○○○ 酉正 七五○○○○辰初 二九一六六六 戌初 七九一六六六辰正 三三三三三三 戌正 八三三三三三巳初 三七五○○○ 亥初 八七五○○○巳正 四一六六六六 亥正 九一六六六六午初 四五八三三三 (夜子)初 九五八三三三凡日下小餘分並以十二時鈐相減命時(如滿四一六六者即)(命其時為丑初滿八三三三者即命其時為丑正)減不盡者以一百分為一刻如不滿百分即命初刻滿一百分即命一刻滿二百分命二刻滿三百分命三刻滿四百分命四刻(如小)(餘可減二千五百分命其時為夘正减過餘數有一百分即為夘正一刻有二百分為夘正二刻有三百)(分為夘正三刻有四百分為夘正四刻若減餘不滿百分只為夘正初刻他皆若是)初正並同推朔值宿法置辛巳為元求到其年通積全分内減去其年閏餘全分加三萬○六一一八六(即兩宿餘)滿宿㑹二十八萬去之命起虚宿算外即得所求年正月經朔直宿以後累加宿餘一萬五三○五九三滿宿會去之即得各月經朔直宿再以各朔下加減差加者加之減者減之亦滿宿會去之命起虚宿算外即得各月定朔直宿(其加減過小餘亦必)(與定朔小餘相同為凖)此盖以辛巳為元之天正冬至前甲子日正直虚宿故逕以通積取之即得直宿按日直宿法乃演禽之用占家之一種也故諸家厯法無之授時厯經亦所未載而大統厯有之盖元統之所増其實無闗厯法推閏月所在置朔實(二十九萬五三○五九三)内減去有閏之天正閏餘全分(即所)(推天正閏餘在閏凖以上者其年有閏是也)餘為實以月閏九千○百六二八二為法除之滿法為月視所得有㡬月命起嵗前十一月算外得閏在何月此法仍多未的然祇在其月之前後皆以定朔為凖也滿法為月者滿得一箇月閏之數即為一月若滿兩箇月閏即為兩月此只求整月不除分秒故不必定子附六十甲子鈐初日(甲子) 一日(乙丑) 二日(丙寅) 三日(丁夘) 四日(戊辰) 五日(己巳)六日(庚午) 七日(辛未) 八日(壬申) 九日(癸酉) 十日(甲戌) 十一(乙亥)十二(丙子) 十三(丁丑) 十四(戊寅) 十五(己夘) 十六(庚辰) 十七(辛巳)十八(壬午) 十九(癸未) 二十(甲申) 廿一(乙酉) 廿二(丙戌) 廿三(丁亥)廿四(戊子) 廿五(己丑) 廿六(庚寅) 廿七(辛夘) 廿八(壬辰) 廿九(癸巳)三十(甲午) 三十一(乙未) 三十二(丙申) 三十三(丁酉) 三十四(戊戌) 三十五(己亥)三十六(庚子) 三十七(辛丑) 三十八(壬寅) 三十九(癸夘) 四十(甲辰) 四十一(乙巳)四十二(丙午) 四十三(丁未) 四十四(戊申) 四十五(己酉) 四十六(庚戌) 四十七(辛亥)四十八(壬子) 四十九(癸丑) 五十(甲寅) 五十一(乙夘) 五十二(丙辰) 五十三(丁巳)五十四(戊午) 五十五(己未) 五十六(庚申) 五十七(辛酉) 五十八(壬戌) 五十九(癸亥)二十八宿鈐初日(虚) 一日(危) 二日(室) 三日(壁) 四日(奎) 五日(婁)六日(胃) 七日(昴) 八日(畢) 九日(觜) 十日(參) 十一(井)十二(鬼) 十三(栁) 十四(星) 十五(張) 十六(翼) 十七(軫)十八(角) 十九(亢) 二十(氐) 廿一(房) 廿二(心) 廿三(尾)廿四(箕) 廿五(斗) 廿六(牛) 廿七(女)厯算全書卷二十一
## 卷二十二
欽定四庫全書厯算全書巻二十二宣城梅文鼎撰厯學駢枝卷二大統厯交食通軌用數目録周天三百六十五度二十五分七十五秒按此即歩氣朔章用數但彼以萬分為度法此以百分為度法故百分為分而分為秒名異而實同也半周天一百八十二度六十二分八十七秒半周天象限九十一度三十一分四十三秒七十五㣲平分周天度為半周天又平分之則為象限乃四分周天之一如兩儀之分四象也半嵗周一百八十二度六十二分一十二秒半此太陽行天半嵗之度也亦以度為百分與氣朔章異而以日命度則同以較半周天不及七十五秒乃嵗差所自生嵗差一分五十秒若以萬分命度則為一百五十分交終度三百六十三度七十九分三十四秒一十九㣲此以月平行度乘交終之數月入交一轉凡行天度有此數也交中度一百八十一度八十九分六十七秒(○九八)此以月平行乘半交之數月入交一半凡行天度有此數也正交度三百五十七度六十四分此于交終度内減去六度一五有竒也中交度一百八十八度○五分此于交中度内加入六度一五有竒也 日食入交度有加減者日既髙于月黄道在天亦髙于月道故當其初入隂厯六度時月之行天雖在日北而人之見月尚在日南中交度所以有加也及其將入陽厯尚差六度時月之行天雖在日内而人之見月已出日外正交度所以有減也此皆由測驗而得也其所以然則亦中國地勢為之前凖一百六十六度三十九分六十八秒前者交前也入隂厯滿此是在正交前也入陽厯滿此是在中交前也以後凖減交中即得後凖一十五度五十分後者交後也入陽厯在此數以下是正交後也入隂厯在此數以下是中交後也凖者定也凡月食在交前後以此為定盖無論交前交後皆以十五度五十分為定過此則不食也前凖數雖多以減交中度則以十五度五十分也月平行分一十三度三十六分八十七秒半置月行極遲極疾度數一轉之積以月行一轉之日平分之得此數日行分八分二十秒此乃一限之日行分也月行一限在日周一萬内〔？〕八百二十分也盖萬分日之百即百分度之一分也日食分二十分此置日食十分倍之(倂日體月影各十分即二十分)月食分三十分此置月食一十五分倍之(倂月體十分闇虚二十分共三十分)隂食限八度 定法八十分隂者月入隂厯是在黄道北在日内也在日内則易為揜故八度食也 隂食八度故隂定法亦八十分以八十分除八度即得隂食十分也陽食限六度 定法六十分陽者月入陽厯是在黄道南在日外也在日外則難為揜故六度食較隂食近也 陽食六度故陽定法亦六十分以六十分除六度即得陽食十分也月食限一十三度○五分 定法八十七分以定法八十七除一十三度○五分即得月食一十五分也 月既小于闇虚闇虚所至即月所至無髙下故不論隂陽厯皆十三度即食也闇虚者日之影倍大于月故月食十有五分所謂既内既外也日月食限數(凡數滿萬為日千為十刻百為單刻)陽食入交在○日五十刻已下日月不食在二十六日○二刻已上日月皆食在一十三日○○刻已上日月皆食在一十四日七十五刻已(下上)日月皆食在○日五千四百五五已(下上)日月皆食在二十五日六一五一已上日月不食在一十二日○○八九已上日月不食在一十四日一五一六已下日月皆食隂食入交在一日二十五刻已下不食在一十二日四十二刻已(上下)月食在一日一八七二已下日食在二十六日○二四九已上日月皆食在一十二日四一八九已上在一十四日七九三三已下又在交朢一十四日七六五二九六五已下日月皆食又在交終二十七日二一二二二四已下日月皆食又在交中一十三日六○六一一二已下日月皆食右各日月食限如日食視其定朔小餘在夜刻者如月食視其定朢小餘在晝刻者即同不食亦不必推算也又與各交泛者數同則食也不同者不食其已上已下皆指小餘而言凡數自萬已上為大餘自千已下為小餘 凡日食視其定朔小餘在一千二四九以下八千八百以上皆在夜刻也起亥初初刻止丑正四刻 凡月食視其定朢小餘在三千○一六已上七千○八三已下皆在晝刻也起辰初初刻止申正四刻(晝夜刻仍宜以日出八分與定朔朢)(小餘相較而定之)按自定朔之法行而日食必在朔厯家以是騐其疎密者千有餘年矣厯至授時法益密數益簡雖然月有交也逐逐歩算雖簡亦繁許學士之譏世醫謂獵不知兎廣絡原埜術已疎矣今通軌所載食限顛倒繆亂殆不可以數求其誤後學將何已乎今為訂定如左今考定日月入交食限朔汎交入陽厯在○日五○一六已下為入食限已上者日不食在一十三日一○四五已上為入食限已下者日不食朔汎交入隂厯在一十四日不問小餘皆入食限其小餘在一五一六已下一三○七已上者的食在一十五日一七七九已下為入食限已上者日不食在二十五日六四○四已上為入食限已下者日不食在二十六日不問小餘皆入食限其小餘在六六六七已上六八七六已下者的食又在交終二十七日二一二二二四已下為入食限又在交中一十三日六○六一一二已上為入食限朢汎交不問隂陽厯在○日不問小餘皆入食限其小餘在七九六六已下者月的食在一日一五五六已下為入食限已上者不食在一十二日四五○五已上為入食限已下者不食其小餘在八○九五已上者月的食在一十四日七六一七已下為入食限已上者不食其小餘在四○二七已下者月的食在二十六日○五六六已上為入食限已下者不食其小餘在四一五六已上者月的食又在交終二十七日二一二二二四已下月的食又在交中一十三日不問小餘皆的食右日月食限皆視其朔朢入交泛日其不入食限者即不必布算也其入的食限者必食也其入食限不言的者或食或不食也是皆以算御之也凡言已上已下者皆指小餘有不問小餘者則只以大餘命之也又視其定朔小餘如在日入分後及日出分前十分以上者夜刻也定朢小餘如在日入分前及日出分後七百三十分以上者晝刻也日食在夜刻月食在晝刻即不得見初虧復圓同不食限不必布算也按日食隂厯距交前後二十一度而止以月平行除之得一日五七一八日食陽厯距交前後六度七十一分而止以月平行除之得○日五○一六即各食限也其隂厯距交前後七度○一三四至七度二九三四為日的食限月平行除之得○日五千二百四六至○日五千四百五五也其陽厯則無的食何也盖日食雖有陽食限六度隂食限八度其實總在隂厯陽厯本無蝕法也今所定陽厯食限以諸差得之皆或限也諸差者何一曰盈縮差加減之極至二度四十分一曰南北東西差加減之極至四度四十六分幷二數六度八十六分内除未交陽厯前原空有一十五分餘六度七十一分是為陽厯食限也其隂厯的食起七度○一至七度二九止者正交中交限距交皆六度一十五分而陽食限只六度是原空一十五分也如入盈縮差幷南北東西差六度八十六分共七度○一而差變極矣故的限以比起置正交中交距交數加隂食限八度共一十四度一十五分内減去盈縮差幷減去南北東西差餘七度二九而差變極矣故的限以此終不入此限度皆或限也置正交中交距交數加隂食限共一十四度一十五分又加入盈縮差又加入南北東西差共二十一度是為隂厯食限也盖極其變可以得其常執其常可以追其變今所訂定食限皆要其變之極者言之而其常可知也又按月食不問隂陽厯只距交前後一十五度四十五分而止在月平行得一日一五五六為食限也其距交前後一十○度六十五分在月平行得○日七九六六為的食限也夫月食何以不問隂陽厯也月之掩日以形形則有所不周日之掩月以氣氣則無所不及故日必以隂厯食月不問隂陽厯皆食陽全隂半之理也又月雖掩日尚不能直至于日之所也故有東西南北差日以闇虚掩月則直至于日之所也故亦無東西南北差惟其不用東西南北差也故只以盈縮差二度四十分加其食限一十三度○五分而得食限一十五度四十五分或食之數止此而差變極也只以盈縮差二度四十分減其食限一十三度○五分而得的食限一十○度六十五度或不食之數亦至此而差變極也又按夜刻不見日食以時差分與定用分相較知之大約日出入夘正酉正合朔當之時差之多至六百五十分若當二至日出入其差乃極亦不下六百三十分故定朔分若與日出入同者其食甚皆在日出前日入後六百三十分以上也假如日食十分當月行極遲之限定用分極多至六百三十五分止矣故知定朔在日出分前一十分以下者即不得見未復光定朔在日入分後一十分以上者即不得見初虧斷為夜刻無疑也其晝刻不見月食亦以時差分與定用分相較知之依授時時差法朢在卯酉正時差之多至一百三十分若當二至日出入其差為極亦不下八十九分故定朢若與日出入分同者其食甚皆在日入前日出後八十九分已上也假如月食十五分當月行極遲之限定用分多至八百十六分止矣故知定朢在日出分後七百三十分已上者即不得見初虧定朢在日入分前七百三十分已上者即不得見未復光斷為晝刻無疑也(授時算月食時差法見後時差條)又按大衍厯有九服交食法庚午元厯有里差自宋以前厯法皆有晷漏所在差數今所定只據授時厯經所載大都食法其日出入據立成所載盖是應天漏刻也元統作通軌是洪武中故用南都漏刻(授時立法)(時宜有諸方漏刻及里差推歩之術今皆失傳故只據通軌)日食通軌録各有食之朔下數經朔全分 盈縮厯全分 盈縮差全分遲疾厯全分 遲疾限數 遲疾差全分加減差全分 定朔全分 入交泛日全分按有食之朔即所推其朔入交汎日入食限者也故其下所有數皆全錄之盖數以倚數叅伍相求此所錄皆母數原定朔時俱已推定故也月食倣此推定入遲疾厯法置所推或遲厯或疾厯全分以本日下加減差加者加之減者減之得為定入遲疾厯分也按原推遲疾是經朔今以差加減之則是定朔下遲疾也推定入遲疾厯限數法置所推定入遲疾厯全分依朔下限數法推之即得按定朔遲疾既不同經朔則其入轉限數亦異故復定之推定限行度法視所推定入遲疾限與太隂立成相同限下遲疾行度(遲用遲行度疾用疾行度)内減日行分八分二十秒(于度下二位減)即為定限行度也定限行度内減去八分二十秒者月行一限日行八百二十分于百分度法為八分二十秒也盖右旋之度月速于日立成中遲疾行度月行于天之數此所推定限行度乃月行距日之數即日月兩行之較也假如一限内月行一度日亦行八分二十秒則月行之多于日行為九十一分八十秒推日出入半晝分法視有食之朔下是盈厯者大餘若干用立成内冬至後相同積日下日出入半晝分全錄之是縮厯者大餘若干用立成内夏至後相同積日下日出入半晝分全錄之按日出入者所以定帶食也以全晝之分半之為半晝分所以定午也只用經朔盈縮厯不加減者所差半日而極無甚差數也推嵗前冬至天正赤道宿次度分法置嵗差一分五十秒(定二子)為實以所距積年減一算(十定)(一百定二)為法乘之(言十定一)得數(定有四子為度)置箕宿十度相減餘為赤道箕宿度分也按嵗差者日行黄道之度所毎嵗遷徙不常者也堯時冬至在虚一度至元冬至在箕十度漸差而西也嵗差一分五十秒者凡六十六年有八月而差一度也原至元冬至在箕十度至今所求年又差幾度故以距算乘嵗差而得所差之數以減箕宿十度便知退在箕宿幾度也嵗差之度自東而西其數為退故用減也推嵗前冬至天正黄道宿次度分法置所推赤道度分内減去黄道立成相同積度下第三格積度全分餘(有十定三子有分定二子十秒定一子)為實以同度下第四格度率為法除之(不去子只不滿法去一子)得數(定有三子為十分二子為單分一子)(為十秒于十分前一位加積度)加入同度第一格積度得為天正黄道箕宿度分也按此以箕宿赤道度變黄道也欲明其交變之理當先知渾天之形盖天體渾員而赤道紘帶天腰其南北極皆等赤道度匀分如𤓰瓣離赤道逺則其度漸斂漸狹以會於兩極若黄道之度雖亦匀分然半出赤道之外半在赤道之内與赤道有平斜之别若自兩極作經度縱剖赤道必過黄道則有時赤道一度當黄道一度有竒以黄道度斜也(二分黄道斜穿赤道而過故赤道平)(而黄道斜)有時赤道一度當黄道則不及一度以赤道度小也(二至黄道所經離赤道二十四度弱在赤道度則已為𤓰瓣漸斂之時其度瘦小故不能當黄)(道之一度)古諸家厯法各有黄赤變率惟授時依割員句股之法剖渾度為之于古為密也黄赤立成起二至畢二分起二分畢二至並于一象限内互相乘除各有定率(詳第三卷)箕宿近冬至故用至後立成立成第四格赤道度率也第二格所變黄道度率也凡至後赤道一度零若干分始可當黄道一度也(以赤)(道小度當黄道之平度則一度不能當一度必加零分始可相當)第三格赤道積度也第一格所變黄道積度也凡至後赤道幾度幾十幾分始可當黄道幾度也嵗差之法毎年冬至西移則冬至所在宿毎年之距度不同(如至元辛巳冬至在箕十度則箕初距冬至亦十度今康熙壬寅冬至退至四度竒則箕)(初距冬至亦只四度竒)故必毎年變之始為凖的(如康熙壬寅箕宿赤道距)(冬至四度竒以變黄道則不足四度冬至愈退則距度愈近而毎度之加率愈多)今以所推箕宿赤道度分(是從本年天正冬至逆數至箕宿初度)與第二格積度相減其滿積度數即變成黄道積度(第三格赤)(道積度俱帶零分第一格黄道積度並為整度以此相變是以帶零分之赤道幾度變為無零分之黄道)(幾度也)其減不盡者以第四格赤道度率為法除之則此赤道零分亦變為黄道零分(所變零分必少于赤道零分)乃以所變零分倂入所變積度為箕宿初度距冬至之黄道度即知天正黄道實躔箕宿若干度分也以異乘同除之理言之赤道一度零幾分於黄道為一度今有赤道零分若干於黄道亦當為零分若干法當置赤道零分以黄道度率乘之為實赤道度率為法除之得數為所變黄道零分今因黄道率是一度乘訖數不動故省不乘而只用除是㨗法也(惟其省乘)(故除亦不去子惟不滿法去一子盖不去子則實位暗陞與乘過之得數無兩)黄道立成黄積度(加此) 度率(此乘黄道) 赤積度(減此) 度率(此除黄道)初度 一度 初度○○○○ 一度○八六五一度 一度 一度○八六五 一度○八六五二度 一度 二度一七二八 一度○八六○三度 一度 三度二五八八 一度○八七五四度 一度 四度二四四五 一度○八四九五度 一度 五度四二九四 一度○八四三六度 一度 六度五一三七 一度○八三三七度 一度 七度五九七○ 一度○八二三八度 一度 八度六七九三 一度○八一二九度 一度 九度七六○五 一度○八○一十度 一度 十度八四○六 一度○七八六按黄赤道交變立成原有九十一度今只用十度者以箕宿只十度也(若再過二三百年嵗差於箕度退完交入㞑度則立成數宜用二十)(度)箕宿度在冬至前而今用至後立成者赤道變黄道之率至前與至後本同一法故可通用也(至後是從冬至)(順數至前是從冬至逆溯其距冬至度同則赤黄之變卛不異)大致與縮末盈初二限共一加分積度者同理近乃有名家撰述輒譏此條為錯用立成是未嘗深思而得其意也推交常度法置有交食之入交汎日全分(十日定五子單日定四子空日定三子空千定二子)(空百定一子空十不定子)以月平行一十三度三六八七五(定一)為法乘之(言十定一乘過定有四子為單度五子為十度六子為百度)即得所推交常度分也按交常度者經朔太陽躔度距黄道白道相交之度也推交定度法置所推交常度全分内盈加縮減其朔下盈縮差度分為交定度分如遇交常度數少不及減縮差者加交終度三百六十三度七九三四一九減之餘為交定度分也遇滿交終度去之按交定度者定朔太陽所在距黄道白道相交之度也闇虛為日對度故只用太陽盈縮差加減之也如遇交常度數少不及減縮差者是以常數言之雖已在交後計日行盈縮則仍在交前故加入交終度減之即仍作交前算也推日食在正交中交度視交定度分如在七度已下三百四十二度已上者為食在正交如在一百七十五度已上二百○二度已下者為食在中交按正交者月自隂厯入陽厯交之始也中交者月自陽厯復入隂厯交之中也交終之度于此始即于此終故為正交也交中之度于此適半故為中交也七度已下三百四十二度已上者正交食限陽厯距交初七度隂厯距交終二十一度而止也一百七十五度者陽厯距交中亦七度而止為食限二百○二度者隂厯距交中亦二十一度而止為食限也推中前中後分法視定朔小餘如在半日周五千分已下者就置五千分内減去定朔小餘而餘為中前分也如在半日周已上者就于定朔小餘内減去半日周餘為中後分也按中前是從午逆推前所距分也故以小餘減半日周中後是從午順求後所距分也故以半日周減小餘順數逆推皆自午正起算也推時差分法置半日周内減去所推或中前或中後分餘(千定三百定二)為實復以中前或中後(千三百二定之)為法乘之(言十定一)得數又以九十六分(去三子子按九十六分宜去一子今去三 者經所謂退二位也)為法除之(不滿法去一子除過定有二子為百分一子為十分)得為時差分也中前為減差中後為加差按時差分者食甚之時刻有進退于定朔者也盖經朔本有一定之期既以月遲疾日盈縮加減之為定朔矣而猶有差者則以合朔加時有中前中後之不同也其所以不同者何也大約日在外月在内故能掩之人又在月内故見其掩而有食當其正相當一度謂之食甚如其合朔午正則以人當月以月當日相當繩直故無所差若在午前以至于夘則漸差而早假如定朔夘正一刻日月合在一度是日月合朔本等時刻也人自地上觀之則不待其月之至於此度也當其夘初初刻月未及日一度時已見其合於日是差而早六刻有竒也若在午後以至于酉則漸差而遲假如定朔酉正一刻日月合在一度是日月合朔本等時刻也人自地上觀之則月雖已至此度尚未見其合也直至戌初一刻月行過於日將一度時始見其合于日是差而遲六刻有竒也其自夘而辰而已所差漸少至午正則復于無差也其自午而未而申積差以漸而多至酉則差而極於六刻有竒也盖天體至圓其行至徤運乎四虛地在其中為氣所團結而不散若卵之有黄夫卵既圓矣黄安得獨方故地之方者其徳其體則必不正方如碁局也夫日月並附天行而月在日下當其合時去日尚不知有幾許人自地上左右窺之與天心所見不同故日月平合在夘酉皆不能見所見食甚日稍在下月稍在上斜弦所當差近一度在月平行為六百餘分惟午則自下仰觀所見正當繩直與在左右旁視者異故無差也昔人常云人能凌倒景以瞰日月則晦月之表光應如望吾亦云使人能逐景而行與日相偕則舉頭所見常如在午又使地如琉璃光人居其最中央旋而觀日八面皆平時差之法可以不設矣是其所差不問盈縮遲疾而只在本日之加時故曰時差推食甚定分法視時差分如是中前分推得者置定朔小餘内減去時差分餘為食甚定分也如是中後分推得者置定朔小餘内加入時差分共得為食甚定分也滿日周去之至入盈縮度再加之按食甚食而甚也食甚分是自虧至復之中日月正相當于一度之時刻也中前減小餘者差而早也中後加小餘者差而遲也若夜刻不算者恐無滿日周去之之理末二句疑有誤推距午定分法置所推中前或中後分内加入時差分共得為距午定分也按距午定分是食甚時刻距午正之數也食甚以時差加減距午則不減只加者盖食甚原是順故有加減距午分則一自午順推一自午逆溯總是差而漸逺于午正故也推食甚入盈縮定度法置前推或盈厯或縮厯初末全分加入定朔大餘及食甚定分内減去經朔全分餘為食甚入盈縮厯定度分也按原推盈縮厯是經朔下者故以定朔大餘及食甚分加之減去經朔全分如以經朔大小餘加減作食甚大小餘故即得食甚所入盈縮厯數也推食甚入盈縮差度法置所推食甚盈厯或縮厯全分減去大餘依朔下盈縮差法推入得食甚入盈縮差度分也如遇末限亦用反減半嵗周之數(數止秒)按食甚盈縮厯既異經朔則其所積盈縮之差亦不同故復求也推食甚入盈縮厯行定度法置食甚入盈縮厯全分以萬為度内盈加縮減其所推食甚入盈縮差得為食甚入盈縮厯行定度分也(末限不用)(數止秒)按凡盈厯若干日即是常數日行距冬至宿之度數也凡縮厯若干日即是常數日行距夏至宿之度數也以其差加減之即得所推食甚日躔距二至宿之度數也凡用末限者所以紀其差是逆從二至推至二分其差整齊易知也今不用末限者所以積其度是順從冬至數至夏至從夏至數至冬至也推南北泛差度法視所推食甚入盈縮厯行定度如在周天象限九十一度三一四三七五已下者為初限也如在已上者置半嵗周内減去行定度餘為末限也或得初限或得末限俱自相乘之(初末限者十度上下各定三子單度各定二子言十各定一子)得數以一千八百七十度(去三子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十)(分四按上下各定二子則 子矣故四子為度)復置四度四十六分(按四度四十六分者)(即周天象限自乘復以一千八百七十度除之者)内減去得數餘為南北汎差度分也推南北定差度法置所推南北泛差全分(度定四子十分定三)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)為法乘之(言十定一)得數復以其所錄半晝分(去二子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十分)仍置泛差減其得數餘為南北定差也若遇泛差數少不及減者反減之而得也 又視其盈縮厯及所推正交中交限度如是盈初縮末者食在正交為減差中交為加差也如是縮初盈末者食在正交為加差中交為減差也若遇反減泛差者應加作減應減作加不可忽畧也按南北差者古人所謂氣差也易之曰南北所以著其差之理也盖日行盈初縮末限則在赤道南其逺於赤道也至二十三度九十分日行縮初盈末限則在赤道北其逺于赤道也亦二十三度九十分日之行天在月之上而髙故月道與黄道相交之度有此差數以南北而殊也假如盈初縮末限一日空日間日行赤道外極南去人極逺去地益近日道所髙於月道之中間人皆从南觀之易得而見故月道之出黄道而南也較常期(所謂常期皆南北東西差折中之數即所定大都正交度中交度也)早四度有竒其入黄道而北也較常期遲四度有竒由是以漸而至于盈初縮末八十八日行天漸滿一象限之時黄道之在赤道南者去赤道以漸而近去地之數以漸而逺其日髙月下相去之數人所从旁見者以漸而少故其所差四度有竒以漸而殺也又如縮初盈末限一日空日間日行赤道内極北去人益近去地極逺日道所髙於月道之中間人仰面視之難得而見故月道之出黄道南而為正交也較常期遲四度有竒其入黄道北而為中交也較常期早四度有竒由是以漸而至于縮初盈末九十三日行天漸滿一象限之時黄道之在赤道北者去赤道以漸而近去地之數亦以漸而近其日髙月下相懸之數人所從旁見者又以漸而多故其所差四度有竒亦以漸而殺也四度四十六分者據其極差者言也以得數減之便是今所有差也然此皆據午地而言故以距午分乘之以半晝分除之便知今距午之地應分得差數凡幾許而今已距午幾許則此所有之差已不可用故以減原得汎差數而知其尚餘幾許之差為定差也盖于天則冬至夏至之黄道為南北于地則加時在正子午為南北今汎差之數近二至則多近二分則少是以天之南北而差也定差之數近午正則多近日出沒時刻則少是以加時之南北而差也故曰南北差 月自黄道北出黄道南謂之正交即經所謂交前隂厯交後陽厯也月自黄道南入黄道北謂之中交即經所謂交後隂厯交前陽厯也 其南北泛差不及減反減者此帶食出入方有之何也此必是食甚定分在日入分已上或日出分已下則其距午定分多于半晝分故乘除後得數亦多於泛差也不則以多除以少乘其數且不能泛差相等况能多于泛差乎愚故斷其為帶食也泛差數少不及減是距午定分已過于半晝是在夜刻故反算其距子之數夫距子與距午其盈縮南北逺近幷旁視仰視之理正相反故加者減之減者加之以為定差也推東西泛差度法置所推食甚入盈縮厯行定度就為初限也去減半嵗周餘為末限也以初末二限互相乘之(百度定四子十度定三子言十)(定一是也)得數復以一千八百七十度(去三子)為法除之(不滿法去)(一子除過定有四子為度三子為十分)即得所推東西泛差也推東西定差度法置所推東西泛差全分(度定四子千定三子)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)為法乘之(言十定一)得數以二千五百度(去三子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十分)視所推如在東西泛差已下者就為東西定差度分也如在已上者倍其泛差内減去得數餘為東西定差度分也 又視其盈縮厯及中前中後分與正交中交限度若是盈厯中前縮厯中後者正交為減差中交為加差也若是盈厯中後縮厯中前者正交為加差中交為減差也按東西差即古所謂刻差也易其名曰東西者其差只在東西也于天則近二分之黄道為東西于地則近卯酉之時刻為東西盖日行在二至前後其勢平直日行在二分前後則其黄道與赤道縱横相交其勢斜徑當其斜徑加時又在卯酉則有差也假如春分日在盈厯九十餘度其黄道之交于赤道自南而北勢甚斜徑若加時中前則是赤道倚而黄道横也加時中後則是赤道倚而黄道縱也又如秋分日在縮厯九十餘度其黄道之交於赤道自北而南勢甚斜徑若加時中前則是赤道倚而黄道縱與盈厯中後仝也加時中後則是赤道倚而黄道横與盈厯中前仝也黄道縱立於夘酉月道之出入亦從而縱正面視之繩直相當其日内月外相去之中間人所見者少意與南北差縮初盈末正在人頂者同也故月道之出黄道南而為正交也較常期遲四度有竒其入黄道北而為中交也較常期早四度有竒此盈厯中後縮厯中前皆于正交以差加中交以差減也黄道横偃于夘酉月道之出入亦從而横人在赤道之北斜而望之其日内月外相去之中間皆得而見意與南北差盈初縮末横偃南上漸近于地者同也故月道之出黄道南而為正交也較常期早四度有竒其入黄道北而為中交也較常期遲四度有竒此盈厯中前縮厯中後皆于正交以差減中交以差加也若盈縮厯當二分加時又在卯酉則其差之極四度有竒迨至二分前後黄道之斜徑以漸而平故其差亦以漸而少由是而至于二至黄道之斜徑依平而差亦復于平故曰二至無刻差也若加時不在夘酉則雖二分之黄道其差却與他氣不殊盖其斜徑之勢亦以漸而平故也假如二分加時辰巳之間其定差則正與四立泛差等漸而至于午中則其差亦漸而復于平是其所差只在東西故曰東西差 凡東西泛差近二分多是以天之東西而差也其定差以加時夘酉而多是以地之東西而差也以距午分乘之者距夘酉之數也以二千五百除之者日周四分之一乃夘酉距午之數也盖此所為泛差乃距午二千五百分時所有之差也乘除後得數若多于泛差是食甚距午分其數亦多于日周四分之一其加時乃在夘前酉後也夘前酉後之差于正夘酉者其數正與夘後酉前等故倍泛差減得數即為定差也凡差于南北者復于東西差于東西者復于南北幷二差加減數總無過四度四十六分以是為交度進退之極也盖原所謂正交中交限各損隂厯六度餘為陽厯者乃是據中國地勢所差於南戴赤道之下者言人在北道之北故所見黄道交處皆差而近北六度餘此常數也若黄道在冬至横于南上去人益逺故其交處差而北者又四度餘而極是共差十度餘矣若黄道在夏至去人反近正在中國人頂故其交處原差而北者乃復而南亦四度餘而極是只差一度餘矣此南北差之理據午上言也若移而至日出入時則其横于南上者已斜縱于夘酉其正當人頂者已横斜于夘酉所見差度以漸而平如常數故南北差近午多近日出沒則少也若黄道在春分而加時夘黄道在秋分而加時酉其勢皆横偃于東西而與地相依故其交處益差而北又四度餘而極是亦共差十度餘矣若黄道在春分而加時酉黄道在秋分而加時夘其勢皆縱立于東西而與人相當故其交處原差而北者亦皆復而南四度餘而極是亦只差一度餘矣此東西泛差之理據夘酉而言也若移而至午則其横偃于夘酉者反斜縱于午上其縱立于夘酉者反横斜于午上所見差度自以漸而平如常數故東西差近夘酉多近午則少也假使人能正當赤道之下則兩極平見相望子正赤道平分界乎夘酉則凡正交只在交終中交則在交中其氣刻之差減正交加中交者則差而北其加正交減中交者則差而南當亦各四度有竒也今中國地勢則正在赤道之北故所見赤道皆斜倚于人之南其所見正交中交度常數亦皆因其赤道之斜倚者而斷惟其黄道交在四立之宿加時在巽坤之維則黄道之勢正自斜倚適如赤道之理而南北東西之差皆少與常數相依若黄道横則其勢赤道加偃故正交中交之度益差而北若黄道縱則其勢視赤道反直幾有類于南戴日下之赤道故正交中交之度雖曰復差而南其實乃復于無差也凡縮初盈末而加時午盈厯而加時中後縮厯而加時中前皆黄道縱之類也其縮初盈末當午雖横在天心然東西視之則亦縱也凡盈初縮末而加時午盈厯而加時中前縮厯而加時中後皆黄道横之類也其冬夏至黄道當日出入其二分黄道當午皆黄道斜倚之類也推日食在正交中交定限度視所推日食在正交中交限度如食在正交者置正交度三百五十七度六十四分在中交者置中交度一百八十八度○五分俱以所推南北東西定差是加者加之減者減之即為所推正交中交定限度分也按正交本在交終三百六十三度七十九分今曰三百五十七度六十四分者于隂厯本數内損六度餘為陽厯也中交本在交中一百八十一度八十九分今曰一百八十八度五分者于陽厯本數外増六度餘侵入隂厯也盖黄道于月道如大環包小環月在日内中間相去空隙猶多人在月内稍北日月交其南人自北斜望得見其間空隙故其交處皆差而北也惟其交處差而北故其交而南也早六度其交而北也遲六度此據地勢為言在授時立法原在大都若迤而漸南至于戴日之下所差漸平迤而向北差當益大當亦必有各方差數而不可攷矣 又按此正交中交度増損六度者只是地勢使然已為常數其因時而差者又有南北東西二差于是復以加之減之而後乃今所推正交中交之度可得而定而後乃今交前交後隂陽厯可得而定矣推日食入隂陽厯去交前交後度法視所推交定度若在正交定限度已下者就于定限度内減去交定度餘為隂厯交前度也若在正交定限度已上者于交定度内減去正交定限度餘為陽厯交後度也又視其交定度若在中交定限度已下者就于定限度内減去交定度餘爲陽厯交前度也若在中交定限度已上者於交定度内減去中交定限度餘爲陰厯交後度也 按若交定度在七度以下者數雖在正交定限度下而實則爲陽厯交後度也法當置交定度加入交終度復減去正交定限度餘爲陽厯交後度也(勿庵補)按凡交定度在正交後中交前者陽厯也其在正交前中交後者陰厯也若以東西南北差定之而正交度有加中交度有減者是陽厯變爲陰厯也其正交度有減中交度有加者是陰厯變爲陽歷也正交陽變陰中交陰變陽是交後變爲交前也正交陰變陽中交陽變陰是交前變爲交後也故必以所推正交中交定限度爲則與交定度相較而得合朔日躔距交前後的數也凡以交定度去減正交中交定限度者爲交前是逆從交處數來也其于交定度内減去正交中交定限度者爲交後是順從交處數去也 又按交定度在七度以下食在正交也若以減正交定限度其所餘當在三百五十度内外爲陰厯交前度也勿菴曰非也若然則凡正交七度已下者永不入食限不必布算矣况所謂隂陽厯者自正交中交而斷(正交後為陽中交後為隂)所謂交前後者皆附近正交中交前後而斷(正交後為陽厯交後正交前為隂厯交前中交後為隂厯交後中交前為)(陽厯交前)交終度分為隂陽厯隂陽厯又各分前後安得有隂厯交前度乃多至三百五十餘度者乎此必無之理亦必不可通之數也然則何以通之曰有法焉凡交定度在七度已下是其數不特在正交度下幷在中交度下也然而又與中交數逺幷亦不得減中交為交前也夫在中交數下是陽厯非隂厯也不在交前是交後也夫陽厯交後度法當置交定度内減去正交定限度而此交定度數少不及減故必加入交終度而後可以減之也如入交終度減之則陽厯交後之度復其本位也則凡距交七度已下者皆得入陽食之限也然則厯經何以不云通軌何以闕載也曰是偶爾之遺也或姑略之以俟人之變通也或傳之乆而失其真原有闕文也夫夏五𫝊疑三豕徴信各行其是而已為其恐誤後學也故訂之推日食分秒法視日食入隂陽厯交前交後度是隂者置隂食限八度是陽者置陽食限六度皆減去隂厯或陽厯交前交後度餘(度定四十定三)為實各以其定法是隂者置八十分陽者置六十分(去一)為法約之(不滿法去一子所定有二子為單分一子為十秒)即得所推日食分秒也如隂陽食限不及減交前交後度者皆為不食也按隂食限八度者隂厯距交八度内有食也陽食限六度者陽厯距交六度内有食也凡合朔若正當交度其食十分漸離其處食分漸少假如陽厯距交一度二十分則于食十分内減二分只食八分也又如隂厯初交二度四十分則于食十分内減三分只食七分也故各置隂陽食限以距交前後度減之即是于食十分内減去若干分秒也其減不盡者則正是今所推合食之數故各以定法除之而得也凡隂陽定法皆十分食限之一也如食限不及減為不食者是距交前後之度多于隂陽食限其去交甚逺不能相掩斷為不食也推日食定用分法置日食分二十分内減去推得日食分秒餘(十分定三單分定二)為實即以日食分秒(單分定二)為法乘之(言十定一所定有六子為百分五子)(為十分)即為所推開方積也立天元一于單微之下依平方法開之得為開方數(有十定一)復以五千七百四十分(定五)為法乘開方數(言十定一)得數又以所推定限行度(去四子空度去)(三子)為法除之(不滿法去一子所定有二子為百分一子為十分)即為所推定用分也按定用分者日食虧初復末中距食甚所定用之時刻也凡日食若干分則其所經厯凡有若干刻食分深者厯時乆以月所行之白道長也食分淺者厯時暫以月所行之白道短也今所求開方之數即自虧至甚或自甚至復月行白道之率也日食只十分今用二十分者何也日月各徑十分其半徑五分凡兩員相切則兩半徑聮為一直線正得十分為兩心之距以此兩心之距為半徑從太陽心為心運規作大圓其外周各距日之邊五分為日月相切時太隂心所到之界其大圓全徑正得二十分也以日食分秒相減相乘何也此句股術中弦較求股法也依前所論初虧時兩圓相切其兩心之距十分此大圓之半徑常為句股之弦食甚時兩心之距如句而太隂心侵入大圓邊之數如句弦較自虧至甚太隂心所行白道如股而太隂心侵入大圓邊之數與食分正同盖月邊掩日一分則月心亦移進一分也故即以日食分秒為句弦較與大圓全徑二十分相減其餘即為句弦和和較相乘為開方積即股實也其開方數即股亦即自虧至甚月心所行之白道矣其自食甚至復光理同五千七百四十分乘者何也先求日食分秒及句股開方等率皆就日體分為十分其實日體不滿一度大約為十之七耳五千七百四十者七因八百二十也月行一限得八百二十分其十之七則五百七十四分矣故以五百七十四分乘開方為實以定限行度除之為定用分之時刻也以異乘同除之理言之月行定限行度厯時八百二十分則月行虧至甚之白道(即開方數)該厯時有若干分然此所得開方數於度分為十之七法當置開方數七因退位(如有十分只作七分)然後乘除今開方數不動而七因八百二十為五千七百四十得數亦同(即算術中異乘同乘之用)開方數之分是度下一位宜定三子七因八百二十而退位實為五百七十四宜定二子今開方數不定子故於五千七百四十加交三子為五子其乘除後定數同也初虧時兩心之距為弦(即大員二十分半徑) 食甚時兩心之距為句食甚時月心侵入限内三分為句弦較自虧至甚月心所行白道為股(甚至復亦同) 此以月在陽厯日食三分為例餘可倣推推初虧復圓分法置所推食甚定分内減去定用分為初虧分不及減加日周(一萬)減之復置食甚定分如入定用分為復圓分滿日周去之時刻依合朔法推之按食甚者食之甚食之中也日月正相當于一度也初虧者虧之初食之始也月始進而掩日也復圓者復于圓食之終也月已掩日而退畢也凡言分者皆時刻也盖初虧在食甚前幾刻故減小餘復圓在食甚後幾刻故加小餘初虧距食甚時刻正與食甚距復圓數等故皆以定用分加減之也月食倣此 又按據加日周減滿日周去二語定用分當不止此數也推日食起復方位法視所推日食入隂陽厯如是陽厯者初起西南甚于正南復圓於東南也如是隂厯者初起西北甚于正北復圓于東北也若食在八分以上者無論隂陽厯皆初起正西復圓于正東也按日食起復方位主日體言之即人所見日之左右上下也以午位言則左為東右為西上為北下為南也日食入隂陽厯者主月道言之月在日道南為陽厯月在日道北為隂厯也如是陽厯食是月在日南掩而過故食起西南甚于正南復于東南也如是隂厯食是月在日北掩而過故食起西北甚于正北復于東北也其食在八分已上者是月與日相當一度正相掩而過故食起正西復于正東其食甚時正相掩覆而無南北不言可知也凡日月行天並自西而東日速月遲其有食也皆日先在東月自西追而及之既相及矣則又行而過于日出于日東故日食虧初皆在西復末皆在東也 又按厯經云此所定起復方位皆自午地言之其餘處則更當臨時消息也推帶食分法視朔下盈縮厯與太陽立成同日之日出入分如在初虧分已上食甚分(按食甚當作復圓)已下為帶食之分也若是食在晨刻者置日出分昏刻者置日入分皆與食甚分相減餘為帶食差也置帶食差(百定六十定五)以所推日食分秒(十定五單定四)為法乘之(言十定一)得數復以所推定用分(百去六子)為法除之(不滿法去一子所定有五子為十分四子為單分三子為十秒)得數去減所推日食分秒餘上下兩處皆為帶食已見未見之分也按帶食分者日出入時所見食分進退之數也假如日出分在初虧分已上是初虧在日未出前但見食甚不見虧初也日入分在初虧已上是食甚在日入後但見虧初不見食甚也又如日出分在復圓分已下是食甚在日未出前不見食甚但見復末也日入分在復圓分已下是復圓在日入後不見復末但見食甚也見食甚不見虧初是食在未出已有若干尚有見食若干帶之而出其食為進也見初虧不見食甚是食在未入見有若干尚有不見食若干帶之而入其食亦為進也不見食甚但見復末是食在未出前已復若干尚有見復光若干帶之而出甚食為退也不見復末但見食甚是食在未入前見復若干尚有未復光若干帶之而入其食亦為退也凡此日出入所帶進退分秒何以知之則視其帶食而出為晨刻者置日出分其帶食而入為昏刻者置日入分皆以食甚分與之相減而得帶食之差也假如日出分在初虧分已上其食甚分又在日出分已上則以日岀分減其食甚分其減不盡者則是日出已後距食甚之時刻也若日入分在初虧分已上其食甚分又在日入分已上則以日入分減其食甚分其減不盡者則是日入已後距食甚之時刻也又如日出分在復圓分已下其食甚分又在日出分已下則于日出分内減去食甚分其減不盡者則是日出已前距食甚之時刻也若日入分在復圓分已下其食甚分又在日入分已下則于日入分内減去食甚分其減不盡者則是日入已前距食甚之時刻也凡此帶食差分用乘日食分秒又以定用分除之便知日出入時所距食甚時刻在定用分全數内占得幾許即知日出入時所帶食分于日食分秒全數内占得幾許也以其數減食分所餘分秒即是日出入前距虧初已過食分或日出入後距復末未見食分也上下兩處者得數與減餘兩處之數已見未見之分即已復未復已食未食如後二條所列也日有帶食例置日出入分内減去食甚分謂之已復光未復光將所推帶食分錄于前晨(日未出已復光若干日已出見復光若干) 昏(日未入見復光若干日已入未復光若干)置食甚分内減去日出入分謂之見食不見食將所推帶食分錄于後晨(日未出已食若干日已出見食若干) 昏(日未入見食若干干日已入不見食若)按置日出入分内減去食甚分者其日出入分皆在復圓分已下也故謂之已復光未復光假如日食甚五分在日出入前其帶食三分以之相減尚餘二分若在晨刻是日未出前已復光三分日已出後見復光二分也若在昏刻是日未入前見復光三分日已入後未復光二分也此二端帶食分皆是已復光數故錄于前也其以帶食分減之而餘者則是未復光數故錄于帶食之後也置食甚分内減去日出入分者其日出入分皆在初虧分已上也故謂之見食不見食假如日食甚五分在日出入後其帶食三分以之相減尚餘二分若在晨刻是日未出前已食二分日已出後見食三分也若在昏刻是日未入前見食二分日已入後不見食三分也此二端帶食分皆是未食數故錄于後也其以帶食分減之而餘者則是已食數故錄于帶食之前也月食倣此但以日之昏為月之晨以日之晨為月之昏盖日出于晨入于昏月出于昏入于晨也其餘並同推黄道定積度法置所推食甚入盈縮厯行定度如是盈厯者内加入天正黄道箕宿度共得為黄道定積度也如是縮厯者内加入半嵗周及天正箕宿黄道度共得為黄道定積度也按黄道定積度者逆計食甚日躔度距天正冬至日躔宿度積數也盈厯加入天正黄道箕度者是逆從天正冬至所躔宿初度積算起也縮厯復加半嵗周者縮厯本數是從夏至度起算今加入半嵗周又加入天正箕宿度是變而如盈厯亦從天正冬至箕宿初度起算也所得定積度即是今所躔宿度與箕宿初度相距逺近之數也推食甚日距黄道宿次度法置所推黄道定積度無論盈縮厯皆以黄道各宿次積度鈐挨及減之餘為食甚日躔黄道某宿次度分也按所推黄道定積度無問盈縮皆是今食甚躔度前距箕宿初度之積數也然尚未知其為黄道何宿度也故以黄道各宿積度鈐取其相挨及者減之其減去者是今積度内已滿其宿之度日躔已過此宿斷為前宿也其不及減而餘者則是前宿算外所餘度分也是日躔正在此宿中未過故其積度亦未滿當即以所減算外之度分斷為食甚日躔某宿幾度幾分也假如食甚定積十度則以箕宿積度九度五九減之餘○度四十一分為箕宿算外餘數斷為食甚日躔黄道斗宿初度四十一分也餘倣此黄道各宿次積度鈐箕九度(五九) 斗三十三度(○六) 牛三十九度(九六)女五十一度(○八) 虛六十○度(○八太) 危七十六度(○三太)室九十四度(三五太) 壁一百○三度(六九太)奎一百廿一度(五六太)婁一百三十三度(九二太)胃一百四九度(七三太)昴一百六十度(八一太)畢一百七七度(三一太)觜一百七七度(三六太)參一百八七度(六四太)井二百十八度(六七太)鬼二百廿○度(七八太)栁二百三十三度(七八太)星二百四十度(○九太)張二百五七度(八八太)翼二百七七度(九七太)軫二百九六度(七二太)角三百○九度(五九太)亢三百十九度(一五太)氐三百三十五度(五五太)房三百四一度(○三太)心三百四七度(三○太)尾三百六五度(二五太)按黄道積度鈐皆自箕初度積至其宿垜積之數也假如日躔斗二十三度四七加入箕宿九度五九則已共積得三十三度○六也又如日躔牛六度九十分如入斗二十三度四七又如入箕九度五九共積得三十九度九六也餘倣此 又按凡言鈐者皆豫將所算之數幷其已前之數垜積而成以便臨算取用意同立成也雖然黄道不可以立鈐算者當知黄道度之所由生則可以斷其是非矣盖黄道積度生于其宿黄道度各宿黄道度皆生于赤道赤道三百六十五度二五七五黄道亦三百六十五度二五七五而其各宿度數不同者則以二至二分所躔不同也赤道近二至則其變黄道度也損而少赤道近二分則其變黄道度也益而多盖赤道平分天腹適當二極之中所紀之度終古不易黄道不然其冬至則近南極在赤道外二十三度九十分其夏至則近北極在赤道内亦二十三度九十分其自南而北自赤道外而入于其内也則交于春分之宿其自北而南自赤道内而出于其外也則交于秋分之宿交則斜以斜較平視赤道之度必多此處既多則二至黄道視赤道之數必少理勢然也(二至赤道以斂小之度當黄道大度已詳天正)(箕宿註)黄道之損益既係于分至分至既以嵗而差黄道積度是必毎嵗不同古人則既言之矣此所載者猶據授時厯經所測黄道之度乃至元辛巳一年之數也上考下求數十年間則皆有所不合况距今三百八十餘算積差尤多安得海制此鈐以盡古今之無窮乎今仍以授時厯經黄赤道差法求得天啟辛酉年黄道積度如左依授時厯經求得天啟辛酉年黄道積度天正冬至赤道箕宿四度九○赤道四象積度箕五度(五) 斗三十○度(七) 牛三十七度(九)女四十九度(二五) 虛五十八度(二○太) 危七十三度(六○太)室九十○度(七○太) 壁九十一度(三一四三太)右冬至後一象之度壁七度(九九三一少) 奎二十四度(五九三一少)婁三十六度(三九三一少)胃五十一度(九九三一少)昴六十三度(二九三一少)畢八十○度(六九三一少)觜八十○度(七四三一少)參九十一度(三一四三太)右春分後一象之度參初度(五二八太) 井三十三度(八二八太) 鬼三十六度(○二八太)栁四十九度(三二八太) 星五十五度(六二八太) 張七十二度(八七八太)翼九十一度(三一四三太)右夏至後一象之度翼初度(三一四三太) 軫一十七度(六一四三太)角二十九度(七一四三太)亢三十八度(九一四三太)氐五十五度(二一四三太)房六十○度(八一四三太)心六十七度(三一四三太)尾八十六度(四一四三太)箕九十一度(三一四三太)右秋分後一象之度黄道積度箕五度(○七) 斗二十八度(七一) 牛三十五度(六九)女四十六度(九五) 虛五十六度(○六太) 危七十二度(二○太)室九十○度(六五太) 壁九十九度(九八太) 奎一百十七度(七一太)婁一百二十九度(九三太)胃一百四五度(五四太)昴一百五六度(四八太)畢一百七二度(八二太)觜一百七二度(八七太)參一百八三度(一一太)井二百十四度(三五太)鬼二百十六度(四八太)栁二百二十九度(六五太)星二百三十六度(○四太)張二百五四度(○五太)翼二百七四度(二八大)軫二百九二度(九五太)角三百○五度(六八太)亢三百十五度(一二太)氐三百三十一度(三二太)房三百三十六度(七三太)心三百四二度(九三太)尾三百六十度(七四太)箕三百六五度(二五太)天正冬至黄道箕宿四度五一二○黄道各宿度角十二度(七三)亢○九度(四四)氐十六度(二) 房○五度(四一)心○六度(二) 尾十七度(八一)箕○九度(五八)右東方七宿七十七度三十七分斗二十三度(六四)牛○六度(九八)女十一度(二六)虛○九度(一太)危十六度(一四)室十八度(四五)壁○九度(三三)右北方七宿九十四度九十一分太奎十七度(七三)婁十二度(二二)胃十五度(六一)昴一十度(九四)畢十六度(三四)觜 初度(○五)參一十度(二四)右西方七宿八十三度一十三分井三十一度(二四)鬼○二度(一三)栁十三度(一七)星○六度(三九)張十八度(○一)翼二十度(二三)軫十八度(六七)右南方七宿一百○九度八十四度黄道各宿次積度鈐箕九度(五八) 斗三十三度(二二) 牛四十○度(二)女五十一度(四六) 虛六十○度(五七太) 危七十六度(七一太)室九十五度(一六太) 壁一百○四度(四九太)奎一百二十二度(二二太)婁一百三十四度(四四太)胃一百五十度(○五太)昴一百六十度(九九太)畢一百七七度(三三太)觜一百七七度(三八太)參一百八七度(六二太)井二百十八度(八六太)鬼二百二十度(九九太)栁二百三十四度(一六太)星二百四十度(五五太)張二百五八度(五六太)翼二百七八度(七九太)軫二百九七度(四六太)角三百一十度(一九太)亢三百十九度(六三大)氐三百三十五度(八二太)房三百四一度(二四太)心三百四七度(四四太)尾三百六五度(二五太)已上度鈐據天啟辛酉嵗差所在歩定俟嵗差移一度時再改歩之又按厯經有増周天加嵗差法因前所推俱依通軌故仍之厯算全書巻二十二
## 卷二十三
欽定四庫全書厯算全書卷二十三宣城梅文鼎撰厯學騈枝卷三月食通軌録各有食之望下數經望全分 盈縮厯全分 盈縮差全分遲疾厯全分 遲疾限數 遲疾差全分加減差全分 定望全分(将本日日出分推在卯時何刻望在何刻已下者退一日)(也只説見定朔望條夘時舉例言也按其定望退一日 據小餘在日出分已下斷之并不必求時刻)入交泛日全分 定入遲疾厯 定入遲疾限(此限)(與前仝者便不必書出損益分并行度○按此處損益分不言何用似總不必書出)定限行度 晨分(月入之時刻也先于復圓有帶食)日出分日入分 昏分(月出之時刻也後于初虧有帶食)(按晨昏分所以定更㸃也其帶食分只用日出入分不用晨分葢晨昏日未出月則猶見昏前日已入月)(則已見也註誤)天正赤道度 天正黄道度 交常度 交定度已上諸法皆與日食同推夘酉前後分法視定望小餘如在二千五百分已下者就為夘前分若已上者去減半日周五千分為夘後分又如在七千五百分已下者内減去五千分為酉前分已上者去減日周一萬分為酉後分按凡夘酉前後分皆距子午言之夘前分是距子正後之分故即以小餘定之夘後分是逆數午正前之距分故以小餘減半日周酉前分是順數午正後之距分故以半日周減小餘酉後分是逆數子正前之距分故以小餘減日周推時差分法置日周一萬内減去夘前夘後分或酉前酉後分(滿千分者)(命為十分滿百分者命為单分)為時差分推食甚定分法置所推時差分如入定望小餘共得為食甚定分按日食氣刻時三差皆起于唐宣明厯非月食所用後來諸厯或有用月食時差者皆于近夘酉則差多近子午則差少又皆子前減子後加今依通軌所推則近夘酉者差反少近子午者差反多又不問子前子後皆以加定望小餘而無減法種種與厯經相反竊依元史月食時差法定之如左依厯經求月食甚定分法置卯酉前後分(有千法實皆定三有百法實皆定二)自相乘(言十加定一子)退二位去二子如四百七十八而一(去二子不滿法去一子以所定二子為百分一)(子為十分)為時差子前以減子後以加皆加減定望分為食甚定分依發斂加時求之即食甚時刻按卯酉前後分即前所推卯前卯後分或酉前酉後分自相乘者如求南北差法即以所得卯酉前後分為法與實也凡卯酉前後分皆自子午起算以自相乘則近卯酉差多近子午差少矣退二位法同日食時差以得數後有百萬退作萬有十萬退作千而後除之也如四百七十八而一者是以四百七十八除之如四百七十八分為一分也子前減子後加者凡望時之月在日所衝故日在子前月乃在午前日食午前減故月食亦子前減也日在子後月乃在午後日食午後加故月食亦子後加也其差多者不過一百三十分有竒而止故以四百七十八為法除之也推食甚入盈縮厯及食甚入盈縮差併食甚入盈縮厯行定度三法俱與日食同只換望日推月食入隂陽厯法視所推交定度如在交中度一百八十一度八九六七已下者便為入陽厯也如在已上者内減去交中度餘為入隂厯也按交中度數原生于隂陽厯月入陽厯則在黄道南行一百八十一度有竒畢復入黄道北而行隂厯一百八十一度有竒畢則又復入陽厯矣行陽厯隂厯各一次謂之交終半之為交中今交定度在交中度已下是月在黄道南就為入陽厯度數也其在已上者是月在黄道北故于交定度内減去交中度命其餘為入隂厯度數也陽厯數自交初起算隂厯數自交中起算也推交前交後度法視所推月食入隂陽厯如在後凖一十五度五十分已下者便為交後度也如在前凖一百六十六度三九六八已上者置交中度内減去隂陽厯餘為交前度也按凡言交者皆月出入黄道斜十字相交之際也凡隂厯在後凖已上者是月入隂厯去交未逺尚在十五度内故為隂厯交後度也凡隂厯在前凖已上者是將交陽厯距交已近只在十五度内故為隂厯交前度也陽厯同月食限只一十三度○五分而此言十五度五十分者葢以盈縮差加減之則亦十三度有竒故以十五度五十分為食凖也推月食分秒法置月食限(一十三度五分)内減去交前或交後度(十度定三单度定二)(得按定子法疑有誤若如所云則月食必無十分者安 有既内外之分乎愚意當是十度定五单度定四也)以定法八十七分(去一)為法除之(不滿法去一子所定有三子為十分二子為单)(分)為月食分秒不及減者不食十分已下者用三限辰刻法已上者用五限辰刻法按月食限度多于日食者闇虚大而月小也故不問隂陽厯但距交前後一十三度○五分内即能相掩而有食也定法八十七即食限十五分之一故定望正當交度其食十五分漸離其處食分漸殺假如距交前後一度七十四分則于食十五分内減二分只十三分又如距交前後九度五十七分則于食十五分内減十一分只食四分也故置食限以距交度減之即于食十五分内減去若干分秒減不盡者如定法而一為所食之分秒也如食限不及減則是距交前後度多于月食限(已在十三度○五分之外)闇虚雖大至此不能相掩斷不食也推月食定用分法置月食分三十分内減去所推月食分秒餘(十分定三单分定二)為實却以月食分秒(十分定三单分定二按十分宜定一今加定三子者以分下有十有)(秒也故亦以定六子為百分法實共加定四子也)為法乘之(言十定一定有六子為百分五子為)(十分)得為開方積立天元一於单微之下依平方法開之得為開方數(言十定一)復以四千九百二十分(定五乘按以六分 八百)(二十分得四千九百二十分又按元史數同日食)為法乘開方數(有十定一)得數又以其前推得定限行度(去四子空度去三子)為法除之(不滿法去一子定有)(二子為百分一子為十分)得數為所推定用分也定用分者月食自初虧復滿距食甚之時刻也然日食只十分而月食則有十五分者闇虚大也闇虚之大㡬何曰大一倍何以知之以算月食用三十分知之也依日食條論兩員相切法闇虚半徑十分月半徑五分兩邊相切則兩半徑聫為一直線共十五分為兩心之距以此距線用闇虚心為心運作大圓正得全徑三十分也此大圓邊距闇虚邊四周各五分為兩圓相切時月心所到之界其兩心之距十五分即大圓半徑常用為弦而以食甚時兩心之距為句食甚時月心侵入大圓邊之數為句弦較其數與月食分秒同以此與大圓全徑相減餘即句弦和和較相乘為股實開方積也其開方數為股即自虧復至食甚月心所行之白道也四千九百二十乘者何也依日食條論又是十分八百二十而用其六也葢所得月體又小于日一分也然厯經所用與日食同此不同者葢改率也或亦改三應數時所定推三限辰刻等法置所推食甚定分内減去定用分餘為初虧分也不及減者加日周減之復置食甚定分内加入定用分共得為復圓分也滿日周去之時刻依合朔推之按三限辰刻同日食理不復贅初虧時兩心之距為弦(即大員三十分半徑)食甚時兩心之距為句食甚時月心侵入大員界八分為句弦較自虧至甚月心所行之度分為股(甚亦復亦同)此以月食八分為例餘可倣推又此係陽厯故月在闇虚南若隂厯反此論之推既内分法置月食限一十五分(按厯經作月食既一十分今從之)内減去所推月食分秒自单以下全分餘(十分定三单分定二有句誤按此處無十分當是 分定)(二十秒定一也)為實却以月食分秒自单分以下分秒(单分定二十秒)(定一)為法乗之(言十定一所定有五子為十分四子為单分)得為開方積立天元一於单微之下依平方法開之得為開方數就置開方數(十分定五单分定四分按十分定五句誤此處開方數必無十分當作十秒定三有 定四也分加定四子者以有秒㣲也)復以四千九百二十分(定五)為法乘之(言十定一)得數又以所推定限行度(去四子空度去三子)為法除之(不滿法去一子所定有六子為百分五子)(為十分)得為所推既内分也按厯經原是以既内分與一十分相減相乘此則改為一十五分今以大圓掩小圓率求得既内小平圓徑一十分與厯經合故斷從厯經月食十分則既矣此時月體十分全入闇虚而月之邊正切闇虚之心兩心之距正得五分以得五分為半徑自闇虚心作小平圓其全徑十分其邊各距闇虚心五分為食既時月心所到之界過此界則為既内矣假如月食十二分食既時月心正掩小圓之邊食甚時月體則入闇虚内二分而月心亦侵入小平圓二分故即用此二分為句弦較以與小平圓全徑相減餘為句弦和和較相乘得積開方得股即月心從食既至食甚在闇虚内所行小平圓内之白道也於是亦如前法變為度分而計其行率則知月入闇虚以後行至食甚所厯時刻之數而命為既内之分也食甚至復圓同論乙為闇虚心 初虧時月心在甲以其邊切闇虚於庚兩心之距為乙甲與壬乙等大員半徑十五分也為大弦 食甚時月心行至丁丁甲度分為自虧至甚之行與甚至復丁戊之行等為大股丁乙三分食甚時兩心之距為句 壬丁十二分食甚時月心侵入大圓内之數也為句弦較食既時月心在丙兩心之距乙丙與生光時己乙之距等小圓半徑五分也為小弦 丙丁為月心自既至甚之行與甚至生光己丁之行等為小股 丁乙仍為句 午丁二分為食甚時月心侵入小員之數為句弦較 丙至丁所厯時刻與己至丁時刻等是為既内分 甲至丙所厯時刻與己至戊等是為既外分 此以隂厯月食十二分為式餘皆倣論開方數壬丁十二丁癸十八相乘二一六平方開之得丁甲十四(六九)午丁二分丁辰八分相乘十六平方開之得丁丙四分推既外分法置所推定用分内減去既内分餘為既外分也按既外分者是月食初虧至食既生光至復圓所厯時刻也原所推定用是自虧初復末中距食甚之數乃既内既外總數也故於其中減去既内時刻其餘即既外時刻推五限辰刻等法置食甚定分内減去定用分為初虧分初虧分加既外分為食既分食既分加既内分為食甚分食甚分加既内分為生光分生光分加既外分為復圓分也不及減者加日周減之滿日周去之推時刻同前按月食有五限辰刻異於日食者日食只十分故其食而既也即其食甚也才食而既其光即生則其生光之分亦即其食甚也若月食則十五分自食既以至生光厯時且乆為刻皆殊中折二數以知食甚總計虧復故有五限也以定用減小餘者所算定用原是食甚距初虧之數也故以減食甚得初虧以既外加初虧及生光者所算既外原是初虧距食既及生光距復圓數也故以加初虧得食既以加生光得復圓至於所算既内原是食既至生光折半之數即是食既生光中距食甚之數也故以加食既得食甚以加食甚得生光不及減加日周者是食甚在子正後初虧等在子正前也加滿日周去之者是食甚等在子正前復圓等在子正後也凡言時刻同前者皆依發斂加時推法也推月食入更㸃法視望下盈縮厯與太陽立成同日之晨分就加一倍得數用五千分而一(句誤按當作五而一下同)得為更法分也(定數滿法得千)(分不滿法得百分也)將更法又用五千分而一得為㸃法分也(定數)(滿法得百分不滿法得十分也也句誤甚按當作滿法者百已上不滿法者二百已上 大約更法有干者則)(不滿法)按更㸃倍晨分者凡日入後二刻半而昏日未出前二刻半而晨晨則辨色未昏則不禁行晨昏啓閉以此為節是益晝五刻損夜五刻聖人扶抑之道無所徃而不存也其晨分皆自子正距晨之數夜之有晨分猶日之有半晝分也逆推子正前距昏之數正與相等故倍其晨分即為夜刻也於是以五除之即其夜每更所占時刻之數也假如晨分二千五百倍之五千五除之則知每一更中占有一千分也滿法者是在五千分已上故知得數為千分不滿法者是在五千分已下故知得數為百分於是又置更法以五除之即其夜每㸃所占刻數也假如更法分一千五除之則知每㸃中占有二百分也其㸃法得數無論滿法不滿法總是百分不必定數又除法只是单五每夜五更每更五㸃故以五除之也推初虧等更㸃法視初虧分如在晨分已下者就加入晨分共為初虧更分也如在昏分已上者内減去昏分餘為初虧更分也却以元推更法分為法除之命起一更算外得為初虧更數也其不及更法數者却以元推㸃法分為法除之命起一㸃算外得為初虧㸃數也次四限更㸃倣此而推各得更㸃也(若在日入以上昏分以下者命為昏刻若在日出以下晨分以上者命為晨刻)(皆無更㸃)按初虧等分如在晨分已下者是在子後也加入晨分是逆从子前昏刻算起也其在昏分已上是在昏後也故減去昏分是減去晝刻截从初昏算起也二者總是从初更初㸃起算(初更初㸃即一更一㸃)加減後得數即知今距初更初㸃已若干數於是以本日更法除之其滿過更法有㡬數便知已過㡬更故算外命為更數也其不滿更法而餘者則正是初入此更以來未滿之數故又以㸃法除之其滿過㸃法有㡬數便知在此更中已過㡬㸃故算外命為㸃法便知所推初虧等尚在苐㡬更苐㡬㸃中未滿也其有總不滿更法數者則只是初更其有以㸃法除總不滿法者則只是初㸃也推月食起復方位法視月食入隂陽厯如是陽厯者初起東北食甚正北復圓於西北也如是隂厯者初起東南食甚正南復圓於西南也若食在八分已上者無論隂陽厯皆初起正東復圓於正西也按月食起復方位主月體言之即人所見月之上下左右也以卯位言之則東為下西為上北為左南為右以酉位言之則東為上西為下南為左北為右也月食入隂陽厯亦主月道言之如是陽厯食是月在日道南其入闇虚被掩者在北故食起東北甚於正北復於西北也如是隂厯食是月在日道北其入闇虚被掩者在南故食起東南甚於正南復於西南也其食在八分已上者是月入闇虚正相掩而過故食起正東復於正西也凡闇虚在日所冲太陽每日行一度闇虚隨之而移月之行天既視闇虚為速故其食也皆闇虚先在東月自西來道有必經無所於避遂入其中而為所掩既受掩矣則行而出於闇虚之東却視闇虚又在月西故月食虧初皆在東復末皆在西也又按厯經此亦據午地言之推月有帶食分法同日食推月有帶食例昏(月未出已復光若干月已出見復光若干) 晨(月未入見復光若干月已入未復光若干)昏(月未出已食若干月已出見食若干) 晨(月未入見食若干干月已入不見食若)按月帶食法同日食而只互易其晨昏書法者何也葢月食於望望者日月相望故日出則月入月出則則日入故易日之昏為月之晨易日之晨為月之昏也其所以同者何也假如日入分在復圓分已下是復圓在日入月出後于日為見食甚不見復末者於月則為見復末不見食甚也若日出分在復圓分已下是復圓在日出月入後於日為見復末不見食甚者於月則為見食甚不見復末也之二者總是以食甚分減日出入分其所推帶食則總是日月出入前距食甚之數其以減食分而餘者亦總是日月出入後未復光之數故總謂之已復光未復光而以所推帶食分録於前也又如日入分在初虧分已上是初虧在日入月出前於日為見虧初不見食甚者於月則為見食甚不見虧初也若日出分在初虧分已上是食甚在日出月入後於日為見食甚不見虧初者於月則為見虧初不見食甚也之二者總是以日出入分減食甚分其所推帶食分則總是日月出入後距食甚之數其以減食分而餘者亦總是日月出入前已食之數故總謂之見食不見食而以所推帶食分録於後也(餘詳日食)又按厯經月食既者以既内分減帶食差餘進一位如既外分而一以減既分即帶食出入所見之分不及減者為帶食既出入葢凡所推帶食差是食甚所距日出入時刻今以既内分減之而餘者即是日出入後距食既前或日出入前距生光後其間所有時刻也進一位者即是以既分乘之也又以既外分除之則知其食既生光距日出入時于既外全數中分得㡬許時刻即知其於食既全數内分得㡬許食分也故以減食既十分即為帶食出入之食分也不及減者是帶食差少於既内分其日出入分已在既内分内故為帶食既出入也推食甚月離黄道宿次度法置元推食甚入盈縮厯行定度全分如是盈厯者加半周天一百八十二度六二八七五及天正黄道箕宿度其得為黄道定積度也如是縮厯者止加天正黄道箕宿度内減去七十五秒餘為黄道定積度也無論盈縮厯皆以其黄道各宿次積度鈐挨及減之餘為食甚月離黄道某宿次度分也按月食黄道定積度者逆計月離度前距天正日躔宿度之數也元推食甚入盈縮厯行定度則是所求日躔距天正宿度乃月食所冲也如日在北正月食於南正故盈厯加半周天便是食甚月離宿度又加天正箕宿度便知食甚月離距黄道箕宿初度若干也其縮厯行定度則是日躔距夏至度數故即用其數為月離葢月食日冲日躔夏至宿後第㡬度月食即亦在冬至宿後第㡬度故不必加半周天也内減去七十五秒者盈厯縮厯相距半嵗周不及半周天七十五秒減黄道積度鈐法仝日食不贅依授時厯經黄赤道法(勿庵補定)求四正後赤道積度置天正冬至所在宿赤道全度以天正赤道減之餘為距後度以赤道宿度累加之即各得其宿距冬至後赤道積度加滿象限去之為四正宿距後度亦以赤道宿度累加之滿象限去之即各得其宿距春分夏至秋分後赤道積度按四正者四仲月中氣即二至二分也凡天正赤道度是天正冬至前距其宿初度之數故以減其宿全度即各得冬至後距其宿末度之數也於是以後宿赤道累加之即知冬至後各宿距冬至度所積之數也滿象限去之者加滿象限是其宿當四正所躔故減去象限即知四正後距其宿末度之數也於是又以赤道各宿度累加之即各得四正後各宿所距四正度之數也求赤道變黄道置各宿距四正後赤道積度用黄赤道立成視在至後者以第三格赤道積度相挨者減之餘(有十定三有分定二)為實以其上第二格黄道率乘之(不用乘只加定四子)以下第四格黄道率為法除之(有度去四有十去三不滿法再去一視定有四子為度三子為十分)加入第一格黄道積度即為其宿距至後黄道積度其夏至後再加周半天即各得其宿距天正黄道積度也若在分後者以第一格赤道積度相同者減之只用小餘(有十)(定三有分定二)為實以下第四格黄道率為法(有度定四○度定三)乘之(言千定一)得數以其上第二格赤道率除之(不用除只去四子視定有四子)(為度三子為十分)加入第三格黄道積度即得其宿距分後積度其春分後再加一象限秋後分再加三象限即各得其宿距天正黄道積度也於是各置其宿距天正黄道積度以相挨前一宿黄道積度減之即各得其宿黄道本度也(秒就近約為分)按至後不用乘者其立成黄道率只是一度乘過數不動故只加定四子也分後不用除者其立成赤道率亦是一度除過數亦不動故只虚去四子也夏至後加半周天春分後加一象限秋分後加三象限者此所求黄道積度皆距四正起算故各以四正距天正黄道數加之即其宿前距天正之數也葢至後黄道雖減于赤道分後黄道雖加于赤道其實至四立之後則加之極而反減減之極而反加總計一象皆得九十一度有竒此天道如環平陂徃復間不容髪也減前宿積度為其宿本度者積度即是距天正數原包前宿在内故減之即得本度也(秒就近約為分者凡秒五十已)(上收為分已下棄之就整數也其七十五秒寄虚度)求天正冬至黄道度置周天度(三百六十五度二五七五)内減天正前一宿距天正黄道積度餘命為天正冬至宿黄道度分也若逕求者置象限以其年天正赤道度減之餘為天正前宿距秋分後赤道積度依赤道變黄道法求出其宿距分後黄道積度以減象限餘為天正黄道度按周天度是自天正後積至天正前黄道總數故減去前宿距天正黄道積度即得天正距所在宿初度之數也逕求法置象限者即是自天正前距秋分後赤道總數也内減去天正赤道度其餘即是前宿距秋分後赤道積度也赤道變黄道法即是以立成第一格積度減餘以第四格度率乘以第二格度率除加入第三格積度而命為前宿距秋分後黄道積度也又以減象限者此所為象限即是自天正前距秋分後黄道總數故減去前宿距秋分黄道積度其餘即是天正冬至距其宿初度黄道之數也求黄道宿積度定鈐置天正冬至宿黄道度及分加入其宿距至後黄道積度及分共得為天正冬至宿黄道定積度以各宿黄道度累加之即各得其宿黄道定積度按分至每嵗有差黄道因之而易即不能每嵗歩之當於六十六年嵗差一度時更定度鈐始為無弊也凡冬至所在宿皆有前後距其黄道皆減於赤道今所推其宿至後積度是自冬至日躔後距其宿末度黄道數其天正黄道宿度則是自冬至日躔前距其宿初度黄道數也合二數為其宿初度距其末度總數故即命為天正宿定積度也於是以各宿黄道度累加之即所得其宿所距天正宿初度之數而命為定積度也求日月食甚宿次黄道度及分秒法同通軌又術置所推食甚盈縮厯縮厯加半周天為黄道定積度月食盈縮厯俱加半周天滿周天分去之為黄道定積度皆逕以距天正黄道積度相挨者減之即各得日月食甚黄道宿度及分秒按此法不用定積度鈐故亦不加天正黄道度然必每年歩定黄道積度方可用之也赤道宿度角十一度(一○)亢○九度(二○)氐十六度(三○)房○五度(六○)心○六度(五○)尾十九度(一○)箕一十度(四○)右東方七宿七十九度二十分斗廿五度(二○)牛○七度(二○)女十一度(三五)虚○八度(九五太)危十五度(四○)室十七度(一○)壁○八度(六○)右北方七宿九十三度八十分太奎十六度(六○)婁十一度(八○)胃十五度(六○)昴十一度(三○)畢十七度(四○)觜○○度(五) 參十一度(一○)右西方七宿八十三度八十五分井三十三度(三○)鬼○二度(二○)栁十三度(三○)星○六度(三○)張十七度(二五)翼十八度(七五)軫十七度(三○)右南方七宿一百○八度四十分黄赤道立成厯算全書卷二十三
## 卷二十四
欽定四庫全書厯算全書卷二十四宣城梅文鼎撰厯學駢枝卷四盈縮厯立成太陽冬至前後二象盈初縮末限太陽夏至前後二象縮初盈末限布立成法厯經盈縮招差法太隂遲疾立成布立成法求每限月平行度法厯經遲疾厯三差法日出入晨昏半晝分立成冬至後半嵗周夏至後半嵗周考立成法太陽冬至前後二象盈初縮末限(置本限八十八度九○九二二五加入盈積度二度四○一四即合周嵗一象限九十一度三一○六二五之數)太陽夏至前後二象縮初盈末限(置本限九十三度七一二○二五減去縮積度二度四○一四即合周嵗一象限九十一度三一○六二五之數)布立成法先依厯經盈縮招差各以其日平差立差求到每日盈縮積次以相挨兩日盈縮積相減餘為每日盈縮加分以其日加分盈加縮減一度即每日日行度又以兩日加分相減餘為每日平立合差再置末日平立合差以初日平立合差減之餘為實末日日數為法法除實即得每日平立合差之差數也(如盈初置八十七日)(下平立合差六分五五六八内減初日四分九三八六餘一分六一八二為實八十七日為法除之得○一八六為每日之差)(分縮初置九十二日下平立合差五分九二六六内減初日四 四三六二餘一分四九○四為實九十二日為法除之得○)(一六二為每日之差)又法(盈初置立差三十一縮初置立差二十七各六因之即得每日平立合差之差數)厯經盈縮招差法凡求盈縮積皆以入厯初末日乘立差得數用加平差再以初末日乘之得數以減定差餘數復以初末日乘之得數萬約為分即各得其日盈縮積太隂遲疾厯立成布立成法依厯經垜叠招差各以平差立差求到各限遲疾度次以相挨兩限遲疾度相減餘為各限損益分次以各限損益分加減每限月平行度得為各限遲疾行度也數止秒秒以下不用其加減法在疾厯益加損減遲厯反之求每限月平行度法置小轉中(十三日七七七三)以每日月平行度(十三度三六八七五)乘之得(一百八十四度一八五二七九三七五)為實以一百六十八限除之得一度○九六三四○九四是為每限月平行度也厯經遲疾厯三差法立差 三百二十五平差 二萬八千一百定差 一千一百一十一萬凡推遲疾在八十四限以下者為初限以上者去減一百六十八限餘為末限置立差以初末限乘之得數用加平差再以初末限乘之以減定差餘數再以初末限乘之得數滿億為度即得各限遲疾積度(凡初限是從初順數至後)(末限是從未盡日逆溯至前故其數並同也)月與日立法同但太陽以定氣立限故盈縮異數太隂以平行立限故遲疾同原日出入晨昏半晝分立成冬至後半嵗周夏至後半嵗周考立成法以半晝分轉減五千分(半日周)餘為日出分 日出分減去二百五十分為晨分 以晨分減日周一萬分餘為昏分 昏分減去二百五十分為日入分又㨗法(晨分與昏分相並成日周一萬又日出分與日入分相並亦成日周一萬)厯算全書卷二十四
## 交會管見小引
交㑹管見小引
交食為驗厯大端其事之著者有三一曰食分深淺一曰加時早晚一曰起復方位古法至授時立法已詳新法有西洋所測更密幾於無可復議獨其所謂起復方位並以東西南北為言(如日食八分以上初虧正西復圓正東八分以下陽厯初虧西)(南食甚正南復員東南隂厯初虧西北食甚正北復員東北月食八分以上初虧正東復員正西八分以下陽)(厯初虧東北食甚正北復員西北隂厯初虧東南食甚正南復員西南之類)而東西南北並以日月光體中心為主故其邊向北極處斯謂之北向南極處斯謂之南而東西從之亦以日月之邊向東昇處即謂之東向西没處即謂之西此中西厯法所同也然天既北倚赤道之勢與北極出地相應皆南高而東西下黄道斜交赤道又因節氣而殊初虧食甚復圓各限加時又别是故人所見日月光體之東西南北非日體之東西南北也故於仰觀不能盡合密測者以日月體匀為細分而求其虧甚所當之處於理為盡然必測器精良用法取影庶幾可知終不能若食分深淺加時早晚之可以萬目同觀衆著無疑也愚今别立新術凡虧復各限並於日月光體之上下左右直指其蝕損所在而不用更雜以東西南北之名欲令測候之時舉目共見即步算之疎密纎毫莫遁或於測學不無小補猶冀髙賢深明理數有以進而教之也康熙四十有四年嵗在㫋䝉作噩勿菴梅文鼎謹識時年七十有三
## 卷二十五
欽定四庫全書厯算全書巻二十五宣城梅文鼎撰交㑹管見求初虧復員定交角以初虧復員定時分依法求其距午時分午後以加午前以減各加減日實度所對時分(入九十度表取之)為初虧復員時定總時以定總時各求其日距限限距地髙遂以得其交角加減之得初虧復員時定交角求初虧復員時先闕後盈之㸃在日體上下左右法自天頂作垂弧過日心以至地平分日體員周左右各一百八十度次依定交角度分日在限西初虧為右下之角復員為左上之角其度右旋日在限東初虧為右上之角復員為左下之角其度左轉並自垂弧左右起算數至定交角度分即得太陽員周初虧時先闕復員時後盈之㸃其定交角或為鈍角者上下相易(如本為右)(下者變為右上本為右上者變為右下左亦然)是為虧復時交道中徑 食十分者用此即中西舊法所謂八分以上初虧正西復員正東者也(初虧復員各依其定交角度分取之)若食九分以下當先求蝕緯差角法為并徑與月視黄緯若半徑與蝕緯差角之正弦也以月視黄緯化秒乘半徑為實以并徑減一分化秒為法除之得蝕緯差角之正弦查正弦得度分以加減虧復時交道中徑得日體周邊先缺後盈之㸃視緯北者日在限西初虧以加復員以減日在限東初虧以減復員以加視緯南者日在限西初虧以減復員以加日在限東初虧以加復員以減並置交道中徑以蝕緯差角度分加減之得數仍自垂弧左右起算得初虧何處先缺復員何處後盈上下左右皆可預定求食甚在日體上下左右惟食十分者食甚時兩心相掩或全黒或作全環皆無上下左右可論其食九分以下皆以隂陽厯論南北視緯若食甚時正在黄平象限則視緯北者食甚在日體上半缺口正向天頂形如仰瓦即舊法所謂正北視緯南者食甚在日體下半餘光厚處正對天頂缺處正向地平兩角下垂形如覆梳即舊法所謂正南也若此者只有上下可言而無左右偏側之度其餘日在限西則南緯在左下北緯在右下日在限東南緯在右下北緯在左下並以食甚時定交角之餘度或左或右並從天頂垂弧之兩旁起算即得食甚在日體上下左右之度求日體周邊受蝕幾何法用太陽太隂兩半徑相并為和相減為較和較相乗為實月視黄緯為法除之得數以加減月視黄緯訖乃折半以乘半徑又為實以太陽半徑為法除之得餘弦查表得度倍之即食甚時日體受蝕度分(以太陽全周分三百六十)(度内該受蝕者幾何度)加減例(日半徑大于月以得數加黄緯日半徑小于月置黄緯以得數減之)求日食三限在地平上髙度食甚時日距地髙即可徑用 初虧復員各以定時求其距午分依日赤緯南北度入髙弧表即各得虧復時地平上髙度(如無正表取前後二表數以中比例酌之假如其地極出地三十一度則查三十度)(表及三十二度表以兩表數并而半之即是本地髙弧之數)又算法(以限距地髙度與日距限之餘)(度相加為捴相減為較捴較各取餘弦視捴弧過象限則兩餘弦相并不過象限兩餘弦相減並折半得髙弧)(正弦撿表得髙度)求日食三限地平經度法以地平緯度之餘度分與極出地之餘度分相加為總相減為較總弧較弧之餘弦相減若總弧過象限則相加並折半為法(初數)又取較弧矢與日距北極度之矢(對弧矢也日赤緯在南者以加象限赤緯在北者置象限以赤緯減之即各得距北極度)相減得較較乘半徑為實實如法而一得角之矢(以矢命度)若日食在午前其角度為距正北子正之度食在午後以減半周為距正南午正之度(正矢與大矢並同一法)三限皆如是求帶食分在日體上下左右以日出入時距緯為法半徑乘月視黄緯為實實如法而一得正弦查表得帶食緯差角度分如求初虧復員之法以帶食緯差角加減白道中徑得帶食分在日體上下左右若帶食在初虧後食甚前其加減用初虧法帶食在食甚後復員前其加減用復員法帶食在初虧後食甚前者 隂厯日在限西加 日在限東減陽厯日在限西減 日在限東加帶食在食甚後復員前者 隂厯日在限西減 日在限東加陽厯日在限西加 日在限東減右並置月道中徑以帶食緯差角度分加減之得數仍自垂弧左右起算即得帶食時食分最深之處在日體上下左右(凡帶食出入時或㣲虧或見蝕半或半以上其餘光皆成兩角外向均折兩角取其中即)(帶食分最深之處)求帶食出入時日邊受蝕幾何以太陽太隂兩半徑相併為和相減為較和較相乘為實日出入時距緯為法除之得數以加減日出入時距緯(日半徑大于月以得數加入距緯日半徑小于月置距緯以得數減之)乃折半用乘半徑又為實太陽半徑為法除之得餘弦查表得度倍之為帶食出入時太陽周邊受蝕之分(以三百六十度分太陽全周内該缺)(幾何度分)作日食分圖法(交食之驗非圖莫顯圖必分作其象始真故不憚反覆詳明以著其理)一定日食時交道斜正作立綫以象垂弧此綫上指天頂下指地平即地平經度圏之一象限也綫上取一㸃為心規作員形以象太陽其員周為地平經綫所分左右各一百八十度依本限定交角作㸃(或初虧或復員或食甚各有定交角)若日距限在西其度右旋日距限在東其度左旋於太陽員周上下並從垂線分處數至定交角度止得兩㸃聮為一直綫必過太陽之心兩端稍引長之横出是為日食時月道交於垂弧之象若日距限西交道左昂右低日距限東反之其初虧食甚復員三限距限東西有時而異雖其不異亦必有逺近髙下之殊則交道低昂異勢未可以一法齊也今三限各求定交角依度作圖不論東西南北一以太陽邊左右上下言其虧甚之狀即測算可以相符厯法之疎宻可以衆睹更無絲毫可容假借如圖甲乙為垂弧 甲丁乙丙為日體 乙己丙為定交角丁己甲為對角乙至丙甲至丁皆定交角之度因日距限在限西故右旋數其度 丙丁為上下兩㸃己為日心聮丙丁為直綫則過日心稍引長之至庚則成交道因在限西故月道左昂右低(交道即月道也為月視緯所成在食)(十分時可名月道其食不滿十分者可名月道平行綫)各號並與前同惟日距限在限東故從乙至丙從甲至丁並左旋數定交角度而庚辛月道右昂左低如圖月道平過與天頂垂弧相交成十字正角而又在午方則上北下南左東右西各如本位矣(如舊法食十分初虧正西)(復圓正東食八分以下者隂厯初虧西北食甚正北復圓東北陽厯初虧西南食甚正南復圓東南惟此時為)(然)此必日食在黄平象限左右因定交角加減而成正角然不常有即有之又未必在正南方則與東西南北之名不相叶應故不如用定交角直以上下左右言其方向(黄平象限有離午正二十三四度時又有定交角加減則雖離午正三十餘度之逺而能有此象盖)(即月道之九十度限也食既者遇之虧必正右復必正左北緯者虧右上復左上而食甚正向天頂南緯者虧)(右下復左下而食甚向地平)己為日戊為月乙至丙甲至丁皆交角之度丙為初虧丁為復圓戊丙己丁為月道此因日食十分故即用丙丁二㸃為初虧復圓即舊法所云初虧正西復圓正東者也然以日距限西故初虧在日體右下復圓在日體左上此亦日食十分因距限在東故初虧在日體為右上復圓在日體為左下凡日距限西者復圓交角必小於初虧日距限東者復圓交角必大於初虧故必分作其圖始能合算今從簡省以交角相同者合為一圖非謂一食中虧復同角也一圖初虧先以初虧定交角如法作垂弧及交道安太陽於交㸃若食十分者於太陽右方截取交道如月半徑之度以此為心規作月體與太陽邊相切即初虧時先缺之㸃(圖己見前)若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度月視黄緯在北向上數之在南向下數之並從太陽右方交道起算數至緯差角度止即為初虧時先缺之㸃自太陽心向此㸃作直線透出其外稍引長之以并徑為度從心截取引長線作㸃即初虧時兩心之距也以截㸃為心太隂半徑為度作圓形即初虧時太隂來掩太陽相切之象也從太隂心作直綫與交道平行則月視行之道也從太陽心作垂綫至視行綫成十字角即月視黄緯也 以上並不論初虧是午前午後亦不論地平方位或在正南或偏東西並同一法食甚復圓倣此乙己丙交角乙丙其度從丙過己心至丁而引長之即月道平行綫丙己庚為緯差角丙庚其度因月視黄緯在北故從交道丙向上數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃從太陽心己作直綫過庚㸃而透出其外為己庚戊綫乃併日月兩半徑(得己戊)為度截己庚戊綫于戊戊即太隂心也以戊庚月半徑從戊心作圓為太隂與太陽邊相切于庚初虧象也從月心戊作戊辛癸綫與丙己丁平行月視行道也(此月)(視行綫乃人所見月心所行故以丙己丁交綫為月道平行綫)從太陽己心作十字垂線至月視行綫上如己辛月視黄緯也乙己丙交角以乙丙為度從丙過己心作月道平行綫丙己庚緯差角以丙庚為度因月視黄緯在南故從交道丙向下數其度至庚庚即初虧時先缺之㸃(此為緯差角大)(于定交角故易右為左)從己心向庚作己庚戊線而以己戊并徑度截之於戊用為月心規作月體與太陽相切於庚象初虧也從戊心作癸戊辛綫與丙己丁平行月視行道也從己心作己辛線與戊辛相遇成方角月視黄緯也以上二宗為日距限西日距限西者初虧定交角並為右下之角然惟食十分時則初虧右下與定交角同㸃其餘則北緯者能易右下為右上前條是也南緯者能易右下為左下此條是也甲己丁交角以丁甲為度從丁過己心作丁己丙月道平行綫丁己庚緯差角以丁庚為度因月視黄緯在北從交道丁向上數至庚以庚為初虧之㸃(此亦緯差角大于定交角故易右為左)如前從己心向庚作透出綫截之于戊使己戊同并徑則戊為月心從戊心作圓形象初虧時太隂以其邊切太陽于庚從戊作戊辛癸線為月視行之道與丁己丙平行又從己作己辛綫為月視黄緯辛為正角諸號同前惟以月視黄緯(即己辛)在南故緯差角(丁己庚角)從交道(丁)向下數其度(至庚)為初虧之㸃以上二者為日距限東凡初虧在限東者其定交角為右上之角然惟日食十分與定交角同㸃而初虧右上其餘北緯者能易右上為左上南緯者能易右上為右下此二條可以推矣一圖食甚先以食甚定交角作垂弧月道於交㸃安太陽並如初虧法次於太陽周邊數定交角餘度若日距限西其度左旋日距限東其度右旋並於日體上下方從垂綫數起至定交角餘度止各作㸃聮為一直線稍引長之此線與月道為正十字能過月道之極即月道之經圏食甚時太陽太隂並在此線之上乃以月視黄緯求其距若視緯在北向上量之視緯在南向下量之並從太陽心截取視緯於月道經綫作㸃即食甚時兩心之距也以此為心月半徑為度規作月體即見食甚時月掩太陽在日體上下左右幾何度分此時兩心之距為最近其食分最深於此線上分太陽光體為十平分即所食之分可見若于太陽之邊數其所蝕光界即知太陽周邊受蝕幾何度分若於月心作線與月道經綫為十字正角即自虧至復月行之道也兩端稍引長之用并徑為度從太陽心截之左右各得一㸃即初虧復圓之㸃也(右為初虧左為復圓)如此即為總圖(総圖惟食甚為正形初虧復圓亦得大槩仍當于分圖攷之)若食十分者或全黒或作金環並無視緯更無上下左右可論不用此法又若食甚時定交角滿九十度則北緯正對天頂餘光有如仰盂南緯正對地平餘光有如覆椀其月道左右平衡其南北視緯即於垂弧取距(北緯自太陽心向上南緯自太陽心向下)(並以月視黄緯取其度為兩心之距)不須另作月道經綫又於月道經綫以月視黄緯量其距若隂厯向上量之陽厯向下量之並自太陽心量至視黄緯止從此作線與月道經綫為十字角即與虧復月行之道平行南北差之理亦自可見乙己丙為定交角其度自乙右旋至丙丙己丁綫過太陽心為月道平行綫乙己庚為定交角之餘角其度自乙左旋至庚庚為食甚所向之方從庚過太陽心作午己庚線為太陽全徑分為十分 依月視黄緯自太陽心己截至戊以戊為心月半徑壬戊為度作圓以象食甚時掩日之月 計所掩徑自庚至壬得蝕六分餘光自壬至午得四分計所掩邊自酉過庚至卯得缺光之邊一百三十分餘光自酉過午至夘得未掩之邊二百三十分約為蝕三之一而强(此以太陽邊周為三百六十分也分亦可名度)從月心戊作戊癸線與太陽徑為十字角與交線平行是為月視行之道以并徑為度自太陽心己截戊癸月道于辛于子各為心作太隂象即見初虧于酉復圓於卯可當總圖此與前圖皆食在限西故乙己丙定交角同勢惟月視黄緯在北故用甲庚餘角從甲左旋數至庚為食甚所向之方亦作午己庚十分全徑而透出之用月視黄緯截之于戊戊為心戊壬半徑作月體交加于太陽光體之上計所掩自庚至壬得蝕四分有竒其自未過庚至丑為所蝕之邊 又如法從戊心作月視行之道以幷徑截之于辛于子各作月體即見卯酉為虧復之㸃几食在限西者南緯必食甚左下北緯必食甚右上惟交角大者餘角小交角小者餘角大而大致不改即二圖可槩其餘其初虧交角必大于食甚復員交角必小于食甚全圖聊舉大意仍以分圖為定乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁過太陽心為月道平行綫乙己庚餘角度自乙右旋至庚庚己午太陽全徑引長之以月視黄緯度截之于戊戊為食甚時月心所到其邊掩太陽至壬午壬為食甚所向之方分太陽全徑為十分午壬為所掩之分得二分有竒未午丑為所缺之邊約得九之二此與前圖皆食在限東乙己丙交角同勢惟月視黄緯在南故用甲己午餘角(即乙己庚)右旋從乙至庚庚㸃為食甚所向庚己午太陽全徑十分以月視黄緯截己戊戊為月心作太隂體掩太陽至壬得八分有竒未庚丑為所缺之邊約得九之四凡食甚在限東者北緯必左上南緯必右下雖角有大小其大致不變以上二圖可槩其餘 以上食甚四圖或居太陽體之左上左下右上右下並以定交角論其餘角不論地平經度之東西南北並同一理即令食甚正午而距限有東西即交道有低昂必無正北正南如舊法所云者也此月視緯在北日食七分竒甲為食甚在日體上方餘光如仰盂此月視緯在南日食五分戊為食甚在日體下方餘光如覆椀惟此二圖是交角成象限若又居正南方則北緯食甚可稱正北南緯食甚可稱正南一圖復圓以復圓定交角作垂弧月道安太陽並如上法若食十分者于太陽左方截取月道如月半徑之度以此為心規作月體與太陽邊相切即復圓時後盈之㸃(圖亦見前)若食不滿十分者用緯差角度算太陽邊周之度北緯向上數之南向下數之並從太陽左方交道起數至緯差角度止即為復圓時後盈之㸃自太陽心向此㸃作直線透出其外稍引長之以并徑為度從心截取引長線作㸃即復圓時兩心之距以截㸃為心規作太隂與太陽相切即復圓時太隂行過太陽初離之象也甲己丁交角(即乙己丙)其度甲丁從丁過己心作丙己丁綫引長之即月道平行綫丁己庚為緯差角其度丁庚因月視黄緯在南從交道丁向下數其度至庚庚即復圓時後盈之㸃 從太陽心己出直線過庚而透出其外為己庚戊線以幷徑為度截之于戊以戊為心月半徑為界作太隂圓體切太陽邊于庚即太隂行過太陽初離之象也 從月心戊作戊辛直綫月視行之道也而己辛者月視黄緯也甲己丁交角(即乙己丙)其度甲丁從丁作月道平行線過己心至丙而引長之丁己庚緯差角大于交角而月視黄緯在北法當從交道丁向上數丁庚之度跨甲而至庚庚即復圓時復光最後之㸃 又法從己心作丙己丁之十字垂綫乃以月視黄緯為度截之于辛則己辛即食甚兩心之距也從辛又作十字長垂綫與丙己丁交道平行如戊辛癸即月視行之道也次以幷徑為度截月視行道于戊以戊為心月半徑為度作復圓時太隂象即其邊切太陽于庚以上二圖皆復圓距限西也凡復圓限西者其定交角為左上之角然惟食十分其㸃不改其餘則有易為正左稍下如前圖者有易為右上如此圖者餘可數推乙己丙交角以乙丙為度從丙作月道平行線過己心至丁而引長之因月視黄緯在北從交道丙向上數緯差角丙己庚之度至庚即庚為復圓之㸃 又法以丁午丙半周度折半于午從午作線至太陽心己為丙己丁之十字垂線于此垂綫上截取辛己如月視黄緯即于辛㸃作十字交線與交道綫(即月道平行綫)平行為月視行之道于此月視行道取戊己斜距如并徑則戊㸃即復圓時太隂之心從心作太隂體即切太陽于庚而正居太陽左方此交角與差角同度也庚己丙交角其度自庚數至丙㸃為月道平行綫所過(丙己丁過心綫為交道即月道平行綫)丙己庚差角自丙數至庚(因南緯向下數)庚㸃為復圓時太隂初離太陽邊猶相切之處也差角丙庚之度與交角庚丙等故相減至盡而正居太陽之底也 如用又法從己心作己午垂綫以月視緯截辛㸃從辛作十字綫如辛癸與交綫平行為月視行道即可以戊己并徑截戊㸃為太隂心其邊即切太陽于庚亦同凡復圓限東者定交角必居左下然惟食十分者則然其餘則有變為日體正左或日體正下者如以上二條者可類推也甲為九十度限 乙為黄道過午規交角 乙丙為黄道在午規距天頂之度今用乙甲丙正弧三角形有甲正角 乙交角 乙丙弧而求甲丙弧為九十度距天頂之度 法為半徑與丙乙弧正弦若乙角之正弦與丙甲正弦也(一二) (半徑正弦丙乙)(三四) (乙角正弦丙甲正弦)増沿厯書乃以丙乙餘弦與乙角餘弦相乗為實半徑除之得丙甲正弦失其㫖矣簡菴曰甲角非正角也何以言之自天頂出線過赤道則為正角其過黄道不能成正角甲角既為天頂線過黄道所作之角則必非正角勿菴曰不然甲㸃者九十度限也若甲非正角則不得為九十度限矣簡菴曰赤道能為正角者以天頂線能過北極也若黄極則不能過天頂天頂線既不串黄極則甲必不能為正角明矣勿菴曰子午線所以能穿天頂與北極者以赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈處為其折半最中之處故天頂線交赤道成十字角也天頂線與赤道作正角惟此一處盖惟此處能使地平經線(即天)(頂出線至地平分方位之線)與赤道經線(即北極出線至赤道分時刻之線)合而為一(從地平經線言之為子午規從赤道言為過極圈)他處則不能也黄道亦然其在地平上亦一百八十度每度並從黄極出經線至黄道上成正角但不能過天頂而必有一度為黄道半周折半之處則此一經線必過天頂而穿黄極天頂線既穿黄極則其交黄道處必成十字正角矣天頂線與黄道作正角亦惟此一處(亦如赤道之有子午規)盖亦惟此處能使地平經線與黄道經圈合而為一而他度不能西法用九十度限其理如此故甲角必正角簡菴聞此欣然首肯焉本法用乙甲丙形求丙甲為九十度距天頂 今依簡菴説用丁戊丙形求得戊丙為天頂距黄極之度以減象限即得丙甲距天頂之度法曰以正午黄經之赤道同升度取丁角(從冬至數之即得)以各地北極出地餘度取丁丙邊 以兩極相距二十三度半為丁戊邊是為一角兩邊可求戊丙邊若用垂弧法雖多轉折其理無訛 若用加減代乘除法乃捷矣又按此以正弧形為本形改用斜弧為次形亦弧三角中一法往所未及也可見學問相長之無窮既得甲丙邊又原有乙丙邊甲正角可求甲乙邊為九十度距午規丁北極 戊黄極 丑寅圈徑五度為白道極所行之跡 丑為今所求月道心(即白道極所到)得丑寅邊為丑戊寅角之度亦即為丁戊丑角度 先用丁戊丑弧三角形有丁戊邊(為兩極距二十三度半)有丑戊邊(為月道大距五度)有戊角(即上)(所論) 可求丑丁邊為白道極距北極之弧 可求丑丁戊角次用丁丑丙弧三角形 有丑丁弧(為先所求)有丙丁丑角(以先有之戊丁丙角與今得之丑丁戊角相加減得丙丁丑角)有丁丙邊(即本地北極出地餘度)可求丑丙邊為白道極距天頂之弧亦即為白道九十度距地平之髙度 求白道極所在(即丑㸃)法曰凡白道極隨交㸃而移交㸃逆行故白道極亦逆行也先求正交(或中交)在黄道度分離此一象限即為半交最逺之所此㸃與白道極相應若係半交是陽厯則白極在黄極南半交是隂厯則白極在黄極北極距黄極五度竒即丑戊也丑戊弧五度循黄極而左旋有時而合於兩極距線為寅戊或戊辛則無丑戊丁角自此以外皆有戊角此算之根也設白道極(丑)在寅即丑戊寅角法當以戊寅五度(白極距黄)(極)與丁戊二十三度半相減餘十八度半為寅丁寅丁丙弧三角形有寅丁邊(為白極距北極)有丁丙邊(北極距天頂)有丁角可求寅丙邊為白極距天頂又設(丑)㸃在辛即以戊辛加戊丁為一邊(辛丁)如上法可求辛丙弧為白極距天頂以上二者因白極距黄極之線與黄極距北極同一大圈之經度故丁戊線有加減而丁角無加減故只用一弧三角形即可得之此惟月邊半交在二至度然後能如是設正交在秋分之度中交在春分之度則陽厯半交在冬至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道極在兩極距線外亦五度竒如辛如酉法當以白黄大距五度竒(辛戊或酉戊)加兩極距二十三度半(戊丁)共得二十八度半竒(辛丁或酉丁)為一邊 丁丙為一邊(北極距天頂)丁為一角(或辛丁丙或酉丁丙) 可求辛丙邊(或酉丙邊)即白道極距天頂度以減九十度餘為白道距天頂度(捷法即以所得白道極距天頂命為白道九十度距地平)此圖丁辛線己用弧線不能作兩白道極圈如圖丙為天頂丁為北極丁戊二十三度半即以丁為心戊為界運規作圓即黄極繞北極之圈再以丁戊引長之至於辛又以戊為心辛為界作圓為白極繞黄極之跡戊辛為黄白距五度竒(此圖則戊酉可省)今聮丁辛丙成三角形如上論餘觀圖自明更當明者白道限度之不能與黄平象限同在一度即若黄平象限之不能與赤道髙度同在一度同也黄平象限與赤道髙度能在一經度者惟極至圈在子午規之度為然白道限度之能與黄平象限同在一經度者惟兩交在二分之度又極至圈同在午規時也又設正交在春分之度中交在秋分之度則陽厯半交在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而白道極在兩極距線内亦五度竒如寅如未法當以白黄大距五度竒(寅戊或未戊)去減兩極距二十三度半(戊丁)得餘十八度半弱(寅丁或未丁)為一邊 丁丙為一邊 丁為一角(或寅丁丙或未丁丙)可求寅丙邊(或未丙邊)為白極距天頂即命為白道九十度距地平之髙圖如後以上二者並只用一弧三角形何則以交㸃在二分也交㸃在二分則半交與白極並在極至交圈故丁戊弧自有加減而丁角無加減若交㸃離二分則否何則交㸃逆行即羅計度也交㸃周於天而半交大距亦一周天而白極亦周於黄極左右之小圈故丁角有加減而必用兩三角形也求戊角(用兩三角形必先取戊角) 法曰正交在秋分則白極在辛(即在酉)從辛左旋過丑至寅而復於辛以生戊角戊角之度或鋭或鈍皆以交㸃距分之度命之白極小圏以羅計一周而復於元度(假如正交自秋分向夏至逆行過秋)(分二十度則白極離辛㸃亦二十度以減半周餘百六十度為戊鈍角)求丁角(戊丁丙角) 法曰視極至交圏距午圏若干度分即得戊丁丙角(以加時午正黄道度取之)白道九十度限用法依前所論以求加時白道九十度限在地平上之髙的確不易(用斜弧三角形) 但如此則交食表所算九十度限俱可不用當另算白道九十度表法曰丑戊丁三角形以丁戊邊(兩極距二十三度半)丑戊邊(白極距黄)(極五度)戊角(白極距冬至經圏之度亦即正交離秋分之餘度)為二邊一角可求丁丑邊(此邊之度天下所同)丁角(此角亦天下所同)其法並以戊角之大小立算(只算半周可以立表矣)正交在(秋分前以過夏至而至春分春分前以過冬至而至秋分)之度角在極至圏(西東)戊丁丙三角形 求丁角法曰以應時法求加時午正黄道(可借用黄道九十度表)取其赤道同升度即得丁角視同升度在冬至後半周其距冬至度即為丁角(其角)(在子午線西)若同升度在夏至後半周即以距夏至度去減半周餘為丁角(其角在子午線東)此丁角亦天下所同丑丁丙三角形 先求丁角法曰以先有之兩丁角相減或相併即得丁角兩丁角俱在西或俱在東(則相併)兩丁角一在西一在東(則相減)此丁角亦天下所同次求丁丙邊法曰丁丙者各地之北極距天頂也以北極髙度減象限得之次求白道九十度限之髙法曰既有丁角(即上所求)丁丑邊(即先所求)丁丙邊(即極距天頂)為一角兩邊可求丑丙邊(為白極距天頂度)以減象限得白道九十度限距天頂亦即得其距地平之髙既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上距九十度限之度分(法以月距交前交後度減象餘即得)可求其交角(白道)(交天頂經度之角也)此交角可借黄道交角表用之 但須補作黄道北五度表既得交角則髙下差可知而東西南北差悉定矣康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒時刻并起復方位京師月食十分三秒初虧子正二刻三分 東北食既丑初三刻八分食甚丑正一刻二分生光丑正二刻一分復圓寅正初刻一分 正北稍偏西右計食限内凡十三刻十三分按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以此減食甚時刻得初虧(自初虧子正二刻三分至食甚丑正一刻二分正得六刻十四)(分)加食甚亦得復圓(自食甚丑正一刻二分至復圓寅正初刻一分亦得六刻十四分)是虧至甚甚至復時刻適均也時刻所以適均者月行天之度均也然則作圖之法自當以食甚月體置於虧復兩限適中之處而不宜偏側矣今監頒蝕圖乃偏置於東若是則虧至甚月行之度分多甚至復月行之度少度既不均則時刻亦宜増減若時刻既無増減則圖之偏者必非正法矣又按食既至食甚食甚至生光時刻亦宜適均與虧至甚甚至復之理無二(厯書本法虧復折半之數謂之食甚距分以减食甚得初虧若以加)(食甚得復圓其食既至生光折半數謂之食既距分以减食甚得食既以加食甚亦得生光並無長短伸縮)今圖中所注食既至食甚時刻多(食既是丑初三刻八分至食甚丑正一刻)(二分計一刻○九分)食甚至生光時刻少(食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分只十四)(分)相差十分何也豈以食甚圖偏而自疑其法耶不然何以若是又按交食表食甚距分是一時四十四分(即監推六刻十四分)食既距分是四十二分(實計二刻十二分)月食只十分○三秒食既生光不得有五刻九分之乆(倍食既距分得八十四分實五刻○九分)盖覺其非是而棄表不用也然表之數宜改而其法不宜改(表自既至生光五刻九分監推只二刻○八分是改數也厯書以距分加减食甚得既與生光而監推相)(差三分刻之二是改法也)今改其數幷改其法不知何所見而云然也或疑月行有遲疾自生光至食甚行遲故厯時刻多食甚至生光行疾故厯時刻少此亦説之可通者也然月之遲疾必以漸成決無於二刻八分中頓有十分之差(月平行二刻八分只行天三分度之一而弱)且食既生光既有遲疾之差初虧復圓何以獨無可謂進退失據矣又按食甚云者以月於此時侵入闇虚獨湥也則其距前後之時刻必為折中均平之處也故月食未既者必於食甚時定其食分以此時所蝕之分最大也(假如月食九分)(則惟食甚時能滿九分前後皆少食八分以下盡然)是以謂之食甚若圖有偏側不得謂之食甚矣食未既時有食分以攷之(食分最多時始為食甚)食既矣則食甚無可指惟頼食既生光時刻折半取中而今乃相差若此又何所據而為食甚耶又詳檢之初虧至食既(計五刻五分)食既至食甚(計一刻九分)食甚至生光(計十四分不滿一刻)生光至復圓(計六刻)無一相同而遲疾皆不倫初限較末限既先疾而後遲(初虧至食既五刻五分是初限行疾)(也生光至復圓整六刻是末限行遲也)二限較三限又先遲而後疾(食既至食)(甚一刻九分是次限行遲也食甚至生光只十四分而不滿刻是三限又行疾也)是初虧行疾限至食既而忽遲食既行遲限至食甚而頓疾食甚行疾限至生光以後而又遲不識月轉遲疾有如此行度否乎厯算全書卷二十五
## 卷二十六
欽定四庫全書厯算全書卷二十六宣城梅文鼎撰交食蒙求卷一厯書有交食蒙求七政蒙引二目刻本逸去兹以諸家所用細草補之并稍為訂定以便初學日食一求諸平行首朔根 檢二百恒年表本年下首朔等五種年根并紀日録之朔䇿 用十三月表以所求某月五種朔策之數録于各年根下平朔 以首朔日時與朔實及紀日并之(滿二十四)(時進一日滿六十日去之)太陽平引 以太陽引根與朔策并之太隂平引 以太隂引根與朔䇿并之交周平行 以交周度根與朔策并之隨視其宮度○宮二十度四十分内五宮○九度二十分外六宮十一度二十分内(十一)宮十八度四十分外以上俱有食再于實交周詳之太陽經平行 以太陽經度根與朔䇿并之二求日月相距日定均 以太陽平引宫度檢一卷加減表如平引滿三十分進一度查之(記加減號)月定均 以太陰平引宫度檢一卷加減表如平引滿三十分進一度查之(記加減號)距弧 以日月定均同號相減異號相加即距弧距時 以距弧度分于四行時表月距日横行内檢取相當或近小數以減距弧得時(視相當近小數本行上頂格所書時數録之即是)其餘數再如法取之得時之分秒(依上法用相當近小數取之)并所得數即為距時隨定其加减號兩均相減者日大則減 日小則加兩均相加者日大則加 日小則減兩均一加一減者 加減從日三求實引日引弧 以距時時及分入四行時表取太陽平行兩數(兩數謂時及分下同)并之(依距時加減號)日實引 置太陽平引以日引弧加減之即得月引弧 檢四行時表取距時(時分)下太陰平引兩數并之(依距時加減號)月實引 置太陰平引以月引弧加減之即得四復求日月相距日實均 以日實引宫度檢一卷加減表如實引滿三十分進一度查之(記加減號)月實均 以月實引宫度檢一卷加減表如實引滿三十分進一度查之(記加減號)實距弧 以日月實均同減異加即得實距時 以實距弧度分檢四行時表與前距時同(加減號亦同前)五求實朔實朔 置平朔以實距時加減之即得如加滿二十四時者進一日不及減者借二十四時減之則退一日為實朔也六求實交周交周距弧 檢四行時表以實距時(時分)取交周平行兩數并之即得(依實距時加減號)交周次平行 置交周平行以交周距弧加減之即得實交周 置月實均(記加減號)以加減交周次平行即得實交周隨視其宫度以辨食限凡陰厯○宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外凡陽厯六宫○八度二十分以内(十一)宫廿一度四十分以外實交周入此限者並有日食七求躔離實度日距弧 以實距時(時分)檢四行時表取太陽平行兩數并之即得(依實距時加減號)日次平行 置太陽經度平行以日距弧加减之即得日實度 置日實均(記加減號)以加減日次平行即日實度八求視朔加減時 以日實度檢一卷加減時表(如日實度滿三十分)(進一度取足)記加減號視朔 置實朔以加減時加減之即得九求徑距較數月距地 以月實引查二卷視半徑表月距地數即得(度取相近者用之)月半徑 查月距地下層有太陰之數即月半徑月半徑 以日實引加減六宫檢視半徑表取太陽之數即得(日實引在六宫以下加六宫如四宫則用十宫實引)(在六宫以上减六宫如十宫則用四宫)并徑 以日月二半徑并之即是月實行 以月實引宫度(滿三十分進一度查)檢二卷太隂實行表(度取相近者用之)十求近時總時 檢四卷九十度表(九十度表一名黄平象限表其表隨地不)(同如在京師立算取四十度在江南取三十二度冬依極出地取本表用之)以日實度取表第一行宫度得相對第二行㡬時㡬分另以視朔時分與十二時相加減得數以加入之即為總時總時過二十四時去之用其餘加減十二時法視朔在十二時以上 減去十二時(止用餘數)視朔在十二時以下 加上十二時用之日距限 以總時(時分)入黄平象限本表第二行取其相對第三行九十度限下之宫度分用中比例得數與日實度相減即得日距限度分并東西號定東西法日實度大内減限度 日在限東日實度小去減限度 日在限西限距地髙 以總時(時分)相對本表第五行限距天頂數置象限九十度減之餘數即限距地髙日赤道緯 以日實度在三宫以下者加九宫在三宫以上者減去三宫用檢五卷太陽距赤緯表即得(記書南北號)日距地髙 以(日赤緯視朔時)檢六卷髙弧表(髙弧隨地不同各依北極)(髙度取用)先以緯度或南或北之數檢右直行次以視朔檢上横行其視朔滿十二時去之用其餘刻入表(假如十二時三十三分止以三)(十三分作二刻入表)不滿十二時則置十二時減之用其餘入表(加減餘一時即作四刻)月髙下差 以九求月距地數及日距地髙度(滿三十分)(進一度)檢八卷太陽太陰視差表先以月距地數檢右直行次以日距地髙檢上横行得數内減去本數上之太陽視差分秒即月髙下差兩圏交角 用本求日距限限距地髙(滿三十分進一度)檢七卷交角表(以限距地查左右直行以日距限檢上横行用中比)(例取之)得數以減象限即得定交角 置交角加減白道角五度為定交角(實交)(周是○宫十一宫日距限在限西則減在限東則加若實交周是五宫六宫日)(距限在限西則加在限東則減)時差 用定交角月髙下差檢八卷時氣差表(以定交角檢左右直行以月髙下差檢上横行)即得時差(順度用上)(時差號逆度用下時差號)近時距分 月實行化秒為一率六十分為二率時差化秒為三率二三相乗一率除之即得(零及半者收作一數)近時 置視朔以近時距分加減之即得(日在限西)(則加限東則減如定交角大于象限則反其加減 若適足象限則無時差即)(以視朔為食甚真時不用後法)十一求真時近總時 置總時以近時距分加減之即近總時(日在限西則加限東則減)日距限 以近總時如前法取之記東西號限距地髙 以近總時如前法取之日距地髙 以日赤道緯及近時如前法檢髙弧表月髙下差 以九求月距地及(本求)日距地如前法檢視差表兩圏交角 以日距限限距地髙如前法檢交角表(如前加减為定交角)近時差 以定交角度及月髙下差如前法檢時氣差表視行 以近時差與先得時差相減為較若先得時差小以較減之若先得時差大以較加之即為視行又㨗法倍先得時差内減去近時差得視行亦同真時距分 以十求内先得時差化秒與近時距分相乗為實以視行化秒為法除之即得真時 置視朔以真時距分加減之即真時(亦以)(限西加限東減)十二求考定真時真總時 復置總時以真時距分加減之(日在限西則加)(限東則减)即真總時日距限 限距地髙(並以真總時查) 日距地髙(以真時)月髙下差 兩圏交角(定交角)以上並如前法(真時差氣差) 以本求(定交角月髙下差)如前法取(時差表内得時差即)(得氣差)以真時距分與月實行化秒相乗為實一小時化秒為法除之得數為真距度(秒六十收為分)食甚定時 以所得真距度與本求真時差相較若相等者即用真時為食定時(如此即不用後條距)(較考定法)距較度分 若(真距度真時差)相較有餘分即為距較度分(差數秒不論)距時損益分 以真時距分與距較度分化秒相乗為實十求内先得時差化秒為法除之得數為距時損益分 若真時差大于真距度則為益分 真時差小于真距度則為損分(須記損益分)(考定)真時距分 置真時距分以所得損益分如號損益之即是(考定)食甚時 復置視朔時以考定真時距分加減之(東減西加並如原號)為考定食甚時十三求食分距時交周 以實朔與真時相減得較數如前法取四行時表交周度即得(限東為減號限西為加號)定交周 置實交周以距時交周加減之即得月實黄緯 以定交周檢太陰距度表(依中比例求之式如左)假如定交周○宫十度十四分求共黄緯一率 全度六十分 二率 三百○七秒三率 小餘十四分 四率 七十一秒以所得四率(七十一秒收為一分一十一秒)如十度黄緯共得黄緯五十二分五十七秒 其緯在北中比例加減法(表上數前少後多者加前多後少者減)辨月緯南北 並視定交用是(○宫十五宫六宫 一宫)其緯在(北南)月視黄緯 置月實黄緯以氣差加減之即得視緯凡月實緯在南以氣差加月實緯在北以氣差減若實緯在北而氣差大于實緯當以實緯轉減氣差為視緯其緯變北為南并徑減距 置前并徑内減去一分再以月視緯減之即并徑減距如月視黄緯大于并徑不及減則不得食矣食分 倍日半徑為一率 十分為二率 并徑減距為三率求得四率為食甚分秒十四求初虧時刻日食月行(復圓同用)以日實引檢八卷日食月行表(分三表查)五六七宫在最髙限取(二三四八九十)宫在中距限取○一十一宫在髙衝限取(如日實引滿十)(五度進一宫查之)法以月實引宫檢直行(如月實引)(滿十五度亦進一宫查之)又以月視黄緯分檢上横行取縱横相遇之數即所求日食月行度分前總時 以十二求真總時内減一時即前總時日距限(記東西號若真時在限西而初虧限東則為異號) 限距地(並以前總時如法求之)日距地髙 置真時内減一時如前法以日赤緯檢髙弧表月髙下差 以(九求)月距地及(本求)日距地髙如前法檢視差表兩圏交角(定交角)以(本求)日距限及限距地檢交角表(如前法求之)前時差 以(本求)定交角及月髙下差如前法檢時氣差表差分 以(前真)時差相減併即差分(法恒用減惟定交角過九)(十度則相併角其東西異號者恒相併惟定交 過九十度則相减)視行 置月實行以差分加減之即得視行日在限(西東)前時差大則(加減) 小則(減加)若差分用併者則恒減(又若食甚真時定交角滿象限)(無真時差可較即用前時差減或初虧定交角滿象限無前時差即用真時差)(减並減實行為視行)初虧距時分 以本求視行化秒為一率一小時六十分為二率置日食月行分内減一分化秒為三率二三相乗為實一率為法除之得數即初虧距時(以滿六十分為一時)初虧時刻 置真時(即食甚)内減去初虧距時分即初虧時刻十五求復圓時刻後總時 用十二求真總時加一時即後總時日距限 以後總時如前法求之(記東西號若真時在限東復員)(在限西為異號)限距地髙 以後總時取之並如前法日距地髙 用真時加一時以日赤緯檢髙弧表(如前法)月髙下差 以月距地(九求)及本求日距地髙檢視差表(如前法)兩圏交角(定交角)以本求日距限限距地髙檢交角表(如前法)後時差 以(本求)定交角及月髙下差檢時氣差表差分 以後時差與真時差相減併得差分(法同)(初虧)視行 置月實行以差分加減之即得視行日在限(西東) 後時差大則(減加)小則(加減)(若差分用併者恒減可又若食甚眞時定交角滿象限無眞時差 較卽用後時差或復)(員定交角滿象限無後時差亦卽用眞時差法恒用減與初虧同)復圓距時分 置日食月行分(即初虧所用)内減一分化秒為三率一小時六十分為二率本求視行化秒為一率二三相乗為實一率為法除之得復圓距時(分滿六十為時)復圓時刻 置真時恒以復圓距時加之即得十六求宿度黄道宿度 置日實宫命黄道宫名即食甚時黄道宫度(○宫起星紀)以各宿黄道宿鈐近小者去減黄道宫度即得食甚時黄道宿度(記冩宿名)法以所求年距厯元戊辰之算乗嵗差五十一秒加入宿鈐然後減之如加嵗差後宿鈐轉大于食甚黄道不及減退一宿再如法減之(如角宿不及減用軫宿是也)赤道宫度 以黄道宫度入一卷升度表對度取之(黄道滿三十分進一度查)即得所變食甚時赤道宫度(記寫宫名)或檢儀象志八卷取用亦同赤道宿度 以所入宿黄道宫度并其宿南北緯度入儀象志八卷内如法求其宿赤道宫度置所得食甚時赤道宫度以本宿赤道宫度減之餘為食甚時赤道宿度又法以弧三角求之其法别具(見補遺)定日食方位 食八分以上者初虧正西復圓正東不及八分者㸔月實黄緯號在南者初虧西南食甚正南復圓東南黄緯號在北者初虧西北食甚正北復圓東北○宫至五宫為陰厯其號在北六宫至十一宫為陽厯其號在南又法不論東西南北惟以人所見日體上下左右為憑詳交㑹管見補遺帶食法求日有帶食若食在朝者初虧時刻在日出前食在暮者復圓時刻在日入後是有帶食也求帶食距分若帶食在朝者以日出時刻在暮者以日入時刻並與食甚時刻相減餘即為𢃄食距分辨食分進退凡日出入時刻在食甚前其所帶食分為進也(食在朝為不見)(初虧尚可見食甚復圓日在暮為但見初虧不得見食甚復圓)若日出入時刻在食甚後其所帶食分為退也(食在朝為不見)(初虧食甚但見復圓食在暮為可見初虧食甚不見復圓)若日出入時刻與食甚同則不用更求帶食分即以原算食分為日出入時刻所帶食分其食十分者為帶食既出入(食在朝為不見初虧食在暮為不見復圓)求帶食出入之分帶(己退方進)之分者以(復圓初虧)距分化秒為法並以帶食距分化秒日食月行化秒相乗為實實如法而一得數自乗又以月視黄緯化秒自乗并而開方得數收為分(以六十秒)(為分)得日出入時距緯以減并徑餘數以十分乘之為實太陽全徑為法除之得日出入時帶食之分算赤道宿度用弧三角法一求赤道緯度兩極距二十三度三十一分半為一邉本宿距星去黄極度為一邉二邉相加為總相減為較總弧較弧各取餘弦以總弧不過象限兩餘弦相減過象限相加並折半得初數 又以黄道經度為對角取其矢(黄道春分後三宫以)(正弦夏至後三宫以餘弦並與半徑相減為正矢秋分後三宫以正弦冬至後三宫以餘弦並與半徑相加為)(大矢)以乘初數為實半徑為法除之得矢較以加較弧矢得赤道緯度矢矢與半徑相加減得本宿赤道緯度正弦(加矢較後得數小于半徑則轉減半徑為正弦其緯在北若加後得數大于半徑則于内減去半徑為正)(弦其緯在南)一求赤道經度以所得赤道緯度是北緯與象限相減南緯與象限相加為去北極度用與兩極距度相加為總相減為較總較各取餘弦以總弧不過象限兩餘弦相減過象限相加並折半為初數 又以宿去黄極度取矢與較弧矢相減得較以乗半徑為實初數為法除之得角之矢與半徑相加减得本宿赤道經度之弦(角之矢小于半徑為正矢其經度在)(南六宫若矢度大于半徑為大矢其經度在北六宫)春分至秋分半周為北六宫所得為大矢當于得數内減半徑為赤道經度之弦春分後三宫為赤道正弦 夏至後三宫為赤道餘弦秋分至春分半周為南六宫所得為正矢當置半徑以得數減之為赤道經度之弦春分後三宫為赤道正弦 夏至後三宫為赤道餘弦作日食總圖法(依舊法稍爲酌定)先定東西南北之向作正十字線其横者黄道也以左為東以右為西其立者黄道經圏也以上為北以下為南次以十字交處為心太陽半徑為界規作圖形以象太陽光體太陽居十字正中則東西南北各正其位矣次定食限十字心為心太陽太陰兩半徑相并為度(用太陽半徑原度以後量)(視緯亦同)規作大圓于太陽之外是為食限太陰心到此圏界始得與太陽相切過此則不食也次求月道實交周在○宫十一宫為月道由陽厯入陰厯也法于圓周上下各自南北線左旋數五度識之(圓周並分三百六十度)若實交周是五宫六宫為月道由陰厯入陽厯也則于圓周上下各自南北線右旋數五度識之並以所識聫為直線必過圓心是為月邉上經線也于此線上從圓心量至月視黄緯為度(視緯在北自圓心向上量之視緯在南自圎心向下量之)即食甚時月心所到㸃也于此㸃作横線與月道經線相交如十字則自虧至復月行之道也此線兩端引長與大圏相割東西各有一㸃即為初虧復圓時月心所到之㸃也(西為初虧東為復圓)次考食分初虧食甚復圓三㸃各為心以太隂半徑為度作圓形以象月體即見初虧時太隂來掩太陽其邉相切復圓時太隂已離太陽其光初滿食甚時太陰心與太陽心相距最近食分最深若以太陽全徑分為十分則所掩分數惟此時與所算相符故謂之食甚也又初虧時或在日體正西或在西南西北復圓時或在日體正東或在東南東北食甚時或在日體正南或在正北或食十分則正相掩無南北並以太陽心為中論其南北東西一一皆如所算 又或有時太隂全徑小于太陽全徑十秒以上兩心雖正相掩不能全食當依月徑于太陽光界之内規作太隂即見四面露光之象為金環食也辨日實度大小法凡論日食在限東西並以日實度大于黄平限度則食在限東若小于黄平限度則食在限西其法有三其一日實度與限度同在一宮之内即以度分之多少為大小假如限度在寳瓶宫十度日實度在寳瓶宫十五度是日實度大則内減限度得食在限東五度也 若日實度在寳瓶宫七度是日實度小則置限度以日實度減減之得食在限西三度也其二日實度與限度不同宫則以一宫通作三十度然後相較假如限度在寳瓶宫十度日實度在雙魚宫十五度法以寳瓶宫十度作四十度(寳瓶是一宫一宫者三十度也既原帶有三十度加入今)(限度十度共得限度四十度為自○宫初度算起也)以雙魚宫十五度作七十五度(雙魚是二宫原帶有六七度加入今日實度十五度共得日實度七十五度亦自○宫初度算起也)相減得日實度大于限度三十五度為食在限東之距也若限度在寳瓶十度而日實度在磨羯十五度法以實瓶十度作四十度(解見上)與磨羯十五度相減(磨羯是○宫故只用)(本度亦是從○宫初度起算)得日實度小于限度二十五度為食在限西之距也其三日實度與限度不同宫而其宫相隔太逺如一在磨羯寳瓶雙魚一在天秤天蝎人馬則以加十二宫之法通之然後相較假如限度在天蝎十五度日實度在寳瓶十度相隔太逺(天蝎是十宫寳瓶是一宫相隔九宫是太逺也)法當于寳瓶加十二宫得十三宫十度内減天羯十宫餘三宫十度作一百度内又減天蝎宫原有十五度餘八十五度為日實度大于限度之距而食在限東又如限度在雙魚宫五度日實度在人馬宫二十五度(雙魚是二宫人馬是十一宫相隔九宫)法當于雙魚加十二宫得十四宫○五度内減人馬十一宫餘三宫○五度作九十五度内又減人馬宫原有二十五度餘七十度為日實度小于限度之距而食在限西凡限度為地平上黄道半周之最髙度日實度或在其東或在其西皆距限度在一象限内若過象限即在地平以下不得見食矣故無隔三宫以上之事然反有隔九宫以上者右旋一周之度畢于人馬(十一宫)而復起磨羯(○宫)故以加十二宫之法通之而隔九宫以上者距度反近亦只在三宫以下為象限内而已厯算全書卷二十六
## 卷二十七
欽定四庫全書歴算全書卷二十七宣城梅文鼎撰交食䝉求卷二日食附說第一求恒年表以首朔為根何也曰首朔者年前冬至後第一朔也因算交㑹必於朔望故以此為根也根有五種曰干支也太陽太隂各平引也太隂交周太陽經度各平行也太陽太隂各二而干支者所以紀之也西厯於七政皆起子正而此處首朔日食有小餘者交㑹無一定之時故也紀日者年前冬至次日之干支也首朔日時者年前十二月朔距冬至之日時也以此相加得首朔之干支及其小餘矣於是再以逐月之朔實加之得各月平朔干支及其小餘矣太陽平引與其經度不同何也曰太陽引數從最髙衝起算而經度從冬至起算也冬至定於○宫初度最髙衝在冬至後六七度且每年有行分此西厯與古法異者也第二求日定均者即古法之盈縮差也月定均者遲疾差也距弧者平朔與實朔進退之度也距時者平朔實朔進退之日時也因两定均生距弧因距弧生距時即古法之加減差也第三求第四求五求平朔既有進退矣則此進退之時刻内亦必有平行之數故各以加減平行而為實引也實引既不同平引則其均數亦異故又有實均以生實距弧及實距時也夫然後以之加減平朔而為實朔也平朔古云經朔實朔古云定朔然古法定朔即定於第二求之加減差其三求四求之法古亦有之謂之定盈縮定遲疾則惟於算交食用之而西厯用於定朔此其微異者也第六求(原為第九)朔有進退則交周亦有進退故有實交周按古法亦有定交周其法相同然必先求次平行者以實朔原有两次加減也只用月實均者其事在月也其序原居第九今移此者以辨食限也第七求(原為第六)經度有次平行者以實朔有两次加減故經行亦有两次加減乃得日實度也只用日實均者其事在日也第八求問平朔者古經朔也實朔者古定朔也何以又有視朔曰此測騐之理因加減時得之古法所無也何以謂之加減時曰所以求實朔時太陽加時之位也盖厯家之時刻有二其一為時刻之數其一為時刻之位凡布算者稱太陽右移一度稍弱為一日又或動天左旋行三百六十一度稍弱為一日此則天行之健依赤道而平轉其數有常於是自子正厯丑寅復至子正因其運行之一周而均截之為時為刻以紀節候以求中積所謂時刻之數也凡測候者稱太陽行至某方位為某時為某刻此則太虚之體依赤道以平分其位一定於是亦自子正歴丑寅復至子正因其定位之一周而均分之為時為刻以測加時以候凌犯所謂時刻之位也之二者並宗赤道宜其同矣然推二分之日黄赤同㸃(經緯並同)二至之日黄赤同經(緯異經同)則數與位合(所算時刻)(之數太陽即居本位與所測加時之位一一相符)不用加減時其過此以徃則二分後有加分加分者太陽所到之位在實時西二至後有減分減分者太陽所到之位在實時東也然則所算實朔尚非實時乎曰實時也實時何以復有此加減曰正惟實時故有此加減若無此加減非實時矣盖此加減時分不因里差而異(九州萬國加減悉同非同南北東西差之隨地而變)亦不因地平上髙弧而改(髙弧雖有髙下加減時並同非若地半徑及濛氣䓁差之以近)(地平多近天頂少)而獨與實時相應(但問所得實時入某節氣或在分至以後或在分至)(以前其距分至若同即其加減時亦同是與實時相應也)故求加減時者本之實時而欲辨實時之真者亦即徴諸加減時矣其以二分後加二至後減何也曰升度之理也凡二分以後黄道斜而赤道直故赤道升度少升度少則時刻加矣二至以後黄道以腰圍大度行赤道殺狭之度故赤道升度多升度多則時刻減矣假如所算實朔巳定於某日午正時而以在二分後若干日當有加分則太陽加時之位必在午正稍西從而測之果在午正之西與加分數合即知實朔之在午正者真也又如所算實朔是未正而在二至後當有減分太陽加時之位必在未正稍東從而測之果在未正之東與減分數合即知實朔之在未正者確也加減時即視時也一曰用時其實朔時一曰平時加減時之用有二其一加減實時為視時則施之測騐可以得其正位如交食表之加減是其正用也其一反用加減以變視時為實時則施諸推步可以得其正算如月離表之加減是其反用也然其理無二故其數亦同也(月離表改用時為平時即是據所測視時求其實時以便入算)古今測騐而得者並以太陽所到之位為時故曰加時言太陽加臨其地也然則皆視時而已視時實時之分自厯書始發之然有至理厯家所不可廢也第九求(原為十求)月距地者何即月天之半徑也月天半徑而謂之距地者地處天中故也地恒處天中則半徑宜有恒距而時時不同者生於小輪也月行小輪在其髙度則距地逺矣在其卑度則距地近矣每度之髙卑各異故其距地亦時時不同也日半徑月半徑者言其體之視徑也論其真體日必大於月論其視徑日月略相䓁所以能然者日去人逺月去人近也然細測之則其两視徑亦時時不䓁此其故亦以小輪也日月在小輪髙處則以逺目而損其視徑在其卑處則以近日而増其視徑矣檢表法不同者視半徑表並起最髙而加減表太陽引數起最卑太隂引數起最髙故月實引只用本數而日實引加減六宫也并徑者日月两半徑之縂數也两半徑時時不同故其并徑亦時時不同而時分之深淺因之虧復之距分因之矣月實行者一小時之實行也其法以月距日之平行每日分為二十四限即一小時平行也各以其應有之加減分加減之即一小時之實行也雖虧復距甚未必皆為一小時而以此為法所差不逺(此與授時用遲疾行度内減八百二十分)(者同法)第十求(原為十一)縂時者何也以求合朔時午正黄道度分也何以不言度而言時以便與視朔相加也然則何不以視朔變為度曰日實度者黄道度也時分者赤道度也若以視朔時變赤道度亦必以日實度變赤道度然後可以相加今以日實度變為時即如預變赤道矣此巧算之法也其必欲求午正黄道何也曰以求黄平象限也(即表中九十度)(限)何以為黄平象限曰以大圏相交必互相均剖為两平分故黄赤二道之交地平也必皆有半周百八十度在地平之上(黄道赤道地平並為渾圓上大圏故其相交必皆中剖)其勢如虹若中剖虹腰則為半周最髙之處而两旁各九十度故謂之九十度限也此九十度限黄赤道並有之然在赤道則其度常居正午以其两端交地平常在卯正酉正也黄道則不然其九十度限或在午正之東或在午正之西時時不䓁(惟二至度在午正則九十度限亦在午正與赤道同法此外則無在午正者而且時)(時不同矣)其两端交地平亦必不常在卯正酉正(亦惟二至度在午正)(為九十度限則其交地平之處即二分㸃而黄道與赤道同居卯酉此外則惟赤道常居卯酉而黄道之交於)(地平必一端在赤道之外而居卯酉南一端在赤道之内而居卯酉北)而時時不等故也(黄道東交地平在卯正南其西交必酉正北而九十度限偏於午規之西若東交地平在卯正北其西交地平)(必酉正南而九十度限偏於午正之東則半周如虹者時時轉動勢使然也)盖黄道在地平上半周之度自此中分則两皆象限若從天頂作線過此以至地平必成三角而其勢平過如十字故又曰黄平象限也(地平圏為黄道所分亦成两半周若從天頂作弧線過黄平象限而引長之成地平經度)(半周必分地平之两半周為四象限而此經線必北過黄極與黄經合而為一)問黄平象限在午正必二至日有之乎曰否每日有之也凡太陽東升西沒成一晝夜則周天三百六十度皆過午正而西故每日必有夏至冬至度在午正時此時此刻即黄平象限與子午規合而為一每日只有二次也自此二次之外二至必不在午正而黄平象限亦必不在二至矣觀渾儀當自知之黄平象限表以極出地分何也曰凖前論地平上黄道半周中折之為黄平象限其两端距地平不䓁而自非二至在午正則黄道之交地平必一端近北一端近南(亦前論所明)極出地漸以髙則近北之黄道漸以出近南之黄道漸以沒而黄平象限亦漸以移此所以隨地立表也求黄平象限何以必用縂時曰黄平象限時時不同即午規之地亦時時不同是午正黄道與黄平象限同移也則其度必相應是故得午正即得黄平(黄平限為某度其午正必)(為某度謂之相應然則午正為某度即黄平限必某度矣故得此可以知彼)而縂時者午正之度也此必用縂時之理也日距限分東西何也曰所以定時差之加減也(凡用時差日在)(限西則加日在限柬則減)日距地髙何也曰所以求黄道之交角也(時差氣差並生於交角又)(生於限距地及限距日)二者交食之關鍵而非黄平象限無以知之矣日距地髙何也謂合朔時太陽之地平緯度也亦曰髙弧髙弧之度隨節氣而殊故論赤緯之南北赤緯之南北同矣又因里差而異故論極出地極出地同矣又以加時而變故又論距午刻分極出地者南北里差距午刻分者東西里差也合是數者而日距地平之高可見矣日赤緯加減宫數者何也緯表○宫起春分而日實度○宫起冬至故三宫以下加九宫三宫以上減去三宫以宫數變從緯表也視朔時加減十二時者何也求太陽距午刻分也日在地平上之弧度惟正午為髙其餘則漸以下或在午前或在午後皆以距午為㫁其距午同者髙弧之度亦同也視朔滿十二小時是朔在午後也故内減十二時用其餘為自午正順數若不滿十二時是朔在午前則置十二時以視朔減之而用其餘為自午正逆推即各得其距午之刻分矣其必求髙弧者何也所以求月髙下差也髙下差在月而求日距地髙者日食時經緯必同度故日在地平之髙即月髙也何以為月髙下差曰合朔時太隂之視髙必下於真髙其故何也月天在日天之内其間尚有空際故地心與地面各殊地面所見謂之視髙以較地心所見之真髙徃徃變髙為下以人在地靣傍視而見其空際也故謂之月髙下差(地心見食謂之真食地靣見食謂之視食真食有時反不見食見視食時反非地心)(之真食縱使地心地靣同得見食而食分深淺亦必不同凡此皆月髙下差所為也)月髙下差時時不同其縁有二其一為月小輪髙卑即第九求之月距地數也在小輪卑處月去人近則距日逺而空際多髙下差因之而大矣在小輪髙處月去人逺則距日近而空際少髙下差因之而小矣其一為髙弧即本求之日距地髙也髙弧近地平從旁視而所見空際多則髙下差大矣髙弧近天頂即同正視而所見空際少則髙下差小矣(若髙弧竟在天頂即與地心所見無殊無髙下差)小輪髙卑天下所同髙弧損益隨地各異故當兼論也两圏交角何也曰日所行為黄道圏以黄極為宗者也人在地平上所見太陽之髙下為地平經圏以天頂為宗者也此两圏者各宗其極則其相遇也必成交角矣因此交角遂生三差日食必求三差故先論交角也何以謂之三差曰髙下差也東西差也南北差也是謂三差三差之内其一為地平緯差即髙下差前條所論近地平而差多者也其一為黄道經差即東西差其一為黄道緯差即南北差此三差者惟日食在九十度限則黄道經圏與地平經圏(即髙弧)相合為一而無經差故但有一差(無經差則但有緯差是無東西差而有南北差也而两經緯既合為一則地平之髙下差又即為黄)(道之南北差而成一差)若日食不在九十度而或在其東或在其西則两經圏不能相合為一遂有三差(月髙下差恒為地平髙弧之緯)(差而黄道經圏自與黄道為十字正角不與地平經合以生經度之差角是為東西差又黄道上緯度自與黄)(道為平行不與地平緯度合以生緯度之差角是為南北差東西南北並主黄道為言與地平之髙下差相得)(而成句股形則東西差如句南北差如股而髙下差常為之弦合之則成三差也)因此三差有此方見日食彼方不見或此見食分深彼見食分淺之殊故交食重之而其源皆出於交角得數減象限何也以表所列為餘角也表何以列餘角曰三差既為句股形則有两圏之交角即有其餘角而交角所對者為氣差(即南北差)餘角所對者為時差(即東西差)作表者盖欲先求時差故列餘角然與两圏交角之名不相應故減象限而用其餘以歸交角本數也定交角何也所以求三差之真數也何以為三差真數曰日食三差皆人所見太隂之視差而其根生於交角則黄道之交角也殊不知太隂自行白道與黄道斜交其交於地平經圏也必與黄道之交不同角則所得之差容有未真今以隂陽厯交黄道之角加減之為定交角以比两圏交角之用為親切耳(詳補遺)時差古云東西差其法日食在東則差而東為減差減差者時刻差早也日食在西則差而西為加差加差者時刻差遲也其故何也太陽之天在外太隂之天在内並東陞而西降而人在地靣所見之月度既低於真度則其視差之變髙為下者必順於黄道之勢故合朔在東陞之九十度必未食而先見(限東一象限東下西髙故月之真度尚在太陽之西未能追及於日而以視差)(之變髙為下亦遂能順黄道之勢變西為東見其掩日矣)若合朔在西降之九十度必先食而後見(限西一象限黄道西下東髙故月之真度雖已侵及太陽之體宜得相掩而以)(視差之故變髙為下遂順黄道之勢變東而西但見其在太陽之西尚逺而不能掩日矣)而東西之界並自黄道九十度限而分此黄平象限之實用也問日月以午前東升午後西降何不以午正為限而用黄平象限乎曰此西法之合理處也何以言之日月之東升西降自午正而分者赤道之位終古常然者也日月之視差東減西加自九十度限而分者黄道之勢頃刻不同者也若但從午正而分則加減或至於相反授時古法之交食有時而踈此其一端也問加減何以相反曰黄平限既與午正不同度則在限為西者或反為午正之東在限為東者或反為午正之西日食遇之則加減相違矣假如北極出地四十度設午正黄道(即縂時)為寳瓶十七度其黄平限為䨇魚十一度在午正東二十四度而日食午初日實度躔二宫二度在限西九度宜有加差若但依午正而分則食在午前反當有減差是誤加為減算必先天矣又設午正為天蝎二度其黄平象限為天秤八度在午正西二十四度而日食午正後二刻日實度躔九宫二十四度距限東十六度宜有減差若但依午正而分則食在午後反有加差是又誤減為加算必後天矣時差表有倒用之說何也曰此亦因交角表誤列餘角也今既以交角表之數減九十度為用則交角已歸原度而此表不湏倒用矣近時距分者何也即視朔時或加或減之時刻分也所以有此加減者時差所為也然何以不徑用時差曰時差者度分也以此度分求月之所行則為時分矣(查厯指所謂時差即近時距分而東西差即時差表皆易之今姑從表以便查數也)近時何也所推視朔時與真朔相近之時也食在限東此近時必在視朔時以前故減食在限西近時必在視朔時以後故加十一求(原為十二)近縂時何也近時之午正黄道度也朔有進退午正之黄道亦因之進退故仍以近時距分加減十求之視朔午正度為本求之近時午正度既有近時又有近時之午正度則近時下之日距限及距限地髙日距地髙以及月髙下差两圏交角凡在近時應有之數一一可推因以得近時之時差矣(内除月距地數)(在九求日赤緯在十求並用原數其餘並改用近時之數故皆復求然求法並同十求)既得時差可求視行視行者何也即近時距分内人目所見月行之度也何以有此視行曰時差所為也盖視朔既有時差則此時差所到之度即視朔時人所見月行所到差於實行之較也視朔既改為近時則近時亦有時差而又即為人所見近時月行所到差於實行之較矣此二者必有不同則此不同之較即近時距分内人所見月行差於月實行之較矣故以此較分加減時差為視行也本宜用前後两小時之時差較加減月實行為視行(如用距分減視)(朔者則取視朔前一小時之時差若距分加視朔者則取視朔後一小時之時差各取視朔時差相減得較以)(加減月實行即為一小時之視行)再用三率比例得真時距分法為月視行與一小時若時差度與真時距分也今以近時内之視行取之其所得真時距分䓁何以明其然也曰先得時差即近時距分之實行也實行之比例䓁則視行之比例亦䓁一 一小時實行 一小時視行 法為一小時之實行與二 一小時 一小時 一小時若時差度與近三 時差(近時距分之實行)視行(即近時距分之視行)時距分則一小時之視四 近時距分 近時距分 行與一小時亦若視行度與近時距分也一 一小時視行 視行 今一小時視行與一小二 一小時 近時距分 時既若時差與真時距三 時差 時差 分則視行與近時距分四 真時距分 真時距分 亦必若時差與真時距分矣問視行之較一也而或以加或以減其理云何曰凡距分之時刻變大則所行之度分變少故減實行為視行若距分之時刻變小則所行之度分變多故加實行為視行假如視朔在黄平限之東時差為減差而近時必更在其東其時差亦為減差乃近時之時差所減大於視朔所減是為先小後大其距分必大於近時距分而視行小於實行其較為減又如視朔在黄平限之西時差為加差而近時必更在其西時差亦為加差乃近時之時差所加大於視朔所加是亦為先小後大其距分亦大於近時距分而視行亦小於實行故其較亦減二者東西一理也若視朔在黄平限東其時差為減而近時時差之所減反小於視朔所減又若視朔在黄平限西其時差為加而近時時差之所加反小於視朔所加此二者並先大後小則其距分之時刻變小矣時刻變小則視行大於實行而其較應加東西一理也如圖戊爲黄平象限甲爲視朔甲乙爲視朔時差甲丙甲丁並近時時差其甲乙時差爲視朔時順黄道而差低之度變爲時卽爲近時距分此分在限東爲減差若在限西卽爲加差其理一也若以甲丙爲近時差則大於甲乙其較度乙丙依實行比例求其較時則距分變而大矣距分變大者行分變小法當於甲乙差度内減去乙丙較度(卽乙庚)其餘如甲庚則是先定甲乙距分行行甲乙度者爲實行而今定甲乙距分只行甲庚度者爲視行也故在東在西皆減也又若以甲丁爲近時差則小於甲乙其較乙丁依實行比例求其較時則距分變而小矣距分變小者行分變大法當於甲乙差度外加入乙丁較度(亦卽乙庚)成甲庚則是先定甲乙距分行甲乙度者為實行而今定甲乙距分能行甲庚度者為視行也故在東在西皆加也㨗法用倍時差減近時差何也曰即加減也何以知之曰凡時差先小後大者宜減今於倍小中減一大是於先得時差内加一小時差減一大時差也即如以較數減先時差矣先大後小者宜加今於倍大内減一小是於先得時差内加一大時差減一小時差也即如以較數加先時差矣數既相合而取用不煩法之善者也真時距分者何也即視朔時或加或減之真時刻也其數有時而大於近時距分亦有時而小於近時距分皆視行所生也視行小於實行則真時距分大於近時距分矣視行大於實行則真時距分小於近時距分矣其比例為視行度於近時距分若時差度與真時距分也真時何也所推視朔之真時刻也真時在限東則必早於視朔之時真時在限西則必遲於視朔之時此其於視朔並以東減西加與近時同惟是真時之加減有時而大於近時有時而小於近時則惟以真時距分為㫁不論東西皆一法也若真時距分大於近時距分而在限東則真時更先於近時在限西則真時更後於近時是東減西加皆比近時為大也若真時距分小於近時距分而在限東則真時後於近時在限西則真時先於近時是東減西加皆比近時為小也十二求(原為十三)真縂時何也真時之午正黄道也故仍以真時距分加減視朔之縂時為縂時(即是改視朔午正度為真時午正度)近時既改為真時即食甚時也然容有未真故復考之考之則必於真時復求其時差而所以求之之具並無異於近時所異者皆真時數耳(謂日距限限距地髙日距地髙月髙下差两圏)(交角䓁項並從真時立算)是之謂真時差既得真時差乃别求真距度以相恭考則食甚定矣(考定)(真時全在此處)何以為真距度曰即真時距分内應有之月實行也盖真時差是從真時逆推至視朔之度真時距分内實行是從視朔順推至真時之度此二者必相等故以此考之考之而䓁則真時無誤故即命為食甚定時也其或有不䓁之較分則以法變為時分而損益之於是乎不䓁者亦歸於相䓁是以有距較度分考定之法也距較度分者距度之較也損益分者距時之較也其比例亦如先得時差度與真時距分故可以三率求也真時差大者其距時亦大故以益真時距分益之則減者益其減原在限東而真時早者今乃益早若加者亦益其加原在限西而真時遲者今則益遲矣 真時差小者其距時亦小故以損真時距分損之則減者損其減原在限東而真時早者今改而稍遲若加者亦損其加原在限西而真時遲者今改而稍早矣如是考定真時距分以加減視朔為真時即知無誤可謂之考定食甚時也氣差古云南北差凖前論月在日内人在地靣得見其間空際故月緯降髙為下夫降髙為下則亦降北為南矣此所以有南北差也(南北差生於地勢中國所居在赤道之北北髙南下故也)然又與髙下差異者自天頂言之曰髙下自黄道言之曰南北惟在正午則两者合而為一髙下差即為南北差其餘則否氣差與時差同根故有時差即有氣差而前此諸求但用時差者以食甚之時未定重在求時也今則既有真時矣當求食分故遂取氣差也(時差氣差並至真時始確)十三求(原為十四)距時交周何也即實朔距真時之交周行分也故以實朔與真時相減之較查表數然何以不用視朔曰原算實交周是實朔故也定交周者何也真時之月距交度也食甚既定於真時則一切視差皆以食甚起算故必以實朔交周改為食甚之交周斯之謂定交周也月食黄緯者食甚時月行隂陽厯實距黄道南北之緯度也月視黄緯者食甚時人所見月距黄道南北緯度則氣差之所生也月行白道日行黄道帷正交中交二㸃月穿黄道而過正在黄道上而無距緯其距交前後並有距緯而每度不同然有一定之距是為實緯實緯因南北差之故變為視緯即無一定之距隨地隨時而異但其變也皆變北為南假如月行隂厯實緯在黄道北則與黄道實逺者視之若近焉故以氣差減也若月行陽厯實緯在黄道南則與黄道實近者視之若逺焉故以氣差加也至若氣差反大於實緯則月雖隂厯其實在黄道北而視之若在南故其氣差内減去在北之實緯而用其餘數為在南之視緯也并徑減距者何也并徑所以定食分減距所以定不食之分也距者何也卽視緯也并徑則日月两半徑之合數也假令月行陰厯其北緯與南北差同則無視緯可減而并徑全爲食分其食必旣其餘則皆有距緯之減而距大者所減多其食必淺距小者所減少其食必深是故并徑減餘之大小卽食分之所由深淺也若距緯大於并徑則日月不相及或距緯等於并徑則日月之體相摩而過不能相掩必無食分矣并徑内又先減一分何也曰太陽之光極大故人所見之食分必小於眞食之分故預減一分也然則食一分者卽不入算乎曰非也并徑之分度下分也(毎六十分爲一度)食分之分太陽全徑之分也(以太陽全徑十平分之假)(令太陽全徑三十分則以三分爲一分)是故并徑所減之一分於食分只二十餘秒問日月兩半徑旣時時不同則食分何以定曰半徑雖無定而比例則有定但以并徑減餘與太陽全徑相比則分數覩矣(分太陽全徑爲十分卽用爲法以分并徑減距之餘分定其所食爲十分中幾)(分)有時太陰徑小於太陽則雖兩心正相掩而四面露光厯家謂之金環是其并徑亦小於太陽全徑雖無距緯可減而不得有十分之食故也(細草原用表今改用三率)(其理較明法亦簡易)十四求日食月行分者何也乃自虧至甚之月行度分也(自甚至復)(同用)其法以并徑減一分常為弦視緯常爲句句弦求股卽得自食甚距虧與復之月行度分矣(按此卽授時厯開方求定用分之法所異者并徑時時增減與舊法日月視徑常定不變者殊耳)前總時何也卽食甚前一小時之午正度也得此午正度卽可得諸數以求前一小時之時差謂之前時差前時差與眞時差之差分卽視行與實行之差分故以差分加減實行得視行也假如日在限西而前時差大於眞時差是初虧所加多而食甚所加反少也以此求虧至甚之時刻則變而小矣時刻小則行分大故以差分加實行爲視行若日在限西而前時差小於眞時差是初虧所加少而食甚所加漸多也以此求虧至甚之時刻則變而大矣時刻大則行分必小故以差分減實行爲視行若日在限東而前時差大於眞時差是初虧所減多而食甚所減漸少也以此求虧至甚之時刻則變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行爲視行若日在限東而前時差小於眞時差是初虧所減少而食甚所減反多也以此求虧至甚之時刻則變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行爲視行食甚定交角滿象限不用差分何也無差分也何以無差分曰差分者時差之較也食甚在限度卽無食甚時差無可相較故初虧徑用前時差復圓徑用後時差又食甚在限度則初虧距限東而前時差恒減復圓距限西而後時差恒加減時差則初虧差而早加時差則復圓差而遲其距食甚之時刻並變而大也時刻大者行分小故皆減實行為視行(又若初虧復圓時定交角滿象限亦無差分而徑用食甚之時)(差減實行爲視行與此同法其初虧復圓距食甚之刻分亦皆變大而行分變小也視行之理此爲較著)初虧距時分者初虧距食甚之時刻也用上法得視行爲食甚前一小時之數而初虧原在食甚前則其比例爲視行之於一小時猶日食月行之於初虧距時故可以三率取之也(日食月行減一義見前條)既得此初虧距分則以減食甚而得初虧時刻也十五求後縂時者即食甚後一小時之午正度分也用此午正度得諸數以求後一小時之時差為後時差又以後時差與真時差相較得差分以加減實行為視行並同初虧但加減之法並與初虧相反假如日在限西而後時差大於真時差是食甚所加少而復圓所加多則甚至復之時刻亦變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行為視行若日在限西而後時差小於真時差是食甚所加多而復圓所加反少則甚至復之時刻亦變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行為視行假如日在限東而後時差大於真時差是食甚所減少而復圓所減反多則甚至復之時刻變而小矣時刻小者行分大故以差分加實行為視行若日在限東而後時差小於真時差是食甚所減多而復圓所減少則甚至復之時刻變而大矣時刻大者行分小故以差分減實行為視行(食甚在限度求視行之理已詳十四求)復圓距時分三率之理並與初虧同惟復圓原在食甚後故加食甚時刻為復圓時刻十六求黄道宫度内減宿鈐何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小於日實度宫度故以相減之較為食甚時所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星東行之度即古嵗差法也因嵗差所加故有宿鈐在日實度以下而變為日實度以上則食甚時所入非其宿矣故退一宿用之也其以嵗差(五十一秒)乘距算(本年距歴元戊辰)之數各宿並同雖退一宿所加不異也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度則不可以升度取何也各宿距星多不能正當黄道而在其南北各有緯度故必以弧三角求之為正法也此後原有十七求以算東西異號今省不用何也曰東西異號之算厯書語焉不詳故細草補作之亦有思致但所求者仍為黄平象限之東西故必復求定交角今於十四求十五求即得定交角為白道限度之東西簡易直㨗可不必更多葛籐矣故省之也附說補遺求縂時條加減十二時問求縂時與求日距地髙二條並以視朔與十二時相加減然後用之而用法不同何也曰求縂時條是欲得午正黄道距春分之升度故並從午正後順推(如視朔過十二)(時則内减十二時而用其餘數是從午正後數其距視朔之時刻也若視朔不及十二時則以十二時加之是)(從先日午正後數其距今視朔之時刻也故其法皆為順數)日距地髙條是欲得視朔距午正之度故各從午正前後順推逆數(如視朔為十二時去)(之而用其餘數是從視朔時逆推其己過午正之刻也若視朔不滿十二時則置十二時以視朔時减之而用)(其餘數是從視朔順數其未及午正之刻也二其視朔滿十二時減去之两法並同惟視朔不滿十 時用法)(則異)附又法問視朔在午前若用減十二時法亦可以得縂時乎曰可其法亦如求日距地髙置十二時以視朔時减之求到視朔未至午之刻去減日實度距春分時刻(即九十度表第)(二行對日實度之時刻)亦即得縂時與上法同此法可免加滿二十四時去之然遇日實度距春分時刻不及減又當加二十四時然後可減矣假如日實度是春分後相距只一時而視朔在午正前三時是爲日實度小不及減法當以日實度加二十四時作二十五時減去三時餘二十二時爲總時定交角或問問定交角滿象限以上反其加減何也曰此變例也西厯西加東減並以黄道九十度限爲宗今用定交角則是以白道九十度限爲宗而加減因之變矣問白道亦有九十度限乎歴書何以未言曰歴書雖未言然以大圏相交割之理徵之則宜有之矣何則月行白道亦分十二宮(視月緯表可見)則亦爲大圏其交於地平也亦半周在地平上則其折半之處必爲白道最高之處而亦可名之爲九十度限矣(或可名白道限度)若從天頂作高弧過此度以至地平則成十字正角而其圏必上過白道之極成白道經圏與黄平象限同(黄平象限上十字經圏串天頂與黄道極故亦成黄道經圏與此同理)月在此度卽無東西差而南北差最大與高下差等(前論月在黄平象限無東)(西差而卽以高下差爲南北差其理正是如此但月行白道當以白道爲主而論其東西南北始爲親切)若月在此度以東則差而早宜有減差在此度以西則差而遲宜有加差但其加減有時而與黄平象限同有時而與黄平限異故有反其加減之用也問如是則白道亦有極矣極在何所曰白道有經有緯(凡東西差皆白道經度南北差皆白道緯度)則亦有南北二極為其經緯之所宗但其極與黄極恒相距五度以為定緯(雖亦有小小増減而)(大致不變)其經度則嵗嵗遷動至滿二百四十九交而徧於黄道之十二宫則又復其始(約其數十九年有竒)法當以黄極為心左右各以五緯度為半徑作一小圓以為載白道極之圏再以正交中交所在宫度折半取中即於此度作十字經圏必串白道極與黄道極矣則此圏之割小圓㸃即白道極也問何以知此圏能過黄白两極也曰此圏於黄道白道並作十字正角故也(凡大圏上作十字圏必過其極)問此圏能串两極則限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白兩極而未必其串天頂如黄道上極至交圏也若限度則必串天頂以過白極而未必其過黄極如黄道上之黄平限也是故白道上度處處可為限度亦如黄道上度處處可為黄平限但今在地平上之白道半周某度最髙即其两邉距地平各一象限從此度作十字經圏必過天頂而串白道之两極何也此圏過地平處亦皆十字角即與地平經圏合而為一所謂月髙下差即在此圏之上矣(惟白道半交為限度能與黄平限同度此外則否况近交乎故)(必用定交角也)以定交角推白道限度白道限度大約在黄道交角之八十五度(定交角三此滿象限過此)(則有異號)若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之東乃白道限度則更在其東而原以限東宜減者今或以定交角大而變為限西宜加矣若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而變為限東宜減矣以上二宗並離午正益逺交食遇此則古法益踈而新法猶近若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其東而原以限東宜減者今以定交角大而變為限西宜加矣若定交周是五宫六宫而黄平限在午正東乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而變為限東宜減矣以上二宗並離黄平限而近午正交食遇此則有時古法反親而新法反踈若白道限度徑在午正則古法宻合矣由是觀之加減東西差宜論白道明甚厯書略不言及豈非缺陷之一大端問定交角者所以變黄道交角為白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生於限度者也交角變則限度移矣故先得限度可以知交角(交角之向指以距限東西而異交角)(之大小以距限逺近而殊)而既得交角亦可以知限度故不必復求限度也其加減以五度何也曰取整數也古厯測黄白大距為六度(以西度通之得五度五十四分竒)西厯所測只五度竒而至於朔望又只四度五十八分半今論交角故祗用整數也(若用)(弧三角法求白道限度所在及其距地之髙並可得交角細數然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前)(交後故也)問五度加減後何以有異號不異號之殊曰近交時白道與黄道低昻異勢者也(惟月在半交能與黄道平行亦如二至黄道之與赤道平)(行也若交前交後斜穿黄道而過不能與黄道平行亦如二分黄道之斜過赤道也故低昻異勢)然又有順逆之分而加減殊焉其白道斜行之勢與黄道相順者則恒減減惟一法(减者角損而小也雖改其度不變其向)若白道與黄道相逆者則恒加加者多變遂有異號之用矣(加者角増)(而大也増之極或滿象限或象限以上遂至改向)是故限西黄道皆西下而東髙限東黄道皆西髙而東下此黄道低昻之勢因黄平象限而異者也而白道正交(○宫十一宫也即古法之中交)自黄道南而出於其北亦為西下而東髙(黄道半周在地平上者偏於天頂之南以南為下北為上正交白道自南而北如先在黄道之下而)(出於其上故比之黄道為西下而東髙也)白道中交(五宫六宫也即古法之正交)自黄道北而出於其南亦為西髙而東下(白道自北而南如先在黄道之上而出於)(其下故比之黄道為西髙而東下也)假如日食正交而在限西日食中交而在限東是為相順相順者率於交角減五度為定交角是角變而小矣角愈小者東西差愈大故低昻之勢増甚而其向不易也(限西黄道本西下東髙而正交白道又比黄道為西下東髙則向西之角度變小而差西度増大其時刻)(遲者益遲矣限東黄道本西髙東下而中交白道又比黄道為西髙東下則向東之角度變小而差東之度増)(大其時刻早者益早矣是東西之向不易而且増其勢也)假如日食正交而在限東日食中交而在限西是為相逆相逆者率於交角加五度為定交角是角變而大矣角愈大者東西差愈小故低昻之勢漸平而甚或至於異向也(限東黄道本西髙東下而正交白道比黄道為西下東髙則向東之角漸大而差東度改小時)(刻差早者亦漸平若加滿象限則無時差乃至滿象限以上則向東者改而向西時刻宜早者反差遲矣限西)(黄道本西下東髙而中交白道為西髙東下則向西之角漸大而差西度改小時刻差遲者亦漸平若加滿象)(限則無時差乃至滿象限以上則向西者改而向東而時刻宜遲者反差而早矣)凡東西差為見食甚早晚之根如上所論定交角所生之差與黄道交角無一同者則欲定真時刻非定交角不可也若但論黄道交角時刻不真矣凡東西差與南北差互相為消長而南北差即食分多少之根如上所論則欲定食分非定交角不能也但論黄道交角食分亦悞矣差分有用併之理問差分本以两時差相較而得(十四求已有備論)今乃有用併之法何也曰異號故也此其白道限度必在两食限之間(或限度在甚與復两限之間則食甚在限東而復圓限而或限度在虧與甚之間則食甚在限西而初虧)(限東)两食限一距限東一距限西其两時差必一為減號一為加號是為東西異號無可相較故惟有相併之用也乃若定交角大於象限則先為同號而變為異號其食甚必在黄平限及白道限度之間(食甚在黄平限西白道限度東則先推食)(甚復圓同號者變為異號矣食甚在黄平限東白道限度西則先推食甚初虧同號者變為異號矣)两食限既變為東西異號則其两時差亦一加一減變為相併矣問異號恒相併固也乃復有定交角過九十度而仍用相較為差分者何也曰此異號變為同號也其黄平限必在两食限之間而白道限度或反在食限之外則能變異號為同號(假令黄平限在復與甚之間甚距限東復距限西本異號也而復圓之定交角)(過象限則白道限度必又在復圓之西而先推黄平限復圓在西者今推白道限度復圓在限東即復圓食甚)(變為同號矣又加黄平限在虧與甚之間虧距限東甚距限西本異號也而初虧之定交角過象限則白道限)(度必又在初虧之東而先推黄平限初虧在東者今推白道限度初虧在限西即初虧食甚變為同號矣)又如前論食甚在黄平限及白道限度之間能變同號為異號即亦能變異號為同號(凖前論食甚在黄平限西白道限度東能變食)(甚與復圓異號則先推食甚與初虧異號者今反同號矣若食甚在黄平限東白道限度西能變食甚與初虧)(異號則先推食甚與復圓異號者今反同號矣)凡此之類變態非一皆於定交角取之故可以不用十七求也相併為差分者並減實行為視行之理問用差分取視行有減實行加實行之異而相併為差分者一例用減何也曰凡相較為差分者有前小後大前大後小之殊故其於實行有減有加(觧見前條)減者常法加者變例也(凡減實行為視行者在限東者益差而東在限西者益差而西食限中如此者多故)(為常法若加實行為視行者限東者反損其差東之度在西者反損其差西之度乃偶一有之故為變例)若相減為差分者不論前後之大小縂成一差故於實行有減無加只用常法也(十四求附說論食甚初虧復圓三限定交角滿象限並用時差)(減實行與此同理盖彼以無可相較故徑用一時差此則雖有两時差不以相較而且以相益故其時刻並變)(大而行分變小故皆減實行為視行也)己為天頂 庚為黄道極 丑寅癸為地平 子為黄平象限度 子辛丙癸為地平上黄道之一象限 甲乙丁壬為黄道北緯 己乙丙寅為地平經圏 乙為天上太隂實緯(在黄道北) 丙為人所見太隂視度(正當黄道)乙丙為髙下差(是地平上髙弧差) 乙丁為東西差(是黄道經度差)丙丁為南北差(是黄道緯度差) 盖髙卑差以天頂為宗下至地平為直角南北差以黄極為宗下至黄道為直角東西差以中限為宗下至黄極為直角而其根皆生於地靣與地心不同視之故也設太隂實髙在乙視髙在庚髙弧上乙庚之距為髙下差從黄極出經線至太隂實度(乙)又從黄極出經綫至視度庚必過(丁)黄道上乙丁之距為東西差實度乙正當黄道視度庚在黄道南其距丁庚緯度與乙丙䓁是為南北差設太隂實髙在庚視髙在乙髙弧上庚乙之距為髙下差從黄極出經綫二一過實髙庚指黄道度丁一過丙至視度乙黄道丁乙之距為東西差(與丙庚䓁)實度庚在黄道北其緯度庚丁與丙乙䓁視度乙正當黄道無緯度丙乙為南北差(與丁庚䓁)設太隂實髙在辛視髙在庚髙弧上辛庚之距為髙下差從黄極出經綫二一過太隂實髙度辛至黄道乙乙為實度一過北緯甲及黄道丁至太隂視髙度庚丁為視度黄道上乙丁之距為東西差(與甲辛丙庚䓁)月實緯辛在黄道北其距辛乙與甲丁䓁視緯庚在黄道南其距丁庚與乙丙䓁甲庚為南北差(與辛丙䓁)厯算全書卷二十七
## 卷二十八
欽定四庫全書厯算全書卷二十八宣城梅文鼎撰交食䝉求卷三(訂補)月食一求諸平行首朔根 查二百恒年表本年下首朔等五種年根并紀日錄之朔策望策 用十三月表以所求某月五種朔策并望策之數録於各年根之下平望 以首朔日時與朔策望策并紀日并之(滿二十四時進一日滿六十日去之)太陽平引 以太陽引根與朔策望策并之(滿十二宫去之)(後並同)太隂平引 以太隂引根與朔策望策并之交周平行 以交周度根與朔策望策并之隨視其宮度以辨食限○宮○六宮十五度以内五宮十一宮十五度以外以上宮度俱有食太陽經平行 以太陽經度根與朔望二策并之二求日月相距日定均 以太陽平引宫度查一卷加減表如平引滿三十分進一度查之(記加減號)月定均 以太隂平引宫度查一卷加減表如平引滿二十分進一卷查之(記加減號)距弧 以日月定均同號相減異號相併即得距時 以距弧度分於四行時表月距日横行内查得相當或近小數以減距弧得時(視相當近小數本行上頂格所書時數錄之即是)其餘數再如法查取得時之分秒(依上法用相當近小數取之)并所查數即為距時隨定其加減號两均同加者日大則加 日小則減两均同減者日大則減 日小則加两均一加一減者 加減從日三求實引日引弧 以距時時及分查四行時表太陽平行两數并之(依距時加減號)日實引 置太陽平引以日引弧加減之即得月引弧 查四行時表取距時時分下太隂平行两數并之(依距時加減號)月實引 置太隂平引以月引弧加減之即得四復求日月相距日實均 以日實引宫度查一卷加減表如實引滿三十分進一度查之(記加減號)月實均 以月實引宫度查一卷加減表如實引滿三十分進一度查之(記加減號)實距弧 以日月實均同減異加即得實距時 以實距弧度分查四行時表與前距時同(加減號亦同前)五求實望實望 置平望以實距時加減之即得如加滿二十四時則進一日不及減借二十四時減之(則實望退一日)六求實交周交周距弧 查四行時表實距時時分下交周平行两數并之即得(依實距時加減號)交周次平行 置交周平行以交周距弧加減之即得(凡加者滿三十度進一宫滿十二宫去之為○宫減者遇所減度數反小則加)(三十度退一宫減之○宫度不及減則加十二宫然後減之)實交周 置月實均(記加減號)以加減交周次平行即得七求月距黄緯月距黄緯 以實交周查太隂距度表依中比例法求之假如實交周十一宫十九度十四分先以十九度查得五十六分五十三秒又以十九度與二十度之數相減得較五分○七秒化作三百○七秒與實交周小餘十四分相乘用六十分為法除之得七十一秒収作一分十一秒以減十九度之數得五十五分四十二秒即月距緯(其緯在南)中比例加減法 視表上數前(少多)後(多少)者(加減)又法 視表上宫名在上者以所得中比例數加○宫六宫是也 表上宫名在下者以所得中比例數減五宫十一宫是也辨交食月緯南北法視實交周是(○六)宫(五一十)宫其緯在(北南)八求徑距較數月半徑 以月實引查二卷視半徑表即得影半徑 月半徑下層即景半徑景差 以日實引加減六宫查視半徑表即得實景 景半徑内減去景差即實景并徑 以實景加月半徑即得并徑減距 置并徑以月距緯減之即得如距緯大於并徑不及減則不得食矣九求食分食分 以月半徑倍之為一率并徑減距為二率月食十分為三率二三相乘一率除之即得食分十求躔離實度日距弧 以實距時時分查四行時表太陽平行两數并之即得(依實距時加減號)日次平行 置太陽經平行以日距弧加減之即得日實度 置日實均(記加減號)以加減日次平行即得月實度 以日實度加減六宫即月實度(記寫宫名)十一求視望加減時 以日實度查一卷加減時表即得(記加減號)視望 置實望以加減時加減之即得十二求所食時刻月實行 以月實引查二卷太隂實行表得之(實行)(表三度一查假如某宫一度二度俱在○度下查若四度五度俱在三度下查)(餘倣此)初虧距弧 以距緯加并徑與并徑減距相乘平方開之即得初虧距(時分) 置距弧用三率法化時即得食既距弧 實景内減去月半徑餘數與距緯相加為和相減為較和較相乘平方開之即得食既距(時分) 置距弧用三率法化時即得三率法月實行化秒為一率六十分為二率(初虧)(食既)距弧化秒為三率求得(初虧食既)距(時分)為四率初虧時刻 置視望以初虧距(時分)減之即初虧時刻復圓時刻 置視望以初虧距(時分)加之即復圓時刻食限縂時 復圓時刻内減去初虧時刻即縂時食既時刻 置視望以食既距(時分)減之即食既時刻生光時刻 置視望以食既距(時分)加之即生光時刻既限縂時 生光時刻内減去食既時刻即得十三求宿度黄道宿 以黄道距宿鈐減月實度即得(記寫宿名)其宿鈐每年加嵗差行五十一秒如實度小於宿鈐不及減改前宿赤道宫度 以月實度用弧三角求之即得(記寫宮名)(求赤道經緯弧三角法見日食䝉求下同)赤道宿度 以所入宿黄道經緯(加過嵗差之宫度為經其緯用恒星)(表取之)用弧三角法求到本宿赤道經度以減月赤道度得食甚時赤道宿度(如不)(及減取前一宿如法用之)十四求各限地平經緯各限交周 置實交周以初虧食既距弧加減之得各限交周(以查月距度表得各限月緯)黄白差角 定為四度五十九分(此朔望交角也各限有微差可以不論)是○宫(十一)宫上方差角在黄經度西是五宫六宫上方差角在黄經度東用月實度入極圏交角表取其餘度即得是(○一二三四五)宫上方差角在赤經度西是(六七八一九十十)宫上方差角在赤經度東月赤道差 以所推黄白黄赤两差角東西同號者相併異號者相減即得(記東西號)其異號以小減大並以度之大者為主命其東西以上所推食甚時差角各限同用(各限亦有微差可以勿論)距午度分 置各限時刻如在子後者即為距午時(此從午正順數)如食在子前者置二十四時以各限時刻減之餘為距午時(此從午正逆推)再以時變為度即得各限太隂距午度分時變度法 每一時變十五度每時下一分變度下十五分時下四分成一度時下一秒變度下十五秒時下四秒成一分秒滿六十収為分分滿六十収為度各限髙度(即地平緯)以極距天頂為一邉月實度距北極為一邉(以黄赤距度南加北減象限得之)二邉相加為縂相減為存存縂各取餘弦相加減(縂弧不過)(象限相減縂弧過象限相加若存弧亦過象限則仍相減)並折半為初數(各限同用)乃以各限距午度取其矢(距午)(度過象限則用大矢)以乘初數去末五位為矢較用加存弧矢得對弧矢矢減半徑得餘弦命為髙度正弦查表得髙度(所得對弧即月)(距天頂乃髙度之餘故其餘弦即髙度正弦)一率(半徑)二率(角之矢)三率(初數)四率(两矢較)各限方向(即地平經)以極距天頂為一邉月距天頂為一邉(髙度之餘)二邉相加為縂相減為存存縂各取餘弦相加減(並如髙度法)如法取初數(各限)(不同)乃以月距北極為對弧取其矢(月在赤道)(南用大矢)與存弧矢相減為矢較進五位為實初數為法實如法而一得所求矢(即地)(平經度皆子午規所作天頂角度分之大小矢)矢與半徑相減得餘弦查其度命為月距正子午方地平經度(凡正矢去減半徑得鋭角餘弦其度子後食者逆推子前食者)(順數並距正子方立算大矢内減半徑得鈍角餘弦其度子後食者順數子前)(食者逆數並距正午方立算即得各限月在地平上方位)一率(初數)二率(两矢較)三率(半徑)四率(角之矢)地經方位度分鈐(鋭角用本度鈍角用外角度並以餘弦查表取之)地經赤道差 以月距北極為一邉月距天頂為一邉二邉相加為縂相減為存存縂各以餘弦相加減(如前法)取初數(各限不同)以天頂距北極為對邉取其矢(各限同用)與存弧矢相減得矢較進五位為實初數為法實如法而一得差角矢(從北極作赤道經圏過月心又從天頂作髙弧過月心得此差角)矢減半徑得餘弦命度(記東西號)地經白道差 置所推地經赤道差以月赤道差加減之(東西同號者相併異號者相減)即得各限白道經度差於地經髙弧之數(記東西號)若月赤道差大於地經赤道差法當反減其號東西互易並以月赤道差之號命其東西(月食)(有初虧子前復圓子後者各依本限論之各限時刻在子前用子前法在子後)(用子後法) 此線所指即月行白道之極(猶赤)(經線之指北極)訂補月食繪圖法赤經主綫 縂圖先作立綫以象赤道經此綫上指北極下指南極綫左為東綫右為西為作圖主綫闇虚食限 主綫上取一㸃為心地景半徑為度作圓形以象闇虚 又以闇虛心為心併徑(景半徑月半徑相加)為度作大圓於闇虛之外是為食限 又徑較為度(景半徑月半徑相減)作小圓於虚闇之内是為既限黄道交角 以月實度入極圏交角表取之命為食甚時黄道與赤經所作之角黄道綫 依黄道交角度分作角於主綫左右皆自主綫起算數食限上度分作識向闇虚心作直綫令两端透出即上下各成相對二角並如黄道交赤道之角而此線象黄道凡上方角度(右順左逆)下方角度(左順右逆)並自主綫起算數食限大圓周度分作識從此作過心直綫至對邉則角度皆䓁白道經度 依所推月赤道差角於赤經左右數其度(亦借圓邉數之其左右如先所推)作識嚮圓心作直綫而透出之即食甚時白道經綫白道 虧復各取月緯於黄道上下作两平行虚綫(陽厯用南緯此二平行綫作於黄道下方隂厯用北緯作两平行綫)(於黄道上方)虚綫两端必與食限大圓相遇而各成一㸃依法各取其合用之㸃聫為一直綫即自虧至復所行白道也(交前)(先逺後近以逺㸃為初虧近㸃為復圓交後先近後逺以近㸃為初虧逺㸃為)(復圓初虧㸃在西復圓㸃在東隂陽厯並同一法)白道綫與經綫相遇成十字角十字中心一㸃即食甚時月心所到也以月半徑為度從心作圓形以象食甚時月體即見其為闇虛所掩分數與所推月食分秒相符(法以月體匀分十分即見此時月入闇虚若干分數或全)(在其中而為食既或深入其中而食既外尚有餘分一一皆可見)又此時月心與闇虛心正對其相距之分即食甚時月緯與所推亦合虧復真象 又以白道割外圓之㸃各為心月半徑為度作小圓二以象初虧復圓時月體即見初虧時月以邉漸入闇虛復圓時月體全出闇虛其先缺後盈之㸃皆有定在食既生光 若食既者白道必横過内園(即既限)亦相割成两㸃即食既生光時月心所到也两㸃各為心月半徑為度作圓形二以象食既生光時月體即見食既時月體全入闇虛而光盡失生光時月體漸出闇虚而光欲吐其欲既未既欲吐未吐之時月體必有一㸃正切闇虛之邉皆有定處取白道簡法 不必求虧復月緯但以月距黄緯於白道經綫作識(隂厯在北陽厯在南並距闇虚心立算)為食甚月心所到從此作横綫與經綫十字相交即成白道(餘同上)右縂圖以上為北下為南左為東右為西中西厯法所同也若月食子正即赤道經與午規為一而所測如圖然各限時刻不同(假如初虧子正復圓必在子後若復圓子正初虧必在子)(前相距有十二三刻以上化為度有相距三四十度以上)則經綫午規相離而南北東西易位食近卯酉變態尤多非精於測算不能明也故有後法新増月食分圖法髙弧主綫 作立綫以象髙弧(上指天頂下指地平)不論東西南北在何方位並以天頂為宗直指其上下左右是為各限繪圖之主綫白道綫 主綫上取一㸃為心規作月體(並以所推月半)(徑度分為半徑其周分三百六十度)月邉上方數所推各限地經白道差之度作識(差東者逆數向左差西者)(順數向右並從主線上方割圓周處起算)從此作過心直綫即白道經綫也於月心作横綫與白道經綫十字相交以象白道十分真像 白道經綫上於月心起算取月距黄緯作識(隂厯作識於月心之下方陽厯作識於月心之上方並如月距黄緯)(度分以月半徑之度凖之)即闇虚心也(月距黄緯即食甚時两心)(之距)闇虚心為心實景半徑為度作圓分於月體即見食甚時月入闇虚被掩失光晦明邉際了了分明受蝕處所 視月邉所缺若干度分(在月全周三百六十度中虧若)(干)其與白道經綫相割處必正對闇虚(即缺邉度折半取中之㸃)即舊法所謂月食方位也此㸃或在月體之上或在月體之下與其左右一一可指其餘光若新月或大或小必皆曲抱此㸃而斜側仰俯皆可豫定其形(算缺邉度法别具)若食既者不用此條食之深淺 又以月體全徑分為十分(於白道經綫上分之)即食甚時虧食深淺或被食若干分數而有餘光或全入闇虚月光全失而為食既(即食十分)或深入闇虛而食既之外尚有餘分(即食十一二分以上至十六七分不䓁)並絲毫不爽初虧復圓 如法作主綫及月體白道(並如食甚)乃於白道上自月心取初虧距弧之度作識(初虧)(於月心之左復圓於月心之右即食甚時月心所到)從此作垂綫截如月距黄緯之度(陽厯向上作之隂厯向下作之即食)(甚時两心之距)垂綫末為闇虛心從闇虚心作直綫至月心必割月邉此㸃即初虧復圓時先缺後盈之㸃(在初虧則此處先缺在復圓則此處)(後盈)並可以月體之上下左右命之(又㨗法於)(初虧距弧作識處以月距黄緯為度依上下之向作弧分虚線於月心以併徑)(為度亦作弧分虚線两虚線交處即閭虚心從闇虚心作虚直線割月邉至月)(心即於割㸃作識命為先缺後盈之㸃可不作垂線直線)(若以實景半徑為度從闇虚心向月邉作半圓以象闇虚其邉與月邉相切即)(先缺後盈之像益復分明)食既生光 立主綫繪月體取白道經綫作白道(並如)(初虧復圓)白道上以食既距弧度作識(食既於月)(心之左生光於月心之右並自月心起算與虧復同)從此作垂線尋闇虚心(陽厯向上隂厯向下並如月距黄緯之度亦同虧復)作直線自闇虚心過月心至邉即食既生光時後入先出之㸃(欲既未既時此處有餘光後沒光欲)(生時此處有微光先吐)於月體之上下左右皆有定處(㨗法以月距黄緯於食既距弧作識處依隂陽歴之向作虚弧又以徑較為度)(自月心依左右之向作虚弧两虚弧交處即闇虚心從闇虚心作直虚綫過月)(心至邉即食既時後沒生光時先見之㸃)(若以實景半徑從闇虚心作半圓以包月體即見食既時月體全入闇虚生光)(時月體将出闇虚而各有二邉相切之一㸃 若闇虚半徑稍縮其度則食既)(時後沒餘光生光時微光先吐皆了然可見)月𢃄食法辨月有𢃄食 月食子後者視復圓時刻若在日出後月食子前者視初虧時刻若在日入前是有𢃄食也若日出入時刻與食甚相同者不用布算即以所推食分為𢃄食分諸限時刻有與日出入同者亦然皆不必推𢃄食𢃄食距時 𢃄食在朝者以日出時刻在暮者以日入時刻並與食甚時刻相減餘即為𢃄食距時(法同日食)𢃄食距弧 初虧距時化秒為法初虧距弧化秒與𢃄食距時化秒相乘為實實如法而一得數為𢃄食距弧(秒滿六十収為分)𢃄食距心徑 以𢃄食距弧月距黄緯各自乘两數相併平方開之得數為𢃄食距心徑(法實俱化)(秒得數収分)𢃄食分秒 月全徑(化秒)為一率月食十分(化秒)為二率置併徑内減𢃄食距心徑餘數(化秒)為三率求得四率即月出入時𢃄食分秒(秒滿)(六十収分)凡𢃄食分必小於食分(食既者𢃄食必不滿)(十分若滿十分為𢃄食既出入其減餘必大於月全徑)一法置𢃄食距心徑内減徑較(月半徑影半徑)(之較)餘數化秒為三率如上法求之得未食餘光分秒以轉減月食十分為𢃄食分秒(如𢃄食距心徑小於徑較不及減者為𢃄食既出入其𢃄食距時必)(小於食既距時)辨食分進退 凡月出入時刻(即日出入時刻)在食甚前其所𢃄食分為進(𢃄食在朝者為但見初虧不見食甚復圓在暮者為)(不見初虧但見食甚及復圓若食既者在朝為見初虧不見食既或見食既而)(必不見生光復圓在暮為不見初虧但見食既或并不見食既而但見生光復)(圓)若月出入時刻在食甚後其所𢃄食分為退(在朝為見初虧食甚不見復圓在暮為不見虧與甚但見復圓若食)(既者在朝為但見初虧食既食甚生光不見復圓或并不見生光在暮為不見)(初虧食既食甚生光但見復圓或并可見生光)𢃄食作圖法縂圖 以𢃄食距心徑為半徑闇虚心為心作圓周取其與白道横綫相割㸃為月出入時月心所到用此為心如法作圓以象出入地平時月體即見其時月體有若干分秒在闇虚内與所算𢃄食分相符(圓周割白道必有二㸃當以𢃄食分進退詳其左右如法取之)分圖 如法先求月出入時地經白道差法曰以黄赤距度(用月實度取之)取餘弦(即存弧餘)(弦又即縂弧餘弦)命為初數(縂存两餘弦同數故也)以極出地度正弦減半徑命為對弧矢(即極距天)(頂之矢)以黄赤距度取矢(即存弧矢)二矢度相减得較數進五位為實初數為法法除實得差角矢(矢減半徑得餘弦以餘弦查表得度)即月出入時地經赤道差(𢃄食在朝者差角在西若在暮者差角在)(東)㨗法 以黄赤距度之餘弦内減極出地之正弦得餘數進五位為實仍以黄赤距度之餘弦為法除之得差角矢若月實度正與二分同度即以極距天頂度分命為地經赤道差不湏布算凡各限時刻有與日出入同者並可依此法求其地經赤道差角置地經赤道差以各限同用之月赤道差加減之(東西同號者加異號者減)即月出入時地經白道差(記東西號)次作髙弧主線(如各限法)規作月體於圓邉數地經白道差之度作識(依白道差東西之號並自髙弧上方交月邉處起算差東者逆而向左差)(西者順而向右)從此作過心直綫以象白道經綫又於月心作十字横綫以象白道(其法)(並同各限)白道上以𢃄食距弧為度作識(即食甚月心所)(到也𢃄食分進者此㸃在月體左方退者在月體右方)從此作垂綫(陽厯作垂綫向上隂厯作垂綫向下)截其長如月距黄緯之度(即闇虚心所在)從此向月心作直綫至對邉(此即月出入時月與闇虚两心相對之徑綫)乃分月體為十匀分(即於徑綫上分之)末以闇虚心為心實景半徑為度作圓分於月體内即見月體在闇虚内有㡬何分與所推𢃄食分秒相符其餘光若新月者偃仰縱横皆如所見矣康熙五十七年戊戌二月十五甲午日夜子初二刻八分望月食分秒起復時刻方位 (依厯書本法)月食十七分三十一秒初虧 亥初二刻十三分食既 亥正三刻食甚 夜子初二刻八分生光 十六日子正二刻一分復圓 丑初二刻三分食限内共計十五刻五分既限内七刻八分食甚月離黄道鶉尾宮二十五度五十三分為翼宿六度食甚月離赤道鶉尾宫二十六度一十四分為翼宿十四度三十八分以上諸數並主京師立算江南省月食分秒宿度並同惟各限時刻加八分右圖為黄道上日月躔離右旋之度自西而東乃步算之根也日行遲月行疾闇虚地影居日之衝故闇虚之行即日行也初虧時月在闇虚之西及至復圓遂出其東日月並右旋而有遲速於斯著矣月道之交於黄道也有隂厯焉有陽厯焉有交前交後焉今二月月食交後隂厯也距交逺則黄緯大而受蝕淺距交近則黄緯小而受蝕深今距交未及一度黄緯只四分故入影最深而食分最大自甲至卯共十七分竒厯厯可數也自丙至丁為自虧至復月行之度折半於乙為食甚故虧至甚甚至復時刻俱等與算數相符按圖索之瞭如指掌矣(若乙㸃稍偏即度有参差與算理不合)亥初三刻六分月食初起髙四十七度二十四分距正午東五十度零四分 在巽方初見微蝕處在月體下方之左亥正三刻九分月食至盡髙五十五度二十九分距正午東三十度零三分 在巳方欲既未既些少餘光在月體右上右圖為地平上太隂加臨方向東升西沒其行左旋乃測騐之用也假如欲候初虧法以盤針考定巽方定為月食初虧時地平經度(又法擇平地畫以圓圏對子午卯酉作十字綫分圓周為四自)(卯至午匀分九十度自午至酉亦如之乃自午向卯數五十度為初虧方位各限俱如是)候至亥時初三刻(用星晷香漏或自鳴鐘定之)其時太隂巳到巽方在地平上髙四十七度竒(用象限儀等器測之)即見月體下方偏左處漸有微缺是為月食初虧在月體下方之左也 此不論東西南北惟以月體對天頂處為上對地平處為下左右亦然測時湏正身直立向月平觀即上下左右絲毫不爽 食既䓁各限並同子正二刻九分月光始生髙五十七度五十分過午正西十八度三十一分 在丁方微光初見時在月體左方稍下丑初二刻十一分月光盡復髙五十五度半過午正西二十七度三十九分 在未方光欲滿時些少微缺在月體右方畧上因五限縂圖限於尺幅月影縮小故復作分圖以便測騐内惟食甚月在闇虚地形深處聊可得其地平經緯無上下左右可言故分圖只四限厯算全書卷二十八
## 卷二十九
欽定四庫全書厯算全書卷二十九宣城梅文鼎撰古算衍略古算器攷或有問於梅子曰古者算學亦有器乎曰有曰何器曰古用籌籌何似曰漢書言之矣用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍絫又世説言王衍持牙籌㑹計此用籌之明證也曰若是則籌可用竹亦可用牙矣然則即今之籌笇非歟曰非也今西厯用籌亦起徐李諸公葢從厯家之立成而成即立成表之活者耳故一籌即備九數若古之用籌用以紀數而無字畫故一籌只當一數乘除之時以籌縱横列於几案一望了然觀古算字作祘葢象形也然則起於何時曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍當一數則其來逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其製而加長長則不可以横故皆縱列惟分二象兩之後掛一䇿以别之使無凌雜餘皆縱列也又其數只四十九故四揲以稽其實數其用専専則誠也布算之法有十百千萬之等以乗除而升降又日用必需之物故其製短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小於今尺才四寸竒葢亦取其便於手握耳(浦江吴氏中饋録有算條巴子切肉長三寸各如算)(子様亦可以想其長短)然則其用之若何曰五以下皆縱列六以上則横置一籌以當五而縱列其餘(式詳後)然則十百千萬何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域歐邏寫算之位皆順手勢不得不同也曰亦有徵歟曰有之蔡九峯洪範皇極數所紀算位一至五皆縱列六至九皆横一於上以當五又自一之一至九之九皆並列兩位自左而右此用於宋者也又授時厯草所載乘除法實之式皆縱横排列自左而右以萬千百十零為序此用於元者也左傳史趙言亥有二首六身下二如身為絳縣老人日數士文伯知其為二萬六千六百六旬而孟康杜預顔師古釋之皆以為亥字二畫在上其下三六為身如笇之六葢横一當五又竪一於横一之下則為六矣與皇極同也又言下亥二畫竪置身傍葢即竪兩笇為二萬又並三六為六千六百六旬而四位平列與厯草同此又用於三代及漢晉者也曰厯草又有一至五横紀之處何歟曰此亦非起於厯草也何以知之唐人論書法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是書其言笇子即所列籌也然兼横直畫言之則唐人用籌為算亦有横直可知乾鑿度云卧算為年立算為日葢位數多者恐其相混故三十三二十二之類笇位皆一縱一横以别之縱即立算横即卧算也乾鑿度不知作於何人然其在漢魏以前無可疑者則横直相錯之法古有之矣五以下既可易縱為横則六以上横一當五者亦可易之而縱又何疑於厯草哉曰然則今用珠盤起於何時曰古書散亡苦無明據然以愚度之亦起明初耳何以知之曰歸除歌括最為簡妙此珠盤所恃以行也然九章比類所載句長而澁葢即是時所創後人踵事増華乃更簡快是書為錢塘吳信民作其年月可攷而知則珠盤之来則自不逺按欽天監厯科所𫝊通軌凡乘除皆有定子之法惟珠算則可用然則珠算即起其時又嘗見他書元統造大統厯訪求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然則珠盤之法葢即伯玉等所製亦未可定曰南雷畣牧齋流變三疉之問既云長水分别算位本位是竪進一位即是横本位是横進一位即是竪又引鑿度卧算立算以證之矣然其所圖算位俱作圓㸃殊無横直之形何耶曰南雷固言今之算器數分於珠是指珠算也又云長水之算只用今器其所謂横竪者分别算位南雷之意葢謂長水姑借横竪之語以分算位而實用珠算非實有横竪也然以(鼎)觀之疏既以一横二竪當十二復以一竪二横當百二十終以一横二竪當千二百而皆曰進動算位明是用籌非用珠也故當十進百之時則當取去第一叠零位之二竪而加十位之一横為二横又添一竪於百位則成百二十矣故曰進動算位為第二叠也百進千則又取去十位之二横而増一竪於百位為二竪又别増一横於千位成千二百故亦曰進動算位為第三叠也説本明晰與今珠算何涉乎若如南雷所圖則横竪字為贅文矣是故布籌可縱可横此亦一證又按朱子語類云潛虚之數用五只似如今算位一般其直一畫則五也下横一畫則為六横二畫則為七此又一證也(蔡九峯皇極數以横畫當五故下竪一畫為六竪二畫為七與此相反然)(理則相通厯草則兼用之葢皆本之古法)古布算式皇極數圖(見性理大全)厯草算式立差 定平差 定平積右式皆因數有雷同故縱横列之以為别亦自然之理也乘除法實式(亦見厯草)亥字二首六身攷左傳襄公三十年三月癸未絳縣老人曰臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季於今三之一也師曠曰魯叔仲恵伯㑹郤成子於承匡之嵗也(注魯文公十一)(年乙巳嵗)七十三年矣(注自乙巳嵗至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢計其全數而)(言未滿七十三年也)史趙曰亥有二首六身(注言亥字上二畫為首六畫為身如算之)(六者三也春秋時有此字體□)下二如身是其日數也(注如徃也言除下亥上二畫徃)(置身旁也□便是此老人從初生年起至今癸未日之日數也葢以亥之二畫為二萬之數以三六之算為六)(千六百六旬之數也)士文伯曰然則二萬六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年該二萬六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子為夏正建寅之月而三月癸未杜氏長厯及孔疏皆以為當作二月為夏之十二月也其癸未日長厯以為是二十三日然則春秋所紀者自用周正而晉人所言者自是夏正故魯史紀戊午二月者晉人所言則仍為丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也籌有色以分正負沈存中括筆談曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非實有也亦由天之有三百六十五度天何嘗有度以日行三百六十五日而一朞强謂之度以步日月五星行次而巳日之所由謂之黄道南北極之中間度最均處謂之赤道月行黄道南謂之朱道北謂之黒道東謂之青道西謂之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有遲有速難以一術御故因其合散分為數段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤籌黒籌以别正負之數厯家不知其意遂以為實有九道甚可嗤也按此又宋算用籌之明證方田通法序學必有原不得其原不可以為學九數之學具列周官而孔子言游藝在志道據徳依仁後唐十經博士期業成以五年可形下視哉客嵗之冬從竹冠先生飲令弟樂翁所得觀先生捷田歌括離竒出没盃酒間未深領其趣屬他故覊治城且匝月既無攜書可破岑寂乃稍憶所疑演而通之因浩然嘆數學之有源雖至近若方田而易簡中精深爾爾也算具不具仗三寸不聿為之今年春里中有事履畝或見問桐陵法遂出斯編相質命曰方田通法云閼逢執徐日躔在奎勿菴梅文鼎識方田通法太極生生之數數始於天一終於地十十亦一也天地之地始終乎一故曰太一太一者太極也自極而儀而象而卦皆加一倍三加而止萬事託始焉是故制器者尚其象璣衡八尺周於八方尋常則之以度百物葢取諸此兩地之數一生二二者兩地也兩一則二兩二則四兩四則八兩八則十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤兩則之以權百物葢取諸此參天之數一生二二生三三者參天也參一而三參二而六參四而十有二參八而二十有四作厯者以紀中節八節二十四氣八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而璣圍二十有四斤之兩十有六而銖二十有四二十有四者權度之所生數之綱也從而十之以為地紀而畆法生焉畆法二百四十步 古法步百為畆畆百為夫今二百四十步為畆相𫝊起於唐太宗步法五 合參兩則五猶合四行為土土之生數也倍五則十土之成數也乗者從生故平方五尺為步而用以乗除者從成故積步二百四十為畆而用以除方田原法以所丈田横步與其縱步相乗得數為實以一畆二百四十步為法除之滿法為畆不滿退除為分釐 田之為字衡縮相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圓或直或梯或斜或如牛角或為矢弧不皆方故為之法以方之大約不離横縱者近是九章之術首列方田君子絜矩之道歟截歸法或八歸三歸各一次或四歸六歸各一次或五因一十二歸 邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以觀已減法或折半減二或減六減五各一次 即定身除也飛歸法進一除二四 進二除四八 進三除七二 進四除九六 五除一二 一四四作六 一六八作七 一九二作八 二一六作九 見一加三隔位四 見二加六隔位八 不盡者留法喝之又三六作一五 六作二五 八四作三五 一○八作四五 一三二作五五 一五六作六五 一八作七五 二○四作八五 二二八作九五留法一留退四一六六 二留退八三三三 三留一二五四留一六六六六 五留二○八三三 六留二五七留二九一六六 八留三三三三三 九留三七五 其法是除用之似乗以其為除後得數也故謂之留 若用以喝稍者言退者本位不則進一位或稍子位多者喝完總移進之更妙凡加留減者如加減法只記原實於各挨身加減之若原用因法者則又下一位挨加減之皆記原實以留法喝之言退者各又退一位以上截留飛減四法皆於乗土之後用以求畆惟留法則有不盡故長於喝稍後有用兩求斤留法附錄之 一退六二五 二一二五 三一八七五 四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五 八五 九五六二五 十六二五十一六八七五 十二七五 十三八一二五 十四八七五 十五九三七五新増徑求畆步法其法不用乘土以所得横縱之歩先得者為實後得者為法徑求之可以抵掌而辦原法二十有二竹冠道士衍為百二十有三勿菴氏引而伸之且三百八十有四也倚數之妙乃至斯乎而豈有外於參兩乎又豈有加於所謂一者乎法列如後減二 即十二除凡法之可以兩者皆減二是為畆法之半或折半六歸之八除 或二十五於下位加之凡法之可以參者皆八除是為畆法三分之一四十八除 即折半飛歸也凡法之可以五者皆四十八除是兩其畆法也四除 或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是為畆法六分之一六除 凡法之可以四者皆六除是為畆法四分之一三除 凡法之可以八者皆三除是為畆法八分之一下加 凡法之上位得一者皆下加上加 凡法之下位得一者皆上加凡加畢再用留法或飛歸之折半 凡法之十二者皆折半為畆法六分之五減六 凡法之可以十五者皆減六即兩求斤留法也為畆法三分之二又為六分之四減五 凡法之可以十六者皆減五即十五除也為畆法八分之五加留減留 凡法之可借上者皆加留可借下者則減留所以通其窮也隨數喝畆 凡二十四則隨數喝之倍法 凡四十八五除之即二因也減八 即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又為四分之三九除 即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之二十一除 即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除因法代除 如四十八則二因之如七十二則三因九十六則四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因加法代除 如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二徑加七五五四二次加五皆不用除原法歌訣(出桐陵)量田捷法少人知 不乗一數便留之 二弓折半六而一 三步之中用八歸 四步由来六歸是 五步還宜六八歸 六數四歸無走作 八上三歸無改移十二將来折一半 十六三而加倍齊 二十四中隨數喝 廿五中分六八歸 三十二上尤甚准 四因還要用三歸 四十八上加一倍 八卦宫中誰得知 三歸八因尤甚准 勝如神見不差池 七二倍之加遍五 九十六上四因之 十五之中逢二八七五之中四八歸 三七半時當八八 九弓加五四歸竒 十八折之加五定 三六之中加五施 此是明師真口訣 千金不度世人知附歸除捷法多上空加一(多上者實多於法也空者實首隔一位也凡實多於法則於實前隔一位上一子若)(法實兩數等亦同)依前除莫疑(依前者即以前法數除之也)少前數上五(少前者實少於法也即於實之前位上五子 不隔位)折半數除之(折半除者用法數之半而除之也 用五乗代折半甚捷)無除隨上一(無除者上五之後不及除半數也既不及除隨於實前位上一子)化下照前除(化下者退下一位也照前除者即依法數降一位而除之也)區田圖刋誤按區田古法並以方一尺五寸為區通計毎畝可二千七百區空一行種於所種行内隔一區種一區除隔空外可種六百七十五區(此亦約畧之説後又云毎區一斗每畝可收六十六石而詩亦)(云限將一畝作田規計區六百六十二並大同小異)是四分而種其一也今農書之圖黑白相間是二分種一與説相背且如所圖既不便於營治亦不便於澆灌反不如薑田之用濶溝通人行之為便矣謹依古説改作之如左又按四分種一亦是約畧之數若細求之則四邉近田堘處可只空半區要以隨方就圓使其易行亦不在拘拘於尺寸之間也孟子曰此其大略也若夫潤澤之則在君與子吾於區田亦云如甲乙為田内毎畫方一尺五寸為區(如甲子)直行毎隔一行種一行(如甲戊丙巳)因得横行亦然(如庚甲辛癸)其播種之區四面合之各成小平方如丙辛方中間子丑為種地卯寅方中間午未方為種地皆居小平方之中央又蟬聫而下通計毎田一畆為種區者約四之一圖中白者是空地黒者是種區區田説向讀嵇叔夜養生論謂區種之法畝可得粟數十鐘已讀王氏農書詳著其法而農政全書載汜勝之書及務本書謂湯有七年之旱伊尹作為區田教民糞種負水澆田諸山陵傾坂及田邱城上皆可為之王禎田古人每區收榖一斗每畝可收六十六石今人學種可減半計賈思協曰兖州刺史劉仁之昔在洛陽於宅田七十步之地域為區田收粟三十六石然則一畝之收過百石矣古説彰彰如是而或者疑之(徐𤣥扈先生以為古今斗斛之異)余以為不必疑也葢徴之於薑芋矣吾鄉土瘠每畝收稻麥不過數石而芋則每畝二十餘石多者三十餘石薑之下者二十餘石其上者至四十餘石然而種薑一畝有稻田六畝以上之工豈非糞多力勤之効乎攷薑田營治之法其畊甚深在一尺以上通水溝雖止數寸而畦土斜殺而上種薑稜背相距空間與稜背畧相等是亦空一行種一行也即區種之遺法也薑田惟空直行而區田復空横行是其功又倍於薑田也多收之數又何疑焉(又攷遂寧王灼晦叔糖霜譜蔗田亦云區種而其深畊摩勞開渠濶尺深尺五及今年為蔗田)(明年改種五榖以休地諸法並同薑田) 又按區田毎區方一尺五寸(賈氏)(説又有方深各六寸及方九寸深六寸諸法)葢欲於城上斜坡立區故為此製若平田亦可變通畸零法解(乗法)假如其處地畆被水所淹今涸出五分之四於中又有髙地居七分之四問若干答曰髙地為三十五之十六法用母乗母子乗子 兩母(五七)相乗三十五為母 兩子(四四)相乗十六為子 乗得三十五之十六解曰分總地為五分而涸出居其四四又將此涸出之四分分為七分而髙地居其四若以總地分三十五分則髙地居其十六矣本法置實子五之四以法子七之四乗之得十六為實法母七為法除之得五之二又小分七之二為髙地然七除不盡當用通分法以小分母七通原分母五為三十五得數二通為十四加入之二共十六是三十五之十六也今不用七除其子而以七乗其母得數亦同(母既七倍而子不動)(是七之一也故乗母即同除子)以數明之 設原數三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分為七分而髙地居其四是一千六百畆也則髙地於原數為三十五之十六矣又假如有米一宗内分七之四於預備倉收貯又於預備倉内取五之四先給賑荒問若干答曰三十五之一十六 法見前解曰分總米為七分而預備倉得其四又分預備倉米為五分而先給賑濟者得其四若以總米分為三十五分則先給賑濟者得其十六本法置實七之四以法子之四乗之得一十六為實法母五為法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七為三十五又通得數三為十五加子一為十六即三十五之十六也今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣(母乗得五倍則子為五之一)以數明之 設原米四千二百石分為七分而取其四為預備倉是二千四百石也預備倉米又分五分而取其四以給賑是一千九百二十石也若分原米為三十五分每分一百二十石則給賑米得十六分(四千)(二百是三十五個一百二十石一千九百二十是十六個一百二十石故也)又法法用倒位互除以代乘法 以法子四除實母七得一七五為母 以法母五除實子四得○八○為子 乗得一七五之八○各進位而倍之即三十五之十十六本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得數同也(母既改為四之一而子不動即子為四倍故除母可代乘子也然除法多有不盡不如母)(乘母子乘子為便)還原畸零除法假如營兵奉裁五之一留五之四其所支月餉為某倉米七之四問未裁時月餉幾何答曰該支倉米七之五法用倒位互乗以當除法 以法子之四乗實母七得二十八為母 以法母五乗實子之四得二十為子 除得二十八之二十 約為七之五解曰兵奉裁留五之四其原額未裁則五之五也故其原支倉米亦必七之五乃四而増一之比例本法置實七之四 以法母五乗之得七之二十為實以法子之四為法除之得七之五今不用四除其子而以四乗其母得數亦同(母既四倍於原母而)(原子不動如四之一故乗母可代除子)又法法以法母五除實母七得一四為母又以法子之四除實子之四得一○為子 除得一四之一○ 約之亦得七之五此不用五乗其子而以五除其母得數亦同(母既五除則為原母)(五之一而原子不動如五倍矣故除母可當乗子)論曰以上三法所得並同然倒位乗尤妙葢以乗代除則無畸零不盡之數故也以數明之 設營兵三千其五之四則二千四百也倉米二千五百二十石其七之四則一千四百四十石也七之五則一千八百石也兵二千四百而給米一千四百四十石則兵三千當給一千八百石還原用倒位互除 以代乗法 法子四除實母二十八得七為母 法母五除實子二十得四為子 乗得七之四復合原數問倉米七之四可給營兵五之四若倉米全發給兵幾何答曰給兵五之七如法倒位 以法子之四乗實母五得二十為母 以法母七乘實子之四得二十八為子 除得二十○之二十八 約為五之七 子大於母收為一又五之二是可給原額兵而仍多五分之二也解曰原給倉米七之四而今全給七分是四分而増其三也故兵亦四分増三(於五之四増五之三即為五之七)本法置實之四以法母七乘之得五之二十八為實法子四為法除之得五之七(今以四乗母代四除子與前條同)以前數明之倉米二千五百二十石分為七分則每分三百六十石營兵三千分為五分則每分六百以倉米四分給兵四分是每米三百六十石給兵六百名也今倉米全給為三百六十石者七則兵為六百者亦七是四千二百名也除三千名滿原額净多一千二百名之餉為五分之二(以七除五不盡故不用又法)厯算全書巻二十九
## 籌算自序
籌算自序
唐有九執厯不用布算唯以筆記史謂其繁重其法不傳今西儒筆算或其遺意歟筆算之法詳見同文算指中厯書出乃有籌算其法與舊傳鋪地錦相似而加便㨗又昔但以乘者今兼以除且益之開方諸率可謂盡變矣但本法横書彷彿於珠算之位至於除法則實横而商數縱頗難定位愚謂既用筆書宜一行直下為便輒以鄙意改用横籌直寫而于定位之法尤加詳焉俾用者無復纎疑即不敢謂兼中西兩家之長而於籌算庶幾無憾矣康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿菴撰籌算有數便奚囊逺涉便於佩帶一也所用乘除存諸片楮久可覆核二也斗室匡坐㸃筆徐觀諸數厯然人不能測三也布算未終無妨泛應前功可續四也乘除一理不湏歌括五也尤便學習朝得暮能六也原法横書故用直籌籌直則積數横彼中文字實用横書也今直書故用横籌籌横則積數直其理一也亦有數便自上而下乃中土筆墨之宜便寫一也兩半圓合一位便查數二也商數與實平行便定位三也
## 卷三十
欽定四庫全書厯算全書巻三十宣城梅文鼎撰籌算一作籌之度凡籌以牙為之或紙或竹片皆可長短任意以方正為度凡籌背面皆平分九行每行以曲線界之為兩半圓狀凡籌背面皆相對第一籌之隂即為第九便檢尋也二與八三與七四與六五與空位皆倣此共五類類各五籌當珠盤二十五位或更加之亦可 外有開方大籌為平方立方之用詳見别巻籌式列左作籌之理凡籌每行以曲線界之成兩位其下為本位上為進位假如本位一兩則進位為十兩凡列兩籌則行内成三位下之進位與上之本位兩半圓合成一位故也 列三籌則成四位 列四籌則成五位 五籌以上皆倣此凡籌有明數有暗數明數者籌面所有之數是也暗數者行數也假如第一行即為一數第二行即為二數凡籌與行數相因而成積數假如第二籌之第四行即為八數第九籌之第八行即為七二數籌算之資凡用籌算當先知併減二法今各具一則併法併者合也合衆散數為一總數也又謂之垜積 其法先列散數自上而下對位列之千對千百對百十對十單對單以類相附列訖併為一總數 其法從最下小數起自下而上如畫卦之法 數滿十者進位作暗馬而本位書其零恐混原數故以此别之便覆核也假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二萬六千九百石合之共幾何如圖散數三宗依法併之為一總數得三萬五千四百四十八石減積法減者去也于總數内減去幾何則知其仍餘幾何也減與併正相反減而剰者謂之減餘其法以應減去之數列左以原有之總數列右而對減之千對減千百對減百十對減十單對減單減而盡者抹去之 減而不盡者改而書之本位無數可減合上位減之假如欲減八十而原數只有七十但其上位有一百則合而減之于一百七十内減八十仍餘九十假如有銀三十二萬五千三百一十兩支放過二十九萬五千三百○五兩仍餘幾何依法減之仍餘三萬○○○五兩十萬千百十兩如圖先于三十萬内減二十萬餘一十萬改三為一次減九萬而萬位無九合上位共一十二萬減之餘三萬抹去一二改書三次減五千 次減三百 皆減盡皆抹去之書作○次減五兩而兩位無五于一十兩内減之抹去一○改書○五 減訖餘二○○○三凡算有乘有除乘者用併法除者用減法籌算之用凡算先别乘除乘除皆有法實實者現有之物也法者今所用以乘之除之之規則也凡籌算皆以實列位而以籌為法法有幾位則用幾籌如法有十係兩位則用兩籌法有百係三位則用三籌凡法實不可誤用唯乘法或可通融若除法必須細認俱詳後乘法勿菴氏曰凡理之可言者皆其有數者也數始於一相縁以至於無窮故曰一與一為二二與一為三自此以徃巧厯不能盡乘之義也故首乗法解曰乗者増加之義其數漸陞如乗髙而進也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在籌算總一乘法殊為簡易法曰凡兩數相乘任以一為實一為法假如以人數給糧或以人為實糧為法或以糧為實人為法皆可凡算先列實(列書之于紙或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右)次以法數用籌乘之法有幾位則用幾籌(假如法為六十四則用第六第四兩籌法為三百八十四則用第三第八第四共三籌)凡乘皆從實末位最小數起視原實某數即於籌其行取數列之(假如實是二則取第二行數)凡列乘數皆自下而上如畫卦凡實有幾位挨次乗之但次乗之數必髙于前所列之數一位(假如先乘者是單次乗者必是十故進位列之)乗訖乃以併法併之合問又法凡法尾空位者省不乗但于併數之後補作圏于其下以存其位尤為簡捷如上圖乘訖併得三○○○因法尾有空又補作一圏是為三○○○○則知所得三萬定位法見前又若田為一畝二分則所得為三合何也畝下有分故得數之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理須細審之一四二四四四五七五共九位因實尾空位(無零年故也)用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命為分得一十四萬二千四百四十四日五十七刻五十○分合問除法勿菴氏曰天地之道盈虚消息而已無有盈而不虛無有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相無其數每相當不失毫釐如相報也邵子曰算法雖多乘除盡之矣故除法次之解曰除者分物之法也原作幾何今作幾分分之則成各得之數而除去原數也有歸除有商除珠算任用籌算則獨用商除為便以意商量用之故曰商除法曰凡除以所分之物為實今欲作幾分分之為法法與實須審定倘一倒置則毫釐千里矣(假如有糧若干分給若干)(人則當以糧為實以人之數為法除之盖糧數是所分之物人數是用以分之之法也若倒用以糧分人)(則所誤多矣) 凡法有幾位則用幾籌 乃列實(自上而下直書)(之) 視籌之第幾行中積數有與原實相同者或略少於實者用其數以減原實而得初商 有不盡者如法再商或三商以上皆如之實盡而止 餘實不滿法以法命之凡商數皆以籌之行數為其數(假如所減是等第一行即商一數第二行)(即商二數)書商數法曰凡書商數皆與減數第一位相對 若所減第一位是○則補作○于原實首位上而對之(此定)(位之根)定位法曰除畢以商得數與原實對位求之皆于法首位之上一位命為單數(程大位曰歸于法前得零古法實如法而一是也)此有二法 有法少實多者從原實内尋法首位認定逆轉上一位命為單數(如米則為單石錢則為單文之類)既得單數則上而十百千萬下而分秒忽微皆定矣此為正法有法反多實反少者乃變法也法從原實首位逆溯而上至法首位止又上一位命為單數(此是虚位借之以求實數)既得單數乃順下求之命所得為分秒之數初商除盡式 法此欲分為七十二分也故以七二為假如太陽每 法用兩籌嵗行天三百 實三六○ 如圖先列三百六十度六十度分為 百十 為實次簡兩籌行内有七十二候每 三六○與實相同用減候幾何度 原實恰盡 次查所簡(答曰)每候五度 係籌之第五行商作五又查所減第一位是三將商數五對三字書之定位法曰此法少于實也宜于原實内尋十度位即法首位也法首再上一位為單度定所得為五度假令實是三千六百則所得為五十度如後圖定位法曰此亦法少于實也法亦于原實内尋法首十位再上一位為單位單位空補作圏再上一位是十度定所得為五十度用籌同而得數逈異定位之法所以當明也再商式 法此欲分為一十二分也故以一二假如皇極經世 為法用兩籌一元共一十二 實 如圖列實(一元總數)簡萬九千六百年 ○一二九六○○籌第一行是○一分為一十二會 十萬千百十年二商作一數(第一行故)各幾何 (商一)減實一十二萬答曰每㑹一萬 餘九千六百不盡○八百年 再用籌如法除之又因所減數是○一二故于原實首補作圏而以商得一對此○位書之(即所減籌上第一位也)此定位之根不可錯須細審之簡兩籌第八行是○九六與餘實相合再商八(第八行故也)減餘實九千六百恰盡此所減數亦是○九六故以商得八進位書之以暗對其○如此審定商數位置已知不錯而初商次商隔一位不相接是得數有空位也乃于其間補作圏為一○八假如隔兩位則作兩圏三位以上倣此求之若非于商數審其位置鮮不誤矣此算中一大闗鍵也非此則不能定位定位訣曰此亦法少于實也從原實内尋法首十位再上一位是單年單位空補作圏又上一位是十十亦空亦補作圈又上一位是百知所得為八百年也知百知千萬矣定為一萬○八百年假如黄鍾之 法此欲分得二千一百八十實一十七萬 七乃為一分故以二一八七千一百四十 七為法用四籌七其分法二千一百八十七問若干分答曰八十一分二千一百八十七再商之簡籌第一行是○二一八七正合餘實再商一除實恰盡次商一進位書暗對所減○位定位訣從原實尋法首位千逆轉上一位得單分則餘位皆定按籌算原書于定位頗略又其為法原實横而商數縱各居其方不相依附定位頗難故雖厯書間有訛位今特詳之而兩兩直書于定位尤易亦足見余之非好為異也四商法假如有小珠三十四 此欲分為九分有竒也(以錢)萬三千一百五十四 (為主則六分五釐是其竒零九分之分去聲)故粒換得大珠重九錢 以(九六五)為法用籌三根六分五釐每大珠一 如後圖列實先簡籌第(三)錢換小珠幾何粒 行(二八九五)略少于實商(三)減答曰每錢換三萬五 實(二十八萬九千五百)餘實(五萬三千六百)千五百六十粒 (五十四)以候續商次簡籌第(五)行是(四八二五)為略少于餘實商(五)減餘實(四萬八千二百五十)仍餘(五千)(四百○四)以待第三商原實 又簡籌第(五)行是(四八二五)為略少于餘實又商(五)減餘實(四千八百二十五)仍餘商數 (五百七十九)知尚有第四商也又簡籌第(六)行是(五七九○)與餘實恰合四次商數俱對首位 商作(六)除餘實(五百七十九)恰盡定位訣從原實中尋法首(單)位逆轉上一位得(單)粒定所得為(三萬五千五百六十○粒)命為大珠每錢所換小珠之數五園問曰法是錢數實是粒數不類也何定位亦如是準乎勿菴曰此定位之法所以的確不易也且錢與粒不類子疑之固矣抑知單與單之為一類乎葢所問是每錢若干故錢數為單位若問每分若干則法首錢數為十位得為(三千五百五十六)矣故定位須詳問意乃要訣也法有○籌式 法此欲分作(九百○七分)也故以(九○七)假如布二萬 為法用三籌一千七百六 如圖簡籌第(二)行十八丈給與 (一八一四)商作(二)減實九百○七人 (一萬八千一百四十)餘(三千六百)各幾何 (二十八丈)次簡第(四)行答曰(每人二十四丈) (三六二八)商(四)除實盡以上例皆法少于實故法首在原實中乃本法也以上兩例皆法多于實者其法首位或在原實中必原實首位也或不在原實中則在其原實上幾位也要之皆不能滿法其所得必為分秒乃通變之法也論曰除者分也吾欲作幾分分之則為法所分之物為實所分之物能如所欲分之數則為滿法滿法則成一整數假如(三十六)人分布而布有(三十六)丈則各人分得一丈古云實如法而一正謂此也程大位算法統宗曰歸扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之數是不滿法也既不滿法則不能成一整數而所分者皆分秒之數假如(三十六)人分布(二十七)丈則每人不能分一丈只各得(七尺五寸)是于(一丈)内得其(七分五秒)也然必先知整數然後可以知分秒故必于原實上虚擬一滿法之位若曰能如此則分得整數矣而今不能則所分得者皆分秒也于是視所擬整數虚位距商數若干位而命之若相差一位則得為十之一(如兩有錢尺有寸)隔位則為百之一(如兩有分丈有寸)此乃通變之法要其為法上得零則一而已矣又論曰此原實即不滿法也若餘實不滿法除之終不能盡則以命分之法御之詳後命分法法曰凡除法商數至單已極而有餘實不盡者不能成一整數也則以法命之此有二法一法即以除法為命分不盡之數為得分則云幾十幾分之幾解曰命分者以一整數擬作若干分而命之如滿此數則成一整數而今數少故命之也得分者今所僅有之數在命分數内得若干也(命分者古謂之分母得分者古謂之分子)假如古厯以九百四十分為日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五約為四之一(約法見後)一法除之至盡古厯家所謂退除為分秒是也單下有一位命為十分之幾有兩位命為百分之幾十幾三位則命分千四位則命分萬皆以除得數為得分假如授時厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以萬分為日即命分也式如後假如五尺為歩每方一歩積二十五尺今有積二百四十尺得若干步答曰九步又五分步之三如圖列實簡籌第九行是二二五商作九(第九行故)減實二百二十五尺餘一十五不盡以法命之命為九步又二十五分歩之一十五約為五之三(約分法見後)若用第二命分法再列餘實加○位商之以得其分秒如後餘實下加一圈則一十五尺通為一百五十分可再商矣簡等第六行是一五○商六分除餘實恰盡命分九歩六分(即十分歩之六)(命分第二法與法多于實除法同故皆曰除分秒也)若餘實為一十六尺則又不盡一尺法當於不盡一○之下再加一圈為一○○使此一尺化為一百分而再除之得四釐共九歩六分四釐(即百分歩之六十四)約分法約分者約其繁以從簡也法曰母數子數平列相減而得其紐數即以紐數為法轉除兩原數而得其可約之分凡約分相減不拘左右但以少減多如左少右多則以左減右左多右少則以右減左若減之後或多者變而少則轉減之必減至左右相同無可減而止即紐數也(若一減之即得紐數則不必轉減)解曰紐數者互相減之餘數相等者也以此除兩數則皆可分乃兩數之樞紐若相減至盡而無紐數者則不可約假如母數二十五子數一十五約之若干畣曰五之三一○ 先以(十五) 復以(一十) ○五二五 減(二十五)一○轉減(十五) 一○一五 餘(一十○)一五 餘(○五) ○五復以(○五)轉減(一十)餘(○五左右皆五即為紐數)以紐數(○五)為法轉除母(二十五)得(五)除子數(一十五)得(三)故曰五之三葢母數是五個五子數是三個五也此轉減例又如母數九百四十子數二百三十五約之若干畣曰四之一先以(二百三十五)減(九百四十)餘(七百○五)又減之餘(四百七十○)又減之餘(二百三十五)左右皆(二百三十五)即紐數也以紐數(二百三十五)轉除母數(九百四十)得(四)除子數(二百三十五)得一故曰四之一母數是四個(二百三十五)子數是一個(二百三十五)此不轉減例厯算全書巻三十
## 卷三十一
欽定四庫全書厯算全書巻三十一宣城梅文鼎撰籌算二之三開平方法勿菴氏曰自周髀算經特著開平方法其説謂周公受于商髙矩地規天為用甚大然有實無法故少廣之在九數別自為章今以籌御之簡易直截亦數學之一樂也解曰平方者長濶相等之形也其中所容古謂之冪積亦曰面冪西法謂之面面有方有圓此所求者方面也其法有方有亷有隅總曰平方也(冪音覔覆物中也)開亦除也以所有散數整齊而布列之為正方形故不曰除而曰開平方四邊相等今所求者其一邊之數西法謂之方根如後圖方者初商也初商不盡則倍初商之根為亷法除之得兩亷又以次商為隅法自乘得隅隅者以補兩廉之空合一方兩亷一隅成一正方形如圖一方兩廉一隅除積仍不盡則合初商次商倍之為廉法除之以得次兩廉又以三商為隅法自乘得隅合一方四廉兩隅成一正方形(商四次以)(上倣此加之)解曰上兩位者自乘之積也假如方一十則其積一百方二十則其積四百以至方九十則其積八千一百也下一位者方根也假如積一百則其根一十積四百則其根二十乃至積八千一百則其根九十也平方籌式列左開平方籌只用兩位積數何也曰開方難得者初商耳平方積數雖多而初商所用者只兩位次商以後皆亷積也亷積可用小籌除之開方大籌専為初商故積止兩位籌下一位單數也而實有百也萬也百萬也億也百億也萬億也百萬億也皆與單同理故獨商首位者用下位之積數焉(其積自○一至○九)(其方根為一二三)籌上一位十數也而實有千也十萬也千萬也十億也千億也十萬億也干萬億也皆與十同理故合商兩位者用上下兩位之積數焉(其積自一六至八一其方根自四至九)用法曰先以實列位列至單位止實有空位作圏以存其位次乃作㸃凡作㸃之法皆從實單位實單位起作一㸃毎隔位則㸃之而視其最上一㸃以為用首位有㸃者以實首一位獨商之(乃補作一圏于原實之上亦成兩位)(之形)首位無㸃㸃在次位者以實首位合商之皆視平方大籌積數有與相同或差小于實者用之以減原數而得方數即初商也定位法曰既得初商則約實以定其位知其所得為何等(或單或十或百之類)以求次商其法依前隔位所作之㸃總計之視有若干㸃假如只一㸃者初商所得必單數也(自方一至方九)則初商已盡無次商矣有二㸃者初商所得必十數也(自方一十至方九十)初商十數者有次商有三㸃者初商所得必百數也(自方一百至方九百)初商百數者有次商又有三商有四㸃者初商千也有商四次焉有五㸃者初商萬也有商五次焉次商法曰依前術定位則知其宜有次商與否若已開得單數雖減積不盡不必更求次商也雖未開得單數而初商減盡亦不必更求次商也惟初商未是單數而減積又有不盡是有次商矣次商者 倍初商為亷法用小籌以除之(初商一則用第二籌)(初商七則用第一第四兩籌皆取倍數)視籌積數有小于餘實者用之為亷積視亷積在小籌某行命為次商數既得次商減去亷積即用次商數為隅法以求隅積隅積小平方也即隅法自乘之數也(可借開方籌取之)若隅積大于餘實不及減者轉改次商及減而止以數明之 假如積一百其方根十即除實盡此獨用方法無亷隅矣若積一百四十四初商十除實百餘四十四則倍初商之根得廿為亷法(在初商之兩旁故曰亷亷有二)(故倍之也)次商二以乘亷得四十為亷積又次商二為隅法自乘得四為隅積共四十四除實盡開其根得一十二也商三次以上法曰次商所得尚非單數而減積又有不盡是有第三次商矣商第三次者合初商次商數皆倍之為次亷法 如前用籌以除餘實求得第三商以减亷積又即以第三商之數為隅法以求隅積皆如次商商四次五次以上並同第三商命分法曰但開至單數而有餘實者是不盡也不盡者以法命之法以所開得數倍之又加隅一為命分不盡之數為得分 凡得分必小于命分亦有開未至單宜有續商而其餘實甚少不能除作單一者亦如法命之而于其開得平方數下作圈紀其位如云平方每面幾十○又幾十幾分之幾 或平方每面幾百○○又幾百幾十幾分之幾若欲知其小分別有開除分秒法見第七巻列商數法曰凡初商得數而書之有二法 其法依前隔位所作㸃以最上一㸃為主凡得數皆書于此㸃之上一位五以上者又進一位故有二法也其故何也五以上之亷倍之則十故豫進一位以居次商四以下雖倍之猶單數也所以不同凡歸除開平方須明此理不則皆誤矣 大約所商單數必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有實無法亷法者乃其法也凡次商列位亦有二法 次商用歸除除法者皆書于籌之第一位故次商以之看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空即以次商數對而書之對餘實首一位是也若第一位是圈即以次商數進位書之以暗對其圏餘實上一位是也知此則知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商與初商隔位則作圈隔兩位作兩圈是也商三次以上書法並同隅積定位法曰凡減隅積皆視其隅數為何等(隅數即次商之)(數也或單或十或百千等)以求其積隅數是單其減隅積亦盡于單位隅數是十其減隅積必盡于百位隅數是百其減隅積必盡于萬位隅數千其隅積必百萬隅數萬其隅積必億每隅數進退一位則隅積差兩位(隅積小平方也故皆與初商同)(理)還原法曰凡開方還原皆以所開得數為法又為實而自相乘之有不盡者以不盡之數加入即得原數假如有積三百六十平方開之列位(單位作圈)作㸃(從單位起)視首位有㸃以首位三百獨商之乃視平方籌積數有小于○三者是○一也○一之方一故商一十(有二㸃故初商是十)于原實内減去方積一百餘二百六十(初商是十知有次商)以上一㸃為主凡得數皆書于此㸃之上一位此常法也四以下用常法次倍初商(一十)作(二十)用第二籌為亷法視籌第九行積一八小于二六次商九于初商一十之下去亷積一百八十餘八十(所減數在籌上一位不空故以商數九對餘實首位書之)次以次商九為隅法其隅積八十一大于餘實不及減應轉改次商為八視籌之第八行積數(一六)減亷積一百六十餘一百(所減第一位下空故對位書之)乃以次商八為隅法減隅自乘積(六十)(四)餘(三十六)不盡隅數單故減隅積亦盡于單位初商(一十)次商(八)共(一十八)是已開至單位也而有單位也以法命之 以平方(一十八)倍之又加隅(一)共(三十七)為命分命為平方一十八又三十七分之三十六還原法以平方一十八用籌為法即以平方一十八為實而自相乘之得三百二十四加入不盡之數三十六共得三百六十如原數命分還原論詳別巻假如有積一十二萬九千六百平方開之列位 作㸃視首位無㸃㸃在次位以兩位一十二萬合商之乃視平方籌積有小于一二者是○九其方三也于是商三百(三㸃故初商百)減去方積九萬餘三萬九千六百(初商百故知有次商)次倍初商(三百)作(六百)用第六籌為亷法視籌第六行積數(三六)小于(三九)次商六十于初商三百之下減去亷積三萬六千餘三千六百(所減首位不空)(故對書之)次以次商(六十)為隅法減隅積三千六百恰盡(隅數十故減隅積必盡于百位)凡開得平方三百六十○ 開方雖未至單減積已盡是方面無單數也後倣此還原法以所得平方三百六十○為法為實而自相乘之得一十二萬九千六百○○如原數假如有積一千平方開之列位 作㸃視㸃在次位以首二位一千○百合商之乃視平方籌小于(一○)者(○九)也(○九)之方三商作三十(二㸃故初商十)減方積九百餘一百次以初商(三十)倍作(六十)用第六籌為亷法視第六籌第一行是(○六)小于(一百)次商一千初商三十之下減亷積六十餘四十(所減是○六首位空也故書于進位以對)(其○今雖對于餘實以所減六十言之猶進位也列位之理明矣)次以次商一為隅法減隅積一餘三十九不盡(隅積盡單)(位)所開已至單位而有不盡以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三為命分命為平方三十一又六十三分之三十九此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一㸃為主而書其初商所得數于㸃之上一位乃常法也假如有積四千○九十六平方開之列位 作㸃視㸃在次位以四千○百合商之乃視平方籌積數有三六小于四○其方六也商作六十(二㸃故初商十)減方積三千六百餘四百九十六(初商十故知有次商)以最上一㸃為主而書其得數于㸃之上兩位乃進法五以上用進法次倍初商(六十)作(一百二十)為亷法(用第一第二兩籌)視籌第四行積數(四八)小于餘實次商四於初商六十之下減亷積四百八十餘一十六(所減是○四八首位空也故次)(商四進位書之若初商不進則次商同位矣)次以次商四為隅法減隅積一十六恰盡(隅數單故隅積盡單)(位)凡開得平方六十四假如有積八千○九十九以平方開之列位 作㸃視㸃在次位以八千○百合商之乃視平方籌有(六四)小于(八○) 其方八也于是商八十(二㸃故初商十)除實六千四百餘一千六百九十九(初商是十宜有次商)次以初商八十倍作一百六十為亷法(用第一第六兩籌)合視兩籌第一行積(一六)與餘實同宜商(一十)因無隅積改用第九行(一四四)次商九于初商八十之下減亷積一千四百四十餘二百五十九(所減第一位不空故對位)(書之)次以次商九為隅法減隅積(八十一)仍餘一百七十八不盡(隅數單隅積盡單位)已開至單位而有不盡以法命之 應倍所商八十九又加隅一共一百七十九為命分命為平方八十九又一百七十九分之一百七十八(因少一數故不能成九十之方)假如有積二千五百四十八萬二千三百○四平方開之列位 作㸃視㸃在次位以二千五百萬合商之乃視平方籌積有(二五)與實相同其方五也商五千(四㸃故初商千)除方積二千五百萬餘四十八萬二千三百○四(初商千有次商)(又法既以四㸃知所得為五千倍之則為一萬即亷法也法上一位便是單逆上三倍則五千位矣)次倍初商(五千)作(一萬)為亷法(用第一籌)視籌第四行積四與餘實同次商四十于初商五千之隔位減亷積四十萬餘八萬二千三百○四(所减是○)(四故進位書之以對其○然與初商五千猶隔一位故知所得為四十此定位之法之妙也)次以次商四十為隅法減隅積一千六百餘八萬○七百○四(隅數十故減隅積盡于百位 商至十有末商)次合初商次商倍之得(一萬○○八十)為亷(用第一)(第八并二空位共四籌)(大凡商五數以上則其亷法視所商方數必進一位不論初商次商皆然若四以下則其亷法視方數必)(同位亦初次商盡然)合視籌内第八行積數(八○六四)小于餘實又次商八于先商五千○四十之下減亷積八萬○六百四十餘六十四(此所減第一位亦是○故商數八亦進位書之以對其○)次以末商八為隅法用減隅積六十四恰盡(隅數是單故減)(隅積亦必盡于單位)凡開得平方五千○四十八以上皆商五以上進書例也常法中有初商得二或四者進法中有初商得七或九者並雜見開方分秒法并開方捷法中開立方法(籌算三)勿菴氏曰物可以長短度者泰西家謂之線線之原度一横一縮而自相乘之以得其羃積者平方也西法謂之方面方面與線再相乘而得其容積則立方也西法謂之體解曰平方長濶相等形如碁局立方長濶髙皆相等形如骰子細分之有方有平亷有長亷有小隅總曰立方立方亦有實無法以所有散數整齊之成一立方形故亦曰開立方長濶髙皆等今所求者其一邊之數故西法亦曰立方根如圖方者初商也初商不盡則再商之于是有三平亷三長亷一小隅共七并初商方形而八合之成一立方形如圖方形者長濶髙皆如初商之數方形只一如圖平亷形者長濶相同皆如初商數其厚則如次商數 (平亷形凡三以輔于方形之三面)長亷者長如初商數其兩頭髙與濶等皆如次商數 (長亷形亦三以補三平亷之隙)小隅者長濶髙皆等皆如次商數 (其形)(只一以補三長亷之隙)商三位圖如後圖一方三平亷三長亷一小隅除實仍不盡則更商又得次平廉次長廉各三次小隅一合之共十五形凑成一大立方形 次平亷之長濶相等皆如初商并次商之數厚如三商數其形三以輔初商并次商合形之外 次長亷之長如初商并次商之數其濶與厚相等皆如三商數其形亦三以補次平亷之隙次小隅之長濶髙皆等皆如三商數其形只一以補次長亷之隙立方籌式(列後)解曰上三位者自乘再乘之積也假如根一十則其積一千根二十則其積八千乃至根九十則其積七十二萬九千也 次兩位者自乘之積即平方也置于立方籌者以為亷法之用假如初商一百則其平亷亦方一百其積一萬乃至商九百則其平亷方九百而積八十一萬也又如次商一十則其長亷之兩頭亦必方一十而積一百乃至次商九十則其長亷之兩頭必方九十而積八千一百也 下一位者方根也假如立積一千則其根一十立積八千則其根二十乃至積七十二萬九千則其根九十也立方籌三位何也自乘再乘之數止于三位也且以為初商之用故只須三位其餘實雖多位皆亷積耳用法曰先以積列位至單位止無單者作圈以存其位次作㸃從單位㸃起每隔兩位作一㸃(即滿三位去之之法也)㸃訖視最上一㸃以為用㸃在首位者獨商之以首位為初商之實單數商法也 若千若百萬若十億若萬億若千萬億凡以三位去之餘一位者皆與單法同㸃在次位者合首兩位為初商之實十數商法也 若萬若千萬若百億若十萬億若兆凡以三位去之餘二位者皆與十同法㸃在第三位者合首三位為初商之實百數商法也 若十萬若億若千億若百萬億若十兆凡以三位去之餘三位者皆與百同法又法視其㸃在首位則于原實之上加兩圈㸃在次位者上加一圈皆合三位而商之次以初商之實與立方籌相比勘視立方籌積數有與實相同或差小于實者用之以減原實而得其立方之數即初商也定位法曰既得初商則約實以定位知所得立方為何等(或單或十百等)以知有續商與否 皆以前所作㸃而合計之視有若干㸃之命之假如只有一㸃則商數是單 初商已得單數無次商有二㸃者商數十 初商十數者有商兩次焉有三㸃者商數百 初商百數者有三三次焉四㸃商千 五㸃商萬 每多一㸃則得數進一位而其商數亦多一次皆以商得單數乃盡也减積法曰凡初商减積皆止于最上㸃之位次商法曰依前定位若初商末是單而减積未盡是有次商也次商者有平亷法有長亷法有隅法(解曰平亷古曰)(方法長亷法古曰亷法以後或曰平亷長長亷從質也或省曰方法亷法從古也)先以所得初商數三之為亷法又以初商數自乘而三之為三法 以方法用籌除積以得次商(以列位之法定之其法見後)既得次商用其數以乘方法為三平亷積又以次商自乘以乘亷法為三長亷積其次商即為隅法 以隅法自乘再乘得小立方積為隅積乃併三平亷三長亷一小隅積為次商亷隅共積若此亷隅共積與餘積適等或小于餘積則減而去之視其仍餘若干以為用(或續商或以法命之)若共積反大于餘實不及減轉改次商及減而止(若次商單一而無減以法命之)商三次法曰次商尚未是單而減積未盡是有第三次商也第三次商者合初商次商得數而三之為亷法又合初商次商得數自乘而三之為方法 如前以方法用籌除餘實求得第三商(亦以列位法詳其所得)既得第三商如前求得三平亷三長亷一小隅積以減餘實其法並同次商四次以上皆同法命分法曰但商得單數而有不盡則以法命之 未商得單數而餘實甚少不能商單一者亦以法命之其法以所商立方數自乘而三之(如平亷)又以立方數三之(如長亷)又加單一(如小隅)併三數為命分不盡之數為得分 其命分必大于得分列商數法曰依前隔位作㸃以最上一㸃為主而論之有三法凡商得立方一數者于此㸃之上一位書之(或單一或一十或一百或一千並同)此常法也若商得立方二三四五者于此㸃之上兩位書之(單十)(百千其法並同)乃進法也若商得立方六七八九者于此㸃之上三位書之(單十)(百千其法並同)乃超進法也平方只有進法而立方有三法何也平方以亷法為法而平方只二亷故其亷法之積數只有進一位故止立進法與常法為二也立方以方法為法而立方有三平廉故其方法之積數有進一位進兩位故立進法超進法而與常法為三也其預為續商之地使所得單數居于法之上一位則同假如立方單一其方法單三 若立方單二則方法一十二變為十數進一位矣故單一用常法而單二即用進法也又如立方單五其方法七十五 若立方單六則方法一百○八又變百數進兩位矣故單五只用進法而單六以上必用超進之法也假如立方一十其方法三百 若立方二十則方法一千二百變千數進一位矣故一十只用常法而二十即用進法也又如立方五十其方法七千五百 若立方六十則方法一萬○八百又變萬數進兩位矣故五十仍用進法而六十以上必用超進之法也若宜進而不進宜超進而不超進則初商次商同位矣不宜進而進則初商次商理不相接矣此歸除開立方之大法也其次商列位理本歸除以所減積數首一位是空不是空定其進退皆同平方 商三次以上並同隅積法曰隅法單隅積盡單位 隅法是十隅積盡于千位隅法百隅積盡百萬之位 以上倣求 大約隅法大一位則隅積大三位還原法曰置開得立方數為實以立方數為法乘之得數再以立方數乘之有不盡者加入不盡之數即得原實假如有積一千三百三十一立方開之列位 作㸃(從單位起)視首位有㸃以○○一千為初商之實乃視立方籌有○○一其立方一于是商一十(有二㸃故商十)減去立方積一千餘三百三十一(初商十者有次商也)以最上㸃為主商一數者書于㸃之上一位常法也次以初商一十而三之得三十為亷法又以初商一十自乘而三之得三百為方法(用第三)視籌第一行積數○三與餘實同次商一於初商一十之下(減積首位是○故進位書于一十之下以暗對其○)于是以次商一乘方法仍得三百為平亷積 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十為長亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併三積共三百三十一除餘實恰盡凡開得立方一十一(還法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合)(原積)假如有積一十二億五千九百七十一萬二千立方開之列位 作㸃視首位有㸃以○○一十億為初商之實乃視立方籌有○○一其方亦一于是商一千減立方積一十億餘二億五千九百七十一萬二千次以初商一千而三因之得三千為亷法又以初商一千自乘得一百萬而三之得三百萬為方法(用第三籌)視第三籌之第八行積數二四小于餘實次商八十于初商一千之下一位(所減首位不空故次商八書本位而上一位作○因與次)(商隔位故知其是十)就以次商八十乘方法三百萬得二億四千萬為平亷積又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十萬為長亷積 又次商八十自乘再乘得五十一萬二千為隅積 併三積共二億五千九百七十一萬二千除實盡凡開得立方一千○八十○(初商千次商○八是十而除實已盡是所商單)(位亦○也此列位之妙)以上皆商得一數例也 皆以最上一㸃為主而以初商得數書于㸃之上一位乃常法也惟商得一數者可用常法一十一百一千一萬並同假如有積九千二百六十一立方開之列位 作㸃視㸃在首位以○○九千命為初商之實乃視立方籌積有小于○○九者○○八也其立方二于是商二十(二㸃故初商十)減立方積八千餘一千二百六十一以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上兩位乃進法也商二至五之法也次以初商二十用三因之得六十為亷法又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百為方法(用第一第二兩籌)合兩籌第一行積一二與餘實相同次商單一于初商二十之下(所減首位空宜進書也若初商不先用進法則無以處次商矣故進法自商二)(始)就以次商一乘方法仍得一千二百為三平亷積又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十為三長亷積又以次商一自乘再乘皆仍得一為隅積 併三積共一千二百六十一除實盡凡開得立方二十一假如有立方積三萬二千七百六十八立方開之問得若干列位 作㸃視㸃在次位以○三萬二千為初商之實乃視立方籌積小于○三二者是○二七其立方三也于是商三十(二㸃故初商十)減商三十(二㸃故初商十)減立方積二萬七千餘五千七百六十八次以初商三十用三因得九十為亷法又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百為方法(用第二第七兩籌)合視兩籌第二行積○五四小于餘實次商單二于初商三十之下(所减首位○宜進書以對其○)就以次商單二乘方法得五千四百為平亷積 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十為長廉積又以次商自乘再乘得八為隅積 併三積共五千七百六十八除實盡凡開得立方三十二假如有立方積一十一萬七千六百四十九立方開得若干列位 作㸃視㸃在第三位以一十一萬七千為初商之實乃視立方籌積有小于一一七者○六四也其立方四于是商四十(二㸃故初商十)減立方積六萬四千餘五萬三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十為亷法又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百為方法(用第四第八兩籌)合視兩籌第九行積數四三二小于餘實次商九于初商四十之下(所減首位不空故本位書之)就以次商九乘方法得四萬三千二百為平亷積又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十為長亷積 又以次商九自乘再乘得七百二十九為隅積 合計亷隅三積共五萬三千六百四十九除實盡凡開得立方四十九假如有積一千六百六十三億七千五百萬立方開得若干列位 作㸃視㸃在第三位以一千六百六十億為初商之實乃視立方籌有小于一六六者是一二五其立方五也商作五千(四㸃商千)除立方積一千二百五十億餘四百一十三億七千五百萬次以初商五千用三因之得一萬五千為亷法又以初商五千自乘得二千五百萬三因之得七千五百萬為方法(用第七第五兩籌)合視兩籌第五行積三七五小于餘實次商五百于初商五千之下(所減首位不空故書本位)就以次商五百乘方法得三百七十五億為平亷積又以次商五百自乘得二十五萬用乘亷法得三十七億五千萬為長亷積 又以次商五百自乘再乘得一億二千五百萬為隅積 併三積共四百一十三億七千五百萬除實盡 凡開得立方五千五百○○以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一㸃為主而以初商所得進書㸃之上兩位進法也初商得二三四五者用進法單十百千並同假如有積二十六萬二千一百四十四立方開之列位 作㸃視㸃在第三位以二十六萬二千為初商之實乃視立方籌有小于二六二者二一六也其立方是六商六十(二㸃商十)減立方積二十一萬六千餘四萬六千一百四十四以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上三位超進法也乃商六至九之法也次以初商六十用三因之得一百八十為亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一萬○八百為方法(用第一空位第八三籌)合視籌第四行積四三二小于餘實次商四于初商六十之下(所減首位是○故進位書之以對其○)就以次商四乘方法得四萬三千二百為平亷積又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十為長亷積 又以四自乘再乘得六十四為隅積 併三積共四萬六千一百四十四除實盡凡開得立方六十四假如有積三十七萬三千二百四十八立方開之列位 作㸃視㸃在第三位以三十七萬三千為初商之實乃視立方籌積有小于三七三者是三四三其立方七也商七十(二㸃商十)減立方積三十四萬三千餘三萬○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十為亷法又以初商七十自乘得四千九百三之得一萬四千七百為方法(用第一第四第七三籌)合視籌第二行積二九四小于餘實次商二于初商七十之下(所減首位空故進位書之以對其○)就以次商二乘方法得二萬九千四百為平亷積又以二自之得四用乘亷法得八百四十為長亷積又以二自乘再乘得八為隅積 併三積共三萬○二百四十八除實盡凡開得立方七十二假如有積五十三萬一千四百四十一立方開之列位 作㸃視㸃在第三位以五十三萬一千為初商之實乃視立方籌積有五一二小于五三一其方八也商八十(二㸃商十)減立方積五十一萬二千餘一萬九千四百四十一次以初商八十用三因之得二百四十為亷法又以八十自乘得六千四百三之得一萬九千二百為方法(用第一第九第二三籌)合視籌第一行是一九二小于實次商一于初商之下 就以次商一乘方法為平亷積 又以一自乘用乘亷法為長亷積 又以一自乘再乘為隅積併三積共一萬九千四百四十一除實盡凡開得立方八十一假如有積九十七萬○二百九十九立方開之列位 作㸃視㸃在第三位以九十七萬○為初商之實乃視立方籌有七二九小于九七○其方九也商九十(二㸃商十)減積七十二萬九千餘二十四萬一千二百九十九次以初商九十三之得二百七十為亷法又以九十自之得八千一百而三之得二萬四千三百為方法(用第二第四第三三籌)合視籌第九行是二一八七小于餘實次商九于初商九十之下(所減首位不空故本位書之)就以次商九乘方法得二十一萬八千七百為平亷積 又以九自乘得八十一以乘亷法得二萬一千八百七十為長亷積 又以九自乘再乘得七百二十九為隅積 併三積共二十四萬一千二百九十九除實盡凡開得立方九十九此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一㸃為主而以得數書于㸃之上三位乃超進法也初商六七八九用超進之法單十百千並同命分例假如有立方八百一十尺問立方每面各若干列位 作㸃㸃在第三位以八百一十○尺為初商之實視立方籌有小于實者為七二九其立方九商九尺減積(七百二十九尺)餘(八十一尺)此商數已至單尺而有不盡當以法命之法以商數九自乘(八十一)而三之得(二百四十三)如平亷又置商數九而三之得(二十七)如長亷 加小隅一共(二百七十一)為命分命為立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得單數而有不盡以法命之例也又如有立方積一億二千五百七十五萬尺問立方若干列位 作㸃㸃在第三位以一億二千五百萬尺為初商實視立方籌有(一二五)恰與實合商(五百尺)減實(一億二千五百萬尺)餘(七十五萬○○○○尺)有三㸃故知所商是(五百尺)宜有第二商第三商也乃以初商(五百尺)自乘(二十五萬尺)而三之得(七十五萬尺)為平亷法又以初商(五百尺)三之得(一千五百尺)為長亷法視餘實(七十五萬尺)僅足平亷之數而無長亷知第二商第三商皆空也補作兩圈而以法命之法以平亷法長亷法合數加小隅一共(七十五萬一千五百○一)(尺)為命分命為立方每面五百尺又七十五萬一千五百○一分尺之七十五萬○○○○此商數雖未至單而餘實甚少不能成一整數亦以法命之例也厯算全書巻三十一
## 卷三十二
欽定四庫全書厯算全書巻三十二宣城梅文鼎撰籌算四之五開帶縱平方法勿菴氏曰算有九極于勾股勾股出于圓方故少廣旁要相資為用也然開平方以御勾股而縱法以御和較古有益積減積翻積諸術參伍錯綜盡神通變要之皆帶縱一法而已(平方者長濶相等如碁局也平方帶縱者直田也長多于濶之數謂)(之縱縱之濶如平方之數其長則如縱之數縱與方相乘得縱積以)(加方積成一直田形積也)平方與方縱兩形初商之積也兩亷一隅一亷縱者次商之積也亷有二故倍之亷之縱只一故不倍也如前圖除積不盡則有第三商如此圖雖三商亦只倍亷而不倍縱四商以上倣此詳之用法曰先以積列位如法作㸃從單位起隔位㸃之視㸃在首位獨商之㸃在次位合兩位商之皆命為實次以帶縱數用籌與平方籌並列之各為法視平方籌積數有小于實者用其方數為初商用其積數為方積(初商自乘之數也) 即視縱籌與初商同行之積數用之為縱積(初商乘縱之數也如初商一則用縱籌第一行)兼方積縱積兩數以減原實而定初商(必原實中兼此兩積之數則初商無悮矣故曰)(定) 若原實不及減改而商之如前求得兩積以減之為初商定數 不及減又改商之及減而止若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則于初商之位作○而紀其改商之數于○下若次商者然(初商應是百而改九十應是千而改九百並同)定位法曰既得初商視所作原實之㸃共有幾何以定其得數之位以知其有次商與否(如一㸃則得數是單而無次商二㸃)(則得數是十而有次商之類皆如平方法取之)次商法曰依前定位知初商未是單數而減積又有未盡是有次商也 次商之法倍初商加入縱為亷法用籌除之 視亷法籌行内之積數有小于餘實者用為亷積以減餘實用其行數為次商 就以次商自乘為隅積以減餘實以定次商(必餘實内有亷隅兩積則次商無誤)不及减者改商之及減而止皆如平方法商三次以上並同次商命分法曰若得數已是單而有不盡則以法命之 法以所商數倍之加入縱為亷又加隅一為命分不盡之數為得分亦有得數非單而餘實少在亷法以下不能商作單一者亦以法命之 法即以亷法加隅一為命分列商數法曰依平方法視所作㸃而以最上一㸃為主若初商五以上(不論單五或五十或五千或五百並同)皆用進法書其其得數于㸃之上兩位則不論縱之多少也若初商四以下(亦不論單十百千)則以縱之多少而為之進退法以縱折半加入初商(單從單十從十百千各以類加)若滿五以上者變從進法書于㸃之上兩位(如初商四而縱有二初商三而縱有四之)(類)若縱數少雖加之而仍不滿五數者仍用常法書其得數于㸃之上一位(如初商四而縱只有一初商三而縱只有二只有二之類)總而言之所商單數皆書于亷法之上一位故初商得數有進退之法乃豫為亷法之地以居次商也初商五以上倍之則十雖無縱加亷法已進位矣初商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而為亷法也亦滿十而進位矣亷法進位故初商必進兩位書也若加半縱仍不滿五則其亷法無進位矣故初商只進一位而書之葢豫算所商單數已在亷法之上也又初商若得單數其亷法即為命分凡商得單數必在命分之上一位以此考之庶無謬誤假如有直田積六十三步但云濶不及長二步列位(依平方法)作㸃(從單位起)視㸃在次位合六十三步商之為實次以平方籌與縱二籌平列之各為法視平方籌積有(四九)小于(六三)其方七也商作單七(用進法書于㸃之上兩位 一㸃知所商是單)即視帶縱籌第七行積數(一四)用為縱積併方積(四十九)縱積(一十四)共六十三除實盡(此亦偶除)(盡耳設不盡其命分必是十數故前商七之數必進書之以存其位)定為濶七步 加縱二步得長九步凡得數在五以上用進法書于㸃之上兩位此其例也假如有直田六百三十步但云長多濶二步列位(無單位補作圈)作㸃視㸃在首位獨商之以○六百步為實以平方帶縱二各用籌為法視平方籌積數有(○四)小于(○六)其方二商二十步(二㸃故初商十)自乘得方積(四百步)隨視縱籌第二行是(四)得縱積(四十步)併兩積共四百四十步以減原實餘一百九十步再商之(初商十故有次商也)(商數二十以縱折半得單一加之共二十一仍不滿五數故只用常法書于㸃之上一位)次以初商(二十步)倍之(四十步)加縱(二步)共四十二步為亷法(用第四第二兩籌)合視兩籌第四行積數(一六八)小于(一九○)次商(四)減亷積一百六十八步餘二十二步(所減首位不空次商故書本位)次以次商(四步)為隅法自乘得(一十六步)為隅積用減餘實不盡六步以法命之(初商雖不進位所得次商單數已在命分之上)(一位矣列商數法妙在于此)倍所商(二十四步)為(四十八步)加縱(二步)又加隅(一步)共五十一步為命分命為濶(二十四步)又(五十一分步之六)加縱(二步)得長(二十六步)又(五十一分歩之六)凡得數在四以下以半縱加之仍不滿五則只用常法書于㸃之上一位此其例也假如有直田五畝但云長多濶八十八步列位(以畝法二百四十通之得一千二百步十步單步空補作兩圈)作㸃視㸃在次位合商之以一千二百步為實縱有兩位用兩籌與平方籌並列各為法先視平方籌有(○九)小于(一二)宜商三十(二㸃商十)因有縱改商二十其方積四百步縱積一千七百六十步(初商十與縱相乘故縱單數皆成十數)兼兩積共二千一百六十步大于實不及減所商有誤抹去之改商(一十步)其方積(一百步)其縱積(八百八十步)併兩積共除實九百八十步餘二百二十步再為實以求次商(初商十故有次商也)(縱折半四十四步加初商一十步共五十四步故變用進法)次以初商(一十步)倍之(二十步)加縱(八十八步)共一百○八步為亷法(用第一空位第八三籌)合視籌第二行積(二一六)小于(二二○)次商(二步)于初商(一十步)之下減亷積一百一十六餘四步(所减首位)(○故進書之初商豫進正為此也)次以次商(二步)自乘得四步為隅積除實盡定為濶一十二步加縱(八十八步)得長一百步假如有直田一十二畝半但云長多濶七十步列位(以畝法二百四十通之得三千步百十單皆作圈)作㸃視㸃在次位以三千○百步為實以平方帶縱七十各用籌為法先視平方籌積有二五小于(三○)宜商(五十)因縱改商(四十步)其方積一千六百步其縱積二千八百步共四千四百步大于實不及减抹去之改商(三十步)其方積(九百步)其縱積(二千一百步)共三千步除實盡(縱七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用進法書商三于㸃上兩位)(假有餘實則當再商或命之以分今雖商盡當存其位 命分者亷法加隅一也倍初商加縱共一)(百三十是原實百者亷法之位也進一位乃單位初商不進兩位何以容單數)凡開得平方三十步為田濶 加縱七十步共一百步為長假如有直田七畝但云長多濶六十步列位(以畝法二百四十通之得一千六百八十步單位空作圈)作㸃視㸃在次位合商之以一千六百步為實以平方帶縱六十步用籌各為法先視平方籌有一六與實同宜商四十(二㸃初商是十)因帶縱改商三十步其方積(九百步)縱積(一千八百步)共二千七百步大于實不及減抹去之改商(二十步)其方積(四百步)縱積(一千二百步)共減一千六百步餘八十步再商之(縱折半三十加初商共五十故進書之)(假餘實滿命分一百○一步即當商一步故初商豫進以居次商今次商雖空當存○位故也)次以初商(二十步)倍之(四十步)加入縱六十步共一百步為亷法 亷法大于餘實不及減次商作○其餘實以法命之 法以亷法加隅一為命分命為濶(二十步)又(一百○一分步之八十)加縱為長(八十步)又(一百○一分步之八十)假如有直田四畝但云長多濶九十步列位(以畝法通之得九百六十步)作㸃視㸃在首位獨商之以○九百為實以平方帶縱九十步各用籌為法先視平方籌積有(○九)與實同宜商三十步(二㸃故初商十)因帶縱改商二十步其方積(四百步)縱積(一千八)(百步)不及減又改商一十歩其方積(一百步)縱積(九)(百步)共一千步仍不及減 此有二㸃宜商十步今改商一十仍不及減是初商十位空也(縱九十折半四十五加初商十步滿五十以上故商一進書㸃之上兩位)改商單九步其方積(八十一步)縱積(八百一十步)共八百九十一步以減實餘六十九步不盡(此宜商十數者變商)(單步故初商之位作○而以改商之九步書于○位下如次商然也蓋必如此書之所商單數乃在命分)(之上一位也)商數已得單步而有不盡以法命之以商九步倍之加縱九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步為命分命為濶九步又(一百○九分步之六十九) 加縱為長九十九步又(一百○九分步之六十九)以上四則乃縱多進位之法也凡得數雖四以下以半縱加之滿五即用進法書于㸃之上兩位此其例也開帶縱立方法(籌算五)勿菴氏曰泰西家説勾股開方甚詳然未有帶縱之術同文算指取中算補之其論帶縱平方有十一種而于立方帶縱終缺然也程汝思統宗所載又皆兩縱之相同者惟難題堆垜還原有二例祇一可用其一强合而已非立術本意又不附少廣而雜見于均輸雖有善學何從而辨之兹因籌算稍以鄙意完其缺義取曉暢不厭煩複使得其意者可施之他率不窮云爾凡立方帶縱有三一只帶一縱如云長多方若干或髙多方若干是也(深即同髙)一帶兩縱而縱數相同如云長不及方若干髙不及方若干是也(此方多數為縱)一帶兩縱而縱數又不相同如云長多濶若干濶又多髙若干是也大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱亷又有縱方故其術不同帶一縱圖三此長多于方 此髙多于方也為横縱横 也為直縱直縱之形濶與 縱之形長濶髙等如其方 相等如其方其厚也如其 其髙也如其縱所設 縱所設俱立方一縱形一合為長立方形如圖立方形方縱形合者初商也平亷三内帶縱者二長亷三内帶縱者一小隅一此七者次商也平亷所帶之縱長與立方等厚與次商等其髙也則如縱所設長亷所帶之縱兩頭横直等皆如次商其髙也如縱所設用法曰以積列位乃作㸃從單位起隔兩位㸃之㸃畢視積首位有㸃獨商之以首位為初商之實首位無㸃以首位合有㸃之位商之 㸃在次位以首兩位為初商之實 㸃在第三位以首三位為初商之實 皆同立方法先視立方籌積數有小于初商之實者用其方數為初商(定位法合計所作㸃共有若干一㸃者商單數二㸃則商十數每一㸃進一位皆如立方)用其積數為初商立方積(定位法視初商方數若初商單數其積亦盡于單位若初)(商十數其積乃盡于千位每初商進一位其積進三位亦可以㸃計之皆如立方)次以初商自乘以乘縱數為縱積合計立方積縱積共數以減原積而定初商(若初商無誤者)(原實中必兼此兩積)命初商為方數加縱數為髙數(或長數皆依先所設)不及減者改商之及減而止次商法曰依前定位知初商是何等(或單十百千等)若初商未是單數而減積又有不盡是有次商也法以初商自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之共為平亷法 又法以初商三之縱倍之併其數與初商相乘得數為平亷法 或以初商加縱而倍之併初商數以乘初商為平亷法並同又以初商三之加縱為長亷法乃置餘實列位以平亷法除之得數為次商(用籌為法除而)(得之)(依除法定其位)于是以次商乘平亷法為三平亷積 又以次商自乘以乘長亷法為三長亷積 就以次商自乘再乘為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減原實(原實中兼此併積知次商無誤矣)乃併初商次商所得數為方數加縱命為髙數(或長數皆如先所設)合問 不及減者改商之及減而止商三次者以初商次商所得數加縱而倍之併商得數為法仍與商得數相乘為平亷法又以商得數三之加縱為長亷法 餘並同次商命分法曰己商至單數而有不盡則以法命之 其法以所商得數加縱倍之加所商得數以乘所商得數(如平亷)又以所商得數三之加縱(如長亷)併兩數又加單一(如隅)為命分不盡之數為得分或商數尚未是單而餘實甚少在所用平亷長亷兩法併數之下或僅同其數(僅同者無隅積)是無可續商也亦以法命之法即以所用平亷長亷兩法併之又加隅一為命分列商數法曰依立方法以初商之實有㸃者為主(即原實内)(最上之一㸃)凡初商得數必書于㸃之上一位乃常法也惟初商一數者用常法有以初商得數書于㸃之上兩位者進法也初商二三四五者用進法有以初商得數書于㸃之上三位者超進法也初商六七八九者用超進之法若縱數多亷法有進位則宜用常法者改用進法宜用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之其法于次商時酌而定之葢次商時有三平亷法三長亷法再加隅一為命分法于原實尋命分之位為主命分上一位單數位也從此單數逆尋而上自單而十而百而千至初商位止有不合者改而進書之若與初商恰合者不必强改此法甚妙平方帶縱亦可用之若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得數退改小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃論之此尤要訣(或于初商位作圈而以所商小一等數書于圈之下即可以上一㸃論也)(細考其數則同此商數列位立法之妙宜詳翫之)假如浚井計立方積七百五十四萬九千八百八十八尺但云深多方八百尺 法以立方帶縱為法除之列位 作㸃視㸃在首位獨商之以○○七百萬尺為初商之實以立方籌為法 視立方籌積有○○一小于○○七商一百尺(三㸃故初商百商一百故用常法書于㸃之上一位)得立方積一百萬尺(三㸃者方積盡百萬之位一初商之方積皆盡于最上之 㸃)次以初商一百尺自乘一萬尺乘縱八百尺得八百萬尺為縱積 併兩積九百萬積大于原實不及減抹去之不用改商如後圖視立方籌第九行積七二九改商九十尺得立方積七十二萬九千尺(百改十故亦改用第二㸃第二㸃是十位故方積亦盡於千位)次以初商九十尺自乘八千一百尺乘縱八百尺得六百四十八萬尺為縱積 併兩積共七百二十萬○九千尺以減原實餘三十四萬○八百八十八尺再商除之(初商一百今改商九十故上一㸃不用用第二㸃論)(之商九者書于第二㸃之上三位超進法也)次用次商又法以縱八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺併初商九十尺共一千八百七十尺用與初商九十尺相乘得一十六萬八千三百尺為平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加縱八百尺共得一千○七十尺為長亷法乃列餘實以平亷為法除之(用第一第六第八第三共四等)商九十用超進法書于第二㸃之上三位今以縱多致亷法進為十萬故次商時應更為酌定又超一位書之然後次商單數在亷法上一位矣改如後圖(亷法十萬上一位單數位也今商九十不合在此位故改之)合視籌第二行積○三三六六小于餘實次商二尺于初商九十之下(所減首位是○法宜進書也初商不改而更超之何以居次商)就以次商二尺乘平亷法得三十三萬六千六百尺為平亷積 又以次商二尺自乘四尺用乘長亷法得四千二百八十尺為長亷積 又以次商二尺自乘再乘得八尺為隅積 併三積共三十四萬○八百八十八尺除實盡乃以商數命為井方 加縱為井深計開井方九十二尺深八百九十二尺此超進法改而更超一位也帶兩縱縱數相同圖二此髙不及方也方之横與直俱多于髙是為兩縱兩縱者縱廉二縱方一并立方而四立方形長濶髙皆相等縱亷形髙與濶相等如其方之數其厚也如所設縱之數縱方形兩頭等皆如縱數其髙也如立方之數兩縱亷輔立方兩面而縱方補其隅合為一短立方形不及之數有在立方旁者觀後圖可互見其意如圖初商有立方有縱廉二縱方一共四形今只圖其二餘為平廉所掩意㑹之可也(此横頭不及方也即前圖)(之眠體)次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内帶縱者二小隅一共七平廉帶一縱者濶如初商加縱為長厚如次商其帶兩縱者髙濶皆等皆如初商加縱之數厚如次啇長廉帶縱者長如初商加縱之數其兩頭横直皆等皆如次商無縱長廉長如初商兩頭横直等如次商小隅横直髙皆等皆如次商用法曰先以縱倍之為縱廉(兩縱併也)以縱自乘為縱方(兩縱相乘)此因兩縱數同故其法如此也若兩縱不同徑用乘法併法矣乃如法列位作㸃求初商之實以立方籌為法求得初商方數及初商立方積(皆如立方)(法皆依定位法命之)次以初商乘縱方得數為縱方積 又以初商自乘數乘縱亷得數為縱亷積合計縱方縱亷立方之積共若干數以減原實而定初商(皆如一縱法)命初商為髙數(或深數皆如所設)加縱為方數(不及減改商之若初商未)(是單數則以餘實求次商)次商法曰以初商加縱倍之以乘初商髙數得數 又以初商加縱自乘得數 併之共為平亷法(又法初商三之)(加縱以初商加縱乘之得數為平亷法亦同)次以初商加縱倍之併初商數共為長亷法(又法初商三之)(縱倍之併為長亷法亦同)乃置餘實列位 以亷法位酌定初商列法而進退之以平亷為法而除餘實得數為次商(皆以所減首位是○與否)(而為之進若退) 又法合平亷長亷兩法以求次商于是以次商乘平亷法為平亷積 又以次商自乘數乘長亷法為長亷積 又以次商自乘再乘為隅積 合計平亷長亷隅積共若干數以減餘實而定初商(皆如一縱法)(又法以次商乘長亷法為長亷法又以次商自乘為隅法併平亷長亷隅法以與次商相乘為次商亷隅)(共積以減餘實亦同)乃命所商數為髙(或深之類如所設)加縱數命為方合問不盡者以方倍之乘髙又以方自乘(如平亷)又以方倍之併髙(如長亷)又加單一(如隅)為命分假如有方臺積五百八十六萬六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺 以帶兩縱立方為法除之(方者長濶等每面各多髙一百四十尺)先以縱一百四十尺倍之得二百八十尺為縱積又縱自乘之得一萬九千六百尺為縱方列位 加㸃視㸃在首位獨商之以○○五百萬尺為初商之實視立方積有○○一小于○○五商一百尺(三㸃故商百尺)得立方積一百萬尺(商一數宜)(用常法書于㸃之上一位今因縱多致亷法昇為十萬法上一位為單單上一位為十今初商是百尺故)(改用進法書之亷法之昇見後)就以初商一百尺乘縱方得一百九十六萬尺為縱方積又以初商一百自乘一萬乘縱亷得二百八十萬尺為縱亷積合計立方縱方縱亷積共五百七十六萬尺以減原實餘一十萬○六千一百八十一尺(初商百尺宜有續商)初商一百尺髙也 加縱共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙數得四萬八千尺又以方自乘之得五萬七千六百尺併之得一十萬○五千六百尺為平亷法又以方倍之併髙得五百八十尺為長亷法乃列餘實 以亷法酌定初商改進一位書之以平亷法用籌除餘實視籌第一行○一○五六小于餘實次商一尺于初商一百尺之隔位(所減是○一○五六首位○宜進書然猶與初商隔位故知為單一)(尺) 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘長亷法亦如故就命為平亷長亷積 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合計三積共一十萬○六千一百八十一尺除實盡乃以所商數命為臺髙 加縱為方計開臺髙一百○一尺 方二百四十一尺此常法改用進法也假如有方池積五十萬丈但云深不及方五十尺 先以縱(五十)尺倍之一百為縱亷 又縱自乘之得(二千五百)尺為縱方列位 加㸃視㸃在第三位合商之以五十萬○○尺為初商之實視立方籌有三四三小于五○○宜商七十尺(二㸃商十尺)因縱改商六十尺得立方積二十一萬六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘縱亷一百尺得三十六萬尺已大于實不及減不必求縱方積矣 改商五十尺用籌求得立方積一十二萬五千尺就以初商五十尺乘縱方得縱方積亦一十二萬五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘縱亷得縱亷積二十五萬尺 併三積共五十萬尺除實盡 以商數命為池深 加縱為方計開 池深五十尺 方一百尺此進法改為超進也(假有次商則其平亷法二萬尺矣假有命分則其命分二)(萬○二百五十一矣) 亦有髙與長同而濶不及數者準此求之但以初商命為濶而加縱為髙與長帶兩縱縱數不相同圖二此長多于濶而髙又多于長也是為兩縱而又不相同凡為大縱亷小縱亷各一縱方一并立方形而四立方形長濶髙相等大縱亷横直等如其方而髙如大縱 小縱亷髙濶等如其方而厚如小縱縱方形之兩頭髙如大縱厚如小縱其長也則如立方 大縱小縱以輔立方之兩面而縱方補其闕合為一長立方形如圖初商有立方有大縱廉小縱廉縱方各一共四只圖其二餘為平廉所掩也次商平廉三内帶小縱者一帶大縱者一(在初商大縱立方之)(背面)帶兩縱者一長廉三内帶小縱者一帶大縱者一小隅一共七帶小縱平亷濶如初商長如初商加小縱之數髙如次商帶大縱平亷濶如初商髙如初商加大縱之數厚如次商帶兩縱平亷濶如初商加小縱之數髙如初商加大縱之數厚如次商帶小縱長亷長如初商加小縱之數 帶大縱長亷髙如初商加大縱之數 無縱長亷長如初商數其兩頭横直皆如次商之數小隅横直髙皆如次商之數用法曰以兩縱相併為縱亷 以兩縱相乘為縱方列位作㸃求初商之實 以立方籌求得初商立方積 以初商求得縱方縱亷兩積 皆如前法乃以初商命為濶 各加縱命為長為髙求次商者以初商長濶髙維乘得數而併之為平亷法又以初商長濶髙併之為長亷法乃置餘實列位(以平亷酌定初商之位)以平亷為法求次商及平亷積長亷積隅積以減餘實乃命所商為濶各以縱加之為髙為長(如所設)皆如前法不盡者以所商長濶髙維乘併之(如平亷)又以長濶髙併之(如長亷)又加單一(如隅)為命分假如有長立方形積九十尺但云髙多濶三尺長多濶二尺先以兩縱相併五尺為縱亷 以兩縱相乘六尺為縱方列位 作㸃視㸃在第二位合商之以○九十○尺為初商之實乃視立方籌有○六四小于○九○宜商四八因有縱改商三尺得二十七尺為立方積(原實只一㸃故初商是單商三)(故書于㸃之上兩位用進法也)次以初商三尺自乘九尺乘縱亷得四十五尺為縱亷積又以初商三尺乘縱方得一十八尺為縱方積併三積共九十尺除實盡乃以初商命為濶 各加縱為髙為長計開濶三尺 長五尺 髙六尺假如有立方積一千六百二十尺但云長多濶六尺髙多濶三尺先以兩縱相併九尺為縱亷 以兩縱相乘一十八尺為縱方列位 作㸃視㸃在首位獨商之以○○一千尺為初商之實乃視立方籌有○○一與實同商一十尺(二㸃商十)得立方積一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘縱亷得九百尺為縱亷積又以初商一十尺乘縱方得一百八十尺為縱方積 合計之共二千○八十尺大于實不及減(商一十故用常法書于㸃之上一位)改商九尺得七百二十九尺為立方積(十變為單則上一㸃不用用第二㸃故商九書于第二㸃之上兩位)(用超進法也)次以初商九尺自乘八十一乘縱亷亦得七百二十九尺為縱亷積次以初商九尺乘縱方得一百六十二尺為縱方積併三積共一千六百二十尺除實盡乃以商數命為濶 各加縱為長為髙計開濶九尺 長一十五尺 髙一十二尺假如有長立方積六萬四千尺但云長多濶五尺髙又多長一尺先以長多五尺髙多六尺併之得(十十)為縱亷 又以五尺六尺相乘三十為縱方(解曰長多濶五尺髙又多長一尺是髙多濶六尺也)列位 作㸃視㸃在第二位合商之以○六萬四千尺為初商之實視立方籌有○六四與實同宜商四十尺因有縱改商三十尺(二㸃故商十尺)得二萬七千尺為立方積(商三十故書于㸃之上兩位用進法也)次以初商三十尺自乘九百尺乘縱亷得九千九百尺為縱亷積次以初商三十尺乘縱方得九百尺為縱方積併三積共三萬七千八百尺以減原實餘二萬六千二百尺再商之(初商十宜有次商)初商三十尺濶也 加縱五尺共三十五尺長也又加一尺共三十六尺髙也乃以初商長濶髙維乘之濶乘長得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八十尺 長乘高得一千二百六十尺併三維乘數共三千三百九十尺為平亷法(又法併長)(與髙乘濶又以髙乘長併之亦同)次以初商長濶髙併之共一百○一尺為長亷法(又法)(初商三之加兩縱亦同)乃以平亷用籌為法以餘實列位除之如後圖合視籌第六行是二○三四小于餘實次商六尺(所減首位不空故書本位)得二萬○三百四十尺為平亷積(次商乘平亷法也)次以次商六尺自乘三十六尺乘長亷法得三千六百三十六尺為長亷積又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺為隅積併三積共二萬四千一百九十二尺以減餘實餘二千○○八不盡以法命之法以初商濶髙長各加次商為濶髙長而維乘之濶乘長得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千五百一十二尺 長乘髙得一千七百二十二尺併得四千七百一十尺(如平亷)又併濶髙長得一百一十九尺(如長亷)又加一尺(如隅)共得四千八百三十尺為命分不盡之數為得分命為四千八百三十分尺之二千○○八即竒數也計開濶三十六尺有竒(音基) 長四十一尺有竒髙四十二尺有竒假如有長立方形積一十萬○一千尺但云長多濶五尺髙多濶六尺先以兩縱併得一十一尺為縱亷以兩縱乘得三十尺為縱方列位 作㸃視㸃在第三位合三位商之以一十萬○一千為初商之實乃視立方籌有○六四小于一○一商四十尺(二㸃商十)得六萬四千尺為立方積(商四十故)(書于㸃之上兩位進法也)次以初商自乘一千六百尺乘縱亷得一萬七千六百尺為縱亷積次以初商乘縱方得一千二百尺為縱方積併三積共八萬二千八百尺以減原實餘一萬八千二百尺再商之初商四十尺濶也 加縱五尺得四十五尺長也加縱六尺得四十六尺髙也乃以初商濶長髙而維乘之長乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四十尺(又法併髙與長九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省兩維乘其數亦同)髙乘長得二千○七十尺併維乘數共五千七百一十尺為平亷法又以濶長髙併之共一百三十一尺為長亷法乃列餘實以平亷用籌為法除之合視籌第三行是一七一三小于餘實次商三尺(所減首位不空故本位書之)就以次商三尺乘平亷法得一萬七千一百三十尺為平亷積 又以次商三尺自乘九尺乘長亷法得一千一百七十九尺為長亷積 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺為隅積 併之得一萬八千三百三十六尺大于餘實不及減改商二尺就以次商二尺乘平亷法得一萬一千四百二十尺為平亷積(即用籌第二行取之)次以次商自乘四尺乘長亷法得五百二十四尺為長亷積 又以次商自乘再乘得八尺為隅積併之共一萬一千九百五十二尺以減餘實仍餘六千二百四十八不盡以法命之法以濶長髙各加次商二尺為濶長髙而維乘之併髙四十八尺長四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺(代兩維乘)又以長乘髙得二千二百五十六尺併得六千二百四十六尺 又以長濶髙併之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四為命分命為六千三百八十四之六千二百四十八即竒數計開濶四十二尺有竒長四十七尺有竒髙四十八尺有竒厯算全書卷三十二
## 卷三十三
欽定四庫全書厯算全書卷三十三宣城梅文鼎撰籌算六之七開方捷法勿菴氏曰亷隅二形也故有二法今借開方大籌為隅法列于亷法籌之下而合商之則亷隅合為一法而用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善其事平方法曰如前列實從單位作㸃每隅位㸃之以求初商(初商)(列位有常法進法俱如前)既得初商即倍根數為亷法(亦同前法)以亷法數用籌(亷法幾位用籌幾根)列于平方籌之上為亷隅共法(或省曰次商法)合視亷隅共法籌某行内有次商之實同者或略少者減實以得次商(以本行内方根命之)三商者合初商次商倍之以其數用籌列平方籌上為亷隅共法(或省曰三商法)以除三商之實而得三商四商以上倣此求之解曰隅者小平方也故可以平方籌為法 亷之數每大于隅一位今以平方籌為隅列于亷之下則隅之進位與亷之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為一法(何以知亷大于隅一位也曰有次商則初商是十數矣平方亷法是初商倍數其位同初商故大于隅一)(位)凡初商減積盡最上一㸃故最上一㸃者初商之實也次商減積盡第二㸃故第二㸃以上次商之實也三商減積盡第三㸃故第三㸃以上三商之實也推之第四㸃為四商之實第五㸃為五商之實(以上並同)審空位法曰若次商之實小于亷隅共法之第一行(凡籌)(第一行最小數也)則知次商是空位也(不能成一數故空)即作圈于初商下以為次商 乃于亷法籌下平方籌上加一空位籌為亷隅共法以求三商(若空位多者另有簡法見後)三商實小有空位並同假如有平方積二千四百九十九萬九千九百九十九尺問每面若干列位 作㸃如圖㸃在次位以二千四百萬為初商實視平方籌有小于二四者是一六其方四也商四千尺減積一千六百萬尺(有四㸃故)(初商是千而有次商)次以初商四千尺倍之得八千尺為亷法用第八籌列平方籌上為亷隅共法以第二㸃餘實八百九十九萬為次商實視籌第九行合數八○一小于實次商九百尺減實八百○一萬尺(此所減首位不空故對位書之)次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八兩籌列平方籌上為廉隅共法 以第三㸃上餘實九八九九為三商之實合視籌第九行是八九○一小于實商九十尺減餘實八十九萬○一百尺(首位不空故亦對位書之)次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三籌列平方籌上為廉隅共法以第四㸃上餘積九九八九九為四商之實合視籌第九行積八九九○一小于實商九尺減餘實八萬九千九百○一尺不盡九千九百九十八尺開方已得單尺而有不盡以法命之倍方根加一數得九千九百九十九為命分凡開得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八右例可明四以上用常法之理葢積所少者不過萬分之一不能成五數之方而其法迥異加空籌式假如有平方積一千六百七十七萬七千二百一十六問每面若干列位 作㸃如圖㸃在次位以一千六百萬為初商實視平方籌有一六與實同其方四商四千尺減積一千六百萬尺(凡餘實必在商數下一位起倘空位)(則作圈補之後倣此) 次以初商四千尺倍得八千尺為亷法用第八籌列平方籌上為亷隅共法(籌見前例)以第二㸃上餘實○七七為次商實籌最小數是○八一(第一行數)大于實不及減是商數無百也乃于初商四千下作一圈以為次商(減去實中○位) 次如上圖加一空位籌于次商亷法之下平方籌之上為三商亷隅共法以第三㸃上七七七二為三商實視籌第九行是七二八一小于實商九十尺減積七十二萬八千一百次合初商次商三商共四○九倍之得八一八為廉法去空位籌加一八兩籌列于平方籌之上為四商廉隅共法以第四㸃上四九一一六為四商之實合視籌第六行數與實合商六尺減積四萬九千一百一十六尺恰盡凡開得平方四千○九十六尺假如有平方積九億○○一十八萬○○○九步問每面若干列位作㸃如後圖㸃在首位以○九億步為初商實視平方籌有○九與實同商三萬步(五㸃故初商萬)減積九億步次以初商三萬步倍之得六萬步用第六籌加平方籌上為次商法(即廉隅共法) 以第二㸃上為次商之實視實三位俱空無減知商數有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位則于原實内銷一圈(凡續商之實必下于前商之實一位故雖○位必減去之)(以清出續商之實)而于共法籌内加一空位籌如此挨商頗覺碎雜故改用又法又法曰凡實有多空位者知商數亦有多空不必挨商當于原實中審定可減之數在何位則此位之上皆連作圈而徑求後商如此餘實有三圈皆無積可減必至○一乃有可減而法是第六籌籌最小是○六大于○一仍不可減必至一八方可減而一是籌之進位當以商數對之則知以上俱是空位乃皆作圏合視之有三圈即次商三商四商也干原實内銷去三圈如後圖此即次商三商四商合圖也次加三空籌于平亷(第六籌)之下平方之上為五商亷隅共法 徑以第五㸃上一八○○○九為五商實視籌第三行數與餘實合商三尺除積一八○○○九恰盡凡開得平方三萬○○○三步又假如積二千五百○七萬○○四十九尺問方若干列位 作㸃如圖㸃在次位以二千五百萬尺為初商實視平方籌有二五與實同其方五商五千尺減積二千五百萬尺次倍初商五千尺得一萬○千尺用一籌空位籌為廉法(凡商得五數則原帶有空位)列平方籌上為次商法 實多空位以前除又法審之必至○七萬尺乃有可減而○七之○與籌上首位之○對當以商數居之則知此以上俱無商數也于是于初商五千下作兩圏如後圖此次商三商合圖也(原實上減兩圏商數下加兩圏)如上圖加兩空位籌于廉法一萬○千之下平方之上為四商法以○七○○四九為四商實(次商三商之兩㸃已銷故徑用第四㸃)視籌第七行相合商七尺減實恰盡凡開得平方五千○○七尺又假如積五千六萬三千五百○○尺問方若干列位作㸃 如圖㸃在次位以五十六萬為初商實視平方第七行是四九小于實商七百尺除實四十九萬次倍初商七百得一千四百用第一第四兩籌列平方籌上為次商法 以第二㸃上○七三五為次商實合視第五行是○七二五小于實商五十尺減去餘積○七萬二千五百尺次合商數七百五十倍之得一千五百○尺應用第一第五空位三籌加于平方籌上為三商法以第三㸃上○一千○○尺為三商實而實小于法不能成一尺乃于商數未作一圏以為三商其不盡之數以法命之凡亷隅共法籌第一行數即命分也葢能滿此數即成一單數矣凡開得平方七百五十○尺又一千五百○一之一千○○○約為三之二弱立方法曰如前列實隔兩位作㸃以求初商既得初商即以初商數自乘而三之為平亷法(即方法)以平亷法用籌列于立方籌之上(借立方籌為隅法也)為平亷小隅共法别以初商數三之而進一位為長亷法(即亷法)以長亷法用籌列于立方籌之下(法于長亷數下加一空籌以合進一位之數)先以平隅共法(即平亷小隅共法或省曰共法)為次商之法即截取初商下一位至第二㸃止為次商之實法除實得次商(視共法籌内有小于實者為平亷亷小隅共積用其根數為次商)次以次商之自乘數(即大籌立積下所帶平方積數)與長亷法相乘(以平方數尋長亷籌之行取其)(行内積數用之)得數加入平隅共積為次商總積以此總積減次商之實及減則已倘不及減轉改次商及減而止(因亷積或大有不及減者)三商者合初商次商數自乘而三之為平亷法以其數用籌列方籌上為平亷小隅共法别以初商次商數三而進位以其數用籌加一空位籌列立方籌下為長亷法截取次商下一位至第三㸃為三商之實共法為法除之以得三商(其積為共積) 次以三商自乘數與長亷法相乘得數加入共積為三商總積 减實(又一法長亷法不必)(加空位籌得于得數下加一圏即進位也)四商以上倣此解曰隅者小立方也故可以立方籌為法平亷之數每大于隅二位今以立方籌為隅列于平亷下則隅之首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平亷小隅可合為一法 長亷之兩頭皆如次商自乘之數故可以平方乘之又長亷之數每大于隅一位故于下加一空籌以進其位便加積也(何以知平亷大于隅二位而長亷只大一位也曰平亷者初商自乘之數也初商于次商為十數十乘十)(則百數矣隅積者次商本位也故平亷與隅如百與單相去二位也若長亷只是初商之三倍位同初商)(初商與次商如十與單故長亷與小隅亦如十與單相去一位也)凡初商積盡于上一㸃故上一㸃為初商實次商積盡于第二㸃故第二㸃以上為次商實推之三㸃為三商實四㸃為四商實以上並同審空位法曰若次商之實小于平亷小隅共法之第一行或僅如共法之第一行而無長亷積則次商是空位也即作圏于初商下以為次商乃于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求三商其長亷法下又加一空位籌(并原有一空位籌共兩空位籌)為三商長亷法(又法長亷不必加空籌但于得數下加兩圏) 若商數有兩空位者平亷小隅籌下加四空位籌長亷積下加三圏解曰有空位則所求者三商也初商于三商如百與單而平亷者初商之自乘百乘百成萬故平亷與三商之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理也(平亷原大)(二位加二空籌則大四位矣)初商與三商既如百與單則長亷與隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也初商列位商一用常法二至五用進法六至九用超法今各存一例于後假如有立方積六百八十五萬九千尺問每面若干列位 作㸃如圖㸃在首位以○○六百萬為初商實視立方籌有小于○○六者○○一也其立方一商一百尺(三㸃故初商百)減積一百萬尺次截取第二㸃上五八五九為次商實以初商一百尺自乘得一萬尺而三因之得三萬尺為平廉法用第三籌列立方籌上為平廉小隅共法别以初商一百尺三而進位得三百○十尺為長廉法列立方籌下視平隅共法籌第九行是三四二九小于實商九十尺次以第九行平方八一乘長廉三得二四三○以加共積得五百八十五萬九千為次商九十尺之積除實盡次商十宜有三商而除實已盡是方面無單數也凡開得立方每面一百九十○尺假如有立方積一千二百八十六億三千四百六十七萬○五百九十二尺問方若干列位作㸃如圖㸃在第三位以一千二百八十億為初商實視立方籌内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺(四㸃故初商千)減積一千二百五十億次截取第二㸃上○三六三四為次商實以初商五千自乘得二千五百萬而三之得七千五百萬為平廉法用七五兩籌列立方籌上為平廉小隅共法别以初商五千尺三而進位得一萬五千○百尺為長亷法用籌列立方籌下視共法籌第一行是○七五○一大于實不及減知次商百位空也于初商下作一圏為次商(原實上減一圏)乃截第三㸃三六三四六七○為三商實次于平亷籌下立方籌上加兩空位籌為平亷小隅共法于長亷籌下又加一空位籌(原有一空位籌共二空位)為長亷法視共法籌第四行是三○○○○六四小于實用為共積商四十尺 以長廉法與四行之平方一六相乘得二四○○○為長廉積加入共積得三○二四○六四減積三十○億二千四百○六萬四千尺次以商數五千○四十自乘得二千五百四十○萬一千六百尺而三之得七千六百二十○萬四千八百尺為平廉法列立方籌上為平隅共法别以商數五千○四十尺三而進位得一萬五千一百二十○尺為長廉法列立方籌下乃截第四㸃六一○六○六五九二為四商之實視共法籌第八行六○九六三八九一二小于實商八尺以長亷法與第八行平方六四相乘得九六七六八○為長亷積以加共積得六一○六○六五九二除實盡凡開得立方每面五千○四十八尺右加兩空籌例假如有立方積七千二百九十七億二千九百二十四萬三千○二十七尺問每面若干列位 作㸃如圖㸃在第三位以七千二百九十億為初商實 視立方籌方九之積七二九與實同商九千尺減積七千二百九十億(四㸃故初商千)次截第二㸃○○○七二九為次商實以初商九千尺自乘八千一百萬尺而三之得二億四千三百萬尺為平亷法列立方籌上為平亷小隅共法别以初商九千尺三而進位得二萬七千○百尺為長亷法列立方籌下 視共法籌第一行是○二四三○一大于實不及減知次商百位空也于初商九千尺下作一圏為次商(原實上減去一圏)乃于平亷籌下立方籌上加兩空籌為平廉小隅共法于長亷籌下又加一空籌得二七○○為長亷法 截取第三㸃○○七二九二四三為三商實 視共法籌第一行是○二四三○○○一大于實仍不及減知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏為三商(原實上又減去一圏)(又法實多空不必挨商但尋至不空之界如○七乃與平亷相應即于○七之上初商之下作連圏為次)(商三商而于原實中銷兩圏)此次商三商合圖也乃于平亷籌下立方籌上又加兩空籌(共四空籌)為平亷小隅共法 其長亷籌下又加一空籌(共三空籌)得二七○○○為長亷法(或不必加籌只于得數下加三圏亦同)截取第四㸃○七二九二四三○二七為四商實視共法籌第三行是○七二九○○○○二七小于實商三尺 以長亷法與第三行平方○九相乘得二四三○○○為長亷積以加共積得○七二九二四三○二七除實盡凡開得立方每面九千○○三尺右加四空籌例開方分秒法(籌算七)勿菴氏曰命分古法也然但可以存其不盡之數而已若還原則有不合故有分秒法以御之也雖亦終不能盡然最小之分即無關于大數視命分之法不啻加宻矣平方法曰凡開平方有餘實不能成一數不可開矣若必欲開其分秒則于餘實下加二圏(原實一化為一百分)如法開之所得根數是一十分内之幾分也或加四圏(原實一化為一)(萬分)如法開之所得根數是一百分内之幾分也或加六圏(原實一化為一百萬分)如法開之所得根數是一千分内之幾分也如此遞加兩圏則多開得一位乃至加十圏(原實一化為百億分)其根數則十萬分内之幾萬幾千幾百幾十幾分也假如平方積八步開得二步除實四步餘四步不盡分秒幾何法于餘實下添兩圏則餘實四步化為四百○○分為次商之實依捷法以初商二步倍作四步為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行積三八四小于餘實次商八分除實三百八十四分開得平方每面二步八分不盡一十六分再開之又于餘實下加兩圏則餘實一十六分化為一千六百○○秒為三商之實依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第二行積一一二四小于餘實商作二秒除實一千一百二十四秒共開得平方每面二步八分二秒不盡四百七十六秒此單下開兩位式也所不盡之數不過百分之四若欲再開亦可得其忽㣲如後式還原以二步八二用籌為法又以二步八二列為實而自相乘之得七萬九千五百二十四分加不盡之分四百七十六共八萬乃以一萬分為一步之法除之(當退四位)仍得八步合原數解曰此以一步化為百分故其積萬分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化為一百分則是横一百分直一百分而其積一萬分為一步假如平方九十步開得九步除實八十一步餘實○九步不盡(小分幾何)法于餘實九步下加八圏則餘實九步化為九億共作五㸃而以第二㸃○九億○○分為次商之實依捷法以初商九步倍作一十八步為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第四行○七三六略小于餘實商四千分除實七億三千六百萬分餘一億六千四百○○萬分為第三商之實(第三㸃也)又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行一五一○四略小于餘實商八除實一億五千一百○四萬餘一千二百九十六萬分○○為第四次商之實(第四㸃也)又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第六行一一三七九六略小于實商六除實一千一百三十七萬九千六百分餘一百五十八萬○四百○○分為第五次商之實(第五㸃也)又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二為亷法列平方籌上為亷隅共法簡籌第八行一五一七八二四略小于實商八除實一百五十一萬七千八百二十四分餘六萬二千五百七十六分不盡凡開得平方每面九步四千八百六十八分(亦可)(名為四分八秒六忽八㣲)不盡一○○○○○○○○之○○○○六二五七六(即一萬分之六分有竒)雖不盡不過萬分之一不足為損益可棄不用還原以九步四八六八用籌為法又為實自乘得八十九億九千九百九十三萬七千四百二十四分加入不盡之分六萬二千五百七十六共九十億以一億分為一步之法除之(當退八位)仍得九十步合原數解曰此以一步化為一萬分故其自乘之積一億何也自乘者横一步直一步之積也今既以一萬分為步則是横一萬分直一萬分而其積一億為一步若依命分法則還原不合如前例 原實八步開得方二步除實四步不盡四步法當倍每方二步作四步又加隅一步為命分命為二步又五分步之四意若曰若得五步則商三步矣今只四步是五分内止得四分也然還原有不合何也以算明之用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六為實以命分五自乘得二十五分為法(每步通作)(五分横一步直一步則共得二十五分也)除之得七步又二十五分之二十一以較原實少二十五之四以圖明之每步作五分其羃積二十五分方二步積四步共一百分又五之四以乘方二步得四十分倍之為亷積八十分又五之四自乘得隅積一十六分共九十六分以合原餘積四步該一百分少二十五分之四以此觀之實數每縮虛數常盈故命分之法不可以還原 其故何也曰隅差也何以謂之隅差曰平方之有竒零其在兩亷者實其在隅者虛何也亷之虛者一面而隅之虛者兩面也即如二步五之四謂五分内虛一分故不能成一歩也然試觀于圖兩亷之四步皆虛一分(横四分直五分積二十分以二十五分計之是為于五分之中虛一分)而隅之一步虛一分有零(横四分直亦四分積一十六分虛九分以二十五分)(計之是為五分之中虛二分弱)則是邊數二步五之數者其積不及五之四也今餘積四步者實數也其邊數常盈于五之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然則古何以設此法曰古率常寛以為所差者㣲故命之也不但此也古率圓一圍三方五斜七今考之皆有㣲差故曰寛也愚常考定開平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而納其子(即得分)為全數以全數自相乘得數為通積另置分毋以分子減之餘數以乘分子而加之為實乃以分毋自乘為法除之即適還原數 如上方二步五之四以分毋五通二步得十納子四共十四自乘得方積一百九十六分另以分子四減分毋五餘一以轉乘分子四得四即隅差也以隅差加入方積共二百分為實乃以分毋五自乘得二十五為法以除實得八步合原積又如後例 原實九十步開得九步除實八十一步不盡九步法當倍每方九步作十八步又加隅一共十九步為命分命為九步又十九分步之九意若曰若得十九歩則加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然還原亦不合以算明之用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三萬二千四百為實以命分十九自乘得三百六十一為法(每步十九分横十九)(分直十九分共得三百六十一分也)除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以較原實之九十步計少三百六十一分之九十分若依隅差之分以得分九減命分十九餘十轉乘得分得九十分為隅差以加自乘通積三萬二千四百共得三萬二千四百九十為實乃以命分自乘三百六十一為法除之恰得九十步合原積以圖明之甲戊丁庚形者方九步九分之總形也通為一百八十分積三萬二千四百分以三百六十一為步除之較原實少九十分内分甲丙乙巳形為初商方九步之形其積八千一歩戊乙形庚乙形次商亷積之形也長九步(通為一百七十一分)濶九分積一千五百三十九分兩亷共計三千○七十八分丁乙者小隅者横直各九分以較亷積中每一步之形(如丑乙)欠一丁癸形即隅差也以積考之亷九步每步濶九分長一步(通為十九分)積一百七十一分隅濶九分長亦九分積八十一分少九十分為隅差立方法曰凡立方有餘實不能成一數不可開矣若必欲知其分秒則于餘實下加三圏(原實一化為一千分)如法開之所得根數是一十分之幾分也若加六圏(原實一化為一百萬分)所得根數是一百分之幾分也若加九圏(原實一化為十億)則根數是一千分之幾分也若加十二圏(原實一化為萬億)則根數是一萬分之幾分也解曰平方籌兩位故兩位作㸃而其化小分亦以兩位為率葢積多兩位則根數可多一位也(亷一位隅一位故兩位)立方籌三位故三位作㸃而其化小分亦以三位為率葢積多三位則根數可多一位也(平亷一位長亷一位隅一位故)(三位)假如立方積一十七步開得立方二步除八步餘實九步不盡法于餘實下加十二圈則餘實九步化為九萬億分(増)(四㸃可加開四位)依捷法截第二㸃○九○○○為次商之實 以初商二自乘(四)而三之得一十二步為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初商(二)三而進位得(六○)為長亷法列立方籌下 簡共法籌第五行積(○六一)(二五)小于實商五分(六行七行亦小于實因無長亷)(積故不用)乃以第五行平方(二五)與長亷法相乘得(一五○○)為長亷積以加共積共得(○七六二五)是為次商五分之積以除實餘一三七五以俟三商又截取第三㸃一三七五○○○為三商之實 以初商次商共二步五分自乘得(六二五)而三之得(一)(八七五)為平亷法列立方籌上為平隅共法 以初商次商(二步五分)三而進位得(七五○)為長亷法列立方籌第七行(一三一二八四三)共法(八四三)小于實商七秒 乃以第七行平方(四九)與長亷法相乘得(三六七五○)為長亷積以加共積共得(一三四九)(五九三)為三商七秒之積以除實餘○二五四○七以候續商又截取第四㸃○二五四○七○○○為四商之實以商數(二五七)自乘得(六六○四九)而三之得(一九)(八一四七)為平亷法列立方籌上為平隅共法 以商數(二五七)進位而三之得(七七一○)為長亷法列立方籌下簡共法籌第一行(○一九八一四七○一)小于實商一忽乃以第一行平方(一)乘長亷得(七七一○)為長亷積以加共積得(一九八二二四一一)為商一忽之積以除實餘○五五八四五八九以候末商通第五㸃○五五八四五八九○○○為末商之實以商數(二五七一)自乘得(六六一○○四一)而三之得(一九八三○一二三)為平亷法列立方籌上為平隅共法 以商數(二五七一)進位而三之得(七七)(一三○)為長亷法列立方籌下簡共法籌第二行(○)(三九六六○二四六○八)小于實商二㣲乃以第二行平方(○四)乘長亷法得(三○八五二○)為長亷積以加共積得(○三九六六三三三一二八)為末商二㣲之積以減實餘一六一八二五五八七二不盡凡開得立方每面二步五分七秒一忽二㣲(不盡之數不能)(成一㣲棄不用)還原以二步五七一二用籌為法别以二步五七一二列為實以法乘實得六六一一○六九四四再乘之得一十六萬九千九百八十三億八千一百七十四萬四千一百二十八分乃以不盡之積一十六億一千八百二十五萬五千八百七十二分加入再乘積共得一十七萬億以一萬億為一步之法(以一步為萬分横一萬直一萬商一萬共一萬億)除之得一十七步合原數若依命分法則還原不合如前所設立方積一十七步開得立方每面二步除積九步餘九步法當以立方二步自乘得四步而三之得十二步為平亷又以立方二步三之得六步為長亷又加(一步)為隅共(一十九步)為命分命為立方二步又十九分步之九意若曰餘積若滿十九步則加商一步矣今只有九步是以十九分為一步而今僅得九分也然還原則有不合以算明之用通分法以命分十九通立方二步得(三十八分)又加得分九共(四十七分)此即所云二步又十九分之九乃立方一面之數也以此自乘得(二千二百○九)(分)再乘得(一十○萬三千八百二十三)乃立方二步又十九分之九所容積數也為實别以命分十九自乘得(三百六十一)再乘得(六千八百五十九)乃方一步之積為法以除實得(一十五步又六千八百五十)(九之九百三十八)較原實一十七步少(一步又六千)(八百五十九分之五千九百二十一)其故何也曰長亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者實其在長亷小隅者虛何也平亷之虛者一面而長亷虛兩面小隅虛三面故也今以十九分為一步其立方積(六千八百五十九分)為步法以十九分除之得每(三百六十一)為分法平亷每步(横十九分直十九分髙九分積三千二百四十九)分法除之得九是為十九分之九適合命分之數也若長亷(横九分直十九分髙九分積一千五百三十九分)分法除之得四分有竒而已以較平亷九分之積(三千二百四十九)少(一千七百一十分)三長亷共(六步)共少(一萬○二百)(六十分)步法除之得一步又三千四百○一分為長亷差若小隅(横直髙各九分積七百二十九分)分法除之得二分有竒而已以較平亷九分之積(三千二百四十九)少二千五百二十分為隅差合亷隅兩差計之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一以圖明之丑寅為立方一步之形每步通為十九分横直髙各十九分積六千八百五十九分是為步法以十九分除步法得三百六十一分是為分法亷隅總圖(見左)甲乙丙三平亷也縱横各方二步通為三十八分厚九分積一萬二千九百九十六分三亷共三萬八千九百八十八分丁戊巳三長亷也各長二步通為三十八分厚濶各九分積三千○七十八分三亷共九千二百三十四分庚小隅也長濶髙皆九分積七百二十九分三長廉三平廉一小隅共包一正方形在内正方形縱横各二步通為三十八分 積五萬四千八百七十二分總形方二步九分通為四十七分髙如之 積一十○萬三千八百二十三分 以步法除之得一十五步有竒不滿原實一步又五千九百二十一分平亷方二步其容四步即辛壬癸子之分形也每步縱横皆一步通為十九分厚皆九分積三千二百四十九(辛一形積如此壬癸子者同) 以分除之適得九分長亷長二步(如丑寅合形)通為三十八分厚九分皆與平亷同所不同者平亷濶十九分而長亷濶只九分故長亷二步尚不及平亷一步之積以積計之每長亷一步(如丑形)積一千五百三十九分較平亷每步之積(如丑夘合形)少一千七百一十分(如丑之虛分夘)三長亷計六步共少一萬○二百六十分是為長亷之差小隅横直髙皆九分(如未形)于平亷一步之積不及四之一以積計之小隅之積七百二十九較平亷一步之積(如未申合形)少二千五百二十分(如未之虛分申)是為小隅之差 合二差共一步五千九百二十一分今考定開立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母(即命分)通其整而納以分子(即得分)為立方全數以全數自乘再乘得數為立方通積另置命分(母數)與得分(子數)各自乘得數以相減用其餘數以乘得分得數為隅差又置命分與得分相減用其餘數轉與得分相乘以乘命分得數是為長亷每步虛數又以長亷法乘之得數為長亷差合二差數以加通積為實以命分自乘再乘得數為法除之即適還原數如所設立方積十七步開得立方二步又十九分之九法以分母(十九)通立方二步而以分(子九分)納之共(四十七分)為立方全數以全數自乘再乘得(一)(十○萬三千八百二十三)為通積另置命分(十九)自乘得(三百六十一)内減分子(九)自乘(八十一)餘(二百)(八十分)以分子(九)乘之得(二千五百二十分)為隅差又置命分(一十九)内減得分(九)餘十分轉乘得分(九)得(九十分)以乘命分(十九)得(一千七百一十分)為長亷每步虛數又以長亷法(六步)乘之得(一萬○二百)(六十分)為長亷差合二差共一萬二千七百八十分以加通積共得一十一萬六千六百○三分為實以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分為法以除實得一十七步合原積厯算全書卷三十三
## 筆算自序
筆算自序
或問筆算西人之法耳子何規規焉曰非也自圖書啟而文字興參兩倚數畢天下之能事六書九數皆原於易非二事也古人算具以籌策縱横布列畧如筮法之掛扐其字象形為祘是故其縱立者一而一其上横者一而五珠盤之位實此權輿夫用蓍在立卦之後則籌策之算必不在文字先矣是故籌策之未立形聲㸃畫自足以用而籌策之所得又將紀之簡策以詔方來書與數之相須較然眀也近數百年間再變而為珠盤踵事生新以趨簡易然觀九章中盈朒方程必列副位厥用仍資筆札其源流不可想見與故謂筆算為西人獨智者非也曰今所傳同文算指西鏡録等書亦唐九執厯元明間回囘土盤之遺耳與中算固各有本末矣曰是則然矣然安知九執以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以來二千年屢變而宻溯而上之亦不能言其始於何人其為算也亦若是己矣夫古者聖人聲教洋溢無所不通南車記里之規隨重譯而四逹我則失之彼則存之烏乎識其然烏乎識其不然耶且夫治理者以理為歸治數者以數為斷數與理協中西非殊是故禮可以求諸野官可以問諸郯必以其西也而擯之取善之道不如是隘也况求之於古抑實有相通之故乎曰然則子何以易衡而直曰旁行者西國之書也天方國字自右而左歐邏巴字自左而右皆衡列為行彼中文字盡然也彼之文字既衡故筆算亦横取其便於彼用耳非求異於我也吾之文字既直故筆算宜直亦取其便於用耳非矜勝於彼也又何惑焉問者以為然遂書其語為序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰
## 發凡
發凡
筆算之便與籌算同然籌仍資筆而筆則無假於籌於文人之用尤便(筆算無歌括最便學習又無妨酬應乆可覆核皆與籌算同詳籌算書)筆算易横為直以便中土盖直下而書者中土聖人之舊而吾人所習也與籌算易直為横其理正同筆乗原法以法實相疊殊混人目今所更定者一縱一横法實各居其所而縱横相遇處得數生焉不惟便用而已其所以然之理亦按圖可知筆除原法得數與原實相離定位易淆今所更定者法實與得數兩兩相對算理井然定位尤簡(所謂原法者並據同文算指乃西土之舊式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥後有西鏡録等書稍)(稍講明定位之用盖亦酌取中法而為之然於古人實如法而一之㫖似猶有隔兹以法上得零之訣定)(之庶令學者一望而知所兾髙賢有以教之幸甚)
## 卷三十四
欽定四庫全書厯算全書卷三十四宣城梅文鼎撰筆算卷一列位法數始於一究於九畢於十十則又復為一矣等而上之為百為千為萬乃至兆億皆得名之為一即皆得名之為二三四五六七八九故必先稽其位而列之併減乘除以此為基非是則算無可施矣法具如後(以一位言之有自一至九)(之名此如同軰之有長㓜合上下之位言之有單十百千萬之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有)(子孫雲仍故單以下復有畸零之位也)列位式萬 千 百 十 零(此姑以五位為式位有多寡皆以零數為根零亦曰單)假如有數二萬四千七百五十九依法列之二 四 七 五 九(凡列數以最下小數為單單上有一位共二位即是十數有三位是百有四位是千有五位是萬不必更)(書十百千萬等字但稽其有若干位即得之矣)又如有數四千○九十六依法列之四 ○ 九 六(凡數大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有單而無百故於百作○以存其位)又如有數一萬○八百一 ○ 八 ○ ○(凡數以單位為根今此數無千無十而並無單故必補作三○以成五位則知首位是一萬矣)又如有數一十二萬九千六百一 二 九 六 ○ ○(原數四位無空然無十無單故必補作兩空以成六位則知首位為十萬)畸零列位式凡整數自單而陞若畸零數則自單而析故單位者數之根也然整數之陞以十為等自單而十而百而千而萬皆一法也(萬以上有以十萬為億十億為兆十兆為京自此而垓而秭壤溝澗正載皆以十而)(變謂之小數有以萬萬為億億億為兆兆兆為京以上盡然皆以自乘而變謂之大數今所用者以萬萬為億)(萬億為兆萬兆為京以上盡然皆以萬而變謂之中數三者不同然其列位皆以十為等故曰一法也)若畸零之式其故多端約而言之亦只二法其一以十為等其一不以十為等而各以其所立之率為等是二法者又各分二類列之各有其法(詳後)其一以十為等分二類假如錢糧料則毎田一畝該五分九釐八毫六絲七忽九微三纎四沙八塵九埃二渺一漠依法列之○○五九八六七九三四八九二一兩錢分釐毫絲忽微纎沙塵埃渺漠(右式今所通用自兩而下以十之一為錢又以錢十之一為分分十之一為釐如是遞析為毫為絲忽以至渺漠皆以十為等)(原科則自分起以至渺漠計十二位今加兩○為十四位者乃列位之法也何也分之上有錢錢之上有)(兩兩為單數凡列畸零之數必以單數為根始便合總故兩數雖空必存其位也)凡度法以丈為單數則其十之一為尺又十析之為寸為分為釐毫絲忽之屬(亦有以尺為單以寸為單者皆如所設)凡量法以石為單數則其十之一為斗又十析之為升為合為勺之屬(亦有以斗為單數者皆如所設命之)法並同上右法以十為等即以一位為一名如上位是兩下一位即是錢此為一類假如授時厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之(右式日為單數而以日百析之為刻又百析之為分又百析之為秒故列位時必作㸃以誌之使知日下)(二位始為單刻由是而分而秒皆隔兩位而變其名然仍是以十為等 凡作㸃必單位如日為單位下)(又有單刻單分單秒之屬)凡開平方尺有百寸寸有百分其法同上凡開立方尺有千寸寸有千分則三位而變即隔三位作㸃以誌之法亦同上右法雖亦皆以十為等而不以一位為一名或隔兩位或隔三位前法只尋單位即知其餘此法單位之下仍須各尋單位盖前法之分秒只有單而此法分秒各有十有百故必以作㸃之處知其為單分單秒是與前法微别又為一類也其一不以十為等而各以其所設之率為等亦分二類假如回囘厯法以六十分為一度六十秒為一分太陽三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列(右以度為單數下兩位為分又下兩位為秒故作㸃誌之畧同授時然皆以六十而進非以百也)(其自秒以下為微纎等數凡在授時以百為數者回回之法皆以六十為之是雖不以十為等而所設六)(十之率鉅細同法 西洋法亦然)又如古量有以四升為豆四豆為區四區為釜皆以四為率又如楊子雲太𤣥以三方統九州二十七部八十一家其遞析也皆以三又如測量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二為率也右諸率皆不用十而所用之率屢析不易是為一類假如物重十六兩為一斤二十四銖為一兩今有物二斤四兩半作何排列(此以斤為單數斤下二位為兩又下二位為銖銖與兩皆斤之分秒也故作㸃誌之亦同前法但銖以二)(十四為率兩以十六為率二率不同)又如厯家以甲子六十為旬周每日十二時又分初正(西厯謂之二十四小時)每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至為旬周之第五十日二十二時二刻七分依法列之(此以日為單數下二位析日為時又下一位析時為刻又下兩位析刻為分皆日下之畸零也然時之率)(二十時刻之率四分之率十五各率不同所當細玩)右法既不以十為等而所用之率又不齊同是又一類也(此二類不以十分為率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母並列又是一法别卷詳之)併法凡數合總法當用併有諸數於此併而合之為一總數又名垜積即珠盤之上法也(數相併則相益而多故亦名加法在錢穀之用則所)(以稽總撒)法曰置所有㪚數幾宗各依列位法自上而下對位列之萬千百十單各以類從列訖仍併之自上而下如畫卦之法數滿十者進位作號而本位紀其零紀號式丨□□□□丅□□□(此古算位也用以别原數便稽核也)假如有絲八百九十二斤又一千○八十八斤又(三百五十)(斤若合之 干)如上式㪚數三宗依法列位併之得總數二千三百三十斤假如有絹四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干九減試法(凡九減之法不論單十百千之位亦不計○位只摢現有之數而合計之)(先減減數首行八九二合得十九減去二九餘一以合次行一八八共得十八減去二九恰盡只餘三行)(三五合成八數紀於右八紀於左次減總數二三三合得) (左右相同知其)(不誤)(第二圖先減㪚數首行四五成九減去餘六合次行三成九減去餘五合三行八五共十八成二九減盡紀○)(於右同次以總數一八九成二九減盡紀○於左也左右相 知其無誤 或問九減不計上下之位何 曰)(此㨗法也凡九減者數不變假如以九減一十則仍餘一減二十則仍餘二推之百千萬亦然故不論位)七減試法(凡七減與九減不同須論位減實數十第一圖先減㪚數自上而下頭一排只有一作一 算合第二排)(八三得十一共二十一以七減之盡第三排九八五合得二十二以七減之餘一作一十合第四排八二)(得十共得二十以七減之餘六紀於右二次減總數亦自上起首位無七有二合第二位作 十三以七)(減之餘二又合第三位作二十三以七減之餘二合誤末位○作二十減二七餘六紀於左 左右相同不)(第二圖先減㪚數頭一排四五八合十七以七減之餘三作三十合第一排兩個五成十共四十以七減)(之餘五作五十合下六三成九共五十九以七減之餘三紀右)(次減總數首兩位十八以七減之餘四合第三位○作四十以七減之餘五作五十合下位九共五十九)(以七減之餘三紀左左右相同不誤)畸零併法假如有物十斤四兩十二銖又九斤十一兩十二銖共若干答曰二十斤(銖數併得卄四成一兩進位併原數共十六兩成斤進位併原數十九斤)(共卄斤四兩率十六不同故以㸃隔銖率卄)(之率不同難用九減七減只以減法凡)(還原其法於總數内減原㪚數一宗其餘一宗必合減餘是為無誤減法)(見後詳通分)假如品官計俸原厯任過三年○九個月今又歴任一年十一個月共若干答曰共歴任五年○八個月(先併月得二十再以十二個月成一年進位紀號餘八個月次併一年三年加)(所進一年共五年併得五年○八個月此因月法十二非以滿十而進故以㸃)(隔之非滿十而進不用九減七減只以此亦)(減法還原)遞加法假如授時厯歳實(三百六十五日二十四刻二十五分)兩次加氣策(一十五日)(二十一刻八十四分三十七秒五十微)共若干答曰(三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒)此遞併法借前總數當㪚數用之如此則可以層累而加(前條三百八十○日四十六刻竒是從嵗前冬至算至本年小寒此條三百九十五日六十八刻弱是又)(算至本年大寒)截小總法(凡併法頭項太多者截分小總則易清乃垜積之㨗法)假如河工一十二宗一工(五千○十四工)又(三千三百工)又(八百九十一工)又(二千○九十工)又(九百○九工)又(一千○八十工)又(二千○二十工)又(九十一工)又(六百)(六十七工)又(四千七百工)又(七百三十工)又(八十二工)問共數答曰二萬一千五百七十四工法曰(先以河工十二宗任分為三段依法併之各成小總再合各小總依法併之為一大總合問)(或有極多至百十宗者宜多分小總小總又併為小總末乃併為一大總變繁為簡最便覆核)減法凡數相較法當用減有兩數於此以相減則得其大小之較也有全數於此減其所去則得其留餘之數也(在錢糓之用則減為開除減餘為實在若收受則所減為已完減餘為未完其法與併法正相對其用亦)(相需也)法曰置原數於右置減數於左依列位法自上而下對位列之(若兩數相較則以大數列右以當原數小數列左為減數)乃以兩數相較以少減多(原數必多減數必少若原數反少則有轉減)減訖列減餘之數於左行凡減自下小數起本位無可減借上位一數化十而減之則於上位作㸃以為誌(還原時即用此㸃為進位之誌或不用㸃用短直亦同)假如有庫銀十萬兩支放過五萬九千五百○三兩問存庫若干 答曰四萬○四百九十七兩(此因數萬以下俱空故皆用借十作㸃之法自最下兩位起兩位空作㸃於上位借十兩減三存七 支)(數原無十兩因借減之㸃宜減十兩而十兩亦空復作㸃於上位借一百内減一十存九十 支數五百)(加借㸃共六百亦作㸃借一千減六百存四百萬支數九千凑借㸃成一萬作㸃於萬位凑原支五 共)(六萬又作㸃於首位借十萬減六萬存四萬)還原用併法(即借用本圖)從兩位起以支放三兩併存留七兩得十兩作㸃於十兩位凑存留九十兩成一百兩又作㸃於百位凑支放五百存留四百併得一千作㸃於千位凑支放九千成一萬作㸃於萬位凑支放五萬存留四萬共成十萬作㸃於首位至此存留支放俱無可輳浄十萬兩作一十萬字於原銀位合總無差遞減法假如有應進貢(貂皮一千五百張收過九百○五張次年補收四百九十五張仍欠若干)答曰(一百張)(以頭一次九百○五張依法減原額一千五百張得減餘五百)(九十五張為欠數十五張減欠次以補收四百九)(數五百九十五張得減餘一百張為仍欠數)因兩次遞減亦減兩次試之(九減) (六□) (七減) (二□) (先以原額減餘數列右合收欠減餘數列左)(試法) (一□) (試法) (○□) (次以欠數取減餘列右合續收仍欠減餘列左)還原(倒用前圖)以仍欠一百併續收四百九十五得五百九十五合前欠數 又以欠五百九十五併先收九百○五得一千五百合原額 凡遞減者亦以遞併還原透支轉減法假如有錢一萬五千○三十文陸續支用過一萬六千○五十文該有透支若干答曰淨多支一千○二十文此因支數多於原數故以原數轉減支數而得透支之數(凡兩數相較多寡皆倣此)還原以多支一千○二十併原錢一萬五千○三十得一萬六千○五十合支用數畸零減法假如有地丁銀三千五百零三兩徴完三千二百一十兩零三錢五分仍未完若干 答曰二百九十二兩六錢五分還原以已完未完相併得數合額編之數(此原數至兩而止因)(減而有錢與分之數盖以兩為單數其錢為兩十之一分又為錢十之一皆畸零也)假如授時厯毎月二節氣共三十○日四十三刻六十八分七十五秒經朔二十九日五十三刻○五分九十三秒兩數不同是生月閏該若干答曰月閏九十○刻六十二分八十二秒太陽節氣 此經朔減節氣也太陰經朔 經朔小節氣大相減月閏 之較是為月閏還原以月閏併經朔得總即仍合節氣之數假如品官計俸以三年為滿今厯任過一年零七箇月該補若干 答曰該補一年零五箇月(此以十二個月為一年故減法不同)(先減七個月月位無可減作㸃於年位借一年為十二月減七存五)(次減一年併所借一㸃共二年以減三年餘一年)還原以己厯一年○七箇月補俸一年○五箇月相併得三年合總假如有海濵田一百三十一頃四十畝被潮坍損二頃八十五畝一百五十九步仍餘若干答曰仍存田一百二十八頃五十四畝八十一步解曰(此以百畝成頃二百四十步為畝故列位時須作㸃别之而減法亦同)(先減一百五十九步原數無步作㸃於畝位借一畝)(為二百四十步紀號於原位乃如法減之)仍存一二□五□○八□還原以坍損田及仍存田相併得原田數合總右二式畸零之率不同難用九減七減只以併法還原(餘詳通分)錢糧四柱法四柱者舊管新收開除實在也各衙門造册必歸四柱則收放可稽在筆算為減併合用盖舊管新收用併法開除用減法其實在則減餘也亦有減盡無餘者則無實在即於實在項下直注曰無其事件創立前無所承者則無舊管亦有存留不動之項則有舊管而無新收其法並同(如無舊管則注曰舊管無或無新收則亦曰新收無)若所出浮於所入則為透支當用轉減之法也(開除本用以減)(今反將併舊管新收以減開除故曰轉減)凡轉減者亦當於實在項下注明(如云實在無外多支若干是也)式如後假如藩庫原存地丁銀一十二萬○三百○三兩今於康熙三十年徵收一百四十一萬○五十五兩六錢節次支放過一百二十二萬二千○五兩六錢問該存留若干答曰三十萬○八千三百五十三兩(先用併法得舊管新收共一百五十三萬○三百五十八)(兩六錢再用減法於共數内減去開除一百卄二萬二千)(○五兩六錢得實在存留三十萬○八千三百五十三兩)(四) (以舊管新收共數與開除實在併數各依試法)(四) (左右列減餘相同知其不誤 九減七減並餘)(四可省一圖)假如倉内原存米四千四百石新收某處解到米五百○三石麥三千六百石奉文支放兵米五千石問實在若干答曰(米支放訖仍缺額九十七石麥實在三千六百石存倉)麥(法以舊管新收共米) 舊管 無(四千九百○三石轉) 新收 三六○○(減開除五千石得缺) 開除 無(項九十七石) 實在 三六○○(試法合舊管新收加入缺項而九減七減之紀餘於右 又單)(用開除一項九減七減紀餘於左以左右相同知其無誤)(凡轉減者倣此試之)假如某鎮軍餉原存二千一百○三兩支放過正月分口糧折銀一千八百○九兩續於二月有某處解到協濟銀三千五百兩於四月内發過草料銀八百九十二兩又製造盔甲銀用過九百九十九兩五錢續准某軍門公文發到餉銀一千○九十兩問今庫内現存若干 答曰仍存二千九百九十二兩五錢以上先用併法變六宗為兩宗然後相减若依四柱法則當以協濟三千五百兩院發一千○九十兩另併為新收四千五百九十兩(九) (六) (七) (三)(試試□並試舊□新收併為右 法 以 管)(一宗而九減之紀餘於右以開除實在併為一宗而九減)(之紀餘於左不同者開除實七減亦然所)(在減至錢數則舊管新收亦必減至○錢位止然後左右)(相較可以無誤此七減之要訣所當熟翫)淮倉銷算(邸抄附録為式)户部題為差委司屬官員事查得淮倉監督將任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放錢糧數目造册具題前來查册開舊管銀三萬八千一百一兩五錢三分零米麥四萬五千一百六十九石九斗三升零新收銀一萬二千一百四十八兩九錢九分零米麥一萬七千三百六十九石二斗六升零又收過商税等銀三萬一千六十四兩八錢六分零内相符准銷銀一萬八千三百一十五兩一錢五分零米麥一千一百一十九石八斗四升零行查催解銀三萬五百五十四兩八錢零米麥一萬三千二百五十石八斗二升零存剩銀三萬二千四百四十五兩四錢三分零米麥四萬八千一百六十八石五斗三升零将解支欵項開後一解部銀一萬七千六百二兩三錢五分零米一百三石毎石九錢折銀九十二兩七錢麥一千一十六石八斗四升零每石五錢折銀五百八兩四錢二分零等語查前項銀兩已經解到收訖無庸議一給門軍口糧銀七百一十二兩八錢等語查係應給之項無庸議一解河工銀五千八百一十三兩二錢六分零查未開解交年月日期應令開明報部之日查核一給淮安等衛廿九年分行糧銀五千三百兩三錢二分零米麥一萬三千二百五十石八斗二升零月糧銀一萬四千七百三十二兩九錢查總漕未奏銷應俟奏銷到日查核一解淮安府銀四千七百八兩三錢二分零查卄八九兩年解府銀兩尚未動支今何得又行起解應令作速解部一存剩銀三萬二千四百四十五兩四錢三分零米麥四萬八千一百六十八石五斗三升零應將此解部米麥存倉備用又收過房田税契銀四百二兩六分六釐零查前項銀兩已經解到收訖無庸議者奉㫖依議 今以四柱法核之如後(桉此即原題四柱册也舊管者即四柱之舊管也新收及商税皆新收也准銷即開除存剩即實在其行)(查催解銀則四柱中原作開作而部不准銷改入實在之數也)法(以准銷查催共數與舊管新收共數相減即得存剩)細賬(仍原數不動)以上並依法合總無訛外有房田税契銀另項附銷不在四柱之内厯算全書巻三十四
## 卷三十五
欽定四庫全書厯算全書巻三十五宣城梅文鼎撰筆算巻二乘法以數生數是之謂乗數不能自生相得乃生故乗亦曰因(生則不窮故乘有陻義生則日積故乘有載義)有一位乗有多位乗(或分一位曰因)(多位曰乘然古皆謂之乘今從古)皆有法有實有得數(凡實數縱列於右凡法數横列於下縱横相遇而得)(數生焉對者法數也斜行直行所)(所對者實數也而紀得數則以横行定之)(或問實何以對斜行曰法有進行故得數斜陞是故)(右第一行是法單位乘出之數也其次行則法十位)(乘出之數也又次而百而千視此矣故其乗得數不)(出斜格流此虛位也單十百千周 迭居皆於臨時)(定之)凡乘出數皆有本位有進位如有十數又有零數(三四一十)(二四四一十六之類)則紀零於本位(本格之右方)紀十於進位(上一格之左方)有十數無零數則紀十於進位而本位作○(五四成二十五六成)(三十之類)有零數無十數則紀零於本位而進位作○(一一如一)(二二如四之類)凡法實有空位則本位進位俱紀○凡乘皆從法尾位起(即右第一行)對定實數相乗自下而上如畫卦之法右行乘畢挨乗左行毎移一行必進上一位其各行中斜對實數自下而上皆如右行法凡法與實有空位則無可乘然必於本位進位各作○以存其位(若實尾有空位則於合摠時補之)凡各行乗訖必覆核之乃以併法合總而紀於左方以為得數實尾有幾○皆作於總數之下凡乗訖定位皆於原實内尋原問毎數為根以横行對定得數命為法尾數則上下之位皆定凡數單乗單成單(甲為本位戊為進位)十乘十成百(乙為本位已為進位)百乘百成萬(丙為本位庚為進位)千乗千成百萬(丁為本位辛為進位)前圖可明定位又法(法曰有本數有大數有小數如原問是毎畝之價而原實恰止於畝數是本數也凡本數)(即用得數尾位命為法尾數是若原問是毎畝之價而原實只有十畝或只有百畝 大數也凡大數當於得)(數尾位下增○然後於所增○位命為法尾數若大幾位亦增幾○皆增至毎位止即命末○為法尾數也)(若原問是每畝之價而原實不止於畝畝下𢃄有分釐是小數也凡小數當於得數之尾截去之原𢃄畸零幾)(位亦截去幾位然後命之即所截之上一位為法尾數是也)凡乗畢恐其有誤宜用除法還原(置得數為實以法數為法除之即得原實)(或置得數為實以實數為法除之亦得法數)不則以九減七減試之尤㨗(先以法數如法九減之而紀其餘紀於右如甲次以實數亦九減之而)(其餘於左如乙再以左右兩減餘相乘得數仍九減之而紀其餘於上方)(如丙下末以得數亦九減之而紀其餘於 方如丁 丁丙相同即知無)(誤七減亦然)(先以法數實數各如法九減之而並紀其餘如甲與乙 次以兩減餘相)(乗得數仍九減之而紀其餘如丙以上並居左方 末以得數亦九減之)(而紀其餘于右方如丁二視丙丁相同卽知無誤 如甲乙 者内有一)(○卽丙亦○又或甲爲一數卽丙數同乙皆不用乗 七減亦然)一位乗式假如有熟田三千五百一十九畝每畝編銀六分問該若干答曰二百一十一兩一錢四分(法從下起先以法數六乘實數九呼六九五十四紀四於)(於本位紀五於進位進乘實數一呼一六得六紀六於本)(位紀○於進位進乗實數五呼五六成三十紀○於本位)(紀三於進位進乘實數三呼三六一十八紀八於木位紀)(一於進位合乘畢以倂法 總)定位法 因原問是毎畝科則就於右行原實内尋每畝數為定位之根横對左行得數命法尾分則其餘皆定(根是九畝横對是四分則上位是錢又上是兩又上十兩又上是百兩定所得為二百一)(十一兩一錢四分)兩位以上乗式假如有金九錢八分五釐每兩價銀八兩八錢問該若干 答曰八兩六錢六分八釐(先以法八錢乗實數五呼五八成四十紀○於本位紀四於進位進)(乗實數八呼八八六十四紀四於本位紀六於進位進乗實數九呼)(八九七十二紀二於本位紀七於進位)(次進一位以法八兩乗實五呼五八成四十紀○於本位進乗實八)(呼八八六十四紀四本位紀六進位進乘實九呼八九七十二紀二)(本位紀七進位總乗畢以併法合)定位法(原問毎兩之價而實無兩當於實九錢上補作○兩位為根以横對得數定為法尾錢即)(上下之位俱定)定位又法(此小數也原問以毎兩價為法而實有錢分釐共小三位即於得數截去尾三位定第四)(位為六錢)(法實減餘平列左上相乘而減之列左下)(得數減餘列右下以相同為定)假如有錢三十萬零五百八十文每千賣銀九錢零五釐該若干答曰二百七十二兩零二分四釐九毫(先以法數五乗實數八紀四○次乘實數五紀二五)(次乗實數○○本位進一位俱紀○次乗實數三紀 五)(進一位以法數○乘實○無可乘於本位進位各紀)(○以存其位法數九乘實又進一位以)(數八紀七二進乗實數五紀四五進乘兩○紀○進)(乗實數三紀二七乘畢以併法合總)定位(原問是毎千之價當於原實内尋干位為根以對得數命為法尾釐則其餘皆定)定位又法(此亦小數也實有十丈於原問毎干為小兩位當於得數截去末兩位定為法尾釐)(此即前問也因法有空位省不乘但於法首九)(錢起進二位乘之即得數無訛與前法同)(本宜進一位乘九錢今進兩位以合空位之數)(若法有兩空即進三位以上倣論)假如星命家以年月日時配成八字(以七百二十乗七百二十)問共該若干答曰五十一萬八千四百(如法乗訖併之得五一八四)定一(原問七百二十年月下毎一數中各配七百二十日)(時宜於原實下補作○單位為根以對得數定法尾十)或用又法(實數止於十大於毎數一位乃大數也宜)(徑於得數増一○位定法尾一)解曰(六十年各十二月則前四字七百二十六十日各十二時下四字亦七百二十故以相乘即能)(盡八字之變)假如西厯天度毎週三百六十今有星行天三百週該若干答曰一十萬零八千度(依法乘訖用併法合總得一○八)定位(原問是毎週之度今實數是三百週當於原實下補作兩○至毎週位止)(以此為根横對得數定法尾十度而得數空補作一○上一位為百度位得數亦空)(又補作○是得數無百無十也再上為千為萬為十萬定所得為一十萬○八千)或用又法(星行三百週大於毎週兩位乃大數也法徑於得數下增兩○)(定末○為法尾十度即得數皆定)(此先置三百六十為實而以三百週為法乘之也得)(數一○八與前法同但變兩位乘為一位乘其用更)(簡)定位(用大數法以實止十度無毎位徑於得數)(下補作一○定為法尾百即得數定為十萬○八千)假如有珠子三分五釐毎兩值銀二十四兩該若干答曰八錢四分依法乘而併之得八四○定位(原問珠毎兩價今實數只有分乃進位作)(○於錢位又上作○於兩位兩為根横對得數為法尾數)(兩而兩位空補作為八錢四分) (定所得)定位又法(此小數法也實有分釐在原問毎兩下三位宜截去得數末三位定法尾數兩而得數只)(三位無可截乃補作○於得數之上然後截之定為○兩)此與前條金價並畸零乘法也(餘詳通分)省乘法(古謂之加法)假如有漕糧三百六十石毎石𢃄耗米四斗問正耗共若干答曰共五百○四石此就身加法也(原數即當得數不動只挨身加四)(先於六十石加四六二十四石又於三百石加三四一百二十石末)(用併法連原數併之合總凡加法定位依原數不湏更求下同)(加法九試七試略同併法並合原數加數减餘列右共數減餘列左此及下)(條並九減七減俱無餘)假如銀五十四兩毎兩月息二分五釐今兩箇月共本息若干答曰共五十六兩七錢(此因所加是分在兩下二位故隔位加 又因毎月二分半今兩箇)(月該五分故以五分為法先於四兩加二○進於五十加二五末以)(併法連原數合總)省乘又法(古謂之求一乘法)凡法數之首為一數者即原數不動而挨身加之與前兩條同也若法首非一數者以法變為一數則亦可挨加此為本非一數求而得之故名求一乗法也 其法遇法首為二為三則折半用之而倍其實 法首遇五六七八九則加倍用之而半其實 法首遇四則取四之一用之而四其實(如此則法首成一數可用省乘)(凡求一乘法定位亦於原實内尋毎數為根以横行對得數定之但此所對得數恒為法首位數 若乘法則)(為法尾位數與此不同乃理勢之自然不可不知)假如前條珠三分五釐價毎兩值銀二十四兩用乘法得價銀八錢四分今以法數折半作一十二兩實數加倍作七分挨身加之所得正同而用加㨗矣(原數不動即用為法首一數所乘也七加挨身以法次位二與原數相乘呼二)(一十四本位紀一下位紀四加訖以併法合總亦連原數作數併之)定位(亦從原數七分上加兩○尋毎兩位為定位之根横對左行總數得法首)(位是十兩下一位是兩俱空位補作兩○再下一位即錢定所得為八錢四分)又如前條錢三十萬○○五百八十文毎千價九錢○五釐以錢折半(十五萬○二百九十)為實價加倍(作一兩八錢一分)為法(原數借為得數不動挨以法去首位一只用八一 身加)(之自下起於九加七二九於二加一六二其○位無加於)(五加四○五於實首一加八加訖合 原數併總) (一)定位(尋原數千位為根横對左行得數得法首兩位)併乘法(凡有數次乗者併為一次乗亦算家簡法舊謂之異乗同乘)假如原本銀三千二百兩毎兩一年獲息一錢五分六釐二毫五絲已經四年該息若干 答曰二千兩(法先以三千二百兩乘四年得一萬二千八百兩再)(以息銀乘之是併兩次乘為一次乘也)截乘法(凡乗法位多者截作數次乘之以便初學其法與併乗相反而其理相通)假如有三十二人各給布六丈四尺共若干答曰二百○四丈八尺(先置六丈四尺以十六人為法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又)(二乘加倍合總二乘即三十二乘也解曰十六乘又)定位(凡就身加者原數即可定位如前條漕糧毎石加四斗是也此)(條是十六加首行六四雖以原數當得數而六丈四尺已陞為六十四丈)(矣時若加倍自是本位此在用算者臨 消息之也)或置三十二人以八丈乘兩次亦同解曰八乘二次即六十四乗也或置六丈四尺以四乗之得數又以八乗之所得亦同解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也除法以數剖數是之謂除除其原數以歸各數故除亦曰歸(除與乘對理精用博近或謂之分義則淺矣)有一位除有多位除(或分一位曰歸多位曰除或曰歸除曰混歸然古皆曰除)皆有法有實有得數(得數一名商數)實其物也法其則也法實在乘法或可互用而除法必須審定乘法以法與實相遇而生一數如陰陽相交而生物也故雖互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以實滿法而成一數如鎔金以就型也故曰實如法而一若倒用之則非矣(實如法而一或變文曰如某數而一如用三除者省)(文曰以三而一言以三數成一數也而字皆連上為文或者不察遂竟以而一當除之字義失其㫖矣)定法實訣凡審法實有二訣一曰先有定則即以定則為法其所除者必同名之物也(如有定則之銀為法而除總銀以定則之米為法而除總米是也)一曰先無定則而求定則須詳問意以所用求之者為法其所除者必異名之物也(如以總米除總銀以總銀除總米是也)何以為先有定則也以事明之如銀糴米而先知每米一石之銀若干是先有定則之銀也即以此定則之銀為法而以總銀為實以法除實則得總銀所糴之總米矣(此為有總銀數又有米毎石之銀數故以銀除銀而得總米)若先知毎銀一兩之米若干是先有定則之米也即以此定則之米為法而以總米為實以法除實則得總米所糶之總銀矣(此為有總米數又有銀毎兩之米數故以米除米而得總銀)是皆所除者同名而所得者異名也又謂之以毎數求總數(凡以毎數求總數者以每數為法毎數即定則也以比例求之更明圖具左方)何以為先無定則而求定則也如有總米又有總銀而無毎數則當於問意詳之問者若欲知每米一石之銀是以米分銀也則以總米為法總銀為實問者若欲知每銀一兩之米是以銀分米也則以總銀為法總米為實是所除者異名而所得者亦異名也又謂之以總數求每數(凡以總數求毎數先無定則故必於問者之所求酌之亦有比例之理)又㨗法凡不動者為法動者為實何以明之如有總米總銀而欲知毎米一石之銀則將變總銀為每米之銀是銀動而米不動也故以米為法若欲知每銀一兩之米則將變總米為毎銀之米是米動而銀不動也故以銀為法其以毎數求總數者先有定則不動即用為法尤為易見凡布算乗易而除難除法之難尤在法實法實無誤則思過半矣此乃珠算筆算所同也故首辨之如右若筆算除法更有宜知者數端具如後方一列位(法實既辨即當列位)其法先作兩直綫自上而下平行相望約其間可容字兩行為率其長短則視位數多寡定之先以實數列於右直線之右自上而下依列位法書之次以法數列於右直線之左亦自上而下其千百十單皆與實相對或法數有千而實只有百者即對書於上一位餘皆倣此亦有實數無分秒而法數有之者亦對書於實尾之下次約實以求得數(得數亦名商數)以法約實紀其得數於左線之右視法首位是言如之數(如三三如九之𩔖)則書於實之上一位而於實首添作○以遙對之或法首位是言十之數(如二六一十二之類)則書於實首之對位其次商三商以上皆依此書之若書之而不相接輳是商數有空位也補作○此定位之根慎不可錯次乘商數求應減之數以減原實以商得數與法數相呼乗之而紀數於左線之左皆以乘數之進位對商數紀之(如二六一十二則以一十對商數書之如三三如九是為)(○九則以九上之○對商數書之他皆倣此)乃遂以乗出數與右行原實對減(周減法)足減者於原實抹改之不足減者改商數其乗出數亦抹去便續商也次定得數之位先於法數之上一位作□為識以對得數命為單位等而上之則十百千萬等而下之則分秒忽微皆從此定次命分除有不盡者以法命之用法數為母不盡之數為子命為幾分之幾次還原凡除法恐其有誤當以乘法還原用法數與得數相乗除有不盡者併入之即得原實又法仍以除法還原用得數為法轉除原實即復得法數除有不盡者以減原實為實然後除之又法以九減七減試之以法數九減七減皆用其所減之餘紀右再以得數如法減之紀其餘於左左右兩餘數相乗仍如法減之紀其餘於上方末以原實亦如法減之紀其餘於下方上下相同則無誤矣又簡法作直綫於左方以應減之數依併法併之必合原實有不盡數亦併入之(此法更簡更確)按筆除原法以法實上下相疊不論數之何等(謂十單分)(秒之等)而但齊其尾殊欠條理又以得數横續於法實之尾定位易淆今法與實皆用真數相對而宜減之數先列左方對減無誤即古人實如法而一之故了了分明據法首定位尤為簡快一位除式假如有額編地丁銀二百一十一兩一錢四分其科則毎畝六分問原地若干答曰三千五百一十九畝審法實訣(此為以毎數求總數也其毎數六分為先有之定則不動故以為法)(右併法還原即用原列應減之數併之必合原實是為簡法)列位法(如法作兩直線先以實數二一一一四列於右直線之右自上而下順布之次以法數六)(列於右直線之左因法係六分故與實分位相對)商除法(次以法數約實法是六實是二以六除二當合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三)(六一十八是言十之數將商得三以法首二書於左直線之右以乘得一八書於左直線之左因是言十)(之數以乗得進位一字對商數三字書之遂以此乘得一八用減法與原實二一對減先於實次位減八)(實係一不足減作㸃借上一數為十一減八餘三改書三於實一之右次於實首位減一實係二因借去)(一㸃只作一減盡作○乃作線抹去二一存○三亦於左作線抹去減數一八)(次商以六除三亦當合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之數將次商五對實)(三字書於初商之下亦以乗得三○依法以三字為進位對次商五字書於左直線之左依法對減實三)(作○仍作線抹去實三亦於左減數抹去三○如六三商以六除一合下位作十一商作一呼一六)(是言如之數將三商一對實上位一字書於次商五之下依法以乘得○六對所商一字書於左線之左)(以對減實一一以六減一不足減作㸃借上成十一減六餘五改書 五於右抹去一一亦於左減數抹)(去○六六除五亦合下位作五十四商作九呼六九末商以)(五十四是言十之數將商得九對實五字書於三商一之下依法以乘得五四對所商九字書左線之左)(以對減實五四恰盡俱改書○而抹去五四左減數亦抹去 共商得三五一九)定位訣(於右線法數六字上一位作□為單位之識畝以横對左得數九字定為單九畝進位是十)(又進百畝又進千畝命所得為三千五百一十九畝)乗法還原(以法六分乘得數三千五百一十九畝仍得原實見乗法)除法還原(以得數為法除原實仍得法數六分後條) (見)試法(九減得數無餘紀○於左法數餘六紀於右左右相乗仍紀○於上)(九減原實無餘紀○於下皆○凡○位與他數相乗所得)(七減得數餘五紀左法數餘六紀右左右相乗仍以七減餘二紀於)(上七減原實餘二紀於下悮兩試皆上下相同知其不)(論曰除法以乘法還原猶之乘法以除法還原此舊法珠算所必需若除法以除法還原則舊所無也同)(文算指用九減七減試法可免還原頗稱巧㨗今以併法代之則試法亦省故稱簡法焉兹各具一則用)(相参互以明筭理握算者擇而用之可也法今定筆除只用簡法還原若筆乘仍用試)多位除式假如有熟地三千五百一十九畝共徵銀二百一十一兩一錢四分問每畝科則若干 答曰毎畝六分審法實(此以總數求毎數也問者欲知毎畝科則是將以總銀變為毎銀銀數動地畝不動故以)(地為法銀為實)列位法(先以實數自上而下順布於右線之右次以法數對書於右線之左實首位是二百法首)(是三千法大於實一位故進一位列之凡進位列者皆不滿法)商除法(以法數約實法首是三實是二合兩位二一除之宜商七因法有次位須留餘地改商六)(以乗法三呼三六一十八是言十之數以商數六對實首二書於左直線之右以乘得一八書於左線之)(左遂以商數六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨書於一八之下一位又以商數徧乗法第三)(位一呼一六如六乘得○六挨書下一位又以商數六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨書)(下一位如此徧乗法四位訖乃以乘出數為減數對減原實恰盡)定位(尋法首上一位為單位横對左線得數上二位定為兩順下一位是錢此二位俱空補作○○)(再下是分定所得為六分)此一次除盡例也又為法大實小故所得不能成整數(兩為整數今所得是分在兩下二位)(若用乘法還原同前條還原法若用除法還原即前條除法)此所定單位在得數之外乃借虛位以定實數(下條同)其故何也曰法是三千有零能滿此數始能成一兩故曰實如法而一今法大實小是實不滿法不能成一數所得者乃剖一整數而得其若干如此條所得乃百分兩之六也(詳命分)假如有銀八兩六錢六分八釐換金毎金一兩該銀八兩八錢問換金若干答曰九錢八分五釐定法實訣(此為以銀除銀金價八兩八錢是先有之定則不動就以為法)(如前法對列法實於右線之左右改退商九以乗法初商法八實八宜商一因無次商)(八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨書遂以對減實三位八六六餘○七四 次商八以乘法八)(得六四乗法次八亦得六四依法書之遂以對減餘實七四八餘○四四 三商五以乗法八八得四四)(○依法書之遂以對減餘實恰盡)定位(法數上一位為單位横對得數上一位是兩定為○兩九錢八分五釐法實首位同而法次位)(八大於實次位六故亦借虚位以定實數説在前條)(甪乗法還原見乗法第二條兩用除法還原以金九錢八分五釐為法除實得毎 價八兩八錢即畸零)(法也詳通分)假如有銀四萬八千兩六十四人分之該若干答曰各七百五十兩假如有銀二百七十二兩○二分四釐九毫毎錢一千銀九錢○五釐問錢若干 答曰三十萬零五百八十文定法實(此先有定則九錢○五釐故以為法)(此法有○位例也亦是得數有○之例)(初商三以乗法九得二七法次位空無乘挨作○○以存其位)(再乗法末位五得一五各如式書之以對減原實二七二○餘)(○○○五字實空位無可商次商從實五 起商作五以乘法)(九得四五法次位空亦作○存位 乗法末位五得二五如式)(書之以對減實五二四九餘○七二四)(初商三乗九得二十七是言十之數宜對實首位二字書得數三次商五乗九得四十五亦是言十之數)(宜對餘實首位五字書得數五如此審定而書則乘出減實之數與實相對了了分明便知不誤然初商)(次商不相接續所差二位是得數有二空位也補作○○於初商次商之間以存得數之空位如是則次)(商之事畢之末商八以乗法九得七二法次位無乘盡亦作○存 法末位乗得四○以對減餘七二四恰)定位(此因所問是毎千之價故千即單數也從法上一位横對定為千文之位上為萬又上十萬定)(所得為三十萬○○五百八十文)若以數三十萬○○五百八十文為法除原實二百七十二兩○二分四釐九毫亦復得九錢○五釐為毎千之價如後圖審法實(此問錢價是以錢分銀故以總錢為法總銀為實)列位之理(所欲知者毎千之價故以千為)(單以萬為十以十萬當百與原銀對列)(其書商數如式不錯則得無數之空位自明定位亦自)(舛説見前相還原此兩條互) (若以)(乗法還原並用乘法第三條)命分法凡除法至單而止故曰實如法而一所謂一者即單一數也其有除至單數而仍有不盡之餘實或法之數本大於實皆不能成一整數則以法命之其法有二其一除之至盡如計輕重者不滿一兩則除之為若干錢若干分及釐毫絲忽前條法大實小及得數單下仍有數位者是也(若授時厯萬分為度百秒為分及錢鈔論貫貫之下有百冇十有零文尤為易見)其一以法數為分母不盡之數為分子命為幾分之幾(如以三除五内)(除三數滿法成一整數餘實二不能成整則以此二數各剖為三分共成六分而以三除之各得二分是為三分之二也)假如十九人分銀二百五十四兩問各若干答曰各十三兩零十九分之七(以十九人為法除二百五十四兩各得一十三兩不盡七兩以法命)(之七其法以法十九命為分母不盡 數為分子命為十九分兩之)(七不解曰一整兩各剖為十九分則 盡之七兩共剖為一百三十)(三分以十九人分之各得七分并整數分數為毎人分得一十三兩)(零十九分兩之七)(若用乘法還原法以十九人乗得數十三兩得共二百四十七兩加)(八不盡七兩共二百五十四兩合原實)(若用除法還原實法置原實内減不盡之數七兩餘二百四十七兩為 毎人十三兩為法法除實得十九人)論曰古人只用命分後世乃有除之至盡之法然終不能盡(如以十九人除七兩各得三錢六分八釐四毫二絲一忽終餘一忽)故不如命分之簡妙(如錢糧尾數一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文無禆實用然亦終不能盡若命分之法只)(一語喝盡更無滲漏然後知古法為無弊)省除法(舊名定身除亦名減法凡法首位是一數者用之)假如漕糧正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗問正米若干答曰三百六十石(先以原數五定正數為三書直線左以應減耗數四乗所定正三得)(耗一十二併正三共得四二以減原數五○餘○八次以餘數八定)(正數為六書正數三之下以減耗四乗六得二十四併正六共得八)(四減餘數恰盡之即還原數或用合得數減數併)(加四亦同)定位(凡省除皆以原數定位)省除又法(古謂之求一除法)凡定身除惟法首是一數者可用今以倍半之法求之則法首皆變為一數其法遇法首位是二是三法實皆折半遇四則折半兩次遇五六七八九法實皆加倍(如此則法首位皆成一數)假如前條六十四人分銀四萬八千兩用除法各得七百五十兩今以法實各折半兩次用定身除所得亦同(先以法六十四折半作三十二又折半一十六為法實四萬八千折)(半作二萬四千又折半一萬二千為實用定身除法先以實首兩位)(一二定七為得數法去首位一不用只用六以乘得數七得四十二)(書左併得數七共一一二以減原實一二餘○○八次以餘實八定)(五為得數亦以法六乗得三○挨書於左以減餘實八恰盡)定位(得數七對原實千因法是有十之數退一等作七百定所得為七百五十石 假如十人七千即毎)(人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位萬以上倣此論之凡省除依原實)(定位當知此訣)併除法(舊名異除同除)凡有當除數次者則以法相乗為法作一次除之亦簡法也(如以四除之又以五除之又以七除之則以四乘五得二十又以七乘得一百四十共為法以除之)(是併數次除為一次除也)假如經商獲利二千兩原本三千二百兩已經四年問毎年毎兩之息答曰毎兩息一錢五分六釐二毫半法曰先以四年乗原本(三千)(二百)得(一萬二千八百)為總法(本法宜以)(二千二百除二千得毎兩之息再以四年除之得毎)(年毎兩之息今併兩次除為一次除足簡法也)截除法(與併除相反所以便初學)凡除有法數位繁者或可以截為兩次除以從簡易假如五十六人分銀(一千五百一十二兩)各若干答曰各二十七兩(此因法五十六是七八相乘之數故先以八除得一百八十九兩仍用為實再以七除之得二十七兩合)(問)(或先用七除得數二百一十六兩復以八除之亦得二十七兩為毎人數)(右省除式也祇作一直線書原實於右紀得數於左而以九九數呼而減之不必另書減數凡法只一位)(者用此為便)假如銅一百二十八斤價二十兩問毎斤若干答曰毎斤一錢五分六釐二毫半(原法三位今用截除三次俱一位為)(法可用省除)假如銀一千○八十兩置田二百一十六畝問田價每畝若干答曰五兩 (原法三位今用六除三次亦同)約分法凡命分有可約者以法約之古法曰可半者半之不可半者以少減多更相減損求其有等以等約之(以等數除母子)(數則皆除盡西人謂之紐數)假如八十一人分銀二十七兩問各數 答曰各得三分兩之一法曰(以八十一除二十七不能各得一兩依命分法八十一為分母二十七為分子命為八十一分)(兩之二十七又以法約之為三之一)解曰(八十一是三箇二十七若剖毎兩為八十一分即各得其)(二十七分是三之一也)分母八一 (約分法曰置分母八十一用遞減法以分子二十七減之餘五十四復以二十七減)分子二七 (之仍餘二十七如是則兩數齊同是有等也即用此等數二十七為法轉除分母八)減餘五四 (十一得三除分子得一如此則不用細分但以毎兩均剖為三而各得其一分即三)(又減分子)二七 (人共一兩也十四則用轉減法以子五四若分子是五)仍餘二七 (轉減母八一餘廿七又以母餘二十七轉減子五四亦餘卄七是相等也就以此等)(數卄七為法除母八一得三除子五四得二是為約得三之二)假如米八十五石分結一百○二人問各若干答曰各得六分石之五法曰(人多米少不能各一石依命分法以一○二為分母八五為分子命為一百○二之八十五以法約之為六分之五)(約分法曰置分母一百○二以分子八十五減之得餘十七用轉減法以餘十)(七減分子八十五餘六十八又遞減之餘五十一又減之餘三十四又減之餘)(亦十七是相等也就此等數十七為法轉除母數一百○二得六除子數八十)(五得五約為六分之五十七八十五是解曰一百○二是六箇)(五箇十七故曰六之五即六人共米五石也)(若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分為實以一百○二人為法)(除之得五是毎分之五也) (所得為一石米中六)厯算全書巻三十五
## 卷三十六
欽定四庫全書歴算全書卷三十六宣城梅文鼎撰筆算卷三異乘同除法以先有之數知今有之數兩兩相得是生比例莫善於異乘同除乃古九章之樞要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法謂之三率今先明同異名之説以著古法次詳三率之用以顯通理異者何也言異名也同者何也言同名也假如以粟易布則粟與粟為同名布與粟為異名也何以為異乗同除也主乎今有之物以為言也假如先有粟若干易布若干今復有粟若干將以易布則當以先所易之數例之是先易之布與今有之粟異名也則用以乗是謂異乗若先有之粟與今有之粟同名也則用以除是謂同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以為言也(置今有粟以異名之布乘之為實再以同名之粟為法除之是皆以今粟為主而以先有之二)(件乘除之也)問何以不先除後乗曰以原總物除原物總價則得每物之價以乗今有總物亦可得今有之總價然除有不盡則不可以乗故變為先乗後除其理一也假如原有豆一百○八石價銀三十六兩今有豆一百三十五石問價若干答曰四十五兩法曰置今豆一百三十五石以原豆價三十六兩乗之得四千八百六十兩為實以原豆一百○八石為法除之得四十五兩為今豆應有之價(見以物求價也若還原則以價求物)假如原有銀四十五兩買豆一百三十五石今有銀三十六兩問豆若干答曰一百○八石法以豆一百三十五石乘價三十六兩得四千八百六十石為實以價四十五兩為法除之得一百○八石合問西人三率法其法以先有之二件為一率二率今有之二件為三率四率則前兩率之比例與後兩率之比例等故其數可以互求(今冇之二率先只有其一合前有之二率共為三率以求之而得今有之餘一率是以三求一故曰三率)(法實四率也)假如一率是三二率是四三率是九則四率必為十二何也三與四之比例若九與十二也故以四(二率)九(三率)相乘(卅六)為實以三(一率)為法除之必得十二(四率)若互用之以四率為一率則十二與九之比例若四與三故曰可以互求(此即還原之理)(解曰以三比四以九比十二並三分加一之比例以十二比九以四比三並四分減一之比例凡言比例等者皆如是)(此以上圖之四率為)(一率也故其序皆倒)(而所得四率即上圖)(之一)又更而互之凡二三相乘與一四相乘等積此立法之根觀右圖可明(四九相乘)(三十六而十二與三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦復得三此前兩圖互求之理若更一)(四為二三其實同為三十六故以四除之得九以九除之亦復得四此後兩圖互求之理)又錯綜之此又以前圖之二與三更之則前兩率之第二變為後兩率之第一而其比例亦等(凡一率二率為前兩率乃先有之二件也)(三率四率為後兩率乃今有之兩件也今以二率三率相易則是先有之次率變為今有之首率也然以)(比例言之在前圖為三與四若九與十二者在此圖則三與九亦若四與十二也)若以一率除二率得數以乗三率亦得四率(如以一率三除)(二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先)(除後乗多有不盡之分故異乗同除為算家大法乃中西兩術所同也)試仍以古圖明之原有小麥十二石 換食鹽九石 (俱四分之三比例若以上□左)今有小麥 四石 換食鹽三石 (右更置即成三率之前四圖)更之(以縱為横)原有粱米 三石 換棉布九疋 (俱三倍之比例若以上下左右)今有粱米 四石 換棉布(十二)疋 (更置即成三率之錯綜四圖)辨法實凡三率之用皆以二率乘三率為實首率為法除之以得所求為四率然何以定其孰為一率孰為二率三率也曰此則古人同異名之法不可易也訣曰凡今有之已知者常定為三率(其未知者待算而知則常為四率)視先有之物與三率之今有同名者定為首率其與今有異名必為二率矣又訣曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件則巳知也此已知之三件中必有兩件同名(如價與價物與物之類)就以此同名之兩件審其孰為先有定為首率(其今有者則為三率而其餘異名之一件亦必先有也恒為二率)假如有句股形田長一百三十五步闊四十五步今截相似形長一百○八步問闊若干答曰截闊三十六步定法實訣以今截長一百○八步定為三率長與長同名以原長一百三十五步定為首率濶與長異名以原濶四十五步定為二率又訣(此巳知之三件是原長原闊截長内長與長同名以原長是先有之數定為首率截長是今有)(之數為三率原濶與長異名為次率)按原長與原濶即大句大股截長截濶即小句小股也四者皆可以遞互相求三率中更互錯綜之理尤為易見以比例言之大股與大句若小股與小句也更之則小股與小句亦若大股與大句也此為以股求句反之而以句求股則大句與大股亦若小句與小股也又更之則小句與小股亦若大句與大股也又錯綜之則大股與小股若大句與小句也而大句與小句亦必若大股與小股矣又小句與大句若小股與大股也而小股與大股亦必若小句與大句矣是為三率之八變異乘同除定位法三率定位與乗法除法無異(乗法以實單位為根定所對得數為法尾數除法以)(法首上一位作識定所對得數為所求單數並詳前巻)但所用之實以二率三率相乗而得握算者或疑其數之驟陞而不能守其定法則定位必訛而其理益晦矣故復論之(諸家算術往往有定位不確者)(皆由見乘後數多未免驚怖而輙為酌改故也)假如六箇時辰馬行二百一十里今行五箇時辰當有若干里答曰一百七十五里論曰試以六時除馬行(二百一十里)得每時行(三十五里)以乘(五)時亦得(一百七十五里)原無可疑今先乗後除故以(一千○五)(十里)為實驟觀之似乎太多究竟除後適得其本數而已假如銀(三十二兩)換錢(三萬六千文)今有銀(二十八兩)問錢若干答曰三萬一千五百文若以(三十二兩)除(三萬六千)得毎兩錢(一千一百二十五文)以乗(二十八兩)亦得三萬一千五百文(知得數之同則知一百萬零八千之非誤)異乗同除約分法三率内有兩率相凖可用約分者即改用所約之數易繁為簡如法乘除所得無誤而用加㨗矣(兩率者其一首率其一次)(率或三率也凡以法約之必兩率相準次率三率祗則用其一皆取其與首率相凖也 或兩率並為偶數)(俱折半或兩率並可均剖為四則折半兩次或兩率並可均分為三則各取三之一或兩數互減而得等數則)(以等數約之並如約分法)(論其比例為十八比) (半之則九與八) (以三約之則六與十) (以九約之則二與十) (再約之則為一)(十六若九十九與八) (之比例亦若九) (六之比例若三十三) (六之比例若十一與) (與八若十一與)(十八也) (十九與八十八) (與八十八) (八十八) (八十八)假如賃房九箇月銀七十八兩問住二年該若干答曰二百零八兩(法以二年成二十四个月依式列之)四 二百零八(八乗廿六即得此數)假如八色金六十兩換銀二百八十八兩今有九色金五十兩該若干答曰二百七十兩(此以金折成足色六十兩作四十八兩五十兩作四十五兩算之)四 二百七十(十八乘十五得此數)(右皆約得一數為首率故不須除但以二率乗三率即得所求為四率)重測法(三率有疊用兩次者謂之重測即兩箇異乘同除)假如有夏布四十五丈欲換棉布但云毎夏布三丈價二錢棉布七丈價七錢五分問換棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈 先用為法四 價 三兩 法除實得此數重列一 價(七錢五分) 又用為法四 棉布 (二十八丈) 法除實得此數此因兩布各有其價故先用法求得第四率以夏布變為銀就以此定為重列之第三率(即今價也)而以棉布價(七錢五分)為首率(以與今價同名也)棉布(七丈)為次率(以與今價異名也)如法乘除得所換棉布為四率併乗除法以兩次乘除併而為一是合兩三率為一三率也即古法之同乘同除(古以併乘為異乗同乗以併除為異除同除今乘除俱用併法故謂之同乘同除也)假如今有芝麻五十四石欲換黄米但云芝麻三石換緑豆五石換黄米三石問該換黄米若干答曰六十七石五斗本法 重列一 麻 三石 豆 四石二 豆 五石 米 三石三 今麻 (五十四石) 今豆九十石(此重列之第三即先得之第四乃本法也)四該豆 (九十石) 米(六十七石五斗)簡法(即併法)(今以兩首率相乘為首率)(亦以兩次率相乘為次率)(以兩九十石對去不用故三率)(省乗是為併法實簡法也)論曰本用兩次乘除今以豆(四石)乘麻(三石)得(十二石)以除是併兩次除為一次除也以米(三石)乘豆(五石)得(十五石)以乗是併兩次乘為一次乗也依法求之即得所換米(六十七石五斗)與兩次求者數同(又因一率二率可用約分約之為四與五而法益簡)然則第三率何以獨異(第三率徑用今麻不以豆九十石乗之是與併兩首率為首率)(併兩次率為次率者逈别)曰重列之第三即先得之第四故可以對去不用不惟不用亦可不求(重列之第三率既無乗併之用則原列之第四率不)(必更求其數)而乗除之用已偹(今麻原係第三率今仍用為第三是三率之用本無所缺)即所求之得數已清矣(若第三率用豆九十石乗過之則所得第四率亦必為豆九十)(石乘過之米得數後必以九十石除之始能清出米數反多曲折今對去豆九十石不用則所得四率即米數)(直截了當)故為簡法又式假如有戰兵七百名毎年額餉一萬二千六百兩内有新着伍兵三百名已經應役七个月問該餉銀若干答曰三千一百五十兩依重測併乘除法當以(十二月)乘(七百名)得(八四○○)為法以(七箇)(月)乗(一萬二千六百)得(八八二○○)又以(三百名)乘之得(二六四六○○○○)為實法除實得三千一百五十兩為兵三百名七箇月之餉今用約分以(七百)與(三百)約為七與三(皆百約之)則首率次率各有(七)對去不用可省併乘重列之時徑以(十二)為首率餉銀(一二六○○)為次率(三)為三率依法乘除而得四率 又以首率(十二)三率(三)約為四與一則徑以餉(一二六○○)為實以四為法除之得(三千一百五十)合問變測法(古謂之同乗異除在三率謂之變測即幾何原本之互視法也)凡異乘同除皆以先有之一率為法(即首率)以先有之又一率乘今有之一率為實(即二率三率相乗)若同乘異除則反以今有之一率為法(同文算指列於第三今依法實)(之序定為首率)以先有之兩率自相乘為實(同文算指列於第一第二今定為第)(二第三)雖亦以法除實得今所求之又一率(即四率)與諸三率同而法實相反故曰變測假如用秤稱物物重秤不能稱外加一錘稱得(八十四斤)本錘(一斤五兩)加錘(一斤三兩)問其物實重若干答曰一百六十斤一 錘重二十一兩 為法四 實重一百六十斤 法除實得數法以錘(一斤五兩作二十一兩)加錘(一斤三兩作十九兩)共重(四十兩)為先有之一率稱重(八十四斤)為先有之又一率相乘(三三六○)為實以本錘重(二十一兩)為今有之一率為法法除實得實重(一百六十斤)為所求今有之又一率合問假如秤失去錘有所稱物(重一百六十斤)今以他物代錘(重四十兩)稱得重(八十四斤)問錘重若干 答曰一斤五兩一 物重一百六十斤二 稱得重八十四斤三 (他物代錘)重四十兩四 錘重二十一兩假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔該用若干答曰二十二丈一 今濶一尺五寸二 原濶二尺三 原長十六丈五尺四 今長二十二丈假如儲粟方窖長(一丈二尺)濶(九尺)深(一丈)今欲别穿一窖藏粟與之等長亦(一丈二尺)但深加(二尺五寸)該濶若干答曰濶七尺二寸一 今深十二尺五寸二 原深十尺三 原濶九尺四 今濶七尺二寸(此原長不動而加深減濶也長今深今濶相乘得九十尺與原深乘原濶等以乘 一十二尺得一千零)(八十尺亦等則其藏粟等)又問若依原窖之濶(九尺)但加長(三尺)該深若干答曰深八尺一 今長十五尺二 原長十二尺三 原深十尺四 今深八尺(此原濶不動而加長減深也今長乘今深得一百二十尺與原長乘原深等以乘濶九尺並得一千零八)(十尺)假如有方倉高(一丈八尺)濶(二丈)深(二丈一尺)今更造一倉亦深(二丈)(一尺)但高減三尺問闊若干答曰濶加四尺(共濶二十四尺所儲米石即同原倉之容)一 今高十五尺二 原高十八尺三 原濶二十尺四 今濶二十四尺(此原深不動而減高増濶也當與右二條叅㸔倉之高即窖之深倉之深即窖之長)(今高乘今濶得三百六十尺與原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺與原倉之容積)(等)假如原借八五色銀四十八兩今還九六色銀問該若干答曰四十二兩五錢一 今銀色九六 為法四 今還四十二兩(五錢)法除實得數(解曰原銀八五色是毎兩實折八錢五分故以乘原銀得四十兩零八錢乃折實紋銀之數也還銀九六色是毎九錢六)(分成一兩故以除折實紋銀得四十二兩五錢為應還之數凡零乘數反損零除數反增詳别巻)假如有田一區用三十二人耕治五日而畢今用四十人問該幾日 答曰四日一 今用四十人二 原用三十二人三 原耕五日四 今耕四日假如決水修池水竇濶三尺十二日涸出今開濶八尺問水涸幾日答曰四日有半一 今濶八尺二 原濶三尺三 原十二日四 今四日半假如額兵五千六百設有一年之餉今祗留兵三千三百六十名問其餉可支幾時答曰一年零八箇月一 今兵三千三百六十二 原兵五千六百三 原設餉十二箇月四 今可支二十箇月歴算全書巻三十六
## 卷三十七
欽定四庫全書厯算全書巻三十七宣城梅文鼎撰筆算巻四通分法(併減乘除並有子母通分之用故别自為巻其畸零以十百千萬為等者不用此法)凡整數下有零分而不以十分成整當用通分其法以一整數剖為若干分是為母數其所𢃄零分在母數中得幾分之幾是為子數通分子母列位法通分列位其法有三曰化整為零曰以整𢃄零曰收零為整假如有物一斤四兩則以一斤通為十六兩加入所𢃄四兩共二十兩而列之二○(斤以十六兩為母其所𢃄四兩是子今化斤為兩則可乘除謂之以母從子也)若欲通為銖則以毎兩二十四銖為母通二十兩為四百八十銖四八○(此以斤通為兩兩又通為銖是兩次用通分也)若畸零累析有用通分三次四次以上者准此論之如皇極經世一元有十二㑹一㑹有三十運兩次通之則一元有三百六十運 一運有十二世一世有三十年兩次通之則一運有三百六十年若以元通為年則用四次(元通為㑹㑹又通為運運又通為世世又通為年是四次)(用通分也)通得十二萬九千六百為一元年數假如古歴十九年七閏謂之一章其月謂之章月二三五(此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入閏七月共得二百三十五月為一章之月)右化整為零 古通分法曰通以分母納以分子盖言以分母通其整數而以所𢃄零分加入也然亦有不納子而但通其整之時既以分母通之則整數不用全化為分故西學謂之化法别有變零為整之法與此化整為零之法似同而實不同所以為零乘之用盖化整則全化為零而不用整變零則全變為整而不用零其數則同(謂自一至九之數)其等則異(謂如零陞為單單陞為十之類)詳見零除條凡通分化整為零以便乘除不必更書其母若列位本法以整𢃄零當以母數子數並而書之曰幾分之幾(若分下𢃄有小分則曰幾分之幾又)(幾分分之幾)假如有整數二十五𢃄有零分為整數十二分之七又仍𢃄零秒為分數三十分之十四(此如歴算法一週十二宫一宫三十度今算得星行二十五週又七宫十四度也)假如有整數十六又𢃄零數為整數七分之五(此以一整數剖為七分而所𢃄零分適得其五也七為分母五為分子)假如有零數為整數三十分之十四又𢃄有小分為分數六之五(此原無整數但有分又有小分其分以三十為母十四為子是一整數剖為三十而得其)(十四也小分以六為母五為子是一大分又剖為六而得其五也小分母古謂之秒母)右以整𢃄零凡母數必大於子數其常也乗除之後有子數反多者法當以母數收之為整而𢃄其零假如有零分十六其分母九(此以子數反大當以母數收為整)(九之十六) 收得一(九之七) (十六分内除九分收為整餘七分是為整一又九分之七也)假如方田之法以方五尺為步其積二十五尺今有積七十尺(步法二十五尺而積有七十尺子數反多法當收整)(七十尺内除五十尺收為二步剩二十尺不能成步是為整二步又二十五分步之二十)假如古厯法以十九年為一章四章為一蔀今距〔？〕元中積一百年問在第幾蔀第幾章畣曰第二蔀第二章之第六年(法先以章法十九收九十五年成五章剰五年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章)(通列之成一蔀一章零五年是為已過之數今正在交第二蔀第二章之第六年也)右收零為整(凡欲乗除必化整為零既乘除矣仍必收零為整此二者相須為用也)此外仍有除零附整之法其法以分母為法分子為實實如法而一得零數為整數十分之幾或百分千分萬分之幾所謂退除為分秒也見除法命分通分併子法通分併子其類有三曰母同者曰母不同者曰大分又𢃄小分者而所以併之之法有七曰徑併法曰變分母法曰互乗法曰連乘法曰維乘法曰截并法曰通母納子法徑併法凡分母數同者徑并其子併滿母數收為整(數在三宗以上而母同者皆可徑并)(其子或大分之下𢃄有小分而分母同者並用此法)假如有絲五分斤之四又五分斤之三併之若干畣曰整一斤(又五分斤之二)(此因兩母同為五故徑併其子且子數七母數五是子滿母數而)(有餘也當以母數收之得整一零五之二)以上分母同者徑併其子為通分併法之一類變分母法凡分母不同而有比例可求者變而同之可省互乘假如有數(六之三)又加(四之一)共若干畣曰共四之三(法以六之三母子各損三之一變為四之二則兩母同為四而其子可併矣)(所以然者四與六是倍半比例故去三分之一即相同也)假如有金(八分兩之五)又(四分兩之三)併之若干答曰一兩又八分兩之三(八與四為折半比例然不以八折半者其子奇數不可半也故以四之三)(加倍即母數齊同可相併矣)互乘法凡分母不同而無比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而併之(數在三宗以上而母不同者皆可用此法)假如有物(四分石之三)又(七分石之四)共若干 答曰整一石又(卄八分石之九)(先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六變七之四為)(卄八之十六三次以左母七互乘右母四及子 變四之二為卄八)(之卄一之兩母既同遂併其子為二十八 三十七)(以滿共母二十八収為整一仍餘九)凡三母内有兩母相乘與餘一母同者祇用一互乘即可相併假如有甲乙丙丁四數乙得甲(七之六)丙得甲(五之四)丁得甲(卅五之二)(十三)若合乙丙丁三數得甲數若干 答曰得甲數二(又三十五之十一)(法以乙丙兩母相乘三十五與丁母同數即用乙母七互乘丙五之)(四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以併)(丁三十五之二十三共得卅五之八十一以滿母卅五成整數合問)(歸整)得甲數二(又卅五之十一)連乘法凡數三宗以上者用母連乘為共母又以各母除之得數以乘其子為子而併之併滿共母收為整假如有數六(之四)又加三(之一)又加五(之四)併之若干答曰整一(又九十之七十二) (法以六乘三得一十八又以五乘之得九十為連乘之共母)(即六除共母得數以乘之四之數)(即三乘共母得數以乘之一之數)(即五除共母得數以乘之四之數)歸整得一又(九十之七十二)觧曰(此即互乘也試以五互乘六之四得三十之二十一又以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之 得)(十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成 十之七十二)維乘法(此古維乘法也與母除共母以乘子之法所得同)假如錢糧一次完過(九分之一)又完(四分之一)又完(六分之一)又完(六分之一)又完(七分之一)問共完若干 答曰五百○四之四百零一(約為十分之八稍弱)法(以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一萬二千○九十六)約為五百○四之四百○一(卄四約之)解曰(此即連乘法也但因分子皆為之一故即以母除共母之數為子相併而省一乗)試用維乘所得亦同截併法凡數件中有分母同者先取出併之然後與各件並列則五件可作四件用(六件以上倣論)而共母亦簡如前圖有八之一四之一為加倍比例可先取併之(用變)(分母法)乃重列之(原數五宗今作四宗入算餘並同前)(解曰共母原係一萬二千)(○九十六今只三千○二)(十四簡四之三故所得之)(子皆於前式為四之一)凡宗數繁多而分母又各不同者可分作幾次併之假如有物四宗甲數(五分斤之三)乙數(六分斤之一)丙數(三分斤之二)丁數(七分)(斤之四)併之若干答曰整二斤又六百三十分斤之三如上圖依法互乘以四宗併作兩宗乃重列之以上分母不同者為通分併子之又一類大分𢃄小分併法凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法併之自小分起滿小分之母進為大分滿大分之母進為整若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同(餘如上法)若大分母不同者即通大分為小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小時一時又析為六十分今算得中㑹二十九日十七時三十六分實㑹該加七時四十分依法併之得三十日零一時一十六分原二九 (卄四之一七) (六十之三六) (時為大分大分之母二十四時下為小分小分之母六十)加 (丨丨卄四之 ○□) (六十之四十) (先併小分得七十六以滿六十進為一時仍餘十六分)併得三○日○一時十六分 (次併大分得二十五時以滿二十四進為一日仍餘一時)假如修築河堤新修七里○六十六歩一尺舊堤原存一十二里二百九十三步四尺問堤長若干答曰長二十里新修○七 ○六六 一 (里法三百六十步法五先併尺一四共五進一步次併步)原存□□ □□□ 四 (共三百六十進一里次併里二七及所進之一共十里併)共長二○里○○○步○尺 (原十里是為堤長二十里合問)假如有硃砂八斤十兩○九銖又有三斤五兩十八銖共若干答曰十二斤○三銖八 一○ ○九 (銖滿二十四進一兩餘三兩滿十六進一)□ ○□ □八 (斤斤共十二是為一十二斤○三銖合問)共一二斤○○兩○三銖右大小分母俱同故徑以子併假如甲數九(之四)又小分(五之四)乙數九(之八)又小分(八之三)併之若干答曰整一又九之四又小分四十之七先同其小分之母(先以小分母相乘得四十為共母 又互乘其子變)(五之四為四十之三十二變八之三為四十之十五)小分母既同乃重列而併之(餘同上)(併之)得九之十二又四十之四十七歸整一又(九之四)又小分四十之七 (小分滿四卜收為大分一大分滿九收為整一)右係大分母同而小分之母不同故互乘之使其同假如有田二坵甲坵二畝(又四分畝之三)又小分(五之一)丙坵一畝(又三分畝)(之二)又小分(四之三)併之若干答曰整四畝(又六十分畝之四十三)先以甲小分母五通大分四之三為小分二十之十五加入原𢃄小分一共二十之一十六為甲數又以丙小分四通大分三之二為小分十二之八加入原𢃄小分三共十二之十一為丙數解曰(此即古通分納子之法也以大分盡通為小分而納小分焉實則以小分陞為大分也)(併得)三又 二百四十之四百一十二歸整四又(二百四十之一百七十二)約為六十之四十三右係大分母不同故盡通為小分而併之以上大分𢃄小分法為通分併子之又一類凡通分併法以通分減法還原(互見後除)通分子母減法通分減法亦有三類曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者而其減之之法有五曰徑減法曰變分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母納子法(併之與減猶乘之與除可以互相還原相反而適相成也故所用之法皆同)徑減法(數在三宗以上而母同者並用此法)凡分母同者徑以相減不足減者以分母通整數減之假如有紵絲一疋零(五分疋之三)用過五分疋之三問仍存若干答曰五分疋之四原一 五之二 (此以之三減之二則減數反大於原數不足減以借法作)減 五之三 (㸃於疋位借原數一疋通作五分併之二共成五之七内)存○ 五之四 (減去五之三仍存五之四合問)以上分母同者徑以對減為通分減法之一類變分母法凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有數六之三又有數四之三其較若干答曰四之一較 四 之一假如有整數一零八之三減去四之三該存若干答曰八之五整數一 八 (之三) (通為)八 之(十一)減數 四 (之三) 變八 之六存數 八 之五互乘法凡分母不同者先互乘以同其母冄以母互乗其子而減之假如有兩數甲五之三乙七之四不知誰多(法以兩分母五七相乘得三十五為共母又互乘其)(子變甲數為三十五之二十一變乙數為三十五之)(二十以相減則乙不及甲者其較為三十五分之一)甲多 三十五之 一凡分母同者視其子為大小(子數大者即大小者即小)若子同而母不同者反是(母數大者子數反小)亦以互乘見之如後圖(甲六之四乙五之四)互得三十(之二十之卄四) (丙四之三丁五之三)互得二十之(十五十二)乙多 三十分之四 丙多 二十分之三右二則以分相較而辨其多寡即古課分之法也凡三母内有兩母相乘與餘一母同者只用一互乘即可相減假如有甲數二又(三十五之十一)乙得甲(七之六)丙得甲(五之四)餘為丁數該若干答曰丁得甲三十五之二十三(先以分母通整數為分而納入分子)(次以減數分母相乘為共母又互乘)(其子而併之是為三十五之五十八)丁存 三十五之卄三 (以減甲數仍餘三十五之卄三合問)子乘母除法凡分母有可以相除者以分母除其分母得數轉以乘子而減之其餘數仍以分母除之即得約分之數若原係兩分母互乘而併者用此法可知原母(數在三宗以上而母不同)(者並用此法可代維乘)假如有沉香一石零(二十八分石之九)用去七分石之四該餘若干存 卄八 之 二十一 約為四之三(法以分母通共數一為二十八併子之九共三十七變共數為二十八之三十七 又以減分母七除共數之分母二十)(八得存數原母四以乘減分子四得十六變減數為二十八之十六兩相減得所存數為二十一於是仍以減分母七除)(之得存數原子三變存數為四之三)(論曰此亦變分母法也其數與互乘所得無異但用互乘則數益煩故用子乘母除之法變七之四為二十八之十六母)(既相同即可以相減矣若互用異乘同除則成三率之比例如後圖)一率(分母七) 法以子之四乘所變分母二十八得一百二率(分子四) 十二為實分母七為法除之得所變分子三率(分母卄八) 為十六其比例為七與四若二十八與十四率(分子十六) 六也又論曰存數不用約分法而竟以分母七除何也曰約分之法以對減而得紐數今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即紐數也又何事於對減之煩乎况用之互乘還原尤為親切盖互乘之共母既以原母相乘而得即無不可以原母除之而盡也假如有整數一又(九十之七十二)甲得六(之四)乙得三(之一)餘為丙數該若干答曰丙得五之四丙存 五 之四 九十 之七十二法曰(先以分母通整一為九十併分子七十二是為九十之一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以)(甲分子四乘之得六十為甲數三又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍 十為乙數)(合甲乙兩數得九十以減原數一百六十二仍餘七十二為丙數以法約之為五之四 約分法詳後條)約分㨗法 置丙存數(九十之七十二)為實以甲乙分母(六三)相乘得數(十八)為法除之得五之四為丙存數(以十八除九十得五十八除七十二得四)(約分本法用子數七十二減母數九十得十八以轉減子數得五十四再遞減之亦餘十八是為紐數乃用為法以除子)(母數得約分五之四今改用甲乙兩母相乘亦得十八為法何也以原數九十可以六除亦可以三除知其為三數維乘)(而得者也故於還原最切)論曰此有分母三宜用維乘然其數益繁故改用子乘母除之法則三母齊同可用相減而法與數俱簡矣試先減乙丙數則所存者即甲數(法同上)甲存 (約為)六 之四 即九十 之六十若先減甲丙數則所存者必乙數其法並同兹不悉具按如此互求即知無誤可無假他法還原矣假如有數五百○四之四百○一甲得(八之一)乙得(六之一)丙得(七之)(一)丁得(九之一)餘者為戊數該若干 答曰戊得四之一原數 五百○四 之四百○ 一甲減 八 之一 六十三乙減 六 之一 以各減母除原母得 八十四丙減 七 之一 七十二丁減 九 之一 五十六共減 二百七十五戊存 五百○四 之一百二十六約為 四 之一(以所存之數除原母即得)解曰此因分子俱係之一故即以除數為得數也以上分母不同者為通分減法之又一類大分𢃄小分減法凡大小分母並同者(謂原數之大小分母與減數之大小分母也下倣此)竟以對減不足減者借整數以分母通為分(小分不足減亦以小分之母通大分為小分 其借上位皆作㸃誌之)若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之餘如上法若大小分母俱不同者用通分法盡通大分為小分而納小分焉餘如上法假如西厯算得某月平朔三十日○一時一十六分其實距時七時四十分為減號問實朔在某甲子某時刻答曰壬辰日酉初二刻○六分(以二十九日命為壬辰日以十七時命為酉初其小餘三)(十六分以三十分收為二刻尚餘六分命為壬辰日酉初二刻○六分)日 時 分(時為大分大分以二十四為母時下為小分小分之母六十)平朔三□○□一□(先減小分四十原數只十六不足減作直號於大分位借一分通為小分)(實距時) 七四□ (六十并原小分共七十六減四十餘三十六 次減大分七原數一已借)實朔二□一□三□(去亦借整一通為二十四減七餘十七 原數三十因借減一餘二十九)凡大小分母不同者(謂大分之母與小分之母不同也)須作㸃以别之故借整化零之㸃改為直號右係大小分母並同故竟以對減假如有整數一又(九之四)又小分(四十之七)甲得九(之四)又小分五(之四)餘為乙數該若干答曰乙得九之八又八之三乃重列之(小分既同即可相減)乙存 九 之八 二百之七十五 約為八之三法曰(先減小分減數大原數小不足減乃作直號於大分位借一分通為小分納原數共二百三十)(五減一百六十餘七十五為次減大分原數四因借減一變三亦借整數一通 九共十二減四餘八)(整數借減盡)試先減乙(用變分母法以代互乘餘並同上)原數一 九 之□又 四十 之七減乙 九 之八又八 之三變四十 之一十五存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二解曰(四十與八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即變為四十之一十五則兩母齊同可以對減矣)右係大分母同而小分母不同故用互乘以同之假如甲丙兩坵田共四畝又六十分畝之四十三甲坵二畝又四分畝之三又小分五之一餘為丙坵該若干答曰一畝又十二分畝之十一(即六十之五十五母子各五約之為十二之十一)法先以甲小分母五通大分四之三為二十之十五加入原𢃄小分一共二十之十六乃列而減之(如此則大分小分合而為一與原數無小)(分者類矣)存丙一又 六十 之五十五用變分母法以甲子母各加三倍變二十之十六為六十之四十八以減原數四十三不及減乃作直號於整數位借一數通為六十分納原數共一百○三減甲數四十八餘五十五次減整數整數四因借減一成三減甲二仍餘一是為整數一又六十之五十五即丙存數也右係大分母不同故通為小分而減之以上大分𢃄小分法為通分減法之又一類通分子母乘法假如有田三十六畝六分毎畝徵銀三分錢之二問該銀若干答曰二兩四錢四分法以分子之二乘田三十六畝六分得七十三分二以分母三收之得二兩四錢四分合問何以知其為七十三分也曰原問毎畝徴銀三分錢之二分故於右行實數内尋毎畝之位為定位之根以横對左行得數即命為分則上下俱定矣假如有銀六十四兩毎兩買銅八斤十二兩該銅若干答曰五百六十斤先以斤法(十六)收十二兩為斤下之七分五釐加八斤共八七五為法以乘銀六十四兩得五六○○○即於右行實數内尋毎兩位以横對左行得數命法尾釐推而上之定為五百六十斤假如有米五石(又三分石之二)毎石價銀九分兩之八該銀若干答曰五兩又二十七分兩之一法以分母三通五石為十五分納子二共十七分以價之八乘之得一百三十六又以兩分母(三九)相乘得二十七收之合問通分子母除法假如毎田一畝徴銀三分錢之二今完編銀二兩四錢四分該田若干答曰三十六畝六分法以分母(三)通二兩四錢四分為七十三分二為實以分子之二為法除之即得三十六畝六分合問(原所設三分之二以錢為主故)(四分所通為小分)假如有米五石又三分石之二共價銀五兩又二十七分兩之一問毎石該價若干答曰九分兩之八法先以米分母(三)通五石為十五分納子二共十七分為法又以價分母(卄七)通五兩為一百三十五納子一共一百三十六分為實法除實得八為毎石三分一之價以分母三乘之得二十四分為毎石價命為二十七分兩之二十四約為九之八又㨗法(以米分母三除銀分母二十七得九為毎石價之母即以除出之數為子即九之八)假如有絲一斤又六分斤之四共價一兩又四十二分兩之二十問毎斤價若干 答曰七分兩之六又十之二法先通絲一斤為六分納子四共一十為法又通銀一兩為四十二分納子二十共六十二退一位(即一十除也)命為單六又小分二即毎斤六分一之絲價也於是以分母六乘之得三十六又小分十二為毎斤價是為四十二分兩之三十六又小分十二也子母並六約之為七分兩之六又小分十之二㨗法(以絲分母六除價分母四十二得七為毎斤絲價之母即命為七分兩之六又十之七)通分子母三率法(即異乘同除)假如西厯太陽毎日平行(五十九分零八秒二十微)今有二刻半該行若干分答曰一分三十二秒卄四微(又九十六分微之卄六)法(先通五十九分為三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通為二十一萬二千八百八十微加原)(𢃄二十微共二十一萬二千九百微在位以二刻半乘之得五十三萬二千二百五十微為實以一日化九十六刻為法)(除之得五千五百四十四微不盡除滿三千六百微收為一分又一千九百二十微收為三十二秒仍餘二十四微 不)(盡者以法命之是為一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六)論曰此小數法也何則二十一萬二千九百者是每日九十六刻之數今以二刻半乘之於刻下多一位故截去得數尾一位命為百假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二該布若干 答曰三疋一 粟六分石之二(母子各減一倍)變為三之一四 布五分疋之(十五) 收為整三疋(兩粟母同為三省不用只以布分母收之)用變分母法變一率六之二為三之一則兩粟母相同可省互乘而子變為之一又可省除只以三率一石用分母通為三納子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合問假如以銀換金毎銀二兩又三分兩之二換金九分兩之二今有銀六分兩之四該金若干答曰十八分兩之一四 金(十八)分兩之一法以一率分母(三)互乘三率六之四為十八之十二與二率之二相乘得二十四為實又用一率分母三通二兩為六分納子二共八是為三之八復以三率分母(六)互乘之為十八之四十八以乘金母(九)得四百三十二為法法大實小以法命之為四百三十二之二十四母子各二十四約之即十八分兩之一合問若用變分母法則如後式一 銀二兩(又三之二) 通為三之八乘得(七十二)為法(以金母九乘之八也)四 金(七十二分)兩之四 約為(十八)之一(子母各四約之)解曰十八分兩之一即五分五氂五五不盡畸零𢃄分子母乘法假如以八之五乗四之三該若干答曰三十二之十五法以母乘母得三十二子乘子得十五即三十二之十五為乗得數也又法以除代乗則倒位互除之法以五除四得八為母數以八除三得三七五為子數是為八之三七五與乗得之數同解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五用法假如穀一石價二十七分兩之十六今有穀四分石之三價若干答曰九分兩之四一 穀一石四 價九分兩之四(因首率是一故省除即以九之四為得數)解曰二十七分兩之十六即五錢九分二氂六毫弱也穀四分石之三即七斗五升也價九分兩之四即四錢四分四四不盡也若用倒位除以代乘則徑得九之四法用母四除十六得四為子用子三除二十七得九為母是為九之四也畸零𢃄分子母除法假如以五之四除四之三該若干答曰八之七五法以母除母得八子除子得七五是為八之七半即除得數也又法以乘代除則倒位互乗之法以母五乘子三得(十五)為子以子四乗母四得(十六)為母是十六之十五與除得之數同解曰十六即八之倍數十五即七五之倍數故其數同用法假如以絹易縀絹五分丈之四換縀七分丈之四問絹毎丈該縀若干答曰該換縀七分丈之五一 絹五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是二 縀七分丈之四 為一十四之一十子母各半之為七分三 絹一丈 之五(三率是一省乘即用縀七之四為實)四 縀七分丈之五解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也若用倒位乘以代除所得亦同法用子四乘母七得卄八為母用母互乘子四得卄為子子母各取四之一即七之五也論曰同文筭指有畸零乘除之法甚為簡妙然莫適所用今以三率列之則實數可稽而用法亦明矣畸零乘除定位凡乘法得數必大於原問之數若畸零乗則其數反降凡除法得數必降若畸零除則其數反陞盖即異乘同除之理諸家算術皆未經說破故定位多訛兹以三率明之如左假如換珠每珠一兩值銀二十四兩今有珠三分五釐該若干答曰八錢四分此首率是單兩而三率有分釐是單下有三位零也故截去得數尾三位命法尾兩兩位空定所得為八錢四分論曰此即以乘出之數為四率者以首率是單一兩故省除耳試即以三率實尾位釐為單而定所得為八百四十兩為實亦陞首率單兩為千釐為法除實(即以)(實數降三位)亦仍得八錢四分合問(此條已詳二巻乘法中兹以三率列之於)(定位之理益明)又論曰乘除之難在於定位而畸零為尤難所以者何凡定位以單數為根而畸零無單位可言故也前於乘法中立本數大數小數三法以尋每位可以御畸零矣於除法猶未有以處也今皆歸之三率惟視三率中所有之數即命為單數(如金銀之類本以兩為單今視三率中有)(分即以分為單而兩則為其百數又如米穀之類本以石為單今三率中有斗即以斗為單而石則為其)(十數他倣此)則雖畸零皆可作整數筭無論乗除一以貫之矣(是為以零變整而乗除之後得數無異此所以别於通分化整為零之法也)假如有珠三分五釐價銀八錢四分問每兩珠價若干答曰二十四兩(此一率首位是分即以分為單數以二率)(陞兩位作八十四兩為實以法三分五釐)(對實分位列之位命除畢於法上一)(為單分推而上之定得數為二十四兩合)(問)解曰二率陞二位為實者即百分乘也分原在單兩下二位今既陞為單則單兩亦陞二位成百分也假如銀二錢四分買稻九十六斤毎兩該若干答曰四百斤(此以錢為單數則三率單兩成十錢而二率亦陞一)(位成九百六十○斤為實於是以法二錢對實○位)(列之以單錢對單斤也單除畢於法上一位命為)(斤即得數為四百斤合問)假如以豆換油豆四斗八升換油十二斤今豆十石該油若干答曰二百五十斤(此以斗為單數則三)(率十石成百斗故二率亦陞兩位作一千)(二百斤為實以法四斗對實○斤位列之)(亦以單斗對單斤也餘亦同)假如芝麻六斗四升四合換豆一石今芝麻四石八斗三升該豆若干答曰七石五斗若以斗為單則命實為四十八石三斗(以二率十斗乘之也)而以法首六斗對實三斗列之除畢於法上位定為斗亦得七石五斗或以升為單以合為單得數亦無不同也(以升為單法上即命為升以合為單)(法上即命為合)假如錢六百五十文價四錢八分七釐半每千該價若干(此問毎千錢價是以千為單也今法首只有百)(即以百為單而陞單千為十百則二率亦陞一)(位作四兩八錢七分五釐為實四兩列之以單)(百對單兩也除畢於法上位命為單兩兩位空)(定得數為七錢五分)歴筭全書卷三十七
## 卷三十八
欽定四庫全書厯算全書巻三十八宣城梅文鼎撰筆算巻五開平方法測量句股全恃開方開方有平有立而平之用博以其有實無法故别為一術以佐乘除之所窮平方者面羃也其形正方故亦為自乘之積開平方者以自乘之積求正方之邉故西法謂之測面其邉謂之方根法先列實 依除法作兩直線以所用方積列於右直線之右自上而下至單位止無單作○次作㸃定位 自單位作一㸃起毎隔一位㸃之有一㸃則商一位(如有二㸃則商數有十有三㸃則商數有百)次定初商 皆自原實最上一㸃截定為初商之實(如㸃)(在首位即以一位為初商實㸃在次位即合兩位為初商實)以自乘數約而商之皆以㸃處為本位㸃上一位為進位(本位者單數也如一商一四商二九商三)(其自乘皆本位不論百與萬以上皆作單數用進位者十數也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有進位不論)(千與萬以上上皆作十數用)又法 以初商實入表皆視初商實有與表同數或稍大於表數者用之以命初商(如一商一四商二此與表數相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表數稍)(大也若至九則商三又為相同之數矣十至十五皆商三皆比表數稍大至十六商四又為相同之數他皆倣此)初商表(凡初商三以下減積在本位四以上減積合兩位此表明之)用表㨗法(但視初商實不滿表上自乘積者退一格即商數如不滿○四即商一不滿○九即商二他倣此)既得商數即書於左直線之右皆對初㸃之進位書之(凡商得一二三)(四書於㸃之上一位)五以上又進一位(凡商得五六七八九書於㸃之上兩位)次減實 以初商數自乘書於左直線之左皆以本位對初㸃(如初商一二三自乘一四九皆本位即對初㸃書之如初商四五六七八九其自乘皆有進位則以下一字對初㸃)就以此命為減數以對減右直線所列方積如減積不盡則有次商次商之法 倍初商得數為次商亷法對原實位書於右直線之左(視實冇二㸃則初商是十有三㸃初商是百四㸃初商是千各取倍數對原列方積千百十零之位書之倍而言十)(者亦進位對之)截原實第二㸃為次商之實(次商減積至此㸃止)以廉法約實為次商數(並依除法約之)挨書於初商之下即用次商數為隅法亦書於廉法之下為次商廉隅共法(省曰次商法)以與次商數相乘書其數於左直線之左(皆以法首位所乘之進位對次商數書之若言如之數亦以○位對之法有幾位徧乘而挨書)(之㸃至次㸃止上又法先以法尾位隅法乘次商數以本位對次 書之進位 一字書之依乘法例自下而上法有幾位皆)(徧乘而迭進書之至次商數止亦同)命為次商減積數以對減右直線餘積而定次商(皆减積至次㸃止)如減數大於餘積則改次商(亦改隅法)如上乘減及減而止次商減積不盡則有三商三商之法 合初商次商數倍之為廉法(簡法只以隅法加倍増入次商法内即三)(商廉法)截原實第三㸃為三商之實(三商減積至三㸃而止)餘並同次商如減積不盡則有四商四商以上並同三商法審○位之法 若次商廉法大於苐二㸃以上餘積或數適相同是商得○位也(凡商得一數者其減積必與廉法同而多一數以為隅故僅同者無隅積也即不能商一數而成○位)則書○於初商之下以當次商亦增○於亷法之下為三商亷法三商以上有○並同(若應商幾位而於初商或次商即已減積至盡是末幾位皆商得○也俱補作○)命分之法 若已商得單數而仍有餘積當以法命之(以商得方根倍)(之加隅一為分母不盡之數為分子命為幾分之幾)雖未商得單數而餘積甚少不能成單一數亦以法命之(前審○位云亷法大於餘積者但取第二㸃以上相較不論千百十零其所謂不能)(商一數者或是一千或是一百不拘定是單一也故商○之後仍有所商與此不同)還原法以商得方根自之有不盡者以不盡之數加入之即得原實又簡法作直線於左方以應減之積依併法併之必合原實有不盡數亦加入之並同除法還原初商本位式(凡初商一二三者減積言如在本位然初商一二三四者書商數於㸃之上一位 以書)(商數之位言之亦本位也兩本位法此一式中皆可明之)假如有方田積二百五十六步問每面方若干答曰每面方十六步列實(作兩直線列方積於右直線之右)作㸃定位(自單位起毎隔一位作一㸃共兩㸃宜商兩次 初商是十)初商(㸃在實首位即以實首位○二為初商實以自乘數約之得一為初商初商是一宜對㸃上一)(位書於左直線之右有兩㸃初商是一十自乘一百為減數書左線之左遙對右行初㸃○二百書之就)(以對減初商實於二百内減一百仍餘餘一百改書之初商減積未盡有次商)次商(倍初商一十作二十對原列方積十步位書於右線之左為亷法 以第二㸃餘實一五六為)(次商實用亷法約實可商七步因無隅積只約六步為次商以書於初商之下即用六步為隅法以書於)(亷法之下合亷隅共二十六步為次商法以乘次商六步得亷積一百二十步隅積三十六步皆對次商)(位書起每挨一位書之至次㸃止共得次商減數一百五十六以對減餘實恰盡)共開得平方根一十六步合問甲乙丙丁四形合為正方形(四面皆一十六步)甲分形正方(四而皆十步積一百步即初商積)丙丁二分形皆長方(廣六步長十步積六十步兩形共積)(一百二十步即次商廉積)乙小分形亦正方(面皆六步積三十六步即次商隅積)自乘還原法置方一十六步為實即以十六步為法乘之得二百五十六步合原數初商進位式(凡初商四五六七八九減積言十在進位凡初商五六七八九書商數於㸃之上兩位)(書商數以㸃上一位為本位則此其進位也兩進位法此一式中皆有之)假如方積三十五萬八千八百零一尺問方若干答曰方五百九十九步列位(同前)作㸃定位(有三㸃宜商三次初商是百)初商(㸃在實次位即合兩位三五為初商實入表表中有小於三五者是二五其方根五即以五為初商數對實初)(㸃上兩位書左直綫之右又即以表中自乘數二五遙對實三五書於左直綫之左就以對減初商實餘一○改書之以)(待次商)次商(倍初商五百作一千○百對實千百位書於右直綫之左為亷法 以第二㸃上餘實一○八八為次商實用)(亷法約之得九為次商續書於初商之下即以次商九為隅法書亷法之下合亷隅共一○九為次商法以乘次商九得)(亷積九隅積八一對次商位書起至次㸃止共得減數九萬八千一百以減次商實餘一○七改書之以待三商)三商(以次商隅法九十倍作一百八十於次商法一千之下抹去○九改書一八共一一入為亷法 以第三㸃上)(餘積一○七○一為三商實用亷法約之得九為三商續書於次商下即以三商九為隅法書於亷法之下合亷隅共一)(一八九為三商法以乘三商九步得亷積一萬○六百二十隅積八十一對三商位書起至第三㸃止共得減數一萬○)(七百○一以對減三商實恰盡)凡開得方根五百九十九尺初商甲(方五百尺積二十五萬尺)次商(丁戊)二亷(各長五百尺濶九十尺共積九萬尺)隅乙(方九十尺積八千一百尺)三商(已庚)二亷(各長五百九十尺濶九尺共積一萬○六)(百二十尺)隅丙(方九尺積八十一尺)七形合成正方共積(三十五萬八千八百○一○)商○位式假如方積八十二萬六千二百八十一尺問方若干答曰九百○九尺列位作㸃定位(並同前條)初商(㸃在次位合兩位八二為初商實表入表得八一小於八二其方根九即為初商在五以上對初㸃上兩位書)(之亦以表數八一對實八二書於左綫之左以減初商實餘○一改書之以待次商)次商(倍初商九百作一千八百對原實位書之為亷法以第三㸃上餘實○一六二為次商實以亷法約之法大實)(小不能商一數是商得○位也紀○於初商之下即於實首位銷去一○餘俟三商)三商(因次商是○增○於廉法之下共一八○為亷法以第三㸃上餘實一六二八一為三商實用亷法約實得九)(尺為三商書於次商○之下即以九為隅法書於亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷積一萬六千二百隅)(積八十一減三商實恰盡)凡開得方根九百○九尺計開初商方九百尺 積八十一萬尺續商亷(各濶九尺長九百尺)共積(一萬六千二百尺) 隅方九尺積(八十一尺)通共八十二萬六千二百八十一尺假如方積二十五億○七百○○萬四千九百尺問方若干答曰五萬○七十尺列位(原積尾位是百補作兩○列之)作㸃定位(有五㸃當商五次 初商是萬)初商(以實首兩位二五為初商實入表得五為初商書於㸃上兩位次以自乘數對實列之相減盡)次商(倍初商五萬尺得一十○萬為亷法對原實位書之以第二㸃上餘實○○○七為次商實實有三○無可商)(是次商○也書○於初商五之下亦於實首銷去一○以待三商)三商(因次商○增○於亷法下得一○○為亷法○以第三㸃上餘實○○七○○為三商實實仍有兩 位是三)(商亦○也又書○於次商○之下於實首復銷去一○以待四商)四商(因三商亦○又增○於亷法之下得一○○○為亷法 以第四㸃上○七○○四九為四商實用亷法約之)(得七十尺書於三商○之下即以七為隅法增於亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷積七百萬隅積四千)(九百以對減四商實恰盡)五商(五㸃宜有五商而四商已減實盡無可商作○於四商)凡開得方根五萬○○七十○尺命分式假如方積五百七十六萬四千八百尺問方根若干答曰二千四百尺(又四千八百○一分尺之四千八百)列位(實盡於百位如前法補作兩圏列之)作㸃定位(有四㸃宜商四次初商是千)初商(以實首○五為初商實入表得二為初商以自乘數○四減實○五改書餘一以待次商)次商(倍初商二千得四千為亷法約以第二㸃上餘實一七六為次商實用廉法 之得四為次商)(即以為隅法書廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷積一百六十萬隅積一十六萬共減積一百七)(十六萬次商實減盡)三商(倍次商隅法四作八增入次商法共四八為三商亷法以第三㸃上餘實○○四八為三商實)(有兩○無可商作○於三商位消去實首一○以待四商)四商(三商○亦增○於亷法下共四八○為亷法與以第四㸃上餘實○四八○○為四商實僅)(亷法相同是無隅積也不能商一數作○於四商位其不盡之數以法命之法以亷法四千八百○加隅)(一共四千八百○一為命分之母以不盡之數四千八百為分子命為四千八百○一分尺之四千八百)(即一尺弱也)共開得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百此雖未開至單尺之位而餘實甚少不能成一單尺故即以法命之若餘實是四千八百○一尺則商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一單尺也開方分秒(凡開方欲知分秒法於餘實下毎増兩○位則多開一位為分秒之數 平方之積尺有百寸)(寸有百分皆以百為母故增兩○)假如有平方積二十四尺平方開之得方四尺不盡八尺問分秒若干 答曰方四尺零八寸九分八釐九毫有竒如常列位作㸃㸃在次位即以二四兩位合商得方四尺減其自乘一十六尺餘八尺用命分法以商四尺倍作八尺又加隅一得九為命分母不盡為分子命為方四尺又九分尺之八今欲知其寸(九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍𢃄此畸零是其中有寸)法於餘實下加兩○化八尺為八百寸(毎尺縱横十寸故其積百)(寸)用為次商實以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸(商數是毎邉之數故尺只十寸)對餘實十寸位書之(即第一○位)為亷法用廉法約實可商九寸因恐無隅積只商八寸書於初商四尺之下亦即以次商八寸為隅法書於廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷積六百四十寸隅積六十四寸共亷隅積七百○四寸自次商位書起至第二○位止以對減餘實仍餘九十六寸命為竒數凡商得毎方四尺八寸有奇再求其分法於實下又加兩○以餘九十六寸化九千六百分(解見)(上)為三商實 商數四尺八寸亦化四百八十分倍之為九百六十分移對餘實百分十分之位書之為亷法以亷法約實商得九分為三商書次商之下亦即以三商九分為隅法書於亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷積八千六百四十分隅積八十一分共積八千七百二十一分自三商位書起至第四○位止以對減餘實仍餘八百七十九分命為竒數凡商得每方四尺八寸九分有竒再求其釐法於餘實下又加兩○以餘八百七十九分化八萬七千九百釐為四商實 次倍商數四尺八寸九分作九尺七寸八分化為九千七百八十釐移對餘實依千百十之位書之為亷法 用亷法約實得八釐為四商書於三商之下即以四商八為隅法增於亷法末共亷隅法九千七百八十八釐以乘四商八釐得亷積七萬八千二百四十釐隅積六十四釐自四商位書起至第六○位止以減餘實仍餘九千五百九十六釐凡商得每方四尺八寸九分八釐有竒再求其毫如法於餘實下又加兩○化餘實為九十五萬九千六百毫為五商實 次倍商數四八九八作九尺七寸九分六釐化為九萬七千九百六十毫為亷法移對餘實萬千百十之位書之用亷法約實得九毫為五商書四商下亦即以五商九為隅法增入亷法下共亷隅九萬七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷積八十八萬一千六百四十毫隅積八十一毫對五商位書起至第八○位止以減餘實仍餘七萬七千八百七十九毫凡商得方四尺八寸九分八釐九毫又九萬七千九百七十九之七萬七千八百七十九即竒數也右單數下已開四位(尺為單位析為寸分釐毫凡四位)其不盡者是不滿一毫之數于單數為十萬分之一(如欲再求忽微)(亦如上法)開方𢃄縱(𢃄縱者長方形也以方為濶加縱數為長其法與開方無異但須以商得數乘縱數為縱積併)(入方積以減原積不及減者改商之其次商亦倍初商加縱為亷法但倍方而不倍縱 三商以上並同)假如有長田積六百二十四步濶不及長二步問長濶各若干答曰長二十六步濶二十四步列位(以實列右綫之右步以縱二步列右綫之左對實 位列之)如常作㸃定位初商(以○六為初商實商得二十步自乘應減方積四百步又以商數乘縱二步得縱積四十步如)(法列之以減原實仍餘一百八十四步)次商(倍初商二十步作四十步加縱二步共四十二歩為亷法以約餘實得商四步即以為隅法合)(亷隅縱共四十六用乘次商四得亷積一百六十步隅積十六步縱積八步共減積一百八十四步恰盡)命為濶二十四步 加縱二步為長二十六步合問以圖明之甲為初商方形(長濶各二十步積四十步)已初商縱形(濶二步四長亦二十步積 十步)戊丙並次商廉(長各二十步十濶四步 積八 步)乙次商隅(方四步步積一十六)丁次商縱亷(長四步八濶二步 積 步)(以上五者合之為一長方形步共長二十六步 濶二十四)(積六百二十四步合原數)若縱數有比例可求者先以比例分其積平方開之得濶因以知長假如有直田積四百五十步但云長多濶一倍問長濶若干答曰濶十五步 長三十步法平分其積得二百二十五步平方開之得濶十五步置濶十五步倍之得長三十步合問假如有長田積二百五十二步但云長比濶多四分之三問長若干答曰 濶一十二步長二十一步法以多三分加分母四共七為法以分母四乘積為實法除實得一百四十四步開方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步為長(長比濶多)(九步於十二步為四分之三)開立方法平方者方田之屬也但取面羃之積立方者方倉之屬也必求其内容之積故平方曰面立方曰體有面而後有體有線而後有面故皆以線為根假如長二尺者線數也線有長短而無廣狹若以此線横展之長亦二尺濶亦二尺則其積四尺為面面者平方形也面有濶狹而無厚薄又以此面層累而厚之長濶皆二尺高亦二尺則其積八尺為體體者立方形也立方有虚有實如築方臺則實鑿方池作方窖則虚然其立方之積數一也法先立位(同平方) 作㸃(自單位起每隔二位㸃之以最上一㸃為初商實) 定位(視有若干㸃則商幾位如有二㸃則商數有十有五㸃則商數有百並同平方)初商法 以自乘再乘數約而商之(如一商一八商二二七商三之類)書商數於左線之右(凡商得一數者書於㸃上一位商得二三四五者書於㸃上兩位商)(得六七八九者書於㸃上三位)即以自乘再乘數書於左線之左以對減初商實(初商減積至初㸃止)次商法 以初商自乘而三之為平亷法(亦曰方法) 以初商三之為長亷法(亦曰亷法)皆對原實千百位書之 截第二㸃上餘實為次商實(次商減積至次㸃止)以平亷法約實得次商(列初商下)即以次商為隅法列長亷次(亦按千百位列之)乃以次商乘平亷法為平亷積又以次商自乘以乘長亷及隅法為長亷小隅積俱挨書之以減餘積不及減者改商三商法 以餘實另列之 合初商次商自乘而三之為平亷法 合初商次商三之為長亷法 截第三㸃上餘實為三商實(三商減積至此㸃止) 亦即以三商為隅法(餘並同前)四商以上並同三商命分法 合平亷長亷法再加隅一為命分母不盡之數為命分子(並同平方)還原法 置商數自乘得數再以商數乘之即合原實(有不盡者以不盡之數加入之)初商表(用法與平方表同)假如立方積五千八百三十二尺問方若干答曰方一十八尺列實作㸃定位(有兩㸃初商是十)初商(以五千為初商實約商一十自乘再乘得一千為應减積減原實餘四千)次商(以初商自乘而三之得三百為平亷法二又以初商三之得三十為長亷法 以平亷法約第 㸃上餘實得)(八尺為次商即以為隅法並如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百為平亷積又以次商自乘得六十四以乘長亷)(及隅法得長廉一千九百二十隅積五百一十二共減積四千八百三十二恰盡)以圖明之甲為初商方形(長濶皆十尺積一千尺)乙為次商平亷凡三以輔於方之三面(長濶皆十尺厚八尺積八百尺共積)(二千四百尺)丙為次商長亷亦三以輔三平亷之隙(長十尺濶與厚皆八尺積六百四十)(尺共積一千九百二十尺)丁為次商隅如小立方以補三長亷之隙(長濶高皆八尺積五百一十二尺)假如立方積二千二百五十九億七千七百八十一萬一千五百七十尺問方根若干答曰方六千零九十尺(又一億一千一百二十八)(萬二千五百七十一之一億一千一百二十八萬二千五百七十)列實(實尾無單位補作○)作㸃定位(有四㸃初)(商是)千初商(合實三位約之商六千對初㸃上三位列之以六千自乘再乘得減積二千一百六十億其餘積改書以待次)(商)次商(日乘初商而三之得一億○八百萬為平亷法位以初商三之得一萬八千為長亷法各對原實)(列之次以第二㸃上餘實為次商實實首有兩○無可商是 商○也作○於初商之下即於實首消去兩○)(餘俟三商)三商(次商○即以次商法為三商法尺以第三㸃上餘實為三商實以平亷法約之商九十 即以為隅法對實十)(位列之乃以九十乘平亷法得平亷積九十七億二千萬又以九十自乘得八千一百以乘長亷及隅法得長亷積一億)(四千五百八十萬隅積七十二萬九千共減積九十八億六千六百五十二萬九千)四商(以第四㸃上餘實另列之二合三次商數六○九自乘而三之得一億一千一百 十六萬四千三百為平亷)(法得又以六○九三之 一萬八千二百)(七十為長亷法亷以法約實僅與兩 法)(之數相同無隅積不能成一單數以法命)(之合平廉長亷數加隅一為命分母餘實)(為命分子)命為立方六千○九十尺又(一億一千一百二十八萬二千五百七十一尺之一億一千一)(百二十八萬二千五百七十)自乘 再乘厯算全書卷三十八
## 比例規用法假如原序
比例規用法假如原序
康熙癸未季弟爾素有比例規用法假如之作又五年丁亥重加挍録示予屬為序序曰形而上者不可得而數有數可數即有象可見故算法量法理本相通而尺可為算器也厯書中有書一卷耑明尺算謂之比例規觧比例云者謂以尺中原有之兩數求今所問之兩數以例相比如古者異乗同除及西人三率之法而有尺以著其象則不煩言説乃作者之意也規云者謂以銅鐵為規器兩髀翕張用其末鋭分指兩尺上同數以得横距而命得數則用尺之法也規本畫圓之器于尺算為借用故仍其名曰規本觧有作法用法惜無設例罕能用者攜李陳獻可藎謨補作例祗平分一線而已龍舒方位白中通作數度衍以横尺取數而不用規亦惟平分一線夫平分用止乘除聊足以明異乗同除之理而尺算之善不盡于是若乃平方立方分圓輕重諸術其求法多不以異乗同除為用而數變為線爰生比例即盡歸于異乗同除此其所長也又規端取數毫氂可辨而㳺移進退簡快靈妙横距雖無數而取諸本尺其則不逺固勝横尺矣吾弟此書仍其用規本法自平分以下十線一一為之用例以明之原書謬誤稍為刋正然後其書可得而用為功于度數之學不小也憶嵗乙夘余始購得厯書抄本于吳門姚氏偶缺是觧至戊午秋介亡友黄俞邰太史虞稷借到皖江劉潛柱先生本抄補之葢逾時而後能通其條貫以是正其訛闕又次年己未始為山隂友人何奕美作尺亦稍以己意増損推廣之而未暇為立假如今得爾素是書可以無作矣勿菴兄文鼎序(方爾素撰此書時安溪相國以冢宰開府上谷公子世得鍾倫鋭意厯算之學余兄弟及兒以燕下榻芝)(軒與諸同學晨夕問難甚相得也無何爾素挈兒燕南歸相國入參密勿而世得亡兒相繼化去余亦大)(病濱死然猶能偷視息至今日為爾素序此書不可謂非不幸中幸也憶爾素六十時余有句云如稼觀)(登塲如行将百里何以収桑榆無為所生恥今當相與念兹弗替爾勿菴又識)
## 凡例
凡例
按西士羅雅谷自序謂譯書草創潤色之増補之必有其時今之釋例不嫌小有同異所以相成當亦作書者之所欲得也比例規觧原列十線為十種比例之法今仍之比例既有十種可各為一尺今總歸一尺者便攜也一尺中列十線則一尺而有十尺之用恐其不清故各線之端書某線以别之各線並從心起數惟立方線初㸃最大割線亦然又五金線之用近尺末故俱不到心以便他線之書字然其實並從心起算用者詳之(尺心即尺端也兩尺端聫于樞心成一㸃)(故從兹起算)
## 卷三十九目録
欽定四庫全書厯算全書卷三十九宣城梅文鼎撰目録第一平分線第二平方線(原名分面)第三更面線(原名變面)第四立方線(原名分體)第五更體線(原名變體)第六割圓線第七正弦線(舊名節氣)第八切線(舊名時刻)第九割線(舊名表心)第十五金線(附三線比例)以上十線並如舊式惟平方立方改從古名取其易曉又正弦改附割圓切線分為時刻取其便用割線去表心之目以正其名免悮用也説見各條之下又按羅序言此器百種技藝無不賴之功倍用㨗為造瑪得瑪第嘉之津梁然則彼中藉此製器如工師之用矩尺則日晷等製並其恒業迺書中圖説反有參錯非故為靳祕也良由倣造者衆未必深知法意爰致承訛抑或譯書時語言不能盡解而强以意通遂多筆誤耳今於其似是而非之處徹底釐清以合測量正理起立法之人于九京必當莫逆
## 卷三十九
比例尺式(即度數尺也原名比例規以兩尺可開可合有似作圓之器故亦可云規)用薄銅板或厚紙或堅木(黄楊木等)作兩長股如圖任長一尺上下廣如長八之一兩股等長等廣股首上角為樞以樞心為心從心出各直線以尺大小定線數今折中作五線兩股兩面共十線可用十種比例之法線行相距之地取足書字而止尺首半規餘地以固樞也用時張翕㳺移比例尺又式前式兩股相疊此式兩股相並股上兩用之際以為心規餘地以安樞其一規面與尺面平而空其中其一剡規而入於彼尺之空令宻無罅也樞欲其無偏也兩尺並欲其無罅也樞心為心與兩尺之合線欲其中繩也張盡令兩首相就成一直線可作長尺或以兩尺横直相得成一方角可作矩尺規式(此本為畫圓之器尺算賴之以取底數葢相湏為用者也)用銅或鐡亦如尺作兩股但尺式扁方此可圓也首為樞可張可翕末鋭以便于尺上取數也當其半腰綴一銅條横貫之勢曲而長如割圓象限之弧與樞相應得數後用螺釘固之凡算例假如有言取某數為底線者並以規之兩鋭於平分線上量而得之其用底線為得數者並以規取兩尺上弦線相等之距于平分線上量而命之故規之兩鋭可當横尺數度衍以横尺比量反不如用規之便利而得數且真也第一平分線此線為諸線之根取數貴多尺大可作一千然過宻又恐其不清也故以二百為率分法 如設一直線欲作百分先平分之為二又平分之為四又于每一分内各五分之則已成二十分矣于是用更分法取元分四改為五分(如甲乙丙)(有丙戊丁三㸃是元分之四也今復匀作五分加己庚辛壬四㸃)則元分與次分之較(如壬丙及巳戊)皆元分五之一亦即設線百分之一分凖此為度而周布之即百分以成解曰元分為設線百分為二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一則甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度參差作㸃互相攷訂即成百分匀度矣(每數至十至百皆作字記之) 或取元分六復五分之亦同何則元分一内函五分則元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也用法一 凡設一直線任欲作幾分假如四分即以規量設線為度而數兩尺之各一百以為弦乃張尺以就度令設線度為兩弦之底置尺(置尺者置不復動故亦可云定尺下)(倣此)數兩尺之各二十五以為弦斂規取二十五兩㸃間之底以為度即所求分數(即四分中一分也以此為度而分其線即成四)(分) 若求極微分如一百之一如上以一百為弦設線為底置尺次以九十九為弦取底比設線其較為百之一 若欲設線内取零數如七之三即以七十為弦設線為底置尺次以三十為弦斂規取底即設線七之三謹按尺筭上兩等邊三角形分之即兩句股也兩句聫為一線而在下直謂之底宜也若兩尺上數原係斜弦改而稱腰于義無取今直正其名曰弦用法二 凡有線求幾倍之以十為弦設線為底置尺如求七倍以七十為弦取底即元線之七倍若求十四倍則倍得線或先取十倍更取四倍并之用法三 有兩直線欲定其比例以大線為尺末之數(尺百即百千即千)置尺斂規取小線度于尺上進退就其兩弦等數如大線為一百小線為三十七即兩線之比例若一百與三十七可約者約之(約法以兩大數約為兩小數其比例)(不異如一百與三十約為十與三)用法四 有兩數求相乗假如以七乗十三先以十㸃為弦取十三㸃為底置尺次檢七十之等弦取其底得九十一為所求乗數(若以十為弦七為底置尺而檢一百三十㸃之底得數亦)(同)(論曰乗法與倍法相通故以七乗十三是以十三之數七倍之是七个十三也以十三乗七是以七數十)(三倍之是十三个七也故得數並同)用法五 有兩數求相除假如有數九十一七人分之即以本線七十為弦取九十一為底置尺次檢十㸃之弦取底必得十三為所求又法以九十一為弦用規取七十為底置尺斂規取一十為底進退求其等弦亦得十三如所求(論曰筭家最重法實今當以七人為法所分九十一數為實乃前法以法數七為弦實數九十一為底又)(法反之而所得並同何也曰異乗同除以先有之兩率為比例筭今有之兩率雖曰三率實四率也徴之)(于尺則大弦與大底小弦與小底兩兩相比明明四率較若列睂故先有之兩率當弦則今所求者在底)(是以弦之比例例底也若先有之率當底則今所求者在弦是以底之例例弦也但四率中原缺一率比)(而得之固不必先審法實殊為簡易矣)(然則乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之謂之得數乗則先缺者必大數也故得亦大數除)(則先缺者必小數也故得亦小數所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦諸家所未)(發也)假如有銀九十六兩四人分之法以人數取四十分為底置銀數九十六兩為弦定尺斂規取一十分為底進退求其等弦得二十四兩為每人得數又法取銀數九十六兩為底置一百分為弦定尺斂規于二十五分等弦取其底亦得二十四兩為每人數又如有數一百二十三欲折取三分之一法以規取三十分為底置一百二十三等數為兩弦定尺斂規取一十數為底進退求其等數為弦必得四十一命為三分之一如所求用法六 凡所求數大尺所不能具則退位取之假如有數一百二十欲加五倍即退一位取一十二為底以尺之一十㸃為兩弦定尺取兩弦五十㸃之底(即五倍)得六十進一位命所得為六百(以一十二當一百二十是)(一而當十故進位命之也凡用尺筭湏得此通融之法)又法以規取一十數為底于尺之一十二㸃為兩弦(一十二以當一百二十是一當十也或二十四亦可為一當五)定尺展規取五十數(以當五倍)為底進退求其等數之弦必得六十進位成六百假如有銀十三兩每兩換錢一千二百文法退二位以規取十二分(當一千二百以尺上一數當一百)為底置一十㸃(即每)(兩之位)為弦定尺然後尋一百三十㸃(即十三兩之位)為弦展規取其底得一百五十六分進二位命之得共錢一十五千六百又如有銀四兩每兩換錢九百六十文法作兩次乗先乗六十取六數為底置一十㸃為弦定尺展規取四十㸃之底得二十四次乗九百取九數為底置一十㸃為弦定尺展規取四十㸃之底得三十六進一位併之得三八四末増一○為進位得三千八百四十文(三二四 六) 因每兩是九百六十故末位増○(三八四○千百十文)假如有數一百二十欲折取三分之一法以規取六十(折半法也)為底置九十分為弦定尺然後尋兩弦之三十分㸃(即三之一)取其底于本線比之必二十命所得為四十(加倍法也先折半故得數加倍)凡所用數在一十㸃以内近心難用則進位取之如前條所設宜用六數九數為底其㸃近心取數難清即進位作六十取數用之是進一位也但先進一位者得數後即退一位命其數此可于前假如中詳之(用尺時有退位得數後進位命其數用尺時有進位得數後退)(位命其數其理相通故不另立假如)或先進二位者得數亦退二位或先加倍者得數折半並同一法用法七 凡四率法有中兩率同數者謂之連比例假如有大數(三十六)小數(二十四)再求一小數與此兩數為連比例法以大數為弦(如辛甲)小數為底(如辛巳)定尺再以辛巳底為弦(如甲丁)而取其底(如丁戊)其數必(十六)則三十六與念四之比例若念四與十六也(其比例為三分損一)若先有小數(十六)大數(二十四)而求連比例之大數則以小數為底(如丁戊)大數為弦(如丁甲)定尺再以丁甲弦為底(如辛巳)取其弦(如辛甲)其數必三十六則十六與念四若念四與三十六也(其比例為三分増一)他皆倣此(原書有斷比例法今按斷比例即古法之異乗同除西法謂之)(三率前各條中用尺取數皆異乗同除之法故不更立例)用法八 凡句股形有句有股有弦共三件先有兩件而求其不知之一件法以尺作正角取之假如有句(八尺)股(十五尺)欲知其弦法以規量取八十㸃為底一端指尺上之六十四㸃一端指又一尺之四十八㸃以定尺則尺成正角乃于尺上取八十㸃為句又于一尺上取一百五十㸃為股張規以就所識句股之兩㸃必一百七十退一位得弦十七尺如所求(取句股數時原進一位故)(所得弦數退一位命之説見前)若先有弦(十七尺)股(十五尺)求其句則以規取一百七十㸃為句股之弦乃以規端指一百五十㸃以餘一端又于一尺上尋所指之㸃必八十也如上退位得句八尺或先有弦(十七尺)句(八尺)求其股亦以規取(一百七十)而一端指(八十)尋又一端之所指必得(一百五十)命(一十五尺)為股如所求凡雜三角形内無正角不可以句股算法先作角假如先有一角及角旁之兩邊求餘一邊法于平分線(任用一籩如甲乙)取數為底分圓線(六十)度為兩弦定尺以規取所設角之底(為平分線上任用甲乙邊等度之底)定尺則尺間角如所設(如乙角)乃于兩尺上依所設取角旁兩邊之數于兩尺各作識(如甲乙丙乙)遂用規取斜距之底(如甲丙)即得餘一邊如所求又法 假如乙甲丙三角形有甲角(五十三度○七分)甲乙邊(五十六尺)甲丙邊(七十五尺)而求乙丙邊法以規取一百分為分圓線上六十度之底斂規取五十三度强之底移于平分線上作百分之底定尺乃于尺上取五十六㸃(如甲乙)又一尺上取七十五㸃(如甲丙)乃以規取兩㸃斜距之底于尺上較之即得六十一尺(如乙丙)命為所求邉(分圓線見後)用法十 有小圖欲改作大幾倍之圖用前倍法假如有小圖濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二為十㸃之底定尺展規取五十㸃之底必得六十命為六尺如所求用法十一 平圓形周徑相求法于平分線上作兩識以一百八十八半弱上為周六十為徑各書其號假如有徑(七十一)求周法以規取七十一加于徑㸃為底定尺展規取周㸃之底即得周二百二十三如所求(以周求徑反此用之)用法十二 求理分中末線法于線上定三㸃于九十六定全分五十九又三之一為大分三十六又三之二為小分假如有一直線(一百四十四)欲分中末線即以設線加于全分㸃為底取其大小分㸃之底即得(八十九强)為大分(五十)(五弱)為小分(按平線上既作周徑之號若又作此則太繁不如另作一線其上可寄五金線也 又按原書全分七十)(二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有訛錯今改定)以上十二用法姑舉其概其實平分線之用不止于是善用者自知之耳第二平方線(舊名分面線凡平方形有積有邉積謂之也冪亦謂之面邊線亦謂之根即開平方法)原為一百不平分今按若尺小欲其清則但為五十分亦可假如有積六千四百則以平分線之二十自乗得四百于積為十六倍之一若置二十分於一㸃為底求十六㸃之底則得方根八十或置于二㸃為底則求三十二㸃之底或置于三㸃為底則求四十八㸃之底皆同分法有二 以算一以量以算分算法者自樞心(甲)任定一度命為十分(如甲乙)即平方積一百分之根今求加倍平方二百分之根為十四又念九之四即于甲乙線上加四分强(如丙)命甲丙為倍積之根求三倍則開平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙線上加十分半弱(如丁)即甲丁為三倍積之根求四倍則平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊為四倍積之根五六七以上並同(按用方根表甚簡易)以量分以任取之甲乙度作正方形(如丙乙甲)乃于乙甲横邊引長之以當積數丙乙直邊引長之作垂線以當根數如求倍積之根即于横線上截丁乙為甲乙之倍次平分甲丁於戊戊為心甲為界作半圈截垂線于巳即己乙為二百分之邊求三倍則乙丁三倍于甲乙四倍以上並同又㨗法 如前作句股形法定兩尺間成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命為一㸃而又于一尺取甲丙度與甲乙相等即皆為一百之根次取乙丙底加于甲乙尺上為二百之根甲丁又自丁至丙作斜弦以加于甲乙尺上為三百之根甲戊又自戊至丙作弦以加于甲乙尺上為四百之根甲已如此遞加即得各方之根其加法俱從尺心起(如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆倣此)試法 甲乙為一正方形之邊倍其度即四倍方積之邊否即不合三倍得九倍方積之邊四倍得十六五倍得二十五又取三倍之邊倍之即十二倍之邊(四其三也)再加一倍得二十七倍之邊(九其三也)再加倍得四十八倍之邊(十六其三也)再加倍得七十五倍之邊(二十五其三也)若以五倍之邊倍之得二十倍之邊(四其五也)再加倍得四十五倍之邊(九其五也)再加倍得八十倍之邊(十六其五也如凡言倍其度者線上度也 正方四百分)(之邊二十分甲乙正方一百分之邊十分其大為一倍也言幾倍方積者積數也如邊二十者積四百即尺上所書)用法一 有平方積求其邊(即開平方)法先其設數與某數能相為比例得幾倍如法求之假如有平方積一千二百二十五尺欲求其根以約分法求得二十五為設數四十九之一即以規于平分線取五㸃為平方線上一㸃之底定尺展規于四十九㸃取其底即得一邊三十五尺為平方根(積二十五方根五加四十九倍為積一千二百)(二十五方根三十五) 或用四十九為設數(一千二百二十五尺)二十五之一即以規取七㸃為平方一㸃之底而取平方二十五㸃之底亦得方根三十五如所求(積四十九方根七加二十五倍為積一千)(二百二十五則其方根三十五又法若無比例可求者但以十分為一㸃之底定尺有假如在用法七)用法二 凡同類之平面形可併為一大形(或方或圓或三角多)(邊等形但形相似即為同類)假如有平面正方四形求作一大正方形與之等積其第一形之冪積為二第二形之積為三第三形之積四有半第四形之積六又四之三法先併其積得(十六叉四之一)乃任取第一小形之邊為底二㸃為弦定尺(若用第二形之邊為底定尺即用三㸃為弦)而于十六㸃又四之一取其底為大形邊其面積與四形總數等若但有同類之形而不知面積亦不知邊數則先求其積之比例如甲乙丙丁方形四法以小形甲之邊為底平方線第一㸃為弦定尺次以乙形邊為底進退求等數得第二㸃外又五分之一即命其積為二又五之一(此與小形一之比例不拘丈尺)次丙形邊為底求得(二又四之三)丁形邊得(四又六之五)并諸數及甲形一得(十又)(六十分之四十七)約為(五之四弱)向元定尺上尋十㸃外十一㸃内之距取其五之四為等數之兩弦(即十一弱)用其底為大方形邊其面積與四形併數等(此加形法也圓面及三角等面凡相似之形並可相併其法同上)用法三 平面形求作一同類之他形大于設形幾倍(以設形之邉為一㸃之底定尺) 假如有正方形面積四百其邉二十今求别作一方形其容積大九倍法以設形邉(二十)為平方線一㸃之底定尺而取平方九㸃等數之底得(六十)如所求(邉六十其方積三千六百以比設形積為大九倍)用法四 平面形求别作一同類之形為設形幾分之幾(以設形之邉為命分定尺而于得分取數) 假如有平方形積三千六百其邉六十今求作小形為設形九之四法以設形邉(六十)為平方第九㸃之底定尺而取第四㸃之底得(四十)如所求(邉四)(十其積一千六百以比設形積為九之四也九為命分四為得分)此減積法也圓面三角等俱同一法用法五 有兩數求中比例(即三率連比例之第二率)假如有二與八兩數求其中比例法先以大數為平方線八㸃之底而取二㸃之底得四如所求二與四如四與八皆加倍之比例故四為二與八之中率用法六 有長方形求作正方形 假如長方形横二尺直八尺如上圖求得中比例之數為四尺以作正方形之邊則其面積與直形等直八尺横二尺 其積一十六尺方形各邊並四尺其積亦十六尺用法七 有設積求其方根而不能與他數為比例則以一十數為比例假如平積二百五十五用十數比之為二十五倍半即取十數為平方線一㸃之底而取二十五㸃半之底得十六弱為方根(十六自乗積二百五十六今只欠一小數故命之為十六弱)第三更面線(凡平面形方必中矩圓必中規其餘各形並等邊等角故皆為有法之形而可以相求)分法置公積四三二九六四以開方得正方形之根六五八三邊形之根一千五邊形之根五○二六邊形之根四○八七邊形之根三四五八邊形之根二九九九邊形之根二六○十邊形之根二三七十一邊形之根二一四十二邊形之根一九七圜徑七四二以本線為千平分而取各類之數從心至末取各數加本類之號用法一 有平面積求各類之根(凡三角及多邊各平面形其邊既等故並)(以形之一邊為根圓形則以徑為根)法先以設數于平方線上求其正方根以此為度於更面線之正方號為底定尺次于各形之號取底即得所求各形邊假如有平面三等邊形積二千七百七十一寸欲求其邊法以設積于平方線上如法開其平方根(依前卷用)(法七以設數為十數之二百七十七倍強各降一位命為一數之二十七倍又十之七强乃以一數為平)(方一㸃之底定尺而于其二十七㸃十之七强取底數得五寸二六進一位作五尺二寸半强)以所得方根為更面線正方號之底定尺而取三等邊號之底得八尺為三等邊形根如所求用法二 有平面形不同類欲相併為一大形法先以各形邊為更面線上各本號之底定尺而取其正方號之底作線為所變正方形之邊次以所變方邊于分面線上求其積數而併之為總積假如有甲(三角)乙(五邊)丙三形欲相併先以甲邊為三角號之底定尺而取其正方號之底作線于甲形内(如此)(則甲形已變為正方下同)書其數曰十次以乙邊為五邊號之底如前取其平方底向平方線求之得二十一半(其法以甲)(邉為平方十㸃之底定尺而以乙所變方邊進退求等度之弦命之)即于乙形作方底線書之次以丙圓徑為平圓號之底如前求得十六弱併三數得四十七半弱為總積(此因三形之邉)(無數姑以小形命十數定尺而所得各方積並小形十數之比例)若三形内先知一形之面積即用其所變方邉定尺則所得皆真數如上三形但知丙形之積十六(或十六尺或十六寸)(等)如法以丙形邉變方邊于平方線十六㸃為底定尺餘如上法求之亦必得甲為十數乙為二十一半總積四十七半但前條所得是比例之數比例雖同而尺有大小故以此所得為真數也末以總數于原定尺上尋平方線四十七㸃半處取其底度為平方邉則此大平方形與三形面積等若欲以總積為五邉形則以所得大平方邉為更面線正方號之底定尺而于五邉形之號取其底即所求五邊形之一邉(若欲作三角或圓形並同一法)用法三 有平面形欲變為他形如上法以本形邉為本號之底定尺而取所求他形號之底假如有三角形欲改平圓則以所設三角形之邉加于本尺三角形之號為底定尺而取平圓號之底求其數命為平圓徑所作平圓必與所設三角形同積用法四 有兩平面形不同類欲定其相較之比例如前法各以所設形變為平方假如有六邉形有圓形相較即如法各變為平方求其數平圓數二十六邉數三十六即平員為六邉形三十六之二十以二十減三十六得十六為兩形之較第四立方線(舊名分體線無凡平方形如棊局其四邉横直相等而 高與厚之數立方則如方)(櫃有横有直又有髙而皆相等平方之積曰平積亦曰面積亦曰冪積如棊局中之細分方罫立方之積)(曰體積亦曰立積並如骰子之積累成方)(舊圖誤以尺樞心甲書于一㸃上今改正甲乙一亦即一十則其内細數亦不平分舊圖作十平分亦誤)(今删去)分法有二一以算一以量以算分 從尺心甲任定一㸃為乙則甲乙之度當十分邉之積為一千(十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其積必千寸)紀其號曰一次加一倍為立積二千開立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一為甲丙紀其號曰二再加一倍立積三千開立方得數紀三以上並同㨗法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍體邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍體邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍體邉再加如圖(右加法與開立方數所差不逺然尾數不清難為定率姑存其意)又㨗法用立方表以量分 如後圖作四率連比例而求其第二盖元體之邉與倍體之邉為三加之比例也(假如邉為一倍之則二若)(求平方面則復倍之為四是再加之比例也今求立方體必再倍之為八故曰三加 三加者即四率)(連比例也)幾何法曰第二線上之體與第一線上之體若四率連比例之第四與第一(第一為元邉線第二為加倍之邉線第三以邉線自乗為)(加倍線上之面第四以邉線再自乗為加倍線上之體今開立方是以體積求邉線即是以第四率求第)(二率也)假如有立方體積又有加倍之積法以兩積變為線(元積如辛庚倍積如辛巳)作壬巳辛庚長方形次于壬巳壬庚兩各引長之以形心(戊)為心作圈分截引長線于子于午作子午直線切辛角(如不切辛角必漸試之令正相切乃止)即辛庚(一率)午庚(二率)子巳(三率)己辛(四率)為四率連比例末用第二率午庚為倍積之一邊其體倍大于元積若辛巳為辛庚之三倍四倍則午庚邉上體積亦大于元積三倍四倍(以上倣此)解四率連比例之理試于辛㸃作卯辛為子午之垂線次用子壬度從午作卯午直線截卯辛線于卯又從卯作直線至子又從辛㸃引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成各句股形皆相似而比例等(卯辛午句股形從辛正角作垂線至丑分為兩句股形則形相似而比例)(等為午丑辛形以午丑為句丑辛為股辛丑卯形以丑辛為句丑卯為股)(則午丑與丑辛若丑辛與丑卯為連比例也 卯辛子句股形從辛正角)(作垂線至辰分兩句股形亦形相似而比例等 卯辰辛形卯辰為句辰)(辛為股辛辰子形辰辛為句辰子為股則卯辰與辰辛若辰辛與辰子)(亦連比例也而辰辛即丑卯故合之成四率連比例)一率 辛庚 即午丑二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯四率 己辛 即辰子試法 元體邊倍之即八倍體積之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍體積之邉五之即一百二十五倍體積之邉又取二倍邉倍之得十六(八其二也)再倍之得一二八倍體積之邉(六十四其二也)三加比例表(平方立方同理即連比例)第一率 第二率 第三率 第四率按第一率為元數第二率為線即根數也第三率為面平方冪積也第四率為體立方積也開平方開立方並以積求根故所用者皆二率也(比例規觧乃云本線上量體任)(用其邉其根其面其對角線其軸皆可其説殊不可曉今删去)用法一 有立積求其根(即開立方)假如有立方積四萬法先求其與一千之比例則四萬與一千若四十與一即取十數為分體線上一㸃之底定尺而取四十㸃之底得三十四强即立方之根(説見平方)用法二 有兩數求其雙中率(謂有連比例之第一與第四而求其第二第三)法以小數為一率用作本線一㸃之底而取大數之底為二率既有二率可求三率假如有兩數為三與二十四欲求其雙中率法約兩數之比例為一與八即以小數三為本線一㸃之底定尺而于八㸃取底得六為第二率末以二率四率依法求中率得十二為三率一率三 二率六 三率十二 四率二十四用法三 設一體求作同類之體大于設體為幾倍(此乗)(體之法)假如設立方體八千其邉二十求作加八倍之體為六萬四千問邉若干法以設體根二十為本線一㸃之底定尺而取八㸃之底得四十即大體邉如所求用法四 有同類之體欲併為一法累計其積而併之為總積求其根即得假如有三立方體甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一併得四十一即以甲容一十為本線一㸃之底定尺而取四十一㸃之底為總體邉如所求 若設體無積數則以小體命為一十而求其比例然後併之用法五 有兩同類之體求其比例與其較(此分體之法)假如甲丙兩立方體欲求其較而不知容積之數法以甲小體邉為一㸃之底定尺而以丙邉為底進退求其等數如所得為九即其比例為九與一以一減九其較八即于八㸃取底為較形之邉用法六 有立方體欲别作一體為其幾分之幾假如有立方體欲另作一體為其八之五則以設體邉為本線八㸃之底定尺而于五㸃取底為邉作立方體即其容為設體八之五第五更體線(舊名變體線)體之有法者曰立方曰立圓曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六種外此皆不能為有法之體六等面體各面皆正方即立方也有十二棱八角測量全義曰設邊一百求其容為一○○○○○○渾圓體亦曰球體即立圓也幾何補編曰同徑之立方積與立圓積若六○○○○○○與三一四一五九二設徑一百求其容為五二三五九八此三角平面形相合而成有六稜四角測量全義曰設邊一百求其容為一一七四七二半此體各面亦皆三等邊形有十二稜六角測量全義曰設邊一百求其容為四七一四二五有竒此體各面皆五等邊有三十稜二十角測量全義曰設邊一百求其容為七六八六三八九此體各面亦皆三等邊有三十稜十二角按幾何補編二十等面體設邊一百其積二百一十八萬一八二八測量全義作邊一百容五二三八○九相差四倍故今不用分法置公積百萬依算法開各類之根則立方六等面體之根為一百四等面體之根為二○四八等面體之根為一二八半十二等面體之根為五○半强二十等面體之根為七七圓球之徑為一二四(原本十二等面根五)(○二十等面根七六圓徑一二六今並依幾何補編改定) 因諸體中獨四等面體之根最大故本線用二○四平分之從心數各類之根至本數加字用法一 有各類之立體以積求根(即開各類有法體之方)法皆以設積于立方線求其根乃移置更體線求本號之根即得假如有十二等面體其積八千問邉若干法以一千之根十為立方一㸃之底定尺而取八㸃之底得二十為所變立方之根次以二十為本線上立方號之底而取十二等面號之底得一十○强即十二等面之一邉(他倣此)用法二 有各類之立體以根求積 法先以所設根變為正方根乃于立方線求其積假如有二十等面體其邉三十一弱問積法以根三十一弱為本線二十等面號之底定尺而取立方號之底得四十弱為所變立方之邉次于立方線以一十為一㸃之底而以四十進退求等數得(十六)㸃命其積(一萬六千)如所求(邉一十其積一千則邉四十積一萬六千)用法三 有不同類之體欲相併為一(此以體相加之法並變為正方)(體積即可相併)假如有三立體甲渾圓體(徑一百二十四)乙二十等面體(邉七)(十七)丙十二等面體(邉五十○半)欲相併用前條法各以積變為立方積則三體之積皆一百萬併之得三百萬如所求用法四 有不同類之兩體求其比例與其較(此以體相减之)(法)法各變為立方體即可相較以得其比例並同更面線法第六分圓線(即各弧度之通弦也舊名分弦線亦曰分圈)分法有二一以量一以算以量分 法作半方形如甲乙丙令甲丙斜弦與本線等長以乙方角為心甲為界作象限弧如甲丁丙乃勻分之為九十度各識之次從甲㸃作直線至各度移入尺上識其號 若尺小可作六十度即本線之長為六十度號 若尺大可作一百八十度即本線之半為六十度號以算分 法用正弦表倍之為倍度之通弦 假如求六十度通弦即以三十度之正弦(五○○○○)倍之得(一○)(○○○○)即六十度之通弦他皆若是試法十八為半周十之一(即全圈二十之一也)三十六為半周五之一(即全圈十之一)四十五為半周四之一(即全圈八之)七十二為半周五之二(即全圈五之一)九十為半周之半(即全圈四之一謂之)(象限)百二十度為半周三之二(即全圈三之一)用法一 有圓徑求若干度之弧以半徑當六十度取之假如有甲乙丙全圈有甲丙徑求五十度之弧即以甲丙徑半之于丁以甲丁半徑為本線六十度之底定尺而取五十度之底如甲乙直線以切圓分即得甲戊乙弧為五十度如所求用法二 若以弧問徑則反之如先有弧分如甲戊乙為五十度而問全徑法從弧兩端聫之作直線如(甲乙)用為本線五十度之底定尺而取六十度之底為半徑(甲丁)倍之得全徑(甲丙)用法三 直線三角形求量角度法以角為心任用規截角旁兩線作通弦如法得角度假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲為心作虚圈截甲丙線于丁截甲乙線于戊次作丁戊直線次即用甲丁原度以乙為心如法截甲乙于辛截丙乙于庚作辛庚直線末以甲丁為六十度之底定尺乃用丁戊為底進退求其等度之號得甲角之度用辛庚為底亦得乙角之度合兩角減半周得丙角度如甲角六十五乙角四十則丙角必七十五用法四 平面等邉形求其徑假如有五等邉平面形欲求徑作圖(即對角輳心直線)法以設邉為分圓線七十二度之底而取其六十度之底為半徑以作平圓末以原設邊為度分其周為五平分即成五等面如所求(他等邉形並同)五等邉形有一邉如丙乙如法求得乙甲半徑以甲為心乙為界作平圓而以丙乙邉度分其圓得丁戊己等㸃作線聫之即成五等邉形而所作圓即外切之圓第七正弦線(舊名節氣線以其造平儀時有分節氣之用也然正弦在三角法中為用甚多不止)(一事不如直言正弦以免掛漏)正弦線不平分亦近樞心大而漸小與分圓同分法 全尺為一百平分尺大可作一千于正弦表取數從樞心至各度分之每十度加號簡法 第一平分線可當此線其線兩傍一書平分號一書正弦號又法 分圓線可當此線以分圓線兩度當正弦一度紀其號假如分圓六十度齘即紀正弦三十但分圓之號直書則正弦横書以别之解曰凡正弦皆倍度分圓之半故其比例等然則分圓之一度即正弦之半度而半度亦可取用為尤便也如圖甲乙為通弦甲丙乙丙皆正弦用法一 有設弧求其正弦法以九十度當半徑假如有七十五度之弧求正弦即以本圈半徑為正弦線九十度之底定尺而取七十五之底為正弦如所求用法二 有弧度之正弦數求徑數則以前條反用之假如有七十五度之正弦數即用為本線七十五度之底定尺而取其九十度之底得半徑數用法三 句股形有角度有弦求句求股法以弦當半徑正弦當句與股假如句股形之弦二丈有對句之角三十度即取平分線之二十當弦數為正弦線九十度之底而取三十度之底得一十即其句一丈又於其角之餘弦(即六十度正弦)取底得(一十七又三之二弱)即其股為(一丈七尺三寸二分)若以句求弦則反之如句一丈其句與弦所作之角為六十度其餘角三十度即取一十數為三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其弦二丈用法四 三角形以邉求角 假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉數為丙角正弦之底定尺而以甲丙邉為底進退求其等度取正弦線上號為乙角度如所求用法五 三角形以角求邉假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉為戊角正弦之底定尺而取己角正弦之底得數即為庚戊邉如所求 餘詳三角法舉要用法六 作平儀求太陽二至日離赤道緯度如圖以十字分大圓直者為两極横者為赤道横直交於圓心即地心也赤道即春秋分日行之道也地心至兩極半徑為正弦線九十度之底定尺取二十三度半之底于地心上下各作㸃于直線于此㸃作横線與赤道平行為二至日道近北極者夏至近南極者冬至也又求作各節氣日道法先求黄道線法于夏至之一端作斜線過地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半徑為九十度之底定尺每十五度正弦取底移至黄道半徑上(並從地心起度)於地心上下各識之即各節氣日躔黄道上度也(或三)(十度取底則所得皆中氣)乃自黄道上各㸃作直線並與赤道平行即各節氣日行之道此與分至日道皆東升西没一日一周者也其各線兩端抵大圓處即各節氣赤道緯度也春分以後在赤道北秋分以後在赤道南試法于二至日道兩端作横線聫之(如甲乙)次以此横線之半為度(如丙乙)過赤道處(如丙)為心作半圈于大圓之上(如乙戊甲半圓)亦如法作半圈于下兩半圈各匀分十二分作識(若但求中氣可分六分)上下相向作直線聫之即必與先所作日行道合為一線 又以甲丙為正弦九十度之底定尺而于其各正弦取底亦即與原定日道緯度線合(如丙辛三十度之正弦也與赤道旁第一緯線合丙丁六十度之正弦也與第)(二緯線合左右上下考之並同)用法七 定時刻(仍用平儀)法以平儀上赤道半徑為正弦線九十度之底定尺而於各時刻距卯酉之度取其正弦于赤道作識(過兩)(極軸線處即夘正酉正也距此而上三十度午前為辰正午後為申正距此而下三十度子前為戌正子)(後為寅正距此而上六十度午前為巳正午後為未正距此而下六十度子前為亥正子後為丑正至圓)(周處上為午正下為子正)即春秋分之時刻也欲作各時初正及刻凖此求之並以正弦為用(每時分初正各加距十五度初正又各分四刻)(每刻加距三度又四分之三並取正弦如前法)又以二至日道之半徑為正弦九十度之底定尺如法取各正弦作識即二至之時刻也 末以分至線上時刻作弧線聫之即得各節氣之時刻凖此論之平儀作時刻亦用正弦比例規觧以正弦名節氣線切線名時刻線區而别之非是第八切線(舊名時刻線今按平儀時刻原用正弦惟以日景取髙度定時刻斯用切線耳又如渾盖)(通憲等法亦皆切線其用甚多故不如直名切線)切線不平分先小漸大至九十度竟平行無界故只用八十度或只作六十度亦可分法 簡切線本表八十度之切線五六七即于尺上作五六七平分次簡各度數分之逢十加識用法一 三角形求角假如乙甲丁三角形求乙角任截角旁線于丙得乙丙十寸自丙作垂線戊丙量得七寸次用十數為切線四十五度之底定尺而以戊丙七數為底進退求等度得三十五度為乙角用法二 求太陽地平上髙度(用直表)法曰凡地平上直立之物皆可當表以表高數為切線四十五度之底定尺而取表影數為底進退求等度得日髙度之餘切線假如表髙一丈影長一丈五尺法以丈尺變為數用一十數當表髙為切線四十五度之底定尺次以一十五數當影長為底進退求等度得五十六度十九分為日髙之餘度以減九十度得日髙三十三度四十一分癸丙地平上日高度與壬辛等其餘度癸丁為日距天頂與戊辛等甲戊為表長其影戊已乃日距天頂之切線在日高癸丙為餘切線也用法三 求太陽髙度用横表植横木于牆以候日影即得倒影為正切線之度假如横表長一尺倒影在墻壁者長一尺五寸法用十數當横表為四十五度之底定尺次以十五數當影長進退求等度得五十六度十九分即命為日高之度凡亭臺之内日影可到者量其簷際之深可當横表卯寅牆 子甲為横表太陽光從丁過表端甲射丑成子丑倒影丁丙為日在地平上髙度與午子度等故以子丑倒影為日髙度之正切線也按直表之影低度則影長髙度則漸短日度益髙則影極短故以餘切線當直影(前圖是也)横表之影低度則影短髙度則漸長日度益髙則影極長故以正切線當倒影(後圖是也)比例規觧乃俱倒説今正之用法四 求北極出地度分 假如江寧府立夏後九日午正立表一丈測得影長為二尺四寸法以一百數當表髙為切線四十五度之底定尺而以二十四數為底進退求等數得一十三度半如法以減九十度得七十六度半為日出地平上髙度簡黄赤距度表是日太陽北緯一十九度以減日髙度得赤道髙五十七度半轉減九十度得北極髙三十二度半㨗法以直表所得一十三度半加太陽北緯十九度即得三十二度半為北極髙度解曰直表所得太陽距天頂度也加北緯即赤道距天頂度亦即北極出地度又如順天府立春後四日如法用横表三尺得倒影二尺一寸依切線法求得日髙三十五度簡表得本日太陽南緯一十五度以加日髙度得赤道髙五十度以減九十度得北極髙四十度第九割線(舊名表心線今按割線非表心又割線之用甚多非只作日晷一事故直名割線為)(是)割線不平分先小後大並與切線略同故亦只作八十度或只作六十度亦可分法 用割線本表八十度之割線五七五平分之其初㸃與切線四十五度等次依表作度加識用法一 三角形以割線求角假如有甲乙丙三角形求甲角法任于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂線如戊丁截又一邉于丁得丁甲十九寸次以十數為割線初㸃之底定尺而以十九數為底進退求等數得五十八度一十七分為甲角之度用法二 作平面日晷(兼用割切二線)法曰先作子午直線卯酉横線十字相交于甲以甲為正午時從甲左右儘横線盡處為度于切線八十二度半為底定尺次于本線七度半取底向卯酉横線上識之自甲㸃起為第一時如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作識為各時分(如七度半加之成十五度即第二時)(又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八)(八十二度半合線末元定之㸃)若逓加三度四十五分而取底作識即每時四刻全矣(按每七度半加)(㸃乃二刻也今每三度四十五分則一刻加㸃)訂定法曰横線上定時刻訖次取甲交㸃左右各十二刻之度(即元定四十五度之切線亦即)(半徑全數)為割線上北極髙度之底定尺而取割線初㸃之底為表長(如壬庚) 次以表長當半徑為切線四十五之底定尺而檢北極髙度之正切取底自甲㸃向南截之如甲壬以壬為表位又于北極髙度之餘切線取底自表位壬向南截之如壬辛以辛為晷心 末自晷心辛向横線上原定時刻作斜直線引長之得時刻 時刻在子午線西者乙為午初丁為巳正癸為巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午線東者丙為未初戊為未正巳為申初又加之即申正又加之即酉初並逓加四刻謹按卯酉線即赤道線也二分之日日躔赤道日影終日行其上庚甲割線正對赤道正午時日影從庚射甲成庚甲影弦若已末午初則庚㸃之影不射甲而射乙而庚甲影弦如半徑乙甲如切線矣以庚甲為切線上半徑而遞取各七度半之切線以定左右各時刻之㸃並日影從庚所射也然此時庚甲之度無所取故即用赤道線四十五度之切線代之用切線實用庚甲也(庚甲既為切線之半)(徑則必與四十五度之切線同長)以四十五度當半徑而取切線以定時刻此天下所同也然赤道髙度隨各方北極之髙而變庚甲割線何以能常指赤道則必于表之長短及表位之逺近别之故以庚甲當北極髙度之割線而取其初㸃為表長初㸃者半徑也本宜以半徑求割線今先有割線故轉以割線求半徑也既以庚壬表長為半徑庚甲為割線則自有壬甲切線而表位亦定矣表位既定則庚甲影弦能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既為極髙度則庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北極度髙則庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北極度低則赤道髙甲角大而庚壬表長壬甲之距近比例規觧乃以表位定于甲㸃失其理矣遂復誤以割線為表長餘割線為晷心而强以割線名為表心線名實盡乖貽誤來學此皆習其業者原未深諳强為作觧而即有毫釐千里之差立法者之精意亡矣故特為闡明之庚壬表上指天頂下指地心為半徑壬表位壬甲為正切線辛晷心辛壬為餘切線甲角即赤道髙度壬庚甲角即北極髙度與辛角等用法三 先有表求作日晷(借用前圖可解)法先作子午直線任于線中定一㸃為表位如壬乃以表長數壬庚為切線四十五度之底定尺而取本方北極出地度之底得壬甲正切度于表位北作㸃(如甲)次於甲㸃作卯酉横線與子午線十字相交即赤道線春秋分日影所到也又取極髙餘度之底得壬辛餘切線于表位南作㸃(如辛)即晷心也若自表端庚作直線至晷心辛即為兩極軸線辛指南極庚指北極也次以表長(庚壬)與壬甲正切相連作正方角則庚壬如句壬甲如股而取其弦線庚甲即極出地正割線也次以庚甲為切線四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲㸃左右作識于卯酉横線上末自晷心辛作線向所識㸃即得午前後時刻並如前法用法四 有立面向正南作日晷並同平面法但以北極髙度之餘切線定表位以正切線定晷心則自晷心作線至表端能上指北極為兩極軸線又立晷書時刻並逆旋與平面反然以立晷正立于北與平晷相連成垂線則其時刻一一相符用法五 用横表作向東向西日晷假如立面向正東法于近南作直線上指天頂下指地心近上作横線與地平相應兩線相交于甲以甲為心于兩線間作象限弧自下起數至本方北極出地度止自此向甲心作斜直線以分弧度此線即為赤道次以甲為表位用横表乙甲之長取數為切線四十五度之底定尺遞取十五度切線從心向赤道線累加之作識定時即春秋分日影所到也(若分二刻則逓取七度半)(細分每刻則逓取三度四十五分)次于甲心作横斜線如丁戊為赤道之垂線其餘時刻㸃各作線與丁戊平行(亦並與赤道十)(字相交)次于元定尺上(即以表長為四十五度所定)取二十三度半之切線為度于甲左右截之為界(如丁甲如戊甲)即二至卯正時日影所到也(二分日卯正則乙甲表正對日光無影分前後則有緯度而影)(亦漸生日日不同然不離丁戊線至二至而極冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此為界向西酉正)(時亦然)仍用元尺取(每十五度之黄赤距緯)切線作于丁戊線内從甲㸃左右作識得各節氣卯正日影(或取三十度切線則所得)(每月中氣酉正亦然)次以乙甲表長為割線初㸃之底定尺而取十五度之割線為二分日在辰初刻之影弦如乙辛即天元赤道上日離午線十五度其光過乙至辛所成也就以乙辛割線為切線四十五度之底而取二十三度半之底自辛㸃左右截横線並如辛壬為冬夏至辰初刻日影所到之界(辛壬在南為夏至其在北為冬至亦)(然)又逓取(每三十度之黄赤距緯)切線從辛至壬作㸃為各中氣界(此向南日影界乃赤道北半周節氣其辛㸃向北作界為南半周亦然)自此而辰正而巳初而巳正以至午初並同乃于節氣界作線聫之即成正東日晷其面正西立晷作法並同但其時刻逆書自下而上最下為未初次未正次申初次申正次酉初而至酉正則横表正對日光而無影矣此亦二分日酉正也其餘節氣亦有短影而不出本線與卯正同新增時刻線(以切線分時刻本亦非誤但切線無半度取度難清今另作一線得數既易時刻尤)(真)分法 依尺長短作直線(如後圖乙丙)於線端作横垂線(如乙)(甲為乙丙垂線)又作直線略短與設線平行交横線如十字(如甲巳線交横線于甲)以甲為心作象限弧六平分之為時限各一分内四平之為刻限次于甲心出直線過各時限至直線成六時過各刻限者成刻乃作識紀之(並如)(後圖)尺短移直線近甲心取之(移進線並與原直線平行以遇第六時第二刻為度)(如已戊虚線遇丁戊線于戊即戊為第六時之二刻)用法 凡作日晷並以所設半徑置第三時為底定尺而取各時刻之底移于赤道線上午前午後並起午正左右為第一時依次加識即各得午正前後時刻(並如前法)第十五金線(即輕重之學)物有輕重以此權之獨言五金者以其有定質也五金之性情有與七政相類者因以為識金(太陽)水銀(水星)鉛(土星)銀(太隂)銅(太白)鐵(火星)錫(木星)分法 用各分率及立方線比例率 (先取諸色金造成立方體其大小一般無二乃權其輕重以為比例)黄金一水銀一又七十五分之三十八(儀象志作九十五分之三十八)鉛一又二十三分之一十五銀一又三十一分之二十六銅二又九分之一鐵二又八分之三錫二又三十七分之二十一(比例規觧原作三十七分之一則錫率反小于銅鐵)(而輕重之序乖今依儀象志)金體最重故以為凖自尺心向外任定一度為金之根率自此依各率増之並以金度為立方線上十分之底定尺次依各率為底進退求等數取以為各色五金之根率自心向金率㸃外作識解曰此同重異積之率也于立方線上求得方根作識于尺則同重異根之率也金體重則其積最少(謂立)(方體積)各色之金(謂銀鉛等)體並輕于金故必體積多而後能與之同重然立積雖有多少非開方不得其根之大小故必于立方線求之也又解曰先以同大之立方權之得各率者同根異重之率也而即列之為同重異根之率何也盖以根求重則金最重而他色輕以重求根則金最小而他色大其事相反然其比例則皆等假如金與銅之比例為一與二强若體同大則金倍重于銅矣若其重同者則銅之體必倍大于金其理一也又法 用立方根比例率黄金一六六弱水銀一九一弱鉛二○二銀二○四銅二一三鐵二二二錫二二八用法一 有某色金之立方體求作他色金之立方體與之同重(或立圓及各種等面體並同)假如有金球之徑又有其重今作銀球與之等重求徑若干法以金球徑數置本線太陽號為底定尺而取太隂號之底數作銀球之徑即其重與金球等用法二 若同類之體其根同大求其重假如有金銀兩印章體俱正方而其大等既知銀重而求金重法以銀圖章之根數置太隂號為底定尺而取太陽號底數次于分體線上以銀章重數為兩弦太陽號底定尺而轉以太隂底數(即銀章根數)進退求等弦得數即金章之重輕重比例三線法(附)重學為西法一種其起重運重諸法以人巧補天工實宇宙有用之學五金輕重又重學中一種盖他物難為定率可定者獨五金耳然比例規觧雖載其術而數多牴牾未可全據愚參以靈臺儀象志其義始確因廣之為三線曰重比例曰重之容比例曰重之根比例既列之矩算復為之表若論以發其凡康熙壬戌長夏勿葊梅文鼎謹述重比例(異色之物) (體積同輕重異)解曰重比例者同積也積同而求其重則重者數多輕者數少若反其率則為容積比例矣用法 假如有金一件不知重法以水盛器中令滿權其重乃入金其中則水溢溢定出金乃復權之則水之重必減于原數矣乃以所减之重變為線于比例尺置于水㸃為底乃于金㸃取大底即金重也 又如有玉刻辟邪今欲作銅者與之同大問用銅幾何法如前以玉器入水取水減重之數置水㸃為底取銅㸃大底即得所求(若作諸器用蠟為模亦同或以蠟輕難入水者竟以蠟重于蠟)(㸃為底而取銅㸃大底更妙也)重之容比例(輕重同則容積異亦謂異色之物)解曰容比例者同重也同重而求其積則重者積數少輕者積數多反其率亦即為輕重之比例矣又觧曰容積比例以立方求其根則為根比例矣故輕重當為三線也用法 假如有水若干重盛器中滿十分有澒與水同重盛此器中問幾何滿法以水滿十分之數作水㸃之底而取澒㸃小底則知澒在器中得幾分用法二 有同重之兩色物欲知其立方根法以容比例求其同重之積再于分體線求其根用法三 有金或銅錫等不知重法如前入水求得水溢所減之重變為線乃以水重置金㸃為底(若銅錫亦置銅)(錫㸃)于水㸃取大底(此借容比例求重故反用其率)若用蠟模鑄銅器亦以蠟重置銅㸃為底(而于蠟㸃取大底即得合用銅斤)觧曰有二法三法則只須容比例一線足矣盖反用之可以求重既得容可以求根(用三線者取其便用一線者取其簡可任意為)(之也)又容比例(附)又客比例解曰容比例有三率也其實一率而已第一率以水為主取其便用也第二率以金為主取其便擕也第三率平列乃立方之積數也其作線於尺則皆一率而已矣此外仍有通分之法亦愚所演然其理皆具原表中故仍載表而附之故後輕重原表右表靈臺儀象志所引重學一則也其法同重者以直推見容積同積者以横推見重重比例容比例皆在其中矣既得容可以求根則根之比例亦在其中矣比例規觧五金線盖原于此原書金與蠟之比例訛卄一為廾九今改定通分法(亦容比例之率)分母澒九五鉛廾三乗得二一八五銀卅一又乗得六七七三五銅○九又乗得六○九六一五鐵○八又乘得四八七六九二○錫卅七又乗得一八○四四六○四○為金率以澒分母九十五除金率得一八九九四三二以乗分子卅八得七二一七八四一六加金率得二五二六二四四五六為澒率以鉛母卄三除金率得七八四五四八○以乗子十五得一一七六八二二○○加金率得二九八一二八二四○為鉛率以銀母卅一除金率得五八二○八四○以乗子廾六得一五一三四一八四○加金率得三三一七八七八八○為銀率以銅母九除金率得二○○四九五六○以乗子一得如原數加金率二得三八○九四一六四○為銅率以鐵母八除金率得二二五五五七五五以乘子三得六七六六七二六五加金率二得四二八五五九三四五為鐵率以錫母卅七除金率得四八七六九二○以乗子廾一得一○二四一五三二○加金率二得四六三三○七四○○為錫率按自古厯算諸家于尾數不能盡者多不入算故曰半已上収為秒巳下棄之其有不欲棄者則以大半少强弱収之假如一百分則成一整數(九十為一弱一十為一强)百二十五為少即四分之一也(若二十為少弱三十為少强)五十為半(四十為半弱六)(十為半强)七十五為太即四分之三也(七十為太弱八十為太强)重之根比例(異色同重之立方)附求重心法乙甲癸子形求重心先作乙甲線分為(乙子甲乙癸甲)兩三角形次用三角形求心術求(乙子甲乙)(癸甲)之形心在(丙丁)作丙丁線聫之又作子癸線分為(癸乙子癸甲子)兩三角形求(癸乙子癸甲子)形之心在(庚辛)作庚辛線聫之 此二線相交於壬則壬為本形心即重心也 試作乙巳正角線至子癸線上又作甲戊線至子癸線上此兩線之比例即兩形大小之比例也(法為癸乙子形與癸甲子形之比例若乙巳與甲戊也)以此比例於庚辛兩心距線上求得壬㸃為全形之重心(法為乙巳線與甲戊若辛壬與庚壬)如圖子巳與癸戊之比例若丁壬與丙壬也餘並同前圖一率 子巳與癸戊二線并二率 子巳三率 丁丙四率 丁壬歴算全書卷三十九
## 自叙
方程論自叙
方程于數九之一也何獨于方程乎論曰方程猶句股也數學之極致故二以殿乎九今之為數學往往覃思勾股而略方程不寧惟略抑多沿誤佹于闕矣數九而闕其一可以無論乎議者謂勾股測量用以知道里之修城邑之廣山之髙水之深天地日月之行度若方程筭術多取近用米鹽凌雜非其精且大是不然精觕小大人則分之而自一至九之數無分也且數何兆歟當其未始有物之初混沌鴻濛杳㝠恍惚無始無終無聲無形無理可名無數可紀乃數之根也是謂真一真一者無一也一且非一而况其分及其自無之有無一而忽然有一有一則有萬萬者一之萬也萬各其一一各其萬即萬即一環應無端又孰從而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齊觀理實同源數亦㝠㑹苟未達此而侈言髙逺遺乎目睫將日用之酬酢有外乎理數以自立者哉而二之也古者數學大司徒以備鄉之三物教萬民而賔興之其屬保氏掌之以教國子具曰九數未嘗右勾股于方程也雖然古之人以其進乎數者治數故用之簡易而言之約今欲于古學既湮之日出獨是以信衆疑使方程之沿誤皆正而九數闕而復全則意取共明固不敢謬託簡古以自文其疎愚之論乃不覺其複矣凡六卷論成于壬子之冬寫而成帙則甲寅之夏勿菴梅文鼎自識
## 餘論
餘論
數學有九要之則二支一者筭術一者量法量法者長短逺近以求其距西法謂之測線方圓弧矢冪積周徑以相求西法謂之測面立方渾圓堆垜之形以求容積西法之測體在古九章則為方田為少廣為商功為句股筭術者消息盈虚乘除進退以差多寡騐往以測來西法謂之比例通分子母整齊畫一不盡者以法命之西法謂之畸零若夫隠雜重複參錯難稽即顯騐幽探賾窮深無例可比故西法别立借衰互徴以為用亦比例也在古九章則為粟布為衰分為均輸為盈朒為方程此二者相需不可偏廢雖然筭術可以濟量法之窮而量法不可以盡筭術之變何也可量者其可見也天下之不可見者多矣非筭術何以御之故量法有窮而筭術不窮也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭術佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯謂九章出于句股葢以此也然吾觀方程正負同異減併之用非句股所能御而能生比例愚故以筭術必不可廢也言數學者亦有二家一古法一泰西泰西之説詳明曉暢古人之法徑捷簡易可互明也然古書僅存筭術而略于測量泰西詳于測量而或遺在筭術吾觀泰西家言矩度三角八線割圓幾何原本備矣謂其善用句股能有新意出于古率之外未為過也若所譯同文筭指者大約用三率以變古法至于盈朒方程則其術不復可行于是取古人之法以傳之非利氏之所傳也算術之妙莫盈朒方程若而泰西皆無之是九章闕其二也尚謂之賢于古法乎且泰西家欲以其説易天下故必宛轉箋疏以達其意以取信于學者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自謂超妙可廢古法矣而終不能廢盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不過取古人之僅存者具數而已不能别立術以代之也諸書之謬誤皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可見矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之詳者别有専書而人不能習不傳于世耳學士大夫既苦其難竟又無與進取弋獲之利遂一切棄置不道淺獵焉者率得少以自多無所發明遂使古人之精意若存若亡不復可見今諸書所載方程法殘缺錯亂視盈朒尤甚其所僅存又多為後之不得其説者參以臆解而其㫖益晦非古人舊也使古之方程僅僅如此何必别立一章列于盈朒之後乎然以好變古率如泰西而不能變方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能盡其用不能正其沿誤可見古人立法之深逺而决不可易向使習古法者盡見古人之書又能如泰西家羣萃州處窮年累月研精覃思以為之引伸而推廣又豈止如斯而已乎言之三歎
## 方程論發凡
方程論發凡一方程立法之始按周禮九數一曰方田以御田疇界域一曰粟米(一作)(粟布)以御交質變易一曰差分(一名衰分)以御貴賤廩稅一曰少廣以御羃積方程一曰商功以御功程積實一曰均輸以御逺近勞費一曰盈朒(一云贏不足)以御隠襍互見一曰方程以御錯糅正負一曰句股(一云旁要)以御髙深廣逺是則方程者九數之一乃九章中之第八章也通雅以九數為周公之法盖自隸首作筭數以來有九章即有方程淵源逺矣一方程命名之義方者比方也程者法程也程課也數有難知者据現在之數以比方而程課者則不可知而可知即互乗減併之用一方程殘缺之故按七十子身通六藝則九數在其中自漢以後史稱卓茂劉歆馬融鄭𤣥何休張衡皆明筭術唐宋取士有明筭科六典筭學十經博士弟子五年而學成宋大儒若邵康節司馬文正朱文公蔡西山元則許文正王文肅莫不精筭然則筭學之疎乃近代耳夫數學一也分之則有度有數度者量法數者筭術是兩者皆由淺入深是故量法最淺者方田稍進為少廣為商功而極于句股筭術最淺者粟布稍進為衰分為均輸為盈朒而極于方程(詳見末卷方程能御襍法)方程于筭術猶句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭學無闗進取皆視為賈人胥史之事而不屑從事又其用近小但于方田粟布取之亦無不足故近代諸刻多不具九章其列九章者不過寥寥備數學者雖欲推明古法孰從而求之此方程殘缺之由也一方程謬誤之故方程句股皆不為近用所需然句股測望自昔恒有専書近者西學驟興其言句股尤備故九章所載雖簡而不至大謬至若方程别無専書可證所存諸例又為俗本所亂妄増歌訣立為膠固之法印定後賢耳目而方程不復可用竟如贅疣周官九數幾缺其一愚不自揆輒以管闚之見反覆推論以明之務求其理衆曉而不疑于用庶不致謬種流傳以亂古法云爾(詳第四卷刋誤)一方程條件與舊不同之故舊傳方程分二色為一法三色為一法四色五色以上為一法頭緒紛然而和較之分疑未清法無畫一所立假如僅可施之本例不可移之他處然如此則為無用之法而方程一章為徒設矣竊以古人立法决不如此今按方程有和有較有兼用和較有和較交變約法四端巳盡方程之用不論二色三色四色五色乃至多色其法盡同正不必每色立法反滋紛擾也然惟如此則有定法而方程為有用且其用甚多竊以古人立法必當如此夫古人往矣愚生千載之下蓬户山居耳目局隘不能盡見古人之書亦何以㫁其然哉夫亦惟是反之心而無疑措之事而可用則此心此理之同庶可共信非敢好為新奇以自炫也天下大矣鄴架藏書豈無足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以證明其説而廣其所未知則所深望巳(詳見第一卷及第四卷刋誤)一方程以論名篇之故算學書有例無論則不知作法根原一再傳而多誤盖由于此本書欲明筭理故論多于例每卷之首皆有總論以為之提網然後舉例以實其説(即假如也)而例中或有疑似之端仍各有説以反覆申明之令覧者徹底澄清無纎毫之凝滯凡為論者十之七而例居其三以論名篇著其實也一方程例有詳略可以互明既欲推明其理則無取夸多故首卷和較襍變四端不過數例意在假此例以發吾論但求大義曉暢更不繁引多例以亂人思其後數卷舉例稍繁然每設一例即明一義務求委曲盡變庶令用者不疑前詳者後必略前略者後乃詳更無重複細觀自見一方程著論校刻縁起鼎性耽苦思書之難讀者恒廢寢食以求之必得其解乃巳有未能通則耿耿胸中雖厯嵗時未敢忘也算數諸書尤性所嗜雖隻字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而後快竊以方程算術古人既特立一章于諸章之後必有精理而中西各書所載皆未能慊然于懐疑之殆將二紀嵗壬子拙荆見背閍户養痾子以燕偶有所問忽觸胸中之意連類旁通若干門之乍啓亟取楮墨次第錄之得書六卷于是二十年之疑渙然冰釋然後知古人立法之精深必非後世所能易書雖殘缺全理具存苟能精思必將我吿管敬仲之言不余欺也論成後冀得古書為徵而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯廣文豫章王若先明府金陵蔡璣先上舍曾鈔副墨而崑山徐揚貢明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲徵君頗加鍳賞厥後吳江潘稼堂太史尤深擊節嵗丁夘薄逰錢塘同里阮于岳鴻臚付貲授梓屬以理裝北上未遂殺青續遇無錫顧景范北直劉繼莊二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南閻百詩寧波萬季野兩徵士于京師並蒙印可又得中州孔林宗學博杜端甫孝亷錢塘袁恵子文學共相質正乃重加繕錄以為定本謬辱安溪李大中丞厚菴先生下詢厯算命之論撰以質同人獲與介弟安卿孝亷晨夕酬對承其謬賞兹編錄副以歸手挍欹劂視余稿本倍覺清明嚮使湖上匆劇雕版反不能如是之精良矣感書成之非偶驚嵗月之易流而良朋好我之殷受益宏多更僕難數爰兹略紀以志不忘
## 數學存古序
數學存古序(附錄)
六藝古聖人用也所以開物成務垂澤將來雖然器久則毁聲傳而失彼其初非不窮神盡變而後稍湮没古聖人無如何也今不盡亡者數學耳數之為物不藉器而存稽實待虚其道如易故禮樂代更而方圓不易書契形名世殊方别而竒偶自如數之不亡不能亡也顧不能亡者數僅存者數之學嘗稽漢藝文志許商算術二十六卷杜忠算術十六卷唐博士肄習具有十經今略不一覩又古人製渾儀往往有書説詳徴其故又凡作厯皆有測驗諸書與厯術並垂如史所載晉姜岌劉宋祖冲之隋劉焯唐李淳風一行宋沈括元郭守敬著撰皆富今其存逸皆不可得攷自漢趙氏周髀一經外無可廣証他緯書占候傅㑹難信然則今九章者果周官舊邪周官之舊既以不可知近世儒者又略之弗講九數之學益以荒蕪於是泰西氏者乃始孤行其測圜三角諸術以矜奇創學其學者至以大衍填寫九執未盡授時陰用回回法子雲康節之書皆為臆説而隸首之術必有所窮嘻其果然邪夫謂西厯能兼古法之長是也而反謂古人陰用乎西法此其説非也不觀之書御乎御用於騎書用於楷楷與騎日以習而古書御亡或者未考輿輪而輒以古御不如今騎未窺籕篆而謂古書不及今楷遂欲駕王武子於造父尊鍾元常於蒼頡過矣愚生晚不及見古人僻處山陬聞見固陋閒嘗於世傳九章者稍稍論列補葺遺缺而昰正其紕繆使讀者曉然知九數之學果不盡於今所傳而其僅存者猶能與泰西氏並行而不得以相廢雖不知於古人萬一有當然天下之大不乏其人尚其共出枕祕以昭明而光大之使古人之緒晦而復顯或由是以發其端歟是愚之所望矣
## 卷四十
欽定四庫全書厯算全書卷四十宣城梅文鼎撰方程論卷一正名名不正則言不順諸本方程皆以二色三色四色等分欵立法而不分和較宜其端緒紛糾而説之滋謬也故先正其名正名有四一和數二較數三和較雜四和較交變和者無正負如只云某物如干某物如干共價如干以問每物各價者是也較者有正負如云以某物如干與某物如干相較多價如干或少價如干或相當適足者是也雜者半有正負半無正負如一行云某物某物各如干共價如干而其一行則又云以某物如干較某物如干差價如干或價相當適足者是也變者或先無正負而變為有正負或先有正負變而無正負三色以往重列減餘兼用兩行者是也總論曰萬筭皆生于和較和較可以御萬算分合之義也萬物之未形一而已矣一且未有况萬乎及其有也有一則有二有二則有三自此以至于無窮而數生焉矣和者諸數之合也較者諸數之分也分則有差故謂之較較與和相求而法立焉矣故一與一和則二也一與二和則三也一與二之較一也一與三之較二也萬算雖多凖此矣故和較者萬算之綱也算之用至于句股方程至矣盡矣窺髙致逺探賾窮幽無所不備然其用不出于和較且以方程言之凡方程列位皆以下位為之端如所列下一位為上中兩位之總價則和也若下一位為上中兩位相差之價則較也較故分正負和故不分正負雖不立正負然必以兩和互乘對減以得其差然後其數可得而知矣故三色以往先無正負者有時而正負立焉故方程之法以和求較而已矣較者易知和者難知和之中有較較之中又有較此萬數之所由生萬法之所由起和數方程例方程用互乘對減與差分章貴賤相和法同但貴賤相和有總物總價又有每物每價不過以帶分之故難用匿價分身而變為換影之術耳方程則有總物總價而無每數又有三色四色以至多色頭緒紛然自非逓減何取之此古人别立一章之意也用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以總價列于下于是以列上者為乘法左右互乘又互遍乘中下得數左右對減其上一色必兩相若而減盡其中一色對減必有相差之數下價對減亦必有相差之數數相差則減不能盡于是取其餘數以為用一為法一為實以法除實而得中一色每價乃以中價乘原列中物得中物總價以中物總價減原列兩色之總價得上物總價以原列上物除之得上一色每價(若更以中一色列于上依法求之亦先得上一色價矣故上中之位可以互更也詳見後)假如有山田三畝塲地六畝共折輸糧實田五畝七分又有山田五畝塲地三畝共折實田五畝五分問田地每畝折實科則各如干畣曰每山田一畝折實田九分每地一畝折實田三分畝之一法各列位上 中 下先以右上田三畝為法遍乗左行得數次以左上田五畝為法遍乗右行得數 上位各得田十五畝對減盡 中位左得地九畝去減右行三十畝餘地二十一畝為法下位左折田得十六畝五分去減右行二十三畝五分餘折田七畝為實 以法除實不滿法約為三之一為地每畝折實田之數(地一畝折田三分三釐三毫不盡即地三畝折田一畝也) 就以右行折實田共四畝七分内除原地六畝折實田二畝餘二畝七分以右上田三畝除之得九分為田每畝折實之數(或以)(左行折田内減左原地三畝該折實田一畝餘四畝五分以左上田五畝除之亦得九分為田每畝折實)(之數)論曰以右上田三畝遍乘左行得數是各三之也為五畝田者三畝三畝地者三則為田地共折實五畝五分者亦三也以左上田五畝遍乘右行得數是各五之也為三畝田者五為六畝地者五則為田地折實共四畝七分者亦五也于以對減而上位田各十五畝減而盡則其數同也惟中位地餘二十一畝在右行則是右行之地多于左行之地二十一畝也而下位折實數亦餘七畝在右行則是右行折實之數亦多于左行折實之數七畝也合而觀之此所餘折實七畝者正是餘地二十一畝之所折也此以田地問折數故以地二十一畝為法折七畝為實也若以折數問原田地則以折七畝為法地二十一畝為實法除實得每折一畝原地三畝于是以右地六畝折二畝減折四畝七分餘二畝七分為法除右田三畝得每折一畝原田一畝又九分畝之一即一分一釐一毫一一不盡也若更置以地列于上則先得田折數如後圖上 中 下先以左上地三畝遍乗右行得數次以右上地六畝遍乗左行得數 上位各得地十八畝對減盡 中位左得田三十畝内減去右得九畝餘二十一畝為法 下位折田左得三十三畝内減去右得十四畝一分餘十八畝九分為實 以法除實得九分為田每畝折實數就以右田三畝折二畝七分減右折實共四畝七分餘二畝以右上地六畝除之不滿法命為三分畝之一為地每畝折實數(或于左行折實五畝五分内減去左田五畝該折四畝五分餘)(一畝以左地三畝除之亦得地折實每畝三之一)論曰以右上地六畝遍乗左行是各六之也為三畝地者六為五畝田者六為地三畝田五畝之折實田共五畝五分者亦六也以左上地三畝遍乗右行是各三之也為地六畝者三為田三畝者三為地六畝田三畝之折實共四畝七分者亦三也以之對減而地在上位者各十八畝既對減而盡則其各十八畝之折實在折實共數中者亦必對減而盡也田在中位者既對減去九畝而僅餘左行之二十一畝則其各九畝之折實在共數中者亦必對減而盡也由是以觀則其所餘之左下折田十八畝九分正是左中餘田二十一畝之所折也故以餘田二十一畝為法而以餘折田十八畝九分為實即田之折數可知知田數知地畝矣若以折問田畝則一十八畝九分折為法二十一畝田為實實如法而一得每折一畝原田一畝又九分之一于是以分母九通右行田三畝得二十七分而以一畝又九分之一共一十分為法除之得二畝七分以減共折四畝七分餘折二畝以除右地六畝得每折一畝原地三畝(以上二色例也三色四色以至多色凡和數者皆同但須重例)(減餘以求之今不悉具于後諸條中詳之)較數方程例凡較數方程分正負之價與盈朒畧同但盈朒章有盈朒又有出率方程則但有總物與盈朒而無每出之率又兼數色所以不同又盈朒者是有每率而不知總所言盈朒適足是總計所出以與原立總價相較之數也方程正負則是兩總物自相較之數若不立正負則下價之與上物不知其孰為同異矣此正負之法異于盈朒也(負與正對所以分别同異盖對數之所餘即正數之所欠故謂之負)(與負責之負畧相似老子言萬物負陰而抱陽盖正即正面負即反面也開方法有負隅言隅之空隙也)(郭太史厯經三差法有負減言反减也本于平差内減去立差今立差反多于平差故于立差内反減平)(差是為負减兼此數端而正負之義可見矣)法曰任以一色為正則以相當之一色為負(此據二色者言之三)(色以上或以一色與多色相當或以多色與多色相當其法皆同二色)正物之價多為正價負物之價多為負價正與負為異名異名相併正與正負與負為同名同名相減首位同名者仍其正負不變(首位同數同名即可減去此正法也)首位異名變其一一以相從(首位亦同數但不同名故變而同之則亦同數)(同名而可減盡矣首位既變則其行内皆從而變此通法也盖必如是則同減異加始歸畫一而于和較)(交變之用尤便也)其法皆于互乗時以得數變之蓋減併只用得數也只變一行其相對之行不必再變二色三色以至多色並同何也三色以上行數雖多而乘併之用皆以各相對之一行論同異即同二色之理論曰和數方程有減無併皆同名故也較數方程有減有併或同名或異名也減併者方程之綱要正負淆則同異之名混而併減皆失矣今諸本所言正負同異誃離舛錯雖加減得數皆偶合耳西人論句股三角八線割圜幾何原本可謂詳矣矣至方程增立諸率亦復草草未窮其故也用法曰以一色列于上以相當之一色列于中任以一色為主而分正負(此亦以二色為例三色以上皆以兩相當者主其一以分正負皆與)(二色法同)以兩色相較之價列于下以正物為主而分同異或正物所多之價命之為正或正物所少之價命之為負(正物之所少即負物之所多)或正物負物之價兩相若命之適足則空位列之亦以列上位者為乘法左右互乘遍乘中下以首位為主而變正負得數對減其上一色必數相若且又同名而減盡中一色與下價或同名或異名異名者併之同名者對減取其減併之數以為用一為法一為實以法除實得中一色每價以原列中物乗之得中物總價以與原列下價同名相減異名相併得數以原列上物除之得上一色每價(其上)(中亦可互求)假如以研七枚換筆三矢研多價四百八十文若以筆九矢換研三枚筆多價一百八十文問筆研價各如干畣曰筆每矢價五十文 研每枚價九十文法各列位上 中 下先以左行研負三遍乗右行得數(首位異名須變一行以相從故研正)(變為負筆負變為正價正變為負皆于得數變之)次以右行研正七遍乗左行得數(右行既變則左行不必再變故研負)(筆正價正皆仍舊)于是以上研各負二十一同名相減盡 次以中筆兩正同名相減餘五十四為法 再以下價左正右負異名相併得二千七百為實 以法除實得五十文為筆價 以左行筆正九乘筆價得四百五十内減同名價一百八十餘二百七十以左研負三除之得九十為研價或以右筆負三共價一百五十加異名價正四百八十共六百三十以右研七除之亦得研價九十論曰左行原是九筆多于三研一百八十文乘後得數則是六十三筆多于二十一研共一千二百六十文也右行原是七研多于三筆四百八十文乘後得數則是九筆少于二十一研一千四百四十文也于是以兩行得數較之上位研負二十一兩行盡同研之數同則其價亦同惟中位筆數左行多五十四枝則是左行筆多價一千二百六十文者以多此五十四筆而右行筆少價一千四百四十文者以少此五十四筆也夫右行筆價原少于二十一研者一千四百四十文以左行多五十四筆而反多于二十一研者一千二百六十文是此五十四筆既補却右行之所少而仍多此數也故併右行之所多共此二千七百以為五十四筆之價知筆價知研價矣若先求研價者以研列中為除法以筆列上為乗法如後圖問者或云筆三矢換研七枚少價四百八十文又有研三枚以換筆九矢少價一百八十文則其下價為兩負(四百八十是筆少于研之價一百八十是研少于筆之價)先以左行筆負九徧乗右行得數(首位異名宜變一行故其正負皆更)(之)次以右行筆正三徧乗左得數(右變則左不變故正負皆仍之)于是以得數較其同異而為之減併 筆各負二十七同名減盡研正同名相減餘五十四為法 價正負異名併得四千八百六十為實 實如法而一得九十為研價 以研價乗左正研三得二百七十異加價負一百八十共四百五十以左負筆九除之得五十為筆價或以右研七價六百三十與價四百八十同減餘一百五十以筆三除之亦得筆價五十論曰左行原是研三少于筆九者一百八十文乗後得數則是九研少于二十七筆者五百四十文也 右行原是三筆少于七研者四百八十文乗後得數則是六十三研多于二十七筆者四千三百二十文也夫兩行筆皆二十七則其價同也而右行研價多于筆四千三百二十文左行研價反少于筆五百四十文是兩行研價相差者共四千八百六十文也推求其説則只是兩行中相差五十四研之故也故減去相同之筆用此相差之研以除此相差之研價而每研之價可知矣若如難題所列以研為正筆為負問者當云以七研換三筆研多價四百八十以三研換九筆研少價一百八十文則價右正左負(難題係書名)左右研正徧乗得數(首位本同名故其正負皆不變)研減盡筆餘五十四為法價異併二千七百為實法除實得筆價以次得研價如前若以筆為正研為負則其價右負左正依法先得研價如第一圖以前四圖或以筆為正或以筆為負或以研為正或以研為負或以價為兩正或以價為兩負或以價為一正一負其所呼正負之名無一同者要其為同異加減之用則一也試以一行中同異言之其左行之價必與筆同名何也左行之價乃筆多于研之數也故與筆同名而與研異名也 其右行之價必與研同名何也右行之價乃研多于筆之數也故與研同名而與筆異名也試以兩行中同異言之其上位皆減盡其中位皆相減為法其下價皆相併為實其減也皆以同名其研也皆以異名 此下價異併例也假如有大小餘句不知數但云倍小餘句以當三大餘句則不及一丈五尺三寸若倍大餘句則如七小餘句畣曰大餘句六尺三寸 小餘句一尺八寸法以正負列位先以左小餘句負七徧乗右得數(首位異名宜變以相從故小句變負)(大句下負數皆變正)次以右小餘句正二徧乗左得數(右行既變則此行不變下適足無乗)(亦無正負) 乗訖乃較之 小餘句各十四同減盡 大餘句同減餘一十七為法 下正數十丈零七尺一分無對不減就為實 以法除實得六尺三寸為大餘句 乃置左行二大句該一丈二尺六寸以左行相當適足之七小句除之得一尺八寸為小餘句(或用)(右行三大句該一丈八尺九寸以同名負一丈五尺三寸減之餘三尺六寸以右行二小句除之亦得一)(尺八寸)合問論曰以左小句徧乗右是各七之也為小句二大句三者七其相較之數亦七也 以右小句徧乗左是各二之也為小句七大句二者二其相當適足者亦二也但以首位必同名然後可減故以右小句正變而為負以從左名也小句變為負則所與相較之大句不得不變而正矣 于是小句同減盡大句同名減去四餘右行正十七下較數無減仍餘十丈○七尺一寸然則此所餘者正是減餘大句之數矣何也小句十四左右皆同若只如左行四大句則與小句相當適足矣而今右行獨餘此較數者非以右多十七大句之故乎試以大句列于上則先得小句如後圖如法左乗右更其正負 右乗左仍其正負 大句同減盡 小句同減餘正一十七在左行為法 下較數負三丈○六寸在右行無對不減就用為實以法除實得一尺八寸為小句 就以左行小句七該一丈二尺六寸以左相當適足之大句二除之得六尺三寸為大句(或于右行正一丈五尺三寸加異名小句負二該三尺六寸共一丈八尺)(九寸以右大句三除之亦得六尺三寸)論曰左行原是小句七以當大句二適足今以右大句乗而各三之則是小句二十一以當大句六而亦適足也 右行原是大句三以當小句二而大句多一丈五尺三寸今以左大句乗而各二之則是大句六以當小句四而多三丈○六寸也 以兩行之得數較之大句既減盡惟左行之小句餘一十七則是左行得數所以相當適足者以多此十七小句之故而右行小句得數小于大句三丈○六寸者以少此十七小句之故也然則此三丈○六寸者正是十七小句之數也(依此論可見左行之所多即右行之所少故左行名正者用于右行即為負而)(隔行之異名即為同名)此下較無減例也假如有大小方積不知數但云一大方積以當二小方積多數八十九若以三大方積當七小方積仍多二百五十一畣曰大方積一百二十一 小方積一十六法以正負列位上 中 下先以右大積一徧乗左行皆如原數 次以左大積三徧乗右行得數(首位同名故兩行正負皆不變) 大積同減盡小積同減餘一為法較數同減餘一十六為實 法除實仍得一十六為小積 以右行小積負二該三十二加異名正八十九共一百二十一為大積(或以左行)(小積負七該一百一十二加異名正二百五十一共三百六十三以左大積三除之亦得一百二十一為)(大積)論曰左行原是大積三多于七小積者二百五十一乗後得數亦同 右行原是大積一多于二小積者八十九乗後得數則是大積三多于六小積者二百六十七也 于是以兩行對勘其大積既減盡惟小積左行餘負一其下較數則右行餘正十六夫此十六數者與大積同名是右行大積之數也右行少一小積而大積之盈數多十六左行多一小積而大積之盈數少十六然則此十六數者正是此一小積之數矣若以小方積為正則其下較數為兩負(皆小積所少之數也)(故皆為負)上 中 下依法徧乗對減餘大積一為法 餘負一百二十一為實 法除實不動就以一百二十一為大積 右大積一該一百二十一同名減負八十九餘三十二以小積二除之得一十六為小積此是右行多一大方積故多一同名之數一百二十一同在一行易知不須重論以上二圖正負所呼迥異然所同者兩行之較數皆與大方積同名何也皆大方積多于小方積之數故與大方積同名而與小方積異名也此下較同減例也總論曰凡較數方程原列較數是本行中正與負之較也其乗後得數同減異加而得者則是兩行中正與正之較或負與負之較也故本行中以異名相較而兩行對減或加是以兩行之同名相較假如原列較數與正物同名是正多于負之較也若列較與負同名是負多于正之較也故曰本行中異名相較也假如乗後得數而兩行之較數皆與正物同名則兩較亦自同名乃以之對減而餘在一行則知此一行正物必多于對行之正物而其所多之數即如此所餘之較數矣假如兩行較數皆與負物同名則兩較亦自同名以之對減而餘在一行則知此一行負物必多于對行之負物而其所多之數正是此所餘之較數矣此同名相減之理也假如右行較數與正同名而左行較數却與負同名則一是正多于負之數而一是負多于正之數也夫正與負原相待負多于正之數即正少于負之數也于是用異名相加法以左行負多于正之數變為正少于負之數以相併則知右行之正數必多于左行之正物而其所多幾何正是此兩較之併數矣此異名相加之理也合同減異併而觀之總是兩行中同名相較也又論曰較數方程以兩相較而為用雖有三色四色乃至多色其相較也必兩此正負所由立也立正負以别同異猶彼我也夫彼我者豈有一定之稱哉以此為正則以彼為負若以彼為正則此反為負矣正負之相呼猶彼我之相視也故曰無定雖然無定者正負有定者同異其無定者在未立正負之先其有定者在既立正負之後既以一為主則同乎此者皆同名異乎此者皆異名矣是故無定而實有定也今試以所列方程最下位觀之其言正負者必上物之較數也不言正負者必上物之和數也較數有盈有朒有適足和則否假如下價盈則為正正與正同名試於正物價之中減去下同名正價之盈則所餘之價必與負物之價相當矣 正與負異名試又取上負物之價以加下異名正價則又必與正物之價相當矣假如下價朒則為負(正物之朒負物之盈也)負與負同名試於負物價之中減去下同名負價則所餘之價必與正物之價相當矣 負與正異名試又取上正物之何以加下異名負價又必與負物之價相當矣假如下價適足空位無盈朒則其上正負物價必自相當又論曰正負之術分别同異全在有交變之法以通其窮要其為用惟在使兩行之首位同名而已何也方程以互乗遞減立法每乗一次即減去一色然惟和數則一乗之後即可對減若較數則有同數而不同名之時若不減首位即不成方程若徑以異名而減勢必以同名而併法不畫一而于後條和較交變之時益混淆而難用故以法變之使首位之同數者無不同名而仍為同名利減焉首位既以同名減則凡減者皆同名凡併者皆異名而其法畫一矣故首位既變則行内之正負皆變何也從首位也行内之正負既皆從首位而變由是而原與首位同名者皆與隔行之首位同名也原與首位異名者即與隔行之首位異名也如此則隔行之同減異併亦清矣正負猶陰陽也牝牡也各行中各有正負猶兩儀之生四象也乗而交變猶剛柔相推而生變化也隔行之正本行以為負隔行之負本行以為正真陰真陽互居其宅也同名相減者陰陽之偏不得其配也異名相併者陰陽得類雌雄相食也是皆有自然之理焉可以思古人立法之原矣(以上亦以二色者舉例三色以上乃至多色正負之用尤顯詳具諸卷中兹不贅列然其理著矣)和較相襍方程例方程之用以御隠襍妙在襍與變知其襍則襍而不用矣知其變則變而不失其常矣諸書所論胥未及此故求之甚詳去之愈逺也用法曰凡方程和較襍者和較從和法列之不立正負較數從較法列之明立正負 其偏乗得數後在較數行中者仍其正負之名在和較行中者皆變從乗法之名(和數原無正負則無可變但乗後得數取其與較數之首位同名而已首位既同名)(下不得不同名矣)凡兩較者下價或有減有併而中物只同減若一和一較者下價亦有減有併而中物皆異併此以兩色言之三色以上隨數通變皆以同異名御之假如有大小句不知數但云三其大句倍其小句共三丈三尺若倍大句則如六小句問若干畣曰大句九尺 小句三尺法以一和一變列位(適足者以相較而得名即同較義)右行和數也不立正負 左行較數也明立正負右乗左而三之和乗較也故其正負皆如故左乗右而二之較乗和也故得數皆為正從乗法之名也 如法遍乗訖以兩行對勘 大句同名相減盡 小句異名相併得二十二為法 正數六丈六尺無減就為實 法除實得三尺為小句 以左行小句六共一丈八尺為實以大句二為法除之得九尺為大句(或于右行共三丈三尺内同減小句二共六尺餘二丈七尺以大句三除之亦得九)(尺)論曰右行大句三小句二共三丈三尺乗後得數則是六大句四小句共六丈六尺也 左行大句二小句六其數相當乗後得數則是六大句十八小句亦相當適足也 于以對減而兩大句同減盡則其數同也而右行正數猶有六丈六尺左則無有其故何也右行正數中有小句四而左則無且不惟無之而已其相對之負數反有十八小句焉是左行正數又自除却十八小句之數也右行正數多四小句左行正數又自除却十八小句則是右行正數之多于左行正數者二十二小句也故併此二十二小句為右行所多之正物其六丈六尺則右行之正數也以正物除正數而小句可知知小句知大句矣又細攷之六大句合四小句共六丈六尺則以與六大句相當之十八小句合四小句亦必六丈六尺也此亦西儒比例之理而以同異名盡之可見古人用法之簡快試更列之以小句居上則先得大句亦同上 中 下先以右小句二徧乗左行得數(和乗較也故仍其正負)次以左小句六徧乗右行得數(較乗和也故皆命為負與乗法同名)兩小句同減盡 兩大句異併二十二為法 負數十九丈八尺無減就為實法除實得大句九尺 以右行大句三該二丈七尺減共三丈三尺餘六尺以小二句除之得小句三尺論曰小句互乗之後則其數同也小句數同則負數亦同而右行之負數獨有十九丈八尺左則無有者以右之負數中有大句十八而左則無不惟無也其所對之正數中反有大句四是左行負數中又原少四大句也右負數多十八大句左負數少四大句是右之負數多于左之負數者共二十二大句也然則右之負數獨有此十九丈八尺者正是此二十二大句之數也此和數與適足偕也假如有江湖兩色船載物不知數但云江船五以較湖船一則江多二千八百石江船三湖船五則共載二千八百石問船力若干 畣曰江船六百石 湖船二百石法以一和一較列位如法左右徧乗得數江船同減盡 湖船異併二十八為法 載物同減餘五千六百石為實 法除實得二百石為湖船數以湖船數加右行異名正二千八百共三千石以右江船五除之得江船數六百石(或以湖船五共一千石同減左行二)(千八百石餘一千八百石以左江船三除之亦得六百石)論曰徧乗後江船數同則其載數亦同今以兩正數相減而左多五千六百者以左正數中有湖船二十五而右則無不惟無也其所對之負數中反有湖船三是右行正數中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正數多于右數者共二十八湖船也然則左之正數獨多五千六百者正此二十八湖船之數也此和數偕一正也負亦同和變交變方程例凡方程三色以上以減餘重列則有和變較較變和者不可不察也 若非和較之襍則二色方程之中物有減無併矣若非和較之變則三色四色方程和數者有減無倂矣夫和數較數非自我命之名也其下價之為和為較不可誣也用法曰和變較者但和數減餘有分在兩行者兼而用之即變較數也 和既變較即以較數法列之其法以一行之餘數命為正以一行之餘數命為負 其下餘價以與中位餘物同在一行者即為同名從其正負而命之 若下價減盡無餘者命為適足若減餘只在一行者無變也只用和數法較變和者但視較數減餘或有一行内皆正或皆負者即變和數也即如和數法列之不立正負(其較數異併者)(以一行為主而以隔行之之異名從本行為同名)若減餘行内有正負者無變也只用較數法若有兩異併而一位左正右負一位右正左負亦仍為較數不變雖減餘分在兩行而一行餘正物一行餘負物亦和數也何也隔行之異名乃同名也若減餘同名而分餘于兩行即仍為較數不變何也隔行之同名乃異名也若兩異併皆左正右負或皆左負右正亦和數也和較重列有俱變為較者有只變一行為較而餘行如故者較數重列有俱變為和者有只變一行為和而其餘如故者皆如上法以和較襍列之若四色以上有和變較較復變和者有較變和和復變較者皆以前法御之假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一十五斤問各力畣曰大神臂弓力五十五斤 弩力六十斤 小弓力三十斤法先以和較列位(凡三色者可任以一行為主與餘二行數相乗而減併之故前後之行可)(互更也詳見第三卷)先以中行神臂弓二為法徧乗左右得數(此以中行為主與左)(右互乗取其行間易為減併之用也)次以右行神臂三徧乗中行得數與中行對減 神臂弓中右各六對減盡 中弩二十七内減去右弩四餘二十三(中行餘也) 中小弓六去減右小弓十六餘十(右行餘也) 中力二千一百三十内減去右一千○五十餘一千○八十斤(中行餘也)以上減餘分在兩行已變較數矣即用較數之法分正負列之而以弩與力命為同名(弩與力同在中行故也)次以左行神臂五徧乗中行得數而以中左兩行對減 神臂弓各十減而盡 中弩得四十五内減去左行弩六餘三十九中行小弓得十内減去左小弓四餘六 中力得三千五百五十内減去左一千○三十餘二千五百二十斤以上減餘俱在中行仍為和數也不分正負論曰此和數方程變為一和一較也何也中右得數兩大弓減盡則其力相若也弩數相減而餘在中行是中行之弩力多于右行也小弓相減而餘在右行是右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力右多于中而今共力相減惟中多一千○八十斤則是此一千○八十斤者非餘弩餘弓之共數而餘弩所多于餘弓之較數也雖欲不分正負不可得也如中左對減而餘弩餘小弓俱在中行則中行之餘力二千五百二十斤者仍為餘弩餘小弓共數無正負之可分也故以此兩減餘者依和較雜法重列而求之如前對減既于共力中清出首一色大神臂弓不與弩小弓雜矣然所餘之力尚為弩小弓共數與其較數而未能分别此二色之每數也故必重測依和較雜法以左右餘弩互徧乗得數(左乗右和乗較也故仍其)(正負右乗左較乗和也故變從乗法之名皆曰正)弩同減盡 小弓異併五百二十八為法 力同減餘一萬五千八百四十為實 法除實得三十斤為小弓力 以小弓力乗右行餘小弓十得三百斤異如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以餘弩二十三除之得六十斤為弩力(或于左行共力二千五百二十斤内同減)(小弓六該一百八十斤餘二千三百四十斤以餘弩三千九除之得六十斤亦同即此可見兩減餘之為)(一和一較)乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二弩力一百二十斤以減共力五百二十五斤餘一百六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤為大神臂弓力論曰兩弩正數同而其力不同者小弓之故也左行和數也是弩偕小弓之力也右行較數也是弩力中減去小弓之力而餘者也合而觀之則是左行之弩力有小弓一百三十八以為之益而右行之弩力反減去小弓三百九十然則左行正數之多于右行者凡共差小弓五百二十八而左行正數所以多于右行一萬五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八之力也凡此減餘之數亦可互求若更置之以小弓列上則先得弩力如後圖上 中 下依法右左徧乗得數(左乗右和乗較也故仍其正負右乗左較乗和也故變從乗法)(之名皆名之曰負)小弓同減盡 弩異併得五百二十八為法 力異併得三萬一千六百八十為實 法除實得六十斤為弩力 以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤同減正一千○八十斤餘三百斤以小弓十除之得小弓力論曰兩小弓同名負其數既同而左行負數之力有若干右則無之而且反小于正數之力若干者何也以左行負數中有弩三百九十右則無之而其所對之正數反有弩一百三十八以為之除算則是左負數之多于右者共五百二十八弩也右負數少此五百二十八弩而正數力遂多六千四百八十斤左負數多此五百二十八弩則不但補却右行之所少而又自有力二萬五千二百斤然則左行共多于右三萬一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也此三色和變較例也(四色以上襍見諸卷中)問有甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者倍乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四其本數各幾何 畣曰甲七 乙十七 丙廿三法先以較數列位先以中行甲正一遍乗右左得數皆如故(只變中行故兩行之)(正負俱不變又是一數為乗法故數亦不變)次以右行甲負三徧乗中行次以左行甲負四徧乗中行各得數(左右既省不變故變中行以從之首位變負下三位俱變正)次以中右得數相減併 甲同減盡 中乙得正六同減左得正一餘正五 中丙得正六異併右得負三共得正九中較數得正二百一十九異併右負七十三共得正二百九十二次以中左得數相減併 甲同減盡 中乙得正八異併左得負四共得正十二 中丙得正八同減左得正一餘七正 中較數得正二百九十二異併左負七十三共得正三百六十五以上減併之數皆同名又皆在一行知已變為和數重列之不分正負(依此)(顯雖同名而或乙正在中丙正在左即不得變和數也何也左行之正中行之負也)論曰此較數變為和數也以中右之得數言之中行六个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一个乙少于三个甲三个丙者七十三于是兩相對較則兩行之甲皆三个其數本同而中行之乙丙多于甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若右行之甲與三个丙同名是又少三个丙也夫甲股内少則乙丙股内多合而觀之則是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少五个乙九个丙則不惟不多而反少于三个甲者七十三然則併此多二百一十九少七十三共二百九十二者正是此五个乙九个丙之共數而非其較數也故不分正負又以中左之得數言之中行正數是八个乙八个丙負數是四个甲而正數多者二百九十二左行正數是一个丙負數是四个甲四个乙而正數少者七十三于是兩相對勘則兩行負數之甲皆四个其數本同惟中行之正數内比左正數多七个丙又加八个乙而中行之負數又比左負數少四个乙合而觀之是中行之正數比左行共多十二个乙與七个丙而左行之正數比中行共少十二个乙七个丙也然則中行正數之多于負數二百九十二者以多此十二个乙七个丙而左行正數之反少于負數七十三者以少此十二个乙七个丙也則是併此多二百九十二少七十三之數共三百六十五者正是此十二个乙七个丙之共數而非其較數也故亦不分正負如法以乙數左右互徧乗得數相減(無正負故有減無併)乙減盡 丙減餘七十三為法 下位餘一千六百七十九為實 法除實得二十三為丙數以丙數乗左行 丙七得一百六十一以減共三百六十五餘二百○四以左乙十二除之得一十七為乙數又以乙數異加原列右行負七十三共九十内減原右行丙三該六十九餘二十一以原右行甲三除之得七為甲數論曰此同文算指所立疊借互徵設問之一也原法繁重今改用方程簡易如此此所設問三色方程耳以西術求之已不勝其難况四色以往乃至多色乎此亦足見方程之不可廢而古人别立一章之誠有實用也此三色較變和例也 四色以往至于多色則其變益多要不出于和較例具後諸卷中兹不詳列厯算全書卷四十
## 卷四十一
欽定四庫全書厯算全書卷四十一宣城梅文鼎撰方程論卷二極數吾論方程至和較之雜之變盡矣雖然不知帶分疊脚重審之法無以窮其致故極數次之極數有三一帶分二疊脚三重審皆不離乎和較之四術帶分方程例法曰視原問中有云㡬分之㡬者則以分母通其全數而列之或云有物㡬數又㡬分之㡬者以分母通其全數而納其子如法列位遍乗減併以求一法一實既得法以除實而得者即所求物之一分也以所得一分之數分母乗之則為物之全數矣或云㡬分之㡬又㡬分之㡬者以兩分母相乗為全數而列之又以兩分母互乗其子為所用之分而列之所用之分同在一行者併而列之分用于兩行者不併也併之而所用之分反大於全數者以全數除之命為幾全數又幾分之幾其入算乗除仍用所併之分得數後則只以全數之分乗之為全數(以上兩法皆化整為零乗除竟用零分故先得一分之數)又法凡較數有以此之全數當彼之㡬分之㡬者則通其一行之内皆以分母乗之而後列焉則其所得即為全數而非其一分也(如云乙得甲三分之二則以分母三乗乙全數得全乙者三乗)(甲之二分得六分是為全甲者二則以三乙當二甲而列之驟視之如倒列其子母其實皆全數耳)若有正負之數亦以分母乗而列之(亦全數非零分也是為以零變)(整與化整為零之法不同故徑得其全數所用乗除皆整數非分故也)得即為整(其所用分)(母只在本一行中如一物有兩分母又分用于各行則各以其行中分母為用)凡和數中有一位帶分而餘只全數者亦可以分母通乗而列之其所得亦為全數而非分(如甲三乙二又三之一共十六則以分母三乗甲得)(九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也併得整七乗共十六得四十八是為甲九乙七共四十八變零)(為整徑以整數乗除所得即為整數)又法凡帶分之法或化整為零或變零為整取其畫一也此外又有雜用零整之法亦所當知(如行中有幾位或原帶有零分)(者以化整為零法列之其原未帶分者只以整數列之但乗除得數後整列者所得即為整數零分列者)(所得只為零分之數仍須以分母乗之為全數)又法視所帶之分有可以分母除之而盡者則以所除分秒附于整數而列之則其乗除後得數亦為所求之全數(若分母除其子不能盡者則不用此法)今有甲字庫貯金丁字庫貯銀各不知總但云取甲四之三加丁五之二則一百一十萬若以甲加丁之倍數則四百四十萬問各若干畣曰甲庫金四十萬 丁庫銀二百萬法以分子甲之三分丁之二分列右以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左依和數法互乗對減餘丁之分二十二為法餘八百八十萬為實法除實得四十萬為丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百萬為丁庫銀數 乃以丁庫數倍之得四百萬減四百四十萬餘四十萬為甲庫金數此化整從零法也(原列零分故得亦零分之數)又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以兩分母(五四)相乗得二十為甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以甲丁共母乗一百一十萬得二千二百萬列右乗四百四十萬得八千八百萬列左(分母相乗為母母互乗子只是通分之法)(妙在以分共母乗其和數而零數皆為整用矣此用法之妙)上 中 下依法乗減餘丁四百四十為法 八億八千萬為實以法除實得二百萬為丁數以丁四十計八千萬減八千八百萬餘八百萬以甲二十除之得四十萬為甲數此變零為整法也(原列整數故所得即為整數)又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之則其餘數皆不變左甲一乗右行皆如原數 右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒盡減 丁餘一一(上一整數下一一分乃十分之一)為法共數減餘二百二十萬為實 法除實得二百萬為丁數 以丁數倍之減共數餘四十萬即為甲數此除零附整法也(零分既除為分秒則乗除之際皆以整數為主故所得亦即為)(整數)今有甲乙二數不知總但云取乙五之三又取乙四之一以益甲則甲之數倍取甲三之二又取甲七之二以與乙較則乙多數二百四十問甲乙本數各㡬何畣曰甲本數一千○七十一 乙本數一千二百六十法以較數帶分取之 本二色也却有三位以分母通之仍二位也 先以乙分母(五四)相乗得二十以當乙之全數 又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二併之得十七以當乙所益甲之分 是為乙二十分之十七以益甲也次以甲分母(三七)相乗得二十一以當甲之全數 又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四併之共二十以當甲所與乙較之分 是為甲二十一分之二十以與乙較也于是分正負列位依較數法乗減 乙餘八十分為法 負數無減就以五千○四十為實 法除實得六十三為乙之一分 以乙全分二十乗之得一千二百六十為乙本數 乙本數同減負二百四十餘一千○二十即甲與乙較之分也以左行甲之二十分除之得五十一為甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一為甲本數乃細攷之 置乙本數(三)因(五)除之得七百五十六為五之三 又置一本數(四)除之得三百一十五為四之一 併兩數共一千○七十一則與甲數同故以此益甲而甲倍也 置甲本數(二)因(三)除之得七百一十四為三之二 又置甲本數(二)因(七)除之得三百○六為七之二 併兩數共一千○二十以此較乙則不及二百四十此只是以乙之分與甲較又以甲之分與乙較也末卷所列諸率則是以乙之分益甲而轉與乙所存之分相較又以甲之分益乙而轉與甲所存之數相較故自不同合而觀之則見今有寳泉寳源二局鑄錢不知總但云取寳源五之四又四之三以益寳泉則寳泉之數倍 若取寳泉三之二以與寳源較則多于寳源四十二貫畣曰寳泉原數一千九百五十三貫 寳源原數一千二百六十貫法先以寳源分母(五四)相乗得二十分為全數 又以分母五互乗分子(三)得十五分母(四)互乗分子(四)得十六併之共三十一分為寳源所以益寳泉之分 全數二十分所用以益寳泉者反有三十一分是為以寳源全數又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉只一分母故不用乗併乃列位如法乗減 中位餘二分為法 下位餘一百二十六貫為實法除實得六十三貫為寳源局二十分之一分 以分母二十乗之得一千二百六十貫為寳源數 以寳源數異加正四十二貫共一千三百○二貫即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三貫為寶泉數(置寳源數四因五除之得一千○八為五)(分之四又置寶源數三因四除之得九百四十五為四之三併兩數亦恰得一千九百五十三貫如寳泉)(數以加寳泉是為寶泉者倍也)論曰乗得數後寶泉分數同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能與寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六貫然則此一百二十六貫者正是寳源之二分矣(知分數即知全數知寳源即知寳泉)此二則皆化整為零而分母不同也今有貨泉刀貝四種之幣各不知數但云泉八之一兼刀布七之二則如貨數也 若刀布七之三兼貝六之四則其數如泉也若貝六之五又外加數八千九百七十則如刀布也 若貨數自加九之一則其數如貝也問本數各㡬何畣曰貨五千一百三十 泉九千六百八十刀布一萬三千七百二十 貝五千七百法以各分母通其原數然後以正負列之 貨分母九泉分母八 刀布分母七 貝分母六 (丁行貨合數一)(又九分之一共十是為九分之十凡全數帯分者準此)先以甲行貨正九分為法徧乗丁行得數 又以丁行貨負十分為法徧乗甲行得數(因首位異名故變一行以相從而以)(丁從甲)乃以甲丁兩行得數相減 貨同減盡 甲行泉負十分刀布負二十分皆無對不減 丁行貝負五十四分亦無對不減 下適足無乗無減仍為適足乃以泉刀同名在甲行者為一類 貝同名在丁行者為一類分正負重列而求之(丁行之負甲行之正也)因餘行已無貨位當以泉為乗法尋乙行中有泉徑用與減餘相對如法徧乗得數乃相減併 泉同減盡 刀布異併得(正)一百九十分 貝同減餘負三百九十二分以減餘為主命其正負而重列之因餘行又已無泉當以刀布為乗法尋丙行有刀布徑用與減餘相對上 中 下如法徧乗得數 刀布同減盡貝同減餘一千七百九十四分為法正一百七十萬四千三百無減就為實 法除實得九百五十為負之一分 以丙行貝之五分該四千七百五十異加正八千九百七十共一萬三千七百二十為刀布原數 以刀布分母七除原數得一千九百六十為刀布之一分 以刀布之三分該五千八百八十貝之四分該三千八百併之得九千六百八十為泉數(用乙行也)以泉分母八除泉數得一千二百一十為泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十為貨數(用甲行也)以貨分母九除貨數得五百七十為貨之一分以貨數加一分共五千七百為貝數(用丁行也)甲丁兩行乗減論曰既互乗則甲丁之貨等而甲行之泉若刀布及丁行之貝又各與其首位之貨等則甲之泉若刀布必與丁之貝等也故對減去貨而徑以甲之泉若刀布與丁之貝分正負而命之適足也此即西學中比例之理然方程中自有之且簡快如此乙行減併論曰左右兩行之正負皆適足若于右正數内減左正右負數内減左負其所餘者亦必適足也今右正内既減去同名之泉右負内又減去同名之貝而左負内有刀布不與右同名不能相減故反用以加加則正數多正數多則負數少而其數亦必適足矣又論曰隔行之異名乃同名也今兩行之正與負既皆適足若以左之正(泉)益右之負(貝)而共為負以左之負(刀布貝)益右之正(泉刀布)而共為正則亦適足也于是以兩者(右泉刀布左刀布貝為一類左泉右貝為一類)對減其相同之物(泉各)(減八十分貝各減四十分)則其所餘之物必亦適足也(左右刀布為正右貝)(減餘為負)又論曰右行刀布正數也正多于負之數也左行刀布負數也正少于負之數也合此二數則是右正之多于左正者此兩行之刀布也然刀布之數右正雖多于左正而貝之數右負亦多于左負故兩行皆適足也然則右正之所多與右負之所多亦必相當適足矣丙行乗減論曰刀布本同惟右之貝多于左右之貝多則左之貝少左之貝少則刀布多矣然則左之刀布布獨有盈數者正是此相差之貝也此亦化整為零而又有整帯零(四色有空之例也)問品官月俸六品為五品八之五七品為六品四之三八品為七品十五之十三九品為七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一則如五品之倍數而多三石各若干法以分母各通其原數而正負列之 五品通為八六品通為四 七品通為十五 八品九品以全數原無分母故也(五品倍則為十六)先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得數(餘空)(位無乗) 次以乙行五品五分遍乗甲行得數 乃對減 五品各八十分同名對減盡 六品同名對減餘四十四分乙行之負物也為乙類七品八品九品并禄米較數皆無對不減皆甲行之負物負數也為一類 分正負列之與丙行相對如法以減餘六品分遍乗丙行六品七品分得數(餘空)(無乗)又以丙行六品分遍乗減餘得數 乃以對減 六品得數各一百三十二分同名減盡 七品同名減餘四百三十五分丙行之負物也自為一類 其餘三位無減皆減餘之負物負數也共為一類 分正負列之與丁行相對又因丁戊兩行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位上 中 下如法以丁行八品負一遍乗減餘皆如故(首行同名故兩行之)(正負亦皆不變)又以減餘八品負十五分遍乗丁行八品七品得數 乃對減 八品同減盡 七品同減餘二百四十分右行之正物也為一類 九品三十無減禄米四十五石亦無減皆右行之負物負數也同名共為一類 乃分正負重列之與戊行相對如法以左右七品分互遍乗得數(首行同名故兩行之正負皆不變)七品同減盡 九品同減餘九十為法 祿米四百九十五石無減就為實 法除實得五石五斗為九品月俸 置九品俸以相當之七品之十一分除之得五斗為七品月俸十五分之一而以與八品相當之十三乗之得六石五斗為八品月俸 又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗為七品月俸又置七品俸以相當之六品之三分除之得二石五斗為六品四之一而以其分母四乗之得十石為六品月俸 置六品俸以相當之五品之五分除之得二石為五品八之一而以其分母八乗之得十六石為五品月俸計開 五品毎月十六石 六品毎月十石 七品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品毎月五石五斗論曰此所列有二種 六品通為四分者問原云四之三是可以四分者也七品通為十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通為十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六則為八分者二矣此皆以分立算化整從零之法也八品則只是原數九品亦是原數而又有倍數然只是原數之倍非如五品倍其分也此兩者皆不用分只用整 合而言之乃零整雜用之法也 零與整雜似不倫矣然乗除得數則同 但用分者所得數亦為一分之數故必以分母乗之乃合原數而其原不用分者得即原數更不湏乗能知此理則用分無誤矣甲乙兩行論曰兩行正數内五品本同而甲有負多于正之較乙則無有是此較數乃甲負多于乙負之較也于是以兩負相減以去其同之分而觀其所不同之處則甲有諸品而乙惟六品之減餘然則甲負之獨多此較者乃甲諸品多于乙六品減餘之較矣丙行乗減論曰兩得數對減而六品減盡是其數同也其與六品為正負者又減去相同之七品分而左仍餘七品之餘分右仍餘諸品之全分則是兩行諸數皆同而惟此二者有差也然則右之獨有盈于六品之較者正此二者之差數也丁行論曰兩行對減而于負數内減去相同之八品惟餘九品于正數内減去相同之七品分惟餘七品之餘分然則右行負數獨有盈于正數者正是右行九品與其七品餘分之較也何也與之對減者乃左行適足之數故于較數無闗也(重列三次皆然)戊行論曰右行内減去左行適足數惟餘九品數則其下盈數必所餘九品之數也 此條逓減歸一其理較明學者翫之此零整雜列也亦五色方程有空例也有減無併可悟偶加竒減之非問有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足單六丙所分如乙七之三而多二數各幾何畣曰甲數一百一十二 乙數四十二 丙數二十(甲數三因七除得四十八多于乙數六乙數三因七除之得十八少于丙數二)法列位 以甲乙分母七化整為零 丙無分仍用整(○) 乙之三分(正) 丙一(負)負二(此行無甲數存與減餘重列)此三色有空先以和較雜法用兩行甲互遍乗之和數甲全分七乗較行得數(依其正負)以較數甲正三分乗和行得數(從乗法皆命為正) 甲各二十一分同減盡乙異併七十分(正)丙三無減(正)下數同減餘四百八十(正)皆同名不分正負以和數重列與第三行較數求之上 中 下如法互乗減併 乙同減盡 丙異併七十九為法下數異併一千五百八十為實 法除實得二十為丙數 丙數同減負二得一十八為乙七之三乃以三分除之得六為乙七之一以分母七乗之得四十二為乙數 乙數異加正六共四十八當甲七之三乃以三分除之得十六為甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二為甲數 此亦零整雜用之法也若依變零從整法則以分子母倒位列之其正負以分母乗之乃與和數列而求之論曰倒位何也非倒位也分母遍乗則然也以分母七乗子三而皆七之則為三分者七為三分七是為全全數者三矣而其所當者全數也七之則為全數者七矣是乙以全數當甲七之三者七乗之則七乙當三甲也故如倒位然皆全數也非分也故非倒位正負亦分母乗何也乙一當甲七之三而少六則七乙當三甲而共少七个六為四十二也丙一當乙七之三而多二則七丙當三乙而共多七个二為十四也如法以前兩行遍乗減併又重列之與第三行遍乗減併 乙減盡丙異併七十九為法 下數異併一千五百八十為實 法除實得二十為丙數七因丙數得一百四十同減負十四餘一百二十六以乙三除之得四十二為乙數七因乙數得二百九十四異加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二為甲數此變零從整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以為用不必齊同如後條問有數不知總以三人分之亦不知各所分之數但云甲如乙丙共數二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一總數分數各幾何畣曰總數十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一則五如甲 甲丙共九其三之二則六如乙 甲乙共十一其四之三則八义四之一以丙相較不足四又四之一也法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二)(之一又有三之二皆有兩分母)宜用變零從整之法以不同同之(用分)(則不同變而用整則不同而同矣)以分母各遍乗其本行而列之右行分母二 中行三左行四如法互乗減併以三色較數變為二色而重列之(雖減)(併不同皆仍為較數不變宜翫)如法互乗 乙同減盡 丙同減餘負三十四為法正一百三十六無減就為實 法除實得四為丙數 六乗丙數得二十四以相當適足之四乙除之得六為乙數 以原列右行乙丙各一共十以相當適足之甲二除之得五為甲數論曰甲為乙丙二之一則是二甲當一乙一丙也皆二因之也 乙為甲丙三之二則是三乙當二甲二丙也皆三因之也 丙為甲乙四之三而不足四又四之一則是四丙以當三甲三乙而不足十七也皆四因之也(甲乙丙各有兩分母若化整為零當以分母矣相乗為原數母互乗子為所用之分殊多事)二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七(以一丙與甲乙四之三較不足四又四之一若以四丙與)(四个甲乙四之三較亦不足四个四又四个四之一是為十七)問有數九百六十以四人差等分之乙與甲如二與八丙與乙如三與七丁與丙如四與六各幾何畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八法以共數命為和相當數命為較依和較襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可當二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可當三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可當四丙也(推此知二八三七四六各種差分皆可以方程御之)首次兩行如法互乗減併訖重列之取出第三行與之為耦如法減併訖又重列之(兩次減餘皆和數可見立負之非)又取末行與之為耦而列之如法乗 丙減盡 丁併得四百八十為法 正二萬三千○四十無減就為實 法除實得四十八為丁數 六因丁數得二百八十八以相當之四丙除之得七十二為丙數 七因丙數得五百○四以相當之三乙除之得一百六十八為乙數 八因乙數得一千三百四十四以相當之二甲除之得六百七十二為甲數試以甲併乙共八百四十以八因之得甲數若二因亦得乙數是乙數甲二八差分也 試以丙併乙共二百四十以七因之得乙數若三因亦得丙數是丙與乙三七差分也 併丙丁共一百二十以六因之得丙數若四因亦得丁數是丁與丙四六差分也又試以八除甲數得八十四以二除乙數亦得八十四若以八十四除甲數必得八以八十四除乙數必得二也 又試以七除乙數以三除丙數皆得二十四若以二十四除乙數必得七除丙數必得三也 以六除丙數以四除丁數皆得十二若以十二除丙數必得六除丁數必得四也問有數七百四十一以四人分之乙于甲為三之二丙于乙為五之三丁于丙為七之五各㡬何畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十法曰乙得甲三之二是三乙當二甲也丙得乙五之三是五丙當三乙也丁得丙七之五是七丁當五丙也故皆命以適足而列之先以孟仲兩行如法互乗減併訖列其餘數取出叔行相對如法減併又列其餘與季行相較如法減併 丁二百四十七為法 正二萬二千二百三十為實 法除實得九十為丁數七因丁數五除之得一百二十六為丙數 五因丙數三除之得二百一十為乙數 三因乙數二除之得三百一十五為甲數問有數七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各幾何因前問中有疉數故作此問以互明之乙三當甲二而丙五又當乙三是丙五亦當甲二也丙五當甲二而丁七又當丙五是丁七亦當甲二也(又丁七亦當乙三今云兩者以甲為主也)在西法謂之連比例上 中 下首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲減盡乙異併得五(正)丙二(正)丁二(正)正一千四百八十二皆無減(皆仍為和同名在一行故也)次行乗三行因兩首位同不用乗竟以對減 甲減盡乙三(次行負也)丙五(三行負也)皆無減命為正負適足(同名在兩行故為較數)三行末行首位亦同亦徑減 甲減盡 乙空 丙五(三行負也)丁七(末行負也)皆亦無減命為正負適足(亦同名在兩行)乃以減餘重列之如三色有空之法如法減併得二百四十七為法二萬二千二百三十為實 法除實得丁數以次求得甲乙丙數皆如前問之數問有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率則如上户六之四畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十户共一百九十五石二斗法以和較列位如法互乗得四 甲同減盡 乙異併三百一十六户為法 米一千五百四十二石○八升無減就為實 法除實得四石八斗八升為下等戸則例 以下等六户乗其則例得二十九石二斗八升以相當之上等四户除之得七石三斗二升為上等户則例問有米三百一十七石給與四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各幾何畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石乙每户二石一斗 三十户共六十三石丙每户一石四斗 四十户共五十六石丁每户六斗 五十户共三十石法列位首行甲二十户十倍於次行甲正二但以首行甲退一位作二則齊同矣甲退十為單其下各位皆退十為單即如互遍乗而可以對減矣乃以減併之餘重與第三行列之又以減併之餘重與第四行列之依法求得六百三十四為法 三百八十石○四斗為實 法除實得六斗為丁户則例 七因丁則得四石二斗丙三除之得一石四斗為丙則 六因丙則四除之得二石一斗為乙則 四因乙則得八石四斗為甲則(此條有省算法說見後卷)此上數條皆變零從整法也有兩數相較而為十之八十之七者即非二八三七差分也有二例見末卷瓔珞方程例瓔珞者言其聨綴而垂象瓔珞也謂之疉脚凡算方程皆以多色逓減至一法一實以先知一色之數然此所先求之一色却原帶有不同之數則法一而實非一故以一總法而除多實非疉脚之法不可也(亦有以下為法上為實者則實一而法有多名在合問者之所求而定之詳刋誤條)今有大江南北兩處糧艘載米不同因氷程逺近給耗米亦不等但云南船三隻北船兩隻共運米一千九百七十石外給耗米共六百六十八石又南船一隻北船四隻共運米一千九百九十石外給耗米五百五十六石問各船正耗米數以便稽核畣曰北船每隻正運米四百石 給耗米一百石共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升南船每隻正運米三百九十石 給耗米一百五十六石 共正耗米五百四十六石每正米一石給耗米四斗法各列位先以左行南船一遍乗右行各得原數次以右行南船三遍乗左行得數 南船三與右減盡 北船十二減去右二餘十隻為總法正運米五千九百七十石減去右一千九百七十石餘四千石為運米實耗米一千六百六十八石減去六百六十八石餘一千石為耗米實以總法除正運米實得四百石為北船每隻運數以總法除耗米實得一百石為北船每隻耗米數(總計)(正耗得北船毎隻米五百石)任于左行總運米一千九百九十石内減北船四隻該運米一千六百石餘三百九十石為南船一隻運數(一故不除運或于右行運一千九百七十石内減北船二隻 八百石餘一千一百七十石以南船)(三隻除之亦得三百九十石)于左行總耗米五百五十六名内減北船四隻該耗四百石餘一百五十六石為南船一隻運數(或于右行耗六)(百六十八石内減北船二隻耗二百石餘四百六十八石以南船三隻除之亦得一百五十六石)總計正耗得南船每隻米五百四十六石以北船四百石除其耗米一百石得每石給耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石給耗四斗此問每船米數故以船為法米為實若問每米一萬石該用幾船則以減餘船十隻用異乗同除以一萬乗得十萬為總船實 以運米減餘四千石為法 法除實得二十五為每運米一萬石用北船之數 于是任以右行北船二隻亦用異乗同除以一萬石乗之二十五船除之得八百石以減共米一千九百七十石餘一千一百七十石又用為法以右行原列南船三乗一萬石得三萬石為實法除實得二十五隻又三十九分之二十五為每米一萬石用南船之數若問耗米給過五千石該得幾船者則亦用異乘同除以五千石乘減餘十隻為北船實 以減餘耗米一千石為法除實得五十隻為每耗米五千石給北船之數 任以右行北船二隻五千石乘之五十隻除之得二百石以減共耗六百六十八石餘四百六十八石又用為法以原列南船三乘五千石為實法除實得三十二隻又三十九分之二為每耗米五千石給南船之數假如有南運艘二隻以比北三隻則南船運米不及北四百二十石其南船帶耗米反多于北一十二石若以南船三當北船五則南船運米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石問各幾何法以正負列位上 中 下如法乗減餘北船一隻為總法運米同減餘四百石為運米實即為北船每隻運數(總法一故不除下同)耗米異併得一百石為耗米實即為北船每隻耗數任以右行北船三乗其運數得一千二百石同減負四百二十石餘七百八十石以南船二除之得三百九十石為南船運數以右行北船三乗其耗數得三百石異加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石為南船耗數若問毎米一萬石須幾船運者則以減餘北船一以一萬石乘之為船實 以減餘四百石為運米法法除實得二十五隻為北船每運一萬石之數 又以一萬石任乗右行北船三以二十五隻除之得一千二百石同減負四百二十石餘七百八十石又為法以一萬石乘南船二為實法除實得二十五隻又三十九分船之二十五為南船毎運一萬石之數若問耗米五千石該給幾船者則亦以五千石乘減餘北船一隻為船實 以減餘一百石為耗米法法除實得五十隻為北船耗米五千石之船數 又以五千石乗右行北船三以五十隻除之得三百石異加正十二石共三百一十二石又為法以五千石乗南船二為實實如法而一得三十二隻又三十九分船之二為南船耗米五千石之船數此因耗米與正運不同故也若耗米亦以一萬石為問則北船之實皆同今有墨一百二十七錠研六十六枚給與修史局六十人校書局六十三人又有墨五十八錠研三十二枚給與修史局二十四人校書局四十二人問各㡬何畣曰史局每人墨一錠又六分之四(六人十錠也)研四分之三(四人共三研)校書局毎人墨七分之三(七人共三錠)研三分之一(三人共一研)法各列位如法乗減餘校書一千○○八人為總法墨餘四百三十二為墨實研餘三百三十六為研實以總法除墨實得七分之三為校書局給墨數(七人得墨)(三錠) 就以七人除右行校書六十三人以墨三錠乘之得二十七錠以減總給一百二十七錠餘一百錠以史局六十人除之得一錠又六分之四(六人得四錠并整數)(為六人十錠)為史局給墨數又以總法除研實得三分之一為校書局給研數(三人)(共一) 就以三除校書六十三人得二十一研以減總給研六十六餘四十五研以史局六十人除之得四分之三(四人三研)為史局給研數問修艌船隻内有舊船二隻新船一隻共用桐油二百六十斤麻一百三十斤釘十七斤石灰二百一十斤計工兩月有半又舊船一隻新船三隻共用桐油二百八十斤麻一百四十斤釘十六斤灰二百三十斤工兩月有半其新舊船各㡬何畣曰每新船一隻 用桐油六十斤 麻三十斤釘三斤 灰五十斤 每工一月修兩隻每舊船一隻 用桐油一百斤 麻五十斤 釘七斤 灰八十斤 每工一月修一隻法各列位先以左舊船一遍乗右行如故次以右舊船二遍乗左行得數 乃相減 上位舊船對減盡中位新船減餘五為總法下位油相減餘三百斤為新船油實(以總法除之得六十斤為新船油數)麻相減餘一百五十斤為新船麻實(以總法除之得三十斤為新船麻數)釘相減餘一十五斤為新船釘實(以總法除之得三斤為新船釘數)灰相減餘二百五十斤為新船灰實(以總法除之得五十斤為新船灰數)任以左行新船三隻乗其油數得一百八十斤以減總油二百八十斤餘一百斤為舊船一隻油數以新船三隻乗其麻數得九十斤以減總麻一百四十斤餘五十斤為舊船一隻麻數以新船三隻乘其釘數得九斤以減總釘一十六斤餘七斤為舊船一隻釘數以新船三隻乘灰數得一百五十斤以減總灰二百三十斤餘八十斤為舊船一隻灰數此為以船求油麻等故以船為法以麻油等為實乃以減餘新船五隻為總實以減餘工兩月半為法 法除實得二隻為每工一月修新船之數就以二隻除左行新船三隻得一月有半以減總工兩月半餘一月以除舊船一隻如故得每工一月修舊船一隻此以工求船故以工為法船為實與前相反重審方程例凡算方程皆以有總數無各數故逓減以求之然有并其總數亦隠者此當用兩次求之故曰重審假如品官祿米不知數但云甲支三品俸四个月又帶支四品俸五个月乙支三品俸六个月又帶支四品俸五个月亦不知甲乙各得數但云以甲十三分之一益乙則三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石問兩品禄米各幾何荅曰三品毎月俸三十五石四品每月俸二十四石法曰此當先求出甲乙兩家支過禄米再求各品月俸謂之重審先以帶分法列位上 中 下左甲之一分遍乗右行如故右甲之十三分遍乗左行得數甲減盡 乙減餘一百四十分為法 餘俸四千二百石為實 法除實得三十石為乙之一分 以乙分母十一乗其一分得三百三十石為乙支過米數以乙支過米數減總三百五十石餘二十石為甲之一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石為甲支過米數既得兩家支過米數乃重列之以求品俸如法左右乗減 餘四品十月為法 餘俸米二百四十石為實 法除實得二十四石為四品每月俸以四品五月計一百二十石減甲支二百六十石餘一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石為三品每月俸假如品官支俸本折兼支不知數但云甲支一品俸四个月又帶支二品俸五个月乙支一品俸六个月又帶支二品俸十个月亦不知甲乙支過數但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙則八百六十五石 取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙則五百七十九石問各幾何畣曰一品月俸八十七石内實支本色一半四十三石五斗 折色鈔一半數同二品月俸六十一石内實支本色六分三十六石六斗 折鈔四分二十四石四斗法當重審 先求本色依帶分法列位上 中 下如法乗減 餘乙之七分為法 餘本色一千四百六十三石為實實如法而一得二百○九石為乙本色之一分以減右行共本色五百六十六石餘三百五十七石為甲支過本色數 又以乙分母三乗其一分得六百二十七石為乙支過本色數計開甲支過本色三百五十七石(内一品俸四个月二品俸五个月)乙支過本色六百二十七石(内一品俸六个月二品俸十个月)次求折色 亦依帶分列位如法左右乗減 乙餘十八分為法 餘折色一千八百一十八石為實 法除實得一百○一石為乙折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石為乙支過折色數 以乙之二分乗其一分得二百○二石以減共折色四百九十八石餘二百九十六石為甲支過折色數計開 甲支過折色二百九十六石(内亦一品俸四个月二品)(俸五个月)乙支過折色五百○五石(内亦一品俸六个月二品俸十)(个月)既得甲乙兩家支過本折然後乃求各品月俸依疊脚法列其所得本折而重測之如法遍乗得數 上位一品減盡 中位二品餘十个月為總法 下位本色餘三百六十六石為本色實折色餘二百四十四石為折色實乃以總法除本色實得三十六石六斗為二品毎月俸本色數 以乙二品十个月計三百六十六石減乙共本色六百二十七石餘二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗為一品月俸本色又以總法除折色實得二十四石四斗為二品月俸折色 以乙二品十个月計二百四十四石減乙共折色五百○五石餘二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗為一品月俸折色(其右行亦可互)(求則先得甲數也)于是以一品本色折色併之得每月俸八十七石(本折各半)(支)以二品本折併之得毎月俸六十一石(四六支本色六分折色四)(分)厯算全書卷四十一
## 卷四十二
欽定四庫全書厯算全書卷四十二宣城梅文鼎撰方程論卷三致用笇之用惟㨗其説惟詳詳説之斯能捷用省笇列位諸法由是以生也故致用次之致用有二一者省笇一者列位(例襍見諸卷中故不具列而備論其理)省算法亦有二一者行有空則省算一者數偶同則省乗凡方程之法去繁就簡同者去之異者存之歸于一法一實而已矣故三色以上有空位則可徑求若三色方程無空位者必湏乗減得數變為二色以求之此常法也若内有一行中空一位則以所空之位列于首而先以其餘兩行不空者如法乗減得數即重列之與原有空位者相對如二色方程也(以兩行無空者)(相乗對減則減去一色惟餘二色其有空者原只二色故可相對如二色也)則省一笇(原法)(乗減三次今只兩次故曰省一笇)凡三色方程不論一行有空或兩行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中雖有空位而不相對故也何以知其不相對若兩行有空而又相對則徑可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空例襍見前卷凡四色五色以至多色有幾行空位者如上省算徑求最為簡㨗若中行無空則必如法乗減以五色變四色四色變三色三色又變二色漸次求之不可徑求而省算也今諸書所載皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此盡方程可乎凡四色方程有乗減六次者常也 若有一位空則省一算 一行中空兩位或兩行各空一位而相對則省二算 若一行空兩位又一行空一位則省三算止矣 或有四行中各空一位而不相對亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下數位則乗減之後自然補實不能省矣 亦有兩行各空兩位而只省二算者亦以空位相左乗後補實耳故雖四行中各空兩位亦只省三算也假如四色中有一行空兩位則將此無空之三行如法乗減變為兩行又將此兩行如法乗併變為一行此減餘一行却有二位恰興空兩位之行相對矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而諸書未及也故詳論之若四色方程有兩行各空一位而又相對則將其無空之兩行如法互乗而減去此不空之位變為一行與空位之兩行同列如三色法而之尤為易見其四色各行空兩位而省三算即今諸書中所載是也可無更贅然但欲知其為省算方程而非常法耳其四色無空乗減六次者竟無其式故誤以省算為常然既明其理亦不必一一為式矣凡五色方程無空則有乗減十次者常法也(五色變四色則有四)(算四色又變三色則有三算三色又變二色則有二算二色又一算乃得法實合之為十算)故五色而為四圖者亦常法也(原列一圖以減餘重列為四色而三色而二色又各)(一圖合之為四圖)若有空一位則省一算 或空兩位而省二算(湏兩位空在一)(行或兩行俱空首位乃可) 空三位而省三算(湏空在一行或三行同空首位或一)(行首位空一行首次兩空則可) 空四位而省四算(湏一行空三位而一行又空一)(位恰與空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次兩位乃可或兩行俱空首次亦可) 空五位而省五算(湏兩行空首位而一行空首次三位或兩行空首次而一行空首位或一)(行空首次而一行空首次三之位乃可) 空六位而省六算(湏一行空首位一行)(空首次一行空首次三行位乃可)省至六算止矣六算以上雖多空位無闗省算也今諸書有載五色方程者皆其各行空三位者耳總計之有空十五位而其為法亦必用四算然後得數則所省者亦只六算而竟不知其為省算之法則習而不察也假如五色方程内只有行空三位法當以有空之三色列于上而先以其無空之四行如法乗減變為四色者三行又以乗減變為三色者二行又以乗減變為二色者一行則恰與空位之行相對矣再乗減一次得所求矣故曰省三算也(變四色時省一算變三色時省一算變二色時省一算共)(省三算)假如五色方程内有兩行各空二位而相對法當以有空之二色列于首次而先以其無空之三行如法乗減變為四色者二行又以乗減變為三色者一行則恰與空位之兩行相對矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也(變四色時省二算變三色時亦省二算)假如五色方程内有兩行空首位又一行空首次三之三位法當以無空之兩行如法乗減變為四色者一行則恰與空首位之兩行相對矣 乃以原數兩行減餘一行相並列之用相乗減變為三色者兩行又相乗減變為二色者一行則又恰與空三位者相對矣 乃以原空三位者與減餘列而求之即得之矣故曰省五算也(變四色時省三算變三色與二色又各省一算)若五色方程内有兩行各空三位者即如一行空兩位一行空三位也法以無空之三行先用乗減變為四色者兩行又以乗減變為三色者一行則恰與空首位次位者對矣取出原空兩位者與減餘列而求之變為二色者一行又恰與空三位者相對矣又取出與減餘列而求之即得所問故亦省五算也(變四色三色時)(各省二算變二色時又省一算共五)其兩行雖各空三位而不相對故也(若各空三位而相對即成二色方程矣)若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其餘空位必不相對不能省算與無空同也其法先以不空之兩行乗減得數變為四色與空首位者相對又乗減變為三色與空首次者相對又乗減變為二色與空三位者相對再乗減即得所求諸列不能悉具智者反隅可也論曰常與變相待而成告方方程省算而特詳其不省之算者欲窮其變先得其常也以上所論雖止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二十一算 八色者二十八算 九色者三十六算十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者六十六算以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至十算 七色者省十五算 八色有省二十一算九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一色有省四十五算 十二色有省五十五算以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十二色有只十一算總而言之 二色則只一算 三色則有二算或三算 四色則有三算以至六算 五色則有四算以至于十算 六色則有五算至十五算 七色則自六算至二十一算 八算則自七算至二十八算九色則自八算至三十六算 十色則自九算至四十五算 十一色自十算至五十五算 十二色則自十一算至六十六算擴而充之猶舉一隅耳然其法不外于和較與和較之襍與變愚故不欲以四色五色等分為之目也 必如此則方程之法乃為通法若諸書所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正負也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而窮于問也豈古人立法之意哉此以上論空位省算省算者乗減併俱省之也非若省乗者但省互乗而不省減乗凡方程互遍乘者取其首位齊同耳故乘減一次則少一色以首位之齊同必減而盡也然亦有其首位之數偶爾相同者法當徑以對減而省其互乗此雖省其乗而不省其減併故與前論省算同而微異也假如和數方程首位同則徑減矣 若較數者又湏論其正負之名 同數矣而又同名徑對減矣 同數而不同名則更其一行之正負以相較而後減併焉此要訣也不則首位雖減去而其下之同異淆則加減皆誤矣若和較襍者首位之數同亦必以較數首位之名名其和數之一行而後減併之但省其互乗可也以上論同數省乗亦有首位數雖不同而可以分數相命者則以其分數改其一行之數以從一行則首位齊同而可以對減省其互乗焉可矣若較數或和較襍皆如前法齊同其首位之名斯減併無誤耳(較數首位同名則仍之異名者改一行以相從和較襍者以較首位之名名其和數)(之一行)假如兩首位為五與十是倍數也則半之盖五與十互乗各得五十而其下諸數從之而溢矣今但以首位十半之為五而其下諸數皆半之以相減併則五之之行可無乗而數亦簡明殊散人懷也若兩首位為二十與二是十之一也則以退位之法乗之使二十之一行皆為十之一 若為八為四亦倍數也 若為八與二是四之一也四除其八之行則得矣 若九與三則三之一也以三除九則亦三而其一行皆三除之則可減倂矣然三除多有不盡不如只以三因其三之行也 若為五與三則六因其五之行而退位 五與二則四因退位 五與四則八因退位皆同 若六十四與八則八之一也八除其六十四之行猶互乗也 若此類者不可枚舉得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齊者如七與二九與四之類只用互乗為無弊也省乗者為省事而設也强齊之反多事矣此以上論分數省乗此外又有不拘首位者但數同則徑以對減施之二色為宜盖二色方程只湏減去一色其所餘即一法一實矣然亦湏同名方可減去若異名者改而齊之可也假如較數方程其中一色同名而又同數徑減去矣若但同數而不同名則更其一行之正負乃減去之假如和較雜其中一色同數則以之為主使和數一行皆與此一色同名乃減去之若和較則不湏爾但同數者即減去之此二色捷法合此三者省算之理備矣問田糧七則起科甲有上田一畝上次田一畝輸糧七斗乙有上田一畝上次四畝上中一畝糧一石八斗丙有上次上中田各一畝糧五斗丁有上中田中田各二畝糧五斗戊有中田三畝中次五畝中下五畝已有中下八畝下田十三畝庚有中下田下田各十畝皆糧五斗問各則若何法曰此方程㫁續法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田則則其中兩色自知先以甲乙兩行徧互乗減去上田 餘上次田三畝上中田一畝 糧一石一斗 用與丙行乗減 上次田減盡 餘上中田二畝為法 糧四斗為實法除實得二斗為上中田則例就以上中田則減丙糧五斗餘三斗為上次田則例以上次田則減甲糧七斗餘四斗為上田則例(以上三色)(法也)又以上中田則例乗丁田二畝得四斗以減丁糧五斗餘一斗以二畝除之得五升為中田則例又以戊中田三畝乗其則例得一斗五升以減戊糧五斗餘三斗五升為戊田中次中下各五畝之共數因此處㫁而不属故又先求末兩行再以二色法用己庚兩行如法遍乗減去中下田餘下田五畝為法糧一斗為實法除實得二升為下田則例(以八因庚行而退位省乗法也)以庚下田十畝乗其則例得二斗以減庚糧五斗餘三斗以中下田十畝除之得三升為中下田則例(以上二色法也)乃以戊中下田五畝乗其則例得一斗五升以減戊中下中次共三斗五升餘二斗以戊中次五畝除之得四升為中次田則例計開 上田每畝糧四斗 上次田每畝糧三斗上中田每畝糧二斗 中田每畝糧五升中次田每畝糧四升 中下田每畝糧三升下田每畝糧二升論曰此雖七色因行中㫁續即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦見焉所省良多然非省乗其勢則然也以其疑于省算也故附之其末又有數偶相同不論三色四色但一減之後即得一法一實者非省算也然亦省算之類故亦附録一條以見其例假如縀紗絹不知價但云以縀一匹紗五匹易絹九匹餘價二兩六錢又以縀二匹絹八匹易紗四匹餘價六兩八錢又以縀三匹易紗六匹絹七匹少價一兩二錢畣曰縀每匹價銀三兩紗每匹一兩 絹每匹六錢法列位因中左紗減盡只餘一色即以絹十九為法 除十一兩四錢得絹價每匹六錢 以絹餘二十六匹乗價得十五兩六錢同減負一兩六錢餘十四兩紗價也以紗餘十四匹除之得紗價每匹一兩(用中右減餘得之)以原左行紗六匹(價六兩)絹七匹(價四兩二錢)共價十兩二錢同減負一兩二錢餘九兩縀三匹價也三除之得縀價每匹三兩論曰此方程之變例也一減之後即得其數 若多色方程除首位外有減盡者先雖無空而減餘重列即成有空方程矣(例見本卷齊軍列陳條)若三色俱減盡則不能成算 或三色方程中左三色俱減盡中右只減一色則所餘者二色而無相較乗減無因不能别其二色亦不能成算也假有問水銀三斤硃砂二斤共價四兩四錢又水銀九斤硃砂六斤共價十三兩二錢問各價若干畣曰此不可以方程算何也彼雖兩宗而其後一宗之物價皆三倍于先一宗互乗之後必湏減盡故也凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之後得數齊同不能分核具如前論方程立法正以諸物襍糅多寡錯居同異參伍而得其端倪也又或三色方程而問只二宗則減餘仍有二色不能分别故問三色必有三宗問四色必有四宗五色六色以上悉同何也方乗立法乗減一次始能分去一色若少一行則少一次乗減而不能得其一法一實矣故行中可有空位而不可有空行行中有空者分一行言之也若總列為圖則位皆無空凡此皆治方程者所當知知其有不可算斯無疑于算知其有必不可省斯善為省矣列位之法亦有二一者更其上下之位以互求也 或為省算之計凡方程立法務湏首位齊同以便減去故每遍乗一次則減去一色逓減之則一法一實矣今行中有空則是不待遍乗而其一色已先減去也故取而列之于上位則能省算不則上位不空而下反空則對位無減補成不空而不能省算矣其法于列位時覆視之有横列中空位多者取作首位首位空一行則省一算矣若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重列減餘時檢㸃更定之可也又横列中有數偶相同或可以分相命者取作首位亦省遍乗或横列中有单一數多者取作首位省乗(单一)(數則不湏乗故也)以上論上下之位一者更其前後之行也凡首位多空而其不空者隔逺則更而聨之便乗減也其各行空位不等者不必更列但以與減餘相對者取出對列而乗減之(例見前諸卷)若各行首位有可以分相命或數偶相同而為他行所隔亦可更置使之相接又多色方程有各行中對位總空者取出另列而先乗其他行之不空者乃于重列之時漸次添入可免細書跼蹐(例見後卷)以上論前後之行法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆視之若首位有空而下則無之此不必更置也或首位多空而下則少亦不必更置也惟首位不空而下反有或首位空少而下反多則更而置之故上下可以互居前後亦可易位或云以末行為主者非也問古今厯術屢更其所用日法無一同者如以漢太初厯日法十有一外加四十九則如殷厯日法也若以太初日法二殷厯日法三再加五十八則如唐大衍厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相並以比宋紀元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍之即紀元日法其各數若干法以正負列位甲太初十一(正)殷七一(負)○ ○ 負四十九乙太初二(正)殷六三(正)大衍一(負)○ 負五十八丙太初十四(正) ○ 大衍二(正) 紀元一(負) 負七十六丁太初九十(正) ○ ○ 紀元一(負) 適足如右圖太初厯横列皆滿須用遍乗對減者三而後能減去太初之一色其餘雖多空位自然有無減之對位相補不能省算如法改列以最多不空之太初列下爲第四位則殷厯居上而成有空位之方程矣先如法以甲乙兩行互乗減併殷厯各正十五對減盡大衍負一無減太初異併負三十五下數異併正二百○五(因異併故併從甲行之名而大衍在乙行與下數同名亦改負為正)乃重列之(取出丙行與減餘相對)如法互乗減倂 大衍各正二對減盡 紀元負一無減 太初異倂得正八十四下數異併得負四百八十六又重列之(以減餘與丁行相對)首位同名同數省互乗 紀元各負一對減盡 太初同減餘六為法 負四百八十六無減為實法除實得八十一分為太初日法 以丁行太初九十乗其日法(八十一分)得七千二百九十分為紀元日法 以甲行太初十一乗其日法(八十一分)得八百九十一異加負四十九得九百四十分為殷厯日法 以乙行殷厯三乗日法(九百四十)得二千八百二十又太初二乗日法得(一百六十二)又異加負(五十八)共得三千○四十分為大衍日法計開殷厯日法 九百四十分漢太初厯日法 八十一分唐大衍厯日法 三千○四十分宋紀元厯日法 七千二百九十分又按列位之法原與省乗省算之法相生故共為一卷合觀之可也今以六色無空者為例如後問齊軍千乗其陳有先驅申驅為前軍有啟與胠為兩翼有戎車貳廣為中軍有大殿為後軍各不知數但以前軍居餘陳七之三合兩翼二廣與殿多餘陳四十乗合前軍兩翼與中後較則多二十乗前軍合殿與翼中軍較則少二十乗先驅大殿居與陳二之一而少五乗各若干畣曰前軍共三乗内先驅一百四十乗申驅一百六十乗兩翼共二百一十乗内啟與胠各一百○五乗中軍共三百乗内戎車一百八十乗(帥)貳廣一百二十乗(副)後軍一百九十乗是為大殿法以和較襍列位有七之三二之一依變零為整以分母各乗而後列之如法互乗減倂變為五色有空而重列之空者偶也若不空亦儼然變為五色矣前三行減餘首位申驅皆空故不湏乗減但以末二行乗而減之減去申驅即變四色矣又以申驅數本同故不湏乗而竟以對減乃以四色法重列之四色無空法也雖有空而非首位不能省算與無空同因首末兩行之翼數皆倍于中兩行故省互乗但以首末兩行皆半之使其翼數齊同乃原數對減而變為三色又重列之因次行末行戎車同但首行多于次行二之一故省互乗但以次行二分加一與首行對減其次行與末行竟以原數對減變為二色而重列之貳廣同故省互乗竟以對減盡 大殿異名併得五為法 車同名減餘九百五十乗為實 法除實得一百九十乗為大殿車數 以大殿車數異加正五十乗共二百四十乗以貳廣二除之得一百二十乗為二廣車數(用末次右行數) 二乗大殿車數同減負二十乗戎車二除之得一百八十乗為戎車公卒數(用第四次)(三色中行數也) 二乗戎車異加正六十乗兩翼二除之得二百一十乗為兩翼共數(用第三次所列四色之次行)又半之即啟與胠數 合計兩翼(二百一十)戎車(一百八十)貳廣(一百二十)共數(五百一十)同減負三十乗餘(四百八十)以申驅三除之得一百六十乗為申驅數(用第二次所列五色之第四行) 合計申驅(一百)(六十)兩翼(二百一十)戎車(一百八十)貳廣(一百二十)共(六百七十)同減負十乗餘(六百六十)又減去大殿二計(三百八十)餘(二百八十)以先驅二除之得一百四十乗為先驅之數(用原列六色之第五行數)試細攷之合計兩翼(二百一十)戎路(一百八十)貳廣(一百二十)大殿(一百)(九十)共七百乗合計先驅(一百四十)申驅(一百六十)共三百乗三七差分也故曰前軍為餘陣七之三合計兩翼(二百一十)貳廣(一百二十)大殿(一百九十)共五百二十乗其餘前軍(共三百)戎路(一百八十)共四百八十乗故曰翼廣殿多餘陣四十乗合計前軍(共三百)兩翼(二百一十)共五百一十乗以較中軍(共三百)後殿(一百九十)共四百九十乗則多二十乗故正二十乗與前軍翼同名合計前軍(三百)大殿(一百九十)共四百九十乗以較兩翼(二百)(一十)中軍(三百)共五百一十乗則少二十乗故負二十乗與前軍殿異名合計先驅(一百四十)後殿(一百九十)共三百三十乗又合計申驅(一百六十)中軍(三百)兩翼(二百一十)共六百七十乗其二之一為三百三十五乗故曰先驅大殿居餘陣二之一而少五乗(以全當其半而少五乗則以倍當其全而少十乗矣此與)(第一行皆變零為整詳見帶分條)總計之則千乗矣故以和數參焉論曰此一例中能兼數法皆省算之捷訣也其第二圖五色變四色當有互乗減併者四次今以申驅空位省其三次此空位徑求省算之法也其申驅偶爾數同徑以對減與第五圖二色之貳廣數同徑以對減皆省乗定法也但皆和較之襍故雖不乗必以較行首位之正負補于和數之行不然則減併誤矣此要訣也其第三圖四色之首位偶有倍數故半其倍者以相從此亦省乗法也其第四圖三色之首位為三與二故加二為三是二加一也故其下皆二分加一則如遍乗矣然亦首位正負偶同也若不同者湏更其一行以同之首位雖同數又必同名然後可減而去之尤省乗之要訣又論曰方程無空者常法也如第一圖六色是也若不減併五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然雖省乗不能省減併矣其有空位者偶然也如第二圖五色有空是也空位多若更置列之所省尤多雖不更置而減倂之餘自然能補其空亦可見方程之有常法矣若更置之則自五色起如後圖因五色始有空也如此圖則省六算 戎翼不空故更之下位後行不空者更之前行以先乗正負列位甲乙行如法減去申驅以其餘四位重列之與丙行相對(一和一較也)重列如法減去貳廣又重列之與丁行相對(皆較數也如後)如法半減餘數以從丁行乃對減而重列之與戊行相對(又以翼同故更置之)上 中 下如法徑以對減餘戎路五為法倂得正負九百乗為實法除實得戎路數既得戎路數以次得餘重之數合問又術以一圖而為減併如後所列依法先得戎路亦同但其間和較交變錯然襍陳非深知猝不能了不如前術之為安穏明白也歴算全書卷四十二
## 卷四十三
欽定四庫全書厯算全書卷四十三宣城梅文鼎撰方程論卷四刋誤古之為學也精故其立法也簡而語焉不詳闕所疑而敬存其舊無臆參焉斯善學也已不得其理而强為之解以亂其真古人之意乃不可見矣意不可見而訛謬相仍如金在沙淘之汰之沙盡而金以出故刋誤次之方程之誤厥有數端一曰立負之誤(立負誤也四色五色期于立負以為法誤之誤也自騾馬逓借一問諸書沿訛)(而加減之誤因之矣)一曰加減之誤同加異減一誤也(誤沿于牛羊豕相易之一問由不知正負之有更也)竒減偶加二誤也(誤沿于桃梨問價以不知和較之交變也)一曰法實之誤(以上為法下為實拘也以法必少實必多亦謬也)一曰倂分母之誤一曰設問之誤(如井不知深而以除法為井深問中先已大誤)立負辨立負非古人法也何以知之有負則有正今立負而不言正非正負之本㫖也或曰有正則有負則言負可不言正矣是又不然凡和之變而較也有減其和數而盡者亦有減其和數而餘者其減而盡者命為適足而無較數則但言此之為負以見彼之為正可矣若減而餘者是有較數也而但言負不言正何以知其較數必與正物同名乎即使同名而竟不明言其為正何以分别同異而為加減乎至于以有空位而立之負則又不可何也和之或變而較也固不必以空位也但減餘分在兩行而兼用之即變較數矣今必以有空位者而立之負則無空位者即不立負乎然則和數之無空位者終于同減而無異併乎將進退失據矣故曰非古人法也凡言正負者分其物以相較也不言正負者合其物以言數也皆自然而有之名非立之也而立負乎哉夫不知正負之出于自然而强立之負則同異之㫖淆而加減之用失種種謬誤縁之以生故謹為之辨今以諸書所載立負例攷定如左假如米四石二斗以馬一騾二驢三載之皆不能上坡若馬借騾一騾借驢一驢借馬一則各能上坡問馬騾驢力各幾何畣曰馬力二石四斗 騾力一石八斗 驢力六斗法各以和數列位(馬借騾一則一馬一驢也騾借驢一則二騾一驢也驢借馬一則三驢一)(馬也各以其本數加借數而列之干方程法則和數而已)此三色有空法也中行無馬原只二色故不湏乗減但先以左右兩行首位不空者對乗 又因兩行馬數皆一乗皆如故故徑以對減馬減盡 右騾一左驢三皆無對不減 米各四石二斗亦對減而盡乃視減餘騾一在右行驢三在左行分在兩行是有正負也 米亦減盡是正負適足也重列之論曰此和數變為較數也何以言之兩行之馬相若而其載物又相若則其所偕以共載之騾一與驢三其力亦自相若矣故命之適足適足者以兩相較而成故曰變為較數也然謂之適足可也謂一行俱減盡則不可也減盡者同類之物而其數又同故物與數俱減盡也適足者物非同類而其物之積數則同故其物不能減盡而數則減盡也物不同而數同故曰適足也適足者存之為用也物數俱減盡者清出其一色而不復用也如此三色中雖不能遽知各力然已知驢三騾一之適相當矣則已清出馬之一色而變為二色矣此逓減立法之意也又論曰減餘適足則有正負矣其原列只是和數無正負也諸書以逓借一匹之故而列之曰借又别其本數曰正不知正與負對非與借對也雖逓借一匹其實是本有之頭匹與所借之頭匹共載此米故曰和數逮減餘乃變為較耳故減餘適足宜言正負也而諸書但立負原列和數無正負也而忽分正借又不立負于減之後而立于其先正也借也立負也三者相亂而靡有指實古人之法固如是乎哉次以中行原數與減餘對列 因中行馬空故徑求也此和較雜也 減餘分正負 中行原無正負以減餘騾負一遍乗中行如故(較乗和也數雖如故但皆以乗法之名名之為負)又以中行騾二遍乗減餘得數(和乗較也故仍其正負之名)騾同减盡 驢異併得七為法 四石二斗無減就為實 法除實得六斗為一驢之力 三因驢力得一石八斗為一騾之力(適足故也)以騾力一石八斗減四石二斗餘二石四斗為一馬之力(原右行數)論曰減餘原是騾一與驢三力等乗後得數則騾二與驢六亦等也然則于中行共力中減去二騾而以相等之六驢益之其共之四石二斗亦必與原載等也故併此六驢與原列一驢共七為法以除此四石二斗而驢力可知也 驢三與騾一既等則三驢之所載即騾力也 騾與馬各一共四石二斗則減騾力即馬力也又論曰此因中行有空故徑求也使其不空自當與左行或右行遍乗而減去其馬與其數乃列兩減餘如二色求之此常法也今中行馬空原只二色恰與減餘之二色相對故徑相乗減是省一算也諸書皆言因左行騾空故立負騾一與中行對乗不知左行騾空而右之騾一無減猶右之驢空而左之驢三無減也其與中行相對乃用此兩色之減餘非獨用左行也盖左行有馬中行無馬原無對乗之理亦猶之右與中不可對乗惟減餘是二色可以對乗雖云徑求實自然之理勢也而强立之負以用左行乎有正斯有負立負騾于左行為與何物相對耶以馬一為正耶驢三為正耶其馬一驢三皆正耶既無所指則負為徒立矣凡言正負者其下數必為正與負之較今所用左行之四石二斗者為是騾一與驢三相較之數耶騾一與馬一相較之數耶將合馬一驢三與騾一相較之數耶則皆無一合矣凡物有正負者其較數亦有正負此四石二斗者正耶負耶若無正負即是和數不應立負騾矣若以四石二斗為和數則更非理夫以馬一驢三之共數加一騾力而其數如故理所無也若去一馬用一騾而與驢三共此米抑又不能馬與騾之力原不同乃去一馬加一騾而其數如故理所無也然則此四石二斗安屬耶彼惟不知四石二斗之減盡即為適足故誤至此也又謂右行俱減盡不知減盡必兩行數同如馬一與米四石二斗也若騾一驢三固未嘗有減也况盡乎方程立法原以對減有盡不盡而得其朕兆若三色俱減而盡其算不立矣惟不知有空位者可以徑求而誤以所用之減餘為是左行之原數故也凡減盡者兩俱減盡不應右減盡而左行獨存若謂復用左行之原數何以不用原列之馬一而加一負騾以為馬一減去故不用則四石二斗何既減而復存耶故以立負騾減馬一為用减餘之法則四石二斗不宜存四石二斗為用原列之法則馬一不宜減負騾不宜立破兩法而叅用之一不成矣承譌者遷就多岐抑奚足怪今試以減餘更置則先得騾力如後圖如前法以一和一較遍乗得數 驢同名減盡 騾異併得七為法 正十二石六斗無減就為實 實如法而一得一石八斗為騾力以驢三除相當一騾之力得六斗為驢力(任于原列左行或右行如法減驢力或騾力得馬力)論曰凡減餘重列之數皆可更置互求何則皆實數也三色減去一色即二色法矣若干減餘之適足加以四石二斗則不可以互求故知其誤又試以原列更置之先減去騾如後圖如法先以右中遍乗 騾减盡 中行驢一 右行馬二皆無減分正負列之 載米餘四石二斗在右行與馬同名 左行騾空故徑與減餘相對 依和較雜法乗之 驢同減盡馬異併七為法 載米異倂十六石八斗為實 法除實得二石四斗為馬力以馬力減四石二斗餘一石八斗得騾力 以馬力倍之同減四石二斗餘六斗得驢力試又更之如後圖如前法先以右中兩行遍乗減去驢餘馬一騾六皆無減分正負載米餘八石四斗在右與騾同名乃重列之如前法徑與左行相對遍乗 馬同減盡騾異併七為法 載米異併十二石六斗為實實如法而一得騾力以次得驢馬力皆如前論曰凡諸色方程其上下皆可互更如上二圖以空位徑求之法求之無所不合也又試以原列無空而減餘適足者為例如後假如有三車三槖駝七牛各欲載物六十四石而皆不能勝若車借駝牛各一駝借車牛各一牛借車駝各一則皆能載問三者力若干畣曰車二十四石 槖駝十二石 牛四石法以和數列位如法乗 車皆減盡 甲乙兩行減餘皆在乙行和數也 乙丙相減餘乙駝二丙牛六是有正負也載物減盡適足也(乙丙載物減盡則不但對減去之物適相當而其減餘之駝二牛六)(其力亦適相當也雖欲不命之適足不可得矣)乃以和較雜重列之依一和一較法求得牛三十二為法 載物一百二十八石為實 法除實得四石為牛力 牛六共力二十四石以相當之駝二除之得十二石為駝力以牛力駝力減六十四石餘四十八石車二除之得二十四石為車力(用右行原數)論曰此亦以和變較而有適足之數也豈以有空位而立之負乎可以悟其非矣試更以較數求之假如運糧以象馬牛車三種但云接運時以三象所載與四牛車二十四馬載之則餘三十六石以八牛車所載與二象十二馬載之亦餘三十六石以七十八馬所載與二象二牛車載之亦餘三十六石問各若干畣曰象七十二石 牛車二十七石 馬三石法以較數列位如法互乗減併重列其餘(中行每加二分一則首位象與右齊同可對減矣其)(中左象本同徑以對減皆省算法也)依省算法求得馬三十載九十石以馬除載得三石為馬力 馬九十載二百七十石牛車十除之得二十七石為牛車力 合計牛車四馬二十四共載一百八十石異加正三十六石象三除之得七十二石為象力(用右行原數)論曰此原列較數也而其較數亦有減而適足者然則先無適足減之而成適足者往往有之矣惟適足故分正負非以空位而立負也故知減餘之亦有適足而復用左行者非矣知用減餘而非用左行則立負之非不攻而破矣同加異減辨同名相減則異名相加矣諸書所載忽而同減者忽而異減忽而異加者忽而同加豈不謬哉又為之説曰以正為主則同減而異加以負為主則異減而同加又為之説曰同名相乗則其下同減而異併異名相乗則其下異減而同併言之縷然用之紛然而要之非是也夫同名相減即如盈朒章兩盈兩朒相減也異名相併即如盈不足相併也豈有同加異減之理乎所以誤者不知正負交變之法也正負宜變而不變則首位之異名者何以能對減而盡乎不得不遷就其法同加異減矣苟知其變則首位必同名首位既同名則凡減皆同名凡加皆異名較若畫一何必紛紛强為之説乎凡減餘重列有仍其負正如故者亦有更其正負絶非其故者且有先無正負及其重列而有正負者有先分正負及其重列之而反不分者若但以初名為定則加減皆舛矣假如同減之餘分在兩行而為同名(或左餘正右亦餘正或左餘負右亦)(餘負)則重列必為異名矣必變其一行之名而列之而其下所餘數必是此二異名物之較數也若無餘數必是此二異名物相當適足也(此以三色言之若四色以上減餘位數多)(者皆倣此論之)若同減之餘分在兩行而為異名(或左餘正而右餘負或左餘負而右餘正)則重列必為同名矣而其下所餘數必是此二同名物之和數也(此亦以三色言之其減餘只二色故也)則其原列正負之名皆不用矣若異倂者尤為易見何也凡異併者正與負併也正與負併則如一物矣故重列之際必以一行為主而定其名(或為正或為負或變和數則無正負)若但守初名而不知所變將一物而名之正又名之負乎必不然矣兼此數端知正負之交變出于自然非强名也(不知正負之變亦不知和較之變矣)(故又有竒減偶加之誤也)今以諸書所載同加異減例考定如左假如以牛二羊五作價易猪十三剰價五兩以牛一猪一易羊三適足以羊六猪八易牛五不足三兩問價各若干畣曰牛價六兩 羊價二兩五錢 猪價一兩五錢列所問數先以右行牛正二遍乗中左兩行得數(中右首位同名故正負不)(變右左首位異名故變左行之正負以從右亦為以少從多)次以中行牛正一遍乗右行皆得原數 乃以中右兩得數對減 牛各正二同名減盡 羊異名(右正五中)(負六)併得十一猪異名(右負十三中正二)併得十五 價無減(右正五兩中適足)仍得五兩 于是分正負以價與羊為同名而重列之(羊右正中負猪右負中正故仍為較數價與羊同為正于右行故仍為同名)次以左行牛負五遍乗右行得數(左行既變以從右則右行不變仍其)(正負)乃以左右兩得數對減 牛各正十同名減盡羊異名(右正廿五左負十二)併得三十七 猪同名(右負六十五左負一)(十六)減餘四十九(在右) 價同名減(右正二十五兩左正六兩)餘十九兩(亦在右) 于是亦分正負亦以價與羊同名而重列之 羊與餘猪原分正負于右故仍為較數價與羊同為正于右故同名列兩減餘如法以兩正羊遍乗得數 乃對減 羊同減盡猪同減餘十六為法 價同減餘二十四兩為實法除實得一兩五錢為猪價 以猪十五價二十二兩五錢異加正價五兩(共二十七兩五錢)羊十一除之得二兩五錢為羊價 任于原列中行羊三價七兩五錢内減猪價一兩五錢餘六兩為牛價論曰凡列正負可以任意呼之要在知下價之于正負孰為同名耳若乗後得數則其首列一位必以同名而相減故正負有時變而其價之正負從之變矣故同異加減必以乗後得數而定也如此所列左右行先為一正一負異名之價而乗後得數必為同名之價何也兩價皆與牛同名而牛在首列得數必同名故也若以羊更置首列則兩價得數必異名何也價與羊于右同名而于左異名也試更列之于後上 中上 中下 下如法以中行羊與左右兩行互遍乗得數相減 羊同減皆盡 右中牛異併三十七 猪異併一百十八 價異併四十五兩(價與牛同名)中左牛同減餘九猪異併三十 價九兩無減(與牛同名)乃以兩減餘各分正負而重列之如法以牛互遍乗而變左行之正負以相從 牛同減盡 猪同減餘四十八為法 價同減餘七十二兩為實 法除實得猪價以次得牛羊價合問 試又更之如法以中行猪與左右兩行互遍乗得數相減 猪同減皆盡右中羊異併一百十八(右負中正) 牛同減餘四十九(餘負)(在中) 價同減餘一兩(餘負在右) 分正負(以價與羊同名) 左中羊異併三十(中正而左負) 牛異併十三(中負左正) 價三兩無減(中之負數)亦分正負(以價與牛同名) 皆重列之如法互乗羊同減盡牛同減餘六十四兩為法價異併三百八十四兩為實法除實得牛價六兩以次得羊價猪價論曰反覆求之皆同減異加别無他術可見古人立法之簡快竒減偶加辨方程立法只同名相減異名相加盡之(和數有減無併皆同名也較數有減)(有倂或同名或異名也和較交變故減併相生)不論二色三色四色乃至多色皆一法也今諸書不察偶見瓜梨一例有竒減偶加之形不得其觧遂執為四色之定法而不知通變使方程一章之法為徒法而莫可施用深可惜也故覼縷辨之今將𤓰梨一問考定如後假如有𤓰二梨四共價四十文又梨二榴七共價四十文榴四桃七共價三十文𤓰一桃八共二十四文問各價幾何畣曰𤓰八文 梨六文 榴四文 桃二文法以和數列位 依四色有空以省算法求之惟甲丁兩行有𤓰如四色故先以相乗 𤓰減盡甲梨四丁桃十六皆無減 價餘八文 分正負(梨甲)(桃丁故也)以價與桃同名(同在丁行故也) 𤓰減盡矣而餘行皆無𤓰則只三色故徑以減餘之數與乙行相對如法互乗 梨同減盡 榴二十八(左正)桃三十二(右負)皆無減價異併一百七十六文(右負左正)隔行之異名乃同名也以和數列之不分正負又以餘行無梨則只二色徑以減餘與丙行列之(于後)如法乗減榴減盡餘桃六十八為法價一百三十六文為實法除實得桃價二文 以丙行桃七價十四文減共三十文餘十六文悉榴價也榴四除之得榴價四文 以乙行榴七價二十八文減共四十二文悉梨價也梨二除之得梨價六文 以甲行梨四共二十四文減共四十文除十六文悉𤓰價也𤓰二除之得價八文論曰此和數變為較數而較數復變和數也何以言之初次減餘價八文乃桃多于梨之價故曰變為較數也(桃十六價三十)(二文梨四價二十四文差八文)何以知之餘數分在兩行也(桃十六在丁行梨四在甲)(行)何以知桃多于梨桃與價同在丁行故同名也然所用分正負者是甲丁兩行之減餘非但以丁行空位而立負也又因乙丙𤓰位皆空故用此減餘徑與乙行相對是省二算也乃徑求也非專用丁行為主也減餘較也乙行和也一和一較故有異名相併而非以偶行故加也若第二次減餘則復是和數何也其相併一百七十六文乃桃榴之共價(桃三十二價六十四文榴二十八價一百十二文共此數)而非其較數故曰復變和數也何以知之桃與榴雖分餘于兩行而異名然隔行之異名乃同名也(乙行榴正價亦正減餘桃負價亦負兼而)(用之變為同名矣)至于立負之非此尤易見盖既變和數無正負矣雖兩遇空而無減豈得謂之立負乎又因丙行梨亦空故徑用減餘與之對減是又省一算非以丁行對丙行也而顧曰立負榴于丁行誤之誤矣減餘變和丙行相對是兩和也故有減而無併也而豈以竒行之故而減也乎哉 今試以甲丁之行易之則加減全非矣如法以甲丁行對乗減𤓰盡 桃十六(甲)梨四(丁)皆無減 價相減餘八文(甲) 乃分正負以價與桃同名而重列之與乙行相對如法乗 桃同減盡 榴六十四(左正)梨二十八(右負)皆無減 價同減餘四百二十四文 依前論隔行之異名即同名也不分正負而重列之與丙行相對如法減榴 餘梨六十八為法 四百○八文為實法除實得梨價六文以次得諸物價皆如前論曰此但更其前後之行耳而價皆同減無異併可見竒減偶加之非通法矣 又試以上下之位而更之如法以甲丁先乗減去梨盡 餘榴二十八(甲)𤓰四(丁)皆無減 價相減餘八十文(甲)依前論分正負以價與榴同名而重列之與乙行相對如法乗減榴盡 餘桃一百九十六(左正)𤓰一十六(右負)皆無減 價相減餘五百二十文(左正)依前論復變和數不分正負而徑與丙行重列之如法減桃 餘𤓰六十八為法 價五百四十四文為實 法除實得𤓰價八文以次得諸物價皆如前論曰此亦有同減無異加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁減餘更置之則亦有異併之用如後圖論曰此下價何以倂異名故也何以異名凡一和一較方程在和數行者其得必與較首位同名故其較數之價與首位同名者則亦與和價同名也其與首位異名者與和價亦異名也先用丙行何也以有𤓰故可與餘𤓰相減亦可見行次之非定也 理之不定乃其一定凡事盡然泥一端以定之轉不定矣又論曰此亦復變為和數也何以知之正榴正價皆右負桃負價皆左以之併為一行則無正負矣盖隔行如法減桃 餘榴六十八為法 價二百七十二文為實 法除實得榴價四文以次得諸物價皆如前論曰兼此數端知加減非闗行數矣統宗歌曰四色方程實可誇湏存末位作根芽若遇竒行湏減價偶行之價要相加諸書仍訛又推而至于五色六色皆云以末位為主而自首行以往皆與之加減至其所以加減者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒數也則價與末行減二行四行偶數也則價與末行加而不言同異名將竒行者皆同名乎偶行者皆異名乎未可必也不知彼所設問各行逓空兩位勢必挨列雖云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也(省算卷辨之極詳可以互發)既挨列矣餘行之首一色皆空不湏乗減惟末行首行相對可以互乗非用末行乃用上一色相對之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又當以中行先用矣雖欲以末行為主得乎至于第二次重列而乗減者乃用首行末行相減之餘也非専用末行也葢兩行相減乃生餘數若謂之用末行亦可云用首行矣又因各行多空故徑以減餘與次行乗減得數又徑以減餘與三行乗減乃省算之法于末行毫不相渉也且方程之行次非有定也其前後可以互居左右中可以相易亦何從而定之為末行乎末行無定矣又安有竒偶之可言乎而以是為加減之定法乎然則惡乎定曰詳和較以列減餘别同異以定加減苟其和數也雖空無減不立正負也苟其較數也雖無空位分正負也此列減餘之法也但同名者不論何行皆減但異名者不論何位皆加此定加減之法也如是而已法實辨算家法實皆生于問者之所求如有總物若干總價若干而問每物若干價則是以物為法價為實也或問每銀一兩得若干物則是以價為法以物為實也諸算盡然則方程可知矣算海説詳曰中餘為法除下實盖本統宗然其説非也同文算指曰以少除多其説亦非也何以明之曰方程法實猶諸算之法實也故必于問者之所求詳之中下多少非可執也假如和數方程有物若干又物若干共價若干是物之位在上中而價之位在下也若問每物之價而以物為法銀為實是中除下也固也或問每銀一兩之物而以銀為法物為實又當以下除中矣不知問者之所求以物求價乎以價求物乎愚故曰中下難執也又物之價值莫可等計有賤于銀之物以一兩而得數千百斤有貴于銀之物以數十百金而得一物假如有貴物若干又若干共價若干是物之數少而銀之數多也而問每物之價謂之以少除多似也若問每銀之物不又當以多除少乎又如有賤物若干又若干共價若干是物之數多而銀之數少也而問每銀物若干謂以少除多可也若問每物價若干不且以多除少乎惟以多除少故有不滿法之實實不滿法故有以法命之如云每銀一兩于物得幾分之幾者是也其物多除銀少者則有退除為錢若分釐故曰多少難拘也多少中下既不足以定法實則法實安定曰亦惟于問意詳之而已 今具例如後論曰方程法實只是以下一位與上中數位相湏為用耳故有實一而法二其三色者則有實一而法三若以下除中者則有法一而實二或法一而實三故用互乗之法以減之及其用也則只是一法一實而已二色者互乗而對減其一則一法一實也三色者對減其一又對減其一亦一法一實也四色五色其法悉同此方程立法之原也問河工方九百尺以當築城八百尺城多一工以河工七百二十尺當城工七百尺城多二工問每工一日若干尺畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺如法乗減 餘城工五萬四千尺為實 工一千○八十為法法除實得每工五十尺為城工每日之數以城工五十尺除右行八百尺得十六工同減負一工餘十五工以除河工九百尺得每工六十尺為河工每日之數論曰此以下除中也縁所問每工一日土若干尺以工求土也故以工為法土為實若拘中法下實則法實反矣若問每土千尺該用幾工則當以五萬四千尺為法一千○八十工為實法除實得百分工之二是為每城工一尺之數以所問每千尺乗之得二十工是為城工每千尺用工二十日也 若用異同除則以土千尺乗一千○八十工得一百○八萬工為實以法五萬四千尺除之得二十工為城工每千尺之數亦同於是以二十工乗八百尺(用右行原列)千尺除之得十六工減負一工餘十五工河工九百尺數也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺數也以問千尺乗之得十六工又三分工之二為河工千尺之數 用異乗同除以千尺乗十五工得一萬五千工九百尺除之得十六工又九之六約為三之二亦同問開渠十七工築堡二十工共以立方計者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲計土續工則每百尺得幾工畣曰開渠每土一百尺(二工半)築堡每土一百尺二工如法乗減 餘堡工八十為實 土四千尺為法法除實得每尺百分工之二以百尺乗之得二工為築堡每百尺之工(或異乗同除以百尺乗八十工得八千為實以法四千尺除之亦得)(每百工二工) 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以減共三千二百尺餘一千二百尺渠土數也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半為開渠每百尺之工(或異乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百)(尺除之亦得每百尺二工半)論曰此亦以下法除中實也縁所問以土求工故也又為以多除少盖土之數原多于工也故退除而得其分秒而所問者每百故又有異乗同除之用也併分母辨自方程笇失傳有可以方程立算亦可以差分諸法立算者則皆收入諸法而不知用方程如愚末卷所載方程御襍法是也有實非方程法而列于方程如同文算指所収菽麥畦工諸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫謂之方程如併分母之法是也諸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母問甲乙二窖不知數但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙則各足二千石畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相減餘二千石為實併兩分母共五為法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石為乙窖以乙窖減二千石餘八百石以甲分母二乗之得一千六百石為甲窖論曰此法不然乃偶合耳若分母為三與四即不可用或分子為之二之三亦不可用况方程法原無平列兩色物之理而此獨平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之則無所不合依帶分化整為零法列位如法乗減 甲減盡 餘乙五分為法 餘二千石為實 法除實得四百石為乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石為乙窖 以乙之一分減二千石餘一千六百石為甲窖論曰此亦用五分為法也然為得數相減之餘非併分母也所用之實亦二千石然為甲分互乗之數相減非甲乙兩分母互乗相減也亦先得四百石為乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先減去甲而餘乙為法以先得乙之分若列乙于上則亦先得甲分矣試更列之以先求甲窖如法乗减 乙减盡 甲餘五分為法 餘四千石為實 法除實得八百石為甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石為甲窖以甲之一分減二千石餘一千二百石為乙窖論曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而對減者皆實數也若併分母為法則無實數可言故不可以互求愚于帶分言之備矣或化整為零(如上所列二例是也)或變零從整或除零附整共有三法凡帶分者皆可施用若併分母為法則多所不通矣 凡此皆諸書沿誤而同文算指亦皆收入未嘗駁正也試以分母非三與二者求之假如有句股不知數但云以股四之一益句以句三之一益股則皆二丈二尺問句股各若干畣曰句一丈八尺 股一丈六尺依化整法列位上 中 下如法乗減 餘股十一分為法 四丈四尺為實法除實得四尺為股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺為股以股之一分減共二丈二尺餘一丈八尺為句論曰此十一為法也若以股列于上則亦十一分為法也如併分母將以七為法其能合乎又試以分子非之一者求之假如有股與弦不知數但云若取弦六分之二以益股則五丈五尺若取股三分之二以當弦則少五丈五尺問若干畣曰股三丈 弦七丈五尺法以一和一較依化整法列位如法互乗 股同名減盡 弦異名併得二十二分為法 數異名併得二十七丈五尺為實 法除實得一丈二尺五寸為弦之一分以弦分母六乗其一分得七丈五尺為弦 以弦之二分二丈五尺減共五丈五尺餘三丈為股論曰此以二十二為法也若以弦列于上則亦二十二為法也而併分母是將以九為法矣豈不毫釐千里乎以上數則皆不可併分母為法問者或云甲乙倉粟不知數但知共二千石其甲二之一與乙三之一等各若干畣曰甲八百石 乙一千二百石法以和較襍列位亦用化整為零徧乗甲同減盡 乙異併五分為法 二千石無減為實 法除實為乙之一分 以乙分母三乗其一分得一千二百石為乙倉 因適足故乙之一分猶甲之一分也以甲分母二乗之得八百石為甲倉論曰惟此有似于併母然實非併分母乃併得數之異名者也又按併母法與方程不同假如有倉粟取三之一又二之一共計二千石問原數若干畣曰原數二千四百石法以兩母互乗其子而併之得五為法 以兩母相乗得六以乗二千石得一萬二千石為實 法除實得二千四百石為原倉之粟論曰此即併母法也因兩分子皆一故併母用之實併兩分母互乗其子之數也盖既曰三分二分其原數必可以三分之又二分之者也故以兩分母相乗得六借為原數之衰原數六則三之一即二也二之一即三也併而用之借為所取之分如云取原數六分之五而二千石也六分之五為二千石則其全數必二千四百石矣此通分法非方程設問之誤辨算家設問以為規式意雖引而不發數則實而可稽苟其稽之而無有真實可言之數則其意不能自明而何以為式乎至其立法之多違于古皆以不深知算理而臆見横生又相因而必至也故以設問為之目今將同文算指所載井不知深例考定如後餘如此者尚多不能一一為辨也(錢塘吳信民九章比類亦載是例非同文創立也盖方程)(之沿誤久矣)問井不知深以五等繩度之用甲繩二不及泉借乙繩一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六借甲一乃俱及泉其井深若干五等繩各若干原法曰列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為井深積列位一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○負一 ○負一 ○負一 戊六 七百二十一乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲二遍乗五甲(甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百)五行甲一亦遍乗一行對減(甲得二減盡乙得一因五行乙空立負一積七)(七百二十一本數以減五行仍餘七百二十一)次以二行乙三乗五行(乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二)五行乙負一亦乗二行(乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百)(二十一得本數併入五行積共二千八百八十四)再以三行丙四乗五行(丙負一得四戊正三十六得一百四十四積二千八百八)(十四得一萬一千五百三十六)五行丙負一亦乗三行(丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數)(與五行對減餘一萬○八百一十五)又以四行丁五乗五行(丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬○八)(百一十五得五萬四千○七十五)五行丁負一亦乗四行(丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十共七)(百二十一積得本數併入五行積五萬四千○七十五共五萬四千七百九十六)乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積(七百二十一)餘六百四十五以丁五除之得丁繩一丈二尺九寸以減三行積(七百二十一後同)餘五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸以減二行積餘五百七十三以乙三除之得乙繩一丈九尺一寸以減一行積餘五百三十以甲二除之得甲繩二丈六尺五寸論曰此一例中有數誤 一者以末行為主而以一二三四與之相乗此由不知和較交變而沿竒減偶加之失誤一 一者謂末行有空故立負由不知有空徑求而沿立負之非誤二 一者以除法命為井深而設問不明言丈尺誤三 又輒立母逓相乗加借子一之法誤四 一例中誤至數端將令學者何所措意乎前之兩誤(謂以未行為主而竒減偶加反立負之法)業于𤓰梨諸例辨之綦詳可以互見今特明後兩誤之非具如後論凡言百十者皆虚位也其實數以单位為端故单位為寸則十者尺百者丈若单位為尺則十者丈百者十丈若單位為丈則十者十丈百者百丈七百二十一以為井深不知其所謂一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚懸然其為七百二十一者不殊也先不明言尺寸雖得數何以命之詳觀問意乃借井深以知各繩故井深者和數也在各行中皆所列諸繩之共數必先知此共數然後以乗減之法求之而各數乃見矣而不先言井深轉借各繩以求之方程中無此法也故其所得但為七百二十一之虚率而不能㫁其為丈尺何等亦固然耳七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一則一千四百四十二若三其七百二十一則二千一百六十三推之以至于無窮凡可以七百二十一除之而盡者皆可以五等繩相借而及泉也故使其井為一丈四尺四寸二分之深則戊繩必一尺五寸二分丁繩必二尺五寸八分丙繩必二尺九寸六分乙繩必三尺八寸二分甲繩必五尺三寸矣使其井為二十一丈六尺三寸之深則戊繩二丈二尺八寸丁繩三丈八尺七寸丙繩四丈四尺四寸乙繩五丈七尺三寸甲繩七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三則偕丙一若丙四則偕丁一若丁五則偕戊一若戊六則偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也七百二十一者除法也以此為法除井深乗併之數而得一繩因以知各繩即不得以此命為井深除法法也井深實也而以法為實乎以七百二十一為除法乃繩也如所求先得戊繩之數則此七百二十一者即是戊繩也其五萬四千七百九十六者乃七百二十一戊繩之共數也以戊繩七百二十一為法除其共數而得七十六則是一戊繩之數也故七百二十一者繩也五萬四千七百九十六者井深也(假如一井深七丈二尺一寸則七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井無)(此深乗併而有也數猶戊繩之七百二十一亦以乗併而得也)而顧以繩之積為井深之積乎假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其為戊繩之共數必一百○九丈五尺九寸二分而其戊繩亦必七百二十一以七百二十一為法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分則一戊繩之數矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也繩也繩之為除法者有定而其所除之井深無定也又輒立母子乗併之法夫以各繩為母而借繩為子未大失也盖于三繩中取一即是三之一于四繩取一亦即四之一也乃謂七百二十一為母相乗而加借子則非也盖位既迭空除首位減去外皆母與相乗乗子與相乗而不相遇至第四次乃相遇而又適當其變為一和一較之時異名相併故得此數以為除法耳固不得立此以為通法也假如問五色方程而各行不空則和較之變多端豈預知其減併即使各行有空如所列而或為較數則有減而無併亦將以借子加之乎又所加之一乃子相乗之數若遇借子為之二之三則皆不能徑用其原借之子數也故曰非通法也今試以井深一丈四尺四寸二分者舉例如後假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等繩汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉問繩各長若干法以帶分和數列位上上 上下 中上 中下 下上 下下依空位省算先以一行與五行對乗 甲減盡 乙一戊十二皆無對不減 和數餘一丈四尺四寸二分 乙在首行 戊與一丈四尺四寸二分在五行分正負列之 和變較也 餘行無甲繩不湏減徑以減餘與次行相對依和較相襍法互乗 乙繩同減盡 丙一(左正)戊三十六(右負)皆無減 和較數異併五丈七尺六寸八分(右負左正) 復變和數不分正負(隔行異名併故也)依和數乗 丙繩減盡 丁繩一(左)戊繩一百四十四(右)皆無減 和數減餘二十一丈六尺三寸(右)又復變和數也分正負列之餘行又無丙繩徑以減餘與第四行相對上 中 下依和較相襍乗 丁同減盡 戊異併七百二十一為法 和較數異併一百○九丈五尺九寸二分為實 法除實得一尺五寸二分為戊繩六之一 以減共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸為丁繩五除丁繩得二尺五寸八分為丁繩五之一 以減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺八寸四分為丙繩 四除丙繩得二尺九寸六分為丙繩四之一以減共一丈四尺四寸二分餘一丈一尺四寸六分為乙繩 三除之得三尺八寸二分為乙繩三之一 以減共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸為甲繩 二除之得五尺三寸爲甲繩二之一 以減共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分爲戊繩計開論曰此亦七百二十一為除法也減併之用與前無異而井深既别繩數迥殊不先言丈尺何以定之試又以較數明之今有數不知總其五人所分亦不知各數但云取乙三之一以當甲取丙四之一以當乙取丁五之一以當丙取戊六之一以當丁取甲二之一以當戊皆不足七百一十九問若干畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六法以較數列位依帶分法化整爲零如法乗 甲同減盡 乙一(左負)戊十二(右負)皆無減同名在隔行仍分正負 較數異併與戊同名 餘行無甲徑以減餘對第三行如法乗 乙同減盡 丙一(左負)戊三十六(右負)皆無減以隔行同名分正負 較數異併與戊同名 餘行無乙徑以減餘對第四行如法乗 丙同減盡 丁一(左負)戊一百四十四(右負)皆無減 以隔行同名分正負 較數異併仍與戊同名 餘行無丙徑以減餘對末行如法乗 丁同減盡 戊同減餘七百一十九為法較數異併一十四萬八千一百一十四為實 法除實得二百○五為戊之一分加正七百一十九共九百二十五為丁數 五除丁數得一百八十五為丁之一分加正七百一十九共九百○四為丙數四除丙數得二百二十六為丙之一分加正七百一十九共九百四十五為乙數 三除乙數得三百一十五為乙之一分加正七百一十九共一千○三十四為甲數 二除甲數得五百一十七加負七百一十九共一千二百三十六為戊數 六除戊數仍得二百○六為戊之一分計開論曰此其母與母相乗子與子相乗與前略同但末後相遇為同減故不以七百二十一為法而以七百一十九為法無他較數也若依母相乗而併子豈不誤哉且四次乗減其下較皆異倂亦足見竒減偶併之非又以法同而得數迥異者明之今有數五宗不知其總但云以乙三之一當甲以丙四之一當乙以丁五之一當丙以戊六之一當丁皆適足若以甲二之一偕戊則共數七百二十一問各若干法以和較帶分列位 化整為零甲同減盡 乙一(左負)戊一十二(右正)皆無減 一千四百四十一亦無減 隔行異名即同名也變為和數重列之與次行對乙同減盡 丙一(左負)戊三十六(右正)四千三百二十六(右正)皆無減 皆隔行異名亦變和數重列與第三行對丙同減盡 丁一(左負)戊三十六(右正)一萬七千三百○四(右正)皆無減隔行異名仍變和數重列與第四行對丁同減盡 戊異併七百二十一為法 八萬六千五百二十無減就為實 法除實得一百二十為戊六之一即丁數 五除之得二十四為丁五之一即丙數 四除之得六為丙四之一即乙數 三除之得二為乙三之一即甲數 半之得一為甲二之一以減共七百二十一餘七百二十為戊數計開甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十論曰此亦以七百二十一為法而其各數迥不相類則以下數之為和為較迥不相同也然則井深者即和數也而不先言其丈尺顧以除法命之可乎又試以分子逓借而非之一者明之今有甲乙丙丁船各十隻以載鹽九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四則各能載問各船若干法以和數列位列後甲減盡 乙四(右)丁一百(左)皆無減 以兩行故分正負 載鹽餘五萬九千八百五十六(左)與丁同名甲空與減餘對次行乙同減盡 丙八(左正)丁一千(右負)俱無減 引異併六十三萬八千四百六十四(右負左正)異名在隔行復變和數無正負 乙空以減餘對三行丙減盡 丁餘九千九百七十六為法 引餘六百三十萬○四千八百三十二為實 法除實得六百三十二引為丁船數 以丙借丁船三乗丁數得一千八百九十六以減共九千九百七十六引餘八千○八十丙所載也以丙十除之得八百○八引為丙船數 以乙借丙船二乗丙數得一千六百一十六以減共九千九百七十六引餘八千三百六十乙所載也以乙十除之得八百三十六引為乙船數以乙船數減共九千九百七十六餘九千一百四十甲所載也以甲十除之得九百一十四引為甲船數計開各船每隻載數甲船九百一十四引乙船八百三十六引丙船八百○八引丁船六百三十二引論曰此四色方程逓借法與諸書所載馬騾載米同亦與同文算指井不知深同但彼誤以除法為井深又誤立各母逓乗加借子法故設此問以顯其理此所用除法丁船九千九百七十六猶彼所用除法戊繩七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深無定即如此問九千九百七十六之除法有定而鹽之數無定也何言乎無定假如以九千九百七十六引而倍之則各船之所載亦倍矣以引數半之船所載亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引數何知之共載九千九百七十六引者鹽數也以九千九百七十六為法而除者船數也船為法者算家虚立之率鹽列位者問者現據之實數數雖偶同為用逈别以各原數為母借數為子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也謂母相乗而加借子一則非法也如此所用除法九千九百七十六何以處之又如後條馬歩舟師各借二分者又何以處之數雖似不可施之他數非通法矣又試以三色例亦用異加得除法者觀之假如有馬歩舟師不知數但云取騎兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟師七分之二益騎則皆得六千七百八十名畣曰歩卒四千五百名 騎兵五千七百名舟師三千七百八十名法以和數帶分列位依省笇以左行加二分之一 步卒減盡 騎二分(右)舟師十分○半(左)皆無減 共數減餘三千三百九十(左)分餘兩行變較數也 以較數與舟師同名中行步卒原空徑以減餘作二色列之依省算四因左行而退位 騎同減盡 舟師異併十一分三釐為法 和較數異併六千一百○二為實 法除實得五百四十為舟師之一分 以分母七乗之得三千七百八十名為舟師數以舟師數減共數六千七百八十餘三千所借步卒之二分也 二除之分母三乗之得四千五百為歩卒數以歩卒數減共數六千七百八十餘二千二百八十所借騎兵之二分也 二除之分母五乗之得五千七百名為騎兵數論曰此雖以異加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也厯算全書卷四十三
## 卷四十四
欽定四庫全書厯算全書卷四十四宣城梅文鼎撰方程論卷五測量測量非方程事也方程者算術算術恃計測量恃目實惟兩途測量之不能兼算術猶算術之不能兼測量雖曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股諸法在測量在方程有二一曰隂雲測量隂雲者不見宿度而雲影微薄之處猶能見五緯若見二星則有其相距之度而可以方程取之矣一曰宿度測量宿度者雖無隂翳而無儀器故借宿距一定之度以取之必有二星同見或星與太隂同見則成方程之算矣隂雲測法假如隂雲不見宿次但於雲隙測得辰星在太白後一度又二日熒惑與二星同在一度又二日太白在熒惑前三度而辰星雲翳又一日辰星在房初度餘不可見又十二日熒惑始至房初問各行率若干畣曰辰星每日行二度 太白每日行一度有半熒惑每日行半度解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度熒惑與太白同行三日而太白多三度 辰星行四日熒惑十六日而行度相當也法曰以較數列位依省算以左行半之與右相減辰星同減盡太白二日(右負)熒惑八日(左負)皆無減分正負(同名在隔行即異名也)正 一度亦無減(與熒惑同名)重列減餘與中行依省算以左行減三之一乃對減 太白同減盡熒惑同減餘六日為法 行度異併三度為實 法除實得半度為熒惑每日行率 以右減餘八日乗之得四度同減負一度餘三度以太白二日除之得一度半為太白日行率 以右行太白二日行三度異加正一度共四度以辰星二日除之得二度為辰星每日行率假如測得辰星在金星後二度隂雲不知宿次但於四日後見二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星雲翳至第四日金星亦至房初而水星未見問兩星每日行率若干解曰此兩星各行四日而辰星多二度 辰星行三日金星行四日而其度相當法以較數列位二色者有一色偶同依省算徑以對減 金星同減盡 辰星同減餘一日為法 正二度無減為實法一省除徑以二度為辰星每日行率 以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半若欲知前兩測某宿度者以金星四日行六度為二星同度距房初之數 又加金星同行四日六度共十二度為前測金星距房之度 又加辰星在金星後二度為辰星前測距房之度 各以距度與房初度相求得前兩測星躔宿度如順行者前所測之宿在房後也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭減之不盡者以轉減前宿之度得星所在宿度 如逆行者前所測之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓減之減不及者即命為後宿星所在之度假如甲子日金星夕見乙丑日水星夕見至丁卯日水星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以陰晦不能細知宿次問各率若干解曰此金星行四日水星三日相當金星行三日水星二日則水星不及半度法以較數列位依省算左行二分加一 水同減盡 金同減餘半日為法空度七分半為實 法除實得金星日行一度半 金三日行四度半同減負半度餘四度以水星二日除之得日行二度假如廣福二船哨海福船先發行五日廣船行三日遇於中途其汎地相距二千五百里遂又同往一島廣船行四日先至候六日福船始至問各船每日行率解曰此廣船疾福船遲也 廣船三日福船五日共行水面二千五百里 廣船四日福船十日而水程相當畣曰廣船日行五百里福船日行二百里法以一和一較列位如法遍乗 廣船同減盡 福船異併五十日為法正一萬里無減為實 法除實得二百里為福船毎日行率 福船十日行二千里以廣船四日除之得五百里為廣船每日行率又如自東徂西共二千里先乗車行五日換舟行八日至其國其舟與車復同往一處車先行六日舟乃發行四日逐及問舟車行率畣曰舟每日二百里 車每日八十里解曰舟疾車遲 舟八日車五日共行二千里 舟四日車十日行適相當依省算半右行數 舟同減盡 車異併十二日半為法 正一千里無減為實 法除實得八十里為車率 以舟四日除車十日所行八百里得二百里為舟行率假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字風東行但甲船先發解䌫七日乙船後行解䌫五日追及於一島又自此島用正子午字風南行但甲又先發解䌫九日泊於南洋乙後發解䌫七日泊於又南洋其二洋相距二百里問道里各數法以較數列位甲船同減盡 乙船餘四日為法 負一千四百里為實 法除實得三百五十里為乙船每日率 以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里為甲船率 其一千七百五十里即山島相去之程 以甲船九日行二千二百五十里為島去南洋之程 又加二百里為又南洋之程合問計開甲船每日行二百五十里乙船毎日行三百五十里山島之距一千七百五十里島距南洋二千二百五十里距又南洋二千四百五十里自山至又南洋共水程四千二百里又假如二人同往西番公幹一人車一人騎車自某山西行九日騎自某河西行十日及之於一城其河在山之東相距三百里又自此城西行八日騎先至一國駐劄候一日車至問道里各如干法以較數列位如法徑減 餘騎二日為法 三百里為實 法除實得一百五十里為騎行率 併騎前後共十八日行二千七百里為所駐西國距河之程騎所行也減河距山三百里餘二千四百里為西國距山之程車所行也 併前後車行十八日除之得一百三十三里又三分里之一(即一百二十步也)為車行每日里率用車行里率乗九日得一千二百為城距山之程以減總距餘亦一千二百里為西國距城之程計開騎日行一百五十里 前後共行二千七百里車日行一百三十三里又三分里之一 前後共行一千四百里城距山一千二百里 距河一千五百里國距城一千二百里 距山二千四百里 距河二千七百里此上數則近事易知用明測量之理宿度測法凡測量之法有測器又有水漏則雖陰雲可以所見者得其度若但有測器而無水漏可以所見兩星之距度取之如前所列隂雲不知宿度之法是也乃又無測器而但據目見則當以宿度取之盖宿有一定之度借以為兩星之和度較度因所知以求不知此則方程之法可為測量者助也至於諸星行率古今厯術不同學者通其意無拘其數焉其可若一星單行非儀器比量莫知其遲疾之度然晴雨難期則亦有因所見以測所不見之時故算術不可廢也五星錯行多有相遇則和度較度可施若太隂毎月經行廿八宿一次與五星相遇亦每月有之精於推步者雖非假此定星然用與厯術相參有不藉儀器而知遲疾使看者引騐見効亦算家之樂也其五星各有遲疾留逆故測量比例當於相近日數内求之則所差亦不多也其遲疾變行湏查七政厯以約其日則一星單行亦自可考其進退之數兩星相較例假如兩宿原有定距(如房距心)若干度有一緯星在其間(如金)(在房心間)以旁星記之越若干日緯星行至東宿(如心)又别一緯星(如火星)在西宿(如房)越若干日行至先所記旁星之處此因無儀細測故借宿度用之如上所舉乃以宿距為二星和度也一緯星若干日(如金)一緯星若干日(如火)共行天若干度(如房度)故曰和度又如以一宿為主(如心)有緯星在其西(如木)以旁星記之越若干日緯星行過宿東至後一宿(如尾)又或異日别一緯星(如土)亦在前記緯星處所越若干日行至所借為主之宿(如心)此則以宿距為二星較度也一緯星若干日(如木)一緯星若干日(如土)相差若干度也(如心度)故曰較度凡此皆可以方程御之若得兩較度或兩和度或一和一較即二色方程術也若三星四星以上各得三兩宗測數以三色四色等方程求之無不可見如木星在一宿之西(如井鬼之間)越若干日行至其宿(如鬼)火星原在木星之西越若干日行至木星原處金星又在火星之西而恰當西宿(如井)越若干日行至火星原處又若干日亦至木星原處此亦借宿度為用而中有二和一較如云金星若干日火星若干日木星若干日共行若干度也(如井度) 又金星若干日木星若干日共行若干(亦用井度) 此二者和度也 又金星若干日火星若干日而其行適等(用火星至木星元處之日及金星自火星元處至木星元處之日)此則較度也(適足即較)(數也度無較其日則有較)又如火星在房宿之西越若干日行過房抵心宿而木星自火星元處越若干日至房宿又有金星或先或後亦自火星元處越若干日行至房又若干日逐及木星於房心之間此以宿距為較度者三 如云以火星若干日較木星若干日而火星之行多一房度也 以火星若干日較金星若干日而火星亦多一房度 以金星若干日較木星若干日而行度相等(用兩星逐及於房心之間日數)此上二則以三色取之 凡所測不必兩星同在一度但欲有旁星可記異日有他星復至所記旁星之處即成同度之算右皆順行星例又如一星順行自房行幾日一星逆行自心行幾日相遇同度於房心間自此分行又幾日其逆行星至氐此用一較度一和度也順行星幾日逆行星幾日共行房宿度此為和度 順行星幾日逆行星幾日而逆行星多一氐宿度此為較度(用逆行星相遇後至氐宿之日數)又如一星自建星順行至幾日遇逆行星又幾日至牛宿其逆行星自相遇處行幾日至建星又幾日至斗宿距星此亦一和一較 順行星幾日逆行星幾日而行度相當(用二星兩相遇處至建星之日數)此較度也 順行星幾日逆行星幾日而共行斗宿度(用兩相遇後順行星至牛逆行星至斗之日數)此和度也右逆行星例問金火二星在房宿之西同度越九日金星行過房東至一處有星可記又一日金星行至心宿又八日火星始至房又九日火星始至前所記金星之處其二星行度各若干解曰此金星行九日火星廿七日而行度相等金星行十日火星十八日而金星多六度(房宿六度故也)法以較數列位依省算以右行加九之一 乃對減 餘火星一十二日為法 六度無減為實 法除實得半度為火星率 以金九日除火廿七日行十三度半得一度有半為金星率假如太隂自尾宿初度行三日遇木星於斗牛間又三十日木星行至牛此太隂三日木星三十日共行四十五度(借尾至牛之度約略)(其數後倣此)木星自牛初行三十日與羅㬋遇於牛女間又一百二十日羅㬋退至牛此木星行三十日羅㬋一百二十日而度等(羅㬋計都月孛)(有數無形借顯逆行之用)羅㬋自牛初退行一百日遇土星於箕斗間又五十日土星行至牛此羅㬋一百日土星五十日行度等土星自牛初行三十日火星逐及遇於牛女間又三十日火星行至虚此土星三十日水星三十日而共行十八度火星自虚初行五十日水星逐及遇於危室間又十日水星行至奎此火星行五十日水星十日共行四十五度水星自奎初行十五日逐及金星遇於昴畢間又十七日金星行至畢此水星十五日金星十七日共行五十五度半金星自畢初行二十日遇計都於井鬼間又四十日計都退至井此金星二十日計都四十日而金星多二十八日(借畢至井之距為兩星之較)計都自井初逆行二十日遇月孛於參井間又十日月孛行至井此計都二十日月孛十日而行度等月孛自井初行八十日太陰逐及遇於井鬼間又二日太陰行至栁此月孛八十日太隂二日共行三十四度問各行率若干(凡此所設不必其同日在一度謂之相遇但與宿值或有星可記即如同度之理)如法列位(九色和較之雜)因九色行中擠廹既多空位取出其行次相對者列而先乗此捷法也先以甲壬太隂對減(兩行相對只三色餘俱兩空省不書俟重列時以次添入)用省算法以甲行三之一壬行二之一列之(因甲行可三除)(壬行可二除而除之則太隂皆一日故除而列之)徑對減太隂盡 餘木星十日(右)月孛四十日(左)減餘二度(左)分正負太隂減去尋原列中乙行有木星徑與減餘對列用前法以左乙行三之一與減餘列之 木星徑同減 羅四十日(左負)孛四十日(右負)負二度(右負)皆無減(以隔)(行同名仍分正負)木星減盡尋丙行有羅㬋徑與減餘重列用前法以減餘二之一丙行五之一列之 羅㬋同名徑減 餘三位無減 以隔行皆負分正負而孛與較同名羅㬋減盡尋丁行有土星徑對餘數和較列位用前法以丁行三之一列之而命之為正 土同減盡 餘無減 度異併七度 皆左正右負復變和數土星減去尋戊行有火星徑對餘數用前法以戊行五之一列之 火徑減 水(左)孛(右)無減分正負復為較 餘二度(左)與水星同名火星減盡尋已行有水星以對餘數(又因巳行不便省算改用辛行)(月孛相對)用前法以減餘半而列之 孛同減 餘俱無減隔行同名仍為較月孛減盡尋庚行有計都以對餘數(水與較度皆右行負同名)用前法以庚行半而列之計同減 水(右負)金(左負)無減仍為較餘十三度(左負)與金同名計都減盡尋巳行恰皆二色以相對如法乗 水同減盡 金餘異倂一百六十七日為法 度異併二百五十○半度為實 法除實得每日一度半為金星率以巳行金星十七日行二十五度半減共五十五度半餘三十度以水星十五日除之得每日二度為水星率以戊行水星十日行二十度減共四十五度餘二十五度以火星五十日除之得毎日半度為火星率以丁行火星三十日行十五度減共十八度餘三度以土星三十日除之得每日十分度之一為土星率以丙行土星五十日行五度以羅㬋一百日除之得每日二十分度之一為羅㬋率以乙行羅㬋一百二十日行六度以木星三十日除之得每日五分度之一為木星率以甲行木星三十日行六度以減共四十五度餘三十九度以太隂三日除之得每日十三度為太陰率再以庚行金星二十日行三十度同減去正二十八度餘二度以計都四十日除之得每日二十分度之一為計都率(與羅㬋同)以辛行計都二十日行一度以月孛十日除之得每日十分度之一為月孛率以壬行月孛八十日行八度減共三十四度餘二十六度太陰二日除之仍得毎日十三度為太陰率論曰各星遲疾留逆每叚不同然其各叚中行率大約相等故可以方程立算亦湏稍查時厯以知其變若太近留叚行率甚微難見其在合伏左右行甚疾毎日不同難與他星相較則以一星遲疾之較取之具如後例一星遲疾相較例凡木火土三星雖有遲疾之行大約皆在一度以下而土木之變尤緩其數十日中行率僅差秒忽兩星相較之法頗可施用惟金水二星遲疾之差懸逺其疾也有在一度以上而水星有二度其遲也不及一度遲之甚則留故可以其遲疾而自相較也假如金星疾叚測得甲乙丙三日共行四度二十九分己庚兩日共行二度有半問各日行率(此因前測以隂雲用儀得)(其度分而不知宿次故雖後測能知宿次而中數日不可知是惟方程能御之也)法以和數列所測以較數列中日(因挨日進退故倍中日為前後兩日而命)(之適足盖已知測日同在一叚故也)如法互乗逓減 餘庚廿七日為法 三十三度廿一分為實 法除實得一度廿三分為末日行率(庚)以庚日行率減共二度五十分餘一度廿七分為第六日行率(己) 倍己日行率減去庚日行率餘一度三十一分為第五日行率(戊) 倍戊日行率減去己日行率餘一度三十五分為第四日行率(丁) 倍丁日行率減去戊日行率餘一度三十九分為第三日行率(丙) 倍丙日行率減去丁日行率餘一度四十三分為次日行率(乙) 倍乙日行率減去丙日行率餘一度四十七分為初日行率(甲)累計甲乙丙日共四度廿九分己庚日共二度半合問或倍庚日行率共二度四十六分以減共二度半餘○度○四分為日差以日差累加庚日得各日行率總論曰凡步五星既得其叚日以為日率則以其盈縮之厯加減星行而得其叚所行之宿次以為度率以日率除度率而得其平行則又以初末日率相求使之陞降有等以為日差而加減之故日差者步五星之要事也右例不拘日數但在遲疾本叚則可用此法亦不拘定是宿次所見或儀器所測但有兩宗宿度則其餘日皆可倍中日以較其前後兩日命為正負適足而求之何則其加減皆相挨而有序故知倍中日即同前後兩日也假如金星晨疾測得甲日之寅距地平一度至丙日之卯距地平三十度○七十五分至己日之卯距地平三十度問各日行率解曰此是甲乙兩日共行二度二十五分丙丁戊三日共行三度七十五分也法以丙日距三十度○七十五分減寅至卯差三十度餘○度七十五分與甲日距一度相減餘○度二十五分為金星疾行過平行一度之數加甲乙兩日太陽行二度是為兩日内金星行二度二十五分又以己日距三十度與丙日距度相減餘○度七十五分為金星疾於平行之度加丙丁戊三日太陽行三度是為三日金星行三度七十五分論曰此因隂雲不能細測每日之度故五日中僅有三測也或雖無隂雲而儀器不具惟此三日有所當宿次可借以為行度之據則所得者皆為前兩日後三日之和度也如法以兩和三較列位(因逓差補作三適足而列之)如法乗減 得丁三日為法 共三度七十五分為實 法除實得一度二十五分為丁日行率(此因末兩行減)(餘三色減去二色只一法一實故徑用以求也)以丁減餘七日行八度七十五分同減負二度二十五分餘六度五十分以戊減餘五日除之得一度三十分為戊日行率(此用三四兩行減餘)以丁戊兩日行率相減餘○度○五分為日差以日差減丁日行率得丙日行率累減之得甲乙日行率計開甲日行一度十分乙日行一度十五分兩日共行二度二十五分丙日行一度二十分丁日行一度二十五分戊日行一度三十分三日共行三度七十五分 合計之五日共行六度 此六度者乃金星行於黄道之度寔數也寔數者以宿度徴之如甲日之晨在某宿某度至己日之晨已進六度也 其距太陽之數則五日共差一度 此一度者乃金星漸近太陽之距亦即漸近於地平之距也目所見也謂之視差則以儀器度而知之如甲日之卯距地平三十一度至己日之晨卯刻則距地平三十度為較前相近一度也 今所測為甲日之寅寅與卯相差三十度故寅之星距地平一度者至卯則距三十一度也其時刻以水漏或中星得之 若寅正與卯初則只差十五度每刻則差三度太此以儀測星者所當知論曰凡加減日差湏明進退之理如戊日之行率多於丁日則其疾為進也而先得末日則以日差累減之而得初日若先得初日則當以日差累加之而得末日如前一例庚日之率少於己日則其疾為退也而先得庚日則以日差累加之而得初日 若先得甲日則當以日差減之而得末日其遲叚則皆反之 如末日多於初日其遲為退也則減末加初若初日多於末日其遲為進也則減初加末論曰凡七政盈縮古今厯術綦詳所設立差平差之術尤宻至於太隂遲疾時刻逈異授時立法以三百三十六限更非逓加挨減所能定惟五星既得叚日定星其日差可以循次加減而方程測量之法可施也又方程測量為草澤不能具儀器而偶有所見設此御之使獨見者可以共曉若從事推步則有厯學諸書幸勿以管窺為誚厯算全書卷四十四
## 卷四十五
欽定四庫全書厯算全書卷四十五宣城梅文鼎撰方程論卷六方程御襍法算術之有方程猶量法之有句股必深知諸算術而後能言方程猶之必深知諸量法而後能治句股故以是終諸方田少廣凡屬量法者往往有可以句股立算而諸法不能治句股方程之於粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法例如後假如有糧一萬九千石𣲖與甲乙丙三縣各以其人戸多少米價貴賤僦值逺近舟車險易而均輸之 甲縣戸三萬米價毎石一兩四錢逺輸二百里用車載二十石行一里僦值一錢三分 乙縣戸二萬米價一兩二錢逺輸五百里用舟載二十五石行一里僦值三分 丙縣戸一萬米價一兩二錢逺輸二百里道險可用負擔每負六斗行五十里顧值一錢八分法曰各以其縣米價併僦值之數命其户以方程較數列之 以甲縣車載二十石除其僦值一錢三分得六釐五毫(每載一石行一里數也)以乗二百里得一兩三錢併米價一兩四錢共二兩七錢 以乙縣舟運二十五石除其僦值三分得一釐二毫以乗五百里得六錢倂米價一兩二錢共一兩八錢以丙縣負擔六斗除其顧值一錢八分以乗一石得三錢又以五十里除之二百里乗之得一兩二錢併米價共二兩四錢原法以各縣米價并僦值之數以除其戸為衰列而併之併衰為法各衰乗總米為實法除實得各縣米今用方程則不湏爾竟以二兩七錢命甲縣之衰為二十七戸以一兩八錢命乙縣之衰為一十八户以二兩四錢命丙縣之衰為二十四户以三縣衰命為適足而列之如三色有空法乗 餘丙縣異倂一百一十四戸為法 正三十四石二斗為實 法除實得丙縣每戸糧三斗 以丙一戸三斗減共一石九斗餘一石六斗乙縣四戸除之得每戸糧四斗以乙二戸八斗甲縣三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其縣之戸總得各縣轉計開甲縣三萬户 共糧八千石 共僦車值一萬○四百兩毎户糧二斗六升六合又三之二 每三户糧八斗每戸僦值三錢四分又三之二 每三户僦值一兩○四分總計米價與其僦值每戸共銀七錢二分乙縣二萬户 共糧八十石 其僦船值四千八百兩每户糧四斗 僦值二錢四分總計米價僦值每户亦七錢二分丙縣一萬户 共糧三千石 共顧擔夫銀三千六百兩毎户糧三斗 僦值三錢六分總計米價僦值每户亦七錢二分以米言之論曰此因米價不等加以僦值不同故以法均之糧雖不均而每户所出之銀數則均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯謂能均問官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其則例各若干法以和較列位(依省算以和數十之一列之)如法乗減 得丙戸十八為法 二十一石六斗為實 法除實得一石二斗為下等每戸則例 加正五斗為中等則 又加七斗為上等則計開甲上等毎戸二石四斗 二十戸共四十八石乙中等毎戸一石七斗 五十戸共八十五石丙下等每戸一石二斗 一百一十戸共一百三十二石合計之共二百六十五石問有米六百七十四石以四等里甲輸納乙為甲十之八丙為乙十之七丁為丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户問各若干解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三七四六差分故與帶分條所設不同合而觀之可也法以和較列位如法乗減而重列其餘與三行對又以餘數與四行平列數益多用省算法四除減餘然後列之如法乗減餘丁六百七十四爲法 五萬六千六百一十六石無減爲實 法除實得八十四石爲丁共數 十因丁數六除之爲丙共數 十因丙數七除之爲乙共數 十因乙數八除之爲甲共數計開甲共數二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗二升五合 乙共數二百石爲甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗 丙共數一百四十石爲乙十之七以七十戸除之得每户二石 丁共數八十四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗總計之共六百七十四石論曰此所問是總數相差非毎户相差也故原列者總户而得亦總户之米若云問毎户之差則當以毎户列之而所得者亦毎户米也如後例假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六問各户則例法以戸細數列位依省算以首行退位十而一與次行對減而重列之又半其減餘然後列之與三行對又列減餘以對末行如法乗減異併一千二百九十二為法 一千四百一十五石四斗無減為實 法除實得一石○九升又三百二十三之一百七十八為丁毎戸則例(法實皆四)(約之)十因丁則六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九為丙每户則例十因丙則七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十為乙每户則例十因乙則八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半為甲每戸則例計開甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 為甲每户十之八八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九為乙每户十之七七十戸共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三之三百一十丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八為丙每户十之六七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六合計共六百七十四石(凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三)(収之為升得此數)問有均分兩銀庚以其五之二與甲則甲之數多於庚一百六十八兩若以甲二十一之九與庚則庚之數多於甲一百八十兩原數幾何法以所用益彼之分與此所存之餘分相減而列之(庚與甲五之二庚自存五之三)相減餘五之一(是為以庚五之一較甲全分而甲多一百)(六十八兩也)(甲與庚廿一之九二甲自存廿一之十)相減餘二十一之三(是為以甲二十一之三較庚全分而庚多)(一百八十兩也)庚雖自存五之三而甲股内有庚所與之二故以相減而餘之一分與甲相較甲雖自存二十一之一十二而庚股内有甲所與之九故以相減而餘之三分與庚相較甲一百○二分為法除實一千○二十兩得十兩為甲之一分 二十一分共二百一十兩 減負一百六十八兩餘四十二兩爲庚之一分 五分亦共二百一十兩計開(庚甲)各原銀二百一十兩(庚五之二計八十四兩其五之三仍一百二十六兩 甲二十)(一之九計九十兩其二十一之十二仍一百二十兩)庚以八十四與甲(甲共有二百九十四庚仍餘一百二十六)相較甲多一百六十八甲以九十與庚(庚共有三百二十甲仍餘一百)相較庚多一百八十此設問之意也以(庚之一分四十二甲全分二百一十)相較甲亦多一百六十八以(甲之三分計三十庚全分二百一十)相較庚亦多一百八十此列位之理也論曰右例以此之分益彼而轉與此之餘分相較與帯分條所設不同 帶分條此之分較彼全分其全分即是原數 今則一損一增以相較非原數也故曰不同及其相減而列為較數也則亦是此之分較彼原數矣是之謂尾同而首異相減列位亦有變為和數者如後所設問有兩銀庚以其五之三與甲則甲之數多於庚二百五十二兩若以甲廿一之十三與庚則庚之數多於甲二百六十兩法亦以所與彼之分與其餘分相減列之庚(與甲五之三自存五之二)相減餘五之一(此為所用之分多於存分是變和數也)(庚五之一偕甲全分共二百五十二兩也)甲(與庚二十一之十三自存二十一之八)相減餘二十一之五(此亦用分多存)(分少是變和數也百甲二十一之五偕庚全分共二 六十兩也)甲所以多如許者不惟其全數之故其所得於庚之分又多於庚之餘分者一也故甲所多之數乃是甲全數偕庚之一分所共也庚所以多如許者亦不惟其全數之故其所得甲之分又多於甲之存分者五也故庚所多數亦是庚全數偕甲之五分所共也甲一百分為法除實一千而得十兩為一分 以甲五分計五十兩減共二百六十兩餘二百一十兩為庚原銀 五除之得四十二兩為一分 以減共二百五十二兩亦得二百一十兩為甲原銀庚五之三計一百二十六兩以加甲銀共三百三十六兩 内減去庚自存五之二計八十四兩 仍多二百五十二兩 即是甲全數偕庚一分之數也甲二十一之十三計一百三十兩以加庚銀共三百四十兩 内減去甲自存二十一之八計八十兩 仍多二百六十兩即是庚全數偕甲五分之數也論曰右例以此之分偕彼全分而為和數亦與帶分和數同然以相減而得之亦是尾同首異 帶分條和數較數據問而分 今則設問只是較數相減列位乃有和較之分依例推之亦有變為一和一較者皆以所用之分與所存分相減而得之 列位時巳變不待其重列減餘也故又與尋常較變和者異總論曰此二條者皆一損一益例也問金九錠銀十一錠其重適等若交易其一則銀多十三兩其原重若干法以相差十三兩半之得六兩五錢為一錠之較解曰交易一錠而差是一多一少故半之為一錠之較 銀得較而增重故與金同名銀二錠除實得銀每錠重二十九兩二錢半 加正六兩五錢得金每錠三十五兩七錢半計開金每錠三十五兩七錢五分 金九錠(得三百二十一兩七錢五分)銀每錠二十九兩二錢五分 銀十一錠(亦得三百二十一兩七錢五分)金八錠二百八十六兩加銀一錠共三百一十五兩二錢半銀十錠二百九十二兩半加金一錠共三百二十八兩二錢半共多一十三兩 若交易二錠而差二十六兩則以二錠倍作四錠除之亦得六兩五錢為一錠之較餘可類推(或半相差二十六兩為一十三兩命為金二錠銀二錠之較尤為平穏)論曰此條舊列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也凡以兩家之數相交易而差若干皆半其所差而列之為所交易之較何也一增一減而差若干則原所差者其半也問甲有硃砂銀七錠壬有鑛銀九錠相較甲原多十五兩今以甲二錠易壬三錠則甲多二十七兩法以原多十五兩今多二十七兩相減餘十二兩半之得六兩為甲二錠壬三錠之較(甲得較而增重故與壬同名)壬三錠除七十二兩得壬每錠二十四兩 以九錠乗得二百一十六兩加正一十五兩共二百三十一兩甲七錠除之得每錠三十三兩計開甲以二錠與壬餘五錠一百六十五兩加易得壬三錠七十二兩共二百三十七兩壬以三錠與甲餘六錠一百四十四兩加易得甲二錠六十六兩共二百一十兩相較甲多二十七兩此問意也問甲銀七錠壬九錠相較壬原少十五兩今以一錠相交易壬多三兩法以原少十五兩今多三兩併得十八兩而半之得九兩為一錠之較(壬得之而變輕為重故與甲同名)壬二錠除四十八兩得每錠二十四兩 加九兩得甲每錠三十三兩計開甲六錠一百九十八兩加壬一錠二十四兩共二百二十二兩壬八錠一百九十二兩加甲一錠三十三兩共二百二十五兩相較壬多三兩 此交易一定之數 餘同前問論曰此三問皆同法第一問盈偕適足故即用原數第二問兩盈故相減第三問盈偕不足故相併然皆半之為較故三法一法也又按於七錠中取一即七之一同帶分之理故又作問明之問有金不知總任意分為二而較之則庚多八兩湏令辛以金還庚如庚存數三之二庚亦以金還辛如辛存數四之三則其數適均法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今添三分共七通為兩家適足數之分又以多八兩半之四兩命為庚所添二分辛所添三分之較(辛失之而減重故與辛同名)解曰合而觀之庚以五之二辛以七之三相交易則庚多八兩若還其原數庚仍為五分辛仍為七分則適足也辛一分得二十兩 七分共一百四十兩 五除之得庚之一分二十八兩計開其相易(庚二分五十六兩辛三分六十兩)較之辛多四兩即相易幾錠之理總論曰此皆兩相交易也又與庚甲損一益一者不同凡損一益一者損庚之幾分與甲則甲有增數而轉以甲之既增者與庚之餘數相較也 損庚益甲以相較是明有增損今兩相交易則損庚之分與辛亦損辛之分與庚然後以既損且增之庚與亦增之辛相較也兩相交易則末嘗明有增損但以相易之數不同而增損隠寓於其中 以上四條皆同此論問兩數不知總但云取甲之九加乙則乙與甲等若取乙之九加甲則甲倍於乙其原數各若干畣曰甲六十三 乙四十五解曰云取甲之九加乙是損甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是損乙之九而益甲以九也與刋誤條所舉甲乙二倉法不同彼是取甲倉幾何以益乙而共得幾何不言與甲倉較取乙倉幾何以益甲而共得幾何亦不言與乙倉較是所益者有増數而所取者無損數如云以此之全數偕彼之幾分而共得幾何乃和數也今所列者乃較數也益此損彼則相較幾何故不同也然又與帶分條較數不同彼是取彼幾分與此全數較今所列者是取彼幾數加此而轉與彼之餘數較當細辨之又此是以數相增損而得其相較之分前數條則是以分相損增而得其相較之數二者大異不但與带分條别也法以所加之九數命甲乙所相當之數乗之為較數列位甲倍乙是甲二乙一合之則三以乗九得二十七為較甲得此而當倍乙故與乙同名甲乙等是各一也合之則二以乗九得十八為較乙得此而與甲等故與甲同名餘乙一為法併四十五為實法一即以四十五命為乙數異加十八得六十三為甲數試更列之同減餘甲一為法 異併六十三為實 法一即以六十三為甲原數 異加正二十七共九十乙二除之得四十五為乙原數論曰此難題設問也算法統宗收入均輸另有求法算海説詳推論借銀相當加半倍者不可通用因别立術然復未確不如用方程之為無弊又論曰甲與乙九而相等是甲多於乙者二九也 乙與甲九而甲倍於乙是倍乙多於甲者三九也何也甲得乙九數而後當倍乙則倍乙中各除九數共二九而甲又添九數豈非三九乎問甲乙銀不知數但云甲借乙六錢五分則比乙一有半乙借甲六錢五分則乙與甲等各原銀若干法以甲一乙一有半併之共二半以乗六錢五分得一兩六錢二分半為乙一有半多於甲之較以甲乙相等各一併之共二以乗六錢五分得一兩三錢為甲多於乙之較乃列之同減餘半乙為法異併二兩九錢二分半為實 法除實得五兩八錢五分為乙銀 異加正一兩三錢共七兩一錢五分為甲銀計開甲原銀七兩一錢五分乙原銀五兩八錢五分相差一兩三錢 若損甲之六錢五分以加乙則各得六兩五錢是相等也若損乙六錢五分餘五兩二錢 益甲六錢五分得七兩八錢是甲之數如乙一有半也若以乙原銀加半得八兩七錢七分半以與甲原甲原銀相較則多一兩六錢二分半論曰甲以六錢五分借與乙而相等是甲原多乙兩个六錢五分也乙以六錢五分借與甲而甲如乙一有半是一个半乙原多於甲兩个半六錢五分也何也甲取乙六錢五分而後能當乙有半則此一个半乙共減去一个半六錢五分甲又加一个六錢五分豈非共差兩个半六錢五分乎又論曰此即算海説詳所設之問以駁統宗者彼自立術以為當矣不知其宜用方程也試更設問以明之今有二數不知總但云丙與丁二數則相等若丁與丙二數則丙如三丁問原數各若于依前術列位(合丙丁各一共二以乗二得四為丙多於丁之較 合丙一丁三共四以乗二)(得八為三丁多於一丙之較)同減餘丙二為法 異併二十為實 法除實得一十為丙數 同減負四餘六為丁數計開丙原數十 原多於丁者四丁原數六 三之則十八多於丙者八若損丙之二以益丁則各得八故相等若損丁之二以益丙則丙得十二丁得四故丙如三丁論曰丙以二與丁而等是丙多於丁者兩个二也 丁以二與丙而丙如三丁是三丁之數共多於丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也又論曰因算海説詳立術未確故復設此以相攷用方程能合彼問而彼所立術殊不能通之此問問戊己銀不知數但戊以五十兩與己則己如戊之倍己以五十兩與戊如三己依前術列位(併戊二己一共三以乗五十得一百五十為二戊多於一己之較 併戊一己)(三共四以乗五十得二百為三己多於一戊之較)同減餘己五為法 異併五百五十兩為實 法除實得一百一十兩為己銀 異加正一百五十兩共二百六十兩戊二除之得一百三十兩為戊銀計開戊原銀一百三十兩 倍之二百六十兩多於己一百五十兩己原銀一百一十兩 三之得三百三十兩多於戊二百兩此列位之理戊加五十兩得一百八十兩己損五十兩得六十兩則戊如三己 己加五十兩得一百六十兩戊損五十兩得八十兩則己如戊之倍此則問意問香爐二座不知重有一葢重百兩以加甲爐則甲多於乙兩倍以加乙爐則乙多於甲一倍其爐各重若干解曰多乙兩倍是三倍也甲得葢如三乙也 多甲一倍是兩倍也乙得葢如兩甲也法以葢重為較而列之 甲得葢如三乙是三乙之重於甲者如葢也故與乙同名 乙得葢如倍甲是兩甲之重於乙者如葢也故與甲同名爐同減餘乙爐五為法 較異併三百兩為實法除實得六十兩為乙爐重異加一百兩共一百六十兩甲二除之得八十兩為甲爐重計開甲爐八十兩 加葢共一百八十兩則如乙爐重者三乙爐六十兩 加葢共一百六十兩則如甲爐重者倍論曰此與前所設戊己銀數以五十兩損戊益己而己倍於戊以五十兩損己益戊而戊如二己異何也以五十兩損彼益此雖亦相差一百兩然非真有一百兩之益乃因彼之所損而合成其數耳此之加葢則實增一百兩矣而於彼又無所損因爐葢乃兩家公物非若戊己之銀必取諸彼以與此也故其法不同若改問各鑄爐而均鑄葢則必於鑪重各加半葢乃合原金得數與戊己銀同矣問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵已知四萬其北兵為南兵與西兵二之一西兵為南兵與北兵三之一各若干法以南兵為西北之較而列之西兵得南兵而數倍於北是倍北數而多於西兵者數如南兵也北兵得南兵而數如三西兵是三其西兵而多於北者亦如南兵也餘北兵五為法 倂十六萬為實 法除實得三萬二千為北兵數異加正四萬共七萬二千西兵三除之得二萬四千為西兵數計開南兵四萬西兵二萬四千 偕南兵則六萬四千其二之一則如北兵也北兵三萬二千 偕南兵則七萬二千其二之一則如西兵也論曰此與香爐借葢為較同 其所用較乃是南兵而非取於西北兵故得之有增而不得無損與借物於彼而轉與其所借之餘物相較者不同問二人擕銀不知數但減乙六兩與甲則甲倍於乙減甲三兩與乙則相等其原數若干解曰此所損益又是不同之數然其理則一故亦依前術乗其較數而列之(合甲一乙二共三以乗六兩得十八兩為倍乙多於一甲之較合甲)(乙各一共二以乗三兩得六兩為甲多於乙之較)列位同減餘乙一為法 異併二十四兩為實 法一即以實為乙數 異加六兩為甲數計開乙二十四兩 倍之得四十八兩多於甲一十八兩甲三十兩 原多於乙六兩若損乙六兩得十八兩加甲六兩得三十六兩是甲如乙之倍若損甲三兩加乙三兩各得二十七兩則相等問二商各攜母銀但云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一依前術列位(併六與一共七以乗十二兩得八十四兩為六乙多於一甲之較 併十與一)(共十一以乗十五兩得一百六十五兩為十甲多于一乙之較)同減餘甲五十九為法 異併一千○七十四兩為實 法除實得一十八兩又五十九之一十二為甲數 異加正八十四兩共一百○二兩(又五十九之一十二)乙六除之得一十七兩(又五十九之二)為乙數計開甲銀一十八兩(又五十九之一十二)十之則一百八十二兩(又五十九)(之二)多於乙者一百六十五兩乙銀一十七兩(又五十九之二)六之則一百○二兩(又五十九之一十二)多於甲者八十四兩若損乙一十二兩與甲則甲有三十兩(又五十九之一十二)乙僅有五兩(又五十九之二)而乙於甲為六之一若損甲一十五兩與乙則乙有三十二兩(又五十九之二)甲僅三兩(又五十九之一十二)而甲於乙為十之一(以五十九通二兩得一百一十)(八加子二從之共一百二十是三十兩又五十九之一百二十豈非十倍於甲乎)論曰乙得甲六之一是六乙當一甲也然必損乙之十二兩與甲而後成此數是於一甲中添十二兩而於六乙中各減十二兩也一添一減共七个十二兩是為八十四兩也甲得乙十之一是十甲當一乙也然必損甲之十五兩與乙而後成此數是於一乙中添十五兩而其十甲中皆各減十五兩也一添一減共十一个十五兩是為一百六十五兩也損乙之十二兩與甲而乙為甲六之一若其原數則以六乙當一甲而乙多八十四兩矣損甲之十五兩與乙而甲為乙十之一若其原數則以十甲當一乙而甲多一百六十五兩矣問有兩數不知總但損甲六數與己則甲如己四之三而多二數若以己之二十損與甲則己如甲四之三而少五數其原數各幾何法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二數得八而益之共五十為四甲多於三己之數(損甲六益)(己故較與甲同名其二數甲所多也故以之益數)以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五數得二十以相減餘一百二十為四己多於三甲之較(損己二十益甲故較與己同名其五數巳所少也故以之減較)己同減餘七為法 異併六百三十為實 法除實得九十為己原數四因己數同減一百二十餘二百四十甲三除之得八十為甲原數計開甲八十己九十以列位之理言之甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百二十以問之意言之甲損六數餘七十四 己加六數共九十六 以九十六四分之而取其三得七十二 是為甲如己四之三而多二數己損二十餘七十 甲加二十共一百 以一百四分之而取其三得七十五 是為己如甲四之三而少五數論曰以甲當己四之三是四甲當三己也然必以六數減甲增己而成則是四甲中各減六而三己中各增六共四十二也以甲當己四之三而多二數則以四甲當三己而共多八數也 合而觀之此四十二者四甲多於三己之數也此八數者亦四甲多於三己之數也故皆與甲同名而列其較為五十也以己當甲四之三是四己可當三甲也然必以二十減己增甲而成則是四己中各減二十而三甲中各增二十共一百四十也 以己當甲四之三而少五數則以四己當三甲而共少二十也 合而觀之此一百四十者四己多於三甲之數也與己同名也而其二十者則四己少於三甲之數也與己異名也故以相減而餘者列為己同名之較也損甲六數與己而甲如己四之三仍多二數若其原數則以四甲當三己而共多五十矣損己二十與甲而己如甲四之三却少五數若其原數則以四己當三甲而共多一百二十矣問有三數損甲一百益乙則甲如乙六之二若損乙五十益丙則乙如丙十五之九若損丙三十益甲則甲如丙二之一而少五數各若干法以甲六乙二共八以乗一百共八百為六甲當二乙之較(損甲益乙故與甲同名)以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百為十五乙當九丙之較(損乙益丙故與乙同名)以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五數共十而加之共一百為一丙當二甲之較(損丙益甲故與)(丙同名其甲所少五數即丙所多也故亦與丙同名)如法逓減餘丙五十四為法 異併三萬七千八百為實 法除實得七百為丙數 丙數同減一百餘六百甲二除之得三百為甲數 六因甲數一千八百同減八百餘一千乙二除之得五百為乙數 十五乗乙數得七千五百同減一千二百餘六千三百丙九除之仍得七百為丙數(反覆相求列位之理著矣)計開甲三百乙五百丙七百甲損一百餘二百乙增一百得六百是甲為乙六之二乙損五十餘四百五十丙增五十得七百五十是乙為丙十五之九丙損三十餘六百七十其二之一則三百三十五甲增十得三百三十是甲為丙二之一而少五數問二人共數一百原所得之數不均今以甲三之一與乙五之一相易則適均其原所得若干法以三分通甲數損一與乙而存其二分 又以五分通乙數損一與甲而存其四分乃以和數列之乙七為法 餘五十為實 法除實得七又七之一為乙之一分 以乙分母五乗之得三十五又七之五(為乙數)以減一百得六十四又七之二為甲數計開甲六十四(又七之二)其三之一為二十一(又七之三)其三之二為四十二(又七之六)乙三十五(又七之五)其五之四為二十八(又七之四)其五之一為七(又七之一)以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五之一加甲三之二亦五十也論曰此以分相增損而為和數亦與刋誤條甲乙二倉異彼是以其全數偕彼㡬分此則以所存之餘數偕彼幾分也既云相易則實有增損非如甲乙倉虚借增率而無損也問二人物數不均若於甲取三之一於乙取四之一以和合而平分之以湊原存數則各五十而適均其原數各若干法以三分通甲數而倍之為六分損其一與乙餘五分以四分通乙數而倍之為八分損其一與甲餘七分以和數列位解曰以四之一與三之一和合而平分之是各取其數之半也 於三之一取其半是六之一以與乙而甲餘其五也於四之一取其半是八之一以與甲而乙餘其七也偏乗對減以得法實 法除實得五又十七分之十五為乙八之一 以乙分母八乗之得四十七又十七分之一為乙原數 以兩五十共一百減乙原數餘五十二又十七分之一十六為甲原數計開甲原數五十二(又十七分之十六)三除之得十七(又十七分之十一)為甲三之一 以三之一轉減甲餘三十五(又十七分之五)為甲所存三之二乙原數四十七(又十七分之一)四除之得十一(又十七分之十三)為乙四之一以四之一轉減乙餘三十五(又十七分之五)為乙所存四之三以甲三之一乙四之一和合之共二十九(又十七分之七)半之得十四(又十七分之十二)為和合平分之數以加甲乙存數各得五十論曰甲去三之一乙去四之一所存之數已均矣故以平分之數加之而適均又法以甲分母三通甲為三分以乙分母四通乙為四分又總計各得五十六共一百為和數以甲取三之一餘三之二乙取四之一餘四之三命為適足(甲取三之一乙取四之一以和合平分而等則其所存者亦等也故命之適足)乃以和較雜列位如法乗甲同減盡 乙異併一十七分為法 正二百無減就為實 法除實得一十一又十七之十三為乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一為乙原數 以乙原數減共數一百餘五十二又十七分之十六按此所得與前無異而較捷故並存之問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百其原携金若干法以各分母通其原數又各減其贏去之一而列之(以七百為和數)和數列位如法減併 丙七分為法 二千一百為實 法除實得三百為丙之一分 以丙分母三乗之得九百為丙原金 以丙之一分減乙剰七百餘四百為乙所餘二之一 二因之得八百為乙原金 以乙二之一減甲剰金七百餘三百為甲自剰四之三 三除之得一百為甲三之一 四乗之得四百為甲原金計開甲原金四百 加贏乙四百(二之一也)共八百 除丙又贏去甲一百(四之一也)仍餘七百乙原金八百 加贏丙三百(三之一也)共一千一百 甲贏去四百(乙二之一也)仍餘七百丙原金九百 贏甲一百(四之一也)共一千 乙贏去三百(丙三之一也)亦仍餘七百論曰此與刋誤條騾馬逓借一匹同但馬一騾二驢三即是原物偕所借之一而為和數今乙一丙二甲三却是各所存之餘分偕所贏之一分而為和數也得數大異者馬騾即是全數今則用分故丙之全數轉多於乙若以一分計則乙之分自多於丙如馬力之於騾矣又論曰此三條皆是兩相交易而又是和數與前數條金銀交易幾錠不同難題歌曰一條竿子一條索索比竿子長一托雙折索子去量竿却比竿子短一托解曰一托者五尺也法以零整襍列位 因雙折是二之一故以二通索法一即以實一丈命為繩之一分 分母二因之得繩長二丈 減負五尺餘得竿長一丈五尺假如有繩長不知數但云比竿長六尺若三折其繩則短於竿八尺法二除實三丈得竿長一丈五尺 加正六尺得繩長二丈一尺論曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此問以明之若用難題法不能通矣故方程能御雜法而雜法不能御方程 此條統宗原入均輸今改正問井不知深先將繩折作三條入井汲永繩長四尺復將繩折作四條入井亦長一尺其井深繩長各若干法以兩母(三四)相乗得十二分為繩母數 以母(三四)互乗其子(之一之一)得(四三)是為以繩十二分之四汲水而長四尺以繩十二分之三汲水而長一尺也餘一分為法 即以實三尺命為繩十二分之一以十二分乗一分得三十六尺為繩長 以繩之三分計九尺同減負一尺得八尺為井深計開井深八尺繩長三十六尺三折之得一十二尺 比井多四尺四折之得九尺 比井多一尺論曰此條原屬盈朒今以方程御之尤簡易故曰方程能御雜法也試更之則先得井深法一省除即以八尺命為井深 加正四尺共十二尺繩之四分除之得三尺為一分 一十二分母乗之得繩長三十六尺論曰此餘八尺者即物實也前以餘三尺為繩長實者即人實即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳(人實物實不同而除法則同故皆可以互求)今有絹一疋欲作帳幅先摺成六幅比舊帳長六寸改折作七幅却又短四寸其絹併舊帳幅各長若干(折作)(六幅以較長即六之一七幅即七之一)法如前以(六七)幅相乗得四十二分為總母 以(六七)互乗其(之一之一)得(之七分之六分)為所用之分而列之(以絹四十二之七則長於)(帳六寸短以絹四十二之六則 於帳四寸)為較數法一 實一尺即為絹之一分 以分母四十二乗之得絹長四丈二尺 以絹之七分計七尺減負六寸餘六尺四寸為舊帳之長計開舊帳幅六尺四寸絹長四丈二尺均作六幅得七尺 比帳長六寸均作七幅得六尺 比帳短四寸論曰此與井不知深皆是以一物之細分與一整物較皆零整雜用之法也又以上三條盈朒章舊有求法然皆因所較之井深與舊帳幅皆為一數而不變故可用盈朒之法若亦有分數不同則非盈朒所能御此方程之用能包盈朒諸法而諸法不能御方程今有臺不知髙從上以繩縋而度之及臺三之二而餘六尺雙折其繩度之及臺之半而不足三尺問臺之髙及繩之長若何法以臺(三二)之(二一)用母相乗為母之法通臺為六分 又用母互乗子為子之法變臺三之二為六之四臺之半為六之三 又以雙折通繩為二 皆以化整為零而列之餘繩二分為法 併三十尺為實 因二為分母與法同省除與乗徑以實三十尺為繩長 減負六尺餘二十四尺以臺之四分除之母六乗之得三十六尺為臺髙計開臺髙三十六尺繩長三十尺臺三之二髙二十四尺 以繩度之餘六尺臺之半髙一十八尺 以半繩一十五尺比之短三尺今有井不知深以乙繩汲之餘繩二尺以庚繩汲之亦餘繩四尺雙折庚繩三折乙繩以相續而汲之適足問井深及二繩各長若何法以乙繩通為三 庚繩通為二以三色列之 井整數乙庚用分以隔行之同名仍為較數列之 餘較皆與庚同名餘庚一分為法 即以實一丈命為庚二之一 倍之得庚繩二丈 減負二尺得乙繩一丈八尺(用減餘之)(右行葢乙正三即全數也)又減負二尺得井深一丈六尺(用原列之右行亦以乙負三即全數故)計開井深一丈六尺乙繩一丈八尺 比井多二尺庚繩二丈 比井多四尺三折乙繩六尺加雙折庚繩一丈共一丈六尺即同井深論曰此二條與前井深絹帳同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以繩折比量水面亦然今有直田欲截一段之積只云截長六歩不足積七步截長八步又多積九步問所截之積及原濶法以較數列之(其原濶即截長每一步之積)上 中 下長二步除積十六步得原濶八步 以截長六步乗濶得四十八步加不足七步得截積五十五步論曰此盈朒中方田也然無闗於方田之實用故入盈朒然不知宜入方程也試更作問今有方田欲截横頭之積改為直田但云截濶五步則不足十二步截濶九步則如所截之積一有半問所截直田積并原田之方如法列位濶一歩半為法 積十八歩為實 法除實得原方一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩計開原方田方十二歩 積一百四十四歩截直田七十二歩 宜截濶六歩若此條則盈朒不能御今有米換布七疋多四斗換九疋適足問原米若干及布價法列位上 中 下布二疋為法 四斗為實 法除實得布價每疋二斗 以九疋適足乗布價得原米一石八斗論曰此盈朒中粟布法也試更設問今有榖換絹十疋餘三石以榖之半換絹六疋不足五斗問原榖若干及絹價法列位法一免除 得絹每疋價二石 以十疋乗價加餘三石得原糓二十三石若此條則非盈朒所能御論曰直田截積及米換布盈朒本法也愚所設方田截積及糓換絹非盈朒本法也乃帶分盈朒之變例也(如舊法芝蔴糶銀是其例也)雖盈胸亦有求法頗多轉折非其質矣不如用方程之省約今有芝蔴不知總但云取麻八分之三糶銀十兩不足二石取麻三分之一糶銀八兩適足問原麻總數及每銀一兩之麻法先以麻(八三) (之三之一)用母相乗得二十四為母母互乗子得(之九之八)為所用之分而列之 依省算左加九之一而徑減法一兩省除即以麻二石命為銀每兩之麻 以銀八兩麻八分適足省乗除徑以二石為麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石計開原麻四十八石 銀毎兩麻二石其八之三計一十八石 銀十兩該二十石 故不足二石其三之一計一十六石 銀八兩恰該一十六石 故適足若問麻每石之銀則以二石為法轉除一兩得每石價五錢按此條宜入方程舊列帶分盈胸之末問者若云有銀買麻以麻八之三與之則餘二石以麻三之一與之適足問原麻及銀所買依法求得二石為麻之一分 以總母廿四分乗之得原麻四十八石 以九分乗二石減負二石得銀所買麻十六石論曰此所設問則盈朒帶分本法也然不能知每價以方程法求之亦同 觀此益見前條之宜入方程也今有黄連木香不知數但云取連三之一換木香七之二則連多二斤取連四之三換木香五之四則連少一斤若於五之四内減去木香三斤則連多一斤法先以通分齊其分乃列位如法乗減 餘木香二十二分為法 異併黄連二十二斤為實 法除實得每木香一分(即三十五分之一)換黄連一斤 以木香十分換黄連十斤異加正二斤共十二斤以黄連正四分除之得黄連每三斤為一分 以分母十二乗之得總黄連三十六斤另併黄連多一斤少一斤共二斤為法除減木香三斤得每黄連一斤換木香一斤半(原少連一斤減木香三斤而轉多連)(一斤故知其數)此連所換之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半計開黄連三十六斤木香五十二斤半每黄連一斤換木香一斤半三分三十六斤而取其一得一十二斤為黄連三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤為木香七之二該換連十斤今連有十二斤是連多二斤也四分三十六斤而取其三得二十七斤為黄連四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤為木香五之四該換連二十八斤今連只二十七斤是連少一斤也若於木香五之四減三斤餘三十九斤該換連二十六斤今連有二十七斤是連多一斤也論曰凡較數方程有若干物共幾色又有其所較之價銀若錢之類今所用較數即用其物之斤兩而無銀若錢微有不同乃古者貿遷有無交易之術也專用銀若錢以權物價後世事耳問綾每尺多羅價三十六文今買綾六尺羅八尺其共價綾比羅少三十六文畣曰綾每尺一百六十二文 羅每尺一百二十六文羅二尺除二百五十六尺得羅價每尺一百二十六文 加多三十六文得綾價每尺一百六十二文問銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋絹四百五十疋只云綾每疋比羅多四錢七分羅每疋多絹一兩三錢五分 畣曰綾每疋四兩三錢二分 羅每疋三兩八錢五分 絹每疋二兩半絹九百疋為法除實二千二百五十兩得絹價二兩五錢 加多一兩三錢半得羅價三兩八錢半 又加多四錢七分得綾價四兩三錢二分今有兄弟三人不知年小弟謂長兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳法以帶分别之 皆變零從整季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十六歳計開伯九十六歳 仲八十歳(為伯年六之五) 季七十二歳(為伯年四之三)今有四人分錢但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁與丙差四文甲正五 乙負六 空 空 適足(此行不用乙無對故也)丁四除二百七十二得丁錢六十八文加四文得丙錢七十二文四乗丙錢三除之得甲錢九十六文五乗甲錢六除之得乙錢八十文計開甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文甲六之一得一十六以五因得八十文為六之五乙數也甲四之一得二十四以三因得七十二為四之三丙數也甲二十四之一得四以一十七因得六十八為二十四之一十七丁數也論曰此雖四色實三色也故徑以三色取之今有七人逓差分錢但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各數亦不知餘人數法以逓差故知倍乙當甲丙倍丙當乙丁而列之重列減餘與三行 減餘變較重列減餘與四行丁八為法除實二百四十八文得三十一文為丁數倍丁數與六十五文相減得逓差三文 以差逓加得甲乙丙數以差逓減得戊己庚數 皆加減丁數得之計開 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文戊二十八文 己二十五文 庚二十二文今有銀二百四十兩以四人逓差分之只云甲多丁一十八兩如前法以倍乙當甲丙倍丙當乙丁 又依省算移甲於丁位和較列位重列兩減餘又重列減餘與末行甲四除二百七十六兩得甲數六十九兩 甲數内減十八兩得丁數五十一兩 以甲數減二百四十兩餘一百七十一兩丙三除之得丙數五十七兩 併丙數甲數一百廿六兩半之得乙數六十三兩計開甲六十九兩 乙六十三兩 丙五十七兩 丁五十一兩 逓差六兩今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人與戊丁丙三人共數等如前法列位 依省算倒甲位自下而上重列減餘與三行又重列減餘與四行又重列減餘與末行甲十五除九百六十得甲數六十四石 倍甲數減一百廿石餘得逓差八石 以差逓減各數得乙丙丁戊數計開細分之逓差八石論曰凡差分章竹筒七節盛米之類皆可以此法求之兹不煩列厯算全書卷四十五
## 卷四十六
欽定四庫全書歴算全書卷四十六宣城梅文鼎撰句股闡微卷一句股正義首題句股弦者横曰句縱曰股(亦可云勾縱股横)斜曰弦三線相聨而成句股弦形也如圖甲乙丙形甲乙為股乙丙為句甲丙為弦亦可云(甲乙為句乙丙為股)也 凡三角形或三角俱鋭或兩鋭一鈍或兩鋭一正(鋭鈍正説具三角形算法中)句股弦形者兩鋭一正形也其句股兩線縱横相遇而成者為正角如乙㸃句弦兩線及股弦兩線相遇而成者為鋭角如甲丙兩㸃 此三線者或三線俱不等其最大者必弦或兩線等其等者必句股而無三線等何者以句股弦形一角正故也一題句股求弦法曰句股各自乘併之開方得弦如圖甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方兩方相併即甲巳方開之得甲丙弦論曰試移庚實形補辛虚形移丑實形補卯虚形移壬實形補子虚形移卯午實形補壬辰虚形所移者恰盡所補者恰足得乙丁與乙戊兩方併恰與甲巳方等又論曰更以句與股相等之形觀之夫句與股既等則句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也(凡句股不等則句股互相乗必是矩形)如丁戊大方平分方邊於方形中縱横作線中分四小方形必等又句與股既等則弦上方邊為句股各自乗兩方之對角線亦為句股互相乗兩方之對角線如於四小方形中作四對角線相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此圖觀之尤為明顯又法曰句與股相乗倍之另以句股差自乗併入倍數開方得弦論曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分為庚戊兩形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯兩形也乙丙為句丙巳為股乙巳為句股差自乗得乙子方併入倍數共成甲壬方為甲丙弦上方也又法曰句自乗倍股依長濶相差法求之得股弦差加股為弦論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁已亦弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也餘乙戊子磬折形即句自乗之數也而已壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦句自乗之數也此丙戊矩形中乙丙為股加乙壬為倍股曰長濶相差者丙午為長午戊為濶與壬午等即壬丙倍股為長濶之差也依法求之得壬午為股弦差二題句弦求股法曰弦自乗内減句自乗餘開方得股論曰一題句股求弦苐一法句股各自乗併之即弦自乗數則弦自乗數中有句股各自乗之數也今於弦自乗數中減去句自乗所存者即股自乗數矣就一題之圖觀之自見又法曰句弦相併得數相減得數兩數相乗得數開方得股如圖甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙與乙丙相併即乙丁線相減即乙巳線(乙巳與乙子等)兩線(乙丁乙子)相乗得子丁矩即甲乙股上方論曰己午方者已丙線上方即甲丙弦上方也内减子午形為乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又與丁卯矩等則丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣又法曰句自乗倍弦依長濶相和法求之得股弦差用減弦得股論曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁己亦弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也餘乙戊子磬折形即甲乙句自乗之數也而己壬矩與乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之數也此丙戊矩形中乙午為弦乙丙併午戊為倍弦曰長濶相和者丙午為長午戊為濶即丙午午戊併為長濶相和也依法求之得壬午為股弦差三題股弦求句法同二題句弦求股附長濶相和法如圖丁乙矩形積九百七十二尺丁甲為長乙甲為濶兩邊之和共六十三尺求甲丁甲乙二邊各若干 法以和數自乗得三千九百六十九尺次以積四倍之得三千八百八十八尺與和自乗相減存八十一尺開方得九尺(即丁甲乙甲二邊之較數)以與和(六十三尺)相併折半得三十六尺為甲丁長邊又與和相減折半得二十七尺為甲乙矩邊長濶相差法(圖同上)丁乙矩形積九百七十二尺甲乙為濶戊乙為長丙戊九尺(乙丙即甲乙)為長濶相差數甲乙戊乙二邊各若干法以較數(九尺)自乗得八十一尺次以積四倍之得三千八百八十八尺與較自乗相并得三千九百六十九尺開方得六十三尺(即戊乙甲乙二邊之和數)以與較九尺相併折半得三十六尺為戊乙長邊又與較(九尺)相減折半得二十七尺為甲乙短邊解曰甲午矩形作乙丙對角線成甲乙丙句股形甲丙長句也甲乙濶股也丙丑長濶和也(甲丑即乙甲)自乗得丙子大方四倍矩積也并大方内戊丁庚辛四矩形之積(大方内所容四矩俱與元形等如丙)(壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形)相減存己壬小方開方得巳未邊即甲乙甲丙二邊之較數也(卯亥即甲乙股)(卯壬即甲丙句則壬亥為兩邊較數即長濶相差也)既得較數與所有和數相加減得甲乙甲丙二邊矣若長濶相差法是先有巳未較數故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙與甲丙矣四題弦與句股較求句股法曰弦自乗倍之較自乗用減倍數餘開方得句股和於是和加較半之得長股和減較半之得短句論曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也兩方併共為弦上方辛壬亦句上方庚已亦股上方兩方併亦共為弦上方此即弦自乗倍之之數也而兩句方兩股方併為丙己大方則中間重叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股較也庚戊方即較上方也減之而重叠者去矣所存者為句股和上方矣故開之得丙丑為句股和也又法曰弦自乗内減較自乗餘半之以較為長濶相差法求之得短句加較得長股論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也巳子較也己丑較上方也兩方相減餘壬辛午未四形半之餘午未二形而午形又即戊形則是餘未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子較用長濶相差法求之得子丙短句句加較得巳丙長股五題股與句弦較求句弦法曰股自乗内減較自乗餘半之以較為法除之得句句加較得弦論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也甲巳較也甲戊較上方也庚甲辛磬折形股自乗數也内減甲戊較上方所餘丙戊戊壬兩形即為句與句弦較矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己較除之得己丙句(或不用折半倍)(較為法除之亦同)又法曰股自乗以較為法除之得句弦和於是加較折半得弦減較折半得句論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丙己亦句也丁戊句上方也所餘庚甲辛 折形即股自乗數也而壬辛形與戊丙形等即壬己矩形亦股自乗數也以甲巳較除之得甲壬為句弦和也又法曰股自乗較自乗相併倍較為法除之得弦弦減較得句論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丁己為句上方即戊甲辛磬折形為股上方矣又己丙矩與庚壬矩等即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子較上方共得辛丑矩形其庚辛邊即是倍較六題句與股弦較求股弦法同五題七題弦與句股和求句股法曰弦自乗倍之内減句股和自乗餘開方得句股較於是較加和半之得長股較減和半之得短句論曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子兩句上方丙丑壬巳兩股上方此即弦自乗倍之之數也以較丁子和上方則其中重叠一壬丑方矣而此方之邊即是句股較又法曰句股和自乗内減弦自乗餘半之以句股和用長濶相和法求之得句股論曰丙丁為句股和丁巳為和上方午乙壬磬折形即弦上方兩方相減餘午丑壬磬折形分為午丑及丑壬兩形形之兩邊即句股八題股與句弦和求句弦法曰句弦和自乗内減股自乗餘半之以句弦和除之得句用減句弦和得弦(或不用折半倍句弦和除之亦同)論曰甲乙丙句股形甲丁為句弦和甲巳為和上方又甲午為弦上方甲子為句上方即未午壬磬折形為股自乗而子丙矩與午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也於和方中減之所存者為未丁及戊己兩矩形矣形之一邊如甲丁即句弦和其一邉如甲未即句又法曰股自乗得數以句弦和除之得句弦較於是用加句弦和半之得弦用減句弦和半之得句論曰甲乙丙句股形甲丁句弦和也甲戊弦上方也戊己句上方也即午甲未磬折形為股自乗矣而卯巳矩與午丁矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁邊即句弦和丁子邊即句弦較又法曰句弦和自乗股自乗相併倍和為法除之得弦弦減和得句論曰甲丁為句弦和甲戊為和自乗戊丑為句今試依庚戊矩作丁卯矩即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲巳為弦上方未壬為句上方即未己壬磬折形為股自乗矣而壬子矩與子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此猶在和自乗數中也今另加一股自乗如丑卯矩併前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形即為兩自乗相併之數形之甲癸邉即句弦和之倍形之甲庚邊即是弦也九題句與股弦和求股弦法同八題十題句弦較股弦較求句股弦法曰先以兩較相減得即為句股較次以兩較各自乗相併内減句股較自乗餘開方得弦和較(和句股和也)於是加股弦較得句加句弦較得股以句弦較加句或以股弦較加股得弦論曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲巳即股也巳丙股弦較也甲壬即句也壬丙句弦較也壬己句股較也今試引甲壬句至丁令甲丁為句股和即丙丁為弦和較也次作甲戊為和上方午未為句弦較上方午子為股弦較上方(即庚辰方)兩較上方相併共為午未辰磬折形内減未子句股較上方餘辰午癸磬折形即戊午弦和較上方何則試觀丑午已磬折形句上方也子戊形亦句上方也今於丑午已磬折形中減丑申及辛巳兩矩形即是於子戊形中減卯子亥磬折形也然則所餘之辰午癸磬折形非即戊午方乎又法曰兩較相乗倍之開方亦得弦和較以下同前法論曰甲乙丙句股形試引甲丙至丁得甲丁為句股和甲戊為和上方(甲未股未丁句)丁子己子句也丁辛己壬弦也子辛子壬句弦較也未子亥子股也未申亥卯弦也子申子卯股弦較也然則卯辛與申壬兩矩形即是兩較相乘倍之之數也此兩矩形者即戊午弦和較上方(丙丁為弦和較)何則未申亥磬折形句實也子戊方形亦句實也今試於未午亥磬折形減辛丙庚亥兩矩形(辛未及亥壬皆是弦和較)及子午方即是於戊子方中減癸子丑磬折形也然則卯辛與申壬兩矩形非戊午方乎十一題句股較句弦較求句股弦(句短股長看此題)法曰先以兩較相減得即為股弦較次以兩較各自乗相減餘為實倍股弦較為法用長濶相差法求之得句句加句股較得股句加句弦較得弦論曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句丙巳弦戊乙句股較戊己句弦較乙巳股弦較乙丁亦為句丙丁為句股和丙庚為和上方辛壬為句股較上方辛子為句弦較上方兩較上方相減餘丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句實也壬庚方亦句實也今於壬庚方中作未庚未申兩矩形與己丑寅卯兩矩形等即所餘壬申形與丑子午磬折形等矣於是依壬申形作壬亥形此形壬酉為長壬癸為濶與壬辰等即辰未未酉為股弦較之倍為長濶之差按此法句股較句弦較相減得股弦較即三較皆備矣十題第一法句弦較股弦較相減得句股較即三較亦皆備矣既皆備三較則法可互用特以就題立法則法固各有攸屬耳十二題句股較股弦較求句股弦(股短句長看此題)法同十一題十三題句弦和股弦和求句股弦法曰兩和各自乗相併兩和相減即為句股較自乗用減相併數餘開方為弦和和(弦和弦也句股和也弦和和弦與句股和相併也)於是内減句弦和得股内減股弦和得句内減句股得弦論曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股弦和也乙午股弦和上方也乙丙句也丙子句弦和也丙未句弦和上方也甲丙弦也丙丑股也丑巳句也甲己弦和和也甲壬弦和和上方也乙午丙未兩方併較甲壬方則兩方多一句股較自乗之數何則試觀甲壬方中弦股句三方即乙午丙末兩方中弦句股三方也甲壬方中股弦矩二句弦矩二即乙午丙未兩方中股弦矩二句弦矩二也無或異也所異者惟甲壬方中餘句股矩二與乙午丙未兩方中餘弦方一則弦方一與句股矩二其較為句股較上方何則試觀另圖甲丙弦也甲丁弦上方也甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句股矩形之半也而丙巳丁丁子丑丑午甲三形皆與甲乙丙形等共四形即得句股矩之二也中餘乙巳子午方即句股較上方然則乙午丙未兩方併較甲壬方不多一句股較上方乎故於兩方中減之即得甲壬方也又法曰兩和相乗倍之開方得弦和和以下同前法論曰甲乙丙形乙丁股弦和也丁午句弦和也乙午兩和矩内形也丙子句弦和也丙辛股弦和也丙未兩和矩内形也甲丙弦也丙丑股也丑巳句也甲己弦和和也甲壬弦和和上方也乙午丙未兩矩形與甲壬方形等者兩矩形中有兩弦方甲壬形中有弦方一股方一句方一亦即兩弦方也兩矩形中有股弦矩二句弦矩二句股矩二甲壬形亦有股弦矩二句弦矩二句股矩二也然則乙午丙未兩矩形不與甲壬方形等乎十四題句股和句弦和求句股弦法曰先以兩和相減得即為股弦較次以兩和各自乗相減餘為實倍股弦較為法依長濶相差法求之得句句減句股和得股句減句弦和得弦論曰甲乙丙形甲丁句弦和也甲戊句弦和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也兩和之較為甲巳兩方之較為壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句實也癸戊方形亦句實也夫癸戊方形與壬甲丑磬折形其餘為辛未午丁兩矩形今試作癸寅寅申兩矩形與之等即戊申矩形與壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚為濶即句與庚癸等癸卯卯申為倍數為長濶之差十五題句股和股弦和求句股弦法同十四題十六題句股弦形中求容方先論曰凡於句股形中依句股兩邊作方形或矩形則作形之外所餘之角形二自相似亦與元形相似如圖甲乙丙元形作壬丁乙子方形則此形之外所餘甲丁壬及壬子丙兩角形自相似何則謂甲丁與壬子相似丁壬與子丙相似也若作壬丁乙子矩形亦然又此兩形之各兩邊與元形之兩邊相似何則謂甲丁壬子兩邊與甲乙邊相似丁壬子丙兩邉與乙丙邊相似也於是遂生求容方之法如左(獨不能生求容矩之法者以容方則甲丁丁壬兩邉即甲乙邉壬子子丙)(兩邉即乙丙邉也若容矩則否)法曰句股相乗為實併句股為法除之得方邊論曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲午邊甲乙股乙午即句乙子即方邊何則甲丙弦為甲丙矩形之對角線亦為甲壬壬丙矩形之對角線則甲乙丙與甲丑丙甲丁壬與甲未壬壬子丙與壬亥丙各角形自相等今於甲乙丙甲丑丙相等之兩形中各減去相等之角形所餘之乙壬方與壬丑方必等次於兩方各加一同用之子亥矩則乙亥矩與子丑矩亦必等而子午矩與乙亥矩等亦即與子丑矩等然則甲丙矩不與未午矩等乎又法曰句自乗為實併句股為法除之得餘句用減句餘即方邊論曰甲乙丙句股形乙丙句自乗得乙丁方即未已矩形形之戊丙即股丙巳即句丙子即餘句乙子即方邊何則丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然則乙丁方即未巳矩也十七題句股弦形中求容圓法曰句股相乗倍之為實句股弦共為法除之得容圓徑(或句股相乗為實句股弦共為法除之得容員之半徑 或句股相乗半之為實句股弦併而半之為法)(除之得容圓之半徑)論曰試於形之三邊截取己子未三㸃令乙子與乙巳等甲巳與甲未等丙未與丙子等次於已子未三㸃各作己丁未丁子丁三線為形三邊之垂線必相遇於丁而相等何則試先就己甲未丁四邊形論之甲巳甲未兩邊等己未兩角皆正即巳丁未丁兩線必等依顯未丁與子丁兩線子丁與巳丁兩線亦必各等然則丁即圓心三線即圓之半徑矣果何術以求之乎曰試作甲丁丙丁乙丁三對角線平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四邊形為六个三邊形各兩相等次引乙丙至壬令丙壬與甲已等則乙壬線為甲乙丙三邊之半何則乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然則乙壬者甲乙丙三邊之半矣次引長巳丁線至亥令己亥與乙壬等必相與為平行次作壬亥丙午兩線與子丁線等而相與為平行末作丙亥對角線則乙亥矩形與甲乙丙元形等何則乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形雖不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至於壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁兩形顛倒凑合而成者也然則乙亥矩形與甲乙丙元形等矣於是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三邊之半分之得子丁為圓半徑或以三邉之全分元形之倍亦得圓之半徑或三邊之全分元形之四倍得全圓徑也又法曰句弦股三邊半之内減弦得圓之半徑(或倍弦用減三邉之全得全圓徑)論曰甲乙丙元形之乙角既是正角乙子丁乙已丁兩角又是正角即子丁己亦必正角然則子丁己乙形必是正角方形而四邊等矣即乙巳乙子兩邊必與丁己丁子圓之兩半徑等矣此乙已乙子之兩邊果何術以求之乎依前論乙壬線為三邊之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也則子壬線即甲丙弦也於是子壬弦減乙壬三邊之半得乙子即圓之半徑若倍弦數用減三邊之全得全圓徑又法曰句股併以弦減之得全圓徑論曰如前圖乙丙句也丙壬與乙巳併即甲乙股也何則以丙壬與甲巳等故也壬子即甲丙弦也何則以丙壬與甲未等丙子與丙未等故也於是以子壬弦減壬己句股併得子巳為圓之全徑何則以乙子與子丁等乙巳又與乙子等故也巳上十七題除求方求圓二題餘十五題已盡句股弦之藴矣然論其題則不止於己上十五題也今反覆推之凡得一百四十四題雖究其歸不出於己上十五題之法要亦不可不備使習者得以按題而索之逐類而通之也勾股較勾股和 句股較句弦和 句股較股弦和句弦較句弦和 句弦較句股和 句弦較股弦和股弦較股弦和 股弦較句股和 股弦較句弦和已上共九題(句)和和弦較較 句較較 股較較弦和較 句和較 股和較弦較和 句較和 股較和巳上十則各以(股)三則配之得三十題各以(股弦和)三則配之得三十題各以(股弦較)三則配之得三十題又巳上十則(股)和和為一則以下九則配之得九題弦較較為一則以下八則配之得八題句較較為一則以下七則配之得七題股較較為一則以下六則配之得六題弦和較為一則以下五則配之得五題句和較為一則以下四則配之得四題股和較為一則以下三則配之得三題弦較和為一則以下二則配之得二題句較和為一則以下一則配之得一題已上共一百四十四題學者按題而索之逐類而通之要不出於前所列之十五題也又一題(後十四題盡句股之變)容方與餘句求餘股與餘股求餘句因得全句全股法曰方邊自乗以餘句除之得餘股以餘股除之得餘句各以所得加方邊因得全句全股論曰乙丁方邊也自乗得乙壬方即壬丑矩(論詳前十六題)故以己壬(即丙未餘)(句)除之得子壬(即甲丁餘股)以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以餘句除方邊(餘句小于方邉)得數即用以乗方籩得餘股或以方邊除餘股(餘股大于方邉)得數即用以除方邊得餘句論曰方邊為餘句餘股連比例之中率以前率餘句比中率方邊則方邊為幾倍大即以中率方邊比後率餘股則餘股亦必為幾倍大又以後率餘股比中率方邉則方邊為幾倍小即以中率方邊比前率餘句則餘句亦必為幾倍小故得數者得其幾倍大幾倍小之數也大用乗小用除又二題餘句餘股求容方因得全句全股法曰餘句股相乗開方得方邊各以餘句股加之得全句股論曰子壬即餘股也己壬即餘句也丑壬矩即乙壬方也(論詳前十六題)因以甲丁(餘股)丙未(餘句)加之得全股(甲乙)全句(乙丙)又法曰以餘句除餘股(以小除大)得數開方得中率之比例於是以中率之比例除餘股得方邊或以中率之比例乗餘句亦得方邉論曰餘句餘股之於方邊為連比例之前後率今以己壬餘句比子壬餘股得子壬為幾倍大即是以己壬線上方比己壬線與子壬線上矩得丑壬矩為幾倍大也而丑壬矩又與乙壬方等開方得連比例之中率者以方則邊等邊等則比例連故也既得連比例之中率則方邊可得而知矣右兩題宜附前十六題之後又三題句股弦形句股較求句股弦法曰形四倍之另以較自乗相併開方得弦次依前四題法求句股論曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子與甲乙丙四形也乙巳為句股較乙午為較上方四形與一方相併成甲子方開方得甲丙弦又法曰形八倍之另以較自乗相併開方得句股和於是和加較折半得股和減較折半得句論曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子為句股較乙午為較上方四矩形與一方併成丑未方開方得丑壬為句股和又法曰形倍之以句股較用長濶相差法求之得句句加較得股論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲較即乙已與乙丙句等丙巳為句上方丁句為句與較矩内形今試商得乙丙為句乙巳加已甲為股又四題句股弦形句股和求句股弦法曰形四倍之另以句股和自乗相減開方得弦次依前七題法求句股論曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形併也乙壬為句股和乙巳為和上方内減四形併餘甲辛丁丙方開方得甲丙弦又法形八倍之另以句股和自乗相減開方得句股較於是用加和折半為股用減和折半為句論曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形併也午戊為和戊壬為和上方内減四矩形併餘子乙未丑方開方得子乙為句股較又法曰形倍之以句股和用長濶相和法求之得句句減和得股論曰甲乙丙句股弦形倍之得乙巳矩形甲乙股乙丙句併之為和今試商得乙丙為句用減和餘甲乙即股又五題句股形中求從直角(句股相聯處)至弦作垂線(與弦相交為直角)分元形為兩句股形法曰弦上方句上方併之内減股上方餘半之以弦除之得數為弦上作垂線之處於是以所得數與句依句弦求股法作垂線論曰甲乙丙元形求從直角作乙午線為甲丙之垂線甲丙弦也甲丑弦上方也乙丙句也乙己句上方也甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午線上方也乙巳方中之丁申方亦乙午線上方也即兩方等矣又乙辛方中之子辛未磬折形甲丑方中之午壬方也今於甲丑乙巳兩方中減乙辛方即於兩方中減丁申方與午壬方也兩方中所存者為申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又與丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑弦除之得丙午(若乙辛方與甲丑方併内減乙巳方餘半之以弦除之得甲午同上論)(按此法不但可施諸句股直角形凡鋭角鈍角形俱可用此法求垂線)又法曰句股相併得數相減得數兩得數相乗以弦除之得數用減弦餘半之得數為弦上作垂線之處如圖甲乙丙形甲乙股乙丙句相加得甲丁相減得甲巳甲丁與甲巳相乗得數以甲丙弦除之得甲子用減弦餘丙子半之於午即午㸃為弦上作垂線之處一論曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形併與甲乙上方形等如圖壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也(甲壬與甲巳等)辛甲未磬折形即壬丁矩也(壬未矩與辛丁矩等)未辛方乙巳上方也併之得甲戊方即甲乙上方二論丁已甲線貫圜心於乙庚甲線切圜周於庚乙庚甲為直角夫丁甲偕巳甲矩内形與甲庚線上方形等何則乙庚庚甲兩線上方形與乙甲線上方等而丁甲偕巳甲矩内形及乙已上方併亦與乙甲線上方等(一論之圖可見)此兩率者每減一相等之乙庚乙巳兩線上方則甲丁偕甲巳矩内形與甲庚線上方形必等三論曰丙甲線不貫圜心於乙庚甲線切圜周於庚乙庚甲直角形乙午甲亦直角形兩形合一乙甲弦則乙庚庚甲兩線上方併與乙午午甲兩線上方併必等又乙午子直角形則乙午午子兩線上方併與乙子線上方等夫午甲上方形中原有(一論之圖可見)丙甲偕子甲矩内形及午子上方形今於乙甲上方形中減乙庚上方形即減去同乙庚之乙子上方同乙子之乙午午子兩線上方然則所餘之丙甲偕子甲矩形與甲庚上方形必等四論曰前甲丁偕甲巳矩内形與庚甲上方等(二論之圖)甲丙偕甲子矩内形與庚甲上方亦等(三論之圖)則兩矩形自相等而等角㫄之各兩邊彼此互相視何則試引戊子壬己兩線相遇於丑而成甲丑形夫甲戊與甲丑兩形同在戊丑丙己兩平行線内等髙則兩形之比例若其底甲丙與甲己之比例依顯甲壬與甲丑兩形之比例亦若其底甲丁與甲子之比例夫甲戊與甲壬兩矩形元等則甲戊形與甲丑形即甲壬形與甲丑形也即甲丙與甲己之比例亦即甲丁與甲子之比例也更之則甲丙與甲丁之比例亦若甲己與甲子之比例於是以甲丙為一率甲丁為二率甲己為三率二三率相乗一率除之得四率甲子也既得甲子用減甲丙餘丙子半之于午得午㸃為弦上作垂線之處何則試作乙子線與乙丙同為圜之半徑即等而成乙丙子兩邊等角形則午點折丙子之半必是直角(此法不但可施)(諸句股形凡鋭角鈍角形俱可用此法求垂線)右既得乙午垂線即分甲乙丙原形為甲午乙乙午丙兩句股形此兩形者自相似亦與元形相似又六題句股弦形中求依弦一邊容方法曰先依又五題法求形中垂線次以弦與垂線相乗得數併弦與垂線為法除之得方邊論曰甲乙丙元形乙丁為垂線求依甲乙弦作方邊如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形與己乙午分形相似何則以己午與甲丙平行故也次觀己午與未丁等即乙未與己午併是乙丁垂線也然則乙丁偕甲丙併而與甲丙若乙未偕己午併(即乙丁垂線)而與己午又法曰垂線自乗併弦與垂線為法除之得數用減垂線得方邊論曰乙丁偕甲丙併(一率)而與乙丁(二率)若乙未偕己午併(三率即乙丁)而與乙未(四率)於是以乙未減乙丁餘未丁即方邊(此法不但可施諸句股形凡鋭角鈍角形俱可用)又七題句股形中求分作兩邊等三角形二法曰弦半之即是兩邊等之一邊論曰甲乙丙形半弦於丁於是以丁為心甲丙為界作圜必切乙角得乙丁與半弦等因成乙甲丁乙丙丁兩形皆兩邊等三角形也又八題斜三角形中求作中垂線分元形為兩句股形法具又五題又九題斜三角形中求積先分别是銳角形或是鈍角形(若是正角形法以句股相乗半之即得)法曰大中小三邊用小中兩邊依句股求弦法求之若求得數小於大邊即是鋭角形大則是鈍角形鋭角形求積法曰任取一角依又五題求中垂線(鋭角形求)(中垂線任取一角皆在形内)分元形為兩句股形次以兩分形句與股各相乗半之得積論曰甲乙丙鋭角形先求得乙丁中垂線分為甲丁乙乙丁丙兩句股形次以甲丁與丁乙丁乙與丁丙各相乗得丁戊與丁己兩矩形各半之得甲乙丙形之積(或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半)(亦得)鈍角形求積法(於鈍角至對邊作垂線則垂線在形内法同前)於鋭角至對邊作垂線則垂線在形外而引對邊出形外凑之曰大邊上方内減中小兩邊上方餘半之以中邊除之得引凑數與小邊為股弦求句得垂線(或以小邉除半數得引凑數與中邉為句)(弦求股亦得垂線)既得垂線則與引凑數凑成一小句股形又以垂線與引凑數偕元形之邊凑成一大句股形大小兩句股形相減得所求論曰甲乙丙鈍角形(乙為鈍角)求從丙鋭角作丙丁垂線而引乙丁線以凑之(從甲角作垂線亦在形外兹不備述)夫甲丙上方元包丙丁與甲丁兩邊上方今於甲丙上大方中減乙甲乙丙上兩方即是減丙庚與子午兩方為乙丙上方減甲子方為甲乙上方也而所存者為丁子子辛兩矩形矣半之為子丁一矩形以中邊乙子除之得乙丁為引數也丙丁乙為小句股形丙丁甲為大句股形兩形相減得甲乙丙斜三角形積又法曰三邊數併而半之以每邊數各減之得三較數三較連乗(任以二較相乗得數又以一較乗之)得數又以半數乗之得數開方得積如後圖甲乙丙元形求其積一圖 一論曰壬乙矩形與元形等論同前十七題所論乙亥矩形與甲乙丙元形等二論曰丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗開方與乙二圖 壬矩形等如圖子壬二丑壬三相乗得六為子丑矩形今以子壬二自乗得四為子卯方即壬寅邊以丑壬三乗之得十二為丑寅矩形又以三乗之得三十六為辰寅矩形即午丑方形故開方得辰午六與子丑三圖 矩形等三論曰丁心偕戊庚矩形與乙丁相乗其所得數與丁心方偕乙戊相乗所得數等何則乙丁心形與乙戊庚形相似之形也戊庚與丁心若乙戊與乙丁則戊庚偕丁心矩形(即庚未矩形)與丁心方(即己戊方形)亦若乙戊與乙丁也四論曰丙丁偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等(就一圖觀)(之)何則心丁丙形與丙戊庚形相似之形也夫庚乙線平分丁乙甲角庚戊為丙戊之垂線則戊為直角次依丙戊線截取丙卯線作卯庚線為丙卯之垂線則卯為直角此庚乙庚戊庚卯三線必相交於庚㸃三線既相交於庚點則丙庚線必平分卯丙戊角而卯丙戊角又即己心丁角因得心丁丙形與丙戊庚形為相似之形也兩形既相似則丁心與丁丙若丙戊與戊庚也解庚乙庚卯庚戊三線必相交於庚點所以然之故庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引乙丁線至癸引辛甲線至壬乙庚線平分丙乙甲角則庚㸃必是圈心戊㸃折乙癸線之半則戊㸃必直角 卯㸃折壬辛線之半則卯㸃必直角 乙癸與乙己等 乙丙辛丙為大邊甲丙丁丙為中邊甲壬丁癸即小邊總論曰二論丁心方與乙戊相乗又與乙戊相乗所得數開方與乙壬矩形等夫乙戊半數也亦既得之矣次欲求丁心與乙戊相乗而丁心不可得 三論丁心戊庚矩形與乙丁相乗所得數與丁心方偕乙戊相乗所得數等夫乙丁三較之一也則又得之矣次欲求丁心與戊庚兩線而兩線又不可得 四論丁丙偕丙戊矩形與丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三較之二也則盡得之矣 今法於四論用丁丙偕丙戊二較相乗於三論用乙丁一較乗之於二論用乙戊半數乗之開方得數與乙壬矩形等又十題斜三角形中求容圓法曰先依又九題求積次取三邊數併而半之用除積得員之半徑(或置二較連乗數以半數除之得開方亦得圓半徑)論曰先依又九題求得乙壬矩形為甲乙丙元形積次以乙戊除之(即三邊數之半也)得丁心即圓之半徑(若以三邊之全除元形之倍亦得圓)(半徑若以三邊之全除元形之四倍得圓全徑)又十一題斜三角形中求容方法同又六題又十二題斜三角形有三和數求三邊法曰三和數相減得三較數各置三較數各以非所較之邊加減之各半之其加而半者得大邊或中邊減而半者得小邊或中邊如圖戊己庚為三和數(戊為大中兩和數己為大小兩和數庚為小中兩和數)甲為戊庚兩和之較乙為己庚兩和之較丙為戊己兩和之較於是置甲較數以己為非所較之邊加而半之得大邊減而半之得小邊置乙較數以戊為非所較之邊加而半之得大邊減而半之得中邊置丙較數以庚為非所較之邊加而半之得中邊減而半之得小邊論曰戊者大中兩和數也加減用乙者乙為己庚兩和之較庚者小中兩和數己者大小兩和數此兩和數中皆有相等之小數而餘為大中兩數矣此乙所以爲大中兩數之較也餘倣此又十三題句股測髙(測逺測廣測深同法)法曰先准地平(地平者必令所測地面自所測之處至髙之根如水之平也)次立表與地平為垂線退後立望竿令所測髙表尖竿頭叅相直末自竿至髙根量得若干逺然後以表竿差與逺相乗而以表竿相去若干除之加竿長若干得所求之髙如圖丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子為表竿差戊甲為表竿相去夫丁子己形與丁辛丙形相似故丁子與己子若丁辛與丙辛也又十四題句股重測髙逺(測廣測深同法)法曰若無髙根之可量者則用重測法謂一次立表竿令表竿與髙叅相直二次立表竿令表竿與髙㕘相直(兩表兩竿要各相等又要或前或後立成一直線)然後以表竿之較乗兩表相去而以兩表竿相去之較除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗兩表相去而以兩表竿相去之較除之加前表竿相去得所求之逺如圖甲乙髙乙丙逺各不知數用重表測之 丁子為前表己丙為望竿子丙為表竿相去甲丁己三㸃叅相直午壬為後表丑辛為望竿壬辛為表竿相去甲午丑三㸃叅相直丁亥為表竿之較子壬為兩表相去未辛為兩表竿相去之較己上用以測髙借丁卯(元是表竿相去)為表竿相差借卯己(元是表竿相差)為表竿相去辰戊亦借為表竿相差戊癸亦借為表竿相去甲辰癸三㸃亦叅相直丁辰亦借為兩表相去與丁午等即庚癸亦為兩表竿相去之較與辛未等以上用以測逺解庚癸線與辛未線必等所以然之故如圖甲乙矩内形甲乙為對角線丙丁及戊己兩線與矩形之邊為平行而交角線於庚 次任作辛壬線亦交角線於庚 次截甲癸線與甲辛線等作癸子線亦交角線於庚則子乙線與壬乙線必等論曰試作午丑及午未兩線與甲辛及甲癸相線為平行夫庚甲辛及庚午丑兩角形相似之形也則庚甲與庚午若甲辛與午丑依顯庚甲與庚午若甲癸與午未然則甲辛與甲癸亦若午丑與午未夫午丑與午未如是則子乙與乙壬亦如是矣先論甲乙矩形此形甲己為對角線寅卯申亥兩線交於角線上之丁㸃則卯申矩形與亥寅矩形等次論甲丑矩形此形甲丑為對角線寅酉房壬兩線交於角線之午點則房酉矩形與寅心矩形等末總論曰夫房酉矩形與寅心矩形既等而午井形又與卯申形等即亦與亥寅形等然則房酉矩形中所餘之井酉形與寅心矩形中所餘之丁心形必等於是以丁亥表竿相差乗丁午兩表相去得丁心矩形即井酉形而以井女兩表竿相去之較除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙先論甲己矩形同前次論甲癸矩形此形甲癸為對角線申氐戊亢兩線交於角線之辰㸃則亢氐矩形與戊申矩形等末總論曰夫亢氐矩形與戊申矩形既等而辰牛形又與亥寅形等即亦與卯申形等然則亢氐矩形中所餘之牛氐形與戊申矩形中所餘之丁戊形必等於是以丁卯表竿相差乗丁辰兩表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危兩表竿相去之較除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也求髙又法 既得危氐線即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙求逺又法 既得女酉線即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺歴算全書卷四十六
## 卷四十七
欽定四庫全書厯算全書卷四十七宣城梅文鼎撰句股闡微卷二句股積求句股弦句股積與弦較較求諸數第一法假如句股積(一百二十)弦較較(十二)法以積四之得(四百八十)弦較較自之(一百四十四)兩數相減餘(三百三十六)折半(一百六十八)為實弦較較(十二)為法除之得句股較(十四)以加弦較較(十二)共得(二十六)為弦(有弦有句股較即諸數可求)論曰甲乙丙丁合形為弦自乗大方幂甲小方為句股較幂弦幂内減句股較幂所餘丙乙丁磬折形原與四句股積等於中又減去乙小方為弦較較自乗幂仍餘丁丙二長方並以句股較為其長以弦較較為其濶故折半而用其一為實以弦較較為法除之得句股較矣(是以濶求長)第二法置四句股積(四百八十)與弦較較自幂(一百四十四)相加得共(六百)(二十四)折半(三百十二)為實弦較較(十二)為法除之得(二十六)為弦弦内減去弦較(十二)得餘(十四)為句股較論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形如己為弦較自乗幂與乙等又丁丙二長方原相等於是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣(並以)(弦較較為濶以弦為長)故折半而用其一為實以弦較較為法除之即得弦矣(亦是以濶求長)第三法置四句股積(四百八十)為實弦較較(十二)為法除之得(四十)為弦較和以弦較較(十二)加弦較和四十得(五十二)折半(二十六)為弦以弦較較(十二)減弦較和(四十)得(二十八)折半(十四)為句股較於前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊為乙丙戊長方其長如弦較和其闊如弦較較故以弦較較除之得弦較和(若以)(弦較和除之亦得弦較較)又簡法置句股積(一百二十)為實以弦較較(十二)半之得(六)為法除之得(二十)為半弦較和以半弦較較(六)加半弦較和(二十)得(二十)(六)為弦又以半較(六)減半和(二十)得(十四)為句股較論曰長方形濶(十二)如弦較較長(四十)如弦較和其積如四句股今只用一句股積是四之一也積四之一者其邊必半觀圖自明句股積與弦較和求諸數第一法假如句股積(一百二十)弦較和(四十)法以積四之得四百八十弦較和自之得(一千六百)兩數相減餘(一千一百二十)折半得(五百六十)為實弦較和(四十)為法除之得(十四)為句股較以減弦較和得(二十六)為弦弦自乗(六百七十六)加四句股積(四百八十)得(一千一百五十六)平方開之得(三十四)為句股和以與句股較(十四)相加得(四十八)折半(二十四)為股又相減得(二十)折半得(一十)為句句(一十) 股(二十四) 弦(二十六)句股和(三十四) 句股較(十四) 弦較和(四十)弦較較(十二)論曰總方為弦較和(四十)自乗之幂内分甲戊己方為弦自乗幂乙小方為句股較自乗幂於弦幂内減去戊己磬折形即四句股積則所餘者甲小方即句股較幂與乙方等以甲小方合丁長方即與乙丙長方等(以丁丙小長方原相等故)此二長方並以句股較(十四)為濶以弦較和為長(四十)故折半而用其一為實弦較和(四十)為法除之即得句股較(是為以長求濶)第二法弦較和自乗(一千六百)與四句股積(四百八十)兩數相加(二千○八十)折半(一千○四十)為實弦較和(四十)為法除之得(二十六)為弦以減弦較和得(十四)為句股較餘如前(觀後圖自明)第三法置四句股積(四百八十)為實弦較和(四十)為法除之得(十二)為弦較較餘同弦較較第三法又簡法句股積(一百二十)為實弦較和(四十)半之得(二十)為法除之得(六)為弦較較之半餘並同弦較較簡法論曰乙丁丙甲戊己合形為弦較和(四十)自乗之大方外加一庚辛長方為四句股積與戊己磬折形等於是中分之為兩長方(乙丁庚辛合為左長方丙甲己戊合為右長方)並以弦為濶(二十六)弦較和(四十)為長故折半為實以弦較和除之得弦(亦為以長求濶)借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句股積而其濶(十二)如弦較較其長(四十)如弦較和是(十二)與(四十)相乗之積也故以弦較較除之得弦較和若以弦較和除之即復得弦較較若庚辛長方横直皆均剖之成四小長方則其濶皆(六)加半較其長(二十)如半和而其積皆(一百二十)為一句股積矣此又簡法之理也句股積與弦和較求諸數第一法假如句股積(六千七百五十)弦和較(六十)法以弦和較自之得(三千六百)與四句股積(二萬七千)相減餘(二萬)(三千四百)折半(一萬一千七百)為實弦和較(六十)為法除之得(一百九十五)為弦加較(六十)得句股和(二百五十五)弦幂内減四句股積開方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半得句句(七十五) 股(一百八十) 弦(一百九十五)句股和(二百五十五) 句股較(百○五) 弦和和(四百五十)弦較和(三百) 弦和較(六十) 弦較較(九十)第二法以弦和較自乗(三千六百)與四句股積(二萬七千)相加得(三萬○六百)折半(一萬五千三百)為實弦和較(六十)為法除之得(二百五十五)為句股和内減弦和較(六十)得(一百九十五)為弦論曰丁丙方為句股和自乗方幂内減甲戊方為弦自乗幂其餘丁戊丙磬折形四句股積也内減戊乙小方為弦和較自乗積則所餘丁戊長方與戊丙長方等而並以弦為長弦和較為濶故以弦和較除之得弦此第一法減四句股積之理也若於丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃併之為庚戊長方與辛乙等並以句股和為長弦和較為濶此第二法加四積之理也(兩法並以濶求長)第三法置四句股積(二萬七千)為實弦和較(六十)除之得(四百五十)為弦和和以與弦和較相加折半為句股和又相減折半為弦此如有句股積有容圓徑而求句股弦乃還元之法也論曰前圖中辛乙長方并戊丙長方是四句股積聯之為辛丙長方則其濶丁辛弦和較也其長丁丙弦和和也又簡法置句股積(六千七百五十)為實半弦和較(三十)除之得(二百二十五)為半弦和和以與半弦和較相加得二百五十五為句股和又相減得(一百九十五)為弦 此如有容圓半徑以除句股積而得半弦和和句股積與弦和和求諸數第一法假如句股積(六千七百五十)弦和和(四百五十)法以積四之得(二萬七千)弦和和自之得(二十○萬二千五百)兩數相減餘(十七萬五千五百)折半(八萬七千七百五十)為實弦和和(四百五十)為法除之得(一百九十五)為弦以減弦和和得(二百五十五)為句股和第二法以四句股積與弦和和幂兩數相加得(二十二萬九千五百)折半得(十一萬四千七百五十)為實弦和和(四百五十)為法除之得(二百五十五)為句股和以減弦和和得(一百九十五)為弦論曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也與丁丙方等丁乙方句股和自乗也於丁乙内減去丁丙弦幂則所餘者四句股積即壬乙丙戊二小長方也而己辛小長方與丙戊等則己乙長方亦四句股積也今於甲乙大方内減去己乙則所餘者甲戊己戊二長方並以弦為濶弦和和為長故以弦和和除之而得弦此第一法減四句股積之理也是為以長求濶又論曰若於甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而中分之於癸戊則癸乙與癸庚兩長方等並以句股和為濶弦和和為長故以弦和和除之而先得句股和此苐二法加四句股積之理也亦是以長求濶第三法置四句股積(二萬七千)為實弦和和(四百五十)除之得弦和較(六十)此如併句股弦除四倍積而得容員徑又簡法置句股積(六千七百五十)為實半弦和和(二百二十五)除之得半弦和較(三十)此如合半句半股半弦除積得容員半徑欲明加減用四句股之理當觀古圖甲乙丙句股形 甲丙句六甲乙股八 乙丙弦十甲丁句股和十四 壬辛句股較二甲己大方句股和自乗冪也其積一百九十六 丙戊次方弦自乗冪也其積一百 壬庚小方句股較自乗冪也其積四 甲己和冪内減弦冪所餘者四句股也 弦冪内減較冪所餘者亦四句股也 句股之積並二十四甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股較二甲丙方爲句股和自乗冪(一百九十六)内減癸辛弦冪(一百)餘(九十六)爲甲己丙磬折形(亦卽四句股積)内分甲己直形移置於丙戊成乙戊長方卽爲弦(和較乗弦和和)又壬丁小方爲句股較自乗其冪四以減弦冪一百餘九十六爲癸壬辛巳磬折形(亦卽)(四句股積)内分癸壬直形移置於辛庚成己庚長方卽爲弦較較乗弦較和假如方環田有積有田之濶問内外方各若干法以積四之一爲實田濶除之得數爲内外二方半和與田濶相加得外方又相減得内方(葢田濶卽如半較)若但知外方及内小方及環田積法即并大小方邊為和以除積得數為較較與和相加折半為外周大方又相減折半為小方以兩方之較折半為環田濶若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方邊不能知濶總論曰弦較較乗弦較和之積與弦和較乗弦和和之積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學者所宜深玩又如有辛庚壬圓池不知其徑法於乙作甲乙直線切員池於庚又乙丙横線切圓池於壬乙為正方角又自丙望甲作斜線切員池於辛乃自丙取乙丙之度截斜線於丁又自甲取甲乙之度截斜線於戊末但量丁戊有若干尺即圓池徑解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙弦於丁則丁甲為句弦較甲乙股截弦於戊則戊丙為股弦較而丁戊為弦和較故即為圓徑 其句股弦不必問其丈尺但取三直線並切員而乙為方角足矣故為測員簡法(凡城堢墩臺錐塔員柱之類形正員者並同一法也)句股容方(係鮑燕翌法)句股形引股線法即依正角作方形於形外 又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令乙丁與戊丁等法曰以乙丙分甲乙得數減一餘用歸甲乙得之解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分數等然則減一者雖似于甲乙分數内減乙丙之一分實于甲丁分數内減丁戊之一分也(即乙丁之一分)故以減餘分甲乙而得(勿菴又法句股相乗為實句股較為法除之亦即得所引乙丁與乙戊同數)句股形截股法即依正角作方形於形内 又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股於乙甲戊弦于丙而令乙丁與乙丙等法曰以丁戊分甲丁得數加一共用歸甲丁得之 (勿菴又法句股相乗為實句股)(和為法除之亦即得所截乙丁與丁丙同數即句股容方法)解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁與以乙丙分甲乙所得之分數等然則加一者雖似于甲丁分數外加丁戊之一分實于甲乙分數外加乙丙之一分也(即乙丁之一分)故以加共分甲丁而得若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之按後一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所設殊新要其理亦相通耳(勿菴補例)設甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股長出至丁而令引出之乙丁股分與所當之丁戊句等問若干答曰乙丁十六法以乙丙句(八)甲乙股(十六)相乗得(一百)(廿八)為實句股相減得較(八)為法除之得乙丁引出一十六與丁戊句相等 若如鮑法以句(八)除股(十六)得(二)内減去一仍餘一用為法以除股(十六)仍得(十六)為乙丁又設甲乙股(四十八)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(十)(六)與丁戊句等法以句十二乗股(四十八)得積(五百)(七十六)為實 句減股得較(三十六)為法除之得(十六)為乙丁或以句(十二)除股(四十八)得數(四)内減(一)餘(三)為法以除股(四十八)亦得(十六)為乙丁又設甲乙股(六)乙丙句(四)依法引出乙丁股(十二)與丁戊句等法以句乗股得(二十四)為實 句股較(二)為法除之得(十二)為乙丁或以句(四)除股(六)得(一半)内減一餘(半)為法以除股(六)亦得(十二)為乙丁解曰半為除法則得倍數此畸零除法也詳别卷又設甲乙股(三十)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(二十)與丁戊句等法以句乗股得(三百六十)為實句股較(十八)為法除之得乙丁(二十)或以句(十二)除股(三十)得(二半)内減一餘(一半)為法以除股(三十)亦得乙丁(二十)解兩法相同所以然之故 葢此是依句股正角(即乙角)作正方形於形之外也本法以句弦較為法除句股形倍積(即句股相乗)今不用句股較之本數而用其除過之句股較為法(以句除股則股内所原帶句數及句股較數並為句所除而減去其一即減去除過之句)(也用減餘為法即是用其除過之句股較為法也)故亦不用句股形之倍積而用其除過之倍積為實(倍即是句股相乗之數若以句除之必仍得股今徑以股數受)(除即是用其除過之倍積為實也)法實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣以上補第一條之例設甲丁戊形甲丁股(廿八)丁戊句(廿一)甲戊弦(三十五)欲截甲丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截之乙丁與乙丙等問其數若干答曰乙丁一十二法以甲丁股(二十八)丁戊句(二十一)相乗得(五百八十八)為實併句股得和(四十九)為法除之得(一十二)為所截乙丁與乙丙截句等如鮑法以句(二十一)除股(二十八)得一(又三之一)又外加一數共二(又三之一)為法(通作七)用以除股二十八(通作八十四)亦得(十二)為乙丁截股設甲丁股(三百四十五)丁戊句(一百八十四)弦甲戊(三百九十一)欲截乙丁與乙丙等該若干 答曰一百二十法以句(一百八十四)股(三百四十五)相乗得(六萬三千)(四百八十)為實句股和(五百二十九)為法除之得所截乙丁(一百二十)與截句乙丙等或以句(一百八十四)除股(三百四十五)得一(又八之七)又外加一共二(又八之七)通作(二十三)為法以股(三百四十五)通作(二千)(七百六十)為實法除實亦得(一百二十)為乙丁截股解兩法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作方形於内(即句股容方)也本法以句股和為法除句股形倍積(即句股相乗)今不用句股和本數而用其除過之句股和為法(股被句除既變為除過之股而得數中之一其本數皆與句同今於得數又加一是又加一除過之)(句合之則共為除過之句股和矣)故即用股為實以當除過之倍積法與實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣以上補第二條之例按數度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖亦不真今于此第一例中生二法補之分角線至對邊(亦係鮑法)甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁線至對邊弦欲知丁㸃之所在法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙弦或甲丁弦即得甲乙丙句股形 今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知丁㸃所在法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜方取甲子癸小句股形補壬寅丑虚句股形成甲寅長方此即句股相乗實以句弦和除之也(甲乙為弦乙壬即句)得壬寅邊丙甲辛句股形中(即甲乙丙原設形)作甲卯垂線至丙辛弦(法另)(具)于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸(即丁己)成丁己乙戊四斜方形次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或丁甲即得按上鮑法此寅甲長方為句弦和除句股形倍積所得壬寅邊必小于句股容方之邊其内容丁己乙戊四斜方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可以得容方邊矣(容方邉除倍積得句股和以減句弦和得股弦較即其他可知)求丁己線法 一率甲丙股 二率甲乙弦 三率壬寅 四率丁己(即壬丑)甲乙丙鋭角形 求分乙角作線至甲丙邊之丁㸃法於形中求得辰丙垂線(丙辛甲形即甲乙丙)(形故其垂線等)用丙長線乗乙丙所得即辛乙長斜方形自此以下至成丁己乙戊四斜方(並同前法)次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊四率得丁丙或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁甲乙丙鈍角形 法先從形外求得甲辰外垂線 引乙丙線與之相遇 次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長斜方形 餘同前法甲乙丙鈍角形 甲辰垂線在形外與右圖同法鼎按若依幾何六卷三題法甚㨗句股容員甲乙丙句股形 求容員徑卯戌(即丁辛)法於甲丙弦上截丁丙如句(乙丙)又截甲辛如股(乙甲)因得丁辛即容員之徑試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形(自丁作弦之垂綫至戊又引乙)(丙句遇于戊即成此形)又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形(自辛)(作弦之垂線長出至氐引甲乙股遇于氐)又作戊戌房句股形(引戊丁股至房如弦之度)(自房作垂線至戌即成)乃自甲自戊各為分角綫遇於己成十字則己即容員心也又引十字綫透出而以甲己為度截之於癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作辛氐及房戊之垂線穿而過之與癸辰線遇於辰又引氐辛線至癸引房戌線至女得女辰女房癸辰癸氐四線皆如甲丙弦女卯女亢癸丑癸未四線皆如甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱横相叠並以容員心己㸃為心此同心八句股形各線相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之弦而立即所謂弦和較也此兩形者皆相等而其方邊並與容員徑等即容員徑上之方幂也然則何以又為弦和較試即以原弦論之甲丙弦上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相併即重叠此丁辛一邊是句股和多於弦之數古人以弦和較為容員徑葢謂此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各有此重叠之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣(因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯)相似兩句股并求簡法假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之兩句股形今欲求兩形之兩句合線(兩句者一為己辛大句一為壬乙小)(句即辛甲也則己甲為兩句合線)法以兩弦(一癸己大弦一癸乙小弦)并之為三率以癸角之正弦(兩癸)(角等只用其一)為二率二三相乗為實半徑全數為法實如法而一得四率己甲即(己辛壬乙)兩句之合數何以知之曰試引癸己弦至丁截己丁弦如癸乙則丁癸即兩弦合數也乃以癸角之正弦乗之半徑(全)除之即得丁丙而丁戊即壬乙(以己)(丁即癸乙也亦即甲辛)戊丙即己辛(同在直線限内也)則所得丁丙亦即己甲矣有句股和有弦求句求股(量法)乙甲句股和 丙甲弦原法以甲為心作乙己卯象限 又以丙甲弦半之於丁以丁為心作甲戊丙半圓次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二綫則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己㸃正切處難真今别立法求己㸃法曰自丁㸃作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問如此則徑得辛㸃不用屢試得數既易且真確矣論曰凡平員内作兩通弦至員徑兩端必為句股而員徑常為弦今既以丙甲弦為半員徑則其辛丙與辛甲兩通弦必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛等為小員之半徑即等為句線矣於己甲句股和内截己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也又論曰半員内所容句股形以半方形為最大(即甲戊丙也其)(餘皆半長方形之句股故小)其句股和亦最大(丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚為最大)(其餘股長者句反甚小故其和皆小于甲戊庚)即弦上方幂之斜徑也(甲未庚丙為弦)(上平方幂甲戊庚為其斜徑)以此為象限之半徑(如辰庚亥象限其半徑辰甲及亥甲)(並與庚戊甲等)則能容弦上平方(如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内)又戊心所作平方外切之平圓亦能容弦上平方(此員以戊為心以平方四)(角為界其全徑甲戊庚即平方之斜徑也)三者相切于庚㸃惟相切不相割其餘句股和並小(如乙甲和必小于辰丙)不能包平方之角即不能外切平員而與之相割矣(如乙甲和為半徑作乙己卯象限不能包庚㸃即與)(平員相割如己)其自庚至丙並可為相割之己㸃而四十五度之句股具焉(八線表所列之句股只四十五度互相為正餘句為正弦股即餘弦也分言正弦則)(初度小而九十度最大也若合正弦餘弦為和數則初度與九十度皆最小惟四十五度最大)己足以盡句股之變態矣(若過庚向末亦四十五度己㸃至此餘其和數反小而與前四十五度為正)句股和之最大者以略小於弦上斜線而止(凡句股有和有較皆)(長方形之半非正半方也若半方形則有和無較可無用算非句股所設)其最小者以稍大于弦線而止(若同弦線即無句股)無有不割平圓故可以己㸃取之也又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為半徑作半圓則能容方斜上平圓(如庚己丙甲未平圓其徑甲戊庚方斜是)(即方斜上之平圓也若以甲戊庚半徑作大半圓即能容之)凡半圓内所容之圓度每以兩度當外周半圓之一度何則論度必以角惟在心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度(如辰庚亥)(半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從)(甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是兩度當一度以同用甲角)(故也)凖此論之則弦上半圓所作之戊甲丙角亦必四十五度矣(既同用甲角則戊辛丙象限亦兩度當一度)若是則庚己丙之度與戊辛丙等(並同用甲角以庚辰為度故也)而己㸃所割之己丙弧及辛丙弧亦必等度矣(己丙為方外切員之度辛)(丙為方内切員之度大小不同而同用甲角以己乙為其)(度角等者度亦等)又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度(以同)(用丙角故也)而同為甲角之餘(丙角原為甲角之餘乃甲角減象限是以己甲乙減象限)(得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙)(辛弧減半周得辛戊甲也)又己庚丑未弧原為己丙減半周之餘即與寅丑甲等於此兩弧内各減寅丑未則己庚寅與未癸甲亦等於是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等而寅己丙與甲丙己又等(于寅己及甲己各加一己丙)則丙辛寅及己辛甲兩直線亦等(皆句股和也)兩和線相交於辛則交角等(皆十字正角)又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等(己甲丙三角形)(與己寅丙等則對丙甲之己角對己寅之丙角亦等)則角所對己辛邊丙辛邊亦等矣 凖上論己辛與丙辛必等故用己㸃以求辛㸃而和數中句股可分也又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二㸃其一為己其一為丑自丑作直線至甲心(象限心也)割半員於壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等(丑甲)(丙角為丙甲壬角之餘與壬丙甲角等而其度丑卯與己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又)(同以丙甲為弦是兩句股形等也)凖此論之凡半員内所作句股皆兩兩相似(句股之正角必負員周亦兩兩相對如辛㸃在戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限與之相對)(皆與象限上己㸃丑㸃相應其所作句股形亦兩相似)故四十五度能盡句股之變也(戊丙與戊甲兩象限並兩度當一度其真度在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度)試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和數之大至庚甲而極也凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理句股和較弦與句股較(相和即弦較和) (加句即股弦和) (减股即句弦較) (内减弦存句股較)(相較即弦較較) (减句即股弦較) (加股即句弦和) (用减弦存句股較)弦與句股和(相和即弦和和) (减弦即句股和) (减股即句弦和) (减句即股弦和)(相較即弦和較) (加句弦較即股) (加股弦較即句) (加句弦較股弦較即弦)弦與句弦較相和 (加句即兩弦) (减句即兩句弦較) (减弦即句弦較)相較(即句)句與股弦較(相和即句較和) (加句股較即弦) (减股弦較即句) (加句弦較减股弦較即股)(相較即句較較) (加句股較股弦較即股) (加股弦較即句) (加句股較股弦較較即弦)句與股弦和(相和即句和和) (减弦即句股和) (减股即句弦和) (减句即股弦和)(相較即句和較) (减股即句弦較) (减弦即句股較) (加句即股弦和)句與句股較(相和即股)相較 (加句股較即句) (加兩句股較即股)句與句股和相和相較(即股) (减股即兩句) (加股即兩句股和)句與句弦較相和(即弦)相較 (加句弦較即句) (加兩句弦較即弦)句與句弦和相和相較(即弦)句股較句弦較(相較即股弦較) 句股較股弦較(相較即句弦和内减兩句又兩股弦較)(相和即股弦和内减兩句) (相和即句弦較)句弦較股弦較(相較即句股較)(相和即兩弦内减一句一股)句股和句弦和(相較即股弦較) 句股和股弦和(相較即句弦較)(相和即兩句一股一弦) (相和即兩股一句一弦)句弦和股弦和(相較即句股較)(相和即兩弦一句一股)句股較與(句股)和(相和即兩股) 句股較與(句弦)和(相和即股弦和) 句股較與股弦和相和(相較即兩句) (相較即句弦和)句弦較句弦和(相和即兩弦) 句弦較與(句股)和(相和即股弦和) 句弦較與股弦和相和(相較即兩句) 相較 (相較即句股和)弦和較弦和和(相和半之為句股和) 弦和較弦較和(相和半之為股)(相較半之為弦) (相較半之為句弦較)弦和較弦較較(相和半之為句) 弦和較句較和(相和半之為句)(相較半之為股弦較) (相較半之為股弦較)弦和較句和較(相和半之為句) 弦和較句較較(相和半之仍為弦和較)(相較半之為股弦較) 相較即减盡弦和和弦較和(相和半之為股弦和) 弦和和弦較較(相和半之為句弦和)(相較半之為句) 相較(半之為股)弦和和句較和(相和半之為句弦和) 弦和和句和較(相和半之即股弦和)(相較半之為股) 相較(半之為句)弦和和句較較(相和半之即句股和) 弦較和弦較較(相和半之為弦)(相較半之為弦) (相較半之為句股較)弦較和句較和(相和半之為弦) 弦較和句和較(相和半之為股與句弦較或弦與句股較)(相較半之為句股較) 相較恰盡弦較和句較較(相和半之為股) 弦較較句較和(相和半之為句與股弦較)(相較半之為句弦較) 相較恰盡弦較較句和較(相和半之為弦) 弦較較句較較(相和半之為句)(相較半之為句股較) (相較半之為股弦較)句較和句和較(相和半之為弦) 句較和句較較(相和半之為句)(相較半之為句股較) (相較半之為股弦較)句和較句較較(相和半之為股)(相較半之為句弦較)厯算全書卷四十七
## 卷四十八
欽定四庫全書厯算全書卷四十八宣城梅文鼎撰句股闡微卷三句股法解幾何原本之根句股羃與弦羃相等圖甲乙丙句股形 乙辛大方為弦羃 弦羃内兼有句股二羃論曰試於弦羃作對角之乙子線與甲丙股平行而等又作丙丁對角線與甲乙句平行與乙子線遇於子成十字正角則丙子與甲乙句相等成乙子丙句股形與甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊兩線皆與丙丁等亦與乙子等而皆與甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆與丙子等即皆與甲乙句等則弦冪内所作四句股形皆與原設句股形等於是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙丁癸庚壬磬折形末引丁癸至巳截成大小二方形則丙巳方形即股幂癸壬小方即句幂也若先有丙巳股幂癸壬句幂則聯為磬折形而移乙壬庚句股補於丙丁辛之位移甲乙丙句股補於癸庚辛之位即復成乙辛大方而為弦幂又法甲乙丙句股形 乙丙弦 其幂乙戊丁丙甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法於原形之甲正角作十字線分弦幂為兩長方(一為丑子)(丁丙)凖股幂(一為丑子戊乙)凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛並引之至巳而成方角次移甲丑丙句股補巳子丁虚形又移巳壬甲句股補丁辛丙虚形即成股冪而與丑子丁丙長方等積又移甲丑乙句股補己子戊虚形再移己卯戊句股補戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形補癸寅乙庚虚形即成句幂而與丑子戊乙等積解幾何二卷第五題 第六題甲丙為弦 丁丙為句丁甲句弦和 乙丁句弦較(丁甲同丁壬甲癸並同)庚辛戊己弦幂也 己句幂也 戊庚辛較乗和之長方幂也移戊補戊移庚辛補庚辛而弦幂内净多一己形即句幂也故弦幂内有和較相乗之長方又有句幂也論曰凡大小方形相減則其餘必為兩形邊和較相乗之長方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句弦較乗句弦和之長方也合之成戊庚辛巳形即弦自乗之大方矣幾何二卷第五題以倍弦為甲乙原線以甲丙弦為平分之線以甲丁和乙丁較為任分之兩線以丁丙句為分内線其理一也第六題以子丁倍句為原線以丁丙句為平分線以句弦較乙丁(即子甲)為引増線以丁甲句弦和為全線其理亦同以數明之 甲丙弦八 丁丙句五 乙丁較三 丁甲和十三 和較相乗三十九 句自乗二十五 以句幂加和較長方共六十四與甲丙弦幂等又論曰用股弦和較亦同解幾何二卷第七題甲丁股幂(即甲乙元線上方)子戊句幂(即甲乙方内所作已辛方乃任分線甲丙)(上方也)併之成癸寅弦幂(即所)(謂兩直角方形併也)弦幂内有戊甲股(即甲乙原線)戊癸句(即任分之甲丙線)相乗長方形二(即己甲長方及丁辛長方亦即甲乙偕甲丙矩形二也)及句股較乙丙上方一(即壬丙小方亦即所謂分餘線上方也)何以明之曰試於戊癸線引長至丑令丑癸如已丁較(即乙丙)遂作子丑小長方(與丁庚等)以益亥癸成亥丑長方(與丁)(辛等亦與已甲等)次於癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四線皆與甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四線皆與戊癸句等又自有未卯卯酉等句股較與乙丙較等 即顯弦幂内有句股形四較幂一也試於弦鼏内移午辰寅句股補癸戊甲之位成戊卯長方(與己甲等)又移癸未午句股補甲戌寅之位成戌酉長方(與亥丑等)而較幂未酉小方元與壬丙等又子丑小長方元與丁庚等合而觀之豈非丁甲股幂及子戊句幂併即與己甲亥丑兩長方及壬丙小方等積乎解幾何二卷第八題庚甲乙句股形 取丁乙如庚甲句則丁甲為句股和和之幂為丁己大方(即元線甲乙偕)(初分線上直角方也)於大方周線取戊丑己子皆與庚甲句等即丑丁戊子己庚皆與甲乙股等(即甲乙元線也句線則初分線)次作丑癸庚辛乙壬子卯四線皆與外周四股線平行而等自有丑壬子癸庚卯乙辛四線皆與外周四句線平行而等又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股較線自相等(即分餘線也)丁已和幂内有長方形四皆句乗股之積(即元線偕初分線矩内形)(四也)又有句股較自乗幂一即分餘線上方形也解幾何二卷第九題甲丙為股 丁丙為句丁甲句股和 乙丁句股較 壬庚為句幂 辛丙為股幂 丑丁較幂 丁癸和幂 戊巳線上方為句幂之倍 戊甲上方為斜線上方倍於元方圖 股幂之倍併和較幂倍大於句幂股幂之併古法倍弦幂内減句股和幂開方得較若減較幂亦開方得和即其理也論曰己丁較上方與丁甲和上方併之即己甲上方也戊巳線上方與戊甲線上方併亦即巳甲上方也 而戊巳為句幂斜線戊甲為股幂斜線凡斜線上方形倍於原方故較幂併和幂亦倍大於句幂股幂之併也而句幂股幂併之即弦幂古人所以用倍弦幂也此第十題與前題同法 甲丙即句 丁丙即股 丁甲全線即和 丁乙引増線即較准前論丁庚(即丁乙)較上方幂與丁甲和上方幂併成庚甲線上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股(即巳戊亦即己庚)及丙甲句二幂(己壬為股幂辛丙為句幂)之倍數(庚戊為股斜線其幂必倍於股幂戊甲為句斜)(線其幂必倍於句幂)故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂丙丙線皆弦也丙丙方弦幂也甲丙之長者皆股也(亦即丙丁)(丁)甲丙之短者皆句也(亦即丙丁)丁丁線句股較也丁丁小方較幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也丁甲長方皆句股相乗即倍句股形積也合而觀之則弦幂内有句股積四及較冪一也和幂内有句股積八及較幂一也 若倍弦幂則有句股積八及較幂二也故以和幂減倍弦幂得較幂 若以較幂減之亦得和幂矣以句股法解理分中末線之根即幾何二卷第十一題 六卷第三十題四卷第十第十一題古法句弦較 癸庚弦 其鼏庚乙 丙癸乘句弦和開 句 其鼏丙戊方得股之圖 引庚甲弦至壬使甲壬如丙癸句則庚壬為句弦和丙庚原為句弦較 以較乗和成丙壬長方 長方内截甲丁小長方與戊辛等 其餘庚辛合而觀之是弦鼏内兼有句弦較乗和之積及句鼏也夫弦鼏内原有句股二鼏而今以句弦較乗和之積可代股鼏是句弦較乗和即同股鼏也句弦和及股 用法及句弦較為 有句弦和 有句弦較連比例圖 求股法以較乗和開方得股或有股有句弦和求句求弦法以股自乗為實以句弦和除之得較以較減和半之得句句加較得弦若先有較以除股鼏亦得和矣如圖 丙戊丁句股形 丙丁弦與丁乙等(亦與丁庚等)丁戊句 亥戊為倍句 乙戊為句弦較與庚亥等戊庚為句弦和與亥乙等亥巳為句股和乗句弦較之積與戊癸等丙戊股 其方鼏甲丙准前論甲丙方與亥巳長方等積(戊癸亦同)則庚戊和與丙戊股若丙戊股與戊乙較也一 句弦和 庚戊二 股 丙戊三 股 丙戊四 句弦較 戊乙以戊乙較減亥乙和餘亥戊倍句折半為句(丁戊或丁亥)或戊乙較與丙戊股若丙戊股與庚戊和也一 句股較 戊乙二 股 丙戊三 股 丙戊四 句股和 庚戊又論曰以二圖合觀之凡倍句加句弦較即句弦和以倍句減句弦和餘即句弦較此不論句小股大如前圖或句大股小如後圖並同此可以明倍句與句弦較必為句弦和之兩分線故以句弦和為全線則其内兼有倍句及句弦較之兩線矣但倍句有時而大於較有時而小於較故不能自為連比例而必藉股以通之今於句弦和全線内取倍句如股則先以股線為和較之中率者今以如股之倍句當之而倍句原係句弦和全線之大分於是和與倍句之比例若倍句與較亦即為全與大分若大分與小分此理分中末線所由出也下文詳之丙戊線上取理分中末線先以丙戊線命為股 以丙戊折半成丁戊命為句取丙丁弦與丁乙等則戊乙為句弦較變股為倍句成 亥戊倍句與丙戊股等 以理分中末線圖 加較成亥乙即句弦和亥巳為和較相乗積與丙亥股鼏等(丙亥為丙戊股之方即為亥戊倍句之方)准前論亥乙和與丙戊股若丙戊股與戊乙較今亥戊即丙戊則又為亥乙和與亥戊倍句若亥戊倍句與戊乙較也夫亥乙者全線也亥戊其大分戊乙其小分也合之則是全線與其大分若大分與其小分論曰此以丙戊股線為理分中末之大分而求得其全線亥乙與其小分戊乙也而大分與小分之比例原若理分中末線 全線與大分故即可以丙戊比例圖 大分為全線而以小分戊子(即戊乙也)為大分則子丙自為小分矣以亥乙為全線(亥戊大分即丙戊亦即乙)(甲即戊乙小分 戊子)亥乙與乙甲(即亥戊大分)若亥戊與子戊也(即亥戊與戊乙)理分中末線 此用亥乙甲大句股比亥戊相生不窮圖 子小句股若丙戊為全線則又戊子為大分(亦即子巳)子丙為小分(亦即巳甲)為亥戊與戊子(即丙戊與戊子)若子巳與巳甲也(即子戊與子丙)此用亥戊子大句股比子巳甲小句股亥戊與戊乙若戊子與子丙又相視之理也又若子巳為全線則子庚又為大分 庚巳又為小分其法但於大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方則戊子(即子巳)與子丙若子庚與庚巳似此推之可至無窮解幾何三卷第二十七題甲乙丙句股形 以乙丙句折半於巳 作已戊線與股平行平分甲丙弦於戊 又作戊庚線與句平行平分甲乙股於庚成巳庚長方此即半句乗半股為句股積之半也凡句股形内依正角作長方惟此為大 若於形内别作長方皆小(皆不及句股半積也)今仍作卯丁形則小於巳庚何以知之曰試作丑戊線與丙巳半句平行而等又作丑丙線與戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即顯壬丑形與壬巳形等又乙辰原與巳寅等則以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦與卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以較已庚半積方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作長方於丙戊界内者皆小於巳庚半積形也又作子癸形則亦小於巳庚何以知之曰試作戊乙對角線引之至酉即顯癸未形與卯未形等即卯丁形與子癸形亦等而其小於巳庚形為所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作長方於甲戊界内者皆小於巳庚半積形也又知句股内容方之積亦皆小於半積惟句股相等如半方者容方即為半積論曰此磬折形依弦線而成葢即幾何所謂有闕依形也所闕之小方午辰及戊未皆與丑巳形相似而體勢等以有弦線為之對角也然以句股解之殊簡又論曰若壬角在弦線上去戊角更逺則所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而體勢等辛角亦然解幾何三卷三十五題甲丙乙句股形 以甲乙弦為半徑作員則甲丙股為正弦丙乙句為餘弦己丙矢為句弦較丁丙大矢為句弦和依句股法 較乗和開方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊與巳丙乗丁丙等積也幾何三卷第三十五題言員内兩線相交則其各分之線相乗等積即此理也巳丁過員心線有庚壬斜線相交於丙(分丙巳及丙丁又丙庚及)(丙壬)皆分為兩法自員心乙作十字線至辛平分庚壬為兩(辛庚辛壬)皆斜線之半辛庚半線内又分辛丙為小線以辛丙減辛庚餘庚丙為較以辛丙加辛壬成丙壬為和以大小二方相較之理言之庚辛方内有庚丙較乗丙壬和之積及辛丙方乙辛庚句股形以乙庚為弦弦幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之積及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙為弦則乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙為弦弦幂内兼有甲丙及乙丙二方 此兩弦者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又與乙丙方等則各減等率而其所餘之庚丙乗丙壬積亦必與甲丙方等矣而已丙乗丙丁原與甲丙方等則巳丙乗丙丁亦必與庚丙乗丙壬等矣辛戊線 庚壬線相交於丙則戊丙乗丙辛與庚丙乗丙壬亦等何以知之曰試作一丁巳過心線與兩線交於丙凖前論戊丙乗丙辛之積及庚丙乗丙壬之積皆能與丁丙乗乙丙之積等則亦必自相等矣丁巳員徑 有庚壬斜線相交於丙則庚丙乗丙壬與巳丙乗丙丁等如法作乙辛及乙庚線成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句減庚辛句餘庚丙為較 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊為和(即丙壬)又以乙丙弦(即乙子亦即乙癸)減庚乙弦餘子庚為較 又兩弦相加成庚癸為和(即子丑)以庚子較乗庚癸和與庚丙較乗丙壬和之積必等(詳後條)而巳丙即庚子丙丁即子丑(亦即庚癸)故巳丙乗丙丁與庚丙乗丙壬亦等又大小方相減之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之積及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之積及乙丙方也(乙丙即乙子)而同庚乙之甲乙弦幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙兩積内各減去乙丙方則所存者一為庚丙乗丙壬之積一為甲丙自乗積此所餘兩積亦必相同可知矣又巳丙乗丙丁之積原與甲丙方等則亦與庚丙乗丙壬等矣先解兩方相減寅辛大方内減子巳小方(寅辰為兩方邊之較卯辰為兩方之和即子辛)法以小方邊(乙子)為度于大方邊截取(乙長乙戊)作辰午線及戊未線成辰戊小方與巳子等為減去之積其餘為寅午長方(即二方較線寅長乗大方邉之)(積)及未辛長方(即較線午未乗小方邉之積)末取未辛長方移補丑卯之位成卯寅長方(即較乗和之積)又庚甲大方内減己癸小方(丁辛為兩方較已辛為兩方和亦即辛丙)如法作丁壬癸戌二線減去丁癸小方與已癸等其餘辛壬壬癸兩長方又移癸壬為丙壬成丁丙長方即較乗和之積也凖此論之凡大小二方相減其所餘者必皆為較乗和之積次解兩句股形相減 凡兩句股同髙即可相加減(謂股)(數同也)乙庚辛句股内減乙庚丁句股 則以丁庚句減辛庚句餘(辛丁)為兩句之較 又以同(丁庚)之巳庚句加辛庚句成辛已為兩句之和 和乗較成丁丙長方又以乙丁弦減辛乙弦餘辛戊為兩弦之較 又兩弦相加成辛子為兩弦之和(戊乙子乙並同丁乙) 和乗較成卯寅長方此兩長方者其積必等(無論乙為正角或鈍角或鋭角並同)何以明其然也曰依句股法乙辛弦上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳弦上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方減乙辛上方則各所兼之乙庚方巳相同而減盡故乙辛上方之多於乙巳上方者即是庚辛上方多於庚巳上方之數也又所用者是兩分之乙庚辛句股及乙庚已句股(即乙庚丁)故不論乙角銳鈍其法悉同也解幾何三卷三十六三十七題甲乙丙句股形 以丙乙句為半徑作員 則甲丙股為切線 甲乙弦為割線甲乙割線内減丁乙半徑則甲丁為句弦較 甲乙割線加戊乙半徑成甲戊為句弦和 和較相乗平方開之得甲丙股幾何三卷第三十六題三十七題之理葢出於此若割員線不過乙心 如甲庚 則以他句股明之法自乙心向割員線作乙巳為十字正交線則割線之在員内者平分為兩(子巳巳庚)並為員内線子庚之半又作乙子半徑成子巳乙小句股則子乙小弦上方幂兼有子巳小股乙巳小句兩幂又甲庚總線既分於巳則甲巳大線内減子巳小線其餘甲子在員外者為較 以小線巳庚加大線甲巳成甲庚總為和凡大小二方相較則大方内兼有較乗和及小方之積則是甲巳幂内必兼有甲子乗甲庚之長方及子巳方也又甲巳乙亦句股形其甲乙弦内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之長方及子巳方與乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方與甲子成甲寅之長方而成甲乙方也又甲丙乙句股形 同以甲乙為弦原合丙乙方與甲丙方而成甲乙方兩形之甲乙方内各去其相等之丙乙方則其餘積一為甲子乗甲寅之長方一為甲丙自乗方是二者不得不等矣用法凡測平員形 既得甲丙切線 自乗為實 以甲丁之距為法除之得甲戊之距以甲丁距減之得丁戊員徑若欲測庚物之在員周者亦以甲丙切線自乗為實以甲子為法除之即得甲庚之距又法用兩句股相加減甲乙丙句股形 以乙丙句為半徑作員 又以甲乙弦為半徑作外員 自外員任取甲㸃作過心員徑至戊 又任作一不過心斜線入内員至庚 則以兩員間距線乗其全線皆與股幂等而亦自相等如以甲丁乗甲戊或甲壬乗甲庚其積皆等又皆與甲丙切線上方幂等法以兩句股相加減先自乙心作乙辛十字正線平分壬庚線於辛成乙辛甲句股又作乙壬乙庚二線成乙辛壬小句股與乙辛庚等法以辛壬與甲辛相減餘甲壬為兩句之較又相加成甲庚全線為兩句之和則以甲壬乗甲庚為句之較乗和也又以乙壬與甲乙相減餘甲丁為兩弦之較亦相加成甲戊全線為兩弦之和則以甲丁乗甲戊為弦之較乗和也此句與弦之和較相乗兩積必等而甲丁乗甲戊原與甲丙自乗等(以甲丙乙句股言之也)故三積俱等凖此論之凡自甲㸃任作多線入内員其法並同 不但此也但於外員周任作線入内員亦同如於丑作丑戊線則丑卯乗丑戊亦與甲丙幂等何以知之曰試於丑作丑寅過心線即諸數並同甲戊矣而丑卯戊之於丑辰寅猶甲壬寅之於甲丁戊故也簡法庚壬斜線交丁巳員徑於丙 如法作乙辛線 成乙辛庚句股形及乙辛丙小句股形又以丙辛小句與辛庚大句相減得庚戊較又相加成庚丙和再以乙丙小弦(即乙癸亦即乙子)與庚乙大弦相減得子庚較又相加成癸庚和依大小兩句股相加減法庚戊較乗庚丙和與子庚較乗庚癸和同積而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚則壬丙乗庚丙亦必與巳丙乗丁丙同積矣又簡法壬庚線斜交已丁員徑於丙 依法作乙辛又作乙壬線 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前今自庚别作一過乙心線如庚戊則乙辛庚與乙辛壬成相同之兩句股即顯壬丙為大小兩句之較而丙庚為其和又顯戊癸為兩弦之較而與巳丙等則巳丙亦較也又癸庚為兩弦之和而與丙丁等則丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚較乗和也已丙乗丙丁亦較乗和也而其積必等厯算全書卷四十八
## 卷四十九
欽定四庫全書歴算全書卷四十九宣城梅文鼎撰句股闡微卷四幾何増解方斜較求原方(幾何約論線第十四條有用法今解其理)甲乙丙丁正方形 甲乙其對角線 戊乙為方斜之較 於戊乙上作庚癸乙戊小方則丙庚與庚戊等論曰法於方之一角甲作員而以丙甲方徑為員之半徑則乙丙為切員線乙辛為自員外割員之全線乙戊較為割員在外之餘線而兩線皆出一㸃則乙戊乗乙辛之矩形與乙丙切線方形等夫乙丙即原設方也今以同乙戊之癸乙為横乙辛為直作乙已長方(即乙戊乗乙辛之矩)又移切甲己長方為子甲長方又移卯補午移辰補酉移丑補寅則復成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊較為半方形之邊是庚戊及丙庚皆與乙戊等而亦自相等又何疑焉用法 有方斜之較乙戊求原方形之一邊法以乙戊較作小方形取其斜乙庚再引長之截丙庚如乙戊得乙丙如所求從此圖生一測員之法 假有員城八面開門正西門如戊門外有塔如乙其距如乙戊西南門如丙距塔若干歩如乙丙問城徑法以乙丙之距自乗得數為實以乙戊之距為法法除實得乙辛於乙辛内減去乙戊即員城之徑 㨗法但倍乙丙即得城徑有員城正西之門如戊西南之門如丙人立於庚可兩見之而庚丙與庚戊皆等問城徑法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距為乙庚以乙庚加庚丙為乙丙即城半徑按此即幾何約之用法也又以句股法解之又論曰試於庚丙上作丙子較線上方引庚戊至丁則丁庚又為丙子方之斜而丁戊與乙丙等從丁戊作丁壬甲戊為元方如所求又論曰此即句弦和較相乗開方得股也 乙甲丁甲皆如弦 戊甲甲辛(甲丙甲壬)皆如句 乙戊如句弦較(丁丙同)乙辛如句弦和 和較相乗成癸辛長方 開方得丁戊股(乙丙同)切線角與員周角交互相應(幾何三卷三十二三十三増題)乙丙丁三角形在員内有甲乙切員線則所作丙乙甲角與丙丁乙角同大又丁乙戊角與丁丙乙角同大所謂交互相應也論曰丁角以乙丙弧分論度而丙乙甲角亦以乙丙弧分之度為度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分為度而丁乙戊角亦以丁乙弧分為度故丁乙戊角即丙角也 凡用員周度為角度皆以兩度為一度詳後第三増題若丁為鈍角則丙乙甲亦鈍角兩鈍角同以丙辛乙弧為度故也其丙銳角與丁乙戊銳角則同以丁乙弧為度又増題 員内三角形一角移動則餘二角變而本角度分不變交互相應之角度亦不變如上圖(三圖)丁角移至辛則丙角加大而相應之辛乙戊角亦從之而大以辛丁乙弧大於丁乙弧也辛乙戊大則辛乙丙小矣其較皆為丁辛弧 若丁角雖移至辛而其度不變相應之丙乙甲角亦不變以所用之丙乙弧不變也又丙角移至壬則丁角加大相應之壬乙甲亦從之而大以壬丙乙弧大於丙乙弧也壬乙甲大則壬乙丁小矣其較皆為丙壬弧 若丙角雖移至壬其度不變相應之丁乙戊亦不變以所用之丁乙弧不變也此圖同論但丁角移則丙角變小丙角移亦然又増題 切員線作角與員周弧度相應圖有子甲戊員有乾艮線相切於子從子㸃出線與切線作角必割員周之度其大小皆相應但皆以員周兩度當角之一度如用子午正線則所作兩㫄子角皆正角(百八十度分兩正角各皆)(九十度)而亦剖員為半周(兩半員並百八十度)是兩度當一度又如用子辛線作辛子艮鈍角(四十五度)而本線割員周於辛為九十度象限亦兩度當一度又如用子辛線作辛子乾鈍角形(百三十五度)而線割辛午乾員分(為二百七十度)三象限亦兩度當一度又如於員内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度乾子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其實度是坎寅弧實只三十度亦兩當一也又子乙辛角乗子癸壬辛弧(一象限)艮子辛角亦割子癸壬辛弧(一象限)然其實度為震酉弧只四十五度亦兩當一也所以者何曰試作辛乙線移角於辛則所乗弧(子甲)(乙)六十度皆實度也今也角在心是員周也非員心也凡員周之角小於員心一倍故也論曰員周至員心正得員徑之半故所作角為折半比例試作乙丙線成辛乙丙句股形又從心作心周線與辛乙平行則所作周心丙角與乙辛丙等而此心周線平剖乙丙句亦平分乙周丙於周而正得其半矣系句股形平分弦線作點從此作線與股平行即平分句線為兩又論曰查角度之法皆以切點為心作半員即見真度此不論半員大小或作於員内或作於員外並同 作於員外其度開明易於簡查又論曰試於所切圈心作横徑線與切線平行如辛丙線引長之出員外而以查角度之線割員周而過之則皆成大小句股形而所過横線上㸃皆即八線中之切線為句股形之股角度斜線為横線所截處即八線中割線常為弦而切點至員心之半徑常為句如子辛角度線割横線於辛成辛心子句股形其所當角度為酉中四十五度則辛心即四十五度之切線辛子即四十五度之割線餘並同 其子心即半徑也又論曰角度半員有大小而子心半徑常為句者以所作横線在員心欲用員度相較也若於半員之端(如中如外)作横線與切線平行其所作切線割線亦同比例而即以各半員之半徑為句矣不但此也即任於子心外直線上任作一横線其所作句股並同但皆以十字交處距子㸃之度命為半徑此八線割員之法所由以立也量無法四邊形㨗法甲乙丙丁形求其容 先作乙丁對角線分為兩三角形次自丙作丙戊横線與乙丁線相交於丑為十字正角而取戊㸃與甲齊平則戊丑即甲庚也次以丙戊㸃折半於己 次作壬癸線與乙丁平行而等 又作壬辛癸子二線皆與己丙平行而等 得辛癸長方即原形之容取平行線簡法法曰乙丙線欲於甲㸃作線與之平行法於線外任取巳㸃為心甲㸃為界作辛甲丁庚圈分次以庚為心取甲辛之度為界截員分得丁㸃末自丁作戊丁甲線此線必與乙丙平行矣論曰凡圈内兩直線相距之度等則其線必平行如(丁甲)與(庚辛)兩線俱在一圈之内而所距之(甲辛)圈分與(庚丁)圈分等是相距之度等而其線平行也因讀數度衍得此法似較他處為㨗補測量全義斜坡用切線法(係勿菴補)斜三角形有一角兩邊求餘邊法用切線分外角求得餘角即以得邊可不用垂線如甲乙己斜角形 有乙甲及己甲二邊 有甲角求乙己邊法以己甲線引長之成乙甲丙角為原有甲角之外角(以元有甲角减半周得)次分外角之度而半之為半外角而求其切線為三率併乙甲己甲二邊為首率又以二邊相較為次率次率乗三率為實首率為法除之得半較角之切線以查表得半較角之度以減半外角得己角末用正弦法得己乙邊 法為己角正弦與乙甲若甲角正弦與乙己三率法一 兩線之和 己丙二 兩線之較 己丁三 半外角之切線 戊癸四 半較角之切線 壬戊用外角者乙己兩角之和度而較角者乙己兩角之較度(以用切線故半之也)論曰又如後圖己甲引至丙而乙甲亦引至辛則乙甲丙及丁甲寅兩角皆原有甲角之外角再作甲戊線平分外角則丁甲戊及寅甲戊皆半外角 又作甲壬線與乙已平行則壬甲癸角即同己角壬甲辛角即同乙角再於甲戊半徑之端作癸戊辛十字線切員於戊則戊癸及戊辛皆半外角之切線也再以壬甲癸角减壬甲辛角其較為壬甲子角則壬甲戊即半較角而壬戊其切線也其比例為己丙(二邊和)與己丁(二邊較)若癸辛(外角全切線即乙己丁角)(和度之全切)與壬子(較角度之全切線)則亦若癸戊(半外角切線)與壬戊(即半較角之切線)何也全與全若半與半也理分中末線甲乙線求作理分中末線法以甲乙全線折半於庚乃作垂線於甲端為丙甲如半線甲庚之度為句全線為股次作丙乙線為弦次以丙為心乙為界作乙丁圈界 次引丙甲句至丁則丙丁即丙乙也 末以甲為心丁為界作丁戊己圈分則甲己為理分中末之大分己乙為小分其比例為甲乙與甲己若甲己與己乙也逓加法 借右圖以乙為心甲為界運規截丁已圈分於戊自戊作線向甲成甲戊線與甲丁等乃自戊作戊乙線與乙甲等成甲乙戊三角形此形甲戊兩角悉倍於乙角乃平分戊角作戊辛線此線與甲戊並大亦與乙辛同大成辛戊甲相似三角形則甲乙與乙辛(即戊辛)若乙辛與辛甲也又平分辛角作辛壬線與壬戊與辛甲皆同大則成甲辛壬三角形與辛戊甲相似則乙辛(即戊辛亦即戊甲)與辛甲(即辛壬戊壬)若辛甲與壬甲也如此逓半則其角比例並同一(乙甲) 二(乙戊即戊辛戊甲) 三(辛甲即辛壬戊壬) 四(辛癸即壬癸壬甲)五(癸甲即癸子壬子) 六(癸丑即丑子子甲) 七(丑甲即丑寅寅子) 八(丑卯即卯寅寅甲)九(卯甲) 若能知其數則以大分逓乗全數除之得細數先得甲乙為大分而求乙己全分及乙庚小分 用此圖亦為半圓内求容方法則以乙巳全分加乙庚小分折半於戊得戊己為半徑若先得戊己則以戊己(即戊丁)為弦作丁甲戊句股使戊甲句半於丁甲股則丁甲即為戊己理分中末之大分解曰甲庚(即乙己)全數與丁甲(大分)若丁甲(大分即甲乙)與甲己小分(即乙庚)也以量分甲乙線十數求作理分中末線先依甲乙線作甲乙丁丙正方形(四面皆十數) 次任用一面平分之如甲丙平分於壬(甲壬)(及壬丙皆五數)甲乙之半數也(甲丙與甲)(乙等其分亦等) 次自壬向乙角作乙壬斜線其數一十一(一八)(○三三九) 次自壬量甲壬或丙壬之度(即甲乙之一半)移置於乙壬線上截壬癸如甲壬則其餘癸乙即理分中末之大分其數六(一八○三三九)末以癸乙之度移置於甲乙線上如乙戊則乙戊為大分戊甲為小分其數三(八一九六六○)簡法作句股形 令甲壬句如甲乙股之半乃以壬為心甲為界作虚線圓分截乙壬弦於癸末以乙為心癸為界作圓分截甲乙線於戊則乙戊為大分甲戊為小分又簡法以甲乙全線為半徑作半圓形則乙庚乙辛皆與甲乙等次平分乙辛於己次以己為心庚為界運規割甲乙線於戊(戊己之度即同己庚)則乙戊為大分 甲戊為小分又簡法作子寅丑卯十字線相交於乙次以乙為心甲為界運規截十字線於甲於庚於辛則乙庚乙辛皆與設線甲乙等乃折半(乙辛)於己以己為心庚為界運規截甲乙於戊 則乙戊大分甲戊小分皆得矣 此法可於平面圓器上求之附長方變正方法甲乙丙丁長方形欲變正方以長方形之横邊(乙丙)直邊(丙丁)二線取其中比例即所求取中比例法以丙丁乙丙(即戊)(丙)聯為一直線(丁戊)而折半於己以己為心丁若戊為界作半圓次引乙丙横線至圓界截圓界於庚成丙庚線即乙丙及丙丁二線之中比例線次於丙庚線上作小方形其容與甲乙丙丁長方形等如右圖丙庚線上方形為丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙長方形則子壬癸句股外之餘方也餘方與容方等積簡法先引丁丙邊至午引乙丙邊至未次以丙角為心乙為界作小員界虚線截引長線於戊次以丁戊線折半於己次引乙丙至未次以己為心戊為界運規作小圓界截引長線於庚 則丙庚即所變方形之一邊 末依丙庚線作方形與甲乙丙丁長方形等積 其法以丙為心庚為界運規截丙辛與丙庚等理分中末線用法一用以分平圓為十平分法為半徑與三十六度之分圓若全分與理分中末之大分也一用以分平圓為五平分歴書言以全分為股理分中末之大分為句求其弦即半徑全數為股三十六度之分圓為句求得七十二度之分圓為弦一用以量十二等面體法為立方邊與所容十二等面邊若理分中末之全分與其小分也又十二等面體之邊與内容立方邊若理分中末之大分與其全分也又立方内容十二等面體其内又容小立方則外立方與内立方若理分中末之全與其大分也一用以量二十等面體法為立方邊與所容二十等面邊若理分中末之全與其大分也一用以量圓燈法為圓燈邊與其自心至角線若理分中末之大分與其全分也此自心至角之線即為外切立方立圓及十二等面二十等面之半徑又為内切八等面之半徑圓燈為有法之形即此可見用理分中末線説言西學者以幾何為第一義而傳只六卷其有所秘耶抑為義理淵深翻譯不易而姑有所待耶測量全義言有法之體五其面其積皆等其大小相容相抱與球相似幾何十一十二十三十四卷諸題極論此理又幾何六卷言理分中末線為用甚廣量體所必需幾何十三卷諸題全頼之古人目為神分線又言理分中末線求法見本卷三十題而與二卷十一題同理至二卷十一題則但云無數可解詳見九卷其義皆引而未發故雖有此線莫適所用疑之者十餘年辛未嵗養病山阿遊心算學於量體諸法稍得窺其奧爰証厯書之誤數端於十二等面二十等面得理分中末之用及諸體相容之確數故以立方為主其内容十二等面邊得理分線之末二十等面邊得理分線之中反覆推求了無凝滯始信幾何諸法可以理解而彼之秘為神授及吾之屏為異學皆非得其平也其理與法詳幾何補編遥量平面法甲乙庚辛為所欲量之平面而不能到如仰視殿上承塵而人在殿外又如峭壁懸崖之上有碑若碣凡平面之物人從地面斜視灼然可見而不能到或平面在下如田池之類人從臺上俯視可見或臨深崖瞰谷底其理不異但倒用其圖即是欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁則先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之先求甲乙線 法于丙于丁各安平圓儀各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁線(兩測之距)有丙角有丁角自有甲角可求甲丁線法為甲角之正弦與丙丁若丙角之正弦與甲丁也次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁線(兩測之距)有丙角有丁角自有乙角可求乙丁線法為乙角之正弦與丙丁若丙角之正弦與乙丁也(此丙)(角與前形之丙角不同)次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁兩線及兩線間所作之丁角(與前形丁角不同)可求甲乙線為所測之一邊 法自甲角作甲戊垂線至戊分乙丁線為兩而甲丁乙三角形分為兩句股形 其一甲戊丁句股形有丁角 有甲丁線為弦可求甲戊句戊丁股法為全數與甲丁弦若丁角之正弦與甲戊句 又全數與甲丁弦亦若丁角之餘弦與戊丁股也其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股(戊丁减乙丁得之)可求甲乙弦法以甲戊句乙戊股各自乗而并之開方得甲乙即所測平面之一邊第二求庚辛線 法亦于丙于丁各安平員儀(即先所安之元)(處)各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁線(兩測之距)有丙角有丁角自有庚角可求庚丁線法為庚角之正弦與丙丁若丙角之正弦與庚丁也(此丙)(角與前兩丙角不同)依上法用辛丙丁形 此形有丙角(此丙角又與上不同)有丁角自有辛角 可求辛丁線(丁角與前不同)法為辛角之正弦與丙丁若丙角之正弦與辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁兩線及兩線間所作丁角(此丁角又不同)可求庚辛線為所測之又一邊法自庚角作庚己垂線至己分辛丁線為兩而庚丁辛三角形分為兩句股形其一庚己丁句股形有丁角有庚丁線為弦可求庚己句己丁股法為全數與庚丁弦若丁角之正弦與庚己句亦若丁角之餘弦與己丁股也其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股(己丁减辛丁得之)可求庚辛弦法以庚己句辛己股各自乗而并之開方得庚辛為所測平面之又一邊(即甲乙之對邉)第三求甲庚線法于丁㸃側安平儀以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁兩線及兩線所作之丁角(此丁角在甲丁庚丁兩線間)可求甲庚線為所測形之側邊法自庚角作甲丁之垂線至壬分甲丁線為兩而甲丁庚三角形分為兩句股形其一庚壬丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚壬句壬丁股(法同前用丁角之正弦餘弦)其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股(丁壬减甲丁得甲壬)依句股法可求甲庚弦線為所測平面之側邊第四求乙辛線法亦于丁㸃側安平儀指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形 此形有乙丁辛丁兩線及兩線所作之丁角此(丁角在辛丁乙丁兩線間)可求乙辛線為所測形之又一側邊法自辛角作乙丁之垂線至癸分乙丁線為兩而乙丁辛三角形分為兩句股形其一辛癸丁句股形有辛丁線為弦有丁角可求辛癸句癸丁股(法亦同前用丁角之正弦餘弦)其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股(癸丁减乙丁得乙癸)依句股法可求乙辛弦線為所測平面之又一側邊如此則所測形之四邊皆具乃用後法求其幂第五求乙庚線法仍于丁㸃斜立平儀以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁兩線及兩線所作之丁角(此丁角又在乙丁庚丁兩線間)可求乙庚線為所測形内之對角斜線乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂線至卯分乙丁線為兩而乙庚丁三角形亦分為兩句股形其一庚卯丁句股形 有庚丁線為弦有丁角可求庚卯句卯丁股(依上法用丁角之正弦餘弦)其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股(卯丁减乙丁得卯乙)依句股法可求乙庚弦線為所測平面形内對角之斜線既有乙庚線則所測甲乙辛庚平面形分為兩三角形可以求其幂積其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙兩腰 法以兩腰相減為較相併為和和乗較為實乙庚底為法除之得乙午以減乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相減為實開方得甲子垂線垂線半之以乗乙庚底得乙甲庚形平積其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚兩腰如上法以乙辛辛庚相減為較又相併為和和乗較為實乙庚底為法除之得乙辰為底較以減乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相減為實開方得丑辛垂線垂線半之以乗乙庚底得乙辛庚形平積末以兩三角形積併之為所測甲乙辛庚平面四不等形之總積右法可以不用丈量而遥知畝歩即有種種異態以三角御之足矣新法厯書言測量詳矣然未著斯法意者其在幾何後數卷中為未譯之書歟庚午蜡月既望晤逺西安先生談及算數云量田可以不用履畝初聞之甚不以為然歸而思之得此法然未知其所用者即此與否而此法固己足用矣若用有縱衡細分之測器指尺一量即得無煩布算矣測量用影差義疏凡方形内從角剖成兩句股形必相似而等(正方或長方並同)方形内作對角斜線分為兩句股又於斜線上任取一㸃作直線縱横相交如十字而悉與方邊平行分方形為大小四句股形此四句股形各兩兩相似而等(大形丙與)(丁等小形庚與辛等)則其四句股旁之兩餘方形雖不相似而其容必等解曰於原斜線所分相等句股内各減去相等之大小兩句股則其餘亦等(丙戊庚形内減去大形丙)(小形庚餘戊又於丁己辛形内減去大形丁小形辛餘己原形既等所減又等則其餘必等故戊己兩長方雖)(不相似而其容必等也)句股測逺有甲乙之距人在戊立表又立表於丁使戊丁乙為一直線再於丙立表使丙丁與乙戊如十字之半而與甲乙平行則丁戊小股與丙丁小句若丙庚大股與甲庚大句也法以丙丁小句為二率乙丁大股為三率(即丙庚)相乗為實戊丁小股為一率為法法除實得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙假如丙丁兩表相距(三歩)人在戊窺丁到乙逺(戊丁十)(二歩丁乙十八歩)欲求甲乙之距法以丙丁(三歩)乗乙丁(十八歩)得(五十四歩)為實戊丁(十二歩)為法除之得(四十五歩)為甲庚加丙丁(三歩即)(乙庚)共四十八歩為甲乙解曰此以乙丙長方形變為丙癸也依前論乙丙實形丙癸虚形不相似而容積等故也重測法有巽乙甲井方池欲遥望測其甲乙之一面方并乙丁之距法立表於丁望測方池之東北角乙至東南角巽使丁乙巽為一直線 再於丁横過立一表於丙使丙丁為乙丁之横立正線(丙丁横六歩四分)次從丁退而北行至(戊)量得(十二歩) 從戊斜望池西北隅(甲)不能當(丙)表而出其間如(戌)又於戌立表(戌丁)之距(四歩) 再退而北行至(己)從(己)窺(甲)正過(丙)表己丙甲為一直線量得己丁之距(三十六歩)法以(丙丁六歩四分)為一率(丁己三十六歩)為二率(戊)(丁四歩)為三率 二三相乗得(一百四十四歩)為實一率(六歩四分)為法除之得(二十二歩半)為辛己於辛己内減丁戊(十二歩)餘(十歩半)為壬己是為景差次以(戌丁四歩)減(丙丁六歩四分)餘(丙戌二歩四分)以戊丁(十二歩)乗之得(二十八歩八分)為句實 景差(十)(歩半)為法除句實得二歩(八分弱)為甲申大句之距加丙丁(六歩四分即申乙)得共(九歩二分弱)為甲乙即方池一面之濶次以辛己(二十二歩半)減丁己(三十六歩)餘(十三歩半)辛丁為二率丁戊(十二歩)為三率相乗得(一百六十二歩)為股實 景差(十歩半)為法除之得(十五歩八分半弱)為乙丁大股之距解曰此以四表重測改為三表乃巧算也 若測髙則重測本為前後二表者亦改用一表故當先知本法然後明其所以然下文詳之試先明四表本法有甲乙之濶先立(丁)表從戊測之戊(人目)丁(表)乙(逺物)(之末端)三者參相直 次於(丁)表横過與(甲乙)平行作戊丁乙直線之横直線此線上取戊立表人目從(戊)過(戌)表窺甲逺物之西端亦參相直但於戊丁乙線為斜弦成句股形 量得戌丁兩表横距(四歩)丁戊(人目距)(東表)直距(十二歩)次於丁戊直線退而北行至己 又於西表戌作戌乾癸直線與丁戊平行此平行線内取癸立西後表人目從(己)過(癸)至甲參相直成己甲癸斜弦 亦從(癸)横行至(丁己)線尋(辛)立東後表此後兩表(癸辛)之距為前表(戌丁)等(四歩) 又量得(辛己)為東後表距人目之數(辛丁)(二十二歩半)次以丁戊(十二)減辛己(二十二半)得(十歩)(半)為壬己景差 末以己辛(二十二半)減(己丁三十六)餘(十三歩半)為前後表間之距 以表横距(四歩)乗之得(五十四歩)為表間積(即丁癸長方) 置表間積為實以景差(十歩半)為法除之得(五歩一半弱)加表横距(四)(歩) 得共(九歩二分弱)為所測逺物甲乙之濶解曰前表測得成(戊乙甲)句股形内有戌乙餘方與形外戌坤餘方等積 後表測得(己乙甲)句股形内有癸乙餘方與形外酉癸餘方等積 於(癸乙)内減(戌乙)於(酉癸)内減(寅癸即丑戌)則所餘之(癸丁)及(酉辰)兩餘方亦必等積也故以(丁癸)變(辰酉)而得(辰寅)亦即(甲庚)也次明改用三表之理用三表者於(丙丁)兩表間増一(戌)表其實則於(戌丁)兩表外増一(丙)表也前増一表而無後表則無從而得景差故以三率法求而得之其實(癸辛)即後表也其理與四表同然不用(癸子)形而用(戌子)形何也曰准前論(辰酉)形與(丁癸)形等積而(午癸)形與(丁癸)形亦等積(兩餘方在己丙丁句股形)(内外故等)則(酉辰)與(午癸)亦等積矣各減同用之(卯未)則所餘之(酉卯)與(卯癸)二形亦自相等積而(卯癸)原與(戌子)等故用(戌子)變為(卯酉)而得(卯寅)即得(甲申)矣是故(戌)(子)可名句實也其以(辛丁)乗(戊丁)為股實何也曰此三率法也(丁乙)外加(丁辛)前後兩測之表距故(辛壬即戊丁)外亦加(壬己)兩測之景差法為壬己與辛丁若戊丁與丁乙也凖此測髙可用一表而成兩測(即借前測逺之圖而以横為直)假如有(甲乙)髙立(丙丁)表人目在(戊)測之則表之端不相值而參相直於表之若干度如(戊)退若干歩至(己)測之正對表端(丙)其法並同因看數度衍中破勾測逺條疑其圖不真因作此以證明其説測量圖説一測股六十四尺八寸(壬丁) 二測句四十三尺二寸(丙丁) 三大股三千六百八十五尺二寸(乙丁即丙午)四大句二千四百五十六尺八寸(甲午)加(午乙)得二千五百尺為甲乙之髙解曰癸丁長方形即古人所謂表間積也以景差壬辛(即丑子)除之變為寅子形是寅子與癸丁同積也 而申癸形原與癸丁同積則寅子與申癸亦同積也 於内各減同用之申子而寅未與未癸亦同積矣夫未癸即氐己也是戊丁(即亥己)乗丙己之積也故可命為句實而以景差壬辛(即申未)除之得甲午句也(甲午即戌酉)其取股實何也曰三率法也表在丁其景丁戊 後表在庚則其景庚壬後表之逺於前表者為庚丁故後景之大於前景者為辛壬則其比例為辛壬與庚丁若丁戊(即庚辛)與丁乙也試引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛於尾於箕各作與庚乙平行線而於乙作垂弧為乙牛聯之作長方形又作丁心線截之作箕乙線斜分之則其理著矣三角形求外切圓法設如銳角形有甲丙邊七十五尺甲乙邊六十一尺乙丙邊五十六尺 問外切圓徑若干 畣曰外切圓半徑三十八尺一寸二分五氂法先求得甲丁中長線六十尺為一率甲乙邊六十一尺為三率甲丙邊折半得戊甲三十七尺五寸為三率二率與三率相乗一率除之得四率(三八一二五)為甲乙圓半徑解曰此甲丁乙三角形與甲己戊三角形同式故其線為相比例率也若甲為鈍角其理亦同以甲丙折半為三率故四率亦為半徑若以甲丙全線為三率則四率必得甲辛為全徑矣葢甲辛丙形與甲乙丁形同式也何以見甲乙丁形與甲辛丙形同式葢兩形之乙角辛角同當甲庚丙弧分則二角必相等而丁丙又同為直角則兩甲角亦必等而為同式無疑矣又界角比心角所當之弧大一倍今己心角所當甲庚弧適當乙界角所對甲庚丙之一半則兩角為等可知而戊為直角與丁角等則兩甲角必等故甲己戊與甲乙丁亦為同式形也三角舉要有量法未著算例因作此補之又如甲乙丙鈍角形 求外切員徑(甲辛) 半徑(甲己)法先求得中長線(乙丁)得(乙丁丙)句股形次作(乙辛)線成(甲乙辛)大句股形又甲乙半之於戊從員心(己)作直線過戊至庚又成(甲戊己)句股形一率 乙丁股(形内垂線)三率 甲戊股(即甲乙之半)四率 甲辛弦(即外切員徑) 四率 甲己弦(即切員半徑)解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之問何以知其為相似形也曰原設形之丙角與甲乙辛形之辛角所當者同為甲庚乙員分則兩角等而乙丁丙形之丁角與甲乙辛大形之乙角又皆正角則餘角亦等而為相似形又甲己為甲辛之半甲戊為甲乙之半戊正角與大形乙正角等又同用甲角則己戊亦乙辛之半而為相似形一系凡三角形求得形内垂線為法 垂線左右兩原邊相乗 為實 法除實得外切員徑 銳鈍同法假如甲乙丙鈍角形求得中垂線乙丁六分為法 左右兩斜邊(甲乙十八分乙丙十分)相乗(一百八十分)為實 法除實得外切員徑甲辛三十分 即可借用前圖(分寸畸零稍為整頓)歴算全書卷四十九
## 卷五十
欽定四庫全書厯算全書卷五十宣城梅文鼎撰三角形舉要法卷一測算名義古用句股有割員弧背弦矢諸名今用三角其類稍廣不可以不知爰摘綱要列於首簡㸃㸃如針芒無長短濶狹可論然算從此起譬如算日月行度只論日月中心一點此㸃所到即為躔離真度線線有弧直二種皆有長短而無濶狹自一㸃引而長之至又一㸃止則成線矣如測日月相距度皆自太陽心算至太隂心是為弧線如測日月去人逺近皆自人目中一㸃算至太陽太隂天是為直線凡句股三角之法俱論線線兩端各一㸃故線以㸃為其界面面有方員各種之形皆有長短有濶狹而無厚薄故謂之冪冪者所以冒物如量田疇界域只論土面之大小面之方員各類皆以線限之故面以線為界(面之線亦曰邉)惟員面是一線所成乃弧線也若直線必三線以上始能成形體體或方或員其形不一皆有長短有濶狹又有厚薄(或淺)(深髙下之類)員體如球如柱方體如櫃如㪷或如員塔方塔皆以面為界(圖後)以上四者(謂㸃線面體)略盡測量之事矣然其用皆在線如論㸃則有距線論面則有邉線論體則有棱線(面與面相得則)(成棱線)凡所謂長短濶狹厚薄淺深髙下皆以線得之三角法者求線之法也長短濶狹厚薄等類皆以量而得而量者必於一線正中若稍偏於兩旁則其度不真矣故凡測量所求者皆線也三角形欲明三角之法必詳三角之形兩直線不能成形成形者必三線以上而三線相遇則有三角故三角形者形之始也多線皆可成形析之皆可成三角至三角則無可析矣故三角能盡諸形之理凡可算者為有法之形不可算者為無法之形三角者有法之形也不論長短斜正皆可以求其數故曰有法若無法之形析之成三角則可量故三角者量法之宗也角三角法異於句股者以用角也故先論角兩線相遇則成角(平行兩直線不能作角何也線既平行則雖引而長之至於無窮終無相)(遇之理角安從生是故作角者必兩線相遇必不平行也)角有三類一正方角一銳角一鈍角如右圖以兩線十字縱横相遇皆為正方角(亦曰直角亦曰方角)如右圖以兩線斜相遇則一為銳角一為鈍角凡銳角必小於正方角凡鈍角必大於正方角正方角止一銳角鈍角則有多種而算法生焉弧角在小形與在大形無以異也故無丈尺可言必量之以對角之弧法以角之端為員心用規作員員周分三百六十度乃視本角所對之弧於全員三百六十度中得幾何度分其弧分所對正得九十度者為正方角(九十度者全員四之一謂之象)(限)若所對弧分不滿九十度者為銳角(自八十九度以至一度並銳角)(也)所對弧分在九十度以上者為鈍角(自九十一度至百七十九度並)(鈍角也)如圖丁為角即用為員心以作員形其庚丁丙角(凡論角度並以中一字為所指之角此言庚丁)(丙即丁為角也)所對者庚丙弧在全員為四之一正得象限九十度是為正方角若乙丁丙角所對者乙丙弧在象限庚丙弧之内小於象限九十度是為銳角又乙丁壬角所對乙庚壬弧過於壬庚弧(壬庚亦象限九十度弧故)(庚丁壬亦方角)大於象限九十度是為鈍角角之度生於割員割員弧矢有弧則有矢弧矢者古人割員之法也如圖以乙子直線割平員則成弧矢形所割乙丙子員分如弓之曲古謂之弧背以弧背半之則為半弧背(如乙丙)通弦正弦割員直線如弓之弦謂之通弦(如乙子)通弦半之古謂之半弧弦今曰正弦(如乙甲)矢線正弦以十字截半徑成矢(如丁丙横半徑為乙甲正弦所截成甲丙矢)謂之正矢(以上二條俱仍前圖)正弧餘弧正角餘角所用之弧度為正弧以正弧減象限為餘弧(如庚丙象限内减乙丙正弧則其餘乙庚為餘弧)正弧所對為正角(如正弧乙丙對乙丁丙角則為正角)以正角減正方角為餘角(如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角則其餘乙丁庚角為)(餘角)正弦餘弦正矢餘矢有正弧正角即有正弦(如乙甲)有正矢(如甲丙)亦即有餘弦(如乙己)有餘矢(如己庚)正弦正矢餘弦餘矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有自一度至八十九度並得為乙丙並得為正弧即正餘弦矢畢具若用乙庚為正弧則乙丙反為餘弧角之正餘亦同割線切線每一弧一角各有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於平員内(古人用句股割員即此法也盖此四線己成倒順二句股)再引半徑透於平員之外與切員直線相遇為割線切線而各有正餘復成四線(正割正切餘割餘切復成倒順二句股)共為八線故曰割員八線也如圖庚乙丙平員切戊丙直線於丙又引乙丁半徑透出員周外使兩線相遇於戊則戊丙為乙丙弧之正切線亦即為乙丁丙角之正切線而戊丁為乙丙弧之正割線亦即為乙丁丙角之正割線又以平員切庚辛直線於庚與乙丁透出線相遇於辛則庚辛為乙丙弧之餘切線亦即為乙丁丙角之餘切線而辛丁為乙丙弧之餘割線亦即為乙丁丙角之餘割線割員八線凡用一弧即對一角用一角亦對一弧故可互求凡一弧即有八線(正弦正矢正割正切餘弦餘矢餘割餘切)角亦然凡一弧之八線即成倒順四句股角亦然如圖庚丙象弧共九十度庚丁丙為九十度十字正方角任分乙丙為正弧乙丁丙為正角則乙庚為餘弧乙丁庚為餘角正弦(乙甲己同丁) 正矢(甲丙)正切(戊丙) 正割(戊丁)餘弦(乙己甲同丁) 餘矢(庚己)餘切(辛庚) 餘割(辛丁)以上八線為乙丙弧所用亦即為乙丁丙角所用(自一度至)(八十九度並同)若用乙庚弧亦同此八線但以餘為正以正為餘乙甲丁句股形乙丁(半徑)為弦乙甲(正弦)為股丁甲(餘弦)為句 戊丙丁句股形戊丁(正割)為弦戊丙(正切)為股丙丁(半徑)為句以上兩順句股形同用乙丁甲角故其比例等(凡句股形一角等則餘角並等)乙己丁倒句股形乙丁(半徑)為弦己丁(正弦)為股乙己(餘弦)為句 辛庚丁倒句股形辛丁(餘割)為弦丁庚(半徑)為股辛庚(餘切)為句 以上兩倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等乙甲丁句股形乙丁(半徑)為弦乙甲(正弦)為股甲丁(餘弦)為句 丁己乙倒句股形乙丁(半徑)為弦己丁(正弦)為股乙己(餘弦)為句 此倒順兩句股形等邉又等角(倒形之丁角即順形丁角之餘倒形之乙角即順形乙角之餘)竟如一句股也凖此論之則倒順四句股之比例亦無不等矣角度凡三角形併三角之度皆成兩象限(共一百八十度)假如乙甲丁句股形其丁角五十五度(當乙丙弧)則乙角必三十五度(當乙庚餘弧)兩角共一象限九十度其甲角正方原係九十度合三角成一百八十度乙角何以必三十五度也試引乙丁弦過心至夘則夘丁丑角與丁乙甲角等(夘丁乙同為一線丁丑線又與乙甲平行則所作之角必等)而夘丁丑固三十度也則乙角亦三十度矣又假如丙乙丁三角形從乙角作乙甲直線至丁丙邉分為兩句股形(乙甲)(丁乙甲丙)凖前論乙甲丁句股形以乙分角與丁角合之成一象限九十度又乙甲丙句股形以乙分角與丙角合之成一象限九十度然則以乙全角(即兩分角之合)與丁丙兩角合之必兩象限一百八十度矣(乙為鈍角並同)以此推知三角形有兩角即知餘角(併兩角以减半周一百八十度得之)句股形有一角即知餘角(句股原有正方角九十度則餘兩角共九十度故得一可知其二)相似形既知角可以論形有兩三角形其各角之度相等則為相似形而兩形中各邉之比例相等(謂此形中各邉自相較之比例亦如)(彼形中各邉自相較之比例也)比例兩數相形則比例生比例者或相等或大若干或小若干乃兩數相比之差數也有兩數於此又有兩數於此數雖不同而其各兩數自相差之比例同謂之比例等或兩小數相等又有兩大數相等是為相等之比例數雖有大小其相等之比例均也或兩小數相差三倍又有兩大數亦相差三倍是為三倍之比例或兩小數相差為一倍有半又有兩大數相差亦一倍有半是為一倍有半之比例數雖有大小其為三倍之比例及一倍有半之比例均也論八線之比例有二一為八線自相生之比例乙甲丁小句股形與戊丙丁大句股形相似(見前條)故以半徑乙丁比正弦乙甲若割線戊丁與切線戊丙之比例也(此為以小弦比小股若大弦與大股)股求弦亦同又以半徑丙丁比正切戊丙若餘弦甲丁與正弦乙甲之比例也(此為以大句比大股若小句比小股)股求句亦同餘倣此以故凡八線中但得一線則餘皆可求觀圖自明一為八線算他形之比例乙丁甲角所有八線為表中原設之數亢丁房句股形為今所算之數或先有丁角有亢丁弦而求房丁句則為以乙丁半徑比甲丁餘弦若亢丁弦與房丁句也(以角與句求弦亦同)以上是用八線以求他形或先有亢丁弦有亢房股而求丁角則為以亢丁弦比亢房股若乙丁半徑與丁角之正弦乙甲也(得乙)(甲得丁角矣)或先有亢房股與房丁句而求丁角則為以亢房股比房丁句若丁庚半徑與庚辛餘切也(得庚辛亦得丁角)以上二者是用他形轉求八線總而言之皆以先有兩數之比例為後兩數之比例其乗除之法皆依三率也三率三率算術古謂之異乗同除今以句股解之丁戊大股(十四尺)丙戊大句(十一尺二寸)截丁乙小股(十尺)問乙甲截句答曰八尺術以所截小股乗大句得數為實以大股為法除之即得截句若先以原股(十四尺)除原句(十一尺二寸)得八寸為每一尺之句再以截股(十尺)乗之亦得八尺但先除後乗多有不盡之數故改用先乗後除乃古九章中通用之綱要也先乗後除何以又謂之異乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股與句異名故曰異乗然後以原有之股除之股與股同名故曰同除然則又何以謂之三率曰本是以原有之股與句比今截之股與句共四件也然見有者只三件(原有)(之股與句及今截之股)故必以見有之三件相為乗除而得所不知之第四件故曰三率三率乗除圖式一率 原有股十四尺 為法二率 原有句十一尺二寸(相乗)三率 今截股十尺 (為實)四率 所求截句八尺 法除實得所求術曰以原股比原句若截股與截句也凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率二率三率常相乗為實一率常為法法除實得四率四率乃所求之數其三率者所以求之也三率與異乗同除非有二理但以横列為異然數既平列即可以四率為法除二三相乗之實而得一率并可以一率四率相乗為實用二率為法除之而得三率或用三率為法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居(四可為一二可為三)法實可以迭用(二與三可居一四之位一與四可居二三之位)變動不居惟用所適而各有典常於異乗同除之理尤深切而著明者也三率互用圖反之 更之 又反之一句八尺 一股十尺 一句十一尺二寸二股十尺 二句八尺 二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺 三句八尺四股十四尺 四句十一尺二寸四股十尺右並以二率三率相乗為實一率為法除之而得四率八線表八線為各弧各角之句股所成故八線表者即句股形之立成數也古人用句股開方巳盡測量之理然句股弦皆邉線耳邉之數無方放之則彌四逺近之則陳几案故所傳算術皆以一端示例而已不能備詳其數也今變而用角則有弧度三百六十以限之而以象限盡全周有合於舉一反三之㫖又析象限之度各六十分凡為句股形二千七百角度五千四百(九十度之分五千四百而句股形並)(有兩角故其形二千七百而角數倍之)為正弦為切線為割線共一萬六千二百(三項各五千四百正餘互用也)而句股之形略備用之殊便也銳角分兩句股鈍角補成句股然惟有八線表中豫定之句股故但得其角度則諸數厯然可於無句股中尋出句股矣半徑全數全數即半徑也不言半徑而言全數者省文也凡八線生於角度而有角有弧則有半徑八線之數皆依半徑而立也半徑常為一(或五位則為一萬或六位則為十萬)則正弦常為半徑之分(正弦必小於半徑)而不得為全數惟半徑可稱全數也(割切二線皆依正弦而生亦皆有畸零不得為全數)用全數為半徑有數善焉一立表時易於求數也一用表時便於乗除也(三率中全數為除法則但降位可省一除若全數為乗法則但升位可省)(一乗)厯書中多言全數(或但曰全)以從省便今算例中直云半徑以欲明比例之理故質言之補遺正弦為八線之主割圜之法皆作句股於圜内以先得正弦故古人祗用正弦亦無不足今用割切諸線而皆生於正弦平圜徑二尺(即戊壬)半之一尺(即戊丙庚)(丙等)為圜裏六孤之一面(即乙戊)半徑(戊丙)為弦半面(戊丁)為句句弦求股得股(丁丙)轉減半徑(庚丙)得餘(庚丁)為小句半面(戊丁)又為小股句股求弦得小弦(戊庚)是為割六弧成十二弧之一面如是累析為二十四弧四十八弧至九十六弧以上定為徑一尺周三尺一寸四分有竒論曰九章算經載劉徽割圜術大畧如此其以半徑為六弧之一面與八線理合半徑恒為一即全數半面為股則正弦也平方徑十寸其積百寸内作同徑之平圜平圜内又作平方正得外方之半其積五十寸平方開之得七寸○七有竒(即離震等四等面之通弦)乃自四隅之旁増為八角曲圜為第一次(即八等面通弦)至第二次則為曲十六(即十六等面通弦)第三次為曲三十二每次加倍至十二次則為曲一萬六千三百八十四於是方不復方漸變為圜矣其法逐節以大小句股弦冪相求至十二次所得小弦以一萬六千三百八十四乗之得三十一寸四分一氂五毫九絲二忽為徑十寸之圜周與祖冲之徑一百一十三周三百五十五合論曰元趙友欽革象新書所撰乾象周髀法大略如此所得周徑與西術同其逐節所求皆通弦所用小股皆正弦也又論曰劉徽祖冲之以割六孤起數趙友欽以四角起數今西術作割圜八線以六宗率則兼用之可見理之至者先後一揆法之精者中西合轍西人謂古人但知徑一圍三未深攷也又論曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之為正弦割圜諸率皆自此出總之為句股之比例而巳鈍角正弦鈍角不立正弦而即以外角之正弦為正弦鈍角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已鈍角與乙丙甲外角同以乙丁為正弦(以鈍角减半周得外角假如鈍角一百二)(十度其所用者即六十度之正弦)乙丁線能為乙丙甲角正弦又能為乙丙已鈍角正弦八線表止於象限以此(因鈍角與)(外角同正弦故表雖一象限而實有半周之用)鈍角餘弦鈍角既以外角之正弦為正弦即以外角之餘弦為餘弦如前圖乙庚為外角(乙丙甲)餘弦而即為鈍角(乙丙己)餘弦捷法以正角(戊丙巳)減鈍角(乙丙巳)得餘角(戊丙乙)即得餘弦過弧鈍角之弧為過弧巳戊為象限弧而乙戊巳為乙丙巳鈍角之弧是越象限弧而過之也故曰過弧大矢鈍角之矢為大矢如前圖以乙丁辛弦分全圜即全徑亦分為二則丁甲為小半圜(乙甲辛)之徑謂之正矢丁巳為大半圜(乙已辛)之徑謂之大矢大矢者鈍角所用也 鈍角與外角同用乙丁正弦乙庚餘弦所不同者惟矢(乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲)捷法以乙庚(即丁丙)餘弦加已丙半徑即得(丁巳)大矢(若以餘弦减半徑亦得正矢)正角以半徑全數為正弦八線起○度一分至八十九度五十九分並有正弦而九十度無正弦非無正弦也盖即以半徑全數為其正弦故凡算三角有用半徑與正弦相為比例者皆正角也(其法與銳角形鈍角形用兩正弦為比例同理並詳後卷)八十九度竒之正弦至九九九九九而極迨滿一象限始能成半徑全數是故半徑全數者正角九十度之正弦也其數為一○○○○○厯算全書卷五十
## 卷五十一
欽定四庫全書厯算全書卷五十一宣城梅文鼎撰三角法舉要卷二算例三角形有三類一曰句股形即直角三邉形也有正方角一餘並銳角一曰銳角形三角並銳一曰鈍角形三角内有鈍角一餘並銳角以上三類總謂之三角形其算之各有術句股形第一術 有一角一邉求餘角餘邉内分二支一先有之邉為弦一先有之邉為句(或先有股亦同)假如(壬癸丁)句股形有丁角(五十七度)壬丁弦(九十一)(丈八尺)求餘角餘邉一求癸丁邉術曰以半徑全數比丁角之餘弦若壬丁弦與癸丁句(半徑即丁乙餘弦即甲丁)(以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸)一率(原設弦)半徑 一○○○○○為法二率(原設句)丁角(五十七度)餘弦 五四四六四(相乘)三率(今有弦)壬丁邉 九十一丈八尺(為實)四率(今所求句)癸丁邉 五十丈 法除實得所求一求壬癸邉術曰以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股一率(原設股)半徑 一○○○○○ 為法二率(原設股)丁角(五十七度)正弦 八三八六七 (相乗)三率(今有弦)壬丁邉 九十一丈八尺 (為實)四率(今所求股)壬癸邉 七十七丈 法除實得所求一求壬角以丁角(五十七度)與象限九十度相減得餘三十三度爲壬角計開先有之三件癸正方角(九十度) 丁角(五十七度) 壬丁弦(九十一丈八尺)今求得三件癸丁旬(五十丈) 壬癸股(七十七丈) 壬角(三十三度)右例先得弦以求句股也是為句股形第一術之第一支假如(壬癸丁)句股形有丁角(六十二度)癸丁句(二十四)(丈)求餘角餘邉一求壬角以丁角(六十二度)與象限相減得餘二十八度為壬角(戊丙丁句股形以戊丙切線為股丙丁半徑為句戊丁割線為)(弦是丁角原有之線)(今壬癸丁句股形既同丁角則其比例等)一求壬丁邉術為以半徑比丁角之割線若癸丁句與壬丁弦一(原設句)半徑 一○○○○○ 為法二(原設弦)丁角(六十二度)割線 二一三○○五 (相乗)三(今有句)癸丁邉 二十四丈 (為實)四(所求弦)壬丁邉 五十一丈二尺 法除實得所求一求壬癸邉術為以半徑比丁角之切線若癸丁句與壬癸股一(原設句)半徑 一○○○○○為法二(原設股)丁角(六十二度)切線 一八八○七三 (相乗)三(今有句)癸丁邉 二十四丈 (為實)四(所求股)壬癸邉 四十五丈一尺 法除實得所求計開先有之三件癸正方角 丁角(六十二度) 癸丁句(二十四丈)今求得三件壬角(二十八度) 壬丁弦(五十一丈一尺) 壬癸股(四十五丈一尺)右例先得句以求弦及股也或先得股以求弦及句亦同是為句股形第一術之第二支句股形第二術 有邉求角亦分二支一先有二邉一先不知正方角而有三邉(新増)假如(壬癸丁)句股形有壬丁弦(一百零二丈二尺)癸丁句(四十八丈)求二角一邉一求丁角術為以壬丁弦比癸丁句若半徑乙丁與丁角之餘弦甲丁一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之弦為法二 癸丁邉 四十八丈 今有之句(相乘)三 半徑 一○○○○○ 原設之弦(為實)四 丁角餘弦 四六九六六 法除實得所求原設句依術求得丁角六十二度(以所得餘弦撿表即得)一求壬角以丁角(六十二度)與象限相減得餘二十八度為壬角一求壬癸邉術為以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股一 半徑 一○○○○○二 丁角(六十二度)正弦 八八二九五三 壬丁邉 一百○二丈二尺四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸計開先有之三件壬丁弦(一百○二丈二尺) 癸丁句(四十八丈) 癸正方角今求得三件丁角(六十二度) 壬角(二十八度) 壬癸股(九十丈○二尺三寸)右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是為句股形第二術之第一支(此先有二邉為弦與句故)(用正餘弦若先有者是句與股則用切線其比例之理一也)假如(壬癸丁)三角形有壬丁邉(一百○六丈)壬癸邉(九)(十丈)癸丁邉(五十六丈)求角一求癸角術以壬丁大邉與丁癸邉相加得(一)(百六十二丈)為總又相減得(五十)(丈)為較以較乗總得(八千一百丈)為實以壬癸邉(九十丈)為法除之仍得(九十丈)與壬癸邉數等即知癸角為正方角依術求得癸角為正方角定為句股形一求丁角術為以丁癸邉比壬癸邉若半徑與丁角之切線一 丁癸句 五十六丈二 壬癸股 九十丈三 半徑 一○○○○○四 丁角切線 一六○七一四依術求得丁角五十八度○六分(以所得切線撿表即得)一求壬角以丁角(五十八度○六分)與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角計開先有三邉壬丁邉(一百零六丈) 壬癸邉(九十丈) 癸丁邉(五十六丈)求得三角癸正方角 丁角(五十八度零六分) 壬角(三十一度五十四分)右例亦以邉求角而先不知其為句股形故兼用三邉是為句股形第二術之第二支銳角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉假如(乙丙丁)銳角形有丙角(六十度)丁角(五十度)丙丁邉(一百二十尺)先求乙角術以丙角(六十度)丁角(五十度)相併得(一百一十度)以減半周一百八十度餘七十度為乙角次求乙丁邉術為以乙角正弦比丙丁邉若丙角正弦與乙丁邉一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁邉(即乙角對邉) 一百二十尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙丁邉(即丙角對邉) 一百一十尺○六寸次求乙丙邉術為以乙角正弦比丙丁邉若丁角正弦與乙丙邉一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁(乙角對邉) 一百二十尺三 丁角(五十度)正弦 七六六○四四 乙丙(丁角對邉) 九十七尺八寸計開先有之三件丙角(六十度) 丁角(五十度) 丙丁邉(一百二十尺)今求得三件乙角(七十度) 乙丁邉(一百一十尺零六寸) 乙丙邉(九十七尺八寸)右例先有之邉在兩角之間也若先有之邉與一角相對亦同盖三角形有兩角即有第三角故無兩法銳角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉此分二支一先有之角與一邉相對一先有之角不與邉相對假如(甲乙丙)銳角形有丙角(六十度)甲丙邉(八千尺)甲乙邉(七千零三十四尺)先求乙角術為以甲乙邉比甲丙邉若丙角正弦與乙角正弦一 甲乙(丙角對邉) 七千○三十四尺二 甲丙(乙角對邉) 八千尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙角 正弦 九八四九六撿正弦表得乙角八十度○三分次求甲角以丙角乙角相併得(一百四十度○三分)以減半周餘三十九度五十七分為甲角次求乙丙邉術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邉之與乙丙邉一 乙角(八十度○三分)正弦 九八四九六二 甲角(三十九度五十七分)正弦 六四二一二三 甲丙(乙角對邉) 八千尺四 乙丙(甲角對邉) 五千二百一十五尺計開先有之三件丙角(六十度) 甲丙邉(八千尺) 乙甲邉(七千○三十四尺)今求得三件乙角(八十度○三分) 甲角(三十九度五十七分) 乙丙邉(五千二百一十五尺)右例有兩邉一角而角與一邉相對是為銳角形第二術之第一支假如(甲乙丙)銳角形有甲丙邉(四百尺)乙丙邉(二百六)(十一尺○八分)丙角(六十度) 角在兩邉之中不與邉對求甲乙邉先求中長線分為兩句股形術為以半徑比丙角正弦若甲丙邉與甲丁中長線一 半徑 一○○○○○二 丙角(六十度)正弦 ○八六六○三三 甲丙邉 四百尺四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉(即所分甲丁丙形之句而甲丙為之弦)術為以半徑比丙角餘弦若甲丙邉與丙丁邉一 半徑 一○○○○○二 丙角(六十度)餘弦 五○○○○三 甲丙邉 四百尺四 丙丁邉 二百尺次求乙丁邉(即所分甲丁乙形之句而甲丁為之股)以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁次求丁甲乙分角(即分形甲丁乙句股之甲角)術為以甲丁中長線比乙丁分邉若半徑與甲分角切線一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分邉 六十一尺○八分三 半徑 一○○○○○四 甲分角切線 一七六三三撿切線表得一十度為甲分角末求甲乙邉術為以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邉一 半徑 一○○○○○二 甲分角(十度)割線 一○一五四三三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分求甲全角以丙角(六十度)之餘角三十度(即分形甲丁丙之甲分角)與求到甲分角(一十度)相併得四十度為甲全角求乙角以甲分角(一十度)減象限得八十度為乙角(或併丙甲二角减半)(周亦同)計開先有之三件甲丙邉(四百尺) 乙丙邉(二百六十一尺○八分) 丙角(六十度)今求得三件甲乙邉(三百五十一尺七寸五分) 甲角(四十度) 乙角(八十度)右例有兩邉一角而角在兩邉之中不與邉對故用分形以取句股是為銳角形第二術之第二支又術(新増) 用切線分外角假如(甲乙丙)銳角形有甲丙邉(四百尺)乙丙邉(二百六)(十一尺○八分)丙角(六十度) 此即前例但求甲角術以(甲丙乙丙)兩邉相併為總相減為較又以丙角(六十度)減半周得外角(一百二十度)半之得半外角(六)(十度)撿其切線依三率法求得半較角以減半外角得甲角一 兩邉總 六百六十一尺○八分二 兩邉較 一百三十八尺九寸二分三 半外角切線 一七三二○五四 半較角切線 三六三九七撿切線表得(二十度)為半較角轉與半外角(六十)(度)相減得甲角四十度次求乙角併甲丙二角共(一百度)以減半周得餘八十度為乙角次求甲乙邉一 甲角(四十度)正弦 六四二七九二 丙角(六十度)正弦 八六六○三三 乙丙邉 二百六十一尺○八分四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分銳角形第三術 有三邉求角假如(甲乙丙)銳角形有乙丙邉(二十丈)甲丙邉(一十七)(丈五尺八寸五分)乙甲邉(一十三丈○五寸)術曰任以(乙丙)大邉為底從甲角作甲丁虚垂線至底分為兩句股形一甲丁丙形以甲丙邉為弦丁丙為句一甲丁乙形以甲乙邉為弦丁乙為句兩弦相併為總相減為較 兩句相併(即乙丙邉原數)為句總求兩句相減之數為句較術為以句總比弦總若弦較與句較也一 兩句之總(即乙丙) 二十丈二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分四 兩句之較(即丙戊) 六丈九尺四寸六分求分形之兩句以句較(六丈九尺四寸六分)減句總(二十丈即乙丙)餘乙戊(一十三丈○五寸四分)半之得丁乙(即戊丁)六丈五尺二寸七分為(甲丁乙)分形之句又以戊丁(六丈五尺二寸七分)加句較(六丈九尺四寸六分 即戊丙)得丁丙一十三丈四尺七寸三分為(甲丁丙)分形之句求丙角術為以甲丙弦比丁丙句若半徑與丙角之餘弦一 甲丙邉 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分三 半徑 一○○○○○四 丙角餘弦 七六六一六撿餘弦表得丙角四十度求甲角術先求分形大半之甲角以丙角(四十度)減象限餘五十度為(丁甲丙)分形之甲角次求分形小半之甲角術為以甲乙弦比丁乙句若半徑與分形甲角之正弦一 甲乙邉 一十三丈○五寸二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分三 半徑 一○○○○○四 甲分角正弦 五○○一五撿正弦表得三十度為(丁甲乙)分形之甲角併分形兩甲角(先得五十度後得三十度)得共八十度為甲全角求乙角倂丙甲二角共(一百二十度)以減半周得餘六十度為乙角計開先有三邉甲丙邉(一十七丈五尺八寸五分) 乙丙邉(二十丈)乙甲邉(一十三丈○五寸)求得三角丙角(四十度) 甲角(八十度) 乙角(六十度)鈍角形第一術 有兩角一邉求餘角餘邉假如(乙丙丁)鈍角形有丙角(三十六度半)乙角(二十四)(度)丁乙邉(五十四丈)先求丁角術以丙乙二角併之共(六十度半)以減半周得餘一百一十九度半為丁鈍角次求乙丙邉術為以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邉與乙丙邉一 丙角(三十六度二十分)正弦 五九四八二二 丁角(一百十九度三十分)正弦 八七○三六三 乙丁邉 五十四丈四 乙丙邉 七十九丈○一寸右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減半周用之凡鈍角並同求丁丙邉術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙邉一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邉 五十四丈四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸計開先有之三件丙角(三十六度半) 乙角(二十四度) 丁乙邉(五十四丈)今求得三件丁鈍角(一百一十九度半) 乙丙邉(七十九丈○一寸) 丁丙邉(三十)(六丈九尺二寸)鈍角形第二術 有一角兩邉求餘角餘邉亦分二支一先有對角之邉一先有二邉皆角旁之邉而不對角假如(甲乙丙)鈍角形有乙角(九十九度五十七分)甲丙對邉(四千尺)甲乙邉(三千五百一十七尺)求丙角術為以甲丙對邉比甲乙邉若乙角正弦與丙角正弦一 甲丙邉 四千尺二 甲乙邉 三千五百一十七尺三 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四九六(即八十度三分正弦)四 丙角 正弦 八六六○三撿表得丙角六十度求甲角併乙丙二角(共一百五十九度五十七分)以減半周得餘二十度○三分為甲角求乙丙邉術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙對邉與乙丙邉一 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四六九二 甲角(二十○度三分)正弦 三四二八四三 甲丙邉 四千尺四 乙丙邉 一千三百九十二尺計開先有之三件乙鈍角(九十九度五十七分) 甲丙邉(四千尺) 甲乙邉(三千五百一十)(七尺)今求得三件丙角(六十度) 甲角(二十度○三分) 乙丙邉(一千三百九十二尺)右例有兩邉一角而先有對角之邉是為鈍角形第二術之第一支假如(乙丁丙)鈍角形有乙丁邉(一千零八十尺)乙丙邉(一千五百八十二尺)乙角(二十四度) 角在兩邉之中不與邉對術先求形外之虚垂線補成正方角從不知之丙角作虚垂線於形外如丙戊亦引乙丁線於形外如丁戊兩虚線遇於戊成正方角術為以半徑比乙角正弦若乙丙邉與丙戊一 半徑 一○○○○○二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丙邉 一千五百八十二尺四 丙戊邉(即虚垂線) 六百四十三尺又以半徑比乙角之餘弦若乙丙邉與乙戊一 半徑 一○○○○○二 乙角(二十四度)餘弦 九一三五五三 乙丙邉 一千五百八十二尺四 乙戊邉(即乙丁引長線) 一千四百四十五尺以原邉乙丁(一千○八十尺)與引長乙戊邉相減得丁戊(三百六十五尺)為形外所作虚句股形之句(則先得丙戊垂線為股而)(原邉丁丙為之弦)求丁丙邉依句股求弦術以丙戊股自乗(四十一萬三千四百四十九尺)丁戊句自乗(一十三萬三千二百二十五尺)併之得數(五十四萬六千六百七十四尺)為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邉求丙角術為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正弦與丙角正弦一 丁丙邉 七百三十九尺二 丁乙邉 一千○八十尺三 乙角(二十四度)正弦 四○六七四四 丙角 正弦 五九四四二撿表得丙角三十六度二十九分求丁角併乙丙二角共(六十度二十九分)以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角計開先有之三件乙丁邉(一千零八十尺) 乙丙邉(一千五百八十二尺) 乙角(二十四度)今求得三件丁丙邉(七百三十九尺) 丙角(三十六度二十九分) 丁鈍角(一百一十九度)(三十一分)右例有兩邉一角而兩邉並在角之兩旁不與角對是為鈍角形第二術之第二支又術(新增) 用切線分外角假如(乙丙丁)鈍角形有丁乙邉(五百四十尺)丙乙邉(七)(百九十一尺)乙角(二十四度) 角在兩邉之中不與邉對求丙角以(丁乙丙乙)兩邉相併為總相減為較又以乙角(二十)(四度)減半周得外角(一百五十六度)半之得半外角(七十八度)撿其切線得四七○四六三術為以邉總比邉較若半外角切線與半較角切線一 兩邉之總 一千三百三十一尺二 兩邉之較 二百五十一尺三 半外角切線 四七○四六三四 半較角切線 八八七一九撿表得半較角(四十一度三十五分)以轉減半外角(七十八度)得餘三十六度二十五分為丙角求丁角併乙丙二角共(六十度二十五分)以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角求丁丙邉術為以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉與丁丙邉一 丙角(三十六度二十五分)正弦 五九三六五二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邉 五百四十尺四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分計開先有之三件丁乙邉(五百四十尺) 丙乙邉(七百九十一尺) 乙角(二十四度)今求得三件丙角(三十六度二十五分) 丁鈍角(一百一十九度三十五分) 丁丙邉(三百)(六十九尺九寸八分)鈍角形第三術 有三邉求角(新式)假如(乙丙丁)鈍角形有乙丙邉(三百七十五尺)乙丁邉(六百○七尺)丁丙邉(三百尺)術自乙角作虚垂線至甲又引丁丙線横出遇於甲而成正方角則成乙甲丁句股形又引横線至辛使甲辛如丙甲成乙甲辛句股形則丁辛為兩句之總而所設丁丙邉為兩句之較又乙丁邉為大形(乙甲丁)之弦乙丙邉為小形(乙甲辛即)(乙甲丙)之弦兩弦相併為總相減為較術為以句較比弦較若弦總與句總一 句較(即丁丙邉) 三百尺二 弦較(即乙丁内减乙丙之餘) 二百三十二尺三 弦總(即乙丁乙丙二邉相併) 九百八十二尺四 句總 七百五十九尺四寸以句較(三百尺)減所得句總(七百五十九尺四寸)餘數(五百二十九尺)(四寸)為大形之句甲丁求丁角(用乙甲丁大形)術為以乙丁弦比丁甲句若半徑與丁角之餘弦一 乙丁弦 六百○七尺二 甲丁句 五百二十九尺七寸三 半徑 一○○○○○四 丁角餘弦 八七二六五撿表得丁角二十九度一十四分求丙角(用乙甲丙小形)術為以甲丙句比乙丙弦若半徑與丙角之割線一 甲丙句 二百二十九尺七寸二 乙丙弦 三百七十五尺三 半徑 一○○○○○四 丙角割線 一六三二五六撿表得丙角(五十二度一十四分)為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分求乙角併丁丙二角所得度分(共一百五十七度)以減半周得餘二十三度為乙角計開先有三邉乙丙邉(三百七十五尺) 乙丁邉(六百七尺) 丁丙邉(三百尺)求得三角丁角(二十九度一十四分) 丙鈍角(一百二十七度四十六分) 乙角(二十)(三度)右例鈍角形三邉求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邉為底從鈍角分中長線同銳角第三術厯算全書卷五十一
## 卷五十二
欽定四庫全書厯算全書卷五十二宣城梅文鼎撰三角法舉要卷三内容外切(三角測量之用在邉與角而其内容外切亦所當明故次于算例之後)内容有二曰本形曰他形一三角求積積謂之冪亦謂之面乃本形所有一三角容員一三角容方以上皆形内所容之他形外切惟一一三角形外切之員三角求積第一術底與髙相乗折半見積内分二支一句股形即以句股為底為髙一銳角鈍角形任以一邉為底而求其垂線為髙假如句股形甲乙股(一百二十尺)乙丙句(三十五尺)求積術以甲乙股乙丙句相乗(四千二百尺)折半得積凡求得句股形積二千一百尺如圖甲乙股與乙丙句相乗成甲乙丙丁長方形其形半實半虚故折半見積或以句折半(十七尺半)乗股亦得積(二千)(一百尺)如圖乙丙句折半於戊以乙戊乗甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己補甲丁己也或以股折半(六十尺)乗句亦得積(二千)(一百尺)如圖甲乙股折半於己以己乙乗乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊補戊丁丙也右句股形以句為底以股為髙若以股為底則句又為髙可互用也句股形有立有平若平地句股以句為濶以股為長其理無二論曰凡求平積皆謂之冪其形如網目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如機杼之有經緯而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半則成正剖之半方形矣其他銳角鈍角或有直無横有横無直必以法求之使成句股然後可算故句股者三角法所依以立也假如銳角形甲乙邉(二百三十二尺)甲丙邉(三百四十尺)乙丙邉(四百)(六十八尺)求積術先求垂線用銳角第三術任以乙丙邉為底以甲丙甲乙為兩弦兩弦之較數(一百零八尺)總數(五百七十二尺)相乗(六萬一千七百七十六尺)為實以乙丙底為法除之得數(一百三十二尺)轉減乙丙餘數(三百三十六尺)半之得乙丁(一百六十八尺)依句股法以乙丁自乗(二萬八千二百二十四尺)與甲乙自乗(五萬三千八百二十四尺)相減餘數(二萬五千六百尺)平方開之得甲丁垂線(一百六十尺)以甲丁垂線折半乗乙丙底得積凡求得銳角形積三萬七千四百四十尺如圖移辛補壬移庚補癸則成長方形即垂線折半乗底之積右銳角形任以乙丙邉為底取垂線求積若改用甲乙或甲丙邉為底則所得垂線不同而得積無異故可以任用為底假如鈍角形甲乙邉(五十八步)甲丙邉(八十五步)乙丙邉(三十三步)求積術求垂線立於形外用鈍角第三術以乙丙為底甲乙甲丙為兩弦總數(一百四十三步)較數(二十七步)相乗(三千八百)(六十一步)為實乙丙底為法除之得數(一百一十七步)内減乙丙餘數(八十四步)折半(四十二步)為乙丁(即乙丙引長邉)依句股法乙丁自乗(一千七百六十四步)甲乙自乗(三千三百六十四步)相減餘數(一千六百步)平方開之得甲丁(四十步)為形外垂線以乙丙底折半(十六步半)乗之得積凡求得鈍角形積六百六十步如圖甲乙丙鈍角形移戊補庚移庚己補壬癸又移壬子補辛成辛癸丑長方即乙丙底折半乗中長甲丁之積右鈍角形以乙丙為底故從甲角作垂線若以甲乙為底則自丙角作垂線亦立形外而垂線不同然以之求積並同若以甲丙為底從乙角作垂線則在形内如銳角矣其垂線必又不同而其得積無有不同故亦可任用一邉為底凡用垂線之髙乗底見積必其線上指天頂底線之横下應地平兩線相交正如十字故其所乗之冪積皆成小平方可以虚實相補而求其積數鈍角形引長底線以作垂線立於形外則兩線相遇亦成十字正方之角矣總論曰三角形作垂線於内則分兩句股鈍角形作垂線於外則補成句股皆句股法也三角求積第二術以中垂線乗半周得積謂之以量代算假如鈍角形乙丙邉(五十八步)甲乙邉(一百一十七步)甲丙邉(八十五步)求積術平分甲乙兩角各作線㑹于心從心作十字垂線至乙甲邉(如心庚)即中垂線也乃量取中垂線(心庚)得數(一十八步)合計三邉而半之(一百三十步)為半周以半周乗中垂線得積凡求得鈍角形積二千三百四十步又術如前取中垂線(心庚)為濶半周為長(如乙癸及丁壬)别作一長方形(如乙壬丁癸)即與(甲乙丙)鈍角形等積解曰凡自形心作垂線至各邉皆等故中垂線乗半周為一切有法之形所公用方員及五等面六等面至十等面以上並同故以中垂線為濶半周為長其所作長方形即與三角形等積又解曰中垂線至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得積即句股相乗折半之理附分角術 有甲角欲平分之術以甲角為心作虚半規截角旁兩線得辛壬二㸃乃自辛自壬各用為心作弧線相遇于癸作癸甲線即分此角為兩平分三角求心術如上分角術於甲角平分之于乙角又平分之兩平分之線必相遇成一㸃此一㸃即三角形之心解曰試再於丙角如上法分之則亦必相遇於原㸃三角求積第三術以三較連乗又乗半總開方見積假如鈍角形甲乙邉(一百一十六尺)甲丙邉(一百七十尺)乙丙邉(二百)(三十四尺)求積術合計三邉而半之(二百六十尺)為半總以與甲乙邉相減得較(一百四十四尺)與甲丙邉相減得較(九十尺)與乙丙邉相減得較(二十六尺)三較連乗(以兩較相乗得數又以餘一較)(乗之也)得數(三十三萬六千九百六十尺)又以半總較之得數(八千七百六十)(萬零九千六百尺)平方開之得積凡求得鈍角形積九千三百六十尺若係銳角同法解曰此亦中垂線乗半周之理但所得為冪乗冪之數故開方見積詳或問三角容員第一術以弦與句股求容員徑(此術惟句股形有之凡句股相併為和以和與弦併為弦)(和和以和與弦相减為弦和較)假如(甲乙丙)句股形甲丙句(二十步)乙甲股(二十一步)乙丙弦(二十九步)求容員徑術以句股和(四十一步)與弦相減得數為容員徑凡求得内容員徑一十二步解曰此以弦和較為容員徑如圖從容員心作半徑至邉又作分角線至角成六小句股形則各角旁之兩線相等(如丙戊丙庚兩線在丙角旁則)(相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁並兩線相等)其在正方角旁者(甲戊甲己)乃弦和較也(于乙丙弦内分丙庚以對丙戊又分)(乙庚以對乙己則其餘為甲戊及甲己此即句股和與乙丙弦相較之數也)然即為内容員徑何也各角旁兩線並自相等而正方角旁之兩線又皆與容員半徑等(正方角旁兩小形之角皆平分方角之半則句股自相等而甲戊等心戊)(甲己等心己)然則弦和較者正方角旁兩線(甲戊甲己)之合即容員兩半徑(心戊心己)之合也故弦和較即容員徑也試以甲戊為半徑作員則戊心亦半徑而其全徑(癸戊甲)與容員徑(丁心)(己)等以甲己為半徑作員則己心亦半徑而其全徑(辛己甲)與容員徑(戊心壬)亦等三角容員第二術以周與積求容員徑内分二支一句股形以弦和和為用(亦可用半)一銳角鈍角形以全周半周為用假如(甲乙丙)句股形甲丙句(一十六步)甲乙股(三十步)乙丙弦(三十四步)求容員徑術以句股相乗得數(四百八十步)為實併句股弦數(共八十歩)為法除之得數倍之為容員徑凡求得容員徑一十二步解曰此以弦和和除句股倍積得容員半徑也如圖從容員心作對角線分其形為三(一甲心丙一甲心乙一丙心乙)乃於甲丙句線兩端各引長之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙弦則子丑線即弦和和也乃自員心作癸壬直線與丑子平行兩端各聫之成長方又作辛丙線分為三長方形其濶並如員半徑其長各如句如股如弦而各為所分三小形之倍積(甲辛長方)(如甲丙句之長而以心戊半徑為濶即為甲心丙分形之倍甲癸長)(方如乙甲股之長而以同心己之半徑為濶即為乙心甲形之倍丙)(壬長方如丙乙弦之長而以同心庚之半徑為濶即為乙心丙形之)(倍)合之即為本形倍積與句股相乗同也(句股相乗為倍積見求積條)故以弦和和除句股相乗積得容員半徑假如(甲乙丙)句股形甲丙句(八十八尺)甲乙股(一百零五尺)乙丙弦(一百三十七尺)求容員徑術以句股相乗而半之得積(四千六百二十尺)為實併句股弦數而半之(一百六十五尺)為法除之得數倍之為容員徑凡求得内容員徑五十六尺解曰此以半周除句股形積而得容員半徑也(半周即弦和和)(之半)如圖從容員心分本形為六小句股則同角之句股各相等可以合之而各成小方形(同甲角之)(兩句股成丁己小方形同丙角之兩句股可合之成丁辛長方形以心辛)(丙形等丙戊心也同乙角之兩句股可合之成己庚長方形以乙庚心形)(等心戊乙也)乃移己庚長方為辛癸長方則癸甲即同半周而癸己大長方即為半周乗半徑而與句股積等也(六小形之句皆原形之周變為長方則兩)(兩相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之長並半周壬癸及己甲辛丙之間並同心丁是半周乗半徑也)(辛癸長方與己庚等積即與乙角旁兩句股等積又丁辛長方與丙角旁兩句股等積再加丁己形即與原設)(乙甲丙句股形等積矣)然則以句股相乗而半之者句股形積也故以半周除之即容員半徑矣或以弦和和除四倍積得容員全徑並同前論論曰句股形古法以弦和較為容員徑與弦和和互相乗除乃至精之理測員海鏡引伸其例以為測望之用其變甚多三角容員盖從此出故為第一支假如(甲乙丙)銳角形乙丙邉(五十六尺)甲丙邉(七十五尺)甲乙邉(六十一尺)求容員徑術以乙丙邉為底求得甲丁中長線(六十尺○法見求積)以乗底得數(三千三百六十尺)倍之(六千七百二十尺)為實合計三邉(共一百九十二)(尺)為法除之得容員徑凡求得内容員徑三十五尺解曰此以全周除四倍積得容員徑也如圖自容員心作對角線分為小三角形三各以員半徑為髙各邉為底若於各邉作長方而各以邉為長半徑為濶必倍大於各小三角形(如壬丙長方倍大于丙心乙形)(丙丑長方倍大于丙心甲形甲丁長方倍大于甲心乙形)又作加一倍之長方則四倍大於各小三角(如未乙長方倍大于丙壬長方必四倍于)(丙心乙三角則夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙)於是而通為一大長方(移夘甲長方為亥丙移甲酉為乙辰則成亥午大長方形矣)必四倍原形之冪而以三邉合數為長以容員之徑為濶然則以中長線乗底而倍之者正為積之四倍也以三邉除之豈不即得員徑乎或以全周除倍積得容員半徑或以半周除積得容員半徑並同若鈍角形亦同上法論曰銳角鈍角並以周為法此與句股形用弦和和同但必先求中長線故為第二支三角容員第三術以中垂線為員半徑曰以量代算假如(甲乙丙)三角形求容員徑(既不用算故不言邉角之數)如求積術均分甲乙二角之度各作虚線交於己即己為容員之心次以己為心儘一邉為界運規作員此員界必切三邉於是從己心向三邉各作十字垂線必俱在切員之㸃而等為員半徑知半徑知全徑矣(半徑各如己庚線)論曰此容員心即三角形之心(故以容員半徑乗半總即得積也)又案此術亦句股及銳鈍兩角通用三角容員第四術用三較連乗假如(甲乙丙)鈍角形乙丙邉(四百三十二尺)甲丙邉(五百尺)甲乙邉(一百四十八尺)求容員徑術以半總(五百四十尺)求得乙丙邉較(一百○八尺)甲丙邉較(四十尺)乙甲邉較(三百九十二尺)三較連乗得數(一百六十九萬三千)(四百四十尺)以半總除之得數(三千一百三十)(六尺)四因之(一萬二千五百四十四尺)為實平方開之得容員徑凡求得内容員徑一百一十二尺銳角同法解曰此所得者為容員徑上之自乗方冪故開方得徑三角容方第一術合底與髙除倍積得容方徑内分二支一句股形即以句股為底為髙(即句股和也其容方依正方角)一三角形以一邉為底求其垂線為髙(句股形以弦為底銳)(角形三邉皆可為底鈍角形以大邉為底其容方並依為底之邉)假如(甲乙丙)句股形甲丙股(三十六尺)乙丙句(一十八尺)求容方依正方角而以容方之一角切於弦術以句股相乗得數(六百四十八尺)為實以句股和(五十四尺)為法除之得所求求到内容方徑一十二尺如圖作寅乙線與股平行作寅甲線與句平行成寅丙長方為句股形倍積次引寅甲線横出截之於癸引乙丙句横出截之於夘使引出兩線(甲癸及丙夘)皆如甲丙股仍作夘癸線聫之乃從癸作斜線至乙割甲丙股於戊則戊丙為所求容方之邉又從戊作申未横線與上下兩線平行割甲乙弦於己則己戊為所求容方之又一邉末從己作午辛立線割丙乙句於辛則己辛及辛丙又為兩對邉而四邉相等為句股形内所容之方解曰寅夘大長方以癸乙斜線分兩句股則相等而寅戊與戊夘兩長方等則寅丙長方與申夘長方亦等(寅丙)(内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘)夫寅丙者句股倍積而申夘者句股和乗容方徑也(乙丙句丙夘股合之為申夘形之長申乙及未夘並同方徑為濶)故以句股和除倍積得容方徑又解曰寅丙長方分兩句股而等則寅戊與午丙兩長方等(寅己與己丙既等則于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙)而寅戊原等戊夘則午丙亦與戊夘等夫午丙形之丙甲與戊夘形之丙夘皆股也則兩形等積又等邉矣其長等其濶亦等(甲丙與丙夘既等則辛丙與戊丙亦等)而對邉悉等即成正方形論曰此以句為底股為髙也若以股為底句為髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中長除積盖生於此是為第一術之第一支假如(甲乙丙)句股形乙丙弦二十八尺其積一百六十八尺求容方依弦線而以容方之兩角切於句股術以弦除倍積(三百三十六尺)得對角線(一十二尺)與弦相併(四十尺)為法倍積為實法除實得所求求到容方徑八尺四寸如圖作寅丑線與乙丙弦平行又作寅丙及丑乙與甲丁對角線平行成丑丙長方為句股形倍積次引乙丙弦至夘引寅丑線至癸使癸丑及夘乙並同甲丁仍作癸夘線聫之次從癸向丙作斜線割丑乙線於子遂從子作申未線與乙丙弦平行割甲乙股於庚割甲丙句於己則庚己為容方之一邉末從庚作辰壬線從己作午辛線並與甲丁平行而割乙丙弦於壬於辛則辛壬及庚壬及己辛三線並與庚己等而成正方解曰寅子長方與子夘長方等積(癸丙線分寅夘形為兩句股而等則兩句)(股内所作之方必等)午壬長方又與寅子等(寅丁形以甲丙線分為兩句股則寅己與)(己丁等又丑丁形以甲乙線分為兩句股則丑庚與丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚則午丁等寅戊)(而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子)則午壬亦與子夘等而午壬之邉(午辛)(及辰壬)子夘之邉(夘乙及未子)並等甲丁對角線則兩形(午壬子夘)等積又等邉矣其長等其濶亦等(辰壬既等夘乙則辛壬亦等子乙而庚壬)(及己辛亦不得不等)故四線必俱等也又解曰寅子既與子夘等則寅乙必與申夘等(于寅乙内移寅)(子居子夘之位即成申夘)而寅乙者倍積也申夘者底偕中長乗容方徑也(乙丙弦也夘乙即甲丁對角中長線也合之為丙夘之長其兩端之濶申丙及未夘並同方徑)故合弦與對角線為法以除倍積得容方徑論曰此以一邉為底中長線為髙也既以一邉為底其容方即依此一邉而以兩方角切餘二邉也句股形故以弦為底若銳角形則任以一邉為底但依大邉則容方轉小亦如句股形依方角之容方必大於依弦線之容方也鈍角形但可以大邉為底其求之則皆一法也是為第一術之第二支三角容方第二術以圖算内分二支一以法截中長線得容方徑(句股形即截其邉)一以法截兩斜邉得容方邊(句股形即截其弦)假如銳角形求容方任以一邉為底如圖以乙丙最小邉為底先從對角甲作中長垂線至丁又從乙角作丑乙立線與甲丁平行而等乃從甲角作横線過丑至癸截丑癸亦如甲丁乃從癸向丙角作斜線割丑乙立線於子末以子乙之度截中長線(甲丁垂線)於戊即戊丁為容方之徑(從戊作己庚又從己作線至辛從庚作線至壬成庚己辛壬即所求)(容方)解曰甲戊與戊丁若甲丁與乙丙(子丑癸句股與子乙丙形有子交角必相)(似則丑子句與子乙句若丑癸股與乙丙股而丑子原與甲戊等子乙與戊丁等丑癸與甲丁等則甲戊與戊)(丁亦若甲丁與乙丙)又甲戊與己庚若甲丁與乙丙(甲己庚三角為甲丙乙之)(截形必相似則甲戊與己庚若甲丁與乙丙)合兩比例觀之則甲戊與戊丁若甲戊與己庚而己庚即戊丁以上並銳角形凡銳角三邉並可為底而皆一法假如句股形求容方以股為底則於句端甲作横線與股平行而截之於癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜線割甲乙句於戊則戊乙即容方之一邉末作己戊與股平行作己辛與句平行即成容方(或以句為底則從股端丙作丙)(癸横線與股等亦作癸甲斜線割丙乙股於戊其所得容方亦同圖如左)論曰銳角鈍角皆截中長線為容方徑句股形以弦為底亦然惟句股形以句為底即截其股為容方徑(用股為底)(即截句)不另求中長而與截中長之法並同是為第二術之第一支假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉為底如圖以乙丙底作正方形(即甲乙丙戊方)又作丁辛對角線次作甲辛及戊辛兩斜線割原形之兩斜線於己於庚乃作己庚線為所求容方之一邉(末作己壬及庚癸兩線成小方形於形内即所求)解曰甲戊與己庚若子辛與午辛也(己庚辛三角形為甲戊辛之切形則)(其横與直之比例相等)而甲戊與子辛同為方徑而等則己庚與午辛亦同為小方徑而等若底上方形大則其徑亦大於對角線則如第二圖引丁辛線至子其理亦同有此二法則三邉並可為底鈍角形用大邉為底句股形用弦為底並同第二圖若句股形以句為底求容方如圖即用乙丙句作(丙辛庚乙)方形從方角庚向丙作斜線割丁乙弦於壬從壬作癸壬及甲壬二線即所容方(或用股上方則)(引出句邉如股)解曰庚丙線分丙角為兩平分則其横直線自相等(壬癸與癸丙相等壬甲與甲丙)(相等則四線皆等)而成正方嘉禾陳䃤菴用分角法求容方與此同理論曰此皆以底上方形為法而得所求小方也故不論頂之偏正其所得容方並同惟句股容方依正方角則中長線與原邉合而為一法雖小異其用不殊是為第二術之第二支三角形外切平員第一術句股形以弦為徑假如甲乙丙句股形乙丙弦長四尺五寸二分求外切員術以弦折半取心得半徑二尺二寸六分其弦長四尺五寸二分即外切平員全徑以平員周率三五五乗之徑率一一三除之得員周一十四尺二寸如圖乙丙員徑即句股形之弦折半於丁即員心也以乙丁半徑為度從丁心運規作員必過甲而句股形之角皆切員周矣論曰凡平員徑上從兩端各作直線至員周相㑹則成正方角(如乙丙徑之兩端于丙于乙各作直線㑹于甲則甲角必為正角)而為句股形(假令兩線相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也)故不問句股長短而並以其弦為外切員之徑又論曰徑一百一十三而周三百五十五此鄭端清世子所述祖冲之術也(見律吕精義)按古率周三徑一李淳風等釋古九章以為術從簡易舉大綱而言之誠為通論諸家所傳徑五十周一百五十七則魏劉徽所改謂之徽率徑七周二十二則祖冲之所定謂之宻率由今以觀冲之自有兩率(一為七與二十二一為一一三與三五五)盖以其捷者為恒用之須而存其精者明測算之理亦可以觀古人之用心矣三角形外切平員第二術分邉取員心内分二支並以圖算一句股形但分一邉即得員心(其心在弦)一銳角形鈍角形並分二邉可得員心(銳角形員心在形内)(鈍角形員心在形外)假如甲乙丙句股形求外切員術任於句或股平分之作十字正線此線過弦線之㸃即為員心如圖甲乙丙形以甲乙股平分於戊從戊作庚丁正十字線至乙丙弦即分弦為兩平分而丁即員心從丁運規作外切員則甲乙丙三㸃並切員周而乙丁丙丁庚丁皆半徑論曰若平分甲丙句於辛從辛作十字正線亦必至丁故但任分其一邉即可得心又論曰若依第一術先得丁心從丁心作直線與句平行即此線能分股線為兩平分(如丁庚線與甲丙句平行過甲乙股即平分股)(線于戊)若與股平行而分句線亦然(如丁辛線與甲乙股平行即分句線于辛)右句股形外切平員之心在弦線中央假如銳角形求形外切員術任以兩邉各平分之作十字線引長之必相遇於一㸃即為員心如圖甲乙丙銳角形任以甲丙邉平分之于戊作庚戊丁十字線又任以乙丙邉平分之於壬作癸壬丁十字線兩直線稍引長之相遇於丁以丁為心作員則甲乙丙三角並切員周而丁癸丁庚皆半徑論曰試於餘一邉再平分之作十字正線亦必㑹於此㸃故此㸃必員心(如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字線亦必相遇于丁㸃)右銳角形外切平員之心在形之内假如鈍角形求形外切員 術同銳角如圖甲乙丙形甲為鈍角任分甲丙於戊分甲乙於辛各作十字線㑹於丁心從丁作員則丁庚丁癸皆半徑而三角並切員周若用大邉平分于壬作壬丁子線亦同論曰試於丁心作線至丙至乙至甲必皆成員半徑與丁庚丁癸同故丁為員心也右鈍角形外切平員之心在形之外總論曰此與容員之法不同何也内容員之心即三角形之心故其半徑皆與各邉為垂線而不能平分其邉然從心作線至角即能分各角為兩平分此分角求心之法所由以立也外切員之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字線剖各邉為兩平分此分邉求心之法所由以立盖即三㸃串員之法也附三㸃串員有甲乙丙三㸃欲使之並在員周術任以甲為心作虚員分用元度以丙為心亦作虚員分兩員分相交於戊於辛作戊辛直線又任以乙為心以丙為心各作同度之虚員分相交於庚於壬作庚壬直線兩直線相遇於丁以丁為心作員則三㸃並在員周員周有三㸃不知其心亦用此法厯算全書卷五十二
## 卷五十三
欽定四庫全書厯算全書卷五十三宣城梅文鼎撰三角法舉要卷四或問(三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同學之好問事事必求其所以然故不憚為)(之詳複以暢厥㫖)一三角形用正弦為比例之理一和較相求之理一用切線分外角之理一三較連乗之理附三較求角問各角正弦與各邉皆不平行何以能相為比例曰凡三角形一邉必對一角其角大者正弦大而所對之邉亦大角小者正弦小而所對之邉亦小故邉與邉之比例如正弦與正弦也兩正弦為兩邉比例圖乙丙丁三角形丁乙邉大對丙角丁丙邉小對乙角術為以丁乙邉比丁丙邉若丙角之正弦與乙角之正弦解曰試以丁丙為半徑作丁甲線為丙角正弦又截戊乙如丁丙半徑作戊己線為乙角正弦丁甲正弦大於戊己故丁乙邉亦大於丁丙問丁甲何以獨為丙角正弦也曰此以丁丙為半徑故也若以丁乙為半徑則丁甲即為乙角之正弦如圖用丁乙為半徑作丁甲線為乙角正弦又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半徑作戊己線為丙角正弦即見乙角之正弦丁甲小於戊己故丁丙邉亦小於丁乙解曰正弦者半徑所生也故必兩半徑齊同始可以較其大小前圖截戊乙如丁丙此圖引丁丙如丁乙所以同之也三正弦逓相為三邉比例圖乙丁丙鈍角形丁鈍角對乙丙大邉丙次大角對乙丁次大邉乙小角對丁丙小邉其各邉比例皆各角正弦之比例試以乙丁為半徑作丁甲線為乙小角之正弦又引丙丁邉至戊使戊丙如乙丁作戊己線為丙角之正弦又展戊丙線至庚使庚丙如乙丙作庚辛線為丁鈍角之正弦(如此則三邉皆若弦三正弦皆若股)其比例為以乙丙大邉(同庚丙)比乙丁次邉(同戊丙)若丁鈍角之正弦庚辛與丙角之正弦戊己又以乙丁次大邉(同戊丙)比丁丙小邉若丙角之正弦戊己與乙角之正弦丁甲又以丁丙小邉比乙丙大邉(同庚丙)若乙小角之正弦丁甲與丁鈍角之正弦庚辛問庚辛何以為丁角正弦曰凡鈍角以外角之正弦為正弦試作乙癸線為丁角正弦(乙丁癸角外角也故其正弦即為丁鈍角)(正弦)必與庚辛等何也庚丙辛句股形與乙丙癸形等(庚丙弦既同乙丙又同用丙角辛與癸又同為方角故其形必等)則庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正弦矣等乙癸之庚辛又安得不為丁角正弦乎(凡取正弦必齊其半徑此以丁甲為乙角正弦是用乙丁為半徑也而取丙角)(正弦戊己必引戊丙如乙丁其丁角正弦庚也辛又即外角之正弦乙癸是三半徑皆乙丁)試取壬丙如丁丙作庚壬線即同乙丁半徑則壬角同丁角壬外角即丁外角而庚辛正弦之半徑仍為乙丁(庚壬同乙丁故)此以庚壬當乙丁易乙丁丙形為庚壬丙則庚辛正弦亦歸本位與前圖互明試以各角正弦同居一象限較其弧度如圖甲乙丙形丙角最大其正弦乙丁亦最大所對甲乙邉亦最大甲角次大其正弦丑壬亦次大所對乙丙邉亦次大乙角最小其正弦丙夘亦小所對丙甲邉亦最小(丙乙)(二角正弦並乙丙為半徑甲角取正弦截丑甲如乙丙亦以乙丙為)(半徑)乃别作一象弧(如戊己)仍用乙丙為半徑(取戊庚如乙丙)而以先所得各角之餘弦取度於丁作乙丁為丙角之正弦於壬作丑壬為甲角之正弦於夘作丙夘為乙角之正弦即如元度而各角之差數覩矣(戊庚半徑既同乙丙則丁庚即丁丙而為丙角)(餘弦又壬庚即甲壬為甲角餘弦夘庚即夘乙為乙角餘弦)解曰角無大小以弧而知其大小今乙丁正弦其弧乙己是丙角最大也丑壬正弦其弧丑己是甲角次大也丙夘正弦其弧丙己是乙角最小也而對邉之大小亦如之故皆以正弦為比例也或疑鈍角之度益大其正弦反漸小而其所對之邉則漸大何以能相為比例乎曰此易知也凡鈍角正弦即外角之正弦而外角度原兼有餘兩角之度故鈍角之正弦必大于餘兩角而得為大邉之比例也如乙丙甲鈍角形丙鈍角最大其正弦乙丁亦最大而所對乙甲邉亦最大乙角次大其正弦丙夘亦次大而所對甲丙邉亦次大甲角最小其正弦丑壬亦小而所對乙丙邉亦最小(截甲丑如乙丙從丑作丑壬即甲角正弦)乃從乙作乙庚弧(以丙為心乙丙為半徑)為丙外角之度又作辛丙半徑與甲乙平行分乙庚弧度為兩則辛庚即甲角之弧度其餘辛乙亦即乙角之弧度從辛作辛未正弦與丑壬等又自庚截癸庚度如辛乙則癸庚亦乙角之弧作癸子正弦與丙夘等此顯丙外角之度兼有乙甲兩角之度其正弦必大於兩角正弦也雖丙鈍角加大而外角加小則乙甲兩角必又小於外角又何疑於鈍角正弦必為大邉比例乎試更以各角切員觀之則各角之對邊皆為其對弧之通弦如圖三角形以各角切員則乙丙邉為丙戊乙弧之通弦而對甲角甲丙邉為丙己甲弧之通弦而對乙角甲乙邉為乙庚甲弧之通弦而對丙角則是各角之對邉即各角對弧之通弦也夫通弦者正弦之倍數則三邉比例即三正弦之比例矣又試以各邉平分之則皆成各角之正弦於前圖内更以各邉所當之弧皆平分之(丙戊乙弧平分于戊)(㸃丙己甲弧平分于己㸃乙庚甲弧平分于庚㸃)自員心(丁)各作半徑至其㸃即分各邊為兩平分(以丁壬戊)(半徑分乙丙邊于壬以丁辛己半徑分甲丙邊于辛以丁)(癸庚半徑分甲乙邊于癸則所分之邊皆為兩平分)則弧之平分者即原設各角之度而邊之平分者即皆各角之正弦(丙丁戊角以丙戊為弧丙壬為正弦而丙)(丁戊角原為丙丁乙角之半必與甲角同大故丙戊半弧)(即甲角之本度丙壬半邊即甲角之正弦乙丁戊角亦然)(凖此論之則甲丁己角原為甲丁丙角之半必與乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半邊)(即乙角之正弦己丁丙角亦然又乙丁庚角原為乙丁甲角之半必與丙角同大故乙庚半弧即丙)(角之本度乙癸半邊即丙角之正弦庚丁甲角亦然)夫分其邊之半即皆成正弦則邊與邊之比例亦必如正弦與正弦矣(全與)(全若半與半也)問三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角為員心真度乃見今三角皆切員邊則所作通弦之弧皆倍度也故半之乃為角之本度如圖以甲角爲心甲丁爲半徑作員則其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙兩弧並與丑丁子弧等(試作戊丙及乙戊兩弦必相等又並與丑子弦等凡弦等者弧亦等)故乙戊丙弧必爲甲角之倍度(餘角類推)問三邉求角何以用和較相乗也曰欲明和較之用當先知和較之根凡大小兩方以其邉相併謂之和相減謂之較和較相乗者兩方相減之餘積也如圖甲癸小方丁癸大方於大方内依小方邉作己庚横線又取己辛如小方邉作辛壬線成己壬小方與甲癸等大方内減己壬小方則所餘者為乙庚及庚壬兩長方形夫乙己及丁庚及庚辛並兩邉之較也甲己庚則和也若移庚壬長方為乙甲長方即成丁甲大長方而為較乗和之積故凡兩方相減之餘積為實以和除之得較以較除之亦得和矣依此論之若有兩方形相減又别有兩方相減而其餘積等則為公積故以此兩方之和較相乗為實而以彼兩方之和為法除之得彼兩方之較或以彼兩方之較為法除之亦必得和(如圖有方二十九之冪八百四十一與方二十七之冪七)(百二十九相减成較二乗和五十六之積)(又有方十六之冪二百五十六與方十二之冪一百四十)(四相减成較四乗和二十八之積)(兩積同為一百一十二故以先有之較二和五十六相乗)(為實以今有之和二十八為法除之即得較四為今所求数)是故三角形以兩弦之和乗較為實以兩分底之和為法除之得較者為兩和較相乗同積也兩和較相乗同積者各兩方相减同積也何以明之曰凡三角形以中長線分為兩句股則兩形同以中長線為股而各以分底線為句是股同而句不同也句不同者弦不同也弦大者句亦大弦小者句亦小故兩弦上方相減必與兩句上方相減之餘積等而兩和較相乗亦等如圖甲乙丙三角形以甲丁中長線分為兩句股形則丙乙為兩句之和(未寅及子夘並同)丙戊為兩句之較(未子及寅夘並)(同)未夘長方為兩句之較乗和也又丙己為兩弦之和(辰壬)(同)酉丙為兩弦之較(辰癸及辛庚壬)(午並同)癸壬長方為兩弦之較乗和也此兩長方必等積問兩弦上方大於兩句上方何以知其等積曰依句股法弦上方冪必兼有句股上方冪是故甲丙弦冪内(即癸)(甲大方)必兼有甲丁股丙丁句兩冪乙甲弦冪内(即辛己小方)亦兼有甲丁股乙丁句兩冪則是甲丁股冪者兩弦冪所同也其不同者句冪耳(股冪既同則弦冪相减時股冪俱對减而盡使非句冪不)(同巳無餘積)然則兩弦冪相減之餘積(于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方)(所餘者癸辛申丙兩長方成磬折形)豈不即為兩句冪相減之餘積乎(于丁)(子方内减丁寅相同之戊丑小方所形所餘者丑子及戊未兩長方成磬折)由是言之兩和較相乗之等積信矣(于弦冪相减之癸辛申丙磬折形内移申丙補庚壬即成和較相乗之癸)(壬長方又于句冪相减之丑子未戊磬折形内移戊未補丑夘即成和較相乗之未夘長方兩磬折形既等積)(則兩長方亦等積)問和較之列四率與諸例不同何也曰此互視法也同文算指謂之變測古九章謂之同乗異除乃三率之别調也何則凡異乗同除皆以原有兩率之比例為今兩率之比例其首率為法必在原有兩率之中互視之術則反以原有之兩率為二為三以自相乗為實其首率為法者反係今有之率與異乗同除之序相反故曰别調也然則又何以仍列四率曰以相乗同實也三率之術二三相乗與一四相乗同實故可以三率求一率(二三相乗以一)(除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二)互視之術以原有之兩率自相乗與今有之兩率自相乗同實故亦以三率求一率(原兩率自相乗以今有之率除之得今有之餘一率若今兩率自相乗以)(原有之率除之亦即得原有之餘一率)但三率之術以比例成其同實互視之術則以同實而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也如圖長方形對角斜剖成兩句股則相等而其中所成小句股亦相等(甲壬戊與甲己戊等則甲)(乙丙與甲辛丙等丙丁戊與丙庚戊等並長方均剖故也)即所成長方之積亦必相等(于甲壬戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊兩小)(句股存乙丙丁壬長方又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊兩小句股存辛己庚丙長方所)(减之数等則所存之数亦等故兩長方雖長濶不同而知其必為等積)今以甲乙為首率乙丙為次率丙丁為三率丁戊為四率則乙丁長方(即乙)(丙丁壬形)為二三相乗之積(此形以乙丙二率為濶丙丁三率為長是二率三率相乗也)辛庚長方(即辛己庚丙形)為一四相乗之積(此形以辛丙為長丙庚為濶而辛丙)(原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也)既兩長方相等則二三相乗與一四相乗等實矣此列率之理也一 甲乙二 丙乙三 丙丁四 戊丁在異乗同除本術則甲乙及丙乙為原有之數丙丁為今有之數戊丁為今求之數其術為以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股與戊丁句也故于原有中取丙乙句與今有之丙丁股以異名相乗為實又于原有中取同名之甲乙股為法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成兩長方(二率乗三率成乙丁長方以首率除之必變為辛庚長方)故曰以比例成其同實也互視之術則乙丙與丙丁為原有之數甲乙為今有之數丁戊為今求之數術為以乙丙較乗丙丁和之積若丙庚較(即丁戊)乗丙辛和(即甲乙)之積故以原有之乙丙較丙丁和自相乗為實以今有之甲乙和(即辛丙)為法除之即得今所求之丁戊較(即丙庚)是先知兩長方同積而以四率取之故曰以同實成其比例也然則又何以謂之互視曰三率之用以原有兩件自相比之例為今有兩件自相比之例是視此之差等為彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股(大句小于)(大股幾倍小句亦小于小股幾倍又大句大于小句幾倍大股亦大于小股幾倍)互視之用以原有一件與今一件相比之例為今又一件與原又一件相比之例是此視彼之所來以往彼亦視此之所往以來如互相酬報故弦之較比句之較反若句之和比弦之和(弦之和大于句故句之較反大于弦若和之數弦大于句幾倍則較之數句大于弦亦幾倍)是以别之為互視也如圖以甲乙為一率丙乙為二率丙丁為三率丁戊為四率作甲戊弦成兩句股次引甲乙及丁戊㑹于壬成乙丁長方為二三相乗之積亦引乙丙至庚引丁丙至辛作甲辛及戊庚線並引長之㑹于己成辛庚長方為一四相乗之積是先有比例而成同實之長方如圖乙丙乗丙丁為乙丁長方辛丙乗丙庚為辛庚長方兩長方以角相連于丙次引己辛及乙壬㑹于甲引己庚及壬丁㑹于戊乃作甲戊線則辛丙與丙丁若乙丙與丙庚是先知同實而成其比例也問三角形兩又術用外角切線何也曰此分角法也一角在兩邉之中則角無所對之邉邉無所對之角不可以正弦為比例今欲求未知之兩角故借外角分之也然則何以用半較角曰較角者本形中未知兩角之較也此兩角之度合之即為外角之度必求其較角然後可分而較角不可求故求其半知半較知全較矣此用半較角之理也如圖甲丙乙形先有丙角則甲丙丁為外角外角内作丙辛線與乙甲平行則辛丙丁角與乙角等辛丙甲角與甲角等其辛丙庚角為兩角之較而辛丙己角其半較也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半較角與半外角相減成乙角(于丁丙己内减辛丙己其餘丁丙辛即乙角度)若相加亦成甲角(于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度)半較角用切線何也曰此比例法也角與所對之邉並以正弦為比例今既無正弦可論而有其所對之邉故即以邉為比例(角之正弦可以例邉則邉之大小亦可以例角)是故乙丁者兩邉之總也乙癸者兩邉之較也而戊己者半外角之切線也壬己者半較角之切線也以乙丁比乙癸若戊己與壬己故以切線為比例也然則何以不徑用正弦曰凡一角分為兩角則正弦因度離立不同在一線不可以求其比例其在一線者惟切線耳而邉之比例與切線相應切線比例又原與正弦相應故用切線實用正弦也如圖甲丙丁外角其弧甲己丁於辛作辛丙線分其角為兩則小角之弧丁辛其正弦夘丁大角之弧辛甲其正弦甲丑(小角正弦當乙角之)(對邉甲丙大角正弦當甲角之對邉乙丙)今欲移正弦之比例於一線先作甲丁通弦割分角線於子則子甲與子丁若甲丑與夘丁(甲丑子與丁夘子兩句股形有子交)(角等丑夘皆正角即兩形相似而比例等然則子甲者大形之弦子丁者小形之弦而甲丑者大形之股夘丁)(者小形之股也弦與弦若股與股故子甲比子丁若丑甲與夘丁)而甲丁即兩正弦之總(甲丁為子甲子丁之總亦即為甲丑夘丁之總)辰子即兩正弦之較(以子丁减子甲)(其較辰子是辰子為子甲子丁之較亦即為甲丑夘丁之較)平分甲丁半之於酉則酉丁為半總酉子為半較其比例同也(全與全若半與半故甲丁與辰)(子為兩正弦之總與較則半之而為酉丁與酉子亦必若兩正弦之總與較)於是作午戊切員線(引平分線丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊線與己丙為十)(字垂線即此線為切員線)與甲丁平行引諸線至其上(引丙甲至午引丙丁至戊)(引丙辰割庚㸃至未引丙夘割辛㸃至壬)則午戊切線上比例與甲丁通弦等而正弦之比例在切線矣(先以甲丁與辰子當兩正弦之總與較今午戊與未)(壬亦可當兩正弦之總與較則先以酉丁與酉子為半總半較者今亦以己戊與己壬為半總半較矣)故曰用切線實用正弦也(切線與正弦所以能同比例者以有通弦作之合也)問三較連乗之理曰亦句股術也以句股為比例而以三率之理轉換之則用法最精之處也故三較連乗即得容員半徑上方乗半總之積假如甲乙丙三角形甲丙邉一百五十甲乙邉一百二十二乙丙邉一百一十二術以半總一百九十二較各邉得甲丙之較四十二甲乙之較七十乙丙之較八十三較連乗得數二十三萬五千二百即容員半徑自乗又乗半總之積也置三較連乗數以半總除之得數(一千二百二十五)平方開之得容員半徑(三十五)倍之得容員徑(七十)置三較連乗數以半總乗之得數(四千五百一十五萬八千四百)平方開之得三角形積(六千七百二十)若如常法求得中長線(一百二十)以乗乙丙底而半之所得積數亦同然則何以見其為句股比例曰試從形心如法作線分為六句股形(形心即容員心)又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙則甲夘甲辰並半總(六小句股形之句各于其兩相同者而取其一即成半總)而丙夘為甲丙邉之較(即乙戊或乙辛)乙辰為甲乙邉之較(即己丙或辛丙)甲己為乙丙邉之較(己丙同辛丙又丙夘同乙辛則夘己同乙丙而)(甲己為其較若用辰戊以當乙丙則甲戊為較亦同)又從夘作夘壬十字垂線至壬(此線與丁己員半徑平行)引甲丁分角線出形外遇於壬成甲夘壬大句股形與甲己丁小句股之比例等(從辰作辰壬線成甲)(辰壬大句股與甲戊丁小句股為比例亦同)術為以丁己比壬夘若甲己與甲夘也次以丁己自乗方為一率以丁己乗壬夘之長方為次率則其比例仍若甲己三率與甲夘四率也(乗之者並丁己故所乗之丁己與壬夘比例不變也)以數明之甲己八十甲夘一百九十二為二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等又移辛㸃至癸截丙癸如丙夘則乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰(亦同乙癸)引乙辰至未使辰未同丙夘(亦同丙癸)則午丙及未乙並同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四線成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等(丙夘壬句股形與未辰壬等則丙壬必等未壬又午夘壬句股形與乙辰)(壬等則午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬兩三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙與兩三角形同)(底又同用丙壬乙壬兩弦亦不得不等)於是自癸作癸壬垂線(夘壬辰壬並垂線故癸壬)(亦必垂線)成丙癸壬句股形與丙夘壬形等即成癸丙夘壬四邉形與丁己丙辛小四邉形為相似形(夘與癸俱方角而方小形之己與辛亦)(角則大形之丙角與壬角合之亦兩方角也而小形之丙角原為大形丙角之外角合之亦兩方角也則小形)(之丙角與大形之壬角等而小形之丁角亦與大形之丙角等是大小兩形之四角俱等而為相似形)則丁己丙句股形與丙夘壬形亦相似而比例等(大小)(兩四邉形各均剖其半以成句股則其相似之比例不變全與全若半與半也)術為以丁己比己丙若丙夘與夘壬也一 丁己二 己丙三 丙卯 即甲丙之較戊乙四 卯壬凡三率法中二三相乗一四相乗其積皆等則己丙乗丙卯之積即丁己乗卯壬之積可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己與甲卯今以三率之理通之為以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己與甲卯一 丁己自乗方 即容員半徑自乗二 己丙乗丙卯長方 即甲乙之較乗甲丙之數三 甲己 即乙丙之較四 甲卯 即半總復以三率之理轉換用之則三較連乗之積(以己丙較乗戊)(乙較為二率又以甲己較為三率乗之是二三相乗即三較連乗)即容員半徑自乗方乗半總之積也(以丁己半徑自乗為首率以甲卯半總為四率乗之是一四相乗也)(凡一四相乗必與二三相乗之積等)以數明之丁己(三十五)卯壬(八十四)相乗得二千九百四十己丙(七十)丙卯(四十二)相乗亦二千九百四十故可通用己丙乗丙卯(二千九百四十)又以甲己(八十)乗之得二十三萬五千二百丁己自乗(一千二百二十五)又以甲卯(一百九十二)乗之亦二十三萬五千二百故可通用問三較之術可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即銳鈍通為一術矣術曰以三邊各減半總得較各以所求角對邊之較乗半總為法以餘兩較各與半徑全數相乗又自相乗為實法除實得數平方開之為半角切線撿表得度倍之為所求角假如甲乙丙三角形甲丙邊七十五甲乙邊五十六乙丙邊六十一與半總九十六各相減得甲丙之較二十一甲乙之較四十乙丙之較三十五今求乙角術以乙角所對邊甲丙之較(二一)乗半總(九六)得數(二○一六)為法以餘兩較(甲乙較四○乙)(丙較三五)各乗半徑全數又自相乗得數(一四○○○○○○○○○○○○)為實法除實得數(六九四四四四四四四四)平方開之得數(八三三三三)為半角切線撿表(三十九度四十八分一十九秒)倍之得乙角(七十九度三十六分三十八秒)次求丙角術以丙角所對邊甲乙之較(四○)乗半總得數(三八四○)為法餘兩較(甲丙二一乙丙三五)各乗半徑全數又自相乗得數(七三五○○○○○○○○○○)為實法除實得數(一九一四)(○六二五○○)平方開之得半角切線(四三七五○)撿表(二十三度三十)(七分五十二秒半)倍之得丙角(四十七度一十五分四十五秒)次求甲角術以甲角所對邉乙丙之較(三五)乗半總得數(三三六○)為法餘兩較(甲丙二一甲乙四○)各乗半徑全數又自相乗得數(八四○○○○○○○○○○○)為實法除實得數(二五○○)(○○○○○○)平方開之得半角切線(五○○○○)撿表(二十六度三十)(三分五十三秒)倍之得甲角(五十三度○七分四十六秒)問前條用三較連乗今只用一較為除法何也曰前條求總積故三較連乗今有専求之角故以對邉之較為法也然則用對邉何也曰對邉之較在所求角之兩旁為所分小句股形之句今求半角切線故以此小句為法也如求乙半角則所用者角旁小句股(心戊乙或心丁乙)其句(乙戊)(或乙丁)並二十一即對邉甲丙之較也術為以乙戊比心戊若半徑與乙角(小形之角即半角也)之切線其與半總相乗何也曰將以半總除之又以小形句(即對邉之較)除之今以兩除法(一半總一對邉之較即小形句)相乗然後除之變兩次除為一次除也(古謂之異除同除)用兩次除亦有說乎曰前條三較連乗必以半總除之而得容員半徑之方冪今欲以方冪為用故亦以半總除也然則又何以對邉之較除曰非但以較除也乃以較之冪除也何以言之曰原法三較連乗為實今只以兩較乗是省一乗也既省一對邉之較乗又以對邉之較除之是以較除兩次也即如以較自乗之冪除之矣餘兩較相乗先又各乗半徑何也曰此三率之精理也凡線與線相乗除所得者線也冪與冪相乗除所得者冪也先既定乙戊句為首率心戊股(即容員半徑)為次率半徑為三率乙角切線為四率而今無心戊之數惟三較連乗中有心戊(即容員半徑)自乗之冪(即三較連乗半總除之之數)故變四率並為冪以乙戊句冪為首率(即對邉之較除兩次)心戊股冪為次率(即半總除連乗數)半徑之冪為三率(即半徑自乗)得半角切線之冪為四率(即分形之乙角)一 乙戊 今用乙戊自乗二 心戊 心戊自乗三 半徑 半徑自乗四 乙角切線 切線自乗故得數開方即成切線又術以三較連乗半總除之開方為中垂線(即容員半徑)以半徑全數乗之為實各以所求角對邊之較除之即得半角切線一 乙戊(乙角對邊之較) 丙戊(丙角對邊之較) 甲己(甲角對邊之較)二 心戊中垂線 心戊中垂線 心己中垂線(亦即心戊)三 半徑全數 半徑全數 半徑全數四 乙半角切線 丙半角切縁 甲半角切線此即用前圖可解乃本法也論曰常法三邊求角倘遇鈍角必于得角之後又加審焉以鈍角與外角同一八線也今所得者既為半角則無此疑實為求角之㨗法補遺問以邉求角(句股第二術)因和較乗除而知正角乃定其為句股形何也曰古法句弦較乗句弦和開方得股今大邉(壬丁)與小邉(癸丁)以和較相乗為實癸壬邉為法除之而仍得癸壬是適合開方之積也則大邉小邉之和較即句弦之和較而癸為正角成句股形矣(凡句股形弦為大邉而對正角)(今丁壬邉最大即弦也故所對之癸角為正角)試再以丁壬與壬癸之和較求之如法用丁壬壬癸相加得和(一百九十)(六丈)相減得較(一十六丈)較乗和(三千一百三十)(六丈)為實丁癸(五十六丈)為法除之亦仍得五十六丈何則股弦較乗和亦開方得句故也然則句股弦和較之法又安從生曰生於割圜試以丁壬弦為半徑作戊丁丙己圜 全徑二百一十二 半徑一百○六 乙丁正弦九十(即癸壬股) 乙壬餘弦五十六(即癸丁句) 丙乙正矢五十(即句弦較) 乙庚大矢一百六十二(即句弦和) 正矢乗大矢得數八千一百開方得正弦(即句弦和乗較開方)(得股)然則此八千一百者既為正矢大矢相乗之積又為正弦自乗之積故以正弦自乗為實而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢(即乙丁股自乗為實而以句弦較丙乙除之得乙庚為句)(弦和若以句弦和除之亦得句弦較)更之則正矢乗大矢為實以正弦除之仍得正弦矣(即句)(弦較丙乙乗句弦和乙庚為實以乙丁股為法除之而仍復得股)論曰句股形在平圜内其半徑恒為弦若正弦餘弦則為句為股可以互用故其理亦可互明(以丁壬及丁癸二邉取和較求)(壬癸邉為句弦求股以丁壬及壬癸二邉取和較求丁癸邉為股弦求句一而已矣)問數則合矣其理云何曰仍句股術也如上圖於圜徑兩端(如丙如庚)各作通弦線至正弦(丁乙)之銳(如庚乙丙乙)成丙乙庚大句股形又因中有正弦成大小兩句股形(乙丁庚為大形乙丙丁為小形)而相似(以乙丁線分正)(角為兩則小形乙角為大形乙角之餘而與庚角等即大形乙)(角亦與小形丙角等故兩形相似)則乙丁正弦既為小形之股又為大形之句其比例為丙丁(小形句)與乙丁(小形股)若乙丁(大形句)與丁庚(大形股)也故正矢(丁丙)乗大矢(丁庚)與正弦(乙丁)自乗等積(丙庚全徑為正弦所分其一丁丙正矢為小形之句而乙)(丁正弦為其股其一丁庚大矢為大形之股而乙丁正弦為其句)一 丁丙正矢 小形句 凡二率三率相乗與一二 乙丁正弦 小形股 四相乗等積故乙丁自三 乙丁正弦 大形句 乗即與丁丙丁庚相乗四 丁庚大矢 大形股 等積也論曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故論句股者必以割圜而論割圜者仍以句股如根株華實之相須乃本法非旁證也或疑切線分外角以正弦為比例恐不可施於鈍角作此明之甲丙乙鈍角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求餘角一率丁乙(邉總)二率癸乙(邉較)三率己戊(半外角切線)四率壬己(半較角切線)論曰試作壬丙線與乙甲平行分外角為兩則壬丙丁即乙角其正弦卯丁又甲丙壬即甲角其正弦甲丑以兩句股(丑子甲卯子丁)相似之故能令兩正弦(丑甲卯丁)之比例移於通弦以成和較(丑甲與卯丁既若子甲與子丁則丁甲即兩正弦之和辰子即兩正弦之)(較)而半外角半較角之算以生(半外角為和半較角為較並與兩正弦之和較)(同比例即與兩邉之和較同比例)並如銳角又論曰此所分大角為鈍角故甲丑正弦作於形外然雖在形外而引分角線至丑適與之㑹即能成丑子甲句股形與卯子丁相似而生比例(丙乙甲形先有丙角求餘角與法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線戊己 半較角切線未己)(此亦因所分為鈍角故卯丁正弦在形外餘又大邉為半徑故乙癸較亦在形外而丁乙為和 並同前)(丙甲乙形先有丙角求餘角半法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線己戊與 較角切線己壬 此因)(先得鈍角故所分之内反無鈍角而正弦所作之小句股並在外角之内同銳角法矣)(丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙弦如法作丙壬線與乙甲股平行分外角為兩則句弦和丁乙與句弦較)(癸乙若半外角切線己戊與半較角切線己壬所此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 得為)(正角)(甲乙丙形先得丙角求餘角辛如法作丙庚線與乙甲句平行次截辛丁如庚甲作 丙線分外角為兩則小)(角之正弦卯丁大角之正弦即丙甲而成兩句股相似為切線比例 法為句弦和丁乙與句弦較乙癸若半)(外角切線己戊與半較角切線己壬辛此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正弦知 丙甲為正角而)(丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙為正角矣以乙正角减外角餘為甲角)論曰右並以先不知其為句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别無正弦而即以半徑全數為正弦得此明之(甲乙丙形先有正角求餘角己法為句股和丁乙與句股較癸乙若半外角切線戊 與半較角切線己壬)論曰此因先得者為正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切線即同半徑全數餘並同前又論曰句股形求角本易不須外角而外角之用得此益明(以大邉為半徑作外角弧分角線丙未與次大邉平行 邉總乙丁與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較)(角切線壬己)(以次大邉為半徑作外角弧分角線丙未與小邉乙甲平行大邉總丁癸與邉較乙癸若半外角切線己戊與)(半較角切線己壬)問平三角形以一邉為半徑得三正弦比例不識大邉亦可以為半徑乎(小邉次邉為半徑已具前條故云)曰可如乙丙丁鈍角形引乙丁至辰如乙丙大邉而用為半徑以丁為心作丑辰亥半弧從辰作辰午為丁鈍角正弦又作丁斗半徑與乙丙平行則斗牛為丙角正弦又截女丑弧如辰斗作女丁半徑則女亢為乙角正弦合而觀之丁角正弦(辰午)最大故對邉乙丙亦大丙角正弦(斗牛)居次故對邉乙丁亦居次乙角正弦(女亢)最小故對邉丁丙亦小又問若此則三邉任用其一皆可為半徑而取正弦是已然此乃同徑異角之比例也若以三邉為弦三正弦為股則同角異邉之比例也兩比例之根不同何以相通曰相通之理自具圖中乃正理非旁證也試於前圖用乙丁次邉為弦其股乙癸與斗牛平行而等則丙角正弦也又截酉丁如丁丙小邉為弦其股酉壬與女亢平行而等則乙角正弦也又辰丁大邉為弦(即乙)(丙)其股辰午原為丁大角正弦也於是三邉並為弦三對角之正弦並為股成同角相似之句股形而比例皆等可以相求矣一大邉(乙丙即辰丁) 一丁角正弦(辰午)二丁角正弦(辰午) 二大邉乙丙三次邉乙丁 小邉(丁丙即酉丁)三丙角正弦(乙癸)乙角正弦(酉壬)四丙角正弦(乙癸)乙角正弦(酉壬)四次邉乙丁 小邉丁丙此如先得大邉(乙丙即辰丁)與所對大角(丁)故用辰午丁大句股形為法求餘二句股也(乙癸丁酉壬丁)皆同用丁角而形相似故法可相求其實三正弦皆大邉為半徑所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁證也又試於乙丙丁形(或鈍角或鋭角同理)以丁丙小邉為半徑作房箕壁象弧(以乙為心)如上法取三正弦(以尾壁弧為丁角度其正弦尾虚又箕壁)(弧為丙角度其正弦箕危又戍壁弧為乙角度其正弦戍申)成同徑異角之比例又如法用三邉為弦三正弦為股(乙戍即丁丙小邉配乙角正弦戍申原如弦與)(股又本形乙丁次邉為弦則丁甲為股與箕危平行而等)(丙角正弦也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以為弦)(則子寅為股與尾虚平行而等丁角正弦也)則並為相似之句股形而比例等一小邉丁丙(即戍乙)二(乙角正弦)戍申三大邉乙丙(即乙子) 次邉丁乙四(丁角正弦)子寅(即尾虚) (丙角正弦)丁甲(即箕危)此如先得小邉(丁丙)與所對小角(乙)故以戍申乙小句股形為法求兩大句股也(丁甲乙子寅乙)皆同用乙角而形相似又試以乙丁次邉為半徑作象限如前(以丙為心)取三正弦(張娄為丁角弧度張井其正弦氐娄為丙角弧度氐參其正弦室娄為乙角弧度室奎其正弦)成同徑異角之比例又仍用三邉為弦三正弦為股(引丁丙至翌與大邉乙丙等成翌丙弦其股翌胃與張井)(平行而等丁角正弦也又乙丁次邉成氐丙弦其股氐參原為丙角正弦)(又丁丙小邉為弦其股丁柳與室奎平行而等乙角正弦也)即復成相似之句股形而比例等一次邉乙丁(即氐丙)二(丙角正弦)氐參三大邉乙丙(即翌丙) 小邉丁丙四(丁角正弦)張井(即翌胃) (乙角正弦)丁柳(即室奎)此如先得次邉(乙丁)及所對丙角故以氐參丙句股為法求大小二句股也(求翌胃丙為以小求大求丁柳丙為以大求小)皆同用丙角而比例等問員内三角形以對弧為角倍度設有鈍角小邉何以取之(或問内原設銳角兩邉並大于半徑故云)曰法當引小邉截大邉作角之通弦(如圖乙甲丙鈍角形在平員内以各角切員而乙甲邉小于半徑則引乙甲出員周之外乃以)(甲角為心平員心丁為界作子丁丑弧截引長邉于子截大邉于丑則丑甲子甲並半徑與丁甲等而丑子為)(通弦)又平分對邉作兩通弦(從員心作)(丁乙丁丙兩半徑截乙戊丙員周為甲角對邉所乗之弧而半)(之于戊作乙戊丙戊二線成兩通弦)則此兩通弦自相等又並與丑子通弦等夫子丁丑弧甲角之本度也丙戊弧乙戊弧皆對弧之半度也而今乃相等(通弦等者弧度亦等)是甲角之度適得對弧乙戊丙之半而乙戊丙對弧為甲角之倍度矣厯算全書卷五十三
## 卷五十四
欽定四庫全書厯算全書卷五十四宣城梅文鼎撰三角法舉要卷五測量(三角用法算例已具兹則舉髙深廣逺以徴諸實事亦與算例互相補備也)一測髙一測逺一測斜坡一測深附隔水量田附解測量全義三角測髙第一術自平測髙假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限儀測得髙二十六度三十四分弱依切線術求得塔髙一十六丈一半徑 一○○○○○二戊角切線 五○○○○三距塔根(丙乙即戊丁) 三十丈四塔頂髙(甲丁端是截算表 以上) 十五丈加戊丙表一丈(即丁乙)共得塔髙十六丈(甲乙)凡用象限儀以垂線作角與用指尺同理(指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩)若戊丙表立於髙所當更加立處之髙以為塔髙省算法從表根丙平安象限以一邉指塔根乙一邉指癸乃順丙癸直線行至癸得三十丈與丙乙等復於癸平安象限作癸角與戊角等邉指丙尺指壬則壬丙逺即甲丁之髙(亦加丁乙為塔髙)論曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙與乙並正角則兩句股形等立面與平面一也又術自丙向癸却行以象限平安邉指丙尺指乙求作戊之餘角得己丙之距即同甲丁之髙又省算法用有細分矩度自戊數至癸令其分如丙乙之距(或兩倍三倍)從癸數壬癸直線之分即甲丁之距也(先以二分為丈或三分為丈今)(亦同之)用矩度以垂線作角其用亦同三角測髙第二術平面則不知逺之髙法用重測假如有山頂欲測其髙而不知所距之逺依術立二表相距一丈二尺用象限儀測得髙六十度十九分退測後表得五十八度三十七分查其兩餘切線以相減得較數為法表距乗半徑為實算得山髙三十一丈一 餘切線較○○四○○○二 半徑 一○○○○○三 表距戊己 一丈二尺四 山髙甲丁 三十丈加表一丈共三十一丈省算法用矩度假令先測指線交於辛後測指線交于庚成辛庚戊三角形法于兩指線中間以兩測表距(即戊己)變為分如壬癸小線引長之至丙即丙戊所當測髙論曰此即古人重表法也或隔水量山或於城外測城内之山並同三角測髙第三術從髙測髙 又謂之因逺測髙假如人在山顛欲知此山之髙但知山左有橋離山半里用象限測橋得逺度一十八度二十六分强依切線法求得山髙一里半一 甲角切線 半徑(一○○○○○)二 半徑 甲角餘切(三○○○二八)三 橋逺(戊丁) 一百八十步四 山髙(甲丁) 五百四十步(○五尺)省算法用矩度作壬癸線以當戊丁則己壬當甲丁三角測髙第四術從髙測不知逺之髙 法用重測假如人在山上欲知本山之髙然又無可㨿之逺但山有樓或塔量得去山二十一丈以象限儀指定一處于樓下測得五十五度二十六分又于樓上測得五十三度五十分用餘切線求得山髙三百四十四丈五尺一 兩餘切較 四二二 下一測餘切 六八九三 樓髙(兩測之距) 二十一丈四 山髙 三百四十四丈五尺省算法用矩度上測交庚下測交辛成辛己庚三角形法于兩指線中間以上下兩測之距變為分如壬癸小線引長之至丙即壬丙當所測本山之髙三角測髙第五術若山上無兩髙可測則先測其弦(但山上有兩所可以並見此物即可)(測矣)甲乙為山上兩所(不拘平斜但取直線)任指一處如戊於甲於乙用噐兩測之成甲乙戊形此形有甲乙兩角又有甲乙之距為兩角一邉可求甲戊邉法為戊角之正弦與甲乙邉若乙角之正弦與甲戊再用甲戊丁句股形為半徑與甲戊若甲角餘弦與甲丁即山之高也三角測髙第六術借兩逺測本山之髙有山不知其髙亦無距山之逺但山前有大樹從此樹向山而行相去一百八十五丈又有一樹人在山上可見兩樹如一直線即於山上以象限儀測此二樹一測逺樹四十三度三十二分一測近樹三十度○七分用切線較得本山髙五百丈一 切線較 三七○○○二 半徑 一○○○○○三 兩逺之較 一百八十五丈四 本山髙 五百丈省算作壬癸小線當兩逺之距(己戊)而丙甲當本山髙(甲丁)三角測髙第七術用山之前後兩逺測髙甲為山顛可見戊己兩樹其樹與山參相直(如山南樹直正子北樹直正午)而不知其距但山外有路與此樹平行為庚辛其長三里(如兩樹正南北)(此路亦自南向正北行)即借庚辛之距為兩樹之距以兩切線并為法求之先從甲測巳得甲角一十七度○四分又從甲測戊得甲角三十四度三十四分法為兩切線并與己戊若半徑與甲丁也一率兩切線并(○九九六○○)二率半徑(一○○○○○)三率己戊即庚辛(三里)求得四率甲丁(三里○四步又三之一强)三角測髙第八術測山上之兩髙甲山上有塔如乙欲測其髙如乙甲之距於戊安儀噐測乙測甲得其兩戊角之度(一乙戊丁二甲戊丁)各取其切線相減得較法為半徑比切線較若戊丁與乙甲省算法數戊丙之分以當戊丁作壬癸丙小線則壬癸之分即當乙甲用矩度亦同三角測髙第九術隔水測兩髙之横距有甲乙兩髙在水外欲測其相距之逺任於丙用儀噐以邉向丁窺筩指甲得甲丙丁角(一百二十)(五度)又指乙得乙丙丁角(五十度)次依丙丁直線行至丁(得一百步)再用儀噐以邉向丙窺筩指甲得甲丁丙角(三十九度)又指乙得乙丁丙角(一百零八度)又甲丁乙角(六十九度)得三角形三(一甲丁丙)(二乙丁丙三甲丁乙)今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉一率甲角(一十六度)正弦(二七五六四)二率丁丙(一百步)三率丙角(一百二十五度)正弦(八一九一五)求得四率甲丁邉(二百九十七步)次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉一率乙角(二十二度)正弦(三七四六一)二率丁丙邉(一百步)三率丙角(五十度)正弦(七六六○四)求得四率乙丁邉(二百○四步)末乙丁甲形有甲丁邉(二百九十七步)乙丁邉(二百○四步)丁角(六十)(九度)先求甲角一率兩邉之總(五百○一步)二率兩邉之較(九十三步)三率半外角(五十五度半)切線(一四五五○一)求得四率半較角切線(二七)(○○九)查表得一十五度○七分弱以減半外角得甲角四十度二十三分强次求甲乙邉一率甲角正弦(六四七九○)二率乙丁邉(二百○四步)三率丁角正弦(九三三五九)求得四率甲乙邉二百九十四步弱論曰此所測甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙兩髙並在一山之上於山麓測之或甲乙分居兩峯於兩峯間平地測之或甲在水之東乙在水之西於一岸測之並同若用有度數之指尺並可用省算之法三角測髙第十術隔水測兩髙之直距有兩髙如乙與甲于戊于庚測之先以乙庚戊形求乙庚斜距次以甲庚戊形求甲庚斜距末以乙甲庚形(有乙庚邉甲庚邉及庚角)求乙甲邉即所求三角測髙第十一術若山之最髙顛為次髙所掩則用逓測山前後左右地勢不同則用環測環測者從髙測下與測深同太髙之山則用屢測癸極髙為甲次髙所掩則先測甲復從甲測癸謂之逓測乙丁與子丑居癸山之下為地平而各不等則從癸四面測之如測癸辛之髙以辛乙為地平又測癸戍之髙以戌子丑為地平則乙丁與子丑之較為戍辛謂之環測若山太髙太大則於乙測甲又於甲測癸或先測卯又測寅又測丑測子再從子丑測癸細細測之則真髙自見而地之髙下亦從可知矣謂之屢測三角測逺第一術平面測逺有所測之物如乙於甲立表安象限以邉指乙餘一邉對丁從甲乙直線上任取九歩如丁於丁復安象限以邉對甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切線算得乙距甲二十七步一 半徑二 丁角切線三 丁甲四 乙甲若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而開方即得乙丁若徑求乙丁則為以半徑比丁角之割線若甲丁與丁乙也是為以句求弦省算用矩度自丁數自癸取丁癸之分如丁甲之距(或以)(分當步或二分或三分當一步皆可)作壬癸丁小句股則壬癸之分即乙甲也(或一)(分當步或二分三分並如丁癸之例)而丁壬亦即當丁乙(若尺上有分數即徑取之)若先從丁測測以測噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直線行至甲務令測噐之一邉順丁甲直線餘一邉指乙則甲為正方角如前算之即得(若甲非正方角則于丁甲直線上或)(前或後移測求為正方角乃止)三角測逺第二術省算法人在甲欲測乙之逺於甲置儀噐一邉向乙一邉向丁成正方角乃依甲丁直線行至丁以邉向甲闚管指乙作四十五度角即甲丁與甲乙等若用矩度以乙丁線正對方角則丁角為正方角之半而甲丁等乙甲論曰丁角為正方角之半則乙角亦正方角之半而句與股齊故但量甲丁即知甲乙又省算法於甲置儀噐以邉向丁闚管指乙作六十度角順甲丁直線行至丁復作六十度角則甲丁等甲乙論曰甲角丁角俱六十度則乙角亦六十度矣故三邉俱等若丁不能到則於甲丁線上取丙以儀噐二邉對甲對乙成正方角則甲丙為乙甲之半三角測逺第三術平面測逺用斜角人在甲測乙而兩旁無餘地可作句股則任指一可測之地如丁量得丁甲二十丈於丁安儀噐以邉向甲窺筩指乙得丁角(四十六度)又於甲安儀噐以邉指丁窺筩指乙得乙甲庚角(二十一度)加象限(九十度)得甲鈍角(一百一十一度)法為以乙角之正弦(二十三度乃甲丁二角减半周之餘)比丁甲若丁角之正弦與乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸若求乙丁則為以乙角之正弦比丁甲若甲角之正弦與乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸(甲為銳角法同)省算法於儀噐作壬甲線與乙丁平行作壬癸線與乙甲平行成壬癸甲小三角形與丁乙甲等則甲癸當甲丁而壬癸當甲乙又壬甲當乙丁用矩度同(但于象限内作横直)(分用同矩度)論曰壬角既同乙角(壬甲與乙丁平行壬癸與乙甲平行則作角必相等)癸鈍角又同甲角則兩三角相似而比例等銳角形於甲測乙用矩度之邉指丁作甲角另用一矩度(其矩須於兩面紀度)從丁測之以邉向甲闚筩指乙作丁角末移丁角作癸角於噐上作壬癸線與乙丁平行則癸甲當丁甲而壬甲當乙甲壬癸當乙丁三角測逺第四術平面測逺借他線為比例甲乙為兩所順甲乙直線行任取若干步至丙又於丙任作直線至丁得若干步於丁安儀噐以邉對甲闚衡指丙作丁角順此直線至戊復安儀噐邉對乙衡指丙作戊角令與丁角等則丙丁比丁戊若丙甲與甲乙省算法於乙甲直線上取丙又從丙作丙戊直線截丁丙如乙丙於丁用象限闚乙作丁角再於戊闚甲作戊角令與丁角等則丁戊即甲乙又法甲置儀噐指乙指丁作角以減半周成外角(己戊為甲角之)(度丙庚戊為外角之度)於丁置儀噐指甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙論曰凡外角能兼内餘二角(乙丁)之度丁角既為外角之半則乙角亦外角之半矣角等者所對之邉亦等故甲丁等甲乙三角測逺第五術平面測逺借他形為比例法從甲測乙任立一表於丙從甲用儀噐以邉向乙闚管指丙得甲角復於丁加儀噐以邉向戊闚管指丙使丁丙甲為一直線而作丁角與甲角等乃順儀噐邉取直線至戊令戊丙乙為一直線則丁丙與丁戊若丙甲與甲乙(鈍角形句股形並同)(一理)論曰丙戊丁與丙甲乙兩三角形相似以兩形之丙角為交角必相等而丁角又等甲角則戊角亦等乙角矣故其比例等三角測逺第六術 省算有甲乙兩所欲測其距如前立丙表以噐測得甲丙乙角之度又順乙丙直線行至戊令丙戊之距同甲丙而止再從戊行至丁從丁闚丙至甲成一直線於此直線上進退移測使乙丁丙角為乙丙甲角之半則但量丁戊即同乙甲(甲為鈍角或丙為鈍角並)(同)論曰甲丙與丙戊既相等乙丁丙角為乙丙甲外角之半則丙乙丁角亦外角之半是乙丙與丁丙亦等也而丙交角又等是甲丙乙三角形與戊丙丁形等角等邉也故丁戊即乙甲三角測逺第七術 重測甲乙為兩所欲測其距而俱不能到則兩測之於戊於丁量得戊丁之距(十六步半)用噐測得戊角(五十度四十三)(分)丁角(三十六度一十分)兩角之餘切線較(五五○○○)為一率半徑(一○○○○○)為二率戊丁(十六步半)為三率得四率為乙甲之距(三十步)若求戊甲之距以兩測之餘切較(五五○○○)為一率先測戊角之餘切(八一八○○)為二率丁戊(十六步半)為三率得四率戊甲(二十四步五四)論曰此即古人重表測逺法也必丁戊甲直線與乙甲線横直相遇使甲為正角其算始真假如乙甲正南北距則丁戊甲必正東西斯能横直相交而成正角也三角測逺第八術分兩處重測乙岸在河東欲測其距西岸之逺如甲則任於甲之左右取丁戊兩所與甲參相直而距河適均測得丁角(五十度四十三分)戊角(五十五度四十三分)用兩角度之餘切線并(一五○○○○)為一率半徑(一○○○○○)為二率丁戊之距(九十六步)為三率求得四率乙甲之距(六十四步)為兩岸闊論曰此法但取丁戊直距與河岸平行則不必預求甲㸃而自有乙甲之距為丁戊之垂線尤便於測河視用切線較更簡捷而穏當矣三角測逺第九術用髙測逺甲乙為兩所不知其逺而先知丁乙之髙於甲用儀噐測丁乙之髙幾何度分即知甲乙法為半徑比甲角之餘切若丁乙髙與甲乙之逺若人在髙處如丁用髙測逺則為半徑比丁角之切線若丁乙與甲乙其理並同但於丁加儀噐而用正切三角測逺第十術用不知之髙測逺欲知丁乙之逺而不能至乙乙之上有庚又不知庚乙之髙法用重測先於丁測之得丁角(三十八度一十三分)又依丁乙直線進至甲測之得甲角(五十三度五十二分强)兩餘切較(○五四○○一)為一率丁角餘切(一二七○○一)為二率丁甲之距(二十步)為三率得四率丁乙(四十七步○三) 或丁後有餘地退後測之亦同省算作壬癸丙線以壬癸分當丁甲之距壬丙當丁乙之逺若人在髙處如庚於庚測丁測甲以求丁乙其法亦同但於庚施儀噐而用正切(法為以兩庚角之切線較比丁庚乙之切線若丁甲與丁)(乙)三角測逺第十一術用髙上之髙測逺甲乙為兩所而乙之根為物所掩(如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽虧或島嶼盤糾荻葦深阻)難得真距若用兩測甲外又無餘地但取其髙處如戊為山顛山上又有石臺臺上有塔如丁丁戊之髙原有定距以此為用從甲測丁又測戊得兩角(一丁甲乙二戊)(甲乙)求其切線法為以切線較比半徑若丁戊與乙甲省算作壬癸丙小線以壬癸當丁戊則甲丙當甲乙矩度同若從髙測逺則於丁於戊兩用儀噐測甲用丁戊兩角之餘切較以當丁戊而半徑當甲乙其理亦同三角測逺第十二術從髙測兩逺甲乙兩逺人從髙處測之於丁用儀器測甲測乙得兩丁角(一甲丁丙二乙)(丁丙)法為以半徑比兩角之切線較若丁丙髙與乙甲也又法既得兩角則移儀噐窺戊作戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窺己作己丁乙角如乙丁丙之倍度則但量己戊即知乙甲三角測逺第十三術連測三逺丙乙為跨水長橋甲乙為橋端斜岸今於丁測橋之長并甲乙岸闊及其距丁之逺近法於丁安儀噐以邉指戊衡指甲指乙指丙作丁角五(一甲丁戊二乙)(丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小)次順儀噐邉直行至戊得丁戊之距於戊復用儀噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三(一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小)一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上並二角一邉求餘邉得甲乙丙三處距丁之逺近一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上並二邉一角求餘邉得岸闊與橋長三角測斜坡第一術斜坡上平面測兩所之距斜坡上有甲乙兩所欲量其相距之數任立丙表測得乙丙甲角度乃順甲丙直線進退闚乙至戊得乙戊丙角為乙丙甲角之半又横過至丁從丁闚丙至乙成一直線順此直線進退闚甲至丁得甲丁丙角亦為丙角之半則丁戊即乙甲又法不必立表但任指一㸃為丙而於甲丙直線上任取己㸃乙丙直線上任取庚㸃作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊兩角為丙角之半即所求論曰此因乙甲在斜面髙處而不能到故借用丁丙戊形測之以丁丙戊乙丙甲兩形相等故也何則丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙兩角之度戊角既分其半乙角亦半則兩角等而乙丙戊丙兩邉亦等矣凖此論之則甲丁丙角為丙外角之半者丁甲丙角亦必為丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣兩形之角既等各兩邉又等則三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙兩所在下而丁戊兩測在上亦同三角測斜坡第二術斜坡測對山之斜髙對山之斜髙如甲戊乙於對山之斜坡測之如丙丁先量得丙丁之距於丙安儀噐得丙角二(一乙丙丁二戊丙丁)於丁安儀噐得丁角四(一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲)成各三角形先用乙丙丁形(有丙角丁角及丁丙邉)測乙丁邉 次用戊丙丁形(有丙丁二角及丁丙邉)測丁戊邉 三用乙丁戊形(有乙丁戊丁二邉及)(丁角)測乙角及乙戊邉 四用乙丁甲形(有乙角丁角及乙丁邉)測乙甲邉乙甲内減乙戊得戊甲邉(乙戊甲為垂線之髙法同)三角測斜坡第三術測對坡之斜髙及其巖洞從丙從丁測對面之斜坡戊甲及乙戊一乙丙丁形(有丙丁兩測之距丙角丁角)可求乙丁邉 二戊丙丁形(有丙丁邉丁角丙角)可求丁戊丙戊二邉 三乙丁戊形(有乙丁邉戊丁邉丁)(角)可求乙戊邉為所測對山上斜入之巖 四丙丁甲形(有丁角丙角丙丁邉)可求丙甲邉五甲丙戊形(有丙戊邉丙甲邉丙角)可求戊甲邉為所測對坡斜髙或戊為髙處基址乙為房檐亦同三角測深第一術測井之深及濶甲乙為井口之濶於甲作垂線至丁(或用磚石投之以識其處)從乙測之得乙角成甲乙丁句股形即以甲乙井口為句得甲丁股為井之深 既得乙丙深(即甲丁)即可用乙己戊形得己戊為底濶法以半徑當井深(乙丙)以兩乙角(一戊乙丙二己乙丙)之切線并當井底之濶(己戊)若不知井口則立表於井口如庚甲求庚甲二角成庚甲丁形測之三角測深第二術登兩山測谷深先於二山取甲乙之平而得其距數為横線即可用三角形求丙丁垂線為谷之深與測髙同理(亦可用以)(測髙也)法為甲乙兩角之餘切線并比半徑若甲乙與丙丁論曰深與髙同理測深之法即測髙之法也存此數則以發其例有不盡者於測髙諸術詳之可也附隔水量田法甲乙丙丁田在水中不可得量于岸上戊庚兩處用儀噐測之得諸三角形算得其邉(一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲)次求乙丁對角線分為兩三角形(一甲乙丁二丙乙丁)末用和較法求得分形之兩垂線(一甲癸二)(壬丙)并兩垂線而半之以乗乙丁即得田積或用三較連乗法求三角形積并之亦同凡有平面形在峭壁懸崖之上及屋上承塵可以仰觀者並可以此法測之解測量全義一卷十二題加減法甲寅象限弧 甲乙半徑全數為首率丙寅弧之正弦丙辛為一率丁寅弧之正弦丁庚為三率戊己為四率二三相乗為實首率為法法除實得四此本法也今以加減得之則不用乗除丙寅加丁寅(即辰丙)為辰寅總弧其餘弦辰卯(即子癸)丙寅内減丁寅為丑寅(即丙丁)存弧其餘弦癸丑以子癸減癸丑餘子丑平分之於壬為壬子或壬丑即四率(其壬子壬丑皆與戊己等) 此因總弧不及象限故以兩餘弦相減甲寅象限弧甲乙半徑全數為首率丙寅弧之正弦丙辛為二率丁寅弧之正弦丁庚為三率戊己為四率以上皆與前同丙寅加丁寅(即辰丙)為辰寅總弧(此總弧大於象限)其餘弦卯辰(即子癸) 丙寅内減丁寅(即丙丑)餘丑寅為存弧其餘弦丑癸以子癸加丑癸為子丑半之於壬分為壬子及壬丑二線皆與戊己同即為四率如所求此因總弧過象限故以兩餘弦相加今訂本書之譌甲寅皆象限弧 甲乙半徑一○○○○○為首率丙辛○五九九九五為二率丁庚○二五○一○為三率以三率法取之得○一五○○四為四率今用加减法以丙辛線為正弦查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚線為正弦查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧與丁寅弧相加得總弧辰寅五十一度二十一分其餘弦○六二四五六如辰卯(即子癸)又以丙寅弧與丁寅弧相減得存弧丑寅二十二度二十三分其餘弦○九二四六六如丑癸因總弧小於象限當以兩餘弦相減其較○三○○一○如子丑(於丑癸内减子癸得之)乃平分子丑於壬其數○一五○○五為壬丑或壬子皆與戊己同即為四率 此所得與三率所推但有微差而不相逺按此以加減代乗除依其法宜如此今刻本相減相并訛為并而相減又於相并之弧訛為五十度二十分相減之存弧訛為二十二度二十四分故其正弦皆訛而所得之四率只一四三一與三率所推不合矣又按以加減代乗除之法不過以明圖法之妙其中又有此用耳若以入算終不如乗除之便何也設問毎多整數而正弦之數皆有畸零不能恰合一也先用設數求弧度必用中比例始得相合則於弧度亦有畸零二也弧度既有畸零則其查餘弦又必用中比例三也兩餘弦有用加之時有用減之時易至於訛四也及其所得四率以較三率法之所得終有尾數之差五也盖論數學則宜造其㣲而施之於用則貴其簡易若可以簡易者而故引之繁重又何貴乎故曰不如乗除之便也觀設例之時便有訛錯如此則其不便於用亦可見矣又按此加減法即測量全義第七卷所言加減也其以總存兩餘弦相加減而半之者即初得數也然彼以兩正弦相乗得之此以加減得之而省一乗矣實弧三角中大法而彼但舉例而隠其圖姑示其端於此而又不直言其即弧度之初得數此皆譯書者祕惜之故耳向後二圖發明所以然之故甲寅象限弧 乙丙半徑為首率丙寅弧之正弦丙辛為次率丙丑弧之正弦丑戊為三率(辰丙弧同丙丑其正弦辰戊亦同丑戊)得戊巳為四率(丑壬及壬子並同)論曰戊巳辰(或丑壬戊亦同)句股形與丙辛乙句股形相似故其比例等法為乙丙與丙辛若丑戊與丑壬也(或辰戊與戊巳亦同)又論曰凡兩十字垂線相交作句股則其形俱相似如辰丑線即丙丑及丙辰之正弦與丙乙半徑相交於戊㸃一十字也辰午線(辰寅弧之正弦也)丑癸線(丑寅弧之餘弦)相交於子㸃一十字也此兩十字相交而成諸句股形則俱相似矣故戊壬庚與丑壬戊相似而戊壬庚原與丙辛乙相似則丑壬戊與丙辛乙不得不為相似之形矣解曰乙丙首率半徑也丙辛正弦為次率其弧丙寅丑戊正弦為三率其弧丙丑丙丑既與丙辰同則以丙丑(三率之弧也)加丙寅(次率之弧)成辰寅總弧而辰卯則總弧之餘弦也以丙丑(三率之弧)减丙寅(次率之弧)其餘丑寅為存弧而丑癸則存弧之餘弦兩餘弦相減其較為子丑(子癸同辰卯故以子)(癸减癸丑得較子丑)子丑折半於壬而壬丑與壬子皆同戊巳是為所求之四率也如此以量法代算法的確不易但細數難分耳若以酉丙為過象限之大弧丙丑為小弧則酉丑為總弧其正弦丑丁餘弦丑癸(即丁乙)酉辰為存弧其正弦辰午餘弦辰卯(即子癸)算法略同但先所用者存弧之正弦小於總弧今則總弧正弦小於存弧正弦大則餘弦小正弦小則餘弦反大加減之用以小從大其理無二故其圖可通用也又按壬丑即初得數也兩正弦相乗以半徑除之者也乙亥即次得數也兩餘弦相乗以半徑除之者也今改用加減則以兩弧相并為總弧而相較之餘為存弧存總兩餘弦相加減而半之成初得數省兩正弦乗矣又以初得數去減餘弦成次得數省兩餘弦乗矣兩餘弦加減例凡總存二弧俱在象限内或俱出象限外則兩餘弦相減 若存弧在象限内總弧在象限外則兩餘弦相加初得數減餘弧例凡存弧之正弦小於總弧即用存弧之餘弦在位以初得數減之餘為次得數 若總弧之正弦小於存弧即用總弧之餘弦在位以初得數減之餘為次得數盖弦小者餘弦大其餘弦内皆兼有初得次得兩數詳見環中黍尺甲寅象限弧 乙丙半徑為首率丙寅弧之正弦(丙辛)為次率丙丑弧之正弦丑戊為三率(辰丙弧同丙丑其正弦辰戊亦同丑戊)求得戊巳為四率(丑壬壬子並同)以上皆與前圖同論曰凖前論丙辛乙句股形與丑壬戊句股形相似法為乙丙與丙辛若丑戊與丑壬也(或辰戊與戊巳亦同)解曰乙丙首率半徑全數也丙辛正弦為次率其弧丙寅丑戊正弦為三率其弧丙丑而丙丑(三率)即丙辰以加丙寅(次率之弧)成辰寅總弧而辰卯亦總弧之餘弦也以丙丑(三率之弧)減丙寅(次率之弧)其餘丑寅為存弧而丑癸則亦存弧之餘弦也兩餘弦相加成子丑(子癸同辰卯皆總弧餘弦)子丑折半於壬而壬丑同壬子亦同戊巳則所求之四率也厯算全書卷五十四
## 卷五十五
欽定四庫全書厯算全書卷五十五宣城梅文鼎撰解八線割圓之根八線割圓説天體至圓最中一㸃為心過心直線為徑圓面諸圏為弧弧與徑古用徑一圍三之比例(有宻術徽術各家不同)然終非弧度之真葢圓為曲線徑為直線兩者為異類亘古無相通之率夫日月星辰之道皆弧線也人目測視之線皆直線也苟非由直線以得曲線縱推算極精皆非確數於推歩測量諸用所關甚鉅其可畧歟西儒幾何等書别立數法求得弧與徑相凖之率更以逐度之弧准逐度之線内用弦矢外用割切于是始則因弧而求線繼則因線而知弧交互推求雖分秒之弧度盡得其准立法之善即𨽻首商髙復生無以易也苐割圓八線表雖乆傳于世而立法之根未得専書剖晰大測中如十邊五邊形之理皆缺焉弗講薛青州作正弦解亦僅依式推衍未能有所發明予於厯算生平癖嗜凡有奧義必欲直窮其所以然而後快竊思割圓八線乃厯算之本源豈可習焉不察因反覆抽繹耿耿於心者數年積思之乆乃得漸次㑹通遂著其圖衍其算理之隠賾者明之法之缺畧者補之㑹而成帙以備好學者之採擇云爾立表之根有七一大圓中止有徑線初無邊角可尋乃作者慿空結撰求得七弧之通弦而全割圓表即從此推出又絶無假借紐合之病割圓之巧孰有加於是焉表根一 圓内作六等邉切形求得六十度之通弦法曰六十度之通弦與圈之半徑等作表時命為十萬亦曰全數解曰如圖辛為心作甲丙丁圈甲丁為全徑辛丁為半徑次取丁為心辛為界作戊庚辛圈與原圈相交於丙于戊次引長丁辛線至庚必平分丙戊弧於丁亦平分戊丙弧于辛(以丁為戊庚圈心故)次作辛丙丙丁丁戊戊辛四線成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何則丁為心辛為界則丁辛與丁丙皆為戊庚圏之半徑仍用辛丁為度辛為心丁為界則辛丁又為甲己圈之半徑辛丙亦同則辛丁丁丙辛丙三線俱等而辛丁丙為三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也則丙丁弧為六十度丙丁即六十度之通弦與辛丁半徑等矣丁戊辛形倣此次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱與丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈為六分次作丙丁等六線相連成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊兩交角之弧既當六分圈之四則中間己戊乙丙二弧亦必各為六分圈之一故成六等邉形皆以半徑為邉此天地自然之數也表根二 圈内作四等邉切形求得九十度之通弦法曰半徑上方形倍之開方得九十度之通弦解曰圈内四等邉切形即内切直角方形也 如圖甲癸丁圏庚為心作丁癸全徑又作甲己全徑與丁癸十字相交為凑心四直角即平分大圓為四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四線相連成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱為直角(以各角俱乗半圈故)所容之癸甲丁己為正方形甲癸等為九十度之通弦用甲庚癸直角形甲庚半徑上方與庚癸半徑上方并開方得甲癸弦句股求弦術也巳上二根並仍厯書之舊表根三 圈内作十等邉切形用理分中末線求得三十六度之通弦法曰圏徑上作理分中末線其大分為十邉等形之一邉即三十六度之通弦今欲明十邉形之理先解理分中末線欲明理分中末線先解方形及矩形一解曰凡正方形内(如乙庚戊丙方)依一角復作正方形(如丁庚方)以小方之各邉引長之如甲午辛壬即分元方戊庚為四分小方之各邉與大方之各邉俱兩兩平行其與小方丁庚相對之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任設一線如甲戊兩平分之于乙又任引長之為戊庚(長短不論)其全線甲庚偕引長線戊庚(即子庚)矩内形(甲子矩)及半元線甲乙(癸丑等)上方形(癸辛方)并成子丑壬甲磬折形此形與半元線(乙戊)偕引長線乙庚上之乙丙方形等何則乙庚上方乙丙與磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今試以此兩率各試去乙子矩形兩所餘為乙壬矩及丑丙矩夫此兩矩形邉各相等(辛丙與乙辛等辛丑與壬辛亦等以壬丑)(為正方故)其冪亦必等則於乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦無不等矣 又己辛亦正方形以相對之己庚為正方故己辛方與壬丑方亦等以同在甲庚癸子兩平行線内又甲乙乙戊相等故也分中末線解理分中末線 明上二圖可論理分中末線矣法曰如圖任作甲戊線兩平分於乙以甲戊線自之作戊卯方從乙平分處向丁作乙丁線次以甲戊引至庚令乙庚與乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子與戊庚等作癸子線分戊丁于己則戊己為戊丁元線之大分己丁為小分戊己丁己戊丁三線成連比例戊丁與戊己若戊己與己丁而戊己為中解曰依上二圖之論甲庚線偕戊庚矩形及乙戊(即甲乙)上方形并與乙庚上方等今乙庚線既令與乙丁等則乙丁上方亦與乙庚上方等是甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方并與乙丁上方等而乙丁上方與乙戊丁戊上兩方之并等此二率者共用乙戊上方試以此二率各減去乙戊上方則所存之戊卯方與甲子矩形必等矣夫戊卯方既與甲子矩等又共用甲己矩形試各減去甲己矩形則所存戊子方與卯巳矩形必等矣卯巳與戊子兩矩形既等又以巳直角相連則兩形之邉為互相似之比例癸己與巳子若戊己與己丁夫癸己即戊丁也則戊丁與戊己若戊己與己丁為連比例而戊己為中率戊己上方(二三率)與戊丁(一率)偕己丁(四率)矩形等戊丁全線為首率戊己大分為中率減戊丁(甲戊同)存己丁小分為末率葢理分中末線云者於一直線上作連比例之謂也求之法以所設甲戊半于乙為句甲戊為股(即戊丁)求乙丁弦即乙庚也減乙戊句存戊庚即戊己大分減戊丁元線存己丁小分又甲戊引長線止於庚者欲令乙庚等乙丁也若不為連比例戊庚可任意引長之如前二圖之論然理分中末線法實從二圖之理推出其關鍵全在乙庚乙丁二線等也解理分中末線大分為三十六度之通弦 觀上諸論可明理分中末線之法然何以知其大分能為十等邉形之一邊如圖任作甲乙線用上法分之於内為理分中末線甲乙與甲丙若甲丙與丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全線為半徑甲為心乙為界作圏又從乙作乙丁合圏線令與甲丙等末從圏心作甲丁線相連其甲乙甲丁兩半徑等即甲丙丁為兩腰等三角形夫此三角形其腰間之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大於底上甲角何則試從丙作丙丁線于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形與甲丙上方形等(因連比例等)亦即與至規外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁為切線即乙丁切線偕丁丙線所作乙丁丙角與負丁甲丙圏分之甲角交互相等(見幾何三巻三)(十二)此二率者每加一丙丁甲角即甲丁乙全角與丙甲丁丙丁甲兩角並等夫乙丙丁外角與丁甲相對之内兩角并等即乙丙丁角與甲丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁兩線亦等夫乙丁原與甲丙等即丙丁與丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲兩角亦等又甲角既與乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙兩角亦相等是甲丁乙倍大於丙丁甲亦即倍大於相等之丙甲丁角也而甲乙邉與甲丁等則甲乙丁角亦倍大於甲角也次解曰丙丁乙角何以知其與丙甲丁角交互相等試作未丁全徑與乙丁為直角又作未丙線成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角並與一直角等乙丁未亦一直角此二率者各減去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁負圏角也丙甲丁亦負圏角也同負丙丁弧則丙甲丁角與丙未丁角等夫未角與丙丁乙角等也今既與丙甲丁等則丙甲丁角亦必與丙丁乙角等依上論顯甲乙丁形之乙丁二角俱倍大於底上甲角形内之丙丁乙形與甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大於乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三線俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等兩直角今乙丁二角既倍大於甲角是合乙甲丁角而為五分兩直角矣則乙甲丁角該五分兩直角之一為三十六度夫五分兩直角之一與十分四直角(全周)之一等則乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各為半徑則乙丁即十等邊形之一邊夫乙丁與丙丁等丙丁與甲丙等則甲丙與乙丁亦等而甲丙即理分中末線之大分故圏徑上作理分中末線其大分為三十六度之通弦圏内作十等邊切形法 先依上作甲丁乙兩腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界為乙己丁戊其己戊弧與乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二線各半之於辛於壬又作癸丑子寅卯庚諸線俱過甲心各抵圏界即平分大圓為十分末作戊己等十線相連即所求十邊形之理據厯書見幾何十三卷九題而幾何六卷巳後之書未經翻譯不可得見考之他書未有發明其義者余特作此解之表根四 圈内作五等邉内切形求得七十二度之通弦法曰六邉形上方形及十邉形上方形并開方得七十二度通弦解内切五等邉形法 法曰甲乙丁圈於圈内作甲丙丁兩腰等乗圈角形令腰間丙丁二角各倍大於甲角即甲角所乗之丙丁弧為全圈五分之一何則甲丙丁形之三角并等兩直角今丙丁二角既各倍大於甲角則甲角為五分兩直角之一又甲為乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大於甲角之度為全圏五之一矣(七十二度)夫丙于二角又倍大于甲角則其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大於丙丁為全圈五分之二即作丙戊丁乙二線平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈為五平分丙丁線即五等邉之一末作丁戊等四線相連成五等邉内切形等邉等角 此係歴書原法新増作五等邉形法甲庚壬平圓内作五邉等形法任作切圓直線如子丑切平圓於甲乃以切㸃甲為心任作半圈如子寅丑次勻分半圓周為五平分如子辰等次從半圓上取五平分之各㸃作直線至切㸃甲此直線必過半圓周(如甲辰線必過庚寅甲線必過戊餘倣此)末於平圓内聯各㸃作通弦即成五等邉形(庚甲乙甲本為通弦補作戊庚丁戊乙丁三線並與庚甲乙甲)(等皆七十二度通弦也)解曰卯甲寅負圈角正得丁心戊分圓角之半卯甲寅既為十等面凑心之角必三十六度也則丁心戊角必七十二度而為五等邉角矣 或作半圓于外如下圖亦同前論解六邉十邉兩方并等五邉上方形 法曰依前理分中末線法作己丁丁丙二邉為十分圏之一乙己乙丙甲乙三線俱為中末線之大分與十邊形之一等乙丁其小分次取己丁弧之倍至丙作甲丙線得己丙七十二度為五分圏之一(己丁丙為十分圏之二即五分)(圏之一矣)作丙己線即五等形之一邊也己甲丙為七十二度之角次取己為心己丁大分為界作丁未庚圏又以丙為心丙甲半徑為界作子甲丑圖兩圏相交於辛末從丙心向交㸃(辛)作丙辛線從己心向交㸃(辛)作己辛線成丙己辛三角形此形辛為直角丙辛六邊形之邊(即子丙)為股己辛十邊形之邊(即己丁)為句己丙五邊形之邊為弦用句股術得己丙七十二度之通弦解曰丙辛己形何以知辛㸃必為直角試觀乙己丁乙丙丁俱為兩腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等邉斜方形則丙己線必平分乙丁小分于壬甲丁線因己丙弧為己丁之倍亦平分丙己弦于壬壬㸃為直角又形内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形為壬己上方形之四倍(幾何言全)(線上方形為半元線上方形之四倍)而壬己上方乃乙己上方減去乙壬上方之數(句弦求股)是以乙己上方四倍之(即己乙己丁丙丁丙乙四線上)(方之并)減去乙丁小分上方(乙丁上方為乙壬上方之四倍以乙壬為乙丁之半故也)(即乙壬等四小句方之并)所餘即與丙己上方等矣而此四乙己方減乙丁上方之餘又與全數上方及中末線大分之方并等(即十邉形之一)何則試觀二圖(即理分中末線圖)甲丁為全數甲戊為全數上方丁乙為大分丁子為大分上方兩方之并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四則重一庚己小分之方(取丙丁與乙丁等則己丁壬乙俱為大分之方而庚壬矩與丁)(子方等甲壬矩又與庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方則重叠在内庚己乃辛己小分之方)(也)今試於磬折形内減去重叠之方(癸辛方)是即於四个大分方内減一小分上方亦猶之前圖四乙己方内減去乙丁上方而所餘必等矣夫此磬折形既與前四乙己方内減乙丁上方之餘冪等而此餘冪又與丙己上方等則此磬折形亦與五等邊之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子兩方之并也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛邊丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛邊今丙辛己辛上兩方并既等於丙己上方是丙辛己為句股形而辛為直角矣丙辛半徑股也己辛大分句也丙子弧六十度之邊子丙即丙辛股己丁弧三十六度之邊丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三邊適凑成句股形故厯書言六邊上方并十邊上方與五邊上方等葢以此也若作戊乙線成戊丁乙句股形與前丙辛己形等戊乙即五邊形之一益可見辛之必為直角矣求七十二度通弦法取逕甚竒大測止具算術未著其理(據云見幾何十三卷十題)薛書及孔林宗説殊多牽附余此圖與原算脗合乃知古人立法之簡奥也因更推衍四法如下如圖午丁大圈依理分中末線法作十邉等内切形丁午等俱大分次從癸昴諸㸃(癸甲昴甲俱為大分)作癸昴昴壁等線俱為小分各連之則中末線之大小兩分成内外兩十邉等形俱各兩兩平行一切于周一切于徑次任取戊為心甲為界作圈亦依上法用其大分小分作内外兩十邉等形末作乙丙乙丑等五線為五邉形之各邉諸線交錯得求乙丙邉之法有五一丁乙丙形有丁丙全徑有丁卯全數及卯乙大分并為丁乙(丁乙與午戊必平行)乙為直角用股弦求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分為句有丙戊戌寅兩大分并得丙寅為弦求得乙丙股三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全數有甲辛大分有辛壬為辛戊小分之半并為甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉四乙壬戊形有乙戊大分為弦有壬戊小分之半為句求乙壬股倍之得乙丙邉又形中兩圈相交内有甲卯乙戊未為小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚為小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形與午丑乙丙氐大五邉形相似而體勢等則其各邉俱成比例乙甲全數與甲卯大分若乙午與午丑則以甲卯與午乙相乗全數除之亦得五邉形之一其午乙線以乙亢午直角形用句弦求股術取之表根五 圈内作三等邉内切形求得一百二十度通弦半之為六十度正弦法曰全徑上方形内減六邊形上方形開方得一百二十度之通弦解曰甲為圏心甲乙為半徑作圏次乙為心仍用乙甲為半徑作弧與大圏相交於丁於戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何則依前六邊形之論丁乙戊乙二弧俱為六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大於丁乙必三分圈之一矣(一百二十度)即作丁戊線為三等邊形之邊次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏於丙以丙乙為過心線既平分丁戊弧於乙亦必平分丁丙戊弧於丙也從丙作丙戊丙丁二線成丁丙戊三邊等内切形求之用乙丁丙三角形丁為直角(以丁角乗丙戊乙半圏故)丁乙為六邊形之一丙乙全徑上方減去丁乙半徑上方(丁乙即乙甲)餘開方得丙丁邊句弦求股術也表根六 圏内作十五等邊内切形求得二十四度之通弦法曰三邊等形與五邉等形之較即十五分圏之一可求二十四度通弦解曰戊丙大圈丑為心作丙子全徑取丙㸃為宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五邊等形丙甲弧為三分圈之一(一百二十度)丙戊乙弧為五分圈之二(七十二度)相較得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半於癸三邉形之邉甲辛半於壬得乙癸與甲壬相減(丁壬即乙癸)存甲丁為股次作乙丑甲丑兩半徑成乙丑癸甲丑壬二直角形以乙丑半徑上方減乙癸半弦上方餘開方得癸丑邉又以甲丑半徑上方減甲壬半弦上方餘開方得丑壬邉次以丑癸與丑壬相減得壬癸(即乙丁)為句末用甲丁乙直角形甲丁上方與丁乙上方并開方得甲乙為十五等邉内切形之邊又解曰甲乙弧何以知為十五分圏之一凡一圏内作三邊等形又作五邊等形以其邊數三與五相乗得十五即知可為十五等邊切形其兩弧之較必有十五分圏之一如甲乙也餘倣此推 此亦厯書原法表根七 圈内作九等邊内切形求得四十度之通弦(新増)求内切九等邊形 法曰甲為圓心于圓内先作庚子辛三邊等形(法見前)平分大圓為三分次用甲庚為度作庚己線與庚辛為直角庚為心己為界作己壬弧為全圏六之一(六十度)次於己壬弧上任取癸㸃向甲心作癸甲直線與庚辛交於戊其自癸至戊之度令與甲乙半徑等次癸為心戊為界作圏與大圏相交於丙於庚(庚㸃為己壬弧)(圏心又癸戊半徑與庚己等必相交于庚)從癸又作癸庚癸丙二線得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必為庚辛弧三之二辛丙為三之一即全圏九分之一也末作丙辛線為内切九等形之邉依此作丙乙乙庚諸線成九等邉内切形等邉等角解曰癸戊線既等甲乙半徑則兩圈相交之庚戊丙庚乙丙兩弧必等又癸甲線既過兩心(甲大圓心癸庚戊丙圈心)試作庚丙通弦必平分通弦於丁亦平分庚丙弧於乙與丙庚弧於戊而庚乙與丙乙等庚戊與丙戊等又兩弧(庚乙)(丙庚戊丙)共用庚丙通弦則丙戊與丙乙庚戊與庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四線亦等又癸丙癸戊癸庚三線俱即半徑(癸為庚戊丙圈心故)則癸庚戊癸丙戊為兩腰等三角形而兩癸角又等(庚戊丙戊二弧等故)則兩形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何則戊角之餘為丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸兩角之并亦即癸丙戊癸戊丙兩角之并(癸戊庚角與癸戊丙等因兩形為等形亦與癸丙戊)(角等)是丙戊辛角必與戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧則辛角必得庚丙之半與乙丙弧等亦與丙戊等是丙辛戊角亦與戊癸兩角等而辛丙戊為兩腰等形因得戊丙與辛丙兩邉亦等夫丙戊邊本與戊庚等則丑丙與戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三線等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又為庚辛三之一即全圈九之一為四十度而庚乙即四十度通弦 按癸丙線必與庚甲平行其交己壬弧之丑㸃必居癸壬弧之中而壬丑丑癸癸己為三平分各得十二度求九邊形之邊 法曰取十邊形相較可得九分圏之邊如圖乙辛戊圓甲為心取辛丙弧為十邊形之一(三十六度)戊乙弧為九邉形之一(四十度)辛丙為十邉形之邉乙戊為九邊形之邊二線令平行則其較弧辛乙與丙戊相等(各二度)次作辛乙丙乙諸線成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛邊(前第五根所得)有辛乙邊(一度正弦之倍用後法所得)先求丙乙線用丙辛乙鈍角形作辛丁垂線以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方減辛乙上方開方得乙丁又以減辛丙上方開方得丁丙并之得乙丙線與辛戊等次以乙丙自乗方内減去辛乙自乗方餘以辛丙除之得乙戍為九邊形之邊即四十度通弦也(上圖之庚乙線)解曰丙辛線既與戊乙平行則丙乙辛戊兩線相等辛乙與丙戊亦等從辛從丙作辛己丙午二垂線所截戊乙線之戊午己乙為丙辛戊乙二線相較之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形(辛乙與丙戊等故)而丙乙上方乃丙午乙午上兩方之并丙戊上方又丙午戊午上兩方之并則試於丙乙上方減去丙午上方所餘為乙亥方丙戊上方減去丙午上方所餘為午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形減丙戊上方形是減去丙午上一方又減去巳子一方(即戊午上方形)所餘為午卯丑亥磬折形夫午乙與己戊二線相等則午丑與巳酉兩方形亦等因得卯午矩與申酉矩等移卯午補申酉則丑未矩形與午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之(子丑即丙辛以卯亥為正方故)得子未邊即乙戊四十度通弦也按九邊形法諸書所無然缺此則九十度之正弦不備壬寅秋客潤州魏副憲官署時魏公鋭意厯學因作此圖補之附求一度之通弦(一度為全圓三百六十之一亦可名三百六十等邉内切形)法曰一度之通弦取相近之數用中比例法得之如圖庚乙弧為一度先設甲庚一度三十分依前法(表根)(六及表法一)求其正弦甲癸○度○二六一七六八九又求其通弦得○度○二六一七九二半之得○度○一三○八九六為己庚四十五分弧正弦己辛也三分之得己寅○度○○四三六三三為十五分弧略大線加己辛(即未丑)得壬丑○度○一七四五二八為一度弧略大之正弦次於甲癸線内減己辛(即戊癸)餘戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四為十五分弧略小線加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也為丁庚一度略小弧之正弦夫大小兩弦其差八數為壬亥半之得四壬申也(申亥同)加小減大得乙子○度○一七四五二四為乙庚一度之正弦若求其通弦用正弦與正矢為句股求之(此薛儀甫歴學㑹通法)再細求一度正弦(係作枚法)前四十五分弧之正弦○度○一三○八九六法以四十五分半之為廿二分三十秒求其正弦得六五四四九又半之為十一分十五秒求得正弦三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍於十一分十五秒而其弦亦倍則知二十分以内之弧正弦若平分數(縱有叅差非算所及)法以廿二分三十秒為一率正弦六五四四九為二率十五分為三率得四率十五分正弦○度○○四三六三二六次以十五分正弦與四十五分餘弦○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六為先數以十五分餘弦○度九九九九九○四八與四十五分正弦○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八為後數(相乗之理見表法六)兩數相併得○度○一七四五二三六一四五為一度正弦與薛書略同但此法似宻論曰弧與弦非平分數然一度以内弧弦相切曲直之分所差極微故可以中比例法求也按上七根所求者皆各弧之通弦表中所列俱正弦葢論割圓必以通弦便算則惟正弦然正弦即通弦之半全與分之比例等其理一也作表之法有七用上根數於大圓中求七弧之通弦以為造端之始而各度之弦尚無從可得爰立六種公法或折半或加倍或相總或相較轉輾推求以得象限内各度之正弦葢上諸法乃其體此則其用也二者相資表以成焉表法一 有一弧之正弦求其餘弦及半本弧之正弦與餘弦解曰如圖甲為圈心乙丙戊弧為全圈四之一(九十)乙甲戊甲俱半徑設有戊丁丙弧其正弦為丙庚即從丙作丙甲線成丙庚甲直角形法甲丙全數上方減丙庚正弦上方餘開之得甲庚與丙辛等即丙戊弧之餘弦也又用甲庚減甲戊半徑得庚戊矢又作丙戊線成丙庚戊直角形法庚戊矢上方與丙庚上方并開方得丙戊為戊丁丙弧通弦半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正弦又以丙甲己形(戊甲己形同)用句弦求股術求己甲得半本弧之餘弦(癸丙等)若再以丙己丁己二邊求丙丁弦半之又得半丙丁弧之正弦餘倣此逓求之論曰丙戊弧既平分于丁其丙戊弦亦必平分於巳故半丙戊為半本弧之正弦試作丁甲壬象限則丙己正弦己甲餘弦尤了然矣表法二 有一弧之正餘弦求其倍本弧之正弦與餘弦解曰甲丙象限内設有甲戊弧其正弦戊己餘弦己乙今求倍甲戊之甲丁弧正弦丁癸與餘弦癸乙法先作丁甲線為丁戊甲倍弧之通弦此線必為乙戊線平分於壬則壬甲亦為甲戊弧正弦與戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊己則其餘弦壬乙亦必等己乙法用己戊乙庚壬乙兩形乙戊全數與戊巳正弦若乙壬餘弦(即乙己)與壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸為倍弧甲丁之正弦論曰乙戊己乙壬甲兩形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得為餘弦又乙戊己乙壬庚兩形相似故第四率可求壬庚(即辛癸)而壬庚必為丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲弦既平分於壬從壬作壬辛垂線亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸為倍弧甲戊丁正弦又壬庚線亦平分甲癸句於庚用甲壬庚形依句股術求甲庚倍之以減甲乙存癸乙或丁子即倍弧之餘弦也表法三 求象限内六十度左右距等弧之正弦解曰六十度左右距等弧之正弦與其前後弧兩正弦之較等如圖乙丙象限内設丙戊為六十度(不動)有丙己小弧(須在三十度以上)丙巳丁大弧其大弧與丙戊六十度之較戊丁令與丙己小弧與戊丙六十度之較戊己等其大小兩弧正弦一為己辛一為丁庚相較為丁癸此丁癸與己壬丁壬等則丁癸為戊丁戊己距等弧之正弦壬甲為餘弦論曰試從巳向子作巳子線則丁巳子為三邊等形何則形中壬子丁壬子己兩形相等(丁子壬己子壬兩角本等又同用壬子邊)(則兩形自等)而丁子壬角與乙甲戊角等(以丁庚與乙甲平行故)為三十度(乙甲戊為丙戊甲角六十度之餘)則丁子巳角為丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬兩角等則其餘壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而與丁子巳角等則丁子巳為平邊三角形夫丁子巳既為平邊三角形其巳癸垂線必平分丁子於癸子壬垂線必平分丁巳於壬兩分之丁癸與丁壬必等而丁癸乃己丙丁丙大小二弧兩正弦(一巳辛一丁庚)之較按此須先求得象限内六十率之正弦依上法可求左右三十率之正弦外此即不可用以六十度之餘止三十度故也表法四 任設兩弧之正餘弦求兩弧并及較弧折半之正弦解曰戊壬象限内任設不齊之兩弧一置在上如戊丙一置在下如丁壬中間所容丙丁弧即戊丙丁壬兩弧并之餘今求半丙丁弧丙乙(丁乙同)之正弦法作丁壬弧正弦丁辛餘弦丁癸戊丙弧正弦丙壬(即癸己)餘弦丙子又作丙丁線為較弧之通弦成丙己丁直角形次以丁壬弧正弦(丁辛巳子同)減戊丙弧餘弦(丙子)得丙己為股丁壬弧餘弦(丁癸)減戊丙弧正弦(癸己)得丁己為句句股求弦得丙丁邉半於庚得丙庚或庚丁為丙丁半弧丙乙之正弦巳上俱係厯書原法表法五 有一弧之正弦求倍本弧之矢因得餘弦解曰設戊乙弧其正弦乙丁戊丙為戊乙弧之倍其正弦丙己正矢戊己丙戊為倍弧通弦半于辛其辛戊與乙丁等法用戊丙己戊辛甲兩直角相似形(二形同用戊角故相似)甲戊與戊辛若丙戊與戊己倍弧矢夫四率之理二三相乗之矩内形與一四相乗之矩等則丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形為辛戊上方形之倍(戊辛自乗得辛庚方倍之為丙庚矩即丙)(戊與戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛)而全數(甲戊也)又省一除故以乙丁正弦(即辛戊)自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用減半徑得倍弧餘弦己甲若反之以戊己矢折半進位開方即得半本弧之正弦(丁乙) 此孔林宗術勿菴稱為正弦簡法余作此圖以著其理表法六 任設不齊之兩弧求兩弧相并之正弦及相較之正弦解曰寅巳未圏甲為心寅巳為一象限設寅已弧内有己辛弧若干度為前弧又有己戊弧小于己辛為後弧戊子為後弧正弦子甲其餘弦午辛為前弧正弦午甲其餘弦次取辛丑弧與己戊後弧等則己戊丑為前後兩弧之并弧丑亥即并弧之正弦次作丑壬線為丑辛弧正弦與戊子等其餘弦壬甲亦與子甲等辛壬亦與子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以後弧之餘弦壬甲因前弧之正弦辛午全數(甲辛)除之得壬丁為初數(卯亥等)寄位 次用甲辛午丑壬卯二相似形(甲辛午形之辛角與丑乙辛角等因丑壬乙為直角)(其丑壬卯角亦與丑乙壬角等則亦與甲辛午角等又二形之卯午俱為直角則兩形相似)甲辛與甲午若丑壬與丑卯則以前弧之餘弦甲午因後弧之正弦丑壬全數(辛甲)除之得丑卯為次數末以五卯與初數卯亥相并得丑亥為已戊丑兩弧相并之正弦 若求兩弧相較之正弦法以後弧丑壬正弦引長之抵圈界於癸則丑癸為丑辛癸弧之通弦因壬㸃為直角其癸壬與丑壬必等因得丑辛癸辛兩弧亦等夫丑辛弧原與戊巳後弧等則辛癸與戊己弧亦等即以辛癸減辛己前弧得癸己為兩弧之較癸庚即較弧之正弦癸酉其餘弦法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等(丑癸辰句股形丑癸弦既平分于壬則從壬作壬卯壬申二垂線亦必平分丑辰句于卯癸辰)(股于申而癸申壬丑卯壬兩形必等)因得壬申即丑卯次數(壬申等卯辰卯辰即丑卯)用以減初數壬丁存申丁即癸庚也為較弧癸巳之正弦亦與戊辛弧正弦等若兩弧相并在象限外如次圖巳寅丑弧理亦同(鈐記同前)有不齊之兩弧求相并相較弧正弦又法法曰兩弧(小甲丙大甲戊)相并曰總弧(甲癸)相減曰多弧(戊丙)置大小兩弧以大弧正弦(戊辛)因小弧較弦(子庚)曰先數(庚乙)以大弧較弦(辛庚)因小弧正弦(庚午)曰後數(午未) 視兩弧在象限内者以後數(亥壬)減先數(亥丙也以午亥丙形與庚乙子形等故)為多弧正弦(壬丙)以後數卯丑加先數(丑已以庚巳丑形與庚乙子形等故)為總弧正弦(卯巳也以卯午巳形與庚酉癸形等故卯己即酉癸)若兩弧過象限者加減各異又或置大小兩弧(同上)以大弧正弦(戊辛)因小弧正弦午庚曰先數(庚未)以大弧較弦(庚辛)因小弧較弦(庚子)曰後數(子乙) 視兩弧在象限下以後數(午亥)加先數得多弧較弦(壬庚)以後數(庚丑)減先數(庚未)得總弧較弦(丑未即午卯亦)(即庚酉)若兩弧象限内外不等加減亦異此法詳三角會編五卷梅勿菴先生環中黍尺亦著其法然彼所論者弧三角形此則平圓中求正弦也表法七 圓内有五通弦錯互成四不等邊形求不知一弧之通弦解曰甲為圓心戊庚為圓徑戊丙丙丁丁庚俱為通弦成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚為對角線法丁戊偕丙庚相乗之矩形内減丁庚偕丙戊相乗之矩形餘為戊庚與丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩與戊庚丁丙相乗之矩并與丁戊丙庚兩對角線相乗之矩等也若有丙戊丁庚戊庚丙庚丁戊五通弦用此可得丙丁弧之通弦論曰庚戊丁形與庚丙丁形其戊丙兩角等(同乗丁庚弧故)若以丙丁弦引至己作庚己丙直角形則庚戊丁庚己丙兩直角形相似庚戊與戊丁若庚丙與丙己夫四率之理二三相乗矩形與一四相乗之矩等則庚丙與丁戊相乗所得即庚丙與丙己相乗之己壬矩也(取己癸與庚戊徑等)次作丁辛線與己癸平行割圈於子其子庚弧與丙戊弧等何則戊丁庚為直角丙丁子亦為直角同用戊丁子角(子戊弧)則丙丁戊庚丁子兩角必等其所乗之丙戊庚子兩弧亦等矣因得庚子邊即丙戊通弦又庚子丁角與庚戊丁角等(同乗丁庚弧故)於庚作庚乙垂線與己丙平行成子庚乙直角形與庚戊丁直角形相似戊庚與庚丁若子庚與庚乙依四率之理庚子(即丙戊)與丁庚相乗所得即庚戊與庚乙相乗之己辛矩也(丁辛即庚戊己丁即庚乙)用以減己壬矩形餘丁壬矩形乃庚戊與丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙為丁丙弧之通弦若戊丙丁庚非半圈(或大或小不論)則庚戊為戊丙庚弧之通弦理亦同但己壬為斜方形如上圖戊丁庚為小半圈成己壬斜方其庚乙線不與丁己平行法作己庚乙角令與丁己庚角等則腰間相對丁乙二角亦等因得庚乙丁己為等邊而庚乙子鈍角為丁乙庚之餘與丁己庚角自等亦即與圓内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁為相似形庚乙即丁己此上古多羅某法諸書未有能言其故者得余此圖庶不昧古人精意 已上二法係余所增用上七法交互推求可得象限内各度之正弦細推之又可每隔十五分(四分度之一)得一正弦十五分以下用中比例法以十五分正弦為實十五為法而一得一分之正弦逓加之得每度内各分之正弦立割圓表又此正弦算一象限巳足以適滿一直角故也求切線角線矢線割圓正弦而外又有切割矢三線并正弦為四線合其餘為八線葢以八線凖一弧弧之曲度得其真矣切線止切圈以一㸃全在圏外割線從圈心過規半在内半在外正弦與矢全在圈内如圖甲為圈心庚丁為象限庚甲丁甲俱半徑設有庚乙正弧即戊乙為正弦乙辛(戊甲同)為餘弦次於圏外作庚己線與戊乙平行切圈于庚又從甲心過所截弧乙㸃作甲己線與庚己交於己成甲己庚直角形此己庚為乙庚弧正切線己甲其正割線也而甲己庚直角形與圓内戊甲乙形相似甲戊與戊乙若甲庚與庚己故以餘弦除正弦半徑因之得本弧正切又戊甲與甲乙若庚甲與甲己故以餘弦除半徑全數因之得本弧正割以戊甲餘弦減甲庚半徑得庚戊本弦正矢此皆庚乙弧相當之線也夫庚乙既為正弧則乙丁為餘弧作乙辛線為餘弧之弦作丙丁線切圏於丙為餘弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙為餘弧之割成甲丙丁直角形與圓内甲乙辛形相似甲辛與辛乙若甲丁與丁丙得餘切甲辛與甲乙若甲丁與甲丙得餘割乙戊(即甲辛)正弦減甲丁半徑得辛丁餘矢此又丁乙餘弧相當之線也一正一餘共有八線若或以丁乙為正弧即庚乙反為餘弧其八線正餘之名亦互易葢此為正彼自為餘耳論曰庚乙正弧之各線為甲庚己甲戊乙兩句股形所成乙丁餘弧之各線為甲丁丙甲辛乙兩句股形所成而甲庚己形與甲丁丙形相似(一為順句股一為倒句股)又圓内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦與甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相當之線成相似之直角形四設算可以用正亦可以用餘是一弧而能兼用八線此八線表所由名也按表中不列矢線者以矢線用正餘弦減半徑即得且不常用故省之 又按割圓之難全在求正弦若切割線俱以比例得之附求割線省法(用加減算)如乙己弧為二十度其切線乙戊求割線甲戊法先以餘弦己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次以戊乙切線引長之令與戊甲等作甲戊辛兩腰等三角形而乙庚弧必與丁丙等即查乙庚弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也解曰乙庚弧何以與丁己弧等葢甲辛戊既為兩腰等三角形則甲角之己庚弧必為丙己餘弧(己壬也)之半壬庚與己庚等而庚㸃居己壬弧之中夫丙己與己壬并等兩直角則己庚弧之不滿直角者必為丙己之半今丙己既半於丁則以丁己益己庚丁甲庚必為直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角(或丁乙弧)則丙己與乙庚等求矢線 餘弦減半徑得正矢正弦減半徑得餘矢求切線 餘弦除正弦半徑因之得正切正弦除餘弦半徑因之得餘切求割線 餘弦除半徑半徑因之得正割正弦除半徑半徑因之得餘割按圓内弦矢二線當正弧初度則無九十度極大即半徑圈外切割二線切線當正弧初度亦無割線即半徑至九十度俱極大且切與割平行不能相遇名曰無窮之度然至此亦無切割之可言矣惟將近九十度㸃有極大之切割線定八線正餘之界庚戊丙半圓甲為心戊丙為象限設丙乙正弧在九十度内則乙壬為正弦壬丙為正矢甲丁為正割丙丁為正切其戊乙餘弧乙己為餘弦己戊為餘矢甲辛為餘割戊辛為餘切若設庚戊乙為正弧在九十度外亦以乙壬為正弦丁丙為正切甲丁為正割壬丙為正矢而庚壬亦為正矢又名大矢其餘弧仍用戊乙(非乙丙)在庚戊象限之外乙己為餘弦戊己為餘矢戊辛為餘切甲辛為餘割葢乙壬正弦為丙乙庚乙兩弧共用故總以戊乙為餘弧也凡算三角形取用正餘諸線以此為凖厯算全書卷五十五
## 卷五十六
欽定四庫全書歴算全書卷五十六宣城梅文鼎撰方圓冪積一卷方圓冪積說歴書周徑率至二十位然其入算仍用古率(十一與十四之比例)(本祖冲之徑七周二十二之宻率)豈非以乗除之際難用多位歟今以表列之取數殊易乃為之約法則徑與周之比例即方圓二冪之比例(徑一則方周四圓周三一四一五九二六五而徑上方冪與員冪亦若四與三)(一四一五九二六五尾數八位並以表為用)亦即為立方立圓之比例(同徑之立)(方與圓柱若四與二一四有竒則同徑之立方與立員若六與三一四有竒)殊為簡易直截癸未歳匡山隠者毛心易乾乾偕其壻中州謝野臣惠訪山居共論周徑之理因反覆推論方員相容相變諸率庚寅在吴門又得錫山友人楊崑生定三方員訂註圗說益覺精明甚矣學問貴相長也方圎相容新法厯書曰割圓亦属古法盖人用圭表等測天天圎而圭表直與圎為異類詎能合歟此所以有割圎之法也新法名為八線表云又云徑一圍三絶非相凖之率然徑七圍二十二則盈徑五十圍百五十七則朒或詳繹之則徑一萬圍三萬一四五九雖亦小有竒零不盡然用之頗為相近今算得平方與同徑之平圓其比例若四○○與三一四五九平方内容平員平員内復容平方則内方與外方内員與外員之冪皆加倍之比例假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁員員内又容甲乙丙丁小平方小方内又容壬丑癸子小平員如此逓互相容則其冪積皆如二與一也假外大平方(戊己庚辛)之積一百則内小平方之積(甲丁乙丙)必五十平員亦然若求其徑則成方斜之比例大徑如斜小徑如方假如内小平方積一百以甲丁或丙乙為徑(甲丙或丁乙並同)開方求一百之根得徑一十其外大平方積二百以甲乙或丁丙為徑(或用戊庚或己辛或己戊或辛庚為徑並同)開方求二百之根得徑一十四一四有竒甲乙為甲丁方之斜故斜徑自乗之冪與其方冪若二與一而其徑與斜徑若一十與一十四(一四竒)也折半則為五與七(○七竒)故曰方五則斜七有竒也三邉形内容平員平員内又容三邉則其冪之比例為四與一甲乙丙三邉形内容丁戊己平員平員内又容丁戊己小三邉則内小三邉形為外大三邉形四之一内外兩平員之冪其比例亦為四與一若有多層皆以此比例逓加渾員内容立方立方内又容渾員如此逓互相容則外員徑上冪與内員徑上冪為三倍之比例外立方與内立方之徑冪亦然丙庚丁渾員内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方邊(丙辛及甲辛並同丙乙及甲丁等亦同)丙戊甲辛為立方面(餘六面並同)丙甲(為方面斜線)丙丁(為立方體内對角線)即渾員徑(乙甲)(同其辛壬及己戊皆亦對角若作線亦同)丙乙及甲丁等又皆為立楞(戊壬及辛己同)解曰立方面上斜徑之冪為方冪之倍(句股法也)(斜為弦方為句又為股併句股實成弦實故倍方冪即成斜徑之冪)又以斜徑為股立方之立楞為句求得立方體内両對角之斜徑為弦此弦實内有股實(即面上斜徑之冪為)(方冪者二)有句實(即立楞之冪立楞原即方邉故其冪即立方面冪)共得方冪三而此丙對角斜徑即渾員之徑内小員徑又在立方體内即以方徑為徑其徑之冪即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立員則内員徑即立方之徑若求其徑則外徑大于内徑若一十七有竒與一十内徑之冪百開方得一十為徑則外徑之冪三百開方得一十七(又三十五之一十一)為徑若有幾層互容皆以此比例逓加卽得若求其體積則為五倍有竒之比例(若有多層亦以此比例逓加)假如内容立方積一千則外大立方積五千一百九十四有竒解曰立積一千則其徑冪一百而外大立積之徑冪三百又以徑一十七(又三十五之一十一)乗之得五千一百九十四(又七之二) 此言大方積又在圗上渾員之外積之比例立方同徑之立員其比例為六○○與三一四立方同徑之員柱其比例為四○○與三一四員柱與同徑之立員其比例為三與二方圎周徑相求同積較徑 為方變員員變方之用凡方圎同積則員徑大方徑小其比例若一一二八三七九與一○○○○○○解曰員徑一一二八三七九則方徑一○○○○○○也法曰有員徑求其同積之方徑當以一○○○○○○乗以一一二八三七九除有方徑求其同積之員徑當以一一二八三七九乗以一○○○○○○除凡方員同積則員徑上平方與方徑上平方其比例若四○○○○○○○○與三一四一五九二六五解曰員徑自乗四○○○○○○○○則方徑自乗三一四一五九二六五法曰有員徑求其同積之方徑當以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得數平方開之得方徑有方徑求其同積之員徑當以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得數平方開之得員徑凡方員同積則員徑與方徑若一○○○○○○與○八八六二二六解曰員徑一○○○○○○則方徑八八六二二六也法曰有員徑求同積之方徑以八八六二二六乗員徑一○○○○○○除之即得方徑有方徑求同積之員徑以一○○○○○○乗方徑八八六二二六除之即得員徑約法以一一二八二七九乗方徑去末六位得同積之員徑以○八八六二二六乗員徑去末六位得同積之方徑同積較周凡方員同積則員周小方周大其比例若一○○○○○○與一一二八三七九亦若八八六二二六與一○○○○○○解曰員周一○○○○○○則方周一一二八三七九也方周一○○○○○○則員周八八六二二六也約法以一一二八三七九乗員周去末六位得同積之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同積之員周凡方員同積則其徑與徑周與周為互相視之比例解曰方周與員周之比例若員徑與方徑也論曰凡同積之周方大而員小同積之徑則又方小而員大所以能互相為比例約法以方周乗方徑為實員周除之得員徑若以員徑除實亦得員周以員周乗員徑為實方周除之得方徑若以方徑除實亦得方周 皆用異乗同除例如左一 員周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○二 方周一一二八三七九 二 員周○八八六二二六三 方徑○二八二○九四(七五) 三 員徑○二八二○九四(七五)四 員徑○三一八三○九(八八) 四 方徑○二五○○○○積七九五七七(四四八○○○○○○) 積六二五○○○○○○○○一 員徑一○○○○○○ 一 方徑一○○○○○○二 方徑○八八六二二六 二 員徑一一二八三七九三 方周三五四四九○四 三 員周三五四四九○四四 員周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○積七八五三九(八一六○○○○○○) 積一○○○○○○○○○○○○第四率並與一率乗得四倍積四除之得本積論曰以上皆方員周徑互相求乃同積之比例方員交變用之即比例規變面線之理同徑較積較周 即方内容員員外切方凡方員同徑則方積大員積小周亦如之其比例若四○○○○○○○○與三一四一五九二六五方徑一○○○○周四○○○○ 積一○○○○○○○○員徑一○○○○周三一四一五竒積○七八五三九八一六方徑二○○○○周四○○○○ 積四○○○○○○○○員徑二○○○○周六二八三一竒積三一四一五九二六五凡徑倍者周亦倍而其積為倍數之自乗亦謂之再加比例授時厯謂之平差徑二倍周亦二倍而其積則四倍徑三倍周亦三倍而其積九倍乃至徑十倍周亦十倍而積百倍徑百倍周亦百倍而積萬倍皆所加倍數之自乗數亦若平方謂之再加也同周較積較徑凡方員同周則員積大方積小徑亦如之其比例若四○○○○○○○○與三一四一五九二六五方周一○○○○○○徑○二五○○○○積六二五○○○○○○○○員周一○○○○○○徑○三一八三○九八八積七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○徑一○○○○○○積一○○○○○○○○○○○○員周四○○○○○○徑一二七三二三九五四積一二七三二三九五四○○○○論曰周四則徑與積同數但其位皆陞皆視周數之位今用百萬為周則積陞六位成萬億矣故雖同而實不同不惟不同而且懸絶定位之法所以當明也問位既大陞而數不變何耶曰周徑相乗得積之四倍於是四除其積即得所求平積此平冪之公法也兹方員之周既為四則以乗其徑而復四除之即還本數矣惟周數之四或十或百或千萬億無定而除法之四定為單數故無改數而有進位也又論曰周四倍之徑與周一之徑為四倍其積則十六倍所謂再加之比例渾圎内容立方徑一萬寸求圎徑 法以方斜一萬四千一百四十二寸為股自乗得二億為股實以方徑一萬寸為句自乗得一億為勾實併勾股實為三億為弦實開方得弦一萬七千三百二十○半寸命為渾圎之徑又以渾圎徑求圍得五萬四千四百十四寸弱 周徑相乗得九億四千二百四十七萬六九九四寸為渾冪以四除渾冪得二億三千五百六十一萬九千二百四十八寸竒為大平圎冪即立方一萬寸外切渾圎之腰圍平冪也圎柱積四萬○千八百十○億四三一八四九八四寸以渾圎徑乗平圎冪得之倍圎柱積以三除之得渾圎積二萬七千二百○六九五四五六六五六寸約法 立方徑一千尺其積一十尺 外切之渾圎徑一十七尺三二○五 渾圎積二千七百二十○尺六九五四 約為二千七百二十一尺弱試再用徑上立方求渾圎積法(即立方内求所容渾圎)以渾圎徑自乗再乗得渾圎徑上立方以圎率(三一四竒)乗之得數六除之得渾積並同立方與員柱若四○○與三一四竒(同徑之員柱也)立方為六方角所成員柱為六員角所成其所容角體並六而方與員異故其比例如同徑之周 此條為積之比例員周上自乗之方與渾員面冪若三一四竒與一○○渾員面冪與員徑上平方形亦若三一四竒與一○○皆員周與徑之比例渾員面冪與員徑上平員若四與一員柱面冪與員徑上平員若六與一(六員角之底皆外向合成此數)平員並為一而員柱冪為其六倍渾員冪為其四倍渾員為員柱三之二即此可徴積之比例如其面也以上四條並面冪之比例渾員體與員角體若四與一渾員面既為平員之四倍從面至心皆成角體故體之比例亦四倍立方面與徑上平方若六與一(六面故也)立方體與渾員體若六○○與三一四竒渾員面與徑上平方既若三一四竒與一○○而立方面與徑上平方若六與一平方同為一○○而立方面為其六倍渾員面為其三倍一四竒故立方之面與渾員之面亦若六○○與三一四竒也而體之比例同面故亦為六○○與三一四竒立員得員柱三之二論曰凡員柱之面及底皆立員徑上平員也旁周似員筩亦如截竹周圍並以員徑為髙即員徑乗員周冪也為徑上平員之四倍與渾員面冪同積(半徑乗半周得平員則全徑乗全周必平員之四倍)合面與底共得平員之六倍而渾員面冪原係平員之四倍是員柱冪六而渾員冪四也而體積之比例凖此可知亦必為三之二矣(三之二即六之四之半)問體積之比例何以得如面冪曰試於員柱心作員角體至面至底成員角體二皆以半徑為髙平員為底其餘則外如截竹而内則上下並成虚員角于是縱剖其一邉而令員筩伸直以其冪為底以半徑為髙成長方錐(底濶)(如全徑直如員周髙如半徑錐只一㸃)此體即同四員角(或縱剖為四方錐亦同皆以周四分之一為底濶以全徑)(為底長以半徑為髙其體並同員角何也以周四之一乗全徑與半)(徑乗半周同故方底同員底而其髙又同則方角同員角)合面底二員用共六員角矣而渾員體原同四員角(渾員面為底半徑為髙作員錐即同四員)(角)是員柱渾員二體之比例亦三與二也員角體得員柱三之一 凡角體並同凖前論員柱有六員角試從中腰平截為兩則有三員角而員筩體原當四員角今截其半仍為二員角或面或底原係一員角合之成三員角以為一扁員柱然則員角非員柱三之一乎若立方形各從方楞切至心則成六方角(皆以方面為底半徑為髙)從半徑平切之為扁立方則四周之四方角皆得一半成兩方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角體亦三之一矣渾員體分為四則所分角體各所乗之渾冪皆與員徑上平員冪等甲戊丙丁渾員體 從丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半徑各自其渾冪透至乙心而以半徑旋行而割切之則成上下兩員角體一甲卯辰丑乙(以甲丑卯辰割渾員之面為底乙為其銳此割員曲徑自)(丑而甲而辰居員周三之一)一丙癸寅子乙(以子丙寅癸渾員之割面為底乙為其銳此割員曲徑亦)(三之一如三百六十之一百二十)此上下兩角體相等皆居全渾體四之一中腰成鼓形而上下兩面並穵空各成虚員角(其外則周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割員状此割)(員曲徑自辰而丁而癸居員周六之一為三百六十之六十)此鼓形體倍大于上下兩角體居渾員全體之半若從戊乙丁腰横截之為二則一如仰盂一如覆碗而其體亦渾員四之一也如此四分渾體而其割員之面冪即各與員徑上之平員冪等故曰渾員面冪與徑上平員若四與一也問何以知中腰鼓體能倍大于上下兩角體曰試于子丙乙癸角體從子寅癸横切之則成子未癸午小員面為所切乙子寅癸小員角體之底乃子寅小半徑乗子未癸小半周所成也然則以子寅小半徑乗子未癸小半周又以乙寅半半徑為髙乗之而取其三之一即小角體矣試又于中腰鼓體從丑子及卯寅及辰癸諸立線周遭直切之脫去其外鼓凸形即成員柱體之外周截竹形又從酉乙申横切之為兩(一仰盂一覆碗)則此覆碗體舉一式為例可直切斷而伸之亦可成方角體此體以乙寅半半徑乗子未癸午小員全周為底(其形長方)又以小半徑子寅(子寅即乙申)為髙而乗之取三之一為長方角體此長方角體必倍大于小員角體何也兩法並以小半徑及半半徑兩次連乗取三之一成角體而所乗者一為小員全周一為小員半周故倍大無疑也又丙癸寅子亦可成角體與乙子寅癸等覆碗體既倍大則兼此兩角體矣凖此而論仰盂體必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑兩角體亦無疑也又角體内既切去一小角體又穵去一相同之小角體則所餘者為丙癸寅子員底仰盂體鼓體内既穵去如截竹之體則所餘者為内平(如丑子及辰癸)外凸(如子戊丑及辰)(丁癸)之空圈體而此體必倍大于員底仰盂體何以知之盖兩體並以半徑為平面(丑子與癸丙並同)並以員周六之一為凸面而腰鼓之平面以半徑循員周行員底仰盂之平面則以半徑自心旋轉周行者兩頭全用旋轉者在心之一頭不動而只用一頭則只得其半矣故决其為倍大也凖此而甲丑卯辰亦為穵空之員覆碗體而只得鼓體之半矣由是言之則上下角體各得中腰鼓體之半而鼓體倍大于角形渾體平分為四夫復何疑曰渾體四分如此真無纎芥之疑體既均分為四則其渾體外冪亦勻分為四亦無可復疑但何以知此所分四分之一必與徑上平員相等耶曰此易明也凡割渾員一分而求其冪法皆從其所切平面員心作立線至凸面心而以其髙為股員面心至邉之半徑為勾勾股求其斜弦用為半徑以作平員即與所割圎體之凸面等冪假如前圗所論上下兩角體從丑夘辰横線切之則以甲夘為股夘丑為句求得甲丑弦與半徑同以作平員與丑夘辰甲凸面等然則此角體之凸面豈不與徑上平員等冪乎甲亢半徑與甲丑同以作丑亢平員與甲丑夘辰凸面等冪試又作甲戊線為半徑之斜線(甲乙與戊乙皆半徑為句為股故也)以為半徑而作平員必倍大于半徑所作之平員而渾員半冪與之等則渾員半冪不又為平員之倍乎(如圖甲丑為半徑作乙庚房平員與丙戊甲平員等亦與甲辰夘丑)(割員凸面等為渾冪四之一也)(甲戊為半徑作戊心亥平員與甲丁乙戊半渾冪等而倍大于乙庚)(房亦倍大于丙戊甲平員則平員居渾冪四之一)如是宛轉相求無不脗合則平員為渾員冪四之一信矣取渾冪四之一法當以半徑為通弦以一端抵圎徑之端為心旋而䂓之則所割渾冪為四之一而其渾冪與圎徑上平員冪等甲辰(即丁乙)之自冪一百辰夘之自乗冪(七十五)如四與三則辰丑通弦為徑以作平員亦丁戊全徑上平員四分之三也大小兩平員各為底以半徑為髙而作員角體其比例亦四與三也今渾員徑上平員(即下戊徑上平員)所作之員角體既為渾積四之一則辰丑通弦徑所作之員角體即渾體十六之三矣(即甲丑夘辰角體及乙丑夘辰角體之合)若以丑辰通弦上平員為底半半徑為髙而作角體即渾體三十二之三分渾體為四又法甲乙丙渾員體 從員周分為三(一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三)(之一)又從辰從丙從丑依各半徑(辰乙丙乙丑乙皆是)至乙心旋而切之則成三角體者三各得渾體四之一(一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙說見前)則其所餘亦渾體四之一也(此餘形有三平)(員面以辰丑丑丙辰丙為員徑而並穵空至乙心如員錐之冪有兩)(凸面以辰丑丑丙辰丙之員周為界以乙為頂皆弧三角形三角並銳)兩凸面各得渾員冪八之一按辰丑即一百二十度通弦也凖前論以此通弦為圎徑作平員為底半半徑為髙而成員角體此員角體積即為渾員體積三十二分之三(即先所論員角體八之三)若依此切渾員體成半平半凸之體其積為渾積三十二之五(即員角體八之五)環堵形面冪 錐形面冪有正方正員面欲於周作立圍之堵牆而冪積與之倍法於方面取半徑為髙即得甲乙丙平方於其周作立起之方圍形如環堵取平方乙丙半徑為髙則方圍面冪倍大於平方論曰從平方心乙對角分平方為四成四三角形並以方根為底半徑為髙于是以此四三角形立起令乙銳上指則皆以乙丙半徑為髙而各面皆半冪故求平方以半徑乗周得冪也然則依方周作方牆而以半徑為髙豈不倍大於平方冪乎凖此論之凡六等邉八等邉以至六十四等邉雖至多邉之面而從其各周作牆各以其半徑為髙則其冪皆倍于各平冪矣然則平員者多邉之極也若於其周作立圈如環而以其半徑為髙則環形冪積亦必倍大於平員有方錐員錐於其周作圍牆而冪積與之倍法於錐形之各斜面取其至銳之中線(如乙丙)以為環牆之髙即得方牆如環堵底用方周髙如乙丙即斜面自銳至底之斜立中線解曰此以錐體之斜面較冪也論曰凡方錐皆有稜兩稜交于銳各成三角面而斜立從此斜立之三角面自銳至根濶處平分之得中線(乙丙)于是自稜剖之成四三角面而植之則中線直指天頂而各面皆圭形為半冪故凡錐體亦可以中線乗半周得冪也然則于底周作方牆而以中線為髙四面補成全冪豈不倍大乎凖此論之凡五稜六稜以上至多稜多面之錐體盡然矣而員錐者多稜多面之極也則以其斜立線為髙而自其根作員環則其員環之冪亦必倍大于員錐之冪前條所論切渾員之算得此益明盖員仰盂員覆碗及穵空之鼓形其體皆一凸面一平面相合而成其凸面弧徑皆割渾員圈六之一其平面之濶皆半徑然而不同者其内面穵空之平冪一為錐形(仰盂覆碗之内空如笠)一為環形也(鼓體之内空如截竹)准前論穵空之環冪必倍大於錐形之冪則其所負之割渾員體亦必環形所負倍大於錐形而穵空之鼓體必能兼員覆碗員仰盂之二體撱圎算法(訂厯書之誤)偶查撱圎求體法見其截小分之法有誤今以數考之假如撱圎形長徑為一千四百尺短徑七百尺大分截長徑一千○五十尺甲己三百五十戊乙七百相并得一千○五十 以此乗己乙一千○五十尺 以此除兩數相同右依厯書先求得庚壬甲圎角形為苐三率再用截大分軸己乙為法為苐一率以截小分軸甲己并戊乙半長徑為苐二率求得小分之容與圎角形等夫小分之容形外為弧線圎角之容形外為直線小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分漸小則乙己大分軸反大于甲己小軸及戊乙并之數而求小分之容反將更小于圎角矣有是理哉(小分漸小如辛癸甲則其甲己小于己戊而己)(乙者己戊與戊乙并也則其數亦大于甲己與戊乙并矣)又如截大分長七百二十分己乙為其軸甲己為其小分軸六百八十分依厯書法甲己小分軸(六百八十)為一率甲乙長徑(一千四百)并戊乙短徑(七百)共(二十一百)為二率求到庚壬乙圎角體為三率則所得四率為大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐無是理也何也圎角在圎柱形為三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也(雖壬庚畧小于丙丁在中腰相)(近可以不論)今試求之(用苐一圗)依勿庵改法假如截己乙大分軸一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己 依勿庵補法以己戊(三百五十尺)自乗(一十二萬)(二千五百尺)與甲戊(七百尺)自乗(四十九萬尺)相減餘(三十六萬七千五百尺)開方得己庚相當之原數 再以丙戊(三百五十尺)乗之甲戊(七百尺)除之為己庚實數倍之為庚壬線再以壬庚線上方變為平員今用簡法(因長徑甲乙與短徑丙丁原是)(折半之比例故也)竟以減餘(三十六萬七千五百尺)命為庚壬線上方以十一乗之得(四百○四萬二千五百尺)又以十四除之得(二十八萬八千七百)(五十尺)為庚壬線上所截撱體之平圎面法以平圎面各乗其(大分小分)之軸(一千○五十尺三百五十尺)皆成圎柱形乃三除之為(大小)分内所容之(大小)圎角形再以長徑(一千四百尺)乗大圎角為實小軸(三百五十尺)除之為所截撱形之大分以長徑(一千四百尺)乗小圎角為實大軸(一千○五十尺)除之為所截撱形之小分今用簡法 置平圎面三除之得(九萬六千二百五十尺)以小分軸(三百五十)乗之得庚甲壬小圎角形(三千三百六十八萬七千五百尺)置小圎角四因三除之得(四千四百九十一萬六千六百六十六又三之二)為所截小圎分又置圎面三除之積(九六二五○)以大分軸(一千○五十尺)乗之得庚子乙大圎角形(一億○一百○六萬二千五百尺)置圎角形(一○一○六二五○○)用四因之得(四億○四百二十五萬尺)為所截大圎分小圎分大圎分兩形并之(共四億四千九百一十六萬六六六六)為撱形全積另求撱形全積置短徑(七百)自乗得(四十九萬)以長徑(一千四百)乗之得(六億八千六百萬)以十一因之二十一除之得(三億五千九百三十三萬三三三)為真撱圎全積以真撱圎積與兩截形并相較其差為九十分之一而弱若用厯書法 求得截小分(二千三百六十八萬七千五百尺)與小圎角同截大分(六億○六百三十七萬五千)為大圎角之六倍相并得(六億四千○○六萬二千五百尺)為撱圎全積 與撱圎真積相較其差更甚如是輾轉推求則知撱體大截分不可算今别立法凡撱體皆先如法求其全積再如法求其小分截積以小分截積減全積餘為大分截積此法無弊可存厯算全書卷五十六
## 卷五十七
欽定四庫全書厯算全書卷五十七宣城梅文鼎撰㡬何補編卷一四等面形算法先算平三角形平三角形三邊同者求中得中長線(乙甲)其三之一即内容平圓半徑(心甲)其三之二即外切圓之半徑(乙心或心丙)又法以邊半之(丙甲)自乘得數(丙庚方)取其三之一開方(甲壬)(小方)得容圓之半徑(壬癸或甲癸俱與心甲等)又取自乘數(丙庚方)三分加一(丙庚方加壬甲小方)并而開方得外切圓之半徑(丙心)論曰三邊角等則半邊之角六十度(丙心甲角)其餘角三十度(心丙甲角)内容圓半徑為三十度之正弦(心甲)外切圓半徑如全數(丙心)其比例為一與二故内容圓半徑(心甲)正得外切圓半徑(丙心)之半也(此論可解前一條)形内丙心甲與乙心丁兩小句股形相等又並與乙甲丙大句股形相似(何則乙角丙角並分原等角之半丁甲等為正角則三角皆等而邊之比)(例等)而大形之句(丙甲)旣為其弦(乙丙)之半則小形之句(心丁亦即)(心甲)自必各為其弦(心乙亦即心丙)之半故知心甲(原同心丁)為乙甲之半也心甲旣為心丙之半則心甲一心丙必二而丙戊必三矣(乙甲同)何也以乙心與丙心同為二心甲與心戊同為一也聯心乙二與心甲一豈不成三今以内圓半徑為股(心甲)外圓半徑為弦(心丙)三邊之半為句(丙甲)成心甲丙句股形則心丙自乘内(弦幂)有心甲(股幂)及甲丙(句幂)兩自乘之積也而心甲股與心丙弦旣為一與二之比例則心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一減心丙弦幂四其餘積三即丙甲句幂矣故心甲之幂一則丙甲之幂三心丙之幂四今先得邊故以丙甲三為主而取其三之一為心甲股幂又於丙甲三加三之一為四即成心丙弦幂也(此論可解後一條)以上俱明三等邊平面之比例今作四面等體求其心法自乙頂向子向甲剖切之成乙子甲三角面心者面之心中者體之心前圖所謂心者面之心也今所求者體之心即後圖所謂中也故必以剖而後見次求甲丑線乙子邊平分于丑從丑向甲得垂線此丑甲垂線在體中必小於乙甲在外之垂線故乙甲如弦丑甲如股乙丑如句也法以甲乙弦自乘内減乙丑句幂餘為股幂開方得丑甲又法凖前論乙丑之幂三(即丙甲皆半邊故)則乙甲之幂九(乙甲)(三倍大于心甲故心甲幂一則乙甲幂九)以三減九餘六亦即甲丑股幂矣以開方得甲丑捷法倍原半邊(甲丙)自乘數以開方得(甲乙)中垂線 或半原邊(丙己)自乘之數開方亦得(甲丑) 丙甲之幂三(乙丑同)則甲丑之幂六而丙己之幂十二也(甲丑與丙己幂積之比例為一與二)次求心中線捷法但半心甲自乘即心中幂論曰心甲與心中猶甲丑與乙丑也甲丑幂與乙丑幂為六與三則心甲與心中之幂亦如二與一又捷法心中之幂一心甲之幂二則乙丑之幂六(即丙甲)而心丙之幂八(亦即乙心)俱倍數但以半邊(乙丑或丙甲)之幂取六之一即心中幂開方得心中即四等面形内容小渾圓之半徑也(心中線者即各面之心至體心)(也故為内容小渾圓半徑)以心中之幂一(句)加乙心之幂八(股)并之為弦幂九開方得中乙(或中子或用前總圖則為甲丙為甲己並同)是即四等面形外切渾圓之半徑也外切圓之冪九(中乙)内切圓之冪一(心中)得其根之比例為三與一故四等面形内容渾圓之徑一則其外切渾圓之徑三又捷法但以乙丑半邊之幂加五(即二之一)為中乙(或中子等)幂開方得外切圓之半徑(葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例為一有半也)此四邊不等形(又為三角立錐形)為四等面形四之一各自中切至邊線成此形其底三邊等即四等面形之一面其髙為中心即内容小渾圓之半徑其中乙等三楞線三倍大於中心之髙即外切渾圓之半徑取四等面形全積捷法先取面幂(即前圖乙己丙平面依前比例求其幂)以内容圓半徑(心中)乘之得數四因三歸見積法曰丙甲半邊之幂三則甲乙中長之幂九開方得中長(乙甲)以乘丙甲得乙己丙三等邊之幂積即四等面形之一面也次求本積四之一(即各面輳心剖裂之形如右圖)丙申半邊之冪六則中心之冪一開方得中心髙以乗所得面冪而三分取其一即為四等面形四之一於是四乗之即為全積也又㨗法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一(即同三除以心甲為乙甲三之一故也)此帶縱小立方形與右圖四等面形四之一等積又㨗法以丙己全邊(亦即丙乙)乗乙心再以中心乗即得本形全積(乙心為心甲之倍數丙己為丙甲之倍數用以)(相乗則得丙甲乗心甲之四倍數也)邊設一百依上法求容丙己邊一百其冪一萬丙甲半邊五十其冪二千五百三因之得七千五百為乙甲中垂之幂(丙甲股幂減丙己弦冪得句幂也丙己亦即丙乙) 平方開之得八十六(六○二五)為乙甲其三之一得二十八(八六七五)為心甲 其三之二得五十七(七三五○)為心乙 又置丙甲幂二千五百取六之一為心中幂得四百一十六六六不盡 開方得心中之髙二十零四一二四亦即内容渾圓之半徑依上法以丙己全邊一百乘乙心五十七(七三五○)得五千七百七十三半 又以心中二十零(四一二四)乘之得全積一十一萬七千八百五十一弱(與厯書微不同)四等面體求心捷法准前論心中幂一則心甲幂二中乙幂九乙丑幂六以句股法考之則中甲與中丑之幂俱三也何也心中甲句股形以中甲為弦故心中句幂一心甲股幂二并之為中甲弦幂三也而乙中丑句股形以中丑為句故乙中弦幂九内減乙丑股幂六其餘為中丑句幂亦三也由是徴之則中丑與中甲正相等但如法求得甲丑線折半得中㸃即為體心又捷法取乙丑幂(即原設邊折半自乗)半之為中丑幂開方得中丑亦得甲中(或乙子全邊自乘取八之一為甲中幂亦同)中丑即原邊乙子距體心之度甲中即原邊丙己距體心之度而中為體心想甲㸃在丙己邊折半之處今從側立觀之則線化為㸃而丙己與甲成一㸃故從丙己原邊依楞直剖至乙子對邊即成甲丑線其線即所剖面之側立形此圖即前圖甲丑線所切之面葢面側視則成線矣原設四等面全形今依子丑乙楞剖至甲則成縱剖圖故甲㸃内有丙己線若依丙甲己楞剖至丑則成横剖圖故丑㸃内有子乙也縱剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己邊於甲一也依丙乙楞剖而平分子巳邊二也依己乙楞剖而平分子丙邊三也横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙邊于丑一也依子丙邊剖而平分乙己邊二也依子巳楞邊剖而平分丙乙邊三也其所剖之面並相似皆以中㸃為三對角垂線相交之心一率 一一七八五一 例容二率 一○○○○○○ 例邊之立方積三率 一○○○○○○ 設容四率 八四八五二九○ 設邊之立方積開方得根二百○四弱為公積一百萬之四等面體楞與比例規解合若商四數則其平廉積四十八萬長廉積九千六百其隅積六十四共得四十八萬九千六百六十四不足四千三百七十四為少百分之一弱故比例規解竟取整數也計開四等面諸數邊一百積一十一萬七八五一積一百萬邊二百○三九六内容渾圓半徑二十○(四一二四)内容渾圓全徑四十○(八二四八)外切渾圓半徑六十一(二一○○)外切渾圓全徑一百念二(四二○○)互剖求心之圖設邊一百其幂一萬(丙己乙子乙丙)(乙己子丙子己並同為外切渾圓徑幂三之二)半邊五十其幂二千五百(丙甲)(甲己乙丑丑子等並同為邊幂四之一)斜垂線之幂七千五百(乙心甲子)(角甲丙亢丑己氐丑並同為邊幂四之三)其根八十六六○二五斜垂線三之一二十八八六七五其幂八百三十三三三(即外切渾圓徑幂十八之一為邊幂十二之一)即各面内容平圓半徑(心甲角甲亢丑氐丑並同)斜垂線三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三(乙心子角丙亢己氐並同)内容渾圓半徑二十○四一二四其幂四百一十六六六不盡(為邊幂二十四之一即外切渾圓三十六之一)即分體中髙(心中角中亢中氐中)(並同) 若内圓全徑之幂則一千六百六十六六六(為邊幂六)(之一外切渾圓徑幂九之一)外切渾圓半徑六十一二三七二其幂三千七百五十即分體之立面楞(乙中子中丙中己中並同)四因之為渾圓全徑幂一萬五千其徑一百二十二四七四四又外切正相容之立方其幂五千為四等面邊幂之半即斜方之比例又為外切渾圓徑幂三之一一率 外切渾圓徑一百二十二四七四四二率 四等面之邊一百三率 渾圓徑一百四率 内容四等面邊八十一六四九六又捷法渾圓徑幂一萬五千則内容四等面邊幂一萬或内容立方面之斜亦同為渾圓徑幂三之二若設渾圓徑一百其幂一萬則内容四等面邊之幂六千六百六十六六六亦三之二也平方開之得八十一六四九六為四等面邊即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三為渾圓徑幂三之一即方斜之半幂亦即四等面邊幂之半平方開之得五十七七三五○是為渾圓徑一百内容立方之邊亦即渾圓内容立方立方又容小圓之徑若於四等面内又容渾圓則其徑幂一千一百一十一一一為渾圓徑幂九之一為四等面幂六之一立方面幂三之一開得平方根三十三三三不盡(幂九之一則其根必三之一也)為内容小渾圓之徑以徑乗幂得三萬七千○三十七為徑上立方積 以十一乗十四除得二萬九千一百○○半為圓柱積 柱積取三之二得一萬九千四百為小渾圓積得大渾圓二十七之一 以小渾圓積二十七因之得五十二萬三千九百為四等面外切大渾圓積(即徑一百)(之渾圓積也)互剖求心法凡四等面體任以一尖為頂則其垂線為自尖至相對之平面心(亦即平面容圓之心)而以餘三尖為底其垂線至底之㸃旁距三尖皆等(即乙心丙心己心三線之距心皆等而以子尖為頂其垂線為子中心其)(底為乙丙己平三角面餘倣此)此為正形(各尖皆可為頂其法並同)若以子中心垂線為軸而旋之則成圓角體凡四等面體任平分一邊而平分之㸃為頂以作垂線則其垂線自此㸃至對邊之平分㸃而以對邊為底底無面但有邊底邊與頂邊相午直正如十字形假如以子乙邊平分於丑以線綴而懸之則其垂線至所對丙己邊之平分正中為甲㸃其線為丑中甲而子乙邊衡扵上則丙己邊縱於下正如十字無左右之欹亦無髙下之微差也若以丑中甲垂線為軸旋之則成圓柱體凡四等面體以其邊為斜線而求其方以作立方則此立方能容四等面體何以知之曰准前論以一邊衡於上而為立方上一面之斜則其相對之一邊必縱於下而為立方底面之斜矣又此二邊之勢旣如十字相午直而又分於上下為立方上下兩面之斜線然則自上面之各一端向底面之各一端聯為直線即為四等面之餘四邊亦即立方餘四面之斜如此則四等面之六邊各為立方形六面之斜線而為正相容之體如前所論圓角體圓柱體雖亦能容四等面形而垂線皆小於圓徑故不得為正相容捷法四等面之邊自乘折半開方即正相容之立方根(即弦倍句股意)設邊一百其幂一萬折半五千即為立方一面之積求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂線之髙若以此作容四等面之圓柱則其髙七十○七一○六同立方之方根而其圓徑一百同立方面之斜此圓柱内可函立方其乙中子中等為自四等面體心至各角之線又為立方心至各角之線又為外切渾圓之半徑又為四等面分為四體之楞線又為立方分為六方錐之楞線又捷法以四等面之邊幂加二分之一開方即外切正相容之渾圓徑亦即立方體内對角線(如自乙至震)折半為自心至角線 四等面設邊一百其幂一萬用捷法二分加一得一萬五千為外切正相容之渾圓全徑幂開方得一百二十二四七四四為渾圓全徑折半得六十一二三七二為渾圓半徑立方内容四等面圖設立方邊一百其積百萬内容四等面邊一百四十一(四二)(一三)其積三十三萬三千三百三十三(三三三三)為立方積三之一乾坤震㢲立方(乾丙坤己乙㢲子震與中心之丑甲同髙)内容子乙丙己四等面為立方積三之一何以明之凡錐體為同底同髙之柱體三之一今自立方之乙角依斜線剖至丙巳成乙丙巳㢲三角錐以丙巳㢲立方之半底為底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震錐以丙巳震立方之半底為底合丙半底則與立方同底矣而子震與乙㢲之髙即立方髙也是此二錐得立方三之一矣又自子乙斜線斜剖至巳角成倒錐以子乙坤立方之半頂為底以坤巳立方髙為髙又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之錐以子乙乾立方之半頂為底以乾丙立方髙為髙與前二錐同亦三之一也合此二錐共得立方三之二則其餘為子乙丙巳四等面體者必立方三之一矣准此論之凡同邊之八等面積四倍大於四等面積何以知之以此所剖之四錐體合之則為八等面之半體皆以剖處為面而其邊其面皆與四等面等是同邊之體也而八等面之半體旣倍大於四等面則其全體必四倍之矣設八等面邊一百四十一(四二一三)與四等面同邊則八等面之積一百三十三萬三千三百三十三(三三不盡)為四等面之四倍若設四等面邊一百則其外切之立方面幂五十立方根七十○(七一○六)以根乘幂得立方積三十五萬三千五百五十三四等面積一十一萬七千八百五十一為立方積三之一推得八等面邊一百其積四十七萬一千四百○四此同邊之比例若立方内容之八等面則其積為立方内容之四等面二之一何以知之八等面與立方同髙則其積為立方六之一故也設立方邊一百内容八等面邊七十○(七一○六)其積一十六萬六千六百六十六為四等面之半若設立方邊七十○(七一○六)則内容八等面積五萬八千九百二十五半其邊五十四等面體又容小立方小立方内又容小四等面體則内容小立方徑為外切立方三之一内小四等面在小立方内其徑亦為四等面三之一而其積皆二十七之一何以知之凡三等邊平面之心皆居垂線三之一假如子巳丙為四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂線分三之一為癸甲其餘三面盡同而内容之小立方必以其下方之兩角縱切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之兩㸃必横切於子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四㸃也今壬癸兩㸃旣下距丙己線為其各斜垂線三之一而卯申兩㸃又上距子乙線之斜垂線亦三之一則其中所餘三之一必為立方所居也而内小立方不得不為子乙與丙己相距線三之一矣問癸㸃為三之一者斜面之垂線也小立方者直立線也何以得同為三之一乎答曰癸㸃所居三之一雖在斜面而子乙縱線與丙己横線上下相距必有垂線直立於其心此直立垂線即前圖之甲丑與外切立方線同髙者也丑甲中垂線以上停三之一之上㸃與卯申平對以下停三之一之下㸃與壬癸平對依句股法弦與股比例同也然則丑甲線之中停即小立方之所居矣又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方徑為外切立方徑三之一又小四等面在小立方内以其邊為小立方之斜而縱横邊相午對如十字其中心亦以丑甲線之中停為其軸其斜面之勢一切皆與大四等面同而丑甲者亦大四等面之軸也小四等面之中軸旣為丑甲三之一其餘一切皆三之一矣夫體積生於邊者也邊為三之一者面必為九之一體必為二十七之一無疑也准此論之渾圓在四等面内者亦必為外切渾圓二十七之一其徑亦三之一也何也渾圓之切㸃與小立方小四等面之切㸃並同也以此推知小立方與小四等面在大四等面内或居小渾圓内以居大四等面内其徑積並同求體積渾圓徑一百其徑上立方一百萬依立圓法以十一乘十四除得七十八萬五千七百一十四為圓柱積仍三分取二得五十二萬三千八百○九為渾圓積内容立方面幂三千三百三十三(三三)其邊五十七(七三五○)以邊為髙乘面得一十九萬二千四百五十○為内容立方積内容四等面體邊幂六千六百六十六(六六)其邊八十一依前論四等面體為立方三之一得六萬四千一百五十○為四等面積立方内容小渾圓以立方之邊為徑五十七(七三五○)依立圓法以立方積十一乘十四除得一十五萬一千二百一十為圓柱積取三之二得一十○萬○八百六十六為小立圓積四等面内容小渾圓徑幂一千一百一十一(一一)其徑三十三(三三)以徑乘幂得徑上立方積三萬七千○三十七以十一乘十四除得二萬九千一百○半為圓柱積又三分取一得一萬九千四百為立方内之四等面内容小渾圓積為大渾圓積二十七之一若先有内小渾圓積但以二十七因之得大渾圓積依此論之凡渾圓内容立方立方内又容四等面體四等面内又容小渾圓其内外相似之大小二體皆二十七之比例也又捷法用方斜比例立方面之斜設一百其冪一萬則其方冪五千用三因之得一萬五千開方得立方對角斜線即為外切渾圓全徑立方面之斜一百即立方内容四等面之邊立方體對角斜線一百二十二(四七四四)即立方外切渾圓之全徑亦即四等面外切渾圓全徑半之得六十一(二三)(七三)即立方外切渾圓半徑亦即立方體心至各角之線亦即四等面體心至各角之線八等面形圖註第一合形甲丁 甲丙 甲己 甲戊丁丙 丙己 己戊 戊丁戊乙 己乙 丁乙 丙乙以上形外之楞凡十有二即根數也其長皆等或設一百為一楞之數則十二楞皆一百也甲丁戊 甲戊己 甲己丙 甲丙丁 丙丁乙己丙乙 戊己乙 丁戊乙以上形周之分面凡八皆等邊平三角形也其容積其邊皆等或設一百為邊數則三邊皆一百而形周之分面八皆三邊邊皆一百也第二横切形(二)甲丁丙己戊為上半俯形丁丙己戊乙為下半仰形右二形各得合形之半皆從丁戊楞横剖至己丙一俯一仰皆方錐扁形丁丙己戊為方錐之底其邊皆等其從四角凑至頂之楞皆與底之邊等第三直切形(四)從甲尖依前後楞直剖過丁己至乙尖成左右兩形從甲尖依左右楞直剖過丙戊至乙尖成前後兩形此四形者一切皆與仰俯二形同但彼為眠坐之體故為方錐(仰者即倒卓方錐)而此則立體即如打倒方錐之形也第四横切之面一直切之面二因横剖得正方平面在立方錐以此為底倒方錐以此為面在合形則為腰圍其己丁及丙戊兩對角斜線相交於心即兩直切之界也(心即合形中心)因直剖得斜立方面二其己丁及戊丙横對角線即横切之界其從甲至乙垂線即直剖之界如立面在前後互剖之形則此線為左右直剖之界彼此互為之也亦即為全形之中髙徑線以此知八等面之中髙線為方斜之比例第五分形因横剖及兩直剖分總形為八皆三角錐形也皆以等邊平三角形面為錐形之底而以横直剖線相交處之點為其銳頂即合形之中心也其自頂心至角之楞皆等皆邊線之方斜比例也(底線為方則此線為其斜之半)而此楞線又即為八等面形之外切圓之半徑設己戊邊一百其幂一萬則心戊楞之幂五千(倍戊庚半邊之幂為半斜幂也)戊心之幂五千内減戊庚幂二千五百則其餘二千五百為心庚之幂故心庚必與戊庚等從心頂對己庚楞直剖至庚分形為兩則其中剖處成三角平面己庚者乙己戊等邊三角平面之中垂線也其幂為邊四之三設邊一百之幂一萬則己庚之幂七千五百庚辛者平面三角容圓之半徑也得己庚三之一其幂則九之一也己庚之幂七千五百則庚辛之幂八百三十三(三三)辛㸃即各三角平面之中心以庚辛幂八百三十三(三三)減心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六開方為心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○(八二四七)依平面三等邊法設邊一百其中長線八十六(六○二五)其幂積得四千三百三十○(一二五○) 取平幂三之一得一千四百四十三(三七五○)以乘中髙得分形積五萬八千九百二十五(三五一三) 再以八因之得總積四十七萬一千四百○二(八一○四)與總算合設八等面之邊一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方 半之為每角輳心之線之幂得○五○○○此線即分形自底角輳頂心之楞(如心戊心己心乙)又為八等面形外切渾圓之半徑 又半之為分形每面自頂至邊斜垂線之幂(即心庚)得○二五○○此線即設邊之半其幂為設邊四之一設半邊之幂取其三之二為分形中髙線之幂(即心辛)得○一六六六不盡又為八等面形内容渾圓之半徑㨗法取八等面設邊之幂六而一為八分體中髙之幂開方得中髙假如設邊一百其幂一萬則分體中髙之幂一千六百六十六不盡 求其根得四十○(八二四八) 以中髙乘三角平面幂三除之得分體八因之得全積又捷法八等面設邊之幂取三之二為體内容渾圓之徑幂開方得内容渾圓徑折半為八分體中髙假如設邊一百其幂一萬則内容渾圓之徑幂六千六百六十六不盡 求其根得八十一(六四九六) 折半為分體中髙或竟以内容渾圓全徑乘設面三角平幂四因三除之得全積又捷法 此方斜之比例八等面設邊之幂倍之為體外切圓徑幂開方得徑以乘設邊之幂(即腰廣平方)得數三歸見積假如設邊一百其幂一萬其斜如弦弦之幂倍方幂得二萬求其根得一百四十一(四二一三) 以乘腰廣一萬得一百四十一萬四千二百一十三 三除之得總積四十七萬一千四百○四一系 八等面體之邊上幂與其外切渾圓之徑上幂其比例為一與二(方斜比例)一系 八等面體之邊上幂與其内容渾圓之徑上幂其比例為三與二一系 八等面體外切渾圓之徑上幂與其内容渾圓之徑上幂 其比例為三與一准此而知八等面内容渾圓渾圓内又容八等面其渾圓外切之八等面邊或徑上幂與内容之八等面邊或徑上幂其比例亦必為三與一也計開八等面形諸數設邊一百 其積四十七萬一四○四(與厯書所差甚微)其體外切渾圓之徑一百四十一(内外兩渾圓之徑幂為三與一其根約為)(四與七而强)體内容渾圓之八十一八等面外切立方徑一百四十一(方斜比例也與外切渾圓同)八等面内容立方徑四十七内外切大小立方之徑之比例為三與一内外兩立方之積之比例為二十七與一若渾圓内容立方立方内容八等面體八等面體内又容渾圓則大小兩渾圓之徑亦若三與一其積亦若二十七與一一率 四七一四○四 例容二率 一○○○○○○ 例邊之立方三率 一○○○○○○ 設積四率 二一二一三二二 設邊之立積開立方得根一百二十八為公積一百萬之八等面根(與比例規解合)㡬何補編卷二二十等面形自腰切之成十等邊平面先求甲丁 乃十等邊平面從心對角之線 亦即二十分形各三角立體一面之中垂斜線法為甲乙(即切形十等邊之半在原設二十等面形邊為四之一)與甲丁若十八度之正弦與全數也(十等邊各三十六度其半十八度)設邊一百 所切十等邊平面之邊五十 其半甲乙二十五一率 十八度正弦 ○三○九○二率 全數 一○○○○三率 甲乙 二五四率 甲丁 八○(九○六一)用等邊三角求容圓法設邊一百 其内容圓半徑二十八(八六七五)為心甲以心甲為句二十八(八六七五)其幂八百三十三(三三二五)以甲丁為弦八十○(九○六一)其幂六千五百四十五(七九七○)句幂減弦幂餘五千七百一十二(四六四五)為心丁股幂開方得心丁七十五(五八○八) 此即各面切形自各面之心至切體尖之髙也 其切體之尖即原設二十等面總形之體心為丁點用後法得乙己丙平面幂積四千三百三十○(一二五○)又依三等邊角形設邊一百(丙己) 其半五十(丙甲) 求到乙甲中長八十六(六○二五)用其三之一即心甲二十八(八六)(七五)以與丙甲五十相乘得一千四百四十三(三七五○)為各等面平積三之一(三因之得平面幂)又以丁心七十五(五八○八)乘之得一十○萬九千○九十一(四三七二)為二十等面形分切每面至心之積又以二十乘之得全積依上法求到二十等面全積設邊一百 其積二百一十八萬一千八百二十八(查比)(例規解差不多惟測量全義差逺)按此法以本形分為二十各成三角立錐形而各以分形之髙乘底取三之一以為分形積然後以等面二十為法乘而并之得總積可謂的確不易矣然與厯書中比例規解及測量全義俱不合何耶計開二十等面形設邊一百 其每面中長線八十六(六○二五)其每面幂積四千三百三十○(一二五○)其每面容平圓之心作線至形心之丁七十五(五八○八)即心丁 心丁即内容渾圓之半徑其分形各以每面之幂積為底心丁為髙各得三角立錐積一十萬九千○九十一(四三七二)其立錐積凡二十合之得總積二百一十八萬一千八百二十八用上法求形内容渾圓其心丁七十五(五八○八)即内容渾圓半徑(以心丁線與各平面作垂線而)(丁㸃即體心故)倍之得一百五十一(一六一六)為内容渾圓全徑置小渾圓徑一百五十一零自乘得二萬二千八百○一以十一乘十四除得一萬七千九百一十五為圓幂置内容渾圓之平圓幂一七九一五以圓徑一百五十一取三之二得一百强以乘平圓幂得一百八十○萬二千二百四十九為二十等面内容渾圓之積置内容圓徑一百五十一自乘得(二萬二千八百○一)再乘(三百四十)(四萬二千九百五十一)以立員捷法(○五二三五九八七七)乘之得渾圓積一百八十○萬二千七百二十五先用宻率(十四除十一乘)得渾圓一百八十萬二千二百四十九以較立圓捷法所得少尾數四百七十六約為一萬八千之五弱不足為差也依立圓法以圓率三一四一五九二乘立圓法六而一得五十二萬三五九八為徑一百之渾圓積依法求得立方邊五十七(七三五○)立方積一十九萬二四五○四等面積六萬四千一百五十○並合前算小渾積一○○七六六 若用捷法以渾圓率五二三五九八乘立方積得數後去末六位亦得一十○萬○七六六内容渾圓尚且如此之大况二十等面之形又大於内圓乎然則厯書之率其非確數明矣二十等面一率 二一八一八二八 例容二率 一○○○○○○ 例根一百之體積三率 一○○○○○○ 設容四率 ○四五八三三二 所求根立積如法算得二十等面之容一百萬其根七十七比例規解作七十六尚差不多測量全義云二十等邊設一百其容五二三八○九則大相懸絶矣乆知其誤今乃得其確算己未年所定之率以兩書酌而為之究竟不是今乃得之可見學問必欲求根也二十等面分體之圖亥子戌為二十等面之一面亦即各分體之底亥子子戍戍亥皆其邊即根也半之為亥甲甲乙丙為横邊切處即横切成十等邊形之一邊丁為體心亦即切十等邊平面之中心甲乙丙丁即横切十等邊平面之分形 心為二十等面每面之正中 心丁為體周各平面至體心之垂線亦即分體之中髙亦即體内容渾圓之半徑 丁亥丁子丁戌皆分體之楞線乃自各分面角輳體心之稜也亦即為外切渾圓之半徑 丁甲丁丙皆横切平面各角輳心之線亦即分體各斜面之中垂斜線也求法以丁甲為股亥甲為句(即根之半)兩幂相并開方得弦即丁亥也(丁子丁戌同)求二十等面外切渾圓之半徑依句股法 以丁甲股八十○(九○六一)自乘幂六千五百四十五(七九七○) 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相并為亥丁弦幂九千○四十五(七九七○) 平方開之得亥丁九十五(一○五二)為外切渾圓半徑 亦即二十分形自其各角輳心之稜 倍之得一百九十○(二一○四)即外切渾圓全徑計開二十等面體諸數設邊一百 其容二百一十八萬一千八百二十八其内容渾圓徑一百五十一 其外切渾圓一百九十其每面中心至體心七十五半(即内容渾圓之半徑)其每面各角至體心九十五(即外切渾圓之半徑)計開二十等面體諸用數設邊一百 外切立方之半徑八十○(九○一七)為體心至邊之半徑(即寅中卯中辰中等)倍之為邊至邊一百六十一(八○三四)即外切立方全徑外切渾圓之半徑九十五(一○五六)為體心至各角尖之半徑(即甲中戊中心中等)倍之為角尖至角尖一百九十○(二一一二)即外切渾圓全徑内容渾圓及内容十二等面之半徑七十五(五七六一)為體心至各面之半徑(即己中庚中等)倍之為内容渾圓全徑一百五十一(一五二二)為面至面内容十二等面之邊五十三(九三四四)每面之幂四千三百三十○(一二五○)二十等面之幂共八萬六千六百○二半分體積一十○萬九千○八十四(六五)為二十等面體積二十之一合之得全積二百一十八萬一千六百九十三内容小立方之邊八十七(二六七七) (以内容立圓徑自乘乏幂取三之一開方)(得之)内容燈體邊五十(即原邊之半)立方内容二十等邊算法亢卯寅房為立方全徑一百中寅中卯為半徑五十寅卯二點為二十等面邊折半之界寅卯線為二十等面邊之半中為體之中心 寅中卯角為三十六度中寅半徑當理分中末之全數 寅卯即理分中末之大分甲戊戊心心甲皆寅卯之倍數即二十等面之邊其數六十一(八○三三九八)甲辰半邊三十○(九○一六六九與寅卯同)心辰垂線五十三(五二三三) 半垂線心箕二十六(七六一六) 甲辰幂九百五十四(九一五○) 三因甲辰幂為心辰幂二千八百六十四(七四五○不盡)計開立方徑設一百 半徑五十理分中末線大分六十一(八○三三九八)即二十等面之邊論曰以中寅半徑五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊邊原倍於寅卯寅房全徑亦倍於寅中是全數與大分皆倍也故徑以全數當寅房全徑以理分中末之大分當甲戊等二十等邊之全邊也又立方邊設一百(即寅房徑) 半之五十(即中寅)内容二十等面之邊六十一(八○三三九八即甲戊等)面之中垂線五十三(五二三三即心辰)中垂線之半二十六(七六一六即心箕)面之幂一千六百五十三(九五七八甲戊心面)中垂線三之一得一十七(八四一一即心己)内容立圓半徑四十六(七○八六即己中) 全徑九十三(四一七二)二十等面全積五十一萬五千○二十六(九五九七)約法立方根與所容二十等面之邊若全數與理分中末之大分 面幂三之一以乘容圓全徑得數十之為全積中垂線三之一心己為句(即平面容員半徑)自乘得句幂三百一十八(三○四八四九)以減中寅弦幂二千五百○○餘己中股幂二千一百八十一(六九五一五一)開方得己中根四十六(七○八六)二十等面邊設一百用理分中末線求其外切之立方一率 二十等面邊六十一(八○三三九八)二率 外切立方一百○○三率 二十等面邊一百○○四率 外切立方一百六十一(八○三四)依法求得二十等面邊一百其外切立方一百六十一(八○三四)與先所細算合半圓内容正方法以圓徑為三率(丙丁) 理分中末之小分為二率(庚辛)理分中末全線加小分為首率(丁辛為全線再加庚辛為小分共得為丁庚總)(線也) 二三相乘一率除之得四率(丙乙即甲丁)為全徑之小分以減全徑餘(乙丁)乃于乙作正十字線至圓界(如己乙)即以此線自乘作正方(己甲)如所求論曰己乙即丙乙與乙丁之中率而丙乙旣為乙丁全徑之小分則己乙即大分也而甲乙亦為大分 甲丁亦為小分矣若自甲作甲戊必與己乙甲乙等而其形正方半渾圓内容立方法以乙甲圓徑自乘之幂取其六之一開方得容方根(丙丁方丙戊邊)論曰試倍甲丙乙庚半渾圓為全渾圓體亦倍丙丁正方形作丙己長立方形亦必能容矣然則丙己線在長立方形之内為斜線者亦即渾圓之徑也(與甲乙徑等)試於長立方面作戊己斜弦則己壬為之句戊壬為之股而戊己弦幂内有己壬幂與戊壬幂矣而丙己線為弦則戊己又為股丙戊又為句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣(丙戊亦即己壬)又戊壬為己壬(即丙戊亦即戊癸)之四倍則戊壬股幂内有己壬句幂四合之為戊己弦幂則戊己幂内有己壬幂五矣而丙己弦幂内復兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己旣同圓徑則取其幂六之一開方必丙戊容方邊矣立方内容十二等面其内又容立方(此相容比例)立圓内容十二等面其内又容立方此立方之面幂為外圓徑上面幂三之一而立方之各角即同十二等面角以切於立圓之面法以外切渾圓徑上幂取三之一為十二等面内小立方幂平方開之得小立方根根乘幂見積又簡法以十二等面之面幂求其横剖之大線此線即十二等面内容小方之邊如圖作甲乙線剖一面為二此線在面中最大即為内小立方根以此自乘而三之即小立方外切渾圓徑幂凡立方内容二十等面二十等面内又容渾圓圓内又容小立方此小立方之各角能同渾圓之切點以切於二十等面之平面心法以内容渾圓徑之幂取三之一為内小立方之幂平方開之得切點相距即小立方根以根乘幂見積簡法取内容渾圓之内小立方邊求其理分中末之大分為内容十二等面邊又簡法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大線即二十等面内容小立方之根 以根自乘而三之即二十等面内容渾圓之徑幂 開方得根即内容渾圓徑 折半為分體之中髙此二十等面之面作三分之一横剖此十二等面之面在二十等面内此五等面邊即前横線所成凡五等邊平面其邊即七十二度之通弦横剖大線即一百四十四度之通弦各折半為正弦可以徑求一率 三十六度正弦二率 七十二度正弦三率 五等邊之一邊四率 横剖之大線凡十二等面體與二十等面體可互相容而不窮十二等面體有二十尖二十等面體有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧凡二十等面内容立圓仍可以容二十等面二十等面内容立圓仍可以容十二等面甲心乙 乙心丙 丙心丁丁心戊 戊心甲 皆二十等面之一面其各三邊皆等各以庚辛壬癸己為其面之心若内容十二等面體則十二等面之各尖必切於庚辛壬癸己等心點今求内容十二等面之邊則必以庚辛等心點聮為直線即成五等邊面之邊而與十二等面之形相似而可以相容矣法當以邊(如甲戊)半之(如甲辰)作對心垂線(如辰心)成心辰甲句股形既得己卯倍之為己庚即内容十二等面之一邊二十等面體内容十二等面之圖第一圖原形如五面扁錐心尖鋭起甲心戊等三等邊平面凡五共輳而成一心尖乃二十等面四之一其己庚辛壬癸五點皆三等邊平面之中心亦即内容十二等面之稜尖所切故必先求此點簡法曰以甲戊邊半之於辰作辰心對角斜垂線又以心甲心戊各取三分之二為心子心丑乃聮子丑為線與甲戊邊平行與辰心垂線十字交於己點則己點即甲心戊平面之心再從子至午作與邊平行線線之半即庚點餘三面盡如此作平行線則辛點在午未線壬點在未酉線癸點在酉丑線但半之皆得心矣第二圖剖形是五等邊平面因前圖所作子丑等平行線横剖之去其中髙之尖成子午未酉丑五等邉平面此平面之心點在前圖心頂之内惟子丑等邉線是原形所作平行線在體外可見餘皆以剖而成乃從各角作線至心如子心等分形為五皆平面三角形而心子等線皆小於子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂線及子心對角線第三圖正用之形即内容十二等面之一面因前第二圖各平分其邉得己庚辛壬癸五點即原形之平面心又聮此點作己庚等直線則成此形以此形為内容十二等面之一面則己庚等五點為十二等面之鋭角而皆切二十等靣之平面心矣求己庚線法因心子對角線及心己垂線子己原半邊得己卯倍之為己庚第一圖設二十等面邊一百 甲戊等五邊甲心等五輳頂線並同 則子心六十六(六六) 子丑平行線同 皆為原邊三之二 心己斜垂線五十七(七三五○) 為心辰斜垂線三之二以上用第一圖乃斜立面也第二圖子己半邊三十三(三三) 子心對角線五十六(七○九九)己心垂線四十五(八七九二)法為全數與五十四度之割線(一七○一三○)若子己邊與子心也子己乘割線以全數十萬而一得子心又全數與五十四之切線(一三七六三八)若子己邊與己心也子己乘切線以全數十萬而一得己心 凡全數除降五位第三圖 仍從第二圖生己庚等兩平面心相距線五十三(五八一六) 其半己卯二十六(七九○八)法為子心對角線與己子半邊若己垂線與己卯也倍己卯得己庚求得二十等面邊一百 内容十二等面其邊五十三㨗法但用法聮兩平面之中心點即為内容十二等面之邊 兩平面心相聮為直線之圖乙心甲及戊心甲兩等邊平三角面以甲心邊為同用之邊而甲心隆起如屋之山脊兩平面之中心為己為庚聮為己庚線與甲心為十字然不𦂳相切何也甲心既隆起則甲心折半之卯在己庚折半之栁點上其距為卯栁試側視之則甲心戊面變為戊卯線甲心乙面變為卯乙線而甲卯心線變為卯點己庚點在平面原近甲心點為卯戊卯乙三之一則卯栁之距亦為垂線三之一矣二十等面從腰横剖之圖凡二十等面體其面之邊皆等而皆斜交故邊皆髙於面面之中心如己如庚是距體心最近之處故為内容渾圓及十二等面所切之點也邊之兩端又髙於其折半之處邊所輳為尖如甲如戊如乙如心等是距體心最逺之處故為外切渾圓及外切十二等面之尖也 其各邊折半之點如寅如卯其距體心在近逺酌中為外切立方之半徑其内切之己庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之線為用然後可知故其用最要横剖所成之面(十二等面從腰横剖其根亦同)問各邊既髙於面而又斜交何以能横切成平面乎曰從右圖觀之甲戊尖最髙則其所對之乙心等邊似平矣而乙心等尖亦髙則其所對之甲戊等邊又平一髙一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之處其距體心皆等聯之為線即成相等之線而皆平行也然則何以知其為十等邊平面曰准右圖上下各五面其腰圍亦上下各五面而尖牙相錯成十面今各從其半邊剖之則必為十邊平面無疑也如圖奎卯寅十等邊平面以中為心中寅中卯皆原體心與其邉折中處相距之半徑亦即為外切立方之半徑也於前圖作外切之奎角卯寅平圖則寅卯等即為分圓線乃全圈十分之一當三十六度理分中末線圖奎中為全徑井中為半徑以半徑(設五十)為句全徑(設一百)為股求其弦得一百一十一(八○三三)(九八)為井奎 以井為心中為界作圓分如中斗截井奎線於斗則井斗亦半徑也 以井斗減井奎其餘斗奎即為理分中末線之大分(亦即奎牛) 以奎牛為度作點于倍徑之圈周而徧即成十平分圈周之點聮其點為線即成寅卯等十等邊故十等邊之寅卯等即木圈半徑之理分中末大分也 若奎中為半徑則井中為半半徑亦同奎中全數(半徑)設一百 寅卯必六十一(八○三三九八)即半徑理分中末之大分(奎牛即奎斗)理分中末線 法以全數一百之幂一萬為股幂其半五十之幂二千五百為句幂并得一萬二千五百為弦幂開方求其根得一百一十一(八○三三九八)以半數五十減之得六十一(八○三三九八)為理分中末之大分即三十六度之分圓線也半之為十八度之正弦三○九○一六九九(八線表作二三○九○)二十等面分體之圖甲戊心為二十等面之一面其三邊等中為體心甲中戊中心中皆各面之鋭角距體心之線又為體外切渾圓及外切十二等面之半徑以甲戊心面為底依甲中戊中心中三線剖至體心中成三角錐體為二十等面體二十之一錐體之底各以其三邊半之於寅於辰於卯從此三點作線而體心之中點皆為錐體各立面之斜垂線如辰中即為甲中戊立面之斜垂線寅中為甲中心立面之斜垂線卯中為戊中心立面之斜垂線並同又聮寅卯辰三點為寅卯卯辰辰寅三線成寅卯辰小等邊平三角面以此為底依寅中卯中辰中三斜垂線剖至體心之中點成小三角錐體其積為大三角錐四之一其寅卯等邊為原邊二之一 原設邊一百則寅卯五十其己點為三角面之中心(大小並同) 己中即分體之中髙(大小錐體同)是即内容渾圓之半徑亦即内容十二等面體各尖距其體中心之半徑其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆為横剖成十等邊平面之分形故寅卯與寅中之比例若理分中末線之大分與其全數也今求寅中線(即外切立方半徑卯中亦同)一率 理分中末之大分 六十一(八○三三九八)二率 全數 一百三率 寅卯(剖形十等邊之一即原邊之半) 五十四率 寅中 八十○(九○一七)按寅中線為量體之主線既得此線即可以知餘線而此線實生於理分中末線幾何原本謂分中末線為用最廣盖謂此也次求己中(即内容渾圓及十二等面之半徑)甲戊原邊設一百半之於寅作寅己垂線至己心(乃平靣心)己寅二十八(八六七五)為句其幂八百三十三(三三三三) 用㨗法以邊幂一萬取十二之一得之寅中八十○(九○一七)為弦其幂六千五百四十五(○八五○)句幂減弦幂餘五千七百一十一(七五一七)開方得股為己中七十五(五七六一)訂定寅中線一率 理分中未線大分 六十一(八○三三九八)二率 全數 一百三率 寅卯(剖形十等邊之一即原邊之半)五十四率 寅中(即外切立方之半徑) 八十○(九○一七)訂定己中線甲戊邊原設一百(半之於寅作寅己線)己寅句二十八(八六七五) 幂八百三十三(三三三三)寅中弦八十○(九○一七) 幂六千五百四十五(○八五○)己中股幂五千七百一十一(七五一七) 根七十五(五七六一)末求己庚線(兩平面心相聮即内容十二等面之邊)一率 寅中八十○(九○一七) 為大弦二率 己中七十五(五七六一) 為大股三率 寅己二十八(八六七五) 為小弦四率 己星二十六(九六七二) 為小股倍己星得五十三(九三四四)為己庚解曰中寅己大句股形與己寅星小句股形同用寅角則其比例等而為相似之形故也己庚等線相聮成五等邊平靣圖准前論甲心戊等三角平面合二十面為二十等面體則甲心等邊線皆髙於平面而邊線之端五相輳即為尖角(如心)(點)依此推知甲乙丙丁戊點皆必與他線五相輳而成尖角矣其己庚辛壬癸各點為各平面之最中央在體為最平之處故内容之渾圓及内容之十二等面各尖必切此點今依前法求得己庚等點相聯為直線則凡五平面相輳為尖必有各中央之點相聯為線而皆成五等邊平面形矣(此平面形正與心尖相應) 依此推知甲乙丙丁戊各點皆能為尖則其周圍相輳之五平面亦必各以其中央之點相聯為線而皆成五等邊平面形 二十等面體以五邊線相輳之尖凡十有二每一尖之周圍皆有五平面即皆有中央之點相聯而成五等邊平面亦十有二如此而内容十二等平面體己成故曰但聯己庚二點為線即内容十二等面之邊也求甲中線(即外切渾圓及十二等面之半徑心中戊中並同)寅甲為原邊之半設五十其冪二千五百為句冪寅中為外切立方半徑八十○(九○一七)其幂六千五百四十五(○八五○)為股冪并句股冪九千○四十五(○八五○)平方開之得甲中弦依法求得甲中九十五(一○六五)求體積設邊一百其半五十 斜垂線八十六(六○二五) 相乗得面冪四千三百三十○(一二五○)又以己中髙七十五(五七六一)乗面冪得柱積三十二萬七千二百五十三(九六○○)三除之得分體積一十○萬九千○八十四(六五○○)以二十乗之得全積二百一十八萬一千六百九十三十二等面分體之圖戊辛庚己壬五等邊形即十二等面立體之一面 亦即分體形之底(乃五面立錐形之底)丙為平面心丙丁為平面心至體心之垂線亦即分體形之中髙又為體内切渾圓之半徑亦即為内切二十等面之半徑丁為全體之中心又為十二分體之上鋭即五等面立錐形之頂戊辛壬庚等皆各面之外周線(即邊也)為體之稜亦名之為根自分面之心丙作垂線至邊(如癸丙甲丙)分各邊為兩其分處為癸為甲(即各邊折半處)乃自癸至甲聮為癸乙甲線又自此線向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等邊平面形故丁癸丁甲皆分體形自頂鋭至各邊之斜垂線在所切之十等邊平面形即為自丁心至平面角之線(甲癸等點在各邊為折中在切形之平面則對角)又自丁至體周各角之線(如丁辛丁庚丁戊等)在分體即為自底角至頂鋭之稜又為外切渾圓之半徑又為外切二十等面之半徑先算十二等面之面(即戊辛庚己壬)法為全數與五十四度之切線若甲辛與甲丙也 以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面積(甲丙辛角)(為五等邊之半角三十六度其餘角甲辛丙必五十四度)次算面上大横線(即甲癸)又全數三十六度之正弦若甲丙與甲乙也倍甲乙得甲癸次算中髙線(丙丁)法為全數與七十二度之割線若甲乙與甲丁也(因平切十)(等邊為三十六度半之為十八度其餘角七十二度即乙甲丁角)乃以甲丁為弦甲丙為句兩幂相減開方得股即丙丁也次算分體之積法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一為分形積末以十二為法乘分形積得總積簡法以分形中髙乘底又四乘之即得總積(三歸三因對過省用)算甲丙一率 全數 一○○○○○二率 五十四度切線 一三七六三八(相乗得六八)三率 設根之半(甲辛) 五○(八一九○○)四率 甲丙 六八 (以全數除之減五位為畸零)算甲乙法為全數與三十六度之正弦若甲丙與甲乙也一率 全數 一○○○○○二率 三十六度正弦 ○五八七七九三率 甲丙 六八八一九○四率 甲乙 四○四五一一甲癸為横切十等邊平面之一其半為甲乙丁即總形之心亦横切平面之心算甲丁法為全數與十八度之餘割若甲乙與甲丁也一率 全數 一○○○○○二率 七十二度割線 三二三六○七三率 甲乙 四○四五一一四率 甲丁 一三○九○二五算丙丁中髙線法以甲丁為弦 甲丙為句 求得股為丙丁算得丙丁一百一十一(三五二六)為中髙線亦即十二等面形内渾圓之半徑算五等邉面幂法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一萬七千二百○四七五為五等邊(邊各一百)之平幂亦即十二等面分形之底積算總積用簡法以底積一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中髙得七百六十八萬二千二百一十五八七四○為十二等面之積計開十二等面一率 七六八二二一五 例容二率 一○○○○○○ 例邊上立積三率 一○○○○○○ 設容四率 ○一三○一七○ 求得設邊上立積立方法開之得其根五十與比例規解合與測量全義差四千一百七十四為二百分之一算辛丁(庚丁戊丁並用) 又即為外切渾圓半徑法以甲丁股幂(一七一三五)甲辛句幂(○二五○○)并為弦幂(一九)(六三五)求得弦數一百四十○為辛丁即外切圓半徑計開十二等面之數設邊一百 其容積七百六十八萬二二一五内容渾圓徑一百二十二 外切渾圓徑二百八十㨗法十二等面邊求外切内容之立方及外切之立圓置十二等面邊為理分中末之小分求其大分為内容立方邊内容立方邊自乘而三之開方得外切立圓全徑又置十二等面邊為理分中末之小分求其全線為外切立方邊一率 理分中末之小分(三十八一九六六○一) 理分中末之大分二率 理分中末之大分(六十一八○三三九八) 理分中末之全分三率 十二等面之邊四率 内容小立方邊 即大横線又一率 理分中末之小分二率 理分中末之全分三率 十二等面之邊四率 外切立方邊以十二等面邊減外切立方邊餘為内容立方邊以内容立方邊加十二等面邊即外切立方邊又㨗法但以十二等面邊加大横線(即小立方邊) 即外切立方邊立方内容十二等面算法 用理分中末線此五等邊面為十二等面之一巳為平面心 中為體心寅卯為戌亥大横線之半(三十)(○九○一六九九)卯中寅中為外切立方半徑(五十) 戌亥為面之大横線(六十一八○三三九八)為理分中末之大分亦即内容小立方之根巳寅巳卯俱平面容圓半徑巳中為内容立圓半徑即分體中髙丑中為外切立圓半徑(亥中戌中並同)設立方根一百為徑 半徑五十為寅中卯中 理分中未大分之半為寅卯(三十○九○一六九九) 又半之為寅子(一十五四五○八四九五)為理分中末大分四之一一率 全數 一○○○○○二率 五十四度之割線 一七○一三○三率 寅子 (一十五四五○八四九五)四率 寅巳(即卯巳) 二六二八六五求得卯巳為平面中垂線一率 全數 一○○○○○二率 三十六度之切線 ○七二六五四三率 卯巳 二十六二八六五四率 卯丑(即半邊) 一十九○九八二倍卯丑得丑亥邊三十八(一九六四)即十二等面邊乃理分中末大分之大分也以此知大横線與五等邊為理分中末之全分與其大分之比例也卯巳句幂(○六九○九八) 卯中弦幂(二五○○○○)相減為股幂一八○九○二 開方得巳中(四十二五三二五)為内容渾圓半徑卯丑句幂(○三六四七四一二四三) 卯中股幂(二五○○) 相併為弦幂(二八六四七四一二四三) 開方得丑中(五十三五二三二)為外切渾圓半徑丑亥巳卯相乘五因二除為面幂以乘巳中而四因之得十二等面積簡法十二等面内容小立方(六十一八○三三九八)即理分中末之大分葢戌亥大横線倍大於寅卯故也 大横線即小立方之邊以大横線之幂三因之開方得亥中為外切渾圓半徑(丑中同)又立方根與所容十二等面邊若全數與理分中末之小分約法立方根與其所容十二等面體内小立方之根若全數與理分中末之大分凡立方外切渾圓則徑上幂三倍於方幂計開立方設徑一百内容十二等面邊三十八(一九六六○一)内容小立方邊六十一(八○三三九八)外切渾圓徑一百○七(○四六六二五) 即丑中亥中倍數外切渾圓半徑(五十三五二三三) 即丑中亥中内容渾圓半徑四十二(五三二五) 即已中 為分體中髙内容渾圓全徑八十三(○六五一)内容二十等面邊四十四(七二一一)幾何補編卷三十二等面體分圖 用理分中末線辛戌亥五等邊形為十二等面之一寅卯㸃為邊折半處中為體心卯中為外切立方半徑(設五十)卯亢為外切立方全徑(設一百)寅卯線與卯中半徑若理分中末之大分與其全數也在圓内為三十六度之分圓 辛癸辛戌等俱七十二度之分圓乙巳為半徑(己丑同)乙癸為三十六度之通弦乙已半徑與乙癸亦若理分中末一之全數與其大分也故乙已癸三角形與卯中寅相似若取乙丙切線如乙癸之度則丙巳必同亥癸邊(即七十二)(度通弦)折半於甲則甲乙為十八度正弦再於寅卯線取子壬如乙甲取壬癸如乙己半徑引已子至癸中末乃自卯作線至中與壬癸平行因得寅中與卯中等則寅中卯即為横切之半面一率 全數 一○○○○○二率 三十六度割線 一二三六○七三率 子寅 一十五(四五○八四九五)四率 丑寅半邊 一十九(○九八三)倍丑寅得丑戌三十八(一九六六)與簡法合論曰凡十二等面從其半邊之㸃(如寅如卯)聮為線以剖至體之心(中㸃)則所剖成寅中卯三角形平面必為全圓十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯兩弦與寅卯底若理分中末之全分與其大分矣又十二等面在立方形内必以卯中(或寅中)自心至邊之線當立方之半徑是立方半徑與十二等面之寅卯線亦若理分中末之全與其大分也 若設立方半徑一百則寅卯必六十一(八○三三九八)如理分中末之大分也今設立方全徑一百其半徑五十則寅卯亦必三十○(九○一六九九)如大分之半矣 寅卯二㸃既在(丑戌丑亥)兩邊之折半則戌亥大横線必倍大於寅卯而與理分中末大分之全相應為六十一(八○三三九八) 此皆設立方半徑五十之數也而半徑五十其全徑必一百故知設徑一百則十二等面之大横線必六十一(八○三三九八)而竟同理分中末大分之數也既得此大横線則諸線可以互知試先求邊 法為酉戌(半大横線)與丑戌等邊若全數與三十六度之餘割線也一率 全數 一○○○○○二率 三十六度割線 一二三六○七三率 酉戌半大横線 三十○(九○一六九九)四率 丑戌全邊 三十八(一九六六)論曰五等邊各自其角作線至心分形為五則各得七十二度角(如丑巳戌等其巳角皆七十二度)其半必三十六度(如寅已丑之巳)(角得戊已丑之半正三十六度)而丑戌酉與丑巳寅皆句股又同用丑角則戌角與巳角等為三十六度十二等面求積平面中垂線(卯己)二十六(二八六五)邊(即丑亥丑戌等)三十八一九(六六) 半邊(即丑卯丑寅)一十九(○九八三)一面之平幂二千五百一十○(一三七○)内容渾圓半徑四十二(四三二五) 即分體五面立錐之中髙(已中) 中髙三之一一十四(一四四一)分積三萬五千四百九十五(八四七三) 其形為五面立錐其體積為十二之一全積四十二萬五千九百五十○(一六七六)外切立方根一百 其積一百萬外切渾圓徑一百○七(○四六六)内容立方根六十一(八○三三九八)外切立方與體内容立方徑之比例若理分中末之全分與其大分又若外切立方之外又切十二等面體體外又切大立方則大立方之徑與今所算外切立方徑亦若理分中末之全分與其大分而外切之十二等面與其内十二等面徑亦必若理分中末之全分與其大分也孔林宗云外立方與内立方之徑為理分中末線全分與大分之比例是矣若内立方之内又容立圓則小立圓之徑與小立方之徑同而外渾圓與外立方之徑不似未可以前比例齊之若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圓大立圓外又切十二等面則大立圓與内容小立圓亦必若理分中末之全分與其大分而外切十二等面與十二等面亦必若理分中末之全分與其大分何則皆外切立方與内容立方之比例也十二等面容二十等面圖第一圖割十二等面之三平面一尖成此形癸丑丙丑戊丑俱五等邊平面皆十二等面之一(已庚辛各為其中心一㸃)丑為三平面稜所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面邊各為兩平面所同用之稜 中為體心 巳中辛中庚中皆内切渾圓半徑亦内容二十等面自尖至體心半徑 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂線 寅卯壬皆平面邊折半之㸃第二圖内容二十等面體各自其邊剖至心成此分體為内容體二十分之一 辛庚巳三角尖即十二等面之中心原㸃此㸃以外俱剖而得甲㸃與卯㸃同在卯中線而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同第三圖自卯㸃起依卯己卯庚二線剖至體心中成此平面形卯即原邊折半處卯中即原體外切立方之半徑中即體心已庚即原兩平面之中心㸃今聯為(已庚)線即内容二十等面之一邊已中庚即内切二十等面分體之立面乃三角錐體之一面 甲中為内切二十等面分體之斜垂線 觀第二圖可明(第二圖角㸃居剖内三角之中心正對原體之丑尖而在其下故角中為内容分體之正)(髙而甲中為斜垂線也)今求已庚線(即内容二十等面之邊)法於卯中(外切立方半徑)内求甲中以相減得卯甲為股用與卯已弦(原體之面上中垂線)兩冪相減開方得句為已甲倍之得巳庚卯已中三角形卯中即外切立方半徑設五十為底卯已即原體之平面中垂線二十六(二八六五)巳中即内容渾圓半徑亦即内容二十等面分體之斜稜四十二(五三二五)以卯巳巳中兩弦相減為較相并為總以總乘較為實卯中底五十為法除之得亢中二十二(三六○六)以減卯中餘二十七(六三九四)為亢卯折半得一十三(八一九七)為卯甲計開立方根設一百其半五十(即卯中)亦為十二等面自體心至邊十二等面之平面中垂線(即卯巳)二十六(二八六五)十二等面内容渾圓半徑(即已中)四十二(五三二五)亦為内容二十等面自尖角至體心分體以為錐體之稜卯巳已中之較一十六(二四六○) 總六十八(八一九○)較總相乘一千一百一十八(○三三四)為實 卯中五十為法除之得中亢二十二(三六○六) 以中亢減卯中五十餘二十七(六三九四)為亢卯折半得一十三(八一九七)為卯甲以卯甲減卯中餘三十六(一八○三)為甲中即内容二十等面分體之斜垂線卯巳自乘得六百九十○(九八○○)為弦幂卯甲自乘得一百九十○(九八)(四一)為股幂 相減餘四百九十九(九九五九)為勾幂 開方得巳甲二十二(三六○五) 倍之得巳庚四十四(七二一一)即為内容二十等面邊此法甚確亦且甚㨗無可疑者偶於枕上又思得一法借燈體分形之三角錐以求十二等面内容二十等面分體之三角錐是以錐體相截而知其所截之邊即為内容二十等面之邊第一圖丑為三平面所聚之尖 丑戌丑亥丑乙皆兩平面同用之稜 巳庚辛皆五等邊平面之心 己寅己卯等皆平面心至邊垂線 已牛丑為平面心對角線 寅卯壬皆平面邊折半之㸃 寅中卯中壬中為體心至邊線即外切立方半徑 中為心第二圖聮寅卯卯壬壬寅三線為平三角面横剖之又各依寅中卯中壬中線剖至體心中則成三角錐體二其一為丑寅卯壬體是三角錐而稍扁者也其一為寅卯壬中體是三角錐而稍長者也其寅卯壬三角平面為扁形之底又為長形之面其寅卯等線與寅中卯中之比例皆若理分中末之大分與其全分也其扁形錐既剖而去則成圓燈所存長錐即燈形分體之一平面心之㸃為斗在丑尖下與牛㸃平故丑牛為弦則斗牛如勾而丑牛之距如股也第三圖又於圓燈分體剖去辰甲丁之一截則成甲丁辰中三角錐乃十二等面内容二十等面分體中之分體其辰甲丁面與巳庚辛脗合為一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各於邊折半為甲丁辰而聮之為線則成小三角於中故辰丁等線皆居巳庚線之半而甲中原為二十等面分體之斜垂線者今則為三角錐之楞第四圖己牛丑即原平面從心至角尖之線丑斗角中即原體自尖至中心之線又為外切渾圓半徑依第二圖截丑巳於牛而横剖之亦截丑中於斗成丑斗牛勾股形 又依第三圖截斗中於角成丑角巳勾股形此兩勾股相似而比例等法為丑牛與丑斗若丑巳與丑角也第五圖寅中卯三角形為圓燈分體之立面截為甲丁中三角形此兩形相似而比例等 法為卯中與卯寅若甲中與甲丁也又斗中為圓燈分體之中髙其平面為寅卯壬角中為截體之中髙其平面為丁甲辰此兩體相似而線之比例等 法為斗中髙與寅卯濶若角中髙與甲丁濶先求丑斗髙用截去扁三角錐以牛卯(即寅卯之半)自乗幂三分加一以減丑卯幂為丑斗幂開方得丑斗高次求丑角髙用巳丑對角線乗丑斗以丑牛除之得丑角髙 其丑牛線以牛卯幂減丑卯幂開方得丑牛 巳寅丑寅兩幂并開方為己丑末求巳庚線用丑角減丑中得角中 又用丑斗減丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚為内容二十等面之邊理分中末線 以量代算先以巳為心作圖而匀分其邊為五作甲庚乙丙丁五等邊平面(即十二等面之一面)乙丁為大横線設一百甲庚等邊必六十一(八○三三九八)為大横線理分中末之大分若乙丁大横線設六十一(八○三三九八)則甲庚等邊必三十八(一九六六)亦為大横線理分中末之大分設立方一百 内容十二等面邊三十八(一九六六)為理分中末之小分亦即大分之大分十二等面内又容小立方其邊與十二等面之大横線等六十一(八○三三九八)為大立方邊一百與十二等面邊三十八(一九六六)之中率何也大立方一百乘十二等面邊三十八(一九六六)開方得根即小立方及大横線六十一(八○三三)若大横線自乗之幂以十二等面邊除之即仍得外立方根而以外立方根除大横線幂必仍得十二等面之邊矣求理分中末線㨗法 用前圖作五等邊平面 求其大横線(乙丁) 聮兩角為線即得之次以大横線之一端(如乙)為心其又一端(如丁)為界作丁戊圓分乃引五等邊與圓分相遇(如引乙丙至戊與圓分遇于戊)則相遇處(如戊)至圓心(如乙)為全分(即乙戊亦即乙丁大横線)原邊為大分(即乙丙)引出餘邊為小分(即丙戊)又法作平三角使兩角(如戊如丁)俱倍大於一角(如乙)末乃破一倍角平分之作線至一邊(如平分丁)(角為兩作丁丙線至乙戊邊)則其斜線即為理分中末之大分(即丁丙也)解曰倍破角則與小角等(如破丁角為兩皆與乙角等)而乙丙丁形之乙丁兩角同大則(乙丙丁丙)兩弦亦同大而乙丙既為大分丁丙亦為大分矣准此又破丙角可以遞求於無窮諸體比例凡諸體之比例有三一曰同邊之比例可以求積一曰同積之比例可以求邊一曰相容之比例可以互知内相容之比例亦有三一曰立圓内容諸體之比例 所容體又容立圓一曰立方内容諸體之比例 所容體又容立方一曰諸體自相容之比例(即同徑同髙之比例)或或兩體互相容或數體遞相容等積之比例 比例規解所用今攷定立方積 一○○○○○○ 其邊一百四等面積 一○○○○○○ 其邊二百○四八等面積 一○○○○○○ 其邊一百二十八十二等面積 一○○○○○○ 其邊五十二十等面積 一○○○○○○ 其邊七十七方燈圓燈凡方燈依楞剖之縱横斜側皆六等邊平面凡圓燈依楞剖之縱横斜側皆十等邊平面故皆有法形體等邊之比例 測量全義所用今攷定立方邊 一○○ 積一○○○○○○方燈體邊 ○七○七一○六積○八三三三三三邊 一○○ 積二三五七○二一八等面邊 ○七○七一○六 積○一六六六六六邊 一○○ 積○四七一四○四四等面邊 一○○ 積○一一七八五一十二等面邊一○○ 積七六八二二一五二十等面邊一○○ 積二一八一八二二圓燈體邊 ○三○九○一七 積○二九○九二九邊 一○○ 積○九八五九一六等徑之比例 皆立方所容立方徑 一○○積一○○○○○○ 邊(一○○)内容方燈徑 一○○積○八三三三三三 邊(○七○七一○六)内容四等面徑 一○○積○三三三三三三 邊(一四一四二一三)内容八等面徑 一○○積○一六六六六六 邊(○七○七一○六)内容立圓徑 一○○積○五二三八○九内容二十等面徑一○○積○五一五二二六 邊(○六一八○三四)内容十二等面徑一○○積○四二五九五○ 邊(○三八一九六六)内容圓燈徑 一○○積○二九○九二九 邊(○三○九○一七)右以立方為主而求諸體内立方及燈體之徑為自面至面四等面十二等面二十等面之徑皆自邊至邊(以邊折半處作)(垂線至對邊折半處形如工字四等面則上下邊遥相午錯如十字)八等面之徑為自尖至尖 然皆以其徑之兩端正切於立方方面之中心一㸃立方面其相切亦必六㸃求積約法凡立方内容諸體皆與立方之六面同髙同濶 則燈形積為立方積六之五 四等面積為立方積三之一八等面積為立方積六之一 以上三者皆方斜比例燈形及八等面皆以方求斜法以邊自乘倍之開方得外切立方徑以徑再自乘得立方積取六之五為燈六之一為八等面積四等面則以方求其半斜法以邊自乘半之開方得外切立方徑以徑再自乘為立方積取三之一為四等面積立圓在立方内則其積為立方積二十一之十一謹按方圓比例祖率圓徑一百一十三圓周三百五十五見鄭世子律學新説較徑七周二十二之率為宻又今推平圓居平方四百五十二分之三百五十五較十四分之十一為宻又推得立圓居立方六百七十八分之三百五十五較二十一分之十一為宻准立方比例以求各體自相比 皆以同髙同闊同為立方所容者較其積燈内容同髙之八等面 為八等面得燈積五之一又立圓内容同髙之八等面 為八等面得圓積六十六之二十一(即二十二之七) 二者皆同髙而又能相容用課分法母互乘子得之准此而知立圓内容八等面其積之比例若圍與徑也又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内容二十等面其内又容八等面 二者亦同髙而能相容同髙之四等面積為燈積五之二(即十之四四以燈面四因退位得 等面積)同髙之八等面積為四等面積二之一同髙之四等面積為立圓積十一之七此三者但以同髙同為立方所容而不能自相容若相容則不同髙凡立方之燈形内又容立方則内小立方邊與徑得外立方三之二體積為二十七之八面幂為九之四凡燈容立方以其邊為方而求其斜為外切之立方邊取方斜三之二為内立方邊立方邊一○○ 面幂一○○○○ 體積(一○○○○○○)燈邊 ○七○七一○六 面幂○五○○ 體積(○八三三三三三)小立方邊○六六六六六六 面幂○四四四四四四 體積(○二九六二九六)凡方内容圓圓内又容方則内小方之幂得大方三之一㨗法以小方根倍之為等邊三角形之邊而求其中垂線即外切立圓之徑亦即為外大方之邊如圖三邊既等則乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂則四以乙丙句幂一減甲丙弦幂四所餘為甲乙股幂三内方之幂一而外切渾圓之幂三故其根亦如乙丙與甲乙也 或以小立方之根為句倍根為弦求其股為外切渾圓徑亦同(渾圓徑即外方邊)若以量代算則三角形便如以大方求小方者則以大方為中垂線而作等邊三角形其半邊即小方根也或用大方為股而作句股形使其句為弦之半即得之㨗法句股形使甲角半於丙角則弦倍於句而句與股如小立方根與大方根或以甲角作三十度而自乙作垂線引之與甲丙弦線遇于丙則乙丙即圓所容方之根又按先有大方求小方者取大方根倍之為等邊三角形之邊而求其中垂線以三歸之即得凡立方内容方燈燈内又容立圓圓内又容圓燈燈内又容八等面凡四重在内其外切於立方也皆同㸃(切立)(方有六處所同者皆在其方面之最中一㸃若從此一㸃刺一針則五層悉透内惟方燈以面切面不可言㸃)(若言㸃則有十二皆切在立方邊折半處)凡立方内容方燈燈内又容十二等面體體内又容圓燈燈内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同處(凡六處皆在立方面内方燈體以面切面十二等面以邊切餘皆以尖切尖切者皆每面之最中㸃)凡立方内容方燈燈内又容二十等面體體内又容圓燈燈内又容八等面同上凡立方方燈立圓十二等面二十等面圓燈内所容之八等面皆同大凡立方内容四等面體體内又容八等面其切立方皆同處(四等面以邊切為立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面邊折半處)准此而知立方内所容之八等面與四等面所容之八等面亦同大且同髙各體中所容八等面皆同大因此可知凡立圓内容十二等面體 又容立方其立方之角同十二等面之尖而切於立圓故立圓内所容之立方與十二等面内所容之立方同大凡二十等面體内容立圓 内又容立方立方之角切立圓以切二十等面之面故立圓所容之立方與二十等面内所容之立方必同大凡二十等面體内容立圓 内又容十二等面體體内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圓而切于二十等面之面皆同處凡諸體能相容者其相容之中間皆可容立圓此立圓為外體之内切圓亦為内體之外切圓惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圓燈其中間難著立圓何也八等面之切圓燈以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面則以尖切邊故其中間不能容立圓其他相切之中間能容立圓者皆以内之尖切外之面凡諸體在立方内即不能外切他體惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他體故諸體所容四等面之邊皆與其所容立方之面為斜線凡諸體相容其在内之體為所容其在外之體為能容能容與所容兩體之相切必皆有一定之處凡相容兩體之相切或以尖或以邊(即體之稜)或以面渾圓在立方内為以面切面其相切處只一㸃皆在立方每面之中央(立方六面相切凡六㸃)立方在渾圓内為以尖切面(立方之角有八故相切有八㸃)有一㸃不相切者即非正相容也渾圓在諸種體内皆與在立方内同謂其皆以面切諸體之面而切處亦皆一㸃也然其數不同如四等面則切㸃有四方燈則切㸃有六八等面則切㸃有八十二等面及圓燈則切㸃有十二二十等面則切㸃有二十其切㸃之數皆如其面之數而皆在其面之中央也方燈則以其方面為數圓燈則以其五等邊之面為數而不論三角之面者何也三角之面距體心逺故不能内切立圓也諸體在渾圓内皆與立方在渾圓内同謂其皆以各體之尖切渾圓之面也其數亦各不同如四等面則切㸃亦四方燈則切㸃十二八等面則切㸃六十二等面則切㸃二十二十等面則切㸃十二圓燈則切㸃三十皆如其尖之數也四等面在立方内以邊稜切立方之面四等面有六稜以切立方之六面皆徧其四尖又皆切於立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其邊稜切立方之面兩種各有三十稜其切立方只有其六以立方只有六面也此三者為以楞切面八等面在立方内以尖切面凡六㸃 圓燈在立方内亦以尖切面有六㸃皆在立方面中尖與八等面同方燈在立方内則以面切面皆方面也方燈之方面六亦與立方等也其十二尖又皆切於立方之十二邊楞皆在其折半處為㸃十二等面與二十等面逓相容皆以内體之尖切外體之面十二等面在八等面内以其尖切八等面之面體有二十尖只用其八也方燈在八等面内亦以面切面而皆三角面方燈之三角面有八數相等也又其尖皆切於八等面各稜之中央折半處稜有十二與燈之尖正等也圓燈在十二等面内以面切面皆五等邊平面也圓燈體之五等邊平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之邊楞而皆在其中半圓燈在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圓燈體之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之邊楞而皆在其中半問十二等面與二十等面體勢不同而圓燈之尖皆能切其楞邊何也曰圓燈有三十尖而兩等面體皆有三十楞故也凡能容之體皆可改為所容之體遞相容者亦可遞改如立方容圓即可刓方為圓渾圓容方即可削圓為方遞相容者如立方内容渾圓圓内又容十二等面體體内又容二十等面即可遞改凡所容之體皆可補為能容之體皆以數求之如立方外切立圓以其尖角則求立方心至角之線為立圓半徑凡以面切面者其情相通如方燈以其方面切立方面又能以其三角切八等邊面則此三者皆方斜之比例也又如圓燈以其五等邊面切十二等面又能以其三角面切二十等面則此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方燈之内則立方之尖所切者必三角面若八等面在方燈之内則其尖所切又必方面也若令十二等面在圓燈内則所切者必三角面而二十等面居圓燈内所切者又必五等邊面也故曰其情相通諸體相容凡立圓立方皆可以容諸體凡立圓内容立方立方内又可容立圓兩者不雜他體可以相生而不窮凡立圓内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圓三者以序進亦可以不窮凡立圓内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圓與立方尖所切必同㸃凡立圓容四等面在立圓所容立方内必以其楞為立方面之斜依此斜線衡轉成圓柱形必為立圓之所容而此柱形又能含立方外圓者柱之底若面内方者立方之底若面直而斜者四等面之邊凡四等面體在立圓内任以一尖為頂以所對之面為㡳旋而作圓錐此錐體必為立圓之所容而不能為立方之容此兩體雖非正相容體然皆有法之體凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相與為不窮凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容則所容體之尖皆切於為所容大體之面之中央而等凡立方内容立圓此立圓内仍容八等面其八等面尖切立圓之㸃即可為切立方之㸃八等面内容立圓此立圓内仍容立方則立方尖切立圓之㸃亦即可為其切八等面之㸃凡立圓可為諸等面體所容其在諸體内必以圓面一㸃切諸體之各面此一㸃皆在其各等面之中心而等而徧凡八等面内容立圓仍容立方 立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圓以切八等面叠串四體皆一㸃相切必在八等面各面之中心立方設一百内容二十等面邊六十一(八○三三九八)内又容立圓也十三(四一七二)簡法取内容立圓徑幂三之一開方得内容小立方再以小立方為理分中末之全分而求其大分得内容十二等面邊凡十二等面二十等面皆能為立圓之所容皆以其尖切渾圓凡十二等面二十等面皆能容立圓皆以各面之中心一㸃正與渾圓相切凡十二等面與二十等面可以互相容皆以内體之尖切外體之各面中心一㸃凡十二等面内容渾圓渾圓内又容二十等面與無渾圓者同徑二十等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦與無渾圓同徑何也渾圓在各體内皆以其體切於外體各面之中心㸃而此㸃即各内體切渾圓之㸃故也以上皆可以迭串相生而不窮凡十二等面内容渾圓渾圓内又容十二等面亦可以相生不窮二十等面與渾圓遞相容亦同凡立方内容十二等面皆以十二等面之邊正切於立方各面之正中凡六皆遥相對如十字假如上下兩面所切十二等面之邊横則前後兩面所切之邊必縱而左右兩面所切之邊又横若引其邊為周線則六處相交皆成十字立方内容二十等面邊亦同凡各體相容皆以内之尖切外之面惟立方内容四等面則以角而切角立方内容十二等面二十等面則以邊而切面厯算全書卷五十七
## 卷五十八
欽定四庫全書厯算全書卷五十八宣城梅文鼎撰㡬何補編卷四方燈凡燈形内可容立方立方在燈體内必以其尖角各切於八三角面之心如圖燈體者立方去其八角也平分立方面之邊為㸃而聯為斜線則各正方面内成斜線正方依此斜線斜剖而去其角則成燈體矣此體有正方面六三角面八而邊線等故亦為有法之體凡燈體内可容八等面八等面在燈體内又以其尖角各切於六方面之心凡燈體内可容立圓此立圓内仍可容八等面此八等面在立圓内可以各角切立圓之㸃同㑹於燈體之六方面而成一㸃凡燈體容立圓其内仍可容諸體然惟八等面在立圓内仍能切燈體餘不能也按圓燈在立圓内亦能切燈體與八等面同凡諸體相容皆有一定比例以其外可知其内燈體之邊設一百其幂一萬○倍之二萬開方得一百四十一(四二一三)為燈之高及其腰廣(邊如方面高廣如斜故倍幂求之)以高一百四十一(四二一三)乘方斜之面幂二萬得二百八十二萬八千四百二十六為方斜之立方積立方積五因六除得二百三十五萬七千○二十一為燈積燈積為立方六之五以燈積減立積餘四十七萬一千四百○五為内容八等面積此八等面在立積内亦在燈積内皆同腰廣同高 其積之比例為立積六之一為燈積五之一此相容比例八等面與燈積不惟同高廣亦且同邊故五之一亦即為八等面與燈積同邊之比例也燈形内容立方其邊為燈體高廣三之二 設燈體邊一百其高廣一百四十一(四二一三)則内容立方邊九十四(二八○八)立方積八十三萬八千○五十一燈高廣自乘之幂二萬如左圖甲乙方去其左右各六之一餘三之二如丙丁矩又去其两端六之一餘三之二如戊正方丙丁矩一萬三千三百三十三(三三)戊正方八千八百八十八(八八)為内容正方之一面幂其根九十四(二八○八)以根乘面得八十三萬八千○五十一凡等邊平三角之心依邊剖之皆近大邊三之一燈内容立方之八角皆切於平三角之心燈改立方則所去者皆四圍斜面三之一於前形爲六之一四圍皆六之一合之爲三之一而所存必三之二矣凡立方體各自其邊之中半斜剖之得三角錐八此八者合之卽同八等面體依前算八等面體其邊如方其中高如方之斜若以斜徑爲立方則中含八等面體而其體積之比例爲六與一何以言之如己心辛爲八等面之中高庚心戊爲八等面之腰廣己庚己戊戊辛辛庚則八等面之邊也若以庚心戊腰廣自乗爲甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之爲甲乙丙丁立方(立方一面之形與平面等)則八等面之角俱正切於立方各面之正中而爲立方内容八等面體矣夫己心辛庚心戊皆八等面(己庚等面)爲方之斜也故曰以其斜徑爲立方則中含八等面體也又用前圖甲乙丙丁爲立方之上下平面從己庚庚辛辛戊戊己四線剖至底則所存爲立方之半而其所剖三角柱體四合之亦爲立方之半也此方柱也其高之度如其方之斜立方之四隅各去一立三角柱則成此體 其積爲立方之半爲八等面之三倍其中仍容一八等面體八等面體在方柱體内柱形從對角斜線(如己辛戊庚)剖至底又從對邊十字線(如丑尾卯)(箕)剖至底又從腰線(角申亢)横截則剖為三角柱一十六(即皆)(如心辛申未丑之體)三角柱眠視之則塹堵也塹堵從一尖(即心尖)斜剖至對底(未申)則鼈臑也鼈臑居塹堵三之一塹堵立則為三角柱鼈臑立則為三角錐八等面體從尖心剖至對角亦剖至對邊而皆至底(子)又從腰(角申亢)横剖之則成三角錐十六夫方柱為塹堵十六而八等面為鼈臑亦十六則塹堵鼈臑之比例即方柱八等面之比例矣鼈臑為塹堵三之一則八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既為方柱三之一不得不為立方六之一矣立方内容燈體甲庚立方體六面各平分其邊(如壬丑癸卯及子未酉午辰諸㸃)而斜剖其八角(如從丑癸剖至子從從癸卯剖至酉從酉)(剖至午未則立方去其八角)成燈體燈體立方六之五何以知之立方所去之八角合之即成八等面八等面既為立方六之一則所存燈體不得不為立方六之五矣凡立方内容燈體皆以燈之邊線為立方之半斜立方内之燈體又容八等面則以内八等面之邊線為立方之半斜與立方竟容八等面無異推此燈内容八等面其邊線必等其中徑亦等剖立方之角成此以剖處為底則三邊等以立方之角丁為頂成三角扁錐扁錐立起則成偏頂錐為八等面分體凡八等面容燈體皆以燈體之邊線得八等面之半八等面内之燈體又容立方則亦方斜比例與八等面竟容立方無異也甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁乙皆八等面之一己子卯等小三角在甲丁丙等大三角面内即燈體之八斜面正切於八等面者也其中央心㸃即内容立方角所切等徑之比例立方徑一 其邊一 其積一 一○○○○○○内容燈徑一 其邊○七 其積六之五○八三三三○○内容八等面徑一 其邊○七 其積六之一○一六六六○○凡立方内容燈體燈内又容立圓圓内又容八等面其切於立方之面之中央凡六處皆同一㸃若立圓内容燈體燈内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一㸃凡燈體皆可依楞横剖如方燈横剖成六等邊面故其外切立圓之半徑與邊等 如圓燈横剖成十等邊面故其外切立圓之半徑與其邊若理分中末之全分與其大分凡諸體改為燈皆半其邊作斜線剖之凡燈體可補為諸體皆依其同類之面之邊引之而㑹於不同類之面之中央成不同類之錐體乃虛錐也虛者盈之即成原體所以化異類為同體也如方燈依四等邊引之補其八隅成八尖即成立方若依三等邊引之補其六隅成六尖即成八等面如圓燈依五等邊引之補其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等邊引之補其十二隅成十二尖即成二十等面増異類之面成錐則改為同類之面而異類之面隱此化異為同之道也凡燈體之尖皆以两線交加而成故稜之數皆倍於尖(方燈十二尖二十四稜圓燈三十尖六十稜)凡燈體之稜(即邊)皆可以聯為等邊平面圏 如方燈二十四稜聯之則成四圏每圏皆六等邊如六十度分圓線 圓燈六十楞聯之則成六圏每圏皆十等邊如三十六度分圓線 此外惟八等邊聯之成三圏每圏四楞成四等面而十二稜成六尖有三稜八觚之正法其餘四等面十二等面二十等面皆不能以邊正相聯為圏燈體亦有二其一為立方及八等面所變其體有正方之面六三角之面八有邊稜二十四而皆同長稜尖凡十有二其一為十二等面二十等面所變其體有五等邊之面十二有三角等邊之面二十有邊楞六十而皆同長稜尖凡三十立方及八等面所變是刓方就圓終𢃄方勢謂之方燈十二等面及二十等面所變是削圓就方終帶圓體謂之圓燈方燈為立方及八等面所變其狀並同而比例同甲乙立方體丙丁戊己庚辛壬癸子皆其邊折半處各於折半㸃聯為斜線(如丙戊丙己等)依此燈體斜線剖而去其角則成燈形矣燈形之丁辛高丙丁濶皆與立方同徑 其邊得立方之半斜(假如立方邊丁辛一百則燈體邊丁壬七十有竒)其積得立方六之五(假如立方邊一百其積百萬則燈體邊七十有竒其積八十三萬三千三百三十三三三)此為立方内容燈體之比例也若燈與立方同邊必反小于燈(假如)(燈體邊亦一百則其積二百三十五萬七千○二十一而立方一百之積只一百萬是反小於燈也)解曰燈體邊一百(如前圖之丁壬)其外切立方必徑一百四十一(四二一三如前圖之丁辛)其自乘之幂二萬以徑乘幂得二百八十二萬八四二六為立方積再五因六除得燈積二百三十五萬七千○二十一又法以燈邊自乘倍之開方得根仍以根乘倍幂再五因六除見積亦同甲乙為八等面體 甲乙丙丁戊皆其邊稜所輳之尖甲丙丁面三邊皆等其三邊折半於辛於庚於己甲丁戊面其邊折半於辛於壬於癸乙丙丁面其邊折半於寅於己於丑乙丁戊面其邊折半於丑於癸於子各以折半㸃聯為斜線則各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等邊面其邊皆半於原邊如庚辛得丁丙之半餘三邊同各自其小三角之面之邊剖之而去其錐角則成燈形矣如依辛巳己丑丑癸癸辛四邊平剖之而去其丁角(以丁)(角為尖辛巳丑癸為底成扁方錐甲丙乙戊尖並同)則所剖處成辛巳丑癸平方面(去甲壬辛庚錐成卯壬辛庚面去丙庚己寅錐成庚酉寅己面並同一法餘可類推)八等面體有六角皆依法剖之成平方面六而剖之後各存原八等面中小三角等邊面八與立方剖其八角者正同燈形之高濶皆得八等面之半如辛丑高得甲乙之半己癸濶得丙戊之半其邊亦為八等面原邊之半其積得八等面八之五何以知之曰同類之體積以其邊上立方積為比例故邊得二之一其積必八之一也今所剖去之各尖俱以平方為底而成方錐兩方錐合為一八等面體皆等面等邊與原體為同類而其邊正得原邊二之一則其積為八之一也 原體六尖各有所成之錐體皆相等合之成同類八等面之體凡三其積共為原積八之三以為剖去之數則所存燈體得八之五也如上圖甲乙二錐合為八等面體一丙戊二錐合為八等面體一 丁尖及所對之尖其二錐合為八等面體一 通共剖去同類之形三假如八等面之邊一百則其積四十七萬一千四百○四其所容燈體邊五十其積必二十九萬四千六百二十七五 以八等面積五因八歸之見積或用捷法竟以十六歸進位所得燈積亦同右法乃八等面内容燈體比例也若燈體之邊與八等面同大則其積五倍大於八等面假如燈體邊一百則其積二百三十五萬七千○二十以八等面邊一百之積四十七萬一千四百○四加五倍得之 此法則燈體與八等面同為立方所容之比例亦即為燈内容八等面之比例准此而知燈内容八等面八等面又容燈則内燈體為外燈體八之一燈體内容八等面 五之一 (用畸零乘法化大分為小分以八等面母數八乘五之一)八等面内容燈體 八之五 (得八乘母數五得四十)外燈體四十 八等面體八 内燈體五 合之為内體得外體四十之五約為八之一又八等面容燈燈又容八等面内八等面亦為外八等面八之一 其體之比例既同則其所容之比例亦同也立方内容燈體燈内又容立方則内立方邊得外立方邊三之二内立方積得外立方積二十七之八以三之二自乘再乘為三加之比例也六 之 五 一百三十五二十七之八 四十八准此而知燈内容立方則内立方積得燈積一百三十五之四十八 若燈容立方立方又容燈則内燈積亦為外燈積二十七之八其為所容者之比例即能容者之比例故也求方燈所去錐體三角錐稜皆五十即原邊之半(甲乙甲丙甲丁) 底之邊皆七十○(七一○七)即燈體之邊(丙乙乙丁丁丙)其半三十五(三五五三乙戊戊丁)求甲戊斜垂線法曰乙丁為甲乙之方斜線則甲戊為半斜與乙戊戊丁等皆三十五(三五五三)其幂皆一千二百五十求丙戊中長線以戊丁幂三因之為丙戊幂平方開之得六十一(二三七二)為丙丁乙等邊三角形中長線求甲己中高線法以戊丁幂(一千二百五十)取三之一為己戊幂(四百一十六六六六六)與甲戊幂(即丁戊幂)相減餘(八百三十三三三三三)為甲己中高幂開方得甲己中高二十八(八六七五)又以己戊幂開方得己戊二十○(四一二四)以己戊(二十○四一二)(四)乘戌丁(三十五三五五三)得(七百二十一六八六五)又三因之得(二千一百)(六十四○五七五)為乙丙丁三等邊幂又以中高甲己(二十八八六七五)乘之得數三除之得三角錐積二萬○八百二十三(六六三五)又八乘之得一十六萬六千五百八十七(三○)為所去八三角錐共積即立方一百萬六之一與前所推合(本該一十六萬六千六百六十六六六不盡因積算尾數有欠)(然不過萬分之一耳)圓燈為十二等面二十等面所變體勢並同而比例亦别公法皆於原邊之半作斜線相聯則各平面之中成小平面此小平面與原體之平面皆相似即為内容燈體之面 依此小平面之邊平剖之去原體之銳角此所去之銳角皆成錐體錐體之底平割錐體則原體挫銳為平亦成平面於燈體原有若干銳亦成若干面而與先所成之小平面不同類然其邊則同如圖十二等面每面五邊等今自其各邊之半聯為斜線則成小平面於内亦五等邊為同類依此斜線剖之而去其角所去者皆成三角錐錐體既去即成三等面為異類原有十二面故所存小平面同類者亦有十二原有二十尖故所剖錐體而成異類之面者亦二十求燈體邊法以十二等面邊為理分中末之大分求其全分而半之即為内容燈體之邊一率 理分中末之大分 六十一(八○三三九八)二率 理分中末全分之半 五十○三率 十二等面之邊 一百○○四率 内容燈體之邊 八十○(九○一七)燈體邊原為大横線之半十二等面邊與其大横線若小分與大分則亦若大分與全分也而十二等面邊與燈邊亦必若大分與全分之半矣總乘較為實戊丙底為法法除實得丙辛以丙辛減戊丙得戊辛折半為戊己法當以所得戊己自乘為句幂用減甲戊幂餘為甲己幂開方得一十七(八四一一)為中高今改用捷法(省求丙辛)取戊丙幂九之一為戊己幂(戊己為戊内三之一)(故其幂為九之一)得五百四十五(四二)或徑用戊丁幂三之一亦同又捷法不求甲戊斜垂線但以戊丁幂三分加一以減甲丁(即甲丙或甲乙)幂為甲己幂開方即得甲己中高比前法省數倍之力戊丁幂 一千六百三十六(二七一二)三之一 五百四十五(四二三七)併得 二千一百八十七(六九四九)甲丁(即甲丙幂)二千五百○○相減餘(甲乙幂) 三百一十八(三○五一) 與前所得同解曰原以戊丁幂減甲丁幂得甲戊幂復以戊丁幂三之一減甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而減甲丁幂即徑得甲己幂其理正同前之捷法有求丙辛及較總相乘後用底除諸法可謂捷矣今法徑不求甲戊斜垂線捷之捷矣凡三角錐底濶等者當以為式訂定三角錐法(圓燈所去)用捷法以戊丁幂三分加一減甲丁幂為甲己幂甲丁(甲乙甲丙)皆設五十丙丁(丁乙乙丙)皆八十○(九○一七)其半(戊丁戊乙)四十○(四五○八半)丙戊七十○(○六二九)為底之垂線甲己一十七(八四一一)為中高丙乙丁底幂二千八百三十四(一○三八)法以半邊(戊丁)乘中長(丙戊)得底幂(丙乙丁) 以中高(甲己)乘底幂(丙乙丁)得三角柱積五萬○五百六十三(五二九三) 三除之得錐積一萬六千八百五十四(五○九七) 又以二十乘之為燈體所去之積三十三萬七千○九十○(一九四○)十二等面邊設一百前推其積為七百六十八萬三千二百一十五今減去積三十三萬七千○九十存燈積七百三十四萬五千一百二十五 内容燈體邊八十○(九○一七)依測量全義凡同類之體皆以其邊上立方為比例可以推知二十等面所變之燈體二十等面邊設一百則燈體之邊五十捷法求得一百七十三萬三千九百四十八為設邊五十之燈積一 燈體邊八十○(九○一七)之立方五十二萬九千○百○八(五)二 燈體積七百三十四萬五千一百二十五三 燈體邊五十之立方一十二萬五千四 燈體五十之積一百七十三萬三千九百四十八圓燈邊設三十○(九○一七即理分中末之大分乙丁)外切立圓半徑五十(即理分中末之全分丁中乙中)外切立圓全徑一百(即外切立方)體積四十○萬三千三百四十九内有三角錐計二十共計一十二萬八千七百五十二五稜錐計十二共積二十七萬四千五百九十六丁中丙乙三角錐為圓燈分體之一 乙丁丙三等邊面巳為平面心 中為體心 中巳為分體之中高戊丁為半邊丁中自體心至角線為分體之稜 戊中為斜垂線乙癸中辛五稜錐亦圓燈分體之一 乙丁癸壬辛五等邊面庚為平面心 中庚為分體中高 其戊丁半邊丁中分體稜戊中斜垂線與前三角錐皆同一線何以知两種錐形得同諸線乎曰乙戊丁邊两種分體所同用而两種錐體皆以體心中為其頂尖故諸線不得不同觀上圖自明先算三角錐(共二十)半邊一十五(四五○八五)戊丁幂二百三十八(七二八七)平面容圓半徑(即戊巳)○八(九一○五)其幂七十九(五七六二用捷法取)(戊丁幂以三除得之)平面積(乙丙丁面)四百一十三(四八七九)中高(即己中)四十六(七○七五本法以戊丁幂減丁中幂為戊中幂又以戊丁幂三之一當戊)(己幂減之為巳中幂今徑以戊丁幂加三之一減丁中幂為己中是捷法也)三角錐積六千四百三十七(六六二○)二十錐共積一十二萬八千七百五十三(三四)次算五稜錐(共十二)半邊一十五(四五○八五戊丁)半周七十七(二五四二五用半邊五因得之)平面容圓半徑二十一(二六六三戊庚)五等邊平積一千六百四十二(九一二○)中高四十一(七八五三庚中)五稜錐積二萬一千九百六十二(六六)十二錐共積二十七萬四千五百九十六求戊庚半徑一率 三十六度切線 ○七二六五四二率 全數 一○○○○○三率 半邊戊丁 一十五(四五八五)四率 平面容圓半徑(戊庚)二十一(二六六二)戊丁句幂二百三十八(七二八七)丁中弦幂二千五百○○戊中股幂二千二百六十一(二七一三)戊庚句幂四百五十二(二五五五)戊中弦幂二千二百六十一(二七一三)庚中股幂一千八百○九(○一五八)戊丁半邊幂四因之為全邊三十○(九○一七)之幂一 燈體邊五十之立方一十二萬五千二 燈體邊五十之體積一百七十三萬三千九百四十八三 燈體邊三十○(九○一七)之立方二萬九千五百○八四 燈體邊三十○(九○一七)之體積四十○萬九千三百二十九與細推者只差五千九百八十為八十分之一柱積六萬八千六百四十九錐積二萬二千八百八十三十二錐共積二十七萬四千五百九十六孔林宗附記方燈可名為二十四等邊體 圓燈可名為六十等邊體四等面體又可變為十八等邊體為六邊之面四為三邊之面四凡十二角又可變為二十四等面體面皆三邊凸邊二十四凹邊十二十字之交六凡八角如蒺藜形六等面體又可變三十六等邊體為八邊之面六為三邊之面八凡二十四角八等面體亦可變三十六等邊體為六邊之面八為四邊之面六凡二十四角又可變四十八等邊體為四邊之面十八為三邊之面八凡二十四角大圓容小圓法 平渾甲大圓内容乙戊丙三小圓法以小圓徑(如乙戊戊丙)為邊作等邊三角形而求其心如丁乃於丁戊(三角形自心至角線)加戊甲(小圖半徑)為大圓半徑(丁甲)凡平圓内容三平圓四平圓五平圓六平圓皆以小圓自相扶立 若平圓内容七平圓以上皆中有稍大圓夾之甲大渾圓内容丙戊乙己四小渾圓法以小渾圓徑(如乙戊戊)(巳等)為邊作四等面體而求其體心如丁 次求體心至角線(如丁戊丁己丁乙丁丙又為外切立圓半徑)加小渾圓半徑(即戊甲)為大圓半徑(如丁甲)凡渾圓内容四渾圓或容六渾圓或容八渾圓十二渾圓皆直以小渾圓自相扶 若渾圓内二十渾圓則中多餘空必内有稍大渾圓夾之甲大平圓内容乙戊丙己四小平圓法以小圓徑(如乙戊等)為邊作平方(如乙戊丙己方)而求其斜(如丁乙即方心至小圓心線)加小圓半徑(如乙甲)為大圓半徑(如丁甲)若先有大圓(甲)而求所容小圓則以三率之比例求之一率 方斜併數 二四一四二率 方根 一○○三率 所設之渾圓半徑 丁甲四率 所容之小圓半徑 乙甲推此而知五等邊形於其銳角為心半其邊為界作小圓而以五等邊之心至角如半邊以為半徑而作大圓則大圓容五小圓俱如上法若六等邊於其鋭作小圓仍可於其心作圓共七小圓何也六等面之邊與半徑等也其法只以小圓徑(即六等邊)二分加一為大圓半徑甲大渾圓内容乙丙等六小渾圓法以小渾圓之徑為邊作八等面虛體如乙己丙辛戊皆小立圓之心聯為線則成八觚 乃求八等面心(丁)至角之度(如丁乙等)加小圓半徑(如甲乙)為大渾圓半徑(如甲丁)捷法以小渾圓徑為方(即乙己丙)(辛平方)求其斜(如丁乙)加小圓半徑(如甲乙)為大圓半徑或以小渾圓徑自乘而倍之開方得根加小圓半徑為大圓半徑亦同或先得大圓而求小圓徑則用比例一率 方斜并 二四一四二率 方根 一○○三率 所設大渾圓之徑四率 内容六小渾圓之徑甲渾圓内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圓法以小立圓徑(如乙丙等)作二十等面虛體之稜(如乙丙等俱小圓之心聯)(為線則成二十等面之稜)次求體心(丁)至角(即小圓心)之線(如乙丁)加小圓半徑(如甲乙)為大圓半徑(如甲丁)按體心至角線即二十等面外切圓半徑二十等面之例邊一百(即小渾圓)(例徑)外切渾圓例徑二百八十八二十等面邊一百者其外切渾圓徑一百八十八奇又加小渾例徑得此數若先有大渾圓而求所容之十二小渾圓則以二率爲一率四率爲三率一 外切渾圓之例徑二百八十八(一三五五)二 二十等面之例邊一百(卽小渾圓例徑)三 設渾圓之全徑一百四 内容十二小渾圓之徑三十八(六九四八) (其比例如全分與小分)甲庚大平圓内容七小圓法以甲庚圓徑取三之一(如丁)(乙庚辛等)爲小圓徑若容八圓以上則其數變矣假如以七小圓均布於大圓周之内而切於邊則中心一小圓必大於七小圓而後能相切(以上倣此)甲大渾圓内容八小立圓法以小圓徑作立方(如乙庚方)求其立方心至角數(即外切渾圓半徑如)(乙丁)再加小圓半徑(如甲乙)為大渾圓半徑(如甲丁)按八小員半徑十(甲乙)則其全徑二十内斜線(乙丁)十七加(甲乙)共二十七内減小圓徑二十餘七倍之得十四是比小圓半徑為小其比例為十之七安得復容一稍大小圓在内乎又二十等面有十二尖可作十二小圓以居大渾圓之内而為所容又八等面有六尖可作六小圓為大渾圓所容 四等面有四尖可作四小圓又方燈亦有十二尖可作十二小圓為大渾圓所容其中容空處仍容一小圓為十三小圓皆等徑也十二等面有二十尖用為小渾圓之心可作二十小立圓以切大渾圓内有稍大渾圓夾之圓燈尖三十可作三十小球亦皆以内稍大渾圓夾之公法皆以心至尖為小渾圓心距體心之度皆以小渾圓徑為所作虛體邊如作内容二十小渾圓聯其心成十二等面虛體虛體之各邊皆如小渾圓徑也虛體之各尖距心皆等此距心度以小渾圓半徑加之為外切之大渾圓半徑以小渾圓半徑減之為内夾稍大渾圓半徑渾圓内容各種有法之體以查曲線弧面之細分公法凡有法之體在渾圓體内其各尖必皆切於渾圓之面凡渾圓面與内容有法體之尖相切成㸃皆可以八線知其弧度所當内惟八等面皆以弧線十字相交為正角餘皆鋭角其十二等面則鈍角十二等面每面五邊等析之從每面之角至心成平三角形五則輳心之角皆七十二度半之三十六度即甲心乙角其餘心乙甲角必五十四度倍之為甲乙丁角則百○八度故為鈍角凡渾圓面切㸃依内切各面之界聯為曲線以得所分渾體之弧面皆如其内切體等面之數之形如四等面則其分為弧面者亦四而皆為三角弧面十二等面則亦分弧面為十二而皆成五邊弧形八等面則弧面亦分為八二十等面弧面亦分二十而皆為三角弧形内惟六等面為立方體所分弧面共六皆為四邊弧形凡渾圓面上以内切兩㸃聯為線皆可以八線知其幾何長其法以各體心到角之線命為渾圓半徑以此半徑求其周作圈線即為圓渾體過極大圈以八線求两㸃所當之度即知兩㸃間曲線之長凡渾圓面以曲線為界分為若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂積假如四等面外切渾圓依切㸃聨為曲線分渾圓面為四則此四相等三角形弧面各與渾圓中剖之平圓面等幂何也渾圓全幂得渾體中剖平圓面之四倍今以渾幂分為四即與渾圓中剖之平圓等幂矣推此而知六等面分外切渾圓幂為六即各得中剖平圓三之二八等面分渾圓幂為八即各得中剖平圓之半幂十二等面分渾圓幂為十二即各得中剖平圓三之一二十等面分渾圓幂為二十即各得中剖平圓五之一凡依等面切渾所剖之圓幂又細剖之皆可以知其分幂假如四等面所分為渾圓幂四之一而作三角弧面若中分其邊而㑹於中心則一又剖為三為渾圓幂十二之一與十二等面所分正等但十二等面所剖為三邊弧線等此所分為四邊弧線形如方勝而邊不等若自各角中㑹於心成三邊形其幂亦不等也再剖則一剖為六為渾圓面幂二十四之一(皆得十二等面所剖)(之半而邊不等)若但一剖為二則得渾圓幂八之一與八等面所剖正等但八等面三邊等又三皆直角此則邊不等又非直角假如八等面所剖為渾幂八之一若一剖為二則十六之一剖為四則三十二之一可以剖為六十四至四千九十六 若以三剖則渾幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再細剖之可以剖為九十是依度剖也可以剖為五千四百則依分剖也再以秒㣲剖之可至無窮惟八等面可以細細剖之者以腰圍為底而两弦㑹於極其形皆相似故剖之可以不窮又以此知曲面之容倍於平面何也八等面所剖之渾體腰圍即平圓周也以平圓周之九十度為底两端皆以平徑為两弦以㑹於平圓之心則其幂為平圓四之一若渾體四面以腰圍九十度為底两端各以曲線為两弦以㑹於渾圓之極則其幂為平圓二之一矣假如六等面(即立方)在渾圓内剖渾幂為六得渾幂六之一若一剖為二則與十二等面所剖等剖為四則二十四之一再剖則一為八而得四十八之一假如十二等面剖渾幂為十二各得渾幂十二之一若剖一為五則得六十之一再剖一為十則得百二十之一而與八等面所剖為十五之一假如二十等面剖渾幂為二十各得渾幂二十之一若一剖二則四十之一若一剖三則六十之一若一剖六則百二十之一皆與十二等面所剖之幂等而邊不必等也凡球上所剖諸幂以為底直剖至球之中心成錐形即分球體為若干分如四等面之幂得球幂四之一依其邊直剖至球心成三角錐其錐積亦為球體四之一推之盡然㡬何補編(補遺)平三角六邊形之比例平三角等邊形甲丁丙三邊等形其邊(丁甲)折半(丁乙)自乘而三之即為對角中長線幂開方得中長線丙乙既得中長線丙乙以乘丁乙半邊即等邊三角形積 若以丙乙幂丁乙幂相乘得數平方開之得三等邊形之幂積㨗法不求中長線但以丁乙幂三因之與丁乙幂相乘開方得根即三等邊幂積 或用原邊丁甲自乘得數乃四分之取四之一與四之三相乘得數開方得三等邊積亦同論曰邊與邊横直相乘得積若邊之幂乘邊之幂亦必得積之幂矣故開方得積法曰以原邊之幂三因四除之又以原邊之半乘之兩次為實平方為法開之得三等邊形幂積解曰原邊幂四之三即中長幂也半邊乘二次以幂乘也 又法以原邊與半邊幂相減相乘開方見積平三角等邊形幂積自乘之幂與平方形幂積自乘之幂若三與十六(理同前條)解曰甲戊庚丁為平方形丁丙甲為等邊三角形其邊同為甲丁題言丁甲線上所作三等邊形與所作正方形其積之比例若平積三與十六之平方根也(即一七竒與四○)㨗法於分面線上取三點為等邊三角形積其十六點即正方積 若以邊問積則以邊之方幂數於分面線之十六點為句置尺取三點之句即得三等邊積其設數得數並於平分線取之(此用比例尺算)又法作癸卯辰半員辰癸為徑於徑上勻分十七分而儘一端取其四分如丑癸(丑癸為辰癸十七分之四則丑子為辰子十六分之三)折半於丁以丁為心丁癸為半徑作癸壬丑小半員又以丁癸折半於子作卯子直線(與辰癸徑為十字埀線)割小員於壬則壬子與卯子之比例即三等邊幂與正方幂積比例用法有三等邊形求積法以甲丁邊上方形(即庚甲)積作卯子直線如句四倍之作横線如辰子為股次引横線取子癸為卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸為半徑丁為心作半員截卯子於壬即得壬子為三等邊積㨗法不作辰子線但於子作半十字線如癸丁次於子點左右取癸取丁各為卯子四之一乃任以丁為心癸為界作割員分即割卯子於壬而為三等邊形之積論曰此借用開平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以兩方之邊當句當股而求其弦是為并方法也其一用半員取中比例此所用者中比例也(詳比例規觧)附三等邊求容圓法曰以原邊之幂十二除之為實平方開之得容圓半徑解曰原邊幂十二之一即半邊三之一也附三等邊形求外切圓法曰以原邊之幂三除之為實平方開之得外切圓半徑 一法倍容圓半徑即外切圓半徑新増求六等邊法法曰六等邊形者三等邊之六倍也(以同邊者言) 用前法得三等邊積六因之即六等邊積依前法邊上方幂與三等邊形幂若四○與一七竒因顯邊上方幂與六等邊形幂若四○與十○二竒(亦若一○)(○與二五五)今有六等邊形問積 法以六等邊形之一邊自乘得數再以二五五乘之降兩位見積解曰置四○與一○二各以四除之則為一○○與二五五之比例也若問員内容六等邊形者即用員半徑上方幂為實以二五五為法乘之得數降二位見積亦同(降二位者一○○除也)依顯平員積與其内容六等邊形積之比例若三一四與二五五論曰六等邊形之邊與外切員形之半徑同大故以半徑代邊其比例等(半徑上方與六等邊)(形亦若一與二五五)然則員全徑上方形與内容六等邊形必若四○○與二五五(全徑上方原為半徑上方)(之四倍)而員面幂積與六等邊形積亦必若三一四與二五五矣(員徑上方與員幂原若四○○與三一四故也)用尺算 用平分線 求同根之幂平方幂 四○○ 八十○ (皆倍而退位之數)平員冪 三一四 約爲六十三弱(實六二八)六等邊冪 二五五 五十一三等邊冪 一七○ 三十四右皆方内容員員内又容六角之比例其六等邊與員同徑乃對角之徑也於六等邊之邊則爲倍數三等邊則只用邊若六等邊形亦卽用邊與平方平員之全徑相比則如後法平方 四○○ 平方 一○○○○平員 三一四 平員 七八五四六角 一○二○ 六角 二五五○○三角 一七○ 三角 四二五○論曰以平方平員之徑六角三角之邊並設二○則爲平方四○○之比例若設一○○則如下方平方一○○○○之比例也量體細法四等面體求積法曰以原邊之幂三除之得數以乘邊幂得數副寘之又置邊幂二十四除之得數以乘副平方開之即四等面積也又法置半邊冪三除之得數以乗半邊幂得數副寘之又以六為法除半邊幂得數為實平方開之即四等面積四分之一也(即三角扁錐)算二十等面二十等面之稜線甲丁設一百七十八(原設一百一十因欲使外切立)(方與十二等面同故改此數) 心乙一百四十四(即原切十等邊之半徑又為外切立)(方之半徑) 外切立方徑二百八十八求中心為分體之高 法先求乙中(乃各棱折半處至三角面中央一點之距)依㡬何補編半甲丁得八十九為甲乙自乘(七千九百二十一)取三之一(得二千六百四十又三之一)為乙中句幂又以心乙(一四四)自乘(二○七三六)為弦幂相減餘(一萬八千○九十五又三之二)為股幂開方得心中一百三十四半強為分體鋭尖之高倍之得二百七十九半弱為内容立員徑求甲心為分體斜棱 法以甲乙為句其幂(七九二一)以乙心為股其幂(二○七三六)併之(二八六五七)為弦幂開方得甲心一百六十九二為分體自角至鋭之斜棱 倍之三百三十八半弱為外切渾員之徑或取理分中末線之大分(如心乙)為股小分(如甲乙或丁乙)為句取其弦(甲心或丁心)為二十等面自角至心之楞線合之成甲心丁形即二十等面分形之斜立面也甲丁則原形之楞也如(甲心丁)之面三皆以心角為宗以甲心等弦合之(三面皆有此弦)則甲丁等底(三底)(並同甲丁)以尖相遇而成三等邊之面即二十等面之一面也以此為底則成三角尖錐矣 尖錐之立三角面皆等皆稍小於底解曰乙戊與甲乙等而甲心與戊心(即乙心)不等如弦與股(乙戊即十等邊之一邊乃二十等面横切之面之邊)今欲求心中正立線中即二十等面一面之中自此至心成心中線則其正高也法先求甲中為句取其幂以減甲心弦幂即心中股幂開方得心中簡法取乙甲(即原楞之半又即小分)自幂三之一以減乙心(即大分又)(即原楞均半處至形心即斜立面中線)之幂即心中幂又解曰原以甲乙半楞(又即二十等面中剖所成之楞即十等邊之一邊故為小分)為句(在形内為小分乃乙戊也今形外之甲乙與甲乙同大故亦為小分)乙心(即二十等面中切成)(十等邊自角至心之弦故為大分又即為二十尖錐各立面三角形之中長線)為股則甲心為弦(自各角至體心之線)而甲心弦幂内有乙心股甲乙句兩幂今求心中之高則又以甲中為句自各角至各面心也而仍以甲心為弦弦幂内減甲中句幂則其餘心中股幂也 依㡬何補編甲乙幂三分加一為甲中幂故但於乙心幂内減去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心為弦則中乙為句而心中為股依補編中乙幂為甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一為句幂以減心乙弦幂即得心中股幂開方得心中此法尤㨗作法 以二十等面之楞(如甲丁)折半(如甲乙或丁乙亦即甲戊)為理分中末之小分求其大分(如乙心即二十等面各楞線當中一點至心之線亦即外)(切立方之半徑) 再以大分為股(乙心)小分為句(甲乙亦即甲戊亦即戊乙)取其弦(甲心即二十等面自各角至心之線謂之角半徑亦即切員半徑) 再以原楞(甲丁)為底切員半徑為兩弦(甲心及丁心)成兩等邊之三角形即二十等面體自各角依各楞線切至體心而成立錐體之一面三面盡如是則成三角立錐矣 如是作立錐形二十聚之成二十等面體立錐體之中高線(心中)以乘三體面之幂而三除之得各錐積二十乘錐積得立積 其中高線(心中)即内容立員之半徑立方内容二十等面體其根之比例若全分與大分立方内容十二等面體其根之比例若全分與小分二十等面體之分體並三楞錐以元體之面為底原體之楞(甲丁)折半(甲乙)為小分為句取其大分(心乙)為股句股求弦得自角至心為外切員之半徑(心甲)假如(甲丁)原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘(三千○二十五)為句幂其大分乙心(即外切立方半徑)八十九自乘(七千)(九百二十一)為股幂并二幂(一萬○九)(百四十六)平方開之得弦(一○四又六二)(不盡約為一○四半强)為角至體心之線(心甲)即外切立員之半徑算二十等面之楞於渾天度得㡬何分法以心甲為渾天半徑甲乙為正弦法為心甲與甲乙若半徑與甲心乙角之正弦查正弦表得度倍之為丁甲通弦所當之度算十二等面五等邊面為十二等面之一 面有五邊在體之面則為五楞錐其一楞設一百一十(甲丙)半之五十五(乙丙)以甲丙為小分求其大分得一百七十八丙戊也(即丙丁壬丁壬戊丁)(角為丙中甲角之半與平圓十等邊之一面等)半之八十九已丙也(即乙辛以丙巳乙為)(兩腰等形辛巳乙亦兩腰等形故辛乙與巳丙等丙巳分乙乙形與元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙為小)(巳或辛乙為大分)為内作小五等邊之一邊(乙辛)亦即十二等面從腰圍平切之十等邊面也又以乙辛為小分求得大分一百四十四心乙也(分圖辛心)(乙形即前圖辛心乙形乙辛為心壬之小分心乙為大分乙心線即五等面一邊折半處至體心之距丙㸃即)(五等面邊兩楞相凑之角丙辛形乙丙辛虛線形即前圖乙)為甲丙半楞(乙丙)之全分何則前圖之丙巳乙形乙丙為小分丙巳為大分試於辛乙心形内(分圖)作庚辛乙形與丙巳乙形等(庚乙即乙丙五等面一邊之半乙辛庚辛)(即丙巳乙巳為小五邊形之一邊)則乙庚為小分乙辛為大分(心庚同)今又以乙辛為小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也(乙癸同)夫心乙乃庚乙(小分)辛乙(大分即心庚)之并則乙心為庚乙之全分矣其比例心乙與心庚若心庚與庚乙而乙心即外切立圓半徑也右法楊作枚補今求心中線為五等邊最中一㸃(中)至體心(心)之距亦即内容渾員半徑先求乙中線為五等邊各楞折半處至最中之距 法為甲乙比乙中若半徑與五十四度之切線一 半徑 一○○○○○二 乙甲中角(五十四度)切線一三七六三八三 半楞甲乙 五十五四 中乙 七十五(七○)用句股法以心乙(一百四十四)為弦中乙(七十五七)為句句弦各自乘相減得心中股幂平方開之得中高線(心中為容員半徑)求得容員半徑一百二十二半弱(心中)又求甲心線為各角至體心之距(即外切渾員半徑) 用句股法以甲乙(五五)為句心乙(一四四)為股并句股幂求甲心弦求得外切圓半徑一百五十四强(甲心)十二等面根一一○(甲丙)外切立員半徑一四四(心乙)全徑二八八○内容渾員半徑一二二半(心中)全徑二四五(弱)外切渾員半徑一五四(甲心)全徑三○八(强)十二等面之分體並五楞錐並以五等邊面為底原體之楞甲丙設一百一十半之乙甲五十五為小分求其全分乙心一百四十四(即外切立方半徑)乙甲(五十五)自乘(三千○二十五)為句幂心乙(一百四十四)自乘(二萬○七百三十六)為股幂并之得(二萬三千七百六十一)平方開之得弦(一百五十四强)為自角至心之線甲心即外切員半徑作法 以五等面之一邊為底楞(甲丙)以外切員半徑(角至心之)(線)為兩弦之楞(甲心及丙心)而㑹於心五邊悉同則為十二分體之一如是十二枚則成十二等面體變體數求渾圓積設渾圓徑一○○○自乘得一○○○○○○又十一(古法)乘之得一一○○○○○○為實十四除之得○七八五七一四為平圓面幂或用舊徑七圍念二之比例亦得圓面七八五七一四以四因之得渾圓之幂三一四二八五六置渾圓之幂以半徑五○○因之得一五七一四二八○○○是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓柱形積置圓柱形積以三為法除之得五二三八○九三三三是為以渾圓面幂為底半徑為高之圓角形積亦即渾圓之積渾圓根一○○○體積五二三八○九三三三用為公積立方置公積即渾圓積(五二三八○九三三三)立方開之得立方根八○六二○二七一七是為與渾圓等積之立方方錐置公積(五二三八○九三三三)以三因之得數立方開之得高濶相等之方錐形根一一六二二四四四四七是為與渾圓等積之方錐方錐圓柱置公積(同上)十四因之十一除之為實立方開之得高濶相等之圓柱形根八七四二三九四二是為與渾圓之積之圓柱(圓柱)圓錐置公積(同前)以三因之(變圓錐形積為圓柱積)再以十四因之十一除之為實(變圓柱積為立方積)立方開之得高濶相等之圓錐形根一二五九四七五九是為與渾圓等積之圓錐 或置積以四十二因之十一除之立方開之亦同(圓錐)按變體線本法有四等面八等面十二等面二十等面諸數表皆未及其同者惟有渾圓立方二形其餘三形皆比例規解及測量全義之所未備今以法求之則皆長濶相等而不為渾圓立方者耳夫不為渾圖立方而仍可以法求者以其長濶相等則仍為有法之形也然而與今西書所載合者二不合者一意者其傳之有誤耶或其所用非徑七圍二十二之率耶俟攷渾圓以徑求積置徑自乘又以半徑乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之見積解曰平圓與平方之比例知其周與周假如七則方周二十八圓周二十二兩率各折半為十四與十一 徑自乗則為平方形以十一乗十四除則平方變為平圓矣以平圓為㡳半徑乗之成圓柱形再以三歸之成圓角形(即圓錐)渾圓面幂為㡳半徑為髙之角形四倍大於此圓角形故又四因之即成渾積也㨗法 徑自乗以乗半徑乃以四十四因四十二除見積 或徑上立方形二十二因四十二除或用半數十一因二十二除見積並同渾圓以積求徑置積以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方開之得圓徑解曰圓積是圓角形四今三因之變為圓柱形四矣故用四除則成一圓柱此圓柱形是半徑為髙全徑之平圓為㡳今以十四乗十一除則變為全徑之平方為㡳半徑為髙矣故加一倍即成全徑之立方㨗法 積倍之以四十二因四十四除立方開之得圓徑 或用本積以八十四乗四十四除立方開之 或用半數以四十二乘二十二除立方開之 或又折半以二十一乗乗十一除立方開之得積並同按徑七圍二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可見其立法之善雖異城有同情也雖其於真圓之數似尚有盈朒然所差在㣲忽之間而已吾及錫山楊崑生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小於徑七圍二十二之率則其所得圓積亦必小於古率矣楊法立圓徑一○○○○積五二三八○九二五六四孔法立圓徑一○○○○積五二三五九八七七五約法立方與立圓之比例若二十一與十一 平圓與外方若十一與十四 平圓與内方若十一與七圓内容方之餘(即四小弧矢形)若七與四圓外餘方(即四角減弧矢)若十一與三准此則餘圓(即小弧矢)與餘方若四與三而小弧矢與其所減之餘方角若一與七五亦若四與三也厯算全書卷五十八
## 少廣拾遺序
少廣拾遺序
少廣爲九章之一其開平方法爲薄海内外測量家所需非隸首不能作也平方而外有立方以爲鑿築土方之用課工作者猶能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣嘗見九章比類厯宗算會算法統宗俱載有開方作法本原之圖而僅及五乗竝無算例同文算指稍變其圖具七乗方算法而不適於用詮釋不無譌誤西鏡録演其圖爲十乗方而舉數僅詳平立三乗一式而已餘皆未及康熙壬申余在都門有友人傳逺問屬詢四乗方十乗方法葢諸乗方法獨此二端不可以借用他法而問者及之竊喜朋儕中固自有留心學問之人遂稍取古圖紬繹發其指趣爲作十二乗方算例頗覺詳明然後知今日所用開平方法廼算數家徑捷之用而不及古圖之簡括精深也宣城梅文鼎
## 卷五十九
欽定四庫全書厯算全書卷五十九宣城梅文鼎撰少廣拾遺開方求亷率作法本原圖自開平方至開八乗方古圖附説圖最上書一者本數也本數者即大方也大方無隅無乘除之可言而數從此起也次並列(一一)者方邉也西法謂之根數即一十一也左一即本數因有次商而進位成一十為初商之根右單一為次商之根既有根數即有平冪故第三層 者幂積也西法謂之面即一百二十一也左一百為初商自乗之幂即大方積也右單一為次商自乗之幂即隅積也小平方也中二十則兩亷積也並長方也如圖大小兩方幂以一角相聫必得兩亷以輔之而其方始全故平方亷積二也第四層 者立方積也西法謂之體積即一千三百三十一也左一千初商再乗之積大立方也右單一為次商再乗之積隅積也小立方也中三百三十皆亷積也三百為三平亷積扁立方也三十為三長亷積長立方也如圖析觀之則初商大立方體與次商隅積小立方體相連於一角必得三平亷之扁立方體補於大立方之三面又有三長亷之長立方體補於小立方之三面及三平亷之隙而方體始全故立方之亷積有二等而其數各三也第五層 者三乘方也即一萬四千六百四十一也左一萬者大三乗方也初商方積也右單一者小三乗方也次商隅積也大方積既以三乗之故而積陞至萬小隅雖三乘仍單一也其相隔已三位故必有第一亷(舊名)(方法)為千數第二亷(舊名上亷)為百數第三亷(舊名下亷)為十數以補之其數始足其理亦如平方立方也三乘方以上不可為圖諸書有强為之圖者非也然其理則有可言者焉以其相生之序言之則皆加一筭法也初商次商如十與一而其幂則如百與一故于(一一)之下各加(一一)即成如十一之自乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成 即三乗方率四乗以上凖此加之皆加一法也曰若是則諸乗方皆以十一逓乗而得非十一者何以處之曰根非十一而其理皆如十與一何則凡増一乗積陞一等而亦増一亷亷與亷之積亦皆如十與一也冪(音覓周禮冪人掌共巾冪説文覆也開平方四邉俱等中函縱横之積亦如覆物之巾有經緯縷文)(故謂之冪亦謂之面)幂(同上省文也見張参五經文字算書或小寫作□)亷率立成附説凡開方一位除盡者無亷隅也亷隅皆生於次商次商之根必小于初商一等而其小隅之體𫝑必與初商之大方同狀(如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方)此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法則不然每増一乗則亷増一等(如平方但有亷立方則有平亷長亷三乗方則有三種亷四乘方則有四種亷其亷之等)(並與其乘數同増)而亷亦加多(如平方只二亷立方則平亷長亷各三三乗方則三種亷共有)(十四乗以上則更増而多如圖所列)此亷率所由立也問亷既有等(如平方亷為十立方亷為十為百之類)而今亷率只作單數用何也曰此亷之數也非亷之積也亷積有等則既於其次序分之矣挨次乗之其等自見(如第一亷必小于初商大方一等第)(二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是)若同一等中應各有若干亷必先知之而後可用故立成中所列皆單數問古圖以右為隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作單數用則左右一也今依筆算自右而左便於取用故也(亷法相生之序左右同數如立方平亷三長亷亦三也三乗方)(第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷則其近小隅亦有若干亷故左右並同可以左為初商大方右)(為小隅亦可以右為大方而左為小隅此亦見古圖之妙也)問舊有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰開方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方與隅之間次商初商相乗而得者皆亷也舊以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四為序較畫一耳問平方之亷皆平幂也立方之平亷長亷皆體積也不知三乗方以上之亷積亦能與方隅並狀乎曰凡諸乗方之亷積無不與方隅之乗數等也試以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗積而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根數而又以次商之立積乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗積也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗積也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂積也又以乗次商再乗積其第四㢘有五皆初商根也又以乗次商之三乗積皆四乗也五乗方以上俱如是觀後算例自明諸乗方根同而積不同本易知也惟根之一者積同為一似乎無别矣然有幂積之一有體積之一有三乗以上諸乗方之一雖曰積同為一其實不同也今以方根之為单一為一十為一百者為例如右因有續商故方根以十數見例方積以尾○定位無次商者去尾○用之則方根只為單數多(如第一亷用初商立積二亷則初商幂逓減以至三亷則初商只用根)近小隅者次商乗之遍數多(如第一亷只用次商根第二亷則次商亦用幂三亷則逓加而用次商立)(積)各乗方皆如是開諸乗方大法諸乗方法惟平方為用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至於多乗而通為一法是為大法(諸乗方大)(法可以開平方而平方専法不可以開諸乗方)總法 凡諸乗方皆先列實 次作㸃分段 次查表以定初商 次求亷隅以定續商列實之法 依勿菴筆算作平行兩直線以設積紀于右直線之右皆自上而下至單數止無單數者作○存其位作㸃分段之法 皆于原積末位單數作一㸃起(凡減隅積)(必至單位故分段之法以此為宗同文算指但言起末位殊混)依各乗方宜以若干位為一段即隔若干位㸃之(或作實㸃丶或作虚㸃□俱可然虚㸃尤便以減商積時有借)(上位之㸃免凌雜也)如平方以每兩位為一段則隔一位㸃之立方以三位為一段則隔兩位㸃之乃至十二乗方以十三位為一段則隔十二位㸃之並同一法謹案作㸃分段其用有二一以定開方有若干次也如有一㸃則只開一次有兩㸃則開二次三㸃則開三次之類一以定開方所得為何等數也如只有一㸃則初商即單數二㸃則初商是十數三㸃則初商是百數之類是故初商減積必至於最上㸃而止也次商減積必至于次㸃而止也每開一次必減積一次而所減之數必各盡于其作㸃之位亦可以驗開方之無誤也又最上㸃以上初商實也次㸃以上次商實也每商皆以㸃位截實此法於初商尤為扼要又案開方分段古人舊法之精錢塘吴信民九章比類山隂周述學厯宗算㑹悉著其説而同文算指西鏡錄本其意以作㸃定之施於筆算為極善也(鼎于三十年前見同文算)(指作㸃之法驚嘆其竒後讀諸書始知其有所祖述非西人創也)初商之法 皆以最上一㸃截原積若干位為初商實乃查初商表視本乗方下數有與實相同或較小於實者錄之紀于左線之左(皆以表數末位對右線上原實最上㸃紀之)是為初商應減之積 即于本表旁行查方根紀于左線之右(皆對所紀表數首位進一位紀之)是為初商數以初商應減之積(左行所紀)與初商實(右行最上㸃所截原實)對位相減(皆以左減右須依筆算從小數減起如左行減數大右行實數反小而不及減則作㸃于上一位借十數)(減之)減不盡者為餘實以待續商凡原實有二㸃則初商為十數而有次商有三㸃初商為百數而有次商及三商以上倣論如實只一㸃則初商即是單數無續商次商之法 皆以第二㸃截餘實為次商實凡初商皆為方積次商以後則有亷積隅積先求亷率 查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干數平列之為若干行謂之定率(如平方只一種亷其定率二立方有)(二種亷曰平亷曰長亷其定率並三若三乗方則有三種亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四詳)(後式)每増一乗即亷増一等而定率増一行(有亷之等有亷之數如平)(方有二亷立方有三平亷三長亷此亷之數也平方之兩亷同積共為一等立方之三平亷同積為一等三長)(亷同積為一等共為二等此亷之等也亷率中兼此二義)求亷汎積 以各亷定率乗初商應有各數各依本乗方減小一等用之亷多者又遞減挨次乗之至根數止是為汎積(有初商數即各帶有自乗冪積二乗立積乃至三乗以上各積是為應有各數也今求汎)(積當依本乗方減小一等用之如平方只用根數立方用初商冪積乃至十二乗方用初商十一乗此為減小)(一等也至第二亷則立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此為亷多者二亷以上)(又逓減挨次乗之也逓減至初商根則為末後一亷矣故曰至根數止)求㳄商數以汎積約餘實得之求亷定積 以各亷汎積乗次商數亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方減小一等止是為定積(凡第一亷汎積皆乗)(次商根而得定積有第二亷則以次商自乗積乗之有三亷則以次商立方積乗之是為逓増一等也然增不)(得至本乗方但增至本乗方減小一等數即為末後一亷矣)求隅積 以次商數查初商表各依本乗方取之(以次商對)(横行根數以本乗方對直行縱横相遇得之)列于亷積之後一行是為隅積(小隅體勢並同初商大方如平方則隅即小平方立方則隅即小立方三乗方之隅亦為小三乗方四乗以上)(並同故可借初商表用之)求亷隅共積 以所得各亷定積及隅積用併法併之即得求次商定數 以所得亷隅共積紀左線之左(又在表數之左)(以末位對第二㸃紀之為次商應減之數)與次商實(右行第二㸃所截)對位相減(以左)(減右)減不盡者又為餘實以待三商遂紀次商數于初商之下為次商定數 如亷隅共積大于次商實不及減則改次商至及減而止乃為次商定數三商以後並同上法不論三商四商乃至多商其亷定率不變但求汎積時三商則並初商次商兩位商數合而用之四商則併前三次商數皆取其應有各數以乗定率而得汎積亦如上法之用初商 其求定積則三商即用三商之數四商即用四商之數以乗汎積而得定積亦如上法之用次商 餘法並同次商審○位之法 凡亷汎積大於餘實或僅相等而無隅不能商一數是次商為○位也即紀○位於先商之次而併下一㸃餘實為續商餘實次商單一之法 凡汎積與實僅同而有隅一是商得一數也即以汎積為定積不必更乗次商(惟單一則然若商得一十)(一百一千仍須如法乗之)開平方(即一乗方)設平方積三千三百四十四萬三千○八十九問方根若干答曰五千七百八十三列實法(先作兩直綫次以方積三三四四三○八九列)(右綫之右) 作㸃(法於實末位單數作一㸃起逆上每)(隔一位㸃之有四㸃宜商四次初商是千)初商法曰(用最上一㸃截原實兩位三三為初商實查表有小於實三三)(者是二五其方根五即以五為初商對實首上一位書于左綫之右却以表數二五對實三三書左綫之)(左與原實對減先於實次位減五實係三不足減作㸃借上一數為十三減去五餘八改書八于實三之)(右次於實首減二原實是三因借下去一只得二減盡乃作綫抹去三三存八以待次商亦于左作綫抹)(去減數二五)求次商 用第二㸃上餘實八四四為次商實隅 次商自乗 四九○○○○亷隅共積 併 得 七四九○○○○次商法曰(置亷率立成内定率二乗初商五千得一萬為汎積乃約實作七百定為次商即以)(汎積乗之得定積七百萬再用次商自乗為隅其積四十九萬併定積成七百四十九萬即亷隅共積也)(俱如式列之于是將次商七續書初商五之下又將共積七四九對實八四四書左綫之左以減實餘九)(五乃作綫抹去八四四亦于左作綫抹去七四九)求三商 用第三㸃上餘實九五三○為三商實隅 三商自乗 六四○○亷隅共亷 併 得 九一八四○○三商法曰(復置定率二以乗初商次商合數五千七百得一萬一千四百為汎積乃約實作八)(十為三商即以泛積乗之得定積九十一萬二千三商亦自乗為隅得積六千四百以併定積成九十一)(萬八千四百為亷隅共積俱如式列之再將三商八十挨書次商七百之下而以其亷隅積九一八四對)(實九五三○書于左綫之左去減實餘三四六即改書之以待四商作綫抹去九五三○左亦作綫抺去)求四商 用第四㸃上餘實三四六八九為四商實隅 四商自乗 九亷隅共積 併 得 三四六八九四商法曰(用定率二乗初商次商三商合數五千七百八十得一萬一千五百六十為泛積乃)(約實可商三定為四商即以泛積乗之得定積三萬四千六百八十四商三自乘得九為隅積併定積成三)(萬四千六百八十九是為亷隅共積各如式列訖再將四商三挨書于三商八十之下而以其亷隅積三)(四六八九對第四㸃實書于左綫之左就以減四商實恰盡乃作綫抹去之左減數亦抺去)初商五千 有四㸃故初商是千位次商七百三商八十四商單三凡開得平方根五七千百八十三還原法 置方根五千七百八十三自乗得積三千三百四十四萬三千○八十九合原積開立方(即再乗方)設立方積一千○○七萬七千六百九十六尺問每面方若干答曰二百一十六尺依法列實 作㸃(自末位單數作一㸃起逆)(上每隔兩位㸃之有三㸃宜商三次)求初商(用最上一㸃截原實兩位一○為初商實查初)(商表有小于一○者是○八其方根二即以二定為初商對實)(首上一位書左綫之右而以其積數○八對實一○書左綫之左對減初商實餘二改書之以待次商)初商二百尺(有三㸃初商是百)求次商 用第二㸃上餘實二○七七為次商實依法求得次商一十尺(書于初商二百之下而以其亷隅共積一百二十六萬一)(千減㳄商實餘八一六改書之以待三商)求三商 用第三㸃上餘實八一六六九六為三商實隅 三 商 再 乗 二一六亷隅共積 併 得 八一六六九六依法求得三商六尺(續書次商一十之下而以亷隅共積八十一萬六千六百九十)(六減三商實恰盡)凡開得立方根二百一十六尺還原 置方根(二百一十六尺)自之得(四萬六千六百五十六尺)為平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七萬七千六百九十六合原數開三乗方設三乗方積一億三千六百○四萬八千八百九十六問方根若干答曰一百○八依法列實 作㸃(自末位單數作一㸃)(起逆上每隔三位㸃之)求初商 用最上一㸃截實首位一為初商實凡積一者其根亦一不必查表竟以一為初商(其積與實)(對減恰盡)初商一百(有三㸃初商是百)求次商 用第二㸃餘實三六○四為次商實隅 次 商 三 乗 一○○○○亷隅共積 併 得 四六四一○○○○依法求得亷隅共積四千六百四十一萬為次商一十之積大於次商實不及減是無次商也法于初商一百下書○求三商 用第三㸃合上第二㸃餘實三六○四八八九六共八位為三商實(三商減積至末位第三㸃故合八位為其實)凡求三商當合初商次商兩數乗定率以求泛積今次商 故只用初商數隅 三 商 自 乗 三 次 四○九六亷隅共積 併 得 三六○四八八九六依法求得三商八(續書次商○之下而以其亷隅共積三千六百○四萬八千八百九)(十六與餘實相減恰盡)凡開得三乗方根一百○八還原 置方根(一○八)自乗得(一一六六四)為平幂平幂又自乗得一億三千六百○四萬八千八百九十六合原積或以方根一百○八自乗三次亦同開方簡法 置三乗方積(一三六○四八八九六)以平方法開之得(一一六六四)再置(一一六六四)以平方開之得方根一百○八合問開四乗方設四乗方積一十三億五千○一十二萬五千一百○七問方根若干答曰六十七依法列實 作㸃(自末位單數作一㸃)(起逆上每隔四位㸃之共兩㸃宜商兩次)求初商 用最上一㸃截原實一三五○一為初商實(查表有七)(七七六小于實其根六即以六為初商而以其積七七七六對減初商實餘五七二五改書之以待次商)初商六十(有兩㸃初商是十)求次商 用第二㸃上餘實五七二五二五一○七為次商實隅 次 商 四 乗 一八六○七亷隅共積 併 得 五七二五二五一○七依法求得次商七(書于初商六十之下而以亷隅共積五億七千二百五十二萬五千)(一百○七減次商實恰盡) 凡開得四乗方根六十七還原 置方根(六十七)自乗四次得積一十三億五千○一十二萬五千一百○七合原數開五乗方設五乗方積一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬問方根若干答曰五百一十列實(數以單位)(為根今原積尾位是)(百萬故補六○列之)作㸃(自末單位)(○上作一㸃起逆上每隔五位㸃之) 求初商(用最上一㸃截原實五位一七五九六為初商)(實入表得五為初商對實首上一位錄左綫右即以其積數對實列左綫左相減餘一九七一改書之以)(待次商) 初商求到五百(有三㸃故初商是百)求次商(用第二㸃上餘實一九七一二八七八○一為次商實)隅 次 商 五 乗 一○○○○○○亷隅共積 併 得 一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十(書初商五百之下再將亷隅共積一千九百七十一萬二千七)(百七十八億○一百萬去減次商實恰盡)原實三㸃宜有三商而次商已減實盡無可商作○于次商下凡開得五乗方根五百一十○還原 置方根(五百一十○)自乗五次復得一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬合原積開六乗方設六乗方積三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八問方根若干答曰三十二依法列實 作㸃(自末位單數作)(㸃起逆上每隔六位㸃之共兩㸃宜商兩次)求初商 用最上㸃截原實三四三五為初商實(查表)(得三為初商書左綫右而以其積數二一八七書左綫之左對減初商實餘一二四八改書以待續續商)初商三十(有兩㸃故初商是十)求次商 用第二㸃上餘實(一二四八九七三八三六八)為次商實隅 次 商 六 乗 一二八亷隅共積 併 得 一二四八九七三八三六八依法求得次商二(書初商三十之下再以亷隅共積與次商實對減恰盡)凡開得六乗方根三十二還原 置方根(三十二)自乗六次得積(三四三五九七三八三六八)合原數開七乗方設七乗方積一千一百○○億七千五百三十一萬四千一百七十六問方根若干答曰二十四依法列實 作㸃(自末位單)(數作㸃起逆上每隔七位再作一㸃)求初商 用最上㸃截原實一一○○為初商實(查表得二為初商即以二書左綫之右而以其積二五六書左綫之左對減初商實餘八四四改書)(之以待續商)初商二十(有兩㸃初商是十)求次商 用第二㸃上餘實(八四四七五三一四一七六)為次商實亷隅共積 併 得 八四四七五三一四一七六依法求得次商四(書初商二十之下再將亷隅共積八四四七五三一四一七六與次)(商實對減恰盡)凡開得七乗方根二十四還原 置方根(二十四)自乗七次復得(一一○○七五三一四一七六)合原數或以根(二十四)自乗得(五百七十六)為平幂平幂又自乗得(三十三萬一千七百七十六)為三乗方積三乗方積又自乗得(一一)(○○七五三一四一七六)亦合原數開方簡法 置設積(一一○○七五三一四一七六)以平方法開之得(三三一七七六)又置為實以三乗方法開之得方根二十四或置設積(一一○○七五三一四一七六)用平方法連開三次亦得方根二十四開八乗方設八乗方積一千六百二十八萬四千一百三十五億九千七百九十一萬○四百四十九問方根答曰四十九列實(法同前)作㸃(自末位單數作)(㸃起逆上每隔八位㸃之)求初商(用最上一)(㸃截原實一六二八四一三為初商實查表得八乗綫方積二六二一四四其根四即以四定為初商書左)(右而以其積數書左綫左對減初商實餘一三六六二六九以待次商)初商四十(有兩㸃初商是十)求次商 用第二㸃上餘實(一三六六二六九五九七九一○四四九)為次商實隅 次 商 八 乗 三八七四二○四八九亷隅共積 併 得 一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九(書初商四十之下再將亷隅共積對減次商實恰盡)凡開得八乗方根四十九還原 置方根(四十四)自乗八次復得(一六二八四一三五九七九一)(○四四九)合原積開九乗方設九乗方積八十三兆九千二百九十九萬三千六百五十八億六千八百三十四萬○二百二十四問方根若干答曰六十二列實(法同前)作㸃(自末位單數作)(㸃起逆上每隔九位㸃之)求初商(如法用最上一㸃原積八位截為初商實查表得九乗方根六即以六為初商而以其積)(數六○四六六一七六減初商實餘二三四六三七六○待續商各如法書之)初商六十(冇兩㸃初商是十)求次商 用第二㸃上餘實二三四六三七六○五八六八三四○二二四為次商實隅 次商九乗 一○二四亷隅共積 併得 二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二(書于初商六十之下乃以其亷隅共積二十三兆四千六百三十七)(萬六千○五十八億六千八百三十四萬○二百二十四減次商實恰盡)凡開得九乗方根六十二又法 置九乗方積(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以平方法開之得(九一六一三二八三二)為四乗方積 再以四乗方法開之得方根(六十二)或置九乗方積(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以四乗方開之得(八三四四)再以平方開之得方根(六十二)並同還原 以方根(六十二)自乗九次得原積或以原根(六十二)自乗四次得(九一六一三二八三二)為四乗方積再以四乗積四乗得原積亦同開十乗方設十乗方積七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八問方根答曰一十二依法列實 作㸃(自末位單)(數作一㸃起逆上每隔十位再作一㸃)求初商(用最上㸃截實首位七為初商)(實查表得十乗方根一定為初商即以其積一)(減初商實七餘六改書之以待續商)初商一十(有二㸃初商是十)求次商 用第二㸃上餘實六四三○○八三七○六八八為實隅 次 商 十 乗 二○四八亷隅共積 併 得 六四三○○八三七○六八八依法求得次商二(書初商一十之下再將亷隅共積減次商實恰盡)還原 置方根(一十二)自乗十次復得七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八合原積又法 置方根(一十二)自乗(一四四)為平幂平幂自乗(二○)(七三六)為三乗方積三乗方又自乗得(四二九九八一六九六)為七乗方積再以根再乗之立積(一七二八)乗之得十乗方積開十一乗方設十一乗方積七千三百五十五萬八千二百七十五億一千一百三十八萬六千六百四十一問方根若干答曰二十一列實(法同前)作㸃(自末位單數作㸃起)(逆上每隔十一位㸃之)求初商 用最上一㸃截實七三五五為初商實查表得十一乗方根二定為初商(以其積四○九六對減初商實餘三二五)(九以俟續商皆各如法書之)初商二十(有二㸃初商是十)求初商 用第二㸃上餘實(三二五九八二七五一一三八六六四一)為次商實亷隅共積 併 得 三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一(書初商二十之下其亷隅共積三千二百五十九萬八千二百七十)(五億一千一百三十八萬六千六百四十一減餘實恰盡)凡開得十一乗方根二十一還原 用方根(二十一)自乗十一次復得原積又法 置方根自乗再乗得(九二六一)為立方積立方積自乗得(八五七六六一二一)為五乗方積五乗方積又自乗得十一乗方原積開方簡法 置設積(七三五五八二七五一一三八六六四一)以平方法開之得五乗方積(八五七六六一二一)又置為實以五乗方法開之得根二十一開十二乗方設十二乗方積一十五兆四千四百七十二萬三千七百七十七億三千九百一十一萬九千四百六十一問方根若干依法列實 作㸃(自末位單數作㸃起逆上隔十二位㸃之)求初商 用最上一㸃截原實一五四四七為初商實查表得十二乗積(八一九二)其方根二即以二定為初商(其積數與實對減餘七二五五再俟續商)求初商 用第二㸃上餘實七二五五三三七七七三九一一九四六一為次商實亷隅共積 併 得 七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一(書于初商二十之下再將亷隅共積七兆二千五百五十二萬三千)(七百七十七億三千九百一十一萬九千四百有六十一以減餘實恰盡)凡開得十二乗方根二十一還原 置方根二十一自乗十二次復得原積或以方根(二十一)自乗得(四四一)再乗得(九二六一)三乗得(一九)(四四八一)為三乗方積即以三乗方積自乗得(三七八二二八五九)(三六一)再自乗得(七三五五八二七五一一三八六六四一)為十一乗方積又置為實而以方根(二十一)乗之得十二乗原積又法 以方根自乗再乗得(九二六一)為立方積就以立方積自乗三次得(七三五五八二七五一一三八六六四一)為十一乗方積如前再以方根乗之亦得原積又法 以根(二十一)自乗之平方(四四一)為法自乗四次得九乗方積(一六六七九八八○九七八二○一)再以根(二十一)再乗之立方(九二六一)乗之得十二乗原積並同論諸乗方簡法凡開平方二次即三乗方也是為方之方開平方立方各一次五乗方也可名為立方之平方亦可名為平方之立方開平方三次七乗方也或三乗方平方各開一次亦同可名為平方之三乗亦可名為三乗方之平方開立方二次八乗方也可名為立方之立方開四乗方平方各一次九乗方也可名為四乗方之平方開平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名為三乗方之立方亦可名為立方之三乗方按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指謂四乗方開二次為六乗方又謂四乗方開三次為十乗方非也且四乗方平方各一次已為九乗方矣安得有開四乗方二次而反為六乗開四乗方三次而止為十乗乎必不然矣演諸乗方逓増通法平方積自乗為三乗方 立方積自乗為五乗方 三乗方積自乗為七乗方 四乗方積自乗為九乗方五乗方積自乗為十一乗方 六乗方積自乗為十三乗方 七乗方積自乗為十五乗方 八乗方積自乗為十七乗方 九乗方積自乗為十九乗方 十乗方積自乗為二十一乗方 十一乗方積自乗為二十三乗方 十二乗方積自乗為二十五乗方 十三乗方積自乗為二十七乗方 十四乗方積自乗為二十九乗方 十五乗方積自乗為三十一乗方(以上並超兩位)平方積再自乗為五乗方 立方積再乗為八乗方三乗方積再乗為十一乗方 四乗方積再乗為十四乗方 五乗方積再乗為十七乗方 六乗方積再乗為二十乗方 七乗方積再乗為二十三乗方 八乗方積再乗為二十六乗方 九乗方積再乗為二十九乗 十乗方積再乗為三十二乗方(以上並超三位)平方積自乗三次為七乗方 立方積自乗三次為十一乗方 三乗方積自乗三次為十五乗方 四乗方積自乗三次為十九乗方 五乗方積自乗三次為二十三乗方 六乗方積自乗三次為二十七乗方 七乗方積自乗三次為三十一乗方(以上並超四位)平方積四乗為九乗方 立方積四乗為十四乗方三乗方積四乗為十九乗方 四乗方積四乗為二十四乗方 五乗方積四乗為二十九乗方(以上並超五位)平方積五乗為十一乗方 立方積五乗為十七乗方三乗方積五乗為二十三乗方 四乗方積五乗為五十九乗方(以上並超六位)平方積六乗為十三乗方 立方積六乗為二十乗方三乗方積六乗為二十七乗方 四乗方積六乗為三十四乗方(以上並超七位)平方積七乗為十五乗方 立方積七乗為二十三乗方 三乗方積七乗為三十一乗方(以上並超八位)平方積八乗為十七乗方 立方積八乗為二十六乗方 三乗方積八乗為三十五乗方(以上並超九位)平方積九乗為十九乗方 立方積九乗為二十九乗方(以上並超十位)(平方至十二乗方已有初商表其十三乗以後不及詳列推以根之為二為三者演之至三十二乗以見)(其意)根二(至三十二乗則有十位) 根三(至三十二乗則有十六位)(十三乗) 一六三八四 四七八二九六九(十四乗) 三二七六八 一四三四八九○七(十五乗) 六五五三六 四三○四六七二一(十六乗) 一三一○七二 一二九一四○一六三(十七乗) 二六二一四四 三八七四二○四八九(十八乗) 五二四二八八 一一六二二六一四六七(十九乗) 一○四八五七六 三四八六七八四四○一(二十乗) 二○九七一五二 一○四六○三五三二○三(二十一乗) 四一九四三○四 三一三八一○五九六○九(二十二乗) 八三八八六○八 九四一四三一七八八二七(二十三乗) 一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一(二十四乗) 三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三(二十五乗) 六七一○八八六四 二五四一八六五八二八三二九(二十六乗) 一三四二一七七二八 七六二五五九七四八四九八七(二十七乗) 二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一(二十八乗) 五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三(二十九乗) 一○七三七四一八二四 二○五八九一一三二○九四六四九(三十乗) 二一四七四八三六四八 六一七六七三三九六二八三九四七(三十一乗) 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一(三十二乗) 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三附開多乗方求次商㨗法列實作㸃截實求初商如常法既得初商減一等自乗為亷積(加五乗方則用四乗)又以本乗方數加一為亷數(如五乗方則用)(六)亷數乗亷積得數為法以除餘實為次商遂合初商次商數依本乗方數乗之(如五乗方亦自乗五次)得積合原數定所得為方根(如原積數少不及減則改次商及減而止)假如三乗方積五百七十六萬四千八百○一問方根若干答曰四十九如法於初商表取三乗方積二五六減原實定初商為四十餘實(三二○四八○)(一)為次商實 法置初商四○自乗再乗得(六四○○○)為亷積(本方三乗故亷積用再乗為減一等)又以四為亷數(三乗方故用四為亷數為加一數)亷數乗亷積得(二五六○○○)為法以除次商實得九為次商(得數可進一十因欲存第二亷以下亷隅積數不得)(滿除只商作九數待酌)遂合初商次商共四十九依法自乗得(二四○一)又以(二四○一)自乗得(五七六四八○一)以較原實相同減盡即定四十九為三乗方根厯算全書卷五十九
## 卷六十
欽定四庫全書厯算全書卷六十宣城梅文鼎撰壍堵測量二總論塹堵測量者句股法也以西術言之則立三角法也古九章以立方斜剖成塹堵其兩端皆句股再剖之則成錐體而四面皆句股矣任以錐體之一面平寘為底則其鋭上指環而視之皆成立面之句股而各有三角三邊故謂之立三角也立三角之法以測體積方圓斜側靡所不通其測渾圓之弧度則有二理其一用視法如弧三角所詮用三角三弧之正弦切線移於平面(謂渾圓立剖之平面)即成三層句股相似之比例今謂之渾圓容立三角也其一不用視法而用實數如句股錐形等法用三弧三角之割線餘弦各於其平面自成相似之句股以為比例(三弧直剖至渾圓之心即)(各成句股形之面)今謂之塹堵測量也(渾圓内容之立三角亦塹堵之分形而塹堵測)(量所測亦渾圓之度因書匪一時所為而意各有屬其名遂别二而一一而二者也)以上通論立三角及塹堵測量命名之意并其同異之處(因立三角有塹堵之名因渾圓内三層句股生塹堵之用故存此二者以為塹堵測)(量基本)凡數之可算者皆可作圖以明之故渾圓可變為平圓如古者葢天之圖是也數之可算可圖者皆可製器以象之故渾圓可剖為錐體塹堵測量之儀器是也凡測算之器至今日大備且益精益簡古者渾儀經緯相結為儀三重至郭太史之簡儀立運儀則一環而已足今則更省之為象限儀是益簡益精之效也至於渾象無與於測而有資於算所以證理也西法之簡平渾葢以平寫渾亦可謂工巧之至獨未有器以證八線夫用句股以算渾圓其法莫便於八線然八線之在平圓者可以圖明在渾圓者難以筆顯(鼎)葢嘗深思其故而見渾圓中諸線犁然有合於古人塹堵之法乃以堅楮肖之為徑寸之儀而三弧三角各線所成之句股了了分明省筆舌之煩以象相告於作圓布算不無小補而又非若渾象之難成因名之曰塹堵測量從其質也塹堵形析渾象之一體亦如象限儀割渾儀之一隅環而測之則象限即渾儀之全周也周徧析之則塹堵即渾象之全體也是故塹堵形可析為兩可合為一其析者一為句股錐(亦曰立三角儀)則起二分訖二至一為句股方錐(亦曰方直儀)則起二至訖二分起二分者西率起二至者古率也是兩者九十度中皆可為之(自分訖至九十度並可為句股錐自)(至訖分九十度並可為句股方錐)然至半象以上割切三線太長溢出於方塹堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股錐近至度用句股方錐以黄道四十七度赤道四十五度為限過此者互用其餘如是則兩錐形合之成方塹堵矣方塹堵内又成圓塹堵二其一下為赤道圓象限而一為撱形之象限距度之割切二線所成也其一下為撱形象限而上為黄道之圓象限距度正弦黄道半徑所成也(兩圓塹堵之用已括於兩錐形内)兩圓塹堵内又以黄道正弦距度正弦成小方塹堵之象則郭太史圓容方直本法也於是又有圓容方直儀簡法而立三角之儀遂有三式(一句股錐其形四鋭一方直儀其底長方一圓容方直簡法儀其底為渾圓幂之分)之三者或兼用割切或專用正弦而並不用角合渾圓内三層句股觀之可以明立法之根以上論塹堵測量儀器(句股錐形及句股方錐形二種為塹堵測量正用而)(圓容方直形專用正弦成小塹堵尤正用中之正用也此小塹堵在兩重圓塹堵内故兼論之又此)(小塹堵足闡授時弧矢之祕因遂以郭法附焉)問八線生於角用八線而不用角何也曰角與弧相應故用角即用弧也用弧即用角也明於斯理而後可以用角渾圓内三層句股是也明於斯理而後可以不用角塹堵三儀是也用角者西法也而用角即用弧則通於古法也不用角者古法也而用弧即用角則通於西法也于是而古法西法可以觀其㑹通息其煩喙矣以上論角即弧解之理立三角法序立三角者量體之法也西學以幾何原本言度數而所譯六卷之書止於測面其測體法則未之及葢難之也余嘗以句股法釋幾何而稍為推廣其用謂之幾何補編亦曰立三角法本為體積而設然其中義類頗有與渾圓弧度之法相通者故摘録之以明塹堵測量之理立三角法摘録總論一立三角為有法之形立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆為有法之形故立三角亦不拘斜正而皆為有法之形一立三角為量體之宻率凡量體者必析之析之成立三角形則可以知其容積可得而量矣若不可以立三角析者則為無法之形不可以量一立三角即錐體立三角任以一面平安如底則餘三面皆斜立(亦有一面)(正立者)而鋭必在上即成三角立錐一各種錐體皆立三角之合形凡錐體必上尖下濶任取其一面觀之皆斜立之平三角也凡錐形自其尖切至底則其中剖之立面亦平三角也錐體之底或四邊五邊以至多邊若以對角綫分其底又即皆成平三角也故四稜錐可分為兩五稜錐可分為三六稜以上無不可分分之皆立三角形故知一切錐體皆立三角之合形也底之邊多至于三百六十又析之為分為秒以此為底皆可成錐體再析之至于無數即成平員底可作員錐要之皆小平三角面無數以成之者也一各種有法之形亦皆立三角之合形如立方體依其稜剖至心成立分體皆扁方錐其斜面輳心皆成立三角長方體亦然四等面體從其稜剖至心成四分體八等面則成八分體二十等面成二十分體皆立三角錐十二等面依稜剖至心成十二分體皆五稜錐其立面五皆立三角渾員形以渾員面冪為底半徑為髙作大員錐而成渾積凖前論皆無數立三角所成然則渾員亦立三角也渾員既為立三角所成則半之而為半渾員(一平員面一半)(渾員面如員𤓰中剖)或再分之而為一象限或更小於象限之渾員(細分弧面自象限以内至于一度内若干分秒如剖橘瓤並一弧面兩半平員面)以渾員之理通之皆立三角所成一無法之形有面有稜即皆為立三角所成凖前論各依其楞線割之至底或依對角線斜剖之即皆成立三角而無法之形皆可為有法之形一立三角體之形不一而皆有三角三邊非四面不能成體故立三角必四面非三角三邊不能成面故立三角體之面皆三角三邊約舉其類有四面相等者即四等面形也(其面冪等其稜之長)(短亦等)有三面相等而一面不等者其不等之一面必三邊俱等餘三稜則自相等(以上皆形也四等面任以一面為底其雉尖正立居中三等面形以等邊之一面為底錐尖亦正立居中)有二面兩兩相等者有二面相等餘二面不等者有四面各不相等者有三面非句股而一面成句股者有兩面成句股者(其句股或等或否)有四面並句股者句股立錐也(以上不皆正形而皆為有法之形)一立三角形有實體有虛體實者如臺如墖如堤虛者如井如池又如隔水測物皆自其物之平面角作直線至人目即成虛立錐體以人目為其頂鋭而所測平面則其底也所作直線皆為其稜若所測平面為四邊五邊以上皆可作對角線分為立三角錐形(虛體實體並同一法)立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直線至星宿所居之度則此三星之相距皆弧度也三弧度為邊即成弧三角形以為之底其三直綫皆大員半徑以為之稜而合于地心以為之頂鋭亦立三角之虛形(即弧三角錐體)若于渾球體作三大圏相交成弧三角形從三角作直線至員心依此析之即成實體與上法並同一理一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安則其鋭尖上指如人之立眠者以底側立如堵牆而錐形反横如人之眠此惟正形之錐則有之(既定一面為底則底在下者為立在旁者為眠)如虛形則不拘正斜皆以所測為底又如弧三角錐以渾員面上所成之弧三角為底以三直線輳于渾體之心為其頂鋭則四面八方皆可為底而鋭常在心不特能眠能立亦且能倒能欹(亦惟)(有底有鋭之正形則然若他形底無定名隨人所置)眠體倒體以及他形之欹側不同而皆為有法之形者三角故也一古法有壍堵陽馬鱉臑芻甍等法皆可以立三角處之(壍堵一作塹堵)凡立方體從其面之一稜依對角斜線剖至其底相對之一稜則其積平分而成壍堵形(甲乙為頂有袤無廣丙丁戊己為方底或長方則丙丁同巳戊為袤丁己仝丙戊為廣乙)(丙同甲丁為其髙甲丁乙丙為立面甲乙戊己為斜面皆長方乙丙戊同甲丁巳為兩端)(立面皆句股形而相對相等)(壍堵形有如屋者甲乙頂袤如屋脊甲乙丙丁及甲乙戊巳兩長方皆斜面而相等丙丁)(戊己為底乙丙戊與甲巳丁兩圭形相對而等而以乙辛為其髙其辛丙及辛戊俱平分)(而等)(又或甲乙頂袤不居正中而近一邊然甲乙與丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及)(甲巳乙戊兩斜面雖有大小而並為長方形乙辛垂線不能分丙辛及辛戊為平分而必)(與丙戊底為十字正角則乙辛為正髙)以上三者皆壍堵之正形並以髙乘底折半見積何也皆立方之半體其兩端皆立三角形也(第一形兩端為句股)(第二第三皆以乙辛中剖成兩句股)凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙為頂長丙丁戊己為底眠者以戊己為頂長反以甲乙丙丁為底如隔水測懸崖之類(又有斜壍堵形其各綫不必平行底不必正方但俱直線則底與兩斜面皆可作對角綫)(以分為三角形而諸數可測實體虛體並有之于測量之用尤多)斜壍堵本為無法之形而亦能為有法之形者可析之成三角也凡壍堵形從頂上一角依對角線斜剖之為兩則成一立方錐一句股錐(塹堵形從乙角作乙巳乙丁两對角線依線剖之則成两形)(立方錐一) (句股錐一)(名陽馬) (名鱉臑)陽馬形(以丙丁戊己方形為底以乙為頂鋭而偏居一角故乙丙直立如垂線以為之髙其四立)(面皆成句股形故又名句股立方錐)論曰陽馬形從壍堵第一正形而分故其髙線直立于一隅乃立方之楞線四面句股形因此而成是為句股方錐之正體若斜壍堵等形之分形則但可為斜立方錐而不得為句股方錐亦非陽馬(斜立方錐者其頂不居正中然又不能正立一隅故非句股立錐而但為斜立方錐)(如上二形頂既偏側底亦非方亦斜立錐形也然其立面皆三角故亦為有法之形)(斜立方錐亦可立可眠皆可以立三角法御之但不如句股立方錐之有一定)(比例)鱉臑形(以甲乙為上袤而無廣以丁巳為下廣而無袤故稱鱉臑象形也其)(各面或句股或不為句股而皆三角故又名三角錐)句股立錐形(其上有袤而無廣下有廣而無袤並同鱉臑所異者甲角)(正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面並成句股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜)(面並成句股又丁角正方故甲丁巳平面乙丁巳斜面並成句股是四面皆句股也)(故謂之句股方錐而不得僅名鱉臑)論曰鱉臑中有句股立錐猶斜立方錐中之有句股方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明測量比例之理又論曰立三角所以為有法形者謂其可施八線也而八線原為句股之比例此二者既通體皆句股所成故在有法形中尤為有法矣又論曰若于句股方錐再剖之即又成二句股錐而皆等積故陽馬為立方三之一句股錐則為六之一皆立方之分體也又論曰句股方錐及句股錐皆生于塹堵故塹堵形為測量之綱要(芻薨形亦如屋而兩端漸殺故頂窄而底寛其丙丁戊己底或正方或長方甲乙頂小于丙丁或居)(正中或稍偏然皆與丙丁及戊己平行)芻甍葢取草屋之象乃壍堵形之一種亦可分為三鱉臑又有芻童者形如方臺皆立方之變體方臺面與底俱正方蒭童則長方而面小底大則同亦皆可分為立三角凖前論方臺作對角線並可為兩芻甍即可再分為六鱉臑即皆立三角錐也論曰量面者必始于三角量體者必始于鱉臑皆有法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角耳量體者析之至鱉臑而止再析之仍鱉臑耳面之可以析為三角者即為有法之面體之可以析之為鱉臑者即為有法之體葢鱉臑即立三角之異名也量體者必以立三角非是則不可得而量算法凡算立三角體須求其正髙以正髙乘底以三而一見積其法有三其一頂居一角其稜直立即用為正髙其二頂鋭不居一角而在三角之間其三頂斜出底三邊之外並以法求其垂線為正髙假如巳甲乙丙立三角體甲乙丙為底已為頂鋭正居丙角之上巳丙如垂線為髙先以乙丙五十六尺甲乙邊(六十一尺)甲丙邊(七十五尺)求其羃積(一千六百三十尺)以乘已丙髙(四十尺)得(六萬七千二百尺)為實以三為法除之得(二萬二千四百尺)為立三角錐體若欲知已乙甲已兩斜弦依句股求弦即得(已丙既直立則恒為股以)(股自乘冪加乙丙句冪為弦冪開方得已乙弦又以股冪加甲丙句冪為弦冪開方得甲乙弦)若已頂不居一角而在三角之中則已丙非正髙乃斜稜也法當分為兩形其法依丙已稜直剖至底以上二形乃中剖為二之象其中剖之立面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂線即為正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得數為實三除見積又法不必剖形但于形外任依一楞如丙已于庚作垂線至丙以法取庚㸃與已頂平行即庚丙為正髙與己戊等(或量得庚已横距為)(句以己丙為弦求其股即得庚丙正髙亦同)立三角之頂有斜出者或在底外則于已頂作垂線至庚與甲乙丙底平行乃任用相近一稜如己乙為弦量庚乙之距為句依法求其股得己庚為其正髙以乘底三除見積問己頂既居形外己庚何以得為正髙也曰此易知也但補作甲庚虛線成四邊形為底則為四稜立錐而己庚為其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以己庚為正髙矣假如乙庚丙甲為底丙甲與乙庚等丙乙與甲庚等或斜方或正方其己庚一稜正立如垂則即為正髙正髙乘方底三除之即體積也若從甲乙對角線分其底為均半又依甲己甲乙二稜從頂直剖之至底則分為兩三角形而各得其積之半矣(底既平分為兩則其積亦平分為兩)其己庚乙甲形與己甲乙丙形既皆半積則相等而庚乙甲底與甲乙丙底又等則其髙亦等而己庚乙甲形既以己庚為髙矣則己甲乙丙形之髙非己庚而何又論曰量體積者必先知面猶量面冪者必先知綫也然則量體者亦先知線矣是故量體之法可轉用之以求線也(量體者有先知之面冪有求而得之面冪夫求之而得面者必先求其面冪之)(界界即線也故量體之法可用之以求線也)何謂以量體之法求綫曰測量是也前論立三角有虛體為測量之用夫虛體者無體者無體而有線如實體之有稜故可以量體之法求之也如所測之物有三㸃即成三邊三角當以三直線測之則立三角錐形矣所測有四㸃當以四直線測之則四稜立錐形矣兩測則又為塹堵形矣故測量之法可以求線也又論曰用立三角以量體者所用者仍平三角也而用三角以量面者所用者仍句股也吾㠯是而知聖人立法之精深廣大渾圜内容立三角體法全形為塹堵分形為鼈臑即立三角體又為句股立錐西法所用若内切小塹堵則為圜容方直形即郭太史弧矢法先解全形 塹堵體亢戊乙夘為塹堵斜面 其形長方夘乙為渾圜半徑(夘為渾圜之心)亢戊為四十五度切線與夘乙同度同為横邊 亢夘為乙角割線與戊乙同度同為直邊亢氐戊丁為塹堵立面 其形横長方亢氐者乙角切線也與戊丁同度以為之髙 亢戊及氐丁皆四十五度切線與半徑同度以為之濶亢氐夘戊丁乙皆塹堵兩和之牆 其形皆立句股氐夘同丁乙皆半徑為句 亢氐同戊丁皆乙角切線為股 亢夘同戊乙皆乙角割線為弦夘乙丁氐為塹堵之底 其形正方夘乙及夘氐皆渾圜半徑其對邊悉同法曰先為立方體以容渾球使北極在上南極在下皆正切于立方底葢之中心則赤道平安而赤道之二分二至亦皆在立方四面之中心矣次依赤道横剖方體為均半而用其上半為半立方容半渾圜形則二分二至皆在半立方之底線各中心而赤道全圈居其底次依二分二至從北極十字剖之又成四小立方各得原立方八之一而小立方内各容渾圜分體八之一此小立方有一角之楞直立為北極之軸上為北極下即渾圜心夘角也其立方根皆渾圜半徑次依黄赤道大距取切線為髙作横線于小立方夏至之一邊即亢戊線次依亢戊横線斜剖至對邊之足則成塹堵矣(對邊之足即夘)(乙也本為黄赤道半徑今在小立方體為方底之邊故云足也)塹堵體有五面 其一斜面(亢戊乙夘長方) 其三立面(一亢氐戊)(丁長方二亢氐夘戊丁乙相等兩句股) 其一方底(夘乙氐丁平方)塹堵形面 有赤道象弧在方底 有黄赤大距弧在立句股邊 即兩和之牆底形 底形正方 其夘角即黄赤道心氐甲乙為赤道一象限 乙為春分氐為夏至赤道 夘氐及夘乙皆赤道半徑 其對邊氐丁及乙丁皆四十五度切線立句股面形一 立句股之面有二(一亢氐夘一戊丁乙)皆同角同邊 亢氐夘形内有氐癸弧為夏至黄赤大距二十三度半强 氐夘為赤道半徑 癸夘為黄道半徑夘角為黄赤大距角(氐癸弧之角) 亢氐者氐癸弧之切線(亦即夘角切線) 亢夘者氐癸弧之割線(亦即夘角割線)癸弧之割線(亦即夘角割線)立句股面形二 戊乙丁形即前圖亢氐夘形之對面戊丁髙同亢氐切線(如股) 戊乙斜線同亢夘割線(如弦) 丁乙横線同氐夘(如句) 乙角同夘角又有黄道象弧在斜面斜面形 斜面形長方(其斜立之勢依黄道) 其夘角為黄道心(即赤道心) 乙丙癸為黄道一象限 乙為春分(與赤道同用) 癸為黄道夏至 夘癸及夘乙皆黄道半徑(内夘)(乙與赤道同用) 亢夘為二十三度半强之割線(夏至黄赤大距割線) 其相對戊乙邊與亢夘割線同度亢戊邊與夘乙半徑相對同度乃四十五度之切線(與底)(上切線氐丁相應)立面形 立面形亦長方其勢直立 亢戊及氐丁二邊為其濶皆四十五度切線與半徑同度 亢氐及戊丁為其高皆二十三度半之切線(夏至黄赤大距切線)以亢戊邊庋起斜面之亢戊邊而成角體仍以氐丁邊聯于方底之氐丁邊則其形直立矣次解分形 立三角體(古謂鼈臑即句股錐)内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角錐夘為渾圜心(黄赤同用) 夘乙渾圜半徑(黄赤同用) 乙丙弧為黄道經度 丙夘為黄道半徑 乙甲弧為赤道經度甲夘為赤道半徑 丙甲弧為黄赤距緯 乙為春分㸃 酉乙未角為春分角二十三度半與二至大距之緯度相應此角不動 丙為所設黄道度距春分後之㸃此㸃移則丙之交角變而諸數皆從之而變法曰于前圖全形塹堵斜面黄道象弧内尋所設黄道經度自春分(乙)起數設度至丙從丙向圜心夘作丙夘半徑遂依半徑引長至塹堵之邊(酉)成酉夘直線依酉夘直線直剖至底(未夘線為底酉未線為邊)成酉未乙夘立三角體此立三角體有四面而皆句股故又曰句股立錐立句股之錐尖為酉其斜面為酉乙夘句股形(乙正角句乙酉為股弦乙夘為 酉夘為)其立面二一為酉未乙句股形(未正角句酉未垂線為股未乙為 酉乙為弦)一為酉未夘句股形(未正角句酉未垂線為股未夘為 酉夘為弦)其底為未乙夘句股形(乙正角句未乙為股弦乙夘為 未夘為)以上四句股面凡楞線六夘乙半徑也酉乙黄道丙乙弧之切線也而酉夘則其割線也未乙赤道乙甲弧之切線也而未夘則其割線也惟酉未垂線於八線無當今名之曰錐尖垂線亦曰錐尖柱亦曰外線以其離於渾圜之體也句股面有四而用者一酉未乙也以其能與乙角之大句股為比例也楞線六而用者二酉乙及未乙也以其為二道之切線為八線中有定數可為比例也第一層句股比例圖酉未乙句股形以黄道切線(酉乙)赤道切線(未乙)相連于乙角(成鋭角)則酉乙為弦未乙為句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面又同用乙角故可以相為比例術為以赤道半徑(丁乙)比乙角之割線(戊乙)若赤道切線(未乙)與黄道切線(酉乙)也(此為以句求弦)又以黄道半徑(牛乙)比乙角之餘弦(昴乙)若黄道切線(酉乙)與赤道切線(未乙)也(此為以弦求句)解曰丁乙與氐昴同大則皆赤道半徑也戊乙與亢夘同大則皆乙角割線也牛乙與癸卯同大皆黄道半徑昴乙與己夘同大皆乙角餘弦也 從乙窺夘則成一㸃而乙角夘角合為一角其角之割線餘弦盡移于塹堵之第一層而同在一立面為句若弦(觀總圖自明)以赤道求黄道 以黄道求赤道一 赤道半徑 一 黄道半徑二 乙角割線 二 乙角餘弦三 赤道切線 三 黄道切線四 黄道切線 四 赤道切線若求角者反用其率 又法四 乙角割線 四 乙角餘弦第二層句股比例圖子甲丑句股形以黄赤距度之切線(子甲)赤道之正弦(甲丑)相連于甲成正角則子甲為股甲丑為句而與坎震丑及女婁丑二句股形同在一立面又同丑角故可相求術為以赤道半徑(震丑)比乙角之切線(坎震)若赤道正弦(甲丑)與距度之切線(子甲)也(是為以句求股)又為以乙角之正弦(女婁)與乙角餘弦(婁丑)若距度之切線(子甲)與赤道之正弦(甲丑)也(是為以股)(求句)解曰震丑即氐夘赤道半徑也坎震即亢氐乙角之切線也女婁即癸己而婁丑即己夘乙角之正弦餘弦也從乙窺夘則乙丑夘成一㸃而合為一角其角之切線正弦餘弦盡移于塹堵第二層立面為句與股以赤道求距度 以距度求赤道 又法一 半徑 一乙角正弦 一乙角切線 半徑二 乙角切線 二乙角餘弦 二半徑 (乙角餘切)三 赤道正弦 三距度切線 三 距度切線四 距度切線 四赤道正弦 四 赤道正弦若求角則反用其率 又法一 距道切線 半徑 一 赤道正弦 半徑二 赤道正弦 二 距度切線三 半徑 (距度餘切) 三 半徑 (赤道餘割)四 乙角餘切 四 乙角切線第三層句股比例圖丙辛壬句股形以距度正弦(丙辛)黄道正弦(丙壬)相連于丙而成鋭角則丙壬為弦丙辛為股而與乾艮壬及奎胃壬二句股同在一立面同用壬角故可相求術為以黄道半徑(奎壬)比乙角之正弦(奎胃)若黄道正弦(丙壬)與距度之正弦(丙辛)也(是為以弦求股)又為以乙角之切線(乾艮)比乙角之割線(乾壬)若距度之正弦(丙辛)與黄道正弦(丙壬)也(是為以股求弦)解曰奎壬即癸夘黄道半徑也奎胃即癸己距度正弦也乾艮即亢氐而乾壬即亢夘則乙角之切線割線也從乙窺夘則乙丑壬夘半徑因直視成一㸃而合為為一角其角之正弦切割線盡移于塹堵之第三層立面以為弦為股以黄道求距度 以距度求黄道 又法一 半徑 一 乙角切線 一 乙角正弦 半徑二 乙角正弦 二 乙角割線 二 半徑 (乙角餘割)三 黄道正弦 三 距度正弦 三 距度正弦四 距度正弦 四 黄道正弦 四 黄道正弦若求角則反用其率 又法一 距度正弦 半徑 一 黄道正弦 半徑二 黄道正弦 二 距度正弦三 半徑 (距度餘割) 三 半徑 (黄道餘割)四 乙角正割 四 乙角正弦弧三角錐體(即割渾圜體之一分)法曰依前論從丙㸃對夘直割至底則截黄道于丙截赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖渾圜之跡又成丙甲弧(為兩道距緯)三弧相湊成丙甲乙弧三角面 丙夘甲夘乙夘同為半徑三半徑為楞輳于夘心夘為三角之尖乙甲丙弧三角面為底成乙甲丙夘弧三角錐體為割渾圜體之一分也此弧三角錐體含于句股立錐體内凖前論可以明之因此弧三角錐與句股錐同鋭(夘尖)異底(一以弧三角面為底一以句股)(平面為底)故以弧三角變為句股以求其比例而有三法(即前)(條所論三層句股)其一為酉未乙句股形用酉乙弦(為黄道丙乙弧切線)未乙句(為赤道乙甲弧切線)以當乙角之弦與句其一為子甲丑句股形用子甲股(為距度丙甲弧切線)甲丑句(為赤道乙甲弧正弦)以當乙角之股與句其一為丙辛壬句股形用丙辛股(為距度丙甲弧在弦)丙壬弦(為黄道丙乙弧正弦)以當乙角之股與弦問兩弧求一弧非句股錐乎與此所用同耶異耶曰形不異也乃法異耳何言乎法異曰句股錐一也而有用角不用角之殊此用角度其句股在錐形之底(以夘心為錐形)(之鋭則三層句股皆為其底)而遙對渾體之心以視法成比例兩弧求一弧不用角度其句股同在錐形之一面無假視法自成比例所以不同然其為句股之比例一而已矣然則兩弧求一弧惟用割線餘弦此所用者惟正弦切線又何不同若是耶曰角之句股在心(如夘亢氐等形皆依極至交圏)(平剖渾圜成平面其象始著是在渾圜之心)與為比例之句股在面(如酉未乙等形)(皆以一角連於渾圜之面)二者相離以視法相叠如一平面然惟正弦切線能與之平行(從凸面平視則設度之正弦切線皆與渾圜中割之平面諸線平行)若割線餘弦皆非平行因視法而躋縮失其本象(或斜對則)(長線成短線或對視則直線成一㸃)不能為比例無所用之矣若兩弧求一弧則其句股自相垜疊於一平面(平立斜三面各具三句股而如相垜)(疊並以一大句股横截成三)皆以本數自相為比例全不闗于視法故無躋縮而其算皆割線餘弦所成于正弦切線反無所取所以不同 若以量體之法言之割線餘弦為量立楞斜楞之法正弦切線則量底之法也(兩弧求一弧法見二卷)如圖 以卯為句股立錐之頂卯乙為直立之楞如渾圓半徑夘未夘酉為斜面之楞並如割線酉乙未乙兩底線並如切線若依底線平截之成大小三形則比例見矣剖渾圜用餘度法乙丙黄道弧在四十五度以上求甲乙赤道弧(即同升度)依前法 半徑(癸卯亦即庚乙)與乙角(春分)之餘弦(乙壬亦即)(卯己)若乙丙(黄道)之切線(尾乙)與乙甲(赤道)之切線(箕乙)此法無誤但如此則兩切線大于塹堵須引之于形外是以小比例例大比例也若至八十度切線太大不可作圖矣今改用餘度 法自卯渾圜心遇黄道設弧丙作線至酉(剖至底)以乙丙黄道之餘弧癸丙取其切線于斜面如癸斗又以乙甲赤道之餘弧甲氐取其切線于底如氐未即以氐未移至斜面之楞如亢酉變立句股(尾箕乙)為平斜句股(酉亢卯及斗癸卯兩形皆相似) 法為半徑(癸卯)與乙角之正割線(乙角即卯角其割線戊乙亦即卯亢)若乙丙黄道之餘切線(癸斗)與乙甲赤道之餘切線也(亢酉亦即氐未)按此法從亢戊邊剖塹堵成句股方錐之眠體其剖形以亢氐酉未長方形為底以卯為錐尖以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形為相對之二邊又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形為相對之二邊其四面皆句股其底長方而以卯為尖故曰眠形不直曰方錐者以面皆句股而卯氐線正立故不得僅云陽馬謂之句股方錐可也亦如句股錐立三角不得僅謂鼈臑塹堵測量二句股錐形序(即兩弧求一弧)正弧三角之法即郭太史側視圖也郭法以側視取立句股又以平視取平句股故有圓容方直之法而不須用角西法専以側視之圖為用故必用角用角即用弧也惟其用角故所用者皆側立之句股也余此法則兼用平立斜三種句股而其大小句股之比例並在一平面尤為明白易見而不更言角既與授時之法相通其兼用割線起算春分又西厯之理也葢義取適用原無中外之殊笇不違天自有源流之合敬存此稿以質方來其授時厯側視平視之圖詳具别卷正弧三邉形以兩弧求一弧法(句股錐形之理)用割線餘弦以弧度求弧度而不言角其理與郭法相通丙甲乙三角弧形 甲為正角卯為渾員心丙乙為黄道距春分之一弧甲乙為赤道同升之弧丙甲為黄赤距度(即過極圈之一弧)丙卯為黄道半徑甲卯為赤道半徑卯乙為黄赤兩道之半徑壬卯為丙乙黄道之餘弦(以丙壬為其正弦故)丑卯為甲乙赤道之餘弦(以甲丑為其正弦故)辛卯為丙甲距度之餘弦(以丙辛為其正弦故)子卯為丙甲割線(以子甲為切線知之)酉卯為丙乙割線(以酉乙為切線如之)未卯為甲乙割線(以未乙為切線知之)斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧為丙乙黄道 平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧為甲乙赤道 立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧為丙甲距度(其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形為切線正弦所作兹不論)論曰因諸線成平面句股形為底兩立面句股形為牆斜面句股形為面則四面皆句股形矣而酉未聯線及子甲切線丙辛正弦皆直立上對天頂下指地心故謂之句股錐形也既成句股則其相等之比例可以相求用法半徑與赤道之餘弦若黄道之割線與距度之割線反之則赤道餘弦與半徑若距度割線與黄道割線一 甲乙餘弦 丑卯小句 二 半徑 乙卯大句三 丙甲割線 子卯小弦 四 丙乙割線 酉卯大弦又更之則黄道割線與半徑若距度割線與赤道餘弦一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 乙卯大句三 丙甲割線 子卯小弦 四 甲乙餘弦 丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯兩句股形以乙卯半徑為比例偕一餘弦兩割線而成四率半徑與距度之割線若黄道之餘弦與赤道之餘弦一 半徑 丙卯小弦 二 丙甲割線 子卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句反之則距度割線與半徑若赤道餘弦與黄道餘弦一 丙甲割線 子卯大弦 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙乙餘弦 壬卯小句又更之則黄道餘弦與半徑若赤道餘弦與距度割線一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙餘弦 丑卯大句 四 丙甲割線 子卯大弦右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半徑偕一割線兩餘弦而成四率半徑與赤道割線若距度割線與黄道割線更之則赤道割線與半徑若黄道割線與距度割線一 甲乙割線 未卯大句 二 半徑 甲卯小句三 丙乙割線 酉卯大弦 四 丙甲割線 子卯小弦又更之則距度割線與半徑若黄道割線與赤道割線一 丙甲割線 子卯小弦 二 半徑 甲卯小句三 丙乙割線 酉卯大弦 四 甲乙割線 未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半徑偕三割線而成四率半徑與黄道餘弦若赤道割線與距弧餘弦一 半徑 乙卯大句 二 丙乙餘弦 壬卯小句三 甲乙割線 未卯大弦 四 丙甲餘弦 辛卯小弦更之則黄道餘弦與半徑若距弧餘弦與赤道割線一 丙乙餘弦 壬卯小句 二 半徑 乙卯大句三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 甲乙割線 未卯大弦又更之則赤道割線與半徑若距弧餘弦與黄道餘弦一 甲乙割線 未卯大弦 二 半徑 乙卯大句三 丙甲餘弦 辛卯小弦 四 丙乙餘弦 壬卯小句右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半徑偕兩餘弦一割線而成四率半徑與距度餘弦若赤道餘弦與黄道餘弦更之則距度餘弦與半徑若黄道餘弦與赤道餘弦一 丙甲餘弦 辛卯小弦 二 半徑 甲卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 甲乙餘弦 丑卯大句又更之則赤道餘弦與半徑若黄道餘弦與距度餘弦一 甲乙餘弦 丑卯大句 二 半徑 甲卯大弦三 丙乙餘弦 壬卯小句 四 丙甲餘弦 辛卯小弦右取平面(甲丑卯辛壬卯)二句股以甲卯半徑偕三餘弦而成四率半徑與黄道割線若距弧餘弦與赤道割線更之則黄道割線與半徑若赤道割線與距弧餘弦一 丙乙割線 酉卯大弦 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙割線 未卯大句 四 丙甲餘弦 辛卯小句又更之則距弧餘弦與半徑若赤道割線與黄道割線一 丙甲餘弦 辛卯小句 二 半徑 丙卯小弦三 甲乙割線 未卯大句 四 丙乙割線 酉卯大弦右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半徑偕兩割線一餘弦而成四率作立三角儀法(即句股錐形)法以堅楮依各線畫成句股而摺輳之則各線之在渾員者具可覩矣 任取黄道之一弧為例則各弧並同底上甲乙弧赤道同升度也赤道各線俱在平面為底面上丙乙弧黄道度也黄道各線俱在斜面立面丙甲弧度黄赤距緯也距緯各線俱在立面 外立面為黄赤兩切線之界論曰此即郭若思太史員容方直之理也太史法從二至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半弦為界直切至赤道平面截黄赤道兩半徑成小立句股以此為法求得平面大句股則赤道之正半弦也其直切兩端下垂之跡在二至半徑者既成小立句股其在所求本度者又成斜立句股此斜立句股之股則本度黄赤距度之正半弦也于是直切之跡有黄道正半弦為其上下之横長有黄赤距度之正半弦為兩端之直濶成直立之長方形而在渾體之中故曰弧容直濶也此側立長方之四角各有黄赤道之徑為其楞以直湊渾體之心成眠體之句股方錐句股方錐者底雖方而錐尖偏在一楞則其四面皆成句股此郭太史之法也今用八線之法以句股御渾體其意略同但其法主於用角故從二分起算遂成立句股錐形立句股錐形亦可以卯心為錐尖是為眠體錐形如此則兩錐形之尖皆在員心(一郭法一今法)而可通為一法是故用郭太史法則以句股方錐為主而句股錐形其餘度所成之餘形今以句股錐形為主則員容直濶所成句股方錐又為餘度餘形矣然則此兩法者不惟不相違而且足以相法古人可作固有相視而笑莫逆於心者矣余竊怪夫世之學者入主出奴不能得古人之深而輕肆詆訶者皆是也吾安得好學深思其人與之上下其議哉句股方錐序塹堵虚形以測渾員原有二法一為句股錐形一為句股方錐其句股錐之法嚮有〔？〕法方錐之法亦略見於諸篇而未暢厥㫖故復著之其法以弧求弧而不求角與句股錐同而起算二至則郭太史本法矣方錐與錐形互相為正餘故亦可以算距分之度也筭黄赤道及其距緯以兩弧求一弧又法(用句股方錐形亦塹堵形之分)以八綫法立筭起數二至本郭法史員容方直之理而稍廣其用亦不言角如圖癸為二至黄道癸丙為距至黄道之一弧(如所設)氐為二至赤道氐甲為距至赤道之一弧(與癸丙黄道相應)癸氐為二至黄赤大距弧(二十三度半强)丙甲為所設各度之黄赤距緯(即過極圈之一弧)卯為渾圓心黄道癸丙之正弦丙張餘弦張卯正矢癸張切綫癸斗割綫斗卯赤道氐甲之正弦甲庚餘弦庚卯正矢氐庚切線氐室割綫室卯大距度癸氐之正弦癸己餘弦己卯正矢氐己切綫氐亢割綫亢卯距緯丙甲之正弦丙辛餘弦辛卯正矢甲辛切綫甲子割綫子卯論曰因諸綫成各句股形為句股方錐之面其鋭尖皆㑹於卯心又成方直形以為之底遂成句股方錐之眠體一斜平面有黄道弧諸綫成句股形二(一丙張卯一斗癸卯)又有相應之赤道諸綫亦成句股形二(一壁亢卯一子房卯)四者皆形相似而比例等一平面有赤道弧諸綫成句股二(一甲庚卯一室氐卯)又有相應之黄道諸綫亦成句股二(一辛井卯一亥己卯)四者皆形相似而比例等一立面有大距弧諸綫成句股二(一癸己卯一亢氐卯)又有相對之距緯諸綫亦成句股二(一張井卯一房庚卯)四者皆形相似而比例等一斜立面有黄赤距度諸綫成句股二(一丙辛卯一子甲卯)又有相對之大距度諸綫亦成句股二(一斗亥卯一壁室卯)四者皆形相似而比例等論曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而並為相似之形者皆以一大句股截之成四也其股與弦並原綫而所截之句又平行其比例不得不等一内外兩方直形(一在渾員形内即郭法所用乃黄道及距緯兩正弦所成一在渾員形外)(乃赤道及大距兩切線所成)有平立諸綫為各相似相連句股形之句亦即為相似兩方錐之底而比例等一不内不外兩方直形(一跨黄道内外乃赤道正弦及距緯切綫所成一跨赤道内外)(乃黄道切綫及大距正弦所成)有平立諸綫為各相似相連句股形之句亦即為相似兩方錐之底而比例等論曰方錐眠體以平行之底横截之(即四種方直形皆方錐之底)成大小四方錐其錐體之頂鋭(卯)與其四棱皆不動所截之底又平行故其比例相似而等又論曰黄道在斜平面赤道在平面而其綫互居者以方直形故也大距度在立面距緯度在斜立面而其綫畢具者亦以方直形故也葢形既方直則横綫直綫兩兩相對而等用法斜平面比例黄道半徑與黄道正弦若距緯割綫與赤道正弦更之黄道正弦與黄道半徑若赤道正弦與距緯割綫一丙張小股 二丙卯小弦 三子房大股 四子卯大弦又更之距緯割綫與黄道半徑若赤道正弦與黄道正弦一子卯大弦 二丙卯小弦 三子房大股 四丙張小股右取斜平面張丙卯房子卯二句股形以丙卯半徑偕一割綫兩正弦而成四率黄道半徑與黄道切綫若大距割綫與赤道切綫更之黄道切綫與黄道半徑若赤道切綫與大距割綫一癸斗小股 二癸卯小句 三亢壁大股 四亢卯大句又更之大距割綫與黄道半徑若赤道切綫與黄道切綫一亢卯大句 二癸卯小句 三亢壁大股 四癸斗小股右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半徑偕一割綫兩切綫而成四率平面比例赤道半徑與赤道正弦若距緯餘弦與黄道正弦更之赤道正弦與赤道半徑若黄道正弦與距緯餘弦一甲庚大股 二甲卯大弦 三辛井小股 四辛卯小弦又更之距緯餘弦與赤道半徑若黄道正弦與赤道正弦一辛卯小弦 二甲卯大弦 三辛井小股 四庚甲大股右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半徑偕一餘弦兩正弦而成四率赤道半徑與赤道切綫若大距餘弦與黄道切綫更之赤道切綫與赤道半徑若黄道切線與大距餘弦一氐室大股 二氐卯大句 三己亥小股 四己卯小句又更之大距餘弦與赤道半徑若黄道切與赤赤道切綫一己卯小句 二氐卯大句 三己亥小股 四氐室大股右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半徑偕一餘弦兩切綫而成四率立面比例黄道半徑與大距正弦若黄道餘弦與距緯正弦更之大距正弦與黄道半徑若距緯正弦與黄道餘弦一癸己大股 二癸卯大弦 三張井小股 四張卯小弦又更之黄道餘弦與黄道半徑若距緯正弦與大距正弦一張卯小弦 二癸卯大弦 三張井小股 四癸己大股右取立面己癸卯井張卯二句股形以癸卯半徑偕一餘弦兩正弦而成四率赤道半徑與大距切綫若赤道餘弦與距緯切綫更之大距切綫與赤道半徑若距緯切線與赤道餘弦一氐亢大股 二氐卯大句三庚房小股 四庚卯小句又更之赤道餘弦與赤道半徑若距緯切綫與大距切線一庚卯小句 二氐卯大句三庚房小股 四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半徑偕一餘弦兩切線而成四率斜立面比例黄道半徑與距緯正弦若黄道割綫與大距正弦更之距緯正弦與黄道半徑若大距正弦與黄道割綫一丙辛小股 二丙卯小弦 三斗亥大股 四斗卯大弦又更之黄道割線與黄道半徑若大距正弦與距緯正弦一斗卯大弦 二丙卯小弦 三斗亥大股 四丙辛小股右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半徑偕一割線兩正弦而成四率赤道半徑與距緯切線若赤道割綫與大距切線更之距緯切線與赤道半徑若大距切線與赤道割線一甲子小股 二甲卯小句 三室壁大股 四室卯大句又更之赤道割綫與赤道半徑若大距切綫與距緯切線一室卯大句 二甲卯小句 三室壁大股 四甲子小股右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半徑偕一割線兩切綫而成四率以上方錐形之四面每面有大小四句股形即各成四率比例者六合之則二十有四並以兩弧求一弧而不言角方直形比例黄道正弦與距緯正弦若赤道切線與大距切綫更之距緯正弦與黄道正弦若大距切線與赤道切線一張井小股 二井辛小句 三亢氐大股 四氐室大句又更之赤道切線與大距切線若黄道正弦與距緯正弦一氐室大句 二亢氐大股 三井辛小句 四張井小股再更之大距切綫與赤道切綫若距緯正弦與黄道正弦一亢氐大股 二氐室大句 三張井小股 四井辛小句右取渾體内所容方直形上黄道及距緯兩正弦偕渾體外所作方直形上赤道及大距兩切綫而成四率赤道正弦與距緯切綫若黄道切綫與大距正弦更之距綫切綫與赤道正弦若大距正弦與黄道切綫一房庚小股 二庚甲小句 三癸己大股 四己亥大股又更之黄道切綫與大距正弦若赤道正弦與距緯切綫一己亥大句 二癸己大股 三庚甲小句 四房庚小股再更之大距正弦與黄道切綫若距緯切綫與赤道正弦一癸己大股 二己亥大句 三房庚小股 四庚甲小句右取方直形上黄道切綫大距正弦偕又一方直形上赤道正弦距緯切線而成四率以上大小方錐形之底各成方直形而兩兩相偕即各成四率比例者四合之則八並以三弧求一弧而不言角凡句股方錐形所成之四率比例共三十有二皆不言角内四率中有半徑者二十四並兩弧求一弧四率中無半徑者八以三弧求一弧其不言角則同問各面之句股形並以形相似而成比例若方直形所用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何以得相為比例曰句股形一居平面一居立面而能相比例者以有稜線為之作合也何以言之如亢卯割綫為方錐形之一棱而此綫既為斜平面句股形(壁亢卯)之股又即為立面句股形(氐亢卯)之弦故其比例在斜平面為亢卯與張卯若亢壁與張丙也而在立面為亢卯與張卯若亢氐與張井也合而言之則亢壁與張丙亦若亢氐卯與張井餘倣此問此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也試平置方錐(以方底著地使卯鋭直指天頂而卯氐棱綫正立如垂)而從其卯頂俯視之則卯井庚己氐棱綫上分段之界因對視而成一㸃亢卯稜線與亢氐線相疉室卯綫與室氐相叠皆脗合為一惟亢壁室氐直 形因平視而得正形其壁卯棱綫則成壁氐而斜界於對角分直方形為兩句股形矣又其分截之三方直形亦以平視得正形亦各以棱綫分為兩句股而大小相疉成相似之形而比例等矣如圖亢氐室壁長方以壁氐綫成兩句股而張井辛丙長方(即張氐辛丙)亦以丙卯綫(即丙井亦)(即丙氐)成兩句股並形相似則亢壁與張丙若亢氐與張井(張井即張氐)又癸己亥斗長方(即癸氐亥斗)以斗卯綫(即斗己又即斗氐)成兩句股而房庚甲子長方(即房氐甲子)亦以子卯綫(即子庚又即子氐)成兩句股而形相似則癸斗與房子若癸己與房庚(癸己與房)(庚即癸氐與房氐)展形(展之成四句股面一方直底) 合形(合之則成句股方錐)作方直儀法(即句股立方錐)法以堅楮依黄赤大距二十三度半畫成立面再任設赤道距至度畫成平面再依法畫距緯斜立面及黄道距至度斜平面并方直底然後依棱摺輳即渾員上各綫相為比例之故了然共見任指黄道或赤道之距至一弧為式即各弧可知其所用距至弧或在至前或在至後或冬至或夏至並同一理方塹堵内容員塹堵法先解方塹堵塹堵以正方為底(氐卯丁乙形)其上有赤道象限(氐乾乙弧乙春分氐夏至)以長方為斜面(亢卯戊乙形)其上有黄道象限(癸巽)(乙弧乙春分巽夏至)底與而一邉相連(卯乙邉為)(底與斜面所同用故相連乃黄赤道之半徑)一邉相離(氐丁邉在底與赤道平行亢戊邉在斜面故相離其距為亢氐為戊)(丁皆大距度癸氐弧之切線)其形似斧從斜面作戊卯對角線切至底(戊丁卯對角線于底)分塹堵為兩則赤道為兩平分(赤道平分于乾乾乙距春分乾氐距夏至各得四十五度)而黄道為不平分(黄道分於巽則巽乙距春分四十七度二十强九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分)於是黄道切線(戊乙)與大距度割線(亢卯)等而方塹堵之形以成(亢卯為大距二十三度三十一分半之割線其數一○九○六五戊乙為黄道四十七度二十九分)(之切線其數亦一○九○六五兩數既同故能作長方斜面而成塹堵)乃黄道求赤道用兩切線之所賴也(若赤道求黄道則反用其率)法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面句股比例(戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳卯皆大句股也其酉未乙則為小句股)右黄道求赤道為以弦求句一 赤道半徑氐卯 大句二 大距割線亢卯 大弦三 赤道切線未乙(甲乙赤道) 小句四 黄道切線酉乙(丙乙黄道) 小弦右赤道轉求黄道為以句求弦自黄道四十七度二十九分以後用餘切是斜平面句股比例(斜面亢虚卯為大句股癸斗卯為小句股在平面則為氐危卯大句股己心卯小句股)一 黄道半徑癸卯 小股二 大距割線亢卯 大股三 黄道餘切癸斗 小句 (牛乙黄道其餘弧牛癸)四 赤道餘切亢虚 大句 (女乙赤道其餘弧女氐)右黄道求赤道為以股求句一 赤道半徑氐卯 大股二 大距餘弦己卯 小股三 赤道餘切危氐(即亢虚) 大句 (女氐即女乙赤道之餘)四 黄道餘切心己(即癸斗) 小句 (牛癸即牛乙黄道之餘)右以赤道轉求黄道亦為以股求句論曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史員容方直之理但郭法起二至則此所謂餘弧乃郭法之正弧又郭法只用正弦而此用切線為差别耳又論曰正切線法亦可用于半象限以上餘切線亦可用于半象限以下此因方塹堵之底正方則所用切線至方角而止故各用其所宜(云半象限者主赤道而言若黄道以四十七度二十)(九分為斷一平一斜故其比例如弦與句)又論曰正切線法即句股錐形也餘切線法即句股方錐也以對角斜線分塹堵為兩成此二種錐形遂兼兩法次解員塹堵方塹堵内容割渾員之分體以癸牛丙乙黄道為其斜面之界以氐女甲乙赤道為其底之界而以癸氐大距弧及牛女丙甲等逐度距弧為其髙髙之勢曲抱如渾員之分斜面平面皆為平員四之一(其髙自癸氐大距漸殺至春分乙角)(而合為一㸃)員塹堵者雖亦在方塹堵之内然又在所容割渾員分體之外與割渾員體同底亦以赤道為界而不同面其面自乙春分過子過奎至亢其形卯乙短而亢卯長如割平撱員面四之一其撱員邉之距心皆以逐度距緯(如丙甲牛女等)之割線所至為其界(如卯子為丙甲距弧割線卯奎為牛女距弧割線之)(類)而以逐度距緯之切線為其髙(如子甲為丙甲距弧切線奎女為牛女距)(弧切線之類)法以赤道為圍作員柱置渾員在員柱之内對赤道横剖之則所剖員柱之平員底即赤道平面也又自夏至依大距二十三度三十分半之切線為髙斜對春秋分剖至心則黄道半周在所剖之斜面矣然黄道半周雖在所剖斜面而黄道自為半平員所剖斜面則為半撱員黄道平員在撱員内兩端同而中廣異(兩端是二分如乙為平撱同用之㸃中廣是夏至如黄道癸在撱面亢之内其距為癸亢)此員塹堵之全體也於是又從亢癸對卯心直剖到底則成員塹堵之半體即方塹堵所容也此員塹堵斜面之髙俱為其所當距緯弧之切線渾員上弧三角法以距緯切線與赤道平面之正弦相連為句股而生比例是此形體中所具之理此塹堵體與前圖同惟多一亢奎子乙撱弧以此為撱員界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方則成員塹堵真體此員塹堵為用子甲丑句股形之所頼子甲為距弧切線甲丑為赤道正弦也又子甲如股甲丑如句法為子甲與甲丑若亢氐與氐卯前圖為從心眎邉此為從邉眎心盖因欲顯圓塹堵内方直形故為右觀之象與前圖一理惟多一己庚辛乙撱弧(前圖亢奎子乙撱弧在黄道斜面此圖己庚辛乙撱弧在赤道平面)員塹堵有二若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成員塹堵象限然又在剖渾員體分之内其體以斜面為正象限但斜立耳其底在赤道者轉成撱員此撱員形在赤道象限之内惟乙點相連此即簡平儀之理其撱之法則以卯乙半徑為大徑癸氐距弧之餘弦卯巳為小徑小徑當二至大徑當二分與前法正相反然其比例等何也割線與全數若全數與餘弦也此員塹堵以撱形為底象限為斜面以距度逐度之正弦為其髙乃黄道距緯相求用兩正弦之所頼也此員塹堵内又容小方塹堵乃郭太史所用員容方直也渾員因斜剖作角而生比例成方員塹堵形其角自○度一分以至九十度凡五千四百則方員塹堵亦五千四百矣(乙角以春分為例則其度二十三度半强其實自一分至九十度並得為乙角合計之則五千)每一塹堵依度對心剖之成立句股錐及方句股錐之眠體自○度一分至大距止亦五千四百以五千四百自乗凡二千九百一十六萬而渾員之體之勢乃盡得其比例烏呼至矣每度分有方塹堵方塹堵内函赤道所生撱體赤道撱體内又函黄道所生撱體黄道撱體内又函小方塹堵每度分有此四者則一象限内為五千四百者四共二萬一千六百(以乙角五四○○乗之則一一六六四○○○○)每度有正有餘對心斜分則正度成句股錐餘度成方底句股錐之眠體一象限凡四萬三千二百(以五四○○乘之則)(二三三二八○○○○)員容方直簡法序古未有預立算數以盡句股之變者有之自西洋八綫表始古未有作為儀器以寫渾員内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之儀分之曰句股錐形曰句股方錐形合之則成塹堵形其稱名也小其取類也大徑寸之物以狀渾員而弧三角之理如指諸掌即古法之通於弧三角者亦如指諸掌矣雖然猶無解於古法之不用割切也故復作此簡法以互徵之而授時厯三圖附焉盖理得數而彰數得圖而顯圖得器而真草野無諸儀象藉兹以自釋其疑不敢自私故以公之同好云爾(句股錐形是以西法通國法句鈠方錐形是以郭法通西法今此簡法是専解郭法而兩法相同之故自)(具其中)員容方直儀簡法(即句股方錐之方直儀而不用割切線祗以各弧正弦矢度相求其用己)(足亦不須用角)立面中有句股形二其一大句股形(癸巳乙)以黄道半徑(癸乙)為弦大距度正弦(癸巳)為股大距度餘弦(巳乙)為句其一小句股形(壬戊乙)以黄道餘弦(壬乙)為弦距緯正弦(壬戊)為股楞線(戊乙)為句平面中亦有句股形二其一小句股形(庚戊乙)以距緯丙甲之餘弦(庚乙)為弦以黄道正弦(戊庚)為股楞綫(戊乙)為句其一大句股形(甲辛乙)以赤道半徑(甲乙)為弦以赤道正弦(甲辛)為股赤道餘弦(辛乙)為句(戊乙線于弧度無取然平立二形並得此補成句股謂之楞線)黄道正弦本在斜平面而能移于平面者有相望兩立線(丙庚壬戊)為之限也距度正弦本在斜立面而能移於立面者有上下兩横線(丙壬)(庚戊)為之限也此四線(兩立兩横)相得成長方其立如堵故又曰弧容直濶也有大距有黄道而求距緯 更之可求大距 反之可求黄道一 半徑 癸乙 一 黄道餘弦 一 大距正弦二 大距正弦 癸己 二 距緯正弦 二 半徑三 黄道餘弦 壬乙 三 半徑 三 距緯正弦四 距緯正弦 壬戊 四 大距正弦 四 黄道餘弦有赤道有距緯而求黄道 更之可求赤道 反之可求距緯一 半徑 甲乙 一 距緯餘弦 一 赤道正弦二 赤道正弦 甲辛 二 黄道正弦 二 半徑三 距緯餘弦 庚乙 三 半徑 三 黄道正弦四 黄道正弦 庚戊 四 赤道正弦 四 距緯餘弦郭太史本法弧矢割員圖(見授時厯草下並同)凡渾員中割成平員任割平員之一分成弧矢形皆有弧背有弧弦有矢割弧背之形而半之則有半弧背有半弧弦有矢 因弧矢生句股形以半弧弦為句(即正弦)矢減半徑之餘為股(即餘弦)半徑則常為弦 句股内又成小句股則有小句小股小弦而大小可以互求或立或平可以互用(平視側視二圖皆從此出)側視之圖横者為赤道(赤道一規因旁視如一直線黄)(道同)斜者為黄道因二至黄赤之距成大句股(即外圈)因各度黄赤之距成小句股平視之圖外大員為赤道内撱者黄道(從兩極平視則黄道在赤道内)(而成撱形)有赤道各度即各其有半弧弦以生大句股又各有其相當之黄道半弧弦以生小句股(此二者皆可互求)授時厯求黄赤内外度及黄赤道差法置黄道矢(本法用帶從三乗方求各度矢)去減周天半徑(即立面黄道半徑)餘為黄赤道小弦(即黄道餘弦也半徑為大弦故此為小弦)置黄赤道小弦以二至内外半弧弦(即二至大距度正弦當時實測為二十三度九十分)乘之為實黄赤大弦(即周天半徑以其為立面大句股之弦故稱大弦)為法除之得黄赤道内外半弧弦(即各度黄赤距度正弦也原法以矢度度半背弦差加入半弧弦得内外半弧)(背今省)又置黄赤道小弦以黄赤道大股(即二至内外度餘弦也在立面大句股形)(為大股)乗之為實黄赤道大弦為法除之(解見前)得黄赤道小股(即立面平面兩小句股同用之楞線在立面與大股相比故稱小股)置黄道半弧弦(即黄道正弦也原法以黄道矢求半背弦差減黄道度得之)自乗為股冪黄赤小股自乗為句冪(即楞綫也先在立面為小句股形之股今又為平面句股形之句故其冪稱句冪)兩冪並之為實開平方法除之為赤道小弦(即各度黄赤距度餘)(弦也周天半徑為平面上大句股之弦故稱大弦則此為小句股弦當稱小弦)置黄道半弧弦以周天半徑乗之為實赤道小弦為法除之得赤道半弧弦(即赤道正弦也原法求半背弦差以加半弧弦得赤道今省)論曰弧矢割員者平員法也以測渾員則有四用一曰立弧矢勢如張弓以量黄赤道二至内外度即側立圖也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平視圖也一曰斜弧矢與平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起處如二至内外之度以量黄道即平視圖中小句股也一曰斜立弧矢與立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即側立圖中小句股也自離二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小於二至之距邢臺郭太史弧矢平立三圖中具此四法即弧三角之理無不可通言簡而意盡包舉無窮好古者所當珤愛而?翫也又論曰割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺葢有所本厥後授時厯承用三百餘年未加修改測箕之講求益稀學士大夫既視為不急之務而臺官株守成法鮮諳厥故驟見西術羣相駭詫而不知舊法中理本相同也疇人子弟多不能自讀其書又忌人之讀而各私其本久之而書亦不可問矣攷元史厯成之後所進之書凡百有餘卷(郭守敬傳有修改源流及測騐等書齊履謙傳有經串演撰諸書明厯法之所以然)今其存軼並不可攷良可浩嘆然天下之人豈無有能藏弆遺文以待後學者庶幾出以相證予於斯圖之義類多通而深有望於同志矣問元初有回回厯法與今西法大同小異邢臺葢㑹通其説而為之故其法相通若是與曰九章句股作於𨽻首為測量之根本三代以上學有専家大司徒以三物教民而數居六藝之一秦火以後吾中土失之而彼反存之至於流逺𣲖分遂以各名其學而不知其本之同也况東西共戴一天即同此句股測員之法當其心思所極與理相符雖在數萬里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人進萬年厯未經試用迨明洪武年間始命詞臣吴伯宗西域大師馬沙亦黒等譯回回厯書三卷然亦粗具筭法立成並不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八綫或更有他法俱無可攷雖其子孫莫能言之攷元史所載西域人晷影堂諸製與郭法所用簡儀髙表諸器無一同者或測量之理觸類増智容當有之然未見其有㑹通之處也徐文定公言回回厯緯度凌犯稍為詳宻然無片言隻字言其立法之故使後来入室無因更張無術盖以此也又據厯書言新法之善係近數十年中所造則亦非元初之西法矣而與郭圖之理反有相通豈非論其傳各有本末而精求其理本無異同耶且郭法用員容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用八綫故先得弦又西専用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用弦種種各别而不害其同有所以同者在耳且夫數者所以合理也厯者所以順天也法有可采何論東西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳明郭圖之簡括皆足以資探索而啓深思務集衆長以觀其㑹通毋拘名相而取其精粹其於古聖人創法流傳之意庶幾無負而羲和之學無難再見於今日矣角即弧解問古法只用弧而西法用角有以異乎曰角之度在弧故用角實用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚鈍角有己庚辰庚二邉欲求諸數依垂弧法于不知之辰角打線線先補求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度為丙丁是用庚角者實用丙丁也其法庚丙九十度之正弦(即半徑)與丙丁弧之正弧(即庚角正弦)若庚辰正弦與辰辛正弦是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割線(即庚角割線)與庚丁九十度之正弦(亦即半徑凡角度所當弧)(其兩邊並九十度)若庚辰之切線與庚辛之切線亦是以大句股之例例小句股也既補成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度為乙甲是求巳角者實求乙甲也其法辛己弧之正弦與辰辛弧之切線若己甲象弧之正弦(即半徑)與乙甲弧之切線(即己角切線)是以小句股例大句股也又如己辰庚形庚為鋭角當自不知之辰角打線分為二形以求諸數其一辰辛庚分形先用庚角而庚角之度為丙丁用庚角實用丙丁也法為丙庚象弧之正弦(即半徑)于丙丁弧之正弦(即庚角正弦)若辰庚之正弦與辰辛之正弦又丙庚象弧之正弧(即半徑)與丙丁弧之餘弦(即庚角餘)(弦)若辰庚之切線與辛庚之切線是以大句股例小句股也其一辰辛己分形(以庚辛減己庚得己辛)有辰辛己辛二邉可求己角而己角之度為乙甲求己角實求乙甲也法為己辛之正弦與辰辛之切線若己甲象〔？〕之正弦(即半徑)與乙甲弧之切線(即己角切線)是以小句股例大句股也一系 用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求角是以小句股比例比大句股厯算全書卷六十◆ 《大統曆志-清-》（KR3f0027）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
大統厯志 天文算法類二(推歩之屬)提要(臣)等謹案大統厯志八卷國朝梅文鼎撰初元郭守敬作授時厯其法較古為宻明初所頒大統厯即用其舊法嵗久漸差知厯者恒有異議至崇禎間徐光啟推衍西法分局測騐疎舛益明欽天監正戈豐年無以復爭乃諉其過於守敬孫承澤作春明夢餘錄又力辨守敬為厯中之聖惜不能盡用其法聚訟迄無定論康熙丙午開局纂修明史史官以文鼎精於算數就詢明厯得失之源流文鼎因即大統舊法詳為推衍注釋輯為此編以持其平分原書為法原立成推步三部法原之目七曰勾股測量曰弧矢割圓曰黄赤道差曰黄赤道内外曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差漏刻立成之目四曰太陽盈縮曰太隂遲疾曰晝夜刻分曰五星盈縮推步之目六曰氣朔曰日躔曰月離曰中星曰交食曰五星法源所以取數立成所以作數推步所以紀法皆剖析分明具有條理盖文鼎於象緯運行實能究極其所以然與疇人子弟沿世業而守成法者所見固不同也厯算之家測未來者當以新法推已往者則當各求以本法知其所以疎而後可以得其宻知其所以舛而後可以得其真知其所以漸差而後可以窮其至變則是書雖明郭氏之法亦測天者前事之師矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書大統厯志卷一宣城梅文鼎撰大統厯法一法源史載厯法必載其所以厯法之原如太初諸厯起數鐘律一行大衍求端河洛是也古今厯法惟授時厯獨以測驗算術為宗以為與天既合則律吕之損益易象之竒偶悉在其中不必一一牽附矣攷郭守敬傳有修改源流一卷儀像法式二卷厯議擬稿三卷二至晷景攷二十卷五星細行考五十卷古今交食考一卷新測二十八舍雜坐諸星入宿去極一卷新測無名星一卷並藏之官又齊履謙傳之授時厯有經串經以著定法串以紀成數履謙又作經串演撰八法一卷以求其法之所以然數之所從出作元史者漫無采摭而僅存履謙之厯議録厯經之初稿及儀象大畧而已其三應改率及立成之數與夫黄赤道割圓弧矢之法日月五星平立定三差之原盡削不載使作者精意湮没識者憾焉今據大統厯及通軌及厯草諸書稍為銓次著於篇而仍以法原為首其目七曰勾股測望曰弧矢割圓曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏勾股測望北京立四丈表冬至日測得正午景長七丈九尺八寸五分 以簡儀測到冬至日南至地平二十六度四十六分五十秒為半弧背 求得矢度五度九十一分半置周天半徑截矢餘五十四度九十六分為股乃本地去戴日下之度 以弦股别勾術求得勾二十六度一十七分六十六秒為日下至地度即冬至日出地半弧弦 北京立四丈表夏至日測得正午景長一丈一尺七十一分(按元史作一丈二尺三寸六分) 以簡儀測到夏至日南至地平七十四度二十六分半為半弧背 求得矢度四十三度七十四分少 置周天半徑截矢餘一十七度一十三分二十五秒為勾乃本地去戴日下之度以勾弦别股術求得股五十八度四十五分半為日下至地度即夏至日出地半弧弦 以二至日度相併得一百度七十三分折半得五十度三十六分半為北京赤道出地度轉減周天四之一餘四十度九十四分九十三秒七十五㣲為北京北極出地度弧矢割圓周天徑一百二十一度七十五分少半徑六十○度八十七分半(又為黄赤道大弦)二至黄赤道内外半弧背二十四度(所測就整)二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒黄赤道大勾二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度○二分六十八秒割圓求矢術 置半弧背度自之為半弧背羃周天徑自之為徑羃又為上廉 二羃相乗得數為正實 徑羃乗徑得數為益從方 半弧背倍之乗徑得數為下亷置初商為上法以乗上亷得數以減益從方餘為從方 置初商自之以減下廉餘以初商乗之得數為從廉 從方從廉相並為下法 下法乗上法以減正寔而定初商有不盡者次第商除則次商又為上法 置初商倍之得數與次商相並以乗上廉得數以減益從方餘為從方 并初商次商而自之又以初商自之並二數以減下亷餘以初商倍數並次商乗之得數為從廉從方從廉相並為下法 下法乗上法以減餘寔而定次商有不盡者如法商之皆以商得數為矢度之數(黄赤道同用)如以半弧背一度求矢度 術曰置半弧背一度自之得一度為半弧背羃 置周天徑一百二十一度太自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為徑羃(又為上廉)二羃相乗得一萬四千八百二十三度○六分二五為正寔 徑羃又乗徑得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方 半弧背一度倍之得二度以乗徑得二百四十三度五十分為下廉初商八十秒(為上法) 置初商八十秒乗上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以減益從方一百八十○萬四千七百○七度八五九三七五餘一百八十○萬四千五百八十九度二七四八七五為從方 又置初商八十秒自之得六十四㣲以減下廉餘二百四十三度四九九九九三六仍以八十秒乗之得一度九四七九九九四八八為從廉 以從廉從方並之共得一百八十○萬四千五百九十一度二三二八七四四八八為下法 下法乗上法得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四以減正寔餘寔三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六次啇二秒(為上法) 置初啇八十秒倍之得一分六十秒加次啇二秒得一分六十二秒乗上廉一萬四千八百二十三度○六二五得一分六十二秒乗上廉一萬四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一二三六一二五以減益從方餘一百八十○萬四千四百六十七度七二五七六二五為從方 又置初次啇八十二秒自之得六十七㣲加初啇八十秒自之數得一秒三十一㣲以減下廉餘二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乗之得三度九十四分四六九七八七七八為從廉 以從廉從方並得一百八十○萬四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八為下法 下法乗上法得二百六十○度八九四三三四○九二○七五五六以減餘寔仍餘二十五度四三八三八二九一二○二○四四(不足一秒棄不用後同)凡求得矢度八十二秒如以半弧背二度求矢度用上法得矢三分二十八秒如以半弧背二十四度求矢度用上法得矢四度八十四分八十二秒如以半弧背四十四度求矢度用上法得矢一十六度五十六分八十二秒餘度各如上法求到矢度以為黄赤相求及其内外度之根(數詳後)黄赤道差求黄道各度下赤道積度術 置周天半徑度分内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股乗之(大股見割圓)為寔黄赤道大弦(半徑)為法寔如法而一為黄赤道小股 置黄道矢自乗為寔以周天全徑為法寔如法而一為黄道半背弦差 以差去減黄道積度(即黄道半弧背)餘為黄道半弧弦 置黄道半弧弦自之為股羃黄赤道小股自之為勾羃二羃並之以開平方法除之為赤道小弦 置黄道半弧弦以周天半徑(亦為赤道大弦)乗之為寔以赤道小弦為法而一為赤道半弧弦 置黄赤道小股(亦為赤道横小勾)以赤道大弦(即周天半徑)乗之為寔以赤道小弦為法而一為赤道横大勾以減半徑餘為赤道横弧矢 横弧矢自之為寔以周天全徑為法而一為赤道半背弦差 以差加赤道半弧弦為赤道積度 如黄道半弧背一度求赤道積度 術曰置周天半徑六十○度八十六分五十秒(即黄赤道大弦)内減黄道矢八十二秒餘六十○度八六六八為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二六八乗之得三千四百一十○度一七二○三○二四為寔以黄赤道大弦六十○度八七五為法寔如法而一得五十六度○一分九十二秒為黄赤道小股(又為赤道)(小勾) 置矢度八十二秒自之得六十七㣲以周天徑一百二十二度七五為法除之得五十五纎為黄道半背弦差 置黄道弦背一度内減黄道半弧背差餘為半弧弦因差在㣲以下不減即用一度為半弧弦 置黄道半弧弦一度自之得一度為股羃 黄赤道小股五十六度○一九二自之得三千一百三十八度一五○七六八六四為勾羃二羃並得三千一百三十九度空七六八六四為弦寔平方開之得五十六度○二八一為赤道小弦 置黄道半弧弦一度以周天半徑(即赤道大)(弦)乗之得六十○度八七五為寔以赤道小弦五十六度○二八一為法除之得一度○八分六十五秒為赤道半弧弦 置黄赤道小股五十六度○一九二(又為赤道)(小勾)以赤道大弦半徑六十○度八七五乗之得三千四百一十○度一六八八為寔以赤道小弦為法除之得六十○度八十六分五十三秒為赤道横大勾 置半徑六十○度八十七分五十秒内減赤道大勾六十○度八十六分五十三秒餘九十七秒為赤道横弧矢置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四㣲○九以周天徑為法除之得七十七纎為赤道背弦差 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒加赤道背弦差為赤道積度今差在㣲以下不加即用半弧弦為積度 凡求得赤道積度一度○八分六十五秒如黄道二度下赤道積度二度一十七分二十八秒如求黄道二十四度下赤道積度用上法得赤道積度二十五度七十七分五十二秒如求黄道四十四度下赤道積度用上法得赤道積度四十六度三十○分八十五秒餘度各如上法求到各黄道度下赤道積度乃至後之率其分後以赤道度求黄道及此求之得數並同黄赤道相求弧矢諸率立成按郭守敬創法五端内一曰黄赤道差此其根率也舊法以一百一度相減相乗授時立術以勾股弧矢方圓斜直所容求其差數合於渾象之理視古為密顧至元厯經所載甚畧又誤以黄道矢度為積差黄道矢差為差率今正之按舊史無圖然表亦圖之属也今勾股割圓弧矢黄赤道推變諸法寔為厯家測算之本非圖不明因存其要者數端大統厯志卷一
## 卷二
欽定四庫全書大統厯志卷二宣城梅文鼎撰黄赤道内外度推黄道各度距赤道内外術 置周天半徑内減去赤道小弦餘為赤道二弦差(又為黄赤道小弧矢又為内外矢又為股弦差) 置半徑内減去黄道矢度餘為黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦乗之為寔以黄赤道大弦為法(即周天半徑)法除寔為黄赤道小弧弦(即黄赤道内外半弧弦又為黄赤道小勾) 置黄赤道小弧矢自之(即赤道二弦差)以周天徑除之為半背弦差以差加黄赤道小弧弦為黄赤道小弧半背即黄赤道内外度求黄道各度去北極逺近術 置黄道各度所推黄赤道内外度視在盈初縮末限以加在縮初盈末以減皆加減象限度即各得太陽去北極度及分秒如冬至後四十四度求太陽去赤道内外及去極度術曰置周天半徑六十○度八十七分半内減黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒餘二度五十一分八十一秒為黄赤道小弧矢(即内外矢) 置半徑六十○度八七五内減黄道四十四度矢一十六度五十六分八十二秒餘四十四度三十○分六十八秒為黄赤道小弦 置黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乗之得一千○五十○度五十一分四二三八為寔以黄赤道大弦六十○度八七五為法除之得一十七度二十五分六十九秒為黄赤道小弧弦(即内外半弧弦) 置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之為寔以圓徑一百二十一度七十五分為法除之得五分二十一秒為背弦差以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒共得一十七度三十○分八十九秒為二至前後四十四度太陽去赤道内外度 置象限九十一度三十一分四十三秒七五以内外度一十七度三○八九加之得一百○八度六十二分三十二秒七五為冬至後四十四度太陽去北極度黄道每度去赤道内及去北極立成白道交周推白赤道正交距黄赤道正交極數 術曰置寔測白道出入黄道内外六度為半弧弦又為大圓弧矢又為股弦差 置周天半徑六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五以矢六度而一得六百一十七度六十三分為股弦和加矢六度共六百二十三度六十三分為大圓徑依法求得容闊五度七十分又為小勾 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分為大勾 以大勾為法除大股五十六度○六分五十秒得二度三十七(就整)為度差 以度差乗小勾得小股一十三度四十七分八十二秒為容半長 置周天半徑為大弦以乗小勾○五度七十分為寔以大勾二十三度七十一分為法除之得一十四度六十三分為小弦又為白赤道正交距黄赤道正交半弧弦 依法求得半弧背一十四度六十六分為白赤道正交距黄赤道正交極數里差刻漏北京北極出地四十度九十五分(寔測半弧背)二至黄赤道内外度二十三度九十分(寔測半弧背)二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分(又為黄赤道大)(勾又為小三斜中弦)北京二至出入差股一十五度二十九分(又為小三斜中股又為小)(股)二至出入差半弧弦一十九度八十七分(又為小弦)二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒度差八十四分一十九秒冬至去極一百一十五度二十一分七十三秒夏至去極六十七度四十一分一十三秒夏至晝冬至夜六十一刻八十四分冬至晝夏至夜三十八刻一十六分求二至差股及出入差 術曰置所測北極出地四十度九十五分為半弧背以前割圓弧矢法推得出地半弧弦三十九度二十六分為大三斜中股 置測到二至黄赤道内外度二十三度九十分為半弧背以前法推得内外半弧弦二十三度七十一分(又為黄赤道大勾大小三斜弦)置内外半弧弦自之為勾羃周天半徑自之為弦羃二羃相減開方得股以股轉減周天半徑得餘四度八十一分為二至出入矢即黄赤道内外矢 夏至日南至地平七十四度二十六分半為半弧背求得日下至地半弧弦五十八度四十五分 半圓徑六十○度八十七分半為大三斜中弦 置大三斜中股三十九度二十六分以二至内外半弧弦二十三度七十一分乗之為寔以半徑六十○度八十七分半為法除之得一十五度二十九分為小三斜中股(又為小股) 置小三斜中股一十五度二十九分去減日下至地半弧弦五十八度四十五分餘四十三度一十六分為大股 以出入矢四度八十一分去減半徑六十○度八十七分半餘五十六度○六分半為大股法 置大股弦以小股一十五度一九乗之為寔大股四十三度一六為法除寔得一十九度八十七分為小弦即為二至出入差半弧弦 置二至出入差半弧弦依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒 置二至出入差半弧背一十九度九六一四以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分除之得八十四分一十九秒為度差分求黄道毎度晝夜刻 術曰置所求毎度黄赤道内外半弧弦以二至出入差半弧背乗之為寔二至黄赤道内外半弧弦為法除之為所求毎度出入差半弧背(又術)(置黄赤道内外半弧弦以度差八十四分一十九秒乗之亦得出入差半弧背) 置周天半徑内减所求黄赤道内外矢(又術以赤黄道内外矢倍之以減周天全徑餘數三因加)(一度為日行百刻度亦同) 置毎度出入半弧背以百刻乗之爲實日行百刻度為法除之得數為出入差刻 置二十五刻以出入差刻黄道在赤道内加之在赤道外減之得數為半晝刻倍之為晝刻以減百刻為夜刻如求冬至後四十四度晝夜刻 術曰置所求冬至後四十四度黄赤道内外半弧弦一十七度二十五分六十九秒(又為黄赤道小弧弦前立成中敘之)以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乗之為寔以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分為法除之得一十四度五十二分八十五秒為所求出入半弦背(又法置黄赤道内外半弧)(弦一十七度二五六九以度差○度八四一九乗之亦得一十四度五二八五為出入半弧背)置周天半徑六十○度八七五以四十四度黄赤道内外矢二度五十一分八十一秒(又為赤道二弦差前條立成中貶之)減之餘五十八度三十五分六十九秒(即赤道小弦)倍之得一百一十六度七十一分三十八秒三因之加一度得三百五十一度一十四分一十四秒為日行百刻度(又術倍黄赤道内外矢得五度)(○三分六十二秒以減周天全徑一百二十一度七十五分亦得一百一十六度七十一分三十八秒三因加)(一為日行百刻度並同) 置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒以百刻乗之為寔以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之得四刻一十三分七十五秒為出入差刻 置二十五刻以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之(因冬至後四十四度黄道在赤道外故減)餘二十○刻八十六分二十五秒為半晝刻倍之得四十一刻七十二分半為晝刻以晝刻減百刻餘五十八刻一十七分半為夜刻(又術置出入差刻四刻一十三分七十五秒倍之得八刻二十七分半以減春秋分)(晝夜五十刻得四十一刻七十二分半為晝刻以倍刻加五十刻得五十八刻二十七分半為夜刻晝減故夜加餘倣此)大統厯志卷二
## 卷三
欽定四庫全書大統厯志卷三宣城梅文鼎撰黄道毎度晝夜刻立成右厯草所載毎度晝夜刻分乃授時原定大都晷漏大都者燕京也夏至晝冬至夜極長六十一刻八十四分冬至晝夏至夜極短三十八刻一十六分元史有云六十二刻者就整數耳明既都燕不知遵用惟正統己巳年奏准頒厯用六十一刻而羣然非之士大夫既未攷諸元史疇人子弟失其官守又不能執厯草以爭遂旋行而罷終明之世皆用南京之軌漏而已太陽盈縮平立定三差之原冬至前後盈初縮末限八十八日九十一刻(就整)離為六段毎段各得一十四日八十二刻(就整)各段寔測日躔度數與平行相較以為積差各置其段積差以其段積日除之為各段日平差平差與後段日平差相減為一差 置一差與後段一差相減為二差日平差 一差 二差置第一段日平差四百七十六分二十五秒為泛平積第一段二差一分三十八秒去減第一段一差三十八分四十五秒餘三十七分○七秒為泛平積差 另置第一段二差一分三十八秒折半得六十九秒為泛立積差以泛平積差三十七分○七秒加入泛平積四百七十六分二十五秒共得五百一十三分三十○一秒為定差以泛立積差六十九秒去減泛平積差三十七分○七秒餘三十六分三十八秒為寔段日一十四日八十二刻為法除之得二分四十六秒為平差置泛立積差六十九秒為寔段日一十四日八十二刻為法除兩次得三十一㣲為立差盈初縮末三差用數立差三十一㣲平差二分四十六秒定差五百一十三分夏至前後縮初盈末限九十三日七十一刻(就整)離為六段毎段各得一十五日六十二刻(就整)各段寔測日躔度數與平行相較以為積差推日平差一差二差術與盈初縮末同日平差 一差 二差置第一段日平差四百五十一分九十二秒為泛平積以第二差一分三十三秒去減第一段一差三十六分四十七秒餘三十五分一十四秒為泛平積差 另置第一段二差一分三十三秒折半得六十六秒五十㣲為泛立積差以泛平積差三十五分一十四秒加入泛平積四百五十一分九十二秒共四百八十七分○六秒為定差以泛立積差六十六秒五十㣲去減泛平差三十五分一十四秒餘三十四分四十七秒五十㣲為寔段日一十五日六二為法除之得二分二十一秒為平差置泛立積差六十六秒五十㣲為寔段日一十五日六二為法除二次得二十七㣲為立差縮初盈末三差用數立差二十七㣲平差二分二十一秒定差四百八十七分○六秒凡求盈縮皆以入厯初末日乗立差得數以加平差再以初末日乗之得數以減定差餘數以初末日乗之為盈縮積凡盈厯以八十八日九○九二二五為限縮厯以九十三日七一二○二五為限在其限以下為初以上轉減半嵗周餘為末 盈初八十八日九○九二二五是從冬至後順推縮末亦八十八日九○九二二五是從冬至前逆溯其距冬至同故其盈積同 縮初九十二日七一二○二五是從夏至後順推盈末亦九十三日七一二○二五是從夏至前逆溯其距夏至同故其縮積同凡布立成 盈初縮末置立差三十一㣲以六因之得一秒八十六㣲為加分立差 置平差二分四十六秒倍之得四分九十二秒加入加分立差得四分九十三秒八十六㣲為平立合差 置定差五百一十三分三十二秒内減平差二分四十六秒再減立差三十一㣲餘五百一十○分八十五秒六十九㣲為加分縮初盈末置立差二十七㣲以六因之得一秒六十二㣲為加分立差 置平差二分二十一秒倍之得四分四十二秒加入加分立差得四分四十三秒六十二㣲為並立合差 置定差四百八十七分○六秒内減平差二分二十一秒再減立差二十七㣲餘四百八十四分八十四秒七十三㣲為加分以上所推皆初日之數其推次日皆以加分立差累加平立合差為次日平立合差以平立合差減其日加分為次日加分盈縮並同其加分累積之即盈縮積其數並見立成太陰遲疾平立定三差之原太陰轉周二十七日五十五刻四六測分四象象各七段四象二十八段毎段十二限毎象八十四限凡三百三十六限而四象一周以四象為法除轉周日得毎象六日八八八六五以分七段毎段下實測月行遲疾之數與平行相較以求積差積限 積差各置其段積差 以其段積限為法除之為各段限平差 置各段限平差與後段相減為一差 置一差與後段一差相減為二差限平差 一差 二差第七段 六分四五六四置第一段限平差一十○分七二六為泛平積 置第一段一差四十七秒七六以第一段二差九秒三六減之餘三十八秒四十㣲為泛平積差 另置第一段二差九秒三十六㣲折半得四秒六十八㣲為泛立積差以泛平積差三十八秒四十㣲加泛平積一十○分七二得一十二分一十一秒為定差置泛平積差三十八秒四十㣲以泛立積差四秒六十八㣲減之餘三十三秒七十二㣲為寔以十二限為法除之得二秒十一㣲為平差置泛立積差四秒六十八㣲為寔十二限為法除二次得三㣲二十五纎為立差太陰遲疾三差用數立差三㣲二十五纎平差二秒八十一㣲定差一十一秒一十一凡求遲疾皆以入厯日乗十二限二十分以在八十四限以下為初以上轉減一百六十八限餘為末各以初末限乗立差得數以加平差再以初末限乗之得數以減定差 餘以初末限乗之為遲疾積其初限是從最遲最疾處順推至後末限是從最遲最疾處逆溯至前其距最遲疾處同故其積度同月與日立法同但太陽以定氣立限故盈縮異數大陰以平行立限故遲疾同原布立成法 置立差三㣲二十五纎以六因之得一十九㣲五十纎為損益立差 置平差二秒八十一㣲倍之得五秒六十二㣲再加積益立差一十九㣲五十纎共得五秒八十一㣲為初限平立合差 自此以損益立差累加之即毎日平立合差至八十限下積至二十一秒四一五為平立合差之極八十一限下差一秒七八○九八十二限下一秒七八○八至八十二限下平立合差與益分中分為益分之終八十四限下差亦與損分中分為損分之始至八十六限下差亦二十一秒四一五自此以損益立差累減之即毎限平立合差至末限與初限周置定差一十一分一十一秒内減平差二秒八十一㣲再減立差三㣲二十五纎餘一十一分○八秒一十五㣲七十五纎為加分定差即初限損益分 置損益分以其限平立合差益減損加之即為次限損益分以益分積之損分減之便為其下遲疾度以八百二十分為一限日率加八百二十分為毎限日率(以上俱詳)(立成)五星平立定三差之原凡五星各以寔測分其行度為八段以求積差畧如日月法木星立差二㣲三十六纎加平差二秒五十九㣲一十二纎減定差一十○分八十九秒七十○㣲積日 積差各置其段所測積差度分為寔以段日為法除之為泛平差各以泛平差與次段泛平差相較為泛平較又以泛 較與次段泛平較相較為泛立較置第一段泛平較三十九秒(一六二一)減其下泛立較六秒二四二二餘三十二秒九一九九為初段平立較加初段泛平差一十分五六七八○一共得一十○分八十九秒七十○㣲為定差(秒置萬位)置初段平立較差三十二秒九十九九内減泛立較之半三秒一二一一餘二十九秒七九八八以段一十一日五十刻除之得二秒五十九㣲一十二纎為平差置泛立差之半三秒一二一一以段日為法除二次得二㣲三十六纎為立差以上為木星平立定三差之原火星盈初縮末立差一十一㣲三十五纎減平差八十三秒一十一㣲八十九纎減定差八十八分四十七秒八十四㣲積日一段七日六十刻二段一十五日二十五刻三段二十二日八十七刻五十分四段三十○日五十○刻五段三十八日一十二刻五十分六段四十五日七十五刻七段五十三日三十七刻五十分八段六十一日積差一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五二段 一十一度六○○一七五七四三五九三七五三段 一十六度○二五九六三七九二五一九五(三一二五)四段 一十九度六六九○一三六二一二五五段 二十二度二七九八九一四七六○七四(二一八七五)六段 二十四度一六八二二八六○三二八一二五七段 二十五度三三一五五六二四九二六○(一五六二五)八段 二十五度六一九五一五六六泛平差一段 八十二分○六五七三四八四三七五二段 七十六分○六六七二六一六七五三段 七十○分○五八八五八一○九三七五四段 六十四分一八二九六九二五五段 五十八分四三九○五九六○九三七五六段 五十二分八二七一二九一八七五七段 四十七分三四七一七七九八四三七五八段 四十一分九九九二○六泛平較一段 六分一二九八四七二九六八七五二段 六分○○七八六八○七八一二五三段 五分八七五八八八八五九三七五四段 五分七四三九○九六四○六二五五段 五分六一一九三○四二一八七五六段 五分四七九九五一二○三一二五七段 五分三四七九七一九八四三七五泛立較一段 一十三秒一九七九二一八七五二段 一十三秒一九七九二一八七五三段 一十三秒一九七九二一八七五四段 一十三秒一九七九二一八七五五段 一十三秒一九七九二一八七五六段 一十三秒一九七九二一八七五泛平較前多後小應扣泛立較取初段下泛平較六分一三九八四七二九六八七五加泛立較一十三秒一九七九二一八七五得六分二七一八二六五一五六二五為初日下半立較置初段泛平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五加初日下立平較六分二七一八二六五一五六二五得八十八分四十七秒八十四㣲為盈初縮末定差置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五加泛立較之半六秒五九八九六○九三七五得六分三三七八一六一二五為寔以一段下積日而一得八十三秒一十一㣲八十九纎為盈初縮末平差置泛立較之半六秒五九八九六○九三七五以一段十七日六十二刻五十分為法除二次得一十一㣲三十五纎為盈初縮末立差火星縮初盈末立差八㣲五十一纎平差三秒○二㣲三十五纎損減定差二十九分九十七秒六十三㣲積日一段 一十五日二十五刻二段 三十○日五十刻三段 四十五日七十五刻四段 六十一日五段 七十六日二十五刻六段 九十一日五十刻七段 一百○六日七十五刻八段 一百二十二日積差一段 四度五三一二五一八五七九六八七五二段 九度一○二九六一四五一二五三段 十三度五三一六七○九○一七七三七五四段 一十七度四七八九七五○四五段 二十○度八四三六六三○六六四○六二五六段 二十三度四三一三三六二四一二五七段 二十五度○九二四三五二八三四六八七五八段 二十五度六一八三七四七二泛平差一段 二十九分七一三一二六九三七五二段 二十九分八四五七七五二五三段 二十九分五七八三五五○六二五四段 二十八分六五四○六四五段 二十七分三三三九五一五六二五六段 二十五分六一八○一七七五七段 二十三分五○六二六二五六二五八段 二十○分九九八六八六泛平較一段 一十三秒二六四八三一二五二段 二十六秒八四一八○八七五三段 九十二秒四二九一○六二五四段 一分三二○一一二四三七五五段 一分七一五九三三八一二五六段 二分一一一七五五一八七五七段 二分五○七五七六五六二五泛立較一段 一十三秒五七六九七七五二段 六十五秒五八七二九七五三段 三十九秒五八二一三七五四段 三十九秒四八二一三七五五段 三十九秒三八五一三七三六段 三十九秒五八二一三七五七段(闕)取泛立較均停者三十九秒五八二一三七五以較一段下泛平較一十三秒二六四八三一二五餘二十六秒三一七三○六二五為較較以加一段下泛平差二十九分七一三一二六九三七五得二十九分九十七秒六十三㣲為縮初盈末定差置較較二十六秒三一七三○六二五以一段日一十五日二十五刻而一得一秒七二五七二五再置泛立較之半一十九秒七九一○六八七五以段日而一得一秒二九七七七五兩數并得三秒○二㣲三十五纎為縮初盈末平差 置泛立較之半一十九秒七九一○六八七五以段日一十五日二五為法除二次得八㣲五十一纎為縮初盈末立差以上為火星平立定三差之原土星盈厯立差二㣲八十三纎扣平差四秒一十○㣲二十二纎減定差一十五分一十四秒六十一㣲積日 積差一段一十一日五十刻 一度六八三二四五八二(八七五)置第一段下泛平較内減其下泛立較餘五十○秒九一七九七五為平立較以平立較加本段泛平差得一十五分一十四秒六十一㣲為盈定差置平立較内減泛立較之半三秒七四二六七五餘四十七秒一七五三以一段日十一日五十刻而一得四秒一十○㣲二十二纎為盈平差置泛立數之半以一段日除二次得二㣲八十三纎為盈立差土星縮厯立差三㣲三十一纎加平差一秒五十一㣲二十六纎减定差一十一分○一秒七十五㣲積日置一段泛平較内減其下泛立較餘二十一秒七七二三七五為平立較以平立較加入本段泛平差得一十一分○一秒七十五㣲為縮定差置平立較内減泛立較之半四秒三七七四七五餘一十七秒三九四九以一段日一十一日五十刻為法除之得一秒五十一㣲二十六纎為縮平差置泛立較之半以一段日為法除得三㣲三十一纎為縮立差以上為土星平立定三差之原金星立差一㣲四十一纎加平差三纎減定差三分五十一秒五十五㣲積日 積差置一段下泛平較與其泛立較相減餘一秒八六八一七五為平立較以加泛立差得三分五十一秒五十五㣲為定差置平立較與泛立數之半一秒八六四七二五相減餘三十四纎以段日一十一日五十刻為法除之得三纎為平差置泛立較之半以段日為法除二次得一㣲四十一纎為立差以上為金星平立定三差之原水星立差一㣲四十一纎加平差二十一㣲六十五纎減定差三分八十七秒七十○㣲積日泛平差 泛平較 泛立較術同金星求得定差三分八十七秒七十㣲平差二十一㣲六十五纎立差一㣲四十一纎以上為水星平立定三差之原右五星皆以立差為秒平差為本定差為總五星各以段次因秒木土金水四星併本惟火星較本各以積日而積五星皆較總又各以積日乗之得各寔測之度分五星積日皆以度率除周日得三百六十五度二十五分太各以四分之一為象限惟火星用象限之一減象限為盈初縮末限加象限為縮初盈末限其命度為日者為各取盈縮厯乗除之便其寔積日之數即積度也大統厯志卷三
## 卷四
欽定四庫全書大統厯志卷四宣城梅文鼎撰立成既有法原則數可紀矣故立成次之立成云者依法以日月五星盈縮遲疾之數預為排定以便推歩取用也元志厯經歩七政盈縮遲疾皆有二術其一術以三差立算者即布立成法也其又術云以其下盈縮分乗入限分萬約之以加其下盈縮積者用立成法也而遺立成未載無從入算今依大統厯通軌具録之其目有四曰太陽盈縮曰太隂遲疾曰晝夜刻曰五星盈縮(餘詳法原及推歩二卷厯按元史至元十七年授時厯成十九年王恂卒時 雖頒然立成之數尚皆未)(有定稿郭守敬比類篇次整齊分秒裁為二卷而今欽天監本載嘉議大夫太史令臣王怐奉敕撰意者王先冇稿而郭卒成之者歟)大統厯依授時算立成上太陽冬至前後二象盈初縮末限(置八十七日下消息分六分五五六八内減初)(日四分九三八六餘一分六一八二為寔八十七日為法除之得○一八六為每日之差)(置本限八十八度九○九二二五加入盈積度二度四千○一十四分恰合得九十一度三一○六二五為周嵗一象之)(度)太陽夏至前後二象縮初盈末限(置九十二日下消息分五分九二六六内減初日四分四)(三六二餘一分四九○四為寔九十二日為法除之得○一六二為每日之差)(置本限平行九十三度七一二○二五減去縮積度二度四千○一十四分亦恰合得九十一度三二○六二五為周嵗)(一象之度)布立成法(先依厯經盈縮招差各以其日平差立差求到每日盈縮積次以相挨兩日盈縮積相減餘為每日盈縮)(加分以其日加分盈加縮減一度即每日日行度又以相挨兩日加分相減餘為每日消息分再置末日消息分以初日分減)(之餘為寔求日日數為法法除寔即自然得每日消息之差也)覆騐法(各以其日消息分減其日加分以加其日加分加其日加分亦即得先日加分也累積每日加分得其日盈縮)(積以其日盈縮積减去先日加分亦即得先日盈縮積也各又法盈初置立差三十一縮初置立差二十七各六因之得 消)(息之差)勿菴補求盈縮末日法(既有初入末之日其次朔弦望但以望策累減即得次朔望以弦䇿減之亦得)(弦此法用之寫算尤妙嵗既逓減訖乃取所得末日加其原列盈縮日即合半 周則知不誤也丙寅十月)髙麗史厯志扵授時厯經後載有日行盈縮月行遲疾五星盈縮立成俱同遂不細鈔惟盈縮立成後有語二條今錄於此盈初縮末限以初日行分至八十八日計得九十一度四○一四二七此盈初冬至 休初日行分自一日至後八十八日計得九十一度三五○三四二此縮末秋分縮初盈末限以初日行分至九十三日計得九十一度五九八七一七此縮初夏至 休初日行分自一日至後九十三日計得九十一度六四七二○一此盈末春分太隂限數遲疾度(十分定三子單分定二子十秒定一子單秒不定)(置月平行一十三度三六八七五以每限日行分八百二十分為法乗之又以萬約之得數一度○九六二三七五是為)(每限月平行度也復置在位以各限損益分加减之如在疾厯則益者加之損者減之如在遲厯則益者减之損者加之)(即各得每限月行遲疾度數也數止秒秒以下有零數不拘多少俱收為秒) (勿菴註)(又法置小轉中一十三日七七七三以月平行度為法乗之得數一百八十四度一八五二七九三七五為寔以一百六)(十八限為法除之得一度○九六三四○九四是為每限月平行度也復以各限損益分加减之即各得其限遲疾行度)(也數止秒秒以下棄不用) (此法較親○加减同)布立成法(依厯經垜叠招差各以平差立差求到各限遲疾度次以相挨兩限遲疾度相减餘為每限損益分次各)(以其限損益分加减每限月平行一度○九六三四○九四得為各限疾遲行度也秒以下數不用其加减法在疾益加損减)(在遲反之其八十三四限另有變率求差之法)勿菴補求限數法(以所得遲疾日及今與立成日率相比而取其日率相似而畧少者用之即得所用限數)(也不必以十二限二十分乗此法甚㨗又免退一限减之煩 丙寅十月初十日記)欽天監秘本遲疾行度之法 ○度○○○ 歌曰天根一度○九分六三三九七五齊(法曰先置天根之數)損益加減為分秒各限行度自然知(法曰)(加者加入天根之内减者置天根之數减其損益分也)八十三限前皆益疾加遲減是端的八十四限後皆損疾減遲加更莫疑又加減差之法 ○十○百○○○○大統厯志卷四
## 卷五
欽定四庫全書大統厯志卷五宣城梅文鼎撰大統厯依授時立成法下冬至日後每日日出晨分半晝分法以半晝分轉減五十刻(即半日周五十分也)餘為日出分 日出分内又減去二百五十分為晨分 以晨分減日周一萬分餘為昏分 昏分内又減二百五十分為日入分 若順推者以半晝分加半日周為日入分又加二百五十分為昏分以昏分減日周為晨分晨分加二百五十分為日出分查表㨗法凡晨分昏分相並成日周一萬 日出分日入分相並亦成日周一萬 又晨分昏分之尾數四位相並成一百分日出分日入分之尾數四位相並亦成一百分(即一刻)若尾數三位則晨分同日出而昏分日入並同半晝皆尾數三位不變夏至日後每日日出入晨昏半晝分右立成所載日出入半晝夜晨昏分葢陽城晷刻也凡晷刻長短生於北極出地之髙下極髙則景長差多極卑則景短差平據元史所載當時四海測騐晷景之數二十有七其一為南京北極出地三十四度太強其一為河南府陽城北極出地三十四度太弱其一為嶽臺北極出地三十五度夏至晝六十刻夜四十刻今立成所載晝夜永短之數於六十則弱於四十則強故知為陽城或南京晷刻也今將元志晷差列後四海測騐南海北極出地一十五度夏至景在表南長一尺一寸六分晝五十四刻夜四十六刻衡嶽北極出地二十五度夏至日在表端無景晝五十六刻夜四十四刻嶽臺北極出地三十五度夏至晷景長一尺四寸晝六十刻夜四十刻和林北極出地四十五度夏至晷景長三尺二寸四分晝六十四刻夜三十六刻鐵勒北極出地五十五度夏至晷景長五尺一分晝七十刻夜三十刻北海北極出地六十五度夏至晷景長六尺七寸八分晝八十二刻夜一十八刻大都北極出地四十度太強夏至晷景長一大二尺三寸六分(通軌作一丈一尺七寸一分)晝六十二刻夜三十八刻河南陽城府北極出地三十四度太弱瓊州北極岀地一十九度太大統厯依授時算立成北京日出入時刻晝夜長短大統歴依授時算立成 五星盈縮木星 盈縮同用火星 盈厯火星 縮厯土星 盈厯大統厯志卷五
## 卷六
欽定四庫全書大統厯志卷六宣城梅文鼎撰釋凡四則印心厯生於數數生於理理與氣偕其中有神頥焉而不亂也變焉而有常也於是聖人以數紀之堯命羲和舜在璣衡皆是物也中遭秦炬先憲略亡自太初以後作者數十家人各效才王郭肇興大成斯集夫天不變理亦不變故厯代賢者徃徃騐天以立法要皆積有畢生之精力始得其一法之合乎理有聖人雖起不復能易者而後垂之不刋以至今鼎何人也敢與於斯夫創起者難為功觀成者易為力昔人縁理以立數今人因數以知理期以信吾心焉耳矣所不能信者不敢知也其或章句繁複徃復諄然夫必如是而後自信以信於古人僣越獲罪既無所逃拘滯固陋貽誚通方幸有以教存疑大統厯法所以仍元法不變者謂其法之善可以永久也夫既仍辛巳之元合用授時之數乃以今所傳較之厯經參伍多違豈别有說愚故不能無疑也按厯經上考徃古則嵗實百年長一周天百年消一下騐將來則嵗實百年消一周天百年長一此其據徃以知來自堯典𦙍征降而諸史所載可以數求者當時則既一一騐之矣而今所傳嵗實一無消長此其可疑一也又按厯經諸應等數隨時推測不用為元固也今則氣應仍是五十五日○六百分周應仍是箕十度至於閏應原是二十○萬一千八百五十分今改為二十○萬二千○五十分較授時後二百分轉應原是一十三萬一千九百○四分今改為一千三萬○千二百○五分較授時先一千六百九十九分交應原是二十六萬○千一百八十七分八十六秒今改為二十六萬○千三百八十八分較授時後二百○○分一十四秒或差而先或差而後以之上考辛巳必與元筭不諧若據厯經以歩今茲亦與今筭不合然則定朔置閏月離交㑹之期又安所取衷也豈當時定大統厯有所測騐而改之歟夫改憲則必另立元今氣應周應俱同而獨於數者有更此其可疑二也又按厯經盈縮遲疾皆有二術其一術不用立成其一術用立成然只有用之之法而無其圖其遲疾圖則又仍如古式只二十八日日數而無逐限細率意者當時修史者之遺忽歟抑有所禁秘也今據此所載立成以求盈縮二術俱諧以求遲疾則自八十三限以至八十六限與前術有所不合意其所謂立成者有異歟據元史王恂先卒其立成之稿俱未成書郭公守敬為之整齊意者厯經前術為王公未定之稿歟此其可疑三也又如日月食開方數乃所求食分横過半徑之數據厯經皆五千七百四十乗之今改月食者為四千九百二十乗是所測闇虚小於原所測者二十分也則其所測月輪圓徑亦小於原所測者一十分也苟非實有測騐於天又何敢據此以非彼歟苟非於交食之際立渾比量周徑縱横之數何從而定歟苟非於虧復之際下漏刻以騐之定用分之多少何自而知歟此其可疑四也又有自相背馳如立成所載日出入半晝分是自冬至夏至後順數只問盈縮不言初末而通軌求日出入法又似有初末二圖此皆不可意斷者至於晝夜永短與元史所載大都刻數不同則以北極高下黄道因之所在而殊理固然也然篇首皆不言郡省撰名復載王恂豈當時九服晷漏之永短皆推有圖而元史止載其一歟然畢竟此所列者據何地為則也此其可疑五也凡此數端同異出入未敢偏據姑即所傳略附箋疏去取是非俟之君子刋誤大抵一書傳經數手多非其舊或謄冩魯魚或簡編蠧蝕故君子慎闕疑也乃若専守殘文習焉不察有所未解强入以己意參之遂使斵輪不傳糟粕并失金根輙改燕郢何憑今於其尤謬亂者是正數條或據厯經或據本書非敢逞私憑臆以重獲罪於古今也一者日月食限乃筭家所憑以定食不食者也而今所載或失而出或失而入失而入不過虚費籌策而已失而出則將據此以斷不食其有不合將以疑立法之不詳今皆據陰陽食限極之諸差所變以為常凖即據本書以定似為稍宻脫有不合其必非本筭所能御矣其日食夜刻月食晝刻亦據本書及厯經所載時差并定用分得之其月帶食若據厯經定用分尚有微差亦不多也一者月食時差分據厯經為定葢厯考古厯皆與此所載不合故斷以厯經一者黄道定積度原以嵗差推變自大衍以後為法畧同今若定鈐何異膠柱今斷以厯經仍以天啟辛酉一年歩定為式一者月食皆内分據厯經原以既内分與一十分相減相乗平方開之也今則訛為一十五分夫月食十分而既其既内五分倍之為十分而止矣安得有所謂既内十五分乎今以弦較求句股法求得既内小平圓積數皆與所求相應一如厯經原法故斷從之别有圖說以證其理一者日月帶食凡日出入分在初虧已上復圓已下是為帶食而出入也今則訛為初虧已上食甚已下是得其半而失其半求之厯經亦復仍訛故愚亦不敢全據厯經者謂有此等處也今據後已復光未復光條改為復圓分已下厥數實諧於理亦暢又月食通軌前所録數定望并晨昏分下註誤又月食分秒定子法誤又月食定用分并既内分定子俱誤又月食更㸃歸除法并定數法俱誤又逕求次年天正交泛分條誤多有閏無閏每月加數今皆刋正補遺算有所必不可畧句與字有所必不可無而或無之或畧之則非作法者之故為秘惜也如日食交前後條正交交定度在七度已下數雖在正交度下而實則陽厯交後度也法宜加交終度減之此筭之所必不可畧者也乃此書既不之載至元厯經亦復闕焉何也夫此亦數之易知當必非所甚秘豈非梨棗鉛槧者之責乎將謂精於筭者自能知之而無所用書歟今輙斷之以理重為補定古人而得見我何以幸教之也又如定子法為乗除後進退而設甚便於初學其立法立意不可謂不至也乃多有遺去言十定一不滿法去一二語者夫定子所以御乗除之變而此二語又所以通定子之窮若無此二語則何如不定子之為愈乎又如求天正赤道黄道度二條皆不用定子夫赤道不定子知其所減者為度位乎為分位乎黄道乗除不用定子固也然何以處夫除不滿法與夫減過積度只剰秒微者乎又如食甚入盈縮條遺食甚甚字夘酉前後條遺定望望字凡此皆字與句之所必不可無者也今皆補定日月交食通軌用數目録周天三百六十五度二十五分七十五秒按此即周天分渾然本體其數則亦以日度紀之也半周天一百八十二度六十二分八十七秒半按此即周天二象之數乃二分周天之一半嵗周一百八十二度六十二分一十二秒半按此乃太陽行天半嵗之數即不及半周天之七十五秒也周天象限九十一度三十一分四十三秒七十五微按此乃四分周天之一象者四象陰陽老少也交終度三百六十三度七十九分三十四秒一十九微六按此以月平行度乗交終之數月入交一轉凡行天度有此數也交中度一百八十一度八十九分六十七秒○九八按此以月平行乗半交之數月入交一半凡行天度有此數也正交度三百五十七度六十四分按此於交終度内減去六度一五有竒也中交度一百八十八度○五分按此於交終度内加入六度一五有竒也○日食入交度有加減者日既高於月黄道在天亦高於月道故當其初入陰厯六度時月之行天雖在日北而人之見月尚在日南中交度所以有加也及其將入陽厯尚差六度時月之行天雖在日内而人之見月已出日外正交度所以有減也此古人測騐之宻也其所以然則亦中國地勢為之前凖一百六十六度三十九分六十八秒按前者交前也入陰厯滿此是在正交前也入陽厯滿此是在中交前也以後凖減交中即得後凖一十五度五十分按後者交後也入陽厯在此數以下是正交後也入陰厯在此數以下是中交後也凖者定也凡月食在交前後以此為定葢無論交前交後皆以十五度五十分為定過此則不食也前凖數雖多以減交終度則亦十五度五十分也日周一萬分按自子正初刻至夜子初四刻有此分(即授時日法也唐末民間)(曽有萬分厯)半日周五千分按自子正初刻至午初四刻或自午正初刻至夜子初四刻皆有此分月平行分一十三度三十六分八十七秒半按置月行極遲極疾度數一轉之積以月行一轉之日平分之得此數日行分八分二十秒按此乃一限之日行分也月行一限在日周一萬内得八百二十分也葢萬分日之百即百分度之一分也刻已上日月皆食(案此句上有缺文後二已字下有脱字)在○日五千四百五五已 日月皆食 在二十五日六一五一已上日月不食在一十二日○○八九已上日月不食 在一十四日一五一六已下日月皆食陰食入交在一日二十五刻已下不食 在一十二日四十二刻已月食在一日一八七二已下日食 在二十六日○二四九已上日月皆食在一十二日四一八九已上 在一十四日七九三三已下又在交望一十四日七六五二九六五已下日月皆食又在交終二十七日二一二二二四已下日月皆食又在交中一十三日六○六一一二已下日月皆食右各日月食限如日食視其定朔小餘在夜刻者如月食視其定望小餘在晝刻者即同不食亦不必推算也又與各交泛者數同則食也不同者不食其已上已下皆指小餘而言凡數自萬已上為大餘自千已下為小餘○凡日食視其定朔小餘在一千二四九已下八千八百已上皆在夜刻也起亥初初刻止丑正四刻○凡月食視其定望小餘在三千○一六已上七千○八三已下皆在晝刻也起辰初初刻止申正四刻日食分二十分按此置日食十分倍之(併日體月影各十分即二十分)月食分三十分按此置月食一十五分倍之(倂月體十分闇虚二十分共三十分)陰食限八度 定法八十分按陰者月入陰厯是在黄道北在日内也在日内則易為揜故八度食也○陰食八度故陰定法亦八十分以八十分除八度即得陰食十分也陽食限六度 定法六十分按陽者月入陽厯是在黄道南在日外也在日外則難為揜故六度食較陰食近也○陽食六度故陽定法亦六十分除六度即得陽食十分也月食限一十三度○五分 定法八十七分按以月食定法八七除一十三度○五分即得月食一十五分也○月既小於闇虚闇虚所至即月所至無高小故不論陰陽厯皆十三度即食也闇虚者日之影倍大於月故月食十有五分所謂既内既外也日月食限數(凡數滿萬為日千為十刻百為單刻)陽食入交在○日五十刻已下日月不食 在二十六日○二刻已上日月皆食在一十三日○○刻已上日月皆食 在一十四日七十五按自定朔之法行而日食必在朔厯家以是騐其疎密者千有餘年矣厯至授時法益密數亦簡雖然月有交也逐交歩算雖簡亦繁許學士之譏世醫謂獵不知兎廣絡原野術已疎矣今通軌所載食限顛倒繆亂殆不可以數求其誤後學將何已乎愚不自揣輙為訂定如左今考定日月入交食限朔汎交入陽厯在○日五○一六已下為入食限已上者日不食(月平)(行乗之得六度七○五七六五為陽厯距正交後度)在一十三日一○四五已上為入食限已下者日不食(月平行乗之得一百七十五度一九○一八四三七五為陽厯距中交前度)朔泛交食陰厯在一十四日不問小餘皆入食限(月平行一百八十七度一六二五)其小餘在一五一六已下一三○七已上者的食在一十五日一七七九已下為入食限已上者不食在二十五日六四○四已上為入食限已下者日不食在二十六日不問小餘皆入食限其小餘在六六六七已上六八七六已下者的食又在交終二十七日二一二二二四已下為入食限又在交中一十三日六○六一一二已上為入食限望泛交不問陰陽厯在○日不問小餘皆入食限其小餘在七九六六已下者月的食在一日一五五六已下為入食限已上者不食在一十二日四五○五已上為入食限已下者不食其小餘在八○九五已上者月的食在一十四日七六一七已下為入食限已上者不食其小餘在四○二七已下者月的食在二十六日○五六六已上為入食限已下者不食其小餘在四一五六已上者月的食又在交終二十七日二一二二二四已下月的食又在交中一十三日不問小餘皆的食右日月食限皆視其朔望入交汎日其入不食限者即不必布算也其入的食限者必食也其入食限不言的者或食也或不食也是皆以筭御之也凡言已上已下者皆指小餘有不問小餘者則只以大餘命之也又視其定朔小餘如在日入分後及日出分前十分已上者夜刻也定望小餘如在日入分前及日出分後七百三十分已上者晝刻也日食在夜刻月食在晝刻即不得見初虧復圓同不食限不必布筭也○按日食陰厯距交前後二十一度而止以月平行除之得一日五七一八日食陽厯距交前後六度七十一分而止以月平行除之得○日五○一六即各其食限也其陰厯距交前後七度○一三四至七度二九三四為日的食限月平行除之得○日五千二百四六至○日五千四百五五也其陽厯則無的食何也葢日食雖有陽食限六度陰食限八度其實總在陰厯陽厯本無蝕法也今所定陽厯食限以諸差得之皆或限也諸差者何一曰盈縮差加減之極至二度四十分一曰南北東西差加減之極至四度四十六分并二數六度八十六分内除未交陽厯前原空有一十五分餘六度七十一分是為陽厯食限也其陰厯的食起七度○一至七度二九止者正交中交限距交皆六度一十五分而陽食限只六度是原空一十五分也加入盈縮差并南北東西差六度八十六分共七度○一而差變極矣故的限以此起置正交中交距交數加陰食限八度共一十四度一十五分内減去盈縮并減去東西南北差餘七度二九而差變極矣故的限以此終不入此限度皆或限也置正交中交距交數加陰食限共一十四度一十五分又加入盈縮差又加入南北東西差共二十一度是為陰厯食限也葢極其變可以得其常執其常可以追其變今所訂定食限皆要其變之極者言之而其常可知也又按月食不問陰陽厯只距交前後一十五度四十五分而止在月平行得一日一五五六為食限也其距交前後一十○度六十五分在月平行得○日七九六六為的食限也夫月食何以不問陰陽厯也月之掩日以形形則有所不周日之掩月以氣氣則無所不及故日必以陰厯食月不問陰陽厯皆食陽全陰半之理也又月雖掩日尚不能直至於日之所也故有東西南北差日以闇虚掩月則直至於月之所也故亦無東西南北差惟其不用東西南北差也故只以盈縮差二度四十分加其食限一十三度○五分而得食限一十五度四十五分或食之數止此而差變極也只以盈縮差二度四十分減其食限一十三度○五分而得的食限一十○度六十五分或不食之數亦至此而變極也又按夜刻不見日食以時差分與定用分相較知之大約日出入夘正酉正合朔當之時差之多至六百五十分若當二至日出入其差乃極亦不下六百三十分故定朔分若與日出入同者其食甚皆在日出前日入後六百三十分已上也假如日食十分當月行極遲之限定用分極多至六百三十五分止矣故知定朔在日出分前一十分以下者即不得見未復光定朔在日入分後一十分以上者即不得見初虧斷為夜刻無疑也其晝刻不見月食亦以時差分與定用分相較知之依授時時差法望在夘酉正時差之多至一百三十分若當二至日出入其差為極亦不下八十九分故定望若與日出入分同者其食甚皆在日出前日入後八十九分已上也假如月食十五分當月行極遲之限定用分多至八百一十六分止矣故知定望在日出分後七百三十分已上者即不得見初虧定望在日入分前七百三十分已上者即不得見未復光斷為晝刻無疑也(授時筭月食時差法見後時差)(條)又按大術厯有九服交食法庚午元厯有里差自宋以前厯皆有晷漏所在差數今所定只據授時厯經所載大都食法其日出入據立成所載或是順天漏刻也餘處再消息之大統厯志卷六
## 卷七
欽定四庫全書大統厯志卷七宣城梅文鼎撰日食通軌(按軌者法也算月食者以此為通行必用之法也)録各有食之朔下算經朔全分 盈縮厯全分 盈縮差全分遲疾厯全分 遲疾限數 遲疾差全分加減差全分 定朔全分 交泛全分按有食之朔即所推其朔交汎日入食限者也故其下所有數如經朔等皆全録之以為算日食用也葢數以倚數參伍相求此所録皆母數原定朔時俱已推定更不必復算只全録取用也月食倣此推定入遲疾厯法置所推或遲厯或疾厯全分以本日下加減差加者加之減者減之得為定入遲疾厯分也按原所推遲疾厯是經朔下者今以加減差加減之則是定朔下遲疾厯也推定入遲疾厯限數法置所推定入遲疾厯全分依朔下限數法推之得為定入遲疾限數也按定朔遲疾厯既不同經朔則其入轉限數亦異其月行遲疾行度之數亦異故復定之推定限行度法視所推定入遲疾限與太陰立成相同限下遲疾行度遲用遲行度疾用疾行度内減去日行分八分二十秒(按此於度下二位減)而得為定限行度也按定限行度者即定朔所入限月行遲疾之數也内減去八分二十秒者月行一限日行八百二十分於度下分即八分二十秒也葢日月並行於天皆自西而東其立成遲疾行度月所行於天之數此所推定限行度乃月行所過於日之數假如一限月行一度而日已行八分二十秒則月之合日而過只有九十一分八十秒也推日出入半晝分法視有食之朔下是盈初盈末者大餘若干用立成内冬至後相同積日下日出入半晝分全録之是縮初縮末者大餘若干用立成内夏至後相同積日下日出入半晝分全録之按日出入者所以定帶食也以全晝之分半之為半晝分所以定午也只用經朔盈縮厯不加減者所差半日而極無甚差數也據此則日出入立成當亦如盈縮立成法皆始於二至順逆推之今立成只是順求故其圖為二也若如盈初縮末縮初盈末法則以二圖為四圖推嵗前冬至天正赤道宿次度分法置嵗差一分五十秒(定二子)為實以所距積年減一算(十定)(一百定二)為法乗之(言十定一)得數(定有四子為度)以度率十度相減餘為赤道箕宿度分也按嵗差者日行黄道之度所每嵗遷徙不常者也堯時冬至在虚一度至元冬至在箕十度漸差而西也嵗差一分五十秒者凡六十六年有八月而差一度也原至元冬至在箕十度至今所求年又差㡬度故以距算乗嵗差而得所差之數以減其宿十度便知退在箕宿㡬度也嵗差之度自東而西其數為退故用減也推嵗前冬至天正黄道宿次度分法置所推赤道度分内減去黄道立成相同積度下第三格積度全餘分(有十定三子有分定二子十秒定一子)為實以下同度下第四格度率為法除之(不去子只不滿法去一子)得數(定有三子為十分二子為)(單分一子為十秒於十分前一位加積度)萬位前加入同度第一格積度得為天正黄道箕宿度分也按赤道之勢平黄道較赤道其勢有斜有平當其斜則宿度多於赤道當其平則宿度少於赤道故赤道終古不變而黄道宿度每嵗不同要之以二至平二分斜則無不同也所積赤道度即箕宿度乃逆推今冬至所距箕宿初度之數也於是以第三格積度減之便知此所距箕宿度已滿黄道有㡬度也其減不盡者以第四格度率除之便知此未滿於黄道一度者在黄道為㡬十㡬分也於是加入第一格積度便知今冬至距箕初度之黄道凡有㡬度㡬十㡬分也第三格積度至後赤道也第一格積度至後黄道也凡至後赤道積㡬度㡬十㡬分於黄道為㡬度整數也第二格度率至後黄道也第四格度率至後赤道也凡至後赤道率一度零㡬分於黄道為一度整數葢至前後黄道平故其數少於赤道如此也原法以黄道度率乗減餘然後以赤道度率除之今黄道率是一度乗過仍是本位故不用乗只用除也惟其不用乗故除亦不去子只不滿法去一子也黄道立成按此圖原有九十一度以二至二分為端葢二分之黄道與赤道相交故其度斜徑而每度之數加多於赤道二至之黄道與赤道相逺故其度平直而每度之數加少於赤道此所存十度乃至後者故其黄道之率皆少於赤道也只用十度者因箕宿只十度故也此算家等按暫時省力之法葢至後黄赤道率與至前則同此圖原是順推今則用之逆溯其理同其數同也推交常度法置有交食之交汎全分(十日定五子單日定四子空日定三子空千定二子空百定一)(子空十不定子)以月平行一十三度三六八七五(定一)為法乗之(言十定一乗過定有四子為單度五子為十度六子為百度)即得所推交常度分也按交常度者以常數言之合朔去交凡有若干度也推交定度法置所推交常度全分盈加縮減其朔下盈縮差度分得為交定度分也如遇交常度數少不及減縮差者加交終度三百六十三度七九三四一九減之餘為交定度分也遇滿交終度去之按交定度者太陽所在距黄道白道相交之數凡㡬也以太陽為主故只用盈縮差加減之而得也月食求闇虚即日所衝是亦以日為主也如遇交常度數少不及減縮差者是以常數言之雖已在交後計日行盈縮則仍在交前故加入交終度減之即仍作交前算也 愚意交定度當以定朔入盈縮厯求之盈縮差分以加減交常度於理較親也存之以質高明推日食在正交中交度視所推交定度全分如在七度已下三百四十二度已上者為食在正交也如在一百七十五度已上二百○二度已下者為食在中交也按正交者月自陰厯入陽厯交之始也中交者月自陽厯復入陰厯交之中也交終之度於此始即於此終故為正交也交終之度於此適半故為中交也七度已下三百四十二度已上者正交食限陽厯距交初七度陰厯距交終二十一度而止也一百七十五度者陽厯距交中亦七度而止為食限二百○二分者陰厯距交中亦二十一度而止為食限也(詳見日月食限)(條)推中前中後分法視定朔小餘如在半日周五千分已下者就置五千分内減去定朔小餘而餘為中前分也如在半日周已上者就於定朔小餘内減去半日周餘為中後分也按中前是以午逆推前所距分也故以小餘減半日周中後是以午順求後所距分也故以半日周減小餘順數逆推皆自午正起算也推時差分法置半日周内減去所推或中前或中後分餘(千定三百定二)為實復以中前或中後(千三百二定之)為法乗之(言十定一)得數又以九十六分(去三子○按九十六分宜去一子今去三子者經所謂退二位也)為法除之(不滿法去一子除過定有二子為百分一子為十分)得為時差分也中前為減差中後為加差按時差分者食甚之時刻有進退於定朔者也葢經朔本有一定之期既以月遲疾日盈縮加減之為定朔矣而猶有差者則以合朔加時有中前中後之不同者何也大約日在外月在内故能掩之人又在月内故見其掩而有食當其正相當一度謂之食甚如其合朔午正則以人當月以月當日相當繩直故無所差在午前以至於邜則漸差而早假如定朔夘正一刻日月合在一度是日月合朔本等時刻也人自地上觀之則不待其月之至於此度也當其夘初初刻月未及日一度時已見其合於日是差而早六刻有竒也若在午後以至於酉則漸差而遲假如定朔酉正一刻日月合在一度是日月合朔本等時刻也人自地上觀之則月雖已至此度尚未見其合也直至戌初一刻月行過於日將一度時始見其合於日是差而遲六刻有竒也其自夘而辰而已所差漸少至午正則復於無差也其自午而未而申積差以漸而多至酉則差而極於六刻有竒也葢天體至圓其行至健運乎四虚地在其中為氣所團結而不散若卵之有黄夫卵既圓矣黄安得獨方故地之方者其德其體則不必正方如碁局也夫日月並附天行而月在日下當其合時去日尚不知有㡬許人自地上左右窺之與天心所見不同故日月平合在夘酉皆不能見所見食甚日稍在下月稍在上斜弦所當差近一度在月平行為六百餘分惟午則自下仰觀所見正當繩直與在左右旁視者異故無差也昔人常云人能凌倒景以瞰日月則晦月之表光應如望吾亦云使人能逐景而行與日相偕則舉頭所見常如在午又使地如琉璃光人居其最中央旋而觀日八靣皆平時差之法可以不設矣是其所差不問盈縮遲疾而只在本日之加時故曰時差推食甚定分法視時差分如是中前分推得者置定朔小餘内減去時差分餘為食甚定分也如是中後分推得者置定朔小餘内加入時差分共得為食甚定分也滿日周去之至入盈縮度再加之按食甚食而甚也食甚分是自虧至復之中日月正相當於一度之時刻也中前減小餘者差而早也中後加小餘者差而遲也若夜刻不算者恐無滿日周去之之理末二句疑有誤推距午定分法置所推中前或中後分内加入時差分共得為距午定分也按定距午定分是食甚時刻距午正之數也食甚以時差加減距午則不減只加者葢食甚原是順推故有加減距午分則一自午順推一自午逆溯總是差而漸逺於午正故也推食甚入盈縮定度法置前推或盈厯或縮厯初末全分加入定朔大餘及食甚定分内減去經朔全分餘為食甚入盈縮厯定度分也按原推盈縮歴是經朔下者故以定朔大餘及食甚分加之減去經朔全分如以經朔大小餘加減作食甚大小餘故即得食甚所入盈縮厯數也推食甚入盈縮差度法置所推食甚盈厯或縮厯全分減去大餘依朔下盈縮差法推入得食甚入盈縮差度分也如遇末限亦用反減半嵗周之數數止秒按食甚盈縮厯既異經朔則其所積盈縮之差亦不同故復求也推食甚入盈縮厯行定度法置食甚入盈縮厯全分以萬為度内盈加縮減其所推食甚入盈縮差得為食甚入盈縮厯行定度分也(末限不用)(數止秒)按凡盈厯若干日即是常數日行距冬至宿之度數也凡縮厯若干日即是常數日行距夏至宿之度數也以其差加減之即得所推食甚日躔距二至宿之度數也凡用末限者所以紀其差是逆從二至推至二分其差整齊易知也今不用末限者所以積其度是順從冬至數至夏至從夏至數至冬至也推南北泛差度法視所推食甚入盈縮厯行定度如在周天象限九十一度三一四三七五已下者為初限也如在已上者置半嵗周内減去行定度餘為末限也或得初限或得末限俱自相乗之(初末限有十度上下各定三子單度各定二子言十加定一子)得數以一千八百七十度(去三子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十)(分○按上下各定二子則四子矣故四子為度)復置四度四十六分(按四度四十六分者)(即周天象限自乗復以一千八百七十度除之者)内減去得數條為南北汎差度分也推南北定差度法置所推南北泛差全分(度定四子十分定三)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)為法乗之(言十定一)得數復以其所録半晝分(去三子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十分也)仍置泛差減去得數餘為南北定差也若遇泛差數少不及減者反減之而得也又視其盈縮厯及所推正交中交限度如是盈初縮末者食在正交為減差中交為加差也如是縮初盈末者食在正交為加差中交為減差也若遇反減汎差者應加作減應減作加不可忽畧也按南北差者古人所謂氣差也易之曰南北所以著其差之理也葢日行盈初縮末限則在赤道南其逺於赤道也至二十三度九十分日行縮初盈末限則在赤道北其逺於赤道也亦二十三度九十分日之行天在月之上而高故月道與黄道相交之度有此差數以南北而殊也假如盈初縮末限一日空日間日行赤道外極南去人極逺去地益近日道所高於月道之中間人皆以旁觀之易得而見故月道之出黄道而南也較常期(所謂常期皆主春秋分日道而言即所定中國正交度中交度)(也)早四度有竒其入黄道而北也較常期遲四度有竒由是以漸而至於盈初縮末八十八日行天漸滿一象限之時黄道之在赤道南者去赤道以漸而近去地之數以漸而逺其日高月下相去之數人所從旁見者以漸而少故其所差四度有竒以漸而殺也又如縮初盈末限一日空日間日行赤道内極北去人益近去地益逺日道所高於月道之中間人仰靣視之難得而見故月道之出黄道南而為正交也較常期遲四度有竒其入黄道北而為中交也較常期早四度有竒由是以漸而至於縮初盈末九十三日行天漸滿一象限之時黄道之在赤道北者去赤道以漸而近去地之數亦以漸而近其日高月下相懸之數人所從旁見者又以漸而多故其所差四度有竒亦以漸而殺也四度四十六分者據其極差者言也以得數減之便是今所有差也然此皆據午地而言故以距午分乗之以半晝分除之便知今距午之地應分得差數凡㡬許而今已距午㡬許則此所有之差已不可用故以減原得汎差而知其尚餘㡬許之差為定差也葢於天則冬至夏至之黄道為南北於地則加時在正子午為南北今泛差之數近二至則多近二分則少是以天之南北而差定差之數近午正則多近日出沒時刻則少是以加時之南北而差也故曰南北差○月自黄道北出黄道南謂之正交即經所謂交前陰厯交後陽厯也月自黄道南入黄道北謂之中交即經所謂交後陰厯交前陽厯也○其南北泛差不及減反減者此帶食出入方有之何也此必是食甚定分在日入分已上或曰出分已下則其距午定分多於半晝分故乗除後得數亦多於泛差也不則以多除以少乗其數且不能與泛差相等況能多於泛差也愚故斷其為帶食也泛差數少不及減是距午定分已過於半晝是在夜刻故反筭其距子之數夫距子與距午其盈縮南北逺近并旁觀仰視之理正相反故加者減之減者加之以為定差也推東西泛差度法置所推食甚入盈縮厯行定度就為初限也去減半嵗周餘為末限也以初末二限互相乗之(百度定四子十度定三子言十)(定一是也)得數復以一千八百七十度(去三子)為法除之(不滿法去)(一子除過定有四子為度三子為十分)即得所推東西泛差也推東西定差度法置所推東西泛差全分(度定四子千定三子)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)為法乗之(言十定一)得數以二千五百度(去三子)為法除之(不滿法去一子除過定有四子為度三子為十分)視所推如在東西泛差以下者就為東西定差度分也如在已上者倍其泛差内減去得數餘為東西定差度分也 又視其盈縮厯及中前中後分與正交中交限度若是盈厯中前縮厯中後者正交為減差中交為加差也若是盈厯中後縮厯中前者正交為加差中交為減差也按東西差即古所謂刻差也易其名曰東西者其差只在東西也於天則近二分之黄道為東西於地則近夘酉之時刻為東西葢日行在二至前後其勢平直日行在二分前後則其黄道與赤道縱横交加其勢斜徑當其斜徑加時又當夘酉則有差也假如春分日在盈厯九十餘度其黄道之交於赤道自南而北勢甚斜徑若加時中前則是赤道倚而黄道横也加時中後則是赤道倚而黄道縱也又如秋分日在縮厯九十餘度其黄道之交於赤道自北而南勢甚斜徑若加時中前則是赤道倚而黄道縱與盈厯中後同也加時中後則是赤道倚而黄道横與盈厯中前同也黄道縱立於邜酉月道之出入亦從而縱正靣視之繩直相當其日内月外相去之中間人所見者少意與南北差縮初盈末正在人頂者同也故月道之出黄道南而為正交也較常期遲四度有竒其入黄道北而為中交也較常期早四度有竒此盈厯中後縮厯中前皆於正交以差加中交以差減也黄道横偃於夘酉月道之出入亦從而横人在赤道之北斜而望之其日内月外相去之中間皆得而見意與南北差盈初縮末横偃南上漸近於地者同也故月道之出黄道南而為正交也較常期早四度有竒其入黄道北而為中交也較常期遲四度有竒此盈厯中前縮厯中後皆於正交以差減中交以差加也若盈縮厯當二分加時又在夘酉則其差之極四度有竒迨至二分前後黄道之斜徑以漸而平故其差亦以漸而少由是而至於二至黄道之斜徑依平而差亦復於平故曰二至無刻差也若加時不在夘酉則雖二分之黄道其差却與他氣不殊葢其斜徑之勢亦以漸而平故也假如二分加時辰巳之間其定差則正與四立泛差等漸而至於午中則其差亦漸而復於平是其所差只在東西故曰東西差凡東西泛差近二分多是以天之東西而差也其定差以加時夘酉而多是以地之東西而差也以距午分乗之者距夘酉之數也以二千五百除之者日周四分之一乃夘酉距午之數也葢此所謂泛差乃距午二千五百分時所有之差也乗除後得數若多於泛差是食甚距午分其數亦多於日周四分之一其加時乃在夘前酉後也夘前酉後之差於正夘酉者其數正與夘後酉前等故倍泛差減得數即為定差也凡差於南北者復於東西差於東西者復於南北并二差加減數總無過四度四十六分以是為交度進退之極也葢原所謂正交中交限各損陰厯六度餘為陽厯者乃是據中國地勢所差於南戴赤道之下者言人在赤道之北故所見黄道交處皆差而近北六度餘此常數也若黄道在冬至横於南上去人益逺故其交處差而北者又四度餘而極是共差十度餘矣若黄道在夏至去人反近正在中國人頂故其交處原差而北者乃復而南亦四度餘而極是只差一度餘矣此南北差之理據午上言也若移而至日岀入時則其横於南上者已斜縱於夘酉其正當人頂者巳横斜於夘酉所見差度以漸而平如常數故南北差近午多近日出沒則少也若黄道在春分而加時夘黄道在秋分而加時酉其勢皆横偃於東西而與地相依故其交處益差而北又四度餘而極是亦共差十度餘矣若黄道在春分而加時酉黄道在秋分而加時夘其勢皆縱立於東西而與人相當故其交處原差而北者亦皆復而南四度餘而極是亦只差一度餘矣此東西泛差之理據夘酉而言也若移而至午則其横偃於夘酉者反斜縱於午上其縱立於夘酉者反横斜於午上所見差度自以漸而平如常數故東西差近夘酉多近午則少也假使人能正當赤道之下則兩極平見相望子午赤道平分界平夘酉則凡正交只在交終中交只在交中其氣刻之差減正交加中交者則差而北其加正交減中交者則差而南當亦各四度有竒也今中國地勢則正在赤道之北故所見赤道皆斜倚於人之南其所見正交中交度常數亦皆因其赤道之斜倚者而斷惟其黄道交在四五之宿加時在巽坤之維則黄道之勢正自斜倚適如赤道之理而南北東西之差皆少與常數相依若黄道横則其勢視赤道加偃故正交中交之度益差而北若黄道縱則其勢視赤道反直㡬有類於南戴日下之赤道故正交中交之度雖曰復差而南其實乃復於無差也凡縮初盈末而加時午盈厯而加時中後縮厯而加時中前皆黄道縱之類也其縮初盈末當午雖横在天心然東西視之則亦縱也凡盈初縮末而加時午盈厯而加時中前縮厯而加時中後皆黄道横之類也其冬夏至黄道當日出入其二分黄道當子皆黄道斜倚之類也推日食在正交中交定限度視所推日食在正交中交限度如食在正交者置正交度三百五十七度六十四分在中交者置中交度一百八十八度○五分俱以所推南北東西定差是加者加之減者減之即為所推正交中交定限度分也按正交本在交終三百六十三度七十九分今曰三百五十七度六十四分者於陰厯本數内損六度餘為陽厯也中交本在交中一百八十一度八十九分今曰一百八十八度○五分者於陽厯本數外増六度餘侵入陰厯也葢黄道之於月道如大圓輪包小圓輪月在日内人又在月内而稍北日月交其南人自北斜而望之其月日相去中間獨得而見故其交處皆差而北也惟其交處差而近北故其交而南也早六度其交而北也遲六度此據中國地勢言在授時立法當只是據大都北極高度斷之也若迤而漸南至於戴日之下所差當以漸而復其本度若迤而漸北以至於戴極之下所差當不知更有㡬許也又按此正交中交度増損六度者只是地勢使然巳為常數其因時而差者又有南北東西二差於是復以加之減之而後乃今所推正交中交之度可得而定而後乃今交前交後陰陽厯可得而定矣推日食入陰陽厯去交前交後度法視所推交定度若在正交定限度已下者就於定限度内減去交定度餘為陰厯交前度也若在正交定限度已上者於交定度内減去正交定限度餘為陽厯交後度也又視其交定度若在中交定限度已下者就於定限度内減去交定度餘為陽厯交前度也若在中交定限度已上者於交定度内減去中交定限度餘為陰厯交後度也按若交定度在七度已下者數雖在正交定限度下而實則為陽厯交後度也法當置交定度加入交終度復減去正交定限度餘為陽厯交後度也(勿菴補)按凡交定度在正交後中交前者陽厯也其在正交前中交後者陰厯也若以東西南北差定之而正交度有加中交度有減者是陽厯變為陰厯也其正交度有減中交度有加者是陰厯變為陽厯也正交陽變陰中交陰變陽是交後變為交前也正交陰變陽中交陽變陰是交前變為中後也故必以所推正交中交定限度為則與交定度相較而得合朔日躔距交前後的數也凡以交定度去減正交中交定限度者為交前是逆從交處數來也其於交定度内減去正交中交定限度者為交後是順從交處數去也又按交定度在七度已下食在正交也若以減正交定限度其所餘者當在三百五十度内外為陰厯交前度也勿菴曰非也若然則凡正交七度已下者永不入食限不必布筭矣況所謂陰陽厯者自正交中交而斷(正交後為陽中交後為陰)所謂交前後者皆附近正交中交前後而斷(正交後為陽厯交後正交前為陰厯交前中交後為陰厯交後中交前為陽厯)(交前)通交度分為陰陽厯陰陽厯又各分前後安得有陰厯交前度乃多至三百五十餘度者乎此必無之理亦必不可通之數然則何以通之曰有法焉凡交定度在七度已下是其數不特在正交度下并在中交度下也然而又與中交數逺并亦不得減中交為交前也夫在中交數下是陽厯非陰厯也不在交前是交後也夫陽厯交後度法當置交定度内減去正交定限度而此交定度數少不及減故必加入交終度而後可以減之也加入交終度減之則陽厯交後之度復其本位也則凡距交七度已下者皆得入陽食之限也然則厯經何以不云通軌何以闕載也曰是偶爾之遺也或姑畧之以俟人之變通也或傳之久而失其真所謂史有闕文也夫夏五傳疑三豕徴信各行其是而已為其恐誤後學也故訂之然而古人不作吾亦安所取正乎可為長歎推日食分秒法視日食入陰陽厯交前交後度是陰者置陰食限八度是陽者置陽食限六度皆減去陰厯或陽厯交前交後度餘(度定四十定三)為實各以其定法是陰者置八十分陽者置六十分去為法約之(不滿法去一子所定有二子為單分一子為十秒)即得所推日食分秒也如陰陽食限不及減交前交後度者皆為不食也按陰食限八度者陰厯距交八度内有食也陽食限六度者陽厯距交六度内有食也凡合朔若正當交度其食十分漸離其處食亦漸少假如陽厯距交一度二十分則於食十分内減二分只食八分也又如陰厯距交二度四十分則於食十分内減三分只食七分也故合置陰陽食限以距交前後度減之即是於食十分内減去若干分秒也其減不盡者則正是今所推合食之數故各以定法除之而得也凡陰陽定法皆十分其食限之一也如食限不及減為不食者是距交前後之度多於陰陽食限其去交甚逺不能相掩斷為不食也推日食定用分法置日食分二十分内減去推得日食分秒餘(十分定三單分定二)為實即以日食分秒(單分定二)為法乗之(言十定一所定有六子為百分五子)(為十分)即為所推開方積也立天元一於單微之下依平方法開之得為開方數(有十定一)復以五千七百四十分(定五)為法乗開方數(言十定一)得數又以所推定限行度(去四子空度去)(三子)為法除之(不滿法去一子所定有二子為百分一子為十分)即為所推定用分也按定用分者日食虧初復末中距食甚所定用之時刻也凡日食若干分則其所經厯凡有若干刻食分深者厯時久以月所行之白道長也食分淺者厯時暫以月所行之白道短也今所求開方之數即自虧至甚或自甚至復月行白道之率也月食只十分今用二十分者何也日月各徑十分其半徑五分凡兩圓相切則兩半徑聨為一直線正得十分為兩心之距以此兩心之距為半徑從太陽心為心運規作大圓其外周各距日之邊五分為日月相切時太陰心所到之界其大圓全徑正得二十分也以日食分秒相減相乗何也此句股術中弦較求股法也依前所論初虧時兩圓相切其兩心之距十分此大圓之半徑常為勾股之弦食甚時兩心之距如勾而太陰心侵入大圓邊之數如勾弦較自虧至甚太陰心所行白道如股而太陰心侵入大圓邊之數與食分正同葢月邊掩日一分則月心亦移進一分也故即以日食分秒為勾弦較與大圓全徑二十分相減其餘即為勾弦和和較相乗為開方積即股實也其開方數即股亦即自虧至甚月心所行之白道矣其自食甚至復光理同五千七百四十分乗者何也先求日食分秒及勾股開方等率皆就日體分為十分其實日體不滿一度大約為十之七耳五千七百四十者七因八百二十也月行一限得八百二十分其十之七則五百七十四分矣故以五百七十四分乗開方數為實以定限行度除之為定用分之時刻也一率 定限行度(為本限月行遲疾之定率)二率 五百七十四分(為十分八百二十而用其七)三率 開方數(即自虧至甚或自甚至復月所行白道)四率 定用分(即自虧至甚甚至復月行所厯之時刻)初虧時兩心之距為弦即大圓二十分平徑 食甚時兩心之距為勾 食甚時月心侵入圓界三分為句弦較自虧至甚月心所行白道為股甚至復亦仝此以月在陽厯日食三分為例餘可倣推(五千宜定三子㑹定五子者因此所謂分)(乃度下二位分故加定二子也立大元一)(子单㣲之下者如一子於實之微下一位)(也所以然者前所推數皆止于秒秒以下)(所弃者尚多故此於開積加之以凑平方)(整齊也月食倣此)推初虧復圓分法置所推食甚定分内減去定用分為初虧分不及減加日周(一萬)減之復置食甚定分加入定用分為復圓分滿日周去之時刻依合朔法推之按食甚者食之甚食之中也日月正相當於一度也初虧者虧之初食之始也月始進而掩日也復圓者復於圎食之終也月已掩日而退畢也凡言分者皆時刻也葢初虧在食甚前㡬刻故減小餘復圓在食甚後㡬刻故加小餘初虧距食甚時刻正與食甚距復圓數等故皆以定用分加減之也月食倣此又按據加日周減滿日周去二語定用分當不止此數也推日食起復方位法視所推日食入陰陽厯如是陽厯者初起西南甚於正南復圓於東南也如是陰厯者初起西北甚於正北復圓於東北也若食在八分已上者無論陰陽厯皆初起正西復圎於正東也按日食起復方位主日體言之即人所見日之上下左右也以午位言則左為東右為西上為北下為南也日食入陰陽厯者主月道言之月在日道南為陽厯月在日道北為陰厯也如是陽厯食是月在日南掩而過故食起西南甚於正南復於東南也如是陰厯食是月在日北掩而過故食起西北甚於正北復於東北也其食在八分已上者是月與日相當一度正相掩而過故食起正西復於正東其食甚時正相掩覆而無南北不言可知也凡日月行天並自西而東日速月遲其有食也皆日先在東月自西追而及之既相及矣則又行而過於日出於日東故日食虧初皆在西復末皆在東也○又按厯經云此所定起復方位皆自午地言之其餘處則更當臨時消息也推帶食分法視朔下盈縮厯與太陽立成同日之日出入分如在初虧分已上食甚分(按食甚當作復圓)已下為帶食之分也若是食在晨刻者置日出分昏刻者置日入分皆與食甚分相減餘為帶食差也置帶食差(百定六十定五)以所推日食分秒(十定五單定四)為法乗之(言十定一)得數以所推定用分(百去六子)為法除之(不滿法去一子所定有五子為十分四子為單分三子為十秒)得數去減所推日食分秒餘上下四處皆為帶食也已見未見之分也按帶食分者日出入時所見食分進退之數也假如日出分在初虧分已上是初虧在日未出前但見食甚不見虧初也日入分在初虧分已上是食甚在日入後但見虧初不見食甚也又如日出分在復圎分已下是食甚在日未出前不見食甚但見復末也日入分在復圓分已下是復圓在日入後不見復末但見食甚也見食甚不見虧初是食在未出已有若干尚有見食若干帶之而出甚食為進也見初虧不見食甚是食在未入見有若干尚有不見食若干帶之而入其食亦為進也不見食甚但見復末是食在未出前已復若干尚有見復光若干帶之而出其食為退也不見復末但見食甚是食在未入前見復若干尚有未復光若干帶之而入其食亦為退也凡此日出入所帶進退分秒何以知之則視其帶食而出為晨刻者置日出分其帶食而入為昏刻者置日入分皆以食甚分與之相減而得帶食之差也假如日出分在初虧分以上其食甚分又在日出分已上則以日出分減其食甚分其減不盡者則是日出已後距食甚之時刻也若日入分在初虧分已上其食甚分又在日入分已上則以日入分減其食甚分其減不盡者則是日入已後距食甚之時刻也又如日出分在復圓分已下其食甚分又在日出分已下則於日出分内減去食甚分其減不盡者則是日出以前距食甚之時刻也若日入分在復圓分已下其食甚分又在日入分已下則於日入分内減去食甚分其減不盡者則是日入已前距食甚之時刻也凡此帶食差分用乗日食分秒又以定用分除之便知日出入時所距食甚時刻在定用分全數内占得㡬許即知日出入時所帶食分於日食分秒全數内占得㡬許也以得數減食分所餘分秒即是日出入前距虧初已過食分或日出入後距復末未見食分也上下兩處者得數與減餘兩處之數也見未見之分即已復未復已食未食如後二條所列也推日有𢃄食例置日出入分内減去食甚分謂之已復光未復光將所推帶食分録於前晨(日未出已復光若干日已出見復光若干) 昏(日未入見復光若干日已入未復光若干)置食甚分内減去日出入分謂之見食不見食將所推帶食分録於後晨(日未出已食若干日已出見食若干) 昏(日未入見食若干干日已入不見食若)按置日出入分内減去食甚分者其日出入分皆在復圓分已下也故謂之已復光未復光假如日食甚五分在日出入前其帶食三分以之相減尚餘二分若在晨刻是日未出前已復光三分日已出後見復光二分也若在昏刻是日未入前見復光三分日已入後未復光二分也此二端帶食分皆是已復光數故録於前也其以帶食分減之而餘者則是未復光數故録於𢃄食之後也置食甚分内減去日出入分者其日出入分皆在初虧分已上也故謂之見食不見食假如日食甚五分在日出入後其𢃄食三分以之相減尚餘二分若在晨刻是日未出前已食二分日已出後見食三分也若在昏刻是日未入前見食二分日已食後不見食三分也此二端帶食分皆是未食數故録於後也其以帶食分減之而餘者則是已食數故録於𢃄食之前也月食倣此但以日之昏為月之晨以日之晨為月之昏葢日出於晨入於昏月出於昏入於晨也其餘皆同推黄道定積度法置所推食甚入盈縮厯行定度如是盈厯者内加入天正黄道箕宿度共得為黄道定積度也如是縮厯者内加入半嵗周及天正箕宿黄道度共得為黄道定積度也按黄道定積度者逆計食甚日躔度距天正冬至日躔宿度積數也盈厯加入天正黄道箕度者是逆從天正冬至所躔宿初度積筭起也縮厯復加半嵗周者縮厯本數是以夏至度起筭今加入半嵗周又加入天正箕宿度是變而加盈厯亦以天正冬至箕宿初度起筭也所得定積度即是今所躔宿度與箕宿初度相距逺近之數也推食甚日躔黄道宿次度法置所推黄道定積度無論盈縮厯皆以黄道各宿次積度鈐挨及減之餘為食甚日躔黄道某宿次度分也按所推黄道定積度無問盈縮皆是今食甚躔度前距箕宿初度之積數也然尚未知其為黄道何宿度也故以黄道各宿積度鈐取其相挨及者減之其減去者是今積度内已滿其宿之度日躔已過此宿斷為前宿也其不及減而餘者則是前宿筭外所餘度分也是日躔正在此宿中未過故其積度亦未滿當即以所減筭外之度分斷為食甚日躔某宿㡬度㡬分也假如食甚定積十度則以箕宿積度九度五九減之餘○度四十一分為箕宿筭外餘數斷為食甚日躔黄道斗宿初度四十一分也餘倣此按黄道積度鈐皆自箕初度積至其宿垜積之數也假如日躔斗二十三度四七加入箕宿九度五九則已共積得三十三度○六也又如日躔牛六度九十分加入斗二十三度四七又加入箕九度五九共積得三十九度九六也餘倣此又按凡言鈐者皆豫將所筭之數并其已前之數朶積而成以便臨筭取用意同立成也雖然黄道不可以立鈐筭者當知黄道度之所由生則可以斷其是非矣葢黄道積度生於其宿黄道度各宿黄道度皆生於赤道赤道三百六十五度二五七五而其各宿度數不同者則以二至二分所躔不同也黄道近二至則其度視赤道損而少黄道近二分則其度視赤道益而多葢赤道平分天腹適當二極之中所紀之度故終古而不易黄道不然其冬至則近南極在赤道外二十三度九十分其夏至則近北極在赤道内亦二十三度九十分其自南而北自赤道外而入於其内也則交於春分之宿其自北而南自赤道内而出於其外也則交於秋分之宿交則斜所占分數多此處占多則二至之黄道所占數少理勢然也黄道之損益既係於分至分至既以嵗而差黄道積度是必毎嵗不同古人則既言之矣此所載者猶據授時厯經所測黄道之度乃至元辛巳一年之數也上考下求數十年間則皆有所不合況距今三百八十餘筭積差尤多安得海制此鈐以盡古今之無窮乎今仍以授時厯經黄赤道差法求得天啟辛酉年黄道積度如左依授時厯經求得天啟辛酉年黄道積度天正冬至赤道箕宿四度九○赤道四象積度右夏至後一象之度已上度鈐俱據辛酉嵗差所在歩定俟嵗差移一度時再改歩之又按厯經有増周天加嵗差法因前所推俱依通軌故仍之大統厯志卷七
## 卷八
欽定四庫全書大統厯志卷八宣城梅文鼎撰月食通軌録各有食之望下等數經望全分 盈縮厯全分 盈縮差全分遲疾厯全分 遲疾限數 遲疾差全分加減差全分 定望全分(某甲子將本日日出分推在夘時何刻望在何刻已)(下者退一日也○按説見定朔望條夘時者舉例言其實即以日出分如發歛條求之便得某時刻又按其定)(望退一日法只據其小餘在日出分已下者斷之并不必求時刻也)交汎全分 定入遲疾厯 定入遲疾限(此限與前)(同者便不必書出損益分并行度○按其實此處損益分不言何用似總不必書出)定限行度 晨分(月出之時刻也先於復圓者有帶食)日出分 日入分 昏分(月出之時刻也復於初虧)(有帯食○按載晨昏分者所以定更㸃也其帶食分只用日出入分不用晨昏葢晨刻日未出月則猶見昏前)(日已入月則已見也○註誤)天正赤道度 天正黄道度 交定度(以上諸法皆與日食同)推邜酉前後分法視定望小餘如在二千五百分已下者就為邜前分也如在已上者去減半日周五千分餘為邜後分也又如在七千五百分已下者内減去五千分就為酉前分也如在已上者去減一萬分餘為酉後分也(已上已下皆指定望小餘)(而言)按凡邜酉前後分皆據子午言之邜前分是距子正後之分也故即以小餘在夘前者定之邜後分是距午正前之分也故以小餘減半日周其餘則是自午正逆數以前距數也酉前分是距午正後之分也故以半日周減小餘其減不盡者則是自午正順數以後距數也酉後分是距子正前之分也故以小餘減日周其餘則是自子正逆數以前距數也推時差分法置日周一萬内減去邜前邜後分或酉前後分(滿千分者命為)(十分滿百分者命為單分)得為時差分也推食甚定分法置所推時差分加入定望小餘共得為食甚定分也按氣刻時三差皆起於唐長慶中宣明厯於日食用之月食則皆不用後之諸厯或有用月食時差者其數大約與日食相倣皆於近邜酉則差稍多近子午則差漸少其以之定食甚分則皆子前減子後加以加減其定望小餘而得也所異者朔食時差多望食時差少耳今依通軌所載推之則近邜酉者差反少近子午者差反多又不問子前子後皆以加定望小餘而無減法種種皆與厯經相反則何如不用之為得乎且日食何以有時差以月之掩日去日尚逺也日光尚在但不見耳據所不見而言之故以時而差若月食則不然闇虚者日氣所冲食則與月相著譬如呵氣著鏡光體盡虧一如晦朔安得有左右視之差乎此唐宋諸厯所以多不用也即曰用之所差不過九十餘分然亦不至反其所用如此也竊依元史所載月食時差法定之如左依厯經求月食甚定分法置卯酉前後分(有千法實皆定三有百法實皆定二)自相乗(言十加定一子)退二位去二子如四百七十八而一(去二子不滿法又去一子以所定二子為百分)(一子為十分)為時差子前以減子後以加皆加減定望分為食甚定分依發歛求之即食甚辰刻按卯酉前後分即前所推卯前卯後分或酉前酉後分自相乗者如求南北差法即以所得卯酉前後分為法與實也凡卯酉前後分皆自子午起筭以自相乗則近卯酉差多近子午差少矣退二位法同日食時差以得數後有百萬退作萬有十萬退作千而後歸除之也如四百七十八而一者是以四百七十八歸除之如四百七十八分為一分也子前減子後加者凡望時之月在日所衝故日在子前月乃在午前其日食午前減故月食亦子前減也日在子後月乃在午後日食午後加故月食亦子後加也其差多者不過一百三十分有竒而止故以四百七十八為法歸除之也推食甚入盈縮厯及食甚入盈縮差併食甚入盈縮厯行定度三法俱與日食同只換望日推月食入陰陽厯法視所推交定度如在交中度一百八十一度八九六七已下者便為入陽厯也如在已上者内減去交中度餘為入陰厯也按交中度數原生於陰陽厯月入陽厯則在黄道南行一百八十一度有竒畢復入黄道北而行陰厯一百八十一度有竒畢則又復入陽厯矣行陽厯陰厯各一次謂之交終半之為交中今交定度在一百八十一度已下是月尚在黄道南就為入陽厯度數也其在已上者是月已在黄道北故於交定度内減去一百八十一度八九六七餘者命為入陰厯度數也陽厯數自交初起筭陰厯數自交中起筭也推交前交後度法視所推月食入陰陽厯如在後凖一十五度五十分已下者便為交後度也如在前凖一百六十六度三九六八已上者置交中度内減去陰陽厯為交前度也按凡言交者皆月出入黄道十字相交之際也凡陰厯在後凖已下者是距陽厯交陰厯後未逺尚在十五度内故為陰厯交後度也凡陰厯在前凖已上者是逆距陰厯交陽厯前已近只在十五度内故為陰厯交前度也陽厯同十五度五十分者月食限一十三度○五分或有十五度五十分而入食限者葢以盈縮差加減之則亦十三度有竒故以十五度五十分為食凖也其前凖度雖多逆計其所距後交之數亦同也推月食分秒法置月食限一十三度○五分内減去交前或交後度(十度)(定三單度定二○按定子法疑有誤若如所云則月食必無十分者安得有既内外之分乎愚意當是十度定)(五單度定四也)以定法八十七分(去一)為法除之(不滿法去一子所定有三子為)(十分二子為單分)得為月食分秒也不及減者必不食也十分已下者用三限辰刻法十分已下者用五限辰刻法按月食限度多於日食者闇虚大而月小也故不問陰陽厯只距交前後一十三度○五分内即能相掩而有食也凡定望正當交度其食十五分漸離其處食分漸殺假如距交前後一度七十四分則於食十五分内減二分只食八分又如距交前後九度五十七分則於食十五分内減一十一分只食四分也故置食限一十二度○五分以距交前後度減之即如於食十五分内減去若干分秒也其減不盡者則正是今所合食之分秒故以定法除之而得盖月食定法即十五分其食限之一也如食限不及減為不食者是距交前後度多於月食限是已在十三度○五分之外闇虚雖大至此亦不能相掩斷為不食也推月食定用分法置月食分三十分減去所推月食分秒餘(十分定三單分定二)為實却以月食分秒(十分定三單分定二○按十分宜定一今加定三子者以分下有十有秒)(也故亦以定六子為百分法實共知定四子也)為法乗之(言十定一定有六子為百分五子為十分)得為開方積立天元一於單微之下依平方法開之得為開方数(有十定一)復以四千九百二十分(定五○按以六分乗八百二十)(分得四千九百二十食分又按元史数同日)為法乗開方数(有十定一)得数又以其前推得定限行度(去四子空度去三子)為法除之(不滿法去一子定有二子)(為百分一子為十分)得為所推定用分也定用分者亦月食自初虧復距食甚之時刻也然日食只十分而月食則有十五分者闇虚大也闇虚之大幾何曰大一倍何以知之以筭月食用三十分知之也依日食條論両圓相切法闇虚半徑十分月半徑五分両邉相切則両半徑聨為一直線共十五分為両心之距以此距線用闇虚心為心運作大圓正得全徑三十分也此大圓邉距闇虚邉四周各五分為両圓相切時月心所到之界其両之距十五分即大圓半徑常用為弦而以食甚時両心之距為勾食甚時月心侵入大圓邉之數為勾弦較其數與月食分秒同以此與大圓全徑相減餘即勾弦和和較相乗為股實開方積也其開方數為股即自虧復至食甚月心所行之白道也四千九百二十乗者何也依日食條論又是十分八百二十而用其六也盖所得月體又小於日一分也然厯經所用與日食同此不同者盖改率也或亦改三應數時所定而作史時未入如盈縮立成等耳推三限辰刻等法置所推食甚定分内減去定用分餘為初虧分也不及減者加日周減之復置食甚定分内加入定用分共得為復圓分也滿日周去之時刻依合朔推之按三限辰刻同日食理不復贅初虧時兩心之距為弦即大圓三十分半徑食甚時月心侵入大圓界八分為勾弦較自虧至甚月心所行之度分為股甚至復亦同此以月食八分為例餘可倣推又此係陽厯故月在闇虚南若陰厯反此論之推既内分法置月食限一十五分(按厯經作月食既一十分今從之)内減去所推月食分秒自單以下全分餘(十分定二單分定三○句誤按此處無十分當是有分定)(二十秒定一也)為實却以月食分秒自單分以下分秒(單分定二十秒)(定一)為法乗之(言十定一所定有五子為十分四子為單分)得為開方積立天元一於單微之下依平方法開之得為開方數就置開方數(十分定五單分定四○按十分定五句誤此處開方數必無十分當作十秒定三有分定四也分加)(定四子者以有秒微也)復以四千九百二十分(定五)為法乗之(言十定一)得數又以所推定限行度(去四子空度去三子)為法除之(不滿法去一子)(所定有六子為百分五子為十分)得為所推既内分也按厯經原是以既内分與一十分相減相乗此則改為一十五分今以大圓掩小圓率求得既内小平圓徑一十分與厯經合故斷從厯經也月食十分則既矣此時月體十分全入闇虚而月之邊正切闇虚之心兩心之距正得五分以此五分為半徑自闇虚心作小平圓其全徑十分其邊各距闇虚心五分為食既時月心所到之界過此界則為既内矣假如月食十二分食既時月心正掩小圓之邊食甚時月體則入闇虚内二分而月心亦侵入小平圓二分故即用此二分為勾弦較以與小平圓全徑相減餘為勾弦和和較相乗得積開方得股即月心從食既至食甚在闇虚内所行小平圓之白道也於是亦如前法變為度分而計其行率則知月入闇虚以後行至食甚所厯時刻之數而命為既内之分也此既内分食甚至復圓同論乙為闇虚心初虧時月心在甲以其邊切闇虚於庚兩心之距為乙甲與壬乙等大圓半徑十五分也為大弦 食甚時月心行至丁丁甲度分為自虧至甚之行與甚至復丁戊之行等為大股丁乙三分食甚時兩心之距也為勾 壬丁十二分食甚時月心侵入大圓内之數也為勾弦較 食既時月心在丙丙心之距乙丙與生光之時己乙之距等小平圓半徑五分也為小弦 丙丁為月心自既至甚之行與自甚至生光己下之行等為小股 丁巳三分仍為勾 午丁二分為食甚時月心侵入小平圓之數為勾弦較 丙至丁所厯時刻與己丁時刻等是為既内分 甲至丙所厯時刻與已至戊等是為既外分 此以陰厯月食十二分為式餘皆倣論開方數壬丁十二丁癸十八相乗二一六平方開之得丁甲十四(六九)午丁二分丁艮八分相乗十六平方開之得丁丙四分推既外分法置所推定用分内減去既内分餘為既外分也按既外分者是月食初虧至食既生光至復圓所占時刻也原所推定用是自虧初復末中距食甚之數則是既内既外總數也故於其中減去既内所占時刻其餘便是既外時刻也推五限辰刻等法置食甚定分内減去定用分為初虧分初虧分加既外分為食既分食既分加既内分為食甚分食甚分加既内分為生光分生光分加既外分為復圓分也不及減者加日周減之滿日周去之推時刻同前按月食所以有五限辰刻異於日食者日食只十分故其食而既也即其食甚也纔食而既其光即生則其生光之分亦即其食甚也若月食則十五分自食既以至生光厯時且乆為刻皆殊中折二數以知食甚縂計虧復故有五限也以定用減小餘者所筭定用原是食甚距初虧之數也故以減食甚得初虧以既外加初虧及生光者所筭既外原是初虧距食既生光距復圓數也故以加初虧得食既以加生光得復圓至於所筭既内原是食既至生光折半之數即是食既生光中距食甚之數也故以加食既得食甚以加食甚得生光不及減加日周者是食甚在子正後初虧等在子正前也加滿日周去之者是食甚等在子正前復圓等在子正後也凡言時刻同前者皆用發歛也推月食入更㸃法視望下盈縮厯與太陽立成同日之日晨分就加一倍得數用五千分而一(句誤一按當作五而 下同)得為更法分也(定數)(滿法得十分不滿法得百分也)將更法又用五千分而一得為㸃法分也(定數滿法得百分不滿法得十分也○句誤甚按當作滿法者百已上不滿法者二百已上也大約更法)(有千者則不滿法)按更㸃倍晨分者凡日入後二刻半而昏日未出前二刻半而晨晨則辨色未昏則不禁行晨昏啓閉以此為節是益晝五刻損夜五刻聖人扶抑之道無所徃而不存也其晨分皆自本日子正距異之數夜之有晨分猶日之有半晝分也逆推子正前距昏之數正與相等故倍其晨分即為全夜之刻也于是以五除之即其夜每更所占時刻之數也假如晨分二千五百倍之五千五除之則知毎一更分占有一十分也滿法者是在五千分已上故知得數為千分不滿法者是在五千分已下故知得數為百分於是又置更法以五除之即其夜毎㸃所占刻數也假如更法分一千五除之則知毎㸃中占有二百分也其㸃法得數無論滿法不滿法縂是百分不必定數盖千已上數則不滿法豈有轉少作十分之理十分句誤又除法只是單五毎夜五更毎更五㸃五千分誤當作五而一或以五除之也推初虧等更㸃法視初虧分如在晨分已下者就加入晨分共為初虧更分也如在昏分已上者内減去昏分餘為初虧更分也却以元推更法分為法除之命起一更筭外得為初虧更數也將減餘不及滿更法數却以元推㸃法分為法除之命起一㸃筭外得為初虧㸃數也次四限更㸃倣此而推各得更㸃也(若在日入已上昏分已下者命為昏刻若在日出以下晨分以上者)(命為晨刻皆無更㸃)按初虧等分如在晨分已下者是在子後也加入晨分是逆從子前昏刻筭起也其在昏分已上是在昏後也故減去昏分即是減去晝刻截從初昏筭起也究之二者則搃是從初更初㸃起筭其加後減後則知此所得數距初更初㸃已若干數於是以本日更法為法除之其滿過更法有幾數便知已過幾更故筭外命為更數也其不滿更法而餘者則正是初入此更已來未滿之數故又以㸃法除之其滿過㸃法有幾數便知在此更中已過幾㸃故筭外命為㸃數便知所推初虧等尚在第幾更第幾㸃中未滿也其有搃不滿更法數者則只是初更其有以㸃法除縂不滿法者則只是初㸃也推月食起復方位法視月食入隂陽厯如是陽厯者初起東北食甚正北復圓於西北也如是隂厯者初起東南食甚正南復圓於西南也若食在八分已上者無論隂陽厯皆初起正東復圓於正南也按月食起復方位主月體言之即人所見月之上下左右也以卯位言之則東為下西為上北為左南為右也以酉位言之則東為上西為下南為左北為右也月食入隂陽厯亦主月道言之如是陽厯食是月在日道南闇虚掩之者在其北故食起東北甚於正北復於西北也如是隂厯食是月在日道北闇虚掩之者在其南故食起東南甚於正南復於西南也其食在八分已上者是月食闇虚正相掩而過故食起正東復於正西也凡闇虚在日所冲太陽毎日行一度闇虚隨之而移月之行天既視闇虚為速故其食也皆闇虚光在東月自西來道有必經無所於避遂入其中而為所掩既受謫矣則始能行而出於闇虚之東却視闇虚又在月西故月食虧初皆在東復末皆在西也又按厯經此亦據午地言之推月有𢃄食分法同日食推月有𢃄食例昏(月未出已復光若干月已出見復光若干) 晨(月未入見復光若干月已入未復光若干)昏(月未出已食若干月已出見食若干) 晨(月未入見食若干月已食不見食若干)按月帶食法同日食而只互易其晨昏書法者何也葢月食於望望者日月相望故日出則月入月出則日入故易日之昏為月之晨易日之晨為月之昏也其所以同者何也假如日入分在復圓分已下是復圓在日入月出後於日為見食甚不見復末者於月則見為復末不見食甚也若日出分在復圓分已下是復圓在日出月入後於日為見復末不見食甚者於月則為見食甚不見復末也之二者總是以食甚分減其日出入分其所推帶食分則總是日月出入前距食甚之數其以減食分而餘者亦總是日月出入後未復光之數故總謂之已復光未復光而以所推帶食分録於前也又如日入分在初虧分已上是初虧在日入月出前於日為見虧初不見食甚者於月則為見食甚不見虧初也若日出分在初虧分已上是食甚在日出月入後於日為見食甚不見虧初者於月則為見虧初不見食甚也之二者總是以日出入分減其食甚分其所推帶食分則總是日月出入後距食甚之數其以減食分而餘者亦總是日月出入前已食之數故總謂之見食不見食而以所推帶食分録於後也餘詳日食○又按厯經月食既者以既内分減帶食差餘進一位如既外分而一以減既分即月帶食出入所見之分不及減者為帶食既出入葢凡所推帶食差是食甚所距日出入數今以既内分減之而餘者即是日出入後距食既前或日出入前距生光後其間所有時刻也進一位者即是以既分乗之也又以既外分除之則知其食既生光距日出入時於既外全數中分得㡬許時刻即知其於食既全數内分得㡬許食分也故以減月食既十分即為月帶食出入之分也不及減者是帶食差少於既内分其日出入分已在既内分内故為帶食既出入也推食甚月離黄道宿次度法置元推食甚入盈縮厯行定度全分如是盈厯者加半周天一百八十二度六二八七五及天正黄道箕宿度共得為黄道定積度也如是縮厯者正加天正黄道箕宿度内減去七十五秒餘為黄道定積度也無論盈縮厯皆以其黄道各宿次積度鈐挨及減之餘為食甚月離黄道某宿次度分也按月食黄道之積度者逆計月離度前距天正日躔宿度之數也元推食甚入盈縮厯行定度則是所求日躔距天正宿度數乃月食所冲也如日在北正月食於南正故盈厯加半周天便是食甚月離宿度又加天正箕宿度便知食甚月離距天正黄道箕宿初度若干也其縮厯行定度則是日躔距夏至宿度數故即用其數為月離葢月食日冲日躔夏至宿後第㡬度月食亦即在冬至宿後第㡬度故不必加半周天也内減去七十五秒者盈厯縮厯相距半嵗周不及半周天七十五秒其今嵗縮厯以後距來嵗盈厯亦止半嵗周若論其後距本嵗盈厯則反多一分五十秒即多於半周天七十五秒也減此益彼即各相距半周天平分天度而相望其冲也其止加天正箕宿度意同盈厯其不問盈縮皆減黄道積度鈐是筭外命宿度同日食不贅依授時厯經黄赤道法(勿菴補定)求四正後赤道積度置天正冬至所在宿赤道全度以天正赤道減之餘為距後度以赤道宿度累加之即得其宿距冬至後赤道積度加滿象限去之為四正宿距後度亦以赤道宿度累加之滿象限去之即各得其宿距春分夏至秋分後赤道積度按四正者四時正氣即二至二分也凡天正赤道度是前距其宿初度之數故以減其宿全度即各得後距其宿末度之數也於是以後宿赤道纍而加之即知各至後各宿距冬至度所積之度也滿象限去之者加滿象限是其宿當四正所在故減去象限即知四正所在後距其宿末度之數也於是又以赤道各宿度累而加之即各得四正後每象宿所距四正度之數也求赤道變黄道置各宿距四正後赤道積度用黄赤道立成視在至後者以第三格赤道積度相挨者減之餘(有十定三有分定二)為實以上第二格黄道率乗之(不用乗只加定四子)以下第四格黄道率為法除之(有度去四有十去三不滿法再去一視定有四子為度三子為十分)加入第一格黄道積度即為其宿距至後黄道積度其夏至後再加半周天即各得其宿距天正黄道積度也若在分後者以第一格赤道積度相同者減之只用小餘(有十定三)(有分定二)為實以下第四格黄道率為法(有度定四空度定三)乗之(言十)(定一)得數以上第二格赤道率除之(不用除只去四子視定有四子為度三子)(為十分)加入第三格黄道積度即得其宿距分後積度其春分後再加一象限其秋分後再加三象限即各得其宿距天正黄道積度也於是各置其宿距天正黄道積度以其前宿黄道積度減之即各得其宿黄道本度也秒就近約為分按至後不用乗者其立成黄道率只是一度乗過數不動故只加定四子也分後不用除者其立成赤道率亦是一度除過數亦不動故只虚去四子也夏至後加半周天春分後加一象限秋分後加三象限者此所求黄道積度皆距四正起筭故各以四正距天正黄道數加之即其宿前距天正之數也葢至後黄道雖減於赤道分後黄道雖加於赤道其實至四立之後則加之極而反減減之極而反加總計一象皆得九十一度有竒此天道所以如環平陂徃復間不容髪也減前宿積度為其宿本度者積度既是距天正數原包有前宿在内故減之即得本度也(秒就近約為分)(者凡秒五十已上收為分已下棄之就整數也其七十五秒寄虚度)求天正冬至黄道度置周天度三百六十五度二五七五内減去天正前一宿距天正黄道積度餘命為天正冬至宿黄道度分也若逕求者置象限以其年天正赤道度減之餘為天正前宿距秋分後赤道積度依赤道變黄道法求出其宿距分後黄道積度以減象限餘即命為天正黄道度按周天度是自天正後積至天正前黄道總數故減去前宿距天正黄道積度即得天正距所在宿初度之數也逕求法除象限者即是自天正前距秋分後赤道總數也内減去天正赤道度其餘即是前宿距秋分後赤道積度也赤道變黄道法即是以立成第一格積度減餘以第四格度率乗以第一格度率除加入第三格積度而命為前宿距秋分後黄道積度也又以減象限者此所為象限即是自天正前距秋分後黄道總數故減去前宿距秋分黄道積度其餘即是天正冬至距其宿初度黄道之數也求黄道宿積度定鈐置天正冬至宿黄道度及分如入其宿距至後黄道積度及分共得為天正冬至宿黄道定積度以各宿黄道度累加之即各得其宿黄道定積度按分至每嵗有差黄道即因而易即不能毎嵗歩之當於六十六年嵗差一度時更定度鈐始為無弊也凡冬至所在宿皆有前後距其黄道皆減於赤道今所推其宿至後積度是自冬至日躔後距其宿末度黄道數其天正黄道宿度則是自冬至日躔前距其宿初度黄道數也合二數則是自其宿初度距其宿末度總數故即命為天正宿定積度也於是以各宿黄道度累加之即各得其宿所距天正宿初度之數而命為定積度也求日月食甚宿次黄道度及分秒法同通軌又術置所推食甚盈縮厯縮厯加半周天為黄道定積度月食盈縮厯俱加半周天滿周天分去之為黄道定積度皆逕以距天正黄道積度相挨者減之即各得日月食甚黄道宿度及分秒按此法不用定積度鈐故亦不加天正黄道度然必毎年歩定黄道積度方可用之也赤道宿度角十二(一十) 亢九(二十) 氐十六(三十)房五(六十) 心六(五十) 尾十九(一十)箕十(四十)右東方七宿七十九度二十分斗二十五(二十) 牛七(二十) 女十一(三五)虚八(九十五太) 危十五(四十) 室十七(一十)壁八(六十)右北方七宿九十三度八十分太奎十六(六十) 婁十一(八十) 胃十五(六十)昴十一(三十) 畢十七(四十) 觜初(五)參十一(一十)右西方七宿八十三度八十五分井三十三(三十) 鬼二(二十) 栁十三(三十)星六(三十) 張十七(二十五) 翼十八(七十五)軫十七(三十)右南方七宿一百○八度四十分黄赤道立成積度 度率 積度 度率 積差 差率附郭守敬傳初劉秉忠以大明厯自遼金承用二百餘年浸以後天議欲脩正而卒十三年江左既平世祖思用其言遂以守敬與王恂率南北日官分掌測騐推歩於下而命張文謙與樞宻張易為之主領裁奏於上左承許衡參預其事守敬首言厯之本在於測騐而測騐之器莫先儀表今司天渾儀宋皇祐中汴京所造不與此處天度相符比量南北二極約差四度表石年深亦復欹側守敬乃盡考其失而移置之既又别圖高爽地以木為重棚創作簡儀高表用相比覆又以為天樞附極而動昔人嘗展管望之未得其的作候極儀極辰既位天體斯正作渾天象象雖形似莫適所用作玲瓏儀以表之矩方測天之正圜莫若以圜求圜作仰象古有經緯結而不動守敬易之作立運儀日有中道月有九行守敬一之作證理儀表高景虛罔象非真作景符月雖有明察景則難作闚几厯法之騐在於交㑹作日月食儀天有赤道輪以當之兩極低昂標以指之作星晷定時儀又作正方案九表懸正儀座正儀為四方行測者所用又作仰規覆矩圖異方渾葢圖日出入永短圖與上諸儀互相參考十六年改局為太史院以恂為太史令守敬為同知太史院事給印章立官府及奏進儀表式守敬當帝前指陳理數至於日晏帝不為倦守敬因奏唐一行開元間令南宫說天下測景書中見者凡十三處今疆宇比唐猶大若不逺方測騐日月交食分數時刻不同晝夜長短不同日月星辰去天髙下不同即日測騐人少可先南北立表取直測景帝可其奏遂設監候官一十四員分道而出東至高麗西極滇池南踰珠崖北盡鐵勒四海測騐凡二十七所十七年新厯告成守敬與諸臣同上奏曰臣等竊聞帝王之事莫重於厯自黄帝迎日推䇿帝堯以閏月定四時成嵗舜在璇璣玉衡以齊七政爰及三代厯無定法周秦之間閏餘乖次西漢造三統厯百二十年而後是非始定東漢造四分厯七十年而儀式方備又百二十一年劉洪造乾象厯始悟月行有遲疾及魏黄初間始以日食課其疎宻魏楊偉作景初厯始立交食起虧術又百八十年姜岌造三紀甲子元厯始悟以月食推騐日宿度所在又五十七年何承天造元嘉厯始悟以朔望及弦皆定大小餘及以晷景騐氣又六十五年祖冲之造大明厯始悟太陽有嵗差之數極星去不動處一度餘又五十二年張子信始悟日月交道有表裏五星有遲疾畱逆又三十三年張胄𤣥造大業厯始立五星入氣加減法及月應食不食術劉焯造皇極厯始悟日行有盈縮及立推黄道月道又三十五年傅仁均造戊寅元厯頗采舊議始用定朔又四十六年李淳風造麟徳厯以古厯章蔀元首分度不齊始為總法用進朔以避晦晨月見又六十三年一行造大衍厯始以朔有四大三小定九服交食軌漏之異及創立嵗星差合術又九十四年徐昂造宣明厯始悟日食有氣刻時三差人七十二年邉岡造崇𤣥厯始立相減相乗法以求黄道月道又六十三年王朴造欽天厯始變五星法遲留逆行舒亟有漸又九十八年周琮造明天厯始悟日法積年自然之數又三十六年姚舜輔造紀元厯始悟食甚泛餘差數以上計千一百八十二年厯經七十改其創法者十有三家自是又百七十四年聖朝専命臣等改修新厯臣等用創造簡儀高表憑其測實數所考正者凡七事一日冬至自丙子年立冬後依每日測到晷景逐日取對冬至前後日差同者為凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半又定丁丑夏至在庚子日夜半後七十刻又定戊寅冬至在癸邜日夜半後三十三刻巳邜冬至在戊申日夜半後五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻各減大明厯十八刻逺近相符前後應凖二曰嵗餘自大明厯以來凡測景騐氣得冬至時刻真數者有六用以相距各得其時合用嵗餘考騐四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年每嵗合得三百六十五日二十四刻二十五分其二十五分為今厯嵗餘合用之數三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道箕九度有竒仍憑每日測到太陽躔度或憑星測月或憑月測日或逕憑星度測日立術推筭起自丁丑正月至巳邜十二月凡三年共得一百三十四事皆躔於箕與月食相符四曰月離自丁丑以來至今憑每日測到逐時太陰行度推算變從黄道求入轉極遲疾并平行處前後凡若干轉計五十一事内除去不眞的外有三十事得大明厯入轉後天又因考騐交食加大明厯三十刻與天道合五曰入交自丁丑五月以來憑毎日測到月道去極度數比擬黄道去極度得月道交於黄道出入度仍依日食法度推求皆有食分得入交時刻與大明厯所差不多六曰二十八宿距度自漢太初厯以來距度不同互有損益大明厯則於度下餘分附以太半少皆私意牽就未嘗實測其數今新儀皆細刻周天度分毎度為三十六分以距線代管窺宿度餘分並依實測不以私意牽就七曰日出入晝夜刻大明厯日出入晝夜刻皆據汴京為凖其刻數與大都不同今更以本方北極出地高下黄道出入内外度立術推求毎日日出入晝夜刻得夏至極長日出寅正二刻日入戌初二刻晝六十二刻夜三十八刻冬至極短日出辰初二刻日入申正二刻晝三十八刻夜六十二刻永為定式所創法凡五事一曰太陽盈縮用四正定氣立為升降限依立招差求得毎日行分初末極差積度比古為宻二曰月行遲疾古厯皆用二十八限今以萬分日之八百二十分為一限凡析為三百三十六限依垜叠招差求得轉分進退其遲疾度數逐時不同葢前所未有三曰黄赤道差舊法以一百一度相減相乗今依筭術勾股弧矢方圓斜直所容求到度數積差差數與天道實脗合四曰黄赤道内外度據累年實測内外極度二十三度九十分以圓容方直矢截勾股為法求毎日去極與所測相符五曰白道交周舊法黄道變推白道以斜求斜今用立渾比量得月與赤道正交距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分擬以為法推逐月毎交二十八宿度分於理為盡十九年恂卒時厯雖頒然其推歩之法與夫立成之數尚皆未有定稿守敬於是比次篇類整齊分秒裁為推歩七卷立成二卷厯議擬稿三卷轉神選擇二卷上中下三厯注式十二卷二十三年繼為太史令遂上表奏進又有時候箋注二卷修改源流一卷其測騐書有像象法式二卷二至晷景考二十卷五星細行考五十卷古今交食考一卷新測二十八舍雜坐諸星入宿去極一卷新測無名諸星一卷月離考一卷並藏之官大統厯志卷八◆ 《勿菴歷算書記-清-》（KR3f0028）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
勿菴歴算書記 天文算法類二(推歩之屬)提要臣等謹案勿菴歴算書記一卷國朝梅文鼎撰文鼎有歴算全書已著録此乃合其已刻末刻之書各疏其論撰之意凡推步測騐之書六十二種算術之書二十六種雖亦目録解題之類而諸家之源流得失一一標其指要使本末釐然實數家之總滙也如古今歴法通考一條曰不讀耶律文正之庚午元歴不知授時之五星不讀統天歴不知授時之嵗實消長不考王朴之欽天歴不知斜正升降之理不考宣明歴不知氣刻時三差非一行之大衍歴不知嵗自為嵗天自為天非李淳風之麟徳歴不知用定朔非何承天祖沖之劉焯諸歴無以知嵗差非張子信無以知交道表裏日行盈縮非姜岌不知以月蝕檢日躔非劉洪之乾象歴不知月行遲疾然非洛下閎謝姓等肇啓其端雖有善悟之人亦無自而生其智又謂西法約有九家一為唐九執歴二為元扎瑪里廸音萬年歴三為眀馬沙亦黒回回歴四為陳壤袁黄所述歴法新書五為唐順之周述學所撰歴宗通議歴宗中經皆舊西法也六曰利瑪竇天學初函湯若望崇禎歴書南懐仁儀象志康熈永年歴七曰穆尼閣天步真原薛鳳祚天學㑹通八曰王錫闡曉菴新法九曰揭暄寫天新語方中通揭方問荅皆新西法也非深讀其書亦不能知其故又周髀補註一條曰觀其所言里差之法是即西人之說所自出也回回歴補註一條曰回回歴即西法之舊率泰西本回歴而加精是皆於中西諸法融㑹貫通一一得其要領絶無争競門户之見故雖有論無法仍録之術數類中為測算之綱領焉乾隆四十六年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 勿菴歴算書記
欽定四庫全書勿菴歴算書記宣城梅文鼎撰一歴學駢枝二卷(已刻)順治辛丑(鼎)始從同里倪竹冠先生受交食通軌歸與(文鼐文鼏)兩弟習之稍稍發明其所以立法之故併為訂其訛誤補其遺缺得書二卷以質倪師頗為之首肻自此遂益有學歴之志(是書少叅三韓金鐡山先生刻於保定)一元史歴經補註二卷因讀交食通軌及臺官氣朔章竊疑其非全書也續得家誕生先生所藏二十一史讀之始知許文正(衡)郭若思(守敬)諸公測騐之精製器之巧歎授時歴法之善但歴經簡古作史者又缺載立成初學難通因稍為圖註以發其意一古今歴法通攷(有魏叔子費燕峯二序)授時歴集古法之大成自改正七事創法五端外大率多因古術故不讀耶律文正之庚午元歴不知授時之五星不讀統天歴不知授時之嵗實消長不考王朴之欽天歴不知斜升正降之理不考宣明歴不知氣刻時三差非一行之大衍歴無以知嵗自為歳天自為天非淳風之麟徳歴不能用定朔非何承天祖沖之劉焯諸歴無以知嵗差非張子信無以知交道表裏日行盈縮非姜岌不知以月蝕檢日躔非劉洪之乾象歴不知月行遲疾然非洛下閎謝姓等肇啓其端雖有善悟之人無自而生其智矣間嘗於古歴七十餘家詳為叅校竊睹古人之用心勤也或矜新得而蔑棄前聞夫亦未之攷矣往讀馬貴與文獻通攷於天文五行備矣顧獨無歴法故作此以補其缺無何従亡友黄俞邰太史(虞稷)借讀邢觀察(雲路)古今律厯攷驚其卷帙之多然細考之則於古法殊畧所疏授時法意亦多未得其旨則愚之一得似尚可存邢氏書但知有授時而姑援經史以張其說古歴之源流得失未能明也無論西術矣(鼎)此書蓋兼古術西術攷其同異而求端於天不敢以已見少為軒輊古歴之踵事増華屢變益宻人多知之而愚攷西歴亦非一種也故在唐則有九執歴為西法之權輿其後有婆羅門十一曜經及都聿利斯經皆九執之屬也在元則有扎瑪里廸音西域萬年歴在明則有馬沙亦黒馬哈麻之囘囘歴以算凌犯與大統同用者三百年修囘歴者則有陳星川(壤)増天地人三元而袁了凡(黄)本之為歴法新書唐荆川太史(順之)亦深明西域之法而加之以論説周雲淵處士(述學)因之為歴宗通議歴宗中經雷氏(宗)又有合璧連珠歴法以上數種皆㑹通囘歴以入授時而並在大西洋書未出之前乃西域之舊法也自利西泰(瑪竇)來賓著天學初函至崇禎朝上海相徐文定公同西士湯道未(若望)等譯崇禎歴書百餘卷本朝時憲歴用之則西術之一變故曰西洋新法也雖同曰西洋新法而湯氏所譯多本地谷與利氏之説亦多不同又有西士穆尼閣著天步真原與歴書規模又復大異青州薛儀甫(鳯祚)本之為天學㑹通又新法中之新法矣通歴書之理而自闢門庭則有吳江王寅旭(錫闡)其立議有精到之處可謂後來居上又廣昌揭子宣(暄)著寫天新語桐城方位伯(中通)相與質難著揭方問荅並多西書之所未發而監正南敦伯(懐仁)儀象志康熈永年歴與歴書亦微有出入總而計之約有九家前五家(九執一萬年二囘歴三陳袁四唐周五)皆西之舊法即囘囘歴也後四家(利湯南共一穆薛二寅旭三揭方四)皆西之新法即歐邏巴歴也析而言之利與湯湯與南亦各不同愚故曰西法原非一種亦以踵事益精非深讀其書亦不能知其故矣歴法新書亦載古歴不過寥寥數語歴宗通議僅録史志靡所闡發以絜邢書亦魯衛之政也蓋歴家有法無論理隐數中自非専家䍐能究悉惟歴書理數兼推頗稱發覆而枝柯繁衍約舉斯難集腋成裘不無參錯自外文人間有涉筆或美言可市而實測無徴崇議堪驚而運籌尠叶去數譚理聚訟徒紛舉一廢多抑揚失實又奚當矣(鼎)之為此既不敢附和偏辭亦不敢任情立異兼采旁蒐詳探淺說生平矢願欲使幽㣲之㫖較若列眉寥廓之觀近陳几案往往直言其立法之所以然庶以管蠡之見與天下學者共見共知而學與年遷前之所疑或為今之所信稿經數易㸃竄衡從擬分短帙以便省覽庶望髙識為之是正也(原分五十八卷今卷數未定)一春秋以來冬至攷一卷(魏茘彤刻)歴元並起冬至自春秋書南至而左氏傳有登觀臺書雲物之禮周禮言日至之景尺有五寸遂為歴家測景之權輿然候景甚難史書中所據測景之真者可數而知也授時列六歴以攷古今之冬至合於古者或戾於今合於今者又差於古其後天也或差至一二日惟統天歴有古大今小之算以合前代所用之率而授時因之顧歴議欲尊授時遂取魯獻公冬至以證統天之疎兹為各依本率步算則雖上推至魯獻未嘗違統天法也郭太史歳實消長不在創法五端之内意可知矣(按太史自有歴議擬稿不知作史者何以不收而用李謙之議)一寧國府志分野稿一卷(巳刻志中)分野之説本於周禮其來舊矣史書所載分野之法初非一説如論宿論宫既各不同而諸家歴法分宫又别且時日枝幹亦各占其國而北斗五車天市及女宿下十二國星及五星之熒惑列舍之鳥衡並占南國之類具載天官書乃占家但據一端為説宜其疎矣康熈癸丑奉同侍講施愚山先生纂修郡乘諸友人咸以此項見屬因具録歴代宿度分宫之同異及各種分野之法皆以諸史為徴雖一郡之専書實馮相之公法也一宣城縣志分野稿一卷(已刻志中)大體同府志一歴志贅言一卷康熈戊午愚山侍講欲偕余入都不果行次年己未愚山奉 命纂修明史寄書相訊欲余為歴志屬稿而余方應泉臺金長真先生之召授經官署因作此寄之大意言明用大統實即授時宜於元史闕載之事詳之以補其未備又囘囘歴承用三百年法宜備書又鄭世子歴學已經進呈亦宜詳述他如袁黄之歴法新書唐順之周述學之㑹通囘歴以庚午元歴之例例之皆得附録其西洋歴方今現行然崇禎朝徐李諸公測騐改憲之功不可沒也亦宜備載縁起蓋歴志大綱畧盡於此一二年後擔簦入都承史局諸公以歴志見商始見湯潛菴先生所裁定吳志伊之稿大意多與(鼎)同然不知其曽見余所寄愚山贅言與否亦承潛菴公屢次寄訊相招而未及搴裳比入都則作古久矣為之慨然一江南通志分野擬稿一卷康熈甲子制府于公檄修通志(鼎)以事辭未往𤾂江太史陳黙公先生(焯)専函致書以江南分野稿見商介家叔瞿山(清)督促至再余方病瘧小愈力疾為之刪潤頗費經營無何黙翁亦辭志局矣聊存兹稿以俟方來著述者或取𠂻焉亦以志知巳之感云爾一明史歴志擬稿三卷(有先蠲齋序)明史歴志屬稿者簡討錢塘吳志伊(任臣)總裁者中丞湯潛菴先生(斌)也潛菴歾後史事總屬崑山志稿經嘉禾徐敬可(善)北平劉繼莊(獻廷)毘陵楊道聲(文)(言)諸君子各有増定最後以屬山隂黄梨洲先生(宗)(羲)歲巳巳(鼎)在都門崑山以志稿見屬謹摘訛舛五十餘處粘籖俟酌欲候黄處稿本到齊屬筆而崑山謝事矣無何梨洲季子主一(百家)従余問歴法乃知(鼎)前所摘商者即黄稿也於是主一方受局中諸位之請而以授時表缺商之於余余出所攜歴草通軌補之然寫本多誤皆手自步算凡篝燈不寢者兩月始知此事之不易也歴志擬稿雖為大統而作實以闡明授時之奥補元史之缺畧也其總目凡三曰法原曰立成曰推步而法原之目凡七曰句股測望曰弧矢割員曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏立成之目凡四曰太陽盈縮曰太隂遲疾曰晝夜刻曰五星盈縮推步之目凡六曰氣朔曰日躔曰月離曰中星曰交食曰五星一郭太史歴草補註二卷按元史本傳郭太史(守敬)著撰極富並藏於官厥後疇人子弟皆以元統之通軌入算逐末忘源郭書存亡不可得而問所僅存者歴草一書而已其書有算例有圖有立成歴經立法之根多在其中而深諳者希傳寫多誤因稍為訂正而於義之精微者特為拈出庶俾學者知其所以然而法非徒設矣授時測渾員之法從二至起算以至二分與西術起二分以至二至者不同要其剖析渾體於無句股中㝷出句股則無二理也於此而益知此理之同(鼎)註歴草或引八線三角以明之蓋謂此耳一庚午元歴攷一卷據史元太祖以己夘親征西域諸國次年庚辰夏五月駐蹕也石的石河有西域人與耶律文正王(楚材)爭月蝕而西説並詘故耶律作歴托始是年也又以太祖庚午始絶金次年伐之不五年天下畧定故推演上元庚午冬至朔旦七曜齊元為受命之符謂之西征庚午元歴西征者謂太祖庚辰也庚午元者上元起算之端也今歴志訛太祖庚辰為太宗則太宗無庚辰也(太宗在位共十有三年起己丑畢辛丑)又訛上元為庚子則於積年不合也(據演紀積年二千二十七萬五千二百七十算外得庚辰則起算必庚午)故特攷而正之元之歴法實始耶律故庚午元歴之法授時多本而用之崇禎歴書乃謂授時隂用囘囘非也一大統歴立成註二卷有布立成之法有攷立成之法不得其説則有以傳寫魯魚而施之步算者矣(鼎)故於歴家用數必慎思之思之不得不敢妄用也據史立成之算皆太史令王公(恂)卒後經郭公之手而後成書今監本只載王名蓋不敢以終事之勤沒人創始之美古人讓善之義令人起敬也一寫算步歴式一卷友人潘錫疇(天成)從余學歴而苦於布算故作此授之殊便初學一授時步交食式一卷季弟爾素有累年算稿録存之以存舊法一步五星式六卷初學歴時未有五星通軌無從入算因取元史歴經以三差法布為五星盈縮立成然後算之蓋與仲弟和仲(文鼐)共成之也和仲於此事甚勤能助予惜早卒其後十餘年乃得通軌校之頗合恨仲弟未之見至於立成謄清從弟懐叔(瑾)與有勞焉而亦久為古人矣一荅李祠部問歴一卷(魏茘彤刻)禮部郎中李古愚先生(諱)焕斗豫章人也従余問皇極經世遂及歴法余有行笥中邢觀察律歴攷書凡三㐩先生皆手自抄畢稍有所疑必手書致問故往復甚多今存數稿其實不止於是也既而余去天津先生亦擢陜邉道缺以去每思其勤學好問之誠有經生家所不能逮者猶依依如昨日一囘囘歴補註三卷囘囘歴法刻於貝琳然其布立成以太隂年而取距算以太陽年巧藏根數雖其子孫隷籍臺官者亦不能言其故也唐荆川(順之)論囘歴之語載王宇泰(肯)(堂)筆麈中頗有發明殊勝歴宗通議或反謂荆川歴學得之雲淵者非定論也若天地人三元積年則陳星川(壤)之法非西域本色然回歴即西法之舊率泰西本回歴而加精焉耳故惟深知回歴而後知泰西之學有根源亦惟深知回歴而後知授時之未嘗隂用其法也一西域天文書補註二卷此書與囘回歴經緯度及其算法共四卷並洪武時翰林吳伯宗李翀受詔與囘囘大師馬沙亦赫馬哈麻同譯而天順時欽天監正貝琳所刻也余嘗於友人馬徳稱(儒驥)處見其全書蓋今㤗西天文實用又本此書而加新意也不知者或謂此即天文實用而反謂囘回之冒竊其書豈不陋哉書首小序曰此書亦有不騐之時不可以其不騐而遂廢此理其言類有道者非術數家所能及也一三十襍星攷一卷西域天文中有襍星三十之占然未譯中土星名余嘗以歳差度攷之得其二十餘後見錢塘友人袁惠子(士龍)及青州薛儀甫(鳯祚)氣化遷流並有斯攷不謀而同者十之七八余則以巨蟹第一星証之囘歴刻本似尤確也一四省表景立成一卷表景生於日軌之高下而日軌又因於里差獨四省者陜西河南北直江南也今回囘所在多禮拜之寺不知何以只有此四處景表之傳或當初只此四處耶然其中亦有傳訛之處庚申嵗余養痾白下西域友人馬徳稱(儒驥)以此致詢遂為訂定并附用法以補其缺一周髀算經補註一卷周髀即蓋天也自漢人伸渾天而絀蓋天書遂不傳今惟有周髀一經又言之不詳然觀其所言里差之法謂北極之下以半年為晝夜是即西人之説所自出也因稍稍註之俾天下疑西説者知其説之有所自來一荅劉文學問天象一卷(文集内刻)劉文學(介錫)滄洲老儒也頗留心象數辛未壬申與余同客天津承有所問並據歴法正理告之一分天度里(圖註各省直及䝉古各地南北東西之差)一卷自北齊張子信發明交道表裏爾後歴家類能言里差今以地員之理徴之其故益顯新法用北極髙度分地緯南北用月食早晩分地經東西故各省直及口外䝉古皆能得其距度蓋地有南北故晝夜有長短地有東西故加時有後先若算交食則兩差並用以為根數而後虧復時刻食分多寡可以預知矣時憲歴所載嵗歳頒行或習而不察有望洋之嘆兹為設一總圖明之但及於正朔所頒之處裂渾幂之經緯各二十餘度其形正平而地員之理亦在其中矣一七政細草補註三卷崇禎歴書之有細草以便入算亦猶授時歴之有通軌也蓋即七政䝉引而有詳畧爾然算者貪其簡便而全部歴書或庋髙閣矣兹以歴指大意櫽括而註之使用法之意瞭然亦使學者知其所以然益有所據而不致有臨時之誤云爾一歴學疑問三卷(進巳刻 呈)(鼎)嚮有古今歴法通攷因時時増改訖無定本巳巳入都獲侍誨於安溪先生先生曰歴法至 本朝大備矣經生家猶若望洋者無快論以發其意也宜畧倣元趙友欽革象新書體例作為簡要之書俾人人得其門户則従事者多此學庶將益顯(鼎)受命唯謹然自惟固陋雅不欲直襲諸家所已言又欲其望而輒解斟酌於淺深詳畧之間屢涉筆而未果至辛未夏移榻於中街寓邸始克為之先生既門庭若水絶諸酬應退 朝則亟問今日所成何論有脱稿者手為㸃定如是數月得稿三十餘篇授徒直沽又陸續成其半然尚有宜補之篇目及其圖表擬至山中續完自癸酉南旋以後屢奉手書相勉亡友寧波萬季野(斯)(同)亦復寄言諄復而鄙性特眈探索恒欲明其所疑襍撰盈笥率多未竟之緒心追筆步顧彼失此忽忽數年未有以應屬先生視學大名遂以原稿付之雕版云(䠋壬午夏安溪公以撫臣扈 行河 進呈此書欽䝉)(御筆親加評閲事 具安溪恭紀中)一交食䝉求訂補二卷(内巳刻日食一卷月食一卷亦刻)歴書有交食䝉求七政䝉引二目今刻本並皆逸去兹以諸家所用細草攷其同異參之歴指而為是書以便初學交食細草原只十六求厥後復増為十七求者蓋所以為東西異號之用也日食甚近黄平象限而或在限東則有減差而同於初虧異於復圓或在限西則有加差而同於復圓異於初虧歴指於此處語焉不詳故以十七求補之不知作者誰氏要不可謂其無見但法止復圓尚缺其半似為未定之稿今依法為之訂補始為完書授時歴東西南北差並有反減之用即東西異號之理但其法並以午正為限回囘歴及今西術則皆以黄道在地平上半周折半取中謂之九十度限又曰黄平象限而不用午正於理為親然仍有可議者交食當兼論月道月道在地平上亦有半周亦即有九十度限而不與黄平限同度太隂既由白道行(月道古謂之九道授時歴謂之白道)則其東西加減之視差必以白道之九十度限為中若但論黄道之九十度限而不言月道則諸差皆誤矣(新法有時不甚合蓋由於此)今立一簡法謂之定交角則十七求可以不用而其理尤確定交角者借黄道以求白道也黄道上兩圏交角以白黄之交角損益之即成白道交角而東西異號之用亦於此定故不必更用十七求(㨗法但視定交角加滿九十度以上)(成鈍角即東變為西西變為東乃置半周度以此鈍角減之而用其餘為所變異號之交角度)一交食䝉求附説二卷(巳刻一卷)歴法可騐者莫如交食(如晷景之進退月光之消長中星之應候五星之伏見凌)(犯隨地隨時皆可測騐然惟交食則萬目所共睹尤為易見)而最難者亦莫如交食(凡日躔月離之法黄道赤道嵗差里差諸法至算交食則無所不備)故言之亦最不易古歴皆有法無説惟歴書説之甚詳而義既淵微文復曼衍雖治歴疇人能通其説者或已尠矣今於䝉求各附淺顯之説使用法者稍知立法根源庶可以益致其精耳(以上二書並安溪公刻於保定)一交食作圖法誤訂一卷(已刻入前卷内)此有二端其一為分金環於食甚之悞凡算日食以兩心正相對一度分時謂之食甚假如日食十分則正相掩見星時是也若食有金環太隂黑影侵入太陽而四面露光則其時正為兩心相掩即食甚也今乃以金環與食甚分為二圖而各具時刻其悞非小矣(圖見楊監正不得已書)其一為圖日月食不由月心起算之誤凡月食以月入闇虛最深時為食甚假如月食九分則惟此刻見食九分與所算相符故謂之甚蓋前此則未及過此則已退皆不能滿九分也法當從月心作距線至闇虚心其距線與月道正如十字蓋必如是而後食甚度分正居虧復之間今所圖距線反従闇虚心打十字線至月心則食在交後者虧至甚必稍長甚至復必稍短食甚度分不居虧復之正中而所圖必後天食在交前反此論之所圖食甚又必先天矣且如此作圖則食甚分數不能如所算安得謂之食甚乎(此姑)(據所見頒刻月食圖言之其日食作圖亦當從月心打十字其理無二詳交食䝉求)一求赤道宿度法(原自為一卷今收入䝉求訂補巳刻)古法赤道定而黄道有嵗差故以赤求黄新法黄道有定緯惟經度移而赤道經緯時時改易故以黄求赤交食細草用儀象志八卷九卷表求之乃近年之法(儀象志成於康熈甲寅非䝉求本法)雖便初學固不如弧三角之為親切也因特著之以明算理一交食管見一卷(巳刻)中西兩家歴術求交食起虧等方位皆以東西南北為言(如日食八分以上者初虧正西復圓正東其食八分以下者陽歴則初虧西南食甚正南復圓)(東南隂歴則初虧西北食甚正北復圓東北若月食八分以上則虧正東而復正西八分以下者陽歴則)(虧於東北甚於正北而復於西北隂歴則虧於東南甚於正南而復於西南事事與日食相反)其法以日月體之中心為中而論其方位故其向北極處命之為北向南極處命之為南又即以向黄道東陞處命之為東向黄道西沒處命之為西此惟太陽太隂行至午規而又近天頂則東西南北各正其位矣自非然者則黄道度既有斜升正降之殊而自虧至復經歴時刻展轉遷移皆從弧度之勢而頃刻易向且北極出地有髙下則虧復方位又以日月距地之度而隨處所見必皆不同然則月體之東西南北與人所見之東西南北必不相應(人之東西南北是以人立處命為中央日)(月之東西南北是以圓體最中處為中央故往往不相合)而何以施諸測騐乎然而古今歴家未有議及者不可謂之非缺事也愚今别立新術不用東西南北之號惟據人所見日月圓體分為八向以正對天頂處命之曰上對地平處命之曰下上下聨為直線(即地平經度髙弧)中分之作十字横綫命之曰左曰右(依人之左右定之)此四正向也曰上左上右曰下左下右則四隅向也乃以法求得交食各限(虧甚復為三限月食既者則有五限)白道與髙弧所作之角而定其受蝕之所在則舉目可見並如所圖不可以絲毫假借(即不正當八向而少有偏側亦可預知)誠為簡易直㨗於測食之用不無小補嚮攷古歴惟隋劉焯皇極歴言交食方位頗詳嘗思作一簡法而頻年測交食方位不符所算屢欲為之不能得其領要今訂䝉求作圖之誤始定此法實千年未發之袐也又從來言交食只有食甚分數未及其邊惟王寅旭則以日月圓體分為三百六十度而論其食甚時所虧之邊凡幾何度今為推演其法頗為真確(寅旭言方位亦)(以東西南北然既知所虧邊度可以餘光兩角折半取中即為食甚時所當方位之衝於是依法再以上)(下左右命之即食甚之方位亦定矣○初虧是初缺光處復圓是光欲滿而尚有微缺畧如初虧並可以)(指定其處惟食甚方位難測故必以折半取中)一日差原理一卷歴有平時有用時平時者步算所得用時者測騐所徴太陽之有日差加減猶月離交食之有加減時也(月離表是改用時為平時交食表是改平時為用時故此之所減即彼之所加其用相反而積差之分秒)(並同)而日躔表所載之數獨異據表説謂有二根(一黄赤之)(斜直一髙卑之盈縮)其説尤含糊支蔓月離交食二章棄而不用彼蓋自知其非是矣(若日躔宜用日差表之法則交食等亦宜用之今所立加)(減時表秪以黄赤之斜直為根而不兼髙卑盈縮是不用日躔表説之法也)而日躔表仍誤不改若以此入算則節氣加時皆謬矣(據正理則節氣加時亦宜)(用加減時表)余嚮疑日差既有二根即宜列二表(蓋謂盈縮起髙衝在冬至後數)(日且每年有東移度分而黄赤斜直算起冬至故不宜合為一表)嘗持是説以語劉季荘深以為然作蒙求時欲以此補交食章之缺方著論以明之而孫(㲄成)竊竊然疑之(以為定朔時既有髙卑盈縮之)(加減矣兹復用於此豈非複乎)余因其説而覆思焉然後知交食章之非缺而不須二表也(至理人人可知而執成見者昧之童烏九嵗能與太𤣥於)(兹益信)一火緯本法圖説一卷(解地谷立法之根以正歴書之誤) (魏刻)熒惑一星最為難算至地谷而其法始宻圖表具在可攷而知也何嘗云火星天獨以太陽為心不與餘四星同法乎作歴書者突發此語遂令學者沿譌是執圖以觀圖而不以算理觀圖也不知歴算家有實指之圖有借象之圖地谷之圖火星所謂借象也非實指也錢塘友人袁惠子(士龍)受黄三和先生(𢎞憲)歴學以歴指為金科余故為作此以極論之而徴之切綫分角之法以著其理袁子虚懐見從已復質諸睢州友人孔林宗(興泰)亦以為然而手抄以去又旁証諸穆氏天步真原王氏曉菴歴法大旨亦多與余合一七政前均簡法一卷(訂火緯表説因及七政) (魏刻)西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或筆誤無從訂改矣故有表説以發明之然或表説所用之數有與表中互異者則是作表者一人作表説者又一人也余因查火星之表而為之推演然後知立表之法甚簡洵乎此心此理不以東海西海而殊一上三星軌跡成繞日圓象一卷(魏刻)五星本天並以地為心與日月同至若嵗輪(即古法遲留逆)(㐲之段目)則惟金水二星繞太陽左右而行其嵗輪直以日為心土木火三星則不然並以本天上平行度為嵗輪心(金水以太陽為嵗輪心亦以二星之平行與太陽同度也)然其軌跡所到並於太陽有一定之距故又成繞日左行之圓象西人所立新圖不用九重天而五星並以太陽為心蓋以此也然金水嵗輪繞日其度右移上三星(土木火)軌跡其度左轉若嵗輪則仍右移耳一黄赤距緯圖辯一卷凡圖黄道緯度於赤道左右取二至所到度分聯為横綫而作小圏以擬黄道乃於小圈上匀分節氣各作直綫過赤道子午大圈即各節氣之黄緯可得此法甚確今天問畧省去子午大圈惟取赤道左右四十七度(左右各二十三度半)儘其兩端為邊以作黄道小圈未為不可但此四十七緯度仍宜作大圈上弧度斯為得法今乃徑作直綫故其距緯皆不真而列表從之悞故具論之一太隂表影辯一卷月能掩日日逺月近其理明白而易見不在表影西人之測則謂太陽太隂各髙五十度時太陽表景必短而太隂表影必長以是為月近於日之徴夫表影既有長短矣又何以明其同髙五十度乎必不然矣初讀天問畧竊疑其非㝷見西書稍多其説並同故謹為之辯按立表取影所得者皆光體上邊之影故古人用景符取竅達日光僅如黍米宛然見横梁於其中是為中影今太隂之景既長於太陽而猶能知其為五十度之髙勢必用他測器施闚筩而得之也然則闚筩所得者中景中景者實度也直表者邊景非實度也太陽光盛故其光溢於邊之外而影瘦太隂光微故其光斂於邊之内而影肥此亦易見易知之理奈何以此言日月逺近乎一渾蓋通憲圖説訂補一卷渾蓋之器以蓋天之法代渾天之用其製見於元史扎瑪里廸音所用儀器中竊疑為周髀遺術流入西方者也法最竒理最確而於用最便行測之第一器也然本書中黄道分星之法尚缺其半故此器甚少蓋無從得其制度也兹為完其所缺正其所誤可以依法成造用之不疑矣一西國月日攷一卷歴書中七政算例多有言西某月某日者既非建寅建丑建子之法又非以節氣為序如回回歴之用太陽年其紀日數既非以朔為初一然又非如囘囘之以見月為朔且其襍見於諸卷者又各自不同嘗疑其各國自為正朔立法相懸也既而彚集詳攷然後知其所用並以太陽㑹恒星為主即恒星嵗也恒星東行有嵗差度分則太陽㑹之以成月者亦漸不同故諸卷中所載互異而以年代徴之亦可見也今西教中齋日所謂正月一日者在今冬至後第四度間亦是此法至其一年十二月有一定大小(大者三十一日小者)(二十八日閏年則増一日)並以太陽行黄道三十度而成一月大致並同囘歴矣(嘗於武林遇殷鐸徳言彼國月目又與齋日互異豈彼中原有各國之正)(朔不同而歴書所舉是其一法歟存之再攷)一七十二候太陽緯度一卷緯度以測日髙因知北極髙為用甚博古用二至二分今則逐日可測兹約之於七十二亦承友人之命而為之者一陸海鍼經一卷(又謂之里差㨗法)地既渾圓則所云二百五十里一度者緯度則然若經度離赤道逺則里數漸狹然惟其路正東西行與距等圈合自有一定算法路或斜行則其法不可用愚為立法若兩地各有北極髙度又有相距之經度而無相距里數是為有兩邊一角而求餘一邊即可以知斜距之里若先有斜距之里數而求經度是為三邊求角亦可以知相距之經度其法並用斜弧三角形立算可與月食求經度之法相參而且簡易的確(月食不常有又須多人於各地同測視此為難)又按距赤道逺而里數漸狹者乃距等圈之算距等圈不惟漸狹而其勢微曲以兩極為心離赤道逺其曲益深去極益近則成繞極之圓圈矣故惟兩地之北極同髙始能與漸狹之數相符若正東西行則為球上大圈不與距等同勢故不論赤道逺近並以二百五十里為度但係斜度非對兩極之經度耳○推此而知斜弧所算亦每度二百五十里(距等圈既不與正東西行)(之大圈相應則里數難定故月食只可以求經度不可以定里數亦從來未發)亦不論赤道逺近但須取直如鳥道海程乃相應耳一帝星句陳經緯攷異一卷余所見歴書刋本多有互異之處恒星經緯改處尤多二星亦然不知其既刻復改是何時更定今以弧三角推之有與所改合者有與先刻合而所改反離者故為之攷一星晷真度一卷定夜時之法多端而測星以知太陽其最確也測星定時法亦多端而用句陳大星及帝座其最簡也然恒星既隨黄道東移以生歳差則二星亦不能定於一度而何以定時故作星晷者必知現在二星之真度分而後其用不忒前條攷二星經緯亦以此也(二星)(與北極不動處正作弧三角形法於二星正南北時求其子午規上是何宫度即星晷真度也用極星亦)(可作星晷然極星離北極亦三度竒而句陳明顯尤為便用)一測器攷二卷在璿璣玉衡以齊七政乃治歴之根本自唐虞以來未有不精測騐而能定歴者也歴法以踵事増華而益善測天之器亦然羲和舊器沒於秦焰洛下閎鮮于妄人等始創為之謂之渾天儀但有赤道無黄道至東漢永元中始有黄道銅儀厥後李淳風梁令瓚之徒代有製作至唐一行元郭守敬使有行測之器而郭公簡儀秪用赤道一環以二綫代管闚諸星距度始有分秒可言最簡且確其所製仰儀立運諸器或用渾圓之半或只平圓一規以視古器之重環掩映殊為簡妙矣至今西法以象限儀測髙度秪用平圓四之一以紀限儀測兩星之距又只平圓六之一其器益簡其測益精行測之器有渾蓋簡平諸製隨地隨時皆可施用渾天渾地之理遂如列眉然則測器至今日誠大備矣故謹為之攷一自鳴鐘説一卷測時之法晝占日景夜候星度其理已盡然無以處隂雨之際古所以有壺漏之製也西法入乃有自鳴之器蓋亦行測所需乃至窮工極巧收其機牙於徑寸之中聊供翫好無裨實用若其稍大者按候支更以節晨昏則為用亦大矣一壺漏攷一卷自周官有挈壺氏歴代用之史每言晝漏若干下是也五宣譙樓有宋製銅壺滴漏明天啓間尚存而逺公在廬山有蓮華漏宛陵集有田家水漏詩然則隐者之居東作之務蓋亦有資之為用者故為之博攷以存古義(宋景濓先生有五輪沙漏銘今西人四刻沙與之同理故各附一則)一日晷備攷三卷吾郡日晷依赤道斜安實為唐製則日晷非始西人也西製有平晷立晷碗晷十字晷諸式廣之不啻百十餘種余所見自歴書渾天儀説比例規解外别有日晷耑書三種互為完缺而其中作法亦有似是而非之處則以所學有淺深抑倣而為者以臆叅和厥理遂晦天下事往往而然而歴學為甚日晷其一端耳一赤道提晷説一卷赤道提晷亦日晷之一其製甚巧友人有其器不知所用為補其説備攷中所無也故别為卷一思問編一卷(鼎)生平於難讀之書不敢置也每手疏而攜諸篋衍以待明者問之則於歴算尤多今雖稍有所窺如遊名勝其入既深益多欲探之竒所願有志者起而共圖之也一勿菴揆日器一卷取里差以定髙度黍珠進退準乎節序用二至為端器溢於寸袤止於分而黄赤之理備焉乙夘年偶為斯製續得日晷諸書亦未有相同者也一諸方節氣加時日軌髙度表一卷歴書目有諸方晝夜晨昏論及其分表今軼不傳交食髙弧表非節氣度(節氣黄緯有竒零而髙弧表用整度故也)今依弧三角法算定為揆日之用(自北極二十度至四十二度)並余孫(㲄成)所步也一揆日淺説一卷日晷之書詳於法法之理多未及也倣作多差不亦宜乎故擇其尤難解者疏之所説多渾天大意故别為卷一測景㨗法一卷精於測景之法可以知南北之里差既知里差則隨地隨時可以預定其景之分寸約而言之惟切線一法而已切線者句股相求也表如半徑直表之景如餘切(為以股求句)横表之景如正切(為以句求股)並以極髙度取之(鼎)向在燕山有以此法問者作此應之書成倉猝殊覺簡明也一璇璣尺解一卷渾蓋通憲為行測占天之巧製然作之不易嵗己未與山隂友人何奕美言測算之理為作渾蓋地盤而苦乏銅工爰作此尺以代天盤尺有二皆同樞樞即北極尺以堅楮為之銅亦可其一具周嵗節氣所以測日也其一載大星十數所以測星也並以赤道緯度定之晝測日景得其髙度即可查節氣以知時刻夜測星得其髙度亦可查星距太陽經度以知時刻善用者即此已足蓋渾蓋天盤之法畧具其中矣一測星定時簡法一卷有日之時有星之時法用星之緯度於簡平儀上查其星距子午規若干時刻再查此星距太陽若干時刻以相加減即得真時此法不拘何星可用故曰簡法一勿菴側望儀式一卷簡平儀耑論日景故以二至為限(鼎)此製於二至外仍具緯度北至極南至地平如置身六合之外以望天體故曰側望一勿菴仰觀儀式一卷圖星垣者以北極居中見界為邊或分兩極居中赤道為邊此即經緯無差必所居之地以極為天頂則所見然耳其各地天頂之星與地平環上之星不可以擬諸形容也(鼎)此式各依本方極髙之度以規地平而安天頂於中央依距緯以安北極再從北極出弧綫以定赤道又自北極依法作多圈以擬赤緯則某星在天頂某星在某方髙若干度某星在地平環二十四向可以周知又依分至節氣各為一圖則天盤經緯與地盤經緯相加之處可指而數毫無疑似雖從未知星者可以按圖而得矣一勿菴渾蓋新式一卷渾蓋舊製以赤道外二十三度半為限止於晝短規今於短規外再展八度則太白所居南緯可以查其所加占測之用於是而全一勿菴月道儀式一卷月道出入於黄道猶黄道之出入於赤道也自古及今未有為之儀器者(惟大衍歴以篾作月道依二百四十九交鑽孔於渾儀黄道每)(交移動以擬之然其法不傳蓋難用也)今依渾蓋北宻南疎之度以黄極為樞而月道半在其内半在其外則月緯大小之理及正交中交交前交後之法可以衆著(儀以銅為之畧如渾)(蓋其上盤為月道亦如渾蓋天盤之黄道圈其下盤黄道經緯分宫分度並以黄極為心而儘邊以黄緯)(九十五度少半為限出黄道南五度少半月道所到也)一天步真原訂註西士穆尼閣作天步真原與歴書有同有異其似異而實同者布算之圖對數之表與歴書迥别然得數無二則雖異而實同也若夫黄道春分二差則根數大異此謂誠異然非測候之真亦無以斷其是非原書剞劂多訛殆不可讀故稍為訂註以待後賢論定一天學㑹通訂註青州薛儀甫(鳯祚)本天步真原而作㑹通以西法六十分通為百分従授時之法實為便用然仍以對數立算愚則以不如直用乘除為正法也以上二書嚮從金陵老友劉文學于弢(昭)借鈔續遇穎州劉行人子端(淑因)慨然欲校刻青州遺書約(鼎)為之是正以事不果近承東藩梁先生(世勲)恵寄薛氏全書則氣化遷流諸卷俱已續刋矣(穎州師弟之誼甚篤)(若見刋本必喜余所訂註之處惜未獲與之相質也)穆先生久居白門吾友六合湯聖𢎞(濩)與之善言其喜與人言歴而不强人入教君子人也儀甫初從魏玉山(文魁)主張舊法後復折節穆公受新西法盡傳其術亦未嘗入耶蘇㑹中當其刻書南都(鼎)方株守窮山不相聞知歳乙夘晤馬徳稱諸君始知之則其歸已久至庚申汪發若先生(燦)作宰淄川托致一書而薛先生方病革遂未奉其回示甚矣僻處之難為學而深自悔其因循也一王寅旭書補註吳江王寅旭先生(錫闡)深明歴術著撰極富初太史潘稼堂先生為(鼎)稱述之巳巳入都始從嘉禾徐敬可(善)抄得其圜解一册為之訂其缺誤已復因阮于岳副憲寄訊稼堂抄到測食諸稿又因張簡菴(雍敬)寄到歴法書二卷又於簡菴處見其所定大統法及三辰儀晷竊亦稍有附論然寅旭之書不止於是也(鼎)嘗評近代歴學以吳江為最識解在青州以上惜乎不能蚤知其人與之極論此事稼堂屢相期訂欲盡致王書屬余為之圖註以發其義類而成虛約生平之憾事也一平定三差詳説一卷授時歴於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積招差立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶載攷歴草並以盈縮日數離為六段各以段日除其段之積度得數乃相減為一差一差又相減為二差則其數齊同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也於是以平差立差減之則為每日之定差矣若其布立成法則直以立差六因之以為每日平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未有能言其故者余因李世徳孝亷之疑而試為思之其中原委亦自歴然爰命孫(㲄成)衍為垜積之圖得書一卷(李世兄敏而好學事事必求其根本所謂胸中無膏)(肓之疾者也乃一病遽赴玉樓豈天不欲此學之明耶為之泫然)一寫天新語鈔存一卷廣昌揭子宣(暄)深明西術而又别有悟入謂七政之小輪皆出自然亦如盤水之運旋而周遭以行急而生漩渦遂成留逆實為古今之所未發嵗己巳始得奉寄一函承其不棄以寫天新語草稿見寄因摘録存之(因見邸抄有章君順節尉廣昌以為穎叔也因屬周星士致書焉次年得報函則余在京師矣)(然其為尉者亦山隂章氏而非穎叔乃此君仍能遣役逺㝷揭先生覔致此書有古人之義焉至今銜徳)(未有以報也○爾後揭先生翩然遊𤾂住半年而返余方羈燕不相値也於是先生年踰八十有子有孫)(不以自隨而隻身攜襆被行數千里不以為逺真竒士也)一古歴列星距度攷一卷西法言普天星宿並依黄道東行愚嘗以唐書證之㫁其可從獨恨古無信圖而史志載距度亦只及於列宿距星而止無可廣徴數十年前收得書肆中殘壊刻本有普天星宿入宿去極度分而中缺二宿康熈己夘偶至閩中借抄林侗人(侗)寫本始補完之然不審其誰作據寫本往往標有古人名姓如謝姓張衡等不一而足然刻本無之不足為據也攷宋以前並以日法命度各有奇零無整用百分者百分為度實始授時今度下分有至九十餘分其為授時之法無疑郭太史傳有二十八舍襍坐入宿去極度分一卷新測無名星一卷並藏之官而書皆不傳今得此為徴亦足與西測恒星互相參攷矣以上歴學書六十二種内已刻者七種一中西算學通序例一卷算數作於隸首見於周官吾聖門六藝之一也自利氏以西算鳴於是有中西兩家之法𣲖别枝分各有本末而理實同歸或専已守殘而廢兼收之義或喜新立異而缺稽古之功算數之所以無全學也夫理求其是事求適用而已中西何擇焉雖然不為之各極其趣亦無以觀其㑹通因不揣固陋著書九種而為之序例爾後論撰稍多因以此為初編云爾一勿菴籌算七卷(已刻)籌算之法蓋始於作歴書時(歴引言算術古用觚棱近便珠算西法第資毫)(穎今復有籌算之創其簡㨗更倍於疇昔諸術由是言之則籌算乃爾時新創非歐邏之舊術)其為術也本係直籌横寫(鼎)此書則易之以横籌直寫乃所以適中土筆墨之宜友人蔡璣先見而悦之為雕版於金陵(憶嵗己酉桐城方位伯言籌算之善然未見其書無何家澹如兄至自都門有所攜)(算籌一握而缺算例余為補之澹如大喜因問余曰能易之以直寫不更便乎子彦姪亦以為然遂如言)(作之凡三易稿而後成)文人才士每病算書難讀余此書頗覺詳明是為初編之第一書(向在京師宫坊趙升符先生執信遲鼎言籌算寓處)(稍逺余行步舒緩趙不能待自取其書繙閲一時許則乘除之法盡了然矣)一勿菴筆算五卷(巳刻)余筆算亦用直寫以便文人之用而定位一端視舊法尤㨗有二稿一作於金陵有蔡璣先序一作於天津初編之第二書也(是書少叅金鐡山先生刻於保定)一勿菴度算二卷(年允公刻)西人尺算即比例規觧所述也余初購歴書佚此卷嵗戊午黄俞邰太史為借到𤾂江劉潛柱先生本乃鈔得之頗多譌缺殊不易讀蓋攜之行笈半年而通其旨趣(歳庚申晤桐城方素作中履見鼎所作尺驚問曰君何従得此蓋家兄久欲爲此而未能)(履遊豫章拾得遺本寄之乃明厥製耳續見位伯書以三尺交加取數故秪能用平分一綫且亦非比例)(規解本法也夫用規取數則兩鋭所到毫釐可辨而其數即徴之本尺執柯伐柯其則不逺所得無殊於)(横尺而為用加㨗不知位伯何故改法又不知素伯所拾遺本其立法何似惜未獲與之深論也)書原本無算例今所用者並吾弟爾素所補而參之以陳䃤菴者也(嘉禾陳獻可先生藎謨有尺算用法一卷然亦只平分一綫爾素書則諸綫皆)(備余亦時時涉筆聊以窮其作法之根通其用尺之變而未暇為例今得二書補塞遺缺中邊備矣)又有矩算則(鼎)所創也西人用三角故兩其尺今用句股故祇用一尺一方版其理無二(初晤位伯極言尺算之竒而未)(悉厥狀思之屢日爰成斯製續從新安戴季黙得䃤菴書内有歛規取數之用然後疑前所悟之猶非也)(最後得比例規解其疑乃釋蓋比例即異乘同除之理故可以句股取之而原法以規當横尺本自靈妙)(並存兩術用相叅校則比例之理益著矣)尺算矩算皆為度算則初編之第三書也一比例數解四卷比例數表者西算之别傳也其法自一至萬並設有他數相當謂之對數假令有所求數(或乘或除)但於本表簡兩對數相加減即得所求(乘者兩對數相加得總除者兩對數相減得較)(總較各以入表取其所對本數即各所求之乘得數除得數)中土習用珠盤西法用筆用籌用尺各有所長(垜積合總)(莫速於珠盤乘法位多莫穩於筆算開平方莫便於籌算製器作圖莫良於尺算)然並須布算而知今則假對數以知本數不用乘除惟憑加減(加減者對數也求得者本數也所算在彼所得在此一對即知無所庸其推索)術之竒也前此無知者 本朝順治間西士穆尼閣以授薛儀甫始有譯本對數之竒尤在開方古開方術至三乘方以上委曲繁重積晷刻而後成今用對數俄頃可得(如平方但取對數折)(半立方取對數三之一三乘方則四之一四乘方則五之一五乘方以上並然並取其所對本數命為所)(求方根)神速簡易殆非擬議所及又有四線比例數亦穆所授也八線割圓西歴舊法今只用正弦餘弦正切餘切故曰四線(舊八線表以正矢餘矢即)(餘弦正弦之餘故列表止六而有八線之用今比例數又省去兩割線故表只四線然亦實有六線之用)(矣)穆先生曰表有十萬西來不戒於途僅存一萬萬以上以法通之(四線本數逾百萬而亦列對數是即以法通之之數也○嘗見薛刻别本數有)(二萬)儀甫又有四線新比例用四線同惟度析百分(從古率也)穆有天步真原薛有天學㑹通並依此立算不知此則二書不可得而讀故稍為詮次為初編之第四書一三角法舉要五卷(進巳刻 呈)西法之用三角猶古法之用句股也而三角能通句股之窮要其理不出於句股故鋭角形分之則二句股也鋭角形以虚補實亦句股也(鈍角形補其虚角則成半虛半實之)(句股形又即成一虛句股之形而所設鈍角形又即為兩句股相較之餘形皆句股法也)至於弧三角則於無句股中㝷出句股其法最竒其理最確八線之用於是而神是故全部歴書皆三弧角之法也不明三角則歴書佳處必不能知其有缺誤亦不能正矣故以是為初編之第五書也必先知平三角而後可以論弧三角猶之必先知句股而後可以論三角也平三角原止一卷今廣之為五卷(曰測算名義曰算例曰内容外切曰或問曰測量)(南是書安溪公刻於保定乙酉 廵蒙)(恩召對御覽) (進呈)一方程論六卷(巳刻)九章之第八曰方程以御錯糅正負自明算者稀能舉其名者或已尠矣今諸書所存數例率多臆説而厥旨益汶李水部括九章於西術至此一章亦仍其誤也(鼎)疑之蓋將二十年始得其解然後知算法之有方程猶量法之有句股皆其最精之事因作論明之蓋必如是而方程始為有用即古人之别立一章不為徒設竊意天下之大豈無宋元以前之善本留至今日者庶幾足以訂余之説所望留心學問者相與博求而共證之也是為初編之第六書(初稼堂賞余此書阮)(副憲于岳為付刻貲而余未及為嘉魚明府李安卿鼎徴乃刻於泉州彼敎人或見李序言西法不知有)(方程憤然而爭不知西術有借衰互徵而無盈朒方程同文算指未嘗自諱李序蓋有所本耳)一幾何摘要三卷幾何原本為西算之根本其法以㸃線面體疏三角測量之理以比例大小分合疏算法異乘同除之理由淺入深善於曉譬但取徑縈紆行文古奥而峭險學者畏之多不能終卷方位伯幾何約又苦太畧今遵新譯之意稍為順其文句芟繁補遺而為是書於初編則為第七(柘城杜端甫孝亷知耕有幾何論約吾弟爾素有幾何類求並可與是書)(叅證)一句股測量二卷測量必用句股即戴記所謂絜矩也絜矩之道立少以觀多即近以見逺故立矩可以測髙覆矩可以測深偃矩可以測逺然而方可測圓不可測於是而割圓之法立平可測險不可測於是而重差之術生古書雖不盡傳然周髀開方之圖海島量山之算猶存什一於千百乃若測圓海鏡(元欒城李冶著明大司㓂吳興顧箬溪先生應)(祥為之著釋者)實句股容圓之一術而引而伸之遂如五花八陣故具録其要以存古意焉於初編為第八也古測量家有専術綴術専術者謂以器測之而得其數如纍矩重袤之類歴家則有渾儀窺管綴術者謂據所測之數而繼之以算法句股旁要是也言測量至西術詳矣然不能外句股以立算故三角即句股之精理八線迺句股之立成也平三角弧三角不離八線則皆句股之術而已一九數存古十卷算數之學初無古今也自學者避難好徑古籍日以散亡或有踵事生新自矜創獲輒輕古率為疎將此僅存者亦難終保矣(鼎)生也晩凡遇古人舊法雖片紙如拱璧焉家貧居僻不能多致典墳聊存此以見余之志惟冀好古博雅君子不吝鄴架之藏以公同志庶前賢墜緒不致終湮可勝翹企初編之序以此為第九書九數即九章也一曰方田以御田疇界域二曰粟布以御交質變易(一名粟米)三曰差分以御貴賤稟税(一名衰分)四曰少廣以御羃積方圓五曰商功以御功程積實六曰均輸以御逺近勞費七曰盈朒以御隐襍互見(一名贏不足)八曰方程以御錯糅正負九曰句股以御髙深廣逺(一名旁要)隸首之法僅存者九章之目耳然後有作者靡或出其範圍可謂規矩方圓之至矣古算書載程大位算法統宗者惟劉徽九章尚有宋版(鼎)嘗於黄俞邰處見其方田一章算書中此為最古其錢塘吳信民九章比類西域伍爾章有其書余從借讀焉書可盈尺在統宗之前統宗不能及也又山隂周述學著歴宗算㑹於開方弧矢頗詳書亦在統宗前而程氏未之見然則古書之存者宜尚有之近代作者如李長茂之算海説詳亦有發明然不能具九章惟方位伯數度衍於九章之外蒐羅甚富杜端甫數學鑰圖註九章頗中肯綮可為算家程式(余於)(諸家間有采擷必直書其所自不敢掠美亡兒以燕於此學頗有悟入能助余之思辯惜乎見其進未見)(其止)一少廣拾遺一卷(自此以後並為續編) (巳刻)古有一乘方至九乘方相生之圖而莫詳所用同文算指演之具七乘方亦非了義西鏡録増有亷積立成然譌亂不可讀歳壬申余在都門有三韓林寄訊楊時可及丁令調屬問四乘方十乘方法(諸乘方中)(惟此二者不可以借用他法摘此為問蓋亦留心學問人也)因稍為推演至十二乘方亦有條而不紊一方田通法一卷 (巳刻)算家有㨗田二十三法稍廣之為百二十有四聊存此以見數法之無所不通一幾何補編四卷 (巳刻)天學初函内有幾何原本六卷止於測面其七卷以後未經譯出蓋利氏既歾徐李云亡遂無有任此者耳然歴書中往往有襍引之處讀者或未之詳也壬申春月偶見館童屈篾為燈詫其為有法之形(其製以六)(圈成一燈每圈匀為六折並周天六十度之通弦故知其為有法之形而可以求其比例然測量諸書皆)(未言及)乃覆取測量全義量體諸率實攷其作法根源(法皆自楞部至心即皆成錐體以求其分積則總積可知矣)以補原書之未備而原書二十等面體之算嚮固疑其有誤者今乃徵其實數(測量全義設二十等面體之邊一百則其容積五十二萬三八○九今以法求之得容積二百)(一十八萬一八二八相差四倍)又幾何原本理分中末線亦得其用法(幾何原本理分中末線但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之體積因)(得其各體中稜線及輳心對角諸線之比例又兩體互相容及兩體與立方立圓諸體相容各比例並以)(理分中末線為法乃知此線原非徒設)則西人之術固了不異人意也爰命之曰幾何補編(書係稿本李安卿手為謄清將以付梓而屬余病李又赴任嘉)(魚遂未獲相為重校)一西鏡録訂註一卷西鏡録不知誰作然其書當在天學初函之後知者同文算指未有定位之法而是書則有之其為踵事加精可見所立金法雙法亦即借衰互徵疊借互徵之用然較同文算指尤覺簡明但寫本殊多魯魚因稍為之訂一權度通篾一卷重學為西術一種然載於比例規解者譌誤尤甚今以南勲卿儀象志互相訂補其數稍真一竒器補詮二卷竒技淫巧古人所禁為其作無益害有益也若關中王公徴竒器圖説所述引重轉水諸製並有裨於民生日用而又本諸西人重學以明其意可謂有用之學矣間嘗取書史所傳(如漢杜詩作水鞴以便民及王氏農書諸水器之類)睹記所及(如劉繼莊詩集載筒車灌田法近日吾鄉亦有為之者)稍為輯録以補其所遺而圖與説有不相應者為之是正其以西字為識者易之便觀覽也一正弦簡法補一卷大測諸書言作八線表之法亦綦詳矣續讀薛儀甫書有用矢綫求度法為之作圖以發其意因得兩法在六宗率三要法之外(兩法者一曰正弦方冪倍而退位得倍弧之矢一曰正矢)(進位折半得半弧正弦上方冪)而為用加㨗不知作表何以不用也(薛書亦用六宗率三要法作表與歴書同○近見孔林宗大測精義求半弧正弦法與余説不謀而合可)(謂所見畧同矣)一弧三角舉要五卷(巳刻)三角之用莫妙於弧度求弧度之法亦莫良於三角故測量全義第七第八第九卷耑明此理而舉例不全且多錯謬其散見諸歴指者僅存用數無從得其端倪天學㑹通圈線三角法作圖草率往往不與法相應缺誤處竟若殘碑斷碣弧三角遂成袐宻藏矣今一以正弧三角為綱仍用渾儀解之於歴書原圖稍為増訂而正弧三角之理盡歸句股可指而數焉於是而參伍其變則斜弧三角之算亦歸句股矣書凡五卷(其目曰弧三角體式曰正弧句股曰求餘角法曰弧角比例曰垂弧曰次形曰垂弧捷法)(曰八線相當)蓋自是而算弧度者有端緒可循讀歴書者亦有塗徑可入一環中黍尺五卷(巳刻)舉要中弧度之法已詳然更有簡妙之用不可不知也測量全義原有斜弧用兩矢較之例但所立圖姑為斜望之形聊足以明其意象而無實度可言今一以平儀正形為主則凡可以算得者即可以器量渾儀真象陳諸片楮而經緯歴然無絲毫隐伏假借測算家一快事也至於加減代乘除之用歴書僅舉其名不詳其説意若有甚珍惜者蓋嘗疑之數十年而後乃今得其條貫即初數次數甲數乙數諸法並砉然以解書凡五卷(其目曰總論曰先數後數曰平儀論曰三極通幾曰初數次數曰加減法曰甲數乙數曰加減捷法)(曰加減又法曰加減通法)(其又法與加減同理而取徑特殊兒以燕於恒星歴指中摘出千里致書相詢爰附末簡以不沒其用心)(之勤○甲數乙數用法甚竒本以黄道求赤道李世徳孝亷準其法以黄求赤作為圖論又製器以象之)(世徳於此中有得其書原可専行故末附此)一塹堵測量二卷(巳刻)塹堵測量者借土方之法以量天度也其術以平圓御渾圓以方體測圓體以虚形準實形故托其名於塹堵也古法斜剖立方成兩塹堵塹堵又部為三成立三角立三角為量體所必需然此義中西皆未發今以渾儀黄赤道之割切二線成立三角形(立三角本實形)(今諸線相遇成虚形與實形等)而四面皆句股即弧度可相求不須用角西法通於古法矣又於餘弧取赤道及大距弧之割切線成句股方錐形亦四面皆句股即弧度可相求亦不言角古法通於西法矣二者並可用堅楮為儀以寫其狀則弧度中八線相為比例之理瞭如掌紋(作法詳本書)而郭太史圓容方直矢接句股之法亦不煩言説而解書凡二卷(其目曰總論曰立三角摘録曰渾圓内容立三角曰)(句股錐曰句股方錐曰方塹堵容圓塹堵曰圓容方直儀簡法曰郭太史本法曰角即弧解)以上三書(弧三角舉要環中黍尺塹堵測量)並安溪相國刻於保定(世兄李世徳孝亷鍾倫多所叅訂而其羣從世憲文學鑑及宿遷徐壇長用錫安溪陳對初萬䇿景州魏)(君璧廷珍三孝亷河間王仲穎之鋭交河王振聲蘭生二文學並有校訂之功其中圖象則君璧及余孫)(㲄成手筆也)一用句股解幾何原本之根一卷幾何不言句股然其理並句股也(此言句股西謂之直角三邊形譯書)(時未能㑹通遂分途徑)故其最難通者以句股釋之則明惟理分中末線似與句股異源今為游心於立法之初而仍出於句股信古九章之義包舉無方(徐文定公譯大測表名之)(曰割圓句股八線表其知之矣)一幾何増解數則(本各自為書今附前條共卷)其目有四(曰以方斜較求斜方曰切線角與圓内角交互相應曰量無法四邊形㨗法曰取平)(行線簡法)並就幾何各題而増故不入補編(補編専言體積並幾何未)(有之題)一仰規覆矩一卷一查地平經度為日出入方位一查赤道經度為日出入時刻(並依里差用弧三角立算與歴書法微别秀水友人張簡菴雍敬熟觀余所製簡平)(儀有所悟入因作此相質)一方圓冪積二卷歴書周徑率至二十位然其入算仍用古率(十一與十四之)(比例木祖沖之徑七周二十二之宻率)豈非以乘除之際難用多位歟今以表列之取數殊易乃為之約法則徑與周之比例即方圓二冪之比例(徑一則方周四圓周三一四一五九二六五而徑上方冪)(與圓冪亦若四與三一四一五九二六五尾數八位並以表為用)亦即為立方立圓之比例(同徑之立方與圓柱若四與三一四有竒則同徑之立方與立圓若六與三一四有竒)殊為簡易直㨗(嵗癸未匡山隐者毛心易乾乾惠訪山居偶論周徑之理因復推論及方)(圓相容相變諸率益覺精明蓋學問貴相長也○中州謝野臣廷逸毛先生壻也於數學甚有精思偕隐)(陽羡自相師友著述甚富多前人所未發)一麗澤珠璣一卷(鼎)生平得力於友朋之益故雖一言之惠示不敢忘也必謹録之久而成帙取其關於算學者别為一卷一古算器攷一卷今有筆算(今之籌算亦是筆書)遂以珠盤為古不知古用籌策故曰持籌其用珠盤蓋起元末明初制度簡妙天下習用之而遂忘古法故為之攷(作珠盤者甚巧惜逸其名氏)一數學星槎一卷初學莫易於筆算(減併乘除三日可了)然除法定位轉易乘法定位稍難兹以本數大數小數三者别焉雖童子可知矣至於句股開方非圖不解周髀算經有古圖簡質可翫歴書本幾何立説亦足引人思致今稍廣之為圖者六以示余兩孫(㲄成玕成)俾稍知其意數學如海非篤好精思鮮不自涯而返然而千里之行始於足下因命之曰數學星槎云爾以上算學書二十六種内巳刻者七種勿菴歴算書記◆ 《中西經星同異考-清-》（KR3f0029）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
中西經星同異考 天文算法類二(推歩之屬)提要(臣)等謹案中西經星同異考二卷國朝梅文鼏撰文鼏字爾表宣城人與其兄文鼎皆精研厯算之學互相商㩁多所發明此其所訂中西恒星名數也星經之最古者莫如巫咸甘石三家而其學失傳雖殘編尚存已不能知其端緒惟隋丹元子步天歌所列星象特為簡括故自宋以來天官家多據為凖繩迨明季厯法不騐而歐邏巴之法始行利瑪竇所撰經天該其名亦與中國相同而位座有無數目多寡與步天歌往往不合文鼏因据南懐仁儀象志所載星名依步天次序臚列其目而以有無多寡之故分行詳注其下其古歌西歌亦各載原文於後以便檢核南極諸星為古所未及者則併據湯若望厯書及儀象志為考証補歌附之於末盖七政之運行必憑恒星為考騐然在天成象天本無言隨人所標目為指名即據人所指名為測候指名不一則測騐多岐矣文鼏此編獨詳稽異同叅考互証使名實不病於叅差是亦中西兩法互相貫通之要領也乾隆四十六年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 原序
中西經星同異考原序
經星同異考一卷發凡九則吾季弟爾素之所手輯也歳在戊辰余歸自武林武林友人張慎碩忱能製西器手鋟銅字如書法之迅疾余乃依歳差考定平儀所用大星屬碩忱施之渾葢而屬吾弟爲作恒星黄赤二星圖因於星之經緯逐一詳校乃知湯氏厯書圖表與南氏儀象志互有得失自其本法固多違異不第與古傳殊也因取其星名之同而数有多寡異於古人者别識之以成此書至其所爲辨正經緯之度者尚存别卷不盡於是而吾弟之爲此則已勤矣葢其時方有稿本次年巳巳余去京師五載至癸酉始歸山中吾弟乃出其繕寫重校之本示余視其年固己巳也甲戌中秋余乃爲之序曰自堯典有四仲之星而斗牽牛織女參昴龍尾鳥帑天駟天黿之屬襍見於易詩春秋左傳國語至禮記月令大戴之夏小正稍具諸星伏見之節葢星之有名其來逺矣古者觀天文以察時變敬授人時有厯有象圖書儀器宜莫不偹遭秦燔書棄先王之典羲和舊術無復可稽所僅遺者巫咸甘徳石申之殘編而三家之傳各别司馬子長世爲史官而天官厯書殊爲闕畧迄於後漢有張衡靈憲而器與書並亡自唐以後言觀象者率祖淳風晉隋兩志及丹元子歩天歌今考其說又與天官書無不參錯不待西學之興而始多同異也西厯黄道十二象與中土異而回回厯與歐邏巴復自不同故雙女或以爲室女隂陽或以爲雙兄至黄道内外之星或以爲六十象或以爲六十二象而貫索一星回回厯以爲缺椀歐邏巴以爲冕旒其餘星名亦多互異豈非以占測之家非一而所傳異辭安得謂彼中厯學自上世以來永遵一術而初無更變哉今所傳經天該之圖與其歌皆因西象所列而變從中厯之星座星名即見界圖之分形其出似在厯書未成之前圖星以圓空去中法猶近然與步天歌仍有不同者或以西星合古圖而有疑似不敢輒定遂並収之而有増附之星或以古星求西圖而弗得其處不能強合遂芟去之而成古有今無之星要之皆徐李諸公譯西星而酌爲之非西傳之舊余嘗見元趙緣督友欽石刻圖閣道六星在河中作磬折層階之象自天官書於營室言離宫閣道步天歌及晉隋宋三史並言六星而今圖表割其半爲王良星别取河中雜小星聫綴附益之其星十餘而形直絶異舊圖又去營室更逺正抵奎婁而西象固原無所謂閣道也由是以推其意爲更置者良已多矣且西厯言恒星有經度東行歳差而緯度終古如一然又言二至距緯古逺今近是黄極且有微移既言恒星之形畧無改易然又言王良之側有萬厯癸酉年新出之星其說亦未能歸一也竊嘗譬之地誌陵谷豈無小易而嶽瀆之大致自如然其名之所起亦人則爲之而已矣禹治水惟九州而舜受終時肇十有二州肇之爲言始也又况後世秦分爲三十六郡唐分十道宋分十五路疆域代更圖志因之而改或者遂欲本桑欽之水經而駁禹貢亦見其惑矣然則宜何如君子於其所可知不厭求詳其所不知闕之而已義所可求當歸畫一其所難㫁兩存之而已無泥古以疑今無執一以廢百謹守舊聞而無參意解此爲學之方即著撰之法自古之學者莫不盡然而况天之髙星辰之逺哉是則吾弟爲考之意也葢其義例已具發凡中矣而余於是重有嘆也葢自束髪受經於先君子塾師羅王賔先生往往於課餘晩步時指示以三垣列舎之状余小子自是知星之可識而天爲動物尋以從事制義未遑䆒精然心竊好之不幸先君子見背營求葬地不暇以他爲無何余小子忽忽年近三十始從倪觀湖先生受臺官通軌算交食法稍稍推廣求之元史宋志溯唐及晋至於兩漢是時余及仲弟和仲與季弟爾素三人而已夜則披圖仰觀晝則運籌推步考訂前史三人者未嘗不共也如是者凡数年及余得中西之書圖稍多朋友之益漸廣而仲弟不幸已前卒久矣爾素於余所有之書手鈔畧偹多所撰定然食指益衆家日益貧余兩人頻年授徙歳時相見不過数四頃余且爲東西南北之人經年累嵗羇棲於数百里数千里外欲如嚮者之相聚探討何可得哉何可得哉而余又善病且老矣雖嘗輯有古今厯法通考諸書妄自以爲闚古人之意集諸家之長而性嬾楷書又好増改稿與年積訖尠定本其在京師感於李少司馬之言努力作爲厯論六七十篇頗抒獨見其他算學新稿亦且盈尺而未能出以問世虚名之負累謬爲四方學者所知而欲傳之其人復求之不可得也竊不自揆欲畧倣蘓湖遺軌設爲義塾約鄊黨同學爲讀書之事此志果就即當息影却埽於山村庶幾収拾累年雜稿次第成帙稍存一得之愚以待來學則数十年癖嗜苦思亦或将有所歸著而凡事有天焉主之終不敢必其如何也且夫星同之學非小道也其事凌雜米鹽近於卜祝之爲而探厥源流乃根於天人理数之極雷同俚近之言既不足以行逺而義類稍深索解人正復寥寥天下之大敢曰無人然亦有同志数輩逺在天涯合并匪易助余成此者不吾弟之望更誰望乎因弟此書俯仰今昔而兼有冀倖於将來不覺其言之長也康熈甲戌中秋勿葊梅文鼏序
## 跋
中西經星同異考跋
去年冬余侍安溪夫子於常之督學署中安溪示以所新鋟宣城梅定九先生厯學疑問三卷安溪學貫天人其推服定九先生以爲治厯之學古今一人而已余云聞其弟爾素先生現授經於吾邑安溪躍然曰是能盡得定九之底藴者余歸甫弛装即造先生先生示余以定九先生所著籌算諸書余深歎其精要先生塾課之餘覆玻璃於兩眼作細楷雖大寒暑不輟視之皆所撰天文書也長夏無事先生攜自著中西經星同異考一帙索題詞於余乗暇披閱見其搜比括次星名星數參差異同瞭然若掌紋之可數夫厯學之切於世用大矣而經家輒外之詭自髙寄以爲言理而略數實惮其難且繁而已治厯者推步必以算而考七政之運行必以恒星夫理數之自然尚可以想悟取之至於星之數與名皆人區别而指稱之一彼一此所執各殊膠戾乖刺稍不辨章則梗於臆而礙於口初學者耳目不一心志爲之不専遂至廢業者多矣即檢籍對核亦縻日耗力今睹先生之書詳而不雜簡而實盡殽列井然易以卒業雖以余之鈍且嬾亦津津不倦焉真學厯者之梯航而通中西厯者之中馗也此當與定九先生之中西算學通如二曜雙行於天地之間編之蘭臺不獨爲疇人星官所寳而吾儒之所藉以通天地人者咸於是覓鑰牡焉爲書此以告吾黨無徒溺於華虚之詞而震於厯學之難且繁而不問業也至於作書之源流及纂輯之法則有定九先生之序與先生之發凡在何須淺學者之添足置喙哉戊寅立秋旦鍾吾徐用錫跋
## 中西經星同異考
中西經星同異考發凡九則厯以齊七政也然非先定恒星即七政無從可齊故曰七政如乗傳恒星其地誌也七政如行棊恒星其楸局也曰恒者謂其終古不易也曰經者謂其不同緯星南北行也經亦有恒之義焉是編專以中西兩家所傳之星數星名考其多寡同異故曰經星星宫之書自黄帝始重黎羲和之後志天文者紛糅不一漢張衡云中外之宫常明者百有二十四可名者三百二十爲星二千五百微星之數葢萬一千五百二十至三國時太史令陳卓始列甘石巫咸三家所著星圖總二百八十三宫一千四百八十四星自唐以來厯家以儀象考測而宋兩朝志始能言某星去極若干度入某宿若干度爲說較詳此中國之學也西儒星學逺有端緒據厯書所譯周赧王丙寅古地末一測漢永和戊寅多禄某一測明嘉靖乙酉尼谷老一測萬厯乙酉第谷一測崇禎戊辰湯若望一測國朝康熈壬子南懐仁著儀象志又依東行歳差改定黄經及赤經緯今依南公志表稽其大小分爲六等一等大星一十有六二等星六十有八三等星二百有八四等星五百一十有二五等星三百四十有二六等星七百三十有二總計一千八百七十八星其微茫小星則不能以數計焉此泰西之學也(按紀星數太西測算凡可見可状之星一千二十二若微小者或不常見者或䑃黒者不與焉凡四)(十八像其多寡大小不等在黄道北者二十一像一曰小熊二曰大熊三曰龍四曰皇帝五曰守熊)(人六曰北冕旒七曰熊人八曰琵琶九曰雁鵝十曰岳母十一曰大将十二曰御車十三曰醫生又)(曰逐蛇十四曰毒蛇十五曰箭十六曰日鳥十七曰魚将軍十八曰駒十九曰飛馬二十曰公主二)(十一曰三角形共在北者三百六十星一等三二等十八三等八十四四等一百七十四五等五十)(八六等十三昏者十在黄道中者十二像一曰白羊二曰金牛三曰雙兄四曰巨蟹五曰獅子六曰)(列女七曰天秤八曰天蝎九曰人馬十曰磨蝎十一曰寳瓶十二曰雙魚共在中者三百四十六星)(一等五二等九三等六十四四等一百三十四五等一百零六六等二十九昏者三在黄道南者十)(五像一曰海獸二曰獵户三曰天河四曰天鬼五曰大犬六曰小犬七曰船八曰水蛇九曰酒瓶十)(曰烏鴉十一曰半人牛十二曰豺狼十三曰大臺十四曰南冕十五曰南魚共在南者三百十六星)(一等七二等十八三等六十四等一百六十八五等五十三六等九昏者一三方共一千二十二星)(分其大小一等共十五二等共四十五三等共二百零八四等共四百七十四五等共二百十七六)(等共四十九昏者六十四)夾漈鄭氏通志天文畧言漢晉諸志所載諸星名數灾祥叢雜難舉惟隋丹元子作步天歌句中有圖言下見象或豐或約無餘無失今依宋史及文獻通考於各垣各宿備採以誌之曰古歌回回厯立成所載有黄道經緯者止二百七十八星其繪圖者止十七座九十四星亦無赤道經緯西厯所測恒星黄赤二道經緯度分各各備具其歌相傳爲利瑪竇所譔謂之經天該與古歌不同而其星體大小位置以及無名微星亦瞭若指掌大致與恒星表相爲發明故亦附著古歌之後而别之曰西歌(按經天該一作經天訣薄子珏撰)古云北極出地三十六度南極入地三十六度者據伊洛一方而言也其實中土所見北極髙度自二十四度起至四十二度止則此兩極出入度内諸星即皆中土所見之星是編諸星凡離南極二十三度以上者仍録各宿下以資仰觀葢滇粤諸方在所必睹豈可泥前言而盡廢乎至南極諸星雖中土所不見據泰西氏皆其遊厯所經目睹詳測著有圖象今並録之但其歌偶闕因稍據圖表以補之云(北直順天府經一百三十度少緯四十度大名府經一百二十五度緯三十六度少)(山東濟南府經一百二十八度太緯三十七度少青州府經一百三十一度少緯三十六度太)(泰山經一百三十度半緯三十六度度太登州府經一百三十二度緯三十七)(東平經一百二十八度緯三十六度十二度江南江寕府經一百二十八度緯三)(揚州府經一百二十九度緯三十三度太浙江杭州府經一百三十一度緯三十度)(山西太原府經一百二十二度緯三十七度恒山經一百二十五度緯三十九度)(河南開封府經一百二十四度緯三十四度河南府經一百二十二度緯三十四度)(嵩山經一百二十一度太緯三十三度二度湖廣武昌府經一百二十四度緯三十)(洞庭湖經一百二十三度緯二十八度衡山經一百二十三度緯二十六度少)(江西南昌府經一百二十六度緯二十九度吉安府經一百二十六度緯二十八度)(鄱陽湖經一百二十七度緯二十九度度福建福州府經一百三十度緯二十六)(建寕府經一百二十九度緯二十五度三度廣東廣州府經一百二十四度緯二十)(雷州府經一百二十一度緯二十度半瓊州府經一百二十一度緯十八度)(庾嶺經一百二十四度緯二十六度十六度廣西桂林府經一百二十一度緯二)(陜西西安府經一百十八度緯二十五度漢中府經一百十六度太緯三十三度)(洮州經一百十四度緯三十五度岷州經一百十四度緯三十五度)(四川成都府經一百十六度緯三十一度貴州貴陽府經一百十九度緯二十五度)(雲南雲南府經一百十五度緯二十四度)恒星在天終古不變原亦無名自觀象者欲藉形以識星因取其與物相似者或一星或數十星分别立名聯綴成象而中西之同異斯出焉西域星象原與中國迥别今恒星表所載及經天該猶是中國星名但位座有無数目多寡稍異耳是編各星下分註兩行右中左西其中西名数並同者更不贅列其数雖不同而星名不異者即分註曰西幾星其表内有稱某星南某星北某星内外東西等字者俱以附近相從原非本星正数則亦附註曰西外増幾星其古無而西有者曰古無其西無而古有者曰西無其西圖雖有而西表則無者曰西表無古厯皆言堯時冬至日在虚漢唐在斗今在箕此黄道星有歳差之騐也西厯則謂黄道不動而七政恒星悉東行則普天經星皆依歳差遷改此各星入宿古今不同之故然步天歌原為初學仰觀而設故附近三垣各宿之星連類而及入宿淺深無暇詳求而亦非其所急也經天該作於利氏初入之時大致亦以三垣二十八宿為序畧同步天然於入宿之經度有加詳矣而以歳差東行間與今表亦有出入今於古歌之原入某宿而今實不同者於各星下註明原屬某宿以便稽考(按經星之動微渺難窺以全厯推之崇禎癸未上距帝堯甲辰三千九百二十年共差五十八度則)(以六十八年零七月十三日三時差一度二萬五千一百有餘年共差三百六十五度有竒為一周)(天㳺子六曰崇禎癸未上距帝嚳甲子四千零二十年止差五十七度約一嵗差一分少九秒七十)(年零六月差一度二萬五千七百三十五年差一周天)合而觀之中與西異中與中亦自有異西與中異西與西亦自有異或詳於志或列於表或載於圖或著於歌著撰之人不一占測之時各殊天度既有歳差步筭且多新智執古以疑今已為膠柱尊西而廢古亦昩源流今以兩說並存標其同異庶令仰觀者有所依據則専家之業以參互而愈明於學厯者不無小補云爾康熈己巳夏五月宣城後學梅文鼏謹識
## 卷上
欽定四庫全書中西經星同異考卷上宣城梅文鼏撰紫微垣(星序悉依古歌)帝星(一星) 庶子(一星)太子(一星) 后宫(一星)天樞(一星名北極外増一星西一)四輔(四星増一星西外)天一(一星) 太乙(一星)左樞(一星) 上宰(一星星西三)少宰(一星星西二) 上輔(一星上弼西名)少輔(一星少弼二星外増二星西名)上衛(一星)少衛(一星増一星西外) 少丞(一星少丞八以上左垣西作)右樞(一星) 少尉(一星増一星西外)上輔(一星) 少輔(一星増一星亦名隂徳西外)上衛(一星増三星西外) 少衛(一星少衛六外増二星西作)上丞(一星上丞七以上右垣西作)贊府(一星西無)隂徳(二星星其一増少輔星西一) 尚書(五星)女史(一星) 柱史(一星)御女(四星西無) 天柱(五星西無)太理(二星西無) 勾陳(六星一星外増三星西十)六甲(六星星西一) 天皇大帝(一星)五帝内座(五星西無) 華蓋(九星星西四)杠(七星西無) 傳舎(九星星西八)内階(六星) 天厨(六星星外増二星西五)八糓(八星一星西十) 天棓(五星星外増二星西七)天床(六星西無) 内厨(二星西無)文昌(六星増一星西外) 三師(三星増三星西外)太尊(一星増一星屬太微西外) 天牢(六星星屬太微西一)太陽守(一星太微西屬) 四勢(四星西無)相(一星増二星屬太微西外) 三公(三星増一星西外)𤣥戈(一星星外増二星屬亢西三) 天理(四星)輔星(一星星西三) 天樞(一星増一星即文昌八西外)天璇(一星) 天璣(一星)天權(一星増一星西外) 玉衡(一星)闓陽(一星開陽西名) 揺光(一星七星為北斗以上)天槍(三星増二星西外) 客星(古無星萬厯癸酉始見西一)近黄極六(古無星西一)古歌曰中元北極紫微宫 北極五星在其中大帝之坐第二珠 第三之星庶子居第一號曰皇太子 四為后宫五天樞左右四星是四輔 天乙太乙當門路左樞右樞夾南門 兩面營衛一十五上宰少尉兩相對 少宰上輔次少輔上衛少尉次上丞 後門東邊大贊府門西喚作一少丞 以次却向門前數隂徳門裏兩黄聚 尚書以次其居五女史柱史各一户 御女四星五天柱大理兩星隂徳邊 勾陳尾指北極顚勾陳六星六甲前 天皇獨在勾陳裏五帝内座後門是 華蓋并杠十六星杠作柄象葢傘形 蓋上連連九個明名曰傳舎如連丁 垣外左右各六珠右是内階左天厨 階前八星名八糓厨下五個天棓宿 天牀六星左樞在内厨兩星右樞對 文昌斗上半月形希疎分明六個星 文昌之下曰三師大尊只向三師明 天牢六星太尊邊太陽之守四勢前 一個宰相太陽側更有三公相西偏 即是𤣥戈一星圓天理四星斗裏暗 輔星近著闓陽淡北斗之星七宿明 第一主帝名樞精第二第三璇璣是 第四名權第五衡闓陽揺光六七名 揺光左三天槍星西歌曰垣髙先論極出地 北向須尋不動䖏欲知眞極無本星 列宿皆旋斯獨異近極小星强名極 后宫庶子遙相類帝星最明太子次 連極五星作斜勢帝下隂徳横兩烏 極下四輔承四細勾陳七星中甚明 離極三度認最易勾陳柄曲勾更曲 勾内微星天皇帝太子上有無名星 下方左樞少宰迎上宰少弼與上弼 少衛上衛連少丞其中五位皆朗朗 上下衛丞弼次明右邊右樞與左對 太乙天乙顯微精少尉上輔次少輔 上衛少衛共上丞右弼之内五尚書 一微一顯三潜形尚書之後小明二 左柱右女皆史稱上少丞間曰華蓋 四黑兩兩遮北門弼外六星名天棓 其曲似斗光頗明扶筐四星三畧暗 天厨五星長方形二巨三小近少弼 後有一顆無能名六星仰承名天鈎 迤北第三光獨熒河中六星名造父 三暗三微錯雜陳三隅纍纍曰王良 尖角一珠微遜明良傍一顆名為䇿 䇿後八星閣道稱三暗下連奎宿角 二巨三細與䇿親附路一顆王良下 適當壁宿上端停王良䇿星并閣道 内有五箇光耀均五顆四在河虚䖏 一條閣道穿河身閣道盡䖏横傳舎 六星隱現斜直形右下七星名北斗 天槍三星斗柄親三公三㸃與槍類 斗柄之傍隱輔星天理四星斗内隱 三師小星少輔隣文昌六星如半月 東角下星光更清師昌之間名内階 六星微茫兩簇分八糓九星一最著 已盡紫微垣内星太微垣上相(一星西上相外増一星西名)次相(一星西次相外増一星西名)次將(一星西次將西名) 上將(一星西上將西名)右執法(一星以上西垣) 上將(一星東上將西名)次將(一星東次將外増二星西名)次相(一星東次相西名)上相(一星東上相西名) 左執法(一星以上東垣)謁者(一星) 三公(三星)九卿(三星) 五諸侯(五星西無)内屏(四星増四星西外) 五帝座(五星)幸臣(一星) 太子(一星)從官(一星) 郎將(一星)虎賁(一星) 常陳(七星星外増二星西一)郎位(十五星西十星) 明堂(三星増一星西外)靈臺(三星星外増四星西四) 少微(四星増一星西外)長垣(四星) 上台(二星増一星一屬張西外)中台(二星増六星屬張西外) 下台(二星張西屬)古歌曰上元天廷太微宫 昭昭列象布蒼穹端門只是門之中 左右執法門西東門左皂衣一謁者 以次即是烏三公三黒九卿公背傍 五黒諸侯卿後行四箇門西曰内屏 五帝内坐於中正幸臣太子并從官 烏列帝後從東定郎將虎賁分左右 常陳郎位居其後常陳七星不相誤 郎位陳東一十五兩面宫垣十星布 左右執法是其數宫外明堂布政宫 三箇靈臺候雲雨少微四星西北隅 長垣雙雙微西居北門西外接三台 與垣相對無兵災西歌曰北斗四星南向軫 翼軫之北太微垣垣中最巨五帝座 帝傍小星四㸃攢座前四黒内屏遶 座後三小横斜安正中稍明為太子 右後幸臣左從官謁者一黒在屏左 九卿三㸃三公三座隅數㸃名郎位 一簇連輝珠入綿郎將微星位之左 更與周鼎三小連位上常陳三可見 二微在上一巨懸三公三小與下應 相亦同之斗柄前座北一㸃太陽守 太尊天牢守右邊左垣執法上次相 次上將星五位聫右垣執法上次将 次上相星亦復然虎賁一星右垣末 少微曲四虎西肩長垣亦四曲且暗 上與少微相後先三㸃靈臺一稍白 正當右將長垣間右前三小稱明堂 左外一小名進賢靈明之際一珠小 微茫可見難名言天市垣河中(一星増一星西外) 河間(一星)晉(一星増一星西外) 鄭(一星増一星西外)周(一星増二星西外) 秦(一星増四星西外)巴(一星増二星其一即天乳西外)蜀(一星増三星西外)梁(一星増一星西外) 楚(一星増一星西外)韓(一星増一星以上右垣西外) 魏(一星)趙(一星) 九河(一星)中山(一星増六星西外) 齊(一星)吴越(一星増六星西外) 徐(一星増六星西外)東海(一星) 燕(一星増一星西外)南海(一星増一星西外) 宋(一星増一星以上左垣西外)市樓(六星星外増一星一名肆樓西二) 車肆(二星)宗正(二星増一星西外) 宗人(四星星外増二星西五)宗星(二星) 帛度(二星増二星西外)屠肆(二星名屠市西一) 候(一星星外増二星西二)帝座(一星) 宦者(四星)列肆(二星) 斗(五星)斛(四星星西六) 貫索(九星八星外増十二星西十)七公(七星増四星西外) 天紀(九星増一星西外)女牀(三星星外増五星西四)古歌曰下元一宫名天市 兩扇垣墻二十二當門六角黒市樓 門左兩星是車肆兩箇宗正四宗人 宗星一雙亦依次帛度兩星屠肆前 候星還在帝座邊帝座一星常光明 四箇微茫宦者星以次兩星名列肆 斗斛帝前依其次斗是五星斛是四 垣北九箇貫索星索口横者七公成 天紀恰似七公形數著分明多兩星 紀北三星名女床此座還依織女傍 三元之象無相侵二十八宿隨其隂 水火木土并與金以次别有五行吟又歌曰河中河間晉鄭周 秦連巴蜀細搜求十一星屬十一國 梁楚韓邦在盡頭魏趙九河與中山 齊越吴徐東海間燕連南海盡屬宋 請君熟記又何難西歌曰房心尾箕宿之北 天市名垣列兩行中有明星稱帝座 候星一位在其傍階下四微名宦者 宗正雙星俱並光一顆無名宗之類 宗人四小入天横前左一細名車肆 肆樓二小逼河上後左連二名帛度 屠市連珠較帛長宗星二小在帛左 下與東齊相頡頏列肆二星右垣内 斗五斛四皆微茫左垣之星首稱宋 南海與燕為雁行東海徐州吴越齊 中山九河趙魏疆右垣之星首稱韓 楚梁巴蜀秦周鄉鄭晉河間與河中 星體微異光皆揚右上圍八名貫索 索上七公首射芒左北曲九稱天紀 紀上三星號女床中山之顚名織女 一巨二細三隅張其左四黒是輦道 道前四顆漸臺方中西經星同異考卷上
## 卷下
欽定四庫全書中西經星同異考卷下宣城梅文鼏撰東方蒼龍七宿角宿(去大角十度去極八十八度大角在紫㣲垣南門外三十七度)角(二星増五星西外) 平道(二星)天田(二星増二星西外) 進賢(一星星外増五星屬太微垣西三)周鼎(三星太微西屬) 天門(二星増二星西外)平星(二星増一星一作屏星西外)庫樓(十星星外増一星西八)柱(十五星西九星) 衡(四星作平衡西一)南門(二星一星屬亢西分) 馬腹(古無星外増一星西三)古歌曰兩星南北正直著 中有平道上天田總是黒星兩相連 别有一烏名進賢平道右畔獨淵然 最上三星周鼎形角下天門左平星 雙雙横於庫樓上庫樓十星屈曲明 樓中柱有十五星三三相著如鼎形 其中四星别名衡南門樓外兩星横西歌曰角宿兩星南最巨 中間平道黒星二左右九㸃無名星 天田二小角上對其頂正向搖光星 天門兩黒角下是平星兩白不甚平 庫樓七星展屏似樓内五小名平衡 樓間六小作三柱樓下馬腹三星明 南門小星當腹處亢宿(去角十度去極九十一度)亢(四星増三星西外) 大角(一星増一星西外)折威(七星西無) 右攝提(三星星西四)左攝提(三星増一星西外) 頓頏(二星頓頏分一星屬騎官西作)陽門(二星)古歌曰四星恰似彎弓狀 大角一星直上明折威七個亢下横 大角左右攝提星二三相對如鼎形 折威下左頓頏星兩個斜安黄色精 頏西二星號陽門色若頓頏直下存西歌曰亢宿四星兩端黒 左邊無名附兩粒亢下大角懸明珠 角上𤣥戈與斗直𤣥戈斜帶梗河三 惟有南星光欲滴角東四星左攝提 埀下一星芒熠熠角西四星右攝提 迤北第三獨異色角下四小曰亢池 形如方勝欹斜立亢下遙遙此頓頏 四星微遜陽門白庫樓東角右來侵 南門最明近南極氐宿(去亢五度去極九十八度)氐(四星増五星西外) 天乳(一星天市垣作巴増星西列)招搖(一星増一星西外) 梗河(三星星外増五星屬亢西七)帝席(三星西無) 亢池(六星星屬亢西四)騎官(二十七星内三車騎一頓頏西十四星)陣車(三星)車騎(三星騎官西入) 天輻(二星)騎陣將軍(一星)古歌曰四星似斗側量米 天乳氐上一黒星世人不識稱無名 一箇招搖梗河上梗河横列三星上 帝席三黒河之西亢池六星近攝提 氐下衆星騎官出騎官之衆二十七 三三相聚十欠一陣車氐下騎官次 騎官下三車騎位天幅兩星立騎傍 將軍陣裏振威霜西歌曰氐宿四明側斗形 無名五㸃雜來侵上與七公明耀對 類公北有招搖星兩星上與𤣥戈友 下左復與貫索親索外無名多纍纍 直下正當天市秦氐下二小陣車是 天幅亦與車同輪平三平二皆車騎 一明二暗騎將軍房宿(去氐五度去極一百八度)房(四星増二星西外) 鍵閉(一星)鈎鈐(二星星西一) 罸(三星作伐西一)西咸(四星一名右咸池西五星外増三星) 東咸(四星一名左咸池西外増一星)日(一星増一星西外) 從官(二星)古歌曰四星直下主明堂 鍵閉一黄斜向上鈎鈐兩箇近其傍 罸有三星直鈐上兩咸夾罸似房狀 房下一星號為日從官兩箇日下出西歌曰(房心尾共歌)諺傳夏夜有星象 儼如巨人冠進賢口鼻四星即房宿 二三頗明下闇然當頭一㸃鈎鈐是 鈐畔一微鍵閉言頭上雙星近者日 冠前曲四是西咸沖冠三暗稱為伐 冠後四黒名東咸當腹兩㸃積卒是 稍前相似名從官心宿(去房三度十三度去極一百)心(三星増二星西外) 積卒(十二星屬房西二星)古歌曰三星中央色最深 下有積卒共十二三三相聚心下是西歌曰更有心三最明顯 中巨旁微當背肩尾宿(去心五度去極一百二十二度)尾(九星増一星西外) 龜(五星星西四)天江(四星星外増二星西五) 傅說(一星氣西作)魚(一星) 神宫(一星)古歌曰九星如鈎蒼龍尾 下頭五㸃號龜星尾上天江四横是 尾東一星名傅說傅說東畔一魚子 尾西一室是神宫所以列在后妃中西歌曰接星是尾九㸃曲 卓如衣角飄風前神宫一星尾内坐 傅說獨立尾之尖天江六㸃當河隙 魚星一㸃遊江邊龜星有五三畧見 西去三星河外縁巨人側身向西北 其上正當天市垣箕宿(去尾四度去極一百十六度)箕(四星) 天舌(二星西無)木杵(三星星外増一星屬尾西二)糠粃(一星)古歌曰四星其狀似簸箕 天舌二星箕口是箕下三星木杵隨 箕前一㸃是糠粃明則歳豐暗為饑西歌曰箕星有四明相等 大口如箕正向西當前一㸃糠粃黒 何年簸向河之湄北方𤣥武七宿斗宿(去箕闕度去極一百十度)斗(六星) 建星(六星増一星西外)天弁(九星) 鼈(十四星星西十三)天雞(二星増一星西外) 天籥(八星西無)狗國(四星) 天淵(十星以中六星作氣西圖)狗(二星増一星西外) 農丈人(一星西無)古歌曰六星其狀如北斗 魁上建星六相等天弁建上三三九 斗下圓安十四星雖然名鼈貫索形 天雞建下雙黒星天籥柄前八黄精 狗國四方雞下生天淵十星鼈東邊 更有兩狗斗魁前農家丈人斗下眠 天淵十黄狗色𤣥西歌曰箕背六星名斗宿 北斗相方柄不如斗下曲圍十三㸃 形肖其名鼈似龜天淵四微鼈所向 狗國小方淵上圍國外雙鳥名曰狗 其傍相似立天雞斗背六星稱作建 下五微星若仰盂河中九㸃天弁斜 兩〔？〕中髙若髻堆弁上三星建河鼔 中星獨巨三之魁鼔下四星天桴卧 鼔傍各竪左右旗左旗曲七星皆小 右旗亦七三揚輝奚仲四微臨輦道 正在天津角上居牛宿(去箕半度去極一百十度)牛(六星増二星内三星作氣西外)天田(九星西無)九坎(九星星屬女西四) 河鼓(三星星外増七星西四)織女(三星星外増一星屬天市西四)左旗(九星六星外増七星西十)右旗(九星星外増二星西八) 天桴(四星無西表)羅堰(三星星西二) 漸臺(四星増二星屬天西外)輦道(五星星屬天市垣西四) 波斯(古無一星歌無西十)古歌曰六星近在河岸頭 頭上雖然有兩角腹下從來欠一脚 牛下九黒是天田田下三三九坎連 牛上直建三河鼓鼔上三星號織女 左旗右旗各九星河鼔兩畔右邊明 更有四黄名天桴河鼔之下如連珠 羅堰三烏牛東居漸臺四星似口形 輦道東足連五下輦道漸臺在河滸 欲得見時近織女西歌曰牛宿六星大小半 一巨居中上下齊牛前二小名羅堰 堰上匏𤓰四粒珠匏下五星名敗𤓰 一粒等匏餘並微匏上跨河名天津 四明二小一更欹天津之下十三小 總屬無名不必疑女宿(去牛五度去極一百度)女(四星亦曰嬃女西外増二星) 趙(二星星西一)周(二星星西一) 秦(二星星西一)代(二星星西一) 韓(一星)魏(一星) 齊(一星)晉(一星無西歌) 楚(一星)燕(一星) 鄭(一星)越(一星) 離珠(五星西無)匏𤓰(五星瓠𤓰屬牛西作) 敗𤓰(五星牛西屬)天津(九星十八星外増五星屬牛西二)奚仲(四星星屬牛歌無西七)扶筐(七星星外増一星屬紫微垣西四)平衡(古無星表無西三)古歌曰四星如箕主嫁娶 十二諸侯在下陳先從趙國向東論 東西兩周次二秦雍州南下雙雁門 代國向西二縉紳韓魏一齊晉北輪 楚之一國魏西屯楚城南畔獨燕軍 燕西一郡與齊隣齊北兩邑平原君 欲知鄭在越下存十六黄星細區分 五箇離珠女上匀敗𤓰之上匏𤓰生 兩𤓰各五匏𤓰明天津九箇彈弓形 兩星入牛河中横四箇奚仲天津上 七箇仲側扶筐星西歌曰女宿三微一稍白 非方非斜形不侔右方數起趙與越 周楚鄭齊燕一流並楚為秦並周代 鄭星方在魏之頭魏韓相並望齊楚 十星皆晦此舒眸下爲九坎四可見 平衡三白微難求離瑜三㸃均且直 坎下四微散不収虚宿(去女七度去極八十七度)虚(二星) 司命(二星)司禄(二星無西歌) 司危(二星星西一)司非(二星) 哭(二星危西屬)泣(二星危西屬) 天壘城(十三星外増二星西五星)敗臼(四星星西二) 離瑜(三星星屬女西二)古歌曰上下各一如連珠 命禄危非虚上呈虚危之下哭泣星 哭泣雙雙下壘城天壘團圓十三星 敗臼四星城下横臼西三箇離瑜明西歌曰虚宿兩星南最明 南下圍三天壘城城下四方壁壘陣 五顆獨有四顆清壁陣東行十三㸃 彼端亦作小方形陣頭之下天錢繞 稀微四㸃圓難成錢下二箇名敗臼 臼下雙珠莫可名虚東一小名司命 司危司非虚上承人星只有三星確 六星車府射天津府上騰蛇六圍一 兩尾八星遙對分危宿(去虚六度去極八十三度)危(三星増一星西外) 人星(五星星屬虚西四)杵(三星星西一) 臼(四星星西三)車府(七星星外増三星屬虚西五)天鈎(九星星屬紫微垣西六)造父(五星星屬紫微垣西六) 墳墓(四星)虚梁(四星) 天錢(十星虚西屬)葢屋(二星星西一)古歌曰三星不直曲為之 危上五黒號人星人左三四杵曲形 人上七烏號車府府上天鈎九黄精 鈎下五鵶字造父危下四星號墳墓 墓下四星斜虚梁十箇天錢梁下黄 墓傍兩星名葢屋身著皂衣危下宿西歌曰危宿三星若罄折 中間一㸃光微奪危下微光葢屋名 屋西三星墳墓接三箇晦明各自異 四小虚梁墓左貼墓下雙烏哭泣臨 一同土公墳後歇壘壁十二南横遮 羽林軍士縱横列軍前統御有天綱 北落師門光更烈危端臼杵四星懸 其南敗臼半邊缺室宿(去危十五度去極八十度)室(二星一作營室西外増一星) 離宫(六星)雷電(六星増一星一作電霆西外) 壘壁陣(十二星西屬虚)羽林軍(四十五星星内三鈇鉞屬危西二十六)鈇鉞(三星羽林軍西屬)北落師門(一星危西屬) 八魁(九星西無)天綱(一星危表無西屬) 土公吏(二星星歌無西一)螣蛇(二十二星星外増一星屬虚西一十六)古歌曰兩星上有離宫出 繞室三雙有六星下頭六箇雷電形 壘壁陣次十二星十二兩頭大似升 陣下分布羽林軍四十五卒三為羣 東西兩下多難論仔細厯厯㸔區分 三粒黄金名鈇鉞一顆珍珠北落門 門東八魁九箇子門西一宿天綱是 電傍兩黒土公吏螣蛇室上二十二西歌曰室宿兩箇光耀同 無名一箇頂上冲室傍雙星共三座 或小或大皆離宫雷霆六星惟右大 霹靂曲五半朦朧雲雨平方四㸃小 鈇鉞三小羽林中上頭直與螣蛇接 其下復與火鳥逢壁宿(去室十五度去極七十九度)壁(二星一作東壁西外増三星) 霹靂(五星増三星西外)雲雨(四星) 天廐(十星星西三)鈇鑕(五星星屬奎西七) 土公(二星星西三)火烏(古無星表作火烏西十)古歌曰兩星下頭是霹靂 霹靂五星横著行雲雨次之口四方 壁上天廐十圓黄鈇鑕五星羽林傍 土公兩黑壁下藏西歌曰壁宿二明與室似 其上三星圍天廐廐上一顆附路稱 其中正與王良對陣上雙烏有土公 火鳥十星兩翼細西方白虎七宿奎宿(去壁上星四度去極七十七度奎娄在紫㣲北門外三十六度)奎(十六星一星外増四星西二十) 外屏(七星増二星西外)天溷(七星星西四) 土司空(一星星西二)軍南門(一星婁西屬) 閣道(六星星外増二星屬紫微垣西九)附路(一星紫微垣西屬) 王良(五星星屬紫微垣西六)策(一星増一星屬紫微垣西外) 水委(古無星西三)古歌曰腰細頭尖似破鞋 一十六星繞鞋生外屏七烏奎下横 屏下七箇天溷成司空右畔土之精 奎上一宿軍南門河中六個閣道形 附路一星道傍明五箇吐花王良星 良星近上一策名天策天溷與外屏 一十五星皆不明西歌曰奎宿十六連勝形 東北一星芒獨異奎尖上與閣道通 奎下七星外屏樹屏間五㸃不甚明 兩箇揚輝屏盡處六箇天倉曲繞屏 天溷二黒倉右附溷下一明土司空 鈇鑕五小倉前地水委三星南極横 其左一星最明巨婁宿(去奎大星八度去極七十度)婁(三星星外増三星西五) 左更(五星星外増一星西六)右更(五星) 天倉(六星八星外増一星屬奎西十)天庾(三星) 大將軍(十一星星西作天大将軍十九 外増三星)古歌曰三星不匀近一頭 左更右更烏夾婁天倉六箇婁下頭 天庾三星倉東脚婁上十一將軍侯西歌曰婁三不均光甚均 上疎下宻雜星臨右更左更各五㸃 並若懸弧兩翼分當頭數㸃弦弧似 其名總曰天將軍弧中一𣲖光殊顯 弧背一黒軍南門天庾三㸃天倉下 芻藁六星左獨明胃宿(去娄八度去極七十度)胃(三星増二星西外) 天廪(四星星外増一星西七)天囷(十三星星西十七) 大陵(八星五星外増三星西十)天船(九星一星外増三星西十) 積尸(一星)積水(一星)古歌曰三星鼎足河之次 天廪左下斜四丁廪西十三天囷名 胃上一鈎八大陵九箇天船陵上生 兩星背貼一般形積尸積水各中心西歌曰胃宿三星聚一隅 無名兩㸃胃之餘胃下左更四㸃小 更西天廪四星除天囷十三圍乙狀 右下三星光頗殊曲環十六當天苑 北顯南微正背西更有天園十三㸃 東經五宿勢尤紓天陵繞八中更朗 當陵之中名積尸天船雜七與陵背 船中積水看欲無昴宿(去胃十二度去極七十度)昴(七星) 河(一星天阿西作)月(一星) 太隂(五星天隂西作)芻〔？〕(六星四星入天苑屬婁西分)天苑(十六星四西内四星即芻〔？〕西三十 星外増五星屬胃)卷舌(六星星外増二星西九) 天讒(一星)礪石(四星増一星西外)古歌曰七星一聚實不少 河西月東各一星河下太隂五黄精 隂下六烏芻藁營營南十六天苑形 河裏六星名卷舌舌中黒㸃天讒星 礪石舌傍斜四丁西歌曰昴宿七星天讒下 亂落圓珠一簇竒其上六箇垂卷舌 天讒一㸃舌尖居天阿㸃附天隂上 天隂五星皆隱微昴東孤月光如晦 礪石四小拱舌疲廩囷積米堪飽胃 讒阿西去致横屍畢宿(大星去昴十二度去極七十八度)畢(八星) 附耳(一星)天街(二星増一星西外) 天節(八星一星外増一星西十)諸王(六星星外増一星西八) 天髙(四星増一星西外)九州殊域(九星九州七星外増二星西作)五車(五星一星外増六星西十)柱(九星西柱三星東柱三星南柱三星西作)天潢(五星)咸池(三星西無) 天關(一星星外増二星西二)參旗(九星一星外増一星西十) 九斿(九星星西八)天園(十三星西屬胃)古歌曰恰似𤓰又八星出 附耳畢股一星光天街兩星畢背傍 天節耳下八烏幢畢上横列六諸王 王下四皂天髙星節下團圓九州城 畢口斜對五車口東西三柱任縱横 車中五箇天潢精潢畔咸池三黒星 天關一星車脚邊參旗九箇參車間 旗下直建九斿連斿下十三烏天園 九斿天園參脚邊西歌曰畢宿八星如小網 左角一珠光獨朗珠邊一顆名附耳 天節九小畢居上九州殊域畢之南 團圓七㸃依稀像畢上天街三箇斜 街上五車截河往五車皆明右左巨 天潢五星小中放潢傍三柱柱各三 河中細宻如指掌車下横六名諸王 天髙四小斜方状下垂九㸃曰參旗 旗下九斿與旗倣觜宿(去畢十四度去極八十三度 西序在參後)觜(三星一名觜觹西外増二星) 座旗(九星井西屬)司怪(四星)古歌曰三星相近作參蘂 觜上座旗直指天尊卑之位九相連 司怪曲立座旗邊四鵶大近井鉞前西歌曰觜宿三小當參上 觜上天關一顆招司怪四星明晦半 水火相同莫混瞧參宿(去觜半度去極八十五度 西序在觜前)參(七星十四星外増五星西二) 伐(三星星外増二星西四)玉井(四星星外増一星西五) 軍井(四星)屏星(二星星西六) 厠(四星星外増一星西六)屎(一星)古歌曰總有七星觜相侵 兩肩雙足三爲心伐星三小足裏深 玉井四星右足隂屏星兩扇井南襟 軍井四星屏上吟左足下四天厠臨 厠下一物天屎沉西歌曰參宿七星明燭宵 兩肩兩足三為腰參伐下垂三四㸃 玉井四星右足交玉井下方曰軍井 屏星二㸃井南標四顆厠星屏左立 屎星一㸃厠下抛丈人子孫各連二 老人最巨南望遙南方朱鳥七宿井宿(去參五度去極七十二度)井(八星) 鉞(一星増一星屬參歌無西外)北河(三星増五星西外) 南河(三星増九星西外)天罇(三星無西歌) 五諸侯(五星星西七)積水(一星無西表) 積薪(一星増四星西外)水府(四星増二星屬觜西外) 水位(四星増五星西外)四瀆(四星星外増一星西八) 軍市(十三星外増四星西五星)野雞精(一星星西二) 孫(二星増一星屬參西外)子(二星増一星屬參西外) 丈人(二星參西屬)闕邱(二星増一星西外) 天狼(一星増四星西外)弧矢(九星増十八星西外) 老人(一星増二星西外)古歌曰八星行列河中净 一星名鉞井邊安兩河各三南北正 天罇三星井上頭罇上横列五諸侯 侯上北河西積水欲覔積薪東畔是 銊下四星名水府水位東邊四星序 四瀆横列南河裏南河下頭是軍市 軍市團圓十三星中有一箇野雞精 孫子丈人市下列各立兩星從東説 闕邱三箇南河東邱下一狼光蓬葺 左畔九箇彎弧弓一矢擬射頑狼胷 有箇老人南極中春秋出入夀無窮西歌曰井宿八星形似井 座旗六黒垂其頂旗東五小皆無名 貼旗斜下四星整左斜五㸃五諸侯 其上北河兩明並河上一顆名積水 河左斜方爟星命河下一微名積薪 南河似與北河證水位四小若仰盂 上下数顆難考訂井下四星名四瀆 闕邱之一與河映天狼最巨當共南 一矢加弧一矢剩軍市一白野雞傍 老人獨向天南炳弧矢十星儼張弧 内外無名難究竟鬼宿(去井二十度去極六十六度)鬼(四星一名輿鬼) 積尸氣(一星氣西作)爟(四星一名爟位星屬井西七星外増二) 天狗(七星柳西屬)外厨(六星星外増四星西五) 天社(六星星外増五星屬柳西七)天紀(一星天記屬星西作)古歌曰四星册方似木櫃 中央白者積尸氣鬼上四星名爟位 天狗七烏鬼下是外厨六間柳星次 天社六個弧東倚社東一宿名天紀西歌曰鬼宿四星方似櫃 中間一白積尸氣其下五小爲外厨 五隅五小居其内柳宿(去鬼一度去極七十二度)柳(八星増一星西外) 酒旗(三星増七星西外)古歌曰八星曲頭垂似柳 近上三星號爲酒享宴大酺五星守西歌曰柳宿曲八名垂柳 其上無名三㸃繫酒旗斜三宿上飄 其上却與文昌對天狗盤七當其南 天社七横星頗巨星宿(去柳七度去極八十八度)星(七星三星外増一星西十) 軒轅(十六星七西二十五星外増 星屬張)御女(一星歌無西屬張) 内平(四星星作内屏屬張西三)天相(三星星屬張西六) 稷(五星無西表)古歌曰七星如鈎柳下生 星上十七軒轅形軒轅東頭四内平 平下三箇名天相相下稷星横五靈西歌曰星宿十星大小異 中間一巨首尾細垂頭曲尾如蝎形 其上一白名天記記下天稷五箇星 南隅一顆與記類張宿(去星六度去極九十九度)張(六星星外増五星西七) 天廟(十四星西無)古歌曰六星似軫在星傍 下頭惟有天廟廊一十四星册四方 長垣少微雖向上数星倚在太微傍 太尊一星直上黄西歌曰張宿六星芒甚小 中如方勝兩角弔軒轅大星當其顛 一十五星龍天矯小方内屏轅上居 轅下御女一星杳宿端天相有三星 向右一顆光頗皎三台三座上猶明 相與雁行行天道台北二小名天牢 一㸃太尊牢左照翼宿(去張一度去極九十七度)翼(二十二星) 東甌(五星無西表)馬尾(古無星外増一星西四)古歌曰二十二星最難識 上五下五横著行中星六箇恰似張 更有六星在何處三三相連張畔附 必若不能分處所更請向前㸔野取 五箇黒星翼下頭欲知名字是東甌西歌曰翼宿微星二十二 上横五星下無異其中六箇似張星 兩端各有三顆繫東甌五小在其南 青邱三箇翼下寄邱南馬尾横三星 上端一箇尤明巨軫宿(去翼三度去極一百四度在太㣲南門外十六度)軫(四星増一星西外) 長沙(一星)左轄(一星) 右轄(一星)軍門(二星西無) 土司空(四星西無)青邱(七星星屬翼西三) 器府(三十二星西無)古歌曰四星似張翼相近 中有一箇長沙星左轄右轄東西附 軍門兩黄近翼星門西四箇土司空 門東七烏青邱從青邱之下名器府 器府之星三十二以上便是太微宫 黄道向上看取是西歌曰軫宿四珠不等方 長沙一黒中間藏左名二轄肩之附 一顆無名南向光南極諸星(據厯書及儀象志)鳥喙(古無星西七) 鶴(古無二星西十)孔雀(古無八星西十) 異雀(古無二星西十)三角形(古無星外増二星西三) 蜜蜂(古無星西四)十字架(古無星西四) 小斗(古無星西九)南船(古無星西五) 海石(古無星西五)海山(古無星西六) 夾白(古無星西三)附白(古無星外増一星西一) 金魚(古無星西五)飛魚(古無星西七) 蛇首(古無星西四)蛇腹(古無星西四) 蛇尾(古無星西七)補歌曰南極諸星中未志 壁奎之下鳥喙是鳥喙朗朗七星明 其上即是鶴十二喙東十八孔雀星 異雀十二近南極孔雀之上即波斯 三角形上房心次蜜蜂四星三角東 軫翼盡頭架十字小斗九星南船南 南船五星海州識南船左右十一星 海石五星海山六附白夾白黄極邊 夾白三星附白一金魚五尾七飛魚 蛇首蛇腹星各四欲知蛇尾又七星 上邊即是婁奎壁此星原非見界星 利氏西來始能述經天該中亦未言 今據厯書為補足中西經星同異考卷下◆ 《全史日至源流-清-》（KR3f0030）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
全史日至源流 天文算法類二(推歩之屬)提要(臣)等謹案全史日至源流三十二卷國朝許伯政撰伯政有易深已著録此書遵御製厯象考成前編之法遡稽經史傳注所載至朔氣閏質其合否糾其謬誤首三卷皆論歩算之術如謂天周宜用三百六十度日法宜用九十六刻宫次非恒星一定之居嵗實竒零積乆始覺損益不宜槩為四分日之一其論皆為確當惟所論嵗實期以二百一十六年逓减二十秒及日在髙卑二日平行實行適等揆以厯理未免滯礙至後三十卷中排纂長厯分代紀年上起軒皇下迄明季四千年之中絲牽繩貫使星躔節候一一按譜而稽亦可為後來考測之資焉乾隆四十六年二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 卷首上
欽定四庫全書全史日至源流卷首上山東道御史許伯政撰周天之度嵗氣日躔暨其嵗差胥於是乎推舊法因嵗氣有三百六十五日四分日之一遂分天周爲三百六十五度四分度之一以配之便於推算此大誤也我朝時憲書擇用新法始定天周爲三百六十度度析六十分分析六十秒自秒以下微纎忽芒皆以六十析之新法云六十者半之則爲三十三之一則二十四之一則十五餘任剖析皆爲自然而然之分又每日十二時時各八刻初正各四刻爲二十四小時日凡九十六刻去舊術百刻計日之拘牽每刻十五分自分以下亦以六十析之如度法示易示簡與天地合其德與日月合其明與四時合其序洵萬世不易之章程也角一十度三十五分亢一十度四十分氐一十六度五十四分(按少一度)房四度四十六分心七度三十三分尾一十五度三十六分箕九度二十分以上東方蒼龍七宿共七十六度二十四分斗二十三度五十一分牛七度四十一分女一十一度三十九分虛九度五十九分危二十度七分室一十五度四十一分壁一十三度一十六分以上北方元武七宿共一百零二度一十四分奎一十一度二十九分婁一十三度胃一十三度一分昴八度二十九分畢一十三度五十八分觜一度二十一分參一十一度三十三分以上西方白虎七宿共七十二度五十一分井三十度二十五分鬼五度三十分栁一十六度六分星八度二十三分張一十八度四分翼一十七度軫一十三度三分以上南方朱鳥七宿共一百零八度三十一分此新法黄道宿度也凡三百六十度恭讀御製厯象考成曰天包地外圜轉不息南北兩極為運行之樞紐地居天中體圓而靜人環地面以居隨其所至適見天體之半中華之地面近北故北極常現南極常隠平分兩極之中横帶天腰者為赤道赤道距天頂之度即北極出地之度也赤道以北為内為隂以南為外為陽斜交赤道而半出其南半出其北者為黄道乃太陽一嵗所躔之軌跡也黄赤道相交之兩界為春秋分距赤道南二十三度半為冬至距赤道北二十三度半為夏至七政所行之道紛然不齊惟恃黄赤二道以爲推測之本又曰赤道均分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十度六分之為紀限各六十度十二分之為宫為時各三十度是為赤經從經度出弧線與赤道十字相交各引長之㑹於南北極皆成全圜亦分為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道俱九十度是為赤緯又曰黄道之宫度並如赤道其與赤道相交之兩㸃為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏至距兩交各一象限六分象限為節氣各十五度是為黄經從經度出弧線與黄道十字相交各引長之周於天體即成全圜其各圜相凑之處不在赤道之南北兩極而别有其樞心是為黄極黄極之距赤極即兩道相距之度其距黄道亦皆九十度是為黄緯又新法云黄道規者從太陽旋周一嵗之界而設也蓋太陽行天一周軌蹟旋以成規是名黄道本規斜絡於赤道其半在南最南界為冬至其半在北最北界為夏至二道相交之兩㸃為春秋分以故四平分之為象限限各九十度是即二至二分四正之限也總計為三百六十度十二剖之為宫二十四剖之為節氣七十二剖之為候今按黄赤道經緯度詳具厯書此編但推日躔黄道過宫度分故專列黄道宿度耳箕四度第一十七分起至牛一度第五分止共三十度為星紀之次是謂丑宫牛一度第六分起至危一度第四十六分止共三十度為元枵之次是謂子宫危一度第四十七分起至室十一度第三十九分止共三十度為娵訾之次是謂亥宫室十一度第四十分起至婁一度第一十三分止共三十度為降婁之次是謂戍宫婁一度第一十四分起至昴五度第一十二分止共三十度為大梁之次是謂酉宫昴五度第一十三分起至參十一度下餘分二十四分止共三十度為實沈之次是謂申宫參十一度下餘分二十五分起至井二十九度第五十一分止共三十度為鶉首之次是謂未宫井二十九度第五十二分起至星七度第五十分止共三十度為鶉火之次是謂午宫星七度第五十一分起至翼十一度第二十三分止共三十度為鶉尾之次是謂巳宫翼十一度第二十四分起至亢初度第四十五分止共三十度為壽星之次是謂辰宫亢初度第四十六分起至房二度第一十一分止共三十度為大火之次是謂夘宫房二度第一十二分起至箕四度第一十六分止共三十度為析木之次是謂寅宫此新法黄道交宫宿度也恭讀御製厯象考成云虞書堯典曰欽若昊天厯象日月星辰楚辭天問曰圜則九重孰營度之後世厯家謂天有十二重非天實有如許重數蓋言日月星辰運轉於天各有所行之道即楚辭所謂圜也十二重天最外者為至靜不動次為宗動南北極赤道所由分也次為南北嵗差次為東西嵗差此二重天其動甚微厯家姑置之而不論焉次為三垣二十八宿經星行焉次為填星所行次為嵗星所行次為熒惑所行次為太陽所行黄道是也次為太白所行次為辰星所行最内者則太隂所行白道是也竊嘗思夫天體渾圜宗動天以渾灝之氣挈諸天左旋運轉不息古人當創法之始周天之度何凴而分十二宫次何㨿而畫哉今讀御製厯象考成曰欲明諸圜之理必詳諸圜之動欲考諸圜之動必以至靜不動者準之然後得其盈縮蓋天道靜專者也天行動直者也至靜者自有一天與地相表裏故羣動者運於其間而不息若無至靜者以騐至動則聖人亦無所成其能矣大哉聖訓乎洵乎萬古開羣䝉矣蓋天之運行雖貞元遞轉混闢無竆然其貞下起元始於無始者必有所由始終於無終者必有所由終惟太古之聖人聰明睿知仰觀天文俯察地理有以黙契乎化育之機緘爰探本於至靜不動之天與地相表裏者以為準則乃因其自然之法象分角亢氐房心尾箕為東方蒼龍七宿分斗牛女虛危室壁為北方元武七宿分奎婁胃昴畢觜參為西方白虎七宿分井鬼栁星張翼軫為南方朱鳥七宿方位旣分乃度各宿所占方位之廣狹而析之為三百六十度天度既析乃自某宿至某宿均其所占度分之交界而畫之為十二宫次各三十度於是黄赤二道經緯燦然楚辭所云孰營度之者殆指此發問歟其宫度必以宿分之者至靜不動暨宗動天於穆在上無跡象可指惟三垣二十八宿切近宗動在天成象人所衆仰爰立諸宿之名以為分度分宫之表識而後七政諸圜之運轉遡羣動之所由始及積嵗之所由差其盈縮皆可得而推是宿之稱名殆與信宿同義耳舊法見十二宫次依星宿而定因以為宫有一定之宿宿有常居之宫此大誤也蓋黄赤道之分度分宫繫於宗動不繫於恒星縁宗動之氣渾渾灝灝無光象可求儀器仰測難以指名故因恒星天切近宗動而取其宿名為宫度之表識所以宫次謂之十二辰辰者凡無星之處皆是即宗動之氣布濩於上而常無星之處透見於諸圜之下其色蒼蒼者也即如新法自箕四度之一十七分至牛一度之五分是謂星紀之次然謂星紀分宫正值箕斗牛本位因而為箕斗牛本宫則可若謂箕斗牛諸宿一定常居星紀宫則不可何也宗動天挈諸天以左旋其一日一周而又過一度宫度左旋列宿亦隨之左旋似乎宿有常居之宫矣然使宿有常居之宫一定不移則當太古天行之始一陽氣至日躔星紀宫初度即應值箕宿之四度第一十七分設使始初冬至日躔值箕宿四度則日躔之嵗差堯時冬至日在虛今時冬至日在箕皆不可得而曉矣蓋嘗詳求其故當古聖推本至靜不動之天以分度分宫則蒼龍七宿在東元武七宿在北白虎七宿在西朱鳥七宿在南所謂在天成象者也然天道至神而宗動者南北極赤道所由分其挈諸天以左旋圜轉不息故當太古子半動而生陽之初娵訾宫末之室宿一十一度第三十九分正當星紀宫初度之初距其所分本宫相去九十度此蓋考厯代恒星值日漸差之數而逆推其本始有其故之可求者也試觀河圖之天一生水成於正北即可知太極之動而生陽起自正北故中氣之至始於子建中日躔之次始於丑宫初而宿度之值日亦始於亥宫末皆在北方㑹斯三者參伍以成文錯綜其數以定象而後日躔隨中氣過宫有不易之常分列宿之輪值日躔有積漸之差數皆由此以起算大抵一陽必生於子建中日躔必在於星紀初此不易者也若列宿值日躔之嵗差猶之太初冬至起於子日子時而其後六甲循環不得每嵗皆子日子時也然則列宿之隨天左旋以至靜者準之固各有本宫而以至動者運之究何嘗一日安居其本宫乎新法厯書日躔以中氣過宫人或謂其初變古法然本後天八卦分方推之而知其理數之不易也河圖之位水北火南木東金西故後天卦氣坎水北離火南震木東兑金西與河圖相準此四者二至二分所由生故列於四正艮成終成始於東北巽齊東南坤養西南乾戰西北此四者二啓二閉所由生故列於四隅然坎主冬至當子建之中而大雪即子建之首冬至一陽生而小寒即一陽之尾是坎主冬至則兼大雪小寒而離主夏至兼乎芒種小暑震主春分兼乎驚蟄清明兑主秋分兼乎白露寒露可以例推故卦之主中氣者首尾必兼二節艮主立春於氣為二陽而大寒乃二陽之首於寅為初氣而雨水即寅建之尾是艮主立春則兼大寒雨水而巽主立夏兼乎穀雨小滿坤主立秋兼乎大暑處暑乾主立冬兼乎霜降小雪可以例推故卦之主初氣者首尾必兼二中蓋天之播五氣於四時遞嬗密運故正隅之交參伍以變非截然間㫁今新法冬至陽生子中而日躔星紀初度是謂丑宫所謂子與丑合也及小寒節至乃丑建初氣而日躔過在星紀宫之中度仍屬一陽其理數正與後天方位相準故新法脗合於天行由其得古法之精可考諸五帝三王而不謬也若舊稱古法殆起自秦漢間豈古聖所傳授者乎先儒嘗稱天行外運而舒嵗氣内轉而縮今本新法求之其説似是而實非也何則天以陽職生而主日故日有東西南北之行成冬夏寒暑之節配天而育萬物易傳曰法象莫大乎天地變通莫大乎四時懸象著明莫大乎日月是也自宫度旣分日躔星紀之初而冬至中氣至改躔元枵之初而大寒中氣至改躔娵訾之初而雨水中氣至改躔降婁之初而春分中氣至改躔大梁之初而榖雨中氣至改躔實沈之初而小滿中氣至改躔鶉首之初而夏至中氣至改躔鶉火之初而大暑中氣至改躔鶉尾之初而處暑中氣至改躔壽星之初而秋分中氣至改躔大火之初而霜降中氣至改躔析木之初而小雪中氣至皆可按宫度推之亘古不爽焉十二宫之名見於爾雅然其名散見於左傳國語及經史諸書者不少國語曰武王伐殷嵗在鶉火日在析木之津堯典曰日中星鳥鶉火也日永星火大火也史曰神農以火紀官春官為大火夏官為鶉火可見宫次稱名傳自上古殆當包羲畫八卦作甲厯以來即已有之吕氏春秋云伏羲始畫八卦列八節即後天卦位是也迨秦滅古制漢承秦弊司厯者増天度以配嵗氣之五日四分日之一則十二宫次無復三十度之整齊故或問周天之度是自然之數是强分朱子曰天左旋一日一夜行一周而又過一度以其行過處一日作一度皆沿舊術之誤今遵我國家嵗頒時憲書所列節氣求之乃悟嵗氣生於天行而主日非天行嵗氣舒縮各别也蓋立天之道曰隂與陽以播五行以行四時以分二十四氣祇此六陽六隂之消長迭運而嵗氣平分然而陽者隂之主日者陽之宗凡陽徳主於發生其氣温和則其行舒徐故當冬至陽生之後至交小寒陽氣浸長則天行以漸而徐節氣亦以漸而長日之自南進北出地時刻多其晝亦以漸而長至於夏至而皆長極凡隂徳主於收斂其氣嚴肅則其行迅利故當夏至隂生之後至交小暑隂氣浸長則天行以漸而疾節氣亦以漸而短日之自北旋南入地時刻多其晝亦以漸而短至於冬至而皆短極凡此節氣之短長生於天行而日右循十二宫次㑹之以成嵗功由上年一陽生距下年一陽生積其間之日時刻分即嵗實也然隂行之疾不敵陽行之徐其徐行所多時刻秒於三百六十日外積五日四分日之一乃周三百六十度而復於原界是謂氣嬴不得増天度以配之使節氣平列也日本隨天左旋而又循宫次右轉者天行至健以其挈經星天左旋每一周天又過一度日循黄道雖天徐亦徐天疾亦疾而每日一周之外無分秒之過不及故天左旋所過度分之數即為日右轉所循度分之數任節氣之長短不齊其行閲三十度而改躔其間閲十五度而生節者恰與宫次㑹合而不爽此天道流行自然之妙也竊嘗就時憲書所列每年節氣長短之刻分畧爾諸方不同之數為嵗實之中數乃本之以上考往古推嵗差之數遡天行之始而紀其嵗實焉日躔星紀初度之初冬至氣至閲十四日八時三刻十四分二十秒之後交小寒以十五度分之每十一時六刻一分五十七秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外在天為左旋進一度在日為右行退一度退十五度而冬至氣畢日過星紀十五度之初小寒節至閲十四日八時四刻五分十秒之後交大寒以十五度分之每十一時六刻二分二十秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而小寒節畢以上一陽日躔元枵初度之初大寒氣至閲十四日九時一刻十分二十五秒之後交立春以十五度分之每十一時六刻七分四十一秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而大寒氣畢日過元枵十五度之初立春節至閲十四日十時一刻六分二十五秒之後交雨水以十五度分之每十一時七刻零二十五秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而立春節畢以上二陽日躔娵訾初度之初雨水氣至閲十四日十一時三刻四分二十五秒之後交驚蟄以十五度分之每十一時七刻十分一十七秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日左行退一度退十五度而雨水氣畢日過娵訾十五度之初驚蟄節至閲十五日零七刻零二十秒之後交春分以十五度分之每十二時零七分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而驚蟄節畢以上三陽日躔降婁初度之初春分氣至閲十五日二時三刻九分十秒之後交清明以十五度分之每十二時一刻四分三十六秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而春分氣畢日過降婁十五度之初清明節至閲十五日四時零八分十秒之後交榖雨以十五度分之每十二時二刻二分三十二秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而清明節畢以上四陽日躔大梁初度之初榖雨氣至閲十五日五時四刻八分十五秒之後交立夏以十五度分之每十二時二刻十四分三十三秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而榖雨氣畢日過大梁十五度之初立夏節至閲十五日六時七刻零二十秒交小滿以十五度分之每十二時三刻十分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而立夏節畢以上五陽日躔實沈初度之初小滿氣至閲十五日八時零三分十五秒交芒種以十五度分之每十二時四刻四分一十三秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而小滿氣畢日過實沈十五度之初芒種節至閲十五日八時三刻十分二十秒之後交夏至以十五度分之每十二時四刻七分四十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而芒種節畢以上六陽日躔鶉首初度之初夏至氣至閲十五日八時七刻零二十秒之後交小暑以十五度分之每十二時四刻十一分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而夏至氣畢日過鶉首十五度之初小暑節至閲十五日八時五刻三分二十秒之後交大暑以十五度分之每十二時四刻九分十三秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而小暑節畢以上一隂日躔鶉火初度之初大暑氣至閲十五日八時零八分二十秒之後交立秋以十五度分之每十二時四刻四分三十三秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而大暑氣畢日過鶉火十五度之初立秋節至閲十五日七時零十一分二十秒之後交處暑以十五度分之每十二時三刻十一分四十五秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而立秋節畢以上二隂日躔鶉尾初度之初處暑氣至閲十五日五時六刻六分二十秒之後交白露以十五度分之每十二時三刻一分二十五秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而處暑氣畢日過鶉尾十五度之初白露節至閲十五日四時三刻九分二十五秒之後交秋分以十五度分之每十二時二刻五分三十七秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而白露節畢以上三隂日躔壽星初度之初秋分氣至閲十五日二時四刻十一分三十秒之後交寒露以十五度分之每十二時一刻五分四十六秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而秋分氣畢日過壽星十五度之初寒露節至閲十五日一時一刻八分二十五秒之後交霜降以十五度分之每十二時零九分三十三秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而寒露節畢以上四隂日躔大火初度之初霜降氣至閲十四日十一時五刻五分二十秒之後交立冬以十五度分之每十一時七刻十二分二十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而霜降氣畢日過大火十五度之初立冬節至閲十四日十時二刻十一分三十秒之後交小雪以十五度分之每十一時七刻一分四十六秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而立冬氣畢以上五隂日躔析木初度之初小雪氣至閲十四日九時二刻十二分二十五秒之後交大雪以十五度分之每十一時六刻八分四十九秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而小雪氣畢日過析木十五度之初大雪節至閲十四日八時五刻十分二十秒交冬至以十五度分之每十一時六刻三分四十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋進一度即日右行退一度退十五度而大雪節畢以上六隂以上節氣如自甲年冬至交乙年冬至乃日循黄道右行一周而復於原界之候積其嵗實凡三百六十五日二時七刻十四分十秒此天行之始匝一期之本數蓋本現行時憲書節氣遞加嵗差推而上之有以得其數也上考甲厯之數天以六節地以五制五六之合得六十天地之體數也即如每期三百六十日又五日為六十時又四分日之一為三百六十分皆體數也設天用此數行嵗氣自甲年子正初刻一分冬至乙年交夘正初刻丙年交午正初刻丁年交酉正初刻戊年復交子正初刻分杪皆較若畫一毫無盈縮曷由變而通之以盡利惟於其中虚五十秒而數之用以行焉今就前所積嵗實伍之以五則為五十日者七為五十時者三為五十刻者五為五十分者四為五十秒者一十有一合日時刻分秒五者計之凡為五十者得三十參之以三也其間每節每氣自時刻分秒至於纎微皆可以五十遞數之而盡故五十者天地之用數也昔者聖人既則河圖以作易又則洛書以生蓍其法以竒參天數之五為三十以耦兩地數之四為二十邀得大衍之數五十其衍蓍之法虚一以象太極之動分二以象天地之分掛一以象人之配兩大為三才因而揲四以象四時之流行歸竒以象閏餘之成嵗孔子稱其圓而神以其法天地之用數也新法厯書云太陽之行黄道每日五十九分八秒有竒所謂平行度分也每冬月一日計行一度一分有竒以較平行盈二分矣每夏月一日計行五十七分有竒以較平行縮二分矣終嵗之間但逢最髙限最畢限二日平實二行度數惟一此外兩行之較日日不等此蓋總一嵗之實行均為毎日之平行而日用整數度用散數算之今逐節逐氣各紀其平行故冬至交小寒中積十四日八時三刻十四分二十秒日右行十五度因以知每十一時六刻一分五十七秒二十微行一度夏至交小暑中積十五日八時七刻零二十秒日右行十五度因以知每十二時四刻十一分一秒二十微行一度此特度用整數日用散數計之耳然其實則一也天左旋日月亦左旋其説發自横渠而朱子宗之以為天進一度則日為退一度所見至確矣但謂厯家以進數難算止以退數算之故謂之右行此則語焉似有未詳者何也日兼晝夜𤾉谷出日在東昧谷納日在西是日之隨天左旋懸象著明亘古昭然矣再細推之由昧爽而平旦而日出而食時而正午而偏西而日入而黄昏而人定而夜半而雞鳴而又昧爽此大明每日自行一周之數無論出夘入酉出寅入戌出辰入申其為左旋隨時測驗易見易知者也至若算日躔十二宫次所在之宿度則每日循黄道自西而東雖逐節逐氣皆可測驗安得不謂之右行且所稱進數者天進一度之數非難算也堯典曰日中星鳥以殷仲春言春分時之初昏朱鳥當南方午位也由是夏至鳥轉而西火轉而南故曰日永星火以正仲夏由是秋分火轉而西虚轉而南故曰宵中星虚以殷仲秋由是冬至虚轉而西昴轉而南故曰日短星昴以正仲冬凡此皆以天左旋進數之中星驗中氣乃四正之限也雖若與日無涉然凡稱昏旦者日中宵中日永日短之昏旦由太陽之出入為之於此測知中星何宿即可循周天宫度以推日躔所在何宿蓋其一進一退之限分數如一而不踰也况中星之宿古今不同亦如日躔之值宿古今不同皆由恒星東行厯嵗漸差使之然故中星嵗差與日躔嵗差二事一理可互相證驗凡厯家於昏旦測中星則算進數於節氣測日躔則算退數両者並用彼此互證不得參差乃治厯之要務其非進數難算止算退數亦甚明矣嵗氣之始行既定為三百六十五日二時七刻十四分十秒然則古今之嵗氣其積實所以漸差者何也天體渾圜包於地外健行不息其體氣積漸而遞𦂳測嵗實亦積漸而遞減以今推之每閲二百一十六期每節每氣各減日之五十微合二十四氣共減一千二百微以每秒六十微收之共減二十秒於日為一分三之一前所謂推减差之數以遡天行之始者本此言之也嘗考厯學新説論節氣嵗差之法自統天授時二家始授時每年差二秒統天每年差二抄有竒其自立新法不及二秒而每年増損無定則是以人意為之於理數無所根據也今按衍蓍求卦之法四營而成一變每變於分二掛一之後揲四以象四時是以一揲象一年也如初變十一揲歸竒四再變十揲歸竒三三變九揲歸竒亦三歸竒三少者為乾由三十揲得之即三十年初變十揲歸竒八再變八揲歸竒七三變六揲歸竒亦七歸竒三多者為坤由二十四揲得之即二十四年故乾坤之合五十四年初變十一揲歸竒四再變九揲歸竒七三變七揲歸竒亦七歸竒二多初一少者為震由二十七揲得之即二十七年初變十揲歸竒八再變九揲歸竒三三變八揲歸竒亦三歸竒二少初一多者為巽由二十七揲得之即二十七年故震巽之合五十四年初變十揲歸竒八再變九揲歸竒三三變七揲歸竒七歸竒二多中一少者為坎由二十六揲得之即二十六年初變十一揲歸竒四再變九揲歸竒七三變八揲歸竒三歸竒二少中一多者為離由二十八揲得之即二十八年故坎離之合五十四年初變十揲歸竒八再變八揲歸竒七三變七揲歸竒三歸竒二多末一少者為艮由二十五揲得之即二十五年初變十一揲歸竒四再變十揲歸竒三三變八揲歸竒七歸竒二少末一多者為兑由二十九揲得之即二十九年故艮兑之合五十四年凡三變成爻則歸竒象卦總八卦揲四之數得二百一十六年今推天行閲二百一十六期恒星東行移三度而嵗氣一變然則易之三變成爻蓋亦天地變化聖人效之之一端也且乾為八卦之綱當十有八變歸竒皆乾則得乾之策二百一十有六老陽之數用九而變者也天以陽職生陽數極於九故嵗氣流行積至二百一十六期凡為九者得二十有四與坤策合而嵗氣一變惟變乃通惟通乃久天之道也是以乾之策亦象之且五十者天地之用數用數起於微秒故節氣遞減之數亦以五十微為率焉日躔所以嵗差何也恭讀御製厯象考成曰嵗差者太陽每嵗與恒星相距之分也如今年冬至太陽躔某宿度至明年冬至不能躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之覺至晉虞喜始知之因立差法厯代治厯者宗焉而所定之數各家不同喜以為五十年差一度劉宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋楊忠輔以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒約之得每年差五十二秒半元郭守敬因之較諸家為密今新法實測晷影驗之中星得七十年有餘而差一度每年差五十一秒此所差之數在古法為冬至西移之度新法為恒星東行之度徴之天象恒星原有動移則新法之理長也又曰古厯俱謂恒星不動而黄道西移今謂黄道不動而恒星東行蓋使恒星不動而黄道西移則恒星之黄道經緯度宜每嵗不同而赤道經緯度宜終古不變今測恒星之黄道經度每嵗東行而緯度不變至於赤道經度則逐嵗不同而緯度尤甚自星紀至鶉首六宫星在赤道南者緯度古多而今漸少在赤道北者緯度古少而今漸多自鶉首至星紀六宫星在赤道南者緯度古少而今漸多在赤道北者緯度古多而今漸少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以過赤道南在赤道南者亦可以過赤道北則恒星循黄道東行而非黄道之西移明矣又曰新法厯書載西人第谷以前恒星東行之數或云百年而行一度或云七十餘年而行一度或云六十餘年而行一度隨時修改訖無定數與古厯累改嵗差之意同迨至第谷殫精推測方定恒星東行五十一秒約七十年有餘而行一度而元郭守敬所定亦為近之至今一百餘年驗之於天雖無差忒但星行微渺必厯年多其差乃見然則第谷所定之數亦未可泥為定率惟隨時測驗依天行以定其數可也大哉聖訓乎允夫至精又至慎矣折衷羣議特采恒星東行之説明其理長此擇之之至精也然星行微渺雖第谷之殫精推測定為東行五十一秒驗無差忒猶未可泥為定率而必隨時測驗推合天行此行之之至慎也竊嘗遵是思之日躔及嵗氣雖各有遞差之故然揆諸天行之終則有始兩者殆相為表裏其理數可以互證蓋五十者天之用數則恒星東行蓋亦每年五十秒至七十二年而東行一度今先列天行之五運而詳其説於後甲子年甲子月甲子日甲子時正初刻一分内一秒冬至起至次年冬至得嵗實三百六十五日二時七刻十四分十秒此天行之始數也閲二百一十六期則嵗實減二十秒凡厯二百一十六期者得一百二十囬每囬遞減嵗實二十秒則積二萬五千九百二十期總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日無餘分至甲子年甲子月辛亥夜庚子時初三刻止為甲子運甲子年甲子月壬子日庚子時正初刻一分内一秒冬至起如前積二萬五千九百二十期總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日無餘分至甲子年甲子月己亥夜丙子時初三刻止為壬子運甲子年甲子月庚子日丙子時正初刻一分内一秒冬至起如前積二萬五千九百二十期總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日無餘分至甲子年甲子月丁亥夜壬子時初三刻止為庚子運甲子年甲子月戊子日壬子時正初刻一分内一秒冬至起如前積二萬五千九百二十期總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日無餘分至甲子年甲子月乙亥夜戊子時初三刻止為戊子運甲子年甲子月丙子日戊子時正初刻一分内一秒冬至起如前積二萬五千九百二十期總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日無餘分至甲子年甲子月癸亥夜甲子時初三刻止為丙子運以上五運年月皆起甲子而日幹不同故取日幹之甲壬庚戊丙為五運之綱甲隔八生壬壬隔八生庚庚隔八生戊戊隔八生丙皆陽幹也八卦納甲之法乾納甲壬震納庚坎納戊艮納丙陽卦納陽幹而隂卦即隨之以具殆取諸此耳夫嵗實小餘昔多今少漸次改易厯家近測其分數亦甚曉然然前既由多以漸少則後必由少以返多而昔之多者其數於何而始今之少者其數於何而終此則諸家皆未嘗有定論也竊見求厯元者每上推夫初時冬至嵗月日時皆㑹甲子而七政悉由此起算者以為元其意亦欲遡天行之始耳今倣其意而取卲子一元之數分為五運每運中嵗實如數遞減恒星逐年東行日躔之值宿亦如數漸差至於嵗氣暨日躔之差皆無餘分則前運之終即後運之始終始相嬗而得五運總五運計之得一十二萬九千六百年即卲子所謂一元者也迨丙子運之終又隔八生甲而循環無竆矣卲子謂周天三百六十度毎度三百六十年因之得一元之數今以恒星七十二年差一度為主則三百六十年而差五度故五運即本是以分焉然所謂嵗氣暨日躔之差皆無餘分者何也周天三百六十度度析六十分分析六十秒則每度三千六百秒當甲子嵗子月子日子正初刻一分冬至之時日躔星紀初度之初其宿值室十一度之第三十九分此天行之始也由此起數閲一期交冬至恒星東行五十秒日躔所值之宿度即差五十秒故七十二期而差一度焉閲二百一十六期日躔差三度而嵗實亦減二十秒是謂天氣一小變積二百一十六期之數至一百二十囬得二萬五千九百二十期恒星東行恰周三百六十度則日躔值宿之差既無餘分總其嵗實得九百四十六萬六千九百零八日而一陽氣至恰於甲子年甲子月壬子日子正初刻一分日躔星紀初度之初其宿仍值室十一度之第三十九分則嵗氣之差亦無餘分矣餘運同此推之故曰節氣差與日躔嵗差事相表裏其理數可以互參而得之也今列甲子運百二十囬於後甲子運一(毎期三百六十五日二時七刻十四分十秒)甲子年甲子月甲子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日十時四刻至庚子年丙子月丁巳日戌正三刻止甲子運二(毎期三百六十五日二時七刻十三分五十秒)庚子年丙子月丁巳日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日九時七刻三分至丙子年戊子月辛亥日申正三刻五分止甲子運三(每期三百六十五日二時七刻十三分三十秒)丙子年戊子月辛亥日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日九時二刻六分至壬子年庚子月乙巳日午初一刻九分止甲子運四(每期三百六十三日二時七刻十三分十秒)壬子年庚子月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日八時五刻九分至戊子年壬子月己亥日寅正三刻二分止甲子運五(每期三百六十五日二時七刻十二分五十秒)戊子年壬子月己亥日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日八時零十二分至甲子年申子月壬辰日戊正三刻止甲子運六(每期三百六十五日二時七刻十二分三十秒)甲子年甲子月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日七時四刻至庚子年丙子月丙戌日午初三刻止甲子運七(每期三百六十五日二時七刻十二分十秒)庚子年丙子月丙戌日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日六時七刻三分至丙子年戊子月庚辰日丑初三刻三分止甲子運八(毎期三百六十五日二時七刻十一分五十秒)丙子年戊子月庚辰日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日六時二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子運九(每期三百六十五日二時七刻十一分三十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日五時五刻九分至戊子年壬子月丁卯日丑初三刻三分止甲子運十(毎期三百六十五日二時七刻十一分十秒)戊子年壬子月丁卯日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日五時零十二分至甲子年甲子月庚申日午初三刻止甲子運十一(每期三百六十五日二時七刻十分五十秒)甲子年甲子月庚申日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日四時四刻至庚子年丙子月癸丑日戊正三刻止甲子運十二(每期三百六十五日二時七刻十分三十秒)庚子年丙子月癸丑日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日三時七刻三分至丙子年戊子月丁未日寅正三刻三分止甲子運十三(每期三百六十五日二時七刻十分十秒)丙子年戊子月丁未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日三時二刻六分至壬子年庚子月庚子日午初一刻九分止甲子運十四(毎期三百六十五日二時七刻九分五十秒)壬子年庚子月庚子日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日二時五刻九分至戊子年壬子月癸巳日申正三刻三分止甲子運十五(每期三百六十五日二時七刻九分三十秒)戊子年壬子月癸巳日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日二時零十二分至甲子年甲子月丙戌日戌正三刻止甲子運十六(每期三百六十五日二時七刻九分十秒)甲子年甲子月丙戌日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日一時四刻至庚子年丙子月己卯夜子初三刻止甲子運十七(每期三百六十五日二時七刻八分五十秒)庚子年丙子月庚辰日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日零七刻三分至丙子年戊子月癸酉日丑初三刻三分止甲子運十八(毎期三百六十五日二時七刻八分三十秒)丙子年戊子月癸酉日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十三日零二刻六分至壬子年庚子月丙寅日丑正一刻九分止甲子運十九(每期三百六十五日二時七刻八分十秒)壬子年庚子月丙寅日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日十一時五刻九分至戊子年壬子月己未日丑初三刻三分止甲子運二十(毎期三百六十五日二時七刻七分五十秒)戊子年壬子月己未日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日十一時零十二分至甲子年甲子月辛亥夜子初三刻止甲子運二十一(每期三百六十五日二時七刻七分三十秒)甲子年甲子月壬子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日十時四刻至庚子年丙子月甲辰日戌正三刻止甲子運二十二(每期三百六十五日二時七刻七分十秒)庚子年丙子月甲辰日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日九時七刻三分至丙子年戊子月丁酉日申正三刻三分止甲子運二十三(毎期三百六十五日二時七刻六分五十秒)丙子年戊子月丁酉日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日九時二刻六分至壬子年庚子月庚寅日午初一刻九分止甲子運二十四(毎期三百六十五日二時七刻六分三十秒)壬子年庚子月庚寅日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日八時五刻九分至戊子年壬子月癸未日寅正三刻三分止甲子運二十五(每期三百六十五日二時七刻六分十秒)戊子年壬子月癸未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日八時零十二分至甲子年甲子月己亥日戌正三刻止甲子運二十六(毎期三百六十五日二時七刻五分五十秒)甲子年甲子月乙亥日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日七時四刻至庚子年丙子月戊辰日午初三刻止甲子運二十七(毎期三百六十五日二時七刻五分三十秒)庚子年丙子月戊辰日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日六時七刻三分至丙子年戊子月辛酉日丑初三刻三分止甲子運二十八(毎期三百六十五日二時七刻五分十秒)丙子年戊子月辛酉日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日六時二刻六分至壬子年庚子月癸丑日未正一刻九分止甲子運二十九(每期三百六十五日二時七刻四分五十秒)壬子年庚子月癸丑日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日五時五刻九分至戊子年壬子月丙午日丑初三刻三分止甲子運三十(毎期三百六十五日二時七刻四分三十秒)戊子年壬子月丙午日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日五時零十二分至甲子年甲子月戊戌日午初三刻止甲子運三十一(毎期三百六十五日二時七刻四分十秒)甲子年甲子月戊戌日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日四時四刻至庚子年丙子月庚寅日戌正三刻止甲子運三十二(毎期三百六十五日二時七刻三分五十秒)庚子年丙子月庚寅日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日三時七刻三分至丙子年戊子月癸未日寅正三刻三分止甲子運三十三(每期三百六十五日二時七刻三分三十抄)丙子年戊子月癸未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日三時二刻六分至壬子年庚子月乙亥日午初一刻九分止甲子運三十四(每期三百六十五日二時七刻三分十秒)壬子年庚子月乙亥日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日二時五刻九分至戊子年壬子月丁夘日申正三刻三分止甲子運三十五(每期三百六十五日二時七刻二分五十秒)戊子年壬子月丁卯日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日二時零十二分至甲子年甲子月己未日戌正三刻止甲子運三十六(毎期三百六十五日二時七刻二分三十秒)甲子年甲子月己未日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日一時四刻至庚子年丙子月辛亥日子初三刻止甲子運三十七(每期三百六十五日二時七刻二分十秒)庚子年丙子月壬子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日零七刻三分至丙子年戊子月甲辰日丑初三刻三分止甲子運三十八(每期三百六十五日二時七刻一分五十秒)丙子年戊子月甲辰日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十二日零二刻六分至壬子年庚子月丙申日丑正一刻九分止甲子運三十九(每期三百六十五日二時七刻一分三十秒)壬子年庚子月丙申日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日十一時五刻九分至戊子年壬子月戊子日丑初三刻三分止甲子運四十(每期三百六十五日二時七刻一分十秒)戊子年壬子月戊子日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日十一時零十二分至甲子年甲子月己卯夜子初三刻止甲子運四十一(每期三百六十五日二時七刻零五十秒)甲子年甲子月庚辰日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日十時四刻至庚子年丙子月辛未日戌正三刻止甲子運四十二(每期三百六十五日二時七刻零三十秒)庚子年丙子月辛未日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日九時七刻三分至丙子年戊子月癸亥日申正三刻三分止甲子運四十三(每期三百六十五日二時七刻零十秒)丙子年戊子月癸亥日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日九時二刻六分至壬子年庚子月乙卯日午初一刻九分止甲子運四十四(每期三百六十五日二時六刻十四分五十秒)壬子年庚子月乙卯日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日八時五刻九分至戊子年壬子月丁未日寅正三刻三分止甲子運四十五(每期三百六十五日二時六刻十四分三十秒)戊子年壬子月丁未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日八時十二分至甲子年甲子月戊戌日戌正三刻止甲子運四十六(毎期三百六十五日二時六刻十四分十秒)甲子年甲子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日七時四刻至庚子年丙子月庚寅日午初三刻止甲子運四十七(毎期三百六十五日二時六刻十三分五十秒)庚子年丙子月庚寅日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日六時七刻三分至丙子年戊子月壬午日丑初三刻三分止甲子運四十八(毎期三百六十五日二時六刻十三分三十秒)丙子年戊子月壬午日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日六時二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子運四十九(每期三百六十五日二時六刻十三分十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日五時五刻九分至戊子年壬子月乙丑日丑初三刻三分止甲子運五十(每期三百六十五日二時六刻十二分五十秒)戊子年壬子月乙丑日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日五時零十二分至甲子年甲子月丙辰日午初三刻止甲子運五十一(毎期三百六十五日二時六刻十二分三十秒)甲子年甲子月丙辰日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日四時四刻至庚子年丙子月丁未日戌正三刻止甲子運五十二(毎期三百六十五日二時六刻十二分十秒)庚子年丙子月丁未日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日三時七刻三分至丙子年戊子月己亥日寅正三刻三分止甲子運五十三(毎期三百六十五日二時六刻十一分五十秒)丙子年戊子月己亥日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日三時二刻六分至壬子年庚子月庚寅日午初一刻九分止甲子運五十四(每期三百六十五日二時六刻十一分三十秒)壬子年庚子月庚寅日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日二時五刻九分至戊子年壬子月辛巳日申正三刻三分止甲子運五十五(毎期三百六十五日二時六刻十一分十秒)戊子年壬子月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日二時零十二分至甲子年甲子月壬申日戌正三刻止甲子運五十六(毎期三百六十五日二時六刻十分五十秒)甲子年甲子月壬申日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日一時四刻至庚子年丙子月癸亥夜子初三刻止甲子運五十七(毎期三百六十五日二時六刻十分三十秒)庚子年丙子月甲子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日零七刻三分至丙子年戊子月乙卯日丑初三刻三分止甲子運五十八(毎期三百六十五日二時六刻十分十秒)丙子年戊子月乙卯日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十一日零二刻六分至壬子年庚子月丙午日丑正一刻九分止甲子運五十九(毎期三百六十五日二時六刻九分五十秒)壬子年庚子月丙午日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日十一時五刻九分至戊子年壬子月丁酉日丑初三刻三分止甲子運六十(每期三百六十五日二時六刻九分三十秒)戊子年壬子月丁酉日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日十一時零十二分至甲子年甲子月丁亥夜子初三刻止甲子運六十一(每期三百六十五日二時六刻九分十秒)甲子年甲子月戊子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日十時四刻至庚子年丙子月戊寅日戌正三刻止甲子運六十二(毎期三百六十五日二時六刻八分五十秒)庚子年丙子月戊寅日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日九時七刻三分至丙子年戊子月己巳日申正三刻三分止甲子運六十三(毎期三百六十五日二時六刻八分三十秒)丙子年戊子月己巳日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日九時二刻六分至壬子年庚子月庚申日午初一刻九分止甲子運六十四(每期三百六十五日二時六刻八分十秒)壬子年庚子月庚申日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日八時五刻九分至戊子年壬子月辛亥日寅正三刻三分止甲子運六十五(每期三百六十五日二時六刻七分五十秒)戊子年壬子月辛亥日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日八時零十二分至甲子年甲子月辛丑日戌正三刻止甲子運六十六(毎期三百六十五日二時六刻七分三十秒)甲子年甲子月辛丑日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日七時四刻至庚子年丙子月壬辰日午初三刻止甲子運六十七(毎期三百六十五日二時六刻七分十秒)庚子年丙子月壬辰日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日六時七刻三分至丙子年戊子月癸未日丑初三刻三分止甲子運六十八(毎期三百六十五日二時六刻六分五十秒)丙子年戊子月癸未日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日六時二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子運六十九(毎期三百六十五日二時六刻六分三十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日五時五刻九分至戊子年壬子月甲子日丑初三刻三分止甲子運七十每期(三百六十五日二時六刻六分十秒)戊子年壬子月甲子日丑初五刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日五時零十二分至甲子年甲子月甲寅日午初三刻止甲子運七十一(每期三百六十五日二時六刻五分五十秒)甲子年甲子月甲寅日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日四時四刻至庚子年丙子月甲辰日戌正三刻止甲子運七十二(毎期三百六十五日二時六刻五分三十秒)庚子年丙子月甲辰日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日三時七刻三分至丙子年戊子月乙未日寅正三刻三分止甲子運七十三(每期三百六十五日二時六刻五分十秒)丙子年戊子月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日三時二刻六分至壬子年庚子月乙酉日午初一刻九分止甲子運七十四(毎期三百六十五日二時六刻四分五十秒)壬子年庚子月乙酉日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日二時五刻九分至戊子年壬子月乙亥日申正三刻三分止甲子運七十五(每期三百六十五日二時六刻四分三十秒)戊子年壬子月乙亥日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日二時零十二分至甲子年甲子月乙丑日戌正三刻止甲子運七十六(每期三百六十五日二時六刻四分十秒)甲子年甲子月乙丑日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日一時四刻至庚子年丙子月乙卯夜子初三刻止甲子運七十七(毎期三百六十五日二時六刻三分五十秒)庚子年丙子月丙辰日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日零七刻三分至丙子年戊子月丙午日丑初三刻三分止甲子運七十八(每期三百六十五日二時六刻三分三十秒)丙子年戊子月丙午日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百九十日零二刻六分至壬子年庚子月丙申日丑正一刻九分止甲子運七十九每期(三百六十五日二時六刻三分十秒)壬子年庚子月丙申日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日十一時五刻九分至戊子年壬子月丙戌日丑初三刻三分止甲子運八十(毎期三百六十五日二時六刻二分五十秒)戊子年壬子月丙戌日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日十一時零十二分至甲子年甲子月乙亥夜子初三刻止甲子運八十一(每期三百六十五日二時六刻二分三十秒)甲子年甲子月丙子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日十時四刻至庚子年丙子月乙丑日戌正三刻止甲子運八十二(毎期三百六十五日二時六刻二分十秒)庚子年丙子月乙丑日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日九時七刻三分至丙子年戊子月乙夘日申正三刻三分止甲子運八十三(每期三百六十五日二時六刻一分五十秒)丙子年戊子月乙卯日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日九時二刻六分至壬子年庚子月乙巳日午初一刻九分止甲子運八十四(每期三百六十五日二時六刻一分三十秒)壬子年庚子月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日八時五刻九分至戊子年壬子月乙未日寅正三刻三分止甲子運八十五(每期三百六十五日二時六刻一分十秒)戊子年壬子月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日八時零十二分至甲子年甲子月甲申日戌正三刻止甲子運八十六(每期三百六十五日二時六刻零五十秒)甲子年甲子月甲申日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日七時四刻至庚子年丙子月甲戌日午初三刻止甲子運八十七(毎期三百六十五日二時六刻零三十秒)庚子年丙子月甲戌日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日六時七刻三分至丙子年戊子月甲子日丑初三刻三分止甲子運八十八(每期三百六十五日二時六刻零十秒)丙子年戊子月甲子日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日六時二刻六分至壬子年庚子月癸丑日未正一刻九分止甲子運八十九(每期三百六十五日二時五刻十四分五十秒)壬子年庚子月癸丑日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日五時五刻九分至戊子年壬子月癸卯日丑初三刻三分止甲子運九十(每期三百六十五日二時五刻十四分三十秒)戊子年壬子月癸卯日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日五時零十二分至甲子年甲子月壬辰日午初三刻止甲子運九十一(毎期三百六十五日二時五刻十四分十秒)甲子年甲子月壬辰日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日四時四刻至庚子年丙子月辛巳日戌正三刻止甲子運九十二(每期三百六十五日二時五刻十三分五十秒)庚子年丙子月辛巳日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日三時七刻三分至丙子年戊子月辛未日寅正三刻三分止甲子運九十三(毎期三百六十五日二時五刻十三分三十秒)丙子年戊子月辛未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日三時二刻六分至壬子年庚子月庚申日午初一刻九分止甲子運九十四(每期三百六十五日二時五刻十三分十秒)壬子年庚子月庚申日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日二時五刻九分至戊子年壬子月己酉日申正三刻三分止甲子運九十五(毎期三百六十五日二時五刻十二分五十秒)戊子年壬子月己酉日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日二時零十二分至甲子年甲子月戊戌日戌正三刻止甲子運九十六(毎期三百六十五日二時五刻十二分三十秒)甲子年甲子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日一時四刻至庚子年丙子月丁亥夜子初三刻止甲子運九十七(毎期三百六十五日二時五刻十二分十秒)庚子年丙子月戊子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日零七刻三分至丙子年戊子月丁丑日丑初三刻三分止甲子運九十八(毎期三百六十五日二時五刻十一分五十秒)丙子年戊子月丁丑日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十九日零二刻六分至壬子年庚子月丙寅日丑正一刻九分止甲子運九十九(毎期三百六十五日二時五刻十一分三十秒)壬子年庚子月丙寅日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日十一時五刻九分至戊子年壬子月乙卯日丑初三刻三分止甲子運一百(毎期三百六十五日二時五刻十一分十秒)戊子年壬子月乙卯日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日十一時零十二分至甲子年甲子月癸卯夜子初三刻止甲子運百有一(每期三百六十五日二時五刻十分五十秒)甲子年甲子月甲辰日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日十時四刻至庚子年丙子月壬辰日戌正三刻止甲子運百有二(毎期三百六十五日二時五刻十分三十秒)庚子年丙子月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日九時七刻三分至丙子年戊子月辛巳日申正三刻三分止甲子運百有三(毎期三百六十五日二時五刻十分十秒)丙子年戊子月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日九時二刻六分至壬子年庚子月庚午日午初一刻九分止甲子運百有四(毎期三百六十五日二時五刻九分五十秒)壬子年庚子月庚午日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日八時五刻九分至戊子年壬子月己未日寅正三刻三分止甲子運百有五(每期三百六十五日二時五刻九分三十秒)戊子年壬子月己未日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日八時零十二分至甲子年甲子月丁未日戌正三刻止甲子運百有六(每期三百六十五日二時五刻九分十秒)甲子年甲子月丁未日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日七時四刻至庚子年丙子月丙申日午初三刻止甲子運百有七(每期三百六十五日二時五刻八分五十秒)庚子年丙子月丙申日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日六時七刻三分至丙子年戊子月乙酉日丑初三刻三分止甲子運百有八(每期三百六十五日二時五刻八分三十秒)丙子年戊子月乙酉日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日六時二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子運百有九(每期三百六十五日二時五刻八分十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日五時五刻九分至戊子年壬子月壬戌日丑初三刻三分止甲子運百一十(每期三百六十五日二時五刻七分五十秒)戊子年壬子月壬戌日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日五時零十二分至甲子年甲子月庚戌日午初三刻止甲子運百十一(毎期三百六十五日二時五刻七分三十秒)甲子年甲子月庚戌日午正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日四時四刻至庚子年丙子月戊戌日戌正三刻止甲子運百十二(毎期三百六十五日二時五刻七分十秒)庚子年丙子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日三時七刻三分至丙子年戊子月丁亥日寅正三刻三分止甲子運百十三(毎期三百六十五日二時五刻六分五十秒)丙子年戊子月丁亥日寅正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日三時二刻六分至壬子年庚子月乙亥日午初一刻九分止甲子運百十四(毎期三百六十五日二時五刻六分三十秒)壬子年庚子月乙亥日午初一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日二時五刻九分至戊子年壬子月癸亥日申正三刻三分止甲子運百十五(毎期三百六十五日二時五刻六分十秒)戊子年壬子月癸亥日申正三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日二時零十二分至甲子年甲子月辛亥日戌正三刻止甲子運百十六(毎期三百六十五日二時五刻五分五十秒)甲子年甲子月辛亥日亥初初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日一時四刻至庚子年丙子月己亥夜子初三刻止甲子運百十七(毎期三百六十五日二時五刻五分三十秒)庚子年丙子月庚子日子正初刻一分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日零七刻三分至丙子年戊子月戊子日丑初三刻三分止甲子運百十八(毎期三百六十五日二時五刻五分十秒)丙子年戊子月戊子日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十八日零二刻六分至壬子年庚子月丙子日丑正一刻九分止甲子運百十九(毎期三百六十五日二時五刻四分五十秒)壬子年庚子月丙子日丑正一刻十分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十七日十一時五刻九分至戊子年壬子月甲子日丑初三刻三分止甲子運百二十(毎期三百六十五日二時五刻四分三十秒)戊子年壬子月甲子日丑初三刻四分内一秒冬至閲二百十六期積七萬八千八百八十七日十一時零十二分至甲子年甲子月辛亥夜子初三刻止以上甲子運一百二十回乃節氣遞差之全數也設以一百二十囘二百十六期之嵗實為率以後不減則二萬五千九百二十年共得嵗實九百四十六萬七千二百六十五日若如遞減之數算之則得九百四十六萬六千九百零八日較前數减三百五十七日所差不為不多矣然新法日數一千四百四十分今于一百二十囘内取末囘最少之嵗實與首囘最多者相較終年僅減日之三十九分四十秒耳均攤於每節每氣各減日之一分三十九秒十微耳人亦何由覺其節氣之稍促乎此大造自然之妙也恆星東行每七十二年移一度凡爲七十二年者得三百六十而天度一周即天運一大周亦猶嵗氣之一終也如運首嵗月日時皆㑹甲子當子正初刻一陽氣至日躔星紀宫初度之初其宿值室十一度第三十九分則每七十二年移一度者即從此起數而以甲子丙子戊子庚子壬子為序次周而復始本之以求日躔值宿之漸差分秒可得而推也以二百一十六期推之則甲庚丙壬戊五子年周而復始其每囘之首冬至陽生所值日辰總以運一之甲子日爲綱乃取二百十六期所積之嵗實而以甲子除之其季餘五十四日不足此不足一日者即運二之首日也首日冬至在亥時則五十五日以起運三之首日迨嵗氣以漸而減日數亦以漸而減由五十四減至五十三五十二五十一以至五十及于四十有九則甲子運之終又起壬子運之始矣凡冬至陽生嵗月日特其大綱而積實必以氣至之時刻為主雖分秒不可得而畧庶差數乃可得而推然差數之行於天者皆自然之運今取百二十囘如象限之數而四分之各六千四百八十年為七十二年者得九十即恆星東行九十度之數也其一陽氣至運一在子正初刻一分三十一在午正初刻一分六十一在子正初刻一分九十一在午正初刻一分子午者中氣之正限也再如紀限之數而六分之各四千三百二十年為七十二年者得六十即恆星東行六十度之數也其一陽氣至運一二十一四十一六十一八十一百有一皆在子正初刻一分子中者陽生之本紀也再如宫次之數而十二分之各二千一百六十年為七十二年者得三十即恆星東行三十度之數也其一陽氣至運一子正初刻一分十一午正初刻一分以後循序求之皆相間得子午之中日躔過宫必當毎宫之首中氣之所由生也再如節氣之數而二十四分之各一千零八十年為七十二年者得十有五即恆星東行十五度之數也其間運六十六二十六三十六四十六五十六六十六七十六八十六九十六百有六百十六諸囘之首於宫次為日躔十五度之初而冬至皆在亥初初刻一分蓋天心來復開於子半而乾知大始起於亥初是亥者初氣之母故以氣至於亥初初刻者應之也且運一之嵗實三百六十五日二時七刻十四分十秒乃天行之本數履端於始者也若其嵗氣遞差則數始於運二故運二之首氣至在亥初初而運七在午正初運十二之首氣至亦在亥初初而運十七在子正初以後二十二三十二三十七以至百有二百十七莫不皆然亦如節氣之例以亥初應初氣子正午正當中氣有條不紊也至於百十七囘之首則日數之減至四十有九者其日幹由庚子戊子丙子各隔八相生以至於百二十囘首之甲子則下起壬子運矣其餘回氣至多在寅申丑未時而刻分有常井井不亂凡此皆天運自然之分數非人巧所能安排當分運推算之始初非意計所及迨每囘各冠以嵗月日時甲厯之數乃見其條理如此故標明之以便閲焉宋史天文志序太陽一日行一度近嵗紀元厯定嵗差約退一分四十餘秒蓋太陽日行一度而遲緩一年周天而微差積累分秒而躔度見焉厯象考之萬五千年之後所差半周天寒暑將易位世未有知其説者焉今按太陽日行一度而微遲緩即新法推太陽之行黄道其平行度分每日五十九分八秒有竒是也然其實行則每冬月一日計行一度一分有竒以較平行盈二分每夏月一日計行五十七分有竒以較平行縮二分又且兩行之較日日不等此節氣長短之所由定總計其長短之數即每年嵗實之所由積也使但計平行則節氣平列無長短之分而於太陽每日之實行未能測驗以得其真矣蓋十二宫次與十二月建相配亘古不易其常者也然中氣生於月建之中則日躔過在宫次之初初氣生於月建之初則日躔臨於宫次之中此則參伍錯綜以通其變非截然各分界限故遞嬗密運往來相續而不竆也且天惟每日一周而左旋進一度故在日即為隨天一周而右行移一度此其一左一右乃二十四節氣所由生而四時於是乎成焉設天與日當冬至陽生之時同起於星紀初度之初毎日一周而同復於原界天旣不左進一度日亦不能右移一度每日如是以致終嵗如是則日躔無由厯十二宫次右轉以生節氣而寒暑何以遞更哉雖然天每日左進日每日右移以成嵗功此亦亘古有常而不易者不得卽於此中求差數也蓋嵗實小餘之由多漸少舊術稱曰嵗差其實非嵗嵗而差也即如由冬至交小寒中積十四日八時三刻十四分二十秒以十五度分之每十一時六刻一分五十七秒二十微天左旋一周又進一度日惟左旋一周而以不及天之一度為右轉此天行之始數也及閲二百十六期之後冬至交小寒中積減五十微則每十一時六刻一分五十七秒十六微四十纎天一周進一度日僅一周亦如之是較前數每年減三微二十纎故總計其嵗實為每囘減二十秒以後每囘率是而遞減之此嵗實小餘所以古多今少也設使嵗實不以次遞減則氣運無所遷移何以綿古今之運㑹竆則變變則通通則久哉至於列宿各有本宫而不常居其本宫者天每日左旋一周而進一度列宿亦隨之一周而進一度故日躔得以逐日右移其宿度周於十二宫以成嵗然列宿之毎日進一度以較日躔東移度之八微二十纎以每節毎氣計之各東移二秒五微故總終嵗計之與日躔值宿相較爲毎年東行五十秒惟其每年東行閲七十二年移一度故列宿以漸循行十二宫次閲二萬五千九百二十年爲一大周天乃能終則有始以成五運而循環于不已此其意象蓋與十二律旋相爲宫以成六十調者大畧相似也設列宿各安本宫無所移動不與嵗氣之遞減相應則恆星之繫於天不過塊然之物物則不通而貞元何以迭轉乎由斯觀之日躔毎日右行以值宿度者所以成嵗功嵗氣漸減恆星漸東而㑹於兩無餘分旣周復始者所以成運㑹也然探乎其本則皆由於天之毎日左旋一周又進一度者以生之故易曰乾元亨利貞言元亨利貞之迭運近則嵗月日時遠則億千萬載皆此乾乾不息日進無疆者為之也今宋史紀元以為太陽一年周天而微差積累分秒而躔度見焉是以太陽每日之平行與節氣日躔兩差牽混爲一事無惑乎謂嵗差約退一分四十餘秒更無惑乎日躔之差不識為恆星東行而指爲黄道西移也若向來司厯者所定冬至其時刻分秒固多不協天行然使其積久或至後天五六日全差一候則窺之以儀器測之于晷影必能覺之如猶未覺而後天至於十五六日全差一節氣不但窺儀測晷易於覺悟即驗諸時物氣候必有覺其謬者旣覺而修改之縱不能切合天行不過如漢晉間後天三日之類耳又何憂于萬五千年之後所差半周天而寒暑將易位乎此其持議迂愚頗類于杞人之憂且未明乎日躔值宿之差由一度數度以至於半周天皆自然之理必然之數而於寒暑兩不相妨讀宋史者不可不知也向來厯家每推太古冬至之時嵗月日時皆㑹甲子而七政悉從此起算者以爲厯元然六十年一甲子其本近測以推上古茫無畔岸類多遷就以求合故積年之久近各家不同亦各説不一此編先以恆星東行七十二年移一度者為主乃如一元之嵗數而取其每度三百六十年者以五分之每度七十二年是謂五運其嵗實則取小餘五日四分日之一者如大衍之數虛其五十秒以爲始行之本數其節氣差則用乾之策二百一十有六爲遞差之節次每節每氣亦以五十微爲率如大衍之數然後如納甲法以甲壬庚戊丙納於五子日為五運之綱冬至陽生皆以子正初刻一分内一秒為氣至之始乃推其每囘之首氣至之時嵗月日時各循甲子之序紀其幹枝故逐囘逐年之嵗實先定刻分秒微不能絲毫增減以相就於是循五運之序先求現今之日至現今無不合乃本之以上推往古由百年及數百年再及數千年以上凡考之經傳史書所載日至及一切晦朔日辰確然可據而自然相合者悉見于壬子運中是甲子運首年冬至雖屬厯元然甲子運之終即壬子運之始自當以壬子運首年冬至為元尤爲簡捷其甲子運之世代事實壬子運由開闢厯羲農以至明季凡三十卷我朝嵗頒時憲書又此編所遵奉以推上古之本謹錄厯年所載日至爲一卷故先叙所推天行之理數而次以甲子運於首爲上卷再集壬子運所考全史之日至而提其要於首爲下卷合之凡三十三卷全史日至源流卷首上
## 卷首下
欽定四庫全書全史日至源流卷首下山東道御史許伯政撰壬子運提要邵子元㑹運世之法周天三百六十度每度得三百六十年則積十二萬九千六百年為一元每年十二月凡為三百六十月者得三百六十則積十二萬九千六百月合一萬零八百年為一㑹每月三十日凡為三百六十日者得三百六十則積十二萬九千六百日合三百六十年為一運每日十二時凡為三百六十時者得三百六十則積十二萬九千六百時合三十年為一世其立筭可謂巧矣然不分五運而總計每度三百六十年驗諸天行及歲差本非事實且易卦衍蓍之法分二以象兩象天開地闢也掛一以象三象人之配兩大為三才也於是揲四以象四時以一揲象一年也數揲之後必歸竒于扐以象閏象歲氣所餘五日四分日之一積而為閏者也十九年七閏其中必有五歲再閏者二故再扐而後掛以象之然後計其在揲之䇿乾坤合三百六十當期之日當十二月各三十日之正數也盖衍蓍專象歲氣之流衍以行鬼神故不計朔虚今元㑹運世每年歲實止于三百六十日並無閏餘尤非事實又按先天十二月卦坤六隂于月建值亥後天八卦乾戰西北于方位亦值亥所以象動極而静乾元養貞于坤藏即邵子所謂隂含陽也由是静極復動子半陽生天心來復故曰天開於子由是至於丑半二陽浸長萬物紐芽此地道承天含物化光之始故曰地闢于丑由是至于寅半三陽奮和萬物發育故曰人生于寅人事之生生百為皆開於寅故别物穪人以配三才也古人以是為三統亦若乾元統天之義故三代建正迭用之邵子遡氣化之初同世運于歲運其理本可相通但稱子㑹一萬八百年生天丑㑹一萬八百年生地寅會一萬八百年生人何造物之遲鈍若此静軒周氏附㑹其說遂謂天開于子而天皇氏出地闢于丑而地皇氏出人生子寅而人皇氏出各一萬八千年曷思天開地闢時人猶未生而已有天皇地皇其前且有盤古獨非人乎設生人尚在寅㑹而此二皇先出則其君臨天下虚無人物何所治理乎此其荒誕不經尤非事實又按文王序卦首乾坤孔子為之傳曰有天地然後萬物生焉初未嘗索諸天地以前莊子所謂六合之外聖人存而不論是也今將索天于天之上上于何窮索地于地之下下于胡底理非思議所及雖聖人亦有所不知焉故凡語天地之道者惟中庸為物不貳一語直契本原解易有太極者惟通書無極而太極一解最為了當若夫生天生地之說大抵出于二氏未有子孫而有子孫雖莊叟亦譏之學者不察淫于異說不可為訓且夫惟天之命於穆不已故始于無始終于無終安得有毁敗之時今其說曰戌㑹則閉物而消天亥㑹則消天而消地悠謬無稽尤不可訓竊謂天地設位貞元逓轉當其貞也静以藏用羣生蟄閉殆與歲運相似然極多不過千餘年耳及其貞下起元乾元資始則坤元資生一始即無不始亦若雷雨之動滿盈何待遲乆惟是氣化之初天造草昧風氣沕穆至于風氣漸開羣聖迭興然後制作浸備斯為通論耳即如乾坤之後受之以屯者物之始生盈天地之間者唯萬物也屯受以蒙蒙受以需者始生而穉飢必需食渇必需飲人物各率其性之自然故需者飲食之道也然道麗于氣氣之需養甚亟其情必至於相争而訟興相争不已其勢必至于相奪而衆起盖人心危則道心滅矣於是師受以比而羣隂統于一陽之尊所以象乎元后繼天作君作師乃域中第一義也由是小畜以柔其剛暴之氣率履以正其倫常之經而後禮義成俗天下大同故受之以泰焉凡此即天地開闢以後之真象也至于泰受以否則孟子所謂天下之生一治一亂盖若晝夜寒暑之循環不已也否受以同人又若所謂五百年必有王者興其間必有名世者故曰與人同者物必歸焉而受之以大有也然則遵羲之卦文之序孔之傳以推論宇宙紛紛之說不俱可以息喙乎哉餘解見序卦傳崑山方氏曰太極動而生陽静而生隂既有太極即有隂陽既有隂陽即生萬物既有萬物即生聖人豈有一萬餘年陽始生而天開又一萬餘年隂始生而地闢又一萬餘年隂陽始交而萬物生又四五萬年隂陽始完而聖人出萬無是理也夫自堯舜至今纔三千餘年耳三代已不如唐虞漢唐宋又不如三代世道升降不過二三百年則一變矣豈有開闢之後四五萬年風氣尚未開人文尚未著水土尚未平生民尚未粒直待羲農黄帝堯舜迭興而後治耶竊謂羲農去盤古之時必不逺其年可以千計不可以萬計也堯舜去羲農之世必甚近其年可以百計不可以千計也學者不可不察方氏此論見理正大故録其說而本之以上推太古自壬子運首之甲子歲至運六末之丁丑歲厯一千二百七十四年其即天地開闢以後盤古三皇之世歟竊見史家之紀盤古曰太極生兩儀兩儀生四象四象變化而庶類繁相傳首出御世者曰盤古氏夫四象變化而庶類繁庶類繁而盤古首出御世其生人不待三萬二千四百年之乆亦可見矣其紀三皇曰天皇氏繼盤古氏以治澹泊無為而俗自化始制千支之名以定歲之所在十干曰閼逢旃蒙柔兆疆圉著雍屠維上章重光元黓昭陽十二支曰困敦赤奮若攝提格單閼執徐大荒落敦牂協洽涒灘作噩閹茂大淵獻此其稱名寓義最為古樸洵太初風味及後聖代十干以甲乙丙丁戊己庚辛壬癸代十二支以子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥則文字既興從其簡易矣夫干支定歲所以紀天之行也然則天行至此始著故尊其功而稱天皇歟又稱地皇氏繼天皇以治爰定三辰是分晝夜以三十日為一月夫定三辰之行度分晝夜之短長乃知日躔循十二辰次右轉每三十日為一月十二辰次即地之十二分野所由紀也然則地紀至此始著故尊其功而稱地皇歟又稱人皇氏繼地皇以治相厥山川分為九區當是時萬物羣生淳風沕穆主不虚王臣不虚貴政教君臣所自起飲食男女所自始然則畫九州辨疆域脩道立教以興人治實肇乎此故尊其功而稱人皇歟以上四君惜史無在位之年數可稽然而干支既立月數既定故今逐歲詳其天正冬至且紀其朔日于歲首至于閏法雖未制而天行可推故並推十九年七閏者以志之是亦易未作而畫前原有易之意也丁丑之後歲次戊寅其包羲氏之元年乎何以知之凡百家之說不一則當折衷于至聖而至聖之說莫信于六經昔孔子删書首唐虞賛易則首包羲繫辭傳曰包羲氏沒神農氏作神農氏沒黄帝堯舜氏作此胡五峯本之以定五帝之稱者也家語載孔子答宰我問五帝徳首黄帝次少昊次顓頊帝嚳及堯舜與答季康子問五帝同今按易傳于神農氏後統稱黄帝堯舜氏作盖自黄帝厯少昊顓頊帝嚳以及堯乃祖孫父子一姓相傳而舜承堯禪亦受終文祖者也宰我康子所問者盖問此一代故孔子以此答之又考大戴禮之五帝篇史記之五帝紀亦同此而中無少昊或其紀録闕畧不全耳若自包羲以至堯舜則當以五峯遵易傳所定為是又按編史者多謂唐堯元年起甲辰緣厯代帝王相傳各有世次及在位年數載在諸史而散見于經傳者又多符合所以康節經世温公通鑑考亭綱目皆主之今遵御批資治通鑑綱目所載帝王世次及在位年數上考太昊伏羲氏史稱以木徳繼天而王在位百十五年女媧氏與太昊同母太昊沒誅共工氏以治天下在位百三十年炎帝神農氏史稱以火徳代伏羲氏治天下在位百四十年子臨魁立在位八十年子承立在位六十年子明立在位四十九年子宜立在位四十五年子來立在位四十八年子裏立在位四十三年裏之曽孫榆罔立在位五十五年諸侯尊軒轅為天子降封帝于潞軒轅黄帝有熊氏史稱以土徳代神農氏以治天下在位百年子元囂立以金徳王天下號少昊金天氏在位八十四年黄帝孫昌裔之子顓頊以水徳紹金天氏即帝位初國髙陽故號髙陽氏在位七十八年少昊孫橋極之子帝嚳以木徳代髙陽氏為天子因其始受封于辛故號髙辛氏在位七十年子摯嗣立九年諸侯廢之尊堯為天子是堯甲辰元年前上至戊寅凡一千一百零六年其間伏羲氏兩主為一代神農氏傳八主為一代黄帝至堯舜傳六主為一代本與繫辭傳符合且神農黄帝兩代世次相承中間不容参以他氏惟包羲氏一代二主本有在位年數可據而說者多以為相傳十六氏盖由春秋元命苞謂自天地開闢至春秋魯哀公蔣十四年獲麟之歲分為十紀而列伏羲氏于禪通紀中妄稱傳十六氏之後乃及炎帝故說史者為其所惑而不察今特辨之于左禪通所稱十六氏者女媧氏柏皇氏中央氏大庭氏栗陸氏昆連氏混敦氏赫胥氏尊盧氏昊英氏有巢氏朱襄氏葛天氏隂康氏無懐氏共工氏今按史稱太昊以龍紀官朱襄為飛龍氏昊英為潜龍氏大庭為居龍氏渾敦為降龍氏隂康為土龍氏栗陸為水龍氏又稱共工為上相柏皇為下相朱襄昊英常居左右栗陸居北赫胥居南昆連居西葛天居東隂康居下分理宇内是十五氏中自中央尊盧有巢無懐四氏外餘皆太昊之臣内外分職共理天下者也夫有一代之君必有一代之臣史册因而紀載之後世皆然也其諸氏之治民各有治績亦若太公治齊一年報政禽父治魯三年報政則史册亦各因其政績而紀之也且上古無國號天子諸侯皆以氏稱如禹有天下曰夏后氏其列侯曰防風氏有窮氏有扈氏斟灌氏斟鄩氏有仍氏有鬲氏良由其時近古故相沿耳然則十五氏皆國君有土者其為上相下相之類則以諸侯入為王朝卿士者耳商周以後始有國號然周之時列侯並紀各有傳國世次見于春秋此封建之世皆然上古何獨不然乎設十五氏相繼為天子前有伏羲女媧後自神農以及帝摯皆紀在位年數何中間獨遺十五氏而不紀乎今于女媧氏之後直接以神農既與易傳合亦與史說合故推堯甲辰元載以前一千一百有六年而定戊寅為包羲元年也史紀天皇曰一姓十三人繼盤古以治紀地皇曰一姓十一人繼天皇以治紀人皇曰一姓九人繼地皇以治又曰人居一方可見開闢之後雖人物羣生而風氣屯蒙其間才徳邁衆者則共尊以為君殆若易之屯初建侯蒙二包蒙皆起于下而未統一四海也且上古結繩而治未有紀載之書故盤古三皇史無在位年數至包羲氏獨稱以木徳繼天而王儼若前無所承者今讀孔子繫辭傳論包羲始畫八卦以通神明之徳類萬物之情而先推本天地之大徳曰生言生生不已日新富有者天地之徳業也繼之曰聖人之大寳曰位言中天下而立定四海之民所以參天地贊化育而成位乎其中故謂之大寳也何以守位曰仁言元后繼天作民父母則天位乃聖人之官守惟體仁足以長人也何以聚人曰財若山林川澤田疇乃天地養萬物自然之美利其財所由生即人所由聚也故理財正辭禁民為非必裁制之以義惟利物足以和義也盖立人之道曰仁與義然惟天下至聖為能以仁育萬物以義正萬民故下文接入古者包羲氏之王天下明夫躬膺大寳繼天開治首自包羲惟其始作八卦乃萬法創制之所從生也然後厯舉羣聖之制器尚象皆取法八卦以申明之然則史稱伏羲以木徳繼天而王不亦與經㫖符合歟况易以彌綸天地之道不但制器者尚其象也今具論于左天尊地卑南明北幽故先天八卦圜圖首列乾南坤北辨尊卑之分正子午之位也次以山澤通氣與中庸論天地之生物不測即次及山水之生物不測正同盖山澤融結皆有脉絡聨貫能醖釀英華輔佐天地發育萬物是謂通氣山末異而本同故艮居西北誌山之所起水本異而末同故兌居東南誌澤之所注此四者兩間之定體也然後雷風管萬物之出入日月主四時而運照者往來升降于其間而不已焉雷之啟蟄必始于東北以震居之紀出物之始風之温涼應候莫盛于西南以巽居之紀入物之始而風以解凍出物雷以收聲入物其相薄可互見矣積陽之氣為火火氣之精為日爰列離于木位以象日之東生積隂之氣為水水氣之精為月爰列坎于金垣以象月之西生晝夜代明錯行不相射而兩間之大局備于圖矣然後取八卦之相錯者布為圜方兩圗圜圖象天復一陽臨二陽泰三陽大壯四陽夬五陽乾六陽姤一隂遯二隂否三隂觀四隂剥五隂坤六隂其序次自東而西所以著二氣之闔闢隨天運以左旋也方圖象地復冬至臨大寒泰雨水大壯春分夬榖雨乾小滿姤夏至遯大暑否處暑觀秋分剥霜降坤小雪其序次自西而東所以著中氣之生于十二日躔循地紀而右轉也然探乎其本又皆出于横圖盖河圗之位天一生水地六成之起自正北此天行之始陽變隂合而生水火木金土之本序也及包羲則之以作卦乃以五十為太極而畫從中起雷以動之風以散之乃物所資以生雨以潤之日以暄之乃物所資以長艮以止之兊以說之乃物所資以收乾以君之坤以藏之乃物所資以藏本之以正四時之序木春生火夏長金秋收水冬藏若與天行之水始正北相悖故曰易逆數也然四時之序既正而圜圖之二氣左旋方圖之日躔右轉自合其序故後天八卦播五行于四時亦起于帝出乎震齊乎巽是易用逆數所謂先天而天不違後天而奉天時惟其能彌綸天地之道也自是百王迭起其若昊授時必不能違此五圖之法少或違之必無以裁成天地之道而範圍大化于不過矣史紀伏羲畫八卦後繼稱作甲厯起于甲寅支干相配為十二辰六甲而天道周歲以是紀而年不亂月以是紀而時不易晝夜以是紀而人知度東西南北以是紀而方不惑今按作甲厯者紀作厯之始自包羲也日躔十二辰次周而復始故每歲定為十二月而起于甲寅是建寅為正月亦始自包羲也盖以地支言之寅夘辰為春巳午未為夏申酉戌為秋亥子丑為冬每歲相同而配以十干則戊年甲寅己年丙寅庚年戊寅辛年庚寅壬年壬寅故六甲而天道周者五歲為周也由是周而復始癸年仍起于甲寅故歲以是紀而年不亂月以是紀而時不易焉析一日為十二時如月法則晝夜之短長以是紀而人知度若甲日甲子時乙日丙子時之類亦六甲而周也配支干于八方如十二辰之次則東西南北以是紀而方不惑若甲夘乙為東庚酉辛為西之類而分野乃可推也盖日之數十起于甲周則為旬月之數十二起于寅周則為歲其法與易數相表裏今推戊寅為包羲元年其正月建甲寅其朔日值甲子恰與史說符合且太昊以木徳王亦與卦首震巽符合故于包羲元年特以建寅為歲首明夫夏正得天百王所同而制法實自羲畫始矣厥後商周雖改正而其敬授人時本周書武成篇一月壬辰旁死魄推之寅為一月本商書太甲元祀十有二月乙丑推之丑為十二月未嘗改乎四時及月數盖推其日至可得而知也易傳曰大衍之數五十其用四十有九自分二象兩掛一象三之後揲之以四以象四時以一揲象一年也數揲之後歸竒于扐以象閏象三年一閏六年兩閏九年三閏之類也然其中間或十一年或八年必有五歲再閏者二因而得十九年七閏以成章故以再扐而後掛象之是閏法亦制自包羲尤有說卦傳可據也史稱女媧氏與太昊同母太昊沒誅共工氏以治天下在位百三十年今推癸酉是其元年史又稱其生而神靈佐太昊正昏姻以重萬民之判是為神媒然則氏號女媧從其所掌之職亦若初教民畜牧充庖厨稱曰包羲初教民萟五榖稱曰神農皆從其所建之功且其稱神媒以世祀之尤與稱神農以世祀之相似盖男女飲食人之大欲所存而掌判以正昏姻耒耨以利稼穡首自二君立功者不朽此以沒世不忘也周禮媒氏掌萬民之判乃周官三百六十之一其設官分職以為民極必不使婦人為之况上古男女無别太昊始制嫁娶通媒妁以重人倫之本所以正人也設命女弟為媒氏又不及時遣嫁且使之繼世有天下以臨百官撫萬民其身不正如正人何繼天開治之聖人必不為此也又如人名女叔士名馮婦皆非婦女之謂何故氏號女媧即指為女主此與為神農之言者曰與民並耕而食同一誕妄大抵好事造言齊東野語其邪說誣民往往類此嘗讀程子易傳解坤之六五曰婦居尊位女媧氏武氏是也非常之變不可言故有黄裳之戒而不盡言也伊川猶言若此况餘子乎故此條本與日至無涉而特辨之附誌于編以質髙明神農氏代伏羲氏治天下推得癸未是其元年傳世八主享國五百二十年惜史無日至可稽惟志其以火紀官春官為大火夏官為鶉火可證十二辰次之稱名神農之前已有之耳黄帝代神農氏有天下推得癸亥是其元年史稱其設靈臺立五官以叙五事命鬼臾蓲占星鬪苞授規正日月星辰之象於是乎有星官之書命羲和占日尚儀占月車區占風今按靈臺為測候之所星官有紀數之書五官有分掌之職占星于昏旦占日于改躔占月于合朔占風于應律盖厯術較太昊時又加詳宻矣又史稱帝命大撓探五行之情占斗柄所建始作甲子甲乙丙丁戊己庚辛壬癸謂之幹子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥謂之枝枝幹相配以名日而定之以納音可見太昊作甲厯其干支稱名仍循天皇氏之舊至是始易之以甲乙子丑等稱而所重尤在探五行之情占斗柄所建枝幹相配定之以納音其法同類娶妻隔八生子如甲子同位娶乙丑隔八下生壬申金之類此即律吕相生之法故曰納音先儒論之詳矣或謂鬼谷子王詡始作納音盖世俗所傳海中金爐中火之類附㑹於納音者耳又史稱帝命容成作盖天以象周天之形綜六術以定氣運因問於鬼臾蓲曰上下周紀其可數乎對曰天以六節地以五制周天氣者六期為備終地紀者五歲為周五六合者歲三十七百二十氣為一紀六十歲千四百四十氣為一周太過不及斯以見矣事物紀原云盖天即渾天儀也六術者占日占星占月占風造律吕作甲子是也今按天幹二五地枝二六天五以地六為節若六甲六乙至六壬六癸是也地六以天五為制若五子五丑至五戌五亥是也合之得六十六六則得三百六十所以應周天之度分為十二辰次以行歲氣者也凡二十四氣生于天行每期三百六十日以周天度又餘五日四分日之一不足為氣嬴除其四分不足之小數則每期餘五日六期餘三十日為一月整數故曰周天氣者六期為備列宿分十二辰次即十二野之分星是謂地紀斗建左旋而日躔右轉每月三十度即得三十日總十二月亦得三百六十日以合天度而月與日㑹推其平行得二十九日六時二刻十四分有竒十二交㑹則每歲虚六日不足為朔虚并不足餘分五歲共虚三十日亦為一月整數故曰終地紀者五歲為周凡此氣嬴朔虚即置閏之數故五六合者以每歲二十四氣計之歲三十得七百二十氣則氣嬴得一百五十日而朔虚得一百八十日者即此可推合之得三百三十日應置一十一閏是謂一紀六十歲得千四百四十氣則氣嬴得三百日而朔虚得三百六十日者即此可推合之得六百六十日應置二十二閏是謂一周迨數周之後氣嬴及朔虚餘分所積必有二十九期即得十一閏者以起下紀故曰太過不及斯以見矣大抵甲子甲午周則起癸巳癸亥癸巳癸亥周則起壬辰壬戌而循環不已焉此即史稱積餘分以置閏配甲子而設蔀之法也盖置閏之法十九年必有七閏以成章者其緯也三十年必有十一閏六十年必有二十二閏以成周紀而其終必有二十九期十一閏以起下蔀者其經也此皆氣朔嬴虚之所積自然而然非智巧所能安排舊來厯家不詳周紀之說而分蔀以求厯元各出意見其誤甚矣今逐章逐紀詳具歴年之下閱者審焉又史稱帝乃因五量治五氣起消息察發歛以作調歴歲紀甲寅日紀甲子而時節定今按五量起于黄鐘之龠積數于九而因之以治五氣殆用九九之數推筭氣運歟嘗觀後天八卦巽齊東南則陽盛極而隂胎乾戰西北則隂盛極而陽胎盖艮坤者隂陽闔闢之樞而巽乾者動静互根之紐是以列之于四隅所以主四立而司啟閉也故黄帝内經以斗柄所建辰巳戌亥為天地之門戸而以天五之迭至主之如甲巳之歲正月建丙寅則戊巳加於斗建辰巳之月為黅天之氣而木氣承之若甲乙加于斗建戌亥之月是也乙庚之歲正月建戊寅則庚辛加于斗建辰巳之月為素天之氣而火氣承之若丙丁加于斗建戌亥之月是也蒼天元天之類即此可以類推此五氣五運之說也然則所云起消息察發歛以作調厯殆後世司厯家年神歲徳之類所由權輿歟每歲十二月以甲寅為紀即寅建為正也每日十二時以甲子為紀即子半為朔也必稱甲者今推癸亥為黄帝元年歲首建甲寅元日建甲子與太昊元年正同可見古帝王躬膺厯數其敬天勤民所以協時月正日者多推本受命之元年月正元日以起數緣其時無年號故以此示與民更始俾之共禀正朔于不越耳又史稱是歲己酉朔旦日南至而獲神䇿得寳鼎今考漢武帝元鼎五年六月得鼎后土祠旁其冬辛巳朔旦冬至齊人公孫卿稱與黄帝等卿有札書内稱黄帝得寳鼎神䇿問于鬼臾蓲蓲對以是歲己酉朔旦冬至得天之紀終而復始於是黄帝迎日推䇿後率二十歲得朔旦冬至凡二十推三百八十年黄帝仙登于天卿因所忠欲奏之所忠視其書不經疑其妄卿因嬖人奏之武帝大恱召問卿對以受此書申功申功與安期生通受黄帝言有此鼎書今申功已死是鼎書乃卿所偽造史遷目擊其事紀述甚明而編史者亦采入黄帝紀謬矣又史稱帝命大容作承雲之樂是為雲門中春之月乙夘之辰日在奎始奏之今莫知何年仲春亦莫知乙夘仲春何日但推黄帝時冬至日在危三度仲春不得在奎其說固不確耳少昊金天氏史稱黄帝子在位八十四年今推癸卯是其元年顓頊髙陽氏史稱昌意子黄帝孫繼少昊即帝位在位七十八年今推丁夘是其元年竹書紀年顓帝十三年初作厯家大紀外紀諸編皆稱帝作厯以孟春斗杓建寅之月為厯元是歲正月朔旦立春五星㑹于天厯營室冰凍始泮蟄蟲始發雞始三號今按冰泮蟄發是察物以驗氣之至否與堯典之孳尾希革月令之東風解凍土潤溽暑相似也又推得帝之十三年歲次己夘正月建丙寅朔日亦得丙寅其日夘初一刻三分交立春又按雞能時夜立春時日出夘正三刻則夘初一刻正雞三號之始也又推得是年天正冬至日在危初度立春日在壁九度五星是否㑹營室不能知也在竹書但云十三年作厯象不及元旦立春在外紀等書雖云正月元旦立春未指何年正月愚不自揣分五運以推日至尤屬懸空推筭無所依傍即本今推古上及數千年亦惟據編史家所紀各帝在位年數接筭之乃於此元旦立春不惟年月日皆合而時刻亦合此豈有絲毫遷就以求合者哉故愚於此編頗自信其不妄者頼有此類及春秋傳所紀辛亥己丑兩日南至之類為之證據故標之為提要云又按顓帝厯是以孟春斗杓建寅之月為厯元所推日月五星行度皆由立春起筭凡後代厯家稱厯元者盖始于此故顓帝為厯宗非顓帝始以建寅為正月史文甚明周静軒乃謂五帝以來厯法未正顓帝始以建寅之月為歲首舛甚矣帝嚳髙辛氏史稱橋極子少昊孫佐顓帝受封于辛代髙陽氏為天子在位七十年今推乙酉是其元年史稱帝撫萬民而利誨之厯日月而迎送之明鬼神而敬事之今按日月迎送盖堯典之寅賓寅餞已創始于此而周禮之書迎暑夜迎寒月令之迎春東郊迎秋西郊一切典禮殆亦師此義而推廣増修之耳帝摯史稱帝嚳子立九年而廢諸侯尊堯為天子今推乙未是其元年帝堯陶唐氏邵子經世定為甲辰元年在位百載又居喪二載今按堯典曰日中星鳥以殷仲春日永星火以正仲夏宵中星虚以殷仲秋日短星昴以正仲冬自日中宵中日永日短觀之可見當時紀晝夜之時刻分秒必極詳明然以懸象著明之常分觀之黄道不易古之日猶今之日不待考而後知也至于日至日躔雖各有歲差而其故可求故授時厯說本星昴之類推之堯時冬至日在虚七度今推得堯元年冬至日在虚八度六十九年後冬至日在虚七度盖舊法于天周多五度四分度之一而按宿分度亦多互異與今新法頗不合然本新法推古源流可合自是確不可易縱分度分宫或與天行小有未符大約不過分秒之差斷不至于懸逺故此編推筭悉遵為法式焉既知冬至日所在之宿而夏至二分以及中星悉可推矣帝舜有虞氏經世定為丙戌元年在位五十載舜典在璇璣玉衡以齊七政正當堯老舜攝之時殆承黄帝盖天之制而増修之益加精宻焉此後世渾天氣象之祖也或問子推天行分為五運歲實歲差既各有定數焉用璣衡答曰子何不思之甚也愚所推節氣治厯之一事耳若日月有朔望薄蝕五星有遲留伏匿黄赤二道經緯交錯紛然不齊使無璣衡曷從窺測以齊之須知堯典之厯象固不外日月星辰而以節氣為主故承言欽若昊天敬授人時下文遂詳言東作西成南訛朔易而終之以置閏其不析言五日四分日之一不足而但曰期三百有六旬有六日與易稱七日來復相似自一隂至交一陽積實當言六日而稱七日者子半交午半也歲實之餘氣稱六日者如上年甲子冬至則下年己巳冬至也此可見歲實之積時刻分秒古人確有定數灼然共知不待𤨏述且如十九年七閏羲和豈不熟悉而堯必諄諄告戒者以定四時成歲為重也假如應閏二月而置于四月後則誤季春為孟夏而四時不定矣應閏十一月而置于正月後則誤今年之丑建為明年之寅建而歲不成矣先後一二月之間上悖天行下亂人事匪細故也况失誤之甚者乎至於舜典之璣衡非不重節氣而所主在朔望薄蝕遲留伏匿之故承之曰以齊七政二典之文原相備也大抵齊七政以授人時其歸則一而其事之測騐各有條理現今時憲天文刻漏各有專官分掌其事而統于監正職是故耳且聖人之為天下後世慮至深逺矣當其既竭耳目之力方圎平直五音之理已了然于心必繼之以規矩凖繩恊六律正五音而後不可勝用故曰智者創物巧者述焉自古上智少而中材多又况天至髙星辰至逺節氣之至無形可見無聲可聞非騐諸儀器確有徴據任其職事者何以昭法守頒之庶民者何以堅信從不寕惟是古聖作法非不大備矣迨周衰法弛延及秦人滅裂聖制置閏則概用後九月而漢初亦踵其弊月吉不識定朔則日食多在晦且在二日此人之失非天之變也而京房小術遂妄為之說曰凡日食不以晦朔者名曰薄漢書紀日食且述其言而傳之以惑後世又如商周改正而陋識之士妄以為四時月數俱改由是作長厯者信之堅指春秋之春王正月為夏時十一月作三統者附㑹之更誣指太甲元祀之十二月乙丑為元旦冬至凡此横議貿亂莫可窮詰皆由上無道揆則下無法守而邪說遂乗之以浸作也自漢太初之後夏時雖行而下逮魏晉數百年間厯術未覩其真劉宋元嘉以來由唐及宋漸次講求古制至元明而益宻猶未盡善欣逢聖人御宇灼知天地之化育而範圍之乃盡復五帝三王之典則故雖愚之𦕈聞寡見亦得遵今推古因流遡源庶幾一得之見或有合於天行之自然者而已而子乃曰焉用璣衡何不思之甚歟夏后氏大禹繼舜有天下經世定為丙子元年傳十七世各有在位年數享國四百三十九歲已詳于歴年今按歲首建寅五帝皆然而後世獨稱夏正者帝降稱王自禹始故夏商周稱三王又稱三代商周皆改建因近舉三代而于寅正曰夏時其實夏正得天百王所同確論不可易也其夏小正一書仰測天象俯驗物類所以察四時之變者至詳矣即如春正月啟蟄雉震呴大戴注云正月必雷雷不必聞唯雉聞之盖三陽氣至雷雖未出地發聲而已動于地下故土氣震發蟄蟲為之昭蘇所以古稱啟蟄為正月中雨水為二月節自月令及漢初其紀時皆然也啟蟄即今之驚蟄雨水即月令仲春之月始雨水盖凍釋為水所謂春露既濡也及劉歆作三統厯乃移雨水為正月中驚蟄為二月節彼誤以驚蟄為雷始發聲蟄蟲啟戸而出耳唐大衍厯議云開元厯推得夏時立春日在營室之末昏東井二度中古㦄以參右肩為距方當南正故小正曰正月初昏斗柄懸在下魁枕參首所以著參中也季春日在昴十一度半去參距星十八度故曰三月參則伏立夏日在井四度昏角中南門右星入角距西五度其左星入角距東六度故曰四月初昏南門正昴則見五月節日在輿鬼一度半參去日道最逺以渾儀度之參體始見其肩股猶在濁中房星正中故曰五月參則見初昏大火中八月參中則曙失傳也辰伏則參見非中也十月初昏南門見亦失傳也定星方中則南門伏非昏見也竊思小正作于大禹禹在位僅八年其時冬至日在虚六度則立春當在壁四度季春節當在畢二度立夏當在井六度五月節當在輿鬼之末此緣大衍之列宿分度與今新法多寡不同因而推筭小有參差故録厯議以備叅考夏書𦙍征乃季秋月朔辰弗集于房月不繫年朔不著日難以推考先儒據仲康肇位四海之文以為元歲于理近是今推仲康元年歲次壬戌其年正月甲寅朔應閏三月季秋月朔似是庚辰或以為庚戌朔則失閏矣陶氏古今録夏孔甲八年九月歲次甲辰采牛首山鐵以鑄劍按經世紀年甲辰孔甲即位之三年也且陶氏録以歲次甲辰叙于九月之下殊屬倒亂意者歲次二字乃衍文歟今推孔甲八年歲次己酉其年正月丁夘朔應閏八月甲辰盖九月十二日始誌以備考商王成湯在侯位之十有八年伐夏而有天下經世定為歲次乙未傳二十八世各有在位年數享國六百四十四祀已詳于厯年求諸經史有商一代無日至可稽索隠云孤竹君殷湯三月丙寅所封今考史記湯既絀夏命還亳維三月王自至於東郊告諸侯羣后毋不有功于民勤力乃事云云未載孤竹受封事且商以十二月為歲首今推乙未歲十二月建丁丑壬子朔正月建戊寅壬午朔則三月内無丙寅日殆亦影附史記而為之說歟且其文月不繫年果殷湯何年之三月歟此當闕疑商書伊訓篇惟元祀十有二月乙丑伊尹祠于先王奉嗣王祇見厥祖按經世紀年定太甲元祀歲次戊申蔡氏書傳十二月即太甲改元之首月此可為商正建丑但以季冬十二月為歲首而不改四時月數之明證今推戊申歲首十二月建癸丑朔日乙丑十七日辛巳夘正一刻四分交大寒本天行證之蔡傳所見甚確矣若如改時改月數之說自丑建為一月數之則此十二月乃子建也推之于前當屬湯崩年之季月縱遷就以乙丑為晦日而不得稱太甲元祀推之于後則當為太甲元祀之季月而其月内亦不得有乙丑若如孔氏踰月即位改元之說不但亂世之事伊尹所不為蘓氏已辨其舛而且戊申為太甲二祀則在位之歲次亦亂或見劉歆三統歴說指乙丑為太甲元祀十二月朔旦冬至遂以為崩年改元之證今推其年子月辛亥日戌正初刻冬至在乙丑前十五日若以為在元祀之季月今推其月丁巳日丑正初刻冬至亦在乙丑前九日皆相去懸逺又不但月内不得有乙丑朔旦而已盖歆之妄誕欺世若此益以見蔡傳所言確不可易但傳稱乙丑不繫朔非朔日也此盖說經之慎耳孟子曰湯崩太丁未立外丙二年仲壬四年史記湯崩太子太丁未立而卒乃立太丁之弟外丙即位二年崩立外丙之弟仲壬即位四年崩伊尹乃立太丁之子太甲太甲元年作伊訓今本伊訓及太甲三篇觀之桐宫者湯之塟所其地在今山西榮河縣百祥村古今稱湯陵不聞别有附𦵏太甲上篇曰營于桐宫宻邇先王其訓其為營廬于湯之葬所事辭明顯盖使嗣王廬于墓側以宻邇先王竦其哀慕之心也繼言王徂桐宫居憂其為往居湯喪更為明顯若謂往湯之塟所營廬居仲壬之喪於事情文理皆不得為通順也中篇首云惟三祀十有二月朔伊尹以冕服奉嗣王歸于亳其為太甲既終湯喪之明年正朔尤無可疑且就諸篇中及覆伊尹告太甲之言一曰惟我商王布昭聖武代虐以寛兆民允懐即承言今王嗣厥徳罔不在初再曰先王顧諟天之明命天監厥徳用集大命惟尹躬克左右厥辟宅師即承言肆嗣王丕承基緒三曰先王惟是𢡟敬厥徳克配上帝即承言今王嗣有令緒當復政告歸之際又追述夏王弗克庸徳惟尹躬暨湯咸有一徳克享天心爰革夏正云云即承言今嗣王新服厥命惟新厥徳而子篇終又歎息言之曰嗚呼七世之廟可以觀徳無非勉其繼太祖為太宗以紹徳垂不祧之緒是信經則湯崩之後無外丙立二年仲壬立四年之事如有其事成湯肇造丕基嗣世二君皆不永年而繼以太甲之敗度是即國步艱難商運之不幸阿衡忠誨正宜兼此陳辭垂泣以道而絶不齒及何哉且丙壬相繼即位雖不永年未聞顛覆典刑之咎商人七世之廟湯為太祖何得竟祧丙壬躋太甲為太宗即如魯閔公即位二年耳魯人躋僖公兄先于弟孔子猶譏其逆祀今太甲即克庸徳以姪繼叔為之後者為之子而子先父食不亦名不正言不順乎且就紀年推之湯崩之後増入外丙二祀仲壬四祀則太甲元祀歲次甲寅今推其年歲首十二月壬辰朔月内無乙丑則伊訓之文轉啟疑端矣大抵孟子之外丙二年仲士四年當以程子古人謂歲為年之解為確商人世次當以經世紀年為正史遷于有商一代有世表無年表不過依傍孟子繆為之說惟其擇焉不精故文勝滅質耳蔡傳主吳氏之說以伊訓有祇見厥祖之文遂謂湯已祔廟且謂此書初不廢外丙仲壬之事竊謂湯有天下亦必如周人行追王上祀之禮丕新七廟即如濬哲大禘之詩所稱元王桓發相土烈烈尊則先王親則厥祖也今嗣王即位改元禮應告廟見祖而居憂不祭故伊尹先攝祀事以祠于先王而後奉嗣王祇見厥祖於伊尹攝祀稱先王從其尊也於嗣王祇見稱厥祖從其親也文義明晰典禮分曉見祖禮畢伊尹乃明言烈祖之成徳以訓于王烈祖指湯而言若商頌稱嗟嗟烈祖有秩斯祜申錫無疆是也今不繹其文義察其典禮而以厥祖亦指成湯且以為此書不廢外丙仲壬之事究竟茫如捕風且本之以尚論其世尤多齟齬不合不可從也周自武王為西伯之十有三年歲次己夘始克商而有天下傳三十世享國八百六十七年周書泰誓惟十有三年春大㑹于孟津武成惟一月壬辰旁死魄越翼日癸巳王朝步自周于征伐商舊解春一月建子壬辰月二日今本新法推之此年周正十一月建甲子朔日癸巳三十日壬戌丑初二刻十分冬至十二月癸亥朔二十九日辛夘午初二刻十四分大寒一月壬辰朔三十日辛酉丑正一刻雨水二月壬戌朔三十日辛卯寅初初刻十二分春分閏二月壬辰朔三月辛酉朔申正初刻六分糓雨四月辛夘朔二日壬辰申正三刻十四分小滿十七日丁未二十日庚戌設如舊說一月建子則月内不得有壬戌冬至若遷就以壬戌冬至屬之則月首不得有壬辰癸巳若如劉歆三統厯以為己未晦冬至則先壬戌四日本大衍授時諸厯推之皆與天行懸逺不合也即此揆之周正不改四時月數事理既極昭然且節氣有長短古法不用平氣推筭亦即此可見盖用平氣則壬戌冬至必是壬辰大寒當閏十一月而不閏二月矣或問一月建寅蔡傳已言之何以不稱正月壬辰既是朔日何以稱旁死魄竊謂周人初改次一為歲首故寅建稱一月著月數起于一即周禮稱正歲之義也魄者月之體闇虚無光得日之光而明迨明盡而魄亦滅謂之晦故曰死魄朔之為言蘓也合朔之後死而復蘓明猶未生故曰旁死魄若以朔為死魄失其義矣且先記壬辰旁死魄後言癸巳伐商蔡傳謂猶後世言某日必先言某朔是也若先言二日殊無謂矣凡月大二日月小三日曰哉生明日月相望謂之望常在十五或十六日望後曰哉生魄至於下弦魄體浸長逾半曰既生魄若二十二或二十三日是也此即厯家定月大小必詳晦朔弦望之古法故史家用之以紀事且此篇叙事以大告武成為主自一月壬辰旁死魄至既生魄羣后百工受命于周乃史家撮叙克商事定以為下文之緣起故先叙癸巳于征閱一百二十日届四月哉生明後自商至豐乃偃武修文放牛歸馬示天下之或有弗服者於是丁未祀廟以成功告祖庚戌柴望以成功告天及于百神所謂大告武成也至二十二日既生魄凡新封之庶邦冡君暨百工咸朝見新王祇受周命故自王若曰嗚呼羣后以下乃宣命之正文所以逺述先王建邦啟土至於文王誕膺天命惟大統未集故兹承志伐商底商之罪以告皇天后土及名山大川於時神人順應天下大定散財發粟大賚四海萬姓恱服而大統既集矣故今列爵分土惟五惟三建官位事惟賢惟能所期羣后百工相與重民五教惟食喪祭惇信明義崇徳報功庶垂拱而天下治此即奉天承運布告天下咸使聞知之新命惟宣命在武成告祖告天之後故文内於公劉以下統稱先王而自稱曰有道曽孫周王發體統然也讀者不察既生魄與哉生魄時義各異又不詳審其通篇之意理血脉遂指為簡編錯亂紛紛改竄不亦異乎成王元年歲次丙戌下逮平王四十八年戊午歲凡三百九十三年其中經史所載月日推之皆合者詳具厯年其紀日至者惟前漢志稱魯獻公十五年正月甲寅朔旦冬至殷厯以為乙夘唐大衍元授時諸厯說皆取之今考魯獻公十五年即周夷王十二年戊寅歲也本新法推之其年天正壬子月乙夘朔旦酉正初刻六分冬至與殷厯合其正月建甲寅其月朔旦亦值甲寅其日酉正三刻十一分交雨水非冬至也盖漢人皆謂周改夏正十一月為正月故紀載舛誤惟殷厯以為乙夘之說必有所本耳春秋之世魯僖公五年傳稱春王正月辛亥朔日南至其年即周惠王二十二年丙寅歲也今推丙寅歲天正戊子月辛亥朔旦申正二刻四分冬至與傳紀日合昭公二十年傳稱王二月己丑日南至其年即周景王二十三年己夘歲也今推己夘歲天正甲子月辛酉朔二十九日己丑夘正二刻三分冬至亦與傳紀日合有周一代日至可稽者惟以上三事傳以辛亥朔日南至繫于王正月己丑日南至繫于王二月盖由分傳附經者移就周正而為之說詳于後及其本年周正以十一月為歲首蔡氏書傳辨之明矣或嫌其引證無多難為確據今按史記厯書云夏正以正月殷正以十二月周正以十一月秦滅六國頗推五勝自以為得水徳之瑞而正以十月其紀述亦極明曉盖月數古今所同而紀歳者或以正月為正或以十二月為正或以十一月為正或以十月為正言各尊所建頒正朔故白正以某月非改首月之數為正月也凡稱建者以斗建而言商周改建不但不改四時月數而於斗杓建寅仍通稱正月即如周禮凌人正歲十有二月令斬冰即詩稱二之日鑿冰冲冲也必繫以正歲者從寅起數以順歲星是謂正月猶一日之稱元日與三正之正字同義異也左傳襄公三十年二月晋絳縣老人稱臣生之歲正月甲子朔今推其年天正丙子月丙寅朔春王正月甲子朔乃文公十一年乙巳歲也即此可證寅稱正月周人未嘗改則商可例知己又按史記及前漢書秦二世二年冬十月秦兵圍沛公于豐十一月章邯追敗楚軍于澠池春正月趙將張耳陳餘立趙歇為王夏六月項梁立楚懐王孫心為楚之懐王秋七月大霖雨此一年也三年冬十一月楚次將項籍矯殺宋義春二月沛公擊昌邑夏四月沛公攻潁川秋七月南陽守齮降八月沛公入武闗九月子嬰殺趙髙夷三族又一年也漢王劉邦元年冬十月沛公至霸上子嬰降春正月項籍尊楚懐王為義帝二月項籍自立為西楚霸王夏四月諸侯罷兵就國五月齊田榮擊走齊王郝秋七月使彭越擊殺濟北王安八月漢王還定三秦此又一年也可證孟春稱正月秦人亦未之改而曲說之士乃指史記所紀月歲皆由太初正厯後追改之彼何所考據而云然不過見史記作於太初元年之後臆度而謬為之說耳余嘗作春秋春王正月建寅辨引証凡五十餘事見鄙著春秋深中兹不重載舊說相沿多稱春秋再失閏今本經傳所紀月日推之自桓王二年暨莊王六年二十八年間失兩閏焉夫十九年七閏古法相沿厯家豈不熟知而至于失兩閏此豈司厯推筭不精失之哉桓王失道號令不行于天下頒朔每不至于諸侯故其間有上年應閏而置于下年者皆由失頒于前補置于後又或失而不補積漸遂至于再失當是時列侯之㑹盟征伐朝聘繼好無月不有而頒朔不至莫知閏在何月則其逐月紀事但依每年十二月之常例書之豈列侯皆不知其年應閏何月哉彼固外假尊王之名以為不敢擅置而失閏之實則又以為怠棄時政過在王朝非侯氏之咎也春秋于歲首正月無事則二三月必書王以尊正統其于四時閱時無事必書首月以成歲功獨桓王十一年至莊王二年不書王者十有四年闕秋冬者二年其取義示人不亦深切著明歟自莊王六年以後前失既補迄于春秋之終閏法不大差殊閒或失之旋失旋補雖情事大畧亦類桓莊而不致乆懸若夫應閏之年或早數月或遲數月此則司厯之過求諸唐宋以來往往有之不獨衰周為然也今逐閏詳于厯年閱之自見左傳終于哀公二十七年即周貞定王元年也自此至七國嬴秦之間求諸史䇿及傳記不惟無日至可稽即日之繫月者苦不多得其有可引據者備録于厯年以便考惜見聞不博未免遺漏耳自秦有天下至漢武帝太初元年以前置閏概用後九月本屬非法但于十九年七閏之例亦不甚差則前此可知也前後漢四百二十有餘年史稱武帝元鼎五年己巳歲十一月辛巳朔旦冬至太初元年丁丑歲天正十一月甲子朔旦冬至章帝二年乙酉歲十一月壬辰日南至初閉闗梁靈帝熹平三年甲寅歲天正冬至丁丑日乃張衡銅儀測候所推凡漢時冬至見于史册傳紀可據者惟此四事其由後人推論非當時見諸授民時之實者不録焉今推章帝乙酉歲十一月十七日壬辰戌初一刻二分冬至與史紀日合餘皆不合嘗稽自劉宋元嘉厯以後諸家厯說每云于冬至測晷知兩漢暨魏晉間節氣皆後天三日故唐一行以麟徳開元二厯推太初元年天正冬至當在辛酉日元授時推之頗同今推其年冬至得辛酉日未正一刻六分與諸厯紀合則後天三日之言確矣元鼎五年之辛巳熹平三年之丁丑其後天亦大畧相同已各具于本年竊嘗據其合者以推其不合者漢承秦弊正厯始自太初今由太初丁丑歲天正甲子朔旦子正初刻一分起數下距元和乙酉歲十一月十七日壬辰戌初一刻二分止共一百八十九年連閏積六萬九千零二十八日九時五刻十三分均攤于一百八十九年每年得歲實三百六十五日二時六刻三分四十八秒又由太初丁丑歲天正甲子朔旦子正初刻一分起數上距春秋魯昭公二十年己夘嵗天正月二十九日己丑夘正二刻三分内三十一秒止共四百一十八年連閏積一十五萬二千六百七十四日八時五刻十二分三十秒均攤于四百一十八年每年得歲實三百六十五日三時零四十七秒夫節氣之行于天歲差自有常分豈有六百餘年閒歲實之前長後短相懸一至于此况自漢武太初元年上遡陶唐為時甚逺今推堯時兩冬至相距每年歲實得三百六十五日二時七刻十分三十秒若昭公己夘歲在陶唐千有八百三十餘年之後乃下逮太初其間四百餘年歲實反較堯時而加増又由太初下逮明季為時尤逺今推崇禎年間每年歲實得三百六十五日二時七刻四分三十秒若元和乙酉歲在明季千有八百五十餘年之前乃上距太初其間一百八十餘年歲實反較明季而太減若如一行所推辛酉日而以未正一刻六分交冬至上下推筭不惟歲實之分數有常而歲氣逓差之數亦厯厯可據由是觀之太初厯術不本春秋傳所紀辛交己丑兩冬至就近推測以求其實而誤解舊聞歲紀甲寅日紀甲子之說虚託上古茫茫不可知之太初甲寅歲甲子朔旦冬至為厯元荒渺已極史遷因之著厯術甲子篇不過紙上浮言最難〔？〕信其後劉歆三統著論華而不實亦猶乎是至於影附商書指太甲元祀十一月乙丑為朔旦冬至則作偽又有甚焉又按章帝紀元和二年二月始行四分厯則其年十一月壬辰日南至今推之而可合者殆由張盛楊岑等測驗較宻故頗得其實但四分厯亦行之不乆遂廢耳自宋元嘉厯以後及北宋間凡史書所紀冬至日頗多今推之而可合者亦多南宋以及元明間紀日至益多而推之可合者亦益多偶有不合或數時或數刻不至大相懸逺已各具于本年矣大抵自顓頊十三年丁夘歲正月丙寅朔旦夘初一刻立春以後至昭公己夘歲天正月己丑日冬至以前史紀節氣雖極少而本新法兼歲差推之可得其合自元嘉厯以後至於明季史紀日至雖漸詳而本新法兼歲差推之亦可得其合惟秦漢以下元嘉二十二年以上六百五六十年史紀日至既少而推之又不合則其厯術之乖謬大可見矣史家編年紀月而日必繫月常例也今惟冬至紀日日食紀朔晦及因事紀朔晦者則悉登之亦不及悉登其所紀之事至于二十一史中凡日之繫月推之不合者不可勝數或由編史者紀録之誤或由繙刻者傳冩之訛今不能詳志于歴年之下閱者就每年正月朔日推之則其訛誤自可得而見耳厯家推筭合朔得定朔為是泥平朔為非此編于每年正月必紀朔日者所以掲史家逐月紀日之綱于歲首以便閱者推考又可以推冬至日辰或在上旬或在中旬或在下旬則本年及次年或應閏或不應閏可即此而易見也但愚不精于厯術未能推定朔而平朔之數載在厯書人人可學而知因本平朔推而紀之盖逐月推筭拘拘平朔自不足用至于無閏之年三百五十四日間或五日有閏之年三百八十四日間或三日本有常分就此推歲首朔日自可百不失一惟五日者或七八年或三四年或逾年三日者或數年或十數年或數十餘年每錯出不齊今之所推極知未能脗合天行然每年正月朔日其已見史册者既據史以登之則其餘縱不能悉合或亦若志目中眉不致大差耳此編遵今推古惟以冬至為主其餘節氣雖載在史册皆所不登緣其與今新法不合故也盖新法維太陽之行黄道其于周天度分計平行則終歲之間每日如一計實行則每節每氣之間日日不等故于日躔十二宮次驗其行度之盈縮以定二十四節氣之長短乃總節氣之長短計之得歲實若干此萬古不易之定理即萬世不易之定法也舊法取歲實之數均攤于每節每氣各得十五日二時四刻十四分有竒殊于天行未覩其真今近舉元明間之節氣見于傳記可據者論之宏簡録元至元三十一年甲午歲正月一日壬子立春二月二日癸未驚蟄三月三日癸丑清明四月四日甲申立夏五月五日甲寅芒種六月六日乙酉小暑七月七日乙夘立秋八月八日乙酉白露九月九日丙辰寒露十月十日丙戌立冬十一月十一日丁巳大雪十二月十二日丁亥小寒今推本其年天正冬至刻分以起筭而用舊法平推之每節每氣各十五日二時四刻十四分三十五秒有竒十一月癸丑朔十五日丁夘夘初一刻七分内一秒冬至十二月壬午朔巳正一刻六分小寒正月壬子朔亥初初刻五分立春二月壬午朔二日癸未辰初二刻四分驚蟄三月辛亥朔三日癸丑酉正初刻四分清明四月辛巳朔四日甲申寅正二刻三分立夏五月庚戌朔五日甲寅申初初刻二分芒種六月庚辰朔六日乙酉丑初二刻一分小暑七月己酉朔七日乙夘午初三刻立秋八月戊寅朔八日乙酉亥正一刻白露九月戊申朔九日丙辰辰正三刻十四分寒露十月丁丑朔十日丙戌戌初一刻十三分立冬十一月丁未朔十一日丁巳夘初三刻十二分大雪十二月丙子朔十二日丁亥申正一刻十一分小寒再用新法推之十一月癸丑朔(十五日丁夘夘初一刻七分内一秒冬至同前 二十九日辛巳亥正一刻五)(分小寒)十二月壬午朔三十日辛亥巳初三刻五分立春正月壬子朔三十日辛巳寅正三刻驚蟄二月壬午朔三月辛亥朔午初二刻九分清明四月辛巳朔二日壬午夘正三刻十分立夏五月庚戌朔四日癸丑午正二刻十三分芒種六月庚辰朔五日甲申夜子初一刻八分小暑七月己酉朔八日丙辰辰正三刻三分立秋八月戊寅朔十日丁亥巳正二刻五分白露九月戊中朔十一日戊午子正二刻十一分寒露十月丁丑朔十二日戊子丑正一刻九分立冬十一月丁未朔十一日丁巳酉初三刻二分大雪十二月丙子朔十二日丁亥寅正初刻十一分小寒又王敬哉冬夜箋記明萬厯二十二年甲午歲中氣正月一日雨水二月二日春分三月三日榖雨四月四日小滿五月五日夏至六月六日大暑七月七日處暑八月八日秋分九月九日霜降十月十日小雪十一月十一日冬至十二月十二日大寒今推其年天正十一月三十日庚辰丑正一刻一分内一秒冬至又考厯學新說稱其月二十九日己夘夜半前冬至與今所推先一時二刻兹就己夘夜子初三刻一分起筭而用舊法平推之每節每氣各得十五日二時四刻十四分三十三秒有竒十一月辛亥朔二十九日己夘夜子初三刻一分内一秒冬至閏月辛巳朔十二月庚戌朔巳正初刻大寒正月庚辰朔戌正二刻十四分雨水二月庚戌朔二日辛亥辰初初刻十三分春分三月己夘朔三日辛巳酉初二刻十三分榖雨四月己酉朔四日壬子寅正初刻十一分小滿五月戊寅朔五日壬午未正二刻十分夏至六月戊申朔六日癸丑丑初初刻九分大暑七月丁丑朔七日癸未午初二刻八分處暑八月丙午朔八日癸丑亥正初刻八分秋分九月丙子朔九日甲申辰正二刻七分霜降十月乙巳朔十日甲寅戌初初刻六分小雪十一月乙亥朔十一日乙酉夘初二刻五分冬至十二月甲辰朔十二日乙夘申正初刻四分大寒再用新法推之十一月辛亥朔三十日庚辰丑正一刻一分内一秒冬至十二月辛巳朔二十九日己酉午正一刻四分大寒正月庚戌朔三十日己夘寅初初刻五分雨水二月庚辰朔三十日己酉寅初二刻九分春分閏月庚戌朔三月己夘朔申正二刻十一分榖雨四月己酉朔二日庚戌酉初二刻三分小滿五月戊寅朔五日壬午丑正二刻一分夏至六月戊申朔六日癸丑未初二刻四分大暑七月丁丑朔八日甲申戌初二刻八分處暑八月丙午朔十日乙夘申正一刻八分秋分九月丙子朔十日乙酉夜子初三刻十二分霜降十月乙巳朔十一日乙夘戌正初刻十三分小雪十一月乙亥朔十一日乙酉辰正初刻五分冬至十二月甲辰朔十一日甲寅酉正初刻八分大寒此上兩年一記初節一記中氣乃元明間所授人時兹以新法推之自上年冬至距下年冬至歲實無異每月朔日皆仍其舊而中間節氣前却逈異以致置閏遲早亦復不同此由舊法于天周三百六十度外増五度四分度之一以配歲餘則所分十二躔次既不合乎天度太陽不由中氣改躔又不測其每日實行以定節氣而但均歲實以平列之尤不協乎天行其法未知始自何時大抵秦廢古制置閏既概用後九月則以天度配嵗氣節氣概用平推亦可想見漢承秦弊不求正厯至于太初雖改建正朔而厯術未覩其真故弊法相沿迄元明而未革我朝擇行新法惟就近實測順天以求合既黙契夫欽若敬授之心源而晰理極精立法盡善初不假遡厯元于太古而本之以上考古初實與五帝三王之建法若合符節即如史稱顓帝十三年作厯以孟春之月為元是歲正月朔旦立春雞始三號今本唐堯甲辰元載由帝摯帝嚳顓頊在位年數逆推得十三年歲次己夘因以新法所定現今每年冬至時日刻分為本而加歲差以推之其年天正冬至在壬午日子正三刻三分由此起數厯小寒大寒積四十四日二時一刻十四分于正月丙寅朔旦夘初一刻二分交立春設如舊法平推雖數起冬至之刻分如一而立春乃在丁夘日午正二刻不惟與雞始三號無涉且後天一日有四時不得在朔旦又書稱武王十三年一月壬辰旁死魄癸巳于征伐商四月丁未祀廟庚戌柴望故先儒皆謂其年閏二月今遵新法加歲差推得其年天正月三十日壬戌丑初二刻十分冬至由此起數歴小寒大寒立春雨水驚蟄積八十九日零六刻五分于二月辛夘晦寅初初刻五分交春分又積閏月内春分清明三十日六時四刻二分于三月朔日辛酉申正初刻七分交榖雨若用舊法平推壬戌日丑初冬至即壬辰日午正大寒應閏十一月而不得閏二月則一月又安得有壬辰癸巳乎即此證之可知新法上同乎古法惟其實測與天合符故若昊授時先聖後聖其揆一也慨自周道傷于厲極于幽史記稱申侯與犬戎攻幽王弑之于驪山犬戎盡取周賂且奪岐豐當是時宫廟黍離則雖有古傳厯象璣衡亦遭燹毁而平王倉卒播遷則疇人子弟流離分散又勢所不免下至春秋之世王綱日頽治厯明時之道不復講求古法遂浸以失傳矣然而日南至之紀于春秋傳者若僖公丙寅歲之辛亥昭公己夘歲之己丑迄今如法推之猶可坐致且求諸列國若魯梓慎謂火出于夏為三月于商為四月于周為五月可以見古人推筭恒星歲差之法晉史墨因十二月辛亥朔日食追數日月在辰尾庚午之日日始有謫又傳紀十一月乙亥朔食譏辰在申為司厯之過可以見古人推筭日食去交分若干日時及加時在晝之法魯祝史論日食用幣因當時失閏而以六月朔為過分未至可以見古人推筭節氣必測太陽實行之法傳因失閏紀先王之正時必履端于始舉正于中歸餘于終可以見古人以閏定時成歲之法絳縣人自謙不知紀年而言臣生之歲正月甲子朔至其季三之一亦可以見古人歲紀甲寅日紀甲子之法凡此皆識大識小之在人者是以古法雖廢猶存什一未至若暴秦之滅裂也夫秦人盡舉古法而滅裂之其志在舞智以愚黔首耳越二千餘年以來累代厯術漸求漸宻而餘弊未殄伏遇大聖人應運以興革弊法而維新之於是分至啟閉各協其時而五氣和日月星辰悉循其軌而羣生遂用釐百工恪共者允矣咸熈乎庶績用頒正朔遵行者惟曰欲至于萬年此率土臣民無疆之慶也伯政素不精于厯學此集推算已往日至悉遵新法推之惟二百十六期遞減二十秒之說乃從前推節氣差者所未發似乎千慮之一得然非新法至精至當而周天仍如舊法多五度四分度之一且度不定為六十分分不定為六十秒日躔差仍依舊法為黄道西移而不知為恒星東行日法仍為百刻每刻不定為十五分每分不定為六十秒節仍用平推而無短長之别則曷由引伸以起悟此猶之規矩為方圓之至雖拙工用之亦可以熟思而生其明巧也要之治厯明時之道務在理明器精隨時測騐追合天行非恃有定之法以御無窮之數惟以之求己然之跡尚可無差故甲子運無事實可徴但渾舉其大綱而壬子運則逐回詳列之名曰全史日至源流云全史日至源流卷首下
## 卷一
欽定四庫全書全史日至源流卷一山東道御史許伯政撰壬子運一(每期三百六十五日二時七刻十四分十秒)冬至十四日八時三刻十四分二十秒小寒十四日八時四刻五分十秒大寒十四日九時一刻十分二十五秒立春十四日十時一刻六分二十五秒雨水十四日十一時三刻四分二十五秒驚蟄十五日零七刻零二十秒春分十五日二時三刻九分一十秒清明十五日四時零八分十秒榖雨十五日五時四刻八分十五秒立夏十五日六時七刻零二十秒小滿十五日八時零三分十五秒芒種十五日八時三刻十分二十秒夏至十五日八時七刻零二十秒小暑十五日八時五刻三分二十秒大暑十五日八時零八分二十秒立秋十五日七時零十一分二十秒處暑十五日五時六刻六分二十秒白露十五日四時三刻九分二十五秒秋分十五日二時四刻十一分三十秒寒露十五日一時一刻八分二十五秒霜降十四日十一時五刻五分二十秒立冬十四日十時二刻十一分三十秒小雪十四日九時二刻十二分二十五秒大雪十四日八時五刻十分二十秒甲子年甲子月壬子朔子正初刻一分内一秒冬至日躔在室十一度之三十九分乙丑年丙子月丙午朔丁巳日卯初三刻十五分内十一秒冬至丙寅年戊子月庚子朔壬戌日午初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏丁卯年庚子月甲子朔丁卯日酉初三刻十三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊午朔壬申夜子初三刻十二分内四十一秒冬至己巳年甲子月癸丑朔戊寅日卯初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏庚午年丙子月丁丑朔癸未日午初三刻十一分内一秒冬至辛未年戊子月辛未朔戊子日酉初三刻十分内十一秒冬至壬申年庚子月乙丑朔癸巳夜子初三刻九分内二十一秒冬至 應閏癸酉年壬子月己丑朔己亥日卯初三刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月甲申朔甲辰日午初三刻七分内四十一秒冬至 應閏乙亥年丙子月戊申朔己酉日酉初三刻六分内五十一秒冬至丙子年戊子月壬寅朔甲寅夜子初三刻六分内一秒冬至丁丑年庚子月丙申朔庚申日卯初三刻五分内一十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月庚申朔乙丑日午初三刻四分内二十一秒冬至己卯年甲子月乙卯朔庚午日酉初三刻三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月己酉朔乙亥夜子初三刻二分内四十一秒冬至 應閏辛巳年戊子月癸酉朔辛巳日卯初三刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月丁卯朔丙戌日午初三刻一分内一秒冬至 應閏一章癸未年壬子月辛卯朔日酉初二刻十五分内一十一秒冬至甲申年甲子月丙戌朔丙申夜子初二刻十四分内二十一秒冬至乙酉年丙子月庚辰朔壬寅日卯初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月甲辰朔丁未日午初二刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月戊戌朔壬子日酉初二刻十一分内五十一秒冬至戊子年壬子月壬辰朔丁巳夜子初二刻十一分内一秒冬至 應閏己丑年甲子月丙辰朔癸亥日卯初二刻十分内十一秒冬至庚寅年丙子月庚戌朔戊辰日午初二刻九分内二十一秒冬至辛卯年戊子月乙巳朔癸酉日酉初二刻八分内三十一秒冬至 應閏壬辰年庚子月己巳朔戊寅夜子初二刻七分内四十一秒冬至癸巳年壬子月癸亥朔甲申日卯初二刻六分内五十一秒冬至 應閏甲子年至此十一閏一紀甲午年甲子月丁亥朔己丑日午初二刻六分内一秒冬至乙未年丙子月壬午朔甲午日酉初二刻五分内一十一秒冬至丙申年戊子月丙子朔己亥夜子初二刻四分内二十一秒冬至 應閠丁酉年庚子月庚子朔乙巳日卯初二刻三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲午朔庚戌日午初二刻二分内四十一秒冬至己亥年甲子月戊子朔乙卯日酉初二刻一分内五十一秒冬至 應閏庚子年丙子月壬子朔庚申夜子初二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丙午朔丙寅日卯初一刻十五分内一十一秒冬至 應閏二章壬寅年庚子月庚午朔辛未日午初一刻十四分内二十一秒冬至癸卯年壬子月乙丑朔丙子日酉初一刻十三分内三十一秒冬至甲辰年甲子月己未朔辛巳夜子初一刻十二分内四十一秒冬至 應閏乙巳年丙子月癸未朔丁亥日卯初一刻十一分内五十一秒冬至丙午年戊子月戊寅朔壬辰日午初一刻十一分内一秒冬至丁未年庚子月壬申朔丁酉日酉初一刻十分内一十一秒冬至 應閏戊申年壬子月丙申朔壬寅夜子初一刻九分内二十一秒冬至己酉年甲子月庚寅朔戊申日卯初一刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲申朔癸丑日午初一刻七分内四十一秒冬至 應閏辛亥年戊子月戊申朔戊午日酉初一刻六分内五十一秒冬至壬子年庚子月癸卯朔癸亥夜子初一刻六分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月丁卯朔己巳日卯初一刻五分内一十一秒冬至甲寅年甲子月辛酉朔甲戌日午初一刻四分内二十一秒冬至乙卯年丙子月丙辰朔己卯日酉初一刻三分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月庚辰朔甲申夜子初一刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月甲戌朔庚寅日卯初一刻一分内五十一秒冬至戊午年壬子月戊辰朔乙未日午初一刻一分内一秒冬至 應閏己未年甲子月壬辰朔庚子日酉初初刻十五分内一十一秒冬至庚申年丙子月丙戌朔乙巳夜子初初刻十四分内二十一秒冬至 應閏三章辛酉年戊子月庚戌朔辛亥日卯初初刻十三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月乙巳朔丙辰日午初初刻十二分内四十一秒冬至癸亥年壬子月己亥朔辛酉日酉初初刻十一分内五十一秒冬至 應閏甲午年至此十一閏又一紀甲子年甲子月癸亥朔丙寅夜子初初刻十一分内一秒冬至乙丑年丙子月丁巳朔壬申日卯初初刻十分内一十一秒冬至丙寅年戊子月壬子朔丁丑日午初初刻九分内二十一秒冬至 應閏丁卯年庚子月丙子朔壬午日酉初初刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚午朔丁亥夜子初初刻七分内四十一秒冬至己巳年甲子月甲子朔癸巳日卯初初刻六分内五十一秒冬至 應閏庚午年丙子月戊子朔戊戌日午初初刻六分内一秒冬至辛未年戊子月癸未朔癸卯日酉初初刻五分内一十一秒冬至 應閏壬申年庚子月丁未朔戊申夜子初初刻四分内二十一秒冬至癸酉年壬子月辛丑朔甲寅日卯初初刻三分内三十一秒冬至甲戌年甲子月乙未朔己未日午初初刻二分内四十一秒冬至 應閏乙亥年丙子月己未朔甲子日酉初初刻一分内五十一秒冬至丙子年戊子月甲寅朔己巳夜子初初刻一分内一秒冬至日躔在室十度之三十九分丁丑年庚子月戊申朔乙亥日寅正三刻十五分内一十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月壬申朔庚辰日巳正三刻十四分内二十一秒冬至己卯年甲子月丙寅朔乙酉日申正三刻十三分内三十一秒冬至 應閏四章庚辰年丙子月庚寅朔日亥正三刻十二分内四十一秒冬至辛巳年戊子月甲申朔丙申日寅正三刻十一分内五十一秒冬至壬午年庚子月戊寅朔辛丑日巳正三刻十一分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月壬寅朔丙午日申正三刻十分内一十一秒冬至甲甲年甲子月丁酉朔辛亥日亥正三刻九分内二十一秒冬至乙酉年丙子月辛卯朔丁巳日寅正三刻八分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月乙卯朔壬戌日巳正三刻七分内四十一秒冬至丁亥年庚子月庚戌朔丁卯日申正三刻六分内五十一秒冬至戊子年壬子月甲辰朔壬申日亥正三刻六分内一秒冬至 應閏己丑年申子月戊辰朔戊寅日寅正三刻五分内一十一秒冬至庚寅年丙子月壬戌朔癸未日巳正三刻四分内二十一秒冬至 應閏辛卯年戊子月丙戌朔戊子日申正三刻三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚辰朔癸巳日亥正三刻二分内四十一秒冬至癸巳年壬子月乙亥朔己亥日寅正三刻一分内五十一秒冬至 應閏甲子年至此十一閏又一紀甲午年甲子月己亥朔甲辰日巳正三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月癸巳朔己酉日申正二刻十五分内一十一秒冬至丙申年戊子月丁亥朔甲寅日亥正二刻十四分内二十一秒冬至 應閏丁酉年庚子月辛亥朔庚申日寅正二刻十三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月乙巳朔乙丑日巳正二刻十二分内四十一秒冬至 應閏五章己亥年甲子月己巳朔庚午日申正二刻十一分内五十一秒冬至庚子年丙子月甲子朔乙亥日亥正二刻十一分内一秒冬至辛丑年戊子月己未朔辛巳日寅正二刻十分内一十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月癸未朔丙戌日巳正二刻九分内二十一秒冬至癸卯年壬子月丁丑朔辛卯日申正二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛未朔丙申日亥正二刻七分内四十一秒冬至 應閏乙巳年丙子月乙未朔壬寅日寅正二刻六分内五十一秒冬至丙午年戊子月己丑朔丁未日巳正二刻六分内一秒冬至丁未年庚子月甲申朔壬子日申正二刻五分内一十一秒冬至 應閏戊申年壬子月戊申朔丁巳日亥正二刻四分内二十一秒冬至己酉年甲子月壬寅朔癸亥日寅正二刻三分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月丙寅朔戊辰日巳正二刻二分内四十一秒冬至辛亥年戊子月庚申朔癸酉日申正二刻一分内五十一秒冬至壬子年庚子月甲寅朔戊寅日亥正二刻一分内一秒冬至應閏癸丑年壬子月戊寅朔甲申日寅正一刻十五分内一十一秒冬至甲寅年甲子月癸酉朔己丑日巳正一刻十四分内二十一秒冬至乙卯年丙子月丁卯朔甲午日申正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月辛卯朔己亥日亥正一刻十二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月乙酉朔乙巳日寅正一刻十一分内五十一秒冬至 應閏六章戊午年壬子月己酉朔庚戌日巳正一刻十一分内一秒冬至己未年甲子月甲辰朔乙卯日申正一刻十分内一十一秒冬至庚申年丙子月戊戌朔庚申日亥正一刻九分内二十一秒冬至 應閏辛酉年戊子月壬戌朔丙寅日寅正一刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丁巳朔辛未日巳正一刻七分内四十一秒冬至癸亥年壬子月辛亥朔丙子日申正一刻六分内五十一秒冬至 應閏甲午年至此十一閏又一紀甲子年甲子月乙亥朔辛巳日亥正一刻六分内一秒冬至乙丑年丙子月己巳朔丁亥日寅正一刻五分内一十一秒冬至丙寅年戊子月甲子朔壬辰日巳正一刻四分内二十一秒冬至 應閏丁卯年庚子月戊子朔丁酉日申正一刻三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月壬午朔壬寅日亥正一刻二分内四十一秒冬至 應閏己巳年甲子月丙午朔戊申日寅正一刻一分内五十一秒冬至庚午年丙子月庚子朔癸丑日巳正一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月甲午朔戊午日申正初刻十五分内一十一秒冬至 應閏壬申年庚子月戊午朔癸亥日亥正初刻十四分内二十一秒冬至癸酉年壬子月癸丑朔己巳日寅正初刻十三分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丁未朔甲戌日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 應閏乙亥年丙子月辛未朔己卯日申正初刻十一分内五十一秒冬至丙子年戊子月乙丑朔甲申日亥正初刻十一分内一秒冬至 應閏七章丁丑年庚子月己丑朔庚寅日寅正初刻十分内一十一秒冬至戊寅年壬子月甲申朔乙未日巳正初刻九分内二十一秒冬至己卯年甲子月戊寅朔庚子日申正初刻八分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月壬寅朔乙巳日亥正初刻七分内四十一秒冬至辛巳年戊子月丙申朔辛亥日寅正初刻六分内五十一秒冬至壬午年庚子月辛卯朔丙辰日巳正初刻六分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月乙卯朔辛酉日申正初刻五分内一十一秒冬至甲申年甲子月己酉朔丙寅日亥正初刻四分内二十一秒冬至乙酉年丙子月癸卯朔壬申日寅正初刻三分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月丁卯朔丁丑日巳正初刻二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月辛酉朔壬午日申正初刻一分内五十一秒冬至 應閏戊子年壬子月乙酉朔丁亥日亥正初刻一分内一秒冬至日躔在室九度之三十九分己丑年甲子月庚辰朔癸巳日寅初三刻十五分内一十一秒冬至庚寅年丙子月甲戌朔戊戌日巳初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏辛卯年戊子月戊戌朔癸卯日申初三刻十三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月癸巳朔戊申日亥初三刻十二分内四十一秒冬至癸巳年壬子月丁亥朔甲寅日寅初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏甲子年至此十一閏又一紀甲午年甲子月辛亥朔己未日巳初三刻十一分内一秒冬至乙未年丙子月乙巳朔甲子日申初三刻十分内一十一秒冬至 應閏八章丙申年戊子月己巳朔日亥初三刻九分内二十一秒冬至丁酉年庚子月癸亥朔乙亥日寅初三刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月戊午朔庚辰日巳初三刻七分内四十一秒冬至 應閏己亥年甲子月壬午朔乙酉日申初三刻六分内五十一秒冬至庚子年丙子月丙子朔庚寅日亥初三刻六分内一秒冬至辛丑年戊子月庚午朔丙申日寅初三刻五分内一十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月甲午朔辛丑日巳初三刻四分内二十一秒冬至癸卯年壬子月戊子朔丙午日申初三刻三分内三十一秒冬至甲辰年甲子月癸未朔辛亥日亥初三刻二分内四十一秒冬至 應閏乙巳年丙子月丁未朔丁巳日寅初三刻一分内五十一秒冬至丙午年戊子月辛丑朔壬戌日巳初三刻一分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月乙丑朔丁卯日申初二刻十五分内一十一秒冬至戊申年壬子月庚申朔壬申日亥初二刻十四分内二十一秒冬至己酉年甲子月甲寅朔戊寅日寅初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月戊寅朔癸未日巳初二刻十二分内四十一秒冬至辛亥年戊子月壬申朔戊子日申初二刻十一分内五十一秒冬至壬子年庚子月丙寅朔癸巳日亥初二刻十一分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月庚寅朔己亥日寅初二刻十分内一十一秒冬至甲寅年甲子月甲申朔甲辰日巳初二刻九分内二十一秒冬至 應閏九章乙卯年丙子月戊申朔己酉日申初二刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月癸卯朔甲寅日亥初二刻七分内四十一秒冬至丁巳年庚子月戊戌朔庚申日寅初二刻六分内五十一秒冬至 應閏戊午年壬子月壬戌朔乙丑日巳初二刻六分内一秒冬至己未年甲子月丙辰朔庚午日申初二刻五分内一十一秒冬至庚申年丙子月庚戌朔乙亥日亥初二刻四分内二十一秒冬至 應閏辛酉年戊子月甲戌朔辛巳日寅初二刻三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月戊辰朔丙戌日巳初二刻二分内四十一秒冬至癸亥年壬子月癸亥朔辛卯日申初二刻一分内五十一秒冬至 應閏甲午年至此十一閏又一紀甲子三周甲子年甲子月丁亥朔丙申日亥初二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月辛巳朔壬寅日寅初一刻十五分内一十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月乙巳朔丁未日巳初一刻十四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月己亥朔壬子日申初一刻十三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月甲午朔丁巳日亥初一刻十二分内四十一秒冬至 應閏己巳年甲子月戊午朔癸亥日寅初一刻十一分内五十一秒冬至庚午年丙子月壬子朔戊辰日巳初一刻十一分内一秒冬至辛未年戊子月丙午朔癸酉日申初一刻十分内一十一秒冬至 應閏壬申年庚子月庚午朔戊寅日亥初一刻九分内二十一秒冬至癸酉年壬子月甲子朔甲申日寅初一刻八分内三十一秒冬至 應閏十章甲戌年甲子月戊子朔己丑日巳初一刻七分内四十一秒冬至乙亥年丙子月癸未朔甲午日申初一刻六分内五十一秒冬至丙子年戊子月丁丑朔己亥日亥初一刻六分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月辛丑朔乙巳日寅初一刻五分内一十一秒冬至戊寅年壬子月丙申朔庚戌日巳初一刻四分内二十一秒冬至己卯年甲子月庚寅朔乙卯日申初一刻三分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月甲寅朔庚申日亥初一刻二分内四十一秒冬至辛巳年戊子月戊申朔丙寅日寅初一刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月壬寅朔辛未日巳初一刻一分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月丙寅朔丙子日申初初刻十五分内一十一秒冬至甲申年甲子月辛酉朔辛巳日亥初初刻十四分内二十一秒冬至 應閏乙酉年丙子月乙酉朔丁亥日寅初初刻十三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月己卯朔壬辰日巳初初刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月癸酉朔丁酉日申初初刻十一分内五十一秒冬至 應閏戊子年壬子月丁酉朔壬寅日亥初初刻十一分内一秒冬至己丑年甲子月壬辰朔戊申日寅初初刻十分内一十一秒冬至庚寅年丙子月丙戌朔癸丑日巳初初刻九分内二十一秒冬至 應閏辛卯年戊子月庚戌朔戊午日申初初刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月甲辰朔癸亥日亥初初刻七分内四十一秒冬至 應閏十一章甲子年至此十一閏又一紀縮一年下起癸巳癸巳年壬子月戊辰朔己巳日寅初初刻六分内五十一秒冬至甲午年甲子月癸亥朔甲戌日巳初初刻六分内一秒冬至乙未年丙子月丁巳朔己卯日申初初刻五分内一十一秒冬至 應閏丙申年戊子月辛巳朔甲申日亥初初刻四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月乙亥朔庚寅日寅初初刻三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月己巳朔乙未日巳初初刻二分内四十一秒冬至 應閏己亥年甲子月癸巳朔庚子日申初初刻一分内五十一秒冬至全史日至源流卷一
## 卷二
欽定四庫全書全史日至源流卷二山東道御史許伯政撰壬子運二(每期三百六十五日二時七刻十三分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十九秒一十微小寒十四日八時四刻五分零九秒一十微大寒十四日九時一刻十分二十四秒一十微立春十四日十時一刻六分二十四秒一十微雨水十四日十一時三刻四分二十四秒一十微驚蟄十五日零七刻零一十九秒一十微春分十五日二時三刻九分九秒一十微清明十五日四時零八分零九秒一十微榖雨十五日五時四刻八分十四秒一十微立夏十五日六時七刻零十九秒一十微小滿十五日八時零三分十四秒一十微芒種十五日八時三刻十分十九秒一十微夏至十五日八時七刻零十九秒一十微小暑十五日八時五刻三分一十九秒一十微大暑十五日八時零八分一十九秒一十微立秋十五日七時零十一分一十九秒一十微處暑十五日五時六刻六分十九秒一十微白露十五日四時三刻九分二十四秒一十微秋分十五日二時四刻十一分二十九秒一十微寒露十五日一時一刻八分二十四秒一十微霜降十四日十一時五刻五分一十九秒一十微立冬十四日十時二刻十一分二十九秒一十微小雪十四日九時二刻十二分二十四秒一十微大雪十四日八時五刻十分一十九秒一十微庚子年丙子月戊子朔乙巳日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在室八度之三十九分辛丑年戊子月壬午朔辛亥日丑正三刻十四分内五十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月丙午朔丙辰日辰正三刻十三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月庚子朔辛酉日未正三刻十二分内三十一秒冬至 應閏甲辰年甲子月甲子朔丙寅日戌正三刻十一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月己未朔壬申日丑正三刻十分内一十一秒冬至丙午年戊子月癸丑朔丁丑日辰正三刻九分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月丁丑朔壬午日未正三刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月辛未朔丁亥日戌正三刻六分内四十一秒冬至己酉年甲子月乙丑朔癸巳日丑正三刻五分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月己丑朔戊戌日辰正三刻四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月癸未朔癸卯日未正三刻三分内一十一秒冬至 應閏十二章壬子年庚子月丁未朔戊申日戌正三刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月壬寅朔甲寅日丑正二刻十五分内五十一秒冬至甲寅年甲子月丙申朔己未日辰正二刻十四分内四十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月庚申朔甲子日未正二刻十三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月乙卯朔己巳日戌正二刻十二分内二十一秒冬至丁巳年庚子月己酉朔乙亥日丑正二刻十一分内一十一秒冬至 應閏戊午年壬子月癸酉朔庚辰日辰正二刻十分内一秒冬至己未年甲子月丁卯朔乙酉日未正二刻八分内五十一秒冬至庚申年丙子月壬戌朔庚寅日戌正二刻七分内四十一秒冬至 應閏辛酉年戊子月丙戌朔丙申日丑正二刻六分内三十一秒冬至壬戌年庚子月庚辰朔辛丑日辰正二刻五分内二十一秒冬至 應閏癸巳年至此十一閏一紀癸亥年壬子月甲辰朔丙午日未正二刻四分内一十一秒冬至甲子年甲子月戊戌朔辛亥日戌正二刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月壬辰朔丁巳日丑正二刻一分内五十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月丙辰朔壬戌日辰正一刻十五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月庚戌朔丁卯日未正一刻十四分内三十一秒冬至戊辰年壬子月乙巳朔壬申日戌正一刻十三分内二十一秒冬至 應閏己巳年甲子月己巳朔戊寅日丑正一刻十二分内一十一秒冬至庚午年丙子月癸亥朔癸未日辰正一刻十一分内一秒冬至 應閏十三章辛未年戊子月丁亥朔戊子日未正一刻九分内五十一秒冬至壬申年庚子月壬午朔癸巳日戌正一刻八分内四十一秒冬至癸酉年壬子月丙子朔己亥日丑正一刻七分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月庚子朔甲辰日辰正一刻六分内二十一秒冬至乙亥年丙子月甲午朔己酉日未正一刻五分内一十一秒冬至丙子年戊子月戊子朔甲寅日戌正一刻四分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月壬子朔庚申日丑正一刻二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月丁未朔乙丑日辰正一刻一分内四十一秒冬至己卯年甲子月辛丑朔庚午日未正初刻十五分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月乙丑朔乙亥日戌正初刻十四分内二十一秒冬至辛巳年戊子月己未朔辛巳日丑正初刻十三分内一十一秒冬至 應閏壬午年庚子月癸未朔丙戌日辰正初刻十二分内一秒冬至癸未年壬子月丁丑朔辛卯日未正初刻十分内五十一秒冬至甲甲年甲子月辛未朔丙申日戌正初刻九分内四十一秒冬至 應閏乙酉年丙子月乙未朔壬寅日丑正初刻八分内三十一秒冬至丙戌年戊子月庚寅朔丁未日辰正初刻七分内二十一秒冬至丁亥年庚子月乙酉朔壬子日未正初刻六分内一十一秒冬至 應閏戊子年壬子月己酉朔丁巳日戌正初刻五分内一秒冬至己丑年甲子月癸卯朔癸亥日丑正初刻三分内五十一秒冬至 應閏十四章庚寅年丙子月丁卯朔戊辰日辰正初刻二分内四十一秒冬至辛卯年戊子月辛酉朔癸酉日未正初刻一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月乙卯朔戊寅日戌初三刻十五分内二十一秒冬至 應閏癸亥年至此十一閏又一紀癸巳年壬子月己卯朔甲申日丑初三刻十四分内一十一秒冬至甲午年甲子月甲戌朔己丑日辰初三刻十三分内一秒冬至乙未年丙子月戊辰朔甲午日未初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏丙申年戊子月壬辰朔己亥日戌初三刻十分内四十一秒冬至丁酉年庚子月丁亥朔乙巳日丑初三刻九分内三十一秒冬至戊戌年壬子月辛巳朔庚戌日辰初三刻八分内二十一秒冬至 應閏己亥年甲子月乙巳朔乙卯日未初三刻七分内一十一秒冬至庚子年丙子月己亥朔庚申日戌初三刻六分内一秒冬至 應閏辛丑年戊子月癸亥朔丙寅日丑初三刻四分内五十一秒冬至壬寅年庚子月戊午朔辛未日辰初三刻三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月壬子朔丙子日未初三刻二分内三十一秒冬至 應閏甲辰年甲子月丙子朔辛巳日戌初三刻一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月庚午朔丁亥日丑初二刻十五分内一十一秒冬至丙午年戊子月甲子朔壬辰日辰初二刻十四分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月戊子朔丁酉日未初二刻十二分内五十一秒冬至戊申年壬子月癸未朔壬寅日戌初二刻十一分内四十一秒冬至 應閏十五章己酉年甲子月丁未朔戊申日丑初二刻十分内三十一秒冬至庚戌年丙子月辛丑朔癸丑日辰初二刻九分内二十一秒冬至辛亥年戌子月乙未朔戊午日未初二刻八分内一十一秒冬至 應閏壬子年庚子月己未朔癸亥日戌初二刻七分内一秒冬至日躔在室七度之三十九分癸丑年壬子月甲寅朔己巳日丑初二刻五分内五十一秒冬至甲寅年甲子月戊申朔甲戌日辰初二刻四分内四十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月壬申朔己卯日未初二刻三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月丁卯朔甲申日戌初二刻二分内二十一秒冬至丁巳年庚子月辛酉朔庚寅日丑初二刻一分内一十一秒冬至 應閏戊午年壬子月乙酉朔乙未日辰初一刻十五分内一秒冬至己未年甲子月己卯朔庚子日未初一刻十三分内五十一秒冬至 應閏庚申年丙子月癸卯朔乙巳日戌初一刻十二分内四十一秒冬至辛酉年戊子月丁酉朔辛亥日丑初一刻十一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月壬辰朔丙辰日辰初一刻十分内二十一秒冬至 應閏癸巳年至此十一閏又一紀癸亥年壬子月丙辰朔辛酉日未初一刻九分内一十一秒冬至甲子年甲子月庚戌朔丙寅日戌初一刻八分内一秒冬至乙丑年丙子月甲辰朔壬申日丑初一刻六分内五十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月戊辰朔丁丑日辰初一刻五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月壬戌朔壬午日未初一刻四分内三十一秒冬至 應閏十六章戊辰年壬子月丙戌朔丁亥日戌初一刻三分内二十一秒冬至己巳年甲子月辛巳朔癸巳日丑初一刻二分内一十一秒冬至庚午年丙子月乙亥朔戊戌日辰初一刻一分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月己亥朔癸卯日未初初刻十四分内五十一秒冬至壬申年庚子月甲午朔戊申日戌初初刻十三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月戊子朔甲寅日丑初初刻十二分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月壬子朔己未日辰初初刻十一分内二十一秒冬至乙亥年丙子月丙午朔甲子日未初初刻十分内一十一秒冬至丙子年戊子月辛丑朔己巳日戌初初刻九分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月乙丑朔乙亥日丑初初刻七分内五十一秒冬至戊寅年壬子月己未朔庚辰日辰初初刻六分内四十一秒冬至 應閏己卯年甲子月癸未朔乙酉日未初初刻五分内三十一秒冬至庚辰年丙子月丁丑朔庚寅日戌初初刻四分内二十一秒冬至辛巳年戊子月辛未朔丙申日丑初初刻三分内一十一秒冬至 應閏壬午年庚子月乙未朔辛丑日辰初初刻二分内一秒冬至癸未年壬子月庚寅朔丙午日午正三刻十五分内五十一秒冬至甲申年甲子月甲申朔辛亥日酉正三刻十四分内四十一秒冬至 應閏乙酉年丙子月戊申朔丁巳日子正三刻十三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月壬寅朔壬戌日卯正三刻十二分内二十一秒冬至 應閏十七章丁亥年庚子月丙寅朔丁卯日午正三刻十一分内一十一秒冬至戊子年壬子月辛酉朔壬申日酉正三刻十分内一秒冬至己丑年甲子月乙卯朔戊寅日子正三刻八分内五十一秒冬至 應閏庚寅年丙子月己卯朔癸未日卯正三刻七分内四十一秒冬至辛卯年戊子月甲戌朔戊子日午正三刻六分内三十一秒冬至壬辰年庚子月戊辰朔癸巳日酉正三刻五分内二十一秒冬至 應閏癸亥年至此十一閏又一紀癸巳年壬子月壬辰朔己亥日子正三刻四分内一十一秒冬至甲午年甲子月丙戌朔甲辰日卯正三刻三分内一秒冬至乙未年丙子月辛巳朔己酉日午正三刻一分内五十一秒冬至 應閏丙申年戊子月乙巳朔甲寅日酉正二刻十五分内四十一秒冬至丁酉年庚子月己亥朔庚申日子正二刻十四分内三十一秒冬至 應閏戊戌年壬子月癸亥朔乙丑日卯正二刻十三分内二十一秒冬至己亥年甲子月丁巳朔庚午日午正二刻十二分内一十一秒冬至庚子年丙子月辛亥朔乙亥日酉正二刻十一分内一秒冬至 應閏辛丑年戊子月乙亥朔辛巳日子正二刻九分内五十一秒冬至壬寅年庚子月己巳朔丙戌日卯正二刻八分内四十一秒冬至癸卯年壬子月甲子朔辛卯日午正二刻七分内三十一秒冬至 應閏甲辰年甲子月戊子朔丙申日酉正二刻六分内二十一秒冬至乙巳年丙子月壬午朔壬寅日子正二刻五分内一十一秒冬至 應閏十八章丙午年戊子月丙午朔丁未日卯正二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月辛丑朔壬子日午正二刻二分内五十一秒冬至戊申年壬子月丙申朔丁巳日酉正二刻一分内四十一秒冬至 應閏己酉年甲子月庚申朔癸亥日子正一刻十五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲寅朔戊辰日卯正一刻十四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月戊申朔癸酉日午正一刻十三分内一十一秒冬至 應閏壬子年庚子月壬申朔戊寅日酉正一刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月丙寅朔甲申日子正一刻十分内五十一秒冬至甲寅年甲子月辛酉朔己丑日卯正一刻九分内四十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月乙酉朔甲午日午正一刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月己卯朔己亥日酉正一刻七分内二十一秒冬至 應閏丁巳年庚子月癸卯朔乙巳日子正一刻六分内一十一秒冬至戊午年壬子月丁酉朔庚戌日卯正一刻五分内一秒冬至己未年甲子月壬辰朔乙卯日午正一刻三分内五十一秒冬至 應閏庚申年丙子月丙辰朔庚申日酉正一刻二分内四十一秒冬至辛酉年戊子月庚戌朔丙寅日子正一刻一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月甲辰朔辛未日卯正初刻十五分内二十一秒冬至 應閏癸巳年至此十一閏又一紀癸亥年壬子月戊辰朔丙子日午正初刻十四分内一十一秒冬至甲子年甲子月壬戌朔辛巳日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在室六度之三十九分 應閏十九章乙丑年丙子月丙戌朔丁亥日子正初刻十一分内五十一秒冬至丙寅年戊子月辛巳朔壬辰日卯正初刻十分内四十一秒冬至丁卯年庚子月乙亥朔丁酉日午正初刻九分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月己亥朔壬寅日酉正初刻八分内二十一秒冬至己巳年甲子月甲午朔戊申日子正初刻七分内一十一秒冬至庚午年丙子月戊子朔癸丑日卯正初刻六分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月壬子朔戊午日午正初刻四分内五十一秒冬至壬申年庚子月丙午朔癸亥日酉正初刻三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月庚子朔己巳日子正初刻二分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月甲子朔甲戌日卯正初刻一分内二十一秒冬至乙亥年丙子月戊午朔己卯日午初三刻十五分内一十一秒冬至 應閏丙子年戊子月壬午朔甲申日酉初三刻十四分内一秒冬至丁丑年庚子月丁丑朔己丑夜子初三刻十二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月辛未朔乙未日卯初三刻十一分内四十一秒冬至 應閏己卯年甲子月乙未朔庚子日午初三刻十分内三十一秒冬至庚辰年丙子月庚寅朔乙巳日酉初三刻九分内二十一秒冬至辛巳年戊子月甲申朔庚戌夜子初三刻八分内一十一秒冬至 應閏壬午年庚子月戊申朔丙辰日卯初三刻七分内一秒冬至癸未年壬子月壬寅朔辛酉日午初三刻五分内五十一秒冬至 應閏二十章甲申年甲子月丙寅朔日酉初三刻四分内四十一秒冬至乙酉年丙子月庚申朔辛未夜子初三刻三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月甲寅朔丁丑日卯初三刻二分内二十一秒冬至 應閏丁亥年庚子月戊寅朔壬午日午初三刻一分内一十一秒冬至戊子年壬子月癸酉朔丁亥日酉初二刻十五分内一秒冬至己丑年甲子月丁卯朔壬辰夜子初二刻十三分内五十一秒冬至 應閏庚寅年丙子月辛卯朔戊戌日卯初二刻十二分内四十一秒冬至辛卯年戊子月丙戌朔癸卯日午初二刻十一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚辰朔戊申日酉初二刻十分内二十一秒冬至 應閏癸亥年至此十一閏又一紀癸巳三周癸巳年壬子月甲辰朔癸丑夜子初二刻九分内一十一秒冬至甲午年甲子月戊戌朔己未日卯初二刻八分内一秒冬至 應閏乙未年丙子月壬戌朔甲子日午初二刻六分内五十一秒冬至丙申年戊子月丙辰朔己巳日酉初二刻五分内四十一秒冬至丁酉年庚子月辛亥朔甲戌夜子初二刻四分内三十一秒冬至 應閏戊戌年壬子月乙亥朔庚辰日卯初二刻三分内二十一秒冬至己亥年甲子月己巳朔乙酉日午初二刻二分内一十一秒冬至庚子年丙子月癸亥朔庚寅日酉初二刻一分内一秒冬至 應閏辛丑年戊子月丁亥朔乙未夜子初一刻十四分内五十一秒冬至壬寅年庚子月壬午朔辛丑日卯初一刻十三分内四十一秒冬至 應閏二十一章癸卯年壬子月丙午朔日午初一刻十二分内三十一秒冬至甲辰年甲子月庚子朔辛亥日酉初一刻十一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月乙未朔丙辰夜子初一刻十分内一十一秒冬至 應閏丙午年戊子月己未朔壬戌日卯初一刻九分内一秒冬至丁未年庚子月癸丑朔丁卯日午初一刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月丁未朔壬申日酉初一刻六分内四十一秒冬至 應閏己酉年甲子月辛未朔丁丑夜子初一刻五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月乙丑朔癸未日卯初一刻四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月庚申朔戊子日午初一刻三分内一十一秒冬至 應閏壬子年庚子月甲申朔癸巳日酉初一刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月戊寅朔戊戌夜子初初刻十五分内五十一秒冬至 應閏甲寅年甲子月壬寅朔甲辰日卯初初刻十四分内四十一秒冬至乙卯年丙子月丙申朔己酉日午初初刻十三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月庚寅朔甲寅日酉初初刻十二分内二十一秒冬至 應閏丁巳年庚子月甲寅朔己未夜子初初刻十一分内一十一秒冬至戊午年壬子月戊申朔乙丑日卯初初刻十分内一秒冬至己未年甲子月癸卯朔庚午日午初初刻八分内五十一秒冬至 應閏庚申年丙子月丁卯朔乙亥日酉初初刻七分内四十一秒冬至辛酉年戊子月辛酉朔庚辰夜子初初刻六分内三十一秒冬至 應閏二十二章癸巳年至此十一閏一紀縮一年起壬戌壬戌年庚子月乙酉朔丙戌日卯初初刻五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月庚辰朔辛卯日午初初刻四分内一十一秒冬至甲子年甲子月甲戌朔丙申日酉初初刻三分内一秒冬至 應閏乙丑年丙子月戊戌朔辛丑夜子初初刻一分内五十一秒冬至丙寅年戊子月壬辰朔丁未日寅正三刻十五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月丙戌朔壬子日巳正三刻十四分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月庚戌朔丁巳日申正三刻十三分内二十一秒冬至己巳年甲子月乙巳朔壬戌日亥正三刻十二分内一十一秒冬至庚午年丙子月己亥朔戊辰日寅正三刻十一分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月癸亥朔癸酉日巳正三刻九分内五十一秒冬至壬申年庚子月丁巳朔戊寅日申正三刻八分内四十一秒冬至 應閏癸酉年壬子月辛巳朔癸未日亥正三刻七分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丙子朔己丑日寅正三刻六分内二十一秒冬至乙亥年丙子月庚午朔甲午日巳正三刻五分内一十一秒冬至 應閏全史日至源流卷二
## 卷三
欽定四庫全書全史日至源流卷三山東道御史許伯政撰壬子運三(每期三百六十五日二時七刻十三分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十八秒二十微小寒十四日八時四刻五分零八秒二十微大寒十四日九時一刻十分二十三秒二十微立春十四日十時一刻六分二十三秒二十微雨水十四日十一時三刻四分二十三秒二十微驚蟄十五日零七刻零一十八秒二十微春分十五日二時三刻九分八秒二十微清明十五日四時零八分零八秒二十微榖雨十五日五時四刻八分十三秒二十微立夏十五日六時七刻零一十八秒二十微小滿十五日八時零三分一十三秒二十微芒種十五日八時三刻十分一十八秒二十微夏至十五日八時七刻零一十八秒二十微小暑十五日八時五刻三分一十八秒二十微大暑十五日八時零八分一十八秒二十微立秒十五日七時零十一分一十八秒二十微處暑十五日五時六刻六分十八秒二十微白露十五日四時三刻九分二十三秒二十微秋分十五日二時四刻十一分二十八秒二十微寒露十五日一時一刻八分二十三秒二十微霜降十四日十一時五刻五分一十八秒二十微立冬十四日十時二刻十一分二十八秒二十微小雪十四日九時二刻十二分二十三秒二十微大雪十四日八時五刻十分一十八秒二十微丙子年戊子月甲午朔己亥日申正三刻四分内一秒冬至日躔在室五度之三十九分丁丑年庚子月戊子朔甲辰日亥正三刻二分内三十一秒冬至戊寅年壬子月壬午朔庚戌日寅正三刻一分内一秒冬至 應閏己卯年甲子月丙午朔乙卯日巳正二刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月辛丑朔庚申日申正二刻十三分内一秒冬至 應閏二十三章辛巳年戊子月乙丑朔日亥正二刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月己未朔辛未日寅正二刻十分内一秒冬至癸未年壬子月甲寅朔丙子日巳正二刻八分内三十一秒冬至 應閏甲申年甲子月戊寅朔辛巳日申正二刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月壬申朔丙戌日亥正二刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月丙寅朔壬辰日寅正二刻四分内一秒冬至 應閏丁亥年庚子月庚寅朔丁酉日巳正二刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月甲申朔壬寅日申正二刻一分内一秒冬至己丑年甲子月己卯朔丁未日亥正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚寅年丙子月癸卯朔癸丑日寅正一刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月丁酉朔戊午日巳正一刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬戌年至此十一閏為一紀壬辰年庚子月辛酉朔癸亥日申正一刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月乙卯朔戊辰日亥正一刻八分内三十一秒冬至甲午年甲子月己酉朔甲戌日寅正一刻七分内一秒冬至 應閏乙未年丙子月癸酉朔己卯日巳正一刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月戊辰朔甲申日申正一刻四分内一秒冬至丁酉年庚子月壬戌朔己丑日亥正一刻二分内三十一秒冬至 應閏戊戌年壬子月丙戌朔乙未日寅正一刻一分内一秒冬至己亥年甲子月辛巳朔庚子日巳正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏二十四章庚子年丙子月乙巳朔日申正初刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月己亥朔庚戌日亥正初刻十一分内三十一秒冬至壬寅年庚子月癸巳朔丙辰日寅正初刻十分内一秒冬至 應閏癸卯年壬子月丁巳朔辛酉日巳正初刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛亥朔丙寅日申正初刻七分内一秒冬至乙巳年丙子月丙午朔辛未日亥正初刻五分内三十一秒冬至 應閏丙午年戊子月庚午朔丁丑日寅正初刻四分内一秒冬至丁未年庚子月甲子朔壬午日巳正初刻二分内三十一秒冬至戊申年壬子月己未朔丁亥日申正初刻一分内一秒冬至 應閏己酉年甲子月癸未朔壬辰日亥初三刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丁丑朔戊戌日寅初三刻十三分内一秒冬至 應閏辛亥年戊子月辛丑朔癸卯日巳初三刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月乙未朔戊申日申初三刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月己丑朔癸丑日亥初三刻八分内三十一秒冬至 應閏甲寅年甲子月癸丑朔己未日寅初三刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月戊申朔甲子日巳初三刻五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月壬寅朔己巳日申初三刻四分内一秒冬至 應閏丁巳年庚子月丙寅朔甲戌日亥初三刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月庚申朔庚辰日寅初三刻一分内一秒冬至 應閏二十五章己未年甲子月甲申朔乙酉日巳初二刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月己卯朔庚寅日申初二刻十三分内一秒冬至辛酉年戊子月癸酉朔乙未日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬辰年至此十一閏又一紀壬戌年庚子月丁酉朔辛丑日寅初二刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月辛卯朔丙午日巳初二刻八分内三十一秒冬至甲子年甲子月乙酉朔辛亥日申初二刻七分内一秒冬至 應閏乙丑年丙子月己酉朔丙辰日亥初二刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月甲辰朔壬戌日寅初二刻四分内一秒冬至丁卯年庚子月己亥朔丁卯日巳初二刻二分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月癸亥朔壬申日申初二刻一分内一秒冬至己巳年甲子月丁巳朔丁丑日亥初一刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚午年丙子月辛巳朔癸未日寅初一刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月乙亥朔戊子日巳初一刻十一分内三十一秒冬至壬申年庚子月己巳朔癸巳日申初一刻十分内一秒冬至 應閏癸酉年壬子月癸巳朔戊戌日亥初一刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丁亥朔甲辰日寅初一刻七分内一秒冬至乙亥年丙子月壬午朔己酉日巳初一刻五分内三十一秒冬至 應閏丙子年戊子月丙午朔甲寅日申初一刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月庚子朔己未日亥初一刻二分内三十一秒冬至 應閏二十六章戊寅年壬子月甲子朔乙丑日寅初一刻一分内一秒冬至己卯年甲子月己未朔庚午日巳初初刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月癸丑朔乙亥日申初初刻十三分内一秒冬至 應閏辛巳年戊子月丁丑朔庚辰日亥初初刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月辛未朔丙戌日寅初初刻十分内一秒冬至癸未年壬子月乙丑朔辛卯日巳初初刻八分内三十一秒冬至 應閏甲申年甲子月己丑朔丙申日申初初刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月甲申朔辛丑日亥初初刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月戊寅朔丁未日寅初初刻四分内一秒冬至 應閏丁亥年庚子月壬寅朔壬子日巳初初刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月丙申朔丁巳日申初初刻一分内一秒冬至日躔在室四度之三十九分 應閏己丑年甲子月庚申朔壬戌日戌正三刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月乙卯朔戊辰日丑正三刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月己酉朔癸酉日辰正三刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬戌年至此十一閏又一紀壬辰年庚子月癸酉朔戊寅日未正三刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月丁卯朔癸未日戌正三刻八分内三十一秒冬至甲午年甲子月辛酉朔己丑日丑正三刻七分内一秒冬至 應閏乙未年丙子月乙酉朔甲午日辰正三刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月庚辰朔己亥日未正三刻四分内一秒冬至 應閏二十七章丁酉年庚子月甲辰朔日戌正三刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月戊戌朔庚戌日丑正三刻一分内一秒冬至己亥年甲子月壬辰朔乙卯日辰正二刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚子年丙子月丙辰朔庚申日未正二刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月辛亥朔乙丑日戌正二刻十一分内三十一秒冬至壬寅年庚子月乙巳朔辛未日丑正二刻十分内一秒冬至 應閏癸卯年壬子月己巳朔丙子日辰正二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月癸亥朔辛巳日未正二刻七分内一秒冬至乙巳年丙子月戊午朔丙戌日戌正二刻五分内三十一秒冬至 應閏丙午年戊子月壬午朔壬辰日丑正二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月丙子朔丁酉日辰正二刻二分内三十一秒冬至 應閏戊申年壬子月庚子朔壬寅日未正二刻一分内一秒冬至己酉年甲子月甲午朔丁未日戌正一刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月戊子朔癸丑日丑正一刻十三分内一秒冬至 應閏辛亥年戊子月壬子朔戊午日辰正一刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月丙午朔癸亥日未正一刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月辛丑朔戊辰日戌正一刻八分内三十一秒冬至 應閏甲寅年甲子月乙丑朔甲戌日丑正一刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月己未朔己卯日辰正一刻五分内三十一秒冬至 應閏二十八章丙辰年戊子月癸未朔甲申日未正一刻四分内一秒冬至丁巳年庚子月丁丑朔己丑日戌正一刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月壬申朔乙未日丑正一刻一分内一秒冬至 應閏己未年甲子月丙申朔庚子日辰正初刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月庚寅朔乙巳日未正初刻十三分内一秒冬至辛酉年戊子月甲申朔庚戌日戌正初刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬辰年至此十一閏又一紀壬戌年庚子月戊申朔丙辰日丑正初刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月壬寅朔辛酉日辰正初刻八分内三十一秒冬至 應閏甲子年甲子月丙寅朔日未正初刻七分内一秒冬至乙丑年丙子月辛酉朔辛未日戌正初刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月乙卯朔丁丑日丑正初刻四分内一秒冬至 應閏丁卯年庚子月己卯朔壬午日辰正初刻二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月癸酉朔丁亥日未正初刻一分内一秒冬至己巳年甲子月戊辰朔壬辰日戌初三刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚午年丙子月壬辰朔戊戌日丑初三刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月丙戌朔癸卯日辰初三刻十一分内三十一秒冬至壬申年庚子月庚辰朔戊申日未初三刻十分内一秒冬至 應閏癸酉年壬子月甲辰朔癸丑日戌初三刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月戊戌朔己未日丑初三刻七分内一秒冬至 應閏二十九章乙亥年丙子月壬戌朔甲子日辰初三刻五分内三十一秒冬至丙子年戊子月丁巳朔己巳日未初三刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月辛亥朔甲戌日戌初三刻二分内三十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月乙亥朔庚辰日丑初三刻一分内一秒冬至己卯年甲子月庚午朔乙酉日辰初二刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月甲子朔庚寅日未初二刻十三分内一秒冬至 應閏辛巳年戊子月戊子朔乙未日戌初二刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月壬午朔辛丑日丑初二刻十分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月丙午朔日辰初二刻八分内三十一秒冬至甲申年甲子月庚子朔辛亥日未初二刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月甲午朔丙辰日戌初二刻五分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月戊午朔壬戌日丑初二刻四分内一秒冬至丁亥年庚子月癸丑朔丁卯日辰初二刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月丁未朔壬申日未初二刻一分内一秒冬至 應閏己丑年甲子月辛未朔丁丑日戌初一刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月丙寅朔癸未日丑初一刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月庚申朔戊子日辰初一刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬戌年至此十一閏又一紀壬辰年庚子月甲申朔癸巳日未初一刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月戊寅朔戊戌日戌初一刻八分内三十一秒冬至 應閏三十章甲午年甲子月壬寅朔甲辰日丑初一刻七分内一秒冬至乙未年丙子月丙申朔己酉日辰初一刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月庚寅朔甲寅日未初一刻四分内一秒冬至 應閏丁酉年庚子月甲寅朔己未日戌初一刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月己酉朔乙丑日丑初一刻一分内一秒冬至己亥年甲子月癸卯朔庚午日辰初初刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚子年丙子月丁卯朔乙亥日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在室三度之三十九分辛丑年戊子月辛酉朔庚辰日戌初初刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月乙酉朔丙戌日丑初初刻十分内一秒冬至癸卯年壬子月庚辰朔辛卯日辰初初刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月甲戌朔丙申日未初初刻七分内一秒冬至 應閏乙巳年丙子月戊戌朔辛丑日戌初初刻五分内三十一秒冬至丙午年戊子月壬辰朔丁未日丑初初刻四分内一秒冬至丁未年庚子月丙戌朔壬子日辰初初刻二分内三十一秒冬至 應閏戊申年壬子月庚戌朔丁巳日未初初刻一分内一秒冬至己酉年甲子月乙巳朔壬戌日酉正三刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月己亥朔戊辰日子正三刻十三分内一秒冬至 應閏辛亥年戊子月癸亥朔癸酉日卯正三刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月丁巳朔戊寅日午正三刻十分内一秒冬至 應閏三十一章癸丑年壬子月辛巳朔癸未日酉正三刻八分内三十一秒冬至甲寅年甲子月丙子朔己丑日子正三刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月庚午朔甲午日卯正三刻五分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月甲午朔己亥日午正三刻四分内一秒冬至丁巳年庚子月己丑朔甲辰日酉正三刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月癸未朔庚戌日子正三刻一分内一秒冬至 應閏己未年甲子月丁未朔乙卯日卯正二刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月辛丑朔庚申日午正二刻十三分内一秒冬至 應閏壬辰年至此十一閏一紀縮一年下起辛酉辛酉年戊子月乙丑朔日酉正二刻十一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月己未朔辛未日子正二刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月癸丑朔丙子日卯正二刻八分内三十一秒冬至 應閏甲子年甲子月丁丑朔辛巳日午正二刻七分内一秒冬至乙丑年丙子月壬申朔丙戌日酉正二刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月丙寅朔壬辰日子正二刻四分内一秒冬至 應閏丁卯年庚子月庚寅朔丁酉日卯正二刻二分内三十十一秒冬至戊辰年壬子月甲申朔壬寅日午正二刻一分内一秒冬至己巳年甲子月己卯朔丁未日酉正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚午年丙子月癸卯朔癸丑日子正一刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月丁酉朔戊午日卯正一刻十一分内三十一秒冬至 應閏三十二章壬申年庚子月辛酉朔癸亥日午正一刻十分内一秒冬至癸酉年壬子月乙卯朔戊辰日酉正一刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月己酉朔甲戌日子正一刻七分内一秒冬至 應閏乙亥年丙子月癸酉朔己卯日卯正一刻五分内三十一秒冬至丙子年戊子月戊辰朔甲申日午正一刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月壬戌朔己丑日酉正一刻二分内三十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月丙戌朔乙未日子正一刻一分内一秒冬至己卯年甲子月庚辰朔庚子日卯正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月甲辰朔乙巳日午正初刻十三分内一秒冬至辛巳年戊子月己亥朔庚戌日酉正初刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月癸巳朔丙辰日子正初刻十分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月丁巳朔辛酉日卯正初刻八分内三十一秒冬至甲申年甲子月壬子朔丙寅日午正初刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月丙午朔辛未日酉正初刻五分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月庚午朔丁丑日子正初刻四分内一秒冬至丁亥年庚子月甲子朔壬午日卯正初刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月戊午朔丁亥日午正初刻一分内一秒冬至 應閏己丑年甲子月壬午朔壬辰日酉初三刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月丁丑朔丁酉夜子初三刻十三分内一秒冬至 應閏三十三章辛酉年至此十一閏為一紀辛卯年戊子月辛丑朔癸卯日卯初三刻十一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月乙未朔戊申日午初三刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月庚寅朔癸丑日酉初三刻八分内三十一秒冬至 應閏甲午年甲子月甲寅朔戊午夜子初三刻七分内一秒冬至乙未年丙子月戊申朔甲子日卯初三刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月壬寅朔己巳日午初三刻四分内一秒冬至 應閏丁酉年庚子月丙寅朔甲戌日酉初三刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月庚申朔己卯夜子初三刻一分内一秒冬至 應閏己亥年甲子月甲申朔乙酉日卯初二刻十四分内三十一秒冬至庚子年丙子月己卯朔庚寅日午初二刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月癸酉朔乙未日酉初二刻十一分内三十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月丁酉朔庚子夜子初二刻十分内一秒冬至癸卯年壬子月壬辰朔丙午日卯初二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月丙戌朔辛亥日午初二刻七分内一秒冬至 應閏乙巳年丙子月庚戌朔丙辰日酉初二刻五分内三十一秒冬至丙午年戊子月甲辰朔辛酉夜子初二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月戊戌朔丁卯日卯初二刻二分内三十一秒冬至 應閏戊申年壬子月壬戌朔壬申日午初二刻一分内一秒冬至己酉年甲子月丁巳朔丁丑日酉初一刻十四分内三十一秒冬至 應閏三十四章庚戌年丙子月辛巳朔壬午夜子初一刻十三分内一秒冬至辛亥年戊子月乙亥朔戊子日卯初一刻十一分内三十一秒冬至全史日至源流卷三
## 卷四
欽定四庫全書全史日至源流卷四山東道御史許伯政撰壬子運四(每期三百六十五日二時七刻十三分一十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十七秒三十微小寒十四日八時四刻五分七秒三十微大寒十四日九時一刻十分二十二秒三十微立春十四日十時一刻六分二十二秒三十微雨水十四日十一時三刻四分二十二秒三十微驚蟄十五日零七刻零一十七秒三十微春分十五日二時三刻九分七秒三十微清明十五日四時零八分零七秒三十微榖雨十五日五時四刻八分十二秒三十微立夏十五日六時七刻零一十七秒三十微小滿十五日八時零三分一十二秒三十微芒種十五日八時三刻十分一十七秒三十微夏至十五日八時七刻零一十七秒三十微小暑十五日八時五刻三分一十七秒三十微大暑十五日八時零八分一十七秒三十微立秋十五日七時零一十一分一十七秒三十微處暑十五日五時六刻六分一十七秒三十微白露十五日四時三刻九分二十二秒三十微秋分十五日二時四刻十一分二十七秒三十微寒露十五日一時一刻八分二十二秒三十微霜降十四日十一時五刻五分一十七秒三十微立冬十四日十時二刻十一分二十七秒三十微小雪十四日九時二刻十二分二十二秒三十微大雪十四日八時五刻十分一十七秒三十微壬子年庚子月己巳朔癸巳日午初一刻十分内一秒冬至日躔在室二度之三十九分 應閏癸丑年壬子月癸巳朔戊戌日酉初一刻八分内一十一秒冬至甲寅年甲子月戊子朔癸丑夜子初一刻六分内二十一秒冬至乙卯年丙子月壬午朔己酉日卯初一刻四分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月丙午朔甲寅日午初一刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月庚子朔己未日酉初初刻十五分内五十一秒冬至 應閏戊午年壬子月甲子朔乙丑日子初初刻十四分内一秒冬至己未年甲子月戊午朔庚午日卯初初刻十二分内一十一秒冬至庚申年丙子月癸丑朔乙亥日午初初刻十分内二十一秒冬至 應閏辛卯年至此十一閏又一紀辛酉年戊子月丁丑朔庚辰日酉初初刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月辛未朔乙酉夜子初初刻六分内四十一秒冬至癸亥年壬子月丙寅朔辛卯日卯初初刻四分内五十一秒冬至 應閏甲子年甲子月庚寅朔丙申日午初初刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月甲申朔辛丑日酉初初刻一分内一十一秒冬至丙寅年戊子月戊寅朔丙午日亥正三刻十四分内二十一秒冬至 應閏丁卯年庚子月壬寅朔壬子日寅正三刻十二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月丙申朔丁巳日巳正三刻十分内四十一秒冬至 應閏三十五章己巳年甲子月庚申朔壬戌日申正三刻八分内五十一秒冬至庚午年丙子月乙卯朔丁卯日亥正三刻七分内一秒冬至辛未年戊子月己酉朔癸酉日寅正三刻五分内一十一秒冬至 應閏壬申年庚子月癸酉朔戊寅日巳正三刻三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月丁卯朔癸未日申正三刻一分内三十一秒冬至甲戌年甲子月壬戌朔戊子日亥正二刻十四分内四十一秒冬至 應閏乙亥年丙子月丙戌朔甲午日寅正二刻十二分内五十一秒冬至丙子年戊子月庚辰朔己亥日巳正二刻十一分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月甲辰朔日申正二刻九分内一十一秒冬至戊寅年壬子月戊戌朔己酉日亥正二刻七分内二十一秒冬至己卯年甲子月壬辰朔乙卯日寅正二刻五分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月丙辰朔庚申日巳正二刻三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月辛亥朔乙丑日申正二刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月乙巳朔庚午日亥正一刻十五分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月己巳朔丙子日寅正一刻十三分内一十一秒冬至甲申年甲子月甲子朔辛巳日巳正一刻十一分内二十一秒冬至乙酉年丙子月戊午朔丙戌日申正一刻九分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月壬午朔辛卯日亥正一刻七分内四十一秒冬至丁亥年庚子月丙子朔丁酉日寅正一刻五分内五十一秒冬至 應閏三十六章戊子年壬子月庚子朔壬寅日巳正一刻四分内一秒冬至己丑年甲子月乙未朔丁未日申正一刻二分内一十一秒冬至庚寅年丙子月己丑朔壬子日亥正初刻十五分内二十一秒冬至 應閏辛酉年至此十一閏又一紀辛卯年戊子月癸丑朔戊午日寅正初刻十三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月丁未朔癸亥日巳正初刻十一分内四十一秒冬至癸巳年壬子月辛丑朔戊辰日申正初刻九分内五十一秒冬至 應閏甲午年甲子月乙丑朔癸酉日亥正初刻八分内一秒冬至乙未年丙子月己未朔己卯日寅正初刻六分内一十一秒冬至 應閏丙申年戊子月癸未朔甲申日巳正初刻四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月戊寅朔己丑日申正初刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月壬申朔甲午日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 應閏己亥年甲子月丙申朔庚子日寅初三刻十三分内五十一秒冬至庚子年丙子月辛卯朔乙巳日巳初三刻十二分内一秒冬至辛丑年戊子月乙酉朔庚戌日申初三刻十分内一十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月己酉朔乙卯日亥初三刻八分内二十一秒冬至癸卯年壬子月癸卯朔辛酉日寅初三刻六分内三十一秒冬至甲辰年甲子月戊戌朔丙寅日巳初三刻四分内四十一秒冬至 應閏乙巳年丙子月壬戌朔辛未日申初三刻二分内五十一秒冬至丙午年戊子月丙辰朔丙子日亥初三刻一分内一秒冬至 應閏三十七章丁未年庚子月庚辰朔壬午日寅初二刻十四分内一十一秒冬至戊申年壬子月甲戌朔丁亥日巳初二刻十二分内二十一秒冬至己酉年甲子月戊辰朔壬辰日申初二刻十分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月壬辰朔丁酉日亥初二刻八分内四十一秒冬至辛亥年戊子月丁亥朔癸卯日寅初二刻六分内五十一秒冬至壬子年庚子月辛巳朔戊申日巳初二刻五分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月乙巳朔癸丑日申初二刻三分内一十一秒冬至甲寅年甲子月己亥朔戊午日亥初二刻一分内二十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月癸亥朔甲子日寅初一刻十四分内三十一秒冬至丙辰年戊子月戊午朔己巳日巳初一刻十二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月壬子朔甲戌日申初一刻十分内五十一秒冬至 應閏戊午年壬子月丙子朔己卯日亥初一刻九分内一秒冬至己未年甲子月庚午朔乙酉日寅初一刻七分内一十一秒冬至庚申年丙子月乙丑朔庚寅日巳初一刻五分内二十一秒冬至 應閏辛卯年至此十一閏又一紀辛酉年戊子月己丑朔乙未日申初一刻三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月癸未朔庚子日亥初一刻一分内四十一秒冬至癸亥年壬子月丁丑朔丙午日寅初初刻十四分内五十一秒冬至 應閏甲子年甲子月辛丑朔辛亥日巳初初刻十三分内一秒冬至日躔在室一度之三十九分乙丑年丙子月丙申朔丙辰日申初初刻十一分内一十一秒冬至 應閏三十八章丙寅年戊子月庚申朔辛酉日亥初初刻九分内二十一秒冬至丁卯年庚子月甲寅朔丁卯日寅初初刻七分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊申朔壬申日巳初初刻五分内四十一秒冬至 應閏己巳年甲子月壬申朔丁丑日申初初刻三分内五十一秒冬至庚午年丙子月丙寅朔壬午日亥初初刻二分内一秒冬至辛未年戊子月辛酉朔戊子日丑正三刻十五分内一十一秒冬至 應閏壬申年庚子月乙酉朔癸巳日辰正三刻十三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月己卯朔戊戌日未正三刻十一分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月癸卯朔日戌正三刻九分内四十一秒冬至乙亥年丙子月丁酉朔己酉日丑正三刻七分内五十一秒冬至丙子年戊子月壬辰朔甲寅日辰正三刻六分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月丙辰朔己未日未正三刻四分内一十一秒冬至戊寅年壬子月庚戌朔甲子日戌正三刻二分内二十一秒冬至己卯年甲子月甲辰朔庚午日丑正二刻十五分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月戊辰朔乙亥日辰正二刻十三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月癸亥朔庚辰日未正二刻十一分内五十一秒冬至壬午年庚子月丁巳朔乙酉日戌正二刻十分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月辛巳朔辛卯日丑正二刻八分内一十一秒冬至甲申年甲子月乙亥朔丙申日辰正二刻六分内二十一秒冬至 應閏三十九章乙酉年丙子月己亥朔辛丑日未正二刻四分内三十一秒冬至丙戌年戊子月甲午朔丙午日戌正二刻二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月戊子朔壬子日丑正一刻十五分内五十一秒冬至 應閏戊子年壬子月壬子朔丁巳日辰正一刻十四分内一秒冬至己丑年甲子月丙午朔壬戌日未正一刻十二分内一十一秒冬至庚寅年丙子月辛丑朔丁卯日戌正一刻十分内二十一秒冬至 應閏辛酉年至此十一閏又一紀辛卯年戊子月乙丑朔癸酉日丑正一刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月己未朔戊寅日辰正一刻六分内四十一秒冬至 應閏癸巳年壬子月癸未朔日未正一刻四分内五十一秒冬至甲午年甲子月丁丑朔戊子日戌正一刻三分内一秒冬至乙未年丙子月辛未朔甲午日丑正一刻一分内一十一秒冬至 應閏丙申年戊子月乙未朔己亥日辰正初刻十四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月庚寅朔甲辰日未正初刻十二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲申朔己酉日戌正初刻十分内四十一秒冬至 應閏己亥年甲子月戊申朔乙卯日丑正初刻八分内五十一秒冬至庚子年丙子月癸卯朔庚申日辰正初刻七分内一秒冬至辛丑年戊子月丁酉朔乙丑日未正初刻五分内一十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月辛酉朔庚午日戌正初刻三分内二十一秒冬至癸卯年壬子月乙卯朔丙子日丑正初刻一分内三十一秒冬至 應閏四十章甲辰年甲子月己卯朔辛巳日辰初三刻十四分内四十一秒冬至乙巳年丙子月癸酉朔丙戌日未初三刻十二分内五十一秒冬至丙午年戊子月丁卯朔辛卯日戌初三刻十一分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月辛卯朔丁酉日丑初三刻九分内一十一秒冬至戊申年壬子月丙戌朔壬寅日辰初三刻七分内二十一秒冬至己酉年甲子月庚辰朔丁未日未初三刻五分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月甲辰朔壬子日戌初三刻三分内四十一秒冬至辛亥年戊子月戊戌朔戊午日丑初三刻一分内五十一秒冬至 應閏壬子年庚子月壬戌朔癸亥日辰初二刻十五分内一秒冬至癸丑年壬子月丁巳朔戊辰日未初二刻十三分内一十一秒冬至甲寅年甲子月辛亥朔癸酉日戌初二刻十一分内二十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月乙亥朔己卯日丑初二刻九分内三十一秒冬至丙辰年戊子月庚午朔甲申日辰初二刻七分内四十一秒冬至丁巳年庚子月甲子朔己丑日未初二刻五分内五十一秒冬至 應閏戊午年壬子月戊子朔甲午日戌初二刻四分内一秒冬至己未年甲子月壬午朔庚子日丑初二刻二分内一十一秒冬至庚申年丙子月丙子朔乙巳日辰初一刻十五分内二十一秒冬至 應閏辛卯年至此十一閏又一紀辛酉年戊子月庚子朔庚戌日未初一刻十三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月乙未朔乙卯日戌初一刻十一分内四十一秒冬至 應閏四十一章癸亥年壬子月己未朔辛酉日丑初一刻九分内五十一秒冬至甲子年甲子月癸丑朔丙寅日辰初一刻八分内一秒冬至乙丑年丙子月戊申朔辛未日未初一刻六分内一十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月壬申朔丙子日戌初一刻四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月丙寅朔壬午日丑初一刻二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚申朔丁亥日辰初初刻十五分内四十一秒冬至 應閏己巳年甲子月甲申朔壬辰日未初初刻十三分内五十一秒冬至庚午年丙子月戊寅朔丁酉日戌初初刻十二分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月壬寅朔癸卯日丑初初刻十分内一十一秒冬至壬申年庚子月丁酉朔戊申日辰初初刻八分内二十一秒冬至癸酉年壬子月辛卯朔癸丑日未初初刻六分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月乙卯朔戊午日戌初初刻四分内四十一秒冬至乙亥年丙子月己酉朔甲子日丑初初刻二分内五十一秒冬至丙子年戊子月甲辰朔己巳日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在室初度之三十九分丁丑年庚子月戊辰朔甲戌日午正三刻十四分内一十一秒冬至戊寅年壬子月壬戌朔己卯日酉正三刻十二分内二十一秒冬至己卯年甲子月丙辰朔乙酉日子正三刻十分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月庚辰朔庚寅日卯正三刻八分内四十一秒冬至辛巳年戊子月甲戌朔乙未日午正三刻六分内五十一秒冬至 應閏四十二章壬午年庚子月戊戌朔庚子日酉正三刻五分内一秒冬至癸未年壬子月癸巳朔丙午日子正三刻三分内一十一秒冬至甲申年甲子月丁亥朔辛亥日卯正三刻一分内二十一秒冬至 應閏乙酉年丙子月辛亥朔丙辰日午正二刻十四分内三十一秒冬至丙戌年戊子月乙巳朔辛酉日酉正二刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月庚子朔丁卯日子正二刻十分内五十一秒冬至 應閏戊子年壬子月甲子朔壬申日卯正二刻九分内一秒冬至己丑年甲子月戊午朔丁丑日午正二刻七分内一十一秒冬至 應閏辛酉年至此十一閏一紀縮一年下起庚寅庚寅年丙子月壬午朔日酉正二刻五分内二十一秒冬至辛卯年戊子月丙子朔戊子日子正二刻三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚午朔癸巳日卯正二刻一分内四十一秒冬至 應閏癸巳年壬子月甲午朔戊戌日午正一刻十四分内五十一秒冬至甲午年甲子月己丑朔癸卯日酉正一刻十三分内一秒冬至乙未年丙子月癸未朔己酉日子正一刻十一分内一十一秒冬至 應閏丙申年戊子月丁未朔甲寅日卯正一刻九分内二十一秒冬至丁酉年庚子月辛丑朔己未日午正一刻七分内三十一秒冬至戊戌年壬子月丙申朔甲子日酉正一刻五分内四十一秒冬至 應閏己亥年甲子月庚申朔庚午日子正一刻三分内五十一秒冬至庚子年丙子月甲寅朔乙亥日卯正一刻二分内一秒冬至 應閏四十三章辛丑年戊子月戊寅朔庚辰日午正初刻十五分内一十一秒冬至壬寅年庚子月壬申朔乙酉日酉正初刻十三分内二十一秒冬至癸卯年壬子月丁卯朔辛卯日子正初刻十一分内三十一秒冬至 應閏甲辰年甲子月辛卯朔丙申日卯正初刻九分内四十一秒冬至乙巳年丙子月乙酉朔辛丑日午正初刻七分内五十一秒冬至丙午年戊子月己卯朔丙午日酉正初刻六分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月癸卯朔壬子日子正初刻四分内一十一秒冬至戊申年壬子月丁酉朔丁巳日卯正初刻二分内二十一秒冬至 應閏己酉年甲子月辛酉朔壬戌日午初三刻十五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丙辰朔丁卯日酉初三刻十三分内四十一秒冬至辛亥年戊子月庚戌朔壬申夜子初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏壬子年庚子月甲戌朔戊寅日卯初三刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月己巳朔癸未日午初三刻八分内一十一秒冬至甲寅年甲子月癸亥朔戊子日酉初三刻六分内二十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月丁亥朔癸巳夜子初三刻四分内三十一秒冬至丙辰年戊子月辛巳朔己亥日卯初三刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月丙子朔甲辰日午初二刻十五分内五十一秒冬至 應閏戊午年壬子月庚子朔己酉日酉初二刻十四分内一秒冬至己未年甲子月甲午朔甲寅夜子初二刻十二分内一十一秒冬至 應閏四十四章庚寅年至此十一閏為一紀庚申年丙子月戊午朔庚申日卯初二刻十分内二十一秒冬至辛酉年戊子月壬子朔乙丑日午初二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丙午朔庚午日酉初二刻六分内四十一秒冬至 應閏癸亥年壬子月庚午朔乙亥夜子初二刻四分内五十一秒冬至甲子年甲子月甲子朔辛巳日卯初二刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月己未朔丙戌日午初二刻一分内一十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月癸未朔辛卯日酉初一刻十四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月丁丑朔丙申夜子初一刻十二分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月辛丑朔壬寅日卯初一刻十分内四十一秒冬至己巳年甲子月丙申朔丁未日午初一刻八分内五十一秒冬至庚午年丙子月庚寅朔壬子日酉初一刻七分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月甲寅朔丁巳夜子初一刻五分内一十一秒冬至壬申年庚子月戊申朔癸亥日卯初一刻三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月壬寅朔戊辰日午初一刻一分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月丙寅朔癸酉日酉初初刻十四分内四十一秒冬至乙亥年丙子月辛酉朔戊寅夜子初初刻十二分内五十一秒冬至丙子年戊子月乙卯朔甲申日卯初初刻十一分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月己卯朔己丑日午初初刻九分内一十一秒冬至戊寅年壬子月癸酉朔甲午日酉初初刻七分内二十一秒冬至 應閏四十五章己卯年甲子月丁酉朔己亥夜子初初刻五分内三十一秒冬至庚辰年丙子月壬辰朔乙巳日卯初初刻三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月丙戌朔庚戌日午初初刻一分内五十一秒冬至 應閏壬午年庚子月庚戌朔乙卯日申正三刻十五分内一秒冬至癸未年壬子月甲辰朔庚申日亥正三刻十三分内一十一秒冬至甲申年甲子月戊戌朔丙寅日寅正三刻十一分内二十一秒冬至 應閏乙酉年丙子月壬戌朔辛未日巳正三刻九分内三十一秒冬至丙戌年戊子月丁巳朔丙子日申正三刻七分内四十一秒冬至 應閏丁亥年庚子月辛巳朔日亥正三刻五分内五十一秒冬至全史日至源流卷四
## 卷五
欽定四庫全書全史日至源流卷五山東道御史許伯政撰壬子運五(每期三百六十五日二時七刻十二分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十六秒四十微小寒十四日八時四刻五分零六秒四十微大寒十四日九時一刻十分二十一秒四十微立春十四日十時一刻六分二十一秒四十微雨水十四日十一時三刻四分二十一秒四十微驚蟄十五日零七刻零一十六秒四十微春分十五日二時三刻九分六秒四十微清明十五日四時零八分零六秒四十微穀雨十五日五時四刻八分一十一秒四十微立夏十五日六時七刻零一十六秒四十微小滿十五日八時零三分一十一秒四十微芒種十五日八時三刻十分一十六秒四十微夏至十五日八時七刻零一十六秒四十微小暑十五日八時五刻三分一十六秒四十微大暑十五日八時零八分一十六秒四十微立秋十五日七時零一十一分一十六秒四十微處暑十五日五時六刻六分一十六秒四十微白露十五日四時三刻九分二十一秒四十微秋分十五日二時四刻十一分二十六秒四十微寒露十五日一時一刻八分二十一秒四十微霜降十四日十一時五刻五分一十六秒四十微立冬十四日十時二刻十一分二十六秒四十微小雪十四日九時二刻十二分二十一秒四十微大雪十四日八時五刻十分一十六秒四十微戊子年壬子月乙亥朔丁亥日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在危十九度之四十六分己丑年甲子月庚午朔壬辰日巳正三刻一分内五十一秒冬至 應閏自庚申年至此十一閏又一紀庚寅年丙子月甲午朔丁酉日申正二刻十四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月戊子朔壬寅日亥正二刻十二分内三十一秒冬至壬辰年庚子月壬午朔戊申日寅正二刻十分内二十一秒冬至 應閏癸巳年壬子月丙午朔癸丑日巳正二刻八分内一十一秒冬至甲午年甲子月庚子朔戊午日申正二刻六分内一秒冬至乙未年丙子月乙未朔癸亥日亥正二刻三分内五十一秒冬至 應閏丙申年戊子月己未朔己巳日寅正二刻一分内四十一秒冬至丁酉年庚子月癸丑朔甲戌日巳正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏四十六章戊戌年壬子月丁丑朔己卯日申正一刻十二分内二十一秒冬至己亥年甲子月辛未朔甲申日亥正一刻十分内一十一秒冬至庚子年丙子月丙寅朔庚寅日寅正一刻八分内一秒冬至 應閏辛丑年戊子月庚寅朔乙未日巳正一刻五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月甲申朔庚子日申正一刻三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月戊寅朔乙巳日亥正一刻一分内三十一秒冬至 應閏甲辰年甲子月壬寅朔辛亥日寅正初刻十四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月丁酉朔丙辰日巳正初刻十二分内一十一秒冬至 應閏丙午年戊子月辛酉朔日申正初刻十分内一秒冬至丁未年庚子月乙卯朔丙寅日亥正初刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月己酉朔壬申日寅正初刻五分内四十一秒冬至 應閏己酉年甲子月癸酉朔丁丑日巳正初刻三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丁卯朔壬午日申正初刻一分内二十一秒冬至辛亥年戊子月壬戌朔丁亥日亥初三刻十四分内一十一秒冬至 應閏壬子年庚子月丙戌朔癸巳日寅初三刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月庚辰朔戊戌日巳初三刻九分内五十一秒冬至甲寅年甲子月乙亥朔癸卯日申初三刻七分内四十一秒冬至 應閏乙卯年丙子月己亥朔戊申日亥初三刻五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月癸巳朔甲寅日寅初三刻三分内二十一秒冬至 應閏四十七章丁巳年庚子月丁巳朔己未日巳初三刻一分内一十一秒冬至戊午年壬子月辛亥朔甲子日申初二刻十四分内一秒冬至己未年甲子月乙巳朔己巳日亥初二刻十一分内五十一秒冬至 應閏庚寅年至此十一閏又一紀庚申年丙子月己巳朔乙亥日寅初二刻九分内四十一秒冬至辛酉年戊子月癸亥朔庚辰日巳初二刻七分内三十一秒冬至壬戌年庚子月戊午朔乙酉日申初二刻五分内二十一秒冬至 應閏癸亥年壬子月壬午朔庚寅日亥初二刻三分内一十一秒冬至甲子年甲子月丙子朔丙申日寅初二刻一分内一秒冬至 應閏乙丑年丙子月庚子朔辛丑日巳初一刻十三分内五十一秒冬至丙寅年戊子月乙未朔丙午日申初一刻十一分内四十一秒冬至丁卯年庚子月己丑朔辛亥日亥初一刻九分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月癸丑朔丁巳日寅初一刻七分内二十一秒冬至己巳年甲子月丁未朔壬戌日巳初一刻五分内一十一秒冬至庚午年丙子月辛丑朔丁卯日申初一刻三分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月乙丑朔壬申日亥初初刻十五分内五十一秒冬至壬申年庚子月庚申朔戊寅日寅初初刻十三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月甲寅朔癸未日巳初初刻十一分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月戊寅朔戊子日申初初刻九分内二十一秒冬至乙亥年丙子月壬申朔癸巳日亥初初刻七分内一十一秒冬至 應閏四十八章丙子年戊子月丙申朔己亥日寅初初刻五分内一秒冬至丁丑年庚子月辛卯朔甲辰日巳初初刻二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月乙酉朔己酉日未正三刻十五分内四十一秒冬至 應閏己卯年甲子月己酉朔甲寅日戌正三刻十三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月癸卯朔庚申日丑正三刻十一分内二十一秒冬至辛巳年戊子月戊戌朔乙丑日辰正三刻九分内一十一秒冬至 應閏壬午年庚子月壬戌朔庚午日未正三刻七分内一秒冬至癸未年壬子月丙辰朔乙亥日戌正三刻四分内五十一秒冬至 應閏甲申年甲子月庚辰朔辛巳日丑正三刻二分内四十一秒冬至乙酉年丙子月甲戌朔丙戌日辰正二刻十五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月戊辰朔辛卯日未正二刻十三分内二十一秒冬至 應閏丁亥年庚子月壬辰朔丙申日戌正二刻十一分内一十一秒冬至戊子年壬子月丁亥朔壬寅日丑正二刻九分内一秒冬至己丑年甲子月辛巳朔丁未日辰正二刻六分内五十一秒冬至 應閏庚申年至此十一閏又一紀庚寅年丙子月乙巳朔壬子日未正二刻四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月庚子朔丁巳日戌正二刻二分内三十一秒冬至壬辰年庚子月甲午朔癸亥日丑正一刻十五分内二十一秒冬至 應閏癸巳年壬子月戊午朔戊辰日辰正一刻十三分内一十一秒冬至甲午年甲子月壬子朔癸酉日未正一刻十一分内一秒冬至 應閏四十九章乙未年丙子月丙子朔戊寅日戌正一刻八分内五十一秒冬至丙申年戊子月庚午朔甲申日丑正一刻六分内四十一秒冬至丁酉年庚子月甲子朔己丑日辰正一刻四分内三十一秒冬至 應閏戊戌年壬子月戊子朔甲午日未正一刻二分内二十一秒冬至己亥年甲子月癸未朔己亥日戌正初刻十五分内一十一秒冬至庚子年丙子月丁丑朔乙巳日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在危十八度之四十六分 應閏辛丑年戊子月辛丑朔庚戌日辰正初刻十分内五十一秒冬至壬寅年庚子月丙申朔乙卯日未正初刻八分内四十一秒冬至 應閏癸卯年壬子月庚申朔日戌正初刻六分内三十一秒冬至甲辰年甲子月甲寅朔丙寅日丑正初刻四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月戊申朔辛未日辰正初刻二分内一十一秒冬至 應閏丙午年戊子月壬申朔丙子日未初三刻十五分内一秒冬至丁未年庚子月丙寅朔辛巳日戌初三刻十二分内五十一秒冬至戊申年壬子月辛酉朔丁亥日丑初三刻十分内四十一秒冬至 應閏己酉年甲子月乙酉朔壬辰日辰初三刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月己卯朔丁酉日未初三刻六分内二十一秒冬至辛亥年戊子月甲戌朔壬寅日戌初三刻四分内一十一秒冬至 應閏壬子年庚子月戊戌朔戊申日丑初三刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月壬辰朔癸丑日辰初二刻十四分内五十一秒冬至 應閏五十章甲寅年甲子月丙辰朔戊午日未初二刻十二分内四十一秒冬至乙卯年丙子月庚戌朔癸亥日戌初二刻十分内三十一秒冬至丙辰年戊子月甲辰朔己巳日丑初二刻八分内二十一秒冬至 應閏丁巳年庚子月戊辰朔甲戌日辰初二刻六分内一十一秒冬至戊午年壬子月癸亥朔己卯日未初二刻四分内一秒冬至己未年甲子月丁巳朔甲申日戌初二刻一分内五十一秒冬至 應閏庚寅年至此十一閏又一紀庚申年丙子月辛巳朔庚寅日丑初一刻十四分内四十一秒冬至辛酉年戊子月丙子朔乙未日辰初一刻十二分内三十一秒冬至 應閏壬戌年庚子月庚子朔日未初一刻十分内二十一秒冬至癸亥年壬子月甲午朔乙巳日戌初一刻八分内一十一秒冬至甲子年甲子月戊子朔辛亥日丑初一刻六分内一秒冬至 應閏乙丑年丙子月壬子朔丙辰日辰初一刻三分内五十一秒冬至丙寅年戊子月丙午朔辛酉日未初一刻一分内四十一秒冬至丁卯年庚子月辛丑朔丙寅日戌初初刻十四分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月乙丑朔壬申日丑初初刻十二分内二十一秒冬至己巳年甲子月己未朔丁丑日辰初初刻十分内一十一秒冬至庚午年丙子月甲寅朔壬午日未初初刻八分内一秒冬至 應閏辛未年戊子月戊寅朔丁亥日戌初初刻五分内五十一秒冬至壬申年庚子月壬申朔癸巳日丑初初刻三分内四十一秒冬至 應閏五十一章癸酉年壬子月丙申朔戊戌日辰初初刻一分内三十一秒冬至甲戌年甲子月庚寅朔癸卯日午正三刻十四分内二十一秒冬至乙亥年丙子月甲申朔戊申日酉正三刻十二分内一十一秒冬至 應閏丙子年戊子月戊申朔甲寅日子正三刻十分内一秒冬至丁丑年庚子月壬寅朔己未日卯正三刻七分内五十一秒冬至戊寅年壬子月丁酉朔甲子日午正三刻五分内四十一秒冬至 應閏己卯年甲子月辛酉朔己巳日酉正三刻三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月乙卯朔乙亥日子正三刻一分内二十一秒冬至 應閏辛巳年戊子月己卯朔庚辰日卯正二刻十四分内一十一秒冬至壬午年庚子月甲戌朔乙酉日午正二刻十二分内一秒冬至癸未年壬子月戊辰朔庚寅日酉正二刻九分内五十一秒冬至 應閏甲申年甲子月壬辰朔丙申日子正二刻七分内四十一秒冬至乙酉年丙子月丙戌朔辛丑日卯正二刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月庚辰朔丙午日午正二刻三分内二十一秒冬至 應閏丁亥年庚子月甲辰朔辛亥日酉正二刻一分内一十一秒冬至戊子年壬子月己亥朔丁巳日子正一刻十四分内一秒冬至己丑年甲子月癸巳朔壬戌日卯正一刻十一分内五十一秒冬至 應閏庚申年至此十一閏又一紀庚寅年丙子月丁巳朔丁卯日午正一刻九分内四十一秒冬至辛卯年戊子月辛亥朔壬申日酉正一刻七分内三十一秒冬至 應閏五十二章壬辰年庚子月乙亥朔戊寅日子正一刻五分内二十一秒冬至癸巳年壬子月庚午朔癸未日卯正一刻三分内一十一秒冬至甲午年甲子月甲子朔戊子日午正一刻一分内一秒冬至 應閏乙未年丙子月戊子朔癸巳日酉正初刻十三分内五十一秒冬至丙申年戊子月壬午朔己亥日子正初刻十一分内四十一秒冬至丁酉年庚子月丁丑朔甲辰日卯正初刻九分内三十一秒冬至 應閏戊戌年壬子月辛丑朔己酉日午正初刻七分内二十一秒冬至己亥年甲子月乙未朔甲寅日酉正初刻五分内一十一秒冬至 應閏庚子年丙子月己未朔庚申日子正初刻三分内一秒冬至辛丑年戊子月癸丑朔乙丑日卯初三刻十五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月戊申朔庚午日午初三刻十三分内四十一秒冬至 應閏癸卯年壬子月壬申朔乙亥日酉初三刻十一分内三十一秒冬至甲辰年甲子月丙寅朔庚辰夜子初三刻九分内二十一秒冬至乙巳年丙子月庚申朔丙戌日卯初三刻七分内一十一秒冬至 應閏丙午年戊子月甲申朔辛卯日午初三刻五分内一秒冬至丁未年庚子月己卯朔丙申日酉初三刻二分内五十一秒冬至戊申年壬子月癸酉朔辛丑夜子初二刻十五分内四十一秒冬至 應閏己酉年甲子月丁酉朔丁未日卯初二刻十三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月辛卯朔壬子日午初二刻十一分内二十一秒冬至 應閏五十三章辛亥年戊子月乙卯朔丁巳日酉初二刻九分内一十一秒冬至壬子年庚子月己酉朔壬戌夜子初二刻七分内一秒冬至日躔在危十七度之四十六分癸丑年壬子月甲辰朔戊辰日卯初二刻四分内五十一秒冬至 應閏甲寅年甲子月戊辰朔癸酉日午初二刻二分内四十一秒冬至乙卯年丙子月壬戌朔戊寅日酉初一刻十五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月丙辰朔癸未夜子初一刻十三分内二十一秒冬至 應閏丁巳年庚子月庚辰朔己丑日卯初一刻十一分内一十一秒冬至戊午年壬子月乙亥朔甲午日午初一刻九分内一秒冬至 應閏庚申年至此十一閏一紀縮一年下起己未己未年甲子月己亥朔日酉初一刻六分内五十一秒冬至庚申年丙子月癸巳朔甲辰夜子初一刻四分内四十一秒冬至辛酉年戊子月戊子朔庚戌日卯初一刻二分内三十一秒冬至 應閏壬戌年庚子月壬子朔乙卯日午初初刻十五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月丙午朔庚申日酉初初刻十三分内一十一秒冬至甲子年甲子月庚子朔乙丑夜子初初刻十一分内一秒冬至 應閏乙丑年丙子月甲子朔辛未日卯初初刻八分内五十一秒冬至丙寅年戊子月戊午朔丙子日午初初刻六分内四十一秒冬至丁卯年庚子月癸丑朔辛巳日酉初初刻四分内三十一秒冬至 應閏戊辰年壬子月丁丑朔丙戌夜子初初刻二分内二十一秒冬至己巳年甲子月辛未朔壬辰日寅正三刻十五分内一十一秒冬至 應閏五十四章庚午年丙子月乙未朔丁酉日巳正三刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月庚寅朔壬寅日申正三刻十分内五十一秒冬至壬申年庚子月甲申朔丁未日亥正三刻八分内四十一秒冬至 應閏癸酉年壬子月戊申朔癸丑日寅正三刻六分内三十一秒冬至甲戌年甲子月壬寅朔戊午日巳正三刻四分内二十一秒冬至乙亥年丙子月丙申朔癸亥日申正三刻二分内一十一秒冬至 應閏丙子年戊子月庚申朔戊辰日亥正二刻十五分内一秒冬至丁丑年庚子月甲寅朔甲戌日寅正二刻十二分内五十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月戊寅朔己卯日巳正二刻十分内四十一秒冬至己卯年甲子月癸酉朔甲申日申正二刻八分内三十一秒冬至庚辰年丙子月丁卯朔己丑日亥正二刻六分内二十一秒冬至 應閏辛巳年戊子月辛卯朔乙未日寅正二刻四分内一十一秒冬至壬午年庚子月丙戌朔庚子日巳正二刻二分内一秒冬至癸未年壬子月庚辰朔乙巳日申正一刻十四分内五十一秒冬至 應閏甲申年甲子月甲辰朔庚戌日亥正一刻十二分内四十一秒冬至乙酉年丙子月戊戌朔丙辰日寅正一刻十分内三十一秒冬至丙戌年戊子月壬辰朔辛酉日巳正一刻八分内二十一秒冬至 應閏丁亥年庚子月丙辰朔丙寅日申正一刻六分内一十一秒冬至戊子年壬子月辛亥朔辛未日亥正一刻四分内一秒冬至 應閏五十五章己未年至此十一閏為一紀己丑年甲子月乙亥朔丁丑日寅正一刻一分内五十一秒冬至庚寅年丙子月己巳朔壬午日巳正初刻十四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月癸亥朔丁亥日申正初刻十二分内三十一秒冬至 應閏壬辰年庚子月丁亥朔壬辰日亥正初刻十分内二十一秒冬至癸巳年壬子月壬午朔戊戌日寅正初刻八分内一十一秒冬至甲午年甲子月丙子朔癸卯日巳正初刻六分内一秒冬至 應閏乙未年丙子月庚子朔戊申日申正初刻三分内五十一秒冬至丙申年戊子月甲午朔癸丑日亥正初刻一分内四十一秒冬至 應閏丁酉年庚子月戊午朔己未日寅初三刻十四分内三十一秒冬至戊戌年壬子月壬子朔甲子日巳初三刻十二分内二十一秒冬至己亥年甲子月丁未朔己巳日申初三刻十分内一十一秒冬至 應閏庚子年丙子月辛未朔甲戌日亥初三刻八分内一秒冬至辛丑年戊子月乙丑朔庚辰日寅初三刻五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月庚申朔乙酉日巳初三刻三分内四十一秒冬至 應閏癸卯年壬子月甲申朔庚寅日申初三刻一分内三十一秒冬至甲辰年甲子月戊寅朔乙未日亥初二刻十四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月壬申朔辛丑日寅初二刻十二分内一十一秒冬至 應閏丙午年戊子月丙申朔丙午日巳初二刻十分内一秒冬至丁未年庚子月庚寅朔辛亥日申初二刻七分内五十一秒冬至 應閏五十六章戊申年壬子月甲寅朔丙辰日亥初二刻五分内四十一秒冬至己酉年甲子月己酉朔壬戌日寅初二刻三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月癸卯朔丁卯日巳初二刻一分内二十一秒冬至 應閏辛亥年戊子月丁卯朔壬申日申初一刻十四分内一十一秒冬至壬子年庚子月辛酉朔丁丑日亥初一刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月丙辰朔癸未日寅初一刻九分内五十一秒冬至 應閏甲寅年甲子月庚辰朔戊子日巳初一刻七分内四十一秒冬至乙卯年丙子月甲戌朔癸巳日申初一刻五分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月戊戌朔日亥初一刻三分内二十一秒冬至丁巳年庚子月壬辰朔甲辰日寅初一刻一分内一十一秒冬至戊午年壬子月丙戌朔己酉日巳初初刻十四分内一秒冬至 應閏己丑年至此十一閏又一紀己未年甲子月庚戌朔甲寅日申初初刻十一分内五十一秒冬至庚申年丙子月乙巳朔己未日亥初初刻九分内四十一秒冬至辛酉年戊子月己亥朔乙丑日寅初初刻七分内三十一秒冬至 應閏壬戌年庚子月癸亥朔庚午日巳初初刻五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月戊午朔乙亥日申初初刻三分内一十一秒冬至全史日至源流卷五
## 卷六
欽定四庫全書全史日至源流卷六山東道御史許伯政撰壬子運六(每期三百六十五日二時七刻十二分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十五秒五十微小寒十四日八時四刻五分零五秒五十微大寒十四日九時一刻十分二十秒五十微立春十四日十時一刻六分二十秒五十微雨水十四日十一時三刻四分二十秒五十微驚蟄十五日零七刻零一十五秒五十微春分十五日二時三刻九分五秒五十微清明十五日四時零八分零五秒五十微穀雨十五日五時四刻八分一十秒五十微立夏十五日六時七刻零一十五秒五十微小滿十五日八時零三分一十秒五十微芒種十五日八時三刻十分一十五秒五十微夏至十五日八時七刻零一十五秒五十微小暑十五日八時五刻三分一十五秒五十微大暑十五日八時零八分一十五秒五十微立秋十五日七時零一十一分一十五秒五十微處暑十五日五時六刻六分一十五秒五十微白露十五日四時三刻九分二十秒五十微秋分十五日二時四刻十一分二十五秒五十微寒露十五日一時一刻八分二十秒五十微霜降十四日十一時五刻五分一十五秒五十微立冬十四日十時二刻十一分二十五秒五十微小雪十四日九時二刻十二分二十秒五十微大雪十四日八時五刻十分一十五秒五十微甲子年甲子月壬子朔庚辰日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在危十六度之四十六分 應閏乙丑年丙子月丙子朔丙戌日丑正三刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月庚午朔辛卯日辰正三刻十一分内一秒冬至 應閏五十七章丁卯年庚子月甲午朔丙申日未正三刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊子朔辛丑日戌正三刻六分内一秒冬至己巳年甲子月壬午朔丁未日丑正三刻三分内三十一秒冬至 應閏庚午年丙子月丙午朔壬子日辰正三刻一分内一秒冬至辛未年戊子月辛丑朔丁巳日未正二刻十三分内三十一秒冬至壬申年庚子月乙未朔壬戌日戌正二刻十一分内一秒冬至 應閏癸酉年壬子月己未朔戊辰日丑正二刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月甲寅朔癸酉日辰正二刻六分内一秒冬至 應閏乙亥年丙子月戊寅朔日未正二刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月壬申朔癸未日戌正二刻一分内一秒冬至丁丑年庚子月丙寅朔己丑日丑正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月庚寅朔甲午日辰正一刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月乙酉朔己亥日未正一刻八分内三十一秒冬至庚辰年丙子月己卯朔甲辰日戌正一刻六分内一秒冬至 應閏辛巳年戊子月癸卯朔庚戌日丑正一刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月丁酉朔乙卯日辰正一刻一分内一秒冬至癸未年壬子月壬辰朔庚申日未正初刻十三分内三十一秒冬至 應閏甲申年甲子月丙辰朔乙丑日戌正初刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月庚戌朔辛未日丑正初刻八分内三十一秒冬至 應閏五十八章丙戌年戊子月甲戌朔丙子日辰正初刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月戊辰朔辛巳日未正初刻三分内三十一秒冬至戊子年壬子月壬戌朔丙戌日戌正初刻一分内一秒冬至 應閏己未年至此十一閏又一紀己丑年甲子月丙戌朔壬辰日丑初三刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月庚辰朔丁酉日辰初三刻十一分内一秒冬至辛卯年戊子月乙亥朔壬寅日未初三刻八分内三十一秒冬至 應閏壬辰年庚子月己亥朔丁未日戌初三刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月癸巳朔癸丑日丑初三刻三分内三十一秒冬至 應閏甲午年甲子月丁巳朔戊午日辰初三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月壬子朔癸亥日未初二刻十三分内三十一秒冬至丙申年戊子月丙午朔戊辰日戌初二刻十一分内一秒冬至 應閏丁酉年庚子月庚午朔甲戌日丑初二刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲子朔己卯日辰初二刻六分内一秒冬至己亥年甲午月戊午朔甲申日未初二刻三分内三十一秒冬至 應閏庚子年丙子月壬午朔己丑日戌初二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丁丑朔乙未日丑初一刻十三分内三十一秒冬至壬寅年庚子月辛未朔庚子日辰初一刻十一分内一秒冬至 應閏癸卯年壬子月乙未朔乙巳日未初一刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月己丑朔庚戌日戌初一刻六分内一秒冬至 應閏五十九章乙巳年丙子月癸丑朔丙辰日丑初一刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月戊申朔辛酉日辰初一刻一分内一秒冬至丁未年庚子月壬寅朔丙寅日未初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏戊申年壬子月丙寅朔辛未日戌初初刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月庚申朔丁丑日丑初初刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲寅朔壬午日辰初初刻六分内一秒冬至 應閏辛亥年戊子月戊寅朔丁亥日未初初刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月癸酉朔壬辰日戌初初刻一分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月丁酉朔戊戌日子正三刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月辛卯朔癸卯日卯正三刻十一分内一秒冬至乙卯年丙子月乙酉朔戊申日午正三刻八分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月己酉朔癸丑日酉正三刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月甲辰朔己未日子正三刻三分内三十一秒冬至戊午年壬子月戊戌朔甲子日卯正三刻一分内一秒冬至 應閏己丑年至此十一閏又一紀己未年甲子月壬戌朔己巳日午正二刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月丙辰朔甲戌日酉正二刻十一分内一秒冬至 應閏辛酉年戊子月庚辰朔日子正二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月甲戌朔乙酉日卯正二刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月己巳朔庚寅日午正二刻三分内三十一秒冬至 應閏六十章甲子年甲子月癸巳朔乙未日酉正二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月丁亥朔辛丑日子正一刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月辛巳朔丙午日卯正一刻十一分内一秒冬至 應閏丁卯年庚子月乙巳朔辛亥日午正一刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚子朔丙辰日酉正一刻六分内一秒冬至己巳年甲子月甲午朔壬戌日子正一刻三分内三十一秒冬至 應閏庚午年丙子月戊午朔丁卯日卯正一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月壬子朔壬申日午正初刻十三分内三十一秒冬至 應閏壬申年庚子月丙子朔丁丑日酉正初刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月庚午朔癸未日子正初刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月乙丑朔戊子日卯正初刻六分内一秒冬至 應閏乙亥年丙子月己丑朔癸巳日午正初刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月癸未朔戊戌日酉正初刻一分内一秒冬至日躔在危十五度之四十六分丁丑年庚子月丁丑朔癸卯夜子初三刻十三分内三十一秒冬至 應閏戊寅年壬子月辛丑朔己酉日卯初三刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月乙未朔甲寅日午初三刻八分内三十一秒冬至 應閏庚辰年丙子月己未朔日酉初三刻六分内一秒冬至辛巳年戊子月甲寅朔甲子夜子初三刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月戊申朔庚午日卯初三刻一分内一秒冬至 應閏六十一章癸未年壬子月壬申朔乙亥日午初二刻十三分内三十一秒冬至甲申年甲子月丙寅朔庚辰日酉初二刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月辛酉朔乙酉夜子初二刻八分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月乙酉朔辛卯日卯初二刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月己卯朔丙申日午初二刻三分内三十一秒冬至戊子年壬子月癸酉朔辛丑日酉初二刻一分内一秒冬至 應閏己未年至此十一閏又一紀己丑年甲子月丁酉朔丙午夜子初一刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月辛卯朔壬子日卯初一刻十一分内一秒冬至 應閏辛卯年戊子月乙卯朔丁巳日午初一刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚戌朔壬戌日酉初一刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月甲辰朔丁卯夜子初一刻三分内三十一秒冬至 應閏甲午年甲子月戊辰朔癸酉日卯初一刻一分内一秒冬至乙未年丙子月壬戌朔戊寅日午初初刻十三分内三十一秒冬至丙申年戊子月丁巳朔癸未日酉初初刻十一分内一秒冬至 應閏丁酉年庚子月辛巳朔戊子夜子初初刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月乙亥朔甲午日卯初初刻六分内一秒冬至 應閏己亥年甲子月戊戌朔己亥日午初初刻三分内三十一秒冬至庚子年丙子月癸巳朔甲辰日酉初初刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丁亥朔己酉日亥正三刻十三分内三十一秒冬至 應閏六十二章壬寅年庚子月辛亥朔乙卯日寅正三刻十一分内一秒冬至癸卯年壬子月丙午朔庚申日巳正三刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月庚子朔乙丑日申正三刻六分内一秒冬至 應閏乙巳年丙子月甲子朔庚午日亥正三刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月己未朔丙子日寅正三刻一分内一秒冬至丁未年庚子月癸丑朔辛巳日巳正二刻十三分内三十一秒冬至 應閏戊申年壬子月丁丑朔丙戌日申正二刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月辛未朔辛卯日亥正二刻八分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月乙未朔丁酉日寅正二刻六分内一秒冬至辛亥年戊子月己丑朔壬寅日巳正二刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月甲申朔丁未日申正二刻一分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月戊申朔壬子日亥正一刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月壬寅朔戊午日寅正一刻十一分内一秒冬至乙卯年丙子月丙申朔癸亥日巳正一刻八分内三十一秒冬至 應閏丙辰年戊子月庚申朔戊辰日申正一刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月甲寅朔癸酉日亥正一刻三分内三十一秒冬至 應閏己丑年至此十一閏一紀縮一年下起戊午戊午年壬子月戊寅朔己卯日寅正一刻一分内一秒冬至己未年甲子月癸酉朔甲申日巳正初刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月丁卯朔己丑日申正初刻十一分内一秒冬至 應閏六十三章辛酉年戊子月辛卯朔甲午日亥正初刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丙戌朔庚子日寅正初刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月庚辰朔乙巳日巳正初刻三分内三十一秒冬至 應閏甲子年甲子月甲辰朔庚戌日申正初刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月戊戌朔乙卯日亥初三刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月壬辰朔辛酉日寅初三刻十一分内一秒冬至 應閏丁卯年庚子月丙辰朔丙寅日巳初三刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月辛亥朔辛未日申初三刻六分内一秒冬至 應閏己巳年甲子月乙亥朔丙子日亥初三刻三分内三十一秒冬至庚午年丙子月己巳朔壬午日寅初三刻一分内一秒冬至辛未年戊子月癸亥朔丁亥日巳初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏壬申年庚子月丁亥朔壬辰日申初二刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月壬午朔丁酉日亥初二刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丙子朔癸卯日寅初二刻六分内一秒冬至 應閏乙亥年丙子月庚子朔戊申日巳初二刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月甲午朔癸丑日申初二刻一分内一秒冬至 應閏丁丑年庚子月戊午朔日亥初一刻十三分内三十一秒冬至戊寅年壬子月壬子朔甲子日寅初一刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月丁未朔己巳日巳初一刻八分内三十一秒冬至 應閏六十四章庚辰年丙子月辛未朔甲戌日申初一刻六分内一秒冬至辛巳年戊子月乙丑朔己卯日亥初一刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月己未朔乙酉日寅初一刻一分内一秒冬至 應閏癸未年壬子月癸未朔庚寅日巳初初刻十三分内三十一秒冬至甲申年甲子月戊寅朔乙未日申初初刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月壬申朔庚子日亥初初刻八分内三十一秒冬至 應閏丙戌年戊子月丙申朔丙午日寅初初刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月辛卯朔辛亥日巳初初刻三分内三十一秒冬至 應閏戊午年至此十一閏為一紀戊子年壬子月乙卯朔丙辰日申初初刻一分内一秒冬至日躔在危十四度之四十六分己丑年甲子月己酉朔辛酉日戌正三刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月癸卯朔丁卯日丑正三刻十一分内一秒冬至 應閏辛卯年戊子月丁卯朔壬申日辰正三刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月辛酉朔丁丑日未正三刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月乙卯朔壬午日戌正三刻三分内三十一秒冬至 應閏甲午年甲子月己卯朔戊子日丑正三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月甲戌朔癸巳日辰正二刻十三分内三十一秒冬至 應閏丙申年戊子月戊戌朔日未正二刻十一分内一秒冬至丁酉年庚子月壬辰朔癸卯日戌正二刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月丁亥朔己酉日丑正二刻六分内一秒冬至 應閏六十五章己亥年甲子月辛亥朔甲寅日辰正二刻三分内三十一秒冬至庚子年丙子月乙巳朔己未日未正二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月己亥朔甲子日戌正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏壬寅年庚子月癸亥朔庚午日丑正一刻十一分内一秒冬至癸卯年壬子月丁巳朔乙亥日辰正一刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛亥朔庚辰日未正一刻六分内一秒冬至 應閏乙巳年丙子月乙亥朔乙酉日戌正一刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月庚午朔辛卯日丑正一刻一分内一秒冬至 應閏丁未年庚子月甲午朔丙申日辰正初刻十三分内三十一秒冬至戊申年壬子月戊子朔辛丑日未正初刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月癸未朔丙午日戌正初刻八分内三十一秒冬至 應閏庚戌年丙子月丁未朔壬子日丑正初刻六分内一秒冬至辛亥年戊子月辛丑朔丁巳日辰正初刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月乙未朔壬戌日未正初刻一分内一秒冬至 應閏癸丑年壬子月己未朔丁卯日戌初三刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月癸丑朔癸酉日丑初三刻十一分内一秒冬至 應閏乙卯年丙子月丁丑朔戊寅日辰初三刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月壬申朔癸未日未初三刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月丙寅朔戊子日戌初三刻三分内三十一秒冬至 應閏六十六章戊子年至此十一閏又一紀戊午年壬子月庚寅朔甲午日丑初三刻一分内一秒冬至己未年甲子月甲申朔己亥日辰初二刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月己卯朔甲辰日未初二刻十一分内一秒冬至 應閏辛酉年戊子月癸卯朔己酉日戌初二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丁酉朔乙卯日丑初二刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月壬辰朔庚申日辰初二刻三分内三十一秒冬至 應閏甲子年甲子月丙辰朔乙丑日未初二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月庚戌朔庚午日戌初一刻十三分内三十一秒冬至 應閏丙寅年戊子月甲戌朔丙子日丑初一刻十一分内一秒冬至丁卯年庚子月戊辰朔辛巳日辰初一刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月癸亥朔丙戌日未初一刻六分内一秒冬至 應閏己巳年甲子月丁亥朔辛卯日戌初一刻三分内三十一秒冬至庚午年丙子月辛巳朔丁酉日丑初一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月乙亥朔壬寅日辰初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏壬申年庚子月己亥朔丁未日未初初刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月癸巳朔壬子日戌初初刻八分内三十一秒冬至 應閏甲戌年甲子月丁巳朔戊午日丑初初刻六分内一秒冬至乙亥年丙子月壬子朔癸亥日辰初初刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月丙午朔戊辰日未初初刻一分内一秒冬至 應閏六十七章丁丑年庚子月庚午朔癸酉日酉正三刻十三分内三十一秒冬至 戊寅年天正壬子月乙丑朔己卯日子正三刻十一分内一秒冬至自丁丑年以上一千二百七十四年葢史稱盤古及三皇之世惜無在位年數可紀自此以後推得戊寅為伏羲氏元年用寅正為嵗首故其年天正冬至具于此年以便推算其説已詳首卷又考經史紀年唐虞曰載夏曰嵗商曰祀周曰年唐虞以前無考今姑以嵗稱之太昊伏羲氏史穪首以木徳繼天而王在位一百十五嵗戊寅元嵗春正月甲子朔十一月甲申日卯正三刻八分内三十一秒冬至 正月建甲寅朔日建甲子説見首卷下己卯二嵗正月己未朔十一月己丑日午正三刻六分内一秒冬至 應閏庚辰三嵗正月癸未朔十一月甲午日酉正三刻三分内三十一秒冬至辛巳四嵗正月丁丑朔十一月庚子日子正三刻一分内一秒冬至壬午五嵗正月辛未朔十一月乙巳日卯正二刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸未六嵗正月乙未朔十一月庚戌日午正二刻十一分内一秒冬至甲申七嵗正月庚寅朔十一月乙卯日酉正二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙酉八嵗正月甲寅朔十一月辛酉日子正二刻六分内一秒冬至丙戌九嵗正月戊申朔十一月丙寅日卯正二刻三分内三十一秒冬至丁亥十嵗正月壬寅朔十一月辛未日午正二刻一分内一秒冬至 應閏戊午年至此十一閏又一紀戊子十一嵗正月丙寅朔十一月丙子日酉正一刻十三分内三十一秒冬至己丑十二嵗正月辛酉朔十一月壬午日子正一刻十一分内一秒冬至庚寅十三嵗正月乙卯朔十一月丁亥日卯正一刻八分内三十一秒冬至 應閏辛卯十四嵗正月己卯朔十一月壬辰日午正一刻六分内一秒冬至壬辰十五嵗正月癸酉朔十一月丁酉日酉正一刻三分内三十一秒冬至癸巳十六嵗正月戊辰朔十一月癸卯日子正一刻一分内一秒冬至 應閏甲午十七嵗正月壬辰朔十一月戊申日卯正初刻十三分内三十一秒冬至乙未十八嵗正月丙戌朔十一月癸丑日午正初刻十一分内一秒冬至 應閏六十八章丙申十九嵗正月庚戌朔十一月戊午日酉正初刻八分内三十一秒冬至丁酉二十嵗正月甲辰朔十一月甲子日子正初刻六分内一秒冬至戊戌二十一嵗正月戊戌朔十一月己巳日卯正初刻三分内三十一秒冬至 應閏己亥二十二嵗正月壬戌朔十一月甲戌日午正初刻一分内一秒冬至日躔在危十三度之四十六分全史日至源流卷六
## 卷七
欽定四庫全書全史日至源流卷七山東道御史許伯政撰壬子運七(每期三百六十五日二時七刻十二分一十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十五秒小寒十四日八時四刻五分零五秒大寒十四日九時一刻十分二十秒立春十四日十時一刻六分二十秒雨水十四日十一時三刻四分二十秒驚蟄十五日零七刻零一十五秒春分十五日二時三刻九分零五秒清明十五日四時零八分零五秒榖雨十五日五時四刻八分一十秒立夏十五日六時七刻零一十五秒小滿十五日八時零三分一十秒芒種十五日八時三刻十分一十五秒夏至十五日八時七刻零一十五秒小暑十五日八時五刻三分一十五秒大暑十五日八時零八分一十五秒立秋十五日七時零一十一分一十五秒處暑十五日五時六刻六分一十五秒白露十五日四時三刻九分二十秒秋分十五日二時四刻十一分二十五秒寒露十五日一時一刻八分二十秒霜降十四日十一時五刻五分一十五秒立冬十四日十時二刻十一分二十五秒小雪十四日九時二刻十二分二十秒大雪十四日八時五刻十分一十五秒庚子二十三歲正月丁巳朔十一月己卯日酉初三刻十三分内一十一秒冬至辛丑二十四歲正月辛亥朔十一月甲申夜子初三刻十分内二十一秒冬至 應閏壬寅二十五歲正月乙亥朔十一月庚寅日卯初三刻七分内三十一秒冬至癸卯二十六歲正月己巳朔十一月乙未日午初三刻四分内四十一秒冬至 應閏甲辰二十七歲正月癸巳朔十一月庚子日酉初三刻一分内五十一秒冬至乙巳二十八歲正月戊子朔十一月乙巳夜子初二刻十四分内一秒冬至丙午二十九歲正月壬午朔十一月辛亥日卯初二刻十一分内一十一秒冬至 應閏丁未三十歲正月丙午朔十一月丙辰日午初二刻八分内三十一秒冬至戊申三十一歲正月辛丑朔十一月辛酉日酉初二刻五分内三十一秒冬至己酉三十二歲正月乙未朔十一月丙寅夜子初二刻二分内四十一秒冬至 應閏庚戌三十三歲正月己未朔十一月壬申日卯初一刻十四分内五十一秒冬至辛亥三十四歲正月癸丑朔十一月丁丑日午初一刻十一分内一秒冬至壬子三十五歲正月丁未朔十一月壬午日酉初一刻九分内一十一秒冬至 應閏癸丑三十六歲正月辛未朔十一月丁亥夜子初一刻六分内二十一秒冬至甲寅三十七歲正月乙丑朔十一月癸巳日卯初一刻三分内三十一秒冬至 應閏六十九章乙卯三十八歲正月己丑朔十一月戊戌日午初初刻十五分内四十一秒冬至丙辰三十九歲正月甲申朔十一月癸卯日酉初初刻十二分内五十一秒冬至丁巳四十歲正月戊寅朔十一月戊申夜子初初刻十分内一秒冬至 應閏戊子年至此十一閏又一紀戊午四十一歲正月壬寅朔十一月甲寅日卯初初刻七分内一十一秒冬至己未四十二歲正月丁酉朔十一月己未日午初初刻四分内一十一秒冬至庚申四十三歲正月辛卯朔十一月甲子日酉初初刻一分内三十一秒冬至 應閏辛酉四十四歲正月乙卯朔十一月己巳日亥正三刻十三分内四十一秒冬至壬戌四十五歲正月己酉朔十一月乙亥日寅正三刻十分内五十一秒冬至 應閏癸亥四十六歲正月癸酉朔十一月庚辰日巳正三刻八分内一秒冬至甲子四十七歲正月丁卯朔十一月乙酉日申正三刻五分内一十一秒冬至乙丑四十八歲正月壬戌朔十一月庚寅日亥正三刻二分内二十一秒冬至 應閏丙寅四十九歲正月丙戌朔十一月丙申日寅正二刻十四分内三十一秒冬至丁卯五十歲正月庚辰朔十一月辛丑日巳正二刻十一分内四十一秒冬至戊辰五十一歲正月甲戌朔十一月丙午日申正二刻八分内五十一秒冬至 應閏己巳五十二歲正月戊戌朔十一月辛亥日亥正二刻六分内一秒冬至庚午五十三歲正月癸巳朔十一月丁巳日寅正二刻三分内一十一秒冬至辛未五十四歲正月丁亥朔十一月壬戌日巳正一刻十五分内二十一秒冬至 應閏壬申五十五歲正月辛亥朔十一月丁卯日申正一刻十二分内三十一秒冬至癸酉五十六歲正月乙巳朔十一月壬申日亥正一刻九分内四十一秒冬至 應閏七十章甲戌五十七歲正月己巳朔十一月戊寅日寅正一刻六分内五十一秒冬至乙亥五十八歲正月甲子朔十一月癸未日巳正一刻四分内一秒冬至丙子五十九歲正月戊午朔十一月戊子日申正一刻一分内一十一秒冬至 應閏丁丑六十歲正月壬午朔十一月癸巳日亥正初刻十三分内二十一秒冬至戊寅六十一歲正月丙子朔十一月己亥日寅正初刻十分内三十一秒冬至己卯六十二歲正月庚午朔十一月甲辰日巳正初刻七分内四十一秒冬至 應閏庚辰六十三歲正月甲午朔十一月己酉日申正初刻四分内五十一秒冬至辛巳六十四歲正月己丑朔十一月甲寅日亥正初刻二分内一秒冬至 應閏壬午六十五歲正月癸丑朔十一月庚申日寅初三刻十四分内一十一秒冬至癸未六十六歲正月丁未朔十一月己丑日巳初三刻十一分内三十一秒冬至甲申六十七歲正月壬寅朔十一月庚午日申初二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙酉六十八歲正月丙寅朔十一月乙亥日亥初三刻五分内四十一秒冬至丙戌六十九歲正月庚申朔十一月辛巳日寅初三刻二分内五十一秒冬至丁亥七十歲正月甲寅朔十一月丙戌日巳初二刻十五分内一秒冬至 應閏戊午年至此十一閏又一紀戊子七十一歲正月戊寅朔十一月辛卯日申初二刻十二分内一十一秒冬至己丑七十二歲正月壬申朔十一月丙申日亥初二刻九分内二十一秒冬至庚寅七十三歲正月丁卯朔十一月壬寅日寅初二刻六分内三十一秒冬至 應閏辛卯七十四歲正月辛卯朔十一月丁未日巳初二刻三分内四十一秒冬至壬辰七十五歲正月乙酉朔十一月壬子日申初一刻十五分内五十一秒冬至 應閏七十一章癸巳七十六歲正月己酉朔十一月丁巳日亥初一刻十三分内一秒冬至甲午七十七歲正月甲辰朔十一月癸亥日寅初一刻十分内一十一秒冬至乙未七十八歲正月戊戌朔十一月戊辰日巳初一刻七分内二十一秒冬至 應閏丙申七十九歲正月壬戌朔十一月癸酉日申初一刻四分内三十一秒冬至丁酉八十歲正月丙辰朔十一月戊寅日亥初一刻一分内四十一秒冬至戊戌八十一歲正月庚戌朔十一月甲申日寅初初刻十三分内五十一秒冬至 應閏己亥八十二歲正月甲戌朔十一月己丑日巳初初刻十一分内一秒冬至庚子八十三歲正月戊辰朔十一月甲午日申初初刻八分内一十一秒冬至 應閏辛丑八十四歲正月癸巳朔十一月己亥日亥初初刻五分内二十一秒冬至壬寅八十五歲正月戊子朔十一月乙巳日寅初初刻二分内三十一秒冬至癸卯八十六歲正月壬午朔十一月庚戌日辰正三刻十四分内四十一秒冬至 應閏甲辰八十七歲正月丙午朔十一月乙卯日未正三刻十一分内五十一秒冬至乙巳八十八歲正月庚子朔十一月庚申日戌正三刻九分内一秒冬至丙午八十九歲正月甲午朔十一月丙寅日丑正三刻六分内一十一秒冬至 應閏丁未九十歲正月戊午朔十一月辛未日辰正三刻三分内二十一秒冬至戊申九十一歲正月癸丑朔十一月丙子日未正二刻十五分内三十一秒冬至己酉九十二歲正月丁未朔十一月辛巳日戌正二刻十二分内四十一秒冬至 應閏庚戌九十三歲正月辛未朔十一月丁亥日丑正二刻九分内五十一秒冬至辛亥九十四歲正月乙丑朔十一月壬辰日辰正一刻七分内一秒冬至日躔在危十二度之四十六分應閏七十二章壬子九十五歲正月己丑朔十一月丁酉日未正二刻四分内一十一秒冬至癸丑九十六歲正月甲申朔十一月壬寅日戌正二刻一分内二十一秒冬至甲寅九十七歲正月戊寅朔十一月戊申日丑正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏乙卯九十八歲正月壬寅朔十一月癸丑日辰正一刻十分内四十一秒冬至丙辰九十九歲正月丙申朔十一月戊午日未正一刻七分内五十一秒冬至丁巳一百歲正月庚寅朔十一月癸亥日戌正一刻五分内一秒冬至 應閏戊子年至此十一閏又一紀戊午百一歲正月甲寅朔十一月己巳日丑正一刻二分内一十一秒冬至己未百二歲正月己酉朔十一月甲戌日辰正初刻十四分内二十一秒冬至 應閏庚申百三歲正月癸酉朔十一月己卯日未正初刻十一分内三十一秒冬至辛酉百四歲正月丁卯朔十一月甲申日戌正初刻八分内四十一秒冬至壬戌百五歲正月辛酉朔十一月庚寅日丑正初刻五分内五十一秒冬至 應閏癸亥百六歲正月乙酉朔十一月乙未日辰正初刻三分内一秒冬至甲子百七歲正月庚辰朔十一月庚子日未初三刻十五分内一十一秒冬至乙丑百八歲正月甲戌朔十一月乙巳日戌初三刻十二分内二十一秒冬至 應閏丙寅百九歲正月戊戌朔十一月辛亥日丑初二刻九分内三十一秒冬至丁卯百十歲正月壬辰朔十一月丙辰日辰初三刻六分内四十一秒冬至戊辰百十一歲正月丙戌朔十一月辛酉日未初三刻三分内五十一秒冬至 應閏己巳百十二歲正月辛亥朔十一月丙寅日戌初三刻一分内一秒冬至庚午百十三歲正月乙巳朔十一月壬申日丑初一刻十三分内一十一秒冬至 應閏七十三章辛未百十四歲正月己巳朔十一月丁巳日辰初二刻十分内二十一秒冬至壬申百十五歲正月癸亥朔十一月壬午日未初二刻七分内三十一秒冬至女媧氏史與太昊同母生而神靈太昊沒共工氏作亂女媧氏誅之以治天下在位百三十歲癸酉元歲正月丁巳朔十一月丁亥日戌初二刻四分内四十一秒冬至 應閏甲戌二歲正月辛巳朔十一月癸巳日丑初二刻一分内五十一秒冬至乙亥三歲正月丙子朔十一月戊戌日辰初一刻十四分内一秒冬至丙子四歲正月庚午朔十一月癸卯日未初一刻十一分内一十一秒冬至 應閏丁丑五歲正月甲午朔十一月戊申日戌初一刻八分内二十一秒冬至戊寅六歲正月戊子朔十一月甲寅日丑初一刻五分内三十一秒冬至 應閏己卯七歲正月壬子朔十一月己未日辰初一刻二分内四十一秒冬至庚辰八歲正月丁未朔十一月甲子日未初初刻十四分内五十一秒冬至辛巳九歲正月辛丑朔十一月己巳日戌初初刻十二分内一秒冬至 應閏壬午十歲正月乙丑朔十一月乙亥日丑初初刻九分内一十一秒冬至癸未十一歲正月己未朔十一月庚辰日辰初初刻六分内二十一秒冬至甲申十二歲正月癸丑朔十一月乙酉日未初初刻三分内三十一秒冬至 應閏乙酉十三歲正月丁丑朔十一月庚寅日酉正三刻十五分内四十一秒冬至丙戌十四歲正月壬申朔十一月丙申日子正三刻十二分内五十一秒冬至丁亥十五歲正月丙寅朔十一月辛丑日卯正三刻十分内一秒冬至 應閏戊午年至此十一閏又一紀戊子十六歲正月庚寅朔十一月丙午日午正三刻七分内一十一秒冬至己丑十七歲正月乙酉朔十一月辛亥日酉正三刻四分内二十一秒冬至 應閏七十四章庚寅十八歲正月己酉朔十一月丁巳日子正三刻一分内三十一秒冬至辛卯十九歲正月癸卯朔十一月壬戌日卯正二刻十三分内四十一秒冬至壬辰二十歲正月丁酉朔十一月丁卯日午正二刻十分内五十一秒冬至 應閏癸巳二十一歲正月辛酉朔十一月壬申日酉正二刻八分内一秒冬至甲午二十二歲正月乙卯朔十一月丙寅日子正二刻五分内一十一秒冬至乙未二十三歲正月己酉朔十一月癸未日卯正二刻二分内二十一秒冬至 應閏丙申二十四歲正月癸酉朔十一月戊子日午正一刻十四分内三十一秒冬至丁酉二十五歲正月戊辰朔十一月癸巳日酉正一刻十一分内四十一秒冬至 應閏戊戌二十六歲正月壬辰朔十一月己亥日子正一刻八分内五十一秒冬至己亥二十七歲正月丁亥朔十一月甲辰日卯正一刻六分内一秒冬至庚子二十八歲正月辛巳朔十一月己酉日午正一刻三分内一十一秒冬至 應閏辛丑二十九歲正月乙巳朔十一月甲寅日酉正初刻十五分内二十一秒冬至壬寅三十歲正月己亥朔十一月庚申日子正初刻十二分内三十一秒冬至癸卯三十一歲正月癸巳朔十一月乙丑日卯正初刻九分内四十一秒冬至 應閏甲辰三十二歲正月丁巳朔十一月庚午日午正初刻六分内五十一秒冬至乙巳三十三歲正月壬子朔十一月乙亥日酉正初刻四分内一秒冬至丙午三十四歲正月丙午朔十一月辛巳日子正初刻一分内一十一秒冬至 應閏丁未三十五歲正月庚午朔十一月丙戌日卯初三刻十三分内二十一秒冬至戊申三十六歲正月甲子朔十一月辛卯日午初三刻十分内三十一秒冬至 應閏七十五章己酉三十七歲正月戊子朔十一月丙申日酉初三刻七分内四十一秒冬至庚戌三十八歲正月癸未朔十一月辛丑夜子初三刻四分内五十一秒冬至辛亥三十九歲正月丁丑朔十一月丁未日卯初三刻二分内一秒冬至 應閏壬子四十歲正月辛丑朔十一月壬子日午初二刻十四分内一十一秒冬至癸丑四十一歲正月乙未朔十一月丁巳日酉初二刻十一分内一十一秒冬至甲寅四十二歲正月己丑朔十一月壬戌夜子初二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙卯四十三歲正月癸丑朔十一月戊辰日卯初二刻五分内四十一秒冬至丙辰四十四歲正月戊申朔十一月癸酉日午初二刻二分内五十一秒冬至 應閏戊子年至此十一閏一紀縮一年下起丁巳丁巳四十五歲正月壬申朔十一月戊寅日酉初一刻十五分内一秒冬至戊午四十六歲正月丙寅朔十一月癸未夜子初一刻十二分内十一秒冬至己未四十七歲正月庚申朔十一月己丑日卯初一刻九分内二十一秒冬至 應閏庚申四十八歲正月甲申朔十一月甲午日午初一刻六分内三十一秒冬至辛酉四十九歲正月戊寅朔十一月己亥日酉初一刻三分内四十一秒冬至壬戌五十歲正月癸酉朔十一月甲辰夜子初初刻十五分内五十一秒冬至 應閏癸亥五十一歲正月丁酉朔十一月庚戌日卯初初刻十三分内一秒冬至日躔在危十一度之四十六分甲子五十二歲正月辛卯朔十一月乙卯日午初初刻十分内一十一秒冬至乙丑五十三歲正月丙戌朔十一月庚申日酉初初刻七分内二十一秒冬至 應閏丙寅五十四歲正月庚戌朔十一月乙丑夜子初初刻四分内三十一秒冬至丁卯五十五歲正月甲辰朔十一月辛未日卯初初刻十分内四十一秒冬至 應閏七十六章戊辰五十六歲正月戊辰朔十一月丙子日巳正三刻十三分内五十一秒冬至己巳五十七歲正月壬戌朔十一月辛巳日申正三刻十一分内一秒冬至庚午五十八歲正月丙辰朔十一月丙戌日亥正三刻八分内一十一秒冬至 應閏辛未五十九歲正月庚辰朔十一月壬辰日寅正三刻五分内二十一秒冬至壬申六十歲正月乙亥朔十一月丁酉日巳正三刻二分内三十一秒冬至癸酉六十一歲正月乙巳朔十一月壬寅日申正二刻十四分内四十一秒冬至 應閏甲戌六十二歲正月癸巳朔十一月丁未日亥正二刻十一分内五十一秒冬至乙亥六十三歲正月丁亥朔十一月癸丑日寅正二刻九分内一秒冬至 應閏丙子六十四歲正月辛亥朔十一月戊午日巳正二刻六分内一十一秒冬至丁丑六十五歲正月丙午朔十一月癸亥日申正二刻三分内二十一秒冬至戊寅六十六歲正月庚子朔十一月戊辰日亥正一刻十五分内三十一秒冬至 應閏己卯六十七歲正月甲子朔十一月甲戌日寅正一刻十二分内四十一秒冬至庚辰六十八歲正月戊午朔十一月己卯日巳正一刻九分内五十一秒冬至辛巳六十九歲正月壬子朔十一月甲申日申正一刻七分内一秒冬至 應閏壬午七十歲正月丙子朔十一月己丑日亥正一刻四分内一十一秒冬至癸未七十一歲正月辛未朔十一月乙未日寅正一刻一分内二十一秒冬至甲申七十二歲正月乙丑朔十一月庚子日巳正初刻十三分内三十一秒冬至 應閏乙酉七十三歲正月己丑朔十一月乙巳日申正初刻十分内四十一秒冬至丙戌七十四歲正月癸未朔十一月庚戌日亥正初刻七分内五十一秒冬至 應閏七十七章丁巳年至此十一閏又一紀丁亥七十五歲正月丁未朔十一月丙辰日寅正初刻五分内一秒冬至戊子七十六歲正月壬寅朔十一月辛酉日巳正初刻二分内一十一秒冬至己丑七十七歲正月丙申朔十一月丙寅日申初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏庚寅七十八歲正月庚申朔十一月辛未日亥初三刻十一分内三十一秒冬至辛卯七十九歲正月甲寅朔十一月丁丑日寅初三刻八分内四十一秒冬至壬辰八十歲正月己酉朔十一月壬午日巳初三刻五分内五十一秒冬至 應閏癸巳八十一歲正月癸酉朔十一月丁亥日申初三刻三分内一秒冬至甲午八十二歲正月丁卯朔十一月壬辰日亥初二刻十五分内一十一秒冬至 應閏乙未八十三歲正月辛卯朔十一月戊戌日寅初二刻十二分内二十一秒冬至丙申八十四歲正月乙酉朔十一月癸卯日巳初二刻九分内三十一秒冬至丁酉八十五歲正月己卯朔十一月戊申日申初二刻六分内四十一秒冬至 應閏戊戌八十六歲正月癸卯朔十一月癸丑日亥初二刻三分内五十一秒冬至己亥八十七歲正月戊戌朔十一月己未日寅初二刻一分内一秒冬至庚子八十八歲正月壬辰朔十一月甲子日巳初一刻十三分内一十一秒冬至 應閏辛丑八十九歲正月丙辰朔十一月己巳日申初一刻十分内二十一秒冬至壬寅九十歲正月庚戌朔十一月甲戌日亥初一刻七分内三十一秒冬至癸卯九十一歲正月乙巳朔十一月庚辰日寅初一刻四分内四十一秒冬至 應閏甲辰九十二歲正月己巳朔十一月乙酉日巳初一刻一分内五十一秒冬至乙巳九十三歲正月癸亥朔十一月庚寅日申初初刻十四分内一秒冬至 應閏七十八章丙午九十四歲正月丁亥朔十一月乙未日亥初初刻十一分内一十一秒冬至丁未九十五歲正月辛巳朔十一月辛丑日寅初初刻八分内二十一秒冬至戊申九十六歲正月丙子朔十一月丙午日巳初初刻五分内三十一秒冬至 應閏己酉九十七歲正月庚子朔十一月辛亥日申初初刻二分内四十一秒冬至庚戌九十八歲正月甲午朔十一月丙辰日戌正三刻十四分内五十一秒冬至辛亥九十九歲正月戊子朔十一月壬戌日丑正三刻十二分内一秒冬至壬子一百歲正月壬子朔十一月丁卯日辰正三刻九分内一十一秒冬至癸丑百一歲正月丁未朔十一月壬申日未正三刻六分内二十一秒冬至 應閏甲寅百二歲正月辛未朔十一月丁丑日戌正三刻三分内三十一秒冬至乙卯百三歲正月乙丑朔十一月癸未日丑正二刻十五分内四十一秒冬至丙辰百四歲正月己未朔十一月戊子日辰正二刻十二分内五十一秒冬至 應閏丁亥年至此十一閏又一紀丁巳百五歲正月癸未朔十一月癸巳日未正二刻十分内一秒冬至戊午百六歲正月丁丑朔十一月戊戌日戌正二刻七分内一十一秒冬至己未百七歲正月壬申朔十一月甲辰日丑正二刻四分内二十一秒冬至 應閏庚申百八歲正月丙申朔十一月己酉日辰正二刻一分内三十一秒冬至辛酉百九歲正月辛卯朔十一月甲寅日未正一刻十三分内四十一秒冬至壬戌百十歲正月乙酉朔十一月己未日戌正一刻十分内五十一秒冬至 應閏癸亥百十一歲正月己酉朔十一月乙丑日丑正一刻八分内一秒冬至甲子百十二歲正月癸卯朔十一月庚午日辰正一刻五分内一十一秒冬至 應閏七十九章乙丑百十三歲正月丁卯朔十一月乙亥日未正一刻二分内二十一秒冬至丙寅百十四歲正月辛酉朔十一月庚辰日戌正初刻十四分内三十一秒冬至丁卯百十五歲正月乙卯朔十一月丙戌日丑正初刻十一分内四十一秒冬至 應閏戊辰百十六歲正月己卯朔十一月辛卯日辰正初刻八分内五十一秒冬至己巳百十七歲正月甲戌朔十一月丙申日未正初刻六分内一秒冬至庚午百十八歲正月戊辰朔十一月辛丑日戌正初刻三分内一十一秒冬至 應閏辛未百十九歲正月壬辰朔十一月丁未日丑初三刻十五分内二十一秒冬至壬申百二十歲正月丁亥朔十一月壬子日辰初三刻十二分内三十一秒冬至 應閏癸酉百二十一歲正月辛亥朔十一月丁巳日未初三刻九分内四十一秒冬至甲戌百二十二歲正月乙巳朔十一月壬戌日戌初三刻六分内五十一秒冬至乙亥百二十三歲正月己亥朔十一月戊辰日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在危十度之四十六分應閏全史日至源流卷七
## 卷八
欽定四庫全書全史日至源流卷八山東道御史許伯政撰壬子運八(毎期三百六十五日二時七刻十一分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十四秒一十微小寒十四日八時四刻五分零四秒一十微大寒十四日九時一刻十分十九秒一十微立春十四日十時一刻六分十九秒一十微雨水十四日十一時三刻四分一十九秒一十微驚蟄十五日零七刻零一十四秒一十微春分十五日二時三刻九分零四秒一十微清明十正日四時零八分零四秒一十微榖雨十五日五時四刻八分零九秒一十微立夏十五日六時七刻零一十四秒一十微小滿十五日八時零三分九秒一十微芒種十五日八時三刻十分一十四秒一十微夏至十五日八時七刻零一十四秒一十微小暑十五日八時五刻三分一十四秒一十微大暑十五日八時零八分一十四秒一十微立秋十五日七時零一十一分一十四秒一十微處暑十五日五時六刻六分一十四秒一十微白露十五日四時三刻九分十九秒一十微秋分十五日二時四刻十一分二十四秒一十微寒露十五日一時一刻八分一十九秒一十微霜降十四日十一時五刻五分一十四秒一十微立冬十四日十時二刻十一分二十四秒一十微小雪十四日九時二刻十二分一十九秒一十微大雪十四日八時五刻十分一十四秒一十微丙子百二十四歲正月癸亥朔十一月癸酉日辰初二刻十五分内五十一秒冬至丁丑百二十五歲正月丁巳朔十一月戊寅日未初二刻十二分内四十一秒冬至戊寅百二十六歲正月壬子朔十一月癸未日戌初二刻九分内三十一秒冬至 應閏己卯百二十七歲正月丙子朔十一月己丑日丑初二刻六分内二十一秒冬至庚辰百二十八歲正月庚午朔十一月甲午日辰初二刻三分内一十一秒冬至辛巳百二十九歲正月甲子朔十一月己亥日未初一刻十五分内一秒冬至 應閏壬午百三十歲正月戊子朔十一月甲辰日戌初一刻十一分内五十一秒冬至炎帝神農氏史以火徳代伏羲氏王天下在位百四十歲癸未元歲正月癸未朔十一月庚戌日丑初一刻八分内四十一秒冬至 應閏八十章甲申二歲正月丁未朔十一月乙卯日辰初一刻五分内三十一秒冬至乙酉三歲正月辛丑朔十一月庚申日未初一刻二分内二十一秒冬至丙戌四歲正月乙未朔十一月乙丑日戌初初刻十四分内一十一秒冬至 應閏丁巳年至此十一閏又一紀丁亥五歲正月己未朔十一月辛未日丑初初刻十一分内一秒冬至戊子六歲正月癸丑朔十一月丙子日辰初初刻七分内五十一秒冬至己丑七歲正月戊申朔十一月辛巳日未初初刻四分内四十一秒冬至 應閏庚寅八歲正月壬申朔十一月丙戌日戌初初刻一分内三十一秒冬至辛卯九歲正月丙寅朔十一月壬辰日子正三刻十三分内二十一秒冬至 應閏壬辰十歲正月庚寅朔十一月丁酉日卯正三刻十分内一十一秒冬至癸巳十一歲正月甲申朔十一月壬寅日午正三刻七分内一秒冬至甲午十二歲正月己卯朔十一月丁未日酉正三刻三分内五十一秒冬至 應閏乙未十三歲正月癸卯朔十一月癸丑日子正二刻十五分内四十一秒冬至丙申十四歲正月丁酉朔十一月戊午日卯正二刻十二分内三十一秒冬至丁酉十五歲正月辛卯朔十一月癸亥日午正二刻九分内二十一秒冬至 應閏戊戌十六歲正月乙卯朔十一月戊辰日酉正二刻六分内一十一秒冬至己亥十七歲正月庚戌朔十一月甲戌日子正二刻三分内一秒冬至庚子十八歲正月甲辰朔十一月己卯日卯正一刻十四分内五十一秒冬至 應閏辛丑十九歲正月戊辰朔十一月甲申日午正一刻十一分内四十一秒冬至壬寅二十歲正月壬戌朔十一月己丑日酉正一刻八分内三十一秒冬至 應閏八十一章癸卯二十一歲正月丙戌朔十一月乙未日子正一刻五分内二十一秒冬至甲辰二十二歲正月庚辰朔十一月庚子日卯正一刻二分内一十一秒冬至乙巳二十三歲正月乙亥朔十一月乙巳日午正初刻十四分内一秒冬至 應閏丙午二十四歲正月己亥朔十一月庚戌日酉正初刻十分内五十一秒冬至丁未二十五歲正月癸巳朔十一月丙辰日子正初刻七分内四十一秒冬至戊申二十六歲正月戊子朔十一月辛酉日卯正初刻四分内三十一秒冬至 應閏己酉二十七歲正月壬子朔十一月丙寅日午正初刻一分内二十一秒冬至庚戌二十八歲正月丙午朔十一月辛未日酉初三刻十三分内一十一秒冬至 應閏辛亥二十九歲正月庚午朔十一月丙子夜子初三刻十分内一秒冬至壬子三十歲正月甲子朔十一月壬午日卯初三刻六分内五十一秒冬至癸丑三十一歲正月戊午朔十一月丁亥日午初三刻三分内四十一秒冬至 應閏甲寅三十二歲正月壬午朔十一月壬辰日酉初二刻十五分内三十一秒冬至乙卯三十三歲正月丁丑朔十一月丁酉夜子初二刻十二分内二十一秒冬至丙辰三十四歲正月辛未朔十一月癸卯日卯初二刻九分内一十一秒冬至 應閏丁亥年至此十一閏又一紀丁巳三十五歲正月乙未朔十一月戊申日午初二刻六分内一秒冬至戊午三十六歲正月己丑朔十一月癸丑日酉初二刻二分内五十一秒冬至己未三十七歲正月甲申朔十一月戊午夜子初一刻十四分内四十一秒冬至 應閏庚申三十八歲正月戊申朔十一月甲子日卯初一刻十一分内三十一秒冬至辛酉三十九歲正月壬寅朔十一月己巳日午初一刻八分内二十一秒冬至 應閏八十二章壬戌四十歲正月丙寅朔十一月甲戌日酉初一刻五分内一十一秒冬至癸亥四十一歲正月庚申朔十一月己卯夜子初一刻二分内一秒冬至甲子四十二歲正月甲寅朔十一月乙酉日卯初初刻十三分内五十一秒冬至 應閏乙丑四十三歲正月戊寅朔十一月庚寅日午初初刻十分内四十一秒冬至丙寅四十四歲正月癸酉朔十一月乙未日酉初初刻七分内三十一秒冬至丁卯四十五歲正月丁卯朔十一月辛丑日子初初刻四分内二十一秒冬至 應閏戊辰四十六歲正月辛卯朔十一月丙午日卯初初刻一分内一十一秒冬至己巳四十七歲正月乙酉朔十一月辛亥日巳正三刻十三分内一秒冬至 應閏庚午四十八歲正月己酉朔十一月丙辰日申正三刻九分内五十一秒冬至辛未四十九歲正月甲辰朔十一月辛酉日亥正三刻六分内四十一秒冬至壬申五十歲正月戊戌朔十一月丁卯日寅正三刻三分内三十一秒冬至 應閏癸酉五十一歲正月壬戌朔十一月壬申日巳正二刻十五分内二十一秒冬至甲戌五十二歲正月丙辰朔十一月丁丑日申正二刻十二分内一十一秒冬至乙亥五十三歲正月辛亥朔十一月壬午日亥正二刻九分内一秒冬至 應閏丙子五十四歲正月乙亥朔十一月戊子日寅正二刻五分内五十一秒冬至丁丑五十五歲正月己巳朔十一月癸巳日巳正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五十六歲正月癸亥朔十一月戊戌日申正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏己卯五十七歲正月丁亥朔十一月癸卯日亥正一刻十一分内二十一秒冬至庚辰五十八歲正月壬午朔十一月己酉日寅正一刻八分内一十一秒冬至 應閏八十三章辛巳五十九歲正月丙午朔十一月甲寅日巳正一刻五分内一秒冬至壬午六十歲正月庚子朔十一月己未日申正一刻一分内五十一秒冬至癸未六十一歲正月甲午朔十一月甲子日亥正初刻十三分内四十一秒冬至 應閏甲申六十二歲正月戊午朔十一月庚午日寅正初刻十分内三十一秒冬至乙酉六十三歲正月癸丑朔十一月乙亥日己正初刻七分内二十一秒冬至丙戌六十四歲正月丁未朔十一月庚辰日申正初刻四分内一十一秒冬至 應閏丁巳年至此十一閏又一紀丁亥六十五歲正月辛未朔十一月乙酉日亥正初刻一分内一秒冬至日躔在危九度之四十六分戊子六十六歲正月乙丑朔十一月辛卯日寅初三刻十二分内五十一秒冬至 應閏己丑六十七歲正月己丑朔十一月丙申日巳初三刻九分内四十一秒冬至庚寅六十八歲正月甲申朔十一月辛丑日申初三刻六分内三十一秒冬至辛卯六十九歲正月戊寅朔十一月丙午日亥初三刻三分内二十一秒冬至 應閏壬辰七十歲正月壬寅朔十一月壬子日寅初二刻十五分内一十一秒冬至癸巳七十一歲正月丙申朔十一月丁巳日巳初二刻十二分内一秒冬至甲午七十二歲正月辛卯朔十一月壬戌日申初二刻八分内五十一秒冬至 應閏乙未七十三歲正月乙卯朔十一月丁卯日亥初二刻五分内四十一秒冬至丙申七十四歲正月己酉朔十一月癸酉日寅初二刻二分内三十一秒冬至丁酉七十五歲正月癸卯朔十一月戊寅日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊戌七十六歲正月丁卯朔十一月癸未日申初一刻十一分内一十一秒冬至己亥七十七歲正月辛酉朔十一月戊子日亥初一刻八分内一秒冬至 應閏八十四章庚子七十八歲正月乙酉朔十一月甲午日寅初一刻四分内五十一秒冬至辛丑七十九歲正月庚辰朔十一月己亥日巳初一刻一分内四十一秒冬至壬寅八十歲正月甲戌朔十一月甲辰日申初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸卯八十一歲正月戊戌朔十一月己酉日亥初初刻十分内二十一秒冬至甲辰八十二歲正月癸巳朔十一月乙卯日寅初初刻七分内一十一秒冬至乙巳八十三歲正月丁亥朔十一月庚申日巳初初刻四分内一秒冬至 應閏丙午八十四歲正月辛亥朔十一月乙丑日未正三刻十五分内五十一秒冬至丁未八十五歲正月乙巳朔十一月庚午日戌正三刻十二分内四十一秒冬至 應閏戊申八十六歲正月己巳朔十一月丙子日丑正三刻九分内三十一秒冬至己酉八十七歲正月癸亥朔十一月辛巳日辰正三刻六分内二十一秒冬至庚戌八十八歲正月丁巳朔十一月丙戌日未正三刻三分内一十一秒冬至 應閏辛亥八十九歲正月辛巳朔十一月辛卯日戌正二刻十五分内一秒冬至壬子九十歲正月丙子朔十一月丁酉日丑正二刻十一分内五十一秒冬至癸丑九十一歲正月庚午朔十一月壬寅日辰正二刻八分内四十一秒冬至 應閏甲寅九十二歲正月甲午朔十一月丁未日未正二刻五分内三十一秒冬至乙卯九十三歲正月己丑朔十一月壬子日戌正二刻二分内二十一秒冬至丙辰九十四歲正月癸未朔十一月戊午日丑正一刻十四分内一十一秒冬至 應閏丁亥年至此十一閏又一紀丁巳九十五歲正月丁未朔十一月癸亥日辰正一刻十一分内一秒冬至戊午九十六歲正月辛丑朔十一月戊辰日未正一刻七分内五十一秒冬至 應閏八十五章己未九十七歲正月乙丑朔十一月癸酉日戌正一刻四分内四十一秒冬至庚申九十八歲正月己未朔十一月己卯日丑正一刻一分内三十一秒冬至辛酉九十九歲正月甲寅朔十一月甲申日辰正初刻十三分内二十一秒冬至 應閏壬戌一百歲正月戊寅朔十一月己丑日未正初刻十分内一十一秒冬至癸亥百一歲正月壬申朔十一月甲午日戌正初刻七分内一秒冬至甲子百二歲正月丙寅朔十一月庚子日丑正初刻三分内五十一秒冬至 應閏乙丑百三歲正月庚寅朔十一月乙巳日辰初三刻十五分内四十一秒冬至丙寅百四歲正月乙酉朔十一月庚戌日未初三刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁卯百五歲正月己酉朔十一月乙卯日戌初三刻九分内二十一秒冬至戊辰百六歲正月癸卯朔十一月辛酉日丑初三刻六分内一十一秒冬至己巳百七歲正月丁酉朔十一月丙寅日辰初三刻三分内一秒冬至 應閏庚午百八歲正月辛酉朔十一月辛未日未初二刻十四分内五十一秒冬至辛未百九歲正月丙辰朔十一月丙子日戌初二刻十一分内四十一秒冬至壬申百十歲正月庚戌朔十一月壬午日丑初二刻八分内三十一秒冬至 應閏癸酉百十一歲正月甲戌朔十一月丁亥日辰初二刻五分内二十一秒冬至甲戌百十二歲正月戊辰朔十一月壬辰日未初二刻二分内一十一秒冬至乙亥百十三歲正月壬戌朔十一月丁酉日戌初一刻十四分内一秒冬至 應閏丙子百十四歲正月丙戌朔十一月癸卯日丑初一刻十分内五十一秒冬至丁丑百十五歲正月辛巳朔十一月戊申日辰初一刻七分内四十一秒冬至 應閏八十六章戊寅百十六歲正月乙巳朔十一月癸丑日未初一刻四分内三十一秒冬至己卯百十七歲正月己亥朔十一月戊午日戌初一刻一分内二十一秒冬至庚辰百十八歲正月甲午朔十一月甲子日丑初初刻十三分内一十一秒冬至 應閏辛巳百十九歲正月戊午朔十一月己巳日辰初初刻十分内一秒冬至壬午百二十歲正月壬子朔十一月甲戌日未初初刻六分内五十一秒冬至癸未百二十一歲正月丙午朔十一月己卯日戌初初刻三分内四十一秒冬至 應閏甲申百二十二歲正月庚午朔十一月乙酉日子正三刻十五分内三十一秒冬至乙酉百二十三歲正月甲子朔十一月庚寅日卯正三刻十二分内二十一秒冬至 應閏丁巳年至此十一閏一紀縮一年下起丙戌丙戌百二十四歲正月戊子朔十一月乙未日午正三刻九分内一十一秒冬至丁亥百二十五歲正月癸未朔十一月庚子日酉正三刻六分内一秒冬至戊子百二十六歲正月丁丑朔十一月丙午日子正三刻二分内五十一秒冬至 應閏己丑百二十七歲正月辛丑朔十一月辛亥日卯正二刻十四分内四十一秒冬至庚寅百二十八歲正月乙未朔十一月丙辰日午正二刻十一分内三十一秒冬至辛卯百二十九歲正月庚寅朔十一月辛酉日酉正二刻八分内二十一秒冬至 應閏壬辰百三十歲正月甲寅朔十一月丁卯日子正二刻五分内一十一秒冬至癸巳百三十一歲正月戊申朔十一月壬申日卯正二刻一分内一秒冬至甲午百三十二歲正月壬寅朔十一月丁丑日午正一刻十三分内五十一秒冬至 應閏乙未百三十三歲正月丙寅朔十一月壬午日酉正一刻十分内四十一秒冬至丙申百三十四歲正月庚申朔十一月戊子日子正一刻七分内三十一秒冬至 應閏八十七章丁酉百三十五歲正月甲申朔十一月癸巳日卯正一刻四分内二十一秒冬至戊戌百三十六歲正月己卯朔十一月戊戌日午正一刻一分内一十一秒冬至己亥百三十七歲正月癸酉朔十一月癸卯日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在危八度之四十六分應閏庚子百三十八歲正月丁酉朔十一月己酉日子正初刻九分内五十一秒冬至辛丑百三十九歲正月辛卯朔十一月甲寅日卯正初刻六分内四十一秒冬至壬寅百四十歲正月丙戌朔十一月己未日午正初刻三分内三十一秒冬至 應閏帝臨魁史神農氏孫在位八十歲癸卯元歲正月庚戌朔十一月甲子日酉初三刻十五分内二十一秒冬至甲辰二歲正月甲辰朔十一月己巳夜子初三刻十二分内一十一秒冬至 應閏乙巳三歲正月戊辰朔十一月乙亥日卯初三刻九分内一秒冬至丙午四歲正月壬戌朔十一月庚辰日午初三刻五分内五十一秒冬至丁未五歲正月丁巳朔十一月乙酉日酉初三刻二分内四十一秒冬至 應閏戊申六歲正月辛巳朔十一月庚寅夜子初二刻十四分内三十一秒冬至己酉七歲正月乙亥朔十一月丙申日卯初二刻十一分内二十一秒冬至庚戌八歲正月己巳朔十一月辛丑日午初二刻八分内一十一秒冬至 應閏辛亥九歲正月癸巳朔十一月丙午日酉初二刻五分内一秒冬至壬子十歲正月丁亥朔十一月辛亥夜子初二刻一分内五十一秒冬至癸丑十一歲正月壬午朔十一月丁巳日卯初一刻十三分内四十一秒冬至 應閏甲寅十二歲正月丙午朔十一月壬戌日午初一刻十分内三十一秒冬至乙卯十三歲正月庚子朔十一月丁卯日酉初一刻七分内二十一秒冬至 應閏八十八章丙戌年至此十一閏為一紀丙辰十四歲正月甲子朔十一月壬申夜子初一刻四分内一十一秒冬至丁巳十五歲正月戊午朔十一月戊寅日卯初一刻一分内一秒冬至戊午十六歲正月癸丑朔十一月癸未日午初初刻十二分内五十一秒冬至 應閏己未十七歲正月丁丑朔十一月戊子日酉初初刻九分内四十一秒冬至庚申十八歲正月辛未朔十一月癸巳夜子初初刻六分内三十一秒冬至辛酉十九歲正月乙丑朔十一月己亥日卯初初刻三分内二十一秒冬至 應閏壬戌二十歲正月己丑朔十一月甲辰日巳正三刻十五分内一十一秒冬至癸亥二十一歲正月甲申朔十一月己酉日申正三刻十二分内一秒冬至 應閏甲子二十二歲正月戊申朔十一月甲寅日亥正三刻八分内五十一秒冬至乙丑二十三歲正月壬寅朔十一月庚申日寅正三刻五分内四十一秒冬至丙寅二十四歲正月丙申朔十一月乙丑日巳正三刻二分内三十一秒冬至 應閏丁卯二十五歲正月庚申朔十一月庚午日申正二刻十四分内二十一秒冬至戊辰二十六歲正月甲寅朔十一月乙亥日亥正二刻十一分内十一秒冬至己巳二十七歲正月己酉朔十一月辛巳日寅正二刻八分内一秒冬至 應閏庚午二十八歲正月癸酉朔十一月丙戌日巳正二刻四分内五十一秒冬至辛未二十九歲正月丁卯朔十一月辛卯日申正二刻一分内四十一秒冬至壬申三十歲正月壬戌朔十一月丙申日亥正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸酉三十一歲正月丙戌朔十一月壬寅日寅正一刻十分内二十一秒冬至甲戌三十二歲正月庚辰朔十一月丁未日巳正一刻七分内一十一秒冬至 應閏八十九章乙亥三十三歲正月甲辰朔十一月壬子日申正一刻四分内一秒冬至丙子三十四歲正月戊戌朔十一月丁巳日亥正初刻十五分内五十一秒冬至丁丑三十五歲正月壬辰朔十一月癸亥日寅正初刻十二分内四十一秒冬至 應閏戊寅三十六歲正月丙辰朔十一月戊辰日巳正初刻九分内三十一秒冬至己卯三十七歲正月辛亥朔十一月癸酉日申正初刻六分内二十一秒冬至庚辰三十八歲正月乙巳朔十一月戊寅日亥正初刻三分内一十一秒冬至 應閏辛巳三十九歲正月己巳朔十一月甲申日寅初三刻十五分内一秒冬至壬午四十歲正月癸亥朔十一月己丑日巳初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏癸未四十一歲正月丁亥朔十一月甲午日申初三刻八分内四十一秒冬至甲申四十二歲正月壬午朔十一月己亥日亥初三刻五分内三十一秒冬至乙酉四十三歲正月丙子朔十一月乙巳日寅初三刻二分内二十一秒冬至 應閏丙辰年至此十一閏又一紀丙戌四十四歲正月庚子朔十一月庚戌日巳初二刻十四分内一十一秒冬至丁亥四十五歲正月甲午朔十一月乙卯日申初二刻十一分内一秒冬至戊子四十六歲正月己丑朔十一月庚申日亥初二刻七分内五十一秒冬至 應閏己丑四十七歲正月癸丑朔十一月丙寅日寅初二刻四分内四十一秒冬至庚寅四十八歲正月丁未朔十一月辛未日巳初二刻一分内三十一秒冬至辛卯四十九歲正月辛丑朔十一月丙子日申初一刻十三分内二十一秒冬至 應閏壬辰五十歲正月乙丑朔十一月辛巳日亥初一刻十分内一十一秒冬至癸巳五十一歲正月己未朔十一月丁亥日寅初一刻七分内一秒冬至 應閏九十章甲午五十二歲正月癸未朔十一月壬辰日巳初一刻三分内五十一秒冬至乙未五十三歲正月戊寅朔十一月丁酉日申初初刻十五分内四十一秒冬至丙申五十四歲正月壬申朔十一月壬寅日亥初初刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁酉五十五歲正月丙申朔十一月戊申日寅初初刻九分内二十一秒冬至戊戌五十六歲正月庚寅朔十一月癸丑日巳初初刻六分内一十一秒冬至己亥五十七歲正月乙酉朔十一月戊午日申初初刻三分内一秒冬至 應閏庚子五十八歲正月己酉朔十一月癸亥日戌正三刻十四分内五十一秒冬至辛丑五十九歲正月癸卯朔十一月己巳日丑正三刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬寅六十歲正月丁卯朔十一月甲戌日辰正三刻八分内三十一秒冬至癸卯六十一歲正月辛酉朔十一月己卯日未正三刻五分内二十一秒冬至甲辰六十二歲正月乙卯朔十一月甲申日戌正三刻二分内一十一秒冬至 應閏乙巳六十三歲正月己卯朔十一月庚寅日丑正二刻十四分内一秒冬至丙午六十四歲正月甲戌朔十一月乙未日辰正二刻十分内五十一秒冬至丁未六十五歲正月戊辰朔十一月庚子日未正二刻七分内四十一秒冬至 應閏戊申六十六歲正月壬辰朔十一月乙巳日戌正二刻四分内三十一秒冬至己酉六十七歲正月丁亥朔十一月辛亥日丑正二刻一分内二十一秒冬至庚戌六十八歲正月辛巳朔十一月丙辰日辰正一刻十三分内一十一秒冬至 應閏辛亥六十九歲正月乙巳朔十一月辛酉日未正一刻十分内一秒冬至日躔在危七度之四十六分全史日至源流卷八
## 卷九
欽定四庫全書全史日至源流卷九山東道御史許伯政撰壬子運九(毎期三百六十五日二時七刻十一分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十三秒二十微小寒十四日八時四刻五分零三秒二十微大寒十四日九時一刻十分一十八秒二十微立春十四日十時一刻六分一十八秒二十微雨水十四日十一時三刻四分一十八秒二十微驚蟄十五日零七刻零一十三秒二十微春分十五日二時三刻九分零三秒二十微清明十五日四時零八分零三秒二十微榖雨十五日五時四刻八分零八秒二十微立夏十五日六時七刻零一十三秒二十微小滿十五日八時零三分零八秒二十微芒種十五日八時三刻十分一十三秒二十微夏至十五日八時七刻零一十三秒二十微小暑十五日八時五刻三分一十三秒二十微大暑十五日八時零八分一十三秒二十微立秋十五日七時零一十一分一十三秒二十微處暑十五日五時六刻六分一十三秒二十微白露十五日四時三刻九分一十八秒二十微秋分十五日二時四刻十一分二十三秒二十微寒露十五日一時一刻八分一十八秒二十微霜降十四日十一時五刻五分一十三秒二十微立冬十四日十時二刻十一分二十三秒二十微小雪十四日九時二刻十二分一十八秒二十微大雪十四日八時五刻十分一十三秒二十微壬子七十歲正月己亥朔十一月丙寅日戌正一刻六分内三十一秒冬至 應閏九十一章癸丑七十一歲正月癸亥朔十一月壬申日丑正一刻三分内一秒冬至甲寅七十二歲正月丁巳朔十一月丁丑日辰正初刻十四分内三十一秒冬至乙卯七十三歲正月壬子朔十一月壬午日未正初刻十一分内一秒冬至 應閏丙戌年至此十一閏又一紀丙辰七十四歲正月丙子朔十一月丁亥日戌正初刻七分内三十一秒冬至丁巳七十五歲正月庚午朔十一月癸巳日丑正初刻四分内一秒冬至戊午七十六歲正月甲子朔十一月戊戌日辰初三刻十五分内三十一秒冬至 應閏己未七十七歲正月戊子朔十一月癸卯日未初三刻十二分内一秒冬至庚申七十八歲正月癸未朔十一月戊申日戌初三刻八分内三十一秒冬至 應閏辛酉七十九歲正月丁未朔十一月甲寅日丑初三刻五分内一秒冬至壬戌八十歲正月辛丑朔十一月己未日辰初三刻一分内三十一秒冬至帝承史帝臨魁子在位六十歲癸亥元歲正月乙未朔十一月甲子日未初二刻十三分内一秒冬至 應閏甲子二歲正月己未朔十一月己巳日戌初二刻九分内三十一秒冬至乙丑三歲正月甲寅朔十一月乙亥日丑初二刻六分内一秒冬至丙寅四歲正月戊申朔十一月庚辰日辰初二刻二分内三十一秒冬至 應閏丁卯五歲正月壬申朔十一月乙酉日未初一刻十四分内一秒冬至戊辰六歲正月丙寅朔十一月庚寅日戌初一刻十分内三十一秒冬至己巳七歲正月辛酉朔十一月丙申日丑初一刻七分内一秒冬至 應閏庚午八歲正月乙酉朔十一月辛丑日辰初一刻三分内三十一秒冬至辛未九歲正月己卯朔十一月丙午日未初初刻十五分内一秒冬至 應閏九十二章壬申十歲正月癸卯朔十一月辛亥日戌初初刻十一分内三十一秒冬至癸酉十一歲正月丁酉朔十一月丁巳日丑初初刻八分内一秒冬至甲戌十二歲正月辛卯朔十一月壬戌日辰初初刻四分内三十一秒冬至 應閏乙亥十三歲正月乙卯朔十一月丁卯日未初初刻一分内一秒冬至丙子十四歲正月庚戌朔十一月壬申日酉正三刻十二分内三十一秒冬至丁丑十五歲正月甲辰朔十一月戊寅日子正三刻九分内一秒冬至 應閏戊寅十六歲正月戊辰朔十一月癸未日卯正三刻五分内三十一秒冬至己卯十七歲正月壬戌朔十一月戊子日午正三刻二分内一秒冬至 應閏庚辰十八歲正月丙戌朔十一月癸巳日酉正二刻十三分内三十一秒冬至辛巳十九歲正月辛巳朔十一月己亥日子正二刻九分内一秒冬至壬午二十歲正月乙亥朔十一月甲辰日卯正二刻六分内三十一秒冬至 應閏癸未二十一歲正月己亥朔十一月己酉日午正二刻三分内一秒冬至甲申二十二歲正月癸巳朔十一月甲寅日酉正一刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十三歲正月戊子朔十一月庚申日子正一刻十一分内一秒冬至 應閏丙辰年至此十一閏又一紀丙戌二十四歲正月壬子朔十一月乙丑日卯正一刻七分内三十一秒冬至丁亥二十五歲正月丙午朔十一月庚午日午正一刻四分内一秒冬至戊子二十六歲正月庚子朔十一月乙亥日酉正初刻十五分内三十一秒冬至 應閏己丑二十七歲正月甲子朔十一月辛巳日子正初刻十二分内一秒冬至庚寅二十八歲正月戊午朔十一月丙戌日卯正初刻八分内三十一秒冬至 應閏九十三章辛卯二十九歲正月壬午朔十一月辛卯日午正初刻五分内一秒冬至壬辰三十歲正月丁丑朔十一月丙申日酉正初刻一分内三十一秒冬至癸巳三十一歲正月辛未朔十一月辛丑夜子初三刻十三分内一秒冬至 應閏甲午三十二歲正月乙未朔十一月丁未日卯初三刻九分内三十一秒冬至乙未三十三歲正月庚寅朔十一月壬子日午初三刻六分内一秒冬至丙申三十四歲正月甲申朔十一月丁巳日酉初三刻二分内三十一秒冬至 應閏丁酉三十五歲正月戊申朔十一月壬戌夜子初二刻十四分内一秒冬至戊戌三十六歲正月壬寅朔十一月戊辰日卯初二刻十分内三十一秒冬至 應閏己亥三十七歲正月丙寅朔十一月癸酉日午初二刻七分内一秒冬至庚子三十八歲正月庚申朔十一月戊寅日酉初二刻三分内三十一秒冬至辛丑三十九歲正月乙卯朔十一月癸未夜子初一刻十五分内一秒冬至 應閏壬寅四十歲正月己卯朔十一月己丑日卯初一刻十一分内三十一秒冬至癸卯四十一歲正月癸酉朔十一月甲午日午初一刻八分内一秒冬至甲辰四十二歲正月丁卯朔十一月己亥日酉初一刻四分内三十一秒冬至 應閏乙巳四十三歲正月辛卯朔十一月甲辰夜子初一刻一分内一秒冬至丙午四十四歲正月丙戌朔十一月庚戌日卯初初刻十二分内三十一秒冬至丁未四十五歲正月庚辰朔十一月乙卯日午初初刻九分内一秒冬至 應閏戊申四十六歲正月甲辰朔十一月庚申日酉初初刻五分内三十一秒冬至己酉四十七歲正月戊戌朔十一月乙丑夜子初初刻二分内一秒冬至 應閏九十四章庚戌四十八歲正月壬戌朔十一月辛未日寅正三刻十三分内三十一秒冬至辛亥四十九歲正月丁巳朔十一月丙子日巳正三刻十分内一秒冬至壬子五十歲正月辛亥朔十一月辛巳日申正三刻六分内三十一秒冬至 應閏癸丑五十一歲正月乙亥朔十一月丙戌日亥正三刻三分内一秒冬至甲寅五十二歲正月己巳朔十一月壬辰日寅正二刻十四分内三十一秒冬至乙卯五十三歲正月甲子朔十一月丁酉日巳正二刻十一分内一秒冬至 應閏丙戌年至此十一閏又一紀丙辰五十四歲正月戊子朔十一月壬寅日申正二刻七分内三十一秒冬至丁巳五十五歲正月壬午朔十一月丁未日亥正二刻四分内一秒冬至 應閏戊午五十六歲正月丙午朔十一月癸丑日寅正一刻十五分内三十一秒冬至己未五十七歲正月庚子朔十一月戊午日巳正一刻十二分内一秒冬至庚申五十八歲正月甲午朔十一月癸亥日申正一刻八分内三十一秒冬至 應閏辛酉五十九歲正月戊午朔十一月戊辰日亥正一刻五分内一秒冬至壬戌六十歲正月癸丑朔十一月甲戌日寅正一刻一分内三十一秒冬至帝明史帝承子在位四十九歲癸亥元歲正月丁未朔十一月己卯日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在危六度之四十六分 應閏甲子二歲正月辛未朔十一月甲申日申正初刻九分内三十一秒冬至乙丑三歲正月乙丑朔十一月己丑日亥正初刻六分内一秒冬至丙寅四歲正月庚申朔十一月乙未日寅正初刻二分内三十一秒冬至 應閏丁卯五歲正月甲申朔十一月庚子日巳初三刻十四分内一秒冬至戊辰六歲正月戊寅朔十一月乙巳日申初三刻十分内三十一秒冬至 應閏九十五章己巳七歲正月壬寅朔十一月庚戌日亥初三刻七分内一秒冬至庚午八歲正月丙申朔十一月丙辰日寅初三刻三分内三十一秒冬至辛未九歲正月庚寅朔十一月辛酉日巳初二刻十五分内一秒冬至 應閏壬申十歲正月甲寅朔十一月丙寅日申初二刻十一分内三十一秒冬至癸酉十一歲正月己酉朔十一月辛未日亥初二刻八分内一秒冬至甲戌十二歲正月癸卯朔十一月丁丑日寅初二刻四分内三十一秒冬至 應閏乙亥十三歲正月丁卯朔十一月壬午日巳初二刻一分内一秒冬至丙子十四歲正月壬戌朔十一月丁亥日申初一刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁丑十五歲正月丙戌朔十一月壬辰日亥初一刻九分内一秒冬至戊寅十六歲正月庚辰朔十一月戊戌日寅初一刻五分内三十一秒冬至己卯十七歲正月甲戌朔十一月癸卯日巳初一刻二分内一秒冬至 應閏庚辰十八歲正月戊戌朔十一月戊申日申初初刻十三分内三十一秒冬至辛巳十九歲正月壬辰朔十一月癸丑日亥初初刻十分内一秒冬至壬午二十歲正月丁亥朔十一月己未日寅初初刻六分内三十一秒冬至 應閏癸未二十一歲正月辛亥朔十一月甲子日巳初初刻三分内一秒冬至甲申二十二歲正月乙巳朔十一月己巳日未正三刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十三歲正月庚子朔十一月甲戌日戌正三刻十一分内一秒冬至 應閏丙辰年至此十一閏又一紀丙戌二十四歲正月甲子朔十一月庚辰日丑正三刻七分内三十一秒冬至丁亥二十五歲正月戊午朔十一月乙酉日辰正三刻四分内一秒冬至 應閏九十六章戊子二十六歲正月壬午朔十一月庚寅日未正二刻十五分内三十一秒冬至己丑二十七歲正月丙子朔十一月乙未日戌正二刻十二分内一秒冬至庚寅二十八歲正月庚午朔十一月辛丑日丑正二刻八分内三十一秒冬至 應閏辛卯二十九歲正月甲午朔十一月丙午日辰正二刻五分内一秒冬至壬辰三十歲正月己丑朔十一月辛亥日未正二刻一分内三十一秒冬至癸巳三十一歲正月癸未朔十一月丙辰日戌正一刻十三分内一秒冬至 應閏甲午三十二歲正月丁未朔十一月壬戌日丑正一刻九分内三十一秒冬至乙未三十三歲正月辛丑朔十一月丁卯日辰正一刻六分内一秒冬至 應閏丙申三十四歲正月乙丑朔十一月壬申日未正一刻二分内三十一秒冬至丁酉三十五歲正月庚申朔十一月丁丑日戌正初刻十四分内一秒冬至戊戌三十六歲正月甲寅朔十一月癸未日丑正初刻十分内三十一秒冬至 應閏己亥三十七歲正月戊寅朔十一月戊子日辰正初刻七分内一秒冬至庚子三十八歲正月壬申朔十一月癸巳日未正初刻三分内三十一秒冬至辛丑三十九歲正月丁卯朔十一月戊戌日戌初三刻十五分内一秒冬至 應閏壬寅四十歲正月辛卯朔十一月甲辰日丑初三刻十一分内三十一秒冬至癸卯四十一歲正月乙酉朔十一月己酉日辰初三刻八分内一秒冬至甲辰四十二歲正月己卯朔十一月甲寅日未初三刻四分内三十一秒冬至 應閏乙巳四十三歲正月癸卯朔十一月己未日戌初三刻一分内一秒冬至丙午四十四歲正月丁酉朔十一月乙丑日丑初二刻十二分内三十一秒冬至 應閏九十七章丁未四十五歲正月辛酉朔十一月庚午日辰初二刻九分内一秒冬至戊申四十六歲正月丙辰朔十一月乙亥日未初二刻五分内三十一秒冬至己酉四十七歲正月庚戌朔十一月庚辰日戌初二刻二分内一秒冬至 應閏庚戌四十八歲正月甲戌朔十一月丙戌日丑初一刻十三分内三十一秒冬至辛亥四十九歲正月己巳朔十一月辛卯日辰初一刻十分内一秒冬至帝宜史帝明子在位四十五歲壬子元歲正月癸亥朔十一月丙申日未初一刻六分内三十一秒冬至 應閏癸丑二歲正月丁亥朔十一月辛丑日戌初一刻三分内一秒冬至甲寅三歲正月辛巳朔十一月丁未日丑初初刻十四分内三十一秒冬至 應閏丙戌年至此十一閏縮一年下起乙卯乙卯四歲正月乙巳朔十一月壬子日辰初初刻十一分内一秒冬至丙辰五歲正月己亥朔十一月丁巳日未初初刻七分内三十一秒冬至丁巳六歲正月癸巳朔十一月壬戌日戌初初刻四分内一秒冬至 應閏戊午七歲正月丁巳朔十一月戊辰日子正三刻十五分内三十一秒冬至己未八歲正月壬子朔十一月癸酉日卯正三刻十二分内一秒冬至庚申九歲正月丙午朔十一月戊寅日午正三刻八分内三十一秒冬至 應閏辛酉十歲正月庚午朔十一月癸未日酉正三刻五分内一秒冬至壬戌十一歲正月乙丑朔十一月己丑日子正三刻一分内三十一秒冬至癸亥十二歲正月己未朔十一月甲午日卯正二刻十三分内一秒冬至 應閏甲子十三歲正月癸未朔十一月己亥日午正二刻九分内三十一秒冬至乙丑十四歲正月丁丑朔十一月甲辰日酉正二刻六分内一秒冬至 應閏九十八章丙寅十五歲正月辛丑朔十一月庚戌日子正二刻二分内三十一秒冬至丁卯十六歲正月乙未朔十一月乙卯日卯正一刻十四分内一秒冬至戊辰十七歲正月庚寅朔十一月庚申日午正一刻十分内三十一秒冬至 應閏己巳十八歲正月甲寅朔十一月乙丑日酉正一刻七分内一秒冬至庚午十九歲正月戊申朔十一月辛未日子正一刻三分内三十一秒冬至辛未二十歲正月壬寅朔十一月丙子日卯正初刻十五分内一秒冬至 應閏壬申二十一歲正月丙寅朔十一月辛巳日午正初刻十一分内三十一秒冬至癸酉二十二歲正月辛酉朔十一月丙戌日酉正初刻八分内一秒冬至 應閏甲戌二十三歲正月乙酉朔十一月壬辰日子正初刻四分内三十一秒冬至乙亥二十四歲正月己卯朔十一月丁酉日卯正初刻一分内一秒冬至日躔在危五度之四十六分丙子二十五歲正月癸酉朔十一月壬寅日午初三刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁丑二十六歲正月丁酉朔十一月丁未日酉初三刻九分内一秒冬至戊寅二十七歲正月辛卯朔十一月壬子夜子初三刻五分内三十一秒冬至己卯二十八歲正月丙戌朔十一月戊午日卯初三刻二分内一秒冬至 應閏庚辰二十九歲正月庚戌朔十一月癸亥日午初二刻十三分内三十一秒冬至辛巳三十歲正月甲辰朔十一月戊辰日酉初二刻十分内一秒冬至壬午三十一歲正月己亥朔十一月甲戌日子初二刻六分内三十一秒冬至 應閏癸未三十二歲正月癸亥朔十一月己卯日卯初二刻三分内一秒冬至甲申三十三歲正月丁巳朔十一月甲申日午初一刻十四分内三十一秒冬至 應閏九十九章乙卯年至此十一閏為一紀乙酉三十四歲正月辛巳朔十一月己丑日酉初一刻十一分内一秒冬至丙戌三十五歲正月乙亥朔十一月甲午夜子初一刻七分内三十一秒冬至丁亥三十六歲正月己巳朔十一月庚子日卯初一刻四分内一秒冬至 應閏戊子三十七歲正月癸巳朔十一月乙巳日午初初刻十五分内三十一秒冬至己丑三十八歲正月戊子朔十一月庚戌日酉初初刻十二分内一秒冬至庚寅三十九歲正月壬午朔十一月乙卯夜子初初刻八分内三十一秒冬至 應閏辛卯四十歲正月丙午朔十一月辛酉日卯初初刻五分内一秒冬至壬辰四十一歲正月庚子朔十一月丙寅日午初初刻一分内三十一秒冬至 應閏癸巳四十二歲正月甲子朔十一月辛未日申正三刻十三分内一秒冬至甲午四十三歲正月己未朔十一月丙子日亥正三刻九分内三十一秒冬至乙未四十四歲正月癸丑朔十一月壬午日寅正三刻六分内一秒冬至 應閏丙申四十五歲正月丁丑朔十一月丁亥日巳正三刻二分内三十一秒冬至帝來史帝宜子亦曰帝克在位四十八歲丁酉元歲正月壬申朔十一月壬辰日申正二刻十四分内一秒冬至戊戌二歲正月丙寅朔十一月丁酉日亥正二刻十分内三十一秒冬至 應閏己亥三歲正月庚寅朔十一月癸卯日寅正二刻七分内一秒冬至庚子四歲正月甲申朔十一月戊申日巳正二刻三分内三十一秒冬至辛丑五歲正月戊寅朔十一月癸丑日申正一刻十五分内一秒冬至 應閏壬寅六歲正月壬寅朔十一月戊午日亥正一刻十一分内三十一秒冬至癸卯七歲正月丁酉朔十一月甲子日寅正一刻八分内一秒冬至 應閏一百章甲辰八歲正月辛酉朔十一月己巳日巳正一刻四分内三十一秒冬至乙巳九歲正月乙卯朔十一月甲戌日申正一刻一分内一秒冬至丙午十歲正月己酉朔十一月己卯日亥正初刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁未十一歲正月癸酉朔十一月乙酉日寅正初刻九分内一秒冬至戊申十二歲正月戊辰朔十一月庚寅日巳正初刻五分内三十一秒冬至己酉十三歲正月壬戌朔十一月乙未日申正初刻二分内一秒冬至 應閏庚戌十四歲正月丙戌朔十一月庚子日亥初三刻十三分内三十一秒冬至辛亥十五歲正月庚辰朔十一月丙午日寅初三刻十分内一秒冬至 應閏壬子十六歲正月甲辰朔十一月辛亥日巳初三刻六分内三十一秒冬至癸丑十七歲正月己亥朔十一月丙辰日申初三刻三分内一秒冬至甲寅十八歲正月癸巳朔十一月辛酉日亥初二刻十四分内三十一秒冬至 應閏乙酉年至此十一閏又一紀乙卯十九歲正月丁巳朔十一月丁卯日寅初二刻十一分内一秒冬至丙辰二十歲正月壬子朔十一月壬申日巳初二刻七分内三十一秒冬至丁巳二十一歲正月丙午朔十一月丁丑日申初二刻四分内一秒冬至 應閏戊午二十二歲正月庚午朔十一月壬午日亥初一刻十五分内三十一秒冬至己未二十三歲正月甲子朔十一月戊子日寅初一刻十二分内一秒冬至庚申二十四歲正月戊午朔十一月癸巳日巳初一刻八分内三十一秒冬至 應閏辛酉二十五歲正月壬午朔十一月戊戌日申初一刻五分内一秒冬至壬戌二十六歲正月丙子朔十一月癸卯日亥初一刻一分内三十一秒冬至 應閏一百一章癸亥二十七歲正月庚子朔十一月己酉日寅初初刻十三分内一秒冬至甲子二十八歲正月乙未朔十一月甲寅日巳初初刻九分内三十一秒冬至乙丑二十九歲正月己丑朔十一月己未日申初初刻六分内一秒冬至 應閏丙寅三十歲正月癸丑朔十一月甲子日亥初初刻二分内三十一秒冬至丁卯三十一歲正月戊申朔十一月庚午日丑正三刻十四分内一秒冬至戊辰三十二歲正月壬寅朔十一月乙亥日辰正三刻十分内三十一秒冬至 應閏己巳三十三歲正月丙寅朔十一月庚辰日未正三刻七分内一秒冬至庚午三十四歲正月庚申朔十一月乙酉日戌正三刻三分内三十一秒冬至 應閏辛未三十五歲正月甲申朔十一月辛卯日丑正二刻十五分内一秒冬至壬申三十六歲正月戊寅朔十一月丙申日辰正二刻十一分内三十一秒冬至癸酉三十七歲正月癸酉朔十一月辛丑日未正二刻八分内一秒冬至 應閏甲戌三十八歲正月丁酉朔十一月丙午日戌正二刻四分内三十一秒冬至乙亥三十九歲正月辛卯朔十一月壬子日丑正二刻一分内一秒冬至丙子四十歲正月乙酉朔十一月丁巳日辰正一刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁丑四十一歲正月己酉朔十一月壬戌日未正一刻九分内一秒冬至戊寅四十二歲正月甲辰朔十一月丁卯日戌正一刻五分内三十一秒冬至己卯四十三歲正月戊戌朔十一月癸酉日丑正一刻二分内一秒冬至 應閏庚辰四十四歲正月壬戌朔十一月戊寅日辰正初刻十三分内三十一秒冬至辛巳四十五歲正月丙辰朔十一月癸未日未正初刻十分内一秒冬至 應閏百二章壬午四十六歲正月庚辰朔十一月戊子日戌正初刻六分内三十一秒冬至癸未四十七歲正月甲戌朔十一月甲午日丑正初刻三分内一秒冬至甲申四十八歲正月己巳朔十一月己亥日辰初三刻十四分内三十一秒冬至 應閏乙卯年至此十一閏又一紀帝裏史帝來子又曰帝居在位四十三歲乙酉元歲正月癸巳朔十一月甲辰日未初三刻十一分内一秒冬至丙戌二歲正月丁亥朔十一月己酉日戌初三刻七分内三十一秒冬至丁亥三歲正月辛巳朔十一月乙卯日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在危四度之四十六分 應閏全史日至源流卷九
## 卷十
欽定四庫全書全史日至源流卷十山東道御史許伯政撰壬子運十(毎期三百六十五日二時七刻十一分一十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十二秒三十微小寒十四日八時四刻五分零二秒三十微大寒十四日九時一刻十分一十七秒三十微立春十四日十時一刻六分一十七秒三十微雨水十四日十一時三刻四分一十七秒三十微驚蟄十五日零七刻零一十二秒三十微春分十五日二時三刻九分零二秒三十微清明十五日四時零八分零二秒三十微榖雨十五日五時四刻八分零七秒三十微立夏十五日六時七刻零一十二秒三十微小滿十五日八時零三分零七秒三十微芒種十五日八時三刻十分一十二秒三十微夏至十五日八時七刻零一十二秒三十微小暑十五日八時五刻三分一十二秒三十微大暑十五日八時零八分一十二秒三十微立秋十五日七時零一十一分一十二秒三十微處暑十五日五時六刻六分一十二秒三十微白露十五日四時三刻九分一十七秒三十微秋分十五日二時四刻十一分二十二秒三十微寒露十五日一時一刻八分一十七秒三十微霜降十四日十一時五刻五分一十二秒三十微立冬十四日十時二刻十一分二十二秒三十微小雪十四日九時二刻十二分一十七秒三十微大雪十四日八時五刻十分一十二秒三十微戊子四嵗正月乙巳朔十一月庚申日辰初二刻十五分内一十一秒冬至己丑五嵗正月庚子朔十一月乙丑日未初二刻十一分内二十一秒冬至 應閏庚寅六嵗正月甲子朔十一月庚午日戌初二刻七分内三十一秒冬至辛邜七嵗正月戊午朔十一月丙子日丑初二刻三分内四十一秒冬至壬辰八嵗正月癸丑朔十一月辛巳日辰初一刻十四分内五十秒冬至 應閏癸巳九嵗正月丁丑朔十一月丙戌日未初一刻十一分内一秒冬至甲午十嵗正月辛未朔十一月辛卯日戌初一刻七分内一十一秒冬至乙未十一嵗正月乙丑朔十一月丁酉日丑初一刻三分内二十一秒冬至 應閏丙申十二嵗正月乙丑朔十一月壬寅日辰初初刻十四分内三十一秒冬至丁酉十三嵗正月癸未朔十一月丁未日未初初刻十分内四十一秒冬至戊戌十四嵗正月戊寅朔十一月壬子日戌初初刻六分内五十一秒冬至 應閏己亥十五嵗正月壬寅朔十一月戊午日丑初初刻三分内一秒冬至庚子十六嵗正月丙申朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内一十一秒冬至 應閏百三章辛丑十七嵗正月庚申朔十一月戊辰日午正三刻十分内二十一秒冬至壬寅十八嵗正月甲寅朔十一月癸酉日酉正三刻六分内三十一秒冬至癸卯十九嵗正月己酉朔十一月己卯日子正三刻二分内四十一秒冬至 應閏甲辰二十嵗正月癸酉朔十一月甲申日卯正二刻十三分内五十一秒冬至乙巳二十一嵗正月丁卯朔十一月己丑日午正二刻十分内一秒冬至丙午二十二嵗正月辛酉朔十一月甲午日酉正二刻六分内一十一秒冬至 應閏丁未二十三嵗正月乙酉朔十一月庚子日子正二刻二分内二十一秒冬至戊申二十四嵗正月己卯朔十一月乙巳日卯正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏己酉二十五嵗正月癸卯朔十一月庚戌日午正一刻九分内四十一秒冬至庚戌二十六嵗正月戊戌朔十一月乙卯日酉正一刻五分内五十一秒冬至辛亥二十七嵗正月壬辰朔十一月辛酉日子正一刻二分内一秒冬至 應閏壬子二十八嵗正月丙辰朔十一月丙寅日卯正初刻十三分内一十一秒冬至癸丑二十九嵗正月庚戌朔十一月辛未日午正初刻九分内二十一秒冬至甲寅三十嵗正月乙巳朔十一月丙子日酉正初刻五分内三十一秒冬至 應閏乙酉年至此十一閏又一紀乙卯三十一嵗正月己巳朔十一月壬午日子正初刻一分内四十一秒冬至丙辰三十二嵗正月癸亥朔十一月丁亥日卯初三刻十二分内五十一秒冬至丁巳三十三嵗正月丁巳朔十一月壬辰日午初三刻九分内一秒冬至 應閏戊午三十四嵗正月辛巳朔十一月丁酉日酉初三刻五分内一十一秒冬至己未三十五嵗正月乙亥朔十一月壬寅夜子初三刻一分内二十一秒冬至 應閏百四章庚申三十六嵗正月己亥朔十一月戊申日卯初二刻十二分内三十一秒冬至辛酉三十七嵗正月甲午朔十一月癸丑日午初二刻八分内四十一秒冬至壬戌三十八嵗正月戊子朔十一月戊午日酉初二刻四分内五十五秒冬至 應閏癸亥三十九嵗正月壬子朔十一月甲子日子初二刻一分内一秒冬至甲子四十嵗正月丁未朔十一月己巳日卯初一刻十二分内一十一秒冬至乙丑四十一嵗正月辛丑朔十一月甲戌日午初一刻八分内二十一秒冬至 應閏丙寅四十二嵗正月乙丑朔十一月己卯日酉初一刻四分内三十一秒冬至丁卯四十三嵗正月己未朔十一月甲申夜子初初刻十五分内四十一秒冬至 應閏帝榆罔史帝裏生節莖節莖生克及戱皆不在帝位克生子榆罔立五十五嵗為政束急諸侯擕貳尊軒轅為天子降封帝於潞戊辰元嵗正月癸未朔十一月庚寅日卯初初刻十一分内五十一秒冬至己巳二嵗正月丁丑朔十一月乙未日午初初刻八分内一秒冬至庚午三嵗正月壬申朔十一月庚子日酉初初刻四分内一十一秒冬至 應閏辛未四嵗正月丙申朔十一月乙巳日亥正三刻十五分内二十一秒冬至壬申五嵗正月庚寅朔十一月辛亥日寅正三刻十一分内三十一秒冬至癸酉六嵗正月甲申朔十一月丙辰日巳正三刻七分内四十一秒冬至 應閏甲戌七嵗正月戊申朔十一月辛酉日申正三刻三分内五十一秒冬至乙亥八嵗正月癸卯朔十一月丙寅日亥正二刻十五分内一秒冬至丙子九嵗正月丁酉朔十一月壬申日寅正二刻十一分内一十一秒冬至 應閏丁丑十嵗正月辛酉朔十一月丁丑日巳正二刻七分内二十一秒冬至戊寅十一嵗正月丙辰朔十一月壬午日申正二刻三分内三十一秒冬至 應閏百五章己卯十二嵗正月庚辰朔十一月丁亥日亥正一刻十四分内四十一秒冬至庚辰十三嵗正月甲戌朔十一月癸巳日寅正一刻十分内五十一秒冬至辛巳十四嵗正月戊辰朔十一月戊戌日巳正一刻七分内一秒冬至 應閏壬午十五嵗正月壬辰朔十一月癸卯日申正一刻三分内一十一秒冬至癸未十六嵗正月丙戌朔十一月戊申日亥正初刻十四分内二十一秒冬至甲申十七嵗正月辛巳朔十一月甲寅日寅正初刻十分内三十一秒冬至 應閏乙卯年至此十一閏又一紀乙酉十八嵗正月乙巳朔十一月己未日巳正初刻六分内四十一秒冬至丙戌十九嵗正月己亥朔十一月甲子日申正初刻二分内五十一秒冬至 應閏丁亥二十嵗正月癸亥朔十一月己巳日亥初三刻十四分内一秒冬至戊子二十一嵗正月丁巳朔十一月乙亥日寅初三刻十分内一十一秒冬至己丑二十二嵗正月壬子朔十一月庚辰日巳初三刻六分内二十一秒冬至 應閏庚寅二十三嵗正月丙子朔十一月乙酉日申初三刻二分内三十一秒冬至辛卯二十四嵗正月庚午朔十一月庚寅日亥初二刻十三分内四十一秒冬至壬辰二十五嵗正月甲子朔十一月丙申日寅初二刻九分内五十一秒冬至 應閏癸巳二十六嵗正月戊子朔十一月辛丑日巳初二刻六分内一秒冬至甲午二十七嵗正月癸未朔十一月丙午日申初二刻二分内一十一秒冬至乙未二十八嵗正月丁丑朔十一月辛亥日亥初一刻十三分内二十一秒冬至 應閏丙申二十九嵗正月辛丑朔十一月丁巳日寅初一刻九分内三十一秒冬至丁酉三十嵗正月乙未朔十一月壬戌日巳初一刻五分内四十一秒冬至 應閏百六章戊戌三十一嵗正月己未朔十一月丁卯日申初一刻一分内五十一秒冬至己亥三十二嵗正月癸丑朔十一月壬申日亥初初刻十三分内一秒冬至日躔在危三度之四十六分庚子三十三嵗正月丁未朔十一月戊寅日寅初初刻九分内一十一秒冬至 應閏辛丑三十四嵗正月辛未朔十一月癸未日巳初初刻五分内二十一秒冬至壬寅三十五嵗正月丙寅朔十一月戊子日申初初刻一分内三十一秒冬至癸卯三十六嵗正月庚申朔十一月癸巳日戌正三刻十二分内四十一秒冬至 應閏甲辰三十七嵗正月甲申朔十一月己亥日丑正三刻八分内五十一秒冬至乙巳三十八嵗正月己卯朔十一月甲辰日辰正三刻五分内一秒冬至 應閏丙午三十九嵗正月癸卯朔十一月己酉日未正三刻一分内一十一秒冬至丁未四十嵗正月丁酉朔十一月甲寅日戌正二刻十二分内二十一秒冬至戊申四十一嵗正月辛卯朔十一月庚申日丑正二刻八分内三十一秒冬至 應閏己酉四十二嵗正月乙卯朔十一月乙丑日辰正二刻四分内四十一秒冬至庚戌四十三嵗正月庚戌朔十一月庚午日未正一刻十五分内五十一秒冬至辛亥四十四嵗正月甲辰朔十一月乙亥日戌正一刻十二分内一秒冬至 應閏壬子四十五嵗正月戊辰朔十一月辛巳日丑正一刻八分内一十一秒冬至癸丑四十六嵗正月壬戌朔十一月丙戌日辰正一刻四分内二十一秒冬至甲寅四十七嵗正月丙辰朔十一月辛卯日未正初刻十五分内三十一秒冬至 應閏乙酉年至此十一閏又一紀乙卯四十八嵗正月庚辰朔十一月丙申日戌正初刻十一分内四十一秒冬至丙辰四十九嵗正月乙亥朔十一月壬寅日丑正初刻七分内五十一秒冬至 應閏百七章丁巳五十嵗正月己亥朔十一月丁未日辰正初刻四分内一秒冬至戊午五十一嵗正月癸巳朔十一月壬子日未初三刻十五分内一十一秒冬至己未五十二嵗正月戊子朔十一月丁巳日戌初三刻十一分内二十一秒冬至 應閏庚申五十三嵗正月壬子朔十一月癸亥日丑初三刻七分内三十一秒冬至辛酉五十四嵗正月丙午朔十一月戊辰日辰初三刻三分内四十一秒冬至壬戌五十五嵗正月庚子朔十一月癸酉日未初二刻十四分内五十一秒冬至 應閏黄帝有熊氏史少典國君之妃曰附寳感電光繞斗而有身生帝於軒轅之邱因名軒轅姓公孫國於有熊故號有熊氏長於姬水故以姬為姓神農氏衰軒轅誅蚩尤於涿鹿還諸侯咸尊為天子以代神農氏因其有土徳之瑞故號曰黄帝在位百嵗癸亥元嵗正月甲子朔十一月戊寅日戌初二刻十一分内一秒冬至 正月建甲寅朔日建甲子說見首卷下甲子二嵗正月戊午朔十一月甲申日丑初二刻七分内一十一秒冬至 應閏乙丑三嵗正月壬午朔十一月己丑日辰初二刻三分内二十一秒冬至丙寅四嵗正月丁丑朔十一月甲午日未初一刻十四分内三十一秒冬至丁卯五嵗正月辛未朔十一月己亥日戌初一刻十分内四十一秒冬至 應閏戊辰六嵗正月乙未朔十一月乙巳日丑初一刻六分内五十一秒冬至己巳七嵗正月庚寅朔十一月庚戌日辰初一刻三分内一秒冬至庚午八嵗正月甲申朔十一月乙卯日未初初刻十四分内一十一秒冬至 應閏辛未九嵗正月戊申朔十一月庚申日戌初初刻十分内二十一秒冬至壬申十嵗正月壬寅朔十一月丙寅日丑初初刻六分内三十一秒冬至癸酉十一嵗正月丙申朔十一月辛未日辰初初刻二分内四十一秒冬至 應閏甲戌十二嵗正月庚申朔十一月丙子日午正三刻十三分内五十一秒冬至乙亥十三嵗正月乙卯朔十一月辛巳日酉正三刻十分内一秒冬至 應閏百八章丙子十四嵗正月己卯朔十一月丁亥日子正三刻六分内一十一秒冬至丁丑十五嵗正月癸酉朔十一月壬辰日卯正三刻二分内二十一秒冬至戊寅十六嵗正月丁卯朔十一月丁酉日午正二刻十三分内三十一秒冬至 應閏己卯十七嵗正月辛卯朔十一月壬寅日酉正二刻九分内四十一秒冬至庚辰十八嵗正月丙戌朔十一月戊申日子正二刻五分内五十一秒冬至辛巳十九嵗正月庚辰朔十一月癸丑日卯正二刻二分内一秒冬至 應閏壬午二十嵗正月甲辰朔十一月戊午日午正一刻十三分内一十一秒冬至癸未二十一嵗正月戊戌朔十一月癸亥日酉正一刻九分内二十一秒冬至 應閏乙卯年至此十一閏一紀縮一年下起甲申甲申二十二嵗正月壬戌朔十一月己巳日子正一刻五分内三十一秒冬至乙酉二十三嵗正月丁巳朔十一月甲戌日卯正一刻一分内四十一秒冬至丙戌二十四嵗正月辛亥朔十一月己卯日午正初刻十二分内五十一秒冬至 應閏丁亥二十五嵗正月乙亥朔十一月甲申日酉正初刻九分内一秒冬至戊子二十六嵗正月己巳朔十一月庚寅日子正初刻五分内一十一秒冬至己丑二十七嵗正月甲子朔十一月乙未日卯正初刻一分内二十一秒冬至 應閏庚寅二十八嵗正月戊子朔十一月庚子日午初三刻十二分内三十一秒冬至辛卯二十九嵗正月壬午朔十一月乙巳日酉初三刻八分内四十一秒冬至壬辰三十嵗正月丙子朔十一月辛亥日子初三刻四分内五十一秒冬至 應閏癸巳三十一嵗正月庚子朔十一月丙辰日卯初三刻一分内一秒冬至甲午三十二嵗正月乙未朔十一月辛酉日午初二刻十二分内一十一秒冬至 應閏百九章乙未三十三嵗正月己未朔十一月丙寅日酉初二刻八分内二十一秒冬至丙申三十四嵗正月癸丑朔十一月辛未夜子初二刻四分内三十一秒冬至丁酉三十五嵗正月丁未朔十一月丁丑日卯初一刻十五分内四十一秒冬至 應閏戊戌三十六嵗正月辛未朔十一月壬午日午初一刻十一分内五十一秒冬至己亥三十七嵗正月乙丑朔十一月丁亥日酉初一刻八分内一秒冬至庚子三十八嵗正月庚申朔十一月壬辰夜子初一刻四分内一十一秒冬至 應閏辛丑三十九嵗正月甲申朔十一月戊戌日卯初初刻十五分内二十一秒冬至壬寅四十嵗正月戊寅朔十一月癸卯日午初初刻十一分内三十一秒冬至 應閏癸卯四十一嵗正月壬寅朔十一月戊申日酉初初刻七分内四十一秒冬至甲辰四十二嵗正月丁酉朔十一月癸丑夜子初初刻三分内五十一秒冬至乙巳四十三嵗正月辛卯朔十一月己未日寅正三刻十五分内一秒冬至 應閏丙午四十四嵗正月乙卯朔十一月甲子日巳正三刻十一分内一十一秒冬至丁未四十五嵗正月己酉朔十一月己巳日申正三刻七分内二十一秒冬至戊申四十六嵗正月癸未朔十一月甲戌日亥正三刻三分内二十一秒冬至 應閏己酉四十七嵗正月丁卯朔十一月庚辰日寅正二刻十四分内四十一秒冬至庚戌四十八嵗正月壬戌朔十一月乙酉日巳正二刻十分内五十一秒冬至辛亥四十九嵗正月丙辰朔十一月庚寅日申正二刻七分内一秒冬至日躔在危二度之四十六分 應閏壬子五十嵗正月庚辰朔十一月乙未日亥正二刻三分内一十一秒冬至癸丑五十一嵗正月甲戌朔十一月辛丑日寅正一刻十四分内二十一秒冬至 應閏百一十章甲申年至此十一閏一紀甲寅五十二嵗正月戊戌朔十一月丙午日巳正一刻十分内三十一秒冬至乙卯五十三嵗正月癸巳朔十一月辛亥日申正一刻六分内四十一秒冬至丙辰五十四嵗正月丁亥朔十一月丙辰日亥正一刻二分内五十一秒冬至 應閏丁巳五十五嵗正月辛亥朔十一月壬戌日寅正初刻十四分内一秒冬至戊午五十六嵗正月丙午朔十一月丁卯日巳正初刻十分内一十一秒冬至己未五十七嵗正月庚子朔十一月壬申日申正初刻六分内二十一秒冬至 應閏庚申五十八嵗正月甲子朔十一月丁丑日亥正初刻二分内三十一秒冬至辛酉五十九嵗正月戊午朔十一月癸未日寅初三刻十三分内四十一秒冬至 應閏壬戌六十嵗正月壬午朔十一月戊子日巳初三刻九分内五十一秒冬至癸亥六十一嵗正月丙子朔十一月癸巳日申初三刻六分内一秒冬至甲子六十二嵗正月庚午朔十一月戊戌日亥初三刻二分内一十一秒冬至 應閏乙丑六十三嵗正月甲午朔十一月甲辰日寅初二刻十三分内二十一秒冬至丙寅六十四嵗正月己丑朔十一月己酉日巳初二刻九分内三十一秒冬至丁卯六十五嵗正月癸未朔十一月甲寅日申初二刻五分内四十一秒冬至 應閏戊辰六十六嵗正月丁未朔十一月己未日亥初二刻一分内五十一秒冬至己巳六十七嵗正月壬寅朔十一月乙丑日寅初一刻十三分内一秒冬至庚午六十八嵗正月丙申朔十一月庚午日巳初一刻九分内一十一秒冬至 應閏辛未六十九嵗正月庚申朔十一月乙亥日申初一刻五分内二十一秒冬至壬申七十嵗正月甲寅朔十一月庚辰日亥初一刻一分内三十一秒冬至 應閏百一十一章癸酉七十一嵗正月戊寅朔十一月丙戌日寅初初刻十二分内四十一秒冬至甲戌七十二嵗正月壬申朔十一月辛卯日巳初初刻八分内五十一秒冬至乙亥七十三嵗正月丁卯朔十一月丙申日申初初刻五分内一秒冬至 應閏丙子七十四嵗正月辛卯朔十一月辛丑日亥初初刻一分内一十一秒冬至丁丑七十五嵗正月乙酉朔十一月丁未日丑正三刻十二分内二十一秒冬至戊寅七十六嵗正月己卯朔十一月壬子日辰正三刻八分内三十一秒冬至 應閏己卯七十七嵗正月癸卯朔十一月丁巳日未正三刻四分内四十一秒冬至庚辰七十八嵗正月丁酉朔十一月壬戌日戌正二刻十五分内五十一秒冬至 應閏辛巳七十九嵗正月辛酉朔十一月戊辰日丑正二刻十二分内一秒冬至壬午八十嵗正月丙辰朔十一月癸酉日辰正二刻八分内一十一秒冬至癸未八十一嵗正月庚戌朔十一月戊寅日未正二刻四分内二十一秒冬至 應閏甲寅年至此十一閏又一紀甲申八十二嵗正月甲戌朔十一月癸未日戌正一刻十五分内三十一秒冬至乙酉八十三嵗正月己巳朔十一月己丑日丑正一刻十一分内四十一秒冬至丙戌八十四嵗正月癸亥朔十一月甲午日辰正一刻七分内五十一秒冬至 應閏丁亥八十五嵗正月丁亥朔十一月己亥日未正一刻四分内一秒冬至戊子八十六嵗正月辛巳朔十一月甲辰日戌正初刻十五分内一十一秒冬至己丑八十七嵗正月乙亥朔十一月庚戌日丑正初刻十一分内二十一秒冬至 應閏庚寅八十八嵗正月己亥朔十一月乙卯日辰正初刻七分内三十一秒冬至辛卯八十九嵗正月甲午朔十一月庚申日未正初刻三分内四十一秒冬至 應閏百一十二章壬辰九十嵗正月戊午朔十一月乙丑日戌初三刻十四分内五十一秒冬至癸巳九十一嵗正月壬子朔十一月辛未日丑初三刻十一分内一秒冬至甲午九十二嵗正月丙午朔十一月丙子日辰初三刻七分内一十一秒冬至 應閏乙未九十三嵗正月庚午朔十一月辛巳日未初三刻三分内二十一秒冬至丙申九十四嵗正月乙丑朔十一月丙戌日戌初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉九十五嵗正月己未朔十一月壬辰日丑初二刻十分内四十一秒冬至 應閏戊戌九十六嵗正月癸未朔十一月丁酉日辰初二刻六分内五十一秒冬至己亥九十七嵗正月丁丑朔十一月壬寅日未初二刻三分内一秒冬至 應閏庚子九十八嵗正月辛丑朔十一月丁未日戌初一刻十四分内一十一秒冬至辛丑九十九嵗正月乙未朔十一月癸丑日丑初一刻十分内二十一秒冬至壬寅一百嵗正月庚寅朔十一月戊午日辰初一刻六分内三十一秒冬至 應閏少昊金天氏史黄帝之子元囂也以金徳王天下能修太昊之法在位八十四年癸卯元嵗正月甲寅朔十一月癸亥日未初一刻二分内四十一秒冬至甲辰二嵗正月戊申朔十一月戊辰日戌初初刻十三分内五十一秒冬至乙巳三嵗正月壬寅朔十一月甲戌日丑初初刻十分内一秒冬至 應閏丙午四嵗正月丙寅朔十一月己卯日辰初初刻六分内一十一秒冬至丁未五嵗正月辛酉朔十一月甲申日未初初刻二分内二十一秒冬至戊申六嵗正月乙卯朔十一月己丑日酉正三刻十三分内三十一秒冬至 應閏己酉七嵗正月己卯朔十一月乙未日子正三刻九分内四十一秒冬至庚戌八嵗正月癸酉朔十一月庚子日卯正三刻五分内五十一秒冬至 應閏百一十三章辛亥九嵗正月丁酉朔十一月乙巳日午正三刻二分内一秒冬至壬子十嵗正月辛卯朔十一月庚戌日酉正二刻十三分内一十一秒冬至癸丑十一嵗正月丙戌朔十一月丙辰日子正二刻九分内二十一秒冬至 應閏甲申年至此十一閏又一紀甲寅十二嵗正月庚戌朔十一月辛酉日卯正二刻五分内三十一秒冬至乙卯十三嵗正月甲辰朔十一月丙寅日午正二刻一分内四十一秒冬至丙辰十四嵗正月戊戌朔十一月辛未日酉正一刻十二分内五十一秒冬至 應閏丁巳十五嵗正月壬戌朔十一月丁丑日子正一刻九分内一秒冬至戊午十六嵗正月丙辰朔十一月壬午日卯正一刻五分内一十一秒冬至 應閏己未十七嵗正月庚辰朔十一月丁亥日午正一刻一分内二十一秒冬至庚申十八嵗正月乙亥朔十一月壬辰日酉正初刻十二分内三十一秒冬至辛酉十九嵗正月己巳朔十一月戊戌日子正初刻八分内四十一秒冬至 應閏壬戌二十嵗正月癸巳朔十一月癸卯日卯正初刻四分内五十一秒冬至癸亥二十一嵗正月丁亥朔十一月戊申日午正初刻一分内一秒冬至日躔在危一度之四十六分全史日至源流卷十
## 卷十一
欽定四庫全書全史日至源流卷十一山東道御史許伯政撰壬子運十一(毎期三百六十五日二時七刻十分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分十一秒四十微小寒十四日八時四刻五分零一秒四十微大寒十四日九時一刻十分一十六秒四十微立春十四日十時一刻六分一十六秒四十微雨水十四日十一時三刻四分一十六秒四十微驚蟄十五日零七刻零一十一秒四十微春分十五日二時三刻九分零一秒四十微清明十五日四時零八分零一秒四十微榖雨十五日五時四刻八分零六秒四十微立夏十五日六時七刻零十一秒四十微小滿十五日八時零三分零六秒四十微芒種十五日八時三刻十分一十一秒四十微夏至十五日八時七刻零十一秒四十微小暑十五日八時五刻三分一十一秒四十微大暑十五日八時零八分一十一秒四十微立秋十五日七時零一十一分一十一秒四十微處暑十五日五時六刻六分一十一秒四十微白露十五日四時三刻九分一十六秒四十微秋分十五日二時四刻十一分二十一秒四十微寒露十五日一時一刻八分一十六秒四十微霜降十四日十一時五刻五分一十一秒四十微立冬十四日十時二刻一十一分二十一秒四十微小雪十四日九時二刻十二分一十六秒四十微大雪十四日八時五刻十分一十一秒四十微甲子二十二嵗正月壬午朔十一月癸丑日酉初三刻十一分内五十一秒冬至 應閏乙丑二十三嵗正月丙午朔十一月己未日子初三刻七分内四十一秒冬至丙寅二十四嵗正月庚子朔十一月甲子日卯初三刻三分内三十一秒冬至丁卯二十五嵗正月甲午朔十一月己巳日午初二刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊辰二十六嵗正月戊午朔十一月甲戌日酉初二刻十分内一十一秒冬至己巳二十七嵗正月癸丑朔十一月庚辰日子初二刻六分内一秒冬至 應閏百一十四章庚午二十八嵗正月丁丑朔十一月乙酉日卯初二刻一分内五十一秒冬至辛未二十九嵗正月辛未朔十一月庚寅日午初一刻十二分内四十一秒冬至壬申三十嵗正月乙丑朔十一月乙未日酉初一刻八分内三十一秒冬至 應閏癸酉三十一嵗正月己丑朔十一月辛丑日子初一刻四分内二十一秒冬至甲戌三十二嵗正月癸未朔十一月丙午日卯初初刻十五分内一十一秒冬至乙亥三十三嵗正月戊寅朔十一月辛亥日午初初刻十一分内一秒冬至 應閏丙子三十四嵗正月壬寅朔十一月丙辰日酉初初刻六分内五十一秒冬至丁丑三十五嵗正月丙申朔十一月壬戌日子初初刻二分内四十一秒冬至 應閏戊寅三十六嵗正月庚申朔十一月丁卯日寅正三刻十三分内三十一秒冬至己卯三十七嵗正月乙卯朔十一月壬申日巳正三刻九分内二十一秒冬至庚辰三十八嵗正月己酉朔十一月丁丑日申正三刻五分内一十一秒冬至 應閏辛巳三十九嵗正月癸酉朔十一月壬午日亥正三刻一分内一秒冬至壬午四十嵗正月丁卯朔十一月戊子日寅正二刻十一分内五十一秒冬至癸未四十一嵗正月辛酉朔十一月癸巳日巳正二刻七分内四十一秒冬至 應閏甲寅年至此十一閏又一紀甲申四十二嵗正月乙酉朔十一月戊戌日申正二刻三分内三十一秒冬至乙酉四十三嵗正月庚辰朔十一月癸卯日亥正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌四十四嵗正月甲戌朔十一月己酉日寅正一刻十分内一十一秒冬至 應閏丁亥四十五嵗正月戊戌朔十一月甲寅日巳正一刻六分内一秒冬至戊子四十六嵗正月壬辰朔十一月己未日申正一刻一分内五十一秒冬至 應閏百一十五章己丑四十七嵗正月丙辰朔十一月甲子日亥正初刻十二分内四十一秒冬至庚寅四十八嵗正月辛亥朔十一月庚午日寅正初刻八分内三十一秒冬至辛卯四十九嵗正月乙巳朔十一月乙亥日巳正初刻四分内二十一秒冬至 應閏壬辰五十嵗正月己巳朔十一月庚辰日申初三刻十五分内一十一秒冬至癸巳五十一嵗正月癸亥朔十一月乙酉日亥初三刻十一分内一秒冬至甲午五十二嵗正月丁巳朔十一月辛卯日寅初三刻六分内五十一秒冬至 應閏乙未五十三嵗正月辛巳朔十一月丙申日巳初三刻二分内四十一秒冬至丙申五十四嵗正月丙子朔十一月辛丑日申初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏丁酉五十五嵗正月庚子朔十一月丙午日亥初二刻九分内二十一秒冬至戊戌五十六嵗正月甲午朔十一月壬子日寅初二刻五分内一十一秒冬至己亥五十七嵗正月戊子朔十一月丁巳日巳初二刻一分内一秒冬至 應閏庚子五十八嵗正月壬子朔十一月壬戌日申初一刻十一分内五十一秒冬至辛丑五十九嵗正月丁未朔十一月丁卯日亥初一刻七分内四十一秒冬至壬寅六十嵗正月辛丑朔十一月癸酉日寅初一刻三分内三十一秒冬至 應閏癸卯六十一嵗正月乙丑朔十一月戊寅日巳初初刻十四分内二十一秒冬至甲辰六十二嵗正月己未朔十一月癸未日申初初刻十分内一十一秒冬至乙巳六十三嵗正月甲寅朔十一月戊子日亥初初刻六分内一秒冬至 應閏丙午六十四嵗正月戊寅朔十一月甲午日寅初初刻一分内五十一秒冬至丁未六十五嵗正月壬申朔十一月己亥日辰正三刻十二分内四十一秒冬至 應閏百一十六章戊申六十六嵗正月丙申朔十一月甲辰日未正三刻八分内三十一秒冬至己酉六十七嵗正月庚寅朔十一月己酉日戌正三刻四分内二十一秒冬至庚戌六十八嵗正月甲申朔十一月乙卯日丑正二刻十五分内一十一秒冬至 應閏辛亥六十九嵗正月戊申朔十一月庚申日辰正二刻十一分内一秒冬至壬子七十嵗正月癸卯朔十一月乙丑日未正二刻六分内五十一秒冬至癸丑七十一嵗正月丁酉朔十一月庚午日戌正二刻二分内四十一秒冬至 應閏甲申年至此十一閏又一紀甲寅七十二嵗正月辛酉朔十一月丙子日丑正一刻十三分内三十一秒冬至乙卯七十三嵗正月乙卯朔十一月辛巳日辰正一刻九分内二十一秒冬至 應閏丙辰七十四嵗正月己卯朔十一月丙戌日未正一刻五分内一十一秒冬至丁巳七十五嵗正月甲戌朔十一月辛卯日戌正一刻一分内一秒冬至戊午七十六嵗正月戊辰朔十一月丁酉日丑正初刻十一分内五十一秒冬至 應閏己未七十七嵗正月壬辰朔十一月壬寅日辰正初刻七分内四十一秒冬至庚申七十八嵗正月丙戌朔十一月丁未日未正初刻三分内三十一秒冬至辛酉七十九嵗正月辛巳朔十一月壬子日戌初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏壬戌八十嵗正月己巳朔十一月戊午日丑初三刻十分内一十一秒冬至癸亥八十一嵗正月己亥朔十一月癸亥日辰初三刻六分内一秒冬至甲子八十二嵗正月癸巳朔十一月戊辰日未初三刻一分内五十一秒冬至 應閏乙丑八十三嵗正月丁巳朔十一月癸酉日戌初二刻十二分内四十一秒冬至丙寅八十四嵗正月壬子朔十一月己卯日丑初二刻八分内三十一秒冬至 應閏百一十七章顓頊髙陽氏史祖黄帝父昌意昌意娶蜀山氏之女生帝於若水年十嵗佐少昊年二十登帝位初國髙陽以水徳王在位七十八嵗丁卯元嵗正月丙子朔十一月甲申日辰初二刻四分内二十一秒冬至戊辰二嵗正月庚午朔十一月己丑日未初一刻十五分内一十一秒冬至己巳三嵗正月甲子朔十一月甲午日戌初一刻十一分内一秒冬至 應閏庚午四嵗正月戊子朔十一月庚子日丑初一刻六分内五十一秒冬至辛未五嵗正月壬午朔十一月乙巳日辰初一刻二分内四十一秒冬至壬申六嵗正月丁丑朔十一月庚戌日未初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸酉七嵗正月辛丑朔十一月乙卯日戌初初刻九分内二十一秒冬至甲戌八嵗正月乙未朔十一月辛酉日丑初初刻五分内一十一秒冬至 應閏乙亥九嵗正月己未朔十一月丙寅日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在危初度之四十六分丙子十嵗正月甲寅朔十一月辛未日午正三刻十一分内五十一秒冬至丁丑十一嵗正月戊申朔十一月丙子日酉正三刻七分内四十一秒冬至 應閏戊寅十二嵗正月壬申朔十一月壬午日子正三刻三分内三十一秒冬至 十二月丙申朔酉初三刻二分内四十一秒小寒辛亥日巳正三刻七分内四十三秒大寒己卯十三嵗正月丙寅朔十一月丁亥日卯正二刻十四分内二十一秒冬至 正月丙寅朔卯初一刻三分盡立春竹書紀年顓帝十三年初作厯象外紀帝以斗杓建寅之月為厯元是嵗正月朔旦立春雞始三號詳具首卷庚辰十四嵗正月庚申朔十一月壬辰日午正二刻十分内一十一秒冬至 應閏辛巳十五嵗正月甲申朔十一月丁酉日酉正二刻六分内一秒冬至壬午十六嵗正月己卯朔十一月癸卯日子正二刻一分内五十一秒冬至癸未十七嵗正月癸酉朔十一月戊申日卯正一刻十二分内四十一秒冬至 應閏甲寅年至此十一閏又一紀甲申十八嵗正月丁酉朔十一月癸丑日午正一刻八分内三十一秒冬至乙酉十九嵗正月壬辰朔十一月戊午日酉正一刻四分内二十一秒冬至 應閏百一十八章丙戌二十嵗正月丙辰朔十一月甲子日子正初刻十五分内一十一秒冬至丁亥二十一嵗正月庚戌朔十一月己巳日卯正初刻十一分内一秒冬至戊子二十二嵗正月甲辰朔十一月甲戌日午正初刻六分内五十一秒冬至 應閏己丑二十三嵗正月戊辰朔十一月己卯日酉正初刻二分内四十一秒冬至庚寅二十四嵗正月壬戌朔十一月乙酉日子初三刻十三分内三十一秒冬至辛卯二十五嵗正月丙辰朔十一月庚寅日卯初三刻九分内一十一秒冬至 應閏壬辰二十六嵗正月庚辰朔十一月乙未日午初三刻五分内一十一秒冬至癸巳二十七嵗正月乙亥朔十一月庚子日酉初三刻一分内一秒冬至 應閏甲午二十八嵗正月己亥朔十一月丙午日子初二刻十一分内五十一秒冬至乙未二十九嵗正月癸巳朔十一月辛亥日卯初二刻七分内四十一秒冬至丙申三十嵗正月戊子朔十一月丙辰日午初二刻三分内三十一秒冬至 應閏丁酉三十一嵗正月壬子朔十一月辛酉日酉初一刻十四分内二十一秒冬至戊戌三十二嵗正月丙午朔十一月丁卯日子初一刻十分内一十一秒冬至己亥三十三嵗正月庚子朔十一月壬申日卯初一刻六分内一秒冬至 應閏庚子三十四嵗正月甲子朔十一月丁丑日午初一刻一分内五十一秒冬至辛丑三十五嵗正月己未朔十一月壬午日酉初初刻十二分内四十一秒冬至壬寅三十六嵗正月癸丑朔十一月戊子日子初初刻八分内三十一秒冬至 應閏癸卯三十七嵗正月丁丑朔十一月癸巳日卯初初刻四分内二十一秒冬至甲辰三十八嵗正月辛未朔十一月戊戌日巳正三刻十五分内一十一秒冬至 應閏百一十九章乙巳三十九嵗正月乙未朔十一月癸卯日申正三刻十一分内一秒冬至丙午四十嵗正月己丑朔十一月戊申日亥正三刻六分内五十一秒冬至丁未四十一嵗正月甲申朔十一月甲寅日寅正三刻二分内四十一秒冬至 應閏戊申四十二嵗正月戊申朔十一月己未日巳正二刻十三分内三十一秒冬至己酉四十三嵗正月壬寅朔十一月甲子日申正二刻九分内二十一秒冬至庚戌四十四嵗正月丙申朔十一月己巳日亥正二刻五分内一十一秒冬至 應閏辛亥四十五嵗正月庚申朔十一月乙亥日寅正二刻一分内一秒冬至壬子四十六嵗正月甲寅朔十一月庚辰日巳正一刻十一分内五十一秒冬至 應閏甲申年至此十一閏一紀縮一年下起癸丑癸丑四十七嵗正月戊寅朔十一月乙酉日申正一刻七分内四十一秒冬至甲寅四十八嵗正月癸酉朔十一月庚寅日亥正一刻三分内三十一秒冬至乙卯四十九嵗正月丁卯朔十一月丙申日寅正初刻十四分内二十一秒冬至 應閏丙辰五十嵗正月辛卯朔十一月辛丑日巳正初刻十分内一十一秒冬至丁巳五十一嵗正月丙戌朔十一月丙午日申正初刻六分内一秒冬至戊午五十二嵗正月庚辰朔十一月辛亥日亥正初刻一分内五十一秒冬至 應閏己未五十三嵗正月甲辰朔十一月丁巳日寅初三刻十二分内四十一秒冬至庚申五十四嵗正月戊戌朔十一月壬戌日巳初三刻八分内三十一秒冬至辛酉五十五嵗正月壬辰朔十一月丁卯日申初三刻四分内二十一秒冬至 應閏壬戌五十六嵗正月丙辰朔十一月壬申日亥初二刻十五分内一十一秒冬至癸亥五十七嵗正月辛亥朔十一月戊寅日寅初二刻十一分内一秒冬至 應閏百二十章甲子五十八嵗正月乙亥朔十一月癸未日巳初二刻六分内五十一秒冬至乙丑五十九嵗正月己巳朔十一月戊子日申初二刻二分内四十一秒冬至丙寅六十嵗正月癸亥朔十一月癸巳日亥初一刻十三分内三十一秒冬至 應閏丁卯六十一嵗正月丁亥朔十一月己亥日寅初一刻九分内一十一秒冬至戊辰六十二嵗正月壬午朔十一月甲辰日巳初一刻五分内一十一秒冬至己巳六十三嵗正月丙子朔十一月己酉日申初一刻一分内一秒冬至 應閏庚午六十四嵗正月庚子朔十一月甲寅日亥初初刻十一分内五十一秒冬至辛未六十五嵗正月甲午朔十一月庚申日寅初初刻七分内四十一秒冬至 應閏壬申六十六嵗正月戊午朔十一月乙丑日巳初初刻三分内三十一秒冬至癸酉六十七嵗正月癸丑朔十一月庚午日未正三刻十四分内二十一秒冬至甲戌六十八嵗正月丁未朔十一月乙亥日戌正三刻十分内一十一秒冬至 應閏乙亥六十九嵗正月辛未朔十一月辛巳日丑正三刻六分内一秒冬至丙子七十嵗正月乙丑朔十一月丙戌日辰正三刻一分内五十一秒冬至丁丑七十一嵗正月庚申朔十一月辛卯日未正二刻十二分内四十一秒冬至 應閏戊寅七十二嵗正月甲申朔十一月丙申日戌正二刻八分内三十一秒冬至己卯七十三嵗正月戊寅朔十一月壬寅日丑正二刻四分内二十一秒冬至庚辰七十四嵗正月壬申朔十一月丁未日辰正一刻十五分内一十一秒冬至 應閏辛巳七十五嵗正月丙申朔十一月壬子日未正一刻十一分内一秒冬至壬午七十六嵗正月庚寅朔十一月丁巳日戌正一刻六分内五十一秒冬至 應閏百二十一章癸丑年至此十一閏為一紀癸未七十七嵗正月甲寅朔十一月癸亥日丑正一刻二分内四十一秒冬至甲申七十八嵗正月己酉朔十一月戊辰日辰正初刻十三分内三十一秒冬至帝嚳髙辛氏史祖少昊父橋極年十五佐顓帝受封於辛年三十代髙陽氏為天子在位七十嵗乙酉元嵗正月癸卯朔十一月癸酉日未正初刻九分内二十一秒冬至丙戌二嵗正月丁卯朔十一月戊寅日戌正初刻五分内一十一秒冬至丁亥三嵗正月辛酉朔十一月甲申日丑正初刻一分内一秒冬至日躔在虛尾數之四十五分戊子四嵗正月乙卯朔十一月己丑日辰初三刻十一分内五十一秒冬至己丑五嵗正月己卯朔十一月甲午日未初三刻七分内四十一秒冬至庚寅六嵗正月甲戌朔十一月己亥日戌初三刻三分内三十一秒冬至 應閏辛卯七嵗正月戊戌朔十一月乙巳日丑初一刻十四分内二十一秒冬至壬辰八嵗正月壬辰朔十一月庚戌日辰初二刻十分内一十一秒冬至癸巳九嵗正月丁亥朔十一月乙卯日未初二刻六分内一秒冬至 應閏甲午十嵗正月辛亥朔十一月庚申日戌初二刻一分内五十一秒冬至乙未十一嵗正月乙巳朔十一月丙寅日丑初一刻十二分内四十一秒冬至丙申十二嵗正月己亥朔十一月辛未日辰初一刻八分内三十一秒冬至 應閏丁酉十三嵗正月癸亥朔十一月丙子日未初一刻四分内二十一秒冬至戊戌十四嵗正月丁巳朔十一月辛巳日戌初初刻十五分内一十一秒冬至己亥十五嵗正月壬子朔十一月丁亥日丑初初刻十一分内一秒冬至 應閏庚子十六嵗正月丙子朔十一月壬辰日辰初初刻六分内五十一秒冬至辛丑十七嵗正月庚午朔十一月丁酉日未初初刻二分内四十一秒冬至 應閏百二十二章壬寅十八嵗正月甲午朔十一月壬寅日酉正三刻十三分内三十一秒冬至癸卯十九嵗正月戊子朔十一月戊申日子正三刻九分内二十一秒冬至甲辰二十嵗正月壬午朔十一月癸丑日卯正三刻五分内一十一秒冬至 應閏乙巳二十一嵗正月丙午朔十一月戊午日午正三刻一分内一秒冬至丙午二十二嵗正月辛丑朔十一月癸亥日酉正二刻十一分内五十一秒冬至丁未二十三嵗正月乙未朔十一月己巳日子正二刻七分内四十一秒冬至 應閏戊申二十四嵗正月己未朔十一月甲戌日卯正二刻三分内三十一秒冬至己酉二十五嵗正月甲寅朔十一月己卯日午正一刻十四分内二十一秒冬至 應閏庚戌二十六嵗正月戊寅朔十一月甲申日酉正一刻十分内一十一秒冬至辛亥二十七嵗正月壬申朔十一月庚寅日子正一刻六分内一秒冬至壬子二十八嵗正月丙寅朔十一月乙未日卯正一刻一分内五十一秒冬至 應閏癸未年至此十一閏又一紀癸丑二十九嵗正月庚寅朔十一月庚子日午正初刻十二分内四十一秒冬至甲寅三十嵗正月甲申朔十一月乙巳日酉正初刻八分内三十一秒冬至乙卯三十一嵗正月己卯朔十一月辛亥日子正初刻四分内二十一秒冬至 應閏丙辰三十二嵗正月癸卯朔十一月丙辰日卯初三刻十五分内一十一秒冬至丁巳三十三嵗正月丁酉朔十一月辛酉日午初三刻十一分内一秒冬至戊午三十四嵗正月丁卯朔十一月丙寅日酉初三刻六分内五十一秒冬至 應閏己未三十五嵗正月乙卯朔十一月壬申日子初三刻二分内四十一秒冬至庚申三十六嵗正月庚戌朔十一月丁丑日卯初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏百二十三章辛酉三十七嵗正月甲戌朔十一月壬午日午初二刻九分内二十一秒冬至壬戌三十八嵗正月戊辰朔十一月丁亥日酉初二刻九分内一十一秒冬至癸亥三十九嵗正月壬戌朔十一月癸巳日子初二刻一分内一秒冬至 應閏甲子四十嵗正月丙戌朔十一月戊戌日卯初一刻十一分内五十一秒冬至乙丑四十一嵗正月庚辰朔十一月癸卯日子初一刻七分内四十一秒冬至丙寅四十二嵗正月乙亥朔十一月戊申日酉初一刻三分内三十一秒冬至 應閏丁卯四十三嵗正月己亥朔十一月甲寅日子初初刻十四分内二十一秒冬至戊辰四十四嵗正月癸巳朔十一月己未日卯初初刻十分内一十一秒冬至 應閏己巳四十五嵗正月丁巳朔十一月甲子日午初初刻六分内一秒冬至庚午四十六嵗正月辛亥朔十一月己巳日酉初初刻一分内五十一秒冬至辛未四十七嵗正月丙午朔十一月甲戌日亥正三刻十二分内四十一秒冬至 應閏壬申四十八嵗正月庚午朔十一月庚辰日寅正三刻八分内三十一秒冬至癸酉四十九嵗正月甲子朔十一月乙酉日巳正三刻四分内二十一秒冬至甲戌五十嵗正月戊午朔十一月庚寅日申正二刻十五分内一十一秒冬至 應閏乙亥五十一嵗正月壬午朔十一月乙未日亥正二刻十一分内一秒冬至丙子五十二嵗正月丙子朔十一月辛丑日寅正二刻六分内五十一秒冬至 應閏丁丑五十三嵗正月庚子朔十一月丙午日巳正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五十四嵗正月乙未朔十一月辛亥日申正一刻十三分内三十一秒冬至己卯五十五嵗正月己丑朔十一月丙辰日亥正一刻九分内二十一秒冬至 應閏百二十四章庚辰五十六嵗正月癸丑朔十一月壬戌日寅正一刻五分内一十一秒冬至辛巳五十七嵗正月戊申朔十一月丁卯日巳正一刻一分内一秒冬至壬午五十八嵗正月壬寅朔十一月壬申日申正初刻十一分内五十一秒冬至 應閏癸丑年至此十一閏又一紀癸未五十九嵗正月丙寅朔十一月丁丑日亥正初刻七分内四十一秒冬至甲申六十嵗正月庚申朔十一月癸未日寅正初刻三分内三十一秒冬至乙酉六十一嵗正月甲寅朔十一月戊午日巳初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏丙戌六十二嵗正月戊寅朔十一月癸巳日申初三刻十分内一十一秒冬至丁亥六十三嵗正月癸酉朔十一月戊戌日亥初三刻六分内一秒冬至 應閏戊子六十四嵗正月丁酉朔十一月甲辰日寅初三刻一分内五十一秒冬至己丑六十五嵗正月辛卯朔十一月己酉日巳初二刻十二分内四十一秒冬至庚寅六十六嵗正月乙酉朔十一月甲寅日申初二刻八分内三十一秒冬至 應閏辛卯六十七嵗正月己酉朔十一月己未日亥初一刻四分内二十一秒冬至壬辰六十八嵗正月甲辰朔十一月乙丑日寅初一刻十五分内一十一秒冬至癸巳六十九嵗正月戊戌朔十一月庚午日巳初一刻十一分内一秒冬至 應閏甲午七十嵗正月壬戌朔十一月乙亥日申初一刻六分内五十一秒冬至帝摯史帝嚳崩子摯嗣立荒淫無度在位九年諸侯廢之尊堯為天子乙未元嵗正月丙辰朔十一月庚辰日亥初一刻二分内四十一秒冬至 應閏丙申二嵗正月己卯朔十一月丙戌日寅初初刻十三分内三十一秒冬至丁酉三嵗正月甲戌朔十一月辛卯日巳初初刻九分内二十一秒冬至戊戌四嵗正月戊辰朔十一月丙申日申初初刻五分内一十一秒冬至 應閏百二十五章己亥五嵗正月壬辰朔十一月辛丑日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在虛八度之四十五分全史日至源流卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書全史日至源流卷十二山東道御史許伯政撰壬子運十二(毎期三百六十五日二時七刻十分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分零十秒五十微小寒十四日八時四刻五分零五十微大寒十四日九時一刻十分一十五秒五十微立春十四日十時一刻六分一十五秒五十微雨水十四日十一時三刻四分一十五秒五十微驚蟄十五日零七刻零一十秒五十微春分十五日二時三刻九分零五十微清明十五日四時零八分零五十微榖雨十五日五時四刻八分零五秒五十微立夏十五日六時七刻零十秒五十微小滿十五日八時零三分零五秒五十微芒種十五日八時三刻十分十秒五十微夏至十五日八時七刻零十秒五十微小暑十五日八時五刻三分一十秒五十微大暑十五日八時零八分一十秒五十微立秋十五日七時零一十一分一十秒五十微處暑十五日五時六刻六分一十秒五十微白露十五日四時三刻九分一十五秒五十微秋分十五日二時四刻十一分二十秒五十微寒露十五日一時一刻八分一十五秒五十微霜降十四日十一時五刻五分一十秒五十微立冬十四日十時二刻一十一分二十秒五十微小雪十四日九時二刻十二分一十五秒五十微大雪十四日八時五刻十分零十秒五十微庚子六嵗正月丁亥朔十一月丁未日丑正三刻十一分内三十一秒冬至辛丑七嵗正月辛巳朔十一月壬子日辰正三刻七分内一秒冬至 應閏壬寅八嵗正月乙巳朔十一月丁巳日未正三刻二分内三十一秒冬至癸卯九嵗正月庚子朔十一月壬戌日戌正二刻十三分内一秒冬至帝堯陶唐氏史帝嚳之子在位百載甲辰元載正月甲午朔十一月戊辰日丑正二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙巳二載正月戊午朔十一月癸酉日辰正二刻四分内一秒冬至丙午三載正月壬子朔十一月戊寅日未正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁未四載正月丙子朔十一月癸未日戌正一刻十分内一秒冬至戊申五載正月庚午朔十一月己丑日丑正一刻五分内三十一秒冬至己酉六載正月乙丑朔十一月甲午日辰正一刻一分内一秒冬至 應閏庚戌七載正月己丑朔十一月己亥日未正初刻十一分内三十一秒冬至辛亥八載正月癸未朔十一月甲辰日戌正初刻七分内一秒冬至壬子九載正月丁丑朔十一月庚戌日丑正初刻二分内三十一秒冬至 應閏癸未年至此十一閏又一紀癸丑十載正月辛丑朔十一月乙卯日辰初三刻十三分内一秒冬至甲寅十一載正月乙未朔十一月庚申日未初三刻八分内三十一秒冬至 應閏乙卯十二載正月己未朔十一月乙丑日戌初三刻四分内一秒冬至丙辰十三載正月甲寅朔十一月辛未日丑初二刻十四分内三十一秒冬至丁巳十四載正月戊申朔十一月丙子日辰初二刻十分内一秒冬至 應閏百二十六章戊午十五載正月壬申朔十一月辛巳日未初二刻五分内三十一秒冬至己未十六載正月丁卯朔十一月丙戌日戌初二刻一分内一秒冬至庚申十七載正月辛酉朔十一月壬辰日丑初一刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛酉十八載正月乙酉朔十一月丁酉日辰初一刻七分内一秒冬至壬戌十九載正月己卯朔十一月壬寅日未初一刻二分内三十一秒冬至癸亥二十載正月癸酉朔十一月丁未日戌初初刻十三分内一秒冬至 應閏甲子二十一載正月丁酉朔十一月癸丑日丑初初刻八分内三十一秒冬至乙丑二十二載正月壬辰朔十一月戊午日辰初初刻四分内一秒冬至 應閏丙寅二十三載正月丙辰朔十一月癸亥日午正三刻十四分内三十一秒冬至丁卯二十四載正月庚戌朔十一月戊辰日酉正三刻十分内一秒冬至戊辰二十五載正月甲辰朔十一月甲戌日子正三刻五分内三十一秒冬至 應閏己巳二十六載正月戊辰朔十一月己卯日卯正三刻一分内一秒冬至庚午二十七載正月癸亥朔十一月甲申日午正二刻十一分内三十一秒冬至辛未二十八載正月丁巳朔十一月巳丑日酉正二刻七分内一秒冬至 應閏壬申二十九載正月辛巳朔十一月乙未日子正二刻二分内三十一秒冬至癸酉三十載正月乙亥朔十一月庚子日卯正一刻十三分内一秒冬至 應閏甲戌三十一載正月己亥朔十一月乙巳日午正一刻八分内二十一秒冬至乙亥三十二載正月甲午朔十一月庚戌日酉正一刻四分内一秒冬至丙子三十三載正月戊子朔十一月丙辰日子正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏百二十七章丁丑三十四載正月壬子朔十一月辛酉日卯正初刻十分内一秒冬至戊寅三十五載正月丙午朔十一月丙寅日午正初刻五分内三十一秒冬至己卯三十六載正月庚子朔十一月辛未日酉正初刻一分内一秒冬至 應閏庚辰三十七載正月甲子朔十一月丁丑日子初三刻十一分内三十一秒冬至辛巳三十八載正月己未朔十一月壬午日卯初三刻七分内一秒冬至壬午三十九載正月癸丑朔十一月丁亥日午初三刻二分内三十一秒冬至 應閏癸丑年至此十一閏又一紀癸未四十載正月丁丑朔十一月壬辰日酉初二刻十三分内一秒冬至甲申四十一載正月辛未朔十一月戊戌日子初二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙酉四十二載正月乙未朔十一月癸卯日卯初二刻四分内一秒冬至丙戌四十三載正月庚寅朔十一月戊申日午初一刻十四分内三十一秒冬至丁亥四十四載正月甲申朔十一月癸丑日酉初一刻十分内一秒冬至 應閏戊子四十五載正月戊申朔十一月己未日子初一刻五分内三十一秒冬至已丑四十六載正月壬寅朔十一月甲子日卯初一刻一分内一秒冬至庚寅四十七載正月丙申朔十一月己巳日午初初刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛卯四十八載正月庚申朔十一月甲戌日酉初初刻七分内一秒冬至壬辰四十九載正月甲寅朔十一月己卯夜子初初刻二分内三十一秒冬至 應閏癸巳五十載正月戊寅朔十一月乙酉日寅正三刻十三分内一秒冬至甲午五十一載正月癸酉朔十一月庚寅日巳正三刻八分内三十一秒冬至乙未五十二載正月丁卯朔十一月乙未日申正三刻四分内一秒冬至 應閏百二十八章丙申五十三載正月辛卯朔十一月庚子日亥正二刻十四分内三十一秒冬至丁酉五十四載正月丙戌朔十一月丙午日寅正二刻十分内一秒冬至戊戌五十五載正月庚辰朔十一月辛巳日巳正二刻五分内三十一秒冬至 應閏己亥五十六載正月甲辰朔十一月丙辰日申正二刻一分内一秒冬至庚子五十七載正月戊戌朔十一月辛酉日亥正一刻十一分内三十一秒冬至辛丑五十八載正月癸巳朔十一月丁卯日寅正一刻七分内一秒冬至 應閏壬寅五十九載正月丁巳朔十一月壬申日巳正一刻二分内三十一秒冬至癸卯六十載正月辛亥朔十一月丁丑日申正初刻十三分内一秒冬至 應閏甲辰六十一載正月乙亥朔十一月壬午日亥正初刻八分内三十一秒冬至乙巳六十二載正月己巳朔十一月戊子日寅正初刻四分内一秒冬至丙午六十三載正月癸亥朔十一月癸巳日巳初三刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁未六十四載正月丁亥朔十一月戊戌日申初三刻十分内一秒冬至戊申六十五載正月壬午朔十一月癸卯日亥初三刻五分内三十一秒冬至己酉六十六載正月丙子朔十一月己酉日寅初三刻一分内一秒冬至 應閏庚戌六十七載正月庚子朔十一月甲寅日巳初二刻十一分内三十一秒冬至辛亥六十八載正月甲午朔十一月己未日申初二刻七分内一秒冬至日躔在虛七度之四十五分 應閏癸未年至此十一閏一紀縮一年下起壬子壬子六十九載正月戊午朔十一月甲子日亥初二刻二分内三十一秒冬至癸丑七十載正月癸丑朔十一月庚午日寅初一刻十三分内一秒冬至甲寅七十一載正月丁未朔十一月乙亥日巳初一刻八分内三十一秒冬至 應閏百二十九章乙卯七十二載正月辛未朔十一月庚辰日申初一刻四分内一秒冬至丙辰七十三載正月乙丑朔十一月乙酉日亥初初刻十四分内三十一秒冬至丁巳七十四載正月庚申朔十一月辛卯日寅初初刻十分内一秒冬至 應閏戊午七十五載正月甲申朔十一月丙申日巳初初刻五分内三十一秒冬至己未七十六載正月戊寅朔十一月辛丑日申初初刻一分内一秒冬至庚申七十七載正月壬申朔十一月丙午日戌正三刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛酉七十八載正月丙申朔十一月壬子日丑正三刻七分内一秒冬至壬戌七十九載正月庚寅朔十一月丁巳日辰正三刻二分内三十一秒冬至 應閏癸亥八十載正月甲寅朔十一月壬戌日未正二刻十三分内一秒冬至甲子八十一載正月己酉朔十一月丁卯日戌正二刻八分内三十一秒冬至乙丑八十二載正月癸卯朔十一月癸酉日丑正二刻四分内一秒冬至 應閏丙寅八十三載正月丁卯朔十一月戊寅日辰正一刻十四分内三十一秒冬至丁卯八十四載正月壬戌朔十一月癸未日未正一刻十分内一秒冬至戊辰八十五載正月丙辰朔十一月戊子日戌正一刻五分内三十一秒冬至 應閏己巳八十六載正月庚辰朔十一月甲午日丑正一刻一分内一秒冬至庚午八十七載正月甲戌朔十一月己亥日辰正初刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛未八十八載正月戊戌朔十一月甲辰日未正初刻七分内一秒冬至壬申八十九載正月壬辰朔十一月己酉日戌正初刻二分内三十一秒冬至癸酉九十載正月丁亥朔十一月乙卯日丑初三刻十三分内一秒冬至 應閏百三十章甲戌九十一載正月辛亥朔十一月庚申日辰初三刻八分内三十一秒冬至乙亥九十二載正月乙巳朔十一月乙丑日未初三刻四分内一秒冬至丙子九十三載正月己亥朔十一月庚午日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁丑九十四載正月癸亥朔十一月丙子日丑初二刻十分内一秒冬至戊寅九十五載正月戊午朔十一月辛巳日辰初二刻五分内三十一秒冬至己卯九十六載正月壬子朔十一月丙戌日未初二刻一分内一秒冬至 應閏庚辰九十七載正月丙子朔十一月辛卯日戌初一刻十一分内三十一秒冬至辛巳九十八載正月庚午朔十一月丁酉日丑初一刻七分内一秒冬至 應閏壬子年至此十一閏為一紀壬午九十九載正月甲午朔十一月壬寅日辰初一刻二分内三十一秒冬至癸未一百載正月戊子朔十一月丁未日未初初刻十三分内一秒冬至 堯崩甲申載正月癸未朔十一月壬子日戌初初刻八分内三十一秒冬至 應閏乙酉載正月丁未朔十一月戊午日丑初初刻四分内一秒冬至 以上二年居堯喪帝舜有虞氏受堯禪在位五十載丙戌元載正月辛五朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内三十一秒冬至丁亥二載正月丙申朔十一月戊辰日午正三刻十分内一秒冬至 應閏戊子三載正月庚申朔十一月癸酉日酉正三刻五分内三十一秒冬至己丑四載正月甲寅朔十一月己卯日子正三刻一分内一秒冬至 應閏庚寅五載正月戊寅朔十一月甲申日卯正二刻十一分内三十一秒冬至辛卯六載正月壬申朔十一月己丑日午正二刻七分内一秒冬至壬辰七載正月丙寅朔十一月甲午日酉正二刻二分内三十一秒冬至 應閏百三十一章癸巳八載正月庚寅朔十一月庚子日子正一刻十三分内一秒冬至甲午九載正月乙酉朔十一月乙巳日卯正一刻八分内三十一秒冬至乙未十載正月己卯朔十一月庚戌日午正一刻四分内一秒冬至 應閏丙申十一載正月癸卯朔十一月乙卯日酉正初刻十四分内三十一秒冬至丁酉十二載正月丁酉朔十一月辛酉日子正初刻十分内一秒冬至戊戌十三載正月壬辰朔十一月丙寅日卯正初刻五分内三十一秒冬至 應閏己亥十四載正月丙辰朔十一月辛未日午正初刻一分内一秒冬至庚子十五載正月庚戌朔十一月丙子日酉初三刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛丑十六載正月甲戌朔十一月壬午日子初三刻一分内一秒冬至壬寅十七載正月戊辰朔十一月丁亥日卯初三刻二分内三十一秒冬至癸卯十八載正月壬戌朔十一月壬辰日午初二刻十三分内一秒冬至 應閏甲辰十九載正月丙戌朔十一月丁酉日酉初二刻八分内三十一秒冬至乙巳二十載正月辛巳朔十一月癸卯日子初二刻四分内一秒冬至丙午二十一載正月乙亥朔十一月戊申日卯初一刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁未二十二載正月己亥朔十一月癸丑日午初一刻十分内一秒冬至戊申二十三載正月癸巳朔十一月戊午日酉初一刻五分内三十一秒冬至 應閏己酉二十四載正月丁巳朔十一月甲子日子初一刻一分内一秒冬至庚戌二十五載正月壬子朔十一月己巳日卯初初刻十一分内三十一秒冬至辛亥二十六載正月丙午朔十一月甲戌日午初初刻七分内一秒冬至 應閏百三十二章壬午年至此十一閏又一紀壬子二十七載正月庚午朔十一月己卯日酉初初刻二分内三十一秒冬至癸丑二十八載正月甲子朔十一月甲申日亥正三刻十三分内一秒冬至甲寅二十九載正月己未朔十一月庚寅日寅正三刻八分内三十一秒冬至 應閏乙卯三十載正月癸未朔十一月乙未日巳正三刻四分内一秒冬至丙辰三十一載正月丁丑朔十一月庚子日申正二刻十四分内三十一秒冬至丁巳三十二載正月辛未朔十一月乙巳日亥正二刻十分内一秒冬至 應閏戊午三十三載正月乙未朔十一月辛亥日寅正二刻五分内三十一秒冬至己未三十四載正月乙丑朔十一月丙辰日巳正二刻一分内一秒冬至 應閏庚申三十五載正月癸丑朔十一月辛酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至辛酉三十六載正月戊申朔十一月丙寅日亥正一刻七分内一秒冬至壬戌三十七載正月壬寅朔十一月壬申日寅正一刻二分内三十一秒冬至 應閏癸亥三十八載正月丙寅朔十一月丁丑日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在虛六度之四十五分甲子三十九載正月庚申朔十一月壬午日申正初刻八分内三十一秒冬至乙丑四十載正月乙卯朔十一月丁亥日亥正初刻四分内一秒冬至 應閏丙寅四十一載正月己卯朔十一月癸巳日寅初三刻十四分内三十一秒冬至丁卯四十二載正月癸酉朔十一月戊戌日巳初三刻十分内一秒冬至 應閏戊辰四十三載正月丁酉朔十一月癸卯日申初三刻五分内三十一秒冬至己巳四十四載正月辛卯朔十一月戊申日亥初三刻一分内一秒冬至庚午四十五載正月丙戌朔十一月甲寅日寅初二刻十一分内三十一秒冬至 應閏百三十三章辛未四十六載正月庚戌朔十一月己未日巳初二刻七分内一秒冬至壬申四十七載正月甲辰朔十一月甲子日申初二刻二分内三十一秒冬至癸酉四十八載正月戊戌朔十一月己巳日亥初一刻十三分内一秒冬至 應閏甲戌四十九載正月壬戌朔十一月乙亥日寅初一刻八分内三十一秒冬至乙亥五十載正月丙辰朔十一月庚辰日巳初一刻四分内一秒冬至禹王夏后氏受帝舜禪在位八歲禹始稱載曰歲丙子元歲正月辛亥朔十一月乙酉日申初初刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁丑二歲正月乙亥朔十一月庚寅日亥初初刻十分内一秒冬至戊寅三歲正月己巳朔十一月丙申日寅初初刻五分内三十一秒冬至 應閏己卯四歲正月癸巳朔十一月辛丑日巳初初刻一分内一秒冬至庚辰五歲正月丁亥朔十一月丙午日未正三刻十一分内三十一秒冬至辛巳六歳正月壬午朔十一月辛亥日戌正三刻七分内一秒冬至 應閏壬子年至此十一閏又一紀壬午七歲正月丙午朔十一月丁巳日丑正三刻二分内三十一秒冬至癸未八歲正月庚子朔十一月壬戌日辰正二刻十三分内一秒冬至后啓禹子在位九歲甲申元歳正月甲午朔十一月丁卯日未正二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙酉二歲正月戊午朔十一月壬申日戌正二刻四分内一秒冬至丙戌三歲正月壬子朔十一月戊寅日丑正一刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁亥四歲正月丙子朔十一月癸未日辰正一刻十分内一秒冬至戊子五歲正月辛未朔十一月戊子日未正一刻五分内三十一秒冬至己丑六歲正月乙丑朔十一月癸巳日戌正一刻一分内一秒冬至 應閏百三十四章庚寅七歲正月己丑朔十一月己亥日丑正初刻十一分内三十一秒冬至辛卯八歲正月甲申朔十一月甲辰日辰正初刻七分内一秒冬至壬辰九歲正月戊寅朔十一月己酉日未正初刻二分内三十一秒冬至 應閏太康后啓子在位二十九歲癸巳元歲正月壬寅朔十一月甲寅日戌初三刻十三分内一秒冬至甲午二歲正月丙申朔十一月庚申日丑初三刻八分内三十一秒冬至乙未三歲正月庚寅朔十一月乙丑日辰初三刻四分内一秒冬至 應閏丙申四歳正月甲寅朔十一月庚午日未初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉五歲正月己酉朔十一月乙亥日戌初二刻十分内一秒冬至 應閏戊戌六歲正月癸酉朔十一月辛巳日丑初二刻五分内三十一秒冬至己亥七歲正月丁卯朔十一月丙戌日辰初二刻一分内一秒冬至庚子八歲正月辛酉朔十一月辛卯日未初一刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛丑九歲正月乙酉朔十一月丙申日戌初一刻七分内一秒冬至壬寅十歲正月庚辰朔十一月壬寅日丑初一刻二分内三十一秒冬至癸卯十一歲正月甲戌朔十一月丁未日辰初初刻十三分内一秒冬至 應閏甲辰十二歲正月戊戌朔十一月壬子日未初初刻八分内三十一秒冬至乙巳十三歲正月壬辰朔十一月丁巳日戌初初刻四分内一秒冬至 應閏丙午十四歳正月丙辰朔十一月癸亥日子正三刻十四分内三十一秒冬至丁未十五歳正月辛亥朔十一月戊辰日卯正三刻十分内一秒冬至戊申十六歲正月乙巳朔十一月癸酉日午正三刻五分内三十一秒冬至 應閏百三十五章己酉十七歲正月己巳朔十一月戊寅日酉正三刻一分内一秒冬至庚戌十八歲正月癸亥朔十一月甲申日子正二刻十一分内三十一秒冬至辛亥十九歲正月戊午朔十一月己丑日卯正二刻七分内一秒冬至 應閏壬午年至此十一閏又一紀壬子二十歲正月壬午朔十一月甲午日午正二刻二分内三十一秒冬至癸丑二十一歲正月丙子朔十一月己亥日酉正一刻十三分内一秒冬至甲寅二十二歲正月庚午朔十一月乙巳日子正一刻八分内三十一秒冬至 應閏乙卯二十三歳正月甲午朔十一月庚戌日卯正一刻四分内一秒冬至丙辰二十四歲正月戊子朔十一月乙卯日午正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁巳二十五歲正月壬子朔十一月庚申日酉正初刻十分内一秒冬至戊午二十六歲正月丁未朔十一月丙寅日子正初刻五分内三十一秒冬至己未二十七歲正月辛丑朔十一月辛未日卯正初刻一分内一秒冬至 應閏庚申二十八歲正月乙丑朔十一月丙子日午初三刻十一分内三十一秒冬至辛酉二十九歳正月庚申朔十一月辛巳日酉初三刻七分内一秒冬至仲康太康弟在位十三歲壬戌元歲正月甲寅朔十一月丁亥日子初三刻二分内三十一秒冬至 書𦙍征季秋月朔辰弗集于房唐大衍日度議在仲康元歲今推此年應閏三月九月朔葢是庚辰癸亥二歳正月戊寅朔十一月壬辰日卯初二刻十三分内一秒冬至甲子三歲正月壬申朔十一月丁酉日午初二刻八分内三十一秒冬至 應閏乙丑四歲正月丙申朔十一月壬寅日酉初二刻四分内一秒冬至丙寅五歲正月庚寅朔十一月戊申日子初一刻十四分内三十一秒冬至丁卯六歲正月乙酉朔十一月癸丑日卯初一刻十分内一秒冬至 應閏百三十六章戊辰七歲正月乙酉朔十一月戊午日午初一刻五分内三十一秒冬至己巳八歲正月癸卯朔十一月癸亥日酉初一刻一分内一秒冬至庚午九歲正月戊戌朔十一月己巳日子初初刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛未十歲正月壬戌朔十一月甲戌日卯初初刻七分内一秒冬至壬申十一歲正月丙辰朔十一月己卯日午初初刻二分内三十一秒冬至癸酉十二歲正月庚戌朔十一月甲申日申正三刻十三分内一秒冬至 應閏甲戌十三歲正月甲戌朔十一月己丑日亥正三刻八分内三十一秒冬至后相仲康子在位二十八歲乙亥元歳正月戊辰朔十一月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在虚五度之四十五分 應閏全史日至源流卷十二
## 卷十三
欽定四庫全書全史日至源流卷十三山東道御史許伯政撰壬子運十三(每期三百六十五日二時七刻十分十秒)冬至十四日八時三刻十四分一十秒小寒十四日八時四刻五分大寒十四日九時一刻十分一十五秒立春十四日十時一刻六分一十五秒雨水十四日十一時三刻四分一十五秒驚蟄十五日零七刻零一十秒春分十五日二時三刻九分清明十五日四時零八分穀雨十五日五時四刻八分零五秒立夏十五日六時七刻零一十秒小滿十五日八時零三分零五秒芒種十五日八時三刻十分一十秒夏至十五日八時七刻零一十秒小暑十五日八時五刻三分一十秒大暑十五日八時零八分一十秒立秋十五日七時零一十一分一十秒處暑十五日五時六刻六分一十秒白露十五日四時三刻九分一十五秒秋分十五日二時四刻十一分二十秒寒露十五日一時一刻八分一十五秒霜降十四日十一時五刻五分一十秒立冬十四日十時二刻十一分二十秒小雪十四日九時二刻十二分一十五秒大雪十四日八時五刻十分一十秒丙子二嵗正月壬辰朔十一月庚子日巳正二刻十四分内一十一秒冬至丁丑三嵗正月丁亥朔十一月乙巳日申正二刻九分内二十一秒冬至戊寅四嵗正月辛巳朔十一月庚戌日亥正二刻四分内三十一秒冬至 應閏己卯五嵗正月乙巳朔十一月丙辰日寅正一刻十四分内四十一秒冬至庚辰六嵗正月己亥朔十一月辛酉日巳正一刻九分内五十一秒冬至辛巳七嵗正月甲午朔十一月丙寅日申正一刻五分内一秒冬至 應閏壬子年至此十一閏又一紀壬午八嵗正月戊午朔十一月辛未日亥正初刻十五分内一十一秒冬至癸未九嵗正月壬子朔十一月丁丑日寅正初刻十分内二十一秒冬至 應閏甲申十嵗正月丙子朔十一月壬午日巳正初刻五分内三十一秒冬至乙酉十一嵗正月庚午朔十一月丁亥日申初三刻十五分内四十一秒冬至丙戌十二嵗正月甲子朔十一月壬辰日亥初三刻十分内五十一秒冬至 應閏百三十七章丁亥十三嵗正月戊子朔十一月戊戌日寅初三刻六分内一秒冬至戊子十四嵗正月癸未朔十一月癸卯日巳初三刻一分内一十一秒冬至己丑十五嵗正月丁丑朔十一月戊申日申初二刻十一分内二十一秒冬至 應閏庚寅十六嵗正月辛丑朔十一月癸丑日亥初二刻六分内三十一秒冬至辛卯十七嵗正月丙申朔十一月己未日寅初二刻一分内四十一秒冬至壬辰十八嵗正月庚寅朔十一月甲子日巳初一刻十一分内五十一秒冬至 應閏癸巳十九嵗正月甲寅朔十一月己巳日申初一刻七分内一秒冬至甲午二十嵗正月戊申朔十一月甲戌日亥初一刻二分内一十一秒冬至 應閏乙未二十一嵗正月壬申朔十一月庚辰日寅初初刻十二分内二十一秒冬至丙申二十二嵗正月丙寅朔十一月乙酉日巳初初刻七分内三十一秒冬至丁酉二十三嵗正月辛酉朔十一月庚寅日申初初刻二分内四十一秒冬至 應閏戊戌二十四嵗正月乙酉朔十一月乙未日戌正三刻十二分内五十一秒冬至巳亥二十五嵗正月己卯朔十一月辛丑日丑正三刻八分内一秒冬至庚子二十六嵗正月癸酉朔十一月丙午日辰正三刻三分内一十一秒冬至 應閏辛丑二十七嵗正月丁酉朔十一月辛亥日未正二刻十三分内二十一秒冬至壬寅二十八嵗正月辛卯朔十一月丙辰日戌正二刻八分内三十一秒冬至 應閏少康史寒浞子澆弑后相相后緡逃于有仍生少康故大紀以其生之年為元嵗并在位六十一嵗癸卯元嵗正月乙卯朔十一月壬戌日丑正二刻三分内四十一秒冬至甲辰二嵗正月庚戌朔十一月丁卯日辰正一刻十三分内五十一秒冬至乙巳三嵗正月甲辰朔十一月壬申日未正一刻九分内一秒冬至 應閏百三十八章丙午四嵗正月戊辰朔十一月丁丑日戌正一刻四分内一十一秒冬至丁未五嵗正月癸亥朔十一月癸未日丑正初刻十四分内二十一秒冬至戊申六嵗正月丁巳朔十一月戊子日辰正初刻九分内三十一秒冬至 應閏己酉七嵗正月辛巳朔十一月癸巳日未正初刻四分内四十一秒冬至庚戌八嵗正月乙亥朔十一月戊戌日戌初三刻十四分内五十一秒冬至辛亥九嵗正月己巳朔十一月甲辰日丑初三刻十分内一秒冬至 應閏壬午年至此十一閏又一紀壬子十嵗正月癸巳朔十一月己酉日辰初三刻五分内一十一秒冬至癸丑十一嵗正月戊子朔十一月甲寅日未初二刻十五分内二十一秒冬至 應閏甲寅十二嵗正月壬子朔十一月己未日戌初二刻十分内三十一秒冬至乙卯十三嵗正月丙午朔十一月乙丑日丑初二刻五分内四十一秒冬至丙辰十四嵗正月庚子朔十一月庚午日辰初一刻十五分内五十一秒冬至 應閏丁巳十五嵗正月甲子朔十一月乙亥日未初一刻十一分内一秒冬至戊午十六嵗正月己未朔十一月庚辰日戌初一刻六分内一十一秒冬至己未十七嵗正月癸丑朔十一月丙戌日丑初一刻一分内二十一秒冬至 應閏庚申十八嵗正月丁丑朔十一月辛卯日辰初初刻十一分内三十一秒冬至辛酉十九嵗正月辛未朔十一月丙申日未初初刻六分内四十一秒冬至 應閏壬戌二十嵗正月乙未朔十一月辛丑日戌初初刻一分内五十一秒冬至癸亥二十一嵗正月己丑朔十一月丁未日子正三刻十二分内一秒冬至甲子二十二嵗正月甲申朔十一月壬子日卯正三刻七分内一十一秒冬至 應閏百三十九章乙丑二十三嵗正月戊申朔十一月丁巳日午正三刻二分内二十一秒冬至丙寅二十四嵗正月壬寅朔十一月壬戌日酉正二刻十二分内三十一秒冬至丁卯二十五嵗正月丙申朔十一月戊辰日子正二刻七分内四十一秒冬至 應閏戊辰二十六嵗正月庚申朔十一月癸酉日卯正二刻二分内五十一秒冬至己巳二十七嵗正月乙卯朔十一月戊寅日午正一刻十三分内一秒冬至庚午二十八嵗正月己酉朔十一月癸未日酉正一刻八分内一十一秒冬至 應閏辛未二十九嵗正月癸酉朔十一月己丑日子正一刻三分内二十一秒冬至壬申三十嵗正月戊辰朔十一月甲午日卯正初刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸酉三十一嵗正月壬辰朔十一月己亥日午正初刻八分内四十一秒冬至甲戌三十二嵗正月丙戌朔十一月甲辰日酉正初刻三分内五十一秒冬至乙亥三十三嵗正月庚辰朔十一月庚戌日子初三刻十四分内一秒冬至 應閏丙子三十四嵗正月甲辰朔十一月乙卯日卯初三刻九分内一十一秒冬至丁丑三十五嵗正月戊戌朔十一月庚申日午初三刻四分内二十一秒冬至戊寅三十六嵗正月癸巳朔十一月乙丑日酉初二刻十四分内三十一秒冬至 應閏己卯三十七嵗正月丁巳朔十一月辛未日子初二刻九分内四十一秒冬至庚辰三十八嵗正月辛亥朔十一月丙子日卯初二刻四分内五十一秒冬至 應閏壬子年至此十一閏一紀縮一年下起辛巳辛巳三十九嵗正月乙亥朔十一月辛巳日午初一刻十五分内一秒冬至壬午四十嵗正月己巳朔十一月丙戌日酉初一刻十分内一十一秒冬至 史此嵗滅澆復禹之績癸未四十一嵗正月甲子朔十一月壬辰日子初一刻五分内二十一秒冬至 應閏百四十章甲申四十二嵗正月戊子朔十一月丁酉日卯初初刻十五分内三十一秒冬至乙酉四十三嵗正月壬午朔十一月壬寅日午初初刻十分内四十一秒冬至丙戌四十四嵗正月丙子朔十一月丁未日酉初初刻五分内五十一秒冬至 應閏丁亥四十五嵗正月庚子朔十一月癸丑日子初初刻一分内一秒冬至日躔在虚四度之四十五分戊子四十六嵗正月乙未朔十一月戊午日寅正三刻十一分内一十一秒冬至己丑四十七嵗正月己丑朔十一月癸亥日巳正三刻六分内二十一秒冬至 應閏庚寅四十八嵗正月癸丑朔十一月戊辰日申正三刻一分内三十一秒冬至辛卯四十九嵗正月丁未朔十一月癸酉日亥正二刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬辰五十嵗正月辛未朔十一月己卯日寅正二刻六分内五十一秒冬至癸巳五十一嵗正月乙丑朔十一月甲申日巳正二刻二分内一秒冬至甲午五十二嵗正月庚申朔十一月己丑日申正一刻十二分内一十一秒冬至 應閏乙未五十三嵗正月甲申朔十一月甲午日亥正一刻七分内二十一秒冬至丙申五十四嵗正月戊寅朔十一月庚子日寅正一刻二分内三十一秒冬至丁酉五十五嵗正月壬申朔十一月乙巳日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 應閏戊戌五十六嵗正月丙申朔十一月庚戌日申正初刻七分内五十一秒冬至己亥五十七嵗正月庚寅朔十一月乙卯日亥正初刻三分内一秒冬至 應閏庚子五十八嵗正月甲寅朔十一月辛酉日寅初三刻十三分内一十一秒冬至辛丑五十九嵗正月己酉朔十一月丙寅日巳初三刻八分内二十一秒冬至壬寅六十嵗正月癸卯朔十一月辛未日申初三刻三分内三十一秒冬至 應閏百四十一章癸卯六十一嵗正月丁卯朔十一月丙子日亥初二刻十三分内四十一秒冬至后杼史少康子季杼在位一十七嵗甲辰元嵗正月壬戌朔十一月壬午日寅初二刻八分内五十一秒冬至乙巳二嵗正月丙辰朔十一月丁亥日巳初二刻四分内一秒冬至 應閏丙午三嵗正月庚辰朔十一月壬辰日申初一刻十四分内一十一秒冬至丁未四嵗正月甲戌朔十一月丁酉日亥初一刻九分内二十一秒冬至戊申五嵗正月戊辰朔十一月癸卯日寅初一刻四分内三十一秒冬至 應閏己酉六嵗正月壬辰朔十一月戊申日巳初初刻十四分内四十一秒冬至庚戌七嵗正月丁亥朔十一月癸丑日申初初刻九分内五十一秒冬至 應閏辛巳年至此十一閏為一紀辛亥八嵗正月辛亥朔十一月戊午日亥初初刻五分内一秒冬至壬子九嵗正月乙巳朔十一月甲子日丑正三刻十五分内一十一秒冬至癸丑十嵗正月己亥朔十一月己巳日辰正三刻十分内二十一秒冬至 應閏甲寅十一嵗正月癸亥朔十一月甲戌日未正三刻五分内三十一秒冬至乙卯十二嵗正月戊午朔十一月己卯日戌正二刻十五分内四十一秒冬至丙辰十三嵗正月壬子朔十一月乙酉日丑正二刻十分内五十一秒冬至 應閏丁巳十四嵗正月丙子朔十一月庚寅日辰正二刻六分内一秒冬至戊午十五嵗正月庚午朔十一月乙未日未正二刻一分内一十一秒冬至 應閏己未十六嵗正月甲午朔十一月庚子日戌正一刻十一分内二十一秒冬至庚申十七嵗正月戊子朔十一月丙午日丑正一刻六分内三十一秒冬至后槐后杼子在位二十六嵗辛酉元嵗正月癸未朔十一月辛亥日辰正一刻一分内四十一秒冬至 應閏百四十二章壬戌二嵗正月丁未朔十一月丙辰日未正初刻十一分内五十一秒冬至癸亥三嵗正月辛丑朔十一月辛酉日戌正初刻七分内一秒冬至甲子四嵗正月丙申朔十一月丁卯日丑正初刻二分内一十一秒冬至 應閏乙丑五嵗正月庚申朔十一月壬申日辰初三刻十二分内二十一秒冬至丙寅六嵗正月甲寅朔十一月丁丑日未初三刻七分内三十一秒冬至丁卯七嵗正月戊申朔十一月壬午日戌初三刻二分内四十一秒冬至 應閏戊辰八嵗正月壬申朔十一月戊子日丑初二刻十二分内五十一秒冬至己巳九嵗正月丙寅朔十一月癸巳日辰初二刻八分内一秒冬至 應閏庚午十嵗正月庚寅朔十一月戊戌日未初二刻三分内一十一秒冬至辛未十一嵗正月乙酉朔十一月癸卯日戌初一刻十三分内二十一秒冬至壬申十二嵗正月己卯朔十一月己酉日丑初一刻八分内三十一秒冬至 應閏癸酉十三嵗正月癸卯朔十一月甲寅日辰初一刻三分内四十一秒冬至甲戌十四嵗正月丁酉朔十一月己未日未初初刻十三分内五十一秒冬至乙亥十五嵗正月壬辰朔十一月甲子日戌初初刻九分内一秒冬至 應閏丙子十六嵗正月丙辰朔十一月庚午日丑初初刻四分内一十一秒冬至丁丑十七嵗正月庚戌朔十一月乙亥日卯正三刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊寅十八嵗正月甲戌朔十一月庚辰日午正三刻九分内三十一秒冬至己卯十九嵗正月戊辰朔十一月乙酉日酉正三刻四分内四十一秒冬至庚辰二十嵗正月壬戌朔十一月辛卯日子正二刻十四分内五十一秒冬至 應閏百四十三章辛亥年至此十一閏又一紀辛巳二十一嵗正月丙戌朔十一月丙申日卯正二刻十分内一秒冬至壬午二十二嵗正月辛巳朔十一月辛丑日午正二刻五分内一十一秒冬至癸未二十三嵗正月乙亥朔十一月丙午日酉正一刻十五分内二十一秒冬至 應閏甲申二十四嵗正月己亥朔十一月壬子日子正一刻十分内三十一秒冬至乙酉二十五嵗正月癸巳朔十一月丁巳日卯正一刻五分内四十一秒冬至丙戌二十六嵗正月戊子朔十一月壬戌日午正初刻十五分内五十一秒冬至 應閏后芒后槐子在位一十八嵗丁亥元嵗正月壬子朔十一月丁卯日酉正初刻十一分内一秒冬至戊子二嵗正月丙午朔十一月癸酉日子正初刻六分内一十一秒冬至 應閏己丑三嵗正月庚午朔十一月戊寅日卯正初刻一分内二十一秒冬至庚寅四嵗正月甲子朔十一月癸未日午初三刻十一分内三十一秒冬至辛卯五嵗正月戊午朔十一月戊子日酉初三刻六分内四十一秒冬至 應閏壬辰六嵗正月壬午朔十一月甲午日子初三刻一分内五十一秒冬至癸巳七嵗正月丁丑朔十一月己亥日卯初二刻十二分内一秒冬至甲午八嵗正月辛未朔十一月甲辰日午初二刻七分内一十一秒冬至 應閏乙未九嵗正月乙未朔十一月己酉日酉初二刻二分内二十一秒冬至丙申十嵗正月己丑朔十一月乙卯日子初一刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁酉十一嵗正月癸丑朔十一月庚申日卯初一刻七分内四十一秒冬至戊戌十二嵗正月戊申朔十一月乙丑日午初一刻二分内五十一秒冬至己亥十三嵗正月壬寅朔十一月庚午日酉初初刻十三分内一秒冬至日躔在虚三度之四十五分應閏百四十四章庚子十四嵗正月丙寅朔十一月丙子日子初初刻八分内一十一秒冬至辛丑十五嵗正月辛酉朔十一月辛巳日卯初初刻三分内二十一秒冬至壬寅十六嵗正月乙卯朔十一月丙戌日巳正三刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸卯十七嵗正月己卯朔十一月辛卯日申正三刻八分内四十一秒冬至甲辰十八嵗正月癸酉朔十一月丙申日亥正三刻三分内五十一秒冬至后泄后芒子在位一十六嵗乙巳元嵗正月丁卯朔十一月壬寅日寅正二刻十四分内一秒冬至 應閏丙午二嵗正月辛卯朔十一月丁未日巳正二刻九分内一十一秒冬至丁未三嵗正月丙戌朔十一月壬子日申正二刻四分内二十一秒冬至 應閏戊申四嵗正月庚戌朔十一月丁巳日亥正一刻十四分内三十一秒冬至己酉五嵗正月甲辰朔十一月癸亥日寅正一刻九分内四十一秒冬至庚戌六嵗正月戊戌朔十一月戊辰日巳正一刻四分内五十一秒冬至 應閏辛巳年至此十一閏又一紀辛亥七嵗正月壬戌朔十一月癸酉日申正初刻十五分内一秒冬至壬子八嵗正月丁巳朔十一月戊寅日亥正初刻十分内一十一秒冬至癸丑九嵗正月辛亥朔十一月甲申日寅正初刻五分内二十一秒冬至 應閏甲寅十嵗正月乙亥朔十一月己丑日巳初三刻十五分内三十一秒冬至乙卯十一嵗正月己巳朔十一月甲午日申初三刻十分内四十一秒冬至 應閏丙辰十二嵗正月癸巳朔十一月己亥日亥初三刻五分内五十一秒冬至丁巳十三嵗正月丁亥朔十一月乙巳日寅初三刻一分内一秒冬至戊午十四嵗正月壬午朔十一月庚戌日巳初二刻十一分内一十一秒冬至 應閏百四十五章己未十五嵗正月丙午朔十一月乙卯日申初二刻六分内二十一秒冬至庚申十六嵗正月庚子朔十一月庚申日亥初二刻一分内三十一秒冬至后不降后泄子在位五十九嵗辛酉元嵗正月乙未朔十一月丙寅日寅初一刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬戌二嵗正月己未朔十一月辛未日巳初一刻六分内五十一秒冬至癸亥三嵗正月癸丑朔十一月丙子日申初一刻二分内一秒冬至甲子四嵗正月丁未朔十一月辛巳日亥初初刻十二分内一十一秒冬至 應閏乙丑五嵗正月辛未朔十一月丁亥日寅初初刻七分内二十一秒冬至丙寅六嵗正月乙丑朔十一月壬辰日巳初初刻二分内三十一秒冬至 應閏丁卯七嵗正月己丑朔十一月丁酉日未正三刻十二分内四十一秒冬至戊辰八嵗正月甲申朔十一月壬寅日戌正三刻七分内五十一秒冬至己巳九嵗正月戊寅朔十一月戊申日丑正三刻三分内一秒冬至 應閏庚午十嵗正月壬寅朔十一月癸丑日辰正二刻十三分内一十一秒冬至辛未十一嵗正月丙申朔十一月戊午日未正二刻八分内二十一秒冬至壬申十二嵗正月辛卯朔十一月癸亥日戌正二刻三分内三十一秒冬至 應閏癸酉十三嵗正月乙卯朔十一月己巳日丑正一刻十三分内四十一秒冬至甲戌十四嵗正月己酉朔十一月甲戌日辰正一刻八分内五十一秒冬至 應閏乙亥十五嵗正月癸酉朔十一月己卯日未正一刻四分内一秒冬至丙子十六嵗正月丁卯朔十一月甲申日戌正初刻十四分内一十一秒冬至丁丑十七嵗正月辛酉朔十一月庚寅日丑正初刻九分内二十一秒冬至 應閏百四十六章戊寅十八嵗正月乙酉朔十一月乙未日辰正初刻四分内三十一秒冬至己卯十九嵗正月庚辰朔十一月庚子日未初三刻十四分内四十一秒冬至庚辰二十嵗正月甲戌朔十一月乙巳日戌初三刻九分内五十一秒冬至 應閏辛亥年至此十一閏又一紀辛巳二十一嵗正月戊戌朔十一月辛亥日丑初三刻五分内一秒冬至壬午二十二嵗正月壬辰朔十一月丙辰日辰初二刻十五分内一十一秒冬至癸未二十三嵗正月丁亥朔十一月辛酉日未初二刻十分内二十一秒冬至 應閏甲申二十四嵗正月辛亥朔十一月丙寅日戌初二刻五分内三十一秒冬至乙酉二十五嵗正月乙巳朔十一月壬申日丑初一刻十五分内四十一秒冬至 應閏丙戌二十六嵗正月己巳朔十一月丁丑日辰初一刻十分内五十一秒冬至丁亥二十七嵗正月癸亥朔十一月壬午日未初一刻六分内一秒冬至戊子二十八嵗正月丁巳朔十一月丁亥日戌初一刻一分内一十一秒冬至 應閏己丑二十九嵗正月辛巳朔十二月癸巳日丑初初刻十一分内二十一秒冬至庚寅三十嵗正月丙午朔十一月戊戌日辰初初刻六分内三十一秒冬至辛卯三十一嵗正月庚午朔十一月癸卯日未初初刻一分内四十一秒冬至 應閏壬辰三十二嵗正月甲午朔十一月戊申日酉正三刻十一分内五十一秒冬至癸巳三十三嵗正月己丑朔十一月甲寅日子正三刻七分内一秒冬至 應閏甲午三十四嵗正月癸丑朔十一月己未日卯正三刻二分内一十一秒冬至乙未三十五嵗正月丁未朔十一月甲子日午正二刻十二分内二十一秒冬至丙申三十六嵗正月辛丑朔十一月己巳日酉正二刻七分内三十一秒冬至 應閏百四十七章丁酉三十七嵗正月乙丑朔十一月乙亥日子正二刻二分内四十一秒冬至戊戌三十八嵗正月己未朔十一月庚辰日卯正一刻十二分内五十一秒冬至己亥三十九嵗正月甲寅朔十一月乙酉日午正一刻八分内一秒冬至 應閏庚子四十嵗正月戊寅朔十一月庚寅日酉正一刻三分内一十一秒冬至辛丑四十一嵗正月壬申朔十一月丙申日子正初刻十三分内二十一秒冬至壬寅四十二嵗正月丙寅朔十一月辛丑日卯正初刻八分内三十一秒冬至 應閏癸卯四十三嵗正月庚寅朔十一月丙午日午正初刻三分内四十一秒冬至甲辰四十四嵗正月乙酉朔十一月辛亥日酉初三刻十三分内五十一秒冬至 應閏乙巳四十五嵗正月己酉朔十一月丁巳日子初三刻九分内一秒冬至丙午四十六嵗正月癸卯朔十一月壬戌日卯初三刻四分内一十一秒冬至丁未四十七嵗正月丁酉朔十一月丁卯日午初二刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊申四十八嵗正月辛酉朔十一月壬申日酉初二刻九分内三十一秒冬至己酉四十九嵗正月乙卯朔十一月戊寅日子初二刻四分内四十一秒冬至庚戌五十嵗正月庚戌朔十一月癸未日卯初一刻十四分内五十一秒冬至 應閏辛巳年至此十一閏又一紀辛亥五十一嵗正月甲戌朔十一月戊子日午初一刻十分内一秒冬至日躔在虚二度之四十五分全史日至源流卷十三
## 卷十四
欽定四庫全書全史日至源流卷十四山東道御史許伯政撰壬子運十四(每期三百六十五日二時七刻九分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分九秒一十微小寒十四日八時四刻四分五十九秒一十微大寒十四日九時一刻十分一十四秒一十微立春十四日十時一刻六分一十四秒一十微雨水十四日十一時三刻四分一十四秒一十微驚蟄十五日零七刻零九秒一十微春分十五日二時三刻八分五十九秒一十微清明十五日四時零七分五十九秒一十微穀雨十五日五時四刻八分零四秒一十微立夏十五日六時七刻零九秒一十微小滿十五日八時零三分零四秒一十微芒種十五日八時三刻十分零九秒一十微夏至十五日八時七刻零九秒一十微小暑十五日八時五刻三分九秒一十微大暑十五日八時零八分九秒一十微立秋十五日七時零一十一分九秒一十微處暑十五日五時六刻六分九秒一十微白露十五日四時三刻九分一十四秒一十微秋分十五日二時四刻十一分一十九秒一十微寒露十五日一時一刻八分一十四秒一十微霜降十四日十一時五刻五分九秒一十微立冬十四日十時二刻十一分一十九秒一十微小雪十四日九時二刻十二分一十四秒一十微大雪十四日八時五刻十分九秒一十微壬子五十二嵗正月戊辰朔十一月癸巳日酉初一刻四分内五十一秒冬至 應閏癸丑五十三嵗正月壬辰朔十一月己亥日子初初刻十四分内四十一秒冬至甲寅五十四嵗正月丙戌朔十一月甲辰日卯初初刻九分内十一秒冬至乙卯五十五嵗正月辛巳朔十一月己酉日午初初刻四分内二十一秒冬至 應閏百四十八章丙辰五十六嵗正月乙巳朔十一月甲寅日申正三刻十四分内一十一秒冬至丁巳五十七嵗正月己亥朔十一月己未日亥正三刻九分内一秒冬至戊午五十八嵗正月癸巳朔十一月乙丑日寅正三刻三分内五十一秒冬至 應閏己未五十九嵗正月丁巳朔十一月庚午日巳正二刻十三分内四十一秒冬至后扃后不降弟在位二十一嵗庚申元嵗正月壬子朔十一月乙亥日申正二刻八分内三十一秒冬至辛酉二嵗正月丙午朔十一月庚辰日亥正二刻三分内二十一秒冬至 應閏壬戌三嵗正月庚午朔十一月丙戌日寅正一刻十三分内一十一秒冬至癸亥四嵗正月甲子朔十一月辛卯日巳正一刻八分内一秒冬至 應閏甲子五嵗正月戊子朔十一月丙申日申正一刻二分内五十一秒冬至乙丑六嵗正月壬午朔十一月辛丑日亥正初刻十二分内四十一秒冬至丙寅七嵗正月丁丑朔十一月丁未日寅正初刻七分内三十一秒冬至 應閏丁卯八嵗正月辛丑朔十一月壬子日巳正初刻二分内二十一秒冬至戊辰九嵗正月乙未朔十一月丁巳日申初三刻十二分内一十一秒冬至己巳十嵗正月庚寅朔十一月壬戌日亥初三刻七分内一秒冬至 應閏庚午十一嵗正月甲寅朔十一月戊辰日寅初三刻一分内五十一秒冬至辛未十二嵗正月戊申朔十一月癸酉日巳初二刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬申十三嵗正月壬申朔十一月戊寅日申初二刻六分内三十一秒冬至癸酉十四嵗正月丙寅朔十一月癸未日亥初二刻一分内二十一秒冬至甲戌十五嵗正月庚申朔十一月己丑日寅初一刻十一分内一十一秒冬至 應閏百四十九章乙亥十六嵗正月甲申朔十一月甲午日巳初一刻六分内一秒冬至丙子十七嵗正月己卯朔十一月己亥日申初初刻十五分内五十一秒冬至丁丑十八嵗正月癸酉朔十一月甲辰日亥初初刻十分内四十一秒冬至 應閏戊寅十九嵗正月丁酉朔十一月庚戌日寅初初刻五分内三十一秒冬至己卯二十嵗正月辛卯朔十一月乙卯日辰正三刻十五分内二十一秒冬至庚辰二十一嵗正月丙戌朔十一月庚申日未正三刻十分内一十一秒冬至 應閏辛亥年至此十一閏又一紀后厪后扃子在位二十一嵗辛巳元嵗正月庚戌朔十一月乙丑日戌正三刻五分内一秒冬至壬午二嵗正月甲辰朔十一月辛未日丑正二刻十四分内五十一秒冬至 應閏癸未三嵗正月戊辰朔十一月丙子日辰正二刻九分内四十一秒冬至甲申四嵗正月壬戌朔十一月辛巳日未正二刻四分内三十一秒冬至乙酉五嵗正月丙辰朔十一月甲戌日戌正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌六嵗正月庚辰朔十一月壬辰日丑正一刻九分内一十一秒冬至丁亥七嵗正月乙亥朔十一月丁酉日辰正一刻四分内一秒冬至戊子八嵗正月己巳朔十一月壬寅日未正初刻十三分内五十一秒冬至 應閏己丑九嵗正月癸巳朔十一月丁未日戌正初刻八分内四十一秒冬至庚寅十嵗正月丁亥朔十一月癸丑日丑正初刻三分内三十一秒冬至 應閏辛卯十一嵗正月辛亥朔十一月戊午日辰初三刻十三分内二十一秒冬至壬辰十二嵗正月丙午朔十一月癸亥日未初三刻八分内一十一秒冬至癸巳十三嵗正月庚子朔十一月戊辰日戌初三刻三分内一秒冬至 應閏百五十章甲午十四嵗正月甲子朔十一月甲戌日丑初二刻十二分内五十一秒冬至乙未十五嵗正月己未朔十一月己卯日辰初二刻七分内四十一秒冬至丙申十六嵗正月癸丑朔十一月甲申日未初二刻二分内三十一秒冬至 應閏丁酉十七嵗正月丁丑朔十一月己丑日戌初一刻十二分内二十一秒冬至戊戌十八嵗正月辛未朔十一月乙未日丑初一刻七分内一十一秒冬至己亥十九嵗正月乙丑朔十一月庚子日辰初一刻二分内一秒冬至 應閏庚子二十嵗正月己丑朔十一月乙巳日未初初刻十一分内五十一秒冬至辛丑二十一嵗正月甲申朔十一月庚戌日戌初初刻六分内四十一秒冬至 應閏后孔甲后不降子在位三十一嵗壬寅元嵗正月戊申朔十一月丙辰日丑初初刻一分内三十一秒冬至癸卯二嵗正月壬寅朔十一月辛酉日卯正三刻十一分内二十一秒冬至甲辰三嵗正月丙申朔十一月丙寅日午正三刻六分内一十一秒冬至 應閏乙巳四嵗正月庚申朔十一月辛未日酉正三刻一分内一秒冬至丙午五嵗正月乙卯朔十一月丁丑日子正二刻十分内五十一秒冬至丁未六嵗正月己酉朔十一月壬午日卯正二刻五分内四十一秒冬至 應閏戊申七嵗正月癸酉朔十一月丁亥日午正一刻十五分内三十一秒冬至己酉八嵗正月丁卯朔十一月壬辰日酉正一刻十分内二十一秒冬至 應閏辛巳年至此十一閏一紀縮一年下起庚戌庚戌九嵗正月辛卯朔十一月戊戌日子正一刻五分内一十一秒冬至辛亥十嵗正月丙戌朔十一月癸卯日卯正初刻十五分内一秒冬至壬子十一嵗正月庚辰朔十一月戊申日午正初刻九分内五十一秒冬至 應閏百五十一章癸丑十二嵗正月甲辰朔十一月癸丑日酉正初刻四分内四十一秒冬至甲寅十三嵗正月戊戌朔十一月己未日子初三刻十四分内三十一秒冬至乙卯十四嵗正月癸巳朔十一月甲子日卯初三刻九分内二十一秒冬至 應閏丙辰十五嵗正月丁巳朔十一月己巳日午初三刻四分内二十一秒冬至丁巳十六嵗正月辛亥朔十一月甲戌日酉初三刻十四分内一秒冬至戊午十七嵗正月乙巳朔十一月庚辰日子初二刻八分内五十一秒冬至 應閏己未十八嵗正月己巳朔十一月乙酉日卯初二刻三分内四十一秒冬至庚申十九嵗正月癸亥朔十一月庚寅日午初一刻十三分内三十一秒冬至 應閏辛酉二十嵗正月丁亥朔十一月乙未日酉初一刻八分内二十一秒冬至壬戌二十一嵗正月壬午朔十一月辛丑日子初一刻二分内一十一秒冬至癸亥二十二嵗正月丙午朔十一月丙午日卯初初刻十三分内一秒冬至日躔在虚一度之四十五分應閏甲子二十三嵗正月庚子朔十一月辛亥日午初初刻七分内五十一秒冬至乙丑二十四嵗正月乙未朔十一月丙辰日酉初初刻二分内四十一秒冬至丙寅二十五嵗正月己丑朔十一月辛酉日亥正三刻十二分内三十一秒冬至 應閏丁卯二十六嵗正月癸丑朔十一月丁卯日寅正三刻七分内二十一秒冬至戊辰二十七嵗正月丁未朔十一月壬申日巳正三刻二分内一十一秒冬至 應閏舉要商王發生子履癸己巳二十八嵗正月辛未朔十一月丁丑日申正二刻十二分内一秒冬至庚午二十九嵗正月丙寅朔十一月壬午日亥正二刻六分内五十一秒冬至辛未三十嵗正月庚申朔十一月戊子日寅正二刻一分内四十一秒冬至 應閏百五十二章壬申三十一嵗正月甲申朔十一月癸巳日巳正一刻十一分内三十一秒冬至后臯后孔甲子在位一十一嵗癸酉元嵗正月戊寅朔十一月戊戌日申正一刻六分内二十一秒冬至甲戌二嵗正月壬申朔十一月癸卯日亥正一刻一分内一十一秒冬至 應閏乙亥三嵗正月丙申朔十一月己酉日寅正初刻十一分内一秒冬至丙子四嵗正月辛卯朔十一月甲寅日巳正初刻五分内五十一秒冬至丁丑五嵗正月乙酉朔十一月己未日申初三刻十五分内四十一秒冬至 應閏戊寅六嵗正月己酉朔十二月甲子日亥初三刻十分内三十一秒冬至己卯七嵗正月甲辰朔十一月庚午日寅初三刻五分内二十一秒冬至 應閏庚戌年至此十一閏為一紀庚辰八嵗正月戊辰朔十一月乙亥日巳初二刻十五分内一十一秒冬至辛巳九嵗正月壬戌朔十一月庚辰日申初二刻十分内一秒冬至壬午十嵗正月丙辰朔十一月乙酉日亥初二刻四分内五十一秒冬至 應閏癸未十一嵗正月庚辰朔十一月辛卯日寅初一刻十四分内四十一秒冬至后發后臯子在位一十九嵗甲申元嵗正月甲戌朔十一月丙申日巳初一刻九分内三十一秒冬至乙酉二嵗正月戊辰朔十一月辛丑日申初一刻四分内二十一秒冬至 應閏丙戌三嵗正月壬辰朔十一月丙午日亥初初刻十四分内一十一秒冬至丁亥四嵗正月丁亥朔十一月壬子日寅初初刻九分内一秒冬至 應閏戊子五嵗正月辛亥朔十一月丁巳日巳初初刻三分内五十一秒冬至己丑六嵗正月乙巳朔十一日壬戌日未正三刻十三分内四十一秒冬至庚寅七嵗正月庚子朔十一月丁卯日戌正三刻八分内三十一秒冬至 應閏百五十三章辛卯八嵗正月甲子朔十一月癸酉日丑正三刻三分内二十一秒冬至壬辰九嵗正月戊午朔十一月戊寅日辰正二刻十三分内一十一秒冬至癸巳十嵗正月壬子朔十一月癸未日未正二刻八分内一秒冬至 應閏甲午十一嵗正月丙子朔十一月戊子日戌正二刻二分内五十一秒冬至乙未十二嵗正月庚午朔十一月甲午日丑正一刻十二分内四十一秒冬至丙申十三嵗正月乙丑朔十一月己亥日辰正一刻七分内三十一秒冬至 應閏丁酉十四嵗正月己丑朔十一月甲辰日未正一刻二分内二十一秒冬至戊戌十五嵗正月癸未朔十一月己酉日戌正初刻十二分内一十一秒冬至 應閏己亥十六嵗正月丁未朔十一月乙卯日丑正初刻七分内一秒冬至庚子十七嵗正月壬寅朔十一月庚申日辰正初刻一分内五十一秒冬至辛丑十八嵗正月丙申朔十一月乙丑日未初三刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬寅十九嵗正月庚申朔十一月庚午日戌初三刻六分内三十一秒冬至后癸后發子在位五十二嵗癸卯元嵗正月甲寅朔十一月丙子日丑初三刻一分内二十一秒冬至甲辰二嵗正月戊申朔十一月辛巳日辰初二刻十一分内一十一秒冬至 應閏乙巳三嵗正月壬申朔十一月丙戌日未初二刻六分内一秒冬至丙午四嵗正月丙寅朔十一月辛卯日戌初一刻十五分内五十一秒冬至 應閏丁未五嵗正月庚寅朔十一月丁酉日丑初一刻十分内四十一秒冬至戊申六嵗正月乙酉朔十一月壬寅日辰初一刻五分内三十一秒冬至己酉七嵗正月己卯朔十一月丁未日未初初刻十五分内二十一秒冬至 應閏百五十四章庚辰年至此十一閏又一紀庚戌八嵗正月癸卯朔十一月壬子日戌初初刻十分内一十一秒冬至辛亥九嵗正月丁酉朔十一月戊午日丑初初刻五分内一秒冬至壬子十嵗正月壬辰朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内五十一秒冬至 應閏癸丑十一嵗正月丙辰朔十一月戊辰日午正三刻九分内四十一秒冬至甲寅十二嵗正月庚戌朔十一月癸酉日酉正三刻四分内三十一秒冬至乙卯十三嵗正月甲辰朔十一月己卯日子正二刻十四分内二十一秒冬至 應閏丙辰十四嵗正月戊辰朔十一月甲申日卯正二刻九分内一十一秒冬至丁巳十五嵗正月壬戌朔十一月己丑日午正二刻四分内一秒冬至 應閏戊午十六嵗正月丙戌朔十一月甲午日酉正一刻十三分内五十一秒冬至己未十七嵗正月辛巳朔十一月庚子日子正一刻八分内四十一秒冬至庚申十八嵗正月乙亥朔十一月乙巳日卯正一刻三分内三十一秒冬至 應閏辛酉十九嵗正月己亥朔十一月庚戌日午正初刻十三分内二十一秒冬至壬戌二十嵗正月癸巳朔十一月乙卯日酉正初刻八分内一十一秒冬至癸亥二十一嵗正月戊子朔十一月辛酉日子正初刻三分内一秒冬至 應閏甲子二十二嵗正月壬子朔十一月丙寅日卯初三刻十二分内五十一秒冬至乙丑二十三嵗正月丙午朔十一月辛未日午初三刻七分内四十一秒冬至 應閏丙寅二十四嵗正月庚午朔十一月丙子日酉初三刻二分内三十一秒冬至丁卯二十五嵗正月甲子朔十一月壬午日子初二刻十二分内二十一秒冬至戊辰二十六嵗正月己未朔十一月丁亥日卯初二刻七分内一十一秒冬至 應閏百五十五章己巳二十七嵗正月癸未朔十一月壬辰日午初二刻三分内一秒冬至庚午二十八嵗正月丁丑朔十一月丁酉日酉初一刻十一分内五十一秒冬至辛未二十九嵗正月辛未朔十一月癸卯日子初一刻六分内四十一秒冬至 應閏壬申三十嵗正月乙未朔十一月戊申日卯初一刻一分内三十一秒冬至癸酉三十一嵗正月庚寅朔十一月癸丑日午初初刻十一分内二十一秒冬至甲戌三十二嵗正月甲申朔十一月戊午日酉初初刻六分内一十一秒冬至 應閏乙亥三十三嵗正月戊申朔十一月甲子日子初初刻一分内一秒冬至日躔在虚初度之四十五分丙子三十四嵗正月壬寅朔十一月己巳日寅正三刻十分内五十一秒冬至 應閏丁丑三十五嵗正月丙寅朔十一月甲戌日巳正三刻五分内四十一秒冬至戊寅三十六嵗正月庚申朔十一月己卯日申正二刻十五分内三十一秒冬至 商湯嗣侯位元年己卯三十七嵗正月乙卯朔十一月甲申日亥正二刻十分内二十一秒冬至 應閏庚戌年至此十一閏又一紀庚辰三十八嵗正月己卯朔十一月庚寅日寅正二刻五分内一十一秒冬至辛巳三十九嵗正月癸酉朔十一月乙未日巳正一刻十五分内一秒冬至壬午四十嵗正月丁卯朔十一月庚子日申正一刻九分内五十一秒冬至 應閏癸未四十一嵗正月辛卯朔十一月乙巳日亥正一刻四分内四十一秒冬至甲申四十二嵗正月丙戌朔十一月辛亥日寅正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏乙酉四十三嵗正月庚戌朔十一月丙辰日巳正初刻九分内二十一秒冬至丙戌四十四嵗正月甲辰朔十一月辛酉日申正初刻四分内一十一秒冬至丁亥四十五嵗正月戊戌朔十一月丙寅日亥初三刻十四分内一秒冬至 應閏百五十六章戊子四十六嵗正月壬戌朔十一月壬申日寅初三刻八分内五十一秒冬至己丑四十七嵗正月丙辰朔十一月丁丑日巳初二刻三分内四十一秒冬至庚寅四十八嵗正月辛亥朔十一月壬午日申初二刻十三分内三十一秒冬至 應閏辛卯四十九嵗正月乙亥朔十一月丁亥日亥初二刻八分内二十一秒冬至壬辰五十嵗正月己巳朔十一月癸巳日寅初二刻三分内一十一秒冬至癸巳五十一嵗正月癸亥朔十一月戊戌日巳初一刻十三分内一秒冬至 應閏甲午五十二嵗正月丁亥朔十一月癸卯日申初一刻七分内五十一秒冬至 此年十一月壬子朔即湯十八祀之嵗首元旦商成湯大紀以斗杓建丑冬十二月為嵗首是謂地統改嵗曰祀在位三十祀在王位十三祀乙未十八祀冬十二月壬子朔正月辛巳朔十一月戊申日亥初一刻二分内四十一秒冬至 商正建丑如改年始朝賀皆以丑月為嵗首是也至於敬授人時以治民事仍用寅月為正嵗此百王所同也故兼正月朔紀之應閏丙申十九祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月甲寅日寅初初刻十二分内三十一秒冬至丁酉二十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月己未日巳初初刻七分内二十一秒冬至戊戌二十一祀十二月甲子朔正月甲子朔十一月甲子日申初初刻二分内一十一秒冬至 應閏己亥二十二祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月己巳日戌正三刻十二分内一秒冬至庚子二十三祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月乙亥日丑正三刻六分内五十一秒冬至辛丑二十四祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月庚辰日辰正三刻一分内四十一秒冬至 應閏壬寅二十五祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月乙酉日未正二刻十一分内三十一秒冬至癸卯二十六祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月庚寅日戌正二刻六分内二十一秒冬至 應閏甲辰二十七祀十二月己未朔正月己丑朔十一月丙申日丑正一刻一分内一十一秒冬至乙巳二十八祀十二月癸丑朔正月癸未朔十一月辛丑日辰正一刻十一分内一秒冬至丙午二十九祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月丙午日未正一刻五分内五十一秒冬至 應閏百五十七章丁未三十祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月辛亥日戌正初刻十五分内四十一秒冬至太宗太甲湯嫡孫在位三十三祀戊申元祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月丁巳日丑正初刻十分内三十一秒冬至 書惟元祀十有二月乙丑蔡傳曰乙丑不繫朔非朔日也以今推之似是朔日若從史記世表添入外丙立二年仲壬立四年則甲寅為太甲元祀其嵗首十二月不得有乙丑己酉二祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月壬戌日辰正初刻五分内二十一秒冬至 應閏庚辰年至至此十一閏又一紀庚戌三祀十二月甲申朔正月甲寅朔十一月丁卯日未初三刻十五分内一十一秒冬至辛亥四祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月壬申日戌初三刻十分内一秒冬至壬子五祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月戊寅日丑初三刻四分内五十一秒冬至 應閏癸丑六祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月癸未日辰初二刻十四分内四十一秒冬至甲寅七祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月戊子日未初二刻九分内三十一秒冬至 應閏乙卯八祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月癸巳日戌初二刻四分内二十一秒冬至丙辰九祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月己亥日丑初一刻十四分内一十一秒冬至丁巳十祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月甲辰日辰初一刻九分内一秒冬至 應閏戊午十一祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月己酉日未初一刻三分内五十一秒冬至己未十二祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月甲寅日戌初初刻十三分内四十一秒冬至庚申十三祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月庚申日丑初初刻八分内三十一秒冬至 應閏辛酉十四祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月乙丑日辰初初刻三分内二十一秒冬至壬戌十五祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月庚午日午正三刻十三分内一十一秒冬至 應閏癸亥十六祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月乙亥日酉正三刻八分内一秒冬至甲子十七祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月辛巳日子正三刻二分内五十一秒冬至乙丑十八祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月丙戌日卯正二刻十二分内四十一秒冬至 應閏百五十八章丙寅十九祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月辛卯日午正二刻七分内三十一秒冬至丁卯二十祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月丙申日酉正二刻二分内二十一秒冬至戊辰二十一祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月壬寅日子正一刻十二分内一十一秒冬至 應閏己巳二十二祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月丁未日卯正一刻七分内一秒冬至庚午二十三祀十二月己未朔正月己丑朔十一月壬子日午正一刻一分内五十一秒冬至辛未二十四祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丁巳日酉正初刻十一分内四十一秒冬至 應閏壬申二十五祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月癸亥日子正初刻六分内三十一秒冬至癸酉二十六祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月戊辰日卯正初刻一分内二十一秒冬至 應閏甲戌二十七祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月癸酉日午初三刻十一分内一十一秒冬至乙亥二十八祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月戊寅日酉初三刻六分内一秒冬至丙子二十九祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月甲申日子初三刻十五分内五十一秒冬至 應閏丁丑三十祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月己丑日卯初二刻十分内四十一秒冬至戊寅三十一祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月甲午日午初二刻五分内三十一秒冬至己卯三十二祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己亥日酉初一刻十五分内二十一秒冬至 應閏庚戌年至此十一閏又一紀庚辰三十三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月乙巳日子初一刻十分内一十一秒冬至沃丁太甲之子在位二十九祀辛巳元祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月庚戌日卯初一刻五分内一秒冬至 應閏壬午二祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月乙卯日午初初刻十四分内五十一秒冬至癸未三祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月庚申日酉初初刻九分内四十一秒冬至甲申四祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月丙寅日子初初刻四分内三十一秒冬至 應閏百五十九章乙酉五祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月辛未日寅正三刻十四分内二十一秒冬至丙戌六祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月丙子日巳正三刻九分内一十一秒冬至丁亥七祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至日躔在女餘數之二十四分 應閏全史日至源流卷十四
## 卷十五
欽定四庫全書全史日至源流卷十五山東道御史許伯政撰壬子運十五(每期三百六十五日二時七刻九分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分八秒二十微小寒十四日八時四刻四分五十八秒二十微大寒十四日九時一刻十分一十三秒二十微立春十四日十時一刻六分一十三秒二十微雨水十四日十一時三刻四分一十三秒二十微驚蟄十五日零七刻零八秒二十微春分十五日二時三刻八分五十八秒二十微清明十五日四時零七分五十八秒二十微穀雨十五日五時四刻八分零三秒二十微立夏十五日六時七刻零八秒二十微小滿十五日八時零三分零三秒二十微芒種十五日八時三刻十分零八秒二十微夏至十五日八時七刻零八秒二十微小暑十五日八時五刻三分八秒二十微大暑十五日八時零八分八秒二十微立秋十五日七時零一十一分八秒二十微處暑十五日五時六刻六分八秒二十微白露十五日四時三刻九分一十三秒二十微秋分十五日二時四刻十一分一十八秒二十微寒露十五日一時一刻八分一十三秒二十微霜降十四日十一時五刻五分八秒二十微立冬十四日十時二刻十一分一十八秒二十微小雪十四日九時二刻十二分一十三秒二十微大雪十四日八時五刻十分八秒二十微戊子八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月丙戌日亥正二刻十三分内三十二秒冬至己丑九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月壬辰日寅正二刻八分内一秒冬至庚寅十祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月丁酉日巳正二刻二分内三十一秒冬至 應閏辛卯十一祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月壬寅日申正一刻十二分内一秒冬至壬辰十二祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丁未日亥正一刻六分内三十一秒冬至 應閏癸巳十三祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月癸丑日寅正一刻一分内一秒冬至甲午十四祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月戊午日巳正初刻十分内三十一秒冬至乙未十五祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月癸亥日申正初刻五分内一秒冬至 應閏丙申十六祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月戊辰日亥初三刻十四分内三十一秒冬至丁酉十七祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月甲戌日寅初三刻九分内一秒冬至戊戌十八祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月己卯日巳初三刻三分内三十一秒冬至 應閏己亥十九祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月甲申日申初二刻十三分内一秒冬至庚子一十祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月己丑日亥初二刻七分内三十一秒冬至 應閏辛丑一十一祀十二月己未朔正月戊子朔十一月乙未日寅初二刻二分内一秒冬至壬寅二十二祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月庚子日巳初一刻十一分内三十一秒冬至癸卯二十三祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月乙巳日申初一刻六分内一秒冬至 應閏百六十章甲辰二十四祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月庚戌日亥初初刻十五分内三十一秒冬至乙巳二十五祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月丙辰日寅初初刻十分内一秒冬至丙午二十六祀十二月己未朔正月己丑朔十一月辛酉日巳初初刻四分内三十一秒冬至 應閏丁未二十七祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月丙寅日未正三刻十四分内一秒冬至戊申二十八祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月辛未日戌正三刻八分内三十一秒冬至己酉二十九祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丁丑日丑正三刻三分内一秒冬至 應閏庚辰年至此十一閏又一紀太庚沃丁弟在位二十五祀庚戌元祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月壬午日辰正二刻十二分内三十一秒冬至辛亥二祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月丁亥日未正二刻七分内一秒冬至 應閏壬子三祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月壬辰日戌正二刻一分内三十一秒冬至癸丑四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月戊戌日丑正一刻十一分内一秒冬至甲寅五祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月癸卯日辰正一刻五分内三十一秒冬至 應閏乙卯六祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月戊申日未正初刻十五分内一秒冬至丙辰七祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月癸丑日戌正初刻九分内三十一秒冬至丁巳八祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月己未日丑正初刻四分内一秒冬至 應閏戊午九祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月甲子日辰初三刻十三分内三十一秒冬至己未十祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月己巳日未初三刻八分内一秒冬至 應閏庚申十一祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月甲戌日戌初三刻二分内三十一秒冬至辛酉十二祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月庚辰日丑初二刻十二分内一秒冬至壬戌十三祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月乙酉日辰初二刻六分内三十一秒冬至 應閏百六十二章癸亥十四祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月庚寅日未初二刻一分内一秒冬至甲子十五祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月乙未日戌初一刻十分内三十一秒冬至乙丑十六祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月辛丑日丑初一刻五分内一秒冬至 應閏丙寅十七祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月丙午日辰初初刻十四分内三十一秒冬至丁卯十八祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月辛亥日未初初刻九分内一秒冬至戊辰十九祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月丙辰日戌初初刻三分内三十一秒冬至 應閏己巳二十祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月壬戌日子正三刻十三分内一秒冬至庚午二十一祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丁卯日卯正三刻七分内三十一秒冬至 應閏辛未二十二祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月壬申日午正三刻二分内一秒冬至壬申二十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月丁丑日酉正二刻十一分内三十一秒冬至癸酉二十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月癸未日子正二刻六分内一秒冬至 應閏甲戌二十五祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月戊子日卯正一刻十五分内三十一秒冬至小甲太庚子在位一十七祀乙亥元祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月癸巳日午正一刻十分内一秒冬至丙子二祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月戊戌日酉正一刻四分内三十一秒冬至 應閏丁丑三祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月甲辰日子正初刻十四分内一秒冬至戊寅四祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月己酉日卯正初刻八分内三十一秒冬至 應閏庚戌年至此十一閏一紀縮一年下起己卯己卯五祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月甲寅日午正初刻三分内一秒冬至庚辰六祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月己未日酉初三刻十二分内三十一秒冬至辛巳七祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月乙丑日子初三刻七分内一秒冬至 應閏百六十二章壬午八祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月庚午日卯初三刻一分内三十一秒冬至癸未九祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月乙亥日午初二刻十一分内一秒冬至甲申十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月庚辰日酉初二刻五分内三十一秒冬至 應閏乙酉十一祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月丙戌日子初一刻十五分内一秒冬至丙戌十二祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月辛卯日卯初一刻九分内三十一秒冬至丁亥十三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丙申日午初一刻四分内一秒冬至 應閏戊子十四祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月辛丑日酉初初刻十三分内三十一秒冬至己丑十五祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月丁未日子初初刻八分内一秒冬至 應閏庚寅十六祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月壬子日卯初初刻二分内三十一秒冬至辛卯十七祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月丁巳日巳正三刻十二分内一秒冬至雍巳小甲弟在位一十二祀壬辰元祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月壬戌日申正三刻六分内三十一秒冬至 應閏癸巳二祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月丁卯日亥正三刻一分内一秒冬至甲午三祀十二月辛巳朔正月辛亥朔十一月癸酉日寅正二刻十分内三十一秒冬至乙未四祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月戊寅日巳正二刻五分内一秒冬至 應閏丙申五祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月癸未日申正一刻十四分内三十一秒冬至丁酉六祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月戊子日亥正一刻九分内一秒冬至 應閏戊戌七祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月甲午日寅正一刻三分内三十一秒冬至己亥八祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月己亥日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在女十度之二十四分庚子九祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月甲辰日申正初刻七分内三十一秒冬至 應閏百六十三章辛丑十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月己酉日亥正初刻二分内一秒冬至壬寅十一祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月己卯日寅初三刻十一分内三十一秒冬至癸卯十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月庚申日巳初三刻六分内一秒冬至 應閏中宗大戊雍己弟在位七十五祀甲辰元祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月乙丑日申初二刻十五分内三十一秒冬至乙巳二祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月庚午日亥初二刻十分内一秒冬至丙午三祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月丙子日寅初二刻四分内三十一秒冬至 應閏丁未四祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月辛巳日巳初一刻十四分内一秒冬至戊申五祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月丙戌日申初一刻八分内三十一秒冬至 應閏己卯年至此十一閏為一紀己酉六祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月辛卯日亥初一刻三分内一秒冬至庚戌七祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月丁酉日寅初初刻十二分内三十一秒冬至辛亥八祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月壬寅日巳初初刻七分内一秒冬至 應閏壬子九祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月丁未日申初初刻一分内三十一秒冬至癸丑十祀十二月辛酉朔正月庚寅朔十一月壬子日戌正三刻十一分内一秒冬至甲寅十一祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月戊午日丑正三刻五分内三十一秒冬至 應閏乙卯十二祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月癸亥日辰正二刻十五分内一秒冬至丙辰十三祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月戊辰日未正二刻九分内三十一秒冬至 應閏丁巳十四祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月癸酉日戌正二刻四分内一秒冬至戊午十五祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月己卯日丑正二刻十三分内三十一秒冬至己未十六祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月甲申日辰正一刻八分内一秒冬至 應閏百六十四章庚申十七祀十二月丙戌朔正月己卯朔十一月己丑日未正一刻二分内三十一秒冬至辛酉十八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月甲午日戌正初刻十二分内一秒冬至壬戌十九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月庚子日丑正初刻六分内三十一秒冬至 應閏癸亥二十祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月乙巳日辰正初刻一分内一秒冬至甲子二十一祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月庚戌日未初三刻十分内三十一秒冬至乙丑二十二祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月乙卯日戌初三刻五分内一秒冬至 應閏丙寅二十三祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月辛酉日丑初二刻十四分内三十一秒冬至丁卯二十四祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丙寅日辰初二刻九分内一秒冬至 應閏戊辰二十五祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月辛未日未初二刻三分内三十一秒冬至己巳二十六祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月丙子日戌初一刻十三分内一秒冬至庚午二十七祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月壬午日丑初一刻七分内三十一秒冬至 應閏辛未二十八祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月丁亥日辰初一刻二分内一秒冬至壬申二十九祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月壬辰日未初初刻十一分内三十一秒冬至癸酉三十祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月丁酉日戌初初刻六分内一秒冬至 應閏甲戌三十一祀十二月己未朔正月戊子朔十一月癸卯日子正三刻十九分内三十一秒冬至乙亥三十二祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月戊申日卯正三刻十分内一秒冬至 應閏丙子三十三祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月癸丑日午正三刻四分内三十一秒冬至丁丑三十四祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月戊午日酉正二刻十四分内一秒冬至戊寅三十五祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月甲子日子正二刻八分内三十一秒冬至 應閏百六十五章己酉年至此十一閏又一紀己卯三十六祀十二月己丑朔正月己未朔十一月己巳日卯正二刻三分内一秒冬至庚辰三十七祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月甲戌日午正一刻十二分内三十一秒冬至辛巳三十八祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月己卯日酉正一刻七分内一秒冬至 應閏壬午三十九祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月乙酉日子正一刻一分内三十一秒冬至癸未四十祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月庚寅日卯正初刻十一分内一秒冬至甲申四十一祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月乙未日午正初刻五分内三十一秒冬至 應閏乙酉四十二祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月庚子日酉初三刻十五分内一秒冬至丙戌四十三祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丙午日子初三刻九分内三刻九分内三十一秒冬至應閏丁亥四十四祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月辛亥日卯初三刻四分内一秒冬至戊子四十五祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月丙辰日午初二刻十三分内三十一秒冬至己丑四十六祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月辛酉日酉初二刻八分内一秒冬至 應閏庚寅四十七祀十二月乙酉朔正月乙卯朔十一月丁卯日子初二刻二分内三十一秒冬至辛卯四十八祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月壬申日卯初一刻十二分内一秒冬至壬辰四十九祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丁丑日午初一刻六分内三十一秒冬至 應閏癸巳五十祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月壬午日酉初一刻一分内一秒冬至甲午五十一祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月戊子日子初初刻十分内三十一秒冬至 應閏乙未五十二祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月癸巳日卯初初刻五分内一秒冬至丙申五十三祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月戊戌日巳正三刻四分内三十一秒冬至丁酉五十四祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月癸卯日申正三刻九分内一秒冬至 應閏百六十六章戊戌五十五祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月戊申日亥正三刻三分内三十一秒冬至己亥五十六祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月甲寅日寅正二刻十三分内一秒冬至庚子五十七祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月己未日巳正二刻七分内三十一秒冬至 應閏辛丑五十八祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月甲子日申正二刻二分内一秒冬至壬寅五十九祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月己巳日亥正一刻十一分内三十一秒冬至癸卯六十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月乙亥日寅正一刻六分内一秒冬至 應閏甲辰六十一祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月庚辰日巳正初刻十五分内三十一秒冬至乙巳六十二祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月乙酉日申正初刻十分内一秒冬至 應閏丙午六十三祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月庚寅日亥正初刻四分内三十一秒冬至丁未六十四祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月丙申日寅初三刻十四分内一秒冬至戊申六十五祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月辛丑日巳初三刻八分内三十一秒冬至 應閏己卯年至此十一閏又一紀己酉六十六祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月丙午日申初三刻三分内一秒冬至庚戌六十七祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月辛亥日亥初二刻十二分内三十一秒冬至辛亥六十八祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丁巳日寅初二刻七分内一秒冬至日躔在女九度之二十四分 應閏壬子六十九祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月壬戌日巳初二刻一分内三十一秒冬至癸丑七十祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丁卯日申初一刻十一分内一秒冬至 應閏甲寅七十一祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月壬申日亥初一刻五分内三十一秒冬至乙卯七十二祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月戊寅日寅初初刻十五分内一秒冬至丙辰七十三祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月癸未日巳初初刻九分内三十一秒冬至 應閏百六十七章丁巳七十四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月戊子日申初初刻四分内一秒冬至戊午七十五祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月癸巳日戌正三刻十三分内三十一秒冬至仲丁中宗子在位十三祀己未元祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月己亥日丑正三刻八分内一秒冬至 應閏庚申二祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月甲辰日辰正三刻二分内三十一秒冬至辛酉三祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月己酉日未正二刻十二分内一秒冬至壬戌四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月甲寅日戌正二刻六分内三十一秒冬至 應閏癸亥五祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月庚申日丑正二刻一分内一秒冬至甲子六祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月乙丑日辰正一刻十分内三十一秒冬至 應閏乙丑七祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月庚午日未正一刻五分内一秒冬至丙寅八祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月乙亥日戌正初刻十四分内三十一秒冬至丁卯九祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月辛巳日丑正初刻九分内一秒冬至戊辰十祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月丙戌日辰正初刻三分内三十一秒冬至己巳十一祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月辛卯日未初三刻十三分内一秒冬至庚午十二祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月丙申日戌初三刻七分内三十一秒冬至 應閏辛未十三祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月壬寅日丑初三刻二分内一秒冬至外壬仲丁弟在位一十五祀壬申元祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丁未日辰初二刻十一分内三十一秒冬至 應閏癸酉二祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月壬子日未初二刻六分内一秒冬至甲戌三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丁巳日戌初一刻十五分内三十一秒冬至乙亥四祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月癸亥日丑初一刻十分内一秒冬至 應閏百六十八章丙子五祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月戊辰日辰初一刻四分内三十一秒冬至丁丑六祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月癸酉日未初初刻十四分内一秒冬至戊寅七祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月戊寅日戌初初刻八分内三十二秒冬至 應閏己酉年至此十一閏又一紀己卯八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月甲申日丑初初刻三分内一秒冬至庚辰九祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月己丑日卯正三刻十二分内三十一秒冬至辛巳十祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月甲午日午正三刻七分内一秒冬至 應閏壬午十一祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月己亥日酉正三刻一分内三十一秒冬至癸未十二祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月乙巳日子正二刻十一分内一秒冬至甲申十三祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月庚戌日卯正二刻五分内三十一秒冬至乙酉十四祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月乙卯日午正一刻十五分内一秒冬至丙戌十五祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月庚申日酉正一刻九分内三十一秒冬至 應閏河亶甲外壬弟在位九祀丁亥元祀十二月甲申朔正月甲寅朔十一月丙寅日子正一刻四分内一秒冬至戊子二祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月辛未日卯正初刻十三分内三十一秒冬至己丑三祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月丙子日午正初刻八分内一秒冬至 應閏庚寅四祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月辛巳日酉正初刻二分内三十一秒冬至辛卯五祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丁亥日子初三刻十二分内一秒冬至 應閏壬辰六祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月壬辰日卯初三刻六分内三十一秒冬至癸巳七祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月丁酉日午初三刻一分内一秒冬至甲午八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月壬寅日酉初二刻十分内三十一秒冬至 應閏百六十九章乙未九祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月戊申日子初二刻五分内一秒冬至祖乙河亶甲子在位一十九祀丙申元祀十二月壬戌朔正月壬辰朔十一月癸丑日卯初一刻十四分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月戊午日午初一刻九分内一秒冬至 應閏戊戌三祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月癸亥日酉初一刻三分内三十一秒冬至己亥四祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月戊辰夜子初初刻十三分内一秒冬至庚子五祀十二月己丑朔正月己亥朔十一月甲戌日卯初初刻七分内三十一秒冬至 應閏辛丑六祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月己卯日午初初刻二分内一秒冬至壬寅七祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月甲申日申正三刻十一分内三十一秒冬至 應閏癸卯八祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月己丑日亥正三刻六分内一秒冬至甲辰九祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月乙未日寅正二刻十五分内三十一秒冬至乙巳十祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月庚子日巳正二刻十分内一秒冬至 應閏丙午十一祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月乙巳日申正二刻四分内三十一秒冬至丁未十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月庚戌日亥正一刻十四分内一秒冬至戊申十三祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丙辰日寅正一刻八分内三十一秒冬至 應閏己卯年至此十一閏又一紀己酉十四祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月辛酉日巳正一刻三分内一秒冬至庚戌十五祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月丙寅日申正初刻十二分内三十一秒冬至 應閏辛亥十六祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月辛未日亥正初刻七分内一秒冬至壬子十七祀十二月己丑朔正月己未朔十一月丁丑日寅正初刻一分内三十一秒冬至癸丑十八祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月壬午日巳初三刻十一分内一秒冬至 應閏百七十章甲寅十九祀十二月丁未朔正月丁巳朔十一月丁亥日申初三刻五分内三十一秒冬至祖辛祖乙子在位一十六祀乙卯元祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月壬辰日亥初二刻十五分内一秒冬至丙辰二祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月戊戌日寅初二刻九分内三十一秒冬至 應閏丁巳三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月癸卯日巳初二刻四分内一秒冬至戊午四祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月戊申日申初一刻十三分内三十一秒冬至己未五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月癸丑日亥初一刻八分内一秒冬至 應閏庚申六祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月己未日寅初一刻二分内三十一秒冬至辛酉七祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月甲子日巳初初刻十二分内一秒冬至 應閏壬戌八祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月己巳日申初初刻六分内三十一秒冬至癸亥九祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月甲戌日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在女八度之二十四分全史日至源流卷十五
## 卷十六
欽定四庫全書全史日至源流卷十六山東道御史許伯政撰壬子運十六(每期三百六十五日二時七刻九分十秒)冬至十四日八時三刻十四分七秒三十微小寒十四日八時四刻四分五十七秒三十㣲大寒十四日九時一刻十分一十二秒三十㣲立春十四日十時一刻六分一十二秒三十微雨水十四日十一時三刻四分一十二秒三十微驚蟄十五日零七刻零七秒三十微春分十五日二時三刻八分五十七秒三十㣲清明十五日四時零七分五十七秒三十微穀雨十五日五時四刻八分零二秒三十微立夏十五日六時七刻零七秒三十微小滿十五日八時零三分零二秒三十微芒種十五日八時三刻十分零七秒三十微夏至十五日八時七刻零七秒三十微小暑十五日八時五刻三分零七秒三十微大暑十五日八時零八分七秒三十微立秋十五日七時零十一分七秒三十微處暑十五日五時六刻六分七秒三十微白露十五日四時三刻九分一十二秒三十㣲秋分十五日二時四刻十一分一十七秒三十微寒露十五日一時一刻八分一十二秒三十㣲霜降十四日十一時五刻五分七秒三十微立冬十四日十時二刻十一分一十七秒三十微小雪十四日九時二刻十二分一十二秒三十微大雪十四日八時五刻十分七秒三十微甲子十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月庚辰日丑正三刻十分内一十一秒冬至乙丑十一祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月乙酉日辰正三刻四分内二十一秒冬至丙寅十二祀十二月戊戌朔正月丁夘朔十一月庚寅日未正二刻十三分内三十一秒冬至丁卯十三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月乙未日戌正二刻七分内四十一秒冬至 應閏戊辰十四祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月辛丑日丑正二刻一分内五十一秒冬至己巳十五祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月丙午日辰正一刻十一分内一秒冬至 應閏庚午十六祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月辛亥日未正一刻五分内一十一秒冬至沃甲祖辛弟在位二十五祀辛未元祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丙辰日戌正初刻十四分内二十一秒冬至壬申二祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月壬戌日丑正初刻八分内三十一秒冬至 應閏百七十一章癸酉三祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月丁卯日辰正初刻二分内四十一秒冬至甲戌四祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月壬申日未初三刻十一分内五十一秒冬至乙亥五祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月丁丑日戌初三刻六分内一秒冬至 應閏丙子六祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月癸未日丑初二刻十五分内一十一杪冬至丁丑七祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月戊子日辰初二刻九分内二十一秒冬至戊寅八祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月癸巳日未初二刻三分内三十一秒冬至 應閏己酉年至此十一閏又一紀己卯九祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月戊戌日戌初一刻十二分内四十一秒冬至庚辰十祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月甲辰日丑初一刻六分内五十一秒冬至 應閏辛巳十一祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月己酉日辰初一刻一分内一秒冬至壬午十二祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月甲寅日未初初刻十分内一十一秒冬至癸未十三祀十二月己未朔正月己丑朔十一月己未日戌初初刻四分内二十一秒冬至 應閏甲申十四祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月乙丑日子正三刻十三分内三十一秒冬至乙酉十五祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月庚午日卯正三刻七分内四十一秒冬至丙戌十六祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月乙亥日午正三刻一分内五十一秒冬至 應閏丁亥十七祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月庚辰日酉正二刻十一分内一秒冬至戊子十八祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月丙戌日子正二刻五分内一十一秒冬至 應閏己丑十九祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月辛卯日卯正一刻十四分内二十一秒冬至庚寅二十祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丙申日午正一刻八分内三十一秒冬至辛卯二十一祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月辛丑日酉正一刻二分内四十一秒冬至 應閏百七十二章壬辰二十二祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月丁未日子正初刻十一分内五十一秒冬至癸巳二十三祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月壬子日卯正初刻六分内一秒冬至甲午二十四祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月丁巳日午初三刻十五分内一十一秒冬至 應閏乙未二十五祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月壬戌日酉初三刻九分内二十一秒冬至祖丁祖辛子在位三十二祀丙申元祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丁卯夜子初三刻三分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月癸酉日卯初二刻十二分内四十一秒冬至 應閏戊戌三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月戊寅日午初二刻六分内五十一秒冬至己亥四祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月癸未日酉初二刻一分内一秒冬至 應閏庚子五祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月己丑日夜子初一刻十分内一十一秒冬至辛丑六祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月甲午日卯初一刻四分内二十一秒冬至壬寅七祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月己亥日午初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸卯八祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月甲辰日酉初初刻七分内四十一秒冬至甲辰九祀十二月丁巳朔正月丁亥朔十一月己酉日夜子初刻二分内五十一秒冬至乙巳十祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月乙卯日寅正三刻十一分内一秒冬至 應閏丙午十一祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月庚申日巳正三刻五分内一十一秒冬至丁未十二祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月乙丑日申正二刻十四分内二十一秒冬至 應閏己卯年至此十一閏一紀縮一年下起戊申戊申十三祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月庚午日亥正二刻八分内三十一秒冬至己酉十四祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月丙子日寅正二刻二分内四十一秒冬至庚戌十五祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月辛巳日巳正一刻十一分内五十一秒冬至 應閏百七十三章辛亥十六祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月丙戌日申正一刻六分内一秒冬至壬子十七祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月辛卯日亥正初刻十五分内一十一秒冬至癸丑十八祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月丁酉日寅正初刻九分内二十一秒冬至 應閏甲寅十九祀十二月己未朔正月己丑朔十一月壬寅日巳正初刻三分内三十一秒冬至乙卯二十祀十二月癸丑朔正月癸未朔十一月丁未日申初三刻十二分内四十一秒冬至丙辰二十一祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月壬子日亥初三刻六分内五十一秒冬至 應閏丁巳二十二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月戊午日寅初三刻一分内一秒冬至戊午二十三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月癸亥日巳初二刻十分内一十一秒冬至 應閏己未二十四祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月戊辰日申初二刻四分内二十一秒冬至庚申二十五祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月癸酉日亥初一刻十三分内三十一秒冬至辛酉二十六祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月己卯日寅初一刻七分内四十一秒冬至 應閏壬戌二十七祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月甲申日巳初一刻一分内五十一秒冬至癸亥二十八祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己丑日申初初刻十一分内一秒冬至甲子二十九祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月甲午日亥初初刻五分内一十一秒冬至 應閏乙丑三十祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月庚子日丑正三刻十四分内二十一秒冬至丙寅三十一祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月乙巳日辰正三刻八分内三十一秒冬至丁卯三十二祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月庚戌日未正三刻二分内四十一秒冬至南庚沃甲子在位二十五祀戊辰元祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月乙卯日戌正二刻十一分内五十一秒冬至己巳二祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月辛酉日丑正二刻六分内一秒冬至 應閏百七十四章庚午三祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月丙寅日辰正一刻十五分内一十一秒冬至辛未四祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月辛未日未正一刻九分内二十一秒冬至壬申五祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月丙子日戌正一刻三分内三十一秒冬至 應閏癸酉六祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月壬午日丑正初刻十二分内四十一秒冬至甲戌七祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月丁亥日辰正初刻六分内五十一秒冬至乙亥八祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月壬辰日未正初刻一分内一秒冬至日躔在女七度之二十四分 應閏丙子九祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丁酉日戌初三刻十分内一十一秒冬至丁丑十祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月癸卯日丑初三刻四分内二十一秒冬至 應閏戊申年至此十一閏為一紀戊寅十一祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月戊申日辰初二刻十三分内三十一秒冬至己卯十二祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月癸丑日未初二刻七分内四十一秒冬至庚辰十三祀十二月己未朔正月戊子朔十一月戊午日戌初二刻一分内五十一秒冬至 應閏辛巳十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月甲子日丑初一刻十一分内一秒冬至壬午十五祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月己巳日辰初一刻五分内一十一秒冬至癸未十六祀十二月辛亥朔正月辛丑朔十一月甲戌日未初初刻十四分内二十一秒冬至 應閏甲申十七祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月己卯日戌初初刻八分内三十一秒冬至乙酉十八祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月乙酉日丑初初刻二分内四十一秒冬至 應閏丙戌十九祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月庚寅日卯正三刻十一分内五十一秒冬至丁亥二十祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月乙未日午正三刻六分内一秒冬至戊子二十一祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月庚子日酉正二刻十五分内一十一秒冬至 應閏百七十五章己丑二十二祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月丙午日子正二刻九分内二十二秒冬至庚寅二十三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月辛亥日卯正二刻三分内三十一秒冬至辛卯二十四祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月丙辰日午正一刻十二分内四十一秒冬至 應閏壬辰二十五祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月辛酉日酉正一刻六分内五十一秒冬至陽甲祖丁子在位七祀癸巳元祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月丁卯日子正一刻一分内一秒冬至甲午二祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月壬申日卯正初刻十分内一十一秒冬至 應閏乙未三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丁丑日午正初刻四分内二十一秒冬至丙申四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月壬午日酉初三刻十三分内三十一秒冬至 應閏丁酉五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月戊子日夜子初三刻七分内四十一秒冬至戊戌六祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月癸巳日卯初三刻一分内五十一秒冬至己亥七祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月戊戌日午初二刻十一分内一秒冬至 應閏盤庚陽甲弟改號曰殷在位二十八祀庚子元祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月癸卯日酉初二刻五分内一十一秒冬至辛丑二祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月己酉日子初一刻十四分内二十一秒冬至壬寅三祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月甲寅日卯初一刻八分内三十一秒冬至 應閏癸卯四祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月己未日午初一刻二分内四十一秒冬至甲辰五祀十二月己巳朔正月戊戊朔十一月甲子日酉初初刻十一分内五十一秒冬至 應閏乙巳六祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月己巳日夜子初初刻六分内一秒冬至丙午七祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月乙亥日寅正三刻十五分内一十一秒冬至丁未八祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月庚辰日巳正三刻九分内二十一秒冬至 應閏百七十六章戊寅年至此十一閏又一紀戊申九祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月乙酉日申正三刻三分内三十一秒冬至己酉十祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月庚寅日亥正二刻十二分内四十一秒冬至庚戌十一祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月丙申日寅正二刻六分内五十一秒冬至 應閏辛亥十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月辛丑日巳正二刻一分内一秒冬至壬子十三祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丙午日申正一刻十分内一十一秒冬至癸丑十四祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月辛亥日亥正一刻四分内二十一秒冬至 應閏甲寅十五祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月丁巳日寅正初刻十三分内三十一秒冬至乙卯十六祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月壬戌日巳正初刻七分内四十一秒冬至 應閏丙辰十七祀十二月己丑朔正月己未朔十一月丁卯日申正初刻一分内五十一秒冬至丁巳十八祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月壬申日亥初三刻十一分内一秒冬至戊午十九祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月戊寅日寅初三刻五分内一十一秒冬至 應閏己未二十祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月癸未日巳初二刻十四分内二十一秒冬至庚申二十一祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月戊子日申初二刻八分内三十一秒冬至辛酉二十二祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月癸巳日亥初二刻二分内四十一秒冬至 應閏壬戌二十三祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月己亥日寅初一刻十一分内五十一秒冬至癸亥二十四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月甲辰日巳初一刻六分内一秒冬至 應閏甲子二十五祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月己酉日申初初刻十五分内一十一秒冬至乙丑二十六祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月甲寅日亥初初刻九分内二十一秒冬至丙寅二十七祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月庚申日寅初初刻三分内三十一秒冬至應閏百七十七章丁卯二十八祀十二月乙酉朔正月乙卯朔十一月乙丑日辰正三刻十二分内四十一秒冬至小辛盤庚弟在位二十一祀戊辰元祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月庚午日未正三刻六分内五十一秒冬至己巳二祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月乙亥日戌正三刻一分内一秒冬至 應閏庚午三祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月辛巳日丑正二刻十分内一十一秒冬至辛未四祀十二月癸巳朔正月壬戊朔十一月丙戌日辰正二刻四分内二十一秒冬至壬申五祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月辛卯日未正一刻十三分内三十一秒冬至 應閏癸酉六祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丙申日戌正一刻七分内四十一秒冬至甲戌七祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月壬寅日丑正一刻一分内五十一秒冬至 應閏乙亥八祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丁未日辰正初刻十一分内一秒冬至丙子九祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月壬子日未正初刻五分内一十一秒冬至丁丑十祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月丁巳日戌初三刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊申年至此十一閏又一紀戊寅十一祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月癸亥日丑初三刻八分内三十一秒冬至己卯十二祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月戊辰日辰初三刻二分内四十一秒冬至庚辰十三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月癸酉日未初二刻十一分内五十一秒冬至 應閏辛巳十四祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月戊寅日戌初二刻六分内一秒冬至壬午十五祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月甲申日丑初一刻十五分内一十一秒冬至癸未十六祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月己丑日辰初一刻九分内二十一秒冬至甲申十七祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月甲午日未初一刻三分内三十一秒冬至乙酉十八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月己亥日亥初初刻十二分内四十一秒冬至 應閏百七十八章丙戌十九祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月乙巳日丑初初刻六分内五十一秒冬至丁亥二十祀十二月己未朔正月己丑朔十一月庚戌日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在女六度之二十四分戊子二十一祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月乙卯日午正三刻十分内一十一秒冬至 應閏小乙小辛弟在位二十八祀己丑元祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月庚申日酉正三刻四分内二十一秒冬至庚寅二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丙寅日子正二刻十三分内三十一秒冬至辛卯三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月辛未日卯正二刻七分内四十一秒冬至 應閏壬辰四祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月丙子日午正二刻一分内五十一秒冬至癸巳五祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月辛巳日酉正一刻十一分内一秒冬至 應閏甲午六祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丁亥日子正一刻五分内一十一秒冬至乙未七祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月壬辰日卯正初刻十四分内二十一秒冬至丙申八祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月丁酉日午正初刻八分内三十一秒冬至 應閏丁酉九祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月壬寅日酉正初刻二分内四十一秒冬至戊戌十祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月戊申日子初三刻十一分内五十一秒冬至己亥十一祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月癸丑日卯初三刻六分内一秒冬至 應閏庚子十二祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月戊午日午初二刻十五分内一十一秒冬至辛丑十三祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月癸亥日酉初二刻九分内二十一秒冬至 應閏壬寅十四祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月己巳日夜子初二刻三分内三十一秒冬至癸卯十五祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月甲戌日卯初一刻十二分内四十一秒冬至甲辰十六祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月己卯日午初一刻六分内五十一秒冬至 應閏百七十九章乙巳十七祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月甲申日酉初一刻一分内一秒冬至丙午十八祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月庚寅日夜子初初刻十分内一十一秒冬至丁未十九祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月乙未日卯初初刻四分内二十一秒冬至 應閏戊寅年至此十一閏又一紀戊申二十祀十二月丁巳朔正月丁亥朔十一月庚子日巳正三刻十三分内三十一秒冬至己酉二十一祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月乙巳日申正三刻七分内四十一秒冬至庚戌二十二祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月庚戌日亥正三刻一分内五十一秒冬至 應閏辛亥二十三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丙辰日寅正二刻十一分内一秒冬至壬子二十四祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月辛酉日巳正二刻五分内一十一秒冬至癸丑二十五祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月丙寅日申正一刻十四分内二十一秒冬至甲寅二十六祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月辛未日亥正一刻八分内三十一秒冬至乙卯二十七祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月丁丑日寅正一刻二分内四十一秒冬至 應閏丙辰二十八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月壬午日巳正初刻十一分内五十一秒冬至高宗武丁小乙子在位五十九祀丁巳元祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月丁亥日申正初刻六分内一秒冬至戊午二祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月壬辰日亥初三刻十五分内一十一秒冬至 應閏己未三祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月戊戌日寅初三刻九分内二十一秒冬至庚申四祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月癸卯日巳初三刻三分内三十一秒冬至辛酉五祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月戊申日申初二刻十二分内四十一秒冬至壬戌六祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月癸丑日亥初二刻六分内五十一秒冬至癸亥七祀十二月辛酉朔正月庚寅朔十一月己未日寅初二刻一分内一秒冬至 應閏百八十章甲子八祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月甲子日巳初一刻十分内一十一秒冬至乙丑九祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月乙巳日申初一刻四分内二十一秒冬至丙寅十祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月甲戌日亥初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏丁卯十一祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月庚辰日寅初初刻七分内四十一秒冬至戊辰十二祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月乙酉日巳初初刻一分内五十一秒冬至己巳十三祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月庚寅日未正三刻十一分内一秒冬至 應閏庚午十四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月乙未日戌正三刻五分内一十一秒冬至辛未十五祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月辛丑日丑正二刻十四分内二十一秒冬至 應閏壬申十六祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月丙午日辰正二刻八分内三十一秒冬至癸酉十七祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月辛亥日未正二刻二分内四十一秒冬至甲戌十八祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月丙辰日戌正一刻十一分内五十一秒冬至 應閏乙亥十九祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月壬戌日丑正一刻六分内一秒冬至丙子二十祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月丁卯日辰正初刻十五分内一十一秒冬至丁丑二十一祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月壬申日未正初刻九分内二十一秒冬至 應閏戊申年至此十一閏又一紀戊寅二十二祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月丁丑日戌正初刻三分内三十一秒冬至己卯二十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月癸未日丑初三刻十二分内四十一秒冬至 應閏庚辰二十四祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月戊子日辰初三刻六分内五十一秒冬至辛巳二十五祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月癸巳日未初三刻一分内一秒冬至壬午二十六祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月戊戌日戌初二刻十分内一十一秒冬至 應閏百八十一章癸未二十七祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月甲辰日丑初二刻四分内二十一秒冬至甲申二十八祀十二月己未朔正月戊子朔十一月己酉日辰初一刻十三分内三十一秒冬至乙酉二十九祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月甲寅日未初一刻七分内四十一秒冬至 應閏丙戌三十祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月己未日戌初一刻一分内五十一秒冬至丁亥三十一祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月乙丑日丑初初刻十一分内一秒冬至戊子三十二祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月庚午日辰初初刻五分内一十一秒冬至 應閏己丑三十三祀十二月己丑朔正月己未朔十一月乙亥日午正三刻十四分内二十一秒冬至庚寅三十四祀十二月甲甲朔正月甲寅朔十一月庚辰日酉正三刻八分内三十一秒冬至 應閏辛卯三十五祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月丙戌日子正三刻二分内四十一秒冬至壬辰三十六祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月辛卯日卯正二刻十二分内五十一秒冬至癸巳三十七祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月丙申日午正二刻六分内一秒冬至 應閏甲午三十八祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月辛丑日酉正一刻十五分内一十一秒冬至乙未三十九祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月丁未日子正一刻九分内二十一秒冬至丙申四十祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月壬子日卯正一刻三分内三十一秒冬至 應閏丁酉四十一祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月丁巳日午正初刻十二分内四十一秒冬至戊戌四十二祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月壬戌日酉正初刻六分内五十一秒冬至 應閏己亥四十三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月戊辰日子正初刻一分内一秒冬至日躔在女五度之二十四分全史日至源流卷十六
## 卷十七
欽定四庫全書全史日至源流卷十七山東道御史許伯政撰壬子運十七(每期三百六十五日二時七刻八分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分六秒四十微小寒十四日八時四刻四分五十六秒四十微大寒十四日九時一刻十分一十一秒四十微立春十四日十時一刻六分一十一秒四十微雨水十四日十一時三刻四分一十一秒四十微驚蟄十五日零七刻零六秒四十微春分十五日二時三刻八分五十六秒四十微清明十五日四時零七分五十六秒四十微榖雨十五日五時四刻八分零一秒四十微立夏十五日六時七刻零六秒四十微小滿十五日八時零三分零一秒四十微芒種十五日八時三刻十分零六秒四十微夏至十五日八時七刻零六秒四十㣲小暑十五日八時五刻三分六秒四十㣲大暑十五日八時零八分六秒四十微立秋十五日七時零一十一分六秒四十㣲處暑十五日五時六刻六分六秒四十㣲白露十五日四時三刻九分一十一秒四十微秋分十五日二時四刻一十一分一十六秒四十微寒露十五日一時一刻八分一十一秒四十微霜降十四日十一時五刻五分六秒四十微立冬十四日十時二刻十一分一十六秒四十微小雪十四日九時二刻十二分一十一秒四十微大雪十四日八時五刻十分六秒四十微庚子四十四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月癸酉日卯初三刻九分内五十一秒冬至辛丑四十五祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月戊寅日午初三刻三分内四十一秒冬至 應閏百八十二章壬寅四十六祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月癸未日酉初二刻十二分内三十一秒冬至癸卯四十七祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月己丑日子初二刻六分内二十一秒冬至甲辰四十八祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月甲午日卯初一刻十五分内一十一秒冬至乙巳四十九祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月己亥日午初一刻九分内一秒冬至丙午五十祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月甲辰日酉初一刻二分内五十一秒冬至丁未五十一祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月庚戌日子初初刻十一分内四十一秒冬至 應閏戊寅年至此十一閏又一紀戊申五十二祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月乙卯日卯初初刻五分内三十一秒冬至己酉五十三祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月庚申日巳正三刻十四分内二十一秒冬至 應閏庚戌五十四祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月乙丑日申正三刻八分内一十一秒冬至辛亥五十五祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月庚午日亥正三刻二分内一秒冬至壬子五十六祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月丙子日寅正二刻十分内五十一秒冬至 應閏癸丑五十七祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月辛巳日巳正二刻四分内四十一秒冬至甲寅五十八祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月丙戌日申正一刻十三分内三十一秒冬至乙卯五十九祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月辛卯日亥正一刻七分内二十一秒冬至 應閏祖庚髙宗子在位七祀丙辰元祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丁酉日寅正一刻一分内一十一秒冬至丁巳二祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月壬寅日巳正初刻十分内一秒冬至 應閏戊午三祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月丁未日申正初刻三分内五十一秒冬至己未四祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月壬子日亥初三刻十二分内四十一秒冬至庚申五祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月戊午日寅初三刻六分内三十一秒冬至 應閏百八十三章辛酉六祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月癸亥日巳初二刻十五分内二十一秒冬至壬戌七祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月戊辰日申初二刻九分内一十一秒冬至祖甲祖庚弟在位三十三祀癸亥元祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月癸酉日亥初二刻三分内一秒冬至 應閏甲子二祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己卯日寅初一刻十一分内五十一秒冬至乙丑三祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月甲申日巳初一刻五分内四十一秒冬至丙寅四祀十二月乙丑朔正月乙卯朔十一月己丑日申初初刻十四分内三十一秒冬至 應閏丁卯五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月甲午日亥初初刻八分内二十一秒冬至戊辰六祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月庚子日寅初初刻二分内一十一秒冬至 應閏己巳七祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月乙巳日辰正三刻十一分内一秒冬至庚午八祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月庚戌日未正三刻四分内五十一秒冬至辛未九祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月乙卯日戌正二刻十三分内四十一秒冬至 應閏壬申十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月辛酉日丑正二刻七分内三十一秒冬至癸酉十一祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月丙寅日辰正二刻一分内二十一秒冬至甲戌十二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月辛未日未正一刻十分内一十一秒冬至 應閏乙亥十三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月丙子日戌正一刻四分内一秒冬至丙子十四祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月壬午日丑正初刻十二分内五十一秒冬至 應閏戊申年至此十一閏一紀縮一年下起丁丑丁丑十五祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丁亥日辰正初刻六分内四十一秒冬至戊寅十六祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月壬辰日未初三刻十五分内三十一秒冬至己卯十七祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月丁酉日戌初三刻九分内二十一秒冬至 應閏百八十四章庚辰十八祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月癸卯日丑初三刻三分内一十一秒冬至辛巳十九祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月戊申日辰初二刻十二分内一秒冬至壬午二十祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月癸丑日未初二刻五分内五十一秒冬至 應閏癸未二十一祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月戊午日戌初一刻十四分内四十一秒冬至甲申二十二祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月甲子日丑初一刻八分内三十一秒冬至乙酉二十三祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月己巳日辰初一刻二分内二十一秒冬至 應閏丙戌二十四祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月甲戌日未初初刻十一分内一十一秒冬至丁亥二十五祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月己卯日戌初初刻五分内一秒冬至 應閏戊子二十六祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月乙酉日子正三刻十三分内五十一秒冬至己丑二十七祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月庚寅日卯正三刻七分内四十一秒冬至庚寅二十八祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月乙未日午正三刻一分内三十一秒冬至 應閏史記本紀是嵗周亶父之子季厯生子昌與記稱文王九十七及書稱文王受命惟終身厥享國五十年皆可合辛卯二十九祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月庚子日酉正二刻十分内二十一秒冬至壬辰三十祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丙午日子正二刻四分内一十一秒冬至癸巳三十一祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月辛亥日卯正一刻十三分内一秒冬至 應閏甲午三十二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丙辰日午正一刻六分内五十一秒冬至乙未三十三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月辛酉日酉正初刻十五分内四十一秒冬至 應閏廪辛祖甲子在位六祀丙申元祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月丁卯日子正初刻九分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月壬申日卯正初刻三分内二十一秒冬至戊戌三祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月丁丑日午初三刻十二分内一十一秒冬至 應閏百八十五章己亥四祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月壬午日酉初三刻六分内一秒冬至庚子五祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月戊子日夜子初二刻十四分内五十一秒冬至辛丑六祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月癸巳日卯初二刻八分内四十一秒冬至 應閏庚丁廪辛弟在位二十一祀壬寅元祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月戊戌日午初二刻二分内三十一秒冬至癸卯二祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月癸卯日酉初一刻十一分内二十一秒冬至甲辰三祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月己酉日夜子初一刻五分内一十一秒冬至 應閏乙巳四祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月甲寅日卯初初刻十四分内一秒冬至丙午五祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月己未日午初初刻七分内五十一秒冬至 應閏丁丑年至此十一閏為一紀丁未六祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月甲子日酉初初刻一分内四十一秒冬至戊申七祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月己巳日亥正三刻十分内三十一秒冬至己酉八祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月乙亥日寅正三刻四分内二十一秒冬至 應閏大雅曰文王嘉止大邦有子文定厥祥親迎于渭當在此年葢世子二十而冠既冠而昏皆嘉禮也庚戌九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月庚辰日巳正二刻十三分内一十一秒冬至辛亥十祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月乙酉日申正二刻七分内一秒冬至日躔在女四度之二十四分壬子十一祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月庚寅日亥正一刻十五分内五十一秒冬至 應閏癸丑十二祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丙申日寅正一刻九分内四十一秒冬至 以記稱武王九十三計之應生於此年且與中庸稱武王末受命之言亦相合甲寅十三祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月辛丑日巳正一刻三分内三十一秒冬至 應閏乙卯十四祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月丙午日申正初刻十二分内二十一秒冬至丙辰十五祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月辛亥日亥正初刻六分内一十一秒冬至丁巳十六祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月丁巳日寅初三刻十五分内一秒冬至 應閏百八十六章戊午十七祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月壬戌日巳初三刻八分内五十一秒冬至己未十八祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月丁卯日申初三刻二分内四十一秒冬至庚申十九祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月壬申日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 應閏辛酉二十祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月戊寅日寅初二刻五分内二十一秒冬至壬戌二十一祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月癸未日巳初一刻十四分内一十一秒冬至武乙庚丁子在位四祀癸亥元祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月戊子日申初一刻八分内一秒冬至 應閏甲子二祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月癸巳日亥初一刻一分内五十一秒冬至乙丑三祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月己亥日寅初初刻十分内四十一秒冬至 應閏丙寅四祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月甲辰日巳初初刻四分内三十一秒冬至太丁武乙子在位三祀丁卯元祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月己酉日未正三刻十三分内二十一秒冬至戊辰二祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月甲寅日戌正三刻七分内一十一秒冬至 應閏己巳三祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月庚申日丑正三刻一分内一秒冬至帝乙太丁子在位三十七祀庚午元祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月乙丑日辰正二刻九分内五十一秒冬至辛未二祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月庚午日未正二刻三分内四十一秒冬至 應閏壬申三祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月乙亥日戌正一刻十二分内三十一秒冬至癸酉四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月辛巳日丑正一刻六分内二十一秒冬至 應閏甲戌五祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月丙戌日辰正初刻十五分内一十一秒冬至乙亥六祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月辛卯日未正初刻九分内一秒冬至丙子七祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月丙申日戌正初刻二分内五十一秒冬至 史記是嵗周公季厯薨子昌嗣應閏百八十七章丁未年至此十一閏一紀丁丑八祀十二月壬戌朔正月壬辰朔十一月壬寅日丑初三刻十一分内四十一秒冬至戊寅九祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月丁未日辰初三刻五分内三十一秒冬至己卯十祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月壬子日未初二刻十四分内二十一秒冬至 應閏庚辰十一祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月丁巳日戌初二刻八分内一十一秒冬至辛巳十二祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月癸亥日丑初二刻二分内一秒冬至壬午十三祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月戊辰日辰初一刻十分内五十一秒冬至 應閏癸未十四祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月癸酉日未初一刻四分内四十一秒冬至甲申十五祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月戊寅日戌初初刻十三分内三十一秒冬至 應閏乙酉十六祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月甲申日丑初初刻七分内二十一秒冬至丙戌十七祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月己丑日辰初初刻一分内一十一秒冬至丁亥十八祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月甲午日午正三刻十分内一秒冬至 應閏戊子十九祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月己亥日酉正三刻三分内五十一秒冬至己丑二十祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月乙巳日子正二刻十二分内四十一秒冬至庚寅二十一祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月庚戌日卯正二刻六分内三十一秒冬至 應閏辛卯二十二祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月乙卯日午正一刻十五分内二十一秒冬至壬辰二十三祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月庚申日酉正一刻九分内一十一秒冬至 應閏竹書紀年武王年五十四故先儒謂武應生於此年果爾則太姒非文王元妃與詩稱文王初載天作之合在洽之陽在渭之涘文王嘉止大邦有子情事不合如係元配設文王三十而娶太姒二十而嫁至此年文王六十三則太姒亦五十三不能生育况武王同母弟八人説者但疑武不應八十一始生成王竊謂八十生兒後代亦每有之尚非事理所必無若文王六十三始生武王其後又生八人隔年生一子亦需十七八年則文亦八十餘歲生子而太姒更以老婦誕育羣兒何後儒疑武而獨不疑文耶癸巳二十四祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月丙寅日子正一刻三分内一秒冬至甲午二十五祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月辛未日卯正初刻十一分内五十一秒冬至乙未二十六祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月丙子日午正初刻五分内四十一秒冬至 應閏百八十八章丙申二十七祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月辛巳日酉初三刻十四分内三十一秒冬至丁酉二十八祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月丁亥日子初三刻八分内二十一秒冬至戊戌二十九祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月壬辰日卯初三刻二分内一十一秒冬至 應閏己亥三十祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月丁酉日午初二刻十一分内一秒冬至庚子三十一祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月壬寅日酉初二刻四分内五十一秒冬至辛丑三十二祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月戊申日夜子初一刻十三分内四十一秒冬至 應閏壬寅三十三祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月癸丑日卯初一刻七分内三十一秒冬至癸卯三十四祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月戊午日午初一刻一分内二十一秒冬至 應閏甲辰三十五祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月癸亥日酉初初刻十分内一十一秒冬至乙巳三十六祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月己巳日夜子初初刻四分内一秒冬至丙午三十七祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月甲戌日寅正三刻十二分内五十一秒冬至 應閏丁丑年至此十一閏又一紀紂辛帝乙子在位三十二祀丁未元祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月己卯日巳正三刻六分内四十一秒冬至戊申二祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月甲申日申正二刻十五分内三十一秒冬至己酉三祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月己丑日亥正二刻九分内二十一秒冬至 應閏庚戌四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月乙未日寅正二刻三分内一十一秒冬至辛亥五祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月庚子日巳正一刻十二分内一秒冬至 應閏壬子六祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月乙巳日申正一刻五分内五十一秒冬至癸丑七祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月庚戌日亥正初刻十四分内四十一秒冬至甲寅八祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月丙辰日寅正初刻八分内三十一秒冬至 應閏百八十九章乙卯九祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月辛酉日巳正初刻二分内二十一秒冬至丙辰十祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月丙寅日申初三刻十一分内一十一秒冬至丁巳十一祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月辛未日亥初三刻五分内一秒冬至 應閏戊午十二祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月丁丑日寅初二刻十三分内五十一秒冬至己未十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月壬午日巳初二刻七分内四十一秒冬至庚申十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月丁亥日申初二刻一分内三十一秒冬至 應閏辛酉十五祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月壬辰日亥初一刻十分内二十一秒冬至壬戌十六祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月戊戌日寅初一刻四分内一十一秒冬至 應閏癸亥十七祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月癸卯日巳初初刻十三分内一秒冬至日躔在女三度之二十四分甲子十八祀十二月己未朔正月己丑朔十一月戊申日申初初刻六分内五十一秒冬至乙丑十九祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月癸丑朔戌正三刻十五分内四十一秒冬至 應閏丙寅二十祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月己未日丑正三刻九分内三十一秒冬至丁卯二十一祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月甲子日辰正三刻三分内二十一秒冬至 此周西伯發元年有秦誓十有三年春大㑹于孟津可據戊辰二十二祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月己巳日未正二刻十二分内一十一秒冬至 應閏己巳二十三祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月甲戌日戌正二刻六分内一秒冬至庚午二十四祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月庚辰日丑正一刻十四分内五十一秒冬至 應閏辛未二十五祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月乙酉日辰正一刻八分内四十一秒冬至壬申二十六祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月庚寅日未正一刻二分内三十一秒冬至癸酉二十七祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月乙未日戌正初刻十一分内二十一秒冬至 應閏百九十章甲戌二十八祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月辛丑日丑正初刻五分内一十一秒冬至乙亥二十九祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月丙午日辰初三刻十四分内一秒冬至丙子三十祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月辛亥日未初三刻七分内五十一秒冬至 應閏丁未年至此十一閏又一紀丁丑三十一祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丙辰日戌初三刻一分内四十一秒冬至戊寅三十二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月即武王十三年嵗首冬至見後周武王以建子為嵗首改祀曰年在位十九年在王位七年己卯十三年冬十一月癸巳朔壬戌晦丑初二刻十分内三十一秒冬至十二月癸亥朔辛卯晦午初二刻十四分大寒正月壬辰朔辛酉晦丑正一刻雨水二月壬戌朔辛卯晦寅初初刻五分春分閏二月三月辛酉朔申正初刻七分榖雨四月辛卯朔十七日丁未二十日庚戌武成一月建寅蔡傳甚明今詳列晦朔以便覽餘詳首卷庚辰十四年十一月丁巳朔丁卯日辰初二刻四分内二十一秒冬至正月丙辰朔辛巳十五年十一月辛亥朔壬申日未初一刻十分内一十一秒冬至正月庚戌朔 應閏壬午十六年十一月乙亥朔丁丑日戌初一刻七分内一秒冬至正月甲戌朔癸未十七年十一月己巳朔癸未日丑初初刻十五分内五十一秒冬至正月戊辰朔甲申十八年十一月癸亥朔戊子日辰初初刻九分内四十一秒冬至正月壬戌朔 應閏乙酉十九年十一月丁亥朔癸巳日未初初刻三分内三十一秒冬至正月丙戌朔 文王世子篇文王謂武王曰我百爾九十吾與爾三焉文王九十七武王九十三仁山金氏嘗斥為俗傳之附㑹竊謂文九十七武九十三實事也我百爾九十吾與爾三之説殆好事者附㑹言之但金氏遂謂如其言則文王十五而生武王前此已生伯邑考今按武後文而崩者十有九年加九十七得一百一十六年内除九十三尚餘二十三年是文王二十四歲生武王邑考之生或在二十一二之間金氏葢誤以十九年加于九十三年内又除去九十七年故云文王十五生武王仁山究心理學而尚論古人心氣粗浮若此遂致踵謬者每襲其説以資口談故特辨之成王在位三十七年丙戌元年十一月壬午朔戊戌日酉正三刻十二分内二十一秒冬至正月辛巳朔 家語武王崩成王年十有三而嗣立明年夏六月冠成王指此年而言今按管叔流言周公避居東都葢在此年丁亥二年十一月丙子朔甲辰日子正三刻六分内一十一秒冬至正月乙亥朔 應閏金縢周公居東二年罪人斯得為詩貽王葢在此夏及秋熟未穫感風雷之變而迎公歸是公居東雖閲二年實一年有餘耳戊子三年十一月庚子朔己酉日卯正二刻十五分内一秒冬至正月己亥朔 管叔以殷畔及成王免喪朝廟當在此春觀周頌嗣王謀於廟有桃蟲維鳥未堪家多難之語可見則大誥東征亦在此年己丑四年十一月甲午朔甲寅日午正二刻八分内五十一秒冬至正月癸巳朔 應閏庚寅五年十一月戊午朔己未日酉正二刻二分内四十一秒冬至正月丁巳朔 本東山詩自我不見于今三年及倉庚于飛熠燿其羽觀之東征旋師當在此春葢三年夏而往五年春而歸閲三年也辛卯六年十一月壬子朔乙丑日子正一刻十一分内三十一秒冬至正月辛亥朔壬辰七年十一月丙午朔庚午日卯正一刻五分内二十一秒冬至正月乙巳朔 召誥惟二月既朢越六日乙未三月丙午朏越三日戊申漢志二月乙亥朔庚寅朢三月甲辰朔今同應閏五月百九十一章癸巳八年十一月庚午朔乙亥日午正初刻十四分内一十一秒冬至正月己巳朔 洛誥戊辰王在新邑烝祭嵗又云王命周公後作冊逸誥在十有二月葢在此年戊辰十二月晦日也又云周公誕保文武受命惟七年是自此年至十四年公乃薨也多士亦作于此年三月按前漢志成王元年正月己巳朔命伯禽俾侯于魯之嵗又云後三十年四月王作顧命自此年至成王崩實三十年是謂禽父以此年正月受封也今推正月己巳朔與漢志合竊思成王嗣立之元年二叔流言公將不利于孺子王年幼方疑周公故公避居東都當是時狼跋其胡載㚄其尾詩人詠之情事擾攘甚矣而王曰叔父建爾元子俾侯于魯大啟爾宇為周室輔恐不然也况記稱周公抗世子之法于伯禽使禽父元年已就國何由抗法則謂魯公受封在此年情理尤允但漢人惑于周公踐祚朝諸侯之説又誤解復子明辟及予小子退即辟于周之文遂指此為成王即位之元年耳甲午九年十一月乙丑朔庚辰日酉正初刻八分内一秒冬至正月甲子朔 多方云惟五月丁亥王來自奄至于宗周蔡傳曰成王即政之明年商奄又叛成王征滅之所謂即政指即辟而言則明年者此年也今推丁亥五月二十六日或謂多方作于成王五年則其年五月無丁亥大抵多士所云昔朕來自奄大降爾四國民命述武庚叛之時事多方則商奄又叛之事其云今爾奔走臣我監五祀葢自五年東征旋師時遷殷民于洛故至此閲五年也乙未十年十一月己未朔丙戌日子正初刻一分内五十一秒冬至正月戊午朔 應閏丙申十一年十一月癸未朔辛卯日卯初三刻十分内四十一秒冬至正月壬午朔丁酉十二年十一月丁丑朔丙申日午初三刻四分内三十一秒冬至正月丁丑朔戊戌十三年十一月壬申朔辛丑日酉初二刻十三分内二十一秒冬至正月壬申朔 應閏己亥十四年十一月丙申朔丁未日夜子初二刻七分内一十一秒冬至正月乙未朔 據洛誥文周公薨應在此年庚子十五年十一月庚寅朔壬子日卯初二刻一分内一秒冬至正月己丑朔 應閏辛丑十六年十一月甲寅朔丁巳日午初一刻九分内五十一秒冬至正月癸丑朔壬寅十七年十一月戊申朔壬戌日酉初一刻三分内四十一秒冬至正月丁未朔癸卯十八年十一月壬寅朔戊辰日夜子初初刻十二分内三十一秒冬至正月辛丑朔甲辰十九年十一月丙寅朔癸酉日卯初初刻六分内二十一秒冬至正月乙丑朔乙巳二十年十一月辛酉朔戊寅日巳正三刻十五分内一十一秒冬至正月庚申朔丙午二十一年十一月乙卯朔癸未日申正三刻九分内一秒冬至正月乙卯朔 應閏丁丑年至此十一閏又一紀丁未二十二年十一月己卯朔戊子日亥正三刻二分内五十一秒冬至正月戊寅朔戊申二十三年十一月癸酉朔甲午日寅正二刻十一分内四十一秒冬至正月壬申朔 應閏己酉二十四年十一月丁酉朔己亥日巳正二刻五分内三十一秒冬至正月丙申朔庚戌二十五年十一月壬辰朔甲辰日申正一刻十四分内二十一秒冬至正月辛卯朔辛亥二十六年十一月丙戌朔己酉日亥正一刻八分内一十一秒冬至正月丙戌朔 應閏百九十二章壬子二十七年十一月庚戌朔乙卯日寅正一刻二分内一秒冬至正月己酉朔癸丑二十八年十一月乙丑朔庚申日巳正初刻十分内五十一秒冬至正月甲辰朔甲寅二十九年十一月己亥朔乙丑日申正初刻四分内四十一秒冬至正月戊戌朔 應閏乙卯三十年十一月癸亥朔庚午日亥初三刻十三分内三十一秒冬至正月壬戌朔丙辰三十一年十一月丁巳朔丙子日寅初三刻七分内二十一秒冬至正月丙辰朔丁巳三十二年十一月壬子朔辛巳日巳初三刻一分内一十一秒冬至正月辛亥朔 應閏戊午三十三年十一月丙子朔丙戌日申初二刻十分内一秒冬至正月乙亥朔己未三十四年十一月庚午朔辛卯日亥初二刻三分内五十一秒正月己巳朔 應閏庚申三十五年十一月甲午朔丁酉日寅初一刻十二分内四十一秒冬至正月癸巳朔辛酉三十六年十一月戊子朔壬寅日巳初一刻六分内三十一秒冬至正月丁亥朔壬戌三十七年十一月壬午朔丁未日申初初刻十五分内二十一秒冬至正月辛巳朔 應閏四月書顧命四月哉生魄王不懌甲子王命太保芮伯彤伯畢公衞侯毛公保元子釗乙丑王崩前漢志四月庚戌朔十五日甲子哉生霸是以哉生魄即甲子日與本文不合今推四月己酉朔十五日癸亥十六日甲子但月望十五而稱哉生魄何也黄氏元鎮曰月望在十五其常或進在十四或退在十六其變也意者此月望在十四歟其説未知是否姑識之以俟精厯術者康王在位二十六年癸亥元年十一月丙午朔壬子日亥初初刻九分内一十一秒冬至正月甲辰朔甲子二年十一月庚子朔戊午日寅初初刻三分内一秒冬至正月己亥朔乙丑三年十一月乙未朔癸亥日辰正三刻十一分内五十一秒冬至正月甲子朔 應閏丙寅四年十一月己未朔戊辰日未正三刻五分内四十一秒冬至正月戊午朔丁卯五年十一月癸丑朔癸酉日戌正二刻十四分内三十一秒冬至正月壬子朔 應閏戊辰六年十一月丁丑朔己卯日丑正二刻八分内二十一秒冬至正月丙子朔己巳七年十一月壬申朔甲申日辰正二刻二分内一十一秒冬至正月辛未朔庚午八年十一月丙寅朔己丑日未正一刻十一分内一秒冬至正月丙寅朔 應閏百九十三章辛未九年十一月庚寅朔甲午日戌正一刻四分内五十一秒冬至正月己丑朔壬申十年十一月甲午朔庚子日丑正初刻十三分内四十一秒冬至正月癸未朔癸酉十一年十一月戊寅朔乙巳日辰正初刻七分内三十一秒冬至正月戊寅朔 應閏甲戌十二年十一月壬寅朔庚戌日未正初刻一分内二十一秒冬至正月辛丑朔 畢命惟十有二年六月庚午朏今推六月戊辰朔三日庚午乙亥十三年十一月丁酉朔乙卯日戌初三刻十分内一十一秒冬至正月丙申朔全史日至源流卷十七
## 卷十八
欽定四庫全書全史日至源流卷十八山東道御史許伯政撰壬子運十八(每期三百六十五日二時七刻八分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分五秒五十微小寒十四日八時四刻四分五十五秒五十微大寒十四日九時一刻十分一十秒五十微立春十四日十時一刻六分一十秒五十微雨水十四日十一時三刻四分一十秒五十微驚蟄十五日零七刻零五秒五十微春分十五日二時三刻八分五十五秒五十微清明十五日四時零七分五十五秒五十微榖雨十五日五時四刻八分零五十微立夏十五日六時七刻零五秒五十微小滿十五日八時零三分零五十微芒種十五日八時三刻十分零五秒五十微夏至十五日八時七刻零五秒五十微小暑十五日八時五刻三分五秒五十微大暑十五日八時零八分五秒五十微立秋十五日七時零一十一分五秒五十微處暑十五日五時六刻六分五秒五十微白露十五日四時三刻九分一十秒五十微秋分十五日二時四刻一十一分一十五秒五十微寒露十五日一時一刻八分一十秒五十微霜降十四日十一時五刻五分五秒五十微立冬十四日十時二刻十一分一十五秒五十微小雪十四日九時二刻十二分一十秒五十微大雪十四日八時五刻十分五秒五十微丙子十四年十一月辛卯朔辛酉日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在女二度之二十四分正月辛卯朔應閏丁未年至此十一閏又一紀丁丑十五年十一月乙卯朔丙寅日辰初二刻十二分内三十一秒冬至正月乙卯朔戊寅十六年十一月庚戌朔辛未日未初二刻六分内一秒冬至正月己酉朔 應閏漢志魯公伯禽即位四十六年至康王十六年薨子考公酋立今因其紀魯事與春秋相接故以下備録之己卯十七年十一月甲戌朔丙子日戌初一刻十四分内三十一秒冬至正月癸酉朔庚辰十八年十一月戊辰朔壬午日丑初一刻八分内一秒冬至正月丁卯朔辛巳十九年十一月壬戌朔丁亥日辰初一刻一分内三十一秒冬至正月壬戌朔 應閏壬午二十年十一月丙戌朔壬辰日未初初刻十分内一秒冬至正月乙酉朔 漢志考公即位四年弟煬公熈立癸未二十一年十一月庚辰朔丁酉日戌初初刻三分内三十一秒冬至正月己卯朔甲申二十二年十一月乙亥朔癸卯日子正三刻十二分内一秒冬至正月甲戌朔 應閏乙酉二十三年十一月己亥朔戊申日卯正三刻五分内三十一秒冬至正月戊戌朔丙戌二十四年十一月癸巳朔癸丑日午正二刻十四分内一秒冬至正月癸巳朔 應閏丁亥二十五年十一月丁巳朔旦酉正二刻七分内三十一秒冬至正月丁巳朔戊子二十六年十一月壬子朔甲子日子正二刻一分内一秒冬至正月辛亥朔昭王在位五十一年己丑元年十一月丙午朔己巳日卯正一刻九分内三十一秒冬至正月乙巳朔 應閏百九十四章庚寅二年十一月庚午朔甲戌日午正一刻三分内一秒冬至正月己巳朔辛卯三年十一月甲子朔己卯日酉正初刻十一分内三十一秒冬至正月癸亥朔壬辰四年十一月戊午朔乙酉日子正初刻五分内一秒冬至正月戊午朔 應閏癸巳五年十一月壬午朔庚寅日卯初三刻十三分内三十一秒冬至正月壬午朔甲午六年十一月丁丑朔乙未日午初三刻七分内一秒冬至正月丙子朔乙未七年十一月辛未朔庚子日酉初二刻十五分内三十一秒冬至正月辛未朔 應閏丙申八年十一月乙未朔丙午日夜子初二刻九分内一秒冬至正月乙未朔丁酉九年十一月庚寅朔辛亥日卯初二刻二分内三十一秒冬至正月己丑朔 應閏戊戌十年十一月甲寅朔丙辰日午初一刻十一分内一秒冬至正月癸丑朔己亥十一年十一月戊申朔辛酉日酉初一刻四分内三十一秒冬至正月丁未朔庚子十二年十一月壬寅朔丁卯日夜子初初刻十三分内一秒冬至正月辛丑朔 應閏辛丑十三年十一月丙寅朔壬申日卯初初刻六分内三十一秒冬至正月乙丑朔壬寅十四年十一月辛酉朔丁丑日巳正三刻十五分内一秒冬至正月庚申朔癸卯十五年十一月乙卯朔壬午日申正三刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 應閏甲辰十六年十一月己卯朔丁亥日亥正三刻二分内一秒冬至正月戊寅朔乙巳十七年十一月癸酉朔癸巳日寅正二刻十分内三十一秒冬至正月壬申朔 應閏丁丑年至此十一閏一紀縮一年下起丙午丙午十八年十一月丁酉朔戊戌日巳正二刻四分内一秒冬至正月丙申朔 前漢志魯煬公二十四年正月丙申朔旦冬至殷厯以為丁酉今推十一月丁酉朔戊戌日冬至丙申則正月朔丁未十九年十一月壬辰朔癸卯日申正一刻十二分内三十一秒冬至正月辛卯朔戊申二十年十一月丙戌朔戊申日亥正一刻六分内一秒冬至正月乙酉朔 應閏百九十五章己酉二十一年十一月庚戌朔甲寅日寅正初刻十四分内三十一秒冬至正月己酉朔庚戌二十二年十一月乙巳朔己未日巳正初刻八分内一秒冬至正月癸卯朔辛亥二十三年十一月己亥朔甲子日申正初刻一分内三十一秒冬至正月戊戌朔 應閏壬子二十四年十一月癸亥朔己巳日亥初三刻十分内一秒冬至正月壬戌朔癸丑二十五年十一月丁巳朔乙亥日寅初三刻三分内三十一秒冬至正月丙辰朔甲寅二十六年十一月壬子朔庚辰日巳初二刻十二分内一秒冬至正月辛亥朔 應閏乙卯二十七年十一月丙子朔乙酉日申初二刻五分内三十一秒冬至正月乙亥朔丙辰二十八年十一月庚午朔庚寅日亥初一刻十四分内一秒冬至正月己巳朔 應閏丁巳二十九年十一月甲午朔丙申日寅初一刻七分内三十一秒冬至正月癸巳朔戊午三十年十一月戊子朔辛丑日巳初一刻一分内一秒冬至正月戊子朔己未三十一年十一月壬午朔丙午日申初初刻九分内三十一秒冬至正月壬午朔 應閏庚申三十二年十一月丙午朔辛亥日亥初初刻三分内一秒冬至正月乙巳朔辛酉三十三年十一月辛丑朔丁巳日丑正三刻十一分内三十一秒冬至正月庚子朔壬戌三十四年十一月乙未朔壬戌日辰正三刻五分内一秒冬至正月甲午朔 應閏癸亥三十五年十一月己未朔丁卯日未正二刻十三分内三十一秒冬至正月戊午朔甲子三十六年十一月癸丑朔壬申日戌正二刻七分内一秒冬至正月癸丑朔 應閏乙丑三十七年十一月丁丑朔戊寅日丑正一刻十五分内三十一秒冬至正月丙子朔丙寅三十八年十一月壬申朔癸未日辰正一刻九分内一秒冬至正月辛未朔丁卯三十九年十一月丙寅朔戊子日未正一刻二分内三十一秒冬至正月乙丑朔 應閏百九十六章戊辰四十年十一月庚寅朔癸巳日戌正初刻十一分内一秒冬至正月己丑朔己巳四十一年十一月甲申朔己亥日丑正初刻四分内三十一秒冬至正月癸未朔庚午四十二年十一月戊寅朔甲辰日辰初三刻十三分内一秒冬至正月丁丑朔 應閏辛未四十三年十一月壬寅朔己酉日未初三刻六分内三十一秒冬至正月辛丑朔壬申四十四年十一月丁酉朔甲寅日戌初二刻十五分内一秒冬至正月丙申朔癸酉四十五年十一月辛卯朔庚申日丑初二刻八分内三十一秒冬至正月庚寅朔應閏甲戌四十六年十一月乙卯朔乙丑日辰初二刻二分内一秒冬至正月甲寅朔乙亥四十七年十一月庚戌朔庚午日未初一刻十分内三十一秒冬至正月己酉朔 應閏丙午年至此十一閏為一紀丙子四十八年十一月甲戌朔乙亥日戌初一刻四分内一秒冬至正月癸酉朔丁丑四十九年十一月戊辰朔辛巳日丑初初刻十二分内三十一秒冬至正月丁卯朔戊寅五十年十一月壬戌朔丙戌日辰初初刻六分内一秒冬至正月辛酉朔 應閏己卯五十一年十一月丙戌朔辛卯日午正三刻十四分内三十一秒冬至正月乙酉朔穆王在位五十五年庚辰元年十一月辛巳朔丙申日酉正三刻八分内一秒冬至正月庚辰朔辛巳二年十一月乙亥朔壬寅日子正三刻一分内三十一秒冬至正月甲戌朔 應閏壬午三年十一月己亥朔丁未日卯正二刻十分内一秒冬至正月戊戌朔 漢志魯煬公在位六十年子幽公宰立癸未四年十一月癸巳朔壬子日午正二刻三分内三十一秒冬至正月壬辰朔 應閏甲申五年十一月丁巳朔旦酉正一刻十二分内一秒冬至正月丙辰朔乙酉六年十一月壬子朔癸亥日子正一刻五分内三十一秒冬至正月辛亥朔丙戌七年十一月丙午朔戊辰日卯正初刻十四分内一秒冬至正月乙巳朔 應閏百九十七章丁亥八年十一月庚午朔癸酉日午正初刻七分内三十一秒冬至正月己巳朔戊子九年十一月甲子朔戊寅日酉正初刻一分内一秒冬至日躔在女一度之二十四分正月癸亥朔己丑十年十一月戊午朔甲申日夜子初三刻九分内三十一秒冬至正月戊午朔 應閏庚寅十一年十一月壬午朔己丑日卯初三刻三分内一秒冬至正月辛巳朔辛卯十二年十一月丁丑朔甲午日午初二刻十一分内三十一秒冬至正月丙子朔壬辰十三年十一月辛未朔己亥日酉初二刻五分内一秒冬至正月庚午朔 應閏癸巳十四年十一月乙未朔乙巳日夜子初一刻十三分内三十一秒冬至正月甲午朔甲午十五年十一月己丑朔庚戌日卯初一刻七分内一秒冬至正月己丑朔 應閏乙未十六年十一月癸丑朔乙卯日午初初刻十五分内三十一秒冬至正月壬子朔丙申十七年十一月戊申朔庚申日酉初初刻九分内一秒冬至正月丁未朔 魯幽公即位十四年弟微公㵒弑立即魏公丁酉十八年十一月壬寅朔丙寅日夜子初初刻二分内三十一秒冬至正月辛丑朔 應閏戊戌十九年十一月丙寅朔辛未日寅正三刻十一分内一秒冬至正月乙丑朔己亥二十年十一月庚申朔丙子日巳正三刻四分内三十一秒冬至正月己未朔庚子二十一年十一月甲寅朔辛巳日申正二刻十三分内一秒冬至正月癸丑朔 應閏辛丑二十二年十一月戊寅朔丙戌日亥正二刻六分内三十一秒冬至正月丁丑朔壬寅二十三年十一月癸酉朔壬辰日寅正一刻十五分内一秒冬至正月壬申朔 應閏癸卯二十四年十一月丁酉朔旦巳正一刻八分内三十一秒冬至正月丙申朔甲辰二十五年十一月辛卯朔壬寅日申正一刻二分内一秒冬至正月庚寅朔乙巳二十六年十一月乙酉朔丁未日亥正初刻十分内三十一秒冬至正月甲申朔 應閏百九十八章丙子年至此十一閏又一紀丙午二十七年十一月己酉朔癸丑日寅正初刻四分内一秒冬至正月戊申朔丁未二十八年十一月甲辰朔戊午日巳初三刻十二分内三十一秒冬至正月癸卯朔戊申二十九年十一月戊戌朔癸亥日申初三刻六分内一秒冬至正月丁酉朔 應閏己酉三十年十一月壬戌朔戊辰日亥初二刻十四分内三十一秒冬至正月辛酉朔庚戌三十一年十一月丙辰朔甲戌日寅初二刻八分内一秒冬至正月丙辰朔辛亥三十二年十一月辛亥朔己卯日巳初二刻一分内三十一秒冬至正月庚戌朔 應閏壬子三十三年十一月乙亥朔甲申日申初一刻十分内一秒冬至正月甲戌朔癸丑三十四年十一月己巳朔己丑日亥初一刻三分内三十一秒冬至正月戊辰朔 應閏甲寅三十五年十一月癸巳朔乙未日寅初初刻十二分内一秒冬至正月壬辰朔乙卯三十六年十一月丁亥朔庚子日巳初初刻五分内三十一秒冬至正月丙戌朔丙辰三十七年十一月壬午朔乙巳日未正三刻十四分内一秒冬至正月庚辰朔 應閏丁巳三十八年十一月丙午朔庚戌日戌正三刻七分内三十一秒冬至正月甲辰朔戊午三十九年十一月庚子朔丙辰日丑正三刻一分内一秒冬至正月己亥朔己未四十年十一月甲午朔辛酉日辰正二刻九分内三十一秒冬至正月癸巳朔 應閏庚申四十一年十一月戊午朔丙寅日未正二刻三分内一秒冬至正月丁巳朔辛酉四十二年十一月壬子朔辛未日戌正一刻十一分内三十一秒冬至正月壬子朔壬戌四十三年十一月丙子朔丁丑日丑正一刻五分内一秒冬至正月乙亥朔 漢志魯微公二十六年正月乙亥朔旦冬至殷厯以為丙子今推十一月丙子朔丁丑冬至正月乙亥朔微公史記作魏公癸亥四十四年十一月辛未朔壬午日辰正初刻十三分内三十一秒冬至正月庚午朔甲子四十五年十一月乙丑朔丁亥日未正初刻七分内一秒冬至正月甲子朔 應閏百九十九章乙丑四十六年十一月己丑朔壬辰日戌初三刻十五分内三十一秒冬至正月戊子朔丙寅四十七年十一月癸未朔戊戌日丑初三刻九分内一秒冬至正月癸未朔丁卯四十八年十一月丁丑朔癸卯日辰初三刻二分内三十一秒冬至正月丁丑朔 應閏戊辰四十九年十一月辛丑朔戊申日未初二刻十一分内一秒冬至正月辛丑朔己巳五十年十一月丙申朔癸丑日戌初二刻四分内三十一秒冬至正月乙未朔庚午五十一年十一月庚寅朔己未日丑初一刻十三分内一秒冬至正月己丑朔 應閏辛未五十二年十一月甲寅朔甲子日辰初一刻六分内三十一秒冬至正月癸丑朔壬申五十三年十一月己酉朔己巳日未初初刻十五分内一秒冬至正月戊申朔 應閏癸酉五十四年十一月癸酉朔甲戌日戌初初刻八分内三十一秒冬至正月壬申朔甲戌五十五年十一月丁卯朔庚辰日丑初初刻二分内一秒冬至正月丙寅朔共王在位一十二年乙亥元年十一月辛酉朔乙酉日卯正三刻十分内三十一秒冬至正月庚申朔 應閏丙午年至此十一閏又一紀丙子二年十一月乙酉朔庚寅日午正三刻四分内一秒冬至正月甲申朔丁丑三年十一月庚辰朔乙未日酉正二刻十二分内三十一秒冬至正月己卯朔戊寅四年十一月甲戌朔辛丑日子正二刻六分内一秒冬至正月癸酉朔 應閏己卯五年十一月戊戌朔丙午日卯正一刻十四分内三十一秒冬至正月丁酉朔庚辰六年十一月壬辰朔辛亥日午正一刻八分内一秒冬至正月辛卯朔 應閏辛巳七年十一月丙辰朔旦酉正一刻一分内三十一秒冬至正月乙卯朔壬午八年十一月庚戌朔壬戌日子正初刻十分内一秒冬至正月己酉朔癸未九年十一月乙巳朔丁卯日卯正初刻三分内三十一秒冬至正月甲辰朔 應閏二百章甲申十年十一月己巳朔壬申日午初三刻十二分内一秒冬至正月戊辰朔乙酉十一年十一月癸亥朔丁丑日酉初三刻五分内三十一秒冬至正月壬戌朔丙戌十二年十一月丁巳朔癸未日夜子初二刻十四分内一秒冬至正月丙辰朔 應閏漢志微公即位五十年子厲公翟立懿王在位二十五年丁亥元年十一月辛巳朔戊子日卯初二刻七分内三十一秒冬至正月庚辰朔戊子二年十一月丙子朔癸巳日午初二刻一分内一秒冬至正月乙亥朔己丑三年十一月庚午朔戊戌日酉初一刻九分内三十一秒冬至正月己巳朔 應閏庚寅四年十一月甲午朔甲辰日子初一刻三分内一秒冬至正月癸巳朔辛卯五年十一月己丑朔己酉日卯初初刻十一分内三十一秒冬至正月戊子朔 應閏壬辰六年十一月癸丑朔甲寅日午初初刻五分内一秒冬至正月壬子朔癸巳七年十一月丁未朔己未日申正三刻十三分内三十一秒冬至正月丙午朔甲午八年十一月辛丑朔甲子日亥正三刻七分内一秒冬至正月庚子朔 應閏乙未九年十一月乙丑朔庚午日寅正二刻十五分内三十一秒冬至正月甲子朔丙申十年十一月己未朔乙亥日巳正二刻九分内一秒冬至正月戊午朔丁酉十一年十一月甲寅朔庚辰日申正二刻二分内三十一秒冬至正月壬子朔 應閏戊戌十二年十一月戊寅朔乙酉日亥正一刻十一分内一秒冬至正月丙子朔己亥十三年十一月壬申朔辛卯日寅正一刻四分内三十一秒冬至正月辛未朔 應閏庚子十四年十一月乙未朔丙申日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在女初度之二十四分正月乙未朔辛丑十五年十一月庚寅朔辛丑日申正初刻六分内三十一秒冬至正月己丑朔壬寅十六年十一月乙酉朔丙午日亥初三刻十五分内一秒冬至正月甲申朔 應閏二百一章癸卯十七年十一月己酉朔壬子日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月戊申朔甲辰十八年十一月癸卯朔丁巳日巳初三刻二分内一秒冬至正月壬寅朔乙巳十九年十一月丁酉朔壬戌日申初二刻十分内三十一秒冬至正月丙申朔 應閏自丙子年至此十一閏又一紀丙午二十年十一月辛酉朔丁卯日亥初二刻四分内一秒冬至正月庚申朔丁未二十一年十一月乙卯朔癸酉日寅初一刻十二分内三十一秒冬至正月甲寅朔戊申二十二年十一月庚戌朔戊寅日巳初一刻六分内一秒冬至正月己酉朔 應閏己酉二十三年十一月甲戌朔癸未日申初初刻十四分内三十一秒冬至正月癸酉朔庚戌二十四年十一月戊辰朔戊子日亥初初刻八分内一秒冬至正月丁卯朔 應閏辛亥二十五年十一月壬辰朔甲午日寅初初刻一分内三十一秒冬至正月辛卯朔孝王共王弟辟方在位十五年壬子元年十一月丁亥朔己亥日辰正三刻十分内一秒冬至正月丙戌朔癸丑二年十一月辛巳朔甲辰日未正三刻三分内三十一秒冬至正月庚辰朔 應閏甲寅三年十一月乙巳朔己酉日戌正二刻十二分内一秒冬至正月甲辰朔乙卯四年十一月己亥朔乙卯日丑正二刻五分内三十一秒冬至正月戊戌朔丙辰五年十一月癸巳朔庚申日辰正一刻十四分内一秒冬至正月壬辰朔 應閏丁巳六年十一月丁巳朔乙丑日未正一刻七分内三十一秒冬至正月丙辰朔戊午七年十一月辛亥朔庚午日戌正一刻一分内一秒冬至正月庚戌朔 應閏己未八年十一月乙亥朔丙子日丑正初刻九分内三十一秒冬至正月甲戌朔庚申九年十一月庚午朔辛巳日辰正初刻三分内一秒冬至正月己巳朔辛酉十年十一月甲子朔丙戌日未初三刻十一分内三十一秒冬至正月癸亥朔 應閏二百二章壬戌十一年十一月戊子朔辛卯日戌初三刻五分内一秒冬至正月丁亥朔癸亥十二年十一月癸未朔丁酉日丑初二刻十三分内三十一秒冬至正月壬午朔 漢志厲公即位三十七年弟獻公具立甲子十三年十一月丁丑朔壬寅日辰初二刻七分内一秒冬至正月丙子朔 應閏乙丑十四年十一月辛丑朔丁未日未初一刻十五分内三十一秒冬至正月庚子朔丙寅十五年十一月乙未朔壬子日戌初一刻九分内一秒冬至正月甲午朔夷王懿王太子燮在位一十六年丁卯元年十一月己丑朔戊午日丑初一刻二分内三十一秒冬至正月己丑朔 應閏戊辰二年十一月癸丑朔癸亥日辰初初刻十一分内一秒冬至正月壬子朔己巳三年十一月戊申朔戊辰日未初初刻四分内三十一秒冬至正月丁未朔 應閏庚午四年十一月壬申朔癸酉日酉正三刻十三分内一秒冬至正月辛未朔辛未五年十一月丙寅朔己卯日子正三刻六分内三十一秒冬至正月乙丑朔壬申六年十一月庚申朔甲申日卯正二刻十五分内一秒冬至正月己未朔 應閏癸酉七年十一月甲申朔己丑日午正二刻八分内三十一秒冬至正月癸未朔甲戌八年十一月己卯朔甲午日酉正二刻二分内一秒冬至正月戊寅朔乙亥九年十一月癸酉朔庚子日子正一刻十分内三十一秒冬至正月壬申朔 應閏自丙午年至此十一閏又一紀丙子十年十一月丁酉朔乙巳日卯正一刻四分内一秒冬至正月丙申朔丁丑十一年十一月辛卯朔庚戌日午正初刻十二分内三十一秒冬至正月庚寅朔 應閏戊寅十二年十一月乙卯朔旦酉正初刻六分内一秒冬至正月甲寅朔 漢志獻公十五年正月甲寅朔旦冬至殷厯以為乙卯今推乙卯冬至與殷厯合正月甲寅朔交雨水非冬至也明鄭世子載堉厯議謂授時引用前漢志魯獻公戊寅嵗正月甲寅朔旦冬至議其無據即此年也己卯十三年十一月己酉朔辛酉日夜子初三刻十四分内三十一秒冬至正月戊申朔庚辰十四年十一月甲辰朔丙寅日卯初三刻八分内一秒冬至正月癸卯朔 應閏二百三章辛巳十五年十一月戊辰朔辛未日午初三刻一分内三十一秒冬至正月丁卯朔壬午十六年十一月壬戌朔丙子日酉初二刻十分内一秒冬至正月辛酉朔厲王在位五十一年癸未元年十一月丙辰朔壬午日夜子初二刻三分内三十一秒冬至正月乙卯朔 應閏甲申二年十一月庚辰朔丁亥日卯初一刻十二分内一秒冬至正月己卯朔乙酉三年十一月乙亥朔壬辰日午初一刻五分内三十一秒冬至正月甲戌朔丙戌四年十一月己巳朔丁酉日酉初初刻十四分内一秒冬至正月戊辰朔 應閏丁亥五年十一月癸巳朔癸卯日夜子初初刻七分内三十一秒冬至正月壬辰朔戊子六年十一月丁亥朔戊申日卯初初刻一分内一秒冬至正月丙戌朔 應閏己丑七年十一月辛亥朔癸丑日巳正三刻九分内三十一秒冬至正月庚戌朔庚寅八年十一月丙午朔戊午日申正三刻三分内一秒冬至正月乙巳朔辛卯九年十一月庚子朔癸亥日亥正二刻十一分内三十一秒冬至正月己亥朔 應閏壬辰十年十一月甲子朔己巳日寅正二刻五分内一秒冬至正月癸亥朔癸巳十一年十一月戊午朔甲戌日巳正一刻十三分内三十一秒冬至正月丁巳朔甲午十二年十一月壬子朔己卯日申正一刻七分内一秒冬至正月辛亥朔 應閏乙未十三年十一月丙子朔甲申日亥正初刻十五分内三十一秒冬至正月乙亥朔丙申十四年十一月庚午朔庚寅日寅正初刻九分内一秒冬至正月己巳朔 應閏丁酉十五年十一月甲午朔乙未日巳正初刻二分内三十一秒冬至正月癸巳朔戊戌十六年十一月己丑朔庚子日申初三刻十一分内一秒冬至正月戊子朔己亥十七年十一月癸未朔乙巳日亥初三刻四分内三十一秒冬至正月壬午朔 應閏二百四章庚子十八年十一月丁未朔辛亥日寅初二刻十三分内一秒冬至正月丙午朔辛丑十九年十一月辛丑朔丙辰日巳初二刻六分内三十一秒冬至正月辛丑朔壬寅二十年十一月丙申朔辛酉日申初一刻十五分内一秒冬至正月乙未朔 應閏癸卯二十一年十一月庚申朔丙寅日亥初一刻八分内三十一秒冬至正月己未朔甲辰二十二年十一月甲寅朔壬申日寅初一刻二分内一秒冬至正月癸丑朔乙巳二十三年十一月戊申朔丁丑日巳初初刻十分内三十一秒冬至正月丁未朔 應閏丙子年至此十一閏又一紀丙午二十四年十一月壬申朔壬午日申初初刻四分内一秒冬至正月辛未朔 史記年表魯真公元年即漢志慎公也真公以前傳國世次與漢志同而在位之年數頗異此史記之訛也漢志或别有所本今本史記以推漢志獻公在位葢四十二年而以為五十年武公在位本十年而以為二年自當以史記正漢志之誤因而以漢志補史記之闕或亦可並存而于時世事理無所碍與丁未二十五年十一月丁卯朔丁亥日戌正三刻十二分内二十一秒冬至正月丙寅朔 應閏戊申二十六年十一月辛卯朔癸巳日丑正三刻六分内一秒冬至正月庚寅朔己酉二十七年十一月乙酉朔戊戌日辰正二刻十四分内三十一秒冬至正月甲申朔庚戌二十八年十一月己夘朔癸卯日未正二刻八分内一秒冬至正月戊寅朔 應閏辛亥二十九年十一月癸夘朔戊申日戌正二刻一分内三十一秒冬至正月壬寅朔全史日至源流卷十八
## 卷十九
欽定四庫全書全史日至源流卷十九山東道御史許伯政撰壬子運十九(每期三百六十五日二時七刻八分一十秒)冬至十四日八時三刻十四分五秒小寒十四日八時四刻四分五十五秒大寒十四日九時一刻十分一十秒立春十四日十時一刻六分一十秒雨水十四日十一時三刻四分一十秒驚蟄十五日零七刻零五秒春分十五日二時三刻八分五十五秒清明十五日四時零七分五十五秒穀雨十五日五時四刻八分立夏十五日六時七刻零五秒小滿十五日八時零三分芒種十五日八時三刻十分零五秒夏至十五日八時七刻零五秒小暑十五日八時五刻三分五秒大暑十五日八時零八分五秒立秋十五日七時零一十一分五秒處暑十五日五時六刻六分五秒白露十五日四時三刻九分一十秒秋分十五日二時四刻一十一分一十五秒寒露十五日一時一刻八分一十秒霜降十四日十一時五刻五分五秒立冬十四日十時二刻一十一分一十五秒小雪十四日九時二刻十二分一十秒大雪十四日八時五刻十分五秒壬子三十年十一月戊戌朔甲寅日丑正一刻十分内一秒冬至日躔在牛餘分之五分正月丁酉朔癸丑三十一年十一月壬辰朔己未日辰正一刻三分内一十一秒冬至正月辛夘朔 應閏漢志獻公即位五十年子慎公嚊立今本史記作慎公八年甲寅三十二年十一月丙辰朔甲子日未正初刻十一分内二十一秒冬至正月甲寅朔乙夘三十三年十一月庚戌朔己巳日戌正初刻四分内三十一秒冬至正月己酉朔 應閏丙辰三十四年十一月甲戌朔乙亥日丑初三刻十二分内四十一秒冬至正月癸酉朔丁巳三十五年十一月己巳朔庚辰日辰初三刻五分内五十一秒冬至正月戊辰朔戊午三十六年十一月癸亥朔乙酉日未初二刻十四分内一秒冬至正月壬戌朔 應閏二百五章己未三十七年十一月丁亥朔庚寅日戌初二刻七分内一十一秒冬至正月丙戌朔庚申三十八年十一月辛巳朔丙申日丑初一刻十五分内二十一秒冬至正月庚辰朔 史記共和元年魯慎公十五年辛酉三十九年十一月乙亥朔辛丑日辰初一刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔 應閏壬戌四十年十一月己亥朔丙午日未初一刻一分内四十一秒冬至正月戊戌朔癸亥四十一年十一月甲午朔辛亥日戌初初刻九分内五十一秒冬至正月癸巳朔甲子四十二年十一月戊子朔丁巳日丑初初刻三分内一秒冬至正月丁亥朔 應閏乙丑四十三年十一月壬子朔壬戌日夘正三刻十一分内一十一秒冬至正月辛亥朔丙寅四十四年十一月丙午朔丁夘日午正三刻四分内二十一秒冬至正月乙巳朔 應閏丁夘四十五年十一月庚午朔壬申日酉正二刻十二分内三十一秒冬至正月己巳朔戊辰四十六年十一月乙丑朔戊寅日子正二刻五分内四十一秒冬至正月甲子朔己巳四十七年十一月己未朔癸未日夘正一刻十三分内五十一秒冬至正月戊午朔 應閏庚午四十八年十一月癸未朔戊子日午正一刻七分内一秒冬至正月壬午朔辛未四十九年十一月戊寅朔癸巳日酉正初刻十五分内一十一秒冬至正月丁丑朔壬申五十年十一月壬申朔己亥日子正初刻八分内二十一秒冬至正月辛未朔 應閏癸酉五十一年十一月丙申朔甲辰日夘正初刻一分内三十一秒冬至正月乙未朔宣王(在位四十六年)甲戌元年十一月庚寅朔己酉日午初三刻九分内四十一秒冬至正月己丑朔 應閏丙午年至此十一閏一紀縮一年下起乙亥乙亥二年十一月甲寅朔旦酉初三刻二分内五十一秒冬至正月癸丑朔 史記慎公五十年卒丙子三年十一月戊申朔庚申日子初二刻十一分内一秒冬至正月丁未朔 史記魯武公敖元年丁丑四年十一月癸夘朔乙丑日夘初二刻四分内一十一秒冬至正月壬寅朔 應閏二百六章戊寅五年十一月丁夘朔庚午日午初一刻十二分内二十一秒冬至正月丙寅朔己夘六年十一月辛酉朔乙亥日酉初一刻五分内三十一秒冬至正月庚申朔庚辰七年十一月乙夘朔辛巳日子初初刻十三分内四十一秒冬至正月甲寅朔 應閏辛巳八年十一月己夘朔丙戌日夘初初刻六分内五十一秒冬至正月戊寅朔壬午九年十一月癸酉朔辛夘日巳正三刻十五分内一秒冬至正月壬申朔癸未十年十一月戊辰朔丙申日申正三刻八分内一十一秒冬至正月丁夘朔 應閏前漢志慎公即位三十年弟武公敖立在此年今從史記甲申十一年十一月壬辰朔辛丑日亥正三刻一分内二十一秒冬至正月辛夘朔乙酉十二年十一月丙戌朔丁未日寅正二刻九分内三十一秒冬至正月乙酉朔 前漢志武公即位二年子懿公戲立以下同史記丙戌十三年十一月庚戌朔壬子日巳正二刻二分内四十一秒冬至正月己酉朔丁亥十四年十一月乙巳朔丁巳日申正一刻十分内五十一秒冬至正月甲辰朔戊子十五年十一月己亥朔壬戌日亥正一刻四分内一秒冬至正月戊戌朔 應閏己丑十六年十一月癸亥朔戊辰日寅正初刻十二分内一十一秒冬至正月壬戌朔庚寅十七年十一月丁巳朔癸酉日巳正初刻五分内二十一秒冬至正月丙辰朔辛夘十八年十一月辛亥朔戊寅日申初三刻十三分内三十一秒冬至正月庚戌朔 應閏壬辰十九年十一月乙亥朔癸未日亥初三刻六分内四十一秒冬至正月甲戌朔癸巳二十年十一月庚子朔己丑日寅初二刻十四分内五十一秒冬至正月己巳朔 應閏甲午二十一年十一月甲午朔旦巳初二刻八分内一秒冬至正月癸巳朔 前漢志懿公九年正月癸巳朔旦冬至殷厯以為甲午今推十一月甲午朔旦冬至與殷厯同正月癸巳朔交雨水非冬至也是年懿公兄子柏御弑立乙未二十二年十一月戊子朔己亥日申初二刻一分内一十一秒冬至正月丁亥朔丙申二十三年十一月癸未朔甲辰日亥初一刻九分内二十一秒冬至正月壬午朔 應閏二百七章丁酉二十四年十一月丁未朔庚戌日寅初一刻二分内三十一秒冬至正月丙午朔戊戌二十五年十一月辛丑朔乙夘日巳初初刻十分内四十一秒冬至正月庚子朔己亥二十六年十一月乙未朔庚申日申初初刻三分内五十一秒冬至正月甲午朔 應閏庚子二十七年十一月己未朔乙丑日戌正三刻十二分内一秒冬至正月戊午朔辛丑二十八年十一月甲寅朔辛未日丑正三刻五分内一十一秒冬至正月癸丑朔壬寅二十九年十一月戊申朔丙子日辰正二刻十三分内二十一秒冬至正月丁未朔 應閏癸夘三十年十一月壬申朔辛巳日未正二刻六分内三十一秒冬至正月辛未朔甲辰三十一年十一月丙寅朔丙戌日戌正一刻十四分内四十一秒冬至正月乙丑朔 應閏乙亥年至此十一閏為一紀乙巳三十二年十一月庚寅朔壬辰日丑正一刻七分内五十一秒冬至正月己丑朔 前漢志柏御即位十一年宣王誅之叔父孝公稱立丙午三十三年十一月乙酉朔丁酉日辰正一刻一分内一秒冬至正月甲申朔丁未三十四年十一月己夘朔壬寅日未正初刻九分内一十一秒冬至正月戊寅朔 應閏戊申三十五年十一月癸夘朔丁未日戌正初刻二分内二十一秒冬至正月壬寅朔己酉三十六年十一月丁酉朔癸丑日丑初三刻十分内三十一秒冬至正月丙申朔庚戌三十七年十一月壬辰朔戊午日辰初三刻三分内四十一秒冬至正月辛夘朔 應閏辛亥三十八年十一月丙辰朔癸亥日未初二刻十一分内五十一秒冬至正月乙夘朔壬子三十九年十一月庚戌朔戊辰日戌初二刻五分内一秒冬至正月己酉朔 應閏癸丑四十年十一月甲戌朔旦丑初一刻十三分内一十一秒冬至正月壬申朔甲寅四十一年十一月戊辰朔己夘日辰初一刻六分内二十一秒冬至正月丁卯朔乙夘四十二年十一月壬戌朔甲申日未初初刻十四分内三十一秒冬至正月辛酉朔 應閏二百八章丙辰四十三年十一月丙戌朔己丑日戌初初刻七分内四十一秒冬至正月乙酉朔丁巳四十四年十一月辛巳朔乙未日子正三刻十五分内五十一秒冬至正月庚辰朔戊午四十五年十一月乙亥朔庚子日夘正三刻九分内一秒冬至正月甲戌朔 應閏己未四十六年十一月己亥朔乙巳日午正三刻二分内一十一秒冬至正月戊戌朔幽王(在位一十一年)庚申元年十一月甲午朔庚戌日酉正二刻十分内二十一秒冬至正月癸巳朔辛酉二年十一月戊子朔丙辰日子正二刻三分内三十一秒冬至正月丁亥朔 應閏壬戌三年十一月壬子朔辛酉日夘正一刻十一分内四十一秒冬至正月辛亥朔癸亥四年十一月丙午朔丙寅日午正一刻四分内五十一秒冬至正月乙巳朔 應閏甲子五年十一月庚午朔辛未日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在牛六度之五分正月己巳朔乙丑六年十一月乙丑朔丁丑日子正初刻六分内一十一秒冬至正月乙丑朔 小雅十月之交朔日辛夘日有食之虞〔？〕厯議以來多謂在幽王六年今推十月朔得辛夘丙寅七年十一月庚申朔壬午日夘初三刻十四分内二十一秒冬至正月己未朔 應閏丁夘八年十一月癸未朔丁亥日午初三刻七分内三十一秒冬至正月壬午朔戊辰九年十一月丁丑朔壬辰日酉初二刻十五分内四十一秒冬至正月丙子朔己巳十年十一月辛未朔戊戌日子初二刻八分内五十一秒冬至正月庚午朔 應閏庚午十一年十一月乙未朔癸夘日夘初二刻二分内一秒冬至正月甲午朔平王(在位五十一年)辛未元年十一月己丑朔戊申日午初一刻十分内一十一秒冬至正月戊子朔 應閏壬申二年十一月癸丑朔旦酉初一刻三分内二十一秒冬至正月壬子朔 漢志孝公即位二十七年子惠公皇立癸酉三年十一月戊申朔戊午夜子初初刻十一分内三十一秒冬至正月丁未朔甲戌四年十一月壬寅朔甲子日夘初初刻四分内四十一秒冬至正月辛丑朔 應閏二百九章乙巳年至此十一閏又一紀乙亥五年十一月丙寅朔己巳日巳正三刻十二分内五十一秒冬至正月乙丑朔丙子六年十一月辛酉朔甲戌日申正三刻六分内一秒冬至正月庚申朔丁丑七年十一月乙夘朔己夘日亥正二刻十四分内一十一秒冬至正月甲寅朔 應閏戊寅八年十一月己夘朔乙酉日寅正二刻七分内二十一秒冬至正月戊寅朔己夘九年十一月癸酉朔庚寅日巳正一刻十五分内三十一秒冬至正月壬申朔庚辰十年十一月丁夘朔乙未日申正一刻八分内四十一秒冬至正月丙寅朔 應閏辛巳十一年十一月辛夘朔庚子日亥正一刻一分内五十一秒冬至正月庚寅朔壬午十二年十一月丙戌朔丙午日寅正初刻十分内一秒冬至正月乙酉朔 應閏癸未十三年十一月庚戌朔辛亥日巳正初刻三分内一十一秒冬至正月己酉朔甲申十四年十一月甲辰朔丙辰日申初三刻十一分内二十一秒冬至正月癸夘朔乙酉十五年十一月戊戌朔辛酉日亥初三刻四分内三十一秒冬至正月丁酉朔 應閏丙戌十六年十一月壬戌朔丁夘日寅初二刻十二分内四十一秒冬至正月辛酉朔丁亥十七年十一月丁己朔壬申日巳初二刻五分内五十一秒冬至正月丙辰朔戊子十八年十一月辛亥朔丁丑日申初一刻十四分内一秒冬至正月庚戌朔 應閏己丑十九年十一月乙亥朔壬午日亥初一刻七分内一十一秒冬至正月甲戌朔庚寅二十年十一月己巳朔戊子日寅初初刻十五分内二十一秒冬至正月戊辰朔 應閏辛夘二十一年十一月癸巳朔旦巳初初刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔壬辰二十二年十一月丁亥朔戊戌日申初初刻一分内四十一秒冬至正月丙戌朔癸巳二十三年十一月壬午朔癸夘日戌正三刻九分内五十一秒冬至正月辛巳朔 應閏二百十章甲午二十四年十一月丙午朔己酉日丑正三刻三分内一秒冬至正月乙巳朔乙未二十五年十一月庚子朔甲寅日辰正二刻十一分内一十一秒冬至正月己亥朔丙申二十六年十一月乙未朔己未日未正二刻四分内二十一秒冬至正月甲午朔 應閏丁酉二十七年十一月己未朔甲子日戌正一刻十二分内三十一秒冬至正月戊午朔戊戌二十八年十一月癸丑朔庚午日丑正一刻五分内四十一秒冬至正月壬子朔己亥二十九年十一月丁未朔乙亥日辰正初刻十三分内五十一秒冬至正月丙午朔 應閏庚子三十年十一月辛未朔庚辰日未正初刻七分内一秒冬至正月庚午朔辛丑三十一年十一月乙丑朔乙酉日戌初三刻十五分内一十一秒冬至正月甲子朔 應閏壬寅三十二年十一月己丑朔辛夘日丑初三刻八分内二十一秒冬至正月戊子朔癸夘三十三年十一月甲申朔丙申日辰初三刻一分内三十一秒冬至正月癸未朔甲辰三十四年十一月戊寅朔辛丑日未初二刻九分内四十一秒冬至正月丁丑朔 應閏乙亥年至此十一閏又一紀乙巳三十五年十一月壬寅朔丙午日戌初二刻二分内五十一秒冬至正月辛丑朔丙午三十六年十一月丙申朔壬申日丑初一刻十一分内一秒冬至正月乙未朔丁未三十七年十一月辛夘朔丁巳日辰初一刻四分内一十一秒冬至正月庚寅朔 應閏戊申三十八年十一月乙夘朔壬戌日未初初刻十二分内二十一秒冬至正月甲寅朔己酉三十九年十一月己酉朔丁夘日戌初初刻五分内三十一秒冬至正月戊申朔 應閏庚戌四十年十一月癸酉朔旦子正三刻十三分内四十一秒冬至正月壬申朔 前漢志惠公三十八年正月壬申朔旦冬至殷厯以為癸酉今推十一月癸酉朔冬至與殷厯同十二月壬寅朔大寒正月壬申朔雨水辛亥四十一年十一月丁夘朔戊寅日夘正三刻六分内五十一秒冬至正月丙寅朔壬子四十二年十一月壬戌朔癸未日午正二刻十五分内一秒冬至正月辛酉朔 應閏二百一十一章癸丑四十三年十一月丙戌朔戊子日酉正二刻八分内一十一秒冬至正月乙酉朔甲寅四十四年十一月庚辰朔甲午日子正二刻一分内二十一秒冬至正月己夘朔乙夘四十五年十一月甲戌朔己亥日夘正一刻九分内三十一秒冬至正月癸酉朔 應閏丙辰四十六年十一月戊戌朔甲辰日午正一刻二分内四十一秒冬至正月丁酉朔丁巳四十七年十一月壬辰朔己酉日酉正初刻十分内五十一秒冬至正月壬辰朔戊午四十八年十一月丁亥朔乙夘日子正初刻四分内一秒冬至 前漢志惠公即位四十六年子隠公息姑立凡伯禽至春秋三百八十六年隠公元年上距伐紂四百歲今推此年應閏三月閏月乙夘朔四月乙酉朔申初交小滿己未四十九年十一月辛亥朔庚申日夘初三刻十二分内一十一秒冬至正月庚戌朔 魯隠公元年春秋正月建寅巳詳首卷此紀周正而附魯十二公於厯年之下以便考但春秋每年十一月十二月事皆在下年歲首閲者勿誤經考夏五月鄭伯克段于鄢傳五月辛丑太叔出奔共今推辛丑六月二十四日冬十月庚申改葬惠公今推庚申十一月十五日庚申五十年十一月丙午朔乙丑日午初三刻五分内二十一秒冬至正月乙巳朔 隠公二年經秋八月庚辰公及戎盟于唐月九日是月壬申朔三十日辛丑丑初交秋分閏八月壬寅朔九月辛未朔巳初交霜降杜注庚辰七月九日非是辛酉五十一年十一月庚午朔酉初二刻十三分内三十一秒冬至正月己巳朔 經十有二月乙夘夫人子氏薨月十七日是月二日庚子寅初交大寒此閏八月之明據隠公三年經二月己巳日有食之不書朔今推己巳未正月朔其日酉正交雨水三月庚戌天王崩本二月十三日是月二日己亥戌初交春分夏四月辛夘尹氏卒本五月二十五日是月六日壬申酉正交夏至秋武氏子來求賻八月庚辰宋公和卒本七月十六日是月十一日乙亥午初交處暑以上月誤説見下年桓王(平王孫在位二十三年)壬戌元年十一月甲子朔乙亥夜子初二刻六分内四十一秒冬至正月癸亥朔 經冬十有二月齊侯鄭伯盟于石門癸未葬宋穆公本十一月二十日是月十二日乙亥冬至傳冬齊鄭盟于石門庚戌鄭伯之車僨于濟十二月十八日也杜注十二月無庚戌非是隠公四年經春王二月莒人伐杞取牟婁戊申衞州吁弑其君完月十七日是月十四日己巳丑初交春分杜注三月十七日非是蓋上年經文己巳日食由傳寫者誤王正月為王二月故讀者由己巳月朔推之移庚戌辛夘以下諸日皆後一月以相從此説雖無所考證但自姜岌及授時諸厯皆云是歲三月己巳朔加時在晝交分入食限彼所稱三月就杜氏長厯周正改十月言之即建寅之月也况前有十二月乙夘後有十二月庚戌二月戊申具見於經傳本足以為證據杜氏長厯于未入春秋前即闕一閏以就隠元年傳之五月辛丑十月庚申故隠二年失八月庚辰乃于其年十二月後置閏以就三年之二月己巳以下諸日可謂巧矣究之前失八月庚辰後失十二月庚戌及二月戊申未為得之也竊謂閏餘成歲古今常法在春秋時舊説相傳固有失閏之事然必求諸經傳月日置閏則不合失閏則皆合乃不得已以失閏推之設前後月日置閏既有合有離失閏仍有合有離此必日月之誤非闗置閏之失與其移閏曲就使連年累月中凡日之合者不合者節氣皆違于月分何若如法置閏使合者既可得月分之正而偶有不合者因可察其傳寫之誤乎癸亥二年十一月戊午朔辛巳日夘初一刻十四分内五十一秒冬至正月丁巳朔 隠公五年今推得五月乙夘朔二十九日癸未夘初交夏至應閏五月而失之自此年為始延及莊王六年二十八年中全失兩閏詳見後甲子三年十一月壬子朔十二月辛巳朔丙戌日午初一刻八分内一秒冬至正月辛亥朔 經冬十有二月辛巳公子彄卒朔日也是月六日丙戌交冬至隠公六年經夏五月辛酉公㑹齊侯盟于艾月十二日是月八日丁巳丑正交小滿此上年失閏五月之據乙丑四年十一月丙午朔十二月丙子朔辛夘日酉初一刻一分内一十一秒冬至正月丙午朔 隠公七年傳秋宋及鄭平七月庚申盟于宿月十八日是月二十三日乙丑寅正交大暑丙寅五年十一月辛丑朔十二月庚午朔丙申夜子初初刻九分内二十一秒冬至閏十二月庚子朔正月己巳朔 傳十二月陳五父如鄭涖盟壬申及鄭伯盟月三日辛巳鄭良佐及陳侯盟月十二日是月二十七日丙申冬至此皆前失閏之據蓋補閏在十二月後隠公八年經三月鄭伯來歸祊庚寅我入祊月二十三日是月二十九日丙申未初交穀雨此十二月後已補閏之據但此年應閏三月置閏則閏月戊戌朔七日甲辰十四日辛亥十七日甲寅傳四月甲辰鄭公子忽如陳逆婦媯辛亥以媯氏歸甲寅入于鄭是以閏月為四月也經六月己亥蔡侯考父卒月二日辛亥宿男卒月十五日是月二日戊戌夜子初交夏至秋七月庚午宋公齊侯衞侯盟于瓦屋月四日其日巳正交大暑九月辛夘公及莒人盟于浮來月二十六日是月七日壬申未初交秋分又傳稱秋盟于瓦屋以釋東門之役八月丙戌鄭伯以齊人朝王杜注七月有庚午九月有辛夘八月不得有丙戌今推七月四日庚午盟瓦屋二十日丙戌朝王後人混加八月字耳蓋經傳中類此者多矣丁夘六年十一月乙丑朔十二月甲午朔壬寅日夘初初刻二分内三十一秒冬至正月甲子朔 隠公九年經三月癸酉大雨震電庚辰大雨雪今推是月九日辛未夘正交春分十一日癸酉十八日庚辰二十四日丙戌午初交清明其紀異已詳首卷以上皆上年失閏三月之據蓋補閏在十月後戊辰七年十一月己丑朔丁未日巳正三刻十分内四十一秒冬至正月戊子朔 傳十一月甲寅鄭人大敗戎師月二十六日是月十九日丁未冬至此十月後補閏之據隠公十年經王二月公㑹齊侯鄭伯于中丘傳王正月公㑹齊侯鄭伯于中丘癸丑盟于鄧為師期杜注癸丑正月二十六日今同蓋經文月誤與前隠公三年己巳日食相似六月壬戌公敗宋師于菅月七日也傳于夏五月之後稱六月戊申公㑹齊侯鄭伯于老桃杜注戊申五月二十三日今同蓋傳文六月當如經在壬戌上而繕傳者誤移于戊申上耳傳八月壬戌鄭伯圍戴月九日也九月戊寅鄭伯入宋杜注戊寅八月二十四日蓋九月字亦後人所混加耳此年應閏八月置閏則九月癸丑朔辰正交霜降二十六日得戊寅三十日得壬午經書冬十月壬午齊人鄭人入郕是失閏八月故以九月為十月而戊寅不得有九月矣己巳八年十一月癸未朔十二月壬子朔申正三刻三分内五十一秒冬至正月壬午朔 隠公十一年傳五月甲辰授兵于大宫月二十五日是月四日癸未辰正交小滿經秋七月壬午公及齊侯鄭伯入許月四日是月八日丙戌寅正交大暑傳十月壬戌鄭伯大敗宋師月十五日是月十一日戊午未正交霜降庚午九年十一月丁丑朔十二月丙午朔丁巳日亥正二刻十二分内一秒冬至正月丙子朔 經十有一月壬辰公薨月十六日是月十二日戊子巳初交小雪桓公元年經夏四月丁未公及鄭伯盟于越月三日是月十三日丁己未初交穀雨以上皆上年失閏八月之據蓋閏在此年十月後如前例辛未十年十一月辛丑朔癸亥日寅正二刻五分内一十一秒冬至正月庚子朔 桓公二年經春王正月戊申宋督弑其君與夷月九日是月二十三日壬戌夘初交雨水此十月後已補閏之據夏四月取郜大鼎于宋戊申納于太廟杜注戊申五月十日今同是月二十七日乙丑寅正交夏至應閏六月而失之若如法置閏得二百一十二章壬申十一年十一月乙未朔十二月乙丑朔戊辰日巳正一刻十三分内二十一秒冬至正月乙未朔 桓公三年經于春正月不書王自此年始訖于莊王二年今推自此年以後失閏浸甚至莊王四年以後乃連年補置之詳具于後經秋七月壬辰朔日有食之既是月十日辛丑初交大暑癸酉十二年十一月庚寅朔十二月庚申朔癸酉日申正一刻六分内三十一秒冬至正月己丑朔 桓公四年經闕秋冬蓋此年亦閏十月如前例但推閏月甲申朔是月二十六日己酉巳正交小雪則中氣已在月尾後閏即至而乃閏是全闕一閏必無以定四時而成歲故特闕秋冬以著其失甲戌十三年十一月甲寅朔戊寅日亥正初刻十四分内四十一秒冬至正月癸丑朔 桓公五年經正月甲戌己丑陳侯鮑卒今推甲戌正月二十二日己丑二月七日此十月後已補一閏之據杜注甲戌前年十二月二十一日己丑此年正月六日是正月前亦不置閏失尤甚矣再推此年五月三十日庚辰亥正交夏至應閏五月而仍失之置閏則自乙巳年至此十一閏又一紀乙亥十四年十一月戊申朔十二月戊寅朔甲申日寅正初刻七分内五十一秒冬至正月戊申朔 桓公六年經秋八月壬午大閲月八日是月十四日戊子亥初交處暑九月丁夘子同生二十四日是月十六日己未酉正交秋分丙子十五年十一月癸夘朔十二月壬申朔己丑日巳正初刻一分内一秒冬至日躔在牛五度之五分正月壬寅朔 桓公七年經春二月己亥焚咸正月二十八日是月十七日戊子巳正交雨水以上皆前失閏五月之據蓋亦此年閏十月如前例今推閏月丁酉朔二十九日乙丑寅初交小雪後閏又至而乃閏經所以再闕秋冬也丁丑十六年十一月丁夘朔甲子日申初二刻九分内一十一秒冬至正月丙寅朔 桓公八年經春正月己夘烝月十四日是月二十八日癸巳申正交雨水應閏五月而先之夏五月丁丑烝月十三日是月乙丑朔辰初交小滿此失閏三月之據冬十月雨雪是月九日庚子未初方交霜降不宜雨雪戊寅十七年十一月辛酉朔十二月辛夘朔己亥日亥初三刻二分内二十一秒冬至正月庚申朔 桓公九年己夘十八年十一月乙夘朔十二月乙酉朔乙巳日寅初二刻十分内三十一秒冬至正月甲寅朔 桓公十年經春王正月庚申曹伯終生卒月七日是月二十一日甲戌未初交大寒孟陬殄滅正非其正矣又推八月辛巳朔二十九日己酉亥初交處暑已失一閏又值再閏而再失之時非其時矣蠱極必飭受之以臨故正月書王以示意歟庚辰十九年十一月己酉朔十二月己夘朔閏十二月己酉朔庚戌日巳初二刻三分内四十一秒冬至正月戊寅朔 經冬十有二月丙午齊侯衞侯鄭伯來戰于郎月二十八日是月二日庚辰亥初交小雪此再失閏之據蓋補閏在此十二月後桓公十一年經夏五月癸未鄭伯寤生卒月八日是月六日辛巳子正交小滿傳九月丁亥昭公奔衞月十四日己亥厲公立月二十六日是月十二日乙酉夜子初交秋分此皆已補一閏仍失一閏之據辛巳二十年十一月癸酉朔十二月壬寅朔乙夘日申初一刻十一分内五十一秒冬至正月壬申朔 桓公十二年經夏六月壬寅公㑹杞侯莒子盟于曲池月三日是月十八日丁巳申初交夏至秋七月丁亥公㑹宋公燕人盟于穀丘月十九日是月二十一日己丑丑正交大暑八月壬辰陳侯躍卒杜注壬辰七月二十三日今推七月丁亥後五日得壬辰蓋八月字當在下公㑹宋公于虚之上壬午二十一年十一月丁夘朔十二月丁酉朔庚申日亥初一刻五分内一秒冬至閏十二月正月丙申朔經十有一月丙戌公㑹鄭伯盟于武父月二十日是月二十五日辛夘巳初交小雪十有二月及鄭師伐宋丁未戰于宋月十一日二十四日庚申冬至以上皆仍失一閏之據蓋補閏在十二月後桓公十三年經春二月公㑹紀侯鄭伯己巳及齊侯宋公衞侯燕人戰月五日是月二十五日己丑亥正交春分此十二月後再補一閏之據本年應閏五月而仍失之癸未二十二年十一月辛夘朔十二月辛酉朔丙寅日寅初初刻十三分内一十一秒冬至正月辛夘朔桓公十四年經秋八月壬申御廩災月十六日乙亥嘗十九日是月十四日庚午戌正交處暑甲申二十三年十一月丙戌朔十二月丙辰朔辛未日巳初初刻六分内二十一秒冬至正月乙酉朔 經十有二月丁巳齊侯祿父卒月二日十六日辛未冬至桓公十五年經三月乙未天王崩月十一日是月十六日庚子巳正交春分夏四月己巳葬齊僖公月十六日是月十七日庚午夜子初交穀雨傳六月乙亥昭公入月二十三日是月二十一日癸酉巳初交夏至以上皆前失閏五月之據莊王(桓王子在位十五年)乙酉元年十一月庚辰朔十二月庚戌朔丙子日未正三刻十四分内三十一秒冬至閏十二月己夘朔正月己酉朔 自前六月乙亥與下年正月丙辰相接推之其中必有閏蓋亦閏十二月如前例桓公十六年推得正月二十七日乙亥申初交雨水應閏四月而仍失之丙戌二年十一月甲辰朔十二月甲戌朔辛巳日戌正三刻七分内四十一秒冬至正月癸夘朔 桓公十七年經春正月丙辰公㑹齊侯紀侯盟于黄月十四日是月九日辛亥夘正交大寒二月丙午公㑹邾儀父盟于趡杜注丙午三月四日今同夏五月丙午及齊師戰于奚月五日是月十一日壬子午正交小滿即此可證前二月丙午當為三月六月丁丑蔡侯封人卒月七日是月十三日癸未亥初交夏至秋八月癸巳葬蔡桓侯月二十四日是月十七日丙戌未正交處暑傳冬十月辛夘髙渠彌弑昭公月二十三日是月十九日丁亥酉正交霜降丁亥三年十一月己亥朔十二月己巳朔丁亥日丑正二刻十五分内五十一秒冬至正月戊戌朔 桓公十八年經夏四月丙子公薨于齊月十日是月二十日丙戌酉初交穀雨丁酉公之喪至自齊杜注五月一日今同傳七月戊戌齊人殺子亹月三日是月二十五日未正交大暑以上皆莊王元年失閏三月之據今推此年九月甲午朔二十九日壬戌申正交秋分已全失一閏又應閏八月而再失之戊子四年十一月癸巳朔十二月壬戌朔正月壬辰朔辰正二刻九分内一秒冬至 經冬十有二月己丑葬我君桓公月二十八日是月壬戌朔戌正交小雪莊公元年經冬十月乙亥陳侯林卒月十八日是月十日丁夘亥正交秋分此前再失閏八月之據己丑五年十一月丁亥朔十二月丁巳朔閏十二月丙戌朔丁酉日未正二刻二分内一十一秒冬至正月丙辰朔 上有冬十月乙亥下年有冬十二月乙酉相接推之其中必有閏莫知何月故亦如前例于十二月後置之但冬至在閏十二月十二日仍失一閏未補莊公二年庚寅六年十一月辛亥朔十二月辛巳朔壬寅日戌正一刻十分内二十一秒冬至閏十二月辛亥朔正月庚辰朔 經冬十有二月乙酉宋公馮卒月五日是月二十二日壬寅交冬至此上年十二月後已補一閏仍失一閏之據但以此月乙酉與下年六月乙丑相接推之其中必有閏莫知何月故亦如前例于此月後置之莊公三年今推得六月戊申朔二十九日丙子辰初交大暑應閏六月而又失之若以下年閏六月補之得二百一十三章辛夘七年十一月乙亥朔十二月乙巳朔戊申日丑正一刻三分内三十一秒冬至正月甲戌朔 莊公四年經六月乙丑齊侯葬紀伯姬月二十四日是月九日庚戌丑正交夏至此上年失閏六月之據蓋于此年六月後補之自此至僖王季年閏法不大差失凡如法置閏而前後月日合者皆不復引載惟經傳明紀晦朔及月日偶有不合或置閏偶有前却者則表出之壬辰八年十一月己亥朔癸丑日辰正初刻十一分内四十一秒冬至正月己亥朔 莊公五年癸巳九年十一月甲午朔戊午日未正初刻四分内五十一秒冬至正月癸巳朔 莊公六年應閏四月甲午十年十一月戊午朔癸亥日戌初三刻十三分内一秒冬至正月丁巳朔 莊公七年乙未十一年十一月壬子朔己巳日丑初三刻六分内一十一秒冬至正月辛亥朔 莊公八年經春王正月師次于郎以俟陳人蔡人甲午治兵今推甲午二月十四日杜氏因于正月前增閏以就之竊謂經文于一事連兩月者其書日而不月往往有之如桓公二年夏四月取郜大鼎于宋戊申納于太廟戊申五月十日而不月十八年夏四月丙子公薨于齊丁酉公之喪至自齊丁酉五月一日而亦不月皆與此同豈得添閏以就之丙申十二年十一月丁未朔甲戌日辰初二刻十四分内二十一秒冬至正月丙午朔 經冬十有一月癸未齊無知弑其君諸兒傳冬十二月齊侯游于姑棼遂田于貝丘反賊遂弑之而立無知今推癸未十二月七日是月二十七日癸夘酉初交大寒以傳為證則是寫經者訛二為一耳杜氏長厯于上年正月前增閏以就甲午故譏傳誤不可從也莊公九年應閏三月丁酉十三年十一月辛未朔己夘日未初二刻七分内三十一秒冬至正月庚午朔 莊公十年戊戌十四年十一月乙丑朔甲申日戌初一刻十五分内四十一秒冬至正月甲子朔 莊公十一年應閏七月己亥十五年十一月己丑朔庚寅日丑初一刻八分内五十一秒冬至正月戊子朔 莊公十二年經秋八月甲午宋萬弑其君捷及其大夫仇牧冬十月宋萬出奔陳今推甲午九月十一日蓋經文月誤萬十月出奔亦可據杜氏移上年閏七月于此年八月後以就之似不可從僖王(莊王子在位五年)庚子元年十一月癸未朔乙未日辰初一刻二分内一秒冬至正月壬午朔 莊公十三年辛丑二年十一月戊寅朔庚子日未初初刻十分内一十一秒冬至正月丁丑朔 莊公十四年應閏六月壬寅三年十一月壬寅朔乙巳日戌初初刻三分内二十一秒冬至正月辛丑朔 莊公十五年癸夘四年十一月丙申朔辛亥日子正三刻十一分内三十一秒冬至正月乙未朔 莊公十六年甲辰五年十一月庚寅朔丙辰日夘正三刻四分内四十一秒冬至正月已丑朔 莊公十七年應閏四月自乙亥年至此十一閏又一紀惠王(僖王子在位二十五年)乙巳元年十一月甲寅朔辛酉日午正二刻十二分内五十一秒冬至正月癸丑朔 莊公十八年經王三月日有食之不書朔日今推三月朔得壬子大衍授時諸厯皆云五月壬子朔入食限殆就杜氏長厯以周正改月數言之耳丙午二年十一月戊申朔丙寅日酉正二刻六分内一秒冬至正月丁未朔 莊公十九年傳夏六月庚申楚子卒今推庚申五月十六日傳文或係月誤但自惠王元年至十九年應得七閏如法置閏則經傳月日多不相符必早閏數月甚或早一年有餘庶幾可合即後例前此年本應閏九月而誤置于五月後故六月十七日得庚申是月二十八日辛未午正交處暑由是壬寅日辰正秋分在七月二十九日壬申申正霜降在八月三十日至壬寅午正小雪乃在十月朔旦蓋置閏先時似與失閏有間然後時則冬入于春先時則春來于冬其失一也當是時王室有子頺之亂則正朔乖宜殆有由歟丁未三年十一月壬申朔子正一刻十四分内一十一秒冬至正月辛未朔 莊公二十年戊申四年十一月丁夘朔丁丑日夘正一刻七分内二十一秒冬至正月丙寅朔 莊公二十一年置閏應在下年六月後然此年四月後無閏則經書五月辛酉七月戊戌及下年正月癸丑皆不合姑如杜氏長厯置之經夏五月辛酉鄭伯突卒月二十九日是月十八日庚戌酉初交大暑秋七月戊戌夫人姜氏薨月七日是月二十日壬子戌正交秋分己酉五年十一月辛夘朔上年十月壬午日午正初刻十五分内三十一秒冬至正月庚寅朔 莊公二十二年經春王正月癸丑葬我小君文姜月二十四日是月二十二日辛亥未初交春分以上皆上年閏四月之據秋七月丙申及齊髙傒盟于防月九日如法置閏則此月當作閏七月八月丁巳朔二日戊午丑正交秋分此閏得二百二十四章庚戌六年十一月乙酉朔丁亥日酉正初刻八分内四十一秒冬至正月乙酉朔 莊公二十三年辛亥七年十一月庚辰朔癸巳日子正初刻一分内五十一秒冬至正月己夘朔 經十有二月甲寅公㑹齊侯盟于扈月六日是月十四日壬戌巳正交大寒莊公二十四年此年七月後必不得有閏然不閏七月則與經書八月丁丑戊寅及下年五月癸丑皆不合姑倣長厯置之經八月丁丑夫人姜氏入月三日戊寅大夫宗婦覿用幣是月二十四日戊戌亥初交霜降此早閏七月之據壬子八年十一月甲辰朔前十月戊戌日夘初三刻十分内一秒冬至正月癸夘朔 莊公二十五年經夏五月癸丑衞侯朔卒月十三日今推是年四月二十九日庚子夘正交夏至此五月實是閏月六月辛未朔酉初交大暑經六月辛未朔日有食之鼓用牲于社傳曰非常也唯正月之朔慝未作日有食之於是乎用幣于社伐鼓于朝蓋是日既交大暑二隂已生故傳明其非正陽之月其説已見首卷癸丑九年十一月戊戌朔癸夘日午初三刻三分内一十一秒冬至正月戊戌朔 莊公二十六年甲寅十年十一月癸巳朔戊申日酉初二刻十一分内二十一秒冬至正月壬辰朔 經冬十有二月癸亥朔日百食之莊公二十七年乙夘十一年十一月丁亥朔癸丑夜子初二刻四分内三十一秒冬至正月丙戌朔 莊公二十八年經三月甲寅齊人伐衞晦日也先日癸丑未初交穀雨應閏三月四月甲申朔未正交小滿經夏四月丁未邾子瑣卒月二十四日此閏合法而最有據故特表之丙辰十二年十一月辛亥朔己未日夘初一刻十二分内四十一秒冬至正月庚戌朔 莊公二十九年丁巳十三年十一月乙巳朔甲子日午初一刻五分内五十一秒冬至正月甲辰朔 莊公三十年應閏七月傳夏四月丙辰虢公入樊執樊仲皮今推丙辰五月十五日自閏七月後八月庚子朔丑初交秋分經八月癸亥葬紀叔姬月二十四日也九月庚午朔日有食之是日巳初交霜降戊午十四年十一月己巳朔旦酉初初刻十四分内一秒冬至正月戊辰朔 莊公三十一年己未十五年十一月癸亥朔甲戌夜子初初刻七分内一十一秒冬至正月壬戌朔 莊公三十二年今推六月庚寅朔十九日戊申己正交大暑此年必不得閏六月然不置閏則經書七月癸巳八月癸亥十月己未皆不合姑倣杜氏長厯置之經秋七月癸巳公子牙卒月五日是月二十二日庚戌未初交秋分八月癸亥公薨于路寢月六日是月二十三日庚辰戌正交霜降冬十月己未子般卒月三日是月二十四日庚辰寅正交冬至庚申十六年十一月丁亥朔前十月内庚辰日寅正三刻十五分内二十一秒冬至正月丙戌朔 閔公元年移上閏于此年應閏五月六月癸丑朔申正交大暑經六日辛酉葬我君莊公九日也辛酉十七年十一月壬午朔乙酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至正月辛巳朔 閔公二年經夏五月乙酉吉禘于莊公月七日是月九日丁亥午初交夏至此年必不得閏六月經書秋八月辛丑七月二十四日説見後壬戌十八年十一月丙子朔庚寅日申正三刻一分内四十一秒冬至正月乙亥朔 僖公元年經秋七月戊辰夫人姜氏薨于夷八月二十七日是月二十五日丙寅夘正交秋分冬十月壬子公子友敗莒師于酈十一月十二日其月二十六日乙未亥正交冬至見下年首月癸亥十九年十一月辛未朔乙未日亥正二刻九分内五十一秒冬至正月己巳朔 經十有二月丁巳夫人氏之喪至自齊月十八日僖公二年夏五月辛巳葬我小君哀姜月十五日由此推之於前七月無戊辰十月無壬午設于閔二年五月乙酉後添閏六月則其年八月辛丑僖元年七月戊辰十月壬午皆可合而十二月無丁巳五月無辛巳是添閏曲就雖得三仍失二故今不從杜氏此年應閏四月而閏五月小誤耳甲子二十年十一月甲午朔辛丑日寅正二刻三分内一秒冬至正月癸巳朔 僖公三年乙丑二十一年十一月戊子朔丙午日巳正一刻十一分内一十一秒冬至正月丁亥朔 僖公四年應閏九月丙寅二十二年十一月辛亥朔日申正一刻四分内二十一秒冬至正月辛亥朔 僖公五年傳春王正月辛亥朔日南至今推至日得辛亥與傳合但傳不繫四年冬而稱五年王正月乃分傳附經者移就周正而為之其説已見首卷經九月戊申朔日有食之丁夘二十三年十一月丙午朔丙辰日亥正初刻十二分内三十一秒冬至正月丙午朔 僖公六年戊辰二十四年十一月辛丑朔壬戌日寅正初刻五分内四十一秒冬至正月庚子朔 僖公七年應閏七月傳閏月惠王崩本在經秋七月盟于甯母之下而傳敘管仲對齊侯之言終以冬鄭伯使請盟于齊乃敘閏月事是閏月在冬也此閏二百一十五章己巳二十五年十二月乙丑朔丁夘日巳初三刻十三分内五十一秒冬至正月甲子朔 僖公八年襄王(惠王子在位三十三年)庚午元年十一月己未朔壬申日申初三刻七分内一秒冬至正月戊午朔 僖公九年經秋七月乙酉伯姬卒蓋晦日辛未二年十一月甲寅朔丁丑日亥初二刻十五分内一十一秒冬至正月癸丑朔 僖公十年應閏五月壬申三年十一月丁丑朔癸未日寅初二刻八分内二十一秒冬至正月丁丑朔 僖公十一年癸酉四年十一月辛未朔戊子日巳初二刻一分内三十一秒冬至正月辛未朔 僖公十二年經三月庚午日有食之不書朔甲戌五年十一月丙寅朔癸巳日申初一刻九分内四十一秒冬至閏十一月丙申朔正月乙未朔 冬至在十一月二十八日不宜月後置閏當時蓋閏十一月經冬十有二月丁丑陳侯杵臼卒月十三日是月二十八日壬辰申正交雨水此早閏十一月之據後代厯家用平氣推算其置閏多類此僖公十三年于法應閏三月乙亥六年十一月庚寅朔戊戌日亥初一刻二分内五十一秒冬至正月庚寅朔 僖公十四年經秋八月辛夘沙鹿崩今推八月十一日得丁夘九月六日得辛夘日月未知孰誤杜氏于八月前增閏以就之但僖公十二年不早閏十一月則十二月無丁丑如已置閏此年八月前安得又閏耶丙子七年十一月乙酉朔甲辰日寅初初刻十一分内一秒冬至正月甲申朔 僖公十五年經夏五月日有食之不書朔日大衍授時皆推得四月癸丑朔入食限今推四月得癸丑朔殆官失朔日而月亦訛耶此年應閏八月九月庚戌朔子正交霜降經九月己夘晦震夷伯之廟月三十日今推己夘日戌正交小雪宜作十月朔意者誤置大建耶然置閏後適值大月而中氣前在朔後在晦者秋末冬間節氣既短往往有之若用平氣則免此然未得節氣之真也十月震廟不寧不令甚矣丁丑八年十一月己酉朔日巳初初刻四分内一十一秒冬至正月戊申朔 僖公十六年經春王正月戊申朔隕石于宋五戊寅九年十一月癸夘朔甲寅日未正三刻十二分内二十一秒冬至正月壬寅朔 僖公十七年己夘十年十一月丁酉朔己未日戌正三刻五分内三十一秒冬至正月丙申朔 僖公十八年應閏五月閏月十六日得戊寅經五月戊寅宋師及齊師戰于甗是先以五月為閏四月而以閏月為五月小失也秋八月丁亥葬齊桓公杜注八月無丁亥今推八月二十日得辛亥丁亥七月二十六日庚辰十一年十一月辛酉朔乙丑日丑正二刻十三分内四十一秒冬至正月庚申朔 僖公十九年辛巳十二年十一月丙辰朔庚午日辰正二刻六分内五十一秒冬至正月乙夘朔 僖公二十年經五月乙巳西宫災今推五月十六日得己巳無乙巳壬午十三年十一月庚戌朔乙亥日未正一刻十五分内一秒冬至正月己酉朔 僖公二十一年應閏四月癸未十四年十一月甲戌朔庚辰日戌正一刻八分内一十一秒冬至正月癸酉朔 僖公二十二年甲申十五年十一月己巳朔丙戌日丑正二刻一分内二十一秒冬至正月戊辰朔 經冬十有一月己巳朔宋公及楚人戰于泓僖公二十三年乙酉十六年十一月癸亥朔辛夘日辰正初刻九分内三十一秒冬至正月壬戌朔 僖公二十四年此年二月壬辰朔二十九日庚申巳初交春分應閏二月閏月辛酉朔三月庚寅朔亥正交穀雨傳三月晉侯潛㑹秦伯于王城己丑晦公宫火是以閏月為三月而三月為閏月也其三月十五日乙亥未正交清明傳稱介之推隠而死文公以緜上為之田殆在斯時此西河舊俗為子推寒食所由來乎説具首卷丙戌十七年十一月丁亥朔丙申日未正初刻二分内四十一秒冬至正月丙戌朔 僖公二十五年丁亥十八年十一月辛己朔辛丑日戌初三刻十分内五十一秒冬至正月庚辰朔 僖公二十六年經王正月己未公㑹莒子衞甯速盟于向今推正月十六日得乙未己未二月十日應閏七月二百一十六章全史日至源流卷十九
## 卷二十
欽定四庫全書全史日至源流卷二十山東道御史許伯政撰壬子運二十(每期三百六十五日二時七刻七分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分四秒一十微小寒十四日八時四刻四分五十四秒一十微大寒十四日九時一刻十分九秒一十微立春十四日十時一刻六分九秒一十微雨水十四日十一時三刻四分九秒一十微驚蟄十五日零七刻零四秒一十微春分十五日二時三刻八分五十四秒一十微清明十五日四時零七分五十四秒一十微穀雨十五日五時四刻七分五十九秒一十微立夏十五日六時七刻零四秒一十微小滿十五日八時零二分五十九秒一十微芒種十五日八時三刻十分四秒一十微夏至十五日八時七刻零四秒一十微小暑十五日八時五刻三分四秒一十微大暑十五日八時零八分四秒一十微立秋十五日七時零一十一分四秒一十微處暑十五日五時六刻六分四秒一十微白露十五日四時三刻九分九秒一十微秋分十五日二時四刻一十一分一十四秒一十微寒露十五日一時一刻八分九秒一十微霜降十四日十一時五刻五分四秒一十微立冬十四日十時二刻一十一分一十四秒一十微小雪十四日九時二刻一十二分九秒一十微大雪十四日八時五刻十分四秒一十微戊子十九年十一日乙巳朔丁未日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在牛四度之五分正月甲辰朔 僖公二十七年經秋八月乙未葬齊孝公月二十六日乙巳公子遂帥師入杞杜注乙巳九月六日今同己丑二十年十一月己亥朔壬子日辰初二刻十一分内五十一秒冬至正月戊戌朔 僖公二十八年經冬天王狩于河陽壬申公朝于王所杜注壬申十月十日今在九日其有日無月蓋與乙巳入杞同傳五月癸亥宜遵經作癸丑庚寅二十一年十一月癸巳朔丁巳日未初二刻四分内四十一秒冬至正月癸巳朔 僖公二十九年應閏五月辛夘二十二年十一月丁巳朔壬戌日戌初一刻十二分内三十一秒冬至正月丙辰朔 僖公三十年經秋晉人秦人圍鄭傳九月甲午晉侯秦伯圍鄭今推甲午八月十二日壬辰二十三年十一月壬子朔戊辰日丑初一刻五分内二十一秒冬至正月辛亥朔 僖公三十一年癸巳二十四年十一月丙午朔癸酉日辰初初刻十三分内一十一秒冬至正月乙巳朔 僖公三十二年應閏三月置閏則閏月甲戌朔十五日戊子辰正交立夏次日得己丑經夏四月己丑鄭伯捷卒是以閏三月為四月其失閏明矣以四月己丑與十二月相接推之經有己夘傳有庚辰則十二月以前無閏又明矣春秋失閏孟陬殄滅莫甚于桓王之世及莊王之初次則惠王時置閏每失之過早自惠王二十一年閏九月之後特紀辛亥朔日南至于傳蓋幸其反正也届此將三十年皆未失閏而此復失之然則文公元年傳詳舉先王正時之法蓋譏此年失閏三月之非禮其示人之意最著明矣乃分傳附經者不察移置彼年改為閏三月非禮妄甚矣説見後甲午二十五年十一月辛丑朔十二月庚午朔戊寅日未初初刻六分内一秒冬至正月庚子朔 經冬十有二月己夘晉侯重耳卒月十日傳庚辰將殯于曲沃是月九日戊寅冬至僖公三十三年經夏四月辛巳晉人及姜戎敗秦師于殽月十三日癸巳葬晉文公二十五日是月十日戊寅寅初交穀雨傳八月戊子晉侯敗狄于箕月二十二日是月十七日癸未夘正交處暑以上皆上年失閏三月之明據蓋補閏在此八月後乙未二十六年十一月甲子朔癸未日酉正三刻十三分内五十一秒冬至正月癸亥朔 經十有二月公至自齊乙巳公薨于小寢月十二日是月二十日癸丑夘初交大寒此八月後已補閏之明據杜注乙巳十一月十二日非是文公元年經王正月公即位二月癸亥日有食之自姜岌暨大衍授時諸厯皆云文公九年三月癸亥朔入食限據此是繕經者訛三月為二月蓋與隠公三年己巳日食訛王正月為王二月襄公二十七年乙亥日食訛十一月為十二月正相類也分傳附經者知癸亥日食必係朔日而不察其月誤又見傳稱五月辛酉朔晉師圍戚又見經書夏四月丁巳葬我君僖公在四月二十六日遂指為閏三月之確據因而移傳譏癸巳歲失閏三月之非禮者故為譏此年閏三月之非禮杜氏為之説曰於厯法閏當在僖公末年誤於今年三月置閏蓋時達厯者所譏夫不于末年譏其失閏而于今年譏其補閏既非情理矣况本傳稱履端于始舉正于中歸餘于終之定法推之僖公三十二年應閏三月而失之故補閏于末年八月後若僖之末年法不應閏天行有常達厯者所共知非杜氏所能遷就也且此年本應閏八月如法置閏則閏月庚申朔九月己丑朔交霜降十九日得丁未經書冬十月丁未楚世子商臣弑其君頵是置閏遲在十月後甚明也設謂十月後無閏則下年經書二月甲子丁丑三月乙巳四月己巳八月丁夘皆不合如十月後已置閏春閏三月冬閏十月果當時實事有之乎抑後人率臆言之乎讀者自當察之丙申二十七年十一月戊子朔己丑日子正三刻六分内四十一秒冬至正月丁亥朔 文公二年經春王二月甲子晉及秦戰于彭衙月八日丁丑作僖公主二十一日三月乙巳及晉處父盟月十九日傳夏四月己巳晉人使陽處父盟公以恥之月十四自經八月丁夘大事于太廟躋僖公月十三日此皆上年十月後已置閏之明據則其無先閏三月之事可知已丁酉二十八年十一月癸未朔甲午日夘正二刻十四分内三十一秒冬至正月辛巳朔 文公三年戊戌二十九年十一月丙子朔己亥日午正一刻七分内二十一秒冬至正月乙亥朔 文公四年應閏六月己亥三十年十一月庚子朔甲辰日酉正一刻十五分内一十一秒冬至正月己亥朔 文公五年庚子三十一年十一月甲午朔庚戌日子正一刻八分内一秒冬至正月癸巳朔 文公六年法應下年閏四月經于十月後書閏月不告朔蓋以十一月為閏月也據見後辛丑三十二年閏月己丑朔乙夘日夘正初刻十五分内五十一秒冬至正月丁巳朔 傳十一月丙寅晉殺續簡伯月九日寔十二月文公七年壬寅三十三年十一月壬子朔庚申日午正初刻八分内四十一秒冬至正月壬子朔 文公八年頃王(襄王子在位六年)癸夘元年十一月丁未朔乙丑日酉正初刻一分内三十一秒冬至正月丙午朔 文公九年應閏八月乙亥年至此十一閏又一紀縮一年下起甲辰經九月癸酉地震月三日甲辰二年十一月庚午朔夜子初三刻九分内二十一秒冬至正月庚午朔 文公十年乙巳三年十一月乙丑朔丙子日夘初三刻二分内一十一秒冬至正月甲子朔 文公十一年按襄公三十年傳絳縣老人曰臣生之歲正月甲子朔蓋指此年丙午四年十一月庚申朔辛巳日午初二刻十分内一秒冬至正月己未朔 文公十二年應閏六月二百一十七章丁未五年十一月甲申朔丙戌日酉初二刻二分内五十一秒冬至正月癸未朔 文公十三年戊申六年十一月己夘朔辛夘日夜子初一刻十分内四十一秒冬至正月戊寅朔 經十有二月己丑公及晉侯盟杜注己丑十一月十一日文公十四年傳秋七月乙夘夜齊商人弑舎而讓元杜注七月無乙夘今並同匡王(頃王子在位六年)己酉元年十一月癸酉朔丁酉日夘初一刻三分内三十一秒冬至正月癸酉朔 文公十五年經六月辛丑朔日有食之應閏五月而閏六月庚戌二年十一月戊戌朔壬寅日午初初刻十一分内二十一秒冬至正月丁酉朔 文公十六年辛亥三年十一月辛夘朔丁未日酉初初刻四分内一十一秒冬至正月庚寅朔 文公十七年壬子四年十一月乙酉朔壬子日亥正三刻十二分内一秒冬至正月甲申朔 文公十八年應閏三月而閏六月癸丑五年十一月己酉朔戊午日寅正三刻四分内五十一秒冬至戊申朔 宣公元年甲寅六年十一月甲辰朔癸亥日巳正二刻十二分内四十一秒冬至正月癸夘朔 宣公二年經王二月壬子宋華元鄭歸生帥師戰于大棘今推壬子三月十一日此年應閏八月置閏則閏月庚子朔二十六日乙丑九月己巳朔辰正交霜降四日壬申七日乙亥經書秋九月乙丑晉趙盾弑其君夷臯傳逆公子黑臀于周而立之壬申朝于武宫經冬十月乙亥天王崩是以閏八月為九月九月為冬十月而十月為閏月也定王(匡王弟在位二十一年)乙夘元年十一月戊辰朔日申正三刻五分内三十一秒冬至正月丁夘朔 宣公三年經冬十月丙戌鄭伯蘭卒傳冬鄭穆公卒不月今推丙戌十一月二十五日丙辰二年十一月壬戌朔癸酉日亥正一刻十三分内二十一秒冬至正月辛酉朔 宣公四年經夏六月乙酉鄭公子歸生弑其君夷今推六月二十一日得己酉無乙酉傳秋七月戊戌楚子與若敖氏戰于臯滸今推戊戌八月十一日杜氏長厯移文公十八年閏六月于宣公元年二月後以就二月壬子再移宣公二年閏十月于此年七月後以就宣公三年之十月丙戌及此年之六月乙酉七月戊戌今不從之丁巳三年十一月丙辰朔己夘日寅正一刻六分内一十一秒冬至正月乙夘朔 宣公五年應閏五月戊午四年十一月庚辰朔甲申日巳正初刻十四分内一秒冬至正月己夘朔 宣公六年己未五年十一月甲戌朔己丑日申正初刻六分内五十一秒冬至正月甲戌朔 宣公七年庚申六年十一月己巳朔甲午日亥初三刻十四分内四十一秒冬至正月戊辰朔 宣公八年應閏四月經秋七月甲子日有食之既杜注月三十日食今同蓋本八月朔而七月誤置大建耳觀經不書朔亦可見之但杜氏于文公十五年閏六月後閲六年至宣公二年乃閏二月又自宣公四年閏七月後至此年四月前五年中遂得三閏何其踈密之相懸若此謂宣公四年至此止置一閏則七月無甲子晦如竟不置閏則司厯再失閏當于此年甲子日食譏之何待五十六年後至襄公二十七年十一月乙亥日食始誤之耶如法推筭其謬自見辛酉七年十一月癸巳朔庚子日寅初三刻七分内三十一秒冬至正月壬辰朔 宣公九年經辛酉晉侯黑臀卒於扈在九月㑹扈及伐陳後杜注九月無辛酉今同壬戌八年十一月戊子朔乙巳日巳初二刻十五分内二十一秒冬至正月丁亥朔 宣公十年經夏四月丙辰日食不書朔癸亥九年十一月壬午朔庚戌日申初二刻八分内一十一秒冬至正月辛巳朔 宣公十一年應閏二月經冬十月丁亥楚子入陳月十二日此閏二月之據甲子十年十一月丙午朔乙夘日亥初二刻一分内一秒冬至正月乙巳朔 宣公十二年經夏六月乙夘晉荀林父帥師及楚子戰于邲傳丙辰楚師重至于邲今推乙夘五月十三日冬十有二月戊寅楚子滅蕭月九日杜注十一月九日蓋杜于六月前增一閏則以七月為六月而得乙夘丙辰既得乙夘必失戊寅然此年于法必不宜置閏與其增閏以就乙夘丙辰何若如法不閏而得戊寅乎乙丑十一年十一月庚子朔辛酉日寅初一刻八分内五十一秒冬至正月己亥朔 宣公十三年應閏七月二百一十八章丙寅十二年十一月甲子朔丙寅日巳初一刻一分内四十一秒冬至正月癸亥朔 宣公十四年丁夘十三年十一月戊午朔辛未日申初初刻九分内三十一秒冬至正月丁巳朔 宣公十五年戊辰十四年十一月壬子朔丙子日亥初初刻二分内二十一秒冬至正月辛亥朔 宣公十六年經春王正月晉人滅赤狄甲氏及留吁傳三月獻狄俘晉侯請于王戊申以黻冕命士㑹將中軍今推戊申二月二十八日應閏五月而閏二月己巳十五年十一月丙子朔壬午日丑正三刻十分内一十一秒冬至正月乙亥朔 宣公十七年經王正月庚子許男錫我卒月二十六日丁未蔡侯申卒杜注二月四日今在三日六月癸夘日有食之不書朔庚午十六年十一月辛未朔丁亥日辰正三刻三分内一秒冬至正月庚午朔 宣公十八年辛未十七年十一月乙丑朔壬辰日未正二刻十分内五十一秒冬至正月甲子朔 成公元年應閏三月壬申十八年十一月己丑朔丁酉日戌正二刻三分内四十一秒冬至正月戊子朔 成公二年經夏四月丙戌衞孫良夫帥師及齊師戰于新築四月晦日也杜注五月一日八月壬午宋公鮑卒月二十八日庚寅衞侯速卒杜注九月七日今同癸酉十九年十一月癸未朔癸夘日丑正一刻十一分内三十一秒冬至正月壬午朔 成公三年應閏七月甲辰年至此十一閏為一紀下起甲戌甲戌二十年十一月丙午朔戊申日辰正一刻四分内二十一秒冬至正月丙午朔 經冬十有一月丙午及荀庚盟月一日丁未及孫良夫盟月二日傳十二日甲戌晉作六軍今推甲戌十一月二十九日杜不閏七月故以十月作十一月却丙午丁未於月終以合經十二月戊申朔二十七日得甲戌以合傳可謂巧矣成公四年經三月壬申鄭伯堅卒月二十八日杜注二月二十八日夏四月甲寅臧孫許卒今推甲寅五月十一日杜仍不置閏故在四月然移閏曲就仍然此合後離何若如法置閏之為正乎乙亥二十一年十一月辛丑朔癸丑日未正初刻十二分内一十一秒冬至正月庚子朔 成公五年簡王(定王子在位十四年)丙子元年十一月丙申朔戊午日戌正初刻五分内一秒冬至正月乙未朔 成公六年應閏六月丁丑二年十一月庚申朔甲子日丑初三刻十二分内五十一秒冬至正月己未朔 成公七年經八月戊辰同盟于馬陵今推戊辰九月十三日戊寅三年十一月乙夘朔己巳日辰初三刻五分内四十一秒冬至正月甲寅朔 成公八年己夘四年十一月己酉朔甲戌日未初二刻十三分内三十一秒冬至正月戊申朔 成公九年應閏四月閏月丁未朔五月丙子朔未正交夏至經秋七月丙子齊侯無野卒月二日杜注丙子六月一日縁應閏四月而杜不閏故以五月為六月耳庚辰五年十一月癸酉朔己夘日戌初二刻六分内二十一秒冬至正月壬申朔 經冬十有一月葬齊頃公楚公子嬰齊帥師伐莒庚申莒潰傳冬十一月戊申楚入渠丘庚申莒潰杜注戊申六日庚申十八日今推十二月六日得戊申十八日得庚申縁杜移閏四月於十一月後以就庚申兼就經書城中丘於閏月故傳曰書時但後得庚申前失丙子何若如法置閏之為正乎杜必就城中丘于閏月者彼以十一月為今之九月置閏於十一月後則立冬在閏月中旬庶於土功為得時耳成公十年經夏五月丙午晉侯獳卒傳六月丙午晉侯欲麥杜注據傳丙午六月七日經有日無月今同竊謂經之庚申莒潰其有日無月亦類此耳辛巳六年十一月丁夘朔乙酉日丑初一刻十四分内一十一秒冬至正月丙寅朔 成公十一年壬午七年十一月辛酉朔庚寅日辰初一刻七分内一秒冬至正月庚申朔 成公十二年應閏二月如法置閏則閏月庚申朔三月己丑朔亥初交穀雨四月二日庚申亥正交小滿五日得癸亥傳夏五月晉士夑㑹楚公子罷許偃癸亥盟于宋西門之外是以閏二月為三月故以四月為五月而五月為閏月也癸未八年十一月乙酉朔乙未日未初初刻十四分内五十一秒冬至正月甲申朔 成公十三年傳夏四月戊午晉侯使呂相絶秦月七日是月十五日丙寅寅正交小滿此上年五月後已置閏之據甲申九年十一月己夘朔庚子日戌初初刻七分内四十一秒冬至正月戊寅朔 成公十四年應閏七月八月二日丙子巳初交秋分二十四日得戊戌傳八月鄭子罕伐許敗焉戊戌鄭伯復伐許庚子入其郛此閏七月之明據二百一十九章乙酉十年十一月癸夘朔丙午日子正三刻十五分内三十一秒冬至正月壬寅朔 成公十五年丙戌十一年十一月戊戌朔辛亥日夘正三刻八分内二十一秒冬至正月丁酉朔 成公十六年經六月丙寅朔日有食之甲午晦晉侯及楚子鄭伯戰于鄢陵是月十九日甲申酉正交大暑丁亥十二年十一月癸巳朔丙辰日午正三刻一分内一十一秒冬至正月壬辰朔 成公十七年應閏五月置閏則閏月庚申朔二十六日得乙酉經六月乙酉同盟于柯陵是以閏五月為六月也九月辛丑用郊月十四日是月五日壬辰丑正交秋分傳冬諸侯伐鄭十月庚午圍鄭月十三日是月五日壬戌巳正交霜降戊子十三年十一月丁亥朔十二月丁巳朔辛酉日酉正二刻九分内一秒冬至閏十二月正月丙辰朔經十有一月公至自伐鄭壬申公孫嬰齊卒于貍脤杜注十一月無壬申今同十有二月丁巳朔日有食之是月五日辛酉冬至此上年失閏五月之據傳閏月乙夘晦欒書中行偃殺胥童成公十八年經春王正月庚申晉弑其君州蒲月五日是日戌初交雨水傳甲申晦齊侯使士華免以戈殺國佐于内宫之朝二月乙酉朔晉悼公即位于朝今推是月六日庚寅戌正交春分此已補閏之明據則自此至襄公二十七年並無再失閏之事詳見于後己丑十四年十一月辛亥朔丁夘日子正二刻一分内五十一秒冬至正月庚戌朔 襄公元年經王正月公即位繼書仲孫蔑㑹晉欒黶宋華元衞甯殖曹人莒人邾人滕人薛人圍宋彭城傳春己亥圍宋彭城今推己亥二月二十日傳以己亥繫春而不繫月史無此例明是中脱二月字而誤置于下文齊太子光為質于晉之上杜注正月無己亥日誤非也靈王(簡王子在位二十七年)庚寅元年十一月乙巳朔壬申日夘正一刻九分内四十一秒冬至正月甲辰朔 襄公二年應閏三月四月壬寅朔亥初交小滿五月三日甲戌夘正交夏至十九日庚寅經夏五月庚寅夫人姜氏薨此閏三月之明據六月庚辰鄭伯㫻卒傳秋七月庚辰鄭伯㫻卒杜注庚辰七月九日今在十日辛夘二年十一月己巳朔丁丑日午正一刻二分内三十一秒冬至正月戊辰朔 襄公三年經六月公㑹單子晉侯宋公衞侯鄭伯莒子邾子齊世子光己未同盟于雞澤月二十四日陳侯使袁僑如㑹戊寅叔孫豹及諸侯之大夫及陳袁僑盟傳秋及陳袁僑盟杜注戊寅七月十三日今同此亦經之有日無月者非誤也壬辰三年十一月癸亥朔壬午日酉正初刻十分内二十一秒冬至正月壬戌朔 襄公四年經春王三月己酉陳侯午卒杜注三月無己酉今同應閏八月癸巳四年十一月丁亥朔戊子日子正初刻三分内一十一秒冬至正月丙戌朔 襄公五年傳九月丙午盟于戚月二十五日是月十二日癸巳亥初交霜降必上年八月後已置閏乃合甲午五年十一月辛巳朔癸巳日夘初三刻十一分内一秒冬至正月庚辰朔 襄公六年乙未六年十一月丙子朔戊戌日午初三刻三分内五十一秒冬至正月乙亥朔 經十有二月齊侯滅萊傳十一月丙辰而滅之今推丙辰十二月十二日是月二十三日丁夘亥初交大寒襄公七年應閏六月如法置閏則七月壬寅朔二日癸夘夘初交處暑九月辛丑朔四日甲辰巳初交霜降二十二日得壬戌經冬十月壬戌及孫林父盟是失閏六月故以九月為十月而十月為閏月也丙申七年十一月庚子朔癸夘日酉初二刻十一分内四十一秒冬至正月己亥朔 經十有二月㑹于鄬鄭伯髠頑如㑹未見諸侯丙戌卒于鄵月十七日是月四日癸酉寅初交大寒此十月後已置閏之明據襄公八年丁酉八年十一月乙未朔戊申日夜子初二刻四分内三十一秒冬至正月甲午朔 襄公九年戊戌九年十一月己丑朔甲寅日夘初一刻十二分内二十一秒冬至正月戊子朔 經冬公㑹伐鄭十有二月己亥同盟于戲杜注十二月無己亥傳十一月己亥同盟于戲今推己亥十一月十一日蓋經月誤傳十二月癸亥門其三門閏月戊寅濟于隂阪杜注癸亥月五日戊寅二十日閏月當為門五日極是襄公十年應閏四月置閏則閏月丁亥朔四日庚寅八日甲午經夏五月甲午遂滅偪陽傳庚寅攻偪陽是以閏月為五月也傳六月庚午楚子圍宋月十五日是月丙辰朔夘初交夏至七月圍蕭八月丙寅克之月十二日是月四日戊午夜子初交處暑九月己酉師于牛首月二十五日是月五日己丑戌初交秋分冬十月戊辰尉止帥賊晨攻執政于西宫之朝月十五日是月七日庚申寅初交霜降己亥十年十一月甲申朔閏十一月癸丑朔己未日午初一刻五分内一十一秒冬至正月壬子朔 傳十一月己亥與楚師夾潁而軍月十六日以上皆失閏四月之據蓋補閏在此十一月後襄公十一年傳四月諸侯伐鄭己亥齊太子光宋向戌先至于鄭月十九日是月十日庚寅丑正交小滿此十一月後已補閏之明據庚子十一年十一月丁未朔甲子日酉初初刻十三分内一秒冬至日躔在牛三度之五分正月丙午朔襄公十二年辛丑十二年十一月辛丑朔己巳日夜子初初刻五分内五十一秒冬至正月庚子朔 襄公十三年應閏二月經秋九月庚辰楚子審卒月十五日是月十日乙亥戌正交霜降此二月後已置閏之明據壬寅十三年十一月乙丑朔乙亥日寅正三刻十三分内四十一秒冬至正月乙丑朔 襄公十四年經二月乙未朔日有食之癸夘十四年十一月庚申朔庚辰日巳正三刻六分内三十一秒冬至正月己未朔 襄公十五年經秋八月丁巳日有食之不書朔杜注丁巳七月一日今同此與隠公三年己巳日食訛王正月為王二月正同類是月二十九日乙酉寅正交處暑應閏七月而失之置閏得二百二十章甲戌年至此十一閏又一紀甲辰十五年十一月甲寅朔十二月甲申朔乙酉日申正二刻十四分内二十一秒冬至正月癸丑朔 經冬十有一月癸亥晉侯周卒月十日是月三日丙辰寅正交小雪襄公十六年經三月㑹于溴梁戊寅大夫盟月二十六日是月二日甲寅酉正交春分五月甲子地震月十三日是月五日丙辰辰正交小滿傳六月次于棫林庚寅伐許月十日是月七日丁亥酉初交夏至此皆上年失閏七月之明據蓋補閏在六月後乙巳十六年十一月戊寅朔庚寅日亥正二刻七分内一十一秒冬至正月戊寅朔 襄公十七年經春王二月庚午邾子牼卒月二十四日是月十四日庚申子正交春分此上年六月後已補閏之明據丙午十七年十一月癸酉朔丙申日寅正一刻十五分内一秒冬至正月壬申朔 襄公十八年應閏五月而失之傳冬十月㑹于魯濟同伐齊丙寅晦齊師夜遁是月五日壬寅丑正交霜降丁未十八年十一月丁夘朔十二月丁酉朔辛丑日巳正一刻七分内五十一秒冬至正月丙寅朔 傳十一月丁夘朔入平隂是月五日辛未亥正交小雪十二月戊戌及秦周伐雍門之萩月二日五日卒丑冬至襄公十九年傳夏五月壬辰晦齊靈公卒是月九日壬申丑初交小滿經秋七月辛夘齊侯環卒月二十九日是月十二日甲戌亥初交大暑八月丙辰仲孫蔑卒月二十四日是月十四日丙午寅正交處暑以上皆上年失閏五月之據蓋補閏在八月後戊申十九年十一月辛夘朔丙午日申正初刻十五分内四十一秒冬至正月庚寅朔 襄公二十年經春王正月辛亥仲孫速㑹莒人盟于向月二十二日是月十六日乙巳酉初交雨水此上年八月後已補閏之據冬十月丙辰朔日有食之己酉二十年十一月乙酉朔辛亥日亥正初刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔 襄公二十一年應閏四月經九月庚戌朔日有食之傳冬十月庚辰朔日有食之此四月後已置閏之明據庚戌二十一年十一月己酉朔丁巳日寅正初刻一分内二十一秒冬至正月戊申朔 襄公二十二年辛亥二十二年十一月甲辰朔壬戌日巳初三刻九分内一十一秒冬至正月癸夘朔 傳十二月鄭游昄將如晉未出竟遭逆妻者奪之丁巳其夫攻子明殺之杜注丁巳十一月十四日今同襄公二十三年經春王二月癸酉朔日有食之應閏九月置閏則閏月己巳朔七日乙亥經冬十月乙亥臧孫紇出奔邾是以閏月為十月而十月為閏月也壬子二十三年十一月丁夘朔日申初三刻二分内一秒冬至正月丙寅朔 襄公二十四年經秋七月甲子朔日有食之既八月癸巳朔日有食之此上年十月後已置閏之明據癸丑二十四年十一月壬戌朔壬申日亥初二刻九分内五十一秒冬至正月辛酉朔 襄公二十五年經秋八月己巳諸侯同盟於重丘傳秋七月己巳同盟於重丘杜注己巳七月十一日今同甲寅二十五年十一月丙辰朔戊寅日寅初二刻二分内四十一秒冬至正月乙夘朔 襄公二十六年傳鄭伯賞入陳之功三月甲寅朔享子展是月二十四日丁丑酉初交穀雨應閏六月如法置閏則閏月癸丑朔七月壬午朔亥初交處暑經八月壬午許男甯卒于楚是失閏六月故以七月為八月也乙夘二十六年十一月辛亥朔十二月庚辰朔癸未日巳初一刻十分内三十一秒冬至閏十二月正月己夘朔 傳楚子伐鄭十二月乙酉入南里月六日此失閏六月之明據蓋補閏在十二月後襄公二十七年傳五月甲辰晉趙武至于宋月二十八日丙午鄭良霄至月三十日是月九日乙酉巳初交夏至六月丁未朔宋人享趙文子此前十二月後已補閏之明據蓋自文公十一年至此中得二十六閏未嘗闕一也丙辰二十七年十一月乙亥朔戊子日申初一刻三分内二十一秒冬至正月甲戌朔 經冬十有二月乙亥朔日有食之傳十一月乙亥朔日有食之辰在申司厯過也再失閏矣杜注今長歴推乙亥十一月朔非十二月姜岌授時諸厯皆云十一月乙亥朔交分入食限則經文訛一為二明矣按昭公七年傳曰日月之㑹是謂辰即日行一歲所厯十二躔次以日食言之即夏書所謂辰弗集于房也然則傳云辰在申言日月之㑹在申時耳凡司厯推筭日食必加時在晝乃預詳其日應食之時刻以詔救䕶毋或先時後時致于失誤今推乙亥日食在大雪節内日入申正二刻雖食不見而當時司厯者以為日月之㑹在申故譏其過若七月雖斗建在申而日月合朔或尚值大暑中氣或已交立秋初氣皆躔鶉火之次於辰在午若以歲差推之其時七月合朔日躔所值于宿在軫皆與斗杓指申無渉設乙亥日食果係七月合朔當稱建在申何以稱辰在申蓋再失閏矣四字乃解傳者所妄注非傳之本文杜氏信之抑又妄矣襄公二十八年景王(靈王子在位二十五年)丁巳元年十一月己巳朔癸巳日亥初初刻十一分内一十一秒冬至正月己巳朔 傳十二月乙亥朔齊人遷莊公殯于大寢經十有二月甲寅天王崩乙未楚子昭卒杜注十二月戊戌朔乙亥誤十二月無乙未今推傳前稱十一月乙亥嘗于太公之廟月七日也則十二月必無乙亥朔蓋己亥訛為乙亥而非戊戌朔明矣甲寅十二月十六日後五日己未經文乙未亦己未之訛蓋乙與已形音皆相近故易訛寫耳襄公二十九年經夏五月庚午衞侯衎卒月五日二十九日乙未亥初交夏至應閏九月經秋九月齊髙止出奔北燕傳乙未出月一日也六日己亥酉正交霜降此五月後已置閏之據戊午二年十一月癸巳朔己亥日寅初初刻四分内一秒冬至正月壬辰朔 襄公三十年傳夏四月己亥鄭伯及其大夫盟今推四月十五日得乙亥經五月甲午宋災月四日己亥九日己未三年十一月丁亥朔甲辰日辰正三刻十一分内五十一秒冬至正月丙戌朔 襄公三十一年庚申四年十一月辛巳朔己酉日未正三刻四分内四十一秒冬至正月庚辰朔 昭公元年傳春楚公子圍聘于鄭且娶于公孫段氏正月乙未入逆而出月十六日是月二十九日戊申申初二刻交雨水應閏二月如法置閏則閏月庚辰朔二十五日得甲辰傳三月甲辰盟是以閏月為三月也經六月丁巳邾子華卒月十日是月七日癸未丑正交夏至此失閏二月之據蓋閏在六月後辛酉五年十一月甲辰朔甲寅日戌正二刻十二分内三十一秒冬至正月甲辰朔 經冬十有一月己酉楚子麇卒傳冬楚公子圍將聘于鄭未出竟聞王有疾而還十一月己酉入問王疾縊而弑之月六日也此六月後已補閏之據杜注十二月六日非是附傳十二月晉既烝趙孟適南陽甲辰朔烝于温庚戌卒今推十一月甲辰朔六日己酉七日庚戌蓋此傳别敘晉事其追紀晉既烝本繫于十月淺人見其附訛于十一月後循次混改為十二月而杜氏不察寧舎傳與經合之十一月己酉而特闕前閏以就甲辰朔于十二月謬已昭公二年壬戌六年十一月己亥朔庚申日丑正二刻五分内二十一秒冬至正月戊戌朔 昭公三年應閏七月二百二十一章癸亥七年十一月癸亥朔乙丑日辰正一刻十三分内一十一秒冬至正月壬戌朔 昭公四年傳六月丙午楚子合諸侯于申月十七日是月九日戊戌戌初交大暑此上年七月後巳閏之據秋七月楚子使屈申圍朱方八月甲申克之杜注八月無甲申今推甲申七月二十六日八月字衍甲子八年十一月戊午朔庚午日未正一刻六分内一秒冬至正月丁巳朔 昭公五年乙丑九年十一月壬子朔乙亥日戌正初刻十三分内五十一秒冬至正月辛亥朔 昭公六年七年傳鑄刑書之歲二月或夢伯有介而行曰壬子余將殺帶也杜注壬子六年三月三日今同是月二十六日乙亥已正交榖雨應閏六月今推六月己夘朔八日丙戌傳六月丙戌鄭災周時火以建未之月見午位故曰火見鄭其火也丙寅十年十一月丙子朔辛巳日丑正初刻六分内四十一秒冬至正月丙子朔 昭公七年經春正月暨齊平傳齊求之也癸巳齊侯次于虢月十八日是月四日庚辰丑正交雨水此上年六月後巳置閏之據夏四月甲辰朔日有食之丁夘十一年十一月辛未朔丙戌日辰初三刻十四分内三十一秒冬至正月庚午朔 昭公八年經冬十月壬午楚師滅陳傳冬十一月壬午滅陳今推壬午十一月十八日見下年杜注十月十八日非是檢推此年前後月日自見戊辰十二年十一月乙丑朔辛夘日未初三刻七分内二十一秒冬至正月甲子朔 昭公九年傳二月庚申楚公子棄疾遷許于夷實城父月二十七日是日申初交春分應閏三月己巳十三年十一月己丑朔丙申日戌初二刻十五分内一十一秒冬至正月戊子朔 昭公十年傳五月庚辰戰于稷今推庚辰四月二十五日經七月戊子晉侯彪卒月四日是月十七日辛丑未初交處暑此可証上年三月後巳置閏且推此年正月戊子朔傳稱正月有星出于婺女鄭禆竈言于子産曰七月戊子晉君將死尤可証戊子在七月而五月無庚辰也庚午十四年十一月癸未朔壬寅日丑初二刻八分内一秒冬至正月壬午朔 昭公十一年經九月己亥葬我小君齊歸月二十一日是月二十九日丁未夜子初交霜降應閏十月置閏則閏月戊寅朔二十日得丁酉經冬十有一月丁酉楚師滅蔡是以閏月為十一月而閏在十一月後也見下年辛未十五年十一月戊寅朔閏十一月丁未朔日辰初一刻十五分内五十一秒冬至正月丙午朔 昭公十二年經三月壬申鄭伯嘉卒月二十八日是月二日丙午亥初交穀雨此十一月後巳閏之據傳冬十月壬申朔原輿人逐絞而立公子跪尋壬申十六年十一月辛丑朔壬子日未初一刻八分内四十一秒冬至正月庚子朔 昭公十三年癸酉十七年十一月丙申朔丁巳日戌初一刻一分内三十一秒冬至正月乙未朔 昭公十四年推得是年六月癸亥朔二十九日辛夘夘正交大暑應閏六月自甲辰年至此十一閏又一紀傳九月甲午楚子殺鬭成然月四日先日癸巳已初交秋分蓋失閏也甲戌十八年十一月庚寅朔十二月庚申朔癸亥日丑初初刻九分内二十一秒冬至正月己丑朔 昭公十五年經二月癸酉有事于武宫月十五日是月四日壬戌丑初交雨水六月丁巳朔日有食之大衍厯五月丁巳朔食失一閏今推是月九日乙丑丑初交夏至傳秋八月戊寅王穆后崩月二十三日是月十二日丁夘酉正交處暑此皆上年失閏六月之據蓋補閏在八月後乙亥十九年十一月甲寅朔戊辰日辰初初刻二分内一十一秒冬至正月癸丑朔 昭公十六年傳二月丙申齊師至于蒲隧月十四日次日丁酉辰正交春分此上年八月後巳補閏之據丙子二十年十一月戊申朔癸酉日午正三刻十分内一秒冬至正月丁未朔 昭公十七年應閏四月如法置閏則閏月乙巳朔五月甲戌朔二日乙亥未初交夏至經夏六月甲戌朔日有食之是以閏四月為五月以五月為六月而日食尚在至前故傳稱祝史請所用幣曰在此月也日過分而未至可見王朝頒朔雖閏不如法而當時列國太史未嘗不推筭節氣而知之也傳九月丁夘晉荀吳帥師涉自棘津月二十五日是月七日己酉寅初交秋分此皆失閏四月之據蓋閏在十月後丁丑二十一年十一月壬申朔戊寅日酉正三刻二分内五十一秒冬至正月辛未朔 昭公十八年傳春王二月乙夘周毛得殺毛伯過月十五日是月七日丁未戌正交春分此上年十月後巳補閏之據戊寅二十二年十一月丁夘朔甲申日子正二刻十分内四十一秒冬至正月丙寅朔 昭公十九年己夘二十三年十一月辛酉朔己丑日夘正二刻三分内三十一秒冬至正月庚申朔 昭公二十年傳王二月己丑日南至今推至日得己丑與傳合但己丑冬至在十一月二十九日乃分傳附經者以正月為建子又見傳閏月在八月後知為失閏妄移己丑日南至屬之王二月耳蓋此年應閏三月而失之傳六月丙辰衞侯在平壽丁己晦公入與北宫喜盟于彭水之上是月三日辛夘夘正交夏至秋七月戊午朔遂盟國人八月辛亥公子朝出奔晉月二十五日閏月戊辰殺宣姜月十二日是月八日甲子戌正交秋分庚辰二十四年十一月乙酉朔甲午日午正一刻十一分内二十一秒冬至正月甲申朔 昭公二十一年經秋七月壬午朔日有食之辛巳二十五年十一月己夘朔己亥日酉正一刻四分内一十一秒冬至正月戊寅朔 昭公二十二年經夏四月乙丑天王崩月十九日是月二十四日庚午已初交小滿傳四月王田北山乙丑崩于榮錡氏與經合經六月叔鞅如京師葬景王王室亂傳六月丁巳葬景王王子朝與靈景之族作亂丁巳六月十二日亦與經合但是月二十八日癸酉夘初交大暑應閏七月得二百二十二章如法置閏則閏月乙巳朔十七日辛酉傳八月辛酉司徒醜以王師敗績于前城是以閏七月為八月而閏在八月後也乃分傳附經者妄移閏月於十二月後以致八月前傳與經合八月後傳與經異如經書秋劉子單子以王猛入于王城而稱傳冬十月丁巳納于王城今推丁巳九月十四日經書冬十月王子猛卒而傳稱十一月乙酉王子猛卒今推乙酉十月十二日餘見下年敬王(王子猛弟在位四十四年)壬午元年十一月癸夘朔乙巳日子正初刻十二分内一秒冬至正月壬寅朔 經十有二月癸酉朔日有食之授時厯是月癸酉朔加時在晝交分入食限杜預以長厯推之當為癸夘非是此未察杜氏之誤由于作偽者妄移閏月于後蓋傳稱十二月庚戌晉籍談帥師軍于隂本十一月八日閏月辛丑伐京本十二月二十九日今遵經改正讀者審之昭公二十三年傳春王正月壬寅朔二師圍郊七月戊辰晦戰于雞父癸未二年十一月丁酉朔庚戌日夘正初刻四分内五十一秒冬至正月丙申朔 昭公二十四年經夏五月乙未朔日有食之秋八月大雩丁酉杞伯郁釐卒杜注丁酉九月五日今同甲申三年十一月壬辰朔乙夘日午初三刻十二分内四十一秒冬至正月辛夘朔 昭公二十五年推得是年六月三十日戊子夜子初交大暑應閏六月而失之經九月己亥公孫于齊月十二日是月四日辛夘丑正交秋分冬十月戊辰叔孫婼卒乙酉四年十一月丙戌朔十二月丙辰朔庚申日酉初三刻五分内三十一秒冬至閏十二月正月乙夘朔經十有一月己亥宋公佐卒于曲棘月十四日是月六日辛夘夘初交小雪傳十二月庚辰齊侯圍鄆月二十五日是月五日庚申冬至以上皆失閏六月之據蓋閏在十二月後昭公二十六年傳王正月庚申齊侯取鄆月六日先日巳未酉正交雨水此十二月後巳補閏之據丙戌五年十一月庚戌朔乙丑日夜子初二刻十三分内二十一秒冬至正月己酉朔 昭公二十七年丁亥六年十一月甲辰朔辛未日夘初二刻六分内一十一秒冬至正月癸夘朔 昭公二十八年經夏四月丙戌鄭伯寧卒月十五日是月三十日辛丑戌正交小滿應閏四月秋七月癸巳滕子寧卒月二十四日是月六日乙亥夜子初交處暑此閏四月之據戊子七年十一月戊辰朔丙子日午初一刻十四分内一秒冬至正月丁夘朔 昭公二十九年己丑八年十一月癸亥朔辛巳日酉初一刻六分内五十一秒冬至正月壬戌朔 昭公三十年推得是年應閏九月五月庚申朔二十一日庚辰二十四日癸未酉初交夏至經夏六月庚辰晉侯去疾卒殆誤于五月後置閏故以七月為六月歟抑或夏六月即夏五月之訛歟此當闕疑庚寅九年十一月丙戌朔夜子初初刻十四分内四十一秒冬至正月丙戌朔 傳冬十二月己夘吳滅徐月二十四日是月丙辰朔已初交大寒此五月後巳置閏之明據昭公三十一年辛夘十年十一月辛巳朔壬辰日夘初初刻七分内三十一秒冬至正月庚辰朔 經十有二月辛亥朔日有食之昭公三十二年壬辰十一年十一月乙亥朔丁酉日巳正三刻十五分内二十一秒冬至正月甲戌朔 定公元年經夏六月癸亥公之喪至自乾侯月二十二日是月二十九日庚午亥正交大暑應閏六月如法置閏則閏月壬申朔二十二日癸巳經秋七月癸巳葬我君昭公是失閏也癸巳十二年十一月庚午朔十二月己亥朔壬寅日申正三刻八分内一十二秒冬至正月己巳朔 定公二年傳夏四月辛酉鞏氏之羣子弟賊簡公月二十四日是月五日壬寅辰初交穀雨經夏五月壬辰雉門及兩觀災月二十六日是月七日癸酉辰正交小滿此皆上年失閏六月之據蓋補閏在五月後甲午十三年十一月甲午朔丁未日亥正三刻一分内一秒冬至正月癸巳朔 定公三年經二月辛夘邾子穿卒月二十九日是月十五日丁丑子正交春分此上年五月後巳補閏之據乙未十四年十一月戊子朔癸丑日寅正二刻八分内五十一秒冬至正月丁亥朔 定公四年經春王二月癸巳陳侯吳卒杜注癸巳正月七日今同夏四月庚辰蔡公孫姓帥師滅沈月二十五日是月二十八日癸未戌初交小滿應閏四月丙申十五年十一月壬子朔戊午日已正二刻一分内四十一秒冬至正月辛亥朔 經冬十有一月庚午蔡侯以吳子及楚人戰于柏舉月十九日庚辰吳入郢二十九日是月七日戊午冬至此四月後巳閏之據定公五年經王三月辛亥朔日有食之丁酉十六年十一月丙午朔癸亥日申正一刻九分内三十一秒冬至正月乙巳朔 定公六年戊戌十七年十一月庚子朔戊辰日亥正一刻二分内二十一秒冬至正月庚子朔 定公七年應閏三月而失之己亥十八年十一月乙未朔十二月乙丑朔甲戌日寅正初刻十分内一十一秒冬至正月甲午朔 傳冬十一月戊午單子劉子逆王于慶氏月二十四日是月十日甲辰申正交小雪己已王入于王城杜注巳巳十二月五日今同是月十日甲戌寅正交冬至定公八年傳二月己丑單子伐穀城月二十六日辛夘伐簡城二十八日是月十日癸酉寅正交雨水皆上年失閏三月之據蓋補閏在二月後經秋七月戊辰陳侯栁卒月八日是月十八日戊寅亥初交處暑此二月後補閏之據庚子十九年十一月己未朔己夘日已正初刻一分内一秒冬至正月戊午朔 定公九年應閏七月二百二十三章辛丑二十年十一月癸未朔甲申日申初三刻十分内五十一秒冬至正月壬午朔 定公十年壬寅二十一年十一月丁丑朔己丑日亥初三刻三分内四十一秒冬至正月丙子朔 定公十一年癸夘二十二年十一月辛未朔乙未日寅初二刻十一分内三十一秒冬至正月庚午朔 定公十二年應閏五月自甲戌年至此十一閏又一紀經冬十月癸亥公㑹齊侯盟于黄月二十八日是月六日辛丑丑初交霜降是失閏五月也甲辰二十三年十一月丙寅朔閏十一月乙未朔庚子日巳初二刻四分内二十一秒冬至正月甲午朔 經十有一月丙寅朔日有食之授時厯是歲十月丙寅朔加時在晝入食限今推是月五日庚午亥正交小雪此亦失閏五月之據蓋補閏在十一月後定公十三年乙巳二十四年十一月庚寅朔乙巳日申初一刻十二分内一十一秒冬至正月己丑朔 傳冬十一月丁未荀寅士吉射奔朝歌月十八日十六日乙巳冬至十二月辛未趙鞅入于絳月十三日十七日乙亥丑初交大寒此上年十一月後巳補閏之據定公十四年丙午二十五年十一月甲申朔庚戌日亥初一刻五分内一秒冬至正月癸未朔 定公十五年應閏三月二月癸丑朔三月壬午朔二十日辛丑二十九日庚戌午初交穀雨經二月辛丑楚子滅胡是早閏正月故以三月為二月抑或經文二月即三月之訛未可知也夏五月辛亥郊一日也二日壬子亥初交夏至壬申公薨月二十二日此正月後巳置閏之據八月庚辰朔日有食之九月丁巳葬我君定公月九日辛巳葬定姒杜注十月三日今同丁未二十六年十一月戊申朔丙辰日寅初初刻十二分内五十一秒冬至正月丁未朔 哀公元年戊申二十七年十一月壬寅朔辛酉日巳初初刻五分内四十一秒冬至正月辛丑朔 哀公二年經秋八月甲戌晉趙鞅及鄭罕達戰于鐵月七日二十九日丙申夜子初交秋分應閏八月己酉二十八年十一月丙寅朔日未正三刻十三分内三十一秒冬至正月乙丑朔 哀公三年經夏四月甲午地震月一日五月辛夘桓宫僖宫災月二十九日此上年閏八月之據庚戌二十九年十一月庚申朔辛未日戌正三刻六分内二十一秒冬至正月庚申朔 哀公四年辛亥三十年十一月乙夘朔丁丑日丑正二刻十四分内一十一秒冬至正月甲寅朔 哀公五年應閏六月經秋九月癸酉齊侯杵臼卒月二十四日是月三日壬子申正交秋分是失閏六月故以八月為九月也冬叔還如齊閏月葬齊景公傳秋齊景公卒冬十月公子嘉公子陽生來奔萊人歌之曰景公死乎不與埋蓋閏十月壬子三十一年十一月己夘朔壬午日辰正二刻七分内一秒冬至日躔在牛二度之五分正月戊寅朔哀公六年癸丑三十二年十一月癸酉朔丁亥日未正一刻十四分内五十一秒冬至正月壬申朔 哀公七年甲寅三十三年十一月丁夘朔壬辰日戌正一刻七分内四十一秒冬至正月丙寅朔 哀公八年應閏四月乙夘三十四年十一月辛夘朔戊戌日丑正初刻十五分内三十一秒冬至正月辛夘朔 經冬十有二月癸亥杞伯過卒月三日七日丁夘午正交大寒此四月後巳閏之據哀公九年丙辰三十五年十一月丙戌朔癸夘日辰正初刻八分内二十一秒冬至正月乙酉朔 哀公十年丁巳三十六年十一月庚辰朔戊申日未正初刻一分内一十一秒冬至正月己夘朔 哀公十一年應閏二月經五月甲戌齊國書帥師及吳戰于艾陵月二十八日是月四日庚戌未正交夏至此二月後巳置閏之明據戊午三十七年十一月甲辰朔癸丑日戌初三刻九分内一秒冬至正月癸夘朔 哀公十二年經夏五月甲辰孟子卒月四日是月十五日乙夘戌正交夏至是歲法不應置閏安有失不置閏之事杜氏長厯何妄也己未三十八年十一月戊戌朔己未日丑初三刻一分内五十一秒冬至正月丁酉朔 傳宋向巢伐鄭取錫遂圍嵒十二月鄭罕達救嵒丙申圍宋師月二十九日是月二十一日午初交大寒安有火猶西流之事哀公十三年傳六月丙子越子伐吳月十二日乙酉戰丙戌復戰丁亥入吳是月二十八日壬辰未初交大暑秋七月辛丑盟吳晉争先月七日是月二十九日癸亥戌初交處暑應閏七月得二百二十四章杜注前年失閏至此年謬極庚申三十九年十一月壬戌朔甲子日辰初二刻九分内四十一秒冬至正月辛酉朔 哀公十四年經夏四月庚戌叔還卒月二十一日五月庚申朔日有食之是月七日丙寅辰初交夏至傳六月甲午齊陳恒弑其君壬於舒州月七日此上年七月後巳置閏之明據辛酉四十年十一月丙辰朔己巳日未初二刻二分内三十一秒冬至正月丙辰朔 哀公十五年壬戌四十一年十一月辛亥朔甲戌日戌初一刻十分内二十一秒冬至正月庚戌朔 哀公十六年傳于哀公十五年冬及齊平之下紀蒯瞶入衞事云閏月良夫與太子入舎于孔氏之外圃昏二人蒙衣而乘寺人羅御如孔氏孔氏之老欒寧問之稱姻妾以告遂入適伯姬氏今按閏月繫冬可也昏繫閏月而不日殊為蒙混且經書十有六年春王正月己夘衞世子蒯瞶自戚入于衞夏四月己丑孔丘卒今推己夘正月晦日其月二十四日癸酉戌正交雨水己丑四月十二日其月二十八日乙已已正交小滿以節氣推之上冬既不應有閏又自哀公十四年五月庚申朔日食與此年正月己夘四月己丑相接推之其間尤不得有閏蓋傳文自衞孔圉取太子蒯瞶之姊生悝以下乃追敘正月己夘自戚入衞之縁起其閏月即經之王正月昏即己夘晦乘月晦而入故蒙衣而乘稱姻妾以告也分傳附經者訛王正月為閏月遂移置十五年之冬杜氏不察移己夘于正月朔指己丑為五月十二日謬極矣此年應閏五月六月丁未朔二日戊申夘正交大暑癸亥四十二年十一月乙亥朔庚辰日丑初一刻三分内一十一秒冬至正月甲戌朔 哀公十七年傳秋七月己夘楚公孫朝帥師滅陳月九日十四日甲申酉正交處暑此上年五月後巳閏之據甲子四十三年十一月己巳朔乙酉日辰初初刻十一分内一秒冬至正月戊辰朔 哀公十八年乙丑四十四年十一月癸亥朔庚寅日未初初刻三分内五十一秒冬至正月壬戌朔 哀公十九年應閏二月元王(敬王子在位七年)丙寅元年十一月丁亥朔乙未日酉正三刻十一分内四十一秒冬至正月丙戌朔 哀公二十年丁夘二年十一月辛巳朔辛丑日子正三刻四分内三十一秒冬至正月庚辰朔 哀公二十一年應閏八月戊辰三年十一月乙巳朔丙午日夘正二刻十二分内二十一秒冬至正月乙巳朔 哀公二十二年己巳四年十一月庚子朔辛亥日午正二刻五分内一十一秒冬至正月己亥朔 傳冬十一月丁夘越滅吳月二十八日此亦二十一年八月後巳閏之據哀公二十三年庚午五年十一月甲午朔丙辰日酉正一刻十三分内一秒冬至正月甲午朔 哀公二十四年應閏六月傳夏四月晉侯將伐齊使來乞師其下書閏月公如越辛未六年十一月戊午朔壬戌日子正一刻五分内五十一秒冬至正月戊午朔 哀公二十五年壬申七年十一月癸丑朔丁夘日夘正初刻十三分内四十一秒冬至正月壬子朔 哀公二十六年貞定王(元王子在位二十八年)癸酉元年十一月丁未朔壬申日午正初刻六分内三十一秒冬至正月丙午朔 哀公二十七年傳夏四月己亥季康子卒月二十五日二十九日癸夘寅初交小滿應閏四月五月甲戌朔午正交夏至七月癸酉朔二日甲戌五日丁丑夘初交處暑傳秋八月甲戌公如公孫有陘氏是失閏四月故以七月為八月而閏在八月後矣自甲辰年至此十一閏又一紀甲戌二年十一月辛未朔丁丑日酉初三刻十四分内二十一秒冬至正月庚午朔乙亥三年十一月乙丑朔癸未日夜子初三刻七分内一十一秒冬至正月甲子朔丙子四年十一月己未朔戊子日夘初二刻十五分内一秒冬至正月戊午朔 應閏丁丑五年十一月癸未朔癸巳日午初二刻七分内五十一秒冬至正月壬午朔戊寅六年十一月丁丑朔戊戌日酉初二刻十五分内四十一秒冬至正月丙子朔 應閏二百二十五章己夘七年十一月辛丑朔甲辰日夜子初一刻八分内三十一秒冬至正月庚子朔庚辰八年十一月丙申朔己酉日夘初一刻一分内二十一秒冬至正月乙未朔辛巳九年十一月庚寅朔甲寅日午初初刻九分内一十一秒冬至正月己丑朔 應閏壬午十年十一月甲寅朔己未日酉初初刻二分内一秒冬至正月癸丑朔癸未十一年十一月戊申朔甲子日亥正三刻九分内五十一秒冬至正月丁未朔甲申十二年十一月癸夘朔庚午日寅正三刻二分内四十一秒冬至正月壬寅朔 應閏乙酉十三年十一月丁夘朔乙亥日巳正二刻十分内三十一秒冬至正月丙寅朔丙戌十四年十一月辛酉朔庚辰日申正二刻三分内二十一秒冬至正月庚申朔 應閏丁亥十五年十一月乙酉朔旦亥正一刻十一分内一十一秒冬至正月甲申朔戊子十六年十一月己夘朔辛夘日寅正一刻四分内一秒冬至正月戊寅朔己丑十七年十一月癸酉朔丙申日巳正初刻十一分内五十一秒冬至正月壬申朔 應閏庚寅十八年十一月丁酉朔辛丑日申正初刻四分内四十一秒冬至正月丙申朔辛夘十九年十一月壬辰朔丙午日亥初三刻十二分内三十一秒冬至正月辛夘朔壬辰二十年十一月丙戌朔壬子日寅初三刻五分内二十一秒冬至正月乙酉朔 應閏癸巳二十一年十一月庚戌朔丁巳日巳初二刻十三分内一十一秒冬至正月己酉朔甲午二十二年十一月甲辰朔壬戌日申初二刻六分内一秒冬至正月甲辰朔乙未二十三年十一月己亥朔丁夘日亥初一刻十三分内五十一秒冬至正月戊戌朔 應閏丙申二十四年十一月癸亥朔癸酉日寅初一刻六分内四十一秒冬至正月壬戌朔丁酉二十五年十一月丁巳朔戊寅日巳初初刻十四分内三十一秒冬至正月丙辰朔 應閏二百二十六章戊戌二十六年十一月辛巳朔癸未日申初初刻七分内二十一秒冬至正月庚辰朔己亥二十七年十一月乙亥朔戊子日戌正三刻十五分内一十一秒冬至正月甲戌朔庚子二十八年十一月庚午朔甲午日丑正三刻八分内一秒冬至正月己巳朔 應閏考王(在位十五年)辛丑元年十一月甲午朔己亥日辰正二刻十五分内五十一秒冬至正月癸巳朔壬寅二年十一月戊子朔甲辰日未正二刻八分内四十一秒冬至正月丁亥朔癸夘三年十一月壬午朔己酉日戌正二刻一分内三十一秒冬至正月辛巳朔 應閏自甲戌年至此十一閏又一紀甲辰四年十一月丙午朔乙夘日丑正一刻九分内二十一秒冬至正月乙巳朔乙巳五年十一月庚子朔庚申日辰正一刻二分内一十一秒冬至正月己亥朔 應閏丙午六年十一月甲子朔乙丑日未正初刻十分内一秒冬至正月癸亥朔丁未七年十一月己未朔庚午日戌正初刻二分内五十一秒冬至正月戊午朔戊申八年十一月甲寅朔丙子日丑初三刻十分内四十一秒冬至正月癸丑朔 應閏己酉九年十一月戊寅朔辛巳日辰初三刻三分内三十一秒冬至正月丁丑朔庚戌十年十一月壬申朔丙戌日未初二刻十一分内二十一秒冬至正月辛未朔辛亥十一年十一月丙寅朔辛夘日戌初二刻四分内一十一秒冬至正月乙丑朔 應閏壬子十二年十一月庚寅朔丁酉日丑初一刻十二分内一秒冬至正月己丑朔癸丑十三年十一月甲申朔壬寅日辰初一刻四分内五十一秒冬至正月癸未朔甲寅十四年十一月己夘朔丁未日未初初刻十二分内四十一秒冬至正月戊寅朔乙夘十五年十一月癸夘朔壬子日戌初初刻五分内三十一秒冬至正月壬寅朔威烈王(在位二十四年)丙辰元年十一月丁酉朔戊午日子正三刻十三分内二十一秒冬至正月丙申朔 應閏二百二十七章丁巳二年十一月辛酉朔癸亥日夘正三刻六分内一十一秒冬至正月庚申朔戊午三年十一月乙夘朔戊辰日午正二刻十四分内一秒冬至正月甲寅朔己未四年十一月庚戌朔癸酉日酉正二刻六分内五十一秒冬至正月己酉朔 應閏庚申五年十一月甲戌朔己夘日子正一刻十四分内四十一秒冬至正月癸酉朔辛酉六年十一月戊辰朔甲申日夘正一刻七分内三十一秒冬至正月丁夘朔壬戌七年十一月壬戌朔己丑日午正初刻十五分内二十一秒冬至正月辛酉朔 應閏癸亥八年十一月丙戌朔甲午日酉正初刻八分内一十一秒冬至正月乙酉朔全史日至源流卷二十
## 卷二十一
欽定四庫全書全史日至源流卷二十山東道御史許伯政撰壬子運二十一(每期三百六十五日二時七刻七分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分三秒二十微小寒十四日八時四刻四分五十三秒二十微大寒十四日九時一刻十分八秒二十微立春十四日十時一刻六分八秒二十微雨水十四日十一時三刻四分八秒二十微驚蟄十五日零七刻零三秒二十微春分十五日二時三刻八分五十三秒二十微清明十五日四時零七分五十三秒二十微榖雨十五日五時四刻七分五十八秒二十微立夏十五日六時七刻零三秒二十㣲小滿十五日八時零二分五十八秒二十微芒種十五日八時三刻十分三秒二十微夏至十五日八時七刻零三秒二十微小暑十五日八時五刻三分三秒二十微大暑十五日八時零八分三秒二十微立秋十五日七時零一十一分三秒二十微處暑十五日五時六刻六分三秒二十微白露十五日四時三刻九分八秒二十微秋分十五日二時四刻一十一分一十三秒二十微寒露十五日一時一刻八分八秒二十微霜降十四日十一時五刻五分三秒二十微立冬十四日十時二刻十一分一十三秒二十微小雪十四日九時二刻一十二分八秒二十微大雪十四日八時五刻十分三秒二十微甲子九年十一月庚辰朔庚子日子正初刻一分内一秒冬至日躔在牛一度之五分正月己夘朔乙丑十年十一月甲辰朔乙巳日夘初三刻八分内三十一秒冬至正月癸夘朔丙寅十一年十一月己亥朔庚戌日午初三刻一分内一秒冬至正月戊戌朔丁夘十二年十一月癸巳朔乙夘日酉初二刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔 應閏戊辰十三年十一月丁巳朔辛酉日夜子初二刻一分内一秒冬至正月丙辰朔己巳十四年十一月辛亥朔丙寅日夘初一刻八分内三十一秒冬至正月庚戌朔庚午十五年十一月丙午朔辛未日午初一刻一分内一秒冬至正月乙巳朔 應閏辛未十六年十一月庚午朔丙子日酉初初刻八分内三十一秒冬至正月己巳朔壬申十七年十一月甲子朔壬午日夜子初初刻一分内一秒冬至正月癸亥朔癸酉十八年十一月戊午朔丁亥日寅正三刻八分内三十一秒冬至正月丁巳朔 應閏甲辰年至此十一閏又一紀甲戌十九年十一月壬午朔壬辰日巳正三刻一分内一秒冬至正月辛巳朔乙亥二十年十一月丁丑朔丁酉日申正二刻八分内三十一秒冬至正月丙子朔 應閏二百二十八章丙子二十一年十一月辛丑朔壬寅日亥正二刻一分内一秒冬至正月庚子朔丁丑二十二年十一月乙未朔戊申日寅正一刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔戊寅二十三年十一月己丑朔癸丑日巳正一刻一分内一秒冬至正月戊子朔 應閏己夘二十四年十一月癸丑朔戊午日申正初刻八分内三十一秒冬至正月壬子朔安王在位二十六年庚辰元年十一月丁未朔癸亥日亥正初刻一分内一秒冬至正月丙午朔辛巳二年十一月壬寅朔己巳日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔 應閏壬午三年十一月丙寅朔甲戌日巳初三刻一分内一秒冬至正月乙丑朔癸未四年十一月庚申朔己夘日申初二刻八分内三十一秒冬至正月己未朔 應閏甲申五年十一月甲申朔旦亥初二刻一分内一秒冬至正月癸未朔乙酉六年十一月戊寅朔庚寅日寅初一刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔丙戌七年十一月壬申朔乙未日巳初一刻一分内一秒冬至正月辛未朔 應閏丁亥八年十一月丙申朔庚子日申初初刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔戊子九年十一月辛夘朔乙巳日亥初初刻一分内一秒冬至正月庚寅朔己丑十年十一月乙酉朔辛亥日丑正三刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔 應閏庚寅十一年十一月己酉朔丙辰日辰正三刻一分内一秒冬至正月戊申朔辛夘十二年十一月甲辰朔辛酉日未正二刻八分内三十一秒冬至正月癸夘朔壬辰十三年十一月戊戌朔丙寅日戌正二刻一分内一秒冬至正月丁酉朔 應閏癸巳十四年十一月壬戌朔壬申日丑正一刻八分内三十一秒冬至正月辛酉朔甲午十五年十一月丙辰朔丁丑日辰正一刻一分内一秒冬至正月乙夘朔 應閏二百二十九章乙未十六年十一月庚辰朔壬午日未正初刻八分内三十一秒冬至正月己夘朔丙申十七年十一月甲戌朔丁亥日戌正初刻一分内一秒冬至正月癸酉朔丁酉十八年十一月己巳朔癸巳日丑初三刻八分内三十一秒冬至正月戊辰朔 應閏史記秦獻公元年戊戌十九年十一月癸巳朔戊戌日辰初三刻一分内一秒冬至正月壬辰朔己亥二十年十一月丁亥朔癸夘日未初二刻八分内三十一秒冬至正月丙戌朔庚子二十一年十一月壬午朔戊申日戌初二刻一分内一秒冬至正月辛巳朔 應閏史記正月庚寅秦孝公生辛丑二十二年十一月丙午朔甲寅日丑初一刻八分内三十一秒冬至正月乙巳朔壬寅二十三年十一月庚子朔己未日辰初一刻一分内一秒冬至正月己亥朔 應閏甲戌年至此十一閏縮一年下起癸夘癸夘二十四年十一月甲子朔旦未初初刻八分内三十一秒冬至正月癸亥朔甲辰二十五年十一月戊午朔己巳日戌初初刻一分内一秒冬至正月丁巳朔乙巳二十六年十一月壬子朔乙亥日子正三刻八分内三十一秒冬至正月辛亥朔 應閏烈王在位七年丙午元年十一月丙子朔庚辰日夘正三刻一分内一秒冬至正月乙亥朔丁未二年十一月辛未朔乙酉日午正二刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔戊申三年十一月乙丑朔庚寅日酉正二刻一分内一秒冬至正月甲子朔 應閏己酉四年十一月己丑朔丙申日子正一刻八分内三十一秒冬至正月戊子朔庚戌五年十一月甲申朔辛丑日夘正一刻一分内一秒冬至正月癸未朔辛亥六年十一月戊寅朔丙午日午正初刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔 應閏壬子七年十一月壬寅朔辛亥日酉正初刻一分内一秒冬至正月辛丑朔顯王在位四十八年癸丑元年十一月丙申朔丁巳日夜子初三刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔 應閏二百三十章甲寅二年十一月庚申朔壬戌日夘初三刻一分内一秒冬至正月己未朔乙夘三年十一月乙夘朔丁夘日午初二刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔丙辰四年十一月己酉朔壬申日酉初二刻一分内一秒冬至正月戊申朔 應閏丁巳五年十一月癸酉朔戊寅日夜子初一刻八分内三十一秒冬至正月壬申朔戊午六年十一月丁夘朔癸未日夘初一刻一分内一秒冬至正月丙寅朔己未七年十一月辛酉朔戊子日午初初刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔 應閏庚申八年十一月乙酉朔癸巳日酉初初刻一分内一秒冬至正月甲申朔 史記秦孝公元年辛酉九年十一月己夘朔戊戌日亥正三刻八分内三十一秒冬至正月戊寅朔 應閏壬戌十年十一月癸夘朔甲辰日寅正三刻一分内一秒冬至正月壬寅朔癸亥十一年十一月戊戌朔己酉日巳正二刻八分内三十一秒冬至正月丁酉朔甲子十二年十一月壬辰朔甲寅日申正二刻一分内一秒冬至正月辛夘朔 應閏乙丑十三年十一月丙辰朔己未日亥正一刻八分内三十一秒冬至正月乙夘朔丙寅十四年十一月辛亥朔乙丑日寅正一刻一分内一秒冬至正月庚戌朔丁夘十五年十一月乙巳朔庚午日巳正初刻八分内三十一秒冬至正月甲辰朔 應閏戊辰十六年十一月己巳朔乙亥日申正初刻一分内一秒冬至正月戊辰朔己巳十七年十一月癸亥朔庚辰日亥初三刻八分内三十一秒冬至正月壬戌朔庚午十八年十一月丁巳朔丙戌日寅初三刻一分内一秒冬至正月丙辰朔 應閏辛未十九年十一月辛巳朔辛夘日巳初二刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔壬申二十年十一月丙子朔丙申日申初二刻一分内一秒冬至正月乙亥朔 應閏二百三十一章癸夘年至此十一閏為一紀癸酉二十一年十一月庚子朔辛丑日亥初一刻八分内三十一秒冬至正月己亥朔甲戌二十二年十一月甲午朔丁未日寅初一刻一分内一秒冬至正月癸巳朔乙亥二十三年十一月戊子朔壬子日巳初初刻八分内三十一秒冬至正月丁亥朔 應閏丙子二十四年十一月壬子朔丁巳日申初初刻一分内一秒冬至日躔在牛初度之五分正月辛亥朔丁丑二十五年十一月丁未朔壬戌日戌正三刻八分内三十一秒冬至正月丙午朔戊寅二十六年十一月辛丑朔戊辰日丑正三刻一分内一秒冬至正月庚子朔 應閏己夘二十七年十一月乙丑朔癸酉日辰正二刻八分内三十一秒冬至正月甲子朔庚辰二十八年十一月己未朔戊寅日未正二刻一分内一秒冬至正月戊午朔 應閏辛巳二十九年十一月癸未朔旦戌正一刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔壬午三十年十一月丁丑朔己丑日丑正一刻一分内一秒冬至正月丙子朔癸未三十一年十一月壬申朔甲午日辰正初刻八分内三十一秒冬至正月辛未朔 應閏甲申三十二年十一月丙申朔己亥日未正初刻一分内一秒冬至正月乙未朔 綱目秦惠文王元年乙酉三十三年十一月庚寅朔甲辰日戌初三刻八分内三十一秒冬至正月己丑朔丙戌三十四年十一月甲申朔庚戌日丑初三刻一分内一秒冬至正月癸未朔 應閏丁亥三十五年十一月戊申朔乙夘日辰初二刻八分内三十一秒冬至正月丁未朔戊子三十六年十一月癸夘朔庚申日未初二刻一分内一秒冬至正月壬寅朔己丑三十七年十一月丁酉朔乙丑日戌初一刻八分内三十一秒冬至正月丙申朔 應閏庚寅三十八年十一月辛酉朔辛未日丑初一刻一分内一秒冬至正月庚申朔辛夘三十九年十一月乙夘朔丙子日辰初初刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 應閏二百三十二章壬辰四十年十一月己夘朔辛巳日未初初刻一分内一秒冬至正月戊寅朔癸巳四十一年十一月甲戌朔丙戌日酉正三刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔甲午四十二年十一月戊辰朔壬辰日子正三刻一分内一秒冬至正月丁夘朔 應閏乙未四十三年十一月壬辰朔丁酉日夘正二刻八分内三十一秒冬至正月辛夘朔 史記秦初臘言始行臘祭即腊祭也丙申四十四年十一月丙戌朔壬寅日午正二刻一分内一秒冬至正月乙酉朔 史記秦惠文君十三年四月戊午稱王丁酉四十五年十一月辛巳朔丁未日酉正一刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔 應閏戊戌四十六年十一月乙巳朔癸丑日子正一刻一分内一秒冬至正月甲辰朔己亥四十七年十一月己亥朔戊午日夘正初刻八分内三十一秒冬至正月戊戌朔 應閏庚子四十八年十一月癸亥朔旦午正初刻一分内一秒冬至正月壬戌朔慎靚王在位六年辛丑元年十一月丁巳朔戊辰日酉初三刻八分内三十一秒冬至正月丙辰朔壬寅二年十一月辛亥朔甲戌日夜子初三刻一分内一秒冬至正月庚戌朔 應閏癸酉年至此十一閏又一紀癸夘三年十一月乙亥朔己夘日夘初二刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔甲辰四年十一月庚午朔甲申日午初二刻一分内一秒冬至正月己巳朔乙巳五年十一月甲子朔己丑日酉初一刻八分内三十一秒冬至正月癸亥朔 應閏丙午六年十一月戊子朔乙未日夜子初一刻一分内一秒冬至正月丁亥朔赧王在位五十九年丁未元年十一月癸未朔庚子日夘初初刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔戊申二年十一月丁丑朔乙巳日午初初刻一分内一秒冬至正月丙子朔 應閏己酉三年十一月辛丑朔庚戌日申正三刻八分内三十一秒冬至正月庚子朔庚戌四年十一月乙未朔乙夘日亥正三刻一分内一秒冬至正月甲午朔 應閏二百三十三章辛亥五年十一月己未朔辛酉日寅正二刻八分内三十一秒冬至正月戊午朔壬子六年十一月癸丑朔丙寅日巳正二刻一分内一秒冬至正月壬子朔癸丑七年十一月戊申朔辛未日申正一刻八分内三十一秒冬至正月丁未朔 應閏甲寅八年十一月壬申朔丙子日亥正一刻一分内一秒冬至正月辛未朔乙夘九年十一月丙寅朔壬午日寅正初刻八分内三十一秒冬至正月乙丑朔 秦昭襄王元年丙辰十年十一月庚申朔丁亥日巳正初刻一分内一秒冬至正月己未朔 應閏丁巳十一年十一月甲申朔壬辰日申初三刻八分内三十一秒冬至正月癸未朔戊午十二年十一月戊寅朔丁酉日亥初三刻一分内一秒冬至正月丁丑朔 應閏己未十三年十一月壬寅朔癸夘日寅初二刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔庚申十四年十一月丁酉朔戊申日巳初二刻一分内一秒冬至正月丙申朔辛酉十五年十一月辛夘朔癸丑日申初一刻八分内三十一秒冬至正月庚寅朔 應閏壬戌十六年十一月乙夘朔戊午日亥初一刻一分内一秒冬至正月甲寅朔癸亥十七年十一月己酉朔甲子日寅初初刻八分内三十一秒冬至正月戊申朔甲子十八年十一月甲辰朔己巳日巳初初刻一分内一秒冬至正月癸夘朔 應閏乙丑十九年十一月戊辰朔甲戌日未正三刻八分内三十一秒冬至正月丁夘朔丙寅二十年十一月壬戌朔己夘日戌正三刻一分内一秒冬至正月辛酉朔丁夘二十一年十一月丙辰朔乙酉日丑正二刻八分内三十一秒冬至正月乙夘朔 應閏戊辰二十二年十一月庚辰朔庚寅日辰正二刻一分内一秒冬至正月己夘朔己巳二十三年十一月甲戌朔乙未日未正一刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔 應閏二百三十四章庚午二十四年十一月戊戌朔庚子日戌正一刻一分内一秒冬至正月丁酉朔辛未二十五年十一月癸巳朔丙午日丑正初刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔壬申二十六年十一月丁亥朔辛亥日辰正初刻一分内一秒冬至正月丙戌朔 應閏癸夘年至此十一閏又一紀癸酉二十七年十一月辛亥朔丙辰日未初三刻八分内三十一秒冬至正月庚戌朔甲戌二十八年十一月乙巳朔辛酉日戌初三刻一分内一秒冬至正月甲辰朔乙亥二十九年十一月庚子朔丁夘日丑初二刻八分内三十一秒冬至正月己亥朔 應閏丙子三十年十一月甲子朔壬申日辰初二刻一分内一秒冬至正月癸亥朔丁丑三十一年十一月戊午朔丁丑日未初一刻八分内三十一秒冬至正月丁巳朔 應閏戊寅三十二年十一月壬午朔旦戌初一刻一分内一秒冬至正月辛巳朔己夘三十三年十一月丙子朔戊子日丑初初刻八分内三十一秒冬至正月乙亥朔庚辰三十四年十一月辛未朔癸巳日辰初初刻一分内一秒冬至正月庚午朔 應閏辛巳三十五年十一月乙未朔戊戌日午正三刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔壬午三十六年十一月己丑朔癸夘日酉正三刻一分内一秒冬至正月戊子朔癸未三十七年十一月癸未朔己酉日子正二刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔 應閏甲申三十八年十一月丁未朔甲寅日夘正二刻一分内一秒冬至正月丙午朔乙酉三十九年十一月壬寅朔己未日午正一刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔丙戌四十年十一月丙申朔甲子日酉正一刻一分内一秒冬至正月乙未朔 應閏丁亥四十一年十一月庚申朔庚午日子正初刻八分内三十一秒冬至正月己未朔戊子四十二年十一月甲寅朔乙亥日夘正初刻一分内一秒冬至日躔在斗二十二度之五十六分正月癸丑朔 應閏二百三十五章己丑四十三年十一月戊寅朔庚辰日午初三刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔庚寅四十四年十一月癸酉朔乙酉日酉初三刻一分内一秒冬至正月壬申朔辛夘四十五年十一月丁夘朔辛夘日夜子初二刻八分内三十一秒冬至正月丙寅朔 應閏壬辰四十六年十一月辛夘朔丙申日夘初二刻一分内一秒冬至正月庚寅朔癸巳四十七年十一月乙酉朔辛丑日午初一刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔甲午四十八年十一月己夘朔丙午日酉初一刻一分内一秒冬至正月戊寅朔 應閏乙未四十九年十一月癸夘朔辛亥日夜子初初刻八分内三十一秒冬至正月壬寅朔丙申五十年十一月丁酉朔丁巳日夘初初刻一分内一秒冬至正月丙申朔 應閏丁酉五十一年十一月辛酉朔壬戌日巳正三刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔戊戌五十二年十一月丙辰朔丁夘日申正三刻一分内一秒冬至正月乙夘朔己亥五十三年十一月庚戌朔壬申日亥正二刻八分内三十一秒冬至正月己酉朔 應閏庚子五十四年十一月甲戌朔戊寅日寅正二刻一分内一秒冬至正月癸酉朔辛丑五十五年十一月己巳朔癸未日巳正一刻八分内三十一秒冬至正月戊辰朔壬寅五十六年十一月癸亥朔戊子日申正一刻一分内一秒冬至正月壬戌朔 應閏癸酉年至此十一閏又一紀癸夘五十七年十一月丁亥朔癸巳日亥正初刻八分内三十一秒冬至正月丙戌朔甲辰五十八年十一月辛巳朔己亥日寅正初刻一分内一秒冬至正月庚辰朔乙巳五十九年十一月乙亥朔甲辰日巳初三刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔 應閏周亡七國仍以十一月為嵗首史記秦本紀始皇三年十月䝉驁攻畼有詭之下即接四年㧞畼有詭四年十月蝗蔽天及天下疫之下即接五年事十三年十月桓齮攻趙之下即接十四年葢可據也丙午年十一月己亥朔己酉日申初三刻一分内一秒冬至正月戊戌朔 通鑑綱目秦昭襄王五十二年楚考烈王八年燕孝王三年魏安釐王二十二年趙孝成王十一年韓桓惠十八年齊王建十年丁未年十一月甲午朔甲寅日亥初二刻八分内三十一秒冬至正月癸巳朔 燕王喜元年應閏二百三十六章戊申年十一月戊午朔庚申日寅初二刻一分内一秒冬至正月丁巳朔己酉年十一月壬子朔乙丑日巳初一刻八分内三十一秒冬至正月辛亥朔庚戌年十一月丁未朔庚午日申初一刻一分内一秒冬至正月丙午朔 應閏辛亥年十一月辛未朔乙亥日亥初初刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔 秦孝文王元年史記十月己亥即位辛丑卒壬子年十一月乙丑朔辛巳日寅初初刻一分内一秒冬至正月甲子朔 秦莊襄王楚元年癸丑年十一月己未朔丙戌日辰正三刻八分内三十一秒冬至正月戊午朔 應閏甲寅年十一月癸未朔辛夘日未正三刻一分内一秒冬至正月壬午朔乙夘年十一月丁丑朔丙申日戌正二刻八分内三十一秒冬至正月丙子朔 應閏秦王政元年史記五月丙午莊襄王卒葢閏四月丙辰年十一月辛丑朔壬寅日丑正二刻一分内一秒冬至正月庚子朔丁巳年十一月丙申朔丁未日辰正一刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔 趙悼襄王偃元年戊午年十一月庚寅朔壬子日未正一刻一分内一秒冬至正月己丑朔 史記始皇四年十月庚寅蝗蔽天己未年十一月甲寅朔丁巳日戌正初刻八分内三十一秒冬至正月癸丑朔 魏景閔王增元年庚申年十一月己酉朔癸亥日丑正初刻一分内一秒冬至正月戊申朔辛酉年十一月癸夘朔戊辰日辰初三刻八分内三十一秒冬至正月壬寅朔 應閏壬戌年十一月丁夘朔癸酉日未初三刻一分内一秒冬至正月丙寅朔癸亥年十一月辛酉朔戊寅日戌初二刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔 韓王安元年史記始皇九年四月己酉王冠帶劍甲子年十一月丙辰朔甲申日丑初二刻一分内一秒冬至正月乙夘朔 應閏楚幽王悍元年乙丑年十一月庚辰朔己丑日辰初一刻八分内三十一秒冬至正月己夘朔丙寅年十一月甲戌朔甲午日未初一刻一分内一秒冬至正月癸酉朔 應閏二百三十七章趙幽繆王遷元年丁夘年十一月戊戌朔己亥日戌初初刻八分内一秒冬至正月丁酉朔戊辰年十一月壬辰朔乙巳日丑初初刻一分内一秒冬至正月辛夘朔己巳年十一月丙戌朔庚戌日夘正三刻八分内三十一秒冬至正月乙酉朔 應閏庚午年十一月庚戌朔乙夘日午正三刻一分内一秒冬至正月己酉朔辛未年十一月乙巳朔庚申日酉正二刻八分内三十一秒冬至正月甲辰朔壬申年十一月己亥朔丙寅日子正二刻一分内一秒冬至正月戊戌朔 應閏癸夘年至此十一閏又一紀癸酉年十一月癸亥朔辛未日夘正一刻八分内三十一秒冬至正月壬戌朔甲戌年十一月丁巳朔丙子日午正一刻一分内一秒冬至正月丙辰朔 應閏楚王負芻魏王假代王嘉俱元年乙亥年十一月辛巳朔辛巳日酉正初刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔丙子年十一月乙亥朔丁亥日子正初刻一分内一秒冬至正月甲戌朔丁丑年十一月庚午朔壬辰日夘初三刻八分内三十一秒冬至正月己巳朔 應閏戊寅年十一月甲午朔丁酉日午初三刻一分内一秒冬至正月癸巳朔己夘年十一月戊子朔壬寅日酉初二刻八分内三十一秒冬至正月丁亥朔秦始皇帝史記始皇推終始五徳之傳以為周徳火徳秦代周徳從所不勝方今水徳之始改年始朝賀皆自十月朔是秦以亥建為嵗首而不改四時月數即此可證且秦既滅六國初上尊號而仍稱二十六年與湯革夏正仍稱十八祀武革商正仍稱十三年同也不可證古無改元之事哉庚辰二十六年十月癸丑朔十一月戊申日夜子初二刻一分内一秒冬至正月辛巳朔 應閏秦人置閏概用後九月辛巳二十七年十月丁丑朔十一月癸丑日夘初一刻八分内三十一秒冬至正月乙巳朔壬午二十八年十月壬申朔十一月戊午日午初一刻一分内一秒冬至正月庚子朔癸未二十九年十月丙寅朔十一月癸亥日酉初初刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔 應閏葢後九月史記始皇東遊刻石之罘其辭曰維二十九年時在中春陽和方起設秦改建亥為春正月則其中春乃今之十一月何以稱陽和方起乎甲申三十年十月庚寅朔十一月己巳日夜子初初刻一分内一秒冬至正月戊午朔乙酉三十一年十月甲申朔十一月甲戌日寅正三刻八分内三十一秒冬至正月壬子朔 應閏葢後九月二百三十八章史記三十一年十二月更名臘曰嘉平注引茅盈内傳云始皇三十一年九月庚子盈曾祖濛于華山中白日乗雲升天先是其邑謡歌云神仙得者茅初成駕龍上升入太清時下元洲戲赤城繼世而往在我盈帝若學之臘嘉平始皇聞而欣然有尋仙之志因改臘曰嘉平蓋臘與蜡同本周時舊名始皇惑于盈之謡歌更名嘉平以應之先儒或謂秦始稱臘誤矣庚子後九月二十三日然推此年應閏七月則庚子實在九月可見秦雖滅裂閏法當時之人未嘗不知其舛也丙戌三十二年十月戊申朔十一月己夘日巳正三刻一分内一秒冬至正月丙子朔丁亥三十三年十月壬寅朔十一月甲申日申正二刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔戊子三十四年十月丁酉朔十一月己丑日亥正二刻一分内一秒冬至正月乙丑朔 應閏蓋後九月己丑三十五年十月辛酉朔十一月乙未日寅正一刻八分内三十一秒冬至正月己丑朔庚寅三十六年十月乙夘朔十一月庚子日巳正一刻一分内一秒冬至正月癸未朔辛夘三十七年十月己酉朔十一月乙巳日申正初刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔 應閏葢後九月史記十月癸丑始皇出遊十月五日也十一月行至雲夢七月丙寅崩于沙丘今推此年應閏三月丙寅七月二十三日但秦人概閏後九月丙寅當繫八月二世皇帝在位三年壬辰元年十月癸酉朔十一月庚戌日亥正初刻一分内一秒冬至正月辛丑朔 史記年表十月戊寅大赦罪人月六日也此改元大赦之始見于史者癸巳二年十月戊辰朔十一月丙辰日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月丙辰朔 應閏漢書髙帝紀秦二年後九月懷王并呂臣項羽軍自將之以沛公為碭郡長甲午三年十月壬辰朔十一月辛酉日巳初三刻一分内一秒冬至正月庚申朔 史記八月己亥趙髙欲為亂持鹿獻二世曰馬也今推己亥八月十三日漢王劉邦 西楚覇王項籍先入闗受秦降如約王者為主自立為西楚覇王者附見乙未元年冬十月丙戌朔十一月丙寅日申初二刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 史記元年十月沛公兵遂先諸侯至覇上秦王子嬰封皇帝璽符節降軹道旁丙申二年冬十月辛巳朔十一月辛未日亥初二刻一分内一秒冬至正月己酉朔 史二月癸未立漢社稷應閏葢後九月丁酉三年冬十月乙巳朔十一月丁丑日寅初一刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔 髙帝紀十月甲戌晦日食十一月癸夘晦日食戊戌四年冬十月己亥朔十一月壬午日巳初一刻一分内一秒冬至正月丁夘朔漢太祖髙皇帝仍用冬十月為歳首置閏亦仍後九月己亥五年冬十月癸巳朔十一月丁亥日申初初刻八分内三十一秒冬至正月辛酉朔 史春正月諸侯疏上皇帝尊號二月甲午即位應閏史後九月治長樂宫全史日至源流卷二十一
## 卷二十二
欽定四庫全書全史日至源流卷二十二山東道御史許伯政撰壬子運二十二(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻七分十秒)冬至十四日八時三刻十四分二秒三十微小寒十四日八時四刻四分五十二秒三十微大寒十四日九時一刻十分七秒三十微立春十四日十時一刻六分七秒三十微雨水十四日十一時三刻四分七秒三十微驚蟄十五日零七刻零二秒三十微春分十五日二時三刻八分五十二秒三十微清明十五日四時零七分五十二秒三十微榖雨十五日五時四刻七分五十七秒三十微立夏十五日六時七刻二秒三十微小滿十五日八時零二分五十七秒三十微芒種十五日八時三刻十分二秒三十微夏至十五日八時七刻二秒三十微小暑十五日八時五刻三分二秒三十微大暑十五日八時零八分二秒三十微立秋十五日七時零十二分二秒三十微處暑十五日五時六刻六分二秒三十微白露十五日四時三刻九分七秒三十微秋分十五日二時四刻十一分十二秒三十微寒露十五日一時一刻八分七秒三十微霜降十四日十一時五刻五分二秒三十微立冬十四日十時二刻十一分十二秒三十微小雪十四日九時二刻十二分七秒三十微大雪十四日八時五刻十分二秒三十微庚子六年十月丁巳朔十一月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在斗二十一度之五十六分正月乙酉朔 史春正月丙午立劉賈為荆王壬子立兄喜為代王漢書紀日甚畧故于十月正月録以為據辛丑七年十月壬子朔十一月戊戌日丑正三刻八分内一十一秒冬至正月庚辰朔壬寅八年十月丙午朔十一月癸夘日辰正二刻十五分内二十一秒冬至正月甲戌朔 應閏葢後九月癸酉年至此十一閏又一紀癸夘九年十月庚午朔十一月戊申日未正二刻七分内三十一秒冬至正月戊戌朔 史六月乙未晦日食甲辰十年十月乙丑朔十一月癸丑日戌正一刻十四分内四十一秒冬至正月癸巳朔 應閏葢後九月二百三十九章乙巳十一年十月己丑朔十一月己未日丑正一刻六分内五十一秒冬至正月丁巳朔丙午十二年十月癸未朔十一月甲子日辰正初刻十四分内一秒冬至正月辛亥朔 史四月甲辰帝崩孝惠皇帝丁未元年十月丁丑朔十一月己巳日未正初刻六分内一十一秒冬至正月乙巳朔 應閏葢後九月戊申二年十月辛丑朔十一月甲戌日戌初三刻十三分内二十一秒冬至正月己巳朔 史春正月癸酉兩龍見蘭陵井中己酉三年十月丙申朔十一月庚辰日丑初三刻五分内三十一秒冬至正月甲子朔庚戌四年十月庚寅朔十一月乙酉日辰初二刻十二分内四十一秒冬至正月戊子朔 史冬十月壬寅立皇后張氏應閏葢後九月辛亥五年十月甲寅朔十一月庚寅日未初二刻四分内五十一秒冬至正月壬午朔壬子六年十月戊申朔十一月乙未日戌初一刻十二分内一秒冬至正月丙子朔 置閏應在下年二月後七年正月辛丑朔是先于此年置後九月癸丑七年十月壬申朔辛丑日丑初一刻四分内一十一秒冬至十一月壬寅朔正月辛丑朔 史正月辛丑朔日食五月丁夘日食既五行志先晦一日髙皇后呂氏甲寅元年十月丁夘朔十一月丙午日辰初初刻十一分内二十一秒冬至正月乙未朔乙夘二年十月辛酉朔十一月辛亥日未初初刻三分内三十一秒冬至正月己丑朔 史六月丙戌晦日食應閏葢後九月丙辰三年十月乙酉朔十一月丙辰日酉正三刻十分内四十一秒冬至正月癸丑朔丁巳四年十月己夘朔十一月壬戌日子正三刻二分内五十一秒冬至正月丁未朔戊午五年十月甲戌朔十一月丁夘日夘正二刻十分内一秒冬至正月壬寅朔 應閏葢後九月己未六年十月戊戌朔十一月壬申日午正二刻二分内一十一秒冬至正月丙寅朔庚申七年十月壬辰朔十一月丁丑日酉正一刻九分内二十一秒冬至正月庚申朔 史正月己丑晦日食辛酉八年十月丙戌朔十一月癸未日子正一刻一分内三十一秒冬至正月乙夘朔 應閏史記後九月晦日己酉代王至長安舍代邸孝文皇帝壬戌元年十月庚戌朔十一月戊子日夘正初刻八分内四十一秒冬至正月己夘朔 史元年冬十月辛亥謁髙廟癸亥二年十月甲辰朔十一月癸巳日午初三刻十五分内五十一秒冬至正月癸酉朔 史十一月癸夘晦日食春正月丁亥詔開藉田應閏蓋後九月二百四十章甲子三年十月戊辰朔十一月戊戌日酉初三刻八分内一秒冬至正月丁酉朔 史冬十月丁酉晦日食十一月丁夘晦日食乙丑四年十月癸亥朔十一月甲辰日子初二刻十五分内一十一秒冬至正月辛夘朔丙寅五年十月丁巳朔十一月己酉日夘初二刻七分内二十一秒冬至正月乙酉朔 應閏盖後九月丁夘六年十月辛巳朔十一月甲寅日午初一刻十四分内三十一秒冬至正月己酉朔戊辰七年十月丙子朔十一月己未日酉初一刻六分内四十一秒冬至正月甲辰朔己巳八年十月庚午朔十一月乙丑日子初初刻十三分内五十一秒冬至正月戊戌朔 應閏蓋後九月庚午九年十月甲午朔十一月庚午日夘初初刻六分内一秒冬至正月壬戌朔辛未十年十月戊子朔十一月乙亥日巳正三刻十三分内一十一秒冬至正月丙辰朔壬申十一年十月癸未朔十一月庚辰日申正三刻五分内二十一秒冬至正月辛亥朔 應閏蓋後九月癸夘年至此十一閏又一紀癸酉十二年十月丁未朔十一月乙酉日亥正二刻十二分内三十一秒冬至正月乙亥朔甲戌十三年十月辛丑朔十一月辛夘日寅正二刻四分内四十一秒冬至正月己巳朔 應閏蓋後九月乙亥十四年十月乙丑朔十一月丙申日巳正一刻十一分内五十一秒冬至正月癸巳朔丙子十五年十月己未朔十一月辛丑日申正一刻四分内一秒冬至正月丁亥朔丁丑十六年十月癸丑朔十一月丙午日亥正初刻十一分内一十一秒冬至正月辛巳朔 應閏蓋後九月戊寅後元年十月丁丑朔十一月壬子日寅正初刻三分内二十一秒冬至正月乙巳朔 改元自此創始己夘二年十月壬申朔十一月丁巳日巳初三刻十分内三十一秒冬至正月庚子朔 天文志正月壬寅天欃夕出西南庚辰三年十月丙寅朔十一月壬戌日申初三刻二分内四十一秒冬至正月甲午朔 應閏辛巳四年十月庚寅朔十一月丁夘日亥初二刻九分内五十一秒冬至正月戊午朔 五行志四月丙辰晦日食壬午五年十月甲申朔十一月癸酉日寅初二刻二分内一秒冬至正月壬子朔 應閏蓋後九月二百四十一章癸未六年十月戊申朔十一月戊寅日巳初一刻九分内一十一秒冬至正月丙子朔甲申七年十月癸夘朔十一月癸未日申初一刻一分内二十一秒冬至正月辛未朔 五行志正月辛未朔日食孝景皇帝乙酉元年十月丁酉朔十一月戊子日亥初初刻八分内三十一秒冬至正月乙丑朔 應閏蓋後九月丙戌二年十月辛酉朔十一月甲午日丑正三刻十五分内四十一秒冬至正月己丑朔丁亥三年十月乙夘朔十一月己亥日辰正三刻七分内五十一秒冬至正月癸未朔 史二月壬午晦日食戊子四年十月己酉朔十一月甲辰日未正二刻十五分内一秒冬至正月丁丑朔 應閏史記後九月更以弋陽為陽陵己丑五年十月癸酉朔十一月己酉日戌正二刻七分内一十一秒冬至正月辛丑朔庚寅六年十月丁夘朔十一月乙夘日丑正一刻十四分内二十一秒冬至正月乙未朔 置閏應在下年二月後史記後九月伐馳道樹殖蘭辛夘七年十月辛夘朔庚申日辰正一刻六分内三十一秒冬至十一月辛酉朔正月庚申朔 史十一月庚寅晦日食壬辰中元年十月乙酉朔十一月乙丑日未正初刻十三分内四十一秒冬至正月乙夘朔 天文志十二月甲寅晦日食癸巳中二年十月庚辰朔十一月庚午日戌正初刻五分内五十一秒冬至正月己酉朔 史九月甲戌晦日食應閏蓋後九月甲午中三年十月甲辰朔十一月丙子日丑初三刻十三分内一秒冬至正月癸酉朔 史九月戊戌晦日食乙未中四年十月己亥朔十一月辛巳日辰初三刻五分内一十一秒冬至正月丁夘朔丙申中五年十月癸巳朔十一月丙戌日未初二刻十二分内二十一秒冬至正月辛酉朔 應閏蓋後九月丁酉中六年十月丁巳朔十一月辛夘日戌初二刻四分内三十一秒冬至正月乙酉朔 史七月辛亥晦日食戊戌後元年十月辛亥朔十一月丁酉日丑初一刻十一分内四十一秒冬至正月己夘朔 史七月乙巳晦日食己亥後二年十月乙巳朔十一月壬寅日辰初一刻三分内五十一秒冬至正月甲戌朔 應閏蓋後九月庚子後三年十月己巳朔十一月丁未日未初初刻十二分内一秒冬至正月戊戌朔 史記正月甲寅皇太子冠甲子帝崩孝武皇帝建元辛丑元年十月甲子朔十一月壬子日戌初初刻三分内一十一秒冬至正月壬辰朔 此建年號之始應閏蓋後九月二百四十二章自癸酉年至此十一閏又一紀縮一年下起壬寅壬寅二年十月戊子朔十一月戊午日子正三刻十分内二十一秒冬至正月丙辰朔 史三月丙戌朔日食癸夘三年十月壬午朔十一月癸亥日夘正三刻二分内三十一秒冬至正月辛亥朔 史九月丙子晦日食甲辰四年十月丁丑朔十一月戊辰日午正二刻九分内四十一秒冬至正月乙巳朔 應閏蓋後九月乙巳五年十月辛丑朔十一月癸酉日酉正二刻一分内五十一秒冬至正月己巳朔 五行志正月己巳朔日食丙午六年十月乙未朔十一月己夘日子正一刻九分内一秒冬至正月癸亥朔元光丁未元年十月己丑朔十一月甲申日夘正一刻一分内一十一秒冬至正月丁巳朔 五行志二月丙辰晦日食七月癸未日食應閏蓋後九月戊申二年十月癸丑朔十一月己丑日午正初刻八分内二十一秒冬至正月辛巳朔己酉三年十月丁未朔十一月甲午日酉初三刻十五分内三十一秒冬至正月丙子朔庚戌四年十月壬寅朔十一月己亥夜子初三刻七分内四十一秒冬至正月辛未朔 應閏蓋後九月但史稱春三月乙夘丞相蚡薨疑置閏在上年九月後抑或三月乃二月之訛姑存以俟考辛亥五年十月丙寅朔十一月乙巳日夘初二刻十四分内五十一秒冬至正月乙未朔壬子六年十月庚申朔十一月庚戌日午初二刻七分内一秒冬至日躔在斗二十度之五十六分正月己丑朔 應閏蓋後九月元朔癸丑元年十月甲申朔十一月乙夘日酉初一刻十四分内一十一秒冬至正月癸丑朔甲寅二年十月戊寅朔十一月辛酉日子初一刻六分内二十一秒冬至正月丁未朔 史三月乙亥晦日食乙夘三年十月癸酉朔十一月丙寅日夘初初刻十三分内三十一秒冬至正月壬寅朔 應閏蓋後九月丙辰四年十月丁酉朔十一月辛未日午初初刻五分内四十一秒冬至正月丙寅朔丁巳五年十月辛夘朔十一月丙子日申正三刻十二分内五十一秒冬至正月庚申朔戊午六年十月乙酉朔十一月辛巳日亥正三刻五分内一秒冬至正月甲寅朔 五行志十二月癸丑晦日食應閏蓋後九月元狩己未元年十月己酉朔十一月丁亥日寅正二刻十二分内一十一秒冬至正月戊寅朔 史五月乙巳晦日食庚申二年十月癸夘朔十一月壬辰日巳正二刻四分内二十一秒冬至正月壬申朔 應閏蓋後九月二百四十三章辛酉三年十月丁夘朔十一月丁酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至正月丙申朔壬戌四年十月壬戌朔十一月壬寅日亥正一刻三分内四十一秒冬至正月辛夘朔癸亥五年十月丙辰朔十一月戊申日寅正初刻十分内五十一秒冬至正月乙酉朔 應閏蓋後九月甲子六年十月庚辰朔十一月癸丑日巳正初刻三分内一秒冬至正月己酉朔元鼎乙丑元年十月甲戌朔十一月戊午日申初三刻十分内一十一秒冬至正月癸夘朔丙寅二年十月戊辰朔十一月癸亥日亥初三刻二分内二十一秒冬至正月丁酉朔 應閏蓋後九月丁夘三年十月壬辰朔十一月己巳日寅初二刻九分内三十一秒冬至正月辛酉朔 史正月戊子陽陵園火戊辰四年十月丁亥朔十一月甲戌日巳初二刻一分内四十一秒冬至正月丙辰朔 置閏應在下年二月後當時蓋後九月己巳五年十月辛亥朔己夘日申初一刻八分内五十一秒冬至十一月辛巳朔正月庚辰朔 史十一月辛巳朔旦冬至今推冬至在十月己夘日申初一刻後天約三日矣四月丁丑晦日食庚午六年十月乙巳朔十一月甲申日亥初一刻一分内一秒冬至正月甲戌朔元封辛未元年十月己亥朔十一月庚寅日寅初初刻八分内一十一秒冬至正月戊辰朔 應閏蓋後九月壬寅年至此十一閏又一紀壬申二年十月癸亥朔十一月乙未日辰正三刻十五分内二十一秒冬至正月壬辰朔癸酉三年十月丁巳朔十一月庚子日未正三刻七分内三十一秒冬至正月丙戌朔甲戌四年十月辛亥朔十一月乙巳日戌正二刻十四分内四十一秒冬至正月辛巳朔 五行志六月己酉朔日食應閏蓋後九月乙亥五年十月乙亥朔十一月辛亥日丑正二刻六分内五十一秒冬至正月乙巳朔丙子六年十月庚午朔十一月丙辰日辰正一刻十四分内一秒冬至正月己亥朔 置閏應在下年三月後當時蓋於此年置後九月故十一月有甲子朔考之於史丁丑本元封七年緣其年五月正厯以正月為嵗首乃改為太初元年今推此年後九月乙丑朔元封七年十月甲午朔二十八日辛酉未正一刻六分内一十一秒冬至十一月甲子朔十二月癸巳朔正月以後為太初元年其以十一月甲子朔為冬至大衍授時諸厯皆推得此年冬至在辛酉今推至日與諸厯合是其節氣後天與元鼎五年十一月辛巳冬至相似而此乃後天將及四日可知方士唐都等之分部推筭厯衍最踈也史記太初元年嵗名焉逢攝提格月名畢聚日得甲子夜半朔旦冬至是推本上古太初甲寅嵗之甲子冬至為厯元故所列七十六年稱厯術甲子篇其推測本屬荒唐而後人又混注漢之太初元年至於建始四年先儒已嘗辨其舛矣太初丁丑元年正月癸亥朔十一月丙寅日戌正初刻十三分内二十一秒冬至 此年以後寅正永為嵗首戊寅二年正月丁巳朔十一月壬申日丑正初刻五分内三十一秒冬至 史春正月戊申丞相慶薨今推正月無戊申蓋誤己夘三年正月辛亥朔十一月丁丑日辰初三刻十二分内四十一秒冬至 應閏七月未知當時閏何月後多類此二百四十四章庚辰四年正月乙亥朔十一月壬午日未初三刻四分内五十一秒冬至天漢辛巳元年正月己巳朔十一月丁亥日戌初二刻十二分内一秒冬至壬午二年正月甲子朔十一月癸巳日丑初二刻四分内一十一秒冬至 應閏癸未三年正月戊子朔十一月戊戌日辰初一刻十二分内二十一秒冬至甲申四年正月壬午朔十一月癸夘日未初一刻三分内三十一秒冬至太始乙酉元年正月丙子朔十一月戊申日戌初初刻十分内四十一秒冬至 五行志正月乙巳晦日食應閏丙戌二年正月庚子朔十一月甲寅日丑初初刻二分内五十一秒冬至丁亥三年正月甲午朔十一月己未日夘正三刻十分内一秒冬至 應閏戊子四年正月戊午朔十一月甲子日午正三刻一分内一十一秒冬至 史十月甲寅晦日食政和己丑元年正月癸丑朔十一月己巳日酉正二刻九分内二十一秒冬至庚寅二年正月丁未朔十一月乙亥日子正二刻一分内三十一秒冬至 史閏四月辛夘三年正月辛未朔十一月庚辰日夘正一刻八分内四十一秒冬至壬辰四年正月乙丑朔十一月乙酉日午正初刻十五分内五十一秒冬至 史八月辛酉晦日食後元癸巳元年正月庚申朔十一月庚寅日酉正初刻八分内一秒冬至 應閏甲午二年正月甲申朔十一月丙申日子初三刻十五分内一十一秒冬至孝昭皇帝始元乙未元年正月戊寅朔十月辛丑日夘初三刻七分内二十一秒冬至十一月癸夘朔 史閏九月應於下年閏三月其失與元封六年之後九月同丙申二年正月壬寅朔十一月丙午日午初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉三年正月丙申朔十一月辛亥日酉初二刻六分内四十一秒冬至 史十一月壬辰朔日食戊戌四年正月辛夘朔十一月丁巳日子初一刻十三分内五十一秒冬至 應閏二百四十五章己亥五年正月乙夘朔十一月壬戌日夘初一刻六分内一秒冬至庚子六年正月己酉朔十一月丁夘日午初初刻十三分内一十一秒冬至元鳯辛丑元年正月癸夘朔十一月壬申日酉初初刻五分内二十一秒冬至 應閏五月史七月己亥晦日食壬辰年至此十一閏又一紀壬寅二年正月丁夘朔十一月丁丑日亥正三刻十二分内三十一秒冬至癸夘三年正月壬戌朔十一月癸未日寅正三刻四分内四十一秒冬至甲辰四年正月丙辰朔十一月戊子日巳正二刻十一分内五十一秒冬至 應閏四月史五月丁丑孝文廟正殿火則閏在五月後但史稱正月丁亥帝加元服甲戌丞相千秋薨今推甲戌正月十九日其前四十八日得丁亥不得在正月大抵史文訛舛類此者多矣乙巳五年正月庚辰朔十一月癸巳日申正二刻四分内一秒冬至丙午六年正月甲戌朔十一月戊戌日亥正一刻十一分内一十一秒冬至 應閏元平丁未元年正月戊戌朔十一月甲辰日寅正一刻三分内二十一秒冬至孝宣皇帝本始戊申元年正月癸巳朔十一月己酉日巳正初刻十分内三十一秒冬至己酉二年正月丁亥朔十一月甲寅日申正初刻二分内四十一秒冬至 應閏庚戌三年正月辛亥朔十一月己未日亥初三刻九分内五十一秒冬至 史正月癸亥皇后許氏崩戊辰五將軍師發長安辛亥四年正月丙午朔十一月乙丑日寅初三刻二分内一秒冬至地節壬子元年正月庚子朔十一月庚午日巳初二刻九分内一十一秒冬至 應閏史十二月癸亥晦日食癸丑二年正月甲子朔十一月乙亥日申初二刻一分内二十一秒冬至甲寅三年正月戊午朔十一月庚辰日亥初一刻八分内三十一秒冬至乙夘四年正月壬子朔十一月丙戌日寅初初刻十五分内四十一秒冬至 應閏元康丙辰元年正月丙子朔十一月辛夘日巳初初刻七分内五十一秒冬至丁巳二年正月庚午朔十一月丙申日未正三刻十五分内一秒冬至 應閏二百四十六章戊午三年正月甲午朔十一月辛丑日戌正三刻七分内一十一秒冬至己未四年正月己丑朔十一月丁未日丑正二刻十四分内二十一秒冬至神爵庚申元年正月癸未朔十一月壬子日辰正二刻六分内三十一秒冬至 應閏辛酉二年正月丁未朔十一月丁巳日未正一刻十三分内四十一秒冬至 史詔曰正月乙丑鳯凰甘露䧏集京師壬戌三年正月辛丑朔十一月壬戌日戌正一刻五分内五十一秒冬至癸亥四年正月丙申朔十一月戊辰日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十九度之五十六分 應閏五鳯甲子元年正月庚申朔十一月癸酉日辰正初刻五分内一十一秒冬至 史十二月乙酉朔日食乙丑二年正月甲寅朔十一月戊寅日未初三刻十二分内二十一秒冬至 應閏丙寅三年正月丁丑朔十一月癸未日戌初三刻四分内三十一秒冬至 史正月癸夘丞相吉薨丁夘四年正月壬申朔十一月己丑日丑初二刻十一分内四十一秒冬至 史四月辛丑朔日食甘露戊辰元年正月丙寅朔十一月甲午日辰初二刻三分内五十一秒冬至 應閏六七月己巳二年正月庚寅朔十一月己亥日未初一刻十一分内一秒冬至庚午三年正月乙酉朔十一月甲辰日戌初一刻三分内一十一秒冬至辛未四年正月己夘朔十一月庚戌日丑初初刻十分内二十一秒冬至 應閏四五月史冬十月丁夘未央宫宣室閣火則閏乃在十月後壬寅年至此十一閏又一紀黄龍壬申元年正月癸夘朔十一月乙夘日辰初初刻二分内三十一秒冬至孝元皇帝初元癸酉元年正月戊戌朔十一月庚申日午正三刻九分内四十一秒冬至 史正月辛丑孝宣塟杜陵甲戌二年正月壬辰朔十一月乙丑日酉正三刻一分内五十一秒冬至 應閏三月史二月戊午地震於隴西郡蓋閏正月乙亥三年正月丙辰朔十一月辛未日子正二刻九分内一秒冬至丙子四年正月庚戌朔十一月丙子日夘正二刻一分内一十一秒冬至 應閏二百四十七章丁丑五年正月甲戌朔十一月辛巳日午正一刻八分内二十一秒冬至永光戊寅元年正月戊辰朔十一月丙戌日酉正初刻十五分内三十一秒冬至己夘二年正月癸亥朔十一月壬辰日子正初刻七分内四十一秒冬至 史二月壬戌朔日食應閏庚辰三年正月丁亥朔十一月丁酉日夘初三刻十四分内五十一秒冬至辛巳四年正月辛巳朔十一月壬寅日午初三刻七分内一秒冬至 史六月戊寅晦日食壬午五年正月乙亥朔十一月丁未日酉初二刻十四分内一十一秒冬至 應閏建昭癸未元年正月己亥朔十一月癸丑日子初二刻六分内二十一秒冬至甲申二年正月癸巳朔十一月戊午日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 史閏月在六月後應閏九月乙酉三年正月丁巳朔十一月癸亥日午初一刻五分内四十一秒冬至丙戌四年正月壬子朔十一月戊辰日酉初初刻十二分内五十一秒冬至丁亥五年正月丙午朔十一月甲戌日子初初刻五分内一秒冬至 應閏史六月壬申晦日食竟寧戊子元年正月庚午朔十一月己夘日寅正三刻十二分内一十一秒冬至 史五月壬辰帝崩孝成皇帝建始己丑元年正月甲子朔十一月甲申日巳正三刻四分内二十一秒冬至 史正月乙丑悼廟災庚寅二年正月己未朔十一月己丑日申正二刻十一分内三十一秒冬至 史閏正月辛夘三年正月癸未朔十一月甲午日亥正二刻三分内四十一秒冬至 史十二月戊申朔日食壬辰四年正月戊寅朔十一月庚子日寅正一刻十分内五十一秒冬至 置閏應在下年二月後下年正月壬寅朔則此冬有閏其閏十二月歟河平癸巳元年正月壬寅朔十一月乙巳日巳正一刻三分内一秒冬至 史正月壬寅朔日月俱在營室四月己亥晦日食甲午二年正月丙申朔十一月庚戌日申正初刻十分内一十一秒冬至乙未三年正月庚寅朔十一月乙夘日亥正初刻二分内一十一秒冬至 應閏史八月乙夘晦日食二百四十八章丙申四年正月甲寅朔十一月辛酉日寅初三刻九分内三十一秒冬至 史三月癸丑朔日食陽朔丁酉元年正月戊申朔十一月丙寅日巳初三刻一分内四十一秒冬至 史二月丁未晦日食戊戌二年正月癸夘朔十一月辛未日申初二刻八分内五十一秒冬至 應閏六月史八月甲申定陶王薨是閏在八月後己亥三年正月丁夘朔十一月丙子日亥初二刻一分内一秒冬至庚子四年正月辛酉朔十一月壬子日寅初一刻八分内一十一秒冬至十一月丙戌朔 置閏應在下年三月後史于九月後書閏月壬戌御史大夫于永卒天文志閏月庚午飛星入斗蓋閏七月鴻嘉辛丑元年正月乙酉朔十一月丁亥日巳初初刻十五分内二十一秒冬至 移上閏于此年三月後自壬申年至此十一閏又一紀壬寅二年正月己夘朔十一月壬辰日申初初刻七分内三十一秒冬至癸夘三年正月癸酉朔十一月丁酉日戌正三刻十四分内四十一秒冬至 應閏史十一月甲寅皇后許氏廢蓋閏在十一月前甲辰四年正月丁酉朔十一月癸夘日丑正三刻六分内五十一秒冬至永始乙巳元年正月壬辰朔十一月戊申日辰正二刻十四分内一秒冬至 史正月癸丑凌室火五行志丁巳晦日食丙午二年正月丙戌朔十一月癸丑日未正二刻六分内一十一秒冬至 史二月乙酉晦日食應閏丁未三年正月庚戌朔十一月戊午日戌正一刻十三分内二十一秒冬至 正月己夘晦日食戊申四年正月甲辰朔十一月甲子日丑正一刻五分内三十一秒冬至 史七月辛未晦日食元延己酉元年正月己亥朔十一月己巳日辰正初刻十二分内四分一秒冬至 史正月己亥朔日食應閏庚戌二年正月癸亥朔十一月甲戌日未正初刻四分内五十一秒冬至辛亥三年正月丁巳朔十月己夘日戌初三刻十二分内一秒冬至十一月壬午朔 史正月丙寅岷山崩置閏應在下年四月後當時疑在此年十月後蓋承陽朔四年之誤姑志以俟考壬子四年正月辛巳朔十一月乙酉日丑初三刻四分内一十一秒冬至綏和癸丑元年正月乙亥朔十一月庚寅日辰初二刻十一分内二十一秒冬至甲寅二年正月己巳朔十一月乙未日未初二刻三分内三十一秒冬至 應閏二百四十九章孝哀皇帝建平乙夘元年正月癸巳朔十一月庚子日戌初一刻十分内四十一秒冬至 五行志正月丁未隕石北地十丙辰二年正月戊子朔十一月丙午日丑初一刻二分内五十一秒冬至丁巳三年正月壬午朔十一月辛亥日辰初初刻十分内一秒冬至 應閏戊午四年正月丙午朔十一月丙辰日未初初刻二分内一十一秒冬至元夀己未元年正月辛丑朔十一月辛酉日酉正三刻九分内二十一秒冬至 史正月辛丑朔日食庚申二年正月乙未朔十一月丁夘日子正三刻一分内三十一秒冬至 史四月壬辰晦日食六月戊午帝崩蓋閏四月或五月史秋九月壬寅塟義陵由壬辰晦推之壬寅八月十一日孝平皇帝元始辛酉元年正月己未朔十一月壬申日夘正二刻八分内四十一秒冬至 史五月丁巳朔日食壬戌二年正月癸丑朔十一月丁丑日午正一刻十五分内五十一秒冬至 置閏蓋在九月前史九月戊申晦日食實十月朔十一月丁丑朔十二月丙午朔當時節氣既後天又不知推定朔故多誤癸亥三年正月丙子朔十一月壬午日酉正一刻八分内一秒冬至甲子四年正月辛未朔十一月戊子日子正初刻十五分内一十一秒冬至乙丑五年正月丙寅朔十一月癸巳日夘正初刻七分内二十一秒冬至 應閏史閏月立梁孝王耳孫音為王孺子嬰居攝丙寅元年正月庚寅朔十一月戊戌日午初三刻十四分内三十一秒冬至 史十月丙辰朔日食丁夘二年正月甲申朔十一月癸夘日酉初三刻六分内四十一秒冬至戊辰三年正月戊寅朔十一月己酉日子初二刻十三分内五十一秒冬至 此年應閏四分今推十一月己酉冬至史稱王莽奏言十一月壬子直建冬至是其節氣後天較太初尤甚又莽以此年十二月癸酉朔為建國元年正月朔今仍用漢之正朔推筭而附莽之偽朔以便考新室王莽簒國偽號始建國己巳元年正月壬寅朔十一月甲寅日夘初二刻六分内一秒冬至 凡王莽傳稱正月皆建丑此從漢正朔庚午二年正月丙申朔十一月己未日午初一刻十三分内一十一秒冬至 王莽傳九月辛巳即漢八月十一月癸酉即十月辛未三年正月庚寅朔十一月甲子日酉初一刻五分内二十一秒冬至 應閏自壬寅年至此十一閏又一紀壬申四年正月甲寅朔十一月庚午日子初初刻十二分内三十一秒冬至癸酉五年正月乙酉朔十一月乙亥日夘初初刻四分内四十一秒冬至 應閏二百五十章天鳯甲戌元年正月癸酉朔十一月庚辰日巳正三刻十一分内五十一秒冬至 王莽傳三月壬申晦日食二月晦日也乙亥二年正月丁夘朔十一月乙酉日申正三刻四分内一秒冬至日躔在斗十八度之五十六分全史日至源流卷二十二
## 卷二十三
欽定四庫全書全史日至源流卷二十三山東道御史許伯政撰壬子運二十三(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻六分五十秒)冬至十四日八時三刻十四分一秒四十微小寒十四日八時四刻四分五十一秒四十微大寒十四日九時一刻十分六秒四十微立春十四日十時一刻六分六秒四十微雨水十四日十一時三刻四分六秒四十微驚蟄十五日零七刻一秒四十微春分十五日二時三刻八分五十一秒四十微清明十五日四時零七分五十一秒四十微穀雨十五日五時四刻七分五十六秒四十微立夏十五日六時七刻零一秒四十微小滿十五日八時零二分五十六秒四十微芒種十五日八時三刻十分一秒四十微夏至十五日八時七刻零一秒四十微小暑十五日八時五刻三分一秒四十微大暑十五日八時零八分一秒四十微立秋十五日七時零十一分一秒四十微處暑十五日五時六刻六分一秒四十微白露十五日四時三刻九分六秒四十微秋分十五日二時四刻十一分一十一秒四十微寒露十五日一時一刻八分六秒四十微霜降十四日十一時五刻五分一秒四十微立冬十四日十時二刻十一分十一秒四十微小雪十四日九時二刻十二分六秒四十微大雪十四日八時五刻十分一秒四十微丙子三年正月辛酉朔十一月庚寅日亥正二刻十分内五十一秒冬至 應閏莽傳五月庚寅朔本四月七月戊子晦日食本六月丁丑四年正月乙酉朔十一月丙申日寅正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五年正月庚辰朔十一月辛丑日巳正一刻九分内三十一秒冬至己夘六年正月甲戌朔十一月丙午日申正一刻一分内二十一秒冬至 應閏地皇庚辰元年正月戊戌朔十一月辛亥日亥正初刻八分内一十一秒冬至 莽傳正月乙未即上年十二月二十七日九月甲申八月二十日辛巳二年正月壬辰朔十一月丁巳日寅初三刻十五分内一秒冬至 應閏莽傳閏月丙辰大赦在秋隕霜榖菽後蓋閏十月壬午三年正月丙辰朔十一月壬戌日巳初三刻六分内五十一秒冬至 此年史書二月覇橋災即漢正月但莽書稱二月癸巳之夜甲午之辰火燒覇橋又稱明旦即乙未立春之日當在上年編史者誤入此年劉聖公世祖族兄下江兵將王常等共立為帝更始癸未元年正月辛亥朔十一月丁夘日申初二刻十三分内四十一秒冬至 史二月辛巳朔莽傳在三月十月戊申朔實九月也甲申二年正月丙午朔十一月壬申日亥初二刻五分内三十一秒冬至 應閏世祖光武皇帝建武乙酉元年正月庚午朔十一月戊寅日寅初一刻十二分内二十一秒冬至 古今注建武元年正月庚午朔日食即更始三年此朔食正史未載丙戌二年正月甲子朔十一月癸未日巳初一刻四分内一十一秒冬至 史正月甲子朔日食丁亥三年正月己未朔十一月戊子日申初初刻十一分内一秒冬至 史閏正月五月乙夘晦日食戊子四年正月癸未朔十一月癸巳日亥初初刻二分内五十一秒冬至己丑五年正月丁丑朔閏十月己亥日丑正三刻九分内四十一秒冬至十一月辛丑朔 置閏應在次年三月後史八月己酉幸郯十一月壬寅伏湛免蓋閏十月庚寅六年正月辛丑朔十一月甲辰日辰正三刻一分内三十一秒冬至 史九月丙寅晦日食辛夘七年正月乙未朔十一月己酉日未正二刻八分内二十一秒冬至 史三月癸亥晦日食壬辰八年正月己丑朔十一月甲寅日戌正一刻十五分内一十一秒冬至 史閏四月二百五十一章癸巳九年正月癸丑朔十一月庚申日丑正一刻七分内一秒冬至甲午十年正月丁未朔十一月己丑日辰正初刻十三分内五十一秒冬至乙未十一年正月壬寅朔十一月庚午日未正初刻五分内四十一秒冬至 史閏二月應閏五月丙申十二年正月丙寅朔十一月乙亥日戌初三刻十二分内三十一秒冬至丁酉十三年正月庚申朔十一月辛巳日丑初三刻四分内二十一秒冬至戊戌十四年正月乙夘朔十一月丙戌日辰初二刻十一分内一十一秒冬至 應閏蓋閏三月史四月辛巳封孔子後己亥十五年正月己夘朔十一月辛夘日未初二刻三分内一秒冬至庚子十六年正月癸酉朔十一月丙申日戌初一刻九分内五十一秒冬至 史三月辛丑晦日食辛丑十七年正月丁夘朔十一月壬寅日丑初一刻一分内四十一秒冬至 應閏蓋閏正月史二月乙未晦日食自壬申年至此十一閏又一紀壬寅十八年正月辛夘朔十一月丁未日辰初初刻八分内三十一秒冬至癸夘十九年正月乙酉朔十一月壬子日午正三刻十五分内二十一秒冬至 史閏四月應閏七月甲辰二十年正月己酉朔十一月丁巳日酉正三刻七分内一十一秒冬至乙巳二十一年正月甲辰朔十一月癸亥日子正二刻十四分内一秒冬至丙午二十二年正月戊戌朔十一月戊辰日夘正二刻五分内五十一秒冬至應閏史閏正月五月乙未晦日食丁未二十三年正月壬戌朔十一月癸酉日午正一刻十二分内四十一秒冬至戊申二十四年正月丙辰朔十一月戊寅日酉正一刻四分内三十一秒冬至己酉二十五年正月庚辰朔十一月甲申日子正初刻十一分内二十一秒冬至 史三月戊申晦日食應閏蓋在三月後庚戌二十六年正月甲戌朔十一月己丑日夘正初刻三分内一十一秒冬至辛亥二十七年正月戊辰朔十一月甲午日午初三刻十分内一秒冬至 應閏二百五十二章壬子二十八年正月壬辰朔十一月己亥日酉初三刻一分内五十一秒冬至 史正月乙巳徙魯王興為北海王癸丑二十九年正月丁亥朔十一月乙巳日子初二刻八分内四十一秒冬至 二月丁巳朔日食甲寅三十年正月辛巳朔十一月庚戌日夘初一刻十五分内三十一秒冬至 應閏史二月甲子幸魯閏月癸丑還宫蓋閏三月乙夘三十一年正月乙巳朔十一月乙夘日午初一刻七分内二十一秒冬至 史五月癸酉晦日食中元丙辰元年正月庚子朔十一月庚申日酉初初刻十四分内一十一秒冬至 置閏應在次年四月後史十一月甲子晦日食下年正月辛未是此年閏十二月丁巳二年正月甲子朔十一月丙寅日子初初刻六分内一秒冬至 史正月辛未初立北郊祀后土二月戊戌帝崩孝明皇帝永平戊午元年正月戊午朔十一月辛未日寅正三刻十二分内五十一秒冬至未二年正月壬子朔十一月丙子日巳正三刻四分内四十一秒冬至 應閏庚申三年正月丙子朔十一月辛巳日申正二刻十一分内三十一秒冬至 八月壬申晦日食辛酉四年正月庚午朔十一月丙戌日亥正二刻三分内二十一秒冬至 古今注八月丙寅時加未日食蓋晦日也壬戌五年正月乙丑朔十一月壬辰日寅正一刻十分内一十一秒冬至 古今注二月乙未朔日食應閏癸亥六年正月己丑朔十一月丁酉日巳正一刻二分内一秒冬至甲子七年正月癸未朔十一月壬寅日申正初刻八分内五十一秒冬至乙丑八年正月丁丑朔十一月丁未日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 應閏史十月壬寅晦日食丙寅九年正月辛丑朔十一月癸丑日寅初三刻七分内三十一秒冬至丁夘十年正月乙未朔十月戊午日巳初二刻十四分内二十一秒冬至十一月庚申朔 置閏應在次年二月後史閏四月戊辰十一年正月己未朔十一月癸亥日申初二刻六分内一十一秒冬至己巳十二年正月甲寅朔十一月戊辰日亥初一刻十三分内一秒冬至庚午十三年正月戊申朔十一月甲戌日寅初一刻四分内五十一秒冬至 應閏五行志古今注閏八月甲辰晦日食二百五十三章壬寅年至此十一閏又一紀縮一年下起辛未辛未十四年正月壬申朔十一月己夘日巳初初刻十一分内四十一秒冬至壬申十五年正月丁夘朔十一月甲申日申初初刻三分内三十一秒冬至癸酉十六年正月辛酉朔十一月己丑日戌正三刻十分内二十一秒冬至 應閏蓋閏四月史五月戊午晦日食甲戌十七年正月乙酉朔十一月乙未日丑正三刻二分内一十一秒冬至 史記秦本紀後書孝明十七年十月十五日乙丑乙亥十八年正月己夘朔十一月庚子日辰正二刻九分内一秒冬至 置閏應在次年三月後史十一月甲辰晦日食十二月癸巳有司奏言孝明皇帝宜尊廟曰顯宗是此年閏十一月孝章皇帝建初丙子元年正月癸夘朔十一月乙巳日未正一刻十五分内五十一秒冬至丁丑二年正月丁酉朔十一月庚戌日戌正一刻七分内四十一秒冬至戊寅三年正月壬辰朔十一月丙辰日丑正初刻十四分内三十一秒冬至 應閏史閏月在四月後十二月前己夘四年正月丙辰朔十一月辛酉日辰正初刻六分内二十一秒冬至庚辰五年正月庚戌朔十一月丙寅日未初三刻十三分内一十一秒冬至 史二月庚辰朔日食辛巳六年正月甲辰朔十一月辛未日戌初三刻五分内一秒冬至 應閏史五月辛酉趙王旰薨六月辛未晦日食蓋閏五月壬午七年正月戊辰朔十一月丁丑日丑初二刻十一分内五十一秒冬至癸未八年正月癸亥朔十一月壬午日辰初二刻三分内四十一秒冬至元和甲申元年正月丁巳朔十一月丁亥日未初一刻十分内三十一秒冬至 應閏五月史閏正月乙酉二年正月辛巳朔十一月壬辰日戌初一刻二分内二十一秒冬至 史二月甲寅始用四分厯十一月壬辰日南至初閉闗梁今推至日合其時張盛等與楊岑共課嵗餘四分厯所中多蓋較三統為勝惜施行不乆耳丙戌三年正月乙亥朔十一月戊戌日丑初初刻九分内一十一秒冬至章和丁亥元年正月己巳朔十一月癸夘日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在斗十七度之五十六分應閏二月史八月乙未晦日食戊子二年正月癸巳朔十一月戊申日午正三刻七分内五十一秒冬至孝和皇帝永元己丑元年正月戊子朔十一月癸丑日酉正二刻十四分内四十一秒冬至 史閏七月二百五十四章庚寅二年正月壬子朔十一月己未日子正二刻六分内三十一秒冬至 史二月壬午日食辛夘三年正月丙午朔十一月甲子日夘正一刻十三分内二十一秒冬至壬辰四年正月庚子朔十一月己巳日午正一刻五分内一十一秒冬至 史閏三月六月戊戌朔日食癸巳五年正月甲子朔十一月甲戌日酉正初刻十二分内一秒冬至甲午六年正月戊午朔十一月庚辰日子正初刻三分内五十一秒冬至 史六月己酉初令伏閉盡日乙未七年正月壬子朔十一月乙酉日夘初三刻十分内四十一秒冬至 蓋閏三月史四月辛亥朔日食丙申八年正月丙子朔十一月庚寅日午初三刻二分内三十一秒冬至丁酉九年正月辛未朔十一月乙未日酉初二刻九分内二十一秒冬至 史閏八月戊戌十年正月乙未朔十一月辛丑日子初二刻一分内一十一秒冬至己亥十一年正月庚寅朔十一月丙午日夘初一刻八分内一秒冬至庚子十二年正月甲申朔十一月辛亥日午初初刻十四分内五十一秒冬至 史閏五月七月辛亥朔日食辛未年至此十一閏又一紀辛丑十三年正月戊申朔十一月丙辰日酉初初刻六分内四十一秒冬至壬寅十四年正月壬寅朔十一月辛酉日亥正三刻十三分内三十一秒冬至癸夘十五年正月丁酉朔十一月丁夘日寅正三刻五分内二十一秒冬至 應閏四月史閏正月四月甲子晦日食甲辰十六年正月辛酉朔十一月壬申日巳正二刻十二分内一十一秒冬至元興乙巳元年正月乙夘朔十一月丁丑日申正二刻四分内一秒冬至 置閏應在次年三月後史十二月辛未帝崩是此年蓋閏十一月孝殤皇帝延平丙午元年正月己夘朔十一月壬午日亥正一刻十分内五十一秒冬至 史正月辛夘張禹為太傅孝安皇帝永初丁未元年正月癸酉朔十一月戊子日寅正一刻二分内四十一秒冬至 史正月癸酉朔大赦五行志三月二日癸酉日食戊申二年正月戊辰朔十一月癸巳日 正初刻九分内三十一秒冬至 史閏七月二百五十五章己酉三年正月壬辰朔十一月戊戌日申正初刻一分内二十一秒冬至 史正月庚子加元服庚戌四年正月丙戌朔十一月癸夘日亥初三刻八分内一十一秒冬至辛亥五年正月庚辰朔十一月己酉日寅初二刻十五分内一秒冬至 史正月庚辰朔日食閏月丁酉赦蓋閏四月壬子六年正月甲辰朔十一月甲寅日巳初二刻六分内五十一秒冬至癸丑七年正月戊戌朔十一月己未日申初一刻十三分内四十一秒冬至 史四月丙申晦日食置閏應在次年三月後蓋此年閏十二月元初甲寅元年正月壬戌朔十一月甲子日亥初一刻五分内三十一秒冬至 史正月甲子改元十月戊子朔日食乙夘二年正月丙辰朔十一月庚午日寅初初刻十二分内二十一秒冬至 五行志九月壬午朔日食丙辰三年正月庚戌朔十一月乙亥日巳初初刻四分内一十一秒冬至 五行志三月二日辛亥日食應閏丁巳四年正月乙亥朔十一月庚辰日未正三刻十一分内一秒冬至 史二月乙巳朔日食五行志其月十八日壬戌武庫火戊午五年正月己巳朔十一月乙酉日戌正三刻二分内五十一秒冬至 八月丙申朔日食己未六年正月甲子朔十一月辛夘日丑正二刻九分内四十一秒冬至 應閏十二月戊午朔日食永寧庚申元年正月戊子朔十一月丙申日辰正二刻一分内三十一秒冬至 史七月乙酉朔日食建光辛酉元年正月壬午朔十一月辛丑日未正一刻八分内二十一秒冬至延光壬戌元年正月丙子朔十一月丙午日戌正初刻十五分内一十一秒冬至 應閏史三月丙午改元蓋閏二月癸亥二年正月庚子朔十一月壬子日丑正初刻七分内一秒冬至 十二月四日戊辰見楊震疏甲子三年正月乙未朔閏十月丁巳日辰初三刻十三分内五十一秒冬至十一月己未朔 史九月庚申晦日食閏十月應在下年三月後乙丑四年正月己未朔十一月壬戌日未初三刻五分内四十一秒冬至 史三月戊午朔日食孝順皇帝永建丙寅元年正月癸丑朔十一月丁夘日戌初二刻十二分内三十一秒冬至丁夘二年正月丁未朔十一月癸酉日丑初二刻四分内二十一秒冬至 應閏史七月甲戌朔日食蓋閏六月二百五十六章戊辰三年正月辛未朔十一月戊寅日辰初一刻十一分内一十一秒冬至己巳四年正月乙丑朔十一月癸未日未初一刻三分内一秒冬至庚午五年正月己未朔十一月戊子日戌初初刻九分内五十一秒冬至 應閏史四月辛巳詔被災者勿收責蓋閏三月辛丑年至此十一閏又一紀辛未六年正月癸未朔十一月甲午日丑初初刻一分内四十一秒冬至陽嘉壬申元年正月戊寅朔十一月己亥日夘正三刻八分内三十一秒冬至 史秋七月史官始作候風地動銅儀置閏應在下年三月後史閏十二月癸酉二年正月壬寅朔十一月甲辰日午正二刻十五分内二十一秒冬至甲戌三年正月丙申朔十一月己酉日酉正三刻七分内一十一秒冬至乙亥四年正月庚寅朔十一月乙夘日子正一刻十四分内一秒冬至 應閏史閏月丁亥朔日食蓋閏八月永和丙子元年正月甲寅朔十一月庚申日夘正一刻五分内五十一秒冬至丁丑二年正月己酉朔十一月乙丑日午正初刻十二分内四十一秒冬至戊寅三年正月癸夘朔十一月庚午日酉正初刻四分内三十一秒冬至 史閏四月十二月戊戌朔日食己夘四年正月丁夘朔十一月丙子日子初三刻十一分内二十一秒冬至庚辰五年正月壬戌朔十一月辛巳日夘初三刻三分内一十一秒冬至 史五月己丑晦日食辛巳六年正月丙辰朔十一月丙戌日午初二刻十分内一秒冬至 應閏史閏正月九月辛亥晦日食漢安壬午元年正月庚辰朔十一月辛夘日酉初二刻一分内五十一秒冬至癸未二年正月甲戌朔十月丙申夜子初一刻八分内四十一秒冬至十一月戊戌朔 置閏應在次年二月後史閏十月建康甲申元年正月戊戌朔十一月壬寅日夘初初刻十五分内三十一秒冬至孝冲皇帝永嘉乙酉元年正月壬辰朔十一月丁未日午初初刻七分内二十一秒冬至孝質皇帝本初丙戌元年正月丁亥朔十一月壬子日申正三刻十四分内一十一秒冬至 史閏六月二百五十七章孝桓皇帝建和丁亥元年正月辛亥朔十一月丁巳日亥正三刻六分内一秒冬至 史正月辛亥朔日食戊子二年正月乙巳朔十一月癸亥日寅正二刻十二分内五十一秒冬至己丑三年正月庚子朔十一月戊辰日巳正二刻四分内四十一秒冬至 應閏六月史三月甲申彭城王薨蓋閏二月四月丁夘晦日食和平庚寅元年正月甲子朔十一月癸酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至 史正月甲子大赦改元元嘉辛夘元年正月戊午朔十一月戊寅日亥正一刻三分内二十一秒冬至 置閏應在次年三月後史於十一月辛巳地震下書閏月庚午蓋閏十二月壬辰二年正月壬午朔十一月甲申日寅正初刻十分内一十一秒冬至 史五行志七月二日庚辰日食永興癸巳元年正月丙子朔十一月己丑日巳正初刻二分内一秒冬至甲午一年正月庚午朔十一月甲午日申初三刻八分内五十一秒冬至 史九月丁夘朔日食閏九月永夀乙未元年正月甲午朔十一月己亥日亥初二刻十五分内四十一秒冬至丙申二年正月戊子朔十一月乙巳日寅初二刻七分内三十一秒冬至丁酉三年正月癸未朔十一月庚戌日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 應閏史閏月庚辰晦日食蓋閏五月延熹戊戌元年正月丁未朔十一月乙夘日申初一刻六分内一十一秒冬至 史五月甲戌晦日食己亥二年正月辛丑朔十一月庚申日亥初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十六度之五十六分庚子三年正月丙申朔十一月丙寅日寅初初刻四分内五十一秒冬至 應閏史閏三月辛未年至此十一閏又一紀辛丑四年正月庚申朔十一月辛未日辰正三刻十一分内四十一秒冬至壬寅五年正月甲寅朔閏月丙子日未正三刻三分内三十一秒冬至十一月己夘朔 置閏應在次年三月後盖閏十月如前例癸夘六年正月戊寅朔十一月辛巳日戌正二刻十分内二十一秒冬至甲辰七年正月壬申朔十一月丁亥日丑正三刻二分内一十一秒冬至乙巳八年正月丁夘朔十一月壬辰日辰正一刻九分内一秒冬至 史正月丙申晦日食史閏五月二百五十八章丙午九年正月辛夘朔十一月丁酉日未正初刻十五分内五十一秒冬至 史正月辛夘朔日食見五行傳永康丁未元年正月乙酉朔十一月壬寅日戌正初刻七分内四十一秒冬至 史五月壬子晦日食孝靈皇帝建寧戊申元年正月己夘朔十一月戊申日丑初三刻十四分内三十一秒冬至 應閏史閏二月五月丁未朔日食十月甲辰晦日食己酉二年正月癸夘朔十一月癸丑日辰初三刻六分内二十一秒冬至 五行志十月戊戌晦日食庚戌三年正月戊戌朔十一月戊午日未初二刻十五分内一十一秒冬至 史三月丙寅晦日食置閏應在次年四月後蓋閏十二月如前例辛亥四年正月壬戌朔十一月癸亥日戌初二刻五分内一秒冬至 史正月甲子加元服三月辛酉朔日食熹平壬子元年正月丙辰朔十一月己巳日丑初一刻十一分内五十一秒冬至癸丑二年正月庚戌朔十一月甲戌朔辰初一刻三分内四十一秒冬至 蓋閏九月如前例史十二月癸酉晦日食本正月朔食誤置大盡甲寅三年正月甲戌朔十一月己夘日未初初刻十分内三十一秒冬至 舊說漢靈帝熹平三年甲寅嵗天正冬至丁丑日今在甲戌日辰初一刻其後天三日仍與太初元年同可見張衡銅儀測候之疎矣陶𢎞景推在乙亥亦非乙夘四年正月戊辰朔十一月甲申日戌初初刻二分内二十一秒冬至丙辰五年正月癸亥朔十一月庚寅日子正三刻九分内一十一秒冬至 史閏五月丁巳六年正月丁亥朔十一月乙未日夘正三刻一分内一秒冬至 史十月癸丑朔日食光和戊午元年正月辛巳朔十一月庚子日午正一刻七分内五十一秒冬至 史二月辛亥朔日食七月丙子晦日食己未二年正月乙亥朔十一月乙巳日酉正一刻十四分内四十一秒冬至 應閏史三月乙丑太尉橋元罷蓋閏二月四月甲戌朔日食庚申三年正月己亥朔十一月辛亥日子正一刻六分内三十一秒冬至辛酉四年正月癸巳朔十一月丙辰日夘正初刻十三分内二十一秒冬至 史九月庚寅朔日食置閏應在次年三月後史閏九月壬戌五年正月丁巳朔十一月辛酉日午正初刻五分内一十一秒冬至癸亥六年正月壬子朔十一月丙寅日酉初三刻十二分内一秒冬至中平甲子元年正月丙午朔十一月壬申日子初三刻三分内五十一秒冬至 應閏史八月乙巳詔皇甫嵩北討張角蓋閏七月二百五十九章乙丑二年正月庚午朔十一月丁丑日夘初二刻十分内四十一秒冬至丙寅三年正月乙丑朔十一月壬午日午初二刻二分内三十一秒冬至 史五月壬辰晦日食丁夘四年正月己未朔十一月丁亥日酉初一刻九分内二十一秒冬至 應閏戊辰五年正月癸未朔十一月癸巳日子初一刻一分内一十一秒冬至 史正月丁酉大赦己巳六年正月丁丑朔十一月戊戌日夘初初刻八分内一秒冬至 史四月丙午朔日食置閏應在次年三月後史獻帝即位後十一月癸酉董卓為相國十二月戊戌黄琬為太尉蓋閏十一月孝獻皇帝初平庚午元年正月辛丑朔十一月癸夘日巳正三刻十四分内五十一秒冬至 史正月辛亥大赦移上閏於此年辛丑年至此十一閏又一紀辛未二年正月乙未朔十一月戊申日申正三刻六分内四十一秒冬至壬申三年正月己丑朔十一月癸丑日亥正二刻十三分内三十一秒冬至 蓋閏九月如前例癸酉四年正月甲寅朔十一月己未日寅正二刻五分内二十一秒冬至 史正月甲寅朔日食袁宏記曰未晡一刻而食興平甲戌元年正月戊申朔十一月甲子日巳正一刻十二分内一十一秒冬至 史六月乙巳晦日食乙亥二年正月壬寅朔十一月己巳日申正一刻四分内一秒冬至 應閏史六月庚午張濟自陜來和傕汜七月甲午車駕東歸蓋閏六月建安丙子元年正月丙寅朔十一月甲戌日亥正初刻十分内五十一秒冬至 史正月癸酉大赦改元丁丑二年正月辛酉朔十一月庚辰日寅正初刻二分内四十一秒冬至戊寅三年正月乙夘朔十一月乙酉日巳初三刻九分内三十一秒冬至 應閏己夘四年正月己夘朔十一月庚寅日申正一刻四分内二十一秒冬至庚辰五年正月癸酉朔十一月乙未日亥初二刻八分内一十一秒冬至 史九月庚午朔日食辛巳六年正月戊辰朔十一月辛丑日寅初一刻十五分内一秒冬至 史三月丁夘朔日食應閏壬午七年正月壬辰朔十一月丙午日巳初一刻六分内五十一秒冬至癸未八年正月丙戌朔十一月辛亥日申初初刻十三分内四十一秒冬至 應閏八月史七月己巳公卿初迎冬于北郊蓋閏在十月後二百六十章甲申九年正月庚戌朔十一月丙辰日亥初初刻五分内三十一秒冬至乙酉十年正月甲辰朔十一月壬戌日丑正三刻十二分内二十一秒冬至丙戌十一年正月戊戌朔十一月丁夘日辰正三刻四分内一十一秒冬至 應閏舊說獻帝建安十一年丙戌嵗天正冬至乙丑日今在壬戌日丑正三刻其後天三日仍與前同丁亥十二年正月壬戌朔十一月壬申日未正二刻十一分内一秒冬至戊子十三年正月丁巳朔十一月丁丑日戌正三刻二分内五十一秒冬至 史十月癸未朔日食己丑十四年正月辛亥朔十一月癸未日丑正一刻九分内四十一秒冬至 應閏庚寅十五年正月乙亥朔十一月戊子日辰正一刻一分内三十一秒冬至 史二月乙巳朔日食辛夘十六年正月己巳朔十一月癸巳日未正初刻八分内二十一秒冬至 魏書曹操征馬超八月至潼闗閏月北渡河則此年閏八月壬辰十七年正月癸巳朔十一月戊戌日戌初三刻十五分内一十一秒冬至 史六月庚寅晦日食癸巳十八年正月戊子朔十一月甲辰日丑初三刻七分内一秒冬至 史正月庚寅復禹貢九州甲午十九年正月壬午朔十一月己酉日辰初二刻十三分内五十一秒冬至 應閏吳書建安十九年五月權征皖城閏月克之蓋閏五月乙未二十年正月丙午朔十一月甲寅日未初二刻五分内四十一秒冬至 史正月甲子立貴人曹氏為皇后丙申二十一年正月庚子朔十一月己未日戌初一刻十二分内三十一秒冬至 史五月己亥朔日食丁酉二十二年正月甲午朔十一月乙丑日丑初一刻四分内二十一秒冬至 應閏戊戌二十三年正月戊午朔十一月庚午日辰初初刻十一分内一十一秒冬至 史正月甲子耿紀韋晃起兵誅曹操不克己亥二十四年正月癸丑朔十一月乙亥日未初初刻三分内一秒冬至 史二月壬子晦日食置閏應在次年三月後史秋七月庚子劉備自稱漢中王 蓋此年閏六月庚子二十五年正月丁丑朔十一月庚辰日酉正三刻九分内五十一秒冬至 史二月丁未朔日食冬十月乙夘遜位曹丕改黄初元年移上閏於此年自辛未至此十一閏又一紀三國遵綱目蜀承正統魏吳附見蜀先主昭烈皇帝章武辛丑元年正月辛未朔十一月丙戌日子正三刻一分内四十一秒冬至 魏書二年六月戊辰晦日食壬寅二年正月丙寅朔十一月辛夘日夘正二刻八分内三十一秒冬至 吳主權黄武元年魏書正月丙寅朔日食閏月孫權破劉備於夷陵閏五月也十一月庚申晦日食此年應閏九月二百六十一章後主建興癸夘元年正月庚寅朔十一月丙申日午正一刻十五分内二十一秒冬至甲辰二年正月甲申朔十一月辛丑日酉正一刻七分内一十一秒冬至 魏書十一月戊申晦日食乙巳三年正月戊寅朔十一月丁未日子正初刻十四分内一秒冬至 應閏魏書五月戊申幸譙壬戌熒惑入太微蓋閏四月丙午四年正月壬寅朔十一月壬子日卯正初刻五分内五十一秒冬至丁未五年正月丙申朔十一月丁巳日午初三刻十二分内四十一秒冬至 魏明帝太和元年戊申六年正月辛夘朔十一月壬戌日酉初三刻四分内三十一秒冬至 應閏魏書正月丁未幸長安四月丁酉還洛陽宫蓋閏二月吳書閏月韓當子琮以其衆䧏魏在上年未詳何月己酉七年正月乙夘朔十一月戊辰日子初二刻十一分内二十一秒冬至 吳黄龍元年庚戌八年正月己酉朔十一月癸酉日夘初二刻三分内一十一秒冬至 魏書八月乙未幸許昌宫十月乙夘還洛陽蓋閏九月辛亥九年正月癸酉朔十一月戊寅日午初一刻十分内一秒冬至日躔在斗十五度之五十六分 魏書十一月戊戌晦日食全史日至源流卷二十三
## 卷二十四
欽定四庫全書全史日至源流卷二十四山東道御史許伯政撰壬子運二十四(每期三百六十五日二時七刻六分三十秒)冬至十四日八時三刻十四分零五十微小寒十四日八時四刻四分五十秒五十微大寒十四日九時一刻十分五秒五十微立春十四日十時一刻六分五秒五十微雨水十四日十一時三刻四分五秒五十微驚蟄十五日零七刻零五十微春分十五日二時三刻八分五十秒五十微清明十五日四時零七分五十秒五十微榖雨十五日五時四刻七分五十五秒五十微立夏十五日六時七刻零五十微小滿十五日八時零二分五十五秒五十微芒種十五日八時三刻十分零五十微夏至十五日八時七刻零五十微小暑十五日八時五刻三分五十微大暑十五日八時零八分五十微立秋十五日七時零十一分五十微處暑十五日五時六刻六分五十微白露十五日四時三刻九分五秒五十微秋分十五日二時四刻十一分十秒五十微寒露十五日一時一刻八分五秒五十微霜降十四日十一時五刻五分五十微立冬十四日十時二刻十一分十秒五十微小雪十四日九時二刻十二分五秒五十微大雪十四日八時五刻十分五十微壬子十年正月戊辰朔十一月癸未日酉初一刻一分内三十一秒冬至 晉史魏太和六年正月戊辰朔日食吳厯在嘉禾元年同此癸丑十一年正月壬戌朔十一月己丑日子初初刻八分内一秒冬至 魏青龍元年閏五月庚寅朔日食甲寅十二年正月丙戌朔十一月甲午日寅正三刻十四分内三十一秒冬至乙夘十三年正月庚辰朔十一月己亥日巳正三刻六分内一秒冬至 魏書正月戊子以司馬懿為太尉丙辰十四年正月甲戌朔十一月甲辰日申正二刻十二分内三十一秒冬至 應閏晉書閏正月己巳填星犯井鉞丁巳十五年正月戊戌朔十一月己酉日亥正二刻四分内一秒冬至 魏景初元年以建丑為正月改春三月為孟夏四月十二月壬子冬至始祀圜丘其改正又踵王莽故智真漢賊也今仍以夏正推之至日在己酉亥正二刻其後天三日仍與前同延熈戊午元年正月癸巳朔十一月乙夘日寅正一刻十分内三十一秒冬至 吳赤烏元年魏書閏十一月置閏應在下年三月後己未二年正月丁巳朔十一月庚申日巳正一刻二分内一秒冬至 魏書景初三年正月丁亥朔帝病甚指丑正言之其實乃寅月朔日縁上年不應閏也庚申三年正月辛亥朔十一月乙丑日申正初刻八分内三十一秒冬至 魏主芳正始元年仍以建寅為正月晉書七月戊申朔日食辛酉四年正月乙巳朔十一月庚午日亥初三刻十五分内一秒冬至 應閏吳書魏救樊六月軍還閏月大將軍瑾卒盖閏六月二百六十二章九月辛未朔二十五日乙未見髙貴鄉公自叙文壬戌五年正月己巳朔十一月丙子日寅初三刻六分内三十一秒冬至 晉書四月戊戌朔日食癸亥六年正月癸亥朔十一月辛巳日巳初二刻十三分内一秒冬至 魏書五月朔日食不書日晉書以為丁丑朔今推五月壬戌朔十六日得丁丑其月食訛為日食歟甲子七年正月戊午朔十一月丙戌日申初二刻四分内三十一秒冬至 應閏蜀書閏二月魏書四月朔日食晉書稱丙辰朔食乙丑八年正月壬午朔十一月辛夘日亥初一刻十一分内一秒冬至 晉書四月壬子朔日食十月戊申朔日食魏書十二月乙亥詔明日大會羣臣令太傅乗輿上殿指正月丙子元日言也丙寅九年正月丙子朔十一月丁酉日寅初一刻二分内三十一秒冬至 置閏應在下年三月後當時盖閏十二月丁夘十年正月庚子朔十一月壬寅日巳初初刻九分内一秒冬至 晉書魏正始八年二月庚午朔日食戊辰十一年正月乙未朔十一月丁未日未正三刻十五分内三十一秒冬至 晉書正月乙未朔日食己巳十二年正月己丑朔十一月壬子日戌正三刻七分内一秒冬至 晉書魏嘉平元年二月己未日食置閏應在次年二月後魏書十二月辛夘以王凌為太尉庚子以孫禮為司空則月前有閏盖閏十一月庚午十三年正月癸丑朔十一月戊午日丑正二刻十三分内三十一秒冬至 移上閏于此年自辛丑至此十一閏又一紀辛未十四年正月丁未朔十一月癸亥日辰正二刻五分内一秒冬至 吳太元元年壬申十五年正月辛丑朔十一月戊辰日未正一刻十一分内三十一秒冬至 應閏吳書魏嘉平四年四月孫亮即位改元建興閏月以恪為太傅十二月丙申朔大風雷電癸酉十六年正月乙丑朔十一月癸酉日戌正一刻三分内一秒冬至甲戌十七年正月庚申朔十一月己夘日丑正初刻九分内三十一秒冬至 十月後魏主髦正元元年吳五鳳元年乙亥十八年正月甲寅朔十一月甲寅日辰正初刻一分内一秒冬至 應閏魏書吳書晉書皆閏正月丙子十九年正月戊寅朔十一月己丑日未初三刻七分内三十一秒冬至 魏甘露元年吳太平元年丁丑二十年正月壬申朔十一月甲午日戌初二刻十四分内一秒冬至 吳書九月己巳朔置閏應在次年三月後當時盖此年閏十二月景耀戊寅元年正月丙申朔十一月庚子日丑初二刻五分内三十一秒冬至 吳主休永安元年己夘二年正月庚寅朔十一月乙巳日辰初一刻十二分内一秒冬至 晉書髙貴鄉公甘露四年七月戊子朔日食庚辰三年正月己酉朔十一月庚戌日未初一刻三分内三十一秒冬至 魏主奐景元元年正月乙酉朔日食見晉書應閏八月二百六十三章辛巳四年正月己酉朔十一月乙夘日戌初初刻十分内一秒冬至 晉書五月丁未朔日食壬午五年正月癸夘朔十一月辛酉日丑初初刻一分内三十一秒冬至 十一月己亥朔日食見晉書炎興癸未元年正月丁酉朔十一月丙寅日夘正三刻八分内一秒冬至 應閏是冬蜀亡魏咸熈甲申元年正月辛酉朔十一月辛未日午正二刻十四分内三十一秒冬至 八月後吳主皓元興元年乙酉二年正月乙夘朔閏十月丙子日酉正二刻六分内一秒冬至十一月庚辰朔 吳甘露元年十二月晉泰始元年置閏應在下年四月後魏史閏月大宛獻名馬在十二月前晉史九月戊午以何曽為丞相十一月乙未以六條舉淹滯盖閏十月晉武皇帝泰始丙戌二年正月庚辰朔十一月壬午日子正一刻十二分内三十一秒冬至 史七月丙午晦日食十月丙午朔日食吳寳鼎元年丁亥三年正月甲戌朔十一月丁亥日夘正一刻四分内一秒冬至戊子四年正月戊辰朔閏十月壬辰日午正初刻十分内三十一秒冬至十一月癸巳朔 置閏應在下年正月後史六月丙申朔十一月己未日詔舉賢良盖閏十月己丑五年正月壬辰朔十一月丁酉日酉正初刻二分内一秒冬至 史五月辛夘朔吳建衡元年庚寅六年正月丁亥朔十一月癸夘日子初三刻八分内三十一秒冬至 史正月丁亥朔辛夘七年正月辛巳朔十一月戊申日夘初二刻十五分内一秒冬至 應閏史閏五月十月丁丑朔日食壬辰八年正月乙巳朔十一月癸丑日午初二刻六分内三十一秒冬至 史十月辛未朔日食吳鳳凰元年癸巳九年正月己亥朔十一月戊午日酉初一刻十三分内一秒冬至 史四月戊辰朔日食七月丁酉朔日食甲午十年正月甲午朔十一月癸亥夜子初一刻四分内三十一秒冬至 天文志正月乙未日食史閏正月三月癸亥朔日食厯書十一月甲子夜半冬至今推之在癸亥夜子初仍後天一日咸寧乙未元年正月戊午朔十一月己巳日夘初初刻十一分内一秒冬至 史正月戊午朔改元七月甲申晦日食吳天璽元年丙申二年正月壬子朔十一月甲戌日午初初刻二分内三十一秒冬至 置閏應在下年三月後史閏九月吳天紀元年丁酉三年正月丙子朔十一月己夘日申正三刻九分内一秒冬至 史正月丙子朔日食戊戌四年正月庚午朔十一月甲申日亥正二刻十五分内三十一秒冬至 史正月庚午朔日食己亥五年正月乙丑朔十一月庚寅日寅正二刻七分内一秒冬至 應閏二百六十四章辛未年至此十一閏又一紀縮一年下起庚子太康庚子元年正月己丑朔十一月乙未日巳正一刻十三分内三十一秒冬至 史正月己丑朔辛丑二年正月癸未朔十一月庚子日申正一刻五分内一秒冬至壬寅三年正月丁丑朔十一月乙巳日亥正初刻十一分内三十一秒冬至 史閏四月癸夘四年正月辛丑朔十一月辛亥日寅正初刻三分内一秒冬至 史三月辛丑朔日食甲辰五年正月丙申朔十一月丙辰日巳初三刻九分内三十一秒冬至 置閏應在次年三月後史閏十二月乙巳六年正月庚申朔十一月辛酉日申初三刻一分内一秒冬至 史正月庚申朔八月丙戌朔日食丙午七年正月甲寅朔十一月丙寅日亥初二刻七分内三十一秒冬至 史正月甲寅朔日食丁未八年正月戊申朔閏十月壬申日寅初一刻十四分内一秒冬至十一月癸酉朔 史正月戊申朔日食置閏應在下年正月後次年正月壬申朔此冬盖閏十月戊申九年正月壬申朔十一月丁丑日巳初一刻五分内三十一秒冬至 史正月壬申朔日食六月庚子朔日食己酉十年正月丙寅朔十一月壬午日申初初刻十二分内一秒冬至太熈庚戌元年正月辛酉朔十一月丁亥日亥初初刻三分内三十一秒冬至 史正月辛酉朔改元四月後恵帝即位改元永熈應閏孝恵皇帝元康辛亥元年正月乙酉朔十一月癸巳日丑正三刻十分内一秒冬至 史正月乙酉朔改元永平三月後又改元元康壬子二年正月己夘朔十一月戊戌日辰正三刻一分内三十一秒冬至癸丑三年正月癸酉朔十一月癸夘日未正二刻八分内一秒冬至 應閏甲寅四年正月丁酉朔十一月戊申日戌正一刻十四分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔乙夘五年正月辛夘朔十一月甲寅日丑正一刻六分内一秒冬至 置閏應在次年二月後史十二月丙戌新作武庫盖閏十一月丙辰六年正月乙夘朔十一月己未日辰正初刻十二分内三十一秒冬至丁巳七年正月庚戌朔十一月甲子日未正初刻四分内一秒冬至戊午八年正月甲辰朔十一月己巳日戌初三刻十分内三十一秒冬至 應閏二百六十五章己未九年正月戊辰朔十一月乙亥日丑初三刻二分内一秒冬至 史十一月甲子朔日食永康庚申元年正月癸亥朔十一月庚辰日辰初二刻八分内三十一秒冬至 史正月癸亥朔大赦改元己夘日食盖月食之訛己夘月十七日四月辛夘朔日食永寧辛酉元年正月丁巳朔十一月乙酉日未初一刻十五分内一秒冬至 史閏三月丙戌朔日食大安壬戌元年正月辛巳朔十一月庚寅日戌初一刻六分内三十一秒冬至癸亥二年正月丙子朔十一月丙申日丑初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十四度之五十六分 史正月丙子朔置閏應在下年四月後盖此冬閏十二月永興甲子元年正月庚子朔十一月辛丑日辰初初刻四分内三十一秒冬至 史正月丙午樂廣卒七月丙申朔乙丑二年正月甲午朔十一月丙午日午正三刻十一分内一秒冬至 史正月甲午朔九月庚寅朔光熈丙寅元年正月戊子朔閏十月辛亥日酉正三刻二分内三十一秒冬至十一月壬子朔 史正月戊子朔日食六月丙辰朔七月乙酉朔日食置閏應在下年正月後十一月庚午帝崩盖閏十月十二月壬子朔日食孝懐皇帝永嘉丁夘元年正月壬子朔十一月丁巳日子正二刻九分内一秒冬至 史正月癸丑改元七月己酉朔八月己夘朔十一月戊申朔日食戊辰二年正月丙午朔十一月壬戌日夘正一刻十五分内三十一秒冬至 史正月丙午朔日食十二月辛未朔大赦己巳三年正月辛丑朔十一月丁夘日午正一刻七分内一秒冬至 應閏庚子年至此十一閏又一紀庚午四年正月乙丑朔十一月壬申日酉正初刻十三分内三十一秒冬至 史正月乙丑朔辛未五年正月己未朔十一月戊寅日子正初刻五分内一秒冬至壬申六年正月癸丑朔十一月癸未日夘初三刻十一分内三十一秒冬至 應閏史二月壬子朔日食盖閏正月孝愍皇帝建興癸酉元年正月丁丑朔十一月戊子日午初三刻三分内一秒冬至甲戌二年正月辛未朔十一月癸巳日酉初二刻九分内三十一秒冬至乙亥三年正月乙未朔十一月己亥日子初二刻一分内一秒冬至丙子四年正月庚寅朔十一月甲辰日夘初一刻七分内三十一秒冬至 史六月丁巳朔日食十一月甲申朔日食丁丑五年正月甲申朔十一月己酉日午初初刻十四分内一秒冬至 史三月琅琊王睿承制改元建武稱晉王于建康應閏二百六十六章元皇帝太興戊寅元年正月戊申朔十一月甲寅日酉初初刻五分内三十一秒冬至 史正月戊申朔三月癸丑愍帝崩問至丙辰即位四月丁丑朔日食己夘二年正月壬寅朔十一月己未日亥正三刻十二分内一秒冬至庚辰三年正月丁酉朔十一月乙丑日寅正三刻三分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔應閏辛巳四年正月辛酉朔十一月庚午日巳正二刻十分内一秒冬至永昌壬午元年正月乙夘朔十一月乙亥日申正二刻一分内三十一秒冬至 史正月乙夘改元置閏應在次年四月後史閏十一月巳丑帝崩明皇帝太寧癸未元年正月己夘朔十一月庚辰日亥正一刻八分内一秒冬至 史正月己夘朔三月戊寅朔改元七月丙子朔甲申二年正月甲戌朔十一月丙戌日寅正初刻十四分内三十一秒冬至 史七月壬申朔乙酉三年正月戊辰朔十月辛夘日巳正初刻六分内一秒冬至十一月壬辰朔 置閏應在次年二月後史閏八月十一月癸巳朔日食成皇帝咸和丙戌元年正月壬辰朔十一月丙申日申初三刻十二分内三十一秒冬至丁亥二年正月丙戌朔十一月辛丑日亥初三刻四分内一秒冬至 史五月甲申朔日食戊子三年正月庚辰朔十一月丁未日寅初二刻十分内三十一秒冬至 應閏己丑四年正月甲辰朔十一月壬子日巳初二刻二分内一秒冬至庚寅五年正月戊戌朔十一月丁巳日申初一刻八分内三十一秒冬至辛夘六年正月癸巳朔十一月壬戌日亥初初刻十五分内一秒冬至 應閏盖閏二月史三月壬戌朔日食壬辰七年正月丁巳朔十一月戊辰日寅初初刻六分内三十一秒冬至 史十一月壬子朔癸巳八年正月辛亥朔十一月癸酉日辰正三刻十三分内一秒冬至 史正月辛亥朔置閏應在次年三月後當時盖閏十二月如前例甲午九年正月乙亥朔十一月戊寅日未正三刻四分内三十一秒冬至咸康乙未元年正月庚午朔十一月癸未日戌正二刻十一分内一秒冬至 史正月庚午朔改元十月乙未朔日食丙申二年正月甲子朔十一月己丑日丑正二刻二分内三十一秒冬至 應閏二百六十七章丁酉三年正月戊子朔十一月甲午日辰正一刻九分内一秒冬至 史正月辛夘立太學戊戌四年正月壬午朔十一月己亥日未正初刻十五分内三十一秒冬至己亥五年正月丙子朔十一月甲辰日戌正初刻七分内一秒冬至 應閏庚午年至此十一閏又一紀庚子六年正月庚子朔十一月庚戌日丑初三刻十三分内三十一秒冬至 史正月庚子庾亮薨辛丑七年正月甲午朔十一月乙夘日辰初三刻五分内一秒冬至 史二月甲子朔日食元經正月甲午朔日食未詳孰是置閏應在下年四月後下年正月己未朔盖閏十二月壬寅八年正月己未朔十一月庚申日未初二刻十一分内三十一秒冬至 史正月己未朔日食康皇帝建元癸夘元年正月癸丑朔十一月乙丑日戌初二刻三分内一秒冬至甲辰二年正月丁未朔十月辛未日丑初一刻九分内三十一秒冬至十一月壬申朔 置閏應在次年二月後史閏月乙酉太白犯斗盖閏八月穆皇帝永和乙巳元年正月辛未朔十一月丙子日辰初一刻一分内一秒冬至丙午二年正月乙丑朔十一月辛巳日未初初刻七分内三十一秒冬至 史四月己酉日食今推己酉四月十六日殆月食之訛丁未三年正月庚申朔十一月丙戌日酉正三刻十四分内一秒冬至 應閏戊申四年正月甲申朔十一月壬辰日子正三刻五分内三十一秒冬至己酉五年正月戊寅朔十一月丁酉日夘正二刻十二分内一秒冬至庚戌六年正月癸酉朔十一月壬寅日午正二刻三分内三十一秒冬至 史閏正月辛亥七年正月丁酉朔十一月丁未日酉正一刻十分内一秒冬至 史正月丁酉日食壬子八年正月辛夘朔十一月癸丑日子正一刻一分内三十一秒冬至 史正月辛夘日食置閏應在下年三月後下年正月乙夘朔盖閏十二月癸丑九年正月乙夘朔十一月戊午日夘正初刻八分内一秒冬至 史正月乙夘朔大赦甲寅十年正月己酉朔十一月癸亥日午初三刻十四分内三十一秒冬至 史正月己酉朔乙夘十一年正月癸夘朔十一月戊辰日酉初三刻六分内一秒冬至 應閏二百六十八章丙辰十二年正月丁夘朔十一月甲戌日子初二刻十二分内三十一秒冬至史正月丁夘臨軒十月癸巳朔日食升平丁巳元年正月壬戌朔十一月己夘日夘初二刻四分内一秒冬至 史正月壬戌朔改元戊午二年正月丙辰朔十一月甲申日午初一刻十分内三十一秒冬至 應閏天文志閏三月己亥月犯嵗星己未三年正月庚辰朔十一月己丑日酉初一刻二分内一秒冬至庚申四年正月甲戌朔十一月乙未日子初初刻八分内三十一秒冬至 史八月辛丑朔日食置閏應在下年四月後下年正月戊戌朔盖閏十二月辛酉五年正月戊戌朔十一月庚子日寅正三刻十五分内一秒冬至 史正月戊戌大赦哀皇帝隆和壬戌元年正月癸巳朔十一月乙巳日巳正三刻六分内三十一秒冬至 史三月甲寅朔日食十二月戊午朔日食今推甲寅三月二十三日且十二月戊午朔三月安得甲寅朔舛甚興寧癸亥元年正月丁亥朔十月庚戌日申正二刻十三分内一秒冬至十一月辛亥朔 置閏應在次年二月後史七月丁酉塟章太妃九月壬戌桓温北伐盖閏八月甲子二年正月辛亥朔十一月乙夘日亥正二刻四分内三十一秒冬至 史三月庚戌朔嚴法禁稱庚戌制乙丑三年正月乙巳朔十一月辛酉日寅正一刻十一分内一秒冬至廢帝海西公太和丙寅元年正月己亥朔十一月丙寅日巳正一刻二分内三十一秒冬至 應閏丁夘二年正月癸亥朔十一月辛未日申正初刻九分内一秒冬至戊辰三年正月丁巳朔十一月丙子日亥初三刻十五分内三十一秒冬至 史正月丁巳朔日食己巳四年正月壬子朔十一月壬午日寅初三刻七分内一秒冬至 應閏天文志閏月乙亥月暈盖閏二月庚子年至此十一閏又一紀庚午五年正月丙子朔十一月丁亥日巳初二刻十三分内三十一秒冬至 史七月癸酉朔日食辛未六年正月庚午朔閏十月壬辰日申初二刻五分内一秒冬至十一月乙未朔 置閏應在下年三月後史閏月熒惑守太微盖閏十月十一月己酉簡文立改元咸安簡文皇帝咸安壬申二年正月甲午朔十一月丁酉日亥初一刻十一分内三十一秒冬至孝武皇帝寧康癸酉元年正月己丑朔十一月癸夘日寅初一刻三分内一秒冬至 史正月己丑朔改元甲戌二年正月癸未朔十一月戊申日巳初初刻九分内三十一秒冬至 史正月癸未朔大赦應閏天文志閏月己未月奄牽牛南星盖閏六月二百六十九章乙亥三年正月丁未朔十一月癸丑日申初初刻一分内一秒冬至日躔在斗十三度之五十六分 史十月癸酉朔日食太元丙子元年正月壬寅朔十一月戊午日戌正三刻七分内三十一秒冬至 史正月壬寅朔十一月己巳朔日食今自正月壬寅朔推之八月己巳朔十月二日得己巳此日食天文志不載盖誤丁丑二年正月丙申朔十一月甲子日丑正二刻十四分内一秒冬至 史閏三月壬午地震戊寅三年正月庚申朔十一月己巳日辰正二刻五分内三十一秒冬至己夘四年正月甲寅朔十一月甲戌日未正一刻十二分内一秒冬至 置閏應在下年天文志閏月己酉日食盖閏十二月庚辰五年正月戊寅朔十一月己夘日戌正一刻三分内三十一秒冬至辛巳六年正月壬申朔十一月乙酉日丑正初刻十分内一秒冬至 史六月庚子朔日食壬午七年正月丙寅朔十月庚寅日辰正初刻一分内三十秒冬至十一月辛夘朔 史八月癸夘大赦十月丙子雷盖閏九月癸未八年正月庚寅朔十一月乙未日未初三刻八分内一秒冬至甲申九年正月乙酉朔十一月庚子日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 史六月癸丑朔十月辛亥朔日食乙酉十年正月己夘朔十一月丙午日丑初二刻六分内一秒冬至 應閏天文志閏月戊辰天狗東北下有聲盖閏五月丙戌十一年正月癸夘朔十一月辛亥日辰初一刻十二分内三十一秒冬至丁亥十二年正月戊戌朔十一月丙辰日未初一刻四分内一秒冬至戊子十三年正月壬辰朔十一月辛酉日戌初初刻十分内三十一秒冬至 應閏己丑十四年正月丙辰朔十一月丁夘日丑初初刻二分内一秒冬至庚寅十五年正月庚戌朔十一月壬申日夘正三刻八分内三十一秒冬至 史三月己酉朔地震置閏應在下年四月後史稱十二月己未地震盖閏十一月辛夘十六年正月甲戌朔十一月丁丑日午正二刻十五分内一秒冬至 天文志四月癸夘朔太白晝見壬辰十七年正月己巳朔十一月壬午日酉正二刻六分内三十一秒冬至 史正月己巳朔大赦五月丁夘朔日食癸巳十八年正月癸亥朔十一月戊子日子正一刻十三分内一秒冬至 史正月癸亥朔地震閏七月二百七十章甲午十九年正月丁亥朔十一月癸巳日夘正一刻四分内三十一秒冬至乙未二十年正月辛巳朔十一月戊戌日午正初刻十一分内一秒冬至 史三月庚辰朔日食丙申二十一年正月乙亥朔十一月癸夘日酉正初刻二分内三十一秒冬至 應閏安皇帝隆安丁酉元年正月己亥朔十一月己酉日子初三刻九分内一秒冬至 史正月己亥朔改元戊戌二年正月癸巳朔十一月甲寅日夘初二刻十五分内三十一秒冬至 置閏應在次年四月後史十月有丙子十二月有己丑盖閏十一月己亥三年正月丁巳朔十一月己未日午初二刻七分内一秒冬至 移上閏於此年自庚午年至此十一閏又一紀庚子四年正月壬子朔十一月甲子日酉初一刻十三分内三十一秒冬至 史六月庚辰朔日食辛丑五年正月丙午朔閏月庚午日子初一刻五分内一秒冬至十一月辛未朔 置閏應在下年二月後天文志閏月癸丑天東南鳴盖閏十月元興壬寅元年正月庚午朔十一月乙亥日夘初初刻十一分内三十一秒冬至 史正月庚午朔改元癸夘二年正月甲子朔十一月庚辰日午初初刻三分内一秒冬至 史四月癸巳朔日食甲辰三年正月戊午朔十一月乙酉日申正三刻九分内三十一秒冬至史閏五月義熈乙巳元年正月壬午朔十一月庚寅日亥正三刻一分内一秒冬至丙午二年正月丁丑朔十一月丙申日寅正二刻七分内三十一秒冬至丁未三年正月辛未朔十一月辛丑日巳正一刻十四分内一秒冬至 應閏七月戊戌朔日食戊申四年正月乙未朔十一月丙午日申正一刻五分内三十一秒冬至己酉五年正月庚寅朔十月辛亥日亥正初刻十二分内一秒冬至十一月乙夘朔 天文志閏月丁酉月犯昴盖閏八月置閏應在次年二月後庚戌六年正月甲寅朔十一月丁巳日寅正初刻三分内三十一秒冬至辛亥七年正月戊申朔十一月壬戌日巳初三刻十分内一秒冬至壬子八年正月壬寅朔十一月丁夘日申初三刻一分内三十一秒冬至 應閏二百七十一章癸丑九年正月丙寅朔十一月壬申日亥初二刻八分内一秒冬至 史正月丙寅劉裕害諸葛長民十二月辛夘朔甲寅十年正月辛酉朔十一月戊寅日寅初一刻十四分内三十一秒冬至 史九月丁巳朔日食乙夘十一年正月乙夘朔十一月癸未日巳初一刻六分内一秒冬至 應閏天文志閏月丙午填星入輿鬼盖閏三月七月辛亥晦日食丙辰十二年正月己夘朔十一月戊子日申初初刻十二分内三十一秒冬至丁巳十三年正月甲戌朔十一月癸巳日亥初初刻四分内一秒冬至 史正月甲戌朔日食戊午十四年正月戊辰朔十一月己亥日丑正三刻十分内三十一秒冬至 應閏恭皇帝元熙己未元年正月壬辰朔十一月甲辰日辰正三刻二分内一秒冬至 史正月壬辰朔改元十一月丁亥朔日食庚申二年正月丙戌朔十一月己酉日未正二刻八分内三十一秒冬至 此年禪位劉裕九月後宋永初元年宋史閏八月宋髙祖武皇帝永初辛酉二年正月庚戌朔十一月甲寅日戌正一刻十五分内一秒冬至 史四月己夘朔壬戌三年正月甲辰朔十一月庚申日丑正一刻六分内三十一秒冬至少帝景平癸亥元年正月己亥朔十一月乙丑日辰正初刻十三分内一秒冬至 史正月己亥朔改元南史閏四月太祖文皇帝元嘉甲子元年正月癸亥朔十一月庚午日未正初刻四分内三十一秒冬至 史二月癸巳朔日食魏始光元年乙丑二年正月丁巳朔十一月乙亥日戌初三刻十一分内一秒冬至丙寅三年正月辛亥朔十一月辛巳日丑初三刻二分内三十一秒冬至 史閏正月丁夘四年正月乙亥朔十一月丙戌日辰初二刻九分内一秒冬至 史正月乙亥朔曲赦六月癸夘朔日食戊辰五年正月己巳朔閏十月辛夘日未初一刻十五分内三十一秒冬至十一月乙未朔 置閏應在次年三月後史閏十月魏神䴥元年十一月乙未朔日食己巳六年正月癸巳朔十一月丙申日戌初一刻七分内一秒冬至 史五月壬辰朔十一月己丑朔並日食移上閏於此年自庚子年至此十一閏又一紀庚午七年正月戊子朔十一月壬寅日丑初初刻十三分内三十一秒冬至辛未八年正月壬午朔十一月丁未日辰初初刻五分内一秒冬至 史閏六月二百七十二章壬申九年正月丙午朔十一月壬子日午正三刻十一分内三十一秒冬至 魏延和元年癸酉十年正月庚子朔十一月丁巳日酉正三刻三分内一秒冬至甲戌十一年正月乙未朔十一月癸亥日子正二刻九分内三十一秒冬至 史閏三月乙亥十二年正月己未朔十一月戊辰日夘正二刻一分内一秒冬至 史正月己未朔日食十一月甲寅朔戊辰冬至今推至日合魏大延元年丙子十三年正月癸丑朔十一月癸酉日午正一刻七分内三十一秒冬至 史正月癸丑朔十一月己酉朔甲戌冬至今在癸酉日午正一刻魏史閏十二月置閏應在下年三月後丁丑十四年正月丁丑朔十一月戊寅日酉正初刻十四分内一秒冬至戊寅十五年正月辛未朔十一月甲申日子正初刻五分内三十一秒冬至 魏史十一月丁夘朔日食元嘉厯甲申冬至今同自漢武元鼎太初以來嵗氣後天三日何承天始悟其失提上三日自此以後雖不能盡合天行多者差數時少者差數刻較前逺勝矣己夘十六年正月乙丑朔十一月己丑日夘初三刻十二分内一秒冬至 史閏九月元嘉厯十一月辛酉朔己丑冬至今同但此年未用元嘉厯乃事後追算盖當時既閏九月則十一月不得有辛酉朔矣庚辰十七年正月己丑朔十一月甲午日午初三刻三分内三十一秒冬至 史四月戊午朔日食元嘉厯追算十一月甲午日冬至今同魏太平真君元年辛巳十八年正月甲申朔十一月己亥日酉初二刻十分内一秒冬至 元嘉厯追算十一月己亥冬至今同壬午十九年正月戊寅朔十一月乙巳日子初二刻一分内三十一秒冬至 史閏五月七月甲戌晦日食元嘉厯十一月乙巳日十一刻冬至今同癸未二十年正月壬寅朔十一月庚戌日夘初一刻八分内一秒冬至甲申二十一年正月丁酉朔十一月乙夘日午初初刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十二年正月辛夘朔十一月庚申日酉初初刻六分内一秒冬至 史正月辛夘朔改用何承天元嘉新厯此年應閏五月魏史九月戊子朔日食丙戌二十三年正月乙夘朔十一月乙丑日亥正三刻十二分内三十一秒冬至 史六月癸未朔日食丁亥二十四年正月己酉朔十一月辛未日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在斗十二度之五十六分全史日至源流卷二十四
## 卷二十五
欽定四庫全書全史日至源流卷二十五山東道御史許伯政撰壬子運二十五(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻六分十秒)冬至十四日八時三刻十四分小寒十四日八時四刻四分五十秒大寒十四日九時一刻十分五秒立春十四日十時一刻六分五秒雨水十四日十一時三刻四分五秒驚蟄十五日零七刻春分十五日二時三刻八分五十秒清明十五日四時零七分五十秒榖雨十五日五時四刻七分五十五秒立夏十五日六時七刻小滿十五日八時零二分五十五秒芒種十五日八時三刻十分夏至十五日八時七刻小暑十五日八時五刻三分大暑十五日八時零八分立秋十五日七時零十一分處暑十五日五時六刻六分白露十五日四時三刻九分五秒秋分十五日二時四刻十一分十秒寒露十五日一時一刻八分五秒霜降十四日十一時五刻五分立冬十四日十時二刻十一分十秒小雪十四日九時二刻十二分五秒大雪十四日八時五刻十分戊子二十五年正月甲辰朔十一月丙子日巳正二刻十分内一十一秒冬至 史閏二月己丑二十六年正月戊辰朔十一月辛巳日申正二刻一分内二十一秒冬至 魏史正月戊辰朔四月丙辰朔日食庚寅二十七年正月壬戌朔十一月丙戌日亥正一刻七分内三十一秒冬至 史閏十月二百七十三章辛夘二十八年正月丙戌朔十一月壬辰日寅正初刻十三分内四十一秒冬至 史正月丙戌朔魏延平元年同壬辰二十九年正月庚辰朔十一月丁酉日巳正初刻四分内五十一秒冬至 魏髙宗興安元年十月丙午朔癸巳三十年正月乙亥朔十一月壬寅日申初三刻十一分内一秒冬至 史正月乙亥朔閏六月七月辛丑朔日食世祖孝武皇帝孝建甲午元年正月己亥朔十一月丁未日亥初三刻二分内一十一秒冬至 史正月己亥朔改元魏興光元年七月丙辰朔日食乙未二年正月癸巳朔十一月癸丑日寅初二刻八分内二十一秒冬至 魏太安元年丙申三年正月丁亥朔十一月戊午日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史閏三月大明丁酉元年正月辛亥朔十一月癸亥日申初一刻五分内四十一秒冬至 史正月辛亥朔改元戊戌二年正月丙午朔十一月戊辰日亥初初刻十一分内五十一秒冬至 魏史正月丙午朔閏十二月置閏應在下年二月後元嘉厯推筭冬至雖不甚差但二十四節氣用平行法自冬至及交雨水較今法將長兩日故置閏亦早兩月己亥三年正月庚午朔十一月甲戌日寅初初刻三分内一秒冬至 移上閏于此年自庚午至此十一閏又一紀庚子四年正月甲子朔十一月己夘日辰正三刻九分内一十一秒冬至 魏史和平元年正月甲子朔改元九月庚申朔日食辛丑五年正月戊午朔十一月甲申日未正二刻十五分内二十一秒冬至 史正月戊午朔雪九月甲寅朔日食閏九月十一月乙酉日冬至諸厯皆得甲申今同壬寅六年正月壬午朔十一月己丑日戌正二刻六分内三十一秒冬至 魏史二月壬子朔日食癸夘七年正月丙子朔十一月乙未日丑正一刻十二分内四十一秒冬至 史大明七年天正冬至庚寅日今在己丑日戌正二刻見上年甲辰八年正月辛未朔十一月庚子日辰正一刻三分内五十一秒冬至 宋史閏五月魏史閏四月前廢帝永光乙巳元年正月乙未朔十一月乙巳日未正初刻十分内一秒冬至 史正月乙未朔改元十二月庚申朔是月又改泰始元年太宗明皇帝泰始丙午二年正月己丑朔十一月庚戌日戌正初刻一分内一十一秒冬至 史正月己丑朔魏憲文皇帝天安元年丁未三年正月癸未朔十一月丙辰日丑初三刻七分内二十一秒冬至 史閏正月魏皇興元年閏月同十月己亥朔日食今推十月己夘朔二十一日己亥戊申四年正月丁未朔十一月辛酉日辰初二刻十三分内三十一秒冬至 史四月丙子朔日食十月癸酉朔日食七月乙巳朔己酉五年正月辛丑朔十一月丙寅日未初二刻四分内四十一秒冬至 史十月丁夘朔日食閏十一月二百七十四章庚戌六年正月乙丑朔十一月辛未日戌初一刻十分内五十一秒冬至辛亥七年正月庚申朔十一月丁丑日丑初一刻二分内一秒冬至 魏孝文延興元年泰豫壬子元年正月甲寅朔十一月壬午日辰初初刻八分内一十一秒冬至 史正月甲寅朔改元三月癸夘朔閏七月後廢帝元徽癸丑元年正月戊寅朔十一月丁亥日午正三刻十四分内二十一秒冬至 史正月戊寅朔改元十二月癸夘朔日食甲寅二年正月癸酉朔十一月壬辰日酉正三刻五分内三十一秒冬至乙夘三年正月丁夘朔十一月戊戌日子正二刻十一分内四十一秒冬至 史閏三月丙辰四年正月辛夘朔十一月癸夘日夘正二刻二分内五十一秒冬至 魏承明元年順皇帝昇明丁巳元年正月乙酉朔十一月戊申日午正一刻九分内一秒冬至 史閏十二月如前例魏太和元年十月辛亥朔日食戊午二年正月己酉朔十一月癸丑日酉正初刻十五分内一十一秒冬至 史九月乙巳朔日食又北史二月乙酉晦日食南史三月己丑朔日食皆舛甚己未三年正月癸夘朔十一月己未日子正初刻六分内二十一秒冬至 史三月癸夘朔日食五月後即齊建元元年改元嘉厯為建元厯齊太祖髙皇帝建元庚申二年正月戊戌朔十一月甲子日夘初三刻十二分内三十一秒冬至 魏史閏七月齊史九月甲午朔日食則閏在九月後辛酉三年正月壬戌朔十一月己巳日午初三刻三分内四十一秒冬至 齊史七月己未朔日食魏史二月辛夘朔三月辛酉朔七月庚申朔日食未詳孰是壬戌四年正月丙辰朔十一月甲戌日酉初二刻九分内五十一秒冬至 史六月甲申朔魏史八月癸未朔世祖武皇帝永明癸亥元年正月庚戌朔十一月己夘夜子初二刻一分内一秒冬至 史閏四月十二月乙巳朔日食甲子二年正月甲戌朔十一月乙酉日夘初一刻七分内一十一秒冬至乙丑三年正月戊辰朔十一月庚寅日午初初刻十三分内二十一秒冬至 魏史七月丙寅朔丙寅四年正月癸亥朔十一月乙未日酉初初刻四分内三十一秒冬至 魏史正月癸亥朔四月辛酉朔南北史俱閏正月應閏三月丁夘五年正月丁亥朔十一月庚子日亥正三刻十分内四十一秒冬至戊辰六年正月辛巳朔十一月丙午日寅正三刻一分内五十一秒冬至 魏史正月辛巳朔二月辛亥朔日食九月癸巳夜月食閏十月齊史十月庚申立冬十一月丙戌土霧竟天如烟是閏在十一月後二百七十五章自庚子年至此十一閏又一紀縮一年下起己巳己巳七年正月乙巳朔十一月辛亥日巳正二刻八分内一秒冬至庚午八年正月庚子朔十一月丙辰日申正一刻十四分内一十一秒冬至 魏史二月己巳朔日食齊史四月戊辰朔辛未九年正月甲午朔十一月辛酉日亥正一刻五分内二十一秒冬至 魏史正月癸亥晦日食應閏壬申十年正月戊午朔十一月丁夘日寅正初刻十一分内三十一秒冬至 魏史正月戊午朔四月丁亥朔九月甲寅朔癸酉十一年正月壬子朔十一月壬申日巳正初刻二分内四十一秒冬至廢帝鬱林王海陵王隆昌甲戌元年正月丁未朔十一月丁丑日申初三刻八分内五十一秒冬至 史閏四月五月甲戌朔日食十一月壬辰朔日食七月鬱林廢海陵王立十一月海陵廢明帝立改元建武魏史正月丁未朔閏二月十一月辛未朔十二月辛丑朔髙宗明皇帝建武乙亥二年正月辛未朔十一月壬午日亥初二刻十五分内一秒冬至 史四月己亥朔魏史十一月甲申祀圜丘十二月乙未朔今推冬至在壬午亥初二刻而魏在甲申後天約三日丙子三年正月乙丑朔十一月戊子日寅初二刻六分内一十一秒冬至史閏十二月魏史九月庚寅晦日食閏十一月置閏應在下年二月後丁丑四年正月己丑朔十一月癸巳日巳初一刻十二分内二十一秒冬至永泰戊寅元年正月癸未朔十一月戊戌日申初一刻三分内三十一秒冬至 史正月癸未朔魏史三月壬午朔十月己酉朔廢帝東昏侯永光己夘元年正月戊寅朔十一月癸夘日亥初初刻九分内四十一秒冬至 史正月戊寅朔改元四月丙午朔閏八月魏史同庚辰二年正月辛丑朔十一月己酉日丑正三刻十五分内五十一秒冬至 魏宣武景明元年正月辛丑朔七月己亥朔並日食十月丁夘朔辛巳三年正月丙申朔十一月甲寅日辰正三刻七分内一秒冬至 史正月丙申朔日 魏史三月乙未朔七月癸巳朔日食此年三月後和帝中興元年和帝中興壬午二年正月庚寅朔十一月己未日未正二刻十三分内一十一秒冬至 史閏四月七月丁巳朔日食自四月後梁天監元年梁髙祖武皇帝天監癸未二年正月甲寅朔十一月甲子日戌正二刻四分内二十一秒冬至 魏史四月癸未朔六月壬午朔甲申三年正月戊申朔十一月庚午日丑正二刻十分内三十一秒冬至 魏正始元年五月丁未朔閏十二月癸夘朔置閏太早故以正月為閏月乙酉四年正月癸夘朔十一月乙亥日辰正一刻一分内四十一秒冬至 梁史正月癸夘下詔二月有壬午壬辰四月有丁巳盖閏三月當以此為正丙戌五年正月丁夘朔十一月庚辰日未正初刻七分内五十一秒冬至 史正月丁夘朔三月丙寅朔丁亥六年正月辛酉朔十一月乙酉日戌初三刻十四分内一秒冬至 魏史六月己丑朔閏九月梁史閏十月二百七十六章自是以後章法宜一變詳見後戊子七年正月乙酉朔十一月辛夘日丑初三刻五分内一十一秒冬至 梁史正月乙酉朔魏永平元年八月壬子朔日食己丑八年正月己夘朔十一月丙申日辰初二刻十一分内二十一秒冬至 魏史八月丙午朔日食庚寅九年正月癸酉朔十一月辛丑日未初二刻二分内三十一秒冬至 史閏六月辛夘十年正月丁酉朔十一月丙午日戌初一刻八分内四十一秒冬至 魏史十二月壬戌朔日食壬辰十一年正月壬辰朔十一月壬子日丑初初刻十四分内五十一秒冬至 魏延昌元年五月己未晦日食癸巳十二年正月丙戌朔十一月丁巳日辰初初刻六分内一秒冬至 此年梁閏三月魏閏二月五月甲寅朔日食甲午十三年正月庚戌朔十一月壬戌日午正三刻十二分内一十一秒冬至 梁史二月庚辰朔乙未十四年正月乙巳朔十一月丁夘日酉正三刻三分内二十一秒冬至 魏史二月甲戌朔三月甲辰朔閏十一月丙申十五年正月戊辰朔十一月癸酉日子正二刻九分内三十一秒冬至 魏孝明熈平元年正月戊辰朔改元三月戊辰朔日食五月丁夘朔丁酉十六年正月壬戌朔十一月戊寅日夘正一刻十五分内四十一秒冬至戊戌十七年正月丁巳朔十一月癸未日午正一刻六分内五十一秒冬至 魏史閏八月魏神龜元年閏七月八月癸丑朔自己巳年至此十一閏又一紀己亥十八年正月辛巳朔十一月戊子日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十一度之五十六分魏史正月辛巳朔日食普通庚子元年正月乙亥朔十一月甲午日子正初刻四分内一十一秒冬至 梁史正月乙亥朔改元丙子日食魏正光元年正月乙亥朔日食未審孰是或梁人因正旦改元而以丙子書耶辛丑二年正月己巳朔十一月己亥日夘初三刻十分内二十一秒冬至 梁史四月有乙夘丙辰五月有癸夘魏史四月有庚子壬寅五月丁酉朔日食則同是閏四月梁史於五月癸夘後書閏月丁巳今推癸夘五月七日丁巳二十一日此史文之舛也壬寅三年正月癸巳朔十一月甲辰日午初三刻一分内三十一秒冬至 梁史五月壬辰朔日食魏史同十一月己丑朔日食天正冬至己亥日今同見上年癸夘四年正月戊子朔十一月己酉日酉初二刻七分内四十一秒冬至 梁史十一月癸未朔日食甲辰五年正月壬午朔十一月乙夘日子初一刻十三分内五十一秒冬至 應閏乙巳六年正月丙午朔十一月庚申日夘初一刻五分内一秒冬至 魏孝昌元年丙午七年正月辛丑朔十一月乙丑日午初初刻十一分内一十一秒冬至 梁史九月有己酉十一月有庚辰盖閏十月魏史閏十一月二百七十七章積五千二百六十三年嵗氣漸縮故置閏宜少遲此閏當在下年正月後乃章法變通之候也詳玩以後各章自見大通丁未元年正月乙丑朔十一月庚午日酉初初刻二分内二十一秒冬至戊申二年正月己未朔十一月乙亥日亥正三刻八分内三十一秒冬至 魏武泰元年四月後孝莊立改元建義又改永安元年五月丁巳朔中大通己酉元年正月癸丑朔十一月辛巳日寅正二刻十四分内四十一秒冬至 梁史閏六月魏史五月壬子朔閏七月十月己酉朔日食庚戌二年正月丁丑朔十一月丙戌日巳正二刻五分内五十一秒冬至 魏史十月癸夘朔辛亥三年正月辛未朔十一月辛夘日申正一刻十二分内一秒冬至 魏節閔帝普泰元年六月己亥朔日食壬子四年正月丙寅朔十一月丙申日亥正一刻三分内一十一秒冬至 此年應閏魏閏二月自四月後魏孝武永熈元年六月癸亥朔十月辛酉朔日食十一月丁酉祀圜邱今推冬至在丙申亥正一刻癸丑五年正月庚寅朔十一月壬寅日寅正初刻九分内二十一秒冬至 魏史正月庚寅朔四月己未朔日食甲寅六年正月甲申朔十一月丁未日巳初三刻十五分内三十一秒冬至 梁史魏史皆閏十二月東魏孝静帝天平元年大同乙夘元年正月戊申朔十一月壬子日申初三刻六分内四十一秒冬至 史正月戊申朔改元西魏文皇帝大統元年丙辰二年正月癸夘朔十一月丁巳日亥初二刻十二分内五十一秒冬至 東魏史正月癸夘朔丁巳三年正月丁酉朔十一月癸亥日寅初二刻四分内一秒冬至 史閏九月戊午四年正月辛酉朔十一月戊辰日巳初一刻十分内一十一秒冬至 東魏元象元年正月辛酉朔日食己未五年正月乙夘朔十一月癸酉日申初一刻一分内二十一秒冬至 東魏興和元年三月甲寅朔庚申六年正月庚戌朔十一月戊寅日亥初初刻七分内三十一秒冬至 史正月庚戌朔梁史閏四月東魏閏五月丁丑朔日食天正冬至甲戌日今推在癸酉申初一刻見上年辛酉七年正月甲戌朔十一月甲申日丑正三刻十三分内四十一秒冬至壬戌八年正月戊辰朔十一月己丑日辰正三刻四分内五十一秒冬至癸亥九年正月壬戌朔十一月甲午日未正二刻十一分内一秒冬至 此年梁史閏正月西魏同東魏正月壬戌朔改元武定甲子十年正月丙戌朔十一月己亥日戌正二刻二分内一十一秒冬至 東魏十一月庚子祀圜邱今推冬至在己亥戌正二刻乙丑十一年正月辛巳朔十一月乙巳日丑正一刻八分内二十一秒冬至 梁史盖閏十月二百七十八章然應下年閏正月中大同丙寅元年正月乙巳朔十一月庚戌日辰正初刻十四分内三十一秒冬至太清丁夘元年正月己亥朔十一月乙夘日未正初刻五分内四十一秒冬至 南北史正月己亥朔日食東魏五月丁酉朔戊辰二年正月癸巳朔十一月庚申日戌初三刻十一分内五十一秒冬至 史正月癸巳朔應閏史十一月戊午朔自己亥年至此十一閏又一紀己巳三年正月丁巳朔十一月丙寅日丑初三刻三分内一秒冬至太宗簡文皇帝大寳庚午元年正月辛亥朔十一月辛未日辰初二刻九分内一十一秒冬至 史正月辛亥朔改元北齊文宣帝天保元年天正冬至丁夘日今在丙寅丑初三刻見上年辛未二年正月乙巳朔十一月丙子日未初一刻十五分内二十一秒冬至 史閏四月十月辛丑朔世祖孝元皇帝承聖壬申元年正月己巳朔十一月辛巳日戌初一刻六分内三十一秒冬至 西魏廢帝欽元年癸酉二年正月甲子朔十一月丁亥日丑初初刻十二分内四十一秒冬至 置閏應在次年二月後東魏史閏十一月甲戌三年正月戊子朔十一月壬辰日辰初初刻三分内五十一秒冬至 魏恭帝廓元年敬皇帝紹泰乙亥元年正月壬午朔十一月丁酉日午正三刻十分内一秒冬至太平丙子元年正月丙子朔十一月壬寅日酉正三刻一分内一十一秒冬至 應閏魏恭帝遜位於周丁丑二年正月庚子朔十一月戊申日子正二刻七分内二十一秒冬至 十月後陳永定元年周閔帝元年陳髙祖武皇帝永定戊寅二年正月乙未朔十一月癸丑日夘正一刻十三分内三十一秒冬至己夘三年正月己丑朔十一月戊午日午正一刻四分内四十一秒冬至 陳史閏四月五月丙辰朔日食周明帝武成元年閏五月世祖文皇帝天嘉庚辰元年正月癸丑朔十一月癸亥日酉正初刻十分内五十一秒冬至 北齊閔悼王乾明元年正月癸丑朔改元八月後孝昭帝又改元皇建辛巳二年正月丁未朔十一月己巳日子正初刻二分内一秒冬至 周武帝保定元年十月甲戌朔日食十一月後北齊武成帝大寧元年閏十二月次年二月乃河清元年之正月壬午三年正月辛丑朔十一月甲戌日卯初三刻八分内一十一秒冬至 陳史閏二月九月戊辰朔日食周閏正月北齊河清元年癸未四年正月乙丑朔十一月己夘日午初二刻十四分内二十一秒冬至 周史三月乙丑朔日食甲申五年正月庚申朔十月甲申日酉初二刻五分内三十一秒冬至十一月乙酉朔 北齊史正月庚申朔閏九月周史二月庚寅朔日食八月丁亥朔日食閏九月二百七十九章然應下年閏正月乙酉六年正月甲申朔十一月己丑夜子初一刻十一分内四十一秒冬至 四月後北齊後主天統元年周史正月甲申朔七月辛巳朔日食陳史十一月庚寅景長今在己丑夜子初一刻天康丙戌元年正月己夘朔十一月乙未日夘初一刻二分内五十一秒冬至 周武帝天和元年正月己夘朔日食天正冬至己丑日今同見上年廢帝光大丁亥元年正月癸酉朔十一月庚子日午初初刻九分内一秒冬至 周史正月癸酉朔日食北齊史二月壬寅朔閏六月陳周閏月同戊子二年正月丁酉朔十一月乙巳日申正三刻十五分内一十一秒冬至 北齊史六月甲子朔周史十一月壬辰朔日食陳史十一月乙巳景長今同髙宗孝宣皇帝太建己丑元年正月辛夘朔十一月庚戌日亥正三刻六分内二十一秒冬至 周史正月辛夘朔庚寅二年正月乙酉朔十一月丙辰日寅正二刻十二分内三十一秒冬至 陳史閏五月北齊武平元年正月乙酉朔閏二月周史十月辛巳朔日食辛夘三年正月己酉朔十一月辛酉日巳正二刻三分内四十一秒冬至 周史正月己酉朔四月戊寅朔日食壬辰四年正月癸夘朔十一月丙寅日申正一刻九分内五十一秒冬至 史九月庚子朔日食十一月二十九日丁夘景長閏十一月今推冬至在丙寅周建徳元年三月癸夘朔日食癸巳五年正月戊辰朔十一月辛未日亥正一刻一分内一秒冬至 史九月壬辰晦夜明周史閏正月甲午六年正月壬戌朔十一月丁丑日寅正初刻七分内一十一秒冬至 史二月壬辰朔日食十一月二十日丁丑景長今同乙未七年正月丙辰朔十一月壬午日巳初三刻十三分内二十一秒冬至 陳齊史皆閏九月周史二月丙戌朔日食閏十月十二月辛亥朔日食丙申八年正月庚辰朔十一月丁亥日申初三刻四分内三十一秒冬至 齊史六月戊申朔日食丁酉九年正月甲戌朔十一月壬辰日亥初二刻十分内四十一秒冬至 陳史十一月二十三日壬辰景長今同周史十一月己亥晦日食北齊幼主承光元年戊戌十年正月己巳朔十一月戊戌日寅初二刻一分内五十一秒冬至 史正月己巳朔十一月五日戊戌景長今同閏六月周宣政元年自己巳年至此十一閏又一紀己亥十一年正月癸巳朔十一月癸夘日巳初一刻八分内一秒冬至 周宣帝大象元年四月壬戌朔史天正冬至戊戌日今同見上年庚子十二年正月丁亥朔十一月戊申日申初初刻十四分内一十一秒冬至辛丑十三年正月壬午朔十一月癸丑日亥初初刻五分内二十一秒冬至 周静帝大定元年二月後隋文帝開皇元年隋史三月有壬午四月有辛巳盖閏三月壬寅十四年正月丙午朔十一月己未日丑正三刻十一分内三十一秒冬至後主至徳癸夘元年正月庚子朔閏十月甲子晦辰正三刻二分内四十一秒冬至十一月乙丑朔隋史二月己巳朔日食八月丁夘朔日食閏十月十一月甲子朔冬至今推至日同陳史閏九月二百八十章然應下年閏二月甲辰二年正月甲子朔十一月己巳日未正二刻八分内五十一秒冬至 隋史正月甲子朔日食十一月己巳景長今同乙巳三年正月戊午朔十一月甲戌日戌正一刻十五分内一秒冬至 史正月戊午朔日食十一月乙亥日景長今在甲戌日戌正一刻丙午四年正月壬子朔十一月庚辰日丑正一刻六分内一十一秒冬至 陳史閏六月十一月三日庚辰景長今同禎明丁未元年正月丙子朔十一月乙酉日辰正初刻十二分内二十一秒冬至 隋史五月乙亥朔日食十一月十四日乙酉景長今同戊申二年正月庚午朔十一月庚寅日未正初刻三分内三十一秒冬至己酉三年正月乙丑朔十一月乙未日戌初三刻九分内四十一秒冬至 陳史正月乙丑朔閏四月隋髙祖文皇帝開皇庚戌十年正月己丑朔十一月辛丑日丑初二刻十五分内五十一秒冬至 史十一月辛丑祀南郊今推冬至日合辛亥十一年正月癸未朔十一月丙午日辰初二刻七分内一秒冬至日躔斗十度之五十六分 史二月辛巳晦日食十一月丙午冬至今同壬子十二年正月丁丑朔十一月辛亥日未初一刻十三分内一十一秒冬至 應閏史七月壬申晦日食十一月辛亥祀南郊今推冬至日合癸丑十三年正月辛丑朔十一月丙辰日戌初一刻四分内二十一秒冬至 史七月戊辰晦日食甲寅十四年正月丙辰朔十一月壬戌日丑初初刻十分内三十一秒冬至 史閏八月十一月辛酉朔旦冬至今在壬戌日丑初初刻乙夘十五年正月庚申朔十一月丁夘日辰初初刻一分内四十一秒冬至 史四月己丑朔丙辰十六年正月甲寅朔十一月壬申日午正三刻七分内五十一秒冬至丁巳十七年正月戊申朔十一月丁丑日酉正二刻十四分内一秒冬至 史四月戊寅頒新厯閏五月戊午十八年正月壬申朔十一月癸未日子正二刻五分内一十一秒冬至 史十一月癸未祀南郊今推冬至日合己未十九年正月丙寅朔十一月戊子日夘正一刻十一分内二十一秒冬至庚申二十年正月辛酉朔十一月癸巳日午正一刻二分内三十一秒冬至 隋史正月辛酉朔三月有辛夘二月有丁丑盖閏正月仁夀辛酉元年正月乙酉朔十一月戊戌日酉正初刻八分内四十一秒冬至 史正月乙酉朔改元二月乙夘朔日食十一月己亥祀南郊今推冬至在戊戌酉正初刻壬戌二年正月己夘朔閏十月癸夘夜子初三刻十四分内五十一秒冬至十一月甲辰朔 史閏十月二百八十一章然應下年閏正月癸亥三年正月癸夘朔十一月己酉日夘初三刻六分内一秒冬至 史甲子年天正冬至己酉日今同甲子四年正月戊戌朔十一月甲寅日午初二刻十二分内一十一秒冬至煬皇帝大業乙丑元年正月壬辰朔十一月己未日酉初二刻三分内二十一秒冬至 史正月壬辰朔改元閏七月丙寅二年正月丙辰朔十一月乙丑日子初一刻九分内三十一秒冬至丁夘三年正月庚戌朔十一月庚午日夘初初刻十五分内四十一秒冬至 皇極厯十一月庚午日五十二刻冬至今推至日同戊辰四年正月甲辰朔十一月乙亥日午初初刻六分内五十一秒冬至 史三月有辛酉壬戌四月有丙午癸丑盖閏三月天正冬至辛未日今在庚午夘初見上年己亥年至此十一閏又一紀己巳五年正月戊辰朔十一月庚辰日申正三刻十三分内一秒冬至庚午六年正月癸亥朔十一月乙酉日亥正三刻四分内一十一秒冬至 史正月癸亥朔置閏應在次年二月後史十月有壬辰壬子十二月有己未辛酉盖閏十一月辛未七年正月丁亥朔十一月辛夘日寅正二刻十分内二十一秒冬至壬申八年正月辛巳朔十一月丙申日巳正二刻一分内三十一秒冬至癸酉九年正月乙亥朔十一月辛丑日申正一刻七分内四十一秒冬至 應閏史閏九月甲戌十年正月己亥朔十一月丙午日亥正初刻十三分内五十一秒冬至 史十一月乙巳有事南郊今推冬至在丙午亥正初刻乙亥十一年正月甲午朔十一月壬子日寅正初刻五分内一秒冬至丙子十二年正月戊子朔十一月丁巳日巳初三刻十一分内一十一秒冬至 史五月丙戌朔日食閏五月丁丑十三年正月壬子朔十一月壬戌日申初三刻二分内二十一秒冬至 史十一月後改義寧元年恭皇帝(唐公所立即君也周恭帝倣此)義寧戊寅二年正月丙午朔十一月丁夘日亥初二刻八分内三十一秒冬至 史五月乙巳朔此月甲子日後即唐武徳元年十月壬申朔日食十一月戊辰日六十四刻冬至今在丁夘日亥初二刻十二月庚子晦唐髙祖皇帝武徳己夘二年正月辛丑朔十一月癸酉日寅初一刻十四分内四十一秒冬至 史閏二月庚辰三年正月乙丑朔十一月戊寅日巳初一刻五分内五十一秒冬至辛巳四年正月己未朔閏十月癸未日申初初刻十二分内一秒冬至十一月甲申朔 史八月丙戌朔日食閏十月十一月甲申有事南郊盖朔旦也今推冬至在癸未申初二百八十二章然應下年閏正月壬午五年癸未朔十一月戊子日亥初初刻三分内一十一秒冬至癸未六年正月戊寅朔十一月甲午日丑正三刻九分内二十一秒冬至 史十二月壬寅朔日食甲申七年正月壬申朔十一月己亥日辰正二刻十五分内三十一秒冬至 史閏七月乙酉八年正月丙申朔十一月甲辰日未正二刻六分内四十一秒冬至丙戌九年正月庚寅朔十一月己酉日戌正一刻十二分内五十一秒冬至 十月丙辰朔日食天正冬至乙巳日今在甲辰未正二刻見上年太宗皇帝貞觀丁亥元年正月甲申朔十一月乙夘日丑正一刻四分内一秒冬至 史閏三月癸丑朔日食九月庚戌朔日食戊子二年正月戊申朔十一月庚申日辰正初刻十分内一十一秒冬至 史三月戊申朔日食八月甲戌十一月辛酉有事於南郊今推冬至在庚申辰正己丑三年正月壬寅朔十一月乙丑日未正初刻一分内二十一秒冬至 本紀八月己巳朔日食庚寅四年正月丁酉朔十一月庚午日戌初三刻七分内三十一秒冬至 天文志閏正月丁夘朔日食本紀日食在正月朔盖誤七月甲子朔日食辛夘五年正月辛酉朔十一月丙子日丑初二刻十三分内四十一秒冬至 史十一月丙子有事南郊今推冬至日合壬辰六年正月乙夘朔十一月辛巳日辰初二刻四分内五十一秒冬至 史正月乙夘朔日食七月有己巳九月有己酉盖閏七八月癸巳七年正月己夘朔十一月丙戌日未初一刻十一分内一秒冬至甲午八年正月癸酉朔十一月辛夘日辰初一刻二分内一十一秒冬至 史五月辛未朔日食十二月有丁夘盖晦日乙未九年正月戊辰朔十一月丁酉日丑初初刻八分内二十一秒冬至 史閏四月丙寅朔日食丙申十年正月壬辰朔十一月壬寅日夘正三刻十四分内三十一秒冬至丁酉十一年正月丙戌朔十一月丁未日午正三刻五分内四十一秒冬至 史三月丙戌朔日食戊戌十二年正月庚辰朔十一月壬子日酉正二刻十一分内五十一秒冬至 史閏二月庚辰朔日食己巳年至此十一閏又一紀己亥十三年正月甲辰朔十一月戊午日子正二刻三分内一秒冬至 史八月辛未朔日食庚子十四年正月己亥朔閏十月癸亥日夘正一刻九分内一十一秒冬至十一月甲子朔 史閏十月十一月甲子朔旦日南至有事於南郊今推冬至在癸亥夘正一刻二百八十三章然應下年閏正月辛丑十五年正月癸亥朔十一月戊辰日午正初刻十五分内二十一秒冬至壬寅十六年正月丁巳朔十一月癸酉日酉正初刻六分内三十一秒冬至癸夘十七年正月辛亥朔十一月戊寅夜子初三刻十二分内四十一秒冬至 史六月己夘朔日食閏六月十一月己夘有事於南郊今推冬至在戊寅夜子初三刻李淳風言太史傅仁均以子初為朔遂差三刻盖言子初應屬戊寅甲辰十八年正月乙亥朔十一月甲申日夘初三刻三分内五十一秒冬至 史十月辛丑朔日食十一月乙酉景長諸厯皆得甲申今同乙巳十九年正月庚午朔十一月己丑日午初二刻十分内一秒冬至丙午二十年正月甲子朔十一月甲午日酉初二刻一分内一十一秒冬至 史閏三月癸巳朔日食丁未二十一年正月戊子朔十一月己亥夜子初一刻七分内二十一秒冬至戊申二十二年正月壬午朔十一月乙巳日夘初初刻十三分内三十一秒冬至 史八月己酉朔日食閏十二月置閏應在次年二月後當時用平氣故閏在此冬己酉二十三年正月丙午朔十一月庚戌日午初初刻四分内四十一秒冬至 史十一月辛亥景長諸厯皆得庚戌今同髙宗皇帝永徽庚戌元年正月辛丑朔十一月乙夘日申正三刻十分内五十一秒冬至辛亥二年正月乙未朔十一月庚申日亥正三刻二分内一秒冬至 史九月有癸夘十月有辛夘盖閏九月十一月辛酉有事南郊今推冬至在庚申亥正三刻壬子三年正月己未朔十一月丙寅日寅正二刻八分内一十一秒冬至癸丑四年正月癸丑朔十一月辛未日巳正一刻十四分内二十一秒冬至甲寅五年正月戊申朔十一月丙子日申正一刻五分内三十一秒冬至 應閏乙夘六年正月壬申朔十一月辛巳日亥正初刻十一分内四十一秒冬至顯慶丙辰元年正月丙寅朔十一月丁亥日寅正初刻二分内五十一秒冬至丁巳二年正月庚申朔十一月壬辰日巳初三刻九分内一秒冬至 應閏三月史閏正月戊午三年正月甲申朔十一月丁酉日申初二刻十五分内一十一秒冬至己未四年正月己夘朔十一月壬寅日亥初二刻六分内二十一秒冬至 史閏十月二百八十四章然應下年閏二月庚申五年正月癸夘朔十一月戊申日寅初一刻十二分内三十一秒冬至 史六月庚午朔日食龍朔辛酉元年正月丁酉朔十一月癸丑日巳初一刻三分内四十一秒冬至 史五月甲子晦日食壬戌二年正月辛夘朔十一月戊午日申初初刻九分内五十一秒冬至 史七月有戊子八月有壬寅盖閏七月十一月四日戊午景長今同癸亥三年正月乙夘朔十一月癸亥日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在斗九度之五十六分全史日至源流卷二十五
## 卷二十六
欽定四庫全書全史日至源流卷二十六山東道御史許伯政撰壬子運二十六(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻五分五十秒)冬至十四日八時三刻十三分五十九秒十㣲小寒十四日八時四刻四分四十九秒十㣲大寒十四日九時一刻十分四秒十㣲立春十四日十時一刻六分四秒十㣲雨水十四日十一時三刻四分四秒十㣲驚蟄十五日零六刻十四分五十九秒十㣲春分十五日二時三刻八分四十九秒十㣲清明十五日四時七分四十九秒十㣲穀雨十五日五時四刻七分五十四秒十㣲立夏十五日六時六刻十四分五十九秒十㣲小滿十五日八時零二分五十四秒十㣲芒種十五日八時三刻九分五十九秒十㣲夏至十五日八時六刻十四分五十九秒十㣲小暑十五日八時五刻二分五十九秒十㣲大暑十五日八時七分五十九秒十㣲立秋十五日七時十分五十九秒十㣲處暑十五日五時六刻五分五十九秒十㣲白露十五日四時三刻九分四秒十㣲秋分十五日二時四刻十一分九秒十㣲寒露十五日一時一刻八分四秒十㣲霜降十四日十一時五刻四分五十九秒十㣲立冬十四日十時二刻十一分九秒十㣲小雪十四日九時二刻十二分四秒十㣲大雪十四日八時五刻九分五十九秒十㣲麟徳甲子元年正月己酉朔十一月己巳日丑正三刻六分内五十一秒冬至 史天正冬至甲子日今在癸亥日亥初初刻見上年乙丑二年正月甲辰朔十一月甲戌日辰正二刻十二分内四十一秒冬至 史閏三月癸酉朔日食乾封丙寅元年正月戊辰朔十一月己夘日未正二刻三分内三十一秒冬至 舊唐書正月戊辰朔丁夘二年正月壬戌朔十一月甲申日戌正一刻九分内二十一秒冬至 史八月己丑朔日食置閏應在次年三月後史次年正月有壬子二月有丁巳蓋此冬閏十二月總章戊辰元年正月丙戌朔十一月庚寅日丑正初刻十五分内一十一秒冬至 移上閏於此年自己亥年至此十一閏又一紀己巳二年正月庚辰朔十一月乙未日辰正初刻六分内一秒冬至 史六月戊申朔日食咸亨庚午元年正月甲戌朔十一月庚子日未初三刻十一分内五十一秒冬至 史六月壬寅朔日食應閏九月辛未二年正月戊戌朔十一月乙巳日戌初三刻二分内四十一秒冬至 史十一月甲午朔日食壬申三年正月癸巳朔十一月辛亥日丑初二刻八分内三十一秒冬至 史十一月戊子朔日食癸酉四年正月丁亥朔十一月丙辰日辰初一刻十四分内二十一秒冬至 史閏五月上元甲戌元年正月辛亥朔十一月辛酉日未初一刻五分内一十一秒冬至 史三月辛亥朔日食乙亥二年正月乙巳朔十一月丙寅日戌初初刻十一分内一秒冬至儀鳯丙子元年正月庚子朔十一月壬申日丑初初刻一分内五十一秒冬至 應閏三月史十一月壬申景長今同丁丑二年正月甲子朔十一月丁丑日夘正三刻七分内四十一秒冬至 天文志正月甲子朔戊寅三年正月戊午朔十一月壬午日午正二刻十三分内三十一秒冬至 史閏十一月二百八十五章然應下年閏二月調露己夘元年正月壬午朔十一月丁亥日酉正二刻四分内二十一秒冬至永隆庚辰元年正月丙子朔十一月癸巳日子正一刻十分内一十一秒冬至 史十一月壬申朔日食開耀辛巳元年正月辛未朔十一月戊戌日夘正一刻一分内一秒冬至 史閏七月十月丙寅朔日食永淳壬午元年正月乙未朔十一月癸卯日午正初刻六分内五十一秒冬至 史四月甲子朔日食十月庚申朔日食十一月癸夘景長今同𢎞道癸未元年正月己丑朔十一月戊申日酉初三刻十二分内四十一秒冬至中宗皇帝嗣聖甲申元年正月癸未朔十一月癸丑夜子初三刻三分内三十一秒冬至 史閏五月此年武后廢中宗二月後改元文明九月又改元光宅則天皇后武氏垂拱乙酉元年正月丁未朔十一月己未日夘初二刻九分内二十一秒冬至丙戌二年正月辛丑朔十一月甲子日午初一刻十五分内一十一秒冬至 史二月辛未朔日食丁亥三年正月乙未朔十一月己巳日酉初一刻六分内一秒冬至 史閏正月戊子四年正月己未朔十一月甲戌夜子初初刻十一分内五十一秒冬至 史六月丁亥朔日食永昌己丑元年正月甲寅朔十一月庚辰日夘初初刻二分内四十一秒冬至 史閏九月天授庚寅元年正月戊寅朔十一月乙酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至 此年以十一月為正月十二月為臘月正月為一月此編仍用唐之建寅為正月讀史者須以其稱一月者為建寅辛夘二年正月癸酉朔十一月庚寅日申正二刻十四分内二十一秒冬至 史四月壬寅朔日食如意壬辰元年正月丁夘朔十一月乙未日亥正二刻五分内一十一秒冬至 史四月丙申朔日食閏六月九月後又改長壽元年癸巳二年正月辛夘朔十一月辛丑日寅正一刻十一分内一秒冬至 史九月丁亥朔日食延載甲午元年正月乙酉朔十一月丙午日巳正一刻一分内五十一秒冬至 九月壬午朔日食天册萬嵗乙未元年正月己夘朔十一月辛亥日申正初刻七分内四十一秒冬至 史二月己酉朔日食閏二月萬嵗通天丙申元年正月癸夘朔十一月丙辰日亥初三刻十三分内三十一秒冬至神功丁酉元年正月戊戌朔閏十月壬戌日寅初三刻四分内二十一秒冬至十一月癸亥朔 史閏十月二百八十六章然應下年閏二月聖厯戊戌元年正月壬戌朔十一月丁夘日巳初二刻十分内一十一秒冬至 移上閏於此年己巳年至此十一閏又一紀己亥二年正月丙辰朔十一月壬申日申初二刻一分内一秒冬至乆視庚子元年正月庚戌朔十一月丁丑日亥初一刻六分内五十一秒冬至 史五月己酉朔日食閏七月自九月後復唐正月大足辛丑元年正月甲戌朔十一月癸未日寅初初刻十二分内四十一秒冬至 十月後改元長安長安壬寅二年正月己巳朔十一月戊子日巳初初刻三分内三十一秒冬至 史九月乙丑朔日食十一日戊子祀南郊今推冬至日合癸夘三年正月癸亥朔十一月癸巳日未正三刻九分内一十一秒冬至 史三月壬戌朔日食閏四月九月庚寅朔日食甲辰四年正月丁亥朔十一月戊戌日戌正二刻十五分内一十一秒冬至中宗復位神龍乙巳元年正月辛巳朔十一月甲辰日丑正二刻六分内一秒冬至 史天正冬至己亥日今在戊戌日戌正二刻見上年丙午二年正月丙子朔十一月己酉日辰正一刻十一分内五十一秒冬至 史閏正月景隆丁未元年正月庚子朔十一月甲寅日未正一刻二分内四十一秒冬至 史正月庚子朔六月丁夘朔日食十二月乙丑朔日食戊申二年正月甲午朔十一月己未日戌正初刻八分内三十一秒冬至 應閏己酉三年正月戊午朔十一月乙丑日丑初三刻十四分内二十一秒冬至 史十一月乙丑有事于南郊今推冬至日合庚戌四年正月壬子朔十一月庚午日辰初三刻五分内一十一秒冬至 五行志六月辛巳朔七月後改景雲元年睿宗皇帝景雲辛亥二年正月丁未朔十一月乙亥日未初二刻十一分内一秒冬至 史正月丁未朔蓋閏九月見景龍觀鐘銘太極壬子元年正月辛未朔十一月庚辰日戌初二刻一分内五十一秒冬至 史九月丁夘朔日食五月戊寅有事北郊今推夏至在丁丑八月後改元先天𤣥宗皇帝開元癸丑元年正月乙丑朔十一月丙戌日丑初一刻七分内四十一秒冬至此年即先天二年甲寅二年正月己未朔十一月辛夘日辰初初刻十三分内三十一秒冬至 史閏二月乙夘三年正月癸未朔十一月丙申日未初初刻四分内二十一秒冬至 史七月庚辰朔日食丙辰四年正月丁丑朔十一月辛丑日酉正三刻十分内一十一秒冬至 史閏十二月二百八十七章然應下年閏正月丁巳五年正月辛丑朔十一月丁未日子正三刻一分内一秒冬至戊午六年正月丙申朔十一月壬子日夘正二刻六分内五十一秒冬至己未七年正月庚寅朔十一月丁巳日午正一刻十二分内四十一秒冬至 史五月己丑朔日食閏七月庚申八年正月甲寅朔十一月壬戌日酉正一刻三分内三十一秒冬至辛酉九年正月戊申朔十一月戊辰日子正初刻九分内二十一秒冬至 史九月乙巳朔日食壬戌十年正月癸夘朔十一月癸酉日夘初三刻十五分内一十一秒冬至 史閏五月十一月癸酉景長今同癸亥十一年正月丁夘朔十一月戊寅日午初三刻六分内一秒冬至 史十一月戊寅有事于南郊今推冬至日合甲子十二年正月辛酉朔十一月癸未日酉初二刻十一分内五十一秒冬至 史十一月癸未日冬至今同閏十二月丙辰朔日食置閏應在下年三月後殆司天者以避元旦日食乙丑十三年正月乙酉朔十一月戊子夜子初二刻二分内四十一秒冬至丙寅十四年正月己夘朔十一月甲午日夘初一刻八分内三十一秒冬至丁夘十五年正月癸酉朔十一月己亥日午初初刻十四分内二十一秒冬至 史閏九月大衍厯十一月己亥日七十二刻冬至今推至日同時刻不合己亥年至此十一閏一紀縮一年下起戊辰戊辰十六年正月丁酉朔十一月甲辰日酉初初刻五分内一十一秒冬至己巳十七年正月壬辰朔十一月己酉日亥正三刻十一分内一秒冬至 史十月戊午朔日食庚午十八年正月丙戌朔十一月乙夘日寅正三刻一分内五十一秒冬至 應閏辛未十九年正月庚戌朔十一月庚申日巳正二刻七分内四十一秒冬至壬申二十年正月乙巳朔十一月乙丑日申正一刻十三分内三十一秒冬至 正月乙巳朔見廬山志九天使者廟碑史二月甲戌朔八月辛未朔並日食癸酉二十一年正月己亥朔十一月庚午日亥正一刻四分内二十一秒冬至 史閏三月七日乙丑朔日食甲戌二十二年正月癸亥朔十一月丙子日寅正初刻十分内一十一秒冬至 史十二月戊子朔日食乙亥二十三年正月丁巳朔十一月辛巳日巳正初刻一分内一秒冬至日躔在斗八度之五十六分 史閏十一月壬午朔日食二百八十八章然應下年閏二月丙子二十四年正月辛巳朔十一月丙戌日申初三刻六分内五十一秒冬至丁丑二十五年正月乙亥朔十一月辛夘日亥初二刻十二分内四十一秒冬至戊寅二十六年正月庚午朔十一月丁酉日寅初二刻三分内三十一秒冬至 應閏史九月丙申朔日食己夘二十七年正月甲午朔十一月壬寅日巳初一刻九分内二十一秒冬至庚辰二十八年正月戊子朔十一月丁未日申初初刻十五分内一十一秒冬至 史三月丁亥朔日食辛巳二十九年正月壬午朔十一月壬子日亥初初刻六分内一秒冬至 應閏天寳壬午元年正月丙午朔十一月戊午日丑正三刻十一分内五十一秒冬至 史七月癸夘朔日食十二月有庚子蓋晦日癸未二年正月辛丑朔十一月癸亥日辰正三刻二分内四十一秒冬至甲申三年正月乙未朔十一月戊辰日未正二刻八分内三十一秒冬至 史閏二月此年改年稱載乙酉四年正月己未朔十一月癸酉日戌正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌五年正月甲寅朔十一月己夘日丑正一刻五分内一十一秒冬至 史五月壬子朔日食應閏丁亥六年正月戊寅朔十一月甲申日辰正初刻十一分内一秒冬至戊子七年正月壬申朔十一月己丑日未正初刻一分内五十一秒冬至己丑八年正月丙寅朔十一月甲午日戌初三刻七分内四十一秒冬至 史閏六月庚寅九年正月庚寅朔十一月庚子日丑初二刻十三分内三十一秒冬至辛夘十年正月甲申朔十一月乙巳日辰初二刻四分内一十一秒冬至壬辰十一年正月戊寅朔十一月庚戌日未初一刻十分内一十一秒冬至 應閏癸巳十二年正月壬寅朔十一月乙夘日戌初一刻一分内一秒冬至甲午十三年正月丁酉朔十一月辛酉日丑初初刻六分内五十一秒冬至 史六月乙丑朔日食十月有乙酉十二月有戊午蓋閏十二月二百八十九章然置閏宜在次年正月後乙未十四年正月辛酉朔十一月丙寅日夘正三刻十二分内四十一秒冬至丙申十五年正月乙夘朔十一月辛未日午正三刻三分内三十一秒冬至 七月後至徳元年十月辛巳朔日食肅宗皇帝至徳丁酉二年正月庚戌朔十一月丙子日酉正二刻九分内二十一秒冬至 史閏八月自戊辰年至此十一閏為一紀乾元戊戌元年正月甲戌朔十一月壬午日子正一刻十五分内一十一秒冬至己亥二年正月戊辰朔十一月丁亥日夘正一刻六分内一秒冬至上元庚子元年正月壬戌朔十一月壬辰日午正初刻十一分内五十一秒冬至 史閏四月辛酉朔辛丑二年正月丙戌朔十一月丁酉日酉正初刻二分内四十一秒冬至 史七月癸未朔日食寳應壬寅元年正月庚辰朔十一月壬寅夜子初三刻八分内三十一秒冬至 史天正冬至戊戌日今在丁酉日酉正初刻見上年代宗皇帝廣徳癸夘元年正月甲戌朔十一月戊申日夘初二刻十四分内二十一秒冬至 應閏甲辰二年正月戊戌朔十一月癸丑日午初二刻五分内一十一秒冬至永泰乙巳元年正月癸巳朔十一月戊午日酉初一刻十一分内一秒冬至 史閏十月大厯丙午元年正月丁巳朔十一月癸亥夜子初一刻一分内五十一秒冬至丁未二年正月壬子朔十一月己巳日夘初初刻七分内四十一秒冬至戊申三年正月丙午朔十一月甲戌日巳正三刻十三分内三十一秒冬至 史三月乙巳朔日食閏六月己酉四年正月庚午朔十一月己夘日申正三刻四分内二十一秒冬至庚戌五年正月甲子朔十一月甲申日亥正二刻十分内一十一秒冬至辛亥六年正月戊午朔十一月庚寅日寅正二刻一分内一秒冬至 應閏壬子七年正月壬午朔十一月乙未日巳正一刻六分内五十一秒冬至癸丑八年正月丁丑朔十一月庚子日申正初刻十二分内四十一秒冬至 自乙未年至此十九年當時置閏疑在此冬十二月如前例得二百九十章然應下年閏二月甲寅九年正月辛丑朔十一月乙巳日亥正初刻三分内三十一秒冬至乙夘十年正月乙未朔十一月辛亥日寅初三刻九分内二十一秒冬至 史十月辛酉朔日食丙辰十一年正月己丑朔十一月丙辰日巳初二刻十五分内一十一秒冬至 史閏八月丁巳十二年正月癸丑朔十一月辛酉日申初二刻六分内一秒冬至戊午十三年正月戊申朔十一月丙寅日亥初一刻十一分内五十一秒冬至己未十四年正月壬寅朔十一月壬申日寅初一刻二分内四十一秒冬至 史閏五月七月戊辰朔日食十二月丙寅晦日食自七月後止一小盡餘皆大盡故日食在晦毋亦避元旦日食而為之與徳宗皇帝建中庚申元年正月丁夘朔十一月丁丑日巳初初刻八分内三十一秒冬至辛酉二年正月辛酉朔十一月壬午日未正三刻十四分内二十一秒冬至壬戌三年正月乙夘朔十一月丁亥日戌正三刻五分内一十一秒冬至 史閏正月癸亥四年正月己夘朔十一月癸巳日丑正二刻十一分内一秒冬至興元甲子元年正月癸酉朔十一月戊戌日辰正二刻一分内五十一秒冬至 史閏十月天正冬至癸巳日今同見上年貞元乙丑元年正月丁酉朔十一月癸夘日未正一刻七分内四十一秒冬至 史十一月癸夘有事於南郊今推冬至日合丙寅二年正月壬辰朔十一月戊申日戌正初刻十三分内三十一秒冬至丁夘三年正月丙戌朔十一月甲寅日丑正初刻四分内二十一秒冬至 史閏五月八月辛巳朔日食戊戌年至此十一閏又一紀戊辰四年正月庚戌朔十一月己未日辰初三刻十分内一十一秒冬至 五行志正月庚戌朔己巳五年正月甲辰朔十一月甲子日未初三刻一分内一秒冬至 史正月甲辰朔日食庚午六年正月戊戌朔十一月己巳日戌初二刻六分内五十一秒冬至 史閏四月十一月八日庚午日南至親祀郊丘今推冬至在己巳戌初二刻辛未七年正月壬戌朔十一月乙亥日丑初一刻十二分内四十一秒冬至壬申八年正月丁巳朔十一月庚辰日辰初一刻三分内三十一秒冬至 史十一月壬子朔日食自甲寅至此十九年然史於本年十二月有甲辰次年正月有癸酉則此冬未置閏癸酉九年正月辛亥朔十一月乙酉日未初初刻九分内二十一秒冬至 史正月有癸酉四月有辛酉其置閏蓋在二三月後十一月乙酉有事於南郊今推冬至日合自甲寅年至此二十年七閏而章法一變得二百九十一章甲戌十年正月乙亥朔十一月庚寅日酉正三刻十五分内一十一秒冬至 史四月癸夘朔赦乙亥十一年正月己巳朔十一月丙申日子正三刻六分内一秒冬至 應閏丙子十二年正月癸巳朔十一月辛丑日夘正二刻十一分内五十一秒冬至 史八月己未朔日食丁丑十三年正月丁亥朔十一月丙午日午正二刻二分内四十一秒冬至戊寅十四年正月壬午朔十一月辛亥日酉正一刻八分内三十一秒冬至 史閏五月三月辛巳朔見韓文己夘十五年正月丙午朔十一月丁巳日子正初刻十四分内二十一秒冬至庚辰十六年正月庚子朔十一月壬戌日夘正初刻五分内一十一秒冬至辛巳十七年正月甲午朔十一月丁夘日午初三刻十一分内一秒冬至 應閏三月史二月有丁酉己亥蓋閏正月五月壬戌朔日食壬午十八年正月戊午朔十一月壬申日酉初三刻一分内五十一秒冬至癸未十九年正月壬子朔十一月丁丑夜子初二刻七分内四十一秒冬至 史閏十月甲申二十年正月丙子朔十一月癸未日夘初一刻十三分内三十一秒冬至順宗皇帝永貞乙酉元年正月辛未朔十一月戊子日午初一刻四分内二十一秒冬至憲宗皇帝元和丙戌元年正月乙丑朔十一月癸巳日酉初初刻十分内一十一秒冬至 史閏六月丁亥二年正月己丑朔十一月戊戌夜子初初刻一分内一秒冬至日躔在斗七度之五十六分戊子三年正月癸未朔十一月甲辰日寅正三刻六分内五十一秒冬至 史七月辛巳朔日食己丑四年正月丁丑朔十一月己酉日巳正二刻十二分内四十一秒冬至 史閏三月庚寅五年正月辛丑朔十一月甲寅日申正二刻三分内三十一秒冬至 二月庚午見韓文蓋朔日辛夘六年正月丙申朔十一月己未日亥正一刻九分内二十一秒冬至 史閏十二月自癸酉至此又十九年然前既於癸酉年三月後置閏則此閏亦應於下年二月後置之得二百九十二章今自甲戌年至此十八年得七閏是泥舊例而不知變通誤巳壬辰七年正月庚申朔十一月乙丑日寅正初刻十五分内一十一秒冬至 昌黎息國夫人墓志銘元和七年甲子日南至今推之在乙丑寅正初刻又路公神道碑石本十月丙子朔癸巳八年正月乙夘朔十一月庚午日巳正初刻六分内一秒冬至甲午九年正月己酉朔十一月乙亥日申初三刻十一分内五十一秒冬至 史閏八月乙未十年正月癸酉朔十一月庚辰日亥初三刻二分内四十一秒冬至 史八月己亥朔日食丙申十一年正月丁夘朔十一月丙戌日寅初二刻八分内三十一秒冬至 韓文袁氏先廟碑注二月廿六日壬子春分蓋十六日之訛丁酉十二年正月辛酉朔十一月辛夘日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 應閏戊辰年至此十一閏又一紀戊戌十三年正月乙酉朔十一月丙申日申初一刻五分内一十一秒冬至 史六月癸丑朔日食己亥十四年正月庚辰朔十一月辛丑日亥初初刻十一分内一秒冬至庚子十五年正月甲戌朔十一月丁未日寅初初刻一分内五十一秒冬至 史閏正月應閏三月穆宗皇帝長慶辛丑元年正月戊戌朔十一月壬子日辰正三刻七分内四十一秒冬至 宣明厯十一月壬子日七十六刻冬至今推至日同壬寅二年正月壬辰朔十一月丁巳日未正二刻十三分内三十一秒冬至 史四月辛酉朔日食應閏十月癸夘三年正月丁巳朔十一月壬戌日戌正二刻四分内二十一秒冬至 五行傳正月丁巳朔旦風霾九月壬子朔日食甲辰四年正月辛亥朔十一月戊辰日丑正一刻十分内一十一秒冬至敬宗皇帝寳厯乙巳元年正月乙巳朔十一月癸酉日辰正一刻一分内一秒冬至 應閏丙午二年正月己巳朔十一月戊寅日未正初刻六分内五十一秒冬至文宗皇帝太和丁未元年正月癸亥朔十一月癸未日戌初三刻十二分内四十一秒冬至戊申二年正月丁巳朔十一月己丑日丑初三刻三分内三十一秒冬至 應閏己酉三年正月辛巳朔十一月甲午日辰初二刻九分内二十一秒冬至 史十一月甲午有事於南郊今推冬至日合庚戌四年正月丙子朔十一月己亥日未初一刻十五分内一十一秒冬至 自壬辰年至此又十九年次年正月庚子朔則此冬必有閏得二百九十三章然應下年閏二月辛亥五年正月庚子朔十一月甲辰日戌初一刻六分内一秒冬至 五行志正月庚子朔壬子六年正月乙未朔十一月庚戌日丑初初刻十一分内五十一秒冬至 五行志正月乙未朔癸丑七年正月己丑朔十一月乙夘日辰初初刻二分内四十一秒冬至 史閏七月甲寅八年正月癸丑朔十一月庚申日午正三刻八分内三十一秒冬至 史二月壬午朔日食乙夘九年正月丁未朔十一月乙丑日酉正二刻十四分内二十一秒冬至開成丙辰元年正月辛丑朔十一月辛未日子正二刻五分内一十一秒冬至 史正月辛丑朔日食五行志閏五月丁巳二年正月乙丑朔十一月丙子日夘正一刻十一分内一秒冬至戊午三年正月己未朔十一月辛巳日午正一刻一分内五十一秒冬至己未四年正月甲寅朔十一月丙戌日酉正初刻七分内四十一秒冬至 史閏正月五行志十二月丁丑晦庚申五年正月戊寅朔十一月辛夘夜子初三刻十三分内三十一秒冬至 五行志正月戊寅朔十二月癸夘朔武宗皇帝㑹昌辛酉元年正月壬申朔十一月丁酉日夘初三刻四分内二十一秒冬至 史閏九月壬戌二年正月丙申朔十一月壬寅日午初二刻十分内一十一秒冬至癸亥三年正月庚寅朔十一月丁未日酉初二刻一分内一秒冬至 史二月庚申朔日食甲子四年正月乙酉朔十一月壬子夜子初一刻六分内五十一秒冬至 史二月甲寅朔日食閏七月乙丑五年正月己酉朔十一月戊午日夘初初刻十二分内四十一秒冬至 史七月丙午朔日食丙寅六年正月癸夘朔十一月癸亥日午初初刻三分内三十一秒冬至 史十二月戊辰朔日食宣宗皇帝大中丁夘元年正月丁酉朔十一月戊辰日申正三刻九分内二十一秒冬至 史閏三月戊戌年十一閏又一紀戊辰二年正月辛酉朔十一月癸酉日亥正二刻十五分内一十一秒冬至 史五月己未朔日食己巳三年正月乙夘朔十一月己夘日寅正二刻六分内一秒冬至 自辛亥至此又十九年史次年正月有庚辰蓋亦此冬閏十二月二百九十四章然應下年閏正月庚午四年正月己夘朔十一月甲申日巳正一刻十一分内五十一秒冬至辛未五年正月甲戌朔十一月己丑日申正一刻二分内四十一秒冬至壬申六年正月戊辰朔十一月甲午日亥正初刻八分内三十一秒冬至 應閏癸酉七年正月壬辰朔十一月庚子日寅初三刻十四分内二十一秒冬至甲戌八年正月丙戌朔十一月乙巳日巳初三刻五分内一十一秒冬至 史正月丙戌朔日食乙亥九年正月辛巳朔十一月庚戌日申初二刻十一分内一秒冬至 史閏四月丙子十年正月乙巳朔十一月乙夘日亥初二刻一分内五十一秒冬至丁丑十一年正月己亥朔十一月辛酉日寅初一刻七分内四十一秒冬至戊寅十二年正月癸巳朔十一月丙寅日巳初初刻十三分内三十一秒冬至 史閏二月己夘十三年正月丁巳朔十一月辛未日申初初刻四分内二十一秒冬至懿宗皇帝咸通庚辰元年正月辛亥朔十一月丙子日戌正三刻十分内一十一秒冬至 史閏十月十一月丙子朔享於太廟丁丑有事於南郊今推冬至在丙子戌正三刻朔日也辛巳二年正月乙亥朔十一月壬午日丑正三刻一分内一秒冬至壬午三年正月庚午朔十一月丁亥日辰正二刻六分内五十一秒冬至癸未四年正月甲子朔十一月壬辰日未正一刻十二分内四十一秒冬至 史閏六月七月辛夘朔日食甲申五年正月戊子朔十一月丁酉日戌正一刻三分内三十一秒冬至乙酉六年正月癸未朔十一月癸夘日丑正初刻九分内二十一秒冬至丙戌七年正月丁丑朔十一月戊申日辰初三刻十五分内一十一秒冬至 史閏三月丁亥八年正月辛丑朔十一月癸丑日未初三刻六分内一秒冬至戊子九年正月乙未朔十一月戊午日戌初二刻十一分内五十一秒冬至 自庚午至此又十九年而以前後例之當時蓋亦此冬閏十二月而置閏應在下年二月後得二百九十五章己丑十年正月己未朔十一月甲子日丑初二刻二分内四十一秒冬至庚寅十一年正月甲寅朔十一月己巳日辰初一刻八分内三十一秒冬至辛夘十二年正月戊申朔十一月甲戌日未初初刻十四分内二十一秒冬至 應閏壬辰十三年正月壬申朔十一月己夘日戌初初刻五分内一十一秒冬至癸巳十四年正月丙寅朔十一月乙酉日子正三刻十一分内一秒冬至僖宗皇帝乾符甲午元年正月庚申朔十一月庚寅日夘正三刻一分内五十一秒冬至 應閏乙未二年正月甲申朔十一月乙未日午正二刻七分内四十一秒冬至丙申三年正月己夘朔十一月庚子日酉正一刻十三分内三十一秒冬至 史九月乙亥朔日食丁酉四年正月癸酉朔十一月丙午日子正一刻四分内二十一秒冬至 史閏二月四月壬申朔日食自戊辰年至此十一閏又一紀戊戌五年正月丁酉朔十一月辛亥日夘正初刻十分内一十一秒冬至己亥六年正月辛夘朔十一月丙辰日午正初刻一分内一秒冬至日躔在斗六度之五十六分 史四月庚申朔日食閏十月全史日至源流卷二十六
## 卷二十七
欽定四庫全書全史日至源流卷二十七山東道御史許伯政撰壬子運二十七(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻五分三十秒)冬至十四日八時三刻十三分五十八秒二十㣲小寒十四日八時四刻四分四十八秒二十㣲大寒十四日九時一刻十分三秒二十㣲立春十四日十時一刻六分三秒二十㣲雨水十四日十一時三刻四分三秒二十㣲驚蟄十五日零六刻十四分五十八秒二十㣲春分十五日二時三刻八分四十八秒二十㣲清明十五日四時零七分四十八秒二十㣲榖雨十五日五時四刻七分五十三秒二十㣲立夏十五日六時六刻十四分五十八秒二十㣲小滿十五日八時零二分五十三秒二十㣲芒種十五日八時三刻九分五十八秒二十㣲夏至十五日八時六刻十四分五十八秒二十㣲小暑十五日八時五刻二分五十八秒二十㣲大暑十五日八時零七分五十八秒二十㣲立秋十五日七時零十分五十八秒二十㣲處暑十五日五時六刻五分五十八秒二十㣲白露十五日四時三刻九分三秒二十㣲秋分十五日二時四刻十一分八秒二十㣲寒露十五日一時一刻八分三秒二十㣲霜降十四日十一時五刻四分五十八秒二十㣲立冬十四日十時二刻十一分八秒二十㣲小雪十四日九時二刻十二分三秒二十㣲大雪十四日八時五刻九分五十八秒二十㣲廣明庚子元年正月乙夘朔十一月辛酉日酉初三刻六分内三十一秒冬至中和辛丑元年正月庚戌朔十一月丙寅夜子初二刻十二分内一秒冬至壬寅二年正月甲辰朔十一月壬申日夘初二刻二分内三十一秒冬至 應閏癸卯三年正月戊辰朔十一月丁丑日午初一刻八分内一秒冬至甲辰四年正月壬戌朔十一月壬午日酉初初刻十三分内三十一秒冬至光啓乙巳元年正月丁巳朔十一月丁亥夜子初初刻四分内一秒冬至 應閏丙午二年正月辛巳朔十一月癸巳日寅正三刻九分内三十一秒冬至丁未三年正月乙亥朔十一月戊戌日巳正二刻十五分内一秒冬至 自己丑年至此又十九年本紀十一月有壬申十二月有癸巳蓋閏十一月二百九十六章然應下年閏二月文徳戊申元年正月己亥朔十一月癸卯日申正二刻五分内三十一秒冬至 史三月戊戌朔日食昭宗皇帝龍紀己酉元年正月癸巳朔十一月戊申日亥正一刻十一分内一秒冬至 史十一月戊申朝享於太廟己酉有事於南郊今推冬至在戊申亥正一刻大順庚戌元年正月戊子朔十一月甲寅日寅正一刻一分内三十一秒冬至 史閏九月辛亥二年正月壬子朔十一月己未日巳正初刻七分内一秒冬至景福壬子元年正月丙午朔十一月甲子日申初三刻十二分内三十一秒冬至 史天正冬至己未日今同見上年癸丑二年正月庚子朔十一月己巳日亥初三刻三分内一秒冬至 應閏乾寜甲寅元年正月甲子朔十一月乙亥日寅初二刻八分内三十一秒冬至乙夘二年正月己未朔十一月庚辰日巳初一刻十四分内一秒冬至丙辰三年正月癸丑朔十一月乙酉日申初一刻四分内三十一秒冬至 史閏正月應閏三月丁巳四年正月丁丑朔十一月庚寅日亥初初刻十分内一秒冬至光化戊午元年正月辛未朔十一月丙申日丑正二刻十五分内三十一秒冬至 史閏十月己未二年正月乙未朔十一月辛丑日辰正三刻六分内一秒冬至庚申三年正月己丑朔十一月丙午日未正二刻十一分内三十一秒冬至天復辛酉元年正月甲申朔十一月辛亥日戌正二刻二分内一秒冬 史正月甲申朔應閏壬戌二年正月戊申朔十一月丁巳日丑正一刻七分内三十一秒冬至 五行志十一月丁巳日南至今同癸亥三年正月壬寅朔十一月壬戌日辰正初刻十三分内一秒冬至 史十二月有丙申蓋晦日天祐甲子元年正月丁酉朔十一月丁夘日未正初刻三分内三十一秒冬至 史閏四月乙未朔十月辛夘朔日食昭宣皇帝(仍天祐年號)乙丑二年正月辛酉朔十一月壬申日戌初三刻九分内一秒冬至丙寅三年正月乙夘朔十一月戊寅日丑初二刻十四分内三十一秒冬至 史四月癸未朔日食閏十二月自戊申至此又十九年而置閏應在次年二月後二百九十七章丁夘四年正月己夘朔十一月癸未日辰初二刻五分内一秒冬至 史五月丁丑朔四月後梁開平元年遼太祖耶律阿保機元年四月丁未朔移上閏於此年戊戌年至此十一閏又一紀五代梁太祖皇帝開平戊辰二年正月癸酉朔十一月戊子日未初一刻十分内三十一秒冬至 史三月壬申朔遼史正月癸酉朔十月己亥朔己巳三年正月戊辰朔十一月癸巳日戌初一刻一分内一秒冬至 史閏八月十一月甲午日南至告謝於南郊今推冬至在癸巳戌初一刻遼史二月丁酉朔庚午四年正月壬辰朔十一月己亥日丑初初刻六分内三十一秒冬至 史正月壬辰朔遼史七月戊午朔乾化辛未元年正月丙戌朔十一月甲辰日夘正三刻十二分内一秒冬至 五月甲申朔九月辛巳朔遼史七月壬午朔壬申二年正月庚辰朔十一月己酉日午正三刻二分内三十一秒冬至 應閏此年六月友珪弑立癸酉三年正月甲辰朔十一月甲寅日酉正二刻八分内一秒冬至 遼史正月甲辰朔此年二月友貞誅珪立甲戌四年正月戊戌朔十一月庚申日子正一刻十三分内三十一秒冬至 遼史七月丙申朔十月甲子朔貞明乙亥元年正月癸巳朔十一月乙丑日夘正一刻四分内一秒冬至 應閏丙子二年正月丁巳朔十一月庚午日午正初刻九分内三十一秒冬至 遼神册元年二月丙戌朔四月乙酉朔十月癸未朔丁丑三年正月辛亥朔十一月乙亥日酉初三刻十五分内一秒冬至 史閏十一月戊寅四年正月甲戌朔十一月庚辰夜子初三刻五分内三十一秒冬至 史十一月庚子朔遼史同己夘五年正月己巳朔十一月丙戌日夘初二刻十一分内一秒冬至 史八月乙未朔庚辰六年正月癸亥朔十一月辛夘日午初二刻一分内三十一秒冬至 遼史閏六月八月己未朔九月己丑朔末帝龍徳辛巳元年正月丁亥朔十一月丙申日酉初一刻七分内一秒冬至 史三月丁亥朔五月丙戌朔遼史同十月癸丑朔壬午二年正月壬午朔十一月辛丑夜子初初刻十二分内三十一秒冬至 遼天贊元年癸未三年正月丙子朔十一月丁未日夘初初刻三分内一秒冬至 史閏四月遼史同自四月後後唐同光元年十二月庚午朔後唐莊宗皇帝同光甲申二年正月庚子朔十一月壬子日巳正三刻八分内三十一秒冬至 史二月己巳朔遼史九月丙申朔十月丙寅朔十一月乙未朔乙酉三年正月甲午朔十一月丁巳日申正二刻十四分内一秒冬至 史閏十二月遼史同自丁夘年至此又十九年得二百九十八章然應下年閏二月丙戌四年正月戊午朔十一月壬戌日亥正二刻四分内三十一秒冬至 史四月丁亥朔五月丙辰朔八月乙酉朔自四月後天成元年遼天顯元年明宗皇帝天成丁亥二年正月癸丑朔十一月戊辰日寅正一刻十分内一秒冬至 史正月癸丑朔二月壬午朔三月壬子朔遼太宗徳先仍稱天顯二年戊子三年正月丁未朔十一月癸酉日巳正初刻十五分内三十一秒冬至 史三月丁未朔應閏己丑四年正月辛未朔十二月戊寅日申正初刻六分内一秒冬至 史五月己巳朔遼史正月壬申朔十一月丙寅朔長興庚寅元年正月乙丑朔十一月癸未日亥初三刻十一分内三十一秒冬至 史十一月庚申朔辛夘二年正月己未朔十一月己丑日寅初三刻二分内一秒冬至 史閏五月十二日甲寅朔壬辰三年正月癸未朔十一月甲午日巳初二刻七分内二十一秒冬至 遼史五月壬午朔癸巳四年正月戊寅朔十一月己亥日申初一刻十三分内一秒冬至 史十二月癸夘朔愍皇帝應順甲午元年正月壬申朔十一月甲辰日亥初一刻三分内三十一秒冬至 史正月壬申朔閏正月自五月後改清泰元年廢帝清泰乙未二年正月丙申朔十一月庚戌日寅初初刻九分内一秒冬至丙申三年正月庚寅朔十一月乙夘日辰正三刻十四分内三十一秒冬至 史閏十一月十一月後晉天福元年遼史十二月乙酉朔自戊辰年至此十一閏一紀縮一年下起丁酉晉髙祖皇帝天福丁酉二年正月甲寅朔十一月庚申日未正三刻五分内一秒冬至戊戌三年正月戊申朔十一月乙丑日戌正二刻十分内三十一秒冬至 遼會同元年正月戊申朔十月甲戌朔十一月甲辰朔己亥四年正月癸夘朔十一月辛未日丑正二刻一分内一秒冬至 史閏七月八月己亥朔庚子五年正月丁夘朔十一月丙午日辰正一刻六分内三十一秒冬至 史正月丁夘朔十一月丙午冬至始用二舞今推冬至日合遼史十二月壬辰朔辛丑六年正月辛酉朔十一月辛巳日未正初刻十二分内一秒冬至 史十二月丙戌朔遼史十一月壬午以冬至受賀著令今推至日在辛巳未正初刻壬寅七年正月丙辰朔十一月丙戌日戌正初刻二分内三十一秒冬至 遼史正月丙辰朔閏三月出帝(不改元仍稱天福)癸夘八年正月庚辰朔十一月壬辰日丑初三刻八分内一秒冬至 史三月己夘朔八月丁未朔開運甲辰元年正月甲戌朔十一月丁酉日辰初二刻十三分内三十一秒冬至 史正月甲戌朔三月癸酉朔七月辛未朔八月辛丑朔九月庚午朔十二月己亥朔閏十二月己巳朔自丙戌年至此又十九年二百九十九章而置閏應在次年二月後乙巳二年正月戊戌朔十一月壬寅日未初二刻四分内一秒冬至 史五月丙申朔八月甲子朔遼史十二月癸亥朔丙午三年正月壬辰朔十一月丁未日戌初一刻九分内三十一秒冬至 遼史四月辛酉朔十一月戊子朔漢髙祖皇帝(初年無年號)丁未四年稱天福十二年正月丁亥朔十一月癸丑日丑初初刻十五分内一秒冬至 史三月丙戌朔閏七月遼大同元年正月丁亥朔二月丁巳朔三月丙戌朔四月丙辰朔九月壬子朔改天禄元年乾祐戊申元年正月辛亥朔十一月戊午日辰初初刻五分内三十一秒冬至 史七月戊申朔遼世宗天禄二年四月庚辰朔隱皇帝(不改元)己酉二年正月乙巳朔十一月癸亥日午正三刻十一分内一秒冬至 遼史九月辛丑朔庚戌三年正月己亥朔十一月戊辰日酉正三刻一分内三十一秒冬至 應閏十二月甲午朔遼史三月戊戌朔九月乙丑朔周太祖皇帝廣順辛亥元年正月癸亥朔十一月甲戌日子正二刻七分内一秒冬至日躔在斗五度之五十六分 遼史正月癸亥朔五月壬戌朔六月辛夘朔九月庚申朔改是年為應厯元年壬子二年正月戊午朔十一月己夘日夘正一刻十二分内三十一秒冬至 史三月丁巳朔六月乙酉朔遼穆宗應厯二年正月戊午朔五月丙辰朔九月甲寅朔十月甲申朔十一月癸丑朔己夘日南至今同十二月癸未朔癸丑三年正月壬子朔十一月甲申日午正一刻三分内一秒冬至 史閏正月遼史閏月壬午朔三月庚辰朔顯徳甲寅元年正月丙子朔十一月己丑日酉正初刻八分内三十一秒冬至 遼史二月丙午朔十二月辛丑朔正月太祖崩世宗皇帝(不改元)乙夘二年正月庚午朔十月晦日甲午夜子初三刻十四分内一秒冬至 史九月丙寅朔閏九月十一月乙未朔遼史十二月乙丑朔丙辰三年正月甲午朔十一月庚子日夘初三刻四分内三十一秒冬至 史天正冬至乙未日今在甲午夜子初三刻見上年丁巳四年正月己丑朔十一月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至 史正月己丑朔戊午五年正月癸未朔十一月庚戌日酉初一刻十五分内三十一秒冬至 史三月壬午朔應閏己未六年正月丁未朔十一月乙夘夜子初一刻六分内一秒冬至 遼史五月乙巳朔六月乙亥朔是月世宗崩恭皇帝庚申七年正月辛丑朔十一月辛酉日夘初初刻十一分内三十一秒冬至 即宋太祖建隆元年史正月辛丑朔五月己亥朔日食八月戊辰朔遼史七月己亥朔宋太祖皇帝建隆辛酉二年正月丙申朔十一月丙寅日午初初刻二分内一秒冬至 史正月丙申朔二月有辛酉四月癸巳朔日食蓋閏三月壬戌三年正月庚申朔十一月辛未日申正三刻七分内三十一秒冬至 史三月戊午朔十月乙酉朔天正冬至丙寅日今同見上年遼史二月己丑朔乾徳癸亥元年正月甲寅朔十一月丙子日亥正二刻十三分内一秒冬至 史十一月丙子有事於南郊今推冬至日合遼史七月辛亥朔九月庚戌朔宋史十二月有甲申次年正月又有甲申是此年閏十二月自乙巳年至此又一十九年得三百章然應下年閏三月甲子二年正月戊寅朔十一月壬午日寅正二刻三分内三十一秒冬至 遼史正月戊寅朔六月丙午朔十一月壬午日南至今推至日合乙丑三年正月癸酉朔十一月丁亥日巳正一刻九分内一秒冬至 史正月癸酉朔遼史二月壬寅朔丙寅四年正月丁夘朔十一月壬辰日申正初刻十四分内三十一秒冬至 遼史正月丁夘朔閏七月丁酉年至此十一閏為一紀丁夘五年正月庚寅朔十一月丁酉日亥正初刻五分内一秒冬至 史六月戊午朔日食遼史正月庚寅朔九月丙戌朔開寳戊辰元年正月乙酉朔十一月癸夘日寅初三刻十分内三十一秒冬至 史十一月癸卯南郊大赦今推冬至日合遼史正月乙酉朔三月甲申朔冬至與宋同己巳二年正月己夘朔十一月戊申日巳初三刻一分内一秒冬至 史正月己夘朔閏四月自三月後遼改保寜元年五月戊寅朔十一月甲辰朔庚午三年正月癸卯朔十一月癸丑日申初二刻六分内三十一秒冬至 史四月辛未朔日食九月己亥朔辛未四年正月戊戌朔十一月戊午日亥初一刻十二分内一秒冬至 史正月戊戌朔五月乙未朔十月癸亥朔日食十一月己未南郊今推冬至在戊午日亥初一刻壬申五年正月壬辰朔十一月甲子日寅初一刻二分内三十一秒冬至 史閏二月九月丁巳朔日食遼史四月庚寅朔十月丁亥朔癸酉六年正月丙辰朔十一月己巳日巳初初刻八分内一秒冬至 史三月乙夘朔遼史十一月辛亥朔甲戌七年正月庚戌朔十一月甲戌日未正三刻十三分内三十一秒冬至 史二月庚辰朔日食閏十月遼史七月丁未朔乙亥八年正月甲戌朔十一月己夘日戌正三刻四分内一秒冬至 史正月甲戌朔七月辛未朔日食丙子九年正月戊辰朔十一月乙酉日丑正二刻九分内三十一秒冬至 史十一月癸亥朔十二月改太平興國元年太宗皇帝太平興國丁丑二年正月壬戌朔十一月庚寅日辰正一刻十五分内一秒冬至 史正月壬戌朔閏七月十一月丁亥朔日食庚寅日南至今同戊寅三年正月丙戌朔十一月乙未日未正一刻五分内三十一秒冬至 史正月丙戌朔十一月丙申有事於圜邱今推冬至在乙未未正一刻己夘四年正月辛巳朔十一月庚子日戌正初刻十一分内一秒冬至 史三月庚辰朔五月己夘朔九月戊寅朔日食遼史十一月辛丑冬至大赦改元今推至日在庚子戌正初刻庚辰五年正月丙子朔十一月丙午日丑正初刻一分内三十一秒冬至 史閏三月乾元厯十一月丙午日六十三刻冬至今推至日合遼史乾亨二年正月丙子朔十月辛未朔十一月庚子朔十二月庚午朔辛巳六年正月己亥朔十一月辛亥日辰初三刻七分内一秒冬至 史九月乙未朔日食十一月辛亥祀圜邱今推冬至日合壬午七年正月甲午朔閏十月丙辰日未初二刻十二分内三十一秒冬至十一月戊午朔 史三月癸巳朔十月己未朔十一月戊午朔日食蓋閏十月自甲子年至此又十九年得三百一章然置閏應在次年三月後癸未八年正月戊午朔十一月辛酉日戌初二刻三分内一秒冬至 史二月戊子朔日食遼聖宗統和元年正月戊午朔二月戊子朔四月丙戌朔九月癸丑朔十月癸未朔十一月壬子朔雍熙甲申元年正月壬子朔十一月丁夘日丑初一刻八分内三十一秒冬至 遼史十月丁丑朔乙酉二年正月丙午朔十一月壬申日辰初初刻十四分内一秒冬至 史四月乙亥朔閏九月十二月庚子朔日食遼史二月丙子朔四月乙亥朔七月甲辰朔八月癸酉朔丙戌三年正月庚午朔十一月丁丑日未初初刻四分内三十一秒冬至 史六月戊戌朔日食遼史四月己亥朔十一月戊寅日南至今推至日在丁丑未初初刻丁亥四年正月甲子朔十一月壬午日酉正三刻十分内一秒冬至 史四月癸巳朔遼史三月癸亥朔端拱戊子元年正月己未朔十一月戊子日子正二刻十五分内三十一秒冬至 應閏己丑二年正月癸未朔十一月癸巳日夘正二刻六分内一秒冬至 遼史正月癸未朔二月壬子朔三月壬午朔六月庚戌朔淳化庚寅元年正月戊寅朔十一月戊戌日午正一刻十一分内三十一秒冬至 史正月戊寅朔遼史四月丙午朔辛夘二年正月壬申朔十一月癸夘日酉正一刻二分内一秒冬至 史閏二月辛未朔日食十二月丙寅朔壬辰三年正月丙申朔十一月己酉日子正初刻七分内三十一秒冬至 史二月乙丑朔日食癸巳四年正月庚寅朔十一月甲寅日夘初三刻十三分内一秒冬至 史二月己未朔日食八月丙辰朔日食閏十月甲午五年正月癸丑朔十一月己未日午初三刻三分内三十一秒冬至 遼史正月癸丑朔十二月戊寅朔日食遼史六月辛巳朔八月庚辰朔十一月戊申朔十二月戊寅朔至道乙未元年正月戊申朔十一月甲子日酉初二刻九分内一秒冬至 史十月甲戌朔遼史六月丙子朔丙申二年正月壬寅朔十一月己巳夜子初一刻十四分内三十一秒冬至 遼史閏七月丁夘年至此十一閏又一紀丁酉三年正月丙寅朔十一月乙亥日夘初一刻五分内一秒冬至 遼史三月乙丑朔四月乙未朔十月壬辰朔十一月壬戌朔真宗皇帝咸平戊戌元年正月辛酉朔十一月庚辰日午初初刻十分内三十一秒冬至 史五月戊午朔日食十月丙戌朔日食遼史六月戊子朔七月丁巳朔九月丁巳朔己亥二年正月乙夘朔十一月乙酉日酉初初刻一分内一秒冬至 史閏三月九月庚辰朔日食十一月乙酉饗太廟丙戌祀圜邱今推冬至在乙酉酉初初刻庚子三年正月己夘朔十一月庚寅日亥正三刻六分内三十一秒冬至 史正月己卯朔三月戊寅朔日食四月戊申朔儀天厯十一月辛卯五十三刻冬至今推至日在庚寅亥正三刻遼史十一月甲戌朔辛丑四年正月癸酉朔十一月丙申日寅正二刻十二分内一秒冬至 遼史閏十一月自癸未年至此又十九年三百二章然置閏應在次年二月後壬寅五年正月丁酉朔十一月辛丑日巳正二刻二分内三十一秒冬至 史七月甲午朔日食十一月辛丑享太廟壬寅祀圜邱今推冬至在辛丑巳正二刻遼史四月丙寅朔九月癸巳朔癸卯六年正月壬辰朔十一月丙午日申正一刻八分内一秒冬至景徳甲辰元年正月丙戌朔十一月辛亥日亥正初刻十三分内三十一秒冬至 史正月丙戌朔閏八月十二月庚辰朔日食遼史閏九月乙巳二年正月庚戌朔十一月丁巳日寅正初刻四分内一秒冬至 史正月庚戌朔十一月丙辰享太廟丁巳祀圜邱今推冬至日合丙午三年正月甲辰朔十一月壬戌日巳初二刻九分内三十一秒冬至 史五月壬寅朔日當食不虧丁未四年正月戊戌朔十一月丁夘日申初二刻十五分内一秒冬至 史五月丙申朔日食閏五月十月甲午朔日食十一月戊辰日南至諸厯推之得丁夘今同大中祥符戊申元年正月壬戌朔十一月壬申日亥初二刻五分内三十一秒冬至 遼史十月戊子朔己酉二年正月丙辰朔十一月戊寅日寅初一刻十一分内一秒冬至 史三月丙辰朔日食遼史四月丙戌朔七月甲寅朔十一月壬子朔庚戌三年正月辛亥朔十一月癸未日巳初一刻一分内三十一秒冬至 史閏二月八月丁未朔遼史正月辛亥朔十月丙午朔辛亥四年正月己亥朔十一月戊子日申初初刻七分内一秒冬至 史四月甲辰朔七月壬申朔遼史正月乙亥朔五月甲戌朔十一月庚午朔壬子五年正月己巳朔閏十月癸巳日戌正三刻十二分内三十一秒冬至十一月甲午朔 史八月丙申朔日食閏十月遼開泰元年五月戊辰朔十一月甲午朔此閏亦循前例然應移於下年正月後癸丑六年正月癸巳朔十一月己亥日丑正三刻三分内一秒冬至 史正月癸巳朔十二月戊午朔日食遼史十月己未朔甲寅七年正月丁亥朔十一月甲辰日辰正二刻八分内三十一秒冬至 二月丁巳朔見廬山志棲賢橋石崖十二月癸丑朔日當食不虧乙夘八年正月壬午朔十一月己酉日未正一刻十四分内一秒冬至 史正月壬午朔六月己酉朔日食閏六月丙辰九年正月丙午朔十一月甲寅日戌正一刻四分内三十一秒冬至天禧丁巳元年正月辛丑朔十一月庚申日丑正初刻十分内一秒冬至 遼史六月戊辰朔戊午二年正月乙未朔十一月乙丑日辰初三刻十五分内三十一秒冬至 史閏四月遼史二月乙丑朔己未三年正月己未朔十一月庚午日未初三刻六分内一秒冬至 史三月戊午朔日食十一月庚午饗太廟辛未祀圜邱今推冬至在庚午未初三刻庚申四年正月癸丑朔十一月乙亥日戌初二刻十一分内三十一秒冬至 遼史七月庚戌朔日食閏十二月自壬寅年至此又十九年宋史十一月有戊午十二月有乙亥蓋閏十一月三百三章然置閏應在次年三月後辛酉五年正月丁丑朔十一月辛巳日丑初二刻二分内一秒冬至 史七月甲戌朔日食遼太平元年乾興壬戌元年正月辛未朔十一月丙戌日辰初一刻七分内三十一秒冬至 史正月辛未朔天正冬至辛巳日今同見上年仁宗皇帝天聖癸亥元年正月丙寅朔十一月辛卯日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗四度之五十六分史正月丙寅朔閏九月十一月壬辰冬至今在辛夘未初遼史十一月辛卯朔甲子二年正月庚寅朔十一月丙申日戌初初刻三分内三十一秒冬至 史五月丁亥朔八月丙辰朔十一月丙申饗太廟丁酉合祀圜邱今推冬至在丙申戌初初刻乙丑三年正月甲申朔十一月壬寅日子正三刻九分内一秒冬至 史十二月戊寅太白復見蓋晦日丙寅四年正月己夘朔十一月丁未日夘正二刻十四分内三十一秒冬至 史閏五月十月甲戌朔日食遼史四月丁未朔自丁酉年至此十一閏又一紀丁夘五年正月壬寅朔十一月壬子日午正二刻五分内一秒冬至 史正月壬寅朔十一月壬子饗太廟癸丑合祀圜邱今推冬至在壬子午正二刻遼史七月己亥朔十月丁卯朔戊辰六年正月丙申朔十一月丁巳日酉正一刻十分内三十一秒冬至 史三月丙申朔日食遼史九月壬辰朔十二月辛酉朔己巳七年正月辛夘朔十一月癸亥日子正一刻一分内一秒冬至 史閏二月八月丁亥朔日食十一月癸亥冬至今同遼史十月丙戌朔庚午八年正月乙夘朔十一月戊辰日夘正初刻六分内三十一秒冬至 史十一月戊辰郊今推冬至日合辛未九年正月己酉朔閏十月癸酉日午初三刻十二分内一秒冬至十一月甲戌朔 史七月丙午朔遼史六月丁丑朔同閏十月然應下年閏二月自十月後遼興宗景福元年明道壬申元年正月癸酉朔十一月戊寅日酉初三刻二分内三十一秒冬至 史十一月己夘冬至今在戊寅酉初三刻遼興宗重熙元年三月壬申朔癸酉二年正月丁夘朔十一月癸未夜子初二刻八分内一秒冬至 史六月甲午朔日食景祐甲戌元年正月辛酉朔十一月己丑日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 應閏遼史七月戊子朔乙亥二年正月乙酉朔十一月甲午日午初一刻四分内一秒冬至 史十一月乙未南郊今推冬至在甲午日午初一刻遼史六月癸丑朔丙子三年正月庚辰朔十一月己亥日酉初初刻九分内三十一秒冬至丁丑四年正月甲戌朔十一月甲辰日亥正三刻十五分内一秒冬至 應閏遼史六月壬申朔七月辛丑朔寳元戊寅元年正月戊戌朔十一月庚戌日寅正三刻五分内三十一秒冬至 史三月戊戌朔十一月戊寅南郊今推十一月無戊寅蓋傳刻之訛遼史十月甲子朔己夘二年正月壬辰朔十一月乙夘日巳正二刻十一分内一秒冬至 自辛酉年至此又十九年史下年正月丙辰朔蓋此冬閏十二月三百四章然應下年閏二月康定庚辰元年正月丙辰朔十一月庚申日申正二刻一分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔日食五月甲寅朔慶厯辛巳元年正月辛亥朔十一月乙丑日亥正一刻七分内一秒冬至 史十一月丙寅郊祀今推冬至在乙丑亥正一刻此月司天監上崇天萬年厯遼史二月庚辰朔壬午二年正月丙午朔十一月辛未日寅正初刻十二分内三十一秒冬至 史閏九月遼史四月甲戌朔七月壬寅朔癸未三年正月庚午朔十一月丙子日巳正初刻三分内一秒冬至 史正月庚午朔五月丁夘朔日食甲申四年正月甲子朔十一月辛巳日申初三刻八分内三十一秒冬至 史十一月壬午郊今推冬至在辛巳日申初三刻遼史正月甲子朔五月壬戌朔乙酉五年正月戊午朔十一月丙戌日亥初二刻十四分内一秒冬至 史四月丁亥朔日食十一月丁亥冬至今在丙戌日亥初二刻遼史閏五月丙戊六年正月壬午朔十一月壬辰日寅初二刻四分内三十一秒冬至 史三月辛巳朔日食丁亥七年正月丙子朔十一月丁酉日巳初一刻十分内一秒冬至 史十一月戊戌朔今推冬至在丁酉巳初一刻戊子八年正月庚午朔十一月壬寅日申初初刻十五分内三十一秒冬至 史閏正月應閏三月十二月乙丑朔遼史十一月乙未朔皇祐己丑元年正月甲午朔十一月丁未日亥初初刻六分内一秒冬至 史正月朔日食不書日庚寅二年正月己丑朔十一月癸丑日丑正三刻十一分内三十一秒冬至 史三月戊子朔五月丁亥朔十一月三十日癸丑景長閏十一月今推至日合但當時用平氣故閏十一月若如今法不宜置閏遼史六月丙辰朔辛夘三年正月癸丑朔十一月戊午日辰正三刻二分内一秒冬至 遼史十月己夘朔壬辰四年正月丁未朔十一月癸亥日未正二刻七分内三十一秒冬至 史十一月壬寅朔日食十二月壬申朔遼史七月甲辰朔癸巳五年正月辛丑朔十一月戊辰日戌正一刻十三分内一秒冬至 史十月丙申朔日食十一月己巳郊今推冬至在戊辰戌正一刻遼史閏七月至和甲午元年正月乙丑朔十一月甲戌日丑正一刻三分内三十一秒冬至乙未二年正月庚申朔十一月己夘日辰正初刻九分内一秒冬至 遼史二月己丑朔自八月後遼道宗清寧元年嘉祐丙申元年正月甲寅朔十一月甲申日未初三刻十四分内三十一秒冬至 史正月甲寅朔閏三月癸未朔四月壬子朔八月庚戌朔日食遼史十二月戊申朔丁夘年至此十一閏又一紀丁酉二年正月戊寅朔十一月己丑日戌初三刻五分内一秒冬至戊戌三年正月壬申朔十一月乙未日丑初二刻十分内三十一秒冬至 史八月己亥朔日食閏十二月遼史正月壬申朔五月庚午朔自庚辰年至此十九年置閏應在次年二月後三百五章己亥四年正月丙申朔十一月庚子日辰初二刻一分内一秒冬至 史正月丙申朔日食庚子五年正月辛夘朔十一月乙巳日未初一刻六分内三十一秒冬至 遼史五月戊子朔辛丑六年正月乙酉朔十一月庚戌日戌初初刻十二分内一秒冬至 史六月壬子朔日食閏八月壬寅七年正月己酉朔十一月丙辰日丑初初刻二分内三十一秒冬至 史二月己夘朔六月丙子朔癸夘八年正月癸卯朔十一月辛酉日夘正三刻八分内一秒冬至 史四月壬申朔遼史八月庚午朔十月戊辰朔英宗皇帝治平甲辰元年正月丁酉朔十一月丙寅日午正二刻十三分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔應閏天正冬至辛酉日今同見上年遼史十月壬辰朔乙巳二年正月辛酉朔十一月辛未日酉正二刻四分内一秒冬至 史十一月壬申南郊今推冬至在辛未酉正二刻遼咸雍元年正月辛酉朔十月丁亥朔丙午三年正月乙夘朔十一月丁丑日子正一刻九分内三十一秒冬至 史二月乙酉朔九月壬子朔日食丁未四年正月庚戌朔十一月壬午日夘正初刻十五分内一秒冬至 史正月庚戌朔閏三月八月丁未朔神宗皇帝熙寧戊申元年正月甲戌朔十一月丁亥日午正初刻五分内三十一秒冬至 史正月甲戌朔日食十一月丁亥朔今推至日合遼史二月甲辰朔己酉二年正月戊辰朔十一月壬辰日酉初三刻十一分内一秒冬至 史閏十一月若如今法宜在下年正月後庚戌三年正月壬辰朔十一月丁酉夜子初三刻一分内三十一秒冬至 史九月戊子朔辛亥四年正月丁亥朔十一月癸卯日夘初二刻七分内一秒冬至 史四月丙辰朔遼史七月甲申朔壬子五年正月辛巳朔十一月戊申日午初一刻十二分内三十一秒冬至 史閏七月癸丑六年正月乙巳朔十一月癸丑日酉初一刻三分内一秒冬至 史四月甲戌朔日食十一月癸丑日冬至今同甲寅七年正月己亥朔十一月戊午夜子初初刻八分内三十一秒冬至 史十一月己未朔今推冬至戊午夜子初初刻乙夘八年正月癸巳朔十一月甲子日寅正三刻十四分内一秒冬至 史閏四月八月庚寅朔日當食不見遼太康元年丙辰九年正月丁巳朔十一月己巳日巳正三刻四分内三十一秒冬至 史八月甲申朔遼史六月乙酉朔丁巳十年正月壬子朔十一月甲戌日申正二刻十分内一秒冬至 史十一月甲戌朔改元今推冬至日合遼史六月己夘朔閏十二月蓋循前例元豐戊午元年正月丙午朔十一月己夘日亥正一刻十五分内三十一秒冬至 史閏正月六月癸卯朔日食自嘉祐己亥四年至此二十年七閏蓋自梁天監戊子七年至此共三十章又宜移下一年於此乃變通之共三百六章此後章法當另數而周紀則如舊己未二年正月庚午朔十一月乙酉日寅正一刻六分内一秒冬至 史八月丙申朔庚申三年正月乙丑朔十一月庚寅日巳正初刻十一分内三十一秒冬至 史正月乙丑朔閏九月十一月己丑朔日食遼史十月己未朔辛酉四年正月己丑朔十一月乙未日申正初刻二分内一秒冬至 史十一月癸未朔日食壬戌五年正月癸未朔十一月庚子日亥初三刻七分内三十一秒冬至 史四月壬子朔日食癸亥六年正月丁丑朔十一月丙午日寅初二刻十三分内一秒冬至 史正月丁丑朔閏八月九月癸夘朔日食十一月丙午專祀昊天於圜邱今推冬至日合遼史四月丙午朔甲子七年正月辛丑朔十一月辛亥日巳初二刻三分内三十一秒冬至 厯志十一月辛亥景長今同遼史二月庚午朔乙丑八年正月乙未朔十一月丙辰日申初一刻九分内一秒冬至 史三月甲午朔遼大安元年哲宗皇帝元祐丙寅元年正月庚寅朔十一月辛酉日亥初初刻十四分内三十一秒冬至 史正月庚寅朔閏二月五月丁巳朔遼史六月丁亥朔自丁酉年至此十一閏又一紀丁夘二年正月甲寅朔十一月丁夘日寅初初刻五分内一秒冬至 遼史十二月己夘朔戊辰三年正月戊申朔十一月壬申日辰正三刻十分内三十一秒冬至 史十一月壬申景長今同閏十二月癸夘朔法應下年閏二月己巳四年正月壬申朔十一月丁丑日未正三刻一分内一秒冬至 史十一月丁丑日景長今同庚午五年正月丁夘朔十一月壬午日戌正二刻六分内三十一秒冬至 史十一月壬午景長今同辛未六年正月辛酉朔十一月戊子日丑正一刻十二分内一秒冬至 史五月己未朔日食閏八月是嵗行元祐觀天厯十一月戊子日冬至今同遼史七月戊午朔壬申七年正月乙酉朔十一月癸巳日辰正一刻二分内三十一秒冬至 史十一月癸巳冬至郊合祀天地今推至日合癸酉八年正月己夘朔十一月戊戌日未正初刻八分内一秒冬至 史七月丙子朔紹聖甲戌元年正月癸酉朔十一月癸卯日戌初三刻十三分内三十一秒冬至 三月壬申朔日食閏五月乙亥二年正月丁酉朔十一月己酉日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在斗三度之五十六分 遼壽隆元年五月乙未朔全史日至源流卷二十七
## 卷二十八
欽定四庫全書全史日至源流卷二十八山東道御史許伯政撰壬子運二十八(共二百一十六期毎期三百六十五日二時七刻五分十秒)冬至十四日八時三刻十三分五十七秒三十㣲小寒十四日八時四刻四分四十七秒三十㣲大寒十四日九時一刻十分二秒三十㣲立春十四日十時一刻六分二秒三十㣲雨水十四日十一時三刻四分二秒三十㣲驚蟄十五日零六刻十四分五十七秒三十㣲春分十五日二時三刻八分四十七秒三十㣲清明十五日四時零七分四十七秒三十㣲穀雨十五日五時四刻七分五十二秒三十㣲立夏十五日六時六刻十四分五十七秒三十㣲小滿十五日八時零二分五十二秒三十㣲芒種十五日八時三刻九分五十七秒三十㣲夏至十五日八時六刻十四分五十七秒三十㣲小暑十五日八時五刻二分五十七秒三十㣲大暑十五日八時零七分五十七秒三十㣲立秋十五日七時零十分五十七秒三十㣲處暑十五日五時六刻五分五十七秒三十㣲白露十五日四時三刻九分二秒三十㣲秋分十五日二時四刻十一分七秒三十㣲寒露十五日一時一刻八分二秒三十㣲霜降十四日十一時五刻四分五十七秒三十㣲立冬十四日十時一刻十一分七秒三十㣲小雪十四日九時二刻十二分零二秒三十㣲大雪十四日八時五刻九分五十七秒三十㣲丙子三年正月壬辰朔十一月甲寅日辰初二刻九分内一十一秒冬至丁丑四年正月丙戌朔十一月己未日未初一刻十四分内二十一秒冬至 史閏二月六月癸未朔日食遼史二月丙辰朔自元豐己未年至此為一章兩年一閏又六年兩閏又兩年一閏又九年三閏故當另數通共三百七章元符戊寅元年正月庚戌朔十一月甲子日戌初一刻四分内三十一秒冬至 史五月戊申朔六月戊寅朔十一月甲子郊今推至日合遼史十一月乙巳朔己卯二年正月甲辰朔十一月庚午日丑初初刻九分内四十一秒冬至 史閏九月遼史十月己亥朔庚辰三年正月戊辰朔十一月乙亥日夘正三刻十四分内五十一秒冬至 史四月丁酉朔日食七月丙寅朔徽宗皇帝建中靖國辛巳元年正月壬戌朔十一月庚辰日午正三刻五分内一秒冬至 史正月壬戌朔四月辛夘朔日食五月辛酉朔十一月庚辰合祀天地今推至日合遼史二月壬辰朔天祚帝立改是年為乾統元年六月庚寅朔崇寜壬午元年正月丁巳朔十一月乙酉日酉正二刻十分内一十一秒冬至 史閏六月甲寅朔癸未二年正月辛巳朔十一月辛卯日子正一刻十五分内二十一秒冬至 史天正冬至乙酉日今同見上年遼史正月辛巳朔甲申三年正月乙亥朔十一月丙申日夘正一刻五分内三十一秒冬至郊史六月壬寅朔十一月丙申今推至日合乙酉四年正月己巳朔十一月辛丑日午正初刻十分内四十一秒冬至 史閏二月紀天厯十一月辛丑日六十二刻冬至今推至日合丙戌五年正月癸巳朔十一月丙午日酉初三刻十五分内五十一秒冬至 史七月庚寅朔日當食不虧此年頒劉昺所造紀元新厯天正冬至辛丑日今同見上年大觀丁亥元年正月戊子朔十一月辛亥夜子初三刻六分内一秒冬至 史正月戊子朔十一月壬子朔日食蓋閏十月置閏應在次年正月後戊子二年正月壬子朔十一月丁巳日夘初二刻十一分内一十一秒冬至 史正月壬子朔五月庚戌朔日食十一月丁未朔己丑三年正月丙午朔十一月壬戌日午初二刻一分内二十一秒冬至 史二月丙子朔五月乙巳朔庚寅四年正月庚子朔十一月丁卯日酉初一刻六分内三十一秒冬至 應閏史九月丙寅朔日食十一月丁夘郊今推至日合政和辛卯元年正月甲子朔十一月壬申夜子初初刻十一分内四十一秒冬至 遼天慶元年壬辰二年正月戊午朔十一月戊寅日卯初初刻一分内五十一秒冬至 史正月戊午朔十一月戊寅日南至受圭於大慶殿今推至日合癸巳三年正月癸丑朔十一月癸未日巳正三刻七分内一秒冬至 史三月壬子朔日食閏三月十一月癸未郊今推至日合次年正月戊寅朔 此年五小月八大月遼史閏四月甲午四年正月戊寅朔十一月戊子日申正二刻十二分内一十一秒冬至 史正月戊寅朔乙未五年正月壬申朔十一月癸巳日亥正二刻二分内二十一秒冬至 史三月辛未朔七月戊辰朔日食遼史九月丁夘朔金太祖完顔旻収國元年五月庚午朔六月己亥朔丙申六年正月丙寅朔十一月己亥日寅正一刻七分内三十一秒冬至 遼史閏正月宋史九月辛卯朔十一月己亥郊今推至日合金史十二月庚申朔自丁夘年至此十一閏又一紀共三百八章丁酉七年正月庚寅朔十一月甲辰日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 史十月乙夘朔金天輔元年重和戊戌元年正月甲申朔十一月己酉日申正初刻二分内五十一秒冬至 史正月甲申朔五月壬午朔日食閏九月十月己夘朔十一月己酉朔金史二月癸丑朔閏月庚戌朔宣和己亥元年正月戊申朔十一月甲寅日亥初三刻八分内一秒冬至 史四月丙子朔日食五月丙午朔九月甲辰朔十一月乙夘郊今推冬至在甲寅亥初三刻遼史三月丁未朔庚子二年正月壬寅朔十一月庚申日寅初二刻十三分内一十一秒冬至 史十月戊辰朔日食辛丑三年正月丁酉朔十一月乙丑日巳初二刻三分内二十一秒冬至 史閏五月十二月辛夘朔遼史正月丁酉朔改保大元年金史四月乙丑朔壬寅四年正月辛酉朔十一月庚午日申初一刻八分内三十一秒冬至 史十一月庚午郊今推至日合金史六月戊子朔十月丙戌朔癸卯五年正月乙夘朔十一月乙亥日亥初初刻十三分内四十一秒冬至 史八月辛巳朔日食統天厯宣和五年十二月丙午大寒蓋用平氣推筭遼史四月甲申朔金史二月乙酉朔六月壬午朔自八月後太宗天㑹元年甲辰六年正月己酉朔十一月辛巳日寅初初刻三分内五十一秒冬至 金史正月庚戌朔三月己酉朔閏三月戊寅朔五月丁丑朔八月乙巳朔十月甲辰朔乙巳七年正月癸酉朔十一月丙戌日辰正三刻九分内一秒冬至 史十一月丙戌郊今推至日合是年二月遼亡金史正月癸酉朔欽宗皇帝靖康丙午元年正月丁夘朔十一月辛夘日未正二刻十四分内一十一秒冬至 史二月丁酉朔閏十一月壬辰朔十二月壬戌朔金史正月丁夘朔六月丙申朔法應下年閏正月丁未二年正月辛卯朔十一月丙申日戌正二刻四分内二十一秒冬至 史四月庚申朔五月庚寅朔六月己未朔七月己丑朔十月丁巳朔自五月後改建炎元年金正月辛夘朔五月庚寅朔天正冬至辛夘日今同見上年髙宗皇帝建炎戊申二年正月丙戌朔十一月壬寅日丑正一刻九分内二十一秒冬至 史十一月壬寅冬至祀昊天上帝於圜邱今推至日合己酉三年正月庚辰朔十一月丁未日辰正初刻十四分内四十一秒冬至 史正月庚辰朔二月庚戌朔三月己夘朔四月戊申朔五月戊寅朔閏八月九月丙午朔日食庚戌四年正月甲辰朔十一月壬子日未正初刻四分内五十一秒冬至 史八月辛未朔十一月壬子日南至遙拜二帝今推至日合紹興辛亥元年正月己亥朔十一月丁巳日戌初三刻十分内一秒冬至 金史正月己亥朔壬子二年正月癸巳朔十一月癸亥日丑初二刻十五分内一十一秒冬至 史正月癸巳朔閏四月癸丑三年正月丁巳朔十一月戊辰日辰初二刻五分内二十一秒冬至 史正月丁巳朔二月丁亥朔十二月辛巳朔甲寅四年正月辛亥朔十一月癸酉日未初一刻十分内三十一秒冬至 史正月辛亥朔四月庚辰朔十月丙子朔十一月癸酉冬至今同十二月乙亥朔乙夘五年正月乙巳朔十一月戊寅日戌初初刻十五分内四十一秒冬至 史正月乙巳朔日食閏二月十一月庚午朔戊寅有事南郊今推至日合此年布衣陳得一造新厯成賜名統元自丁酉年至此又一章共三百九章丙辰六年正月己巳朔十一月甲申日丑初初刻五分内五十一秒冬至 史正月己巳朔三月戊辰朔四月戊戌朔九月丙寅朔十二月丙午朔金熙宗初立不改元丁巳七年正月癸亥朔十一月己丑日夘正三刻十一分内一秒冬至 史正月癸亥閏二月癸巳朔日食三月癸亥朔閏十月此年五小月八大月戊午八年正月戊子朔十一月甲午日午正三刻一分内一十一秒冬至 史正月戊子朔七月乙酉朔金史天眷元年八月甲寅朔十月甲寅朔己未九年正月壬午朔十一月己亥日酉正二刻六分内二十一秒冬至 金史六月己酉朔九月戊寅朔庚申十年正月丙子朔十一月己巳日子正一刻十一分内三十一秒冬至 史閏六月癸酉朔八月壬申朔九月壬寅朔金史四月乙巳朔辛酉十一年正月庚子朔十一月庚戌日夘正一刻一分内四十一秒冬至 史三月庚子朔金皇統元年壬戌十二年正月乙未朔十一月乙卯日午正初刻六分内五十一秒冬至 史四月甲子朔金史五月癸巳朔癸亥十三年正月己丑朔十一月庚申日酉初三刻十二分内一秒冬至 史閏四月十一月庚申日南至合祀圜邱今推至日合十二月癸未朔日金史正月己丑朔五月丁巳朔甲子十四年正月癸丑朔十一月乙丑夜子初三刻二分内一十一秒冬至 史十二月丁丑朔金史正月癸丑朔五月辛亥朔乙丑十五年正月丁未朔閏十月辛未晦日夘初二刻七分内二十一秒冬至 史正月丁未朔六月乙亥朔日食八月甲戌朔閏十月應下年閏正月丙寅十六年正月辛未朔十一月丙子日午初一刻十三分内三十一秒冬至 史三月庚午朔十一月丙子合祀圜邱今推至日合金史四月庚子朔九月戊辰朔移上閏於此年自丁酉年至此十一閏又一紀丁夘十七年正月乙丑朔十一月辛巳日酉初一刻二分内四十一秒冬至 史十月辛卯朔日食十一月二十一日辛巳冬至見鮑彪戰國策序今推之合戊辰十八年正月庚申朔十一月丙戌夜子初初刻七分内五十一秒冬至 史四月戊子朔日食閏八月十一月乙酉朔己巳十九年正月甲申朔十一月壬辰日寅正一刻十三分内一秒冬至 史正月甲申朔三月癸未朔日食十一月壬辰合祀圜邱今推至日合金史十二月己酉朔廢帝天徳元年庚午二十年正月戊寅朔十一月丁酉日巳正三刻三分内一十一秒冬至 史八月甲辰朔金史二月戊申朔十二月癸卯朔辛未二十一年正月癸酉朔十一月壬寅日申正二刻八分内二十一秒冬至 史閏四月金史閏月辛未朔壬申二十二年正月丁酉朔十一月丁未日亥正一刻十三分内三十一秒冬至 史十一月戊申合祀圜邱今推冬至在丁未亥正一刻金史正月丁酉朔四月丙寅朔六月甲子朔八月癸亥朔十二月壬戌朔癸酉二十三年正月辛夘朔十一月癸丑日寅正一刻三分内四十一秒冬至 金史貞元元年正月辛夘朔十一月丙戌朔閏十二月宋史本年十一月有甲辰下年正月有戊寅蓋亦閏十二月是自丙辰年至此十八年七閏内五年再閏者有三矣甲戌二十四年正月甲寅朔十一月戌午日巳正初刻八分内五十一秒冬至 金史正月甲寅朔宋史五月癸丑朔日食移上於此年三百十章乙亥二十五年正月己酉朔十一月癸亥日申初三刻十四分内一秒冬至 史五月丁未朔日食十一月乙巳朔癸亥合祀圜邱今推至日合十一月甲戌朔金史四月丁丑朔十一月乙巳朔丙子二十六年正月癸卯朔十一月戊辰日亥初三刻四分内一秒冬至 史十月己巳朔閏十月金史二月癸酉朔改正隆元年三月壬寅朔閏月己亥朔丁丑二十七年正月丁夘朔十一月甲戌日寅初二刻九分内二十一秒冬至戊寅二十八年正月壬戌朔十一月己夘日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史三月辛酉朔日食八月戊子朔十一月己夘合祀圜邱今推至日合金史二月壬辰朔己夘二十九年正月丙辰朔十一月甲申日申初一刻四分内四十一秒冬至 史正月丙辰朔金史三月丙辰朔應閏庚辰三十年正月庚辰朔十一月己丑日亥初初刻九分内五十一秒冬至 史七月丁丑朔日食八月丙午朔日食十二月乙巳朔辛巳三十一年正月甲戌朔十一月乙未日丑正三刻十五分内一秒冬至 史九月庚午朔十月庚子朔十一月己巳朔金史十月後世宗大定元年壬午三十二年正月戊辰朔十一月庚子日辰正三刻五分内一十一秒冬至 史正月戊辰朔日食二月戊戌朔閏二月六月乙未晦八月乙丑朔金史九月甲午朔十一月癸巳朔孝宗皇帝隆興癸未元年正月壬辰朔十一月乙巳日未正二刻十分内二十一秒冬至 史正月壬辰朔三月壬辰朔六月庚申朔日食甲申二年正月丁亥朔十一月庚戌日戌正一刻十五分内三十一秒冬至 史三月丙戌朔六月甲寅朔日食閏十一月金史九月癸未朔十月癸丑朔閏月壬子朔應下年閏二月乾道乙酉元年正月辛亥朔十一月丙辰日丑正一刻五分内四十一秒冬至 史正月辛亥朔二月庚辰朔金史七月戊申朔十月丁丑朔十一月丙午朔丙戌二年正月乙巳朔十一月辛酉日辰正初刻十分内五十一秒冬至 史八月辛未朔十二月庚午朔此年改造大厯參新舊用之丁亥嵗天正冬至辛酉日今推至日合金史四月甲戌朔八月辛未朔九月辛丑朔丁亥三年正月庚子朔十一月丙寅日未正初刻一分内一秒冬至日躔在斗二度之五十六分 史閏七月十月乙未朔十一月丙寅合祀圜邱今推至日合金史九月乙丑朔十月乙未朔十一月乙丑朔戊子四年正月甲子朔十一月辛未日戌初三刻六分内一十一秒冬至 金史二月甲午朔十月己丑朔十二月戊子朔己丑五年正月戊午朔十一月丁丑日丑初二刻十一分内二十一秒冬至 史八月甲申朔日食十一月癸丑朔金史七月乙夘朔庚寅六年正月壬子朔十一月壬午日辰初二刻一分内三十一秒冬至 史閏五月十一月壬午合祀圜邱今推至日合辛夘七年正月丙子朔十一月丁亥日未初一刻六分内四十一秒冬至 史三月乙亥朔金史八月癸夘朔十一月丁亥有事於圜邱今推至日合壬辰八年正月庚午朔十一月壬辰日戌初初刻十一分内五十一秒冬至癸巳九年正月甲子朔十一月戊戌日丑初初刻二分内一秒冬至 史閏正月五月壬辰朔日食十一月戊戌合祀圜邱今推至日合自甲戌年至此二十年七閏縁前章短一年也此章復舊共三百十一章淳熙甲午元年正月戊子朔十一月癸夘日夘正三刻七分内一十一秒冬至 史六月丙辰朔十一月甲申朔日食金史五月丙戌朔十月乙夘朔乙未二年正月癸未朔十一月戊申日午正二刻十二分内二十一秒冬至 史六月庚戌朔九月己夘朔閏九月十一月戊申朔冬至今同十二月甲午立春其推筭節氣蓋平行無長短也金史閏月己酉朔自丁夘年至此十一閏一紀縮一年下起丙申丙申三年正月丁未朔十一月癸丑日酉正二刻二分内三十一秒冬至 史三月丙午朔日食十一月癸丑合祀圜邱今推至日合金史十一月壬寅朔十二月壬申朔丁酉四年正月壬寅朔十一月己未日子正一刻七分内四十一秒冬至 史五月庚子朔九月丁酉朔日食是年頒淳熙厯戊戌五年正月丙申朔十一月甲子日夘正初刻十二分内五十一秒冬至 史閏六月十二月庚寅朔金史二月丙寅朔己亥六年正月己未朔十一月己巳日午正初刻三分内一秒冬至 史二月己丑朔十一月乙夘朔朱子書伊川易傳後八月丙戌朔淳熙厯庚子嵗天正冬至己巳日金大明厯大定十九年己巳日六十四刻冬至今推至日同庚子七年正月甲寅朔十一月甲戌日酉初三刻八分内一十一秒冬至 金史十月庚辰朔辛丑八年正月戊申朔十一月己夘夜子初二刻十三分内二十一秒冬至 朱子書象山講喻義章後二月十日丁亥金史三月丁未朔壬寅九年正月壬申朔十一月乙酉日夘初二刻三分内三十一秒冬至 朱子古易後序六月庚子朔金史同癸卯十年正月丁夘朔十一月庚寅日午初一刻八分内四十一秒冬至 史十一月壬戌朔日食閏十一月應下年閏二月甲辰十一年正月辛夘朔十一月乙未日酉初初刻十三分内五十一秒冬至 史正月辛夘朔乙巳十二年正月乙酉朔十一月庚子夜子初初刻四分内一秒冬至 史十一月辛丑合祀圜邱今推冬至在庚子夜子初初刻十二月庚戌朔金史五月乙酉朔九月辛巳朔丙午十三年正月庚辰朔十一月丙午日寅正三刻九分内一十一秒冬至 史正月庚辰朔閏七月丙午朔八月乙亥朔十月甲戌朔金史九月甲辰朔十一月甲辰朔丁未十四年正月癸夘朔十一月辛亥日巳正二刻十四分内二十一秒冬至 史十一月辛亥冬至今推至日合金史九月己亥朔戊申十五年正月丁酉朔十一月丙辰日申正二刻四分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔八月甲子朔日食金史三月丁酉朔己酉十六年正月壬辰朔十一月辛酉日亥正一刻九分内四十一秒冬至 史二月辛酉朔日食閏五月金史正月壬辰朔三月辛夘朔六月己丑朔八月戊子朔十二月丙戌朔光宗皇帝紹熙庚戌元年正月丙辰朔十一月丁夘日寅正初刻十四分内五十一秒冬至 史正月丙辰朔是年更造新厯名曰㑹元十一月丁夘日冬至今同金章宗明昌元年九月壬子朔辛亥二年正月庚戌朔十一月壬申日巳正初刻五分内一秒冬至 史二月庚辰朔十月丙子朔十一月壬申合祭圜邱今推至日合金史正月庚戌朔壬子三年正月乙巳朔十一月丁丑日申初三刻十分内一十一秒冬至 史正月乙巳朔閏二月十一月丙子日南至今推冬至在丁丑申初三刻金史九月庚午朔共三百十二章癸丑四年正月己巳朔十一月壬午日亥初二刻十五分内二十一秒冬至 史正月己巳朔王孝禮言此年十一月冬至在十九日壬午今推之合金史二月戊戌朔三月戊辰朔四月丁酉朔五月丙寅朔九月甲子朔十二月甲午朔甲寅五年正月癸亥朔十一月戊子日寅初二刻五分内三十一秒冬至 史正月癸亥朔閏十月金史四月壬辰朔閏月戊午朔寧宗皇帝慶元乙夘元年正月丁亥朔十一月癸巳日巳初一刻十分内四十一秒冬至 史三月丙戌朔日食金史二月丁巳朔丙辰二年正月辛巳朔十一月戊戌日申初初刻十五分内五十一秒冬至 金承安元年五月庚辰朔九月丁丑朔十一月戊戌南郊改元今推至日合丁巳三年正月乙亥朔十一月癸夘日亥初初刻六分内一秒冬至 史閏六月十一月甲辰日南至祀圜邱今推冬至在癸夘亥初初刻金史五月甲戌朔七月壬寅朔十月庚午朔十一月甲辰南郊十二月己巳朔戊午四年正月己亥朔十一月己酉日丑正三刻十一分内一十一秒冬至 此年宋造新厯成賜名統天推己未嵗天正冬至在己酉日一十七刻今推日時皆合金史二月己巳朔十二月甲子朔己未五年正月甲午朔十一月甲寅日辰正三刻一分内二十一秒冬至 史十月庚申朔金史五月壬辰朔九月庚寅朔庚申六年正月戊子朔十一月己未日未正二刻六分内三十一秒冬至 應閏史六月乙酉朔日食五月乙夘朔七月乙夘朔十二月癸未朔改明年元嘉泰辛酉元年正月壬子朔十一月甲子日戌正一刻十一分内四十一秒冬至 金泰和元年九月戊申朔壬戌二年正月丙午朔十一月庚午日丑正一刻一分内五十一秒冬至 史五月甲辰朔日食閏十二月應下年閏二月癸亥三年正月庚午朔十一月乙亥日辰正初刻七分内一秒冬至 史四月己亥朔日食十一月乙亥祀圜邱今推至日合甲子四年正月乙丑朔十一月庚辰日未初三刻十一分内一十一秒冬至 史四月甲午朔金史二月乙未朔十二月己丑朔開禧己丑元年正月己未朔十一月乙酉日戌初三刻二分内二十一秒冬至 史四月戊子朔八月丙戌朔閏八月金史正月己未朔二月己丑朔丙申年至此十一閏為一紀丙寅二年正月癸未朔十一月辛夘日丑初二刻七分内三十一秒冬至 史五月辛巳朔金史六月辛亥朔十月戊申朔十二月丁未朔元太祖即帝位于幹難河之元年丁夘三年正月丁丑朔十一月丙申日辰初一刻十二分内四十一秒冬至 史三月丙子朔天正冬至辛夘日今同見上年金史六月乙巳朔十二月壬寅朔嘉定戊辰元年正月壬申朔十一月辛丑日未初一刻二分内五十一秒冬至 史閏四月金史十一月丁酉朔己巳二年正月丙申朔十一月丙午日戌初初刻八分内一秒冬至 史十一月辛夘朔金衞紹王大安元年二月乙丑朔庚午三年正月庚寅朔十一月壬子日子正三刻十三分分内一十一秒冬至 史六月丁巳朔日食辛未四年正月乙酉朔十一月丁巳日夘正三刻三分内二十一秒冬至 史閏二月十一月己酉朔日食金史正月己酉朔三百十三章壬申五年正月戊申朔十一月壬戌日午正二刻八分内三十一秒冬至 史八月甲戌朔十一月壬戌合祀圜邱今推至日合金崇慶元年癸酉六年正月癸夘朔十一月丁夘日酉正一刻十三分内四十一秒冬至 史八月己巳朔閏八月金至寜元年宣宗立政貞祐元年閏九月戊辰朔十月丁酉朔十二月丁酉朔甲戌七年正月丁夘朔十一月癸酉日子正一刻三分内五十一秒冬至 史七月甲子朔九月壬戌朔日食十月壬辰朔乙亥八年正月辛酉朔十一月戊寅日夘正初刻九分内一秒冬至 金史正月辛酉朔七月戊午朔八月戊子朔九月丁巳朔十二月乙酉朔丙子九年正月乙夘朔十一月癸未日午初三刻十四分内一十秒冬至 史二月甲申朔日食金史五月癸丑朔閏七月九月辛巳朔十一月庚辰朔丁丑十年正月己夘朔十一月戊子日酉初三刻四分内二十一秒冬至 史七月丙子朔日食金興定元年二月戊申朔十月甲辰朔戊寅十一年正月癸酉朔十一月癸巳夜子初二刻九分内三十一秒冬至己夘十二年正月戊辰朔十一月己亥日夘初一刻十四分内四十一秒冬至 史正月戊戌朔金史閏三月四月丙寅朔五月乙未朔六月甲子朔十一月癸巳朔授時推元太祖十五年庚辰嵗天正冬至己亥日今同庚辰十三年正月壬辰朔十一月甲辰日午初一刻四分内五十一秒冬至 史三月辛夘朔五月庚寅朔十月丁巳朔金史正月壬辰朔八月戊午朔辛巳十四年正月丙戌朔十一月己酉日酉初初刻十分内一秒冬至 史正月丙戌朔三月丙戌朔五月甲申朔日食閏十二月辛巳朔金史二月丙辰朔八月壬子朔十二月辛亥朔閏月辛巳朔應下年閏二月壬午十五年正月庚戌朔十一月甲寅日亥正三刻十五分内一十一秒冬至 史正月庚戌朔金天光元年五月戊申朔六月戊寅朔九月丙午朔十二月乙亥朔癸未十六年正月甲辰朔十一月庚申日寅正三刻五分内二十一秒冬至 史九月庚子朔日食金史正月甲辰朔三月甲辰朔四月癸酉朔五月癸夘朔七月壬寅朔九月庚子朔十二月己巳朔甲申十七年正月戊戌朔十一月乙丑日巳正二刻十分内三十一秒冬至 史六月丁卯朔閏八月金哀宗正大元年正月戊戌朔改元理宗皇帝寳慶乙酉元年正月壬戌朔十一月庚午日申正一刻十五分内四十一秒冬至 史正月壬戌朔四月辛夘朔丙戌二年正月丁巳朔十一月乙亥日亥正一刻五分内五十一秒冬至 史十一月丙子日南至今在乙亥日亥正一刻丁亥三年正月辛亥朔十一月辛巳日寅正初刻十一分内一秒冬至 史正月辛亥朔三月庚戌朔閏五月己夘朔六月戊申朔日食十一月辛巳日南至郊今推至日合金史六月戊申朔紹定戊子元年正月乙亥朔十一月丙戌日巳正初刻一分内一十一秒冬至 史六月壬寅朔日食金史二月乙巳朔十二月庚子朔己丑二年正月庚午朔十一月辛夘日申初三刻六分内二十一秒冬至 元太宗元年庚寅三年正月甲子朔十一月丙申日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 史閏二月十一月丙申日南至今同三百十四章辛夘四年正月戊子朔十一月壬寅日寅初二刻一分内四十一秒冬至 金史四月丁巳朔壬辰五年正月壬午朔十一月丁未日巳初一刻六分内五十一秒冬至 史閏九月十二月丙子朔金天興元年正月壬午朔六月庚戌朔七月庚辰朔八月己酉朔九月戊寅朔十一月丁未朔十二月丙子朔癸巳六年正月丙午朔十一月壬子日申初初刻十二分内一秒冬至 史九月壬寅朔日食金史正月丙午朔二月丙子朔七月癸夘朔八月癸酉朔九月癸夘朔十一月辛丑朔端平甲午元年正月庚子朔十一月丁巳日亥初初刻二分内一十一秒冬至 史正月庚子朔六月戊辰朔是嵗金亡乙未二年正月乙未朔十一月癸亥日丑正三刻七分内二十一秒冬至 史二月甲子朔日當食不虧應閏丙寅年至此十一閏又一紀丙申三年正月己未朔十一月戊辰日辰正二刻十二分内三十一秒冬至 史正月己未朔嘉禧丁酉元年正月癸丑朔十一月癸酉日未正二刻二分内四十一秒冬至 史十二月戊寅朔日食戊戌二年正月戊申朔十一月戊寅日戌正一刻七分内五十一秒冬至 史正月戊申朔閏四月己亥三年正月壬申朔十一月甲申日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗一度之五十六分 史八月戊戌朔庚子四年正月丙寅朔十一月己丑日辰正初刻三分内一十一秒冬至 史二月丙申朔六月甲午朔十二月有丙辰己未次年正月有甲辰丙午蓋閏十二月應下年閏二月淳祐辛丑元年正月庚寅朔十一月甲午日未初三刻八分内二十一秒冬至壬寅二年正月甲申朔十一月己亥日戌初二刻十三分内三十一秒冬至 史九月庚辰朔日食十一月己亥日南至雷電交作今推至日合此元太皇后稱制元年癸夘三年正月戊寅朔十一月乙巳日丑初二刻三分内四十一秒冬至 史三月丁丑朔日食閏八月甲辰四年正月壬寅朔十一月庚戌日辰初一刻八分内五十一秒冬至 史正月壬寅朔七月己亥朔乙巳五年正月丁酉朔十一月乙夘日未初初刻十四分内一秒冬至 史正月丁酉朔二月丙寅閏七月癸巳朔日食丙午六年正月辛夘朔十一月庚申日戌初初刻四分内一十一秒冬至 史正月辛夘朔日食閏四月元定宗元年丁未七年正月乙夘朔十一月丙寅日子正三刻九分内二十一秒冬至 史正月乙夘朔戊申八年正月己酉朔十一月辛未日夘正二刻十四分内三十一秒冬至己酉九年正月甲辰朔十一月丙子日午正二刻四分内四十一秒冬至 史閏三月四月壬寅朔日食十一月丙子日冬至今同三百十五章庚戌十年正月戊辰朔十一月辛巳日酉正一刻九分内五十一秒冬至 史十一月辛巳日南至今同辛亥十一年正月壬戌朔十一月丁亥日子正初刻十五分内一秒冬至 史九月有辛未十一月有丙申蓋閏十月當時厯象推十二月十七日酉正一刻立春壬申日也蓋用平氣推筭則其冬至時刻殆在丁亥日寅初今在子正初刻元憲宗元年壬子十二年正月丙戌朔十一月壬辰日夘正初刻五分内一十一秒冬至 史二月乙夘朔日食五月甲申朔十二月丁丑立春雷考其立春在申正三刻蓋亦用平氣法是年新製㑹天厯寳祐癸丑元年正月庚辰朔十一月丁酉日午初三刻十分内二十一秒冬至 史正月庚辰朔二月己酉朔日食六月戊申朔天正冬至壬辰日今同見上年甲寅二年正月乙亥朔十一月壬寅日酉初二刻十五分内三十一冬至 史閏六月十一月壬寅冬至忠王冠今推至日合乙夘三年正月己亥朔十一月丁未夜子初二刻五分内四十一秒冬至丙辰四年正月癸巳朔十一月癸丑日夘初一刻十分内五十一秒冬至丁巳五年正月丁亥朔十一月戊午日午初一刻一分内一秒冬至 史閏四月戊午六年正月辛亥朔十一月癸亥日酉初初刻六分内一十一秒冬至 史正月辛亥朔三月辛亥朔五月庚戌朔十月丙子朔開慶己未元年正月乙巳朔十一月戊辰日亥正三刻十一分内二十一秒冬至 史正月乙巳朔五月甲辰朔十月辛未朔閏十一月十二月己亥朔應下年閏二月景定庚申元年正月己巳朔十一月甲戌日寅正三刻一分内三十一秒冬至 史三月戊辰朔日食六月丁酉朔七月丁夘朔十二月甲午朔元世祖中統元年四月戊戌朔五月戊辰朔辛酉二年正月癸亥朔十一月己夘日巳正二刻六分内四十一秒冬至 史正月癸亥朔三月壬戌朔日朔日食十一月己未朔元史七月辛酉朔十月庚寅朔壬戌三年正月戊午朔十一月甲申日申正一刻十一分内五十一秒冬至 史正月戊午朔閏九月元史二月丁亥朔四月丙戌朔六月乙酉朔閏月甲申朔癸亥四年正月壬午朔十一月己丑日亥正一刻二分内一秒冬至 史正月壬午朔十二月丁未朔元史二月壬子朔四月庚戌朔八月戊申朔十二月丁未朔甲子五年正月丁丑朔十一月乙未日寅正初刻七分内一十一秒冬至 史正月丁丑朔六月甲辰朔元世祖至元元年八月壬寅朔度宗皇帝咸淳乙丑元年正月辛未朔十一月庚子日巳初三刻十二分内二十一秒冬至 史正月辛未朔日食閏五月元史二月辛丑朔六月戊辰朔丙申年至此十一閏又一紀丙寅二年正月乙未朔十一月乙巳日申初三刻二分内三十一秒冬至 元史十月庚申朔丁夘三年正月己丑朔十一月庚戌日亥初二刻七分内四十一秒冬至 史正月己丑朔五月丁亥朔日食戊辰四年正月癸未朔十一月丙辰日寅初一刻十二分内五十一秒冬至 史十月戊寅朔日食元史閏正月五月辛亥朔今推此年應閏三月三百十六章己巳五年正月丁未朔十一月辛酉日巳初一刻三分内一秒冬至庚午六年正月辛丑朔十一月丙寅日申初初刻八分内一十一秒冬至 史三月庚午朔日食閏十月臧元震言此年閏十月三十日丙寅申初三刻冬至當在十一月朔蓋譏閏月誤置大建也今推其日時皆合元史二月辛未朔八月戊辰朔閏十一月丁夘朔十二月丙申朔辛未七年正月乙丑朔十一月辛未日戌正三刻十三分内二十一秒冬至 史八月壬辰朔日食元史二月乙未朔七月壬戌朔十一月辛酉朔十二月辛夘朔壬申八年正月庚申朔十一月丁丑日丑正三刻三分内三十一秒冬至 史八月丙戌朔日食元史五月戊午朔十月丙戌朔十二月乙酉朔癸酉九年正月乙夘朔十一月壬午日辰正二刻八分内四十一秒冬至 史閏六月元史四月癸未朔五月壬子朔八月庚戌朔十二月己酉朔甲戌十年正月己夘朔十一月丁亥朔未正一刻十三分内五十一秒冬至 正月己夘朔十二月癸夘朔元史二月戊申朔孝恭皇帝徳祐乙亥元年正月癸酉朔十一月壬辰日戌正一刻四分内一秒冬至 史三月壬申朔六月庚子朔日食七月庚午朔八月己亥朔十一月丁夘朔元史四月壬寅朔五月辛未朔十月戊戌朔丙子二年正月丁夘朔十一月戊戌日丑正初刻九分内一十一秒冬至 史二月丁酉朔閏三月四月乙丑朔五月乙未朔六月甲子朔九月壬辰朔十月壬戌朔十二月辛酉朔是年正月遣御史劉岊楊應奎等奉表稱臣上大元皇帝尊號并上傳國璽削去帝號三月帝及全太后福王并宗室駙馬大臣庶僚諸生咸赴燕京朝於上都宋已亡矣故景炎祥興年號不復録元史正月丁夘朔元世祖皇帝至元丁丑十四年正月辛夘朔十一月癸夘日辰初三刻十四分内二十一秒冬至 史七月戊子朔八月戊午朔十月丙辰朔日食授時厯以天正推算戊寅冬至在癸夘日夜半後三十三刻今同又云丁丑嵗天正冬至在戊戌日夜半後八刻半即丙子年冬至今並同戊寅十五年正月乙酉朔十一月戊寅日未初三刻四分内三十一秒冬至 史五月癸未朔七月壬午朔八月壬子朔九月壬午朔閏十一月庚戌朔授時推此年冬至戊申日夜半後五十七刻半今推至日同己夘十六年正月己酉朔十一月癸丑日戌初二刻九分内四十一秒冬至 史二月戊寅朔三月戊申朔六月丁丑朔授時推冬至在癸丑日夜半後八十一刻今至日同庚辰十七年正月癸卯朔十一月己未日丑初一刻十四分内五十一秒冬至 史四月壬申朔六月辛未朔八月庚午朔十一月己亥朔是年朔厯成賜名授時十一月己未夜半後六刻冬至今在丑初一刻正合辛巳十八年正月戊戌朔十一月甲子日辰初一刻五分内一秒冬至 史七月甲午朔八月甲子朔閏八月癸巳朔十一月癸亥朔壬午十九年正月壬戌朔十一月己巳日未初初刻十分内一十一秒冬至 史正月壬戌朔二月辛夘朔五月己未朔六月己丑朔日食七月戊午朔九月丁巳朔十月丁亥朔癸未二十年正月丙辰朔十一月甲戌日酉正三刻十五分内二十一秒冬至 史七月癸丑朔甲申二十一年正月庚戌朔十一月庚辰日子正三刻五分内三十一秒冬至 史閏五月七月丁丑朔十二月甲辰朔乙酉二十二年正月甲戌朔十一月乙酉日夘正二刻十分内四十一秒冬至 史十一月己巳朔丙戌二十三年正月戊辰朔十一月庚寅日午正一刻十五分内五十一秒冬至 史正月戊辰朔六月丙申朔九月己丑朔十月甲午朔丁亥二十四年正月壬戌朔十一月乙未日酉正一刻六分内一秒冬至 史閏二月六月庚申朔十月戊午朔日食三百十七章戊子二十五年正月丙戌朔十一月辛丑日子正初刻十一分内一十一秒冬至 史七月甲申朔九月癸未朔己丑二十六年正月辛巳朔十一月丙午日夘正初刻一分内二十一秒冬至 史二月辛亥朔三月庚辰朔日食六月戊申朔七月戊寅朔閏十月十一月丙午朔庚寅二十七年正月乙巳朔十一月辛亥日午初三刻六分内三十一秒冬至 史二月乙亥朔四月癸酉朔六月壬申朔八月辛未朔日食辛夘二十八年正月庚子朔十一月丙辰日酉初二刻十一分内四十一秒冬至 史三月己亥朔六月丁夘朔七月丙申朔八月乙丑朔十月乙丑朔壬辰二十九年正月甲午朔十一月辛酉夜子初二刻一分内五十一秒冬至 史正月甲午朔日食二月甲子朔閏六月辛夘朔七月庚申朔十月戊子朔癸巳三十年正月戊午朔十一月丁夘日夘初一刻七分内一秒冬至 史五月丙辰朔九月癸丑朔十月癸未朔十一月壬子朔甲午三十一年正月壬子朔十一月壬申日午初初刻十二分内一十一秒冬至 史正月壬子朔五月庚戌朔六月庚辰朔日食十一月丁未朔考是嵗節氣正月一日壬子立春二月二日癸未驚蟄三月三日癸丑清明四月四日甲申立夏五月五日甲寅芒種六月六日乙酉小暑七月七日乙夘立秋八月八日乙酉白露九月九日丙辰寒露十月十日丙戌立冬十一月十一日丁巳大雪十二月十二日丁亥小寒是其推筭節氣亦秦漢以來平行法也說具首卷下成宗皇帝元貞乙未元年正月丙午朔十一月丁丑日酉初初刻二分内二十一秒冬至 史三月乙巳朔閏四月丙寅年至此十一閏又一紀丙申二年正月庚午朔十一月壬午日亥正三刻七分内三十一秒冬至 史二月己亥朔五月戊辰朔八月丁酉朔大徳丁酉元年正月甲子朔十一月戊子日寅正二刻十二分内四十一秒冬至 史四月癸巳朔日食九月辛酉朔閏十二月應下年閏二月戊戌二年正月戊子朔十一月癸巳日巳正二刻二分内五十一秒冬至 史三月丁亥朔己亥三年正月癸未朔十一月戊戌日申正一刻八分内一秒冬至 史正月癸未朔二月癸丑朔十月己夘朔八月己酉朔奏日食不應庚子四年正月丁丑朔十一月癸夘日亥正初刻十三分内一十一秒冬至 二月丁未朔日食七月甲戌朔八月癸夘朔閏八月十一月壬寅朔辛丑五年正月辛丑朔十一月己酉日寅正初刻三分内二十一秒冬至 史七月戊戌朔十月丙寅朔壬寅六年正月乙未朔十一月甲寅日巳初三刻八分内三十一秒冬至 史四月乙丑朔六月癸亥朔日食七月癸巳朔十二月庚申朔癸夘七年正月庚寅朔十一月己未日申初二刻十三分内四十一秒冬至 史三月己丑朔閏五月戊午朔日食十一月甲寅朔十二月甲申朔甲辰八年正月甲寅朔十一月甲子日亥初二刻三分内五十一秒冬至 史五月癸丑朔日食乙巳九年正月戊申朔十一月庚午日寅初一刻九分内一秒冬至 史三月丁未朔六月丙子朔七月乙巳朔十一月庚午祀昊天上帝於南郊今推至日合丙午十年正月壬寅朔十一月乙亥日巳初初刻十四分内一十一秒冬至 史正月壬寅朔閏正月應閏三月四月庚子朔三百十八章丁未十一年正月丙寅朔十一月庚辰日申初初刻四分内二十一秒冬至 史正月丙寅朔六月癸巳朔七月癸亥朔十二月壬辰朔武宗皇帝至大戊申元年正月辛酉朔十一月乙酉日戌正三刻九分内三十一秒冬至 史正月辛酉朔閏十一月己酉二年正月乙酉朔十一月辛夘日丑正二刻十四分内四十一秒冬至 史九月庚辰朔十月庚戌朔十一月庚辰朔庚戌三年正月己夘朔十一月丙申日辰正二刻四分内五十一秒冬至 史三月己夘朔六月丁未朔十月甲辰朔十一月甲戌朔丙申有事於南郊今推至日合十二月甲辰朔辛亥四年正月癸酉朔十一月辛丑日未正一刻十分内一秒冬至日躔在斗初度之五十六分 史正月癸酉朔七月辛未朔閏七月九月己亥朔十月戊辰朔全史日至源流卷二十八
## 卷二十九
欽定四庫全書全史日至源流卷二十九山東道御史許伯政撰壬子運二十九(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻四分五十秒)冬至十四日八時三刻十三分五十六秒四十微小寒十四日八時四刻四分四十六秒四十微大寒十四日九時一刻十分一秒四十微立春十四日十時一刻六分一秒四十微雨水十四日十一時三刻四分一秒四十微驚蟄十五日零六刻十四分五十六秒四十微春分十五日二時三刻八分四十六秒四十微清明十五日四時零七分四十六秒四十微穀雨十五日五時四刻七分五十一秒四十微立夏十五日六時六刻十四分五十六秒四十微小滿十五日八時零二分五十一秒四十微芒種十五日八時三刻九分五十六秒四十微夏至十五日八時六刻十四分五十六秒四十微小暑十五日八時五刻二分五十六秒四十微大暑十五日八時零七分五十六秒四十微立秋十五日七時零十分五十六秒四十微處暑十五日五時六刻五分五十六秒四十微白露十五日四時三刻九分一秒四十微秋分十五日二時四刻十一分六秒四十微寒露十五日一時一刻八分一秒四十微霜降十四日十一時五刻四分五十六秒四十微立冬十四日十時二刻十一分六秒四十微小雪十四日九時二刻十二分一秒四十微大雪十四日八時五刻九分五十六秒四十微仁宗皇帝皇慶壬子元年正月丁酉朔十一月丙午日戌正初刻十四分内五十一秒冬至 史二月丁夘朔三月丁酉朔五月丙申朔六月乙丑朔日食癸丑二年正月辛夘朔十一月壬子日丑正初刻四分内四十一秒冬至 史六月己未朔七月己丑朔八月戊午朔延祐甲寅元年正月乙酉朔十一月丁巳日辰初三刻九分内三十一秒冬至 史閏三月四月甲申朔乙夘二年正月己酉朔十一月壬戌日未初二刻十四分内二十一秒冬至 史二月己夘朔四月戊寅朔日食五月戊寅朔十月丙子朔丙辰三年正月甲辰朔十一月丁夘日戌初二刻四分内一十一秒冬至 史四月癸酉朔丁巳四年正月己亥朔十一月癸酉日丑初一刻九分内一秒冬至 史閏正月三月丁夘朔十月甲午朔前此皆上年冬置閏至此乃移置之然授時用平氣故閏正月今法當閏三月其章法兩年一閏九年三閏又兩年一閏六年兩閏戊午五年正月癸亥朔十一月戊寅日辰初初刻十三分内五十一秒冬至 史二月癸巳朔日食五月辛酉朔七月己未朔己未六年正月丁巳朔十一月癸未日未初初刻三分内四十一秒冬至 史二月丁亥朔日食閏八月庚申七年正月辛巳朔十一月戊子日酉正三刻八分内三十一秒冬至 史正月辛巳朔日食八月丁未朔十一月丙子朔十二月乙巳朔英宗皇帝至治辛酉元年正月乙亥朔十一月甲午日子正二刻十三分内二十一秒冬至 史六月癸夘朔日食壬戌二年正月己巳朔十一月己亥日夘正二刻三分内一十一秒冬至 史二月己亥朔閏五月六月丁夘朔十一月甲午朔日食癸亥三年正月癸巳朔十一月甲辰日午正一刻八分内一秒冬至 史正月癸巳朔二月癸亥朔三月壬辰朔七月辛夘朔十一月己丑朔泰定皇帝泰定甲子元年正月戊子朔十一月己酉日酉正初刻十二分内五十一秒冬至 史二月丁巳朔三月丁亥朔六月乙夘朔十二月癸丑朔乙丑二年正月壬午朔十一月乙夘日子正初刻二分内四十一秒冬至 史閏正月壬子朔六月己夘朔七月戊申朔九月戊申朔十月戊寅朔三百十九章丙申年至此十一閏又一紀丙寅三年正月丙午朔十一月庚申日夘初三刻七分内三十一秒冬至 史正月丙午朔三月乙巳朔五月甲辰朔六月癸酉朔十月辛未朔丁夘四年正月庚子朔十一月乙丑日午初二刻十二分内二十一秒冬至 史九月丙申朔日食閏九月致和戊辰元年正月甲子朔十一月庚午日酉初二刻二分内一十一秒冬至 史七月辛酉朔九月庚申朔十月己丑朔十二月己丑朔是年九月後天歴元年文宗皇帝天厯己巳二年正月己未朔十一月乙亥夜子初一刻七分内一秒冬至 史正月己未朔三月戊午朔五月丁巳朔六月丁亥朔七月丙辰朔日食八月乙酉朔九月乙夘朔十月甲申朔至順庚午元年正月癸丑朔十一月辛巳日夘初初刻十一分内五十一秒冬至 史二月壬午朔四月壬午朔六月辛巳朔閏七月庚辰朔十月戊申朔辛未二年正月丁丑朔十一月丙戌日午初初刻一分内四十一秒冬至 史三月丙子朔四月丙午朔六月乙巳朔七月甲戌朔八月甲辰朔九月癸酉朔十一月壬申朔日食壬申三年正月辛未朔十一月辛夘日申正三刻六分内三十一秒冬至 史二月辛丑朔三月庚午朔五月己巳朔六月己亥朔七月戊辰朔十月寧宗即位十一月崩無年號順帝(癸酉年六月即位)元統癸酉元年正月丙寅朔十一月丙申日亥正一刻十一分内一十一秒冬至 應閏史十一月辛夘朔甲戌二年正月庚寅朔十一月壬寅日寅正二刻一分内一十一秒冬至 史正月庚寅朔二月己未朔三月己丑朔四月戊午朔日食八月丙辰朔十月乙夘朔至元乙亥元年正月甲申朔十二月丁未日巳正一刻六分内一秒冬至 史二月甲寅朔三月癸未朔四月癸丑朔五月壬午朔七月辛巳朔八月辛亥朔閏十二月此冬不應閏丙子二年正月戊申朔十一月壬子日申正初刻十分内五十一秒冬至 史四月丁丑朔五月丙午朔八月甲戌朔日食丁丑三年正月壬寅朔十一月丁巳日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 史二月壬申朔日食戊寅四年正月丙申朔十一月癸亥日寅初二刻五分内三十一秒冬至 史八月癸亥朔日食閏八月己夘五年正月庚申朔十一月戊辰日巳初二刻十分内二十一秒冬至庚辰六年正月甲寅朔十一月癸酉日申初一刻十五分内一十一秒冬至至正辛巳元年正月己酉朔十一月戊寅日亥初一刻五分内一秒冬至 史正月己酉朔閏五月壬午二年正月癸酉朔十一月甲申日寅初初刻九分内五十一秒冬至 史八月庚子朔日食十月庚子朔日食癸未三年正月丁夘朔十一月己丑日辰正三刻十四分内四十一秒冬至 史四月丙申朔日食八月甲午朔甲申四年正月壬戌朔十一月甲午日未正三刻四分内三十一秒冬至 史閏二月七月戊子朔九月丁亥朔日食十一月丁亥朔三百二十章乙酉五年正月丙戌朔十一月己亥日戌正二刻九分内二十一秒冬至 史九月壬午朔日食丙戌六年正月庚辰朔十一月乙巳日丑正一刻十四分内一十一秒冬至 史二月庚戌朔日食閏十月丁亥七年正月甲辰朔十一月庚戌日辰正一刻四分内一秒冬至 史正月甲辰朔日食二月甲戌朔戊子八年正月戊戌朔十一月乙夘日未正初刻八分内五十一秒冬至 史正月戊戌朔五月丁酉朔六月丙寅朔七月丙申朔日食己丑九年正月壬辰朔十一月庚申日戌初三刻十三分内四十一秒冬至 應閏十一月戊午朔日食庚寅十年正月丙辰朔十一月丙寅日丑初三刻三分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔九月癸丑朔十一月壬子朔日食十二月壬午朔辛夘十一年正月辛亥朔十一月辛未日辰初二刻八分内二十一秒冬至 史五月己酉朔日食八月丁丑朔十二月丙子朔壬辰十二年正月丙午朔十一月丙子日未初一刻十三分内一十一秒冬至 史二月乙亥朔三月乙巳朔閏三月四月癸夘朔日食五月癸酉朔癸巳十三年正月庚午朔十一月辛巳日戌初一刻三分内一秒冬至 史正月庚午朔六月丙申朔九月乙丑朔日食甲午十四年正月甲子朔十一月丁亥日丑初初刻七分内五十一秒冬至史正月甲子朔三月癸亥朔日食四月癸巳朔六月辛夘朔九月己未朔乙未十五年正月戊午朔十一月壬辰日夘正三刻十二分内四十一秒冬至 史閏正月十二月壬子朔丙寅年至此十一閏又一紀丙申十六年正月壬午朔十一月丁酉日午正三刻二分内三十一秒冬至 史七月己夘朔十二月丙午朔丁酉十七年正月丙子朔十一月壬寅日酉正二刻七分内二十一秒冬至 史正月丙子朔日食三月乙亥朔六月甲辰朔閏九月戊戌十八年正月庚子朔十一月戊申日子正一刻十二分内一十一秒冬至 史二月己巳朔三月己亥朔五月戊戌朔六月戊辰朔日食七月丁酉朔九月丁酉朔十一月乙未朔十二月乙丑朔日食己亥十九年正月甲午朔十一月癸丑日夘正一刻二分内一秒冬至 史正月甲午朔三月癸巳朔四月癸亥朔五月壬辰朔七月壬辰朔八月辛酉朔十月庚申朔庚子二十年正月己丑朔十一月戊午日午正初刻六分内五十一秒冬至 史正月己丑朔二月戊午朔三月戊子朔五月丁亥朔日食閏五月九月乙夘朔十月甲申朔十一月甲寅朔辛丑二十一年正月癸丑朔十一月癸亥日酉初三刻十一分内四十一秒冬至 史正月癸丑朔二月癸未朔四月辛巳朔日食壬寅二十二年正月戊申朔十一月戊辰夜子初二刻一分内三十一秒冬至 史正月戊申朔四月丙子朔五月乙巳朔九月癸夘朔十月壬申朔癸夘二十三年正月壬寅朔十一月甲戌日夘初二刻六分内二十一秒冬至 史正月壬寅朔三月辛丑朔閏三月五月己巳朔六月戊戌朔七月戊辰朔八月丁酉朔十月丙申朔三百二十一章甲辰二十四年正月丙寅朔十一月己夘日午初一刻十一分内一十一秒冬至 史四月甲午朔八月壬辰朔日食九月辛酉朔乙巳二十五年正月庚申朔十一月甲申日酉初一刻一分内一秒冬至 史八月丁亥朔閏十月丙午二十六年正月甲申朔十一月己丑夜子初初刻五分内五十一秒冬至 史二月癸丑朔六月壬子朔七月辛巳朔日食丁未二十七年正月戊寅朔十一月乙未日寅正三刻十分内四十一秒冬至 史三月丁丑朔五月丙子朔六月丙午朔日食九月甲戌朔十月甲辰朔十二月癸夘朔日食明太祖髙皇帝洪武戊申元年正月壬申朔十一月庚子日巳正二刻十五分内三十一秒冬至 元史正月壬申朔二月壬寅朔五月庚午朔六月庚子朔七月己巳朔閏七月己亥朔十一月庚子始祀上帝於圜邱今推至日合行大統厯己酉二年正月丙申朔十一月乙巳日申正二刻五分内二十一秒冬至 史二月丙寅朔五月甲午朔日食十一月乙巳祀圜邱今推至日合庚戌三年正月辛夘朔十一月庚戌日亥正一刻十分内一十一秒冬至 史六月戊午朔十一月庚戌有事於圜邱今推至日合辛亥四年正月乙酉朔十一月丙辰日寅正初刻十五分内一秒冬至 史三月乙酉朔應閏天文志六月壬午朔九月庚戌朔日食十一月丙辰有事於圜邱今推至日合壬子五年正月己酉朔十一月辛酉日巳正初刻四分内五十一秒冬至 史十一月辛酉有事於圜邱今推至日合癸丑六年正月癸夘朔十一月丙寅日申初三刻九分内四十一秒冬至 史三月癸夘朔日食十一月戊戌朔丙寅冬至改小郊今推至日合閏十一月應次年閏二月甲寅七年正月丁夘朔十一月辛未日亥初二刻十四分内三十一秒冬至 史二月丁酉朔日食八月甲午朔十一月辛未有事於圜邱今推至日合乙夘八年正月辛酉朔十一月丁丑日寅初二刻四分内二十一秒冬至 史七月己未朔日食十一月丁丑有事於圜邱今推至日合丙辰九年正月丙辰朔十一月壬午日巳初一刻九分内一十一秒冬至 史七月癸丑朔日食閏九月十一月壬午有事於圜邱今推至日合丁巳十年正月庚辰朔十一月丁亥日申初初刻十四分内一秒冬至 史十一月丁亥合祀天地於奉先殿今推丁亥冬至日十二月乙夘朔日食此後南郊皆在正月戊午十一年正月甲戌朔十一月壬辰日亥初初刻三分内五十一秒冬至 五行志正月元旦甲戌九月庚午朔己未十二年正月戊辰朔十一月戊戌日丑正三刻八分内四十一秒冬至 史天文志三月戊辰朔閏五月庚申十三年正月壬辰朔十一月癸夘日辰正二刻十三分内三十一秒冬至 史二月壬戌朔辛酉十四年正月丁亥朔十一月戊申日未正二刻三分内二十一秒冬至 史九月壬午朔十月壬子朔日食壬戌十五年正月辛巳朔十一月癸丑日戌正一刻八分内一十一秒冬至 史閏二月九月丁未朔三百二十二章癸亥十六年正月乙巳朔十一月己未日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在箕餘分之一十六分 史八月壬申朔日食甲子十七年正月己亥朔十一月甲子日辰正初刻二分内五十一秒冬至 史三月戊戌朔閏十月丙申年至此十一閏一紀縮一年下起乙丑乙丑十八年正月癸亥朔十一月己巳日未初三刻七分内四十一秒冬至丙寅十九年正月丁巳朔十一月甲戌日戌初二刻十二分内三十一秒冬至 史十月甲申朔十二月癸未朔日食丁夘二十年正月壬子朔十一月庚辰日丑初二刻二分内二十一秒冬至 史閏六月天文志二月壬午朔戊辰二十一年正月丙子朔十一月乙酉日辰初一刻七分内一十一秒冬至 史五月甲戌朔日食己巳二十二年正月庚午朔十一月庚寅日未初初刻十二分内一秒冬至 史九月丙寅朔日食庚午二十三年正月甲子朔十一月乙未日戌初初刻一分内五十一秒冬至 史閏四月九月庚寅朔日食辛未二十四年正月戊子朔十一月辛丑日子正三刻六分内四十一秒冬至 史三月戊子朔日食壬申二十五年正月癸未朔十一月丙午日夘正二刻十一分内三十一秒冬至 天文志九月己夘朔史閏十二月應下年閏二月癸酉二十六年正月丁未朔十一月辛亥日午正二刻一分内二十一秒冬至 史七月甲辰朔日食天文志二月丙子朔甲戌二十七年正月辛丑朔十一月丙辰日酉正一刻六分内一十一秒冬至乙亥二十八年正月乙未朔十一月壬戌日子正初刻十一分内一秒冬至 天文志閏九月丙子二十九年正月己未朔十一月丁夘日夘初三刻十五分内五十一秒冬至 天文志七月丙辰朔丁丑三十年正月甲寅朔十一月壬申日午初三刻五分内四十一秒冬至 史五月壬子朔日食天文志八月庚辰朔戊寅三十一年正月戊申朔十一月丁丑日酉初二刻十分内三十一秒冬至 史閏五月天文志五月丁未朔恭閔惠皇帝建文己夘元年正月壬申朔十一月壬午夜子初一刻十五分内二十一秒冬至庚辰二年正月丙寅朔十一月戊子日夘初一刻五分内一十一秒冬至 史正月丙寅朔三月丙寅朔日食辛巳三年正月辛酉朔十一月癸巳日午初初刻十分内一秒冬至 史正月辛酉朔閏三月三百二十三章壬午四年正月甲申朔十一月戊戌日申正三刻十四分内五十一秒冬至 史七月壬午朔天文志九月辛巳朔成祖文皇帝永樂癸未元年正月己夘朔十一月癸夘日亥正三刻四分内四十一秒冬至 史正月己夘朔四月丁未朔九月丙午朔十一月乙亥朔閏十一月甲申二年正月癸夘朔十一月己酉日寅正二刻九分内三十一秒冬至 史四月辛未朔五月辛丑朔乙酉三年正月丁酉朔十一月甲寅日巳正一刻十四分内二十一秒冬至 天文志三月丙申朔十一月癸巳朔丙戌四年正月壬辰朔十一月己未日申正一刻四分内一十一秒冬至 史三月辛夘朔五月庚寅朔六月己未朔日食閏七月丁亥五年正月丙辰朔十一月甲子日亥正初刻九分内一秒冬至 五行志十一月辛亥朔戊子六年正月庚戌朔十一月庚午日寅初三刻十三分内五十一秒冬至 天文志正月庚戌朔二月庚辰朔己丑七年正月甲辰朔十一月乙亥日巳初三刻三分内四十一秒冬至 史四月癸酉朔閏四月九月庚午朔日食庚寅八年正月戊辰朔十一月庚辰日申初二刻八分内二十一秒冬至辛夘九年正月壬戌朔十一月乙酉日亥初一刻十三分内二十一秒冬至 史閏十二月應下年閏二月壬辰十年正月丙戌朔十一月辛夘日寅初一刻三分内一十一秒冬至癸巳十一年正月辛巳朔十一月丙申日巳初初刻八分内一秒冬至 史正月辛巳朔日食六月戊申朔甲午十二年正月乙亥朔十一月辛丑日未正三刻十二分内五十一秒冬至 史四月甲辰朔八月辛丑朔閏九月乙丑年至此十一閏為一紀乙未十三年正月己亥朔十一月丙午日戌正三刻二分内四十一秒冬至 史五月丁酉朔日食天文志十月乙丑朔丙申十四年正月甲午朔十一月壬子日丑正二刻七分内三十一秒冬至丁酉十五年正月戊子朔十一月丁巳日辰正一刻十二分内二十一秒冬至 史五月有丙戌六月有丁酉閏五月也戊戌十六年正月壬子朔十一月壬戌日未正一刻二分内一十一秒冬至己亥十七年正月丙午朔十一月丁夘日戌正初刻七分内一秒冬至庚子十八年正月庚子朔十一月癸酉日丑初三刻十一分内五十一秒冬至 史閏正月應閏二月八月丁酉朔日食三百二十四章辛丑十九年正月甲子朔十一月戊寅日辰初三刻一分内四十一秒冬至 史正月甲子朔八月辛夘朔日食壬寅二十年正月己未朔十一月癸未日未初二刻六分内三十一秒冬至 史正月己未朔日食閏十二月自此年以後置閏應在下年正月後章法又當小變癸夘二十一年正月癸未朔十一月戊子日戌初一刻十一分内二十一秒冬至 史六月庚戌朔日食甲辰二十二年正月丁丑朔十一月甲午日丑初一刻一分内一十一秒冬至 史十一月壬申朔仁宗皇帝洪熙乙巳元年正月壬申朔十一月己亥日辰初初刻六分内一秒冬至 史正月壬申朔閏七月宣宗皇帝宣徳丙午元年正月丙申朔十一月甲辰日午正三刻十分内五十一秒冬至 史五月甲午朔丁未二年正月庚寅朔十一月己酉日酉正二刻十五分内四十一秒冬至 天文志八月丙辰朔戊申三年正月甲申朔十一月乙夘日子正二刻五分内三十一秒冬至 史閏四月己酉四年正月戊申朔十一月庚申日夘正一刻十分内二十一秒冬至庚戌五年正月壬寅朔十一月乙丑日午正初刻十五分内一十一秒冬至 史八月己巳朔日食閏十二月應下年閏二月辛亥六年正月丙寅朔十一月庚午日酉正初刻五分内一秒冬至壬子七年正月辛酉朔十一月乙亥夜子初三刻九分内五十一秒冬至 史正月辛酉朔日食癸丑八年正月乙夘朔十一月辛巳日夘初二刻十四分内四十一秒冬至 史閏八月甲寅九年正月己夘朔十一月丙戌日午初二刻四分内三十一秒冬至乙夘十年正月癸酉朔十一月辛夘日酉初一刻九分内二十一秒冬至 史正月癸酉朔十一月戊辰朔日食英宗皇帝正統丙辰元年正月丁夘朔十一月丙申夜子初初刻十四分内一十一秒冬至 史四月丁酉朔閏六月丁巳二年正月辛夘朔十一月壬寅日夘初初刻四分内一秒冬至戊午三年正月丙戌朔十一月丁未日巳正三刻八分内五十一秒冬至己未四年正月庚辰朔十一月壬子日申正二刻十三分内四十一秒冬至 史閏二月己夘朔三百二十五章庚申五年正月甲辰朔十一月丁巳日亥正二刻三分内三十一秒冬至 五行志十月庚午朔辛酉六年正月己亥朔十一月癸亥日寅正一刻八分内二十一秒冬至 史正月己亥朔日當食不見十一月甲午朔閏十一月應下年閏正月壬戌七年正月癸亥朔十一月戊辰日巳正初刻十三分内一十一秒冬至癸亥八年正月丁巳朔十一月癸酉日申正初刻三分内一秒冬至甲子九年正月辛亥朔十一月戊寅日亥初三刻七分内五十一秒冬至 史三月辛亥朔閏七月十月丙午朔日食乙未年至此十一閏又一紀乙丑十年正月乙亥朔十一月甲申日寅初二刻十二分内四十一秒冬至 史四月甲辰朔日食丙寅十一年正月己巳朔十一月己丑日巳初二刻二分内三十一秒冬至 五行志十月乙未朔丁夘十二年正月甲子朔十一月甲午日申初一刻七分内二十一秒冬至 五行志閏四月八月甲申朔日食戊辰十三年正月戊子朔十一月己亥日亥初初刻十二分内一十一秒冬至己巳十四年正月壬午朔十一月乙巳日寅初初刻二分内一秒冬至 天文志七月己夘朔十二月丁未朔景皇帝景泰庚午元年正月丁丑朔十一月庚戌日辰正三刻六分内五十一秒冬至 史正月丁丑朔閏正月辛未二年正月辛丑朔十一月乙夘日未正二刻十一分内四十一秒冬至 史六月戊辰朔日當食不見天文志二月庚午朔壬申三年正月乙未朔十一月庚申日戌正二刻一分内三十一秒冬至 史三月甲午朔五月癸巳朔閏九月十一月己未朔日食癸酉四年正月己未朔十一月丙寅日丑正一刻六分内二十一秒冬至甲戌五年正月癸丑朔十一月辛未日辰正初刻十一分内一十一秒冬至 史四月壬午朔日食乙亥六年正月丁未朔十一月丙子日未正初刻一分内一秒冬至日躔在箕八度之一十六分 史四月丙子朔日食五月乙巳朔閏六月丙子七年正月辛未朔十一月辛巳日戌初三刻五分内五十一秒冬至英宗復位天順丁丑元年正月乙丑朔十一月丁亥日丑初二刻十分内四十一秒冬至 史二月乙未朔四月甲午朔六月癸巳朔戊寅二年正月庚申朔十一月壬辰日辰初一刻十五分内三十一秒冬至 史閏二月三百二十六章己夘三年正月甲申朔十一月丁酉日未初一刻五分内二十一秒冬至庚辰四年正月戊寅朔十一月壬寅日戌初初刻十分内一十一秒冬至 史七月乙亥朔日食閏十一月應下年閏正月辛巳五年正月壬寅朔十一月戊申日子正三刻十五分内一秒冬至 史七月己亥朔十一月丁酉朔日食壬午六年正月丙申朔十一月癸丑日夘正三刻四分内五十一秒冬至癸未七年正月庚寅朔十一月戊午日午正二刻九分内四十一秒冬至 史五月己丑朔日食閏七月戊午朔十一月乙夘朔天文志二月庚申朔甲申八年正月甲寅朔十一月癸亥日酉正一刻十四分内三十一秒冬至 史三月甲寅朔四月癸未朔日當食不見憲宗皇帝成化乙酉元年正月己酉朔十一月己巳日子正一刻四分内二十一秒冬至 史十二月有癸夘晦日也丙戌二年正月甲辰朔十一月甲戌日夘正初刻九分内一十一秒冬至 史閏三月丁亥三年正月戊辰朔十一月己夘日午初三刻十四分内一秒冬至 史二月丁酉朔日食戊子四年正月壬戌朔十一月甲申日酉初三刻三分内五十一秒冬至己丑五年正月丙辰朔十一月己丑夜子初二刻八分内四十一秒冬至 史天文志閏二月六月癸丑朔日食庚寅六年正月庚辰朔十一月乙未日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 史六月戊申朔日食辛夘七年正月甲戌朔十一月庚子日午初一刻三分内二十一秒冬至 史閏九月壬辰八年正月戊戌朔十一月乙巳日酉初初刻八分内一十一秒冬至癸巳九年正月壬辰朔十一月庚戌日亥正三刻十三分内一秒冬至 史四月辛酉朔日食甲午十年正月丁亥朔十一月丙辰日寅正三刻二分内五十一秒冬至 史正月丁亥朔閏六月九月癸丑朔日食乙丑年至此十一閏又一紀乙未十一年正月辛亥朔十一月辛酉日巳正二刻七分内四十一秒冬至 史九月丁未朔日食丙申十二年正月乙巳朔十一月丙寅日申正一刻十二分内三十一秒冬至 史二月乙亥朔日食丁酉十三年正月己亥朔十一月辛未日亥正一刻二分内二十一秒冬至 史天文志閏二月九月乙丑朔十二月甲午朔三百二十七章戊戌十四年正月癸亥朔十一月丁丑日寅正初刻七分内一十一秒冬至 俞正巳推是年十一月丁丑子正初刻冬至今推在寅正初刻己亥十五年正月戊午朔十一月壬午日巳初三刻十二分内一秒冬至 天文志閏十月應下年閏二月庚子十六年正月壬午朔十一月丁亥日申初三刻一分内五十一秒冬至 五行志正月壬午朔辛丑十七年正月丙子朔十一月壬辰日亥初二刻六分内四十一秒冬至壬寅十八年正月庚午朔十一月戊戌日寅初一刻十一分内三十一秒冬至 史三月己巳朔閏八月癸夘十九年正月甲午朔十一月癸夘日巳初一刻一分内二十一秒冬至 天文志四月癸亥朔甲辰二十年正月己丑朔十一月戊申日申初初刻六分内一十一秒冬至 史九月乙酉朔日食乙巳二十一年正月甲申朔十一月癸丑日戌正三刻十一分内一秒冬至 史正月甲申朔天文志三月壬午朔閏四月八月己夘朔日食丙午二十二年正月戊申朔十一月己未日丑正二刻十五分内五十一秒冬至丁未二十三年正月壬寅朔十一月甲子日辰正二刻五分内四十一秒冬至孝宗皇帝𢎞治戊申元年正月丙申朔十一月己巳日未正一刻十分内三十一秒冬至 史閏正月六月癸巳朔日食己酉二年正月庚申朔十一月甲戌日戌正初刻十五分内二十一秒冬至 史十一月甲申朔日食庚戌三年正月甲寅朔十一月庚辰日丑正初刻五分内一十一秒冬至 史六月壬午朔閏九月天文志十二月戊申朔辛亥四年正月戊寅朔十一月乙酉日辰初三刻十分内一秒冬至壬子五年正月壬申朔十一月庚寅日未初二刻十四分内五十一秒冬至癸丑六年正月丁夘朔十一月乙未日戌初二刻四分内四十一秒冬至 史閏五月甲寅七年正月辛夘朔十一月辛丑日丑初一刻九分内三十一秒冬至乙夘八年正月乙酉朔十一月丙午日辰初初刻十四分内二十一秒冬至 史二月乙夘朔日食十一月有己酉葢晦日丙辰九年正月己夘朔十一月辛亥日未初初刻四分内一十一秒冬至 史天文志二月己酉朔閏三月三百二十八章丁巳十年正月癸夘朔十一月丙辰日酉正三刻九分内一秒冬至 天文志十二月戊辰朔俞正巳推是年十一月丙辰日酉正初刻冬至今在酉正三刻戊午十一年正月戊戌朔十一月壬戌日子正二刻十三分内五十一秒冬至 史閏十一月壬戌朔日食應下年閏二月己未十二年正月壬戌朔十一月丁夘日夘正二刻三分内四十一秒冬至 天文志九月戊午朔庚申十三年正月丙辰朔十一月壬申日午正一刻八分内三十一秒冬至 史五月甲寅朔日食辛酉十四年正月庚戌朔十一月丁丑日酉正初刻十三分内二十一秒冬至 史正月庚戌朔三月己酉朔閏七月九月丙子朔日食壬戌十五年正月甲戌朔十一月癸未日子正初刻三分内一十一秒冬至 史正月庚戌朔九月庚午朔日食癸亥十六年正月戊辰朔十一月戊子日夘初三刻八分内一秒冬至甲子十七年正月壬戌朔十一月癸巳日午初二刻十二分内五十一秒冬至 史閏四月乙未年至此十一閏又一紀乙丑十八年正月丙戌朔十一月戊戌日酉初二刻二分内四十一秒冬至武宗皇帝正徳丙寅元年正月辛巳朔十一月癸夘夜子初一刻七分内三十一秒冬至 金臺記是年十一月二十八日冬至天文志十二月乙巳朔丁夘二年正月乙亥朔十一月己酉日夘初初刻十二分内二十一秒冬至 史正月乙亥朔日食閏正月天文志九月辛丑朔戊辰三年正月己亥朔十一月甲寅日午初初刻二分内一十一秒冬至己巳四年正月癸巳朔十一月己未日申正三刻七分内一秒冬至 史閏九月庚午五年正月丁巳朔十一月甲子日亥正二刻十一分内五十一秒冬至辛未六年正月辛亥朔十一月庚午日寅正二刻一分内四十一秒冬至壬申七年正月丙午朔十一月乙亥日巳正一刻六分内三十一秒冬至 史閏五月癸酉八年正月庚午朔十一月庚辰日申正初刻十一分内二十一秒冬至甲戌九年正月甲子朔十一月乙酉日亥正初刻一分内一十一秒冬至 史八月辛夘朔日食乙亥十年正月戊午朔十一月辛夘日寅初三刻六分内一秒冬至 史閏四月十二月癸丑朔日食三百二十九章 當時中官正周濓推得是年十一月辛夘日丑初初刻冬至較今所推先一時四刻丙子十一年正月壬午朔十一月丙申日巳初二刻十分内五十一秒冬至 史十月己酉朔丁丑十二年正月丁丑朔十一月辛丑日申初一刻十五分内四十一秒冬至 史六月乙巳朔日食閏十二月應下年閏正月戊寅十三年正月辛丑朔十一月丙午日亥初一刻五分内三十一秒冬至 史正月辛丑朔四月己巳朔五月己亥朔日食己夘十四年正月丙申朔十一月壬子日寅初初刻十分内二十一秒冬至 史正月丙申朔十一月壬子冬至受賀於太監張陽第今推至日合庚辰十五年正月庚寅朔十一月丁巳日辰正三刻十五分内一十一秒冬至 史正月庚寅朔閏八月辛巳十六年正月甲寅朔十一月壬戌日未正三刻五分内一秒冬至 史天文志正月甲寅朔三月癸丑朔日食十月己夘朔世宗肅皇帝嘉靖壬午元年正月戊申朔十一月丁夘日戌正二刻九分内五十一秒冬至癸未二年正月壬寅朔十一月癸酉日丑正一刻十四分内四十一秒冬至 五行志閏四月甲申三年正月丙寅朔十一月戊寅日辰正一刻四分内三十一秒冬至 史正月丙寅朔乙酉四年正月庚申朔十一月癸未日未正初刻九分内二十一秒冬至 史閏十二月乙夘朔日食其實乙夘乃丙戌歲正月元旦葢置閏應在下年二月後丙戌五年正月甲申朔十一月戊子日戌初三刻十四分内一十一秒冬至 史十月辛亥朔丁亥六年正月己夘朔十一月甲午日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在箕七度之一十六分 史五月丁丑朔日食全史日至源流卷二十九
## 卷三十
欽定四庫全書全史日至源流卷三十山東道御史許伯政撰壬子運三十(共二百一十六期每期三百六十五日二時七刻四分三十秒)冬至十四日八時三刻十三分五十五秒五十微小寒十四日八時四刻四分四十五秒五十微大寒十四日九時一刻十分五十微立春十四日十時一刻六分五十微雨水十四日十一時三刻四分五十微驚蟄十五日零六刻十四分五十五秒五十微春分十五日二時三刻八分四十五秒五十微清明十五日四時零七分四十五秒五十微穀雨十五日五時四刻七分五十秒五十微立夏十五日六時六刻十四分五十五秒五十微小滿十五日八時零二分五十秒五十微芒種十五日八時三刻九分五十五秒五十微夏至十五日八時六刻十四分五十五秒五十微小暑十五日八時五刻二分五十五秒五十微大暑十五日八時零七分五十五秒五十微立秋十五日七時零十分五十五秒五十微處暑十五日五時六刻五分五十五秒五十微白露十五日四時三刻九分五十微秋分十五日二時四刻十一分五秒五十微寒露十五日一時一刻八分五十微霜降十四日十一時五刻四分五十五秒五十微立冬十四日十時二刻十一分五秒五十微小雪十四日九時二刻十二分五十微大雪十四日八時五刻九分五十五秒五十微戊子七年正月甲戌朔十一月己亥日辰初二刻八分内三十一秒冬至 史歴志閏十月己丑八年正月戊戌朔十一月甲辰日未初一刻十三分内一秒冬至 史十月癸亥朔日食庚寅九年正月壬辰朔十一月己酉日戌初一刻三分内三十一秒冬至辛夘十年正月丙戌朔十一月乙夘日丑初初刻七分内一秒冬至 史閏六月十一月甲寅祀天於南郊今推冬至在乙夘日丑初初刻壬辰十一年正月庚戌朔十一月庚申日夘正三刻十一分内三十一秒冬至 史十一月庚申祀天於南郊今推至日合癸巳十二年正月甲辰朔十一月乙丑日午正三刻一分内一秒冬至甲午十三年正月戊戌朔十一月庚午日酉正二刻五分内三十一秒冬至 五行志閏二月五月丁夘朔十一月庚午祀天於南郊今推至日合乙丑年至此十一閏又一紀三百三十章乙未十四年正月壬戌朔十一月丙子日子正一刻十分内一秒冬至 史十一月乙亥祀天於南郊今推冬至在丙子日子正一刻丙申十五年正月丁巳朔十一月辛巳日夘正初刻十四分内三十一秒冬至 史十一月辛巳祀天於南郊今推至日合閏十二月應下年閏二月丁酉十六年正月辛巳朔十一月丙戌日午正初刻四分内一秒冬至戊戌十七年正月乙亥朔十一月辛夘日酉初三刻八分内三十一秒冬至 史十一月辛未朔辛夘祀天於南郊今推至日合己亥十八年正月庚午朔十一月丙申夜子初二刻十三分内一秒冬至 史二月庚子朔閏七月十一月丙申祀天於南郊今推至日合庚子十九年正月甲午朔十一月壬寅日夘初二刻二分内三十一秒冬至 史厯志三月癸巳朔辛丑二十年正月戊子朔十一月丁未日午初一刻七分内一秒冬至壬寅二十一年正月壬午朔十一月壬子日酉初初刻十一分内三十一秒冬至 史閏五月七月己酉朔日食癸夘二十二年正月丙午朔十一月丁巳夜子初初刻一分内一秒冬至 史正月丙午朔日食甲辰二十三年正月庚子朔十一月癸亥日寅正三刻五分内三十一秒冬至乙巳二十四年正月乙未朔十一月戊辰日巳正二刻十分内一秒冬至 史五行志閏正月五月壬戌朔日食丙午二十五年正月己未朔十一月癸酉日申正一刻十四分内三十一秒冬至丁未二十六年正月癸丑朔十一月戊寅日亥正一刻四分内一秒冬至 史閏九月戊申二十七年正月丁丑朔十一月甲申日寅正初刻八分内三十一秒冬至己酉二十八年正月辛未朔十一月己丑日巳初三刻十三分内一秒冬至 史三月辛未朔日食八月丁酉朔庚戌二十九年正月乙丑朔十一月甲午日申初三刻二分内三十一秒冬至 史閏七月辛亥三十年正月己丑朔十一月己亥日亥初二刻七分内一秒冬至壬子三十一年正月甲申朔十一月乙巳日寅初一刻十一分内三十一秒冬至癸丑三十二年正月戊寅朔十一月庚戌日巳初一刻一分内一秒冬至 史正月戊寅朔日食閏三月三百三十一章甲寅三十三年正月壬寅朔十一月乙夘日申初初刻五分内三十一秒冬至 史正月壬寅朔乙夘三十四年正月丁酉朔十一月庚申日戌正三刻十分内一秒冬至 史正月丁酉朔十一月壬辰朔日食閏十一月天文志十二月庚申晦應下年閏二月丙辰三十五年正月辛酉朔十一月丙寅日丑正二刻十四分内三十一秒冬至 史十月丙戌朔日食丁巳三十六年正月乙夘朔十一月辛未日辰正二刻四分内一秒冬至 五行志十二月庚辰朔戊午三十七年正月己酉朔十一月丙子日未正一刻八分内三十一秒冬至 史閏七月己未三十八年正月癸酉朔十一月辛巳日戌正初刻十三分内一秒冬至庚申三十九年正月丁夘朔十一月丁亥日丑正初刻二分内三十一秒冬至 史七月乙丑朔辛酉四十年正月辛酉朔十一月壬辰日辰初三刻七分内一秒冬至 史二月辛夘朔日當食不見閏五月七月己丑朔日食壬戌四十一年正月乙酉朔十一月丁酉日未初二刻十一分内三十一秒冬至癸亥四十二年正月庚辰朔十一月壬寅日戌初二刻一分内一秒冬至甲子四十三年正月甲戌朔十一月戊申日丑初一刻五分内三十一秒冬至 史閏二月五月壬寅朔日食乙未年至此十一閏又一紀乙丑四十四年正月戊戌朔十一月癸丑日辰初初刻十分内一秒冬至丙寅四十五年正月癸巳朔十一月戊午日午正三刻十四分内三十一秒冬至 史四月壬戌朔日食閏十月穆宗莊皇帝隆慶丁夘元年正月丁巳朔十一月癸亥日酉正三刻四分内一秒冬至 史四月丙戌朔八月癸未朔十一月癸亥祀天於南郊今推至日合戊辰二年正月辛亥朔十一月己巳日子正二刻八分内三十一秒冬至 史十月丁丑朔十一月戊辰祀天於南郊今推冬至在己巳日子正二刻己巳三年正月乙巳朔十一月甲戌日夘正一刻十三分内一秒冬至 史天文志閏六月十一月甲戌祀天於南郊今推至日合庚午四年正月己巳朔十一月己夘日午正一刻二分内三十一秒冬至 史正月己巳朔日食十一月己夘祀天於南郊今推至日合辛未五年正月癸亥朔十一月甲申日酉正初刻七分内一秒冬至 五行志六月辛夘朔壬申六年正月戊午朔十一月己丑夜子初三刻十一分内三十一秒冬至 史閏二月六月乙夘朔日食三百三十二章神宗顯皇帝萬厯癸酉元年正月壬午朔十一月乙未日夘初三刻一分内一秒冬至甲戌二年正月丁丑朔十一月庚子日午初二刻五分内三十一秒冬至 史閏十二月應下年閏二月乙亥三年正月辛丑朔十一月乙巳日酉初一刻十分内一秒冬至 史夏四月朔日食既十一月乙巳祀天於南郊今推至日合丙子四年正月乙未朔十一月庚戌夜子初初刻十四分内三十一秒冬至丁丑五年正月己丑朔十一月丙辰日卯初初刻四分内一秒冬至 史閏八月乙酉朔日食十一月癸丑朔戊寅六年正月癸丑朔十一月辛酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至 史十一月辛酉祀天於南郊今推至日合己夘七年正月丁未朔十一月丙寅日申正二刻十三分内一秒冬至庚辰八年正月辛丑朔十一月辛未日亥正二刻二分内三十一秒冬至 史二月辛未朔日食閏四月辛巳九年正月乙丑朔十一月丁丑日寅正一刻七分内一秒冬至 明鄭世子推是年十一月冬至大統在丁丑授時在丙子今在丁丑壬午十年正月庚申朔十一月壬午日巳正初刻十一分内三十一秒冬至 史四月戊子朔六月丁亥朔日食癸未十一年正月乙夘朔十一月丁亥日申正初刻一分内一秒冬至 史閏二月八月庚戌朔十一月己夘朔日食甲申十二年正月己夘朔十一月壬辰日亥初三刻五分内三十一秒冬至 史厯志十一月癸酉朔十二月癸夘朔乙酉十三年正月癸酉朔十一月戊戌日寅初二刻十分内一秒冬至 史閏九月鄭世子推是年十一月冬至大統在戊戌授時在丁酉今在戊戌丙戌十四年正月丙申朔十一月癸夘日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史十一月癸夘祀天於南郊今推至日合丁亥十五年正月庚寅朔十一月戊申日申初一刻四分内一秒冬至 史九月丁亥朔日當食不見戊子十六年正月乙酉朔十一月癸丑日亥初初刻八分内三十一秒冬至 史閏六月己丑十七年正月己酉朔十一月己未日丑正一刻十三分内一秒冬至 史正月己酉朔日食庚寅十八年正月甲辰朔十一月甲子日辰正三刻二分内三十一秒冬至 史正月甲辰朔七月庚子朔日食辛夘十九年正月戊戌朔十一月己巳日未正二刻十分内一秒冬至 史閏三月丙寅朔三百三十三章壬辰二十年正月壬戌朔十一月甲戌日戌正一刻十一分内三十一秒冬至癸巳二十一年正月丙辰朔十月庚辰日丑正一刻一分内一秒冬至十一月辛巳朔 史八月有丙戌十月有丙申葢閏九月但厯學新説推是年十一月二十九日己夘夜半前冬至今在庚辰丑正一刻乃三十日若閏九月則冬至在十月晦今且依史作閏九月其實應下年閏二月甲午二十二年正月庚辰朔十一月乙酉日辰正初刻五分内三十一秒冬至 史四月己酉朔日食移上閏於此年乙丑年至此十一閏又一紀乙未二十三年正月甲戌朔十一月庚寅日未初三刻十分内一秒冬至丙申二十四年正月戊辰朔十一月乙未日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 史閏八月乙丑朔日食邢雲路奏言此年十一月冬至應在乙未日未正一刻當時用大統推筭在申正二刻今推之在戌初二刻可見雲路厯學之踈丁酉二十五年正月壬辰朔十一月辛丑日丑初二刻四分内一秒冬至 史正月壬辰朔五月辛夘朔七月庚寅朔戊戌二十六年正月丁亥朔十一月丙午日辰初一刻八分内三十一秒冬至 史志正月丁亥朔己亥二十七年正月壬午朔十一月辛亥日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在箕六度之一十六分史閏四月庚子二十八年正月丙午朔十一月丙辰日戌初初刻二分内三十一秒冬至辛丑二十九年正月庚子朔十一月壬戌日子正三刻七分内一秒冬至壬寅三十年正月甲午朔十一月丁夘日夘正二刻十一分内三十一秒冬至 史閏二月九月己未朔癸夘三十一年正月戊午朔十一月壬申日午正二刻一分内一秒冬至 史四月丁亥朔日食甲辰三十二年正月壬子朔十一月丁丑日酉正一刻五分内三十一秒冬至 史四月辛巳朔日食閏九月乙巳三十三年正月丙子朔十一月癸未日子正初刻十分内一秒冬至丙午三十四年正月庚午朔十一月戊子日夘初三刻十四分内三十一秒冬至丁未三十五年正月乙丑朔十一月癸巳日午初三刻四分内一秒冬至 史閏六月八月辛酉朔戊申三十六年正月己丑朔十一月戊戌日酉初二刻八分内三十一秒冬至己酉三十七年正月甲申朔十一月癸夘夜子初一刻十三分内一秒冬至庚戌三十八年正月戊寅朔十一月己酉日夘初一刻二分内三十一秒冬至 史閏三月十一月壬寅朔日食鄭世子推是年十一月冬至大統在己酉授時在戊申今在己酉三百三十四章辛亥三十九年正月壬寅朔十一月甲寅日午初初刻七分内一秒冬至壬子四十年正月丙申朔十一月己未日申正三刻十一分内三十一秒冬至 史五月甲午朔日食十月有甲申次年正月有庚申葢閏十二月應下年閏二月癸丑四十一年正月庚申朔十一月甲子日亥正三刻一分内一秒冬至甲寅四十二年正月甲寅朔十一月庚午日寅正二刻五分内三十一秒冬至 鄭世子推是年十一月冬至大統在庚午授時在己巳今在庚午乙夘四十三年正月戊申朔十一月乙亥日巳正一刻十分内一秒冬至 史三月丁未朔日食閏八月丙辰四十四年正月壬申朔十一月庚辰日申正初刻十四分内三十一秒冬至 史三月辛未朔日食丁巳四十五年正月丁夘朔十一月乙酉日亥正初刻四分内一秒冬至 史七月癸亥朔日食戊午四十六年正月辛酉朔十一月辛夘日寅初三刻八分内三十一秒冬至 史閏四月鄭世子推是年冬至大統在辛夘授時在庚寅今在辛夘己未四十七年正月乙酉朔十一月丙申日巳初二刻十三分内一秒冬至庚申四十八年正月庚辰朔十一月辛丑日申初二刻二分内三十一秒冬至 史八月丙午朔光宗即位九月乙亥朔崩八月後為泰昌元年熹宗慈皇帝天啟辛酉元年正月甲戌朔十一月丙午日亥初一刻七分内一秒冬至 史閏二月四月壬申朔日食壬戌二年正月戊戌朔十一月壬子日寅初初刻十一分内三十一秒冬至 史三月丁酉朔九月甲午朔癸亥三年正月壬辰朔十一月丁巳朔巳初初刻一分内一秒冬至 史四月庚申朔閏十月十一月丁巳朔祀天於南郊今推至日合自乙未年至此十一閏一紀縮一年下起甲子甲子四年正月丙辰朔十一月壬戌日未正三刻五分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔五月甲寅朔六月癸未朔乙丑五年正月庚戌朔十一月丁夘日戌正二刻十分内一秒冬至 史天文志正月庚戌朔丙寅六年正月乙巳朔十一月癸酉日丑正一刻十四分内三十一秒冬至 史五月壬寅朔閏六月七月辛未朔日當食不見丁夘七年正月己巳朔十一月戊寅日辰正一刻四分内一秒冬至 史七月乙丑朔十月甲午朔 此年冬至或稱當時頒行節氣在戊寅日夘初二刻今推在辰正一刻莊烈愍皇帝崇禎戊辰元年正月癸亥朔十一月癸未日未正初刻八分内三十一秒冬至 史十一月癸未祀天於南郊今推至日合或稱當時推筭在午正二刻今在未正初刻己巳二年正月丁巳朔十一月戊子日戌初三刻十三分内一秒冬至 史閏四月五月乙酉朔日食十一月壬午朔十二月辛亥朔三百三十五章庚午三年正月辛巳朔十一月甲午日丑初三刻二分内三十一秒冬至 史十二月乙巳朔或謂此年冬至當時推筭在甲午日子正初刻今在丑初三刻辛未四年正月乙亥朔十一月己亥日辰初二刻七分内一秒冬至 史二月乙巳朔五月甲戌朔十月辛丑朔日食閏十一月當時徐光啓推冬至在己亥日辰初一刻十八分則於法應下年閏二月葢當時節氣用平推故閏亦不合法耳壬申五年正月己亥朔十一月甲辰日未初一刻十一分内三十一秒冬至 史二月己巳朔癸酉六年正月癸巳朔十一月己酉日戌初一刻一分内一秒冬至 史六月辛酉朔甲戌七年正月戊子朔十一月乙夘日丑初初刻五分内三十一秒冬至 史三月丁亥朔日食閏八月乙亥八年正月壬子朔十一月庚申日夘正三刻十分内一秒冬至 史十一月庚申祀天於南郊今推至日合丙子九年正月丁未朔十一月乙丑日午正二刻十四分内三十一秒冬至丁丑十年正月辛丑朔十一月庚午日酉正二刻四分内一秒冬至 史正月辛丑朔日食 史閏四月戊寅十一年正月乙丑朔十一月丙子日子正一刻八分内一十一秒冬至 史五月癸亥朔己夘十二年正月己未朔十一月辛巳日夘正初刻十三分内一秒冬至 史正月己未朔十月甲申朔十一月辛巳祀天於南郊今推至日得辛巳但當時冬至若果在夘正初刻則下年冬至不得在丁亥日必移下六時從酉正初刻十三分起數則下年可得丁亥日子正初刻二分冬至閲者惟遵我朝順治元年十一月丁未日午初冬至為主而推之其失自見庚辰十三年正月癸丑朔十一月丙戌日午正初刻二分内三十一秒冬至 史閏正月二月壬子朔六月辛亥朔七月庚辰朔十一月丁亥祀天於南郊今推冬至在丙戌午正初刻十二月丁未朔辛巳十四年正月丁丑朔十一月辛夘日酉初三刻七分内一秒冬至 史三月丙子朔十月癸夘朔日食壬午十五年正月辛未朔十一月丙申夜子初二刻十一分内三十一秒冬至 史閏十一月癸未十六年正月丙申朔十一月壬寅日夘初二刻一分内一秒冬至 史二月乙丑朔日食五月癸巳朔八月壬戌朔十月辛酉朔十一月壬寅祀天於南郊今推至日合十二月辛酉朔星晝見甲申十七年三月李賊陷京城明亾全史日至源流卷三十◆ 《數學-清-江永》（KR3f0031）
## 0
欽定四庫全書 子部六
數學 天文算法類二(推歩之屬)提要(臣)等謹案數學八卷續一卷國朝江永撰永有周禮疑義舉要己著録是編因梅文鼎厯算全書為之發明訂正而一準欽定厯象考成折𠂻其異同一卷曰厯學補論皆因文鼎之説而推闡所未言二卷曰嵗實消長文鼎論嵗實消長以為髙衝近冬至而嵗餘漸消過冬至而復漸長永則以為嵗實本無消長消長之故在髙衝之行與小輪之改而嵗節氣相距近髙衝者嵗實稍嬴近最髙者稍朒三卷曰恒氣註厯文鼎論冬至加減謂當如西法用定氣不用恒氣而所作疑問補等書又謂當如舊法用恒氣註厯永則以為冬至既不用恒氣則諸節亦皆當用定氣不用恒氣故此二卷皆條列文鼎之説而以所見辨於下四卷曰冬至權度元史六厯冬至載晉獻公以來四十九事文鼎因作春秋冬至考刪去晉獻公一事各以其本法推求其故永則以為算術雖明而未有折𠂻更因文鼎之法考證厯法史志之誤五卷曰七政衍文鼎論七政小輪之動由本天之動七政之動由小輪之動永則以恭按欽定厯象考成五星有三小輪而月更有次均輪且更有圓圖文鼎説雖精當而各輪之左旋右旋與帯動自動不動之異尚未能詳剖因各為圖説以明之六曰金水發微文鼎仍初舊法以金水二星伏見輪同於嵗輪後因門人劉允恭悟得金水二星自有嵗輪而伏見輪乃其繞日圓象因詳為之説後楊學山乃頗以為疑永謂文鼎説是學山疑非因為圖説以明之七曰中西合法擬草明徐光啓酌定新法凡正朔閏月之類從中不從西定氣整度之類從西不從中然因用定氣遂以毎月中氣時刻為太常過宫時刻繫以中法十二宫之名而西法十二宫之名又用之於表永病其錯互又整度一事永亦病其言之未盡故著此論以辨之亦多推文鼎之説八曰算賸則推衍三角諸法求其捷要續厯學一卷曰正弧三角疏義以補算賸所未盡故八卷各有小序此卷獨無也文鼎厯算推為絶技此更因所已具得所未詳踵事而増愈推愈密其於測騐亦可謂深有發明矣乾隆四十六年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸 費 墀
## 1
欽定四庫全書數學卷一婺源江永撰厯學補論(勿菴先生厯學疑問三卷五十二章又補二卷二十四章已為厯法疏通源流指示窔奥永熟味其書别有觸悟隨筆識之或贅説於本書之外或衍繹於本書之中泰山河海無俟一卷一勺聊自道其管蠡窺測云爾)論天地開闢問天地固當有始如陳星川壤天地人三元之説一元有二千四百一十九萬二千年今當人元四百五十六萬六千餘年者固為荒唐矣邵子皇極經世書謂一元有十二萬九千六百年分十二㑹一㑹一萬八百年天開於子地闢於丑人生於寅禹即位後八年而入未㑹則自天開至今七萬餘年生人至今亦五萬餘年世以邵子精於數學也而信之自西士之書出則自開闢以来只五六千年何若是其不侔耶果孰非而孰是耶曰以理斷之疑西説近是也中國有載籍始於唐虞堯至今四千餘年堯以前略有傳聞而難徴信度有人物之初距唐虞之世其年當不甚逺豈有遙遙五六萬年晦冥如夜竟無紀載可稽耶又大西洋載其國古老所記亦似不過四千年夫中國相去數萬里而年數符同若斯則四千年以前徧天地有人物者不過一二千年如今日之視秦漢已耳當不以萬計也顧天地之開闢雖有最初之年而其醖釀於未開闢之先者必需積漸之久如人獸之胎蟲鳥之卵草木之果實根荄皆含生於未生之前此則不知㡬何年耳曰西士之言固可信矣其紀年亦自不同天地儀書謂自開闢至崇禎庚辰五千六百三十餘年聖經直解則云六千八百三十六年依稽古定儀推之則五千七百三十年月離厯指則謂崇禎戊辰為總期之六千三百四十一年諸説孰為是耶曰予嘗推之矣其言五千餘年是開闢之始太陽最高在春分也此則稽古定儀之年為近(元至元辛巳髙衝在冬至最髙在夏至開闢以来行一象限九十度以今厯一年行一分一秒一十微推之九十度有五千三百餘年稽古定儀開闢至至元辛巳五千三百七十年)其言六千餘年是開闢之始冬至日躔壁宿為亥末戌初也此則聖經直解之年為近(崇禎庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十餘年約退九十八度日在壁)二者皆有理不知果孰為確耳曰然則古厯家謂上元必是甲子歲前十一月甲子朔旦夜半冬至日月如合璧五星如連珠其説信然乎曰未必然也天地開闢如人之初生已屬後天其始尚有胚胎之歲月則甲子日月五星不必皆從始處始也以為始於甲子歲安知其不始於他年乎(西書諸説皆非甲子)以為始於十一月朔安知其不始於十一月望乎(冬至為中氣望為月半)以為始於冬至安知其不始於春分乎(天文實用云開闢初時適當春分又云中西皆以角為宿首因開闢首日昏時角為中星也)以為始於甲子夜半則時刻隨方有里差西方見早東方見晩西以為子東以為丑東以為子西以為亥徧大地當以何處為正位而定其為夜半冬至乎日月果合璧則開闢之始必日食乎五星僅連珠不猶有未齊同者乎且日月五星各有性情以為始於聚安知其不始於散乎(如人身胚胎之始則聚及其成形臟腑官骸各有部位)達理者黙而觀之毋泥前人之説可也以今歲周計之一歲小餘一百二十八分日之三十一積一百二十八年四萬六千七百五十一日無餘分以六十乗一百二十八凡七千六百八十年積二百八十零萬五千零六十日天正冬至得甲子年甲子日無餘分使開闢之年果在甲子其冬至當自平者始以今日平冬至逆推終不能得甲子朔旦冬至在中國之夜半也而况五星又皆齊同乎以是知厯元不可推也開闢之年約略可知而不可定也論地圓問地為圓形周圍九萬里南北則以二極之低昻而知之(南北行二百五十里極高下差一度)東西則以月食之蚤晩而知之(地赤道經東西相距七千五百里則月食先後差一時)此惟知厯者能信又必如西人浮海數萬里見南極出地數十度而後可騐若拘儒之見不出户牖囿於方隅終疑人不可側立水不可倒懸告以地圓謂其言猶河漢也柰何曰地之緜亘甚廣其圓也以漸人雖繞地行一周恒以足履地首戴天必無倒立之時水之附地而流亦猶是也今試泛舟於江湖登舟之高處望之水之来不見其端水之去不見其尾但覺微有灣環之形惟舟所到即是髙處此何也人目能望數十里此數十里即以漸而圓故也而地圓之最可見者如月食於地景月之虧必作灣形由地景圓故也使地不圓何以有此圓景乎曰地上山髙而海深形有凹凸安得圓曰地之厚二萬八千餘里山海雖極髙深如胡桃核之皺略有起伏終不礙為圓也或又設一難曰地誠圓矣地之下誠有人居之矣設使地有孔穴上下穿通人投石於穴中此地見石墜而下彼地之人不見石騰而上直至於天乎石惟能下豈能上乎曰此説不足以難地圓也萬一有穿通之穴投石其中此石必至地心而止心者四面之極處氣之所輳必不令此石得過也以地球之大尚為大氣舉之處於天心而况石乎梅先生謂周髀中即有地圓之理又謂周髀所傳之説必在唐虞以前此皆篤論自古籍散亡中土厯家既失其説而又雜以臆度之見無理之譚如云地有八柱又云地是水載又云地有四㳺種種謬論塗人耳目即如王蕃言北極出地三十六度此不過就中土地中洛陽北一𢃄所見極髙言之非可以此㮣大地也唐一行嘗四方測景未悟地圓郭若思測景尤廣南至南海北盡北海凡二十七所各紀其方北極出地晝夜永短似已悟地圓之理而亦未能明白著論意其猶在疑信之間今地圓之説大顯是數千年来失者復得厯家據以為測算之根而儒家亦藉為窮理之要可不謂厚幸乎(戰國時鄒衍談天謂九州之外有大瀛海環之亦似本之於周髀)梅先生引大戴禮曾子答單離居之問以證地圓之論古已有之極確愚謂易大傳曰坤至靜而徳方中庸曰振河海而不洩皆地圓之證也方言其徳則形體非方可知矣水附於地而流地振之而不洩則地面四方有水非是水載可知矣梅先生又謂地實圓體而有背面中土篤生神聖繼天建極垂世立教如人有面為一身精神所聚此真至之理非徒為尊中國之言昔有問於愚者謂列宿分野大地所共中國之地有限何得據之以為占愚思之梅先生此説亦可參悟葢五臟之精開竅於五官則天光下臨其精氣與中華相屬者必尤切是以普天星宿皆有相闗之理也論天大地小問地球周九萬里不為小矣而西儒謂天極大地在天中只一㸃其言果可信與仰而望之日月星辰皆在目天豈若是其寥廓與曰此不可以臆揣也唯精於三角八線割圓之術因七政之行度比次其髙下而各種之天去地之數可得即恒星以上無法可算者亦可想而知矣姑以太陽與土里兩重天言之西史第谷後出最精厯算者測太陽行度得其高卑之中處距地一千一百五十地半徑(此數仍未確今算一千一百四十二地半徑弱)夫地半徑一萬四千一百三十餘里(以周徑密率算)以一一四二乗之則日去地有一千六百餘萬里有竒又地周九萬里亦以一一四二乗之則日天之周一萬零二百七十八萬餘里可謂大矣而猶未也火木土三星之天皆在日天之上而各星所行之歲輪(遲疾輪)皆與日天等大因其行歲輪一象限九十度視黄道上得㡬何度因以測其本輪均輪次輪之半徑而知此星之天去地視日天得若干倍火星不及約半倍木星不及約五倍土星行歲輪九十度其視度五度半有竒其切線一萬零四百有竒夫輪之半徑十萬而五度半有竒之切線一萬零四百有竒則不止十之一其視日天之高十倍有竒矣又設土星行最髙而當合伏其距地心一十二萬六千一百一十七有竒以太陽本天比例為十一倍又一三七三二四地半徑有一萬二千八百零八弱則土星最高而合伏距地盖一萬八千零九十七萬餘里矣此以星行度實算得之非荒唐之比也土星之髙已如此矣而恒星之天又在土星之上雖無歲輪可測算而以右旋之遲速約略計之日一歲而一周火星二年弱一周髙於日天半倍弱木星十二年一周髙於日天不及五倍土星二十九年半一周髙於日天不啻十倍恒星右旋二萬五千餘年一周則髙於日天甚逺可知矣况宗動天又在恒星之上常靜天又在宗動之上其髙不可思議其視地不猶一微塵乎或曰地小於天如此則日入地下其光當從四旁射上地上可不夜矣而深夜黑暗何也曰地為實體日光不照則成黑影人處地面正當黒影最深最濶之處(地徑二萬八千餘里則影徑亦如之漸高乃漸減)安得不夜且氣無質不能受日光能受日光者唯月與星有月則能透日光返照而夜明有星則微明月星皆隱則地上之氣全黒而夜甚暗矣故地雖小而自能成晝夜也問各星歳輪與日天等大土木火三星本天固可以日天半徑略計倍數矣若日天半徑倍於地半徑者一千一百四十二何從得之曰太陽本輪均輪之半徑既可以盈縮極差推而知則最髙時在均輪之底最卑時在均輪之頂亦可得其相距之數矣而最髙最卑太陽則有視徑差又射地景至月天則有景徑差又太陽近地平則有地面地心髙下差合兹數差參互推算而日天距地可得而知矣豈若舊説言天去地若干萬里荒唐無稽者哉論日月地三體大小問人視日月其大似無㡬而西人言日大於地月小於地日之大於地與月者其相去懸絶得毋無徴不信乎何以知其然也曰此亦以三角八線割圓之術測其本天去地之髙下因以視徑而知其實徑與實體也日月之行因其盈縮遲疾而知小輪之徑因小輪而知大輪之徑故日去地一千一百四十二地半徑月去地約五十八地半徑凡去地半徑一倍者其度亦濶一倍地一度二百五十里以一千一百四十二乗之則日天之度計二十八萬五千餘里日之視徑半度有竒(約六十分度之三十一)約得一十五萬里地之全徑二萬八千餘里故西人言日徑得地徑者五又七十五之十四此日之實徑也以五十八乗二百五十里則月天之度一萬四千五百里月之視徑比日視徑稍大約六十分度之三十二分竒其徑約八千里地徑大於月徑三倍半有竒此月之實徑也若以日視月則日徑大於月徑約一十九倍凡此皆以實測實算得之非虚言也曰此有實據可考騐乎曰有月之食也食於地景景徑約一度半(日月行度有高卑則景徑有大小此以其中者言之)則日月地三者之大小可參考而知凡光體等於實體則其景等大而無窮光體小於實體則其景漸逺漸大而無窮唯光體大於實體則其景漸逺漸小而有盡地景能食月不能食星月天卑星天髙故也(張衡靈憲謂闇虚星值之則星亡者非是)觀月所處之天地景一度有半約二萬二千餘里則日之大於地㡬何月之小於地㡬何皆可用法推算矣曰日徑大於地徑五倍有竒而西人又言日大於地球一百六十五倍竒日大於月徑約十九倍而西人又言大於月六千五百三十八倍竒地徑大於月三倍半有竒而西人又言大於月三十八倍竒何若是之不倫耶曰前以徑相較者平圓也此以實體相較者渾圓也算渾圓實體之法以徑自乗又以徑乗之而得實體之圓分積兩圓相較可得其差(借立方算渾圓詳見算賸)今用法推算則日之實體大於地者一百四十九倍竒大於月者六千五百九十倍竒地之實體大於月者四十倍竒與西人之算或多或少葢利西泰測算里數小有不同耳(利氏説見天學初函)梅先生似以日大於地一百六十五倍者為徑也故謂兩數相懸不啻霄壤若以實體較論則了然矣(方宻之通雅不信日大扵地百餘倍謂日光甚烈人在地上必死亦考之未詳耳)論日月星皆有質問日月星皆氣為之乎抑實有其質乎曰實有其質也其質非金非玉非石葢自有其質非人世所有者也若但有氣無質豈能終古不改變乎西士以逺鏡窺日月亦不正圓而月中之黒處古人妄謂蟾蜍顧兔宋人誤以為山河大地之影者西人則名之為月駁謂由月體自生如地有巖洞日光照不到處則現黒影此非實有質而何日月如此星可知矣曰三光唯有氣也故能浮空若實有質何以不墜曰日月星各有其本天其本天皆以地為心地即其所著之根而日月星又各著於小輪之上其根甚固安得墜如地球極重終古亦不墜素問所謂大氣舉之是也曰地球正當天心四面皆氣輳之故能空懸於天中若日月星之重體在天上何以不墜曰物各有其性情三光之性情麗天者也天猶水也水不能浮沙石而能載大木木之性情自不沈也又何疑焉曰星有隕為石者豈非有質即不能浮空與曰隕石之星非天星也由地上火土之氣上衝火際偶然融結而隕也豈有恒星天之星而或隕者哉(微茫之恒星亦大於地)論青蒙氣問西人謂近地平有青蒙氣其髙約九里澤國彌厚彌髙日月在蒙氣内小可為大卑可為髙其説信然與曰信也凡徹體之物如氣如水如玻璃水晶皆能變物之形逺可使近小可使大直可使曲深可使淺卑可使髙逺鏡其顯者也揷篙於水置錢於盂無不可驗是以日月出地與將入地視徑加大蒙氣映之故也不唯加大而已更能升之使髙實未出地而已出地也雖已入地而猶未入也故西人論日食於髙卑南北東西三差之外更有青蒙氣差青蒙徑差此為𢃄食言之也有此二差則旦暮日食以東西差加減之而當食者蒙氣或升之而不食矣其不當食者或升之而見食矣視徑加大則能變食限與加時早晩食分多少矣此非臺官所能預定必隨方測候而後可知前史有書當食不食不當食而食者其故或由此與梅先生未嘗言及青蒙氣謂湯羅諸公已言之耳學者固不可不知○列子載兩小兒辨日一謂日初出時如車蓋日中如盤盂為近大而逺小此未知蒙氣之故耳日何嘗有逺近若論逺近之微者則日近地平時與近天頂時差一地半徑初出較逺日中較近正與此小兒之説反又非近者熱逺者凉之謂也論左旋右旋問天左旋日月五星右轉厯家之説也謂日月五星亦左旋其説始於横渠張子與曰非也張子云天左旋處其中者順之少遲則反右矣張子之意謂地亦是動物處於天中隨天而左旋但少遲故覺地右而天左觀其前兩章云日月五星逆天而行并包乎地者也地在氣中雖順天左旋其所繋辰象隨之稍遲則反移徙而右又云古今謂天左旋此直至粗之論爾恒星所行為晝夜者直以地氣乗機左旋於中云云則張子之意可知矣朱子謂横渠説天左旋日月亦左旋其説極是是以處其中者為日月恐非張子之本意曰然則朱子謂天行過一度又謂厯家截其退數便於算又有大輪在外小輪載日月在内之喻若何曰愚向亦疑之謂日月果因行少遲而覺其右轉則當循赤道而退無南北斜行之勢何為日自行黄道斜交於赤道月五星各有道又斜交於黄道乎何為恒星亦循黄道而右行乎後見勿菴先生説乃始豁然先生以鈞盤飛輪為喻謂如有小盤小輪附於大盤大輪之上而别為之樞則必相差而成動移以生逆度又必與本樞相應而成斜轉之象焉夫其退逆而右也因其兩輪相疊其退轉而斜行也因於各有本樞而其所以能退逆而斜轉者則以其隨大輪之行而生此動移也此説極當朱子兩輪之喻未及不同樞必得此論始為精密盡善耳左旋右旋之説愚前後有三見始也信朱子取正蒙之説後因細讀正蒙覺張子之意不如是又見西人有隨動自動之説謂七政自有性情力雖隨天動却能自動而右旋深信之乃别為之説謂凡物之理有順必有逆在天有氣者皆左旋有形者皆右轉一順一逆所以能成造化若使皆順而無逆則如水之無灣山之無轉不能鍾地脉而居人物矣古人有蟻行磨之喻然蟻雖隨磨左旋而蟻之頭足自向東而右行若使蟻亦向西則蟻之行不反速於磨乎後讀梅先生書乃仍從左旋之説與始者所見却又不同此可驗愚學識之進退消長而所得益於先生之書此尤其大者矣然則後之所見與順逆之説不相妨乎曰無妨也造化之理即以順而成逆如五行皆順生而自有逆克也如山水皆順行而自有逆轉也天以層數生遲速以遲速成順逆正造化之妙也然則磨蟻之説若相妨奈何曰日月在天非若蟻之行磨也輪載日月輪動而日月隨之日月未嘗動也此如别有輪附于磨與磨同轉而不同樞因生退度蟻則定於輪上未嘗行也大氣之運如水逝風行恒星七政如有數舟同汎於江河得風多者行速得風少者行遲彼此相較遲者若退而上矣舟各斜迆不與岸平行(舟之斜迆猶行黄道岸猶赤道)斜迆又不同勢則各舟捩柁定向不同也(如各曜自有道)右粗譬之如此細論之舟猶非七曜也本天載本輪本輪載均輪均輪載日而月五星更有次輪星體在次輪上月體在次均輪上然則水猶本天舟猶本輪均輪次輪等猶舟上復有轉輪而日與六曜猶有球附於舟之輪上也論天極問自古只言北極西士始言有黄極而月與五星之道皆斜出入於黄道則月道又自有極五星道又各有極然則七政七極并北極而八并南方相對之極而十六何若是其紛錯與曰七政各行一道即各有所宗之極北極為心黄極環繞而成一圈月與五星之極皆以黄極為心各環之而成小圈水星圈最大月次之金次之土次之火次之木次之皆載於黄極圏之上各有條理未嘗紛錯也(小圏自内而外由近而逺木火土金水似順五行相生之序月亦水類在金水之間)曰天之有北極也如磨之臍如輪之轂太陽曷不宗之乃自為極以成斜出之道與赤道度齟齬不相當何也曰太陽若宗北極則恒行赤道無寒暑進退何以能生萬物有北極赤道又有黄極黄道所以能成變化也葢北極體也黄極用也北極為心黄極繞之而成圏則又未嘗不宗北極也曰月與五星之道何為斜絡黄道曰日君也月與五星臣也不敢正行黄道而又不敢與之逺離君臣之義也問古人以恒星之天為天西士則謂恒星亦隨黄道而東行夫恒星在七曜之上宗北極循赤道可矣何為亦宗黄極循黄道曰北極唯宗動天宗之恒星自為一重天則不得宗北極矣曰月五星各有道有極恒星天既自為一重宜亦自有其道與極何為皆宗黄極而循黄道(恒星距黄極有定距)曰六曜專而恒星散也六曜不惟自有道而已道之上且有數小輪以載曜體焉恒星不能逐星生小輪故普天星宿同宗黄極而循黄道也論七政小輪梅先生論小輪數章綦詳因其言而推測之太陽小輪有二一為本輪一為均輪本輪之心在本天均輪之心在本輪而太陽之體實在均輪之上其大小則本輪半徑三均輪半徑一其行度則本輪之心右旋於本天而均輪之心左旋於本輪均輪雖左旋於本輪而太陽在均輪周實右旋均輪心左旋一度則均輪周左旋兩度故最髙最卑兩㸃雖常在本輪之頂與底而太陽之在最髙也不在均輪之頂而在均輪之底其在最卑也不在均輪之底而在均輪之頂葢不同心圏上所切之小輪非本輪也乃合本輪均輪兩半徑而為小輪之半徑也又均輪實為太陽之體所居欲算太陽距地心得其徑差景差必須以均輪行度算之葢本天載本輪本輪載均輪均輪載太陽此天上實象若并本輪均輪兩半徑以為不同心差規一大圏為不同心圏此則假借虚象耳(聨兩半徑邊上虚迹而成圏)雖算加減均度與用本輪均輪立算者不殊(均輪上太陽所到與兩半徑併之小輪邊上所切髙下不同而從地心出線穿太陽其角則同故所得之均度必無不同)而不可以此算視徑之大小(太陽實體不在不同心圏上故也)觀厯書太陽視半徑表本以本輪均輪算得之若以不同心立算則其數不如此矣梅先生謂不同心之法生於小輪而小輪為本法此誠不易之論也太陰小輪遞相負乗與太陽五星特異本天載本輪本輪載均輪猶之太陽而月之體不在均輪之上又五星次輪在均輪上者其心也若月次輪則以輪邊與均輪相切而别有負圏合均輪全徑次輪半徑以為半徑則負圏心在均輪上而次輪心在負圏上與五星異矣五星之體即在次輪之上而月則又有次均輪在次輪上月之實體則在次均輪上與五星又異矣細讀厯象考成始知其故回回厯七政皆有中心行度似本輪行於本天而梅先生云小輪心非能自動小輪之動本天之動也七政亦非自動七政之動小輪之動也又云小輪心者小輪之樞也樞連於本天不動故輪能動而七政者又相連於小輪之周者也小輪動則七政動矣此皆發前人所未發若小輪之動有左旋有右旋有不動其起㸃有在輪底有在輪頂其行度有平有倍有再倍又七政雖連於小輪之周而七政之體上下却有定位不隨輪而顛倒愚於七政衍詳言之七政各有本天本天上各有小輪小輪又互有同異視之若無測之實有紛綸交錯條貫秩然雖有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧論日差問厯書日躔有日差表月離又有日差表交食有加減時表月離之日差表與加減時同但加減倒用(加減用時為平時)若日躔日差其數絶異何也曰梅先生嘗疑日躔表説支離蒙混此事當究其源而論之凡云時者有二一為十二時之數太陽一日東升西沒徧厯太虚常靜之天均剖之為十二段所以紀出沒永短節氣朔望之節度者也一為十二時之位人所居之方必有正南正北之子午圏視太陽正當午位為午正其對衝為子正從此分十二宫者所以為測候七政之用者也此二者皆以赤道為宗平剖赤道一宫得三十度一時應之數與位其根本同所以有日差者一由太陽有平行視行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以厯家所算之時刻與太陽所到之方位略有不同所算者實時平時所到者視時用時也日躔日差表説亦明言日差之故有二一由太陽平視兩行差一由兩道正球升度差及其解説作表之法却不分明而所定各節氣加減分數亦絶不可解(後詳言之)宜勿菴先生譏之然月離交食二表只説黄赤升度差立算而不論太陽之加減差疑其法之未確先生始疑日差有二根當立二表後又自謂不確而别為之説謂西厯之傳各有師授不同日躔表之兼用二根或是初説其平時定時乃測騐之實用必是後来之説宜只用月離交食二表為是愚向者亦未敢斷其是非後考之厯象考成所以求用時者兼用均度升度二差而日躔日差表棄而不用則二根兼用者為是先生始謂當立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解説支離洵不可承用也太陽平視兩行差當從最卑最高起算至春分則積二度有竒減時當八分有竒而表以春分起算謂春分平視兩行略等此時無加減分夫春分既無加減則秋分宜亦無加減表於秋分則加十六分時差十六分當天之四度此四度之差從何得之其不可解一也高卑加減之極在三宫九宫升度加減之極在四立節四立節之加減最大者不過九分五十六秒謂升度差最大者二度半稍弱也以此為限再以平視兩行差加減之相去不甚逺表於立春減八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加減其數常均合之當亦必均表於初宫十九度後始有減分減至春分而極春分後則恒用加計一歲加減之數減者一而加者四其不可解三也合二根加減不過十八分有竒兩大之限不同時又不能及此數而表之加分大者二十四分當天六度此數又從何得之其不可解四也升度差有定時而太陽髙卑有行度其兩行之差不恒繫於節氣表乃合之為一若可恒用者然其不可解五也此表監中承用數十年近始遵用厯象考成豈久之始覺其未確乎厯象考成求用時之法云以本日太陽均數變時得均數時差(本註云均數為加者時差為減均數減者時差為加)又以本日太陽黄赤經度相減餘數變時得升度時差(註云二分後為加二至後為減)乃以兩時差相加減為時差總(註云兩時差同為加者則相併為總其號仍為加同為減者亦相併為總其號為減兩時差一加一減者則相減為總加數大為加號減數大為減號)若算太陰平行則以時差總化秒與一小時太陰平行相乗為實以一小時化秒為法除之得數為秒以分收之得時差行以加減太陰平行(時差總為加者則減為減者則加)為用時太陰平行若算交食求實朔實望用時則以時差總加減實朔實望為實朔實望用時按此求時差之法甚分明觀此可知日躔表之誤而月離交食二表僅得其半於理亦未盡矣究之亦不必立兩表惟以交食加減時表為主而以均度變時差加減之盖變時之法甚易一度變時之四分十五分變時之一分一分變時之四秒可約而知不必須表也(加減時表當正其名曰黄赤升度時差表)黄赤升度之時差易見太陽均度之時差難知均度所以有時差者何也太陽在天終古平行厯家步算一切以平行為本一年之根起於冬至次日子正時此平時之平度也而有髙卑之輪太陽行其上則黄道上有視行加減之度而平行之度在本輪之心與人目所見太陽異處則時差生於此矣夫常靜天之析為十二宫均剖者也一日之分為十二宫亦均剖者也以均剖者算行度則時刻之能應天者太陽本輪心所到之平度耳若本輪上有加減之度逐日所算太陽加時必與太陽所加之時位有微差(一度為時之四分)何也輪心與輪邊所當不同也設平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差約兩度則甲子日欲測太陽正交赤道必於所算午正時減八分為午初三刻七分於正南之位偏東二度測之此時正當交㸃則所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本為平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度當未至午正二度之時而入交則本輪心豈不正當午位乎若再加時八分太陽正當午位則本輪心又移過午正西二度矣此均度所以有時差之理也論太陽右旋一晝夜行一度弱論太陽左旋一晝夜行三百六十度太陽既有加減差則右旋者差在日其極差二日有奇左旋者差在時其極差八分有奇本輪上九宫至三宫太陽行下半周右旋盈則左旋縮十二時行三百六十度而不足不足則時差當減矣三宫至九宫太陽行上半周右旋縮則左旋盈十二時行三百六十度而有餘有餘則時差當加矣然加時之始不於三宫而於六宫減時之始不於九宫而於初宫葢三九宫為縮與盈之極三宫至六宫盈其所縮九宫至初宫縮其所盈也總之輪心所到為平時太陽所到為視時故以本日均數變時而反其加減於理為盡(梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推測如此)唯四正日但有均度時差過此則兼有升度時差故當合兩時差相併相減以為時差總其法至今日始定論太陽倍離天以太陽為尊能攝月與五星西史第谷謂如磁石之引鍼確喻也月五星離日有逺近而生次輪之行五星次輪一度即為一度獨太陰離日一度次輪上即有兩度五星合伏至合伏次輪一周太陰朔至望望至朔次輪再周回厯謂之倍離其故何與此由月次輪與五星不同故也五星次輪心在均輪上而月次輪心在負圏上次輪與均輪以邊相切其相切之㸃即初均割線所到謂之次輪最近㸃最近者最近於均輪之心也定朔定望起於此㸃由此左旋至上弦而最逺至望復於起㸃又至下弦而最逺至朔再復於起㸃㸃在輪周則度亦起於輪周凡割圓之理從輪心出線論度者一度為一度從輪周出線論度者兩度為一度此月所以倍離也試從次輪最近㸃出一直線分次輪為兩半又從㸃出一横線與直線十字相交夾次輪半周於中間夫十字相交者直角也直角所夾之度必九十度而次輪則已半周豈不兩度當一度乎論太陰遲疾問授時分太陰為一百六十八限算其遲疾似密於古以今法較之授時猶未能與天密合也按月離加減表三宫九宫初度減均加均積度四度五十八分二十秒變為日度五度○四四五有奇耳而遲疾立成八十四限所益所損之積度五度四二九有奇則其數大於加減均度矣朔望後行次輪更有二三均加減大者二度四十八分併初均加減七度有奇而授時無此損益分則其積差有至二度有奇者矣安能與天密合曰授時之分限算遲疾葢由積候而得豈積差至一度有奇猶不之覺者乎曰月行最難測算者也三均之數甚糾紛地面地心視差又最大人所見在天之度往往非真度當時雖屢測亦只得其大㮣既不知有次輪之行又未得視差之真率是以不得不以近似者立法然則西法算太陰有二三均加減實勝中法之一大端也凡月近入轉則疾近月孛則遲此本輪均輪上之遲疾也近朔望則疾近兩弦則遲此次輪次均輪上之遲疾也朔望又近入轉兩弦又近月孛則疾者愈疾一日不啻十五度遲者愈遲一日行十一度有奇然則授時之遲疾法算定朔定望交食何以不甚差曰朔望無次均加減故也授時分太陰一轉三百三十六限之表今載之明史其實為無用之法也論交食梅先生交食蒙求交㑹管見二書備論算交食之理無餘藴其以黄道交角變白道交角為定交角以定交角算日月光體之上下左右指其初虧復圓而不以東西南北為方位尤發前人所未發交食蒙求註云若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高並可得交角細數然所差不多蓋算交食必在朔望又必在交前交後故也按用弧三角求白道限即交㑹管見新立算白道九十度限髙法是也竊疑交前交後白道斜穿黄道而過不能與黄道平行則變黄道交角為白道交角似有微差然甚微可不論故今法徑借黄道交角以朔望黄白交角加減之而白道交角不必立表舊法定日食限陰厯初宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外陽厯六宫八度二十分以内十一宫二十一度四十分以外實交周入此限者並有食今法定食限陰厯稍寛陽厯稍狹實交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分為的食不入限者不必算亦有入限而不食者則因三差故(西法羅㬋為正交交道自外而入内計都為中交交道自内而出外中厯反之名易而實不易)康熈四十三年五月十七日乙夘望月食監頒圖梅先生謂圖中所注食既至食甚時刻多食甚至生光時刻少相差十分謂其不應改法愚疑此頒圖時字有脱誤也(葢生光丑正二刻十一分脱十字誤作一分)否則誠難解論中西法異者多端問梅先生謂中西二法本同新厯但兼用其長以補舊法之未備惟五星有交㸃有緯行是中厯缺陷之大端然則西法之異於中法止此一事與曰先生舉其大者耳其他若中厯太陽盈縮常定於冬夏二至西法則最高最卑有行度中厯太陰遲疾但知有轉終而不知更有二三均加減中厯交食時差但知以午正為加減之限而不知有黄平象限中厯太陽太陰之徑闇虚之徑恒為一定而不知有髙下大小之差法之異者固多端若三角立算中法只知有直角句股而不知有鈍角鋭角與弧三角弧矢割圓中法未盡其用而西法則有八線表預定無數句股以為一切測算之凖䋲此皆有補於中厯者也補論十二宫問梅先生論周天十二宫有直有衡有斜有百游不甚紛紜錯雜歟曰是皆各有所宗各有所取用非雜也愚謂在天猶有不變之十二宫葢列宿之天分為四維析為十二次星紀鶉首等名西國則有磨羯巨蟹等名皆以星象定之古今不變者也此與黄道之十二宫同歸而殊塗恒星天亦宗黄極是同歸也列宿自布十二宫恒以虚六度為元枵之半斗四度為磨羯之初歲歲推移不與中氣節氣相直是殊塗也梅先生厯學疑問補中極論此理但未言其不變之十二宫耳又按七政小輪無論大小皆分十二宫此自厯家虚立之以便算故梅先生不數論西法六十分為度問囘囘厯雖以三百六十度為周天而一度用百分或萬分與授時同(見袁氏厯法新書)歐邏巴獨以六十分為度秒微以下皆用六十遞析八線表亦分一度為六十何也曰其源葢由於時刻也中法一日百刻不便於分布西法以九十六刻齊之一時均得八刻又分一時為二時謂之小時分一刻為十五分凡加時與日出入皆有分數可紀(中法萬分日雖甚細而發斂加時及日出入皆紀刻不紀分猶為粗疎西法則紀刻分分下之秒未過半棄之已過半收之)今四刻六十分為一小時此六十分所由来也而秒微以下皆用六十則作表甚便(第一格為時第二格為分第三格為秒第四格為微所列之數皆同)又如以度變時以時變度則以四分當一度一小時當半宫亦甚便日法如此度法亦因之八線表亦因之則各率通為一法此歐邏巴立法斟酌盡善者也彼百刻不便分布刻下不能紀分似不可謂無弊薛儀甫著天學㑹通改六十分為百分則當先改八線表而餘諸表皆不可用亦覺更張多事謹案聖祖仁皇帝御製厯象考成度法用六十日法一千四百四十别以一萬為日周通法其布算也以萬分計餘分而仍以日法通之如法收為時刻兼用授時而不用百刻之法此則萬世可遵行者也論授時厯周天歲周自大衍厯分天自為天歲自為歲以著歲差之理厯代遵用至郭氏别出新意以萬分為度即以萬分為日周天三百六十五萬二千五百七十五分歲周三百六十五萬二千四百二十五分自當時觀之立法若盡善矣由今日論之二者皆非至極之理也夫黄道與列宿天同為大圜雖髙下懸殊度之廣狭迥異而度數則同非周天之度分多於周歲之度分也歲已周則黄道周矣而不能踵其星之故處非歲有不滿之度分也星自移而東耳譬之太陰二十七日有奇即周天其不能逐及於日者日自行二十餘度耳乃以三百六十五度二千五百七十五分為周天是并其移動之一百五十分亦算在周天之内則二十八宿之度不溢出一百五十分乎又歲實有平有汎論平歲實只有三百六十五萬二千四百二十一分八十七秒五十微而當時以汎歲實定為歲周則又多出三分一十二秒五十微矣論正法當即以歲周為周天以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隸之於二十八宿别以今率恒星每歳東行五十一秒變為日度之分秒微以為歲差始盡善無弊當時最卑行與恒星行兩竅未啓是以立法甚難此不可不原其情亦不可不知其有未當處也論厯法隨時修改厯取象於革久之不能不改非久亦不能改各平行率有積之數十年微覺其差而即改者(如最卑行)有通前後數百年或千餘年測準之度分用以相距定為平行其尾數或有未真必甚久而後可改者(如七政平行)有前人立法未精改之而加密者(如日食加時東西差昔以午正為限後改用黄平象限近又以白道算定交角)有前人用法稍煩改之而徑㨗者(如六曜求初均昔用平三角今直角算)若夫黄赤相距之緯古闊而今漸狹太陽本輪均輪之半徑古大而今漸小此二差出於常理之外前不知若何而始後不知若何而極非法之所能馭惟隨時密測改表以合天行耳黄赤相距西史第谷測得二十三度三十一分半今測得二十三度二十九分三十秒(康熈五十三年臺官密測立表今又當稍減矣)太陽本輪均輪兩半徑併昔用十萬分之三千五百八十四或以一千萬為本天半徑則為三十五萬八千四百一十六日躔加減差表三宫九宫初度其均度二度三分一十秒平春分與定春分相距二日一小時有竒而今平春分與定春分相距一日二十二小時弱則最大之均度一度五十五分(比舊約少八分)本輪均輪兩半徑合得三十三萬五千四百有竒耳黄道為諸道之宗太陽為衆曜之君有此二差則六曜之出入於黄道離合於太陽者亦因之而小有改變兩半徑雖改算太陽均度舊表亦可借用(以三五八四為一率舊表均數化秒為二率今改三三五四有竒為三率求得四率為秒以度分收之為今時加減均數)數學卷一
## 2
欽定四庫全書數學卷二婺源江永撰嵗實消長辨(嵗實消長前人多論之者勿菴先生大約主授時而亦疑其百年消長一分以乘距算其數驟變殊覺不倫又謂今現行之嵗實稍大於授時其為復長亦似有據因為高衝近冬至而嵗餘漸消過冬至而復漸長之說葢存此以俟後學之深思永别為之說謂平嵗實本無消長而消長之故在高衝之行與小輪之改兩嵗節氣相距近高衝者嵗實稍嬴近最高者稍朒猶定朔定望定弦之不能均惟逐節氣算其時刻分秒而消長可勿論也管見如斯遂不能强同爰引先生之言逐節疏論於下)勿菴先生曰(厯學答問)授時以萬分為日故其嵗實三百六十五萬二千四百二十五分其數自至元辛巳嵗前天正冬至積至次年壬午嵗前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此(如自庚辰年十一月冬至逆推至己夘年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分)此嵗實之數大統與授時並同永按嵗實為厯法大綱領得其真確之數為難四分厯以前無論已魏晉以後漸知一嵗小餘不及四分日之一隨時測驗一厯必更一斗分不久即有差此何以故葢步厯者泥履端於始之義但以嵗前冬至距今年冬至計其小餘時刻并入大餘以為嵗實不知冬至距冬至所得者活汎之嵗實而非經恒之嵗實也欲得經恒嵗實宜於近春分時測之(元至元時當測定氣春分)今嵗春分距來嵗春分苟得真時刻則得真嵗實又以前後逺年測凖之春分計其日時分秒均之各嵗則嵗實之恒率確矣此何也太陽因有高卑而生盈縮近數百年間春分則平行(當郭氏作厯時定氣春分之日正當平行之處此以前以後雖有此亦甚微)故所得嵗實為恒率得其恒乃可以求其定猶之月必有平朔之䇿而後可求定朔也郭太史改厯自言創造簡儀高表憑所測實數考正者七事一曰冬至二曰嵗餘其於嵗實考之詳矣其求冬至也自丙子年立冬後依毎日測到晷景逐日取對冬至前後日差同者為凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半又定戊寅冬至在癸夘日夜半後三十三刻己夘冬至在戊申日夜半後五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半後八十一刻辛巳冬至在己未日夜半後六刻(從甲子日始五十五日零六刻氣應五十五萬零六百分為厯元)其求嵗餘也自劉宋大明以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六用以相距各得其時合用嵗餘考驗四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年毎嵗各得三百六十五日二十四刻二十五分減大明厯一十一秒其二十五分為今厯嵗餘合用之數愚以此二條考之即郭氏當年所定之嵗實已有微差稽之於史又多牴牾其可以是為消長之凖乎夫一嵗小餘二十四刻二十五分積之四嵗正得九十七刻無餘無欠丁丑年冬至在戊戌日夜半後八刻半則辛巳年冬至宜在己未夜半後五刻半不應有六刻如以辛巳之六刻為確也則丁丑年宜在九刻不應只有八刻半此四年既皆實測所得則己亥半刻矣而云相符不差何也(丁丑年之八刻半雖約取整數未必正是半刻然已有數十分矣其本法上考已往百年而長一刻四年所長甚微不應有半刻以下然則當時冬至嵗實刻下之小餘不止二十五分矣)又考劉宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所測十月十日壬戌景長一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相較餘二分二釐半為實以丁未戊申景相較餘六分五釐為法以法除實得三十四刻六十分以減距日四千六百刻餘四千五百六十五刻四十分折取其日(二千二百八十二刻七十分)加半日刻(午正測景故加半日)得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半後三十二刻七十分(劉宋都建康比元大都里差應後五十七分則大都此日冬至三十二刻一十三分○按劉宋時太陽最高衝在冬至前幾半宫則取冬至前後二十餘日之景折取中數以求冬至仍有差詳見冬至權度條)辰初三刻冬至(大都減半刻竒)大明壬寅(辛丑年之十一月即壬寅嵗之始)下距至元辛巳八百一十九年以授時嵗實積之凡二十九萬九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九萬九千一百三十三日九十二刻較多三十三刻而云自大明壬寅距今毎嵗合得此數何也(如郭氏百年長一之法以八百一十九總乗所長之數則壬寅冬至甲申日七十九刻太較當時所測算者又先五十餘刻則失之愈逹矣○詳冬至權度)又云減大明厯一十一秒考祖冲之大明厯紀法與周天一嵗小餘二十四刻二十八分一十四秒授時減去三分一十四秒亦非一十一秒也(邢士登律厯考謂金時趙知微重修大明厯小餘二十四分三十六秒實多授時一十一秒郭所減者趙厯非祖厯也其説是)然則授時所定嵗實猶是近似活泛之數而不可以為恒欲定經恒之嵗實則西厯恒年表之恒率是矣按表一嵗小餘五小時三刻三分四十五秒(一日二十四小時一小時四刻一刻十五分一分六十秒)以分通之三百四十八分有竒以秒通之二萬○九百二十五秒(一日八萬六千四百秒)考其實則回回厯已如此回回厯法一嵗三百六十五日嵗有十二宫宫有閏日一百二十八年閏三十一日然則一嵗閏一百二十八分日之三十一正西法之嵗餘也(以一百二十八乘二萬○九百二十五得二百六十七萬八千四百以八萬六千四百除之得三十一是也)回回厯以春分為嵗首其嵗餘由累測春分得之歐邏巴厯遂用之至今因之雖分下之四十五秒未必無脁朒當亦甚微矣以此平率為凖隨其時之最高衝與最高之行而進退焉冬至近高衝則兩嵗冬至之距必多於平率(今時多一分弱)夏至近最高則兩嵗夏至之距必少於平率(今時少一分弱猶之太陰當朔時入轉兩朔相距之日時必多當望時近月孛兩望相距之日時必少若朔時近月孛望時近入轉兩朔兩望相距反是)又古時太陽本輪均輪半徑之差大於今日則加減均數亦大而冬至嵗實當更增至元辛巳間高衝約與冬至同度則嵗實尤大其小餘刻下之分約有三十分而授時定為二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之間即有半刻之差而郭氏未之覺也(一年少五分四年少二十分幾於半刻之半矣丁丑年之八刻半本為約畧之數半刻以下固難測算真的也○以西法嵗餘依授時萬分日較之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授時嵗餘三分一十二秒半當時冬至為盈初小輪半徑差又大其多於平率必不止三分有竒者也)然授時原有消長之法是其新意其法自辛巳元順推至一百年則嵗實當消一分(依法推至洪武十四年辛巳滿一百年其歳實消一分為三百六十五日二十四刻二十四分)若自辛巳元逆推至一百年則嵗實當長一分(依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑滿一百年嵗實長一分為三百六十五日二十四刻二十六分)毎相距增一百年則嵗實消長各增一分以是為上考下求之凖大統諸法悉遵授時獨不用消長之法上考下求總定為三百六十五日二十四刻二十五分此其異也永按冬至相距之嵗實大於平率最高衝有行度而小輪均數又有大小宜其嵗實有消長分數然必當時測定之嵗實已真確又知其無可復加而後知將來之漸消若授時嵗餘刻下之二十五分尚非確數其差分已見端於丁丑辛巳四年之間則辛巳以後能必其果消乎郭太史厯考正者七事創法者五事皆不數嵗實消長葢未能真知所以消長之故但暗用楊忠輔統天厯為活法以推往古意謂下考將來亦如是耳明大統厯悉遵授時獨不用消長之法當時厯官元統非有確見實測知其不當用消分也以今觀之猶幸大統不用消分冬至縱有先天尚未甚逺倘遽改二十五分為二十四分其先天不愈多乎(當至元時刻下小餘約有三十分授時一嵗少五分百年約先天五刻)嵗實即一年之日數自一年以至千百年共積若干是為積日亦謂之中積(上考下求皆距至元辛巳立算)假如今康熙庚午嵗相距四百零九算依授時法推得積日一十四萬九千三百八十四日零一刻八十九分(因距算四百以上嵗實當消四分為三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上數)大統不用消長則積日為一十四萬九千三百八十四日一十八刻二十五分兩法相差一十六刻三十六分(以命冬至日辰授時得癸夘日丑初三刻大統得癸夘日夘初三刻)永按凡天行盈縮進退必以漸無驟増驟減之理郭氏百年消長一分則是百年之内皆無所差至一百零一年驟増減一分又越百年皆平差一分至二百零一年又驟増一分豈有此數與法乎即如其法算數百年後亦當逐節計其消分積而數之不當總計當消之分而以距算總乘之也如大統厯康熙庚午冬至癸夘日夘初三刻查時憲書乃是巳初一刻(大統先天一十四刻)授時大統用消分均之無當於天行其故何哉當年所測嵗實刻下小餘其數不真故也嵗實已弱矣而又消之安得不先天乎使當改二十五分為三十分由辛巳以後漸而消之或庶幾耳曰至元嵗餘若果二十四刻三十分則上考當長乎消乎曰上考亦消也葢至元時高衝與冬至同度小輪均數又最大故冬至嵗實為長極之時而上考下考皆當消但消於三十分之内非消於二十五分之内也(今時高衝在冬至後七八度小輪又漸小冬至嵗餘以萬分日計之約二十四刻二十八九分之間劉宋大明時高衝在冬至前半宫以祖冲之紀法除其嵗周當時嵗實三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可見至元前後皆消於三十分之内其消甚遲約四百餘年始消一分葢小輪均數在初宮有若平差故也至一宫以外則漸疾矣)若以春分平嵗實相較則冬至嵗實上下數千年皆在長限之中而至元時尤為長之極必俟高衝行至春分則冬至嵗實始平(如今之春分)又數千年高衝行至夏至最高行至冬至則冬至嵗實始為消之極耳(如今之夏至)然冬至嵗實消則春分嵗實長冬至嵗實消之極則夏至嵗實又為長之極矣抑今日本輪差小古時差大則消長中復有消長苟知此理則後之治厯者但隨時測高衝之行與小輪之差以算定氣而嵗實消長俱可勿論猶之太陰但實算定朔定望定弦不必復計此月與彼月多於朔䇿幾何少於朔䇿幾何也又曰(厯學疑問)問嵗實既有一定之數授時何以有消長之法曰此非授時新法而宋統天之法然亦非統天億創之法而合古今累代之法而為之者也永按統天厯宋寧宗時楊忠輔所造其嵗實與授時正同以斗分乘距差為躔差暗藏加減之法約百年加減一分零六秒弱然行之未久鮑澣之造開禧厯臧元震造成天厯皆増嵗實改各率紛紛竟無定論云葢古厯周天三百六十五度四分度之一一嵗之日亦如之故四年而増一日其後漸覺後天皆以為斗分太强因稍損之永按古厯四年而増一日其術甚疎雖古斗分宜多亦百數十年即當後天一日何以自周迄漢久而後覺曰周之厯却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日厯數百年以有餘之嵗實盈其所先之數乃適得其平(約在周秦間)厥後猶執四分之術漸失之後天故久而後覺耳自漢而晉而唐而宋毎次改厯必有所減以合當時實測之數故用前代之厯以順推後代必至後天以斗分强也(斗分即嵗餘)若用後代之厯據近測以逆溯往代亦必後天以斗分弱也永按漢已前之冬至非實測先後天或至二三日後漢末劉洪始覺其後天而改斗分東晉虞喜始立嵗差法後秦姜岌始知以月蝕衝檢日宿度所在而劉宋之初冬至猶後天三日大明時祖冲之始解於測景以冬至前後二十餘日之景比對取中而定冬至然後冬至日躔漸得其實猶不能盡合也故唐一行謂麟德厯已前實録所記乃依時厯書之非候景所得郭太史謂自大明厯以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六然則實測之能合天者亦鮮矣統天厯見其然故為之法以通之於嵗實平行之中加一古多今少之率則於前代諸厯不相乖戾而又不違於今之實測此其用法之巧也然統天厯藏其數於法之中而未嘗明言消長授時則明言之今遂以為授時之法耳郭太史自述創法五端初未及此也永按授時厯實暗用統天之法者也其嵗餘二十四刻二十五分與統天同而上推百年長一之法亦相似故授時厯議謂自魯獻公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授時法合者三十九不合者十統天不合者惟獻公戊寅與授時異餘三十八與授時同二厯推冬至畧相似也然而劉宋大明壬寅嵗前冬至乙酉夜半後三十二刻七十分則當時祖冲之測景推算所得者縱有未確亦不甚逺(當時所算約後天十六刻詳見冬至權度)依授時統天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多豈可謂大明非而授時統天是歟郭氏謂自大明以來測景驗氣得冬至時刻真數者有六用以相距既以大明壬寅之冬至為得真數之首矣及用法推算即失此至乃謂日度失常其可乎以今觀之一由授時所定嵗餘本未真一由長數當漸積不當總計長分而以八百一十九距算總乘之也(統天距差乘差躔差咸汎積失亦畧同)然則大統厯何以不用消長曰此則元統之失也當時李德芳固已上疏争之矣然在洪武時去授時立法不過百年所減不過一分積之不過一刻故雖不用消長無甚差殊也崇禎厯書謂元統得之測驗竊不謂然何也元統與德芳辨但言未變舊法不言測驗有差又其所著通軌雖便初學殊昧根宗間有更張輒違經㫖(如月食時差既内分等俱妄改背理)豈能於冬至加時先後一刻之間而測得真數乎永按明初李德芳與元統争嵗實消長為厯家一段公案闗係有明二百餘年之厯法邢士登恨元統不用消分致萬厯間節氣後天九刻有竒愚有以斷之據授時嵗實上考固宜有長分矣然而授時之嵗餘本未確則所據以為長之端者亦未真既言毎百年長一分則當以漸而長乃總計長分以乘距算則又無此算法觀其推至大明壬寅巳違當時之實測又何論春秋以前乎德芳所據者謂魯獻公十五年戊寅天正甲寅冬至依授時法推得甲寅日夜子初三刻依大統法推得己未日午正三刻(己未史誤作丁巳)相差四日六時五刻當用至元辛巳為元及消長之法方合天道夫魯獻公之年史有舛錯本難憑信漢志謂獻公十五年甲寅冬至此自劉歆三統厯逆推當年冬至是甲寅耳豈有實測紀之信史哉而德芳以此駁元統其無卓識可知矣然元統之不用消長也初無實據但云上考下推不用消長以合天道又云天道無端惟數可以推其機天道至妙因數可以明其理理因數顯數從理出故理數可相倚而不可相違夫既未嘗實測而憑虛以言天道言理數宜其不能服德芳也今日厯學大明由後觀之前此二百餘年猶幸元統不用消分冬至加時先天尚未甚逺葢授時嵗餘一嵗約少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大統減一分又越百年二百年而更減之先天不愈多乎邢士登謂萬厯間大統厯後天九刻此非有所測驗但據用消分與不用消分積算如此豈知明厯皆失之先天乎觀前所舉康熙庚午年時憲書癸夘日巳初一刻冬至依大統算夘初三刻先天一十四刻若依授時算丑初三刻則先天三十刻自辛酉溯戊辰五十餘年約減二三刻則戊辰以前大統厯率先天十一二刻若用授時法先天遂至二十七八刻矣此豈可厚非大統乎然則消長必不可廢乎曰上古則不可知矣若春秋之日南至固可考據而唐宋諸家之實測有據者史册亦具存也今以消長之法求之其數皆合若以大統法求之則皆後天而於春秋且差三日矣安可廢乎永按春秋時厯法最疎置閏或疏或密日食或不在朔則步冬至違天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳時定冬至在甲寅即令此時小輪均數大能使定氣移前一日半亦不過癸丑日之夜刻辛亥實先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘當時推己丑亦先天二日且己丑為此年正月朔安得為二月也授時推僖五年冬至以嵗餘長十九分乘距算一千九百三十五加於中積得辛亥日寅初二刻是以總長分數乘距算而非積漸而長亦因𫝊有辛亥日南至之文强為此算以求合不知辛亥非實測也(唐一行謂僖公登觀臺以望而書雲物出於表晷天驗非時史億度愚謂傳言書雲未嘗言測景)其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二則不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足為據且既能上合一千九百餘年之冬至矣何以劉宋元嘉丙子十一月甲戌景長而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至(即壬寅天正冬至)而推甲申此二事皆八百餘年反先天一日豈非總分乘距算之法非法故失之乎然則統天授時之法同乎曰亦不同也統天厯逐年迭差而授時消長之分以百年為限則授時之法又不如統天矣永按統天以距差乘躔差其失亦與授時等(由其根數未確)夫必百年而消長一分未嘗不是乃以乘距算其數驟變殊覺不倫鄭世子黃鍾厯法所以有所酌改也(假如康熙辛酉年距元四百算故消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年嵗餘二十四刻二十二分而辛酉年嵗餘二十四刻二十一分也以此所消之一分乘距算得四百分則辛酉嵗前冬至忽早四刻而次年又只平運以實數計之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年則又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣)永按授時之謬法勿菴先生亦既覺之矣抑不惟如此而已年愈逺則失愈甚如推至春秋時一千九百年則嵗餘二十四刻四十四分若一千九百零一年嵗餘増一分此一分乘距算一千九百零一前一嵗忽増一十九刻有竒則嵗實有三百六十五日四十三刻有竒豈不甚可笑乎況又有逺於此者乎問嵗實消長之法既通於古亦宜合於今乃今實測之家又以為消極而長其說安在豈亦有所以然之故與曰授時雖承統天之法而用消長但以推之舊厯而合耳初未嘗深言其故也惟厯書則為之説曰嵗實漸消者由日輪之轂漸近地心也余嘗竊疑其説今具論之夫西法以日天與地不同心疏盈縮加減之理其所謂加減皆加減於天周三百六十度之中非有所増損於其外也如最高則視行見小而有所減最卑則視行見大而有所加加度則減時矣及其加減既周則其總數適合平行畧無餘欠也若果日輪之轂漸近地心不過其加減之數漸平耳加之數漸平則減之數亦漸平其為遲速相補而歸於平行一也豈有日輪心逺地心之時則加之數多而減之數少日輪心近地心時則減之數少而加之數多乎必不然矣永按冬至相距之日時古今有多少不過汎嵗實與平嵗實相差其相差又有舒疾之漸耳若今冬至有平有定本不必言消長必欲言其消長則其故有二一由高衝離冬至有逺近一由日小輪古今有大小也高衝自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至後總此六宫上下約萬年(以今時最高衝行約之)皆在長限以其冬至汎嵗實皆多於平嵗實故也惟高衝正當秋分春分此兩嵗嵗實皆平(即西法三百六十五日五小時四十八分四十五秒是也)離此則漸有差前三宫由平而漸増多是為長中之長至高衝與冬至同度則定冬至與平冬至同日同時是為長之極當郭太史作厯正其時也後三宫由極多而漸減以至於平是為長中之消今時高衝在冬至後八度其消尚未多也若高衝過春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至後自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前總此六宫亦約萬年皆在消限以其冬至汎嵗實皆少於平嵗實故也前三宫由平而漸減是為消中之消至高衝與夏至同度則定冬至亦與平冬至同日同時是為消之極後三宫由極少而漸増以至於平是為消中之長此通高衝行一周天而總論其消長也然而太陽兩小輪半徑三千五百八十四古多而今少多則小輪稍大日躔加減均亦稍大少則小輪稍小加減均亦稍小高衝之行一年一分一秒十微(西士後測)此一分一秒十微若在均數稍大之中則度分變為時分之秒數以加減於平時者必稍多若在均數稍小之中則度分變為時分之秒數以加減於平時者必稍少(如崇禎戊辰所立之加減差表初宫之初度十一宫之末度毎一十分均數二十二秒高衝一年行一分一秒十微約均數二秒有竒此二秒有竒變為時約五十七秒以加於平嵗餘五小時三分四十五秒得五小時四分四十二秒如小輪稍大則初度一十分之均不止二十二秒而一嵗高衝之行不止得均二秒有竒其變時亦不止五十七秒矣如小輪稍小則初度十分不及二十二秒高衝之行得均數不及二秒則變時亦不及五十七秒矣此畧舉初度之均以為例其他可類推)古今小輪之大小雖不可盡知以劉宋元嘉大明間屢年之實測算當時之不同心差葢四千有竒(詳冬至權度)則均數必稍强至元授時厯冬至盈初加分多於今日之加分則當時小輪半徑不止三千五百八十四自此以後至今日小輪漸小均數亦漸小高衝行度所得之均數以減度加時者亦稍弱焉此又因輪轂漸近地心而微有消分也又考日躔永表彼固原未有消長之說日躔厯指言平嵗用授時消分定嵗則用最高差及查恒年表之用則又只用平率是其說未有所决也永按厯書非出一手故有不相應處其嵗實平率出回厯回厯得之實測春分此厯書最緊要處惜未明白剖析其日躔表說辨論從前言消長者之非則固有定說矣但小餘微有不同耳(厯書平嵗實小餘五小時三刻三分四十五秒以萬分通之是二四二一八七五也今厯象考成亦用之而日躔表說二四二一八八六四較多一一四)又厯書言日輪漸近地心數千年後將合為一點若前之漸消由於兩心之漸近則今日之消極而長兩心亦將由近極而逺數千年後又安能合為一點乎彼葢見授時消分有據而姑為此說非能極論夫消長之故者也永按七政皆有小輪獨日之小輪有改變竊意久亦必復豈有與地心合為一點之理自至元辛巳以後正是長極而消非消極而長也曰今實測之冬至後於授時之中積分明是長而以為消何也曰前已言之矣授時嵗餘刻下之分當有三十分而郭氏定為二十五分也授時之嵗實豈非出於實測然因其自述丁丑辛巳四年冬至得其自相乖違之處因以知至元時為長極而消之大界與日躔加減表十一宫末度以前均數漸減之理固相符也然則將何以求其故曰授時以前之漸消既徴之經史而信矣而今現行厯之嵗實又稍大於授時其為復長亦似有據竊考西厯最高卑今定於二至後七度依永年厯毎年行一分有竒則授時立法之時最高卑正與二至同度而前此則在至前過此則在至後豈非高衝漸近冬至而嵗餘漸消及其過冬至而東又復漸長乎余觀七政厯於康熙庚申年移改最高半度弱而其年嵗實驟増一刻半强此亦一徵也存此以竢後之知厯者(己未年最高在夏至後六度三十九分庚申年最高在夏至後七度七分除本行外計新移二十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分實計三百六十五日二十四刻十三分前後各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以較庚申年嵗實驟増一刻九分)永按嵗實消長之故一由最高衝之有行度先生因最高改移嵗實驟増而悟及此猶云存之以俟知者亦欲後人由此致思也然其所言消長若與實算相反何也日躔加減表初宫與十一宫同均而加減異號至元辛巳以前高衝行未及冬至則用初宫之均度分秒加度而減時辛巳以後高衝行已過冬至則用十一宫之均度分秒減度而加時前減時則定冬至在平冬至前後加時則定冬至在平冬至後初宫之初度與十一宫之末度其均最大則一嵗高衝之行所得均數最多變為時以加減於平時者亦最多故此處嵗實極大皆最長之時也初宫若離初度稍逺則均漸少而變時以減平時者亦稍少嵗實亦稍減矣十一宫若離末度稍逺則均漸少而變時以加平時者亦稍少嵗實亦稍減矣故高衝行漸近冬至其均由少而多嵗實正漸増以至於極也而此謂嵗餘漸消高衝已過冬至其均由多而少嵗實則由極多以漸減也而此謂復漸長豈非與實算相反乎葢先生論消長不主平嵗實為根耳王寅旭曰嵗實消長其說不一謂由日輪之轂漸近地心其數〔？〕消者非也日輪漸近則兩心差及所生均數亦異以論定嵗誠有損益若平嵗嵗實尚未及均數則消長之源與兩心差何與乎識者欲以黃赤極相距逺近求嵗差朓朒與星嵗相較為節氣消長終始循環之法夫距度既殊則分至諸限亦宜隨易用求差數其理始全然必有平嵗之嵗差而後有朓朒之嵗差有一定之嵗實而後有消長之嵗實以有定者紀其常以無定者通其變始可以永久而無弊永按古今言嵗實消長者皆從冬至嵗實言之非論平率嵗實也因兩心差及所生均數異而定氣微有損益是亦消長之一根不可謂其無與若黃赤極相距逺近求差數此說恐未然其言有平嵗之嵗差而後有朓朒之嵗差有一定之嵗實而後有消長之嵗實此數言極中肻綮一定之嵗實從春分測定之平嵗實是也苟知此則但言平冬至定冬至不必言消長亦可矣按寅旭此論是欲據黃赤之漸近以為嵗實漸消之根葢見西赤黃赤之緯古大今小今又覺稍嬴故斷以為消極復長之故然黃赤逺近其差在緯嵗實消長其差在經似非一根又西測距緯復嬴者彼固自疑其前測最小數之未真則亦難為確據愚則以中厯嵗實起冬至而消極之時高衝與冬至同度高衝離至而嵗實亦增以經度求經差似較親切愚與寅旭生同時而不相聞及其卒也乃稍稍見其書今安得起斯人於九原而相與極論以質所疑乎永按先生經緯之辨最確而謂高衝與冬至同度為消極之時永已論之於前又曰(考最高行及嵗餘)按日行盈縮細考之則春分距夏至夏至距秋分雖皆縮厯而其縮亦不同秋分距冬至冬至距春分雖皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同細求之則節節不同又細求之其日日不同矣其故何也葢最高一點不在夏至而在其後數度又且年年移動此太陽盈縮之根而嵗實所以有消長也永按以太陽盈縮之根推嵗實所以有消長此先生之定見定說也按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共長一刻○三分(中積只十一年)壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分(中積共只八年)又合計癸亥夏至至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相較一日○四刻一分辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相較一日○五刻十四分八年中較數増一刻十三分永按此以半年之氣前後相較驗最高之東移若以兩嵗冬至春分夏至秋分及各節氣兩嵗相距皆各有其嵗實而冬至為最大夏至為最小春秋分為近平义越數十年而諸嵗實亦微有不同矣前代只知冬至嵗實不知逐節氣皆有嵗實也然二分之相距則無甚差何也葢最髙移而東則夏至後多占最高之度而減度加時之數益多故益長高衝移而東則冬至後多占最卑之度而加度減時之數益多故益消其近二至處皆為加減差最大之處故消長之較已極也乃若二分與中距雖亦嵗移而中距皆為平度不係加減其最高前後視行小之度固全在春分後半周最高衝前後視行大之度亦全在春分後半周毫無移動故無甚消長也永按二分無甚差故欲得平嵗實須於近二分時測之若高衝行至春分則二分之距又最大而二至反平矣按授時消分為不易之法今復有長者何也西法最高卑之點在兩至後數度嵗嵗東移故雖冬至亦有加減不得以恒為定也此是西法中一大節目其法自回回厯即有之然了凡先生頗采用回回法而不知此熊䃪石先生親與西儒論厯而亦不言及何也永按最高卑之有行度誠西法中一大節目袁氏新書不知有最高卑又何以能較論前代諸厯之先後天乎又曰(厯學疑問)袁了凡新書通回回之立成於大統可謂苦心然竟削去高卑之算又直用大統之嵗餘而棄授時之消長將逆推數百年已不效況數千萬年之久乎永按袁書逆推數百年已不效誠然若棄授時之消長則無足論授時本非不刋之法也今時厯象考成推步只有求天正冬至與求定冬至之法而不言消長紛紛之論可定矣數學卷二
## 3
欽定四庫全書數學卷三婺源江永撰恒氣註厯辨(改憲以來用定氣註厯久矣勿菴先生嘗舉康熙己未以後厯年高行以及四正相距時日别為一卷而云治厯首務太陽太陽重在盈縮又云西法最高卑之點在兩至後數度嵗嵗束移故雖冬至亦有加減不得以恒為定此是西法中一大節日則先生亦甚重定氣矣而疑問補等書謂當如舊法之恒氣註厯持論甚堅永深思之謂恒氣與平氣不同冬至既不得以恒為定則諸氣節亦當用定不可用恒爰引先生之說疏論其下惜不獲依門牆而質正也)勿菴先生曰(厯學疑問補)問舊法節氣之日數皆平分今則有長短何也曰節氣日數平分者古法謂之恒氣(以嵗用三百六十五日二十四刻竒平分為二十四氣各得一十五日二十一刻八十四分竒)其日數有多寡者謂之定氣(冬至前後有十四日竒為一氣夏至前後有十六日為一氣其餘節氣各各不同並以日行盈厯而其日數减行縮厯而其數増)二者之算古厯皆有之然各有所用唐一行大衍厯議曰以恒氣注厯以定氣算日月交食是則舊法原知有定氣但不以之註厯耳永按七政在天皆有平行有視行平行為步算之根視行為人事之用故月必以定朔定望推交食五星必以嵗輪視度察凌犯太陽尤為氣化之主其用於人最大雖行於本天者一日一度(此古之日度)無盈縮進退而輪有高卑人視黃道上度有盈縮則氣有短長一切分至啓閉及諸節氣皆當用其視行之定氣不當用其平行之恒氣也何以言之如云冬至夏至至者極也人視日極南極北立表測之景極長極短而晝夜之短長亦於此日為極也春分秋分黃道與赤道交日正當其交處陽厯陰厯於此分而晝夜時刻均亦於此日平分也若景非極長極短不得謂之至日不正當赤道不得謂之分故皆當用視度不用平度如史紀冬至有從測景得者書曰某日景長景長者定冬至非平冬至也平與定之差隨高衝離冬至逺近而異元至元以前定冬至皆在平冬至前至元以後定冬至皆在平冬至後其相差之極亦如今之春秋分前後約二日有竒(日躔如減差表均數最多者二度有竒故平氣定氣能差二日有竒)而厯家紀冬至必據景長之日人事之最重大者如朝㑹園丘皆以是日為定則自古以來冬至皆用定氣矣一嵗節氣獨冬至用定其餘二十三氣皆用恒寧有是理況其所謂恒氣者並非恒氣也如欲定在天之恒氣當以太陽本天界為二十四段一段均得十五度(據今法整度言之)又以一嵗三百六十五日二十三刻三分四十五秒之平嵗實(據今厯嵗實平率言之)分為二十四氣一氣約得十五日二十刻一十四分三十一秒五十二微半(亦據今之刻分秒微言之)以年冬至起根而均𣲖之猶曰此在天太陽平行之平氣也今乃以太陽視行之定冬至與來嵗定冬至相距之時日折半以為夏至四折以為春秋分又均𣲖以為諸中氣節氣無論春秋分非交赤道之日即諸中氣節氣亦無一氣合乎在天之均平者矣何也平冬至與定冬至起根不同也兩嵗冬至相距為活汎之嵗實與平率嵗實多寡不同也如月有平朔平望平弦有定朔定望定弦步算者必以月之經朔時日為根(即平朔)以朔䇿累加之為逐月經朔朔䇿折半為平望四折為平弦若以此月定朔與後月定朔之時日(多者二十九日九時少者二十九日三時)折半為望又折半為弦則平者皆非平矣古厯不知定朔自唐以來既用定朔定望推交食必無復用平朔平望註厯之理若以定朔為距折半為望又折半為弦無此理亦無此法恒氣亦猶是也古厯家惟隋劉焯皇極厯始用定氣其厯未頒行大衍厯以後諸家皆有推定氣之法然一行之言曰凡推日月度及軌漏交蝕依定氣注厯依常氣則唐以後厯家必用恒氣注厯者皆一行此言誤之也何可復仍其誤乎譯西法者未加詳考輒謂舊法春秋二分並差兩日則厚誣古人矣夫授時厯所注二分日各距二至九十一日竒乃恒氣也(厯經厯草皆明言恒氣)永按授時之恒氣與大衍之恒氣雖若無異亦微有辨至元時平冬至與定冬至時刻畧同則其均𣲖之恒氣以定冬至為根猶之以平冬至為根也若一行作厯在至元辛巳前五百五十餘年高衝約在冬至前十度其時兩心差又較大定冬至約在平冬至前四十餘刻其所謂恒氣者以定冬至為距非以平冬至為根則當年恒氣二分加時或近夜半前後者與在天之平氣二分相差亦可一日矣(春分先天秋分後天)此理一行固未知郭氏亦未曉(郭氏之時與天偶符)由太陽有高卑高卑又有行度兩心又有微差重闗未啓故也今日此理已明固可無疑於定氣其所註晝夜各五十刻者必在春分前兩日竒及秋分後兩日竒則定氣也定氣二分與恒氣二分原相差兩日授時既遵大衍厯議以恒氣二分註厯不得復用定氣故但於晝夜平分之日紀其刻數則定氣可以互見非不知也且授時果不知有定氣平分之日又何以能知其日之為晝夜平分乎永按授時固明言四正定氣矣然自小寒至大雪二十三氣皆用恒氣註厯由惑於一行之厯議亦由當時高衝與冬至同度最高與夏至同度冬至為盈初夏至為縮初意其盈縮之限常如此故以兩冬至相距之時日均𣲖為二十四氣以為合於天之平分時日也設當時早有西士之說發明最高最卑隨時推移之理而告之曰今日之盈初在冬至縮初在夏至者由太陽高卑兩點與二至同度故也向後五十餘年兩點各東移一度則平冬至與定冬至不相值而諸節氣中氣平定皆不同矣又細推之前後一嵗半嵗亦微有不同者矣及其極也平冬至與定冬至相差兩日有竒當是時猶以兩定冬至相距時日均𣲖為二十四氣則小寒至大雪二十三氣不皆與平氣相差兩日乎倘欲并冬至亦用平舎景長之日而用景未極長之日既有所未可或欲令二十三氣皆從平冬至起根而均𣲖之則是冬至至小寒驟減兩日只有十三日大雪至冬至驟増兩日竟有十七日竒也寧有是理乎進退無所據則欲遵大衍常以恒氣註厯者為舛矣郭氏聞此論亦當别立隨時推定氣之法不當以恒氣註厯矣夫不知定氣是不知太陽之有盈縮也又何以能算交食何以能算定朔乎(經朔猶恒氣定朔猶定氣望與上下弦亦然)永按經朔猶恒氣定朔猶定氣此理極是然恒氣與經朔猶有辨何也以日月平行算其相㑹是以平為根今註厯之冬至由日躔加減表與日差表定其加時則是視行之定冬至非平行之平冬至矣上下數千年惟至元辛巳間定冬至即平冬至其他皆有差其相差之極至二日猶執算定之冬至以為根逐氣均𣲖命為恒氣而謂其猶經朔可乎夫西法以最高卑疏盈縮其理原精初不必為此過當之言良由譯書者並從西法入手遂無暇參稽古厯之源流而其時亦未有能真知授時立法之意者為之援據古義以相與虛公論定故遂有此等偏說以來後人之疑議不可不知也永按厯書之言固過然使今日猶執一行之恒氣註厯推其流失有如前條進退無據之云者又曰其所以為此說者無非欲以定氣注厯使春秋二分各居晝夜平分之日以見古法授時之差兩日以自顯其長殊不知授時是用恒氣原未嘗不知定氣不得為差而西法之長於授時者亦不在此以定氣注厯不足為竒而徒失古人置閏之法欲以自暴其長反見短矣故此處宜酌改也後條詳之永按授時雖知有定氣未知盈縮二根之有推移今時冬至既不為盈初則據定氣冬至為根均𣲖一嵗之二十三氣似不得為長矣(失古人置閏之法詳見後辨)又曰問授時既知有定氣何為不以註厯曰古者註厯只用恒氣為置閏地也永按定氣註厯亦正為密於置閏地也閏以無中氣之月為的然必合算定朔定氣視其無中氣之月置閏於此乃為真閏月若只用定朔不用定氣則無中氣之月未必果無中氣也譬之算定朔必合太陽盈縮太隂遲疾視其相㑹之日命為朔乃為真定朔若得其一遺其一則或有以晦為朔以二日為朔者矣古厯置閏疎謬後漸知用定朔置閏於無中氣之月矣而不知用定氣則無中氣之月亦非真然則堯命羲和以閏定四時成嵗之法至今日始精耳春秋傳曰先王之正時也履端於始舉正於中歸邪於終(邪與餘同謂餘分也○永按左傳本作餘漢書引作邪)履端於始序則不愆舉正於中民則不惑歸邪於終事則不悖葢謂推歩者必以十一月朔日冬至為起算之端故曰履端於始而序不愆也永按履端於始先生說近是然不必朔日也一嵗始冬至即履端於始也杜註步厯之始以為術之端首似後世之推厯元者非也又十二月之中氣必在其月如月内有冬至斯為仲冬十一月月内有雨水斯為孟春正月月内有春分斯為仲春二月餘月並同皆以本月之中氣正在本月三十日之中而後可名之為此月故曰舉正於中民則不惑也永按舉正於中正即三正之正此正朔示民使民遵之故曰民則不惑正月為嵗首而言舉正於中者對冬至為始嵗終為終則正朔在其中間也周之正雖與冬至同月而步厯猶以冬至為始故舉正為中且言先王之正時亦通三正而言之也杜註云舉中氣以正月果爾何以不云舉中而云舉正乎且古厯節氣亦由畧而詳由疎而密上古少皞氏以鳥名官有司分司至司啓司閉而左氏亦云凡分至啓閉必書雲物啓者立春立夏閉者立秋立冬并二分二至為八節則古時只有八節未有二十四氣也二十四氣之名葢秦漢以來始有之其名義大約有所本如云驚蟄者今夏小正之啓蟄月令之蟄蟲始振也雨水者本月令之始雨水也芒種者本周禮澤草所生種之芒種也小暑者本月令小暑至也處暑者本楚語處暑之既至也白露者本月令白露降也霜降者本荀子霜降殺内月令霜始降也大寒者本魯語大寒降也而中氣節氣漢以來亦有小異漢以驚蟄為正月中雨水為二月節而劉歆三統厯始改雨水為正月中驚蟄為二月節三統厯猶以榖雨為三月節清明為三月中而易緯通卦驗則以清明為三月節榖雨為三月中然則左氏時尚未有中氣節氣如今厯之詳密不得以舉正為舉中氣右一月之内只有一節氣而無中氣則不能名之為何月斯則餘分之所積而為閏月矣閏即餘也前此餘分累積歸於此月而成閏月有此閏月以為餘分之所歸則不致春之月入於夏且不致冬之月入於明春故曰歸邢於終事則不悖也永按左氏之意本謂閏月當在嵗終今文公元年閏三月為非禮(文公元年本無閏三月永别有辨此未暇及)此左氏習見當時置閏常在嵗終故為此言本非確論亦可見古厯未有中氣節氣如後世之詳密不能定其當閏何月故不得已總歸之嵗末秦人以十月為嵗首閏月則為後九月漢初猶仍其失太初厯以後始改之左氏歸餘於終之言信矣梅先生謂歸餘分於無中氣之月則終字之義似無所指然先生於此句本有兩說其答李祠部云閏月之義大㫖不出兩端其一謂無中氣為閏月此據左氏舉正於中為說乃厯家之法也其一謂古閏月俱在嵗終此據左氏歸餘於終為論乃經學家之詁也古今厯法原自不同推步之理踵事加密故自今日言厯則以無中氣置閏為安而論春秋閏月則以歸餘之說為長何則治春秋者當主經文今考本經書閏月俱在年終此其據矣按歸餘於終當以此說為正然則上句舉正於中非謂舉中氣以正月益明矣然惟以恒氣註厯則置閏之理易明何則恒氣之日數皆平分故其毎月之内各有一節氣一中氣(假如冬至在十一月朔則必有小寒在其月望後若冬至在十一月晦則必有大雪節氣在其月望前餘月並然)此兩氣䇿之日合之共三十日四十三刻竒以較毎月常數三十日多四十三刻竒謂之氣盈又太陰自合朔至第二合朔實止二十九日五十三刻竒以較毎月三十日又少四十六刻竒謂之朔虛合氣盈朔虛計之共餘九十刻竒謂之月閏乃毎月朔策與兩氣策相較之差也(假如十一月經朔與冬至同時刻則大寒中氣必在十二月經朔後九十刻而雨水中氣必在次年正月經朔後一日又八十刻竒其餘月弦準此求之)積此月閏至三十三箇月間(即二年零九箇月)其餘分必滿月䇿而生閏月矣閏月之法其前月中氣必在其晦後月中氣必在其朔則閏月只有一節氣而無中氣然後名之為閏月(假如閏十一月則冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而閏月只有小寒節氣更無中氣則不可謂之為十一月亦不可謂之為十二月即不得不名之為閏月矣)斯乃自然而然天造地設無可疑惑者也一年十二箇月俱有兩節氣惟此一箇月只一節氣望而知為閏月永按造化之妙莫妙於均平與參差二者相為用也若無均平之數則無以為立算之根若無參差之行則無以為變化之用故七政各居一重天各有其本行而必有本輪均輪以生盈縮遲疾且復有最高最卑之行度焉又有兩心差之改焉所以變動不窮也使太陽可用恒氣何不去其小輪終古只一平行乎今以定氣註厯則節氣之日數多寡不齊故遂有一月内三節氣之時又或有原非閏月而一月内反只有一中氣之時其所置閏月雖亦以餘分所積而置閏之理不明民乃惑矣永按一月三節氣甚稀間有之今時必在冬月又必定朔最大然後有此其或首尾皆節氣而中氣在月中也則去閏月尚逺其或首尾皆中氣而節氣在月中也則置閏在此月之前不以後月為閏此於置閏之法初無所妨若一月之内只一中氣更無妨於閏月矣然非西法之咎乃譯書者之疎畧耳何則西法原只有閏日而無閏月其仍用閏月者遵舊法也亦徐文定公所謂鎔西洋之巧算入大統之型模也永按定氣注厯改憲之大者當時譯書者之失惟在星紀等名係諸中氣耳按堯典云以閏月定四時成嵗乃帝堯所以命羲和萬世不刋之典也今既遵堯典而用閏月即當遵用其置閏之法而乃不用恒氣用定氣以滋人惑亦昧於先王正時之理矣是故測算雖精而有當酌改者此亦一端也永按羲和之厯或用恒氣與否不可考使當時惟知用恒氣今改用定氣猶平朔改為定朔其理益精益當耳又曰今但依古法以恒氣註厯亦仍用西法最高卑之差以分晝夜長短進退之序而分註於定氣日之下即置閏之理昭然衆著而定氣之用亦並存而不廢矣永按定氣之用甚大一切陰陽五行自干支出者或係於月建則交節氣之日時為要(未交節氣係前月既交係今月)或係於年嵗則交立春之日時為要(未交立春係前年既交係今年)諸節氣中氣各方農家或以之占候有驗而禄命三式諸術不可盡信亦不可盡廢者年月干支為綱維其交界之際尤不可不確也定氣恒氣之差小者在時大者在日其極差兩日有竒此豈可不辨其理之是非以定年月之交界而姑為並存之說使定氣僅為分晝夜長短之用乎夫定氣所以必當用者何也太陽有本輪均輪本輪之心恒平行於本天而太陽之體實旋行於輪上從地心出線至輪心其度皆平度若太陽行輪上有加減則人視黃道所當之度非輪心之度而氣亦非均平之氣日行卑時氣策未滿而度已盈故氣短日行高時氣策已滿而度未盈故氣長其積差在高卑之中兩日有竒故定氣之度即黃道上平剖為二十四段者太陽既到其上即為實度其氣即為真氣人生於地安得不禀於其所視而更從輪心之平行者乎況又不以平冬至為根而以定至起算天上原無此界限夫以本無之界限命為恒氣而注之厯以為民用大者係一年次者係一月非前人之失乎又按恒氣在西法為太陽本天之平行定氣在西法為黃道上視行平行度與視行度之積差有一度半弱西法與古法畧同所異者最高衝有行分耳古法恒氣注厯即是用太陽本天平行度數分節氣永按定氣時日不均而度均若恒氣者時日均而度反不均矣且又以定冬至起算即非本天平行度數之分限(觀後壬辰年節氣圖可見)又曰(厯學駢枝)按古厯毎日行一度原無盈縮言盈縮者自北齊張子信始也厥後隋劉焯唐李淳風僧一行言之綦詳厯宋至元為法益密然不以之注厯者為閏月也大衍厯議曰以恒氣注厯定氣算日月食由今以觀固不僅交食用盈縮也凡定朔定望定弦無處不用但毎月中節仍用恒氣不似西洋之用定氣耳西洋原無閏月祗有閏日故以定氣注厯為便若中土之法以無中氣為閏月故以恒氣注厯為宜治西法者不諳此理輒訶古法為不知盈縮固其所矣永按定氣注厯無妨於置閏而置閏得此始真前已辨之明矣若唐以來中土厯家知有定氣而仍以恒氣注厯者其故多端一由不知日之所以盈縮者生於小輪也一由不知盈縮之初限不恒係二至也一由不知冬至相距為活泛嵗實而别有恒嵗實也一由不知景長為定冬至而别有平冬至也由不知恒氣起定冬至天上無此界限也種種機竅未啓宜其貿貿然用之以注厯豈謂其宜於置閏哉治西法者不能明辨恒氣之失而徒訶古法為不知盈縮此則徐李湯羅諸公之疎也康熙壬辰年節氣圖(恒氣非即平氣前辨雖明非圖不顯今以昔年所推康熙壬辰年平定節氣分為兩層别以一層載古法恒氣以顯平氣恒氣之異)右圖第一層太陽黃道上視行定氣註厯以為用者也第二層太陽本天平行平氣以平冬至為立算之根諸氣皆為定氣加減之根不註諸厯者也此兩行者在天實有此界限若第三層則冬至為視行定氣小寒以後皆從定冬至為根以平氣累加之其平氣又非平嵗實均剖但以兩定冬至嵗實平𣲖之(終嵗有微差)謂之恒氣在天實無此界限此年最高衝在冬至後七度三十八分四十四秒實減一十六分有竒變為時以加於平冬至者二十六刻有竒故諸恒氣皆後於平氣三時有竒後此數千年高衝行二三宫定冬至在平冬至後二日則諸恒氣不皆後於平氣二日乎或曰天體渾然本無界限界限皆人所分即恒氣亦自古厯家所分何以知其實有而實無曰十二月建在天實有者也一月分為節氣中氣亦自然之理也太陽本輪心在本天上平行而黃道上有太陽實行因此兩種行度各平分之則有兩種界限雖人所分亦因理之實有者而分之若從定冬至起根均𣲖二十三氣無此理即無此數矣從來推平望平弦者必無從定朔起算之理何獨於恒氣而疑之定氣註厯遵行已久前此順治康熙年間民間推步為禄命家用者或仍用恒氣或兼存古法無識者將滋其惑嘗邂逅先生門人猶有堅持師說者是以不得不辨數學卷三
## 4
欽定四庫全書數學卷四婺源江永撰冬至權度(履端於始序則不愆厯家詳求冬至且求千歲以上冬至證之史傳或離或合其故難言元史有六厯冬至開載魯獻公戊寅至元庚辰四十九事紀大衍宣明紀元統天重修大明授時時刻之異同勿菴先生因之作春秋以來冬至攷刪去獻公一事各以其厯本法詳衍算術雖明而未有折衷永因先生所攷定者用實法推筭有不合者斷其厯誤史誤名曰冬至權度俟知厯者攷焉)一論平歲實太陽本天有平行厯黃道一周為平歲實與月五星周率朔策合率同理别有本輪均輪最卑最高之行以視行加減平行二十四氣時刻多少歲歲不同而古今冬至不能以一率齊之是為活汎之歲實猶之月有實㑹逐月不同五星有實合毎周不同也授時大統以前太陽高卑之理未明雖知一歲之行有盈縮不悟盈縮之中為平歲實但求歲實於活汎之冬至故一厯必更一周率與歲實然合今則戾古合古又違今統天厯遂立距差躔差之法暗藏消長以求上下兩合授時厯本之有百年長一消一之說西厯本囘厯以春分相距測定歲周小餘五小時三刻三分四十五秒以萬分通之為二四二一八七五此為平行之歲實小餘而各節氣之定氣則以均度加減定之此不易之法也欲攷往古冬至當以平歲實為本算當年平冬至時刻乃以定冬至較之知其距最卑之遠近或與今法有不合則知其時本輪均輪之有半徑差有相去之遠者則知史傳所記非實測所謂苟求其故千歲之日至可坐而致者此為庶幾焉倘以授時之歲實為歲實而以百年長一消一為凖則非法矣一論最卑行太陽本輪最卑㸃為縮未盈初之端歲有推移與月入轉五星入厯皆有行度同理平冬至之改為定冬至也視此㸃之前後逺近以加度而減時減度而加時焉至元辛巳間最卑與平冬至同度自是以前定冬至皆在平冬至前以後定冬至皆在平冬至後最卑有行度故也(郭氏時未悟此理恒以冬至為盈初大統承用數百年誤矣)西法近率最卑歲行一分一秒十微以遠年冬至攷之此率似微朒大約當加二秒上求古時定冬至以此為凖焉一論輪徑差最卑既有行度矣而太陽之體在均輪均輪之心在本輪本輪之心在本天此兩輪半徑古今又有不同則距地遠近兩心有差西法始定兩輪半徑併千萬分之三十五萬八千四百一十六而今又漸减則古時必多於此半徑大則加減差亦大而以均度變時分加減於平冬至者視今時必稍贏焉此差率出於恒差之外厯家亦不能定者也上攷又當以此消息之(余因劉宋大明五年測景求彼時兩半徑併詳後)右三事者攷冬至之權度也大統以前厯家莫能知而勿菴先生言之未詳永竊為補之春秋以來冬至攷勿菴先生云春秋以來冬至多矣而所攷只此者以其測騐之可據也厯議原載四十八事今攷獻公在春秋前無信史可徴故刪之而以左傳僖公一條為首實四十七事也(併至元庚辰四十八事)永竊疑四十七事雖有信史可徴而厯筭與紀載未必無誤若左傳所記兩冬至尤未可信其由於實測後詳之魯僖公五年丙寅歲正月辛亥朔旦冬至唐開元大衍厯(辛亥亥正三刻)唐宣明厯(辛亥申正初刻)宋崇寧紀元厯(壬子戌正一刻)宋統天厯(辛亥寅正三刻)金重修大明厯(壬子亥初二刻)元授時厯(辛亥寅初二刻)按傳載是年正月辛亥朔日南至公既視朔遂登觀臺以望而書古厯家皆謂至朔同日之年也今詳推之謹按厯象考成康熈甲子天正冬至氣應七日六五六三七四九二六為七日十五小時四十五分十一秒上距僖公丙寅二千三百三十八年中積八十五萬三千九百三十六日五小時三十七分三十秒滿紀法去之餘一十六日五小時三十七分三十秒轉減氣應(加一紀減之)餘五十一日十小時七分四十一秒平冬至乙夘巳正初刻八分又按至元辛巳前四年丁丑高衝(即最卑)與冬至同度上距此年一千九百三十一年約四百年行七度則此年高衝在冬至前一宫三度四十八分於今法當加均一度八分變時一日三小時三十七分減平冬至猶是甲寅日夘時再約計是時小輪併徑加大其加減均或能至一度二三十分之間變時一日十餘小時以減平冬至則定冬至亦止癸丑日亥子之間而已必不能減至辛亥則是時所推冬至先天兩三日矣又算此月平朔定朔皆在壬子而當時誤推辛亥亦先天一日(春秋緯命厯序壬子朔隋張賔張胄𤣥唐一行皆從之)實攷之此年正月壬子朔二日癸丑冬至耳至朔何嘗同日乎(張賔依命厯序壬子朔冬至張冑𤣥謂三日甲寅冬至既不從傳亦不從命厯序雖甲寅或稍後天然而胄𤣥之識卓矣)春秋時王朝未必頒厯各國自為推步閏餘乖次月日参差日食或不在朔所以考求日至者必不能如後世之精宻差至二三日固無足怪(魏晉以後厯法漸明劉宋時景初厯冬至猶後天三日則春秋時無足怪)厯家過信左氏意謂此年特載日南至必當時實測(唐一行謂僖公登觀臺以望而書雲物出於表晷天騐非時史億度此一行之蔽也傳言書雲未嘗言測景)作厯欲求合於古則多増斗分以就之大衍推辛亥亥正三刻宣明推辛亥申正初刻皆泥此至之過也(大衍號稱善厯行之數年而即差由斗分大强之故)紀元與重修大明僅能得壬子與辛亥差一日知斗分不可過増寧失此至不强求合猶為近之若統天創為距差躔差之法巧合此至而授時遂暗用之有百年長一之率算此至皆得辛亥日寅時此無法之法最為乖謬夫總計距算乗而益之越百年則有驟増之時刻年愈逺則驟増之數愈多(勿菴先生亦嘗疑之)授時以至元辛巳為元上距此年一千九百三十五算即以一九三五總乗所長之一九數而益歲餘設減三十五算為辛丑當文公七年距算一千九百則歲餘二十四刻四十四分矣前一年庚子距算一千九百零一歲餘増一分此一分乗一千九百零一凡一十九刻有竒則當此庚子年驟増一十九刻有竒天道寧有此數乎况越二千年而驟増者愈多其長伊於胡底乎故消長之法斷不可用而此年正月辛亥朔日南至當以實法考求決其為步算之誤不可過信傳文而舍法以求合也魯昭公二十年己夘歲正月己丑朔旦冬至大衍(己丑巳正三刻)宣明(己丑寅正三刻)紀元(庚寅夘正初刻)統天(戊子亥正三刻)重修大明(庚寅辰初初刻)授時(戊子戌初三刻)按此年上距僖公五年一百三十三年平冬至二十八日十五小時一十一分二十六秒壬辰日申初初刻十一分約計加均及小輪徑差減時不過一日八九小時定冬至不過辛夘日夘辰之間而已必不能減至己丑而傳載己丑日南至以此知春秋時步冬至恒先天二三日也且魯厯前年失閏此年日南至在二月夫周以子月為正日至必無在二月者當時梓慎輩徒知望氛祥占禍福於時月之易明者猶不能正何能實測冬至與天脗合乎大衍宣明紀元重修大明斗分有多少故日名有合有不合若統天授時皆以活法求之又先己丑一日失之愈逺矣同一左氏傳也丙寅之冬至則合己夘之冬至則違亦可見活法之有時窮矣由今觀之違者固非合者亦未盡是而元史厯議乃以此至為日度失行不亦誣乎劉宋文帝元嘉十二年乙亥歲十一月十五日戊辰景長大衍(戊辰辰正二刻)宣明(戊辰辰初三刻)紀元(戊辰巳初二刻)統天(戊辰午正三刻)重修大明(戊辰巳初三刻)授時(戊辰午初一刻)按史記冬至景長始此是時用景初厯推冬至率後天三日何承天上表言之太史令錢樂之言是年景初推十一月十八日冬至其十五日景極長今推此年平冬至五日九小時四十五分一十一秒己巳日巳初三刻(今 京師時刻劉宋都建康當減八分四秒後陳朝倣此)是時髙衝約在平冬至前十四度太又小輪半徑差多於今加均減不啻半日定冬至宜在戊辰與史合然均度不過三十餘分減時不能越十五小時戊辰日加時大約在酉半以後是以明年冬至當越六日甲戌景長六厯推此年平冬至非不得戊辰而加時皆蚤既在午刻以前則明年安得甲戌景長乎元嘉十三年丙子歲十一月二十六日甲戌景長(景初厯推二十九日冬至)大衍(癸酉未正一刻)宣明(癸酉未初三刻)紀元(癸酉申初一刻)統天(癸酉酉正二刻)重修大明(癸酉申初三刻)授時(癸酉酉初初刻)今推此年平冬至一十日十五小時三十三分五十六秒甲戌日申初二刻四分是時加均減時不能越十五時是以定冬至亦在甲戌史紀此日景長必是實測而六厯皆先一日癸酉其不能與天宻合此已見其端矣(乂按後四年庚辰甲午景長四年之間小餘平積二十日二十三時一十五分庚辰定冬至未至乙未則甲午必是夜子初幾刻逆推此年甲戌必是子正幾刻)又按唐一行厯議云元嘉十三年十一月甲戌景長皇極麟德開元厯皆得之癸酉葢日度變常耳祖冲之既失甲戌冬至以為加時太早増小餘以附㑹之而十二年戊辰景長得己巳十七年甲午景長得乙未十一年己亥景長得庚子合一失三其失愈多愚謂此年景長甲戌可推也而一行以為日度變常非是元嘉十五年戊寅歲十一月十八日甲申景長(景初厯推二十一日冬至)大衍(甲申丑正初刻)宣明(甲申丑初二刻)紀元(甲申寅初初刻)統天(甲申夘正一刻)重修大明(甲申寅初二刻)授時(甲申寅正三刻)今推此年平冬至二十一日三小時一十一分二十六秒乙酉日寅初初刻十一分定冬至以丙子歲甲戌子正幾刻推之當在甲申午正前後之間六厯皆先天元嘉十六年己夘歲十一月二十九日己丑景長(景初厯推次月二日壬辰冬至)大衍(己丑辰初三刻)宣明(己丑辰初一刻)紀元(己丑辰正三刻)統天(己丑午正初刻)重修大明(己丑巳初一刻)授時(己丑巳正二刻)今推此年平冬至二十六日九小時零一十一秒庚寅日巳初初刻定冬至當在己丑酉正前六厯皆先天元嘉十七年庚辰歲十一月初十日甲午景長(景初厯推十二日冬至)大衍(甲午未初三刻)宣明(甲午未初初刻)紀元(甲午未正三刻)統天(甲午酉正初刻)重修大明(甲午申初初刻)授時(甲午申正二刻)今推此年平冬至三十一日十四小時四十八分五十六秒乙未日未正三刻四分而景長在甲午必在夜子初幾刻減時幾有十五小時則加均約三十六分以當時髙衝在冬至前十四度有竒推之而小輪半徑之差亦大畧可知矣又按隋書律厯志劉孝孫等言此年厯法十三日冬至十一日景長則是乙未日矣元嘉十八年辛巳歲十一月二十一日己亥景長(景初厯推二十五日冬至)大衍(己亥戌初二刻)宣明(己亥酉正四刻)紀元(己亥戌正二刻)統天(己亥夜子初三刻)重修大明(己亥亥初初刻)授時(己亥亥正一刻)今推此年平冬至三十六日二十小時三十七分四十一秒庚子日戌正二刻八分厯攷元嘉間定冬至加均減時不能越十五時此年若己亥景長則減時二十有竒葢史文二十二日譌為二十一日唐一行厯議與元史沿誤差一日也錢樂之謂尋校前後以景極長為冬至並差三日此年景初推二十五日冬至景長在二十二日是差三日若二十一日則差四日矣(定冬至宜在庚子日寅夘之間六厯雖皆推己亥未足為據)又按隋書劉孝孫等云此年陰無景可騐今厯二十二日冬至更可證是庚子元嘉十九年壬午歲十一月初三日乙巳景長(景初厯推六日冬至)大衍(乙巳丑初二刻)宣明(乙巳子正四刻)紀元(乙巳丑正一刻)統天(乙己夘初三刻)重修大明(乙己丑正三刻)授時(乙巳寅正初刻)今推此年平冬至四十二日二小時二十六分二十六秒丙午日丑正一刻十一分定冬至乙巳午初孝武帝大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至大衍(甲申申正四刻)宣明(甲申申正二刻)紀元(甲申酉初二刻)統元(甲申戌初初刻)重修大明(甲申酉正一刻)授時(甲申戌初初刻)按此年祖冲之詳記測景推筭冬至乙酉日夜半後三十二刻七十分今細推之當時筭冬至稍後天而六厯推甲申皆先天也詳推如左一推此年平冬至按大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中積四十四萬六千三百二十五日二十二小時五十二分三十秒轉減甲子氣應(加一紀減之)餘二十一日十六小時五十二分四十一秒平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒建康加八分四秒酉初初刻四十五秒一推此年高衝行按元至元辛巳前四年丁丑高衝與冬至同度上距此年八百一十五年若依今法一年行一分一秒十微則此年高衝在冬至前十三度五十分五十一秒如此率未的一年約加二秒四百年行七度則此年高衝在冬至前十四度十六分一推此年十月十日壬戌景長高弧距緯并經度按史此年祖冲之測景十月十日壬戌景長一丈七寸七分半○以三率法推筭(一率表八尺二率景一丈七寸七分半三率半徑全數四率為餘切線)求得一三四七以餘切檢八線表此日午正日高弧三十六度三十五分二十四秒○表所得者太陽上邊之景宜減太陽半徑一十五分二十九秒得太陽中心距地平三十六度一十九分五十五秒○日軌高視差二分二十三秒内減去青蒙氣差二十七秒餘視差一分五十六秒加於太陽中心距地平得實髙三十六度二十一分五十一秒距天頂五十三度三十八分九秒○建康極出地約三十二度以減距天頂度餘二十一度三十八分九秒為本日午正黃赤距緯○設此時兩道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法(兩道大距正弦為一率本日午正黃赤距緯正弦為二率半徑全數為三率得四率為餘弦)求得餘弦九一八九檢表二十三度十四分為壬戌午正距冬至實經度減用時(七分二十九秒)為平時午初三刻七分半太陽距冬至實經度一推壬戌午時太陽平行度建康平冬至(見前)距壬戌午初三刻七分半二十三日五小時八分二十五秒太陽平行二十二度五十二分五十秒以減全周壬戌午初三刻七分半太陽平行十一宫七度七分一十秒一推十一月二十五日丁未景長高弧距緯并經度按史丁未景長一丈八寸一分太○以三率法推筭(一率表八尺二率景長一丈八寸一七五三率半徑全數四率為餘切線)求得餘切一三五二二檢表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒○減太陽半徑一十五分二十六秒太陽中心距地平三十六度一十三分三十七秒○日軌高視差二分二十四秒減去青蒙氣差二十七秒餘視差一分五十七秒加於太陽中心距地平得實高三十六度一十五分三十四秒距天頂五十三度四十四分二十六秒○極高三十二度減距天頂度餘二十一度四十四分二十六秒為本日午正黃赤距緯○設兩道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法求得餘弦九二三一一檢表二十二度三十七分六秒為本日午正距冬至實經度加用時二分三十五秒為平時午正初刻二分三十五秒太陽距冬至實經度一推丁未午時太陽平行度建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒二十一日十九小時一分五十秒太陽平行二十一度二十八分四十七秒一推此時小輪半徑差以本年高衝冬至前十四度十六分減壬戌太陽平行距平冬至二十二度五十二分五十秒餘八度三十六分五十秒查舊日躔加減差表減十八分四十八秒化作一千一百二十八秒為一率以舊表兩心差三五八四為二率又於壬戌經度二十三度一十四分内減平行二十二度五十二分五十秒餘二十一分十秒化作一千二百七十秒為三率求得四率四○三五二為此時兩小輪半徑併(太陽本天一百萬本輪半徑三萬零三百六十四均輪半徑一萬零八十八由此可算其均數)一推乙酉日定冬至前壬戌日午正太陽平行十一宫七度七分一十秒至乙酉日子正二十二日半平行二十二度一十分三十八秒加入壬戌午正平行度此時平行十一宫二十九度一十七分四十八秒加高衝十四度十六分滿周天去之餘一十三度三十四分為引數以此時兩小輪半徑併筭之約加均度三十二分竒加入前子正平行在十一宫二十九度五十分未滿周天者十分為時約四小時定冬至在子正後十六刻有竒當時以前後景折筭乙酉日子正後三十一刻冬至約後天十五刻按以冬至前後日景折筭取中求冬至時刻此法惟郭太史時可用其時高衝與冬至同度故也若大明時高衝在冬至前十四度有竒則冬至前之日近高衝太陽之行速而景之進退也疾冬至後之日遠高衝太陽之行稍遲而景之漸短亦必稍緩雖前後之日景大畧相同而中間所厯之時刻必不均當時欲以均數求冬至宜其後天十五刻也(冬至前二十餘日日行較連時刻宜減冬至後二十餘日日行較遲時刻宜加若欲均之則折半處必在所減之後故後天)然劉宋之初厯法甚疎景初厯後天至三日猶幸祖氏用景長推筭違天尚未甚逺又幸史冊紀載之詳去今千有餘年猶可細推其後天之時刻也郭太史改厯所定歳周小餘二四二五者謂自大明壬寅距今每歲合得此數按此年下距至元辛巳八百一十九年以授時歲周積之二十九萬九千一百三十三日六十刻七五五分以辛巳天正冬至己未日子正後六刻逆計之則當時冬至在乙酉日子正後五十四刻後天愈加多矣既不能與當時所測筭者宻合又為百年長一之法以求合於逺古之冬至以八百一十九總乗所長之數而益之則此年冬至又在甲申日七十九刻太不又先天三十七刻乎以此知授時之歲餘非定率而統天之距差躔差授時之消長皆謬法也此年冬至所關者鉅故攷論加詳若大衍諸厯先天愈多則無足論而授時指為日度失行者總論之於後云陳文帝天嘉六年乙酉歲十一月庚寅景長大衍(庚寅寅初初刻)宣明(庚寅寅初初刻)紀元(庚寅寅初二刻)統天(庚寅夘初四刻)重修大明(庚寅丑初四刻)授時(庚寅寅正初刻)今推此年平冬至二十六日二十一時二十二分四十一秒庚寅亥初一刻八分定冬至葢在辰巳間諸厯推丑寅皆太蚤統天近之臨海王光大二年戊子歲十一月乙巳景長大衍(乙巳戌正二刻)宣明(乙巳戌正三刻)紀元(乙巳戌初初刻)統天(乙巳夜子初二刻)重修大明(乙巳戌初二刻)授時(乙巳戌初二刻)此年平冬至丙午未正三刻九分定冬至葢在乙巳與丙午之間乙巳之景長於次日當亦甚微然以後四歲丁夘景長推之此年所紀猶可疑說見後宣帝太建四年壬辰歲十一月二十九日丁夘景長大衍(丙寅戌正初刻)宣明(丙寅戌正一刻)紀元(丙寅酉正二刻)統天(丙寅亥正三刻)重修大明(丙寅酉正三刻)授時(丙寅戌正四刻)今推此年平冬至三日一十四時三分五十六秒丁夘未正初刻四分史記丁夘景長則定冬至葢在子正初刻以前四歲乙巳景長較之殊可疑此年平冬至子正後一十四時四分而景長猶在本日是加均減時不能越十四時四分也光大二年之平冬至在丙午日子正後十四時四十五分乃能越之而景長在前一日乙巳不應四歲之間差殊如此此兩歲定冬至皆在子初子正之間景長最難真確乙巳與丁夘當時測騐有一是必有一非竊疑乙巳之測未確太建九年丁酉歲十一月二十三日壬辰景長大衍(癸巳丑初一刻)宣明(癸巳丑初二刻)紀元(壬辰夜子初三刻)統天(癸巳寅正一刻)重修大明(癸巳子正初刻)授時(癸巳丑正初刻)今推此年平冬至二十九日一十九時七分四十一秒癸巳戌初初刻八分定冬至葢在本日寅夘之間統天近之二十三日壬辰景長此必史誤太建十年戊戌歲十一月五日戊戌景長大衍(戊戌辰初一刻)宣明(戊戌辰初二刻)紀元(戊戌夘初二刻)統天(戊戌巳正初刻)重修大明(戊戌夘初四刻)授時(戊戌辰正初刻)此與丁酉歲相去一年平冬至己亥定冬至戊戌可考而知故不細推隋文帝開皇四年甲辰歲十一月十一日己巳景長大衍(己巳酉正二刻)宣明(己巳酉正三刻)紀元(己巳夜子初一刻)統天(己巳戌初初刻)重修大明(己巳酉初初刻)授時(己巳戌正二刻)今推此年平冬至六日一十一時四十八分五十六秒庚午日午初三刻四分(隋都長安早二刻後唐朝則倣此)定冬至己巳亥子之間(史云此年在洛川測冬至景與京師二處進退絲毫不差張賔厯推己巳冬至張胄𤣥厯推庚午冬至)開皇五年乙巳歲十一月二十二日乙亥景長大衍(乙亥子正一刻)宣明(乙亥子正二刻)紀元(甲戌亥正二刻)統天(乙亥寅初初刻)重修大明(甲戌戌正三刻)授時(乙亥丑正二刻)今推此年平冬至十一日一十七時三十七分四十一秒乙亥酉初二刻八分定冬至在本日寅時推甲戌者非是開皇六年丙午歲十一月三日庚辰景長大衍(庚辰夘正初刻)宣明(庚辰夘正一刻)紀元(庚辰寅正一刻)統天(庚辰辰正三刻)重修大明(庚辰寅正三刻)授時(庚辰辰正一刻)與前年相距一歲平定冬至皆在庚辰可攷而知開皇七年丁未歲十一月十四日乙酉景長大衍(乙酉午正初刻)宣明(乙酉午正一刻)紀元(乙酉巳正初刻)統天(乙酉未正三刻)重修大明(乙酉巳正二刻)授時(乙酉未正初刻)此年平冬至丙戌夘初一刻定冬至乙酉申時開皇十一年辛亥歲十一月二十八日丙午景長大衍(丙午午初二刻)宣明(丙午午初三刻)紀元(丙午巳初二刻)統天(丙午未正初刻)重修大明(丙午巳初四刻)授時(丙午未初二刻)此年平冬至四十三日四時三十分一十一秒丁未寅正二刻定冬至丙午申時開皇十四年甲寅歲十一月辛酉朔旦冬至大衍(壬戌夘初初刻)宣明(壬戌夘初二刻)紀元(壬戌寅初初刻)統天(壬戌辰初二刻)重修大明(壬戌寅初二刻)授時(壬戌辰初初刻)今推此年平冬至五十八日二十一時五十六分二十六秒壬戌亥初三刻十一分定冬至本日己午間而史記辛酉朔冬至當時厯誤推先天唐太宗貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長大衍(甲申巳正一刻)宣明(甲申午初初刻)紀元(甲申辰初二刻)統天(甲申午正初刻)重修大明(甲申辰初三刻)授時(甲申巳正三刻)今推此年平冬至二十一日三十三分五十六秒乙酉子正二刻四分長安里差二刻平冬至已是子正初刻矣減時不啻十時定冬至當在甲申日未時而史謂乙酉景長誤貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長大衍(庚戌申初二刻)宣明(庚戌申正一刻)紀元(庚戌午正三刻)統天(庚戌酉初一刻)重修大明(庚戌未初初刻)授時(庚戌申初三刻)今推此年平冬至四十七日五時三十七分四十一秒辛亥夘初二刻八分定冬至庚戌日酉戌之間而史謂辛亥景長亦誤高宗龍朔二年壬戌十一月四日己未至戊午景長大衍(戊午戌正初刻)宣明(戊午戌正二刻)紀元(戊午申正三刻)統天(戊午戌正初刻)重修大明(戊午酉初初刻)授時(戊午戌初三刻)今推此年平冬至己未巳初初刻十一分長安辰正二刻十一分此時加均減時約十小時定冬至戊午夜子時是以戊午景長當時厯推冬至己未而實測景長在戊午今推之果不爽也高宗儀鳯元年丙子歲十一月壬申景長大衍(壬申夘正初刻)宣明(壬申夘正三刻)紀元(壬申丑正二刻)統天(壬申辰初初刻)重修大明(壬申丑正三刻)授時(壬申卯初一刻)今推此年平冬至八日一十八時三十三分五十六秒壬申酉正二刻四分定冬至辰時高宗永淳元年壬午歲十一月癸夘景長大衍(癸夘酉初一刻)宣明(癸夘酉正初刻)紀元(癸夘未初二刻)統天(癸夘酉正一刻)重修大明(癸夘未初四刻)授時(癸夘酉初三刻)此年平冬至甲辰夘初一刻十一分定冬至癸夘酉戌之間明皇開元十年壬戌歲十一月癸酉景長大衍(癸酉午初四刻)宣明(癸酉午正四刻)紀元(癸酉辰初二刻)統天(癸酉午初初刻)重修大明(癸酉辰初三刻)授時(癸酉午初初刻)此年平冬至癸酉亥初三刻十一分定冬至巳時開元十一年癸亥十一月戊寅景長大衍(戊寅酉初三刻)宣明(戊寅酉正三刻)紀元(戊寅未初三刻)統天(戊寅初初三刻)重修大明(戊寅未初二刻)授時(戊寅酉初初刻)此年平冬至己夘定冬至戊寅與前間一歲可攷而知開元十二年甲子歲十一月癸未冬至大衍(癸未夜子初二刻)宣明(甲申子正三刻)紀元(癸未戌初一刻)統天(癸未夜子初三刻)重修大明(癸未戌初二刻)授時(癸未亥正三刻)按此年僧一行陽城測景癸未最長今推此年平冬至二十九日時三十三分五十六秒甲申巳初二刻四分陽城約早一刻十分為巳初初刻九分此年距元至元丁丑五百五十二年高衝約行九度四十分以今加減表攷之加均二十分二十秒變時八時一十五分以減平時餘五十四分為甲申子正三刻九分當時小輪半徑大於今再減一時有竒則定冬至在癸未夜子刻而大衍厯推算癸未九十八刻太强此當年之實測今固可追步也按大衍厯以三千零四十為通法一百一十一萬零三百四十三為策實一萬五千九百四十三為䇿餘以通法五減策餘餘七百四十三為小餘以萬分通之小餘二千四百四十四又七九弱視授時之二四二五者多一十九太强當時小餘雖大必不及此數是以自此年以前大衍推往古則先天推後來則後天(小餘之太强由欲强合僖五年辛亥日南至故也)宋真宗景德四年丁未歲十一月戊辰日南至大衍(戊辰寅初三刻)宣明(戊辰夘正一刻)紀元(丁夘酉初三刻)統天(丁夘戌初一刻)重修大明(丁夘酉正初刻)授時(丁夘戌初一刻)今推此年平冬至三日二十二時三十分一秒丁夘亥正二刻宋都河南蚤八分其時高衝在冬至前約四度四十二分又有小輪半徑差通減時約四時三刻有竒定冬至葢在丁夘酉初二刻紀元近之史記戊辰日南至斗分太多誤推後天也仁宗皇祐二年庚寅歲十一月三十日癸丑景長大衍(癸丑申初二刻)宣明(癸丑酉正三刻)紀元(癸丑夘初一刻)統天(癸丑夘初初刻)重修大明(癸丑夘初一刻)授時(癸丑夘初三刻)今推此年平冬至四十九日八時二十六分一十六秒癸丑辰正一刻十一分定冬至寅時神宗元豐六年癸亥歲十一月丙午景長大衍(丙午酉初二刻)宣明(丙午戌正二刻)紀元(丙午夘正一刻)統天(丙午夘正一刻)重修大明(丙午夘正一刻)授時(丙午夘正一刻)今推此年平冬至四十二日八時一十五分一秒丙午辰正一刻定冬至寅夘之間元豐七年甲子歲十一月辛亥景長大衍(辛亥夜子初一刻)宣明(壬子丑正一刻)紀元(辛亥午正初刻)統天(辛亥午正一刻)重修大明(辛亥午正初刻)授時(辛亥午正一刻)此與前間一歲定冬至在辛亥巳時哲宗元祐三年戊辰歲十一月壬申景長大衍(壬申亥正三刻)宣明(癸酉丑初二刻)紀元(壬申午初二刻)統天(壬申午初二刻)重修大明(壬申午初二刻)授時(壬申午初二刻)此年平冬至壬申未初一刻四分定冬至巳時元祐四年己巳歲十一月丁丑景長大衍(戊寅寅正二刻)宣明(戊寅辰初三刻)紀元(丁丑酉初一刻)統天(丁丑酉初一刻)重修大明(丁丑酉初一刻)授時(丁丑酉初一刻)此與前間一歲定冬至丁丑申時元祐五年庚午歲十一月壬午冬至大衍(癸未巳正二刻)宣明(癸未未初二刻)紀元(壬午夜子初初刻)統天(壬午夜子初一刻)重修大明(壬午夜子初一刻)授時(壬午夜子初初刻)此與前間一歲定冬至壬午亥時元祐七年壬申歲十一月癸巳冬至大衍(癸巳亥正一刻)宣明(甲午丑初一刻)紀元(癸己巳正三刻)統天(癸己巳正三刻)重修大明(癸己巳正三刻)授時(癸己巳正三刻)此年平冬至癸巳午正二刻四分定冬至巳初哲宗元符元年戊寅歲十一月甲子冬至大衍(乙丑巳初二刻)宣明(乙丑午正二刻)紀元(甲子亥正初刻)統天(甲子亥初三刻)重修大明(甲子亥正初刻)授時(甲子亥初三刻)此年平冬至甲子二十三時二十六分一十六秒夜子初一刻十分定冬至戌時按授時百年長一之率年逺則所加分漸贏其所定歲餘刻下二十五分又失之太弱是以推遠年之冬至恒先天推近年之冬至恒後天徽宗崇寧三年甲申歲十一月丙申冬至大衍(丙申戌正二刻)宣明(丙申夜子初三刻)紀元(丙申巳初初刻)統天(丙申辰正三刻)重修大明(丙申巳初初刻)授時(丙申辰正二刻)此年平冬至丙申巳正一刻四分定冬至夘辰之間光宗紹熈二年辛亥歲十一月壬申冬至大衍(癸酉寅初初刻)宣明(癸酉夘正二刻)紀元(壬申未初三刻)統天(壬申午初一刻)重修大明(壬申未初三刻)授時(壬申午初一刻)此年平冬至壬申午正初刻都臨安遲一刻午正一刻定冬至在己末寧宗慶元三年丁巳歲十一月癸夘日南至大衍(甲辰未正初刻)宣明(甲辰酉初三刻)紀元(甲辰子正三刻)統天(癸夘亥正一刻)重修大明(甲辰子正三刻)授時(癸夘亥正一刻)此年平冬至癸夘亥正三刻八分臨安遲一刻夜子初初刻八分定冬至亥初三刻寧宗嘉泰三年癸亥歲十一月甲戌日南至大衍(丙子丑正一刻)宣明(丙子夘初初刻)紀元(乙亥午初三刻)統天(乙亥巳初初刻)重修大明(乙亥午初三刻)授時(乙亥巳初一刻)今推此年平冬至乙亥巳初三刻臨安巳正初刻定冬至約減五刻有竒在辰正二刻當時推甲戌厯誤也寧宗嘉定五年壬申歲十一月壬戌日南至大衍(癸亥夘正初刻)宣明(癸亥巳初四刻)紀元(壬戌申正二刻)統天(壬戌未初二刻)重修大明(壬戌申正初刻)授時(壬戌未初二刻)此年平冬至壬戌未正初刻四分臨安遲一刻未正一刻四分定冬至午正一刻理宗紹定三年庚寅歲十一月丙申日南至大衍(丁酉申初二刻)宣明(丁酉戌初二刻)紀元(丁酉丑初三刻)統天(丙申亥正一刻)重修大明(丁酉丑初三刻)授時(丙申亥正一刻)此年平冬至丙申亥正二刻十一分臨安亥正三刻十一分定冬至亥正初刻理宗淳祐十年庚戌歲十一月辛巳日南至大衍(壬午未初初刻)宣明(壬午酉初初刻)紀元(辛巳亥正三刻)統天(辛巳酉正二刻)重修大明(辛巳亥正一刻)授時(辛巳酉正三刻)此年平冬至辛巳酉正三刻十一分臨安戌初初刻十一分定冬至酉正二刻元世祖至元十七年庚辰歲十一月己未夜半後六刻冬至大衍(己未亥初初刻)宣明(庚申丑初一刻)紀元(己未夘初初刻)統天(己未丑初初刻)重修大明(己未夘正初刻)授時(己未丑初一刻)今推此年平冬至五十五日一時一十八分四十六秒己未丑初一刻四分高衝在冬至後四分有竒約減均十二秒加時約五分定冬至丑初一刻九分與當時郭太史測算氣應五十五日○六百分者宻合梅先生云以上自魯僖公以來冬至日名共四十七并至元辛巳有刻為四十八事授時法合者三十八不合者昭公己夘劉宋元嘉丙子大明辛丑陳太建壬辰丁酉隋開皇甲寅唐貞觀甲辰己酉宋景德丁未嘉泰癸亥共十統天厯同今按四十七事日名或有不合其間有厯誤有史誤今以實法攷之合者不約而符不合者亦灼然可見非厯誤推即史誤紀雖去之千百年猶旦暮也此如以有法之度度短長有凖之權權輕重故物莫能遁若大衍諸厯歲餘或强或弱如權度未定既不可以稱量而統天之距差躔差授時之百年長一又於執秤執尺之時參以智巧之私實為無理之法其不合者固不合其幸合者亦不知其實未嘗合也近年冬至時刻可定去之遠者不能細定刻分以小輪半徑古多今少難得確率耳若其大致固可上下參攷而知當不違天甚逺孟子曰苟求其故千歲之日至可坐而致恒歲實最卑行小輪差皆其故也後之治厯者精求諸此而已若諸家立法雖不可不知要之皆已陳之芻狗不可再用者也元史云自春秋獻公以來凡二千一百六十餘年用六厯推筭冬至凡四十九事大衍合者三十二不合者十七宣明合者二十六不合者二十三紀元合者三十五不合者十四統天合者三十八不合者十一大明合者三十四不合者十五授時合者三十九不合者十事按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至授時得甲寅統天得乙夘後天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至授時統天皆得辛亥與天合下至昭公二十年己夘歲正月己丑朔旦冬至授時統天皆得戊子並先一日若曲變其法以從之則獻公僖公皆不合矣以此知春秋所書昭公冬至乃日度失行之騐一也(永按獻公之年史有參差所推甲寅朔旦冬至乃劉歆三統厯以四分之法逆推非有實測紀之信史不足為據若左氏傳二至則當時之厯誤乃欲曲法以求合合者一而違者一不悟其幸合者之非真而以其不合者諉之於日度失行此大惑也)大衍攷古冬至謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月甲戌日南至大衍與皇極麟德三厯皆得癸酉各先一日乃日度失行非三厯之差今以授時攷之亦得癸酉二也(永按今以法推正得甲戌日度何嘗失行)大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至諸厯皆得甲申殆亦日度之差三也(永按此年冬至祖冲之攷之特詳正賴當年實測可騐高衝之所在與兩心差之細數雖推筭時刻未甚親亦可得其所以未親之由今以法宻筭其為乙酉甚確郭氏不悟統天之活法不足憑獻僖逺年之幸合未可據乃以祖氏當年實測指為日度失行不亦惑乎)陳太建四年壬辰歲十一月丁夘景長大衍授時皆得丙寅是先一日太建九年丁酉歲十一月壬辰景長大衍授時皆得癸巳是後一日一失之先一失之後若合於壬辰則差於丁酉合於丁酉則差於壬辰亦日度失行之騐五也(永按壬辰歲不誤丁酉歲則史誤也)開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長大衍統天授時皆得丙午與天合至開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至而大衍統天授時皆得壬戌若合於辛亥則失於甲寅合於甲寅則失於辛亥其開皇十四年甲寅歲冬至亦日度失行六也(永按甲寅歲乃厯誤)唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長諸厯皆得甲申貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長諸厯皆得庚戌大衍厯議以永淳開元冬至推之知前二冬至乃史官依時厯以書必非候景所得所以不合今以授時攷之亦然八也(永按此二至若非厯誤即史誤)自前宋以來測景騐氣者凡十七事其景德丁未歲戊辰日南至統天授時皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥甲戌日南至統天授時皆得乙亥是後一日一失之先一失之後若曲變其數以從景德則其餘十六事多後天從嘉泰則其餘十六事多先天亦日度失行之騐十也(永按此二至皆厯誤非日度失行)前十事皆授時所不合以此理推之非不合矣葢類其同則知其中辨其異則知其變今於冬至畧其日度失行及史官依時厯書之者凡十事則授時三十九事皆中(永按日為七政之主萬化之宗必無失行之理其兩心差之有改變亦必有恒率非失行也郭氏於十事中以八事為日度失行其說原於僧一行亦近誣矣其三十九事自以為中未必果皆中也中其日矣未必中其時刻除至元庚辰歲宻合天外推近歲之冬至時刻恒後天推逺歲之冬至時刻恒先天其故甚微非以權度細推其誰覺之)以前代諸厯校之授時為宻庶幾千歲之日至可坐而致云(永按授時固宻而有未宻者存郭氏不能知也不謂人誤而曰天誤此非常之差謬載之史冊徒為後人作笑資耳)附測景餘論(勿菴先生揆日候星紀要論測景法甚詳尚有三事當論永為補之)一曰表端之景虛淡分釐難得真數當倣郭太史用景符之法取表端橫梁中景為的郭氏用四丈長表頗不易制四方行測損其制度一丈亦可矣而表端為太陽上邊之景雖以太陽半徑減之可得中景而猶患其虛淡難真宜倣郭法長丈者只作九尺端為兩岐(代二龍)以持橫梁合之長一丈以薄銅葉為景符鑽小竅以達日光順其斜倚之勢游移前却於虛景之中取橫梁之景於圭面則所得者為中景而分數亦真一曰太陽離天頂稍逺則地面與地心有南北差太陽恒降而下當檢氣差表求太陽視緯高弧加於本緯一曰極高多度之方冬至太陽近地平有青蒙氣差能升太陽使高景為之稍短此蒙氣差難筭宜以夏至之景參校(夏至近天頂無蒙氣而降下之南北差亦甚微)求黃赤北緯以知南緯(黃赤間緯度分古多今少)以本方冬至氣差加於南緯以冬至景長推算高弧可得蒙氣差○後二事景差之最微者試以元史證之元史授時厯議云今京師長表(四丈)冬至之景七丈九尺八寸有竒夏至之景一丈一尺七寸有竒(寸下之分不著者每歲二至加時不等故也)按京師觀象臺北極出地三十九度五十五分今所測定者也今時黃赤距緯二十三度半稍弱元時距緯則不止二十三度半姑以二十三度半計之加於極高以減象限其餘二十六度三十五分為冬至高弧檢二十六度三十五分之餘切線一九九八四一以四乗之(表四丈故)已有七丈九尺九寸有竒之景再加距緯之大與太陽南北差則景當更長而當時所測定者七丈九尺八寸有竒以餘切求高弧為二十六度三十七分減太陽下二分以減赤道高五十度五分若只二十三度三十分者豈非蒙氣升卑為高乎 再以夏至攷之景長一丈一尺七寸有竒以四歸之二九三有竒則七十三度四十分之餘切以赤道高弧五十度○五分減之北緯有二十三度三十五分豈非近天頂無蒙氣差而太陽降下之數又微故見其本緯之景乎○再以北緯二十三度三十五分減赤道高為高弧二十六度三十分又約減太陽降下二分則冬至高弧宜二十六度二十八分而景長之高弧二十六度三十七分是蒙氣升太陽九分也郭太史時八線之筭法未備太陽南北差近地蒙氣差機竅未啟但能紀其表景尺寸不能詳其冬至二至所得黃赤距度有微差今則一一可攷而知數學卷四
## 5
欽定四庫全書數學卷五婺源江永撰七政衍(勿菴先生論七政小輪之動由本天之動七政之動由小輪之動其說極當七政中月尤紛錯按厯象考成五星有三小輪而月更有次均輪不惟次均輪而已且更有負圏是月之小輪獨有五也今以七政各輪之左右旋與其帶動自動不動之異本先生之說一一衍之且為繪圖諸輪瞭然在目而七政之高下行度亦可知其梗概矣)太陽諸輪日有本天有本輪有均輪○本天以地為心隨宗動天左旋而稍緩故漸右移(本勿菴先生之說)○本天右移帶動本輪○本輪之心定於本天之上(亦本勿菴先生說)其樞左旋帶動均輪(本輪之頂為最高底為最卑輪樞左旋視本天之右移者稍緩因生最高最卑之行)○均輪之心定於本輪之上其樞右旋帶動日○日體定於均輪之上隨均輪而右旋均輪旋而日體之上下不變(别有說見後)太陰諸輪月有本天有本輪有均輪有負圏有次輪有次均輪○本天以地為心隨宗動天左旋而最緩故右移甚速○本天右移帶動本輪○本輪之心定於本天之上其樞左旋帶動均輪(本輪之頂為月孛其底為入轉輪樞左旋視本天之右移者稍緩因生月孛之行)○均輪之心定於本輪之上其樞右旋帶動負圏(負圏所以負次輪其心在均輪上併均輪全徑與次輪半徑為負圏半徑)○負圏之心定於均輪之上其樞不動隨均輪而右旋帶動次輪(若無負圏則次輪無為帶動者矣)○次輪之心定於負圏之上隨負圏而出入於本輪(有時在本輪内有時出本輪外)其周恒與均輪相切(與五星次輪心在均輪上者異)其樞左旋(與土木火三星次輪右旋者異)帶動次均輪(月獨有○次均輪)次均輪之心定於次輪之上其樞不動隨次輪而左旋帶動月(厯法西傳謂月在次輪上右旋非也○他輪一左旋一右旋則其樞轉動惟負圏與均輪同為右旋次均輪與次輪同為左旋是其樞不轉動)○月體定於次均輪之上隨次輪與次均輪而左旋(月在次均輪其詳見後)輪旋而月體之上下不變(亦說見後)土木火三星諸輪土木火三星在日之上有本天有本輪有均輪有次輪有繞日圏○本天以地為心隨宗動天左旋而差緩各以次第土最緩木次之火次之其右移皆遲(土約二十九年半一周木約十二年一周火約二年一周)○本天右移帶動本輪○本輪之心定於本天之上其樞左旋帶動均輪(本輪之頂為最高輪樞左旋視本天之右移者稍緩因生最高之行)○均輪之心定於本輪之上其樞右旋帶動次輪(土木次輪與太陽本天等大惟火星次輪時時不同本輪高而太陽又高者最大本輪卑而太陽又卑者最小二者皆在高卑之中則與太陽本天等大)○次輪之心定於均輪之上其樞右旋帶動星○星體各定在次輪之上隨次輪而右旋○次輪亦名歲輪星在歲輪周左旋聨其行跡遂成繞日圓圏(與各星本天等大火星圏時時不等)其度左旋(與次輪右旋之度相應)金水二星諸輪金水二星在日之下(論其本天則然因有歲輪與日天等大有時負星出於日上)亦有本天有本輪有次輪又有伏見輪○本天皆小在日天之内(本勿菴先生晩年之説舊説即以太陽之天為金水本天)以地為心隨宗動天左旋而稍緩遂右移其右移速於上三星(金二百二十四日竒周天水八十八日周天亦本勿菴先生說舊說以周次輪為周天)本天右移帶動本輪○本輪之心定於本天之上其樞左旋帶動均輪(本輪均輪皆在日天之下厯家以太陽天為本天伏見輪為次輪遂置本輪均輪於太陽天皆假設非本象○本輪之頂為最高輪樞左旋視本天之右移者稍緩因生最高之行)○均輪之心定於本輪之上其樞右旋帶動次輪(次輪皆與日天等大)○次輪之心定於均輪之上其樞左旋帶動星○次輪亦曰歲輪(猶上三星之歳輪厯家以伏見輪為次輪或曰歳輪勿菴先生非之詳見五星紀要愚為發明詳見金水發微)星體各定在歲輪上隨之左旋(上三星在歲輪上右旋金水在歲輪上左旋皆向日也)○星在歲輪周左旋聨其行跡亦成繞日之輪為伏見輪(與本天等大猶上三星之繞日圏)其度右旋(與歳輪左旋之度相應)七政諸輪起㸃行度七政本天平行皆起冬至㸃太陽本輪起最卑㸃為初宫初度順布十二宫最高㸃為六宫初度(因今時最卑㸃近冬至遂以此為始)○太陽均輪起最近㸃(謂最近於本輪心即均輪之頂在最高時為均輪之底)即最卑最高時日體所在其度恒以兩度當一度本輪左旋一度均輪右旋兩度本輪左旋一象限均輪右旋半周日在最逺之㸃(謂最逺於本輪心)本輪左旋半周均輪右旋一周復于最近㸃太陰本輪起最高㸃為初宫初度即月孛所在(中法以孛對衝為月入轉是起最卑西法起月孛)順布十二宫最卑㸃為六宫初度(即古法入轉)○太陰均輪起最近㸃(謂最近於本輪心最高時為輪底最卑時為輪頂)即最高最卑時次輪最近㸃所到其度亦以兩度當一度本輪左旋半周均輪右旋一周○太陰次輪朔望起最近㸃(此最近㸃謂最近於均輪心)與均輪邉相切(他星次輪心在均輪周月次輪獨與均輪相切而輪心在負圈上)又為次均輪心所到其度亦以兩度當一度本天右旋月離日一度則次輪左旋兩度(囘厯謂之倍離度○左旋者左旋於負圈之上)次均輪心遂至其處兩弦左旋半周次均輪心在最逺(謂最逺於均輪心)此輪惟順布六宫朔至望一周望後復起初宫○太陰次均輪月體在其上從輪心出線距地心(惟最高最卑兩㸃無初均此線正其餘皆是斜線)作十字線於輪面(距線正則十字線皆正距線斜則十字線皆斜)朔望時月體當線上常在其下兩弦時月體當線上常在其上朔弦與望弦間(初四初五十八十九)月體常在十字橫線之左(東方)弦望與弦朔間(十一十二廿六廿七)月體常在十字橫線之右(西方)亦一月而兩周○土木火三星本輪起最高㸃為初宫初度順布十二宫最卑㸃為六宫初度○三星均輪起最近㸃(謂最近於本輪心)即最高最卑時次輪心所到其度亦以兩度當一度次輪心在其上本輪左旋半周均輪右旋一周○三星次輪星體在其上與太陽合伏時起輪之頂為初宫初度逆布十二宫衝太陽時在輪之底為六宫初度○三星繞日圏合伏在頂衝日在底與次輪同但順布十二宫厯家不用金水二星本輪起最高㸃順布十二宫與上三星同○金星均輪起最近㸃為最高最卑時歲輪心所到其度亦以兩度當一度歲輪心在其上與上三星同○水星均輪起最逺㸃(謂最逺於本輪心即均輪之頂)為最高時歲輪心所到(最卑時歲輪心在最近㸃亦均輪之頂)其度以三度當一度歲輪心在其上本輪左旋四宫均輪右旋一周本輪一周均輪三周(七政均輪他皆起最近㸃倍引數惟水星均輪起最逺㸃三倍引數)○金星次輪本是歲輪星體在其上合伏時起輪之頂順布十二宫厯家不用○金水伏見輪本是歲輪上星行之跡所成厯家用之合伏時起輪之頂為初宫初度逆布十二宫衝日在輪之底為六宫初度日月體上下有定日在均輪上月在次均輪上雖隨輪轉(日右轉月左轉)而日月之本體上下有定葢其底恒對地心也日之轉動與否不可見而月則有黑影(西人謂之月駁)恒定不易則日體亦常定可知五星當亦然甲為地心乙丙丁為本天界戊己庚辛為本輪壬癸為均輪子為日體在均輪上○庚為最卑(亦曰髙衝)戊為最高此設均輪在最卑(初宫)則日體在子若到三宫(辛㸃)則日體當丑到最高(六宫)則日體在卯到九宫(已㸃)則日體當寅#甲為地心乙丙丁為本天界寅戌申酉為本輪壬子癸丑為均輪癸未辰午為次輪亥夘為次均輪戊庚己辛為負圈○寅為最高(即月孛)申為最卑此設均輪心在最高(初宫)則次輪與均輪相切於癸又設當朔望時癸即次均輪心所到而月體在夘若均輪到三宫(戌㸃)則次輪與均輪相切於心均輪在最卑(六宫)則次輪與均輪相切於角均輪到九宫(酉㸃)則次輪與均輪相切於房丙至氐初均減度之最大丙至亢初均加度之最大者也若均輪到三宫又當兩弦時則月體在斗視度在牛均輪到九宫又當兩弦時則月體在尾視度在箕亢至箕氐至牛二三均加減度之大者也(月有諸輪行度最多變態後分十二宫圖之)○本天大於本輪半徑約十七倍有竒月本輪初宫圖次均輪行於次輪不能徧圖每一圖以四為率上次均輪朔望時○右次均輪朔弦望弦間下次均輪上下弦時○左次均輪弦望弦朔間子斗丑為本天界丙寅辰夘為未輪輪心在斗設當輪最高(丙㸃)為初宫初度則均輪(庚牛丁女)心在丙而負圈(辛癸甲壬)之心在庚次輪(丁牛未申)丁㸃與均輪相切如其正當朔望也則次均輪(戊乙)心在次輪均輪相切之處(丁)而月體在乙(次均輪之底)此時無加減度從丙乙斗辰巳線直下至地心(線長不能圖只圖其上截後倣此)為次輪最近㸃距地心線減去次均輪半徑(丁乙)為月距地心線○如其行至朔弦望弦之間(初四初五十八十九)則次均輪(角酉)心到午午奎亥為輪心距地心線奎斗其減度(次均)月體在酉酉壁戌為距線奎壁其加度(三均)壁斗則減定度也○如其行至上下弦則次均輪(房心)心到未月體在房與朔望距地心線合為一(惟乙房為月體相距之差)亦無加減度○如其行至弦望弦朔之間(十一十二廿六廿七)則次均輪(亢氐)心到申申危箕為輪心距地心線危斗其加度(次均)月體在氐氐室尾為距線危室其減度(三均)室斗則加定度也○凡諸直線皆下至地心本輪心在本天甲房為最高設本輪行一宫則均輪心到未(房未三十度)負圈心在申(從房至申六十度)次輪與均輪相切於丁(求丁㸃之法先作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之即丁㸃所在丙丁弧六十度倍於庚未丙丁其通弦)丁酉寅為次輪最近㸃距地心線酉甲其減度(初均)朔望次均輪心在丁月體在癸丁癸酉寅與初均距線合為一故朔望無次均加減(後倣此)朔弦望弦間次均輪心在己巳戌午為距線酉戌其減度(次均)月體在庚庚亥辰為距線亥戌其加度(三均)亥酉為二三均減度亥甲減定度也上下弦次均輪心在辛角辛巳為距線角酉其減度(次均)月體在壬壬辛巳距線與次均同故上下弦即以次均為三均(後倣此)角甲減定度也弦望弦朔間次均輪心在戊氐戊丑為距線氐酉其加度(次均)月體在子亢子夘為距線亢氐為減度(三均)亢酉為二三均減度亢甲減定度也本輪心在本天甲亢為最高設本輪行二宫則均輪心到辛(亢壬辛六十度)負圈心在角(從尾至角一百二十度)次輪與均輸相切於丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之為乙丙丁弧一百二十度倍於亢辛丙丁其通弦)丁亥夘為次輪最近㸃距地心線亥甲其減度(初均)朔望次均輪心在丁月體在癸無次均朔弦望弦間次均輪心在戊戊丑未為距線丑亥其減度(次均)月體在子子氐辰為距線氐丑其加度(三均)氐亥為二三均減度氐甲為減定度上下弦次均輪心在巳巳酉申為距線酉亥其減度(次均)月體在房同次均酉申減定度也弦望弦朔間次均輪心在庚戌庚心為距線戌亥其減度(次均)月體在寅午寅巳為距線午戌其減度(三均)午亥二三均減度午甲減定度本輪心在本天甲未為最高設本輪行三宫均輪心到丙(未氐丙九十度)負圈心在乙(從丁厯氐至乙一百八十度)次輪與均輪相切於丁(甲乙丙丁為直線無勾股甲乙亦三倍於甲乙乙心丁弧一百八十度倍於未丙乙丁為均輪全徑)丁亢丑為距線亢甲其減度(初均)朔望次均輪心在丁月體在辛無次均朔弦望弦間次均輪心在戊戊酉夘為距線酉亢其減度(次均)月體在壬壬申寅為距線申酉其加度(三均)申亢為二三均減度申甲減定度也上下弦次均輪心在己巳戌午為距線戌亢其減度(次均)月體在癸同次均戌甲減定度也弦望弦朔間次均輪心在庚亥庚辰為距線亥亢其減度(次均)月體在子角子巳為距線角亥其減度(三均)角亢為二三均減度角甲減定度也本輪心在本天甲癸為最高設本輪行四宫均輪心到子(癸房子一百二十度)負圈心在辛(從壬厯丁丙至辛二百四十度)次輪與均輪相切於丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之為乙丁丙辛壬丁弧二百四十度倍於癸房子丙丁其通弦)丑丁寅為次輪最近㸃距地心線上至本天丑丑甲其減度(初均)朔望次均輪心在丁月體在心無次均朔弦望弦間次均輪心在戊戊夘辰為距線夘丑其減度(次均)月體在己巳午未為距線午夘其加度(三均)午丑為二三均加度午甲減定度也上下弦次均輪心在己巳申酉為距線申丑其減度(次均)月體在尾同次均申甲減定度也弦望弦朔間次均輪心在庚庚亥為距線戌丑其減度(次均)月體在角亢角氐為距線亢戌其減度(三均)亢丑二三均減度亢甲減定度也本輪心在本天甲子為最高設本輪行五宫均輪心到壬(子尾壬一百五十度)負圈心在辛(從癸厯丁丙至辛三百度)次輪與均輪相切於丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之為乙丁丙辛癸丁弧三百度倍於子尾壬丙丁其通弦)丁申為次輪最近㸃距地心線上至本天午午甲其減度(初均)朔望次均輪心在丁月體在未無次均朔弦望弦間次均輪心在戊戊丑寅為距線丑午其加度(次均)月體在夘夘辰巳為距線辰丑其加度(三均)午辰為二三均加度辰甲減定度也上下弦次均輪心到己巳酉戌為距線酉午其減度(次均)月體在亥同次均酉甲減定度也弦望弦朔次均輪心到庚角庚亢為距線角午其減度(次均)月體在氐房氐心為距線房角其減度(三均)房午二三均減度房甲減定度也本輪心在本天甲乙為最高設本輪行六宫均輪心到丙(乙亥丙一百八十度)負圈心在辛(從辛厯角丁亢至辛一周)次輪均輪相切於丁(均輪心在最卑無勾股形從丁歴亢辛角至丁一周倍於乙亥丙)丁辛癸為次輪最近㸃距地心線上至本天甲為一直線無初均加減度朔望次均輪心在丁月體在壬同一直線亦無次均度朔弦望弦間次均輪心在戊子戊丑為距線子甲其加度(次均)月體在寅夘寅辰為距線夘子其加度(三均)夘甲二三均加度即加定度也上下弦次均輪在巳月體在午與朔望同一直線亦無次均弦望弦朔間次均輪心在庚未庚申為距線未甲其減度(次均)月體在酉子酉戌為距線子未其減度子甲二三均減度即減定度也本輪心在本天甲辛為最高設本輪行七宫均輪心到子(辛丑子二百一十度)負圈心在壬(從癸右旋一周復至壬六十度)次輪與均輪相切於丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之為乙丁從丙右旋一周復至丁六十度丙丁其通弦)丁夘寅為次輪最近㸃距地心線上至本天午午甲其加度(初均)朔望次均輪心在丁月體在夘無次均朔弦望弦間次均輪心在戊辰戊巳為距線辰午其加度(次均)月體在未申未酉為距線申辰其加度(三均)申午二三均加度申甲加定度也上下弦次均輪心到巳巳亥角為距線亥午其加度(次均)月體在戌同次均亥甲加定度也弦望弦朔間次均輪心到庚庚亢氐為距線亢午其減度(次均)月體在房房心尾為距線心亢其減度(三均)心午二三均減度心甲加定度也本輪心在本天甲辛為最高設本輪行八宫均輪心到癸(辛壬癸 百四十度)負圈心在子(從丑右旋一周復至子一百二十度)次輪與均輪相切於丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之為乙丁從丙右旋一周復至丁一百二十度丙丁其通弦)丁寅辰為次輪最近㸃距地心線上至本天夘夘甲其加度(初均)朔望次均輪心在丁月體在寅無次均朔弦望弦間次均輪心到戊午戊未為距線午夘其加度(次均)月體在申酉申戌為距線酉子其加度(三均)酉夘二三均加度酉甲加定度也上下弦次均輪心到巳巳亥亢為距線亥夘其加度(次均)月體在角同次均亥甲加定度也弦望弦朔間次均輪心到庚庚房心為距線房夘其加度(次均)月體在氐氐斗尾為距線斗房其減度(三均)斗夘二三均減度斗甲加定度也本輪心在本天甲壬為最高設本輪行九宫均輪心到丙(壬辛丙二百七十度)負圈心在乙(從丁右旋一周復至乙一百八十度)次輪與均輪相切於丁(甲乙丙丁為直線無勾股甲丁亦三倍於甲乙乙右旋一周復至丁一百八十度乙丁其通弦)丁子丑為次輪最近㸃距地心線子甲其加度(初度)朔望次均輪心在丁月體在癸無次均朔弦望弦間次均輪心在戊亢戊辰為距線亢子其加度(次均)月體在寅午寅未為距線午亢其加度(三均)午子二三均加度午甲加定度也上下弦次均輪心到己巳申酉為距線申子其加度(次均)月體在房同次均申甲加定度也弦望弦朔間次均輪心到庚庚夘氐為距線夘子其加度(次均)月體在戌戌角亥為距線角夘其減度(三均)角子二三均加度角甲加定度也本輪心在本天甲辛為最高設本輪行十宫均輪心到癸(辛壬癸三百度)負圈心在丑(從子右旋一周復至丑二百四十度)次輪與均輪相切於丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之為乙丁從丙右旋一周復至丁二百四十度丙丁其通弦)丁夘辰為次輪最近㸃距地心線夘甲其加度(初均)朔望次均輪心在丁月體在寅無次均朔弦望弦間次均輪心到戊午戊未為距線午夘其加度(次均)月體在申酉申戌為距線酉午其加度(三均)酉夘二三均加度酉甲加定度也上下弦次均輪心到巳角巳氐為距線角夘其加度(次均)月體在亢同次均角甲加定度也弦望弦朔間次均輪心到庚庚心房為距線心夘其加度(次均)月體在尾尾斗箕為距線斗心其減度(三均)斗夘二三均加度斗甲加定度也本輪心在本天甲氐為最高設本輪行十一宫均輪心到尾(氐房心尾三百三十度)負圈心在斗(從箕右旋一周復至斗三百度)次輪與均輪相切於丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之為乙丁從丙右旋一周復至丁三百度丙丁其通弦)丁壬癸為次輪最近㸃距地心線壬甲其加度(初均)朔望次均輪心在丁月體在辛無次均朔弦望弦間次均輪心到戊申戊酉為距線申壬其減度(次均)月體在子戌子丑為距線戌申其加度(三均)戌壬二三均加度戌甲加定度也上下弦次均輪心到己夘己寅為距線夘壬其加度(次均)月體在辰同次均夘甲加定度也弦朔弦望間次均輪心到庚庚午未為距線午壬其加度(次均)月體在亥亥亢角為距線亢午其減度(三均)亢壬二三均加度亢甲加定度也甲為地心乙丙丁為太陽本天諸星次輪半徑與之等戊己庚為火星本天辛壬癸子為火星次輪辛合伏癸衝日輪之下割入太陽本天丑寅夘為木星本天辰巳午未為本星次輪辰合伏午衝日申酉戌為土星本天亥角亢氐為土星次輪亥合伏亢衝日諸星皆有本輪均輪而次輪高下時時不同此設次輪心在平處圖其大槩後分圖以見之甲為地心乙丙丁為太陽本天壬子癸為土星本天戊巳庚辛為本輪午未為均輪丑夘寅辰為次輪○戊為最高庚為最卑設均輪在最高(初宫)則次輪心在未如合伏星在丑衝日星在寅次輪三宫星在夘九宫星在辰○均輪心在最卑(六宫)則次輪衝日時星在申○均輪到三宫(巳㸃)而次輪又為九宫則星到酉本天上在戌黃道上視之在氐氐丙其減度○均輪到九宫(辛㸃)而次輪又為三宫則星到亥本天上在角黄道上視之在亢亢丙其加度甲為地心乙丙丁為太陽本天壬癸子為木星本天戊巳庚辛為本輪亢氐為均輪丑夘寅辰為次輪○戊為最高庚為最卑設均輪在最高(初宫)則次輪心在氐如合伏星在丑衝日星在寅次輪三宫星在辛九宫星在巳○均輪心在最卑(六宫)則次輪衝日時星在酉○均輪到三宫(巳㸃)而次輪又為九宫則星到巳本天上在未黃道上視之在戌戌丙其減度○均輪到九宫(辛㸃)而次輪又為三宫則星到午本天上在申黃道上視之在亥亥丙其加度甲為地心乙丙丁為太陽本天戊己庚為火星本天壬子癸丑為本輪夘午為均輪寅辰申未為次輪○壬為最高癸為最卑設均輪在最高(初宫)則次輪心在午如合伏星在寅衝日星在申次輪三宫星在辰九宫星在未○均輪星在最卑(六宫)則次輪衝日時星在寅○次輪近太陽天留際加減度大均輪到三宫(子㸃)而次輪又為留順之際星至酉本天在戌黃道上視之在亥亥丙其減度均輪到九宫(丑㸃)而次輪又為留退之際星至角本天上在亢黃道上視之在氐氐丙其加度○房心為次輪割入太陽天處○火星次輪半徑時時不等此圖其大小之中者○五星皆以太陽為心如磁石之引針但土木金水以太陽本輪之心為心而火星獨以太陽實體為心次輪雖與日天等大而半徑時時不同算法置本星於最卑兼太陽高卑算之得數加於最卑之數即次輪半徑之數所以然者何也火與日同類故其精相攝也甲為地心乙戊己辛為太陽本天(即黃道厯家用伏見輪借為金星本天)庚子癸壬為星本天寅酉夘未為歲輪亢為本輪角為均輪最高時歲輪心在均輪之底合伏星在寅退合星在申兩留際星當黃道之亥戌○本輪均輪設於本天嵗輪心在其上本象也星在歲輪周成繞日圓象為寅辰申午伏見輪亦設本輪(丙)均輪(丁)於其上最高時伏見輪心在均輪之底星行伏見輪與歲輪不殊(詳金水發微)甲為地心乙夘丑寅為太陽本天(厯家借為水星本天)戊癸庚辛為星本天午己子辰為歲輪己為本輪壬為均輪最高時歲輪心在均輪之頂合伏星在午退合星在未兩留際星當黃道之戌亥○星在歲輪周成繞日圓象為(午申酉未)伏見輪亦設本輪(丙)均輪(丁)於其上最高時伏見輪心在均輪之頂星行伏見輪與歳輪不殊(詳見金水發微)數學卷五#
## 6
欽定四庫全書數學卷六婺源江永撰金水𤼵微(勿菴先生五星紀要前數章論金水左旋右旋猶仍厯書之說以伏見輪同嵗輪後因門人劉允恭悟得金水自有歲輪而伏見輪乃其繞日圓象因詳為之說發前人所未發永初見此說頗疑之即楊學山記卷末一條亦疑而不敢質再三思之繪圖試之果見伏見輪之繞日實由歲輪上星行軌跡所成而二星本天皆在日天之下厯家以太陽之天為金水天以伏見輪當次輪皆見其末而未及其本也此說悟於劉而勿菴先生發明之使五星高下遲速之原歸於一貫即此一事已大有功於天學然非多作圖象詳為之說觀者終難瞭然是以特為此卷以發先生之覆并可釋學山之疑)勿菴先生曰問五星之法至西厯而詳明然其舊說五星各一重天大小相函而皆以地為心其新說五星天雖亦大小相函而以日為心若是其不同何也曰無不同也西人九重天之說第一重宗動天次則恒星天又次土星次木星次火星次太陽次金次水次太陰是皆以其行度之遲速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知則皆以地心為心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大於太陽之天而包於外金水二星距地心漸近故其天皆小於太陽之天而在其内為太陽天所包是其本天皆以地為心無可疑者惟是五星之行各有歲輪歲輪亦圓象五星各以其本天載歲輪歲輪心行於本天之周星之體則行於歲輪之周以成遲疾留逆若以歲輪上星行之度聨之亦成圓象而以太陽為心西洋新說謂五星皆以日為心葢以此耳然此圍日圈象原是歲輪周行度所成而歲輪之心又行於本天之周本天原以地為心三者相待而成原非兩法故曰無不同也(上三星在歲輪上右旋金水在歲輪上左旋皆挨度平行)○夫圍日圏象既為歲輪周星行之跡則遲留逆伏之度兩輪皆有之故以歲輪立算可以得其遲留逆伏之度以圍日圓輪立算所得不殊立法者溯本窮源用法者從簡便算如厯書上三星用歲輪金水二星用伏見輪皆可以求次均立算雖殊其歸一也或者不察遂謂五星之天真以日為星失其指矣○厯指又嘗言火星天獨以日為心不與四星同余甞斷其非是作圖以推明地谷立法之根原以地為本天之心其說甚明其金水二星厯指之說多淆亦久疑其非今得門人劉允恭悟得金水二星之有歳輪其理的確而不可易可謂發前人之未發矣○問金水二星之求次均也用伏見輪厯指謂其即歲輪其說非與曰非也伏見輪之法起於囘厯而歐邏因之若果即歲輪何為别立此名乎由今以觀葢即歲輪上星行繞日之圓象耳(王寅旭書亦云伏見輪非歳輪)○然則伏見輪既為圍日之跡上三星宜皆有之何以不用而獨用之金水曰以其便用也葢五星行於歲輪起合伏終合伏皆從距日而生故五星之歲輪並與日天同大而歲輪之心原在本天周故其圍日象又並與本天同大上三星之本天包太陽外其大無倫又其行皆左旋(所以左旋之故詳具後論)頗費解說故只用歲輪也至於金水本天在太陽天内伏見輪既與之同大又其度順行故用伏見輪(亦即繞日圓象)若用歲輪則金水之歳輪反大於本天(以歳輪與日天同大故皆大於本天)故不用歲輪非無歲輪也承用者未能深考立法之根輒謂伏見輪即歲輪其說似是而非不可不知也伏見亦起合伏終合伏有似歲輪然歲輪之心行於本天之周而伏見輪以太陽為心故遂以太陽之平行為平行皆相因而誤者也○然則金水既非以太陽之平行為平行又何以求其平行曰歳輪之心行於本天是為平行乃實度也實度者周度也(以本天分三百六十度而以各星周率平分之則得其每日平行如土星二十九年竒而行本天一周則二十九日而行一度每日平行十九分度之一是為最遲木星十二年周天每日平行約為十二分度之一火星二年周天約為每日平行半度金星二百二十餘日周天約每日平行一度半强水星八十八日弱而周天約每日平行四度皆平行實度)若歲輪及伏見輪雖亦各分三百六十度亦各有其平行然而非實度也(此非本天上平行之度又非從地心實測之平行度)乃各星之離度耳因此離度(下文詳之)用三角法從地心測之則得其遲留伏逆之狀亦為實度矣(此實度不平行與本天之平行實度不同)○本天之度平行實度也歲輪及伏見乃離度也離度為虛數故皆以半徑之大小為大小○伏見輪上行度與歲輪同所不同者半徑也伏見之半徑皆同本天歲輪之半徑皆同日天○問何以謂之離度曰於星平行内減去太陽之平行故曰離度乃離日之度也以太陰譬之其每日平行十三度竒者太陰平行實度每日十二度竒者太陰之離度也(於太陽平行内减太陽平行)是故金星每日行大半度竒水星每日約行三度皆於星平行内減太陽之平行○因金水行速其離度在太陽之前乃星離於日之度故其度右旋順行與太陰同法也○若上三星則當於太陽平行内減去星行是為離度葢以上三星行遲在太陽之後乃星不及於日之度其度左旋而成逆行與太陰相反然其為離日之行度一而已矣(王寅旭五星行度解謂上三星左旋葢謂此也然竟以此為本天終非了義)○平行者對實行而言也然實行有二一是本天最高卑之行亦曰實行一是黄道上遲留逆伏實測亦曰視行是二者皆必以本天之平行為宗○若金水獨以太陽之平行為平行是廢本天之平行矣又何以求最高卑乎○圍日之輪(即伏見輪)起合伏終合伏是即古法之合率也本天之行即古法之周率也最高卑即古法之厯率也又有正交中交以定緯度即如古法之太陰交率也(此一法是西法勝中法之一大端)是數者皆必以本天取之故不得以圍日之輪為本天○厯指言金星正交定於最髙前十六度水星正交與最高同度其所指皆本天之度非伏見行之度則伏見輪不得為本天明矣○今以七政厯徴之不惟最高卑之盈縮有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十餘日而南北之交一終水星則八十八日竒而交終此皆論本天實度原不論伏見行是尤其較著者矣永按七政皆有本天本天皆有平行之實度月與五星皆有次輪而五星次輪亦曰歲輪皆因離日逺近#而生離度月之離度起合朔終合朔五星離度起合伏終合伏土木火三星在日之上其本天大其右行之度遲則於太陽平行度内減其星之行度是為歲輪上離度合伏至衝日半輪星西而日東衝日至合伏半輪星東而日西金水二星在日之下其本天小其右行之度速則於本天平行度内減太陽平行度為歲輪上離度合伏至衝日星東而日西衝日至合伏星西而日東金水本天雖小而歲輪亦如上三星與日天等大星在歲輪上半周則歲輪負星出日上至下半周乃在日天下其繞日之圓象實由歲輪上星行軌跡所成與上三星成繞日大圓者同理而厯家别名為伏見輪但於伏見輪上離度筭其距日實行則與歲輪所得不殊又即以太陽之平行為二星之平行皆徑捷之權法而承用者遂以伏見當歲輪以日天為二星本天且置本輪均輪於日天上而二星之本天與歲輪皆隐得勿菴先生發其藴本象始明終疑金星二百二十四日竒周天水星八十八日周天何以能終古附日也乃多作圖以顯其象此設金星合伏時在歲輪之頂以為起算之端因及歲輪心行一象限也甲為地心亦為金星本天與黃道之心乙丁己戊為黃道午酉未申為本天庚辛心壬為歲輪庚辰寅夘為伏見輪歲輪心午在本天周乙為太陽庚為星合伏時星在日上從甲望之同在一直線此星在歲輪上本象也若設伏見輪繞日乙為輪心即太陽其合伏之㸃庚即歲輪之頂星在歲輪頂即在伏見輪頂也若向後五十六日有竒歲輪心行一象限(此姑以輪心行言之實因本天右旋故帶動歲輪也又本天上更有本輪本輪上有均輪歲輪心在均輪上其差者微此姑勿論後倣此)至酉為辰子丑癸輪則太陽自乙行至丙(五十五度竒)而星在歲輪上自癸行至亥(三十四度竒癸即前之合伏㸃庚)其繞日之伏見輪(戌亥氐亢)心至丙其周與歲輪交於亥(亥為星所到)房至亥(房為合伏㸃)猶癸至亥也(同度)此又五十六日竒併前為一百十二日竒歲輪又行一象限心至未也(凡行象限)二太陽自乙至辰一百十度竒星自心至子六十九度竒若自伏見輪上觀之輪心在辰其周與歲輪交於子子即星所到也丑至子猶心至子也(丑與心皆合伏㸃)黃道上角至辰即星離日次均度也此圖有二行其一己庚辛壬歲輪心行至戊則太陽在丙星在癸而伏見輪(夘巳寅癸輪)亦交於癸其一子丑午未歲輪心行至乙則太陽在丁星在申而伏見輪(申亢酉氐輪)亦交於申○又五十六日竒併前為一百六十八日半强歲輪又行一象限心至戊(併前三象限)太陽自房心至丙一百六十六度强星自庚厯辛至癸(庚即第一圖合伏庚㸃)一百○三度太强伏見輪自辰至癸亦如之(辰亦合伏㸃)○又五十六日竒併前二百二十四日半强歲輪又行一象限心至乙(併前一周)太陽自房心至丁二百二十一度半弱星自子丑至申一百三十八度半强伏見輪自戌氐至申亦如之(子戌皆合伏㸃)金星行嵗輪圖四此圖亦有二行其一癸寅丑子歲輪心行至丙則太陽在夘星在申而伏見輪(酉申戌亥輪)亦交於申其一亢心氐房歲輪心行至丁則太陽在午星在未而伏見輪(尾箕未斗輪)亦交於未○又五十六日竒併前為二百八十一日弱歲輪又行一象限心至丙(併前一周外又一象限)太陽自辛庚至夘二百七十六度太强星自子歴癸至申(子即第一圖合伏庚㸃)○又五十六日竒併前為三百三十七日强歲輪又行一象限心至丁(併前一周外又二象限)太陽自辛庚至午三百三十二度强星自氐厯房亢至未二百○七度太强(氐即第一圖合伏庚㸃)伏見輪自牛厯尾箕至未亦如之(牛亦合伏㸃)此又五十六日竒併前為三百九十三日强歲輪(癸丑子寅)又行一象限(併前一周外又三象限)心至戊太陽行一周又自已至未二十七度半星自丑 子寅至酉二百四十二度半弱(丑即第一圖合伏庚㸃)伏見輪自申 辰午至酉亦如之(申亦合伏㸃)此圖有二行其一戊壬癸庚次輪心行至丙則太陽在房星在酉而伏見輪(酉巳亥未輪)亦交於酉其一辛斗亢牛歲輪心行至午則太陽在心星在辰而伏見輪(夘辰寅氐輪)亦交於辰○又五十六日竒併前為四百四十九日少强歲輪又行一象限心至丙(併前二周)太陽行一周又自丁至房八十二度太强星自戊厯壬癸至酉(戊即第一圖合伏庚㸃)二百七十七度强伏見輪自申厯巳亥未至酉亦如之(申亦合伏㸃)又五十六日竒併前為五百○五日半强歲輪又行一象限心至午(併前二周又一象限)太陽行一周又自丁房至心一百三十八度强星自己厯辛斗亢至辰三百一十一度半强(己即第一圖合伏庚㸃)伏見輪自午厯寅氐夘至辰亦如之(午亦合伏㸃)此圖亦有二行其一子牛壬癸歲輪心行至丙則太陽在心星在戌而伏見輪(申酉戌亥輪)亦交於戌其一寅辰斗角歲輪心行至女則太陽在丑星在午而伏見輪(夘未巳午輪)亦交於午○又五十六日竒併前為五百六十一日太弱嵗輪又行一象限心至丙(併前二周有半)太陽行一周又自丁厯戊庚至心一百九十三度半强星自壬厯癸子牛至戌三百四十六度强(壬即第一圖合伏庚㸃)伏見輪自亢厯亥申酉至戌亦如之(亢亦合伏㸃)○又五十六日竒併前為六百一十七日太强歲輪又行一象限心至女(併前二周又三象限)太陽行一周又自丁 戊庚至丑二百四十九度稍强星自辰左旋一周至午二十一度稍弱(辰即第一圖合伏庚㸃)伏見輪自房右旋一周至午亦如之(房亦合伏㸃)此設水星合伏時在歲輪之頂因及歲輪心行一象限也甲為地心丙申未午為黃道乙丁己辛為本天戊亥尾亢為歲輪戊己子癸為伏見輪歲輪心乙在本天周丙為太陽戊為星合伏時星在日上從甲視之同一直線此星在歲輪上本象若設伏見輪繞日丙為輪心即太陽其合伏之㸃戊即歲輪之頂星在歲輪頂即在伏見輪頂也(本天上更有本輪均輪歲輪心在均輪上其差皆微此勿論後倣此)○設合伏後二十二日弱歲輪行一象限(己角戌酉輪)心至丁則太陽自丙行至庚二十一度太弱星自酉至壬(酉即合伏戊㸃)六十八度少强自丑牛夘丙伏見輪上觀之則自斗至壬亦六十八度少强也(斗亦合伏㸃)此圖有二行其一己子丁己歲輪心行至乙則太陽在酉星在房而伏見輪(未戌房申輪)亦交於房其一午癸丑夘歲輪心行至辛則太陽在亥星在心而伏見輪(尾角斗心輪)亦交於心○又二十二日弱併前為四十四日弱歲輪又行一象限心至乙(併前二象限)太陽自庚至酉四十三度少强星自丁厯巳至房(丁即第一圖合伏戊㸃)一百三十六度半强伏見輪自氐厯戌至房亦如之○又二十二日弱併前六十六日弱歲輪又行一象限心至辛(併前三象限)太陽自庚至亥六十五度强星自癸厯丑夘至心二百○五度弱(癸即第一圖合伏戊㸃)伏見輪自亢厯角斗至心亦如之(亢亦合伏㸃)此圖有三行其一戊寅庚夘歲輪心行至乙則太陽在午星在酉而伏見輪(酉栁女尾輪)亦交於酉其一辰子己房歲輪心行至氐則太陽在未星在戌而伏見輪(斗牛虛戌輪)亦交於戌其一丙亢壬角歲輪心行至巳則太陽在申星在亥而伏見輪(井室亥危輪)亦交於亥○又二十二日弱併前為八十八日弱歲輪又行一象限心至乙(併前一周)太陽自丁行至午八十六度太弱星自戊厯寅庚夘至酉(戊即第一圖合伏戊㸃)二百七十三度少强伏見輪自心厯栁女#尾至酉亦如之(心亦合伏㸃) 又二十二日弱併前為一百一十日弱歲輪又行一象限心至氐(併前一周又一象限)太陽自丁行至未一百○八度少强星自房厯辰子巳至戌(房即第一圖合伏戊㸃)三百四十一度半强伏見輪自壁厯虛牛斗至戌亦如之(壁亦合伏㸃)○又二十二日弱併前為一百三十二日弱歲輪又行一象限心至巳(併前一周半)太陽自丁至甲一百二十日强星自壬左旋一周又五十度弱至亥(壬即第一圖合伏戊㸃)伏見輪自奎右旋一周復至亥亦如之(奎亦合伏㸃)錫山楊學山作枚曰(書五星紀要後)西法步五星土木火有歲輪金水有伏見輪雖兩輪行度求角之法皆同然歲輪上為星離日之虛度輪心在本天伏見輪則有自行度輪心即太陽細按厯書之說葢謂上三星本天包太陽天外星離日而又與日有定距是生歲輪其半徑恒與太陽天等若金水之本天即太陽天其平行與太陽同距等亦與太陽等(俱一千一百四十二地半徑)而此伏見一輪以日為心繞日環轉而為伏見使非此輪則星無所為伏見(以平行同太陽故也)故名伏見輪其輪之半徑皆有定度(金星七千二百竒水星三千八百竒)是其意原非以伏見輪當歲輪若果即為歲輪則半徑宜有大小何則火星因與太陽天近尚有日躔本天二差以變次均角豈金水在太陽天下而反無之今測不然是伏見輪另為一種行動為金水之所獨故昔人别立伏見輪之名也其所云即歲輪者葢因行法相同而混言之耳今勿菴之說又異是謂五星皆同一法皆有歲輪上三星因本天大故用歲輪金水因歲輪大難用故用繞日圓象(即伏見輪如上三星圍日之圏)如此可明金水自有本天因得自有高卑亦自有平行度因在日天下速於太陽本天斜倚黃道因有正交中交之名諸根底俱有著落且五星一貫但依此立算凡星平行自行之根數初均次均之度分南緯北緯之大小皆與厯書數迥異騐之於天未識合否余嘗疑厯指論五星緯說多混淆金水尤畧因作五星緯行解一卷明之勿菴之說不敢遽定其是非存之以待參攷焉永按學山先生謂勿菴之說不敢遽定其是非今繪圖試之歲輪上星所到與伏見輪上星所到一一相符則勿菴先生之說信矣然諸圖皆設歳輪心於本天未設本輪均輪愚初猶疑本輪均輪設於本天未必能符伏見輪上所算之數也既而擬法算之(算例見後)雖平行自行初均次均與伏見算大異而以後均加減歲輪行則與伏見所算之實行不約而同於是前疑盡釋而算例亦可立矣若南緯北緯之大小勿菴先生已詳言之謂本天上歲輪心所行之周半在黃道北半在黃道南其勢斜立星體行伏見輪周其勢亦斜立與之相應故其交角等夫交角既等則歲輪上之緯與伏見輪之緯亦必等豈兩輪事事相符而緯行一事獨違異者況星之緯南緯北實由歲輪心所到乎(輪心到正交中交則無緯度)楊先生亦可無疑於此也永别有餘論具於左凡星體皆載於歲輪上歲輪之心在均輪均輪之心在本輪本輪之心在本天其大遲速在本天之行其小盈縮在本輪均輪之轉五星皆同歳輪由星為太陽所攝而生歲輪隨本天旋轉聨其行跡自成繞日之輪其輪各與本天等大若主太陽言之似星本繞日因星在繞日輪上旋轉而成與太陽本天等大之歲輪(西士謂五星皆以日為心)若主本天言之則繞日輪生於歲輪勿菴先生始謂上三星之繞日為虛跡非實象後又謂金水伏見輪亦如圍日之圓象實為歳輪周行度所成然則本天與歲輪猶表也繞日圏伏見輪猶景也置本輪均輪於金水歲輪上與伏見輪上所算之黃道度不殊然則上三星亦可置本輪均輪於繞日圏上立算此天能之巧妙若上三星用歲輪金水用伏見輪則步算之權宜也各星本輪均輪止一耳何以隨人兩置之而皆可由其本同故也其所以然者不出三角之理後有圖明之厯家於金水何以不用歲輪立算伏見顯而歳輪隱也然則厯家既便於伏見立算矣必不用歳輪之隱而曲勿菴先生之說亦可置勿論乎曰不然疇人之所便用者法也儒家所講求者理也有勿菴之說而後知二星亦有本天有歲輪與上三星一貫因其本天在日天下故其左旋者漸遲右旋者漸速下至太陰上至恒星高下遲速各以其等而西人始言天有重數之說得此益明故愚以為甚有功也否則但以二星之行與日等其本天與日天混而為一烏覩所謂九重者乎梅先生恐人謂歲輪實有堅硬之物則有人持珠竿行於浮屠梯磴之喻門人劉著亦有風中放紙鳶之喻皆謂員周為虛設二喻皆妙永又思之使其只有一本天一歲輪則謂因相距之半徑隨天旋繞而成員象可也而本天之上有本輪本輪之上有均輪均輪之上乃有歲輪至太陰則小輪尤多諸輪又各有其左旋右轉隨動自動起㸃行度之異又火星之次輪時時不等水星之均輪一周三周一若實有諸輪相聨相貫相推相盪又且多其變態者則在天雖無輪之形質而有輪之神理雖謂之實有焉可也學山謂火星因與太陽天近故有日躔本天二差以變次均角愚始亦疑其然後細攷之此說未確使火星之次輪半徑由近日天而致差則木星天距火星未甚逺豈得無些小之差土星天雖去日天甚逺而本輪比諸星獨大亦豈得無微細之差厯家積候之久雖有小差必能立法以追其變使土木次輪亦如火星之例豈不依火星距日日差之法為活動之算以窮其變今攷之不然則次輪半徑有二差惟火星則然金水雖最近日次輪半徑有定尤可互證伏見輪雖曰以太陽為心其實亦非真以太陽之形體為心也乃是太陽本輪之心為之心耳故算次均角不因太陽之盈縮髙卑而改變惟算合伏與退合兩日以太陽實行定其實合伏實退合之時刻以此例之土木二星繞日圏其真心亦是太陽本輪心非太陽之形體也惟火星不然耳梅先生云歲輪大小又因於太陽髙卑伏見輪既以日為心則太陽行最髙時伏見輪從之亦高而星去地逺太陽行最卑則伏見輪從之卑而去地近永思之金水近日使伏見半徑果因太陽高卑而有改變則太陽行至三宫九宫平視兩行差不啻兩度伏見輪半徑亦當大兩度厯家有不覺者乎知其所謂心者為太陽本輪心非太陽形體則此疑冰釋矣○梅先生又謂太陽有高卑則黃道半徑有大小星亦能變緯度論視緯當兼用兩種髙卑立算永謂算視緯必用星距地心線定其逺近此線即黃道上星距太陽本輪心之界線也算次均角即此線所界之度求次均不因太陽高卑而變則此線亦不因太陽高卑而改疑其無緯差五星紀要詳於金畧於水永考水星與金星不同者有二事其一則均輪也他星均輪最高時起最近㸃右旋而倍引數獨水星均輪最高時起最逺㸃右旋三倍引數(引數一度均輪三度)其一則交角也金星交角三度二十九分惟一耳水星交角則時時不同伏見輪心在大距與黃道交角五度四十分伏見輪心在正交當黄道北則減南則加伏見輪心在中交當黃道北則加南則減其加減各有與大距交角相較之數以距交實行逐度算其交角加減交角而得實交角此二事葢相因其理極精微又按厯書水星前後緯表南北之向與金星相反初不知其何故及考之厯象考成求金水正交行置最高平行金星則減十六度水星則加減六宫得正交平行乃知水星正交與最卑同度而舊法謂與最高同度是以正交為中中交為正故南北與金星相反當易其正中之名乃與諸曜一例金水算例從伏見輪立算二星皆以太陽之平行為平行輪上繞日之行為伏見平行求初均於本星平行内減最高行為引數金星用直角形水星用三角形(厯數考成之法)求得均角以加減本星之平行為初實行(初宫至五宫為減六宫至十一宫為加)又反用加減號以加減伏見平行為伏見實行(加星行則減伏見行減星行則加伏見行)求次均先求伏見輪心距地心線(求得初均角即用割線比例求之)以此線與伏見輪半徑為兩邉以伏見實行為所夾之外角(過半周者與全周相減用其餘)用切線分外角法求半較角以減半外角餘為次均角以加減初實行(伏見輪初宫至五宫為加六宫至十一宫為減)為黃道上實行右法厯家所用者也若用歲輪算法如後(永所推)從歲輪立算二星皆以行度(即本星平行與太陽同)離度(即伏見平行)併之為歲輪之平行置本輪均輪於各本天(與伏見法置於太陽本天者異)於歲輪平行内減最高行為引數亦用直角(金星)三角(水星)形法求均角以加減本星之行度為初實行又反用加減以加減本星之離度為定離度於定離度内求次均亦先求得歲輪心距地心線為一邉(此邉小)以歲輪半徑為一邉(此邊大)定離度為所夾之外角(過半周者伏見輪之半徑小次均為對小邉之角故以半較角減半外角為對邉之小角歲輪半徑大次均為對大邉之角故以半較角加半外角為對邉之大角)以次均加減歲輪平行(初宫至五宫為減六宫至十一宫為加)為黃道上實行與伏見輪所算實行同#算理金水本天與太陽本天高下不同其本輪均輪一置於伏見輪心一置於歲輪心各依本法算之所得之初均次均數亦迥不同而求黃道實行兩者若合符節此必有所以然之理作圖明之甲為地心丙為太陽乙為金星辰午丁弧為本天戊丙巳弧為黄道子辛丑弧為歲輪壬乙癸弧為伏見輪丁為嵗輪心丙為伏見輪心此設太陽自戊行至丙而嵗輪心自辰行至丁則星體必在乙乙㸃為歲輪與伏見輪相交之處也歲輪子乙弧與黃道戊丙弧同度亦即與伏見輪壬庚弧同度皆星本行之度與太陽行度等者也歲輪乙辛弧與黃道丙己弧同度亦即與伏見輪庚乙弧同度皆為星離合伏之度厯家所謂伏見行者也(歲輪左旋自辛至乙為離度伏見右旋自庚至乙為離度)夫辛乙與庚乙同度黃道上為丙夘巳之度而人從甲望乙見黃道上星在夘則夘丙為星距太陽之視度其角為夘甲丙角亦即庚甲乙角若從伏見立算當算庚甲乙角得丙夘加戊丙得戊夘為黃道上實行度若從歲輪立算則輪上辛乙從黃道上視之為巳夘其角為己甲夘亦即辛甲乙當算辛甲乙角得夘己以夘巳減戊巳亦得戊夘為黃道上實行度○然則兩輪立算始異終同由辛乙與庚乙同度黃道上為丙己中間有星距地心線(乙甲)截丙巳於夘分為兩甲角(一夘甲丙一夘甲己)算兩甲角一加一減則必無不合也○兩甲角成斜方形邉有四線丙甲為伏見輪心距地心線乙丙為伏見輪半徑丁甲為歲輪心距地心線乙丁為歲輪半徑兩輪心所到各不同則斜方形亦不一皆此四線之伸縮其極也四線合為一線中線如兩線之長(合伏與退合時)○此圖未加本輪均輪則乙丙等丁甲乙丁等丙甲對邊皆平行本非天上實象姑以此明立算之本設本輪均輪之四線圖如左此圖乙丙乙丁如前丙甲與乙丁丁甲與乙丙各微不等對邊亦各不平行由丙丁二輪心有本輪均輪各有髙卑則丙甲丁甲二距地心線有改變乙㸃為心所在亦有移動而黃道上丙夘丙巳兩視度亦有損益也而算兩甲角以求實行度必無不合○凖前圖論之丙甲丁甲二#距線若常如兩輪半徑則丙角與丁角同大(邉線平行同對乙甲線故也)丙甲乙角與丁乙甲角同大(同對半徑小邉)丙乙甲角與丁甲乙角同大(同對半徑大邉)如後圖丙甲丁甲二距線既變則兩形中無相等之角即丙丁二甲亦變矣角變而丙己之弧度不變是以其終必合也○丙丁二角何以變也依前圖言之丙角之外角度為伏見輪上庚乙丁角之外角度為歲輪上辛乙庚乙與辛乙本同度也因兩輪上各有初均加減則度不同而庚丙乙與乙丁辛兩外角變矣外角變故内角必變也○丙己之弧度何以不變也凡初均數加星行者即減伏見加伏見者即減星行二者迭為損益而總數不改是以斜方形中但移其乙甲距線而黃道上丙己之度為戊丙之餘原與庚乙乙辛等者未嘗變是以次均算得夘巳減戊己猶之算得丙夘加戊丙也○由是觀之任丙甲丁甲二邉時時改變乙甲線時時移動而得黃道上戊夘之實度必無不同○乙甲丙角所對者乙丙小邉故以半較角減半外角爲甲角乙甲丁角所對者乙丁大邊故以半較角加半外角爲甲角自然之理也○兩輪算黄道實度旣同矣乙甲爲星距地心線亦同乎曰此不待言也乙甲者丙角丁角同用之對邊也以角算度旣合矣邊焉得不合右圖就金星輪圖之水星倣此數學卷六
## 7
欽定四庫全書數學卷七婺源江永撰中西合法擬草(明李之改憲也徐文定公嘗言鎔西人之精算入大統之型模固欲参合中西舍短取長以為不刋之典正朔閏月之類從中不從西定氣整度之類從西不從中然因用定氣遂以每月交中氣時刻為太陽過宫時刻舉中法十二次之名繫之而西法十二星象之宫亦時用之于表此則既非中法復非西法雖相沿至今實可疑之端也余于辛亥年著厯法管見嘗論及此後讀勿菴先生厯學疑問補已暢言之固非余之私言又疑整度一事似未盡言中西當參酌者此亦其一端爰以此二事擬數表名曰中西合法擬草仍以梅先生之説冠于卷首且附愚之鄙見焉)厯學疑問補云問舊厯太陽過宮與中氣不同今何以復合為一曰新厯之測算精矣然其中不無可商當俟後来詳定者則此其一端也何則天上有十二宫宫各三十度每歳太陽以一中氣一節氣共行三十度(如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其餘並同)滿二十四氣則十二宫行一週故厯家恒言太陽一歳周天也永按天上十二宫當分為二有黄道上十二宫有列宿天十二宫黄道十二宫截黄道為十二段冬至到丑春分到戌夏至到未秋分到辰恒係于節氣者也列宿天十二宫主以四獸(蒼龍白虎朱鳥元武)分為四維(東西南北)元枵在北鶉火在南大火在東大梁在西恒係于星宿者也新法之誤在去列宿十二宫専主黄道十二宫耳然而實考其度則一歳日躔所行必稍有不足雖其所欠甚㣲(約其差不過百分度之一有半)積至年深遂差多度(六七十年差一度六七百年即差十度)是為歳差厯家所以有天周歳周之名(天上星辰勻分十二宫共三百六十度是為天周每歳太陽十二中氣共行三百六十度㣲弱是為歳周)永按黄道上十二宫亦三百六十度太陽一歳周徧未嘗稍有不足較之列宿天似㣲欠者非太陽之不能周天也恒星自移而東耳此則西人恒星行之説為確中法分天周歳周未的也漢人未知歳差誤合為一故即以冬至日交星紀而定之于牽牛永按周未冬至已在南斗而漢人猶謂起牽牛者漢厯之疎也唐一行已嘗考定謂太初元年辛酉冬至日斗二十度而漢厯甲子冬至在斗二十四度其虗退之度適及牽牛之初云逮晋虞喜等始覺之五代宋何承天祖冲之隋劉焯等言之益詳顧治厯者株守成説不敢輒用歳差也至唐初傅仁均造戊寅元厯始用歳差而朝論多不以為然(亦如今人之不信西法人情狃于習見大抵皆然)故李淳風麟德厯復去歳差不用直至元宗開元某年僧一行作大衍厯乃始博徵廣證以大暢厥㫖于是分天自為天(即周天十二次宫度其度終古不變)歳自為歳(即周歳十二中氣日躔所行天度其度歳歳㣲移)厯代遵用(所定嵗差年數㣲有不同而大致無異)元世祖時用授時厯郭守敬測定六十六年有八月而差一度回回參西差法略同(今定為七十年差一度數亦非逺)故冬至日一歳日躔之度已週尚不能復于星紀之元度必再行若干日時而至星紀(十二中氣皆同一理)所以太陽過宫與中氣必不同日其法原無錯誤其理亦甚易知徐李諸公深于厯術豈反不明斯事乃復合為一真不可解推原厥故蓋譯厯書時誤仍回回厯太陽年之十二月名耳○問回回厯亦知歳差何以誤用宫名為月名曰回回厯既以十二箇月為太陰年而用之紀歳不用閏月然如是則四時之寒燠温凉錯亂無次因别立太陽年以周歳日躔勻分三百六十度又均分為十二月以為耕斂之節而起算春分是亦事勢之不得不然(堯典寅賔出日始于仲春即此一事亦足微而厯之本于義和)但彼以春分為太陽年之第一月第一日遂不得復用古人分至啟閉之法及春夏秋冬正名(古者以立春立夏立秋立冬春分秋分冬至夏至為八節其四立並在四孟月之首以為四時之節謂之啟閉二分二至並在四仲月之中居春夏秋冬各九十一日之半皆自然之序不可移易今回厯之太陽年既以春分為歳首則是以仲春之後半月為正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日有竒一併移之于歳終而孟春之前半改為十一月之後半孟春之後半合仲春之前半共三十日改為十二月即春夏秋冬之四時及分至啟閉之八節孟仲季之月名無一與之相應名不正則言不順遂不復可得而用矣)故遂借白羊等十二宫以名其太陽年之月彼非不知天度有歳差白羊不能板定于春分然以其時春分正在白羊姑借此名之以紀月數(即此而知回厯初起時其年代去今非逺)歐邏巴厯法因回厯而加精大致並同回厯故遂亦因之耳永按勿菴先生謂誤仍回厯太陽年之十二月名固是一説愚則謂别有其故也觀恒星厯指圖星象一置北極南極于心分十二宫赤道為正黄道為斜一置黄極黄南極于心分十二宫黄道為正赤道為斜其宫界皆據當時中氣所躔之度其意蓋曰太陽者衆曜之至也黄道者諸道之宗也一歳寒暑進退皆由太陽行黄道使然則黄道上自有一定之宫不惟月與五星逰厯其間雖普天星宿亦循黄道而行歴萬餘年赤道外二十三度之星且移至赤道内二十三度則安得不以黄道為主星宿為客乎若以列宿分宫太陽逰厯其間是列宿為主太陽為客矣且黄道十二宫二至則極南極北為之界二分則交赤道為之界若星宿則仰視茫茫無一定不可移之界中厯雖指虗六度為子半而度則有整度日度之不齊斗三度過丑女二度過子亦難定其宫界果當度之㡬分也是以遂置列宿之宫一以黄道之宫為主恐譯書時意在于此若其以星紀元枵等為宫名蓋以其名之古雅也用之以代丑子等字而不覺其將来名與實爽也徐文定公譯厯書謂鎔西洋之精筭入大統之型模則此處宜為改定使天自為天歳自為歳則歳差之理明而上星辰宫度各正其位矣(如晝夜平即為二分晝極長即為夏至不必問其日躔是何宫度是之謂歳自為歳也必太陽行至降婁始命為日躔降婁之次太陽行至鶉首始命為日躔鶉首之次不必問其為春分後㡬日夏至後㡬日是之謂天自為天也)永按勿菴先生之説極明白直㨗然使以此説告之當時譯書諸公猶恐不足以服其心蓋黄道上有十二宫不可没也太陽恒星主客之分又似不可易也列宿天宫界㣲茫難辨又若未易定也所疑難者有此三端則反若中氣過宫者為順天以日随星者為違天矣愚請為之條分而明辯之從来中厯皆以列宿天分宫不于黄道分宫是中厯之失也虛空中有一圏皆可分為十二宫况黄道為太陽所厯實有中氣節氣之分限又為諸道之宗主可謂無十二宫乎且冬至到丑與子月合大寒到子與丑月合月左旋而宫右旋當宫之半兩支相合所謂地支六合者也(古人謂日躔斗建為地支六合非也日躔有歳差斗柄有推移只是十一月自當為子而冬至太陽到丑合之十二月自當為丑而大寒太陽到子合之耳)是宜于冬至之日註曰某時某刻太陽入丑宫于大寒之日註曰某時某刻太陽入子宫諸中氣皆如是言入以别于躔言宫以别于次直稱地支不混星紀等名則黄道之宫定而名稱亦當矣又越㡬日太陽躔斗三則註曰太陽躔星紀之次躔女三則註曰太陽躔元枵之次如是豈不别白分明乎若謂太陽恒星有主客之分亦未盡然論恒星之宗黄極循黄道則太陽為主恒星為客論七政之躔列宿則列宿又為主七政為客蓋黄道之宫虛而列宿之次實也七政之天在下而恒星之天在上也則亦互為主客耳觀一歳七政厯不能虛紀宫度必以某宿某度記之則列宿豈不猶州縣而七政豈不猶人之行程乎分列宿之宫猶分天下之省直也若列宿天之宫界雖若難辨而中厯與西厯皆以虛六度為子半當必有所傳蓋虛宿十度六度正當其半是虛危之間也以此為正北而各宫之畧皆可定矣顧乃因仍回厯之宫名而以中氣日即為交宫之日則歳周與天周復混而為一于是歳差之理不明(如星紀之次常有定度而冬至之日度漸移是生歳差若冬至日即躔星紀歳歳相同安得復有歳差)而天上十二次宫度名實俱亂(天上十二宫各有定星定度若随節氣移動則名實俱左後篇詳之)是故厯法至今日推歩之法已極詳明而不無有待商酌以求盡善者此其一端也問者曰厯所難者推歩耳若此等處改之易易(但于各中氣後查太陽實躔某宫之度即過宫真日)但厯書中所作之表多用白羊金牛等宫名以為别識今欲通身改換豈不甚難曰否否厯書諸表雖以白羊金牛等為題而其中之進退消長並從節氣起算今但將宫名改為節氣即諸表可用不必改造有何難哉(如厯從白羊起者即改白羊初度為春分初度表從磨羯起者即改磨羯初度為冬至初度厯書諸表依舊可用但正其名不改其數更無煩于推算)永按如此改之誠易然用之已百年而未議改者蓋亦各持所見與問天上十二宫亦人所名今随中氣而移亦何不可之有曰十二宫名雖人所為然其来乆矣今考宫名皆依天上星宿而定非漫設者如南方七宿為朱鳥之象(史記天官書栁為鳥注注即咮咮者朱鳥之喙也七星頸為員官頸朱鳥頸也員官喉嚨也張為素素即嗉鳥受食之處也翼為羽翮朱鳥之翼)故名其宫曰鶉首鶉火鶉尾(鶉即朱鳥乃鳳也)東方七宿為蒼龍(天官書東方蒼龍房心心為明堂今按角二星象角故一名龍角氐房心象龍身心即其當心之處故心為明堂尾宿即龍之尾)故其宫曰壽星(封禪書武帝詔天下尊祀靈星正義靈星即龍星也張晏曰龍星在角曰天田則農祥也見而祀之)曰大火(心為大火)曰析木(一名析木之津以尾箕近天河也)北方七星為元武(天官書北宫元武)其宫曰星紀(古以斗牛為列宿之首故星自此紀也)曰元枵(枵者虚也即虚危也又象龜蛇為元武也○永按左傳云元枵虚也枵耗名也)曰娵訾(一名娵訾之口以室壁二星各二星兩兩相對而形正方故象口也○永按娵訾似是古人之名氏如實沈之類蓋封于衛地者也此宫别名豕韋豕韋亦古諸侯封于其野者也)西方七宿為白虎(天官書奎曰封豕參為白虎三星直者是為衡其外四星左右肩股也小三星隅置曰觜觽為虎首)其宫曰降婁(以婁宿得名也)曰大梁(永按魚梁所以取魚宫有畢宿象以畢取魚也)曰實沈(永按宫有參宿左傳髙辛氏季子曰實沈后帝遷之大夏主參是也)由是以觀十二宫名皆依星象而取非漫設也堯典日中星鳥以其時春分昏刻朱鳥七宿正在南方午地也日永星火以其時夏至初昏大火宫正在午也(火即心宿)宵中星虛以其時秋分昏中者元枵宫也即虛危也日短星昴以其時冬至昏中者昴宿也即大梁宫也厯家以歳差考之堯甲辰至今已四千餘歳歳差之度已及二宫(以西率七十年差一度約之凡差六十餘度)然而天上二十八舍之星宿未嘗變動故其十二宫亦終古不變也若夫二十四節氣太陽躔度蓋依歳差之度而移則歳歳不同七十年即差一度(亦据今西術推之)安得以十二中氣即過宫乎試以近事徵之元世祖至元十七年辛巳冬至度在箕十度至今康熈五十八年己亥冬至在箕三度其差蓋已將七度而即以箕三度交星紀宫則是至元辛巳之冬至宿(箕十度)已改為星紀宫之七度再一二百年則今己亥之冬至宿(箕三度)為星紀宫之初度者又即為星紀宫之第三度而尾宿且浸入星紀矣積而乆之必將析木之宫(尾箕)盡變為星紀大火之宫(氐房心)盡變為析木而十二宫之星宿皆差一宫(凖上論之角亢必為大火翼軫必為壽星栁星張必為鶉㞑井鬼必為鶉火而觜參為鶉首胃昴畢為實沈奎婁為大梁而娵訾為降婁虛危為娵訾斗牛為元枵二十八宿皆差一宫)即十二宫之名與其宿一一相左又安用此名乎再積而乆之至數千年後東宫蒼龍七宿悉變元武(歳差至九十度時角亢氐房心尾箕必盡變為星紀元枵娵訾並倣此)南方朱鳥七宿反為蒼龍西宫白虎七宿反為朱鳥北宫元武七宿反為白虎國家頒厯授時以欽若昊天而使天上宿度宫名顛倒錯亂如此其可以不亟為釐定乎○又試以西術之十二宫言之夫西洋分黄道上星為十二象雖與羲和之舊不同然亦皆依星象而名非漫設者如彼以積尸氣為巨蠏第一星蓋因鬼宿四星而中央白氣有似蠏筐也所云天蝎者則以尾宿九星卷而曲其末二星相並如蠍尾之有岐也所云人馬者謂其所圖星象類人騎馬上之形也其餘如寳瓶如雙魚如白羊如金牛如陰陽如師子如雙女如天秤以彼之星圖觀之皆依稀彷彿有相似之象故因象立名今若因節氣而每歳移其宫度積而乆之宫名與星象相離俱非其舊而名實盡淆矣○又按西法言歳差謂是黄道東行未嘗不是如今日鬼宿已全入大暑日躔之東在中法歳差則是大暑日躔退回鬼宿之西也在西法則是鬼宿随黄道東行而行過大暑日躔之東其理原非有二尾宿之行入小雪日躔東亦然夫既鬼宿已行過大暑東而猶以大暑日交鶉火之次則不得復為巨蠏之星而變為師子矣尾宿已行過小雪後而猶以小雪日交析木之次則尾宿不得為天蝎而變為人馬宫星矣即詢之西来知厯之人有不啞然失笑者乎永按此篇所論甚正昔著管見與此正同未能詳晰若斯也竊謂此事乆逺後或有建議當改者與其使後人議改曷若早覺而改之之為愈乎問西法以太陽㑹恒星為歳謂之恒星年恒星既随黄道東行則其恒星年所分宫度亦必不能常與中氣同日厯書何以不用曰恒星年即其所頒齋日也其法以日躔斗四度為正月朔故曰以太陽會恒星為歳也其斗四度蓋即其所定磨羯宫之初度也(在今時冬至後十二日)自此日躔行滿三十度即為第二月交寶瓶宫(餘月並同皆以日躔行滿三十度交一宫即又為一月而不論節氣)然其十二月之日數各各不同者以黄道上有最髙卑差而日躔之行度有加減也(如磨羯宫日躔最卑宫行速故二十八日而行一宫即成一月若巨蠏宫日躔最髙行遲故三十一日而行一宫始成一月其餘宫度各以其或近最卑或近最髙遲速之行不同故日數皆不拘三十日並以日躔交宫為月不論節氣)是則其所用各月之第一日即太陽交宫之日原不與中氣同日而且歳歳㣲差至六七十年恒星東行一度即其各宫並東行一度而各月之初日在各中氣後若干日者又増一日矣(如今以冬至後十二日為歳首至歳差一度時必在冬至後十三日餘盡然)此即授時厯中氣後㡬日交宫之法乃歳差之理本自分曉而厯書中不甚發揮斯事者亦有故焉一則以月之為言本從太陰得名故必晦朔弦望而後謂之月今反以太陽所躔之宫度為月而置朔望不用是名為月而實非月大駭聼聞一也又其第一月既非夏正孟春亦非周正仲冬又不用冬至日起算非厯學履端于始之義事體難行二也又其所用齋日即彼國所頒行之正朔歐邏巴人私奉本國之正朔宜也中土之從其教者亦皆私奉歐邏之正朔謂國典何故遂隠而不宣三也(初造厯書事事關發以兾人之信從惟此齋日但每歳傳單伊教不筆于書)然厯書所引彼中之舊測每稱西月日者皆恒星年也其法並同齋日皆依恒星東行以日躔交磨羯宫為歳旦而非與冬至中氣同日也此尤為太陽過宫非中氣之一大證據矣永按此論考西法尤核昔見袁氏厯法新書多本回回法度用整度如歐邏巴而列宿積度起寳瓶宫虛六度疑袁氏攙入中法未必彼國亦以虛六度為子半今觀西厯以日躔斗四度為正月朔為齋日為磨羯宫初度則虛六度為寳瓶之正中西國實用之矣中西異而宫界同其由來不已乆乎或曰厯書所引舊例多在千餘年以前然則西月日之興所從來乆矣曰殆非也唐始有九執厯元始有回回厯歐邏巴又從回厯加精必在回厯之後彼見回回厯之太陰年太陽年能變古法以矜竒創故復變此西月日立恒星年以勝之若其所引舊測蓋皆以新法追改其月日耳永按回厯之太陽年以春分為歳首而列宿積度起寳瓶宫虛六度見于袁氏新書新書本于陳星川陳固傳回法者則斗四度為磨羯宫初度回回與歐邏巴同且與中厯同矣厯書引舊測近者在明萬厯時逺者在漢順帝時梅先生謂以新法追改其日月余考厯書引萬厯年間彼國之月日似以斗十四度為正月一日引漢順帝時則以斗四度為正月一日蓋後来或改憲而古法則無差至今日又復其舊矣(據康熈丁卯年傳單以中國十一月二十八日癸卯應西厯正月一日是日躔斗四度二十六分)使欲追改月日何不畫一言之且彼國既不如中國之正朔又不用回法之太陰年太陽年若非恒歳星之法将何以紀月日乎惟其言是日日躔鶉首宫㡬度大火宫㡬度之類乃是借中國次名言之且據戊辰改厯之恒星行追書之耳(漢順帝時西國月一日太陽多在宫之七八度是用戊辰之宿鈐)余又考磨羯宫初度若據斗初度數之當是三度而用四度為正月一日者西法日首用午正故加一度又考西厯算太陽雖有加減而各月初一日所躔之度則不依加減之算蓋太陽行疾一宫只二十八日有竒行遲三十一日有竒則月小者二十九日月大者三十二日而西法不然月小者三十日月大者三十一日是以秋分以後月一日之宿度距中氣漸加春分以後距中氣漸減是亦其國舊俗使然略如中國知有定朔而猶用平朔(隋唐以前)知有定氣而猶用恒氣也(大衍授時)使其能改月大小之法増減一日則月一日之宿皆其交宫之初度矣(梅先生前言日躔之行度有加減日數不拘三十日並以日躔交宫為月者考之猶未詳耳)再考梅先生辯太陽中氣過宫之非者難詳而不言黄道上自有十二宫于理未盡後作圖明之#歲周圖 一層虚中(即河圖之五十洛書之五干之戊巳) 二層河圖三層洛書 四層先天八卦 五層後天八卦 六層十二支 七層二十四位 八層四時九層八節 十層二十四氣 十一層七十二候十二層月建 十三層黄道十二宫 十四層黄道三百六十整度此圖備載歲周之理應乎圖書卦位干支而布黄道宫度於外周黄道之宫與月建成六合恒以中氣時刻入宫黄道之度皆虚度不係於列宿列宿度别載歲差圖又此順布節氣故黄道宫隨之黄道本右旋當逆布見太陽中氣交宫圖太陽黄道上右旋故此圖逆布十二月節氣中氣外一層為黄道十二宫所謂中氣交宫者交此宫也雖恒星亦遊歴其間不可借星次之名以名其宫列宿别有十二次歲差圖 圓外勻布三百六十整度分截二十八宿圓周第一層十二次名 次内一層堯冬至日在虚又次内一層殷冬至日在女 又次内一層周冬至日在牛○又次内一層周末冬至日在斗(自周至宋末一千六百餘年皆在斗)又次内一層元冬至日在箕(至今皆在箕)○最内一層將來冬至日在尾右圖自堯以來四千餘年之歳差星次有定而節氣所在無定二萬五千餘年而一周誠不可以星次之名繫之于每月之中氣中法謂之歳差西法則曰恒星行普天星宿皆循黄道東行約七十年有竒差一度(整度)然則黄道上節氣有定而星宿無定若作一活動之盤置二十四氣于外周為定盤而以十二次二十八宿度列于活盤之上中心穿紙軸可轉動則肖星宿行度矣(如堯時則以虛四五度當冬至今時則以箕二三度當冬至)星宿雖無定而距度多少與次舍分界則有定蓋列宿天有一定之東西南北動中之恒静者也附回回十二宫名白羊(即降婁)金牛(即大梁)陰陽(又曰雙兄即實沈)巨蠏(即鶉首)師子(即鶉火)雙女(即鶉尾)天秤(即壽星)天蝎(即大火)人馬(即析木)磨羯(即星紀)寳瓶(即元枵)雙魚(即娵訾)總説#合三圖觀之黄道自有十二宫列宿自有十二次若併為一則名不當物而本有之十二次遂隱入宫與躔次分註之乃各當其實所當考求酌定者十二次分界之處耳論整度日度大統以前中厯皆用日度自改用西法則以三百六十整度紀七政之行而列宿亦用整度此古今厯法不同一大節目梅先生極稱整度之善然則日度遂可廢與愚嘗思之天本無度因日之行而生度其不能以三百六十日周黄道必有竒零之日與分意其有不得不然者猶之徑一圍三只得六角之邉而圍三之外有畸零是亦不得不然者也然則歳日之度豈不猶人身之穴自然而成不可増損者與西法以其不便于算也一以整度齊之齊之誠善矣然遂以此為周天之本數疑其渉于假借竊謂此一事當合中西而用之一切布算之法用整度為便及其分隸之于二十八宿以紀七政之躔離則當用日度為宜譬之尺度古今有短長醫家量人孔穴必用同身寸度之始無誤整度者後世改長之寸也日度者其人同身寸也或疑以整度布算又以日度紀躔離似多一畨布算曰始則假借後則紀實固不可憚其煩别立整度當日度及當日度分二表一查即得亦不為煩或又疑經度用日度緯度用整度同此一大圓豈可分両種度曰經度紀躔離用以紀厯者也緯度測極髙測両道相距測七政離地平以為布算之凖不用之以紀厯故緯度可假借而經度不可假借也整度當日度表説歳周三百六十五日二四二一八七五如古法一日為一度度有萬分是周天三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十㣲半周一百八十二度六千二百一十○分九十三秒七十五㣲一象限九十一度三千一百○五分四十六秒八十七㣲五十纎一宫三十○度四千三百六十八分四十八秒九十五㣲八十三纎不盡以三百六十整度分之一整度當日度一度○一百四十五分六十一秒六十三㣲一十九纎四四不盡又一整度六十分一分當日度分一百六十九分○九秒三十六㣲○五纎三二四六六不盡依此立二表使宿度分歸之于日度分(度下小數止于分分下有畸零及半者收之不及者棄之)整度當日度表整度 日度 整度 日度一度 一度(○一四六) 二度 二度(○二九一)三度 三度(○四三七) 四度 四度(○五八二)五度 五度(○七二八) 六度 六度(○八七四)七度 七度(一○一九) 八度 八度(一一六五)九度 九度(一三一一) 一十度 一十度(一四五六一十)一度 (一十)一度(一六 一○二 十)二度 (一十)二度(一七四七一十)三度 (一十)三度(一八 一九三 十)四度 (一十)四度(二○三九一十)五度 (一十)五度(二一 一八四 十)六度 (一十)六度(二三三○一十)七度 (一十)七度(二四 一七五 十)八度 (一十)八度(二六二一一十)九度 (一十)九度(二七六七) 二十度 二十度(二九一二二十)一度 (二十)一度(三○ 二五八 十)二度 (二十)二度(三二○四二十)五度 (二十)五度(三六 二四○ 十)六度 (二十)六度(三七八六二十)七度 (二十)七度(三九 二三二 十)八度 (二十)八度(四○七七二十)九度 (二十)九度(四二二三) 三十度 三十度(四三六八)整度 日度 整度 日度井宿有三十度畸故表止列三十度度下有零分查後表整度分當日度分表整度分 日度分 整度分 日度分一分 ○千(一六九) 二分 ○千(三三八)三分 ○千(五○七) 四分 ○千(六七六)五分 ○千(八四五) 六分 一千(○一五)七分 一千(一八四) 八分 一千(三五三)九分 一千(五二二) 一十分 一千(六九一一十)一分 一千(八六 一○ 十)二分 二千(○二九一十)三分 二千(一九 一八 十)四分 二千(三六七一十)五分 二千(五三 一六 十)六分 二千(七○五一十)七分 二千(八七 一四 十)八分 三千(○四三一十)九分 三千(二二)一 二十分 三千(三八二二十)一分 三千(五五 二一 十)二分 三千(七二○二十)三分 三千(八八 二九 十)四分 四千(○五八二十)五分 四千(二二 二七 十)六分 四千(三六九二十)七分 四千(五六 二五 十)八分 四千(七三四二十)九分 四千(九○三) 三十分 五千(○七三三十)一分 五千(二四 三二 十)二分 五千(四一一三十)三分 五千(五八 三○ 十)四分 五千(七四九三十)五分 五千(九一 三八 十)六分 六千(○八七三十)七分 六千(二五 三六 十)八分 六千(四二五三十)九分 六千(五九四) 四十分 六千(七四六四十)一分 六千(九三 四三 十)二分 七千(一○二四十)三分 七千(二七 四一 十)四分 七千(四四○四十)五分 七千(六○ 四九 十)六分 七千(七七八四十)七分 七千(九四 四七 十)八分 八千(一一六四十)九分 八千(二五八) 五十分 八千(四五五五十)一分 八千(六二 五四 十)二分 八千(七九三五十)三分 八千(九六 五二 十)四分 九千(一三一五十)五分 九千(三一 五○ 十)六分 九千(四六九五十)七分 九千(六三 五八 十)八分 九千(八○七五十)九分 九千(九七六) 六十分 一度○(一四六)整度分 日度分 整度分 日度分用表法先取宿若干度當日度若干度分次以宿度零分查日度若干分併之命為日度分表有兩用二十八宿黄道度悉歸諸日度一用也算得七政及羅㬋計都月孛躔某宿㡬度㡬分皆以日度歸之二用也二十八宿整度變日度表整 度 分 日 度 分斗 二十三度(四十七分) 二十四度(一二九六)牛 七○度(四十六分) 七○度(八七九七)女 一十一度(三十八分) 一十一度(八○二七)虛 九○度(五十九分) 一十○度(一二八七)危 二十○度(○七分) 二十○度(四○九六)室 一十五度(四十一分) 一十五度(九一一七)壁 一十三度(○六分) 一十三度(二九○八)奎 一十一度(三十九分) 一十一度(八一九六)婁 一十三度 一十三度(一八九三)胃 一十二度(一十五分) 一十二度(四二八三)昴 九○度(一十五分) 九○度(三八四七)畢 一十三度(五十八分) 一十四度(一七○○)參 一○度(二十一分) 一○度(三六九七)觜 一十一度(三十三分) 一十一度(七一八二)井 三十○度(二十五分) 三十○度(八五九五)鬼 四○度(三十二分) 四○度(五九九三)栁 一十七度(○四分) 一十七度(三一五一)星 八○度(二十三分) 八○度(五○五四)張 一十八度(○四分) 一十八度(三二九七)翼 一十七度 一十七度(二四七五)軫 一十三度(○三分) 一十三度(二四○○)角 一十○度(三十七分) 一十○度(七七一二)亢 一十○度(三十八分) 一十○度(七八八一)氐 一十七度(五十○分) 一十八度(○九三○)房 四○度(五十○分) 四○度(九○三七)心 七○度(三十三分) 七○度(六五九九)尾 一十五度(五十六分) 一十六度(一六五三)箕 九○度 九○度(一三一一)整 度 分 日 度 分右黄道二十八宿度分以厯象考成康熈甲子年黄道經度鈐定(前後有異同詳見考異)因整度分變為日度分(與授時大統異者詳見考異)擬分列宿天十二次界限列宿之天分十二次其界當有定度自西法行恒以太陽交中氣為宫界則度隨歳差推移而十二次之本界遂隱勿菴先生嘗極論之愚考中法與囘厯皆以虛六度為子半意者虛宿有十度(九度五十九分僅少一分)六度正當虛危之間(有初度則六度是五度從一度即是六度)是為四維之正北元枵之最中乎又考西厯毎歳以日躔斗四度為齋日(從一度起是四度有初度則是三度)盖以磨羯(丑宫即星紀)之首為恒星年正月一日也斗四度為磨羯之初則虛六度不為寳瓶(子宫即元枵)之中乎中西不約而符意其由来已乆今擬虛六度之初(六度者第六度也)置于子半如羅金之定盤針因以求各宫之界謹按厯象考成康熈甲子年之黄道經度鈐虚宿入一宫十九度一分加五度為子半當一宫二十四度一分減十五度為丑初當一宫九度一分皆以此年交宫後九度一分為各宫之界推得十二次之交界宿度又以整度分變為日度分列表如左整度分 日度分星紀(丑) 斗三度一十一分入 斗三度(二三)元枵(子) 女一度三十八分入 女一度(六六)娵訾(亥) 危十度 一 分入 危十度(一六)降婁(戌) 壁四度一十三分入 壁四度(二八)大梁(酉) 婁九度二十八分入 婁九度(六○)實沈(申) 畢四度五十八分入 畢五度(○四)鶉首(未) 井八度 六 分入 井八度(二二)鶉火(午) 栁三度 九 分入 栁三度(二○)鶉尾(巳) 張七度四十二分入 張七度(八二)壽星(辰) 軫二度三十八分入 軫二度(六七)大火(卯) 亢八度五十八分入 亢九度(一○)析木(寅) 心五度四十○分入 心五度(七五)右所定十二次之界未知果符天否存其梗概竢後来考定又中厯宫界與此不能盡合宿度多寡不同一也此以黄道度分宫而中厯以赤道度勻分黄道度各宫多寡不均二也附勿菴先生説(荅滄州劉介錫茂才)以星推命不知始于何時然吕才之闢祿命只及干支及韓潮州始有我生之時月宿南斗之説由是徵之亦在九執以後耳毎見推五星者率用溪口厯則于七政躔度疎逺若依新法則宫度之遷改不常二者已如柄鑿之不相入又安望其術之能驗乎夫欲求至當則宜有變通然其故多端實難輕議或始以古法分宫而取今算之七政布之則既不違其本術亦不謬乎懸象雖未知驗否何如而于理庶㡬可通矣按此説似有理然以古法分宫尚有㣲細之處先生亦只言其大略耳(界則有度度則有分授時大統之宫界既不可用于今而西國所定毎月初一日之宿度又似非一宫三十度者)宿度考異(黄道度)虛九度五十九分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同厯象考成康熈甲子宿鈐同)危二十度○七分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)室一十五度四十一分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)壁一十三度一十六分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十三度六分○減十分)奎一十一度二十九分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十一度三十九分○加十分○蓋減壁以益奎)婁一十三度(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戉辰同康熈甲子宿鈐同)胃一十三度○一分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十二度一十五分○減四十六分)昴八度二十九分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐九度一十五分○加四十六分○盖減胃以益昴)畢一十三度五十八分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)參一度二十一分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)觜一十一度三十三分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)井三十度二十四分(崇禎戊辰測○康熈壬子三十度二十五分註云新測三十度二十四分○康熈戊辰三十度二十四分○康熈甲子宿鈐三十度二十五分)鬼四度三十七分(崇禎戊辰測○康熈壬子五度三十分註云新測四度三十七分○康熈戊辰四度三十七分○康熈甲子宿鈐四度三十二分)柳一十七度(崇禎戊辰測○康熈壬子十六度○六分註云新測十七度○康熈戊辰十七度○康熈甲子宿鈐一十七度○四分○盖井加一分鬼減五分栁加四分互有損益)星八度二十三分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)張一十八度○四分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)翼一十七度(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)軫一十三度○三分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)角一十度三十五分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十度三十七分○加二分)亢一十度四十分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十度三十八分○减二分○盖損角益亢)氐一十七度五十四分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十七度五十分○減四分)房四度四十六分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐四度五十分○加四分○盖損氐益房)心七度三十三分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐同)尾一十五度三十六分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十五度五十六分○加二十分)箕九度二十分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐九度 減二十分○盖益尾損箕)斗二十三度五十一分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐二十三度四十七分○減四分)牛七度四十一分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰四十分康熈甲子宿鈐七度四十六分○加五分)女一十一度三十九分(崇禎戊辰測○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿鈐一十一度三十八分○減一分○盖斗牛女三宿互有損益)右黄道宿度據崇禎厯書戊辰宿鈐算其度分靈臺儀象志康熈壬子宿鈐多同又康熈戊辰亦同而厯象考成以康熈甲子為元其宿度分小有損益意者後有密測較精于前與康熈戊辰在甲子後宿度多同前者盖據舊測逐年如其歳差之秒而宿度不改厯象考成成于康熈之季年刻于雍正三年盖以後測追溯甲子厯元宿鈐當如此是以與戊辰稍異也損益之少者數分其多者胃昴四十六分尾箕二十分愚疑尾箕二宿最近地平有䝉氣差意者前測未精差二十分或由此若胃昴距地髙當無蒙氣差而改測差四十六分豈胃宿改距星與(差一分者盖因歳差秒數有棄有收)再考觜參二宿乾隆十七年十一月大臣議改仍依古法觜前參後參宿中三星昔以西一星為距今改東一星為距則觜前參後矣但二宿之度未有考○考授時厯黄道宿度與今黄道宿度同異(今宿度以整度變日度)箕(授時九度五九今九度一三) 斗(授時二十三度四七今二十四度一三)牛(授時六度九○今七度八八) 女(授時一十一度一二今一十一度八○)虛(授時九度○○太○今一十五度九一) 危(授時一十五度九四今二十度四一○)室(授時一十八度三三今一十五度九一) 壁(授時九度三四○今一十三度二九)奎(授時一十七度八七今一十一度八二) 婁(授時一十二度三六今一十三度一九)胃(授時一十五度八一今一十二度四三) 昴(授時一十一度○八今九度三八○)畢(授時一十六度五○今一十四度一七) 觜(授時觜在参前○度○五○今觜在参後一十一度七二)參(授時参在觜後九度二八今参在觜前一度三七)井(授時三十一度○三今三十度八六)鬼(授時二度一一今四度六○) 栁(授時一十三度○今一十七度三二)星(授時六度三一○今八度五○五四) 張(授時一十七度七九今一十八度三三)翼(授時二十度○九今一十七度二三) 軫(授時一十八度七五今一十三度二四)角(授時一十二度八七今一十度七七○) 亢(授時九度五六○今一十度七九)氐(授時一十六度四○今一十八度○九) 房(授時五度四八今四度九○)心(授時六度○七今七度六六) 尾(授時一十七度九五今一十六度一七)黄道宿度多寡古厯多不同授時以簡儀密測宿度餘分可考然以較之今時黄道宿度無一宿同者其故實多端據西士之説恒星循黄道東行赤道經緯度歳歳不同而黄道之宿則有定距本當以黄道度為主用弧三角法算毎歳赤道之經緯而郭氏法以赤道度為主由赤道度變黄道度其不同者一也黄赤本可相求而郭氏以弧矢割員之術求黄赤道之差與弧三角算不能宻合其不同者二也古今所用列宿距星不能畫一其不同者三也觜參二宿易其前後其不同者四也宿近地平常有蒙氣掩映之差須考求其真度前人未見及此其不同者五也有此五端宜其無一宿同當據今所測算者為正其觜參二宿則今仍改為觜前參後也數學卷七
## 8
欽定四庫全書數學卷八婺源江永撰算賸(勿菴先生論算極詳觀玩之餘有得輒筆之此為賸義云爾)正弧三角㑹通弧三角以正者為宗舉要第二卷論正弧其法散出有見於求餘角法者有見於第四卷次形法者又有現於塹堵測量環中黍尺二書者今為薈萃總計求角求邊凡若干正法别法附之臚列分明學者庶易㑹焉甲為正角乙酉春分角丙為交角乙甲猶赤道乙丙猶黄道丙甲猶距緯正弧隨處有之不止黄赤道而以黄赤為喻諸法皆以甲乙丙為鈐記求丙甲邊法半徑與乙角正弦若乙丙正弦與丙甲正弦(中二率相乘為實首#率為法除實得四率)半徑與乙角正切若乙甲正弦與丙甲正切丙角正切與半徑若乙甲正切與丙甲正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘切若乙甲正切與丙甲正弦半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丙甲正切又法丙角餘弦與半徑若乙丙餘切與丙甲餘切乙甲餘弦與半徑若乙丙餘弦與丙甲餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲正割若乙丙餘弦與丙甲餘弦又法半徑與乙甲餘弦若乙丙正割與丙甲正割又法乙丙餘弦與半徑若乙甲餘弦與丙甲正割又法乙丙正割與半徑若乙甲正割與丙甲餘弦丙角正弦與半徑若乙角餘弦與丙甲餘弦半徑與丙角餘割若乙角餘弦與丙甲餘弦又法不用四率但以加減法取初數即得丙甲正弦法為乙角度與乙丙邊度相併為總弧相減為存弧各取餘弦如法相加減(總弧過象限則兩餘弦相加不過象限則相減)折半為初數即為丙甲正弦求乙丙邊法乙角正弦與半徑若丙甲正弦與乙丙正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘割若丙甲正弦與乙丙正弦乙角餘弦與半徑若乙甲正切與乙丙正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角正割若乙甲正切與乙丙正切丙角正弦與半徑若乙甲正弦與乙丙正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與兩角餘割若乙甲正弦與乙丙正弦丙角餘弦與半徑若丙甲正切與乙丙正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角正割若丙甲正切與乙丙正切半徑與丙甲餘弦若乙甲餘弦與乙丙餘弦又法乙甲餘弦與半徑若丙甲正割與乙丙正割又法丙甲正割與半徑若乙甲餘弦與乙丙餘弦又法半徑與乙甲正割若丙甲正割與乙丙正割又法乙甲正割與半徑若丙甲餘弦與乙丙餘弦又法丙甲餘弦與半徑若乙甲正割與乙丙正割乙角正切與半徑若丙角餘切與乙丙餘弦半徑與乙角餘切若丙角餘切與乙丙餘弦求乙甲邊法乙角正切與半徑若丙甲正切與乙甲正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘切若丙甲正切與乙甲正弦又法乙角正弦與乙角餘弦若丙甲正切與乙甲正弦半徑與乙角餘弦若乙丙正切與乙甲正切又法乙角正割與半徑若乙丙正切與乙甲正切半徑與丙角正弦若乙丙正弦與乙甲正弦半徑與丙角正切若丙甲正弦與乙甲正切甲丙餘弦與半徑若乙丙餘弦與乙甲餘弦又法乙丙正割與半徑若丙甲正割與乙甲餘弦又法半徑與丙甲正割若乙丙餘弦與乙甲餘弦又法乙丙餘弦與半徑若丙甲餘弦與乙甲正割又法半徑與乙丙正割若丙甲餘弦與乙甲正割又法丙甲正割與半徑若乙丙正割與乙甲正割乙角正弦與半徑若丙角餘弦與乙甲餘弦半徑與乙角餘割若丙角餘弦與乙甲餘弦求乙角法乙丙正弦與半徑若丙甲正弦與乙角正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若丙甲正弦與乙角正弦又法丙甲正弦與半徑若乙丙正弦與乙角正割又法半徑與丙甲餘割若乙丙正弦與乙角正割又法乙丙正弦與丙甲正弦若乙角正割與乙角正切乙甲正弦與半徑若丙甲正切與乙角正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲餘割若丙甲正切與乙角正切又法丙甲正切與半徑若乙甲正弦與乙角餘切乙丙正切與半徑若乙甲正切與乙角餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若乙甲正切與乙角餘弦又法乙甲正切與半徑若乙丙正切與乙角正割又法半徑與乙甲餘切若乙丙正切與乙角正割半徑與丙甲餘弦若丙角正弦與乙角餘弦(永補)乙甲餘弦與半徑若丙角餘弦與乙角正弦(永補)半徑與乙甲正割若丙角餘弦與乙角正弦(永補)乙丙餘弦與半徑若丙角餘切與乙角正切(永補)半徑與乙丙正割若丙角餘切與乙角正切求丙角法乙丙正弦與半徑若乙甲正弦與丙角正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若乙甲正弦與丙角正弦又法半徑與乙丙正割若乙角餘切與丙角正切又法乙甲正弦與半徑若乙丙正弦與丙角餘割(永補)丙甲正弦與半徑若乙甲正切與丙角正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲餘割若乙甲正切與丙角正切又法乙甲正切與半徑若丙甲正弦與丙角餘切(永補)乙丙正切與半徑若丙甲正切與丙角餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若丙甲正切與丙角餘弦又法丙甲正切與半徑若乙丙正切與丙角正割(永補)丙甲餘弦與半徑若乙角餘弦與丙角正弦(永補)半徑與丙甲正割若乙角餘弦與丙角正弦#半徑與乙角正弦若乙甲餘弦與丙角餘弦(永補)半徑與乙角正切若乙丙餘弦與丙角餘切(永補)已上求邊求角諸法具足有未備者永為補之一種有數法擇用一焉可也(永所補者亦因他法隅反非臆測也用之可勿疑)垂弧法趨㨗舉要第三卷論垂弧但言可求某邊某角不詳其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以㨗為貴有可省者徑省之諸形中各求㨗法以趨簡易形内垂弧第一支(甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙甲丙二邊求對邊及餘兩角)作垂弧乙丁丁為正角○按兩邊夾一角求對角之邊有環中黍尺專書備論可不作垂弧欲以垂弧算之第四卷有㨗法但求丁丙邊(半徑與丙角餘弦若)(乙丙正切與丁丙正切)分甲丁邊(丙丁之餘為甲丁)即用兩分之兩邊以徑得乙甲(丁丙餘弦與乙丙餘弦若丁甲餘弦與乙甲餘弦)甚㨗也得乙甲則二角(乙甲)可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以兩乙角并之成乙角較為煩曲形内垂弧第二支(甲乙丙形有丙鋭角有角旁相連之乙丙邊及與各相對之乙甲邊求餘兩角一邊)此當先求甲角(乙甲正弦與丙角正弦若乙丙正弦與甲角正弦)次求丁丙(半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丁丙正切)甲丁(半徑與甲角餘弦若乙甲正切與甲丁正切)分邊併得甲丙則乙角可得不必求垂弧與分角形内垂弧第三支(甲乙丙形有乙丙二角有乙丙邊求甲角及餘邊)邊在兩角之間斜弧三角之難求者也若以垂弧法求之當求乙丁邊(半徑與丙角正弦若乙丙正弦與乙丁正弦)丁乙丙分角(乙丙餘弦與半徑若丙角餘切與乙角正切)原設乙角内減丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角(半徑與乙分角正弦若乙丁餘弦與甲角餘弦)乙甲邊(甲角正弦與半徑若乙丁正弦與乙甲正弦)甲丙邊(甲角正弦與乙丙正弦若原設乙角正弦與甲丙正弦)此不得不求垂弧與分角者也按次形法三角求邊以角易為邊邊易為角此形雖止兩角亦可弧角相易以次形求之葢在本形為兩角夾一邊次形即為兩邊夾一角在本形為求對邊之角在次形即為求對角之邊徑用環中黍尺加減㨗法以求之一求而甲角可得矣此理隱於次形篇中永於三角求邊悟得之形内垂弧第四支(甲乙丙形有丙甲二角有乙甲邊求乙角及餘二邊)此當先求乙丙邊(丙角正弦與甲角正弦若乙甲正弦與乙丙正弦)次求丙丁(半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丙丁正切)丁甲(半徑與甲角餘弦若乙甲正切與丁甲正切)分邊併得丙甲而乙角可得形内垂弧第五支(係二邊相同求三角此形易求畧之)形外垂弧第一支(甲乙丙形有丙鋭角有夾角之兩邊求乙甲邊及餘兩角)自乙角作垂弧於形外補成正角(丁角)本法須求丙乙丁角(乙丙餘弦與半徑若丙角餘切與乙角正切)乙丁邊(半徑與乙丙正弦若丙角正弦與乙丁正弦)丁丙邊(半徑與乙丙正弦若乙角正弦與丁丙正弦)乃可求乙甲邊(丁丙内減丙甲得甲丁半徑與甲丁餘弦若乙丁餘弦與乙甲餘弦)甲角(乙甲正弦與半徑若乙丁正弦與甲角正弦)及甲乙丁虚角(乙甲正弦與半徑若甲丁正弦與虚)(乙角正弦○末以甲角減半周得原設甲角以甲乙丁虚角減丙乙丁角得原設丙乙甲角)若用環中黍尺加減㨗法則不用作垂弧一求可得乙甲邊而甲乙兩角皆可求矣形外垂弧第二支(甲乙丙形有甲鈍角有角旁之二邊求乙丙邊及餘二角)本法亦作垂弧於形外補成正角先求虚邊虚角而後可求形内之邊角今按此亦可用環中黍尺法角求對邊(鈍角用大矢)徑得乙丙因以求二角則不必作垂弧形外垂弧第三支(甲乙丙形有丙鋭角有角旁之乙丙邊有對角之乙甲邊求丙甲邊及餘二角)本法先求虚邊虚角今按此可求甲角(乙甲正弦與乙丙正弦若丙角正弦與甲角正弦)乃求丁丙邊(半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丁丙正切)與甲丁邊(半徑與甲外角餘弦若乙甲正切與甲丁正切)於丁丙内減甲丁得丙甲而乙角可求形外垂弧第四支(乙甲丙形有甲鈍角有角旁之甲丙邊及對角之乙丙邊求乙甲邊及餘二角)本法亦先算虚形今按此亦可倣第三支先求乙角次求乙戊邊與甲戊邊於乙戊内減甲戊得乙甲因以求丙角形外垂弧第五支(乙甲丙形有丙甲二角一鋭一鈍有丙甲邊在兩角之中求一角)本法作垂弧先算虚邊虚角今按兩角夾一邊求對邊之角猶之兩邊夾一角求對角之邊徑易角為邊易邊為角用加減㨗法可得對丙甲邊之乙角形外垂弧第六支(乙甲丙形有乙甲二角乙鋭甲鈍有丙甲邊與乙鋭角相對鈍角相連)此當先求乙丙邊(有本形弧角比例)次求乙戊虚邊(半徑與乙角餘弦若乙丙正切與乙戊正切)次求甲戊虚邊(半徑與甲外角餘弦若丙甲正切與甲戊正切)於乙戊内減甲戊得乙甲(因以求丙角)形外垂弧第七支(乙甲丙形有乙鋭角甲鈍角有丙乙邊與甲鈍角相對鋭角相連)此當先求丙甲邊餘如六支之法垂弧又法第一支(乙甲丙形有乙丙邊在兩角之間而兩角並鈍求餘二邊及甲角)法引丙甲至己引乙甲至戊各滿半周作戊己邊與乙丙等而己與戊並乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧於次形之内(如己丁)分為兩形本法求乙甲邊以己丁戊分形求到丁戊(半徑與戊角餘弦若己戊正切與丁戊正切)以己丁甲形求到甲丁(先於己丁戊形求得己角以減原有之巳角餘為丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法為半徑與己分角正切若己丁正弦與甲丁正切)合之成甲戊以減半周得乙甲求丙甲邊以己丁甲分形求到己甲(丁己甲角餘弦與半徑若己丁正切與己甲正切)以減半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角(己甲正弦與半徑若己丁正弦與甲角正弦)按此殊多曲折徑易角為邊易邊為角(或用本形之乙丙兩鈍角易為邊以乙丙邊為角取矢或用次形之己戊兩鋭角易為邊取己戊矢皆可)用加減㨗法求之即可得甲角(因以求二邊)垂弧又法第二支(乙甲丙形有丙甲二角有乙甲邊與丙角相對而兩角俱鈍求乙角及餘邊)如法引甲乙丙乙俱滿半周㑹於己成丙甲己次形作己丁垂弧於次形内分次形為兩本法求乙角惟求分形兩己角合之為次形己角與乙對角等又求分形甲丁丁丙并之為甲丙以求到次形己丙減半周為乙丙今按此形當先求乙丙邊(丙角正弦與乙甲正弦若甲角正弦與乙丙正弦)減半周餘為己丙虚邊次求甲丁(乙甲減半周得甲己半徑與甲外角餘弦若甲己正切與甲丁正切)丁丙(半徑與丙外角餘弦若己丙正切與丁丙正切)并得甲丙因以求乙角(有弧角比例)稍為直㨗若欲先知乙角如本法可矣(乙甲餘弧與半徑若甲外角餘切與甲己丁分角正切又半徑與甲己正弦若甲外角正弦與丁己正弦又丁己餘弦與半徑若丙外角餘弦與丁己丙角正弦合兩分形己角為次形己角即為本形乙角)垂弧又法第三支(乙甲丙形有乙丙乙甲兩邊有乙角在兩邊之中)本法用甲乙戊次形算之今按此亦可用加減㨗法徑得丙甲垂弧又法第四支(乙甲丙形有丙角有甲丙邊與角連有乙甲邊與角對)法用甲己戊次形(甲己為甲乙減半周之餘甲戊為甲丙減半周之餘戊角為丙之外角)作垂弧於内求乙丙邊及餘兩角按此形當先求乙角(乙甲正弦與丙角正弦若甲丙正弦與乙角正弦)因知己虚角(己為乙之外角)次求丁己(半徑與己角餘弦若甲己正切與丁己正切)戊丁(半徑與戊角正切若甲戊正弦與戊丁正切)併得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即於丁戊甲分形求之(半徑與戊角正切若甲戊餘弦與甲角餘切)因以求乙丙邊(丙角正弦與乙甲正弦若甲角正弦與乙丙正弦)垂弧又法第五支(乙甲丙形有三邊内有乙甲丙甲二邊相同而皆為過弧求三角)本法用次形作垂弧求之今按此亦可用加減㨗法用甲角角旁兩弧同度則加減有變例檢環中黍尺五卷補遺用垂弧又法第六支(乙甲丙形有丙甲二鈍角有甲丙邊在兩角間)本法引乙丙乙甲滿半周㑹于戊成甲戊丙次形作垂弧於次形外以求之今按此亦可易角為邊易邊為角依加減㨗法求之徑得乙角(因以求二邊)垂弧又法第七支(乙甲丙形有乙甲二鈍角有甲丙邊與角對)法引設邊成丙戊甲次形(戊為乙對角與乙角等)作垂弧於次形外此或先求乙丙(乙角正弦與甲丙正弦若甲角正弦與乙丙正弦)減半周得丙戊或先求丙戊(戊角正弦與丙甲正弦若甲外角正弦與丙戊正弦)減半周得乙丙次求丁甲(甲外角餘弦與半徑若甲丙正切與甲丁正切)丁戊(戊外角正割與半徑若丙戊正切與丁戊正切)以丁戊減丁甲餘為戊甲以戊甲減半周餘為乙甲因以求丙角(若欲先知丙角先求甲丁對邊即可求得丙角)垂弧又法第八支(乙甲丙形有丙鈍角有角旁之兩邊丙乙丙甲)本法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹于丁可求乙甲邊及甲乙二角今按此亦可用加減㨗法徑求乙甲對邊以求二角垂弧又法第九支(乙甲丙形有甲鈍角有乙丙邊與角對丙甲邊與角連)法用丙戊甲次形自丙角作垂弧與甲戊引長邊㑹于丁此當先求乙角(本形有甲丙對邊比例)即戊角(對角等)次求丁甲與丁戊(與第七支求法同)於丁甲内減丁戊為甲戊即得乙甲(法同七支)因以求丙角次形斜弧三角求邊必弧角互易用次形求之圖與算例皆詳明矣然易角為邊有用本角度有用外角度恐易混淆今為釐定開例如左庶用之無誤凡三角俱鋭者在圓周之兩角用本角度其交角用外角度(凡三邊必有一邊就圓周凡三角必有兩角在圓周餘一角為交角)凡三角俱鈍者皆用外角度凡兩鈍一鋭鈍在圓周鋭在交角者亦猶三角俱鈍皆用外角度凡兩鈍一鋭鋭在圓周者用本角度其兩鈍一在圓周者用外角度一在交角者用本角度凡兩鋭一鈍鋭在圓周者用本角度鈍在交角者用外角度凡兩鋭一鈍鋭在圓周者用本角度在交角者用外角度鈍在圓周者亦用外角度#方圓冪積比例補勿菴先生有方圓冪積一卷凡方圓周徑面體比例詳矣愚思之尚有方分圓分比例一法從來算家只言冪積不言圓分而范蜀公論律云古者以竹為律竹形本圓今以方分置算此律非是算法圓分謂之徑圍方分謂之方斜今圓分而以方法算之此算數非是圓分始見於此圓體用圓分置算亦有至理平圓有平圓分立圓有立圓分得其方分圓分之比例則有大小不等之渾圓欲得倍數之差但借立方算之其得數甚真亦甚㨗故為補此一法先論圓方算家命平方如棋局之罫者謂之冪合計之謂之積夫有平冪亦當有平員之分合衆小員之分亦可謂平員之積由是而為立員亦可謂立員分立員積矣夫所謂員分者非若句股容員虚其四隅也非若方體圓體中容得幾個圓球球間尚有空隙也大小相容全無隙罅但有圓之數而無圓之形是所謂員分員積也(如以分作九復碎丸成粉入大圓中謂此大員能容幾個粉丸)平方平員方徑一十 冪積一百員徑一十 冪積七十八又五三九八一六員積一百方員有相應之理方員同徑員者刓其四角故冪積七十八有竒若員中復容員必與同徑之方等積大員與小員猶之大方與小方也此為渾員立方比例之根立方立員立方徑一十 立方面冪六百立員徑一十 立員面冪三百一十四又一五九二六五立員面員分六百立員即渾員渾圓面冪與員徑上平冪若四與一故四倍平員面冪(七八五三九八一六)而得三一四一五九二六五立方有六面則有六百與渾員面冪若六與三一四一五九二六五而渾員面上之員分則又與立方面冪等立方徑一十 立方積一千立員徑一十 立員積五百二十三又五九八七七五立員員分積一千立方立員同徑又刓去立方之八角則其積之比例若六與三一四一五九二六五故立方積一立員積五二三五九八七七五猶之立方面冪六而立員面冪三一四一五九二六五也積與冪既同比例矣則立員員分積亦必與立方積等猶之立員面員分與立方面冪等也然則平冪面冪體積方與方員與員其數皆等借立方可算立員而大小員球之差數睹矣借立方算立員立方徑自乘又以徑乘之得積○立員亦徑自乘又以徑乘之得立員員分積求大小員差幾倍數大小員各算得積以積相較得差數若干倍假如今有大員徑三十六小員徑六徑之差六倍實體差若干倍答曰大員比小員差二百一十六倍法以大員徑自乘再乘得積四萬六千六百五十六小員徑自乘再乘得積二百一十六其差亦二百一十六倍(小員徑自乘即大員徑故差數與積數等二百一十六自乘亦即四萬六千六百五十六)又法以兩徑差倍數自乘又以倍數乘之所得亦同今有大員徑一十五萬小員徑八千徑之差十九倍弱實體差若干倍答曰大員比小員差六千五百九十倍竒法以十五萬自乘再乘大數三三七五以八千自乘再乘小數五一二大數為實小數為法除實得六千五百九十餘實三三七四○八幾盡故差六千五百九十倍竒(大小數相差甚逺借十九倍數自乘再乘得六千有竒故知首位是六千不用十九倍數算者不正得十九倍也)此日月實體約畧差數也利西泰云日大於月六千五百三十八倍竒亦相近今有大員徑十五萬小員徑二萬八千二百七十四徑之差五倍有竒實體差若干倍答曰大員比小員差一百四十九倍竒法以小員自乘再乘得二二六○二七七五為小數大員大數如前以大數為實小數為法除實得一百四十九幾盡故差一百四十九倍有竒此日與地實體約畧差數也利西泰云日大于地球一百六十五倍竒盖利算日徑不啻十五萬里今有大員徑二萬八千二百七十四小員徑八千徑之差三倍半有竒實體差若干倍答曰大員比小員差四十四倍竒法以大員積二二六○二七七五為實小員積五一二為法除之得四十四除實二二五二八不盡故差四十四倍竒此地與月實體約畧差數也利西泰云地大于月三十八倍竒盖利算月徑不啻八千里右法算渾圓大小相較之差徑㨗如此是亦少廣之一法不可缺也西人言日大于地五倍有竒又云一百六十五倍有竒兩數甚相懸今為補此一法則日大于地實體與圓徑迥殊不足詫異矣授時弧矢割員論勿菴先生員容方直簡法附授時厯弧矢割員圖又附求黄赤内外度及黄赤道差法論之云割員之算始于魏劉徽至劉宋祖冲之父子尤精其術唐宋以算學設科古書猶未盡亡邢臺盖有所本又云郭法用員容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八綫故先得弦又西專用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用弦種種各别而不害其同有所以同者在耳且夫數者所以合理也厯者所以順天也法有可采何論中西理所當明何分新舊在善學者知其所以異又知其所以同去中西之見以平心觀理則弧三角之詳明郭圖之簡括皆足以資探索而啟深思務集衆長以觀其㑹通母拘名相而取其精粹永按員者徑一圍三古人之恒言算家之麤率精於算者覺其未密因有割員之術劉祖二家各有其率盖欲細求周徑之數以究平員之理未甞剖之為度析之為分一一紀其縱横之線以為測天之用也而算家相承仍用粗疎之率立弧矢之法或欲以曲承直則用三乘方法求矢或欲以直求曲則因矢以求半背弦差夫弧背為曲線矢弦為直線亘古無相通之率不相通而强求之其所求得之數必非真數也甞讀唐荆川先生弧矢論攷其求背弦差之法所得者猶是徑一圍三六邊之周耳(古法求背弦差以矢自乘為實以徑為法除實得半背弦差倍之得全背弦差假令半徑五自乘二十五徑十除之得二五倍之得五加於徑則半周十五又如徑十而矢一者通弦六餘通弦八餘矢二以矢一自乘以徑除之得小數一倍之得二為背弦差又以餘矢二自乘以徑除之得小數四倍之得八為背弦差合兩通弦十四加兩差一半周亦得十五皆徑一圍三之半周)又攷邢氏律厯考衍三乘方求矢法迂曲煩難究其所得仍是圍三徑一耳此繇八線表未傳不得不如此立算其得數之非真雖前人亦未甞覺也郭太史之求黄赤内外度也先用帶從三乘方求各度矢則得矢不真矣其既得黄赤内外半弧弦也又以矢度求半背弦差加入半弧弦得内外半弧背則弧度亦非真其求黄赤差法以黄道矢求半背弦差減黄道度得黄道半弧弦則得弦不真矣其既得赤道半弧弦也又求半背弦差以加半弧弦得赤道則赤道度亦非真夫表端者景正源潔者流清徑一圍三其本先失而欲數之不謬也得乎八線之法至矣剖析大員細至分秒無非真數以此測天絲毫莫能遁勿菴先生與郭法相提而論謂種種各别不害其同有所以同者在愚謂郭圖之弦矢猶八線之弦矢也其句股皆八線所有之句股也究之郭法西法終莫能同有所以不同者在耳先生謂當去中西之見平心以觀理夫理有真亦有似使其似是而未真則與真者相提而論雖欲比而同之不可得矣先生於郭法各添註求黄道矢與弦則註云本法如此原法如此(見前)求内外半弧背及赤道則註云原法如此(見前)今省夫存其本法而不論其法之是與非豈不欲苛求古人與原法所有而今省豈微覺其法之未善與愚豈敢苛論古人哉亦謂理數精微不能兩是寧割愛於古人耳授時平立定三差辯勿菴先生云授時厯於日躔盈縮月離遲疾並云以算術垜積(一作叠)招差立算而今所傳九章諸書無此術也豈古有而今逸耶載攷厯草並以盈縮日數離為六段並以段目除其段之積度得數乃相減為一差一差又相減為二差則其數齊同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈縮初日最大之差也於是以平差立差減之則為每日之定差矣若其布立成法則直以立差六因之以為每日平立合差之差此兩法者若不相蒙而其術巧㑹從未有能言其故者余因李世德孝亷之疑而試為思之其中原委亦自厯然爰命孫㲄成衍為垜積之圖得書一卷又云平立定差之法古無其術乃郭太史所創為以求七政盈縮之度所以造立成之根本也據云依立招差又云依垜疊立招差則似古算術中原有其法而今採用之然不可攷矣愚因李問為之衍算頗覺其用法之巧焉永按郭太史時八線表未傳中土以三差法求七政盈縮固巧矣愚竊謂其數之不真凡圓體參差截為數段前後相較其畸零之數無時而盡今以段目除積度相較至再而即齊同無是理也凡相差之尾數前後疎密必不均用時有収有棄未有能截然齊一者今恒六因立差以為每日平立合差之差則其差有常尾數不變(如太陽盈初縮未限平立合差之尾數恒為八四○六二其較以六縮初盈末限平立合差之尾數恒為二四六八○其較以二則盈縮加分盈縮積度之尾數皆有定率太陽如此其他可知)平圓中亦必無此差率也以至圓之體而欲以平方立方之差求之圓鑿方枘豈能相入哉或曰郭氏於七政各分段目測之其數盖得之積候未可謂其無憑也曰凡以儀器測天雖極精密亦及度分而止必不能得其秒微各段相較至二差而齊同皆秒微之數則其積度畸零之小數必有遷就於其間者矣觀太隂遲疾立成其損益積度至於五度四二九三有竒較西法加減均數為贏而又不知有二三均加減則其日逐測到之度豈盡與天密合哉平圓中自然之差數八線表盡之矣使平立定三差之法果符天運則八線亦可不立既有八線之精算為一切測圓之凖繩則此外更無岐途别徑亦無取乎三差之巧矣於古人之法深究其根存而勿用可也數學卷八
## 9
欽定四庫全書續數學卷一婺源江永撰正弧三角疏義目録(分支列目隨其所欲求者因目以檢後題)第一支有正角有餘角有對正角之邊而求兩邊一角(凡正弧三角鈐記甲為正角乙為餘角丙為交角乙丙為對正角之邊丙甲為對餘角之邊乙甲為對交角之邊)求對餘角之邊(第一題)求對交角之邊(第二題)求交角(第三題)第二支有正角有餘角有對餘角之邊而求兩邊一角求對正角之邊(第四題)求對交角之邉(第五題)求交角(第六題)第三支有正角有交角有對正角之邊而求兩邉一角求對交角之邉(第七題)求對餘角之邉(第八題)求餘角(第九題)第四支有正角有交角有對交角之邉而求兩邉一角求對正角之邉(第十題)求對餘角之邉(第十一題)求餘角(第十二題)第五支有正角有角旁相連之兩邉而求一邉兩角求對正角之邉(第十三題)求餘角(第十四題)求交角(第十五題)第六支有正角餘角夾一邊而求兩邊一角求對正角之邊(第十六題)求對餘角之邉(第十七題)求交角(第十八題)第七支有正角交角夾一邉而求兩邉一角求對正角之邉(第十九題)求對交角之邉(第二十題)求餘角(第二十一題)第八支有正角有對正角交角之邉而求一邉兩角求對餘角之邉(第二十二題)求交角(第二十三題)求餘角(第二十四題)第九支有正角有對正角餘角之邉而求一邉兩角求對交角之邉(第二十五題)求餘角(第二十六題)求交角(第二十七題)第十支有三角求三邉求對正角之邉(第二十八題)求對餘角之邉(第二十九題)求對交角之邉(第三十題)已上正法已具第十一支不用正角以餘角交角二邉相對相求餘角交角偕對餘角之邉求對交角之邉(第三十一題)交角餘角偕對交角之邉求對餘角之邉(第三十二題)對餘角交角之邉偕餘角求交角(第三十三題)#對交角餘角之邉偕交角求餘角(第三十四題)正弧三角形甲為正角 乙為餘角 丙為交角圓内全形圖及解義詳後分題舉法第一支(有正角有餘角有對正角之邊求两邊一角)第一題有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求對乙角丙甲邉法曰半徑(即甲角正弦後倣此)與乙角正弦若乙丙正弦與丙甲正弦(凡首舉者為一率言與者為二率言若者為三率後言與者為四率凡數以二率三率相乘為實以一率為法除之而得第四率為所求之數凡二率可易為三三率可易為二凡半徑為全數在首率者升位可省除在中間者升位可者乘後倣此)第二題有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求對丙角乙甲邊法曰半徑與乙角餘弦若乙丙正切與乙甲正切第三題有甲角有乙角有對甲角乙丙邉求丙角法曰半徑與乙角正切若乙丙餘弦與丙角餘切第二支(有正角有餘角有對餘角之邉而求兩邉一角)第四題有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求對甲角乙丙邉法曰乙角正弦與半徑若丙甲正弦與乙丙正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘割若丙甲正弦與乙丙正弦第五題有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求對丙角乙甲邉法曰乙角正切與半徑若丙甲正切與乙甲正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角餘切若丙甲正切與乙甲正弦第六題#有甲角有乙角有對乙角丙甲邉求丙角法曰丙甲餘弦與半徑若乙角餘弦與丙角正弦第三支(有正角有交角有對正角之邉而求兩邉一角)第七題有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求對丙角乙甲邉法曰半徑與丙角正弦若乙丙正弦與乙甲正弦第八題有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求對乙角丙甲邉法曰半徑與丙角餘弦若乙丙正切與丙甲正切第九題有甲角有丙角有對甲角乙丙邉求乙角法曰乙丙餘弦與半徑若丙角餘切與乙角正切(首率易半徑則次率易乙丙正割)第四支(有正角有交角有對交角之邉而求兩邉一角)第十題有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對甲角乙丙邉法曰丙角正弦與半徑若乙甲正弦與乙丙正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘割若乙甲正弦與乙丙正弦第十一題有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對乙角丙甲邉法曰丙角正切與半徑若乙甲正切與丙甲正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角餘切若乙甲正切與丙甲正弦第十二題有甲角有丙角有對丙角乙甲邉求對乙角法曰乙甲餘弦與半徑若丙角餘弦與乙角正弦(首率易半徑則次率易乙甲正割)第五支(有正角有角旁相連之兩邉而求一邉兩角)第十三題有甲角有乙甲邉丙甲邉求對甲角乙丙邉法曰半徑與丙甲餘弦若乙甲餘弦與乙丙餘弦第十四題有甲角有乙甲邉丙甲邉求乙角法曰乙甲正弦與半徑若丙甲正切與乙角正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲餘割若丙甲正切與乙角正切第十五題有甲角有乙甲邉丙甲邉求丙角法曰丙甲正弦與半徑若乙甲正切與丙角正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲餘割若乙甲正切與丙角正切第六支(有正角餘角夾一邉而求兩邉一角)第十六題有甲角有乙角有乙甲邉求對甲角乙丙邉法曰乙角餘弦與半徑若乙甲正切與乙丙正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙角正割若乙甲正切與乙丙正切第十七題有甲角有乙角有乙甲邉求對乙角丙甲邉法曰半徑與乙角正切若乙甲正弦與丙甲正切第十八題有甲角有乙角有乙甲邉求丙角法曰半徑與乙角正弦若乙甲餘弦與丙角餘弦第七支(有正角交角夾一邉而求兩邉一角)第十九題有甲角有丙角有丙甲邉求對甲角乙丙邉法曰丙角餘弦與半徑若丙甲正切與乙丙正切若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙角正割若丙甲正切與乙丙正切第二十題有甲角有丙角有丙甲邉求對丙角乙甲邉法曰半徑與丙角正切若丙甲正弦與乙甲正切第二十一題有甲角有丙角有丙甲邉求乙角法曰半徑與丙角正弦若丙甲餘弦與乙角餘弦第八支(有正角有對正角交角之邉而求一邉兩角)第二十二題有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙甲邉法曰乙甲餘弦與半徑若乙丙餘弦與丙甲餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙甲正割若乙丙餘弦與丙甲餘弦第二十三題有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙角法曰乙丙正弦與半徑若乙甲正弦與丙角正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若乙甲正弦與丙角正弦第二十四題有甲角有乙丙邉乙甲邉求乙角法曰乙丙正切與半徑若乙甲正切與乙角餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若乙甲正切與乙角餘弦第九支(有正角有對正角餘角之邉而求一邉兩角)第二十五題有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙甲邉法曰丙甲餘弦與半徑若乙丙餘弦與乙甲餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與丙甲正割若乙丙餘弦與乙甲餘弦第二十六題有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙角法曰乙丙正弦與半徑若丙甲正弦與乙角正弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘割若丙甲正弦與乙角正弦第二十七題有甲角有乙丙邉丙甲邉丙甲邉求丙角法曰乙丙正切與半徑若丙甲正切與丙角餘弦若欲用半徑為首率以省除則為半徑與乙丙餘切若丙甲正切與丙角餘弦第十支(有三角求三邉)第二十八題有甲角乙角丙角求乙丙邉法曰乙角正切與半徑若丙角餘切與乙丙餘弦(首率易半徑則次率易乙角餘切)第二十九題有甲角乙角丙角求丙甲角法曰丙角正弦與半徑若乙角餘弦與丙甲餘弦(首率易半徑則次率易丙角餘割)第三十題有甲角乙角丙角求乙甲邉法曰乙角正弦與半徑若丙角餘弦與乙甲餘弦(首率易半徑則次率易乙角餘割)已上皆有甲角半徑者正法已具其不用甲角者别為一支四題如左第十一支(不用正角以餘角交角二邉相對相求)第三十一題有乙角丙角丙甲邉求乙甲邉法曰乙角正弦與丙甲正弦若丙角正弦與乙甲正弦第三十二題有丙角乙角乙甲邉求丙甲邉法曰丙角正弦與乙甲正弦若乙角正弦與丙甲正弦第三十三題有乙角有丙甲乙甲邉求丙角法曰丙甲正弦與乙角正弦若乙甲正弦與丙角正弦第三十四題有丙角有乙甲丙甲邉求乙角法曰乙甲正弦與丙角正弦若丙甲正弦與乙角正弦#平圓正弦三角圖天上隨處皆可作弧三角此姑以黄赤道圖之己辛癸丁圓為極至交圈己為北極辛乙丁為赤道庚為黄極壬乙戊為黄道壬為冬至乙為春秋分戊為夏至丙者設太陽所在己丙甲者從北極出線過太陽抵赤道為過極圈之一象限(九十度)乙丙者太陽行過春分之經度乙甲赤道同升度丙甲距緯度戊丁者乙角之度也(凡角度皆在九十度之圓周上春分至夏至黄赤皆足九十度故戊丁為乙角度此角度為黄赤道距緯古今不同古時不止二十三度半今度不及二十三度半姑以二十三度半算之可也)庚己者黄極距北極之度亦與戊丁同度也甲為正角(即直角)其正弦滿半徑故即以半徑為甲角此甲乙丙形即前圖之灣曲形因側視故黄赤道成直線稍轉即成灣曲矣此圖又有次形丙戊者黄道乙丙之餘弧甲丁者乙甲赤道之餘弧己丙者丙甲距緯之餘弧己戊者乙角丁戊之餘弧而甲丁弧又為己角之度是次形又有己戊丙之三角形戊為正角同甲角丙為交角同丙角己為餘角似乙角也本形有不能以正弦比例者則以次形易之而别法生焉正弧形弧角相易又次形圖甲乙丙正弧三角形既易為己丙戊次形又易為己庚子形圖之己丙戊形即前圖之己丙戊形丁與庚亦前圖之丁及庚此引丙戊線至丑引丙己線至子皆滿象限作丑子弧引之至庚與戊己庚弧會則戊庚丑庚亦皆一象限成己子庚形與甲乙丙形相當子為正角同甲角己為交角似丙角庚為餘角似乙角也○乙丙邉易為庚角(乙戊及丙丑皆象限内減同用之丙戊則戊丑即乙丙而戊丑即庚角之弧)乙甲邉易為己角(乙甲之餘度丁甲即己交角之弧)是又次形#之兩角即元形之兩邉也乙角易為己庚邉(前設乙甲丁戊為黄赤距度則己庚者黄極赤極距度故二邉相等)丙角易為子庚邉(丙交角之弧丑子其餘弧為子庚)是又次形之兩邉即元形之兩角而子己即丙甲子角即甲角於是次形有不能比例者易為又次形而别法又生焉續數學卷一◆ 《九章算術-晉-》（KR3f0032）
## 0
劉徽九章算術注原序
昔在包犧氏始畫八卦以通神明之德以類萬物之情作九九之術以合六爻之變曁於黃帝神而化之引而伸之於是建歷紀協律呂用稽道原然後兩儀四象精微之氣可得而效焉記稱隸首作數其詳未之聞也按周公制禮而有九數九數之流則九章是矣往者暴秦焚書經術散壞自時厥後漢北平侯張蒼大司農中丞耿壽昌皆以善算命世蒼等因舊文之遺殘各稱刪補故校其目則與古或異而所論者多近語也徽幼習九章長再詳覽觀陰陽之割裂總算術之根源探𦣱之暇遂悟其意是以敢竭頑魯采其所見爲之作注事類相推各有攸歸故枝條雖分而同本幹者知發其一端而已又所析理以辭解體用圖庶亦約而能周通而不黷覽之者思過半矣且算在六藝古者以賓興賢能教習國子雖曰九數其能窮纖入微探測無方至於以法相傳亦猶規矩度量可得而共非特難爲也當今好之者寡故世雖多通才逹學而未必能綜於此耳周官大司徒職夏至日中立八尺之表其景尺有五寸謂之地中說云南戴日下萬五千里夫云爾者以術推之按九章立四表望遠及因木望山之術皆端旁互見無有超邈若斯之類然則蒼等爲術猶未足以博盡羣數也徽㝷九數有重差之名原其指趣乃所以施於此也凡望極高測絕深而兼知其遠者必用重差句股則必以重差爲率故曰重差也立兩表於洛陽之城令高八尺南北各盡平地同日度其正中之時以景差爲法表高乘表閒爲實實如法而一所得加表高卽日去地也以南表之景乘表閒爲實實如法而一卽爲從南表至南戴日下也以南戴日下及日去地爲句股爲之求弦卽日去人也以徑寸之筩南望日日滿筩空則定筩之長短以爲股率以筩徑爲句率日去人之數爲大股大股之句卽日徑也雖天圓穹之象猶曰可度又况泰山之高與
## 0
## SB03n0060-000九章算術-目録.
江海之廣哉徽以爲今之史籍且畧舉天地之物考論厥數載之於志以闡世術之美輒造重差并爲注解以究古人之意綴於句股之下度高者重表測深者累矩孤離者三望離而又旁求者四望觸類而長之則雖幽遐詭伏靡所不入博物君子詳而覽焉目錄(附)方田第一(凡三十八問補圖二)粟米第二(凡四十六問)衰分第三(凡二十問)少廣第四(凡二十四問補圖一)商功第五(凡二十八問)均輸第六(凡二十八問)盈不足第七(凡二十問)方程第八(凡十八問)句股第九(凡二十四問補圖十)音義第十
## 1
九章算術卷第一(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋方田(以御田疇界域)今有田廣十五步從十六步問爲田幾何荅曰一畝又有田廣十二步從十四步問爲田幾何荅曰一百六十八步(圖從十四廣十二)方田術曰廣從步數相乘得積步(此積謂田羃凡廣從相乘)(謂之羃臣淳風等謹按經云廣從相乘得積步注云廣從相乘謂之羃觀斯注意)(積羃義同以理推之固當不爾何則羃是方面單布之名積乃衆數聚居之稱循名)(責實二者全殊雖欲同之竊恐不可今以凡言羃者據廣從之一方其言積者舉衆)(步之都數經云相乘得積步卽是都數之明文注云謂之爲羃全乖積步之本意此)(注前云積謂田羃於理得通復云謂之爲羃䌓而不當今者注釋存善去非略爲科)(簡遺諸後學)以畝法二百四十步除之卽畝數百畝爲一頃(臣淳風等謹按此爲篇端故特舉頃畝二法餘術不復言者從此可知一)(畝之田廣十五步從而疏之令爲十五行卽每行廣一步而從十六步又横而截之)(令爲十六行卽毎行廣一步而從十五步此卽從疏横截之步各自爲方凡有二百)(四十步爲一畝之地步數正同以此言之卽廣從相乘得積步驗矣二百四十步者)(畝法也百畝者頃法也故以除之卽得)今有田廣一里從一里問爲田幾何荅曰三頃七十五畝又有田廣二里從三里問爲田幾何荅曰二十二頃五十畝里田術曰廣從里數相乘得積里以三百七十五乘之卽畝數(按此術廣從里數相乘得積里故方里之中有三頃)(七十五畝故以乘之卽得畝數也)今有十八分之十二問約之得幾何荅曰三分之二又有九十一分之四十九問約之得幾何荅曰十三分之七約分(按約分者物之數量不可悉全必以分言之分之爲數䌓則難用設有四)(分之二者繁而言之亦可爲八分之四約而言之則二分之一也雖則異辭至於爲)(數亦同歸爾法實相推動有參差故爲術者先治諸分)術曰可半者半之不可半者副置分母子之數以少減多更相減損求其等也以等數約之(等數約之卽除也其所以相減者皆等數之重疊故以等數約之)今有三分之一五分之二問合之得幾何荅曰十五分之十一又有三分之二七分之四九分之五問合之得幾何荅曰得一六十三分之五十又有二分之一三分之二四分之三五分之四問合之得幾何荅曰得二六十分之四十三合分(臣淳風等謹按合分者數非一端分無定凖諸分子雜互羣母參差麄細)(既殊理難從一故齊其衆分同其羣母令可相并故曰合分)術曰母互乘子并以爲實母相乘爲法(母互)(乘子約而言之者其分麄繁而言之者其分細雖則麄細有殊然其實一也衆分錯)(雜非細不㑹乗而散之所以通之通之則可并也凡母互乘子謂之齊羣母相乘謂)(之同同者相與通同共一母也齊者子與母齊勢不可失本數也方以類聚物以羣)(分數同類者無遠數異類者無近遠而通體者雖異位而相從也近而殊形者雖同)(列而相違也然則齊同之術要矣錯綜度數動之則諧其猶佩觽解結無往而不理)(焉乘以散之約以聚之齊同以通之此其算之綱紀乎其一術者可令母除爲率率)(乘子爲齊)實如法而一不滿法者以法命之(今欲)(求其實故齊其子又同其母令如母而一其餘以等數約之卽得所謂同法爲母實)(餘爲子皆從此例)其母同者直相從之今有九分之八減其五分之一問餘幾何荅曰四十五分之三十一又有四分之三減其三分之一問餘幾何荅曰十二分之五減分(臣淳風等謹按諸分子母數各不同以少減多欲知餘幾減餘爲實故曰)(減分)術曰母互乘子以少減多餘爲實母相乘爲法實如法而一(母互乘子者知以齊其子也以少減多者齊故)(可相減也母相乘爲法者同其母也母同子齊故如母而一卽得)今有八分之五二十五分之十六問孰多多幾何荅曰二十五分之十六多多二百分之三又有九分之八七分之六問孰多多幾何荅曰九分之八多多六十三分之二又有二十一分之八五十分之十七問孰多多幾何荅曰二十一分之八多多一千五十分之四十三課分(臣淳風等謹按分各異名理不齊一校其相多之數故曰課分也)術曰母互乘子以少減多餘爲實母相乗爲法實如法而一卽相多也(臣淳風等謹按此術母互)(乘子以少分減多分多與減分義同唯相多之數意共減分有異減分知求其餘數)(有幾課分知以其餘數相多也)今有三分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平荅曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平於十二分之七又有二分之一三分之二四分之三問減多益少各幾何而平荅曰減三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平於三十六分之二十三平分(臣淳風等謹按平分者諸分參差欲令齊等減彼之多增此之少故曰平)(分也)術曰母互乘子(齊其子也)副并爲平實(臣淳風等謹按)(母互乘子副并爲平實者定此平實立限衆子所當損益如限爲平)母相乘爲法(母相乘爲法者亦齊其子又同其母)以列數乘未并者各自爲列實亦以列數乘法(此當副并列數爲平實若)(然則重有分故反以列數乘同齊臣淳風等謹按問云所平之分多少不定或三)(或二列位無常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一凖平分不可預定)(多少故直云列數而已)以平實減列實餘約之爲所減并所減以益於少以法命平實各得其平今有七人分八錢三分錢之一問人得幾何荅曰人得一錢二十一分錢之四又有三人三分人之一分六錢三分錢之一四分錢之三問人得幾何荅曰人得二錢八分錢之一經分(臣淳風等謹按經分者自合分已下皆與諸分相齊此乃直求一人之分)(以人數分所分故曰經分也)術曰以人數爲法錢數爲實實如法而一有分者通之(母互乘子者齊其子母相乘者同其母以母通之者分母)(乘全內子乘散全則爲積分積分則與分子相通故可令相從凡數相與者謂之率)(率者自相與通有分則可散分重疊則約也等除法實相與率也故散分者必令兩)(分母相乘法實也)重有分者同而通之(又以法分母乘實實)(分母乘法此謂法實俱有分故令分母各乘全分內子又令分母互乘上下)今有田廣七分步之四從五分步之三問爲田幾何荅曰三十五分步之十二又有田廣九分步之七從十一分步之九問爲田幾何荅曰十一分步之七又有田廣五分步之四從九分步之五問爲田幾何荅曰九分步之四乘分(臣淳風等謹按乘分者分母相乘爲法子相乘爲實故曰乘分)術曰母相乘爲法子相乘爲實實如法而一(凡實不滿法者乃有母子之名若有分以乘其實而長之則亦滿法乃爲全耳)(又以子有所乘故母當報除報除者實如法而一也今子相乘則母各當報除因令)(分母相乘而連除也此田有廣從難以廣諭設有問者曰馬二十匹直金十二斤今)(賣馬二十匹三十五人分之人得幾何荅曰三十五分斤之十二其爲之也當如經)(分術以十二斤金爲實三十五人爲法設更言馬五匹直金三斤今賣四匹七人分)(之人得幾何荅曰人得三十五分斤之十二其爲之也當齊其金人之數皆合初問)(入於經分矣然則分子相乘爲實者猶齊其金也母相乘爲法者猶齊其人也同其)(母爲二十馬無事於同但欲求齊而已又馬五匹直金三斤完全之率分而言之則)(爲一匹直金五分斤之三七人賣四馬一人賣七分馬之四分子與人交互相生所)(從言之異而計數則三術同歸也)今有田廣三步三分步之一從五步五分步之二問爲田幾何荅曰十八步又有田廣七步四分步之三從十五步九分步之五問爲田幾何荅曰一百二十步九分步之五又有田廣十八步七分步之五從二十三步十一分步之六問爲田幾何荅曰一畝二百步十一分步之七大廣田(臣淳風等謹按大廣田者初術直有全步而無餘分次術空有餘分)(而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大廣)術曰分母各乘其全分子從之(分母各乘其全分子)(從之者通全步內分子如此則母子皆爲實矣)相乘爲實分母相乘爲法(猶乘分也)實如法而一(今爲術廣從俱有分當各自通)(其分命母入者還須出之故令分母相乘爲法而連除之)今有圭田廣十二步正從二十一步問爲田幾何荅曰一百二十六步又有圭田廣五步二分步之一從八步三分步之二問爲田幾何荅曰二十三步六分步之五術曰半廣以乘正從(半廣者以盈補虚爲直田也亦可半正從)(以乘廣按半廣乘從以取中平之數故廣從相乘爲積步畝法除之卽得也)今有邪田一頭廣三十步一頭廣四十二步正從六十四步問爲田幾何荅曰九畝一百四十四步又有邪田正廣六十五步一畔從一百步一畔從七十二步問爲田幾何荅曰二十三畝七十步術曰并兩邪而半之以乘正從若廣又可半正從若廣以乘并畝法而一(并而半之者以盈補)(虚也)今有箕田舌廣二十步踵廣五步正從三十步問爲田幾何荅曰一畝一百三十五步又有箕田舌廣一百一十七步踵廣五十步正從一百三十五步問爲田幾何荅曰四十六畝二百三十二步半術曰并踵舌而半之以乘正從畝法而一(中分箕田則爲兩邪田故其術相似又可并踵舌半正從以乘之)今有圓田周三十步徑十步(臣淳風等謹按術意以周三徑一爲)(率周三十步合徑十步今依密率合徑九步十一分步之六)問爲田幾何荅曰七十五步(此於徽術當爲田七十一步一百五十七)(分步之一百三臣淳風等謹依密率爲田七十一步二十二分步之一)又有圓田周一百八十一步徑六十步三分步之一(臣淳風等謹按周三徑一周一百八十一步徑六十步三分步之一依密率徑五十)(七步二十二分步之一十三)問爲田幾何荅曰十一畝九十步十二分步之一(此於徽術當爲田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三臣)(淳風等謹依密率當爲田十畝二百五步八十八分步之八十七)術曰半周半徑相乘得積步(按半周爲從半徑爲廣故)(廣從相乘爲積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一面與圓徑之半其數均等合)(徑率一而外周率三也又按爲圖以六觚之一面乘半徑二因而六之得十二觚之)(羃若又割之次以十二觚之一面乘一觚之半徑四因而六之則得二十四觚之羃)(割之彌細所失彌少割之又割以至於不可割則與圓周合體而無所失矣觚面之)(外又有餘徑以面乘徑則羃出觚表若夫觚之細者與圓合體則表無餘徑表無餘)(徑則羃不外出矣以一面乘半徑觚而裁之每輒自倍故以半周乘半徑而爲圓羃)(此以周徑謂至然之數非周三徑一之率也周三者從其六觚之環耳以推圓規多)(少之較乃弓之與弦也然世傳此法莫肯精覈學者踵古習其謬失不有明據辯之)(斯難凡物類形象不圓則方方圓之率誠著於近則雖遠可知也由此言之其用博)(矣謹按圓驗更造密率恐空設法數昧而難譬故置諸撿括謹詳其記注焉割六觚)(以爲十二觚術曰置圓徑二尺半之爲一尺卽圓裏六觚之面也令半徑一尺爲弦)(半面五寸爲句爲之求股以句羃二十五寸減弦羃餘七十五寸開方除之下至秒)(忽又一退法求其微數微數無名者以爲分子以下爲分母約作五分忽之二故得)(股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二以減半徑餘一寸三分三釐九毫九秒四)(忽五分忽之三謂之小句觚之半面又謂之小股爲之求弦其羃二千六百七十九)(億四千九百一十九萬三千四百四十五忽餘分弃之開方除之卽十二觚之一面)(也割十二觚以爲二十四觚術曰亦令半徑爲弦半面爲句爲之求股置上小弦羃)(四而一得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽餘分棄之卽句)(羃也以減弦羃其餘開方除之得股九寸六分五釐九毫二秒五忽五分忽之四以)(減半徑餘三分四釐七秒四忽五分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股爲之)(求小弦其羃六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽餘分棄之開)(方除之卽二十四觚之一面也割二十四觚以爲四十八觚術曰亦令半徑爲弦半)(面爲句爲之求股置上小弦羃四而一得一百七十億三千七百八萬七千三百六)(十六忽餘分棄之卽句羃也以減弦羃其餘開方除之得股九寸九分一釐四毫四)(秒四忽五分忽之四以減半徑餘八釐五毫五秒五忽五分忽之一謂之小句觚之)(半面又謂之小股爲之求小弦其羃一百七十一億一十二十七萬八千八百一十)(三忽餘分棄之開方除之得小弦一寸三分八毫六忽餘分棄之卽四十八觚之一)(面以半徑一尺乘之又以二十四乘之得羃三萬一千三百九十三億四千四百萬)(忽以百億除之得羃三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四卽九十六觚)(之羃也割四十八觚以爲九十六觚術曰亦令半徑爲弦半面爲句爲之求股置次)(上弦羃四而一得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽餘分棄之則句羃)(也以減弦羃其餘開方除之得股九寸九分七釐八毫五秒八忽十分忽之九以減)(半徑餘二釐一毫四秒一忽十分忽之一謂之小句觚之半面又謂之小股爲之求)(小弦其羃四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽餘分棄之開方除之得小)(弦六分五釐四毫三秒八忽餘分棄之卽九十六觚之一面以半徑一尺乘之又以)(四十八乗之得羃三萬一千四百一十億二千四百萬忽以百億除之得羃三百一)(十四寸六百二十五分寸之六十四卽一百九十二觚之羃也以九十六觚之羃減)(之餘六百二十五分寸之一百五謂之差羃倍之爲分寸之二百一十卽九十六觚)(之外弧田九十六所謂以弦乘矢之凡羃也加此羃於九十六觚之羃得三百一十)(四寸六百二十五分寸之一百六十九則出於圓之表矣故還就一百九十二觚之)(全羃三百一十四寸以爲圓羃之定率而棄其餘分以半徑一尺除圓羃倍之得六)(尺二寸八分卽周數令徑自乘爲方羃四百寸與圓羃相折圓羃得一百五十七爲)(率方羃得二百爲率方羃二百其中容圓羃一百五十七也圓率猶爲微少按弧田)(圖令方中容圓圓中容方内方合外方之半然則圓羃一百五十七其中容方羃一)(百也又令徑二尺與周六尺二寸八分相約周得一百五十七徑得五十則其相與)(之率也周率猶爲微少也晉武庫中漢時王莽作銅斛其銘曰律嘉量斛內方尺而)(圓其外庣旁九釐五毫羃一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容十斗以此)(術求之得羃一百六十一寸有奇其數相近矣此術微少而斛差羃六百二十五分)(寸之一百五以十二觚之羃爲率消息當取此分寸之三十六以增於一百九十二)(觚之羃以爲圓羃三百一十四寸二十五分寸之四置徑自乘之方羃四百寸令與)(圓羃通相約圓羃三千九百二十七方羃得五千是爲率方羃五千中容圓羃三千)(九百二十七圓羃三千九百二十七中容方羃二千五百也以半徑一尺除圓羃三)(百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八卽周數也)(全徑二尺與周數通相約徑得一千二百五十周得三千九百二十七卽其相與之)(率若此者蓋盡其纖微矣舉而用之上法仍約耳當求一千五百三十六觚之一面)(得三千七十二觚之羃而裁其微分數亦宜然重其驗耳臣淳風等謹按舊術求)(圓皆以周三徑一爲率若用之求圓周之數則周少徑多用之求其六觚之田乃與)(此率合會耳何則假令六觚之田觚閒各一尺爲面自然從角至角其徑二尺可知)(此則周六徑二與周三徑一已合恐此猶以難曉今更引物爲喻設令刻物作圭形)(者六枚枚别三面皆長一尺攢此六物悉使鋭頭向裏則成六觚之周角徑亦皆一)(尺更從觚角外畔圍繞爲規則六觚之徑盡達規矣當面徑短不至外規若以六觚)(言之則爲周六尺徑二尺面皆一尺面徑股不至外畔定無二尺可知故周三徑一)(之率於圓周乃是徑多周少徑一周三理非精密蓋術從簡要舉大綱略而言之劉)(徽特以爲疎遂乃改張其率但周徑相乘數難契合徽雖出斯一法終不能究其纖)(毫也祖沖之以其不精就中更推其數今者修撰攈摭諸家考其是非冲之爲密故)(顯之於徽術之下冀學者之所裁焉)又術曰周徑相乘四而一(此周與上觚同耳周徑相乘各)(當以半而今周徑兩全故兩母相乘爲四以報除之於徽術以五十乘周一百五十)(七而一卽徑也以一百五十七乘徑五十而一卽周也新術徑率猶當微少據周以)(求徑則失之長據徑以求周則失之短諸據見徑以求羃者皆失之於微少據周以)(求羃者皆失之於微多臣淳風等謹依密率以七乘周二十二而一卽徑以二十)(二乘徑七而一卽周依術求之卽得)又術曰徑自相乘三之四而一(按圓徑自乘爲外方)(三之四而一者是爲圓居外方四分之三也若令六觚之一面乘半徑其羃卽外方)(四分之一也因而三之卽亦居外方四分之三也是爲圓裏十二觚之羃耳取以爲)(圓失之於微少於徽新術當徑自乘又以一百五十七乘之二百而一臣淳風等)(謹按密率令徑自乘以十一乘之十四而一卽圓羃也)又術曰周自相乘十二而一(六觚之周其於圓徑三與)(一也故六觚之周自相乘爲羃若圓徑自乘者九方九方凡爲十二觚者十有二故)(曰十二而一卽十二觚之羃也今此令周自乘非但若爲圓徑自乘者九方而已然)(則十二而一所得又非十二觚之類也若欲以爲圓羃失之於多矣以六觚之周十)(二而一可也於徽新術直令圓周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圓羃)(其率三百一十四者周自乘之羃也置周數六尺二寸八分令自乘得羃三十九萬)(四千三百八十四分又置圓羃三萬一千四百分皆以一千二百五十六約之得此)(率臣淳風等謹按方面自乘卽得其積圓周求其羃股率乃通但此術所求用三)(一爲率圓田正法半周及半徑以相乘今乃用全周自乘故須以十二爲母何者據)(全周而求半周則須以二爲法就全周而求半徑復假六以除之是二六相乘除周)(自乘之數依密率以七乘之八十八而一)今有宛田下周三十步徑十六步問爲田幾何荅曰一百二十步又有宛田下周九十九步徑五十一步問爲田幾何荅曰五畝六十二步四分步之一術曰以徑乘周四而一(此術不驗故推方錐以見其形假令)(方錐下方六尺高四尺四尺爲股下方之半三尺爲句正面邪爲弦弦五尺也令句)(弦相乘四因之得六十尺卽方錐四面見者之羃若令其中容圓錐圓錐見羃與方)(錐見羃其率猶方羃之與圓羃也按方錐下六尺則方周二十四尺以五尺乘而)(半之則亦方錐之見羃故求圓錐之數折徑以乘下周之半卽圓錐之羃也今宛田)(上徑圓穹而與圓錐同術則羃失之於少矣然其術難用故略舉大較施之大廣田)(也求圓錐之羃猶求圓田之羃也今用兩全相乘故以四爲法除之亦如圓田矣開)(立圓術說圓方諸率甚備可以驗此)今有弧田弦三十步矢十五步問爲田幾何荅曰一畝九十七步半又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七問爲田幾何荅曰二畝一百五十五步八十一分步之五十六術曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一(方中)(之圓圓裏十二觚之羃合外方之羃四分之三也方中合外方之半則朱實合外方)(四分之一也弧田半圓之羃也故依半圓之體而爲之術以弦乘矢而半之則爲黄)(羃矢自乘而半之爲二青羃青黃相連爲弧體弧體法當應規令觚面不至外畔失)(之於少矣圓田舊術以周三徑一爲率俱得十二觚之羃亦失之於少也與此相似)(指驗半圓之弧耳若不滿半圓者益復疎闊宜依句股鋸圓材之術以弧弦爲鋸道)(長以矢爲句深而求其徑旣知圓徑則弧可割分也割之者半弧田之弦以爲股其)(矢爲句爲之求弦卽小弧之弦也以半小弧之弦爲句半圓徑爲弧爲之求股以減)(半徑其餘卽小弦之矢也割之又割使至極細但舉弦矢相乘之數則必近密率矣)(然於算數差繁必欲有所㝷究也若但度田取其大數舊術爲約耳)今有環田中周九十二步外周一百二十二步徑五步(此欲令與周三徑一之率相應故言徑五步也據中外周以徽術言之當徑四)(步一百五十七分步之一百二十二也臣淳風等謹按依密率合徑四步二十二分步之十)(七)問爲田幾何荅曰二畝五十五步(於徽術當爲田二畝三十一步)(一百五十七分步之二十三臣淳風等謹依密率爲田二畝三十步二)(十二分步之十五)又有環田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一徑十二步三分步之二(此田環而不通匝故徑十二步三分步之二若據上周求徑者此徑失之於多過周三徑)(一之率蓋爲疎矣於徽術當徑八步六百二十八分步之五十一臣淳風等謹按依周三徑)(一考之合徑八步二十四分步之一十一依密率合徑八步一百七十六分步之一十三)問爲田幾何荅曰四畝一百五十六步四分步之一(於徽術當爲田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十)(七也依周三徑一爲田三畝二十五步六十四分步之二十五臣淳風)(等謹按密率爲田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七)(也)術曰并中外周而半之以徑乘之爲積步(此田截齊中外之周周則爲長并而半之者亦以盈補虚也此可令中外周各自爲)(圓田以中圓減外圓餘則環實也按此術置中外周步數於上分母子於下母乘子)(者爲中外周俱有餘分故以互乘齊其子母相乘同其母子齊母同故通全步內分)(子并而半之者以盈補虚得中平之周周則爲從徑則爲廣故廣從相乘而得其積)(旣合分母還須分母出之故令周徑分母相乘而連除之卽得積步不盡以等數除)(之而命分以畝法除積步得畝數也)密率術曰置中外周步數分母子各居其下母互乘子分母相乘通全步內分子并而半之又可以中周減外周餘半之以益中周徑亦通分內子以乘周爲實分母相乘爲法除之爲積步餘積步之分等數約之以畝法除之卽畝數也九章算術卷一九章算術卷一訂訛補圖(算經十書之二)休寧 戴 震 東原臣淳風等謹按母互乘子副并爲平實者定此平實立限衆子所當損益如限爲平(據首問第二數母三)(第三數母四互乘第一數子一得十二第一數母三第三數母四互乘第二數子二得二十四)(第一第二數母各三互乘第三數子三得二十七并之共六十三爲平實母三三相乘又與四)(乘得三十六爲法列數凡三卽以三乘十二得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十)(一爲列實亦以三乘法三十六得一百八平實六十三減列實三十六少二十七減七十二餘)(九減八十一餘十八約之九爲一則十八爲二而二十七爲三平實六十三爲七法一百八爲)(十二命爲十二分之七設以十二作三數三分之一則四也三分之二則八也四分之三則九)(也定平實七立限八減一九減二皆七所減之一二益於四亦七損多益少適如其限故云定)(此平實立限又云如限爲平原本立訛作主如訛作知遂不可通)按半周爲從半徑爲廣故廣從相乘爲積步也假令圓徑二尺圓中容六觚之一面(六觚原本訛作六弧)(考六角形其平而亦有六八角形其平面亦有八古人謂之六觚八觚若截圓形爲六古人謂)(之弧背其弧卽圓周不得云圓中容六弧之一面後或言弧或言觚義各不同原本觚皆訛作)(弧遂蒙混不可通)圓內容六觚之圖以九十六觚之幂減之餘六百二十五分寸之以百五謂之差幂倍之爲分寸之二百一十(爲分)(寸者蒙上省文謂六百二十五分寸之二百一十也)以此術求之得幂一百六十一寸有奇其數相近矣此術微少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂爲率消息當取此分寸之三十六(取此分寸亦蒙上省文謂六百二十五分寸之三十六也)臣淳風等謹按依密率以七乘周二十二而一卽徑以二十二乘徑七而一卽周依術求之卽
## 2
九章算術卷第二(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋粟米(以御交質變易)粟米之法(凡此諸率相與大通其特相求各如本率可約者約之别術然也)粟率五十 糲米三十粺米二十七 糳米二十四御米二十一 小䵂十三半大䵂五十四 糲飯七十五粺飯五十四 糳飯四十八御飯四十二 菽荅麻麥各四十五稻六十 䜴六十三飱九十 熟菽一百三半糵一百七十五今有(此都術也凡九數以爲篇名可以廣施諸率所謂告往而知來舉一隅而)(三隅反者也誠能分詭數之紛雜通彼此之否塞因物成率審辨名分平其偏頗齊)(其參差則終無不歸於此術也)術曰以所有數乘所求率爲實以所有率爲法(少者多之始一者數之母故爲率者必等之於一據粟率五糲率三是粟)(五而爲一糲米三而爲一也欲化粟爲米者糲當先本是一一者謂以五約之令五)(而爲一也訖乃以三乘之令一而爲三如是則率等於一以五爲三矣然先除後乘)(或有餘分故術反之又究言之知粟五升爲糲米三升分言之知粟一斗爲糲米五)(分斗之三以五爲母三爲子以粟求糲米者以子乘其母報除也然則所求之率常)(爲母也臣淳風等謹按宜云所求之率常爲子所有之率常爲母今乃云所求之)(率常爲母知脫錯也)實如法而一今有粟一斗欲爲糲米問得幾何荅曰爲糲米六升術曰以粟求糲米三之五而一(臣淳風等謹按都術)(以所求率乘有所數以所有率爲法此術以粟求米故粟爲所有數三是米率故三)(爲所求率五是粟率故五爲所有率粟率五十米率三十退位求之故唯云三五也)今有粟二斗一升欲爲粺米問得幾何荅曰爲粺米一斗一升五十分升之十七術曰以粟求粺米二十七之五十而一(臣淳)(風等謹按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也)今有粟四斗五升欲爲糳米問得幾何荅曰爲糳米二斗一升五分升之三術曰以粟求糳米十二之二十五而一(臣淳)(風等謹按糳米之率二十有四以爲率太䌓故因而半之半所求之率以乘所有之)(數所求之率旣減半所有之率亦減半是故十二乘之二十五而一也)今有粟七斗九升欲爲御米問得幾何荅曰爲御米三斗三升五十分升之九術曰以粟求御米二十一之五十而一今有粟一斗欲爲小䵂問得幾何荅曰爲小䵂二升一十分升之七術曰以粟求小䵂二十七之百而一(臣淳風等)(謹按小䵂之率十三有半半者二爲母以二通之得二十七爲所求率又以母二通)(其粟率得一百爲所有率凡本率有分者須卽乘除也他皆倣此)今有粟九斗八升欲爲大䵂問得幾何荅曰爲大䵂一十斗五升二十五分升之二十一術曰以粟求大䵂二十七之二十五而一(臣淳風等謹按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二)(率)今有粟二斗三升欲爲糲飯問得幾何荅曰爲糲飯三斗四升半術曰以粟求糲飯三之二而一(臣淳風等謹按糲飯)(之率七十有五粟求糲飯合以此數乘之今以等數二十有五約其二率所求之率)(得三所有之率得二故以三乘二除)今有粟三斗六升欲爲粺飯問得幾何荅曰爲粺飯三斗八升二十五分升之二十二術曰以粟求粺飯二十七之二十五而一(臣淳風等謹按此術與大䵂多同)今有粟八斗六升欲爲糳飯問得幾何荅曰爲糳飯八斗二升二十五分升之一十四術曰以粟求糳飯二十四之二十五而一(臣淳風等謹按糳飯率四十八此亦半二率而乘除)今有粟九斗八升欲爲御飯問得幾何荅曰爲御飯八斗二升二十五分升之八術曰以粟求御飯二十一之二十五而一(臣淳風等謹按此術半率亦與糳飯多同)今有粟三斗少半升欲爲菽問得幾何荅曰爲菽二斗七升一十分升之三今有粟四斗一升太半升欲爲荅問得幾何荅曰爲荅三斗七升半今有粟五斗太半升欲爲麻問得幾何荅曰爲麻四斗五升五分升之三今有粟一十斗八升五分升之二欲爲麥問得幾何荅曰爲麥九斗七升二十五分升之一十四術曰以粟求菽荅麻麥皆九之十而一(臣淳)(風等謹按四術率並四十五皆是爲粟所求俱合以此率乘其本粟術欲從省先以)(等數五約之所求之率得九所有之率得十故九乘十除義由於此)今有粟七斗五升七分升之四欲爲稻問得幾何荅曰爲稻九斗三十五分升之二十四術曰以粟求稻六之五而一(臣淳風等謹按稻率六十)(亦約二率而乘除)今有粟七斗八升欲爲䜴問得幾何荅曰爲䜴九斗八升二十五分升之七術曰以粟求䜴六十三之五十而一今有粟五斗五升欲爲飱問得幾何荅曰爲飱九斗九升術曰以粟求飱九之五而一(臣淳風等謹按飱率九十)(退位與求稻多同)今有粟四斗欲爲熟菽問得幾何荅曰爲熟菽八斗二升五分升之四術曰以粟求熟菽二百七之百而一(臣淳風等)(謹按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率旣被二乘所有之)(率隨而俱長故以二百七之百而一)今有粟二斗欲爲糵問得幾何荅曰爲糵七斗術曰以粟求糵七之二而一(臣淳風等謹按糵率一百)(七十有五合以此數乘其本粟術欲從省先以等數二十五約之所求之率得七所)(有之率得二故七乘二除)今有糲米十五斗五升五分升之二欲爲粟問得幾何荅曰爲粟二十五斗九升術曰以糲米求粟五之三而一(臣淳風等謹按上術)(以粟求米故粟爲所有數三爲所求率五爲所有率今此以米求粟故米爲所有數)(五爲所求率三爲所有率准都術求之各合其數以下所有反求多同皆准此)今有粺米二斗欲爲粟問得幾何荅曰爲粟三斗七升二十七分升之一術曰以粺米求粟五十之二十七而一今有糳米三斗少半升欲爲粟問得幾何荅曰爲粟六斗三升三十六分升之七術日以糳米求粟二十五之十三而一今有御米十四斗欲爲粟問得幾何荅曰爲粟三十三斗三升少半升術曰以御米求粟五十之二十一而一今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲爲粟問得幾何荅曰爲粟一十斗五升九分升之七術曰以稻求粟五之六而一今有糲米一十九斗二升七分升之一欲爲粺米問得幾何荅曰爲粺米一十七斗二升一十四分升之一十三術曰以糲米求粺米九之十而一(臣淳風等謹按)(粺率二十七合以此數乘糲米術欲從省先以等數三約之所求之率得九所有之)(率得十故九乘而十除)今有糲米六斗四升五分升之三欲爲糲飯問得幾何荅曰爲糲飯一十六斗一升半術曰以糲米求糲飯五之二而一(臣淳風等謹按)(糲飯之率七十有五宜以本糲米乘此率術欲從省先以等數十五約之所求之率)(得五所有之率得二故五乘二除義由於此)今有糲飯七斗六升七分升之四欲爲飱問得幾何荅曰爲飱九斗一升三十五分升之三十一術曰以糲飯求飱六之五而一(臣淳風等謹按飱率)(九十爲糲飯所求宜以糲飯乘此率術欲從省先以等數十五約之所求之率得六)(所有之率得五以此故六乘五除也)今有菽一斗欲爲熟菽問得幾何荅曰爲熟菽二斗三升術曰以菽求熟菽二十三之十而一(臣淳風等)(謹按熟菽之率一百三半因其有半各以母二通之宜以熟菽數乘此率術欲從者)(先以等數九約之所求之率得一十一半所有之率得五也)今有菽二斗欲爲䜴問得幾何荅曰爲䜴二斗八升術曰以菽求䜴七之五而一(臣淳風等謹按䜴率六十)(三爲菽所求宜以菽乘此率術欲從省先以等數九約之所求之率得七而所有之)(率得五也)今有麥八斗六升七分升之三欲爲小䵂問得幾何荅曰爲小䵂二斗五升一十四分升之一十三術曰以麥求小䵂三之十而一(臣淳風等謹按小䵂)(之率十三半宜以母二通之以乘本麥之數術欲從省先以等數九約之所求之率)(得三所有之率得十也)今有麥一斗欲爲大䵂問得幾何荅曰爲大䵂一斗二升術曰以麥求大䵂六之五而一(臣淳風等謹按大䵂)(之率五十有四合以大䵂數乘此率術欲從省先以等數九約之所求之率得六所)(有之率得五也)今有出錢一百六十買瓴甓十八枚(瓴甓甎也)問枚幾何荅曰一枚八錢九分錢之八今有出錢一萬三千五百買竹二千三百五十箇問箇幾何荅曰一箇五錢四十七分錢之三十五經率(臣淳風等謹按今有之義以所求率乘所有數合以瓴甓一枚乘錢一百)(六十爲實但以一乘不長故不復乘是以徑將所買之率與所出之錢爲法實也又)(按此今有之義出錢爲所有數一枚爲所求率所買爲所有率而今有之卽得所求)(數一乘不長故不復乘是以徑將所買之率爲法以所出之錢爲實實如法得一枚)(錢不盡者等數而命分)術曰以所買率爲法所出錢數爲實實如法得一今有出錢五千七百八十五買漆一斛六斗七升太半升欲斗率之問斗幾何荅曰一斗三百四十五錢五百三分錢之一十五今有出錢七百二十買縑一匹二丈一尺欲丈率之問丈幾何荅曰一丈一百一十八錢六十一分錢之二今有出錢二千三百七十買布九匹二丈七尺欲匹率之問匹幾何荅曰一匹二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四今有出錢一萬三千六百七十買絲一石二鈞一十七斤欲石率之問石幾何荅曰一石八千三百二十六錢一百九十七分錢之一百七十八經率(此術猶經分臣淳風等謹按今有之義一斗爲所求率出錢爲所有數)(故以一斗乘錢數有分者通之又以分母乘之爲實所買通分內子爲所有率故以)(爲法實如法而一得錢數不盡而命分者因法爲母實餘爲子實見不滿故以命之)術曰以所求率乘錢數爲實以所買率爲法實如法得一今有出錢五百七十六買竹七十八箇欲其大小率之問各幾何荅曰其四十八箇箇七錢其三十箇箇八錢今有出錢一千一百二十買絲一石二鈞十八斤欲其貴賤斤率之問各幾何荅曰其二鈞八斤斤五錢其一石一十斤斤六錢今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤石率之問各幾何荅曰其一鈞九兩一十二銖石八千五十一錢其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖石八千五十二錢今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤鈞率之問各幾何荅曰其七斤一十兩九銖鈞二千一十二錢其一石二鈞二十斤八兩二十銖鈞二千一十三錢今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤斤率之問各幾何荅曰其一石二鈞七斤十兩四銖斤六十七錢其二十斤九兩一銖斤六十八錢今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤兩率之問各幾何荅曰其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖兩四錢其一鈞一十斤五兩四銖兩五錢其率(如欲令差分按出錢五百七十六買竹七十八箇以除錢得七實餘三十)(是爲三十箇復可増一錢然則實餘之數卽是貴者之數故曰實貴也本以七十八)(箇爲法今以貴者減之則其餘悉是賤者之數故曰法賤也其求石鈞斤兩以積銖)(各除法實各得其積數餘各爲銖者謂石鈞斤兩積銖除實又以石鈞斤兩積銖除)(法餘各爲銖卽合所問)術曰各置所買石鈞斤兩以爲法以所率乘錢數爲實實如法而一不滿法者反以實減法法賤實貴今有出錢一萬三千九百七十買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖欲其貴賤銖率之問各幾何荅曰其一鈞二十斤六兩十一銖五銖一錢其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖六銖一錢今有出錢六百二十買羽二千一百翭(翭羽本也數羽)(稱其本猶數草木稱其根株)欲其貴賤率之問各幾何荅曰其一千一百四十翭三翭一錢其九百六十翭四翭一錢今有出錢九百八十買矢簳五千八百二十枚欲其貴賤率之問各幾何荅曰其三百枚五枚一錢其五千五百二十枚六枚一錢反其率(臣淳風等謹按其率者錢多物少反其率者錢少物多多少相反故)(曰反其率也其率者以物數爲法錢數爲實反之者以錢數爲法物數爲實不滿法)(知實餘也當以餘物化爲錢矣法爲凡錢而今以化錢減之故以實減法法少知經)(分之所得故曰法少實多者餘分之所益故曰實多乘實宜以多乘法宜以少故曰)(各以其所得多少之數乘法實卽物數其求石鈞斤兩以積銖各除法實各得其數)(餘各爲銖者謂之石鈞斤兩積銖除實石鈞斤兩積銖除法餘各爲銖卽合所問)術曰以錢數爲法所率爲實實如法而一不滿法者反以實減法法少實多二物各以所得多少之數乘法實卽物數(按其率出錢六)(百二十買羽二千一百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭)(是錢有二價物有貴賤故以羽乘錢反二率也臣淳風等謹按其率者以物數爲)(法錢爲實反之者以錢數爲法物爲實不滿法者實餘也當以餘物化爲錢矣法爲)(凡錢而今以化錢減之故曰反以實減法也法少者知經分之所得故曰法少實多)(者知餘分之所益故曰實多宜以多乘法少乘實故曰各以所得多少數乘法實卽)(物數也)九章算術卷二終
## 3
九章算術卷二訂訛補圖(算經十書之二)休寧 戴 震 東原粟率五十糲米三十粺米二十七糳米二十四御米二十一(詩大雅鄭箋云米之率糲十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法)(粟率五十糲米三十粺二十七糳二十四御二十一言粟五升爲糲米三升已下則米漸細故)(數益少)按其率出錢六百二十買羽二千一百翭反之當二百四十錢一錢四翭其三百八十錢一錢三翭(已上舛誤不可通參考上注當云按其率錢多物少反之錢少物多出錢六百二十)(買羽二千一百翭當以除羽得三實餘二百四十是謂三翭復可增一翭然則實餘之數卽是)(多者之錢故曰實多本以六百二十錢爲法今以多者減之則其餘三百八十悉是少者之錢)(故曰法少也二百四十錢一錢四翭乘得九百六十其三百八十錢一錢三翭乘得一千一百)九章算術卷三(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋衰分(以御貴賤禀稅)衰分(衰分差也)術曰各置列衰(列衰相與率也重疊則可約)副并爲法以所分乘未并者各自爲實(法集而衰别數本一也今)(以所分乘上别以下集除之一乘一除適足相消故所分猶存且各應率而别也於)(今有術列衰各爲所求率副并爲所有率所分爲所有數又以經分言之假令甲家)(三人乙家二人丙家一人并六人共分十二爲人得二也欲復作逐家者則當列置)(人數以一人所得乘之今此術先乗而後除也)實如法而一不滿法者以法命之今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共獵得五鹿欲以爵次分之問各得幾何荅曰大夫得一鹿三分鹿之二不更得一鹿三分鹿之一簪褭得一鹿上造得三分鹿之二公士得三分鹿之一術曰列置爵數各自爲衰(爵數者謂大夫五不更四簪褭)(三上造二公士一也墨子號令篇以爵級爲賜然則戰國之初有此名也今有術列)(衰各爲所求率副并爲所有率今有鹿數爲所有數而今有之卽得)副并爲法以五鹿乘未并者各自爲實實如法得一鹿今有牛馬羊食人苗苗主責之粟五斗羊主日我羊食半馬馬主日我馬食半牛今欲衰償之問各出幾何荅曰牛主出二斗八升七分升之四馬主出一斗四升七分升之二羊主出七升七分升之一術曰置牛四馬二羊一各自爲列衰副并爲法以五斗乘未并者各自爲實實如法得一斗(臣淳風等謹按此術問意羊食半馬馬食半牛是謂四羊當一牛二)(羊當一馬今術置羊一馬二牛四者通其率以爲列衰)今有甲持錢五百六十乙持錢三百五十丙持錢一百八十凡三人俱出關關稅百錢欲以錢數多少衰出之問各幾何荅曰甲出五十一錢一百九分錢之四十一乙出三十二錢一百九分錢之一十二丙出一十六錢一百九分錢之五十六術曰各置錢數爲列衰副并爲法以百錢乘未并者各自爲實實如法得一錢(臣淳風等)(謹按此術甲乙丙持錢數以爲列衰副并爲所有率未并者各爲所求率百錢爲所)(有數而今有之卽得)今有女子善織日自倍五日織五尺問日織幾何荅曰初日織一寸三十一分寸之十九次日織三寸三十一分寸之七次日織六寸三十一分寸之十四次日織一尺二寸三十一分寸之二十八次日織二尺五寸三十一分寸之二十五術曰置一二四八十六爲列衰副并爲法以五尺乘未并者各自爲實實如法得一尺今有北鄉算八千七百五十八西鄉算七千二百三十六南鄉算八千三百五十六凡三鄉發傜三百七十八人欲以算數多少衰出之問各幾何荅曰北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百二十七西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十五分人之八千七百九術曰各置算數爲列衰(臣淳風等謹按三鄉算數約可半者)(爲列衰)副并爲法以所發傜人數乘未并者各自爲實實如法得一人(按此術今有之義也)今有禀粟大夫不更簪褭上造公士凡五人一十五斗今有大夫一人後來亦當禀五斗倉無粟欲以衰出之問各幾何荅曰大夫出一斗四分斗之一不更出一斗簪褭出四分斗之三上造出四分斗之二公士出四分斗之一術曰各置所禀粟斛斗數爵次均之以爲列衰副并而加後來大夫亦五斗得二十以爲法以五斗乘未并者各自爲實實如法得一斗(禀前五人十五斗者大夫得五斗不更得四斗簪褭得三斗上)(造得二斗公士得一斗欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫卽與前來大夫)(同據前來大夫已得五斗故言亦也各以所得斗數爲衰并得十五而加後來大夫)(亦五斗凡二十爲法也是爲六人共出五斗後來大夫亦俱損折今有術副并爲所)(有率未并者各爲所求率五斗爲所有數而今有之卽得)今有禀粟五斛五人分之欲令三人得三二人得二問各幾何荅曰三人人得一斛一斗五升十三分升之五二人人得七斗六升十三分升之十二術曰置三人人三二人人二爲列衰副并爲法以五斛乘未并者各自爲實實如法得一斛返衰(以爵次言之大夫五不更四欲令高爵得多者當使大夫一人受五分不)(更一人受四分人數爲母分數爲子母同則子齊齊卽衰也故上衰分宜以五四爲)(列焉今此令高爵出少則當使大夫五人共出一人分不更四人共出一人分故謂)(之返衰人數不同則分數不齊當令母互乘子母互乘子則動者爲不動者衰也亦)(可先同其母各以分母約其子爲返衰副并爲法以所分乘未并者各自爲實實如)(法而一)術曰列置衰而令相乘動者爲不動者衰今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共出百錢欲令高爵出少以次漸多問各幾何荅曰大夫出八錢一百三十七分錢之一百四不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十簪褭出一十四錢一百三十七分錢之八十二上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九術曰置爵數各自爲衰而返衰之副并爲法以百錢乘未并者各自爲實實如法得一錢今有甲持粟三升乙持糲米三升丙持糲飯三升欲令合而分之問各幾何荅曰甲二升一十分升之七乙四升一十分升之五丙一升一十分升之八術日以粟率五十糲米率三十糲飯率七十五爲衰而返衰之副并爲法以九升乘未并者各自爲實實如法得一升(按此術三人所)(持升數雖等論其本率精麤不同米率雖少令最得多飯率雖多返使得少故令返)(之使精得多而麤得少於今有術副并爲所有率未并者各爲所求率九升爲所有)(數而今有之卽得)今有絲一斤價直二百四十今有錢一千三百二十八問得絲幾何荅曰五斤八兩一十二銖五分銖之四術曰以一斤價數爲法以一斤乘今有錢數爲實實如法得絲數(按此術今有之義以一斤價爲所有)(率一斤爲所求率今有錢爲所有數而今有之卽得)今有絲一斤價直三百四十五今有絲七兩一十二銖問得錢幾何荅曰一百六十一錢三十二分錢之二十三術曰以一斤銖數爲法以一斤價數乘七兩一十二銖爲實實如法得錢數(按此術亦今有)(之義以絲一斤銖數爲所有率價錢爲所求率今有絲爲所有數而今有之卽得)今有縑一丈價直一百二十八今有縑一匹九尺五寸問得錢幾何荅曰六百三十三錢五分錢之三術曰以一丈寸數爲法以價錢數乘今有縑寸數爲實實如法得錢數(臣淳風等謹按此術亦今)(有之義以縑一丈寸數爲所有率價錢爲所求率今有縑寸數爲所有數而今有之)(卽得)今有布一匹價直一百二十五今有布二丈七尺問得錢幾何荅曰八十四錢八分錢之三術曰以一匹尺數爲法今有布尺數乘價錢爲實實如法得錢數(按此術亦今有之義以一匹尺數爲)(所有率價錢爲所求率今有布爲所有數今有之卽得)今有素一匹一丈價直六百二十五今有錢五百問得素幾何荅曰得素一匹術日以價直爲法以一匹一丈尺數乘今有錢數爲實實如法得素數(按此術亦今有之義以價)(錢爲所有率五丈尺數爲所求率今有錢爲所有數今有之卽得)今有與人絲一十四斤約得縑一十斤今與人絲四十五斤八兩問得縑幾何荅曰三十二斤八兩術曰以一十四斤兩數爲法以一十斤乘今有絲兩數爲實實如法得縑數(此術亦今有之)(義以一十四斤兩數爲所有率一十斤爲所求率今有絲爲所有數今有之卽得)今有絲一斤耗七兩今有絲二十三斤五兩問耗幾何荅曰一百六十三兩四銖半術曰以一斤展十六兩爲法以七兩乘今有絲兩數爲實實如法得耗數(按此術亦今有之義)(以一斤爲十六兩爲所有率七兩爲所求率今有絲爲所有數而今有之卽得)今有生絲三十斤乾之耗三斤十二兩今有乾絲一十二斤問生絲幾何荅曰一十三斤一十一兩十銖七分銖之二術曰置生絲兩數除耗數餘以爲法(餘四百二)(十兩卽乾絲率)三十斤乘乾絲兩數爲實實如法得生絲數(凡所謂率者細則俱細麤則俱麤兩數相推而已故品物不同)(如上縑絲之比得相與乘焉三十斤凡四百八十兩今生絲率四百八十兩乾絲率)(四百二十兩則其數相通可俱爲銖可俱爲兩可俱爲斤無所歸滯也若然宜以所)(有乾絲斤數乘生絲兩數爲實今斤兩錯互而亦同歸者使乾絲以兩數爲率生絲)(以斤數爲率譬之異類亦各有一定之勢臣淳風等謹按此術置生絲兩數除耗)(數餘卽乾絲之率於今有術爲所有率三十斤爲所求率乾絲兩數爲所有數凡所)(謂率者細則俱細麤則俱麤今以斤乘兩者乾絲卽以兩數爲率生絲卽以斤數爲)(率譬之異物各有一定之率也)今有田一畝收粟六升太半升今有田一頃二十六畝一百五十九步問收粟幾何荅曰八斛四斗四升一十二分升之五術曰以畝二百四十步爲法以六升太半升乘今有田積步爲實實如法得粟數(按此)(術亦今有之義以一畝步數爲所有率六升太半升爲所求率今有田積步爲所有)(數而今有之卽得)今有取保一歲價錢二千五百今先取一千二百問當作日幾何荅曰一百六十九日二十五分日之二十三術曰以價錢爲法以一歲三百五十四日乘先取錢數爲實實如法得日數(按此術亦今有)(之義以價爲所有率一歲日數爲所求率取錢爲所有數而今有之卽得)今有貸人千錢月息三十今有貸人七百五十錢九日歸之問息幾何荅曰六錢四分錢之三術曰以月三十日乘千錢爲法(以三十日乘千錢爲)(法者得三萬是爲貸人錢三萬一日息三十也)以息三十乘今所貸錢數又以九日乘之爲實實如法得一錢(以九日乘今所貸錢爲今一日所有錢於今有術爲所有數息三十爲所求率)(三萬錢爲所有率此又可以一月三十日約息三十錢爲十分一日以乘今一日所)(有錢爲實千錢爲法爲率者當等之於一也故三十日或可乘本或可約息皆所以)(等之也)
## 4
九章算術卷四(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋少廣(以御積羃方圓)少廣(臣淳風等謹按一畝之田廣一步長二百四十步今欲截取其從少以益)(其廣故曰少廣)術曰置全步及分母子以最下分母徧乘諸分子及全步(臣淳風等謹按以分母乘全步者通其分也以母乘)(子者齊其子也)各以其母除其子置之於左命通分者又以分母徧乘諸分子及已通者皆通而同之并之爲法(臣淳風等謹按諸子悉通故可并之爲法)(亦不宜用合分術列數尤多若用乘則算數至䌓故别制此術從省約)置所求步數以全步積分乘之爲實(此以田廣爲法以畝)(積步爲實法有分者當同其母齊其子以同乘法實而并齊於法今以分母乘全步)(及子子如母而一竝以并全法則法實俱長意亦等也故如法而一得從步數)實如法而一得從步今有田廣一步半求田一畝問從幾何荅曰一百六十步術曰下有半是二分之一以一爲二半爲一并之得三爲法置田二百四十步亦以一爲二乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一求田一畝問從幾何荅曰一百三十步一十一分步之一十術曰下有三分以一爲六半爲三三分之一爲二并之得一十一爲法置田二百四十步亦以一爲六乘之爲實實如法得從歩今有田廣一步半三分步之一四分步之一求田一畝問從幾何荅曰一百一十五步五分步之一術曰下有四分以一爲一十二半爲六三分之一爲四四分之一爲三并之得二十五以爲法置田二百四十步亦以一爲一十二乘之爲實實如法而一得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一畝問從幾何荅曰一百五步一百三十七分步之一十五術曰下有五分以一爲六十半爲三十三分之一爲二十四分之一爲一十五五分之一爲一十二并之得一百三十七以爲法置田二百四十步亦以一爲六十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一畝問從幾何荅曰九十七步四十九分步之四十七術曰下有六分以一爲一百二十半爲六十三分之一爲四十四分之一爲三十五分之一爲二十四六分之一爲二十并之得二百九十四以爲法置田二百四十歩亦以一爲一百二十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一畝問從幾何荅曰九十二步一百二十一分步之六十八術曰下有七分以一爲四百二十半爲二百一十三分之一爲一百四十四分之一爲一百五五分之一爲八十四六分之一爲七十七分之一爲六十并之得一千八十九以爲法置田二百四十步亦以一爲四百二十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一畝問從幾何荅曰八十八步七百六十一分步之二百三十二術曰下有八分以一爲八百四十半爲四百二十三分之一爲二百八十四分之一爲二百一十五分之一爲一百六十八六分之一爲一百四十七分之一爲一百二十八分之一爲一百五并之得二千二百八十三以爲法置田二百四十步亦以一爲八百四十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一畝問從幾何荅曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四術曰下有九分以一爲二千五百二十半爲一千二百六十三分之一爲八百四十四分之一爲六百三十五分之一爲五百四六分之一爲四百二十七分之一爲三百六十八分之一爲三百一十五九分之一爲二百八十并之得七千一百二十九以爲法置田二百四十步亦以一爲二千五百二十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一畝問從幾何荅曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九術曰下有一十分以一爲二千五百二十半爲一千二百六十三分之一爲八百四十四分之一爲六百三十五分之一爲五百四六分之一爲四百二十七分之一爲三百六十八分之一爲三百一十五九分之一爲二百八十十分之一爲二百五十二并之得七千三百八十一以爲法置田二百四十步亦以一爲二千五百二十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一畝問從幾何荅曰七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一術曰下有一十一分以一爲二萬七千七百二十半爲一萬三千八百六十三分之一爲九千二百四十四分之一爲六千九百三十五分之一爲五千五百四十四六分之一爲四千六百二十七分之一爲三千九百六十八分之一爲三千四百六十五九分之一爲三千八十一十分之一爲二千七百七十二一十一分之一爲二千五百二十并之得八萬三千七百一十一以爲法置田二百四十步亦以一爲二萬七千七百二十乘之爲實實如法得從步今有田廣一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一畝問從幾何荅曰七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三術曰下有一十二分以一爲八萬三千一百六十半爲四萬一千五百八十三分之一爲二萬七千七百二十四分之一爲二萬七百九十五分之一爲一萬六千六百三十二六分之一爲一萬三千八百六十七分之一爲一萬一千八百八十八分之一爲一萬三百九十五九分之一爲九千二百四十一十分之一爲八千三百一十六十一分之一爲七千五百六十十二分之一爲六千九百三十并之得二十五萬八千六十三以爲法置田二百四十步亦以一爲八萬三千一百六十乘之爲實實如法得從步(臣淳風等謹按凡爲術之意約省爲善宜云下有一十二)(分以一爲二萬七千七百二十半爲一萬三千八百六十三分之一爲九千二百四)(十四分之一爲六千九百三十五分之一爲五千五百四十四六分之一爲四千六)(百二十七分之一爲三千九百六十八分之一爲三千四百六十五九分之一爲三)(千八十十分之一爲二千七百七十二十一分之一爲二千五百二十十二分之一)(爲二千三百一十并之得八萬六千二十一以爲法置田二百四十步亦以一爲二)(萬七千七百二十乘之以爲實實如法得從步其術亦得知不繁也)今有積五萬五千二百二十五步問爲方幾何荅曰二百三十五步又有積二萬五千二百八十一步問爲方幾何荅曰一百五十九步又有積七萬一千八百二十四步問爲方幾何荅曰二百六十八步又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一問爲方幾何荅曰七百五十一步半又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步問爲方幾何荅曰六萬三千二十五步開方(求方羃之一面也)術曰置積爲實借一算步之超一等(言百之面)(十也言萬之面百也)議所得以一乘所借一算爲法而以除(先得黃甲之面上下相命是自乘而除也)除已倍法爲定法(倍之者豫張兩面朱羃定袤以待復除故曰定法)其復除折法而下(欲除朱羃者本當副置所得成方倍之爲定法以折議乘而以除如)(是當復步之而止乃得相命故使就上折下)復置借算步之如初以復議一乘之(欲除朱羃之角黃乙之羃其意如初之所得也)所得副以加定法以除以所得副從定法(再以黄乙之面加定法者是則張兩青羃之袤)復除折下如前若開之不盡者爲不可開當以面命之(術或有以)(借算加定法而命分者雖麤相近不可用也凡開積爲方方之自乘當還復其積分)(令不加借算而命分則常微少其加借算而命分則又微多其數不可得而定故惟)(以面命之爲不失耳譬猶以三除十以其餘爲三分之一而復其數可舉不以面命)(之加定法如前求其微數微數無名者以爲分子其一退以十爲母其再退以百爲)(母退之彌下其分彌細則朱羃雖有所乘之數不足言之也)若實有分者通分內子爲定實乃開之訖開其母報除(臣淳風等謹按分母可開者竝通之積先合二母旣開之後一母尚存故開分)(母求一母爲法以報除也)若母不可開者又以母再乘定實乃開之訖令如母而一(臣淳風等謹按分母不可)(開者本一母也又以母乘之乃合二母旣開之後亦一母存焉故令如母而一得全)(面也又按此術開方者求方羃之一面也借一算者假借一算空有列位之名而無)(除積之實方隅得面是故借算列之於下也步之超一等者方十自乘其積有百方)(百自乘其積有萬故超位至百而言十至萬而言百也議所得以一乘所借一算爲)(法而以除者先得黃甲之面以方爲積者兩相乘故開方除之還令兩面上下相命)(是自乘而除之也除已倍法爲定法者實積未盡當復更除故豫張兩面朱羃定袤)(以待復除故曰定除也其復除折法而下者欲除朱羃本當副置所得成方倍之爲)(定法以折議乘之而以除如是當復步之而止乃得相命故使就上折之而下也復)(置借算步之如初以復議一乘之所得副以加定法以除者欲除朱羃之角黃乙之)(羃以所得副從定法者再以黃乙之羃加定法是則張兩青羃之袤故如前開之卽)(合所問)今有積一千五百一十八步四分步之三問爲圓周幾何荅曰一百三十五步(於徽術當周一百三十八步一)(十分步之一臣淳風等謹按此依密率爲周一百三十八步五十分步)(之九)又有積三百步問爲圓周幾何荅曰六十步(於徽術當周六十一步五十分步之十九臣)(淳風等謹按依密率爲周六十一步一百分步之四十一)開圓術曰置積步數以十二乘之以開方除之卽得周(此術以周三徑一爲率與舊圓田術相返覆也於徽術以三百一十)(四乘積如二十五而一所得開方除之卽周也開方除之卽徑是爲據見羃以求周)(猶失之於微少其以二百乘積一百五十七而一開方除之卽徑猶失之於微多)(臣淳風等謹按此注於徽術求周之法其中不用開方除之卽徑六字今本有者衍)(賸也依密率八十八乘之七而一按周三徑一之率假令周六徑二半周半徑相乘)(得羃三周六自乘得三十六俱以等數除羃得一周之數十二也其積本周自乘合)(以一乘之十二而一得積三也術爲一乘不長故以十二而一得此積今還原置此)(積三以十二乘之復其本周自乘之數凡物自乘開方除之復其本數故開方除之)(卽周)今有積一百八十六萬八百六十七尺(此尺謂立方之)(尺也凡物有高深而言積者曰立方)問爲立方幾何荅曰一百二十三尺今有積一千九百五十三尺八分尺之一問爲立方幾何荅曰一十二尺半今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七問爲立方幾何荅曰三十九尺八分尺之七又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七問爲立方幾何荅曰一百二十四尺太半尺開立方(立方適等求其一面也)術曰置積爲實借一算步之超二等(言千之面)(十言百萬之面百)議所得以再乘所借一算爲法而除之(再乘者亦求爲方羃以上議命而除之則立方等也)除已三之爲定法(爲當復除故豫張三面以定方羃爲定法也)復除折而下(復除者三面方羃以皆自乘之數須得折議定其厚薄爾開平羃者方百)(之面十開立羃者方千之面十據定法已有成方之羃故復除當以千爲百折下一)(等也)以三乘所得數置中行(設三亷之定長)復借一算置下行(欲以爲隅方立方等未有定數且置一算定其位)步之中超一下超二位(上方法長自乘而一折中亷法但有長故降一)(等下隅法無面長故又降一等也)復置議以一乘中(爲三亷備)(羃也)再乘下(令隅自乘爲方羃也)皆副以加定法以定法除(三面三亷一隅皆已有羃以上議命之而除去三袤之厚也)除已倍下并中從定法(凡再以中三以下加定法者三亷各當以兩面)(之羃連於兩方之面一隅連於三亷之端以待復除也言不盡意解此要當以棊乃)(得明耳)復除折下如前開之不盡者亦爲不可開(術亦有以定法命分者不如故羃開方以微數爲分也)若積有分者通分內子爲定實定實乃開之訖開其母以報除(臣淳風等按分母可開者竝通之積先合三母旣開之後)(一母尙存故開分母求一母爲法以報除也)若母不可開者又以母再乘定實乃開之訖令如母而一(臣淳)(風等謹按分母不可開者本一母也又以母再乘之今合三母旣開之後一母猶存)(故令如母而一得全面也按開立方者立方適等求其一面之數也借一算步之超)(二等者立方求積方再自乘就積開之故超二位言千之面十言百萬之面百也議)(所得以再乘所借一算爲法而以除者求爲方羃以議命之而除則立方等也除已)(三之爲定法者爲積未盡當復更除故豫張三面已定方羃爲定法也復除折而下)(者三面方羃皆已有自乘之數須得折議定其厚薄據開平方百之面十其開立方)(卽千之面十而定法已有成方之羃故復除之當以千爲百折卞一等也以三乘所)(得數置中行者設三亷之定長也復借一算置下行者欲以爲隅方立方等未有數)(且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法長自乘而一折中亷法但有長)(故降一等下隅法無面長故又降一等也復置議以一乘中者爲三亷借羃也再乘)(下者當令隅自乘爲方羃也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有羃)(以上議命之而除去三袤之厚也除已倍下併中從定法者三亷各當以兩面之羃)(連於兩方之面一隅連於三亷之端以待復除也其開之不盡者折下如前開方卽)(合所問有分者通分內子開之訖開其母以報除可開者並通之積先合三母旣開)(之後一母尙存故開分母者求一母爲法以報除若母不可開者又以母再乘定實)(乃開之訖令如母而一分母不可開者本一母又以母再乘今合三母旣開之後亦)(一母尙存故令如母而一得全面也)今有積四千五百尺(亦謂立方之尺也)問爲立圓徑幾何荅曰二十尺(依密率立圓徑二十八尺計積四千一百九十)(尺二十一分尺之一十)又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺問爲立圓徑幾何荅曰一萬四千三百尺(依密率爲徑一萬四千六)(百四十三尺四分尺之三)開立圓術曰置積尺數以十六乘之九而一所得開立方除之卽丸徑(立圓卽丸也爲術者蓋依周三徑一之率)(令圓羃居方羃四分之三圓囷居立方亦四分之三更令圓囷爲方率十二爲丸率)(九丸居圓囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六)(分之九也故以十六乘積九而一得立方之積丸徑與立方等故開立方而除得徑)(也然此意非也何以驗之取立方棊八枚皆令立方一寸積之爲立方二寸規之爲)(圓囷徑二寸高二寸又復橫規之則其形有似牟合方蓋矣八棊皆似陽馬圓然也)(按合蓋者方率也丸居其中卽圓率也推此言之謂夫圓囷爲方率豈不闕哉以周)(三徑一爲圓率則圓羃傷少令圓囷爲方率則丸積傷多互相通補是以丸與十六)(之率偶與實相近而丸猶傷多耳觀立方之內合蓋之外雖衰殺有漸而多少不掩)(判合總結方圓相纏濃纖詭互不可等正欲陋形措意懼失正理敢不闕疑以俟能)(言者黃金方寸重十六兩金丸徑寸重九兩率生於此未曾驗也周官考工記㮚)(氏爲量改煎金錫則不耗不耗然後權之權之然後凖之凖之然後量之言錬金使)(極精而後分之則可以爲率也令丸徑自乘三而一開方除之卽丸中之立方也假)(令丸中立方五尺五尺爲句句自乘羃二十五尺倍之得五十尺以爲股羃謂平面)(方五尺之弦也以此弦羃爲股亦以五尺爲句并句股羃得七十五尺是爲大弦羃)(開方除之則大弦可知也大弦則中立方之長邪邪卽丸徑也故中立方自乘之羃)(於丸徑自乘之羃三分之一也令大弦還乘其羃卽丸外立方之積也大弦羃開之)(不盡令其羃七十五再自乘之爲面命得外立方積四十二萬一千八百七十五尺)(之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得積一百二十五尺一百二十五尺自乘)(爲面命得積一萬五千六百二十五尺之面皆以六百二十五約之外立方積六百)(七十五尺之面中立方積二十五尺之面也張衡算又謂立方爲質立圓爲渾衡)(言質之與中外之渾六百七十五尺之面開方除之不足一謂外質積二十六也內)(渾二十五之面謂積五尺也今徽令質言中渾渾又言質則二質相與之率猶衡二)(渾相與之率也衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也衡又言質六十四之面渾二)(十五之面質復言渾謂居質八分之五也又云方八之面圓六之面圓渾相推知其)(復以圓囷爲方率渾爲圓率也失之遠矣衡說之自然欲恊其陰陽奇耦之說而不)(顧疎密矣雖有文辭斯亂道破義病也置外質積二十六以九乘之十六而一得積)(一十四尺八分之五卽質中之渾也以分母乘全內子得一百一十七又置內質積)(五以分母乘之得四十是爲質居渾一百一十七分之四十而渾率猶爲傷多也假)(令方二尺方四面并得八尺也謂之方周其中令圓徑與方等亦二尺也丸半徑以)(乘圓周之半卽圓羃也半方以乘方周之半卽方羃也然則方周知方羃之率也圓)(周知圓羃之率也按如衡術方周率八之面圓周率五之面也令方周六十四尺之)(面卽圓周四十尺之面也又令徑一尺方周四尺自乘得十六尺之面是爲圓周率)(十二之面而徑率一之面也衡亦以周三徑一之率爲非是故更著此法然增周太)(多過其實矣臣淳風等謹按祖暅之謂劉徽張衡二人皆以圓囷爲方率丸爲圓)(率乃設新法祖暅之開立圓術日以二十一乘積十一而一開立方除之卽立圓徑)(其意何也取立方棊一枚令立樞於左後之下隅從規去其右上之亷又合而横規)(之去其前上之亷右前之亷於是立方之棊分而爲四規內棊一謂之內棊規外棊)(三謂之外棊規更合四棊復橫斷之以句股言之令餘高爲句內棊斷上方爲股本)(方之數其弦也句股之法以句羃減弦羃則餘爲股羃若令餘高自乘減本方之羃)(餘卽內減棊斷上方之羃也本方之羃卽外四棊之斷上羃然則餘高自乘卽外三)(棊之斷上羃矣不問高卑勢皆然也然固有所歸同而塗殊者爾而乃控遠以演類)(借况以析㣲按陽馬方高數參等者列而立之横截去上則高自乘與斷上羃數亦)(等焉夫疊棊成立積緣羃勢旣同則積不容異由此觀之規之外三棊旁蹙爲一卽)(一陽馬也三分立方則陽馬居一內棊居二可知矣合八小方成一大方合八內棊)(成一合蓋內棊居小方三分之二則合蓋居立方亦三分之二較然驗矣置三分之)(二以圓羃率三乘之如方羃率四而一約而定之以爲丸率故曰丸居立方三分之)(一也等數旣密心亦昭晰張衡放舊貽哂於後劉徽循故未暇校新夫豈難哉抑未)(之思也依密率立此圓積本以圓徑再自乘十一乘之二十一而一約此積今欲求)(其本積故以二十一乘之十一而一凡物再自乘開立方除之復其本數故立方除)(之卽丸徑也)九章算術卷四祖暅之開立圓術曰以二十一乘積十一而一開立方除之卽立圓徑其意何也取立方棊一枚令立樞於左後之下隅從規去其右上之廉又合而橫規之去其前上之廉右前之廉於是立方之棊分而爲四規內棊一謂之內棊規外棊三謂之外棊更合四棊復横斷之以句股言之令餘高爲句內棊斷上方爲股本方之數其弦也句股之法以句幂減弦幂則餘爲股幂若令餘高自乘減本方之幂餘卽內減棊斷上方之幂也本方之幂卽外四棊之斷上幂然則餘高自乘卽外三棊之斷上幂矣不問高卑勢皆然也(以上借立方棊以論立圓而所言僅及句股弦與平幂不足見圓術當有脫誤)故曰丸居立方三分之一也(此句舛誤據上言置三分之二以三)(乘之如四而一乃丸居立方二分之一非三分之一况以上眀祖氏圓術其率乃丸居立方二)(十一分之十一下云圓徑再自乘十一乘之如二十一而一是也若二分之一於祖氏術不恊)(矣又祖氏方幂率十四圓幂率十一亦不得用方幂四圓幂三之疎率以解祖氏說自祖暅之)(開立方圓術曰至此似因傳寫旣訛後人妄加竄改遂不可通今考立方與圓囷猶之平方與)(平圓也其率亦方積十四圓囷積十一而丸居圓囷三分之二與十四分之十一通之分母乘)
## 5
九章算術卷第五(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋商功(以御功程積實)今有穿地積一萬尺問爲堅壤各幾何荅曰爲堅七千五百尺爲壤一萬二千五百尺術曰穿地四爲壤五(壤謂息土)爲堅三(堅爲築土)爲墟四(墟謂穿坑此皆其常率)以穿地求壤五之求堅三之皆四而一(今有術也)以壤求穿四之求堅三之皆五而一以堅求穿四之求壤五之皆三而一(臣淳風等謹按此術竝今有之義也重張穿地積一萬尺爲所)(有數堅率三壤率五各爲所求率墟率四爲所有率而今有之卽得)城垣隄溝壍渠皆同術術曰并上下廣而半之(損廣補狹)以高若深乘之又以袤乘之卽積尺(按此術并上下廣而半之者以盈補)(虚得中平之廣以高若深乘之堅率三壤率五各爲所求率墟率四爲所有率而今)(有之得一頭之立羃又以袤乘之者得立實之積故爲積尺)今有城下廣四丈上廣二丈高五丈袤一百二十六丈五尺問積幾何荅曰一百八十九萬七千五百尺今有垣下廣三尺上廣二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸問積幾何荅曰六千七百七十四尺今有隄下廣二丈上廣八尺高四尺袤一十二丈七尺問積幾何荅曰七千一百一十二尺冬程人功四百四十四尺問用徒幾何荅曰一十六人一百一十一分人之二術曰以積尺爲實程功尺數爲法實如法而一卽用徒人數今有溝上廣一丈五尺下廣一丈深五尺袤七丈問積幾何荅曰四千三百七十五尺春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四問用徒幾何荅曰七人三千六十四分人之四百二十七術曰置本人功去其五分之一餘爲法(去其)(五分之一者謂以四乘五除也)以溝積尺爲實實如法而一得用徒人數(按此術本置人功去其五分之一者謂以四乘之五)(而一除去出土之功取其定功乃通分内子以爲法以分母乘溝積尺爲實者法裏)(有分實裏通之實如法而一卽用徒人數此以一人之積尺除其衆尺故用徒人數)(不盡者等數約之而命分也)今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸問積幾何荅曰一萬九百四十三尺八寸(八寸者謂)(穿地方尺深八寸此積餘有方寸中二分四釐五毫乘之貴欲從易非其)(常定也)夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙礫水石之功作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四問用徒幾何荅曰四十七人三千四百八十四分人之四百九術曰置本人功去其出土功五分之一又去沙礫水石之功太半餘爲法以壍積尺爲實實如法而一卽用徒人數(按此術置本人功去)(其出土功五分之一者謂以四乘五除又去沙礫水石作太半者一乘三除存其少)(半取其定功乃通分内子以爲法以分母乘壍積尺爲實法裏有分實裏通之實如)(法而一卽用徒人數不盡者等數約之而命分也)今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積幾何荅曰一千七萬四千五百八十五尺六寸秋程人功三百尺問用徒幾何荅曰三萬三千五百八十一一人功内少一十四尺四寸一千人先到問當受袤幾何荅曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八術曰以一人功尺數乘先到人數爲實(以一)(千人一日功爲實立幂爲功)并渠上下廣而半之以深乘之爲法(以渠廣深之立幂爲法)實如法得袤尺今有方堢壔(堢者堢城也壔音丁老切又音纛謂以土擁木也)方一丈六尺高一丈五尺問積幾何荅曰三千八百四十尺術曰方自乘以高乘之卽積尺今有圓堢壔周四丈八尺高一丈一尺問積幾何荅曰二千一百一十二尺(於徽術當積二千一)(十七尺一百五十七分尺之一百三十一臣淳風等謹按依密率積二)(千一十六尺)術曰周自相乘以高乘之十二而一(此章諸術)(亦以周三徑一爲率皆非也於徽術當以周自乘以高乘之又以二十五乘之三百)(一十四而一此之圓羃亦如圓田之羃也求羃亦如圓田而以高乘羃也臣淳風)(等謹按依密率以七乘之八十八而一)今有方亭下方五丈上方四丈高五丈問積幾何荅曰一十萬一千六百六十六尺太半尺術曰上下方相乘又各自乘并之以高乘之三而一(此章有壍堵陽馬皆合而成立方蓋說算者乃立棊三品以效)(高深之積假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵)(四四角陽馬四上下方相乘爲三尺以高乘之約積三尺是爲得中央立方一四面)(壍堵各一上方自乘亦得中央立方一下方自乘爲九以高乘之得積九尺是爲中)(央立方一四面壍堵各二四角陽馬各三也上方自乘以高乘之得積一尺又爲中)(央立方一凡三品棊皆一而爲三故三而一得積尺用棊之數立方三壍堵陽馬各)(十二凡二十七棊十二與三更差次之而成方亭者三驗矣爲術又可令方差自乘)(以高乘之三而一卽四陽馬也上下方相乘以高乘之卽中央立方及四面壍堵也)(并之以爲方亭積數也)今有圓亭下周三丈上周二丈高一丈問積幾何荅曰五百二十七尺九分尺之七(於徽)(術當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也按密率爲積五)(百三尺三十三分尺之二十六)術曰上下周相乘又各自乘并之以高乘之三十六而一(此術周三徑一之義合以三除上下周各爲上下徑)(以相乘又各自乘并以高乘之三而一爲方亭之積假令三約上下周俱不盡還通)(之卽各爲上下徑令上下徑分母相乘又各自乘并以高乘之爲三方亭之積此合)(分母三相乘得九分母各自乘亦得九爲法除之又三而一得方亭之積從方亭求)(圓亭之積亦猶方羃中求圓羃乃令圓率三乘之方率四而一得圓亭之積前求方)(亭之積乃以三而一今求圓亭之積亦各三乘之二母旣同故相凖折惟以方羃四)(乘分母九得三十六而連除之於徽術當上下周相乘又各自乘并以高乘之又二)(十五乘之九百四十二而一此方亭四角圓殺比於方亭二百分之一百五十七爲)(術之意先作方亭三而一則此據上下徑爲之者當又以一百五十七乘之六百而)(一也今據周爲之若於圓堢壔又以二十五乘之三百一十四而一則先得三圓亭)(矣故以三百一十四爲九百四十二而一并除之臣淳風等謹按依密率以七乘)(之二百六十四而一)今有方錐下方二丈七尺高二丈九尺問積幾何荅曰七千四十七尺術曰下方自乘以高乘之三而一(按此術假令方)(錐下方二尺高一尺卽四陽馬如術爲之用十二陽馬成三方錐故三而一得陽馬)(也)今有圓錐下周三丈五尺高五丈一尺問積幾何荅曰一千七百三十五尺一十二分尺之五(於徽術當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十)(三依密率爲積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七)術曰下周自乘以高乘之三十六而一(按此)(術圓錐下周以爲方錐下方方錐下方令自乘以高乘之合三而一得大錐方之積)(大錐方之積合十二圓矣今求一圓復合十二除之故令三乘十二得三十六而連)(除於徽術當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一圓錐比於方)(錐亦二百分之一百五十七令徑自乘者亦當以一百五十七乘之六百而一其說)(如圓亭也臣淳風等謹按依密率以七乘之二百六十四而一)今有壍堵下廣二丈袤一十八丈六尺高二丈五尺問積幾何荅曰四萬六千五百尺術曰廣袤相乘以高乘之二而一(邪解立方得兩)(壍堵雖復橢方亦爲壍堵故二而一此則合所規羃推其物體蓋爲壍上疊也其形)(如城而無上廣與所規棊形異而同實未聞所以名之爲壍堵之說也)今有陽馬廣五尺袤七尺高八尺問積幾何荅曰九十三尺少半尺術曰廣袤相乘以高乘之三而一(按此術陽馬之)(形方錐一隅也今謂四柱屋隅爲陽馬假令廣袤各一尺高一尺相乘之得立方積)(一尺邪解立方得兩壍堵邪解壍堵其一爲陽馬一爲鼈臑陽馬居二鼈臑居一不)(易之率也合兩鼈臑成一陽馬合三陽馬而成一立方故三而一驗之以棊其形露)(矣悉割陽馬凡爲六鼈臑觀其割分則體勢互通蓋易了也其棊或脩短或廣狹立)(方不等者亦割分以爲六鼈臑其形不悉相似然見數同積實均也鼈臑殊形然陽)(馬異體則不純合不純合則難爲之矣何則按邪解方棊以爲壍堵者必當以半爲)(分邪解壍堵以爲陽馬者亦必當以半爲分一從一横耳設陽馬爲分内鼈臑爲分)(外棊雖或隨脩短廣狹猶有此分常率如殊形異體亦同也者以此而已其使鼈臑)(廣袤各高二尺用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使陽馬之廣袤高各二尺用立)(方之棊一壍堵陽馬之棊各二皆用黑棊棊之赤黑接爲壍堵廣袤高各二尺於是)(中效其廣又中分其高令赤黑壍堵各自適當一方高二尺方二尺每二分鼈臑則)(一陽馬也其餘兩端各積本體合成一方焉是爲别種而方者率居三通其體而方)(者率居一雖方隨棊改而固有常然之勢也按餘數具而可知者有一二分之别卽)(一二之爲率定矣其於理也豈虛矣若爲數而窮之置餘廣袤高之數各半之則四)(分之三又可知也半之彌少其餘彌細至細曰微微則無形由是言之安取餘哉數)(而求窮之者謂以情推不用籌算鼈臑之物不同器用陽馬之形或隨脩短廣狹然)(不有鼈臑無以審陽馬之數不有陽馬無以知錐亭之數功實之主也)今有鼈臑下廣五尺無袤上袤四尺無廣高七尺問積幾何荅曰二十三尺少半尺術曰廣袤相乘以高乘之六而一(按此術臑者臂)(骨也或曰半陽馬其形有似鼈肘故以名云中破陽馬得兩鼈臑鼈臑之見數卽陽)(馬之半數數同而實據半故云六而一卽得)今有羡除下廣六尺上廣一丈深三尺末廣八尺無深袤七尺問積幾何荅曰八十四尺術曰并三廣以深乘之又以袤乘之六而一(按此術羨除實隧道也其所穿地上平下邪似兩鼈臑夾一壍堵卽羨除之形)(假令用此棊上廣三尺深一尺下廣一尺末廣一尺無深袤一尺下廣皆壍堵之廣)(上廣者兩鼈臑與一壍堵相連之廣也以深袤乘得積五尺鼈臑居二壍堵居三其)(於本棊皆以爲六故六而一合四陽馬以爲方錐邪畫方錐之底亦令爲中方就中)(方削而上合全爲中方錐之半於是陽馬之棊悉中解矣中錐離而爲四鼈臑焉故)(外錐之半亦爲四鼈臑雖背正異形與常所謂鼈臑參不相似實則同也所云夾壍)(堵者中錐之鼈臑也凡壍堵上袤短者連陽馬也下袤短者與鼈臑連也下兩袤相)(等者亦與鼈臑連也并三廣以高袤乘六而一皆其積也今此羨除之廣卽壍堵之)(袤也按此本是三廣不等卽與鼈臑連者别而言之中央壍堵廣六尺高三尺袤七)(尺末廣之兩旁各一小鼈臑皆與壍堵等令小鼈臑居裏大鼈臑居表則大鼈臑出)(橢皆方錐下廣三尺袤六尺高七尺分取其半則爲袤三尺以高廣乘之三而一卽)(半錐之積也邪解半錐得此兩大鼈臑求其積亦當六而一合與常率矣按陽馬之)(棊兩邪棊底方當其方也不問旁角而割之相半可知也推此上連無成不方故方)(錐與陽馬同實角而割之者相半之勢此大小鼈臑可知更相表裏但體有背正也)今有芻甍下廣三丈袤四丈上袤二丈無廣高一丈問積幾何荅曰五千尺術曰倍下袤上袤從之以廣乘之又以高乘之六而一(推明義理者舊說云凡積芻甍有上下廣曰童甍謂其屋)(蓋之茨也是故甍之下廣袤與童之上廣袤等正斬方亭兩邊合之卽芻甍之形也)(假令下廣二尺袤三尺上袤一尺無廣高一尺其用棊也中央壍堵二兩端陽馬各)(二倍下袤上袤從之爲七尺以高廣乘之得羃十四尺陽馬之羃各居一壍堵之羃)(各居三以高乘之得積十四尺其於本棊也皆一而爲六故六而一卽得亦可令上)(下袤差乘廣以高乘之三而一卽四陽馬也下廣乘上袤而半之高乘之卽二壍堵)(并之以爲甍積也)芻童曲池盤池冥谷皆同術術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤上袤從之各以其廣乘之并以高若深乘之皆六而一(按此術假令芻童上廣一尺袤二尺下廣三尺袤四尺高一尺其用棊也)(中央立方二四面壍堵六四角陽馬四倍下袤爲八上袤從之爲十以下廣乘之得積)(三十尺是爲得中央立方各三兩邊壍堵各四兩旁壍堵各六四角陽馬亦各六復)(倍上袤下袤從之爲八以高廣乘之得積八尺是爲得中央立方亦各三兩端壍堵)(各二并兩旁三品棊皆一而爲六故六而一卽得爲術又可令上下廣袤差相乘以)(高乘之三而一亦四陽馬上下廣袤互相乘并而半之以高乘之卽四面六壍堵與)(二立方并之爲芻童積又可令上下廣袤互相乘而半之上下廣袤又各自乘并以)(高乘之三而一卽得也)其曲池者并上中外周而半之以爲上袤亦并下中外周而半之以爲下袤(此池環而不通匝形如盤虵而曲之亦云周者謂如委榖依垣之周耳引)(而伸之周爲袤求袤之意環田也)今有芻童下廣二丈袤三丈上廣三丈袤四丈高三丈問積幾何荅曰一萬六千五百尺今有曲池上中周二丈外周四丈廣一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺廣五尺深一丈問積幾何荅曰一千八百八十三尺三寸少半寸今有盤池上廣六丈袤八丈下廣四丈袤六丈深二丈問積幾何荅曰七萬六百六十六尺太半尺負土往來七十步其二十步上下棚除棚除二當平道五踟蹰之間十加一載輸之間三十步定一返一百四十步土籠積一尺六寸秋程人功行五十九里半問人到積尺及用徒各幾何荅曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二術曰以一籠積尺乘程行步數爲實往來上下棚除二當平道五(棚閣除邪道有上下之難故使二當)(五也)置定往來步數十加一及載輸之間三十步以爲法除之所得卽一人所到尺(按此)(術棚閣除邪道有上下之難故使二當五置定往來步數十加一及載輸之間三十)(步是爲往來求一返凡用一百四十步於今有術爲所有行率籠積一尺六寸爲所)(求到土率程行五十九里半爲所有數而今有之卽人到尺數以所到約積尺卽用)(徒人數者此一人之積除其衆積尺故得用徒人數爲術又可令往來一返所用之)(步約程行爲返數乘籠積爲一人所到以此術與今有術相反覆則乘除之或先後)(意各有所在而同歸耳)以所到約積尺卽用徒人數今有冥谷上廣二丈袤七丈下廣八尺袤四丈深六丈五尺問積幾何荅曰五萬二千尺載土往來二百步載輸之間一里程行五十八里六人共車車載三十四尺七寸問人到積尺及用徒各幾何荅曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六術曰以一車積尺乘程行步數爲實置今往來步數加載輸之間一里以車六人乘之爲法除之所得卽一人所到尺(按此術今有之)(義以載輸及往來并得五百步爲所有行率車載三十四尺七寸爲所求到土率程)(行五十八里通之爲步爲所有數而今有之所得則一車所到欲得人到者當以六)(人除之卽得術有分故亦更令乘法而并除者亦用以半尺數以爲一人到土率六)(人乘五百步爲行率也又可以五百步爲行率令六人約半積尺數爲一人到土率)(以載土術入之入之者亦可求返數也要取其會通而已術恐有分故令乘法而并)(除以所到約積尺卽用徒人數者以一人所積尺除其衆積故得射徒人數也)以所到約積尺卽用徒人數今有委粟平地下周一十二丈高二丈問積及爲粟幾何荅曰積八千尺(於徽術當積七千六百四十三尺一百五十七分尺)(之四十九臣淳風等謹按依密率爲積七千六百三十六尺十一分尺)(之四)爲粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六(於徽術當粟二千八百三十斛一千四百一十)(三分斛之一千二百一十臣淳風等謹按依密率爲粟二千八百二十)(八斛九十九分斛之二十八)今有委菽依垣下周三丈高七尺問積及爲菽各幾何荅曰積三百五十尺(依徽術當積三百三十四尺四百七十一)(分尺之一百八十六也臣淳風等謹按依密率爲積三百三十四尺十)(一分尺之一)爲菽一百四十四斛二百四十三分斛之八(依徽術當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛)(之十千七百七十一臣淳風等謹按依密率爲菽一百三十七斛八百)(九十一分斛之四百三十三)今有委米依垣内角下周八尺高五尺問積及爲米幾何荅曰積三十五尺九分尺之五(於徽術當積三十二)(尺四百七十一分尺之四百五十七臣淳風等謹按依密率當積三十)(三尺三十三分尺之三十一)爲米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一(於徽術當米二十斛三萬八千一百五十一分)(斛之三萬六千九百八十臣淳風等謹按依密率爲米二十斛二千六)(百七十三分斛之二千五百四十)委粟術曰下周自乘以高乘之三十六而一(此猶)(圓錐也於徽術亦當下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也)其依垣者(居圓錐之半也)十八而一(於徽術當令此下周自乘)(以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半於全周其自乘之羃居)(全周自乘之羃四分之一故半全周之法以爲法也)其依垣内角者(角隅也居圓錐四分之一也)九而一(於徽術當令此下周自乘而倍之以)(高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半於依垣其自乘之羃居依)(垣自乘之羃四分之一當半依垣之法以爲法法不可半故倍其實又此術亦用周)(三徑一之率假令以三除周得徑若不盡通分内子卽爲徑之積分令自乘以高乘)(之爲三方錐之積分母自相乘得九爲法又當三而一約方錐之積從方錐中求圓)(錐之積亦猶方羃求圓羃乃當三乘之四而一得圓羃之積前求方積乃合三而一)(今求圓錐之積復合三乘之二母旣同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而連)(除圓錐之積其圓錐之積與平地聚粟同故三十六而一臣淳風等謹依密率以)(七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六十六而一)(也)程粟一斛積二尺七寸(二尺七寸者謂方一尺深二尺七寸)(凡積二千七百寸)其米一斛積一尺六寸五分寸之一(謂積一千六百二十寸)其菽荅麻麥一斛皆二尺四寸十分寸之三(謂積二千四百三十寸此爲以精麤爲率)(而不等其槩也粟率五米率三故米一斛於粟一斛五分斛之三菽荅麻麥亦如本)(率云故謂此三量器爲槩而皆不合於今斛當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五)(釐正深一尺於徽術爲積一千四百四十一寸排成餘分又有十分寸之三王莽銅)(斛於今尺爲深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐二毫以徽術計之於今斛爲)(容九斗七升四合有奇周官考工記㮚氏爲量深一尺内方一尺而圓外其實一鬴)(於徽術此圓積一千五百七十六寸左氏傳曰齊舊四量豆區釜鍾四升曰豆各自)(其四以登於釜釜十則鍾鍾六斛四斗釜六斗四升方一尺深一尺其積一千寸若)(此方積容四斗二升則通外圓積成旁容十斗四合一龠五分龠之三也以數相乘)(之則斛之制方一尺而圓其外庣旁一釐七毫羃一百五十六寸四分寸之一深一)(尺積一千五百六十二寸半容十斗王莽銅斛與漢書律歷志所論斛同)今有穿地袤一丈六尺深一丈上廣六尺爲垣積五百七十六尺問穿地下廣幾何荅曰三尺五分尺之三術曰置垣積尺四之爲實(實穿地四爲堅三垣堅也以堅)(求穿地當四之三而一也)以深袤相乘(爲深袤之立實也)又以三之爲法(以深袤乘之立實除垣積則阬廣又三之者與堅率并除之)所得倍之(阬有兩廣先并而半之卽爲廣狹之中平今先得其中平故又)(倍之知兩廣全也)減上廣餘卽下廣(按此術穿地四爲堅三垣)(卽堅也今以堅求穿地當四乘之三而一深袤相乘者爲深袤立羃以深袤立羃除)(積卽阬廣又三之爲法與堅率并除所得倍之者爲阬有兩廣先并而半之爲中平)(之廣今此得中平之廣故倍之還爲兩廣并故減上廣餘卽下廣也)今有倉廣三丈袤四丈五尺容粟一萬斛問高幾何荅曰二丈術曰置粟一萬斛積尺爲實廣袤相乘爲法實如法而一得高尺(以廣袤之羃除積故得高按此術本)(以廣袤相乘以高乘之得此積今還原置此廣袤相乘爲法除之故得高也)今有圓囷(圓囷廩也亦云圓囤也)高一丈三尺三寸少半寸容米二千斛問周幾何荅曰五丈四尺(於徽術當周五丈五尺二寸二十分寸之)(九臣淳風等謹依密率爲周五丈五尺一百分尺之二十七)術曰置米積尺(此卽猶圓堢壔之積)以十二乘之令高而一所得開方除之卽周(於徽術當置米積尺以三)(百一十四乘之爲實二十五乘囷高爲法所得開方除之卽周也此亦據見羃以求)(周失之於微少也晉武庫中有漢時王莽所作銅斛其篆書字題斛旁云律嘉量斛)(方一尺而圓其外庣旁九釐五毫羃一百六十二寸深一尺積一千六百二十寸容)(十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圜其外庣旁九釐五毫羃一尺六寸二分深一寸)(積一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有讃文與今)(律歷志同亦魏晉所常用今祖疏王莽銅斛文字尺寸分數然不盡得升合勺之文)(字按此術本周自相乘以高乘之十二而一得此積今還元置此積以十二乘之令)(高而一卽復本周自乘之數凡物自乘開方除之復其本周自乘之數故開方除之)(卽得也臣淳風等謹依密率以八十八乘之爲實七乘囷高爲法實如法而一開)(方除之卽周也)九章算術卷五九章算術卷五訂訛(算經十書之二)休寧 戴 震 東原今有壍上廣一丈六尺三寸下廣一丈深六尺三寸袤十三丈二尺一寸問積幾何荅曰一萬九百四十三尺八寸(此積以立方一尺者計之餘有方尺而深八寸二分)(四釐五毫實八十二萬四千五百分也)今有穿渠上廣一丈八尺下廣三尺六寸深一丈八尺袤五萬一千八百二十四尺問積幾何荅曰一千七萬四千五百八十五尺六寸(此六寸亦)(方尺而深六寸實積六百寸也)
## 6
九章算術卷第六(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋均輸(以御遠近勞費)今有均輸粟甲縣一萬戸行道八日乙縣九千五百戸行道十日丙縣一萬二千三百五十戸行道十三日丁縣一萬二千二百戸行道二十日各到輸所凡四縣賦當輸二十五萬斛用車一萬乘欲以道里遠近戸數多少衰出之問粟車各幾何荅曰甲縣粟八萬三千一百斛車三千三百二十四乘乙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘丙縣粟六萬三千一百七十五斛車二千五百二十七乘丁縣粟四萬五百五十斛車一千六百二十二乘均輸(按此均輸猶均運也令戸率出車以行道日數爲均發粟爲輸)術曰令縣戸數各如其本行道日數而一以爲衰(據甲行道八日因使八戸共出一車乙行道十日因使十戸共出一)(車計其在道則皆戸一日出一車故可爲均平之率也)甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并爲法以賦粟車數乘未并者各自爲實(衰分)(科率)實如法得一車(各置所當出車以其行道日數乘之如戸數而)(一得率戸用車二百四十七分日之三十一故謂之均求此率以戸當各計車之衰)(分也臣淳風等謹按縣戸有多少之差行道有遠近之異欲其均等故各令行道)(日數約戸爲衰行道多者少其戸行道少者多其戸故各令約戸爲衰以八日約除)(甲縣得一百二十五乙丙各九十五丁六十一於今有術副并爲所有率未并者各)(爲所求率以賦粟車數爲所有數而今有之各得車數一旬除乙十三除丙各得九)(十五二旬除丁得六十一也)有分者上下軰之(軰配也車牛人)(之數不可分裂推少就多均賦之宜今按甲分旣少宜從於乙滿法除之有餘從丙)(丁分又少亦宜就丙除之適盡加乙丙各一上下軰益以少從多也)以二十五斛乘車數卽粟數今有均輸卒甲縣一千二百人薄塞乙縣一千五百五十人行道一日丙縣一千二百八十人行道二日丁縣九百九十人行道三日戊縣一千七百五十人行道五日凡五縣賦輸卒一月一千二百人欲以遠近戸率多少衰出之問縣各幾何荅曰甲縣二百二十九人乙縣二百八十六人丙縣二百二十八人丁縣一百七十一人戊縣二百八十六人術曰令縣卒各如其居所及行道日數而一以爲衰(按此亦以日數爲均居所爲輸甲無行道日但以居所三十日)(爲率言欲爲均平之率者當使甲三十人而出一人乙三十一人而出一人出一人)(者計役則皆一人一日是以可爲均平之率)甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并爲法以人數乘未并者各自爲實實如法而一(各置所當出人數以)(其居所及行道日數乘之如縣人數而一得戸率人役五日七分日之五臣淳風)(等謹按爲衰於今有術副并爲所有率未并者各爲所求率以賦卒人數爲所有數)(此術以别考則意同以廣異聞故存之也)有分者上下軰之(軰配)(也今按丁分最少宜就戊除不從乙者丁近戊故也滿法除之有餘從乙丙分又少)(亦就乙除有餘從甲除之適盡從甲丙二分其數正等二者於乙遠近皆同不以甲)(從乙者方以下從上也)今有均賦粟甲縣二萬五百二十戸粟一斛二十錢自輸其縣乙縣一萬二千三百一十二戸粟一斛十錢至輸所二百里丙縣七千一百八十二戸粟一斛十二錢至輸所一百五十里丁縣一萬三千三百三十八戸粟一斛十七錢至輸所二百五十里戊縣五千一百三十戸粟一斛十三錢至輸所一百五十里凡五縣賦輸粟一萬斛一車載二十五斛與僦一里一錢欲以縣戸賦粟令費勞等問縣各粟幾何荅曰甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三術曰以一里僦價乘至輸所里(此以出錢爲均也問)(者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢卽一里僦價也以乘里數者欲知僦一)(車到輸所所用錢也甲自輸其縣則無取僦價也)以一車二十五斛除之(欲知僦一斛所用錢)加一斛粟價則致一斛之費(加一斛之價於一斛僦直卽凡餘粟取僦錢也甲一斛之費二十乙丙各)(十八丁二十七戊十九也)各以約其戸數爲衰(言使甲二十戸)(共出一斛乙丙十八戸共出一斛計其所費則皆戸一錢故可爲均賦之率也)甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并爲法所賦粟乘未并者各自爲實實如法而一(各置所當出粟以其十斛之費乘之如戸數而一得率戸)(出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一臣淳風等謹按此以出錢爲)(均問者曰一車載二十五斛與僦一里一錢一錢卽一里僦價也以乘里數者欲知)(僦一車到輸所用錢甲自出其縣則無取僦之價以一車二十五斛除之者欲知僦)(一斛所用錢加一斛之價於一斛僦直卽凡餘粟取僦錢甲一斛之費二十乙丙各)(十八丁二十七戊十九各以約其戸爲衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰)(三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十戸共出一斛乙丙十八)(戸共出一斛計其所費則皆戸一錢故可爲均賦之率也於今有術副并爲所有率)(未并者各爲所求率賦粟一萬斛爲所有數此今有衰分之義也計經賦之率旣有)(戸算之率亦有遠近貴賤之率此二率者各自相與通通則甲二十乙十二丙七丁)(十三戊五一斛之費爲之錢率錢率約戸率者則錢爲母戸爲子子不齊令母互乘)(爲齊卽衰也若其不然以一斛之費約戸數取衰竝有分當通分内子約之於算甚)(䌓此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而已)(又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸數乘之)(亦可得一縣凡所當輸俱爲衰也乘之者乘其子母報除之以此觀之則以一斛之)(費約戸數者其意不異矣然則可置一斛之費而反衰之約戸以乘戸率爲衰也合)(分注曰母除爲率率乘子爲齊反衰注曰先同其母各以分母約其子爲反衰以施)(其率爲算旣約且不妨處下也)今有均賦粟甲縣四萬二千算粟一斛二十傭價一日一錢自輸其縣乙縣三萬四千二百七十二算粟一斛十八傭價一日十錢到輸所七十里丙縣一萬九千三百二十八算粟一斛十六傭價一日五錢到輸所一百四十里丁縣一萬七千七百算粟一斛十四傭價一日五錢到輸所一百七十五里戊縣二萬三千四十算粟一斛十二傭價一日五錢到輸所二百一十里已縣一萬九千一百三十六算粟一斛一十傭價一日五錢到輸所二百八十里凡六縣賦粟六萬斛皆輸甲縣六人共車車載二十五斛重車日行五十里空車日行七十里載輸之間各一日粟有貴賤傭各别價以算出錢令費勞等問縣各粟幾何荅曰甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六術曰以車程行空重相乘爲法并空重以乘道里各自爲實實如法得一日(臣淳風等謹按)(此術重往空還一輸再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分)(日之一齊而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百)(七十五里之路往返用六日也故并空重者齊其子也空重相乘者同其母也於今)(有術至輸所里爲所有數六爲所求率齊一百七十五爲所有率而今有之卽各得)(輸所用日也)加載輸各一日(欲得幾日也)而以六人乘之(欲知致一車用人也)又以傭價乘之(欲知致車人傭直幾)(錢)以二十五斛除之(欲知致一斛之傭直也)加一斛粟價卽致一斛之費(加一斛之價於致一斛之傭直卽凡輸一)(斛餘粟取傭所用錢)各以約其算數爲衰(今按甲衰四十二乙)(衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十已衰十六於今有術副并爲所有率未并)(者各自爲所求率所賦粟爲所有數此今有衰分之義也)副并爲法以所賦粟乘未并者各自爲實實如法得一斛(各置所當出粟以其一斛之費乘之如算數而一得率算出九錢一百三十三)(分錢之三又載輸之間各一日者卽二日也)今有粟七斗三人分春之一人爲糲米一人爲粺米一人爲糳米令米數等問取粟爲米各幾何荅曰糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三爲米各一斗六百五分斗之一百五十一術曰列置糲米三十粺米二十七糳米二十四而反衰之(此先約三率糲爲十粺爲九糳爲八欲令米等者其)(取粟糲率十分之一粺率九分之一糳率八分之一當齊其子故曰反衰也臣淳)(風等謹按米有精麤之異有多少之差據率粺糳少而糲多用粟則粺糳多而糲少)(米若依本率之分粟當倍率故今反衰之使精取多而麤得少)副并爲法以七斗乘未并者各自爲取粟實實如法得一斗(於今有術副并爲所有率未并者各爲所求率粟七斗爲所有數而)(今有之故各得取粟也)若求米等者以本率各乘定所取粟爲實以粟率五十爲法實如法得一斗(若徑求爲米等數者置糲米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二)(用粟二十五齊其粟同其米并齊爲法以七斗乘同爲實所得卽爲米斗數)今有人當稟粟二斛倉無粟欲與米一菽二以當所稟粟問各幾何荅曰米五斗一升七分升之三菽一斛二升七分升之六術曰置米一菽二求爲粟之數并之得三九分之八以爲法亦置米一菽二而以粟二斛乘之各自爲實實如法得一斛(臣淳風等)(謹按置粟率五乘米一米率三除之得一三分之二卽是米一之粟也粟率十以乘)(菽二菽率九除之得二九分之二卽是菽二之粟也并全得三齊子并之得二十四)(同母得二十七約之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二當粟三九分)(之八此其粟率也於今有術米一菽二皆爲所求率當粟三九分之八爲所有率粟)(二斛爲所有數凡言率者當相與通之則爲米九菽十八當粟三十五也亦有置米)(一菽二求其爲粟之率以爲列衰副并爲法以粟乘列衰爲實所得卽米一菽二所)(求粟也以米菽本率而今有之卽合所問)今有取傭負鹽二斛行一百里與錢四十今負鹽一斛七斗三升少半升行八十里問與錢幾何荅曰二十七錢十五分錢之十一術曰置鹽二斛升數以一百里乘之爲法(按此術以負鹽二斛升數乘所行一百里得二萬里是爲負鹽一升行二萬里得錢)(四十於今有術爲所有率升數乘所行里爲法於今有術爲所有數也)以四十錢乘今負鹽升數又以八十里乘之爲實實如法得一錢(以今負鹽升數乘所行里今負鹽一升凡所行)(里也於今有術以所有四十錢爲所求率也衰分章貸人千錢與此同)今有負籠重一石一十七斤行七十六步五十返今負籠重一石行百步問返幾何荅曰五十七返二千六百三分返之一千六百二十九術曰以故所行步數乘故籠重斤數爲法(此法謂負一斤一返所行之積步也)今籠重斤數乘今步又以返數乘之爲實實如法得一返(按此法負一斤)(一返所行之積步此實者一斤一日所行之積步故以一返之課除終日之程卽是)(返數也臣淳風等謹按此術所行步多者得返少所行步少者得返多然則所行)(者今返率也故令所得返乘今返之率爲實而以故返之率爲法今有術也按此負)(籠又有輕重於是爲術者因令重者得返少輕者得返多故又因其率以乘法實者)(重今有之義也然此意非也按此籠雖輕而行有限籠過重則人力遺力有遺而術)(無窮人行有限而籠輕重不等使其有限之力隨彼無窮之變故知此術率乖理也)(若故所行有空行返數設以問者當因其所負以爲返率則今返之數可得而知也)(假令空行一日六十里負重一斛行四十里減重一斗進二里半負重三斗以下與)(空行同今負籠重六斗往還行一百步問返幾何荅曰一百五十返術曰置重行率)(加十里以里法通之爲實以一返之步爲法實如法而一卽得也)今有程傳委輸空車日行七十里重車日行五十里今載太倉粟輸上林五日三返問太倉去上林幾何荅曰四十八里十八分里之十一術曰并空重里數以三返乘之爲法令空重相乘又以五日乘之爲實實如法得一里(此亦如上術率一百七十五里之路往返用六日也於今有術則五日爲所有)(數一百七十五里爲所求率六日爲所有率以此所得則三返之路今求一返當以)(三約之因令乘法而并除也爲術亦可各置空重行一里用日之率以爲列衰副并)(爲法以五日乘列衰爲實實如法所得卽各空重行日數也各以一日所行以乘爲)(凡日所行三返約之爲上林去太倉之數臣淳風等謹按此術重往空還一輸再)(還道置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齊而同之空重行)(一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六)(日故并空重者并齊也空重相乘者同其母也於今有術五日爲所有數一百七十)(五爲所求率六爲所有率以此所得則三返之路今求一返者當以三約之故令乘)(法而并除亦當約之也)今有絡絲一斤爲練絲十二兩練絲一斤爲靑絲一斤十二銖今有靑絲一斤問本絡絲幾何荅曰一斤四兩十六銖三十三分銖之十六術曰以練絲十二兩乘靑絲一斤十二銖爲法以靑絲一斤銖數乘練絲一斤兩數又以絡絲一斤乘之爲實實如法得一斤(按練絲一斤爲靑絲一斤十二銖此練率三百八十四靑率三百九十六也又絡絲)(一斤爲練絲十二兩此絡率十六練率十二也置今有靑絲一斤以練率三百八十)(四乘之爲實實如靑絲率三百九十六而一所得靑絲一斤練絲之數也又以絡率)(十六乘之所得爲實以練率十二爲法所得卽練絲用絡絲之數也是謂重今有也)(雖各有率不用中間故令後實乘前實後法乘前法而并除也故以練絲兩數爲實)(靑絲銖數爲法一曰又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩約之絡得四練得三此其)(相與之率又置練絲一斤銖數與靑絲一斤十二銖約之練得三十二靑得三十三)(亦其相與之率齊其靑絲絡絲同其二練絡得一百二十八靑得九十九練得九十)(六卽三率悉通矣今有練絲一斤爲所有數絡絲一百二十八爲所求率靑絲九十)(九爲所有率爲率之意猶此但不先約諸率耳凡率錯互不通者皆積齊同用之放)(此雖四五轉不異也言同其二練者以明三率之相與通耳於術無以異也又一術)(今有靑絲一斤銖數乘練絲一斤兩數爲實以靑絲一斤十二銖爲法所得卽用練)(絲兩數以絡絲一斤乘所得爲實以練絲十二兩爲法所得卽用絡絲斤數也)今有惡粟二十斗春之得糲米九斗今欲求粺米十斗問惡粟幾何荅曰二十四斗六升八十一分升之七十四術曰置糲米九斗以九乘之爲法亦置粺米十斗以十乘之又以惡粟二十斗乘之爲實實如法得一斗(按此術置今有求粺米十斗以糲米率十)(乘之如糲率九而一卽糲亦化爲惡粟矣此亦重今有之義爲術之意猶絡絲也雖)(各有率不問中間故令後實乘前實後法乘前法而并除之也)今有善行者行一百步不善行者行六十步今不善行者先行一百步善行者追之問幾何步及之荅曰二百五十步術曰置善行者一百步減不善行者六十步餘四十步以爲法以善行者之一百步乘不善行者先行一百步爲實實如法得一步(按此術以六十步減一百步餘四十步卽不善行者先行率也善行者行)(一百步追及率約之追及率得五先行率得二於今有術不善行者先行一百步爲)(所有數五爲所求率二爲所有率而今有之得追及步也)今有不善行者先行十里善行者追之一百里先至不善行者二十里問善行者幾何里及之荅曰三十三里少半里術曰置不善行者先行十里以善行者先至二十里增之以爲法以不善行者先行十里乘善行者一百里爲實實如法得一里(按此術不善行者旣先行十里後不及二十里并之得三十里也謂之先行率)(善行者一百里爲追及率約之先行率得三三爲所有率而今有之卽得也其意如)(上術)今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止問犬不止復行幾何步及之荅曰一百七步七分步之一術曰置兔先走一百步以犬走不及三十步減之餘爲法以不及三十步乘犬追步數爲實實如法得一步(按此術以不及三十步減先走一百)(步餘七十步爲兔先走率犬行二百五十步爲追及率約之先走率得七追及率得)(二十五於今有術不及三十步爲所有數二十五爲所求率七爲所有率而今有之)(卽得也)今有人持金十二斤出關關稅之十分而取一今關取金二斤償錢五千問金一斤値錢幾何荅曰六千二百五十術曰以十乘二斤以十二斤減之餘爲法以十乘五千爲實實如法得一(按此術置十二斤以)(一乘之十而一得一斤五分斤之一卽所當稅者也減二斤餘卽關取盈金以盈除)(所償錢卽金値也今術旣以十二斤爲所稅則是以十爲母故以十乘二斤及所償)(錢通其率於今有術五千錢爲所有數十爲所求率八爲所有率而今有之卽得也)今有客馬日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃覺持衣追及與之而還至家視日四分之三問主人馬不休日行幾何荅曰七百八十里術曰置四分日之三除三分日之一(按此術置)(四分日之三除三分日之一者除卽減也減之餘有十二分之五卽是主人追客還)(用日率也)半其餘以爲法(去其還存其往率之者子不可半故倍母)(二十四分之五是爲主人與客均行用日之率也)副置法增三分日之一(法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人)(未覺之前獨行用日之分也并連此數得二十四分日之十三則主人追及前用日)(之分也是爲客用日率也然則主人用日率者客馬行率也客用日率者主人馬行)(率也母同則子齊是爲客馬行率五主人馬行率十三於今有術三百里爲所有數)(十三爲所求率五爲所有率而今有之卽得也)以三百里乘之爲實實如法得主人馬一日行(欲知主人追客所行里者)(以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乘)(主人均行日分母二十四如客馬與主人均行用日分子五而一亦得主人馬一日)(行七百八十里也)今有金箠長五尺斬本一尺重四斤斬末一尺重二斤問次一尺各重幾何荅曰末一尺重二斤次一尺重二斤八兩次一尺重三斤次一尺重三斤八兩次一尺重四斤術曰令末重減本重餘卽差率也又置本重以四間乘之爲下第一衰副置以差率減之每尺各自爲衰(按此術五尺有四間者有四差也令本末)(相減餘卽四差之凡數也以四約之卽得每尺之差以差數減本重餘卽次尺之重)(也爲術所置如是而已今此率以四爲母故令母乘本爲衰通其率也亦可置末重)(以四問乘之爲上第一衰以差重率加之爲次下衰也)副置下第一衰以爲法以本重四斤徧乘列衰各自爲實實如法得一斤(以下第一衰爲法以本重乘其分母之數而又)(反此率乘本重爲實一乘一除勢無損益故惟本存焉衆衰相推爲率則其餘可知)(也亦可副置末衰爲法而以末重二斤乘列衰爲實此雖迂廽然是其舊故就新而)(言之也)今有五人分五錢令上二人所得與下三人等問各得幾何荅曰甲得一錢六分錢之二乙得一錢六分錢之一丙得一錢丁得六分錢之五戊得六分錢之四術曰置錢錐行衰(按此術錐行者謂如立錐初一次二次三次四)(次五各均爲一例者也)并上二人爲九并下三人爲六六少於九三(數不得等但以五四三二一爲率也)以三均加焉副并爲法以所分錢乘未并者各自爲實實如法得一錢(此問者令上二人與下三人等上下部差)(一人其差三均加上部則得二三均加下部則得三三下部猶差一人差得一以通)(於本率卽上下部等也於今有術副并爲所有率未并者各爲所求率五錢爲所有)(數而今有之卽得等耳假令七人分七錢欲令上二人與下五人等則上下部差三)(人并上部爲十三下部爲十五下多上少下不足減上當似上下部列差而後均減)(乃合所問耳此可倣下術令上二人分二錢半爲上率令下三人分二錢半爲下率)(上下二率以少減多餘爲實置二人三人各半之減五人餘爲法實如法得一錢卽)(衰相去也下衰率六分之五者丁所得錢數也)今有竹九節下三節容四升上四節容三升問中間二節欲均容各多少荅曰下初一升六十六分升之二十九次一升六十六分升之二十二次一升六十六分升之一十五次一升六十六分升之八次一升六十六分升之一次六十六分升之六十次六十六分升之五十三次六十六分升之四十六次六十六分升之三十九術曰以下三節分四升爲下率以上四節分三升爲上率(此二率者各其平率也)上下率以少減多餘爲實(按此上下節各分所容爲率者各其平率上下以少減多)(者餘爲中間五節半之凡差故以爲實也)置四節三節各半之以減九節餘爲法實如法得一升卽衰相去也(按此術上下節所容已定之節中間相去節數也實者中間五節半之凡)(差也故實如法而一則每節之差也)下率一升少半升者下第二節容也(一升少半升者下三節通分四升之平率平率卽爲中分)(節之容也)今有鳬起南海七日至北海鴈起北海九日至南海今鳬鴈俱起問何日相逢荅曰三日十六分日之十五術曰并日數爲法日數相乘爲實實如法得一日(按此術置鳬七日一至鴈九日一至齊其至同其日定六十三日鳬)(九至鴈七至令鳬鴈俱起而問相逢者是爲共至并齊以除同卽得相逢日故并日)(數爲法者并齊之意日數相乘爲實者猶以同爲實也一日鳬飛七分至之一鴈飛)(九分至之一齊而同之鳬飛定日行六十三分至之九鴈飛定日行六十三分至之)(七是爲南北海相去六十三分鳬日行九分鴈日行七分也并鳬鴈一日所行以除)(南北相去而得相逢日也)今有甲發長安五日至齊乙發齊七日至長安今乙發已先二日甲乃發長安問幾何日相逢荅曰二日十二分日之一術曰并五日七日以爲法(按此術并五日七日爲法者猶)(并齊爲法置甲五日一至乙七日一至齊而同之定三十五日甲七至乙五至并之)(爲十二至者用三十五日也謂甲乙與發之率耳然則日化爲至當除日故以爲法)(也)以乙先發二日減七日(減七日者言甲乙俱發今以發)(爲始發之端於本道里則餘分也)餘以乘甲日數爲實(七者)(長安去齊之率也五者後發相去之率也今問後發故舍七用五以乘甲五日爲二)(十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也)實如法得一日(一日甲行五分至之一乙行七分至之一齊而同之甲定日行三十五分至之七乙)(定日行三十五分至之五是爲齊去長安三十五分甲日行七分乙日行五分也今)(乙先行發二日巳行十分餘相去二十五分故減乙二日餘令相乘爲二十五分)今有一人三日爲牡瓦三十八枚一人二日爲牝瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半問成瓦幾何荅曰二十五枚少半枚術曰并牝牡爲法牝牡相乘爲實實如法得一枚(此術亦與鳬鴈術同牝牡瓦相并猶如鳬鴈日飛相并也臣淳風)(等謹按此術并牝牡爲法者并齊之意牝牡相乘爲實者猶以同爲實也故實如法)(卽得也)今有一人一日矯矢五十一人一日羽矢三十一人一日筈矢十五今令一人一日自矯羽筈問成矢幾何荅曰八矢少半矢術曰矯矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人太半人筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以爲法以五十矢爲實實如法得一矢(按此術言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作猶鳬鴈)(共至之類亦以同爲實并齊爲法可令矢互乘一人爲齊矢相乘爲同今先令同於)(五十矢矢同則徒齊其歸一也以此術爲鳬鴈者當鴈飛九日而一至鳬飛七日而)(一至七分至之二并之得二至七分至之二以爲法以九日爲實實如法而一得一)(人日矯矢之數也)今有假田初假之歲三畝一錢明年四畝一錢後年五畝一錢凡三歲得一百問田幾何荅曰一頃二十七畝四十七分畝之三十一術曰置畝數及錢數令畝數互乘錢數并以爲法畝數相乘又以百錢乘之爲實實如法得一畝(按此術令畝互乘錢者齊其錢畝數相乘者同其畝同於)(六十則初假之歲得錢二十明年得錢十五後年得錢十二也凡三歲得錢一百爲)(所有數同畝爲所求率四十七錢爲所有率今有之卽得也齊其錢同其畝亦如鳬)(鴈術於今有術百錢爲所有數同畝爲所求率并齊爲所有率臣淳風等謹按假)(田六十畝初歲得錢二十明年得錢十五後年得錢十二并之得錢四十七是爲得)(田六十畝三歲所治於今有術百錢爲所有數六十畝爲所求率四十七爲所有率)(而今有之卽合問也)今有程耕一人一日發七畝一人一日耕三畝一人一日耰種五畝今令一人一日自發耕耰種之問治田幾何荅曰一畝一百一十四步七十一分步之六十六術曰置發耕耰畝數令互乘人數并以爲法畝數相乘爲實實如法得一畝(此猶鳬鴈術也)(臣淳風等謹按此術亦發耕耰種畝數互乘人者齊其人畝數相乘者同其畝故)(并齊爲法以同爲實計田一百五畝發用十五人耕用三十五人種用二十一人并)(之得七十一工治得一百五畝故以爲實而一人一日所治故以人數爲法除之卽)(得也)今有池五渠注之其一渠開之少半日一滿次一日一满次二日半一滿次三日一满次五日一滿今皆決之問幾何日滿池荅曰七十四分日之十五術曰各置渠一日滿池之數并以爲法(按此)(術其一渠少半日滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是一日五分滿)(之二也次三日滿者是一日三分滿之一也次五日滿者是一日五分滿之一也并)(之得四滿十五分滿之十四也)以一日爲實實如法得一日(此猶矯矢之術也先令同於一日日同則滿齊自鳬鴈至此其爲同齊有二術)(焉可隨率宜也)其一術列置日數及滿數(其一渠少半日)(滿者是一日三滿也次一日一滿次二日半滿者是五日二滿次三日一滿次五日)(一滿此謂之列置日數及滿數也)令日互相乘滿并以爲法日數相乘爲實實如法得一日(亦如鳬鴈術也)(臣淳風等謹按此其一渠少半日滿池者是一日三滿池也次一日一滿次二日)(半滿者是五日再滿次三日一滿次五日一滿此謂列置日數於右行及滿數於左)(行以日互乘滿者齊其滿日數相乘者同其日滿齊而日同故并齊以除同卽得也)今有人持米出三關外關三而取一中關五而取一内關七而取一餘米五斗問本持米幾何荅曰十斗九升八分升之三術曰置米五斗以所稅者三之五之七之爲實以餘不稅者二四六互相乘爲法實如法得一斗(此亦重今有術也所稅者謂今所當稅之定三五七皆爲)(所求率二四六皆爲所有率置今有餘米五斗以七乘之六而一卽内關未稅之本)(米也又以三乘之二而一卽外關未稅之本米也今從末求本不問中間故令中率)(轉相乘而同之亦如絡絲術)(又一術外關三而取一則其餘本米三分之二也求外關所稅之餘則當置三分乘)(之二而一欲知中關以四乘之五而一欲知内關以六乘之七而一凡餘分者乘其)(母而以三五七相乘得一百五爲分母二四六相乘得四十八爲分子約而言之則)(是餘米於本所持三十五分之十六也於今有術餘米五斗爲所有數分母三十五)(爲所求率分子十六爲所有率也)今有人持金出五關前關二而稅一次關三而稅一次關四而稅一次關五而稅一次關六而稅一并五關所稅適重一斤問本持金幾何荅曰一斤三兩四銖五分銖之四術曰置一斤通所稅者以乘之爲實亦通其不稅者以減所通餘爲法實如法得一斤(此意猶上術也置一斤通所稅者謂令二三四五六相乘爲分母七百二十也)(通其所不稅者謂令所稅之餘一二三四五相乘爲分子一百二十也約而言之是)(爲餘金於本所持六分之一也以子減母凡五關所稅六分之五也於今有術所稅)(一斤爲所有數分母六爲所求率分子五爲所有率此亦重今有之義又雖各有率)(不問中間故令中率轉相乘而連除之卽得也置一以爲持金之本率以稅率乘之)(除之則其率亦成積分也)九章算術卷第六終九章算術卷六訂訛(算經十書之二)休寧 戴 震 東原臣淳風等謹按爲衰於今有術副并爲所有率未并者各爲所求率以賦卒人數爲所有數此術以别考則意同以廣異聞故存之也(爲衰二字上有)(脫文當云各令居所及行道曰數約縣卒爲衰)計經賦之率旣有戸算之率亦有遠近貴賤之率此二率者各自相與通通則甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之費謂之錢率錢率約戸率者則錢爲母戸爲子子不齊令母互乘爲齊卽衰也若其不然以一斛之費約戸數取衰並有分當通分内子約之於算甚繁此一章皆相與通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此從其簡易而巳又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸數乘之亦可得一縣凡所當輸俱未衰也乘之者乘其子母報除之以此觀之則以一斛之費約戸數者其意不異矣然則可置一斛之費而反衰之約戸以乘戸數爲衰也合分注曰母除爲率率乘子爲齊反衰法曰先同其母各以分母約其子爲反衰施其率爲算旣約且不妨處下也(計經賦之率至此多舛誤不可通)術曰以下三節分四升爲下率以上四節分三升爲上率(謂之率者以四節三節爲分母三升四升爲分子母互乘子得上率九下)(率十六母相乘得十二)上下率以少減多餘爲實(十六減九餘七)置四節三節各半之以減九節餘爲法實如法得一升卽衰相去也(以十二通五節半得六十六爲一升之率)
## 7
九章算術卷七(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋盈不足(以御隱雜互見)今有共買物人出八盈三人出七不足四問人數物價各幾何荅曰七人物價五十三今有共買鷄人出九盈十一人出六不足十六問人數鷄價各幾何苔曰九人鷄價七十今有共買璡人出半盈四人出少半不足三問人數璡價各幾何荅曰四十二人璡價十七今有共買牛七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十問家數牛價各幾何荅曰一百二十六家牛價三千七百五十(按此術并盈不足者爲衆家之)(差故以爲實置所出率各以家數除之各得一家所出率以少減多者得)(一家之差以除卽家數以出率乘之減盈故得牛價也)盈不足(按盈者謂之朓不足者謂之朒所出率謂之假令盈朒維乘兩設者)(欲爲齊同之意)術曰盈不足相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率并以爲實并盈不足爲法(據共買物人出八盈三人出七不足四齊其假)(令同其盈朒盈朒俱十二通計齊則不盈不朒之正數故可并以爲實并盈不足爲)(法齊之三十二者是四假令有盈十二齊之二十一者是三假令亦朒十二并七假)(令合爲一實故并三四爲法)有分者通之(若兩設有分者齊其子同)(其母此問兩設俱見零分故齊其子同其母)副置所出率以少減多餘以約法實實爲物價法爲人數(令下)(維乘上訖以同約之不可約故以乘同之所出率以少減多者餘謂之設差以爲少)(設則并盈朒是爲定實故以少設約法則爲人數約實則爲物價盈朒當與少設相)(通不可徧約亦當分母乘設差爲約法實)其一術曰并盈不足爲實以所出率以少減多餘爲法實如法得一人以所出率乘之減盈增不足卽物價(此術意謂盈不足爲衆人之差以所)(出率以少減多餘爲一人之差以一人之差約衆人之差故得人數也)今有共買金人出四百盈三千四百人出三百盈一百問人數金價各幾何荅曰三十三人金價九千八百今有共買羊人出五不足四十五人出七不足三問人數羊價各幾何荅曰二十一人羊價一百五十兩盈兩不足術曰兩盈兩不足相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率以少減多餘爲實兩盈兩不足以少減多餘爲法有分者通之副置所出率以少減多餘以約法實實爲物價法爲人數(按此術兩盈者)(兩設皆逾於正數兩不足者兩設皆不足於正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈)(而或有勢同而情違者當其爲實俱令不足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所)(以爲實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆逾於正數假令與共買物人出)(八盈三人出九盈十齊其假令同其兩盈兩盈俱三十舉齊則兼去其餘所以爲實)(者無盈數兩盈以少減多餘爲法齊之八十者是十假令而凡盈三十是三以十齊)(之齊之二十七者是三假令而凡盈三十是十以三齊之兩盈共十三以三減十餘)(七假令爲一實故令以三減十餘七爲法所出率以少減多餘謂之設差因設差爲)(少設則兩盈之差是爲定實故以少設約法則爲人數約實則得物價)其一術曰置所出率以少減多餘爲法兩盈兩不足以少減多餘爲實實如法而一得人數以所出率乘之減盈増不足卽物價(置所出率以少減多得一人之差兩盈兩不足相減餘爲衆人之差故以一人)(之差除之得人數以所出率乘之減盈增不足卽物價)今有共買豕人出一百盈一百人出九十適足問人數豕價各幾何荅曰一十人豕價九百今有共買犬人出五不足九十人出五十適足問人數犬價各幾何荅曰二人犬價一百盈適足不足適足術曰以盈及不足之數爲實置所出率以少減多餘爲法實如法得一人其求物價者以適足乘人數得物價(盈不足數爲實者數單見卽衆)(人差故以爲實所出率以少減多者餘卽一人差故以爲法以除衆人差得人數以)(適足乘人數卽得物價也此術意謂所出率以少減多者餘是一人不足之差不)(足數爲衆人之差以一人差約之故得人之數也)今有米在十斗桶中不知其數滿中添粟而舂之得米七斗問故米幾何荅曰二斗五升術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之三斗有餘二升(按桶受一斛若使故米二)(斗須添粟八斗以滿之八斗得糲米四斗八升課於七斗是爲不足二升若使故米)(三斗須添粟七斗以滿之七斗得糲米四斗二升課於七斗是爲有餘二升以盈不)(足維乘假令之數者欲爲齊同之意實如法卽得故米斗數乃不盈不朒之正數也)今有垣高九尺瓜生其上蔓日長七寸瓠生其下蔓日長一尺問幾何日相逢瓜瓠各長幾何荅曰五日十七分日之五瓜長三尺七寸十七分寸之一瓠長五尺二寸十七分寸之十六術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸(按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五寸瓠生五)(日上延蔓五尺課於九尺之垣是爲不足五寸令之六日有餘一尺二寸者若使瓜)(生六日下垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺課於九尺之垣是爲有餘一尺二)(寸以盈不足維乘假令之數者欲爲齊同之意實如法而一卽設差不盈不朒之正)(數卽得日數以瓜瓠一日之長乘之故各得其長之數也)今有蒲生一日長三尺莞生一日長一尺蒲生日自半莞生日自倍問幾何日而長等荅曰二日十三分日之六各長四尺八寸十三分寸之六術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七寸半(按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日長四)(尺五寸莞生二日長三尺是爲未相及一尺五寸故曰不足令之三日有餘一尺七)(寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是爲過一尺七寸半故日有餘以盈不足乘除)(之又以後一日所長各乘日分子如日分母而一者各得日分子之長也故各增二)(長卽得其數)今有垣厚五尺兩鼠對穿大鼠日一尺小鼠亦日一尺大鼠日自倍小鼠日自半問幾何日相逢各穿幾何荅曰二日十七分日之二大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二小鼠穿一尺五寸十七分寸之五術曰假令二日不足五寸令之三日有餘三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合尺五寸課於垣厚五尺是爲不足五寸令之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七寸半并之以減垣厚五尺有餘三尺七寸半以盈不足術求之卽得以後一日所穿乘日分子如日分母而一卽各得日分子之中所穿故各増二日定穿卽合所問也今有醇酒一斗直錢五十行酒一斗直錢一十今將錢三十得酒二斗問醇行酒各得幾何荅曰醇酒二升半行酒一斗七升半術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二(據醇酒五升直錢二十五行酒一斗五升直錢十五課於三十是爲有餘十據)(醇酒二升直錢一十行酒一斗八升直錢一十八課於三十是爲不足二以盈不足)(術求之此問已有重說及其齊同之意也)今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛問大小器各容幾何荅曰大器容二十四分斛之十三小器二十四分斛之七術曰假令大器五斗小器亦五斗盈十斗令之大器五斗五升小器二斗五升不足二斗(按大器容五斗大器五容二斛五斗以減三斛餘五斗卽小器一所容故)(曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合爲三斛課於兩斛乃多十斗令之大)(器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以減三斛餘二斗五升卽小器一所容故)(曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合爲一斛八斗)(課於二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足維乘之各并爲實并盈不足爲法除之)今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以易油還自和餘漆問出漆得油和漆各幾何荅曰出漆一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升四分升之三術曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有餘二升(按此術三斗之漆出九升得油一斗二升)(可和漆一斗五升餘有二斗一升則六升無油可和故曰不足六升令之出漆一斗)(二升則易得油一斗六升可和漆二斗於三斗之中已出一斗二升餘有一斗八升)(見在油合和得漆二斗則是有餘二升以盈不足維乘之爲實并盈不足爲法實如)(法而一得出漆升數求油及和漆者四五各爲所求率四三各爲所有率而今有之)(卽得也)今有玉方一寸重七兩石方一寸重六兩今有石立方三寸中有玉并重十一斤問玉石重各幾何荅曰玉十四寸重六斤二兩石十三寸重四斤十四兩術曰假令皆玉多十三兩令之皆石不足十四兩不足爲玉多爲石各以一寸之重乘之得玉石之積重(立方三寸是一面之方計積二十七寸玉)(方一寸重七兩石方一寸重六兩是爲玉石重差一兩假令皆玉合有一百八十九)(兩課於十一斤有餘十三兩玉重而石輕故有此多卽二十七寸之中有十三寸寸)(損一兩則以爲石重故言多爲石言多之數出於石以爲玉假令皆石合有一百六)(十二兩課於十一斤少十四兩故曰不足此不足卽以重爲輕故令減少數於石重)(卽二十七寸之中有十四寸寸增一兩則以爲玉重也)今有善田一畝價三百惡田七畝價五百今并買一頃價錢一萬問善惡田各幾何荅曰善田十二畝半惡田八十七畝半術曰假令善田二十畝惡田八十畝多一千七百一十四錢七分錢之二令之善田十畝惡田九十畝不足五百七十一錢七分錢之三(按善田二十畝直錢六千惡田八十畝直錢五千七百一十四)(七分錢之二謂於一萬是多一千七百一十四錢七分錢之二令之善田十畝直錢)(三千惡田九十畝直錢六千四百二十八七分錢之四課於一萬是爲不足五百七)(十一錢七分錢之三以盈不足術求之也)今有黃金九枚白銀十一枚稱之重適等交易其一金輕十三兩問金銀一枚各重幾何荅曰金重二斤三兩十八銖銀重一斤十三兩六銖術曰假令黃金三斤白銀二斤十一分斤之五不足四十九於右行令之黃金二斤白銀一斤十一分斤之七多十五於左行以分母各乘其行内之數以盈不足維乘所出率并以爲實并盈不足爲法實如法得黃金重分母乘法以除得銀重約之得分也(按此術假令黃金九白銀十一俱重二十七斤金九約之得三斤銀十一)(約之得二斤十一分斤之五各爲金銀一枚重數就金重二十七斤之中減一金之)(重以益銀銀重二十七斤之中減一銀之重以益金則金重二十六斤十一分斤之)(五銀重二十七斤十一分斤之六以少減多則金輕十七兩十一分兩之五課於十)(三兩多四兩十一分兩之五通分内子言之是爲不足四十九又令之黃金九一枚)(重二斤九枚重十八斤白銀十一亦合重十八斤也乃以十一除之得一枚一斤十)(一分斤之七爲銀一枚之重數今就金重十八斤之中減一枚金以益銀復減一枚)(銀以益金則金重十七斤十一分斤之七銀重十八斤十一分斤之四以少減多卽)(金輕十一分斤之八課於十三兩少一兩十一分兩之四通分内子言之是爲多十)(五以盈不足術求之實如法得金重分母乘法以除者謂銀兩分母同須通法而後)(乃除得銀重餘皆約之者術省故也)今有良馬與駑馬發長安至齊齊去長安三千里良馬初日行一百九十三里日增十三里駑馬初日行九十七里日減半里良馬先至齊復還迎駑馬問幾何日相逢及各行幾何荅曰十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五術曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日多一百四十里以盈不足維乘假令之數并而爲實并盈不足爲法實如法而一得日數不盡者以等數除之而命分(求良馬行者十四乘益疾里數而半之加良馬初日之行里數以乘日分)(子如日分母而一所得及其不盡而命分加於前良馬凡行里數卽得求駑馬行者)(以十四乘半里以減駑馬初日之行里數餘以并初日之行又半之乘十五日得駑)(馬十五日之凡行又以十五日乘半里以減駑馬初日之行餘以乘日分子如日分)(母而一所得加前里卽駑馬定行里數其奇半里者爲半法以半法增殘分卽得其)(不盡者而命分按令十五日不足三百三十七里半者據良馬十五日凡行四千二)(百六十里除先去齊三千里定還迎駑馬一千二百六十里駑馬凡十五日凡行一)(千四百二里半并良駑二馬所行得二千六百六十二里半課於三千里少三百三)(十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者據良馬十六日凡行四千六百)(四十八里先除去齊三千里定還迎駑馬一千六百四十八里駑馬十六日凡行一)(千四百九十二里并良駑二馬所行得三千一百四十里課於三千里餘有一百四)(十里故謂之多也以盈不足維乘假令之數并而爲實并盈不足爲法實如法而一)(得日數者卽設差不盈不朒之正數以二馬初日所行里乘十五日爲十五日平行)(數求初末益疾減遲之數者并一與十四以十四乘而半之爲中平之積又令益疾)(減遲里數乘之各爲減益之中平里故各減益平行數得十五日定行里若求後一)(日以十六日之定行里數乘日分子如日分母而一各得日分子之定行里數故各)(并十五日定行里卽得其駑馬奇半里者法爲全里之分故破半里爲半法以增殘)(分卽合所問也)今有人持錢之蜀賈利十三初返歸一萬四千次返歸一萬三千次返歸一萬二千次返歸一萬一千後返歸一萬凡五返歸錢本利俱盡問本持錢及利各幾何荅曰本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七術曰假令本錢三萬不足一千七百三十八錢半令之四萬多三萬五千三百九十錢八分(按假令本錢三萬并利爲三萬九千除初返歸留餘加利爲三萬二)(千五百除二返歸留餘又加利爲二萬五千三百五十除第三返歸留餘又加利爲)(一萬七千三百五十五除第四返歸留餘又加利爲八千二百六十一錢半除第五)(返歸留合一萬錢不足一千七百三十八錢半若使本錢四萬并利爲五萬二千除)(初返歸留餘加利爲四萬九千四百除第二返歸留餘又加利爲四萬七千三百二)(十除第三返歸留餘又加利爲四萬五千九百一十六除第四返歸留餘又加利爲)(四萬五千三百九十錢八分除第五返歸留合一萬餘三萬五千三百九十錢八分)(故曰多又術置後返歸一萬以十乘之十三而一卽後所持之本加一萬一千又以)(十乘之十三而一卽第四返之本加一萬二千又以十乘之十三而一卽第三返之)(本加一萬三千又以十乘之十三而一卽第二返之本加一萬四千又以十乘之十)(三而一卽初持之本并五返之錢以減之卽利也)九章算術卷七終九章算術卷七訂訛(算經十書之二)休寧 戴 震 東原副置所出率以少減多餘以約法實實爲物價法爲人數(此術前列四問本通爲一徽注辭不達意據第二問人出九盈十一人出)(六不足十六以十六互乘九得一百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十爲實所)(謂相與同共買物者置所出率盈不足各居其下令維乘所出率并以爲實也盈十一及不足)(十六并之二十七爲法所謂幷盈不足爲法也於出九減出六餘三以三約實二百一十得價)(七十以三約法二十七得九人所謂副置所出率以少減多餘以約法實實爲物價法爲人數)(也其第一問所出率相減餘一則法實無庸約故維乘并之徑得物價并盈不足徑得人數偶)(省一算耳第三問人出半盈四人出少半不足三半卽二分之一少半卽三分之一也又卽爲)(二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齊其)(子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七)(爲實是盈不足維乘所出率并以爲實也盈四及不足三并而爲七以分母相乘所得六通而)(齊之得四十二爲法是并盈不足爲法也二三相減餘一以約法實亦無庸約故徑得物價人)(數第四問七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百)(九十得一千七百一十以七家互乘二百七十得一千八百九十猶之齊其子也七家九家相)(乘得六十三猶之同其母也以盈三十互乘一千七百一十得五萬一千三百以不足三百三)(十互乘一千八百九十得六十二萬三千七百并之六十七萬五千爲實是盈不足維乘所出)(率并以爲實也盈三十及不足三百三十并而爲三百六十以六十三通而齊之得二萬二千)(六百八十爲法是并盈不足爲法也於一千八百九十減一千七百一十餘一百八十以一百)(八十約實六十七萬五千得價三千七百五十以一百八十約法二萬二千六百八十得一百)(二十六家是副置所出率以少減多餘以約法實也三四兩問皆所謂有分者通之也)按此術兩盈者兩設皆逾於正數兩不足者兩設皆不足於正數其所以變化則兩不足亦猶兩盈而或有勢同而情違者當其爲實俱令不足其相乘減則遺其所不足焉故其餘所以爲實者無朒數以損焉葢出而有餘兩盈兩設皆逾於正數(以上訛舛不可通)術曰以盈不足術求之假令故米二斗不足二升令之三斗有餘二升(此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并)(爲實并盈不足爲法實如法而一得故米斗數)術曰假令五日不足五寸令之六日有餘一尺二寸(此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并爲實并盈不足爲法實如法而一得)(日數)術曰假令二日不足一尺五寸令之三日有餘一尺七寸半(此下有脫文當云以盈不足維乘假令之數并爲實并盈不足爲法)(實如法而一得日數不盡者等數約之而命分以後一日所長乘日分子如日分母而一各增)(二長爲二物共長齊等之數)術曰假令醇酒五升行酒一斗五升有餘一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二(此下有脫文當)(云各以盈不足維乘之并爲實并盈不足爲法實如法而一得二酒之數)術曰假令一十五日不足三百三十七里半令之一十六日多一百四十里以盈不足維乘假令之數并而爲實并盈不足爲法實如法而一得日數不盡者以等數除之而命分(此下有脫文當云求)(二馬各行里數以一十五日初末之行并而半之一十五乘之又以後一日之定行乘日分子)(日分母爲法而一各加於前破半里爲半法以入殘分)求良馬行者一十四乘益疾里數而半之加良馬初日之行里數(此下有脫文當云以乘一十五日得一十五日之凡行又)(以一十五日乘益疾里數加良馬初日之行)
## 8
九章算術卷八(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋方程(以御錯糅正負)今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉實三十四斗上禾一秉中禾二秉下禾三秉實二十六斗問上中下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉九斗四分斗之一中禾一秉四斗四分斗之一下禾一秉二斗四分斗之三方程(程課程也羣物總雜各列有數總言其實令每行爲率二物者再程三物)(者三程皆如物數程之並列爲行故謂之方程行之左右無所同存且爲有所據而)(言耳此都術也以空言難曉故特繫之禾以決之又列中行如右行也)術曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九斗於右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除(爲術之意令少行減多行)(反覆相減則頭位必先盡上無一位則此行亦闕一物矣然而舉率以相減不害餘)(數之課也若消去頭位則下去一物之實如是叠令左右行相減審其正負則可得)(而知先令右行上禾乘中行爲齊同之意爲齊同者謂中行上禾亦乘右行也從簡)(易雖不言齊同以齊同之意觀之其義然矣)又乘其次亦以直除(復去左行首)然以中行中禾不盡者(徧乘左行)而以直除(亦令兩行相乘去行之中禾也)左方下禾不盡者上爲法下爲實實卽下禾之實(上中禾皆去故餘數)(是下禾實非但一秉欲約衆秉之實當以禾秉數爲法列此下禾之秉實乘兩行以)(直除則下禾之位自決矣各以其餘一位之秉除其下實卽斗數矣用算繁而不省)(實合中下禾之實其數並見以中下禾先見之實令乘右行中下禾秉數以減之故)(亦如前各求列實以減下實也)餘如上禾秉數而一卽上禾之實實皆如法各得一斗(三實同用不滿法者以法)(命之母實皆當除之)今有上禾七秉損實一斗益之下禾二秉而實十斗下禾八秉益實一斗與上禾二秉而實十斗問上下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉實一斗五十二分斗之十八下禾一秉實五十二分斗之四十一術曰如方程損之曰益益之曰損(問者之辭雖以)(損益爲說今按實云上禾七秉下禾二秉實十一斗上禾二秉下禾八秉實九斗也)(損之日益言損一斗餘當十斗今欲全其實當加所損也益之曰損言益實一斗乃)(滿十斗今欲加本實當減所加卽得也)損實一斗者其實過十斗也益實一斗者其實不滿十斗也(重諭)(損益數者各以損益之數損益之也)今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉實皆不滿斗上取中中取下下取上各一秉而實滿斗問上中下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉實二十五分斗之九中禾一秉實二十五分斗之七下禾一秉實二十五分斗之四術曰如方程各置所取(置上禾二秉爲右行之上中禾三秉)(爲中行之中下禾四秉爲左行之下所取一秉及實一斗各從其位諸行相借取之)(物皆依此例)以正負術入之正負術曰(今兩算得失相反要令正負以名之正算赤負算黑否則以邪)(正爲異方程自有赤黑相取左右數相推求之術而其并減之勢不得交通故使赤)(黑相消奪之於算或減或益同行異位殊爲二品各有并減之差見於下焉著此二)(條特繫之禾以成此二條之意故赤黑相雜足以定上下之程減益雖殊足以通左)(右之數差實雖分足以應同異之率然則其正無入負之負無入正之其率不妄也)同名相除(此爲以赤除赤以黑除黑行求相減者爲法頭位也然則頭位)(同名者當用此條頭位異名者當用下條)異名相益(益行減行當各以其)(類矣其異名者非其類也非其類者猶無對也非所得減也故赤用黑對則除黑無)(對則除赤赤黑并於本數此爲相益之皆所以爲消奪消奪之與減益成一實也術)(本取要必除行首至於他位不嫌多少故或令相減或令相并理無同異一也)正無入負之負無入正之(無入爲無對也無所得減則使消奪)(者居位也其當以列實或減下實而中行正負雜者亦用此條此條者同名減實異)(名益實正無入負之負無入正之也)其異名相除同名相益正無入正之負無入負之(此條異名相除爲例故亦與上)(條互取凡正負所以記其同異使二品互相取而已矣言負者未必負於少言正者)(未必正於多故毎一行之中雖復赤黑異算無傷然則可得使頭位常相與異名此)(條之實兼通矣遂以二條反覆一率觀其毎與上下互相取位則隨算而言耳猶一)(術也又本設諸行欲因減數以相去耳故其多少無限令上下相命而已若以正負)(相減如數有舊増法者每行可均之不但數物左右之也)今有上禾五秉損實一斗一升當下禾七秉上禾七秉損實二斗五升當下禾五秉問上下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉五升下禾一秉二升術曰如方程置上禾五秉正下禾七秉負損實一斗一升正(言上禾五秉之實多減其一斗一升餘是與下)(禾七秉相當數也故互其算令相折除以一斗一升爲差爲差者上禾之餘實也)次置上禾七秉正下禾五秉負損實二斗五升正以正負術八之(按正負之術本設列行物程之數不)(限多少必令與實上下相次而以每行各自爲率然而或減或益同行異位殊爲二)(品并減之差見於下也)今有上禾六秉損實一斗八升當下禾十秉下禾十五秉損實五升當上禾五秉問上下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉實八升下禾一秉實三升術曰如方程置上禾六秉正下禾十秉負損實一斗八升正次置上禾五秉負下禾十五秉正損實五升正以正負術入之(言上)(禾六秉之實多減損其一斗八升餘是與下禾十秉相當之數故亦互其算而以一)(斗八升爲差實差實者下禾之餘實)今有上禾三秉益實六斗當下禾十秉下禾五秉益實一斗當上禾二秉問上下禾實一秉各幾何荅曰上禾一秉實八斗下禾一秉實三斗術曰如方程置上禾三秉正下禾十秉負益實六斗正次置上禾二秉負下禾五秉正益實一斗正以正負術入之(言上禾三秉之實少)(益其六斗然後於下禾十秉相當也故亦互其算而以六斗爲差實差實者下禾之)(餘實)今有牛五羊二直金十兩牛二羊五直金八兩問牛羊各直金幾何荅曰牛一直金一兩二十一分兩之十三羊一直金二十一分兩之二十術曰如方程(假令爲同齊頭位爲牛左右行相乘定更置牛十羊四直)(金二十兩左行牛十羊二十五直金四十兩牛數等同金多二十兩者羊差二十一)(使之然也以少行減多行則牛數盡惟羊與直金之數見可得而知也以小推大雖)(四五行不異也)今有賣牛二羊五以買十三豕有餘錢一千賣牛三豕三以買九羊錢適足賣羊六豕八以買五牛錢不足六百問牛羊豕價各幾何荅曰牛價一千二百羊價五百豕價三百術曰如方程置牛二羊五正豕十三負餘錢數正次置牛三正羊九負豕三正次置牛五負羊六正豕八正不足錢負以正負術入之(此中行買賣相折錢適足但互買賣算而已故下無錢直也設欲以)(此行如方程法先令牛二徧乘左行而以右行直除之是終於下實虚缺矣故注日)(正無實負負無實正方爲類也方將以别實加不足之數與實物作實盈不足章黃)(金白銀與此相當假令黃金九白銀十一稱之重適等交易其一金輕十三兩問金)(銀一枚各重幾何與此同)今有五雀六燕集稱之衡雀俱重燕俱輕一雀一燕交而處衡適平并燕雀重一斤問燕雀一枚各重幾何荅曰雀重一兩十九分兩之十三燕重一兩十九分兩之五術曰如方程交易質之各重八兩(此四雀一燕與)(一雀五燕衡適平并重一斤故各八兩列兩行程數左行頭位其數是一可省乘令)(右行徧乘左行而取其法實於左左行數多以右行取其數左頭位減盡中法下實)(卽每枚當重宜可知也按此四雀一燕與一雀五燕其重等是三雀四燕重相當雀)(率重四燕率重三也諸再程之率皆可異術求之卽其數也)今有甲乙二人持錢不知其數甲得乙半而錢五十乙得甲太半而亦錢五十問甲乙持錢各幾何荅曰甲持三十七錢半乙持二十五錢術曰如方程損妓之(此問者言一甲半乙而五十太半甲一乙)(亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而錢一百二甲三乙而錢一百五)(十於是乃如方程諸物有分者倣此)今有二馬一牛價過一萬如半馬之價一馬二牛價不滿一萬如半牛之價問牛馬價各幾何荅曰馬價五千四百五十四錢十一分錢之六牛價一千八百一十八錢十一分錢之二術曰如方程損益之(此一馬半與一牛價直一萬也二牛半與)(一馬亦直一萬也一馬半與一牛通分内子右行爲三馬二牛直錢二萬二牛半於)(一馬通分内子左行爲二馬五牛直錢二萬也)今有武馬一匹中馬二匹下馬三匹皆載四十石至阪皆不能上武馬借中馬一匹中馬借下馬一匹下馬借武馬一匹乃皆上問武中下馬一匹各力引幾何荅曰武馬一匹力引二十二石七分石之六中馬一匹力引十七石七分石之一下馬一匹力引五石七分石之五術曰如方程各置所借以正負術入之今有五家共井甲二綆不足如乙一綆乙三綆不足如丙一綆丙四綆不足如丁一綆丁五綆不足如戊一綆戊六綆不足如甲一綆各得所不足一綆皆逮問井深綆長各幾何荅曰井深七丈二尺一寸甲綆長二丈六尺五寸乙綆長一丈九尺一寸丙綆長一丈四尺八寸丁綆長一丈二尺九寸戊綆長七尺六寸術曰如方程以正負術入之(此率初如方程爲之名各)(一逮井其後法得七百二十一實七十六是爲七百二十一綆而七十六逮井而戊)(一綆逮之數定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一爲井深七十六爲戊)(綆之長舉率以言之)今有白禾二步靑禾三步黃禾四步黑禾五步實各不滿斗白取靑黃靑取黃黑黃取黑白黑取白靑各一步而實滿斗問白靑黃黑禾實一步各幾何荅曰白禾一步實一百一十一分斗之三十三靑禾一步實一百一十一分斗之二十八黃禾一步實一百一十一分斗之十七黑禾一步實一百一十一分斗之十術曰如方程各置所取以正負術入之今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆過於石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲一問甲乙丙禾一秉各重幾何荅曰甲禾一秉重二十三分石之十七乙禾一秉重二十三分石之十一丙禾一秉重二十三分石之十術曰如方程置重過於石之物爲負(此問者言)(甲禾二秉之重過於一石也其過者幾何如乙一秉重矣互其算令相折除以石爲)(之差實差實者如甲禾餘實故置算相與同也)以正負術入之(此入)(頭位異名相除者正無入正之負無入負之也)今有令一人吏五人從者十人食雞十令十人吏一人從者五人食雞八令五人吏十人從者一人食雞六問令吏從者食雞各幾何荅曰令一人食一百二十二分雞之四十五吏一人食一百二十二分雞之四十一從者一人食一百二十二分雞之九十七術曰如方程以正負術入之今有五羊四犬三雞二兔直錢一千四百九十六四羊二犬六雞三兔直錢一千一百七十五三羊一犬七雞五兔直錢九百五十八二羊三犬五雞一兔直錢八百六十一問羊犬雞兔價各幾何荅曰羊價一百七十七犬價一百二十一雞價二十三兔價二十九術曰如方程以正負術入之今有麻九斗麥七斗菽三斗荅二斗黍五斗直錢一百四十麻七斗麥六斗菽四斗荅五斗黍三斗直錢一百二十八麻三斗麥五斗菽七斗荅六斗黍四斗直錢一百一十六麻二斗麥五斗菽三斗答九斗黍四斗直錢一百一十二麻一斗麥三斗菽二斗荅八斗黍五斗直錢九十五問一斗直幾何荅曰麻一斗七錢麥一斗四錢菽一斗三錢荅一斗五錢黍一斗六錢術曰如方程以正負術入之(此麻麥與均輸少廣章之)(重衰積分皆爲大事其拙於精理徒按本術者或用算而布氊方好煩而喜誤曾不)(知其非反欲以多爲貴故其算也莫不闇於設通而專於一端至於此類苟務其成)(然或失之不可謂要約更有異術者庖丁解牛游刅理間故能歷久其刅如新夫數)(猶刅也易簡用之則動中庖丁之理故能和神愛刅速而寡尤凡九章爲大事按法)(皆不盡一百算也雖布算不多然足以算多世人多以方程爲難或盡布算之象在)(綴正負而已未暇以論其設動無方斯膠柱調瑟之類聊復恢演爲作新術著之於)(此將亦啓導疑意網羅道精豈傳之空言記其施用之例著䇿之數每舉一隅焉)(方程新術曰以正負術入之令左右相減先去下實又轉去物位求其一行二物正)(負相借者易其相當之率又令二物與他行互相去取轉其二物相借之數卽皆相)(當之率也各據二物相當之率對易其數卽各當之率也更置減行及其下實各以)(其物本率今有之求其所同并以爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名)(相消餘以爲法以下實爲實實如法卽合所問也一物各以本率今有之卽皆合所)(問也率不通者齊之其一術曰置羣物通率爲列衰更置減行羣物之數各以其)(率乘之并以爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消餘爲法以減行)(下實乘列衰各自爲實實如法而一卽得以舊術爲之凡應置五行今欲要約先置)(第三行以減第四行及減第三行次置第二行以第二行減第三行去其頭位次置)(右行去其頭位次以第四行減左行頭位次以左行去第四行及第二行頭位次以)(第五行減第二行頭位餘可半次以第二行去第四行頭位餘約之爲法實如法而)(一得空卽有黍價以法減第二行得荅價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如)(此凡用七十七算以新術爲此先以第四行減第三行次以第三行去右行及第二)(行第四行下位又以減右行下位不足減乃止次以左行減第三行下位次以第三)(行去左行下位訖廢去第三行次以第四行去左行下位右行當左行下位次以右)(行去第二行及第四行下位次以第二行減第四行及左行願位次以第四行減右)(行菽位不足減乃止次以左行減第二行頭位餘可再半次以第四行去右行及第)(二行頭位次以第二行去右行頭位餘約之上得五下得三是菽五當荅三次以左)(行去第三行菽位又以減第四行及右行菽位不足減乃止次以右行減第二行頭)(位不足減乃止次以第三行去左行頭位次以左行去右行頭位餘上得六下得五)(是爲荅六當黍五次以右行去左行荅位餘約之上爲二下爲三次以左行去第二)(行下位以第二行去第四行下位又以減左行下位次右行去第二行下位餘上得)(三下得四是爲麥三當菽四次以第二行減第四行下位次以第四行去第二行下)(位餘上得四下得七是爲麻四當麥七是爲相當之率舉矣據麻四當麥七卽爲麻)(價率七而麥價率四又麥三當菽四卽爲麥價率四而菽價率三又荅六當黍五卽)(爲荅價率五而黍價率六而率通矣更置第三行以第四行減之餘有麻一斗菽四)(斗荅三斗負下實四正求其同爲麻之數以菽率三荅率五各乘菽荅斗數如麻率)(七而一菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一負則菽荅化爲麻以并之)(令同名相從異名相消餘爲定麻七分斗之四以爲法置下實四爲實以分母乘之)(實得二十八而分子化爲法矣以法除得七卽麻一斗之價置麥率四菽率三荅率)(五黍率六皆以其斗數乘之各自爲實以麻率七爲法所得卽同爲麻之數亦可使)(置本行實與物同通之各以本率今有之求其本率所得并以爲法如此則無正負)(之異矣擇異同而已又可以一術爲之置五行通率爲麻七麥四菽三荅五黍六以)(爲列衰減行麻一斗菽四斗正荅三斗負各以其率乘之訖令同名相從異名相消)(餘爲法又置下實乘列衰所得各爲實此可以實約法則不復乘列衰各以列衰如)九章算術卷八訂訛休寧 載 震 東原術曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉實三十九斗於右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除(古字直値通用直除猶言對減也以右行上禾徧乘中行)(復以中行上禾徧乘右行然後可相對減古人文省故但舉一以該之)又乘其次亦以直除(此謂右行上禾徧乘左行復以左行上禾徧乘右行)(亦相對減古人文多省畧)然以中行中禾不盡者(古人單用然字不曰然後者然猶乃也)徧乘左行(此以中行左行所減之餘如前徧乘文亦從省)用算繁而不省所以别爲法約也然猶不如自用其舊廣異法也(用法繁而不省以下訛舛衍文)益行減行當各以其類矣其異名者非其類也非其類者猶無對也非所得減也故赤用黑對則除黑無對則除赤赤黑并於本數此爲相益之皆所以爲消奪消奪之與減益成一實也(此注)(多訛舛據方程術無論物有幾品遞減至一物乃止又以赤黑别正負首位赤減赤黑減黑者)(同名伯除也次位以下遇赤用黑對則相益此條是也首位赤減黑黑減赤者異名相除也次)(位以下遇皆赤皆黑則相益後條是也由此言之注之謬顯然葢傳寫失真後人復妄加改竄)(遂不可通)正無入負之(入字原本訛作人下文及注並同據注云無入爲無對也無對之說)(亦未分曉釋方程者專爲遇空位起例而左右兩行相對減或正宜變爲負或負宜變爲正往)(往不得其義例今考同名相除異名相益者如下實左右俱正所減之餘屬左行則去右行屬)(右行則去左行其物品以正減正餘在所去之行爲正無入以負減負餘在所去之行爲負無)(入以正從負爲正無入以負從正爲負無入負對空位而負數在所去之行與以負減負同例)(正對空位而正數在所去之行與以正從負同例此皆所謂正無入負之負無入正之也異名)(相除同名相益者如下實左右俱正并爲一數則無分於左右其物品以負減正餘或左或右)(爲正無入以正減負餘或左或右爲負無入以正從正爲正無入以負從負爲負無入正對空)(位與以負減正同例負對空位與以負從負同例此皆所謂正無入正之負無入負之也由是)(言之在所去之行則其數無入而或左或右以與無分於左右合爲一行因亦謂之無入人字)(乃傳寫之誤明矣今悉改正)無入爲無對也無所得減則使消奪者居位也其當以列實或減下實(此句訛舛據後注内方程新術以列衰乘下實)(又以列衰乘羣物之數并爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消似卽此所舉)此條異名相除爲例故亦與上條互取凡正負所以記其同異使二品互相取而已矣言負者未必負於少言正者未必正於多故每一行之中雖復赤黑異算無傷然則可得使頭位常相與異名此條之實兼通矣遂以二條反覆一率觀其每與上下互相取位則隨算而言耳猶一術也又本設諸行欲因減數以相去耳故其多少無限令上下相命而已若以正負相減如數有舊增法者每行可均之不但數物左右之也(此注皆不分曉當由傳寫失真後人又妄加改竄遂不可通)此中行買賣相折錢適足但互買賣算而已故下無錢直也設欲以此行如方程法先令牛二徧乘左行而以右行直除之是終於下實虚缺矣故注曰正無實負負無實正方爲類也方將以别實加不足之數與實物作實(此注訛脫不分曉據術意)(應列三行先令右行牛二徧乘中行復令中行牛三徧乘右行而以直除得羊三十三正豕四)(十五負餘錢三千正此同名相除異名相益正無入負之負無入正之也次令右行牛二徧乘)(左行復令左行牛五徧乘右行而以直除得羊三十七正豕四十九負餘錢三千八百正此異)(名相除同名相益正無入正之負無入負之也重列爲左右兩行先令右行羊三十三徧乘左)(行復令左行羊三十七徧乘右行而以直除得豕四十八正以爲法錢一萬四千四百正爲實)(實如法而一得豕價三百轉減而上得羊價五百牛價一千二百此亦同名相除異名相益正)(無入負之負無入正之也中行下實虛缺本無庸論葢注文傳寫失眞後人又妄加改竄遂不)(可通)此四雀一燕與一雀五燕衡適平并重一斤故各八兩列兩行程數左行頭位其數是一可省乘令右行徧乘左行而取其法實於左左行數多以右行取其數左頭位減盡中法下實卽每枚當重宜可知也按此四雀一燕與一雀五燕其重等是三雀四燕重相當雀率重四燕率重三也諸再程之率皆可異術求之卽其數也(此卽末條所言新術以下實俱重八兩徧乘上雀燕以左雀八減右雀三十二餘二十四以右)(燕八減左燕四十餘三十二是爲二物正負相借因而約之雀得三燕得四乃三雀當四燕也)(對易其數卽雀率重四而燕率重三注於此突入異術幾不解其所謂)今有五家共井甲二綆不足如乙一綆乙三綆不足如丙一綆丙四綆不足如丁一綆丁五綆不足如戊一綆戊六綆不足如甲一綆各得所不足一綆皆逮問井深綆長各幾何荅曰井深七丈二尺一寸甲綆長二丈六尺五寸乙綆長一丈九尺一寸丙綆長一丈四尺八寸丁綆長一丈二尺九寸戊綆長七尺六寸(此問不言丈尺無由知井)(深綆長於丈尺幾何使井深半之爲三丈六尺有半寸則甲綆一丈三尺二寸半乙綆九尺五)(寸半丙綆七尺四寸丁綆六尺四寸半戊綆三尺八寸使井深倍之爲十四丈四尺二寸則甲)(綆五丈三尺乙綆三丈八尺二寸丙綆二丈九尺六寸丁綆二丈五尺八寸戊綆一丈五尺二)(寸皆合所問由是言之問旣不定以丈尺依術推求先得七百二十一無以定百爲丈十爲尺)(也問井深綆長之率各幾何荅以井深之率七百二十一甲綆長率二百六十五乙綆長率一)(百九十一丙綆長率一百四十八丁綆長率一百二十九戊綆長率七十六於義乃通)此率初如方程爲之名各一逮井其後法得七百二十一實七十六(此上訛舛不可通據術先得七百二十一爲所列五)(行之通率卽井深率也以此率列各行下爲各行之下實重求之法得七百二十一實得五萬)(四千七百九十六以法除實得用逮之數七十六)此麻麥與均輸少廣章之重衰積分皆爲大事其拙於精理徒按本術者或用算而布氊方好煩而喜誤曾不知其非反欲以多爲貴故其算也莫不闇於設通而專於一端至於此類苟務其成然或失之不可謂要約更有異術者庖丁解牛游刃理閒故能歷久其刃如新夫數猶刃也易簡用之則動中庖丁之理故能和神愛刃速而寡尤凡九章爲大事按法皆不盡一百算也雖布算不多然足以算多世人多以方程爲難或盡布算之象在綴正負而已未暇以論其設動無方斯膠柱調瑟之類聊復恢演爲作新術著之於此將亦啓導疑意網羅道精豈傳之空言記其施用之例著䇿之數每舉一隅焉(以上)(字句多誤又皆屬虛辭非有實義可考無從訂正姑仍之)其一術曰置羣物通率爲列衰更置減行羣物之數各以其率乘之并以爲法其當相并而行中正負雜者同名相從異名相消餘爲法以減行下實乘列衰各自爲實實如法而一卽得以舊術爲之凡應置五行今欲要約先置第三行以減第四行及減第三行次置第二行以第二行減第三行去其頭位次置右行去其頭位次以第四行減左行頭位次以左行去第四行及第二行頭位次以第五行減第二行頭位餘可半次以第二行去第四行頭位餘約之爲法實如法而一得空卽有黍價以法減第二行得荅價左行得麥價第三行麻價右行得菽價如此凡用七十七算(以上所言舊術訛舛不可通據方程術凡五物及總價求其各)(物之價者應列五行行五位及價直以上一位互乘因徧乘次位以下及價直兩兩相對減去)(其頭位所減之餘重列之減至一物一價乃止物爲法價爲實實如法而一得一物之價轉減)(而上以知各價先化五爲四次化四爲三次化三爲二次化二爲一凡用十算兼乘減除言之)(則一百四十五算凡上一位互乘其數必同可省乘若遇上一位數同則省徧乘或上一位遇)(一則省其與對行徧乘考問意左行上一位是一先以左行減右行次減第二行次減第三行)(次減第四行所減之餘重列爲四行其左行上一位又是一以左行減右行次減第二行次減)(第三行所減之餘重列爲三行其上一位數皆同卽以本數減之餘列爲兩行依術得荅價轉)(而上求得菽價及麥價麻價凡用九十九算)以新術爲此先以第四行減第三行次以第三行去右行及第二行第四行下位又以減右行下位不足減乃止次以左行減第三行下位次以第三行去左行下位訖廢去第三行次以第四行去左行下位右行當左行下位次以右行去第二行及第四行下位次以第二行減第四行及左行頭位次以第四行減右行菽位不足減乃止次以左行減第二行頭位餘可再半次以第四行去右行及第二行頭位次以第二行去右行頭位餘約之上得五下得三是菽五當荅三次以左行去第三行菽位又以減第四行及右行菽位不足減乃止次以右行減第二行頭位不足減乃止次以第三行去左行頭位次以左行去右行頭位餘上得六下得五是爲荅六當黍五次以右行去左行荅位餘約之上爲二下爲三次以左行去第二行下位以第二行去第四行下位又以減左行下位次右行去第二行下位餘上得三下得四是爲麥三當菽四次以第二行減第四行下位次以第四行去第二行下位餘上得四下得七是爲麻四當麥七是爲相當之率舉矣(以上)(所言新術亦訛舛不可通據其術求之先以左行減第三行去其次位次并右行左行亦并第)(三行第四行以減之去其次位次倍左行以第二行減之去其次位所減之餘重列之爲三行)(次以第四行減第二行去次位及下位次以重列之中行減右行去其下位次以重列之左行)(減右行去其下位所減之餘又重列之爲三行次以此右行減中行去其頭位次以此右行減)(左行去其頭位所減之餘兩行兩物減去下實餘約之上得五下得三是菽五當荅三前云令)(左右相減先去下實又轉去物位求其一行二物正負相借者易其相當之率謂菽五當荅三)(卽菽價率三荅價率五也或先減下實乃減物位或先減物位乃減下實各從省便本無一定)(之先後其先求菽與荅相當之率次求荅與黍相當之率次求麥與菽相當之率次求麻與麥)(相當之率亦無一定之先後然非遇正負相借者則二物相當之率不可得往往窮而復推輾)(轉滋繁遠不若舊術之究歸易簡也)九章算術卷八終
## 9
九章算術卷九(算經十書之二)魏 劉 徽 注唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉勅注釋句股(以御高深廣遠)今有句三尺股四尺問爲弦幾何荅曰五尺今有弦五尺句三尺問爲股幾何荅曰四尺今有股四尺弦五尺問爲句幾何荅曰三尺句股(短面日句長面日股相與結角日弦句短其股股短其弦將以施於諸率)(故先具此術以見其源也)術曰句股各自乘并而開方除之卽弦(句自)(乘爲朱方股自乘爲靑方令出入相補各從其類因就其餘不移動也合成弦方之)(幂開方除之卽弦也)又股自乘以減弦自乘其餘開方除之卽句(臣淳風等謹按此術以句股幂合成弦幂句方於内則句短於股令股自乘以)(減弦自乘餘者卽句幂也故開方除之卽句也)又句自乘以減弦自乘其餘開方除之卽股(句股幂合以成弦幂令去其一則餘在者皆可得而知之)今有圓材徑二尺五寸欲爲方版令厚七寸問廣幾何荅曰二尺四寸五分術曰令徑二尺五寸自乘以七寸自乘減之其餘開方除之卽廣(此以圓徑二尺五寸爲弦版厚七寸)(爲句所求廣爲股也)今有木長二丈圍之三尺葛生其下纏木七周上與木齊問葛長幾何荅曰二丈九尺術曰以七周乘三圍爲股木長爲句爲之求弦弦者葛之長(據圍廣木長求葛之長其形葛卷裏袤以筆管)(靑線宛轉有似葛之纏木解而觀之則每周之間自有相間成句股弦則其間木長)(爲股圍之爲句葛長爲弦弦七周乘三圍是并合衆句以爲一句則句長而股短故)(術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互句與股求弦亦如前圖句三自乘爲朱幂)(股四自乘爲靑幂合朱靑二十五爲弦五自乘幂出上第一圖句股幂合爲弦幂明)(矣然二幂之數謂倒在於弦幂之中而已可更相裏者則成方幂其居表者則成矩)(幂二表裏形訛而數均又按此圖句幂之矩靑卷白表是其幂以股弦差爲廣股弦)(并爲袤而股幂方其裏股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差爲廣句弦并爲袤而)(句幂方其裏是故差之與并用除之短長互相乘也)今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸適與岸齊問水深葭長各幾何荅曰水深一丈二尺葭長一丈三尺術曰半池方自乘(此以池方半之得五尺爲句水深爲股葭長爲)(弦以句及股弦差求股弦故令句自乘先見矩幂也)以出水一尺自乘減之(出水者股弦差減此差幂於矩幂餘爲倍股弦差乘股長之矩幂)餘倍出水除之卽得水深(倍差爲矩幂之廣水深是股欲)(先見葭長者出水一尺自乘以加於半池方自乘倍出水除之卽得令此幂得出水)(一尺爲袤故爲矩而得葭長也)加出水數得葭長(臣淳風等謹按)(此葭本出水一尺旣見水深故加出水尺數而得葭長也)今有立木繫索其末委地三尺引索郤行去本八尺而索盡問索長幾何荅曰一丈二尺二十一分尺之一術曰以去本自乘(此以去本八尺爲句所求索者弦也引而索盡)(與開門去閫者句及股弦差求股弦同一術去本自乘者先張矩幂)令如委數而一(委地者股弦差也以除矩幂卽是股弦并也)所得加委地數而半之卽索長(子不可半者倍其母加差於并則成兩索)(長故又半之其減差於并而半之得木長也)今有垣高一丈倚木於垣高與垣齊引木郤行一尺其木至地問木幾何荅曰五丈五寸術曰以垣高十尺自乘如郤行尺數而一所得以加郤行尺數而半之卽木長數(此以)(垣高一丈爲句所求倚木者爲弦引郤行一尺爲股弦差其爲術之意與繫索問同)(也)今有圓材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道長一尺問徑幾何荅曰材徑二尺六寸術曰半鐻道自乘(此術以鐻道一尺爲句材徑爲弦鐻深一寸爲)(股弦差之一半故鐻長亦半之也臣淳風等謹按下鐻深得一寸爲半股弦差注)(云爲股弦差者鐻道也)如深寸而一以深寸增之卽材徑(亦以半增之如上術去本當半之今此皆同半差不復半也)今有開門去閫一尺不合二寸問門廣幾何荅曰一丈一寸術曰以去閫一尺自乘所得以不合二寸半之而一所得增不合之半卽得門廣(此去)(閫一尺爲句門廣爲股不合二寸以半之得一寸爲股弦差求弦故當半之今卽以)(兩弦爲廣數故不復半之也)今有戸高多於廣六尺八寸兩隅相去適一丈問戸高廣各幾何荅曰廣二尺八寸高九尺六寸術曰令一丈自乘爲實半相多令自乘倍之減實半其餘以開方除之所得減相多之半卽戸廣加相多之半卽戸高(令戸廣爲句高)(爲股兩隅相去一丈爲弦高多於廣六尺八寸爲句股差按圖爲位弦幂適滿萬寸)(倍之減句股差幂開方除之其所得卽高廣并數以差減并而半之卽戸廣加相多)(之數卽戸高也今此術先求其半一丈自乘爲朱幂四黃幂一半差自乘又倍之爲)(黃幂四分之二減實半其餘有朱幂二黃幂四分之一其於大方棄四分之三適得)(四分之一故開方除之得高廣并數之半減差半得廣加得戸高又按此圖幂句股)(并自乘加差幂爲兩弦幂半之開方得弦今倍弦幂減差幂求句股并葢先見其弦)(然後知其句與股也句股適等者并而自乘卽爲兩弦幂皆各爲方先見其弦然後)(知其句與股者倍弦幂卽爲句股適等者并而自乘之幂半相多自乘倍之又半股)(并自乘亦倍之合爲弦幂其無差數者句股各自乘并之爲實與句股相乘倍之爲)(實皆開方得弦弦幂半之爲實開方卽得句股及股長句短同源而分流焉假令句)(股各五弦幂五十開方除之得七尺有餘一不盡假令弦十其幂有百半之爲句股)(二幂各得五十當亦不可開故曰圓三徑一方五斜七雖不正得盡理亦可言相近)(耳其句股合而自乘之幂令弦自乘倍之爲兩弦幂以減之其餘開方除之爲句股)(差加差於合而半之爲股減差於合而半之爲句股弦卽高廣袤其出此圖也其倍)(弦爲廣袤合矩句卽爲幂得廣卽句股差其矩句之幂倍爲從法開之亦句股差其)(餘以句股幂減半其餘差爲從法開方除之卽句也)今有戸不知高廣竿不知長短橫之不出四尺從之不出二尺邪之適出問戸高廣袤各幾何荅曰廣六尺高八尺衺一丈術曰從橫不出相乘倍而開方除之所得加從不出卽戸廣(此以戸廣爲句戸高爲股戸袤爲弦凡并句股)(之幂卽爲弦幂或矩於表或方於裏連之者舉表矩而方之又從句方裏令爲靑矩)(之表未滿黃方满此方則兩端之亷重於隅中各以股弦差爲廣句弦差爲袤故兩)(端差相乘又倍之則成黄方之幂開方除之得黃方之面其外之靑知亦以股弦差)(爲廣故以股弦差加之則爲句也)加橫不出卽戸高兩不出加之得戸袤今有竹高一丈末折抵地去本三尺問折者高幾何荅曰四尺二十分尺之十一術曰以去本自乘(此去本三尺爲句折之餘高爲股末折抵地爲)(弦以句及股弦并求股故先令句自乘見矩幂)令如高而一(竹高一丈)(爲股弦并以除此幂得差)所得以減竹高而半其餘卽折者之高也(此術與繫索者之類更相反覆也亦可如上術令高自乘)(爲股弦并幂去本自乘爲矩幂減之餘爲實倍高爲法則得折之高數也)今有二人同所立甲行率七乙行率三乙東行甲南行十步而邪東北與乙會問甲乙行各幾行荅曰乙東行十步半甲邪行十四步半及之術曰令七自乘三亦自乘并而半之以爲甲邪行率邪行率減於七自乘餘爲南行率以三乘七爲乙東行率(此以南行爲句東行爲股邪行)(爲弦句弦并七欲知弦者當以股自乘爲幂如并而一所得爲句弦差加差於并而)(半之爲弦以弦減差餘爲句如是或有分當通而約之乃定術以句弦并爲分母差)(爲分子故令句弦并自乘爲朱黄相連之方股自乘爲靑幂之矩令其矩引之直加)(損同之以句弦并爲袤差爲廣其圖大體以兩弦爲袤句弦并爲廣引黃斷其半爲)(弦率七自乘者句弦并之率故弦減之餘爲句率同立處是中停也列用率皆句弦)(并爲袤弦與句各爲之廣故亦以股率同其袤也)置南行十步以甲邪行率乘之副置十步以乙東行率乘之各自爲實實如南行率而一各得行數(南行十步者所有見句求見弦股故以弦股率如句率而一)今有句五步股十二步問句中容方幾何荅曰方三步十七分步之九術曰并句股爲法句股相乘爲實實如法而一得方一步(句股相乘爲朱靑黃幂各二令黃幂連於下隅朱靑)(各以類合共成修幂中方黃爲廣并句股爲袤故并句股爲法幂圖方在句中則方)(之兩亷各自成小句股而其相與之勢不失本率也句面之小股股面之小句從横)(相連合而成中方令股爲中方率并句股爲廣率據見句五步而今有之得中方也)(復令句爲中方率以并句股爲袤率據股十二步而今有之則中方又可知此則雖)(不效而法實有法由生矣不容圓率以今有衰分言之可以見之也)今有句八步股十五步問句中容圓徑幾何荅曰六步術曰八步爲句十五步爲股爲之求弦三位并之爲法以句乘股倍之爲實實如法得徑一步(句股相乘爲圖之本體朱靑黃幂各二則倍之爲各四可用畫)(於小𥿄分裁邪正之會令顛倒相補各以類合成脩幂圓徑爲廣并句股弦爲袤故)(并句股弦以爲法又以圖之大體言之股中靑必令立規於橫廣句股又邪三徑均)(而復連規從橫量度句股必合而成小方矣又畫中弦以觀其會則句股之中成小)(句股弦者四句面之小股股面之小句皆小方之面皆圓徑之半其數故可衰以句)(股弦爲列衰副并爲法以小句乘未并者各自爲實實如法而一得句面之小股可)(知也以股乘列衰爲實則得股面之小句可知言雖異矣及其所以成法之實則同)(歸矣則圓徑又可以句乘之差并句弦差減股爲圓徑又弦減句股并餘爲圓徑以)(句弦差乘股弦差而倍之開方除之亦圓徑也)今有邑方二百步各中開門出東門十五步有木問出南門幾何步而見木荅曰六百六十六步太半步術曰出東門步數爲法(以句率爲法也)半邑方自乘爲實實如法得一步(此以出東門十五步爲句率東門南)(至隅一百步爲股率南門東至隅一百步爲見句步欲以見句求股以爲出南門數)(正合半邑方自乘者股率當乘見句此二者數同也)今有邑東西七里南北九里各中開門出東門十五里有木問出南門幾何步而見木荅曰三百一十五步術曰東門南至隅步數以乘南門東至隅步數爲實以木去門步數爲法實如法而一(此以東門南至隅四里半爲句率出東門十五里爲股率南門東至隅三里半)(爲見股所問出南門卽見股之句爲術之意與上同也)今有邑方不知大小各中開門出北門三十步有木出西門七百五十步見木問邑方幾何荅曰一里術曰令兩出門步數相乘因而四之爲實開方除之卽得邑方(按前術半邑方自乘出東門步數除之卽)(出南門步數今兩出門相乘爲半方邑自乘居一隅之積分因而四之卽得四隅之)(積分故以爲實開方除之卽邑方也)今有邑方不知大小各中開門出北門二十步有木出南門十四步折而西行一千七百七十五步見木問邑方幾何荅曰二百五十步術曰以出北門步數乘西行步數倍之爲實(此以折而西行爲股自木至邑南十四步爲句以出北門二十步爲句率北門)(至西隅爲股率卽半廣數故以出北門句率乘西行股得半廣股率乘句之幂然此)(幂居半以西故又倍之合半以東也)并出南門步數爲從法開方除之卽邑方(此術之幂東西廣如邑方南北自木盡邑南十)(四步爲袤合南北步數爲廣袤差故連并兩步數爲從法以爲隅外之幂也)今有邑方十里各中開門甲乙俱從邑中央而出乙東出甲南出出門不知步數邪向東門磨邑適與乙會率甲行五乙行三問甲乙行各幾何荅曰甲出南門八百步邪東北行四千八百八十七步半及乙乙東行四千三百一十二步半術曰令五自乘三亦自乘并而半之爲邪行率邪行率減於五自乘者餘爲南行率以三乘五爲乙東行率(求三率之意與上甲乙同)置邑方半之以南行率乘之如東行率而一卽得出南門步數(邑半方自南門至東隅五里以爲小股求出南門步)(數爲小股之句以東行爲股率南行爲句率故置邑方半之以南行句率乘之如股)(率而一)以增邑方半卽南行(半邑者謂從邑心中停也)置南行步求弦者以邪行率乘之求東者以東行率乘之各自爲實實如南行率得一步(此術與上甲乙同)有木去人不知遠近立四表相去各一丈令左兩表與所望參相直從後右表望之入前右表三寸問木去人幾何荅曰三十三丈三尺三寸少半寸術曰令一丈自乘爲實以三寸爲法實如法而一(此以入前右表三寸爲句率右兩表相去一丈爲股率左右兩表相)(去一丈爲見句所問木去人者見句之股股率當乘見句此二率俱一丈故曰自乘)(以三寸爲法實如法得一寸)有山居木西不知其高山去木五十三里木高九丈五尺人立木東三里望木末適與山峯斜平人目高七尺問山高幾何荅曰一百六十四丈九尺六寸太半寸術曰置木高減人目高七尺餘以乘五十三里爲實以人去木三里爲法實如法而一所得加木高卽山高(此術句股之義以木高減人目高七)(尺餘有八丈八尺爲句率去人目三里爲股率山去木五十三里爲見股以句率乘)(見股如股率而一得句加木之高故爲山高也)今有井徑五尺不知其深立五尺木於井上從木末望水岸入徑四寸問井深幾何荅曰五丈七尺五寸術曰置井徑五尺以入徑四寸減之餘以乘立木五尺爲實以入徑四寸爲法實如法得一寸(此以入徑四寸爲句率立木五尺爲股率井徑四尺六寸爲見)(句問井深者見句之股也)九章算術卷之九終 錢唐莫濰校字大淸乾隆三十八年癸巳秋闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕秘書省九章算術一 部共九冊元豐七年九月 日校定降授宣德郎秘書省校書郞(臣)葉祖洽上進校定承議郎行秘書省校書郎(臣)王仲脩校定朝奉郎行秘書省校書郎(臣)錢長卿奉議郎守秘書郞丞(臣)韓宗古朝請郎試秘書少監(臣)趙彦若元豐七年九月二十八日進呈奉御寶批宐依已校定鏤板朝奉郎祕書丞上騎都尉賜緋魚袋(臣)韓 治朝散郎試祕書少監上騎都尉賜緋魚袋(臣)顧臨朝議大夫守祕書少監上䕶軍賜紫金魚袋(臣)劉攽中大夫守尙書右丞䕶軍東平郡開國侯食邑貳千叁百戸賜紫金魚袋(臣)呂大防通議大夫守尙書左丞上柱國平原郡開國公食邑貳千捌百戸食實封伍伯戸(臣)李淸臣正議大夫守中書侍郞上柱國馮翊郡開國公食邑貳千叁百戸食實封伍伯戸(臣)張 璪正議大夫守門下侍郎上柱國南陽郡開國公食邑貳千壹百戸食實封壹阡戸(臣)韓 維金紫光祿大夫守尙書右僕射兼中書侍郎上柱國東平郡開國公食邑六千二百戸食實封壹阡玖伯戸(臣)呂公著正議大夫守尙書左僕射兼門下侍郎上柱國河内郡開國公食邑四千一百戸食實封壹阡伍伯戸(臣)司馬光九章算術卷九訂訛補圖(算經十書之二)休寧 戴 震 東原句股弦互求圖(注云句自乘爲朱方股自乘爲)(靑方令出入相補合成弦方之)(幂又李淳風等釋云句方於内)(則句短於股據此則劉徽注此)(章舊有圖而缺今並按注補圖)據圍廣木長求葛之長其形葛卷裏袤以筆管靑線宛轉有似葛之纏木解而觀之則每周之閒自有相閒成句股弦則其閒木長爲股圍之爲句葛長爲弦弦七周乘三圍是并合衆句以爲一句則句長而股短故術以木長謂之句圍之謂之股言之倒互句與股求弦亦如前圖句三自乘爲朱幂股四自乘爲靑幂合朱靑二十五爲弦五自乘幂出上第一圖句股幂合爲弦幂明矣然二幂之數謂倒在於弦幂之中而已可更相裏者則成方幂其居表者則成矩幂二表裏形訛而數均又按此圖句幂之矩靑卷白表是其幂以句股弦差爲廣股弦并爲袤而股幂方其裏股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差爲廣句弦并爲袤而句幂方其裏是故差之與并用除之短長互相乘也(據趙君卿注周髀算經云凡并句股)(之實卽成弦實或矩於外或方於内形詭而量均體殊而數齊句實之矩以股弦差爲廣股弦)(并爲袤而股實方其裏股實之矩以句弦差爲廣句弦并爲袤而句實方其裏君卿漢人此注)(葢用其說而傳寫失真加以後人竄改遂不可通)句股差句股并與弦互求之圖(據注意滿大方卽句股并自乘之幂)(有朱幂八黃幂一内小方卽弦實有)(朱幂四黃幂一倍弦實滿外大方而)(多一黃幂於弦實内減黃幂四分之)(二半其餘適得外大方四分之一朱)(幂者句股積也黃幂之面卽句股差)股實之矩圖(趙君卿云股實之矩以句弦差爲廣)(句弦并爲袤而句實方其裏劉注用)(句弦差句弦并與句股弦互求本此)句實之矩圖(趙君卿云句實之矩以股弦差爲廣)(股弦并爲袤而股實方其裏劉注用)(股弦差股弦并與句股弦互求本此)臣淳風等謹按下鐻深得一寸爲半股弦差注云爲股弦差者鐻道也(案此言下鐻深得一寸爲半股弦差卽注所謂)(鐻深一寸爲股弦差之一半也更綴注云爲股弦差者鐻道也十字舛誤不可通據割圓術鐻)(深一寸卽可爲股弦差半鐻道五寸爲句材半徑爲弦若以此言之尤合術意)股弦卽高廣袤其出此圖也其倍弦爲廣袤合矩句卽爲幂得廣卽句股差(股弦卽高廣袤以下訛舛據趙君卿)(注周髀算經云其倍弦爲廣袤合而令句股見者自乘其爲實四實以減之開其餘所得爲差)(以差減合半其餘爲廣減廣於弦卽所求也此注似用其說而傳寫舛訛後人又妄加改竄遂)(不可通就君卿說考之倍弦自乘得弦實四内有句實股實各四減四句實餘卽四股實開之)(得倍股減四股實餘卽四句實開之得倍句所謂開其餘所得爲差也減倍股於倍弦半其餘)(爲股弦差減倍句於倍弦半其餘爲句弦差所謂以差減合半其餘爲廣也減股弦差於弦卽)(股減句弦差於弦卽句所謂減廣於弦卽所求也凡股弦差爲廣股弦并爲袤其幂卽句幂句)(弦差爲廣句弦并爲袤其幂卽股幂合廣袤皆成倍弦故曰倍弦爲廣袤合而倍句倍股卽廣)(袤差)其矩句之幂倍爲從法開之亦句股差其餘以句股幂減半其餘差爲從法開方除之卽句也(據趙君卿云減矩句之實於弦實開其餘卽股倍股在兩邊爲從法開矩句之角卽股弦)(差減矩股之實於弦實開其餘卽句倍句在兩邊爲從法開矩股之角卽句弦差此注亦用其)(說而殘缺失次遂不可通)句實廣袤合圖(據注意句實以股弦差爲)(廣股弦并爲袤廣袤合亦)(卽倍弦減四句實於倍弦)(自乘之幂餘爲四股實開)(方得倍股卽句實之廣袤)(差也)股實廣袤合圖(據注意倍弦自乘之幂容)(句實股實各四股實以句)(弦差爲廣句弦并爲袤廣)(袤合卽倍弦減四股實於)(倍弦自乘之幂餘爲四句)(實開方得倍句卽股實之)(廣袤差也)句弦差股弦差求句股弦之圖(句弦差乘股弦差倍之爲)(兩亷其幂與黃方相等故)(開方除之得黃方之面加)(股弦差卽句加句弦差卽)(股加兩差卽弦)術曰令七自乘三亦自乘并而半之以爲甲邪行率邪行率減於七自乘餘爲南行率以三乘七爲乙東行率(據問意甲行率七者設句弦并七也乙行率三者設股三也術)(令七自乘三亦自乘并而半之爲甲邪行率者句弦并自乘加股自乘半之卽弦乘句弦并所)(得數以爲弦率邪行率減於七自乘餘爲南行率者句弦并自乘減弦乘句弦并餘卽句乘句)(弦并所得數以爲句率弦率句率皆通之以句弦并則股三亦以乘句弦并七乃爲股率句股)(弦三率皆句弦并通句股弦所得數然則七自乘卽句弦并之率三自乘卽句弦差之率合差)(於并而半之爲弦減弦於并爲句其義一而已矣)股與句弦并求句弦之圖(據注意句弦并自乘加股)(自乘成長方以兩弦爲袤)(句弦并爲廣故半之爲弦)(率減股自乘於弦率餘爲)(句率股自乘之矩損上橫)(幂益於下以句弦并爲袤)(差爲廣)句股相乘爲朱靑黃幂各二令黃幂連於下隅朱靑各以類合共成修幂中方黃爲廣并句股爲袤故并句股爲法幂圖方在句中則方之兩亷各自成小句股而其相與之勢不失本率也句面之小股股面之小句從橫相連合而成中方令股爲中方率并句股爲廣率據見句五步而今有之得中方也復令句爲中方率以并句股爲袤率據股一十二步而今有之則中方又可知此則雖不效而法實有法由生矣(此十三字舛誤)(據上以粟米章今有術及衰分章列衰之意解此術大小句股互求并句股卽所有率中方率)(卽所求率見句見股卽所有數於事雖不同而意相倣效實術所由生也注意當是如此)句股容方圖(據注意句股相乘得兩黄幂兩朱幂兩靑)(幂令黃幂從黄幂朱幂從朱幂靑幂從靑)(幂兩朱在上兩黄在中兩靑合而横之在)(下則句股并爲幂容方之面爲廣其朱幂)(靑幂各成小股皆如大句股本率互求)句股相乘爲圖之本體朱靑黄幂各二則倍之爲各四可用畫於小𥿄分裁邪正之會令顛倒相補各以類合成修幂圓徑爲廣並句股弦爲袤故并句股弦以爲法又以圖之大體言之股中靑必令立規於橫廣句股又邪三徑均而復連規(此二十一字舛誤據容圓之徑卽減弦於句股并之餘也取半徑規之又以半徑減)(句股其餘并之適爲弦如是截句股弦各爲二三半徑均而復連於規之中央注意葢以此爲)(言而殘缺失次遂不可通)從橫量度句股必合而成小方矣又畫中弦以觀其會則句股之中成小句股弦四者句面之小股股面之小句皆小方之面皆圓徑之半其數故可衰以句股弦爲列衰副并爲法以小句乘未并者各自爲實實如法而一得句面之小股可知也以股乘列衰爲實則得股面之小句可知(以小句乘未并者至此訛舛不可通或後人妄加改竄又)(援衰分章之文入於此遂漫無辨别當是言令股爲列衰以見句乘之爲實實如法而一則句)(面之小股可知也令句爲列衰以見股乘之爲實實如法而一則股面之小句可知此在粟米)(章卽今有術以所求率乘所有數所有率除之古算家謂之異乘同除注以解大小句股互求)(句率股率謂所有率及所求率見句或見股爲所有數不可以見句乘句率見股乘股率也)言雖異矣及其所以成法之實則同歸矣則圓徑又可以句乘之差并(此句亦訛舛當云則又可以股弦差減句爲圓)(徑)句弦差減股爲圓徑(此下有脫文當補云句弦差股弦差并之以減)(弦餘爲圓徑)(據術意句股相乘半之爲句股積有朱靑)(黃幂各一則倍之有朱靑黃幂各四截朱)(靑幂各成小句股者二令倒順相補各成)(小長方合四朱四靑四黃而成大長方以)(容圓半徑爲廣并句股弦爲袤)九章之術乃算術之鼻祖囊括後賢胥不能度越範圍焉猶六經之臨百氏也周官保氏九數鄭君以九章之方田粟米衰分少廣商功均輸方程嬴不足旁要釋之綴曰今有重差夕桀句股也錢曉徵學士以爲夕桀乃互椉之脫誤良然蓋九章句股篇末有望遠度高測深七術或析之名曰九章重差互椉卽方程術所謂維椉是也句股卽旁要疏所云今九章以句股替旁要旁要云者不必實有是形可自旁假設以要取之祖冲之謂之綴術疏又引馬氏融注今有重差夕桀馬氏不連及句股者以句股替旁要故不重舉劉徽序云漢張蒼耿壽昌因舊文遺殘各稱刪補故校其目與古或異而所論多近語所謂目與古異者則句股替旁要是也至唐王孝通云校其條目頗與古術不合則妄而敢矣夫古今豈有異術哉劉徽因其有望遠諸術遂造重差綴於句股之下卽今海島算引而申之觸類而長之事之宜也舊有圖今缺余友休寧東原戴先生補之今分附諸篇之末亦猶劉徽之綴重差於句股焉乾隆癸巳闕里孔繼涵識於京師壽雲簃之敏事齋九章算術卷九終
## 10
九章算術音義(算經十書之二)假承務郎祕書省鉤考算經文字臣李籍撰序九九之術(食律切術者有所述也前漢梅福傳臣聞齊桓之時有以九九見者桓公)(不逆欲以致大也師古曰九九算術若今九章五曹之軰隋書經籍志九九算術二卷楊淑撰)隸首(郎計切世本曰黃帝時隸首作數)九數(色具切卽九章是也以算言之故曰)(九數以篇言之故曰九章周官保氏教國子以六藝一曰禮二曰樂三曰射四曰馭五曰書六)(曰數鄭康成注云九數方田粟米差分少廣商功均輸方程贏不足旁要今有重差夕桀句股)(隋書律歷志云一曰方田以御田疇界域二曰粟米以御交質變易三曰衰分以御貴賤稟稅)(四曰少廣以御積幂方圓五曰商功以御功程積實六曰均輸以御遠近勞費七曰盈朒以御)(隠雜互見八曰方程以御錯糅正負九曰句股以御高深廣遠)探賾(上吐南切下士革切)(賾者含蓄含蓄者探之可及故易曰探賾)索隱(上色白切下於謹切隱者隱匿隱匿者索)(之可得故易曰索隱)重差(上直容切下楚佳切重復也差不齊也句股名也)率(所律)(切數相與也又音律約數也)可度(徒各切揆也)考論(盧敦切)孤離(呂支)(切)九章第一方田(徒年切田者圍周之以爲疆横從之以爲理平夷著見興作利養之地也方田者田)(之正也諸田不等以方爲正故曰方田)以御(牛倨切理也)田疇(直留切耕治之)(田也)界域(雨逼切疆也)廣(如字闊也)從(卽容切長也)幾何(上起居切下如)(字幾何數之疑也)相乘(食陵切登也登之使其數多隋書曰乘以散之)淳風(並如)(字李淳風岐州雍人㓜爽秀通羣書明步天歷算貞觀初與傅仁均爭歷法議者多附淳風故)(以將仕郎直太史局制渾天議詆摭前世得失著法象書七篇上之擢承務郎遷太常博士改)(太史丞與諸儒脩書遷爲令於占候吉凶若節契然當世術家意有鬼神相之非學習可致終)(不能測也以勞封昌樂縣男奉詔與算博士梁述助教王真儒等是正五曹孫子等書刋定注)(解立於學官九章卽其一也)畝法(莫厚切司馬法六尺爲步步百爲畝秦孝公之制二)(百四十步爲一畝)除之(直魚切去也去之使其少隋書曰除以聚之)一頃(去穎)(切百畝也)約分(於畧切約者欲其不煩分之爲數煩則難用設有言四分之二者煩而言)(之則可爲八分之四約而言之則二分之一也雖則異辭至於爲數亦同歸耳)副置(上敷)(救切别也下陟吏切設也别設算位有所分也)合分(古沓切合分者欲其不離數非一端)(分無定凖分子雜互羣母參差麤細旣殊理難從一故齊其衆分同其羣母分可相并故曰合)(分)參差(上楚金切下楚宜切不齊也三相參爲參兩相差爲差)觿(音觿所以解結)(詩曰童子佩觿)減分(古斬切減損也減分者欲知其餘諸分子母數各不同以少減多欲)(知餘幾以餘爲實故曰減分)課分(苦卧切校也欲知其相多分各異名理不齊一校其)(相多之數故曰課分)平分(符兵切均也平分者欲減多增少而至於均諸分參差欲令齊)(等減彼之多増此之少故曰平分)副并(卑政切兼也别兼算位有所合也)經分(如字釋名曰經者徑也經分者欲徑求一人而至於徑自合分已下皆於諸分相齊此乃徑求)(一人之分以人數分所分故曰經分下經率同)乘分(如字乘分者欲知其所積分母相乘)(爲法子相乘爲積故曰乘分自合分已下獨乘言田而皆列於方田者欲其學數者不可後也)(故說算者以謂爲術者先治諸分能治諸分則數學之能事盡矣)大廣田(竝如字初)(術有全步而無餘分次術有餘分而無全步此術先見全步復有餘分可以廣兼三術故曰大)(廣田)圭田(古攜切圭田者其形上銳有如圭然白虎通曰圭者上銳象物皆生見於上也)箕田(居之切箕田者有舌有踵其形哆侈有如箕然詩曰哆兮侈兮成是南箕)圓田(王權切圓田之率有三一曰古率周三徑一是也二曰徽率周一百五十七徑五十是也三曰)(密率周二十二徑七是也爲算之術有四一曰半周半徑相乘得積步二曰周徑相乘四而一)(三曰徑自相乘三之四而一四曰周自相乘十二而一)徽術(許歸切徽術以五十乘周)(一百五十七而一卽徑以一百五十七乘徑五十而一卽周此率本於劉徽故曰徽術)密率(美畢切密率以七乘周二十二而一卽徑以二十二乘徑七而一卽周此率本於宋南徐)(州從事史祖沖之沖之以圓徑一億爲一丈圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九豪二秒七)(忽朒數三丈一尺四寸一分五釐九豪二秒六忽正數在盈朒二限之間密率圓徑一百一十)(三圓周三百五十五約率圓徑七周二十二此乃率之最密也)秒忽(上亡沼切下呼骨切)(忽者數之始也一蠶所吐謂之忽孫子算術云蠶所生吐絲爲忽十忽爲秒十秒爲豪十豪爲)(釐十釐爲分)億(於力切十萬曰億萬者物數也以人之意數爲足以勝物數故也或曰萬)(萬曰億黃帝爲法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載也三等)(者謂上中下之數也下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京中數者萬萬變之)(若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰)(京詩云不稼不穡胡取禾三百億兮毛氏曰萬萬曰億鄭氏曰十萬曰億據如此言則鄭用不)(數毛用中數也)嘉量(音亮周禮考工記㮚氏爲量鬴深尺内方尺而圓其外其實一鬴其)(臋一寸其實一豆其耳三寸其實一升重一鈞其聲中黃鍾之宮槩而不稅其銘曰時文思索)(允臻其極嘉量旣成以觀四國永啟厥後兹器維則春秋左氏傳曰齊舊四量豆區鬴鍾四升)(曰豆各自其四以登於鬴六斗四升也鬴十則鍾六十四斗也鄭康成以爲方尺積千寸比九)(章粟米法少二升八十一分升之二十二祖沖之以算術考之積凡一千五百六十二寸半方尺)(而圓其外減旁一釐八豪其徑一尺四寸一分四釐七秒二忽有奇而深尺卽古斛之制也王)(莽作銅斛名曰律嘉量其意蓋本於此銅斛之法方尺而圓其外旁有庣焉其上爲斛其下爲)(斗左耳爲升右耳爲合龠其狀似爵以縻爵祿上三下二參天兩地圓而函方左一右二陰陽)(之象也圓象規其重二鈞備氣物之數各萬有一千五百二十也聲平黃鍾始於黃鍾而反覆)(焉其斛銘曰律嘉量斛方尺而圓外庣旁九釐五毫幂百六十二寸深一尺積一千六百二十)(寸容十斗祖沖之以圓率考之此斛當徑一尺四寸三分六釐一毫九秒二忽庣旁一分九毫)(有奇劉歆庣旁少一釐四毫有奇㰴數術不精之所致也魏陳留王景元四年劉徽注九章商)(功曰當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五釐深一尺積一千四百四十一寸十分寸之三王)(莽銅斛於今尺爲深九寸五分五釐徑一尺三寸六分八釐七毫以術計之於今斛爲容九斗)(七升四合有奇此魏斛大而尺長王莽斛小而尺短也)庣(吐雕切不滿之貌也)奇(居宜)(切餘數也)攈摭(上居運切下之石切攈摭取拾也攈或作捃當作宛字之誤也)(宛田者中央隆高爾雅曰宛中宛邱又曰邱上有邱爲宛邱皆中央隆高之義也)弧田(戸吳切弧田者有弧有矢如弧之形)環田(戸關切環田者有肉有好如環之形爾雅曰肉)(好若一謂之環或作鐶)九章第二粟米(上相玉切下莫禮切粟者禾之米之未春米者穀實之無殼粟者米之率也諸米不)(等以粟爲率故曰粟米)交質(陟利切又如字)變易(羊益切)糲米(盧達切麤)(也凡粟五斗得糲米三斗故粟率五十而糲率三十)粺米(傍卦切精於糲也凡粟五斗得)(粺米二斗七升故粟率五十而粺率二十七詩曰彼疏斯粺鄭康成注云米之率糲十粺九糳)(八侍御七)糳米(音作精於粺也凡粟五斗得糳米二斗四升故粟率二十四春秋左氏傳)(曰粢食不糳俗作鑿)御米(牛倨切精於糳也供王膳之米也蔡邕獨斷曰所進曰御御者)(進也凡衣服加於身飮食入於口皆曰御)小䵂大䵂(音敵麥屑也細曰小䵂麤曰大)(䵂)菽(音叔大豆也)荅(都合切小豆也)豉(是義切鹽豉也廣雅云苦李作豉)飱(音孫說文曰餔也)糱(魚列切麯糱也說文曰米牙)瓴甓(上音靈下扶歷切甎也)箇(古賀切數也數竹曰箇)縑(古甜切說文曰并絲繒也)鈞(居勻切三十斤也)銖(音殊八銖爲錙二十四銖爲兩)翭(音侯說文曰羽本也數羽稱其本猶數草木稱其根株也)榦(古按切榦莖也一本作簳)九章第三衰分(楚宜切衰差也以差而平分故曰衰分)稟(筆錦切供穀曰稟或作廩非是)大夫(上如字下甫無切爵名也夫以智率人者也大夫則以智率人之大者也)不更(古衡)(切爵名也次大夫取其不與戌更)簪褭(上側吟切下奴了切爵名次不更取其纓冠乘)(馬)上造(音皂爵名也次簪褭取其爲造士而居上)公士(並如字爵名也次上造取)(其爲士而在公)爵數(色具切爵數者謂大夫五不更四簪褭三上造二公士一也墨子號)(令篇以爵級爲賜然則戰國之初有此名也)償之(市羊切還也)北鄉算(蘇貫)(切算者計口出錢漢律人出一算一算百二十錢賈人與奴婢倍算)傜(音遙役也)匹(譬吉)(切說文四丈也)耗(呼到切減也)乾(古寒切燥也)保(音寶傭也如所謂酒家保)貸(吐代切以物假人也)九章第四少廣(上書沼切不多也下古莽切闊也廣少從多截從之多益廣之少故曰少廣)積幂(上資昔切下莫狄切積者聚也衆數聚居之稱幂者覆也方而單布之名積幂之義不同)(如此)半(博漫切物中分也凡言半者以二爲分母言太半少半者以三爲分母)約省(所景切)折法(旨熱切折者屈而有降意折法卽退位也)内子(如字入也旣以分母)(通之必入其分子故曰内子所謂齊同以通之也又音納)中行(戸剛切列也下行同)丸徑(故官切丸卽立圓也)牟合(上莫浮切下胡閤切)㮚氏(力質切㮚氏鑄量之官也)(一本作栗)爲渾(胡昆切)祖暅之(古鄧切暅之字景鑠沖之之子也少傳家業究)(極精微亦有巧思入神之妙般倕無以過也當其詣微之時電霆不能入嘗行遇僕射徐勉以)(頭觸之勉呼乃悟父所改何承天歷時尚未行梁天監初暅之更脩之於是始行焉位至大舟)(卿)昭晰(音晳明也)咍哂(上呼開切下式忍切笑也)九章第五商功(式羊切商度也以度其功庸故曰商功)穿地(昌緣切掘地也凡穿地四尺爲)(壤五尺爲堅三尺)堅(古賢切堅謂築土詩曰築之登登)壤(如兩切壤謂息土書曰厥)(土惟白壤)墟(苦虛切墟謂穿坑)垣(音園墉也)隄(都奚切防也俗作堤)溝(古侯切釋)(名曰田間之水曰溝溝構也縱横相交構)壍(七豔切長於溝也水之遶城者)冬程人功(程課程也唐六典凡役有輕重功有短長以四五六七月爲長功二三月八九月爲中功)(以十十一十二正月爲短功中功以十分爲率長功加一分短功減一分)渠(强如切長於壍)(也水之通運者)袤(莫侯切袤長也)礫(郎擊切釋名日小石曰礫)堢壔(上音寶小城也)(下音島以土擁木也)方亭(特丁切釋名曰亭停也人所停集也方亭者其積之形如亭之)(方者圓亭亦然)方錐(職誰切方錐者其積之形如錐之方者圓錐亦然)壍堵(當古)(切壍堵壍上疊也以立方一邪解得二壍堵其積居立方二分之一將一壍堵邪解得一陽馬)(一鼈臑求壍堵之積以廣長相乘又以高乘之二而一)陽馬(莫下切陽馬之形方錐一)(隅也今以四柱屋隅爲陽馬以立方一邪解得三陽馬其積居立方三分之一將一陽馬邪解)(得二鼈臑求陽馬之積以廣長相乘又以高乘之三而一)鼈臑(那到切臂節也鼈臑之積)(半陽馬其形有似鼈肘故以名云以立方一邪解得六鼈臑其積居立方六分之一求鼈臑之)(積以廣長相乘又以高乘之六而一臑或作腝非是)羨除(上以淺切下直魚切羨延也除)(道也羨除乃隧道也其所穿地上平下邪似鼈臑夾一壍堵卽羨除之形求其積并三廣以深)(乘之又以長乘之六而一)芻甍(上測隅切刈草也俗作蒭下莫耕切屈棟也芻甍之形似)(屋蓋上苫也求其積倍下長上長從之又以廣乘之又以高乘之六而一正解方亭兩邊合之)(卽其形也)芻童(徒紅切如倒置砑石求其積倍上長并入下長以上廣乘之又倍下長并)(入上長以下廣乘之并二位以高乘之六而一曲池盤池冥谷皆同術)曲池(邱玉切)盤池(薄官切)冥谷(莫經切冥谷之形如正置砑石)棚除(上薄耕切張挹廣雅)(棲載棚閣㮖碊攱也下遲據切詩曰何福不除傳云開也棚者下有物揚之使高除者旁有物)(開之使避)踟蹰(上直離切下直誅切行不進也)載輸(上作代切下式朱切)一籠(力董切)委粟(於詭切積也)程粟(直誠切課也程粟一斛積二千七百寸米一斛)(積一千六百二十寸菽荅麻麥一斛積二千四百三十寸此據精麤爲率使價齊而不等其器)(之積寸也以米斛爲正則同於漢志孫子算術曰六粟爲圭寸圭爲抄十抄爲撮十撮爲勺十)(勺爲合應劭曰圭者自然之形陰陽之始四圭爲撮孟康曰六十四黍爲圭漢志曰量者龠合)(升斗斛也所以量多少也本起於黃鍾之龠用度數審其容以子穀秬中者千有二百實其龠)(以井水凖其槩十龠爲合十合爲升十升爲斗十斗爲斛而五量嘉矣)圓囷(去倫切倉)(圓曰囷)九章第六均輸(式朱切均平也輸委也以均平其輸委故曰均輸)勞費(芳未切耗也)乘(繩證切數車曰乘一本作量)衰出(楚危切次也不齊等也管子曰相地衰征)薄塞(上補各切廹也下先代切邊也薄或作博非是)輩之(補妹切配也俗作軰)僦(卽就切賃)(也)傭(餘封切賃也)重車(直隴切輕對也)春(書容切世本曰雍父作春呂氏春秋)(曰赤冀作春)程傳(張戀切傳郵)絡(盧各切)惡(烏各切不善也)金箠(之累)(切策也)四間(古閑切中間也)錐行(戸剛切錐行衰者下多上少如立錐之形)鳧(防無切野鴨也)牝瓦(毗忍切)牡瓦(莫厚切)矯矢(居天切說文曰揉箭箝也)(俗作撟)筈(括同箭足受弦處)假田(古雅切借也史記北假中裴駰云北假北方田)(官主以田假與貧人故云北假)發(方伐切伐也詩曰駿發爾私)耕(古莖切犁也詩曰亦)(服爾耕)耰種(音憂覆種也孟子曰播種而耰之)九章第七盈不足(以成切盈者滿也不足者虚也滿虛相推以求其適故曰盈不足)朒(女六)(切不足也或作朏非是)璡(將鄰切美石次玉曰璡一本作準)適足(施隻切恰也)桶(他孔切)瓠(胡誤切瓜屬也)蔓(無販也瓜蔓也)莞(九完切白蒲也詩曰下莞上簟)(箋小蒲之席也)醇酒(常倫切厚酒也)行酒(胡剛切市酒也)和漆(如字又胡卧切)易油(羊益切交易也)惡田(鳥各切不善也)駑馬(音奴字林曰駘也)之蜀賈(音古商賈一本作價)返(府遠切還也)九章第八方程(直成切方者左右也程者課率也左右課率總統羣物故曰方程)錯糅(女救)(切雜也)正負(上之盛切下房乆切本數爲正非本數爲負正與正同名負與負同名同)(名相除則異名者相益異名相除則同名者相益一正一負相反而相爲用術之至也)秉(兵永切刈禾盈手爲秉)稱(昌孕切正斤兩也俗作秤)課(苦卧切程也)衡(戸庚切權)(衡也)武馬(莫下切武馬戎馬也戎馬言武馬者猶曲禮謂戎車爲武車也取其健猛而善)(行)阪(府遠切不平也詩曰瞻彼阪田箋阪田崎嶇墝埆之處俗作坂)借(資者切從人假)(物也)引(余忍切引重也易曰引重致遠)綆(古杏切汲木索)令(力正切官名也)從者(疾用切隨也)庖(薄交切)恢演(上苦回切大也下以淺切廣也)九章第九句股(上苦侯切下公戸切句短面也股長面也短長相推以求其弦故曰句股)圍之(雨非切周也)纏(持碾切纏繞物也俗作纏)葛長(直良切)葭(古牙切說文曰葦之)(未秀者)閫(苦本切門限也)鐻(求於切亦作鋸)横(戸肓切從横也)折(常列切斷也)抵(都禮切)磨邑(莫禾切言切近過之摩靡通春秋左氏傳曰靡壘而還戰國䇿摩燕)(烏集闕)參(倉含切謂三相參列也俗作叅)九章算術音義終◆ 《孫子算經--》（KR3f0033）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
孫子算經 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案隋經籍志有孫子算經二卷不著其名亦不著其時代唐藝文志稱李淳風注甄鸞孫子算經三卷于孫子上冠以甄鸞葢如淳風之注周髀算經因鸞所注更加辨論也隋書論審度引孫子算術蠶所生吐絲為忽十忽為秒十秒為毫十毫為氂十氂為分本書乃作十忽為一絲十絲為一毫又論嘉量引孫子算術六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合本書乃作十圭為一撮十撮為一抄十抄為一勺攷之夏侯陽算經引田曹倉曹亦如本書而隋書中所引與史傳往往多合葢古書傳本不一校訂之儒各有據證無妨參差互見也唐之選舉算學凡十書孫子五曹共限一嵗習肄于後來諸算術中特為近古第不知孫子何許人朱彞尊集五曹算經跋云相傳其法出于孫武然孫子别有算經攷古者存其説可爾又有孫子算經跋云首言度量所起合乎兵法地生度度生量量生數之文次言乗除之法設為之數十三篇中所云廓地分利委積逺輸貴賣兵役分數比之九章方田粟米差分商功均輸盈不足之目往往相符而要在得算多多算勝以是知此編非偽託也彞尊之意葢以為確出于孫武今攷書内設問有云長安洛陽相去九百里又云佛書二十九章章六十三字則後漢明帝以後人語孫武春秋末人安有是語乎舊本久佚今從永樂大典所載裒集編次仍為三卷冠以原序其甄李二家之注則不可復攷是則姚廣孝等割裂刊削之過矣乾隆四十三年七月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 原序
孫子算經原序
孫子曰夫算者天地之經緯羣生之元首五常之本末陰陽之父母星辰之建號三光之表裏五行之準平四時之終始萬物之祖宗六藝之綱紀稽羣倫之聚散攷二氣之降升推寒暑之迭運步逺近之殊同觀天道精微之兆基察地理從横之長短采神祇之所在極成敗之符驗窮道徳之理究性命之情立規矩準方圓謹法度約尺丈立權衡平重輕剖毫釐析泰絫厯億載而不朽施八極而無疆散之不可勝究斂之不盈掌握嚮之者富有餘背之者貧且窶心開者幼沖而即悟意閉者皓首而難精夫欲學之者必務量能揆已志在所専如是則焉有不成者哉
## 卷上
欽定四庫全書孫子算經卷上度之所起起于忽欲知其忽蠶吐絲為忽十忽為一絲十絲為一毫十毫為一氂十氂為一分十分為一寸十寸為一尺十尺為一丈十丈為一引五十引為一端四十尺為一匹六尺為一步二百四十步為一畆三百步為一里稱之所起起于黍十黍為一絫十絫為一銖二十四銖為一兩十六兩為一觔三十觔為一鈞四鈞為一石量之所起起于粟六粟為一圭十圭為一撮十撮為一抄十抄為一勺十勺為一合十合為一升十升為一斗十斗為一斛斛得六千萬粟所以得知者六粟為一圭十圭六十粟為一撮十撮六百粟為一抄十抄六千粟為一勺十勺六萬粟為一合十合六十萬粟為一升十升六百萬粟為一斗十斗六千萬粟為一斛十斛六億粟百斛六兆粟千斛六京粟萬斛六陔粟十萬斛六秭粟百萬斛六穰粟千萬斛六溝粟萬萬斛為一億斛六澗粟十億斛六正粟百億斛六載粟凡大數之法萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京萬萬京曰陔萬萬陔曰秭萬萬秭曰穰萬萬穰曰溝萬萬溝曰澗萬萬澗曰正萬萬正曰載周三徑一方五邪七見邪求方五之七而一見方求邪七之五而一黄金方寸重一觔白銀方寸重一十四兩玉方寸重一十兩銅方寸重七兩半鉛方寸重九兩半鐵方寸重七兩石方寸重三兩凡算之法先識其位一從十横百立千僵千十相望萬百相當(案萬百原本訛作百萬今據夏侯陽算經改正)凡乗之法重置其位上下相觀頭位有十步至十有百步至百有千步至千以上命下所得之數列于中位言十即過不滿自如頭位乗訖者先去之下位乗訖者則俱退之六不積五不隻上下相乗至盡則已凡除之法與乗正異乗得在中央除得在上方假令六為法百為實以六除百當進之二等令在正百下以六除一則法多而實少不可除故當退就十位以法除實言一六而折百為四十故可除若實多法少自當百之不當復退故或步法十者置于十位百者置于百位(頭位)(有空絶者法退二位)餘法皆如乗時實有餘者以法命之以法為母實餘為子以粟求糲米三之五而一以糲米求粟五之三而一以糲米求飯五之二而一以粟米求糲飯六之四而一以糲飯求糲米二之五而一以糳米求飯八之四而一十分減一者以二乗二十除減二者以四乗二十除減三者以六乗二十除減四者以八乗二十除減五者以十乗二十除減六者以十二乗二十除減七者以十四乗二十除減八者以十六乗二十除減九者以十八乗二十除九分減一者以二乗十八除八分減一者以二乗十六除七分減一者以二乗十四除六分減一者以二乗十二除五分減一者以二乗十除九九八十一自相乗得幾何答曰六千五百六十一術曰重置其位以上八呼下八八八六十四即下六千四百于中位以上八呼下一一八如八即于中位下八十退下位一等收上頭位八十(案原本脫上字今補)以上位一(案上)(位原本訛作頭位今改正)呼下八一八如八即于中位下八十以上一呼下一一一如一即于中位下一上下位俱收中位即得六千五百六十一六千五百六十一九人分之問人得幾何答曰七百二十九術曰先置六千五百六十一于中位為實下列九人為法上頭位置七百(案原本脫上字今補)以上七呼下九七九六十三即除中位六千三百退下位一等即上位置二十(案上)(位原本訛作頭位今改正)以上二呼下九二九一十八即除中位一百八十又更退下位一等即上位更置九(案上位原本亦訛作頭位)(今改正)即以上九呼下九九九八十一即除中位八十一中位竝盡收下位頭位所得即人之所得自八八六十四至一 一如一竝準此八九七十二自相乗得五千一百八十四八人分之人得六百四十八七九六十三自相乗得三千九百六十九七人分之人得五百六十七六九五十四自相乗得二千九百一十六六人分之人得四百八十六五九四十五自相乗得二千二十五五人分之人得四百五四九三十六自相乗得一千二百九十六四人分之人得三百二十四三九二十七自相乗得七百二十九三人分之人得二百四十三二九一十八自相乗得三百二十四二人分之人得一百六十二一九如九自相乗得八十一一人得八十一右九九一條得四百五自相乗得一十六萬四千二十五九人分之人得一萬八千二百二十五八八六十四自相乗得四千九十六八人分之人得五百一十二七八五十六自相乗得三千一百三十六七人分之人得四百四十八六八四十八自相乗得二千三百四六人分之人得三百八十四五八四十自相乗得一千六百五人分之人得三百二十四八三十二自相乗得一千二十四四人分之人得二百五十六三八二十四自相乗得五百七十六三人分之人得一百九十二二八十六自相乗得二百五十六二人分之人得一百二十八一八如八自相乗得六十四一人得六十四右八八一條得二百八十八自相乗得八萬二千九百四十四八人分之人得一萬三百六十八七七四十九自相乗得二千四百一七人分之人得三百四十三六七四十二自相乗得一千七百六十四六人分之人得二百九十四五七三十五自相乗得一千二百二十五五人分之人得二百四十五四七二十八自相乗得七百八十四四人分之人得一百九十六三七二十一自相乗得四百四十一三人分之人得一百四十七二七一十四自相乗得一百九十六二人分之人得九十八一七如七自相乗得四十九一人得四十九右七七一條得一百九十六自相乗得三萬八千四百一十六七人分之人得五千四百八十八六六三十六自相乗得一千二百九十六六人分之人得二百一十六五六三十自相乗得九百五人分之人得一百八十四六二十四自相乗得五百七十六四人分之人得一百四十四三六一十八自相乗得三百二十四三人分之人得一百八二六一十二自相乗得一百四十四二人分之人得七十二一六如六自相乗得三十六一人得三十六右六六一條得一百二十六自相乗得一萬五千八百七十六六人分之人得二千六百四十六五五二十五自相乗得六百二十五五人分之人得一百二十五四五二十自相乗得四百四人分之人得一百三五一十五自相乗得二百二十五三人分之人得七十五二五一十自相乗得一百二人分之人得五十一五如五自相乗得二十五一人得二十五右五五一條得七十五自相乗得五千六百二十五五人分之人得一千一百二十五四四一十六自相乗得二百五十六四人分之人得六十四三四一十二自相乗得一百四十四三人分之人得四十八二四如八自相乗得六十四二人分之人得三十二一四如四自相乗得一十六一人得一十六右四四一條得四十自相乗得一千六百四人分之人得四百三三如九自相乗得八十一三人分之人得二十七二三如六自相乗得三十六二人分之人得一十八一三如三自相乗得九一人得九右三三一條得一十八自相乗得三百二十四三人分之人得一百八二二如四自相乗得一十六二人分之人得八一二如二自相乗得四一人得四右二二一條得六自相乗得三十六二人分之人得一十八一 一如一自相乗得一一乗不長右從九九至一一總成一千一百五十五自相乗得一百三十三萬四千二十五九人分之人得一十四萬八千二百二十五以九乗一十二得一百八六人分之人得一十八以二十七乗三十六得九百七十二一十八人分之人得五十四以八十一乗一百八得八千七百四十八五十四人分之人得六十二以二百四十三乗三百二十四得七萬八千七百三十二一百六十二人分之人得四百八十六以七百二十九乗九百七十二得七十萬八千五百八十八四百八十六人分之人得一千四百五十八以二千一百八十七乗二千九百一十六得六百三十七萬七千二百九十二一千四百五十八人分之人得四千三百七十四以六千五百六十一乗八千七百四十八得五千七百三十九萬五千六百二十八四千三百七十四人分之人得一萬三千一百二十二以一萬九千六百八十三乗二萬六千二百四十四得五億一千六百五十六萬六百五十二一萬三千一百二十二人分之人得三萬九千三百六十六以五萬九千四十九乗七萬八千七百三十二得四十六億四千九百四萬五千八百六十八三萬九千三百六十六人分之人得一十一萬八千九十八以一十七萬七千一百四十七乗二十三萬六千一百九十六得四百一十八億四千一百四十一萬二千八百一十二一十一萬八千九十八人分之人得三十五萬四千二百九十四以五十三萬一千四百四十一乗七十萬八千五百八十八得三千七百六十五億七千二百七十一萬五千三百八三十五萬四千二百九十四人分之人得一百六萬二千八百八十二孫子算經卷上
## 卷中
欽定四庫全書孫子算經卷中今有一十八分之一十二問約之得幾何答曰三分之二術曰置十八分在下一十二分在上副置二位以少減多等數得六為法約之即得今有三分之一五分之二問合之二得幾何答曰一十五分之十一術曰置三分五分在右方之一之二在左方母互乗子五分之二得六三分之一得五并之得一十一為實右方二母相乗得一十五為法不滿法以法命之即得今有九分之八減其五分之一問餘幾何答曰四十五分之三十一術曰置九分五分在右方之八之一在左方母互乗子五分之一得九九分之八得四十以少減多餘三十一為實母相乗得四十五為法不滿法以法命之即得今有三分之一三分之二四分之三問減多益少幾何而平答曰減四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于一十二分之七術曰置三分三分四分在右方之一之二之三在左方母互乗子副并得六十三置右為平實母相乗得三十六為法以列數三乗未并者及法等數得九約訖減四分之三者二減三分之二者一并以益三分之一各平于一十二分之七今有粟一斗問為糲米幾何答曰六升術曰置粟一斗十升以糲米率三十乗之得三百升為實以粟率五十為法除之即得今有粟二斗一升問為粺米幾何答曰一斗一升五十分升之一十七術曰置粟數二十一升以粺米率二十七乗之得五百六十七升為實以粟率五十為法除之不盡以法而命分今有粟四斗五升問為糳米幾何答曰二斗一升五分升之三術曰置粟四十五升以二約糳米率二十四得一十二乗之得五百四十升為實以二約粟率五十得二十五為法除之不盡以等數約之而命分今有粟七斗九升問為御米幾何答曰三斗三升一合八勺術曰置七斗九升以御米率二十一乗之得一千六百五十九升為實以粟率五十除之即得今有屋基南北三丈東西六丈欲以甎砌之凡積二尺用甎五枚問計幾何答曰四千五百枚術曰置東西六丈以南北三丈乗之得一千八百尺以五乗之得九千尺以二除之即得今有圓窖下周二百八十六尺深三丈六尺問受粟幾何答曰一十五萬一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一術曰置周二百八十六尺自相乗得八萬一千七百九十六尺以深三丈六尺乗之得二百九十四萬四千六百五十六以一十二除之得二十四萬五千三百八十八尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有方窖廣四丈六尺長五丈四尺深三丈五尺問受粟幾何答曰五萬三千六百六十六斛六斗六升三分升之二術曰置廣四丈六尺長五丈四尺相乗得二千四百八十四尺以深三丈五尺乗之得八萬六千九百四十尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有圓窖周五丈四尺深一丈八尺問受粟幾何答曰二千七百斛術曰先置周五丈四尺相乗得二千九百一十六尺以深一丈八尺乗之得五萬二千四百八十八尺以一十二除之得四千三百七十四尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有圓田周三百步徑一百步問得田幾何答曰三十一畆奇六十步術曰先置周三百步半之得一百五十步又置徑一百步半之得五十步相乗得七千五百步以畆法二百四十步除之即得又術曰周自相乗得九萬步以十二除之得七千五百步以畆法除之得畆數又術曰徑自乗得一萬以三乗之得三萬步四除之得七千五百步以畆法除之得畆數今有方田桑生中央從角至桑一百四十七步問為田幾何答曰一頃八十三畆奇一百八十步術曰置角至桑一百四十七步倍之得二百九十四步以五乗之得一千四百七十步以七除之得二百一十步自相乗得四萬四千一百步以二百四十步除之即得今有木方三尺高三尺欲方五寸作枕一枚問得幾何答曰二百一十六枚術曰置方三尺自相乗得九尺以高三尺乗之得二十七尺以一尺木八枕乗之即得今有索長五千七百九十四步欲使作方問幾何答曰一千四百四十八步三尺術曰置索長五千七百九十四步以四除之得一千四百四十八步餘二步以六因之得一丈二尺以四除之得三尺通計即得今有堤下廣五丈上廣三丈高二丈長六十尺欲以一千尺作一方問計幾何答曰四十八方術曰置堤上廣三丈下廣五丈并之得八丈半之得四丈以二丈乗之得八百尺以長六十尺乗之得四萬八千以一千尺除之(案除原本訛作乗今改正)即得今有溝廣十丈深五丈長二十丈欲以千尺作一方問得幾何答曰一千方術曰置廣一十丈以深五丈乗之得五千尺又以長二十丈乘之得一百萬尺以一千除之即得今有積二十三萬四千五百六十七歩問為方幾何答曰四百八十四歩九百六十八分歩之三百一十一術曰置積二十三萬四千五百六十七歩為實次借一算為下法歩之超一位至百而止上商置四百于實之上(案上)(商原本脫上字今補)副置四萬于實之下下法之上名為方法命上商四百除實除訖倍方法方法一退(案原本脫方法二字今補)下法再退復置上商八十以次前商副置八百于方法之下下法之上名為亷法方廉各命上商八十以除實(案原本脫實字今補)除訖(案原本脫除字今補)倍廉法從方法方法一退下法再退復置上商四以次前副置四于方法之下下法之上名曰隅法方廉隅各命上商四以除實除訖倍隅法從方法(案原本訛此六字今據術補)上商得四百八十四下法得九百六十八不盡三百一十一是為方四百八十四歩九百六十八分歩之三百一十一今有積三萬五千歩問為圓幾何答曰六百四十八歩一千二百九十六分歩之九十六(案六分歩原本訛作七分脫歩字今補正)術曰置積三萬五千歩以一十二乘之得四十二萬為實次借一算為下法歩之超一位至百而止上商置六百于實之上副置六萬于實之下下法之上名為方法命上商六百除實除訖倍方法方法一退下法再退復置上商四十以次前商副置四百于方法之下下法之上名為廉法方廉各命上商四十以除實(案原本脫四十二字今補)除訖倍廉法從方法方法一退下法再退復置上商八次前商副置八于方法之下下法之上名為隅法方廉隅各命上商八以除實除訖倍隅法從方法上商得六百四十八(案原本脱得字今補)下法得一千二百九十六(案六原本訛作七今改正)不盡九十六是為方六百四十八歩一千二百九十六分歩之九十六(案九十六分原本訛作九十七分今改正)今有邱田周六百三十九歩徑三百八十歩問為田幾何答曰二頃五十二畆二百二十五歩術曰半周得三百一十九歩五分半徑得一百九十歩二位相乗得六萬七百五歩以畆法除之即得今有築城上廣二丈下廣五丈四尺高三丈八尺長五千五百五十尺秋程人功三百尺問須功幾何答曰二萬六千一十一功術曰并上下廣得七十四尺半之得三十七尺以高乗之得一千四百六尺又以長乗之得積七百八十萬三千三百尺以秋程人功三百尺除之即得今有穿渠長二十九里一百四步上廣一丈二尺六寸下廣八尺深一丈八尺秋程人功三百尺問須功幾何答曰三萬二千六百四十五功(案原本訛作三萬二百六十五人今據術改正)不盡六十九尺六寸術曰置里數以三百步乗之内零步六之得五萬二千八百二十四尺并上下廣得二丈六寸半之以深乗之得一百八十五尺四寸以長乗得九百七十九萬三千五百六十九尺六寸以人功三百尺除之即得今有錢六千九百三十欲令二百一十六人作九分分之八十一人人與二分七十二人人與三分六十三人人與四分問三種各得幾何答曰二分人得錢二十二三分人得錢三十三四分人得錢四十四術曰先置八十一人于上七十二人次之六十三人在下頭位以二乗之得一百六十二次位以三乗之得二百一十六下位以四乗之得二百五十二副并三位得六百三十為法又置錢六千九百三十為三位頭位以一百六十二乗之得一百一十二萬二千六百六十又以二百一十六乗中位得一百四十九萬六千八百八十又以二百五十二乗下位得一百七十四萬六千三百六十各為實以法六百三十各除之頭位得一千七百八十二中位得二千三百七十六下位得二千七百七十二各以人數除之即得今有五等諸侯共分橘子六十顆人别加三顆問五人各得幾何答曰公一十八顆侯一十五顆伯一十二顆子九顆男六顆術曰先置人數别加三顆于下次六顆次九顆次一十二顆上十五顆副并之得四十五以減六十顆餘人數除之得人三顆各加不并者上得一十八為公分次得一十五為侯分次得一十二為伯分次得九為子分下得六為男分今有甲乙丙三人持錢甲語乙丙各將公等所持錢半以益我錢成九十乙復語甲丙各將公等所持錢半以益我錢成七十丙復語甲乙各將公等所持錢半以益我錢成五十六問三人元持錢各若干答曰甲七十二乙三十二丙四術曰先置三人所語為位以三乗之各為積甲得二百七十乙得二百一十丙得一百六十八各半之甲得一百三十五乙得一百五丙得八十四又置甲九十乙七十丙五十六各半之以甲乙減丙以甲丙減乙以乙丙減甲即各得元數今有女子善織日自倍五日織通五尺問日織幾何答曰初日織一寸三十一分寸之一十九次日織三寸三十一分寸之七次日織六寸三十一分寸之一十四次日織一尺二寸三十一分寸之二十八次日織二尺五寸三十一分寸之二十五術曰各置列衰副并得三十一為法以五尺乗未并者各自為實實如法而一即得今有人盜庫絹不知所失幾何但聞草中分絹人得六匹盈六匹人得七匹不足七匹問人絹各幾何答曰賊一十三人絹八十四匹術曰先置人得六匹于右上盈六匹于右下後置人得七匹于左上不足七匹于左下維乗之所得并之為絹并盈不足為人孫子算經卷中
## 卷下
欽定四庫全書孫子算經卷下今有甲乙丙丁戊己庚辛壬九家共輸租甲出三十五斛乙出四十六斛丙出五十七斛丁出六十八斛戊出七十九斛己出八十斛庚出一百斛辛出二百一十斛壬出三百二十五斛凡九家共輸租一千斛僦運直折二百斛外問家各幾何答曰甲二十八斛乙三十六斛八斗丙四十五斛六斗丁五十四斛四斗戊六十三斛二斗己六十四斛庚八十斛辛一百六十八斛壬二百六十斛術曰置甲出三十五斛以四乗之得一百四十斛以五除之得二十八斛乙出四十六斛以四乗之得一百八十四斛以五除之得三十六斛八斗丙出五十七斛以四乗之得二百二十八斛以五除之得四十五斛六斗丁出六十八斛以四乗之得二百七十二斛以五除之得五十四斛四斗戊出七十九斛以四乗之得三百一十六斛以五除之得六十三斛二斗己出八十斛以四乗之得三百二十斛以五除之得六十四斛庚出一百斛以四乗之得四百斛以五除之得八十斛辛出二百一十斛以四乗之得八百四十斛以五除之得一百六十八斛壬出三百二十五斛以四乗之得一千三百斛以五除之得二百六十斛今有丁一千五百萬出兵四十萬問幾丁科一兵答曰三十七丁五分術曰置丁一千五百萬為實以兵四十萬為法實如法即得今有平地聚粟下周三丈六尺高四尺五寸問粟幾何答曰一百斛術曰置周三丈六尺自相乗得一千二百九十六尺以高四尺五寸乗之得五千八百三十二尺以三十六除之得一百六十二尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有佛書凡二十九章章六十三字問字幾何答曰一千八百二十七術曰置二十九章以六十三字乗之即得今有棊局方一十九道問用棊幾何答曰三百六十一術曰置一十九道自相乗之即得今有租九萬八千七百六十二斛欲以一車載五十斛問用車幾何答曰一千九百七十五乗奇一十二斛術曰置租九萬八千七百六十二斛為實以一車所載五十斛為法實如法即得今有丁九萬八千七百六十六凡二十五丁出一兵問兵幾何答曰三千九百五十人奇一十六丁術曰置丁九萬八千七百六十六為實以二十五為法實如法即得今有絹七萬八千七百三十二匹令一百六十二人分之問人得幾何答曰四百八十六匹術曰置絹七萬八千七百三十二匹為實以一百六十二人為法實如法即得今有綿九萬一千一百三十五觔給與三萬六千四百五十四户問户得幾何答曰二觔八兩術曰置九萬一千一百三十五觔為實以三萬六千四百五十四户為法除之得二觔不盡一萬八千二百二十七觔以一十六乗之得二十九萬一千六百三十二兩以户除之即得今有粟三千九百九十九斛九斗六升凡粟九斗易豆一斛問計豆幾何答曰四千四百四十四斛四斗術曰置粟三千九百九十九斛九斗六升為實以九斗為法實如法即得今有粟二千三百七十四斛斛加三升問共粟幾何答曰二千四百四十五斛二斗二升術曰置粟二千三百七十四斛以一斛三升乗之即得今有粟三十六萬九千九百八十斛七斗在倉九年年斛耗三升問一年九年各耗幾何答曰一年耗一萬一千九十九斛四斗二升一合九年耗九萬九千八百九十四斛七斗八升九合術曰置三十六萬九千九百八十斛七斗以三升乗之得一年之耗又以九乗之即九年之耗今有貸與人絲五十七觔限嵗出息一十六觔問觔息幾何答曰四兩五十七分兩之二十八術曰列限息絲一十六觔以一十六兩乗之得二百五十六兩以貸絲五十七觔除之不盡約之即得今有三人共車二車空二人共車九人步問人與車各幾何答曰一十五車三十九人術曰置二人以三乗之得六加步者九人得車一十五欲知人者以二乗車加九人即得今有粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合出與人買絹一匹直粟三斛五斗七升問絹幾何答曰三萬六千一百一十七匹三丈六尺術曰置粟一十二萬八千九百四十斛九斗三合為實以三斛五斗七升為法除之得匹餘四十之所得又以法除之即得今有婦人河上蕩桮津吏問曰桮何以多婦人曰家有客津吏曰客幾何婦人曰二人共飯三人共羮四人共肉凡用桮六十五不知客幾何答曰六十人術曰置六十五桮以十二乗之得七百八十以十三除之即得今有木不知長短引繩度之餘繩四尺五寸屈繩量之不足一尺問幾何答曰六尺五寸術曰置餘繩四尺五寸加不足一尺共五尺五寸倍之得一丈一尺減餘四尺五寸即得今有器中米不知其數前人取半中人三分取一後人四分取一餘米一斗五升問米幾何答曰六斗術曰置餘米一斗五升以六乗之得九斗以二除之得四斗五升以四乗之得一斛八斗以三除之即得今有黄金一觔直錢一十萬問兩直幾何答曰六千二百五十錢術曰置錢一十萬以一十六兩除之即得今有錦一匹直錢一萬八千問丈尺寸各直幾何答曰丈四千五百錢尺四百五十錢寸四十五錢術曰置錢一萬八千以四除之得一丈之直一退再退得尺寸之直今有地長一千步廣五百步尺有鶉寸有鷃問鶉鷃各幾何答曰鶉一千八百萬鷃一億八千萬術曰置長一千步以廣五百步乗之得五十萬以三十六乗之得一千八百萬尺即得鶉數上十之即得鷃數今有六萬口上口三萬人日食九升中口二萬人日食七升下口一萬人日食五升問上中下口共食幾何答曰四千六百斛術曰各置口數以日食之數乗之所得并之即得今有方物一束外周一市有三十二枚問積幾何答曰八十一枚術曰重置二位左位減八餘加右位至盡虚加一即得今有竿不知長短度其影得一丈五尺别立一表長一尺五寸影得五寸問竿長幾何答曰四丈五尺術曰置竿影一丈五尺以表長一尺五寸乗之上十之得二十二丈五尺以表影五寸除之即得今有物不知其數三三數之賸二五五數之賸三七七數之賸二問物幾何答曰二十三術曰三三數之賸二置一百四十五五數之賸三置六十三七七數之賸二置三十并之得二百三十三以二百一十減之即得凡三三數之賸一則置七十五五數之賸一則置二十一七七數之賸一則置十五一百六以上以一百五減之即得今有獸六首四足禽二首二足上有七十六首下有四十六足問禽獸各幾何答曰八獸七禽術曰倍足以減首餘半之即獸以四乗獸減足餘半之即禽今有甲乙二人持錢各不知數甲得乙中半可滿四十八乙得甲大半亦滿四十八問甲乙二人元持錢各幾何答曰甲持錢三十六乙持錢二十四術曰如方程求之置二甲一乙錢九十六于右方置二甲三乙錢一百四十四于左方以右方二乗左方上得四中得六下得二百八十八錢以左方二乗右方上得四中得二下得九十六(案近刻脱此十八字今據術補)以右行再減左行左上空中餘四乙為法下餘九十六錢為實上法下實得二十四錢為乙錢以減右下九十六餘七十二為實以右上二甲為法上法下實得三十六為甲錢也今有百鹿入城家取一鹿不盡又三家共一鹿適盡問城中家幾何答曰七十五家術曰以盈不足取之假令七十二家鹿不盡四令之九十家鹿不足二十置七十二于右上盈四于右下置九十于左上不足二十于左下維乗之所得并為實并盈不足為法除之即得今有三雞共啄粟一千一粒雛啄一母啄二翁啄四主責本粟三雞主各償幾何答曰雞雛主一百四十三雞母主二百八十六雞翁主五百七十二術曰置粟一千一粒為實副并三雞所啄粟七粒為法除之得一百四十三粒為雞雛主所償之數遞倍之即得母翁主所償之數今有雉兔同籠上有三十五頭下有九十四足問雉兔各幾何答曰雉二十三兔一十二術曰上置三十五頭下置九十四足半其足得四十七以少減多再命之上三除下三上五除下五下有一除上一下有二除上二即得又術曰上置頭下置足半其足以頭除足以足除頭即得今有九里渠三寸魚頭頭相次問魚得幾何答曰五萬四千術曰置九里以三百步乗之得二千七百步又以六尺乗之得一萬六千二百尺上十之得一十六萬二千寸以魚三寸除之即得今有長安洛陽相去九百里車輪一帀一丈八尺欲自洛陽至長安問輪帀幾何答曰九萬帀術曰置九百里以三百步乗之得二十七萬步又以六尺乗之得一百六十二萬尺以車輪一丈八尺為法除之即得今有出門望見九堤堤有九木木有九枝枝有九巢巢有九禽禽有九雛雛有九毛毛有九色問各幾何答曰木八十一枝七百二十九巢六千五百六十一禽五萬九千四十九雛五十三萬一千四百四十一毛四百七十八萬二千九百六十九色四千三百四萬六千七百二十一術曰置九堤以九乗之得木之數又以九乗之得枝之數又以九乗之得巢之數又以九乗之得禽之數又以九乗之得雛之數又以九乗之得毛之數又以九乗之得色之數今有三女長女五日一歸中女四日一歸少女三日一歸問三女幾何日相㑹答曰六十日術曰置長女五日中女四日少女三日于右方各列一算于左方維乗之各得所到數長女十二到中女十五到少女二十到又各以歸日乗到數即得今有孕婦行年二十九嵗難九月未知所生答曰生男術曰置四十九加難月減行年所餘以天除一地除二人除三四時除四五行除五六律除六七星除七八風除八九州除九其不盡者奇則為男耦則為女孫子算經卷下◆ 《數述記遺-漢-》（KR3f0034）
## 提要
欽定四庫全書 子部六提要數術記遺 天文算法類二(算書之屬)(臣)等謹按數術記遺一卷舊題漢徐岳撰北周甄鸞注岳東萊人晉書律厯志所稱呉中書令闞澤受劉洪乾象法於東萊徐岳者是也隋書經籍志具列岳及甄鸞所撰九章算經七曜術算等目而獨無此書之名至唐藝文志始著於錄書中稱於泰山見劉會稽博識多聞徧於術數余因受業時問曰數有窮乎會稽曰吾曽游天目山中見有隱者云云大抵言其傳授之神秘然案後漢志註引袁山松書曰劉洪泰山蒙陰人延熹中以校尉應太史徴拜郎中後為會稽東部都尉徵還未至領丹陽太守卒官是洪官會稽後未嘗家居不得言於泰山見之且洪在會稽乃官都尉其為太守實在丹陽而注以為官㑹稽太守錯互殊甚又舊本皆題漢徐岳撰據晉書所載岳當魏黄初中與太史丞韓詡論難日月食五事則岳已仕於魏不得繫之於漢考古尤為疎謬至中列黄帝三等數及積算太一算之類皆絶無義藴其天門金虎等語乃道家詭誕之説甚為隱僻不經注所言算式數位按之正文多不相蒙殆非一手所撰唐代選舉之制算學九章五曺之外兼習此書此必當時購求古算好事者因依托為之而嫁名於岳耳然流傳既久學者或以古本為疑故仍録存之而詳斥其偽以祛後人之惑焉海島算經 天文算法類二(算書之屬)(臣)等謹案海島算經一卷晉劉徽撰唐李淳風等奉詔注據劉徽序九章算術有云徽尋九數有重差之名凡望極高測絶深而兼知其逺者必用重差輒造重差并為注解以究古人之意綴于句股之下度高者重表測深者累矩孤離者三望離而又旁求者四望據此則徽之書本名重差初無海島之目亦但附于句股之下不别為書故隋志九章算術増為十卷下云劉徽撰葢以九章九卷合此而十也而隋志唐志又皆有劉徽九章重差圖一卷葢其書亦另本單行故别著于錄一書兩出至唐志兼列劉向九章重差一卷則徽之重差既自為卷因遂訛劉徽為劉向而一書三出耳今詳為攷證定為劉徽之書至海島之名雖古無所見不過後人因卷首以海島立表設問而改斯名然唐選舉志稱算學生九章海島共限習三年試九章三條海島一條則改題海島自唐初已然矣其書世無傳本惟散見永樂大典中今裒而輯之仍為一卷篇帙無多而古法具在因宜與九章算術同為表章以見算數家源流之所自焉乾隆四十六年二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 數術記遺
欽定四庫全書巻數術記遺余以天門金虎呼吸精泉按星經云昴者西方白虎之宿太白者金之精也太白入昴金虎相薄法有兵亂周宣王時有人採薪於郊間歌曰金虎入門呼長精吸𤣥泉時人莫能知其義老子曰太白入昴兵其亂徐氏名岳東萊人葢以漢室板蕩又譎詭見於天將訪名山自求多福也羽檄星馳郊多走馬按漢徵天下兵必露檄插羽也老子曰天下有道却走馬以糞天下無道戎馬生於郊也遂負帙遊山蹠跡志道蹠跡者兩足共躡一足跡也漢文帝時河上公蹠跡為士備厯邱嶽林壑必過乃於太山見劉㑹稽博識多聞徧於數術余因受業頗染所由余時問曰數有窮乎㑹稽曰吾曽游天目山中㑹稽官號漢中人也按厯志稱靈帝光和中穀城守門候太山劉洪造乾象厯又制月行遲疾隂陽厯自洪始也方於太初四分轉精密矣洪後為㑹稽太守劉洪付乾象於東萊徐岳又授吳中書令闞澤澤甚重焉為注解今按地記天目山在吳興之界見有隱者世莫知其名號曰天目先生余亦以此意問之先生曰世人言三不能比兩乃云捐悶與四維藝經云捐悶者周公作也先本位以十二時相從其文曰同有文章虎不如龍豕者何為來入兎宮王孫出卜乃造黄鐘犬就馬廐非類相從羊奔蛇穴牛入雞籠徐援稱捐悶乃是竒兩之術發首即竒一後乃竒兩者即為疑更調曰大豬東行遁虎坑兎子欲宿入馬廐羊来入村狗所屯大牛何知乗龍上蛇徃西方入猴鄉雞鳥不止夜䑕藏其言三不能比兩者孔子所造也布十干於其方戊已在西南維其文曰火為木生甲呼丁夫婦義重已隨壬貴夷則統領辛參南丙乙妻則須守後火戊子天癸就庚四維東萊子所造也布十二時四維之一其文曰天行星紀石隨龍淵風吹羊圏天門地連兎居蛇穴馬到猴邊雞飛猪鄉䑕入虎躔摯亦有四維之戯與此異焉數不識三妄談知十三者上中下也十數昻一數也于先之意非止十等之名將闗大衍之㫖事一也猶川人事迷其指歸乃恨司方之手爽司方者指南車也狐疑論稱黄帝將見大隗于具茨之山至襄城之野川谷之山率多斜曲川人曰積數之常乃固以之非指南車之為爽乃指謂(闕)擢司方所指者乃為我等之西也然則指車豈其謬也乃行數里川人又曰司方所指我等之東也衆共論之為疑笑于時容成子怪而問之川人以其狀白對容成曰在此望之具茨之山于汝住所復在何方川人又曰在我之東容成曰汝向言在西今更在東何言不常也此非山川之移川曲之斜人心之惑耳川人乃請於斜曲之中定東西南北之術容成曰當豎一木為表以索繫之表端引索繞表畫地為規日初出影長則出圓規之外向中影漸短入規之中候西北隅影初入規之處則記之乃過中影漸長出規之外候東北隅影初出規之處又記之取二記之所即正東西也折半以指表則正南北也川人志之以為知方之術未識刹那之賒促安知麻姑之桑田按楞伽經云稱量長短者積刹那數以成日夜刹那量者壯夫一彈指日過頃遥六十四刹那二百四十刹那名一恒刹那三十恒刹那名一婆羅三十婆羅名一摩㬋羅多三十摩㬋羅多子為一日一夜其一日一夜有六百四十八萬刹那神仙傳稱麻姑謂王方平曰自接侍以來見東海三變為桑田向到蓬萊水乃淺於往者略半也豈復將為陵陸乎方平乃曰東海行復揚塵耳不辨積微之為量詎曉百億與大千按楞伽經云積微成一阿耨七阿耨為一銅上塵七銅上塵為一水上塵七水上塵為一兎毫上塵七兎毫上塵為一羊毛上塵七羊毛上塵為一牛毛上塵七牛毛上塵為一嚮中由塵七嚮中由塵成一蟣七蟣成一蝨七蝨成一麥横七麥横成一指節二十四指節為一肘四肘為一弓去肘五百弓為阿蘭惹據若摩羯國人一拘盧舍為五里八拘盧舍為一由旬一由旬計之為四十里也及以算校之正得一十七里何者計二尺為一肘四肘為一弓弓長八尺也計五百弓有四千尺也八拘盧舍則有三萬二千尺以步法六尺除之得五千三百三十三步以里法三百步除之得一十七里餘二百三十三步華嚴經云四天下共一日月為一世界有千世界有一小鐵圍山遶之名曰小千世界有一小千世界有中鐵圍山遶之名曰中千世界有中千世界有大鐵圍山遶之名曰大千世界此三千大千世界之中有百億須彌山乃今校之世有十億日月十億須彌山何者置小千世界之中有一千日月以一千乗之得一百萬即中千世界中日月數也置中千世界日月之數以一千乗之即得大千世界日月之數也又云四天下者須彌山南曰閻浮提山北曰鬱丹越山東曰(闕)提山西曰俱瞿耶尼山其日月一日一夜照四天下山南日中山北夜半山東日中山西夜半及以成事驗之則有疑矣何者按閻浮提人在須彌山南及至二月八月春秋分晝夜停以漏刻度之則晝夜各五十刻也然則日初出時東向視日之當我之東即漏刻及其日浸當我之西五十刻其一日一夜之中遶三天下而來所以至曉亦得五十刻也胡以十萬為億有百倍日月四天下等事有所未詳也黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也按詩云胡取禾三百億兮毛注曰萬萬曰億此即中數也鄭注云十萬曰億此即下數也徐援受記云億億曰兆兆兆曰京也此即上數也鄭注以數為多故合而言之從億至載終于大衍按易經大衍之數五十其用四十有九又云天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天數五地數五天數二十有五地數三十凡天地之數五十有五也下數淺短計事則不盡上數宏廓世不可用故其傳業惟以中數耳余時問曰先生之言上數者數窮則變既云終于大衍大衍有限此何得窮先生笑曰盖未之思耳數之為用言重則變以小兼大又加循環循環之理豈有窮乎小兼大者備加董氏三等術數加更載為煩故略焉余又問曰為算之體皆以積為名為復更有他法乎先生曰隸首注術乃有多種及余遺忘記憶數事而已其一積算 其一太乙 其一兩儀 其一三才 其一五行 其一八卦 其一九宫 其一運算 其一了算 其一成數 其一把頭 其一龜算 其一珠算 其一計算此等諸法隨須更位唯有九宫守一不移位依行色並應無窮從積以來至珠算從一至於百千已上位更不變改位依行色者位依五行之色北方水色黒數一東方木色青數三南方火色赤數二西方金色白數四中央土色黄數五言位依行色也一位第一用𤣥珠十位第二用赤珠百位第三用青珠千位第四用白珠萬位第五用黄珠十萬位以赤綖繫黄珠百萬位以青綖繫黄珠千萬位以白綖繫黄珠萬萬位曰億以黄綖繫黄珠自餘諸位唯兼之故曰並應無窮也余慕其術慮恐遺忘故與好事後生記之云爾積算今之常算者也以竹為之長四寸以效四時方三分以象三才言算法是包括天地以燭人情數始四時終于大衍猶如循環故曰今之常算是也太乙算太乙之行去來九道刻板横為九道豎以為柱柱上一珠數從下始故曰去來九道也兩儀算天氣下通地稟四時刻板横為五道豎為位一位兩珠上珠色青下珠色黄其青珠自上而下第一刻主五第二刻主六第三刻主七第四刻主八第五刻主九其黄珠自下而上第一刻主一第二刻主二第三刻主三第四刻主四而已故曰天氣下通地禀四時也三才算天地和同隨物變通刻板横為三道上刻為天中刻為地下刻為人豎為算位有三珠青珠屬天黄珠屬地白珠屬人又其三珠通行三道若天珠在天為九在地主六在人主三其地珠在天為八在地主五在人主二人珠在天為七在地主四在人主一故曰天地和同隨物變通按三元上元甲子一七四中元甲子二八五下元甲子三六九隨物變通也五行算以生兼生生變無窮五行之法水𤣥生數一火赤生數二木青生數三金白生數四土黄生數五今為五行算色别九枚以五行色數相配為算之位假令九億八千七百六十五萬四千三百二十一者則以白算配黄為九億以青算配黄為八千以赤算配黄為七百以𤣥算配黄為六十以一黄算為五萬以一白算為四千以一青算為三百以一赤算為二十以𤣥算為一也故曰以生兼生生變無窮八卦算針刺八方位闕從天算為之法位用一針鋒所指以定算位數一從離起指正南離為一西南坤為二正西兑為三西北乾為四正北坎為五東北艮為六正東震為七東南巽為八至九位闕即在中央豎而指天故曰位闕從天也九宫算五行參數猶如循環九宫者即二四為肩六八為足左三右七戴九履一五居中央五行參數者設位之法依五行已注于上是也運籌算小往大來運於指掌此法位别須算籌一枚令長五寸其一籌上各為五刻上頭一刻近一頭刻之其下四刻迭相去一寸令去下頭亦一寸入手取四指三間間有三節初食指上節間為一位第二節間為十位第三節間為百位至中指上節間為千位中節間為萬位下節間為十萬位無名指上節間為百萬位中為千萬位下為億也他皆倣此至算刻近頭者一刻主五其逺頭者一刻之别從下而起主一主二主三主四若一二三四頭則向下於掌中中若其至五則迴取上頭向掌中故曰小往大来也迴游於手掌之間故曰運于指掌也了知算首惟秉五腹背兩兼了算之法一位為一了字其了有三曲其下股之末内主一外主九下次第一曲内主二外主八當二曲内主三外主七其第三曲内主四外主六當了字之首則主五故曰首唯秉五腹背兩兼也成數算春夏生養秋收冬成算之法位别須五色算一枚其一算之象頭各以黄色為本以生數也餘色為首其五行各配土為成數也水𤣥生數一成數六火赤生數二成數七木青生數三成數八金白生數四成數九若以首向東及南為生數向西及北為成數假令有九億八千七百六十五萬四千三百二十一者則以白算首向北為九億以青算首向西為八千以赤算首向北為七百以𤣥算首向西為六十以黄算一枚豎為五萬以白算首向東為四千以青算首向南為三百以赤算首向東為二十以𤣥算首向南為一也故首向東向南為生數向西向北為成數故云春夏生養秋收冬成也把頭算以身當五目視四方把頭之法别須算二枚一漫一齒者一面刻為一其一面為二一面為三其一面為四也漫者為把為猶即當五算生齒者為把頭一目當一算故曰以身當五目視四方也龜算春夏秋成遇冬則停為算之法位别一龜龜之四面為十二時以龜首指寅為一指卯為二指辰為三指已為四指午為五指未為六指申為七指酉為八指戌為九指亥為十龜頭指不以為數故云遇冬則停也珠算控𢃄四時經緯三才刻板為三分其上下二分以停游珠中間一分以定算位位各五珠上一珠與下四珠色别其上别色之珠當其下四珠珠各當一至下四珠所領故云控𢃄四時其珠游於三方之中故云經緯三才也計數既捨數術宜從心計言捨數術者謂不用算籌宜以心計之或問曰今有大水不知廣狹欲不用算籌度而知之假令於水北度之者在水北置三表令南北相直各相去一丈人在中表之北平直相望水北岸令三相直即記南表相望相直之處其中表人目望處亦記之又從中相望處直望水南岸三相直㸔南表相直之處亦記之取南表二記之處髙下以等北表㸃記之還從中表前望之所北望之北表下記三相直之北即河北岸也又望上記三相直之處即河北岸中間則水廣狹也或曰今有長竿一枝不知髙下既不用籌算云何計而知之答曰取竿之影任其長短畫地記之假令手中有三尺之物亦豎之取杖下之影長短以量竿影得矣或問曰今有深坑在上㸔之可知尺數已否答曰以一杖極意長短假令以一丈之杖擲著坑中人在岸上手提之一杖舒手望坑中之杖遥量知其寸數即令一人于平地捉一丈之杖漸令却行以前者遥望坑中寸量之與望坑中數等者即得或問曰今甲乙各驅羊一羣人各問多少而甲曰更得乙一口即加五多于甲問各幾何答曰甲九口乙十一口或問曰甲乙各驅羊行人問其多少甲曰我得乙一口即與乙等乙曰我得甲一口則倍多于甲問各幾何答曰甲二乙四或問曰今有雞翁一隻直五文雞母一隻直四文雞兒一文得四隻今有錢一百文買鷄大小一百隻問各幾何答曰雞翁十五隻雞母一隻雞兒八十四隻合大小一百隻計數多少略舉其例或問曰今有雞翁一隻直四文雞母一隻直三文雞兒三隻直一文今有錢一百文還買雞大小一百隻問各幾何答曰雞翁八隻雞母十四隻雞兒七十八隻合一百隻或問鸞曰世人乃云算位者算子則豎信有之乎鸞答之曰依如針算則以針鋒指八卦之位一從離起右行周帀至巽八位既合及其至九無位可指是以在中豎而指天故曰有位合算子豎之名也又問鸞曰昔有吳人趙逹用一算之法頭乗尾除其有此術乎鸞答之曰此乃傳之失實猶(闕)公獲夔一足丁氏穿井而獲一人也何者按乗之法重張其位以上呼一置得于中置所除之數于下又置得于上亦三重張位然則乗之與除法用不同欲以一算上下當六重之身増損為衆位之實若其神也則藉一算之功如其凢也理不可爾問者又曰若如来指為妄矣此言何從而至鸞答之曰此亦傳之過實也何者積一算者盖一位用一算也頭乗尾除者欲使乗别位乗時以針鋒指之除時則用針尾撝之故有頭乗尾除之名也數術記遺◆ 《海島算經-晉-》（KR3f0035）
## 海島算經
欽定四庫全書海島算經 晉 劉 徽 撰唐 李淳風 注今有望海島立兩表齊高三丈前後相去千步令後表與前表參相直從前表卻行一百二十三步人目著地取望島峯與表末參合從後表卻行一百二十七步人目著地取望島峯亦與表末參合問島高及去表各幾何答曰島高四里五十五步去表一百二里一百五十步術曰以表高乗表間為實相多為法除之所得加表高即得島高淳風等按此術意宜云島謂山之頂上兩表謂立表木之端直(案此句訛舛據術意言立兩表齊高三丈相去千步者謂立木為表兩表各高三丈)(其地相去千步必準之使平則表端齊平然後可測望也又言令後表與前表參相直者自海島至前表)(自前表退至後表三者令其參相當也非木之端直)以人目于木末望島參平人去表一百二十三步為前表之始後立表末至人目于木末相望去表一百二十七步二表相去為相多以為法(案此亦訛舛據術意人去前表一百二十三步以目著地望表末斜與島峯參合又)(去後表一百二十七步以目著地望表末亦與島峯參合非于木末望島也前後去表相減餘四步為相)(多非二表相去也當由傳寫失真後人妄加改竄遂不可通)前後表相去千步為表間以表高乗之為實以法除之加表高即是島高積步得一千二百五十五步以里法三百步除之得四里餘五十五步是島高之步數也求前表去島逺近者以前表卻行乗表間為實相多為法除之得島去表數淳風等按此術意宜云前去表乗表間得一十二萬三千步以相多四步為法除之得三萬七百五十步又以里法三百步除之得一百二里一百五十步是島去表里數今有望松生山上不知高下立兩表齊高二丈前後相去五十步令後表與前表參相直從前表卻行七步四尺薄地遙望松末與表端參合又望松本入表二尺八寸復從後表卻行八步五尺薄地遙望松末亦與表端參合問松高及山去表各幾何答曰松高一十二丈二尺八寸山去表一里二十八步七分步之四術曰以入表乗表間為實相多為法除之加入表即得松高淳風等按此術意宜云前後去表相減餘七尺是相多以為法表間步通之為尺以入表乗之退位一等以為實以法除之更加入表(案原本訛作加表高據術意乃加入表二尺八)(寸不得加表高二丈也今改正)得一百二十二尺八寸以為松高退位一等得一十二丈二尺八寸也求表去山逺近者置表間以前表卻行乗之為實相多為法除之得山去表淳風等按此術意宜云表間以步尺法通之得三百尺以前去表四十六尺(案四原本訛作二今改正)乗之為實以相多七尺為法實如法而一得一千九百七十一尺七分尺之三以里尺法除之得一里不盡以步尺除之得二十八步不盡三還以七因之得數内子三得二十四復置步尺法以分母七乗六得四十二為步法俱半之副置平約等數即是于山去前表一里二十八步七分步之四也(案去前表原本訛作去後表據術以前表卻行乗表間以相多)(除之得山去前表若後表卻行乗表間以相多除之則得山去後表今改正)今有南望方邑不知大小立兩表東西去六丈齊人目以索連之令東表與邑東南隅及東北隅參相直當東表之北卻行五步遙望邑西北隅入索東端二丈二尺六寸半又卻北行去表一十三步二尺遙望邑西北隅適與西表相參合問邑方及邑去表各幾何答曰邑方三里四十三步四分步之三邑去表四里四十五步術曰以入索乗後去表以兩表相去除之所得為景差以前去表減之不盡以為法置後去表以前去表減之餘以乗入索為實實如法而一得邑方淳風等按此術置入索乗後去表得一千八百一十二尺以兩表相去除之得三丈二寸為景差以前去表減之餘二寸以為法前後相去表減之餘以乗入索得一萬一千三百二十五寸為實以法除之得五千六百六十二尺不盡二分尺之一以里法除之得三里不盡尺以步法除之得四十三步不盡四以分母乗之内子一得九以分母乗六得十二以三約母得四約子得三即得邑方三里四十三步四分步之三也求去表逺近者置後去表以景差減之餘以乗前去表為實實如法而一得邑去表淳風等按此術置後去表以景差尺數減之餘尺以乗前去表得一千四百九十四尺為實以法除之得七千四百七十尺以步里法除之得四里不盡二百七十尺以步法除之得四十五步即是邑去前表四里四十五步也今有望深谷偃矩岸上令句高六尺從句端望谷底入下股九尺一寸又設重矩于上其矩間相去三丈更從句端望谷底入上股八尺五寸問谷深幾何答曰四十一丈九尺術曰置矩間以上股乗之為實上下股相減餘為法除之所得以句高減之即得谷深淳風等按此術置矩間上股乗之為實又置上下股尺寸相減餘六寸以為法除實得數退位一等以句高減之餘四十一丈九尺即是谷深又一法置矩間以下股乗之為實置上下股尺數相減餘六寸以為法除之得四百五十五尺以句高并矩間得三十六尺減之餘退位一等即是谷深也今有登山望樓樓在平地偃矩山上令句高六尺從句端斜望樓足入下股一丈二尺又設重矩于上令其間相去三丈更從句端斜望樓足入上股一丈一尺四寸又立小表于入股之㑹復從句端斜望樓岑端入小表八寸問樓高幾何答曰八丈術曰上下股相減餘為法置矩間以下股乗之如句高而一所得以入小表乗之為實實如法而一即是樓高淳風等按此術置下股以上股相減餘六寸以為法又置矩間以下股乗之得三萬六千寸以句高六尺除之得六百寸以入小表乗之得四千八百寸以法除之得八百寸退位一等即是樓高八丈也今有東南望波口立兩表南北相去九丈以索薄地連之當北表之西卻行去表六丈薄地遙望波口南岸入索北端四丈二寸以望北岸入前所望表裏一丈二尺又卻後行去表一十三丈五尺(案卻後行原本訛作卻行後今改正)薄地遙望波口南岸與南表參合問波口廣幾何答曰一里二百步術曰以後去表乗入索如表相去而一所得以前去表減之餘以為法復以前去表減後去表餘以乗入所望表裏為實實如法而一得波口廣淳風等按此術置後去表以乗入索四百二寸得五十四萬二千七百寸以兩表相去除之得六百三寸又以前去表六百寸減之(案原本脫去字今據正文補入)餘有三寸為法又置前後卻行去表寸數相減餘以乗入望表裏一百二十寸得九萬寸以法除之得三萬寸為實以步里除之得一里餘以步法除之得二百步即是波口廣一里二百步也今有望清淵淵下有白石偃矩岸上令句高三尺斜望水岸入下股四尺五寸望白石入下股二尺四寸又設重矩于上其間相去四尺更從句端斜望水岸入上股四尺以望白石入上股二尺二寸問水深幾何答曰一丈二尺術曰置望水上下股相減餘以乗望石上股為上率又以望石上下股相減餘以乗望水上股為下率兩率相減餘以乗矩間為實以二差相乗為法實如法而一得水深又術列望水上下股及望石上下股相減餘并為法以望石下股減望水下股餘以乗矩間為實實如法而一得水深淳風等按此術以望水上下股相減餘五寸以乗望石上股二十二寸得一百一十寸即是上率又置望石上股減望石下股餘有二寸以乗望水上股四十寸得八十寸即是下率二率相減餘有三十寸以乗矩間四十寸得一千二百寸為實又以二差二五相乗得十為法除實退位二等即是水深一丈二尺也又術置望水上股以望水下股減之餘有五寸置望石下股以望石上股減之餘有二寸并之得七寸以為法又以望石下股以望水下股減之餘有二十一寸以乗矩間四十寸得八百四十寸以為實以七寸為法除之得一百二十寸退之得一丈二尺即是水深也今有登山望津津在山南偃矩山上令句高一丈二尺從句端斜望津南岸入下股二丈三尺一寸又望津北岸入前望股裏一丈八寸更登高巖北卻行二十二步上登五十一步偃矩山上更從句端斜望津南岸入上股二丈二尺問津廣幾何答曰二里一百二步術曰以句高乗下股如上股而一所得以句高減之餘為法置北行以句高乗之如上股而一所得以減上登餘以乗入股裏為實實如法而一即得津廣淳風等按此術置句高乗下股得二百七十七尺二寸以上股除之得一丈二尺六寸以句高一丈二尺(案此下原本衍六寸以句高一丈二尺九字)減之餘有六寸以為法又置北行步展為一百三十二尺以句高乗之得一千五百八十四尺以上股除之得七十二尺又置上登五十一步以每步六尺通之得三百六尺以前數減之餘二百三十四尺以乗入股裏尺數得二千五百二十七尺二寸為實實如法而一得四千二百一十二尺以步里法除之得二里餘一百二步即是津廣也今有登山臨邑邑在山南偃矩山上令句高三尺五寸令句端與邑東南隅及東北隅參相直從句端遙望東北隅入下股一丈二尺又施横句于入股之㑹從立句端望西北隅入横句五尺望東南隅入下股一丈八尺又設重矩于上令矩間相去四丈更從立句端望東南隅入上股一丈七尺五寸問邑廣長各幾何答曰南北長一里一百步東西廣一里三十三步少半步術曰以句高乗東南隅入下股如上股而一所得減句高餘為法以東北隅下股減東南隅下股餘以乗矩間為實實如法而一得邑南北長也求邑廣以入横句乗矩間為實實如法而一即得邑東西廣淳風等按此術以句高乗東南隅下股得六千三百寸又以東南隅上股一百七十五寸除之得三十六寸以句高減之餘有一寸以為法又置東北隅下股以減東南隅下股餘有六十寸以乗矩間得二萬四千寸為實實如法而一即不盈不縮以寸里法除之得一里不盡以寸步法除之得一百步即是邑南北長一里一百步也求東西廣步者置入横句之數以乗矩間得二萬寸為實實如法而一即得不盈不縮以里法除之得一里餘以步法除之得三十三步不盡二十與法俱退半之即是三分步之一也海島算經◆ 《五曹算經--》（KR3f0036）
## 目録
欽定四庫全書 子部六
五曹算經目録 天文算法類二(算書之屬)卷一田曹卷二兵曹卷三集曹卷四倉曹卷五金曹(臣)等謹案隋書經籍志有九章六曹算經一卷而無五曹之目其六曹篇題亦不傳唐書藝文志始有甄鸞五曹算經五卷韓延五曹算經五卷李淳風注五曹孫子等算經二十卷魯續新集五時時要術三卷甄韓二家皆注是書者也其作者則不知為誰攷漢書梅福傳福上書言臣聞齊桓之時有以九九見者顔師古注云九九算術若今九章五曹之輩葢算學雖多不出乗除二者而乗除不出自一至九因而九之之數故舉九九為言而師古即以其時所有九章五曹等書實之非梅福時有是書也朱彞尊曝書亭集有五曹算經䟦云相傳其法出于孫武然彞尊第曰相傳無所引證葢不足據觀唐書選舉志稱孫子五曹共限一嵗既曰共限則五曹不出孫子明矣姑斷以甄鸞之注則其書確在北齊前耳自元明以來久無刻本藏書家傳寫訛舛殆不可通今散見永樂大典内者甄鸞韓延李淳風之注雖亦散佚而經文則逐條完善今參互攷校俾還舊觀遂為絶無僅有之善本攷夏侯陽算經引田曹倉曹者二引金曹者一而此書皆無其文然此書首尾分明脈絡通貫亦不似有所亡失疑隋志之九章六曹其目亦同陽所引田曹倉曹金曹等名乃彼書之文故不敢據以補入以溷其真焉乾隆四十七年四月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書五曹算經卷一田曹生人之本上用天道下分地利故田曹為首今有方田廣從各五十六步問為田㡬何答曰一十三畝竒十六步術曰列田五十六步自相乗得三千一百三十六步以畝法除之即得(案畝法二百四十步)今有方田廣從各六十八步問為田㡬何答曰一十九畝竒六十四步術曰列田六十八步自相乗得四千六百二十四步以畝法除之即得今有直田廣八十步從一百九十步問為田㡬何答曰六十三畝竒八十步術曰列廣八十步以從一百九十步乗之得一萬五千二百步以畝法除之即得今有圭田從三十步一頭廣二十四步一頭無步問為田㡬何答曰一畝竒一百二十步術曰列一頭廣二十四步半之得一十二步以從三十步乗之得三百六十步以畝法除之即得今有腰鼓田從八十二步兩頭各廣三十步中央廣十二步問為田㡬何答曰八畝竒四十八步術曰并三廣得七十二步以三除之得二十四步以從八十二步乗之得一千九百六十八步以畝法除之即得(案此術踈舛當倍中央廣得二十四步并入兩頭廣得八十四步以四除之得二十一步以從八十二步)(乗之得一千七百二十二步以畝法除之得七畝竒四十二步)今有鼓田兩頭各廣四十步中央廣五十二步從八十五步問為田㡬何答曰一十五畝竒一百四十步術曰并三廣得一百三十二步以三除之得四十四步以從八十五步乗之得三千七百四十步以畝法除之即得(案此術亦踈舛當倍中央廣得一百四步并入兩頭廣得一百八十四步以四除之得四十六步以)(從八十五步乗之得三千九百一十步以畝法除之得一十六畝竒七十步)今有弧田弦八十步矢五步問為田㡬何答曰二百步術曰列弦八十步半之得四十步以矢五步乗之即得今有蛇田頭廣三十三步胷廣五十七步尾廣十八步從九十二步問為田㡬何答曰一十三畝竒一百九十二步術曰并三廣得一百八步以三除之得三十六步以從九十二步乗之得三千三百一十二步以畝法除之即得今有牆田方周一千步問為田㡬何答曰二頃六十畝竒一百步術曰列田方周一千步以四除之得二百五十步自相乗得六萬二千五百步以畝法除之即得今有簫田從四十八步一頭廣二十五步一頭廣三十五步問為田㡬何答曰六畝術曰并二廣得六十步半之得三十步以從四十八步乗之得一千四百四十步以畝法除之即得今有田桑生中央從隅至桑一百四十七步問為田㡬何答曰一頃八十三畝竒一百八十步術曰列一百四十七步以二乗之得二百九十四步以五乗之得一千四百七十步以七除之得二百一十步自相乗得四萬四千一百步以畝法除之即得今有邱田周六百四十步徑三百八十步問為田㡬何答曰二頃五十三畝竒八十步術曰列周六百四十步(案原本訛作四百六十步今改正)半之得三百二十步又列徑三百八十步半之得一百九十步二位相乗得六萬八百步以畝法除之即得今有箕田一頭廣八十六步一頭廣四十步從九十步問為田㡬何答曰二十三畝竒一百五十步術曰并二廣得一百二十六步半之得六十三步以從九十步乗之得五千六百七十步以畝法除之即得今有四不等田東三十五步西四十五步南二十五步北一十五步問為田㡬何答曰三畝竒八十步術曰并東西得八十步半之得四十步又并南北得四十步半之得二十步二位相乗得八百步以畝法除之即得今有覆月田從三十步徑十步問為田㡬何答曰一百五十步術曰列徑十步半之得五步以從三十步乗之即得今有田形如牛角從五十步口廣二十步問為田㡬何答曰二畝竒二十步術曰列口廣二十步半之得十步以從五十步乗之得五百步以畝法除之即得今有圓田周七十八步徑二十六步問為田㡬何答曰二畝竒二十七步術曰先列周七十八步半之得三十九步又列徑二十六步半之得一十三步二位相乗得五百七步以畝法除之即得今有環田外周三十步内周一十二步徑三步問為田㡬何答曰六十三步術曰并内外周得四十二步半之得二十一步以徑三步乗之即得今有田從一百步廣四十二步中有圓池周三十步徑一十步問池占外為田㡬何答曰一十七畝竒四十五步術曰列從一百步以廣四十二步乗之得四千二百步為田積又列池周三十步半之得一十五步列徑一十步半之得五步二位相乗得七十五步為池積以減田積餘四千一百二十五步以畝法除之即得五曹算經卷一
## 卷二
欽定四庫全書五曹算經卷二兵曹既有田疇必資人功故以兵曹次之今有丁二萬三千六百九十二人責兵五千九百二十三人問㡬何丁出一兵答曰四丁出一兵術曰列二萬三千六百九十二人以五千九百二十三除之即得今有丁八千九百五十八人凡三丁出一兵問出兵㡬何答曰二千九百八十六人術曰列八千九百五十八人以三除之即得今有兵九百七十人人給米七升問計㡬何答曰六十七斛九斗術曰列兵九百七十人以七升乗之即得今有兵三千八百三十七人人給錢五百五十六文問計㡬何答曰二千一百三十三貫三百七十二文術曰列兵三千八百三十七人以五百五十六文乗之即得今有兵三千一百四十八人人給布一丈二尺三寸問計㡬何答曰七百七十四端二丈四寸術曰列兵三千一百四十八人以布一十二尺三寸乗之得三萬八千七百二十尺四寸以五十尺除之即得今有兵一千三百六十二人人給絹二丈八尺五寸問計㡬何答曰九百七十疋一丈七尺術曰列兵一千三百六十二人以絹二十八尺五寸乗之(案原本訛作以絹二丈尺八寸乗之今改正)得三萬八千八百一十七尺以四十尺除之即得今有一萬人大將十人裨將二十人隊將一百人散兵九千八百七十人給絹有差大將人給三丈裨將人給二丈隊將人給一丈五尺散兵人給九尺問計㡬何答曰二千二百七十五疋竒三文術曰列大將十人以三十尺乗之得三百尺又列裨將二十人以二十尺乗之得四百尺又列隊將一百人以一十五尺乗之得一千五百尺又列散兵九千八百七十人以九尺乗之得八萬八千八百三十尺并四位得九萬一千三十尺以疋法除之即得今有城周四十八里欲令禦賊每三步置一兵問用兵㡬何答曰四千八百人術曰列城周四十八里以三百步乗之得一萬四千四百步以三步除之即得今有軍糧米三千二百四十六斛八斗七升每斛直錢四百八十二文問計㡬何答曰一千五百六十四貫九百九十一文三分四氂術曰列米三千二百四十六斛八斗七升以四百八十二文乗之即得今有車二萬三千九百乗欲作方營每乗占地三步問計㡬何答曰七萬一千七百步術曰列車二萬三千九百乗以三步乗之即得今有馬六千二百四十三匹匹給粟五升三合問計㡬何答曰三百三十斛八斗七升九合術曰列馬六千二百四十三匹以五升三合乗之即得今有牛六千五百頭頭給芻七束問計㡬何答曰四萬五千五百束術曰列牛六千五百頭以七束乗之即得五曹算經卷二
## 卷三
欽定四庫全書五曹算經卷三集曹既有人衆必用食飲故以集曹次之今有粟七百五十斛問為糲米㡬何答曰四百五十斛術曰列粟七百五十斛以三十乗之得二萬二千五百斛以五十除之即得今有粟二百九十斛問為粺米㡬何答曰一百五十六斛六斗術曰列粟二百九十斛以二十七乗之得七千八百三十斛以五十除之即得今有粟五百六十斛問為糳米㡬何答曰二百六十八斛八斗術曰列粟五百六十斛以二十四乗之得一萬三千四百四十斛以五十除之即得今有粟三百六十二斛問為御米㡬何答曰一百五十二斛四升術曰列粟三百六十二斛以二十一升乗之得七千六百二斛以五十除之即得今有粟五百六十斛凡粟八斗易麥五斗問得麥㡬何答曰三百五十斛術曰列粟五百六十斛以五十乗之得二萬八千斛以八千除之即得今有豆八百四十九斛凡豆九斗易麻七斗問得麻㡬何答曰六百六十斛三斗三升三合竒三升術曰列豆八百四十九斛以七十乗之得五萬九千四百三十斛以九十除之即得今有錢二十七貫八百三十三文凡五文買棃三枚問得棃㡬何答曰一萬六千六百九十九枚竒四文術曰列錢二十七貫八百三十三文以三乗之得八萬三千四百九十九以五除之即得今有米一千五百七十七斛斛别加八斗三升問訃㡬何答曰二千八百八十五斛九斗一升術曰列米一千五百七十七斛以加米一斛八斗三升乗之即得今有席一領坐客一十二人有席一千五百三十八領問客㡬何答曰一萬八千四百五十六人術曰列席一千五百三十八領以一十二人乗之即得又有席一領坐客二十三人有席一千五百領問客㡬何答曰三萬四千五百人術曰列席數一千五百領以二十三人乗之即得今有席一領坐客二十三人有客五十三萬三千六百八十人問席㡬何答曰二萬三千二百三領竒十一人術曰列五十三萬三千六百八十人以二十三人除之即得又有席一領坐客一十五人有客四萬四千六百二十五人問席㡬何答曰二千九百七十五領術曰列四萬四千六百二十五人以一十五人除之即得今有凡醬二升飼五人有醬三百二十斛問人㡬何答曰八萬人術曰列三百二十斛每上十之得三萬二千升以五人乗之得一十六萬升以二升除之即得今有凡錢五文買雉三隻有錢一萬七千五百二十五文問得雉㡬何答曰一萬五百一十五隻術曰列錢數一萬七千五百二十五文以雉三隻乗之得五萬二千五百七十五文以五文除之即得五曹算經卷三
## 卷四
欽定四庫全書五曹算經卷四倉曹衆既㑹集必務儲蓄故倉曹次之今有二千七百户户責租米一十五斛問計㡬何答曰四萬五百斛術曰列二千七百户以一十五斛乗之即得今有官田九百畝凡一步收粟三升二合問計㡬何答曰六千九百一十二斛術曰列田九百畝以二百四十步乗之得二十一萬六千步以三升二合乗之即得今有粟七百斛欲雇車運之每一斛雇七升問車主粟主各㡬何答曰車主四十九斛粟主六百五十一斛術曰列粟七百斛以雇粟七升乗之得四十九斛為車粟以減本粟七百斛餘為主粟今有粟九百斛斛别加二斗五升問加㡬何答曰二百二十五斛術曰列九百斛以二斗五升乗之即得今有圓囷周三丈髙一丈六尺問受粟㡬何答曰七百四十斛竒一尺二寸術曰列周三丈自相乗得九百尺以髙一丈六尺乗之得一萬四千四百尺以十二除之得一千二百尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有方窖從一丈三尺廣六尺深一丈問受粟㡬何答曰四百八十一斛四斗竒七寸八分術曰列從一丈三尺以廣六尺乗之得七十八尺以深一丈乗之得七百八十尺以斛法除之即得今有倉從一丈三尺廣六尺髙一丈中有從牽二枚方五寸從一丈三尺又横牽三枚方四寸從六尺又柱一枚周三尺髙一丈問受粟㡬何答曰四百七十一斛竒一百寸術曰列從一丈三尺上十之得一百三十寸以廣六十寸乗之得七千八百寸又列髙一丈上十之為一百寸以乗之得七十八萬寸為都積又列從牽二枚方五寸自相乗得二十五寸以從一百三十寸乗之得三千二百五十寸以從牽二枚乗之得六千五百寸又列横牽三枚方四寸自相乗得十六寸以從六十寸乗之得九百六十寸以横牽三枚乗之得二千八百八十寸又列柱一枚周三尺上十之得三十寸自相乗得九百寸以髙一百寸乗之得九萬寸以十二除之得七千五百寸并從横牽及柱等三位得一萬六千八百八十寸以減都積餘七十六萬三千一百二十寸為實以斛法一千六百二十寸除之即得又有倉從一丈九尺廣一丈五尺髙一丈三尺問受粟㡬何答曰二千二百八十七斛三升竒一分一氂四毫術曰列從一丈九尺以廣一十五尺乗之得二百八十五尺又以髙一十三尺乗之得三千七百五尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有平地聚粟下周三丈髙四尺問粟㡬何答曰六十一斛七斗二升竒一分三氂六毫術曰列下周三十尺自相乗得九百尺以髙四尺乗之得三千六百尺以三十六除之得一百尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有内角聚粟下周五十四尺髙五尺問粟㡬何答曰一千斛術曰列下周五十四尺自相乗得二千九百一十六尺以髙五尺乗之得一萬四千五百八十尺以九除之得一千六百二十尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有半壁聚粟下周三十六尺髙四尺五寸問粟㡬何答曰二百斛術曰列下周三十六尺自相乗得一千二百九十六尺以髙四尺五寸乗之得五千八百三十二尺以十八除之得三百二十四尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有外角聚粟下周四十八尺髙六尺問粟㡬何答曰三百一十六斛竒八分術曰列下周四十八尺自相乗得二千三百四尺以髙六尺乗之得一萬三千八百二十四尺以二十七除之得五百一十二尺以斛法一尺六寸二分除之即得五曹算經卷四
## 卷五
欽定四庫全書五曹算經卷五金曹倉廩貨幣交質變易故金曹次之今有五百六十五户户責絲一斤十一兩八銖問計絲㡬何答曰八石五斤三兩八銖術曰列一斤通作十六兩納十一兩得二十七兩以二十四銖乗之納八銖得六百五十六銖以乗户五百六十五得三十七萬六百四十銖以二十四銖除之得一萬五千四百四十三兩竒八銖又以十六兩除之得九百六十五斤竒三兩以三十斤除之得三十二鈞竒五斤又以四鈞除之即得今有五百六十五户共責絲八石五斤三兩八銖問户出絲㡬何答曰一斤十一兩八銖術曰列絲八石五斤三兩八銖以四乗八石得三十二鈞以三十斤乗之納五斤得九百六十五斤以十六兩乗之納三兩得一萬五千四百四十三兩以二十四銖乗之納八銖得三十七萬六百四十銖以五百六十五户除之得一户六百五十六銖以二十四銖除之得二十七兩竒八銖以十六除之即得今有七百三十八户共請絲二十七斤五兩問户得㡬何答曰一十四銖二絫一黍竒一銖二黍術曰列絲二十七斤以十六兩乗之納五兩得四百三十七兩又以二十四銖乗之得一萬四百八十八銖以七百三十八户除之即得今有絲一兩直錢五文有絲一百八十八斤一十兩問計直㡬何答曰一十五貫九十文術曰列絲一百八十八斤以一十六兩乗之納十兩得三千一十八兩以五文乗之即得今有絲九兩得絹一疋有絲三百二十四斤問計得㡬何答曰五百七十六疋術曰列三百二十四斤以十六兩乗之得五千一百八十四兩以九兩除之即得今有生絲一斤為練絲一十二兩有練絲一千五百八十七兩問生絲㡬何答曰二千一百一十六兩術曰列練絲一千五百八十七兩以十六兩乗之得二萬五千三百九十二兩以十二兩除之即得今有貴絲一兩直錢五十六文賤絲一兩直錢四十二文有錢一百三十一貫八百一十文問各得㡬何答曰各二鈞二十四斤一兩術曰列錢一百三十一貫八百一十文為實并絲貴賤價得九十八文為法以法除實得絲一千三百四十五兩以十六兩除之得八十四斤餘一兩次置之以三十斤除之即得今有錦一疋直錢八貫問一丈一尺一寸各直㡬何答曰一丈二貫文一尺二百文一寸二十文術曰列錢八貫以四十尺除之即尺價進位即丈價退位即寸價今有金二斤令九十六人分之問人得㡬何答曰八銖術曰列金二斤以十六兩乗之得三十二兩又以二十四銖乗之得七百六十八銖(案原本脱得字今補)以九十六人除之即得今有錢二百三十八貫五百七十三文足欲為九十二陌問得㡬何答曰二百五十九貫三百一十八文竒足錢四分四氂術曰列錢二百三十八貫五百七十三文足以九十二除之即得五曹算經卷五◆ 《五經算術-北周-》（KR3f0037）
## 目録
欽定四庫全書 子部六
五經算術目録 天文算法類二(算書之屬)卷上尚書定閏法推日月合宿法求一年定閏法求十九年七閏法尚書孝經兆民注數越次法詩伐檀毛鄭注不同法詩豐年毛注數越次法周易策數法論語千乘之國法周官車葢法儀禮喪服絰帶法喪服制食米溢數法禮記王制國及地法求經云古者百里當今一百二十一里六十步四尺二寸二分法求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十五步依鄭計之法求鄭注云古者百里當今一百二十五里法卷下禮記月令黄鍾律管法禮記禮運注始于黄鍾終于南吕法禮運一本注始于黄鍾終于南事法漢書終于南事算之法禮記投壺法推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法推積日法求次月朔法推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法求次氣法推文公元年歲在乙未閠當在十月下而失在三月法推閠餘十三在何月法推文公六年歲在庚子是歲無閠而置閠法推襄公二十七年歲在乙卯再失閠法推絳縣老人生經四百四十五甲子法推文公十一年歲在乙巳夏正月甲子朔絳縣老人生月法推積日法推昭公十九年閏十二月後而以閏月為正月故以正月為二月法推積日法推昭公十九年歲在戊寅閏在十二月下法推昭公十九年歲在戊寅月朔法推昭公二十年歲在己卯月朔法推昭公二十年歲在己卯正月己丑朔旦冬至而失云閏二月己丑冬至法推哀公十二年歲在戊午應置閏而不置故書十二月有螽法求十二年閏月法(臣)等謹案五經算術二卷北周甄鸞撰唐李淳風為之注鸞長于步算仕北周為司隸校尉漢中郡守嘗撰周天和年厯及注九章五曹孫子周髀等算經不聞其有是書而隋書經籍志有五經算術一卷五經算術錄遺一卷皆不著撰人姓名唐藝文志則有李淳風注五經算術二卷亦不言其書為誰撰今攷是書舉尚書孝經詩易論語三禮春秋之待算乃明者列之而推算之術悉加甄鸞按三字于上則是書當即鸞所撰又攷淳風當貞觀初奉詔與算學博士梁述助教王真儒等刋定算經立于學官唐選舉志及百官志竝列五經算為算經十書之一與周髀共限一年習肄及試士各舉一條為問此書注端悉有臣淳風等謹按字然則唐時算科之五經算即是書矣是書世無傳本惟散見于永樂大典中雖割裂失次尚屬完書據淳風注于尚書推定閏條自言其解釋之例則知發端于此又如論語千乘之國周官葢弓宇曲竝用開方之術詳于前而略于後循其義例以各經之敘推之其舊第尚可以攷見謹依唐藝文志所載之數釐為上下二卷其中採摭經史多唐以前舊本如引司馬彪志序論十二律各統一月當月者各自為宫今本後漢志統訛作終月訛作日革木之聲今志訛作草木陽下生陰陰上生陽始于黄鍾終于中吕今志脱始于黄鍾四字律為寸于準為尺律為分于準為寸下文承準寸言不盈者十之所得為分今志脱律為分于準為寸二句禮記義疏引志脱誤亦然又兩引上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清申之曰是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分與蔡邕月令章句謂黄鍾少宫管長四寸五分者合且足證中央土律中黄鍾之宫乃黄鍾清律不得溷同于仲冬月律中黄鍾為最長之濁律吕氏春秋先製黄鍾之宫次製十有二筒亦黄鍾有清律之證今志作上生不得過黄鍾之清濁下生不得及黄鍾之數實因清字訛衍在上後人改竄其下揆諸律法遂不可通葢是書不特為算家所不廢實足以發明經史覈訂疑義于攷證之學尤為有功焉乾隆四十五年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總校 官 (臣)陸 費 墀
## 卷上
欽定四庫全書五經算術卷上周 甄 鸞 撰唐 李淳風 注尚書定閏法帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以閏月定四時成歲孔氏注云咨嗟曁與也帀四時曰朞一歲十二月月三十日(案原本脱一月字今據書孔傳補)正三百六十日除小月六為六日是為一歲(案原本作是為歲脱一字今據書孔傳補)有餘十二日未盈三歲足得一月則置閏焉以定四時之氣節成一歲之厯象甄鸞按一歲之閏惟有十日九百四十分日之八百二十七而云餘十二日者理則不然何者十九年七閏今古之通軌以十九年整得七閏更無餘分故以十九年為一章今若一年有餘十二日則十九年二百二十八日若七月皆小則賸二十五日若七月皆大猶餘十八日先推日月合宿以定一年之閏則十九年七閏可知推日月合宿法置周天三百六十五度于上四分度之一于下又置月行十三度十九分度之七除其日一度餘十二度以月分母十九乘十二度積二百二十八内子七(案内郎納字古通用)得二百三十五為章月以度分母四乘章月得九百四十為日法又以四分乘度三百六十五内子一得一千四百六十一乃以月行分母十九乘之得二萬七千七百五十九為周天分以日法九百四十除之得二十九日不盡四百九十九即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九與日合宿也求一年定閏法置一年十二月以二十九日乘之得三百四十八日又置十二月以日分子四百九十九乘之得五千九百八十八以日法九百四十除之得六日從上三百四十八日得三百五十四日餘三百四十八以三百五十四日減周天三百六十五度不盡十一日又以餘分三百四十八減章月二百三十五而章月少不足減上減一日加下日法九百四十分得一千一百七十五以實餘三百四十八乃減下法餘八百二十七是為一歲定閏十日九百四十分日之八百二十七臣淳風等謹按此五經算一部之中多無設問及術直據本條畧陳大數而已今竝加正術及問仍舊數相符其有汎説事由不須術者竝依舊不加據此問宜云注一歲有餘十二日未盈三歲足得一月則置閏焉按十九年為一章有七閏問一年之中定閏幾何曰十日九百四十分日之八百二十七其術宜云置十二月以章法十九乘之納七閏為章月以四乘之為蔀月又置周天分以十九乘之為蔀日以蔀月除之得一月之日及分以十二乘之所得以減周天分餘即一年閏數也求十九年七閏法置一年閏十日以十九年乘之得一百九十日又以八百二十七分以十九年乘之得一萬五千七百一十三以日法九百四十除之得十六日餘六百七十三以十六加上日得二百六日以二十九除之得七月餘三日以法九百四十乘之得二千八百二十以前分六百七十三加之得三千四百九十三以四百九十九命七月分之適盡是謂十九年得七閏月月各二十九日九百四十分日之四百九十九臣淳風等謹按其問宜云一年閏十日九百四十分(案原本訛作九百四分脱十字今補)日之八百二十七一月二十九日九百四十分日之四百九十九問一章十九年凡閏日及月數各幾何曰閏二百六日九百四十分日之六百七十三閏月有七其術宜云置一年閏日通分内子以章法十九乘之為實以日法九百四十除之得閏日數以一月之分二萬七千七百五十九除之得閏月之數尚書孝經兆民注數越次法天子曰兆民諸侯曰萬民甄鸞按吕刑云一人有慶兆民頼之注云億萬曰兆天子曰兆民諸侯曰萬民又按周官乃經土地而井牧其田野九夫為井四井為邑四邑為邱四邱為甸四甸為縣四縣為都以任地事而令貢賦凡税斂之事所以必共井者存亾更守入出相伺嫁娶相媒有無相貸疾病相憂緩急相救以所有易以所無也兆民者王畿方千里自乘得兆井(案原李作得之兆井衍之)(字今删)王畿者因井田立法(案原本訛作因井田之立法衍之字今删)故曰兆民若言兆井之民也如以九州地方千里者九言之則是九兆其數不越于兆也諸侯曰萬民者公地方百里自乘得一萬井故曰萬民所以言侯者諸侯之通稱也按注云億萬曰兆者理或未盡何者按黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載也三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變者言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也若以下數言之則十億曰兆若以中數言之則萬萬億曰兆若以上數言之則億億曰兆注乃云億萬曰兆者正是萬億也若從中數其次則須有十萬億次百萬億次千萬億次萬萬億曰兆三數竝違有所未詳按尚書無此注故從孝經注釋之(案今孝經亦無此注考天子曰兆民諸侯曰萬民本左氏春秋閔公元年)(卜偃之語鄭康成注内則降徳于衆兆民云萬億曰兆天子曰兆民諸侯曰萬民然則此所引尚書及孝經注)(皆鄭氏説也)詩伐檀毛鄭注不同法不稼不穡胡取禾三百億兮不狩不獵胡瞻爾庭有縣特兮注云萬萬曰億獸三歲曰特箋云十萬曰億三百億禾秉之數也甄鸞按黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者謂億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也據此而言鄭用下數毛用中數矣詩豐年毛注數越次法豐年多黍多稌亦有髙廩萬億及秭毛注云豐大稌稲廩所以藏齍盛之穗數萬至萬曰億數億至億曰秭箋云豐年大有之年萬億及秭以言榖數多也甄鸞按毛注云數萬至萬曰億者此即是中數萬萬曰億也又云數億至億曰秭者或有可疑何者按黄帝數術云中數者萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京萬萬京曰垓萬萬垓曰秭此應云數億至垓曰秭而言數億至億曰秭者有所未詳周易策數法凡天地之數五十有五此所以成變化而行鬼神也乾之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十當朞之日二篇之策萬有一千五百二十當萬物之數也是故四營而成易十有八變而成卦八卦而小成引而伸之觸類而長之天下之能事畢矣甄鸞按天以一生水地以二生火天以三生木地以四生金天以五生土天數竒二十五地數耦三十并天地之數合五十五謂之大衍之數揲蓍得乾者三十六策然後得九一爻爻有三十六策合二百一十六揲蓍得坤者二十四策然後得六一爻爻有二十四策合一百四十四并乾坤之策三百六十當一朞之日者舉全數也上下經有六十四卦卦有六爻合三百八十四爻陰陽各半陽爻稱九陰爻稱六九六各百九十二也陽爻以三十六策乘之得六千九百一十二陰爻以二十四策乘之得四千六百八并陰陽之策合得一萬一千五百二十也四營者仰象天俯法地近取諸身遠取諸物也十八變者三變而成爻十八變而六爻也八卦而小成者言雖成易猶未備也論語千乘之國法子曰道千乘之國注云司馬法六尺為步步百為畆畆百為夫夫三為屋屋三為井井十為通通十為成成出革車一乘然則千乘之賦其地千成也今有千乘之國其地千成計積九十億步問為方幾何答曰三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六術曰置積步為實開方除之即得按千乘之國其地千成方十里置一成地十里以三百步乘之得三千步重張相乘得九百萬步又以千成乘之得積九十億步以開方除之即得方數也開方法曰借一算為下法步之常超一位至萬而止置上商九萬于實之上又置九億于實之下下法之上名曰方法命上商九萬以除實畢倍方法九億得十八億乃折之方法一折下法再折又置上商四千于上以次前商之後又置四百萬于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商四千以除實畢倍隅法得八百萬上從方法得一億八千八百萬乃折之方法一折下法再折又置上商八百于上以次前商之後又置八萬于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八百以除實畢倍隅法得十六萬上從方法得一千八百九十六萬乃折之方法一折下法再折又置上商六十于上以次前商之後又置六百于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商六十以除實畢倍隅法得一千二百上從方法得一百八十九萬七千二百乃折之方法一折下法再折又置上商八于上以次前商之後又置八于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八以除實畢倍隅法得一十六上從方法下法一亦從之得一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六以里法三百步除之得三百一十六里不盡六十八步即得方三百一十六里六十八步一十八萬九千七百三十七分步之六萬二千五百七十六也周官車葢法參分弓長以其一為之尊注云尊高也六尺之弓近部平者二尺(案原本脱此六字今據周禮注補)爪末下于部二尺二尺為句(案此四字原本訛作為句也三字今據周禮注補正)四尺為弦求其股股十二(案此六字原本訛作其股十二四字今據周禮注補正)開方除之面三尺幾半甄鸞按句股之法横者為句直者為股邪者為弦若句三則股四而弦五此自然之率也今此車葢句二弦四則股三此亦自然之率矣求之法句股各自乘并而開方除之即弦也股自乘以減弦自乘其餘開方除之即句也句自乘以減弦自乘其餘開方除之即股也假令句三自乘得九股四自乘得十六倂之得二十五開方除之得五弦也股四自乘得十六弦五自乘得二十五以十六減之餘九開方除之得三句也句三自乘得九弦五自乘得二十五以九減之餘十六開方除之得四股也今車葢崇二尺弓四尺以崇下二尺為句弓四尺為弦為之求股求股之法句二尺自乘得四弦四尺自乘得十六以四減十六餘十二開方除之得三即股三尺也餘三倍方法三得六又以下法一從之得七即股三尺七分尺之三故曰幾半也臣淳風等謹按其問宜云車葢之弓長六尺近上二尺連部而平(案部原本訛作步考周禮注云六尺之弓近部平者二尺即此所本今訂正)為高四尺邪下宇曲為弦爪末下于部二尺為句欲求其股問股幾何曰三尺七分尺之三術曰句自乘以減弦自乘其餘開方除之即得股也儀禮喪服絰帶法苴絰大搹左本在下(案原本訛作左平在下今據儀禮改正)去五分一以為帶齊衰之絰斬衰之帶也去五分一以為帶大功之絰齊衰之帶也去五分一以為帶小功之絰大功之帶也去五分一以為帶緦麻之絰小功之帶也去五分一以為帶注云盈手曰搹搹㧖也中人之㧖圍九寸以五分一為殺者象五服之數今有五服衰絰迭相差減五分之一其斬衰之絰九寸問齊衰大功小功緦麻絰各幾何答曰齊衰七寸五分寸之一大功五寸二十五分寸之十九小功四寸一百二十五分寸之七十六緦麻三寸六百二十五分寸之四百二十九甄鸞按五分減一者以四乘之以五除之置斬衰之絰九寸以四乘之得三十六為絰實以五除之得齊衰之絰七寸五分寸之一以母五乘絰七寸得三十五内子一得三十六以四乘之得一百四十四為實以五乘下母五得二十五為法除之得大功絰五寸二十五分寸之十九以母二十五乘絰五寸得一百二十五内子十九得一百四十四以四乘之得五百七十六為實以五乘下母二十五得一百二十五為法以除之得小功絰四寸一百二十五分寸之七十六以母一百二十五乘絰四寸得五百内子七十六得五百七十六又以四乘之得二千三百四為實以五乘下母一百二十五得六百二十五為法以除之得緦麻之絰三寸六百二十五分寸之四百二十九臣淳風等謹按其術宜云置斬衰之絰九寸以四乘之丘而一得齊衰之絰其求大功已下者準此有分者同而通之即合所問喪服制食米溢數法朝一溢米夕一溢米注云二十兩曰溢一溢為米一升二十四分升之一甄鸞按一溢米一升二十四分升之一法置一斛米重一百二十斤以十六乘之為積一千九百二十兩以溢法二十兩除之得九十六溢為法以米一斛為百升為實實如法得一升不盡四升與法俱再半之名曰二十四分升之一稱法三十斤曰鈞四鈞曰石石有一百二十斤也所以名斛為石者以其一斛米重一百二十斤故也臣淳風等謹按其問宜云喪服朝一溢米夕一溢米鄭注云二十兩曰溢為米一升二十四分升之一欲求其指如何術曰置一斛升數為實又置一斛米重斤數以斤法十六兩乘之所得以溢法二十除之為法實如法得一升不盡者與法俱再半之即得分也禮記王制國及地法凡四海之内有九州大界方三千里三三而九計方一千里者有九也今為里田之法方一千里為廣一里則長一百萬里也分方一千里為畿内餘為八州州各得方一千里各以方里自乘為積里諸國皆倣方一百里國三十一國萬里(方百里自相乘)三十國合三十萬里方七十里國六十一國四千九百里六十國合二十九萬四千里方五十里國一百二十一國二千五百里一百二十國合三十萬里上法一州有二百一十國合地八十九萬四千里以減一州之地大數一百萬里餘一十萬六千里為閒田此據一州而言若八州則地七百一十五萬二千里以減八州八百萬里餘八十四萬八千里為閒田臣淳風等謹按其問宜云今有州方千里其中封百里之國三十七十里之國六十五十里之國百二十問三等國别及當色總數并都合積里餘為閒田得地幾何曰百里之國一國得積萬里總積三十萬里七十里之國一國得積四千九百里總積二十九萬四千里五十里之國一國得積二千五百里總積三十萬里都合得積八十九萬四千里閒田積十萬六千里術宜云置方里各自乘為一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之即都合積里以減一州方里自乘大數餘即閒田也畿内方百里國九一國萬里九國合九萬里方七十里國二十一一國四千九百里二十一國合十萬二千九百里方五十里國六十三一國二千五百里六十三國合十五萬七千五百里上法畿内有九十三國計地三十五萬四百里以減一百萬里餘六十四萬九千六百里為閒田以八州之地七百一十五萬二千里并畿内三十五萬四百里九州之國合地七百五十萬二千四百里以減九州之地大數九百萬里餘一百四十九萬七千六百里為閒田此商制也臣淳風等謹按其問宜云今有畿内方千里其中封百里之國九七十里之國二十一五十里之國六十三問三等國别及當色總數并畿内都合積里餘為閒田各幾何曰百里之國一國得積萬里總九萬里七十里之國一國積四千九百里總十萬二千九百里五十里之國一國積二千五百里總十五萬七千五百里都合積三十五萬四百里閒田積六十四萬九千六百里其術宜云方里各自乘為一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之即都合積里以減畿内方里自乘大數餘即閒田也鄭注云周公制禮九州大界方七千里七七四十九即四千九百萬里計方一千里者四十九也分方千里為畿内餘為八州州各得一千里者六一州合地六百萬里方五百里國四一國二十五萬里四國合一百萬里方四百里國六一國十六萬里六國合九十六萬里方三百里國十一一國九萬里十一國合九十九萬里方二百里國二十五一國四萬里二十五國合一百萬里方一百里國一百六十四一國一萬里一百六十四國合一百六十四萬里上法一州二百一十國計地五百五十九萬里以減一州之地大數六百萬里餘四十一萬里為附庸閒田按周禮據千里為法則公國四侯國六伯國十一子國二十五男國一百六十四合二百一十國者非周之數矣據地方一千里為地一百萬里五國合為地五百萬里方百里者五十九方百里為地一萬里五十九國合為地五十九萬里上二法計得地五百五十九萬里容前二百一十國餘方百里者四十一方百里為地一萬里百里之國四十一為地四十一萬里上據地以下三法合地六百萬里一州之大數臣淳風等謹按其問宜云今有一州方千里者六其中封方五百里之國四四百里之國六三百里之國十一二百里之國二十五一百里之國一百六十四問五等國别及當色總數并都合積里餘為附庸閒田各幾何曰五百里之國四一國得積二十五萬里總積一百萬里四百里之國六一國十六萬里總九十六萬里三百里之國十一一國九萬里總九十九萬里二百里之國二十五一國四萬里總一百萬里一百里之國一百六十四一國一萬里總一百六十四萬里都合二百一十國總積五百五十九萬里附庸間田積四十一萬里術宜云置五等方里各自乘得一國之積里各以本方國數乘之得當方總數并之得都合積里以減一州方里自乘積一百萬里餘四十一萬里即附庸閒田古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步古者百畝當今東田百四十六畝三十歩古者百里當今百二十一里六十歩四尺二寸二分注云周尺之數未之詳聞按禮制周猶以十寸為尺蓋六國時多變亂法度或言周尺八寸則歩更為八八六十四寸以此計之古者百畝當今百五十六畝二十五歩古者百里當今百二十五里也甄鸞按古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為歩古者一百畝當今東田一百四十六畝三十步計之法置古步八尺以八寸乘之為六十四寸自相乘得四千九十六寸為古步法又置今步六尺以八寸乘之内四寸得五十二寸自相乘得二千七百四寸為今步法置田一百畝以百步乘之得一萬步以古步法乘之得四千九十六萬寸為實以今歩法二千七百四寸除之得一萬五千一百四十七步不盡二千五百一十二寸約之得一百六十九分步之一百五十七以畝法一百步除積步得一百五十一畝餘四十七步及分以經中東田一百四十六畝三十步減之計賸五畝一十七步及分此即經自不合臣淳風等謹按其問宜云古者以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步周制八寸為尺問古者百畝當今幾畝又與經中當今畝數所較幾何曰一百五十一畝四十七步一百六十九分步之一百五十七多于經中五畝一十七步一百六十九分步之一百五十七術宜云置古步尺數以八寸乘之又自相乘為古步法又置今步尺數亦以八寸乘之内子自相乘為今步法列田百畝步數以古步法乘之今步法除之所得以經中當今畝數減之餘即所多之數求經云古者百里當今一百二十一里六十步四尺二寸二分法置百里以三百步乘之得三萬步以古一步六十四寸乘之得一百九十二萬寸以今步法五十二寸除之得三萬六千九百二十三步餘四寸以里法三百步除積步得一百二十三里不盡二十三步四寸以經中一百二十一里六十步四尺二寸二分減之計賸一里二百六十二步一尺三寸八分亦經自不合臣淳風等謹按其問宜云周制八寸為尺古以周尺八尺為步今以周尺六尺四寸為步問古者百里當今幾里又與經中當今里數所較幾何曰一百二十三里二十三步四寸多于經中一里二百六十二步一尺三寸八分術宜云置百里步數以古步寸數乘之以今步寸數除之以里法三百步除之即得以經中當今里數減之餘即所多之數求鄭氏注云古者百畝當今一百五十六畝二十五步依鄭計之法置經中古者八十寸今六十四寸相約古步率得五今步率得四古步率五自乘得二十五為古步法今步率四自乘得十六為今步法置田一百畝為一萬步以古步法二十五乘之得二十五萬以今步法十六除之得一萬五千六百二十五步以畝法一百步除之得一百五十六畝不盡二十五步臣淳風等謹按其問宜云鄭注禮王制周猶以十寸為尺或言周尺八寸則步更為八八六十四寸以此計之古者百畝當今一百五十六畝二十五步欲求其旨趣如何術宜云置古步寸數與今步寸數相約所得各自為率二率各自乘為步法又列田百畝步數以古步法乘之今步法除之即得求鄭注云古者百里當今一百二十五里法置一百里以三百步乘之得三萬步以古步率五乘之得一十五萬為實以今步率四乘里法三百步得一千二百為法實如法而一得一百二十五里按經自不合鄭注又不與經同未詳所以臣淳風等謹按其問宜云鄭意以周猶以十寸為尺或謂周尺八寸以此計之古者百里當今一百二十五里求其旨趣如何術宜云以今步寸數等約古步寸數各自為率古步率得五今步率得四置百里步數以古步率乘之以今步率四而一以里法三百步除之即得五經算術卷上
## 卷下
欽定四庫全書五經算術卷下周 甄 鸞 撰唐 李淳風 注禮記月令黄鍾律管法黄鍾術曰置一算以三九徧因之為法置一算以三因之得三又三因之得九又三因之得二十七又三因之得八十一又三因之得二百四十三又三因之得七百二十九又三因之得二千一百八十七又三因之得六千五百六十一又三因之得一萬九千六百八十三為法即是黄鍾一寸之積分重張其位于上以三再因之為黄鍾之實以法除之得黄鍾十一月管長九寸置黄鍾一寸積分一萬九千六百八十三以三因之得五萬九千四十九又置五萬九千四十九以三因之得十七萬七千一百四十七為黄鍾之實以寸法一萬九千六百八十三除實得黄鍾之管長九寸律管之法隔八相生子午已東為上生子午已西為下生上生者三分益一下生者三分損一益者四乘三除損者二乘三除黄鍾下生林鍾六月管長六寸置黄鍾管長九寸以二乘之得十八以三除之得林鍾管長六寸林鍾上生太蔟正月管長八寸置林鍾管長六寸以四乘之得二十四以三除之得太蔟管長八寸太蔟下生南呂八月管長五寸三分寸之一置太蔟之管八寸以二乘之得十六以三除之得南呂之管長五寸三分寸之一南呂上生姑洗三月管長七寸九分寸之一置南呂管長五寸以分母三乘之内子一得十六以四乘之得六十四以三乘法三得九為法以除之得姑洗之管長七寸九分寸之一姑洗下生應鍾十月管長四寸二十七分寸之二十置姑洗管長七寸以分母九乘之内子一得六十四以二乘之得一百二十八以分母九乘法三得二十七為法以除之得應鍾之管長四寸二十七分寸之二十應鍾上生蕤賓五月管長六寸八十一分寸之二十六置應鍾管長四寸以分母二十七乘之内子二十得一百二十八以四乘之得五百一十二以分母二十七乘法三得八十一為法除之得蕤賓管長六寸八十一分寸之二十六蕤賓上生大呂十二月管長八寸二百四十三分寸之一百四置蕤賓管長六寸以分母八十一乘之内子二十六得五百一十二以四乘之得二千四十八為實以分母八十一乘法三得二百四十三為法除之得大呂之管長八寸二百四十三分寸之一百四大呂下生夷則七月管長五寸七百二十九分寸之四百五十一置大呂管長八寸以分母二百四十三乘之内子一百四得二千四十八以二乘之得四千九十六為實以分母二百四十三乘法三得七百二十九為法除之得夷則管長五寸七百二十九分寸之四百五十一夷則上生夾鍾二月管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五置夷則管長五寸以分母七百二十九乘之内子四百五十一得四千九十六以四乘之得一萬六千三百八十四為實以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七為法除之得夾鍾管長七寸二千一百八十七分寸之一千七十五夾鍾下生無射九月管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四置夾鍾管長七寸以分母二千一百八十七乘之内子一千七十五得一萬六千三百八十四以二乘之得三萬二千七百六十八為實以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一為法除之得無射管長四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四無射上生中呂四月管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四置無射管長四寸以分母六千五百六十一乘之内子六千五百二十四得三萬二千七百六十八以四乘之得十三萬一千七十二為實以分母六千五百六十一乘法三得一萬九千六百八十三為法除之得中呂之管長六寸一萬九千六百八十三分寸之一萬二千九百七十四禮記禮運注始于黄鍾終于南呂法五行之動迭相竭五行四時十二月還相為本五聲六律十二管還相為宮五味六和十二食還相為滑(案今禮記)(正文作質鄭注云五味酸苦辛鹹甘也和之者春多酸夏多苦秋多辛冬多鹹皆有滑甘是謂六和蓋五味加)(滑而六據内則曰滫㵦以滑之疏云滫㵦之令柔滑也食味言還相為滑衣色言還相為質質如凡畫者丹質)(之質食味衣色二者語宜有别此所引在唐以前應是古本作滑仍之以備參考)五色六章十二衣還相為質注云竭猶負載也言五行運轉更相為始五聲宮商角徵羽其管陽曰律隂曰呂布在十二辰始于黄鍾九寸下生者三分去一上生者三分益一終于南呂更相為宮凡六十律甄鸞按五聲六律十二管還相為宮終于南呂黄鍾為宮林鍾為徵太蔟為商南吕為羽姑洗為角林鍾為宮太蔟為徵南吕為商姑洗為羽應鍾為角太蔟為宮南呂為徵姑洗為商應鍾為羽蕤賓為角南呂為宮姑洗為徵應鍾為商蕤賓為羽大呂為角姑洗為宮應鍾為徵蕤賓為商大呂為羽夷則為角應鍾為宮蕤賓為徵大呂為商夷則為羽夾鍾為角蕤賓為宮大呂為徵夷則為商夾鍾為羽無射為角大呂為宮夷則為徵夾鍾為商無射為羽中呂為角夷則為宮夾鍾為徵無射為商中呂為羽黄鍾為角夾鍾為宮無射為徵中呂為商黄鍾為羽林鍾為角無射為宮中呂為徵黄鍾為商林鍾為羽太蔟為角中呂為宮黄鍾為徵林鍾為商太蔟為羽南呂為角甄鸞按禮記注一本乃有云始于黄鍾終于南事者更顯之于後禮運一本注始于黄鍾終于南事法甄鸞按司馬彪律厯志黄鍾下生林鍾林鍾上生太蔟太蔟下生南呂南呂上生姑洗姑洗下生應鍾應鍾上生蕤賓蕤賓上生大呂大呂下生夷則夷則上生夾鍾夾鍾下生無射無射上生中呂中呂上生執始執始下生去滅去滅上生時息時息下生結躬結躬上生變虞變虞下生遲内遲内上生盛變盛變上生分否分否下生解形解形上生開時開時下生閉掩閉掩上生南中南中上生丙盛丙盛下生安度安度上生屈齊屈齊下生歸期歸期上生路時路時下生未育未育上生離宮離宮上生凌隂凌隂下生去南去南上生族嘉族嘉下生鄰齊鄰齊上生内負(案原本訛作内貟下同今據後漢書改正)内負上生分動分動下生歸嘉歸嘉上生隨期隨期下生未卯未卯上生形始形始下生遲時遲時上生制時制時上生少出少出下生分積分積上生爭南爭南下生期保期保上生物應物應上生質末質末下生否與否與上生形晉(案原本訛作下生形晉今據後漢書改正)形晉下生夷汗夷汗上生依行依行上生色育色育下生謙待謙待上生未知未知下生白呂白呂上生南授南授下生分烏分烏上生南事南事不生漢書終于南事算之法甄鸞按司馬彪志序云漢興北平侯張蒼首治律厯孝武正樂置協律之官至元始中博徵通知鍾律者攷其意義劉歆典領條奏前史班固取以為志而元帝時郎中京房知五聲之音六律之數上使太子太傅元成諫議大夫章雜試問房于樂府房對受學故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四陽下生隂陰上生陽始于黄鍾(案後漢書今本及見于禮記疏)(者皆無始于黄鍾四字此所引乃全文可補二書脱誤)終于中呂而十二律畢矣中呂上生執始執始下生去滅上下相生終于南事六十律畢矣夫十二律之變至于六十猶八卦之變至于六十四也宓羲作易紀陽氣之初以為律法建日冬至之聲以黄鍾為宮太蔟為商姑洗為角林鍾為徵南呂為羽應鍾為變宮蕤賓為變徵此聲氣之元五音之正也故各統一月(案後漢書今本訛作各終一日下當月者訛作當日者攷律法十二律分十二)(月各自為宮而商徵以類從是一律統一月也禮記疏引作各統一日下仍作當月者惟此所引無舛誤可據)(以訂正二書)其餘以次運行當月者各自為宮而商徵以類從焉禮運篇曰五聲六律十二管還相為宮此之謂也以六十律分朞之日黄鍾自冬至始及冬至而復陰陽寒燠風雨之占生焉所以檢攝羣音考其高下苟非革木之聲(案革木後漢書今本訛作草木當以此所引為正)則無不有所合作聲不可以度調故作準以定數準之狀如瑟長丈而十三弦隱間九尺以應黄鍾之律九寸中央一弦下有畫分寸以為六十律清濁之節律術曰陽以圓為形其性動陰以方為節其性靜動者數三靜者數二以陽生陰倍之以陰生陽四之皆三而一陽生陰曰下生陰生陽曰上生上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清(案後復引此二語下云是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分攷蔡邕月令章句云黄鍾之宮謂黄鍾)(少宮也半黄鍾九寸之數管長四寸五分蓋九寸者黄鍾全律四寸五分者黄鍾半律後漢書今本作上生不)(得過黄鍾之清濁下生不得及黄鍾之數實訛謬不可通當是傳寫致舛校書者因有所竄改此所引猶善本)(未訛者也)皆參天兩地圓蓋方覆六耦承竒之道也黄鍾律呂之首而生十二律者也其相生也皆三分而損益之是故十二律之得十七萬七千一百四十七是為黄鍾之實如前置一算以三九徧因之得一萬九千六百八十三為黄鍾一寸之積分即為一寸之法即以三再因之得一十七萬七千一百四十七為黄鍾之實以寸法除之得黄鍾之管長九寸又以二乘而三約之是謂下生林鍾之實置黄鍾之實一十七萬七千一百四十七以二因之得三十五萬四千二百九十四以三除之得一十一萬八千九十八為林鍾之實以寸法一萬九千六百八十三除之得林鍾之管長六寸又以四乘而三約之是謂上生太蔟之實置林鍾之實十一萬八千九十八以四因之得四十七萬二千三百九十二以三除之得十五萬七千四百六十四為太蔟之實以寸法一萬九千六百八十三除之得太蔟之管長八寸自餘諸管上下相生皆倣此推此上下以定六十律之實以九三之數(案數原本訛作得今據後漢書改正)萬九千六百八十三為法實如法于律為寸于準為尺(案尺字原本訛作寸今據後漢書改正)于律為分于準為寸(案後漢書今本無此二語攷下云不盈者十之所得為分正承于準為寸句謂不盈)(寸也當是後漢書脱落此所引乃全文)不盈者十之所得為分又不盈十之所得為小分以其餘正其強弱子黄鍾實十七萬七千一百四十七律九寸下生林鍾臣淳風等謹案此六十律上下相生之法空有都術而無問目今于此下附一都問自餘諸律問皆準此其問宜云黄鍾實一十七萬七千一百四十七律長九寸下生林鍾實律各㡬何曰實一十一萬八千九十八律長六寸色育實十七萬六千七百七十六律八寸九分(小分八微強)下生謙待執始實十七萬四千七百六十二律八寸八分(小分七太強)下生去滅丙盛實十七萬二千四百一十律八寸七分(小分六微弱)下生安度分動實十七萬八十九律八寸六分(小分四微強)下生歸嘉質末實十六萬七千八百律八寸五分(小分二半強)下生否與丑大呂實十六萬五千八百八十八律八寸四分(小分三弱)下生夷則分否實十六萬三千六百五十四律八寸三分(小分一强)下生解形凌陰實十六萬一千四百五十二律八寸二分(小分一弱)下生去南(案此句之上原本脱小分一弱四字今據後漢書補)少出實十五萬九千二百八十律八寸(小分九少強)下生分積寅太蔟實十五萬七千四百六十四律八寸下生南呂未知實十五萬七千一百三十四律七寸九分(小分八強)下生白呂時息實十五萬五千三百四十四律七寸八分(小分九少強)下生結躬屈齊實十五萬三千二百五十三律七寸七分(小分九弱)下生歸期隨期實十五萬一千一百九十律七寸六分(小分八微強)下生未卯形晉實十四萬九千一百五十六(案六後漢書作五據否與上生形晉所得)(數末位為六今本後漢書蓋流傳之訛當以此所引為正)律七寸五分(小分八弱)下生夷汗卯夾鍾實十四萬七千四百五十六律七寸四分(小分九微)(強)下生無射開時實十四萬五千四百七十律七寸三分(小分九微強)下生閉掩族嘉實十四萬三千五百一十三律七寸二分(小分九微強)下生鄰齊爭南實十四萬一千五百八十二律七寸一分(小分九強)下生期保辰姑洗實十三萬九千九百六十八律七寸一分(小分一微)(強)下生應鍾南授實十三萬九千六百七十四(案後漢書無四字據白呂上生南授所得)(數末二位為七十四今本後漢書蓋脱去四字當以此所引為正)律七寸(小分九太強)下生分烏變虞實十三萬八千八十四律七寸(小分一半強)下生遲内路時實十三萬六千二百二十五律六寸九分(小分二微強)下生未育形始實十三萬四千三百九十二律六寸八分(小分三弱)下生遲時依行實十三萬二千五百八十二律六寸七分(小分三半強)上生色育巳中呂實十三萬一千七十二律六寸六分(小分六微弱)上生執始南中實十二萬九千三百八律六寸五分(小分七微弱)上生丙盛内負實十二萬七千五百六十七律六寸四分(小分八微強)上生分動物應實十二萬五千八百五十律六寸三分(小分九強)上生質末午蕤賓實十二萬四千四百一十六律六寸三分(小分二微)(強)上生大呂南事實十二萬四千一百五十四律六寸三分(小分一弱)不生(案不今本後漢書訛作下據六十律終于南事故下文云南事窮無商徵不為宮所以明其不生也又甄)(鸞按以下復兩引後漢志注云不生而辨論之足證今本後漢書流傳之誤)盛變實十二萬二千七百四十一律六寸二分(小分三半強)上生分否離宮實十二萬一千八百一十九(案原本訛作一千八十九脱百一二字今)(據後漢書補)律六寸一分(小分五微強)上生凌陰制時實十一萬九千四百六十律六寸(小分七微弱)上生少出未林鍾實十一萬八千九十八律六寸上生太蔟謙待實十一萬七千八百五十一律五寸九分(小分九弱)上生未知去滅實十一萬六千五百八律五寸九分(小分四微弱)上生時息安度實十一萬四千九百四十律五寸八分(小分四微弱)上生屈齊歸嘉實十一萬三千三百九十三律五寸七分(小分六微強)上生隨期否與實十一萬一千八百六十七律五寸六分(小分八強)上上形晉(案原本脱此四字今據後漢書補)申夷則實十一萬五百九十二律五寸六分(小分二弱)上生夾鍾解形實十萬九千一百三(案十萬後漢書作十一萬據分否下生解形所得數首位)(為十萬次位空今本後漢書誤衍一字耳若十一萬九千一百三則律六寸矣當以此所引為正)律五寸五分(小分四強)上生開時去南實十萬七千六百三十五律五寸四分(小分六太強)上生族嘉分積實十萬六千一百八十七(案七後漢書作八據少出下生分積所得數末)(位六六六不盡故約之為七不得有八也今本後漢書訛舛當以此所引為正)律五寸三分(小分)(九強)上生爭南酉南呂實十萬四千九百七十六律五寸三分(小分三強)上生姑洗白呂實十萬四千七百五十六律五寸三分(小分二少強)上生南授結躬實十萬三千五百六十三律五寸二分(小分六微強)上生變虞歸期實十萬二千一百六十九律五寸一分(小分九微強)上生路時未卯實十萬七百九十四律五寸一分(小分二微強)上生形始夷汗實九萬九千四百三十七律五寸(小分五微強)上生依行戌無射實九萬八千三百四律四寸九分(小分九強)上生中呂閉掩實九萬六千九百八十律四寸九分(小分三弱)上生南中鄰齊實九萬五千六百七十五律四寸八分(小分六微強)上生内負期保實九萬四千三百八十八律四寸七分(小分九半強)上生物應亥應鍾實九萬三千三百一十二律四寸七分(小分四微強)上生蕤賓分烏實九萬三千一百一十六(案六後漢書作七據南授下生分烏所得數末)(為六今本後漢書訛舛當以此所引為正)律四寸七分(小分三微強)上生南事遲内實九萬二千五十六律四寸六分(小分八強)上生盛變未育實九萬八百一十七律四寸六分(小分一強)上生離宮遲時實八萬九千五百九十五律四寸五分(小分五微強)上生制時(案以上小分以強弱少強微強微弱半強太強七等約言之未育之小分一強尾數一三有竒)(今本後漢書訛作一少強分積之小分九強尾數九三有竒今本後漢書訛作九半強少出之小分九少強尾)(數九二有竒白呂之小分二少強尾數二二有竒今本後漢書竝脱少字分動之小分四微強尾數四一有竒)(隨期内負之小分八微強尾數八一有竒夾鍾之小分九微強尾數九一有竒夷汗遲時之小分五微強尾數)(五一有竒今本後漢書竝脱微字結躬之小分六微強尾數六一有竒今本後漢書訛作六少強中呂之小分)(六微弱尾數五九有竒增而為六制時之小分七微弱尾數六九有竒增而為七安度之小分四微弱尾數三)(九有竒增而為四今本後漢書竝脱微字開時之小分九微強九之外尚竒零不盡今本後漢書訛作九微弱)(質末之小分二半強尾數二五有竒今本後漢書脱半字依行盛變之小分三半強尾數三五有竒今本後漢)(書竝訛作太強期保之小分九半強尾數九五有竒今本後漢書訛作九微強皆當以此書所引為正惟去滅)(之小分二微弱尾數一九有竒今本後漢書脫微字此所引二訛作四可以互相補正)甄鸞按剛柔殊節清濁異倫五音六律理無相奪隔八相生又如合契按司馬彪志序云上生不得過黄鍾之濁下生不得不及黄鍾之清是則上生不得過九寸下生不得減四寸五分且依行者辰上之管也長六寸七分上生色育然則色育者亥上之管也長四寸四分減黄鍾之清其名仍就下生之名其算變取上生之實乃越亥就子編于黄鍾之下律長八寸九分非直名與實乖抑亦違例隔凡志又云始于黄鍾終于南事注云不生且南事午上管也計南事之律次得上生八寸四分之管便是上生不過黄鍾之濁乃注云不生此乃苟欲充六十之數其于義理未之前聞禮記投壺法壺頸脩七寸腹脩五寸口徑二寸半容斗五升注云脩長也腹容斗五升三分益一則為二斗得圓囷之象積三百二十四寸以腹脩五寸約之所得求其圓周圓周二尺七寸有竒(案此句原本脱圓周二字今據禮記注補)是為腹徑九寸有餘甄鸞按斛法一尺六寸二分上十之得一千六百二十寸為一斛積寸下退一等得一百六十二寸為一斗積寸倍之得三百二十四寸為二斗積寸以腹脩五寸約之得六十四寸八分乃以十二乘之得積七百七十七寸六分又以開方除之得圓周二十七寸餘四十八寸六分倍二十七從方法得五十四下法一亦從方法得五十五以三除二十七寸得九寸又以三除不盡四十八寸六分得一十六寸二分與法俱上十之是為壺腹徑九寸五百五十分寸之一百六十二母與子亦可俱半之為二百七十五分寸之八十一臣淳風等謹按其問宜云今有壺腹脩五寸容斗五升三分益一則為二斗得圓囷之象問積寸之與周徑各㡬何曰積三百二十四寸周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三徑九寸二百七十五分寸之八十一術宜云置二斗以斗法乘之得積寸以腹脩五寸除之所得以十二乘之開方除之得周數三約之即得徑數推春秋魯僖公五年正月辛亥朔法經云僖公五年春王正月辛亥朔日南至(案此乃左氏傳文後文公)(六年又㐮公二十七年兩條皆稱傳與經别此作經云誤也)南至冬至也冬至之日南極至(案此三字似有舛誤周髀算經云日夏至在東井極内衡日冬至在牽牛極外衡也一嵗一内)(極一外極)故謂之日南至也日中之時景最長以是表之(案此)(句有舛誤當作以景度之)知其南至周官以土圭度日景以求地中夏至之日景尺有五寸冬至之日立八尺之木以為表度而知之公既視朔遂登觀臺以望雲氣而書禮也凡分至啟閉必書雲物為備故也(案此下或援經而不列算或僅有題題之下即)(淳風注似唐時正文已殘缺矣)臣淳風等謹按此經皆有術無問今竝準其術意而加問焉其問宜云從周厯上元丁巳至僖公五年丙寅積二百七十五萬九千七百六十九算(案原本脱算字今補)元法四千五百六十章嵗十九章月二百三十五嵗中十二閏餘七周天分二萬七千七百五十九日法九百四十問僖公五年正月朔閏餘及大小餘各㡬何并二月復是何朔曰閏餘盡大餘四十七小餘二百三十五正月辛亥朔二月庚辰朔術曰置周厯上元丁巳至僖公五年嵗在丙寅積二百七十五萬九千七百六十九算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡九百六十九以章月二百三十五乘之得二十二萬七千七百一十五以章嵗十九除之得一萬一千九百八十五為積月不盡為閏餘閏餘十二以上其嵗有閏今閏餘盡則知五年無閏推積日法置積月一萬一千九百八十五以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億三千二百六十九萬一千六百一十五為朔積分以日法九百四十除之得三十五萬三千九百二十七為積日不盡二百三十五為小餘以六十除積日得五千八百九十八棄之取不盡四十七為大餘命以甲子算外即正月辛亥朔求次月朔法置正月朔大小餘加朔大餘二十九小餘四百九十九若小餘滿日法九百四十除之從大餘一滿六十除之命以甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小餘滿四百四十一以上其月大減者小也推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法經云僖公五年春王正月辛亥朔日南至臣淳風等謹按術意其問宜云一年二十四氣氣有大餘十五三十二分之七從周厯上元至僖公五年元餘有九百六十九算度餘五日四分度之一欲求此年朔旦冬至及算此氣之法其術如何曰辛亥朔術曰置前推月朔積年九百六十九算以餘數二十一乘之得二萬三百四十九為實以度分母四除之得五千八十七為積日不盡一為小餘以六十除積日得八十四棄之取不盡四十七為大餘命以甲子算外辛亥冬至與正月朔同故曰朔旦冬至臣淳風等謹按術朞三百六十五日四分日之一以六十除之餘五日四分日之一通之得二十一故名餘數即與四為度法也求次氣法加大餘十五小分二十一小分滿氣法二十四從小餘一小餘滿四從大餘一大餘滿六十去之命以甲子算外次氣日如是一加得一氣臣淳風等謹按一年之中有二十四氣欲求一氣度者以二十四氣除周天之分即得也然周天分母有四須以四乘之二十四氣得九十六為法以除之得一氣十五日九十六分日之二十一等數約之得三十二分之七也術曰小分二十一滿氣法從小餘小餘滿四從大餘者乃是不約其分不出分母雖合其數無所由來若求次氣者宜云加大餘十五小分七小分滿三十二(案原本此句脫小字今補)從大餘一如是一加得一氣推文公元年嵗在乙未閏當在十月下而失在三月法經云文公元年于是閏三月非禮也先王之正時也履端于始舉正于中歸餘于終履端于始序則不愆舉正于中民則不惑歸餘于終事則不悖(案此亦左氏傳文作經云者誤)臣淳風等謹按術意其問宜云從周厯上元丁巳至魯文公元年嵗在乙未積二百七十五萬九千七百九十八算嵗中十二閏餘七問其年有閏與不若有閏復在何月下曰其年有閏在十月下術曰置周厯上元丁巳至魯文公元年嵗在乙未積二百七十五萬九千七百九十八算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡九百九十八以章月二百三十五乘之得二十三萬四千五百三十以章嵗十九除之得一萬二千三百四十三為積月不盡十三為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今有十三即知文公元年有閏也推閏餘十三在何月法置章嵗十九以閏餘十三減之不盡六以嵗中十二乘之得七十二以章閏七除之得十命從正月起算外閏十月下而盡閏三月者非也推文公六年嵗在庚子是嵗無閏而置閏法經云文公六年閏月不告朔猶朝于廟傳曰閏月不告朔非禮也閏以正時時以作事事以厚生生民之道于是乎在矣不告閏朔棄時正也何以為民臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元至文公元年元餘九百九十八算問文公六年合有閏不曰無閏術曰置文公元年算九百九十八更加五得一千三算以章月二百三十五乘之得二十三萬五千七百五以章嵗十九除之得一萬二千四百五為積月不盡十為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今止有十即知六年無閏也推㐮公二十七年嵗在乙卯再失閏法襄公二十七年嵗在乙卯九月乙亥朔是建申之月也魯史書十二月乙亥朔日有食之(案左傳注疏明監本及别本經文皆訛作)(乙卯朔惟此所引不誤)傳曰冬十一月乙亥朔日有食之于是辰在申司厯過也再失閏矣言時實以為十一月也不察其建不考之于天也臣淳風等謹按術意問宜云從文公十一年至襄公二十七年合七十一年以何術推求得知再失閏術曰置文公十一年嵗在乙巳會于承匡之嵗至襄公二十七年嵗在乙卯合七十一年閏餘七即以七乘七十一年得四百九十七以章嵗十九除之得二十六閏以長厯校之正二十四閏故云再失閏推綘縣老人生經四百四十五甲子法襄公三十年嵗在戊午二月癸未注二月一日丁卯朔癸未十七日也晉悼夫人食輿人之城杞者絳縣人年長矣無子而徃與于食有與疑年使之年曰臣小人也不知紀年臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也吏走問諸朝師曠曰魯叔仲惠伯會卻成子于承匡之嵗也七十三年矣史趙曰亥有二首六身下如二身是其日數也士文伯曰然則二萬六千六百有六旬也甄鸞按四百四十五甲子其季于今三之一者計四百四十五甲子有二萬六千七百日其季三之一者謂不滿四百四十五甲子于未滿一甲子六十日之中三分取一謂去四十日止留二十日也是以注云三分六甲之一得甲子甲戌盡癸未謂止有四百四十四甲子竒二十日合二萬六千六百六十日以應史趙亥有二首六身之數也術曰置積日二萬六千六百六十日以四乘之得十萬六千六百四十日為實又置周天三百六十五日四分日之一以四乘之内子一得一千四百六十一為一嵗之日法以除實得七十二嵗一千四百四十八少十三分不滿法計四分為一日更少三日不終季年算法半法以上收成一為七十三年據多而言也推文公十一年嵗在乙巳夏正月甲子朔絳縣老人生月法襄公三十年絳縣人曰臣小人不知紀年臣生之嵗正月甲子朔四百四十五甲子矣其季于今三之一也臣淳風等謹按術意問宜云(案原本脱宜云二字今據注内前後體例增補)從周厯上元至絳縣老人生年元餘有一千八算正月既甲子朔問正月以前十二月十一月大小又各是何朔及大餘小餘之數當月各有㡬何曰夏之十一月小乙丑朔大餘一小餘一百一十三十二月大甲午朔大餘三十小餘六百一十二正月小甲子朔大餘盡小餘一百七十一術曰置文公元年九百九十八算更加十得一千八算以章月二百三十五乘之得二十三萬六千八百八十以章嵗十九除之得一萬二千四百六十七為積月不盡七為閏餘推積日法置積月一萬二千四百六十七以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億四千六百七萬一千四百五十三為朔積分以日法九百四十除之得三十六萬八千一百六十一為積日不盡一百一十三為小餘以六十餘積日不盡一為大餘命以甲子算外乙丑推次月朔法如前僖公五年中術臣淳風等謹按此術所推得乙丑朔者是夏之十一月朔也欲求十二月朔者置前月小餘一百一十三加朔小餘四百九十九又置前月大餘一加朔大餘二十九命以甲子算外十二月大甲午朔次求正月朔者置前月小餘六百一十二加朔小餘四百九十九又置前月大餘三十加大餘二十九小餘滿日法從大餘滿六旬除之適得盡命以甲子算外正月小甲子朔(案原本脱朔字今補)是老人所生之嵗也推昭公十九年閏十二月後而以閏月為正月故以正月為二月法臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元至昭公十九年嵗在戊寅積二百七十五萬九千九百一算問此年合有閏以不并正月復是何朔曰有閏正月乙丑朔術曰置周厯上元丁巳至昭公十九年嵗在戊寅積二百七十五萬九千九百一算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百一以章月二百三十五乘之得二十五萬八千七百三十五以章嵗十九除之得一萬三千六百一十七為積月不盡十二為閏餘經云閏餘十二已上其嵗有閏今閏餘有一十二則知十九年有閏也推積日法置積月一萬三千六百一十七以周天分二萬七千七百五十九乘之得三億七千七百九十九萬四千三百三為朔積分以日法九百四十除之得四十萬二千一百二十一為積日不盡五百六十三為小餘以六十除積日得六千七百二棄之不盡一為大餘命以甲子算外正月乙丑朔推昭公十九年嵗在戊寅閏在十二月下法臣淳風等謹按術意問宜云昭公十九年閏餘十二既有閏當在何月下曰在十二月下術曰置章嵗十九以閏餘十二減之不盡七以十二乘之得八十四以章閏七除之得十二命從正月起算外即閏在十二月下也推昭公十九年嵗在戊寅月朔法臣淳風等謹按昭公十九年依前求之正月大乙丑朔大餘一小餘五百六十三問其年十二月及閏月大小餘月朔甲子并當月大小餘各㡬何曰正月大乙丑朔大餘一小餘五百六十三二月小乙未朔大餘三十一小餘一百二十二三月大甲子朔大餘盡小餘六百二十一四月小甲午朔大餘三十小餘一百八十五月大癸亥朔大餘五十九小餘六百七十九六月小癸巳朔大餘二十九小餘二百三十八七月大壬戌朔大餘五十八小餘七百三十七八月小壬辰朔大餘二十八小餘二百九十六九月大辛酉朔大餘五十七小餘七百九十五十月小辛卯朔大餘二十七小餘三百五十四十一月大庚申朔大餘五十六小餘八百五十三十二月小庚寅朔大餘二十六小餘四百一十二閏月大己未朔大餘五十五小餘九百一十一淳風等推求朔甲乙及月大小并當月大小餘之法術曰置前月大小餘各加朔大小餘滿日法從大餘一大餘滿六十去之餘命起甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小餘滿四百四十一以上其月大不滿者小其昭公二十年推月朔法亦準此推昭公二十年嵗在己卯月朔法正月大己丑朔大餘二十五小餘四百七十二月小己未朔大餘五十五小餘二十九三月大戊子朔大餘二十四小餘五百二十八推昭公二十年嵗在己卯正月己丑朔旦冬至而失云閏二月己丑冬至法臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元丁巳至昭公二十年己卯積二百七十五萬九千九百二十算欲求此正月朔旦冬至及大小餘各㡬何曰大餘二十五小餘二術曰置周厯上元丁巳至昭公二十年嵗在己卯積二百七十五萬九千九百二算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百二以二十一乘之得二萬三千一百四十二以度分母除之得五千七百八十五不盡二為小餘以六十除積日得九十六棄之不盡二十五為大餘命以甲子算外己丑冬至與正月朔旦同甄鸞按周厯昭公十九年嵗在戊寅其年閏十二月其月大己未朔二十年嵗在己卯正月大己丑朔即以己丑朔旦為冬至而昭公十九年不置閏乃以閏十二月為正月故以為二月也推哀公十二年嵗在戊午應置閏而不置故書十二月有螽法經云哀公十二年冬十有二月螽季孫問諸仲尼仲尼曰丘聞之火伏而後蟄者畢今火猶西流司邱過也臣淳風等謹按術意問宜云從周厯上元丁巳至哀公十二年嵗在戊午積二百七十五萬九千九百四十二算有閏與不若有閏復在何月之下曰有閏在八月之下術曰置周厯上元丁巳至哀公十二年嵗在戊午積二百七十五萬九千九百四十二算以元法四千五百六十除之得六百五棄之取不盡一千一百四十二以章月二百三十五乘之得二十六萬八千三百七十以章嵗十九除之得一萬四千一百二十四為積月不盡十四為閏餘經云閏餘十二已上有閏其嵗有餘十四則知十二年有閏也求十二年閏月法置章嵗十九以閏餘十四減之不盡五以嵗中十二乘之得六十以章閏七除之得八命從正月起算外即閏在八月下甄鸞按周十二月夏之十月也哀公十二年閏在夏八月下當時實是夏之九月而失以閏月為九月以九月為十月故書冬十有二月螽也五經算術卷下◆ 《夏侯陽算經-北周-》（KR3f0038）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
提要 天文算法類二(算書之屬)夏侯陽算經三卷(臣)等謹案隋經籍志有夏侯陽算經二卷唐藝文志列夏侯陽算經一卷甄鸞注又韓延夏侯陽算經一卷韓延似作注者姓名而直齋書錄觧題載元豐京監本乃云三卷無注盖傳冩互有分合故卷帙各異也然皆不言陽為何代人考陽自序有云五曹孫子述作滋多甄鸞劉徽為之詳釋則其人在甄鸞後唐書甄鸞注三字殆因序文而誤歟書内又稱宋元嘉二年徐受重鑄銅斛至梁大同元年甄鸞校之則陽疑隋初人去梁稍逺故目梁時斗尺為古所用其辯度量衡云在京諸司及諸州各給稱尺并五尺度斗升合等様皆銅為之倉庫令諸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一斛以鐵為縁勘平印書然後給用及課租庸調章稱賦役令論步數不等章稱雜令田令之屬皆據隋制言之則陽為隋人盖無可疑唐書選舉志所列算書十種此居其一盖當時本懸之令甲肄習考課今傳本久佚惟永樂大典内有之然逐條割裂分附九章算術各類之下幾扵治絲而棼猝不得其端緒幸尚載原序原目猶可以尋繹編次條貫其文今裒輯排比仍依元豐監本釐為三卷其十有二門亦從原目其書務切實用雖九章古法非官曹民事所必需者亦畧而不載扵諸算經中最為簡要且扵古今制度異同多資考證尤足寶重云乾隆四十年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 原序
夏侯陽算經原序
夫博通九經為儒門之首學該六藝為伎術之宗若非材性通眀孰能與於此也然算數起自伏犧而黄帝定三數為十等隸首因以著九章逮乎有虞乃同律度量衡孔子曰謹權量審法度漢備五數紀於一協於十長於百大於千衍於萬度長短者不失毫氂量多少者不失抄撮權輕重者不失黍絫五曹孫子述作滋多甄鸞劉徽為之詳釋稽之往古妙絶其能儲校今時少有聞見余以總角志好其文畧尋古今備覽差互其如眀數造術詎曉端倪尋考遺言頗知梗㮣且課租庸調無術可憑步數奇殘苦難銷盡求變米穀經旨未贍正耗共升何由剖析三分五分取一法理為眀焉况今令式與古數不同奚能則定代相沿革互議短長經術尤深難可意測是以跋涉川陸參㑹宗流纂定研精刋繁就省袪蕩疑惑括諸古法燭盡毫芒謹錄異同列之於左
## 卷上
欽定四庫全書夏侯陽算經卷上眀乘除法夏侯陽曰夫算之法約省為善有分者通之分不均者同之位髙者下之可約者約之耦則半之五則倍而折之一三七九商用所宜於此不得乃為之命分分母入者湏出之然後為定子可半者半之不可半者倍母而入之此算之要道也凡除分者全數易了竒殘難用心意之勞正在於此後當隨事釋之其物殘分求尺尺之求寸皆上十之斤之求兩二而八之兩之求銖三而八之銖之求絫黍皆上十之斗之求升合抄撮皆上十之里之求步三百之步之求尺六之氂毫絲忽可以意知夫乗除之法先眀九九一從十横百立千僵千十相望萬百相當滿六已上五在上方六不積算五不單張上下相乗實居中央言十自過不滿自當以法除之宜得上商從算相似横算相當以次右行極於左方言法之上見十步至十見百步至百見千步至千見萬步至萬悉觀上數以安下位上不滿十下不滿一步隨多少以為楷式以少呼多因法為母積實為子二分之一為中半三分之二為太半三分之一為少半四分之一為弱半此漏刻之數也凡算者有五乗五除(除者散繁除約乃以除減為名乗者令少乗多乃以乗長為稱乗盈)(除縮故曰乗除也)一曰法除(上下置位以少呼多言十自過不滿自當實居中央故曰法除也)二曰步除(如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分)(皆言上十之上百之故曰步除也)三曰約除(如等數所得者約實約法各得分數故曰為除也)四曰開平方除(借一算為下法步之超一位幂方十其積有百幂方百其積有萬至百言十至)(萬言百故曰開平方除也)五曰開立方除(借一算為下法步之超二位立方十其積有千立方)(百其積有百萬至千言十至百萬言百故曰開立方除也)時務云十乗加一等百乗加二等千乗加三等萬乗加四等十除退一等百除退二等千除退三等萬除退四等辯度量衡田曹云度之所起起於忽十忽為一絲十絲為一毫十毫為一氂十氂為一分十分為一寸十寸為一尺十尺為一丈十丈為一引四丈為一匹五丈為一端六尺為一步二百四十步為一畞三百步為一里倉曹云量之所起起於粟十粟為一圭十圭為一撮十撮為一抄十抄為一勺十勺為一合十合為一升十升為一斗十斗為一斛金曹云稱之所起起於黍十黍為一絫十絫為一銖二十四銖為一兩十六兩為一斤三十斤為一鈞四鈞為一石漢書律厯志曰度者所以度長短本起於黄鍾之長以子穀秬黍中者一黍之廣度之九十分黄鍾之長一黍為分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度審矣量者所以量多少本起於黄鍾之龠用度數審其容以子穀秬黍中者千二百實其龠十龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五量嘉矣權者所以稱物平施知輕重本起於黄鍾之重一龠容千二百黍重十二銖二十四銖為兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣(兩者黄鍾之重二十四銖象二十四氣十六兩)(為斤象四時乗四方三十斤為鈞象一月四鈞為石象四時也)權與物均而生衡(謂重與物)(均所稱適停時衡平也)衡運生規規圓生矩矩方生繩繩直生準(立凖以望䋲以水為平也)是為五則規者所以規圓器械令得其類也矩者所以矩方器械令不失其形也規矩相須陰陽位序圓方乃成準者所以揆平取正也繩者上下端直經緯四通也準繩連體權衡合徳百工繇焉以定法式(以上古法)在京諸司及諸州各給稱尺并五尺度斗升合等様皆銅為之倉庫令諸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一斛以鐵為縁勘平印書然後給用(以上今時用之也)言斛法不同倉曹云古者鑿地方一尺深一尺六寸二分受粟一斛至漢王莽改鑄銅斛用深一尺九寸二分至宋元嘉二年徐受重鑄用二尺三寸九分至梁大同元年甄鸞校之用二尺九寸二分然時異事變斗尺不同以古就今臨時校定始可行用若欲審之以掘地作穴方廣三尺已下以今時用斗量米一斛置諸穴中㮣令平滿如有少賸臨時増減取米適平然後出之徑量以知深淺乃可以為斛法定數今有方窖長一丈三尺廣六尺深一丈問受粟幾何答曰四百八十一斛四斗八升二十七分升之四術曰置長尺數以廣尺數乗之又以深乗之得積尺以斛法除之即粟數(凡斛法一尺六寸二分)今有圓篅周三丈髙一丈六尺問受粟幾何答曰七百四十斛七斗四升二十七分升之二術曰置周尺數自相乗以髙數乗之十二而一得積尺以斛法除之即粟數今有平地聚粟下周三丈髙四尺問受粟幾何答曰六十一斛七斗二升八十一分升之六十八術曰置周尺數自相乗以髙乗之三十六而一得積尺以斛法除之即粟數今有倉南北一丈五尺東西三丈五尺髙八尺問受粟幾何答曰二千五百九十二斛五斗九升二十七分升之七術曰以東西南北丈尺相乗又以髙乗之得積尺以斛法除之即粟數今有倉廣二丈六尺長三丈四尺深一丈二尺中有二柱長一丈二尺圓三尺牽二枚長二丈六尺方五寸梁二枚長二丈六尺方三尺問受粟幾何答曰六千二百四十斛一斗二升八十一分升之二十八術曰置廣長相乗以其深乗得一萬六百八尺柱圓三尺自相乗得九尺以乗其長得一百八尺倍之得二百一十六尺以十二除之得一十八尺牽方自相乗退位得二寸五分復乗其長得六尺五寸倍之得一十三尺梁方自乗得九尺復乗其長得二百三十四尺倍之得四百六十八尺并柱牽梁(案原本脱梁字今據上文補)得四百九十九尺以減大數餘一萬一百九尺以斛法除之即粟數今有方倉長三十一丈六尺廣七十二尺髙一十七尺中有九柱各圓三尺五寸長十七尺又有六柱各方二尺八寸長十七尺梁三枚長三十二尺厚廣二尺牽三枚(案牽下原本衍方字今刪)長三十二尺各方七寸問受粟幾何答曰二十三萬七千八百九十九斛四十三升五十四分升之五十三術曰置長廣相乗以髙乗為實圓柱自乗以乘長十二而一九因之為實方柱自乗以乗長六因之為實梁厚廣相乗以乗長三因之為實牽方自乗以乗長三因之為實并柱梁牽等減倉實尺以斛法除之即粟數課租庸調賦役令諸戸一丁租粟二斛其調各隨鄉土所出絹䌳各二丈布二丈五尺輸絹䌳者綿三兩輸布者麻三斤若當戸不成端匹屯綟者皆丈尺折半之求庸七尺五寸法置丁數三因之折半丈尺折半之又法置丁數以七尺五寸為法乗之以五丈除之不滿為竒丁丈尺他皆倣此又法重張丁數下位退一等五因之以添上位丈尺折半又法置丁數三而五之丈尺折半之凡年終除閏月外有二月謂五月十月(一云九月)為農事之月免庸若役五十日租庸調竝免他皆放此求毎丁閏有二尺五寸法(案毎丁下原本有布二端二尺五字係下文訛衍在此又)(脱閏有二字今據術刪補)置丁數五因之丈尺折半之求有閏年毎丁布二端二丈二尺五寸法置丁數(案此下原)(本有五因之丈尺折半之求有閏年毎丁布二端二丈二尺五寸置丁數凡二十六字即上文衍複在此今刪)(正)七而七之退一等折半丈尺折半之(案原本脱丈尺折半四字今據)(術補)又法(案原本脱法字今補)置丁數以二百四十五乗之退二等丈尺折半之求庸閏布毎丁一端三丈二尺五寸法重置丁數各三因之下位退一等添頭位訖半之其丈尺以下更半之求無閏年毎丁布二端一丈五尺法重置丁數上位二因之下位退一等三因之丈尺折半添上位又法置丁數以二十三乗退一等丈尺折半之求毎丁調綟布四丈法置丁數八因退一等丈尺折半之求毎丁閏年庸調布二端二丈二尺五寸(案此即上求有閏年毎丁)(布二端二丈二尺五寸法而立術各異又求毎下原本衍年字今刪正)列置丁數之位頭位二因(端也)中位退一等四因(丈也)下位退二等五因(尺也)丈尺半之百丁已上不折半并三位即都數(案此下原本有若毎丁因)(一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字係上下文衍複)(在此今刪正)若毎丁庸調并賸布二丈五尺都當二端二丈五尺亦列丁數二位頭位二因(端也)下位退一等五因(丈也)奇丁丈尺折半之并二位得都數若毎丁庸調并賸布一尺六寸七分都當二端一丈六尺六寸七分亦列丁數五位頭位二因(端也)次位退一等三因(丈也)次位退二等三因(尺也)次位退三等三因(寸也)下位退四等四因(分也)奇丁丈尺折半之并得都數凡算布從丈尺以下皆倍本因之數論步數不等田曹以六尺為步三百步為一里(此古法)雜令諸度地以五尺為一步三百六十步為一里田令諸田廣一步長二百四十步為畞畞百為頃(此今用之)方田(四方平等名曰方田)術曰方自乗為積步以畞法除之直田(從長而廣狭故曰直田)術曰以從廣相乗為積步以畞法除之腰鼓田(形似腰鼓細)術曰并三廣以三而一乗長為積步以畞法除之圓田(形如鼓面)術曰周自乗以十二而一得積步又術周乗徑四而一亦得又術半周乗半徑亦得各得積步竝以畞法除之環田(此外周而心空如環)術曰并外内周而半之以徑乗為積步以畞法除之丸田(形如覆半彈丸)術曰徑乗周四而一得積步以畞法除之圭田(三角之田)術曰半長乗廣為積步以畞法除之弓田(形如弓樣)術曰矢乗弦矢又自乗并之二而一以畞法除之箕田(一頭廣一頭狭)術曰并二廣而半之以乗長為積步以畞法除之四不等田(二廣二長不齊也)術曰并二長而半之又并二廣而半之相乗為積步以畞法除之今有田二十一頃七十八畞一百八十步問為方幾何答曰七百二十三步奇百七十一步術曰先置頃畞於上以二百四十步乗之得五十二萬二千七百二十步内零一百八十步以開方除之借一算為下法步之超一位至百止萬上置上商七百下亦置七萬於實位之下下法之上命上商除實訖倍方為一十四萬方法一退下法再退又置上商二十於前商後又置二百於方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商以除實訖倍隅法為四百從上方法一退下法再退又置上商三扵前商二十之後又置三步於方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商除實訖倍隅法得六從上方法得一千四百四十六即是上方得七百二十三步奇一百七十一步變米榖倉庫令云其折糙米者稻三斛折納糙米一斛四斗若榖求米法十四乗三除(除畢以米數折退一等)又法四二乗九除一四乗三除(案此句即上十四乗三除句複出)二八乗六除若米求穀法三乗十四除又法九乗四二除三乗一四除(案此句即上三乗十四除句複出)六乗二八除粟五斗為糲米三斗三十乗之五十而一為粺米二斗七升二十七乗之五十而一為糳米二斗四升二十四乗之五十而一為御米二斗一升二十一乗之五十而一今有粟五千五百一十斛九斗欲毎斛為糲米六斗粺米五斗四升糳米四斗八升御米四斗二升問各幾何答曰糲米三千三百六斛五斗四升粺米二千九百七十五斛八斗八升六合糳米二千六百四十五斛二斗三升二合御米二千三百一十四斛五斗七升八合術曰置粟退一等以六斗乗為糲米以五斗四升乗為粺米以四斗八升乗為糳米以四斗二升乗為御米返求粟法置糲米數以五因之三除之置粺米數以上十之以五斗四升除之糳米各以本米數除之皆得本粟今有榖一千八百四十三斛八斗三升欲依租變米毎穀三斛為米一斛四斗問合得米幾何答曰八百六十斛四斗五升四合術曰置穀數以一斛四斗為法乗之以三斛為法除之得米數
## 卷中
欽定四庫全書夏侯陽算經卷中求地稅今有田三百七十九畞畞出稅穀三升納官毎斛加二升耗問輸正及耗各幾何答曰正一十一斛三斗七升耗二斗二升七合四勺術曰置田畞數以三升因之得一十一斛三斗七升為正又二因之得二斗二升七合四勺為耗今有田一畞計稅穀三升問一步合計幾何答曰一步一勺二抄五撮術曰置穀三升再上十之為三百勺以二百四十步為法除之即得今有地收穀一千二百六十三斛九斗六升七合三勺斛别加二升耗問正耗共計幾何答曰一千二百八十九斛二斗四升六合六勺四抄六撮術曰置穀以隔位加二即得(案二原本訛作之今改正)今有上官田七十四畝一百五十三步畞别計米六斗輸官官令納穀三斛準米一斛四斗問米及穀各幾何答曰米四十四斛七斗八升二合五勺穀九十五斛九斗六升二合五勺(案二合原本訛作三合今改正)術曰置畞數以二百四十步乗之内餘步得一萬七千九百一十三步為實以上田斛法四百步除之得米數欲求穀者以三斛因米為一百三十四斛三斗四升七合五勺以米一斛四斗除之欲知上田一斛計步數者置田一畞二百四十步以米六斗為法除得四十步計米一斗以斗法上十之為四百步即斛法上田一步計米二合五勺欲知者置米六斗再上十之以二百四十步除之見毎步之數今有次官田五十七畞一百五十步畞别計米五斗輸官官亦令納穀三斛準米一斛四斗問米及穀各幾何答曰米二十八斛八斗一升二合五勺穀六十一斛七斗四升二十八分升之三術曰置畞數以二百四十步乗之内一百五十步得一萬三千八百三十步為實以次田法四百八十步除之得米數欲求穀以三斛因米得八十六斛四斗三升七合五勺以米一斛四斗除之得穀數不盡者與法俱倍之命分何以知次田四百八十步為法術曰置二百四十步於上米五斗為法而一得四十八步以為一斗之法上十之為四百八十步即斛法欲知田一步計米二合一十二分合之一術曰置米五斗再上十之為五百合為實以二百四十步除之得二合不盡者退位與法俱半之命分即見毎步之法今有下官田八十九畞一百九十五步畞别計米四斗輸官官亦令納榖三斛準米一斛四斗問合計米及穀幾何答曰米三十五斛九斗二升五合穀七十六斛九斗八升一十四分升之三術曰置田畞數以二百四十步乗之内一百九十五步得二萬一千五百五十五步為實以下田斛法六百步除之得米數欲求穀者以三斛因米得一百七斛七斗七升五合為實以一斛四斗除為穀數不盡者命分何以知下田六百步為法術曰置二百四十步以米四斗為法除得六十步為一斗之法上十之為六百步乃為一斛之法欲知下田一步計米一合三分合之二術曰置米四斗再上十之為四百合為實以二百四十步除之得一合不盡者與法俱八約之命分分祿料今有官本錢八百八十貫文毎貫月别收息六分計息五十二貫八百文内六百文充公廨食料五十二貫二百文逐官髙卑共分太守十分别駕七分司馬五分錄事參軍二人各三分司倉參軍三分司法參軍三分司户參軍三分參軍二人各二分問各錢幾何答曰太守十分計十二貫七百三十一文四十一分文之二十九别駕七分計八貫九百一十二文四十一分文之八司馬五分計六貫三百六十五文四十一分文之三十五錄事參軍二人各三分各得三貫八百一十九文四十一分文之二十一二人共七貫六百三十九文四十一分文之一司倉參軍三分計三貫八百一十九文四十一分文之二十一司法參軍三分計三貫八百一十九文四十一分文之二十一司戸參軍三分計三貫八百一十九文四十一分文之二十一參軍二人各二分各二貫五百四十六文四十一分文之十四二人共五貫九十二文四十一分文之二十八術曰置本錢八百八十貫文以六因之退二位為息數先除六百文公廨食料餘令諸官均分并諸分得四十一分為法除之得一貫二百七十三文不盡四十一分文之七副置之各以所求分乗之各得其錢及分數今有縣令毎月課料七貫三百六十一文五分二氂尋即交承舊官任六日新官任二十四日問新舊官各得幾何答曰舊官得一貫四百七十二文三分四毫新官得五貫八百八十九文二分一氂六毫術曰置錢數以三十日為法除之得一日之錢二百四十五文三分八氂四毫六因之得舊官數又四因之得新官數計給糧今有兵九千五百六十七人人給絹二匹問絹幾何答曰一萬九千一百三十四匹術曰置兵數以二因之即得今有兵六千七百九十二人人給米二升問一日一月一年各幾何答曰一日一百三十五斛八斗四升一月四千七十五斛二斗一年四萬八千九百二斛四斗術曰置兵數以二因之得一日之數上十之得十日之數以三因之得一月之數以十二因之得一年之數今有馬七千六百八十匹匹日給料五升問一日幾何答曰一日三百八十四石術曰置馬匹數以五因之得三萬八千四百升再退為石數(案原本脱石字今補)今有粟三千八百四十斛欲給馬毎匹五升問給幾何答曰給馬七萬六千八百匹術曰置粟數再上十之為升以五升除之得馬匹數今有酒五百六十五斛八斗三升欲給兵毎人三升問給幾何答曰給兵一萬八千八百六十一人術曰置酒數再上十之為升以三除之得兵數今有兵八萬人凡五兵共給醤二升問日給幾何答曰日給三百二十斛術曰置兵數以二因之得一十六萬以五兵除之得醤數今有醤二升給五兵見有三百二十斛問給幾何答曰給兵八萬人術曰置醤數再上十之為升以五因之得一十六萬以二升為法除之即得今有兵四萬八千六百二十五人人凡五日給鹽二升問一月幾何答曰一月五千八百三十五斛術曰置兵數以二因之退二等得五日鹽數九百七十二斛五斗求一月數以六因之今有醋三升給七兵見有四百五十七斛問給幾何答曰給兵十萬六千六百三十三人三分人之一術曰置醋數再上十之為升以七因之又以三升除之即得定腳價今有租布一萬三千七百九十五端三丈七尺送納洛州計從州到彼别一十八文充水腳又抽一文充積疊並於數内抽給其布準時估端别一百五十文問正及水腳積疊等三色各幾何答曰正布一萬二千二百四十四端三丈六尺九寸一百六十九分寸之一百三十九水腳一千四百六十九端一丈八尺四寸一百六十九分寸之六十四積疊八十一端三丈一尺五寸一百六十九分寸之一百三十五術曰置元布數倍丈尺以估一百五十文乗得二百六萬九千三百六十一文為實置一百五十文加水腳一十八文又加積疊一文得一百六十九文為法除實得正布一萬二千二百四十四端不盡一百二十五文進位五因之得六千二百五十以下法除之得三丈六尺九寸不盡者與法俱退位得一百六十九分寸之一百三十九為命分也欲知水腳先置元布數倍丈尺寸以水腳一十八文乗之得二十四萬八千三百二十三文三分二氂為實以法一百六十九除得一千四百六十九端不盡六十二文三分二氂進位五因之得三千一百一十六以下法除之得一丈八尺四寸不盡一百六十九分寸之六十四為命分也欲求積疊置元布數倍丈尺寸訖所得以一文因之得一萬三千七百九十五文七分四氂以法除之得八十一端不盡一百六文七分四氂進位以五因之得五千三百三十七以下法除得三丈一尺五寸不盡者與法俱退位得一百六十九分寸之一百三十五為命分也(案命字原本訛在為字上今改正)今有布三百九十六端二丈五尺端别一百八十文充腳其布準時估端三百六十文竝扵數内抽給問正腳各幾何答曰正二百六十四端一丈六尺六寸三分寸之二腳一百三十二端八尺三寸三分寸之一術曰置布數倍丈尺以一百八十文乗之得七萬一千三百七十文為實列腳錢一百八十文并入價錢三百六十文得五百四十文為法實如法得腳端不盡九十文進位因之得四千五百以下法除得八尺三寸不盡者與法俱一十八約之得三分寸之一為命分以減都數餘即正今有布二萬五千四百二十八端二丈七尺欲折布為輕貨絹其絹匹價三貫八百七十文其布端價二貫六百文問為絹幾何答曰絹一萬七千八十三匹三丈九寸一百二十九分寸之五十九術曰置布數倍丈尺以價二貫六百文乗之得六萬六千一百一十四貫二百四文以絹價三貫八百七十文除之得絹匹不盡二千九百九十四文進位四因之得一十一萬九千七百六十(案原本脱十一二字今補)以下法除之得三丈九寸不盡者與法俱三約之得一百二十九分寸之五十九今有兩稅米一千五百七十八斛九斗送州每斗腳一十三文竝於身内抽充時估斗别一百三十文問正及腳各幾何答曰正米一千四百三十五斛三斗六升一十一分升之四腳米一百四十三斛五斗三升一十一分升之七術曰置米數以毎石一百三十文乗之為實又置一百三十文加腳一十三文得一百四十三文為法除得正米數欲求腳米數以毎斗一十三文乗稅數為實以一百四十三文為法除之即腳數今有兩稅錢一千五百二十四貫二百四十文送州毎貫一十七文七分充腳於身内抽給問正錢及腳價各幾何答曰正錢一千四百九十七貫七百三十文一萬一百七十七分文之一千七百九十腳價二十六貫五百九文一萬一百七十七分文之八千三百八十七術曰置稅錢數以一貫文加一十七文七分為一貫一十七文七分為法除之得正錢數欲求腳價以一十七文七分為法乗正錢得腳價稱輕重今有戸五百六十五戸别納絲一斤一十一兩八銖問得絲幾何答曰八石五斤三兩八銖術曰置户數下列二十七兩以二十四銖乗之内八銖為六百五十六銖以乗戸數得三十七萬六百四十銖以二十四銖為法除得一萬五千四百四十三兩零八銖以一十六兩為法除得九百六十五斤三兩以三十斤為法除得三十二鈞五斤三兩以四鈞為法除得八石五斤三兩八銖今有丁一千八百六十五人人納絲一斤一十三兩一十七銖問絲幾何答曰絲三千四百六十二斤一十四兩一銖術曰置丁數又以絲一斤二而八之為一十六兩内十三兩三而八之内一十七銖為七百一十三銖以乗丁數得一百三十二萬九千七百四十五銖以二十四銖為法除得五萬五千四百六兩一銖以一十六兩為法除得三千四百六十二斤一十四兩一銖今有生鐵六千二百八十一斤欲鍊為黄鐵毎斤耗五兩問為黄鐵幾何答曰黄鐵四千三百一十八斤三兩術曰置生鐵數以一十一兩乗以一十六除之即得今有黄鐵四千三百一十八斤三兩欲鍊為鋼鐵毎斤耗三兩問鋼鐵幾何答曰鋼鐵三千五百八斤八兩一十銖五絫術曰置黄鐵數以一十三兩乗之一十六兩除之即得今有鋼鐵二千五百斤依前所耗數卻求為黄鐵問得幾何答曰黄鐵三千七十六斤一十四兩一十三分兩之一十術曰置鋼鐵數一十六乗之一十三除之即得今有黄鐵三千七十六斤一十四兩一十三分兩之一十卻求鋼鐵問得幾何答曰二千五百斤術曰置黄鐵數一十三乗之一十六除之即得今有官銀三千四百六十二斤一十四兩一銖充賞賜兵一千八百六十五人問人得幾何答曰人得一斤一十三兩一十七銖術曰置銀斤以二而八之内一十四兩又三而八之内一銖得一百三十二萬九千七百四十五銖以兵數除之得七百一十三銖以二十四銖為法除之得二十九兩一十七銖以一十六兩為法除之得一斤一十三兩一十七銖
## 卷下
欽定四庫全書夏侯陽算經卷下說諸分今有黄金一斤直絹一千二百匹問毎兩直絹幾何答曰一兩直絹七十五匹術曰置絹數以一十六兩除之即得今有絲一百九十二兩問為銖幾何答曰四千六百八銖術曰置絲數以二十四乗之即得今有錦一匹直錢十八貫問丈尺寸各得幾何答曰一丈四貫五百文一尺四百五十文一寸四十五文術曰置錢數以四丈除之得丈價一退為尺價再退為寸價今有金一斤直錢一百貫問一兩幾何答曰一兩六貫二百五十文術曰置錢數以十六兩除之即得今有金一斤令五十人分之問人得幾何答曰人得七銖六絫八黍術曰置金一斤二而八之為兩三而八之為銖以人數除之即得今有絲三百二十四斤欲九兩為絹一匹問絹幾何答曰五百七十六匹術曰置絲斤數二而八之以九而一即得今有下戸欠錢一百二十三貫五百文準條扵上戸均攤今有上戸見在錢三萬一千二百五十貫文問合毎貫均著幾何答曰毎貫三文九分五氂二毫術曰置下戸錢數以上戸見在錢除之即得今有錢一十七貫五百二十五文欲五文買雞三隻問得幾何答曰得雞一萬五百一十五隻術曰置錢數以三因之五而一即得今有錢二貫四百文買錫一斤問兩銖絫各幾何答曰兩一百五十文銖六文二分五氂絫六分二氂五毫術曰置錢數以十六除之得兩價欲知銖價即置兩價以二十四除為銖價退銖價一等為絫價今有十五家共納兩稅錢一十貫文甲三人人各一貫文乙五人人各七百文丙七人人各五百文續奉符令都卻還七貫三百問隨元納數給付各幾何答曰甲三人各還七百三十文(各有二百七十文在)乙五人各還五百一十一文(各有一百八十九文在)丙七人各還三百六十五文(各有一百三十)(五文在)術曰置卻還數以百除之所得為毎百還錢之數置百文減之餘為毎百錢在庫之數各置此數以各人所納錢數乗之各得其數今有絹一千二百二十五匹三丈七尺五寸欲送州每匹一十五文充腳竝於身内抽給其絹時估毎匹一貫一百文問正及腳各幾何答曰正一千五百五匹一丈六尺三寸二百二十三分寸之一百五十一腳二十匹二丈一尺一寸二百二十三分寸之七十二術曰置絹數於丈尺已下折半五因以時估一貫一百文乗得一千六百七十八貫五百三十一文二分五氂復置一貫一百文加一十五文為法除得一千五百五匹不盡四百五十六文二分五氂進位四因之得一萬八千二百五十以下法除之得一丈六尺三寸不盡者與法退位倍之得二百二十三分寸之一百五十一欲知腳價者置元絹數丈尺寸折半五因又以腳錢一十五文乗之得二萬二千八百八十九文六氂二毫半以一貫一百一十五文為法除得二十匹不盡五百八十九文六氂二毫半進位四因之得二萬三千五百六十二文半以下法除之得二丈一尺一寸不盡者如前約之得二百二十三分寸之七十二今有絹一匹當腳一十五文問丈尺寸各幾何答曰丈三文七分五氂尺三分七氂五毫寸三氂七毫五絲術曰置腳價一十五文以四丈除之得一丈腳數退一等得尺再退得寸腳數今有絹一匹直一貫一百文問丈尺寸各幾何答曰丈二百七十五文尺二十七文五分寸二文七分五氂術曰置錢數以四丈除之得丈價一退得尺價再退得寸價今有米二千五百六十七斛五斗其米麤欲再舂毎八升耗一升問合得熟米幾何答曰熟米二千二百四十六斛五斗六升二合五勺術曰置米數以七因八除得數返求米以八因七除今有米一千五百三十二斛七斗欲貸與人毎八升加息一升問本息共幾何答曰一千七百二十四斛二斗八升七合五勺術曰置米數以九因八除之若求元數八因九除之今有兩稅錢二千貫文欲送州毎貫數内抽一十文充腳問正及腳各幾何答曰正一千九百八十貫一百九十八文一百一分文之二腳一十九貫八百一文一百一分文之九十九術曰置錢數下置一貫文又加腳十文為法除之得正數卻減都錢餘即腳錢今有紬五千六百二十五匹匹欲作複七條問合幾何答曰三萬九千三百七十五條術曰置紬數以七因之即得今有金方一寸重一斤有金方六寸問重幾何答曰二百一十六斤術曰置金寸數再乗之即得今有絹二千四百五十四匹每匹直錢一貫七百文問計錢幾何答曰四千一百七十一貫八百文術曰先置絹數七添之退位一等即得今有布一萬三千四百六十三端二丈五尺六寸毎端直錢一貫八百文問計錢幾何答曰二萬四千二百三十四貫三百二十一文六分術曰先置布數丈尺倍之從下八添直至數首退一等即得又術退位減一餘以二因之即得今有布積尺一萬八千四百六十三尺四寸二分問為端幾何答曰三百六十九端一丈三尺四寸二分術曰先置尺數以五十尺除之即得今有絹三千四百六十三匹一丈三尺四寸毎匹三貫五百文問計錢幾何答曰一萬二千一百二十一貫六百七十二文五分術曰先置絹數丈尺已下折半五因(案原本脫此二字據四丈為一匹丈)(尺已下應以四丈除之書内用省算竝云折半五因今訂補)以五七因之即得又術從頭七因訖折半即得今有絹積尺一萬三千四百六十三尺五寸四分問為匹幾何答曰三百三十六匹二丈三尺五寸四分術曰先置積尺數以匹四十尺為法除之即得今有絲一千五百二十五斤毎兩一百七十文問錢幾何答曰四千一百四十八貫術曰先置絲數以二八因之以兩價乗之即得又術添七亦得今有絲三千四百八十五兩令織紗一匹用絲五兩問得紗幾何答曰六百九十七匹術曰先置絲數以二因之退位一等即得又術以五兩除之即得今有絲一萬三千四百六十七兩問斤幾何答曰八百四十一斤一十一兩術曰置絲兩數四折半即是斤逢零六添之歸實又術以十六兩除之亦得今有兩稅錢四萬三千六百七十五貫二百文抽身内充腳每貫二百文問正及腳各幾何答曰正三萬六千三百九十六貫文腳七千二百七十九貫二百文術曰先置原錢折半六除是正錢數将正錢二因即得腳又術但置錢數身外減二得正倍之得腳今有錢三千四百六十三貫五百文欲毎貫墊四十二文問墊幾何答曰一百四十五貫四百六十七文術曰先置錢數以六七因之退位即得今有絹四十二匹毎匹當錢四貫三百六十六文四分七氂八毫九絲四忽問錢幾何答曰一百八十三貫三百九十二文一分一氂五毫四絲八忽術曰先置絹匹之價以七六因之即得今有錢五千四百六十三貫四百五十文準例毎貫納五十文充墊陌問合墊幾何答曰二百七十三貫一百七十二文五分術曰先置錢折半退位即得又術五因之亦得今有糯米三千四百六十三斛六斗毎斗醖酒一斗四升問酒幾何答曰四千八百四十九斛四升術曰先置米數以二七因之即得又術以四添之亦得今有大豆一萬三千四百五十四斛五斗毎斗造䜴一斗五升問豉幾何答曰二萬一百八十一斛七斗五升術曰先置豆數以五添之即得又術以一斗五升乗之亦得今有小麥五萬六千四百七十三斛五斗毎斗造麴五斤問麴幾何答曰二百八十二萬三千六百七十五斤術曰先置麥數從下五因之即得今有米一萬三千四百六十四斛五斗毎斗糶錢一百二十文問錢幾何答曰一萬六千一百五十七貫四百文術曰先置米數二六因之即得又術以二添之亦得今有米一萬三千四百六十五斛四斗三升毎斗糶錢一百三十五文問錢幾何答曰一萬八千一百七十八貫三百三十文五分術曰先置米數三九因之折半即得又術九因五添亦得今有糙米八千四百六十七斛五斗毎一斗五升碾熟米八升問米幾何答曰米四千五百一十六斛術曰先置糙米數以八因之十五升除之即得今有米三千四百六十三斛四斗四升七合一勺毎斗身内抽三合充腳問正腳各幾何答曰正三千三百六十二斛五斗七升腳一百斛八斗七升七合一勺術曰先置米數以一斗三合除之得正米以三因之得腳米今有糙米三千四百六十四斛五斗七升三合四勺毎斗舂得熟米九升問熟米幾何答曰三千一百一十八斛一斗一升六合六抄術曰先置米數九因退之即得又術但從下内減一亦得今有麻三千四百七十五斛四斗五升毎三斛三斗作油一斛問油幾何答曰一千五十三斛一斗六升三分升之二術曰以三斛三斗除得油數不盡約之為命分今有米三千四百五十六斛毎斗身内抽二升充腳問正腳各幾何答曰正二千二百八十八斛腳五百七十六斛術曰先置米數去二得正米以二因退位得腳米今有兵一萬四千五百七十五人毎人給錢一貫四百四十文問錢幾何答曰二萬九百八十八貫文術曰先置人數添四四即得又術以人數乗一人所給之數得都錢今有兵三千四百八十五人毎人賜絹一丈三尺問絹幾何答曰一千一百三十二匹二丈五尺術曰先置人數添三得丈數以四為法除之得匹今有開城濠深二丈闊三丈長一里毎三尺用一功問功幾何答曰四萬功術曰先置深闊相乗又以長里通尺乗之為實以功數方三尺再自乗為法除之即得今有築城髙三丈上闊一丈五尺下闊二丈五尺長一百丈毎方二尺用一功問功幾何答曰七萬五千功術曰先置上下闊并之折半以髙乗之又以長乗之為實以功數方二尺再自乗為法除之即得◆ 《張邱建算經-北周-》（KR3f0039）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
張邱建算經 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案張邱建算經三卷原本不題撰人時代今據邱建自序署曰清河而序中引及夏侯陽孫子之術則當為隋初人也隋志載此書二卷唐志一卷甄鸞注而别有李淳風注張邱建算經三卷鄭樵通志藝文畧張邱建算經二卷又三卷李淳風注宋藝文志中興書目俱作三卷此本乃毛晉汲古閣影抄宋槧云得之太倉王氏首題漢中郡守前司𨽻甄鸞注經朝議大夫行太史令上輕車都尉李淳風等奉勅注釋算學博士劉孝孫撰細草盖猶北宋時秘書監趙彦若等校定刋行之本其中稱術曰者乃鸞所注草曰者孝孫所増其細字夾注稱臣淳風等謹案者不過數十處盖有疑則釋非節節為之注也其書體例皆設為問答以㕘校而申明之凡一百條簡奥古質頗類九章與近術不同而條理精宻實能深究古人之意故唐代頒之算學以為顓業今詳加校勘其上卷起自乘除之數至第十二問為勾股測望十三問為勾股和較十四問為重勾股顛倒測望十五問為卧勾股左右進退測望此四問皆籍圖以明舊本所無今特依義補入自十六問以下皆取差分和較均輸㕘雜為目間附以方圓冪積至中卷之六問乃入商功後復及貴賤差分倍半衰方田諸分術惟弧矢一問原本不完未可以他術増補姑仍其缺下卷首問失題又細草下亦脱二十餘字以有後文可據謹為補足其鹿垣倉三條亦各為之圖系諸原問之左俾學者得以考見其端委焉乾隆四十六年四月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣)陸 費 墀
## 序
張邱建算經序
夫學算者不患乗除之為難而患通分之為難是以序列諸分之本元宣明約通之要法上實有餘為分子下法從而為分母可約者約以命之不可約者因以名之凡約法髙者下之耦者半之竒者商之副置其子及其母以少減多求等數而用之乃若其通分之法先以其母乗其全然後内子母不同者母乗子母亦相乗為一母諸子共之約之通分而母入者出之則定其夏侯陽之方倉孫子之蕩杯此等之術皆未得其妙故更造新術推盡其理附之於此余為後生好學有無由以至者故舉其大㮣而為之法不復煩重庶其易曉云耳清河張邱建謹序張邱建算經原序
## 卷上
欽定四庫全書
張邱建算經卷上 周 甄 鸞 注經唐 李淳風 注釋劉孝孫 撰細草以九乗二十一五分之三 問得幾何答曰一百九十四五分之二草曰置二十一以分母五乗之内子三得一百八然以九乗之得九百七十二却以分母五而一得合所問以二十一七分之三乗三十七九分之五 問得㡬何答曰八百四二十一分之十六草曰置二十一以分母七乗之内子三得一百五十又置三十七以分母九乗之内子五得三百三十八二位相乗得五萬七百為實以二分母七九相乗得六十三而一得八百四餘六十三分之四十八各以三約之得二十一分之一十六合前問以三十七三分之二乗四十九五分之三七分之四問得㡬何答曰一千八百八十九一百五分之八十三草曰置三十七以分母三乗之内子二得一百一十三又置四十九於下别置五分於下右之三在左又於五分之下别置七分三分之下置四維乗之以右上五乗下左四得二十以右下七乗左上三得二十一併之得四十一以分母相乗得三十五以三十五除四十一得一餘六以一加上四十九得五十又以分母三十五乗之内子六得一千七百五十六以乗上位一百一十三得一十九萬八千四百二十八為實又以分母三母相乗得一百五為法除實得一千八百八十九餘一百五分之八十三合所問(臣淳風等謹按以前三條雖有設問而無成術可慿宜云分母乗全内子令相乗為實分母相乗為)(法若兩有分母各乗其全内子令相乗為實分母為法實如法而得一)以十二除二百五十六九分之八 問得㡬何答曰二十一二十七分之十一草曰置二百五十六以分母九乗之内子八得二千三百一十二為實又置除數十二以九乗之得一百八為法除實得二十一法與餘俱半之得二十七分之十一合所問以二十七五分之三除一千七百六十八七分之四問得㡬何答曰六十四四百八十三分之三十八草曰置一千七百六十八以分母七乗之内子四得一萬二千三百八十又以除分母五乗之得六萬一千九百為實又置除數二十七以分母五乗之内子三得一百三十八又以分母七乗之得九百六十六為法除之得六十四法與餘各折半得四百八十三分之三十八得合所問以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三 問得㡬何答曰一百一十二七百二分之四百三十七草曰置六千五百八十七於上又别置三分於下右之二於左又置四分於三下之三於左維乗之分母得十二子得一十七以分母除子得一餘五加一上位得六千五百八十八以分母十二乗之内子五得七萬九千六十一又以除數分母二因之得一十五萬八千一百二十二又置除數五十八於下以二因之内子一得一百一十七又以乗數分母十二乗之得一千四百四為法以除實得一百一十二法與餘俱半之得七百二分之四百三十七(臣淳風等謹按此術以前三條亦有問而無術宜云置所有之數通分内子為實置所除之數以三)(分乗之為法實如法得一若法實俱有分及重有分者同而通之)今有官獵得鹿賜圍兵初圍三人中賜鹿五頭次圍五人中賜鹿七頭次圍七人中賜鹿九頭併三圍賜鹿一十五萬二千三百三十三頭少半頭 問圍兵㡬何答曰三萬五千人術曰以三賜人數互乗三賜鹿數併以為法三賜人數相乗併賜鹿數為實實如法而得一草曰置三人於右上五鹿於左上五人於右中七鹿於左中七人於右下九鹿於左下以右中乗左上五得二十五又以右下七乗左上二十五得一百七十五又以右上三乗左中七得二十一又以右下七乗左中二十一得一百四十七又以右上三乗左下九得二十七又以右中五乗左下二十七得一百三十五将左三位併之得四百五十七為法以右三位相乗得一百五别置一十五萬二千三百三十三頭少半頭位於上先以三乗之内子一得四十五萬七千以一百五乗之得四千七百九十八萬五千置除法四百五十七以三因之得一千三百七十一為法除之得三萬五千人合問今有獵圍周四百五十二里一百八十步布圍兵十步一人今欲縮令通身得地四尺 問圍内縮㡬何答曰三十里五十二步術曰置圍里步數一退以四因之為尺以步法除之即得縮數草曰置四百五十二里以里法三百步乗之内子一百八十得一十三萬五千七百八十步退一等得一萬三千五百七十八尺四因之得五萬四千三百一十二尺以六尺除之為步得九千五十二步以里法三百除之得三十里五十二步合問今有圍兵二萬三千四百人以布圍周各相去五步今圍内縮除一十九里一百五十步而止 問兵相去㡬何答曰四步四分步之三術曰置人數以五乗之又以十九里一百五十步減之餘以人數除之不盡平約之草曰置圍兵二萬三千四百人以五乗之得一十一萬七千步置一十九里以三百通之内子一百五十步得五千八百五十步以減上位得一十一萬一千一百五十步以圍兵二萬三千四百除之得四步餘以圍兵數再折除餘得三除法得四今有封山周棧三百二十五里甲乙丙三人同遶周棧行甲日行一百五十里乙日行一百二十里丙日行九十里 問周行㡬何日㑹答曰十日六分日之五術曰置甲乙丙行里數求等數為法以周棧里數為實實如法而得一草曰置甲乙丙行里數甲行一百五十乙行一百二十丙行九十各求等數得三十為法除周棧數得十日法餘二十五各以五除之法得六餘得五各以三十約之甲乙丙行數乃甲得五周乙得四周丙得三周合前問今有内營周七百二十步中營周九百六十步外營周一千二百步甲乙丙三人值夜甲行内營乙行中營丙行外營俱發南門甲行九乙行七丙行五 問各行㡬何周俱到南門答曰甲行十二周乙行七周丙行四周術曰以内中外周步數互乗甲乙丙行率求等數約之各得行周草曰置内營七百二十步於左上中營九百六十步於中外營一千二百步於下又各以二百四十約之内營得三中營得四外營得五别置甲行九於右上乙行七於右中丙行五於右下以求整數以右位再倍上得三十六中得二十八下得二十以左上三除右上三十六得十二周以左中四除右中二十八得七周以左下五除右下二十得四周是甲乙丙行數合前問案此下今有津今有葮今有木今有城四問俱各有形式髙下進退俯仰線法視法毫不可紊非依問繪圖無以闡其立意之妙將轉疑其字句舛訛謹凖測量法義為補四圖各冠原問之右庶圖問㕘觀不至失其本義云今有津不知其廣東岸髙一丈坐岸東去岸五十步遥望岸上及津西畔適與人目㕘合人目去地二尺四寸問津廣㡬何答曰二百八步三分步之一術曰以岸髙乗人去岸為實以人目去地為法實如法而一草曰置岸髙一丈又别置五十步於上以六乗之得三百尺又以十尺乗之得三千尺為實以人眼去地二尺四寸為法除三千尺得一千二百五十尺又以六尺為步除之得二百八步法六餘二各折半得三分之一合前問今有葮生於池中出水三尺去岸一丈引葮趨岸不及一尺 問葮長及水深各㡬何答曰葮長一丈五尺水深一丈二尺術曰置葮去岸尺數以不及尺數減之餘自相乗以出水尺數而一所得加出水而半之得葮長減出水尺數即得水深草曰置去岸一丈減不及一尺餘有九尺自乗之得八十一尺以出水三尺除之得二丈七尺加出水三尺共得三丈半之得葮長一丈五尺減出水三尺餘水深一丈二尺合問今有木不知逺近髙下立一表髙七尺人去表九步立望表頭適與木端邪平人目去地七尺二寸又去表三十步薄地遥望表頭亦與木端邪平 問木去表及髙㡬何答曰去表三百一十五步木髙八丈五寸術曰以表髙乗人立去表為實以表髙減人目去地為法而一得木去表以表髙乗木去表為實以人目薄地去表為法實如法而一所得加表髙即木髙草曰置表髙七尺以去表九步乗之得六十三為實以表髙七尺減人目去地七尺二寸餘有二寸為法除實得去表三百一十五步又以表髙七尺乗去表三百一十五步得二千二百五以去表三十步除之得七丈三尺五寸如入表髙七尺得木髙八丈五寸合問今有城不知大小去人逺近於城西北隅而立四表相去各六丈令左兩表與城西北隅南北望參相直從右後表望城西北隅入右前表一尺二寸又望西南隅亦入右前表四寸又望東北隅亦入左後表二丈四尺問城去左後表及大小各㡬何答曰城去左後表一里二百步東西四里四十步南北三里一百步術曰置表相去自乗以望城西北隅入數而一得城去表又以望城西南隅入數而一所得減城去表餘為城之南北以望城東北隅入左後表數減城去表餘以乗表相去又以入左後表數而一即得城之東西草曰置表相去六丈自乗之得三千六百尺以西北隅入表一尺二寸除之得三千尺以六尺除之得五百步又以里法三百步除之得一里餘二百步為城去表步數又别置三千六百尺以望城西南隅入表四寸除之得九千尺以減城去表三千尺餘有六千尺以六除之得一千步里法而一得三里餘有一百步為城南北步數又置望城東北隅入左後表二丈四尺以減城去表三千尺餘有二千九百七十六尺以表相去六丈乗之得一十七萬八千五百六十尺以入左後表二丈四尺除之得七千四百四十尺以六尺除之得一千二百四十步里法而一得四里餘四十步為城東西步合問今有甲日行疾於乙日行二十五里而甲發洛陽七日至鄴乙發鄴九日至洛陽 問鄴洛陽相去㡬何答曰七百八十七里半術曰以甲乙所至日數相乗又以甲日行疾里數乗之為實以甲至日減乙至日數餘為法實如法而一草曰置甲乙所至七日九日相乗得六十三又以甲疾行二十五里乗之得一千五百七十五為實以甲至七日減乙至九日餘有二日為法除實得七百八十七里半合問今有官出庫金五十九斤一兩賜王九人公十二人侯十五人子十八人男二十一人王得金各多公五兩公得金各多侯四兩侯得金各多子三兩子得金各多男二兩 問王公侯子男各得金㡬何答曰王一斤六兩公一斤一兩侯十三兩子十兩男八兩術曰置王公侯子男數王位十四之公位九之侯位五之子位二之併之以減出金兩數餘以凡人數而一所得各以本差之數加之得王公侯子男各所得金之數不加即男之得金草曰置王九人公十二人侯十五人子十八人以王位十四之得一百二十六公位九之得一百八侯位五之得七十五子位二之併之得三百四十五以減出金五十九斤一兩餘六百為實倂五等人數得七十五為法除實得八兩乃加十四兩為王加九得十七兩為公加五得十三兩為侯加二得十兩為子男不加如數加滿斤法而一不滿者命為兩合問今有十等人大官甲等十人官賜金依等次差降之上三人先入得金四斤持出下四人後入得金三斤持出中央三人未到者亦依等次更給 問各得金㡬何及未到三人復應得金㡬何答曰甲一斤七十八分斤之三十三乙一斤七十八分斤之二十六丙一斤七十八分斤之十九丁一斤七十八分斤之十二戊一斤七十八分斤之五己七十八分斤之七十六庚七十八分斤之六十九辛七十八分斤之六十二壬七十八分斤之五十五癸七十八分斤之四十八未到三人共得三斤七十八分斤之十五術曰以先入人數分所持金數為上率以後入人數分所持金數為下率二率相減餘為差實併先後入人數而半之以減凡人數餘為差法實如法而一得差數倂一二三以差數乗之以減後入人所持金數餘以後入人數而一又置十人減一餘乗差數併之即第一人所得金數以次每減差數各得之矣并中央未到三人得應持金數草曰先置入人數於左上置得金數於右上又置後入人數於左下置後得金數於右下以後入人數乗先得金數得十六以先入人數乗後得金數得九以九直減十六得七為差實又併先後入人數七半之得三半以減十人數餘六半又以先後人數率分母三與分母四相乗得十二以乗六半得七十八為差法(七十八是一斤也)置後入所得金數三以乗差法得二百三十四又置一二三得差以七因之得四十二直減二百三十四餘有一百九十二以後入四人數除之人得四十八乃是癸得之數累加差七乃合前問今有圓材徑頭二尺一寸欲以為方問各㡬何答曰一尺五寸(淳風等謹按開方除之為一尺四寸二十五分寸之二十一)術曰置徑尺寸數以五乗之為實以七為法實如法而一草曰置二尺一寸以五乗之得一百五寸以七除之得一尺五寸合前問今有泥方一尺欲為彈丸令徑一寸 問得㡬何答曰一千七百七十七枚九分枚之七術曰置泥方寸數再自乗以十六乗之為實以九為法實如法得一草曰置一尺為十寸再自乗得一千以十六乗之得一萬六千為實以九為法除實得一千七百七十七枚九分之七合前問(臣淳風等謹按密率為丸一千九百九枚十一分枚)(之一)依密率術曰令泥方寸再自乗以二十一乗之為實以十一為法實如法而一即得又依密率草曰置泥方十寸再自乗得一千寸以二十一乗之得二十一萬為實以十一為法除之得一千九百九枚十一分枚之一合問今有客不知其數兩人共盤少兩盤三人共盤長三盤問客及盤㡬何答曰客三十人十三盤術曰以二乗少盤三乗長盤倂之為盤數倍之又以二乗少盤數增之得人數草曰置二人於右上少兩盤於右下置三人於左上置剰三盤於左下各以人乗盤右下得四左下得九併之得一十三盤數别置少盤二以剰盤三乗之得六更併少剰盤乗之得三十人合前問今有女善織日益功疾初日織五尺今一月日織九疋三丈 問日益㡬何答曰五寸二十九分寸之十五術曰置今織尺數以一月日而一所得倍之又倍初日尺數減之餘為實以一月日數初一日減之餘為法實如法得一草曰置九疋以疋法乗之内三丈得三百九十尺以一月三十日除之毎日得一丈三尺倍之得二丈六尺又倍初日尺數得一丈減之餘一丈六尺為實又置一月三十日減一日得二十九日為法除之得五寸二十九分寸之十五合前問今有女子不善織日減功遲初日織五尺末日織一尺今三十日織訖 問織㡬何答曰二疋一丈術曰併初末日織尺數半之餘以乗織訖日數即得草曰置初日五尺訖日一尺併之得六半之得三以三十日乗之得九十尺合前問今有絹一疋買紫草三十斤染絹二丈五尺今有絹七疋欲減買紫草還自染餘絹 問減絹買紫草各㡬何答曰減絹四疋一丈二尺十三分尺之四買草一百二十九斤三兩一十三分兩之九術曰置今有絹疋數以本絹一疋尺數乗之為減絹實以紫草三十斤乗之為買紫草實以本絹尺數併染尺為法實如法得一其一術盈不足術為之亦得草曰置絹七疋以疋法乗之得二百八十尺又以買草絹一疋四十尺乗之得一萬一千二百尺為減絹實以本絹尺數六十五尺為法除實得一百七十二尺法與餘皆倍之得一十三分尺之四又置二百八十尺以紫草三十斤乗之得八千四百斤為買草實亦以六十五尺為法除之得一百二十九斤餘不盡者十六乗之得二百四十又以法除之得三兩餘與法皆倍之得一十三分兩之九合前問今有生絲一斤練之折五兩練絲一斤染之出三兩今有生絲五十六斤八兩七分兩之四 問染得㡬何答曰四十六斤二兩四百四十八分兩之二百二十三術曰置一斤兩數以折兩數減之餘乗今有絲斤兩之數又以出兩數併一斤兩數乗之為實一斤兩數自乗為法實如法得一兩數草曰置五十六斤以兩法十六乗之内子八兩得九百四兩又以分母七乗之内子四得六千三百三十二兩為實又以練率十一染率十九相乗得二百九以乗其實得一百三十二萬三千三百八十八為積以十六相乗得二百五十六又以分母七乗之得一千七百九十二為法除積得七百三十八兩餘與法皆再折得四十八分兩之二百二十三若求練絲折法置積兩以十六乗以十一除得絲數今有鐵十斤一經入爐得七斤今有鐵三經入爐得七十九斤一十一兩 問未入爐本鐵㡬何答曰二百三十二斤五兩四銖三百四十三分銖之二百八十四術曰置鐵三經入爐得斤兩數以十斤再自乗乃乗上為實以七斤再自乗為法實如法而得一草曰置三經入爐得七十九斤以十六乗之内一十一兩得一千二百七十五兩以十斤再自乗得一千以乗之得一百二十七萬五千為實以七斤再自乗七兩得三百四十三為法以除實得三千七百一十七兩餘六十九以二十四乗之得一千六百五十六又以法除之得四銖三百四十三分銖之二百八十四又以十六除所得兩數得二百三十二斤五兩併前銖零合前問今有絲一斤八兩直絹一疋今持絲一斤禆錢五十得絹三丈今有錢一千 問得絹㡬何答曰一疋二丈六尺六寸大半寸術曰置絲一斤兩數以一疋尺數乗之以絲一斤八兩數而一所得以減得絹尺數餘以一千錢乗之為實以五千錢為法實如法得一草曰置絲一十六兩以四十尺乗之得六百四十以一斤八兩通為二十四兩為法除之得二丈六尺六寸大半寸為絲所得之絹以減三丈餘三尺三寸少半寸為錢之所直以三尺三寸三因之内子一得十尺以乗一千錢得一萬尺又以禆錢五十以三因之得一百五十為法除實得六丈六尺六寸大半寸合前問今有甲貸乙絹三疋約限至不還疋日息三尺今過限七日取絹二疋償錢三百 問一疋直錢㡬何答曰七百五錢十七分錢之十五術曰以過限日息尺數減取絹疋尺數餘為法以償錢乗一疋尺數為實實如法而一草曰置七日三疋絹日息三尺共九尺以乗七日得六十三尺以減八十尺餘一十七尺為法又置償錢三百以四十尺乗之得一萬二千錢以一十七為法除之得七百五文餘十七分錢之十五合前問今有金方七銀方九秤之適相當交易其一金輕七兩問金銀各重㡬何答曰金方重十五兩十八銖銀方重十二兩六銖術曰金銀方數相乗各以半輕數乗之為實以超方數乗金銀方數各自為法實如法而一草曰置金方七銀方九相乗得六十三以半輕數三兩半乗得二百二十兩半又以金銀超方數二以乗金方數得一十四為法除實得一十五兩餘不盡者以二十四乗之得二百五十二銖再以前法除之得一十八銖若求銀方又置前二百二十兩半以銀方九二因得一十八為法除之得一十二兩餘二十四乗之得一百八以法除之得六銖為銀方合前問今有器容九㪷中有米不知其數滿中粟舂之得米五㪷八升 問滿粟㡬何答曰八㪷術曰置器容九㪷以米數減之餘以五之二而一得滿粟斗數草曰置九㪷以米五㪷八升減之得三㪷二升以粟數五因之得一石六㪷以糠率二㪷除之得八㪷為粟合前問今有七百人造浮橋九日成今增五百人 問日㡬何答曰五日四分日之一術曰置本人數以日數乗之為實以本人數今増人數併之為法實如法而一草曰置七百人以九百因之得六千三百又以増五百人加七百人得一千二百人為法除之得五日餘四分日之一合前問今有與人錢初一人與三錢次一人與四錢次一人與五錢以次與之轉多一錢與訖還歛聚與均分之人得一百錢 問人㡬何答曰一百九十五人術曰置人得錢數以減初人錢數餘倍之以轉多錢數加之得人數草曰置人得錢一百減初人錢三文得九十七倍之加初人得一百九十五合前問張邱建算經卷上
## 卷中
欽定四庫全書
張邱建算經卷中 周 甄 鸞 注經唐 李淳風 注釋劉孝孫 撰細草今有戸出銀一斤八兩一十二銖今以家有貧富不等令戸别作差品通融出之最下戸出銀八兩以次戸差各多三兩 問戸㡬何答曰一十二戸術曰置一戸出銀斤兩銖數以最下戸出銀兩銖數減之餘倍之以差多兩銖數加之為實以差兩銖數為法實如法而一草曰置二十四兩以二十四乗之内一十二銖得五百八十八銖減最下戸八兩數一百九十二銖餘三百九十六倍之得七百九十二又加差多三兩數七十二銖共得八百六十四為實以差多兩數七十二為法除實得一十二戸合前問今有人盗馬乗去已行三十七里馬主乃覺追之一百四十五里不及二十三里而還今不還追之 問㡬何里及之答曰二百三十八里一十四分里之三術曰置不及里數以馬主追里數乗之為實以不及里數減已行里數餘為法實如法而一草曰置馬不及里數二十三里以馬主追去一百四十五里乗之得三千三百三十五為實以不及二十三里減已行三十七里餘一十四為法除實得二百三十八里一十四分里之三合前問今有馬行轉遲次日減半疾七日行七百里 問日行㡬何答曰初日行三百五十二里一百二十七分里之九十六次日行一百七十六里一百二十七分里之四十八次日行八十八里一百二十七分里之二十四次日行四十四里一百二十七分里之一十二次日行二十二里一百二十七分里之六次日行一十一里一百二十七分里之三次日行五里一百二十七分里之六十五術曰置六十四三十二一十六八四二一為差副併為法以行里數乗未併者各自為實實如法而一草曰置七日為七位以次倍之得一二四八十六三十二六十四為差以副併之得一百二十七為法以七日行七百里乗未併者初日得四百四十八里次得二百二十四里次得一百一十二里次得五十六里次得二十八里次得十四里次得七里各自為實實如法而一各合問今有駑馬日初發家良馬日以七分之一發家日乃五分之二行四十五里及駑馬 問良駑馬一日不止各行㡬何答曰良馬日行一百七十五里駑馬日行一百一十二里一百五十步術曰置五分之二七分之一相減餘為良馬行率増七分日之一為駑馬行率各以為法以及里數乗二母為實實如法而一草曰置七分於右上一於左上五分於右下二於左下以右上乗左下得十四以右下乗左上得五減十四得九為良馬率法以五加九得十四為駑馬率法以七分五分相乗得三十五以乗追及四十五里得一千五百七十五里為實以良馬九法除之得一百七十五里為良馬行又以十四除實得一百一十二里餘七里以里法三百通之得二千一百步再以十四除之得一百五十步合前問今有遲行者五十步疾行者七十歩遲行者以先發疾行者以後發行八十七里一百五十步乃及之 問遲行者先發行㡬何里答曰二十五里術曰以遲行步數減疾行步數餘以乗及步數為實以疾行步數為法實如法而一草曰置疾行七十步以遲行五十步減之餘二十步以乗及八十七里半得一千七百五十里以疾行七十步為法除實得二十五里合前問今有甲日行七十里乙日行九十里甲日以五分之一乃發乙日以三分之二乃發 問乙行㡬何里及甲答曰一百四十七里術曰以五分日之一減三分日之二餘以甲日行里數乗之又以乙日行里數乗之為實以甲乙行里數相減餘以乗二分母為法實如法而一草曰置五分於右上置之一於左上又置三分於右下之二於左下以右上五乗左下二得一十以右下三乗左上一得三以減十餘七以甲行七十里乗之得四百九十又以乙行九十里乗之得四萬四千一百以甲行里數減乙行里數餘二十里以二分母乗之得三百以除實得一百四十七里乃合前問今有築城上廣一丈下廣三丈髙四丈今已築髙一丈五尺 問已築上廣㡬何答曰二丈二尺五寸術曰置城下廣以上廣減之又置城髙以減築髙餘相乗以城髙而一所得加城上廣即得草曰置城下廣三十尺以上廣減之餘二十尺别以城髙四十尺以築髙一丈五尺減之得二丈五尺以乗二十尺得五百尺以城髙四十尺為法除之得一丈二尺五寸所得加城上廣一丈得二丈二尺五寸合前問今有築牆上廣二尺下廣六尺髙二丈今已築上廣三尺六寸 問已築髙㡬何答曰一丈二尺術曰置已築上廣及下廣各減牆上廣以築上廣減餘以減下廣減餘餘乗牆髙為實以牆上廣減下廣餘為法實如法而一草曰置牆下廣六尺以築髙上廣三尺六寸減之餘二尺四寸以牆髙二十尺乗之得四十八尺又以牆上廣二尺減下廣六尺餘四尺為法除之得一丈二尺合前問今有方錐下方二丈髙三丈欲斬末為方亭令上方六尺 問斬髙㡬何答曰九尺術曰令上方尺數乗髙尺數為實以下方尺數為法實如法而一(臣淳風等謹按此術下方為勾率髙為股率上方為今有見勾數以見勾乗股率如勾率而一即得)草曰置上方六尺以乗髙三十尺得一百八十尺以下方二十尺為法實如法得九尺合前問今有方亭下方三丈上方一丈髙二丈五尺欲接築為方錐 問接築髙㡬何答曰一丈二尺五寸術曰置上方尺數以髙乗之為實以上方尺數減下方尺數餘為法實如法而一草曰置上方十尺以髙二十五尺乗之得二百五十尺以上方一丈減下方三丈餘二丈為法除實得一丈二尺五寸乃合前問今有堢壔方四丈髙二丈欲以塼四靣單壘之塼一枚廣五寸長一尺一寸厚二寸 問用磚㡬何答曰一萬四千七百二十七磚一十一分磚之三術曰置堢壔方丈寸數以塼廣增之而以四乗之以髙乗之為實以塼長厚相乗為法實如法而一草曰置四百寸加五寸以四因之得一千六百二十寸又以髙二百寸乗之得三十二萬四千寸以塼長厚相乗得二十二寸為法除之得一萬四千七百二十七枚一十一分塼之三合前問今有築圓堢壔周九丈六尺髙一丈三尺 問用壤土㡬何答曰一萬六千六百四十尺術曰周自相乗以髙乗之又以五乗為實以三乗十二為法實如法而一草曰以周九丈六尺自相乗得九千二百一十六尺又以髙一丈三尺乗之得一十一萬九千八百八又以五乗之得五十九萬九千四十為實以三乗十二得三十六為法除實得一萬六千六百四十尺合前問今有率戸出絹三疋依貧富欲以九等出之令戸各差除二丈今有上上三十九戸上中二十四戸上下五十七戸中上三十一戸中中七十八戸中下四十三戸下上二十五戸下中七十六戸下下一十三戸 問九等戸各應出絹㡬何答曰上上戸戸出絹五疋上中戸戸出絹四疋二大上下戸戸出絹四疋中上戸戸出絹三疋二丈中中戸戸出絹三疋中下戸戸出絹二疋二丈下上戸戸出絹二疋下中戸戸出絹一疋二丈下下戸戸出絹一疋術曰置上八等戸各求積差上上戸十六上中戸十四上下戸十二中上戸十中中戸八中下戸六下上戸四下中戸二各以其戸數乗而併之以出絹疋丈數乗凡戸所得以併數減之餘以凡戸數而一所得即下下戸遞加差各得上八等戸所出絹疋丈數草曰置上上戸三十九以十六乗之得六百二十四列於上又置上中戶二十四以十四因之得三百三十六併上又置上下戸五十七以十二因之得六百八十四併上位又置中上戸三十一以十因之得三百一十併上位又置中中戸七十八以八因之得六百二十四併上位又置中下戸四十三以六因之得二百五十八併上位又置下上戸二十五以四因之得一百併上位又置下中戸七十六以二因之得一百五十二併上位都得三千八十八又併九等戸三百八十六以十二丈因之得四千六百三十二丈以減三千八十八丈餘一千五百四十四丈以為平率以衆戸數三百八十六而一除之得四丈為一疋是最下之戸所出絹以次各加二丈至上上戸出五疋皆合前問今有粟米三千斛六百人食之其一百人日食糳米八斛二百人日食粺米十四斛三百人日食糲米十八斛問粟得㡬何日食之答曰四十一日四十九分日之一十六術曰置粟數為實以三等日食米積數各求為粟之數併以為法實如法而一草曰置糳米八斛以五十乗之以糳米二十四除得一十六斛餘一十六以二十四八約之得三餘得二又置粺米十四斛以五十乗之得七十斛以粺米率二十七除得二十五斛餘二十七分之二十五又置糲米十八斛以五十乗之三十除之得三十斛併三位得七十一斛又置餘分三於右上二於左上二十七於右下二十五於左下以右上三乗左下二十五得七十五以右下二十七乗左上二得五十四併之得一百二十九又以分母三乗二十七得八十一為法除得一斛加上位七十一得七十二餘四十八分母八十一各三約之得二十七分之一十六又以二十七分乗七十二斛内子一十六得一千九百六十為法乃置粟三千斛以母二十七乗之得八萬一千為實以一千九百六十為法除得四十一日法與餘俱再折得四十九分日之十六合前問今有三女各刺文一方長女七日刺訖中女八日半刺訖小女九日太半刺訖今令三女共刺一方 問㡬何日刺訖答曰二日一千二百五十六分日之九百三十九術曰置日數以㸦乘方數併為法日數相乘為實實如法而一草曰置大女七日於右上一於左上中女八日半是二分之一以分母通分内子一得十七於右中一於左中小女九日太半以分母三因之内子二得二十九於右下一於左下乃㸦乗之以右中十七乗左上一得十七又以右下二十九乗之得四百九十三又以右上七乗左中一得七又以右下二十九乗之又以分母二因之得四百六又以右上七乗左下一又以右中十七乗之又以分母三因之得三百五十七併之得一千二百五十六為法又以右上七乗中一十七得一百一十九又以右下二十九乗之得三千四百五十一為實以法除之得二日一千二百五十六分日之九百三十九合前問今有車運麥輸太倉去三十七里十六分里之十一重車日行四十五里七日五返 問空車日行㡬何答曰日行六十七里術曰置麥去太倉里數以返數乗之以重車日行里數而一所得為重行日數以減凡日數餘為空行日數以為法以返數乗麥去太倉里數為實實如法而一草曰置去太倉里數三十七里以十六乗之内子一十一得六百三里又以返數五乗之得三千一十五以重車日行四十五以分母十六乗之得七百二十為法除三千一十五得四日不盡二因九約約得十六分日之三為重車日行里又置七日以十六乗之得一百一十二又置四日以十六乗之内子三得六十七以減一百一十二餘四十五為法以除去太倉里數三千一十五得六十七里合前問今有人持錢之洛賈利五之初返歸一萬六千第二返歸一萬七千第三返歸一萬八千第四返歸一萬九千第五返歸二萬凡五返歸本利俱盡 問本錢㡬何答曰三萬五千三百二十六錢一萬六千八百七分錢之五千九百一十八術曰置後返歸錢數以五乗之以七乗第四返歸錢數加之以五乗之以四十九乗第三返歸錢數加之以五乗之以三百四十三乗第二返歸錢數加之以五乗之以二千四百一乗初返歸錢數加之以五乗之以一萬六千八百七而一得本錢數一法盈不足術為之亦得草曰置最後返錢數以五乗之得十萬又以第四返錢一萬九千以七乗之得一十三萬三千併上位得二十三萬三千又以五因之得一百一十六萬五千又置第三返一萬八千以四十九乗之得八十八萬二千又加上位得二百四萬七千又以五乗之得一千二十三萬五千又置第二返一萬七千以三百四十三乗之得五百八十三萬一千加上位得一千六百六萬六千又以五乗之得八千三十三萬又置初返日一萬六千以二千四百一乗之得三千八百四十一萬六千加上位得一億一千八百七十四萬六千又以五乗之得五億九千三百七十三萬為實又以一萬六千八百七為法除實得三萬五千三百二十六文一萬六千八百七分錢之五千九百一十八今有清酒一㪷直粟十㪷醑酒一㪷直粟三㪷今持粟三斛得酒五㪷 問清醑酒各㡬何答曰醑酒二㪷八升七分升之四清酒二㪷一升七分升之三術曰置得酒㪷數以清酒直數乗之減去持粟㪷數餘為醑酒實又置得酒㪷數以醑酒直數乗之以減持粟㪷數餘為清酒實各以二直相減餘為法實如法而一即得以盈不足為之亦得草曰置得五㪷以清酒十量乗之得五斛減持去粟三斛餘二斛為醑酒實又置酒五㪷以醑酒三量乗之得一斛五㪷以減三斛餘一斛五㪷為清酒實以三減十餘七為法除醑酒實得二㪷八升七分升之四又以法除清酒實得二㪷一升七分升之三合前問今有田積一十二萬七千四百四十九步 問為方㡬何答曰三百五十七步術曰以開方除之即得草曰置前積步數於上借一算子於下常超一位步至百止以上商置三百於積步之上又置三萬於積步之下下法之上名曰方法以方命上商三三如九除九萬又倍方法一退下法再退又置五十於上商之下又置五百於下法之上名曰隅法以方隅二法除實餘有四千九百四十九又倍隅法以併方得七千退一等下法再退又置七於上商五十之下又置七於下法之上名曰隅法以方隅二法除實得合前問今有田方一百二十一步欲以為圓 問周幾何答曰四百一十九步八百二十九分步之一百三十一術曰方自相乗又以十二乗之為實開方除之即得草曰以一百二十一步自相乗得一萬四千六百四十一又以十二乗之得一十七萬五千六百九十二借一算子於下常超一位步至百止上商得四百下置四萬為方法命上商除一十六萬倍下方法退一位得八千下法退二等又置上商得一十又置下法之上一百名曰隅法以方隅除實八千一百又置倍隅法從方法退一等得八百二十又置九於一十之下又置九於下法之上名隅法以方命上商八九七十二除七千二百又以方法二命上商九除一百八十又以隅法九命上商九除八十一餘一百三十一即四百一十九步八百二十九之一百三十一合前問今有圓田周三百九十六步欲為方 問得幾何答曰一百一十四步二百二十九分步之七十二術曰周自相乗十二而一所得開方除之即得方草曰置三百九十六自相乗得一十五萬六千八百一十六以十二而一得一萬三千六十八以開方法除借一算子於下常超一位至百止上商置一百下置一萬於下法之上名曰方法以方法命上商除實一萬退方法倍之下法再退又置一十於上商之下又置一百於下法上名曰隅法以方隅二法皆命上商除實二千一百又隅法倍之以從方法退一位下法再退又置四於上商一十之下又置四於下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商除實八百九十六餘得合前問今有弧田弦六十八步五分步之三為田二畝三十四步四十五分步之三十二 問矢幾何答曰矢一十二步三分步之二術曰置田積步倍之為實以弦步數為從(案此下原本闕)張邱建算經卷中
## 卷下
欽定四庫全書
張邱建算經卷下 周 甄 鸞 注經唐 李淳風 注釋劉孝孫 撰細草今有甲乙丙丁戊五人共獵獲鹿約以甲六乙五丙四丁三戊二分之今獲鹿五 問各得幾何答曰甲得一鹿四分鹿之二乙得一鹿四分鹿之一丙得一鹿丁得四分鹿之三戊得四分鹿之二術曰列置甲六乙五丙四丁三戊二各自為差副併為法以鹿數乘未併者各自為實實如法而一草曰置六五四三二併之得二十為法又以甲六乘五鹿得三十鹿以二十除之得一鹿餘一與法俱倍之得四分鹿之二以乙五乘五鹿得二十五復以二十除得一鹿四分之一又以丙四乘五鹿得二十為一鹿又以丁三乘五鹿得一十五鹿乃得四分鹿之三又以戊一乘五鹿得一十乃得四分鹿之二合前問案此下今有鹿今有垣今有倉三問亦僅有術而無圖未足顯其立意所在謹依勾股測望少廣堆垜各義為補三圖於問右用便參觀今有鹿直西走馬獵追之未及三十六步鹿囘直北走馬俱斜逐之走五十步未及一十步斜直射之得鹿若鹿不迴馬獵追之 問幾何里而及之答曰三里術曰置斜逐步數以射步數增之自相乘以追之未及步數自相乘減之餘以開方除之所得以減斜逐步數餘為法以斜逐步數乘未及步數為實實如法而一草曰置斜逐步五十增未及步數十步共六十步自乘得三千六百又置追之未及步數三十六步自相乘得一千二百九十六以減斜自乘步二千三百四步以開方除之得四十八步以減斜逐步數五十餘二為法又置未及三十六以斜逐步數五十乘之得一千八百以法除之得九百步乃合前問今有垣髙一丈三尺五寸材長二丈二尺五寸倚之於垣末與垣齊 問引材却行幾何材末至地荅曰四尺五寸術曰垣髙自乘以減材長自乘餘以開方除之所得以減材餘即却行尺數草曰置垣髙數自相乘得一百八十二尺二寸五分又以材長數自相乘得五百六尺二寸五分以垣髙自乘減之餘三百二十四以開方法除之得一丈八尺以減材長二丈二尺五寸餘四尺五寸合前問今有倉圖今有倉東西袤一丈二尺南北廣七尺南壁髙九尺北壁髙八尺 問受粟幾何荅曰得四百四十斛二十七分斛之二十術曰併南北壁髙而半之以廣袤乘之為實實如斛法而一得斛數草曰置南北壁髙併之得一十七半之得八尺五寸又置長一十二尺以廣七尺因之得八十四尺又以髙八尺五寸乘之得七百一十四尺以斛法一尺六寸二分除之得四百四十斛餘一十二并法各以六除之得二十七分之二十合前問今有圓圌上周一丈八尺下周二丈七尺高一丈四尺問受幾何答曰三百六十九斛四㪷九分㪷之四術曰上下周相乘又各自乘併以高乘之以三十六而一所得為實實如斛法而一得斛數草曰置上周一丈八尺自相乘得三百二十四尺以下周二丈七尺自相乘得七百二十九尺又上下周相乘得四百八十六尺併三位得一千五百三十九又以高一丈四尺乘之得二萬一千五百四十六尺以三十六除之得五百九十八尺五寸為實以斛法除之得三百六十九斛四㪷餘與法各折半皆以九除之法得九餘得四即合前問今有窖上廣四尺下廣七尺上袤五尺下袤八尺深一丈 問受粟幾何答曰得二百二十五斛三㪷八十一分㪷之七術曰倍上袤下袤從之亦倍下袤上袤從之各以其廣乘之併以深乘之六而一所得為實實如斛法而一得斛數草曰置上長五尺倍之得十尺加下長八尺倍下長八尺得一十六尺加上長五尺為二十一尺以上廣四尺乘上長一十八尺得七十二尺又以下廣七乘下長二十一尺得一百四十七尺併之得二百一十九尺又以深十尺乘之得二千一百九十以六除之得三百六十五尺以斛法除之得二百二十五斛三㪷法餘各半之得八十一分㪷之七即合前問今有窖上方五尺下方八尺深九尺 問受粟幾何答曰二百三十八斛九分斛之八術曰上下方相乘又各自相乘併以深乘之三而一所得為實實如斛法而一得斛數草曰置上方五尺自相乘得二十五尺置下方八尺自相乘得六十四尺又以上下方相乘得四十尺併三位得一百二十九又以深九尺乘之得一千一百六十一又以三而一得三百八十七尺以斛法除得二百三十八斛餘與法皆半之九約得九分斛之八合前問今有倉東西袤一丈四尺南北廣八尺南壁高一丈受粟六百二十二斛九分斛之二 問北壁高幾何答曰八尺術曰置粟積尺以倉廣袤相乘而一所得倍之減南壁高尺數餘為北壁高草曰置六百二十二斛以九因之得五千六百又以斛法一尺六寸二分乘之得九千七十二尺是粟積數却以九除之得一千八尺以長廣相乘得一百一十二尺以除一千八尺得九尺倍之得一十八尺減南壁高一丈餘即北壁高數合前問今有圓圌上周一丈五尺高一丈二尺受粟一百六十八斛五㪷二十七分㪷之五 問下周幾何答曰一丈八尺術曰置粟積尺以三十六乘之以高而一所得以上周自相乘減之餘以上周尺數從而開方除之所得即下周草曰置粟一百六十八斛五㪷以分母二十七乘之内子五得四千五百五十又以斛法乘之得七千三百七十一又以三十六乘得二十六萬五千三百五十六又以二十七除之得九千三百二十八又以高一丈二尺除之得八百一十九又以上周自乘得二百二十五以減上數餘五百九十四又以上周一丈五尺為從法開方合前問今有窖上方八尺下方一丈二尺受粟九百三十八斛八十一分斛之二十二 問深幾何答曰一丈五尺術曰置粟積尺以三乘之為實上下方相乘併又各自乘併以為法實如法而一草曰置粟九百三十八斛以分母八十一乘之内子二十二得七萬六千以斛法乘之得一十二萬三千一百二十又以三因之得三十六萬九千三百六十以八十一除之得四千五百六十為實又以上方自相乘得六十四以下方自相乘得一百四十四以上下方相乘得九十六三位併之得三百四為法除實得一丈五尺合前問今有窖上廣五尺上袤八尺下廣七尺深九尺受粟三百一斛八㪷八十一分㪷之四十二 問下袤幾何答曰一丈術曰置粟積尺以六乘之深而一所得倍上袤以上廣乘之又以下廣乘上袤併以減之餘以倍下廣上廣從之而一得下袤草曰置三百一斛八㪷以分母八十一乘之内子四十二得二萬四千四百五十又以斛法乘之得三萬九千六百九又以六乘之得二十三萬七千六百五十四以分母八十一除之得二千九百三十四又以深九尺除之得三百二十六為實又以倍上袤除之得一十六以上廣五尺乘之得八十又以下廣乘上袤得五十六併之得一百三十六以減實餘一百九十又倍下廣七尺得一十四又加上廣五尺共一十九除實得一丈合前問今有上錦三疋中錦二疋下錦一疋直絹四十五疋上錦二疋中錦三疋下錦一疋直絹四十三疋上錦一疋中錦二疋下錦三疋直絹三十五疋 問上中下錦各直絹幾何答曰上錦一疋直絹九疋中錦一疋直絹七疋下錦一疋直絹四疋術曰如方程(臣淳風等謹案此宜云以右行上錦徧乘中行而以直除之又乘其左亦以直除以中行中錦不盡)(者徧乘左行又以直除左行下錦不盡者上為法下為實實如法得下錦直絹求中錦直絹者以下)(錦直絹乘中行下錦而減下實餘如中錦而一即得中錦直絹求上錦直絹者亦以中下錦直絹各)(乘右行錦數而減下實餘如上錦而一即得上錦之數列而别之價直匹數雜而難分價直匹數者)(一行之下實今以右行上錦徧乘中行者欲為同齊而去中行上錦同齊者謂同行首齊諸下而以)(直減中行術從簡易雖不為同齊以同齊之意觀之其宜然矣又轉去上錦中錦則其求者下錦一)(位及實存焉故以上為法下為實實如法得下錦一匹直絹其中行兩錦實今下錦一匹直數先見)(乘中行下錦匹數得一位别實減此别實一於下實則其餘專中錦一位價直匹數故以中錦數而)(一其右行三錦實今中下錦直匹數並見故亦如前右行求别實以減中下實一餘如上錦數而一)(即得)草曰置上錦三疋於右上中錦二疋於右中下錦一疋於右下直絹四十五疋於右下又置上錦二疋於中上中錦三疋於中中下錦一疋於中下直絹四十三疋於下又置上錦一疋於左上中錦二疋於左中下錦三疋於左下直絹三十五疋於下然以右上錦三疋遍乘中行上得六中得九下得三直絹一百二十九又以右上錦三遍乘左行得上三中六下九直絹一百五乃以右上中下並直絹再減中行一減左行餘有中行中五下一絹三十九左行中四下八直絹六十又以中行中五遍乘左行中得二十下得四十直絹三百以中行四度遍減左行餘只有下錦三十六直絹一百四十四以下錦為法除絹一百四十四得四疋是下錦一疋之直求中錦以下錦絹乘中行下錦一疋得四以減下絹三十九餘三十五以中錦五疋除之得七疋是中錦之直求上錦以中錦價乘右行中錦得一十四以下錦直乘下錦得四共一十八以減下直四十五餘二十七以上錦三除之得九疋合前問今有孟仲季兄弟三人各持絹不知疋數大兄謂二弟曰我得汝等絹各半得滿七十九疋中弟曰我得兄弟絹各半得滿六十八疋小弟曰我得二兄絹各半得滿五十七疋 問兄弟本持絹各幾何答曰孟五十六疋仲三十四疋季一十二疋術曰大兄二中弟一小弟一合一百五十八疋大兄一中弟二小弟一合一百三十六疋大兄一中弟一小二合一百一十四疋如方程而求即得草曰置大兄二於右上中弟一於右中小弟一於右下絹一百五十八疋於下又置大兄一於中上中弟二於中中小弟一於中下絹一百三十六疋於下又置大兄一於左上中弟一於左中小弟二於左下絹一百一十四疋以方程錦法求之(以右行上)(二遍因左行孟得二仲得四合得二百二十八以左行直減之仲餘一季餘三合餘七十又以右行)(上二遍因中行孟得二仲得四季得二合得二百七十二以右行直減之仲得三季得一合餘一百)(一十四又以中行仲三遍因左行仲得三季得九合得二百一十以中行直減之季餘得八合餘得)(九十六為實以季餘八為法除之得季一十二疋又中行合一百一十四減一十二餘一百二以仲)(三除之得仲三十四疋又右行合一百五十八減季一十二疋仲三十四疋外餘一百一十二以孟)(二除之得孟五十六疋合前問)今有甲乙丙三人持錢不知多少甲言我得乙大半得丙少半可滿一百乙言我得甲大半得丙半可滿一百丙言我得甲乙各大半可滿一百 問甲乙丙持錢各幾何答曰甲六十乙四十五丙三十術曰三甲二乙一丙錢三百四甲六乙三丙錢六百二甲二乙三丙錢三百如方程即得草曰置三甲於右上二乙於右中一丙於右下錢三百於下又置四甲於中上六乙於中中三丙於中下錢六百於下又置二甲於左上二乙於左中三丙於左下錢三百於下以右行上三遍因左行甲得六乙得六丙得九錢得九百以右行再減之餘乙二丙七錢三百又以右行上三遍因中行得甲一十二乙一十八丙九錢一貫八百以右行四遍減之餘乙一十丙五錢六百左行進一位得乙二十丙七十錢三貫以中行再減之餘得丙六十錢一貫八百以六十除之得丙三十又中行錢六百減一百五十餘四百五十以乙一十除之得乙四十五又去右行錢減一百二十餘一百八十以甲三除之得甲六十合前問今有甲乙懷錢各不知其數甲得乙十錢多乙餘錢五倍乙得甲十錢適等 問甲乙懷錢各幾何答曰甲三十八錢乙錢十八術曰以四乘十錢又以七乘之五而一所得半之以十錢增之得甲錢數以十錢減之得乙錢數草曰置多錢五倍除十錢餘四因之得四十又以七乘之得二百八十却以五除之得五十六半之得二十八加得乙十錢共三十八錢為甲懷錢又以二十八錢減十錢為乙懷錢合問今有車五乘行道三十里僱錢一百四十五今有車二十六乘僱錢三千九百五十四四十五分錢之十四問行道幾何答曰一百五十七里少半里術曰置今有僱錢數以行道里數乘之以本車乘數乘之為實以本僱錢數乘今有車數為法實如法得一草曰置今僱錢三千九百五十四四十五分錢之十四通分内子得一十七萬七千九百四十四又以三十里乘之得五百三十三萬八千三百二十又以本車五乘之得二千六百六十九萬一千六百為實又以本僱錢一百四十五乘今有車二十六得三千七百七十又分母四十五乘之得一十六萬九千六百五十為法除實得一百五十七里餘五萬六千五百五十與法各約之得三分里之一合問今有惡粟一斛五㪷舂之得糲米七㪷今有惡粟二斛問為粺米幾何答曰八㪷四升術曰置糲米之數求為粺米所得之數以乘今有惡粟為實以本粟為法實如法得一(臣淳風等謹按此術置糲)(米十斗以粺米率九乘之以十而一得六斗十分斗之三是為惡粟十五斗得作粺米六斗十分斗)(之三此今有術惡粟二十斗為所有數粺米六斗十分斗之三為所求率惡粟十五斗為所有率)草曰置糲米七斗以九因得六十三又以一十除得六斗一十分斗之三却通分内子得六百三十又以二斛因得一萬二千六百為實又置一斛五斗以十分因之得一十五斛為法除之得八斗四升合問今有好粟五斗舂之得糳米二斗五升今有御米十斗問得好粟幾何答曰二斛二斗八升七分升之四術曰置糳米數求御米之數為法(臣淳風等謹按問意宜云置糳)(米數求御米之數為法其術直云置糳米數為法者錯也)又置今御米數以本粟乘之為實實如法得一(臣淳風等謹按此術置糳米二十五升以御米)(率七乘之以糳米率八而一得二斗十六分斗之三為好粟五得作御米二斗十六分斗之三於今)(有術御米十斗為所有數好粟五斗為所求率御米二斗十六分斗之三為所有率)草曰置糳米二斗五升以御米率七因之得一百七十五八而一得二斗十六分之三又却通分内子得三十五為法又置一十斗以十六乘之得一百六十為實以法除之得二斛二斗八升七分之四合問今有差丁夫五百人合共重車一百一十三乘 問各共重幾何答曰六十五乘乘各四人共重四十八乘乘各五人共重術曰置人數為實車數為法而一得四人共重又置一於上方命之實餘返減法訖以四加十一方一得五人共重法餘即四人共重車數實餘即五人共重車數草曰置五百人以一百一十三乘除之得四人餘四十八以減法餘六十五為四人共一車以四因六十五人得二百六十減五百餘二百四十以四十八除之得五人共重一車量合問今有甲持錢二十乙持錢五十丙持錢四十丁持錢三十戊持錢六十凡五人合本治生得利二萬五千六百三十五欲以本錢多少分之 問各人得幾何答曰甲得二千五百六十三錢四分錢之二乙得六千四百八錢四分錢之三丙得五千一百二十七錢丁得三千八百四十五錢四分錢之一戊得七千六百九十錢四分錢之二術曰各列置本持錢數副併為法以利錢乘未併者各自為實實如法得一草曰置甲等五人所持錢併之得二百為法又以甲持錢二十乘利錢二萬五千六百三十五得五十一萬二千七百以法除之得二千五百六十三餘與法皆五除得法四餘二是四分錢之二求乙錢以乙五十乘利錢得一百二十八萬一千七百五十又以法除之得六千四百八錢餘與法皆倍之得四分錢之三求丙持錢以四十乘利錢得一百二萬五千四百以法除之得五千一百二十七錢求丁錢以三十乘利錢得七十六萬九千五十以法除之得三千八百四十五錢四分錢之一求戊錢以六十乘利錢得一百五十三萬八千一百以法除之得七千六百九十錢四分錢之二乃合前問今有甲乙丙三人共出一千八百錢買車一輛欲與親知乘之為親不取還賣得錢一千五百各以本錢多少分之甲得五百八十三錢三分錢之一乙得五百錢丙得四百一十六錢三分錢之二 問本出錢各幾何答曰甲出錢七百乙出錢六百丙出錢五百術曰置甲乙丙分得之數副併為法以置車錢數乘未併者各自為實實如法得一草曰置甲得錢五百八十三以分母三乘之内子乙得一千七百五十又以本置車錢一千八百乘之得三百一十五萬又置求分錢一千五百以分母三因之得四千五百為法以除實得七百是甲錢求乙置分得錢數五百以一千八百乘之得九十萬以一千五百為法除之得六百求丙置分得錢數四百一十六以錢分母三因之内子二得一千二百五十又以八千八百乘之得二百二十五萬又置未分錢一千五百三因之得四千五百為法除實得五百合前問今有雀一隻重一兩九銖燕一隻重一兩五銖有雀燕二十五隻併重二斤一十三銖 問燕雀各幾何答曰雀十四隻燕十一隻術曰置假令雀一十五隻燕十隻盈四銖於右行又置假令雀十二隻燕十三隻不足八銖於左行以盈不足維乘之併以為實併盈不足為法實如法得一草曰置雀一十五隻於右上置盈四銖於右下又置雀一十二隻於左上置不足八銖於左下維乘之以右下四乘左上一十二得四十八以左下八乘右上一十五得一百二十併之得一百六十八以盈不足併之得一十二為法除實得一十四雀求燕置燕十於右上四於右下又置燕十三於左上置八於左下以左下八乘右上十得八十以右下四乘左上十三得五十二併之得一百三十二併盈不足為法除實得一十一燕得合前問今有七人九日造成弓十二張半今有十七人造弓十五張 問幾何日訖答曰四日八十五分日之三十八術曰置今造弓數以弓日數乘之又以成弓人數乘之為實以今有人數乘本有弓數為法實如法得一草曰置今造弓十五張以成弓日數九乘之得一百三十五又以成弓人數七乘之得九百四十五為實又置本造弓十二張半以今造弓十七人乘之得二百一十二半為法除之得四日法與餘皆退位四因得八十五分之三十八合前問今有城周二十里欲三尺安鹿角一枚五重安之 問凡用鹿角幾何答曰六萬一百枚城若圓凡用鹿角六萬六十枚術曰置城周里尺數三而一所得五之又置五以三乘之又自相乘以三自乘而一所得四之併上位即得凡數 城若圓者置城周里尺數三而一所得五之又併一二三四凡得一十以六乘之倂之得凡數草曰置二十里以三百步乘之得六千步法六因之得三萬六千以三尺除之得一萬二千以重數五乘之得六萬於上位又以五乘三得一十五又自相乘得二百二十五又以三自乘得九為法以除二百二十五得二十五四因之得一百 若求圓者置城圍尺數三而一得一萬二千所得五因之為六萬於上位又以一二三四併之得一十以六因之得六十從上位得六萬六十是圓也今有粟二百五十斛委注平地下周五大四尺 問高幾何答曰五尺術曰置粟積尺以三十六乘之為實以下周自乘為法實如法得一草曰置粟二百五十以斛法一尺六寸二分乘又以三十六乘之得一萬四千五百八十置下周五丈四尺自相乘得二千九百一十六為法除實得五尺合前問今有客歲作(臣淳風等謹按問意三百五十四日)要與粟一百五十斛已與之粟先五十八日歸 問折粟與粟各幾何答曰折粟二十四斛五㪷五十九分㪷之四十五與粟一百二十五斛四㪷五十九分㪷之十四術曰置歸作日數以與粟乘之各自為實以一歲三百五十四日為法實如法得一草曰置歸作日五十八日以粟一百五十斛乘之得八千七百又以歲三百五十四除得二十四石五㪷餘與法皆六除之得五十九分㪷之四十五求與粟數以作日二百九十六以一百五十斛乘之得四萬四千四百以歲三百五十四除之得一百二十五斛四斗五十九分㪷之十四合前問今有廩人人日食米六升今三十五日食米七千四百九十二斛八㪷 問人幾何答曰三千五百六十八人術曰置米數為實以六升乘三十五日為法實如法得一草曰置米七千四百九十二斛八㪷以六乘三十五日得二斛一㪷為法以除積數得三千五百六十八人合前問今有五十八人二十九日食麫九十五斛三㪷一升少半升 問人食幾何答曰五升太半升術曰置麫斛斗升數為實以人日食相乘為法實如法得一草曰置麫數以三因之内子一得二萬八千五百九十四置人數五十八以二十九乘之得一千六百八十二又以三因之得五千四十六為法除得五升餘皆三約之得三分之二為太半升合前問今有二人三日錮銅得一斤九兩五銖今一月日錮銅得九千八百七十六斤五兩四銖少半銖 問人功幾何答曰一千二百五十三人三百六十三分人之二百六十二術曰置二人三日所得錮銅斤兩銖通之作銖以二人三日相乘除之為一人一日之銖二十四而一還以一人一日所得兩銖通分内子復以一月三日乘一人積分所得復以銖分母三通之為法又以今錮銅斤兩通為銖以少半銖者三分之一以三通内一以六乘之為實實如法而一得人數不盡約之為分草曰置二人三日所得銅一斤九兩以十六通斤得二十五兩又以銖數二十四乘之入五銖得六百五以二人乘三日得六為法除得一百銖六分之五是一日所得之數以二十四除之一人所得四兩四銖六分銖之五却通分内子得六百五以一月三十日乘之得一萬八千一百五十又以通分母三因之得五萬四千四百五十為法置今錮銅以十六兩乘之内五兩得一十五萬八千二十一兩又以二十四銖乘之内四銖得二百七十九萬二千五百八銖又以通分母三因之内子一得一千一百三十七萬七千五百二十五又以法分母六因之得六千八百一十六萬五千一百五十為實以法除之得一千二百五十三人法與餘皆一百五十約之法得三百六十三餘得二百六十二合前問今有立方九十六尺欲為立圓 問徑幾何答曰一百一十六尺四萬三百六十九分尺之一萬一千九百六十八術曰立方再自乘又以十六乘之九而一所得開立方除之徑得圓徑草曰置九十六再自乘得八十八萬四千七百三十六又以十六乘之得一千四百一十五萬五千七百七十六以九除之得一百五十七萬二千八百六十四以立方法除借一算子於下常超二位步至百而上商置一百下置一百萬於法之上名曰方法以法命上方一百除實一百萬方法三因之得三百萬又置一百萬於方法之下名曰廉法三因之方法一退廉法再退下法三退又置一十於上商一百之下又置一千於下法之上名曰隅法以方廉三法皆命上商一十除十畢又倍廉法三因之隅法皆從方法又置一百一十於方法之下三因之名曰廉法方法一退廉法再退隅法三退又置六於上商之下又置六於下法之上名曰隅法乃自乘得三十六又以六乘廉法得一千九百八十五方廉隅三法皆命上商六除之除實畢倍廉法三因隅法皆從方得一百一十六尺四萬三百六十九分尺之一萬一千九百六十八合前問今有立圓徑一百三十二尺 問為立方幾何答曰二百八尺三萬四千九百九十三分尺之三萬四千二十術曰令徑再自乘九之十六而一開立方除之得立方草曰置徑一百三十二尺再自乘得二百二十九萬九千九百六十八又以九因之得二千六十九萬九千七百一十二又以十六除之得一百二十九萬三千七百三十二以開立方法除之得合前問今有立方材三尺鋸為方枕一百二十五枚 問一枚為立方幾何答曰一枚方六寸術曰以材方寸數再自乘以枚數而一所得開立方除之得枕方草曰以三十寸再自相乘得二萬七千寸以枕一百二十五枚除之得二百一十六以開方除之置上六於上借一算子於下置六於下法之上以自乘得三十六名曰方法以方法命上商除之得六寸乃合前問今有亭一區五十人七日築訖今有三十人 問幾何日築訖答曰十一日三分日之二術曰以本人數乘築訖日數為實以今有人數為法實如法得一草曰置七以五十人乘之得三百五十以三十人為法除得十一日三分之二合前問今有負他錢轉利償之初去轉利得二倍還錢一百第二轉利得三倍還錢二百第三轉利得四倍還錢三百第四轉利得五倍還錢四百得畢凡轉利倍數皆通本錢今除初本有錢五千九百五十 問初本幾何答曰本錢一百五十術曰置初利還錢以三乘之併第二還錢又以四乘之併第三還錢又以五乘之併第四還錢訖併餘錢為實以四轉得利倍數相乘得一百二十減一餘為法實如法得一草曰置初還錢一百以三乘之得三百又併第二還錢得五百以四乘之得二千又併第三還錢得二千三百以五乘之得一萬一千五百又併第四還錢并今有錢得五千九百五十共得一萬七千八百五十以四轉利二三四五相乘得一百二十除一餘一百一十九為法除實得一百五十本合前問今有三人四日客作得麥五斛今有七人一月日客作問得麥幾何答曰八十七斛五㪷術曰以七人乘一月三十日又以五斛乘之為實以三人乘四日為法實如法而得一草曰以七人乘三十日得二百一十又五斛乘之得一千五十為實以三人乘四日得一十二為法除實得八十七斛五㪷即合前問今有人舉取他絹重作劵要過限一日息絹一尺二日息二尺如是息絹日多一尺今過限一百日 問息絹幾何答曰一百二十六疋一丈術曰併一百一日息以乘百日而半之即得草曰置一百一尺以一百日乘之得一萬一百尺半之得五千五十尺以疋法四十尺除之得一百二十六疋一丈合前問今有婦人於河上蕩杯津吏問曰杯何以多婦人答曰家中有客不知其數但二人共醬三人共羮四人共飯凡用杯六十五 問人幾何答曰六十人術曰列置共杯人數於右方又共置共杯數於左方以人數互乘杯數併以為法令人數相乘以乘杯數為實實如法得一草曰置人數二三四列於右行置一一一杯數左行以右中三乘左上一得三又以右下四乘之得一十二又以右上二乘左中一得二又以右下四乘之得八以右上二乘左下一得二又以右中三乘左下二得六三位併之得二十六為法又以二三四相乘得二十四以乘六十五杯得一千五百六十以二十六除之得六十人數合前問今有雞翁一直錢五雞母一直錢三雞雛三直錢一凡百錢買雞百隻 問雞翁母雛各幾何答曰雞翁四直錢二十雞母十八直錢五十四雞雛七十八直錢二十六又答雞翁八直錢四十雞母十一直錢三十三雞雛八十一直錢二十七又答雞翁十二直錢六十雞母四直錢十二雞雛八十四直錢二十八術曰雞翁每增四雞母每減七雞雛每益三即得(所以然者其多少互相通融於同價則無術可窮盡其理)此問若依上術推算難以通曉然較之諸本並同疑其從來脫漏闕文蓋流傳既久無可考證自漢唐以來雖甄鸞李淳風注釋未見詳辨今將算學教授并謝察微擬立術草剏新添入其術曰置錢一百在地以九為法除之(以九除之既雛三直)(錢一則是每雛直三分錢之一宜以雞翁母各三因併之得九)得雞母之數不盡者返減下法為雞翁之數别列雞都數一百隻在地減去雞翁母數餘即雞雛得合前問若雞翁每增四雞母每減七雞雛每益三或雞翁每減四雞母每增七雞雛每損三即各得又答之數草曰置錢一百文在地為實又置雞翁一雞母一各以雞雛三因之雞翁得三雞母得三并雞雛三併之共得九為法除實得一十一為雞母數不盡一返減下法九餘八為雞翁數别列雞都數一百隻在地減去雞翁八雞母一十一餘八十一為雞雛數置翁八以五因之得四十即雞翁直錢又置雞母一十一以三因之得三十三即雞母直又置雞雛八十一以三除之得二十七即雞雛直合前問又草曰置雞翁八增四得一十二雞母一十一減七得四雞雛八十一益三得八十四得百雞之數如前求之得百錢之數亦合前問又草曰置雞翁八減四得四雞母一十一增七得一十八雞雛八十一損三得七十八如前求之各得百雞百錢之數亦合前問張邱建算經卷下◆ 《緝古等經-唐-》（KR3f0040）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
緝古算經 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案緝古算經一卷唐王孝通撰其結銜稱通直郎太史丞其始末未詳惟唐書律厯志戊寅厯條下有武徳九年校厯人算厯博士臣王孝通題盖即其人也是書一名緝古算術唐書藝文志崇文總目俱稱李淳風注今案此本卷首實題孝通撰并注則唐志及總目為誤又宋志作一卷唐志鄭樵藝文畧俱作四卷王應麟玉海謂今亡其三案孝通原表稱二十術檢勘書内條目相同並無缺佚不知應麟何所據而云然也書中大㫖以九章商功篇有平地役功受袤之術其於上寛下狭前髙後卑闕而不論世人多不達其理因於平地明其法凡推朔夜半時月之所離者一術推仰觀臺及羡道高廣袤者一術推築堤授工上下廣及髙袤不同者一術推築龍尾堤者一術推穿河授工斜正袤上廣及深并漘上廣不同者一術推四郡輸粟窖上下廣袤餘郡别出人及窖深廣者一術推亭倉上下方髙者一術推芻甍圓囤者各一求推方倉圓窖對待者五術推勾股邊積亘求者六術共合二十術之數中間毎以人户道里大小逺近及材物之輕重工作之時日乗除進退叅伍以得其法頗不以深淺為次第故讀者或不能驟通而卒篇以後由源竟委端緒足尋洵為思極毫芒曲盡事理唐代明算立學習此書者以三年為限亦知其術之精妙非旦夕所克竟其義矣其書世罕流播此乃宋元豐七年秘書監趙彦若等校定刋行舊本常熟毛扆得之章邱李氏而影抄傳之者今詳加勘正其文間有脱闕不敢妄補謹撮取其義别加圖説附諸本文之左以便觀覽云乾隆四十六年十一月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 上緝古算經表
上緝古算經表
臣孝通言臣聞九疇載叙紀法著於彛倫六藝成功數術參於造化夫為君上者司牧黔首布神道而設教采能事而經綸盡性窮源莫重於筭昔周公制禮有九數之名竊尋九數即九章是也其理幽而㣲其形祕而約重句聊用測海寸木可以量天非宇宙之至精其孰能與於此者漢代張蒼删補殘缺校其條目頗與古術不同魏朝劉徽篤好斯言博綜纎隠更為之注徽思極毫芒觸類増長乃造重差之法列於終篇雖即未為司南然亦一時獨步自兹厥後不繼前蹤賀循徐岳之徒王彪甄鸞之輩㑹通之數無聞焉耳但舊經殘駮尚有闕漏自劉已下更不足言其祖暅之綴術時人稱之精妙曾不覺方邑進行之術全錯不通芻亭方亭之問於理未盡臣今更作新術於此附伸臣長自閭閻少小學算鐫磨愚鈍迄將皓首鑚尋祕奥曲盡無遺代乏知音終成寡和伏蒙聖朝收拾用臣為太史丞比年已來奉勅校勘傅仁均厯凡駮正術錯三十餘道即付太史施行伏尋九章商功篇有平地役功受袤之術至于上寛下狹前高後卑正經之内闕而不論致使今代之人不達深理就平正之門同欹邪之用斯乃圎孔方柄如何可安臣晝思夜想臨書浩歎恐一旦瞑目将來莫覩遂於平地之餘續狹斜之法凡二十術名曰緝古請訪能算之人考論得失如有排其一字臣欲謝以千金輕用陳聞伏深戰悚謹言
## 緝古筭經
欽定四庫全書緝古筭經唐 王孝通 撰假令天正十一月朔夜半日在斗十度七百分度之四百八十一章嵗為母朔月行定分九千朔日定小餘一萬日法二萬章嵗七百亦名行分也今不取加時度問天正朔夜半之時月在何處(推朔夜半月度舊術要須加時日度自古先儒雖復)(修撰改制意見甚衆竝未得筭妙有理不盡考校尤難臣毎日夜思量常以此理屈滯恐後代無人知者今奉)(勅造厯因即改制為此新術舊推日度之術已得朔夜半日度仍須更求加時日度然知月䖏臣今作新術但)(得朔夜半日度不須加時日度即知月處此新術比於舊術一年之中十二倍省功使學者易知)荅曰在斗四度七百分度之五百三十術曰(推朔夜半月度新術不復加時日度月蝕乃可用之)以章嵗减朔月行定分餘以乘朔日定小餘滿日法而一為先行分不盡者半法已上收成一已下者棄之若先行分滿日行分而一為度分以减朔日夜半日所在度分若度分不足减加往宿度其分不足减者退一度為行分而减之餘即朔日夜半月行所在度及分也(凡入厯當月行定分即是月一日之行分但此定分滿章嵗而一為度凡日一日行一度)(然則章嵗者即是日之一日行分也今按九章均輸篇有犬追兔術與此術相似彼問犬走一百步)(兔走七十步令兔先走七十五步犬始追之問幾何步追及荅曰二百五十步追及彼術曰以兔走)(减犬走餘者為法又以犬走乘兔先走為實實如法而一即得追及步數此術亦然何者假令月行)(定分九千章嵗七百即是日行七百分月行九千分令日月行數相减餘八千三百分者是日先行)(之數然月始追之必用一日而相及也令定小餘者亦是日月相及之日分假令定小餘一萬即相)(及定分此乃無對為數其日法者亦是相及之分此又同數為有八千三百是先行分也斯則異矣)(但用日法除之即四千一百五十即先行分故以夜半之時日在月前月在日後以日月相去之數)(四千一百五十减日行所在度分即月夜半所在度分也)假令太史造仰觀臺上廣袤少下廣袤多上下廣差二丈上下袤差四丈上廣袤差三丈髙多上廣一十一丈甲縣差一千四百一十八人乙縣差三千二百二十二人夏程人功常積七十五尺限五日役臺畢羡道從臺南面起上廣多下廣一丈二尺少袤一百四尺髙多袤四丈甲縣一十三鄉乙縣四十三鄉毎鄉别均賦常積六千三百尺限一日役羡道畢二縣差到人共造仰觀臺二縣鄉人共造羡道皆從先給甲縣以次與乙縣臺自下基給髙道自初登給袤問臺道廣髙袤及縣别給髙廣袤各幾何荅曰臺髙一十八丈上廣七丈下廣九丈上袤一十丈下袤一十四丈甲縣給髙四丈五尺上廣八丈五尺下廣九丈上袤一十三丈下袤一十四丈乙縣給髙一十三丈五尺上廣七丈下廣八丈五尺上袤一十丈下袤一十三丈羡道髙一十八丈上廣三丈六尺下廣二丈四尺袤一十四丈甲縣鄉人給髙九丈上廣三丈下廣二丈四尺上袤七丈下袤一十四丈乙縣鄉人給髙九丈上廣三丈六尺下廣三丈下袤七丈術曰以程功尺數乘二縣人又以限日乘之為臺積又以上下袤差乘上下廣差三而一為隅陽羃以乘截髙為隅陽截積羃又半上下廣差乘斬上袤為隅頭羃以乘截髙為隅頭截積所得并二積以减臺積餘為實以上下廣差并上下袤差半之為正數加截上袤以乘截髙所得増隅陽羃加隅頭羃為方法又并截髙及截上袤與正數為亷法從聞立方除之即得上廣各加差得臺下廣及上下袤髙求均給積尺受廣袤術曰以程功尺數乘乙縣人又以限日乘之為乙積三因之又以髙羃乘之以上下廣差乘袤差而一為實又以臺髙乘上廣廣差而一為上廣之髙又以臺髙乘上袤差而一為上袤之髙又以上廣之髙乘上袤之髙三之為方法又并兩髙三之二而一為㢘法從開立方除之即乙髙以减本髙餘即甲髙此是從下給臺甲髙又以廣差乘乙髙以本髙而一所得加上廣即甲上廣又以袤差乘乙髙如本髙而一所得加上袤即甲上袤其甲上廣袤即乙下廣袤臺上廣袤即乙上廣袤其後求廣袤有増損者皆放此(此應三因乙積)(臺髙冄乘上下廣差冄乘袤差而一又以臺髙乘上廣為上廣之髙又以臺髙乘上袤為上袤之髙)(為小羃二因下袤之髙為中羃一凡下袤下廣之髙即是截髙與上袤與上廣之髙相連并數然此)(有中羃定有小羃一又有上廣之髙乘截髙為羃之各一又下廣之髙乘下袤之髙為大羃二乘上袤)(髙為中羃一其大羃之中又小羃一復有上廣上袤之髙為中羃各乘截髙為中羃各一又截髙自)(乘為羃一其中羃之内有小羃一又上袤之髙乘截髙為羃一然則截髙自相乘為羃二小羃六又)(上廣上袤之髙各三以乘截髙為羃六令皆半之故以三乘小羃又上廣上袤之髙各三令但半之)(各得一又二分之一故三之二而一諸羃截為積尺)求羡道廣袤髙術曰以均賦常積乘二縣五十六鄉又六因為積又以道上廣多下廣數加上廣少袤為下廣少袤又以髙多袤加下廣少袤為下廣少髙以乘下廣少袤為隅陽羃又以下廣少上廣乘之為鼈隅以减積餘三而一為實并下廣少袤與下廣少高以下廣少上廣乘之為鼈從横亷羃三而一加隅羃為方法又以三除上廣多下廣以下廣少袤下廣少高加之為亷法從開立方除之即下廣加廣差即上廣加袤多上廣於上廣即袤加廣多袤即道髙求羡道均給積尺甲縣受廣袤術曰以均賦常積乘甲縣一十三鄉又六因為積以袤再乘之以道上下廣差乘臺髙為法而一為實又三因下廣以袤乘之如上下廣差而一為都亷從開立方除之即甲袤以廣差乘甲袤本袤而一以下廣加之即甲上廣又以臺髙乘甲袤本袤除之即甲髙假令築隄西頭上下廣差六丈八尺二寸東頭上下廣差六尺二寸東頭髙少於西頭髙三丈一尺上廣多東頭髙四尺九寸正袤多於東頭髙四百七十六尺九寸甲縣六千七百二十四人乙縣一萬六千六百七十七人丙縣一萬九千四百四十八人丁縣一萬二千七百八十一人四縣毎人一日穿土九石九斗二升毎人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六穿方一尺得土八斗古人負土二斗四升八合平道行一百九十二步一日六十二到今隔山渡水取土其平道只有一十一步山斜髙三十步水寛一十二步上山三當四下山六當五水行一當二平道踟蹰十加一載輸一十四步减計一人作功為均積四縣共造一日役畢今從東頭與甲其次與乙丙丁問給斜正袤與髙及下廣并每人一日自穿運築程功及隄上下髙廣各幾何荅曰一人一日自穿運築程功四尺九寸二分西頭髙三丈四尺一寸上廣八尺下廣七丈六尺二寸東頭髙三尺一寸上廣八尺下廣一丈四尺二寸正袤四十八丈斜袤四十八丈一尺甲縣正袤一十九丈二尺斜袤一十九丈二尺四寸下廣三丈九尺髙一丈五尺五寸乙縣正袤一十四丈四尺斜袤一十四丈四尺三寸下廣五丈七尺六寸髙二丈四尺八寸丙縣正袤九丈六尺斜袤九丈六尺二寸下廣七尺髙三丈一尺丁縣正袤四丈八尺斜袤四丈八尺一寸下廣七丈六尺二寸髙三丈四尺一寸求人到程功運築積尺術曰置上山四十步下山二十五步渡水二十四步平道一十一步踟蹰之間十加一載輸一十四步一返計一百二十四步以古人負土二斗四升八合平道行一百九十二步以乘一日六十二到為實却以一返步為法除得自運土到數也又以一到負土數乘之却以穿方一尺土數除之得一人一日運功積又以一人穿土九石九斗二升以穿方一尺土數除之為法除之得穿用人數復置運功積以毎人一日常積除之得築用人數併之得六人共成二十九尺七寸六分以六人除之即一人程功也求隄上下廣及髙袤術曰一人一日程功乘總人為隄積以髙差乘下廣差六而一為鼈羃又以髙差小頭廣差二而一為大臥壍頭羃又半髙差乘上廣多東頭髙之數為小卧壍頭羃并三羃為大小壍鼈率乘正袤多小髙之數以减隄積餘為實又置半髙差及半小頭廣差與上廣多小頭髙之數并三差以乘正袤多小頭髙之數以加率為方法又并正袤多小頭并上廣多小髙及半髙差而増之兼半小頭廣差加之為亷法從開方立除之即小髙加差即各得廣袤髙又正袤自乘髙差自乘并而開方除之即斜袤求甲縣髙廣正斜袤術曰以程功乘甲縣人以六因取積又乘袤羃以下廣差乘髙差以法除之為實又并小頭上下廣以乘小髙三因之為垣頭羃又乘袤羃如法而一為垣方又三因小頭下廣以乘正袤以廣差除之為都亷從開立方除之得小頭即甲袤又以下廣差乘之所得以正袤除之所得加東頭下廣即甲廣又以両頭髙差乘甲袤以正袤除之以加東頭髙即甲髙又以甲袤自乘以隄東頭髙减甲髙餘自乘并二位以開方除之即得斜袤求髙廣以本袤及髙廣差求之若求乙丙丁各以本縣人功積尺毎以前大髙廣為後小髙廣凡亷母自乘為方母亷母乘方母為實母(此平隄在)(上羡除在下兩髙之差即除髙其餘両邊各一鼈腝中一壍堵今以袤再乘積廣差乘袤差而一得)(截鼈腝袤再乘為立方一又壍堵袤自乘為羃三又三因小頭下廣大袤乘之廣差而一與羃為髙)(故為亷法又并小頭上下廣又三之意同六除然此頭羃本乘截袤又袤乘之差相乘而一今還依)(數乘除一頭羃為從得截袤為廣)求隄都積術曰置西頭髙倍之加東頭髙又并西頭上下廣半而乘之又置東頭髙倍之加西頭髙又并東頭上下廣半而乘之并二位積以正袤乘之六而一得隄積也假令築龍尾隄其隄從頭髙上闊以次低狹至尾上廣多下廣少隄頭上下廣差六尺下廣少髙一丈二尺少袤四丈八尺甲縣二千三百七十五人乙縣二千三百七十八人丙縣五千二百四十七人各人程功常積一尺九寸八分一日役畢三縣共築今從隄尾與甲縣以次與乙丙問龍尾隄從頭至尾髙袤廣及各縣别給髙袤廣各多少荅曰髙三丈上廣二丈四尺下廣一丈八尺袤六丈六尺甲縣髙一丈五尺袤三丈三尺上廣二丈一尺乙縣髙二丈一尺袤一丈三尺二寸上廣二丈二尺二寸丙縣髙三丈袤一丈九尺八寸上廣二丈四尺求龍尾隄廣袤髙術曰以程功乘總人為隄積又六因之為虚積以少髙乘少袤為隅羃以少上廣乘之為鼈隅羃以减虚積餘三約之所得為實并少髙袤以少上廣乘之為鼈從横亷羃三而一加隅羃為方法又三除少上廣以少袤少髙加之為亷法從開立方除之得下廣加差即髙廣袤求逐縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘當縣人為積尺各六因積尺又乘袤羃廣差乘髙為法除之為實又三因末廣以袤乘之廣差而一為都亷從開立方除之即甲袤以本髙乘之以本袤除之即甲髙又以廣差乘甲袤以本袤除之所得加末廣即甲上廣其甲上廣即乙末廣其甲髙即垣髙求都亷如前又并甲上下廣三之乘甲髙以乘袤羃以法除之得垣方從開立方除之即乙袤餘放此(此龍尾猶羡除也其壍堵一鼈腝一并而相連今以袤再乘積廣差乘髙而一所得截鼈腝袤)(再自乘為立方一又各一鼈腝截袤再自乘為立方一又壍堵袤自乘為羃三又三因末廣以袤乘)(之廣差而一與羃為髙故為亷法)假令穿河袤一里二百七十六步下廣六步一尺二寸北頭深一丈八尺六寸上廣十二步二尺四寸南頭深二百四十一尺八寸上廣八十六步四尺八寸運土於河西岸造漘北頭髙二百二十三尺二寸南頭無髙下廣四百六尺七寸五氂袤與河同甲郡二萬二千三百二十人乙郡六萬八千七十六人丙郡五萬九千九百八十五人丁郡三萬七千九百四十四人自穿負築各人程功常積三尺七寸二分限九十六日役河漘俱了四郡分共造漘其河自北頭先給甲郡以次與乙合均賦積尺問逐郡各給斜正袤上廣及深并漘上廣各多少荅曰漘上廣五丈八尺二寸一分甲郡正袤一百四十四丈斜袤一百四十四丈三尺上廣二十六丈四寸深一十一丈一尺六寸乙郡正袤一百一十五丈二尺斜袤一百一十五丈四尺四寸上廣四十丈九尺二寸深一十八丈六尺丙郡正袤五十七丈六尺斜袤五十七丈七尺二寸上廣四十八丈三尺六寸深二十二丈三尺二寸丁郡正袤二十八丈八尺六寸斜袤二十八丈八尺六寸上廣五十二丈八寸深二十四丈一尺八寸術曰如築隄術入之(覆隄為河彼注甚明髙深稍殊程功是同意可知也)以程功乘甲郡人又以隄日乘之四之三而一為積又六因以乘袤羃以上廣差乘深差為法除之為實又并小頭上下廣以乘小頭深三之為垣頭羃又乘袤羃以法除之為垣方三因小頭上廣以乘正袤以廣差除之為都亷從開立方除之即得小頭為甲袤求深廣以本袤及深廣差求之為法以両頭上廣差乘甲袤以本袤除之所得加小頭上廣即甲上廣以小頭深减南頭深餘以乘甲袤以本袤除之所得加小頭深即甲深又正袤自乘深差自乘并而開方除之即斜袤若求乙丙丁毎以前大深廣為後小深廣準甲求之即得求漘上廣術曰以程功乘總人又以限日乘之為積六因之為實以正袤除之又以髙除之所得以下廣减之餘又半之即漘上廣假令四郡輸粟斛法二尺五寸一人作功為均自上給甲以次與乙其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗丙郡輸粟二萬六千二百七十石四斗丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗四郡共穿窖上袤多於上廣一丈少於下袤三丈多於深六丈少於下廣一丈各計粟多少均出丁夫自穿負築冬程人功常積一十二尺一日役問窖上下廣袤深郡别出人及窖深廣各多少荅曰窖上廣八丈上袤九丈下廣一十丈下袤一十二丈深三丈甲郡八千七十二人深一十二尺下袤一十丈二尺廣八丈八尺乙郡七千二百七十二人深九尺下袤一十一丈一尺廣九丈四尺丙郡五千四百七十三人深六尺下袤一十一丈七尺廣九丈八尺丁郡二千九百三十三人深三尺下袤一十二丈廣一十丈求窖深廣袤術曰以斛法乘總粟為積尺又廣差乘袤差三而一為隅陽羃乃置壍上廣半廣差加之以乘壍上袤為隅陽羃及隅頭羃加之為方法又置壍上袤及壍上廣并之為大廣又并廣差及袤差半之以加大廣為亷法從開立方除之即深各加差即合所問求均給積尺受廣袤深術曰如築隄術入之以斛法乘甲郡輸粟為積尺又三因以深羃乘之以廣差乘袤差而一為實深乘上廣廣差而一為上廣之髙深乘上袤袤差而一為上袤之髙上廣之髙乘上袤之髙三之為方法又并兩髙三之二而一為亷法從開立方除之即甲深以袤差乘之以本深除之所得加上袤即甲下袤以廣差乘之本深除之所得加廣即甲下廣若求乙丙丁毎以前下廣袤為後上廣袤以次皆準此求之即得若求人數各以程功約當郡積尺假令亭倉上小下大上下方差六尺髙多上方九尺容粟一百八十七石二斗今已運出五十石四斗問倉上下方髙及餘粟深上方各多少荅曰上方三尺下方九尺髙一丈二尺餘粟深上方俱六尺求倉方髙術曰以斛法乘容粟為積尺又方差自乘三而一為隅陽羃以乘截髙以减積餘為實又方差乘截髙加隅陽羃為方法又置方差加截髙為亷法從開立方除之即上方加差即合所問求餘粟髙及上方術曰以斛法乘出粟三之以乘髙羃令方差羃而一為實(此是大小髙各自乘又相乘各乘取髙是大髙)(者即是取髙與小髙并)髙乘上方方差而一為小髙令自乘三之為方法三因小髙為亷法從開立方除之得取出髙以减本髙餘即殘粟髙置出粟髙又以方差乘之以本髙除之所得加上方即餘粟上方(此本)(術曰上下方相乘又各自乘并以髙乘之三而一今還元三之又髙羃乘之差羃而一得大小髙相)(乘又各自乘之數何者若髙乘下方方差而一得大髙也若髙乘上方方差而一得小髙也然則斯)(本下方自乘故湏髙自乘乘之差自乘而一即得大髙自乘之數小髙亦然凡大髙者即是取髙與)(小髙并相連今大髙自乘為大方大方之内即有取髙自乘羃一隅頭小髙自乘羃一又其兩邊各)(一以取髙乘小髙為羃二又大小髙相乘為中方中方之内即有小髙乘取髙羃一又小髙自乘即)(是小方之羃又一則小髙乘大髙又各自乘三等羃皆以乘取髙為立積故三因小羃為方及三小)(髙為亷也)假令芻甍上袤三丈下袤九丈廣六丈髙一十二丈有甲縣六百三十二人乙縣二百四十三人夏程人功當積三十六尺限八日役自穿築二縣共造今甲縣先到問自下給髙廣袤各多少荅曰髙四丈八尺上廣三丈六尺袤六丈六尺求甲縣均給積尺受廣袤術曰以程功乘乙縣人數又以限日乘之為積尺以六因之又髙羃乘之又袤差乘廣而一所得又半之為實髙乘上袤袤差而一為上袤之髙三因上袤之髙半之為亷法從開立方除之得乙髙以减甍髙餘即甲髙求廣袤依率求之(此乙積本倍下袤上袤從之以下廣及髙乘之六而一為一甍積今還元)(須六因之以髙羃乘之為實袤差乘廣而一得取髙自乘以乘二上袤之髙并大廣袤相連之數則)(三小髙為亷法各以取髙為方仍有取髙為立方者故半之為立方一又須半亷法)假令圓囤上小下大斛法二尺五寸以率徑一周三上下周差一丈二尺髙多上周一丈八尺容粟七百五斛六斗今已運出二百六十六石四斗問殘粟去口上下周髙各多少荅曰上周一丈八尺下周三丈髙三丈六尺去口一丈八尺粟周二丈四尺求圓囤上下周及髙術曰以斛法乘容粟又三十六乘之三而一為方亭之積又以周差自乘三而一為隅陽羃以乘截髙以减亭積餘為實又周差乘截髙加隅陽羃為方法又以周差加截髙為亷法從開立方除之得上周加差而合所問求粟去口術曰以斛法乘出斛三十六乘之以乘髙羃如周差羃而一為實髙乘上周周差而一為小髙令自乘三之為方法三因小髙為亷法從開立方除之即去口(三十六乘訖即是截方亭之前方窖不别)置去口以周差乘之以本髙除之所得加上周即粟周假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升欲作方倉一圓窖一盛各滿中而粟適盡令髙深等使方面少於圓徑九寸多於髙二丈九尺八寸率徑七周二十二問方徑深多少荅曰倉方四丈五尺三寸(容粟一萬二千七百二十二斛九斗五升八合)窖徑四丈六尺二寸(容粟一萬三百九十七石七斗七升二合)髙與深各一丈五尺五寸求方徑髙深術曰十四乘斛法以乘粟數二十五而一為實又倍多加少以乘少數又十一乘之二十五而一多自乘加之為方法又倍少數十一乘之二十五而一又倍多加之為亷法從開立方除之即髙深各加差即方徑(一十四乘斛法以乘粟為積尺前一十四除今)(還元一十四乘為徑自乘者是一十一方自乘者是一十四故并之為二十五凡此方圓二徑長短)(不同二徑各自乘為方大小各别然則此壍方二丈九尺八寸壍徑三丈七寸皆成立方此應壍方)(自乘一十四乘之壍徑一十一乘之二十五而一為隅羃即方法也但二隅皆以壍數為方面今此)(術就省倍小隅方加差為短以差乘之為短羃一十一乘之二十五而一又小隅方自乘之數即是)(方圎之隅同有此此數若二十五乘之還湏二十五除直以小隅方自乘加之故不復乘除又湏倍)(二亷之差一十一乘之二十五而一倍二亷加之故為亷法不復二十五乘除之也)還元術曰倉方自乘以髙乘之為實圓徑自乘以深乘之一十一乘一十四而一為實皆以斛法除之即得容粟(斛法二尺五寸)假令有粟一萬六千三百四十八石八斗欲作方倉四圓窖三令髙深等方面少於圓徑一丈多於髙五尺斛法二尺五寸率徑七周二十二問方髙徑多少荅曰方一丈八尺髙深一丈三尺圓徑二丈八尺術曰以一十四乘斛法以乘粟數如八十九而一為實倍多加少以乘少數三十三乘之八十九而一多自乘加之為方法又倍少數以三十三乘之八十九而一倍多加之為亷法從開立方除之即髙深各加差即方徑(一十四乘斛法以乘粟為徑自乘及方自乘數與前同今)(方倉四即四因十四圓窖三即三因十一并之為八十九而一此壍徑一丈五尺壍方五尺以髙為)(立方自外意同前)假令有粟三千七十二石欲作方倉一圓窖一令徑與方等方多於窖深二尺少於倉髙三尺盛各滿中而粟適盡(圓率斛法竝與前同)問方徑髙深各多少荅曰方徑各一丈六尺髙一丈九尺深一丈四尺術曰三十五乘粟二十五而一為率多自乘以并多少乘之以乘一十四如二十五而一所得以减率餘為實并多少以乘多倍之乘一十四如二十五而一多自乘加之為方法又并多少以乘一十四如二十五而一加多加之為㢘法從開立方除之即窖深各加差即方徑髙(截髙五尺壍徑及方二尺以深為立方十)(四乘斛法故三十五乘粟多自乘并多少乘之為截髙隅積减率餘即二方亷各二尺長五尺自外)(意㫖皆與前同)假令有粟五千一百四十五石欲作方窖圓窖各一令口小底大方面於圓徑等兩深亦同其深少於下方七尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡(圓率斛法竝與前同)問方徑深各多少荅曰上方徑各七尺下方徑各二丈八寸深各二丈一尺術曰以四十二乘斛法以乘粟七十五而一為方亭積令方差自乘三而一為隅陽羃以截多乘之减積餘為實以多乘差加羃為方法多加差為亷法從開立方除之即上方加差即合所問(凡方亭上下方)(相乘又命自乘并以乘髙為虚命三而一為方亭積若圓亭上下徑相乘又各自乘并以乘髙為虚)(又十一乘之四十二而一為圓亭積今方圓二積并在一處故以四十二復乘之即得圓虚十一方)(虚十四凡二十五而一得一虚之積又三除虚積為方亭實乃依方髙覆問法見上下方差及髙差)(與積求上下方髙術入之故三乘二十五而一)假令有粟二萬六千三百四十二石四斗欲作方窖六圓窖四令口小底大方面與圓徑等其深亦同令深少於下方七尺多於上方一丈四尺盛各滿中而粟適盡(圓率斛法並與前同)問上下方深數各多少荅曰方窖上方七尺下方二丈八尺深二丈一尺圓窖上下方深與方窖同術曰以四十二乘斛法以乘粟三百八十四而一為方亭積尺令方差自乘三而一為隅陽羃以截多乘之以减積餘為實以多乘差加羃為方法又以多加差為亷法從開立方除之即上方加差即合所問(今以四十二乘圓虚十一者四方虚十四者六合一百二十八虚除之為一虚之積)(得者仍三而一為方亭實積乃依方亭見差覆問求之故三乘一百二十八除之)假令有句股相乘羃七百六五十分之一弦多於句三十六十分之九問三事各多少荅曰句十四二十分之七股四十九五分之一弦五十一四分之一術曰羃自乘倍多數而一為實半多數為㢘法從開立方除之即句以弦多句加之即弦以句除羃即股(句股相乘羃自乘與句羃乘股羃積等故以倍句弦差而一得一句與半差之共乘句羃)(為方故半差為亷從開立方除之三按此術原本不全今依句股義擬補十 字)假令有句股相乘羃四千三十六五分之○股少於弦六五分之一問弦多少(按此問原本缺二字今依文補一股字其股字上之○係所設)(分數未便懸擬今姑闕之)荅曰弦一百一十四十分之七術曰羃自乘倍少數而一為實半少為亷法從開立方除之即股加差即弦假令有句弦相乘羃一千三百三十七二十分之一弦多股一十分之一問股多少荅曰九十二五分之二術曰羃自乘倍多而一為立羃又多再 乘半之减立羃餘為實又多数自乘 為方法又置多數五之二而一為亷 開立方除之即股(句弦相乘)(羃自股與半羃乘弦羃之得一 差) (為方令股弦差而一 多再自乘半)(之為隅) (倍之為横虚二立㢘 從隅)(故五多為上廣即二多術原本不全今加案於法 之二而一○案此 後)(并别立一術繪圖加説以補其闕)案此術脱簡既多法亦煩擾冝云羃自乘多數而一所得四之為實多為亷法從立方開之得減差半之即股(羃自乘與勾羃弦羃相乘積等令勾羃變為股弦併乘股弦差故差)(而一所得乃股弦併乘弦羃)如圗之甲乙丙丁戊戊巳為股弦併乘弦羃(甲巳與丙丁䓁為股弦併庚丁戊巳)(為弦羃)即差而一所得四之成甲乙丙辛壬癸子丑立方實其庚壬癸子為四弦羃甲乙寅夘辰午未形為股弦併再自乘實故丑未或寅辛類皆股弦差為亷實之從開得甲己類股弦併减差半之得股矣假令有股弦相乘羃三句少於弦五十荅曰六術曰羃自乘再自乘半之以矣乘倍之為方法亷法從開立方羃即股假令有股弦相乘羃七問股多少荅曰股二十術曰羃自除之所得(數亦是股為長以股)(得股羃又開股北分母常)假令有股十六二分十四二十五分荅曰術曰羃自乘除之所得又開方緝古算經
## 跋
緝古算經䟦
按唐書選舉志制科之目明算居一其定制云凡算學孫子五曹共限一嵗九章海島共三嵗張邱建夏侯陽各一嵗周髀五經算共一嵗綴術四嵗緝古三嵗記遺三等數皆兼習之竊惟數學為六藝之一唐以取士共十經周髀家塾曾刋行之餘則世有不能舉其名者扆半生求之從太倉王氏得孫子五曹張邱建夏侯陽四種從章邱李氏得周髀緝古二種後從黄俞邰又得九章皆元豐七年秘書省刋板字畫端楷雕鏤精工真世之寳也每卷後有秘書省官銜姓名一幅又一幅宰輔大臣自司馬相公而下俱列名於後用見當時鄭重若此因求善書者刻畫影摹不爽毫末什襲而藏之但焉得海島五經綴術三種竟成完璧并得好事者刋刻流布俾數學不絶於世所深願也康熙甲子仲秋汲古後人毛扆謹識◆ 《數學九章-宋-》（KR3f0041）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
數學九章 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案數學九章十八卷宋秦九韶撰九韶始末未詳惟據原序自稱其籍曰魯郡然序題淳祐七年魯郡已久入於元九韶葢述其祖貫未詳實為何許人也是書分為九類一曰大衍以奇零求總數為九類之綱二曰天時以步氣朔晷影及五星伏見三曰田域以推方圓羃積四曰測望以推髙深廣逺五曰賦役以均租稅力役六曰錢榖以權輕重出入七曰營建以度土功八曰軍旅以定行陣九曰市易以治交易雖以九章為名而與古九章門目迥别葢古法設其術九韶則别其用耳宋代諸儒尚虚談而薄實用數雖聖門六藝之一亦鄙之不言即有談數學者亦不過推演河洛之奇偶於人事無闗故樂屢争而不決厯亦每變而愈舛豈非算術不明惟憑臆斷之故歟數百年中惟沈括究心是事而自夢溪筆談以外未有成書九韶當宋末造獨崛起而明絶學其中如大衍類蓍卦發微欲以新術改周易揲蓍之法殊乖古義古厯㑹積題數既誤且謂設問以明大衍之理初不計前後多少之厯過尤非實據天時類綴術推星本非方程法而術曰方程復於草中多設一數以合方程行列更為牽合所載皆平氣平朔凡晷影長短五星遲疾皆設數加減不過得其大㮣較今之定氣定朔用三角形推算者亦為未密然自秦漢以來成法相傳未有言其立法之意者惟此書大衍術中所載立天元一法能舉立法之意而言之其用雖僅一端而以零數推總數足以盡奇偶和較之變至為精妙苟得其意而用之凡諸法所不能得者皆隨所用而無不通後元郭守敬用之於弧矢李冶用之於勾股方圓歐邏巴新法易其名曰借根方用之於九章八線其源實開自九韶亦可云有功於算術者矣至於田域測望賦役錢榖營建軍旅市易七類皆擴充古法取事命題雖條目紛紜曲折往復不免瑕瑜互見而其精確者居多今即永樂大典所載於其誤者正之疎者辨之顛倒者次序之各加案語於下庶得失不掩俾算家有所稽考焉乾隆四十九年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 序
數學九章序
周教六藝數實成之學士大夫所從事尚矣其用本太虛生一而周流無窮大可以通神明順性命小足以經世務類萬物距容以淺近窺哉若昔推䇿以迎日定律而和氣髀距濬川土圭度咎天地之大囿焉而不能外况其間總總者乎爰自河圖洛書闓發幽祕八卦九疇錯綜精㣲極而至於大衍皇極之用而人事之變無不該鬼神之情莫能隱矣聖人神之言而遺其粗常人昧之由而莫之覺要其歸則數與道非二本也漢去古未逺有張蒼許商馬延年耿夀昌鄭𤣥張衡劉洪之倫或明天道而法傳於後或計功䇿而效驗於時後世學者自高鄙不之講此學殆絕惟治厯疇人能為乘除而弗通於開方衍變若官府會事則府史一二絫之算家位置素所不識上之人亦委而聽焉持算者惟若人則鄙之也宜矣嗚呼樂有制氏僅記鏗鏘而謂與天地同和者止於是可乎今數術之書尚三十餘家天象厯度謂之綴術太乙壬甲謂之三式皆曰内算言其祕也九章所載及周官九數擊於方圓者為專術皆曰外算對内而言也其用相通不可岐二獨大衍法不載九章未有能推之者厯家演法頗用之以為方程者誤也且天下之事多矣古之人先事而計計定而行仰觀俯察人謀鬼謀無所不用其謹是以不愆於成載籍章章可覆也後世興事造始鮮能考度〔？〕〔？〕乎天紀人事之殽缺矣可不求其故哉九韶愚陋不閑於藝然早嵗侍親中都因得訪習於太史又嘗從隱君子受數學時際兵難歴嵗遥塞不自意全於矢石之間更險離憂荏苒十禩心槁氣落信知失物莫不有數也乃肆意其間旁諏方能探索杳𦕈粗若有得焉所謂通神明順性命固膚末於見若其小者竊嘗設為問荅以擬於用積多而惜其棄因取八十一題釐為九類立術具草間以圖發之恐或可備博學多識君子之餘觀曲藝可遂也願進之於道儻曰藝成而下是惟疇人府史流也烏足盡天下之用亦無瞢焉時淳祐七年九月魯郡秦九韶叙且系之曰昆崙旁薄道本虚一聖有大衍㣲寓於易竒餘取䇿郡數皆捐衍而䆒之探隱之原數術之傳以實為體其書九章惟兹弗紀厯家雖用用而不知小試經世姑推所為述大衍第一 七精迴穹人事之紀追綴而求宵星畫晷厯乆則踈惟智能革不尋天道模襲何益三農務穯厥施自天以滋以生雨膏雪零司牧閔馬尺寸驗之積以噐移憂喜皆非述天時第二 魁隗粒民甄度四海蒼姫井之仁政攸在代逺庶蕃懇菑日廣步度庀賦版圖是掌方圓異狀袤窳殊形專術精㣲熟䆒厥真差之毫釐謬乃千里公私共弊蓋謹其籍述田域第三莫高匪山莫濬匪川神禹奠之積矩攸傳智創巧述重差夕桀求之既詳揆之岡越崇深廣逺度則靡容形格勢禁㓂壘仇墉欲知其數先望以表因差施術坐悉㣲𣺌述測望第四 邦國之賦以待百事畦田經入取之有度未免力役先商厥功以衰以率逸乃同漢猶近古租稅以算調均錢榖何菑之扞惟仁隱民猶已溺饑賦役不均寜得勿思述賦役第五 物等歛賦式時府庾粒粟寸絲褐夫紅女商征邊糴後世多端立縁為欺上下俱殫我聞理財如智治水澄原濬流惟其深矣彼昧弗察慘急煩刑去理益逺吁嗟不仁述錢榖第六 斯城斯池乃棟乃宇宅坐寄命以保以聚鳩功雉制竹箇本章匪䆒匪度財蠧力傷圍蔡而裁如子西素匠計露臺俾漢文懼惟武圖功惟儉昭德有國有家兹焉取則述營建第七 天生五材兵去未可不教而戰維上之過堂堂之陣鵝鸛為行營應規矩其將莫當師中之吉惟智仁勇夜算軍書先計攸重我聞在昔輕則寡謀殄民以幸亦孔之憂述軍旅第八 日中而市萬民所資賈貿墆鬻利析銖錙蹛財役貧封君低首豕末兼并非國之厚述市易第九
## 卷一上
欽定四庫全書
數學九章卷一上 宋 秦九韶 撰大衍按大衍術以各分數之竒零求各分數之總數大而天行小而物數皆可御之其法有求元求定求術求竒求乘求用之目大約以數之竒偶為根而以諸數相度之盡不盡為用有求彼此不能度盡之諸數者元數定數是也有求諸數皆能度盡之一數者衍母數是也有求諸數皆能度盡而一數不能度盡之數者各衍數是也其不盡之數即竒數也有求二數相度餘一之數者乘數是也有求二數相度餘一而諸數又能度盡之數者用數是也求元數定數初與約分法相似終變二數務使其等數為一蓋以一為等數始能度盡二數是他數俱不能度盡二數而二數相度益不能盡也以定數竒數求乘數之法名曰大衍求一中有立天元一於左上之語下載立天元一算式按立天元一法見於元郭守敬之厯源李冶之測圓海鏡及四海之借根方者皆虛設所求之數為一與所有實數反覆推求歸於少廣諸乘方得其積數與邊數或正負亷隅數而止次用除法或開方法得所求數此數命定數為一與竒數反覆商較至餘一實數而止其竒數所積即為乘數蓋其用不同而法則無二也然其極和較之用窮竒偶之情則有為元法西法所未及者但原本法解煩雜圖式譌舛今詳加改定並釋其義俾學者易見焉大衍數術大衍總數術曰置諸問數(類名有四)一曰元數(謂尾位見單零者本門揲)(蓍酒息斛糶砌甎失米之類是也)二曰牧數(謂尾位見分釐者假令冬至三百六十五日二十五)(刻欲與甲子六十日為一會而求積日之類)三曰通數(謂諸數各有分子母者本門問一會積年)(是也)四曰復數(謂尾位見十或百及千以上者本門築隄并急足之類是也)按此言問題有是四類元數者先以兩連環求等約竒弗約偶(或約得五而彼有十乃約偶而)(弗約竒)或元數俱偶約畢可存一位見偶或皆約而猶有類數存姑置之俟與其他約徧而後乃與姑置者求等約之或諸數皆不可盡類則以諸元數命曰復(按復應作定)數以復(按同上)數格入之按此以元數求定數法也連環求等者於諸數中逐次取二數相度得一數可以度盡者為等數為法只約一數約竒弗約偶專為等數為偶者言之若等數為竒者則約偶弗約竒而等數為五與十者又有或約竒或約偶者矣皆約而猶有類俟約徧求等約之者逐條兩兩取約畢猶有二數可約者求得等數為續等(見後)續等約一數必復乘一數蓋等數為二數之較(或二數展轉之)(較)可約續等乃已約之較不可冄約不可約而兩數又不可使有等故約一數乘一數猶之不約也術内未詳收數者乃命尾位分釐作單零以進所問之數定位訖用元數格入之或如意立數為母收進分厘以從所問用通數格入之按收數者單位下有竒零之數也進位者以竒零之末位為單位也若立分母通之反不如用原數為簡通數者置問數通分内子互乘之皆曰通數求總等不約一位約衆位得各原法數用元數格入之或諸母數繁就分從省通之者皆不用元各母仍求總等存一位約衆位亦各得原法數亦用元法數格入之按通數與收數相似但單數有分母竒零為分子耳通分納子即進尾數為單位之義因加互乘一次故加總等一約然後為元數也又按求總等不拘通數復數但題中有三數可以一等數度盡者即可用總等法存一數約衆數然後為元數凡度之後等數仍可約者此數必當存之復數者問數尾位見十以上者以諸數求總等存一位約衆位始得元數兩兩連環求等約竒弗約偶復乘偶或約偶或約竒復乘竒(按此四語有誤應作約竒弗約偶復乘偶或約偶弗約竒弗乘)(竒然皆續等下用之此處可省)或彼此可約而猶有類數存者又相减以求續等以續等約彼則必復乘此乃得定數所有元數收數通數三格皆有復乘求定之理悉可入之按復數者諸問數皆至十或百或千而止也右各叚皆云以某格入之此又云三格悉可入之大約古算必有其程式也求定數勿使兩位見偶勿使見一太多見一多則借用繁不欲借則任得一按勿使兩位見偶者蓋衆數連乘中有兩偶數則所得總數以一偶數除之必仍得偶數不能求餘一之乘數也勿使見一太多見一多則借數繁者蓋見一多因數本如此且見一即不必推乃云勿使太多又云借數皆塗人之耳目也故曰不欲借則任得一以定相乘為衍母以各定約衍母得各衍數(或列各定數於右行)(各立天元一為子於左行以母互乘子亦得衍數)諸衍數各滿定母去之不滿曰竒以竒與定用大衍求一入之以求乘率(或竒得一即為乘率)按諸定數連乘為衍母即為諸定數皆能度盡之數亦為總數最大之限凡總數在限内者各定數之差皆不等若過限外則各定數之差有與限内相等者其兩總數之差必為衍母之倍數各衍母者即諸數度盡一數度不盡之數也竒數者定數度衍數不盡之數也定數原為彼此不能度盡之數衍數為他定數連乘之數以此一定數度之必不能盡也大衍求一數云置竒右上定居右下立天元一於左上先以右上除右下所得商數與左上一相生入左下然後乃以右行上下以少除多遞互除之所得商數隨即遞互累乘歸左行上下須使右上末後竒一而止乃驗左上所得以為乘率或竒數已見單一者便為乘率(按此)(二語重上)按此以定數竒數求乘數也其法必使以定數度竒數僅餘一數而竒數之倍數即乘數也置竒右上定右下者初次以定為實竒為法也立天元一於左上者以一為竒之倍數也得商數與左上相生入左下者以竒商定得商數即竒之倍數以乘天元一而書於下也隨以竒數與商數相乘以减定數為餘實次以竒為實减餘為法置前左下於左上以法約實得商乘左上又併前之左上為左下隨以法乘商减實又為餘實次又以前餘為實次餘為法置前左下於左上得商數乘左上又倂前左上為左下隨以法乘商减實如此展轉相求合兩次為一算至餘實一乃視左下天元數即乘數也若未至兩次餘實一者仍以一為法上餘數為實實二則商一實三則商二如上求之復得餘一其天元數方為乘數原文遞互乘除之語未詳置各乘率對乘衍數得泛用併泛課衍母多一者為正用或泛多衍母倍數者驗元數竒偶同者損其半倍(或三)(處同類以三約衍母於三處損之)同衍母者為無用當驗元數同類者而正用至多處借之以元數兩位求等以等約衍母為借數以借數損有以益其無為正用或數處無者如意立數為母約衍母所得以如意子乘之均借補之或欲從省勿借任之為空可也按此求各用數法也其各乘率乘各衍數得用數者即一數餘一諸數度盡之數也其云併泛用過衍母倍數驗元數同類損之此語似有誤當云驗問數同偶而用數相併過衍母者損之蓋取用皆問數非元數也凡偶數减偶仍餘偶减竒仍餘竒其數有定竒數减竒則餘偶又或餘竒减偶則餘竒又或餘偶其數無定故惟偶數可驗也定數一者即無用數必虛為借數未免徒滋煩擾然後以其餘各乘正用為各總併總滿衍母去之不滿為所求率數按此既得各用數以題中所問之竒零求總數也以各餘數乗各用數者蓋用數為諸數度盡一數餘一之數以幾數乘之必為諸數度盡一數餘幾數之數也併各條而以各數度之必各數仍餘幾數也餘數悉合則總數必合矣然衍母為諸數度盡之數累加一衍母衆餘數皆不變故滿衍母去之得在衍母内者其數最小為第一數若大於此數者遞加一衍母數無不合者按右大衍本法也原書入於蓍䇿發㣲題問荅之後殊失其序今修冠於卷首蓍卦發㣲問易曰大衍之數五十其用四十有九又曰分而為二以象兩卦一以象三揲之以四以象四時三變而成爻十有八變而成卦欲知所衍之術及其數各幾何按揲蓍之法載於易傳啓蒙言之甚明算術以竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法則過矣荅曰衍母十二衍法三一元衍數二十四二元衍數一十二三元衍數八四元衍數六 已上四位衍數計五十一楪用數一十二二楪用數二十四三楪用數四四揲用數九 已上四位用數四十九按此附會五十四十九之數與本衍已牽强不合觀後可知水 火 木 金 (始此四數以揲)隂陽象數圖老陽 少隂 少陽 老隂(終此四者為爻)按此條與數無取義可刪本題術曰置諸元數兩兩連環求等約竒弗約偶徧約畢乃變元數皆曰定母列右行各立天元一為子列左行以諸定母互乘左行之子各得名曰衍數次以各定母滿去衍數各餘名曰竒數以竒數與定母用大衍術求一(大衍求一術云以竒於右上定母於右下立天元一於左上先以右行上)(下兩位以少除多所得商數乃遞互乘歸左行使右上得一而止左上為乘率)得各乘率以乘衍數各得用數驗次所揲餘幾何以其餘數乘諸用數併之名曰總數滿衍母去之不滿為所求數以為實易以三才為衍法以法除實所得為象數如實有餘或一或二皆命作一同為象數其象數得一為老陽得二為少隂得三為少陽得四為老隂得老陽畫重爻得少隂畫拆爻得少陽畫單爻得老隂畫交爻凡六畫乃成卦按此即前大衍法末以三歸取爻象亦属附會草曰一二三四列右行立天元一列左行元數右行天元左行以右行一二三四互乘左行異子一弗乘對位本子各得衍數元數右行上 副 次 下衍數左行 併之得五十乃併左行衍數四位共計五十故易曰大衍之數五十算理不可以此五十為用葢分之為二則左右手之數竒偶不同見隂陽之伏數必須復求用數先名此曰衍數以為限率遂乃復以一二三四之元數求等數約定按前術以兩兩相連環求等約之先以一與二求等一與三求等一與四求等皆得一各約竒弗約偶數不變次以二與三求等亦得一約竒弗約偶數亦不變及以二與四求等乃得二此二只約副數二變為一而弗約四次以三與四求等亦得一約竒亦不變所得一一三四各為定數母列右行仍各立天元一為子列左行定母右行天行左行以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不對乘本子畢左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍數定母右行 以右定母滿去左衍數左行 衍衍餘各為竒數次以各母去衍數其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三則不滿便以三為左下竒數定母右行竒數左行凡竒數得一者便為乘率今左下衍是三乃與本母四用大衍求一術入之列衍竒三於右上定母於右下立天元一於左上空其左下(衍竒) (定母) (商)(天元)先以右上少數三除右下多數四得一為商以商一乘左上天元一只得一歸左下其右下餘一(商) (衍竒) (定母餘)○(天元) (歸數)次以右下少數一除右上多數三須使右上必竒一算乃止遂於右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定餘一除之右衍餘一(商) (衍竒餘) (定母餘)(天元) (歸數)次以商二與左下歸數相乘得二加入左上天元一内共得三今驗右上衍餘得一當止乃以左上三為乘率與前三者乘率各一與衍定圖衍數對列之通計三行定母衍數乘率以乘率對乘左行畢左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用數定母 衍母泛用次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母復推元用等數二約副母二為一今乃復歸之為二遂用衍母一十二益於左副一十二内共為二十四元數定用今驗用數圖右行之一二三四即是所揲之數左行一十二併二十四及四與九併之得四十九名曰用數用為蓍草數故易曰其用四十有九是也假今用蓍四十九信手分之為二則左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍數近大衍五十非四十九或五十一不可二數信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之數始有左副二十四内益十二就其三十七泛為用數但三十七無意義兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之數欲得一二三四岀於無餘必令揲者不得知故以四十九蓍分之為二只用左手之數假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃徑掛一故易曰分而為二以象兩掛一以象三次後又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故歸奇於㧅又令之以三三揲之其三十三必奇三故歸奇於㧅又令之以四四揲之又奇一亦歸奇於㧅與前掛一併三度揲通有四㧅乃得一一三一其掛一者乘用數圖左上用數一十二其二揲㧅一者乘左副用數二十四其三揲㧅三者乘左次用數四得一十二其四揲一者乘左下用數九用數左行三㧅謂之三變掛一得一十二㧅一得二十四㧅三得一十二又㧅一得九並為總數併此四總得五十七不問所握幾何乃滿衍母一十二去之得不滿者九(或使知其所握五十七亦滿衍母去之亦只得九數)以為實用三才衍法約之得三乃畫少陽單爻(或不滿得八得七為)(實皆命為三)他皆倣此 術意謂揲二楪三楪四者凡三度復以三十三從頭數揲之故曰三變而成爻既卦有六爻必有十八變故曰十有八變而成卦按此條强援蓍卦牽附衍數致本法反晦今以本法列於前則其弊自見矣古厯會積問古厯冬至以三百六十五日四分日之一朔䇿以二十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十日各為一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五日庚申冬至初九日甲子欲求古厯氣朔甲子一會積年積月積日及厯過未至年數各幾何按此題嵗實朔䇿皆古法用數淳祐丙午嵗合朔冬至干支乃宋開禧法所步題數已不相蒙即推算無誤亦未合况不能無誤耶荅曰一會積一萬八千二百四十年二十二萬五千六百月六百六十六萬二千一百六十日 厯過九千一百六十三年未至九千七十七年按荅數皆不合術曰同前置問數(有分者通之互乘之得通數)求總等不約一位約衆位各得元法連環求等約竒弗約偶各得定母(本題欲求一會不復乘偶)以定相乘為衍母定除母得衍數滿定去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍數得泛用數併諸泛以課衍母如泛内多倍數者損之乃驗元數竒偶同類處各損半倍(或三位同類者三約衍母損泛)各得正用然後推氣朔不及或所遇甲子日數乘正用加减之為總滿衍去之餘為所求厯過率實如紀元法而一為厯過以氣元法除衍母得一會積年以氣周日刻乘一會年得一會積日以朔元法除衍母得一會積月數按如紀元法而一以氣元法除衍母二語皆誤故得數不合皆當以氣分為法葢氣分即嵗實分也右本題問氣朔甲子相距日數係開禧厯推倒或甲子日在氣朔之間及非十一月前後者其總數必滿母贅去之所得厯過年數尾位雖倫首位必異今設問以明大衍之理初不計其前多後少之厯過按此數語葢因得數不合而自解之然算家終以得數為凖得數不合則無以取信於人矣草曰置問數冬至三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分内子互乘之列三等位具圖如後冬至得一千四百六十一朔實得二萬七千七百五十九甲子無母只是六十列三行互乘之具圖如後(氣通) (母) (總等不約紀分)以三行互乘右得一百三十七萬三千三百四十為氣分中得一十一萬一千三十六為朔分左得二十二萬五千六百為紀分先求總等得一十二(按十二乃朔分)(紀分所求等數亦可為氣分等數故為總等)乃存紀分一位不約只以等一十二約氣分得一十一萬四千四百四十五又約朔分得九千二百五十三皆為元法乃以連環求等次以紀元二十二萬五千六百與朔元九千二百五十三求等得一不約又以紀元與氣元一十一萬四千四百四十五求等得二百三十五只約氣元得四百八十七次以氣元四百八十七與朔元九千二百五十三求等得四百八十七只約朔元九千二百五十三得一十九約偏畢得四百八十七為氣定得一十九為氣定得二十二萬五千六百為紀定以三定相乘得二十億八千七百四十七萬六千八百為衍母具圖如後各以定數約衍母各得衍數氣得四百二十八萬六千四百朔得一億九百八十六萬七千二百紀得九千二百五十三寄左行各滿定數去之各得竒數氣竒得三百一十三朔竒得四紀竒得九千二百五十三各與定數用大衍求一各得乘數列右行對寄左行衍數具圖如後各以大數入之氣乘率得四百七十三朔乘率得五紀乘率得一十七萬二千七百一十七對左行衍數以右行乘率對乘左行衍數氣泛得二十億二千七百四十六萬七千二百朔泛得五億四千九百三十三萬六千紀泛得一十五億九千八百一十五萬四百一十具圖如後右列用數併之共得四十一億七千四百九十五萬三千六百一為泛用數與衍母二十億八千七百四十七萬六千八百驗之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母數當於各用内損去所多一倍按術驗法元圖内諸元數奇偶同類者各損其半今驗法元圖氣元尾數是五紀元尾數是六百為俱五同類乃以術母二十億八千七百四十七萬六千八百折半得一十億四千三百七十三萬八千四百以損泛用圖内氣泛紀泛畢其朔泛不損各得氣朔紀正用數其氣正用得九億八千三百七十二萬八千八百朔正用五億四千九百三十三萬六千紀正用五億五千四百四十一萬二千一列為正用圖在前既得正用數次驗問題十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子餘八日為朔不及次以初五亦减初九甲子餘四日為氣不及以二不及各乘正用得數具圖如後先以氣不及甲子四日以乘氣正用數九億八千三百七十二萬八千八百得三十九億三千四百九十一萬五千二百為氣總次以朔不及甲子八日數以乘其朔正用數五億五千九百三十三萬六千得四十三億九千四百六十八萬八千為朔總併之得八十三億二千九百六十萬三千二百為總數滿母二十億八千七百四十七萬六千八百去之不滿二十億六千七百一十七萬二千八百為所求率實具圖如後按求積嵗應以甲子距冬至前之日分乘紀用數為紀總以合朔距冬至前之日分乘朔用數為朔總併紀總朔總滿衍母去之以嵗實分除之即已過積年草内以冬至距甲子前之日分乘氣用數合朔距甲子前之日分乘朔用數併之乃求紀周法非求嵗周法也故不合置所得率實二十億六千七百一十七萬二千八百如法元圖紀元法二十二萬五千六百而一得九千一百六十三年為厯過年數次置衍母二十億八千七百四十七萬六千八百為實如法元圖氣元一十一萬四千四百四十五為法而一得一萬八千二百四十年為氣朔甲子一會積年内减厯過九千一百六十三年餘九千七十七年為未至年數次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘積一會年一萬八千二百四十得六百六十六萬二千一百六十日為一會積日又以術母為實如法元圖朔元法九千二百五十二而一得二十二萬五千六百月為一會積月合問按此紀元即紀分以紀分除率實乃紀周數非已過年數也求一會積年當以氣分為法以氣元為法亦誤此二數既誤餘數無是者矣然題已不合既法合數亦不能合也今改設一題於後以明其法焉設古法嵗實三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻問距前後甲子日子正初刻合朔冬至之年數各幾何荅曰距前八百七十六年距後六百四十四年法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子後三十九日為紀餘以日法(即氣分母朔分母相乘之數)三千七百六十分通之得十四萬六千六百四十為紀餘分以乘紀正用得紀總八十一兆二千九百八十九億七千五百八十二萬六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三與冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八萬一千八百一十六為朔餘分以乘朔正用得朔總四十四兆九千四百四十四億七千四百一十七萬六千併二總數滿衍母去之得率實十二億零三百零四萬五千八百四十為實以嵗實一百三十七萬三千三百四十為法除之得八百七十六年為距前氣朔甲子會積之年數又以衍母為實以嵗實分為法除之得一千五百二十年為前會積距後會積之年數减去距前會積之年數餘六百四十四年為距後會積之年數既得積年若欲還原求題中干支時刻則以前會之積年與嵗實相乘得三十一萬九千九百五十九為積日滿紀法六十去之餘三十九日自初日起甲子得冬至為癸夘日子正初刻又置積日以朔䇿日分九百四十通之為實以朔䇿通分納子為法除之得一萬零八百三十四為積朔餘二萬零四百五十四又為實以朔䇿日分九百四十為法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四約之為四百七十分日之三百五十七為距冬至前日數與甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三為距甲子後日數自初日起甲子得辛巳為平朔干支悉與題合推庫額錢問有外邑七庫日納息足錢適等遞年成貫整納近縁見錢稀少聽各庫照當處市陌凖解舊會其甲庫有零錢一十文丁庚二庫各零四文戊庫零六文餘庫無零錢甲庫所在市陌一十二文遞减一文至庚庫而止欲求諸庫日息原納足錢展省及今納舊會并大小月分各幾何按題意係七邑日納共錢同數以各邑市陌數計之或適足或有餘多寡不同甲陌十二則餘十乙陌十一丙陌十則無餘丁陌九則餘四戊陌八則餘六己陌七則無餘庚陌六則餘四以求共錢同數此本術也又問展省舊會按草中展省乃官省陌以七十七為一百所展日息共錢之數舊會乃以各陌數為一百所升日息共錢之數二者在本術中已贅且不明言展省舊會用數求法皆故為溟涬也荅曰諸庫納日息足錢二十貫九百五十文展省三十五貫文甲庫日息舊會二百二十四貫五百一十文(按應作五百文又六分文之五)大月舊會六千七百三十七貫五百文(按少二十五文)小月舊會六千五百一十二貫九百二文(按應作六千五百一十貫五百又六分文之一)乙庫日息舊會二百四十五貫文 大月舊會七千三百五十貫文 小月舊會七千五百貫文(按應作七千一百五貫)丙庫日息舊會二百六十九貫五百文 大月舊會八千八十五貫文 小月舊會七千八百一十五貫五百文丁庫日息舊會二百九十九貫四百四文(按應)(作四百四十四文又九分文之四)大月舊會八千九百八十三貫三百三文(按少三十文又三分文之一) 小月舊會八千六百八十三貫八百八文(按少八十文又九分文之)(八)戊庫日息舊會三百三十六貫八百六文(按應作七十五文) 大月舊會一萬一百六貫二百四文(按應作二百五十文) 小月舊會九千七百六十九貫三百六文(按應作七十五文)己庫日息舊會三百八十五貫文 大月舊會一萬一千五百五十貫文 小月舊會一萬一千一百六十貫文(按少五貫)庚庫日息舊會四百四十九貫一百四文(按應)(作一百六十六文又分三文之二) 大月舊會一萬三千四百七十五貫文 小月舊會一萬三千二十四貫八百二文(按應作二萬三千二十五貫一八百三十三文又三分文之)術曰以大衍求之置甲庫市陌以庫减庫减之各得諸庫原陌連環求等約竒弗約偶(按此特為等數為偶者言之若等數)(為竒者則約偶弗約竒)得定母諸定相乘為衍母以定約衍母得衍數衍數同衍母者去之為無(無者借之同類)其各滿定母去餘為竒數以竒定用大衍求乘率乘衍數為用數無者則以原數同類者求等約衍母得數為借數次置有零文庫零錢數乘本用數併為總數滿衍母去之不滿為諸庫日息足錢各大小月日數乘之各為實各以原陌約為舊會草曰置甲庫市陌一十二遞减一得一十一為乙庫陌十一為丙庫陌九為丁庫陌八為戊庫陌七為己庫陌六為庚庫陌得諸庫原陌甲 乙 丙 丁 戊 己 庚以連環求等約訖甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各為定母立各一為子按此法之要在於求定而術中獨畧之今詳其式於後法列七庫陌數於前先以甲與乙相約無等數與丙數相約得等數二(偶)約丙十得五(竒)與丁數相約得等數三(奇)約甲十二得四(偶)與戊數相約得等數四(偶)約甲四得一(奇)甲數既為一不能冄約即為與諸數徧約畢次以乙與下五數相約俱無等次以丙與下四數相約亦俱無等次以丁與戊己二數相約俱無等與庚數相約得等數三(奇)約庚六得二(偶)次以戊與己相約無等與庚相約得等數二(偶)約庚二得一(奇)庚既為一己亦不能與之相約乃為連環求等畢得定數為甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也後凡求定數倣此(定母)先以諸定相乘得二萬七千七百二十為衍母次以諸定互乘諸子甲得二萬七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二萬七千七百二十各為衍數定母右行次驗諸衍數有同衍母者皆去之為無衍數次各滿定母去各本衍各得奇數甲無乙得一丙得四丁得二戊得一己得五庚無各為竒數次驗有奇數者得一便以一為乘率或得二數以上者各以奇數於右上定母於右下立天元一於左上用大衍求一之數入之驗乘除至右上餘一而止皆以左上所得為乘率甲無乙得一丙得四丁得五戊得一己得四庚無各為乘率列右行以對寄左衍數以兩行對乘之為用數甲無乙得二千五百二十丙得二萬二千一百七十六丁得一萬五千四百戊得三千四百六十五巳得一萬一千八百八十庚無次推無用數者惟甲庚合於同類處借之其同類謂原陌列而視之今視甲一十二庚六皆與丙一十戊八俱偶為同類其戊用數三千四百六十五其數少不可借惟丙一十之用數係二萬二千一百七十六為最多當以借之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等數二約衍母二萬七千七百二十得一萬三千八百六十為借數乃减丙用二萬二千一百七十六餘八千三百一十六為丙用數乃以所借岀之數一萬三千八百六十為實以原等二為法除之得六千九百三十為甲用數以甲用數减借岀數餘亦得六千九百三十為庚用數今不欲甲庚之借數同乃驗得岀數一萬三千八百六十可用幾約如意乃立三取三分之一得四千六百二十為甲用取三分之二得九千二百四十為庚用列右行一 ○ ○ ○ (零數) 左行乃視諸庫有無零錢數驗得乙丙己三庫無先去其用數乃以甲子戊庚四庫零錢列左行對乘本用甲得四萬六千二百丁得六萬一千六百戊得二萬七百九十庚得三萬六千九百六十合為總併此四總得一十六萬五千五百五十滿衍母二萬七千七百二十去之不滿二萬六千九百五十為所求率以貫約為二十六貫九千五十文為諸庫日息等數以官省七十七陌展得三十五貫文(按官省陌以七十七)(為一百故二十六貫餘展為三十五貫)各以其庫陌紐計(按庫陌紐計即以各陌數)(為一百)各得舊會零錢各以三十日乘為大月息以日息减大月息餘為小月息合問分糶推原問有上農三人力田所收之米係用足斗均分各徃他處岀糶甲糶本郡官塲餘三斗二升乙糶與吉安鄉民餘七斗丙糶與平江攬戸餘三斗欲知共米及三人所分各糶石幾何荅曰共米七百三十八石 三人各分米二百四十六石甲糶官斛二百九十六石 乙糶安吉斛二百二十三石 丙糶平江斛一百八十二石術曰以大衍求之置官塲斛率安吉鄉斛率平江市斛率(官私共知者官斛八斗三升安吉鄉斛一斗一升平江市斛一石三斗五升)為原數求總等不約一位約衆位連環求等約竒不約偶或猶有類數存者有求等約彼為復乘此各等定母相乘為衍母互乘為衍數滿定去之得竒大衍求一得乘率乘衍數為用數以各餘米乘用併之為總滿衍母去之不滿為所分以原人數乘之為共米草曰置文思院官斛八十三升吉安州鄉一百一十升平江府市斛一百三十升各為其斛原率先以三率求總等得一不約(按此題只一數見十不必用復數求總等)次以連環求等其安吉率一百一十與平江率一百三十五求等得五以約平江率得二十七(按五為中數或約偶或約)(奇皆可但不約可以冄約者)餘皆求等得一不約各得原數以定相乘得二十四萬六千五百一十為衍母各以原率約之得二千九百七十為官斛衍數得二千二百四十一為安吉州衍數得九千一百三十為平江斛衍數官斛 安吉 平江 衍母次以定母滿法去衍數得不滿六十五為官斛奇不滿四十一為安吉奇不滿四為平江奇數定母奇數各以大衍入之求得乘數得二十三為官斛乘率得五十一為安吉乘率得七為平江乘率以乘率各乘寄左行衍數得六萬八千三百一十為官斛用數得一十一萬四千二百九十一為安吉用數得六萬三千九百一十為平江用數次以甲餘三十二升乘官斛用數六萬八千三百一十得二百一十八萬五千九百二十升於上次以乙餘七十升乘安吉用數一十一萬四千二百九十一得八百萬三百七十升於中次以丙餘三十升乘平江用數六萬三千九百一十得一百一十九萬七千三百於下各為總併之得一千二百一十萬三千五百九十升為總數滿衍母二十四萬六千五百一十升去之不滿二萬四千六百升為所求率展為二百四十六石為三人各分米以兄弟三人因之得七百三十八石為共米置分米二百四十六石各以官斛八斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升約之甲得二百九十六石餘三斗二升乙得二百二十三石餘七斗丙得一百八十二石餘三斗各為糶過及餘米合問數學九章卷一上
## 卷一下
欽定四庫全書
數學九章卷一下 宋 秦九韶 撰大衍積足尋原問欲砌基一叚見管大小方甎六門城甎四色令匠取便或平或側只用一色甎砌湏要適足匠以甎量地計料稱用大方料廣多六寸深少六寸(按即多七寸)用小方廣多二寸深少三寸(按即多八寸)用城甎長廣多三寸深少一寸(按即多一尺一寸)以闊深少一寸(按即多五寸)廣多三寸以厚廣多五分深多一寸用六門甎長廣三寸深多一寸以闊廣多三寸深多一寸用厚廣多一寸深多一寸皆不匼匝未免修破甎料禆補其四色甎大方方一尺三寸小方方一尺一寸城甎長一尺二寸闊六寸厚二寸五分六門長一尺闊五寸厚二寸欲知基深廣㡬何按題意謂以一尺三寸量基之廣未餘六寸以一尺一寸量之餘二寸以一尺二寸量之餘三寸以六寸量之亦餘三寸以二寸五分量之餘五分以一尺量之餘三寸以五寸量之亦餘三寸以二寸量之餘一寸以求廣也其求深之意亦同答曰深三丈七尺一寸 廣一丈二尺三寸術曰以大衍求之置甎方長闊厚為元數以小者為單起一先求總等存一位約衆位(列為多者隨意立號)乃為元數連環求等約為定母以定相乗為衍母各定約衍母得衍數滿定去之得竒竒定大衍得乗率以乗衍數得用數次置廣深多少數多者乘用少者減元數餘以乘用併為總滿衍母去之不滿得廣深草曰置四甎方長闊厚係八數城甎厚有分為小者皆通之為單大方得一百三十分小方得一百一十分城甎長得一百二十分闊得六十分厚得二十五分六門甎長得一百分闊得五十分厚得二十分錐行置之右列位稍多甎名相互今假八音為號位先以最少者自木二十與革二十五求等得五乃反約木二十為四木四與土五十求等得二以約五十為二十五木四與匏六十求等得四約六十為一十五木四與竹一百求等得四約一百為二十五木四與絲一百一十求等得二約一百一十為五十五木四與石一百二十求等得四反約木四為一以木一與金求等得一不約為木與諸數求等約訖為一變得數具圖如後次以革二十五與土五十(按前巳約土為二十五次變不應復用原數然於得)(數却無碍)求等得二十五約五十為二以革二十五與匏一十五求等得五約匏一十五為三以革二十五與竹二十五求等得二十五約竹二十五為一又以革二十五與絲五十五求等得五約絲五十五得一十一以革二十五與石一百二十求等得五約一百二十為二十四以革二十五與金一百三十求等得五約金一百三十得二十六革與諸數徧約訖為二變具圖如後乃以土二與匏三竹一絲一十一求等皆得一不約以土二與石二十四求等得二及約土二得一又不土一與金二十六求等得一不約土與諸數約訖為三變具圖如後乃以匏三與竹一絲十十一求等皆得一又以匏三與石二十四求等得三約石二十四為八又匏三與金二十六求等得一不約匏與諸數約訖以為四變次以竹一與絲一十一與石二十四(按巳約為八云二十四誤)與金二十六求等皆得一竹與諸數約訖為五變次以絲一十一與石二十四(按誤同上)與金二十六求等皆得一不約為六變復以石二(十)四(按誤同上)與金二十六求等得二約金二十六為一十三至此七變連環求等約俱畢得數為定母列圖如後右定母列右行以相乗得八萬五千八百為衍母以各定母約衍母各得衍數其竹木土定得一者為無金定一十三得衍數六千六百石定八得衍數一萬七百二十五絲定一十一得衍數七千八百竹定一無衍匏定三得衍數二萬八千六百土定一無衍數革定五五得衍數三千四百三十二木定一無衍數各滿定母去之得竒數金得竒九石得竒四絲得竒一匏得竒一草得竒七其絲匏得竒數一者便以一為乗率其金石革三處竒數皆與本定母用大衍求一入之各得乘率列右行金得三石得五絲得一革得一革得一十八各為乘率寄左行衍數各得為用數凡諸用數同類者類必多可互借以補無者先驗革元數二十五與木元數二十為同類求等得五以等五約衍母八萬五千八百得一萬七千一百六十乃於革用數内減出以補木位為木用餘四萬四千六百一十六為革用次驗竹元數一百與土五十為同類以求等得五十以等五十約衍母八萬五千八百得一千七百一十六亦於革用内各借與竹土為用數革止餘四萬一千一百八十四為用得諸定用數按無用數則此條可省借數轉生煩擾非法也其所以可用借補者蓋以同類之元數其較餘之竒偶必同故一數可分用也然惟元數同偶者為然同竒則有不可用者此題可用因題中餘數未過小元數也右行定用始列錐行假號求得今照甎色遷次列之旣照甎次序列用數於右行乃驗問題所謂大方甎砌廣多六寸小方多二寸城甎長多三寸城甎闊多三寸厚多五分六門長多三寸闊多三寸厚多一寸對本用列左行各對乘之具圖如後兩行乗畢金得一百一十八萬八千絲得一十五萬六千石得一百六十萬八千七百五十匏得八十五萬八千革得二十萬五千九百二十竹得五萬一十四百八十土亦得五萬一千四百八十木得一十七萬一千六百乃併前八位數共得四百二十九萬一千二百三十分為總滿衍母八萬五千八百去之不滿一千二百三十分約之為一丈二尺三寸為基元廣數 乃求其深驗問題大方砌少六寸小方砌少三寸城甎長砌少一寸闊砌少一寸厚砌多一寸六門長砌多一寸六門闊砌多一寸六門厚砌多一寸列為中行次置諸甎元數列為左行課減之具圖如後今以中行多者存之少者用減左行存者左行元數去之所減者左行餘數存之金得七十絲得八十石得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本一十具圖如後列為左行以對右行定用數具圖如後以左行多餘數對乘右行用數金得一百三十八萬六千絲得六十二萬四千石得五百八十九萬八千七百五十匏得一百四十三萬革得四十一萬一千八百四十竹得一萬七千一百六十土得一萬七千一百六十木得一十七萬一千六百具圖如後併八位得九百九十五萬六千五百一十分為總滿衍母八萬五千八百去之不滿三千七百一十分展為三丈七尺一寸為基地深推計土功問築堤起四縣夫分給里歩皆同齊闊二丈里法三百六十歩歩法五尺八寸人夫以物力差定甲縣物力一十三萬八千六百貫乙縣物力一十四萬六千三百貫丙縣物力一十九萬二千五百貫丁縣物力一十八萬四千八百貫每力七百七十貫科一名春程人功平方六十尺先到縣先給今甲乙二縣俱畢丙縣餘五十一丈丁縣餘一十八丈不及一日全功欲知堤長及四縣夫所築各㡬何按題意以四縣修堤總長相同毎日所修之長不同以各每日所修之長計總長或適足或有餘以求總長也但不正言其數而設堤闊數各縣物力數一夫力數一夫平方數以取每日所修堤長數故令人不能驟觧答曰堤長一十九里二百三十五歩五尺 甲縣夫築一千二十六丈(乙丙丁同) 乙縣夫築一千七百六十八歩五尺六寸(甲丙丁同) 丙縣夫築四里三百二十八歩五尺六寸(甲乙丁同) 丁縣夫築(同前三縣數)按四縣所築堤長等則丈數歩數里數皆同今以三数分載三縣下而復註以與某縣同殊混人目術曰置各縣力以程功程為實以力率乗堤齊闊為法除之得各縣日築復數(有分者通之互乗之得通數)求總等不約一位約衆位曰元數連環求等約竒得定母陸續求衍數竒數乗率用數以丙丁縣不及數乘本用併為總數以定母相乘為衍母滿母去總數得各縣分給里歩積尺數以縣數因之為堤長各以里法歩法約之為里歩草曰置甲縣力一十三萬八千六百貫乙縣力一十四萬六千三百貫丙縣力一十九萬二千五百貫丁縣力一十八萬四千八百貫以程功六十尺徧乗之皆以貫黙(按貫黙乃以一貫千文為法之名與前官陌市陌名相似)約之甲得八百三十一萬六千尺乙得八百七十七萬八千尺丙得一千一百五十五萬尺丁得一千一百八萬八千尺各為實次以力率七百七十貫乗堤齊闊二十尺亦以貫黙約之得一萬五千四百尺為法徧除諸各實甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各為四縣衆夫每日築長率按大衍術命曰復數列右行以復數(按前術以尾數在十以上者為復數此數不合)求總等得三大(按此條原)(本皆以丈為寸於義無取今皆改正)以約三位多者不約其少者甲得五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍為元數次以兩兩連環求等各約之按四縣每日築長數皆以丈為单位非位數也但一等數可以度盡四數必先求總等約之然後可以為元數即此可見總等法不獨用於通數復數也先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不約次以丁甲求等得六只約甲五十四得九不約丁次以丙與乙求等又以丙與甲九求等皆得一不約後以乙與甲九求等得一不約復驗甲九與丁二十四猶可再約又求等得三以約丁二十四得八復乘甲為二十七次以定母四位相乗求得一十萬二千六百為衍母各以定母約衍母甲得三千八百乙得五千四百丙得四千一百四丁得一萬二千八百二十五為衍數滿定母各去衍數甲不滿二十乙不滿四丙不滿四丁不滿一各為竒數以各定母與本竒數用大衍求一術入之各得乘率甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一以右行乗率對乘寄左行衍數甲得八萬七千四百乙得二萬七千丙得七萬七千九百七十六丁得一萬二千八百二十五各為用數次驗四縣所築有無不及零丈尺寸今甲乙俱畢為無丙餘五十一丈丁餘一十八丈為有以丙丁二縣餘丈各乗丙丁二用數其丙五十一丈乗丙用七萬七千九百七十六得三百九十七萬六千七百七十六丈為丙總以丁餘一十八乗丁用一萬二千八百二十五得二十三萬八百五十丈為丁總併二總得四百二十萬七千六百二十六丈為總數亦以丈通衍母得一十萬二千六百丈仍為衍母滿去總數不滿一千二十六丈為所求長率以四縣因之得四十一百四丈為實以歩法五尺八寸除之得七千七十五歩五尺為堤長歩以里法三百六十歩約之得一十九里二百三十五歩五尺為堤通長置長率一千二十六丈以歩法約之得一千七百六十八歩五尺六寸又以里法約之得四里三百二十八歩五尺六寸為各縣所給道里歩尺數餘米推數問有米鋪訴被盗去米一般三籮皆適滿不記細數今左壁籮剰一合中間籮剰一升四合右壁籮剰一合後獲賊係甲乙丙三名甲稱當夜摸得馬杓在左壁籮舀入布袋乙稱踢着木履在中籮舀入袋丙稱摸得漆椀在左邉籮舀入袋將歸食用日乆不知數索到三器馬杓滿容一升九合木履容一升七合漆椀容一升二合欲知所失米數計贓結㫁三盗各㡬何答曰共失米九石五斗六升三合環甲米三石一斗九升二合 乙米三石一斗七升九合丙米三石一斗九升二合術曰以大衍求之列三器所容為元數連環求等約為定母以相乘為衍母以定各約衍母得衍數各滿定母去之得竒以竒定用大衍求得乘率以乘衍數得用數次以各剰米乗用併之為總滿衍母去之不滿為毎籮米各以剰米減之餘為甲乙丙盗米併之為共失米草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合為元數連環求等皆得一不約便以元數相乗得三千八百七十六為衍母以各元數為定母以定約衍母得衍數甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二十三各為衍數列左行以三定母甲十九乙十七丙十二列右行具圖如後各滿定母去衍數得竒數甲得一十四乙得七得七丙得一十一各以竒定用大衍求一各得乗率甲得十五乙得五丙得一十一各為乘率列右行對寄在行衍數具圖如後以丙行對乗之得用數甲得三千六十乙得一千一百四十丙得三千五百五十三列右行具圖如後既得用數始驗問題三籮剰米列左行對三人所用以兩行對乗之甲得三千六十乙得一萬五千九百六十丙得三千五百五十三併三數得二萬二千五百七十三為總數滿衍母三千八百七十六去之不滿三千一百九十三合展為三石一斗九升三合為三籮適滿細數以左籮剰一合減之餘三石一斗九升二合為甲盗米又為丙盗米以中籮剰米一升四合減之餘三石一斗七升九合為乙盗米併三人共得九石五斗六升三合為所失總米合問程行計地問軍師獲㨗當早㸃差急足三名徃都下節節走報具甲於前數日申末到乙後數日未正到丙於今日辰未到據供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日行一百八十里問自軍前至都里數及三人各行日數㡬何答曰軍前至都三千三百里 甲行一十一日乙行一十三日四時半 丙行一十八日二時術曰以大衍求之置各行里先求總等存一約衆得原里次以連環求等約竒復乘偶得定母以定相乘為衍母滿定除衍衍得乘率以乘衍數得用數 次置辰刻正末乗各行里為實以晝六時約之得餘里各乗用數併為總滿衍母去得所求至都里以各日行約之得日辰刻數草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里先求總等得六十只存甲三百勿約乃約乙二百四十得四次約丙一百八十得三各為元數連環求等先以丙乙求等得一不約次以丙甲求等三於術約竒不約偶盖以等三約三因得一為竒盧無衍數乃便徑先約甲三百為一百復以等三兼丙三為九既丙九為竒甲百為偶此即是約竒弗約偶次以一四與甲百求等得四以四約一百得二十五為甲復以四乗乙四得一十六為乙各為定母以定母相乗得三千六百為衍母以各定約衍母為衍數甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百術數各滿衍母去之不滿為竒數甲得一十九乙得一丙得四以各竒數與定母用大衍入之各得乘數甲得四乙得一丙得七各為乗率列右行以乗率對乘寄左行衍數甲得五百七十六乙得二百二十五丙得二千八百各為用數次置甲申末到者其酉初為夜此是甲以全日到為無餘里次置乙於未正到乃於卯時數至未正得四箇半時以四半乗乙行二百四十里得一千八十為實以畫六時約之得一百八十里為乙行不及全日之餘里次置丙於辰未到自卯初數至辰未得二時以因丙行一百八十里得三百六十為實以六時除之得六十里為丙行不及全日之餘里以乙餘一百八十乗乙用二百二十五得四萬五百於中以丙餘六十乗丙用二千八百得十六萬八千加中共得二十萬八千五百為總滿衍母三千六百去之不滿三千三百里為軍前至都里以甲三百除之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四時半以丙一百八十除之得一十八日二時合問按凡總等數必小於連環等數若甚大即為連環等數此題數是也故再約即用求續等法不然不能合也程行相及問有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙日行二百里先差丙徃他處下文字旣兩日又有文字遣乙追付已半日復有文字續令甲趕付乙三人偶不相及乃同時俱至彼所先欲知乙果及丙甲果及乙得日并里次問彼處去此里數各㡬何按題意謂三行遲疾不同乙後丙兩日甲後乙半日問㡬日㡬里可以追及又旣及之後三人不能同行及各至彼處之時刻皆與各起程之時刻相同盖言自此至彼所行皆為整日數也答曰乙果追及丙八日行二千里 甲果追及乙二日半行七百五十里 彼處去此三千里術曰以均輸求之大衍入之置乙己去日數乗乙行里為實以甲乙行里差為法除之得甲及乙日數辰刻以乗甲行得里次置丙旣去日乗丙行里為實以丙乙行里差為法除之得乙及丙日數以乗乙行得里然後置三人日行求總等約得原數以連環求等約得定母以定相乗得衍母各定約衍得衍數滿定去衍得竒竒定大衍得乗率以乗寄衍得用數視甲及乙里為乙率乙及丙里為丙率以乙日行滿去乙率不滿為乙餘以丙日行滿去丙率不滿為丙餘以二餘各乗本用併之為總滿衍去之不滿為彼去此里草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二十五里為實次置甲日行三百里減去乙行二百五十里餘五十里為差法除實得二日五十刻甲果及乙數以乗甲行三百里得七百五十為甲及乙里數次置丙既行二百乗丙日二百里得四百里為實次置乙行二百五十里減丙行二百里餘五十里為差法除實得八百為乙及丙日數以乗乙行二百五十里得二千里為乙得及丙之里數已上為先欲知果及數次列甲乙丙三名日行求總等得五十先約甲丙存得甲六乙二百五十丙四以甲六丙四求等得二以二約甲為三復以二因丙為八次將乙二百五十與丙八相約得二乃約乙為一百二十五復以二因丙為十六定得甲三乙一百二十五兩十六為定母以定相乗得六千為衍母以各定約衍母得衍數甲得二千乙得四十八丙得三百七十五求竒數左上二千以甲三去之竒二左中四十八即為乙竒左下三百七十五丙十六去之竒也各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各為乘率以乗率對乗衍數甲得四千乙得五千三百七十六丙得二千六百二十五為泛用數併三泛得二萬二千一乃多衍母一倍當半衍母六千得三千以消甲四千餘一千又消乙五千三百七十六餘二千三百七十六丙不消各為定用數既得用數次視前草中甲及乙七百五十里為乙率乙及丙一千里為丙率各滿乙丙日行里去之今乙丙二人所行各皆適滿去之無餘雖稱同時俱至乃各係全日所行便以乙丙二人約六千里得三千里為彼去此里數合問按復數求元數用總等法尚屬未密盖總等約後有當連環求等者有當即求續等者其法不能定也今少為變通凡復數皆見十者先以十為總等徧約之(百千萬同)為元數俟連環求等畢復以總等十乗一數(百千萬同)然後再求續等以得定數爰依題數具式於後法列三數於上以十為總等徧約之得甲三十乙二十五丙二十即為元數連環求等以甲與乙約得等數五(竒)約甲得六(偶)以甲與丙約得等數二(偶)約甲得三(竒)為甲數徧約畢次以乙與丙約得等數五(竒)約丙得四(偶)為乙丙二數徧約畢乃以總等十乗乙數得二百五十次求續等以甲與乙與丙相約俱無續等以乙與丙約得續等二(偶)約乙數得一百二十五(竒)復乗丙得八則甲三乙一百二十五丙八即為各定數也以三定數連乗得三千為衍母即所問彼處去此之里數較舊術算省而數亦確矣數學九章卷一下
## 卷二上
欽定四庫全書
數學九章卷二上 宋 秦九韶 撰天時推氣治厯問太史測驗天道慶元四年戊午嵗冬至三十九日九十二刻四十五分紹定三年庚寅嵗冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中間嘉泰甲子嵗氣骨嵗餘斗分各得幾何按紹定三年庚寅之冬至實紹定四年辛夘之始辛夘距戊午三十四年積年為三十三答曰氣骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分餘嵗五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分術曰先距前後年數為法置前測曰刻分减後測曰刻分餘為率(不足减則加紀䇿)以紀䇿累加之今及天道合用五日以上數為實以法除實得嵗餘去全日餘為斗分以所求中間年上距前測年數乘嵗餘益入前測日刻分滿紀䇿去之餘為所求氣骨草曰置前測戊午嵗距前嵗庚寅嵗得三十三為法置前測戊午嵗冬至三十九日(日辰癸夘)九十二刻四十五分減後測紹定三年庚寅嵗冬至三十二日(日辰丙申)九十四刻一十二分今後測者少不及前測者以減乃加紀法六十日於後測日内得九十二日九十四日一十二分然後用前測者減之餘五十三日一刻六十七分為率按術當以法三十三餘率須使啇數必得五日以上乃可今率未得五日乃兩度累加紀法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分為刻實如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分(不盡棄之)為嵗餘乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分為斗分次推嘉泰甲子上距慶元戊午嵗得六以乘嵗餘五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前測戊午嵗三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分滿紀法六十去之餘一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分為所求甲子 氣骨之數合問按氣骨者年冬至時距甲子日子正初刻後之日分也嵗餘者嵗實去六甲子之餘日分也斗分者嵗實去三百六十五日之餘分也此未知嵗實之法故先以前後兩氣骨相減餘數為實以積年為法除之嵗餘約五日餘紀日六十故實數内累加六十日至啇得五日上而止則實數為積嵗餘之數以積年除之得嵗餘日分既得嵗餘以甲子積年六乘之得甲子積嵗餘與前測氣骨相加滿紀法去之餘即甲子氣骨也治厯推閏問開禧厯以嘉泰四年甲子嵗天正冬至為一十一日(日辰乙亥)四十四刻六十一分五十四杪十一月經朔一日(日辰乙丑)七十五刻五十五分六十二杪問閏骨閏率各幾何答曰閏骨九日六十九刻五分九十一杪(不盡一百六十)(九分杪之一百二十一)閏骨率十六萬三千七百七十一術曰以日法各通氣朔日刻分杪各為氣骨朔骨分其氣骨分如約率而一約盡者為可用(或收弃餘分在一刻以下)(者亦可用)然後與朔骨分相減餘為閏骨率以日法約之為閏骨䇿草曰置本厯曰法一萬六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九萬三千四百四十分二十六小分為實其歴約率係三千一百二十以約之得六十二可用其餘小分二十六乃弃之只用一十九萬三千四百四十為氣骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日法一萬六千九百乘之得二萬九千六百六十八分九十九杪七十八小分將近一分故於氣骨内所弃二十六小分借二十二小分以補朔内收上得二萬九千六百六十九為朔然後以朔骨分減氣骨分餘有一十六萬三千七百七十一為閏骨率復以日法除之得閏骨䇿九日六十九刻五分九十一杪不盡一百二十一筭直命之為一百六十九分杪之一百二十一合問按此題若置冬至日分内減經朔日分餘九日六十九刻五分九十二杪得閏骨䇿此原草僅多一百六十九分杪之四十八盡草中氣骨内棄小分二十六朔骨分内進二十二併之為一百六十九分杪之四十八其不徑相減而必用通分約分累乘累除者為向後推筭用耳治厯演紀問開禧歴積年七百八十四萬八千一百八十三欲知推演之原調日法求朔餘朔率斗分嵗率嵗閏入元嵗入閏朔定骨閏泛骨閏縮紀率氣元率元閏元數及氣等率因率蔀率朔等數因數蔀數朔積年二十三事各幾何答曰日法一萬六千九百朔餘八千九百六十七朔率四十九萬九千六十七斗分四千一百八嵗率六百一十七萬二千六百八嵗閏一十八萬三千八百四入元嵗九千一百八十入閏四十七萬四千二百六十朔定骨二萬九千六百六十九閏泛骨一十六萬三千七百七十一閏縮一十八萬八千五百七十八紀率一百一萬四千氣元率一萬九千五百元閏三十七萬七千八百七十三元數四百二氣等率五十二因率一百四十四蔀率三百二十五朔等數一因數四十五萬七千九百九十九蔀數四十九萬九千六十七朔積年七百八十三萬九千積年七百八十四萬八千一百八術曰以厯法求之大衍入之調日法如何承天術用强弱母子互乘得數併之為朔餘以二十九日通日法增入朔餘為朔率又以日法乘前厯所測冬至氣刻分收棄末位為偶數得斗分與日法用大衍術入之求等數因率蔀率以紀乘等數為約率置所求氣定骨如約率而一得數以乘因率滿蔀率去之不滿以紀法乘之為入元嵗次置嵗日以日法通之併以斗定分為嵗率以十二月乘朔率減嵗率餘為嵗閏以嵗閏乘入元嵗滿朔率去之不滿為入閏與閏骨相減之得差(或適足便以入元嵗為積年後術並不用或差在刻分法半數以下者亦以入)(元嵗為積年)必在刻分法半數以上却以閏泛骨併朔率得數内减入閏餘與朔率求閏縮(在朔率以下便為閏縮以上用朔率)(減之亦得)以紀法乘日法為紀率以等數約之為氣元率以氣元乘嵗閏滿朔率去之不滿為元閏虗置一億減入元嵗餘為實元率除之得乘限乃以元閏與朔率用大衍入之求得等數因數蔀數以等約閏縮得數以因數乘之滿蔀數去之不滿在乘限以下以乘元率為朔積年併入元嵗為演紀積年又加成厯年今人相乘演積年其術如調日法求朔餘朔率立斗分嵗餘求氣骨朔骨閏骨及衍等數約率因率蔀率求入元嵗嵗閏入閏元率元閏已上皆同此術但其所以求朔積年之術乃以閏骨減入閏餘為之閏贏却與閏縮朔率列號甲乙丙丁四位除乘消減謂之方程乃求得元數以乘元率所得為之積年加入元嵗共為演紀嵗積年所謂方程正是大衍術(今人少知)非特置筭繁多初無定法可傳甚是惑悮後學易失古人之術意故今術不言閏贏而曰入閏差者蓋本將來可用入元嵗便為積年之意故今止將元閏朔率二項以大衍先求等數因數蔀者仍倣前前求入元嵗之術理假閏骨如氣骨以等數為約數及求乘數蔀數以等約閏縮得因乘數滿蔀去之不滿在限下以乘元率便為朔積年亦加入元嵗共為演紀積年此術非惟止用乘除省便又且於自然中取見積年不惑不差矣新術敢不用閏贏而求者實知閏贏已存於入閏之中但求朔積年之竒分與閏縮等則自與入閏相合必滿朔率所去故也數理精微不易窺識窮年致志感於夢寐幸而得知謹不敢隐草曰本厯以何承天術調得一萬六千九百為日法係三百三十九强一十七弱先以强數三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四於上次以弱數一十七乘弱子九得一百五十三併上共得八千九百六十七為朔餘次以日法通朔䇿二十九日得四十九萬一百增入朔餘得四十九萬九千六十七為朔率又以日法乘統天厯所測毎嵗冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪為斗泛分驗八分既偶遂棄三十九杪只以四千一百八分為斗定分與日法以大衍術入之□得五十二為等數一百四十四為因率三百二十五為蔀率以甲子六十為紀法乘等數得三千一百二十為約率却置本厯上課所用嘉泰甲子嵗氣骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九萬三千四百四十分二十六杪為氣泛骨欲滿約率三千一百二十而一故就近乃棄微杪只以一十九萬三千四百四十為氣定骨然後以約率三千一百二十除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九百二十八滿蔀率三百二十五去之不滿一百五十三以紀法六十乘之得九千一百八十年為入元嵗次置嵗 三百六十五以日法乘之得六百一十六萬八千五百併斗定分四千一百八得六百一十七萬二千六百八為嵗率却以十二月乘朔率四十九萬九千六百七得五百九十八萬八千八百四率内減去此數餘一十八萬三千八百四為嵗閏以嵗閏乘入元嵗九千一百八十得一十億八千七百三十二萬七百二十滿朔率去之不滿四十七萬四千二百六十為入閏次置本厯所用嘉泰甲子嵗天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法乘之得二萬九千六百六十八分九千九百七十八杪為朔泛骨就近收杪為一分共得二萬九千六百六十九為朔定骨數然後乃以朔定骨減氣骨一十九萬三千四百四十餘一十六萬三千七百七十一為閏泛骨置日法以二百歸除之得八十四半為半刻法次以入閏數内減去閏泛骨與入閏相課減之餘三十一萬四百八十九(此是閏贏)為差半刻法以上乃以閏泛骨併朔率共得六十六萬二千八百三十八以入閏四十七萬四千二百六十減之餘一十八萬八千五百七十八在朔率下便為閏縮次以紀䇿六十乘日法得一百一萬四千為紀率以等數五十二歸除紀率得一萬九千五百(按即六十乘三百二數十五之數為一蔀年)為氣元率以氣元率乘嵗閏一十八萬三千八百四得三十五億八千四百一十七萬八千滿朔率去之不滿三十七萬七千八百七十三為元閏次置一億(按此數似虗設不過取一億之數為限耳此所求過限又將改率數以遷就之矣)以入元嵗元千一百八十減之餘九千九百九十九萬八百二十為實以元率一萬九千五百為法除之得五千一二十七為乘元限數乃以元閏三十七萬七千八百七十三餘與朔率四十九萬九千六十七用大衍術求之得等數一因等四十五萬七千九百九十九蔀數四十九萬九千六十七然後以等數一約閏縮只得一十八萬八千五百七十八以因數四十五萬七千九百九十九乘之得八百六十三億六千八百五十三萬五千四百二十二滿蔀數四十九萬九千六百七十去之不滿四百二在乘元限數以下為可用以乘元率一萬九千五百得七百八十三萬九千年為數積年併入元嵗九千一百八十共得七百八十四萬八千一百八十為嘉泰四年甲子嵗積算本厯係於丁夘嵗進呈又加丁夘三年共為七百八十四萬八千一百八十三年為本厯積年合具繪圖如後按此術草内竒定相求有等數又有因數蔀數之異蓋等數即度盡定竒兩數之數因數為竒數之倍數任倍定竒二數相較但得一等數則竒之倍數即為因數蔀數者竒數最大之倍數也任倍竒定至兩邊相等無較數則竒數之倍數即謂之蔀數也等數甚小者因數不患其甚大有蔀數以限之也草中尚多訛舛正之於後按此題術草皆曰何承天調日法而宋書所載何承天法並無甚率且各用數亦與此不同今細按其草日法已有定數所調者朔䇿餘分也然從來朔䇿餘分皆以實測之朔䇿分嵗實分兩母子互乘相通即得並無所謂調法今所載强弱母子四數大約已有朔䇿餘分與日法分相約而得非别有所本乃故設曲折以為竒也試以朔餘分八千九百六十七分為第一條置日法分内減朔䇿餘分餘七千九百三十三為第二條以此二數數取之先置第一條減第二條餘一千零三十四為第三條七因第三條以減第二條餘六百九十五為第四條以第四條減第三條餘三百三十九為第五條二因第五條以減第四條餘一十七為第六條是第五條即强母數第六條即弱母數矣次用第五條第六條轉求第一條以取兩子數置第六條於上二因第五條加之得第五條者二第六條者一共六百九十五為第四條以第四條加第五條得第五條者三第六條者一共一千零三十四為第三條七因第三條以加第四條得第五條者二十三第六條者八共七千九百三十三為第二條以第二條加第三條得第五條者二十六第六條者九共八千九百六十七為第一條是第五條倍數即强子數第六條倍數即弱子數矣至算式中以日法取强母數者則又以第五條第六條再約而得者如以第五條為實第六條為法為法商之初商得十以法乘初商得一百七十為初商積減實餘一百六十九恰與百分日法分之一等故百除日法分為一數又三乘之得五百零七為實以四十九為法初商得十初商積為四百九十減實餘十七乃以商十乘十七得一百七十與前初商積等故加與前餘積等之百分日法分之一得三百三十九為五條之數名之曰强數也次以日法乘朔䇿日得數併朔餘為朔率斗分見偶則棄見竒則收為偶按此係棄分以下數不用也分為偶數即用其數分為竒數則杪微進一分併為偶數如無杪微即加一分又按算中用數以日法分一萬六千九百分為主斗分定為四千一百零八為偶數氣骨分亦定為偶數其各時刻分皆由日分比例而得故變時刻分為日分求之無不合按求入元嵗法用斗分與日法分求等率乘率蓋以六十年之嵗實積分與紀法分相約後以六十除紀法分得日法分為定以六十除嵗實積分得斗分為竒求得蔀數乘數皆與六十年之嵗實積分與紀法分所求者同惟等數則為六十之一故以六十乘之為乘分以約氣骨分然後以乘數乘之滿蔀數去之所得用數為六十年之周數故以六十乘之始為年數此立法之意也然以六十年為周數則六十年之間其氣骨數有合者則不可得故所得年數較以嵗實分紀分相求者為逺也按氣元一萬九千五百乃前蔀數三百二十五以六十乘之之數蓋求入元嵗用六十倍者故此仍用六十倍也又按此皆用六十年嵗實分求得之數與用一嵗實分求得之數同蓋因積年數為六十度盡之數若非六十度盡之數則得數必逺也今依其數另設一題以明其法設宋開禧厯日法一萬六千九百分嵗實分六百一十七萬二千六百零八法紀率分一百零一萬四千分朔率分四十九萬九千零六十七分嘉泰甲子嵗天正冬至距甲子日子正後十九萬三千四百四十分(古名氣骨)十一月朔距甲子日子正後二萬九千六百六十九分(古名朔骨)問距歴元甲子子正初刻冬至朔之積年幾何答曰七百八十四萬八千一百八十年法以紀率為紀定紀率除嵗率(即嵗實分)餘八萬八千六百零八分為紀竒依大衍術求至竒一百零三餘分六百二十四餘分可以度盡上數則命六百二十四為等數一百零三為乘數又求得竒一千六百二十五無餘分則命一千六百二十五為蔀數乃以等數約氣骨分得三百一十以乘數乘之得三萬一千九百三十滿蔀數去之餘一千零五十五即專以氣骨分求得距厯年之積年數也舊法以斗分(嵗餘分四千一百零八)為竒日法為定求得等數一紀法六十乘之以約氣骨得數以乘數乘之蔀數除之餘數又以六千乘之為積年名入元嵗其術未密(詳前)故所得積年為九千一百八十其數亦較逺也次以蔀數(即嵗實紀法滿一會年數)乘嵗率得一百億三千四十八萬八千滿朔率去之餘二十三萬九千四百三十四舊名氣元閏為朔竒朔率為朔定依前法求得等數一乗數六千二百五十一蔀率四十九萬九千零六十七次以前所得積年乗嵗率滿朔率去之餘二十七萬五千二百二十四為前朔距至前分數舊名入元閏以嘉泰甲子氣骨朔骨相減得十六萬三千七百七十一為後朔距至前分數舊名閏骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺後近是已退過一朔䇿則於後閏骨内加一朔䇿再減去入元閏餘三十八萬七千六百一十四為後朔前朔相差之分數舊名閏縮乃以等數約閏縮仍得原數以乘數乘之滿蔀數去之餘四千八百二十九為會數乃以一會年數(即前蔀數)乗之得七百八十四萬七千一百二十五為朔積年加入前積年得七百八十四萬八千一百八十為嘉泰甲子積年又法仍按本法求之先以嵗率紀率朔率求總等朔率不盡無總等各率朔即為各元數次連環求等朔元不盡嵗元等數等數為六百二十四留嵗元不約約紀元得一千六百二十五分為紀泛定嵗元朔元即為嵗泛定朔泛定次求續等紀泛定嵗泛定等數為十三約嵗泛定乗紀泛定得四十七萬四千八百一十六為嵗定二萬一千一百二十五為紀定朔泛定即朔定三定數連乗得五○○五八八五五五四六九六○○○為衍母紀定朔定相乗得八一○九八三八七五為嵗衍嵗定朔定相乗得二三六九六四九九六六七二為紀衍嵗定紀定相乗得一○○三○四八八○○○為朔衍置各衍數滿各定數去之餘嵗竒四七二九六三紀竒二○○四七朔竒二三九四三四次以各定各竒求各乗數得嵗乗數(此題不用嵗乗數求之以備其數)二四九六七紀乗數二○○○八朔乗數六二五一以各乘數乗各衍數得各泛用數嵗泛用二○一九八九三二○七九四六二五紀泛用四七四一一九五六五四四一三三七六朔泛用六二七○○五八 四八八○○○併三泛用與衍母數等則泛用即為定用乃以氣骨乗紀定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置氣骨減去朔骨餘十六萬三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○併數得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○滿衍母去之餘四八四四三七三八六五三四四○為實以嵗實分為法除之得七百八十四萬八千一百八十即嘉泰甲子積年之數也此法較前法數繁然其理可互相發明後復設一法兼二法用之三法先以嵗率紀率求等數得六百二十四專約紀率得一六二五分為紀元嵗率即為嵗元又求續等數得十三以約嵗元得四七四八一六為嵗定以乘紀元得二一一二五為紀定紀定嵗定相乘得一○○三○四八八○○○為衍母以紀定二一一二五為嵗衍以嵗定四七四八一六為紀衍嵗衍小於嵗定即為嵗竒紀衍滿紀定去之餘一○○六六為紀竒次以各定各竒求各乘數得嵗乗數二五四八六一紀乗數九七八六以各乗數乗各衍數得各用數嵗用數五三八三九三八六二五紀用數四六四六五四九三七六乃以氣骨乗紀用數得八九八八二八五一一二九三四四○滿衍母去之餘六五一二一○一四四○為通積分為實以嵗實分為法除之得一千零五十五即專以氣骨求次以前衍母分(即嵗率紀率一會一千六百二十五年之積分)一○○三○四八八○○○與朔率分求等數得一即以前衍衍母分為嵗紀元亦即為嵗紀定以朔率分四九九○六七為朔元亦即為朔定二定數相乗得五○○五八八五五五四六九六○○○為衍母以朔定為嵗紀衍以嵗紀定為朔衍嵗紀衍小於嵗紀定即以嵗紀衍為嵗紀竒明衍滿朔定去之餘二三九四三四為朔竒各以定竒求乗數得嵗紀乗數九九○四八五二四○三朔乗數六二五一以各乗數乗各衍數得嵗紀泛用數四九四三一八四九七四二○八○○一朔泛用數六二七○○五八○四八八○○○併二泛數與衍母等則泛用數即為定用數乃置前通積分六五一二一○一四四○滿朔率去之餘二七五二二四為入元第一千零五十五年之閏分又置嘉泰甲子氣骨減去朔骨餘一六三七七一為嘉泰甲子之閏分閏分每嵗漸加今後數小於前數是知已加過一朔率乃於後閏分内加一朔率分減去前閏分得三八七六一四為前後閏分差以乗朔定用數得二四三○三六二二八○五二七五六三二○○○滿衍母去之餘四八四三七二二六五五二○○○為實以嵗率為法收之得七百八十四萬七千一百二十五為後積年數並前積年數共得七百八十四萬八千一百八十年為嘉泰甲子積年與前數合按右竒定相求其上層竒一數即大衍術中所謂立天元一也其逐層數即術中所謂遞互乗餘也其下層竒得數即術中所謂乗數也(有等數者)(求蔀數)古無筆算舊式所載不詳兼多重複舛偽之處集中惟此問甚繁故既設題以明其法復備録加減乗除之數以詳其算式俾觀者易見焉綴術推星問嵗星合伏經一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃見後順行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各幾何按此以兩積曰之遞差積度求各行率也蓋合伏初日其行最疾以次漸遲遲極則留總其積度略如遞減差分故古法皆以其術歩之答曰合伏一十六日九十分 常度三度九十度初行率二十三分九十七杪 平行率二十三分二杪 末行率二十二分七杪晨疾初三十日 常度六度一十三分 初行率二十一分九十六杪 平行率二十分三十三杪 末行率一十八分七十杪術曰以方程法求之置見日減一餘半之為見率以伏日併見日為初行法以法半之如見率共為伏率以伏日乘伏率為伏差以見日乘見率為見差以伏日乘見差於上以見日乘伏差減上餘為法以見日乘伏度為泛以伏日乘見度減泛餘為實實滿法而一為度不滿退除為分杪即得日差按此求逐日之遞差為日差也術曰方程非也其所謂見數者乃徒設一數宛轉附會使合於方程之行列也如 見日減一折半為見率併伏見日折半為半總日既以半總日加見率先以伏日乘之後以見日乗之復置見率先以見日乘之後以復日乘之相減然後為法豈非半總日不用加見率但以伏日見日連乘之即可為法乎特多立名目故為曲折顛倒使人不易辦耳今去其見率另為歩算於後以明其立法之本意焉法以合伏日除伏行度得二十三分(九七六 二三)為合伏日折中第八日四十五分一日之行度(即第七日九十)(五分至第八日九十五分之行度)以順行日除順行度得十五分(七七八七六一)為順行日折中第五十六日五十分一日之行度兩一日之行度相減行七分(一九八一六二)為合伏第八日四十五分與順行第五十六日五十分兩一日之行度較為實併合伏順行兩日數而半之得六十四日(九五)為合伏第八日四十五分至順行五十六日五十分之積日為法除之得十一杪(二三六五八五)為一日遞差之數即日差若不先用除則以兩日數與兩行度互乘相減為實兩日數相乘又併兩日數而半之再乘為法得數亦同求初行率置初法減一餘乘日差為寄以半初行法乘寄得數又加伏見度共為初行實以法退除之得合伏日初行率按此求合伏第一日最疾之行也其法即遞減差分有總數有次數有毎次差數求初次最大之數也初行法減一乘日差為寄者合伏初日與順行末日兩行率之差也半法乗寄與積差等故加共度為實以共日為法除之為合伏初日行率二十三分九十七杪也求未行率以段日乘日差減初行率餘為末行率按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求合伏初末日兩行率之較也既得初末日兩行率之較以減初行率即末行率也求平行率以初行率併未行率而半之為平行率按此即均分合伏度為毎日之平行率也與遞加遞減有首尾數求中數者同應與伏日除伏度數同不同者本非遞差之數也求交段差以各段常日下分數減全日一百分餘乗末日行率為交段差按此即各段日下分數不及一日所差之行分也求之以備後數加減累減前段積度以益後段積度各為常度按常度即各段積度也求晨疾初段常度見常中專解於後草曰以伏日隨伏度為右行以見日隨見度為左行以度對度日對日其度於上日於中空其下列之置見日一百一十三減一餘一百一十二以半之得五十六為見率以伏日一十六日九十分併見日一百一十三得一百二十九日九十分為初行法以初行法半之得六十四日九十五分併見率五十六日得一百二十日九十五分為伏率以初行法寄之以伏率歸右下以對見率仍分左右兩行為首圖以首圖伏日一十六日九十分乗伏率一百二十日九十五分得二千四十四日五分五十杪為伏差於右下以首圖見日一百一十三乘見率五十六得六十三百二十八日為見差於左下乃成次圖 凡方程之術先欲得者存之以未欲得者互偏乘兩行諸數今驗此圖先欲得日差故存其左右之上下以左右之中伏見日數互偏乘兩行乃以次圖右中伏日一十六日九十分先偏乘左行畢左上得三百一度三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左下得一十萬六千九百四十三日二十分又以次圖左中見日一百一十三偏乗右行畢右上得四百四十日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得二十三萬九百七十八日二十一分五十杪以兩行 得變名泛積法而成才圖乃驗才圖左上下皆少用減右行畢行上餘一百三十九度三十七分三十杪為日差實右中空右下得一十二萬四千三十五日一分五十杪為日差法今維圖法多實少除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不盡十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十微杪收為一小杪為日定差一十一杪二十三小分六十六小秒既得日差乃行初行率置法圖内初行法一百二十九日九十分内減去一日餘一百二十八日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十微分為寄次置(按此下脱三十一字應作次置寄以半法乗之得九度四十分七十三杪)(四十三小分三十二小杪一十三微杪)以得數加伏度三度九十分見度一十七度八十三分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微分為初行實如初行法一百二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七杪為伏合初日行率餘三杪一十三分分三十二小杪一十三微分棄之求末行率置合伏段日數一十六日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九杪八十九小分八十五小杪四十微分為得數乃以得數減初行率二十三分九十七杪餘二十二分七杪一十小分一十四小杪六十微分為合伏末日行求平行率置初行率二十三分九十七杪併末行率二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三分二杪為平行率求交段差置合伏日下減全日一百分餘一十分乘末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分為交段差求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收九十分作一日通為一十七日併舊厯所注晨疾初段常日三十得四十七為共日乗合伏初行率二十三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪為寄上按此有第一日行度有逐日遞減之差有前後各段日數有前段積度求後段積也先以共日乗初行率者以最疾為率之共積也下求遞差以減之故為寄乃副置共日四十七減一餘四十六以半之得二十三乗副四十七得一千八十一以乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六杪七十六小分四十六小杪以減上寄一十一度一十六分五十九杪餘一十度五分一十二杪二十三小分五十四小杪為合伏晨疾初兩段共積度按此乃求積差以減上數得共日之積慶也法應於共日内減一日以乘日差得數為共日數初末日行率之較再以共日數乘之得數折半為積差此先折半次連乘得積差其理亦同置共積内減合伏三度九十分餘六度一十五分一十二杪二十三小分五十四小杪為泛次以交段差二分二十杪七十小分減泛餘六度一十二分九十一杪五十三小分五十四小杪為晨疾初段常度注厯乃收八杪五(按應作四)十六小分四十六小杪為全分常定度按此於共積内減去合伏段積尚有合伏九十分不及一日所差之行分即交段差未減故為泛數再減交段差為晨疾初段常泛度再收為六度十三分始為定常度也求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分六十六小杪減合伏末行率二十二分七杪餘二十一分九十六杪為晨疾初段初行率行泛收之為定者也按此以合伏末日之次日為晨疾初段之初日也故置合伏之末行率減一日之差即為晨疾初段之初行率五杪餘收為六杪凡寄零未收名泛數已收名定數下倣此求晨疾初末行率置晨疾初常日三十減一餘二十九日乗日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得三分二十五杪八十六小分一十四小杪以減晨疾初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪餘一十八分六十九杪九十小分二十小杪為晨疾初末行率按此求晨疾初段末日之行率也常日減一日乗日差得數為晨疾初段初末二日行率之較也故減初行率得末行率求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪併晨疾初末泛一十八分六十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪八十三小分二十七小杪為晨疾初平行泛乃以三泛收棄為之定按此與求合伏平行率同其言泛棄為定者蓋截去杪下竒零過半則收為一杪也然語意欠明又按五星行度遲疾差廻非遞加遞減之數術中僅以合伏與順見二段各取中數至推遂日行度仍用遞加遞減之法故古法之疎五星尤甚原文語多隠晦令悉為解之可以見古今疎宻之所在焉數學九章卷二上
## 卷二下
欽定四庫全書
數學九章卷二下 宋 秦九韶 撰天時揆日究微問厯代測景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯陽城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九係與大衍厯同今開禧厯臨安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求臨安府夏至後差㡬日而景與陽城夏至日等較以大衍厯晷景所差尺寸各㡬何答曰大暑後五日午中景長一尺四寸八分八十五杪按舊本答數後有二圖舛錯潦草傳冩者失其真也細考圖内所載之數皆與今法頗合知此悉當時實測所定非同臆説也因取其數改正於後置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五杪為景差以為實置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度為寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪為法以除前差實得空寸九十六百六十四分四十杪不盡棄之自乗得節泛數九千三百四十分不盡棄之先以小暑節乗率二十五乗節率九千三百四十分得二十三寸三千五百分於上次以臨安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至冪乃以夏至冪加上得一百六寸一千六百分為小暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三分為臨安小暑節景不盡七百分即寸下七毫棄之按各節氣影長皆當時實測所定本不待求今所設求法乃故為溟涬使人不可觧也細查其數首以象限加十一度餘為法以除影差得數自乗為節率四每節下又有乗率以乗率節率相乗與夏至影冪相加即為本節影冪是知節率乃强取之數蓋以此數先除各節影冪與夏至影冪之較名為乗率故以此與節率相乗加夏至影冪即各節影冪也數家設術誤人往往如此又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於頭位仍以夏至冪八十二寸八千一百分加頭位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實以一寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑不盡棄之又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上仍置夏至冪八十一寸八千一百分加於上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八為立秋冪置立秋冪為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一杪為立秋景不盡棄之乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪併立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景 又以九日景併大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日景乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪為大暑後四日景今驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪為入臨安府大暑後四日景一尺四寸五分六十杪太強乃以四日減五日景餘三分二十四杪太弱為景差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法乃置陽城夏至景一尺四寸七分七十九抄減臨安大暑後四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪餘二分一十八杪一十二小分五十小杪為實後以法二十七杪五小分二十小杪除之實如法而一得商數八有餘命大暑四日午後數八辰得大暑五日寅時景與陽城夏至之日午景等求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為次暑後九日午中景置九日景復併大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日景今驗開禧厯所推臨安府大暑後五日午中景一尺四寸八分八十五杪半與陽城大暑後五日午中景尺一寸一十四杪太課之乃以臨安府五日景減陽城五日景差六寸一分二十九杪少按此法不過以臨安前後兩節氣影長比例一影長之日數時刻復以所得節氣日數時刻比例一陽城影長與之相較耳題内引大行崇天開禧諸法名目又稱其較同異差數皆故為張皇之語且影差逐日不同皆以平派求之法亦未宻也草曰置臨安府所測冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分減之餘九尺九寸一分二十五抄為景差以為實置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度為寸得一百二寸五千六百七十一分半為法除實得空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸九千三百四十分為節率先以小暑乗率二十五乗之得二十三寸三千五百分於上次以臨安夏至景九寸一分自乗得八十二寸八千一百分為夏至景冪以加上得一百六寸一千六百分為小暑景冪開平方以一寸為隅開之得一尺三分為小暑景又以大暑乗率一百九乗節率九千三百四十分得一百一寸八千六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分為大暑冪以為實一寸寸為隅開平方得一尺三寸五分八十七杪為大暑景又置立秋乗率二百八十九乗節率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分於上仍加夏至冪八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十為立秋冪以為實以一寸為隅開平方得一尺八寸七分八十一抄為立秋景乃驗陽城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑後立秋前乃併大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪為大暑後九日景又併大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半為大暑後五日午中景又併大暑景得數半之得一尺四寸二分三十六杪少為大暑後三日景又併五日景一尺四寸八分八十五杪半得數半之得一尺四寸五分六十杪强為大暑後四日景驗得陽城夏至景入臨安大暑後四日乃以四日景減五日景餘三分二十四杪太弱為差以十二時除之得二十七杪五小分二十小杪為法復除陽城景與本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外為在初五日寅時景等求較以大衍厯晷景所差乃置陽城大暑景長一尺九寸五分七十六杪併陽城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半為大暑後九日午中景復併暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太為大暑後五日暑以較今開禧厯當日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合問接集中皆術在前草次之圖在後此條之例不同天池測雨問今州郡多有天池盆以測雨水但知以盆中之水為得雨之數不知器形不同則受雨多少亦異未可以所測便為平地得雨之數假今盆口徑二尺八寸底徑一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨䧏㡬何答曰平地雨䧏三寸術曰盆深乗底徑為底率二徑差乗水深併底率為靣率以盆深為法除靣率得面徑以二率相乗又各自乗三位併之乗水深為實盆深乗口徑以自之又三因為法除之得平地水深草曰以盆深及徑皆通為寸盆深得一十八寸底徑得一十二寸相乗得二百一十六寸為底率置口徑二十八寸減底徑一十二寸餘一十六寸為差以乗水深九寸得一百四十四寸併底率二百一十六寸得三百六十寸為靣率以盆深一十八寸為法除靣率得二十寸展為二尺為水靣徑以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸得七萬七千七百六十寸於上以底率二百一十六寸自乗得四萬六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十二萬九千六百併上共得二十五萬四千一十六以乗水深九寸得二百二十八萬六千一百四十四寸為實以盆深一十八寸乗口徑二十八寸得五百四寸自乗得二十五萬四千一十六寸又三因得七十六萬二千四十八寸為法除實得三寸為平地雨深合問竹器驗雪問以圓竹籮驗雪籮口徑一尺六寸深一尺七寸底徑一尺二寸雪䧏其中髙一尺籮體通風受雪多則平地少欲知平地雪髙㡬何按籮體通風一語與算術不相涉或籮口所降之雪歸於籮底與前天池測雨題相同然依上步算平地雪深只七寸餘今其數又不合殆故為是語以誤人也答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百六十四術曰口徑減底徑餘乗雪深半之自乗為隅以籮深冪乗雪深冪併隅又乗雪深冪為實隅實可約約之開連枝三乗方得平地雪厚草曰列問數各通為寸置口徑一十六寸減底徑一十二寸餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乗得四百寸為隅以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪以乗籮深冪數加隅又乗深冪得二百九十三萬寸為實隅實求等得四百俱約之得七千三百二十五為實得一為隅開三乗方歩法不可超乃約實置商九寸與隅一相生得九為下亷又與商相生八十一寸為上亷又與商相生得七百二十九為從方乃命上商除實不盡七百六十四已而復以商生隅入二亷至方陸續又生畢以方亷隅共併之得三千四百三十九分寸之七百六十四為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問按此法之意不可見然以數考之非通法也設原題雪深為一寸以口徑底徑較四寸乗雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸為隅以籮深一十七寸自之得二百八十九寸為籮深冪雪深一寸自之仍得一寸為雪深冪二深冪相乗仍得二百八十九寸併隅得二百九十三寸再以雪深冪乗之仍得二百九十三寸為實隅實相約得七十四寸二十五百分為實一為隅開三乗方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深於籮内矣列問數各通為十口徑得一十六寸深一十七寸底徑一十二寸籮中雪髙一十寸乃以底徑減口徑餘四寸乗雪深一十寸得四十寸以中得數二十寸自乗得四百寸為隅以籮深一十七寸自乗得二百八十九寸為籮深冪次置雪深一十寸自乗得一百寸為雪深冪以雪深冪一百寸乗籮深冪二百八十九寸得二萬八千九百寸併隅四百寸得二萬九千三百寸為上置頭位數二萬九千三百寸又乗雪深冪一百寸得二百九十三萬寸為實開三乗方以隅實求等得四百俱為約之得七千三百二十五為實一為隅開之歩法不可超乃約實置商九寸與隅相生得九為下亷下亷九又與商九相生得八十一為上亷上亷又與商相生得七百二十九為從方乃以從方七百二十九命上商九除實七千三百二十五訖實餘七百六十四既而後以商生隅入下亷下亷得一十八又與啇九相生入上亷上亷得二百四十三又與商相生入方得二千九百一十六又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十六為求圖乃以末圓方亷隅四者併之得三千四百三十九為母以實餘七百六十四為子命為平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合問圓罌測雨問以圓罌接雨口徑一尺五寸腹徑二尺四寸底徑八寸深一尺六寸並裏明接得雨水深一尺二寸圓法用宻率問平地雨水深㡬何按此題問平地雨深無闗圓法宻率句贅若求罌中雨積數則當加此語答曰平地雨深一尺八寸七萬四千八十八分寸之六萬四千四百八十三按答數誤改正見後術曰底徑與腹徑相乗又各自乗併之乗半罌深以一十一乗之為下率以四十二為下法除得下積以半罌深併雨深減元罌深餘為上深以口徑減腹徑餘乗上深為次以半罌深乗口徑加次為靣率以半深除靣率得水靣徑以半深乗腹徑為腹率置靣率與腹率相乗又各自乗併之以一十一乗之為上率以半深自乗為冪以乗下法為上法上法除上率得上積半深冪乗下率併上率為總實口徑冪乗上法為總法除實得平地雨髙草曰置底徑八寸與腹徑二十四寸相乗得一百九十二寸於上又底徑八寸自乗得六十四寸加上又腹徑二十四寸自乗得五百七十六寸併上共得八百三十二寸以乗半罌深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乗之得七萬三千二百一十六寸為下率(按此下法不合皆為題中圖法句所誤)置宻率法一十四以所併三因之得四十二為下法以半深八寸併雨深一十二寸得二十寸以減元深一十六寸餘四寸為上深以口徑一十寸五分減腹徑二十四寸餘一十三寸五分以乗上深四寸得五十四寸為次以半罌深八寸乗口徑一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸為靣率以半深八寸乗腹徑二十四寸得一百九十二寸為腹率置靣率一百三十八寸與腹率一百九十二寸相乗得二萬六千四百九十六寸於上又以靣率一百三十八寸自乗得一萬九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三萬六千八百六十四併上共得八萬二千四百四寸(按此條内)(落以上髙四寸乗之一層)以一十一乗之得九十萬六千四百四十四寸為上率以半深八寸自乗得六十四寸為半深冪以乗下法四十二得二千六百八十八為上法以半深冪六十四寸乗下率七萬三千二百一十六寸得四百六十八萬五千八百二十四寸併上率九十萬六千四百四十四共得五百五十九萬二千二百六十八寸為總實以口徑一十寸五分自乗得一百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸得二十九萬六千三百五十二寸為總法除實得一尺八寸不盡二十五萬七千九百三十二與法求等得四俱約之為一尺八寸七萬四千八十八分寸之六萬四千四百八十三為平地雨深合問按此法有二誤法實皆當用圓冪或皆用方冪今以圓冪率乗實方冪率乗法法實不同類一誤也罌内雨自腹徑截之為雨圓䑓體下髙八寸上髙四寸於下體併三冪以髙乗之於上體只併三冪未以髙乗之二誤也有此二誤故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正於後法以腹徑底徑相乗又各自乗併三積以半罌深八寸乗之得六千六百五十六寸為三倍方罌内腹下雨積又以口徑腹徑相減餘一十三寸五分以雨深減罌深餘四寸相乗以半罌深除之得六寸七分五厘與口徑相加得一十七寸二分五厘為雨靣徑與腹徑相乗又各自乗併三積以雨上深四寸乗之得五千一百五十寸二五為方罌内三倍腹上雨積併二雨積得一萬一千八百零六寸二五為方罌内三倍共雨積為實口徑自乗三因得三百三十寸七五為法除實得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十為平地雨深若不先用除則以口徑腹徑較與罌深雨深較相乗之五十四寸為雨靣徑口徑較加一半罌乗之數(應以半罌除之得雨徑較今不除即如雨徑較以半罌乗之)即為雨靣徑口徑較此數既加一半罌乗則諸數皆以半罌乗之得口徑八十四寸腹徑一百九十二寸以口徑與雨靣徑口徑較相加得雨靣徑一百三十八寸與腹徑相乗又各自乗併三冪以腹上雨深四寸乗之得三十二萬九千六百一十六寸為三倍上雨積又以半罌深冪乗前三倍下雨積得四十二萬五千九百八十四寸為三倍下雨積併二積得七十五萬五千六百寸為三倍共雨積為實以半罌深冪乗三因口徑冪得二萬一千一百六十八寸為法除之得數亦同峻積驗雪問驗雪占年墻髙一丈二尺倚木去址五尺梢與墻齊木身積雪厚四寸峻積薄平積厚欲知平地雪厚㡬何答曰平地雪厚一尺四分術曰以少廣求之連枝入之以去址自乗為隅以墻髙自乗併隅於上以雪厚自之乗上為實(可約者約而開之)開連枝平方得地雪厚草曰以問數皆通為寸置去址五十寸自乗得二千五百為隅以墻髙一百二十寸自乗得一萬四千四百寸併隅得一萬六千九百寸於上以雪厚四寸自之得一十六乗上得二十七萬四百寸為實開連枝平方今隅實可求等得一百俱約之得二千七百四為實得二十五為隅開平方得一十寸四分展為一尺四分為平地雪厚合問按此術理法皆確然實用勾股不曰勾股而曰少廣曰連枝者猶有所閉匿而不肯盡發也試以圗明之甲乙為牆上雪厚即平地雪厚乙丙為木上雪厚甲乙丙勾股形與木倚牆所成勾股形同式牆髙為大股木為大弦木去址為大勾甲乙為小弦甲丙為小股乙丙為小勾以牆髙大股自乗木去址大勾自乗併之為大弦冪為實以木上雪厚乙丙小勾冪乗之以木去址大勾冪除之得甲乙小弦冪開平方即為平地雪厚也數學九章卷二下
## 卷三上
欽定四庫全書
数學九章卷三上 宋 張九韶 撰田域按此卷以方圓斜直冪積相求即方田少廣勾股諸法而術中累乘累除錯綜變換與常法迴然其本則出於立天元一法今擇其難解者以立天元一法明之皆不攻自破矣古池推元問有方中古圓池堙圮北餘一角從外方隔斜至内圓邊七尺六寸欲就古跡修之欲求圓方方斜各幾何荅曰池圓徑三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二方面三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二 方斜五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二術曰以少廣求之投胎術(按即益積之名)入之斜自乘倍之為實倍斜為益方以半寸為從隅開投胎平方得徑又為方面以隅併之共為方斜草曰以斜七十六寸自乘得五千七百七十六倍之得一萬一千五百五十二寸為實倍斜七十六寸得一百五十二為益方(按有長方積先求長其長濶較名益方)以半寸為從隅開平方置實一萬一千五百五十二於上益方一百五十二於中從隅五分於下於下起歩約得百古池圖 乃於實上商置三百寸方再進為一萬五千二百(按再)(進者以百乘之也)隅五進為五千(按隅五分以百再乗得五千)以商隅相生得一萬五千為正方以消益方一萬五千二百其益方餘二百以與商相生得六百投入實得一萬二千一百五十二又商隅相生又得正方一萬五千内消負方二百訖餘一萬四千八百為從方(按倍正方減益方之數)一退為一千四百八十以隅再退為五十乃于上商之次續商置六十寸與隅相生増入正方得一千七百八十乃命續商除實訖實餘一千四百七十四次以商生隅増又正方為二千八十方一退為二百八隅再退為五分乃於續商之次又商置六寸與隅相生増入正方為二百一十一乃命商除實訖實不盡二百六寸不開為分子乃以商生隅増入正方又併隅共得二百一十四寸五分為分母以分母分子求等得五分為等數皆以五分約其分母分子之數為四百二十九分寸之四百一千二通命之得池圓徑及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二又倍隅斜七尺六十得一丈五尺二寸併徑三丈六尺六寸共得五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二為方斜按此術以立天元一法明之法立天元一為池徑即方邊自之得一平方為方冪倍之得二平方為斜冪寄左次倍斜至歩加天元一得一百五十二寸多一元為方斜自之得二萬三千一百零四寸多三百零四元多一平方亦為斜冪與左相消雨邊各減一平方得二萬三千一百零四寸多三百零四元與一平方等寸數為實元數為較或兩邊各半之得一萬一千五百五十二寸多一百五十二元多半平方與一平方等寸數為實元數半方數共為較術中所用葢次數也然不如前數之便至開方法即有長方積有長濶軗帶縱先求長之法也尖田求積問有兩尖田一叚其尖長不等兩大斜三十九歩兩小斜二十五歩中廣三十歩欲知其積幾何荅曰曰積八百四十歩術曰以少廣求之翻法入之置半廣自乘為半冪與小斜冪相減相乘為小率以半冪與大斜冪相減相乘為大率以二率相減餘自乘為實併二率倍之為從上亷以一為益隅開翻法三乘方得積(一位開盡者不用翻法)草曰置廣三十歩以半之得一十五自乘得二百二十五為半冪以小斜二十五歩自乘得六百二十五為小斜冪與半冪相減餘四百與半冪二百二十五相乘得九萬歩為小率置大斜三十九歩自乘得一千五百二十一為大斜冪與半冪二百二十五相减餘一千二百九十六與半冪二百二十五相乘得二十九萬一千六百為大率以小率九萬減大率餘二十萬一千六百自乘得四百六億四千二百五十六萬為實以小率九萬併大率二十九萬一千六百得三十八萬一千六百倍之得七十六萬三千二百為從上亷(按從上亷平方和數也)以一為益隅開玲瓏翻法三乘方歩法乃以從亷超一位益隅超三位約商得十今再超進乃商置百其從上亷為七十六億三千二百萬其益隅為一億約實置商八百為定商以商生益隅得八億為益下亷又以商生下亷得六十四億為益上亷與從上亷七十六億三千二百萬相消從上亷餘十二億三千二百萬又與商相生得九十八億五千六百萬為從方又與商相生得七百八十八億四千八百萬為正積與元實四百六億四千二百五十六萬相消正積餘三百八十二億五百四十四萬為正實又以益隅一億與商相生得八億増入益下亷為一十六億又以益下亷與商相生得一百二十八億為益上亷乃以益上亷與從上亷一十二億三千二百萬相消餘一百一十五億六千八百萬為益上亷又與商相生得九百二十五億四千四百萬為益方與從方九十八億五千六百萬相消益餘八百二十六億八千八百萬為益方又以商生益隅一億得八億増入益下亷得二十四億又以商相生得一百九十二億入益上亷得三百七億六千八百萬為益上亷又以商生益隅一億得八億入益下亷得三十二億畢其益方一退為八十二億六千八百八十萬益上亷再退得三億七百六十八萬益十亷三退得三百二十萬益隅四退為一萬畢乃約正實續置置四十歩與益隅一萬相生得四萬入益下亷為三百二十四萬又與商相生得一千二百九十六萬入益上亷内為三億二千六十四萬又與商相生得一十二億八千二百五十六萬入從方内為九十五億五千一百三十六萬乃命上續啇四十除實適盡所得八百四十歩為田積今列求率開方圖於後按此術以立天元一法明之法立天元一為尖積即大小兩三角積和自之得一平方為和自乘以半廣冪減大斜冪與餘積相乘得二十九萬一千六百歩為大三角積自乘以坐廣冪減小斜冪與餘數相乘得九萬歩為小三角積自乘二自乘數併而倍之内減去和自乘得七十六萬三千二百歩少一平方為較自乘與和自乘再相乘得七十六萬三千二百平方少一三乘方寄左次以大小兩三角積相減餘二十萬零一千六百歩為和較相乘數自之得四百零六億四千二百五十六萬歩與左相等則後歩數為實前平方數為從上亷三乘方數即益隅與草中所取之數悉合又按此苦以小率九萬歩開平方得三百歩即小三角積以大率二十九萬一千六百歩開平方得五百四十歩即大三角積併之得八百四十歩即尖積其法甚易然必如此費算者殆欲用立天元一法不求分積即得所問之總積也正負開三乘方圖術曰商常為正 實常為負 從常為正 益常已上係開三乘方翻法圖後篇效此三斜求積問沙田一叚有三斜其小斜一十三里中斜一十四里大斜一十五里里法三百歩欲知為田幾何荅曰田積三百一十五頃術曰以少廣求之以小斜冪併大斜冪減中斜冪餘半之自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上餘四約之為實一為從隅開平方得積草曰以斜一十三里自乘得一百六十九里為小斜冪以大斜一十五里自乘得二百二十五里為大斜冪併小斜冪得三百九十四里於上以中斜一十四里自乘得一百九十六里為中斜冪減上餘一百九十八里以半之得九十九里自乘得九千八百一里於上以小斜冪一百六十九乘大斜冪二百二十五得三萬八千二十五減上餘二萬八千二百二十四以四約之得七千五十六里為實以為一隅開平方以隅超歩為一百乃於實上商置八十以商生隅得八百為從方乃命上商除實餘六百五十六又以商生隅入方得數退一位為一百六十隅退二位為一乃於實上續商四里生隅入從方内得一百六十四乃命續商除實適盡所得八十四里為田積其形長八十四廣一里以里法三百歩自乘得九萬歩乘八十四里得七百五十六萬歩以畝法二百四十除之得三萬一千五百畆又以頃法一百畆約之得三百一十五頃按此術以立天元一法明之法立天元一為三角積倍之得二元自之得四平方為中長冪乘底冪以大斜為底寄之又以小斜冪與大斜冪相加内減中斜冪得一百九十八里半之得九十九里為小分底與底相乘長冪自之得九千八百零一里為小分底冪乘底冪之數又以小斜冪大斜冪相乘得三萬八千零二十五里為小分底冪乘底冪中長冪乘底冪各一内減小分底冪乘底冪之數餘二萬八千二百二十四里為中長冪乘底冪之數與寄數等兩邊各以四約之得七千零五十六里與一平方等里數為實方數即從隅也從二題同此斜蕩求積問有蕩一所正北濶一十七里自南尖穿徑中長二十四里東南斜二十里東北斜一十五里西斜二十六里欲知畆積幾何荅曰蕩積一千九百一十一頃六十畆術曰以少廣求之置中長乘北濶半之為寄以中長冪減西斜冪餘為實以一為隅開平方得數減北濶餘自乘併中長冪共為内率以小斜冪併率减中斜冪餘半之自乘於上以小斜冪乘率減上餘四約之為實以一為隅開平方得數加寄共為蕩積草曰以中長二十四里乘北濶一十七里得四百八乃半之得二百四里為寄以中長自乘得五百七十六為長冪以西斜二十六里自乘得六百七十六為大斜冪以減長冪餘一百里為實開平方得一十里以減北濶數一十七里餘七里自乘得四十九里併長冪五百七十六得六百二十五為内率次置東小斜一十五里自乘得二百二十五為小斜冪又置東南中斜二十里自乘得四百為中冪却以小斜冪併率得八百五十以減中冪四百餘四百五十乃半之得二百二十五自乘得五萬六百二十五里于上又以小斜冪二百二十五乘率六百二十五得一十四萬六百二十五減上餘九萬里以四約得二萬二千五百為實開平方得一百五十併寄二百四里得三百五十四里為泛以里法三百六十自乘得一十二萬九千六百歩乘泛得四千五百八十七萬八千四百歩以畆法二百四十歩約之得一千九百一十一頃六十畆為蕩積計地容民問沙洲一叚形如棹力廣一千九百二十歩從三十六百歩大斜二千五百歩小斜一千八百二十歩以安集民每户給一十五畆欲知地積容民幾何荅曰池積一百四十九頃九十五畆 容民九百九十九戸 餘地一十畆術曰以少廣求之置廣乘長半之為寄以廣冪併從冪為中冪(按實大斜冪)以小斜冪併中冪減大斜冪(按實中斜)(冪)餘半之自乘于上以小斜冪棄中冪減上餘以四約之為實以一為隅開平方得數加寄共為積以每户給數除積得容民戸數草曰置廣一千九百二十歩乘從三千六百歩得六百九十一萬二千歩乃半之得三百四十五萬六千歩為寄以廣自乘得三百六十八萬六千四百歩為廣冪又以從自乘得一千二百九十六萬步為從冪併廣冪得一千六百六十四萬六千四百步為中冪次以小斜一千八百二十歩自乘得三百三十一萬二千四百歩為小斜冪又以大斜二千五百歩自乘得六百二十五萬歩為大斜冪却以小〔？〕冪併中冪得一千九百九十五萬八千八百歩以大斜冪減之餘一千三百七十萬八千八百歩乃半之得六百八十五萬四千四百歩自乘得四十六萬九千八百二十七億九千九百三十六萬歩於上次以小斜冪乘中冪得五十五萬一千三百九十五億三千五百三十六萬歩減上餘八萬一千五百六十七億三千六百萬為實以四約之得二萬三百九十一億八千四百萬為實以一為隅開平方得一十四萬二千八百歩併寄三百四十五萬六千歩共得三百五十九萬八千八百歩以畆法二百四十歩除之得一萬四千九百九十五畆次以頃法一百畆約之為一百四十九頃九十五畆為地積又為實以每户所給一十五畆為法除實得九百九十九户不盡一十畆不及一戸所給數以為餘地一十畆蕉田求積問蕉葉田一叚中長五百七十六歩中廣三十四歩不知其周求積畆合幾何荅曰田積四十五畆一角(按六十歩為一角葢四分畆之一也)十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三術曰以長併廣再自乗又十乘之為實半廣半長各自乘所得相減餘為從方一為從隅開平方半之得積草曰以長五百七十六歩併廣三十四歩得六百一十兩度自乘(按即自乘再乘)得二億二千六百九十八萬一千歩進一位即是以十乘之得二十二億六千九百八十一萬歩定得此數以為實置長五百七十六以半之得二百八十八自乘得八萬二千九百四十四於上又置廣三十四歩以半之得一十七自乘得二百八十九減上餘八萬二千六百五十五為從方以一為從隅開平方得二萬一千七百四十二歩不盡一萬四百二十六歩以商生隅入方又併隅算共得一十二萬六千一百四十為母與不盡及開方田積數皆半之田積定得一萬八百七十一步六萬三千七十分歩之五千二百一十三以畆法二百四十約之得四十五畆一角一十一歩六萬三千七十分歩之五千二百一十三按此術以長與廣相加自乘再乘又以十乘之為長方積以半長自乘半廣自乘相減為長濶較求得闊折半為田積非法也此題中廣甚小故得數較古法多七百餘較密法少二千七百餘若設長為七百零七廣為二百九十三亦以此法求之長廣相加自之再之又十乘之得一百億為實半長半廣各自之相減得十萬零三千五百為長闊較求得闊折半得三萬零四百二十六歩餘為田積依宻法求之實十四萬四千九百餘歩所差甚逺其術之不合顯然矣葢數必三乘而後可以平方求之今再乘之後僅以十進之宜其不可用也漂田堆積問三斜田被水衝去一隅而成四不等直田之狀元中斜一十六步如多長水直五歩如少濶殘小斜一十三歩如弦殘大斜二十歩如元中斜之弦横量徑一十二歩如殘田之廣又如元中斜之勾亦是水直之股欲求元積殘積水積元大斜元中斜二水斜各幾何荅曰元積一百三十八歩一十一分歩之八水積一十二歩一十一分歩一八(按應一十三歩一十)(一分歩之七)殘積一百二十六歩元大斜二十九歩一十一分歩之一元小斜一十八歩一十一分歩之一(按應一十一分歩之十)水大斜九歩一十一分歩之一水小斜五歩一十一分歩之一(按應一十一分歩之一)術曰以少廣求之連枝入之又勾股入之置水直減中斜餘為法以中斜乘大殘為大斜實以法除實得元大殘以殘大斜減之餘為水大斜以法乘徑又自之為小斜隅以水直冪併徑冪為弦冪又乘徑冪又乘中斜冪為小斜實與隅可約約之閉連枝平方得元小斜以殘小斜減之餘為水小斜以水直乘之為水實倍水小母為法除之得水積(按此處法踈)以水直併中斜乘徑為實以二為法除之得殘積以殘積併水積共為元積分者通之重有者重通之草曰以水直五減中斜一十六餘一十一為法以中斜一十六乘大殘二十得三百二十為大斜實以法除之得二十九歩一十一分歩之一為元大斜内減殘大斜二十歩餘九歩一十一分歩之一為水大斜以法一十一乘徑一十二(按乘徑可省)得一百三十二自之得一萬七十四百二十四為小斜隅以水直五自乘得二十五為水直冪以徑一十二自之得一百四十四為徑冪併水直冪得一百六十九為弦冪以乘徑冪(按此乘徑冪亦可省葢以此乘)(復以此除徒為多筭耳)一百四十四得二萬四千三百三十六於上又以中斜一十六自乘得二百五十六為中斜冪以乘上得六百二十三萬一十六為小斜實開平方與隅求等得一百四十四俱約之實得四萬三千二百六十四隅得一百二十一開方不盡以連枝術入之用隅一百二十一乘實四萬三千二百六十四得五百二十三萬四千九百四十四為定實以一為定隅開平方得二千二百八十八為實以約隅一百二十一除之得一十八歩不盡一百一十一(按一百一十整)與法一百二十一俱以一十一約之得一十一分歩之十為元小斜減殘小斜一十三歩餘五歩一十一分歩之一(按十訛一故下數誤)為水小斜通歩内子得五十六以水直五歩乘之得二百八十為水實倍水小母一十一得二十二為法除之得一十二歩不盡一十六與法俱以二約之為一十二歩一十一分歩之八(按應一十)(二歩一十一分步之七)水積置中斜一十六併水直五得二十一乗徑一十二得二百五十二以半之得一百二十六為殘積以水併積共得一百三十八歩一十一分歩之八為元積(按應一百三十九步一十一分步之七)數學九章卷三上
## 卷三下
欽定四庫全書
數學九章卷三下 宋 秦九韶 撰田域環田三積問環田大小圓田共三段環田外周三十步虗徑八步大圓田徑一十步小圓田周三十步欲知三田積及環田周通實徑大圓周小圓徑各㡬何答曰環田積二十步二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五通徑九步一十九分步之九 實徑一步一十九分步之九 内周二十五步一十七分步之五大圓田積七十九步五十三分步之三 周三十一步二十一分步之十三小圓田積七十一步二百八十六分步之四十三 徑九步一十九分步之九術曰以方田及少廣率變求之各置圓環徑自乗為冪進位為實以一為隅開平方得周各置環圓周自乗為冪退位為實以一為隅開平方得徑以周冪或徑冪乗各實以一十六約之為實以一為隅開平方得圓積置環周冪乘徑實十六約之為大率置虚徑冪乗内周實十六約之為小率以二率相減之餘以自乗為實併二率倍之為從上亷一為益隅開三乗方得環積置環周自乗退位為實一為隅開平方得通徑以虚徑減通徑餘為實徑其有開不盡者約而命之草曰置大圓徑一十步自乗得一百為徑冪進位得一千為實以一為隅開平方得三十一步不盡三十九為分子乃以隅生方又益隅共得六十三為分母以分子與母求等得三俱以三約之母子得二十一分步之一十三為大圓周三十一步二十一分步之一十三次以徑冪一百乗前實一千得一十萬以十六約之得六千二百五十為實以一為隅開平方得七十九步不盡九為分子乃以隅生方又增隅得一百五十九為分母以分子母求等得三俱以三約母子得五十三分步之三為大圓積七十九步五十三分步之三次置小圓田周三十步自乗得九百為周冪退位得九十為徑實以一為隅開平方得九步不盡九以隅生方又益隅得一十九步之九為小圓徑九步一十九分步之九次以周冪九百乗前實九十得八萬一千以十六約之得五千六十二步五分為實以一為隅開平方得七十一步有不盡數二十一步五分為子以隅生方又益隅得一百四十三為分母以分子母求等得五分俱約之得二百八十六分步之四十三為積次置環田周三十步自乗得九百為周冪退位得九十為實以一為隅開平方得九步不盡九為分子以隅生方併隅得一十九為分母直命之為環田通徑九步一十九分步之九次以環周冪九百乗環實九十得八萬一千以十六約之得五千六十二步五分為大率次置環田虗徑八步自乗得六十四為虗冪進位得六百四十為實以一為隅開平方得二十五步不盡一十五為分子以隅生方又併隅得五十一為分母與子求等得三俱約之得一十七分步之五為環田内周二十五步一十七分步之五次以虗冪六十四乗周實六百四十得四萬九百六十以十六約之得二千五百六十為小率以小率減大率餘二千五百二步五分自乗得六百二十六萬二千五百六步二分五釐為實以大小二率併之得七千六百二十二步五分倍之得一萬五千二百四十五為從上亷以一為益隅開玲瓏三乗方得二十步不盡三十二萬四千五百六步二分五釐為分子續啇無數乃以益隅一益下亷八十併之得八十一為減母次以從上亷一萬二千八百四十五併從方五十七萬七千八百得五十九萬六百四十五以母八十一減之餘五十九萬五百六十四為分母以分子求等得二分五釐俱約之得二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五為環田積二十步二百三十六萬二千二百五十六分步之一百二十九萬八千二十五次置環田通徑九步一十九分步之九以虚徑八步減之餘一步一十九分步之九為環田實徑合問按周徑相求以進位退位為實者蓋以徑一周三有竒徑一自之仍得一周自之略與十等故徑冪升一位為周冪周冪降一位為徑冪以省算亦法之巧者其徑求周較宻率約大一百五十七分之一周求徑約小一百五十九分之一然較古率則已宻矣其周冪徑冪相乗十六約之開平方得圓積者蓋周徑相乗四歸得圓積徑自乗為方積故四歸亦展為自乗十六之數約之得四分徑之冪乗周冪之數故開方得圓積至求環積與前求尖田積同但彼立天元一為兩積之和此立天元一為兩積之較耳其式如左法立天元一為環田積即内外兩圓積之較自之得一平方為較自乗以大小率(即二圓積各自乗)併而倍之得一萬五千二百四十五步内減較自乗得一萬五千二百四十五步少一平方為和自乗與較自乗再相乗得一萬五千二百四十五平方少一三乗方寄之次以大小率相減餘二千五百零二步五分為和較相乗再自之得六百二十六萬二千五百零六步二分五釐與寄數等即為實寄數内平方數即從上亷三乗方數即益隅此圗照問列位以後照草運算乃先置次大徑以上副自乗得中以中進位為次實以一為下隅凡九變至此得大圓徑次求大圓積上副自乗得中以次約之得下為實凡十一變至此得大圓積次求小圓徑一十一變得小圓積次求環田通徑當求環田通徑蓋環田之外周三十步與小圓田外周同則不遇與前七變諸圗一理兹不復繁乃求實徑凡九變得環田内周次求環積開三乗方凡二十變至此得環田積數求實徑但以虚徑减通徑餘一步一十九分步之九為環田實徑均分梯田問户業田一段若梯之狀南廣小三十四步北廣大五十二步正長一百五十步合係兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形難分經官乞分南甲乙北内欲知其田共積各人合得田數及各段正長大小廣㡬何答曰田共積二十六畆二百一十步甲得八畆三角五十步 小廣三十四步係元南廣 大廣四十步五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四大約百分步之八十九 正長五十七步二千四十五分步之 百五十三大約一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步 小廣同甲大廣大廣四十六步八萬四千八百二十六億八千九百五十七萬二千六百五十一分步之六萬五千八百七十四億五千四百八十二萬五千二百八十三計大率約百分步之七十七分半強 正長四十九步四億一千二百四十萬六千二百九分步之二千二十七萬六千三百一十九大約百分步之四分九釐丙得八畆三角五十步 小廣同乙大廣大廣五十二步係元北廣 正長四十三步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四千四百八十八億八千六百二萬九千四十六大約百分步之五十三分強術曰以少廣及從法求之併兩廣乗長得數以分田人數約之為通率半之為各積以長乗各積為共實以長乗南廣為甲從方二廣差半之為共隅開連枝平方得甲截長以甲長除通率得數減小廣餘為甲廣即為乙小廣以元長乗乙小廣為乙從方置共隅共實開連枝平方得乙截長以乙長除通率得數減乙小廣餘為乙大廣即為丙小廣倂甲乙長減元長餘為丙長以元大廣為丙大廣各有分者通之草曰置小廣三十四併大廣五十二得八十六乗長一百五十得一萬二千九百為實以兄弟三人約之得四千三百為通率半之得二十一百五十為各積以 法二百四十步約之得八畆不盡二百三十步以角法六十步約之得三角五十步是三人各得八畆三角五十步以元長一百五十步乗各積二千一百五十得三十二萬二千五百為共實以長一百五乗小廣三十四得五千一百為甲從方以小廣大廣餘一十八乃半之得九為共隅開連枝平方(開方革更不繁)(具)得五十七步不盡三約為二千四十五分步之八百五十三為甲截長乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一萬七千四百一十八為法又以分母乗通率四千三百得八百七十九萬三千五百為實以法除之得七十四步不盡一十萬四千五百六十八與法求等得二俱約之為五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四乃以小廣三十四步於所得全步七十四步内減之餘四十步五萬八千七百九分步之五萬二千二百八十四為甲大廣即為乙小廣今次求乙長乃以分母五萬八千七百九通乙小廣四十步得二百三十四萬八千三百六十内子五萬二千二百八十四得二百四十萬六百四十四又元長一百五十乗之得三億六千九萬六千六百為乙從方又以分母五萬八千七百九通共實三十二萬二千五百得一百八十九億三千三百六十五萬二千五百為乙實又以分母通共隅九得五十二萬八千三百八十一為乙從隅開連枝平方(更不立草)得四十九步不盡二千二十七萬六千三百十九隅併方共得四億一千二百四十萬六千三百九為母與不盡求等單一不可約乃定為四十九步四億一千二百四十萬六千三百九分步之二千二十七萬六千三百一十九為乙截長以乙長母通全步内子得二百二億二千八百一十八萬五千四百六十為法以乙長七千七百三十三億四千七百一十二萬八千七百為實以法除之得八十七步不盡一百三十四億九千四百九十九萬三千六百八十與法求等得一百四十俱約之為八十七步一億四千四百四十八萬七千三十九分步之九千六百三十九萬二千八百一十二為得數乃以乙小廣母五萬八千七百九乗得數子九千六百三十九萬二千八百一十二得五萬六千五百九十一億二千五百五十九萬九千七百八為泛却以得數母一億四千四百四十八萬七千三十九分乗乙小廣子五萬二千二百八十四得七萬五千五百四十三億六千三十四萬七千七十六為寄數於上乃以小廣母五萬八千七百九乗得數母一億四千四百四十八萬七千三十九得八萬四千八百二十六億八千九百五十七萬二千六百五十一以寄減泛今不及減乃破全步一為分併泛得八十六步十四萬一千四百一十八億一千五百一十七萬二千三百五十九減去小廣四十步及分餘四十六步八萬四千八百二十六億八千九百五十七萬二千六百五十一分步之六萬五千八百七十四億五千四百八十二萬五千二百八十三為乙大廣亦丙小廣求丙長置甲長五十七步二千四十五分步之八百五十六乙長四十九步四億一千二百四十萬六千三百九分步之二千二十七萬六千三百一十九以甲乙分母互乗子甲乙分母相乗得甲正長五十七步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之三千五百三十億一千九百八十萬五百四億乙正長四十九步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四百一十四億六千五百七萬二千三百五十五併甲乙長及分共長一百六步三千九百四十四億八千四百八十七萬二千八百五十九分用減元長一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三億七千九十萬一千九百五減去甲乙長長餘四十三步八千四百三十三億七千九十萬一千九百五分步之四千四百八十八億八千六百二萬九千四十六為丙正長按此術以立天元一法明之法立天元一為甲正長南北廣差折半得九以乗天元得九元以共正長除之得一百五十分天元之九為甲之半廣差與小廣相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乗之得三十四元多一百五十分平方之九即與每人分田二千一百五十步等兩數各以分母一百五十乗之得三十二萬二千五百步與九平方多五千一百元等步數為實元數為從方平方數為隅得甲正長求乙丙長廣同此但多一帶分故其數較繁數學九章卷三下
## 卷四上
欽定四庫全書
數學九章卷四上 宋 秦九韶 撰測望按測望之法見於晉劉徽海島算經原名重差其書一卷九題法簡數宻此卷本其法而擴充之於古人之意實多所發明然其中譌舛之處較他卷尤甚今悉為正之至術有未合者更設法以附其後焉望山高逺問名山去城不知高逺城外平地有木一株高二丈三尺假為前表乃立後表與木齊高相去一百六十四歩先退前表三丈九寸次退後表三丈一尺三寸斜望山峯各與其表之端參合人目高五尺里法三百六十歩歩法五尺欲知山高及逺各㡬何答曰髙二十里半零三歩五分歩之三 逺二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七按術數誤後入目距山係三十五里二百三十九歩一尺三寸其故詳後術曰以勾股求之重差入之置二退表相減餘為高法通表間併法於上以目高減表高餘乗上為寔寔如法而一得山高以法乗表高為逺法(按此條法誤應以法)(乗表高與人目去地之較)以退後表乗髙寔為逺寔寔如法而一得山逺望山髙逺圖(按舊圖畫山木在術前今山改移於此)草曰置後退表三丈一尺三寸減前退表三丈九寸餘四寸為高法置表去木一百六十四歩以歩法五十寸通得八千二百寸為表間併法四寸得八千二百四寸於上以目髙五尺減表高二丈三尺餘通之為一百八十寸乗上得一百四十七萬六千七百二十寸為髙實實如髙法四寸而一得三十六萬九千一百八十寸為積寸次以歩法五十寸約之得七千三百八十三寸五分歩之三次以里法三百六十歩約之得二十里一百八十三歩五分歩之三為山髙(按此所得係人目上之山高若加人目高則多一歩)次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十為逺法(按誤同前)以退後表三丈一尺三寸乗髙實一百四十七萬六千七百二十寸得四億六千二百二十一萬三千三百六十寸為逺實實如逺法九百二十寸而一得五十萬二千四百五寸二十三分寸之一十九為積寸乃以歩法五十寸乗逺法九百二十得四萬六千寸為法亦除逺實得一萬四十八歩不盡五千三百六十與法求等得八十俱以約之得五百七十五分歩之六十七又以里法三百六十歩約得二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七為山去後表入立望處等圖如後按術中求山髙法合其求逺以表髙乗高法為逺法則誤葢本法應即以高法為逺法以退後表乗表問并法為寔即得後人目距山之逺今以退後表乗髙寔為寔而髙寔乃目高減表高乗表減併法之數則逺法亦當以目髙減表髙乗髙法今即以表髙乗之則法數大故得數小也乃以頭位八千二百四寸乗中一百八十寸得一百四十七萬六千七百二十寸為髙寔乃以歩法五十寸乗中位逺法九百二十寸得下位四萬六千寸為後圖中位歩寸法乃以中除上得下位里數及零歩其不盡寸與法求得八十俱約之為歩分母子之數臨臺測水問臨水城臺立髙三丈其上架樓其下址側脚濶二尺謢岸排沙下橋去址一丈二尺外椿露土髙五尺與址下平遇水漲時浸至址今水退不知多少人從樓上欄杆腰中駕一竿出外斜望水際得四尺一寸五分乃與竿端參合人目髙五尺欲知水退立深涸岸斜長自臺址至水際各幾何按算題固不厭其難然必簡而不漏繁而不贅始為合作如此題本意謂竿端與臺址上下懸直則側脚闊二尺句已贅又不明言人目距臺邊逺近皆故為黯黮也術曰以勾股變法兼少廣求之求涸岸斜長置出竿乘臺髙為叚以去基乘叚為闊泛以岸髙乘叚為淺泛以目髙乘去基為約泛三泛可約者約之為定率不可約徑為率以闊率自乘為闊冪以淺率自乘為淺冪併闊淺二冪共為竣冪復乘闊冪於上以臺髙冪乘上為竣實次以闊率乘淺率為寄以臺髙數乘闊率又乘約率得數内減寄餘自乘為竣隅騐峻實峻隅兩者可約求等約之為峻定實峻定隅開同休連枝平方得峻岸斜長(同休格先以隅開平方得數名同隅以同隅乘定實開之)(得數為寔以同隅為法除之得竣斜除按此條誤草中乃即以定實開平方得數以同隅 之為竣斜也)求水退深基岸髙冪乘竣定實為深實以去岸冪併岸為冪乗竣定為深隅(其深實深□可約約之仍以同休格入之)開連枝平方得水退深臨䑓測水圖(按舊圖畫樓䑓不畫正髙在術前今改正移于此)草曰以出竿四十一寸五分乘䑓髙三十尺得一百二十四尺五寸為段以去址一十二尺乘叚得一千四百九十四以為闊泛以䕶岸髙五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸為淺泛以目髙五尺乗去址一十二尺得六十尺為約泛以闊泛淺約泛三者求等等得一尺五寸皆以約其闊泛得九百九十六尺為闊率其淺泛得四百一十五尺為淺率其約泛得四十尺為約率以闊率九百九十六自乗得九十九萬二千一十六尺為闊冪以淺率四百一十五自乗得一十七萬二千二百二十五尺為淺冪倂闊淺二冪得一百一十六萬四千二百四十一為竣冪以闊冪九十九萬二千一十六尺乘竣冪得一萬一千五百四十九億四千五百六十九萬九千八百五十六尺於上又以臺髙三十尺自乘得九百尺為臺髙冪乗上得一千三十九萬四千五百一十一億二千九百八十七萬四百尺為竣實次以闊率九百九十六乘淺率四百一十五得四十一萬三千三百四十為寄以臺髙三十乘闊率九百九十六得二萬九千八百八十文乘約率四十得一百一十九萬五千二百内减寄餘七十八萬一千八百六十尺自乗得六千一百一十三億五百五萬九千六百尺為隅以隅與竣實求等得二千四百八十萬四百俱以約之得四千一百九十一萬二千六百七十六尺為竣定實得二萬四千六百四十九為竣定隅開同休連枝平方得竣岸至水際斜長驗同休格乃以定隅二萬四千六百四十九萬為實先以一為隅開平方得一百五十七為同休法次以竣定實四千一百九十一萬二千六百七十六尺為實亦以一為隅開平方得六千四百七十四尺為同休實實如同休法一百五十七而一求等得一俱以一各約之其法與餘只得此數乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七為涸岸斜長至水際求退水深置岸髙五尺自乗得二十五為岸髙冪乗竣定實四千一百九十一萬二千六百七十六尺得一十億四千七百八十一萬六千九百為深泛以去岸一十二尺自乗得一百四十四尺為去岸冪併岸髙幕二十五尺得一百六十九尺以乗竣定隅二萬四千六百四十九得四百一十六萬五千六百八十一為隅泛置二泛求等得一百六十九俱約二泛得六百二十萬一百為定實得二萬四千六百四十九為深定隅開連枝平方得水退立深驗同休格乃以深定隅二萬四千六百四十九為實先以一為隅開平方得一百五十七為同休法次以深實實六百二十萬一百為實亦以一為隅開平方得二千四百九十為同休實實如法一百五十七而一得一十五尺不盡一百三十五與法求等得一俱以一各約法與只得此數乃直命之得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五為水退立深數也按此條術雖甚繁理數皆極精宻非兼通於勾股通分之法者不能立也但累乗累除錯綜變換皆未嘗明言其不能無金鍼不度之疑今繪圖以之並條拆其乘除各數于後如圖甲乙為䑓正髙乙丙為樁去䑓址丙丁為岸髙乙戊為臺址至水際即為峻斜己庚為人目髙甲庚為出竿戊癸為水面正深題有甲乙䑓髙乙丙樁去址丙丁去樁甲庚出竿己入庚目髙求乙辛竣斜自丁㸃與丙丁平行相等作丁辛線自乙㸃與丙丁並行作丁作乙辛線自丁㸃與戊甲平行作丁壬㸃得壬丁辛勾股形内有乙丁辛勾股形一與乙丙丁辛等有乙丁壬三角形一與甲乙戊形同式法當以己庚小股乗庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股次以乙丁三小角形下斜邉乗甲乙戊形直邉以乙辛减壬辛餘壬乙為乙丁壬形直邉為法除之得乙戊為甲乙戊形下斜邉即所求䑓址至水際之峻斜其法只用丨除两次甚屬易簡即遇數不盡者以通分御之冄加一二次乗除可以乃必增至十餘次多者始欲窮數之變就一題以為諸法之例非徒為繁難也試依術内逓次乗除之數逐條細論之出竿(甲庚)乗髙䑓(甲乙)為段去址(乙丙)乗段為闊率(原名闊泛約之)(為闊率今即為闊率)為去址乗䑓髙出竿長冪之數闊率自乗為闊冪即如去址冪乗䑓髙出竿長冪自乗之數又即如去址冪乗䑓髙冪又乗出竿冪之數岸髙(丙丁)乗段為淺率(原名淺泛約之為淺令即淺淺率)為岸髙乗䑓髙出竿長冪之數淺率自乗為淺冪即如岸髙冪乗臺髙出竿長冪自乗之數又即如岸髙冪乗䑓髙冪又乗出竿冪之數併闊冪淺冪為淺冪為竣冪 (乙丁)冪乗臺髙出竿長冪自乗之數又即如小斜冪乗䑓冪又乗出竿竿冪之數闊冪峻冪相乗為上數即如小斜冪乗去址冪又乗臺髙冪自乗又乗出竿冪自乗之數闊率淺率相乗為寄數即土去址岸髙相乗又乗䑓髙冪又乗出竿冪之數去址目髙(己庚)相乗為約率即如出竿乗壬辛臺髙乗闊率即如去址乗臺髙冪又乗出竿之數又以約率乗之即如去址壬辛相乗冪又乗臺髙冪又乗出竿冪之數内减寄數餘去址壬乙相乗冪又乗臺髙冪又乗出竿冪之再自乗之隅數即如壬乙冪乗去址冪又乗臺髙冪自乗又乗出竿冪自乗之數上數隅數内去址冪臺髙冪自乗出竿冪自乗各數皆同則用上數乗隅數除即如用小斜冪乗壬乙冪除矣以䑓髙冪乗上數若以隅數除之即得竣斜(乙戊)冪但數不能盡故約之帶隅數開平方所謂連枝同休法也至闊泛淺用于乗數約泛用于除數故可两邉同約又為省算也求水立深同此陟岸測水問行師遇水須計篾䌫搭造浮橋今垂繩量陟岸髙山丈人立其上欲測水面六闊以六尺為矩平持去目下五今矩本抵頤遥望水彼岸與矩端岸相合又望水此岸沙際入矩端三尺四寸人目髙五尺其水面闊幾何答曰水闊二十三丈四尺六寸(按應二十三丈八尺)術曰以勾股重差求之置短去目下寸為法以人目併岸髙減去法(按減法誤)餘乗人矩端為實如法而一得水闊陡岸測水圗(按舊圗畫岸水視緑不能在術前令改正移於此)草曰置矩本去目下五寸為法以入目髙五尺併岸髙三丈得三丈五尺通為寸得三百五十寸减去五寸餘三百四十五寸乗沙際入矩端三十四寸得一萬一千七百三十寸為實實如法五寸而一得二千三百四十六寸展為二十三丈四尺六寸為水闊合問按測望諸線皆合于人目之一㸃其髙正當自人目計之今减去人目距矩自矩下計之不得其理矣表望方城問敵城不知廣逺傍城南山原林間房之林際有木二株南北相去一百六十步遥與城東方面参相直乃于二水之東相對立两表表間與木四方平人目以繩維之人自東後表向西行一十步望城東北隅入東前表一十五步又望城東南隅入東前表四十八歩強半歩里法三百六十欲知其方廣及相去幾何答曰城東廣各一十二里三百二十步城去木九里三百二十歩按答數皆誤今推得城方廣各一十一里二百二十歩又三十一分步之二十城東南隅至北木一里九十九歩又三十一分歩之一十二術曰以勾股重差求之置城東南隅景入表减表間餘乗表間為城去木寔以西方歩減城東北隅景入表餘為法(按此句法誤)得城去木數以城東北隅景入表減表間餘乗表間為廣實實如前法而一得城廣(按此所得乃城東北隅至前木之逺以為城廣數誤也)表望方城圖(按舊圖畫城南二木與城東面不城一直線在術前今改正移于此)草曰以西行一十步減東北隅入表一十五步餘五歩為法以城東南隅景入表四十八步七分半減表間一百六十步餘一百一十一歩二分半乗表間一表六十歩得一萬七千八百為城去木寔以法五歩除之(按誤同上)得三千五百六十歩以里法三百六十約之得九里三百二十步為城去木里及步數 次置城東北隅京十表一十五步减表間一百六十餘一百四十五歩乗表間一百六十得二萬三千二百為减實以以前法五步除之得四千六百四十歩以里法三百六十約之為一十二里三百二十歩即城方廣里及歩數(按誤亦同上)合問按此題之要在二本與城東面成一直面方城與表木方形各邉俱平西行減城東南隅入表之較與表間成小勾股形城東南隅入表間表間之表與城東南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故術草中第二求以城東北隅入表減表間之餘乗表間為實以西行步減城東北隅入表之餘為法除實是也但所得為城東北隅至前木之逺以為城廣則誤矣又西行步減城東南隅入表之較與表間成小勾股形城東南隅入表減表間之較與城東南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城東南隅入表減表間之餘乗表間為實應以西行步減城東南隅入表之為法除之即得城東南隅之前木之逺術草中以西行步減城東北隅入表之餘為法故得數大七倍餘既得城東面南北二隅距前木之逺則相減為城廣可知矣遥度城問有圓城不知周徑四門中開北外三里有喬木出南門便折東門九里乃見木欲知城周徑各幾何(圓用故法)答曰徑九里 周二十七里術曰以勾股夕桀求之一為從隅五因北外里為從七亷置北里冪八因為從五亷以北里冪為正率以東行冪為負率二率差四乗北里為益從從三亷倍負率成五亷為益上亷以北里乗上亷為實開玲瓏九乗方得數自乗為徑以三因徑得周遥度圓城(圖舊圖畫城掛在術 前今刪改移于此)草曰以一為從隅以五因北三里得一十五里為從七亷以北三里自乗得九里為正率以八因率得七十二為從五亷以西行見里自乗得八十一為負率以正率九減負率餘七十二位負差以四因之得二百八十八以乗北三里得八百六十四係負差所乗者為益三亷倍負率八十一得一百六十二乗五㢘七十二得一萬一千六百六十四為益上亷以北三里乗上亷得三萬四千九百九十二為實置實亷隅玲瓏空隅位方亷以約實衆法不可超進乃于實上定商三里其隅與商相生得三為從下亷又與商相生入從七亷共得二十四為星亷又與商相生得七十二為從六亷又與商相生入五 内共得二百八十八又與商相生得八百六十四為從四亷又與商相生得二千五百九十二為正三亷内消益三亷八百六十四訖餘一千七百二十八為從三亷又與商相生得五千一百八十四為從二亷又與商相生得一萬五千五百八十二為從上亷内消益上亷一萬一千六百六十四訖餘三千八百八十八為正上亷又與商相生得一萬一千六百六十四為從方乃命上商三里除實適盡得三里以自乗之得九里為城圓徑之里數又以故法圓率三因之得二十七為城周以上求率圖以後開方圖實與益皆負畫黑商與從皆正畫朱按商實負字旁書已明今皆用黒按凡勾股難題用立天元一法取之多至三乗方而至元李冶測圓海鏡一百七十問僅一題取至五乗方猶自以為煩此題非甚難者乃取至九乗方蓋未得其要也細校術草中亷隅積實之數與立天元一法自然相生者廻殊且凡立天元一法開方後未有不得所求之數者今得數自乗始為所之數尤于古人立法之意不合爰另立取法並歩算之式於後法立天元一為圓城徑加三里得三里多一元為大股自之得九里多六元多一平方為大股冪九里為大勾自得之八十一里為大勾冪相併得九十里多六元多一年方為大弦冪又以大股為小勾弦和三里為小勾弦較和較相乗得九里多三元為小股冪二分天元之一為小勾加小勾三里得三里多二分元之一為小弦自得之九里多三元多四分平方之一為小弦冪乃以小冪與大股冪相乗得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又以大弦冪與小股冪相乗得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方與寄數等両邉各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乗方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元與七百二十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方九平方九百七十二元與二千九百一十六里等乃以里數為實以元數為益方平方數為從上亷立方数為從下亷三乗方数為隅開帯縱三乘方得九里為城徑開方式附後法列寔及方亷隅数約商九里乃以隅生商得九入下亷得一十五又以下亷生商得一百三十五入上亷得一百四十四又以商生上亷得一千二百九十六以消益方得二百二十四為從方以商生從方得二千九百一十六減實恰盡為開得三乘方為九里即城徑也數學九章卷四上
## 卷四下
欽定四庫全書
數學九章卷四下 宋 秦九韶 撰測望望敵圓營問敵臨河為圎營不知大小自河南岸至其地七里於其地立兩表相去二步其西表與敵營南北相直人退西表一十二步遥望東表適與敵營圓邉參合圓法用密率里法三百六十欲知其營周及徑各㡬何答曰營周六里一百二步七分步之六 徑二里按答數有誤營周係六里七十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八徑係一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九術曰以勾股夕桀求之置表間自乗為勾冪以退表自乗為股冪併二冪為弦冪置里通步自之乗勾冪為率自乗為泛實(按此數當即為實開𢃄從方今不開平方乃以合此數自乗並以此數升他數開𢃄從三乗方不)半弦冪乗率為泛從上亷(按半弦冪即半弦自乗又倍之之數)以勾冪減股冪餘四約之(按此即半勾半股各自乗相減之數)自乗為泛益隅(三泛可約之為定)開連枝三乗玲瓏方得營徑以密率二千二乗七除為周草曰置表間二步自乗得四為勾冪以退表一十二步自乗得一百四十四為股冪以勾股二冪併之得一百四十八為弦冪置七里以里法三百六十步通之得二千五百二十步自乗得六百三十五萬四百乗勾冪四得二千五百四十萬一千六百為率以率自乗得六百四十五萬二千四百一十二億八千一百五十六萬為之實乃半弦冪得七十四乗率二千五百四十萬一千六百得一十八億七千九百七十一萬八千四百為泛從上亷以勾冪四減股冪一百四十四餘一百四十以四約之得三十五以自乗得一千二百二十五為泛益隅置三泛求等得一千二百二十五(按即泛益隅)俱以約之得五千二百六十七億二千七百五十七萬七千六百為定實一百五十三萬四千四百六十四為從上亷一為定益隅開玲瓏三乗方乃以亷隅超二度約啇置七百上亷為一百五十三億四千四百六十四益隅為一億乃以上啇生隅得七億為益下亷又以上啇生益亷減從亷餘一百四億四千四百六十四萬為從上亷又以上啇生從亷得七百三十一億一千二百四十八萬為從方乃命上啇除實實餘一百四十九億四千二十一萬七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四億為益下亷又以上啇生益亷得益上亷減從亷餘六億四千四百六十四萬為上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六億二千四百九十六萬為方又以上啇生益隅入下亷得二十一億又以上啇生下亷為益上亷減從亷餘一百四十億五千五百三十六萬為益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八億諸法皆退方一退為七十七億六千二百四十九萬六千益上亷再退為一億四千五十五萬三千六百益下亷三退為二百八十萬益隅四退為一萬乃於上啇之次續啇置二十步以續啇生隅入下亷為二百八十二萬又以續啇生下亷入上亷為一億四千六百一十九萬三千六百又以續啇生上亷減從方餘七十四億七千一十萬八十八百乃命續啇除實適盡所得七百二十步以里法約之得二萬為營徑次以密率二十二乗七百二十得一萬五千八百四十為實以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法約之得六里一百二步七分步之六為營周按此題用平方可矣術中所謂率者即平方實也乃復加自乗開三乗方徒為繁冗耳且乗從亷用半弦自乗之倍數乗隅數應用半股自乗之數今用勾股冪較四分之一即用半股冪半勾冪之較比半股自乗數小一半勾自乗數故得數較大若轉求表間及退步必與原數不合試以相去七里為大勾弦和營徑三里為倍大勾相減得五里為大勾弦較和相乗得較三十五為大股冪大勾弦里自之仍得一為大勾冪置小勾冪四步以大股冪乗之得百百四十步以大勾冪除之仍得一百四十步為小股冪比原小股冪少四步其術之疎可知矣設用平方法如左法立天元一為營徑相去七里通為二千五百二十步為大勾弦和相減得二千五百二十步少一元為大勾弦較和較相乗得六百三十五萬零四百步二千五百二十元為大少股冪天元一半之以減相去步得二千五百二十步少二分天元之一為大弦自之得六百三十五萬零四百步少二千五百二十元多四分平方之一為大弦冪退步十二為小股自之得一百四十四步為小股冪表間二步為小勾自之得四步為小勾冪相併得一百四十八步為小弦冪以小弦冪乗大股冪得九億三千九百八十五萬九千二百步少三十七萬二千九百六十元寄之又以小股冪乗大弦冪得九億一千四百四十五萬七千六百步少三十六萬二千八百八十元多三十六平方與寄數為相等兩邉各減九億一千四百四十五萬七千六百步各加三十七萬二千九百六十元得二千五百四十萬零一千六百步(即術中率數)與三十六平方多一萬零八十元等三數求總等得三十六約步數得七十萬零五千六百為長方積為實約元數得二百八十為從方為長闊較約平方數得一為隅用𢃄從平方法開得闊七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九為營徑步以密率用二十二乗之徑七除之得二千二百三十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八為營周步各以里率収之得營周六里七十六步又一萬一千九百二十一分步之四千九百四十八營徑一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九還原之法置營徑步數通分納子得一二一一八三二分為倍大勾分數又以分母通相去步得四二九一五六 分為大勾弦和分數二數相減餘三 七九七二八分為大勾弦較分數和較分數相乗得一三二一六八三七四五九六八分為大股冪分倍大勾分折半得六 五九一六自之得三六七一三四一九九 五六分為大勾冪分及以小勾冪四步乗大股冪分得五二八六七三四九九八二七二 分以大勾冪分除之得一百四十四步為小股冪與原數合此猶用西表相去步也若細較之當用人目相去步則營周當多十二步餘營徑當多四步不足也望知敵衆問敵為圓營在水北平沙不知人數諜稱彼營布卒占地方八尺我軍在水南山原於下立表髙八丈與原山腰等平自表端引䋲虚量平至人足三十步人立其處望彼營北陵與表端參合又望營南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圓密率入重差求敵衆合得㡬何答曰敵衆八百四十九人按數不合應二百七十三人其故詳草後術曰以勾股乗之置人退表步(按此條誤法應置表髙)乗入表為實以人目髙為法除之得徑以密周率乗徑得數為實以密徑率因人立為法約之得外周人數餘収為一副置加六以乗副得數為實如一十二而一餘亦収為全望知敵衆圖(按舊圖畵山水在術前今刪改移於此)草曰置人立退表三十步以步法五尺展為五十寸通之得一千五百寸乗入表八尺得一十二萬寸為實以人目髙四十八寸為法除之以密率周法二十二乗徑二千五百得五萬五千寸為實以密率徑法七因諜稱人立八尺得五百六十為法以法五百六十寸約實五萬五千寸得九十八人為外周人數不盡一百二十寸棄之副置外周九十八人加六得一百四人乗副為實按此術應置表髙加人目髙以入表棄之誤置退步以入表乗之故人數差多二倍盖思省偶未至耳至求人數先用密率次用束箭法亦未盡合題問今依其數各步於後求營徑置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乗之得六萬七千八百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一為營徑盖以表髙加人目髙為大股營徑為大勾較人目髙為小股入表為小勾較置大股以小勾較乗之以小股除之即得大勾較也求人數用密率置徑為實倍每人占地八尺得一十六尺為法除實得八為外層數加最内一層得九為共層數餘一十三尺三寸又三分寸之一為最内徑以最内徑與最外徑(即營陘)相加以九層乗之折半得六百九十六尺為九層共徑數以密周率二十二乗之得一萬五千三百一十二尺為實以密率七乗每人占地八尺得五十六尺為法除之得二百七十三人餘三尺又七分尺之三棄之此法應先求得内外圓周再求九層共周數今先求九層共徑數然後變為圓周其理一也望敵逺近問敵軍處北山下原不知相去逺近乃於平地立一表髙四尺人退表九百步(步法五尺)遥望山原適與表端參合人目髙四尺八欲之敵軍相去㡬何答曰一十二里半術曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙減之餘為法置退表乗表髙為實實如法而一草曰置人目髙四尺八寸減表髙四尺餘八寸為法置退表九百步以步五十寸通之得四萬五千寸乗表髙四十寸得一百八十萬寸為實如法八寸而一得二十二萬五千寸以步法五十寸約之得四千五百步為相去步以里法三百六十步約之得一十二里半為敵去表所合問表望浮圖問有浮圖欹側欲換塔心木不知其髙去塔六丈有刹竿亦不知其髙竿本去地九尺二寸始釘鋦(按鋦原本作鈎)(今改正)鋦一十四枚枚長五寸每鋦下股相去二尺五寸就竿為表人退竿三丈遥望浮圖尖適與竿端斜合又望相輪之本影鋦第七枚上股人目入去地四尺八寸心木放三尺為㔼(按㔼原本作□今改正)卯剪截欲求塔髙輪髙合用塔心木長各㡬何答曰塔髙一十一丈七尺 相輪髙三丈 塔身髙八丈七尺 竿髙四丈二尺二寸 塔心木九丈内三尺為剪截穿鑿㔼卯按塔髙竿髙二數合相輪髙塔身髙塔心木長三數俱誤相輪髙四丈五尺塔身髙七丈二尺塔心木長七丈五尺説詳草後術曰以勾股求之重差入之置鋦數減一餘乗鋦相去數併一枚長數加竿本共為表竿髙以退表為法以人目髙減表竿髙餘乗竿去塔為實實如法而一得數加表竿髙共為塔髙置相輪入本鋦數減一餘乗鋦相去又乗竿去塔為實實如法而一得相輪髙(按未加入鋦人數法誤)以減塔髙餘為塔身髙以益㔼卯尺數為塔心木長草曰置鋦一十四枚減一餘一十三以乗鋦相去二尺五寸得三百二十五寸併最上鋦一枚長五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百二十二尺為表竿髙以人退表三丈通為三百寸為法次以人目髙四尺八寸減表竿髙四百二十二寸餘三百七千四寸以乗竿去塔六丈得二十二萬四千四百寸為實實如法三百兩一得七百四十八寸加表竿髙四百二十二寸得一千一百七十寸以十約之為一十一丈七尺為塔髙置相輪本入第七鋦減一餘六以乗鋦相去二尺五寸得一百五十寸又乗竿去塔六丈得九萬寸為實實如前法三百寸而一得三百寸約為三丈得相輪髙(按不加入鋦即為相輪髙誤)以相輪髙三丈減塔髙一十一丈七尺餘八丈七尺為塔身髙(按此數及塔心木數皆因上數而誤)益三尺為剪截㔼卯共得九丈為塔心木長合前問按此皆大小形同式相求法也人目去塔為總勾人目上塔尖髙塔身皆為總股髙相輪髙為總股較人目去竿為分小勾人目上竿髙及相輪本入竿髙俱為分小股相輪本入竿為小股較竿去塔為分大勾術以竿去塔分大勾與小勾股乗除得大股數加小股為總股故塔尖髙數合以大勾與小勾小股較乗除得大股較數即為總股較故相輪髙數少一小股較一丈五尺也塔身髙塔心木長皆本此數加減而得故誤數相等數學九章卷四下
## 卷五上
欽定四庫全書
數學九章卷五上 宋 秦九韶 撰賦役按賦役一章即古九章中差分粟米諸法但從來算書設題之數未有如此卷之多者如首題答數至一百七十五條毎條歩算之數至十餘位而得數皆無不合亦可謂能廣其用矣且諸問皆足以明貴賤廩税及交質變易之同異使公私各得其平誠治民之要務也但題語多晦術草中間有與所問不相應者亦於各條下指出俾觀者無惑焉復邑修賦問有海坍縣地今有復漲歳乆鄉井再成申諸剏邑稱土排到六鄉以附郭為甲最逺為已各有田九等開具下項甲鄉共計田十四萬一百九十三畝三角一十二步上等上田五千六百七十八畝一角四十八歩中田四千八百九十二畝三十歩 下田六千六百二十一畝五十四歩中等上田八千二百二十五畝二十四歩 中田一萬三十五畝六歩 下田一萬六千五百三十畝下等上田二萬一千九十畝二十四歩 中田三萬二千六十畝三歩 下田三萬五千六十一畝三角三歩乙鄉田共計八萬四千一十畝二角二歩上等上田六千七百八十九畝一角三十六歩中田五千九百八十七畝二角 下田八千一十畝三角三歩中等上田七千五百四十一畝 中田九千一百二十一畝二角一十二歩 下田一萬九千六十歩下等上田一萬八千三十七畝一角六歩 中田九千四百五十六畝三角五十九歩 下田無丙鄉田共計一十二萬九百三十五畝五十八歩五分上等上田四千八百六十八畝二角三歩 中田五千九百七十九畝三角六歩 下田六千八百八十八畝二角六歩中等上田七千九百八十四畝一角 中田一萬四千五十六畝一十二歩 下田二萬三千三百三十三畝一十二歩下等上田二萬七千七百五十五畝一十六歩五分 中田無 下田三萬七十畝三歩丁郷田共計八萬九千六十六畝二歩三分上等上田一萬一千一百二畝一歩 中田九千八百七十六畝一角 下田八千七百六十五畝一角三十歩中等上田七千五百三十九畝三十四歩三分中田無 下田一萬二千九百八十七畝四十二歩下等上田無 中田五千四百三十二畝一角六歩 下田三萬三千三百六十三畝三角九歩戊鄉田共計二十萬四千四百七十四畝一角二十四歩四分上等上田二萬四千六百三十二畝三十九歩中田一萬三千五百二十一畝二十七歩下田九千九百八十八畝三角三歩中等上田八千八百七十七畝五十六歩四分中田一萬一千三百三十三畝三角 下田二萬七千六十七畝下等上田一萬九千八百七十六畝三角六歩中等田七萬九千一百三十五畝三角四十三歩 下田一萬四十一畝二角三十歩已鄉田共計一十五萬八千四百六十畝三角一十八歩二分上等上田無 中田七千七百八十八畝三角五十一歩 下田無中等上田九千九百九十九畝二角三歩 中田一萬八百三十六畝五十六歩 下田無下等上田三萬二千八十九畝一角四十五歩六分 中田四萬三千六百七十八畝二角五十七歩 下田五萬四千六十七畝三角四十五歩六分照得昨來本縣原科苗米一十萬三千五百六十七石八斗四升四合三勺和買一萬三千四百九十八匹一丈七尺三寸七分六釐夏税九千八百七十六匹三丈二尺六寸五分八釐其六鄉田係三色甲為上乙丙為次丁戊己又為次先令官物為三差使上比中中比下皆十分外差一次令各鄉九等皆於十分内差一抛科用合租額其乙鄉田最肥次丁次甲次丙次己次戊欲知三色九等毎畝等則及共科數各鄉幾何按題内言田有三色甲為上云云又言乙鄉田最肥云云語若相左葢前言三色者六鄉共科之等後言田肥者每畝所出之異也若易田係三色為科有三差則語意明矣答曰甲鄉上等上田苗三斗二升三合二勺 和一尺六寸九分 税一尺二寸三分中田苗二斗九升九勺 和一尺五寸二分 税一尺一寸一分下田苗二斗五升八合六勺 和一尺三寸五分 税九寸九分中等上田苗二斗二升六合二勺 和一尺一寸八分 税八寸六分中田苗一斗九升三合九勺 和一尺一分 税七寸四分下田苗一斗六升一合六勺 和八寸四分 税六寸二分下等上田苗一斗二升九合三勺 和六寸七分 税四寸九分中田苗九升六合九勺 和五寸一分税三寸七分下田苗六升四合六勺 和三寸四分税二寸五分乙鄉上等田苗三斗六升三合三勺 和一尺八寸九分 税一尺三寸九分中田苗三斗二升六合九勺 和一尺七寸 税一尺二寸五分下田苗二斗九升六勺 和一尺五寸二分 税一尺一寸一分中等上田苗二斗五升四合三勺 和一尺三寸三分 税九寸七分中田苗二斗一升八合 和一尺一寸四分 税八寸三分下田苗一斗八升一合六勺 和九寸五分 税六寸九分下等上田苗一斗四升五合三勺 和七寸六分 税五寸五分中田苗一斗九合 和五寸七分 税四寸二分下田苗七升二合七勺 和三寸八分税二寸八分丙鄉上等上田苗三斗三合五勺 和一尺五寸八分 税一尺一寸六分中田苗二斗七升三合一勺 和一尺四寸二分 税一尺四分下田苗二斗四升二合八勺 和一尺二寸七分 税九寸三分中等上田苗二斗一升二合四勺 和一尺一寸一分 税八寸一分中田苗一斗八升二合一勺 和九寸五分 税六寸九分下田苗一斗五升一合七勺 和七寸九分 税五寸八分下等上田苗一斗二升一合四勺 和六寸三分 税四寸六分中田苗九升一合 和四寸七分 税三寸五分下田苗六升七勺 和三寸二分 税二寸三分丁鄉上等上田苗三斗四升三合二勺 和一尺七寸九分 税一尺三寸一分中田苗三斗八合九勺 和一尺六寸一分 税一尺一寸八分下田苗二斗七升四合六勺 和一尺四寸三分 税一尺五分中等上田苗二斗四升二勺 和一尺二寸五分 税九寸二分中田苗二斗五合九勺 和一尺七分税七寸九分下田苗一斗七升一合六勺 和八寸九分 税六寸五分下等上田苗一斗三升七合三勺 和七寸二分 税五寸二分中田苗一斗三合 和五寸四分 税三寸九分下田苗六升八合六勺 和三寸六分税二寸六分戊鄉上等上田苗一斗五升三合八勺 和八寸 税五寸九分中田苗一斗三升八合四勺 和七寸二分 税五寸三分下田苗一斗二升三合一勺 和六寸四分 税四寸七分中等上田苗一斗七合七勺 和五寸六分 税四寸一分中田苗九升二合三勺 和四寸八分税三寸五分下田苗七升六合九勺 和四寸 税二寸九分下等上田苗六升一合五勺 和三寸二分 税二寸三分中田苗四升六合一勺 和二寸四分税一寸八分下田苗三升八勺 和一寸六分 税一寸二分已鄉上等上田苗二斗八升二合二勺 和一尺四寸七分 税一尺八分中田苗二斗五升三合九勺 和一尺三寸二分 税九寸七分下田苗二斗二升五合七勺 和一尺一寸八分 税八寸六分中等上田苗一斗九升七合五勺 和一尺三分 税七寸五分中田苗一斗六升九合三勺 和八寸八分 税六寸五分下田苗一斗四升一合一勺 和七寸四分 税五寸四分下等上田苗一斗一升二合九勺 和五寸九分 税四寸三分中田苗八升四合六勺 和四寸四分税三寸二分下田苗五升六合四勺 和二寸九分税二寸二分甲鄉苗米一萬九千五百五十石二斗四升八合三勺和買一萬一百九十二丈二尺六寸五分六釐夏税七千四百五十七丈六尺八寸九分八釐乙鄉苗米一萬七千七百七十二石九斗五升三合和買九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分丙鄉苗米一萬七千七百七十二石九斗五升三合和買九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分丁鄉苗米一萬六千一百五十七石二斗三升和買八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸戊鄉苗米一萬六千一百五十七石二斗三升和買八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸己鄉苗米一萬六千一百五十七石二斗三升和買八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸術以衰分求之先列本縣色位自下錐行列之又以鄉數對列而乗之副併為法以除官物數得一分之率以率數乗未併者各得諸鄉之數次列各鄉等位自上等置十分每以内分錐行九折之至九等止又各以畝歩乗之副併為鄉法以除諸各鄉所得官物數所得為一分之率以乗未併者各得毎畝税色草曰列本縣色位三自下色例十分中十一分上比中身外加一上得一百二十一中得一百一十下得一百為上中下三率列之右行乃列甲一對上率乙丙共二對中率丁戊己共三對下率列左行乃以左行列數各相對乗右行率數其上得一百二十一其十得二百二十其下得三百乃副置而併之得六百四十一為法置元科苗米一萬三千五百六十七石八斗四升四合三勺為寔以法除之得一百六十一石五斗七升二合三勺為一分之率以未併下率一百乗率得一萬六千一百五十七石二斗三升為丁戊己三鄉各科數以於身下加一得一萬七千七百七十二石九斗五升三合為乙丙二鄉各科數又於身下加一得一萬九千五百五十石二斗四升八合三勺為甲合科數求和買亦用六百四十一為法置元科和買一萬三千四百九十八匹以匹法四丈通之得五萬三千九百九十二丈内零一丈七尺三寸七分六釐得五萬三千九百九十三丈七尺三寸七分六釐為寔以法除之得八十四丈二尺三寸三分六釐為一分之率亦以未併下率一百乗之得八千四百二十三丈三尺六寸為丁戊己三鄉各科數次於身下加一得九千二百六十五丈六尺九寸六分為乙丙二鄉各科數又於身下加一得一萬一百九十二丈二尺六寸五分六釐為甲鄉合科數求夏税亦置六百四十一為法置元科九千八百七十六匹以匹法四丈通之得三萬九千五百四丈内零三丈二尺六寸五分八釐得三萬九千五百七丈二尺六寸五分八釐為寔以法除之得六十一丈六尺三寸三分八釐為一分率亦以未併下率一百乗之得六千一百六十三丈三尺八寸為丁戊己三鄉各科數次於身下加一得六千七百七十九丈七尺一寸八分為乙丙二鄉各科數又於身下加一得七千四百五十七丈六尺八寸九分八釐為甲鄉數次列九等上以十次九八七六五四三二各對乗六鄉九等田畝其田畝下角歩以畝法除之得分釐毫絲忽於畝上對乗之各得率按題内云各鄉九等皆於十分内差一則是逓次九折也術内亦云列各鄉等位自上等置十分每以内分錐行九折之至九等止則其法當為逓次九折益明矣乃草中則云上以十次九八七六五四三二則是逓次減一而非逓次九折矣以此得答數既與題問未合而術與草亦不相應也甲上等上田率五萬六千七百八十四分五釐中田率四萬四千二十九分一釐二毫五絲下田率五萬二千九百六十九分八釐 中等上田率五萬七千五百七十五分七釐中田率六萬二百一十分一釐五毫下田率八萬二千六百五十分下等上田率八萬四千三百六十分四釐中田率九萬六千一百八十分三毫七絲五忽下田率七萬一百二十三分五釐二毫五絲乙上等上田率六萬七千八百九十四分中田率五萬三千八百八十七分五釐下田率六萬四千八十六分一釐 中等上田率五萬二千七百八十七分中田率五萬四千七百二十九分三釐下田率九萬五千三百三十分一釐二毫五絲 下等上田率七萬二千一百四十九分一釐中田率二萬八千三百七十分九釐八毫八絲下田無丙上等上田率四萬八千六百八十五分一釐二毫五絲中田率五萬三千八百一十七分九釐七毫五絲下田率五萬五千一百八分二釐 中等上田率五萬五千八百八十九分七釐五毫中田率八萬四千三百三十六分三釐下田率一十一萬六千六百六十五分二釐五毫 下等上田率一十一萬一千二十分二釐七毫五絲中田無下田率六萬一百四十分二毫五絲丁上等上田率一十一萬一千二十分五毫(按五毫數)(誤應四釐一毫又三分毫之二)中田率八萬八千八百八十六分二釐五毫下田率七萬一百二十三分 中等上田率五萬二千七百七十四分(按尚有四忽餘)中田無下田率六萬四千九百三十五分八釐七毫五絲下等上田無中田率一萬六千二百九十六分八釐二毫五絲下田率六萬六千七百二十七分五釐七毫五絲戊上等上田率二十四萬六千三百二十一分六釐二毫五絲中田率一十二萬一千六百九十分一毫二絲五忽下田率七萬九千九百一十分一釐 中等上田率六萬二千一百四十分六釐四毫五絲中田率六萬八千二分五釐下田率一十三萬五千三百三十五分 下等上田率七萬九千五百七分一釐中田率二十三萬七千四百七分七釐八毫七絲五忽下田率二萬八十三分二釐五毫已上等上田無中田率七萬一百分六釐六毫二絲五忽下田無 中等上田率六萬九千九百九十六分五釐八毫七絲五忽中田率六萬五千一十七分四釐一毫(按四釐整)下田無 下等上田率一十二萬八千三百五十七分七釐六毫中田率一十三萬一千三十六分二釐一毫二絲五忽下田率一十萬八千一百三十五分八釐八毫併六鄉之九率為九鄉之法 甲法六十萬四千八百八十三分二釐三毫七絲五忽 乙法四十八萬九千二百三十四分一釐一毫三絲 丙法五十八萬五千六百六十二分九釐 丁法四十七萬七百六十三分五釐七毫五絲(按丁法差三釐餘一等尾數差故也) 戊法一百五萬三百九十八分二毫 己法五十七萬二千六百四十四分五釐一毫二絲五忽(按多一毫五等分多一毫)(故也) 以六鄉法各除諸鄉官物得一分之率(米至圭帛至忽)(止半巳上收巳下棄)甲鄉苗米三升二合三勺二抄一撮和買一寸六分八釐五毫四忽(按數多四忽)夏税一寸二分三釐二毫八絲(按係九絲)乙鄉苗米三升六合三勺二抄八撮和買一寸八分九釐三毫九絲二忽夏税一寸三分八釐五毫八絲(按應七絲八忽)丙鄉苗米三升三勺四抄八撮(按應六撮七圭餘)和買一寸五分八釐二毫一絲夏税一寸一分五釐七毫五絲(按應六絲)丁鄉苗米三升四合三勺二抄一撮四圭(按多四圭分數)(少三釐餘故也)和買一寸七分八釐九毫三絲夏税一寸三分九毫二絲三忽戊鄉苗米一升五合三勺八抄二撮和買八分一毫九絲二忽夏税五分八釐六毫七絲七忽己鄉苗米二升八合二勺一抄五撮一圭和買一寸四分七釐九絲六忽夏税一寸七釐六毫三絲各用鄉錐行數九八七六五四三二一各乗一分之率為各鄉毎畝等則泛數或自上等上田之則以一分之率累減之亦得甲鄉上等上田苗米三斗二升三合二勺一抄和買一尺六寸八分五釐四絲(按多四絲因一分之率多四忽故也下同)(此)夏税一尺二寸三分二釐八毫(按少一毫同上) 中田苗米二斗九升八勺八抄九撮(按少一撮)和買一尺五寸一分六釐五毫三絲六忽(按多三絲六忽)夏税一尺一寸九釐五毫二絲(按少九絲) 下田苗米二斗五升八合五勺六抄八撮和買一尺三寸四分八釐三絲二忽(按多三絲二忽)夏税九寸八分六釐二毫四絲(按少八絲)中等上田苗米二斗二升六合二勺四抄七撮和買一尺一寸七分九釐五毫二絲八忽(按多二絲八忽)夏税八寸六分二釐九毫六絲(按少七絲)中田苗米一斗九升三合九勺二抄六撮和買一尺一寸一釐二絲四忽(按多二絲四忽)夏税七寸三分九釐六毫八絲(按少六絲)下田苗米一斗六升一合六勺五撮和買八寸四分一釐五毫二絲(按多二絲)夏税六寸一分六釐四毫(按多五絲) 下等上田苗米一斗二升九合二勺八抄四撮和買六寸七分四釐一絲六忽(按多一絲六忽)夏税四寸九分三釐一毫二絲(按少四絲)中田苗米九升六合九勺六抄三撮和買五寸五釐五毫一絲二忽(按多一絲二忽)夏税三寸六分九釐八毫四絲(按少三絲)下田苗米六升四合六勺四抄二撮和買三寸三分七釐八忽(按多八忽)夏税二寸四分六釐五毫六絲(按少二絲)乙鄉上等上田苗米三斗六升三合二勺八抄和買一尺八寸九分三釐九毫二絲夏税一尺三寸八分五釐八毫(按多二絲)中田苗米三斗二升六合九勺五抄二撮和買一尺七寸四釐五毫二絲八忽夏税一尺二寸四分七釐二毫二絲(按多一絲七忽)下田苗米二九升六勺二抄四撮和買一尺五寸一分五釐一毫三絲六忽夏税一尺一寸八釐六毫四絲(按多一絲四忽) 中等上田苗米二斗五升四合二勺九抄六撮和買一尺三寸二分五釐七毫四絲四忽夏税九寸七分六絲(按多一絲三忽)中田苗米二斗一升七合九勺六抄八撮和買一尺一寸三分六釐三毫五絲二忽夏税八寸三分一釐四毫八絲(按多一絲一忽)下田苗米一斗八升一合六勺四抄和買九寸四分六釐九毫六絲夏税六寸九分二釐九毫(按多一絲) 下等上田苗米一斗四升五合三(勺)一抄二撮和買七寸五分七釐五毫六絲八忽夏税五寸五分四釐三毫二絲(按多七忽)中田苗米一斗八合九勺八抄四撮和買五寸六分八釐一毫七絲六忽夏税四寸一分五釐七毫四絲(按多五忽)下田苗米七升二合六勺五抄六撮和買三寸七分八釐七毫八絲四忽夏税二寸七分七釐一毫六絲(按多)(四忽)丙鄉上等上田苗米三斗三合四勺八抄(按多一抄三撮)和買一尺五寸八分二釐一毫夏税一尺一寸五分七釐五毫(按少一毫六絲)中田苗米二斗七升三合一勺三抄二撮(按多一抄一撮)和買一尺四寸二分三釐八毫九絲夏税一尺四分一釐七毫五絲(按少一毫)下田苗米二斗四升二合七勺八抄四撮(按多一抄)和買一尺二寸六分五釐六毫八絲夏税九寸二分六釐(按少九絲) 中等上田苗米二斗一升二合四勺三抄四撮(按多七撮)和買一尺一寸七釐四毫七絲夏税八寸一分二毫五絲(按多八絲)中田苗米一斗八升二合八抄八撮(按多八撮)和買九寸四分九釐二毫六絲夏税六寸九分四釐五毫(按少七絲)下田苗米一斗五升一合七勺四抄(按多六撮)和買七寸九分一釐五絲夏税五寸七分八釐七毫五絲(按少六絲) 下等上田苗米一斗二升一合三勺九抄二撮(按多六撮)和買六寸三分二釐八毫四絲夏税四寸六分三釐(按少四絲)中田苗米九斗一合四抄四撮(按多四撮)和買四寸七分四釐六毫三絲夏税三寸四分七釐二毫(按多八絲)下田苗米六升六勺九抄六撮(按多三撮)和買三寸一分六釐四毫二絲夏税二寸三分一釐五毫(按少二絲)丁鄉上等上田苗米三斗四升三合二勺一抄四撮(按多四撮)和買一尺七寸八分九釐三毫夏税一尺三寸九釐二毫三絲中田苗米三斗八合八勺九抄二撮六圭(按多三撮餘)和買一尺六寸一分三毫七絲夏税一尺一寸七分八釐三毫七忽下田苗米二斗七升四合五勺七抄一撮二圭(按多三撮餘)和買一尺四寸三分一釐四毫四絲夏税一尺四分七釐三毫八絲四忽 中等上田苗米二斗四升二勺四抄九撮八圭(按多二撮八圭)和買一尺二寸五分二釐五毫一絲夏税九寸一分六釐四毫六絲一忽中田苗米二斗五合九勺二抄八撮四圭(按多二撮四圭)和買一尺七分三釐五毫八絲夏税七寸八分五釐五毫三絲八忽下田苗米一斗七升一合六勺七撮(按多二撮)和買八寸九分四釐六毫五絲夏税六寸五分四釐六毫一絲五忽 下等上田苗米一斗三升七合二勺八抄五撮六圭(按多一撮六圭)和買七寸一分五釐七毫二絲夏税五寸二分三釐六毫九絲二忽中田苗米一斗二合九勺六抄四撮二圭(按多一撮二圭)和買五寸三分六釐七毫九絲夏税三寸九分二釐七毫六絲九忽下田苗米六升八合六勺四抄二撮八圭(按多八圭)和買三寸五分七釐八毫六絲夏税二寸六分一釐八毫四絲六忽戊鄉上等上田苗米一斗五升三合八勺二抄和買八寸一釐九毫二絲夏税五寸八分六釐七毫七絲中田苗米一斗三升八合四勺三抄八撮和買七寸二分一釐七毫二絲八忽夏税五寸二分八釐九絲三忽下田苗米一斗二升三合五抄六撮和買六寸四分一釐五毫三絲六忽夏税四寸六分九釐四毫一絲六忽 中等上田苗米一斗七合六勺七抄四撮和買五寸六分一釐三毫四絲四忽夏税四寸一分七毫三絲九忽中田苗米九升二合二勺九抄二撮和買四寸八分一釐一毫五絲二忽夏税三寸五分二釐六絲二忽下田苗米七升六合九勺一抄和買四寸九毫六絲夏税二寸九分三釐三毫八絲五忽 下等上田苗米六升一合五勺二抄八撮和買三寸二分七毫六絲八忽夏税二寸三分四釐七毫八忽中田苗米四升六合一勺四抄六撮和買二寸四分五毫七絲六忽夏税一寸七分六釐二絲一忽下田苗米三升七勺六抄四撮和買一寸六分三毫八絲四忽夏税一寸一分七釐一三毫五絲四忽己鄉上等上田苗米二斗八升二合一勺五抄一撮和買一尺四寸七分九毫六絲夏税一尺七分六釐三毫中田苗米二斗五升三合九勺三抄五撮九圭和買一尺三寸二分三釐八毫六絲四忽夏税九寸六分八釐六毫七絲下田苗米二斗二升五合七勺二抄八圭和買一尺一寸七分六釐七毫六絲八忽夏税八寸六分一釐四絲 中等上田苗米一斗九升七合五勺五撮七圭和買一尺二分九釐六毫七絲二忽夏税七寸五分三釐四毫一絲中田苗米一斗六升九合二勺九抄六圭和買八寸八分二釐五毫七絲六忽夏税六寸四分五釐七毫八絲下田苗米一斗四升一合七抄五撮五圭和買七寸三分五釐四毫八絲夏税五寸三分八釐一毫五絲 下等上田苗米一斗一升二合八勺六抄四圭和買五寸八分八釐三毫八絲四忽夏税四寸三分五毫二絲中田苗米八升四合六勺四抄五撮三圭和買四寸四分一釐二毫八絲八忽夏税三寸二分二釐八毫九絲下田苗米五升六合四勺三抄二圭和買二寸九分四釐一毫九絲二忽夏税二寸一分五釐二毫六絲已上田則苗至勺絹至分收歸為等則定數答在前按右各條下有不合之數者皆在寄零尾數至答數收之勺及分以下俱不用故數無不合也圍田租畝問有興復圍田已成共計三千二十一頃五十一畝一十五歩分三等其上等毎畆起租六斗中等四斗五升下等四斗中田多上田弱半不及下田太半欲知三色田畝及各租㡬何按題言中田多上田弱半不及下田太半盖以弱半為三分之一太半為三分之二也多上田弱半者即比上田多三分之一也不及下田太半者即比下田少三分之二也是上田加三分之一為中田即下田三分之一也轉言之則中田為下田三分之一上田為中田四分之三也答曰上田四百七十七頃八畝一十五歩米二萬八千六百二十四石八斗三升七合五勺 中田六百三十六頃一十畝三角米二萬八千六百二十四石八斗三升七合五勺 下田一千九百八頃三十二畝一角米七萬六千三百三十二石九斗術曰以衰分求之列母子求田率副併為法以共田為寔寔如法而一得一分之率以徧乗未併者得三等田各以起租乗之各得米草曰置弱半母四為中率子三為上率以太半子二减母三餘一以乗中率四只得四為中泛又以餘一乗上率三只得三為上泛次以太半母三乗中泛四得一十二為下泛副併三泛得一十九為法置田三千二十一頃五十一畆以畝法二百四十通之得七千二百五十一萬六千二百四十歩内子一十五歩得七千二百五十一萬六千二百五十五歩為寔以法一十九除之得三百八十一萬六千六百四十五歩為一分之數以上泛三因之得一千一百四十四萬九千九百三十五歩為上積又以中泛四因之一分數得一千五百二十六萬六千五百八十歩為中積又以下泛一十二乗一分數得四千五百七十九萬九千七百四十歩為下積其三積各以畝法二百四十約之為畆其上田得四百七十七頃八畝一十五歩其中田得六百三十六頃一十畝三角其下積得一千九百八頃三十二畝一角各以起租三積為三寔其上積一千一百四十四萬九千九百三十五歩乗上積六斗得六百八十六萬九千九百六十一石為寔以畝法二百四十除之得二萬八千六百二十四石八斗三升七合五勺為上田租其中積一千五百二十六萬六千五百八十歩乗中田租四斗五升得六百八十六萬九千九百六十一石為寔以畝法二百四十除之得二萬八千六百二十四石八斗三升七合五勺其下積四千五百七十九萬九千七石四十歩乗下租四斗得一千八百三十一萬九千八百九十六石為寔以畝法二百四十除之得七萬六千三百三十二石九斗為下田米按草内求各衰數意謂以三分為上田衰數加弱半三分之一得四分為中田衰數三因中田衰數得一十二分為下田衰數併之得一十九分為總衰數其法本属顯明但語中參入母子副泛等名目其意反晦矣數學九章卷五上
## 卷五下
欽定四庫全書
數學九章卷五下 宋 秦九韶 撰賦役户税移割問某縣據甲稱本户田地原納苗三十五石七斗和買本色一十一匹二丈二尺九寸四分八釐七毫五絲折帛二十七匹二寸一分三釐七毫五絲紬絹折帛八匹三丈九寸七寸三分九釐紬絹本色二十匹二丈八尺九寸三分九釐已将田四百七畆出與乙五百十六畆出與丙訖乞移割本户所出田上税賦歸併乙丙兩户送納㑹到乙原有田三百七十五畆兩原有田四百六十三畆並係本鄉本等毎畆苗三升五合税一尺一寸五分物力一貫二百本等田紬一尺三寸四分物力九百物力及三十二貫數和買一匹内三分本色七分折帛夏税七分本色三分折帛紬五分本色五分折帛併絹紬欲知甲田地及甲乙丙分割合納苗米和買夏税折帛本色畸零各幾何按此題科税分田地二項田有科米税絹物力三色地只有税紬物力二色絹與紬折色不同物力和買合田地總計之又甲户有田者地乙丙二户有田無地此等皆不可不明言者題中殊未分晰答曰甲原有田一千二十畆 地一十一畆二角四十八步甲今有田九十七畆 苗米三石三斗九升五合夏税折帛三丈三尺四寸六分五釐本色一匹畸零三丈八尺八分五釐物力一百一十六貫四百文 地一十一畆二角四十八步税紬折帛七尺八寸三分九釐税紬畸零七尺八寸三分九釐物力一十貫五百三十文田地共物力一百二十六貫九百三十文和買折帛二匹三丈一尺六分三釐七毫五絲本色一疋畸零七尺五寸九分八釐七毫五絲乙今有田七百八十二畆苗米二十七石三斗七升夏税折帛六匹二丈九尺七寸九分本色一十五匹畸零二丈九尺五寸一分物力九百三十八貫四百文和買折帛二十匹二丈一尺一寸本色八匹畸零三丈一尺九寸丙今有田九百七十九畆苗米三十四石二斗六升五合夏税折帛八匹一丈七尺七寸五分五釐本色一十九匹畸零二丈八尺九分五釐物力一千一百七十四貫八百文和買折帛二十五匹二丈七尺九寸五分本色一十一匹畸零五寸五分術曰以粟米及衰分求之置甲原納米為實以毎畆苗為法除之得甲原有田以乗毎畆税得田絹次以甲紬絹本色折帛併之内減田絹餘為地紬以毎紬約之得甲原有地次以甲出田併乙丙原有田各得三户今有田地各以等則乗之各得物力苗税次以毎畆物力率約各户共物力得和買副之三分因之退位為和本七分因之退位為和折夏税反其分而因之退之紬以半之併入税各得草曰置甲原納米三十五石七斗為實以毎畆苗三升五合為法除之得一千二十畆為甲原有田以乗毎畆税一尺一寸五分得一百一十七丈三尺為絹積尺次以甲原納絹紬折帛八匹三丈九尺七寸三分九釐併紬絹本色二十匹二丈八尺九寸三分九釐得二十九匹二丈八尺六寸七分八釐以匹法四丈通匹數内零丈得一百一十八丈八尺六寸七分八釐内減田絹積丈尺一百一十七丈三尺餘一丈五尺六寸七分八釐為甲地紬以毎畆紬一尺三寸四分納之得一十一畆七分其畆下七分倍之得一百四十身下加二得一百六十八步以六十步納之得二角零四十八步得一十一畆二角四十八步為甲原有地乃以甲所出四百七畆及五百一十六畆併得九百二十三畆減原有一千二十畆餘九十七畆為甲今有田併原地(按三字誤葢地一十一畆餘不在田一千二十畆之内也)次以甲出田四百七畆併乙原有田三百七十五畆共得七百八十二畆為乙令有田次以甲所出田五百一十六畆併丙原有田四百六十三畆共得九百七十九畆為丙今有田各列三户今有田地數於右行副之先以毎畆苗三升五合徧乗右行甲得三石三斗九升五合乙得二十七石三斗七升兩得三十四石二斗六升五合為本户苗米次以毎畆税一尺一寸五分徧乗左副行甲得一十一丈一尺五寸五分乙得八十九丈九尺三寸丙得一百一十二丈五尺八寸五分各為丈積各列二位皆以三分因頭位七分因下位併退一位即是自下三七折之又各以四大約丈積成匹其甲得三丈三尺四寸六分五釐為夏税折帛又得一匹三丈分尺八分五釐為夏税本色其一得六匹二丈九尺七寸九分為夏税折帛又得一十五匹二丈九尺五寸一分為夏税本色其丙得八匹一丈七尺七寸五分五釐為夏税折帛得一十九匹二丈分尺九分五釐為夏税本色次以田力一貫二百徧乗右副行併以地物力乗甲原地及納甲得一百一十六貫四百乙得九百三十八貫四百丙得一千一百七十四貫八百各為田物力其甲又置一十一畆七分以乗地紬一尺三寸四分得一丈五尺六寸七分八釐為甲地紬半之得七尺八寸三分九釐各為折紬本色又以甲地乗物力九百得一十貫五百三十為甲地乗力併田物力一百一十六貫四百共得一百二十六貫九百三十文為甲物力列甲乙丙三户共物力各為貫皆以物力和買率三十二貫為法除之甲得三匹九分六釐六毫五絲六忽二㣲五塵乙得二十九匹三分二釐五毫丙得三十六匹七分一釐二毫五絲各為和買率亦各列二位各以七三折之其頭位七折者為和買折帛下位三折者為和買本色折訖其甲得二匹七分七釐六毫五絲九忽三㣲七塵五沙為和買折帛率又得一匹一分八釐九毫九絲六忽八㣲七塵五沙為和買本色率乙得二十匹五分二釐七毫五絲為和買折帛率又得八匹七分九釐七毫五絲為和買本色率丙得二十五匹六分九釐八毫七絲五忽為和買折帛率又得一十一匹一釐三毫七絲五忽為和買本色率各率除端匹外乃以定下分毫皆以四因之收為丈尺寸分甲得和買折帛二匹三丈一尺六分三釐七毫五絲本色一匹七尺五寸九分八釐七毫五絲乙得和買折帛二十匹二丈一尺一寸本色八匹三丈一尺九寸丙得和買折帛二十五匹二丈七尺九寸五分本色一十一匹五寸五分為各户和買數及分本色下畸零數合問均科綿税問縣科綿有五等户共一萬一千三十三户共科綿八萬八千三百三十七兩六錢上等一十二户副等八十七户中等四百六十四户次等二千三十五户下等八千四百三十五户欲令上三等折半差下二等此中等六四折差科率求之問各户納及各等幾何按題言下二等比中等六四折差是次等為中等六分之四下等又為次等六分之四也乃術草中皆以十分之四收之是四分折差而非四六折差矣集中題與術不相應者多類此豈成書之後未能重加校正歟答曰上等一户一百二十四兩一十二户計一千四百八十八兩副等一户六十二兩八十七户計五千三百九十四兩中等一户三十一兩四百六十四户計一萬四千三百八十四兩次等一户一十二兩四錢二千三十五户計二萬五千二百三十四兩下等一户四兩九錢六分八千四百三十五户計四萬一千八百三十七兩六錢術曰列五等户數先以四折下等數加次等户又以四折之加中等户數却以半折之加二等户又以半折之加上等户數不折便為法除科綿得上等一户之綿復半之為副等又半之為中等又四折之為次等又四折之為下等各一户綿却各以户數乗之各得五等共出綿具圖折之上 副 中 次 下草曰先置下等户八千四百三十五以四折之得三千三百七十四乃以得數折入次户二千三十五内得五千四百九户訖又以四折次數五千四百九户得二千一百六十三户六分乃以得次數併入中户四百六十四内共得二千六百二十七户六分次以五分折中數二千六百二十七户六分得數次以得數一千三百一十三户八分併副户八十七得一千四百户八分又以五折副數一千四百户八分得七百户四分既得數乃以副數七百户四分併上户一十二户得七百一十二户四分不折便以為法為法累折至等共得七百一十二户四分以為總法乃置科綿八萬八千三百三十七兩六錢為實法法七百一十二户四分而一得一百二十四兩為上等一户所出綿以五折之得六十二兩為副等一户所出綿又五折之得三十一兩為副等一户所出綿乃以四折之得一十二兩四錢為次等一户所出綿又以四折之得四兩九錢六分為下等一户所出綿乃以各等户數各乗一户所出即各得每等共數之綿均定勸分問欲勸糶賑濟據甲民户物力畆步排定共計一百六十二户作九等上等三户第二等五户第三等七户第四等八户第五等十三户第六等二十一户第七等二十六户第八等三十四户第九等四十五户今先觀諭第一等上户願糶五千石第九等户願糶二百石欲知各等抛差石數併數認米數各幾何答曰認該米二十三萬七千六百石上等一户米五千石三户計一萬五千石二等一户米四千四百石五户計二萬二千石三等一户米三千八百石七户計二萬六千六百石四等一户米三千二百石八户計二萬五千六百石五等一户米二千六百石一十三户計三萬三千八百石六等一户米二千石二十一户計四萬二千石七等一户米一千四百石三十六户計三萬六千四百石八等一户米八百石三十四户計二萬七千二百石九等一户米二百石四十五户計九千石術曰以衰分求之置上下户米減餘為實列等數減一餘為法除之得抛差石數以差累減上等米各得諸等米以各等户乗之併之為總數草曰置上等户米五千石減下等户二百石餘四千八百石為實以九等減一餘八為法除實得六百石為每等抛差用減上等餘四千四百石為二等米又減六百得三千八百石為三等米又減六百得三千二百石為四等米又減六百得二千六百石為五等米又減六百得二千石為六等米又減六百得一千四百石為七等米又減六百得八百石為八等米又減六百得二百石為九等米又各乗户數併之得總認米石數二十三萬七千六百石合問均定合解(按原本此問無題今増)問州郡合解諸司窠名錢户部九十六萬五千四百二十一貫文總所六十四萬三千六百一十四貫文運司一萬六千九十貫三百五十文今諸窠名先催到九千二百五十三貫六百二十文欲照原額分數均定樁收候解合各幾何答曰户部五千四百九十七貫二百文 總所三千六百六十四貫八百文 運司九十一貫六百二十文術曰以衰分求之置諸原率可約約之副併為法以催到錢乗未併者各為實實如法而一合問草曰列户部九十六萬五千四百二十一貫總所六十四萬三千六百一十四貫運司一萬六千九十貫三百五十文各為原率今原率可約求等得一萬六千九十貫三百五十為等數俱約之户部得六十總所得四十運司得一各為率副併得一百一為法以催到錢九千二百五十三貫六百二十文乗未併數六十四十及一畢得五十五萬五千二百一十七貫二百文為户部之實三十七萬一百四十四貫八百文為總所之實九千二百五十三貫六百二十文為運司之實三實皆如法一百一而一其户部得五千四百九十七貫二百文總所得三千六百六十四貫八百文運司得九十一貫六百二十各為侯解錢按此法今名和數比列即用合解為率亦可増一約分取其數簡也寛減屯租問屯租欲議寛減仍聴以夏麥折納分數官牛種者與減二分私牛種者與減四分每嵗租榖以三分之一許夏折二麥内四分大六分小折色每大麥三石折小麥二石小麥二石折榖三石五斗屯租舊額官種一石納租五石私種一石納租三石今某州屯田去年計官私種共九千七百八十二石共合收租榖三萬九千五百八十六石欲知官私種各數原額今減合催成年夏麥秋榖幾何按此題有官私共種數租數有種一石租數求各種數租數古謂之差分今謂之和較比例折色亦差分也今謂之和數比例大小麥與榖相易古謂之異乗同乗今謂之和率比列答曰請官種五千一百二十石私出種四千六百六十二石 原租額共三萬九千五百八十六石官種二萬五千六百石私種一萬三千九百八十六石 今減一萬七百一十四石四斗官種五千一百二十石私種五千五百九十四石四斗 合催二萬八千八百七十一石六斗官種租二萬四百八十石 一分折麥計榖六千八百二十六石六斗六升零三分升之二 四分折大麥二千三百四十石五斗七升七分升之一係折榖二千七百三十石六斗六升三分升之二 六分折小麥二千三百四十石五斗七升七分升之一係折榖四千九十六石二分正色榖一萬三千六百五十三石三斗三升之一私種租八千三百九十一石六斗 一分折麥計榖二千七百九十七石二斗 四分折大麥九百五十九石四升係折榖一千一百一十八石八斗八升 六分折小麥九百五十九石四升係折榖一千六百七十八石三斗二升 二分正色榖五千五百九十四石四斗成年共收夏折榖(按即官種私種一分折榖共數)九千六百二十三石八斗六升三分升之二 大麥三千二百九十九石六斗一升七分升之一小麥三千二百九十九石六斗一升七分升之一 秋正榖一萬九千二百四十七石七斗三升三分升之一術曰以粟米求之互易入之列共租共種各以租種率數依本色對之先以各種率互乗諸租騐租數之少者以乗共種得數覆減共租餘為實以二租數相減餘為官種法實如法而一得官種以減共種餘為私種各以租率對乗官私種各得官私種所納租次以減分對乗各納租乃得各減數以減所納餘為合催租乃分别之先以總折分子乗之各為實並以總分母除之各得折色正色數次置折色數二位用夏折大小麥乗之各得與毎折諸率如雁翅列常以多一事者相乗為實以少一事者相乗為法各得所折大小麥其正色數如故為併本色得成年夏折二麥秋收正榖草曰列共租三萬九千五百八十六石併共種九千七百八十二石次各以官種一石納租五石私種實石納租三石各為率對租種本色列之先以種率各一石互乗租數只得共榖次騐租數率三石係少者以乗共種九千七百八十二石得二萬九千三百四十六石為種覆減共租餘一萬二百四十石為種實以租率三減租率五餘二石係官租者為官種法除種實得五千一百二十石為官種以減共種九千七百八十二餘四千六百六十二石為私出種以官租率五石私租率三石各對乗官私種得二萬五千六百石為官租所納租得一萬三千九百八十六石為私種所納租併之得原額租次列官牛種與減二分私牛種與減四分各對乗所納租數得五千一百二十石為官種減租數得五千五百九十四石四斗為私種減租數併之得一萬七百一十四石四斗為今減數乃以官種減租五千一百二十石減官種租二萬五千六百餘二萬四百八十石為合催次以私種減租五千五百九十四石四斗減私種租一萬三千九百八十六石餘八千三百九十一石六斗亦是合催租乃以二等合催租分列之先以毎嵗三分之一以子一減分母三得二乃以一及二皆為子各乗各催租其官種者一分租得二萬四百八十石二分租得四萬九百六十石其私種者一分租得八千三百九十一石六斗二分租得一萬六千七百八十三石二斗並為實此四實並如母三而一其官種一分折得六千八百二十六石六斗六升零三分升之二及二分正色榖得一萬三千六百五十三石三斗三升三分升之一其私種一分折色得二千七百九十七石二斗二分正色榖得五千五百九十四石四斗次置官私種各一分折色數各二位乃用夏折四分大六分小對乗之通係四位乃並四六得一十分約之是並退一位其官種四分大麥者置折榖六千八百二十六石六斗六升三分升之二通分内子得二萬四百八十列二位頭位以四分折之得八千一百九十二石為大麥實下位以六分折之得一萬二千二百八十八石為小麥實次置私種折榖二千七百九十七石二斗列二位頭位以四分折之得一千一百一十八石八斗八升為大麥率下位以六分折之得一千六百七十八石三斗二升為小麥率其圖如後次列折色每大麥三石折小麥二石小麥二石折榖三石五斗為諸率與大小麥實率四數如雁翅列之其六分折小麥勿置大麥折率有母者列母官種者先以大麥率三乗小麥率二得六又乗榖實八千一百九十二石得四萬九千一百二十五石為大麥實乃以小麥率二乗榖率三石五斗得七石又乗母得二十一石為法除實得二千三百四十石五斗七升七分升之一為官種折大麥數仍以母三約本實八千一百九十二石得二千七百三十石六斗六升三分升之二為所折上得大麥榖數次以小麥折二乗榖實一萬二千二百八十八石得二萬四千五百七十六石為小麥實乃以榖率三石五斗乗母三得十石五斗為法除實得二千三百四十石五斗七升七分升之一為官種折小麥榖仍以母三約本實一萬二千二百八十八石得四千九十六石為所折上得小麥榖數私種者先以大麥三乗小麥率二得六又乗榖數一千一百一十八石八斗八升得六千七百一十三石二斗八升為實乃以小麥率二乗榖率三石五斗得七石為法除之得九百五十九石四升為私種折大麥數次以小麥率二乗榖率一千六百七十八石三斗二升得三千三百五十六石六斗四升為實以榖率三石五斗為法除之得九百五十九石四升為私種榖折小麥數次以官種四分大麥二千三百四十石五斗七升七分升之一併私種四分大麥九百五十九石四升得三千二百九十九石六斗一升七分升之一為成年夏折大麥數次以官種六分小麥二千三百四十石五斗七分七分升之一併私種六分小麥九百五十九石四升得三千二百九十九石六斗一升七分升之一為成年夏折小麥數次以官種二分正色榖一萬三千六百五十三石三斗三升三分升之一併私種正色榖五千五百九十四石四斗得一萬九千二百四十七石七斗三升三分升之一合問户税均寛問州郡寛恤近将某縣下三等税户秋科餘欠錢米已與蠲放共錢一千三百五十五貫七百六文米五千二百七十二石一斗九升某本縣下三等物力計三萬七千六百五十八貫五百文今來官員陳述本縣多有樂輸無欠之户今䝉蠲放税尾似反寛潤頑輸之户於理未均遂議将樂輸三等户於明年兩税與照昨來體例減免契勘得三等無欠户物力二十二萬八百一十五貫三百二十一文欲知每百文合減免錢米及共減各幾何答曰毎物力一百文放錢三文六分放米一升四合明年兩税放免錢七千九百四十九貫三百五十一文五分五釐六毫米三萬九百一十四石一斗四升四合九勺四抄術曰以粟米衰分求之置原物力為法除原放錢米得毎百文物力所放錢米率以各率乗今來物力各得錢米為明年兩税合放數草曰以原物力三萬七千六百五十八貫五百文為法先除原放錢一千三百五十五貫七百六文定法百文上得一文為商除得三文六分為物力百文所放錢率次除原放米五千二百七十二石一斗九升得一升四合為物力百文所放米率以今三等户物力二十二萬八千一十五貫三百二十一文徧乗所放錢米二率得錢七千九百四十九貫三百五十一文五分五釐六毫得米三萬九百一十四石一斗四升四合九勺四抄為明年兩税合放數米榖粒分問開倉受約有甲户米一千五百三十四石到廊驗得米内夾榖乃於様内取米一捻數計二百五十四粒内有榖二十八顆凡粒米率每勺三百今欲知米内雜榖多少以折米數科貴及粒各幾何答曰米一千三百六十四石八斗九升七合六勺一百二十七分勺之四十八榖一百六十九石一斗二合三勺一百二十七分勺之七十九 合折米八十四石五斗五升一合一勺一百二十七分勺之一百三 原米折米共計四十三億四千八百三十四萬六千四百五十六粒術曰以粟米求之衰分入之置様米粒數為法以常榖顆數減之餘與榖為列衰可約約之以共米乗列衰為各實實如法而一各得米數榖數置榖數以粟率折之為榖所折米次以勺率遍乗米數折米得粒數草曰置一捻様粒數二百五十四為法以帶榖二十八顆為榖衰以減法餘二百二十六為米衰此二衰與法皆可約求等得二俱以約之法得一百二十七米衰得一百一十三榖衰得一十四以米米一千五百三十四石遍乗二衰得一十七萬三千三百四十二石為米實得二萬一千四百七十六石為榖實皆如法一百二十七而一米得一千三百六十四石八斗九升七合六勺一百二十七分勺之四十八榖得一百六十九石一斗二合三勺一百二十七分勺之七十九以粟率五十折之得八十四石五斗五升一合一勺一百二十七分勺之一百三為榖折納米數併二米得一千四百四十九石四斗四升八合八勺一百二十七分勺之二十四先通分納子一十八萬四千八十石以勺率三百粒乗之得五千五百二十二億四千萬粒為實以母一百二十七除之得四十十億四千八百三十四萬六千四百五十六粒不盡八十八棄之合問數學九章卷五下
## 卷六上
欽定四庫全書
數學九章卷六上 宋 秦九韶 撰錢榖課糴問差人五路和糴據浙西平江府石價三十五貫文一百三十五合至鎮江水脚錢每石九百文安吉州石價二十九貫五百文一百一十合至鎮江水脚錢每石一貫二百文江西隆興府石價二十八貫一百文一百一十五合至建康水脚錢每石一貫七百文吉州石價二十五貫八百五十文一百二十合至建康水脚錢每石二貫九百文湖南潭州石價二十七貫三百文一百一十八合至鄂州水脚錢每石一貫七百文(按草中係二貫一百文此此訛)其錢並十七界官㑹其米並用文思院斛交量紐數欲皆以官解計石錢相比貴賤幾何(文思院解每斗八十三合)答曰文思院斛石錢安吉州二十三貫一百六十四文一十一分文之六平江府二十二貫七十一文二十七分文之二十三隆興府二十一貫五百七文二十三分文之一十九潭州二十貫六百七十九文五十九分文之四十九(按三十九訛四十九)吉州一十九貫八百八十五文十二分文之五術曰以粟米互換求之置石價併水脚乗石數又乗官斗合數為實各如本州合數而一各得官解石錢以課貴賤草曰置安吉州石價二十九貫五百文平江石價三十五貫文隆興石價二十八貫一百文吉州石價二十五貫八百五十文潭州石價二十七貫三百文列右行次置水脚安吉一貫二百文平江九百文隆興一貫七百文吉州二貫九百文潭州二貫一百文列左行各對本州石價以兩行數併之得數安吉三十貫七百文平江三十五貫九百隆興二十九貫八百潭州二十九貫四百吉州二十八貫七百五十仍於右行次以文思院官斗八十三合遍乗之安吉州得二千五百四十八貫一百文平江府得二千九百七十九貫七百文江西隆興得二千四百七十三貫四百文湖南潭州得二千四百四十貫二百文江南吉州得二千三百八十六貫二百五十文各為實於右得次列安吉斗一百一十合平江斗一百三十五合隆興斗一百一十五合潭州斗一百一十八合吉州斗一百二十合於左行為法以對除右行之實安吉得二十三貫一百六十四文一十一分之六平江得二十三貫七十一文二十七分文之二十三除興得二十一貫五百七文二十三分文之一十九潭州得二十貫六百七十九文五十九文分之四十九(按三十九)(訛四十九)吉州得一十九貫八百八十五文一十二分文之五相課石價其安吉州最貴平江次之隆興又次之潭州又次之吉州最賤折解輕齎問有甲乙丙丁四郡各合起上供銀絹甲郡銀三千二百兩每兩二貫二百文足絹六萬四千匹每匹二貫文足去京一千里每擔一里傭錢六文足其時舊㑹每貫五十四文足乙郡銀二千七百兩每兩二貫三百文足絹四萬九千二百匹每匹二貫四百二十文足云京九百八十里每擔一里傭錢四文二分足舊㑹價五十九文足丙郡銀四千兩每兩新㑹九貫三百文絹七萬三千六百匹每匹新㑹一十貫三百文去京二千里每擔一里傭錢八十文舊㑹丁郡銀二千六百兩每兩五十一貫文舊㑹絹三萬二千三十五匹每匹五十八貫文舊㑹去京一千五百里每擔一里傭錢一百文舊㑹諸郡銀每五百兩絹每六十匹新㑹每五千貫為擔欲並折新㑹均作三限起解求各郡每限及本色原理折解實用寛餘傭錢各新㑹幾何按此題貫數分三項其一足數每千文為一貫其一舊㑹數如甲以五十四文為一貫乙以五十九文為一貫是也其一新㑹數為舊㑹數之五倍如甲以二百七十文為一貫乙以二百九十五文為一貫是也四郡或言足數或言舊㑹數新㑹數並折新㑹數傭錢原以銀五百兩或絹六十匹各為一擔今皆折新㑹數以五千貫為一擔故有寛餘錢數題語多未詳而併為一擔句尤混略為分析而術草之意大概可見矣答曰甲郡合解五十萬一百四十八貫一百四十八文初限一十六萬六千七百一十六貫四十九文次限一十六萬六千七百一十六貫四十九文未限一十六萬六千七百一十六貫五十文傭錢原理二萬三千八百四十五貫九百二十五文二十七分文之二十五實用二千二百二十二貫八百七十七文二十七分文之二十一寛餘二萬一千六百二十三貫四十八文二十七分文之四乙郡合解四十二萬四千六百五十七貫六百二十七文初限一十四萬一千五百五十二貫五百四十二文初限一十四萬一千五百五十二貫五百四十二文末限一十四萬一千五百五十二貫五百四十三文傭錢原理一萬一千五百一十六貫四百二十八文五十九分文之二十八實用一千一百八十五貫一十文二百九十五分文之五寛餘一萬三百三十一貫四百一十八文五十九分文之二十七(按實用分子五十訛為五寛餘分子一十八訛為二十七)丙郡合解七十九萬五千二百八十貫文初限二十六萬五千九十三貫三百三十三文次限二十六萬五千九十三貫三百三十三文末限二十六萬五千九十三貫三百三十四文傭錢原理三萬九千五百九貫三百三十三文三分文之一實用五千八十九貫七百九十二文寛餘三萬四千四百一十九貫五百四十一文三分文之一丁郡合解三十九萬八千一百二十六貫文初限一十三萬二千七百八貫六百六十六文次限一十三萬二千七百八貫六百六十六文末限一十三萬二千七百八貫六百六十八文 傭錢原理一萬四千一百七十三貫五百文實用二千三百八十八貫七百五十六文寛餘一萬一千七百八十四貫七百四十四文(按傭錢原理六千訛為四千寛餘三千訛為一千)術曰以均輸求之置各郡銀絹乗各價併之歸足原展足為舊㑹次以五約舊㑹為新㑹各得合解錢以限數除之得每限錢不盡併歸末限次置里數乗每里傭價為率以率乗原銀及原絹各為傭實以每擔銀絹率各為法實如法而一不滿者亦為擔併之為原理傭錢次以率乗合觧錢為實乃以錢物毎擔率為法實如法而一各得實用傭錢以減原理傭錢餘為寛餘傭錢合問數圖草曰置各郡銀絹乗各價甲郡銀三千二百兩乙郡銀二千七百兩郡銀四千兩丁郡銀二千六百兩貫於右行甲郡銀兩價二貫二百足乙郡銀兩價二貫三百足丙郡銀兩價九貫三百新㑹丁郡銀兩價五十一貫舊㑹於左行對乗之甲得七千四十貫足乙得六千二百一十貫足丙得三萬七千二百貫新㑹丁得十三萬二千六百貫舊㑹又列置各郡絹甲六萬四千匹乙四萬九千二百匹丙七萬三千六百匹丁三萬二千三十五匹於右行各郡絹匹價甲二貫足乙二貫四百二十足丙新㑹十貫三百丁五十八貫舊㑹於左行亦對乗之甲得一十二萬八千貫足乙得一十一萬九千六十四貫足丙得七十五萬八千八十貫新㑹丁得一百八十五萬八千三十貫舊㑹乃併各郡銀絹價甲共一十三萬五千四十貫足乙共一十二萬五千二百七十四貫足丙共七十九萬五千二百八十貫新㑹丁共一百九十九萬六百三十貫舊㑹甲以舊㑹價五十四文展足錢得二百五十萬七百四十貫七百四十文乙以舊㑹價五十九文展足錢得二百一十二萬三千二百八十八貫一百三十六文丙係新㑹丁係舊㑹今甲乙丁俱以五除之皆為新㑹甲得五十萬一百四十八貫一百四十八文乙得四十二萬四千六百五十七貫六百二十七文丙得七十九萬五千二百八十貫文丁得三十九萬八千一百二十六貫各為合解錢以限數三除之甲得一十六萬六千七百一十六貫四十九文為初限次限數不盡一文増入次限數内共得一十六萬六千七百一十六貫五十文為末限數乙得一十四萬一千五百五十二貫五百四十二文為初限次限數不盡一文増入得一十四萬一千五百五十二貫五百四十三文為末限數丙得二十六萬五千九十三貫三百三十三文為初限次限數不盡一文増入得二十六萬五千九十三貫三百三十四文為末限數丁舊一十三萬二千七百八貫六百六十六文為初限次限數不盡二文増入得一十三萬二千七百八貫六百六十八文為末限數各以里數乗傭錢各為率置甲郡一千里乙郡九百八十里丙郡二千里丁郡一千五百里於右行次置甲郡傭錢六文足乙郡傭錢四文二分足丙郡傭錢八十文舊㑹丁郡傭錢一百舊㑹於左行與右行對乗之甲得率六置足乙得率四貫一百一十六足丙得率一百六十貫舊丁得率一百五十貫舊於右行以率乗原銀數各為傭實次置甲原銀三千二百兩乙銀二千七百丙銀四千丁銀二千六百兩於左行與右行對乗之甲得一萬九千二百貫乙得一萬一千一百一十三貫二百文丙得六十四萬貫舊丁得三十九萬貫舊皆銀傭置於右行次置甲乙丙丁每擔率銀五百兩為法遍除左行甲得三十八貫四百足乙得二十二貫二百二十六文四分足丙得一千二百八十貫舊丁得七百八十貫舊為各郡銀傭錢列實寄别行次置甲原絹六萬四千匹乙絹四萬九千二百匹丙絹七萬三千六百匹丁絹三萬二千三十五匹為左行與右行各率對乗之甲得三十八萬四千貫足乙得二十萬二千五百七貫二百足丙得一千一百七十七萬六千貫舊丁得四百八十萬五千二百五十貫各為絹傭實次以四郡每擔絹率六十匹為法除之甲得六千四百貫足乙得三千三百七十五貫一百二十足丙得一十九萬六千二百六十六貫六百六十六文三分文之二舊丁得八萬八十七貫五百舊為各郡絹傭錢併入寄别行甲得六千四百三十八貫四百足乙得三千三百九十七貫三百四十六文四分足丙得一十九萬七千五百四十六貫六百六十六文三分文之二舊丁得八萬八百六十七貫五百舊列右行其甲舊㑹價五十四文五因之得二百七十文足乙舊㑹價五十九文亦五因之得二百九十五文丙以五丁亦以五於左行以對約右行皆為新㑹甲得二萬三千八百四十五貫九百二十五文二十七分文之二十五乙得一萬一千五百一十六貫四百二十八文五十九分文之二十八丙得三萬九千五百九貫三百三十三文三分文之一丁得一萬六千一百七十三貫五百文並新㑹係四郡原傭價錢次以原四郡率對乗四郡合解新㑹各為實其甲率六貫足乗甲合解錢五十萬一百四十八貫一百四十八文得三十億八十八萬八千八百八十貫其乙率四貫一百一十六足乗乙合解錢四十二萬四千六百五十七貫六百二十七文得一十七億四千七百八十九萬七百九十二貫七百三十二文足其丙率一百六十貫舊乗丙合解錢七十九萬五千二百八十貫得一千二百七十二億四千四百八十萬貫舊其丁率一百五十貫舊乗丁合解錢三十九萬八千一百二十六貫得五百九十七億一千八百九十萬貫舊各為實乃以每擔率五千貫為法而一甲得六百貫一百七十七文足不盡三千八百八十貫文乙得三百四十九貫五百七十八文足不盡七百九十二貫七百三十二文丙得二萬五千四百四十八貫九百六十文舊㑹丁得一萬一千九百四十三貫七百八十文舊㑹為各郡實用甲以二百七十文約乙以二百九十五文約丙丁皆五約為新㑹甲二千二百二十二貫八百七十七文不盡二百一十文乙一千一百八十五貫一十文不盡五百丙五千八十九貫七百九十二文丁二千三百八十八貫七百五十六文各減原理甲餘二萬一千六百二十三貫四十八文乙餘一萬三百三十一貫四百一十八文丙餘三萬四千四百一十九貫五百四十一文丁餘一萬一(按二訛一)千七百八十四貫七百四十四文合問今欲變右行足錢舊㑹皆為新㑹故以五遍乗甲陌五十四得二百七十乙陌五十九得二百九十五按右數實用傭錢内第二層乙條下子數□訛□原理傭錢内末層丁條左第二數丅訛□寛餘傭錢内第二層乙條下子數□訛□末層丁條左第二數川訛丨餘數俱合數學九章卷六上
## 卷六下
欽定四庫全書
數學九章卷六下 宋 秦九韶 撰錢穀僦直推原問房廊數内一户日納一百五十六文八分足為準指揮未曽經減者減三分已曽經減三分者減二分已曽經減二分者更減二分今本户累經減者欲知原額房錢幾何答曰原額三百五十文術曰以衰分求之列一十分兩行各三位列減分對減右行以餘者相乘為法以左行原列相乘得納錢為實實如法而一得原額錢草曰列一十三位於左行又列一十分三位於右行其右上減去初減三分右中減去次減二分右下減去更減二分右行餘七八八以相乗得四百四十八為法乃以左行三位一十分相乘得一千為乗率以乘見日納錢一百五十六文八分得一百五十六貫八百文為實實如法而一得三百五十文為本户原額戸錢推求本息問三庫息例萬貫以上一釐千貫以上二釐五毫百貫以上三釐甲庫本四十九萬三千八百貫乙庫本三十七萬三百貫丙庫本二十四萬六千八百貫今三庫共約到息錢二萬五千六百四十四貫二百文其典率甲反錐差乙方錐差丙蒺藜差欲知原典三例本息各幾何按此即衰分題也其差有反錐方錐蒺藜之名蓋以一二三遞減如立錐為反錐以一四九平方遞加為方錐以一三六三數遞加為蒺藜是必古有其名也至以各差求各本則因各本原依各差入之也答曰甲庫共納息九千五十三貫文一釐息二千四百六十九貫文二釐半息四千一百一十五貫文三釐息二千四百六十九貫文乙庫共納息一萬五十一貫文一釐息二百六十四貫五百文二釐半息二千六百四十五貫文三釐息七千一百四十一貫五百文丙庫共納息六千五百四十貫二百文一釐息二百四十六貫八百文二釐半息一千八百五十一貫文三釐息四千四百四十二貫四百文術曰置諸庫諸色之差照釐率為三行縱併之為約率横命之為乗率以約率各約自庫之本各得以遍乗未併乗率然後各以釐率横乗之次以縱併之為各庫共息草曰置甲庫反錐差自下置三二一於右行次置乙庫方錐差自上置一四九於中行次置丙庫蒺藜差自上置一三六於左行各為三庫上中下三等乘率乃縱併甲差三二一得六為甲約率縱併乙差一四九得一十四為乙約率縱併丙差一三六得一十為丙約率直命九位數各為上中下乗率乃先以約率各約自庫之本乃以甲約率六約甲本四十九萬三千八百貫得八萬二千三百貫為甲得次以乙約率一十四約乙本三十七萬三百貫得二萬六千四百五十貫為乙得次以丙約率一十約丙本二十四萬六千八百貫得二萬四千六百八十貫為丙得以各得乗未併乗率其甲所得八萬二千三百貫乘反錐乗率三二一得二十四萬六千九百貫為上率得一十六萬四千六百貫為中率得八萬二千三百貫為下率其乙所得二萬六千四百五十貫以乗方錐差一四九得二萬六千四百五十貫為上率得一十萬五千八百貫為中率得二十三萬八千五十貫為下率其丙所得二萬四千六百八十貫以乗蒺藜差一三六得二萬四千六百八十貫以乘蒺藜七萬四千四十貫為中率得一十四萬八千八十貫為下率然後各以息釐數乘各庫三乗(此是變文為庫)其甲以一釐乗上率二十四萬六千九百貫得二千四百六十九貫為上息以二釐五毫乘中率一十六萬四千六百貫得四千一百一十五貫為中息以三釐乘下率八萬二千三百貫得二千四百六十九貫為下息併上中下三息得九千五十三貫文為甲庫共息其乙庫以一釐乗上率二萬六千四百五十貫得二百六十四貫五百文為上息以二釐五毫乗中率一十萬五千八百貫得二千六百四十五貫為中息以三釐乗下率二十三萬八千五十貫得七千一百四十一貫五百為下息併上中下三息得一萬五十一貫文為乙庫共息其丙庫以一釐乗上率二萬四千六百八十貫得二百四十六貫八百為上息以二釐五毫乘中率七萬四千四十貫得一千八百五十一貫為中息以三釐乗下率一十四萬八千八十貫得四千四百四十二貫四百文為下息併上中下三息得六千五百四十貫二百文為丙庫共息併三庫共息得二萬五千六百四十四貫二百文為總息易牒知原(按舊本此問無題今増入)問出度牒差人營運毎三道易鹽一十三袋鹽二袋易布八十四疋布一十五疋易絹三疋半絹六疋易銀七兩二錢今趂到銀九千一百七十二兩八錢欲知原闗度牒道數幾何答曰度牒一百八十道術曰以粟米互乘易法求之列各數以本色相對如鴈翅以多一事者相乗為實以少一事者相乘為法除之草曰先以度牒三道乗鹽二袋得六以乘布一十五得九十文乗絹六疋得五百四十乃乗銀九萬一千七百二十八錢得四千九百五十三萬三千一百二十錢為實次以鹽一十三袋乗布八十四得一千九十二以乗絹三疋五分得三千八百二十二乃乘銀七兩二錢得二十七萬五千一百八十四錢為法除實得一百八十道為原闗度牒粟米交易(按舊本此問無題今増)問菽三升易小麥二升小麥一升五合易油麻八合油麻一升二合易粳米一升八合今將菽一十四石四斗欲易油麻又將小麥二十一石六斗欲易粳米問各幾何答曰油麻五石一斗二升 粳米一十七石二斗八升術曰以粟米換易求之置原易率本色對列如鴈翅以多一事者相乘為實以少一事者相乗為法除之各得或問數不干其率者不置草曰置四色六數列六位率如鴈翅皆化為合先將菽一十四石四斗化作一萬四千四百合乃對前二句率數四位如鴈翅至欲易油麻止共五事為上圖次將小麥二十一石六斗化為二萬一千六百合乃對後兩句率四位鴈翅至欲粳米止共五事為下圖下圖其上圖以菽一萬四千四百合乘麥二十得二十八萬八千又乗油麻八合得二百三十萬四千合為油麻實次以菽三十合乘麥一十五合得四百五十合為法除之得五千一百二十合展為五石一斗二升為油麻其下圖以小麥二萬一千六百合乗油麻八合得一十七萬二千八百合又乗粳米一十八合得三百一十一萬四百合為粳米實以小麥一以五合乗油麻一十二合得一百八十合為法除之得一萬七千二百八十展作一十七石二斗八升為粳米計米易麴(按舊本此問無題今增)問庫率粳榖七石出米三石糯米一斗易小麥一斗七升小麥五升踏麴二斤四兩麴一百一十斤醞糯米一石三斗今有糯穀一千七百五十九石三斗八升欲出穀做米易麥踏麴還自醞餘穀之米須令適足各合幾何答曰共穀一千七百五十九石三斗八升出穀九百二十四石得米三百九十六石易麥六百七十三石二斗踏麴三萬二百九十四斤餘榖八百三十五石三斗八升醞米三百五十八石二升術曰以粟米換易求之置諸率隨本色對列如鴈翅有分者通之異類者變之以頭位者進乗之以下位退乗之得合數有對者相乗之無對者直命之為諸率併上下無對者為法率(諸率可約者又約之)以今有物徧乘諸率(不乗法率)各為實諸實並如法而一各得其已變者復互易乗除之即得所求草曰置糯穀七出米三於右行上副兩位次置糯米一斗麥一斗七升於副行副中兩位次置小麥五升踏麥二斤四兩於次行中次兩位次置麥一百一十觔醞米一石三斗於左行次下兩位隨本色對列如鴈翅訖乃驗次行二斤四兩是四分斤之一以母四通次行兩位以子一内次行次位具中位得二次位得九又驗左行下位是糯米是異類於糯米合變為糯穀乃以問中首句率穀七米三變之以七因米一石三斗得九石一斗於左下為穀却以米三因麴一百一十斤為三百三十斤麴於左行得變圖數以左行三百三十乗次行二得六百六十次以六百六十乘副行一十得六千六百次以六千六百乗右上七得四萬六千二百各於原位却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升又以五斗一升乗次行九得四百五十九又以四百五十九乗左下九十一得四萬一千七百六十九列為合圖數乃驗合圖四行其副中次三位有對以對相乗合之其右上左下無對者直命之皆為率列右行上得四萬六千二百為出糯穀率副位得一萬九千八百為得糯米率中得三萬三千六百六十為易得麥率次得一萬五千一百四十七為踏到麴率下得四萬一千七百六十九為餘下糯榖率併上下率共得八萬七千九百六十九為法率今六率共求等得一約之只得原率為率圖始用今有穀一千七百五十九石三斗八升皆化為升徧乘五率不乗法率得八十一億二千八百三十三萬五千六百升為出穀實得三十四億八千三百五十七萬二千四百升為糯米實得五十九億二千二百七萬三千八十升為易麥實得二十六億六千四百九十三萬二千八百八十六為踏麴實得七十三億四千八百七十五萬四千三百二十二升為餘穀實其五實皆如法八萬七千九百六十九而一得九百二十四石為出穀得三百九十六石為做到糯米得六百七十三石二斗為易到小麥得三萬二百九十四斤為踏到麴得八百三十五石三斗八升為餘下穀今將餘下穀變為米乃以乗率三因餘穀八百三十五石三斗八升得二千五百六石一斗四升為實以糯穀率七為法除之得三百五十八石二升為醞米按術中互乗進乗退乗對乗皆通分法也張邱建云學者不患乗除之為難而患通分之為難此術曲盡其妙今各釋於後第一圖互乗以右上穀七乗左下米一十三得九十一應以右下米三除之方得穀數今不除便如得穀數又以米三乗之矣故以米三乗麴一十一得三十三與穀數九十一相當仍同於麴一十一與米一十三相當也第二圖左進乗自下而上右退乗自上而下左四位連乗至穀應以右上三位連乗之數除之得踏麴三十三所用穀數今不除為寄右上三位連乗之數為分母右四位連乘至穀即如麴三十三所醞穀數同寄右上三位連乗之數為分母也併之即如踏麴用穀麴所醞穀總數同寄右上三位連乗之分也第三圖對乗左下一位麴數以前寄分母右上三位連乗之數乗之即同寄一分母也左下二位相乗應以右上第三位除之得踏麴所用麥數不除為寄右上第三位麴數又以右上二位相乘之數乗之是應用麥數内同寄右上三位連乘之分母也左下三位連乘應以右中二位相乗之數除之得易麥應用米數不除為寄右中二位相乗之數又以右上第一位米數乗之是應用米數内同寄右上三位連乗之分母也右總穀出穀餘穀易米易麥踏麴六數皆同寄一分母則用以乗除求得數即與本數無異故以題中總穀數乗寄分母各數以寄分母總數除之即得所求各數也再此術不獨法之巧即圖式布置亦皆皆具精義熟玩之可以得其往來變通之故原第三合圖仍斜排為上圖第四率圖即各寄寄母數直列為下圖今合圖改為正圖列於右各得寄母數並列於左算囘運費問有江西水運米一十二萬三千四百石原係鎮江交卸計水程二千一百三十里每石水脚錢一貫二百文今截上件米就池州安頓池州至鎮江八百八十里欲收囘不該水脚錢幾何答曰收囘錢六萬一千一百七十八貫五百九十一文術曰以粟米互易求之置池州至鎮江里數乗水脚錢得數又乗運米為實以原至鎮江水程為法除實得收囘錢草曰置池州至鎮江八百八十里乗毎石水脚錢一貫二百得一千五十六貫文又乗運米一十二萬三千四百石得一億三千三十一萬四百貫文為實以原至鎮江水程二千一百三十里為法除實得六萬一千一百七十八貫五百九十一文為收囘錢三合均價(按舊本此問無題今増)問庫有三色金共五千兩内八分金一千二百五十兩兩價四百貫文七分五釐金一千六百兩兩價三百七十五貫文八分五釐金二千一百五十兩兩價四百二十五貫文並欲煉為足色每兩工食藥炭錢三貫文耗金九百七十二兩五錢欲知色分及兩價各幾何答曰色十分兩價五百三貫七百二十四文五百三十七分文之二百一十二術曰以方田及粟米求之置共數以耗減之餘為法以三色分數各乗兩數併之為色分實以三色價數各乗兩數為寄以工藥價乗共金併寄共為價實二實皆如法而一即各得草曰置共金五千兩減耗九百七十二兩五錢外餘四千二十七兩五錢為法次置一千二百五十兩乘八分得一萬分於上置一千六百兩以七分五釐乗之得一萬二千分加上置二千一百五十兩乗八分五釐得一萬八千二百七十五分又加上共得四萬二百七十五分為分實次置一千二百五十兩乗四百貫得五十萬貫為寄次置一千六百兩乘價三百七十五貫得六十萬貫加寄次置二千一百五十兩乗價四百二十五貫得九十一萬三千七百五十貫又加寄次置共金五千兩乗工藥錢三貫得一萬五千貫又加寄共得二百二萬八千七百五十貫為貫實二實並如法四千二十七兩五錢而一得其色一十分其價每兩得五百三貫七百二十四文不盡一貫五百九十與法求等得七十五俱約之為五百三十七文之二百一十二其色實餘盡得一十分為金色其價除得五百三貫七百二十四文為十分金毎兩價不盡一貫五百九十文與法求等得七半俱以約之為五百三十七分文之二百一十二數學九章卷六下
## 卷七上
欽定四庫全書
數學九章卷七上 宋 秦九韶 撰營建計作清臺問剏築清臺一所正高一十二丈上廣五丈袤七丈下廣一十五丈袤一十七丈其袤當東西廣當南北秋程人日行六十里里法三百六十步钁土鍬土每工各二百尺築土每工九十尺每擔土壤一尺三寸徃來一百六十步内四十步上下棚道築高至少半其棚道三當平道五至中半三當七至太半二當五踟蹰之間十加一載輸之間二十步定一返今甲乙丙三縣差夫甲縣附郭税力一十三萬三千八百六十六乙縣去臺所一百二十里税力二十三萬七千九百八十四丙縣去臺所一百八十里税力三十一萬二千三百五十四俱以道里逺近税力多少均科之臺下舖石脚七層先用甎砌臺身次用甎疊砌轉道周圍五帶並濶六尺須令南北二平道東西三峻道相間始自臺之艮隅於東外道向南順升由巽隅以西左轉週迴厯北復東再升東裏道至巽隅乃登臺頂其東裏道艮隅與北平道兩隅及西道乾隅之高皆以強半其西道坤隅與南道兩隅東外道異隅之高皆以五分之二峻道毎級履高六寸其東裏道級數取弱半東外道級數取五分之二西道級數取強半石長五尺濶二尺厚五寸甎長一尺二寸濶六寸厚二寸五分欲知土積定一返步毎工人到土及總用功各縣起夫甎石峻平道髙長級數踏蹤各幾何答曰土積一百五十四萬尺 定一返二百步一十八分步之五(按此條起共十一條數皆誤)毎工人到土一百四十尺七百二十一分尺之一百四十八 總用工四萬五千六百八十六工 甲縣差一萬七千一百三十二工乙縣差一萬五千二百二十九工 丙縣差一萬三千三百二十五工 石四千三百一十七片 甎一百一十四萬二千二十四片 東裏道峻艮隅高九丈巽隅高一十一丈九尺四寸級五十踏踏蹤二尺二寸九分 東外道峻艮隅高六寸巽隅高四丈八尺級八十踏踏蹤二尺一寸五分 西峻道坤隅高四丈八尺乾隅高九丈級七十踏踏蹤二尺一寸四分寸之九南平道高四丈八尺 北平道九丈按右答數中惟第一條土積未二條南北平道高三數無誤餘數俱有誤處其所以不合之故具詳草後術曰以啇功求之均輸入之倍臺上袤加下袤乗上廣為寄倍下袤加上袤乗下廣併寄乗高為土率如六而一得堅積以築工尺為法除堅積得築工以穿率乗堅積為實以堅率乗钁鍬工尺半之為鍬法除實得钁鍬共工以壤率因堅積如堅率而一為壤積求負土者先列全分及等至高諸母子以母互乗諸子為寄左行以諸母相乗為寄母次列棚道全分及所當鮮母衍子以鮮母互乗衍子為左行以鮮母相乗以乗寄得數又以列位乗之為總母以左右兩行諸子對乗之併之為總子其總母求等約之為定母子以定子乘棚道為次以定母乗平道加次义以踟蹰之數身下加之又以載輸步乗定母併次為統數以定母除統得定一返步亦為列土法(有分復通為法)置程里通步乗擔土尺有歩母則又以步母乗之為到實實如法而一得每工人到土亦為壤法以除壤積得負土工併前鍬築二工為總用工以各縣日程數約税力各得力率副併為科法以共用工乗未併者各為科實實如法而一各得縣夫求甎者倍轉道濶遍加臺上下廣袤變名上下濶長以甎厚加臺高為臺直次列甎石長濶厚各相乗為甎石積法通廣袤如法乃倍上長加下長乗上濶為寄次倍下長加上長乗濶併寄共乗直得數減土率除如六而一為泛置南北道高子各乗臺高為實如各母而一得五道諸隅高以北道高減臺餘為上停高以南道高減北道高餘為中停高命南道高為下停高以履寸除諸高得級數以上長減下長餘半之為勾以勾乗南道高為實如臺高而一得底率以底率減下長餘為底股以外道級數約底股得外道踏蹤又以底率減底股餘為中股以勾乗中停高為實如臺高而一得中率以中率減中股餘為上股以西道級除上股得西道踏蹤以勾乗上停高為實如臺高而一得中率以中率減中股餘為上股以西道級除上股得西道踏級以勾乗上停高為實如臺高而一得上率以上率併中率共減上股餘為實如裏道級而一得裏道踏蹤次以道濶併下長為補以南北道高併臺高乗補為需次上廣減下廣餘為址以址乗南道高為實以臺高除之得數減下廣餘為南道長以南長併下廣乗南道高加需又以址乗北道高為實以臺高除之得數減下廣餘為北道長以北道長併下廣乗北道高又加需共乗半道濶得數併泛為共率以基脚層數乗石版厚為基高次倍道濶併下濶乗下長為基率次以下廣乗下袤減基率餘乗基高為石率以石率減共率餘為甎率以甎積法除甎率得甎數以石級積法除石率得石版數草曰倍上袤七丈得一十四加下袤一十七丈得三十四丈加上袤七丈得四十一乗下廣一十五丈得六百一十五併寄得七百七十乗高一十二丈得九千二百四十丈為土率以六除率一千五百四十丈以千尺通之(按舊本誤為十八通之今改正)為一百五十四萬尺堅積以築工九十尺除之得一萬七千一百一十一工九分工之一為築工次以穿率四因堅積得六百一十六萬尺為實以堅率三因钁鍬工二百尺得六百尺為法除實得一萬二百六十六工三分工之二為穿工次以壤率五因堅積得七百七十萬尺為壤積以三為母具圖如後乃以右行母互乗左行子左上得一十二副位得九次得六下得一十八乃變右行名為寄子以諸母相乗得一十八為寄母具圖如後次以棚道全分及所當鮮母衍子三當五及三當七并二當五乃以右行鮮母互乗左行衍子上得四十五副得四十二次得三十下得一十八為右行以鮮母相乗得一十八乃對寄左圖列之乃以左右兩行母子對乗之上得五百四十副得三百七十八次得一百八十下得三百二十四母得三百二十四今以平分術入之併四子得一千四百二十二為總子以列位四乗乗母三百二十四得一千二百九十六為總母乃以總母子求等得一十八俱約之總子得七十九為定子總母得七十二為定母以定子七十九乗棚道四十步得三千一百六十於次以棚道一四十步減徃來一百六十步餘一百二十為平道以乗定七十二得八千六百四十加次共得一萬一千八百又以踟蹰十加一放身下加一得一萬二千九百八十仍於次又以載二十歩乗定母七十二得一千四百四十併次得一萬四千四百二十為統數以定母七十二除統數得二百步不盡約為一十八分步之五為定一返步乃復通分内子得三千六百五為到法乃置程里六十以三百六十通之得二萬一千六百步乗擔上一尺三寸得二萬八千八十尺以到母一十八乗之得五十萬五千四百四十尺為到實實如法除得一百四十尺不盡七百四十與法求等得五約之為七百二十一分尺之一百四十八為到土復通分内子得一十萬一千八十八又以壤母三因得三十萬二千二百六十四尺為壤法次以到土母七百二十一乗壤積七百七十萬尺得五十五億五千一百七十萬尺為壤實實如法而一得一萬八千三百六工不盡一十四萬九千二百一十六與法求等得三十二俱約之為一萬八千三百六工九千四百七十七分工之四千六百六十三為擔土工次列前土工圖築一萬七千一百一十一工九分工之一及穿工一萬二百六十六工三分工之二各通分内子築率得一十五萬四千穿率得三萬八百擔率一億七千三百四十九萬六百二十五按術當以通率圖諸母互乗諸率令騐擔母九千四百七十七可用築母九約亦可用穿母三約故從省以築母九約擔母九千四百七十七得一千五十三為築率乗數又以穿母三約擔母九千四百七十七得三千一百五十九為穿率乗數各以乗數乗本率名曰就母圖乃以九千四百七十七變名曰就母先以築率一十五萬四千乗乗數一千五十三得一億六千二百一十六萬二千為築分次以穿率三萬八百乗乗率三千一百五十九得九千七百二十九萬七千二百為穿分就以擔率一億七千三百四十九萬六百二十五為擔分併三分共得四億三千二百九十四萬九千八百二十五為總工分實以就母九千四百七十七除之得四萬九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十為總用功具圖如後置各縣日程約税力得力率副併為科法工置甲縣力一十三萬三千八百六十六以一日程為之只得此為甲率又置乙縣力二十三萬七千九百八十四以二日約得一十一萬八千九百九十二為乙率又置丙縣力三十一萬二千三百五十四以三日約得一十萬四千一百一十八為内率列三求等得一萬四千八百七十四俱約之甲得九乙得八丙得七各為定率副併得二十四具圖如後乃以總分四億三千二百九十四萬九千八百二十五遍乗三縣定率為各實以就母九千四百七十七乗併率二十四為科法甲得三十八億九千六百五十四萬八千四百二十五乙得三十四億六千三百五十九萬八千六百丙得三十億三千六十四萬八千七百七十五各為實法得二十二萬七千四百四十八為科法除各實具圖如後乃以科法除各實甲得一萬七千一百三十一工不盡一十三萬六千七百三十七為甲縣工乙得一萬五千二百二十八不盡二萬四百五十六為乙縣工丙得一萬三千三百二十四不盡一十三萬一千六百二十三為丙縣工諸縣不盡皆輩為一工甲合科一萬七千一百三十二工乙合科一萬五千二百二十九工丙合科一萬三千三百二十五工按此以上所求擔土定一返數誤其到土工數及總用工數三縣合科工數皆誤盖題言築臺至少半至中半至太半當自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至臺頂共四段其分數自下而上逐層數應取兩分數之較草中所列諸分子下設一數上即列三分數其段數既不確又即用各分子全數故求得棚道七十二僅當平道七十九與題中所言二當五三當七當五之數顯然不合矣今推歩改正於後法先求分子較以三之一為第一段分數以三之一與二之一分母對乗得六分母互乗分子三之一得六之二二之一得六之三相減餘六之一得第二段分數以二之一與三之二分母對乗得六分母互乗分子二之一得三三之二得四相減餘六之一為第三段分數以三分之二與全臺三分之三相減餘三之一為第四段分數然後列四段母數於右子數於左以各分母連乗又互乗分子得三百二十四為總分母第一段一百零八第二段五十四第三段五十四第四段一百零八為各分子求等數得五十四徧約之總母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二為各段分母子次列棚道一當平道一為下第一段三當五為第二段三當七為第三段二當五為第四段以棚道數為分母以平道數為分子分母連乗又互乗分子得一十八為總分母第一段得一十八第二段得三十第三段得四十二第四段得四十五為各分子求等數得三徧約之總母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前後兩分母分子(已約之數)各對乗得總母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十併諸子得六十六為總子又求等得六各約之得定母六為棚道數定子一十一為平道數此即合全臺數總計凡棚道六當平道一十一也乃以定子一十一乗棚道四十步得四百四十步為次以棚道四十步減一百六十步餘一百二十步為平道以定母六乗之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一於身得一千二百七十六步又以載輸二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩為統數以定母六除之得二百三十二步又三分步之二為定一返步乃復通分内子得六百九十八為到法乃置程里六十以三百六十步通之得二萬一千六百步乗上一尺三寸得二萬八千零八十尺以到法分母三乗之得八萬四千二百四十尺為到實以到法除之得一百二十尺不盡四百八十約之為三百四十九分尺之二百四十舊名到土復到土復者一工每日所擔之堅土數也通分内子得四萬二千一百二十以壤母三因之得一十二萬六千 百六十尺為壤法次以到土復母乗壤積七百七十萬尺得二十六億八千七百三十萬尺為壤實實如法而一得二萬一千二百六十七工不盡一千八百八十約之得三千一百五十九分工之四十七為擔土工次列築工穿工擔工三數及分母分子互乗以齊之列三工數各通分内子得築率一十五萬四千穿率三萬零八百擔率六千七百一十八萬二千五百驗擔母數築穿二母數皆可度盡用就母法以築母除擔母得三百五十一為築東率以穿母除擔母得一千零五十三為穿乗率各以乗率乗本率得築分五千四百零五萬四千穿分三千二百四十三萬二千四百擔率六千七百一十萬二千五百即為擔分同以擔分母為總分母乃併三分數得一億五千三百六十六萬八千九百分為實以總分母為法除之得四萬八千六百四十四工不盡二千五百零四約之不變即命為三千一百五十九分二之二千五百零四為總用工數次置三縣力役以里數遠近通之先以乙丙二里數求等得六十各約之乙得二丙得三以乙二徧乗甲丙以丙三徧乗甲乙得甲率八十萬零三千一百六十九乙率七十一萬三千九百五十二丙率六十二萬四千七百零八三率求等得八萬九千二百四十四徧約之甲得乙得八丙得七各為率併率得二十四乃以工總分一億五千三百六十六萬八千九百分乗三縣各率得甲實一十三億八千三百零二萬零一百乙實一十二億二千九百三十五萬一千二百丙實一十億零七千五百六十八萬二千三百以就母三千一百五十九乗併率二十四得七萬五千八百一十六為科法除各實不盡者各進一工得甲縣合科一萬八千二百四十二工乙縣合科一萬六千二百一十五工丙縣合科一萬四千一百八十九工求甎者倍轉道並濶六尺得一丈二尺遍加臺上下廣袤變各為上下濶長以甎厚六寸加臺高先以甎長一尺二寸濶六寸厚二寸五分相乗之得一百八十寸為甎積法次列石版長五尺濶二尺厚五寸相乗得五千寸為石積法具圖如後騐得諸法皆寸乃以變各圖上下長濶直按術求率倍上長八百二十寸得一千六百四十寸加下長一千八百二十寸得三千四百六十乗上濶六百二十得二百一十四萬五千二百為寄次倍下長一千八百二十得三千六百四十加上長八百二十得四千四百六十乗下濶一千六百二十得七百二十二萬五千二百併寄得九百三十七萬四百乗臺直一千二百六寸得一百一十三億七十萬二千四百寸仍為寄乃騐土積圖土率九千二百四十丈以一百萬寸通之得九十二億四千萬寸以減寄餘二十億六千七十萬二千四百寸如六而一得三億四千三百四十五萬四百寸為泛次置南道高五分之二北道高强半係四分之三及臺原高一千二百寸具圖如後乃以南道高子二乗原臺高得二千四百寸為南寔以南道高子三乗原臺高得三千六百寸為北寔各如本母而一得四百八十寸約為四丈八尺為南道兩隅又為東外道巽隅高又為西道坤隅高所得九百寸約為九丈為北道兩隅高又為西道乾隅高又為東裏道艮隅高具圖如後以北道高九丈減臺高一十二丈餘三丈為上停高以南道高四丈八尺減北道高九丈餘四丈二尺為中停髙命南道高四丈八尺為下停高三停高皆如履級寸而一得五十為東裏道級數得七十為西道級數得八十為東外道級數次以上長八百二十寸減下長一千八百二十寸餘一千寸以半之得五百寸為勾以乗南道高四百八十寸得二十四萬寸為實如臺高一千二百寸而一半之(按上下長)(較已半得數又半之誤)得一百寸為底率以率減下長一千八百二十餘一千七百二十寸為底股以外道級八十約之得二尺一寸五分為外道踏蹤又以底率一百寸減底股一千七百二十寸餘一千六百二十寸為中股乃以勾五百寸乗中停高四丈二尺得二十一萬寸為實如臺高一千二百寸而一得一百七十五寸為中率以中率減中股一千六百二十寸餘一千四百四十五寸為上股以西道級七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九為西道踏蹤又以勾五百寸乗上停高三百寸得一十五萬寸為實如臺高一千二百寸而一得一百二十五寸為上率併中率一百七十五寸得三百減上股一千四百四十五寸餘一千一百四十五寸為實如裏道級五十而一得二尺二寸九分為裏道踏蹤各得具圖以見如後次以道濶六尺併下長一千八百二十寸得一千八百八十寸為補以南北道高併臺高共得二千五百八十寸乗補得四百八十五萬四百寸為需(按此二數不合)(其法太疎故也)次以上廣五百寸減下廣一千五百寸餘一千寸為址乗南道高四百八十寸得四十八萬寸為實以臺高一千二百寸除之得四百寸為減率以減下廣一千五百寸餘一千一百寸為南道長併下廣一千五百寸得二千六百乗南道高四百八十寸得一百二十四萬八千寸加需又以址一千寸乗北道高九百寸得九十萬寸為實亦如臺高一千二百而一得七百五十以減下廣一千五百寸餘七百五十寸為北道長併下廣一千五百得二千二百五十寸乗北道九百寸得二百二萬五千寸又加需共得八百一十二萬三千四百以半道濶三尺乗之得二億四千三百七十萬二千寸併泛三億四千三百四十五萬四百得五億八千七百一十五萬二千四百寸為共率次以基脚七層乗石版厚五寸得三十五寸為基高次倍道濶得一百二十併下濶一千六百二十寸得一千七百四十乗下長一千八百二十得二百一十六萬六千八百為基率次以下廣一千五百寸乗下袤一千七百寸得二百五十五萬減基率餘六十一萬六千八百寸乗基高三十五寸得二千一百五十八萬八千寸為石率以石率減共率餘五億六千五百五十六萬四千四百寸為甎率以甎積法一百八十寸除之得一(按三訛一)百一十四萬二千二十四片九分片之四乃以石積法五千寸除石率二千一百五十八萬八千寸得四千三百一十七片為石版不盡三十寸棄之不輩合問按右草自求甎砌臺身積至級數皆無誤求踏蹤數有誤至求補數需數其法更多未合如題内云先用甎砌臺身次用甎砌轉道周圍五帶並濶六尺南北二平道東西三峻道如自臺下艮隅南升至巽西折行至坤北升至乾東折行至艮復南升至巽乃登臺頂是南北二平道至臺址皆如一面平堆形西峻道至臺址東裏峻道至臺址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形東外峻道至臺址如一面三角斜堆形法當按各形取積草中取二平道皆如法至取峻道乃以道濶併下長為補以南北道高臺高三數併乗之為需然後以半道濶乗之為積其意殊不可解然以數考之有差至三之一者又臺身外四面甎砌各加六尺轉道東面加二層三面各加一層是臺基長一十九丈四尺濶一十八丈草中以下濶為一千七百四十寸差少六尺下長仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疎漏之誤今自求踏蹤至末皆另步之法以臺上長減下長餘一千寸半之得五百寸為勾率以乗南道高四百八十寸得二十四萬寸為實如臺高一千二百寸而一得二百寸為底率以減下長得一千六百二十寸為底股以外道級八十約之得二尺零二分半為東外道踏蹤又以底率減底股餘一千四百二十寸為中底以勾率五百乗中停高四百二十寸得二十一萬寸如臺高寸而一得一百七十五寸為中率以減中底餘一千二百四十五寸為中股以西道級七十約之得一尺七寸七分又七分分之六為西道踏蹤以中率減中股餘一千零七十寸為上底以勾率五百乗上停高三百寸得一十五萬寸如臺高而一得一百二十五寸為上率以減上底餘九百四十五寸為上股以裏道五十約之得一尺八寸九分為裏道踏蹤次以道濶加下長與下停高相乗得九十萬二千四百寸為倍東外峻道三角形立面中底與中停高相乗得五十九萬六千四百寸為倍上下外濶相減餘一千寸以北道高乗之得九十萬以臺高寸數除之得七百五十寸以減北下外濶得九百九十寸為北道上濶與北下外濶相加以北道乗之得二百四十五萬七千寸為倍北道至臺址平堆形立面併倍二面數得三百九十九萬三千寸又併前五數之共數得九百九十六萬九千寸以半道濶三十寸乗之得二億九千九百零七萬寸為共道峻道積又併前砌臺身積三億四千三百四十五萬零四百寸得總積六億四千二百五十二萬零四百寸為共率次二因道濶與下長相加得一千九百四十寸與南道下外濶一千八百寸相乗得三百四十九萬二千寸又以原下廣一千五百寸下袤一千七百寸相乗得二百五十五萬寸以減外長濶相乗餘九十四萬二千寸以石基三十五寸乗之得三千二百九十七萬寸為西峻道上三角形立面中底下底併與下停高相乗得一百五十五萬五千二百寸為倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乗得三十二萬一千寸為倍東裏道上三角形立面上底下底併與中停高下停高併相乗得二百六十萬零一千寸為倍東裏道下平堆形立面倂五數共得五百九十七萬六千寸比舊草所用需數大一百一十二萬五千六百寸次求南北平道立面先以上下濶俱加三道濶得上外濶八百寸下外濶一千八百寸上下外濶相減餘一千寸以南道高乗之得四十八萬寸以臺高寸除之得四百寸為減率以減下外濶得一千四百寸為南道上濶與下外濶相併以南道高乗之得一百五十三萬六千寸為倍南道至臺址平堆形立面又以上下濶各加倍道濶得北上外濶七百四十寸北下外濶一千七百四十寸北石率以石率減共率餘六億零九百五十五萬零四百寸為甎率以甎長濶厚連乗得一百八十寸為甎法以石長濶厚連乗得五千寸為石法以甎法除甎率得三百三十八萬六千三百九十一片九分片之一為共用甎數以石法除石率得六千五百九十四片為共用石數堂隍程築問有營造地基長二十一丈濶一十七丈先令七人築堅三丈計功二日今涓吉立木有日欲限三日築了每日合收杵手幾何答曰日收五百五十五工三分工之一術曰以長乗濶又乗原日原人為實以限日乗築丈數為法除之得人夫草曰以長二十一丈乗濶一十七丈得三百五十七丈又乗原二日得七百一十四又乗原七人得四千九百九十八為工實以限三日乗原築三丈得九為法除實得五百五十五工不盡三與法俱三約之為三分工之一為日收五百五十五工三分工之一合問砌甎計積問有交到六門甎一十五垜每垜高五尺濶八尺長一丈其甎毎片長八寸濶四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三間各深三丈共濶五丈二尺書院六間各深一丈五尺各濶一丈二尺後閤四間各深一丈三尺内二間濶一丈次二間濶一丈五尺亭子地面之長濶幾何答曰見有一十八萬七千五百片今用一萬六千四百六片四分片之一外餘一十七萬一千九十三片四分片之三術曰以少廣求之置各地面深濶相乗以間數若所數乗之共為實甎長濶相乗為甎平法除得今用甎數次以甎垜高長濶相乗為實却以甎法乗厚得數為甎積法除之得毎垜甎數次以垜數乗之得見有甎以減今用甎得餘甎草曰置堂濶五丈二尺乗深三丈得一十五萬六千寸於上又置書院深一丈五尺乗濶一丈二尺得一萬八千寸又以六間乗之得一十萬八千寸加上共得二十六萬四千寸併上又置後閤濶一丈併濶一丈五尺得二丈五尺又以各二間乗之得五百寸以乗各深一丈三尺得六萬五千寸加上得三十二萬九千寸併上次置亭基一丈四尺自乗得一萬九千六百寸以一十所乗之得一十九萬六千寸又併上共得五十二萬五千寸為實以甎長八寸乗濶四寸得三十二寸為甎平法除之得一萬六千四百六片四分片之一為共用甎次置毎垜高五尺乗濶八尺得四千寸又乗長一丈得四十萬寸為毎垜實却以甎平法三十二寸乗厚一寸只得三十二寸為甎積法除之得一萬二千五百片又以十五垜乗之得一十八萬七千五百片為見有甎内減今用甎餘有一十七萬一千九十三片四分片之三為外餘瓦數合問數學九章卷七上
## 卷七下
欽定四庫全書
數學九章卷七下 宋 秦九韶 撰營廷計定城築問郡築一城圍長一千五百一十丈外築羊馬墻開壕長與城同城身髙三丈靣闊三丈下闊七丈五尺羊馬墻髙一丈靣闊五尺下闊一丈開壕靣闊三十丈下闊二十五丈女頭鵲䑓共髙五尺五寸共闊三尺六寸共長一丈鵲臺長一丈髙五寸闊五尺四寸座子長一丈髙二尺二寸五分闊三尺六寸肩子髙一尺二寸五分闊三尺六寸長八尺四寸㡌子髙一尺五寸闊三尺六寸長六尺六寸箭窻三眼各闊六寸長七寸五分外眼比内眼斜低三寸取土用穿四堅三為率週廻石版鋪城脚三層每片長五尺闊二尺厚五寸通身用甎包砌下一丈九幅(按九幅即九層)中一丈七幅上一丈五幅甎每片長一尺二寸闊六寸厚二寸五分䕶嶮牆髙三尺闊一尺二寸(按此句贅盖下既論幅則不用)(闊下當云每幅之闊為甎之長數)下脚髙一尺五寸鋪甎三幅上一尺五寸鋪甎二幅每長一丈用木物料永定柱二十條長三丈五尺徑一尺每條栽埋工七分串鑿工三分爬頭拽後木共八十條長二丈徑七寸每條作工三分串鑿工二分摶子木二百條長一丈徑三寸每條作工二分搬扛工二分絍橛二千個每個長一尺方一寸每個工七毫絍索二千條長一丈徑五分每條工九毫石版一十片匠一工搬一工每片灰一十觔搬灰千觔用一工甎匠每工砌七百片石灰每甎一觔蘆蓆一百五十領青茅五百束絲竿筀竹五十條笍子水竹一十把每把二尺圍钁手鍬手擔土杵手每工各六十尺火頭一名受六十工部押壕寨一名管一百二十工每工日支新會一百文米二升五合欲知城牆堅積壕積壕深共用木竹橛索甎石灰蘆茅人工錢米數各㡬何按題意掘土為壕以築城城身及羊馬牆身共積即壕身積語中未詳羊馬牆及壕周遶城外當長于城周題中未載距城尺數城牆用甎包砌當計三靣題中只計一靣皆屬疎漏䕶險牆應以甎長為闊題中復言闊之尺數柱木䋲橛等徑方長短術草不用其數題中亦皆開載未免冗繁然古啇功之略猶可見焉故于草中就其所問之意而改正之答曰城積二千三百七十八萬二千五百尺堅積牆積一百一十三萬二千五百尺堅積壕積三千三百二十二萬尺穿積 壕深八丈 永定柱三萬二百條每條長三丈五尺徑一尺 爬頭拽後木一十二萬八百條每條長二丈徑七寸 摶子木三十萬二千條毎條長一丈徑三寸絍橛子三百二萬個每個長一尺方一寸 絍索三百二萬條每條長一丈徑五分 蘆蓆二十二萬六千五百領 青茅七十五萬五千束每束六尺圍筀竹七萬五千五百竿 水竹一萬五千一百把毎把二寸圍 石版一萬五千一百片城甎一千二百八十三萬三千四百九十片 石灰一千二百九十八萬四千四百九十觔 用工二百萬三千七百七十工 新會二十萬三百七十七貫文 支米五萬九十四石二斗五升按右答數石版城甎石灰三數俱誤餘數亦多偶合具詳草後術曰以啇功求之置城及牆上下廣各併之乘髙進位半之各得每丈積率併之為共率先以每功尺除之又以諸色工各數乘之為土功丈率次置柱木橛索乘其每條叚功得各共功次置城方一丈自之乘用甎總幅數為實以甎長乘厚為則法除實得城身用甎次置鵲臺座子肩子㡌子各髙闊長相乘為寄併之于上次箭窻眼髙依差寸求斜深虚積減寄餘為女頭甎實以則法乘甎闊為甎積法除之得女頭臺用磚又置䕶險牆髙以丈乘而半之又乘上下幅共數為實以磚闊厚相乘為法除之得䕶險牆用甎併三項用甎為都實以毎功片為法除之得甎匠功以每丈用石叚數求石匠工以搬每丈石求搬石工以片用灰數乘都甎得甎用灰以每丈石版數乘片用灰得石用灰併之為甎石共灰以每工搬灰數除之得搬灰工併諸作工為實以火頭壕寨每管人數各為法除之得各數又併之為都工然後以城圍通長偏乘諸項毎丈率積灰各工料得共數女頭圍(按舊圖在術前其尺數多未合今改正移于此)草曰置城上廣三丈併下廣七丈五尺得一十丈五尺乘髙三丈得三千一百五十尺進位(按即)(十尺乘之)得三萬一千五百尺半之得一萬五千七百五十尺為每丈城積率置羊馬牆闊五尺併下闊一丈得一十五尺乘髙一丈得一百五十尺進位得一千五百尺以半之得七百五十尺為羊馬牆每丈積率併城牆二率得一萬六千五百尺為共率以為實以钁鍬擔工杵手各六十尺為法除實得二百七十五工以四色因之得一千一百工為钁鍬擔土杵手工置永定柱二十條乘每條栽埋工七分得一十四工又乘串鑿工三分得六工計二十工為永定柱工置爬頭拽後木八十條乘作工三分得二十四工又乘串鑿工二分得一十六工計四十工為爬頭拽後木工置摶子木二百條乘作工二分得四十工又乘搬扛工二分得四十工計八十工為摶子木工置絍撅二千箇乘作工七毫得一十四工絍索二千條乘作工九毫得一十八工計三十二工為橛索共工乃以城牆女頭甎積求甎匠工置城身方一丈自乘一百尺于上次置下九幅中七幅上五幅併之得二十一幅乘上得二千一百尺甎長有寸以寸通之為二十一萬寸為實(按此條誤應減去三)(層石脚積餘為甎實方合)以甎長一十二寸乘厚二寸五分得三十寸為則法(按則法即甎立長靣數葢論幅數則不用求積也)除實得七千片為城身甎數又置鵲臺髙五寸乘闊五尺四寸得二百七十寸又乘長一丈得二萬七千寸寄上又置座子髙二尺二寸五分乘闊三尺六寸得八百一十寸又乘長一丈得八萬一千寸加寄又置肩子髙一尺二寸五分乘闊三尺六寸得四百五十寸又乘長八尺四寸得三萬七千八百寸又加寄又置㡌子髙一尺五寸乘闊三尺六寸又乘長六尺六寸得三萬五千六百四十寸又加寄共得一十八萬一千四百四十寸共為寄其箭窻内外眼雖差三寸于斜深虚積将盈補虧與直深等以窻闊六寸乘長七寸五分得四十五寸又乘座闊三尺六寸得一千六百二十寸為窻積(按箭眼三當三因之此用一眼數誤)以減寄餘一十七萬九千八百二十寸為實置甎則法三十寸乘甎闊六寸得一百八十寸為甎則法除實得九百九十九片為女頭鵲臺共甎又置䕶險牆髙三尺乘每丈得三千寸以牆法當半折之得一千五百寸又乘上下五幅得七千五百寸為實次以甎厚二寸五分乘闊六寸得一十五寸為甎法除實得五百片為䕶險牆甎次併三項甎八千四百九十九片為毎丈用甎都實以每工七百片為法除實得一十二工七百分工之九十九為甎工每丈用石版十片(按此條誤應用一十六片二分)計一工搬石十片計一工甎每片用灰一觔命都甎即甎用灰之數又置每丈用石版一十片每片用灰一十觔相乘之得一百觔為石版用灰併甎用灰八千四百九十九得八千五百九十九觔為甎石用灰數為實以毎工搬一千觔為法除之得八工一千分工之四百九十九為搬灰工并石匠搬石二工通前列土工一千一百定柱工二十爬頭拽後木工四十摶子木工八十橛索工三十二甎工一十二工七百分工之九十九(按此數誤)搬灰八工千分工之四百九十九(按此)(數誤)石匠搬石共二工(按此數誤)併諸作工餘分不同者合分術入之共得一千二百九十四工七千分工之一千四百八十九(按甎工差多一工石工差少一工故相併之工數無差分子則差少四千)(八百五十二分)通分内子得一百二十九萬五千四百八十九為衆工實置火頭每管六十人分母乘之得六萬為法(按數誤分母七千乘六十應得四十二萬)除都工實得火頭二十一人六萬分之三萬五千四百八十九壕寨每部一百二十人就倍火頭法六萬為十二萬亦除衆工實得壕寨十人十萬分之九萬五千四百八十九列兩餘分及前諸作工餘七千分之一千四百八十九三項以合分術入之得一工不盡五十萬四十億分之三十萬二千三百六十九億四千萬分求等又約之為八十四萬分之五十萬三千九百四十九分乃又併之共得一千三百二十六工其餘分大約百分中之五十九在半以上收為一工共定得一千三百二十七工(按此數偶合)為每丈都工然後以城通長徧乘乘諸項置城長一千五百一十丈乘城率一萬五千七百五十尺得二千三百七十八萬二千五百尺為城堅積又以城長乘牆率七百五十尺得一百一十三萬二千五百尺為牆堅積併城牆二積得二千四百九十一萬五千尺又以墟率四因之得九千九百六十六萬尺為實以堅率三約得三千三百二十二萬尺為壕積以為實以壕闊三十丈併下闊二十五丈得五十五丈以半之得二百七十五尺乘壕長一千五百一十丈得四十一萬五千二百五十尺為壕法除實得八丈為壕深求工料共數如術以城通長徧乘丈率工永定柱爬頭拽後木摶子木橛子木絍索蘆蓆筀竹水竹青茅城甎石版石灰各得以共工乘日支錢米得共錢米更不立革按草中法數有不合者逐條改正如左一題言城脚週廻鋪石版三層通身用甎包砌應于先求得一丈自乘幅數再乘之二十一萬寸數内減去三層石脚之一萬三千五百寸餘一十九萬六千五百寸為甎實以甎則三十寸除之得六千五百五十觔為甎數草中即以全積為甎實故得數差多四百五十片一女頭鵲臺全積一十八萬一千四百四十寸一箭窻虚積一千六百二十寸三眼應三因之得四千八百六十寸以減全積餘一十七萬六千五百八十寸為實以一甎積一百八十寸除之得九百八十一片為甎數草中只減一眼虚積故得數差多一十八片一併城牆鵲臺䕶險牆三甎數得共用甎八千零三十一片草中差多四百六十八片一題言城脚鋪石版三層應以甎闊六寸乘九幅得五十四寸以一丈乘之得五千四百寸三因之得一萬六千二百寸為實以石之長闊相乘得一千寸為法除之得一十六片二分草中並無求法但云毎丈用石版十片差少六片二分一石每片用灰十觔甎每片用灰一觔毎丈石用灰一百六十二觔甎用灰八千零三十一觔二共用灰八千一百九十三觔草中石用灰差少六十二觔甎用灰差多四百六十八觔二共用灰差多四百零六觔一石十片二工甎七百片一工灰千觔一工每丈應用石工三工二分四釐甎工一十一工七百分工之三百三十一灰工八工千分工之一百九十三併之又併土工一千一百工定柱工二十工爬頭木工四十工摶子木工八十工橛索工三十二工共得一千二百九十四工七千分之六千三百四十一草中分子為一千四百八十九差少四千八百五十二分一求大頭工應以共工分母通工數内子為實以分母通所受六十人為法除實得火頭二十一工又一十四萬分工之八萬一千四百四十七草中誤以千分通之故分母子數不合求壕寨應仍用前實以分母七千通所管一百二十人為法除實得壕寨十工又二十八萬分之二十二萬一千四百四十七草中同前誤分母子數不合一前共工火頭壕寨三分數通而併之得二工又二十八萬分之七萬七千九百八十一然後總併之得一千三百二十七工又二十八萬分工之七萬七千九百八十一其分子不及分母十之三棄之即以一千三百二十七工為定數草中分子僅進一工餘數及十之六又進一工故所得定工數亦同一共用石版二萬四千四百六十二觔答數内差少九千三百六十二觔一共用甎一千二百一十二萬六千八百一十觔答數内差多七萬零六百六十八觔一共用灰一千二百三十七萬一千四百三十觔答數内差多六十一萬三千六十觔右十餘條皆依舊草正其舛訛至立法之疎密未暇論也樓櫓功料問築城合葢樓櫓六十處每處一十間䕶險髙四尺長三丈厚隨甎長卧牛木一十一條長一丈六尺徑一尺一寸搭腦木一十一條長二丈徑一尺㸔壕柱一十一條長一丈六尺徑一尺二寸副壕柱一十一條長一丈五尺徑一尺二寸掛甲柱一十一條長一丈三尺徑一尺一寸虎蹲柱一十一條長七尺五寸徑一尺仰艎板木四十五條長一丈徑一尺二寸平靣板木三十五條長一丈徑一尺二寸串掛枋木七十三條長五尺徑一尺仰板四八甎結砌三層計六千片每片用灰半觔共用紙觔一百觔牆甎長一尺二寸闊六寸厚二寸半中板瓦七千五百片一尺釘八箇八寸釘二百七十箇五寸釘一百箇四寸釘五十箇丁環二十箇用工三百九十六人欲知共用工料各幾何(按䕶險牆每甎一片用灰一觔題内缺)答曰卧牛木六百六十條 搭腦木六百六十條㸔壕柱六百六十條 副壕柱六百六十條挂甲柱六百六十條 虎蹲柱六百六十條 串挂枋四千三百八十條 仰板木二千七百條 平板木二千一百條 城甎四萬八千片 四八甎三十六萬片 石灰二十萬八千觔 紙觔六千觔 中板瓦四十五萬片 丁環一千二百箇 一尺釘四百八十箇 八寸釘一萬六千二百箇 五寸釘六千箇 四寸釘三千箇 用工二萬三千七百六十人術曰以啇功求之置牆髙乘長得寸為實以甎闊乘厚為法除之得用甎及用灰以處數並乘諸工料得總用工料草曰置牆髙四尺通為四十寸置長三丈通為三百寸相乘得一萬二千寸為實以甎闊六寸乗厚二寸五分得一十五寸為法除之得八百片為牆甎又為灰并四八甎灰三千觔共灰三千八百觔乃以六十處徧乗總用工料卧牛木搭腦木㸔壕柱副壕柱挂甲柱虎蹲柱仰板木平板木串挂枋木四八甎城甎石灰紙觔中板瓦一尺釘八寸釘五寸釘四寸釘釘環工數各項總數在前計造石壩問創石壩一座長三十丈水深四丈二尺令靣闊三丈石版每片長五尺闊二尺厚五寸用灰一十觔每層髙二尺差闊一尺石匠每工九片搬扛五片用工四人搬灰兼用每工一百一十觔火頭每名管六十人部押每名管一百二十人所用石湏依原叚不許鑿動欲知壩下闊及用石并灰共工各幾何答曰壩下闊五丈 石版一十萬八千片 石灰一百萬八千觔 用夫一十萬三千五百二十八工十一分工之八術曰以啇功求之招法入之置層髙尺數乗靣闊及長為初率次以差闊尺數乗髙又乗長為次率却以石版長闊厚相乗為法以除二率各得石版為上積及次積置深以層髙尺數約之得層數對二積列之一行各添一撥天地數各以累乗對約之得乗率以對上次積併之為石版以每觔用灰乗石為灰數以匠工片數約版得石匠以搬夫數乗石版為實以扛片數為法除之得人數以搬用灰數除灰得人數併諸工以火頭管數約之為火頭半之為部草曰置層髙二尺靣闊三丈相乘得六十尺又乘長三十又得一萬八千尺為初率次以差闊一尺乘髙二尺又乘長三十丈得六百尺為次率却以石版長五尺闊二尺厚五寸相乘得五尺為法以除二率得三千六百片為初積一百二十片為次積列右行置深四丈二尺以每層二尺約之得二十一層乘初積三千六百片得七萬五千六百片于上次置二十一層減一餘二十以乘二十一層得四百二十半之得二百一十乗次積一百二十觔得二萬五千二百片加入上共得一十萬八百片為石版數次置二十一層減去一餘二十以差闊一尺乗之得二丈併上闊三丈共得五丈為下闊之數又置石一十萬八百片以每工九約得一萬一千二百置石版數以搬扛四人乗之得四十萬三千二百為實以五片為法除之得八萬六百四十工又置石版數以每片用灰一十觔乗之得一百萬八千觔為灰實以毎人擔用一百一十觔約之得九千一百六十三工一十一分工之七為灰工于上又併石版工一萬一千二百及併搬扛工八萬六百四十工加上共得一十萬一千三工一十一分工之七通分内子得一百一十一萬一千四十為實置火頭每名管六十工以乗分母一十一得六百六十為法除實得一千六百八十三工不盡二百六十與法約之為三十三分工之一十三為火頭工數半之得八百四十一工三十三分工之二十三為部押壕寨數今衆工下十一分工之七以母十一除火頭分母三十三得三以三因衆工下母子為一十萬一千三工三十分工之二十一併三項母子得一十萬三千五百二十九工分子五十七滿母三十三收一工餘二十四與母各三約為十一分工之八為共用一十萬三千五百二十八工十一分工之八築埂均功問曰縣共興築圩埂長三十六里半甲縣出二千七百八十人乙縣出一千九百九十人丙縣出一千六百三十人丁縣出一千三百二十人其甲縣先差到一千五百四十四丙縣先差到九百六十五夫欲知各合賦役埂長幾何(里法三百六十歩)築曰甲先到人築二千六百二十八歩(計七里一百八歩)丙先到人築一千六百四十二歩半(計四里二百二)(歩半)術曰以啇功求之置里通歩作尺為積率併諸縣人數為均法法與率可約者約之以科率各乗先到人為實皆法而一各得先築里歩為先賦埂長續到人合賦功凖此求之草曰置三十六里五分以里法三百六十歩通之得一萬三千一百四十歩又以歩五尺乗之得六萬五千七百尺為長率併甲乙丙丁縣四縣合科人得七千七百二十為均法合法與率可求等得二十以約之率得三千二百八十五法得三百八十六以長率三千二百八十五尺乗甲縣先到人一千五百四十四夫得五百七萬二千四十人為甲實實如法三百八十六而一得一萬三千一百四十尺以歩五尺約之得二千六百二十八歩為甲縣先到人所築積歩又以長率三千二百八十五乗丙縣先到人九百六十五夫得三百一十七萬二十五尺為丙實實如法三百八十六而一得八千二百一十二尺五寸以歩法五尺約之得一千六百四十二歩半為丙縣先到人所築歩計浚河渠問開通運河就土築堤令面廣六丈底廣四丈上流深八尺下流深一丈六尺長四十八里其堤下廣二丈四尺上廣一丈八尺與河等未知髙以墟四堅三為率秋程入功每名自開運築墟堅共積常六十尺築堤至半為棚道取土上下工減五分之一限一月畢欲知河積及堤積尺共用工并日役工數及堤髙各幾何答曰河積六千二百二十萬八千尺 堤積四千六百六十五萬六千尺 堤髙二丈一尺七分尺之三 共用工二十四萬四千九百四十四 日役工八千一百六十四五分工之四按共用工日用工二數俱誤若以共工分工積則每工各得四百四十四尺餘其不合明矣辨詳草後術曰以啇功求之併河上下廣于上併河上下流深乗之又以長乗為實以四為法除得河積以堅率乗河積為實以墟率為法除得堤積併堤上下廣乗堤長半之為法除堤積得堤髙併河堤二積以棚道母半之副置以棚道減工子乗之以棚道減工母除之得數以併其副共為寄以子減母餘乗常尺為増子以母乗常尺為増分併増分増子乗寄倍為用工實以増分乗増子又乗限月日為法除實得用人工數草曰置河上廣六丈併底廣四丈通之折半得五十尺于上又置河上流深八尺併下流深一丈六尺併之折半得一十二尺以乗上數得六百尺為次置長四十八里以尺里法二千一百六十通之得一十萬三千六百八十尺得堤河長以乗次得六千二百二十萬八千尺為河積以堅率三因河積得一億八千六百六十二萬四千尺為實以穿率四為法除之得四千六百六十五萬六千尺為堤積置上廣一丈八尺下廣二丈四尺併之為四十二尺以乗堤長一十萬三千六百八十尺得四百三十五萬四千五百六十尺以半之得二百一十七萬七千二百八十尺為法除堤積得二十一尺為堤髙不盡九十三萬三千一百二十與法求等得三十一萬一千四十俱約之為七分尺之三次置河積六千二百二十萬八十尺併堤積四千六百六十五萬六千尺得一億八百八十六萬四千尺以棚道築至半是二除之得五千四百四十三萬二千尺副之先以減工之子一(按此以下法皆)(誤)乗之只得此數為實乃後以減工母五為法除之得一千八十八萬六千四百尺併副五千四百四十三萬二千尺共得六千五百三十一萬八千四百尺為寄以折減工五分之一以子一減母五餘四以乗常尺六十得二百四十尺為増子以母五乗常尺六十得三百尺為増分以二増併之得五百四十乗寄得三百五十二億七千一百九十三萬六千尺以半之得一百七十億三千五百九十六萬八千尺為用工實(按此下又有脱誤)得八千一百六十四為每日人工數不盡一百七十二萬八千與法求等四十三萬二千俱約之為五分工之四得每日用工八千一百六十四工五分工之四復通分内子得四萬七百二十四以三十日乗之得一百二十二萬一千七百二十為寔仍以母五約之得二十四萬四千三百四十四工為共用工合問按草中求堤積至宻至㨗誠數家之要法也至減工子母乗除而下則法與數皆有誤焉葢題言棚道減工五分之一是棚道為平道四分之五也四為分母五為分子應以分子五乗上下積五千四百四十三萬二千尺得二億七千二百一十六萬尺以分母四乗副半積得二億一千七百七十二萬八千尺併之得四億八千九百八十八萬八千尺為實以分母四乗常尺六十得二百四十尺為法除實得二百零四萬一千二百工為共工數以一月三十日除之得六萬八千零四十工為每日工數或置分子五乗上半積之得數于上又併分子母得九乗常尺六十得五百四十尺乗上數得一千四百六十九億六千六百四十萬尺為實以分母四乗六十尺得二百四十尺為增母以分子五乗六十尺得三百尺為増子増母子相乗得七萬二千尺為法除實得共工數亦與前同此特不用副半積數然不若前法之省草中以五為分母以一為分子母子既以顛倒而又以餘分為分子後雖易一為四而母子之名未正故其中累乗累除之數漫無可據而所差甚逺也圍田先計問有草蕩一所廣三里縱一百一十八里夏日水深二尺五寸與溪靣等平溪闊一十三丈流長一百三十五里入湖冬日水深一尺欲趁此時圍裡成田于蕩中順縱開大港一條磬折通溪順廣開小港二十四條其深同其小港闊比大港六分之一大港深比大港靣三分之一大小港底各不及靣一尺取土為埂髙一丈上廣六尺下廣一丈二尺蕩縱當溪其岸髙廣倍其埂數上下流各立斗門一所湏令田内止容水八寸遏餘水復溪入湖里法三百六十歩歩法五尺欲知田積埂土積大小港底靣深闊冬夏積水田港容水過水溪靣泛髙幾何按題意掘土為港即以其土四邉為埂當溪者髙闊倍之餘三邉等語皆未詳答曰田積一千八百六十六頃八畆二十四歩埂土積九百六十五億五千二百萬立方寸大港靣闊六丈一尺七寸 底闊六丈七寸 深六尺八寸 小港靣闊一丈二寸六分寸之五 底闊九尺二寸六分寸之五深六尺八寸 夏積水二萬八千六百七十四億立方寸 冬積水一萬一千四百六十九億六千萬立方寸 田容水九千七十二億六千九百一十二萬立方寸 港容水九百六十五億五千二百萬立方寸(港上者在田内)遏出水一萬八千六百三十五億七千八百八十八萬立方寸溪靣泛髙一尺三寸一十三萬一千六百二十五分寸之一萬四千四百一十一按題言大港深比大港靣三分之一答數中大港靣六丈一尺七寸深六尺八寸是九之一不足而非三之一矣此數與題不合以下俱誤草曰先通歩法為五十寸通三百六十歩得一萬八千寸為里法以里法通蕩廣三里得五萬四千為廣率又通蕩縱一百一十八里得二百一十二萬四千為縱率以縱併廣率得二百一十七萬八千為和以縱率乗廣率得一千一百四十六億九千六百萬為寄三因縱率二百一十二萬四千得六百三十七萬二千于上倍和二百一十七萬八千得四百三十五萬六千加上得一千七十二萬八千為叚次以埂上廣六尺併下廣一丈二尺得一十八尺乗半埂髙五十寸得九千寸又乗叚一千七十二萬八千得九百六十五億五千二百萬為土積亦為港容水以港闊母六因土積得五千七百九十三億一千二百萬為實以闊子一乗小港二十四條又乗廣率五萬四千得一百二十九萬六千為泛以闊母六因縱率二百一十二萬四千得一千二百七十四萬四千併泛得一千四百四萬為隅開平方(按大港闊六分差一尺小港闊一分差一尺故)(此法不免有差)得二百三寸不盡七百三十七萬六千四百收為所得一寸乃得二百四寸為堢以深子一乗之以深母三除得六尺八寸為大小港等深次以深母三因堢二百四寸得六百一十二寸為實如深子一而一得六丈一尺二寸為中以不及一尺半之得五寸加中得六丈一尺七寸(按如此則不成分數矣)為大港靣闊如母六而一得一丈二寸六分寸之五為小港靣以不及一尺各減大小港靣得六丈七寸為大港底得九尺二寸六分寸之五為小港底次以埂下廣一丈二尺乗叚一千七十二萬八千寸得一十二億八千七百三十六萬為址以大港靣六丈一尺七寸乗隅一千四百四萬得八十六億六千二百六十八萬為實以闊母六除之得一十四億四千三百七十八萬為港平以併址一千二億八千七百三十六萬得二十七億三千一百一十四萬減寄一千一百四十六億九千六百萬餘一千一百一十九億六千四百八十六萬為田積寸以歩法五十寸自乗得二千五百除積寸得四千四百七十八萬五千九百四十四歩為田積歩以畆法二百四十歩約之得一千八百六十六頃八畆不盡二十四歩為田積以址一十二億八千七百三十六萬減寄一千一百四十六億九千六百萬餘一千一百三十四億八百六十四萬乗令容水八寸得九千七十二億六千九百一十二萬為田容水次以夏水深二尺五寸乗寄一千一百四十六億九千六百萬得二萬八千六百七十四億寸為夏積水次以冬水深一尺乗寄得一萬一千四百六十九億六千萬寸為冬積水乃以田容水九千七十二億六千九百一十二萬併港容水九百六十五億五千二百萬得一萬三十八億二千一百一十二萬減夏積水二萬八千六百七十四億寸餘一萬八千六百三十五億七千八百八十八萬為遏出水當以八節乗之嵗日三百六十除之為實今從省先以八節約嵗日三百六十得四十五為率次以里法一萬八千寸通流長一百三十五里得二百四十三萬又乗溪闊一十三丈得三十一億五千九百萬以乗除率四十五得一千四百二十一億五千五百萬為法除遏出水一萬八千六百三十五億七千八百八十八萬得一尺三寸為溪靣泛髙不盡一百五十五億六千三百八十八萬與法一千四百二十一億五千五百萬求等得一百八萬俱以約之為一十三萬一千六百二十五分寸之一萬四千四百一十一為泛髙寸下分母之數合問按草中自求大小港闊深以後既與題問不合且法多疎漏今以立天元一術推明求大小港闊深之法于後至田積水積等不過冪積體積相較初無深義可無論也法立天元一為一分六因之得六元為大港闊減十寸得六元少十寸為大港底闊併之得十二元少十寸以半深一元乗之得十二平方少十元以縱率因之得二千五百四十八萬八千平方少二千一百二十四萬元又以天元一為小港闊減十寸得一元少十分為小港底闊併之得二元少十寸以半深一元因之得二平方少十元以二十四廣率因之得二百五十九萬二千平方少一千二百九十六萬元併二數得二千八百零八萬平方少三千四百二十萬元與土埂共積等而邉各以一萬除之得二十八百零八平方少三千四百二十元與九百六十五萬五千二百寸等三數又求等得三十六徧約之得七十八平方少九十五元與二十六萬八千二百寸等乃以寸數為實以元數為縱以方數為隅開帶縱平方得方邉為一分數五尺九寸(二五○五三二九)即小港闊減一尺得四尺九寸(二五○五三二九)為小港底闊六因一分數得三丈五尺五寸(五三○一九七三)為大港闊減一尺得三丈四尺五寸(五○三一九七三)為大港底闊二因一分數得一丈一尺八寸(五○一○六五八)為同深以此轉求共港容水數乃與共土埂原積數相合數學九章巻七下
## 卷八上
欽定四庫全書
數學九章巻八上 宋 秦九韶 撰軍旅計立方營問一軍三将将三十三隊隊一百二十五人遇暮立營人占立地方八尺須令隊間容隊師居中央欲知營方幾何答曰方營一百七十一丈 隊方九丈術曰以少廣求之置人占方冪乗每隊人為隊實以一為隅開平方所得為隊方圖(或開不盡就為全盡)次置隊數乗将數又四因之増三為寔以二為從隅開平方得率以乗隊方面為營方面(開不盡為全數)按舊圖各隊四眼内每人作一小圓為識今去之總圖内各隊仍畫四眼今只以一小方為一隊舊總圖太大難於撿閲今收入半頁内又按總圖内係百隊筭内只有九十九隊圖中應虚一隊舊本未詳草曰置人占八尺自乗得六十四尺為人占方冪以乗每隊一百二十五人得八千尺為寔以一為隅開平方歩法常超一位今隅超一度至寔之百下約寔置啇八十尺以啇八十生隅一得八十為方乃命上啇除寔訖實餘一千六百次以啇生隅入方得一百六十畢方一退隅再退之復於上啇之次續啇九尺乃以續啇九生隅一入方得一百六十九乃命續啇除寔訖得八十九尺不盡七十九尺就為九十尺得隊方面次置三十三隊乗三将得九十九又四因得三百九十六増三得三百九十九為寔以二為從方一為從隅開平方歩法以從方進一位至寔之十下隅隅超一位至寔之百下乃約寔置啇一十生隅一入方得一十二乃命上啇除寔訖餘二百七十九又以啇一十生隅入方得二十二畢方一退隅再退之續于寔上啇九隊以續啇九生隅入方得三十一乃命續啇除寔適盡得一十九乗隊方面九十得一千七百十尺展為營方一百七十一丈合問方變鋭陣問歩兵五軍軍一萬二千五百人作方陣人立地方八尺欲變為前後鋭陣陣後闊令多原方面半倍陣間仍容騎路五丈以上順鋭形出入求方陣面鋭陣長及前後鋭陣各布兵幾何答曰方面二百丈 方面布兵二百五十人 鋭後廣二百丈 鋭廣列共三百六十二人鋭通正長三百丈 騎路二條各闊五丈三尺 内鋭陣廣一百四十五丈六尺列一百八十二人長一百四十五丈六尺計布兵一萬六千六百五十三人 外鋭兩廣各七十二丈列九十人計布兵四萬五千八百四十七人按鋭陣數惟内鋭數合外鋭通廣丈數及布兵數皆不合詳見草後術曰以少廣求之置兵開平方得方面人數(開不盡方為補)(隊)以人立尺數乗之為原方面置原方面以欲多數加之為鋭後闊亦為通長倍馬路減之餘為實以人立尺約為闊布兵不盡半歸馬路以四約闊布兵得外鋭一邉人倍一邉人併不歸為内鋭長闊人數副置減一餘乗其副得數半之為内鋭布兵以減總兵餘為外鋭布兵計立六萬二千五百人鋭後廣通長各三百丈内鋭立一萬六千六百五十三人外鋭立四萬五千八百四十七人(按舊圖式不細且在題後今改正移于此)草曰置一軍一萬二千五百以五軍因之得總兵六萬二千五百人為寔開平方得二百五十人以人立八尺乗之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈得三百丈為鋭陣後闊亦為鋭陣道長先倍騎路五丈得一十丈以減後闊二百丈餘二百九十丈為實以人立八尺約之得三百六十二為鋭後闊布兵不盡四尺以半之得二尺軰歸騎路作五丈二尺以四約鋭後闊布兵三百六十二人得九十人為外鋭一邉人倍一邉九十得一百八十併不盡二人共得一百八十二人為内鋭廣布兵數亦為長布兵副置加一得一百八十三乗副一百八十二得三萬三千三百六以半之得一萬六千六百五十三人為内鋭陣布兵以減總兵六萬二千五百餘四萬五千八百四十七人為外鋭兵按草中以内鋭陣兵數减前方陣兵數餘為外鋭陣兵數非是盖無以知兩總數為相等也試以數明之依束箭法以總闊求得總三角數七萬零五百以鋭闊求得内三角數一萬六千六百五十三又以每人八尺除兩騎路濶十丈零四尺得一十三人與内鋭闊相加得闊二百求得内外間三角數二萬零一百置總三角數減内外間三角數加内三角數得六萬七千零五十三與前方陣兵數相較多四千五百五十三安得謂之等乎今另設歩法于後法設騎路之闊當二十人先以總三角數與前方陣數相减得今多八千人乃倍騎路闊人數得四十人為截騎路上小三角之闊求得小三角數八百二十以减今多數餘七千一百八十為寔以四十為法除之得一百七十九人為内鋭闊餘二十人依術内不盡者為補隊兵次置總闊減去内闊餘一百九十六人再減併騎闊四十人餘一百五十六人半之得七十八人為外後闊是内鋭闊長皆為一百七十九人外鋭長為三百七十五人後兩闊共一百五十六人騎路闊二十人乃以内鋭闊求得内三角數一萬六千一百一十人以内闊併兩騎闊得二百一十九人為闊求得内外間三角數二萬四千零九十人未置總三角數内減去内外間三角數餘四萬六千四百一十人加内三角數得六萬二千五百二十人再減補隊兵二十人得六萬二千五百人與方陣總兵原數脗合圓營敷布問周制一軍欲布圓營九重毎卒立圓邉六尺重間相去比立尺數倍之于内摘差兵四分之一出竒不可縮營示弱須令仍用原營布滿餘兵欲知原營内外周及立人數並出竒後每卒數立尺數外周人數各幾何答曰周制一軍一萬二千五百人出竒三千一百二十五人 原内周八百四丈立一千三百四十人原外周八百六十一丈六尺立一千四百三十六人 出竒後原外周立一千八十九人原内周立一千一十六人内外周人立七尺九寸一分術曰以啇功求之置重數減一餘為叚以叚乗圓差為衰以衰乗重數為率求圓周以率減兵餘如重數而一得内周人數不滿為餘兵以人立圓邉乗内周人得内周尺倍衰乗圓邉為泛以泛併内周尺得外周尺為實如圓邉而一得外周人求出竒後以率加存兵如重數而一得外周人不滿為餘兵以外周人約原外周尺得後立尺以後立尺約原内周得内周人按求圓陣草中用圓束法圓束實六等邉形非圖形也盖圓形重數相距等則弧邉上相距不等弧邉上相距等則重數相距不等惟圓束可並取相等故用其法至次陣減人數不減營周尺數則各重周上相距不能相等故草中又以尺數求内周人數然未免與圓束逐層相差數不合亦僅取其大畧也又舊用二圖各㸃為圓周九重今用一圖㸃為六等邉形三重惟取易見則二圖九重其理一也草曰置九重減一餘八為叚以乗圓束差六得四十八為衰(按圓束每層差不今内外重數相距倍於人立相距則每層差一十二為倍差常法重數)(減一與半差相乗為衰今倍差故即與差數相乗為衰也)九重得四百三十二為率求原周以率四百三十二減周制一軍一萬二千五百餘一萬二千六十八為實如重數九而一得一千三百四十人為内周人數不滿八人為餘兵次以人立圓邉六尺乗内周人一千三百四十得八千四十尺收作八百四丈為内周尺數倍衰四十八得九十六乗圓邉六尺得五百七十六尺為泛以泛五百七十六尺併内周八千四十尺得八千六百一十六尺為外周尺以外周尺八千六百一十六為實如圓邉六尺而一得一千四百三十六人為外周人數求出竒後以竒母四約一萬二千五百得三千一百二十五為竒兵以減總軍餘九千三百七十五為存兵次以率四百三十二加之得九千八百七十為實加重數九而一得一千八十九為外周人不盡六次以原外周八千六百一十六尺為實以外周人一千八十九約之得七尺九寸一分不盡二尺一分與法求等得三俱約之為分下三百六十三分之六十七置原内周八千四十尺為實以後立尺七尺九寸一分約之得一千一十六為内周人數不盡三尺四寸四分為寛地本術所求内外周之人數既定不拘竒出竒入皆以六人為重差或累差加減各得諸重圍數或併九重人課總軍存兵計布圓陣問歩率二千六百人為圖陣人立圓九尺形如車輻無麗布陣陣重間倍人立圓邉尺數須合内徑七十二丈圓法用周三徑一之率欲知陣重幾數及内外周通徑並所立人數各幾何答曰内周二百一十六丈立二百四十人 外周三百二丈四尺立三百三十六人 通徑一百丈八尺陣計九重(不盡八人)術曰以啇功求之以圓率因内徑為内周以人立尺約之為内周人數乃以圓求差率為隅次置内周人減隅餘約從方列兵數為寛開平方得重數不盡為餘兵置重數減一餘四因又乗圓邉尺數併内徑共為通徑以圓率因通徑得外周按舊本有圖前題同今删去草曰以圓率三因内徑七十二丈得二千一百六十尺為内周以圓邉九尺約内周得二百四十為内周人數乃以圓束差六為從隅次置内周二百四十人減隅餘二百三十四為從方列兵二千六百為寔開平方歩法從方進一位隅法超一位今方隅皆不可超進乃于寔約啇置九重以啇生隅六得五十四増入從方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔訖寔餘八人為餘兵副置九重減一餘八以四因之(按九)(重八間徑両端應二因之間倍于立歩又應二因之今合為四因)得三十二又乗圖邉九尺得二百八十八尺併内徑七百二十尺得一千八尺為通徑又以圓率三因通徑得三千二十四尺為外周次以圓邉九尺為法除外周尺數得三百三十六人為外周人數合問按圓束環積有内周求重數法置積為寔圓束差半之為從隅又以半差減内周餘為從方開平方得重數此圓束環積每層為倍差故即以圓束差為從隅減内周為從方也又按周三徑一正與六邉形相合故人數尺俱無竒零也數學九章卷八上
## 卷八下
欽定四庫全書
數學九章卷八下 宋 秦九韶 撰軍旅軍器功程問今欲造弓刀各一萬副箭一百萬隻據工程七人九日造弓八張八人六日造刀五副三人二日造箭一百五十隻作院見管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人欲知畢日㡬何答曰造弓一萬張三百九十三日四分日之三造刀一萬副一百七十七日九分日之七造箭一百萬隻一百四十四日二百七分日之一百八十二(按六十九分之六十四訛二百七分之一百八十二)術曰以粟米求之互換入之置各功程原人率於右行置原日數於中行置欲求數為左行以三行對之為各實列右行置原物數於中行置見𬋩人為左行以左行乘中行各為法以對除右行各得日數草曰置原造弓七人造刀八人造箭三人於右行次置造弓九日造刀六日造箭二日列中行又置於造弓一萬欲造刀一萬欲造箭一百萬列左行以三行對乗次列原造弓八張刀五副箭一百五十隻放中又列見管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人於左行以兩行對乗之上得一千六百中得二千七百下得四萬一千四百各為法先以上法一千六百除寄右行弓日實六十三萬日得三百九十三日為造弓一萬張日數不盡一千二百與法求等得四百俱約之為四分日之三次以中得二千七百除寄右行刀日實四十八萬日得一百七十七日為造刀一萬副日數不盡二千一百與法求等得三百俱約之為九分日之七次以下法四萬 百除寄右行箭日實六百萬日得一百四十四日為造箭一百萬隻日數不盡三萬六千四百日與法四萬一千四百求等得二百俱以約之得二百七分日之一百八十二為造箭日分合問(按不盡數三萬八千四百誤為三萬六千四百分母六十九訛二百零七分子六十四訛一百八十二)計造軍衣問庫有布綿絮三色計料欲製軍衣其布六人八疋少一百六十疋七人九疋剰五百六十疋其綿八人一百五兩剰一萬六千五百兩九人一百七十兩剰一萬四千四百兩其絮四人一十三斤少六千八百四斤五人一十四斤適足欲知軍士及布綿絮各幾何答曰兵士一萬五千一百二十人 布二萬疋綿三十萬兩 絮四萬二十三百二十六斤術曰以盈拙求之置人數於左右之中置所給物各於其上置盈拙各於其下令維乘之先以人數互數乘其所給率相減餘為法次以人數相乘為寄後以盈拙互乘其上未減者是謂未乘騐其下係一盈一拙以上下皆併之為物其上併之實其下併之乘寄為兵寔如法而一各得騐其係兩盈或兩拙者以上下皆相減之其上減之餘為物寔其下減之餘乘寄為兵寔二寔皆如法而一各得騐其或一盈一足或一拙一足者其適足乃以空互乘其上未減者去之只以所用盈拙數互乘其上為物寔以盈或拙一數乘寄為兵寔皆如法而一各得求布草曰置布於六人左中八疋於左朏上一百六十四疋於左下置七人於右中九疋於右上盈百五六十於布下先以左右之中六七互乘左右之上訖左上得五十五右上得五十四以相減之餘二為法次以左右中六七相乘得四十二為寄於中次以左下虧一百六十乘右上未减五十四得八十六百四十又以右下盈五百六十乘左上未减五十六得三萬一千三百六十驗得左右之下係一盈一朏當併之以三萬一千三百六十併右上八千六百四十得四萬為布實次以左下朏一百六十併左下盈五百六十得七百二十乗寄四十二得三萬二百四十為兵實二實皆如法二而一得二萬疋為布得一萬五千一百二十為兵求布圖求綿草曰置八人於左中綿一百五十兩於左上餘一萬六千五百兩於左下次置九人於右中一百七十兩於右上餘一萬四千四百兩於右下以左右中八九五乘各上訖左上得一千三百五十右上得一千三百六十相減餘一十為法次以中八九相乘得七萬二為寄於中次以左下一萬六千五百乘右上一千三百六萬得二千二百四十四萬却以右下一萬四千四百乘左上一千三百五十得一千九百四十四萬驗其下係兩盈當相減之其右上餘三百萬為綿實其左右之下亦相減之餘二千一百乘寄七十二得二十五萬一千二百為兵實二實皆如法一十而一綿得三十萬兩兵得一萬五千一百二十人求綿圖求絮草曰置四人於左中一十三觔於左上少六千八百四觔於左下又置五人於右中一十四觔於右上適足為空於右下以左右之中四五互乘其上訖左上得六十五右上得五□六利減餘九為法以中四五相乘得二十為寄於中先以左下六千八百四互乘右上五十六得三十八萬一千四百二十却以右適足之空乘左上六十五亦為空乃去之只以右上三十八萬一千二十四觔為絮實只以左下六千八百四乘寄二千人得一十三萬六千八十為兵實二實皆如法九而一具絮得四萬二千三百三十六觔其兵得一萬五千一百二十人合問求絮圖已上布綿絮三項求人兵數皆同今仍於各圖立算求之以合本術先計軍程問一軍三將三十隊隊七十五人每將分左右傔作九行爬頭拽行每日六十里明日路狹以軍拽行至晚欲知先宿程里數幾何答曰六里二百四十歩術曰以均輸求之置行數為法以單數一行乘日程為寔寔如法兩一得宿程里歩草曰置行數九為法以單傔數一行用乘六十里為寔寔如法而一得六十不盡六里以里法三百六十歩通之得二千一百六十歩又為寔仍如法九而一得二百四十歩為六里二百四十歩宿程按此草易見舊有算式今刪移運均勞(分郡縣郷科均)問今起夫移運縣餉於某郡交納合起一萬二千夫甲州有三縣上縣力五十七萬三千二百五十九貫五百文至輸所九百二十五里中縣力五十萬四千九百八十三貫七百八十文至輸所六百五十二里下縣力四十九萬八千七百六十貫九百五十文至輸所四百六十五里乙軍倚郭一縣五郷仁郷力一百二萬八千三百七十一貫九百八十文至輸所七百六里義鄉力一 六百文至輸所七百九十五里禮郷力一十萬八千四百六十三貫五十文至輸所七百九十里智鄉力八萬四千千二百三十六貫二百八十五文至輸所七百十九里信鄉力九千三百四十五貫一百六十六文至輸所八百四里欲知以物力多寡道里逺近均運之令費勞等各合科夫幾何答曰甲州上縣差二千四百三十夫中縣差三千三十七夫下縣差四千二百六夫 乙軍郭縣仁鄉七百一十三夫義鄉五百八十九夫禮鄉五百三十八夫智鄉四百四十一夫信郷四十六夫術曰以均輸求之置各縣及鄉力皆如里而一不盡者約之復通分内子互乘之或就母遷退之各得變力可約約之為定力副併為法以合起夫徧乘未併定力各得為實並如前法而一各得夫其餘分軰之草曰置甲州三縣及乙軍五鄉物力里數作八行列之具圖于後置上縣力五十七萬三千二百五十九貫五百文如九百二十五里而一得力六十一萬九千七百四十置中縣五十萬四千九百八十三貫七百八十文如六百五十二里而一得力七十七萬四千五百一十五置下縣四十九萬八千七百六十貫九百五十如四百六十五里而一得力一百七萬二千六百四不盡九十文與法求等得十五約之得三十一分之六置仁郷一十二萬八千三百七十一貫九百八十如七百里而一得力一十八萬一千八百三十置義鄉鄉一十一萬九千四百七十二貫六百文如七百九十五里而一得力一十五萬二百八十置禮鄉一十萬八千四百六十三貫五十文如七百九十而一得力一十三萬七千二百九十五置智鄉八萬四千二百三十六貫二百八十五文如七百四十九里而一得力一十一萬二千六百四十五置信鄉九千三百四十五貫一百六十文如八百四里而一得力一萬一千二百六十三不盡二百六十八文與法求等得二百六十八約為三分之一其下縣信鄉二處帶母子者各以母互徧乘八處所得畢二處各内本子上得五千七百六十三萬五千八百二十中得七千二百二萬九千八百九十五下得九千九百七十五萬二千一百九十仁得一千六百九十一萬一百九十義得一千三百九十七萬六千四十禮得一千二百七十六萬八千四百三十五智得一千四十五萬九千二百四十五信得一百八萬九百七十已上為三郷五縣變力率可約者復求等約之求得五故俱以五約之上得一千一百五十二萬七千一百六十四中得一千一百四十萬五千九百七十九下得一千九百九十五萬四百三十八仁得三十八萬二千五十八(按三十八訛五十八)義得二百七十九萬五千二百八禮得二百五十五萬三千六百七十八智得二百九萬一千八百四十九信得二十一萬六千一百九十四已上並為定力副併八處定力得五千六百九十二萬二千五百七十七為法(按法多二十仁鄉定力多二十故也)以合起一萬二千夫遍乘定力訖上得一千三百八十三億二千五百九十六萬八千為實中得一千七百二十八億七千一百四十七萬八千為中實下得二千三百九十四億五百二十五萬六千為下實(按)得四百五億八千四百六十九萬六千(按多二十四萬定力多二十故也)為仁實義得三百三十五億四千二百四十九萬六千為義寔禮得三百六億四千四百二十萬萬四千為禮寔智得三百五十一億二百一十八萬八千為智寔信得二十五億九千四百三十二萬八千為信寔已上八寔皆如前法而一餘分軰之各得夫數合均敷徑役問軍戍差坐烽擺舖切慮差徑不均今諸軍共合差一千二百六十人契勘諸軍見管前軍六千一百七十人右軍四千九百三十六人中軍七千四百四人左軍三千七百二人後軍二千四六十八人各軍合差幾何答曰前軍差三百一十五人 右軍差二百五十二人 中軍差三百七十八人 軍差一百八十九人 後軍差一百二十六人術曰以均輸求之置各軍見管人騐可求約等以約之為衰副併為法以共合差數乘列衰各為寔寔如法而一各得草曰置諸軍見管求等得一千二百三十四俱以約見管前軍得五右軍得四中軍得六左軍得三後軍二列為各衰副併諸衰得二十為法以共差一千得二百六十人乘諸衰前軍得六千三百右軍得五千四十中軍得七千五百六十左軍得三千七百八十後軍得二千五百二十各為寔皆如法二十而一前軍合差三百一十五人右軍合差二百五十二人中軍合差三百七十二人左軍合差一百八十九人後軍合差一百二十六人數學九章卷八下
## 卷九上
欽定四庫全書
數學九章卷九上 宋 秦九韶 撰市易積木計餘問原管杉木一尖垜偶不記數從上取用至中間見存九條為靣問原木及見存各幾何荅曰原木一百五十三條 見存木一百一十七條術曰商功求之堆積入之倍中靣副置減一以乘其副得數半之為原木副置上層減一以乘其副得數半之用減原木餘為見存(其非中一層數者各以自地上至面層數立數求之)草曰倍中靣九條得一十八副置減一餘一十七以乘副一十八得三百六條以半之得一百五十三條為原木之數副置中靣九條減一餘八以乘副九得七十二以半之得三十六以減原木一百五十三餘一百一十七條為見存木數合問按此即一靣平堆形中層為九上下必各有八層共十七層即原尖堆形上八層即用過尖堆形其義甚明舊餘木圖今刪竹圍蘆束問受給場交收竹二千三百七十四把内筀竹一千一百五十一把每把外圍三十六竿水竹一千二百二十三把每把外圍四十二竿蘆三千六十五束每束圍五尺其蘆原様五尺五寸今納到圍小合凖原蘆幾束及水筀竹各幾何荅曰筀竹一十四萬六千一百七十七竿水竹二十萬六千六百八十七竿合凖原蘆二千五百三十三束(一百二十一分束之七)術曰以方田及圓率求之置原束差併竹外圍竹數以乘外圍又乘把數為竹實倍圓束差為竹法除之各得二竹數皆以把數為心加入各得竹條數置蘆圍尺數自乘以乘蘆束為蘆實以蘆原尺數自乘為蘆法除實得所凖蘆束數草曰置圍束差六併筀竹外圍三十六竿得四十二竿以乘外圍三十六竿得一千五百一十二竿又乘筀竹一千一百五十一把得一百七十四萬三百一十二竿為筀竹實倍圓束差六得一十二為竹法除實得一十四萬五千二十六竿以把數一千一百五十一併之得一十四萬六千一百七十七竿為筀竹又置原差六併水竹外圍四十二竿得四十八竿以乘水外圍四十二竿得二千一十六竿又乘水竹一千二百二十三把得二百四十六萬五千五百六十八竿為水竹實亦以竹法一十二除之得二十萬五千四百六十四竿以水竹把數一千二百二十三併之得二十萬六千六百八十七竿為水竹數次置蘆圍五尺通為五十寸以自乘得二千五百寸又乘蘆束數三千六十五得七百六十六萬二千五百寸為蘆實以原様蘆圍五尺五寸亦通為五十五寸以自乗得三千二十五寸為蘆法除實得二千五百三十三束不盡一百七十五寸與法求等得二十五俱以約之得一百二十一分束之七為蘆二千五百三十三束一百二十一分束之七合問寄倉知總(按舊本此問無題今増)問和糴米運借倉權頓計五十厫毎厫濶一丈五尺深三丈米高一丈二尺又借寺屋四十間内二十五間濶一丈二尺深二丈五尺米高一丈内一十五間各濶一丈三尺深三丈米高一丈二尺欲知寺屋及倉容米共計幾何答曰共計米一十六萬六千八十石 倉五十厫米一十萬八千石 寺屋四十間米五萬八千八十石術曰啇功求之置厫并屋深濶米高相乗併之為實如斛法而一草曰先以厫深三丈通為三十尺乗濶十五尺得四百五十尺又乗高一十二尺得五千四百尺以乗五十厫得二十七萬尺為實以斛法二尺五寸除之得一十萬八千石為倉五寸厫共容米次置寺屋深二十五尺乗濶一十二尺得三百尺乗米高一十尺得三千尺以二十五間乗之得七萬五千尺於上次置深三十尺乗濶一十三尺得三百九十尺又乗米高十十二尺得四千六百八十尺以乗一十五間得七萬二百尺加上共得一十四萬五千二百尺以斛法二尺五寸除之得五萬八千八十石為寺屋四十間共容米以併厫米共得一十六萬六千八十石為共和糴到米方圓同積(按舊本此問無題今増)問有圓囤米二十五箇内有大囤一十二箇上徑一丈下徑九尺高一丈二尺小囤一十三箇上徑九尺下徑八尺高一丈今出租斗一隻口方九寸六分底方七寸正深四寸並裹明凖尺令凖數造五斗方斛及圓斛各二隻湏令二斛口徑正深大小不同各得多少及囤積米幾何答曰方斛一隻口方六寸四分底方一尺二寸深一尺五寸九分二厘又一隻口方一尺底方一尺二寸深一尺一寸四分五厘 圓斛一隻口徑一尺二寸七分底徑一尺二寸深一尺二寸一分四厘又一隻口徑一尺三寸底徑一尺二寸深一尺一寸八分五厘囤米計八千六十七石四升七合四勺一抄八撮按共囤米數誤應得二千零一十六石七斗六升一合八勺五抄草内少一四歸故差多三倍術曰以啇功及少廣求之置出斗上下方相乗之又各自乗併之乗深又以五斗乗之為積于上求方斛先自如意立數為斛深又如意立數為底方置深為從隅以底方乗隅為從方又以底乗從方為減率以減上積餘為實開連枝平方得方斛口方不盡以所得數為基增損求之以口底方相乗又各自求併之為法除前上積得深餘分収棄之求圖斛置四數以因前積為寄如意立數為斛深别如意立數為底徑以三因深為從隅以底徑乗隅為從方以底徑乗從方為減率以減寄餘為實開連枝平方得口徑不盡以所得數為基如意求差以口底徑相乗又各自乗併之為法除寄得深餘分収棄之求囤米置各囤上徑下徑相乗又各自乗併之乗高又乗囤數所得之數為積(囤有大小以類)併之為共積如四而一為實以斛求之得米草曰置出租斗口方九寸六分與底方七寸相乗得六十七寸二分於上又於口方九寸六分自乗之得九十二寸一分六厘加上又以底方七寸自乗得四十九寸又加上共得二百八寸三分六厘乗深四寸得八百三十三寸四分四厘又以五斗乗之得四千一百六十七寸二分為三叚斛積于上求方斛如意立一尺六寸為斛深又加意立一尺二寸為斛底以深一十六寸為從隅以底一十二寸乗隅得一百九十二寸為從方又以底一十二寸乗從方一百九十二寸得二千三百四寸為減率以減上積四千一百六十七寸二分餘一千八百六十三寸二分為實開連枝平方得六寸三分五厘為基其積不及一寸一分六厘係有虧數其基數為米可用湏合損益基數今益作六寸四分為口方以原立一尺二寸為底方以口方乗底方得七十六寸八分以上又以口方六寸四分自乗得四十寸九分六厘又以底方十二寸自乗得一百四十四寸併以上共得二百六十一寸七分六厘為法以除前積四千一百六十七寸二分得一尺五寸九分二厘為方斛深其積不及一厘九毫二絲収為閏又累増至一十寸為口方仍以一十二寸為底方乃以口方一十寸乗底方一十二寸得一百二十寸於上又口方自乗得一百寸加上又以底方自乗得一百四十四寸又加上共得三百六十四寸為法亦除前實積四千一百六十七寸二分得一十一寸四分五厘為方斛深其積不及六分収為閏此是求出両等斛數在人擇而用之求圓斛置四數以因前積四千一百六十七寸二分得一萬六千六百六十八寸八分為寄如意立一尺二寸為圓斛深又如意立一尺為底徑以三因深得三十六寸為從隅以底一十寸乗隅得三百六十寸為從方又以底一十寸乗從方得三千六百寸為减率以減寄一萬六千六百六十八寸八分餘一萬三千六十八寸八分為實開連枝平方得一尺四寸七分為基其實不及二寸四分四厘収為閏次以原立底徑一尺併基一尺四寸七分得二尺四寸七分只減七分為差以餘三尺四寸以半之得一尺二寸為底徑以差七分併底徑得一尺二寸七分為口徑始以口徑一尺二寸七分乗底徑一尺二寸得一百五十二寸四分於上次以口徑自乗得一百六十一寸二分九厘加上又以底徑自乗得一百四十四寸又加上共得四百五十七寸六分九厘以三因之得一千三百七十三寸七厘為法除前寄一萬六千六百六十八寸八分得一尺二寸一分四厘為圓斛正深其實不及二毫六絲九忽八微収為閏又以基一尺四寸七分增三分得一尺五寸併底徑一尺得二尺五寸減一寸為差餘二尺四寸以半之得一尺二寸為底徑以差一寸併底徑一尺二寸得一尺三寸為口徑始以口徑一十三寸乗底徑一尺二寸得一百五十六寸於上又以口徑一十三寸自乗得一百六十九寸加上又以底徑一十二寸自乗得一百四十四寸又加上共得四百六十九寸以三因之得一千四百七寸為法除前寄一萬六千六百六十八寸八分得一尺一寸八分四厘七毫為圓斛深寄餘七厘一毫却収深七毫作一厘通得一尺一寸八分五厘為圓斛深此是求出両等圓斛在人擇而用之 求囤米置大囤上徑一丈通為百寸乗下徑九十寸得九千於上又以上徑自乗得一萬寸加上又以下徑九十寸自乗得八千一百寸加上共得二萬七千一百寸乗高一百二十寸得三百二十五萬二千寸又乗大囤一十二個得三千九百二萬四千寸為寄次置小囤上徑九十寸下徑八十寸相乗得七千二百寸於次又上徑自乗得八千一百寸加次又下徑自乗得六千四百寸加次共得二萬一千七百寸又乗高一百寸得二百一十七萬寸又乗小囤一十三箇得二千八百二十一萬寸併寄共得六千七百二十三萬四千寸為實(按應四歸為實草中遺漏故得數誤)倍前斛積四千一百六十七寸二分為法除之得八千六十七石四升七合四勺一抄四撮按求方斛積法以上下徑相乗又各自乗併而以深再乗三除之得積求徑深法三因積有二徑以二徑相乗各自乗數併而除之得深有一深一徑以深除積得數内減徑自來餘為實徑為縱開帶縱平方得又一徑或徑自乗深再乗减積除為實以深為縱隅深徑相乗為縱方開連枝平方得又一徑草中求斗積不加三除為三倍斗積五因之為三倍斛積故設正深底徑二數開連枝平方以求口徑既得口徑復設二徑數以求正深也求圓斛徑即如求圓外切方邊當以方圓冪率變圓積為方積故四因前積而以三因正深代三除也求圓囤米尺積先用方斛求積法次變方為圓方斛法用三除變圓法用三因四除合之則三因四除合之則三除並可省惟以四除之卽得圓囤積術中詳言之而草中歩算遺漏四除故得數誤為四倍也數學九章卷九上
## 卷九下
欽定四庫全書
數學九章卷九下 宋 秦九韶 撰市易推求典本問典庫今年二月二十九日有人取觧一號主家聽得當事共筭本息一百六十貫八百三十二文稱係前嵗頭臘月半觧去月息二分二釐欲知原本幾何答曰本一百二十貫文術曰以粟米求之置積日乘息分數增三百為法以三百乘共錢為寔寔如法而一得本草曰置前年頭臘月半係四十五日并去年三百六十又加今年五十九日共得四百六十四日為積日乘息二分二釐得一百二十文八釐增三百文得四百二文八釐為法以三百文乘共錢一百六十貫八百三十二文得四萬八千二百四十九貫六百文為寔如法而一得一百二十貫文為原本按題意謂前年十一月半典錢去年未取今年二月二十九日取去按日計利共合本息錢一十六千八百三十二文月息每千二十二文問本錢若干法當以積日乗息二十二文以三十日除之得一千文之共息加一千文為一千文之本息共数然後置今本息共數以一千乗之一千之本息共數除之即得今本錢數草中以十文為本以二分二厘為息不以三十除之為共息而以三十乗十文得三百為本其理一也推知糴數問和糴三百萬貫求石數聞每石牙錢三十文糴埸量米折支牙人所得毎石出牽錢八百牙人量米四石六斗八合折與牽頭欲知米數石價牙錢米牽錢各幾何按題意買米共用錢三十億每石牙錢三十文共牙錢折米給之共折米每石牽錢八百文共牽錢牙人又折米四石六斗零八合給之求各數答曰糴到米一十二萬石 石價二十五貫文牙錢三千六百貫文 折米一百四十四石牽錢一百一十五貫二百文術曰以商功求之率變入之置糴本牙錢牽錢相乘為寔以牽米為隅開連枝立方得石價以價除本得糴到米以牙錢乘米得縂牙錢以價除之得牙米以牽錢乘牙米得共牽錢草曰置糴本三百萬貫乘牙錢三十文得九千萬貫文乘牽錢八百文得七百二十億萬貫(按七百二十億貫萬字誤)(後餘寔内萬字同此)為價寔置牽米四石六斗八合於寔數零文之下為立方從隅起歩歩法常超二位每超一度商進之今隅凡超四度當於寔上約定首商二十貫乃以商生隅超四石六斗八合得九十二貫一百六十文乃以為亷又以商生亷得一百八十四萬三千二百貫為方乃以方命上商二十貫除寔訖寔餘三百五十一億三千六百萬貫復以商生隅四石六斗八合入亷得一百八十四貫三百二十文又以商生亷加入方内得五百五十二萬九千六百貫為方法復以商又生隅四石六斗八合加入亷得二百七十六貫四百八十文為亷法其方法一退亷法二退從隅三退乃於首商之次約寔續商五貫以續商生隅四石六斗八合入亷得二百九十九貫五百二十文又以續商生亷入方得七百二萬七千二百貫乃命續商五貫除寔適盡所得二十五貫為毎石米價以為法以糴本三百萬貫為寔寔如法而一得一十二萬石為糴到米數以米數乘牙錢三十得三千六百貫為牙錢以石價二十五貫除牙錢三千六百貫文得一百四十四石為糴埸量米折牙錢以牽錢八百乘牙米一百四十四石得一百一十五貫二百文為牽頭得牙人所與牽錢之數以石價二十五貫文約牽錢一百一十五貫二百文得四石六斗八合為牽米折錢合問按此術之意以立天元一觧之法立天元一為米每石之價以折牽米四石六斗零八合乘之得四元(六○八)為共牽錢應以每石牽錢八百除之寄分母代除得八百分元之四分(六○八)為共折給牙人米數又以天元一乘之得八百分平方之四分(六○八)為共牙錢應以每石牙錢三十除之寄分母代除得三十分又八百分平方之四分(六○八)為共米數又以天元一乗之得三十分又八百分立方之四分(六○八)為共米價與三百萬貫相等兩邉各以三十乗之又以八百乗之得四立方(六○八)與七百二十億貫等以立方數除兩邉得一立方與一百五十六億二千五百萬貫等置貫數為寔開立方得二十五貫為米每石價數草中不除開連枝立方為除之不能盡者便於用也累收庫本問有庫本錢五十萬貫月息六厘半今令掌事每月帶本約息共還一十萬欲知幾何月而納足并末復畸錢多少答曰本息納足共七箇月末後一月畸錢二萬四千七百六貫二百七十九文三分四厘八毫四絲六忽七微七沙三莽一輕二清五烟術曰以盈朏變法求之置原本以息數退位乗歸本位每出共納累得月數以末後不及數為足月錢數草曰置本五十萬貫以六釐五毫乘之入共本内得五十三萬二千五百貫文内减初月一十萬餘四十三萬二千五百貫文又以六釐五毫乘之餘本内得四十六萬六百一十二貫五百文又减次月一十萬貫餘三十六萬六百一十二貫五百文又以六釐五毫乘之入餘本内得三十八萬四千五十二貫三百一十二文五分又减第三月錢一十萬貫文餘二十八萬四千五十二貫三百一十二文五分又以六釐五毫乘之得三十萬二千五百一十五貫七百一十二文八分一釐二毫五絲内减第四月錢一十萬貫餘二十萬二千五百一十五貫七百一十二文二分一釐二毫五絲又以六釐五毫乘之入餘本内得二十一萬五千六百七十九貫二百三十四文一分四釐五毫三絲一忽二微五塵内减第五月錢一十萬貫餘一十一萬五千六百七十九貫二百三十四文一分四釐五毫三絲一忽二微五塵又以六釐五毫乘之入餘本内得一十二萬三千一百九十八貫三百八十四文三分六釐四毫七絲五忽七微八塵一沙二𣺌五莾减第六月錢一十萬貫餘二萬三千一百九十八貫三百八十四文三分六釐四毫七絲五忽七微八塵一沙二𣺌五莾又以六釐五毫乘之入餘本内得二萬四千七百六貫二百七十九文三分四釐八毫四絲六忽七微無塵七沙無𣺌三莾一輕二清五烟為第七月納足本息畸錢均貨推本問海舶赴務抽畢除納主家貨物外有沉香五千八十八兩胡椒一萬四百三十包(包四十觔)象牙二百一十二合(以大小為合觔兩俱等)係甲乙丙丁四人合本博到縁昨來凑本互有假借甲分到官供稱甲本金二百兩鹽四袋鈔一十道乙本銀八百兩鹽三袋鈔八十八道丙本銀一千六百七十兩度蝶一十五道丁本度蝶五十二道金五十八兩八銖已上共估值四十二萬四千貫甲借乙鈔乙借丙銀丙借丁度蝶丁借甲金今合撥各借物歸原主名下為率均分上件貨物欲知金銀袋鹽度牒原價及四人各合得香椒牙幾何按題意謂甲金乙鹽丙銀丁牒原本不同互借為同本買得香椒牙三色今有互借各物及同本貫數求原本以分所買之物葢方程而亷衰分之法也甲乙二條内鹽鈔二色寔即一色先言鹽袋數乃一鈔之數以鈔數乘之始為鹽數是鈔數既贅又不明言其故皆故為隠晦也答曰甲金每兩四百八十貫文本一十二萬四十貫文 合得沉香一千四百八十八兩胡椒三千五十包一十一觔五兩五十三分兩之七象牙六十二合乙鹽每袋二百五十貫文本七萬六千貫文合得沉香九百一十二兩胡椒一千八百六十九包二十一觔二兩五十三分兩之六象牙三十八合丙銀每兩五十貫文本一十二萬三千五百貫文 合得沉香一千四百八十二兩胡椒三千三十七包三十九觔五兩五十三分兩之二十三象牙六十一合四分合之三丁度牒每道一千五百貫文本一十萬五百貫文 合得沉香一千二百六兩胡椒二千四百七十二包八觔三兩五十三分兩之十七象牙五十合分合之一術曰以方程求之衰分入之正負入之置共錢以人數約之得數列入人數各為行積次置諸色各物數為叚子對本色有分者通之可約者約之為定率以第一行為右以第二行為副以第三行為次第四行為左每以下位互遍乘之每騐其積以少减多如同名相减異名相加正無人負之負無人正之如同名相加異名相减正無人正之負無人負之得一叚為法以餘積為寔除之各得諸價以諸價列右行以各物數列左行以兩行對乘各得本率以諸色求等約之得列衰併諸衰為總法以列衰遍乘各物諸數各為寔諸寔並如總法而一各得其物除不盡者以觔兩通而除之或又分母命之草曰置估值四十二萬四千貫以四人約之得一十萬六千貫為各積以人數列四位次置甲金二百兩於右上以四袋乘鈔一十道得四十袋(按此條以四袋為一鈔相)(乘為塩數是二色止為一色不如即用塩為正) 於右副為右行次置乙鈔八十八道以三袋乘之得鹽二百六十四袋(按此條以三袋)(為一鈔)及銀八百兩為副行次置丙銀一千六百七十兩度牒一十五道為次行次置丁度牒五十二道金五十八兩八銖為左行驗得首圖左行上叚金帶八銖是三分兩之一乃以分母遍乘左行諸數只以分子一内入左上金内其左積得三十一萬八千貫左金得一百七十五兩左度牒得一百五十六道為次圖驗次圖四行皆可求等右行求得四十約之副行求得八約之次行求得五約之左行求得一約之各得數為定率圖定率圖右積得二千六百五十貫金五兩鹽一袋副積得一萬三千二百五十貫鹽三十三袋銀一百兩次積得二萬一千二百貫銀三百三十四兩度牒三道左積得三十一萬八千貫金一百七十五兩度牒一百五十六道乃以定圖次行度牒三因左行左積得九十五萬四千貫金五百二十五兩度牒四百六十八道次以定圖左下度牒一百五十六乗次行積得三百三十萬七千二百貫銀五萬二千一百四兩(按此下落度牒四百六十八道八字)定率圖 維圖乃驗維圖左及次行之下度牒等當相減之以積為端當以左之少積減次之多積按術曰同名相減其次行之金空而左行之金五百二十五兩有為正次空為無按術曰正無人負之即以左行之金正加入次行金位為負名成音圖仍置定圖左行諸數乃驗音圖次行積得二百三十五萬三千二百貫正金五百二十五兩負銀五萬二千一百四兩為正餘三行皆正音圖 駁圖今驗音次行之負金當以右行之正金補之而其數不等先以右金五約次金五百二十五得一百五以乗音圖右行畢其右積得二十七萬八千二百五十貫金二百五十五兩正鹽一百五袋正其副次左三行如音圖故乃成爻圖今視爻圖右行之金正與次行之金負適等即用右行直加次行按術以同名相加乃以右之金正減其次之金負為空按術以異名相減之其次鹽空為無人按術以正無人正之乃以爻圖右積二十七萬八千二百五十貫加次積二百三十五萬三千二百貫内得二百六十三萬一千四百五十貫其次金空次鹽一百五袋正次銀五萬二千一百四兩正仍置定圖右行數而成政圖政圖 卜圖今視政圖從者乃擇其諸行本色可求等首金可鹽亦可盖金多鹽少乃以政圖副次兩行鹽數三十三與一百五求等得三故以三約三十三得一十一以乗次行又以三約一百五得三十五以乗副行畢其副積得四十六萬三千七百五十貫鹽一千一百五十五袋銀三千五百兩次積二千八百九十四萬五千九百五十貫鹽一千一百五十五袋銀五十七萬三千一百四十四兩皆正列成卜圖宫圖及視上圖副行積少次行積多即以副行求減次行皆是同名相減之既畢仍置定圖副行數其次行乃得積二千八百四十八萬二千二百貫銀得五十六萬九千六百四十四兩列為宫圖驗宫圖次行下只有銀五十六萬九千六百四十四兩獨一數以為法以次積二千八百四十八萬二千二百貫為寔寔如法而一得五十貫為銀一兩價而成千圖千圖乃以千圖副行銀一百兩乗兩價五十貫得五千貫以減千圖副行之積一萬三千二百五十貫訖副積餘八千二百五十貫其下鹽得三十三袋銀空而成曜圖曜圖 支圖乃以曜圖副行之積八千二百五十貫為鹽寔以其下鹽三十三袋為法除之得二百五十貫為鹽一袋價而成支圖乃以支圖右行鹽一袋徧乗副行畢其副積只得二百五十貫次以副行直減右行畢右積餘二千四百貫金五兩鹽空而成閏圖 乃以閏圖右積二千四百貫為寔金五兩為法除之得四百八十貫為金一兩價成定圖次以左金一百七十五兩徧乗右行直減左行訖左積得二十三萬四千貫度牒一百五十六道左金空而成定圖閏圖 定圖今驗定圖左積二十三萬四十貫為寔以左下度牒一百五十六道為法除之得一千五百貫為度牒一道價而成終圖既得金銀每兩鈔鹽每袋度牒每各色之價次列甲乙丙丁四人乗之終圖後以首圖右金二百兩併左金五十八兩八銖得二百五十八兩以八銖為三分兩之一通分内子得七百七十五於左甲其右價四百八十貫乃以左甲母三約之為一百六十貫於左甲次以右鹽四千袋併副鹽二百六十四袋得三百四袋於左乙以鹽價二百五十貫於右乙次以副銀八百兩併銀一千六百七十兩得二千四百七十兩於左丙以銀價五十貫於右丙又以次行度牒一十五道併左度牒五十二道得六十七道於左丁以度牒價一千五百貫於右丁兩行對乗之以右甲一百六十乗左甲七百七十五兩得一十二萬四千貫為甲原本以右乙二百五十貫乗左乙三百四袋得七萬六千貫為乙原本以右丙五十貫乗左丙二千四百七十兩得一十二萬三千五百貫為丙原本以右丁一千五百貫乗左丁六十七道得一十萬五百貫為丁原本列四人各得原本求等得五百貫皆以五百貫為法除之甲行二百四十八乙得一百五十二丙得二百四十七丁得二百一各為列衰於右行併右行列衰得八百四十八為總法次置博到沉香五千八十八兩遍乗列衰各為沉香寔次置胡椒一萬四百三十包亦遍乗列衰為椒寔次置象牙四百二十四條以大小各半之得二百一十二合亦遍乗列衰為牙寔甲得一百二十六萬一千八百二十四乙得七十七萬三千三百七十六丙得一百二十五萬六千七百二十六丁得一百二萬三千六百八十八各為沉香寔以總法八百四十八除之甲得沉香一千四百八十八兩乙得沉香九百一十二兩丙得沉香一千四百八十二兩丁得沉香一千二百六兩甲得二百五十八萬六千六百四十乙得一百五十八萬五千三百六十丙得二百五十七萬六千二百一十丁得二百九萬六千四百三十各為椒寔以總法八百四十八除之甲得三千五十包不盡二百四十包以包率四十觔乘之得九千六百觔又以法除之得一十一觔不盡二百七十二觔以十六兩通之得四千三百五十二兩又以法除之得五兩不盡一百一十二求等得一十六約之得五十三分兩之七約甲得椒三千五十包一十一觔五兩五十三分兩之七乙得一千八百六十九包不盡四百四十八包以四十觔乘之得一萬七千九百二十又以法除之得二十一觔不盡一百一十二觔以十六兩通之得一千七百九十二兩又以法除得二兩不盡九十六兩求等得十六約之得五十三分兩之六為乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二兩五十三分兩之六丙得三千三十七包不盡八百三十四以四十觔通之得三萬三千三百六十觔又以法除之得三十九觔不盡二百八十八以十六兩通之得四千六百八兩又以法除之得五兩不盡三百六十八兩求等得十六約之得五十三分兩之二十三為丙合得椒三千三十七包三十九觔五兩五十三分兩之二十三丁得二千四百七十二包不盡一百七十四以四十觔通之得六千九百六十觔又以法除之得八觔不盡一百七十六以十六兩通之得二千八百一十六又以法除之得三兩不盡二百七十二求等得十六約之得五十三分兩之一十七為丁合得椒二千四百七十二包八觔三兩五十三分兩之一十七甲得五萬二千五百七十六合乙得三萬二千二百二十四合丙得五萬二千三百六十四合丁得四萬二千六百一十二合各為牙寔皆以總法八百四十八除之甲合得牙六十二合乙合得牙三十八合丙合得牙六十一合不盡六百三十六求等得二百一十二約之得四分合之三丁合得牙五十合不盡二百十二求等得二百一十二約之得四分合之一按此條於方程正負之用通分乗除之變多所發明歩筭雖繁寔有條而不紊也推求物價問推貨務三次支物凖錢各一百四十七萬貫文先撥沉香三千五百裹瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五套次撥沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一後撥沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套欲求沉乳瑇瑁裹觔套各價幾何答曰沉香每裹三百貫文 乳香毎套六十四貫文 瑇瑁每斤一百八十貫文術曰以方程求之正負入之列積及物數於下布行數各對本色有分者通之可約者約之為定率積列數每以下項互徧乘之毎視其積以少减多其下物數各随積正負之類如同名相减異名相加正無人負之負無人正之其如同名相加異名相减正無人正之負無人負之使其下項物數得一數者為法其積為寔寔如法而一所得不計遍損或益諸積各得法寔除之餘倣此草曰置凖錢一百四十七萬貫為三次撥錢為三行積數次置先撥沉香三千五百裏瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五觔為右行物數又列次撥沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一為中行物次列沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套為左行之物各以本色相對列之率圖 定率圖其中行乳香有四分套之一便以母四通中行諸數只内子一入乳香叚内積得五百八十八萬貫沉香得一萬一千八百八十裹瑇瑁得八千五百二十觔乳香得一萬二千二百二十五套 以右行求等得二十五俱約之積得五萬八千八百貫沉香得一百四十裹瑇瑁得八十八觔乳香得一十五套以中行求等得一十五約之積得三十九萬二千貫沉香得七百九十二裹瑇瑁得五百六十八觔乳香得八百一十五套以左行求等得五約之積得二萬九千四百貫沉香得六十四裹瑇瑁得三十觔乳香得七十五套列為定率圖三行副置求之今先欲去定圖下位乳香套數一十五與左下七十五互乘左右兩行右積得四百四十一萬貫沉香一萬五百裹瑇瑁得六千六百觔乳香得一千一百二十五套左積得四十四萬一千貫沉香得九百六十一裹瑇瑁得四百五十觔乳香得一千一百二十五套驗左積少右積多當以左行直減右行畢仍置定圖左行數維圖(按以上三圖名舊本未載今依前題補之以便檢閲)右積得三百九十六萬九千貫沉香得九千五百四十裹瑇瑁得六千一百五十觔次驗中左兩行各有下位叚又以左下七十五互乗中行乃以中行下八百一十五互乗左行畢中積得二千九百四十萬貫沉香得五萬九千四百裹瑇瑁得四萬二千六百觔乳香得六萬一千一百二十五套左積得二千三百九十六萬一千貫沉香得五萬二千一百六十觔瑇瑁得二萬四千四百五十觔乳香得六萬一千一百二十五套驗左積少中積多以左行同名直減中行畢仍置定圖左行數卜圖 宫圖中積得五百四十三萬九千貫沉香得七千二百四十裹瑇瑁得一萬八千一百五十觔今驗右中兩行數多又求約之其右行求得三十約之右積得一十三萬二千三百貫沉香得三百一十八裹瑇瑁得二百五觔中行求得一十約之中積得五十四萬三千九百貫沉香得七百二十四裹瑇瑁得一千八百一一十五觔今又欲去中左行之瑇瑁乃以中行瑇瑁一千八百一十五互乗右行右積得二億四千一十二萬四千五百貫沉香得五十七萬七千一百七十裹瑇瑁得三十七萬二千七十五套以卜右瑇瑁二百五觔互乗中行中積一億一千一百四十九萬九千五百貫沉香得一十四萬八千四百二十裹瑇瑁得三十七萬二千七十五觔今驗宫右積多中積少乃以中行直減右行畢仍置卜圖中行數干圖 支圖今驗干圖右行叚數只有沉香四十二萬八千七百五十裹以為法以右上積一億二千八百六十二萬五千貫為寔寔如法而一得三百貫為沉香一裹價便以中行沉香七百二十四乗三百貫得二十一萬七千二百貫減中行五十四萬三千九百貫餘三十二萬六千七百貫為中積便減去中行沉香叚之數次以左上沉香六十四乗三百貫得一萬九千二百貫減左積二萬九千四百貫餘一萬二百貫為左積便減左上沉香裹數去之今驗支圖中行其下只有瑇瑁一千八百一十五觔以為法中積三十二萬六千七百貫為寔寔如法而一得一百八十貫為瑇瑁價閏圖(按此圖舊本亦未載名今補)今驗閏圖左行有瑇瑁三十觔以乘價一百八十貫得五千四百貫减左積一萬二百貫餘四千八百貫為左積其下只有乳香七十五套以為法以積四千八百貫為寔寔如法而一得六十四貫為乳香套價此題並係俱正補草數學九章巻九下◆ 《測圓海鏡-元-》（KR3f0042）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
測圓海鏡 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案測圓海鏡十二卷元李冶撰冶字鏡齋欒城人金末登進士入元官翰林學士事蹟具元史本傳其書以勾股容圓為題自圓心圓外縱横取之得大小十五形皆無竒零次列識别雜記數百條以窮其理次設問一百七十則以盡其用探賾索隱參伍錯綜雖習其法者不能驟解而其草多言立天元一按立天元一法見扵宋秦九韶九章大衍術中厥後授時草及四元玉鑑等書皆屢見之而此書言之獨詳其法關乎數學者甚大然自元以來疇人皆株守立成習而不察至遂無知其法者故唐順之與頋應祥書稱立天元一漫不省為何語頋應祥演是書為分類釋術其自序亦云立天元一無下手之術則是書雖存而其傳已泯矣明萬厯中利瑪竇與徐光啟李之藻等譯為同文算指諸書扵古九章皆有辨訂獨於立天元一法闕而不言徐光啟扵勾股義序中引此書又謂欲説其義而未遑是此書已為利瑪竇所見而猶未得其解也迨我國朝醲化翔洽梯航鱗萃歐邏巴人始以借根方法進呈聖祖仁皇帝授蒙養齋諸臣習之梅㲄成乃悟即古立天元一法扵赤水遺珍中詳解之且載西名阿爾熱巴拉(案原本作阿爾熱巴逹謹據西洋借根法改正)即華言東來法知即冶之遺書流入西域又轉而還入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所説信而有徴特錄存之以為算法之秘鑰且以見中法西法互發益明無容設畛域之見焉乾隆四十六年二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 原序
原序
數本難窮吾欲以力强窮之彼其數不惟不能得其凡而吾之力且憊矣然則數果不可以窮耶既已名之數矣則又何為而不可窮也故謂數為難窮斯可謂數為不可窮斯不可何則彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之數也非自然之數其自然之理也數一出於自然吾欲以力强窮之使隸首復生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之數則雖逺而乾端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算數恒病夫考圓之術例出於牽强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互見内外諸角析剖支條莫不各自名家與世作法及反覆研究卒無以當吾心焉老大以來得洞淵九容之說日夕玩繹而向之病我者使爆然落去而無遺餘山中多暇客有從余求其說者於是乎又為衍之遂累一百七十問既成編客復目之測圓海鏡蓋取夫天臨海鏡之義也昔半山老人集唐百家詩選自謂廢日力于此良可惜明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志夫文史尚矣猶之為不足貴況九九賤技能乎嗜好酸鹹平生每痛自戒勅竟莫能已類有物慿之者吾亦不知其然而然也故嘗私為之解曰由技兼于事者言之夷之禮夔之樂亦不免為一技由技進乎道者言之石之斤扁之輪非聖人之所與乎覽吾之編察吾苦心其憫我者當百數其笑我者當千數乃若吾之所自得則自得焉耳寧復為人憫笑計哉李冶序
## 卷一
總率名號
天之地為通弦 天之乾為通股乾之地為通勾天之川為邊弦 天之西為邊股西之川為邊勾日之地為底弦 日之北為底股北之地為底勾天之山為黄廣弦 天之金為股金之山為勾月之地為黄長弦 月之泉為股泉之地為勾天之日為上髙弦 天之旦為股旦之日為勾日之山為下髙弦 日之朱為股朱之山為勾月之川為上平弦 月之青為股青之川為勾川之地為下平弦 川之夕為股夕之地為勾天之月為大差弦 天之坤為股坤之月為勾山之地為小差弦 山之艮為股艮之地為勾日之川為皇極弦 日之心為股心之川為勾月之山為太虚弦 月之水為股水之山為勾日之月為明弦 日之南為股南之月為勾山之川為□弦 山之東為股東之川為勾今問正數通弦六百八十 勾三百二十 股六百勾股和九百二十較二百八十勾弦和一千較三百六十股弦和一千二百八十較八十弦較和九百六十較四百弦和和一千六百較二百四十邊弦五百四十四 勾二百五十六 股四百八十勾股和七百三十六較二百二十四勾弦和八百較二百八十八股弦和一千零二十四較六十四弦較和七百六十八較三百二十弦和和一千二百八十較一百九十二底弦四百二十五 勾二百 股三百七十五勾股和五百七十五較一百七十五勾弦和六百二十五較二百二十五股弦和八百較五十弦較和六百較二百五十弦和和一千較一百五十黄廣弦五百一十 勾二百四十(即城徑也) 股四百五十勾股和六百九十較二百一十勾弦和七百五十較二百七十股弦和九百六十較六十弦較和七百二十較三百弦和和一千二百較一百八十黄長弦二百七十二 勾一百二十八 股二百四十(即城徑也)勾股和三百六十八較一百一十二勾弦和四百較一百四十四股弦和五百一十二較三十二弦較和三百八十四較一百六十弦和和六百四十較九十六髙弦二百五十五(上下同) 勾一百二十(即半徑) 股二百二十五勾股和三百四十五較一百零五勾弦和三百七十五較一百三十五股弦和四百八十較三十弦較和三百六十較一百五十弦和和六百較九十平弦一百三十六(上下同) 勾六十四 股一百二十(即半徑也)勾股和一百八十四較五十六勾弦和二百較七十二股弦和二百五十六較十六弦較和一百九十二較八十弦和和三百二十較四十八大差弦四百零八 勾一百九十二 股三百六十勾股和五百五十二較一百六十八勾弦和六百較二百一十六股弦和七百六十八較四十八弦較和五百七十六較二百四十弦和和九百六十較一百四十四小差弦一百七十 勾八十 股一百五十勾股和二百三十較七十勾弦和二百五十較九十股弦和三百二十較二十弦較和二百四十較一百弦和和四百較六十皇極弦二百八十九 勾一百三十六 股二百五十五勾股和三百九十一較一百一十九勾弦和四百二十五較一百五十三股弦和五百四十四較三十四弦較和四百零八較一百七十弦和和六百八十較一百零二太虚弦一百零二 勾四十八 股九十勾股和一百三十八較四十二勾弦和一百五十較五十四股弦和一百九十二較一十二弦較和一百四十四較六十弦和和二百四十較三十六明弦一百五十三 勾七十二 股一百三十五勾股和二百零七較六十三勾弦和二百二十五較八十一股弦和二百八十八較一十八弦較和二百一十六較九十弦和和三百六十較五十四□弦三十四 勾十六 股三十勾股和四十六較一十四勾弦和五十較一十八股弦和六十四較四弦較和四十八較二十弦和和八十較十二識别雜記天之于日與日之於心同心之于川與川之于地同日之于心與日之于山同故以山之川為小差 川之于心與川之于月同故以月之日為大差明勾□股相得名為内率求虚積 明股□勾相得名為外率求虛積 虛勾虚股相得名為虚率求虚積凡勾股和即弦黄和 凡大差即股黄較 凡小差即勾黄較髙股平勾差名角差(又)名逺差此數即髙平二差共也又為明和□和較也(又)為通差内去極差(又)為極差虚差共 明□二差共名次差(又)名近差(又)名戾(音列)和此數(又)為明大差□小差較也 勾圓差之股股圓差之勾相併名混同和此數(又)為一徑一虛弦共也 明□二差較名傍差此數又為髙平二差較(又)為極雙差内減虚和(又)為極和内減城徑也 虚差不及傍差名蓌差此數又為大差差内去角差(又)為極差内去二之平差(又)為次差内去小差差(又)為明股□勾共内去二之明勾也 虚差傍差共為蓌和(蓌音剉)凡大差股小差勾相乘為半段徑冪 大差勾小差股相乘亦同上 虚勾乗大股得半段徑冪 虚股乘大勾亦同上 邊股□股相乘得半徑冪明勾底勾相乘亦同上 黄廣股黄長勾相乗得徑冪 髙股平勾相乗得半徑冪 明弦明股併與□弦□勾併相乘得半徑冪 明弦明勾併與□弦□股併相乘亦同上 髙弦平弦相乘為一段皇極積 明勾□股相乘倍之為一段太虚積明股□勾相乘亦同右諸雜名目通弦上勾股和即一城徑一通弦也其較即勾圓差之勾股圓差之股相較也 勾弦和即二勾一大差其較則大差也 股弦和即二股一小差其較則小差也 弦較和為一徑三差共其較則大勾小差共也 三事和即邊弦三事和上帶大勾也(又)為底弦三事和上帶大股也其較則城徑也邊弦上勾股和為通股平弦共其較則大差股内去平弦也 勾弦和即通股底勾共其較則明股明弦共也 股弦和即通股通弦和内少个邊勾也其較則平勾也 弦較和為大差上股弦和其較則大勾也 三事和即通弦上股弦和(又)為黄廣三事和上帶勾圓差也其較則大差勾也(又)為平弦上弦較和(又)為太虛弦上股弦和也底弦上勾股和為通勾髙弦共其較則髙弦内去小差勾也 勾弦和為通弦上弦較較與髙股共其較則髙股也 股弦和為半个通弦上三事和其較則□弦上勾弦和也 弦較和為大差上勾弦和也其較則小差上勾弦和也 三事和即通弦上勾弦和(又)為黄長三事和上帶股圓差其較則小差股也(又)為髙弦上弦較較(又)為太虚弦上勾弦和黄廣弦上勾股和為大股虚股共(又)為通勾通股共内少个小差上勾股和其較則兩个髙差也 勾弦和為二髙弦一圓徑共其較則二明股也 股弦和為通弦上弦較和其較則二□股也 弦較和即兩个大差股也其較即兩个小差股也 三事和兩大股也其較則兩虚股也黄長弦上勾股和為大勾虚勾共(又)為通和内少个大差上勾股和也其較則兩个平差也 勾弦和為通弦上弦較較其較則兩个明勾也 股弦和為二圓徑二□勾其較則二□勾也 弦較和為兩个大差勾也其較則兩个小差勾也 三事和為兩大勾其較則兩虚勾也髙弦上勾股和為髙弦虚股共(又)為一徑及髙勾髙股差也其較則底弦内減大勾也(又)為邊股内減底股也 勾弦共則底股其較則明股也 股弦共即邊股其差則□股也 弦較共則大差股其較則小差股也 三事和即大股其較則虚股也(又)為小差上勾弦較(又)為明弦上弦較較平弦上勾股共即平弦虚勾共也其較則大股内減邊弦也 勾弦共即底勾其差則明勾也 股弦共即邊勾其較則□勾也 弦較共即大差勾其較則小差勾也 三事和即大勾其較則虚勾也(又)為大差上股弦較(又)為□弦上弦較和大差上勾股和即大股内去虚勾其差則大差弦内去圓徑也 弦勾共即大股其差則大差股内去二之明勾也 股弦和為大股上加个大中差也(按大)(中差乃明股弦和與半徑之較)其較則虚勾也 弦較和為兩个邊弦上勾弦較其較即城徑也 三事和即大股與股圓差共(又)為大弦大較共(又)為二邊股其較則太虚上弦較和也小差上勾股和即大勾内去虚股也其較則圓徑内去小差弦也 勾弦和為大勾上減个小中差也(按小中差乃□勾弦和與半徑之較)其較則虚股也 股弦共即大勾其較則小差勾内去兩个□股也 弦較和為圓徑其較則為兩个底弦上股弦較(又)為兩个□弦上勾弦和也 三事和即大勾與勾圓差共也又為大弦大較較(按即通弦又上弦較較)為二底勾其較則太虚上弦較較也皇極勾股和即髙弦平弦共其較則明股内去□勾也 勾弦共即底弦其較則明弦也 股弦共則邊弦其較則□弦也 弦較和為髙弦明弦共(又)為大股内減大差勾(又)為大差弦其較則小差弦也 三事和即通弦其較則太虛弦也(又)為明勾□股共(又)為髙弦内減明弦(又)為平弦内減□弦(又)為大差勾上減虚股(又)為小差股上減虚勾也太虚勾股和即圓徑内減虚弦(又)為虚弦虚黄方共(又)為皇極弦内去明股□勾共其差則大差勾内減个小差股也 勾弦共即小差股也其較則虚股内減个小黄方也 股弦共即大差勾其較則虚勾内減个小黄方也 弦較和為大差弦上弦和較(又)黄長弦上勾弦較(又)為兩个明勾其較小差弦上黄方面也 三事和即大黄方其較則為兩个明弦上股弦較(又)為□弦上兩个勾弦較(又)為明弦上小差與□弦上大差共也明弦勾股和即大差股内減明弦其較則明弦内減虚股也 勾弦併即髙股其較則髙股内少二之明勾也 股弦和即邊股内減大差勾(又)為邊勾邊弦差其較則半个虚黄方也 弦較和即大差上勾弦較其較則虚股也 三事和即股圓差其較則太虚上勾弦較(又)為虚股内減虛黄方也□弦上勾股和即小差内減□弦其較則虚勾内減□弦也 勾弦和即底勾内減小差股(又)為底股底弦差其較則半个虚黄方也 股弦和即平勾其較則平勾内少二个□股也 弦較和即虛勾其較則小差上股弦較也 三事和即勾圓差其較則太虚上股弦較(又)為虚勾内減虚黄方也前黄廣勾股下 其勾股較(又)為大差股上少个小差股(又)為中差(按中差係通勾股較)内少个小差較(又)為黄廣股内少一徑 勾弦共(又)為兩个底股(又)為大股與小差股共 股弦和(又)為大弦中差共(又)為兩个邊股 股弦差(又)為小差上黄方面前黄長勾股下 其勾股較(又)為大差勾上少个小差勾也(又)為圓徑内少个黄長勾 勾弦共(又)為兩个底勾(又)為大勾與小差勾共 勾弦較(又)為大差上黄方靣 股弦共(又)為兩个邊勾右五和五較大弦為大勾與股圓差共(又)為大股與勾圓差共邊弦乃邊股平勾共(又)為大股内減平弦上勾股較 底弦乃底勾髙股共(又)為大勾内加一个髙差 黄廣弦為大股内減虚股(又)為邊股□股共黄長弦乃大勾内減虚勾(又)為底勾明勾共髙弦乃大差弦内減明弦(又)為明弦虚弦共 平弦乃小差弦内減□弦(又)為□弦虚弦共 大差弦乃大股内減大差勾(又)為髙弦明弦共(又)大弦内去黄長弦 小差弦為大勾内減小差股(又)為平弦□弦共(又)為大弦内去黄廣弦 極弦乃髙股平勾共(又)為平弦明弦共(又)為髙弦□弦共(又)為大差弦内減髙平二弦較(又)為小差弦内加髙平二弦較 虚弦乃皇極黄方靣(又)為明勾□股共(又)為髙弦内減明弦(又)為平弦内減□弦 明弦乃髙弦内減虚弦 □弦乃平弦内減虚弦黄廣弦黄長弦相併為大弦虚弦共也以此數減于大和餘即虚和 若以二弦相減餘即虚弦平弦共也(按虚弦平弦共此題數偶合當云二極差) 黄廣弦(又)為大差弦虚弦共 黄長弦(又)為小差弦虚弦共 以黄長弦減于大勾餘即虚勾 以黄廣弦減于大股餘即虚股邊弦底弦相併為大弦皇極弦共也于此併數内減大和餘為皇極弦内減圓徑也 若以二弦相減餘即皇極差也此數同者最多故(又)為皇極弦内少个小差弦(又)為髙弦平弦較(又)為明股内少□勾(又)為大差弦内少皇極弦(又)為次差虚差共也邊弦(又)為皇極股弦共(又)為黄廣弦□弦共底弦(又)為皇極勾弦共(又)為黄長弦明弦共也以邊弦減大股餘為半徑内減平勾(又)為平弦内減小差勾也 底弦内減大勾餘為髙股内減半徑(又)為大差股内減髙弦也黄廣弦内減邊股即□股 黄長弦内減底勾即明勾也髙弦髙股共即邊股 平弦平勾共即底勾 髙弦髙勾共即底股 平弦平股共即邊勾上髙弦減于通股餘即邊股内減□股也 下平弦減于通勾餘即邊勾内減明勾也 髙弦平弦相併即大弦内少个皇極弦也若以相併數減於大和餘為皇極弦圓徑共也 髙弦平弦相減餘即皇極差也(又)為皇極弦上減小差弦也若以相減數却加于相併數即黄廣弦也髙弦内減明股得半徑 平弦内減□勾亦同上皇極勾上加明弦為皇極弦 皇極股上加□弦亦同上皇極弦 得極勾即底弦 得極股即邊弦 内去極勾即明弦 去極股即□弦 減于通弦即極和 得虚弦亦同上 内去虚弦即明弦□弦共去虚黄即明和□和共也 去城徑即傍差内加極差即大差弦 去極差即小差弦 加角差即兩个髙股 減角差即二平勾太虛弦 加入極弦為極和 極弦内去之即明□二弦共 再去之則明大差□小差併也 加于大差弦即黄廣弦 加于小差弦即黄長弦 内去明勾則□勾 加明勾為圓徑内少虛黄□股共 加入明股為明和□股共 減于明股即明較内去□股 加入明弦為極股 減于明弦為明大差□小差内少个□弦 加于明和即兩个虚弦一个髙差共也 減于明和即髙差也 内去□勾即明勾□較共(又)為□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股為二虚弦内少明勾(又)為圓徑内少虚黄明勾共 内減□股即明勾 内加□弦即極勾 減于□弦為明勾内少个□小差 加入□和即兩个虚弦内少个平差也 内減□和即平差也 加入明□二和共即極和内少个虚黄也 若減於明□二和共即明股□勾共也 減于髙弦即明弦減于平弦即□弦加于角差即二明勾一極差也 減于角差即一極差二□股較也 得傍差即明股□勾共内減傍差即太虚三事和内去了極雙差也(按雙)(差係勾弦差股弦差) 内加虚差即二明勾 内減虚差即二□股 内加虚黄方即虚和 内減虚黄方即太虚大小差併也右諸弦大差弦小差弦共即兩个極弦也以兩个極差為之較 大差差小差差共即兩个極差也以兩个傍差為之較 大差上大差小差上大差共即兩个明弦也以兩个明差為之較 大差上小差小差上小差共即兩个□弦也以兩个□差為之較大差黄(按即二明勾)小差黄(按即二□股)數共即兩个極黄(按即二虚弦)也以兩个虚差為之較 大差勾小差勾共即兩个極勾也以兩个平差為之較 大差股小差股共即兩个極股也以兩个髙差為之較二和共為二極和以二角差為之較大差上弦較較即圓徑 小差上弦較和亦同上大差上小差即虚勾 小差上大差即虚股也大差弦與明勾共即邊股 小差弦與□股共即底勾也 大差弦内減中差即黄長勾(按勾應作股)小差弦内加中差即黄廣股也(按股應作勾)大股内減小差股即黄廣股 大勾内減大差勾即黄長勾也虚弦得虛股即大差勾 虚弦得虚勾即小差股也 明段弦較和即大差上勾弦較 明段弦較較即小差上勾弦較也 □段弦較和即大差上股弦較 □段弦較較即小差上股弦較也大差勾内減虚弦餘即虚股 小差股内減虚弦餘即虚勾也 以大差和減大股即虚勾 以小差和減大勾即虚股也 以大差差減圓徑即明勾此差若多於圓徑則内減圓徑餘即虚勾也(按此)(條因題數偶合而誤若勾股差甚大甚小者皆不能合) 以小差差減圓徑即小差弦也 大差弦上加一徑即大股上加虚勾也 小差弦上加一徑即大勾上加虚股也大差股内減髙弦餘即髙股内減半徑 平弦内減小差勾餘即半徑内減平勾也 大差内減虚差即二明差 小差内減虚差即二□差也大弦内減大差股小差勾共即圓徑 三事和内減二之大差股小差勾共即三个圓徑也大差勾小差股相併名混同即一圓徑一虚弦也若以相減即虚差也大差和小差和二數相併即大弦虚弦共也 二數相減即中差虚差共也(又)半之併數即為極弦虚弦共也(又)為髙弦平弦共(又)為皇極勾股共也大差差小差差二數相併即兩个皇極差(又)為大差弦内減小差弦也 二數相減而半之即是皇極弦上減圓徑也(即傍差)右大小差大差差小差差虚差共為一个通差 髙平極三差共亦同上 明□虚三差共為一个極差也 諸黄方面亦倣此邊黄内減底黄即虚差 黄廣黄内減黄長黄即二虚差 髙黄内減平黄即虚差蓋髙黄即虚股平黄即虚勾也 大差黄内減小差黄即二虚差蓋大差黄即二明勾小差黄即二□股也 明黄内減□黄餘即虚差 □弦上三差合成一个虚黄方髙差内減平差為傍差 邊差内減底差亦同上明差内減□差亦同上 大差差内減小差差為二旁差 黄廣差内減黄長差亦同上極雙差即明□二弦共 内加虚雙差即明□二和共 内減虚雙差即明雙差□雙差共也 内加旁差即極弦内少个虚弦旁差差 内減旁差即虚和也 内加虚差即極弦内少二□股 内減虚差則極弦内少二明勾也極差内加旁差為大差差 内減旁差為小差差也内加虚差即角差 内減虚差即次差也 倍極差為大差差小差差共則倍旁差為之較 倍極弦為大差弦小差弦共倍極差為之較 以極差為明差平差共則以蓌差為之較 以極差為髙差□差共則以蓌和為之較 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 減蓌差而半之則虛差也 極差内減二之平差得蓌差角差内加旁差為二髙差 内減旁差即二平差也内加明□二差併而半之得極差 内減明□二差而半之則虚差也 内加極差則通差 内減極差則虚差也以虚差減於明和為明□二股共 以虚差加於□和為明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 減次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以髙差為之較 明□二勾共以平差為之較以髙差減明和即虚弦 以平差加□和亦同上以髙差減髙股即半徑 以平差加平勾亦同上以髙差減大差差即明差 以平差減小差差即□差也 以髙差減大差即髙弦 以平差加小差即平弦也 二之平差内去虚差餘即小差差 去二虚差即兩个□差髙股即半徑上股方差 平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也 黄廣股即全徑上股方差 黄長勾即全徑上勾方差 故黄廣勾黄長股共數為兩个全徑也邊弦内減底弦即皇極差 邊股内減底股即髙差(又)為底弦内減大勾 邊勾内減底勾即平差(又)為大股内減邊弦也大勾減底弦餘即半徑為勾之中差也 大股内減邊弦餘即半徑為股之中差也 邊股底勾相併即大弦 若以相減即通中差也二髙股一虚差合成一个股圓差 二平勾一虚差合成一个勾圓差(按此二條誤當云二明股一虚股合成一个股圓差 二□勾)(一虚勾合成一个勾圓差也)明雙差亦為明□二大差其較則明差也 □雙差亦為明□二小差其較則□差也 明雙差内減明差即虚黄 □雙差上加□差亦同上 以明雙差加明和即兩明弦 以□雙差加□和則兩□弦也 以明雙差減明和而半之即明黄(又)為虚大差 以□雙差減於□和而半之即□黄(又)為虚小差也 以虚大差減明和即為明弦 以虚小差減□和即□弦也 明雙差□雙差相較則次差也 明雙差□雙差相併加於明□二和共則為兩个極雙差 若以減於明□二和共則為兩个虚雙差也 明雙差上加虚雙差即明□二股共 □雙差上加虚雙即明□二勾共也以明□二股共為明弦□黄共則髙差虚黄共為之較(按明弦又□黄較)為明大小差虚大小差共則明□二股共内去兩个虚雙差為之較也(按明大小差虚大小差之較)以明□二勾共為□弦明黄共則以平差虚黄較為之較(又)為□大小差虚大小差共則明□二勾共内減兩个虚大小差為之較也(按虚大小差□大小差之)(較)明□二和共内減旁差即二虚弦 虚弦内加旁差明股□勾共也明和内去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和内去髙差即虚弦 □和上加平差亦同上 明弦内去髙差即虚勾 □弦上加平差即虚股也 明股内去□股即髙差 去□勾則極差也 明勾内去□股即虚差 去□勾則平差也明□二股併内減虚弦即明差 明□二勾併減於虚弦即□差明□二和共(又)為明□二弦共與明□二黄共數也其較則明雙差□雙差共數也 其明□二和共數内減旁差即二虚弦也 若内減虚雙差即明□二弦共也極弦得極差為大差弦大差弦内減明和則髙弦内減虚大差也 内減極差則為小差弦小差弦内減□和則是平弦内減虚小差也 又大差弦内減明和與髙股共餘則為虚勾不及明勾數 小差弦内減□和與平勾共餘則為□股不及虚股數也右諸差邊勾邊股差(又)為皇極差與髙差共也(又)為邊弦内去大勾也 邊勾邊弦共(又)為大勾邊股共 邊勾邊弦較(又)為大差弦内減半徑也 邊股邊弦較(又)為□股弦和底勾底股差(又)為皇極差平差共(又)為大股内去底弦(又)為髙股内去底小差 底勾底弦共為大弦内少个底股大勾差 底勾底弦較(又)為明弦上勾弦和 底股底弦共與邊勾邊弦共同 底股底弦較(又)為底勾内少小差股也邊股内減髙弦餘則髙股 内減大差弦餘則明勾内減底弦即底股内減大勾也(又)為髙弦内減底勾也底勾内減平弦餘即平勾 内減小差弦餘即□股以底勾減於邊弦餘即大股内減邊勾也(又)為邊股内減平弦也邊弦内減底股與底弦内減邊勾同為皇極弦内減半徑也皇極勾内減明勾餘即平勾也若減□勾即半徑也倍之則為底勾明勾共 皇極股内減□股餘即髙股也若減明股餘即半徑也倍之則為邊股□股共也明股得虚股即髙股 明勾得虚勾即半徑 □股得虚股即半徑 □勾得虚勾即平勾也 髙弦内減髙股即□股 平弦内減平勾即明勾也明弦内減明差即虚股 □弦内加□差即虚勾也 髙股即虚明二股共 平勾即虚□二勾共也 明弦明勾併數與髙股同 □弦□股併數與平勾同也明股□勾相倂減於極弦即虚和(又)為極黄虚黄共數也明□二弦併 内減□雙差即明□二股併 内減明雙差即明□二勾併 内加虚弦即極弦 内減虚弦即明大差□小差併也以明和為明弦明黄共則明雙差為之較 以□和為□弦□黄共則□雙差為之較也 明和(又)為髙差虚弦共(又)為極差與明□二勾共數 □和(又)為平差少於虚弦數(又)為極差少於明□二股數半之三事和内加半黄方即勾股共 若減之則弦也 半圓徑内加半虚黄即虚和 減半虚黄即虚弦也(又)以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也 加明股則明弦 加□股則□弦也 減明勾則明黄 減□股則□黄也 以虚黄加明黄則為虚股 以加□黄則虚勾也右諸率弦見髙弦□弦共為極弦其差即虚弦極差共也 髙股□股共為髙弦其差即虚股髙差共也 髙勾□勾共為平弦其差即半徑内減□勾也 髙和□和共為極和其差即極和内少二□和也 髙差□差共為極差其差即虚差旁差共也 髙黄□黄共為虚弦其差即□黄不及虚股數也(髙黄即虚股)髙大差□大差共即明弦其差即半虚黄不及明股數也此髙大差即明股此□大差即半虚黄也髙小差(即□股)□小差共即□弦其差即□小差不及□股數也 明平二弦共亦為極弦其較即虚弦不及極差數也 明平二股共亦為髙弦其較即明股内減半徑也 明平二勾共亦為平弦其較即平差内去虚勾也 明平二和共亦為極和其較即極和内少二之平和也 明平二差共亦為極差其較即虚差不及旁差數也 明平二黄共亦為虚弦其較則虚勾(按虚勾即平黄)不及明黄數也 明平二大差共亦為明弦其較即明勾不及明大差數(平大差即明勾) 明平二小差共亦為□弦其較則□勾不及半虚黄數也此明小差即半虚黄此平小差即□勾右四位相套邊弦 自減其股為平勾 自減其勾為明股明弦併 減於通弦餘平弦 減於通股餘平差 内減通勾餘邊差 内減底弦餘極差 内減底股為半徑旁差共(又)為極弦内少半徑 内減底勾即大股内去邊勾也 内減黄廣弦餘□弦 内減黄廣股即小差股内去平差 内減黄廣勾即大差股内去平差 内減黄長弦(又)得黄長弦(按此)(條誤) 内減黄長股與内減黄廣勾同 内減黄長勾即大股内去極勾虚勾共 内減皇極弦餘髙弦底弦 自減其股為□勾□弦併 自減其勾為髙股 減於通弦餘髙弦 減於通股餘底差 内減通勾餘髙差 減於邊弦餘極差 減於邊股即底差内去半徑 内減邊勾即髙差平勾共減於黄廣弦餘為明大差□小差併(按此條亦係數偶合)減於黄廣股即底差内去小差股 内減黄廣勾即一个明弦一个黄長股弦較 内減去黄長弦餘明弦 内減黄長股與内減黄廣勾同 内減黄長勾餘為髙股明勾共 内減極弦為平弦減於邊股(又)為底股内去大勾髙差平差共(又)為平勾髙股差 以半徑減髙股即髙差 半徑内減平勾即平差 明勾内減□勾與平差同 明股内減□股與髙差同 股圓差内減極股即髙差也 勾圓差減於極勾即平差正股内去邊弦即平差也 底弦内去正勾即髙差也 大差勾内去極勾即平差也 極股内去小差股即髙差也 極差内去□差即髙差也内去明差即平差也旁差即城徑極弦較也(又)為明差□差較(又)為髙差平差較 極差得之為大差差也去之則為小差差也又髙差平差下 明和内去虚弦即髙差 虚弦内去□和即平差大差弦内加虚差即黄廣股 小差股内減虚差即黄長勾通差内去髙差即底差 内去平差即邊差也虚大差得二虚勾即勾圓差之股 虚小差得二虚股即股圓差之勾也明股弦較與勾共即虚股也 □勾弦較與股共即虚勾也半虚黄 □勾得之即□弦也減於此數即虚黄内去□弦也 □股得之虚勾也去之即□黄方也□弦得之即平勾内去□黄也去之則□勾也明勾内得之即虚股也去之則明黄方也 明股得之即明弦也去之則明弦内去个虚黄方也明弦得之即髙股内去明黄也去之則明股也右拾遺按識别雜記約五百條皆隨時録其所得未經審定者故難易淺深不拘先後要皆精思妙義足以開示數理之蘊奥者徐光啟亟𫝊新法而於勾股義中獨推是書其必有所見矣測圓海鏡卷一
## 卷二
欽定四庫全書測圓海鏡卷二元 李冶 撰正率一十四問假令有圓城一所不知周徑四面開門門外縱横各有十字大道其西北十字道頭定為乾地其東北十字道頭定為艮地其東南十字道頭定為㢲地其西南十字道頭定為坤地所有測望雜法一一設問如後或問甲乙二人俱在乾地乙東行三百二十步而立甲南行六百步望見乙問徑幾里答曰城徑二百四十步法曰此為勾股容圓也以勾股相乗倍之為實併勾股冪以求弦復加入勾股共以為法草曰置甲南行六百步在地以乙東行三百二十步乘之得一十九萬二千步倍之得三十八萬四千步為實以乙東行步自之得一十萬零二千四百步為勾冪以甲南行步自之得三十六萬步為股冪二冪相併得四十六萬二千四百步為弦方實以平方開之得六百八十步則弦也以弦加勾股共共得一千六百步以為法如法而一得二百四十步則城徑也合問或問甲乙二人俱在西門乙東行二百五十六步甲南行四百八十步望見乙問答同前法曰此為勾上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪以求弦加入股以為法草曰置甲南行四百八十步在地以乙東行二百五十六步乘之得一十二萬二千八百八十步倍之得二十四萬五千七百六十步為實以乙東行步自之得六萬五千五百三十六步為勾冪以甲南行步自之得二十三萬零四百步為股冪勾股冪相併得二十九萬五千九百三十六步為弦方實以平方開之得五百四十四步為弦也以加入南行步共得一千零二十四步以為法而一得二百四十步則城徑合問或問甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲南行三百七十五步望見乙問答同前法曰此為股上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股冪求弦加入勾以為法草曰置甲南行三百七十五步以乙東行二百步乘之得七萬五千步倍之得一十五萬步為實以乙東行自之得四萬步為勾冪以甲南行自之得一十四萬零六百二十五步為股冪勾股冪相併得一十八萬零六百二十五步為弦方實如平方而一得四百二十五步則弦也加入乙東行二百步共得六百二十五步以為法以法除之得二百四十步則城徑也合問或問甲乙二人俱在圓城中心而立乙穿城向東行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望見乙問答同前法曰此為勾股上容圓也以勾股相乘倍之為實併勾股冪如法求弦以為法草曰以二行步相乘得三萬四千六百八十步倍之得六萬九千三百六十步為實置乙東行自之得一萬八千四百九十六步為勾冪又以甲南行自之得六萬五千零二十五步為股冪二冪相併得八萬三千五百二十一步為弦方實以平方開之得二百八十九步即弦也便以為法如法除實得二百四十步即圓城之徑也合問或問甲乙二人同立於乾地乙東行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城徑之半問答同前法曰此為弦上容圓也以勾股相乘倍之為實以勾股和為法草曰以二行步相乘得六萬四千八百步倍之得一十二萬九千六百步為實併二行步得五百四十步以為法除實得二百四十步即城徑也合問或問甲乙二人俱在坤地乙東行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓也以勾股相乘倍之為實以弦較和為法草曰以二行步相乘得六萬九千一百二十步倍之得一十三萬八千二百四十步為實置乙東行自之得三萬六千八百六十四步為勾冪又置甲南行自之得一十二萬九千六百步為股冪二冪相併得一十六萬六千四百六十四步為弦方實以平方開之得四百零八即弦也又置甲南行步内減乙東行步餘一百六十八步即較也以較加弦共得五百七十六步以為法實如法而一得二百四十步為城徑也合問按此題用勾股求得弦即可加減得弦較較為城徑今必以勾股相乘倍積為實求得弦加減得弦較和為法而後始得弦較較為城徑者蓋欲因此並明勾股相乘之倍積為弦較較弦較和相乘之積非故為紆廻也或問甲乙二人同立於艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為股外容圓也以勾股相乘倍之為實以弦較較為法草曰二行步相乘得一萬二千倍之得二萬四千步為實以甲南行自之得二萬二千五百步為股冪又以乙東行步自之得六千四百步為勾冪勾股冪相併得二萬八千九百步為弦方實以平方開之得一百七十步即弦也以二行步相減餘七十步為勾股較也以此較又減弦餘一百步即弦較較也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問按此題係弦較和為城徑其用法實以較取和之意與上題同或問甲乙二人同立於㢲地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為弦外容圓也勾股相乘倍之為實以弦和較為法草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步為實以甲北行自之得八千一百步為股冪又以乙西行自之得二千三百零四步為勾冪併二冪得一萬零四百零四步為弦方實以平方開之得一百零二步為弦也又併二行步得一百三十八步為和以弦減和餘三十六步得黄方以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問按此題弦和和即城徑其以勾股相乘倍積為實黄方為法者亦以明弦和和黄方相乘之積與勾股相乘之倍積為相等也或問甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城㕘相直問答同前法曰此為勾外容圓半也以勾股相乘倍之為實以大差為法草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一萬九千四百四十步為實又以乙東行自之得五千一百八十四步為勾冪又以南行自之得一萬八千二百二十五步為股冪二冪相併得二萬三千四百零九步為弦方實以平方開之得一百五十三步即弦也以乙東行七十二步為勾以減弦餘八十一步即勾弦差也便以為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問或問甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行一十六步回望甲與城㕘相直問答同前法曰此為股外容圓半也以勾股相乘倍之為實以小差為法草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步為實又以乙東行自之得二百五十六步為勾冪又以甲南行自之得九百步為股冪二冪相併得一千一百五十六步為弦方實以平方開之得三十四步即弦也以甲南行三十步為股以減弦餘四步以為法以法除實得二百四十步即城徑也合問或問甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行三十步望見甲問答同前法曰此為半矮梯也以二行步相乘為實如平方而一得半徑草曰以二行步相乘得一萬四千四百步為實以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問又問甲乙二人乙出南門折而東行七十二步而止甲出北門折而東行二百望見乙問答同前法曰以二行步相乘得數四之為實如平方而一得城徑草曰二行步相乘得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問又假令乙出南門折東行二十步甲出北門折東行七百二十步如此之類亦同上法(以上三問是以半矮梯求之)按右三題通為一問或問甲乙二人乙在艮地東行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望見乙問答同前法曰此為兩差求黄方也以二行步相乘倍之為實以平方開得城徑草曰二行步相乘得二萬八千八百步倍之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問 别得甲南行即股圓差也乙東行即勾圓差也或問甲出東門四十八步而立乙出南門四十八步見之問答同前法曰此當以方五斜七求之每出門二步管徑十步草曰置出門步在地以五之得二百四十步即城徑也據此法合置出門步在地以十之二而一以二數相折故五因便是合問按方五斜七古率非密率也設問以盡此題之變故率之踈密勿論或問出西門南行四百八十步有樹出北門東行二百步見之問答同前法曰以二行步相乗為實二行步相併為從二步常法得半徑草曰立天元一為半徑置南行步在地内減天元半徑得□□為股圓差(按斜畫者少之記也□□是為四百八十步少一元也下倣此)又置乙東行步在地内減天元得下式□□為勾圓差以勾圓差乘股圓差得丨□□(按丨□□為一平方少六百八十元)(多九萬六千步)為半段黄方冪即城冪之半也(寄左)又置天元冪以倍之得□□亦為半段黄方冪與左相消得丨□□如帶縱法之得半徑合問(按相消者取上兩相等之數同加減相等)(之數使一為步數一為方元數仍相等也如寄數内減一平方加六百八十元則得九萬六千步又數内)(亦減一平方加六百八十元則得一平方六百八十元是為一平方六百八十元與九萬六千步等故其)(式為丨□□舊稿方元數皆作斜畫以别之然遇方元數有多少異號者殊混人目今不用)又法識别得二行併即大弦也立天元一為半徑置甲南行步加天元一得□□為大股又置乙東行步加天元得□□為大勾也勾股相乘得丨□□為一个大直積以天元除之得下式□□□為三事和(寄左黄方)(除倍積得三事和今以半黄方除直積亦為三事和也)然後併二行步又併入勾股共得□□為同數與左相消得□□□以帶縱平方開之得一百二十步倍之得全徑也合問按是書皆先法後草草者以立天元一推衍而得其方元積數者也法者又取推衍中之支節條目融㑹而歸於簡約者也草者法之本法者草之用法使人易於推步而草則存其義以俟知者二者相須不可偏廢顧應祥僅演其開方乘除之數而去其細草蓋亦不得其理矣按元時未有筆算故加減乘除之式不能詳載觀者遂以為無下手處今借根方法既明視此則渙如氷釋矣測圓海鏡卷二
## 卷三
欽定四庫全書測圓海鏡卷三元 李冶 撰邊股一十七問或問乙出東門南行不知歩數而止甲出西門南行四百八十歩望見乙復就乙行五百一十步與乙相㑹問答同前法曰倍相減步以乘二之甲南行步為平方實得城徑草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也倍相減步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五萬七千六百步為平方實如法開之得二百四十步即城徑也合問或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅東行八十步望見甲問答同前法曰倍南行步以東行步乘之為實東行歩為從方一步常法得全徑草曰立天元一為全徑以減於二之甲南行步得□□為兩个大差也以乙東行步乘之得□□為圓徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得丨□□以帶縱平方開之得二百四十步即城徑也合問又法半之乙東行步乘南行步為實半之乙東行步為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑減甲南行步得□□為大差也以半之東行步乘之得□□即半徑冪(寄左)然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問甲出西門南行四百八十步而止乙從艮隅亦南行一百五十步望見甲問答同前法曰兩行步相乘為實南行步為從方一為隅得半徑草曰立天元一為半城徑以減乙南行步得□□為半梯頭以甲行步為梯底以乘之得□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得丨□□開帶縱平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問甲出西門南行四百八十步乙出東門直行一十六步望見甲問答同前法曰以四之東行步乗南行冪為實從空東行為亷一步為隅法得全徑草曰立天元一為圓徑加乙東行步得□□為中勾其甲南行即中股也置東行步為小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以為小股也(内寄中勾分母)乃復以中股乗之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑冪(寄中勾分母寄左)然後以天元徑自之又以中勾乘之得□□為同數與左相消得丨□□□以𢃄縱立方開之得二百四十步為城徑也合問按不受除者無可除之理也凡二數此數於彼數有可除之理則受除無可除之理則不受除也蓋除有法有實實可二法不可二此題以中勾為法而中勾内有一元又有十六步其為數已二矣又何以均分不一之數乎故曰不受也寄分者姑寄其應除之數也俟求得兩相等數而此數内尚少一除不除此而轉乘彼則兩數仍相等猶之受除者也此所謂以乘代除也或問乙出南門東行七十二步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前法曰以乙東行冪乗甲南行為實乙東行冪為從方甲南行步内減二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減南行步得□□為小股又以天元加乙東行步得□□為小勾又以天元加南行步得□□為大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以為大勾(内寄小股分母)又置天元半徑以分母小股乘之得□□以減大勾得□□□為半个梯底於上以乙東行七十二步為半个梯頭以乘上位得□□□為半徑冪(内寄小股分母)寄左然後置天元冪又以分母小股乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問又法曰以二數相乘為實相減為從一虚法平開得半徑草曰别得二數相併為大股内少一虚勾其二數相減為大差弦也立天元一為半徑副置之上位減於四百八十得□□為股圓差(即大差股也)下位加七十二得□□與股圓差相乘得下式□□□為一大差積(寄左)再以大差勾減於大差股餘□□為較又加入大差弦四百單八共得□□為弦較共也以天元乘之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步即半徑合問 前法太煩故又立此法以就簡也或問乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望見乙與城㕘相直又就乙行四百零八步與乙相㑹問答同前法曰二行步相減以乘甲南行步為實甲東行步内減相減步為益方一步常法得半徑草曰識别得二行相減餘七十二步即是乙出南門東行數也更不湏用弦遂立天元一為半城徑加乙東行得□□為小勾也副置南行步上減天乙得□□為小股下加天元得□□為大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此為大勾也(内帶小股分母)又倍天元以小股乘之得下式□□以減於大勾得□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁此勾圓差内已帶小股分母(小股即股圓差也)更不湏乘便以此為半段黄方冪(更無分母也)寄左乃以天元自之又倍之得□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門直行不知歩數而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相會問答同前法曰半南行步減半斜行步以乘南行步為實從方空半斜行半南行相減得數加入南行步為隅法得半徑草曰識别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾也立天元為半徑就以為小股其二行相減餘六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□為大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□為大勾又倍天元一減之得下式□□□為勾圓差也半之得□□□於上乃以天元減甲南行步得□□為股圓差以乘上位得丨□○□為半徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問按此問以小股為除法蓋因小股只一天元其數不二猶有可除之理也然得數降於實數之下者皆不可以命名至開方時仍湏各升一位以計之是兩邊各加一乘猶是寄分之理也又法以二數差乘二數併開方得邊勾復以邊股乘之為實併二數而半之為法實如法得二百四十步即城徑(此蓋用前勾上容圓法也)或問乙從乾地東行不知幾步而止甲出西門南行四百八十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前法曰併二行數以二行差乘之内減二行差冪為實併二行步及二行差為從方二步常法得半徑草曰識别得二行相減餘二百步即半圓徑與小差勾之共數也立天元一為半城徑加於二百步得□□為大勾也又以天元加於甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□為勾冪(寄左)乃置乙斜行六百八十步為大弦加入大股共得□□於上再置二行差内減天元得□□為小差勾即股弦較以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問又法求小差二行相減以自之又四之為實二行相減八之於上二之南行步内減二之二行相減數又以加上位為益方二步常法草曰立天元一為小差減二行差得□□為半城徑以自之得丨□□又四之得□□□為圓徑冪(寄左)然後以半城徑減於甲南行得□□又倍之得□□為兩个大差也又以天元乘之得□□○為同數與左相消得下式□□□以平方開之得八十步為小差也或問乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直復就乙斜行二百五十五步與乙相㑹問答同前法曰甲南行内減二之兩行差餘以乘甲南行又倍之為實二步為隅得半徑草曰别得二行步相減餘二百二十五步乃是半徑為勾之股也立天元一為半城徑就以為小勾率其二行差二百二十五步即為小股率乃置甲南行步加入天元得□□為大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除(按此所謂不受除乃其數竒零不能盡非無可除之理也)(與前辭同而意異)便以此為大勾(内寄小股分母)乃倍天元以小股乘之得□以減大勾餘丨□為一个小差於上(内寄小股)(分母)乃以天元減甲南行步得□□為大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□為圓徑冪(内寄小股分母)寄左然後倍天元以自之又以小股乘之得□□為同數與左相消得□○□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問按此題止用股弦求勾法即得城半徑其必展轉數次而後始得者益見其為發明立天元一之術使人易曉也後多有倣此者或問乙出南門直行一百三十五步而止甲出西門南行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前法曰二行步相減餘以自乘内減乙行冪為實二之甲南行為益從一步常法得半徑草曰立天元一以為半徑便以為勾率又以天元加乙行步併以減於甲行步得□□為股率乃置乙南行步一百三十五步為小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此為小勾(内寄股率分母)又置乙南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此為大勾(内寄股率)(分母)以小勾大勾相乘得□□□為半徑冪(内帶股率冪為分母)寄左然後置天元以自乘又以股率冪乘之得丨□□□為同數與左相消得□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問按此草得數為九百六十立方少一三乘方與十萬零八百平方等皆虚數也各降二位即如各以平方除之乃為九百六十元少一平方與十萬零八百步等兩數等所降之位又等則兩數仍相等而實積步數乃出矣故可以帶縱平方開之也此係降位而得實數者與前升位而得實數者其理互相發明草中不言蓋以為不待於言也或問甲乙二人同出西門向南行至西南十字道口分路乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙與城㕘相直問答同前法曰兩行相乘得數又以乙東行乘之為實二行相乘於上位又置乙東行以二行相減數乘之得數加上位為法草曰立天元一為半城徑副置上位加南行步得□□為大股也下位減於甲行步得□□為小股也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□為母便以為大勾也置天元以母通之得□□減於大勾得丨□□為半个矮梯底於上再置乙東行内減天元得下式□□為半个矮梯頭以乘上位得下式□□□□為半徑冪寄左再置天元以自之為冪又以分母乘之得□□□為如積與左相消得□□上法下實得一百二十步即城之半徑也合問按草中相消法皆得兩邊數此獨得一邊二數蓋此條共數比彼條共數少一數又多一數為相等則多少二數其必為相等無疑矣多少數多者亦倣此此又相消法中之一變也又法二行步相乘為實倍甲南行内減乙東行為法草曰立天元一為半城徑副置上位加甲南行得□□為大股下位減甲行步得□□為小股便是股圓差也其乙東行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□為母便以為大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大勾餘□□□為勾圓差也合以股圓差乘之縁内已有小股分母不湏乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母(寄左)然後置天元冪以二之得□□為如積以左相消得□□上法下實得一百二十步即半城徑也合問或問見邊股四百八十步□弦三十四步問答同前(此題)(在甲乙二人同出西門南行至十字道乙折東行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望)(見乙與城㕘相直之後)法曰□弦乘邊股半之為實半□弦半邊股相併為從半步隅法平方得□股草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾也又以天元減邊股而半之得□□為髙股也平勾髙股相乘得□□□為半徑冪(寄左)然後以天元乘邊股得□為同數與左相消得下式□□□開平方得□股三十步以乘邊股開平方倍之即圓城徑也合問按此問原稿在三卷末或問見邊股四百八十明弦一百五十三問答同前法曰二云數相減復倍之内減邊股復以邊股乘之於上又以明弦冪乘上位為實以邊股乘明弦冪又二之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減又倍之為第二益亷一常法開三乘方得明勾草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也以髙股減邊股餘□□為髙弦以倍之得□□為黄廣弦也内減邊股得□□為□股復以邊股乘之得□□於上又以明弦自乘得二萬三千四百零九為分母以乘上位得□□為𢃄分半徑冪(寄左)然後置黄廣弦以天元乘之得□□復合以明弦除之不除寄為母便以此為全徑又半之得□□為半徑以自之得□□□為同數與左相消得下式丨□□□□開三乘方得七十二步即明勾也餘各依法求之合問又法邊股内減二明弦以邊股乘之復以明弦冪乘之為三乘方實亷從並同前草曰識别得二數相減餘為髙股虚弦共又為髙弦明勾共此餘數内又去半徑即明和也明和明弦相併即股圓差相減則明黄方也又倍明弦加明黄亦得股圓差也邊股内減明勾餘即大差弦也立天元一為明勾減於云數相減數得□□即髙弦也以髙弦減邊股得□□即髙股也以髙股減於云數相減數得□□即虚弦也以天元又減虚弦得□□即□股也乃置髙弦以天元乘之得□□合明弦除之不受除便以此為髙勾也(即半徑)髙勾自之得丨□□□為半徑冪(内帶明弦冪分母)寄左然後置邊股以□股乘之得□□為半徑冪又以明弦冪二萬三千四百零九分母通之得□□為同數與左相消得實從亷隅五層如前式或問邊股四百八十步髙弦二百五十五步問答同前法曰以邊股減於二之髙弦復以邊股乘之開平方得半徑草曰立天元一為半徑先倍髙弦内減邊股餘□復以邊股乘之得□□寄左以天元冪與左相消得丨□□開平方得數倍之即城徑也合問或問邊股四百八十步平弦一百三十六步答問同前法曰置平弦以邊股再乘之為實以邊股自之為益從平弦為益亷一虚隅開立方得半徑草曰别得平弦即皇極勾也立天元一為半徑副之上位加平弦得□□即邊勾也下位減於平弦得□□即□勾也置□勾以邊股乘之得□□合邊勾除今不受除寄為母便以此為□股乃以此邊股乘之得□□為半徑冪(内𢃄邊勾分母)寄左然後以天元為冪以分母邊勾乘之得丨□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問邊股四百八十步明股明弦和二百八十八步問答同前法曰以云之云數相減餘加邊股復以減餘乘之訖又折半於上又以減餘自之減上位為實併云數半之為法得明勾草曰别得二數相減餘為大差勾立天元一為明勾減於大差勾得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虚勾於上又以半徑加邊股得□□為通股於下上下相乘得□□□折半得丨□□為半徑冪(寄左)然後以半徑冪丨□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問或問見邊股四百八十步□勾□弦和五十步問答同前法曰半邊股半和步相併得為泛率以汎半減邊股以自之又二之於上以和步乘泛率減上位為實以汎率減邊股六之於上内又加半个邊股三个和步為益從三步常法得□股草曰别得和步得□股即小差也小差邊股共即二中差(按此句誤)立天元一為□股加和步得□□即小差也以小差加邊股而半之得□□即中差也中小差相併得□□即大差也以小差乘之得□□□為半段徑冪(寄左)然後置邊股内減大差得□□為半徑以自之得□□□又倍之得下式□□□與左相消得下式□□□開平方得三十步即□股也合問按草云以小差邊股共即二中差有誤蓋中差即勾股較小差即股弦較邊股即勾弦較與容圓半徑和若設勾二十股二十一弦二十九則勾弦較九容圓半徑六併之得十五為邊股股弦較八為小差小差邊股共得二十三勾股較一為中差倍之僅得二則相差二十一矣是知細草乃因題數之偶合而誤非正法也今依其術另設法草於後以補其闕法曰以□勾弦和自之邊股再乘為實倍邊股加□勾弦和再以□勾弦和乘之為從又倍□勾弦和減邊股餘為益亷一為隅𢃄縱立方開之得□股草曰别得邊股即髙股弦和□股即髙股弦差□股弦和即平勾也立天天一為□股自之得丨□應以□勾弦和除之不除便以為□勾弦較(内寄□勾弦和分母)轉以□勾弦和自之得□為□勾弦和加□勾弦較得丨○□為倍□弦又以□勾弦和分母乘倍□股得□為倍□股與倍□弦相加得丨□□為倍□股弦和即倍平勾又於邊股内減□股得□□為倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□為圓徑冪寄左又以邊股□股相乘得□為半徑冪四因之得□為圓徑冪又以□勾弦和分母乘之得□為同數與左相消得丨□□□開帶縱立方得□股三十步合問測圓海鏡卷三
## 卷四
欽定四庫全書測圓海鏡卷四元 李冶 撰底勾一十七問或問乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之就乙斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前法曰二行差數乘甲東行又四之為平方實得全徑草曰識别得二行相減餘即乙出南門東行數也以甲東行減於就乙斜行餘七十二步以乘甲東行歩得一萬四千四百步又四之得五萬七千六百步為實以平方開之得二百四十步即城徑也合問或問乙從坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問答同前法曰二行步相乘倍之為實乙南行為從一步常法得城徑草曰立天元一為城徑以減於二之甲東行步得(□)□為兩个小差以乙南行步乘之得□□為城徑冪(寄左)然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得二百四十步即城徑也合問又法半之乙南行步乘甲東行為實半乙南行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑減甲東行得□□為小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪丨□與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙從坤隅東行一百九十二歩而止甲出北門東行二百步見乙問答同前法曰兩行步相乘為實甲東行為從乙為隅得半徑草曰立天元一為半徑減於乙東行得□□以甲行步乘之得□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪丨□與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步見乙問答同前法曰以乙南行步乘甲東行冪又四之為實從空乙行為亷一步常法得城徑草曰立天元一為城徑加乙南行得□□為股率其甲東行即勾率也其乙南行□為小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此為小勾(寄股率為母)乃以甲東行步乘之得□ 又四之得□為一段城徑冪(寄左)然後以天元城徑自之又以股率分母通之得丨□□為同數與左相消得下式丨□□□以立方開之得二百四十步即城徑也合問又法二行相乘又以自乘為實以二行相乘倍之為益方南行冪為亷八步益隅立方開得小勾七十二草曰立天元一為小勾以南行為小股以東行二百步為大勾也置大勾内減天元得□□為中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□為中股即城徑也以自之得□□□為城徑冪也(寄左)又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□為同數與左相消得□□□□開立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步為實平方開得一百二十步倍之即城徑也合問又法求半徑以南行步乘東行冪為實從空東行步為亷二步常法得半徑草曰立天元一為半徑以二之加南行步得□□為股率以東行□為勾率以南行為小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此為小勾也又以勾率乘之得下式□為半徑冪(寄左)再立天元半徑以自之又以分母股率乘之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門南行三十步而止甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直問答同前法曰以甲東行步乗乙南行冪為實以乙南行冪為從甲東行内減二之乙南行為益亷一步隅得半徑草曰立天元一為半城徑減於甲東行步得□□為小勾以天元加於乙南行步得□□為小股乃以天元加東行步得□□為大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此為大股(内帶)(小勾分母)又置天元半徑以分母小勾乘之得□□減於大股餘□□□以乙南行步乗之得□□□為半徑冪(内有小勾分母)寄左然後以天元為冪又以小勾通之得□□□為同數與左相消得下式□□□□以立方開之得一百二十步倍之即城徑也合問(翻法在記)又法乙南行乘甲東行為平實二數相減為法一隅翻開得半徑草曰别得二數相併為大勾内少一虚股其二數相減為小差弦也 立天元一為半徑副置之上位減於二百步得□□為勾圓差(即小差勾也)下位加三十步得□□為小差股勾股相乘得□□□為一段小差積(寄左)再以小差勾減小差股餘□□為一較也又以此較減於小差弦得下式□□為一个弦較較以天元一乘之得下式□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即半城徑也合問(翻法在記)再立此法者蓋從簡也按此乃以小差勾為平弦上弦較較半徑為平股故以小差弦上弦較較與半徑相乘等於平弦上弦較較與小差股相乘為一段小差積也或問乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城㕘相直復就乙斜行一百七十步與乙相㑹問答同前法曰以二行差乘甲東行為實甲就乙斜行為方一步常法得半徑草曰識别得二行相減餘三十步即乙出東門南行步也(更不湏用弦)立天元一以為半城徑加乙南行得□□為小股副置甲東行步上位減天元得下式□□為小勾下位加天元得□□為大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此為大股(内𢃄小勾分母)又倍天元以小勾乘之得□□以減於大股得□□□又倍之得下□□□為兩个股圓差合以勾圓差乘之縁為其中已帶小勾分母更不須乘便以此為黄方冪(更無分母)寄左然後倍天元以自之得□□為同數與左相消得□□□上下俱半之(俱半之者蓋從簡也)得□□□以平方開之得一百二十步倍之即半徑也合問或問乙出南門直行不知步數而止甲出北門東行二百步見之復就乙斜行四百二十五步與乙相㑹問答同前法曰倍兩行差以乘二之甲東行為實從空四之甲東行於上倍兩行差加上位為隅得半徑草曰識别得二行差二百二十五步即半徑為勾之股也立天元一以為半徑便是小勾其二行差便是小股乃置甲東行步加天元得□□為大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□為大股又倍天元以減之得□□□為股圓差又倍之得□□□為兩个股圓差於上乃以天元減甲東行得□□為勾圓差以乘上位得下式□□○□為城徑冪(寄左)然後倍天元一以自之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問(按此係得數各升一位然後開平方)又法併二數以二數差乗之開方得底股復以甲東行二百步乘之為實併二數而半之以為法如法得二百四十步即城徑也合問(此用股上容圓求之比前法極為簡易)或問乙從乾隅南行不知步數而止甲出北門東行二百步望見之復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前法曰併二行以二行差乘之内減二行差冪為實併二行步及二行相減數(按即倍乙斜行)為從二步常法得半徑草曰識别得斜行六百八十步即大弦也其二行相減餘四百八十步即乙南行步内減半徑也立天元一為半城徑副置之上位加二行相減數得□□為大股也下位加甲東行步得□□為大勾也乃以大股自增乘得丨□□為大股冪(寄左)乃併大勾大弦得□□於上又以大勾減大弦得□□為大差以乘上位得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問又法求大差法曰二行差自乘為實置二之二行差於上乃以甲東行步減二行差又半之以減於上為益方(按三因斜行步)(二因東行步相減折半亦同)半步常法草曰立天元一為大差減於二行差得□□為半城徑以自之得丨□□為半徑冪(寄左)乃以半城徑減於甲東行得下式丨□為小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□為同數與左相消得下式□□□以平方開之得三百六十步即大差也合問或問乙出東門不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城叅相直復就乙斜行一百三十六步與乙相㑹問答同前法曰甲東行步内減二之二行差(按倍斜行步内減東行步亦同)餘以乘甲東行為實一步常法得半徑草曰别得二行相減餘六十四步即半徑為股之勾立天元一為半城徑就以為股率其二行差即勾率也乃置甲東行步加天元得□□為大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此為大股(内𢃄勾率分母)乃倍天元以勾率乘之得□以減大股得丨□為一个大差於上(内𢃄勾率分母)乃以天元減甲東行得□□為小差以乘上位□□□為半段黄方冪(内寄勾率)(為母)寄左然後以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□為同數與左相消得下式丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門直行一十六步而止甲出北門東行二百步望見乙與城叅相直問答同前法曰二行步相減餘以自乘内減乙東行冪為實二之甲東行為益從一步隅法得半徑草曰立天元一以為半城徑加乙行步併以減於甲行步得□□為平勾率其天元半徑即平股率也乃置乙東行一十六步為小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此為小股(内帶勾率分母)又置乙東行加二天元得□□為大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此為大股(内寄勾率為母)以此小股大股相乘得□□□為半徑冪(内寄勾率冪為母)寄左然後以勾率冪乘天元冪得丨□□□為相同數相消得□□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問(按此係得數各降二位然後開平方)或問甲乙二人同出北門向東行至東北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向東行甲前後通行了二百步廻望乙恰與城相直問答同前法曰以二行步相乘於上又以南行步乗之為實二行步相乘於上又以乙南行減於甲東行得數復以乙南行乘之加上位共為法得半徑草曰立天元一為半城徑副之上位加甲行步得□□為大勾也下位減於甲行步餘□□為小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以母乘之得□□減於大股餘丨□□為半个矮梯底於上(内寄小勾為母)再置乙折行步内減天元得□□為半个矮梯頭以乘上位得□□□□為半徑冪(寄左)乃以小勾分母乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實如法而一得一百二十步即城之半徑也合問又法 法曰二行步相乘為實倍甲東行内減乙南行為法草曰立天元一為半圓徑副之上位加甲東行得□□為大勾下位減甲東行得□□為小勾此小勾便是勾圓差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□為母便以為大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□為全徑以減於大股餘得□□□為股圓差也合以勾圓差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此為兩段之半徑冪也更無分母(寄左)再置天元以自之又二之得□□為同數與左相消得□□上法下實一百二十步即半城徑也合問或問見底勾二百步明弦一百五十三步問答同前法曰半底勾乘明弦為平實併二云數而半之為從五分常法得明勾草曰立天元一為明勾加明弦得□□為髙股也又以天元減底勾而半之得下式□□為平勾也勾股相乘得□□□為半徑冪(寄左)然後以天元乘底勾得下式□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明弦也以明弦乗底勾為平方實如法開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問見底勾二百步□弦三十四步問答同前法曰底勾□弦相減餘倍之内減去底勾(按倍□弦減底勾亦)(同)復以底勾乗之於上又以□弦冪乘上位為三乗方實倍底勾以□弦冪乗之為從二云數相減餘以自之為第一亷二云數相減餘又倍之為第二益亷一步隅法得□股草曰立天元一為□股加□弦得□□為平勾以平勾減底勾餘□□為平弦以倍之得□□為黄長弦也此弦内却減底勾餘得下式□□為明勾也復以底勾乘之得□□於上又□弦自乘得一千一百五十六為分母以乗上位得□□為帶分半徑冪(寄左)然後置黄長弦以天元乗之得□□合以□弦除之不除寄為母便以此為全徑也以半之得□□為半徑(内帶□弦分母)以自之得丨□□□為同數與左相消得丨□□□□開三乗方得三十步即□股也餘各依數求之合問又法底勾内減二□弦復以底勾乘之復以□弦冪乘之為三乗方實餘亷從並與前同草曰識别得二數相減餘一百六十六為平勾虚弦共又為平弦□股共於此餘數内又去半徑即□和也□和□弦相併即勾圓差也相減則□黄方也又倍□弦加□黄亦得勾圓差也底勾内減□股餘即小差弦也 立天元一為□股減於云數相減數得□□為平弦以平弦減底勾得□□即平勾以平勾減於云數相減數得□□即虚弦以天元又減虚弦得□□即明勾也乃置平弦以天元乘之得□□合□弦除不除寄為母便以此為平股也(即半徑)平股自之得丨□□□○為半徑冪(内帶□弦冪分母)寄左然後置底勾以明勾乗之得□□又以□弦冪一千一百五十六通之得下式□□為同數與左相消得丨□□□□亷從一一如上或問見底勾二百步平弦一百三十六步問答同前法曰倍平弦内減底勾復以底勾乗之開平方得半徑草曰立天元為半徑先倍平弦内減底勾餘□為明勾復以底勾乗之得□為半徑冪(寄左)然後以天元冪為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步又倍之即城徑也合問或問底勾二百步髙弦二百五十五步問答同前法曰底勾冪乗髙弦為立實底勾冪為從髙弦為亷一為隅得半徑草曰識别得髙弦即皇極股也立天元一為半徑副之上位加髙弦得□□即底股也下位減於髙弦得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄為母便以此為明勾又以底勾乗之得□□為半徑冪(内帶底股分母)寄左然後以天元冪乗底股得丨□□與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問底勾二百步□勾□弦和五十步問答同前法曰以二云數相減餘加底勾復以減餘乗之半之於上以減餘自之減上位為實併云數半之為法得□股草曰别得二數相減餘為小差股立天元一為□股減於小差股得□□即半徑也又以天元減半徑得□□為虚股於上又以半徑加底勾得□□為通勾於下上下相乗得□□□折半得丨□□為半徑冪(寄左)然後以半徑自之得下式丨□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也合問或問見底勾二百步明股明弦和二百八十八步問答同前法曰二數相減又半之得數又減於底勾餘為泛率以泛率自之又倍之於上位又二數相減而半之以乗和步所得減於上倍為實倍泛率於上位又半底勾減和步加上位為法得明勾草曰别得和步得明勾為大差也大差得底勾為二中差 立天元一為明勾加和步得□□為股圓差也(即大差)内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也(此即中差)置大差減中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□為半段圓徑冪(寄左)乃置底勾内減小差得□□為半徑以自之得□□□倍之得下式□□□為同數與左相消得□□上法下實得七十二步即明勾也合問按此條法草與三卷末以小差邊股共為二中差者同誤依問另設於後法曰以底勾乘明股弦和冪為實倍底勾以明股和乗之加入明股弦和冪為從倍明股弦和内減底勾為亷一為隅開帶縱立方得明勾草曰别得明弦得明勾為髙股髙勾即半徑也底勾為平勾弦和明勾為平勾弦較平股即半徑也立天元一為明勾自之得丨□應以明股弦和除之不除便以為明股弦較(内寄明股弦和分母)明股弦和自之得□為股弦和以加股弦較得丨□□為倍明弦以分母乗倍天元得□為倍明勾與倍明弦相加得丨□□為倍髙股置底勾減天元得□□為倍平勾與倍髙股相乘得□□□□為城徑冪(内寄明股弦和分母)寄左又倍天元與倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□為相同數與左相消得丨□□□開立方得明勾合問測圓海鏡卷四
## 卷五
欽定四庫全書測圓海鏡卷五元 李冶 撰大股一十八問或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前法曰倍二行差内減甲南行步復以乗甲南行步為實(倍二行差減甲南行步即是甲南行步内減二之乙南行也)四之甲南行步内減二之乙南行為從方四為益隅開平方得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙南行步得□□為中股以中股又減於甲南行步得□□為股率其天元半徑即勾率也置甲南行為大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此為大勾(内𢃄股率分母)再置天元以二之以股率乘之得□□減於大勾餘□□為勾圓差於上(内有股率分母)又以二之天元減甲南行得□□為大差以乘上位得□□□為半段黄方冪(内寄股率分母)然後以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出南門東行七十二步而止甲從乾隅南行六百步望乙與城叅相直問答同前法曰云數相乘為平實甲南行為從二益隅得半徑草曰别得虛勾乗通股得半段圓徑冪此與虚股乗通勾同立天元一為半徑内減乙東行得□□為虚勾以乘甲南行得□□為半段徑冪(寄左)再以天元為冪又倍之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問或問乙出東門直行一十六步甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前法曰以乙東行乘甲南行冪為實二之乙東行乘甲行為從方亷空二步隅法得半徑草曰立天元一以為半城徑以二之加於乙東行得□□為勾率又以天元減甲南行得□□為股率乃置乙東行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此為小股此小股即半梯之頭也(内帶勾率分母)又以股率乗之(此股率即半梯之底也)得□□□為半徑冪(内帶勾率分母)寄左然後置天元冪以勾率通之得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前法曰二行步相乗為寳以南行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半徑以減於甲南行得□□為半梯底以乙南行三十步為半梯頭以乗之得□□為半徑冪(寄左)乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得一百二十步即半城徑也合問或問乙從艮隅南行一百五十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前法曰二行步相乗為實并二行步為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙南行得□□為半梯頭下以減於甲南行得□□為半梯底上下相乗得丨□□為半徑冪(寄左)乃以天元冪與左相消得下式□□上法下實如法而一得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙從艮隅東行八十步而立甲從乾隅南行六百步望見乙問答同前法曰二行步相乘又倍之為實二之乙東行為從一步常法得全徑草曰别得乙東行八十步即小差也立天元一為城徑減於甲南行步得□□為大差以乙東行步乘之得□□又倍之得□□為城徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行四百八步至樹問答同前法曰南行步冪内減兩段兩行相乘數為實二之南行步為從一步益隅得城徑草曰别得南行步内減城徑即小股也其斜行步即小弦也又二行相減即大差為股之勾也立天元一為圓徑以減南行步得□□為股圓差也(合為小股)置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此為大弦(内帶小股分母)再置南行步以小股乗之得□□為大股(亦帶小股分母)以大股減大弦得□□為小差也合以大差乘之縁於内帶大差分母更不湏乘便以為半段黄方冪(更無分母)又二之得□□為一段黄方冪(寄左)然後以天元冪為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問依前問假令乙出南門東行不知步數而立甲從乾南行六百步望乙與城相直復就乙斜行四百八步(按此)(即前問以明又法)法曰二行差冪乗甲南行為實二之二行差以乗南行步為益方二之二行差為隅得半徑草曰識别得二行相減即半城徑與乙東行共也得此數更不須用斜立天元為半徑減於二行差一百九十二得□□即半梯頭也又以二天元減甲南行步得□□為股率又以一百九十二為勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此為大勾(内寄股率分母)再置天元以股率乘之得□□以減於大勾得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半城徑冪(内寄股率分母)寄左然後以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步見樹復向樹斜行五百一十步至樹問答同前法曰二行差步乘甲南行步為實二行之差步併甲南行步為從二益隅(若欲從簡上下俱折半)草曰别得二行相減數即虚積之股也立天元一為半徑内減二行之差步得□□為梯頭於上又以天元減於甲之南行步得□□為梯底上下相乗得□□□為圓徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得□□□開平方得一百二十步即城徑也合問或問乙出東門直行不知步數而立甲從乾隅南行六百步望見乙復就乙斜行五百四十四步與乙相㑹問答同前法曰以二行步相減乘甲南行步得數又半之南行步以乘之為實以二行差乘南行步於上又以半之南行步乘南行步加於上為從方二之南行步為益亷一步常法得半徑草曰别得二行相減即半徑上勾股較(此股即半徑也)又别得是大勾圓差不及平弦數立天元一以為半城徑以減南行步得□□為中股其斜行步即中弦也乃立半城徑以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此為平弦(内帶中股分母)又以二行步相減餘五十六步為勾圓差不及平弦數置此數以中股乗之得□□復以減平弦餘得□□為小差(内帶中股分母)乃以二天元減甲南行步得□□為大差又半之得□□以乘小差得□□□為半徑冪(寄左)然後以天元自乗又以中股通之得□□□為同數與左相消得丨□□□開立方得一百二十歩倍之即城徑也合問(翻法在記)或問甲乙二人俱在乾隅乙東行不知步數而立甲南行六百步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相會問答同前法曰以二行差乘二行併開平方得數内復減二行差得全徑草曰别得二行相減即勾圓差也先求大勾立天元一為大勾以二行相減餘八十步以乘二行相併數一千二百八十步得□為勾冪開平方得三百二十步即大勾也大勾内減去勾圓差餘二百四十步即城徑也合問或問南門外不知逺近有樹甲從乾隅南行六百步望樹與城㕘相直復就樹斜行二百五十五步至樹問答同前法曰倍二行相減數内減甲南行得數復以乘甲南行為實倍二行相減數為從二步益隅得半徑草曰識别得斜行步乃是樹至城心之數也立天元一為半徑加斜行步得□□為樹至城北門之步也乃以減於甲南行得□□為小股率其天元半徑即小勾率其斜步即小弦數也再置甲南行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小股率得□□即梯頭也復以乘上位得□□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得一百二十歩倍之即城徑也合問或問東門外不知步數有槐樹一株甲從乾隅南行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了一千一百四十四步乙從艮隅東行望見槐樹與城相直復斜行至槐樹下乙自云我東行少不及斜行五十六步問答同前法曰甲斜行減於甲南行以乘甲南行得數復以乘二之甲南行為實半之甲南行以乘二之甲南行於上甲斜行減於甲南行餘復以乘甲南行又倍之加上位為從方二之甲南行為益亷五分隅法(按五分隅法即)(半箇立方)草曰識别得五十六步是小差不及平弦數(此小差即勾圓)(差也)又為平弦上勾股差又為甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位減五十六步而半之得五百四十四步即今弦也立天元一為圓徑以半之減於甲南行步得□□為中股其斜行五百四十四步即中弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此為平弦(内寄中股分母)又置勾圓差不及平弦數以中股乘之得□□復以減於平弦□□為小差(内帶小股分母)又以天元減甲南行倍之得□□為兩个大差以乘小差得□□□為圓徑冪(寄左)然後以中股乘天元冪得下式□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問(翻法)(在記)或問出東門向南行不知步數有柳樹一株甲從乾隅南行六百步望見柳樹而止乙出東門直行不知步數望柳樹與甲相直却斜行三十四步至柳樹下問答同前法曰乙斜行乘甲南行數以乗甲南行冪為實斜行乗甲南行冪又三之為從方甲行冪内減兩段斜行南行相乘數(按甲南行内減二之乙斜行以甲南行乘之)為第一亷二之南行步為第二益亷二步常法得半徑草曰立天元一為半徑以二之減甲南行得□□為大差以自之得□□□為大差冪加於南行冪得□□□又半之得□□□為大弦也内帶大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大弦除不除便以此為小股也(内帶大弦分母)乃以天元減甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母縁别寄大弦分母元帶大差分母故又用大差分母□□乘上半徑冪得□□□為帶分半徑冪也所帶之分謂只帶大弦分母也(寄左)然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百二十步即半城徑也合問按此條寄分内又帶寄分則以所帶之分乘本條仍以寄分乘次條者蓋寄分為應除本條之數而寄分内所帶之分又為應除寄分之數今不除寄分而乘本條則猶是寄分乘次條之理也乗除之變至斯而極矣又法置甲南行冪於上又置甲行冪半之以乗上位為實以斜行乗甲行冪倍之於上位又以甲行再自乗加上位為益方置甲行冪於上以斜行乗甲南行倍之以減上位為第一亷甲南行步為第二亷半步常法得股圓差草曰立天元一為股圓差(即大差)以自之為冪以加甲南行冪得丨□□半之又以天元除之得□□□為大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大弦除不除便以為小股(内寄大弦分母)乃以天元加甲南行步得□□為全梯底也以乗小股半梯頭得□□又倍之得□□為城徑冪(内寄大弦為母)寄左置天元大差減甲南行餘□□為圓徑以自之得丨□□又以大弦分母乗之得□□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得三百六十步即股圓差也以股圓差減甲南行餘二百四十步即城徑也合問或問甲從乾隅南行六百步而止丙出南門直行乙出南門東行各不知步數而立甲望乙丙悉與城㕘相直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹問答同前法曰以甲南行步再自之於上以斜行步乘甲南行冪又倍之減上位為立方實南行步自之又四之於上以斜步乗甲南行又倍之減上位為益從六之甲行步為從亷四步虚常法得半徑草曰立天元一為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也乃置甲南行冪内加大差冪而半之得□□□為大弦也(内寄大差)(分母)又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□為大勾也(亦帶大差分母)乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大弦除不除便以此為小勾内帶大弦為母(其大)(勾内元有大差分母不用)即半梯頭也(寄上位)再寄天元半徑以大差乘之得□□以減於大勾得□為半梯底也以乘上位得□□□為半徑冪也(内帶大差及大弦為母)寄左然後置天元冪以大差通之又以大弦通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問依前問假令南門外有樹乙出南門東行不知步數而立(只云乙東行步少於樹去城步)甲從乾隅向南行六百步望樹與乙悉與城㕘相直乙就樹斜行一百五十三步至問答同前法曰以斜行步乗甲行冪為立方實以甲行冪半之於上以斜行步乘甲行步減上位為益從亷空五分隅得大勾大弦差草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立天元一為股圓差以自之為冪副之上以加甲南行冪而半之得□□□為大弦也(寄大差分母)下以減於甲南行冪而半之得下式□□□為大勾也(寄大差分母)乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大弦除不除便以此為小勾(寄大弦分母)又置斜步以甲南行乗之得□合以大弦除為小股不除而又以同母分通之得□○為同分小股也(内只寄大弦分母)注(大股乘時無大差分母故今通之以)(齊大勾上所有大差分母也)又置斜步以大弦通之得□□□為通分小弦也三位相併得□□為股圓差(寄左)然後置天元大差以大弦分母通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行步即城徑也合問或問東門外不知步數有樹甲從乾南行六百步而止乙出北門東行斜望樹及甲與城㕘相直却就樹斜行一百三十六步問答同前法曰二行步相乘於上又半甲南行乘之為實二行相乗於上又半甲南行以乘甲南行加上位為益從甲南行為從亷一步益隅開立方得半徑草曰立天元一為半徑便以為小股其斜行步即小弦也乃以甲南行為大股以小弦乘之復以天元除之得□□即大弦也又倍天元減甲南行餘□□為大差以減大弦餘□□□為大勾也又倍天元以減勾得□□□為小差也却以半大差□□乘之得□□□為半徑冪(寄左)乃以天元冪相消得下式丨□□□開立方得一百二十步即半徑合問或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳二樹相去二百八十九步有人從乾南行六百步而止斜望槐柳與城㕘相直問答同前法曰云數相乘得又自增乗為三乗方實斜步冪乘南行步又云之為益從二云數相乘又倍之(按此下脫内減)(斜步冪五字)為益亷二之斜步為第二從亷二法常法得槐至城心步草曰别得槐樹至城心步即人所止至槐樹步也乃立天元一為槐樹至城心步(即人至槐處)加於斜步得□□為邊弦也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此為邊股(寄斜步分母)又以斜步乗南行步得□為大股以邊股減之餘□□□為半城徑(寄斜步分母)以自之得丨□□□□為半徑冪(内帶斜步為母)寄左又以天元減斜歩得□□為□弦以天元乘之得□□○合斜步除不除寄為母便以此為半梯頭以邊股半梯底乗之得□○□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得二百五十五步即槐樹至城心之步也亦為皇極正股又自之得數以減斜冪餘如平方而一得城心至柳樹步又為皇極正勾也勾股相乘倍之為實如斜步而一即城徑也合問或問甲從乾南行六百步而立乙出南門直行丙出東門直行三人相望俱與城相直而乙丙共行了一百五十一步問答同前法曰甲南行為冪折半又以自之為實倍共步加甲南行以乘半段甲行冪為從方甲行乘共數為從亷一个半甲南行為第二益亷二分五釐為三乘方隅草曰識别得共步加城徑即皇極和也又是半徑為勾之弦與半徑為股之弦相和步也二之此數内減去大弦即皇極勾股内黄方面也亦為太虚弦乃立天元一為大差以自之副置二位上位減於甲行冪以天元除之又折半得□□□為大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□為大弦也其甲南行即大股也併勾大股得下式□□□即大和也再以天元減甲南行得□□即圓徑也加共步得□□即皇極和又是半徑為勾之弦及半徑為股之弦共數也又倍之得□□即全徑為勾之弦及全徑為股之弦共數也内減大弦得□□□即小和内黄方面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此為大黄方也(内寄小和)(為母)寄左然後以天元減甲南行得□□為大黄方以小和乗之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得三百六十步即股圓差也以股圓差減於甲南行餘二百四十步即城徑也合問或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅南行六百步斜望乙丙悉與城叅相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前法曰以斜步乘甲南行冪又倍之為實倍甲行冪於上又以斜步乘二之甲南行加於上為從方四之甲南行為益亷四步常法開立方得半徑草曰别得斜步為小弦也以斜步減圓徑餘為小和也乃立天元為半徑以二之減於甲南行得□□為大差也以自之得□□□為大差冪也置甲南行冪□内加大差冪而半之得□□□為大弦也(内帶大差為分)(母)又置甲南行冪内減大差冪而半之得□□○為大勾也(帶大差分母)又以大差乘股六百步得□□併入大勾得□□□為大和也(帶大差分母)乃先以小弦乘大和得下式□□□寄左又以倍天元減斜步得□□為小和以乘大弦得□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半徑也合問依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立(只云丙行步多於乙行步)甲從乾隅南行六百步望乙丙與城叅相直乙復斜行就丙行了一百二步與丙相㑹問答同前法曰以斜步乘甲行冪又倍之為立方實甲行冪内加斜行南行相乗數為從方甲南行為益亷半步為隅得全徑草曰别得相就步即小弦也小弦得小和為直徑也立天元一為城徑以減於甲南行步得□□為大差以自之得丨□□為太差冪也置甲南行步以自之為冪副之上以加大差冪而半之得□□□為大弦也(内寄大差分母)下以減大差冪而半之得□□○為大勾也(内寄大差分母)乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大弦除不除寄為母便以此為小勾也寄大弦母又置斜步(即相就步也)以甲南行乘之得□合以大弦除之不除寄為母便以此為小股而又以元分母大差乗之得□□為同分小股也只寄大弦為母(其大勾内元有大差)(分母其大股内却無分母故今乘過復以大差通之齊分母也)又置斜行步以大弦通之得□□□為小弦也上三位相併得□□為城徑也(内寄大弦分母)寄左然後置天元以大弦通之得□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問測圓海鏡卷五
## 卷六
欽定四庫全書測圓海鏡卷六元 李冶 撰大勾一十八問或問乙從東門直行一十六步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前法曰甲東行内減二之乙南行復以乘甲東行為實四之東行内減二之乙東行為從四益隅得半徑草曰立天元一為半徑以二之加乙東行得□□為中勾以中勾減於甲東行得□□為勾率也其天元半徑即股率也置甲東行為大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此為大股(内帶勾率分母)再置天元以二之以勾率乗之得□□減於大股餘□□為股圓差於上(内有勾率分母)又以二之天元減甲東行得□□為小差以乗上位得□□□為半段黄方冪(内有)(勾率分母)寄左然後以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出東門南行三十步而立甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅相直問答同前法曰甲乙相乘為實甲東行為從二虚法得半徑草曰識别具見大股第二問中立天元為半徑内減乙南行得□□為虚股以乘通勾甲東行得□□為半段城徑冪(寄左)然後以天元自之又就分二之得□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出南門直行一百三十五步而立甲從乾隅東行三百二十步望見乙問答同前法曰以乙南行乘甲東行冪為實二之乙南行乘甲東行為從方亷空二步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以二之加於乙南行得□□為股率以天元減甲東行得□□為勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此為小勾此即半梯之頭(内帶股率分母)又以勾率乘之得□□□為半徑冪(内𢃄股率分母)寄左乃以股率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□○□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙出南門東行七十二步甲從西北隅取直行三百二十步見乙問答同前法曰二行相乘為實以東行為從一步常法得半徑草曰立天元一為半城徑以減甲東行步得□□為梯底以乙東行七十二步為梯頭以乘之得□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得丨□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問乙從西南隅直東行一百九十二步甲從西北隅直東行三百二十步望見乙問答同前法曰二行步相乘為實二行相併為法得半徑草曰立天元一為半徑副置之上以減於乙東行得□□為梯頭於上下位減於甲東行得□□為梯底以乘上位得丨□□為半徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得□□上法下實即半徑也合問或問乙從坤隅直南行三百六十步而止甲從乾隅直東行三百二十步望見乙問答同前法曰二行步相乗倍之為實二之甲東行為從一步常法得城徑草曰立天元一以為城徑加一南行得□□為股二行步相併得六百八十步為弦甲東行為勾勾股相乘得□□又倍之得□□為二直積(寄左)然後以勾股弦相併得□□為三事和以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問東門南不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百七十步至樹問答同前法曰兩段東行步冪内減兩段東行斜行相乗數為實(按或云倍東行步以二行差東之亦同)二之東行為從一益隅得城徑草曰别得東行步即大勾斜行步即小弦也乃立天元一為城徑減東行步得□□為勾圓差也(今為小勾)置東行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此為大弦(内帶小勾分母)再置東行步以小勾乘之得□□為大勾以減大弦得□□為大差合以小差乗之(縁内帶小差分母)更不湏乗便以此為半段黄方冪(更無分母)又二之得□□為一段黄方冪(寄左)然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問依前問假令乙出東門南行不知步數而止甲從乾東行三百二十步望乙與城相直復就乙斜行一百七十步法曰以甲東行乘二行差冪為實以甲東行乘二之二行差為從方二之二行差為隅法得半徑草曰識别得二行相減餘一百五十即半城徑與乙南行共數也得此數更不湏用斜立天元一為半徑減於二行差得□□即半梯頭也又以二天元減甲東行步得□□為勾率又以一百五十為股率乃置甲東行以股率乘之得□合勾率除不除便以此為大股(内寄勾率分母)再置天元以勾率乘之得□□以減於大股得□□□為半梯底也頭底相乘得下□□□□為半徑冪也(内帶勾率分母)寄左然後以勾率乘天元冪得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問南門東不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步見樹復向樹斜行二百七十二步至樹問答同前法曰二之二行差乘二之甲東行為實併二之二行差及二之甲東行為從二步益隅得城徑草曰别得二行相減餘四十八步即虚積之勾也立天元一為城徑内減二之二行差得□□為梯頭於上置甲東行步以二之内減天元得□□為梯底以乘上位得□□□為城徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲從乾隅東行三百二十步而止乙出南門直行不知步數望見甲復就甲斜行四百二十五步與甲相㑹問答同前法曰二行步相減以乘東行冪得數半之為實以半之東行步乗東行步於上二行步相減餘乗東行步減上位為從二之東行步為益亷一步常法得半徑草曰識别得二行相減是髙積上勾股較(此勾即半徑也)又别得是髙弦不及股圓差數乃立天元為半城徑以減東行步得□□為中勾其斜行步即中弦也又置半城徑以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此為髙弦(内寄中勾為母)又以二行步相減餘一百五步為髙弦不及股圓差數置此數以中勾乘之得□□加入髙弦得□□為大差於上(内帶中勾分母)又倍天元減東行步得□□為小差又半之得□□以乘上位得□□□為半徑冪(内有中勾分母)寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□為同數與左相消得□□□□以立方開得一百二十步倍之即城徑也合問或問甲乙二人俱在乾隅乙直南行不知步數而立甲直東行三百二十步望見乙復就乙斜行六百八十步與乙相㑹問答同前法曰以二行差乘甲東行步又二之為實以二之二行差為從一步常法得城徑草曰别得二行步相減餘三百六十步即股圓差也乃立天元一為圓徑以減於甲東行步得□□為小差以東行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□為一段城徑冪(寄左)乃以天元冪與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問東門外不知逺近有樹甲從乾隅東行三百二十步望樹與城叅相直復就樹斜行一百三十六步至樹問答同前法曰倍二行相減數内減甲東行得數復以乘甲東行為實(按或云倍斜步以減甲東行餘以甲東行乗之亦同)倍二行差為從二步虚常法得半徑草曰識别得斜行步乃樹至城心步也立天元一為半徑加斜行步得□□即樹至城西門之步也乃以減於甲東行得下□□為小勾率其天元半徑即小股率其斜步即小弦數也再置甲東行步内減天元得□□為梯底於上又置梯底内減二之小勾率得□□(按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元減梯底之少一元反為多一元以三百六十八)(步減梯底之三百二十步反為少四十八步也)以乘上位得□□□為半徑冪乃以天元冪與左相消得下式□□□以平方開之得一百二十步倍之即城徑也合問或問南門外不知步數有槐一株甲從乾隅直東行至柳樹下望見槐樹復斜行至槐樹下甲自云我共行了七百四十五步乙從坤隅南行望見槐柳與城叅相直復斜行至槐樹下乙自云我南行步多於斜行步一百五步按此問下有草無法今依細草補之法曰置甲共步内減乙較步餘數折半自之再倍乙較步乗之為立方實置上減餘折半數又減二之乙較步復以減餘折半數乗之為從甲共步内減乙較步為亷五分為負隅開立方得城徑草曰識别得一百五步是大差多於髙弦數又為髙弦上勾股差數又别得是甲斜行多於東行數也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位減一百五步而半之得三百二十步即甲東行也乃立天元一為圓徑以半之減於甲東行步得□□為中勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以半之為小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便以為髙弦於上(内𢃄中勾分母)别置乙多步一百五步以中勾乘之得□□為大差多於髙弦數也以加入上位得下式□□為一个大差也置甲東行以天元減之又倍之得□□為二个小差以乗大差得下□□□為一段黄方冪(内帶中股分母)寄左然後置天元冪丨□以中勾通之得□□□與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問或問出東門直行不知步數有槐樹一株出南門東行不知步數有柳樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從乾東行三百二十步望槐柳與城㕘相直問答同前法曰二行相乘訖又以乗甲東行冪為實斜行乗甲東行冪又三之為從方甲東行冪内減兩段二行相乘數為第一亷二之甲東行為益二亷二步常法開三乗方得半徑草曰立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差以自之得□□□加於甲東行冪復半之得□□□為大弦(内寄小差分母)又置斜相距步以大勾乘之得□合大弦除不除便以此為小勾(内𢃄大弦分母)乃以天元減甲東行數得□□為半梯底以乘小勾半梯頭得□□為半徑冪於上此半徑冪内有大弦分母此大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乗上半徑冪得□□□為半徑冪也内𢃄本大弦分母(寄左)然後以大弦乘天元冪得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得一百二十步即半城徑也合問或問甲從乾隅東行三百二十步而止丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲廻望乙丙悉與城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹問答同前法曰甲東行再自之於上以二之斜行步乘甲東行冪減上位為立方實兩段南行冪内減東行斜行相乘數為益從以甲東行加五(按加五即加半)為從亷五分虚隅得全徑草曰立天元一為城徑以減於甲東行步得□□為小差以自之得丨□□為小差冪也乃置甲東行冪内加小差冪而半之得□□□為大弦也(内帶小差分母)又置甲東行冪乃減小差冪而半之得□□○為大股也(内帶小差分母)乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大弦除之不除而又倍之得□□為梯頭也(即兩个小)(股内寄大弦為母權寄)乃置天元圓徑以半之以小差分母通之得□□以減於大股餘得□又倍之得□為梯底也(即兩个邊股内亦有小差分母)以乘權寄得□□□為城徑冪也(内寄大弦及小差分母)寄左然後以天元自之為冪以大弦通之又以小差通之得□□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問依前問假令東門外有樹乙出東門南行不知步數而立(只云樹去城步少於乙南行步)甲從乾隅向東行三百二十步望乙與樹悉與城叅相直乙復就樹斜行三十四步到樹問答同前法曰甲東行自之又以斜步乘之為立方實置半段甲東行冪於上以斜步乗甲東行減上位為從亷空半步常法得勾圓差草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股弦較也乃立天元一為勾圓差以自之為冪副之上以加於甲東行冪而半之得□□□為大弦也(寄小差分)(母)下以減於甲東行冪而半之得□□□為大股也(寄小差分母)乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除不除便以此為小股(寄大弦分母)又置斜步以甲東行乗之得□合大弦除不除便以此為小勾而又以通母分通之得□為同分小勾也(寄大弦分母)注(大股乘時有小差分母今)(大勾無母故又以齊同之)又置斜步以大弦通之得□□□為同分小弦也三位相併得□□為勾圓差也(寄左)然後置天元以大弦通之得□○□為同數與左相消得□○□□開立方得八十步即勾圓差也以勾圓差減於甲東行步餘二百四十步即城徑也合問或問南門外不知步數有樹甲從乾東行三百二十步而立乙出西門便南行望樹及甲與城叅相直却就樹斜行二百五十五步至樹問答同前法曰二行相乘於上以半之甲東行乗之為實二行相乘於上又半之甲東行以乘甲東行加上位為益從甲東行為從亷一步虚法開立方得半徑草曰立天元一為半徑便以為小勾其斜行即小弦也乃以甲東行為大勾以小弦乘之復以天元除之得□□即大弦也又倍天元減東行餘□□為小差以減大弦餘□□□為大股也又倍天元以減股餘□□為大差也却以半小差□□乗之得下式□□□為半徑冪(寄左)乃以天元冪與左相消得丨□□□開立方得一百二十步倍之即城徑也合問或問南門外不知步數有槐樹一株東門外不知步數有柳樹一株槐柳相距二百八十九步甲從乾東行三百二十步斜望槐柳與城叅相直問答同前法曰二行相乗得數又自增乘為實斜行冪乘甲東行又倍之為益從兩行相乘又倍之為益亷二之斜步為第二亷二步常法開三乘方得栁至城心步草曰别得柳至城心步即甲立處柳樹步也立天元一為柳至城心步加斜步得□□為底弦以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此為底勾(寄斜步分母)乃再置通勾以斜步乘之得□為帶母通勾内減底勾餘□□□為半徑以自之得丨□□□□為半徑冪内帶斜步冪分母(寄左)乃以天元減斜步得□□為明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此為半梯頭(寄斜步為母)復以底勾半梯底乘之得□□□□為同數與左相消得□□□□□開三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合問或問甲從乾隅東行三百二十步而立乙出城東行丙出城南行三人相望俱與城相直乙丙共行了一百五十一步問答同前法曰以甲東行為冪折半又以自之為三乘方實倍共步加甲東行以乗半段甲行冪為從方甲行乗共數為從亷甲東行加五為第二益亷二分五釐常法得小差草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一為小差以自之副置二位上位減於甲東行冪以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行冪以天元除之又折半得□○□為大弦也其甲東行即大勾也併大勾大股得□□□即大和也再立天元以減甲東行步得□□即圓徑也以圓徑加共行步得□□即皇極和也(即小和又為髙弦平弦共數)又倍之得□□即黄長弦黄廣弦共也内減大弦得下式□□□為皇極内小黄方也(亦為虚弦)再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以為城徑内寄小和為母(寄左)然後天元減甲東行得□□為大黄方以小和乘之得丨□□為同數與左相消得□□□□□開三乗方得八十步即小差也以小差減甲東行餘二百四十步即城徑也合問或問丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從乾隅東行三百二十步望乙丙悉與城㕘相直乙就丙斜行一百二步相㑹問答同前法曰甲東行自之於上倍斜行步乘之為立方實倍斜行步乘甲東行於上加兩段甲東行冪為從四之甲東行為益亷四為隅法得半城徑草曰别得斜步即虛弦減於全徑即小和也乃立天元一為半徑以二之減於甲東行得□□為小差也以自之得□□□為小差冪也置甲東行冪内加小差冪而半之得下□□□為大弦(内帶小差分母)置甲東行冪内減小差冪而半之得□□為大股也内亦帶小差為母又以小差乘大勾得□□併入大股得□□□為大和也(帶小差母)乃先以小弦乗大和得下□□□寄左次以斜步減於二天元得□□為小和以乗大弦得下式□□□□為同數與左相消得□□□□開立方得一百二十步即半城徑也合問依前問假令乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立(只云丙行多於乙行步)甲從乾隅東行三百二十步望乙丙與城㕘相直其乙丙共行一百二步問答同前法曰倍共步以乗甲東行冪為立方實共步乗甲東行於上又以甲東行自之加上位為益從甲東行為從亷五分隅常法得城徑草曰别得共步便為小弦得小勾小股即與圓徑同立天元為城徑以減乙東行得□□為小差以自之得□□□為小差冪也乃置甲東行以自之為冪副之上以加小差冪而半之得□□□為大弦也(内寄小差)(分母)下以減小差冪而半之得□□○為大股也(内寄小差)(分母)乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不除便以此為小股也(寄大弦分母)又置共步以甲東行乘之得□合以大弦除不除便以此為小勾而又以元分母小差乘之得□□為同分小勾(只寄大弦分母)注(其大弦内)(元帶小差分母其大勾内却無分母故母故今復以小差通之齊同其分母也)又置共步以大弦通之得□□□同分小弦也三位相併得□□為城徑也(内有大弦分母)寄左然後置天元城徑□以大弦分母通之得□□□○為同數與左相消得□□□□開立方得二百四十步即城徑也合問測圓海鏡卷六
## 卷七
欽定四庫全書測圓海鏡卷七元 李冶 撰明□前一十八問或問出南門東行七十二步有樹出東門南行三十步見之問答同前法曰倍南行以乘倍東行為平實併二行又倍之為從一虚隅得城徑草曰識别得此問名為弦外容圓又為内率求虚積其二行步相併為虚弦若以相減即虚較也又倍東行為弦較和倍南行即弦較較此二數相乘則兩虚積也若直以二行相乘則半个虚積也又倍東行減於城徑餘即二虚勾也倍南行減於城徑則二虚股也虚積上三事和即城徑也乃立天元一為圓徑便以為三事和也倍二行步減之得□□為黄方一天元乘之得□□為二虚積(寄左)然後倍東行以乗倍南行得八千六百四十為同數與左相消得丨□□益積開平方得二百四十步即城徑也合問又法二行步相乘為實二行步相併為從一步虛法得半徑草曰立天元一為半徑副置二位上加東行步得□□為大差勾下加□股得□□為小差股此二數相乘得下式丨□□為半段黄方冪(寄左)然後立天元以自之又二之與左相消得丨□□益積開平方得一百二十步即半城徑也又法二云數相乘倍之於上加云數差冪權寄併二云數又自增乗得數内減上位為平實併云數而倍之為從二步益隅得半徑草曰立天元一為半徑副之上減明勾得下□□為虚勾下減□股得□□為虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差冪□得□□□為弦冪(寄左)然後併云步以自之得□為同數與左相消得□□□益積開平方得一百二十步即半城徑也又法云數相乘又倍之為平實云數相減為從一常法得虚勾草曰立天元一為虚勾以南行減東行餘四十二步為虚較也以虚較加天元得丨□為虛股以天元乘之得下丨□為直積(寄左)然後倍南行乘東行得□與左相消得丨□□開平方得四十八步即虚勾也以勾除積得九十步即虚股也併勾股得□為虚和也内加入二行併□得□即圓徑也又法併兩行步以自乘於上又倍南行乘倍東行加上位為平實一隅法得小和草曰立天元一為小和併二行步加之得□□為三事和也倍二行步而併之得□以減三事和餘□□為黄方却以三事和乘之得下丨□□為二虚積也(寄左)乃倍南行以乘倍東行得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城徑也合問或問丙出南門直行一百三十五步而立甲出東門直行一十六步見之問答同前法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六萬零三百七十五於上又以甲行步一十六乘丙行冪一萬八千二百二十五得二十九萬一千六百以乘上位得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之數得一百六億二千八百八十二萬為益從第一亷空以甲行乘丙行冪得二十九萬一千六百又倍之得五十八萬三千二百於上四之甲行冪一千零二十四以乘丙行步得一十三萬八千二百四十減上位餘四十四萬四千九百六十為第二亷二行步相乘得二千一百六十為虚常法得丙行步上勾弦差八十一按法中載數自此始亦擇其數繁者詳之使人易曉也草曰識得二數相併以減於皇極弦餘即虚勾虛股併也若以二數相減餘為髙弦内減平弦又為皇極弦内少个小差弦又為大差弦内減个皇極弦也立天元一為丙行大差數置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□為勾弦併也上減天元得□□□為二丙勾也復用丙南行乘之得□□□為二積也又以天元除之得□□○□為丙勾外容圓徑(泛寄)别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此為甲股(内寄二丙勾為分母)復用二甲勾三十二乘之得□為二个甲直積也又置丙南行内減天元得□□為黄方以自乘得丨□□為丙上勾弦差乘股弦差二段以天元除之得□□□為两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□復用丙南行除之得□□□又折半得□□□為一个甲步股弦差也内亦帶前二丙勾分母復置二个甲直積内已寄此甲股弦差分母便為甲步股外容圓徑(寄左)乃再置先求到泛寄(按即前所寄□□○□之數)用甲股弦差分母乘之得□□○□□為同數與左相消得下式□□○□□開三乗方得八十一步即丙步上勾弦差也鈐經載此法以勾弦差率冪減丙行差冪復以丙行乘之為實以差率冪為法如法得徑此法只是以勾外求容圓半合以大差除陪積而今皆以大差冪為分母也依法求之勾弦差八十一自之得六千五百六十一以減於丙行冪一萬八千二百二十五餘一萬一千六百六十四復以丙行一百三十五乘之得一百五十七萬四千六百四十為實以大差冪六千五百六十一為法如法得二百四十步即城徑也又法二行相乘得數又自之為三乘方實併二行步以乗二行相乘數又倍之為從二行相併數以自乘於上又二行相減數自乗減上位為第一亷第二亷空一益隅益積開之得半徑(其第一亷只是四段二行相乗數)草曰立天元一為半城徑副置之上加南行步得□□為股下位加東行步得□□為勾勾股相乘得丨□□為直積一段以天元除之得丨□□為弦以自之得丨□□□□為弦冪(寄左)乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相併得□□□為同數與左相消得丨○□□□益積開三乘方得一百二十步即半城徑也又法條段同前草曰以前求得勾股率置出南門步為小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄為母便以此為半梯頭於上又置南行步加二天元得□□為大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄為母便以此為梯底以乘上位得□□□□為半徑自乘數内帶股率冪為母(寄左)然後置天元以自之又以股率冪乘之得下丨□□□為同數與左相消得數一如前答又法以二行差冪數自乗又倍之為實併二行步以乘二行差冪又四之為益從四段南行冪内減二段差冪於上又二段差冪内減四段東行冪餘以減上位(按併二行冪減二行差冪四因之亦同)為第一亷四之二行共為第二亷二步虚法益積開之得皇極弦二百八十九草曰立天元一為皇極弦以自之為弦冪於上以二行步相減餘□以自之得□為較冪以減上得丨□□為二直積復以天元除之得□○□為一个城徑也副置之上位加二之東行步得□□□為二勾也以自增乘得丨□□□□為四段勾冪於上下位加二之南行得□□□為二股也以自增乘得丨□□□□為四段股冪也併入上位得下式□□□□□為四段弦冪(寄左)然後以天元為冪四之為同數與左相消得下式□□□□□益積開三乘方得二百八十九步即皇極弦也 欲見城徑者别立天元半徑副之加東行為勾加南行為股勾股各為冪併之與弦冪相消開方得城徑也又法以二行差一百一十九自乘得一萬四千一百六十一為差冪以東行步乘之得二十二萬六千五百七十六為汎率又自增乗得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為五乘方實倍東行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八為小汎以乘泛率又倍之得一十七億二千五百六十○萬二千八百一十六為從方併兩行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二萬五千九百五十二於上位以小泛冪一千四百五十萬○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二萬六千八百一十六為第一亷併兩行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五萬○○一十六為寄數倍二行差以乘差冪得三百三十七萬零三百一十八内減寄數餘二百二十二萬零三百零二為第二亷六段二行差冪八萬四千九百六十六内減二行併數冪二萬二千八百一餘六萬二千一百六十五為第三益亷六之二行差七百一十四為第四益亷二步虚法得□弦三十四步草曰立天元一為皇極弦上股弦差(即東行步上斜也亦謂□斜)以元加二行差得□□即明弦也(此即皇極弦上勾弦差也)以天元乗之又倍之得□□□即皇極内黄方冪也(泛寄)置皇極弦上勾弦差以東行步乘之得□□以天元除之得□□為明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明弦除不除寄為母便以此為□股於上(寄明弦母)乃再置明勾以明弦乘之得□□□亦為帶分明勾加入上位得□□□即是一个虚弦也以自增乘得下式□□□□□為一段虚弦冪也内帶明弦冪分母(寄左)然後置明弦以自之得丨□□為明弦冪以乘泛寄得□□□□為同數與左相消得下式□□□□□□□開五乗方得三十四步為東行步上斜步也(即□弦)其東行十六步即□勾也勾弦各自為冪以相減餘九百步開方得三十步即□股也既各得此數乃以股外容圓半法求圓徑得二百四十步即城徑也合問按此草又法求□弦至開帶縱五乘方法愈繁數愈賾而天元一之用愈見其妙苐所得帶縱五乘方亷隅積數雖具而未習其法者不能信其數之必然今姑取已得之□弦數按亷隅數推其積數以明其數之無可疑焉置五乘方數二以□弦三十四乘之得六十八與四乘方數七百一十四相加得七百八十二又以□弦乘之得二萬六千五百八十八與三乘方數六萬二千一百六十五相加得八萬八千七百五十三又以□弦乘之得三百零一萬七千六百零二與立方數二百二十二萬零三百零二相加得五百二十三萬七千九百零四又以□弦乘之得一億七千八百零八萬八千七百三十六内減所少平方數八千二百九十二萬六千八百一十六餘九千五百一十六萬一千九百二十又以□弦乘之得三十二億三千五百五十萬零五千二百八十内減所少元數十七億二千五百六十萬零二千八百一十六餘十五億零九百九十萬零二千四百六十四又以□弦乗之得五百一十三億三千六百六十八萬三千七百七十六為積數與草中積數合(此即無次商帶縱五乘方)(法)或問出東門一十六步有樹出南門東行七十二步見之問答同前法曰二行步相減得數以自之於上又以出東門步自之減上位為平方實二之出南門東行步為益從一步常法翻開得半徑草曰别得人到樹即平弦也半圓徑即平股也其東行七十二步則平勾平弦差也乃立天元一為半徑加一十六減七十二得□□為勾也以自之得丨□□為勾冪又加入天元股冪得□□□為弦冪(寄左)再立天元一為半徑加出東門步得□□即弦也以自之得丨□□為同數與左相消得□□□翻法開之得一百二十步即半城徑也合問或問出南門一百三十五步有樹出東門南行三十步見之問答同前法曰樹去城步内減南行步餘以為冪於上又以樹去城步為冪内減上位為平實倍樹去城步為從一虚隅翻法得半城徑草曰别得人距樹即髙弦也半圓徑即髙勾也其南行三十步即髙弦上小差也乃立天元一為半徑加樹去城步為弦内減小差□得□□即股也以自之得丨□□為股冪内加入天元冪得□□□為弦冪(寄左)再置弦□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□翻開得一百二十步即半城徑也合問或問乙出東門不知逺近而立甲出南門東行七十二步望見乙就乙斜行一百三十六步與乙相會問答同前法曰以斜行步自之於上以二行相減餘自為冪減上位為平實從空一步常法得半徑草曰别得七十二步即大差也斜行即弦半徑即股也立天元一為半徑以自之為股冪又以二行差六十四以自之得□為勾冪併二冪得丨□□為弦冪(寄左)然後以斜行步自之得□為同數與左相消得丨□□開平方得一百二十步倍之即城徑也合問或問甲出南門不知逺近而立乙出東門南行三十步望見甲却就甲斜行二百五十五步與甲相㑹問答同前法曰二行差自之為冪以減於斜行冪為平實一虚隅得半徑草曰别得南行步即股弦差也斜步即弦也半徑即勾也乃立天元一為半城徑以自之為冪以二行相減餘二百二十五以自之得□為股冪二冪相併得丨□□為弦冪(寄左)然後以斜行自之得□為同數與左相消得下丨□□開平方得一百二十步即半徑也合問或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步望見甲斜行一百二步相㑹問答同前法曰二行相乘四之於上又加入斜行冪為平實得虚和一百三十八草曰别得斜步内減南行為甲東行步也此問以弦外容圓入之以二行相減數乘乙南行三十步得□又四之得□為二直積也又加入斜步冪□共得□即和冪也平方而一得一百三十八步即虚和也又加斜步得二百四十步即城徑也合問或問乙出東門南行不知步數而立甲出南門東行七十二步望見乙斜行一百二步與乙相㑹問答同前法曰倍相減步以乘倍東行得數復以減於斜步冪餘為實平方而一得較也又以二行相減數乘倍東行為平實以較為從方得勾勾較共為長又以斜步併入勾股共即城徑草曰别得二行相減餘□為乙南行步也以此數又減於甲東行餘四十二步即較也乃以二行相減數□乘倍東行得□為平實以較為從平方開得四十八即勾也勾内加較得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城徑也合問或問乙出南門東行甲出東門南行兩相望見既而乙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十問答同前法曰半甲不及步以自之為冪半甲不及步内減云數差以自之為冪二冪相併内却減差冪為平實二之乙不及為益從三步半虚法得甲南行草曰别得乙不及為虚勾半徑共又為徑内減明勾也甲不及為虛股半徑共又為徑内減□股也又二云數相併為虚和圓徑共也云數相減即虚較也乃立天元一為甲南行以減於甲不及步又半之得□□為虚股也虚股内減虚較得□□為虚勾勾自之得□□□為勾冪也又股自之得下式□□□為股冪也二冪相併得□□□為弦冪(寄左)然後以天元加虚較得□□為乙東行又加入天元甲南行得□□為虚弦以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十步即甲南行也内加少步即城徑也合問或問丙出南門直行甲出東門直行兩相望見既而丙云我行少於城徑一百五步甲云我行少於城徑二百二十四步問答同前法曰二少歩相乘訖又自乗為實六之共步乘云數相乘數為益從十八之云數相乘數於上又三之共步自乘加上位内復減丙少步冪甲少步冪為從亷四十八之共步為益二亷六十三步常法翻法開三乗方得一百二十步即半徑草曰别得云數共減於倍城徑為甲丙共數又云數相減即皇極差亦為甲行不及丙行數立天元一為半城徑以三之副置二位上位減丙少步得□□為皇極股也下位減甲少步得□□為皇極勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□為弦也弦自之得□□□□□為弦冪(寄左)然後以股自之得下□□□為股冪於上又以勾自之得□□□為勾冪併以加入上位得□□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即半城徑也合問或問甲出東門直行丙出南門直行各不知步數而立乙望見甲就甲斜行了二百八十九步與甲相㑹其二直行共一百五十一步問答同前法曰斜冪内減共步冪為平實倍共步内減斜步為從一常法得徑草曰别得共數城徑併即皇極和也立天元一為圓徑加共步得□□為皇極和以自之得丨□□於上以斜行冪□減上位餘丨□□為二直積(寄左)然後以天元乘斜步得□□與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲出東門直行乙出東門南行丙出南門直行丁出南門東行各不知步數而立四人遥相望悉與城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百二步又云丙直行步多於甲直行步問答同前法曰共步距步相減得數自之於上以共步為冪内減上為平實二之距步内減共步距步差為從一步虚法得城徑草曰别得共步得城徑即皇極和也相距步即虚弦也皇極和内減虚弦即皇極弦也又共步距步差□即皇極弦内減城徑也(此名旁差)乃立天元一為城徑加共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上以共步距步差□加天元得□□為皇極弦也以自之得下式丨□□減上位餘得□□為二直積(寄左)然後以天元徑乘皇極弦得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復就甲斜行與甲相㑹乙通計行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲東行多於乙南行問答同前法曰倍不及步在地以不及步減通步以乗之為實以四之不及步為法得乙南行三十步草曰别得乙南行即□股也以減通步即虚弦也以減不及步即虚較也其不及步即甲東行也立天元一為乙南行置不及步以天元乘之又四之得□為二直積(寄左)然後倍不及步以為弦較和於上□以不及步減通步得□為弦較較以乗上位得□為同數與左相消得□□上法下實得三十步為乙南行也餘各以數求之又法别得通行步為兩个乙南行一个甲東行共也其不及步即東行步也云步相併即兩个虚弦相減即兩个乙南行也或問甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行望見甲復斜行與甲相㑹二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二(按甲不及乙六十步非一百三十二步當云甲行不)(及共步方合)問答同前法曰别得二行共即兩个虛弦也其不及步即乙南行與一虚弦共也置不及步内減一弦餘三十步即乙南行也以乙南行反以減虚弦餘七十二步即甲東行也以乙南行減甲東行餘即虚較也 此問無草按右二問語若淺近然以發明加減乘除相通之義最為深切集中倣此者可類推之或問乙出東門南行甲出西門南行甲望見乙斜行五百一十步相㑹乙云我南行少於城徑二百一十步問答同前法曰少步冪為平實四斜步内減二少步為益從五步常法得乙南行草曰别得少步為徑内減叀股立天元一為乙南行以二之減於倍斜行步得□□為梯底也以二之天元乘之得□□為徑冪(寄左)再置天元加少步得下式□□為城徑以自之得丨□□與左相消得□□□開平方得三十步即乙南行也加少步即城徑也合問或問乙出南門東行甲出北門東行甲望見乙斜行二百七十二步與乙相㑹乙云我東行不及城徑一百六十八步問答同前法曰以不及步冪之為實四斜内減二之不及步為虚從五常法平實開得乙東行七十二草曰别得不及步為城徑減明勾也立天元一為乙東行以倍之減於二之斜行步得下□□為梯底也倍天元乘之得□□為徑冪(寄左)再置天元加不及步得□□為城徑以自之得丨□□為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即乙東行也加入少步即城徑也合問或問乙出南門東行丁出東門南行却有甲丙二人共在西北隅甲向東行丙向南行四人遥相望見俱與城叅相直既而相㑹甲云我多乙二百四十八步丙云我多於丁五百七十步問答同前法曰二多步相乗為平實併二多步而半之為從七分半常法得城徑草曰别得甲多步為大勾内減明勾也丙多步為大股内少叀股也又乙東行得一虚勾為半徑丁南行得一虚股為半徑又二多數相併得□為大和内少虚弦也又二多數相減餘□為兩个角差又甲多步内減半徑即勾方差也丙多步内減半徑即股方差也立天元一為城徑以半之減於甲多步得□□為勾方差又以半徑減於丙多步得□□為股方差二差相乘得□□□為徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得下式□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行丙向南行又乙出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人遥相望見悉與城叅相直既而相㑹甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行六百三十步問答同前法曰甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪二冪又相乘為三乘方實甲乙共自之為冪以丙丁共乘之於上又以丙丁共自之為冪以甲乙共乘之加上位為益從甲乙共自之為冪丙丁共自之為冪併以七分半乘之於上又以甲乙共乘丙丁共得數減上位為第一益亷併二共數以七分半乘之為第二亷以七分半自之得五分六釐二毫五絲於上位以一步内減上位餘四分三釐七毫五絲為虚隅得城徑草曰别得甲為大勾乙為明勾丙為大股丁為叀股也甲乙共内減半徑即是黄長弦也丙丁共内減半徑即黄廣弦也黄長弦黄廣弦二數相減餘為兩个皇極差也乃立天元為城徑半之副置二位上以減於甲乙共數得□□即黄長弦也以自之得□□□為黄長弦冪也内減天元一冪餘得下式□□□為勾方差冪也下位以減於丙丁共得下式□□即黄廣弦也以自之得□□□為黄廣弦冪也内減天元一冪餘得□□□為殷方差冪也再以勾方差冪股方差冪相乘得□□□□□為徑冪(寄左)然後以天元為冪又以冪自之與左相消得下式□□□□□開三乘方得二百四十步即城徑也合問測圓海鏡卷七
## 卷八
欽定四庫全書測圓海鏡卷八元 李冶 撰明叀後一十六問或問出南門向東有槐樹一株出東門向南有柳樹一株丙丁俱出南門丙直行丁往至槐樹下甲乙俱出東門甲直行乙往至柳樹下四人遥相望見各不知所行步數只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立處相距二百八十九步問答同前法曰以二共相減數又以減距數為實二為法得平勾草曰識别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即極弦也二共相併即極弦内少个虚黄也又為極和内少个虚和也二共相減餘為平勾髙股差也又為虚差極差共也又為通差内減極差也立天元為平勾加入二共相減數得□□為髙弦又加天元得□□為極弦(寄左)以相距步二百八十九與左相消得□□上法下實如法得六十四即平勾也以二共相減數加平匀得二百二十五為髙股復以平勾乘之得一萬四千四百步開平方得一百二十步即城半徑也合問又法二共數併以減相距數餘者半為泛率以泛率加丙丁共為長以泛率加甲乙共為闊長闊相乘為平方實得半徑草曰置極弦内減二共併數餘三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步為髙股也下以加叀和得六十四步為平勾也二位相乘得一萬四千四百步開平方得一百二十步即半徑也合問或問依前見丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二樹相去一百二步問答同前法曰以甲乙共乘樹相去步得數又以自之為平實從空併二共數為冪於上内減甲乙共自之數丙丁共自之數(按或云二共數相乘倍之亦同)為益隅得叀弦草曰識别得兩樹相去步即虚弦也餘數具前立天元一為叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便以□為明弦也(内帶□和分母)乃置虚弦以分母叀和乘之得□加入明弦得□□為極股也内帶叀和分母以自之得下式□□□為極股冪(内寄叀和羃為分母)又以天元加虚弦得□□為極勾以自之得丨□□又以叀和冪□乘之得□□□為勾冪也勾股相併得□□□為兩積一較冪也内有叀和冪分母(寄左)然後置明弦□於上以叀和乘天元得□加上位得□為二弦併又置虚弦以叀和乘之得□併入上位得下式□□為極弦以自之得□□□為同數與左相消得□□□開平方得三十四步即叀弦也又法以樹相去步自之又以甲乙共乘之為平實從空倍丙丁共為虚隅得叀弦草曰立天元一為叀弦依前術求得明弦□便以為皇極勾弦差也(内帶叀和分母)以天元□弦便為皇極股弦差以乘之又倍之得□□為虚弦冪(内有叀和分母寄左)然後以虚弦自之又以分母□乘之得四十七萬八千五百八十四為同數與左相消得□○□開平方得三十四步即叀弦也合問或問皇極大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步問答同前法曰後數自乘為實前後數相減餘為法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六即太虚大小差共也又二數相併得□即明叀二和共若以相減餘□即明叀四差共也立天元一為太虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加天元得□□即城徑也又以虚弦加皇極大小差得□□即極弦也以極弦乘城徑得□□□為兩段皇極勾股積(寄左)再以極弦虚弦相併得□□即皇極勾股共也自之得□□□内減皇極弦冪丨□□得□□□為同數與寄左相消得□□上法下實如法得三十六步即太虚黄方靣也合問或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出東門直行甲丙槐柳悉與城㕘相直既而甲就柳樹斜行三十四步至柳樹下丙就槐樹斜行一百五十三步至槐樹下問答同前法曰云數相乘倍之便為平方實開方得虚弦一百二步以此弦加甲行步即極勾以此弦加丙行步即極股餘各依法求之 識别甲斜行即叀弦也丙斜行即明弦也 無草或問東門南有柳一株南門東有槐一株甲出東門直行丙出南門直行二人遙相望槐栁與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云丙共行了二百八十八步甲斜行與柳至東門步共得六十四步問答同前法曰二云數相乘於上以六十四步自之又二之減上位為平實十四之六十四於上倍丙行減上位為從(按倍丙行乃數偶合當云九个半六十四内減丙行為從)二十常法得甲直行步草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾也内甲斜行即叀弦也柳至東門步即叀股也又云二數相併即明差與極弦共也二云數相減即明差與平勾髙股差共也又平勾内減叀勾即虚勾也立天元一為叀勾置丙共步以天元乘之復以六十四除之得□□呔為明勾也又以天元減於六十四得□□為虚勾也併虚明二勾□□為半徑也以自之得□□□□倍之得□□□□為半段圓城徑冪(寄左)乃以天元加六十四得□□為勾圓差於上又以明勾加丙共步得□□□為股圓差於下上下相乘得□□□□為同數與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出東門直行步也餘皆依數求 合問或問東門南有柳樹一株南門東有槐樹一株甲出東門直行丙出南門直行二人遥相望槐柳與城邊悉相直既而甲復斜行至柳樹下丙復斜行至槐樹下各不知步數只云甲共行五十步丙斜行與槐至南門步共得二百二十五步問答同前法曰以二百二十五步自之為冪又以此冪自為冪於上置甲共行以二百二十五步三度乘之得數復折半減上位為平實置二百二十五步自之數以二云數相減數乘之又倍之於上倍五十步在地以二百二十五步自之數乘之復折半加上位為益從云數相減自乘於上以云數相乘復折半減上位為常法得明股草曰識别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明弦槐至南門步即明勾也又二云數相併即極弦内減一个叀差也云數相減即叀差與髙股平勾差共也又髙股内減明股即虚股也立天元一為明股即丙出南門直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□為叀股也内帶髙股□分母再置髙股内減天元得□□為虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半徑也以自增乘得下□□□為半徑冪也内帶髙股冪為母(寄左)然後置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□為勾圓差於上(内帶髙股分母)又以天元加髙股得□□為股圓差於下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□復折半得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百三十五步即明股也合問或問通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步問答同前法曰置一千減二之五十步為汎率以自乘復半之於上又置泛率復以五十乘之加上位為平實二十二之泛率於上(按二十二乃此題叀和除通和所得通倍叀數加二數之數易題則數不)(同矣當直云通倍叀數加二數乘泛率)以四十二(按四十二乃此題倍通倍叀數加二數之)(數當直云倍通倍叀數加二數)乘五十得數内減泛率加上位為益從二百(按二百乃此題通倍叀數加二數自乘折半於上又倍通倍叀數併二數以減上位之數)(當同上不必載數)為常法得叀股草曰立天元一為叀股置一千以天元乘之以五十除之得□為通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦減一千得□□即通勾也以小差減通勾得□□即圓徑也以圓徑減通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□(寄左)然後置圓徑以自之得□□□折半得□□□與左相消得□□□開平方得三十步即叀股也合問按此題通勾弦和為叀勾弦和度盡之數則不用寄分而用除法以從省便作者蓋舉一以例其餘也或問通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步問答同前法曰以後數再自乘又以前數乘之為平實以後數為冪又以前數乘之為從以前數冪為常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一為明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□為通股(内帶髙股為母)以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即帶分大差也以此減於通股餘□□即圓徑也以自增乘得□□□寄左(内𢃄髙股冪分母)然後置一千以髙股分母通之得□内減帶分大差得□□為兩个通勾也内減兩个圓徑得□□為兩个小差也以帶分大差乘之得下式□□□為同數與左相消得□□開平方得一百三十五步即明股也合問或問通股通弦共一千二百八十步叀股叀弦共六十四步問答同前法曰云數相乘為平實前數為益從置前數以後數除之得二十為泛率泛率減一以自乘於上又倍泛率減一加上位為常法倒積開得叀勾草曰别得六十四步即平勾也立天元一為叀勾置前數以天元乘之以後數除之得□即通勾也又置天元加後數得□□即小差也以小差減通勾餘□□即圓徑也以自之得□□□(寄左)然後以小差減於前數得□□為二通股内減兩个圓徑得□□為二大差也以小差乘之得下□□□與左相消得□□□開平方得一十六步即叀勾也合問或問通股通弦共一千二百八十步明股明弦共二百八十八步問答同前法曰二數相減以後數乘之内減後數冪又半之為泛率以自乘為平實(按或云前數内減二後數餘以後數乘之折半自之亦同)置前數加二之後數而半之為次率以乘泛率於上以後數乘泛率減上位(按或云二數相加以乘前折半數亦同)為益從次率自乘之於上以前數加次率復以後數乘之減上位(按或云前數折半内減後數又以半前數乘之亦同)為隅法得明勾草曰别得二數相減餘□為通勾通股及明勾共也立天元一為明勾置前數以天元乘之合以後數除之不除便以此□為通勾也(内寄後數分母)又以二數相減得數内又減天元得□□為通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内減通勾餘□□為通股也又以天元加後數又以分母(即後數也)通之得□□為大差也以此大差減於通股得下式□□為一个圓徑也半之得□□以自得之□□□為半徑冪(寄左)然後以半圓徑減通勾得□□為底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔為同數與左相消得□□□開平方得七十二步即明勾也合問或問明股明弦併二百八十八步叀勾叀弦併五十步又云明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前法曰前二數相併内減二之多步即圓徑又只以前二數相乘便是半徑冪草曰識别得前二數相減而半之即極差也其多步名傍差又圓徑不及極弦數或問平差髙差共一百六十一步明股叀勾併多於虚弦四十九步問答同前法曰二數相減又半之以自乘為實後數為法得平勾草曰立天元一為平勾以加前數得□□為髙股也又以天元加髙股得□□為極弦内減後數得□□又半之得□□為半徑以自之得丨□□(寄左)然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問或問平勾髙股差一百六十一步明差叀差併七十七步又云極弦多於城徑四十九步問答同前法曰併上二位而半之為平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下減旁率以相乘為實倍旁差為法得勾圓差(按求實數有誤當云併上二位而半之内減後數於上又置上前數内減)(後數以乘上位為實方合)草曰識别得平勾髙股差名為角差副置角差上加七十七而半之得□即極差也下減七十七而半之得□即虚差也角差加極差得□即通差也又極弦多於城徑步名為旁差副置角差上加旁差得□為兩个髙段上勾股較下減傍差得□為兩个平段上勾股較也又副置極差上加傍差得□為股圓差上勾股較下減旁差□為勾圓差上勾股較也立天元一為勾圓差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□為半段圓徑冪(寄左)乃置大差□□内減股圓差上勾股較□餘有□□為股圓差之勾於上再置天元内加勾圓差上勾股較□得□□為勾圓差之股以乘上位得丨□□為同數與左相消得□□上法下實得八十歩即勾圓差也又依前問見角差一百六十一步見明差叀差併七十七步又見太虚弦較較六十步問答同前法曰前二數相減而半之得數加入半之太虚弦較較為泛率以自乘為平實置一百六十一内減二之泛率為從一常法得平勾草曰别得□即二叀股也立天元一為平勾先以前二數相減而半之得□為虛差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□為平弦以自之得丨□□内減天元冪得□□為半徑冪(寄左)然後以天元加一百六十一為髙股以天元乘之得丨□為同數與左相消得丨□□開平方得六十四步即平勾也又法曰前數内加半之太虚弦較較以自乘(按此語内有誤當云)(倍角差加半太虚較以半太虚較乘之)為實前數内減太虚弦較較為從一常法開平方得平勾此更不用明差叀差併也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□為髙弦也以自之得丨□□於上位内減髙股冪丨□□餘得□□為半徑冪(寄左)然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得下丨□□開平方得六十四步即平勾也合問或問髙差平差併一百六十一步明差叀差併七十七步問答同前法曰以前數自乘於上二數相併而半之以自乘減上位得數復自增乘為平實前數自之於上又以四之前數乘之寄位以前數自之於上併二數而半之以自乘減上位得數又以四之前數乘之(按此下落又倍之三)(字)減於寄位為從前數自之又四之於上又以四之前數為冪加上位權寄以前數為冪於上併二數而半之以自乘減上位得數復八之加上位又以四之前數為冪加入上位併以減於權寄為常法(按或云二和併)(而自之又半之以減髙平共差冪又四之為常法亦同)得平勾草曰識别得二位相併而半之得□即極差也立天元一為平勾加一百六十一得□□為髙股髙股内又加天元得□□為極弦以自之得□□□於上内減極差冪一萬四千一百六十一餘□□□為兩段極積合以極弦除不除寄為母便以此為城徑以自增乘得□□□□□為圓徑冪(内有極弦冪分母寄左)然後以天元乘髙股又四之得□□又以分母極弦冪□□□通之得□□□□呔為同數與左相消得□□□開平方得六十四步即平勾也合問或問見明和二百七步叀和四十六步問答同前法曰二和上下相減數同則止名為泛率又以二和直相減餘為泛實(此則角差也)乃以泛率除汎實所得為差率也以差率加減泛率若半訖與勾股相應者其泛率便為和率其泛實便為較率乘和率也若不相應則直取差率以消息之定為相管和率(其勾股數少得見弦)(黄而相為率者勾三股四則其和七而其較一也勾五股十二則其和一十七而其較七也勾八股十五)(則其和二十三而其較亦得七七勾七股二十四則其和三十一而其較一十七也勾九股二十則其和)(二十九而其較一十一也此消息之大畧也餘皆倣此)乃以和率約二和其明和所得為明壘率其叀和所得為叀壘率也又副置和率上加差率而半之則為股率也下位減差率而半之則為勾率也既見勾股及差三率各以壘率乘之即各得勾股及差之真數也按此用約分以勾股率數求之甚為省便然必兩數度盡而得數最小者方可用若兩數不能度盡或雖度盡而得數尚大者轉屬繁難故又設後法又法二云數相併以自乘於上二之云數相乘又四之以相併以四分半乘之又四之以併入上位為從方以七十步零四分三釐七毫五絲為常法得叀小差四步按此法未求實數其求從隅皆用本題數不可通用今依細草意另演一法於後亦惟二和數可以度盡者用之若不能度盡者仍用寄分為便法曰二和數相減自之為平方實叀和除明和得數自而倍之内減四之除得數再加二單數以乘二和相併之數為從除得數自而四之於上又以除得數自乘内減四之除得數外加一單數自之以減上位為常法得叀小差草曰以二和相約命得叀率一明率四步半其兩數大小差率並同又别得明小差叀大差俱為半虚黄也立天元為叀小差以四歩半乘之得□元為□大差也又為明小差又為半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□為明大差也其四差相併得□減於二和併得□□即兩段太虚大小差併也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圓城徑也以自增乘得□□□為徑冪(寄左)乃置叀和加半虚黄得□□為平勾又置明和内加半虚黄得□□為髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□為同數與左相消得下式□□□開平方得四步即叀小差也合問或問明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步問答同前法曰先識别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘為實以四差共為法如法得半之虚黄方草曰先置前後云數以約法約之得一十一即壘率也復各置前後數如壘率而一前得八即勾率也後得一十五即股率也再以勾股率求得較率七和率二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二即見諸率各以壘率乘之其二和共得□二較共得□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆為明叀所得之共數也乃立天元一為半虚黄便為明小差又為叀大差也以減於大差共得□□即明大差也又以減於小差共得□□即叀小差也以二數相增乘得丨□□(寄左)以天元冪與寄左相消得□□上法下實得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加於二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又為極黄方又為虚弦也又以三十六減於一百八十七餘一百五十一即明股叀勾共也此數内減虚弦餘□為明叀二差較也此名傍差以旁差減二弦共一百八十七餘得□即太虚和也却加入虚弦一百二併得□為太虚三事和即圓城徑也合問又或以虚黄方加於上和共二百五十三得□為極弦也以旁差減極弦餘二百四十步亦同又或前後副置勾股較和弦黄六率在地前以小差率二因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄得□即叀段各數也後以大差率九因之則勾得□股得□較得□和得□弦得□黄得□即明段各數也既得明叀各數餘可知(按此因明弦即皇極形勾弦差叀弦即皇極形股弦)(差故以小差率乘各率即得叀段各數以大差率乘各率即得明段各數也)按右二卷明叀前十八問後十六問在集中尤為神妙惜其中有偶爾思省未至者亦未暇修飾故耳測圓海鏡卷八
## 卷九
欽定四庫全書測圓海鏡卷九元 李冶 撰大斜四問或問甲丙俱在中心丙望南門直行不知步數而止甲出東門直行不知步數望見丙斜行與丙相㑹二人共行了六百八十步仍云甲直行少於丙直行一百一十九步問答同前法曰二數相減餘以為冪内却減差冪為平實二數相減又四之於上又加入二之差步為益從二步常法得皇極勾草曰别得共步即皇極三事和少步即勾股差也立天元一為皇極勾加少步得□□為股也又以天元加股得□□為和也以和減共步得□□為弦也弦自之得□□□為一段弦冪(寄左)然後置股以天元乘之又倍之得□□為二直積加入少步冪□共得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差為股勾股相乘倍之為實勾股和減共步為法得城徑又法云數併與云數差相乘(按此句有誤當云和數與倍差相加相減二得數相)(乘)為平實云數併與二數差相併得數以減於八之共步為益從(按此只云六因和步為益從亦同)一步常法得皇極黄方草曰立天元一為黄方(即虚弦也)副置之上位加共步得□□為二和也下位減共步得□□為二弦也先以二和自乘得丨□□為四段和冪又以二弦自乘得丨□□為四段弦冪二數相減餘得□又倍之得下式□為十六段直積於天元位(寄左)然後副置二和上位加二之少步得□□為四股下位減二之少步得□□為四勾勾股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方而一得一百二步即皇極黄方也餘各依法求之合問或問甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步數而立甲向東行望見丙就丙斜行六百八十步與丙相㑹丙云我南行步多於甲東行二百八十步問答同前法曰以云數差乘云數併為實倍多步為從二為平隅得大勾草曰立天元為大平(按大平即大勾)加差得□□為股倍天元乘之得□□為二積(寄左)然後以斜步多步併□與斜步多步較□相乘得□為同數與左相消得□□□開平方得三百二十步即大勾也合問或問甲乙二人共立於艮隅乙南行過城外而立甲東行望乙與城叅相直而止丙丁二人共立於坤隅丁向東行過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城俱相直丙復就甲斜行六百八十步與甲相㑹乙丁又云吾二人直行共得三百四十二問答同前法曰二云數相乘倍之為實倍斜行於上以二云數相減加上位為從一步常法開平方得城徑草曰别得斜步即大弦也其共步則一徑一虚弦共也其二數相併為一大和一虚弦共數也立天元為徑減於共步得□□為虚弦也以虚弦復減於天元得□□為虚和以斜步乘之得□□(寄左)乃以天元加斜步得□□為大和以虚弦乘之得□□□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向南直行壬從北門穿城南行四人遥相望悉與城叅相直只云丙相望處六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問答同前法曰共步自之得數以共步減斜餘自乘以減上為實二之斜步加入共步減斜餘數為從一步常法得城徑草曰共行步為一徑與皇和共也又為大和皇弦差也甲丙相望即大弦也以共步減大弦餘□為皇極弦上減一徑也立天元一為圓徑減於共步得□□為皇極和也以自之得丨□□於上弦内減共步餘□又以天元加之得□□為皇極弦以自之得丨□□減上位餘得□□為兩个皇直積(寄左)乃以天元乘皇弦得下式丨□為同數與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問大和八問或問庚從西門穿城東行二百五十六步而立壬從北門穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在乾隅甲向東行丙向南行各不知步數而立四人遙相望只云甲丙共行了九百二十步問答同前法曰庚東行冪壬南行冪相併於上併庚壬步而倍之内減大和餘復減於庚壬共得數(按或云併庚壬步以減大和亦)(同)以自乘減上位為平實併庚壬步為益從半步為隅法得城徑草曰立天元一為圓徑以半之副置二位上以減於庚東行得□□為平弦也下以減於壬南行得□□為髙弦也二弦相併得□□為皇弦虚弦共也倍此數得□□為大弦虚弦共也以大弦虚弦共減於大和餘□□為虚勾虚股共也天元内減虚勾虚股共餘□□即虚弦也復置皇弦虚弦共内減虚弦餘□□即皇極弦也以自之得□□(寄左)然後以平弦自之得下式□□□為勾冪也又以髙弦自之得□□□為股冪也二冪相併得□□□為同數與左相消得□□□平方而一得二百四十步即城徑也合問或問丙甲俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲就甲斜行與甲相㑹甲直行丙直行共九百二十步(甲步少於丙步)又出東門南行有柳樹一株出南門東行有槐樹一株戊己二人同在巽隅戊就柳樹已從槐樹亦與甲乙遥相望只云已行少於戊行數與兩樹相距數相併得一百四十四步其二數相減餘六十步問答同前法曰二云數相併而半之為虚弦以乘大和九百二十步於上以一百四十四減大和以虚較乘之減上位為平實以一百四十四減大和又二之於上以二之虚較減上位(按或云倍甲丙直行共加己戊較與兩樹距之較減三之己戊較與兩樹)(距之和亦同)為從四虚隅得太虚勾草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳樹步即虚股也已就槐樹步即虚勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一為虚勾加明勾得□□為半徑也倍之得□□即城徑也(又為虚弦上三)(事和)二云數相併而半之得□即小弦也相減而半之得□即小較也以天元加較得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事減大和得□□即大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□(寄左)次以小弦乘大和得□□與左相消得下式□□□開平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二百四十步即城徑也合問或問甲從乾隅東行乙從艮隅南行丙從乾隅南行丁從坤隅東行四人遥相望見既而甲還至艮隅就乙丙還至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲還就乙共二百三十步丙還就丁共五百五十二步問答同前法曰併就數以減直行共復以所併就數乘之為實併就數減直行共得數復加入直行共為法得虚弦草曰别得甲丙直行共為大和也甲還就乙步為小差勾股共也丙還就丁步為大差勾股共也以大差勾股共減於大股餘即虚勾也以小差勾股共減於大勾餘即虚股也二數相併得□為大弦虚弦共也二數相減餘□為通差及大虚勾股差共也又併二數而半之得□為太極弦虚弦共又為太極勾股共也立天元一為虚弦先以二共數減於大和餘□為虚勾虚股和於上次以虚弦減於二共數餘□□為大弦以乘上位得下□□(寄左)然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問又法併云數減大和復以二數相減乘之為實併云數減大和得數復加入大和為法得虚差草曰立天元一為虚較先以併云數減大和餘□為虚和於上次以天元減於二就步較□得□□為通差以乘之得□□(寄左)然後以天元乘大和得□為同數與左相消得□□上法下實得四十二步即虚差也副置虚和為二位上加虚差而半之得九十即虚股也下減虚差而半之得四十八即虚勾也勾冪股冪相併得□開平方得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城徑也合問或問依前見大和只云股圓差上勾弦差二百一十六勾圓差上股弦差二十步問答同前法曰以云數二十步減通和復以二十步乘之於上以云數二百一十六減九百步(按即併二差以減大和)而半之乘上位為立實三因二十步以減通和得八百六十以二百一十六減通和而半之得二百四十二二數相乗訖内減二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以減之為從方(按取)(從方内語有誤當云三因小差減大和併二差減大和半之相乘於上三因大和加大差減三之小差半)(之以小差乘之得數減上位為從方)以二百一十六減通和又以三之二十步減通和相併於上以二之五百五十八内却減二十步餘以減上位為益亷(按取益亷内語亦有誤當云三因大和減)(六之小差為益亷)四步常法得小差股草曰别得小差上股弦差□加二股為大勾也大差上勾弦差□加二勾為大股也立天元一為小差股加□得□□為小差弦也小差弦上又加天元得□□為通勾以減於和步得□□為通股也通股内減大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□為大差弦也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之得□□□為一个大弦也(泛寄)再置通勾以大差弦乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以為大弦(寄左)乃以大差勾乘泛寄得□□□□為同數與左相消得□□□□益積開立方得一百五十步為小差股也合問或問依見前大和只云髙弦平弦共得三百九十一步髙弦平弦相較得一百一十九步問答同前法曰以較數冪減於共數冪又半之為實以共數減大和為益從一步常法開平方得圓徑草曰别得髙數減於通股為邊股内減明股也平弦減於通勾為邊勾内減明勾也其共數即大弦内減皇極弦又為皇極勾股共也其相較步即皇極差也二云數相併即黄廣弦也二云數相減餘即黄長弦也以共數減於大和餘□為皇極弦與圓徑共立天元一為圓徑以減皇極弦與圓徑共得□□為皇極弦也以共數自之得□於上以相較數自之得□減上位餘□又半之得□為兩段皇極積(寄左)乃以天元乘皇極弦得卜□為同數與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問依前見大和只云大差弦四百八步小差弦一百七十步問答同前法曰以併云數減大和復以乘大和又倍之為平實三之通和於上又以併云數減大和加上位為從二步虚法得圓徑草曰大差弦減和步餘□為大勾大差勾共也以小差弦減大和餘□為大股小差股共也云數相併□即大弦内減虚弦也云數相減得□為虚弦平弦共也(按此二語因數偶合而誤見前)以相併數減於大和餘□為大差勾小差股共又為圓徑虚弦共也立天元一為圓徑減於□得□□為虚弦也返以減於圓徑得□□為小和也以天元減大和得□□為大弦以乘小和得□□□(寄左)乃再置虚弦以通和乘之得□□與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問依前見大和只云黄廣弦五百一十步黄長弦二百七十二步問答同前法曰云數相併減大和復以相併數乘之為實云數相併減大和得數復以加大和為法得虚弦草曰别得黄廣弦又為大差弦虚弦共又為邊股叀股共也黄長弦又為小差弦虚弦共又為底勾明勾共也以黄廣弦減於大股餘即虚股以黄長弦減於大勾餘即虚勾故併數以減於大和餘□為虚和也以虚和減徑□□即虚弦也二云數相併得□為大弦虚弦共也云數相減餘□為虚弦平弦共(按此句誤同上)立天元一為虚弦以減於七百八十二得□□為大弦也以小和乘之得□□(寄左)乃以天元虚弦乘大和得□呔為同數與左相消得□□上法下實得一百二步即虚弦也合問或問依前見大和只云邊弦五百四十四步底弦四百二十五問答同前法曰云數相減自之為實以大和減併數為法得皇極弦草曰别得以邊弦減大股餘為半徑内減平勾又為平弦内減勾圓差也以底弦減於大勾餘為髙股内少半徑又為股圓差内少髙股也二云數相併得九百六十九為大弦皇極弦共也二云數相減□為皇極勾股差也併數内減通和餘□為皇極弦内減圓徑也立天元一為皇極弦以自之於上以一百一十九自之減上位得丨□□為二皇積(寄左)復置天元内減四十九得下式□□為黄方復以天元乘之得丨□與左相消得□□上法下實得二百八十九步即皇極弦也内減四十九餘即城徑也合問按右大和八問每問於大和外復設二數然多有大和外設一數即可求者細考其法草所載皆三數並用婉轉求之蓋意在發明三數取用之理非不知其可省也測圓海鏡卷九
## 卷十
欽定四庫全書測圓海鏡卷十元 李冶 撰三事和八問或問甲乙同立於乾隅乙向東行不知步數而立甲向南直行多於乙步望見乙復就東北斜行與乙相㑹二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步問答同前法曰共步内減四之小差復以自之於上以十八个小差冪減於上為實四之共步内減十六个小差於上却以十八小差加上為益從四步常法開平方得中差草曰别得共步為三事和也不及步即小差也立天元一為中差加二之小差得□□為大小差併以加入三事和得□□為三弦也倍三事得三千二百内去大小差併得□□為三和也内減三弦餘□□為三个黄方以自之得□□□為九段黄方冪(寄左)再置天元中差加小差得□□為大差以小差□乘之得□□為半个黄方冪就一十八之得□□為同數與左相消得□□□開平方得二百八十步即中差也其餘各依法求之合問或問以前三事和又云大差三百六十步問答同前法曰倍云數以云數乘之又九之於上倍云數加三事和為前數倍云數減二之三事和為後數二數又相減餘一百六十為泛率以自乘減上位為平實十八之云數内又加四之泛率為從四常法得中差草曰立天元一為中差置云步倍之内減天元得□□為大小差共數加於三事和得□□為三弦也倍三事内減大小差共數得下式□□為三和也内減三弦得□□為三个黄方靣也以自之得□(□□)□為九段黄方冪(寄左)再以天元減大差得下式□□為小差又倍之得□□以云數乘之得下式□□又就分九之得下式□□與左相消得下式□□□開平方得二百八十步即中差也合問或問依前見三事和又云中差二百八十步問答同前法曰和步加差步以自乘於上又和步内減差步以自乘加上位為平實四之和步為從二步益隅得大弦草曰立天元一為大弦減共步得□□為和副置之上位減差步得□□為二勾以自之得丨□□為四段勾冪也下位加差步得□□為二股以自之得丨□□為四段股冪也二位相併得□□□為四段弦冪(寄左)然後以天元自之又四之得□□為同數與左相消得□□□開平方得六百八十步即大弦也倍之以減於三事和餘即城徑也合問或問依前見三事和又云小差大差併四百四十步問答同前法曰併前後二數三而一為弦反以減共步得數又以減弦得城徑草曰二數相併得□三而一得□即弦也以弦減三事和得□即和也弦和又相減餘二百四十步即城徑也合問或問依前見三事和又云小差中差大差共七百二十問答同前法曰半云數自之又三之於上以三事減上位為平實(按以三事減上位有誤此係偶合三事之數耳當云加半段三事冪又倍三事和加大差復以大差)(乘之減上位為平實)倍三事於上半云數而五之加上位為益從二常法得小差草曰别得三差共為二大差也立天元一為小差併大差加入三事和得□□為三弦也以自之得丨□□為十八積九較冪(寄起)又以共三事步自之得□方於上又以天元小差乘大差倍之得□加於上得□□為十二積四較冪又加五(按即三因二歸)得□□為十八个直積六个較冪以減寄起餘得丨□□為三个較冪(寄左)然後以天元小差減大差得□□為中差以自之得丨□□又三之得下式川□□為同數與寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也餘各依數求之合問或問依前見三事和又云明黄方叀黄方共六十六問答同前法曰二事内加二之共步復以二之共步乘之於上位三事内減二之共步復以二之共步乘之得數減上位為平實三事内加二之共步又倍之於上又三(按三當作六)之共步加上位為泛寄三事内減二之共步又四之於上又三(按三亦當作六)之共步減上位得數以減泛寄為從作十八段虚平方開之得虚黄方草曰别得共步即虚大小差也立天元一為虚黄方以三之加入倍之共步得□□為圓徑也以圓徑加三事得□□為二通和以圓徑減三事得□□為二通弦又副置圓徑上加天元得□□為二虚和下減天元得□□為二虚弦乃置二大和以二小弦乘之得下□□□(寄左)然後置二大弦以二小和乘之得下式□□□與左相消得□□□平方開之得三十六步即虚黄方也其餘各依法求之合問或問依前見三事和又云皇極弦二百八十九步問答同前法曰二數相乘為實從空一益隅得大弦草曰立天元一為通弦内減皇弦餘□□為皇極勾股和以自之得丨□□於上以皇極弦冪減上位得丨□為二直積合於皇極除之不除寄為母便以此為城徑(寄左)乃以二之天元弦減共步得□□為黄方面以皇弦通之得□□與左相消得丨□□開平方得六百八十步即大弦也合問或問依前見三事和又云見太虚弦一百二步問答同前法曰半虚弦乘三事為實三事為從四虚隅翻開之得半大弦草曰識别得以虚弦減大弦半之為皇極弦以虚弦加大弦半之為皇極勾股共也立天元一為半大弦以二之内減虚弦得□□折半得□□為皇極弦也又以虚弦加大弦而半之得□□為皇極和也和自之得丨□□於上又以弦自之得丨□□減上位餘得下□為二直積合以皇極弦除之不除寄為分母便以此為城徑(寄左)然後以四之天元減三事共餘□□又以皇極弦分母通之得□□□為同數與左相消得□□□倒積開得三百四十步倍之即大弦也合問測圓海鏡卷十
## 卷十一
欽定四庫全書測圓海鏡卷十一元 李冶 撰雜糅一十八問或問城南有槐樹一株城東有柳樹一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐柳悉與城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳樹下甲就槐行四百二十五步至槐樹下問答同前法曰甲就步自之於上以二行相減數自之減上位為實二之二行相減數併入二之甲就步為從一步常法得平弦草曰别得丙就步為邊弦也甲就步為底弦也邊弦即皇弦髙弦共也底弦即皇弦平弦共也二行相併即大弦皇弦共也二行相減即皇極勾股較也倍皇弦以減於大弦餘即虚弦也倍皇弦内減邊弦餘即叀弦也倍皇弦内減底弦餘即明弦也皇極弦加一差(按一差即皇極勾股較)則大差弦也内減一差則小差弦也立天元一為平弦加一皇極勾股差得□□即髙弦也髙弦自之得丨□□内加天元冪得□□□為皇弦冪(寄左)然後以天元減底弦得下式□□自之得丨□□為同數與左相消得丨□□開平方得一百三十六步即平弦也餘各依法求之合問或問出南門東行有槐樹一株甲出北門東行斜望槐樹與城相直就槐樹行二百七十二步出東門南行有柳樹一株丙出西門南行斜望柳樹與城相直就柳樹行五百一十步問答同前法曰云數相併而半之以自乘於上半丙斜行以為冪半甲斜行以為冪併二冪減上位為實併云數為益從一步平隅得虚弦草曰别得丙斜行為黄廣弦也亦為兩个髙弦也此勾則城徑也甲斜行即黄長弦也亦為兩个平弦也此股則城徑也二數相併得□即大弦虚弦共也二數相減餘□即兩个皇極差也二數相併而半之得□即皇極和也立天元一為虚弦以減于皇極和得□□即皇極弦也以自之得丨□□為皇弦冪(寄左)然後以髙弦自之得□以平弦自之得□二自乘數相併得□與左相消得□□□開平方得一百二即虚弦也合問或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅南行一百五十步望見甲復斜行五百一十步與甲相㑹問答同前法曰斜行自之於上倍南行減斜餘自之以減上為實倍南行減斜又四之為從八步常法平方得半徑草曰别得南行即小差股斜行即黄廣弦也小差股内減半徑餘即半个黄廣積上股弦差也全徑即其勾也立天元一為半城徑減于乙南行倍之得□□即一个黄廣即上股弦差也以減于斜行步餘□□即股也自之得□□□為股冪也又倍天元以自之得□□為大勾冪加入大股冪得□□□(寄左)然後以斜行冪□與寄左相消得下式□□□開平方得一百二十步即半徑也合問或問乙從艮隅東行不知逺近而止甲從坤隅東行一百九十二步望見乙復斜行二百七十二步與乙相㑹問答同前法曰倍東行減斜行得數自為冪以減于斜行冪為平實倍東行減斜行又四之為從八益隅翻法開平方得半徑草曰别得甲東行即大差勾也斜行則黄長弦也大差勾内減半徑餘即半个黄長積上勾弦差也全徑即其股也立天元一為半徑減於東行倍之得□□即一个黄長積上勾弦差也以減于斜行步得□□即黄長勾也以自之得□□□為勾冪于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□為弦冪(寄左)然後以斜行冪□為同數與左相消得□□□平開得一百二十步即半城徑也合問或問甲從坤東行一百九十二步丙從艮南行一百五十步望見之問答同前法曰二行相乘倍之為平實如法得圓徑草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二數相乘恰與大小差相乘正同如法相乘訖倍之得□為圓徑冪(寄左)然然立天元為圓徑以自之與左相消得丨□□開平方得二百四十步即城徑也合問又法以二行相減數減于二行相併數餘者半之于上復以二行相減數加于上即城徑草曰别得甲東行減于徑為虚勾也丙南行減于徑為虚股也二行共為一徑一虚弦共也二行相減即虚和也以相併數相減數又相減即兩个虚弦也如法求得虚和□虚弦□相併得□即城徑也合問按又法未合蓋以二行相減為虚較而草中誤以為虚和也其義甚淺非難知者是殆偶爾之遺忘然亦可以決其為當日未定之稿矣或問出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正當城徑之半問答同前法曰二行相乘為平實一步常法得半徑草曰别得二百二十五步為髙股此乃半徑為勾之股也其六十四步為平勾此乃半徑為股之勾也二數相併即太極弦也二數相減即中差内去皇極差也又别得二行相乘恰是半徑冪一段此與半梯頭相乘其意正同今且以弦上容圓取之立天元一為半徑副之上加南行得□□為股也下加東行步得□□為勾也勾股相乘得丨□□為大直積以天元半徑除之得□□□為勾股和(寄左)然後併勾股得□□與左相消得丨○□開平方得一百二十步即半徑也合問或問丙從乾隅南行丁從艮隅亦南行甲從乾隅東行乙從坤隅亦東行各不知步數四人悉與城相直只云丙行内減丁行餘四百五十步甲行内減乙行餘一百二十八步問答同前法曰二行相乘為實一步常法得城徑草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄廣股其□即黄長之勾也立天元一為城徑先置黄廣股□為股方差以□為勾方差以乘之得□為城徑冪(寄左)然後以天元冪與左相消得下式丨□□開平方得二百四步合問或問出南門東行有槐樹一株出東門南行有柳樹一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直東行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直東行四人遥相望見只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步問答同前法曰云數相乘為實二數相減又半之為法得城徑草曰别得□即大差勾股較也其□即小差上勾股較也二數相併為大差弦内減小差弦也二數相較又半之皇極弦與城徑差也二數相併而半之即皇極差也立天元一為圓徑二云相減數又半之加天元得□□為極弦也併二數而半之得□為極差也副置極弦上位加極差得□□為弦較和也下位内減極差得□□為弦較較也上下相乘得丨□□為二直積(寄左)然後以天元一乘極弦得下式丨□為同數與左相消得□□上法下實而一得二百四十步即城徑也合問或問甲從坤東行丙從艮南行適相見斜行一百二步甲丙相㑹丙云我南行不及汝四十二步問答同前法曰二數相併以斜行乘於上二數相併而半之以乘相併數減上位為平實不及步為從一步常法得虚勾草曰别得一百二步即虚弦四十二步即虚較也又斜行得虚股為乙東行此便為大差勾也斜行步得虚勾為丙東行此便是小差股也立天元一為虚勾加斜行步得□□為小差股也以不及步加于小差股得下式□□為大差勾也勾股相乘得丨□□為半段黄方冪(寄左)然後再置虚勾加不及步得□□為虚股又加入天元得□□為虚和又加入虚弦得□□為圓徑以自之得□□□又半之得□□□與寄左相消得丨□□平方開得四十八步即虚勾也合問或問甲從城心東行丙從城心南行庚從巽隅西行壬從巽隅北行四人遥相望見各不知步數只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八問答同前法曰云數相乘為實相併為法得虚弦草曰别得甲丙共為皇極和也又為極弦極黄共庚壬共為太虚和也又為虚弦虚黄共立天元一為皇極黄方靣(亦為虚弦也)減于甲丙共得□□即極弦也又以天元減于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘極弦得丨□□(寄左)然後以天元冪與左相消得□□上法下實如法得一百二步即皇極黄方靣也合問(按此亦係相消後得一邊之二數者)或問甲從乾隅東行不知步數而止丙向南行亦不知步數望見甲就甲斜行七百八十步與甲相㑹甲云我行地雖少于汝以我東行步為法除汝南行步則汝止得二步四分問答同前法曰斜步自之為平實除步自之又加一步為隅得甲東行草曰此問所求城徑與諸問並同其勾股則與前後諸率不同今特為此草者欲使後學有以考較諸率當否也立天元一為甲東行(即大勾)以乗二步四分得□為長以自之得□□為股冪又併入天元冪得□□為弦冪(寄左)乃以斜行自之得□為同數與左相消得□□□開平方得三百即甲東行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙東行以甲東行乘之得四十三萬二千為實以三事和一千八百為法除之得二百四十步即城徑也合問或問小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇極黄方靣六十六步問答同前法半八十四為中差以中差減六十六為二小差半之為小差又中小差相併為大差乃以小差乘大差為平實半步常法得虚黄草曰别得八十四為兩个虚積中差其六十六為虚積大小差併半八十四得□為虚中差也以中差減六十六餘二十四半之得□即虚小差也以小差反減六十六餘□即虚大差也又别得小差黄方為兩叀股大差黄方為兩明勾也立天元一為虚黄方置三位上加小差得□□為虚勾也中加大差得下□□為虚股也下加大小差併得□□為虚弦也三位併之得□□即城徑也倍虚勾減城徑得□□為大差黄方靣也又倍虚股減城徑得□□為小差黄方靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□□為一个虚直積(寄左)乃以虚勾虚股相乘得丨□□為同數與左相消得□□□平方開得三十六步即虚黄方靣也其餘依法求之合問據此問既别得大小差正數自可以求得黄方靣也諸如此數實不湏草今特為細草者庶使後學知其來歴或問大差弦較較減皇極弦餘四十九步小差弦較和減太虚弦餘一百三十八步又皇極差一百一十九步問答同前法曰併前二數為冪内減極差冪為平實從空二益隅得虚弦草曰别得大差弦較較與小差弦較和皆同為圓徑也又二數相併得□為明弦叀弦共又為極和内少兩个虚弦也其一百三十八即虚和也□則旁差也立天元一為虚弦加入一百三十八得□□為圓徑也又加入□得□□為極弦以自之得丨□□又倍之得□□□内却減極差冪□得下式□□□為和冪(寄左)乃倍天元加併數得□□為極和以自增乘得□□□為同數與左相消得□□□開平方得一百二步即虚弦也加入一百三十八得二百四十步為圓徑合問(前二數相併加虚弦便是極弦)或問小差不及平弦五十六步髙弦不及大差一百五步問答同前法曰以前數自之為實二數相減為法得平勾草曰别得云數相併得□為平勾不及髙股也此數得極差則通差也此數内減虚差則極差也云數相減餘□即城徑不及極弦也以前數減于半徑餘即平勾以後數加于半徑即髙股也倍前數加小差則為股圓差之勾也此與前數加平弦同倍後數減于大差則為勾圓差之股也此與後數減于髙弦同立天元一為平勾加相併數得□□即髙股也又加天元得□□即極弦也内減二云數差得□□為城徑也半之得□□以自之得丨□□為半徑冪(寄左)然後以天元乘髙股得丨□為同數與左相消得□□上法下實得六十四步即平勾也合問又法云數相得為實相減為法得半徑草曰立天元為半徑副之上内減五十六得□□為平勾下加一百五得□□為髙股上下相乘得丨□□為半徑冪(寄左)以天元冪與左相消得下式□□上法下實得一百二十步即半徑也合問或問通勾通弦共一千步大差小差共得四百四十步問答同前法曰以二差共減于一千又半之以自乘為平實以二差共減于一千又半之加入二之前數為縱(前數謂一)(千也數按此語有誤應加入二之後 後數謂大小差共也)二步二分五釐益隅得勾圓差草曰立天元一為小差數加入後數得□□却以減于前數得□□折半得□□為一个圓徑也以自之得下式□□□(寄左)然後以天元減後數得□□為大差以天元乘之又倍之得□□與左相消得□□□開平方得八十步即勾圓差也或問皇極三事和六百八十步太虚弦和較三十六問答同前法曰二數相得為實半之後數為益從五分常法平開得城徑草曰别得皇極三事和即大弦也立天元一為城徑減三个後數□而半之得□□為太虚大小差併也却加入兩个後數□得下□□為虚和也又以虚和減天元得下□□為虚弦也置通弦(即皇極三事和也)内加天元得下式□□即通和也乃置通和以虚弦乘之得下式□□□(寄左)再置虚和以通弦乘之得下□□為同數與左相消得□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問出南門行一百三十五步有樹出北門行一十五步折而東行二百八步望見問答同前法曰以東行步乘南行步得數又自乘為實以東行步自乘乘南行步又倍之為從東行步自乘于上併南北二行步以減于東行步餘數自之為冪以減上再寄位又併南北二行步以東行步乘而倍之内減再寄為第一益亷四之東行步于上又併南北二行步減于東行步又四之減上位為第二益亷四步虚隅開三乘方得半徑草曰立天元一為半徑(即髙勾也)置南行步加天元得□□為髙弦也置大勾□以髙弦乘之得□□復以髙勾除之得下式□□為大弦也令之自乘得□□□(寄左)又置二之天元加南北行併得□□為大股復用大勾二百八減之得□□為較也以自乘得□□□為較冪以減寄左得□□□□□為二直積(寄左)再置大股□□以大勾□乘之得□□為直積又倍之得□□為同數與左相消得□□□□□翻法開三乘方得一百二十步即城徑之半也合問或問出北門一十五步折而東行二百八步有樹出西門八步折而南行四百九十五步見之問答同前法曰先置南行步内減一東二西併步餘二百七十一為前泛率次併一南二北内減東行步餘三百一十七為中泛率次併東西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北併得數減上位餘一十萬二千八百四十為後泛率乃以後泛率自乘得一百五億七千六百六萬五千六百為三乘方實以前中二泛相減餘四十六以乘後法數為從前中二泛相乘得八萬五千九百七加入二之後泛數共得二十九萬一千五百八十七于上位又併東西行以乘南北併得二十二萬三百二十加上位通得五十一萬一千九百七為第一亷二之前泛數加入四之東西併得一千四百五十二于上位又以前中二泛相減于四十六減上位餘一千四百六為第二亷一步常法得半徑(按此法乃取於又法草中其求第二亷云二之前泛數句誤當云二之四數併若二之前泛數加入)(四之東西併便得第二亷一千四百零六更不待再減然原文之意不如是也)草曰立天元一為半城徑加入東行西行併得□□為大勾也又置天元加入南行北行併得□□為大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄為母便以此為股尖也置南行四百九十五步減天元得□□用分母大勾乘之乘訖得下式□□□内減了股尖餘□□□為小股也(内帶大勾)(分母)置小股合以大勾乘了復以大股除之為小勾今為小股内已有大勾為母更不湏乘只以小股□□□便為小勾也(内帶大股為母)小勾小股相乘得數為一个小勾股相乘直積内帶大勾股相乘直積為分母也乃以半城徑(即天元也)除之為一个弦較和也丨□□□□此法本取勾外容圓合以弦較和除二積為勾外所容之圓今用天元半徑除一个積則却得一个弦較和也内依舊帶大積分母也(寄左)然後再置小股□□□合用大積乘之縁内已帶大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□為大積所乘小股于上再置小勾合用大積乘之縁内已帶大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□為大積所乘之小勾也以此小勾減上小股得□□□即帶分小較也又二因小較得下式□□□為帶分二較也又以大勾股直積丨□□乘二之天元半徑得□□□為一个帶分弦較較也(弦較較乘弦較和為二直積既以圓徑除二百積為弦較和則是圓徑為弦較)(較也今又為半天元圓徑除一積為弦較和故倍天元半徑作一个弦較較也)遂将此弦較較加入前二較得□□□□亦為一个弦較和也與寄左相消得下式丨□□□□開三乘方得一百二十步即城半徑也合問又法此問係是洞淵測圓門第一十三前答亦依洞淵細草用勾外容圓術以入于弦較和然其數煩碎宛轉費力今别草一法其亷從與前不殊而中間段絡逕捷明白方之前術極為省易學者當自知也 立天元一為半徑副之上併加東西行得□□為通勾率下併加南北行得□□為通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄為母便以此為南小股也又置南行四百九十五步内減天元得□□用通勾乘之得□□□内減了南小股下式卜□□為股圓差也内帶通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄為母便以此為北小勾也又置東行二百八步内減天元得□□用通股乘之得□□□内減了北小勾餘□□□為勾圓差也(内帶通股分母)乃以二差相乘得下式丨□(□□)□(□□)為半段圓徑冪也内帶通積為母(寄左)然後以通勾通股相乘得丨□□以天元冪乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□為同數與左相消得亷從一與前同合問按洞淵疑為古之精於算者序中謂老大以來得洞淵九容之說而於此問又明其為洞淵測圓門第十三題前答亦依其細草大抵是書之作皆師其意而演之者也今洞淵之為人與書雖不可考而即此一草觀之其取徑遙深而惟變所適亦可見文豹之一班矣至謂其數煩碎宛轉費力特為初學難易而言讀者宜善㑹也測圓海鏡卷十一
## 卷十二
欽定四庫全書測圓海鏡卷十二元 李冶 撰之分一十四問或問甲乙二人俱在西北隅乙向直東行不知步數而止甲向直南行望見乙復向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝東行步居我南行步十五分之八法曰十六之共步冪為實二百五十七之共步為益從一十六步常法得勾圓差草曰别得共步即股弦共也立天元一為小差以乘共步得□為勾冪就分以二百二十五通之得□為二百二十五段勾冪(寄左)然後再置共步内減小差得□□為二股就分四之得□□為一十五勾以自之得□□□為同數與左相消得□□□平方開之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即弦也若以減共步而半之得六百步即股也以股冪減弦冪餘一十萬二千四百步開平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八萬四千步為實以弦和和一千六百步為法實如法而一得二百四十步即城徑也合問或問甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步數而立甲直東行望見乙復向乙斜行與乙相㑹甲云我共行了一千步又云我東行步居汝南行步十五分之八法曰二百二十五段共步冪為實七百六之共步為益從二百二十五步常法得股圓差草曰别得共步即勾弦共也立天元一為大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□為二百五十六个股冪(寄左)然後再置共步内減天元大差得□□為二勾就分以一十五之得□□為十六个股也以自之得□□(□□)為同數與左相消得□□□開平方得三百六十即大差也副置共步上位減大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即弦也餘數各依法求之合問或問甲乙俱在城西北隅甲南行不知步數而立乙東行亦不知步數望見甲就甲斜行與之相㑹乙云我東步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝東行二百八十步問答同前法曰别得周居九分徑居三分乙東行居四分(按此法未)(詳當加倍較步為實徑分數自之内減二分數為法得數三之即城徑二十四字)草曰立天元一為一分之數以三之得□為徑以四之得□為勾以徑減勾餘□為小差(只天元便是小差)再置小差加入甲多步得□□為大差倍大差以天元乘之得□□為一段圓徑冪(寄左)再置城徑以自之得下式□□為同數與左相消得□□上法下實得八十步即一分之數也以三之得二百四十步即城徑也合問或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見甲既而乙云我所行居城徑六分之五甲云然則我所行却多于汝二百八十步問答同前法曰四之却多步為實分自之于上半分母減子得數倍之又以減數乘之減上位為法得一分之數草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一為一分數以六之為城徑以五之為乙行置乙行内減半城徑得□為小差也又加入却多步得□□又二之得□□為二大差又以小差乘之得□□為徑冪(寄左)然後以徑冪□□與左相消得下□□上法下實得四十步即一分之數也六之則為城徑五之則為乙行又以却多步加乙行即甲行步也合問或問甲丙二人俱在西北隅甲向東行不知步數而立丙向南行望見甲與之相㑹丙語甲云我行既多于汝又城徑少于我四十分之十六(按四十為股分十六為徑當云徑少)(於我為四十分之十六原文脫為字似十六為股圓差分矣)甲云然則吾二人共行了九百二十步問答同前法曰倍子以減倍母又乘共行步為實倍子減倍母以乘子母併數于上又以子冪加上位為法如法得一十五步即一分之數也草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分數不同耳乃立天元一為一分之數以十六之為城徑以四十之為丙行丙行減和步得□□為通勾勾内減徑餘得□□為小差于上以分母分子相減餘□又倍之得□為兩个大差以乘上位得□□為圓徑冪(寄左)然後以分子十六分自之得下□□與左相消得□□上法下實得一十五步即一分之數也以十六之得二百四十步即城徑也合問或問甲乙俱立于城中心乙出東門直行不知步數而立甲出南門直行亦不知步數望見乙向乙斜行與之相㑹乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步内若減甲直行餘三十四步若減乙直行餘一百五十三步問答同前法曰以云數二減步為小差大差以相乘倍之開平方加入大小差併以自之於上又以大小差相較數以自之減上位為實甲行分乙行分相乘又倍之為隅法得一分之數草曰别得云步相併得一百八十七是于皇極弦内少一个皇極黄方靣也又别得三十四步是个小勾圓差其一百五十三步是一个小股圓差此二差又相減餘一百一十九即中差也乃立天元一為一分之數以八之得□為乙東行數以十五之得□為甲南行數以二數相乘又倍之得□□為二直積于上(寄左)然後以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一萬四百四為平方實開之得一百二步即小黄方也加入相併數一百八十七得二百八十九為小弦也以自之得八萬三千五百二十一為弦冪于上以中差冪一萬四千一百六十一減上位餘□與左相消得□□□平方開之得一十七步即一分之數也副置一分之數上位以八之得一百三十六即乙東行也下位以十五之得二百五十五即甲東行也二位相乘得三萬四千六百八十又倍之得六萬九千三百六十為實以弦二百八十九為法如法得二百四十步即城徑也合問或問甲出西門南行乙出北門東行各不知逺近兩相望見復相斜行各行了三百四十步相㑹甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問答同前法曰以二之斜行步自之為實以各行分數自之為冪(按此語未詳當云以城徑六分乘甲南行二分得十二分加半城徑三分得十五分為大股分乙東)(行五分加半城徑三分得八分為大勾分各自之為冪)又相併為隅法開平方得一分之數草曰别得倍斜行為大弦又别得乙行五分城徑六分甲行十二分乃立天元一為一分之數以六之得□為城徑以五之得□為乙行分以十二之得□為甲行分乃副置半城徑上位加甲行步得□以自之得□□為甲行冪下位加乙行步得□以自之得□□為乙行冪二冪又相併得□□為大弦冪(寄左)然後置大弦六百八十步以自之得□與左相消得□□□平方開之得四十步即一分之數也以六之得二百四十步即城徑也合問或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙斜行與甲相㑹甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙東行居斜十七分之五問答同前法曰别得共步即二弦也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙東行也下位以十二之得八萬一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相減餘二百八十即勾股差也其餘各依法求之合問或問甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行望見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦得六百步問答同前法曰求得各行步(按見後草)相併以自之于上併甲南行冪乙東行冪以減上為實併各行為從半步常法得全徑草曰置(乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步)以上六分五分各自直乗步數訖得人(六分五分) (之五之三) (三千六百步三千步)别得左行三千六百步為六乙行五甲行也右行三千步為五甲行三乙行也以方程法入之乃再置(五甲行五甲行) (六乙行三乙行) (三千六百步三 千 步)先以左行直減右行右上空中餘三乙行下餘六百步上法下實得二百步即乙行也却以今右行減于元左行上餘五甲行空中下餘二千四百步上法下實得四百八十步即甲行也既得此數乃立天元一為城徑以半之副置二位上以加甲行得□□為通股以自之得□□□為大股冪下位加乙行得□□為通勾以自之得□□□為大勾冪二冪相併得□□□為大弦冪(寄左)乃併甲行乙行以自乗得下式□亦為大弦冪與左相消得下□□□開平方得二百四十步即城徑也合問或問甲從坤隅南行不知步數而立乙從艮隅東行望見之既而乙謂甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我所行内減汝所行四分之三得三百步問答同前法曰如法求得各行(按見後草)以相乗又二之開平方得全徑草曰置(乙取甲三分甲減乙四分) (之一之三) (二百步三百步)以上三分四分置乗步數訖得(三分之一四分之三) (六百步百步一千二)别得右行六百步為三乙行一甲行也左行一千二百步為四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置(一甲行四甲行) (三乙行負三乙行) (六千百百步一 二 步)先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下實得三百六十步即甲行也次以一甲行減元右行六百步餘二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二數相乘得數又倍之開平方即城徑也合問或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云其大小差相減餘二百八十步問答同前法曰二之中差為實置股子以勾母乗之内減股母為法得小差草曰别得勾圓差即小差股圓差即大差云步即中差乃立天元一為小差以四之得□為勾勾上加中差得□□為股又三之得□□為五个大差也内減五个天元得□□為五个中差也(寄左)乃以五之相減步□與左相消得□□上法下實得八十步即小差也合問或問股圓差如股五分之三勾圓差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步問答同前法曰二之少步實以股子母相減數減勾子母相減數為法如法得小差草曰立天元一為勾圓差便為勾母每分數以天元加四十步得□□為股母每分數于上乃以股子減股母餘二分以乘上位得□□為城徑(寄左)再置天元在地以勾子減勾母餘三分以乗之得□□為同數與左相消得下丨□上法下實得八十步即勾圓差也合問或問甲出南門直行乙出東門直行望見甲斜行與甲相㑹甲云我行不及股圓差二十四分之十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圓差多于勾圓差二百八十問答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得數倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相較數又九之減上位為實倍小差母得一十却以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得數減上位以為法得小差一分之數草曰立天元一為小差一分之數(此一分之數便是乙直行之數也)以五之得□為小差加二百八十得下□□為大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□為一个圓徑冪又九之得□□(寄左)乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□為九个大差也倍小差母得□以乘之得□□為同數與左相消得□□上法下實得一十六步即小差一分之數也既得此數餘各如法求之合問或問大勾大股大弦三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虚勾明勾相減餘二十四步以虚股□股相減餘六十步問答同前法曰六十步加入大三事和又三之二而一為實併二云數分母分子内減六步為法如法得□股草曰别得六十步與二十四步二數相併而半之得□即明勾□股差也又為虚勾虚股差也若以二數直相減即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半徑也其六十步得二□股亦為半徑也立天元一為□股加差步得□□為明勾也以乗八步三分之一得□□為大股也以天元乗一十步三分之二得□為大勾也勾股相併得下□□為大和也(寄左)然後四之天元加入二之六十步得□□為小三事和以小三事和加入大三事和得□□為二个大和也合折半為大和了又就三分之為前數今不折半三因但身外加五得□□為同數與左相消得□□上法下實得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城徑也合問按之分即通分也張邱建謂學者不患乘除之為難而患通分之為難又謂夏侯陽之方倉孫子之蕩杯皆未盡其妙於是作為算經三卷以發其義是書末設十四問皆以立天元一之法御之尤為簡妙殆所以明立天元一之法其用無不周也又按問中兩言以方程入之張邱建算經内數問亦然蓋有通分而乗除不窮有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶謂時人誤以大衍法為方程者蓋此類也按右書十二卷皆為立天元一法而作也其法神明變化不可端倪今略舉數端言之如諸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者則必不可求矣又諸法中有難求者雖强探力索毫釐未至則不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又諸法中有所求或先得彼而後得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼無不如志又諸法有數始可求一數不具則不可求此法數不具亦可求且有無數即可求者又諸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有經年步算可約之頃刻而得者凡此皆尋常智慮所不能及要皆自然之理數易知易從然自不習者觀之蓋有茫然莫解其故者矣是書之作殆深憂𫝊習者難其人而其法遂泯於後世也其謄寫魯魚算式舛訛今悉正之測圓海鏡卷十二
## 後序
後序
敬齋先生病且革語其子克修曰吾平生著述死後可盡燔去獨測圓海鏡一書雖九九小數吾嘗精思致力焉後世必有知者庶可布廣垂永乎先生于六藝百家靡不貫串文集近數百卷常謙謙不自伐惟于此書不忘稱異于易簀之間想有𤣥妙内得于心者予以先生與先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重為序之予不敢詭論艷藻刻畫無鹽唐突西子直以所聞語意載之于後至元二十四年春三月朔翰林修撰承直郎廣平王德淵後序◆ 《測圓海鏡分類釋術-元-》（KR3f0043）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
測圓海鏡分類釋術 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案測圓海鏡分類釋術十卷明顧應祥撰應祥有人代紀要已著錄李冶測圓海鏡所設一百七十問中皆有草有法(按前數十題中)(甚易者或無草後皆有草)草用立天元一為虚數合問數推之法専用問數推之皆歸于𢃄縱諸乗方而止應祥得治書于唐順之於立天元一語互相推求不得其解遂去其細草専演算法改為是書自謂便於下學殊不知立天元一之妙能使諸法不能求者可以得其法若無其草即冶已有不能得其法者而徒沾沾於加減開方之數可謂循枝葉而失本故唐順之與應祥書云此書形下之數太詳而形上之義或畧使觀之者尚不免其數可陳而義難知有與人以鴛鴦枕而不度人以金鍼之疑僕意欲明公於𦂳要處提掇一二作法源頭出來使後世為數學者識其大者得其義識其小者得其數則此書尤更覺精采耳其不足於應祥誠是第作法源頭即立天元一一語應祥既去之又將何以為提掇乎然九章之中惟少廣諸乗方之數為甚繁故立方𢃄縱之法古已不見有和較者冶所用有至三乗方四乗方及五乗方者且兼加減諸乘方亷隅不為之詳其算式初學誠有難於取數者冶雖専為發明立天元一術得應祥所演諸乗方之式亦可為求立天元一法者之一助云乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷一元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術圓城不知周徑四面居中開門城外四隅各有十字大街西北隅曰乾東北隅曰艮西南曰坤東南曰巽隨地逺近測望以知城徑通勾股求容圓一甲乙二人俱在城外西北隅乾地乙東行三百二十步甲南行六百步望乙與城相叅直問城徑荅曰城徑二百四十步釋曰此勾股求容圓徑也東行為通勾南行為通股以通勾股求通弦和較弦和較即容圓徑也術曰勾股相乗倍之為實勾股求弦併勾股為弦和和為法除之勾股求弦曰勾自之得一十○萬二千四百為勾筭股自之得三十六萬為股筭併二筭得四十六萬二千四百為弦筭平方開之得弦六百八十併勾股得一千六百為弦和和後凡言勾股求弦者俱倣此甲乙二人俱在城西北隅乾地甲直南行不知步數而立乙直東行三百二十步望見乃斜行六百八十步與甲相㑹測城徑釋曰此勾弦求容圓徑也東行為通勾斜行為通弦術曰勾弦求股勾股相乗倍為實弦和和除之勾弦求股曰勾自乗得一十○萬二千四百為勾筭弦自乗得四十六萬二千四百為弦筭相減餘三十六萬為股筭平方開之得股又術勾弦較乗勾倍之得二十三萬○四百為實倍較為從作帶從開平方法除之帶從開平方曰列實於左倍較得七百二十為從約初商得二百 置一於左上為法 置一為隅法帶從方共九百二十為下法除實一十八萬四千餘實四萬六千四百 倍隅法得四百為廉法約次商得四十置一於左次為上法 置一為隅法併從方廉法共一千一百六十為下法與上次法相乗除實盡後凡言帶從開平方法者俱倣此甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行不知步數而立乙南行六百步見之復斜行六百八十步與甲㑹測城徑釋曰此股弦求容圓也南行為通股斜行為通弦術曰股弦求勾以乗股倍之為實弦和和除之股弦求勾曰弦筭減股筭開其餘即勾後凡言股弦求勾者俱倣此又術股弦相減餘八十為股弦較相併得一千二百八十為股弦和以較乗和得一十○萬二千四百即勾筭平方開之得勾三百二十減較即城徑既有勾股求圓徑之法則勾弦求圓股弦求圓可以例見不必立法因原夲有此二問載於後卷故移附于此邊勾股求容圓二甲乙二人俱在城西門甲南行四百八十步乙穿城東行二百五十六步見之測城徑釋曰此勾上容圓也南行邊股也東行邊勾也以邊勾邊股求通圓術曰勾股相乗倍之得二十四萬五千七百六十為實勾股求弦得五百四十四併股共一千○二十四為股弦和為法除之乙出東門直行不知步數而止甲出西門南行四百八十步見之乃斜行五百四十四步相㑹問城徑釋曰此邊股邊弦求邊勾以求通容圓也南行為邊股斜行為邊弦術曰股弦求勾以乗股得一十二萬二千八百八十為實半股弦和得五百一十二為法除之甲出西門南行不知步數而立乙穿城東行二百五十六步見之乃斜行五百四十四步相㑹問城徑釋曰此邊勾邊弦求邊股以求通圓徑也東行為邊勾斜行為邊弦術曰勾弦求股以乗勾半股弦和除之底勾股求容圓三甲乙二人俱在北門乙東行二百步而止甲穿城南行三百七十五步見之問城徑釋曰此股上容圓也東行為底勾南行為底股以底勾股求通圓術曰勾股相乘倍之為實勾股求弦以勾弦和為法除之乙出南門直行不知步數而立甲出北門東行二百步見之復斜行四百二十五步就乙問城徑釋曰此底勾底弦求底股以求通圓徑也東行為底勾斜行為底弦術曰弦筭減勾筭餘平方開之得股與勾相乗得七萬五千為實 勾弦和為法除之得半徑又術倍勾弦較以乗勾筭得一千八百萬為實 四勾加倍較得一千二百五十為隅法作負隅開平方法除之得半徑負隅開平方法曰布實於左以隅法約初商一百置一於左上為法 置一乘隅法得一十二萬五千為隅法與上法相乘除實一千二百五十萬餘實五百五十萬倍隅法得二十五萬為廉法約次商得二十 置一於左次為上法 置一乘隅算得二萬五千 併廉法共二十七萬五千為下法與上法相乘除實盡後如此類者倣此問底股弦求通圓徑術曰弦筭減股筭開其餘得勾如前法求之皇極勾股求容圓四甲乙二人俱在城中心立乙穿城東行一百三十六步甲穿城南行二百五十五步望見問城徑釋曰此勾股上容圓以半圓勾股求全圓徑也東行皇極勾也南行皇極股也術曰勾股相乘倍之為實勾股求弦為法實如法而一得全徑皇極勾弦求圓股弦求圓止以勾弦求股股弦求勾依上推之不必立法大差勾股以下倣此通勾股折中弦上求圓五甲乙二人俱在城西北隅乾地乙東行一百八十步斜視城中有塔甲南行三百六十步與乙斜對視塔正居城徑之半問城徑釋曰此弦上容圓也東行為勾南行為股此以勾股求半容圓徑即勾股容方術術曰勾股相乘為實相併為法實如法而一得半徑大差勾股求容圓六甲乙二人俱在城外西南隅坤地乙東行一百九十二步甲南行三百六十步望乙與城叅直問城徑釋曰此勾外容圓也東行大差勾也南行大差股也術曰勾股相乘倍之得一十三萬八千二百四十為實勾股相減餘一百六十八為勾股較勾股求弦得四百○八併較共五百七十六為弦較和以為法除之得全徑小差勾股求容圓七甲乙二人俱在城外東北隅艮地甲南行一百五十步而止乙東行八十步望乙與城叅直問城徑釋曰此股外容圓也東行小差勾也南行小差股也術曰勾股相乘倍之得二萬四千為實相減餘七十為較勾股求弦得一百七十減較餘一百為弦較較以為法除之得全徑太虚勾股求容圓八甲乙二人俱在城外東南隅巽地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙與城叅直問城徑釋曰此弦外容圓也西行即太虚勾北行即太虚股以太虚勾股反而内向求圓故曰弦外容圓術曰勾股相乘倍之得八千六百四十為實相併得一百三十八為勾股和勾股求弦得一百○二以減和餘三十六為弦和較以為法除之得全徑明勾股求容圎九甲乙二人俱在南門乙東行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙與城叅直問城徑釋曰此勾外容半圓也東行為明勾南行為明股術曰勾股相乗倍之得一萬九千四百四十為平實勾股求弦得一百五十三減勾餘八十一為勾弦較以為法除之□勾股求容圓十甲乙二人俱在東門甲南行三十步而止乙東行一十六步望甲與城相叅直問城徑釋曰此股外容半圓也南行為□股東行為□勾術曰勾股相乘倍之為實勾股求弦以股弦較為法除之或問黄廣勾股黄長勾股無求圓之法何也曰黄廣之勾黄長之股即圓徑也故不立法曰上下高勾股上下平勾股何以不立法曰上高去城逺下高與上平俱不當城半下平亦不附城故不立法測圓海鏡分類釋術卷一
## 卷二
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷二元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術兩勾求容圓一(凡七條)圓城不知周徑甲從城外西北隅乾地東行三百二十步乙從城外西南隅坤地東行一百九十二步見之問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行大差勾也此以城南北長短二勾求城徑(與通股小差股同法)術曰二行相乗倍為實相併為法除之乙出南門東行七十二步甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行明勾也此以城北大勾與城南半勾求城徑(與通股□股同法)術曰二行相乗得二萬三千○四十為實以乙行步七十二為從方作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙出東門直行一十六步而止甲從城外乾隅東行三百二十步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲東行通勾也乙東行□勾也此以城北大勾與城東小餘勾求城徑術曰甲行内減二之乙行餘二百八十八以乘甲行得九萬二千一百六十為平實 四之甲東行減二之乙東行餘一千二百四十八為從方 四為隅法作負隅減從開平方法開之得半徑負隅減從開平方曰布實于左從于右約初商得一百 置一於左上為法 置一隅因得四百為隅法以減從方餘八百四十八為下法與上法相乘除實八萬四千八百餘實七千三百六十 倍隅法得八百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一隅因得八十為隅法 併廉法共八百八十以減原從餘三百六十為下法與上次法相乘除實盡後凡言負隅減從開平方法者俱倣此乙出南門折東行七十二步而止甲出北門折東行二百步見之問城徑釋曰甲從北門東行底勾也乙從南門東行明勾也此以城北半大勾城南半短勾求半城徑術曰二行相乘得半徑筭平方開之(與邊股□股同法)如乙出南門東行二十步甲出北門東行七百二十步術同乙從城外西南坤隅東行一百九十二步而止甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰甲從北門東行底勾也乙從坤隅東行大差勾也此以城北半大勾城南全短勾求城徑(與邊股小差股同法)術曰二行相乘得三萬八千四百為實以甲東行二百為從作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙出東門直行一十六步甲出北門東行二百步望乙與城叅直問城徑釋曰甲行底勾也乙出東門直行□勾也此以城北半大勾城東小餘勾求城徑術曰二行相減餘一百八十四為底勾□勾較 乙東行自之得二百五十六為□勾筭較自之得三萬三千八百五十六減□勾筭得三萬三千六百為實倍甲東行得四百為從方作減從開平方法除之得半徑減從開平方法曰布實於左從於右約初商一百置一於左上為法 置一為隅法以減從方餘三百為下法與上法相乘除實三萬餘實三千六百 倍隅法得二百為廉法 約次商得二十置一於左次為上法置一為隅法 併廉法共二百二十以減原從餘一百八十為下法與上法相乘除實盡或於初商除實三萬訖 於從内再減一百餘二百為從方 次商二十於餘從内減二十餘一百八十為下法亦通後凡言減從開平方法者俱倣此乙出東門直行一十六步甲出南門東行七十二步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲行明勾也乙之直行□勾也此以城南半勾與城東餘勾求城徑術曰二行相減餘五十六為明勾□勾較自之得三千一百三十六為較筭東門直行自之得二百五十六為□勾筭二筭相減餘二千八百八十為平實倍明勾得一百四十四為從作減從 翻法開平方開之得半徑減從翻法開平方曰布實於左從於右約初商得一百 置一於左上為法 置一為隅法以減從方餘四十四為下法與上法相乘 應除實四千四百實不滿法就於應除數内反減實二千八百八十餘一千五百二十為負積 倍初商得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法置一為隅法 併廉法共二百二十 從不及減反減從一百四十四餘七十六為下法與上次法相乘除實盡 或於初商反減實二千八百八十餘一千五百二十為負積 又以初商一百反減餘從四十四餘五十六為負從次商二十併負從共七十六為下法亦通後凡言減從翻法開平方者俱倣此兩股求容圓二(凡七條)乙出南門直行一百三十五步而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙與城相叅直問城徑釋曰甲從乾隅南行通股也乙出南門直行明股也此以城西大股與城南餘股求城徑(與通勾□勾同)術曰甲行内減二乙行餘三百三十以乘甲行得一十九萬八千為實三甲行内減二乙行餘一千五百三十為從方作帶從開平方法除之得半徑(法見一卷)乙出東門南行三十步甲從乾隅南行六百步見之問城徑釋曰甲南行為通股乙出東門南行三十步為□股此以西大股與東短股求城徑(通勾明勾同法)術曰二行相乘得一萬八千為實以乙南三十為從作帶從開平方法除之得半徑(法見一卷)乙居城外東北艮隅南行一百五十步甲從城外西北南行六百步望乙與城叅直問城徑釋曰甲南行通股也乙從艮隅南行小差股也此以城西長股與城東短股求城徑(與通勾大差勾同法)術曰二行相乘倍之得一十八萬為實相併得七百五十為法除之得全徑甲出西門南行四百八十步而止乙出東門南行三十步望乙與城叅直問城徑釋曰甲出西門南行四百八十步邊股也乙出東門南行三十步□股也此以城西半股與城東短股求圓徑俗云半〔？〕梯(與底勾明勾同法)術曰二行相乘得半徑筭平方開之甲出西門南行四百八十步而立乙從城外東北艮隅南行一百五十步見之問城徑釋曰甲南行邊股也乙從艮隅南行小差股也此以城西南半股與城東北半股求圓徑(與底勾大差勾同法)術曰二行相乘得七萬二千為實以甲南行四百八十為從方作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷甲出西門南行四百八十步乙出南門直行一百三十五步相望與城叅直問城徑釋曰甲南行邊股也乙出南門直行明股也此以城西大半股與城南餘股求圓徑(底勾□勾同法)術曰二行相減餘自之得一十一萬九千○二十五為差筭乙行自之得一萬八千二百二十五為明股筭以減差筭餘一十○萬○八百為實 倍甲行得九百六十為益從作減從開平方法除之得半徑(法見)(前)乙出東門南行三十步而立甲出南門直行一百三十五步望乙與城叅直問城徑釋曰乙出東門南行□股也甲直行明股也此以城中餘股與城東小股求圓徑(明勾□勾同法)術曰二行相減餘自之得一萬一千○二十五為差筭甲直行自之得一萬八千二百二十五為明股筭減差筭餘七千二百為正實 倍乙行得六十為從方作以從減法開平方法除之得半徑以從減法開平方曰布實于左從于右約初商得一百 置一於左上為法 置一於右下為隅法以從減隅餘四十為下法與上法相乘除實四千餘三千二百為實 倍隅法得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一為隅法 併廉法共二百二十減去從方餘一百六十為下法與上次法相乘除實盡後凡言減法開平方者俱倣此又為添積帶從開平方法初商一百 置一於左上為法 置一於右下為隅法對上法相乘得一萬為益實添入積内共一萬七千二百為實 置一帶從得一百六十為下法與上法相乘除實一萬六千餘一千二百為實倍隅法得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法置一為隅法 併廉法共二百二十與上次法相乘得四千四百為益實添入餘積共五千六百為實置一併廉法從方共二百八十為下法與上次法相乘除實盡又術明股筭減差筭餘七千二百為實六之□股得一百八十為從方作減從翻法開平方法開之得半徑減從翻法開平方法見前條兩弦求容圓三城南有槐一株城東有栁一株甲出北門東行丙出西門南行甲丙槐栁悉與城相叅直既而甲斜行四百二十五步至槐下丙斜行五百四十四步至栁下問城徑釋曰甲斜行向西南至槐樹下底弦也丙斜行向東北至栁樹下邊弦也此以邊弦底弦互測圓徑術曰二斜行相減餘自之得一萬四千一百六十一為差筭甲斜行自之得一十八萬○六百二十五為底弦筭二筭相減餘一十六萬六千四百六十四為平實 倍邊弦得一千○八十八為從方作帶從開平方法開之得一百三十六為平弦帶從開平方法見一卷出城南門之東有槐甲出北門東行斜望槐樹與城叅直乃斜行二百七十二步至槐下休止東門之南有栁丙出西門南行斜望栁樹亦與城相叅直乃斜行五百一十步至栁下休止問城徑釋曰槐在南門東七十二步明勾也甲出北門東行二百步望見槐與城相叅直此底勾也斜行至槐下黄長弦也栁在東門之南三十步□股也丙出西門南行四百八十步望栁與城叅直邊股也斜行至栁樹下黄廣弦也此以黄長黄廣二弦立法測望術曰半甲斜行自之得一萬八千四百九十八為黄廣弦半筭半丙斜行自之得六萬五千○二十五為黄長弦半筭併二行折半自之得一十五萬二千八百八十一以二筭減之餘六萬九千三百六十為實併二行共七百八十二為從 作減從開平方法開之得一百○二為太虚弦減從開平方法見二卷(底勾□勾條)東門之南有栁南門之東有槐俱不知步甲出東門直行乙出南門直行立定二人相望視槐栁與城相叅直既而甲斜行三十四步至栁下乙斜行一百五十三步至槐下問城徑釋曰此明弦□弦立法測望甲斜行至栁為□弦乙斜行至槐為明弦術曰二弦相乘倍得一萬○四百○四平方開之得太虚弦加□弦即皇極勾加明弦即皇極股以皇極勾股求之得城徑皇極勾股求容圓見一卷測圓海鏡分類釋術卷二
## 卷三
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷三元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術通勾與别股測望一(凡三條)圓城不知周徑乙從城外西南坤隅南行三百六十步而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰乙從坤南行大差股也甲從乾東行通勾也此以通勾大差股測望通勾為城北大勾大差股為城西南之虚股術曰二行相乘得一十一萬五千二百為實 倍乙行得七百二十為從作減從開平方法除之得全徑減從開平方法見二卷又曰二行相併得六百八十為通弦以通勾弦求容圓法求之即得南門外一百三十五步有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之問城徑釋曰此以通勾明股立法樹距南門明股也甲之東行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南餘股術曰東行自之又以樹距南門步乘之得一千三百八十二萬四千為立實 倍樹距南門步以乘東行步得八萬六千四百為從方二為隅算作帶從負隅開立方法除之得半徑帶從負隅開立方曰布實於左從尾數至首常超二位又以從方約之定首位得一百 置一於左上為法 置一自之隅因得二萬為隅法併從方得一十○萬六千四百為下法與上法相乘除實一千○六十四萬餘實三百一十八萬四千 三因隅法得六萬為方法 三因初商得三百又以隅筭因之得六百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一乘廉法得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法併方法從方廉隅共一十五萬九千二百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅開立方法者俱倣此乙出東門南行三十步甲從乾隅東行三百二十步望乙與城叅直問城徑釋曰此以通勾□股測望甲東行通勾也乙出東門南行三十步□股也術曰二行相乘得九千六百為實 以東行三百二十為從方二為隅算作減從負隅翻法開平方除之得半徑減從負隅翻法開平方曰初商一百 置一於左上為法 置一隅因得二百為隅法以減從方餘一百二十為下法與上法相乘除實一萬二千實不滿法反減實九千六百餘二千四百為負積倍餘法得四百為廉法次商二十 置一於左次為上法 置一隅因得四十為隅法併廉隅共四百四十減從不足反減從方三百二十餘一百二十為下法與上次法相乘除實盡後凡言帶從負隅翻法開平方者俱倣此底勾與别股測望二城西門南四百八十步有樹出北門東行二百步見之問城徑釋曰此底勾邊股立法測望西門南四百八十步邊股也出北門東行二百步底勾也底勾居城北勾之半邊股居城西股之半術曰二行相乘得九萬六千為實 相併得六百八十為從二為隅筭 作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷(通勾□勾條)圓城出北門北行一十五步折而東行二百○八步有樹出西門西行八步折而南行四百九十五步見之問城徑釋曰此以底勾過步帶短股邊股過步帶短勾立法測望出北門北行為短股折而東為長勾過於底勾出西門西行為短勾折而南為長股過於邊股術曰西行為短勾東行為長勾北行為短股南行為長股短勾併長勾以長股乘之得一十○萬六千九百二十 短股併長股以短勾乘之得四千○八十相減餘一十○萬二千八百四十為勾股維乘差又自之得一百○五億七千六百○六萬五千六百為三乘方實 長股内減二短勾餘與長勾相減餘二百七十一為股減勾差 長勾内減二短股餘與長股相減餘三百一十七為勾減股差 股減勾差與勾減股差復相減餘四十六以乘勾股維乘差得四百七十三萬○六百四十為從方 股減勾差與勾減股相乘得八萬五千九百○七 長短勾併與長短股併相乘又倍之得二十二萬○三百二十倍勾股維乘差得二十○萬五千八百六十 三數相併得五十一萬一千九百○七為從一廉長短勾併得二百一十六又四之得八百六十四 倍股減勾差得五百四十二 二數相併得一千四百 六為從二廉作帶從方廉開三乘方法除之得半徑帶從方廉開三乘方曰置所得三乘方積為實以從方廉約之初商得一百 置一於左上為法置一乘從一廉得五千一百一十九萬○七百置一自之以乘從二廉得一千四百○六萬置一自乘再乘得一百萬為隅法 併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘積三十四億七千七百九十三萬一千六百為次商之實倍從一廉得一億○二百三十八萬一千四百三因從二廉得四千二百一十八萬 四因隅法得四百萬 初商自之 六因得六萬 初商三之以乘下廉得四十二萬一千八百相併加入從一廉得九十九萬三千七百○七為上廉 初商四之帶從二廉得一千八百○六為下廉次商二十 置一為法 置一乘上廉得一千九百八十七萬四千一百四十 置一自之以乘下廉得七十二萬二千四百併方廉隅共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡或作初商一百 置一為法 置一乘從一廉置一自之以乘從二廉 置一自乘再乘為隅法併從方廉隅共七千○九十八萬一千三百四十為下法與上法相乘除實七十○億九千八百一十三萬四千餘實三十四億七千七百九十三萬一千六百為次實 四因隅法得四百萬為方法 初商自之 六因得六萬為上廉 初商四之得四百為下廉 次商二十 置一於左次為上法 倍初商加次商得二百二十以乘從一廉得一億一千二百六十一萬九千五百四十初商三之併初次商因之得三萬六千 次商自之得四百共三萬六千四百以乘從二廉得五千一百一十七萬八千四百 以兩從廉併入從方共一億六千八百五十二萬八千五百八十為從置一乘上廉得一百二十萬 置一自之以乘下廉得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千帶從共一億七千三百八十九萬六千五百八十為下法與上法相乘除實盡此法分别從方從廉明白故重録附之出西門南行二百二十五步有塔出北門東行六十四步望塔正居城之半問城徑釋曰此以不及底勾與不及邊股測望南行二百二十五步與高股同即半徑為勾之股東行六十四步與平勾同即半徑為股之勾也當以平勾高股立法為是但其望塔當城之半故附底勾邊股條下術曰二行相乘即半徑筭乙從城外西南坤隅南行三百六十步甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰此以底勾大差股立法測望乙從坤隅南行大差股也甲東行底勾也底勾為城北東半勾大差股為城西南虚股術曰二行相乘得七萬二千倍之得一十四萬四千為實以南行三百六十為從方作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷乙出南門直行一百三十五步甲出北門東行二百步見之問城徑釋曰此底勾明股立法測望乙出南門直行明股也甲出北門東行底勾也底勾為城北半勾明股為城南餘股術曰東行自之以南行乘之得五百四十萬又四之得二千一百六十萬為立方實 以南門餘股一百三十五為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑帶從廉開立方曰置所得立積為實 以從廉約之初商二百 置一於左上為法 置一乘從廉得二萬七千置一自之得四萬為隅法 併從廉共六萬七千為下法與上法相乘除實一千三百四十萬餘實八百二十萬 倍從廉得五萬四千三因隅法得一十二萬相併得一十七萬四千為方法 三因初商帶從廉得七百三十五為廉法約次商得四十 置一於左次為上法置一乘廉法得二萬九千四百置一自之得一千六百為隅法 併方廉隅共二十 萬五千為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從廉開立方法者俱倣此乙出南門南行一百三十五步而立甲出北門北行一十五步折而東行二百○八步見之問城徑釋曰此底勾帶短股與明股立法測望乙出南門南行明股也甲出北門北行北門外短股也折而東行類底勾而過之術曰以東行乗南行得二萬八千○八十自之得七億八千八百四十八萬六千四百為三乘方實 東行自之得四萬三千二百六十四以乘南行得五百八十四萬○六百四十倍之得一千一百六十八萬一千二百八十為從方 北行自之於上 併南北二行以減東行餘自之減上位餘數減上寄位 併南北二行 以東行乘之倍之以減寄位 餘五萬六千九百八十八為從一廉 四之東行得八百三十二於上 併南北二行減東行餘五十八四之得二百三十二以減上位餘六百為從二廉 四為虚隅作帶從二廉減從翻法開三乘方開之得半徑帶一廉以從二廉益從減從為法翻法開三乘方曰列所得三乘方實從一廉從二廉隅法約之初商一百 置一於左上為法 置一乘從一廉得五百六十九萬八千八百為益隅之廉 置一自之以乘從二廉得六百萬為益從之廉併入從方共一千七百六十八萬一千二百八十為通法置一自乘再乘以隅因之得四百萬為隅法併益隅之廉共九百六十九萬八千八百為減實以減通法餘七百九十八萬二千四百八十為下法與上法相乘除實七億九千八百二十四萬八千實不滿法翻減實七億八千八百四十八萬六千四百餘九百七十六萬一千六百為負積二因乘出從一廉得一千一百三十九萬七千六百為益隅之廉 三因乘出從二廉得一千八百萬為益從之廉 又三之初商乘從二廉得一十八萬為益從次廉 四因隅法得一千六百萬為方法 初商自之六因又以隅因得二十四萬為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉次商二十 置一於左上為法 置一乘從一廉得一百一十三萬九千七百六十併益隅之廉共一千二百五十三萬七千三百六十共為益隅置一乘益從次廉得三百六十萬 置一自之以乘從二廉得二十四萬併二數加入益從之廉共二千一百八十四萬為益從 併入從方共三千三百五十二萬一千二百八十為通法 置一乘上廉得四百八十萬 置一自之以乘下廉得六十四萬 置一自乘再乘隅因得三萬六千為隅法 併方法上下廉隅法得二千一百四十七萬二千 併益隅共三千四百○○萬九千三百六十為減實 以減通法不及減反減通法三千三百五十二萬一千二百八十餘四十八萬八千○八十為負法與上法相乘除負積盡後凡言帶一廉以二廉益從減從翻法開三乘方法者俱倣此甲乙二人同出北門行至東北隅艮地分路乙往南行一百五十步而立甲又東行連前共二百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此底勾小差股立法測望甲前後共東行底勾也乙往南行小差股也術曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十萬為實二行相減以乘乙南行得七千五百二行相乘得三萬 二數相併得三萬七千五百為法實如法而一得半徑又曰二行相乘得三萬為實 倍底勾減小差股餘二百五十為法乙出東門南行三十步而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此底勾□股立法測望乙出東門南行□股也甲出北門東行底勾也術曰二行相乘得六千為平實 相減得一百七十為從方作減從翻法開平方法除之得半徑減從翻法開平方法見二卷又曰乙南行自之得九百為□股筭以乘東行得一十八萬為立實 □股筭為從方 東行内減二之乙南行餘一百四十為益廉作帶從減益廉翻法開立方法除之得半徑帶從減益廉翻法開立方曰置所得積一十八萬以從方廉約之 初商一百 置一於左上為法置一乘從廉得一萬四千置一自之得一萬為隅法帶從方共一萬 九百以減益廉餘三千一百為下法與上法相乘除實二十一萬實不滿法反減實一十八萬餘一十三萬為負積 倍益廉得二萬八千三因隅法得三萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一乘益廉得二千八百併入倍益廉得三萬○八百 置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方從方廉隅共三萬七千三百反減益廉三萬○八百餘六千五百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從減廉翻法開立方法者倣此大差勾與别股測望三甲乙二人俱在城西門南行至西南坤隅分路乙往東行一百九十二步而立甲復南行計前後共四百八十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此大差勾與邊股立法測望乙自坤隅東行大差勾也甲自西門往南共行邊股也術曰二行相乘得九萬二千一百六十 又以乙東行乘之得一千七百六十九萬四千七百二十為實二行相減餘二百八十八亦以東行乘之得五萬五千二百九十六 加二行相乘之數共一十四萬七千四百五十六為法實如法而一得半徑又曰二行相乘為實 倍甲南行減乙東行餘為法甲從城外西南坤隅東行一百九十二步乙從東北艮隅南行一百五十步望甲與城相叅直問城徑釋曰此大差勾與小差股立法測望甲東行大差勾也乙南行小差股也(與小差勾大差股同)術曰二行相乘倍之即全徑筭小差勾與别股立法測望四乙從城外東北艮隅東行八十步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑釋曰此小差勾與通股立法測望乙從艮隅東行小差勾也甲從乾隅南行通股也(與通勾大差股同法)術曰二行相乘倍之得九萬六千為實 二之東行得一百六十為從 作帶從開平方法除之得半徑帶從開平方法見一卷乙從城外東北艮隅往東行八十步甲出西門南行四百八十步見之問城徑釋曰此小差勾與邊股立法測望乙東行小差勾也甲南行邊股也術曰二行相乘倍之得七萬六千八百為實以乙東行為從作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷乙從艮隅東行八十步而立甲從城外西南坤隅南行三百六十步見之問城徑釋曰此以小差勾大差股立法測望乙東行小差勾也甲南行大差股也術曰二行相乘倍之即圓徑筭明勾與别股測望五乙出南門東行七十二步而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾通股立法測望乙出南門東行明勾也甲從乾隅南行為通股術曰二行相乘得四萬三千二百為實 以甲南行六百為從方 二為隅法作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷乙出南門東行七十二步而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾邊股立法測望乙東行明勾也甲南行邊股也術曰乙東行自之得五千一百八十四為明勾筭以南行乘之得二百四十八萬八千三百二十為立方實 明勾筭為從 南行内減二東行餘三百三十六為益廉 作帶從減廉開立方法除之得半徑帶從減廉開立方曰置所得立方實以從方從廉約之 初商一百 置一於左上為法 置一乘益廉得三萬三千六百 置一自之得一萬為隅法帶從方共一萬五千一百八十四 以減益廉餘一萬八千四百一十六為下法與上法相乘除實一百八十四萬一千六百餘實六十四萬六千七百二十為次商之實 倍益廉得六萬七千二百 三因隅法得三萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左上為法 置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉共七萬三千九百二十 置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方法從方廉隅共四萬一千五百八十四以減益廉餘三萬二千三百三十六為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從減廉開立方法者俱倣此又曰明勾邊股相乘得三萬四千五百六十為實明勾邊股相減餘四百○八為從方 一虚法作減從開平方除之尤捷甲出南門東行七十二步而立乙出東門南行三十步望乙與城相叅直問城徑釋曰此明勾□股立法測望甲出南門東行明勾也乙出東門南行□股也術曰二行相乘得二千一百六十為實 相併得一百○二為從 作以從減法開平方除之得半徑以從減法翻法開平方曰置實于左從於右 約初商得一百 置一於左上為法 置一為隅法以從減隅隅不及減從内翻減隅一百餘二為負從以負從為下法與上法相乘得二百 反増入實内共二千三百六十四為次商之實 倍隅法得二百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一為隅法併廉隅共二百二十 以從減之餘一百一十八為下法與上法相乘除實盡後凡如此類者俱倣此通變隨宜又術二行相併得一百○二為太虚弦相減餘四十二即太虚勾股較 倍弦筭減較筭餘一萬九千○四十四平方開之得一百三十八為太虚勾股和 加較半之為股減較半之為勾 以太虚勾股求圓徑又曰二行相乘倍為實 相減餘為從 作帶從開平方法除之得虚勾二行相併即虚弦以勾弦求股以得圓徑□勾與别股立法測望四乙出東門直行一十六步甲從城外西北乾隅南行六百步見之問城徑釋曰此以□勾通股立法測望乙出東門直行□勾也甲從乾隅南行通股也術曰甲南行自之又以乙東行一十六乘之得五百七十六萬為立方實 倍東行以乘南行得一萬九千二百為從方 二為隅作帶從負隅開立方法除之得半徑帶從負隅開立方法見前通勾明股乙出東門直行一十六步甲出西門南行四百八十步見之問城徑釋曰此□勾邊股立法測望乙出東門直行□勾也甲出西門南行邊股也術曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得三百六十八萬六千四百又四之得一千四百七十四萬五千六百為立方實 以東行一十六步為從廉作帶從廉開立方法除之得全徑帶從廉開立方法見前底勾明股條圓城不知周徑南門外一百三十五步有樹出東門直行一十六步見之問城徑釋曰此□勾明股立法測望出東門外一十六步為□勾城東之餘勾也樹在城南一百三十五步為明股城南之餘股也以餘勾餘股測城徑術曰餘勾餘股相乘為勾乘股筭自之得四百六十六萬五千六百為三乘方實 勾乘股筭倍之得四千三百二十又以餘勾餘股併乘之得六十五萬二千三百二十為從方 餘勾餘股相併自之得二萬二千八百○一餘勾餘股相減自之得一萬四千一百六十二數相減餘八千六百四十為益廉 作帶從廉添積開三乘方法除之得半徑帶從益廉添積開三乘方曰置所得三乘方積以從方廉約之初商一百 置一於左上為法 置一乘從益廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十為益積之法與上法相乘得一億五千一百六十三萬二千為益實添入原積共一億五千六百二十九萬七千六百為通實置一自乘再乘得一百萬為隅法與上法相乘除實一億餘五千六百二十九萬七千六百為次實 二因益廉得一百七十二萬八千 四因隅法得四百萬為方法 初商自之 六因得六萬為上廉 初商四之得四百為下廉 約次商得二十置一於左次為上法 置一乘益廉得一十七萬二千八百併前倍廉共一百九十○萬○八百 併從方共二百五十五萬三千一百二十為益積之法與上法相乘得五千一百○六萬二千四百為益實添入次實共一億○七百三十六萬為通實置一乘上廉得一百二十萬 置一自之以乘下廉得一十六萬置一自乘再乘得八千為隅法併方廉隅共五百三十六萬八千為下法與上法相乘除實盡又為帶從方廉減隅翻法開三乘方其法曰初商一百 置一於左上為法 置一自乘再乘得一百萬為隅法 置一乘從廉得八十六萬四千併從方共一百五十一萬六千三百二十以減隅法不及反減隅法一百餘五十一萬六千三百二十為負隅與上法相乘得五千一百六十三萬二千加原實共五千六百二十九萬七千六百為次商之實 四因隅法得四百萬為方法初商自之六因得六萬為上廉 初商四之得四百為下廉 次商二十置一於左次為上法置一乘上廉得一百二十萬置一自之以乘下廉得一十六萬 置一自乘再乘得八千為隅法併方法廉隅共五百三十六萬八千為通隅 倍初商加次商得二百二十以乘從廉得一百九十○萬○八百併從方共二百五十五萬三千一百二十以減通隅餘二百八十一萬四千八百八十為下法與上法相乘除實盡後凡言如此類立法者倣此又術曰以樹去南門步自之得一萬八千二百二十五為餘股筭副置二位一以餘股乘之得二百四十六萬○三百七十五為餘股立筭一以餘勾乘之得二十九萬一千六百為勾乘股立筭相乘得七千一百七十四億四千五百三十五萬為三乘方實 餘勾餘股相乘得二千一百六十為勾股相乘筭倍之以乘餘股立筭得一百○六億二千八百八十二萬為從方 餘勾自之得二百五十六為餘勾筭四之以乘餘股得一十三萬八千二百四十 倍勾乘股立筭得五十八萬三千二百 二數相減餘四十四萬四千九百六十為從二減廉 以勾股相乘筭為隅筭 作從廉減從方負隅開三乘方法除之得八十一為明勾弦較以除明股筭得二百二十五為明勾弦和 加較半之為弦減較半之為勾 勾股相乘倍為實 以較除之得通弦和較通弦和較即城徑也從㢘減從方負隅開三乘方曰約初商八十置一於左上為法 置一自之以乘從廉得二十八億四千七百七十四萬四千以減從方餘七十七億八千一百○七萬六千 置一自乘再乘得五十一萬二千以隅筭因之得一十一億○五百九十二萬為隅法 併從方共八十八億八千六百九十九萬六千為下法與上法相乘除實七千一百○九億五千九百六十八萬餘實六十四億八千五百六十七萬為次實 四因隅法得四十四億二千三百六十八萬為方法 初商自之六因又以隅因得八千二百九十四萬四千為上廉 初商四之隅因得六十九萬一千二百為下廉 約次商得一 置一於左次為上法 倍初商加次商得一百六十一又併初次商為八十一乘之得一萬三千○四十一以乘從廉得五十八億○二百七十二萬三千三百六十以減餘從餘一十九億七千八百三十五萬二千六百四十為從方 置一乘上廉 置一自之以乘下廉俱如舊 置一自乘再乘仍得一為隅法併方法從方廉隅共六十四億八千五百六十七萬為下法與上法相乘除實盡測圓海鏡分類釋術卷三
## 卷四
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷四元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術通勾與别弦測望一圓城南門之南有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步乙出西門南行望樹及甲與城相叅直乃斜行二百五十五步至樹下問城徑釋曰此以通勾上高弦立法測望甲東行通勾也乙斜行乃天之日上高弦也乙從西門南行四百八十步為邊股樹在南門外一百三十五步為明股術曰二行相乘又以半甲東行乘之得一千三百○五萬六千為立方實 二行相乘得八萬一千六百半甲東行乘甲東行得五萬一千二百相併得一十三萬二千八百為益從甲東行三百二十為減從廉減從開立方法除之得半徑帶從以廉減從開立方曰布實於左從於右别置減從廉 約初商得一百 置一於左上為法置一乘從廉得三萬二千 以減從方餘一十○○八百置一自之得一萬併餘從共一十一萬○八百為下法與上法相乘除實一千一百○八萬餘一百九十七萬六千 倍減廉得六萬四千三因隅法得三萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法置一乘減廉得六千四百併倍廉共七萬○四百以減原從餘六萬二千四百 置一乘廉法得六千置一自之得四百為隅法併方廉隅共三萬六千四百帶餘從共九萬八千八百為下法與上法相乘除實盡得半徑一百二十後凡言帶從以廉減從開立方法者倣此甲從城外西北乾隅東行三百二十步而立乙出南門直行不知步數望見甲與城相叅直遂斜行四百二十五步與乙相㑹問城徑釋曰此以通勾底弦立法測望甲東行通勾也乙自南門外斜行就甲為底弦乃日之地也術曰二行相減餘一百○五為通勾底弦差以乘通勾得三萬三千六百 又以半通勾乘之得五百三十七萬六千為立方實 半通勾乘通勾得五萬一千二百與差乘通勾之數相減餘一萬七千六百為從方 倍東行得六百四十步為益廉作帶從減益廉開立方法除之帶從減益廉開立方法見三卷(明勾邊股下)圓城南門外有槐樹一株東門外有栁樹一株兩樹斜相距二百八十九步甲從城外西北隅向東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑釋曰此以通勾皇極弦立法測望甲東行通勾也兩樹斜相距皇極弦也原法先求出皇極勾即栁至城心步后以勾弦求股以皇極勾股求容圓即是術曰通勾與皇極弦相乘得九萬二千四百八十自之得八十五億五千二百五十五萬○四百為三乘方實 皇極弦自乗得八萬三千五百二十一為皇極弦筭以通勾乘之得二千六百七十二萬六千七百二十倍之得五千三百四十五萬三千四百四十為從方 倍通勾皇極弦相乘之數得一十八萬四千九百六十為第一從廉 倍皇極弦得五百七十八為第二益廉 以二為隅筭作帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方法除之得一百三十六為皇極勾求城徑以皇極勾弦求皇極股二百五十五 勾股相乘倍為實以弦除之即得容圓全徑(勾弦求股見一卷)帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方積為實 列從方從一廉從二益廉約商首一位得一百置一於左上為法 置一自之以乘益廉得五百七十八萬 置一自乘再乘以隅筭因之得二百萬為隅法益廉共七百七十八萬與上法相乘得七億七千八百萬為益實添入積内共九十三億三千○五十五萬○四百為通實置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從併入從方共七千一百九十四萬九千四百四十為下法與上法相乘除實七十一億九千四百九十四萬四千餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十二萬為上廉 初商四之隅因得八百為下廉次商三十置一於左次為上法 倍初商加次商得二百三十併初次商為一百三十相乘得二萬九千九百又加初商自之一萬共三萬九千九百以乘從二益廉得二千三百○六萬二千二百為益廉之實 置一乘上廉得三百六十萬 置一自之得九百以乘下廉得七十二萬 置一自乘再乘得二萬七千隅因得五萬四千為隅法併方廉隅共一千二百三十七萬四千為益隅之實與益廉之實相併得三千五百四十三萬六千二百為益積之法與上次法相乘得一十○億六千三百○八萬六千為益積之實添入餘實共三十一億九千八百六十九萬二千四百為通實 倍初商加次商得二百三十 以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從併入從方共九千五百九十九萬四千二百四十為下法 與上次法相乘除實二十八億七千九百八十二萬七千二百尚餘三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實 二因上廉得七百二十萬 三因下廉得二百一十六萬 四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千七百五十七萬六千為方法 併初次商自之 又六因得一十○萬一千四百以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉 併初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十為下廉 三商得六 置一於左上為法 倍初次商加三商得二百六十六 併初次商加三商得一百三十六 相乘得三萬六千一百七十六又以初次商併自之得一萬六千九百加之共五萬三千○七十六以乘從二益廉得三千○六十七萬七千九百二十八為益廉之實 置一乘上廉得一百二十一萬六千八百 置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十相併得一百二十五萬四千二百四十為廉法 置一自乘再乘得二百一十六 以隅因之得四百三十二為隅法併方法廉法隅法共一千八百八十三萬○六百七十二為益隅之實 併益廉之實共四千九百五十○萬八千六百為益積之法 與上法相乘得二億九千七百○五萬一千六百為益積 添入餘實共六億一千五百九十一萬六千八百為通實 倍初次商加三商得二百六十六 以乘從一廉四千九百一十九萬九千三百六十為益從 併從方共一億○二百六十五萬二千八百為下法與上法六相乘除實盡得一百三十六為皇極勾此法以二廉與隅添積以第一廉益從為法又為帶從負隅以廉隅減從開三乘方法其法曰以八十五億五千二百五十五萬○四百為正實 以五千三百四十五萬三千四百四十為從方 以一十八萬四千九百六十為從一廉以五百七十八為從二減廉 二為隅算 約初商得一百 置一於左上為法 置一自之得一萬以乘從二廉得五百七十八萬為減廉置一自乘再乘 又以隅因得二百萬為隅法 併減廉隅法得七百七十八萬為減從 置一乘從一廉得一千八百四十九萬六千為益從 以益從加入原從得七千一百九十四萬九千四百四十以減從減之餘六千四百一十六萬九千四百四十為下法 與上法相乘除實六十四億一千六百九十四萬四千 餘實二十一億三千五百六十○萬六千四百為次商之實 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又以隅因之得一十二萬為上廉 初商四之隅因得八百為下廉 約次商得三十置一於左上為法 倍初商加次商得二百三十 併初次商得一百三十相因得二萬九千九百又加初商自乘一萬共三萬九千九百以乘從二廉得二千三百○六萬二千二百為減廉 置一乘上廉得三百六十萬 置一自之以乘下廉得七十二萬 置一自乘再乘隅因得五萬四千為隅法 併方廉隅共一千二百三十七萬四千為減隅 併減廉減隅共三千五百四十三萬六千二百為減從 倍初加次商得二百三十以乘從一廉得四千二百五十四萬○八百為益從以加原從得九千五百九十九萬四千二百四十以減從減之餘六千○五十五萬八千○四十為下法 與上法相乘除實一十八億一千六百七十四萬一千二百 餘實三億一千八百八十六萬五千二百為三商之實 二因上廉得七百二十萬三因下廉得二百一十六萬四因隅法得二十一萬六千併入方法共一千七百五十七萬六千為方法 初次商併自之六因又以隅筭因之得二十○萬二千八百為上廉 初次商併四之隅因得一千○四十為下廉約三商得六置一於左次為上法 倍初次商加三商得二百六十六 併初次三商共一百三十六相因得三萬六千一百七十六又加初次商相併自之一萬六千九百共五萬三千○七十六以乘從二廉得三千○六十七萬七千九百二十八為減廉 置一乘上廉得一百二十一萬六千八百 置一自之以乘下廉得三萬七千四百四十置一自乘再乘以隅因得四百三十二為隅法併方廉隅共一千八百八十三萬○六百七十二為減隅 減廉減隅相和得四千九百五十○萬八千六百為減從倍初次加三商得二百六十六以乘從一廉得四千九百一十九萬九千三百六十為益從 以加原從得一億○二百六十五萬二千八百 以減從減之餘五千三百一十四萬四千二百為下法 與上法相乘除實盡此法以第一廉為益從第二廉與隅為減從以從為法後凡如此類者俱倣此圓城南門外往東有樹甲從城外西北隅東行三百二十步望樹與城叅直復斜行二百七十二步至樹下問城徑釋曰此以通勾黄長弦立法測望南門外往東七十二步有樹明勾也甲東行通勾也斜行至樹下地之月黄長弦也術曰二行相減餘四十八為差 倍差倍東行相乘得六萬一千四百四十為實 倍差倍東行步相併得七百三十六為益從 二為隅法 作負隅減從翻法開平方法除之得全徑負隅減從翻法開平方法見三卷通勾□股條下前以半徑此以全徑推廣即是丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙丙俱與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行一百○二步相㑹問城徑釋曰此以通勾太虚弦立法測望丙出南門東行七十二為明勾乙出東門南行三十步為□股甲東行通勾也乙斜行太虚弦也以此勾弦立法術曰甲東行自之得一十○萬二千四百為東行筭倍斜行乘之得二千○八十八萬九千六百為立方實 倍斜行乘東行得數又加倍東行筭得二十七萬○○八十為從方四之東行得一千二百八十為益廉 四為隅法 作帶從負隅以廉添積開立方法除之得半徑帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實于左 以從方益廉隅筭約之 初商一百 置一於左上為法 置一乘益廉得一十二萬八千與上法相乘得一千二百八十萬為益實 添入積内得三千三百六十八萬九千六百為通實 置一自之又以隅筭因之得四萬為隅法 併從方共三十一萬○○八十為下法與上法相乘除實三千一百○○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次實 二因乘過益廉得二十五萬六千為益廉 三因隅法得一十二萬為方法 三因初商得三百為廉法 次商二十 置一於左上為法 置一乘原益廉得二萬五千六百併入乘過益廉得二十八萬一千六百與上法相乘得五百六十三萬二千為益實 添入次實共八百三十一萬三千六百為通實 置一乘廉法得六千隅因得二萬四千 置一自之隅因得一千六百為隅法 併方廉隅共一十四萬五千六百帶從方共四十一萬五千六百八十為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅以廉添積開立方法俱倣此又為帶從廉半翻法減從負隅開立方法法曰初商一百 置一於左上為法 置一乘從廉得一十二萬八千以減從方餘一十四萬二千○八十 置一自之隅因得四萬為隅法併減餘從方共一十八萬二千○八十為下法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘實二百六十八萬一千六百為次商之實 二因從廉得二十五萬六千 三因隅法得一十二萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商得二十 置一於左次為上法 置一乘從廉得二萬五千六百併入前二因從廉得二十八萬一千六百 以減從方不及反減從方二十七萬○○八十餘一萬一千五百二十為負從 置一乘廉法以隅因得二萬四千 置一自之隅因得一千六百為隅法併方廉隅共一十四萬五千六百反減負從餘一十三萬四千○八十為下法與上法相乘除實盡後凡如此類者俱倣此又術曰斜行乘東行筭半之得五百二十二萬二千四百為實 斜行乘東行如東行筭半之得六萬七千五百二十為從方 東行三百二十為從廉如前法求之得半徑不用隅算 添積減從隨意又曰四之斜行以乘東行筭得四千一百七十七萬九千二百為正實 倍斜行乘東行加二之東行筭得二十七萬○○八十為從方 倍東行得六百四十為從廉 如前法開之得全徑二百四十 添積減從俱同乙出城東門上南不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步望乙與城相叅直復斜行一百七十步與乙相㑹問城徑釋曰此以通勾小差弦立法測望甲東行通勾也斜行小差弦也術曰二行相減餘一百五十為差自之得二萬二千五百以乘東行得七百二十萬為實 倍差以乘東行得九萬六千為從方 倍差得三百為隅算 作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷(通勾□勾條)又術倍東行筭得二十三萬四千八百 倍二行相乘數得一十○萬八千八百 相減餘九萬六千為實 倍東行得六百四十為從作減從開平方法除之得全徑二百四十減從開平方法曰列實于左從于右 約初商得二百置一於左上為法 置一為隅法以減從方餘四百四十為下法與上法相乘除實八萬八千餘八千為次商之實餘從内再減二百餘二百四十為從 次商四十 置一於左上為法 置一為隅法以減從方餘二百為下法與上法相乘除實盡法見二卷底勾□勾條下因從有重位故重出圓城南門外直南不知步數有槐樹一株南門外東行不知步數有栁樹一株槐栁斜相距一百五十三步甲從城外西北隅東行三百二十步望槐栁與城相叅直問城徑釋曰此以通勾明弦立法測望二樹斜相距明弦也甲東行通勾也術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭二行相乘得四萬八千九百六十 又以二數相乘得五十○億一千三百五十○萬四千為三乘方實明弦乘通勾筭三之得四千七百○○萬一千六百為從方 倍二行相乘數以減通勾筭餘四千四百八十為第一廉 倍通勾得六百四十為第二益廉二步為隅法 作帶從負隅以二廉減從方開三乘方法除之得半徑帶上廉負隅以下廉減從開三乘方法曰置所得三乘方實以㢘隅從方約之初商一百 置一於左上為法 置一自之以乘從二廉得六百四十萬為減廉以減從方 餘四千○六十○萬一千六百為從方 置一乘第一廉得四十四萬八千為益廉 置一自乘再乘得一百萬又以隅因之得二百萬為隅法 併從方益廉隅法共四千三百○四萬九千六百為下法與上法相乘除實四十三億○四百九十六萬 餘實七億○八百五十四萬四千為次商之實 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉 初商四之隅因得八百為下廉 約次商得二十 置一於左上為法 倍初商加次商得二百二十以乘從二廉得一十四萬○八百併初次商得一百二十因之得一千六百八十九萬六千為減廉 以減餘從餘二千三百七十○萬五千六百為從方 倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八萬五千六百為益廉置一乘上廉得二百四十萬 置一自之以乘下廉得三十二萬 置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法 併方法從方廉益上下廉隅法共三千五百四十二萬七千二百為下法與上法相乘除實盡丙出東門南行乙出東門直行各不知步數而立甲從城外西北乾隅東行三百二十步回望乙丙與城相叅直既而乙欲就丙乃斜行三十四步相㑹問城徑釋曰此以通勾□弦立法測望甲東行通勾也乙斜行三十四步就丙□弦也術曰通勾自之得一十○萬二千四百為通勾筭又以通勾増乘得三千二百七十六萬八千 倍□弦乘通勾筭得六百九十六萬三千二百 二數相減餘二千五百八十○萬四千八百為立方實 □弦乘通勾得一萬○八百八十以減二之通勾筭得一十九萬三千九百二十為從方 通勾加五得四百八十為益廉 五分為隅法 作帶從負隅以廉添積開立方法除之得全徑帶從負隅以廉添積開立方曰置所得立方實及從方益廉 約初商得二百 置一於左上為法置一乘益廉得九萬六千與上法相乘得一千九百二十萬為益實添入積内得四千五百○○萬四千八百為實 置一自之得四萬 以隅算五分因之得二萬為隅法 併從方共二十一萬三千九百二十為下法與上法相乘除實四千二百七十八萬四千餘實二百二十二萬○八百倍益廉得一十九萬二千○三因隅法得六萬為方法 三因初商得六百以隅因得三百為廉法約商次位得四十 置一於左上為法 置一乘原益廉得一萬九千二百 併入倍廉得二十一萬一千二百與上法四十相乘得八百四十四萬八千為益實加入餘實得一千○六十六萬八千八百為實 置一乘廉法得一萬二千 置一自之隅因得八百為隅法 併方法從方廉隅共二十六萬六千七百二十為下法與上法相乘除實盡此法已見前通勾太虚弦條下因隅算不同故又重出又為帶從以廉減從負隅開立方法其法曰初商二百 置一於左上為法 置一乘從廉得九萬六千以減從方餘九萬七千九百二十為從 置一自之隅因得二萬為隅法 併從方共一十一萬七千九百二十為下法與上法相乘除實二千三百五十八萬四千 餘實二百二十二萬○八百 從方内再減從廉九萬六千餘一千九百二十為從方 三因隅法得六萬為方法 三因初商隅因得三百為廉法 次商四十 置一於左上為法 置一乘從廉得一萬九千二百 以減餘從不及減於從廉内反減餘從一千九百二十餘一萬七千二百八十為負從置一乘廉法得一萬二千 置一自之隅因得八百為隅法併方廉隅共七萬二千八百反減負從餘五萬五千五百二十為下法與上法相乘除實盡又術斜步乘東行筭得三百四十八萬一千六百為立方實斜步乘東行以減半東行筭得四萬○三百二十為從方 半步為隅法 作負隅帶從開立方法除之得勾圓差八十步以減通勾即半徑負隅帶從開立方法見三卷(通勾明股條)東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅東行三百二十步見之復斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通勾下平弦立法測望甲東行通勾也斜行至樹下乃川之地下平弦也術曰二行相減餘一百八十四為差 倍差減東行以其餘乘東行得一萬五千三百六十為實 倍差得三百六十八為從方 二為隅法作減從負隅翻法開平方法除之得半徑減從負隅翻法開平方見三卷(通勾□股條下)底勾與别弦測望二乙從城外西北乾隅南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之復斜行六百八十步與乙㑹釋曰此以底勾通弦測望甲出北門東行二百步底勾也斜行六百八十步通弦也術曰二行相減餘四百八十曰差 相併得八百八十曰和 差和相乘得四十二萬二千四百減去差筭餘一十九萬二千為實 差和相併得一千三百六十為從 二為隅算 作帶從負隅開平方除之得半徑帶從負隅開平方法曰置實于左從於右約初商得一百 置一於左上為法 置一乘隅算得二百為隅法 併從方共一千五百六十為下法與上法相乘除實一十五萬六千餘實三萬六千倍隅法得四百為廉法 約次商二十 置一於左上為法置一乘隅算得四十為隅法 併從方廉隅共一千八百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從負隅開平方法者俱倣此又術以差筭二十三萬○四百為實以東行步減差餘二百八十為從方 作帶從開平方法除之得三百六十為通勾弦較以較減弦即通勾以通勾弦求容圓法求之得城徑此法以半勾全弦求股以求弦和較勾弦求容圓見一卷南門外不知步數有塔一座東門外往南不知步數有樹甲出北門東行二百步望樹與塔俱與城相叅直及量樹斜距塔二百五十五步釋曰此以底勾下高弦立法測望出北門東行二百底勾也塔距樹即日之山下高弦也術曰底勾筭與下高弦相乘得一千○二十萬為立方實 以底勾筭四萬為從方 高弦為從廉 作帶從方廉開立方法除之得半徑帶從方廉開立方曰置實于左以從方從廉約之初商一百 置一於左上為法 置一乘從廉得二萬五千五百 置一自之得一萬為隅法併從方從廉隅共七萬五千五百為下法與上法相乘除實七百五十五萬 餘實二百六十五萬二因從廉得五萬一千 三因隅法得三萬相併得八萬一千為方法 三因初商得三百帶從廉得五百五十五為廉法 次商二十 置一於左上為法 置一乘廉法得一萬一千一百置一自之得四百為隅法 併方法從方廉隅共一十三萬二千五百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從方廉開立方法者俱倣此南門外不知步數有樹乙從南門東行亦不知步數而立甲出北門東行二百步望樹與乙與城相叅乙復斜行一百五十三步至樹下與甲相望問城徑釋曰此以底勾明弦立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下明弦也術曰半底勾乘明弦得一萬五千三百為實二行相併半之得一百七十六步半為從方半為隅算 作帶從負隅開平方法除之得七十二為明勾帶從負隅開平方法見前底勾通股條求城徑以明勾乘底勾平方開之得半徑又曰勾弦求股以明勾股求容圓法求之得全徑東門外往南有樹乙出東門直行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與樹俱與城相叅直乙遂斜行三十四步至樹下釋曰此以底勾□弦立法測望甲出北門東行底勾也乙斜行至樹下□弦也術曰底勾減二□弦餘一百三十二以底勾乘之得二萬六千四百 又以□弦筭一千一百五十六乘之得三千○五十一萬八千四百為三乘方實 倍底勾以□弦筭乘之得四十六萬二千四百為從方底勾減□弦 餘自之得二萬七千五百五十六為從一廉底勾減□弦餘倍之得三百三十二為從二廉 作帶從方上廉以下廉減從開三乘方法除之得□股三十求城徑以□勾股求容圓法求之帶從方廉以下廉減從開三乘方曰約初商得三十 置一於左上為法 置一自之得九百以乘從二廉得二十九萬八千八百為減廉以減從方餘一十六萬三千六百為從方 置一乘第一廉得八十二萬六千六百八十為益廉 置一自乘再乘得二萬七千為隅法 併從方益廉隅法共一百○一萬七千二百八十為下法與上法相乘除實盡得三十為□股後凡如此類者俱倣此乙出南門東行不知步數而立甲出北門東行二百步見之乃斜行二百七十二步與乙相㑹釋曰此以底勾黄長弦立法測望東行底勾也斜行黄長弦也術曰二行相減餘七十二為差以乘甲東行得半徑筭四之即全徑筭各以平方開之乙出東門南行不知步數而立甲出北門東行二百步見之斜行一百七十步與乙㑹釋曰此以底勾小差弦立法測望乙出東門行三十步乃東之山甲出北門東行底勾也斜行與乙㑹乃山之地小差弦也術曰以二行差三十乘甲東行得六千為平實以斜行一百七十為從方 作減從翻法開平方法除之得半徑減從翻法開平方法見二卷及三卷底勾□股條乙出東門東行不知步數而立甲出北門東行二百步望乙與城相叅直乃斜行一百三十六步與乙㑹釋曰此以底勾下平弦立法測望甲東行底勾也斜行與乙㑹下平弦也術曰倍二行差以減東行步餘七十二以乘東行得半徑筭倍平弦減底勾以底勾乘之亦同大差勾與别弦測望三乙從城外東北艮隅東行不知步數而立甲從城外西南坤隅東行一百九十二步望乙與城角相叅直復斜行二百七十二步與乙㑹釋曰此以大差勾黄長弦立法測望甲從坤隅東行為坤之月大差勾也斜行與乙㑹乃月之地黄長弦也術曰倍大差勾減黄長弦餘一百一十二為倍勾減弦差自之得一萬二千五百四十四 黄長弦自之得七萬三千九百八十四 相減餘六萬一千四百四十為平實 以倍勾減弦差四之得四百四十八為從 八為益隅 作負隅減法開平方法除之得半徑負隅以從減法開平方曰置實于左以從約之初商一百 置一于左上為法 置一乘隅法得八百以減去從方四百四十八餘三百五十二為下法與上法相乘除實三萬五千二百 餘實二萬六千二百四十 倍隅法得一千六百為廉法次商二十 置一於左上為法 置一乘隅法得一百六十 併入廉法共一千七百六十減去從方四百四十八餘一千三百一十二為下法與上法相乘除實盡後凡言負隅以從減法開平方法者倣此又為以從添積負隅開平方法詳見八卷皇極弦和和與太虚勾股較條下明勾與别弦測望四乙出東門不知步數而立甲出南門東行七十二步見之又斜行一百三十六步就乙釋曰此以明勾平弦測望甲出南門東行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平弦也術曰斜行自之得一萬八千四百九十六為平弦筭二行相減餘六十四自之得四千○九十六為差筭即平勾筭以減弦筭餘為平股筭開之得股平股即圓半徑也乙出東門南行不知步數而立甲出南門往東七十二步見乃斜行一百○二步與乙㑹問城徑釋曰此以明勾太虚弦立法測望甲出南門東行明勾也斜行就乙太虚弦也術曰二行相減餘三十為差斜行自之為斜筭 倍差乘東行又倍之為八千六百四十以減斜筭餘一千七百六十四平方開之得四十二為較 倍差乘東行得四千三百二十為實 較為從方 平方開之得四十八為虚勾 加較為股 併弦為弦和和即城徑測圓海鏡分類釋術卷四
## 卷五
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷五元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術通股與别弦測望一圓城乙出東門東行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步見之復斜行五百四十四步與乙相㑹釋曰此以通股邊弦立法測望甲從乾隅南行六百步通股也斜行乃天之川邊弦也術曰二行相減餘五十六為差 差乘南行得三萬三千六百又以半南行乘之得一千○○八萬為立方實 半南行以乘南行得一十八萬與差乘南行相併得二十一萬三千六百為從方 倍南行得一千二百為從廉作帶從廉減從方翻法開立方法除之得半徑帶從廉減從翻法開立方曰置所得實于左以從方從廉約之初商一百 置一於左上為法 置一乘從廉得一十二萬以減從方餘九萬三千六百為從 置一自之得一萬為隅法併從方共一十○萬三千六百為下法 與上法相乘應除實一千○三十六萬實不滿法反除實一千○○八萬餘二十八萬為負積 倍從廉得二十四萬三因隅法得三萬為方法 三因初商得三百為廉法 約次商二十 置一於左上為法 置一乘從廉得二萬四千併入倍廉共二十六萬四千以減從方不及反減從方二十一萬三千六百餘五萬 四百為負從 置一乘廉法得六十 置一自之得四百為隅法 併方廉隅共三萬六千四百以減負從餘一萬四千為下法與上法相乘除實盡 此術改為以從廉添積開立方亦可後凡言帶從廉減從方翻法開立方法者俱倣此出城東門外往南有樹甲從西北乾隅南行六百步見樹斜行五百一十步至樹下問城徑釋曰此以通股黄廣弦測望南行通股也斜行乃天之山黄廣弦也術曰二行相減餘九十為差倍差以乘倍南行得二十一萬六千為實 差併南行倍之得一千三百八十為從二為隅算 作減從負隅開平方法除之得全徑減從負隅開平方法見二卷通勾□勾條又曰倍差乘南行得一十○萬八千為實 差併南行共六百九十為從方作減從開平方法除之得全徑不用隅算減從開平方法見二卷底勾□勾條出城南門外往東不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城相叅直乃斜行四百○八步至樹下問城徑釋曰此以通股大差弦立法測望南行通股也斜行乃天之月大差弦也術曰南行自之得三十六萬為南行筭兩行相乘得二十四萬四千八百倍之内減南行筭餘一十二萬九千六百為實 倍南行得一千二百為從作減從開平方法除之得半徑減從開平方法見二卷(底勾□勾條)又術兩行相乘得二十四萬四千八百以減南行筭餘一十一萬五千二百為實 二為隅算 作負隅開平方法除之得全徑負隅開平方法見一卷(底勾底弦條下)圓城南門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步望樹與城叅直斜行二百五十五步至樹下問城徑釋曰此以通股上高弦立法測望甲南行為通股斜行為天之日上高弦也術曰二行相減餘三百四十五為差倍之減甲南行餘九十以乘南行得五萬四千為實以倍差六百九十為從方 以二為隅算 作負隅減從開平方法除之得半徑負隅減從開平方法見二卷(通勾□勾條)圓城南門外不知步數有槐一株東門外不知步數有栁一株有人從城外西北隅南行六百步望二樹與城東南角相叅直其槐栁斜相距二百八十九步問城徑釋曰此以通股皇極弦立法測望南行為通股二樹斜相距步即皇極弦日之川也術曰南行步與二樹相距步相乘又自之得三百○○億六千七百五十六萬為三乘方實 通股乘皇極弦筭倍之得一億○○二十二萬五千二百為從方 通股皇極弦相乘倍之得三十四萬六千八百為從一廉 倍皇極弦得五百七十八為從二廉 二為隅算 作帶從負隅以廉隅添積開三乘方法除之得二百五十五為皇極股求城徑以皇極股弦求皇極勾得一百三十六 勾股相乘倍為實以弦除之得容圓全徑帶從負隅以廉隅添積開三乘方曰置所得三乘方實從方從廉隅算約之 初商二百 置一於左上為法 置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從加從方共一億六千九百五十八萬五千二百為下法 置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅 置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百萬為隅法 併益隅共三千九百一十二萬為益積之法以初商因之得七十八億二千四百萬為益實添入原積得三百七十八億九千一百五十六萬為通實以下法上法相乘除實三百三十九億一千七百○四萬 餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實 二因益從得一億三千八百七十二萬為益從方 三因益隅得六千九百三十六萬為益隅之方 三之初商乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉 四因隅法得六千四百萬為方法 初商自之六因又隅因之得四十八萬為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉 約次商得五十置一於左上為法 置一乘從廉得一千七百三十六萬為益從廉併益從方共一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為下法 置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬 置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅 併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實 置一乘上廉得二千四百萬 置一自之以乘下廉得四百萬 置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法 併方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之實共一億八千○三十九萬五千為益積之法以次商乘之得九十○億一千九百七十五萬為益實 添入餘積共一百二十九億九千四百二十七萬為通實以下法與上法相乘除實一百二十八億一千四百二十六萬餘一億八千○○一萬為二商之實 二因益從廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方 二因益隅之廉得三千四百六十八萬三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅方得一億○八百三十七萬五千為益隅方併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉 二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法 併初次商自之六因又隅因之得七十五萬為上廉 併初次商四之隅因得二千為下廉 約三商得五 置一於左上為法 置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實 加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為下法 置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百 置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實 置一乘上廉得三百七十五萬 置一自之以乘下廉得五萬 置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法 併方上下廉隅共一億二千八百八十○萬○二百五十 加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為益積之法以三商因之得一十一億九千六百七十八萬六千為益實 添入餘積得一十三億七千六百七十九萬六千為通實 下法與上法相乘除盡又為以二廉隅減一廉從方開三乘方其法曰初商二百 置一於左上為法 置一乘從一廉得六千九百三十六萬為益從方併從方共一億六千九百五十八萬五千二百為從 置一自之以乘從二廉得二千三百一十二萬為益隅之實置一自乘再乘隅因得一千六百萬為隅法 加益隅之實得三千九百一十二萬為減實 以減從餘一億三千○四十六萬五千二百為下法與上法相乘除實二百六十○億九千三百○四萬 餘三十九億七千四百五十二萬為次商之實二因益從之實得一億三千八百七十二萬為益從方 三因益隅之實得九千六百三十六萬為益隅之方三之初商以乘從二廉得三十四萬六千八百為益隅之廉 初商自之六因又隅因得四十八萬為上廉 初商四之隅因得一千六百為下廉 次商五十 置一於左上為法 置一乘從一廉得一千七百三十四萬為益從之廉併益從方得一億五千六百○六萬為益從之實加入從方共二億五千六百二十八萬五千二百為從置一乘益隅之廉得一千七百三十四萬置一自之以乘從二廉得一百四十四萬五千為益隅之隅 併益隅方廉隅共八千八百一十四萬五千為益隅之實 置一乘上廉得二千四百萬 置一自之以乘下廉得四百萬 置一自乘再乘隅因得二十五萬為隅法 併方廉隅得九千一百二十五萬加益隅之實得一億八千○三十九萬五千為減實 以減從餘七千五百八十九萬○二百為下法與上法相乘除實三十七億九千四百五十一萬餘一億八千○○一萬為三商之實二因益從方廉得三千四百六十八萬併入益從方得一億七千三百四十萬為益從方 二因益隅之廉得三千四百六十八萬三因益隅之隅得四百三十三萬五千俱併入益隅之方得一億○八百三十七萬五千為益隅之方 併初次商三之以乘從二廉得四十三萬三千五百為益隅之廉 二因上廉得四千八百萬三因下廉得一千二百萬四因隅法得一百萬併入方法共一億二千五百萬為方法 併初次商自之十二因得七十五萬為上廉 併初次商八因得二千為下廉三商得五 置一於左上為法 置一乘從一廉得一百七十三萬四千為益從廉併益從方得一億七千五百一十三萬四千為益從之實 加入從方共二億七千五百三十五萬九千二百為從 置一乘益隅之廉得二百一十六萬七千五百 置一自之以乘從二廉得一萬四千四百五十為益隅之隅 併益隅方廉隅共一億一千○五十五萬六千九百五十為益隅之實 置一乘上廉得三百七十五萬 置一自之以乘下廉得五萬 置一自乘再乘隅因得二百五十為隅法併方廉隅共一億二千八百八○萬○二百五十 加益隅之實得二億三千九百三十五萬七千二百為減實 以減從餘三千六百○○二千為下法與上法相乘除實盡右二法已見四卷通勾皇極弦下因其頭緒太繁故重出以便學者丙出南門南行乙出南門東行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙悉與城相叅直既而丙欲就乙乃斜行一百五十三步相㑹問城徑釋曰此以通股明弦立法測望丙出南門而南為明股乙出南門而東為明勾丙之斜行就乙則明弦也甲南行六百通股也術曰通股自之得三十六萬為通股筭又以通股乘之得二億一千六百萬 明弦乘通股筭倍之得一億一千○一十六萬 二數相減餘一億○五百八十四萬為立方實 倍通股筭得七十二萬 明弦通股相乘倍之得一十八萬三千六百 二數相減餘五十三萬六千四百為從方 通股六之得三千六百為從廉 六為隅筭 作帶從廉負隅以隅減從開立方法除之得半徑帶從廉負隅以隅減從開立方曰置所得立實以從方廉約之初商一百 置一於左上為法置一乘從廉得三十六萬 置一自之又以隅因之得六萬為隅法 以減從方餘四十七萬六千四百 併從廉共八十三萬六千四百為下法與上法相乘除實八千三百六十四萬餘實二千二百二十萬 倍從廉得七十二萬 三因隅法得一十八萬為方法 三因初商得三百以隅因之得一千八百為廉法 次商二十 置一於左上為法 置一乘從廉得七萬二千加入倍廉得七十九萬二千 置一自之又隅因得二千四百為隅法 置一乘廉法得三萬六千 併方法廉隅共二十一萬八千四百以減原從方餘三十一萬八千 併入從廉共一百一十一萬為下法與上法相乘除實盡又為帶從方廉負隅以隅添積開立方法其法曰初商一百 置一於左上為法 置一自之以隅因得六萬與上法相乘得六百萬為益實添入積内共一億一千一百八十四萬為實 置一乘從廉得三十六萬併從方共八十九萬六千四百為下法與上法相乘除實八千九百六十四萬 餘實二千二百二十萬 三因隅法得一十八萬為方法 三因初商以隅因得一千八百為廉法 次商二十 置一於左次為上法 置一乘廉法得三萬六千 置一自之隅因得二千四百為隅法 併方廉隅共二十一萬八千四百與上法相乘得四百三十六萬八千為益實添入餘積共二千六百五十六萬八千為實 倍初商加次商得二百二十以乘從廉得七十九萬二千併從方共一百三十二萬八千四百為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從廉負隅以隅減從開立方法俱倣此或減從或添積隨意又術通股自之得三十六萬為通股筭又以斜行乘之得五千五百○八萬為立方實 通股明弦相乘得九萬一千八百與半通股筭相減餘八萬八千二百為從方 五分為隅法 作帶從負隅開立方法除之得三百六十為股圓差以減通股得城徑帶從方負隅開立方曰置實於左從于右約初商得三百 置一於左上為法 置一自之得九萬以隅算五分因得四萬五千為隅法 併從方共一十三萬三千二百為下法與上法相乘除實三千九百九十六萬餘實一千五百一十二萬 三因隅法得一十三萬五千 併從方共二十二萬三千二百為方法 三因初商得九百隅因得四百五十為廉法 次商六十 置一於左上為法置一乘廉法得二萬七千 置一自之隅因得一千八百為隅法併方廉隅共二十五萬二千為下法與上法相乘除實盡後凡言帶從方負隅開立方法者俱倣此丙出南門東行乙出東門南行各不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望乙丙與城相叅直既而乙欲就内乃斜行一百○二步相㑹問城徑釋曰此以通股太虚弦立法測望甲南行通股也丙斜行一百○二步就乙太虚弦也術曰南行自之得三十六萬為通股筭以斜步乘之得三千六百七十二萬倍之得七千三百四十四萬為立方實 倍南行乘斜行得一十二萬二千四百倍南行筭得七十二萬 二數相併得八十四萬二千四百為從方 四之南行得二千四百為益廉四步為隅算 作帶從負隅以從廉減從方開立方法除之得半徑帶從負隅以廉減從方開立方法見四卷通勾□弦條下又為帶從負隅以廉添積開立方法法見四卷通勾太虚弦條下又術通股筭乘太虚弦倍之得七千三百四十四萬為立實 通股虚弦相乘得六萬一千二百 加通股筭得四十二萬一千二百為從方 以通股六百為益廉 五分為隅算 作帶從負隅以廉減從開立方法除之得全徑法與前同或減從或添積隨意東門外往南不知步數有石柱一箇乙出東門直行不知步數而立甲從城外西北乾隅南行六百步望石柱與乙與城相叅直乙乃斜行三十四步至石柱下問城徑釋曰此以通股□弦立法測望甲南行通股也乙斜行□弦也術曰通股□弦相乘得二萬○四百 又以通股筭三十六萬乘之得七十三億四千四百萬為三乘方實 □弦乘通股筭三之得三千六百七十二萬為從方 通股筭内減去兩箇通股□弦相乘之數餘三十一萬九千二百為從一廉 倍通股得一千二百為第二廉 二為隅算 作帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方法除之得半徑帶從方廉負隅以二廉減從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅算約之 初商一百 置一於左上為法 置一自之以乘二廉得一千二百萬為減廉以減從方餘二千四百七十二萬為從方 置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉 置一自乘再乘又以隅法因之得二百萬為隅法 併從方益廉隅法得五千八百六十四萬為下法與上法相乘除實五十八億六千四百萬 餘實一十四億八千萬 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二萬為上廉 初商四之又以隅因之得八百為下廉 約次商得二十 置一於左次為上法倍初商加次商得二百二十以乘二廉得二十六萬四千又併初次商得一百二十因之得三千一百六十八萬為減廉以減餘從不及減反減餘從二千四百七十二萬 餘六百九十六萬為負從倍初商加次商為二百二十以乘從一廉得七千○二十二萬四千為益廉 置一乘上廉得二百四十萬 置一自之以乘下廉得三十二萬置一自乘再乘又以隅因之得一萬六千為隅法併方法益廉上下廉隅法共八千○九十六萬減去負從六百九十六萬餘七千四百萬為下法與上法相乘除實盡此術已見四卷通勾明弦條下因後有翻減從不同故重出又為帶從方負隅以二廉添積開三乘方如前約初商一百 置一於左上為法 置一自之以乘從二廉得一千二百萬 與上法相乘得一十二億為益積添入原積共八十五億四千四百萬為實 置一乘從一廉得三千一百九十二萬為益廉 置一自乘再乘又以隅算因之得二百萬為隅法 併從方益廉隅法共七千○六十四萬為下法與上法相乘除實七十○億六千四百萬 餘實一十四億八千萬倍益廉得六千三百八十四萬 四因隅法得八百萬為方法 初商自之六因又隅因得一十二萬為上廉 初商四之又隅因得八百為下廉 約次商得二十置一於左次為上法 倍初商加次商為二百二十併初次商得一百二十相因得二萬六千四百又加初商自之一萬共三萬六千四百以乘從二廉得四千三百六十八萬與上法相乘得八億七千三百六十萬為益實添入餘積共二十三億五千三百六十萬為實 置一乘從一廉得六百三十八萬四千併倍益廉共七千○二十二萬四千置一乘上廉得二百四十萬 置一自之以乘下廉得三十二萬 置一自乘再乘以乘隅算得一萬六千為隅法併方法從方益廉上下廉隅法共一億一千七百六十八萬為下法與上法相乘除實盡又術曰半通股筭以乘通股筭得六百四十八億為三乘方實 通股自乘再乘得二億一千六百萬□弦乘通股筭得一千二百二十四萬倍得二千四百四十八萬 二數相併得二億四千○四十八萬為從方 □弦乘通股倍之為四萬○八百以減通股筭餘三十一萬九千二百為從一廉 以通股六百為從二廉 半步為隅算 作帶從廉負隅減從以二廉益從開三乘方法除之得三百六十為股圓差以減通股即圓徑帶一廉負隅減從以二廉益從開三乘方曰置所得三乘方實以從方廉隅約之 初商三百 置一於左上為法 置一乘從一廉得九千五百七十六萬為益隅之廉 置一自乘再乘以隅算半步因得一千三百五十萬為隅法算併益隅之廉共一億○九百二十六萬以減從方餘一億三千一百二十二萬為從 置一自之得九萬以乘從二廉得五千四百萬為益從 併入餘從共一億八千五百二十二萬為下法與上法三百相乘除實五百五十五億六千六百萬 餘實九十二億三千四百萬 倍益隅之廉得一億九千一百五十二萬 四因隅法得五千四百萬為方法 初商自之六因又以隅算因之得二十七萬為上廉初商四之又以隅算因之得六百為下廉 約次商得六十 置一於左次為上法 置一乘從一廉得一千九百一十五萬二千 併入倍益隅之廉得二億一千○六十七萬二千為益廉置一乘上廉得一千六百二十萬 置一自之以乘下廉得二百一十六萬 置一自乘再乘又以隅因之得一十○萬八千 併方法廉隅共七千二百四十六萬八千加益廉得二億八千三百一十四萬以減原從不及翻減從方二億四千○四十八萬餘四千二百六十六萬為負從 倍初商加次商得六百六十併次商得三百六十相因得二十三萬七千六百又加初商自之九萬共三十二萬七千二百以乘二廉得一億九千六百五十六萬減去負從四千二百六十六萬餘一億五千三百九十萬為下法與上次法六十相乘除餘實盡若不翻減乘出二廉併從方以從一廉隅法減之亦是東門外不知步數有樹甲從城外西北乾隅南行六百步立定乙出北門東行斜望樹及甲與城相叅直遂斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以通股下平弦立法測望甲南行通股也乙之斜行下平弦也術曰通股平弦相乘得八萬一千六百 又以半通股乘之得二千四百四十八萬為立方實 半通股乘通股得一十八萬併通股平弦相乘之數得二十六萬一千六百為從方 六百為從廉 作以從廉減從開立方法除之得半徑帶從以廉減從開立方法見四卷通勾上高弦條下邊股與别弦測望二乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行六百八十步與乙相㑹問城徑釋曰此以邊股通弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行通弦也術曰二行相減餘二百為差 相併得一千一百六十為和 以差乘和減去差筭四萬餘一十九萬二千為實 和差相併得一千三百六十為從方 二為隅法作帶從負隅開平方法除之得半徑帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直又斜行四百○八步與乙相㑹問城徑釋曰此以邊股大差弦立法測望甲出西門南行邊股也又斜行就乙乃天之月大差弦也術曰二行相減餘七十二為差以乘甲南行得三萬四千五百六十為實 以斜行四百○八步為益從方作減從開平方法除之得半徑減從開平方法曰初商一百 置一於左上為法置一減從方餘三百○八為下法與上法相乘除實三萬○八百 餘實三千七百六十 從方内再減一百 商次位得二十 置一於左次為上法 置一減餘從 餘一百八十八為下法與上法相乘除實盡此法已見二卷底勾□勾下因從有重位故重出乙出南門直行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行二百五十五步與乙㑹問城徑釋曰此以邊股上高弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行就乙乃天之日上高弦也術曰倍斜行減南行餘三十以乘南行得半徑筭又曰斜行減南行餘自之得五萬○六百二十五為上高股筭斜行自之為弦筭二筭相減開其餘亦半徑南門外往南不知步數有樹乙出南門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與樹正與城相叅直乙乃斜行一百五十三步至樹下問城徑釋曰此以邊股明弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下明弦也術曰邊股内減二明弦餘一百七十四以乘邊股得八萬三千五百二十 明弦自之得二萬三千四百○九 二數相乘得一十九億五千五百一十一萬九千六百八十為三乘方實 邊股乘明弦筭倍之得二千二百四十七萬二千六百四十為從方 邊股減明弦餘自之得一十○萬六千九百二十九為從一廉 邊股減明弦餘倍之得六百五十四為從二廉 作帶從益廉以二廉減從開三乘方法除之得明勾七十二以勾弦求股得一百三十五以明勾股求容圓術求之得城徑帶從益廉以二廉減從開三乘方曰以所得三乘方實以從方廉約之初商七十 置一於左上為法 置一自之以乘二廉得三百二十○萬四千六百為減從之廉以減從方餘一千九百二十六萬八千○四十為從 置一乘一廉得七百四十八萬五千○三十為益從之廉 置一自乘再乘得三十四萬三千為隅法 併從方益廉隅法共二千七百○九萬六千○七十為下法與上法相乘除實一十八億九千六百七十二萬四千九百餘實五千八百三十九萬四千七百八十為次商之實 四因隅法得一百三十七萬二千為方法初商自之六因得二萬九千四百為上廉 初商四之得二百八十為下廉 次商得二 置一於左上為法 倍初商加次商得一百四十二以乘二廉得九萬二千八百六十八 又併初次商得七十二因之得六百六十八萬六千四百九十六為減從以減餘從尚餘一千二百五十八萬一千五百四十四為從方 倍初商加次商得一百四十二以乘從一廉得一千五百一十八萬三千九百一十八為益從廉 置一乘上廉得五萬八千八百 置一自之以乘下廉得一千一百二十置一自乘再乘得八為隅法 併方法從方益廉上下廉隅法共二千九百一十九萬七千三百九十為下法與上法相乘除實盡此法已見四卷底勾□弦條因此有重位故重出又為帶從方廉以二廉添積開三乘方法 法以類推東門之南不知步數有樹乙出東門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望樹與乙與城相叅直乙復斜行三十四步至樹下問城徑釋曰此以邊股□弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹□弦也術曰半□弦乘邊股得八千一百六十為實□弦邊股和半之得二百五十七為帶從方半步為隅法以帶從負隅開平方法求得□股三十 以□股乘邊股即半徑筭帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條乙出東門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與城相叅直復斜行五百一十步㑹乙問城徑釋曰此以邊股黄廣弦立法測望甲出西門南行邊股也斜行乃天之山黄廣弦也術曰斜行減南行餘三十為差差乘南行即半徑筭東門外不知步數有樹乙從城外西北乾隅東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步見乙與樹與城相叅直既而乙斜行一百三十六步至樹下問城徑釋曰此以邊股下平弦立法測望甲出西門南行邊股也乙斜行至樹下為川之地下平弦也術曰邊股自之得二十三萬○四百為筭 以平弦乘之得三千一百三十三萬四千四百為立方實以邊股筭為從方 平弦為從廉作帶從方廉開立方法除之得半徑帶從方廉開立方法見四卷底勾下高弦條下小差股與别弦測望三甲從城外西南坤隅復往南行不知步數而立乙從城外東北艮隅南行一百五十步望見之乃斜行五百一十步就乙相㑹問城徑釋曰此以小差股黄廣弦立法測望乙從艮隅南行小差股也斜行與甲㑹黄廣弦也術曰斜行自之得二十六萬○一百為黄廣弦筭倍南行以減斜行餘二百一十自之得四萬四千一百○二數相減餘二十一萬六千為實 倍南行以減斜行 餘四之得八百四十為從 八為隅筭作帶從負隅開平方法除之得半徑帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條下□股與别弦測望四甲出南門南行不知逺近而立乙出東門南行三十步見之却斜行二百五十五步與甲同立問城徑釋曰此以□股下高弦立法測望乙南行□股也斜行至甲處乃日之山下高弦也術曰斜行自之得六萬五千○二十五為高弦筭斜行減南行餘二百二十五自之得五萬○六百二十五即高股筭 二筭相減餘一萬四千四百即高勾筭 即半徑筭甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行三十步見之遂斜行一百○二步與甲㑹問城徑釋曰此以□股太虚弦立法測望乙出東門南行□股也斜行就甲太虚弦也術曰二行相減餘七十二為差以乘南行 又四之得八千六百四十 斜行自之得一萬○四百○四為虚弦筭 二數相併得一萬九千○四十四為平實平方開之得一百三十八為太虚勾股和加斜步即城徑又曰倍虚筭減平實平實即和筭也餘一千七百六十四平方開之得較四十二減和半之為勾加和半之為股以虚勾股求容圓亦通測圓海鏡分類釋術卷五
## 卷六
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷六元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術勾與和測望一甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行三百二十步見之甲又斜行與相會計甲直行斜行共一千二百八十步問城徑釋曰此通勾與通股弦和測望乙東行通勾也甲直斜共行通股弦和也術曰勾自之得一十○萬二千四百 以和除之得八十為股弦較 以較減和半之為股 以勾股求容圓術求之得城徑又曰勾和各自乘相減為實倍和除之得股相併為實倍和除之得弦邉勾以下俱以類推即是乙出東門南行丙出南門東行各不知步數而立只云丙行多於乙步甲從乾隅東行三百二十步望乙丙與城相叅直計乙丙共行一百○二步問城徑釋曰此以通勾與明勾□股和測望甲東行通勾也乙出東門南行為□股丙出南門東行為明勾共計一百○二步明勾□股和也術曰倍共步乘東行筭得二千○八十八萬九千六百為立方實 共步乘東行加東行筭得一十三萬五千○四十為從方 東行為從亷 五分為隅算作帶從負隅以亷減從開立方法除之得全徑帶從負隅以亷減從半翻法開立方曰置所得實以從方約之初商二百 置一於左上為法 置一乘從亷得六萬四千以減從方存七萬一千○四十為從 置一自之得四萬以隅算五分因之得二萬為隅法 併從共九萬一千○四十為下法與上法相乘除實一千八百二十○萬八千餘實二百六十八萬一千六百 從方内再減六萬四千止餘七千○四十為從三因隅法得六萬為方法 三因初商得六百為亷法 次商四十置一於左次為上法 置一乘從亷得一萬二千八百以減餘從不及減反減餘從七千○四十餘五千七百六十為負從 置一乘亷法以隅因得一萬二千 置一自之隅因得八百為隅法 併方亷隅共七萬二千八百減去負從餘六萬七千○四十為下法與上法相乘除實盡法已見四卷通勾太虚弦條因以五分為隅故重出又為帶從負隅以亷添積開立方法法見四卷通勾虚弦條下乙出東門東行丙出南門南行各不知步數而立甲從乾隅東行三百二十步望乙丙二人俱與城相參直計乙丙共行一百五十一步問城徑釋曰此以通勾與□勾明股和立法測望甲東行通勾乙東行□勾丙南行明股也術曰通勾自之得一十萬○二千四百半之得五萬一千二百又自之得二十六億二千一百四十四萬為三乘方實以三百六十二乘半通勾筭得一千八百五十三萬四千四百為從方 通勾乘和步得四萬八千三百二十為從一亷 五之通勾得一千六百為從二亷 二分五釐為常法作帶從方亷三乘方法開之得八十為小差小差者通股弦較也以減通勾即城徑帶從方亷負隅單位開三乘方曰置所得三乘方實以亷隅約之 商得八十置一於左上為法置一乘從一亷得三百八十六萬五千六百置一自之以乘從二亷得一千○二十四萬 置一自乘再得五十一萬二千以二分五釐因之得一十二萬八千為隅法 併從方一亷二亷隅法得三千二百七十六萬八千為下法與上法相乘除實盡東門外徃南有樹乙出東門徃東不知步數而立甲出北門東行二百步斜望乙與樹正與城相叅直既而乙復折而斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共五十步釋曰此以底勾與□勾弦和立法測望甲出北門東行底勾也乙一直一斜□勾□弦也術曰底勾與和相減餘一百五十為差 差加底勾復以差乘之得數半之得二萬六千二百五十 差自之得二萬二千五百 二數相減餘三千七百五十為實 併勾和半之得一百二十五為法實如法而得一南門外往東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而立甲出北門東行二百步見樹與乙與城相叅直乙復斜行至樹下與甲相望計乙一直一斜共二百八十八步問城徑釋曰此以底勾與眀股弦和立法測望甲出北門東行底勾也乙出南門南行明股也斜行明弦也術曰勾和相減餘半之得四十四為半差 以減底勾餘一百五十六為汛率汎率自之又倍之得四萬八千六百七十二半差乘和步得一萬二千六百七十二 二數相減餘三萬六千為實 半底勾減和步得一百八十八 倍汎率得三百一十二 二數相併得五百為法實如法而一得明勾勾與較測望二甲乙俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行三百二十步見之甲又斜行與乙相㑹計甲直行不及斜行八十步釋曰此以通勾與股弦較測望乙東行通勾也甲直行不及斜行股弦較也術曰較除勾筭得一千二百八十為股弦和減較半之為股加較半之為弦邉勾以下俱即此類推股與和測望三甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙直斜共行一千步問城徑釋曰此以通股勾弦和測望甲南行通股也乙直東行與斜行共勾弦和也術曰股自之得三十六萬 和除之得三百六十為勾弦較 減和半之為勾 加和半之為弦邉股以下推此甲從乾隅南行六百步而立乙出南門直行丙出東門直行三人相望俱與城相叅直計其行步則乙與丙共行一百五十一步釋曰此以通股□勾明股和立法測望甲行通股乙行眀股丙行□勾也共之和也術曰通股為筭半而自之得三百二十四億為三乘方實倍和加通股以乘半通股筭得一億六千二百三十六萬為從方 通股乘和步得九萬○六百為從一亷 通股加半股得九百為從二亷 二分五釐為隅算作帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方法除之得三百六十為股圓差 以減通股即圓徑帶從方亷負隅以二亷減從翻法開三乘方曰置所得三乘方實以從方亷隅約之初商三百 置一於左上為法 置一自之以乘二亷得八千一百萬以減從方餘八千一百三十六萬 置一乘從一亷得二千七百一十八萬 置一自乘再乘以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅法 併從方從一亷隅法共一億一千五百二十九萬為下法 與上法相乘除實三百四十五億八千七百萬實不滿法反減實三百二十四億餘二十一億八千七百萬為負積 四因隅法得二千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為上亷 初商四之隅因之得三百為下亷 商次位得六十 置一於左次為上法 倍初商加次商得六百六十以乘從二亷得五十九萬四千又併初次商得三百六十因得二億四千三百八十四萬以減餘從亦不及減反減從八千一百三十六萬餘一億三千二百四十八萬為負從 置一倍初商加次商得六百六十以乘從一亷得五千九百七十九萬六千 置一乘上亷得八百一十萬 置一自之以乘下亷得一百○八萬 置一自乘再乘隅因之得五萬四千為隅法 併方法從一亷上下亷隅法共九千六百○三萬 以減負從餘三千六百四十五萬與上次法除負積二十一億八千七百萬又為帶從方負隅以二亷添積開三乘方其法曰初商三百 置一於左上為法 置一自之以乘從二亷得八千一百萬與上法相乘得二百四十三億為益實加入原實共五百六十七億為實 置一乘從一亷得二千七百一十八萬為益亷 置一自乘再乘得二千七百萬以隅算二分五釐因之得六百七十五萬為隅法 併從方從益亷隅法共一億九千六百二十九萬為下法與上法相乘除實五百八十八億八千七百萬實不滿法反除實五百六十七億餘二十一億八千七百萬為負積 四因隅法得二千七百萬為方法初商自之六因又以隅因之得一十三萬五千為上亷 初商四之隅因得三百為下亷 次商六十 置一於左次為上法 置一倍初商加次商得六百六十又併初次商相因得三百六十得二十三萬七千六百 又加初商自之九萬共三十二萬七千六百以乘從二亷得二億九千四百八十四萬與上次法六十相乘得一百七十六億九千○四十萬減去負積存一百五十五億○三百四十萬為實 倍初加次共六百六十以乘從一亷得五千九百七十九萬六千為益從亷 置一乘上亷得八百一十萬置一自之以乘下亷得一百○八萬 置一自乘再乘隅因得五萬四千為隅法 併方法益亷上下亷隅法共九千六百○三萬 併從方共二億五千八百三十九萬為下法與上法相乘除實盡右開三乘方内俱帶翻法后如此類者倣此南門之東不知步數有樹乙出南門南行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望乙與樹俱與城相叅直乙復斜行至樹下與甲相望計乙直行斜行共二百八十八步問城徑釋曰此以邉股及明股弦和立法測望甲出西門南行邉股也乙出南門直行明股斜行至樹明弦也共步明股弦和也術曰股和相減餘一百九十二為差 加股復以差乘之折半得六萬四千五百一十二差自之得三萬六千八百六十四 二數相減餘二萬七千六百四十八為實 併股和半之得三百八十四為法 實如法而一得明勾七十二以明勾股求圎徑東門外往南有樹乙出東門東行不知步數而立甲出西門南行四百八十步望樹與乙俱與城相叅直既而乙斜行至樹下與甲相望計乙直斜行共五十步釋曰此以邉股及□勾弦和立法測望甲出西門南行邉股也乙直行□勾斜行□弦也術曰股和相併半之得二百六十五為汛率以汎率減邉股餘二百一十五自之得四萬六千二百二十五 和步乘汎率得一萬三千二百五十半之得六千六百二十五 二數相減餘三萬九千六百為平實 以汎率減邉股六之得一千二百九十為從方作帶從開平方法開之得□股三十𢃄從開平方法見一卷股與較測望四甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行六百步而立乙東行不知步數見之又斜行與甲相㑹計乙行直步不及斜三百六十步問城徑釋曰此以通股勾弦較測望甲南行通股也乙東行不及斜行勾弦較也術曰股自乘較除之得勾弦利減較半之為勾加較半之為弦邉股以下推此弦與和測望五甲乙二人俱在城外西北乾隅乙向南行不知步數而立甲向東行亦不知步數望見之遂斜行六百八十步與乙㑹計甲之東與乙之南共九百二十步問城徑釋曰此以通弦與勾股和測望甲斜行與乙㑹弦也甲之東為勾乙之南為股共步和也術曰倍弦筭與和筭相減餘為實平方開之得勾股較減和半之為勾加和半之為股邉弦以下推此甲從北門向東直行庚從西門穿城東行丙從西門向南直行壬從北門穿城南行四人遙相望悉與城相叅直只云甲丙相望處斜量六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步問城徑釋曰此通弦與邉勾底股和立法測望甲丙相望通弦也庚從西門穿城東行邉勾也壬從北門穿城南行底股也共步和也術曰共步自之得三十九萬八千一百六十一為和筭共步減相望處步餘自之得二千四百○一為差筭 差筭減和筭餘三十九萬五千七百六十為平實 倍斜步加差四十九共一千四百○九為從作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見一卷甲乙二人共立於城外東北艮隅乙南行過城門而立甲東行望乙與城相叅直而止丙丁二人共立於城外西南坤隅丁向東過城門而立丙向南行望丁及甲乙悉與城相叅直丙復斜行六百八十步與甲相㑹計乙之南與丁之東共三百四十二步問城徑釋曰此通弦與大差勾小差股和立法測望乙從艮隅而南過城門而立山之艮小差股也以甲東行為勾丁從坤隅東行過城門而立坤之月大差勾也以丙南行為股丙斜行與甲相會通弦也乙丁直行共步大差勾與小差股和也術曰斜步共步相乘倍之得四十六萬五千一百二十為實 斜步共步相減餘三百三十八為差 倍斜行加差共一千六百九十八為從 作帶從開平法除之得全徑帶從開平方法見前甲出東門東行乙出南門南行各不知步數相望與城相叅直甲復斜行二百八十九步與乙相㑹乙直行長甲直行短共計一百五十一步問城徑釋曰此以皇極弦□勾明股和立法測望甲東行為□勾乙南行為明股甲之斜行皇極弦也術曰斜行自之得八萬三千五百二十一為弦筭共步自之得二萬二千八百○一為和筭 和筭減弦筭餘六萬○七百二十為實 倍共步減斜行餘一十三步為從 作帶從開平方法除之得全徑帶從開平方法見前甲乙二人同出東門甲東行乙南行丙丁二人同出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望悉與城相叅直問其步數則曰甲丙共行了一百五十一步乙丁立處相距一百○二步問城徑釋曰此太虛弦與□勾明股和立法測望甲出東門直行為□勾而乙南行為股丙出南門南行為明股而丁東行為勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太虚弦也術曰共步相距步相減餘四十九為差 自之得二千四百○一為差筭 共步自之得二萬二千八百○一為和筭 差筭減和筭餘二萬○四百為實倍距步减差餘一百五十五為從 作以從減法開平方法除之得全徑以從減法開平方法見前又為以從添積開平方其法曰初商二百 置一於左上為法 置一乘從得三萬一千為益積 添入原積共五萬一千四百為實 置一為隅法與上法相乘除實四萬餘實一萬一千四百 倍隅法得四百為亷法次商四十 置一於左上為法 置一乘從方得六千二百為益實 添入餘積共一萬七千六百為實 置一併亷法共四百四十為下法與上法相乘除實盡後凡言以從添積開平方法俱倣此岀南門向東有槐樹出東門向南有栁樹丙丁俱出南門丙直往南丁往東至槐樹下立甲乙俱出東門甲直往東乙往南至桞樹下立四人遙相望見各不知歩數只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十六步其甲丙立處相距二百八十九步問城徑釋曰此以皇極弦與明勾股和□勾股和立法測望槐在南門之東為南之月明勾也丁直行往南為日之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在東門之南為山之東□股也甲直行往東為東之川□勾也共行四十六步□勾股和也甲丙立處相距為日川皇極弦也術曰二和相減餘以減相距餘半之得六十四為平勾 以加二和相減為平股 相乘為實平方開之即半徑又曰二和相併以減相距餘半之得一十八為汎率加明和為長加□和為廣長廣相乘得半徑筭南門之東有槐東門之南有栁丙出南門直行丁出南門東至槐下甲出東門直行乙出東門南至栁下相望俱與城相叅直計丙南丁東共行二百○七步甲東乙南共行四十六步其二樹相距一百○二步問城徑釋曰此與前問同前以逺相距言此以近相距言近相距太虚弦也以太虚弦與明叀二和立法測望術曰叀和乘虚弦又自之得二千二百○一萬四千八百六十四為平實 併二和自之得六萬四千○○九為二和筭 □和自之得二千一百一十六為□和筭 明和自之得四萬二千八百四十九為明和筭 併明和筭叀和筭以減二和筭 餘一萬九千○四十四為益隅作負隅開平方法除之得叀弦倍弦筭與和筭相減開其餘得叀勾股較加和半之為股減和半之為勾負隅開平方曰置所得平實以益隅約之初商三十 置一於左上為法 置一乘益隅得五十七萬一千三百二十為下法與上法相乘除實一千七百一十三萬九千六百 餘實四百八十七萬五千二百六十四 倍下法得一百一十四萬二千六百四十為亷法 約次商得四 置一於左上為法 置一乘益隅得七萬六千一百七十六併入亷法共一百二十一萬八千八百一十六為下法與上法相乘除實盡此法已見一卷底勾弦條下因隅算多故重出又曰隅算除平實即得叀弦筭又曰明和乘虚弦又自之得四億四千五百八十○萬○○九百九十六為平實 如前法為負隅平方開之得明弦 若以益隅除平實徑得明弦筭又術虚弦自之得一萬○四百○四為虚弦筭 以叀和乘之得四十七萬八千五百八十四為平實倍明和得四百一十四為益隅開之得叀弦 若以益隅除平實徑得叀弦筭虚弦自之以明和乘之得二百一十五萬三千六百二十八為平實 倍叀和為益隅開之得明弦 若以益隅除平實徑得明弦筭三位負隅開平方曰置平實四億四千五百八十○萬○九百九十六于左 以益隅一萬九千○四十四約之 初商一百置一於左上為法 置一於右下乘益隅得一百九十○萬四千四百為下法與上法相乘除實一億九千○四十四萬餘實二億五千五百三十六萬○九百九十六倍下法得三百八十○萬八千八百為亷法 次商五十 置一於左上為法 置一乘益隅得九十五萬二千二百為隅法 併亷法共四百七十六萬一千為下法 與上次相乘除實二億三千八百○五萬 餘實一千七百三十一萬○九百九十六 倍隅法得一百九十○萬四千四百併入亷法共五百七十一萬三千二百為亷法約三商得三 置一於左為法 置一右下乘益隅得五萬七千一百三十二為隅法 併入亷法共五百七十七萬○三百三十二為下法與上法相乘除實盡弦與較測望六甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲東行各不知步數隔城相望既而甲斜行六百八十步與丙相㑹問其東行步數則曰我少於丙南行二百八十步問城徑釋曰此通弦與通勾股較立法測望甲東行為勾丙南行為股甲少於丙步數勾股較也斜行弦也術曰弦自乘倍之得九十二萬四千八百較自乘得七萬八千四百相減餘八十四萬六千四百為實平方開之得勾股和九百二十加較半之為股减較半之為勾又曰弦較相減得四百為弦較較 相併得九百六十為弦較和 弦較較弦較和相乘得三十八萬四千為實 倍較得五百六十為從 二為隅筭 作以從減法負隅開平方法除之得通股 作帶從負隅開平方法除之得通勾帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條帶從負隅以從減隅開平方法見四卷大差勾黄長弦條下又為以從添積負隅開平方以六百乘從益實倍六百得一千二百為法即是邉弦以下類推乙出東門南行不知步數而立甲出西門直徃南行回望乙與城相叅直又斜行五百一十步與乙相㑹問乙行步則曰少於城徑二百一十步不知城徑㡬何釋曰此黄廣弦與叀股黄廣勾較立法測望乙出東門南行為叀股城徑即黄廣勾少於城徑即叀股黄廣勾較也斜行黄廣弦也術曰較自之得四萬四千一百為較筭以為實 斜歩四之減二較餘一千六百二十為從 五為隅算作負隅減從開平方法除之得叀股三十加較為黄廣勾即城徑負隅減從開平方法見二卷通勾叀勾條乙出南門東行不知步數而立甲出北門直徃東行望乙與城相叅直又斜行二百七十二歩與乙相㑹問乙東行步則曰少於城徑一百六十八步不知城徑㡬何釋曰此黄長弦與明勾黄長股較立法測望乙出南門東行為明勾城徑即黄長股少於城徑即明勾黄長股較也斜行黄長弦也術曰較自之得二萬八千二百二十四為實四斜行減二較餘七百五十二為從方五為隅算作負隅減從開平方法除之得明勾七十二加較為黄長股即城徑負隅減從開平方法見二卷測圓海鏡分類釋術卷六
## 卷七
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷七元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術通勾股和與别勾股弦測望一丙從城西門穿城東行二百五十六步而立丁從城北門穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北乾隅甲向東乙向南各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直只云甲東乙南共步九百二十問城徑釋曰此以通勾股和與邉勾底股立法測望甲東行為勾乙南行為股共步為通勾股和丙穿城東行邉勾丁穿城南行底股也術曰丙東行自之得六萬五千五百三十六為邉勾筭 丁南行自之得一十四萬○六百二十五為底股筭 相併得二十○萬六千一百六十一為二筭和 倍邉勾底股和與通勾股和相減餘三百四十二又減於邉勾底股和餘二百八十九自之得八萬三千五百二十一 以減二筭和餘一十二萬二千六百四十為平實 以邉勾底股和六百三十一為從 半步為隅算作負隅減從開平方法除之得全徑負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條丙出東門不知步數而立丁出南門不知步數而立甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各立定四人遙相望俱與城相叅直既而丁從立處向東北斜行四百二十五步與甲㑹丙從立處向西南斜行五百四十四步與乙㑹問甲乙行步則曰共行九百二十問城徑釋曰此通勾股和與邉弦底弦立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共行九百二十通勾股和也丙從丁處斜行就甲底弦也丁從立處斜行就乙邉弦也術曰二弦相減餘自之得一萬四千一百六十一為實 二弦相併減共行步餘四十九為法實如法而一得二百八十九減法為全徑丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立相望俱與城相叅直既而丙從立處向東北斜行二百七十二步與甲會丁從立處向東南斜行五百一十步與乙會問甲乙行步則曰共行九百二十步不知城徑㡬何釋曰此通勾股和與黄廣弦黄長弦立法測望甲東行為勾乙南行為股共行九百二十步為通勾股和也丙之就甲黄長弦也丁之就乙黄廣弦也術曰併二弦以減通勾股和餘一百三十八為差以併二弦乘差得一十○萬七千九百一十六為實又以差加通勾股和得一千○五十八為法實如法而一得一百○二為太虚弦加差為全徑丙出南門東行稍逺丁出東門南行稍近甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行各不知步數而立相望俱與城相叅直既而丙從立處向西南斜行四百○八步與乙會丁從立處向東北斜行一百七十步與甲會問甲乙行步則曰共行九百二十不知城徑㡬何釋曰此通勾股和與大差弦小差弦立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共歩和也丙就乙大差弦也丁斜就甲小差弦也術曰二弦相併共五百七十八為二弦和以減通和餘三百四十二為中率 以乘通和倍之得六十二萬九千二百八十為實 三之通和得二千七百六十 加中率得三千一百○二為從 二為隅算作負隅減從開平方除之得全徑負隅減從開平方法見二卷通勾股和與諸和較立法測望二甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤隅東行四人遙相望而立俱與城相叅直既而甲還至艮隅復南行一横一直共行二百三十步與乙會丙還至坤隅復東行一横一直共行五百五十二步與丁㑹問城徑釋曰此通勾股和與大差勾股和小差勾股和立法測望甲東行為勾丙南行為股共行九百二十步通勾股和也甲還至艮為小差勾復南行與乙會為小差股共行二百三十步小差勾股和也丙還至坤為大差股東行與丁會為大差勾共行五百五十二大差勾股和也術曰二差勾股和相併得七百八十二為大小差和和以減通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○萬七千九百一十六為平實 以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八為法實如法而一得一百○二為虚弦加虚和即城徑又曰併二差和減通和得一百三十八為虚勾股和二差和相減餘三百二十二乘之得四萬四千四百三十六如前術得一千○五十八為法除之得四十二為虚勾股較 以加和半之為股減和半之為勾甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙從城外東北艮隅南行丁從城外西南坤隅東行各不知步數而立與甲丙共四人遙相望俱與城相叅直既而乙復向東北斜行與甲㑹丁復向西南斜行與丙會問其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我東行不及斜行二百一十六步問城徑釋曰此通勾股和與大差勾弦較小差股弦較立法測望甲東行為通勾丙南行為通股共行九百二十步通勾股和也乙從艮隅南行為小差股斜行就甲為小差弦不及二十步小差股弦較也丁從坤隅東行為大差勾斜行就丙為大差弦不及二百一十六步大差勾弦較也術曰以小差股弦較減通和餘九百步復以二十步乘之得一萬八千於上 又以大差勾弦較減九百餘六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五萬六千為立實 三因小差股弦較得六十以減通和餘八百六十於上 以半之大差勾弦較一百○八減三百四十二餘二百三十四乘上位得二十○萬一千二百四十為從方 以大差勾弦較減通和餘七百○四 三之小差股弦較減通和餘八百六十 相併得一千五百六十四於上 又以大差勾弦較併三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六減去小差股弦較二十餘一千○九十六以減上位餘四百六十八為益亷 四為常法作負隅帶亷減從開立方法除之得一百五十為小差股加較為弦 弦較各自乘相減開其餘為勾負隅帶益亷減從開立方曰初商一百 置一於左上為法 置一乘益亷得四萬六千八百 置一自之得一萬以隅法因之得四萬為隅法 併益亷共八萬六千八百以減從方餘一十一萬四千四百四十為下法與上法相乘除實一千一百四十四萬四千實不滿法反除實六百一十五萬六千 餘五百二十八萬八千為負積 倍益亷得九萬三千六百 三因隅法得一十二萬為方法 三因初商得三百為亷法 次商五十 置一於左上為法 置一乘從亷得二萬三千四百併入倍亷共一十一萬七千為益亷 置一乘亷法得一萬五千隅因得六萬 置一自之得二千五百隅因得一萬為隅法併方亷隅共一十九萬加益亷共三十○萬七千以減從方不及減反減從方二十○萬一千二百四十餘一十○萬五千七百六十為負從與上法相乘除負積盡此法雖已見前因有翻法故重出又為帶從負隅添積開立方法甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙出東門東行丁出南門南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙從立處斜行與甲會丁從立處斜行與丙㑹以二斜行相和共三百九十一步相較得一百一十九步問城徑釋曰此通勾股和與上高下平弦和上高下平弦較立法測望甲東行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平弦丁斜就丙上高弦共步和也相較較也術曰二弦和自之得一十五萬二千八百八十一為和筭 二弦較自之得一萬四千一百六十一為較筭 較筭減弦筭餘半之得六萬九千三百六十為實 以二弦和減通和餘五百二十九為從 作減從開平方法除之得二百四十為全徑減從開平方法見二卷底勾□勾條又曰和較相併半為高弦相減半之為平弦甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外東南巽隅乙北行丁西行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙復斜行至丁立處相㑹問其行步則曰乙直行比丁直行較多其多步與斜行步相併共一百四十四步相減餘六十步問城徑釋曰此通勾股和與太虚弦較和弦較較立法測望甲東行為通勾丙南行為通股共步通勾股和也乙從巽隅北行乃㢲之山與月之泛同太虚股也丁從巽隅西行乃㢲之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚弦也乙直行多於丁直行數太虚勾股較也以多步併斜行一百四十四弦較和也多歩減斜行六十弦較較也術曰弦較較減弦較和餘半之得四十二為太虛勾股較 以減弦較和得弦自之得一萬○四百○四倍之減較自乘一千七百六十四餘一萬九千○四十四為實平方開之得一百三十八為太虛勾股和加較半之為股減較半之為勾通勾弦和與諸和較測望三甲丙二人俱在城外西北乾隅甲直往東丙直往南乙丁二人俱在城之南門乙向東行丁向南行俱不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲向西南斜至丙立處乙亦斜行至丁立處問其行步則甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步問城徑釋曰此以通勾弦和明勾弦和立法測望甲在乾往東為通勾斜行就丙為通弦直斜共步勾弦和也乙在南門東行為明勾斜行就丁為明弦直斜共步勾弦和也術曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九萬○六百二十五為平實 乙共歩自之得五萬○六百二十五為從 甲共步一千為隅算 作負隅以從減法開平方法除之得明股一百三十五負隅以從減法開平方曰置實以從隅約之 初商一百 置一於左上為法 置一乘隅算得一十萬減去從方 餘四萬九千三百七十五為下法與上法相乘除實四百九十三萬七千五百餘實六百四十五萬三千一百二十五為次實下法再加十萬共一十四萬九千三百七十五為方法次商三十 置一於左次為上法 置一乘隅算得三萬併入方法共一十七萬九千三百七十五為下法與上法相乘除實五百三十八萬一千二百五十餘實一百○七萬一千八百七十五為次實 下法内再加三萬共二十○萬九千三百七十五為方法 次商五 置一於左次為上法 置一乘隅算得五千併入方法共二十一萬四千三百七十五為下法相乘除實盡得明股一百三十五明股自之以勾弦和除之得勾弦較八十一加和半之為股減和半之為勾負隅以從減法開平方已見四卷大差勾黄長弦下因此法有三位故重出而小變之又為以從添積開平方其法曰初商一百置一於左上為法 置一乘從得五百○六萬二千五百為益積添積共一千六百四十五萬三千一百二十五為實 置一乘隅得一十萬與上法相乘除實一千萬餘實六百四十五萬三千一百二十五 倍隅法得二十萬為方法約次商三十 置一於左次為上法 置一乘從得一百五十一萬八千七百五十為益實 添餘積共七百九十七萬一千八百七十五為實 置一乘隅得三萬併方法共二十三萬為下法與上法相乘除實六百九十萬 餘實一百○七萬一千八百七十五 下法内再加三萬共二十六萬為方法 次商五 置一於左上為法置一乘從方得二十五萬三千一百二十五為益積 添入餘積共一百三十二萬五千為實 置一乘隅得五千併方法共二十六萬五千為下法與上法相乘除實盡法已見前卷甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出東門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步問城徑釋曰此通勾弦和與□勾弦和立法測望甲東行為通勾斜行就丙為通弦共步和也乙出東門而東□勾也斜行就丁□弦也和為共步術曰通勾弦和内減二之□勾弦和餘九百為汎率汎率自之得八十一萬半之得四十○萬五千 □勾弦和乘汎率得四萬五千二數相併得四十五萬為平實 二十二乘汎率得一萬九千八百 四十二乘□和得二千一百減汎率得一千二百 二數相併得二萬一千為益從 四之□勾弦和得二百為隅法作負隅減從開平方法除之得□股三十負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各不知步數而立遙望與城相叅直既而甲復向西南斜行與丙相會問其行步甲一直一斜共一千步甲斜直相較與甲之斜丙之直相較共四百四十步問城徑釋曰此通勾弦和與勾弦較股弦較和立法測望甲東行為通勾丙南行為通股甲斜行為通弦一直一斜勾弦和也直斜相較為勾弦較甲斜丙直相較為股弦較兩相較共四百四十步二較和也術曰以二較和減勾弦和餘五百六十半之自乘得七萬八千四百為平實 以和一千為從方 二分五釐為常法 作減從開平方法開之得八十為小差勾負隅減從開平方法見二卷又曰以二較和減勾弦和餘五百六十自之得三十一萬三千六百為平實 四之勾弦和得四千為從方 作減從開平方除之得八十不用負隅通股弦和與諸和較測望四甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出南門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步則甲之斜與丙之直共一千二百八十步乙之斜與丁之直共二百八十八步問城徑釋曰此通股弦和與明股弦和立法測望甲東行為通勾丙南行通股也甲斜行與丙㑹通弦也甲之斜丙之直共步通股弦和也乙出南門東行為明勾丁南行明股也乙斜行與丁會明弦也乙之斜丁之直共步明股弦和也術曰二和相減餘九百九十二 以明和乘之得二十八萬五千六百九十六減明和筭餘二十○萬二千七百五十二半之得一十○萬一千三百七十六為泛率 以五萬七千六百乘泛率得五十八億三千九百二十五萬七千六百為平實 通和加二之明和又半之得九百二十八為次率 次率乘泛率得九千四百○七萬六千九百二十八 明和乘泛率得二千九百一十九萬六千二百八十八 二數相減餘六千四百八十八萬○六百四十為從方次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十三萬五千九百○四 二數相減餘二十二萬五千二百八十為隅法 作帶從平方開之得明勾七十二 勾自乘和除之得股弦較以加和半之為弦減和半之為股帶從隅開平方曰置實從隅約之初商七十置一於左上為法 置一乘負隅得一千五百七十六萬九千六百為隅法併從方共八千○六十五萬○二百四十為下法 與上法相乘除實五十六億四千五百五十一萬六千八百餘一億九千三百七十四萬○八百為次實 二因隅法得三千一百五十三萬九千二百為亷法 次商二置一於左上為法 置一乘隅法得四十五萬○五百六十為隅法併從方亷法共九千六百八十七萬○四百為下法與上法相乘此條平實原係一百○二億七千七百○九萬三千三百七十六數多故減之甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱出城東門乙東行丁南行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而丙復斜行與甲相㑹丁亦斜行與乙相㑹問其行步則曰丙一直一斜共一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步問城徑釋曰此通股弦和與□股弦和立法測望甲東行為通勾丙南行通股也丙又斜行與甲會通弦也一直一斜共步通股弦和也乙出東門為□勾丁南行□股也丁又斜行與乙會□弦也一直一斜共步□股弦和也術曰二共步相乘得八萬一千九百二十為平實以通股弦和一千二百八十為從 以□和除通和得二十為汎率減一自之得三百六十一 倍汎率減一得三十九相併共得四百為隅算作以從減泛負隅開平方法除之得□勾一十六步 勾自乘得二百五十六以□勾股和除之得□股弦較四加和半之為弦減和半之為股負隅以從減法開平方見四卷大差勾黄長弦條又為以從添積開平方法通弦和和與諸和較測望五甲乙同在城外西北乾隅甲南行較逺乙東行較近隔城斜望與城相叅直甲復向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十歩問城徑釋曰此通弦和和與股弦較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行與乙相會為通弦二人共行一千六百步通弦和和也甲南行不及斜行八十步股弦較也術曰四之股弦較以減弦和和餘自之得一百六十三萬八千四百 股弦較自之得六千四百义十八因之得一十一萬五千二百 相減餘一百五十二萬三千二百為平實○四之弦和和得六千四百減十六較加十八較得六千五百六十為從 四為隅法作負隅減從開平方法除之得勾股較二百八十加股弦較即勾弦較三百六十 股弦較乘勾弦較倍為實平方開之得弦和較二百四十負隅減從開平方法見二卷通勾□勾條甲乙同在乾隅甲南行乙東行隔城相望與城叅直甲向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步乙東行不及甲斜行三百六十步問城徑釋曰此通弦和和與勾弦較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行為通弦共行一千六百步通弦和和也乙東行不及甲斜行勾弦較也術曰倍較以較乘之得二十五萬九千二百又九之得二百三十三萬二千八百寄于左 倍較以加和得二千三百二十 倍較以減倍和得二千四百八十 二數相減餘一百六十為泛率自之得二萬五千六百以減左位餘二百三十○萬七千二百為平實 十八因較得六千四百八十減四泛率得七千一百二十為從方 四為隅筭作帶從負隅開平方法除之得二百八十為勾股較 以減勾弦較餘八十為股弦較 勾弦較乘股弦較倍之為實平方開之得弦和較帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅直甲復向東北斜行與乙相會二人共行了一千六百步乙東行不及甲南行二百八十步問城徑釋曰此通弦和和與勾股較立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行與乙會為通弦共行一千六百步通弦和和也乙東行不及甲南行二百八十步勾股較也術曰併和較自之得三百五十三萬四千四百 和較相減自之得一百七十四萬二千四百 二數相併共五百二十七萬六千八百為平實 四之和步得六千四百為從 二為隅法 作帶從負隅開平方法除之得六百八十為通弦減較得勾帶從負隅開平方法見四卷底勾通弦條甲乙二人俱在乾隅甲南行乙東行遙相望與城相叅直甲復向東北斜行與乙會二人共行一千六百步甲南行不及斜行與乙東行不及甲斜行共四百四十步問城徑釋曰此通弦和和與勾弦較股弦較併立法測望二人共步通弦和和也甲南行不及斜行為股弦較乙東行不及斜行為勾弦較共四百四十步勾弦較與股弦較併也術曰併和及二差併以三歸之即通弦甲乙二人俱在乾隅甲南行逺乙東行近遙相望與城相叅直既而甲復向東北斜行與乙會二人共行一千六百步甲南行不及斜行乙東行不及甲南行乙東行不及甲斜行三事共七百二十步問城徑釋曰此通弦和和與勾股較勾弦較股弦較并立法測望甲南行通股斜行通弦乙東行通勾共一千六百步通弦和和也乙東行不及甲南行為勾股較不及甲斜行為勾弦較甲南行不及斜行為股弦較三較相併共七百二十術曰三較和半之自乘又三之得三十八萬八千八百減弦和和餘三十八萬七千二百為平實 倍弦和和半三較和五之 二數相倂得五千為從 二為隅算作負隅減從開平方法除之得股弦較八十負隅減從開平方見二卷通勾□勾條通弦和和與别弦測望六甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙丁二人俱在城中心乙穿城往東門外丁穿城往南門外直行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而丙向東北斜行與甲會甲東行與丙一南一斜共一千六百步丁亦從南門外立處斜行二百八十九步與乙會問城徑釋曰此通弦和和與皇極弦立法測望甲東行通勾丙南行通股斜行通弦共步弦和和也乙從城心出東門為皇極勾丁從城心出南門為皇極股丁斜行會乙則皇極弦也術曰以皇極弦乘通弦和和平方開之即通弦甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙出東門南行丁出南門東行各不知步數而立四人遙相望與城相叅直既而甲復斜行與丙會乙復斜行與丁會問其行步則曰甲一東一斜與丙之南共一千六百步乙斜行一百○二步問城徑釋曰此通弦和和與太虛弦立法測望甲東行為通勾斜行為通弦丙南行為通股共步一千六百通弦和和也乙斜行與丁會即月之山太虚弦也術曰半乙斜行以乘甲丙共步得八萬一千六百為實 以共步一千六百為從 四為隅算作負隅減從翻法開平方法除之得三百四十為半通弦倍之以減弦和和餘九百二十為勾股和再減通弦即弦和較負隅減從翻法開平方曰置所得平實以從約之初商三百置一於左上為法置一隅因得一千二百為隅法以減從方餘四百為下法與上法相乘得一十二萬除實不足反減實八萬一千六百餘三萬八千四百為負積 倍隅法得二千四百為亷法 次商四十置一於左上為法 置一隅因得一百六十為隅法併亷法共二千五百六十減從不足反減從一千六百餘九百六十為下法與上法相乘除實盡得半通弦三百四十後凡言負隅減從開平方法俱倣此測圓海鏡分類釋術卷七
## 卷八
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷八元 李 冶 撰明 顧應〔？〕 釋術諸和立法測望一甲丙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行乙出南門東行丁出東門南行各不知步數而立四人遥相望與城相叅直既而相會各言步數甲云我與乙共行了三百九十二步丙云我與丁共行了六百三十步問城徑釋曰此通勾明勾和與通股□股和立法測望甲從乾東行為通勾乙從南門外東行為明勾共行三百九十二步通勾明勾和也丙從乾隅南行為通股丁出東門南行為□股共行六百三十步通股□股和也術曰甲乙共步自之得一十五萬三千六百六十四為通勾明勾和筭丙丁共步自之得三十九萬六千九百為通股□股和筭 二筭相乘得六百○九億八千九百二十四萬一千六百為三乘方實 丙丁共步互乘通勾明勾和筭得九千六百八十○萬八千三百二十 甲乙共步互乘通股□股和筭得一億五千五百五十八萬四千八百 二數相併得二億五千二百三十九萬三千一百二十為從方 又以二筭相併得五十五萬○五百六十四步以七分半因之得四十一萬二千九百二十三 二共步相乘得二十四萬六千九百六十 二數相减餘一十六萬五千九百六十三為從一亷 二共步相併得一千○二十二以七分半因之得七百六十六步半為第二亷 以七分半因七分半得五分六釐二毫五絲以减全步餘四分三釐七毫五絲為隅筭作帶從方亷隅以二亷减從開三乘方法除之得全徑帶從方亷隅筭以二亷减從開三乘方曰置所得三乘方實以亷隅約之 初商二百置一於左上為法置一自之得四萬以乘從二亷得三千○六十六萬以减從方餘二億二千一百七十三萬三千一百二十為從 置一乘從一亷得三千三百一十九萬二千六百 置一自乘再乘得八百萬以隅筭因之得三百五十萬為隅法 併從方從亷隅法共二億五千八百四十二萬五千七百二十為下法與上法相乘除實五百一十六億八千五百一十四萬四千餘實九十三億○四百○九萬七千六百為次商之實四因隅法得一千四百萬為方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十○萬五千為上亷 初商四之又以隅筭因之得三百五十為下亷 約次商得四十置一於左上為法倍初商加次商得四百四十以乘從二亷得三十三萬七千二百六十又併初次商得二百四十因之得八千○九十四萬二千四百為减亷以减餘從餘一億四千○七十九萬○七百二十為從 倍初商加次商得四百四十以乘從一亷得七千三百○二萬三千七百二十為益亷 置一乘上亷得四百二十萬 置一自之以乘下亷得五十六萬 置一自乘再乘得六萬四千又以隅筭因之得二萬八千為隅法併方法從方益亷上下亷隅法共二億三千二百六十○萬二千四百四十為下法與上法相乘除實盡又為帶從方亷隅以二亷添積開三乘方法甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而乙復斜行與甲會丙復斜行與丁會問其行步乙云我一直一斜共六十四步丙云我一直一斜共二百八十八步問城徑釋曰此明股弦和與□股弦和立法測望甲出東門東行為□勾乙南行為□股斜行會甲為□弦共行六十四步股弦和也丁出南門東行為明勾丙南行為股斜行會丁為弦共行三百八十八歩股弦和也術曰二和相乘得一萬八千四百三十二為二和相乘筭 □和自之得四千○九十六為□和筭 倍之以减二和相乘筭餘一萬○二百四十為實 一十四乘□和得八百九十六 以二十為隅筭作帶從負隅開平方法除之得一十六為□勾 勾自乘和除之得股弦較四 加和半之為弦减和半之為股十四即□勾股較二十即□弦較較帶從負隅開平方法見二卷底勾通弦條甲乙二人俱出東門甲東行乙南行丙丁二人俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直既而甲復斜行與乙會丁復斜行與丙會詢其行步甲云我直斜共五十步丁云我直斜共二百二十五步問城徑釋曰此明勾弦和與□勾弦和立法測望甲出東門直行為□勾斜行就乙為□弦共歩和也丁出南門東行為明勾斜行就丙為明弦共步和也術曰以丁共步自之得五萬○六百二十五為明和筭 又自之得二十五億六千二百八十九萬○六百二十五於上 二共步相乘得一萬一千二百五十半之得二億八千四百七十六萬五千六百二十五以减上位餘二十二億七千八百一十二萬五千為平實 二共步相减餘一百七十五為二和差以乘明和筭倍之得一千七百七十一萬八千七百五十於上 倍甲共步得一百以乘明和筭又半之得二百五十三萬一千二百五十併上共二千○二十五萬為從 以二行相减差自之得三萬○六百二十五於上 又以二共步相乘數半得五千六百二十五减上位餘二萬五千為隅法作負隅减從開平方法除之得明股負隅减從開平方法曰初商一百置一於左上為法置一乘隅法得二百五十萬以减從方餘一千七百七十五萬為下法與上法相乘除實一十七億七千五百萬餘實五億○三百一十二萬五千為實餘從内再减二百五十萬餘一千五百二十五萬為從 次商三十 置一於左上為法置一乘隅法得七十五萬以减從方餘一千四百五十萬與上法相乘除實四億三千五百萬餘實六千八百一十二萬五千為實 餘從内再减七十五萬餘一千三百七十五萬為從 次商五 置一於左上為法 置一乘隅法得一十二萬五千以减餘從餘一千三百六十二萬五千為下法 與上法相乘除實盡負隅减從開平方法已見二卷通勾□勾下因有三位故重出明股與勾弦和求勾弦股自乘和除之得勾弦較减和半之為勾加和半之為弦甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遥相望俱與城相叅直問其行步則甲乙共四十六步丙丁共二百○七步問城徑釋曰此明勾股和與□勾股和立法測望甲東行□勾乙南行□股丁出南門東行明勾丙南行明股甲乙共步□勾股和也丙丁共步明勾股和也術曰二共步相併得二百五十三自之得六萬四千○○九 二共步相乘四之得三萬八千○八十八二數相减餘二萬五千九百二十一為實 二共步相併以六步半因之得一千六百四十四步半二共步相併以四步半因之又四之得四千五百五十四步 二數相併得六千一百九十八步半為從方 以七十○步四分三釐七毫五絲為隅法作負隅帶從開平方法除之得四步為□股弦較負隅帶從開平方法曰置實從方隅約之商得四置一於左上為法 置一乘隅得二百八十一步七分五釐帶從方共六千四百八十○步二分五釐與上法相乘除實盡又曰副置二和以約分法約之得二十三為平率以除明和得九除□和得二 二和相减餘一百六十一以平率除之得七為較率九因得明較六十三二因得□較一十四以較加和半之為股减和半之為勾甲乙俱出東門甲東行乙南行丙丁俱出南門丙南行丁東行各不知步數而立四人遙相望俱與城相叅直問其行步甲與丁共八十八步乙與丙共一百六十五步問城徑釋曰此明勾□勾和與明股□股和立法測望甲出東門東行為□勾丁出南門東行為明勾共行八十八步二勾和也乙出東門南行為□股丙出南門南行為明股共行一百六十五步二股和也術曰二和相减約得一十一相平為壘率以除勾和得八為勾率 除股和得一十五為股率勾股相併得二十三為和率相减得七為較率勾股求弦得一十七為弦率以勾减弦得九為大差率大差者勾弦較也以股减弦得二為小差率小差者股弦較也六為黄方率各以壘率乘二和共得二百五十三二較共得七十七二弦共得一百八十七二黄方共得六十六二大差共得九十九二小差共得二十二四差共一百二十一 二大差共與二小差共相乘得二千一百七十八為實 四差共為法除之得一十八即半虛黄方倍之加二黄共得一百○二即明勾□股共也减二弦共得一百五十一即明股□勾共也二數相减餘四十九即明較□較較也名為旁差旁差减二弦共餘一百三十八為太虛和 加虛弦即城徑虚弦與明勾□股共同數又曰虛黄方加二和共得二百八十九减旁差即城徑甲丙二人俱從城中心甲東行出城直行丙南行出城直行乙丁二人俱在城外東南巽隅乙西行丁北行各不知步數而立四人遥相望俱與城相叅直問其行則甲東丙南共三百九十一步乙西丁北共一百三十八步問城徑釋曰此皇極勾股和與太虛勾股和立法測望甲從城心東行至川一百三十六為皇極勾丙從城心南行至日二百五十五步為皇極股共步勾股和也乙從巽隅西行至月四十八步即泛之山為太虛勾丁從巽隅北行九十步至山即月之泛為太虛股共步勾股和也術曰二和相乘得五萬三千九百五十八為實相併得五百二十九為法實如法而一得太虛弦一百○二圓城西門外往南二百五十五步有塔甲乙二人俱在塔下甲南行乙東行丙丁二人俱在城外東北艮隅丙東行丁南行戊巳二人俱出南門戊南行巳東行庚辛二人俱出東門庚東行辛南行各不知步數而八人遥相望俱與城相叅直問其行步則乙之東不及甲之南與丙之東不及丁之南二不及數共一百六十一步己之東不及戊之南庚之東不及辛之南二不及數共七十七步問城徑釋曰此上高勾股較下平勾股較和與明勾股較□勾股較和立法測望西門外往南有塔乃西之旦與日之心同甲乙從塔下分行甲往東乃旦之日為上高勾乙復往南即天之旦為上高股勾不及股一百○五為高差丙丁從城外東北艮隅分行丙往東乃艮之地為下平勾丁往南即山之東為下平股勾不及股五十六為平差二不及共數高差平差和也戊己從南門分行己往東乃南之月為明勾戊往南即日之南為明股勾不及股六十三步為明差庚辛從東門分行庚往東乃東之川為□勾辛往南即山之東為□股勾不及股一十四步為□差二不及共步明差□差和也諸和與較參互立法測望二南門外不知步數有槐一株甲從城外西北乾隅直往東行至一栁樹下望見槐樹遂斜行至槐自云我直斜共行了七百四十五步乙從城外西南坤隅南行望見槐栁與城相參直亦斜行至槐自云我斜行不及直行一百○五步釋曰此通勾底弦和與大差股上高弦較立法測望南門有槐乃日之南為明股甲從乾東行至栁乃乾之地為通勾斜行至槐下乃日之地為底弦共行七百四十五步者通勾底弦和也乙從坤隅南行至望處乃天之坤為大差股亦斜行至槐乃天之日為上高弦不及直行一百○五步者大差股上高弦較也術曰甲知步内减乙較步半之為通勾加乙較步半之為底弦用通勾底弦測城徑法求之得半徑又曰四較步乘通勾筭得四千三百○○八千為立實 倍通勾乘通勾得二十○萬四千八百 四較乘通勾得一十三萬四千四百 相减餘七萬○四百為從方 四之通勾得一千二百八十為益亷作帶從减廉開立方法除之得全徑帶從减從亷開立方曰列置所得立實方亷初商二百置一於左上為法 置一乘從亷得二十五萬六千 置一自之得四萬為隅法併從方共一十一萬○四百以减從亷餘一十四萬五千六百為下法 與上法相乘除實二千九百一十二萬餘一千三百八十八萬○八千為次實 倍從亷得五十一萬二千 三因隅法得一十二萬為方法 三因初商得六百為亷法 次商四十 置一於左上為法 置一乘從亷得五萬一千二百併入倍亷共五十六萬三千二百為益亷 置一乘亷法得二萬四千 置一自之得一千六百為隅法 併方法從方亷隅共二十一萬六千以减益亷餘三十四萬七千二百與上法相乘除實盡諸和與較參互立法三圓城西門外直上南有栁樹一株東門外往東有槐樹一株俱不知步數甲從城外西北乾隅南行至栁樹下望見槐樹又斜行至槐樹下直斜共行了一千一百四十四步乙從城外東北艮隅東行望槐柳與城相叅直復斜行至槐樹下與甲㑹乙東行不及斜行五十六步問城徑釋曰此通股邊弦和與小差勾下平弦較立法測望甲從乾隅南行至柳下為通股斜行至槐為邊弦共行一千一百四十四步通股邊弦和也乙從艮隅東行乃艮之地為小差勾斜行至槐乃地之川為下平弦不及五十六步小差勾與下平弦較也術曰如乙直行不及斜行五十六即甲斜行不及直行差也副置甲共步其一加五十六而半之得甲直行六百步為通股其一减五十六而半之得甲斜行五百四十四步為邊弦以五十六乘甲南行又倍南行得一千二百乘之得四千○三十二萬為立方實 又以五十六乘南行倍之得六萬七千二百 半甲南行乘二之甲南行得三十六萬相併得四十二萬七千二百為從方倍南行得一千二百為從亷 五分為隅法作從負隅以亷减從翻法開立方法除之得全徑帶從負隅以亷减從翻法開立方曰置所得立方實以從方亷隅約之初商二百 置一於左上為法置一乘從亷得二十四萬以减從方餘一十八萬七千二百為從 置一自之得四萬隅因得二萬併從方共二十○萬七千二百為下法與上法相乘除實四千一百四十四萬實不滿法反除實四千○三十二萬餘一百一十二萬為負積 餘從内再减從亷二十四萬亦不及减反减餘從一十八萬七千二百餘五萬二千八百為負從 三因隅法得六萬為方法 三因初商得六百為亷法 次商四十 置一於左上為法 置一乘從亷得四萬八千反併負從得一十○萬○八百俱為負從 置一乘亷法隅因得一萬二千置一自之隅因得八百為隅法 併方亷隅共七萬二千八百反减負從餘二萬八千為下法四千相乘除實盡此法已見四卷通勾□弦條因用法不同故重出又為帶從負隅以亷添積開立方亦可甲出南門東行乙出東門南行各不知步數而立相望與城相參直既而乙復斜行與甲㑹計乙行步一直一斜共一百三十二步直行不及斜行七十二步問城徑釋曰此□股虚弦和與□股虚弦較立法測望甲出南門東行為明勾七十二乙出東門南行為□股三十斜行與甲㑹為太虚弦一百 二直行不及斜行七十二為□股虛弦較適與明勾同數直斜相併則□股虛弦和也即兩箇乙南行一箇甲東行去共二數相併即兩箇虛弦相减即兩箇乙南行也術曰倍不及得一百四十四以不及减共步餘六十乘之得八千六百四十為實 四之不及得二百八十八為法除之得乙直行三十為□股以减共步餘為虚弦求城徑倍虛弦筭减和筭餘為實平方開之即太虚較四十二加和半之為股减和半之為勾以虚勾股求容圓即得又為帶從負隅以亷添積開立方法甲出南門東行不知步數而立乙出東門南行相望與城相叅直乙復斜行與甲㑹二人共行了二百○四步甲東行不及共步一百三十二步釋曰此明勾□股太虚弦和又與明勾相較立法測望甲出南門東行七十二步為明勾乙出東門南行三十步為□股斜行一百○二步與甲會為太虚弦共步明勾□股太虚弦和也甲行不及共步和與明勾相較之數也術曰以不及减共步餘七十二為明勾即甲東行步半共步减明勾餘三十為□股即乙南行步 半共步得一百○二為太虚弦即乙斜行步 乙南行减甲東行餘四十二即太虛較 較自之與弦自之相减餘為實 平方開之即勾股和 加較半之為股减較半之為勾以虛勾股求容圓得城徑圓城南門之東有槐一株東門之南有柳一株甲出南門直行往南乙出東門直行往東各不知步數而立相望槐柳俱與城相叅直甲復向東北斜行至槐樹下乙復向西南斜行至柳樹下問其行步則甲直斜共行二百八十八步乙直斜共行五十步甲直行乙直行相併多於槐柳相距四十九步問城徑釋曰此明股弦和□勾弦和又明股□勾和與太虛弦較立法測望槐在南門之東七十二步為明勾甲出南門直行為明股斜行至槐柳下為明弦共行二百八十八步明股弦和也柳在東門之南三十步為□股乙出東門直行為□勾斜行至柳樹下為□弦共行五十步為□勾弦和也槐柳斜相距一百○二步為太虛弦甲直行與乙直行相併得一百五十一步為明股□勾和多於虛弦四十九步是明股□勾和與太虛弦較也術曰二和相併减二之多於太虛弦步即城徑又曰二和相乘即半徑筭圓城中心往南有大石塔一座城外東北艮隅往東有小石塔一座東門外正東有柳樹一株東門外往南有大槐樹一株其大槐樹正與城中大石塔相對不差尺寸南門往東有榆樹一株甲從石塔下起程出南門直行往南不知步數而立乙從東門起程直行至柳樹下折而北至小石塔下又往東不知步數而立望柳槐榆與甲立處俱與城相叅直問其步數則曰甲從南門至立處乙從東門至柳樹下相併多於榆槐斜相距四十九步石塔穿城至甲立處多於石塔與槐相距栁樹北往小石塔步數多小石塔下復往東步數二較相併一百六十一步問城徑釋曰此明股□勾和與太虛弦較下髙勾股較與下平勾股較和立法測望南門外往東有榆乃南之月為明勾甲出南門復南行為明股東門外往南有槐乃山之東為□股乙從東至柳乃東之川為□勾榆與槐斜相距乃月之山為太虛弦甲南門至立處乙東門至栁下共步為明股□勾和多於槐榆相距四十九步乃明股□勾和與太虛弦較也城中有大石塔至南門外甲立處乃日之朱為下髙股塔距槐乃朱之山為下髙勾甲穿城南行步多於塔去槐步乃下髙勾股較也城東柳樹北至小石塔乃川之夕為平股石塔復東行至立處乃夕之地為下平勾南行多於東行步下平勾股較也二較相併一百六十一步髙差平差和也術曰二數相减半之又自之得三千一百三十六為實 以四十九為法除之得平勾六十四又曰二數相减餘自之得一萬二千五百四十四為實如四十九而一得平股弦和二百五十六勾自之和除之得平股弦較一十六加和半之為弦减和半之為股城心上南有大石塔城南門往東有榆一株東門往南有大槐一株與城中石塔東西相對東門直東有栁一株城外東北艮隅往東有小石塔與城東栁樹南北相對甲從城中塔下起程穿城出城直往南不知步數而立乙從東門起程直行至柳樹下折而北往小石塔下又往東亦不知步數望甲與柳槐榆俱與城相參直甲復斜行向東北直至柳樹下問其行步則曰甲從大石塔穿城南行立處多於大石塔與槐相去步數乙從栁樹北行至小石塔多於從石塔東行步數二較相併共一百六十一步甲從南起程至立處多於南門距榆樹步數東門南至槐多於東至栁步數二較相併共七十七步斜行至栁下多於城徑四十九步問城徑釋曰此髙較平較和與明較□較和并皇極弦與城徑較立法測望甲從城中石塔下穿城往南而立乃日之朱下髙股也大石塔與城外槐樹相距乃朱之山下髙勾也多步乃下髙勾股較也乙從城東門栁樹下折而往北至小石塔下乃川之夕下平股也復往東乃夕之地下平勾也多步乃下平勾股較也二較相併共一百六十一步乃平差髙差和也又名角差甲自南門往南立處乃日之南明股也南門往東至榆樹乃南之月明勾也多步明勾股較也東門往南至槐乃山之東□股也直東門至栁乃東之川□勾也多步□勾股較也二較相併七十七步明差□差和也甲從直南立處斜行至栁樹下乃日之川皇極弦也多城徑四十九步為皇極弦與城徑較即皇極弦黄廣勾較也術曰二和相併半之得一百十九為平率副置平率一加四十九一减四十九相乘得一萬一千七百六十為實 四十九為法實如法而一得城徑城心往南有大石塔一座東門外往南有大槐一株與塔相對南門外往東有榆樹一株東門外正東有栁樹一株城外東北艮隅往東有小石塔一座甲從城中石塔下穿城直往南不知步數而立乙從東門直行至栁樹下轉往北至石塔復往東亦不知步數而立丙從城外東南巽隅往西至榆樹下立三人遙相望與槐樹俱與城相叅直既而丙又斜行至槐樹下復南行回還巽隅訖問其行步則曰甲從大石塔穿城往南立處多於槐距塔步數乙從東門外栁樹下北至小石塔多於復東行歩數二較相併共一百六十一步甲自南門起至立處多於南門距榆步數東門外往南至槐多於往東至栁步數二較相併共七十七步丙從巽隅西至榆步數與從栁南還步又少於斜行六十步問城徑釋曰此髙差平差和明差□差和與太虛弦較較立法測望甲從城中石塔穿城往南而立為下高股石塔距槐為下高勾勾股相較為下高較亦曰高差乙從東門外栁樹下北至小石塔為下平股又東行至立處為下平勾勾股相减為下平較亦曰平差共一百六十一步高差平差和也南門至甲立處為明股南門東至榆樹為明勾勾股相减為明較即明差東門南至槐為□股東至栁為□勾勾股相减為□較即□差共七十七步明差□差和也丙從巽隅西至榆乃巽之月與泛之山同為太虛勾斜行至槐樹下為太虚弦復南行還巽地與月之泛同為太虛股西行不及南行為太虚勾股較較步不及斜行六十為太虚弦較較也術曰二和相减餘八十四加太虛弦較較半之得七十二為泛率自之得五千一百八十四為實 角差内减二汎率餘一十七為從作帶從開平方法除之得六十四為平勾 角差即高差平差併也甲丙二人俱在城中心丙望南門直行出城不知步數而立甲望東門出城亦不知步數望見之丙復斜行與甲相會問其行步則曰甲丙直斜共行了六百八十步又曰甲東直行少於丙南直行一百一十九步問城徑釋曰此皇極弦和和與勾股較立法測望甲從城中心東行為皇極勾丙從中心南行為皇極股斜行與甲會為皇極弦共行六百八十步為皇極弦和和也甲東行不及丙南一百一十九步為皇極勾較也術曰二數相减餘五百六十一為差差自之得三十一萬四千七百二十一為差筭 較自之得一萬四千一百六十一為較卑 二筭相减餘三十○萬○五百六十為平實 四其差二其較相併得二千四百八十二為從方 二為隅筭 作負隅開减從開平方法除之得一百三十六為皇極勾負隅减從開平方曰置所得平實以從方隅筭約之初商一百 置一於左上為法 置一乘隅筭得二百以從减方餘二千二百八十二為下法與上法相乘除實二十三萬八千二百 餘實七萬二千三百六十 從方内再减二百餘二千○八十二次商三十置一於左上為法置一隅因得六十以减從方餘二千○二十二為下法與上法相乘除實六萬○六百六十餘實一萬一千七百為實 餘從内再减六十餘一千九百六十二 次商六 置一於左上為法 置一隅因得一十二以减餘從餘一千九百五十為下法與上法相乘除實盡此法已見二卷通勾□勾條因有三位故重出圓城南門往東有槐東門往南有栁甲乙二人俱在城中心甲出南門直行乙出東門各不知步數而立丙丁二人俱在城外東南巽隅丙西行至槐下丁北行至栁下四人遥相望俱與城叅直既而甲復斜行與乙會丙復斜行與丁會問其行步則甲一直一斜與乙直行共六百八十步丙西丁北二直行較丙斜行多三十六步問城徑釋曰此皇極弦和和與太虛弦和較立法測望乙從城中心東行為皇極勾甲從城中心南行為皇極股斜行與乙會為皇極弦共步為皇極弦和和也丙從巽隅西至槐樹下即太虛勾丁從巽隅北至栁樹下即太虚股丙斜行與丁會為太虚弦丙西丁北相併即太虚勾股和多於斜行為太虚弦和較也術曰和較相乘得二萬四千四百八十為實半較得一十八為從 半步為隅筭 作以從添積負隅開平方法除之得全徑以從添積負隅開平方曰置所得平實以從約之初商二百置一於左上為法 置一乘益從得三千六百為益實添入積内共二萬八千○八十為實 置一以隅因之得一百為下法與上法相乘除實一萬餘八千○八十為實倍下法得二百為亷法 次商四十置一於左上為法 置一乘益從得七百二十為益實添入餘積得八千八百為實 置一以隅因得二十併亷法共二百二十與上法相乘除實盡又為負隅以從减法開平方法法見四卷大差勾黄長弦條下測圓海鏡分類釋術卷八
## 卷九
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷九元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術諸較參互立法丙出南門直行甲出東門直行各不知步數相望與城相叅直問其行步甲云我東行少於城徑二百二十四步丙云我南行少於城徑一百○五步問城徑釋曰此明股城徑較與□勾城徑較立法測望甲出東門直行□勾也丙出南門直行明股也術曰二少步相乘又自之得五億五千三百一十九萬○四百為三乘方實 二少步相乘得二萬三千五百二十六之共步得一千九百七十四二數相乘得四千六百四十二萬八千四百八十為從方 以五十六萬二千五百二十為從一亷 四十八之共步得一萬五千七百九十二為從二亷六十三為隅法作帶從亷隅添積開三乘方法除之得半城徑帶從方一亷添積以二亷為法開三乘方曰置所得三乘方實以從方從亷隅法約之 初商一百置一於左上為法 置一乘從一亷得五千六百二十五萬二千為益亷置一自乘再乘以隅算因得六千三百萬為隅法併從方益亷得一億六千五百六十八萬○四百八十以初商因之得一百六十五億六千八百○四萬八千為益積 添入原積共一百七十一億二千一百二十三萬八千四百為通實 置一自之以乘從二亷得一億五千七百九十二萬為下法 與上法相乘除實一百五十七億九千二百萬 餘一十三億二千九百二十三萬八千四百為次商之實 二因益亷得一億一千二百五十○萬四千為從一亷之方三因從二亷得四億七千三百七十六萬為從二亷之方 三之初商以乘元從二亷得四百七十三萬七千六百為從二亷之亷 四因隅法得二億五千二百萬併從方共二億九千八百四十二萬八千四百八十為方法 初商自之六因又隅因之得三百七十八萬為上亷 初商四之隅因得二萬五千二百為下亷 次商二十 置一於左上為法 置一乘原從一亷得一千一百二十五萬○四百為從一亷之亷併從一亷之方共一億二千三百七十五萬四千四百為益亷之實置一乘上亷得七千五百六十萬 置一自之以乘下亷得一千○○八萬 置一自乘再乘得八千隅因得五十○萬四千為隅法 併方上下亷隅共三億八千四百六十一萬二千四百八十又加益亷之實得五億○八百三十六萬六千八百八十以次商因之得一百○一億六千七百三十三萬七千六百為益實 加入次實得一百一十四億九千六百五十七萬六千為通實 置一乘從二亷之亷得九千四百七十五萬二千 置一自之以乘從二亷得六百三十一萬六千八百為從二亷之隅 併從二亷之方亷隅共五億七千四百八十二萬八千八百為下法與上法相乘除實盡丙出南門東行甲出東門南行各不知步數相望俱與城相叅直丙云我東行不及城徑一百六十八步甲云我南行不及城徑二百一十步問城徑釋曰此明勾與城徑較與□股城徑較立法測望丙出南門東行為明勾甲出東門南行為□股術曰二不及相減餘四十二為差自之得一千七百六十四為差筭 半甲不及自之得一萬一千○二十五 半甲不及減差餘六十三自之得三千九百六十九 二數相併内減差筭得一萬三千二百三十為平實 二之内不及得三百三十六為益從三步半為隅法 作帶從負隅開平方法除之得□股三十帶從負隅開平方法見四巻底勾通弦甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行丙出東門南行丁出南門東行各不知步數而立四人遙相望與城相叅直問其行步則甲東多於丁東二百四十八步乙南多於丙南五百七十步問城徑釋曰此通勾明勾較與通股□股較立法測望甲從乾隅東行為通勾丁從南門東行為明勾甲多於丁步通勾明勾較也丙出東門南行為□股乙自乾隅南行為通股乙多於丙步通股□股較也術曰二較相乘得一十四萬一千三百六十為實併二較半之得四百○九為從 以七分半為隅法作帶從負隅開平方法除之得全徑帶從負隅開平方法見前甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行乙南行丙從城外西南坤隅東行丁從城外東北艮隅南行各不知步數四人遙相望俱與城相叅直問其行步則曰甲東行多於丙東行一百二十八步丁南行不及乙南行四百五十步問城徑釋曰此通勾大差勾較與通股小差股較立法測望甲從乾隅東行為通勾丙從坤隅東行為大差勾甲多一百二十八步即為通勾大差勾較與黄長勾同乙從乾隅南行為通股丁從艮隅南行為小差股丁不及乙四百五十步為通股小差股較與黄廣股同術曰二較相乘即城徑筭南門迤東有槐一株東門迤南有栁一株甲乙二人俱在城外西南坤隅甲直往南不知步數而立乙往東徑過南門至槐下立丙丁二人俱在城外東北艮隅丙直往東不知步數而立丁往南徑過東門至栁下立四人遙相望俱與城相叅直問其行步則甲多於乙一百六十八步丙少於丁七十步問城徑釋曰此大差勾股較與小差勾股較立法測望甲從坤往南之天為大差股乙往東至槐下為大差勾甲多一百六十八步大差勾股較也丙從艮隅往東之地為小差勾丁往南至栁下為小差股丙不及丁七十步小差勾股較也術曰二較相乘得一萬一千七百六十為實 相減半之得四十九為法 實如法而一得全徑甲從坤隅東行過南門不知步數而立乙從艮隅南行過東門不知步數見甲而止甲乃斜行一百○二步與乙會乙曰我南行不及汝東行四十二步問城徑釋曰此大差勾小差股較與太虚弦立法測望甲從坤隅東行乃坤之月為大差勾乙從艮南行乃艮之山為小差股不及四十二步為大差勾與小差股較也斜行一百○二步太虛弦也術曰以較減弦餘六十以乘弦較併半之得四千三百二十為實 以較四十二為從作帶從開平方法除之得虚勾四十八又曰大差勾減小差股即太虛較也弦自乘倍之與較自乘相減餘為實平方開之得勾股和加較半之為股減較半之為勾圓城南門外正南有塔一座南門之東有槐樹一株東門外正東有望竿一根東門之南有栁樹一株甲乙二人俱在城中心甲南行出城直至塔下立乙東行出城至望竿下立丙丁二人俱在城外西南坤隅丙南行不知步數而立丁東行至槐樹下立戊己二人俱在城外東北艮隅戊東行不知步數而立己南行過東門南栁樹下立六人遙相望俱與城相叅直既而甲斜行至東門外望竿下與乙相會丙斜行經過塔直至南門東槐樹下與丁相會戊斜行向西南至東門之南栁樹下與己相會問其行步則曰以丁東行減丙南行又與丙斜行相較餘步比甲斜行少四十九步以戊從艮隅東行減己從艮隅南行至栁餘步與戊斜行至栁步數相併内減槐栁斜相距步餘一百三十八步其乙東行比甲南行至塔却少一百一十九步問城徑釋曰此大差弦較較與皇極弦較小差弦較和與太虚弦較并皇極勾股較立法測望甲從城中心出南門至石塔下乃日之心為皇極股乙從城中心出東門至望竿下乃心之川為皇極勾甲斜行與乙會乃日之川為皇極弦 丙從坤隅南行不知步數而立乃天之坤為大差股丁從東行至槐樹下乃坤之月為大差勾丙斜行與丁會乃天之月為大差弦丁東行減丙南行為大差勾股較又與丙斜行相較為大差弦較較不及甲斜行四十九步是大差弦較較與皇極弦較也戊從艮隅東行乃艮之地為小差勾己從艮隅南行至栁樹下乃山之艮為小差股戊斜行至栁下與己會乃山之地為小差弦戊東行減己南行為小差勾股較 又與戊斜行相併為小差弦較和槐栁斜相距步即太虛弦以減小差弦較和餘一百三十八步是小差弦較和與太虛弦較也乙東行不及甲南行一百一十九步為皇極勾股較也術曰併二較自之得三萬四千九百六十九皇極較自之得一萬四千一百六十一 相減餘二萬○八百○八為實 二為隅算 平方開之得太虚弦一百○二 加小差弦較和與虚弦相較之數即城徑負隅開平方法見一卷底勾底弦條南門外不知步數有槐東門外不知步數有桞甲乙俱在乾隅甲東行遇一小塔而立乙南行遇一大石塔而立二人遙相望槐栁俱與城相叅直計其行步則乙南行不及二塔斜相距步數少於小塔與栁相距五十六步甲東行不及二塔斜相距步數多於大塔與槐相距一百○五步問城徑釋曰此通股弦較與下平弦較通勾弦較與上高弦較測望二塔相距通弦也丙南行通股不及二塔相距為股弦較小塔距栁下平弦也甲東行通勾也不及二塔相距勾弦較也槐距大塔上高弦也術曰以股弦較不及平弦自之為實 二較相減為法除之得平勾六十四若以勾弦較多高弦自之為實 二較相減為法除之得高股二百二十五測圓海鏡分類釋術卷九
## 卷十
欽定四庫全書測圓海鏡分類釋術卷十元 李 冶 撰明 顧應祥 釋術和較參互帶分測望圓城甲乙二人俱在城外西北乾隅甲東行丙南行各不知步數而立相望與城相叅直丙復斜行七百八十步與甲會以甲東行步除丙南行得二步四分釋曰此弦與勾除股數立法測望斜行七百八十步弦也二步四分乃以勾除股所得之數術曰斜步自之得六十○萬八千四百為平實 以二步四分自之得五步七分六釐加一步得六步七分六釐為隅算平方開之得三百為勾勾弦求股得七百二十甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行隔城見之甲復斜行與乙相會告乙曰我直行斜行共行了一千二百八十步汝東行步居我南行步十五分之八釋曰此通股弦和與通勾股相較分立法測望乙東行為通勾甲南行為通股斜行為通弦共行通股弦和也乙東行既居甲南行十五之八是股得十五勾得八術曰股弦和自之得一百六十三萬八千四百又以十六因之得二千六百二十一萬四千四百為實以二百五十七因和步得三十二萬八千九百六十為益從 以一十六為隅算作減從負隅開平方法除之得股弦較八十加和半之為弦減和半之為股負隅減從開平方法見二卷又曰勾居股十五分之八宜以八為勾率十五為股率各自乘併為實平方開之得一十七為弦率併股弦率得三十二為法置和步一千二百八十為實置二位一位以股率乘之以法除之得六百為股一位以弦率乘之以法除之得六百八十為弦此差分之法簡易明白甲乙二人俱在城外西北乾隅乙直徃南行不知步數而立甲往東行見之甲復斜行與乙會甲云我直斜共行了一千步東行得汝南行十五分之八釋曰此通勾弦和與通勾股相較分立法測望甲東行為勾斜行與乙會為弦乙南行為股術曰和步自之得一百萬為和筭分母自之得二百二十五以乘和筭得二億二千五百萬為實 分母併分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之得七百○六以乘共步得七十○萬六千為益從分母自之得二百二十五為隅法 作負隅減從開平方法除之得三百六十為勾弦較以較減和得勾負隅減從開平方法見二卷又曰勾居股十五之八就以八為勾率十五為股率勾股求弦得一十七為弦率併勾弦二率共二十五為法以和一千為實 副置二位一位以勾率乘之以法除之得勾一位以弦率乘之以法除之得弦甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行亦不知步數望見之又斜行與甲相㑹乙云我東行不及城周九分之五甲云我南行多與汝東行二百八十步問城徑釋曰此通勾股較與通勾城周相較分數立法測望乙東行通勾甲南行通股南行多與乙東行為勾股較乙東行不及城周九分之五則城周得九通勾得四術曰東行步少城周九分之五則城徑得三東行得四 四勾股較得一千一百二十為實 城徑得東行四分之三以四為分母分母自之得一十六於上分母減子餘一倍之得二以分母減子乘之仍得二以減上倍餘一十四為法 除實得八十為一分之數 二之為城徑四之為勾加較即股甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之乙云我東行居城徑六分之五甲云我南行多於乙二百八十步問城徑釋曰此底勾邉股較與底勾城徑相較分數立法測望乙出北門東行為底勾甲出西門南行為邉股多於乙行步為勾股較乙東行居城徑六分之五為底勾城徑相較步數術曰四之較步得一千一百二十為實分母自之得三十六於上半之分母減分子得二倍之得四又以減子餘二乘之得八以減上位餘二十八為法除實得四十為一分之數五之為東行六之為城徑甲乙二人俱在城外西北乾隅乙南行不知步數而立甲東行不知步數見之問其行步則甲乙共行了九百二十步問城徑居乙南行四十分之一十六釋曰此通勾股和與通股城徑較分數立法測望甲東行為通勾乙南行為通股共行九百二十為勾股和城徑得南行四十分之十六為通股城徑相較分數術曰以分子減母餘倍之得四十八以乘共行得四萬四千一百六十為實 分子減母倍之以乘母子和得二千六百八十八子自之得二百五十六相併得二千九百四十四以為法實如法而一得一十五為一分之數又曰列四十與一十六以約分法約之城徑得南行五分之二分母減子餘三倍之得六以乘共行得五千五百二十為實 分母減子倍之以乘母子併得四十二 分子自之得四相併得四十六為法 除實得一百二十為一分之數五之為通股二之為城徑約分法曰副置分母子以少減多得八為等八除分母得五除分子得二甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步數乙出東門不知步數見之復斜行與甲會計其行乙東行較甲南行得十五分之八乙斜行減甲南行餘三十四減乙東行餘一百五十三步問城徑釋曰此皇極勾弦較股弦較與皇極勾股較分數立法測望甲南行為皇極股乙東行為皇極勾斜行為皇極弦斜行減南行餘三十四股弦較也斜行減東行餘一百五十三勾弦較也東行得南行十五分之八勾股較分數也術曰二餘數相乘得五千二百○二倍之得一萬○四百○四平方開之得一百○二復加二餘得二百八十九自之得八萬三千五百二十一於上 又以二餘數相減餘一百一十九自之得一萬四千一百六十一以減上位餘六萬九千三百六十為實 分母子相乘得一百二十倍之得二百四十為隅算作負隅開平方法除之得一十七為一分之數八之為勾十五之為股各加餘步得弦甲出西門南行乙出北門東行各不知步數相見復相向斜行各三百四十步相會甲云城徑居我南行二分之一乙云我東行居城徑六分之五問城徑釋曰此通弦與底勾城徑較分數邉股城徑較分數立法測望甲出西門南行為邉股乙出北門東行為底勾斜行各三百四十步共為通弦城徑居南行二分之一邉股城徑較分數也東行居城徑六分之五底勾城徑較分數也術曰併斜行自之得四十六萬二千四百為實 即弦筭東行居城徑六分之五城徑得南行二分之一是城徑為六東行為五南行為十二半城徑加南行為十五自之得二百二十五 半城徑加東行為八自之得六十四 相併得二百八十九為隅算作負隅平方開之得四十為一分之數十二之為邉股五之為底勾六之為城徑負隅開平方法見一卷甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行不知步數見之又斜行與甲會二人共計行一千三百六十步南行得斜行十七分之十二東行得斜行一十七分之五問城徑釋曰此邉股底勾通弦和與底勾通弦較分數邉股通弦較分數立法測望甲出西門南行為邉股乙出北門東行為底勾斜行與甲會為通弦共行一千三百六十邉股底勾通弦和也東行得斜行十七分之五底勾通弦較分數也南行得斜行十七分之十二邉股與通弦較分數也術曰此用差分法各列置衰弦十七股十二勾五副併得三十四為法 置共步一千三百六十為實以十七因之以法除之得通弦 以十二因之以法除之得邉股 以五因之以法除之得底勾 求城徑用底勾邉股求容圓法甲出西門南行不知步數而立乙出北門東行見之既而乙謂甲云我取汝六分之五得六百步甲謂乙云我取汝五分之三亦六百步釋曰此底勾邊股錯揉立法測望甲出西門南行為邊股乙出北門東行為底勾術曰此法用方程術以乙取甲分母六乘六百步得三千六百 甲取乙分母五乘六百步得三千 乙取甲六分之五是五箇甲行六箇乙行也甲取乙五分之三是五箇甲行三箇乙行也置甲五 乙六 三千六百步於右 甲五乙三三千步於左 以右甲五互乘左乙三得一十五左甲五互乘右乙六得三十二正相减 餘一十五為法 右甲五互乘左三千得一萬五千左甲五互乘右三千六得一萬八千相减餘三千為乙行之實 右乙六互乘左三千得一萬八千左乙三互乘右三千六百得一萬○八百相减餘七千二百為甲行之實 法除乙實得乙行二百步法除甲實得甲行四百八十步 二行步相併自之得四十六萬二千四百於上 二行各自之甲得二十三萬○四百乙得四萬 相併得二十七萬○四百以减上位 餘一十九萬二千為實 二行相併得六百八十為從方半步為隅算 作負隅帶從開平方法除之得全徑負隅𢃄從開平方法見四卷底勾通弦條又曰二行相乘得九萬六千為實 相併得六百八十為從作𢃄從開平方法除之得半徑𢃄從開平方法見前卷甲從城外西南坤隅往南不知步數而立乙從城外東北艮隅往東望見之既而乙謂甲云我取汝所行三分之一得二百步甲謂乙云我减汝所行四分之三得三百步問城徑釋曰此大差股小差勾錯揉立法測望甲從坤隅南行為大差股乙從艮隅東行為小差勾術曰此用方程術先以甲取乙分 三乘二百步得六百步乃三箇乙行一箇甲行也 又以乙减甲分母四乘三百步得一千二百乃四箇甲行内減三箇乙行也 置甲一乙三六百步於右 甲四乙三一千二百步於左 以右甲一互乘左乙三仍得三左甲四互乘右乙三得一十二一正一負相併得一十五為法 以右甲一互乘一千二百如舊左甲四互乘六百得二千四百 相減餘一千二百為乙行之實 右乙三互乘一千二百得三千六百左負乙三互乘六百得一千八百 正負相併得五千四百為甲行之實 法除乙實得乙行八十 法除甲實得甲行三百六十求城徑以二行相乘倍之得五萬七千六百平方開之甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行不知步數而立乙東行不知步數見之問其行步則甲南行與城徑相較其餘步居南行五分之三乙東行與城徑相較其餘步居東行四分之一又云二餘步相減餘二百八十步問城徑釋曰此股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數及股圓差勾圓差較立法測望甲南行為通股城徑相較餘步為股圓差股圓差居股五分之三乙東行為通勾城徑相較餘步為勾圓差勾圓差居勾四分之一二差相減餘二百八十步為股圓差與勾圓差相較也術曰倍二餘步相減數得五百六十步為實 勾母乘股子減股母得七為法除之得勾圓差八十 三之為城徑四之為勾甲乙二人俱在城外西北乾隅甲南行乙東行各不知步數相望問其行步但云甲南行與城徑相較餘步居南行步五分之三乙東行與城徑相較餘步居東行步四分之一 又記得東行分母每分不及南行每分四十步問城徑釋曰此亦股圓差與股較分數勾圓差與勾較分數及二差分母相較數立法測望甲南行為股城徑不及股步為股圓差差得股五分之三乙東行為勾城徑不及勾步為勾圓差差得勾四分之一勾分母與股分母相較得四十也術曰置少步倍之得八十為實 以股母子相減得二 勾母子相減得三 相減餘一為法除之仍得八十為勾圓差三之為城徑四之為勾 求股圓差以勾圓差加少步四十得一百二十為一分 二之為城徑三之為股圓差五之為股甲出南門直行不知步數而立乙出東門直行見之甲云我行不及股圓差二十四分之一十五乙云我行不及勾圓差五分之四又云甲直行多於乙直行一百一十九步二差相較二百八十步問城徑釋曰股圓差三百六十通股與圓徑較也甲出南門直行為明股明股與股圓差相較不及二十四分之一十五勾圓差八十通勾與圓徑相較也乙出東門直行為□勾□勾與勾圓差相較不及五分之四甲行多於乙行一百一十九步明股□勾較也二差相較二百八十步勾圓差不及股圓差數也測圓海鏡分類釋術卷十◆ 《益古演段-元-》（KR3f0044）
## 提要
欽定四庫全書 子部六提要益古演段三卷 天文算法類二(算書之屬)(臣)等謹案益古演段三卷元李冶撰據至元壬午硯堅序稱冶測圓海鏡既巳刻梓其親舊省掾李師徴復命其弟師珪請冶是編刋行是書在測圓海鏡之後矣其曰益古演段者盖當時某氏算書(案冶序但稱近世有某是冶已不知作者名氏)以方圓周徑冪積和較相求定為諸法名益古集冶以為其藴猶匿而未發因為之移補條目釐定圖式演為六十四題以闡明奥義故踵其原名其中有草有條段有圖有義草即古立天元一法條段即方田少廣等法圖則繪其加減開方之理義則隨圖解之盖測圓海鏡以立天元一法為根此書即設為問答為初學明是法之意也所列諸法文皆淺顯盖此法雖為諸法之根然神明變化不可端倪學者驟欲通之茫無門徑之可入惟因方圓冪積以明之其理猶屬易見故冶于方圓相求各題下皆以此法步之為草俾學者得以易入自序稱今之為算者未必有劉李之工而褊心跼見不肯曉然示人惟務隱互錯糅故為溟涬黯黮惟恐學者得窺其彷彿云云可以見其著書之㫖矣至其條段圖義觸類雜陳則又以必習于諸法而後可以通此法故取以互相發也其書世無𫝊本顧應祥唐順之等見測圓海鏡而不解立天元一法遂謂祕其機以為竒則明之中葉業已散佚今檢永樂大典尚載有全編特録存之俾復見于世以為筭家之圭臬永樂大典所載不分卷數硯堅序稱三卷今約畧篇頁仍釐為三卷其𫝊寫訛謬者各以本法推之咸為校正焉乾隆四十六年七月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 序
益古演段序
算數之學其來尚矣率自九章支分派委劉徽李淳風又為之註後之學者咸祖其法敬齋先生天資明敏世間書凡所經見靡不洞究至於薄物細故亦不遺焉近代有移補方圓自成一家號益古集者大小七十問(按書)(中六十四問)先生一寓目見其用心之勤惜其秘而未盡剖露繙圖式繹條段可移則移之可補則補之祥(按祥字有脱誤)(應作説之詳)非若溟涬黯黮之不可曉析之明非若淺近觕俗之無足觀釐為三卷目曰益古演段頗曉十百披而覽之辟如登坦途前無滯礙旁蹊曲徑自可縱横而通嘉恵後來為視隠互雜糅惟恐人窺其彷彿者相去大有逕庭矣先生又盡攄已見輯為測圓海鏡一編二百問(按今本一百七十問)同出一原緻宻纎悉備而不䌓叅考互見真學者之指南也海鏡既命工刻梓省掾李師徵其親舊也囑弟師珪請是編刋而行之將與衆共推善及人良可尚也已數學在六藝為未求之人最為切要邇來精其能者殊鮮自非先生學有餘力誠能搜剔軒轅隸首之奥有不暇矣雖然是特大烹之一臠耳若夫先生胷中渾涵停蓄測之愈深挹之不窮時發於翰墨昭不可揜者則大全集在當嗣此出願肅袵以觀至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅序
## 自序
自序
術數雖居六藝之末而施之人事則最為切務故古之博雅君子馬鄭之流未有不研精於此者也其撰著成書者無慮百家然皆以九章為祖而劉徽李淳風又加註釋而此道益明今之為算者未必有劉李之工而褊心跼見不肯曉然示人惟務隠互錯糅故為溟涬黯黮惟恐學者得闚其彷彿也不然則又以淺近觕俗無足觀者致使軒轅隸首之術三五錯綜之妙盡墮於市井沾沾之兒及夫荒村下里蚩蚩之民殊可憫悼近世有某者以方圓移補成編號益古集真可與劉李相頡頏予猶恨其閉匿而不盡發遂再為移補條段細繙圖式使粗知十百者便得入室啗其文顧不快哉客有訂愚曰子所述果能盡軒隸之秘乎愚應之曰吾所述雖不敢追配作者誠令後生軰優而柔之則安知軒隸之秘不於是乎始客退因書以為自序時大元己未夏六月二十有四日欒城李冶序
## 卷上
欽定四庫全書
益古演段卷上 元 李冶 撰第一問今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記内圓外方只云從外田楞至内池楞四邊各二十步問内圓外方各多少答曰外田方六十步 内池徑二十步法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨(按太即真數此)(即四十步併一池徑)為田方靣(按方靣即每邊)以自增乗得□□丨(按此即一千六百步八十)(池徑一平方併)為方積於頭再立天元一為内池徑以自之又三因四而一得(太○)○□(按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位)為池積以減頭位得□□□(按此即一千六百步八十池徑二分半平方)為一段虚積寄左然後列直積以畝法(按畝法二百四十步)通之得三千三百步與左相消(按相消者兩邊同減一千六百歩後凡言相消者皆兩邉加減一數也)得□□□(按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等)開平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見御製數理精蘊兹不盡釋以條段求之真積内減四段至步冪為實四之至步為從二分半常法義曰真積内減四段至步冪者是減去四隅也以二分半為常法者是於一步之内占却七分半外有二分半也第二問今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝七分半並不記徑面只云從外田南楞通内池北楞四十步問内圓外方各多少答曰同前法曰立天元為池徑減倍通步得□丨(按此即八十步少一圓徑)為田方靣以自増乗得□□丨(按此即六千四百步)(少一百六十徑多一平方)為方田積於頭又以天元池徑自之三因四而一得(太○○)□(按此即百分平方之)(七十五)為池積以減頭位得□□□(按此即六千四百步少一百六十徑)(多二分半平方)為一段虚積寄左然後列真積三千三百步與左相消得□□□(按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等)開平方得二十歩即内池徑也倍通步内減池徑為方靣也依條段求之倍通步自乗於頭位以田積減頭位餘為實四之通步為從二分半虚常法義曰倍通步者是於方靣之外引出一圓也用二分半虚常法者是一箇虚方内却有減餘圓池補了七分半外欠二分半故以之為虚隅也第三問今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八歩只云從外田角斜至内池楞各五十二步問靣徑外方各多少答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步法曰立天元一為内池徑加倍至步得□丨為方斜以自増乗得□□丨為方斜冪於頭(其方斜上)(本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜冪乃)(是變斜為方靣以自乘之數又别得是展起之數也)又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六釐乗之得一步四分七釐亦為一箇展起底圓池積也(以一步九分六釐乘之者葢為)(分母十四以自之得一步九分六釐也)以池積減田積餘□□□為一段虚積寄左然後列真積一萬一千三百二十八步亦用分母冪一步九分六釐乗之(或兩度不加四亦同)得二萬二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也倍至步加池徑身外除四見方靣也 一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六釐乗之只於徑冪上以一步四分七釐(按此即三因四除一步九分六釐之數)乗之便為所展之池積也依條段求之展積内減四段至步冪餘為實四之至步為從四分七釐益隅義曰凡言展積者是於正積上以一步九分六釐乗起之數元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過於每步上得一步九分六釐故今命之為展起之數也諸變斜為方者皆凖此所展之池積是於一步圓積上展出九分六釐若以池徑上取斜為外圓徑則一步上止生得四分七釐也故以四分七釐為虚常法又取方冪一步九分六釐四分之三亦得圓積一步四分七釐也按法内皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分數與宻率不合葢此書専為明理而作宻率數繁碍於講解故用古率以從簡且其法既明即用宻率亦無不可第四問今有方田一段内有圓池水占之外計地一萬一千三百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十六步問靣徑外方各多少答曰外田方一百二十步 内池徑六十四步法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜以自之得□□丨便為所展方田積於上再立天元一為池徑以自之又以一步四分七釐乗之得(太○○)□(步)便為所展圓池積也以池積減上田積餘得□□□為一段如積寄左然後列真積如法展之得二萬二千二百○二步八分八釐與左相消得□□□平方開之得六十四步為内池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也以條段求之四段通步冪内減展積為實四之通步為從四分七釐常法義曰四之通步為從其減積外實欠一箇方今即有展池減時所剰之積補却一箇虛方外猶剰一箇四分七釐為常法也第五問今有方田一段内有圓池水占之外計地一十三畝二分只云内圓周不及外方周一百六十八步問方圓各多少答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步法曰立天元一為内圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六箇方田積又三因之得□□□為四十八段方田積於頭(所以三因)(為四十八者就為四十八分母也)再立天元圓周以自之(元○)丨為十二段圓池積(圓周冪為九箇圓徑冪每三九箇圓徑冪為四箇圓池積今)(箇圓徑冪共為十二箇圓池積也)又就分四之得(元○)□為四十八箇圓池積以減頭位得□□丨為四十八段如積寄左然後列真積一十三畝二分以畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五萬二千○六十四步與寄左相消得□□丨平方開之得七十二步為内圓周也三而一為池徑依條段求之四十八段田積内減三段不及步冪為實六之不及為從一虚隅義曰每一箇方周方為十六段方田積今三之為四十八段方田積也内除了三箇圓周冪外於見積上虚了一箇圓周冪也今求圓周故以一步為虚隅法舊術曰以十六乗田積為頭位(以合方周之積)以不及步自乗減頭位餘三之為實六之不及步為從法㢘常以一步為減從法第六問今有方田一段内有圓池水占之外計地二千六百七十三步只云内圓周與外方靣數等問各多少答曰外方靣内圓周各五十四步法曰立天元一為方靣(便是圓周)以自之得元丨便為十二段池積也再立天元方靣以自之又十二之得(元○)□為十二段方田積也二數相減餘(元○)□為十二段如積寄左然後列真積就分母十二之得□與左相消得□□平方開之得五十四步為方靣亦為圓周徑也依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法義曰一箇方田積便是一箇圓周積也一箇圓周積便是十二箇圓池積今將一十二箇圓池積減於十二箇方田積通有十一段方田積也舊術曰以十二乗田如十一而一所得開方除之合前問也又法立天元一為等數以自之為外田積又就分母九之得(元○)□為九箇方田積於頭又立天元等數以自之為十二箇圓池積也三之四而一得(元○)□為九箇圓池以減頭位得(元○)□為九段如積寄左然後列真積就分九之得二萬四千○五十七步與左相消得□○□平方開得五十四步為等數也依條段求之九之積為實無從八步二分半為常法義曰每一箇方冪為十二箇圓池今將見有底九箇圓池去了七分半餘二分半併實有八箇方恰是八箇二分半也又法立天元一為徑以三之為外方靣以自之得(元○)□為外方積於上再立天元圓徑以自之三之四而一得(元○)□為圓池積也以此圓積減方積得(元○)□為一段如積寄左然後列真積與左相消得下式□○□平方開得一十八步為圓徑也以條段求之積為實八步二分半為常法義曰中間一方除圓池四分之三外有四分之一即是一步内得二分半也舊術曰列積步以八步二分半為法除之所得再開方見内圓徑第七問今有方田一段内有圓池水占之外計地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步問方圓各多少答曰方靣四十步 圓周五十四步法曰立天元一為外方加不及一十四步得□丨為内周以自増乗得□□丨為十二箇圓池積於頭再立天元方靣以自之又十二之為十二箇方田積内減頭位得□□□為十二段如積寄左然後列見積一千三百五十七步就分母十二通之得一萬六千二百八十四步與左相消得□□□開平方得四十步為外方靣也依條段求之十二之積内加入不及步冪為實二之不及步為虚從十一步常法義曰其十二段積内𢃄起十二箇圓池其十二箇圓池補成一箇圓周方其圓周多於方靣十四步故自之為冪加入所欠之一角又二之為虚從恰得十一箇方也第八問今有方田一段内有圓池水占之外有地一十三畝七分半只云内外方圓周共相和得三百步問方圓周各多少答曰外方周二百四十步 内圓周六十步法曰立天元一為圓徑以三之為圓周以減共步得□□為方周以自増乗得□□□為十六段方田積於頭再立天元圓徑以自之又十二之得(太○)○□為十六箇圓池積以減頭位得□□□為十六段如積寄左然後列真積一十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五萬二千八百步與左相消得□□□開平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也依條段求之和步冪内減十六之見積為實六之和步為從三步常法義曰十六箇圓池該十二箇方内從步合除去九箇方外猶剰三箇方故以三步為常法也舊術曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減頭位又六而一為實以相和步為從法廉常置五分第九問今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六十八步只云内外周與實徑共相得三百三十步問三事各多少答曰外方周二百四十步 實徑十八步 圓周七十二步法曰立天元一為池徑以五之減倍之相和步得□□為九箇方靣以自増乗得□□□為八十一段方田積於頭位(二之相和步别)(得是八方面六圓徑二實徑今將二實徑與一圓徑就成一方靣共前數計九方靣五圓徑却更無實徑)(也)再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之得(元○)□為八十一箇圓池(所以用六十步七分半乘之者欲齊其八十一分母)(也每箇圓池七分半以八十一通之得六十步七分半也)以此減頭位餘□□□為八十一段如積寄左然後列真積三千一百六十八步以八十一通之得二十五萬六千六百○八與左相消得下□□□(步)開平方得二十四步為池徑也五因池徑減倍相和餘九而一得方田靣以池徑減方餘折半為實徑依條段求之倍共步自乗於頭以八十一之田積減頭位餘為實二十之共步為從三十五步七分半為常法義曰八十一箇方田内𢃄起八十一箇圓池每箇圓池七分半此八十一箇計該六十步七分半其從步内合除去二十五箇外猶剰三十五箇七分半故以之為常法也舊術曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位餘退一位為實倍相和步為從法廉常置三步五分七釐半第十問今有方田一段内有圓池水占之外計地三千一百六十八步只云内外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問三事各多少答曰外方周二百四十步 内圓周七十二步斜三十步法曰立天元一為池徑以二十五之減於十之相和三千四百二十步得□□為四十七箇外方靣以自増乗得□□□為二千二百九段方田積於頭位(十之相和步三千四百二十為方靣四十箇内)(池徑三十箇斜至步一十箇以一十箇斜至步合入五箇池徑共得五斜此五斜却便是七箇方靣計總)(數該四十七箇方靣二十五箇圓徑外更無斜至步也)再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得(元○) □為二千二百○九箇圓池積也(所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲)(齊其二千二百○九分母也每一箇圓池積七分半今有二千二百○九箇圓池積以七分半乘之該一)(千六百五十六步七分半也)以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數寄左然後列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬八千一百一十二步與左相消得□□□開平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步餘四十七而一得為外方靣身加四内減了圓池徑餘折半為斜徑也按法内所用四十七方靣之數亦由立天元一法取出但截去前段恐初學不能無疑兹仍依其法補之法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數以方五因之得□□為實又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七併之得四十七為法除實得方靣不除便為四十七箇方靣也依條段求之相和步進一位自乗於頭位以二千二百九之真積減頭位餘為實五百之和步為益從一千三十一步七分五釐為益隅義曰減數係是二千二百九段方靣冪内却漏下二千二百九箇圓池此數該一千六百五十六箇七分圓徑冪却於從步上疊用了六百二十五箇池徑冪外猶剰一千三十一箇七分五釐故以之為隅法其從法元有五十箇圓徑今命為之五百者縁相和步進一位也舊術曰列相和步進一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位餘以三之為實又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開平方見池徑第十一問今有圓田一段内有方池水占之外計地二十五畝餘二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問外圓内方各多少答曰外圓徑一百步 内方靣三十六步法曰立天元一為内方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積於頭再立天元方靣以自之又就分母四之得(元○)□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左然後列真積又就分四之得二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨開平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也依條段求之四之積步於頭位(作三箇外圓徑冪内出了四箇方池積也)内減十二之至步冪為實十二之至步為從一虚隅義曰四箇外圓田内減了十二段至步冪復以十二之至步為從又合去四箇方池今元積内有三箇虚池外猶欠一箇虚池故以一步為虛隅常減從以為法又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問圓徑方靣各若干答曰徑十歩 靣五步法曰立天元一為方斜加三步為圓徑以自之又以一步九分六釐乗之得□(步)□□(按此為一平方)(九分六釐多十一元七分六釐多十七步六分四釐諸條皆步)(數在上此條獨步數在下)又三之得□(步)□□内減四之天元冪得上層□中下云云(按即多三十五元二分八釐多五十二平方九分二釐)寄左然後置五十步兩度加四得□(步)又四之得□(步)與左相消得下層三百三十九步○八釐(按此下當加與一平)(方八分八釐多三十五元二分八釐等十八字方明)負開平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問依條段求之四段展起見積内減三段展起至步冪為實六之至步展起為從一步八分八釐為常法也此問若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細分之義曰三箇九分六釐共計二步八分八釐其元初作四段如積時合有四箇所展之池今來只見三箇故於二步八分八釐内去却一步有餘只有一步八分八釐為常法也(此法於别紙上抄得故録於此)第十二問今有圓田一段内有方池水占之外有地二十五畝零二百四步只云從外田楞通内方方靣六十八步問各數若干答曰外圓徑一百步内方靣三十六步法曰立天元一為内方靣減倍通步得□丨為外圓徑以自之得□□丨為圓徑冪以三之得□□□為四段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分母四之得(元○)□為四段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數寄左然後以四之見積二萬四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開之得三十六步為内方靣也減倍通步即圓徑依條段求之十二段至步冪内減四之見積為實十二之通步為從一常法義曰所減數内剰下四箇方池疊補了三箇外猶剰一箇故以之為常法第十三問今有圓田一段内有方池水占之外計地五千步只云從外田楞至内池角四邊各一十五步問方圓各多少答曰外圓徑一百步 内方靣五十步法曰立天元一為内方靣身外加四為内方斜又加倍至步得□□為外圓徑也以自増乗得□□□為外徑冪以三之得□□□為四段外圓積於頭再立天元内方靣以自之又四之得(元○)□為四段方池積也以減頭位餘□□□為四段如積數寄左然後列四之見積二萬步與左相消得□□□開平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也依條段求之四之積步内減十二段至步冪為實十二之至步身外加四為從一步八分八釐為常法義曰三箇九分六釐計二步八分八釐其四箇圓田内有四箇方水池除從步合占三箇外猶剰一箇水池却於數内取了一步餘一步八分八釐故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見方靣而但得方斜也舊術曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位餘折半為實又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四釐第十四問今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步只云從田外楞通内池斜三十五步半問外圓内方各多少答曰外圓徑三十六步 内方靣二十五步法曰立天元一為内方靣加四得(元□)為方斜以減倍通步得(太□)□為外圓徑以自増乗得□□□為外田徑冪也以三之得□□□為四段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分四之得(元○)□為四段方池以減頭位得□□□為四段如積寄左然後列四之見積一千三百八十八步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也方靣加四減於倍通步得圓徑也依條段求之十二段通步冪内減四之田積為實十二之通步加四為益從一步八分八釐常法義曰此式元係虚從今以虛隅命之四段圓田減積時剰下四段方池於從步内用訖三箇外猶剰一箇却於二步八分八釐虛數内補了一歩外虚一步八分八釐故以之為法(從負隅正或從正隅負其實皆同故因此廉從以别之)舊術曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位餘為實又十二通步加四為從法廉常置一步八分八釐減從開方(新舊廉從不同開時則同故兩存之)第十五問今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只云内方周不及外圓周一百五十二步問外圓内方各多少答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步法曰立天元一為内方靣以四之為内方周加不及一百五十二步得□□為外圓周以自増乗得□□□為十二段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得(元○)□為十二段方池積以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積八千○九十六步又就分十二之得九萬七千一百五十二步與左相消得□□□平方開得五十二步為内池方靣也以四之為内方周加不及步為圓周也依條段求之十二段積步内減不及步冪為實八之不及步為從四步為常法也義曰十二段圓積該九段圓徑冪九段圓徑冪便是九箇圓周冪也據十二段圓積内元少十二箇方池今於周冪内除折筭外剰四箇池積故以四步為常法也舊術曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位餘八而一為實以不及步為從法廉常置半步開平方(新舊二術不同者舊術從簡耳算術本貴簡易而猶立新術者縁舊術難畫條段也餘倣此)第十六問今有圓田一段内有方池水占之外計地三千五百六十四步只云内方周與外圓徑等問等數各若干答曰内方周外圓徑各七十二步法曰立天元一為等數便以為方周以自之為十六箇方池於頭(元○)丨再立天元等數便以為圓徑以自之又十二之得(元○)□為十六段圓田積内減頭位餘(元○)□為十六段如積寄左然後列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬七千○二十四步與左相消得□○□平方開得七十二步即等數也按法後落條段一條依前例補之依條段求之十二之真積為實無從一十一步常法義曰十六箇圓積乃十二段圓徑冪也其十六箇圓積内有十六箇方池恰是一箇方也此一箇方便是等數冪也舊術曰列田積從十一段平方開之得内方靣四之即等數也乂法以十六乗田積如十一而一所得開方即等數第十七問今有圓田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圓徑不及内方周四十二步問方圓各若干答曰外圓徑五十四步 内方周九十六步法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得為内方周以自増乗得下式□□丨為十六段池積於頭再立天元外圓徑以自之又十二之得(元○)□為十六段田積也内減頭位餘□□□為十六段如積寄左然後列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬五千七百七十六步與左相消得□□□平方開得五十四步為外圓徑也加不及步為内方周也依條段求之置十六之積加不及步冪為實倍不及步為虚從一十一步為常義曰十二箇圓徑冪該十六箇圓田積十六箇圓田積内有十六箇方池其十六箇方池於實積内侵過所加一角并二段虛從之數也第十八問今有圓田一段内有方池水占之外計地三百四十七步只云外圓周内方周共得二百八步問内外周各多少答曰外圓周一百八步 内方周一百步法曰立天元一為内方靣以四之為内方周減於相和二百八步得□□為外圓周以自增乗得□□□為圓周冪便為十二段圓田積於頭再立天元内方靣以自之又就分十二之得(元○)□為十二段方池積也以減頭位餘□□□為十二段如積寄左然後列見積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為内方靣也四之為内方周減於相和步為圓周也依條段求之以十二之積步減和步冪為實八之和步為虚從四常法義曰十二段圓田内有十二箇方池於方周冪内補了十二池外猶欠四箇故以四為隅法此式元係虛從今却為虛隅命之故以四為虛常法舊術曰相和步自乗於頭位以十二之積步減頭位餘八而一為實相和步為從法廉常置半步減從第十九問今有圓田一段内有方池水占之外計地三十三畝一百七十六步只云内外周與實徑共相和得六百二步問三事各多少答曰外圓周三百六十步 内方周二百八步實徑三十四步法曰立天元一為内方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也(倍云數得一千二百四步别得是六箇圓徑八箇方靣兩箇實徑今将一箇方)(靣兩箇實徑合成一箇圓俓併前數而計是七箇方靣七箇圓徑也今置一千二百四步在地以七約之)(得一百七十二步為徑靣共也便是一箇方靣一箇圓徑更無)(實徑也)以自增乘得□□丨為圓徑冪也以三之得□□□為四段圓田積於頭再立天元内池靣以自之又就分四之得(元○)□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然後列見積八千九十六步又就分四之得三萬二千三百八十四步與左相消得□□丨開平方得五十二步為内方靣也以七之方靣減於倍和步餘以七而一即圓徑也圓徑内減方靣餘者又半之即實徑也依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三之於頭位内減四之見積餘為實六之徑靣共步為從一常法義曰四之真積内有四箇方池於從法内疊周了三箇外剰一箇故以一步為常法舊術曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步(按此即四與四十九相乗之數)之田積減頭位餘以十四而一為實又六之相和步為從法廉常置三步半開平方見内方靣第二十問今有圓田一段内有方池水占之外計地二千四百七十五步只云内外周與斜徑相和得二百五十九步半問三事各多少答曰外圓周一百八十步 内方周六十步 斜十九步半法曰立天元一為内方靣以三十三之減於十之云數二千五百九十五步得□□為三十五箇圓田徑(十之云數内有外圓徑三十箇内方靣四)(十箇角斜十箇今將七箇方靣併入十箇角斜為五箇圓徑也總别得十之云數是方靣三十三箇圓徑)(三十五箇外更無斜徑角也)乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積於頭再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數寄左然後列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬七千五百步與左相消得□□□平方開得一十五步為内方靣方(三十三之方靣以減於十之相和二千五)(百九十五步餘三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑餘半之即斜徑也)依條段求之十之相和步自之為冪以三之於頭位以四千九百段見積減頭位為實一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法義曰減數計三千六百七十五箇圓徑冪便是四千九百箇圓田積也内漏下四千九百箇方池却於從内疊用了三千二百六十七箇方池外猶剰一千六百三十三箇方靣冪故以之為常法也其從法元有一百九十八箇方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十箇相和步者縁為相和步先進了一位也第二十一問今有方田三段共計積四千七百七十步只云方方相較等三方靣共併得一百八步問三方多少答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小方靣一十五步法曰立天元一為方差以減中方靣(置併數三而一即得中方靣)得□丨為小方靣也以自之得□□丨為小方積於頭再立天元方差加入中方靣得□丨為大方靣以自之得□□丨為大方積於次位又列中方靣□自之得下□為中方積於下位三位相併得□○□為一段如積數寄左然後列真積四千七百七十步與左相消得□○□開平方得二十一步即是方差也(置方差數加中方即大方靣減中方即小方靣也)依條段求之列併數以三約之所得即中方靣也以自之為冪又三之以減積為實無從二步常法義曰積步内減三箇中方冪外有兩箇方故得二步常法舊術又折半止得一箇方也第二十二問今有方田一段其西北隅被斜水占之外計地一千二百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十五步半問田方靣多少答曰田方靣三十五步法曰立天元一為水占斜加入云數四十五步半得□(元丨)為田斜以自増乗得□步□丨為田斜冪於頭再立天元一水占斜以自之為水占得小方積就分以一步九分六釐乗之得(元○)□(步)為所展得水占積也以減頭位得□□□(步)為如積一段寄左然後列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六釐乘之得二千三百七十六步九分九釐與左相消得□□□開平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也依條段求之展積内減至步冪為實二之至步為從九分六釐虛常法開平方得三步半即水占斜也義曰今將水占斜直命為小方池靣也舊術曰列田積於頭位又列至步除四則直至步以自乗減頭位餘為實二之直至為從以九分六釐為廉從開平方得二步半加直至步三十二步半得三十五步即田方靣也此圖即舊術條段也舊術減云步為直至步入法而求得二步半為直至不及方靣步新術展積入法而求得三步半為水占斜益古演段卷上
## 卷中
欽定四庫全書
益古演段卷中 元 李冶 撰第二十三問今有圓方田各為叚共計積一千三百七步半只云方面大如圓徑一十步圓依密率問面徑各多少答曰方面三十一步 圓徑二十一步法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□(○二)丨為方田積以十四之得下式□□□為十四叚方田積於頭又立天元圓徑以自乗為冪又以十一之得(太○)□便為十四叚圓田積(依密率合以徑)(自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母)(也)以併入頭位得□□□為十四叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分十四之得一萬八千三百五步與左相消得□□□開平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也依條叚求之十四之積步於上内減十四叚不及步冪為實二十八之不及步為從二十五步常法義曰将此十四箇方冪之式只作一箇方冪求之自見隅從也第二十四問今有方圓田合一叚共計積一千四百六十七步只云方面與圓徑相穿得五十四步問面徑各多少答曰方面一十二步 圓徑四十二步法曰立天元一為圓徑減穿步五十四步得□丨為方田面以自増乗得下式□□丨為方田積於頭位再立天元圓徑以自之又三之四而一得(元○)□為圓田積也併入頭位得□□□為一叚如積寄左然後列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面按法内所言倒積倒從即飜積法也盖初商積常減原積此獨以原積減初商積倍㢘常減従步此獨以従步減倍㢘乃平方中之一變也古法多用之今依數布算于後以存其式法列積一千四百四十九步為實以一百零八步為長與一濶又七分半之和即從數求濶初商四十步以一濶七分半乗之得七十步以減和數餘三十八步以初商乗之得一千五百二十步為初商積大扵原積反減之餘實七十一步乃二因一濶七分半所乗初商之數得一百四十步大扵和數反減之餘三十二步為次商㢘次商二步以一濶七分半乗之得三步半為次商隅凡和數㢘隅相減此反相加得三十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與餘積相減恰盡開得濶四十二步依條叚求之穿步冪内減田積為實倍穿步為従一步七分半虚常法義曰二之従步内元減了七分半又疊了一步計虚却一步七分半也第二十五問今有方圓田各一叚共計積一千三百七步半只云方周大如圓周五十八步問方圓各多少(圓依密率)答曰方周一百二十四步 圓周六十六步法曰立天元一為圓周加周差五十八步得□丨為方田周以自増乗得下式□□丨為方周冪便是十六箇方田積又就密率分母一十一之得□□□為一百七十六叚方田積於頭又立天元圓周以自之為冪又就分一十四之得(元○)□為一百七十六叚圓田積(依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積)(也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數)以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然後列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬一百二十步與左相消得□□□開平方得六十六步為圓田周也加多步見方周依條叚求之一百七十六之積内減一十一叚多步冪為實二十二之多步為從二十五步常法義曰一百七十六之積步内有一十一箇方周方一十四箇圓周方也今畫此式其一十四箇圓周方與一十一箇圓周方大小俱同者止為欲見差步權作此式其實合作一十二叚圓式求之其實自見也(按十一方周冪十四圓周冪共積内減去十一不及冪餘不及步乗圓周)(長方二十二圓周冪二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也)第二十六問今有方圓田各一叚共計一千四百五十六步只云方周大如圓周方圓周共相和得二百步問二周各多少答曰方周一百二十八步 圓周七十二步法曰立天元一為圓周減於相和二百步得□丨為方周以自乗得□□丨為方周冪(是十六箇方積也)就分三之得□□□為四十八叚方田積扵頭再立天元圓周以自之又就分四之得(元○)□亦為四十八叚圓田積併入頭位得□□□為四十八叚如積數寄左然後列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬九千八百八十八步與左相消得□□□開平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周依條叚求之三叚和步冪内減四十八之田積為實六之和步為従七益隅義曰減時減過一箇方六之従步内又欠六箇方共虚了七步故以為益隅第二十七問今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方面不及圓徑一十二步圓依密率問面徑各多少答曰方面三十步 圓徑四十二步法曰立天元一為方面加不及一十二步得□丨為圓徑以自之得□□丨為圓徑冪以一十一之得下式□□□便為十四箇圓積於頭再立天元方面以自之又就分一十四之得(元○)□為十四箇方積也併又頭位得□□□為十四叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分一十四之得三萬二千四步與左相消得下式□□□平方開之得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也依條叚求之十四之真積内減一十一叚差步冪為實二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常法義曰十四之積步内有一十一箇圓徑方與一十四箇方面方此式與第二十五問畧同其一十一箇圓徑冪有十一箇方正當十一叚之其數自見也第二十八問今有方圓田各一叚共計積二千二百八十六步只云方周不及圓周一十二步問周各若干(圓依密率)答曰方周一百二十步 圓周一百三十二步法曰立天元一為方周加不及步一十二得(太□)丨為圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□為一百七十六叚密率積扵頭再立天元方周以自之為方積一十六叚又就分一十一之得(元○)□便為一百七十六叚方田積併入頭位得下式□□□為一百七十六叚如積數寄左然後列真積二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十萬二千三百三十六步與左相消得□□□開平方得一百二十步為方周加不及步即圓周也依條叚求之一百七十六之真積内減十四叚差步冪為方實二十八之差步為従二十五常法義曰所減數乃十四叚不及步冪也第二十九問今有方圓田各一叚共計積一千四百四十三步只云圓周大如方周方圓周併得一百九十八步問二周各多少答曰方周九十六步 圓周一百二步法曰立天元一為方周減共步一百九十八得□丨為圓周以自増乗得□□丨為十二叚圓田積四之得下□□□為四十八叚圓田積扵頭再立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得(元○)□便為四十八叚方田積併入頭位得□□□為四十八叚如積寄左然後列真積一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六萬九千二百六十四與左相消得□□□開平方得九十六步為方周也減於併數見圓周也依條叚求之四叚共步冪内減四十八之積為實八之共步為従七益隅義曰八之從内合虚八箇方今見有一箇方外只虚了七步方也第三十問今有圓田二叚(一叚依圓三徑一率一叚依密率)共積六百六十一步只云二徑共相和得四十步問二徑各數答曰密徑一十四步 古徑二十六步法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□□□合以四約之又就分母七之得□□□為二十八叚古圓積於頭再立天元密圓徑以自之又二十二之得(元○)□為二十八叚密圓積也併入頭位得□□□為二十八叚如積寄左然後列真積六百六十一步就分二十八乗之得一萬八千五百八步與左相消得□□□平方開之得一十四步為密圓徑以減和步即古徑也依條叚求之二十一叚和步冪内減二十八之田積為實四十二之和步為從四十三步虚常法義曰其二十八之田積内有古積二十一叚密積二十二叚元初減時減過一叚又併從步内合除之數計虚却四十三箇方也第三十一問今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云從外田角斜通内池徑七十一步外田闊不及長九十四步問三事各多少答曰圓池徑一十二步 田長一百二十六步闊三十二步法曰立天元一為内圓徑以減倍通步一百四十二步得□丨為直田斜以自乗得□□丨為兩叚直田並一叚較冪扵頭再置闊不及長九十四步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨為兩叚直積數寄左再立天元圓徑以自之為圓徑冪三之二而一得(元○)□為兩箇池積數加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與寄左相消得□□□平方開之得一十二步為圓徑也依條叚求之倍通步為冪内減二之見積一箇較冪為實四之通步為從半步常法義曰従步内少一箇圓徑冪其漏下底二箇圓池共一步半今将一步補了従步合除之數外猶剰半步故以為常法第三十二問今有圓田一叚中心直池水占之外計地五千三百二十四步只云併内池長闊與外圓徑等内池闊不及長三十六步問三事各多少答曰外田徑一百步 内池長六十八步 濶三十二步法曰立天元一為外圓徑以自乗三因四而一得(元○)□為圓積内減了見積五千三百二十四步餘得□○□為水池直積也以四之得□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為直積和步以自之得(元○)丨為四積一較冪内減了池較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積與左相消得□○□平方開之得一百步為外圓徑也闊不及長減圓徑餘折半見闊却以不及步加之即長也依條叚求之四積内減較冪為實從空二步常法義曰四之圓積内有四箇水池又扵見積内減了一箇池較冪相併恰是一箇和冪也今来池和與圓等共和冪恰是一箇圓徑冪也除外有兩箇方第三十三問今有圓田一叚中心有直池水占之外計地七千三百步只云併内池長濶少田徑五十五步闊不及長三十五步問三事各多少答曰田徑一百步 内池長四十步 闊五步法曰立天元一為外圓徑自之得數又三之四而一得(元○)□為外圓田積也減見積七千三百步得□○□為内池積也以四之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑内減少徑步五十五得□丨為池和也以自之得□□丨為四池一較冪内減池較冪一千二百二十五步得□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開之得一百步為圓徑也内減少徑即水池和步内加一差即為二長若減一差即為二闊也依條叚求之四之積步内減池較冪却加入少徑冪為實二之少徑為從二步常法義曰四池并所減底箇較冪恰是一箇和自之舊術下積步四之於頭位又以少徑步自乗加頭位内却減闊不及長冪餘折半為實用少徑為従一步常法第三十四問今有圓田一叚内有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及長三十五步問三事各若干答曰圓田徑一百步 池長六十步 濶二十五步法曰立天元一為外徑内減倍至步三十五步得□丨為池斜以自之得□□丨為二積一較冪於頭又列闊不及長三十五步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積内減四之見積二萬四千步得下式□○□亦為四箇池積也與左相消得□□丨平方開得一百步為外田圓徑也圓徑自之又三之四而一内減見積餘為内池積也又用差步為従開方見池闊也依條叚求之四之見積内加八叚至步冪却減兩叚闊不及長冪為實八之至步為従一步常法義曰四箇圓積内有四箇虚直池於積内又減了兩叚闊不及長冪合成兩箇池斜冪也八箇従步内貼入八箇斜至步冪其數與圓徑正相應也外恰有一步方第三十五問今有圓田一叚中心有直池水占之外計地五千七百六十步只云從外田東南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池闊不及長三十四步問三事各多少答曰外圓田徑一百二十步 池長九十步 闊五十六步法曰立天元一為角斜加通步得□丨為圓徑以自之得□□丨為圓徑冪又三之得□□□為四叚圓田積也内減了四之見積二萬三千四十步得□□□為四叚内直池寄左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□丨為池斜冪於頭又列長平(按平即闊)較三十四步以自之得一千一百五十六步以減頭位餘□□丨為二池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得□□丨開平方得七步為角斜也依條叚求之四之積步内減兩叚闊不及長冪又減一叚通步冪為實十之通步為従一步隅法義曰兩箇較冪併四箇池積該兩箇斜冪也於四箇圓積内減此兩箇斜冪外更減了一箇通步冪恰是十之從外有一步常法也第三十六問今有圓田一叚中心有直池水占之外計地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池長闊共相和得八十五步問三事各多少答曰外田徑一百步 池長六十步 闊二十五步法曰立天元一為内池斜加入倍至步三十五得□丨為外圓徑以自之又三之得□□□為四叚圓積也内減四之見積二萬四千步得下□□□為四箇池積寄左乃置内池和八十五步以自之得□為四積一較冪於頭再立天元内池斜以自之得(元○)丨為二池積一較冪以減於頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦為四池積與左相消得□□□平方開得六十五步為内池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一内減去田積餘實以和步為從一虚隅開平方見闊也依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減十二叚至步冪為實十二之至步為從五步常法義曰所加兩箇和冪該八積二較冪數内元有四虚池外有四積二較冪其實只是添了兩箇池斜冪也於四圓積内除従步占外元有三箇方今又加入兩箇池斜冪共得五步故五為常法第三十七問今有圓田一叚中心有直池水占之外計地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池長闊共相和得一百二十七步問三事各多少答曰圓田徑一百二十步池長一百一十二步闊一十五步法曰立天元一為角斜加通步一百一十六步半□步丨為圓徑以自之得□□丨為圓徑冪以三之得□□□為四叚圓田也内減四之見積三萬六千四百八十步得□步□□為四叚内池積寄左再立天元角斜以減通步得□步丨為内池斜以自乗得□步□丨為二積一較冪於頭又列池和步以自乗得□内減頭位餘得□(元)□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池積與左相消得□步□□平方開之得三步半為角斜也加通步為圓徑依條叚求之四之積步内加兩叚和步冪却減五箇通步冪餘為實二之通步為從五步為常法義曰兩箇和冪内虚了四池只是兩箇池斜冪今将兩箇池斜冪減於兩箇通步冪止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步冪併以減於四之見積外實在兩箇通步從五箇方也第三十八問今有水旱田各一叚共計積二千六百二十五步只云水田長闊共一百步其旱地闊不及長三十五步而不及水地闊十步問水旱地長闊各若干答曰水地長七十五步 闊二十五步 旱地長五十步 闊一十五步法曰立天元一為旱地闊加旱闊不及水闊一十步得□丨為水地闊以減水田長闊共一百步得□丨為水田長也以水田長闊相乗得□□丨為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步得□(兀丨)為旱田長也以天元乗之得(太○)□丨為旱田積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然後列真積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長三十五步為旱田長也又扵旱闊内加不及水地闊一十步為水地闊也以水地闊減於水田長闊一百步餘為水田長也依條叚求之以水田共步乗二闊差於頭位以二闊差冪減頭位得數復以減於田積為實列水田共步加入旱地長闊差内却減兩箇二闊差為法義曰其水田闊二十五步為法内元多一箇水旱二闊差數又積步内減了一叚旱闊為長二闊差為平底直積是又虚了一箇水旱二闊差數故於法内減去兩箇闊差也按此條圗與義不合盖𫝊寫之誤也今仍存舊式另擬圖義扵後以明之義曰水田長闊共步乗二闊差内減差冪即附水田周一磬折積也以減共積餘同旱闊之兩長方共積為實其水田長闊比原數各減一闊差扵此長闊和内加旱田長闊較即兩長方之共長故為法即得旱田闊也第三十九問今有直田一叚内有圓池水占之外計地三十九畆一分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各九步問三事各多少答曰田長二百三十四步 闊四十二步 池徑二十四步法曰立天元一為内池徑加二之邊至一十八步得□丨為田闊又置天元池徑加二之頭至二百一十步得□丨為田長長闊相乗得下式□□丨為直田積於頭再置天元徑以自之又三之四而一得○□為内池積以減頭位得□□□為一叚如積數寄左然後列真積三十九畝一分半以畝法通之得九千三百九十六步與左相消得□□□開平方得二十四步為内池徑也加二之邉至步為田闊若加二之頭至步即田長依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為實併一頭一邊步又倍之為從二分半常法義曰此問與第一問條叚頗同但所減者為四箇小池積(按池當作隅)第四十問今有直田一叚中心有圓池水占之外計地四畝五十三步只云外田長平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步問外田水池徑各多少答曰田長五十步 闊二十六步太 池徑二十步太法曰立天元一為内池徑加倍角至步三十六得□丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪(便是二積一較冪也)又九之得下式□□□為十八積九較冪也寄左列和步七十六步太(按太)(即三分步之二)通分内子得□以自之得五萬二千九百步為九叚和冪於頭(為九)(叚和冪者元帶三分母以自之得九也此九叚和冪該三十六直積九箇較冪也)又置天元圓徑以自之又三之四而一得(元○)□為一叚圓積也加入見積一千一十三步得□○□共為直積一叚又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平方開之今不可開(按不可開者謂㢘隅數多而得數又不能盡也)先以隅法二十二步半乗實二萬三千單二步得五十一萬七千五百四十五步正為實元従六百四十八負依舊為従一益隅平方開之得四百六十五步以元隅二十二步半約之得二十步三分之二為内池徑也加倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之於頭位以和步冪減頭位餘以平方開之即田較也加入和步折半為長若減於和步折半為闊也依條叚求之列相和步自乗為冪内減倍積及四叚至步冪為實四之至步為從二步半常法義曰和步冪内減了二直積只有一叚斜冪也減二直積時漏下兩箇圓池該一步半又正有一步共計二步半常法也 求較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三箇徑也加入六之至步一百八步得□便為三箇田斜也以自之得□為九叚斜冪(便是十八箇直積九箇較冪)倍之得□為三十六叚田積一十八叚較冪於頭再置和步七十六步太□亦帶三分母便為三箇和也以自之得□為九叚和冪(便是三十六直積九較冪也)以減頭位餘□為九叚較冪也平方開之得七十步以三約之得二十三步三分步之一為田較也欲見田長闊及斜者准此法求之 又法求圓池徑者立天元一為三箇内池徑以自之得(元○)丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積也加十二叚見積得□○丨為十二叚直積又身外加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□為和冪九叚(便是直積三十六叚較冪九叚也)内減頭位得下式□○□為九叚斜冪數寄左再置天元圓徑加六之角至步一百八步得□丨為三箇田斜以自之得□□丨亦為九叚斜冪也與左相消得□□□開平方得六十二步為三箇圓池徑也以三約之得一箇圓徑二十步三分之二此名之分天元一術前法乃連枝同體術也(按分天元一術即天元一内帶分求之得數而後約之連枝同體術即通分開方得數而後約之皆)(兼通分之法也)第四十一問今有直田一叚中心有圓池水占之外計地三千九百二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田長闊相和得一百五十八步問三事各多少答曰圓徑十二步 田長一百二十六步 闊三十二步法曰立天元一為内圓徑以減倍通步一百四十二步得□丨為田斜以自之得□□丨為二積一較冪於頭又立和步一百五十八步以自之得□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄左又立天元池徑以自之又三之二而一得(元○)□為兩箇池積也加入二之見積七千八百四十八步得□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開之得一十二步為内池徑也依條叚求之二之積步内加四叚通步冪却減一叚和步冪為實四之通步為従二步半虚常法義曰減一和步冪是減四積一較冪也四之通步冪内減了一箇斜冪却又減過二箇直積故二之積步加之従内欠一箇方減二積時漏下二箇圓池又該欠一箇半方共欠二步半虛常法也第四十二問今有直田一叚中心有圓池水占之外計地一萬八百步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不及長七十步問二事各多少答曰田長一百五十步 闊八十步 圓池徑四十步法曰立天元一為内池徑加倍至一百三十步得□丨為田斜以自之得□□丨為田斜冪於頭又置田較七十步以自之得□為較冪以減頭位得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身外加五得(元○)□為兩箇池積也加二之見積二萬一千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□開平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一加入見積為實以闊不及長為従開方得田闊依條叚求之二之田積内加較冪却減四叚至步冪為實四之至步為従半步虚常法義曰二積内加一箇較冪恰補就一箇斜冪也其二積内有兩箇圓池是元虚了一步半方也扵積内却實有一步除外止虚了半步也益古演段卷中
## 卷下
欽定四庫全書
益古演叚卷下 元 李冶 撰第四十三問今有圓田三叚(一依古法一依宻率一依徽率)共計地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻徑多於古徑九步徽徑多於宻徑九步問三徑各多少答曰古徑三十六歩 宻徑四十五步 徽徑五十四步法曰立天元一為古徑加多九步得□丨為宻徑以自之得下□□丨為宻徑冪又以十一乗之得□□□為十四叚宻圓積於頭又立天元古徑加二之多步一十八步得□丨為徽徑以自之得□□丨為徽徑冪也又以一百五十七乗之得□□□為二百叚徽圓積於中(按徽率周一百五十七徑五十徑乗)(周四歸為圓冪今以徑冪乗周當以徑五十除之再四歸之為圓冪不除便為五十乗之又四乗之之二)(百圓冪也)又置天元古徑以自之又三之得(元○)□為四叚古圓積於下乃求三積齊同分母而併之先以分母一萬七千五百(按此即十四除二十四萬五十之數)乗十四叚宻圓積得□□□為二十四萬五千叚宻圓積於頭位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為二十四萬五千叚徽積於中位次以分母六萬一千二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬五千叚古積於下位三位相併得□□□為二十四萬五千叚如積數寄左然後列見積通分内子得八十四萬九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一億八千八百七十七萬二千二百與左相消得下式□□□平方開之得三十六步為方徑也各加多步見徽宻二徑也 義曰所以齊同於二十四萬五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數依條叚求之以一千四百乗田積於頭位置徽徑多古徑自之為冪又以一千九十九(按置一千四百分以徽圓冪率一百)(五十七乗之方冪率二百除之即得)乗之減頭位續置宻徑多古徑自之為冪又以一千一百(按置冪十)一(千四百分以宻率圓乗之方冪十四除之)(即得)乗之復減頭位餘為實又倍徽徑多古徑以千九十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗之為宻從併二從得五萬九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也齊同分母湏至於二十四萬五千叚者葢以分母一百七十五元乗積數一千四百此二數相乗得二十四萬五千也此問求真積實數 古徑三十六得積九百七十二步 宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一 徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二併三積全步四千八百五十二步外(宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二)以上維乗下位(宻子得二百分八徽子得一百六十 分)相併得三百六十八分為子實又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三 一千四百乗田積來厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一為一千一百積 若以古率三之四而一則得一千五十積 若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以除之也 求三積齊同分母元分母數一百七十五元乗積數一千四百此二數相乗二十四萬五千即大分母也三積總率皆齊同於此既得此齊同分母乃各以先求到叚數約之徽率得一千二百二十五宻率得一萬七千五百古率得六萬一千二百五十故反以乗叚數皆齊同於二十四萬五千也按條叚分母數簡於前法者用舊術也然各分母之數猶有可省者盖衆數取分母數必得最小者方爲確凖其義見秦九韶數學九章大衍術中今附其法於後以發明前法所未盡者法列四數先以元母一百七十五與宻方率十四相度得度盡二數之數為七次以二數相乗以度盡數除之得三百五十為二數總母又以二數總母與徽方率數相度得度盡二數之數為五十以二數相乗度盡數除之得一千四百為三數總母又以三數總母與古方率數相度則古方率四即為度盡二數之數二數相乗度盡數除之仍得一千四百即為四數總母然後以宻方率十四除之得一百為宻分母以徽方率二百除之得七為徽分母以古方率四除之得三百五十為古分母以元分母一百七十五除之得八為原積分母以此數與各叚冪積相乗除較原數所省多矣第四十四問今有梯田一叚長二百四十步並不知東西兩濶只云從東頭截長五十步計地三畆從西頭截長三十步計地五畆問二濶各多少答曰東頭元濶一十一步二分 西頭元濶四十一步九分二釐法曰此問先湏求見兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截長三十步除之得四十步為西頭所截停廣也乃立天元一為毎步之差以東頭截長五十步乗之折半得□以減東停廣一十四步四分得□(分)□為東頭元小濶於上再置天元差步以西頭截長三十步乗之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也内減東頭小濶餘□步□為二濶總差也寄左再立天元毎步差以正長二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實如法而一得一分二釐八毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長三十步乗之得三步八分四釐折半得一步九分二釐加入西頭停廣四十步得四十一步九分二釐為西頭元大濶也又置毎步之差以東頭截長五十步乗之得六步四分折半得三步二分以減於東頭停廣一十四步四分餘一十一步二分為東頭元小濶也此問止求毎步之差更不湏以條叚明之舊術依法求得東停廣與西停廣數乃以二停廣相減餘以二百而一(謂東截長五十步其停廣當二十五步餘去了二十五步也西截長)(三十步其停廣當一十五步餘去了一十五步也兩頭計去了四十步以減於正長二百四十步餘二百)(步)所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長乗之以減東停廣餘為東元濶也右以西截長乗之以加西停廣併為西元濶也又法置一步之差以正長二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加於小頭濶則為大頭濶也第四十五問今有方田一叚中心有方田池占之外計地一畆只云從外田東南隅至内池西南隅一十三步問内外田方各多少答曰内池方七步 外田方一十七步法曰立天元一為内池方以自乗倍之得(元○)□加入見積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步又倍之得三百三十八步與左相消得□○□開平方得七步即内池方也池方自之加入見積再開平方即外田方面也依條叚求之只據前式便是更不湏重畫也只是将見積打作四叚小直田以池面為較以外田方面為和以斜至步為弦然此問惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏側則不能用也 舊術列去角步自乗為二位頭位減半田積開平方見内池面下位加半田積開平方見外田面也第四十六問今有方圓田各一叚共計積一百二十七步只云其方面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問面徑各多少答曰方面一十步 圓徑六步法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自之得□□丨為方斜冪於頭再置天元圓徑以自之又以一步四分七釐乗之得□□步為展起圓田也併入頭位得□□□步為展數如積一叚寄左然後列見積一百二十七步兩度下加四(兩度下加四止是以一步九分)(六釐乗之也以一步九分六釐乗之者變方田為斜田也)得二百四十八步九分二釐與左相消得下式□□□開平方得六步即圓徑也以徑減穿步即方斜也依條叚求之穿步冪内減去展起見積為實二之穿步為從二步四分七釐虛隅義曰下式乃展起之圓積也亦俱是減數也此數該一步四分七釐之方又從步内疊出一步虚隅計得二步四分七釐常法也舊術曰以一步九分六釐乗田積為頭位又列穿步自乗内減去頭位餘為實倍穿歩為從亷常置二歩四分七釐減從開方第四十七問今有直田一叚中心有小方池結角占之外計地二千七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邉至池角七步半問三事各多少答曰長六十四步 濶三十六步 池方一十五步法曰立天元一為内方面身外加四又加二之頭至步四十三得□□為田長也又置池方面身外加四又加入二之邉至步一十五得□□為田濶也長濶相乗得下式□□□為直田積於頭又置天元池方面以自之得(元○)丨為内方池以減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列見積二千七十九步與左相消得□□□開平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見長若加兩邉至池步即見濶也依條叚求之積步内減四叚邉至與頭至步相乗數為實併至頭至步倍之又身外加四為從九分六釐常法義曰水池外有九分六釐常法從步皆加四者盖於斜上求方面也第四十八問今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池廣不及長四步又云從田楞通池長一十五步問三事各多少答曰田方二十步 内池長一十步 廣六步法曰立天元一為池長減於倍通步□丨為田方面以自之得□□丨為田方積於頭再置天元池長内減較四步□丨為池濶以天元乗之得□丨為直池積以減頭位得□□○為如積一叚寄左然後列直積三百四十步與左相消得□□下法上實如法而一得一十步即池長也以長減於倍通步即方田面也依條叚求之四叚通步冪内減田積為實四之通步内減池較為法如法得池長義曰四之通步為法内欠一箇池長冪却用所漏之池補之猶差一池較為法合除之數也既於實積内虚了此數故作法時於四之通步内減去一數也第四十九問今有方田一叚内有小方池結角占之外計地一萬八百步只云從外田楞至内池角各一十八步問内外方各多少答曰外田方一百二十步 内池方六十步法曰立天元一為内方面身外加四又加倍至步三十六得□□為田方面以自乗得□□□為外方積於頭再置天元内方面以自之得(元○)丨為内池積也以減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□開平方得六十步為内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也依條叚求之見積内減四叚至步冪為實四之至步身外加四為從九分六釐常法義曰從步内加四者是於一箇方面上求第五十問今有方田一叚自有小方池結角占之外計地九千三百七十五步只云從外方角至内池面各五十七步半問内外方各多少答曰外田方一百步 内池方二十五步法曰立天元一為内方面加倍至步一百一十五步得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展方積於頭再置天元内池面以自之得(元○)丨為内池積又就分以一步九分六釐乗之得下(元○)□亦為所展之池積也以減頭位得□□□為一叚所展如積寄左然後列真積九千三百七十五步以一步九分六釐乗之得一萬八千三百七十五與左相消得□□□開平方得二十五步即内方面也依條叚求之展積内減四叚至步冪為實四之至步為從九分六釐虚常法義曰展積時其池亦展得虚了九分六釐也第五十一問今有方田一叚内有小方池結角占之外計地四十五畆只云從外田南邉斜通池北角一百二步問内外方各多少答曰外田方一百二十步 内池方六十步法曰立天元一為内方面身外加四為池斜以減於倍通步二百四步得□□為外方面以自之得□□□為方田積於頭又置天元内池面以自之得下(元○)丨為内方池也以内方池減頭位得□□□為如積一叚寄左然後列真積一萬八百步與左相消得□□□平方開之得六十步為池方面也依條叚求之四叚通步冪内減見積為實四之通步加四為從九分六釐虚隅法義曰從步身外加四者蓋是於池斜上求池面也舊術曰倍通步自乗以田積減之餘折半為實倍通步加四為從亷常置四分八釐減從開方見内方面第五十二問今有方田一叚内有方池結角占之外計地三十九畆零一十五步只云從田東南角至内池西北面八十二步半問内外方面各多少答曰外田方面一百步 内池方面二十五步法曰立天元一為内方面減於倍通步一百六十五步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積於頭再置天元池方面以自之為方池積又就分以一步九分六釐乗之得(元○)□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一叚寄左然後列真積三十九畆一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六釐乗之得一萬八千三百七十五步與左相消得□□□平方開之得二十五步即内池面也以池面減於倍通步又身外去四即外方面也依條叚求之四叚通步冪内減展積為實四之通步為從九分六釐常法義曰元以展積減四叚通步冪時漏下一步九分六釐池積今来於從步内疊用了一個方外剰九分六釐第五十三問今有方田一叚内有直池結角占之外計地八百五十步只云從田角通水長三十七步通水濶三十二步問三事各數答曰池長二十五步 濶一十五步 外田方三十五步法曰立天元一為内池長減於倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積於頭再置倍通長七十四步内減倍通濶六十四步餘一十步乃池長濶差也(或直以通長通濶相減於者倍)(之亦為長濶差也)再置天元池長内減長濶差得□丨為濶也以天元長乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乗之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一叚寄左然後列真積八百五十步就分以一步九分六釐乗之得一千六百六十六步與左相消得□□□開平方得二十五步為内池長也(以減倍通長步又身)(外去四即外田方面也)依條叚求之四叚通長冪内減展積為實四之通長於頭以一步九分六釐乗長濶差以減頭位為從九分六釐常法義曰據從步合用之積於疊起處少了一方今将減積時漏下所展水池補了一甲之地若更得一乙之地則共補成一步九分六釐之地方也(按原)(圖仍用正方今易為直方庶為簡明)今不可補故於從步内減去所展差步便是於從法合用之積内借了一乙之地恰補就一步九分六釐之方也除補了疊起的一步方外猶剰九分六釐故以之爲常法也第五十四問今有方田一叚内有直池結角占之外計地一千一百五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩邉各一十九步問三事各多少答曰方四十五步 池長三十五步 濶二十五步法曰立天元一爲池濶加二之邉至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積於頭二之邉至步内減二之頭至步餘一十步為池長濶差也再置天元池濶加差一十步得□丨為池長也用天元池濶乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六釐乗之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左然後列真積一千一百五十步以一步九分六釐乗之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開平方得二十五步為池濶也(又加)(二之邉至步又身外去四即外方面也)依條叚求之展積内減四叚邉至步冪為實四之邉至步於頭以一步九分六釐乗長濶差減頭位餘為從九分六釐虚常法義曰所展池積内将四叚紅(按原)(圖應減者以紅色别之)積恰補作九分六釐虚常法其兩箇所占半差於減從時又以一步九分六釐乗之者葢欲合身外加四所乗積也按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之義曰外四隅方所減之四至冪也中十字積為實則池濶為隅四之至步為從也附直池外斜方展池積也平分上下二尖形附於左右二尖形外成一原池濶乗展池正長之直方展池正長為原池長之一步九分六釐十字積與展池積之較為實是前從隅内應少原池長之一步九分六釐又為少原池長濶較之一步九分六釐併原池濶之一步九分六釐故展較減前從以為從展隅反減前隅為虚隅也第五十五問今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分只云内外周徑共相和得四百二十四步問内外周徑各多少(圖依宻率)答曰外周二百八十六步徑九十一步 内周一百一十步徑三十五步 實徑二十八步法曰立天元為實徑以減相和步四百二十四得□丨為内外周共步用天元實徑乗之得□丨為如積兩叚寄左然後列二之真積一萬一千八十八步與左相消得□□丨開平方得二十八步為實徑也以徑步除田積於頭位又二十二乗徑步如七而一得數若加頭位即外周若減頭位即内周也義曰以徑步除田積所得乃半内周半外周共步也又據古率三箇實徑即是半箇外内周差步也縁此問係是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是内周也又據古率三之實徑以加減共步者縁共步便三空徑三實徑共數也於此共數内加三實徑則恰是三箇大圓徑故為一箇外周也若共數内減去三實徑則正有三箇小圓徑故為一箇内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此數以求内外周也依條叚求之倍積步為實和步為從一益隅義曰以和步為從是於内外周數外又引出一步虚常法也第五十六問今有圓田一叚内有圓池水占之外計地二十三畆一分只云從外田通内池徑六十三步問同前答同前法曰立天元為實徑加通步六十三得□丨為外田徑以自之得下□□丨為外圓徑冪又十一之得下式□□□為十四叚外圓積於頭再置天元實徑以減通步得□丨為内圓徑以自之得□□丨為内圓徑冪又十一之得□□□為十四叚内圓積也以減頭位得下式□步為十四叚如積寄左然後列真積二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬七千六百一十六與左相消得□□下法上實如法而一得二十八步為實徑也以實徑加通步即外徑若減通步即内池徑也依條叚求之十四之積為實四十四之通步為法求得實徑此問難以為式强立此式以推之毎積之長乃三箇通步今十四之積合以四十二箇通步除之今用四十四之通步為法者縁宻率之周稍多於古率之周也假令古率七箇積即合用二十一箇通步為法若依宻率七箇積即合用二十二箇通步為法此問乃併十四之積為實是合用四十四箇通步為法也舊術曰二十二之通步如七而一為法除田積見徑又法倍通步自之又十一之於上以十四之積減上餘為實四十四之通步為法見池徑按條叚皆於立天元一内取出而於方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環圓環解之固易易耳今増一圖義於後而舊術又法先求池徑更可互相發明因並附焉義曰圓冪率十一方冪率十四以十四乗圓環積便為十一方環積毎環為實徑乗通步之直方四故以十一方環積為實四十四通步為法即得實徑也義曰倍通步即大小徑併其冪内有大小徑冪各一大小徑相乗直方二内減圓環積所變之方環積餘小徑冪二大小徑相乗之直方二又為小徑乗大小徑併之直方二又為小徑乗通步之直方四故以十一倍之積較為實四十四之通步為法即得小徑也第五十七問今有圓田一叚内有直池水占之外計地八千七百四十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問三事各數答曰田徑一百二十四步 池長八十二步 濶三十四歩法曰立天元一為池濶加二之畔至步得□丨為外田徑以自之得□□丨為田徑冪以三之得□□□爲四叚圓田積於頭二至歩相減餘二十四步又倍之得四十八步為池長濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池長以天元濶乗之得□丨為池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位得□□丨為如積四叚寄左然後列真積八千七百四十四步就分四之得三萬四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開之得三十四步為池濶也依條叚求之四之見積内減十二叚畔至步冪為實十二之畔至步内減四箇長濶差餘為從一步虚常法義曰八處以紅誌之者共是從内所減之數也舊術曰四之積步於上又倍一畔步自乗三之減上餘為實又併一頭一畔步六之内減了長濶之差餘為從亷常置一步減從開方見池濶也第五十八問今有圓田一叚内有直池占之外計地一千五百八十七步只云從田楞通地長四十二步通地濶三十七步問三事各數答曰田徑五十四步 池長三十步 濶二十步法曰立天元一為内池長以減倍通長八十四步得□丨為田徑以自之得□□丨為田徑冪以三之得□□□為四叚圓田於頭再立天元一為池長内減長濶差得□丨為池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□為四叚池積(求長濶差者倍通長内減)(倍通濶即是也)以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左然後列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開平方得三十步為内池長也以長減倍通長即田徑也依條叚求之十二之通步冪内減四之見積為實十二之通步内減四差為從一步常法義曰十二之從步内減去了三箇差又以三箇漏下池積補了疊起底三步虚方外猶剰一池更用一差減從併上所剰之一池恰補成一步常法也第五十九問今有二方夾一圓失却圓水占外有田積一十一畆五分五釐其方圓相去重重徑等問方圓各多少答曰内方面一十二步 圓徑三十六步 外方面六十步法曰立天元一為等數五之得□為外方面自之得(元○)□為外方積於頭一次立天元一為等數以三之得□為中圓徑以自之得(元○)□為圓徑冪又三之四而一得(元○)□為池積以減頭位得(元○)□為外田積内減了中圓積之數於次位一再立天元等數便為内方面以自之得(元○)丨為内方積却加入次位得下□為如積一叚寄左然後列真積一十一畆五分五釐以畆法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實如法而一得一百四十四步再開平方得一十二步為等數也便是内方面也三之為中圓徑五之為外方面 此問更無條叚舊法以十九步二分半除積步得内方冪只是以一步推之也假令内方一步則圓徑三步外方面五步也於外方積二十五步之内減了中圓積六步七分半却加入内方積一步計得十九步二分半也第六十問今有二圓夾一方失却中方水占外有田積一十四畆一分七釐半其方圓相去重重徑等問方圓各幾何答曰内圓徑一十八步 方面五十四步 外圓徑九十步法曰立天元一為等數以五之為外圓徑以自之得(元○)□為外徑冪又三之四而一得□為外田積於頭再立天元等數以三之為中方面又自之得(元○)□為中方冪以減頭位得(元○)□為外圓積内減了中方冪之數於次位又置天元等數便為内圓徑以自之得(元○)丨為内徑冪又三之四而一得(元○)□為内圓積也却加入頭位得(元○)□為如積一叚寄左然後列真積一十四畆一分七釐半以畆法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實如法而一得三百二十四步再開平方得一十八步為等數便是内圓徑也副置之三因為中方面五因為外圓徑也 此問與前問意同更無條叚舊法以十步半除積步得内徑冪亦只是以一步推之假令内圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半内減了中方積九步却加内圓積七分半共得一十步半也第六十一問今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計地九百二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問面徑各多少答曰外田方面三十五步 内池徑二十步法曰立天元一為内池徑身外加二得□為池東南楞至田西北角也又加斜至步二十五步得□□為外田斜以自之得□□□為田斜冪於頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四分七釐乗之得(元○)□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左(初立天元身外加二者以方求斜合加四今求)(一半故加二也斜按加二係以方求半方半 和之數也)然後列真積九百二十五步就分以一步九分六釐乗之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也依條叚求之展積内減斜至冪為實倍至步身外加二為從三釐虚常法減從開平方義曰於一方外虚了四分七釐從上帶了四分外虚七釐又於從上乗起四釐外猶虚三釐故以三釐為常法此圖内二分合畫作極細形状與四分七釐外圓邉正自相應今不應者但二分差濶耳所以畫作差濶之状者正欲易辯二分之數也按原圖式有附斜至冪外磬折形無附池徑冪外磬折形且二形相離皆𫝊本之誤也故義中所論亦不知其何指今訂補此圖二分不必加濶未嘗不易辨也第六十二問今有方田二叚靠西北隅有方池結角占外計地四畆一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步問内外面各多少答曰外方面四十步 内方面二十五步法曰立天元一為池方面身外加四八又加入斜至步一十九步得□□為外田斜也(先将池斜變為方故加四後又)(将池方變為斜復合加四兩度加四於一步上合得一步九分六釐今求一半故身外止加四八也 按)(方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜)(之和數故加四八也)以自之得□□□為外田斜冪於上再立天元一為池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得(元○)□為展起方池積以減上得□□□為所展如積一叚寄左然後列真積四畆一十五步以畆法通内得九百七十五步又隨分以一步九分六釐乗之得一千九百一十一步與左相消得□□□平方開得二十五步為内池方面也於此方面上兩次求斜合得一步九分六釐以除元方一步外有九分六釐半之則得四分八釐故此方面上加四八更加入斜至步為大方斜也以條叚求之展積内減至步冪為實二之至步以一步四分八釐乗之為從二分三釐四絲為常法義曰此一問其展起積時於一池之外虚了九分六釐却於一箇從步内加四分八釐二箇從步計加了九分六釐恰就了所展虗數除外有一叚四分自乗數該一分六釐於上又有兩叚四分乗八釐數(按附自乗方外)該六釐四毫於次又有一叚八釐自乗數(按小方隅)該六毫四絲於下三位併得二分三釐四絲此數係是於展積内實有之數故以常法也舊術以四十九乗田積如二十五而一于頭位以至水步自乗減頭位為實餘與條叚同按原圖式四分八釐方内按分釐數細分之因其數甚微又以分數釐數作等數分之終不免混淆今以亷隅線易之第六十三問今有大圓田一叚大小方田二叚其小方田内有圓池水占之外共計積六萬一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多於小方田面五十步其圓田徑又多於大方田面五十步問四事各多少答曰小方田面一百步 池徑四十步 大方田面一百五十步 圓田徑二百步法曰立天元一為内池徑加二之至水六十步為小方面於小方面上又加入大小方面差五十步即大方面也於大方面上又加入大圓徑大方面差五十步即大圓徑也具圖於左一内圓徑(太○)丨 一小方面□丨一大方面□丨 一大圓徑□丨乃先置天元内圓徑以自之义三之得(元○)□為四叚圓池積於上又置小方面□丨以自之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四叚小方積於次又置大方面以自之得□□丨為大方積四之得□□□為四叚大方積於下又置大圓徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之得下式□□□為四叚大圓積於下位之次併下三位得下式□□□於右以四池積(元○)□減於右得□□□為如積四叚寄左然後列真積六萬一千三百步就分四之得二十四萬五千二百步與左相消得□□□平方開之得四十步為内池徑也各加差步即各得方面與圓徑也依條叚求之四之田積於頭位内減三叚(按落大圓徑三字)多池徑冪又減四叚大方面多池徑冪又減十六叚至水步冪為實六之圓田多池徑步又八之大方田面多池徑步又十六之至水步三位併之得二千三百二十步為從法亷常置八步開平方義曰三叚圓徑冪乃四箇圓田積此數内有三箇方也其四叚大方田積内有四箇方也其四叚小方積毎箇圓池外餘二分半四池計餘一步方也三位上併帶八步方第六十四問今有方田一叚中心有環池水占之外計地四十七畆二百一十七步只云共環水内周不及外周七十二步又從田四角至水各五十步半問内外周及田方方各多少答曰外周一百八十步 内周一百八步 田方一百一十五步法曰立天元一為池内徑先以六除内外周差七十二步得一十二步為水徑倍之得二十四步加入天元池内徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪於頭位再立天元池内徑加入二之水徑得□丨為池外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七釐乗之得下式□□□步為展起底外圓積於次上再立天元一池内徑以自之(元○)丨亦以一步四分七釐乗之得(元○)□(步)為展起底内圓積以減次上得□步□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□步□丨為展起如積一叚寄左然後列真積四十七畆二百一十七步以畆法通納之得一萬一千四百九十七步又就分以一步九分六釐乗之得二萬二千五百三十四步一分二釐與左相消得下式□步□丨開平方得三十六步即池内徑也三之為内周又加差為外周置内徑加二之水徑又加倍至步為外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依條叚求之以一步九分六釐乗田積於頭位以水徑加至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乗又以一步四分七釐乗之却加入頭位為實又水徑加至步四之於頭位又三之水徑以一步九分六釐乗之減頭位為從一步常法此問圖式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六釐乗之變為斜冪其式如後右第二式也黒者為元問㸃者盡是展數恐糢糊難辯再具加減圖式於下更不見舊式也右第三式也其圓環以條叚命之只是一箇方環内取四分之三也却加入三叚展起底水徑冪外只有三叚展起底水徑乗内圓徑直田積也此係展環之虚數也今以至步並水徑共為從故於内却除去水徑之虚步也必湏以一步九分六釐乗水徑而去從者縁二停虚環並是展起之積故減從時将水徑亦展起而減之也(按展水徑展内圓徑皆於原數身外加四今以内圓徑為不動則水徑必)(兩度加四故以一步九分六釐乗之也)益古演段卷下◆ 《弧矢筭術-明-》（KR3f0045）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
弧矢筭術 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案弧矢算術一卷明顧應祥撰應祥有人代紀要巳著録弧矢之法始於元郭守敬授時厯草其有弧背求矢草立天元一為矢云云反覆求之至得三乘方積數及廉隅縱數而止不載開方筭式大抵開諸乗方法尚為當時疇人所習抑或别有専書皆不可知其弦矢相求及弧容直濶諸法皆以勾股法御之明唐順之謂為步日躔月離源頭作弧矢論以示顧應祥應祥遂演為是書名其編曰弧矢算術應祥未明立天元一法故置之不論惟補其開帶縱三乗之式並詳各弦矢相求之法與測圓海鏡分類釋術之作相同亦専備其數使學者可考而已乾隆四十六年二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 序
弧矢算術序
弧矢一術古今算法所載者絶少錢唐呉信民九章法止載一條四元玉鑑所載數條皆不言其所以然之故沈存中夢溪筆談有割圓之法雖自謂造微然止於徑矢求弦而於弧背求矢截積求矢諸法俱未備予每病之南曹訟牒頗暇乃取諸家算書間附己意各立一法名曰弧矢算術藏諸篋笥俟高明之士取正焉未敢謂盡得其閫奥也嘉靖壬子春三月吉吳興顧應祥識
## 弧矢論説
弧矢論說
弧矢者割圓之法也割平圓之旁狀若弧矢故謂之弧矢其背曲曰弧背其弦直曰弧弦其中衡曰矢而皆取法於徑徑也者平圓中心之徑也背有曲直弦有脩短係于圓之大小圓大則徑長圓小則徑短非徑無以定之故曰取則于徑而其法不出於勾股開方之術以矢求弦則以半徑為弦半徑减矢為股股弦各自乗相减餘為實平方開之得勾勾即半截弦也以弦求矢亦以半徑為弦半截弦為勾勾弦各自乗相减餘為實平方開之得股股乃半徑减矢之餘也以减半徑即矢或以矢减全徑為勾股和以矢為勾股較乘之亦得勾筭即半截弦筭也矢自乗圓徑除之得半背弦差倍以加弦即弧背以半背弦差除矢筭亦得圓徑半截弦自乗為實以矢除之得矢徑差加矢即圓徑以矢加弦以矢乗而半之即所截之積也倍截積以矢除之减矢即弦倍截積以弦為從方開之即矢惟弧背與徑求矢截積與徑求矢開方不能盡用三乗方法開之弧背求矢以半弧背筭與徑筭相乗為實徑乗徑筭為從方徑筭為上亷全背與徑相乗為下亷約矢乗上亷以减從方以矢自乗以减下亷又以矢乗餘下亷與减餘從方為法除實得矢曷為以矢乗上㢘减從方也蓋從方乃徑與徑筭相乗其中多一矢乗徑筭之數故减之曷為又以矢自乗以减下亷也下亷乃背徑相乗其中多一矢自乗之數故亦减之减之則法與實相合矣以截積求矢則倍積自乗為實四因積為上亷四因徑為下亷五為負隅約矢以隅因之以减下亷又以矢一度乗上亷兩度乗下亷併而為法矢减下亷者何也矢本减徑而得故减徑以求之五為負隅者何也凡以方為圓毎一寸得虛隅二分五釐四其虚隅與四其矢合而為五也四其亷者何也倍積則乗出之數為積者四故亦四其亷以就之升法以就實也若以截弦與截餘外周求矢則以弦筭半弦筭相乗四而三之為實併弦及餘周為益方半弦乗弦加弦筭為從上亷併亷及餘周為下亷以約出之矢乗上亷又以矢自乗再乗為隅法併上亷以减益方矢自之以乗下亷併减餘從方為法除實得矢方圓論說(附)世之習算者咸以方五斜七圍三徑一為凖殊不知方五則斜七有奇徑一則圍三有奇故古人立法有勾三股四弦五之論而不能使方斜為一定之法有割圓矢弦之論而不能使方圓為一定之法試以勾股法求之勾股各自乗併為弦實平方開之此施之於長直方則可若一整方勾五股五各自乗併得五十平方開之得七而又多一筭矣割圓之法求矢求弦固是至於求弧背則恐未盡也何以知之試以平圓徑十寸者例之中心剖開矢闊五寸自乗得二十五寸以徑除之得二寸五分為半背弦差倍之得五寸以加弦得一十五寸與圍三徑一之論正合然徑一則圍三有竒奇數則不能盡矣以是知弧背之説猶未盡也不特是也凡平圓一十二立圓三十六皆不過取其大較耳或曰宻率徑七則圍二十二徽率徑五十則圍一百五十七何不取二術酌之以立一定之法曰二術以圓為方以方為圓非不可但其還原與原數不合數多則散漫難收故算厯者止用徑一圍三亦勢之不得已也曰厯家以徑一圍三立法則其數似猶未精然郭守敬之厯至今行之無弊何也曰厯家以萬分為度秒以下皆不録縱有小差不出於一度之中况所謂黄赤道弧背度乃測驗而得止以徑一圍三定其平差立差耳雖然行之日久安保其不差也竊嘗思之天地之道隂陽而已方圓天地也方象法地静而有質故可以象數求之圓象法天動而無形故不可以象數求之方體本静而中斜者乃動而生陽者也圓體本動而中心之徑乃静而根隂者也天外陽而内隂地外隂而内陽隂陽交錯而萬物化生其機正在於奇零不齊之處上智不能測巧厯不能盡者也向使天地之道俱可以限量求之則化機有盡而不能生萬物矣余因論方圓之法而併著其理如此
## 弧矢算術
欽定四庫全書弧矢筭術 明 顧應祥 撰圓徑與截矢求截弦術曰半徑為弦半徑减矢為股各自乗相减餘為勾筭平方開之得勾即半截弦又曰以矢减徑以矢乗之即半截弦筭圓徑十寸從旁截一弧矢闊一寸問截弦答曰六寸術曰半徑自之得二十五 半徑减矢自之得一十六寸相减餘九平方開之得三倍之即截弦又曰圓徑自之得一百為弦筭圓徑减倍矢自之得六十四為股筭相减餘三十六為勾筭平方開之得全弦圓徑十三步截矢闊四歩問截弦答曰十二歩術曰半徑筭四十二步(二五)减矢半徑筭六歩(二五)相减餘三十六歩為勾筭又曰全徑筭一百六十九 减倍矢徑筭二十五相减餘一百四十四平方開之得全截弦圓徑九十歩截矢九歩問截弦答曰五十四步術同圓材徑二尺五寸鋸板欲厚七寸問闊幾何答曰板闊二尺四寸術曰圓徑為弦自之得六十二尺五寸 板厚為勾自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸為股筭平方開之(闕)商得一寸 置一於左上為法 置一乗上亷仍得一十四寸 置一隅因得五以减下亷餘三十五寸 置一自之以乗下亷仍得三十五寸併上亷得四十九為下法圓徑九十歩從旁截積二百八十三歩半問截矢答曰矢九歩術曰倍積自之得三十二萬一千四百八十九歩為正實 四因積得一千一百三十四為上亷 四因徑得三百六十為下亷 五為負隅 商得九 置一於左上為法 置一乗上亷得一萬○二百○六置一隅因得四十五以减下亷餘三百一十五 置一自之以乗餘下亷得二萬五千五百一十五併上亷共二萬五千七百二十一為下法圓徑九十歩從旁截積八百一十歩問矢荅曰矢一十八歩術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百爲正實四因截積得三千二百四十為從上亷 四因圓徑得三百六十為從下亷 五爲負隅 初商一十置一於左上為法 置一乗上亷得三萬二千四百 置一以隅因之得五十以减從下亷餘三百一十 置一自之以乗餘下亷得三萬一千 併上亷共六萬三千四百為下法與上法相乗除實六十三萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡 倍上亷得六萬四千八百初商自之三因得三百為下亷方法 初商三之得三十為下亷亷法 初商自乗再乗隅因得五千為下亷减隅 次商八 置一於左上為法 置一乗上亷得二萬五千九百二十併倍上亷共九萬○七百二十 置一併入初商得一十八以隅因之得九十以减從下亷餘二百七十以方法乗之得八萬一千 置一乗亷法得二百四十以乗餘下亷得六萬四千八百 置一自之得六十四以乗餘下亷得一萬七千二百八十减去减隅五千止存一萬二千二百八十 下亷方亷隅共一十五萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法與上法相乗除實盡又術次商八 置一於左上為法 倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十 置一隅因得四十以减餘下亷止存二百七十倍初商加次商併初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乗二百七十得一十六萬三千○八十以初商自乗再乗隅因得五千减之止存一十五萬八千○八十併上亷共二十四萬八千八百為下法又為添積開三乗方法術曰倍積自之得二百六十二萬四千四百為正實四因截積得三千二百四十為上亷 四因圓徑得三百六十為下亷 五為負隅初商一十 置一於左上為法 置一自之又自之得一萬為三乗方面以隅因之得五萬為益實加入正實得二百六十七萬四千四百為通實 置一乗上亷得三萬二千四百 置一自之以乗下亷得三萬六千併上亷共六萬八千四百為下法與上法相乗除實六十八萬四千 餘實一百九十九萬○四百未盡為次商正實次商八 置一於左上為法 置一加初商自之又自之得一十○萬四千九百七十六為三乗方面以隅法因之得五十二萬四千八百八十内减初益實五萬餘四十七萬四千八百八十為益實加入次正實共二百四十六萬五千二百八十為通實 倍初商加次商得二十八以乗上亷得九萬○七百二十倍初商加次商得二十八併初次商一十八相因加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一萬七千四百四十 併上亷共三十○萬八千一百六十與上法相乗除實盡圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截矢答曰矢二十五歩不用倍積術曰積自之得一百七十二萬二千六百五十六歩(二五) 截積一千三百一十二歩半為上亷徑八十九歩為下亷以一歩二分五釐為負隅初商二十 置一於左上為法 置一乗上亷得二萬六千二百五十 置一以隅因之得二十五以减下亷餘六十四 置一自之以乗餘下亷得二萬五千六百併上亷得五萬一千八百五十為下法與上法相乗除實一百○三萬七千 餘實六十八萬五千六百五十六歩二五未盡次商五 置一於左上為法 置一以隅因之得六歩二分五釐以减餘下亷餘五十七歩七分五釐倍初商加次商得四十五以乗上亷得五萬九千○六十二半 倍初商加次商併初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乗餘下亷得八萬八千○六十八歩七五 内减初商自乗再乗隅因一萬 止存七萬八千○六十八歩七五併上亷共一十三萬七千一百三十一歩二五 與上法相乗除實盡解曰弧矢狀類勾股勾股得直方之半故倍其積以股除之即得勾弧背曲倍積則長一弦而又一矢以矢乗積倍之恰得一弦一矢之數因未知矢故以積自乗為實約矢一度乗積以為上亷兩度乗徑以為下亷併之為法而後可以得矢用三乗者何也積本平方以積乗積是兩度平方矣故用三乗方法開之上亷下亷俱用四因者何也倍積則乗出之數為積者四故上下亷俱四以就之减徑者何也徑乃圓之全徑矢乃截處之勾矢本减徑而得故亦减徑以求矢五為負隅者何也凡平圓之積得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圓之大小毎方一尺該虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而為五亦升實就法之意如不倍積亷不用四因以一二五為隅法亦通 或不减徑作添積三乗方法亦通圓徑與截積求截弦術曰倍積以矢除之减矢即弦又法用矢徑求弦術圓徑八十九歩從旁截積一千三百一十二歩半問截弦答曰弦八十歩術曰倍積得二千六百二十五歩以求出矢二十五除之得一百○五歩乃一弦一矢减矢即弦又曰倍矢减徑餘三十九自之得一千五百二十一為勾筭全徑自之得七千九百二十一為弦筭相减餘六千四百為股筭平方開之若求弧背以徑除矢筭即半背弦差圓徑與弧背求矢術曰半弧筭徑筭相乗為實徑乗徑筭為從方徑筭為上亷徑背相乗為下亷以上亷减從以隅减下亷三乗方法開之平圓徑十尺從旁截處弧背八尺八寸問矢答曰矢二尺術曰半弧背自之得一十九尺三寸六分 徑自之得一百尺 相乗得一千九百三十六尺為正實徑乗徑筭得一千尺為從方 徑筭一百尺為上亷全背乗徑得八十八尺為下亷約商二尺 置一於左上為法 置一乗上亷得二百尺以减從方餘八百尺 置一自之得四以减下亷餘八十四尺 又以二乗餘下亷得一百六十八尺 併從方共九百六十八尺為下法又術商矢减徑存八尺以矢乗之得十六平方開之即得半弦平圓徑九十歩旁截邊弧背五十五歩八分問矢答曰九歩術曰半背筭七百七十八歩四一 徑筭八千一百二筭相乗得六百三十○萬五千一百二十一為正實 徑乗徑筭得七十二萬九千為從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乗得五千○二十二為下亷如前法求之平圓徑九十歩旁截弧背七十九歩二分問矢答曰矢一十八歩術曰半弧筭一千五百六十八歩一六 徑筭八千一百 二筭相乗得一千二百七十○萬二千○九十六為正實 徑乗徑筭得七十二萬九千為益從方 徑筭八千一百為上亷 徑背相乗得七千一百二十八為下亷初商一十 置一於左上為法 置一乗上亷得八萬一千以减從方餘六十四萬八千 置一自之得一百以减下亷餘七千○二十八 置一乗餘下亷得七萬○二百八十併减餘從方共七十一萬八千二百八十為下法與上法相乗除實七百一十八萬二千八百餘實五百五十一萬九千二百九十六未盡次商八 置一於左次為上法 倍初商加次商得二十八以乗上亷得二十二萬六千八百以减益從方餘五十○萬二千二百為從方 併初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百為四百二十四以减下亷餘六千七百○四 倍初商加次商得二十八因之得一十八萬七千七百一十二併入從方共六十八萬九千九百一十二為下法與上法相乗除實盡解曰徑除矢筭得半背弦差今以弧背求矢故亦用半背筭與徑筭相乗為實以徑乗徑筭為從方而從方内多一矢乗徑筭之數故以徑筭為上亷以矢乗而减之然從方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背與徑相乗為下亷而下亷之中又多一矢自乗之數故又約矢以减之而以餘數乗矢為下亷併從方以為法假如周天徑一百二十一度七十五分二十五秒(厯書中不)(用秒故因之)黄赤道内外弧背二十四度 問矢度答曰四度八十四分八十二秒術曰半弧背自之得五百七十六度為半弧背筭周天徑自之得一萬四千八百二十三度○六分二十五秒為徑筭 二筭相乗得八百五十三萬八千○八十四度為正實 徑乗徑筭得一百八十○萬四千七百○七度八十五分九十三秒七五為益從方 以徑筭為上亷 倍半弧背得四十八度以乗周徑得五千八百四十四度為下亷初商四度 置一於左上為法 置一乗上亷得五萬九千二百九十二度二十五分以减益從方餘一百七十四萬五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以减下亷餘五千八百二十八度又以四度因之得二萬三千三百一十二度為從亷併從方共一百七十六萬八千七百二十七度六十○分九十三秒七五為下法與上法相乗除實七百○七萬四千九百一十○度四十三分七十五秒餘實一百四十六萬三千一百七十三度五十六分二十五秒次商八十分 置一於左上為法 置一倍初商共八度八十分以乗上亷得一十三萬○四百四十三度九十五分以减益從方餘一百六十七萬四千二百六十四度九十○分九十三秒七五為從方 置一併初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以减下亷餘五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五萬一千○八十三度六十四分八十秒為從亷 併從方共一百七十二萬五千三百四十八度五十五分七十三秒七五為下法與上(闕)度九十九分一十八秒五二七六又以九度六十九分六十二秒乗之得五萬六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二為從亷 併從方共一百七十一萬七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二為下法與上法相乗除實三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四餘實一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之數圓徑與弧背求截弦術曰求得矢用矢求弦術圓徑與弧背求截積術曰求得矢用矢徑求積截積與截矢求截弦術曰倍積减矢筭餘如矢而一即弦又曰倍積以矢除之减矢圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一矢闊九歩問截弦答曰截弦五十四歩術曰倍積得五百六十七歩减矢筭八十一餘四百八十六以矢除之得五十四為弦圓不知徑從旁截積八百一十步矢闊一十八步問截弦答曰截弦長七十二歩術同截積與截弦求截矢術曰倍積以弦為從方平方開之圓不知徑從旁截積二百八十三歩二分歩之一截弦長五十四步問矢答曰九歩術曰倍積得五百六十七為實 以五十四為從方約商九 置一於左上為法 置一帶從得六十三為下法與上法相乗除實盡圓不知徑從旁截積八百一十歩弦長七十二歩問矢答曰矢一十八歩術曰倍積得一千六百二十為實 以七十二為從方初商一十 置一於左上為法 置一帶從方共八十二為下法與上法相乗除實八百二十 餘實八百 倍初商得二十帶從方共九十二為方法次商八 置一於左上為法 置一帶方法共一百為下法與上法相乗除實盡截積與截矢求圓徑術曰先求出弦半之為筭如矢而一即矢徑差又曰積自乗减矢自乗乗積餘為實矢自乗再乗為法除之加虛隅即徑圓不知徑從旁截積六十二歩半矢五歩問徑術曰積自之得三千九百○六歩二五 矢自之乗積得一千五百六十二步五相减餘二千三百四十三步七五為實矢自乗再乗得一百二十五為法除之得一十八步七五矢乗虚隅一步二分五釐得六步二分五釐加入即圓徑二十五截積與截弦求圓徑術曰先求得矢矢除半弦筭加矢即徑圓不知徑從旁截積一千三百一十二步半截弦長八十步問圓徑幾何答曰圓徑八十九步術曰先倍積以弦為從方平方開之得矢二十五步後用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四為矢徑差加矢即圓徑截積與截矢求截弧背(弦求弧背同)術曰先求得徑以除矢筭得半背弦差截矢與弦求圓徑術曰半弦自之如矢而一為矢徑差圓不知徑從旁截一弧矢闊九步弦長五十四步問圓徑答曰圓徑九十步術曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一為矢徑差加矢即徑截矢與弦求截弧背術曰先求得徑以除矢筭為半背弦差截矢與截弦求截積術曰以矢加弦以乗矢得二積截弦與外周求截矢(外周乃割殘之周也)術曰弦筭半弦筭相乗四而三之為實併弦及殘周乗半弦筭為益方倍半弦筭加弦筭為從上亷併弦及殘周為下亷以隅併上亷减從以餘從併下亷為法三乗方法開之平圓旁割一弧截處弦五十四步外殘周二百一十四步二分問截矢幾何答曰矢九步術曰弦自之得二千九百一十六為弦筭 半弦自之得七百二十九為半弦筭 二筭相乗得二百一十二萬五千七百六十四四而三之得一百五十九萬四千三百二十三為正實 弦併殘周共二百六十八步二分以半弦筭乗之得一十九萬五千五百一十七步八分為益方 倍半弦筭加全弦筭得四千三百七十四為從上亷 弦併殘周得二百六十八步二分為下亷一為隅法商得九 置一於左上為法 置一乗上亷得三萬九千三百六十六為减亷 置一自之為八十一以乗下亷得二萬一千七百二十四步二分為益亷置一自乗再乗得七百二十九為隅法併入减亷共四萬○○九十五 以减從方餘一十五萬五千四百二十二步八分併入下亷共一十七萬七千一百四十七步為下法圓田一段西邊被水浸入一弧弦長二十步外殘周五十三步問矢闊田徑田積答曰截矢闊五步圓徑二十五步 弧背二十二步術曰如積求之得三萬為正實 七千三百為益方六百為從上亷七十三為益下亷 一為正隅 三乗方開之得矢闊 矢除半弦筭加矢得徑 倍矢筭以徑除之得背弦差加弦即弧背 徑自之四而三之得田積圓田水浸一弧弦長七十二步外有殘周一百九十○步八分問矢闊答曰矢闊一十八步 弧背七十九步二分圓徑九十歩 原田二十五畆三分一釐二毫五絲術曰先求矢闊 弦筭五千一百八十四 半弦筭一千二百九十六相乗得六百七十一萬八千四百六十四步四歸三因得五百○三萬八千八百四十八為正實 併弦及殘周共二百六十二步八分以半弦筭乗之得三十四萬○五百八十八步八分為益從方 倍半弦筭加全弦筭得七千七百七十六為减上亷 弦併殘周二百六十二步八分為益下亷初商一十 置一於左上為法 置一乗减上亷得七萬七千七百六十為减亷 置一自之以乗益下亷得二萬六千二百八十為益亷 置一自乗再乗得一千為减隅併入减亷共七萬八千七百六十為减從之算以减益方餘二十六萬一千八百二十八步八分為從方併益亷共二十八萬八千一百○八步八分為下法 與上法相乗除實二百八十八萬一千○八十八 餘實二百一十五萬七千七百六十未盡二因减上亷得一十五萬五千五百二十三因益下亷得七萬八千八百四十為益亷之方四因隅法得四千為方法又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四為益亷之亷 初商自之六因得六百為隅上亷初商四之得四十為隅下亷次商八 置一於左上為法 置一乗初减上亷得六萬二千二百○八加入前二因上亷得二十一萬七千七百二十八為减亷 置一乗益亷之亷得六萬三千○七十二步併益亷之方共一十四萬一千九百一十二為益亷之筭 置一自之以乗初益下亷得一萬六千八百一十九步二分併入益亷之筭共一十五萬八千七百三十一步二分為益亷 置一乗隅上亷得四千八百 置一自之以乗隅下亷得二千五百六十 置一自乗再乗得五百一十二為隅法併方法上下亷隅法共一萬一千八百七十二為减隅 併减亷共二十二萬九千六百為减從之筭以减原從餘一十一萬○九百八十八步八分加益亷共二十六萬九千七百二十為下法與上法相乗除實盡矢除半弦筭得七十二為矢徑差加矢即圓徑倍矢筭以圓徑除之得七步二分為弦背差加弦即弧背 圓徑自之四而三得六千○七十五步以畆約之為畆解曰求矢者起於弦與徑今不知徑而有殘周故以弦自乗半弦自乗相乗為實方中取圓故四而三之為三乗方實以弦併殘周與半弦筭相乗為從方而從方之中又多一弦筭兩半弦筭及矢自乗再乗之數故以全弦筭與倍半弦筭為上亷併求出矢自乗再乗之數以减之却以弦併殘周為益下亷以求出矢兩度乗之併餘從以為法盖隅與上亷專主於减從而下亷所以益從也弦筭為平方以弦乗之為立方又以半弦筭乗是為三乗方正實五百○三萬八千八百四十八乃三乘方數内下亷該除一百五十三萬二千六百四十九步六分從方該除三百五十○萬六千一百九十八步四分從方三十四萬○五百八十八步八分乃立方之數内上亷减一十三萬九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九萬四千七百八十八步八分以矢十八因之以除實上亷减從除實用减從開平方法從方帶上亷一度矢乗之數共三十三萬四千七百五十六步八分以十八因之該正實六百○二萬五千六百二十二步四分欠二百五十一萬九千四百二十四乃上亷减去之數初商一十 置一為上法 置一乗上亷得七萬七千七百六十以减從方餘二十五萬六千九百九十六步八分與上法相乗除實二百五十六萬九千九百六十八餘實九十三萬六千二百三十○步四分 倍上㢘得一十五萬五千五百二十為亷法次商八 置一為上法 置一乗上亷得六萬二千二百○八併亷法共二十一萬七千七百二十八以減原從餘一十一萬七千○二十八步八分為下法與上法相乗除實盡從方假作平方形長一十九萬四千七百八十八步八分濶一十八步帶十八因上亷共長三十三萬四千七百五十六步八分 初商十步十因上亷止除七萬七千七百六十少減六萬二千二百○八步計多除正實六十二萬二千○八十 次商濶八步如從方原長該除實一百五十五萬八千三百一十○步八分今止餘實九十三萬六千二百三十○步四分欠六十二萬二千○八十正合初商多除之數 次商倍亷法多減七萬七千七百六十以八因之其數適合此自然之妙凡用減從者俱如此隅減從用減從開三乗方法隅立方併從共二十○萬○六百二十○步八分以十八因該正實三百六十一萬一千一百七十四步四分欠一十○萬四千九百七十六乃隅減之數初商一十 置一為上法 置一自乗再乗得一千為方法以減從方餘一十九萬九千六百二十○步八分為下法與上法相乗除實一百九十九萬六千二百○八步餘實一百五十○萬九千九百九十○步四分 四因方法得四千為方法 初商自之六因得六百為上亷初商四之得四十為下亷次商八 置一為上法 置一乗上亷得四千八百 置一自之以乗下亷得二千五百六十置一自乗再乗得五百一十二為隅法併方亷隅共一萬一千八百七十二為減從以減原從餘一十八萬八千七百四十八步八分為下法與上法相乗除實盡初商多存長四千八百三十二濶十步共四萬八千三百二十次商多減六千○四十以八因之相合下亷除實下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分為平方積又十八因得八萬五千一百四十七步二分為立方積又十八因得一百五十三萬二千六百四十九步六分為三乗方積初商一十 置一為上法 置一自之以乗下亷得二萬六千二百八十為下法與上法相乗除實二十六萬二千八百餘實一百二十六萬九千八百四十九步六分 三因下法得七萬八千八百四十為方法 三因初商以乗下亷得七千八百八十四為亷法 次商八置一為上法 置一乗亷法得六萬三千○七十二步置一自之以乗下亷得一萬六千八百一十九步二分併方亷共一十五萬八千七百三十一步二分為下法除盡方圓術(附)圓求容方術曰方徑即圓徑若求圓積四而三之不必立法惟以圓求方其法不一姑録於此盖徑一則圍不止於三所謂圍三徑一者舉其大較耳圓周五尺中容一斗斗方面幾何答曰斗靣一尺一寸六分六釐(三分釐之二)術曰七因周得三尺五寸以三歸之此術載呉信民筭法以周為弦以方為股然七因五尺為三十五未是圓材徑二尺一寸為方靣幾何答曰方徑一尺四寸五十八分寸之四十九術曰徑為股自之得四百四十一寸折半平方開之又曰三因徑得六尺三寸七分因之三歸得方靣一尺四寸一十分寸之七圓徑十尺問容方面幾何答曰容方面七尺術曰三其徑得三十尺以七寸因之得二十一尺三歸得七尺方圓之術徑一則圍三有竒方五則斜七有竒難以一定之法例之(徑自之折半平方開之多一筭)圓徑折變圓周求徑古法圍三徑一 徽術周一百五十七徑五十宻術周二十二徑七周八十四問徑古術答曰二十八術用三歸徽答曰二十六步(一百五十七分步之一百一十八)術曰周五十因如一百五十七而一宻答曰二十六步(一十一分步之八)術曰周七因如二十二而一周八十七(二十五分步之二十三)問徑古術答曰二十九步(七十五分步之二十三)術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八為實三因分母得七十五為法徽答曰二十八步術曰分母通其全分子從之以五十因之得一十○萬九千九百為實 一百五十七因分母得三千九百二十五為法宻答曰二十七步(二百七十五分步之二百六十八)術曰分母乗其全分子從之七因得一萬五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十為法不盡者法實俱半約之假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒問周天徑幾何答曰一百二十一度七十五分二十五秒此以圍三徑一求之以徽術求之為徑幾何答曰徑一百一十六度三十二分四十秒(一百五十七分秒之)術曰五十因周得一萬八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之以宻術求之為徑幾何答曰一百一十六度二十一分八十二秒(二十二分秒之二十)術曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之圓徑求周圓徑二十八問周古法答曰八十四術用三因徽答曰八十七步(二十五分步之二十三)術曰徑一百五十七因得四千三百九十六如五十而一宻答曰八十八步術曰徑二十二因如七而一圓徑二十六步(一百五十七分步之一百一十八)問周古法答曰八十步(一百五十七分步之四十)術曰分母通其全分子從之三因得一萬二千六百為實如分母而一徽答曰八十四步術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得六十五萬九千四百為實 分母五十因得七千八百五十為法又曰分母通其全分子從之得四千二百如五十而一宻答曰八十四步(一百五十七分步之一十二)術曰分母通其全分子從之又二十二因得九萬二千四百為實 七因分母得一千○九十九為法圓徑二十六歩(一十一分步之八)問周古法答曰八十步(一十一分步之二)術曰分母通其全分子從之得二百九十四又三因得八百八十二為實如分母而一徽答曰八十三步(二百七十五分步之二百五十四)術曰分母通其全分子從之又一百五十七因得四萬六千一百五十八為實 五十因分母得五百五十為法宻答曰八十四步術曰分母通其全分子從之又二十二因得六千四百六十八為實 七因分母得七十七為法又曰分母通其全分子從之倍之得五百八十八如七而一圓周求積周八十四問積古術答曰五百八十八步術曰周自之得七千○五十六如圓法十二而一徽答曰五百六十一步(一百五十七分步之一百二十三)術曰周自之又二十五因得一十七萬六千四百為實如三百一十四而一宻答曰五百六十一步(一十一分步之三)術曰周自之七因得四萬九千三百九十二為實如八十八而一圓周八十七步(二十五分步之二十三)問積古法答曰六百四十四步(一千八百七十五分步之三百○一)術曰分母通其全分子從之得二千一百九十八自之得四百八十三萬一千二百○四為實 分母自之得六百二十五又十二因得七千五百為法徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一)術曰分母通其全分子從之自乗又以二十五乗之得一億二千○七十八萬○一百為實 分母自乗又以三百一十四乗之得一十九萬六千二百五十為法除之不盡八萬六千三百五十法實皆七千八百五十約之宻答曰六百一十四步(一萬三千七百五十分步之一萬二千一百○七)術曰分母通其全分子從之自乗又七因得三千三百八十一萬八千四百二十八為實 分母自乗又八十八因得五萬五千為法除之不盡四萬八千四百二十八法實皆四約之周八十八步問積古法答曰六百四十五步(三分步之一)術曰周自之得七千七百四十四如十二而一徽答曰六百一十六步(一百五十七分步之八十八)術曰周自乗二十五因得一十九萬三千六百為實如三百一十四而一宻答曰六百一十六步術曰周自之七因得五萬四千二百○八為實如八十八而一圓徑求積圓徑二十八步問積古術答曰五百八十八步術曰徑自乗四歸三因徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一)術曰徑自乗以七十八步半因之得六萬一千五百四十四如百而一宻答曰六百一十六步術曰徑自乗一十一因得八千六百二十四如一十四而一圓徑二十六步(一百五十七分步之一百一十八)問積古法答曰五百三十六步(二萬四千六百四十九分六步之一萬八千一百三十)術曰分母通其全分子從之自乗四歸三因得一千三百二十三萬為實分母自之得二萬四千六百四十九為法徽答曰五百六十一步(二萬四千六百四十九分步之一萬九千三百一十一)術曰分母通其全加分子自乗又以七十八步半乗之得一十三億八千四百七十四萬為實 分母自乗百因得二百四十六萬四千九百為法宻答曰五百六十二步(二萬四千六百四十九分步之七千二百六十二)術曰分母通其全加分子自乗得數又以一十一因之得一億九千四百○四萬為實分母相乗又十四因之得三十四萬五千○八十六為法除之未盡一十○萬一千六百六十八法實皆一十四約之圓徑二十六步(一十一分步之八)問積古法答曰五百三十五步(一百二十一分步之九十二)術曰分母通其全加分子自乗得數四而三之得六萬四千八百二十七為實分母相乗為法徽答曰五百六十步(六千○五十分步之四千六百一十三)術曰分母乗其全加分子自乗又以一百五十七乗之得一千三百五十七萬○四百五十二為實 分母自乗二百因之得二萬四千二百為法宻答曰五百六十一步(一十一分步之三)術曰分母通其全加分子自乗又一十一因之得九十五萬○七百九十六為實 分母自之又十四因之得一千六百九十四為法圓積求周圓積五百八十八步問周古法答曰周八十四步術曰十二因積平方開之徽答曰八十五步(一萬七千一百分步之一萬六千五百二十八)術曰積三百一十四因得一十八萬四千六百三十二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方開之宻答曰八十五步(一百七十一分步之一百六十七)術曰積八十八因得五萬一千七百四十四七除之得七千三百九十二平方開之平方還原方自乗以分母乗之得一百二十三萬五千四百七十五 分母子相乗得二萬八千五百五十七為益實併得一百二十六萬四千○三十二為實分母為法除之還原圓積六百一十六步問周古法答曰周八十五步(一百七十一分步之一百六十七)術曰十二因積得七千三百九十二為實平方開之徽答曰八十七步(一萬七千五百分步之一萬六千七百九十六)術曰積三百一十四因得一十九萬三千四百二十四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方開之不盡者以百因約之宻答曰八十八步術曰積八十八因得五萬四千二百○八以七除之得七千七百四十四平方開之圓積五百六十一步(一百五十七分步之一百二十三)問周幾何古法答曰周八十二步(二萬五千九百○五分步之二千七百三十二)術曰分母乗其全加分子得八萬八千二百以圓法十二因之得一百○五萬八千四百為實 以一百五十七為隅法作𢃄從隅開平方法除之初商八十 置一於左上為法 置一乗從隅得一萬二千五百六十為隅法與上法相乗除實一百○○萬四千八百餘五萬三千六百未盡 倍隅法得二萬五千一百二十為亷法 約次商二 置一於左次為上法 置一乗從隅得三百一十四併入亷法共二萬五千四百三十四為下法與上法相乗除實五萬○八百六十八 尚餘二千七百三十二倍八十二加一筭以分母乗之為母約之又術分母通其全加分子十二因之得一百○五萬八千四百又以母乗之得一億六千六百一十六萬八千八百平方開之得一萬二千八百九十 餘實一萬六千七百未盡另寄 將開出之數以分母約之得八十二 仍未盡一十六以分母乗之得二千五百一十二加入寄位共一萬九千二百一十二為不盡之數 倍八十二加一筭得一百六十五以分母乗之得二萬五千九百○五徽答曰八十四步術曰分母通其全加分子得八萬八千二百以三百一十四因得二千七百六十九萬四千八百以二十五因分母得三千九百二十五為法除之得七千○五十六平方開之宻答曰八十四步(二千○四十一分步之一百○八)術曰分母通其全加分子得八萬八千二百又八十八因得七百七十六萬一千六百 七因分母作一千○九十九除之得七千○六十二 餘實四百六十二未盡置七千○六十二平方開之得八十四 餘六未盡以分母通之得九百四十二加前未盡共一千四百○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乗之得二萬六千五百三十三是謂二萬六千五百三十三分步之一千四百○四 法實皆十三約之得二千○四十一分步之一百○八積四十五步(一十一分步之九)爲宻圓周幾何答曰二十四步術曰分母乗其全加分子得五百○四以八十八因之得四萬四千三百五十二以七因分母為七十七除得五百七十六平方開之右四元玉鑑所載不用從隅圓積求徑圓積五百八十八步問徑古法答曰二十八步積三歸四因平方開之徽答曰二十七步(八千六百三十五分步之三千一百四十七)術曰積百因得五萬八千八百以七十八步半為從隅平方開之 初商二十置一於左上為法置一乗從隅得一千五百七十為隅法與上法相乗除實三萬一千四百餘實二萬七千四百未盡 倍隅法得三千一百四十為亷法 約次商七 置一於左次為上法 置一乗從隅得五百四十九步半併亷法共三千六百八十九步半為下法與上法相乗除實二萬五千八百二十六步半 餘實一千五百七十三步半 倍二十七加一筭得五十五以七十八步半因之得四千三百一十七步半法實皆倍命之宻答曰二十七步(六百○五分步之二百一十三)術曰積一十四因得八千二百三十二以一十一為從隅平方開之 初商二十 置一於左上為法置一乗從隅得二百二十為隅法與上法相乗除實四千四百餘實三千八百三十二 倍隅法得四百四十為亷法 約次商七 置一於左次為上法置一乗從隅得七十七為隅法 併亷隅共五百一十七為下法與上法相乗除實三千六百一十九餘實二百一十三未盡如前法約之積六百一十五步(二十五分步之一十一)問徑古法答曰二十八步(四千二百七十五分步之二千七百四十四)術曰分母乗其全加分子得一萬五千三百八十六以四因之得六萬一千五百四十四分母三之為七十五為從隅平方開之餘實二千七百四十四倍開出之數加一算得五十七以從隅因之得四千二百七十五為母約之徽答曰二十八步術曰以積分母除分子得四分四釐加全步得六百一十五步四分四釐百之得六萬一千五百四十四為正實以七十八步五分為從隅平方開之宻答曰二十七步(一萬五千一百二十五分步之一萬四千九百二十九)術曰置積以分母通之加分子得一萬五千三百八十六以一十四因之得二十一萬五千四百○四為正實以二百七十五為從隅平方開之 餘實一萬四千九百二十九 倍徑加一算以從隅乗之為分母約之平圓積四十五步(一十一分步之九)問宻圓徑幾何答曰七步(一十一分步之七)術曰分母乗其全加分子以一十四乗之得七千○五十六平方開之得八十四以一十一除之不盡七還原法曰分母乗七加分子自之又一十一因得七萬七千六百一十六為實 分母自之又一十四因得一千六百九十四為法 除之得四十五餘一千三百八十六法實皆一百五十四約之還原數黄鍾算附假如黄鍾之管空容九分問圍圓幾何答曰圍圓一十○分三釐(二百○七分釐之一百九十一)此以圍三徑一求之十二因積得一百○八平方開之以徽術推之得幾答曰圍一十○分七釐(二百一十五分釐之五十五)術曰積三百一十四因得二千八百二十六以二十五除之得一百一十三○四平方開之以宻術推之得幾答曰圍一十○分(一百四十七分分之九十二)術曰積八十八因得七百九十二如七而一得一百一十三(七分之一)平方開之不盡一十三以七因加一為子倍十分加一七因為母命之黄鍾之管空容九分問徑答曰徑三分四釐六毫(六百九十三分毫之二百八十四)此用三歸四因平方開之以徽術求之答曰徑三分三釐八毫(五十三萬一千四百四十五分毫之三萬一千八百四十六)術曰百因積得九百分以七十八分半為從隅平方法開之 初商三分 置一於左上為法 置一乗從隅得二百三十五分五釐為下法與上法相乗除實七百○六分半餘實一百九十三分半倍隅法得六分為㢘法 次商三釐 置一於左上為法 置一併亷法共六十三釐以乗從隅得四千九百四十五釐五毫與上法相乗除實一百四十八分三釐六毫五絲餘實四十五分一釐三毫五絲 倍初次商得六分六釐為亷法三商八毫 置一於左上為法置一併亷法共六分六釐八毫以乗從隅得五百二十四分三釐八毫與上法相乗除實四十一分九釐五毫○四忽餘實三分一釐八毫四絲六忽 倍商加一算以從隅乗之為分母命之以宻術求之得徑幾答曰徑三分三釐(七百三十七分釐之六百二十一)術曰一十四因積得一百二十六以一十一為從隅平方開之 初商三分 置一於左上為法 置一乗從隅得三十三分與上法相乗除實九十九分餘實二十七分 倍下法得六分為亷法 次商三釐置一為上法 置一併亷法乗從隅得六百九十三釐與上法相乗除實二十○分七釐九毫餘實六分二釐一毫 倍商加一算以從隅因之得七百三十七為分母命之還原曰徑相乗得一十○分八釐九毫以一十一因得一百一十九分七釐九毫加不盡四分二釐一毫得原數黄鍾之大小不係於此但假此以明數之㣲妙耳嘗觀儒者之論律管徃徃泥於數而不察夫理假如黄鍾之實乃十一度三因以起十一律之數律管以三分為損益故十一度三之非實有數也實乃算法中之實耳雖蔡九峯亦謂仲呂之實數不可三其數不行此律之所以止於十二也殊不知五音六律乃天地隂陽自然之理聖人因之製管以宣其聲而又三分損益以定其管之長短使其無相奪倫顧乃以數為造律之本豈不謬哉律管算附律管以三分損益故止立二三四乗除之法二一如二 二二如四 二三如六二四如八 二五作一一 二六作一三二七作一五 二八作一七 二九作二三一如三 三二如六 三三作一三四作一三 三五作一六 三六作二三七作二三 三八作二六 三九作三四一如四 四二如八 四三作一三四四作一七 四五作二二 四六作二六四七作三一 四八作三五 四九作四 右因二歸逢一作四一逢二進一三歸逢一作三 逢二作六 逢三進一四歸逢一作二一逢二作四二 逢三作六三逢四進一 右歸黄鍾管長九寸 三歸二因
## 弧矢算術
林鍾管長六寸 三歸四因太簇管長八寸 三歸二因南呂管長五寸三分 三歸四因姑洗管長七寸一分 三歸二因應鍾管長四寸六分六釐 三歸四因㽔賔管長六寸二分八釐 三歸四因大呂管長八寸三分七釐六毫 三歸二因夷則管長五寸五分五釐一毫 三歸四因夾鍾管長七寸四分三釐七毫三絲 三歸二因無射管長四寸八分八釐四毫八絲 三歸四因仲呂管長六寸五分八釐三毫四絲六忽右術止用九寸損益以定十一律管不必用十一度三因若求變黄鍾就以仲呂之管三歸四因即是不必更用七百二十九乗之數弧矢算術◆ 《同文算指-明-李之藻》（KR3f0046）
## 0
欽定四庫全書 子部六
同文算指 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案同文算指前編二卷通編八卷明李之藻演西人利瑪竇所譯之書也前編上下二卷言筆算定位加減乗除之式及約分通分之法通編八卷以西術論九章卷一曰三率凖測即古異乗同除曰變測即古同乗異除曰重測即古同乗同除卷二卷三曰合類差分曰和較三率曰洪衰互徴即古差分又謂之衰分卷四曰疊借互徴即古盈朒卷五曰雜和較乗即古方程巻六曰測量三率即古勾股曰開平方曰竒零開平方即古少廣巻七曰積較和開平方卷八曰𢃄縱諸變開平方曰開立方曰廣諸乗方曰竒零諸乗方皆即古少廣按九章乃周禮之遺法其用各殊為後世言數者所不能易西法惟開方(即古少廣)勾股各有専術餘皆以三率御之若方田粟布差分商功均輸五章本可以三率御之至于盈朒以御隠雜互見方程以御錯糅正負則三率不可御矣葢中法西法固各有所長莫能相掩也是書欲以西法易九章故較量長短俱有増補其論三率比例視中土所𫝊方田粟布差分諸術實為詳悉至盈朒方程二術則皆仍舊法少廣畧而未備且法與數多出入之處梅文鼎方程餘論曰㡬何原本言勾股三角備矣同文算指于盈朒方程取古人之法以𫝊之非利氏之所𫝊也又曰諸書之謬誤皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可見矣誠確論也然中土算書自元以來散失尤甚未有能起而蒐輯之者利氏獨不憚其煩積日累月取諸法而合訂是編亦可以為算家考古之資矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀同文算指前編序古者教士三物而藝居一六藝而數居一數於藝猶土於五行無處不寓耳目所接已然之迹非數算紀聞見所不及六合而外千萬世而前而後必然之驗非數莫推巳然必然總歸自然乘除損益神智莫増矞詭莫掩顓蒙莫可誑也惟是巧心濬發則悟出人先功力研熟則習亦生巧其道使人心心歸實虚憍之氣潛消亦使人躍躍含靈通變之才漸啓小則米鹽凌雜大至畫野經天神禹賴矩測平成公旦從周髀窺驗誰謂九九小數致逺恐泥嘗試為之當亦賢於博奕矣乃自古學既邈實用莫窺安定蘇湖猶存告餼其在於今士占一經耻握從衡之算才高七步不嫺律度之宗無論河渠厯象顯忒其方尋思吏治民生隂受其弊吁可慨已徃遊金臺遇西儒利瑪竇先生精言天道旁及算指其術不假操觚第資毛穎喜其便於日用退食譯之久而成帙加減乘除總亦不殊中土至於竒零分合特自𤣥暢多昔賢未發之㫖盈縮句股開方測圜舊法最囏新譯彌捷夫西方逺人安所窺龍馬龜疇之秘𨽻首商高之業而十九符其用書數共其宗精之入委㣲高之出意表良亦心同理同天地自然之數同歟昔婆羅門有九執厯寫字為算開元擯為繁瑣遂致失傳視此異同今亦無從參考若乃聖明在宥遐方文獻何嫌並蓄兼收以昭九譯同文之盛矧其禆實學前民用如斯者用以鼓吹休明光闡地應比夫獻琛輯瑞儻亦前此希有者乎僕性無他嗜自揆寡昧游心此道庶補㓜學灑掃應對之闕爾復感存忘之永隔幸心期之尚存薈輯所聞釐為三種前編舉要則思已過半通編稍演其例以通俚俗間取九章補綴而卒不出原書之範圍别編則測圜諸術存之以俟同志今廟堂議興厯學通算與明經並進傳之其人儻不與九執同湮至於縁數尋理載在幾何本本元元具存實義諸書如第謂藝數云爾則非利公九萬里來苦心也萬厯癸丑日在天駟仁和李之藻振之書於龍泓精舍
## 1
欽定四庫全書同文算指前編巻上明 李之藻 撰定位第一古法用竹徑一分長六寸二百七十一而成六觚為一握度長短者不失毫釐量多少者不失圭撮權輕重者不失黍纍紀於一協於十長於百大於千衍於萬算之原也後世乃為珠算而其法較便然率以定位為難差毫釐失千里矣兹以書代珠始於一究於九隨其所得而書識之滿一十則不書十而書一於左進位乃作○於本位(○一)曰一十由十進百由百進千由千進萬皆倣此假如四萬三千二百一十作何排列自左方寫起平行大數列左小數列右若從小數起積者每滿十則進位一十者書一二十者書二餘倣此若大數積多則於左方漸進加字如後圖萬億兆京是也若小數積餘則於右方漸退加字如兩下有錢錢下有分分下有釐又有毫有絲有忽之類是也大衍式几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而計田則横一丈縱六十丈為畝(即濶一步長二百四十步)四分其畝為一角角得方丈者十五十分其畝為一分分得方丈者六得方尺者六百分以下釐毫析之而以百畝為頃五項四十畝為丘凡量六粟為圭十圭為撮十撮為抄十抄為勺滿十而進之為合為升為斗為石亦曰斛凡衡以兩為君兩有十錢錢有十分自分以下十而析之曰釐曰毫曰絲曰忽曰微曰纎曰沙曰塵曰埃曰𣺌曰漠至細之倪惟所立名而十六兩為斤二百斤為引今公私通用之則也古法之衡則十黍為纍十纍為銖八銖為錙六銖為分二十四銖為兩兩即四分也兩又四之自乘一十六以象四時是命曰斤計銖三百八十有四當朞之月又以十五斤為稱二稱為鈞四鈞為石度則古尺長短不一丈尺而外别以七尺為施八尺為仞亦為尋倍尋為常量則六十四黍為圭又有四升之豆四豆之區四區之釡十釡之鍾十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡錢千文為緡五緡為綻凡鈔五貫為錠錠當錢千里法三百六十步步法今用五尺厯法每度百分每分百秒西厯則積六十秒為分積六十分為度秒以下俱以六十析之右式三位而成百五位而成萬九位而成億十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以極於正於載皆以萬萬遞加是謂中數昔者黄帝為法數有十等及其用也乃有三焉十等者億兆京垓秭壤溝澗正載三等者謂上中下也其下數者十十變之若言十萬曰億十億曰兆十兆曰京也中數者萬萬變之若言萬萬曰億萬萬億曰兆萬萬兆曰京也上數者數窮則變若言萬萬曰億億億曰兆兆兆曰京也從億至載終於大衍下數淺短計事不盡上數宏廓世不可用故其𫝊業惟以中數舉一中數而天地鬼神人物之紀思議之所不及者皆盡之矣况更有上數在乎由旬刹那吾無取焉爾加法第二凡數惟加法最易加之不已至於無算故算首論加加也併也積也一也少曰併多曰積皆加也列散數於上各横置以類相比(如十從十百從百及兩從兩斗從斗之類)先從小數併之而以所得數紀本位下遇十則進一位遇百則進二位第一圖 係進一位式(倂四七九得二十下紀○ 二進位)(併五八八又併前二得二十三下紀三二進位)(併六九七八又倂前二得三十二下紀二三進位)(併八六又併前三得一十七下紀七一進位)(併一五又併前一得七下紀七)(只七下紀七)右式散數四項列格上併總得數七十七萬七千二百三十列格下第二圖 係進二位式(初併一百零二下紀二以一百進二位)(次併五下紀五)(再併一十六前一得一十七下紀七一進位)(終併連前共得二十三下紀三二進位)右式散數一十二項併總得數二萬三千七百五十二以上二圖盡加法矣另有試法具後一法先自上數下得若干復自下數上得若干然後紀總一法以減法試加隨意減一行得若干再加所減仍得若干又有將散數總數錯綜覈之者有九減七減二法先減散數餘若干次減總數餘若干以其所餘兩數對列相較同則無差異則有差第一圖用九減此法不論進位只以見數為準纍用九減去○不用先以散數九減之餘置於左次以總數九減之餘置於右俱得八故知不差又用七減此法與九減者稍異乃以實數七七減之從左起連○算者如首行首七竞減淨 次(○一)減七餘三 次即作(六三)減七餘一 次作(五一)減七餘一 次作(四一)七減無餘乃於首行之左格外紀○ 又以次行之首(九八)七減餘五 次即作(○五)七減餘一 次作(七一)七減餘三乃於次行之左格外紀三 其第三行依法減之餘得五第四行依法減之亦餘得五各以紀於其左 次將總數七減如前法餘得六 乃合四項散數所七減而餘者據見數更七減之三五五餘得六紀於□左以總數所餘之六紀於右六六相合固知不差第二圖用九減(先減散去九不用六箇八共四十八餘三加次行五得八又加次行得二十四又加末行得四十六九減餘一紀左次閲總數共一十九九減亦餘一紀右)又用七減照前七減法先將散數逐減紀左纍而減之餘一次將總數亦以七減餘一相合無差右九減七減法繁碎難用然出巧思具至理錄之備翫減法第三減與加反用稽所餘其法先較數之多寡多中減寡亦自右方小數減起以漸進位其辨多寡之法於左方首位辨之首位相等乃視次位次復相等逐位退求則多寡分焉(此數首位視之相等然退至三位上係一千下係九百九十九)既審多寡乃以原數列上減數列下依法右起所餘逐紀於下如就多中減少者不須别立借法如後第一圖若少内減多須立借法以通其變如後第二圖云此上下相減俱係以少減多不須更立借法第二圖(亦係以少減多但中有上數小下數反大者須立借法)右借法乃借大數兼小數以便總減者又法直於借數一十用減却加入本數尤為便捷假如二不能減九當借作一十二内減九得三今却不作一十二只就所借一十之内先減九餘一次乃加二仍得三也先減後加比前較易以上二圖減法盡矣其間有差與否何以覈之一法用加法驗之以減數合減餘數得原數(如三加六合原九之類)又法以減餘數減其原數應與所減數合(如原數七減二餘五今却減五合餘二為不差)亦有用九減七減二法者俱以第一行原數為一項第二行減數第三行餘數共為一項而較零之同否同即不差九減 七減(減數首作六十七餘四次作四十八餘六又作六十二餘六又作六十三無零其餘數首作三十九餘四次作四十三餘一次作一十二餘五次作五十三餘四次作四十一餘六次作六十一餘五紀右五五相合無差)乘法第四既知加減當論因乘單位曰因位多曰乘通謂之乘凡乘之數妙於九九作九九圖九九相乘圖首横一行自上讀下右直一行自右讀左其相值處即是乘得數指掌可盡也附九九相乘歌一一如一 一二如二 二二如四 一三如三二三如六 三三如九 一四如四 二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五 二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一又法就小乘得大乘不用九而用十假如二數並列因其數大難乘未知乘得若干且連註二數而取十數與較看所不足若干因連註不足數於本數右平衡相對其所不足數必其小於原數者也小者易乘乃以不足數上下相乘註乘得數於下為單數又以不足數與原數上下互減註減餘數於其下為進位數即得所求大乘數右法專為未熟大乘者設也若小數相乘不必用此蓋以小數減十則不足之數反多而乘出亦多但多出十數外者以十外之數寄於進位就於互除還之其數未嘗不合(左七俱得三合 三三如九所寄進位一共得四是為六七四十二)既知乘數乃列乘位凡乘亦從右小數乘起次第進位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位(十數)三位(百數)及數十位者有以二位乘一位或二位三位以至數十百位者其變無窮其法一定若以幾位乘幾位者無拘上下隨意互乘上圖位數相近隨意互乘如第一圖者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得數置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置於七本位下以乘九所得置於七進一位下以乘三所得置於七進二位下其餘徧乘倣此畢乘諸位仍以加法通併詳具於後二位乘(此以三十八乘三百九十四者是為二位乘)先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置於三本位下而其進位及進乘所得皆以次遞進一位不可紊亂 如三乘四者得(二一)紀二於三下一進位 如三乘九者得(七二)加前一共(八二)紀八於三之次位二又進位 如三乘三者得九加前二得(一一)紀一於又次位一又進位 兩位所乘魚鱗相比畢則總併其數以上二圖乘法之大略也覈其差否須以除法還原列乘出總數為實如以第一行為法除之必得第二行數(如前一萬四千九百七十二為實以三百九十四為法除之必得三十八)如以第二行為法除之必得第一行數(如前實以三十八為法除之各得三百九十四數)合即不差又有九除七除法列原數所餘於左列乘數所餘於右左右相乘列乘出數於上乃以乘積總數依法除之餘數列下上下相比同即不差中間逐位乘出散數俱不用(首行餘七列左次行餘二列右二七乘得一十四以九除餘五列上其積出總數亦餘五列下依法實除原數首三十九餘四次作四十四餘二紀左乘數三十八餘三紀右二三乘得六紀上次除總數一十四除盡次九十七餘六次六十二餘六紀下)六位乗挨身下次以九乘上諸位尾位亦挨本身下餘以漸進位排列 次以三乘上諸位挨身進位如前 次以○徧乘上位無乘各挨身照位作○紀之或空其本位亦可 次以六徧乘上位尾位所得就挨六之本身其餘以漸而進云七位乘此即前數上下易位為乘故散數不同而總數同○無所乘姑空本位試上圖用九除用七除(依法按實七除首行餘四列左次行餘四列右四四一十六仍除餘二列上總數餘二列下)亦有原數乘數並除而一有零一無零照無乘例只作○用九除首行原數無餘列左次行乗數餘五列右以五遇○無乗只作○列上次除總數無餘亦只作○列下比同亦有左右上下俱無零數者用九除原數乗數俱無餘左右上俱○其總數又無餘亦作○比同凡乗法或上行原數首尾俱係實數而次行乘數之尾却係幾○或次行乘數首尾俱實數而首行原數之尾却幾○者不必多作諸○第從簡便將各實數如法相乘訖却照其尾餘幾○逐加於後即見全數蓋凡以○乘數者只是作○緣其無可乘出但存其位而已此原數首尾皆實而乘數尾却多○者○無可乘且置不用只以四乘六挨身下數乘徧而止乃將三○系之於尾但不可遺其○位所差不小若原數及乘數之尾俱各有○若干即須一一相乘以存其位嗣以實數所乘出者挨次進位不得僅如前圖照位加○而已乘得一十六也右圖上下尾位皆○須留其位故數尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘(共得七○為尾)上有○○○亦進三位乃下四四一十六若但就身下數乘畢補○如下圖然則尾少三○其失非小若以一數為首而尾帶多○其數雖多總只是一以此相乘無復可乘但照首行原數挨身進位錄之乃視尾有幾○照加於後即成全數除法第五凡數以少剖多曰除亦名歸除歸者各分所入除者分分除減其義一也法列原數於上層列除數於次層(舊以原數為實除數為法)從左大數除起上下挨身列位然必以小數系大數下若上層原數小下層除數大者須退一位系之詳具左列位圖凡除法原數列上除數列下於原數尾右界格如半規然而於格外註所得數其歸除率以下字除上字要見幾除而盡如九除而盡者格外註九字八除而盡者格外註八字餘倣此所除不盡之數就原數變之抹原數而書其上凡欲知除出之數得幾位者視除數之末位去原數之尾位得若干字即是歸除所得位數一位除(假如七萬六千○四十八數以八除之)格右為除得數第一除得九第二除得五未畢先看八除(六七)得幾轉以乘法除之八九七十二是九也註九於格右尚餘四變六作四(冩四於六上)削去首七亦削去次行除數之八挨身另下八以八除(○四)依乘法五八四十格右再紀五其上層(○四)俱削亦削八同前第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是為每得九千五百○六恰盡第一次除得九削去(六七)及八以六變四 第二次除得五削去(○四)及八盡 另挨身下八八雖不除四而當存其位乃於格右紀○而存四削八 另挨身下八以八除(八四)得六八四十八恰盡紀六於格右削去(八四)及下八畢若除數至二位三位者除訖一位挨身布退一位如魚鱗然其格右所註數每次所除不論幾位總之只得一數但其除數首位必須兼顧次位如以首位除之已得某數即取除餘變數為實以所得某數呼次位乗之看是恰盡或有餘否方可紀於格右若有不足則將首位所除量減數以為次位之地(如九乗不足則減而用八如八乗不足則減而用七用六之類)務取通融恰當其三位除四位除者亦如之三位除(此有一百八十三萬二千四百八十七之數而以四百六十九除之先以首四除一十八儘乘得四四一十六用四而餘二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不減數從三只用三以除一十八除得三四一十二尚餘六四上八變六進位削一而格右紀三為用數併削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三變五進位四上六變四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二變五進位六上五變二乃削二削五亦削九是以三除之餘四十二萬五千四百八十七數故當用三餘再除如後圖)右圖下層次位以三因六三六一十八其六上三變五者三小八大照減法借進位一數於一十之内除八餘得二再加三是變五也若除法未熟不妨小註於下假上層(三六)下層用三因六三六一十八即於三下且註八於六下且註一三除八如前借法六除一乃還借除二為六變四餘倣此(另退一位挨下四六九先以四除四十二看得幾箇四凡數極於九用九乘四九三十六尚餘六四上二變六進位四削盡亦削下首位之四格右紀九嗣以次位六因九六九五十四餘一十一六上五變一進位六變一亦削下位六嗣以次位九因九九九八十一尚餘三十三九上四變三進位一變三係借除進位一削盡亦削九其不盡三千三百八十七數再除如後圖)(復列四六九而四不能除三姑存其位作○於格右其下層四六九皆削去 又列四六九以四除三十三看除得幾轉四八三十二餘一矣然六乘一十八則不足故減而用七除得四七二十八四上三變五進位削三嗣以六因七六七四十二六上八變六進位五變一亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七變四進位削六緣尚有進位之數仍作○以紀其位而削九存一百○四為不盡之數不復可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九為母數以一百○四為子數法别詳)右尾第二位變六作○緣進位尚有一數須作○以存其位此法切記若上層除餘之數反多於下層除數者或上數與下數相等者定是除法有差(只就除過本位上下相較)亦不必另創第將差者抹去而另註所除數於上層之上另註除數於下層之下又另註除得之數於格右以從簡便(先以二除一十六當用五却誤用四是宜多反少者且如二因四得八六變八削一與六亦削下首位二嗣以四因八四八三十二八上二變○進位八變五下削八嗣以四因九四九三十六九上三變七進位○變六係借除進位五變四下位削九諦視之則餘數反多於分數其數可知悉抹之而另註原數於上另註除數於下而用五以除之二五除首位一十五八得四十進位六變二五九四十五九上三變八進位二變七又進位二變一再列二八九用六除二六一十二二上七變五進位削一六八四十八八上八變○進位五變一六九五十四九上一變七進位○變四進位削一 再列二八九用一)右誤除乃宜多反少者亦 (除二上四變二八上七變九進位二變一九上)有宜少反多者具後 (四變五進位九變八又列二八九用六除二六一十二二上八變六進位削一八上五變七進位六變一六九五十四九上九變五進位七變二外餘一百二十五數以法命之)六有竒(此不當用六却誤以六除二六一十二二上六變四進削一次位六八四十八却不足抹削另起另列二八九於下一六於上而以五分之二五除一十五八得四十進位六變二餘如前式不差 再列不當用七而誤用七二七一十四二上七變三進削一七八五十六即不足削三另列一七於上又列用六二六一十二二上七變五進削一六八四十八八上八變○進位五變一六九五十四九上一變七進位○變四進削一不差次用一次用六俱不差)右式第二次誤用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已誤矣儻不知還原如何其法只以下位見除二字與所用七字相乘而加上見乘之三即是還原二七一十四加三得一十七也舉此一端以例其餘凡三位四位誤分改正俱用此法該進位者照前法進位乘後加之式具後(先用一除之二上四變二三上○變七進位二變一 次該用七却誤用六二六一十二二上七變五進削一三六一十八三上四變六進位五變三諦視之餘數反多於除數誤也欲還原者先以下層三乗所用六三六一十八加上餘數六得二十四知本位還四而以二寄於進位次以進位下面二乗六二六一十二加上餘數三再加原寄二共得一十七知本位還七進位再還一合正數)既已還其正數另以七除之二七一十四二上七變三進削一三七二十一二上四變三進位三變一另列二三用六除之二六一十二三上三變一進削一三六一十八削盡若原數既已除盡或未盡有零而欲試其誤否亦用九除七除二法用九除者只據見積將下層除數除餘列左以格右用數除餘列右以左右互乘九除餘數列上又以原總數除餘列下如有未盡零數者於左右乘後并入總除列上與原數除餘者相比除畢 六無零 七 用數一七六餘五列右除數二三共五列左乘得五五二十五九除餘七列上原數四四八以九除亦餘七列下無差(用數餘四列右除數餘二列左相乘得八加上零數一三共得一十二以九除之餘三列上總數九除亦餘三列下相比無差)用七除者實積細除同前乘法其除數列左用數列右相乘除餘列上有零者亦併入乘數列上總數餘列下(用數一百七十六以七除餘一列右除數二十三以七除餘二列左左右相乘一二如二列上又將原數四千○四十八以七除餘二列下正同)(用數一百九十三以七除餘四列右除數二百三十六以七除餘五列左相乘得二十以七除餘六若無竒零則紀六於上是己今有零數一百三十再七除餘四併六得一十以七除餘三列三於上又將原數四萬五千六百七十八亦以七除餘三列下正合)又法將除數用數相乘以合原數如竒零不盡者乘後併入假如前式原數四萬五千六百七十八者以除數之二百三十六乘用數之一百十三共四萬五千五百四十八併入零數之一百三十合原數若歸除至半欲訂其誤照前以除數之減餘列左以用數減餘列右相乘又取本位以上除賸位(只至已抹本位而止其未除到者不用)亦減之以併所乘列上以抹過原數減餘列下相比其九法減見數七法減實積數俱同前(此是用二除過一徧者截至左第四位止試之用數二列右除數二八九八無餘左列○以○乘二無乘却有零九一三除九餘四上列四原數除過四位以九除亦餘四相合)(用數二列二於右除數二千八百九十八以七除無餘列○於左以二乘○無乘却有零數九百一十三以七除餘三列上其原數已除四位六千七百○九以七除亦餘三相合)凡除數隨上原數邐迤右退至於除數尾位撞遇原數尾位而止此外雖有未除零數總係餘分但可以法命之為幾分之幾以其除數多零數少故也(多者為母少者為子)若除數尾帶 此以三千八多○而原數 百萬而除一首尾係數中 百三十九億叚係○者但 四千六百萬看尾隔幾位 零七千八百用數該幾位 九十三數其絫只須撞尾而 甚多而諦視止就截去餘 尾位相值只○且儘實數 該以三位除除訖嗣以餘 盡乃姑截去○加之以法 餘○只以三命之式具下 八而除一三九四六每各得三百六十七其數已窮其餘皆竒零不盡之數乃於三八之尾照位填○為母以零數為子命之云若除數首位數中位○次又有數次又有○者不可便以中○為止務須盡其實數而止惟尾後之○如前法用四除之 三四一十二三上三變一 進削一 次○○皆無可除者故置不論徑除第四位之八 四八三十二 八上六變四進位四變一 更列三○○八用六除之 三六一十八 三上九變一進削一置○○不分 六八四十八 八上○變二 進位四變九 又進一變○尚餘一○九二為不盡零數乃以除數餘○綴除數之尾為母以原數○七六九三附零數一○九二之尾為子是為三億八十萬之一億九百二十萬七千六百九十三云凡除數首位只一其餘俱○者不必另尋用數即以原數為用至撞除數尾位而止此外皆係竒零不盡之數以除數尾尋至原數尾該得五位除盡亦只自原數首尾起照取五位為用數其餘皆係小數不能除矣故作零數首列一除四得四 又列一除七得七 一除八得八一除○還○ 一除九得九若原數餘○雖多而實數歸除已盡則其數外之○無復可除雖不撞到尾位亦只據未抹○位逐加用數之後如左圖假如有數一億八千六百三十萬而以三百四十五除之每各得五十四萬首用五除 三五一十五 三上八變五 三進削一 五四得二十 進位三○ 變一 五五二十五 五上三變八○ 進位六變三 又列用四除 三四一○ 十二 三上三變一 進削一 四四○ 一十六 四上八變二 進削一 五四得二十 五上削○ 進削二畢既已除完其餘不復可除照○位加於格外用數之右右加減乘除四法共一卷算學綱領習熟自精變化之妙詳載别卷同文算指前編卷上
## 2
欽定四庫全書同文算指前編卷下明 李之藻 撰竒零約法第六凡數除之不盡者以法命之曰幾分之幾除數為母(法)列上竒數為子(實)列下假如列實四十六以七為法除之尚餘四是謂七之四餘倣此列位式若竒零有二項辨其孰多孰寡以子母二數互參母數相同則但據子數若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大若子母數俱不等别其多寡者並列以彼此母子互乘得數各註其子數下有差逺者 有稍差者有相同者四之三與八之六同則八之六即四之三假如欲知何以皆為四分之三但將子母兩數立通數乘之且如(八四)之(六三)有六數可以通乘六八四十八六六三十六母係六八子係六六便知(八四)之(六三)即是八之六此係有見成乘法可用者其積數已多而既難折半又無通數可乘則須另立紐數歸除其法以小減大減盡而止以最後減盡數為用以除子母二數其所除得數即是約數假如四十八之三十二即三之二於(八四)内減(二三)餘(六一)即以(六一)再減(二三)二次盡乃以一十六為紐數以除(八四)得三是母約數以除(二三)得二是子約數假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子減母餘二百八以二百八減子數用二轉餘五十二以五十二減二百八恰盡即以五十二為紐數以除六百七十六得一十三是母約數以除四百六十八得九是子約數(凡以小減大者即係除法數相近名減若大小相逺減幾徧者名除)其以寡減多終不能盡者不復可約只就見數為則以(七四)減(九五)餘(二一) 以(二一)減(七四)餘(一一) 以(一一)減(二一)餘一不盡以(○二)減(三六)餘三 以三減(○二)餘二 以二減三餘一不盡 以上不盡無紐竒零併母子法第七凡兩子母數不等須先併母較之以兩母相乘得共母數次以兩母互乘兩子各得子數又有三四母子不同併較多寡者亦以各母次第徧乘歸併作一共母(為實)乃以各母之數(為法)除之即以各子乘之得各子數先併母數二乘三得六又以六乘四得二十四又以二十四乘五得一百二十為共母乃以首母二除得六十以首子一乘仍六十為其子數以次位母三除得四十以子數二乗得八十為其子數以三位母四除得三十以子數三乘得九十為其子數以四位母五除得二十四子一乘仍二十四為其子數若每數相乗遇有紐數可用(一數兩分是為紐數即前法)即用紐數除之以其所得相乘以省約法右用一紐數而前之乘得一百二十者約為六 ○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六乃以首母二除得三十子一乘亦三十以次母三除得二十子二乘得四十以第三母四除得一十五子三乘得四十五以第四母五除得一十二子一乘仍一十二凡兩數母子俱殊但有紐數可用皆可以此推之二三為六故註二於六下四三一十二故註四於(二一)下乃即以二十四為共母數而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子數五乘得二十為二十四之二十以第二母一十二除此二十四得二以其子數七乘得一十四為二十四之一十四竒零絫析約法第八竒數有析之又析者如母七子四是為七之四又析其四作五以為母而五中餘三是為五分四之三子中出子相聯而成則名七之四又五分四之三也又有母二子一是二之一又以子一 (此三即進位之三)析為六而六中餘一(母六子一)又以子一析 (此四即進位一所化)為四而四中餘三(母四子三)又即以子三為 (此六即進位一所化)母而三中餘二連析四次總名二之一又六分一之一又四分一之三三之二右法須取捷歸併以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二母數五七得三十五子數三四得一十二如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六母數三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四為共母數子數二乘三得六又一六只六又一六只六為共子數右一百四十四之六依約法乃即二十四之一以六除一百四十四得二十四恰盡故六為紐數二十四為母約數以六除六得一盡故一為子約數假如連析三次者五之三又三之二又四分二之三併之乃六十之一十八母數四乘三得一十二又一十二乘五得六十為共母數 子數三乘二得六又六乗三得一十八為共子數右六十之一十八約之即一十之三用子數一十八除母數六十餘六即以六除一十八恰盡是六為紐數以六除六十得一十故一十為母約數以六除一十八得三故三為子約數右絫析乃厯家所常用者粟米方田諸家鮮用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一兩析之為五(每析二錢)五之三乃六錢也又析為三之二則四錢矣又析為四分之三則三錢矣總是一十分之三化法第九凡整數後帶竒零難於歸除須將整數盡依母數化之其法以母數乗整數以乗得數併入子數却以母數除之假如有整六數零五分一之三者列六於左列五之三於右每數皆剖為五分五乗六得三十併入子數三是為五之三十三列下假如有整七數零五分一之四者列七於左列五之四於右每數皆剖為五分五七三十五併入子數四是為五之三十九於是乃化零數為整數其法以母除子此為一剖七之五十六以母數除子數用八除盡知是整八數此為一剖九之四十七以母除子用五餘二知是整五數又零九之二竒零加法第十數有竒零或兩零數或三四零數以至百千零數加併為一法具後若母數異則先併母數但有紐數者依紐數求其共母無紐數者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子數乃視其子數多寡總而積之又以共母除積子以歸本數又法求其子數徑用母子互乘亦得(三三是九二四是八)但積數多者未便須用母除子乘之法若既有整數又有零數則先加積整數次乃加積零數其零數同母者只併子數其零數異母者依前法且併母數而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗以上係不同母數者若欲試加法之有差則用竒零減法竒零減法第十一凡以竒數減竒數者審其多寡而於多中減寡其母數同者第就子數相減若母數異則先以其母相乗併為一母而依母除子乘求各得子乃以相減以上係不同母者若於整數内減零數者以零母化原整數就以作子相減次合全數總計假如整數一十内減一十一之六者(此一十一之六未滿整一數)就將一數拈出依竒母化為一十一以作子數於内減六(一十一之六)餘一十一 之五總為九零一十一之五以上是只減零數者假如整數一十内減四零五之三者一十減四餘六又動一數以零母化之作子於内減去三(五分之三)尚餘五之二是為五零五之二以上是既減整又減零者又有原數以整帶零減數亦以整帶零者先以整數相減次將各零母依法併合為一次乃子母互乘為子各系本子位下相減於整九内借一數以化母為三百六十三併入一十一則三百六十三之一十一為三百六十三之三百七十四以上是零整雜減者若原數減數不止二位相併有三四零數以上者照前逐併母數互乘減之若欲試減法之當否則用加法補前章以減法試加法假如不同母加積者試之兩母相除得母數將所互乘之數互減之其減餘者除以本母得子數竒零乘法第十二凡兩零相乘者皆以母乘母子乘子凡零數與整數相乘者置整數與零子數並列其上立一數為母與零母並列照前母乘母子乘子凡整數帶零數與整數相乘或與零數相乘者先以整數與所帶零數之母相乘得若干併入零子列子位(化法)乃以整數照前法列於子位其上立一為母而母子相對乘之右係整兼零與零數相乘者若兩數俱以整數兼零數者照前先化整數或問乘法乘少為多今或乘多為少何也曰立法如此乃是借虚馭實與除法相㕘為用非整乘也若欲試乘法之有差則用竒零除法竒零除法第十三凡竒零數又以竒零數歸除者列原數於右列除數於左却將除數倒列子母(原數母上子下除數子上母下)兩平對乘其乘出數即歸得數假如以竒零除竒零者右法假如一年十二箇月今曰二之一則六箇月也六之一則二箇月也以二剖六各得三箇月假如以零數除整數者以整數作子上立一為母假如以整帶零而除整數者原數只借一為母不動若除數則以所帶零母化其整數併子數假如以整數除零數者假如以整帶零而除零數者原零數不動其除數之整假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整數若欲試零除之差否則用零乗法以乗出之數為主以對除數相乗仍合原數則不差重零除盡法第十四歸除不盡曰竒零然有原數之内本來先帶竒零者(如原數係二十零四分之一之類)是大竒零數内又有小竒零也若欲除之使盡當先歸之使一列小竒零於右列大竒零於左兩母相乘為總母又以小竒母乗大竒子併入小子為共子數即是除盡之數若數繁者約之假如四人剖一十五零三之二其不盡者整三數零三之二也三之二為小竒列右四之三為大竒列左如法乘之即得四母除盡之數若小竒零之内復有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相併得母數及子數次乃遞互併完假如七除不盡而餘四數是為七之四矣而又以此四中之一剖為五停内得二又以此二中之一剖為四停内得三又剖此三中之一為三停内得二此乃大竒數内又帶三小竒數愈析愈繁最易淆亂者法具後以上用七除盡者每分得八十四之五十五假如以一十二人剖二十整數零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不盡以一十二之八列左以四右係捷法若依前章竒零加除二法者從小竒數除起以一十二除之借一為母倒列對乘先得小竒乘數次以大竒數與對乘又依加法互乘求總子數約之得除盡數通問第十五前算法一十四章總歸加減乘除四術臨時制用存乎其人今設一十四問由淺入深由易入難精之躔度厯術麤之米鹽凌雜皆可類見問減二十三餘四十七原是幾數又問減一十一之四餘八零三之二原是幾數答曰此用加法以二十三加四十八原是七十數也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也問八十七内減幾何該餘二十六又問一十三之八内減幾何該餘七之二答曰即用減法就八十七内且減二十六餘六十一得餘數就一十三之八内且除七之二餘九十一之三十得餘數問加三十八得八十三原是若干又問加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用減法於八十三内減三十八尚餘四十五其原數也於二十零二之一内減四零九之八尚餘一十五零一十八之一十一其原數也問一百與三百四十九差幾何又問六零二之一與二十零四之三差幾何曰此即減法於三百四十九内減一百是為二百四十九於二十零四之三内減六零二之一是為一十四零四之一問何數除之以九而各得三十四又問何數除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其實數也三之二乘四零三之一得整二零九之八其實數也問有三十於此其五之三是何數又問有四零七之五於此其二之一是何數曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也(依法以子數三乗三十得九十以母數五除之得一十八合問)以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也(依法化四併五為七之三十三以與二之一對乘得一十四之三十三約之為二零一十四之五合問)問除四十八各得一十其除數若干又問除七之三各得三之二其除數若干曰此於除法求之只以一十除四十八該得四零五之四是其除數(以四零五之四為除數者依法化整及倒位對乘之子數五乘四十八得二百四十母數二十四除之得一十合問)只以三之二而除七之三該得一十四之九是其除數(以一十四之九為除數者以九對七以三對一十四乘得六十三之四十二約之三之二也)問一十七與何數相乘而得一百又問三零二之一與何數相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百當各得五零一十七之一十五以得數乘除數還原一百矣以整三零二之一而除四之一當各得一十四之一以得數乘除數還原四之一矣(一十四之一乘三零二之一得二十八之七約之四之一也)問兩數相乘得四十八是何數又問兩零數相乘得二之一又或得六零四之三者各是何數曰熟於除法則隨變用之其除四十八者隨意立一數如以六數除則各得其八乗之則六八四十八也如以一十除則各得其四零五之四乘之乃五之二百四十還原四十八也(母五乘整四併子得二十四以一十乘得二百四十數以母五歸整是四十八)其除二之一者亦隨立一數如以三之二為除則各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六約之則二之一矣其六零四之三者亦隨立一數如用三零二之一為除則各得一零一十四之一十三乘之則六零二十八之二十一約之六零四之三也如用二零四之三為除則各得四十四之一百零八乘之則一百七十六之一千一百八十八約之亦六零四之三也問兩數除之得二十八又問兩零數除之得六之五其數幾何曰此用乘法亦隨意立一數乗之如二十八數以六數乘之得一百六十八即以六除之仍歸二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一為除仍歸六之五矣問何數以七為乘而所乘出之數歸之以八而得三又問何數以五之二為乘而所乘出之數除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除數乗除得之數而以所云乘數除之其所除得數即所求數也假如三與八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三與四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣問六在五十四之内約是幾分之幾又問五之三在一十之九内約是幾分之幾曰此用約分零除法以小除大其所除得數即是也以六除五十四各得九則六於五十四乃九之一也(假如以五十四除六者依零除法各立一數為母倒位對乘乃五十四分之六即以六數而除五十四於此可明零除倒位之義)以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十約之則五之三於一十之九乃三之二也問六數是何數中九之一又問五之三是何數中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六數依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也問化法假如一化為八今七數共化幾分又問以一化四見有四分之三設以一化一十二此四之三者得一十二中之幾又問以一化七見有七之三設以一化八則此七之三者是八中之幾曰此用乘法以前後數相乘得之問化八者以七乗八得五十六是所求其化數矣問以化四較化一十二者以前子四中之三與後母一十二倒位相乘得數(三十六)以前母除歸本數(四箇九)即後母之子數也(一十二之九)問以化七較化八者亦然以前子七中之三與後母八倒位相乘得數(二十四)以前母除歸本數(三七二十一得整三數餘三不盡是零七之三)即後母之子數也(後母八此前母七中之三即後母八中之三零七之一也)譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中國計日以百刻西洋以九十六刻今問西洋之三十一刻當中國之三十幾刻即以西洋九十六為母三十一為子却以中國之母倒下作子與之對乘得三千一百是為九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再尋紐數四約之乃是二十四分刻之七也同文算指前編卷下
## 3
欽定四庫全書同文算指通編卷一明 李之藻 撰三率準測法第一數有顯隱必頼顯以徴隱故列前三率求後一率先定三率之位大都取其相準如貨準貨錢準錢之類凡第三率必與第二率相乗而以第一率除之因得第四率為所求舊名異乗同除假如錢四貫得貨十二斤今問錢二十貫當得貨幾斤則以二十為三率以十二為二率與相乗以四貫為一率第一率 四貫 二率三率乗得二百四十數以一第二率 十二斤 率之四除之每分得六十數為所第三率 二十貫 求蓋第一率與第三率相準也而第四率 六十斤 第二率又與未知之第四率相準相準故以相推妙在相準假如米六十石足支五月今問有米一百三十二石足支幾月此以六十石為一率五月為二率今有一百三十二石為三率以與二率相乗以第一率六十除之第一率 六十石第二率 五月 (以五乗一百三十二得六百六十數乃以六十除之得一)第三率 一百三十二石(十一月)第四率 一十一箇月右試法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率則所推不誤又法移第三率為第一率第四率為第二率却以第一為第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率第一率 二十貫 一百三十二石第二率 六十斤(四乗六十得二百四十以)十一月(十一乗六十得六百六十以一)第三率 四貫 (二十除之得十二)六十石(百三十二除得五)第四率 十二斤 五月又有化多為寡之法先尋紐數凡一數可以除盡兩數者為紐數其兩數亦取相準者為用因以相對乃取紐數所得置本位下乗除如前若無紐數者則否三率 二十 二十(四以三代十二仍依法乗得六)五 (十故以一代四以五代二)四率 六十 六十(十) 六十(十依法乗之得六十如前)又式三率六十三 六十三(八故以四更之依前乗除仍得)七 (也七九六十三故代之以七也)四率 八十四 八十四(八十四) 八十四(仍前乗除亦得八十四)又三率準測之法以一率除二率得數乃以乗第三率所得第四率不異前法一率 六十 (先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率)二率 三百六十三率 一百三十二四率 七百九十二乂法先以第一率除第三率得數以乗第二率乗出數為第四率亦如前一率 六十 (以一率除第三率得二零六十之十二約之乃五分之一為用數以)二率 三百六十 (乗第二率仍得七百九十二如前)以上二法皆用三率 一百三十二 先除後乗但除之不盡必用零乗四率 七百九十二 之法故不若從前先乗後除為捷右準測法之變凡三而喫𦂳在於定位孰為第一率孰為第二三率應前者前應後者後又或前者反後後者反前畧具凡例如左問用銀四十四兩買絹五十二疋今買二百六十疋該銀幾何此所問者二百六十疋則以二百六十為第三率以原買絹五十二為第一率相當而以四十四為第二率以當所測之第四率一 五十二疋二 四十四兩三 二百六十疋四 二百二十兩問買絹五十二疋用過價四十四兩今有銀二百二十兩該絹幾疋此所指者銀數則以今有銀為三率原價為一率與相當而以買過絹為二率乗之一 四十四兩二 五十二疋三 二百二十兩四 二百六十疋問用銀四十四兩不知糴米若干曽見有人以銀二百二十兩糴米二百六十石一 二百二十兩二 二百六十石三 四十四兩四 五十二石問有人糶米五十二石不知得銀幾何曾見有人糶米二百六十石得銀二百二十兩一 二百六十石二 二百二十兩三 五十二石四 四十四兩右四問總是一法所問不同以辨三率之位問有人七日行二百一十里今行一千六百里須幾日一 二百一十里二 七日三 一千六百里四 五十三日又二百一十分日之七十(刻法每日一百依法以乗子數七十得七千以母數二百一十除之得三十三刻又三分刻之一)問椒一斤不知其價見人買六十斤用價二十兩一 六十斤二 二十兩(二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之係以多除少者説在前編竒零除法)三 一斤 (立一為母倒位互乗以除之)四 (約之乃三分兩之一也求分釐法依前編以兩化之子乗母除得三錢三分三釐三三)問榖每石價銀一兩七錢五分米每石價銀二兩五錢今有榖三百九十六石照價折米該若干一 二兩五錢二 一兩七錢五分三 三百九十六石四 二百七十七石二斗若問米二百七十七石二斗照價該准穀若干者即以一兩七錢五分為第一率二兩五錢為第二率以二百七十七石二斗為第三率問有八成金五十兩價銀二百兩今有九成金四十兩該銀若干此因有成色有兩數有價數法當取成色折足色後用準測推之五八四十為第一率二百兩為第二率四九三十六為第三率一 四十兩二 二百兩三 三十六兩四 一百八十兩問銀一百兩零七錢八分雇工築堤四百丈零四分今欲築堤一千丈零四分三釐該銀幾何此法化兩為分化丈為釐以列三率一 四萬四十釐 (化四百丈四分)二 一萬七十八分 (化一百兩七錢八分)三 一十萬四十三釐四 二百五十一兩八錢六釐又四千零四分釐之二千一百三十(約之乃二千二之一千六十五以毫歸整乃五毫三絲一忽九微六纎)問住居七箇月零十五日已支銀二百兩七錢八分又七分分之二若住六年該費若干此化年月為日化兩為分以列三率一 二百二十五日二 二萬七十八分又七分分之二三 二千一百九十日四 一十九萬五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十(即一千九百五十四兩二錢八分六釐四毫七絲六忽八㣲七纎不盡)問有蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一共價銀二兩六錢今有銀九錢買蠟幾何曰此謂三不同類之率(因蠟有斤有兩又有零分銀亦有兩有錢故云)取一最細數為君以大數化之取原價二兩六錢為二十六錢取原蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一為一百七十三兩零十分兩之九(即一千七百三十九錢也每斤十六兩先以十斤乗得一百六十數次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六兩零斤之二也次加七兩得一百七十三兩其所零二之一倂前所零五之二用併母法互乗積之為十分兩之九總之如上數)一 二十六錢 (二率乘三率依前編零乗之法歸整得一)二 一百七十三兩一十分兩之九(千五百六十五又一十之一乃以第一率用零)三 九錢 (除之法則一十乗二十六得二百六十為四率)四 六十兩又二百六十之五十一(約之如上照斤法得三斤十二兩一錢九分又六十五之四在前通問十四)問欲買䳘氄八分丈之七價若干曰曾買三分丈之一原價四分兩之三算之問煉礦求銀初火煉得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足銀一十六兩原礦若干此併子併母求之以三子相乗(二五得一十又四乗得四十)為首率以三母相乗(三七二十一又以五乗得一百零五)為次率一十六為三率問築牆上廣一尺下廣四尺高一丈二尺今上廣如故下廣僅二尺一寸可高若干法以較求之取原上廣較原下廣所差為一率以原高數為二率今築下廣較原下廣差為三率一 三十寸(上廣不及下廣數)二 一百二十寸(高)三 一尺九寸(今下廣減原下廣)四 七十六寸右法若以築高七尺六寸問上廣若干者以築高數乗原上下廣較而以原高數除之問築牆上廣二尺下廣六尺高二丈今已築至上廣三尺六寸量高若干亦以上下廣較為一率原高為二率今所築中廣以較下廣差數為三率一 四十寸(原上下廣較)二 二百寸(原高)三 二十四寸四 一百二十寸右法若問築至高一丈二尺問上廣者以築至數乗原上下廣較而以原高數除之問築牆上廣十尺下廣三十尺高四丈今欲築至上廣九尺該接高幾何以今上廣較原上廣餘一尺為主置第三率置原高四丈為二率以原上廣不及下廣二十尺為首率一 二十尺(原上下廣較)二 四十尺(原高數) 又法以原上下廣較減三 一尺(今上廣較原上廣數)原高為實以今上廣與四 二尺 原上廣較得數為法除之亦同右法若問再加二尺上廣幾何者以再加數與原上下廣較相乗而以原高數除之問驛使先發三十七里别以一騎追之馳一百四十五里尚不及二十三里須追幾里可及此以先發及追去未及之里推之知馳一百四十五里只追上一十四里以追上數為第一率疾馳數為二率不及數為三率一 一十四里二 一百四十五里三 二十三里四 二百三十八里又十四分里之三問甲乙二人同步甲疾乙遲甲行百步乙纔行六十步假使乙先行百步甲方舉步追之該幾步可及一 甲行疾四十步二 甲日行一百步三 乙先去一百步四 乙㑹甲二百五十步問商人糴米三千五百石每石價銀六錢五分外用脚價銀五分就糴處以米准脚價則原數内該脚夫若干商存若干此以每石糴價為首率總米為次率脚價為三率依法乗除先得脚價米為四率以減總米餘為存商之數一 六錢五分二 三千五百石三 五分(脚價)四 二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五(約之為一十三之九)以減總米餘三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十(約之為一十三之四)為存商之數右係初糴未運送者故以原糴價算若已搬運到倉則倂糴價雇值每石共值七錢矣以七分為首率依衰分法求之只該脚米二百五十石問蠶繭二百五十斤換綿八十八斤若繭百斤十斤一斤一兩各該綿幾何此求斤兩法繭數為首率綿為次率列繭百斤等為三率有零分者以斤法十六化之再除一 二百五十斤二 八十八斤三 一百斤 一十斤 一斤 一兩四 三十五斤五之一(即三兩二錢)三斤八兩(三錢二分)五兩六錢(三分二釐)三錢五分二釐以上十五問見三率布置之序餘可觸類而通變測法第二前準測法皆以二率乗三率而以一率除之蓋以三率視四率猶以一率視二率多寡相等可例推也又有變測之法假如第一率多於第三率而其第二率反少於第四率或一率少於三率而二率反多於四率者此當審其不相準之數而變法測之則以第一率乗第二率以第三率除之舊名同乗異除問布長九丈闊三尺作衣一襲今有布但闊二尺亦欲作衣一襲増布若干此以三尺為一率以九丈為二率乗之以二尺為三率除之一 三尺二 九丈三 二尺 (若欲復前準測之法則移三率為一率移一率為二率却以二)四 一十三丈五尺(三率而仍以二三相乗以一率除)問原借九成金五十四兩今以八成金抵還照成色該還若干一 九成二 五十四兩三 八成 (若欲復前準測法則以八成為首率九成為二率而以原借五)四 六十兩七錢五分(十四為三率)問母銀四千兩生息三年今母銀七千四百八十兩數多於前只須幾年即可當前三年之息此以四千為一率三年為二率乗之今母為三率除之一 四千兩二 三年三 七千四百八十兩四 一年二百二十日六時四刻又三百七十四分刻之八十六 (若復前準測法則以今母為一率原母為二率三年為三率)問荒年麥半石價錢六百文作麥餅每餅重十兩值十文今麥價四百文或貴至八百文而價仍每餅十文則其餅該増減若干一 錢六百二 餅十兩三 錢四百 錢八百 (移三率為一率移一率為二率而以二率為第)四 餅十五兩 餅七兩五錢(三率乗之即前準測法)問二百四十方步為一畝合闊八步長三十步今闊只六步或闊至十二步各該長幾何一 八步二 三十步三 六步 十二步四 四十步 二十步問方倉貯米三百八十四石原高八尺闊一丈二尺深一丈今另建一倉照前米數亦高一丈但減深八尺或増深一丈六尺各該闊幾何一 一丈二 一丈二尺三 八尺 一丈六尺四 一丈五尺 七尺五寸問築一臺每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或減至二十工各該幾時而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或遲至四年零二百九十二日而成每日各應用夫若干此四難俱用一法而化年為日以一率乗二率以三率除(每年作三百六十五日)一 三十工 三十工 一千四百六十日 一千四百六十日二 四年 四年 三十工 三十工︵字位過密 無法显示︶四 八百(七十六日)六年 五十工 二十五工問以兵八千五百共守一隘其糧僅支十一月若待餽運至日尚須二十五箇月計當撤兵幾何留兵幾何而後可供二十五月之食一 十一月二 八千五百人三 二十五月四 三千七百四十人當留 四千七百六十人當撤(以除得數為留數餘為撤數)問象牙一枝因無大枰用小秤稱之不及其錘重一斤十兩外加一錘重一斤四兩八錢稱得六十七斤依小秤算該幾斤法併原加錘數為首率以稱得數為次率原錘數為三率一 四十六兩八錢二 六十七斤三 二十六兩四 一百二十斤(又五)之三(用加六求之即九兩六錢)問原秤稱物重八斤二兩失去原錘欲另鑄錘配用不知輕重另借别錘以較原稱之物只六斤則原錘若干此須化斤為兩以加六通後稱數(九十六兩)為首率以所借錘(三十七兩)為次率原稱數(一百三十兩)為三率得所求原錘數以斤法除之(按别錘下脱重三十七兩五字)一 九十六兩二 三十七兩三 一百三十兩四 二十七兩三錢又一十三分錢之三(以斤法除得一斤十一兩三錢二分七毫不盡)問空車日行七十里若重載即日行五十里今載糧到倉五日三返路逺若干法以五日為首率以空車重車日行數相乗為次率併空車重車日行數以三返乗之為三率一 五日二 五百三十里(按數誤應作三千五百里)三 三百六十四 四十八里又三十六之二十二重準測法第三凡數兩相較者皆兩兩相準故以巳然為一二率見在為三率以測四率若巳然者先有雜數見在者又有雜數此當以類次第歸併而疊用三率之法推之準而又準測而又測為重準測法問每人每月織絹六疋若八人四年該幾疋此以一人為第一率以六疋為第二率以八人為第三率八六乗得四十八為第四率又以四十八為所問第二率化四年作四十八箇月為第三率依法乗得第四率一 一人 (先以人數測絹數) 一月 (即八人之一月次以月數測絹數)二 六疋 四十八疋三 八人 四十八月(即四年)四 四十八疋 二千三百四疋又倂法以一人乗一月為第一率以六疋為第二率以八人乗四十八箇月為第三率而二三相乗以一除之一 一人一月乗只是一數(凡不同數者用此乗法倂之如人與月不同是也若)二 六疋 (月與年則同數者竟當化一年為十二月不必相乘)三 三百八十四 (矣)四 二千三百四疋問雇役一千里運貨二百斤給值四兩今貨三百斤運四千里該值幾何此以一千里乗二百斤為一率以四兩為二率以三百乗四千為三率一 二十萬併 二 四兩法 三 一百二十萬四 二十四兩用 一 二百斤(先測貨價) 一千里(次測里價)重 二 四兩 六兩準 三 三百斤 四千里法 四 六兩 二十四兩問三人用米五石值銀三兩計食五旬每人每日該銀米幾何此以三人乗五十日為第一率以三兩及五石各為第二率以一人乗一日為第三率二三相乗一率除之一 一百五十(三乗五十)併 二 三兩(三百分)五石(五百升)法 三 一 (一乗一)四 二分 三升三合零三之一一 三人(先以人準銀米)五十日(次以日準銀米)重 二 三兩 五石 一兩 一石三一二準 三 一人 一日四 一兩 一石三一二 二分 三升又三一一問母銀三百兩四年得子銀一百兩今有母銀一千五百八十兩七年該出子銀幾何此以三百乗四年為一率以一百為二率以一千五百八十乗七為三率一 一千二百併 二 一百法 三 一萬一千六十四 九百二十一兩又三分兩之二一 三百 四年(次以四年子母相算)重 二 一百 五百二十六兩又三之二準 三 一千五百八十 七年四 五百二十六兩又三之二 九百二十一兩又三之二問母銀十兩三箇月得子銀四兩若母銀一百兩欲得子銀二千兩須幾年此因有月在内湏作重準測法先知百兩三月所得然後再測若只如前併法以四乗十共作一率則所差多矣式具後一 一十兩(此未言三箇月但十兩之得四) 四十兩(既得上數乃以銀準月而推)二 四兩 (兩以三月則百兩之得四十兩) 三月三 一百兩(亦是三月𦂳要在此便可再測) 二千兩四 四十兩 一百五十月右法試之以十兩乗三月為第一率以四兩為第二率以一百兩乗一百五十月為三率而以二三相乗以一率除之(此係倒法蓋帶月作一率三率者)一 三十(以一十乗三)二 四三 一萬五千(以一百乗一百五十)四 二千問有夏布四十五疋以換綿布兩價不等夏布每三疋價二錢綿布每七疋價七錢五分該換若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共價若干次即以所獲價為第三率以七錢五分配為第一率七疋為第二率推之一 三疋 一 七錢五分二 二錢 二 七疋三 四十五疋 三 三兩四 三兩 四 二十八疋問將銀二十三兩買布七十五疋每疋長四丈闊二尺今另買布闊一尺六寸長與前等該減前價若干此先求每尺之價以四丈乗全布又以闊二尺乗(六千尺)為首率價銀為二率另立一尺為三率求得四率為尺價次求應減之價乃移三四率為一二率以兩闊相減餘四寸乗原長三千尺(一千二百尺)為三率一 六千尺 一尺二 二十三兩 三釐八毫三絲又三之一三 一尺 一千二百尺四 三釐八毫三絲又三之一 四兩六錢問重舟日行八十里輕舟日行一百里今重舟先去一十五日輕舟幾日追及先求重舟一十五日行若干里得數用為重測之三率而以輕舟每日多行二十里為首率推之得四率為追及之日一 一日 一 二十里二 八十里 二 一日三 一十五日 三 一千二百里四 一千二百里 四 六十日問車輪半徑一尺九寸五分假令一日轉二萬周該幾里此因有里有尺又有寸有分須用再測先倍半徑得三尺九寸為全徑數三因得一百一十七寸為一周數以一周為一率一百一十七寸為二率二萬周為三率推得尺寸共數乃以其數為第三率以里法一千八百尺除之一 一周 一 一千八百尺二 一百一十七寸 二 一里三 二萬周 三 二十三萬四千尺四 二十三萬四千尺 四 一百三十里問用磚砌滿九里每磚闊六寸每層該磚若干此以里求寸當化里為寸每里一萬八千寸九里得一十六萬二千寸乃求磚數一 一里 一 六寸二 一萬八千寸 二 一磚三 九里 三 一十六萬二千寸四 一十六萬二千寸 四 二萬七千○磚問撥夫一百名築城二百丈八箇月工完今仍用夫一百名給銀一百兩欲築城二萬丈幾月完工此以二百為一率以八為二率以二萬為三率不用銀數以與夫數相同不算一 二百丈二 八月三 二萬丈四 八百月問用夫三百名七箇月修過墩臺四十五座今有夫一千七百八十名亦七箇月可修墩臺若干座此與前法相同除月不用一 三百名二 四十五座三 一千七百八十名四 二百六十七座問選鋒兵一名每月給銀四兩今有選鋒兵一萬三千名九箇月該給幾何此以一名乗一月為一率以四兩為二率以九乗一萬三千為第三率一 一二 四三 十一萬七千四 四十六萬八千問馬十匹每一日用料七斗今有馬百匹養二十日用料幾何此以十匹乗一日為一率以七斗為二率以百乗二十為三率一 一十匹二 七斗三 二千匹四 一千四百斗問開河長七百五十五丈上廣五丈四尺下廣四丈深一丈二尺每夫每日開二百尺問幾工可完即以二百尺為首率併上下廣折半得四十七尺以深乗之得五百六十四尺為次率以長為第三率一 二百尺二 五百六十四尺三 七千五百五十尺四 二萬一千二百九十一工問開濠下廣七尺上廣九尺深四尺長一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名幾日畢工此以二百人乗一百四十四尺得二萬八千八百為法置第一率併上下廣折半以深乗得三十二尺為二率以長為第三率一 二萬八千八百二 三十二三 一千八百四 二日問十二人九日共刈麥二十畝今有三十人刈麥四十五畝該幾日此因有人數又有日數又有畝數當用重準法又以一率小於三率而四率反少於二率兼用變準法而重準則仍用準測法一 十二人(先以人較日一率二率相) 二十畝(次以日較畝二三相乗)變 二 九日 (乗三率除之)重 三日又五分日之三準 三 三十人 準 四十五畝四 三日又五分日之三 八日又十分日之一問負米一石一斗二升行三十步日五十次今負米一石二斗行四十步日可幾次此全用變準法以三十步乗一石二斗二升為首率五十次為二率今負米一石二斗以乗四十步為三率一 三百三十六二 五十次三 四百八十四 三十五次問金錢一文值銀一兩一錢五分今有銀一千兩該金錢幾文此用化法二率乗三率以一率除一 一百一十五分二 一文三 十萬分四 八百六十九文又二十三分錢之一十三問金錢每文得銀一兩一錢五分今金錢四千文銀幾何一 一文 一百分二 一百一十五分 一兩三 四千文 四十六萬分四 四十六萬分 四千六百兩問烹砂煉金每日所得重三十銖今積得七斤八兩已採幾日法先化斤為銖每斤三百八十四銖先求七斤八兩得銖若干乃以共銖求數(此是斤稱法)一 一斤 三十銖二 三十銖 一日三 七斤八兩 二千八百八十銖四 二千八百八十銖 九十六日問煉銅入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三兩四錢四分原生銅若干此用化法化八斤(一萬二千八百分)為首率化十斤(一萬六千分)為次率化三火銅(一十二萬一千三百四十四分)為三率得四率為二火銅數乃即用四率為三率以求一火銅得數又用為三率以求生銅其一率二次不動依法乗除得數乃以斤法一十六除之一 一萬二千八百分二 一萬六千分三 一十二萬一千三百(四十四分)一十五萬一千六百八十一十八萬九千六百四 一十五萬一千六百(八十分)一十八萬九千六百 二十三萬七千分(即一百四 十八斤二兩)又捷法以八斤自乗(六十四)再乗(五百一十二)為法以除三火銅亦得二三七因有再乗各再進位以七為兩亦同前法問將銀雇匠採石不知銀數石數只云每石六十丈價七兩七錢船價三錢總用鍛鐵炭火銀二百兩是六十分之二則原銀幾兩買石幾丈石價船價總若干各若干法據鍛鐵炭火銀二百兩為六十分之二已知原銀是六千兩内減二百兩只以五千八百兩為實在之銀起算作第三率以六十丈為第二率相乗得數乃以七兩七錢併船價三錢共八兩為第一率除之得四率為買石總數再置石總為第三率以七錢七分為二率乗之六十丈為一率除之得石總價以減總銀餘得船價一 八兩 六十丈二 六十丈 七錢七分三 五千八百兩 四萬三千五百丈四 四萬三千五百丈 五千五百八十二兩五錢(此係石價以減總銀餘二百一十七兩五錢為船價加鍛鐵炭火二百兩仍足六千兩)問母銀六十兩置貨賣得六十四兩或只賣得五十七兩今有銀一百兩置貨賣之依前算該得多銀幾何或折銀幾何此以六十為一率以所賣二數較之一増四兩一減三兩各為二率以一百兩為三率一 六十兩 六十兩二 四兩(多數) 三兩(折閲數)三 一百兩 一百兩四 六兩又三分兩之二 五兩問有貨一百斤賣得子銀六十四兩不知母銀幾何兹母銀一百兩欲得子銀六兩零三分兩之二其法以子併母為一率以母為二率以所問六十四為三率(所問六十四兼有子母故相準第一率亦兼子母配之所求第四率係原買母銀故第二率亦以母銀配之)一 一百六兩又三分兩之二(除貨一百斤不用只以銀數相準)二 一百兩三 六十四兩四 六十兩(每六十兩得子四兩則一百兩得子六兩零三分兩之二矣然則以六十四兩賣者必以六十兩買也)問寳石一顆賣銀二百兩以其母銀較之每百兩折銀一十兩原買母銀若干此因百兩之内折一十當以九十兩為一率以一百為二率以二百為三率一 九十兩(欲以二百之子推求二百二十二兩有零之母先以九十兩之子及一百兩之母為)二 一百兩(一率二率)三 二百兩四 二百二十二兩零九分兩之二問玉石一駝賣價三千六百兩今欲每母一百兩得利一十兩必須於買價内原減得三兩方獲此利試問原買價幾何此與前法相同以一百一十為第一率(因所問在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所減三兩不用)以一百為第二率(求母數故以母數配之)以三千六百兩為第三率一 一百一十兩二 一百兩三 三千六百兩四 三千二百七十二兩又十一分兩之八(再加三兩即原買數)問紵絲一千疋賣銀三千六百兩若原買價多六兩即每百兩折十兩欲知原價幾何此因百兩内已折一十兩以九十兩為一率以一百兩為二率以三千六百兩為三率一 九十兩二 一百兩三 三千六百兩四 四千兩(再減六兩即原價)問貨每一斤賣銀二錢即母銀百兩已得息三十兩設若每斤賣至二錢四分則百兩獲息幾何其法先求每斤二錢之内母銀子銀各若干然後再據子母推之先列所知子母全數一百三十為第一率以母銀一百兩為第二率知母一百三十之内以三十為子以推二錢之内以若干為子乃以二十分為第三率依法乗除得二錢之母銀亦即二錢四分之母銀也次乃以母銀為一率以二錢四分内之子銀為二率以一百為三率一 一百三十兩 一十五分又十三之五(二錢内母數)二 一百兩 八又十三之八(二錢四分内除去第一率得此數)三 二十分 一百兩四 十五分又十三之五(此是母數外皆利息)五十六兩問貨一百斤賣銀十兩總計每母百兩内已折十兩若使每百斤只賣銀八兩則百兩之内所折幾何此須先知一百斤之貨原值若干乃可重推先從百兩折十兩得九十為第一率以一 百為第二率以所折十兩為第三率依法乗除得百斤原本之數為第四率即以此為重準之第一率内推只賣八兩所折為第二率以總數一百為第三率一 九十兩 十一兩九之一二 一百兩 三兩九之一(第一率内只賣八兩則所折者此數)三 一十兩 一百兩四 十一兩又九之一(此得百斤正價未折之數)二十八兩問買布五萬疋用銀一萬兩納過課銀五百兩費過車脚三百兩又納課銀二百兩又雇船一百兩又過闗一百兩又食費一千兩其費如此必每疋賣銀幾何然後每疋獲息銀二錢法以五萬為第一率以本價及諸費共一萬二千二百兩化錢數為第二率以一疋為第三率一 五萬疋二 十二萬二千錢三 一疋四 二錢零五十分錢之二十二(此係每疋本銀費過之價此外再加二錢其須四錢零五分之十二方得利二錢)問布每疋長四十尺内該抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外貼錢六百文其布價每疋幾何此已知抽税者為二十取一也先求三百疋應抽之數數外皆應貼錢此所貼者半疋二十尺之價也倍之得每疋價 一 二十疋 一 二十尺(即半疋)二 一疋 二 六百文三 三百疋 三 四十尺四 一十五疋 四 一千二百文問有客販參不記母銀幾何但云每參六斤價銀七錢七分車脚三分又用過牙銀二百兩是原母三十之一其母銀數及參數價數各若干此以價(七錢七分)併車脚(三分)得八錢為首率參六斤為次率其牙銀(二百)係母銀三十之一以加二倍得母銀六千内減牙銀餘五千八百兩為三率得第四率為參總率另以六斤為首率減車價(三分)以七錢七分為次率參總為三率求得第四率為共價其參總率及參價乃六斤所推各以六除得參斤數及每斤價數一 八錢 六斤(徑以首率除二率得每斤價一錢二分八釐三 毫三之一以首率除三率得共參七千二百五十斤)二 六斤 七錢七分三 五千八百兩 四萬三千五百四 四萬三千五百 五千五百八十二兩五錢(以減五千八百餘二百一十七兩五錢是車價)問以銀二十二兩八錢買黄白蠟均平其黄蠟每三斤價四錢白蠟每一斤價五錢二色之價各若干此以兩母子互乗(三五一十五一四如四)併得一十九為首率兩母相乗為次率總銀為三率求得二色各斤數一 一兩九錢二 三斤三 二十二兩八錢四 三十六斤(以價乗白蠟得一十八兩以價乗黄蠟四除之得四兩八錢)問飯僧不知人數初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米與僧各若干法用重測先置子母互乗(九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十)併之(一千七十)為首率兩母相乗(四千五百)為次率共米為三率得僧數乃以僧數為三率各以子乗母餘得二日米數一 一千七十 五 九二 四千五百 八 七三 三十二石一斗 一千三百五十 一千三百五十四 一千三百五十僧 二十一石六斗 一十石五斗同文算指通編卷一
## 4
欽定四庫全書同文算指通編卷二明 李之藻 撰合數差分法第四上總數一也而分之糅襍不齊者亦以準測齊之大抵以總數為第一率以總數所得為第二率(如以母得子或以銀得年月之類)分布而各為之宗為第三率若三率不盡者亦用重準之法測之問四商共販得子銀六千兩而各出母銀不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人該分子銀若干先以四人共母為第一率以所獲共子為第二率分置四母各一宗為第三率以第二遞乗第三以一率除一 四百八十二 六千三 六十(甲) 一百(乙) 一百二十(丙) 二百(丁)四 七百五十 一千二百五十 一千五百 二千五百問三商置貨同舟甲貨值三百兩乙貨值五百兩丙貨值一百八十兩遭風共棄貨値四百兩各照原值攤認法併三人值為第一率以所棄值為第二率分三人貨值為第三率疊以三率法乗除一 九百八十二 四百三 三百(甲) 五百(乙) 一百八十(丙)四 一百二十二兩又九百 二百四兩又九百 七十三兩又九百八八十分兩之四百四十 八十分兩之八十 十分兩之四百六十問三人共買貨四千斤值銀五百兩甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各該認價若干此以總貨為第一率以總價為第二率以各人所取數分三宗為第三率一 四千斤二 五百兩三 一千三百(甲) 一千四百六十(乙)一千二百四十(丙)四 一百六十二兩又二(分兩之一) 一百八十二兩又二(分兩之一)一百五十五兩問三商共得子銀一千兩所出母銀多寡不一先後亦不一甲母二百兩滿八箇月乙母四百五十兩滿六箇月丙母五百兩滿十箇月此子銀一千者每人應分若干其法以各母乗各月(以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百)總彚之為第一率以所獲總子為第二率以各母及月分所乗出三宗為第三率一 九千三百二 一千三 一千六百(甲) 二千七百(乙) 五千(丙)四 一百七十二兩又 二百九十兩又九 五百三十七兩又九九十三分兩之四 十三分兩之三十 十三分兩之五十九問三商共販得子銀一千兩甲母三百兩十箇月乙母七百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得分五百兩乙得三百兩丙得二百兩要知丙丁二人出過母銀幾月其法先取甲之知母知子知月者為算以所分五百為第一率以一十月乗三百兩為第二率(共三千)已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗為第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙丙母銀乗月之數次乃各以其母除之仍得月數此于四率外加一率兼重準測法云一 五百(甲之子)二 三千(甲月與母乗)三 三百(乙之子以乗三千得九十萬以五百除)二百(丙之子以乗三千得六十萬以五百除)四 一千八百(此兼乙母 乗乙月之数)一千二百(此兼丙母乗丙月之數)二月又七分月之四(以乙母七百除得乙月)一月又二分月之一(以丙母八百除得丙月)問四商居積二年得利一萬兩甲原母三千兩至滿八月先取出一千兩至滿十九箇月又加一千二百兩乙原母二千四百兩至滿六箇月取出八百兩至滿十五箇月又加一千四百兩丙原母二千兩滿七月悉收囘至滿一十七箇月别出母一千六百兩丁初不出母六箇月後方出一千八百兩又過四箇月取出九百兩至滿十六箇月又増入一千五百兩此四人者於所𫉬息一萬兩内計母計月各該分若干其法以四母各乗其月甲作三段乗(三千兩乗八箇月得二萬四千數八月之後取去一千只存二千至十九月滿共十一箇月以十一乗二千得二萬二千數其十九月之後又加一千二百共三千二百自第二十箇月起到底計五月以五乗三千二百得一萬六千共得六萬二千)乙作三段乗(二千四百兩乗六箇月得一萬四千四百兩此後除去八百兩只存一千六百兩至滿十五月實九箇月以九乗一千六百得一萬四千四百兩其十五箇月之後又加入一千四百兩共本銀三千兩到底計九箇月以九乗三千得二萬七千共得五萬五千八百數)丙作二段乘(二千兩乗七箇月得一萬四百兩自滿十七箇月以後出本至二年止共七箇月以七乘一千六百得一萬一千二百共得二萬五千二百數)丁作三段乘(自六箇月以後出本一千八百兩滿四箇月以四乘一千八百得七千二百此後取去九百實在九百至第十六箇月滿計六箇月以六乘九百得五千四百此後又出本一千五百共二千四百到底計八箇月以八乘二千四百得一萬九千二百共得三萬一千八百數)四人共計一十七萬四千八百為第一率以所𫉬息為第二率分各母乘月數為四宗作第三率一 一十七萬四千八百問三商同夥甲母四百兩乙三百兩八錢六分丙一千兩零七錢九分三商共折銀一百兩各認若干此皆化兩為分(甲四萬乙三萬八十六丙十萬七十九)併三人總分數為第一率以所折為第二率分各母數三宗為第三率一 一十七萬一百六十五二 一萬三 四萬(甲) 三萬八十六(乙) 十萬七十九(丙)四 (二千三百五十又 一千七百六十八 五千八百八十一十七萬一百六十 又十七萬一百六 又十七萬一百六)(五之十一萬二千 十五之八千二 十五之四萬九千二百五十 百八十 六百三十五)問三商甲出母銀二百兩經十二月乙出母銀二百四十兩不知月丙出金若干不出銀經十箇月共得子銀一百三十八兩甲分六十乙得四十八丙得三十今問乙該幾箇月丙之金值幾何此以甲銀乘甲月(共二千四百)而知子銀六十出自二千四百也以六十為第一率以二千四百為第二率以乙丙各子為第三率二三相乘各以一除之其所得數(乙一千九)兼乙丙之母與月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值銀一百二十兩一 六十二 二千四百(以上俱甲)三 四十八(乙) 三十(丙)四 一千九百二十 一千二百八月(以本銀除之得此數)一百二十兩(以月分除得此數)問三賈共販一年甲先出母銀一千兩乙母後二箇月方出丙母後四箇月方出俱不知其數幾何但所得子銀則均分要知乙丙各母之數此以所已知甲母甲月相乗為第一率乙丙準此為算而各以其月除之(乙十月丙八月)即各得其母之數一 一萬二千(甲母乗月)二 一千二百(乙母) 一千五百(丙母)右試法合三總數為三萬六千作第一率隨意立一數為子數作第二率又以總數分為三宗(各萬二千)作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同一 三萬六千二 九百 (随意立此數)三 一萬二千四 三百問三商共得子銀一百九十兩其分息則乙比甲僅三之一丙比甲僅四之一其母銀則甲出八十兩十二箇月乙不知幾何但知八箇月丙亦不知幾何但知四箇月要知三人各息若干丙丁各母若干此須再用重準測法求之先以甲母及月相乘(九百六十)為第一率以其三之一(乙三百二十)四之一(丙二百四十)兼各母與月者為第二率既得母月兼數即以乙丙各月除之知各母數然後可以察其分息之數矣另併三人所乗母數月數為第一率以總子為第二率分甲乙丙母所乗得為第三率二三相乗以一除之各得第四率為所分子銀數一 九百六十(甲母乗甲月)二 三百二十(乙得甲三之一)二百四十(丙得甲四之一)三 四十兩 (乙以八除得此)六十兩 (丙以四除得此)右已知乙丙之母銀再測如左一 一千五百二十(甲九百六十乙三百二十丙二百四十併此數)二 一百九十三 九百六十(甲) 三百二十(乙) 二百四十(丙)四 一百二十 四十 三十問三商共母一千五百二十兩得子一百九十兩照母分之甲得一百二十兩乙得四十兩則丙所得若干又甲乙丙各母若干法就總子銀内減去甲乙所得子剩三十為丙之子仍以總子為第一率以共母為第二率以各分子銀三宗為第三率二三相乗以一除之得第四率為各母一 一百九十二 一千五百二十三 一百二十(甲之子)四十(乙之子) 三十(丙之子)四 九百六十(甲之母)三百二十(乙之母)二百四十(丙之母)問三商總母一千五百二十兩總得子一千七百十兩子母共分甲分一千八十兩乙分三百六十兩丙分二百七十兩則每人各母若干其法併三人子數為第一率母為第二率以各人所分得三宗為第三率依準測法得四率為各母數就各以四率之數減其第三率之數餘者為各子數一 一千七百一十二 一千五百二十三 一千八十(甲) 三百六十(乙) 二百七十(丙)四 九百六十 三百二十 二百四十問二商共得子銀二百兩甲分五十兩乙分一百五十兩其母則乙多甲一倍又零八兩二人各出母幾何其法置甲五十乙倍之該得一百今分一百五十則知已贏母八兩故於一百數外多獲五十也依法列三率知五十之出于八則知一百五十之出於二十四矣一 五十二 八三 五十(甲) 一百五十(乙)四 八 二十四問二商共貿甲母一百二十兩乙母一百八十兩共一牙儈每子銀一百兩與牙銀十兩後得子銀一千兩各該分幾何其法于一千内除去牙銀一百兩以實在子銀九百兩為算乃併甲乙母為第一率實在子銀為第二率分甲乙母二宗為第三率一 三百二 九百三 一百二十(甲母) 一百八十(乙母)四 三百六十 五百四十問三商共得子銀一千五百二十兩其母銀則甲出一千八十兩乙出三百六十兩丙不知所出幾何只言分得子銀二百四十兩今欲知丙母幾何甲乙所得子幾何其法先就總子數内減去丙子一千二百八十為甲乙共得子數乃倂甲乙母為第一率以甲乙共子為第二率分甲乙二母數為第三率法得第四率為甲乙子數一 一千四百四十(併甲乙母)二 一千二百八十(併甲乙子)三 一千八十 (甲母) 三百六十(乙母)四 九百六十 (甲子) 三百二十(乙子)已知甲乙子母之數即可因丙子以求丙母乃併甲乙子為一率併甲乙母為二率丙子為三率一 一千二百八十(倂甲乙子)二 一千四百四十(併甲乙母)三 二百四十(丙子)四 二百七十(丙母)問三商母銀各等一年内共得子銀一千兩但甲母閲七月乙母閲六月丙母則滿一年各該分子銀若干其法積甲乙丙總月為第一率以總子為第二率列三人各月數為第三率一 二十五月(併甲乙丙)二 一千兩三 七(甲) 六(乙) 十二(丙)四 二百八十兩 二百四十兩 四百八十兩問織絹每疋用絲一斤工價即與絲四兩今有絲四十三斤一十二兩其織絲工絲各若干法當化斤為兩然後歸兩作斤併工絲絹絲共二十兩置首率總絲為七百兩置次率列工絲絹絲置第三率依法乗除一 二十兩二 七百兩三 四兩(工價) 一十六兩(織絹)四 一百四十兩(歸之乃八斤一十二兩)五百六十兩(歸之為三十五斤)問甲乙丙三人以田多寡均應一年差役甲田三百五十畝乙田二百八十畝丙田一百七十畝各役幾時此併三人田(共八百畝)置首率以一年為三百六十日置次率列三人田數置第三率一 八百畝二 三百六十日三 三百五十畝(甲) 二百八十畝(乙) 一百七十畝(丙)四 一百五十七日半 一百二十六日 七十六日半問派糧八百四十石四縣照田地多寡納之甲田三千六百三十五畝乙田二千四百六十六畝丙田三千五百七十七畝丁田四千三百二十二畝各納若干亦併總畝置首率總糧置次率列四縣各田數置第三率一 一萬四千畝二 八百四十石三 三千六(百三十五畝甲) 二千四(百六十六畝乙) 三千五(百七十七畝丙) 四千三(百二十二畝丁)四 二百一十 一百四十七 二百一十四 二百五十九八石一斗 石九斗六升 石六斗二斗 石三斗二升問五縣輸榖二萬石照依人户多少道里逺近價值上下而均輸之毎車載二十五石行一里僦值一錢甲縣二萬零五百二十户榖石價二兩乙縣一萬二千三百十二户榖石價一兩逺輸二百里丙縣七千一百八十二户榖石價一兩二錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百三十八户榖石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣五千一百三十户榖石價一兩三錢逺輸一百五十里各該若干先求各衰(惟甲縣自輸本縣無僦里以榖價二兩為法除甲户得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦價各以僦一錢乗所輸里數而以每車二十五石除之得各運價以乘各户而求各衰乙縣行道二百里乘除之得八錢倂榖價一兩八錢以除乙户得六百八十四衰丙縣行一百五十里乗除得六錢併價共一兩八錢除丙户得三百九十九衰丁縣行二百五十里乗除得一兩併價共二兩七錢除户得四百九十四衰戊縣行一百五十里乘除得六錢併價共一兩九錢除户得二百七十衰)併五衰(共二千八百七十三)為首率以總榖為次率列各衰為三率一 二千八百七十三二 二萬石三 一千二百六(甲)六百八十四(乙)三百九十九(丙)四百九十四(丁)二百七十(戊)四 (七千一百 四千七百 二千七百 三千四百 一千八百四十二石 六十一石 七十七石 三十八石 七十九石三斗五升 五斗七升 五斗八升 九斗一升 五斗六升九合九勺 三合二勺 四合四勺 四合零勺 八合三勺)僦價無 二十兩 一十五兩 二十五兩 一十五兩問有田一萬八千八十八畝三子遞分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各該若干此倍増倍減法也以一二四為衰分(季一仲二伯四)合總為第一率田數為第二率分各衰為三率一 七二 一萬八千八十八畝三 四(伯) 二(仲) 一(季)四 一萬三百三十六 五千一百六十八 二千五百八十四問有銀九十二兩四子挨次遞分各幾何併各衰(伯四仲三叔二季一共得一十)為首率銀數為二率各衰為三率一 一十二 九十二三 一(季) 二(叔) 三(仲) 四(伯)四 九兩二錢(季)一十八兩四錢(叔)二十七兩六錢(仲)三十六兩八錢(伯)問官銀一千一百零七兩令五等户減半出辦甲户一十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户數併(甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰併得七百三)為首率總銀為次率列各衰為三率推得各等共數再以各户除之得各户數一 七百三十八二 一千一百零七兩三 二百五十六(十)二百(八)一百四十二(甲)九十六(乙) 六十二(丙)四 三百八十四兩 三百兩一百八十六兩 一百四十四兩 九十三兩二十四兩 一十二兩六兩 三兩 一兩五錢問用金八十一兩造杯一套五箇毎杯重若干此挨次衰分併各衰(五四三二一共一十五)為首率總金為次率列各衰為三率一 一十五二 八十一兩三 五 四 三 二 一四 二十七兩 二十一兩(六錢)一十六兩(二錢)一十兩八錢五兩四錢問派糧一千一百三十四石令五等户挨次上納甲户二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六十各等各户各若干法亦以各等户數乗各衰併為首率糧數為次率分各衰列三率推得各等人户所納再以户數乗之得各等共數一 五百四十二 一千一百三十四石三 一(戊) 二(丁) 三(丙) 四(乙) 五(甲)四 二石一斗 四石二斗 六石三斗 八石四斗十一石五斗一百(二十六石)二百(一十四石二斗)二百(六十四石六斗) 二百(七十七石二斗)二百五十二石問𣲖糧三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六辦納甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四六衰者就身六乗四除(首位四以六乗得二十四即以四除得六後多數倣此)此先以六乗甲户四乘乙户(六乗二十六得一百五十六數四乗四十得一百六十數)併為首率總糧為次率列各衰(十六下四)為三率推得每户應納之數再以甲乙各户數乗之得各共數(若先以總衰除總糧得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同)一 三百一十六二 三百八十五石五斗二升三 六(上) 四(下)四 七石三斗二升(甲一户) 四石八斗八升(乙一户)一百九十石三斗二升 一百九十五石二斗問徴銀一千七百一十六兩以四等人作四六派出各該若干法併各衰(丁四丙六乙九甲一十三零二之一)為首率銀數為次率列各衰為三率求得各衰數(此四六衰是一倍有半加之若先以總衰除總銀得五十二兩八錢後以各衰乗之亦同)一 三十二又二之一二 一千七百一十六兩三 四(丁) 六(丙) 九(乙) 一十三又二之一(甲)四 二百一十(一兩二錢)三百一十(六兩八錢)四百七十(五兩二錢)七百一十(二兩八錢)問徴糧一千二百六十六石令五等人作四六納之各該若干法併各衰(戊四丁六丙九 乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六)為首率(其甲與乙須用竒零併子母法併之増至多等皆然)總糧數為次率列各衰為三率測得各衰數(若先以總衰除總糧得二十四石後以各衰數乗之亦同)一 五十二又八之六二 一千二百六十六石三 四(戊) 六(丁) 九(丙) 一十三(又二之一 乙)二十(又四之一 甲)四 九十六石 一百(四十四石)二百(一十六石)三百(二十四石)四百(八十六石)問派糧二百六十一石令三等户三七出辦甲户二十一乙户三十二丙户四十三各等幾何每户幾何凡求三七衰分者用三除七乘遞求若零分多者就首衰之數以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九為首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七為首衰如五位者又以二十七三因得八十一為首衰凡此皆以省零分也此問法以各等乗各衰併之(甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十)為首率以總糧為次率列各衰為三衰推得第四率是各户應出之數再以數乘之得各等共數一 二千○八十八二 二百六十一石三 四十九(甲) 二十一(乙) 九(丙)四 六石一斗二升五合二石六斗二升五合一石一斗二升五合一石二十八石(六斗二升五合) 八十四石 四十(八石三斗七升五合)問制錢三萬八千二百八十文四人作三七分之各若干法先併各衰(丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十)為首率以總銀為次率列各衰為三率推得四率一 五百八十二 三萬八千二百八十文三 二十七(丁) 六十三(丙) 一百四十七(乙) 三百四十三(甲)四 一千(七百八十二文)四千(一百五十八文)九千七百二文 二萬(二千六百三十八文)問派銀八百二十八兩二錢令五人三七納之每人應若干先倂各衰(戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一)為首率以總銀為次率列各衰為三率一 四千一百四十一二 八百二十八兩二錢三 二千四(百○一甲)一千○(二十 九 乙)四百(四十 一 丙)一百(八十 九 丁)八十一(戊)四 四百八(十兩二錢)二百○(五兩八錢)八十(八兩二錢)三十(七兩八錢)一十(六兩二錢)問官銀二千六百三十五兩令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之遞求次衰比問法先併各衰(丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十)為首率總銀為次率列各衰為三率得各銀數(此二八衰分是四倍加之若先以總衰除總銀得一十五兩五錢後以各衰乗之亦同)一 一百七十二 二千六百三十五兩三 二(丁) 八(丙) 三十二(乙) 一百二十八(甲)四 三十一兩(丁)一百二十四兩(丙)四百九十六兩(乙)一千(九百八十四兩 甲)問𣲖糧二千六百五十五石九斗令五等户二八辦納甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户該若干法置五等衰以各户數乗之併(甲三十户乗衰五百一十二得一萬五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十併共二萬二千七百)為首率總糧為次率列各衰為三率推得四率是各等每户納數再以各等户數乗之得各等共糧數(若先以併衰除總糧得一斗一升七合為最下衰然後以各衰乘之亦同)一 二萬二千七百二 二千五百六十五石三 五百一十二(甲)一百二十八(乙)三十二(丙)八(丁) 二(戊)四 (五十九石九斗一十四石九 三石七斗 九斗三 二斗三○四合 斗七升六合 四升四合 升六合 升四合)以上四六三七二八俱増衰法問官絹四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户辦納以一十分之六遞減其上等計二十五户中等三十户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等户乘併之(上等户數乗一百衰得二千五百中等户數乘六十衰得一千八百下等户數乗三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八)為首率以總絹為次率列各衰為三率推得第四率為各等一户所出數再以各户數乗之得各等數一 六千零二十八二 四百七十丈一尺八寸四分三 一百 六十 三十六四 七丈八尺(上等户)四丈六尺八寸(中等户)二丈八尺八分(下等户)一百九十五丈 一百四十丈四寸 (一百三十四丈七尺八寸四分)問官糧一百六十八石四斗八升八合令四等户辦納遞減十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二丁户四十八每等每户各幾何立各衰以各户數乘併(甲户數乘一千衰得二萬二千乙户數乘七百衰得二萬五千二百丙户數乗四百九十衰得二萬五百八十丁户數乘三百四十三得一萬六千四百六十四通共八萬四千二百四十四)為首率總糧為次率列各衰為三率推得第四率各等一户所出數再以户數乘之得各等數一 八萬四千二百四十四二 一百六十八石四斗八升四合三 一千 七百 四百九十 三百四十三四 二石(甲) 一石四斗(乙)九斗八升(丙)六斗八升六合(丁)四十四石 五十(石零 四十一石 三十二石九四斗 一斗六升 斗二升八合)右併衰係減衰法凡十之五十之九之類倣此問榖二百四十石作五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數等各幾何此遞差偏多偏寡法先併各衰為二宗較之用餘數増入各衰併甲乙二衰(甲五乙四)得九又併丙丁戊三衰(丙三丁二戊一)得六以減九餘三却于五等衰各増三數(甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十)併之為首率總米為次率推得第四率遞差八石其甲乙二人所分得數與丙丁戊三人正相當(此是以八遞加)一 三十二 二百四十石三 四(戊) 五(丁) 六(丙) 七(乙) 八(甲)四 三十二石 四十石 四十八石 五十六石 六十四石右増衰凡増衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲數與乙丙數同者七人分要甲乙丙數與戊己庚辛數同之類問四商共得子銀三百四十兩其母以四遞加(如乙五則丙九丙七則丁十一丁九則甲十三是也係衰分遞加)但知甲原母二百八十六兩餘遞減各該若干須知十三之於九與二百八十六之於某數相同按衰母遞測之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三為第一率甲母二百八十六為第二率以丁衰九為第三率依準測法得丁母數餘倣此以甲知丁 以丁知丙 以丙知乙一 十三(甲衰) 十一(丁衰) 九(丙衰)二 二百八十六(甲母)一百九十八(丁母)一百二十六(丙母)三 九(丁衰) 七(丙衰) 五(乙衰)四 一百九十八(丁之母)一百二十六(丙之母)七十(乙母)右法已知各母再欲知其應分子銀以四遞加之數則併甲乙丙丁母為第一率總子為第二率分四母為第三率一 六百八十(倂母)二 三百四十(總子)三 二百八十六(甲)七十(乙) 一百二十六(丙)一百九十八(丁)四 一百四十三 三十五 六十三 九十九問三商共銀七百六十兩分之則甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法併甲乙丙衰為第一率以銀數為第三率一 一十九(甲一十乙七丙二共此數)二 七百六十三 一十(甲) 七(乙) 二(丙)四 四百 二百八十 八十問應徴糧七十三石二斗派令三等人户照分攤出上等二十五户每户作五分辦中等四十户每户三分辦下等六十户每户一分辦各户若干各等共若干法以各分各户相乗倂之(以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十無乗共三百零五)為一率以總粮為二率以各衰(五三一)為三率推得三等户所應出分數再以各户數乗之得各等共數一 三百零五二 七十三石二斗三 五 三 一四 一石二斗 七斗二升 二斗四升三十石(上) 二十八石八斗(中)一十四石四斗(下)問硃砂每斤三兩六錢石青每斤二兩四錢今有銀一千二百兩議買硃青二色硃數比青増一倍各斤數與價若干法因硃砂加倍即倍其價(三兩六錢)為七兩二錢倂青價(二兩四錢)共九兩六錢為一率以總銀為二率以各價為三率推得斤數為四率再各以價乘之一 九兩六錢二 一千二百兩三 三兩六錢 二兩四錢四 二百五十斤價九百兩 一百二十五斤價三百兩問綾毎尺價銀九分二釐羅毎尺八分五釐絹每尺三分六釐今有銀一百二十一兩一錢七分五釐買綾一停羅二停絹三停各實數與價若干法用二乘羅價(一錢七分)三乘絹價(一錢八釐)併綾價共三錢七分為一率總銀為二率各價為三率得四率為各實數各以原價乘之一 三錢七分二 一百二十一兩一錢七分五釐三 九分二釐 八分五釐 三分六釐四 三十二丈七(尺五寸綾)六十五丈五尺(羅)九十八丈二(尺五寸絹)三十兩一錢三分 五十五兩六錢(七分五釐)三十五兩(三錢七分)問芝蔴每三斗換米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石換米豆共九百一十石各用芝蔴若干所換米豆各若干法用重準先併米五豆七共一十二為首率以芝蔴總數為二率分列米五豆七為三率求得芝蔴合換米 各數以為重準之第三率以米 共數為二率芝蔴總數為首率求得米 各數一 一十二 四百五十石二 四百五十石 五 七三 五 七 一百 (八十七石五斗)二百 (六十二石五斗)四 一百八十七(石五斗以換米)二百六十二(石五斗以換豆)二百九十(七石五斗)六百一十(二石五斗)問銀一千零八兩買絲三停綿二停綫一停共三百六十兩其價綫一兩抵綿一兩六錢抵絲二兩欲知三色併價各若干者併各衰(絲三綿二綫一共六)置第一數以總銀為第二率分各衰列第三率推得第四率是各色數乃照前價取絲(一百八十兩)以二十除之得九十衰取綿(一百二十兩)以一十六除之得七十五衰併綫六十衰共二百二十五為法除總銀得綫價以一十六除綫價得綿價以二十除綫價得絲價一 六二 三百六十兩三 三(絲) 二(綿) 一(綫)四 一百八十兩 一百二十兩 六十兩二兩二錢四分(絲價)二兩八錢(綿價) 四兩四錢八分(綫價)問氷片毎兩價二兩七錢五分沉香每兩價銀三錢五分竒南每兩價銀八錢有人以沉香一十七斤三兩又有人以竒南一十三斤十二兩各欲換氷片若干法置氷片價為首率化沉香竒南斤數為兩置次率各價為三率一 二兩七錢五分二 二百七十五兩 二百二十兩三 三錢五分 八錢四 三十五兩(沉香所換) 六十四兩(竒南所換)問養軍二萬五千二百名月糧米麥豆兼支米每四名支三石麥每九名支五石豆每七名支八石各幾何即以七九四各列第一率以軍總數為二率以八五三列三率一 七 九 四二 二萬五千二百名三 八(豆) 五(麥) 三(米)四 二萬八千八百石 一萬四千石 一萬八千八百石問刻漏一壺貯水令漏開三孔其一孔最大漏水二時而盡一孔次之三時而盡一孔最細六時而盡假如三孔俱洩則幾刻水盡其法先以三孔與時刻相較以各時為第一率以一壺為二率以最小時為第三率要見大孔二時漏盡一壺則六時漏盡三壺其餘倣此而推一 二時(大) 三時(次) 六時(小)二 一壺三 六時四 三壺 二壺 一壺又法總而計之凡六時漏盡六壺知三孔俱開則其水一時漏盡只以分數算之一 二時 三時 六時二 一壺三 一時四 二分水之一 三之一 六之一(積之共一壺即是一時盡一壺也)右三數偶滿一時其法易算若併有竒零者另法求之假如纍臺一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同纍須幾時可完此先知每人每年所為之工得若干而總算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依併法毎年共得三分之一約計三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之數問漏壺一座上有渇烏注水下有天池洩水今塞其下竅注水于壺四時而水滿開其下竅洩水壺外六時而洩盡若使上注下洩相併則此壺須幾時可滿法以四時為一率以一壺為二率以一時為三率測之而得一時之所注(四分壺之一)又以六時為一率一壺為二率一時為三率亦得一時之注(六分壺之一)乃以四之一減六之一得十二之一於是又以十二之一為第一率以一時為第二率以一壺為第三率得四率(以十二時注滿)凡用準測法者三一 四時 六時 十二分壺之一二 一壺 一壺 一時三 一時 一時 一壺四 四分壺之一 六分壺之一 十二時問塞下竅四時水滿通下竅六時水盡今上注下泄則四箇時滿幾分曰六時盡者四時泄三分之二以除全壺餘三分之一為水滿數又問如此則幾時可滿一壺曰依前法當以十二時滿又問假如塞下竅注上竅三時而滿塞上竅開下竅八時而盡若上注下洩須幾時可滿曰以三時滿者一時之率三之一以八時盡者一時之率八之一就三之一減八之一餘二十四之五為一時之率則全壺得四時零五分時之四也又問一壺既以三時而滿假如四時又五分時之三可滿幾壺曰滿一壺又十五分壺之八又問八時盡一壺若四時又五分時之四該幾何曰此五分壺之三即於前數一時滿一壺者除之便得問八時盡一壺三時得幾何曰三時泄得八分之三以除前壺餘八分之五是三時滿八分之五又問三時滿八分之五則全壺幾時滿曰四時零五分時之四同文算指通編卷二
## 5
欽定四庫全書同文算指通編卷三明 李之藻 撰合數差分法第四下問四人共分金七百八十五兩多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各實數㡬何其法先併各衰雜數(甲一十則乙七乙十四則丙三丙十二則丁九)併各子以乘各母從小數併起除丁九無併其丙衰係十二又係三則以十二併三依約法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六併七依約法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十為甲衰已得各衰併數(丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七數)為第一率以銀總數為第二率以各衰為第三率一 一百五十七數(併衰)二 七百八十五兩(總銀)三 九(丁衰) 十二(丙衰) 五十六(乙衰)八十(甲衰)四 四十五兩 六十兩 二百八十兩 四百兩問發兵百人外有領隊四人旗牌六人共破一寨得器械七萬二千四百件即以充犒旗牌比領隊得八分之五兵比旗牌得五分之三各該得若干其法衰作八五三(兵三旗牌五又合三五成八得領隊之衰)各以本數乗本衰(領隊四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百)合總數為第一率所獲數為第二率各衰所乘三宗為第三率一 三百六十二(併各衰乘數)二 七萬二千四百三 三十二(領隊) 三十(旗牌) 三百(兵)四 六千四百 六千 六萬問三人共拾得遺錢三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各該若干(此問併其分數反浮總數盖曰甲視乙則二一之視三一乙視丙則三一之視四一也)其法當先併母尋其通四分三分二分之一者為主依法二三乘得六又乘四併得二十四約之得十二以甲乙丙分之其數皆通(甲二之一則用六乙三之一則用四丙四之一則用三)乃併甲乙丙衰(甲六乙四丙三)共十三為第一率以錢數為第二率分甲乙丙衰作三宗為第三率乗除得數乙得甲三之二丙得甲二之一一 十三二 三千四十二文三 六(甲衰) 四(乙衰) 三(丙衰)四 一千四百四 九百三十六 七百二問三縣共𣲖糧一千四百七石小縣𣲖二分之一次縣𣲖五分之三大縣𣲖十一分之八各該納若干(衰法同前)其法亦以各母相乗以求通數以二乘五又乘十一得一百一十(二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小縣分得五十五次分得六十六大分得八十)則三縣之母數皆通而併之為第一率以糧數為第二率分三縣各衰為第三率一 二百一(併各衰)二 一千四百七石三 五十五(甲衰) 六十六(乙衰) 八十(丙衰)四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石問四人共分銀三百九十六兩甲得二分之一外加十兩乙得五分之三内欠二十兩丙得三分之一外加八兩丁得四分之一内欠六兩每人實數㡬何此將總數内除去加數(實在三百七十八兩)加上欠數(共得四百零四兩)乃依前法併其母數(二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十)約之得六十為通數而各以其所得子數通之(甲二之一為三十乙五之三為三十六丙二之一為二十丁四之一為一十五)併為第一率以加除所得銀數為第二率以甲乙丙丁各衰四宗為第三率依準測法得第四率再照數或加或減其所分即總合前數矣一 一百一兩(併各衰)二 四百四兩三 三十(甲) 三十六(乙) 二十(丙) 一十五(丁)四 一百二十 一百四十四 八十 六十問兄弟三人不知嵗數但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八嵗各㡬何此帶母子差分也已知兩母為伯衰用併法先併其母四六相乘得二十四為伯衰之實乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十為仲衰以六乘三得一十八為季衰列三率而仲季相去較八嵗為二率以仲季二衰之較(一十八減二十餘二)為首率(此以所已知之衰較及嵗較求各衰之嵗實故用較為首率後皆倣此)一 二二 八嵗三 二十四 二十 一十八四 九十六嵗(伯) 八十嵗(仲) 七十二嵗(季)問四人分錢不知數但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁與丙差四文每人㡬何此同上法已知三母即甲衰用併母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六為甲衰之實乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰列三率以丙丁較四為二率以丙丁二衰之較二十四為首率(不用約法覽之易曉)一 二十四二 四三 五百七十六(甲)四百八十(乙)四百三十二(丙)四百零八(丁)四 九十六 八十 七十二 六十八右二法以借衰互徵求之亦同問大小船數相等共載鹽四千三百五十引大船毎三隻載鹽五百小船毎四隻載鹽三百該船㡬隻每船載㡬引此用重準測法以四之三百及三之五百子母互乘(一得九百一得二千)併得二千九百為首率兩母相乘得十二為次率總鹽為三率求得四率是大小船數即以為第三率分置所載率(五百三百)為次率與相乘又分置兩母(三四)為首率除之得各鹽數一 二千九百 三 四二 一十二 五百 三百三 四千三百五十 一十八四 一十八(大小各船數)二千 一千三百五十問鼇燈一座大小燈毬二等大燈三琖油四兩小燈四盞油三兩其小燈多大燈二之一共用油十八斤七兩大小燈各若干此用重準測法因有二之一立大母二小母三通斤為兩(共二百九十五兩)又通兩為銖(每兩二十四銖共七千八十銖)以先求大小每琖油數取每三每四為首率二十四銖為次率分四兩三兩為三率得第四率為大小每琖油數一 三 四二 二十四銖三 四(大) 三(小)四 三十二銖 一十八銖乃以母二乘三十二得六十四銖為大總以母三乘一十八得五十四為小總併得一百一十八為首率以總油(七千八十)為次率分母二母三為三率得第四率是大小琖各數而各以油銖數乘之又以每斤三百八十四銖除之一 一百一十八二 七千八十銖三 二(大) 三(小)四 一百二十琖(三十二銖乘得三千八百四十銖是十斤)一百八十琖(一十八乘得三千二百四十銖是八斤七兩)問大船三桅六槳小船一桅八槳今望見桅五十七槳二百零四其大小船各㡬艘法併大小船每艘桅槳凡九共一十八為第一率以大小共二艘為第二率併桅槳全數得二百六十一為第三率推得大小船共二十九艘減小船之一補大船合問一 一十八二 二艘三 二百六十一四 二十九艘(内大船一十五小船一十四)問有銀一萬七千六百九十兩買騾三百匹馬七百匹其每匹價馬多于騾七兩七錢各價㡬何此匿價差分法當先除所差而後凖測之以所多七兩七錢乗七百匹得五千三百九十兩以減原銀餘一萬二千三百兩乃併騾三百馬七百共一千匹置首率以減餘銀數置次率一匹為三率推得四率為騾價加七兩七錢即馬價再以各匹數乘之合總一 一千匹二 一萬二千三百兩三 一匹四 十二兩三錢(騾價) 二十兩(馬價)又法以所差七兩七錢乘三百匹得二千三百一十兩加入總銀共得二萬兩為次率如法凖測得二十兩為馬每匹之價減較七兩七錢亦得騾價一 一千匹二 二萬兩三 一匹四 二十兩(馬價) 十二兩三錢(騾價)問以銀二萬九千二百八十兩買上田三百畝中田一百五十畝下田四百五十畝其上價比中價每畝多四兩七錢中價比下價每畝多一十三兩五錢各㡬何此亦匿價差分法當除兩差之積而後算之以一十三兩五錢乘三百得四千○五十兩以一十八兩二錢乘一百五十得二千七百三十兩併得六千七百八十兩以減原銀餘二萬二千五百兩即以置次率却併三等田數得九百畝置首率一畝為第三率推得每畝二十五兩為第四率是下田價加一十三兩五錢為中田價再加四兩七錢為上田價再以各數乘之合總一 九百二 二萬二千五百兩三 一畝四 二十五兩(下)又法增差積算之以四兩七錢乘三百得一千四百一十兩又以兩差一十八兩二錢乘四百五十得八千一百九十兩併得九千六百兩加入原總銀得三萬八千八百八十兩為次率與三率一畝相乘首率九百除之得上田每畝價四十三兩二錢減十三兩五錢即中田價再減四兩七錢即下田價問官銀一萬七百七十八兩六錢五釐糴米麥豆三色均平其每一石價米二兩三錢五分麥一兩九錢五分豆一兩四錢五分各價㡬何各石㡬何併三價共五兩七錢五分為法置第一率總銀為第二率列三色每石價為第三率推得第四率是各價數其各石數以法徑除總銀即得一 五兩七錢五分二 一萬○七百七十八兩六錢○五釐三 二兩三錢五分 一兩九錢五分 一兩四錢五分四 四千四百○五兩 三千六百五十五兩 二千七百一十八兩 一錢六分九釐(米) 三錢五分三釐(麥) 兩○八分三釐(豆)三色共一千八百七十四石五斗四升和較三率法第五凡數分合不離三率而互和難測則立較以測之立中率以較之凡兩數三數多數悉與中率相較而互置較位為第三率以較積為第一率諸如前問上酒每斗價二錢中酒每斗價一錢二分今雜併二酒每斗立價一錢五分則此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立價(一錢五分)次連列上中二價與較而列上差數于中左列中差數于上左互對次併兩差列左下而以併差為第一率以一斗為第二率以各差為第三率(一十五)上中二價上(二十)中(十二)相較差 中(三) 上(五) 差積(八)一 八二 一斗三 三(上) 五(中)四 八分斗之三 八分斗之五問甲金一兩准銀一十五兩乙金一兩准銀一十二兩今欲鎔為一處使母金一兩准銀一十四兩則甲乙金各該㡬兩亦列法如左較之併差為首率一兩為次率各差為三率(一十四)價甲(十五) 乙(十二)較 (二 一) 差積(三)一 三二 一兩三 二(甲) 一(乙)四 三分兩之二 三分兩之一問玉率方寸重七兩石率方寸重六兩今有璞方三寸重一百七十六兩内玉石各若干法以見方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石(玉該一百八十九兩石該一百六十二兩)各列右立總重數互較得數列左併差為首率開方寸為二率分差為三率(一百七十六)玉(一百八十九)石(一百六十二)(一十四 一十三) 差積(二十七)一 二十七(差)二 二十七(寸)三 一十四(玉) 一十三(石)四 一十四(乘重九十八兩)一十三(乗重七十八兩)問銀裹金方四寸共重九百零四兩每銀方寸重十二兩金方寸重十六兩各若干以四寸自乘再乘得開方六十四寸以通金銀(銀一千二十四兩金七百六十八兩)以總重互較三率如前(九百四)銀(一千二十四)金(七百六十八)(一百三 一百二十六 十) 差積(二百五十六)一 二百五十六二 六十四(寸)三 一百三十六(銀) 一百二十(金)四 三十四(乘得五百四十四兩)三十(乘得三百六十兩)問椒一斤價四錢丁香一斤價三錢桂皮一斤價六錢阿魏一斤價一兩縮砂一斤價八錢今以銀七錢買上五色共一斤則每色該得若干列法如左立七錢為主餘物以次列之較其所差而依次互列須易其位大抵有對者對互(椒砂互丁魏互)無對者另求一對(桂無對借砂作對而互又列桂較之一于砂較三之旁)而增系之凡相對互位者務取一大于立價一小于立價如砂數大對椒數之小亦以差倂為第一率一斤為第二率併各物較為三率(七錢)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(一 三 一 四 三乙) 差積(十三)一 一十三二 一斤三 一(椒) 三(丁香) 一(桂皮) 四(阿魏) 四(砂)四 十三(分斤之一)十三之三 十三之一 十三之四 十三之四又列法但取一大一小雜互更位(椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互)凡六互得差積二十八(椒丁桂俱四魏砂俱八)若俱大數俱小數者則不可互耳(椒丁桂俱小魏砂俱大)其與立數等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八為第一率分各差積為第三率 (七錢)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(一 一 三 三 三三 三 一 四 四) 差積(二十八)一 二十八 (一 一)二 一斤三 四(椒) 四(丁) 四(桂) 八(魏) 八(砂)四 二十八(分斤之四)二十八(之四)二十八(之四)二十八(之八)二十八(之八)又法隨意易位亦以大數互小數比前稍異亦得差積十三(七錢)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(三 一 一 三 四一) 差積(十三)一 十三二 一斤三 三(椒) 一(丁) 一(桂) 三(魏) 五(砂)四 十三(分斤之三)十三之一 十三之一 十三之三十三之五問鵝氄段大綠者每丈四兩天青每丈六兩大紅每丈十兩今以銀四百八十兩買氄八十丈則各色各該㡬丈其法先以總價和總丈之數而匀之(每丈得六兩)立六為中數依前互法列之(四 六 一十四十互六十又互六兩四 四 二)差積一 一十二 八十丈三 四(綠) 四(青) 二(紅)四 三十二丈 三十二丈 一十六丈問有酒四等甲酒毎瓶二錢一分乙酒每瓶二錢七分丙酒三錢丁酒四錢今有酒共三百瓶每瓶立價三錢三分則每酒若干瓶依法列之但此以三十三為主數(即三錢三分)而其餘惟四十(即四錢)為大其二十一(即二錢一分)二十七(即二錢七分)三十(即三錢)皆小數則此三小數皆與四十之大數相互云共積四十二為第一率(二錢 二錢 三錢 四三錢三分 一分 七分)(七 七 七 十二六)差積(四十二)一 四十二 (三)二 三百瓶三 七 七 七 二十一四 五十瓶 五十 五十 一百五十問銀四百兩買藥四百斤内丁香每斤該六錢胡椒每斤該七錢桂九錢蘇合一兩一錢辰砂一兩二錢阿魏一兩六錢每色各該㡬斤方合總數其法亦先折中價如四百斤需四百兩則每一兩得一斤其中價乃依互法參之(一十)丁(六)椒(七)桂(九)合(十一)砂(十二)魏(十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互)(六 二 二 四 三 四 桂砂互一 六 一 三 差積三十二)一 三十二二 四百斤三 七(丁) 八(椒) 二(桂) 四(合) 四(砂) 七(魏)四 (八十七斤又二之一)一百 二十五 五十 五十 八十(七斤又二之一)又法(一十)丁(六)椒(七)桂(九)合(十一)砂(十二)魏(十六此以丁互合又互砂又互魏以)(一 一 一 四 四 四 椒互合亦互砂二 二 二 三 三 三 互魏以桂互合六 六 六 一 一 一 亦互砂互魏以上三位徧互下)一 五十一 (三位差積五十一)二 四百斤三 九 九 九 八 八 八四 (七十斤又五十一分斤之三十)同上 同上 (六十二斤又五十一之三十八)同上 同上(右五十一分斤之三十以求兩者化一斤為一千六百分以子數三十乘之以母數五十一除之得九兩四錢一分又五十一之九也)問金鑄編鐘一口計重三百兩俱九六成色今見有九九成色及九三成色二等金約該每用若干此以九六為中價依法互之(九六)甲金(九九) 乙金 (九一)(五 三)差積(八)一 八二 三百兩三 五(甲) 三(乙)四 一百七十七兩五錢 一百一十二兩五錢問米麥五百石共價四百零五兩七錢米每石價八錢六分麥每石價七錢二分五釐其各石數價數若干先以米麥每石之價乘五百石(米得四百三十兩麥得三百六十二兩五錢)即以總價立為中率先得石數次得價數(四百三四百五 十兩)麥(三百六十二兩五錢)(兩七錢 四十三 二十四兩兩二錢 三錢)差積(六十七兩五錢)一 六十七兩五錢二 五百石三 四十三兩二錢(米) 二十四兩三錢(麥)四 三百二十石(乘石價得二百七十五兩二錢)一百八十石(乗石價得一百三十兩五錢)問銀二十八兩二錢買銅錫鐵共重三百斤其價銅一斤銀一錢五分錫一斤銀九分鐵一斤銀四分此三物各該若干此貴賤衰分三色者以總物歸總銀立九分四釐為中價總疋除總銀立五錢八分一釐二毫五絲為中價一 一十六萬二 一百六十疋三 三千六百二十五(綾羅同) 四千三百七十五(紗絹同)四 三十六疋又四之一 四十三疋又四之三(以各疋價乘之合總)又法(先以四約總疋得羅紗各四十疋以減總疋餘八十疋為綾絹共數又于總價内減羅價二十八兩紗價二十兩餘四十五兩為綾絹共價乃以疊借互徵之法推之前銅錫鐵三色亦然)借衰互徵法第六數有隠伏非衰分可得者則别借虚數以類徵之或合率增減或母子射覆如藏鬮然借彼徵此借虚徵實大抵即三率之法而觸類長之問三人共買宅一區用價二千七百兩其捐價則乙視甲加倍丙視甲乙又加倍各若干此倍增法也隨意立一數為甲衰但用小數而以乙丙衰遞加之(如甲衰一則乙衰二丙衰六也如甲衰六則乙衰十二丙衰三十六也餘倣此)并各衰為第一率(甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也餘倣此)隨取一衰為第二率(且用甲)以總價為第三率依互測法得甲數倍之得乙數二倍之得丙數一 五十四二 六(此只借甲衰用乙用丙皆同)三 二千七百四 三百(甲) 六百(乙) 一千八百(丙 乙丙皆從甲倍出)問貯絹不知㡬何但云其三之一其四之一其五之一併得四千七百疋其實數㡬何曰此尋一通數可以兼三之一及四之一及五之一者而測之如用六十以通各分(三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也)併之(共四十七)為第一率即以六十為第二率(四十七出于六十)絹總數為第三率一 四十七二 六十三 四千七百四 六千疋問廐馬不知㡬匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算實㡬匹可用前法否曰此有最後所加一數即不同前法當先減一數只以一百十一算之次立通數可兼各衰者如用十二為通數加一倍(二十四)又加二之一(六)及三之一(四)四之一(三)共得三十七為第一率即以十二為第二率就前一百十二數内減一為第三率(一百十一)凖而測之知三十七出于十二則知一百十一出于何數矣再加一合問一 三十七二 一十二三 一百一十一四 三十六 再加一乃三十七匹問牧羊不知數但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原數若干此亦除去加一數只用九十九為第三率而另借一數為通數如用一十二為次率以加一倍(二十四)加二之一(六)四之一(三)併得三十三為首率依法推之知一十二出于十三則知九十九所出也再加一合問一 三十三二 一十二三 九十九四 三十六(倍之為七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百)問價銀五千兩買駿馬一匹園宅一區園價比馬多三倍宅比園多四倍各價幾何此與首問法同隨意立一數通各衰假如立馬衰三十園宅以次增衰(園多三倍得一百二十宅又多園四倍該六百)併為第一率(七百五十)於各衰隨取一數為第二率(且用馬衰)總銀為第三率(五千兩)如凖測法得第四率(如用馬則得馬價餘依倍推之)一 七百五十兩二 三十(馬) 一百二十(園) 六百(宅)三 五千兩四 二百(馬) 八百(園) 四千(宅)問入園摘𤓰摘過三分之二又五分之一尚剰三十六𤓰此園原有㡬𤓰法先求一通數内除三之二及五之一而剰三十六數者假如借立三百内減三之二除二百亦于三百内減五之一除六十通減二數只餘四十為第一率以三百為第二率知四十出于三百則知三十六出于何數矣一 四十 (右所云三之二又五之一者倂之未滿原數故可以右法推之若云三之一又五之三則)二 三百 (浮于原數知為虚設不必算矣)三 三十六四 二百七十(原𤓰數)問二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併得五百二十二數其原數㡬何先立一通數可剖為二分之一以至四五六分皆可者如借六十為主依法分之(其二之一為三十其三之一為二十其四之一為十五其五之一為十二其六之一為一十)併各率(共八十七)為第一率以六十為第二率知八十七出于六十則五百二十二出于何數可推也以五百二十二為第三率一 八十七二 六十三 五百二十二(其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之)四 三百六十 (一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二數)問倉中有粟㡬石不言其數但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟㡬何其法先減一百石在外只就二百起算乃隨借一數可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四為通數外加二之一(一十二)又加三之一(八)四之一(六)併之(五十)為第一率所借二十四為第二率知五十出于二十四則二百出于何數可推也以二百為第三率而得第四率外加所減(一百)合問一 五十二 二十四三 二百四 九十六石(外加二之一為四十八加三之一為三十二加四之一為二十四又加一百共三百)問水碓五副大小不等共舂麥五十石甲碓每一時舂七斗乙碓每一時舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齊舂須㡬時可完完時每碓各舂得㡬何其法隨意立一時數假如借四箇時畢之以計各碓所舂(甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十)併為第一率四時為第二率知八石畢于四時則五十石可推也以五十石為第三率一 八石二 四時三 五十石四 二十五時(以各碓乗甲以七乗得一十七石五斗乙五乗得一十二石五斗丙四乗得一十石丁三乗得七石五斗戊一乗得二石五斗共五十石)問貸貲商販三次俱獲倍息每次歸還三百兩三次母子適盡原貸若干先借一為母貲以加三次倍息(初一次二其三得四)併得八為首率減母貲之一只併三次倍息(一二四)併得七為次率知七出於八則知三百原母所出矣以三百為第三率一 八二 七三 三百兩四 二百六十二兩五錢問商販四次俱獲倍息每次費銀九十六兩四次子母俱盡原母若干亦借一為母加四次倍息(一二四八)併得一十六為首率減母貲之一只併四次倍息(一二四八)併得一十五為次率知十五原於十六則知九十六原於何數也以九十六為三率一 一十六二 一十五三 九十六兩四 九十兩問有商挾貲赴集初次所獲比母銀多三之二以併入母銀再往獲五之四三次往又獲四之三實計所獲併母銀共四百兩所原挾貲若干其法先借一數以遞乗各母而例推之假如借一十為通數以乘各母(乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百)併之為第一率以所借一十為第二率知六百出于一十而四百之所從出可知也以四百為第三率(按此條法誤置子數不用只以母數逓乗與題問不合)一 六百二 一十兩三 四百四 六兩又三分兩之二(此係初販原貲三乗得二十兩又五乗得一百兩又四乗得四百兩)問攜酒郊遊三入肆中俱飲酒一斗九升每飲添酒輒倍餘酒至三次酒盡原攜若于法借一為原酒加三次倍率(一二四)併得八為首率減原酒之一只三次倍率七為次率以所飲一斗九升為三率知七出于八則知一斗九升所自出矣一 八二 七三 一斗九升四 一斗六升八之五(即六合二勺五抄)又法併三次倍率七以乗所飲(一斗九升)得一石三斗三升減半三次得原攜數同前問載米賑濟不言其數每次散米一千五百石亦每次糴增俱倍餘米之數五賑恰盡無餘原米若干法立一為原數加五次倍率(一二四八十六)併得三十二為首率減原數一只併五倍率三十一為次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原一 三十二二 三十一 (二三相乘得四萬六千五百石以減半五次亦同四率)三 一千五百石四 一千四百五十三石三十二之四(即一斗二升五合)問立一虚數以乘四得數又以乘三得數又以乘六得數外加一十共八百前所立虚數㡬何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通數假如借一十為主以遞乘得數(乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十)併之為第一率(七百二十)以所借為第二率(一十)知七百二十之出于一十而七百九十之所從出可知也以七百九十為第三率而得第四率乃以一十加之(按此條内併之二字衍末六字應刪)一 七百二十二 一十三 七百九十四 一十又三十六之三十五(以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十一又三之二又乗六得七百九十加一十合問)問老人不知其年但云加二之一又減四之一得九十九嵗實年㡬何其法借一虚數外加二之一又減四之一而例之假如借八十為算依法加減(加二之一得一百二十又減四之一得九十)得數為第一率八十為第二率知九十之出於八十而九十九之所從出可凖也以九十九為第三率一 九十二 八十三 九十九四 八十八問逺望一塔上露出二丈四尺其下有樹遮之云尚有三分之一又五分之二共該髙㡬何亦借立一數以其三之一及五之二類凖之如借立三十為主酌減餘分(三之一乃一十五之二乃一十二)以其所剩數(該剩八即所露)為第一率以三十為第二率知八之出于三十而二十四尺可測也以二十四為第三率一 八尺二 三十尺三 二十四尺四 九十尺 (此塔髙之數内減三之一乃三丈減五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺)問旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚餘十二尺紅色竿長㡬何亦借一數以通各數而觀其所剰以類徵之假如借四十五數以減各分(減三之一得十五減五之一得九減九之二得一十)其餘(四十五内減前各數剩十一)為第一率以所借為第二率(四十五)知十一之出於四十五而十二之所從出可推也一 一十一二 四十五三 一十二尺四 四十九尺又十一分尺之一(其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也)問白布三十疋青布四十疋共價六百六十兩青布毎疋比白布價多一倍各價㡬何法借一虚數為白價倍之為青價而以前疋數乘之假如借立四兩倍得八各乘青白(四乘白得一百二十八乗青得三百二十)併之(四百四十)為第一率以所借四為第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十為第三率一 四百四十二 四兩三 六百六十四 六兩 (此係白價倍之得青價十二兩各乗疋數白得一百八十兩青得四百八十兩)同文算指通編卷三
## 6
欽定四庫全書同文算指通編卷四明 李之藻 撰疊借互徵第七(附盈朒)借虚徵實其術精矣又有子母雜互隠奥難知者則兩借虚數以徵之徵之于實尚逺也或兩浮而盈或兩縮而不足或一盈一不足俱以借數列上以較原數以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差數相減餘為法以乗數相減餘為實若一盈一不足者以差數相併為實而以法除實則二法相同舊有盈朒一章大都類此而此則於未有盈朒之先借數推出盈朒以求隠數故曰借徵其顯有盈不足實數者但依舊法求之諸盈不足者兩盈者兩不足者盈適足者不足適足者及疊互母子者各具數條見例問設一虚數以其半為用内除三之一又除四之一尚餘三百其原總數幾何其法先另借一通數以分其半而通各分先借二十四為數列左上(其半為十二其三之一為四其四之一為三尚餘五)以比三百則不足二百九十五列左下另借九十六為數列右上(其半為四十八其三之一為十六其四之一為十二尚餘二十)以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得數附註其下以少減多其餘為實而以左下右下相減其餘為法除之除得一千四百四十合原總以減半為七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之數假如借四千八百為通數列左上(其半為二千四百其三之一為八百其四之一為六百餘一千)以比三百則盈七百列左下又借二千四百為通數列右上(其半為一千二百其三之一為四百其四之一為三百餘五百)以比三百盈二百列右下亦以二數相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實而以法除之以法除實亦得一千四百四十合原總數又假如借二千四百為通數列左上(即前第二式右上者尚餘五百)盈二百列左下再借九十六列右上(即前第一右上者餘二十)不足二百八十列右下此係一盈一不足者相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實以法除實仍得一千四百四十問三人共銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼甲乙之數外又多六兩每人實數㡬何(此大約當以四分分之而算)先借一十為通數列左上(甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二數又加六得四十)共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上(甲六乙倍之加四得十六丙兼二數加六得二十八)共五十以比四十四盈六列右下以相減餘為法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相減餘為實以法除之得五為所求之甲數倍之又加四得一十四為乙數兼之又加六得二十五右圖以甲之左數一十乘六及以右數六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙數以丙之四十乘六及二十八乘三十者亦得丙數以共數七十四乘六及五十乘三十者亦得共數問甲乙各不知數取乙九與甲則甲倍于乙取甲九與乙則甲乙正等原數各若干借一百為等數乙既得甲九則甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九則甲一百十八而乙八十二以視甲之半盈二十三(因甲取乙九當倍乙數故)列左下另借五十為等數乙既得甲九則甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九則甲得六十八而乙三十三以視甲之半不足二列右下盈不足相併二十五為法左上乘右下右上乘左下相併為實以法除實係甲乘者除得六十三為甲數係乙乘者除得四十五為乙數問攜酒遊山到處沽増一倍俱飲六升至第四處飲訖無餘原攜若干借五升四合列左上倍之(一斗八合)減六(四升八合)又倍之(九升六合)減六(三升六合)三次倍之(七升二合)減六(一升二合)四次倍之(二升四合)以減六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之(一斗二升四合)減六(六升四合)又倍減至四次(倍得一斗二升八合減存六升八合復倍得一斗三升六合減存七升六合又倍得一斗五升二合減存九升二合)盈九升二合列右次盈不足相併為法以左上乘右下右上乘左下併為實以法除實得五升六合二勺五抄問貸榖不知數每年加息一倍一年還榖五斗至五年本利俱完其原貸若干先借四十三石列左上倍之(八十六)減所還(餘三十六)又倍之(七十二)又減(餘二十二)仍倍之(四十四)不足六石列左下又借四十四石列右上倍之(八十八)减所還(餘三十八)又倍之(七十六)又減(餘二十六)仍倍之(五十二)盈二石列右下併盈不足為法左上乘石下右上乘左下得數併為實以法除實得原榖四十三石七斗五升或依三率置五十為實置三年之倍(一二四)併得七乘之加母(一)為法除之亦同問逐兔百隻每三人得四隻該㡬人先借七十二人列左上以四乘三除(九十六)盈四隻列下另借九十人列右上以四乘三除(一百二十)不足二十列下盈不足併為法左上乘右下右上乘左下得數併為實以法除實得七十五人此問依三率三乘四除即得借此見例云問甲乙丙共數六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙數外加六各該㡬何先借六為甲通乙丙數列左上(甲六乙十六丙二十八)共得五十比正數不足一十列左下又借八為甲通乙丙數列右上(甲八乙二十丙三十四)共六十二比正數盈二列右下相併為法次以左上乘右下以右上乘左下亦相併為實依法除得七零三之二為甲數倍之加四得十九零三之一為乙數兼甲乙加六得三十三為丙數總合六十數問試以三十數隨手剖為二以其一加六十以其一加二十而加六十者為加二十者之三之二其剖分之數各㡬何此取三十而隨意剖之且借二十為甲數列左上列乙一十于次而各如問加焉察其數(甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十)甲視乙固不足三之二(乙三十則甲之三分二者該九十今却八十)以不足一十列左下又借二十四為甲數列右上亦列乙六于其次各加如問而察其數(甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六)甲又盈乙三之二(乙二十六則甲之三分二者該七十八今却八十四)以盈六列右下盈不足積併為法次以左上乘右下以右上乘左下併為實以法除實得二十二又二之一為甲數然後求三之一則七零二之一為乙數也問甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四其實數各㡬何此因有三之二及四之三當借竒數為通數以求甲數而又因乙丙之加牽連難析則疊用前法以徵之且如借一乃奇數也以當甲列左上(左圖)加七十三(共七十四)當兼乙丙而倍之(既以七十四為兼乙丙且倍之則乙丙當僅得其半共得三十七)因以折半三十七為乙丙數而乙與丙又衰分焉(乙加七十三又得甲丙三之二因尋乙所衰于丙者)依前法隨意衰之為兩如借二為乙衰另列于左上(右圖)則丙係三十五矣列左次乃以二加七十三(得七十五)以較甲丙合數未足三之二(甲一丙三十五共三十六則其三之二乃該一百零八今乙衰二加七十三只有七十五)尚縮三十三列左下又借五當乙(三十七中之五)列右上則丙係三十二矣列右次乃以五加七十三(得七十八)以較甲丙有三之二否不足二十一(甲一丙三十二共三十三則其三之二該九十九今乙衰五加七十三只七十八)列右下兩不足相減餘為法而以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實法除實得一十零四之一為乙實乃列乙實于左圖初借立一之次既已得乙實即得丙實(乙丙共三十七也乙得一十零四之一則丙得二十六零四之三)列于又次又另借三為甲衰列右上加七十三(共七十六)以其半為乙丙衰(得三十八)而隨意分之為兩另作一法如前焉如以二為乙衰列左上其餘三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三(得七十五)與甲丙相較是三之二否不足四十二(甲三丙三十六共三)(十九其三分之二乃一百十七)(也今乙衰加之只七十五)即以不足列左下另借二十三為乙衰列右上其半十五為丙衰列右次以乙衰二十三加七十三(得九十六)與甲丙相較是三之二否又盈四十二(甲三丙十五共十八其三分之二當是五十四今乙衰之數與加數却有九十六)以盈列右下盈與不足相併為法仍以左上乘右下以右上乘左下而相併為實以法除實得一十二零二分之一為乙實乃列乙實于前所借甲三之次因得丙實(乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一則丙得二十五零二分之一)亦列于又次俱照前式乃依所問察之甲加七十三要兼乙丙數又多一倍乙加七十三要得甲丙數者三丙加七十三要得甲乙數者四如右圖左上甲衰及所加(共七十四)已兼乙丙之數與其倍數(乙丙共三十七兼而倍之則七十四也)左次乙衰所加(共八十三又四之一)亦兼甲丙數之三(甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰)俱合原問惟左又次丙衰及所加(共九十九零四之三)以合甲乙(共十一零四之一)如原問但欲得甲乙數者四只須四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加(共七十六)亦合乙丙兼數與倍數(乙丙共三十八兼倍之則七十六也)右次乙衰及所加(共八十五半)合甲丙亦具三因(甲丙共二十八半三因之得八十五半)惟右又次之丙衰及所加(共九十八零半)以合甲乙(共十五又二之一)以四因之當得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原問仍依互乘之法求之 于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相減餘為實以左下右下相減餘為法除之得七為甲衰如欲得乙衰則以乙之左右上下互乘相減以法除之得一十七為乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘減除得二十三為丙衰問設有一數以與三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原設數㡬何其法先借二為主列左上以乘三(得六)外加十(共十六)又與四相乘(六十四)加二十(共八十四)又與五相乘(四百二十)加三十(共四百五十)又與六相乘(二千七百)加四十(共二千七百四十)以此所問數(六千七百)不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三(九)外加十(共十九)又乘四(七十六)外加二十(共九十六)又乘五(四百八十)外加三十(五百一十)又乘六(三千六十)外加四十(共三千一百)以比所問數(六千七百)不足三千六百列右下兩不足相減餘為法除之得一十三係原設右法已除得十三者與三相乘(三十九)加一十(四十九)又與四相乘(一百九十六)加二十(共二百一十六)以乘五(一千八十)加三十(共一千一百一十)以乘六(六千六百六十)加四十實得六千七百合問問二人共分銀一百兩不得其均若均分則每人當五十兩然須甲還所得銀三之一乙又還所得銀五之一方得每人五十兩其不均之分各得若干先借三十兩為甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃減甲三之一(減一十存二十)亦減乙五之一(一十四)而以乙減歸甲(甲二十加乙十四共三十四)以比五十不足一十六列左下另借六十為甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃減甲三之一(減二十存四十)亦減乙五之一(八)而以乙減歸甲(甲四十加乙八共四十八)不足二列右下兩不足相減餘為法以左上乘右下以右上乘左下相減餘為實以法除實得六十四兩零七分兩之二為甲衰就一百兩内減甲衰餘三十五兩又七分兩之五為乙衰合原分不均之數問二人共分銀一百兩未得其均須甲損所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十兩其未均之數各若干先借六十為甲衰列左上亦列乙四十于左次乃減甲三之一(減二十存四十)減乙四之一(減一十存三十)和所減(甲二十乙一十共三十)而均分之(各得十五)以甲所得十五合減存四十之數(甲原存四十加十五得五十五)以比五十盈五數列左下另借二十四為甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃減甲三之一(減八存一十六)減乙四之一(減一十九)和所減(甲八乙一十九共二十七)而均分之(各得十三零二之一)以甲所得一十三半之數合減存一十六數(共二十九半)以比五十不足二十半列右下盈不足相併為法右上乘左下左上乘右下相併為實以法除實得五十二兩零十七分兩之一十六為甲衰其餘四十七兩又十七分兩之一為乙衰問以一千剖為二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百為甲衰列左上亦列乙四百于次相較差二百以比四十九則盈一百五十一列左下另借五百五十為甲衰列右上亦列乙四百五十于次相較差一百以比四十九則盈五十一列右下兩盈相減餘為法以左上乘右下右上乘左下相減餘為實以法除實得五百二十四零二分兩之一為甲衰餘為乙衰問香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏則多于乙二倍以葢加乙罏則與甲罏正等此二罏各重若干其法借三十為甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一為乙衰得六十以乙加葢(得二百一十)比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十為甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一為乙衰得八十以乙加葢(二百三十)比甲衰九十盈一百四十列右下兩盈相減餘為法左右上下互乘仍相減餘為實以法除實得三百斤為甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤為乙罏問香罏二座有一葢其葢重百兩加甲罏則其重比乙多二倍加乙罏則其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十為甲衰列左上葢數一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十為一衰(因甲加葢多乙二倍故)加葢(得一百五十)比甲衰(五十)盈五十列左下(既倍甲五十只該一百今却一百五十故盈五十)另借一百一十為甲衰列右上葢數一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一為乙衰(七十)加葢(一百七十)比甲衰(一百一十)不足五十列右下(倍甲一百一十即該二百二十今却一百七十故不足五十)盈不足相積為法左右互乘積為實以法除實得八十兩為甲罏其加葢三分之一得六問有人買鵪鶉不知其數但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是㡬何其法借一通數可以二三四分之者為主先借十二列左上而以二之一(六)三之一(四)四之一(三)併之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一(三十)三一(二十)四一(十五)併之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下兩不足相減為法左右互乘相減為實以法除實得七十二為所問之數以其二之一(三十六)三之一(二十四)四之一(一十八)再加二十二共一百隻問二商各擕毋銀未知其數但云取乙十二兩與甲則乙有甲六之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一其實數若干法從乙起算先借二十兩為乙衰列左上内減十二(餘八)以當甲六之一用六因求甲(六八四十八)内還乙所加(十二)存數三十六又捐十五與乙(甲剩二十一其乙原餘八又取甲十二共二十今又加得三十五)以甲剩數較乙加數甲是乙十之一否(甲二十一則乙當二百一十今乙只三十五)不足一百七十五列左下另借一百為乙衰列右上内減十二(得八十八)以六因求甲衰(五百二十八)亦還所加(十二)存數五百一十六内除十五與乙(甲剩五百一乙原餘八十八又取甲十二 共一百今加十五該一百一十五)以乙較甲甲是乙十之一否(甲五百一則乙當五千一十今乙只一百一十五)不足四千八百九十五列右下兩不足相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得十七兩零五十九之二為乙毋内捐十二兩與甲則實得五兩又五十九之二以六因求甲得三十兩零五十九之十二内亦減十二實得十八兩零五十九之十二再捐十五兩與乙加乙原數十七兩又五十九之二共得三十二兩零五十九之二以十之一約問二人所各攜銀不知其數但云減乙六兩與甲則甲多乙一倍減甲三兩與乙則與乙正等各實數幾何從乙多數起算先借一十五兩為乙衰列左上内減六存九以當甲之半則甲該一十八内又除所加六得十二為甲衰正數内減三與乙則甲剩者九以甲所剩九較乙衰十五及所加之三乃盈九(甲九乙十八也)列所盈于左下另借二十為乙衰列右上内減六存十四倍之為甲衰當是二十八亦減所加六實得二十二為甲衰正數若取三與乙則甲剩十九以甲之十九較乙之二十及所加之三又盈四(甲十九乙二十三)列盈數于右下兩盈相減為法左右上下互乘相減餘為實以法除實得二十四為乙衰内減六與甲餘倍之得三十六甲先借六與乙則甲之本數只三十矣就三十之内減其三兩併入乙二十四兩為二十七甲三十減三亦二十七故其數正等問漏壺一座注水其中下有三孔其甲孔流水二時而盡乙孔流水三時而盡丙孔流水六時方盡若三孔俱開則㡬時水盡且借四時為用列左上而各據其孔之大小流水之遲速測之(甲二時一壺則四時當盡二壺乙三時盡乙壺則四時當盡一壺零三之一丙六時盡一壺則四時當盡三分壺之二)得數併計之共以四時盡四壺而所問者一壺也為盈三列左下另借十時為用列右上亦以時推其多寡(甲二時一壺則十時該五壺乙三時一壺則十時該三壺零三之一丙六時一壺則十時該一壺零三之二)得數併計共以十時盡十壺比原問一壺又盈九列右下兩盈相減剩六為法上下左右互乘相減亦得六為實以法除實得一是二孔俱開則壺水一時洩盡也問漏壺一具上有渇烏注水凡十二時而滿下有竅通天池洩水凡十八時而水盡若上注水下洩水當幾時水可滿且借二十為滿候列上以推注洩之時已知下洩十八時盡一壺則二十時當盡一壺零九分壺之一而其上注二十時必能滿至二壺九之一方與此合乃且注且洩只有一壺三之二不足九分壺之四列左下另借三十時為滿候列右上而各推其時已知下洩十八時盡一壺則三十時當盡一壺零三之二而其上注三十時必須滿至二壺三之二方與此合而又不然只滿二壺半亦不足六分壺之一列右下兩不足相減餘為法乃以右上乗左下以左上乗右下減餘為實以法除之問甲匠做工三十日完加乙匠則十八日完若獨用乙匠須幾日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三則知乙匠十八日之工乃其五分之二也試借四十日為乙衰列左上以十八日完五之二推之則四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日為乙衰列右上亦以十八日五之二推之則六十日完全工外又溢九之三列右下兩盈不足相併得九之四為法次以左上乗右下右上乘左下相併得九之一百八十為實以法除實得四十五日完工右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算該二十七日完以二十七加一十八是四十五也問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩三人原攜母金若干法已知三人原共金二千一百兩(三箇七百)三分之當于甲衰七百内與丙四之一又得乙二之一于乙衰當加入丙三之一又與甲二之一于丙衰當得甲四之一又與乙三之一乃先借一百兩為甲衰列左上内除四之一(二十五)該存七十五而總有七百兩是所贏于乙者為六百二十五兩而乙衰當為一千二百五十兩矣列左次内輸去二之一則所剰當亦為六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩則亦得丙七十五兩而丙所攜母為二百二十五兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一(二十五)共得一百七十五兩以較原問不足五百二十五列左下别借二百為甲衰列右上内除四之一(五十)剰一百五十而總有七百以乙二之一足之則知乙衰二之一該五百五十兩而乙總數為一千一百兩矣列右次内輸與甲二之一當剰五百五十兩又以丙三之一足之而為七百兩則亦得丙一百五十兩而丙所攜母為四百五十兩矣又列其次内輸與乙三之一尚存三百兩加所得甲四之一(五十)僅得三百五十兩比原問不足三百五十列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘相減剩為實以法除實得四百為甲母推知乙母八百(以甲四百減四之一存三百加入乙二之一該増四百是知乙母八百)丙母九百(以乙八百減二之一存四百加入丙三之一該増三百是知丙母九百也甲母四百贏四百輸一百乙母八百輸四百贏三百丙母九百輸三百贏一百俱剰七百而三人所攜與所贏所輸皆得矣)問甲乙丙三商共販得子銀四百兩依母銀分之乙比甲多分十二兩丙比乙多分十六兩要知各分若干先借一兩為甲衰列左上推得乙該十三兩丙該二十九兩共四十三兩以視四百不足三百五十七兩以次列左下别借二兩為甲衰列右上推得乙該十四兩丙該三十兩共四十六兩以視四百不足三百五十四兩以次列右下兩不足相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得一百二十為甲衰以推乙衰一百三十二丙衰一百四十八合問問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵四萬北兵為南兵及西兵二分之一西兵為南兵北兵三分之一要知北兵與西兵各若干併南兵共若干先借三萬為北衰列左上推得南西二兵共該六萬而西兵僅該二萬列左次若為南北三之一則南北共只六萬而實七萬是盈一萬也列左下又借二萬四千為北衰列右上推得南西二兵共該四萬八千而西兵僅該八千列右次若為南北三之一則南北共只二萬四千而實六萬四千又盈四萬也列右下以盈相減剰數為法上下左右互乘得數亦相減剰為實以法除實得三萬二千為北衰推知西兵二萬四千總共九萬六千而北得南西二之一西得南北三之一問黄金百斤製罏一座既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之恐傷工本欲知和銀若干法以器貯水令滿已知水㡬斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令滿别以純金百斤入之溢水六十斤另貯滿水以銀百斤入之溢水九十斤今借銀四十斤為匠所換數列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以純金只溢六十斤推之實在罏内之金六十斤只該出水三十六斤又以純銀溢水九十斤推之所和之銀四十斤亦該出水三十六斤共該溢七十二斤今視原數(六十五斤)盈七斤列左下又借銀三十斤為匠所換數列右上存金七十斤列右次以純金溢水六十斤推之則罏金七十斤該出水四十二斤又以純銀溢水九十斤推之則和銀三十斤該出水二十七斤共該溢六十九斤今視原數(六十五斤)又盈四斤列右下兩盈相減剰為法左右上下互乘得數減剰為實以法除實得一十六斤零三分斤之二為匠人盜和銀數其實在純金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤則八十三斤及三分斤之一該出水五十斤銀百斤溢水九十斤則一十六斤及三分斤之二該出水一十五斤合之得六十五斤合問問綾七尺羅九尺兩價適等其每尺之價羅少于綾者其較三十六文此綾羅各價若干是為匿價衰分法先借七十二文為綾價列左上則羅價當三十六文列左次各以尺數乘之(綾七尺得五百○四文羅九尺得三百二十四文)羅視綾不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文為綾價列右上則羅價當六十四文列右次各以尺數乘之(綾七尺得七百文羅九尺得五百七十六文)羅視綾不足一百二十四文亦不相等也又列其下以兩不足相減餘為法乃以左上乘右下右上乘左下得數亦相減餘為綾實以法除之得綾每尺價一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得數相減餘為羅實以法除得羅每尺價一百二十六文又各以尺數乘之綾七尺共一千一百三十四文羅九尺亦一千一百三十四文正等問金九錠銀十一錠其重適等互換一錠則金輕十三兩金銀每錠重若干此因互換一錠而金輕十三兩因知金銀之輕為六兩五錢也乃先借一十三兩為金衰列右上則銀該六兩五錢列右次各以錠乘(金九錠得一百一十七兩銀一十一錠得七十一兩五錢)金視銀盈四十五兩五錢列下另借二十四兩為金衰列左上則銀該一十七兩五錢列左次各以錠乘(金九錠得二百一十六兩銀十一錠得一百九十二兩五錢)金視銀盈二十三兩五錢又列其下兩盈相減餘為法而以左上乘右下右上乘左下得數相減餘為金實左次乘右下右次乘左下得數相減餘為銀實俱以法除得金一錠重三十五兩七錢五分銀一錠重二十九兩二錢五分而各以錠乘金九錠共三百二十一兩七錢五分銀十一錠亦三百二十一兩七錢五分正等問牛羊共一百牽總價一百六十八兩每牛三頭銀十二兩羊四羫一兩五錢欲知牛羊各數各價若干此于大總内又立小總法先以三歸十二得牛一頭價四兩以四歸一兩五錢得羊一羫價三錢七分五釐而化兩及錢分皆為釐算之先借六十為牛衰列左上則羊該四十列左次而以各價乘之(牛六十頭乘四千釐得二十四萬羊四羫乗三百七十五釐得一萬五千併共得二百五十五兩)以視共價盈八十七兩列左下又借三十為牛衰列右上則羊該七十列右次而以各價乘之(牛得一十二萬釐羊得二萬六千二百五十釐併共得一百四十六兩二錢五分)以視共價不足二十一兩七錢五分列右下併盈不足為法依式互乘乃以左右上數互乘下併為牛實左右次數互乘下併為羊實以法除得牛三十六羊六十四以各價乘得總問雞兎同籠不言其數但云九十六頭三百零八足其雞兎各㡬何法以九十六頭為主先借到雞四十八隻列右上兎亦四十八隻列右次而以各足乘之(雞二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足)併二百八十八足以較三百○八足不足二十列右下又借作雞六十隻列左上則兎該三十六隻列左次而以各足乘之(雞二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四)併二百六十四足以較三百○八足不足四十四列左下兩不足相減餘二十四為法又以左上乘右下右上乘左下各得數相減餘為雞實以法除之得雞三十八隻其左次右次亦如法乘減餘為兎實以法除得兎五十八隻各以兩足四足乘之合三百○八足之數又法置九十六頭倍之得一百九十二以減總足餘一百一十六足以二歸之得五十八為兎數却以四足乘之得二百三十二又以減總足餘七十六以二歸之得三十八為雞數葢以兩物皆借作兩足起算者以上原二十二條補七條與舊法盈朒畧似然本無盈朒而借立一數以求盈朒乃以盈朒推之者與前借衰互徵之法俱極超妙雖至隠至奥之數用此推求未有不渙然氷釋者學人熟此二法於算義思過半矣其舊法盈朒章人所恒習亦附數條于後相比擬舊法未知借推之妙只立盈與不足或兩盈兩不足為母兩母相減為法以母子互乘之數求其物實以兩子或併或減之數求其人實大抵一盈一不足者相併為實兩盈兩不足者減餘為實俱如前法耳又有疊數盈朒(如㡬人分㡬許盈幾數㡬人分㡬許不足幾數之類)列作上中下三位所求人實亦取下層盈不足併減同前而取兩上相乘以為通法更乘人實然後乃以上中互乘減餘為法除之又以上中乘出之數互乘下層仍前併減以為物實以法除之與人實同問醵金買物每人出五兩盈六兩每人出三兩不足四兩人數物價各若干左列五之六右列三之四互乘併之為物實另併兩子(六四)為人實兩母相減餘二為法除人實得人數五除物實得物價一十九兩或先得人數以乘出率五内減盈六及以乘三外加不足四皆同右法若依借衰者且借立一數與五相乘内減六得若干又與三相乘外加四得若干如相同即所求之數若不同者則依盈朒推之假如借四人列左上以乘五減盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六兩數相較不足二列左下又借七人列右上以乘五減盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相較盈四列右下以併左下共六為法左右上下互乘併得三十為實以法除實得五人以乘出率五内減盈六得一十九兩若以乘三加不足亦同(此併子數為法併乘數為實以求人數與前兩母減餘為法而除人實物實及以乘出為物實而以母較除之者法稍異耳)問衆人分榖每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人榖各若干以五之三十列左六之四十列右互乘併之為榖實併兩子(三十四十)為人實兩母(五六)相減餘一為法除人實得人數七十除榖實得三百八十石或先得人數即以乘分率五外加盈三十及以人數乘分率六内減不足四十亦同(前條係出率故減盈增不足此條係入率故增盈減不足)右法若用借衰者試借三十人列左上以乘五(一百五十)加三十(共一百八十石)亦以三十乘六(一百八十)減四十(一百四十)以前數較盈四十列左下另借一百人列右上以乘五(五百)加三十(五百三十)即以一百乘六(六百)減四十(五百六十)亦以前數較不足三十列右下盈不足相併為法左右上下互乘併之為實以法除實得七十為人數乃以人數乘五(得三百五十)外加盈三十為三百八十石又以人數乘六(四百二十)内減不足四十亦三百八十石問以絹一匹作帳先摺成六幅比舊帳長六寸後摺成七幅比舊帳短四寸新絹舊帳幅各長若干此先以幅數乘盈不足數求之置六幅列左上以乘盈六寸得三尺六寸列左下置七幅列右上以乘不足四寸得二尺八寸列右下左右上下互乘併之為絹實另併盈不足(三尺六寸二尺八寸)為舊帳幅實而以七幅六幅相減餘一為法除之得絹長四丈二尺舊帳幅長六尺四寸問直田一段欲截一半另佃第云截長六步不足七步截長八步盈九步所截步及原濶步各若干列六之七及八之九互乘併之為截積之實併子數為原濶之實而以兩母相較餘二為法除之得原濶之步八得截積之步五十五問每人出銀三兩五錢盈六兩每人出銀三兩三錢盈二兩八錢人數物價各若干此以兩出率左右列及以兩盈各置出率之下互乘得數相減餘為物實以兩盈相減餘為人實又以出率相減餘二為法除物實得價五十兩除人實得一十六人問每人出銀五兩不足四兩每人出五兩四錢不足二兩人數物價各若干列兩出率及兩不足互乘得數亦相減餘為物實以兩不足相減餘為人實又以兩出率相減餘四為法除人實得五人除物實得價二十九兩問井不知深將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺次將繩摺作四股入井繩餘一尺井深繩長各若干置三股四股為母各以所盈數乘之(以三乗四尺得一十二尺以四乘一尺得四尺)左右列位互乘得數相減餘為繩實以前所乗出兩盈數相減餘為井深之實乃以二母相減餘一為法除繩實得繩長三丈六尺除井實得井深八尺問每人出銀二兩五錢盈六兩每人出二兩三錢適足人數物價各若干置出率各以盈適足系之除適足無乘只以左盈乘右出率為物實以盈數為人實仍以兩出率相減餘二為法除物實得物價六十九兩除人實得三十人或不乘盈數徑求人數而以所得之人數乘適足之出率者亦得物價同前問每人出銀七兩不足一十四兩每人出九兩適足人數物價各若干仍前列位以右九乘左不足為物實以不足為人實兩出率減餘二為法除人實得七人除物實得價六十三兩或不以乘法求物實徑求人數而以人數乘適足之出率亦得物價同前問以米換布換九匹適足換七匹多米四斗其米數布價各若干置出率及盈適足以盈數為實以兩出率減餘為法除之得每匹值米二斗乃以適足之九匹乘之得總米一十八石問每八人共出銀七兩盈四兩五錢每九人共出六兩不足三兩人數物價各若干此疊數盈朒也布位三層先立通數以乘人率法取左上右上相乘為之(七十二)乃以上中二位左右互乘得數(左六十三右四十八)相減以其餘數(一十五)為後除人實物實之法而各以乘得之數與下位左右互乘(左二百一十六右一百八十九)併之(四百零五)為物實以法除得價二十七兩仍併盈不足數為人實之率(七十五)而以前求通法(七十二)乘之得數(五百四十)為人實亦以法除得三十六人此法與前數條大畧相同但物實則以上中乘出之數乘其下位盈朒之數而人實則増二上相乘通數以與再乘其所除人實物實之法則前條直以出率減餘為之此以上中互乘得數相減餘數為之此其小異耳上 中 下問每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩人數物價各若干法以左上右上乘得數為通法(二十四)次以上中互乗(左得三十六右得四十二)相減餘(六)為除人實物實之法(六)又以互乘所得之數與下兩盈數互乘(左得二百一十六右得一百二十六)相減餘為物實(九十兩)以法除得價一十五兩以兩盈相減餘(三)為人實之率而以通法(二十四)乘之得人實(七十二)以法除得一十二人 其疊數兩不足倣此上 中 下問每三人共出銀五兩多一十兩每五人共出銀九兩適足人數物價各若干法以左上右上相乘得數為通法(一十五)次以左上乘右中(二十七)右上乘左中(二十五)相減餘(二)為除人實物實之法次以右中得數乘左下盈(得二百七十兩)為物實以法除得價一百三十五兩就以左下盈(一十)為人實率而以通法(一十五)乘之為人實(一百五十)以法除得七十五人上 中 下 其疊數不足適足倣此問銀未知數以買物用三分之二盈三兩用五分之三不足一兩銀數物價各若干法取子母互乘以通盈朒之數如子數二互乘母五得一十以通朒一兩得一十兩列左子數三互乘母三得九以通盈三兩得二十七兩列右乃以左中乘右下(二百七十)右下乘左下(九十)併之(三百六十)而以兩子相乘(六)為法除之(得六十)為銀實而以左上右上減餘(一)為法除之仍得總銀六十兩次併盈朒二數(三十七)為物實而以法除得價三十七兩上 中 下問銀未知數取六分之四買物盈二兩取四分之三買物盈三兩五錢銀數物價各若干以子數四互乘母四得一十六以通盈三兩五錢得五十六兩列左以子數三互乘母六得一十八以通盈二得三十六列右乃以左中乘右下(五百七十六)以右中乘左下(一千零八)減餘(四百三十二)亦以兩子相乘(一十二)為法除之(得三十六)為銀實以左中右中減餘(二)為法除之得總銀一十八兩别以兩盈相減餘(二十)為物價之實仍以法除得物價一十兩上 中 下問𣲖納官銀不言其數但知有甲乙二等户乙户所辦當甲户十之八先令甲等八户乙等五户納之不足五兩後令甲等六户乙等八户納之不足三兩其𣲖銀數及各户則例若干法以甲乙二衰乘户數各併之列位(甲衰一十以乗八得八十乙衰八以乘五得四十併得一百二十户列左又以甲衰十乗六得六十以乙衰八乗八得六十四併得一百二十四户列右)以兩不足數系之互乘相減餘為銀實(二百六十兩)乃以上相減餘為法(四)得官𣲖銀六十五兩别以兩不足數相減餘(二兩)為則例之實以法除之得五錢而以各衰乘之甲衰一十乘得五兩為甲等一户辦數乙衰八乘得四兩為乙等一户辦數問錢未知數以買物取二分之一盈四文取七分之三適足錢數物價各若干先取母子互乘一乘七得七列右三乘二得六列左而以六互乘盈四得二十四列右下即以為物價之實兩母減餘為法(一)除得物價二十四文又以適足之母(七)乘盈數(二十四)得數為錢實(一百六十八)而以原子一三相乘得數為法(三)除之得錢五十六文問糶麥不知數但云取三分之一糶銀八兩適足若取八分之三糶銀十兩不足二石總麥石數若干每銀一兩糶麥若干法取兩子母互乘得數各通糶銀(以母三互子三得九通八兩得七十二以母八互子一得八通十一兩得八十)另以所通得數七十二列左八十列右乃以適足銀(八)乘不足之麥(二)得數(一十六石)列右下如不足適足例而取適足所通出之銀率(七十二)以乘不足所乘出之麥率(一十六)得數(一千一百五十二)又以兩子相乘(三)為法除之以為麥實左中右中相減餘八為法除得總麥四十八石另以不足乘出(一十六)為銀實亦以法除(八)得麥二石價銀實一兩同文算指通編卷四
## 7
欽定四庫全書同文算指通編卷五明 李之藻 撰雜和較乗法第八諸物互和未易縷析必取互乗之數較餘為用以少除多得一數以推其他而纎悉見矣若條縷多者别立正負為算别同異以分加減總歸于去煩就簡故率除首列同乗減盡一數而其餘則名類相同者減之相異者加之其最繁者亦視首列所主為用如首以同名減則其下同減而異併首以異名減則其下異減而同併大要與盈朒相近而又濟盈朒之窮(舊名方程用前疊借互徵亦同頭緒多者用此為便)問鼎三彞二共重一百五十五兩又鼎四彞五共重二百六十五兩鼎彞各重若干將二項左右對列各作三段遞互徧乗之又相對較之視其餘數以少除多而互得其重如以彞乗則反得鼎重以鼎乘則反得彞重且如以右鼎徧乗左行(鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五)以左鼎徧乗右行(鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十)各得數相減兩鼎數相等減盡不用兩彞數減餘七又兩重減餘一百七十五以少除多七為法一百七十五為實除得彞重二十五兩以右中彞二乗之得五十兩以減右總餘一百零五兩亦以右鼎三除得每鼎重三十五兩鼎三(以乗左行得一十二)彞二(得八)重一百五十五兩(得六百二十)鼎四(以乗右行得一十二)彞五(得一十五)重二百六十五兩(得七百九十五)右法若以彞徧乗其以七為法亦同所得減餘之實凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五兩以右鼎三乗之得共鼎一百五兩以減右行重數餘一百兩為二彞重數若以左彞四乗之得共鼎一百四十兩以減左行重數餘一百二十五兩為五彞重數問紗三匹絹四疋共價四兩八錢又紗七疋絹二疋共價六兩八錢紗絹各價若干亦將二項左右列之各三段徧乗如以右紗徧乗左行(紗七得二十一絹二得六價六兩八錢得二十兩四錢)左紗徧乗右行(紗三同上絹四得二十八價四兩八錢得三十三兩六錢)各得數對減其兩紗減盡不用兩絹減餘二十二為法兩總減餘一十三兩二錢為實以法除實得絹每疋價六錢就以右絹四乘得共價二兩四錢以減右總價尚餘二兩四錢為右紗三疋之價得每疋價八錢紗三(與左乗得二十一)絹四(得二十八)共四兩八錢(得三十三兩六錢)紗七(與右乘得二十一)絹二(得六)共六兩八錢(得二十兩四錢)右式若以絹徧乘其法同前但減餘之實一百七十六以法除之亦得八錢為疋紗之價以右紗三乘得二兩四錢以減右總價餘二兩四錢為四絹之價若以左紗七乘得五兩六錢就減左總價餘一兩二錢為二絹之價問筆三管換硯七箇貼硯價四百八十文别以硯三箇換筆九管貼筆價一百八十文筆硯各價㡬文依前左右三行列之而以硯為正筆為負互乘得數却于正負同名者對減異名者對加求之硯正七(正二十一)筆負三(負九)價正四百八十文(正一千四百四十)硯正三(正二十一)筆負九(負六十三)價負一百八十文(負一千二百六十)右硯正七乘左(硯正二十一筆負六十三價負一千二百六十)左硯正三亦乘右(硯正同上筆負得九價正一千四百四十)得數兩硯正同名減盡兩筆負同名減餘五十四為法兩價正負異名加併得二千七百為實以法除實得五十文為一筆之價取右行筆負之三乘之得一百五十加入價正四百八十共六百三十即右硯七箇總價以七除得九十文為一硯之價若取一筆之價以左行筆負之九乘之得四百五十則當就内減總一百八十餘二百七十即左行三硯之價若移置筆負為法徧乘者得異併之實四千八百六十文以法除之(五十四)得九十文為硯價問七釧九釵共重九兩四錢釧重釵輕于中互換其一輕重適等不知各重若干此依互換者列位一係六釧一釵一係一釧八釵而中分其總重之數釧六 釵一 四兩七錢釧一 釵八(四千八) 四兩七錢(二十八兩二錢)先以右釧六徧乘左行(釵八得四十八價四兩七錢得二十八兩二錢)次以左釧一徧乘右行(釧一價四兩七錢)對減餘四十七者為法餘二十三兩五錢者為實以法除實得五錢為一釵數以減右行總重(四兩七錢)餘四兩二錢即六釧共數六除之得每釧重七錢若移用右行釧一左行釵八為法徧乘者得減餘之實三十二兩九錢以法除之(四十七)先得七錢為一釧之重問錢一萬文以賣二馬一牛則不足半馬之價以賣一馬二牛則餘半牛之價其牛馬價各若干此當以不足半馬者損為一馬零二分馬之一及一牛以餘半牛者益之為一馬及二牛零二分牛之一依法列之而以整帶零之法乘除之馬一匹二之一 牛一頭 價一萬文馬一匹(一匹二之一) 牛二頭二之一(三頭四之三)價一萬文(一萬五千)先以右馬徧乘左行(馬一匹二之一牛三頭四之三價一萬五千)次以左馬徧乘右行(馬如上牛二價一萬文)其兩馬減盡兩牛減餘二頭又四之三為法兩價減餘五千文為實以法除實得一千八百一十八文又十一之二為牛價以減右行總價(一萬文)餘八千一百八十一文又十一之九以馬一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六為馬價問甲乙二窖積粟不知各㡬何但云取乙三之一與甲及取甲二之一與乙則各滿二千石其原窖㡬何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千減餘二千為實而以兩母相倂得五為法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石為乙窖原粟餘八百石以甲母二乘得一千六百石為甲粟其必各以母乘者盖前所除得只是子數必歸母見整故也甲二之一 二千石(六千)乙三之一 二千石(四千)問治地不知畝數每工種麥三畦種菽四畦共三百零一工其菽麥數并工數各若干此為雙頭單脚互乘取三四左右列之併得七為法其下列工數麥三畦菽四畦若求菽數者右三乘總工(九百三)以法除得一百二十九為菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麥畦數若求麥數者左四乘總工(一千二百四)以法除得一百七十二為麥畦以三乘得工數如前亦以左四除得菽畦問犒夫不知數但云二人共飯三人共酒四人共肉總用飯酒肉六十五分計夫若干列三位維乘(二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八)併得二十六為法另用乘併之法(二乘三得六以乗四得二十四)得數以乘總分(六十五) 二人得一千五百六十為實 三人 六十五分以法除得六十為夫數 四人問銀二百六十四兩買牛羊共一百牽每牛三頭價二十兩每羊四羫價一兩五錢内牛羊倂價各若干以牛羊各價依子母左右列之互乘得數(牛乘羊四兩五錢羊乘牛八十兩)減餘七十五兩七錢為法另列總牽總價于下如求牛數者先以羊四乗總價(一千五十六)以羊價乘總牽(一百五十)減餘(九百零六)為實以法除得一兩二錢為牛衰以右位牛三乘得三十六頭以二十乘得共價二百四十两就總内減牛數餘為羊數牛三 二十兩羊四 一兩五錢若先求羊數者以牛三乗總價(七百九十二)以牛價乗總牽(二千)減餘(一千二百零八)為實亦以法除之得一十六為羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四兩就總内減羊亦得牛數問用匠五千名包磚板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包磚隄四方磚板堤匠各若干以母子左右對列互乘得數(九乗四得三十六七乘十一得七十七)減餘四十一為法另列總匠總隄于下九名 十一方七名 四方若求板隄數者左七乘總方(三萬四千九百六十五)四乘總匠(二萬)減餘(一萬四千九百六十五)為實以法除之得三百六十五為板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于總内除板隄餘皆磚數或求磚隄數者右九乗總方(四萬四千九百五十五)十一乘總匠(五萬五千)減餘(一萬零四十五)為實以法除之得二百四十五為磚衰以乘左七得磚匠一千七百一十五方以乘四得磚隄九百八十方于總内除磚隄餘即板數問七人醵金不知總數亦不知各數第云甲乙共二十三兩七錢戊己庚共二十六兩一錢亦不知丙丁共數此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一為四(與後章求隔母法同)仍以右衰(三)乘之得數(十二)減半(六)又減去右衰(三)餘三為右中率取左衰(二)乘總位(七人)得數(十四)内減右衰(三)餘十一為左中率而各以共金數列其下右三 三 二十六兩一錢左三 一十一 二十三兩七錢乃以左二徧乘右(中三得六下二十六兩一錢得五十二兩二錢)以右三徧乘左(中十一得三十三下二十三兩七錢得七十一兩一錢)各得數相減中餘二十七為法下餘一十八兩九錢為實以法除實得七錢為隔母之數别取甲乙共數(二十三兩七錢)併入隔母七(得二十四兩七錢)減半得一十二兩二錢為甲金數内減差數七得十一兩五錢為乙金數其餘以七遞減各得(丙十兩八錢丁十兩一錢戊九兩四錢己八兩七錢庚八兩)問竹筩一莖九節下大上細下三節共盛粟三升九合上四節共盛粟三升中二節不知數要見每節盛粟若干亦先求隔母數為逐節相較之率取上三列左下四列右以右四加一為五與右四相乘得數(二十)減半(一十)又減右四得六為右中率别以左三乘總位(九)得數(二十七)内減右中率六得二十一為左中率各以所共盛之數從之右四 六 三升左三 二十一 三升九合乃以左三徧乘右(中六得一十八下三得九分)以右四徧乘左(中二十一得八十四下三升九合得一十五分六釐)得數相減中餘六十六為法下餘六十六為隔母率别以左三共粟為實(三升九合)以法(六十六)乘之(得二百五十七分四釐)以三除之(因係三節故也)得八十五分八釐是第八節數加母率(六分六釐)得九十二分四釐是第九節數若減母數(六分六釐)得七十九分二釐是第七節數其餘遞減母率(第六節得七十二分六釐第五節得六十六分第四節得五十九分四釐第三節得五十二分八釐第二節得四十六分二釐第一節得三十九分六釐)而仍以法除之(第一節六合第二節七合第三節八合第四節九合第五節一升第六節一升一合第七節一升二合第八節一升三合第九節一升四合)其以中餘(六十六)為法下餘為實以法除實者得一合為隔母率以三除左總(三升九合)得一升三合為第八節數以一合加減之亦得第七節第九節數以次推之同前問四雀六燕七鷦共集于衡重八錢九分又三雀五燕九鷦共重八錢一分又五雀七燕八鷦共重一兩六分三禽各重若干法置左右中三行三色及總重作四段列之先以右行五雀徧乘中行(雀一十五燕二十五鷦四十五共重四兩零五)再置前圖減餘而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行餘四燕 餘廿一鷦(四十二)共餘八錢七分(一兩七錢四分)餘二燕 餘三鷦(十二) 共餘二錢一分(八錢四分)乘訖對減鷦餘三十為法共重餘九錢為實以法除實得三分為一鷦之衡就以乘左餘鷦三得九分以減左重餘一錢二分為二燕之衡即知每燕重六分也(既得一鷦之衡以乗右餘鷦二十一及減右重亦得每燕六分)乃于前左行原價八錢九分之内減去原鷦七(二錢一分)原燕六(三錢六分)各重數其餘三錢二分以雀四除之得雀重八分(或于前右行中行原數内減乘皆同)問牛一頭馬一匹驢三匹皆載物七百斤上坡皆不能上牛借馬一匹馬借驢一匹驢借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及總物為四段正牛一 借馬一 ○ 七百斤○ 正馬二(二) 借驢一(一) 七百斤借牛一 ○負一(二) 正驢三(六) 七百斤(一千四百斤)先右行正牛一徧乘左行得數又以左行借牛一徧乘右行得數(乘借馬一一如一乘物仍七百斤)對減盡因左行中○無減乃倣右馬乘出之數為立負馬一以俟另乘次以中行正馬二徧乘左行中下得數(負一得二原驢得六下物一千四百斤)復以左行負一為法徧乘中行中下得數(正馬得二借驢得一下物仍七百斤)以對減正負馬同名減盡正借驢異名相併得七為法下物同名相減餘七百斤為實以法除實得驢力一百斤取中行物實(七百)内減一驢之力餘六百即二馬之力以二除得每馬三百斤又于右行物實(七百)亦減一馬之力餘四百即一牛力右法或更置其位先求一馬之力借驢一 正馬二(左六)○ 七百(二千一百左減餘一千四百)○ 借馬一(六)正牛一(六)七百(四千二百左減餘三千五百)正驢三 ○負六(六)借牛一(一)七百(七百)先以右行借驢一徧乘左行中下得數亦即以左行正驢三徧乘右行中下得數(正馬得六下物二千一百)因左馬空○乃如右馬乘得之數亦置負六相減三畜俱減盡下物餘一千四百次以中行借馬一徧乘左行中下得數而以左行負六徧乘中行中下(借馬六正牛六下物四千二百)牛數正借異名以相併得數七為法下物中左同名相減得三千五百又以右下餘物減之得二千一百為實以法除實得三百斤為一馬之力然後取右行物實減二馬力餘一百見一驢之力又取左行物實減三驢之力餘四百見一牛之力問硃二斤黄三斤價錢二千四十文又黄五斤碌六斤價六百四十文硃三斤碌七斤價二千九百八十文三色各價若干依式左右中列之硃二 黄三(九) ○ 價二千四十文(六千一百二十)○ 黄五(四十五)碌六 價六百四十文硃三 ○負九(四十五)碌七(一十四)價二千九百八十文(五十九百六十)先以右行硃二徧乘左行得數(碌得一十四價得五千九百六十)次以左行硃三徧乘右行得數(黄得九價得六千一百二十文)於左行○位照右立負九而與右行相對三色俱減盡其價餘一百六十文又以中行黄五另列右徧乘左行(碌七十價得八百)以左行負九另列左徧乘右行(碌得五十四價得五千七百六十)黄五(四十五)碌六(五十四) 價六百四十(五千七百六十)○負九(四十五)碌餘一十四(七十)價餘一百六十(八百)以相減黄與○同數減盡碌係正負異名併得一百二十四為法兩價同名相減餘四千九百六十為實以法除實得四十文為碌一斤之價乃於前圖中行原價内減碌六斤價(二百四十)餘四百文悉黄價以黄五除之得每斤價八十文又于右行原價減黄三斤價(二百四十)餘一千八百文悉硃價以二除之得每斤九百文問鴈二雉三換穀五斗七升鴈五兎四換穀一石雉二兎二換穀五斗三升每色每箇價穀若干先以右行鴈二徧乘左行得數(鴈一十兎八穀二石)亦以左行鴈五徧乘右行(鴈一十雉十五穀二石八斗五升)以相減鴈盡係○照立負十五兎無減仍八穀餘八斗五升鴈二 雉三(左一十五)○ 穀五斗七升(左二石八斗五升)○ 雉三(左四十五)兎二(左三十)穀五斗三升(左七石九斗五升)鴈五○負十五(中四十五)兎四(右八中二十四)穀一石(右二減餘八斗五升中乘二石五斗五升)另以中行雉三徧乘左行中下(雉負四十五兎二十四穀二石五斗五升)左行雉負徧乗中行中下(雉四十五兎三十穀七石九斗五升)以相對雉減盡兎係正負異併得五十四為法價榖同名相減餘五石四斗為實以法除實得一斗為一兎價就于中行穀内減二兎價餘三斗三升悉雉價以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行穀内減三雉價餘二斗四升悉鴈價以右鴈二除之得每鴈一斗二升問賣二牛五羊買十三豕餘價銀五兩賣一牛一豕買三羊適足賣六羊八豕買五牛不足三兩各價若干此以賣為正買為負餘為正不足為負而正為主則同減異併負為主則同併異減如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得數(牛正二羊負六豕正二)其中行牛一亦徧乗右行(牛二同正減盡羊正五與中行負六異名併得負十一豕負十三與中行豕正二係異名併得正十五價正五中空無減)又右行牛二徧乗左行(牛十羊十二豕十六價六)其左行牛五亦徧乗右行(牛十正負異名減盡羊正二十五與左正十二同名併得正三十七豕負六十五異减豕正餘得負四十九價正二十五異減左負餘負一十九)依法或減或併訖牛正二(中二 左一十)羊正五(中五 左二十五)豕負十三(中十三 左六十五)正五兩(中五 左二十五)牛正一(右二)羊負三(右六)豕正一(右二) ○足牛負五(右一十)羊正六(右十二)豕正八(右一十六)負三兩(右六)乃别列減併之數仍分正負互乘之如後圖羊負十一為法以乘左行中下(羊正得四百零七豕負得五百三十九價負得二十兩九錢)亦以羊正三十七而乘右行中下(羊負同數異名減盡豕正得五百五十五與左豕負異名減餘一十六價正一十八兩五錢與左異減餘二兩四錢)以減餘豕正一十六為法價正二百四十為實以法除實得豕價一兩五錢就以右行豕正十五乘(二十二兩五錢)加正價(五兩)共二十七兩五錢俱羊價以十一除之得每羊二兩五錢復以前圖右行豕負十三乘豕價得數(一兩五錢)加入正價(五兩)共二十四兩五錢為牛羊總價内減右行五羊之價(一十二兩五錢)餘一十二兩悉牛價以牛二除之得每牛六兩羊負一十一 豕正一十五(五百五十五)價正五(一十八兩五錢)羊正三十七(四百七)豕負四十九(五百三十九)價負一十九(二十兩九錢)問買柰二梨四共錢四十文梨二桃七亦共錢四十文桃四榴七共錢三十文梨八柰一共錢二十四文各價㡬文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰為法彼此互乘以甲柰二徧乘丁(梨空桃空榴一十六錢四十八文)丁柰一徧乘甲(桃榴俱空錢仍四十文對減餘八文)因丁梨空當照甲立負四次當以乙丁柰互乘乙無柰取梨二徧與丁乘(梨負得八桃空榴三十二錢一十六文)丁亦以負梨四徧乘乙(梨八減盡桃二十八榴空錢一百六十文併得一百七十六文)因丁桃空亦照乙立負二十八次以丙桃徧乗丁(桃一百一十二榴一百二十八錢七百零四文)丁亦以桃負二十八徧乘丙(桃一百一十二減盡榴一百九十六減餘六十八錢八百四十文減餘一百三十六)相減訖取此餘榴六十八為法餘錢一百三十六文為實其甲乙與丁互乘之數但求應立負數以為乘母而減併之數皆置不用者也以法除實得二文為榴價乃就丙價三十文内減七榴之價(十四)餘錢一十六文俱桃價以四除得每桃四文又于乙價四十文内減七桃之價(二十八文)餘錢一十二文俱梨價以二除得每梨六文又于甲價四十文内減四梨之價餘一十六文俱柰價以二除得每柰八文甲柰二 梨四 ○ ○ 四十文乙○ 梨二桃七(二十八) ○ 四十文丙○ ○ 桃四 榴七(一百九十六)三十文(八百四十文)丁柰一 ○負四(八)○負二十八 榴八(一十六 一百二十八)二十四文(四十八文)問井不知深用甲繩二不及泉借乙繩一補之及泉用乙繩三則借丙一用丙繩四則借丁一用丁繩五則借戊一用戊繩六條則借甲一乃俱及泉其井深若干五等繩各長若干列五行以五繩之數為母借繩一為子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十併入子一共七百二十一為井深積列位一 甲二 乙一 ○ ○ 七百二十一二 ○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三 ○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四 ○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○(負一) ○(負一)○(負一)戊六 七百二十一乃取五行為主而以一二三四俱與相乗先以一行甲二為法徧乘五行(甲一得二戊六得十二積七百二十一得一千四百四十二)五行甲一亦乘一行對減(甲二得二減盡乙一得一因五行乙空立負一積七百二十一得本數以減五行仍餘七百二十一)次以二行乙三為法乘五行(乙負一得負三戊正十二得三十六積七百二十一得二千一百六十三)五行乙負一亦乘二行(乙三得三對減盡丙一得一因五行丙空立負一積七百二十一得本數併入五行積二十一百六十三共二千八百八十四)再以三行丙四為法乘五行(戊正三十六得一百四十四積二千八百八十四得一萬一千五百三十六)五行丙負一亦乘三行(丙四得四減盡丁一得一因五行丁空立負一積得本數與五行積一萬一千五百三十六對減餘一萬八百一十五)又以四行丁五為法乘五行(丁負一得五戊正一百四十四得七百二十積一萬八百一十五得五萬四千七十五)五行丁負一亦乘四行(丁五得五減盡戊一得一併入五行戊正七百二十共七百二十一積得本數併入五行積五萬四千七十五得五萬四千七百九十六)乃以最後所得求之以積五萬四千七百九十六為實戊七百二十一為法除之得戊繩七尺六寸以減四行總積(七百二十一)餘六百四十五以丁五除之得一百二十九為丁繩一丈二尺九寸以減三行積(七百二十一後同)餘五百九十二以丙四除之得丙繩一丈四尺八寸亦減二行積餘五百七十三以乙三除得乙繩一丈九尺一寸以減一行積餘五百三十以甲二除得甲繩二丈六尺五寸遞加法第九數始于微積于鉅漸加漸賾覽之茫如然有定數可推如人數物數有分有總但知一隅亦可例推也為立法如左右超位加各審其母如超一超二超三四之類各以所超為母其間少者易知多者難定大率以退位減之餘數即母凡超位數截取三位較之其前後二位數必倍于中位數若截四位較之則前後二位與中二位數等以上皆取位置匀列超母相同者論之雖所超多位如超五超六至千萬位但同超母者截取前後逺數相併較其進内挨身兩位相併其數皆等右凡加數以求總積之實不論累加超加及超二超三等但係遞加者只除首位單一不用外取次位與末位數併為實其中間亦不拘㡬位但察自前至後布位之數為法乘之所得之數皆倍各位實積之數以減半得總數如右式以前四後三十七併之共四十一數係一十二位以一十二乘四十一得四百九十二減半為二百四十六即其十二位之全數若以前四後十六併之共二十數係五位乘得一百減半得五十即五位全數也(如欲連首位算則再加一云)此超八遞加者右式假如方箭一束外周六十四枝問中積數㡬何者凡方物必以八包一每層超八遞加今置中心一枝不算(即首位之一)以内層之八併外周六十四共七十二以八位乘之得數(五百七十六)減半得八位之總數加中心之一為二百八十九枝凡平方面有中心之一者倣此此超六遞加者右式假如圓箭一束外周三十六枝問中積者凡圓物必以六包一每層以六遞加今置中心一枝不算外以内層之六併外周三十六共四十二以六位乘之得數(二百五十二)減半得六位之總數再加中心之一為一百二十七枝凡平圓面倣此此超九遞加者右式假如有三稜物一束外周七十二枝問積者凡三稜物必以外九包中一每層超九遞加置中心一枝不算外以内層之九併外周七十二共八十一以八位乘之得數(六百四十八)減半得八位之總數再加中一為三百二十五枝凡三稜面者倣此若順數而加自一而二而三而四以遞相加者另是一法但取最後二大數相乘得數亦以減半即得最後第二位以至首位之數惟餘最後第一位在外又併入得全數右式假如有物倚墻一面尖堆最下一行濶十五枚問總積若干取最下二行(一十五一十四)相乘得數(二百一十)減半(一百○五)又加入下行十五得一百二十枚合總一法取下行加一為法以乘下行得數減半亦同若首位不係一數而自二數或三或四為首者併首尾二位為實而以首位數減尾位數其餘數加一為法乘之減半合總假如有物倚墻一面平堆下濶十四枚上濶四枚問總積者併首尾二位得一十八為實就尾位減首位得一十外加一共一十一乘之葢原係十一位也以乘得數(一百九十八)減半得九十九枚合總又假如衆人醵錢首位出八文末位出六十文問總數總人者以首位減末位餘五十二外加一係五十三位乃併首尾二位錢數以乘五十三得三千六百四文合總若自一而三而九俱以陽數超加者但看位數以自乘得全數此皆陽位但據位數自乘如係一十位自乘得一百之類其陽數超加已知首尾兩位之數而未知中間若干位者但取尾位之數外加一以減半得位數如右式尾位十九加一得二十減半則十位也但係陽數雖至百千萬位皆同此法若自二而四而六俱以陰數超加者取最後一位之數減半即得位數再以減半數外加一而與位數相乘即得自首至尾全數四 取二十四減半見位數又減半加一為十三二 以乘位數十二得一百五十六見全數又若自二數起遞加至一百數止但取一百減半知是共五十位再加一為五十一以乘位數五十得二千五百五十即五十位之全數若多中起數超位遞加但知位數及首位數及所超母數而未知最後一位數者但審布位若干於内減一以乘超母(如超一則一為母超八則八為母之類)得數加入首位數即得尾位之數既得首尾二位乃照前首尾相併而以位乘減半得全數此超八遞加者計十位減一為九與八相乘得七十二再加首位三得七十五為末位數又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十減半三百九十合全數假如有牛四十區但云第一區是三十頭餘區遞加二十頭今問第四十區㡬頭依前法就四十減一為三十九與超母二十相乘得七百八十再加首區三十知是八百一十乃最後一區之數也再問各區總數㡬何照法以首區三十加末區共八百四十以乘區數四十得三萬三千六百減半得一萬六千八百頭為各總數若但知末區數及母數位數而不知首區數者照前以區數減一與母數相乘得數而以末區數減之即得首區之數(如前乘得七百八十而末區係八百一十相差三十即知首區係三十頭)假如發兵破一賊巢有二十人先登以登城先後敘賞其第二十人賞銀一百兩第十九人賞一百三十兩其餘遞加三十兩問第一人該銀㡬何此以二十為位減一為十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十兩為第一人所賞之數也若問此二十人共銀幾何照法併首尾二數得七百七十與位數二十相乘減半得七千七百兩見全數若但舉總數及超數及首尾共數而不知係幾位亦不知首尾二位數各若干者以總數為實以首尾數減半為法除之得位數又以位數減一乘超母得數即用此數為主若以併首尾共數減其半即尾數若以較首尾共數減其半即首數右式假如貸錢起息每日増錢六文共積子母錢三百二十文不言每日細數但云併初末日共錢一百六十文問初末日各㡬文其起息計幾日者以日為位立總錢三百二十為實併初末減半得八十除之得四日依法減一為三乘増母之六得一十八以併初末數得一百七十八減半是末數若以較初末數餘一百四十二減半是初數若但舉中積及位數及首尾之較若干以求首尾各㡬何者倍中積為實以位為法除之得數以較減之半其餘得首數乃以較加之得尾數右假如織布自冬至始厯十三日共織一千三百五十二寸因晷漸長其功日加六寸末日視首日多織七十二寸問首日末日各織㡬許者倍中積得二千七百四寸為實以積日十三為法除之得二百零八以較減之得數又減半合首數六十八以較併入亦減半合末數一百四十若但知位數總數及超母數而未知每位得若干數者取位數列之去尾數餘併之(如係九位則但用一二三四五六七八共三十六數除九不用)以乘超母得數減總乃以位數歸其餘得首位數乃以超母遞加得各位細數假如兄弟九人遞差三嵗共二百○七嵗欲知每人㡬何者照右法置母數(三)乃取位數内除去尾數九只以八位細數併之得三十六以乘母得數(一百零八)以減總數餘九十九以九除之得最幼一人嵗數(一十一)乃以三遞加之得諸人嵗數共八位以一十七為超母總數九百九十六假如鈔九百九十六錠分給八人遞差一十七錠各若干取位數除去尾八併自一至七之數共二十八以乘超母一十七得數(四百七十六)以減總餘五百二十以八除得最少一人數(六十五)仍以一十七遞加得諸人數若超位遞加但知係㡬位及各位總數而未知超母㡬位亦未知各位細數與首尾二位數第云前㡬位共若干後㡬位共若干以求各位細數者依母子互乘法求之以所知前㡬位後㡬位為母以前共若干後共若干為子互乘得數相較為實又併其母減半以較總位餘若干而以兩母相乘之數乘之得數為法以法除實得超母加入所知之數如係二位者加入折半得多者數如係三位者加入三歸得中數乃依超母遞加遞減得全數假如八人差等分錢但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文問每人㡬文者以二人乘六十六(得一百三十二)以三人乘七十七(得二百三十一)以相較餘九十九為實併分母(二三)得五減半得二零二之一以減總位(八)餘五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三為法以法除實得三為超母之數併入甲乙減半得四十為甲衰若求己庚辛則三歸之得中間之庚衰乃以超母遞加遞減得全數○外如係戊己庚辛四位者三歸之得己庚共數又加減超母之半得己庚數倍加法第十數有挨次遞加者以一數為遞母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一見二以二二見四以二四見八以二八見十六也第三式倍一加者以二三見六以二六見十二也第二式倍三加者以三三見九以三九見二十七以三箇二十七見八十一也此由少進多之法假如欲尋其母則取挨身小數減其大數知之以二減盡者倍一也以三減盡者倍二也凡挨次遞加者由少加多其多至于無窮葢凡數從多減少其減至于單數而止無復零分之可減也惟此倍加之數則進而加之無窮減而約之亦無窮剖之又剖細微毫忽按法而約求焉豈可以數盡乎此以倍一約之其數無窮餘法皆同右數假如截取三位以首尾二位相乘其所得數與中一位數之自乘者等(假如八四二共三位以二八相乘得十六以中間之四自乘亦十六)若截取四位而以首尾二位相乘其所得數與中二數相乘者亦等(假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中間之八與四乘亦得卅二)雖至許多位但以首尾二位相乘其所得數與挨身次二位俱相等步步乘入皆無不同至於最中若有單位以之自乘亦復如是此外乘與進内乘皆同中單自乘亦同凡倍加之數不論㡬位欲知總數但取首尾二位為主以首最小數減尾最大數而以其所剰大數依後法求之如係加一倍者(即二因)先取尾大數倍之内減首數得全數如一二四八(六二四一三六)此七位者取尾六十四倍得一百二十八數減首位一得一百二十七即此七位之細數(加一倍者自一起手用此法其加二加三者雖亦自一起手但各另有倍母則另如後法以倍母為首位不以一為首位云)如係加二倍者(即三因法)取尾後最多數内先減首位之數而以餘數二歸(縁三因者係加二倍故以二為倍母而用二)取其所得之數併入尾位大數即得中間㡬位細數凡四因五因以至六七等類皆同此法而四因三歸五因四歸(各減因數之一者依所倍之數為母也)餘皆同此係四因者三倍于本數以相加也用尾位數内減首位數實剰四萬九千一百四十九以倍母之三除之得一萬六千三百八十三加入四萬九千一百五十二共得六萬五千五百三十五是八位全數又有加一倍又二之一遞進者即四六衰分法也此一因半右四六衰分倍加係一因有半者若欲求其各位總數亦取尾位數(四十五又十六之九)内減首位數(除四得四十一又十六之九)如前法亦減除法一數(十一因半減其一也如前三因者用二及四因用三之類)而用半以除之(以半為倍母以除之者是一化為二)得八十三零八之一以併尾數總共得一百二十八零十六分之十一也為七位細數凡二因半三因半等類倣此其除法俱只減其一數凡倍加數不論共有㡬位但就中抽取一位自乘但看自首挨來是㡬位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之數即與此後第四位之數相同(即九位)不特此也又如取第五位與第七位相乘其五位前凡有四位則其第七位後亦管四位其五位七位乘得之數即與第十一位之數相同如後式假如後式十六係第五位前有四位後亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰與後四位之數相同又假如三十二係第六位前有五位今以三十二自乘得一千二十四即合後第五位之數一又假如八係第四位與七位之六十四相乘以八前凡有三位則六十四之後亦管到三位今以八乘六十四得五百十二數亦與第十位之數相合其相離亦三位故也又法不必算其前後之位但看所自乘數為第㡬位以本位數加一倍内減一即得同數之位假如第六位倍六得十二内減一為十一位則第六位自乘所得之數正合第十一之數與前法理同而更為捷徑又法不必減一但先排倍數于右次排位數于左相對而于位前加一(即以○見所減之一)其餘以次察之凡所得位數但係自乘者只一位以位數倍之但係互乘者有兩位以兩位數積之右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四則十六之數即第四位之數也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六數其八之本位係三位三十二之本位係五位三與五併共得八即係第八位數 以上乃首位起一者若首位非自一起(如二或三或四五之類)則自乘互乘皆先取首位之數分之(如首位四則以四分其所得)而後倍位積位如前法假如以八十自乘得六千四百因首位非從一起而從五起先以首位之五而分之得一千二百八十數仍取列位之四倍之為八則對八之數又假如以四十與六百四十相乘得二萬五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以兩位相積其一是三其一是七合對十之數凡倍一加者(即二因)就中隨意截取一位以其本數減一即合此位以前各位之細數此除本身而言然必從一數起者合此假如截取一百二十八數内減一得一百二十七數即合第六位以前之總數葢自六位之六十四以前各位細數總得此又假如右式以對八位之二百五十六數而求本位以前各位之總依前法以次位求之次位減一得五百一十一乃對八以前各位細總也若就以此八位為主外加一作五百一十二以自乘得二十六萬二千一百四十四數内再減一此何數乎按實對八之位乃係第九位此前既有九位此後亦管九位乃是第十八位以前各位細數也葢以倍位所對之本數自乘則得對位加倍之本數此用倍位法看之如不以本數乘而以積出本位以前諸位之全數乘則又推得本位以後相對若千位之全數此則不用倍位而用實位得之者實位者如本位前實有九位則本位後再管十位即其相對之位之全數也須減一數始合不減一數則進越一位矣假如借銀一忽每日加息一倍至第六十四日該息㡬何依前法推之試如一二四八此四位共十五數加一自乘得二百五十六内減一餘二百五十五即係八位之數蓋自首位一至第八位之一百二十八其細數乃二百五十五數也再以此加一(二百五十六)自乘得六萬五千五百三十六内減一餘六萬五千五百三十五即知其為第十六位之數再以此數加一得六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六内減一即知其為第三十二位之數凡四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五數又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四萬零七百三十七億又九百五十五萬一千六百一十六忽内減一即知其為第六十四值之數凡一十八兆四千四百六十七億四千四百零七萬三千七百九兩五錢五分一釐六毫一絲六忽也同文算指通編卷五
## 8
欽定四庫全書同文算指通編卷六明 李之藻 撰測量三率法第十一凡測山岳樓臺城郭之髙川谷之深土田道里之逺舊名勾股法立表或立重表參望相直乃以開方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代開方之算勾股者植立地上為股其影横地上為勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二邊各刻為度互為勾股立為直影倒影二算義同勾股而法稍捷製矩度法以堅木或銅版其制平方上畫甲乙丙丁四直角方形(務取極方詳具幾何原本)用甲乙邊立兩耳平對各通一竅名曰通光以便窺望以甲角為矩極系線任其垂下以權鎮之次自甲至丙斜界一線分矩面為兩平分乃並乙至丙及並丙至丁各依原邊線又平行二線俱勻分十二度其度各自其邊界望矩極分之近極為虚線#外用為實線或每度更分三分五分六或分至十二皆隨版體大小為分愈細則法愈密矣用時甲昻乙低以目射兩竅與所望之物參相直視其繩之所值何度何分以算推之或不設兩竅只立相等兩小表亦可凡測望必以所求物與立矩度處為直角形取平(解在㡬何)有不平者須先準平然後測量次論直倒二景直影者繩在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者繩在丁丙界内即股影也如立表墻上影射墻面者是凡有所窺測而望者前卻其步使其繩適在甲丙是為勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者須將倒直互變推求且如求髙求深所求在股即權繩宜在直度而却在倒度則當變倒為直若求逺求近所求在勾其權繩宜在倒度而却在直度則當變直為倒各以通二度之窮其互變之術皆以矩全度為準(少者用十二多者用一百四十四)假如繩在倒影三度今欲變為直影度者法以矩度為實三度為法除之得四十八為直影度假如繩在倒影五度三分度之二欲變直度者因有三之二每度以三通之得一十七為法亦以三通其矩度得四百三十四為實以法除之得二十五度餘十七分度之七為直度也其繩在直度而欲變為倒度者亦如之(詳見徐太史測量法義)量影測髙已知影長若干欲測其髙者如測日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之兩竅權線與矩度相切任其垂下審值何度何分若在十二度之中正對角線丙際則影與物必正相等知影㡬何長即得物㡬何髙矣若權線在直影邊則影小于物而直影上所值度分為第一率以矩度十二為第二率以物影度為第三率二三相乘一除之得第四率為其物髙假如欲測己庚之髙線在直影乙戊得八度正其庚辛影長三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十為實以乙戊八度為法除之得四十五即己庚髙四十五步若權線在倒影邊則影大於物以矩度為第一率以倒影上所值度分為二率以物影度為三率算之得物之髙假如欲測己庚之髙線在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十為實以矩度六十分為法除之得己庚之髙三十六步(因權值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一從之為三十六分其表)(度十二亦通作六十分)從髙測影若已知物髙若干欲測其影者以矩度承曰審值度分若權線在丙則影與物等若權線在直影邊即物大于影以矩度十二為第一率直影度分為第二率物髙度為第三率算之得數為影度若權線在倒影邊即物小于影以倒影度分為第一率矩度為第二率物髙度為第三率算之得數為影度以目測髙已知庚辛之逺欲測己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙㡬何乃以矩度向所測物頂甲耳在前目切乙後目與矩耳及髙相參直細審權線值何度分假如權線在直影乙戊以乙戊度為第一率矩度為第二率次量庚距辛之逺㡬何為第三率二三相乘以一除之得物之髙假如權線在倒影丁戊即以矩度為第一率丁戊倒影為第二率庚辛為第三率照前算之若權線不在丙而有平地可前可却即任意前却至權線值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚若人目在辛求己庚之髙而為山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者則用兩直影之較起算其法依前以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影即以所值度分依法變作直影次從所立之辛依地平取直線或前或却任意逺近至癸仍以矩竅向物頂審權線在直影否如在倒影亦以所值度分變作直影乃以兩直影度分相減之較為首率以矩度為二率辛癸大小兩矩之較為三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之數得己庚之髙假如欲測己庚之髙如前圖先從辛立望得直影小乙戊為五度次却立于癸得直影大乙戊為十度丙影之較五度為首率矩度為次率次量足距之較從癸至辛十步為三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸試作一步即知己庚之髙二十五步 如後圖先于辛得直影小乙戊為十一度次退立于癸得倒影九度當如前變法作大乙戊直影十六度得景較五度以為首率矩度為次率次量距之較癸辛二十步為三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步地平測逺欲于已測己庚之逺先除自目至足之髙為甲己若量極逺則立樓臺或山岳之上以目下至地平為甲己(測髙法見前)次以矩極甲角切于目以乙向逺際之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相參直細審權線值何度分如權線在丙則髙與逺等若權在乙丙直影邊即逺數不及髙數以矩度十二為首率直景乙丙為二率甲己為第三率算之得己庚逺若權在丁丙倒影邊即逺過于髙以倒影丁丙為首率以矩度十二為次率甲己為三率算之此所置一率二率視前測髙之法互換云測深凡從井上測深者井口或徑為己庚井面為辛壬欲測己壬之深用矩極甲角切目以乙從己向對面水際之辛如前法稍移就之令目與竅與辛相參直垂下權線假如線在直影乙戊三度為首率矩度為次率次量己庚井口十二尺為三率算得四十八尺為己壬之深若權線在倒影三度則依法變為直影得四十八度而以矩度十二為首率變得直影度為次率井口乘之歸除數同以上用矩度者如無矩度另有用鏡用表用尺諸法(具後)平鏡測髙(用盂水亦同)欲知甲乙之髙置平鏡于丙人立于丁其丙丁取平人目在戊向物頂之甲稍移就之令目見甲在鏡中心而甲影從鏡心射目乃量自丁至丙之度為首率丁戊為次率乙丙為三率算之得甲乙髙以表測髙(凡立表必三面垂線以取端直)已知乙戊之逺而欲測甲乙之髙立表于丙為丁丙退立于戊置乙丙戊為極平線人目在己視表末丁至物頂甲相參直次量目至足數移置表上為辛以截取丁辛之數其辛己線與乙丙戊為平行若其表僅與身等或小于身另立一小表為己戊而以目切之為己亦可乃以丙戊為首率丁辛為次率乙戊為三率算之得甲庚之髙加目至足之數己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至則用兩表之較為算如前圖立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛數乃或前或却又立一表(或即用前表或兩表等)為癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅數此癸寅與丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相減截己辛于卯得卯辛較為首率以表目相減之較癸寅或丁辛為二率以兩目相距之較己丑或戊子為三率算之得甲庚加自目至足之數得甲乙之髙(前圖為進步立重表者後圖為退步立重表者)以表測地平逺欲于甲測甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窺望次却立于戊目在丁視表末丙與逺際乙相參直次移丙度于己截取丁己之度為首率以丙己或甲戊為次率丙甲表度為三率算之得甲乙之逺以矩尺測逺欲于甲測地平逺者先立一表為甲丁與地平為直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺際之乙稍移就之使丁戊與乙相參直次迴身從丁丙尺上亦望地平之己使丁丙與己相參直乃量己至表下甲為首率表身丁甲為次率又為第三率依法算之得甲乙逺以重矩兼測無廣之深無深之廣有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之廣欲測乙丙之深則用重矩法先于甲岸上依垂下直線立戊甲己勾股矩尺其甲己勾長六尺人從股尺上視勾末己與谷底丙相參直以目截取戊甲股上之庚庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂下直線取壬壬去甲一丈五尺于壬上亦依垂直線更立一辛壬癸勾股矩尺壬癸勾亦長六尺從股尺上視勾末癸與谷底丙相參直而以目截取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如欲求深者以前股所得庚甲五尺與兩勾間壬甲十五尺相乘得七十五尺為實以兩股所得庚甲辛壬相減之較辛子三尺為法除之即得乙丙深二十五尺如欲求廣者以勾六尺與兩勾間十五尺相乘得九十尺為實以辛子三尺為法除之即得甲乙之廣三十尺(測深法與重表測逺同測逺法與重表測髙同)移測地平逺及水廣凡測江河谿壑之廣逺身不能至而其傍近有平地與彼相當者立表於乙際為甲乙與地平為直角次用一小尺或竹木等為丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相參直次以表帶尺旋轉向平地以目視丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之數 如不用表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便以四表測逺(前測逺諸法不依極髙不得極逺此法能于平地測極逺)逺望一山或城或臺為甲欲測其逺擇平曠處立表(前云依地平線必依直線取平此不必拘)為乙次任却後若干步更立一表為丁望兩表與甲一直線次從乙丁各横行若干步取平方為四角形其二角為丙為己就丙上更立一表又從丁己直行若干尺望丙與甲一直線此際立表為戊乃以乙丙減丁戊之較為首率乙丁為次率乙丙為三率算之得乙逺假如丁戊三十六乙丙三十相減餘六乙丁四十以六為首率四十為次率三十為三率算之得二百四十為甲乙逺測髙深逺近不諧布算而得其度凡測量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立處距所測物之底若不能至者則其影較度或兩測較度也其三表度或距較度也設如測一髙其影較八而距較十步其影較八(一率)與表十二(二率)之比例若距較十步(三率)與其所求之髙(四率)如不諳算法則于平面畫作甲乙甲丙兩直線任和交于甲從甲向乙用規作八平分為影較甲丁次用元度從丁向乙規取十二平分為矩度丁乙次從甲向丙規取十平分為矩較甲戊(此用度與前兩率度任等不等)乃從戊至丁畫一直線次從乙亦畫一直線與戊丁平行而截甲丙線于丙次取甲戊元規度從丙向戊畫得若干分即所求之髙又法若景較七度有半距較八度三分度之一即物髙度十三步三分步之二如後圖加目至足髙即得全髙附勾股畧測量之法専用半矩則勾股所必藉也故補入勾股以顯測望原本舊法勾三股四弦五葢勾自乘股自乘併之即弦自乘數故得勾股可以求弦得勾弦可以求股得股弦可以求勾而引伸其義可以求勾股中容方容圓可以各較求勾求股求弦可以各和求勾求股求弦其變無窮今撮其要者十五則著於篇句股求弦甲乙股四乙丙勾三求弦以股自乘得十六勾自乘得九併得二十五為實開方得甲丙弦五(開方法見後編)勾弦求股如前圖乙丙勾三自乘得九甲丙弦五自乘得二十五相減得較十六開方得甲乙股四股弦求勾如前圖甲乙股四自乘得十六甲丙弦五自乘得二十五相減得較九開方得乙丙勾三勾股求容方甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形為實并勾股得甲戊長線六十三為法除之得庚戊長方其辛乙乙癸各邊俱一十五零六十三之二十七約之為七之三為勾股内所容方形餘勾餘股求容方求勾求股甲丁餘股七百五十戊丙餘勾三十求丁乙戊己容方邊以丙戊勾甲丁股相乘為辛壬己庚方形得二萬二千五百為實開方得容方乙丁丁己各邊俱一百五十加餘股得股九百加餘勾得勾一百八十(辛壬己庚形與丁乙己戊方形等説見㡬何原本六卷其羃相同故開方即容方)容方與餘勾求餘股與餘股求餘勾容方丁乙己丁各邊俱一百五十戊丙餘勾三十求甲丁餘股以容方邊自乘為實以餘勾為法除之得甲丁餘股七百五十以容方與餘股求餘勾法同(辛己方之羃既等丁戊方之羃矣開方即容方矣加餘股非全股乎加餘勾非全勾乎)勾股求容圜甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九萬二千為甲乙丙丁方形倍之得三十八萬四千為丙丁戊己方形以為實别以勾股求弦得甲丙邊六百八十併勾股弦得甲辛長線一千六百為法除實得辛壬癸甲長方形其辛壬邊相等之乙子二百四十即容圜徑半徑為圜心(於甲乙線引長之截乙庚與勾等庚辛與弦等得甲辛為弦和和為法除實即成辛壬癸甲長方形與丙丁戊己方形之羃等而壬癸邊截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各邊名弦和較皆容圜徑亦皆切圜線也詳著徐太史勾股義)又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十與甲丙弦六百八十相減亦得乙子二百四十勾股較求股求勾甲丙弦四十五甲乙股甲丙勾之較為甲丁九求股求勾以弦自乘得二千○二十五為甲戊方形倍之得四千○五十為己丙方形較自乘得八十一為甲庚小方形以減己丙之兩弦羃存三千九百六十九為實開方得勾股和六十三即丑辰大方形四邊之一也以之加較九得七十二半之得三十六為甲乙股即以減較得二十七為乙丙勾(丑辰方形内之丑寅方及卯辰方兩股羃也丙壬方癸子方兩勾羃也以比甲己方形只中心多一箇較羃耳故減此開方即得勾股和矣再加較得兩股故折半得股以減較得勾)勾弦較求勾求弦(附弦較和求勾求弦弦和較求勾求弦)甲乙股三十六乙丙勾甲丙弦之較為甲丁十八求勾求弦以股自乘得一千二百九十六為甲戊方形較自乘得三百二十四為庚丁小方形兩方形相減(於甲戊方内去其等庚丁 方之辛癸 方即得甲壬戊之磬折形)存九百七十二為實倍較乙寅為法除之得乙子長方形其丙乙之邊二十七為勾以加較得四十五為甲丙弦(乙子方何以等于甲壬戊形之實也葢加一同較羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即與股羃甲戊方形等也又甲辰方形弦羃也内兼勾股二羃試照庚丁較羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌較也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相併勾羃也庚丁形丁午形相併股羃也各加較羃則甲戊午之磬折形與子卯癸之磬折形 等亦與甲戊股羃等内各減較羃則乙子方形即甲壬戌磬折形矣)又法股自乘得甲己方形一千二百九十六為實以勾弦較甲丁十八(即同乙癸)為法除之得甲壬之勾弦和七十二加較得九十半之得弦四十五減較得勾二十七(甲壬何以知為勾弦和葢弦羃甲丑形内既兼)(勾股羃矣試以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分為三方形其丙丁寅辰形勾羃也則甲卯卯辰兩形併即股羃也亦即甲辛長方形也子卯也卯寅也甲庚也皆較也甲子弦也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬線為勾弦和)若以股與弦較和求勾求弦者股自乘為實次以股減弦較和餘即勾弦較除實得勾弦和乃以加減同前若以股與弦和較求勾求弦者股自乘為實以股減弦和較餘即勾弦較除實加減同前股弦較求股求弦(附弦和較求股求弦弦較較求股求弦)乙丙勾二十七甲乙股甲丙弦之較為丙丁九求股求弦以勾自乘得乙己方形七百二十九較自乘得丙丑方形八十一(丙庚同)相減存乙庚己磬折形得六百四十八為實乃倍丙丁較為辛乙線以為法除實得辛壬方形其乙辛邊三十六即甲乙股數以加較得甲丙弦四十五(弦羃甲癸方形内兼勾股二羃試依丙丑較羃線分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子為股羃而餘為勾羃之實也甲丑與丑癸併固與乙庚己磬折之形等亦與辛壬長方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之兩較甲丁及寅癸均為兩股合并成乙壬之股)又法勾自乘得丙戊方形七百二十九為實以丙丁較九為法除之得丙己方形其丙庚邊八十一為股弦和加較得九十半之得弦四十五減較得股三十六(丙庚線何以為股弦和也甲丙弦羃内兼有勾股二羃試依丙丁較截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸)(方形為股羃而餘為勾羃亦即丙己長方形之實也夫甲癸也壬辛也庚己也均較也而甲丁之股丙辛之弦併之非丙庚乎故云股弦和)若勾與弦和較求股求弦者勾自乘為實次以勾減弦和較餘即股弦較除實得股弦和乃以加減同前又勾與弦較較求股求弦者勾自乘為實以勾減弦較較餘即股弦較除實加減同前勾股和求股求勾甲丙弦四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以弦自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁線自乘得甲己方形三千九百六十九相減得八十一開方得勾股較甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六減較得乙丙勾二十七(勾股和自乘為甲己方形此形内函甲辛及癸己之兩股羃乙寅及庚壬之兩勾羃而中間重借一癸辛小方形正其較羃若以弦自乘只得一勾一股羃倍之當得兩勾兩股羃今以減甲)(己方形少一較羃之癸辛形故以癸辛開方得較也)勾弦和求勾求弦(附弦和和求勾求弦弦較較求勾求弦)甲乙股三十六乙丙甲丙勾弦和七十二求勾求弦以股自乘得一千二百九十六又以勾弦和作乙己線自乘得五千一百八十四為乙戊方形次用股羃減之(就乙戊大方内減去庚壬長方)餘三千八百八十八(即丁辛及丙己兩長方形)半之得一千九百四十四為實以勾弦和乙己為法除之得乙丙勾二十七以減和得甲丙弦四十五(何以知庚壬長方為股羃也試于乙戊方之乙己線以勾度截之取子寅二㸃作子)(癸線寅丑線又照取丙庚二㸃作丙壬庚辛二線則一形内四隅有勾羃四中央有較羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰為勾較相乗之羃亦四也夫一勾一較相併為弦則卯己之方形為弦冪而弦冪之内存一午己之勾冪而此外子午辛之磬折形即為所減之股羃兹以庚未形代子午形則庚壬固所減之股羃矣此丁辛丙己兩形所以為減餘形也半之即丙已形次以乙己線除之)又法股自乗得一千二百九十六以勾弦和七十二為法除之得十八為勾弦較加勾弦和得九十半之得四十五為弦減較得二十七為勾(此與前勾弦較求勾求弦又法同理)若以股與弦和和求勾求弦者既得股自乗之數乃以股減弦和和餘即勾弦和除之得勾弦較加減如前因多一股故用一減又股與弦較較求勾求弦者股自乘為實以股併弦較較即得勾弦和除實加減同前股弦和求股求弦(附弦和和求股求弦弦較和求股求弦)乙丙勾二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以勾自乗得七百二十九股弦和自乘為乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相減去戊己長方形存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六為實以和為法除之得甲乙股三十六以減和得甲丙弦四十五(大方形内之戊乙句羃也餘論同前)又法勾自乘得七百二十九以股弦和八十一為法除之得九為股弦較加股弦和得九十半之得四十五為弦減較得三十六為股(此與勾弦較求勾求弦又法同理)若以勾與弦和和求股求弦者勾自乘為實以勾減弦和和仍得股弦和除之餘如前亦因多一勾故用一減若以勾與弦較和求股求弦者勾自乗為實勾和相併即股弦和除之股弦較勾弦較求勾求股求弦甲乙股甲丙弦較二乙丙勾甲丙弦較九求勾求股求弦以二較相乘得十八倍之得三十六為實平方開之得六為弦和較加勾弦較九得甲乙股十五加股弦較二得乙丙勾八以勾弦較加勾或股弦較加股得十七為甲丙弦(此最要者在求弦與勾股和之較法以二九互乘是乘兩次也故倍之戊癸及子丑長方形是也倍之而開方得六即弦和較矣然所以三十六開方為弦和較者何也葢一弦之羃常兼有勾股兩羃今試于甲乙股線引之加甲辰之弦亦于丙乙勾線引之加乙午之弦于甲丙弦引之加丙艮之股艮申之勾此三線者各以自乘為三大羃則弦兼勾股之羃比諸股弦與勾相併之羃共欠四十九數而此四十九為合減之數就于多羃中心減之所餘三十六即開方之弦和較何者試取三大羃而各以元設之勾股弦分之為諸小羃相當相抵其甲酉羃内多勾股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多弦羃一以此兩多之形又相當抵所差者有四十九數而原設股弦較二勾弦較九相減餘七自乗之數亦相符焉至于中心減之而餘三十六葢又有説試以股弦較二自乘得四為己庚方形以勾弦較九自乘得八十一為辛壬方形併得八十五而以四十九減之減去乾兑形其餘形之乾離離壬及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之數也用此開方得六以作寅卯方形令于甲酉方減此寅卯而丙戊方亦減辛壬而乙亥方亦減己庚則其弦兼勾股之羃不等于股弦勾弦之二羃乎葢甲酉四隅四弦羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所謂弦羃兼勾股羃者既相當抵而甲寅辛坎兩形併亦與寅㢲方形相當中心除出乾兑之四十九而乾離離壬及己庚又與寅卯相當故以寅卯開方求之而弦和較得焉夫丙巽即寅卯邊也在甲丙巽申兩弦之間者也丙距申為勾股和則丙截巽為弦和較明矣已得弦和較即以元設兩較相加而勾股弦皆可得矣加九者巽距艮也艮申為勾而艮丙為股也加二者丙距坤也坤甲為股而巽坤為勾也)(以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆弦也)勾弦和股弦和求勾求股求弦甲丙乙丙勾弦和七十二甲乙甲丙股弦和八十一求勾求股求弦以兩和相乘得五千八百三十二為乙己長方形倍之得一萬一千六百六十四為丁戊大方形以為實平方開之得己庚形其邊一百○八為弦和和求乙丙勾者以股弦和減之得勾二十七求甲乙股者以勾弦和減之得股三十六欲求弦者以勾股和減之得弦四十五(己庚形與丁戊形等其開方邊為弦和和者葢丁戊全形内有弦羃二股弦矩形及勾弦矩形各二與己庚方形内諸形比各等其丁戊形内餘一弦羃己庚形内亦餘一句羃一股羃又相等故己庚形之各邊皆弦和和)論曰勾股弦三合成形錯綜立義勾股相減其差曰較勾股相併其名曰和股弦之差曰股弦較勾弦之差曰勾弦較併勾股與弦較其差曰弦和較勾股之差與弦相減其差曰弦較較股弦相併曰股弦和勾弦相併曰#勾弦和勾股之差併弦曰弦較和勾股弦併曰弦和和勾股各自乘併之為弦實故開之得弦勾弦各自乘減餘為股實故開之得股股弦各自乘減餘為勾實故開之得勾勾股和自乘倍弦實相減開其餘即勾股較也勾股較自乘以減倍弦實開其餘即勾股和也併勾弦以除股實得勾弦較若以勾弦較除股實即得勾弦和矣併股弦以除勾實得股弦較若以股弦較除勾實即得股弦和矣勾股和自乗減弦實除以弦較較得弦較和矣除以弦較和非即弦較較乎勾股較自乘減弦實除以弦和和則得弦和較矣除以弦和較非即弦和和乎勾乘股為實併勾股為法除得容方徑勾乘股倍之勾股求弦併之除得容圜徑容圜之徑即弦和較也又錯綜論之勾為主以加股弦較即弦較較以減股弦較即弦和較若加弦較和又即股弦和也股為主以加勾弦較即弦較和以減勾弦較即弦和較若加弦較較又即勾弦和也勾股較為主以加股弦較即勾弦較若減股弦和亦即勾弦和也勾股和為主以加股弦較復得勾弦和若減股弦和亦得勾弦較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恒得所求若取勾股較以加勾股和半之得股以減勾股和半之得勾若取股弦較以加股弦和半之得弦以減股弦和半之得股取勾弦較者以加勾弦和半之得弦以減勾弦和半之得勾取弦和較者以加弦和和半之得和以減弦和和半之得弦取弦較較者以加弦較和半之得弦以減弦較和半之得較加減乘除圜變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢準此而推亦在乎熟之而已開平方法第十二凡平方開者依除法列位先審當以幾位除盡列實自末位下㸃記之每隔位一㸃每一㸃即定開下一位乃從左位起用自乘開除凡㸃在左首位下者以一字取數自乘(如係九數則用三除三三見九除盡之類)若㸃在左次位下者以二字共取一數自乘各除之(如係一六則用四除四四一十六除盡之類)是為初商以紀格右亦註首㸃之下兩相呼除不盡者作餘數再商(如係二十者用五則廿五矣是不可也須用四自乘得十六外剩四作餘數以再商除之)倍初商為亷法註初㸃初商之次位若干以除上位視其可得㡬轉以定次商若干註次㸃之下為隅法亦紀于格右先與亷呼除若干再與隅呼除若干有不盡者再倍亷法商除如前若剩數僅及開數一倍以下以法命之(開者一面數也加倍又加一數乃得二面是于小平方外添一勾股為大平方若不及加倍増一總是不滿方面即以加倍増一為母餘數為子命曰幾分之㡬)列式列實二千一百一十七萬八千四百○四凡八位従末位㸃起每隔一位用一㸃共四㸃知用四字開盡此首位無㸃而㸃在次位者以二一相連且作二十一數只一字開之初商用四除註㸃下亦紀格右四四乘之除一十六尚剩五 四上一變五完首段既用四自乘除剩五矣第二段所㸃従五至七凡三位且只作五百八十四而商以從簡便先立亷法須倍前商數前係四則此倍作八註八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有㡬箇八該得六紀六于格右四字之次亦註次㸃下為隅法如八十六者然乃與次商相呼先呼六八除四十八剩三數八上一變三尚剩三十七又以六六相呼要見六於三十七内恰好否若可除則用六如總數不足則寧減一數以就之如前除法相似所謂商也此呼六六三十六尚剩一六上七變一完次段除實二千一百一十六萬餘實一萬八千次于所剩之一除起因此第三㸃管到四字止則自一到四作一百八十四除之其格右四六乃四十六倍作九十二列次下為亷法列式且讓四下之㸃不填以待所商之隅法而列二于八下列九于一下凡亷法商法冩式皆倣此九不可除一作○于格右四六之次以存虚位餘皆抺之另商第四㸃所用仍剩一萬八千四百四竟以一數開畢前所用四六○是四百六十仍再倍為亷法當作九百二十數讓空四下所㸃一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也當用二為再商右紀二亦註于所㸃四下為隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二減四次○不必除次又以二乘二除四恰盡凡開方每面四千六百零二若欲還原用自又有開方不盡者具式于後假如列實四億五千六百七十八萬九千○ 首㸃左第一位下只以本一十二數凡九位 一位開之首位係四當用從小數間㸃至大 二蓋二之自乘四也系二數共五㸃該以五 于四下右紀二為初商相位開盡 呼二二除四完初段除實四億餘實五千六百七十八萬九千一十二俟再商次除五六且作五十六以從簡便倍初商二作四為亷法讓㸃下一位系四于五下所商以四除五得㡬轉四除五只一轉右紀一亦註一于㸃下先呼一四如四五除四剩一四上五變一次呼一一如一六除一剰五也一上六變五完二段除實四億四千一百萬餘實一千五百七十八萬有竒另商次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是為二十一今倍作四十二為亷法空有㸃之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡幾轉計得三轉即用三數為再商紀格右亦系三于有㸃八字之下先呼三四一十二于十五内除十二則抺五改三進抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一則抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九進位一變○完三段餘實三百九萬九千有竒次除三○九九○之一段因前用二一三是為二百一十三今又倍其數作四二六為亷法空有㸃之○而于九下系六于進位九下系二于○下系四先以四商上三○看四除三十凡㡬轉該七轉則用七紀七于格右亦系于有㸃○下以相呼先呼四七二十八于三十内除二十八尚剩二數四上○變二進抺三次呼二七一十四于廿九内除十四二上九變五進位二變一次呼六七四十二六上九變七進位五變一次呼七七四十九依借法七上○變一進位七變二完四段餘實一十一萬二千一百一十二另開次除一一二一一二總作一段前已用二一三七是為二千一百三十七今倍之當作四二七四為亷法空有㸃之二而于進位一下系四于又進之一下系七于進二下系二于進一下系四先以四商上一十一看除該二轉則用二紀格右亦系二于末位㸃下而先呼二四為八以除一十一餘數三乃抺一改三進抺一次呼二二為四依借法二上二變八進位三變二又呼二七一十四依借法七上一變七進位八變六再呼二四為八依借法四上一變三進位七變六又呼二二為四依借法二上二變八進位三變二完第五段除實四億五千六百七十六萬二千三百八十四餘二萬六千六百二十八為不盡數右開方二萬一千三百七十二以自乘得四億五千六百七十六萬二千三百八十四併入餘數二萬六千六百二十八得原數開平竒零法第十三凡開方法有可盡者如十六用四除盡如二十五用五除盡是也亦有必不可盡者假如列實二十者用四除去十六尚餘四此所餘之四將何術以開之其法依除法立子母數倍用數為亷法外加一為隅法併為母而以餘數為子乃以原所用開之數依母數化之而併子數俱以為子乃以母自乘子亦自乘以取開方而以小數除其大數視其所得之數若干即開盡數若原數内更有未盡者再法開之 倍用數得八加一為母共九而以餘數四為子次以用數乘母共三十六併子四共四十以八十一而除一千六百得一十九零八十一之六十一為開方之數尚有未盡另法具後右法于二十數内開過一十九零八十一之六十一比前但開除一十六者所得多矣然尚餘八十一之二十未盡另立一法開焉用盈不足對稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不足五對前四又九 五内除四餘一依前之四而以少除多 法化一為九内又除(以五為實以四又九之四為法除之) 四餘五是九之五也乃以前四零九之四者而 五八併得十三倍之為八零九之八併入今 除一九是一整餘九之五共得九零九之四 數尚剰九之四(其倍之為亷法也併入今餘又用盈不足相併)次取九零九之四以除前所餘未盡八十一之二十依化法整九與母九相乘得八十一併入子四共八十五是為九之八 兩母乘得六十五又倒位 千八百八十對相母乘母 五兩子乘得子乘子 一百八十又以母子乘 兩母數以九乘出之數與原 六千八百八十五存九之四十 得六萬一千九百對列而以兩 六十五為共母其母相乘為母 子數以六千八百次以子母互 八十五乘四十得乘各為子而 二十七萬五千四併之(原存盈數也今) 百以九乘一百八(乘出數不足也亦相併) 十得一千六百二九百六十五之二萬九千一百六十約之即十七分之八也為開方𢃄零數若欲知其已于二十數内除過㡬許即將四零十七分之八自乘之依法先以四各化為十七加八俱為子數而仍以十七為母母子各自乘以見開方(母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六)而以母數除子數即見依除法已開凈一十九零二百八十九之二百八十五較前十九零八十一之六十一逺矣尚餘二百八十九之四未盡欲盡之再依前法開除又法以四開二十因用四開之不盡乃用四零二之一數加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之(八化三十六得二百八十八併入三十四得三百二十二)為三十六之三百二十二若用約法則為八零十八之十七亦依法化之(八化十八得一百四十四併入十七共得一百六十一)為一十八之一百六十一此倍出亷數也以之倒位而對前所餘數母子俱自乘仍對前所化亷數求之次以所約之母子與原亷母子相對而依法以乘母者併母次以兩子各乗總母得數對減餘為實乃取所併此為開方不足之數比前則所剩微矣欲開盡依法再推同文算指通編卷六
## 9
欽定四庫全書同文算指通編卷七明 李之藻 撰積較和相求開平方諸法第十四凡平方長濶不等以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相併為和凡以積和求較者以和自乗以積四因相減開其餘得較假如直田積八百六十四步長濶和六十步求長多濶幾步者用和自乗(得三千六百)又四因直積(得三千四百五十六)以少減多餘一百四十四平方開之得差一十二步右開法見前不重列所以和自乗又四因直積者葢和自乗有四段直田積一段差方積故以四積減和乃剰下差方一段以取方面見步(有圖在後)比類如有金八百六十四兩數人分之只云人數與各得銀數共六十其差幾何銀數爲濶人數爲長得三十六人毎人二十四兩凡以積較求和者四因實積又以差自乗併入開平方除之得和假如直田積八百六十四歩濶不及長一十二歩求長濶和共幾歩者以積歩四因(得三千四百五十六)以較自乗(一百四十四)相併(三千六百)開方得長濶和六十歩右四因積有四長四濶縱(長三十六步)横列之于外又較自之一段居中故開方得和其用和自乗者得此圖全數外兼四積内兼較自乗故除積得較比類金八百六十四兩只云錠數不及兩數十二求錠與兩共若干兩數爲長錠數爲濶得錠與兩共六十若夫積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積内抽減其長之積故其法有二其一以較為縱方併縱入方謂之帶縱開平方其一以較為減積以方乗減謂之減積開平方積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二其一以較為負縱乗上商以添積謂之負縱益積開平方其一以較為減縱而以負縱減方法謂之帶減縱開平方積與和求濶者以和為縱方一為負隅和併一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅或益負隅於積或減負隅於縱皆可以求其濶也其益隅於積者乗負隅為方法又乗方法以益積是為帶縱益隅開平方其減隅於縱者乗負隅以減縱命餘縱以除實是為帶縱負隅減縱開平方積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減餘者以除積而積常不足則翻以積減縱而餘為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而餘積縱三者俱負乃以負縱約餘負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方右縱方六術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮也此外有積與二濶較及長濶較求濶者則有所謂帶縱減積開平方有以大小二方和積求徑者則有所謂減積帶縱負隅併縱開平方有以方圓二徑虚設相同及積求其實徑者則有所謂隅算開平方至於匿其積實而虚張長濶和較之數互求長濶者則又有所謂帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱開平方減積帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱益實開平方帶縱廉開平方帶縱廉負隅開平方帶縱方廉開平方帶縱廉負隅乗縱減實開平方皆以帶縱諸法錯綜為用以御開方諸積之變神明變化存乎當機初不可一途而取今每則畧著數例以便初學帶縱開平方法(積較求濶)有勾股積若干平方開之第云勾不及股若干用加法帶除其股積餘為開方名帶縱開平方法列實點定開位亦列所不及為縱數于下以首位隨首點下須于縱上空一横行以容商除初商若干紀格右亦以商數併縱數列首點下(有小數者照常退位排之)次第呼乗以除實數但所商數須與帶縱相照若縱數多則減商數就之不盡之數再倍作廉法然倍方不倍縱亦併入帶縱商之假如有直田積八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾步列實定位以帶縱(二一)隨首位列之初商二紀格右亦列首點下以併帶縱(一)共三乃變壹貳註三 相呼二三除六 三上捌變二二二除四 貳上陸變二完首段餘實二百二十四步次倍二作四為廉法挨退位下亦列帶縱以廉四併縱一其下列五次商四紀格右亦註末位點下為隅法以併隅二下註六乃相呼除先呼五四除二十進抺二又呼四六二十四恰盡得濶二十四步比類給銀八百六十四兩只云所得銀之兩比得分人數多一十二兩求總是幾人每人各得銀幾兩銀多為長人少為濶得銀兩數二十四人數三十六假如二十三萬○四百為實帶縱七百二十初商可用四數因有帶縱七乃減商作二紀格右亦紀首點下為隅以併帶縱七共九乃變二七作九是為(二九)與右二疉呼除之 二九一十八 九上叄變五進削貳本位下削九 次以右二乗二除四用借法 二上○變六 進位五變四本位下削二次倍二作四為廉法列次點之進位○下另列帶縱數于廉下以待商除次商四紀格右亦註次點四下為隅法而以帶縱及廉法併入除之四七併一十一廉下變一 進位亦加一 四二併得六隅下變六乃以右四呼首一 一四除四 一上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六變二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 進位除二恰盡因尚餘一點于右加一○右平方二百四十帶縱共九百六十若實數首位寡而帶縱數多不能併累開方者雖點段在首位亦退一位列商及列帶縱而減一商假如列實一萬六千一百卄八帶縱七十二點段該將左首位商起因帶縱是七即減一商置次點下 初商九紀格右亦註次點之下併帶縱七共一十六乃改七九作六進位置一為方法與商九相呼 一九除九 一上陸變七進抹一六九五十四 六上壹變七進位七變一 二九一十八 二上貳變四進位七變五次倍九得一十八為廉法叧退一位置帶縱再商六紀右亦註末點下為隅法而併廉法帶縱呼除如前得濶九十六帶縱七十二共長一百六十八其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所點段位開起假如列實三萬八千四百帶縱二百首位三自為一段初商一紀右亦紀一于首位下併帶縱二得三乃以貳變三與右一相呼一三如三徑除叄次倍一作二為廉法以註初商之次位以併帶縱得四註縱下如前再商二以紀右亦以註第二點下俱與右二相呼先呼二四如八徑除捌又呼二二如四徑除肆外尚剰一點該于格右加○右開方一百二十縱三百二十若點段開位少而帶縱之位反多(如開位三點只該百而帶縱乃至千之類)以初商置首點下而以帶縱大數進位列之必首段係二位者方有此例假如列實一十九萬八千帶縱一千五百三十只點作三段其開數止有三位初商只是百數而所帶乃踰至千此其併縱亦須以百隨百以千進一位 初商一紀右亦註首點之下併帶縱五得六另改註其下先以右一與縱一呼之一一除壹次以右一呼併六 一六如六六上玖變三 次以右一呼縱三三上捌變五完首段 乃倍初商之一作二為廉法註初商之次其帶縱亦于次位列之(列五百于廉下二五併得七另註七于下一千進位)再商二紀右亦註次點下以併三得五另註五乃以遞呼 先呼一二如二 一上三變一 再呼二七一十四 七上五變一 進除一 又呼二五得一十恰盡外尚餘一點右加○右開方一百二十縱一千六百五十帶縱併商數有共一十者進位照式呼除(第一圖亦有此)假如列實七萬二千帶縱四百八十點在首位初商一紀右亦註點下併縱四得五註于下以呼一五除五四上㭍變二 再呼一八除八 八上貳變四進位二變一乃倍初商之一作二為廉法註次位其下另列帶縱以二併四得六註于下次商二紀右亦註次點之下以相呼除 二六除一十二 六上四變二進削一商二併縱八得一十進位註一本位註○以相呼除一二除二恰盡外餘一點加○于右右開方一百二十縱六百若實數縱數商除數俱多雜糅易淆者務須先將帶併之數逐一歸併停當各註其本位之下乃以呼除大抵只據最下一字為準則不淆亂假如列實一十六萬六千四百六十四帶縱一千○八十八先點定該開三位訖其帶縱低二行列之以便填商置初商于第二位點下以帶縱之千進一位列之(初商是百故帶縱之千進位與前法同)初商一併入為一千一百八十八以初商一紀右相呼首位呼一一如一以削壹 次位呼一一如一 一上陸變五三位呼一八如八 八上陸變八 進位五變四 四位呼一八如八 八上肆變六進位八變七畢一段(以上甚簡)倍初商之一作二為廉法註次位下另列帶縱數(併得一千二百八十八)次商三紀右亦註次點下併入以商(三)併縱(八)得一十一註一于八下又註一于進位廉二之下以商縱(一)併廉(二)得三另註三于廉(二)之下併畢其併註數多認定最下字為主以與右相呼首位呼一三如三一上四變一次位呼三三如九三上七變八進削一第三位呼一三如三 一上六變三第四位呼三八二十四 八上陸變二進位三變一畢二段以上除過一十五萬八千三百四十餘實八千一百二十四未盡又倍前商之一三作二六為廉法空末位之點以待隅法而以六註(二)下(右第二位)以二註(一)下(右第三位)另列帶縱數以相併乃以廉六併縱八共一十四系四于八下一進位又以一併廉二共得三系于其下乃商六紀右亦註末位下又以併縱八共一十四註四于末位下一進位四下改作五併訖以最下字與右相呼一六除六 一上八變二 三六一十八 三上一變三進除二 五六三十進除三四六二十四除恰盡右開方一百三十六縱一千二百二十四減積開平方法(積較求濶)勾股積若干勾不及股亦有減積法減積者於實内減股之積以就其方也列實定位另列不足數為減積以商乗減積以所乗出之數列原積下對減視餘實若干以所商依法除之有未盡者倍方為廉約得再商别置為隅亦乗減積以減餘實乃倂廉隅除之假如直田八百六十四步濶不及長一十二步求濶幾何列實點位如前另列不及一十二為減積以初商乗之初商可用三因有乗數故約用二紀右亦註首位下以乗減積得二十四隨位列之相對減原積二上捌變六 四上陸變二餘實六百二十四乃以方法呼除 二二除四二上六變二餘實二百二十四次倍二作四為廉法註退位再商得四紀右亦紀末位為隅法以乗減積得四十八亦相對減餘實四上二變八進位二變一 八上肆變六進位八變七乃以方廉呼除 四四除十六 四上七變一進削一又以方隅呼除四四除一十六恰盡得濶二十四步假如直積一千七百五十濶不及長一十五問濶幾何列實定位叧列不及為減積初商三紀右亦註首點之下為方法以乗減積得(五四)隨方法之位列之以減原積四上㭍變三 五上伍變○ 乃以方法除之 三三除九 四上三變四進削壹餘實四百次倍三作六為廉法註退位再商五紀右亦註末位為隅法以乗減積得七十五對註以減餘實五上○變五 七上○變二 進位四變三尚餘三百二十五皆與次商相呼五六進除三 五五二十五恰盡得廣三十五假如直積一十六萬七千四十濶不及長一百三十二求濶幾何列實定位另置不及為減積初商三紀格右亦註首點下以乗減積得三百九十六隨首點列位對減 六上○變四因有借故進位仍七 三上陸變二餘實一十二萬七千四百四十乃以方法開之三三除九 三上二變三進削壹餘實三七四四○次倍三作六為廉法註退位商實得四紀右亦註次段點下為隅法亦乗減積得五百二十八退前積一位列之對減八上肆變六二上四變一五上七變二仍餘三二一六却以廉隅呼除四六二十四六上二變八進削三四四一十六 四上一變五進位八變六尚餘六五六○乃倍三四作六八為廉法挨尾點一位列之再商得八紀右亦註尾下為隅法又乗減積得一千五十六挨尾位列之對減六上○變四 五上六變○一上六變五仍餘五五○四乃以廉隅呼除六八四十八 六上五變七進削五 八八六十四 八上○變六進削七又八八六十四恰盡得濶三百四十八負縱益積開平方法(積較求長)有勾股積若干勾不及股為較以積及較求股而勾少於股則益積以補勾名負縱益積開平方列實定位另置所不及數為負縱以商乗負縱虚增其積而後以方法開除不盡者倍方為廉又以再商乗負縱増積而另置一算為負隅以再商乗負隅為隅法置於廉次以商呼廉隅除盡假如直積八百六十四濶不及長一十二求長幾何列實定位叧列不及十二為負縱而初商則約所増負縱之乗命之如首位捌開法宜用二因有負縱之乗乃商三紀右亦註首位下為方法而以乗負縱得三十六註三於首位註六於次位以併原積六上陸變二 三上捌變二 進位置一益積得數一千二百二十四乃以方法呼除三三除九 三上二變三餘積三二四又倍三作六為廉法另商六紀右以乗負縱得七十二退位列之添積二上肆變六七上二變九共積三九六而另置一算為負隅以次商(六)乗之仍得六為隅法乃併廉隅呼除六六三十六 六上九變三進削三又呼六六三十六恰盡得長三十六假如直積二十三萬四百長濶較七百二十求長幾何列實亦列較為負縱初商九紀右亦註首點下為方法以乗負縱得六四八以益積 八上○變八 四上叄變七六上貳變八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七變六進削八餘實六八肆○○乃倍九作(八一)為廉法註八於次隅之進位又註一於進位次商六亦乗負縱得四三二以益餘積二上肆變六 三上八變一 四上六變一 進位置一共得一一一六○○又以次商六乗負隅一仍得六註本段點下為隅法乃以廉隅呼除一六除六 一上一變五進削一 六八四十八 八上一變三進削五 六六三十六恰盡得長九百六十帶減縱開平方(積較求長)凡以較及積求股者股長於勾亦有損股之長以就其方者名減縱開平方列實定位列較為減縱以減初商而以所減之餘即乗初商以開之其次商又即以初商併入為廉法而商之置隅如常假如直積八百六十四濶不及長一十二求長若干列實叧置不及一十二為負縱初商三十(因有二點故知三十)置右另以負縱減之餘一十八挨註首位點下為方法以呼所商三八二十四 八上陸變二 進位捌變六 一三除三一上六變三 餘積三百二十肆乃于右三加○以併方法一十八共四十八為廉法註退位再商六紀右亦註隅而併入廉法共五十四而六八併改四進位四改五以呼次商五六三十五上進位削三 四六二十四恰盡得長三十六 其次商若不以隅相併亦同前法六 次商六併前(八一)為四十八退位註之以呼四六二十四 四上二變八 進位削三 六八四十八 八上肆變六進位八變三 又置隅法於尾位六六三十六恰盡只就本段積比類以金換絹八百六十四匹不知金一兩換絹幾匹但云原金總兩多於絹數十二今求原金幾何如長絹匹如濶得金三十六兩其所換匹數即直積也假如直積三千四百五十六濶不及長二十四求長幾何列實定位另置較二十四為負縱初商七十(因有二點故知七十)紀右以負縱減之餘四十六挨註首位為方法(四多于三照例退位)與商相呼 四七二十八 四上肆變六進削叄 六七四十二 六上伍變三進位六變二 餘實二百三十陸乃於右七加○以併四十六共一百一十六為廉法列於下續商得二改右○為二亦註尾位為隅法併入廉法呼除一二為二 一上削二又一二為二 一上三變一 二八一十六恰盡得長七十二又有兩方共積若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干問大小方面各幾何者倍乗積以減共積以所餘積為實開方得較再置二方乗數為實以較為減縱開平方除之得大方面以較減之得小方面假如大小方田二段共積六千五百二十九步以小方大方各一邊相乗得三千一百二十步求大小方面幾何者倍二方乗積(得六千二百四十步)以減共積餘二百八十九為實以開平方法除之得較一十七步再置二方乗數三千一百二十步為實以較為負縱初商六十紀右以負縱減之餘四十三註下為方法以呼所商四六二十四 四上壹變七進削叄三六一十八 三上貳變四進位七變五餘實五百四十乃於六右加○以併方法共得一百零三為廉法列下續商五紀右亦註尾位為隅法併入廉法共一百零八以相呼 一五除五五八四十恰盡得大方面六十五步以較一十七減之得小方面四十八步帶縱益隅開平方法(積和求濶)凡積和求濶者用其和為帶縱則已兼長濶而積有長無濶故虚置一積為負隅而以負隅益積即以帶縱開之得濶數名帶縱益隅開平方列實定位另置帶縱數以初商紀右用自乗以益原積是為負隅而以所商呼縱方除之不盡者倍商為廉註退位又再商紀右亦註廉次為隅法廉隅併數以乗所商益積乃用商呼縱方若不盡須再商者則以後廉併前廉餘如前法除盡得濶數假如直積八百六十四長濶和六十求濶幾何置積為實以和為帶縱初商二紀右亦註首位下自乗得四以益積共一千二百六十四乃以初商乗帶縱二六一十二 二上削二進削一餘實六十四倍方為廉得四註次位次商四紀右亦註尾位為隅法以乗廉法得一十六併入餘實四上陸變二進加二亦以乗隅法尾位肆變○進位二變四共二百四十而以次商呼帶縱恰盡得濶二十四二積共一千四百四十步以帶縱六十除之得濶二十四步假如直積二萬一千六百四十八長濶和二百九十六求濶幾何列實定位置和為帶縱初商一列右為方法亦註首位下自乗仍得一以益積首位貳變三乃以方法與帶縱相呼除實首位三變一 次位壹變二進削一退位陸變○餘實二千○四十八倍方為廉得二註退位次商三紀右為方法亦註廉次為隅法共(三二)以乗方法得六十九益入本段餘積三上○變九 二上二變八共得八九四八乃以方法呼帶縱除之二三除六二上八變二 三九二十七 三上九變二進削二 三六一十八退位四變六進削二餘實六十八又倍方法之三為六作廉法註退位倂入前廉(二)共二百六十(所以倂入前廉者盖一方外必具兩廉故)為方法再商二紀右亦註尾位為隅法併入方法共 以乗所商(二)得五百二十四以併餘積尾位八變二進位六變九進位加五乃以所商(二)與帶縱呼除恰盡得濶一百三十二歩假如直積三千四百五十六步長濶和一百二十步求濶幾何列實以和為帶縱初商四紀右為方法亦註首點下自乗得一十六益積四上肆變○進位叄變五乃以方法呼帶縱一四除四首位五變一二四除八退位○變二進削一尚剰二百五十六次倍方四得八為廉註次位續商得八為方法紀右亦註尾位為隅併入廉法得(八八)而與方法(八)相乗共七百四以益餘實尾位陸變○進位伍變六 進位二變九乃以所商(八)呼帶縱恰盡得濶四十八步帶縱負隅減縱開平方(積和求濶)積濶求和若難以益隅開之者即用減隅法而減負隅於縱名帶縱負隅減縱開平方列實定位列和為帶縱置一為負隅初商紀右乗負隅以減帶縱列減餘於實下而乗所商以開之不盡者倍方為廉以廉減縱次再商紀右亦減餘縱而以其減餘乗商除盡得濶數假如直積八百六十四長濶和六十求濶列實定位另列和為縱方初商二紀右亦紀首點下以乗負隅一仍得二為方法以減縱數陸剰四隨首位註之以呼初商二四為八二上削捌餘實二十四倍方法之二作四為廉法註初商之次位亦乗負隅得四以減縱剰二十註退位次商四紀右亦註末位為隅以減餘縱之二十餘一十六附註乃與右四相呼先呼一四除四 一上陸變二再呼四六二十四恰盡得濶二十四亦有初商除實訖即以初商再減剰縱以所餘為縱方而即以再商再減為下法者(前法倍初商為廉以減原縱此即以初商減剰縱不立廉數然已將原縱再減以應兩廉之數與倍商同)初商除實八百訖即將初商之二十再減餘縱(四十)剰二十退位列之次商四以減餘縱(二十)尚剰一十六呼除如前右得廣二十四以除實積得縱三十六若欲還原以廣縱相乗長濶和變作通長六十濶二十四共負四百八十假如列實三萬三千六百長濶和四百列實亦列和為減縱初商一乗負隅仍得一以減縱(四)餘三百隨首位列註以呼所商一三除叄訖 次倍初商一作二為廉法以減縱四仍餘二註退位再商二亦以減縱變二○為一八而以次商呼之 一二除二一上叄變一又呼二八一十六恰盡 格右加○以結末位得濶一百二十右法同前但減縱有借法進位故録為式假如列實六萬九千三百六十長濶和七百八十二列如前初商一以乗負隅仍得一減縱(七)餘六相呼 一六除陸 一八除八玖變一 一二除二叄變一訖次倍一作二為廉法以減縱仍剰五附列而縱數多于原數無可商除則紀○于右併初次商得一十另倍一十作二十為廉法挨註退位以二減縱七是為 挨尾段列之續商二以相呼 二五除一十 進削一 二八一十六除盡得濶一百二(初商除訖即以先減縱數亦然)假如列實九萬六千長濶和六百四十初商二以乗負隅一仍得二紀右亦註首位以減六 餘四以相呼 二四除八 四上玖變一又呼二四除八 四上陸變八 進削一訖乃倍二作四為廉法以減縱六剰二亦隨退位註之 次商四紀右亦註退位為隅以減縱(只剰二)乃以四變○以商相呼 二四除八恰盡 因有餘位 右加○得濶二百四十右法已見因縱有重位故録備例若以積與虚長濶共若干而欲求其濶者及欲求其長者皆以共若干為帶縱方而求濶則以濶為負隅以長乗積為實求長則以長為負隅以濶乗積為實列例如左假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求濶幾何以三乗積步得二千五百九十二為實(三長原有三積故以三乗)五為負隅(已用三長尚少五濶故用為負隅暗添五段濶方之積)以共步為帶縱列實定位初商二紀右以乗負隅(五)得(○一)以一減縱首 貳變一 餘縱一百二十八挨註首位與商相呼一二除二二二除四退位伍變一 二八一十六退位玖變三進削一餘實三十二再以所商(二)乗負隅得(○一)以(一)減餘縱剰二十八(即前倍方為廉之法)續商(四)以乗負隅得(○二)再減餘縱二十剰八以呼所商四八三十二恰盡得濶二十四步假如直積八百六十四步三長五濶共二百二十八步求長幾何以五乗積步得四千三百二十為實(五濶原有五積故五乗之)以三為負隅(於原縱減去二長故)以共步為帶縱初商三以乗負隅三得九減縱註其退位九上貳變三 進位貳變一餘縱一三八挨註首位以呼初商一三除三 一上肆變一 三三除九退位叄變四進削一 三八二十四 八上貳變八 進位四變一餘積一百八十復以初商三乗負隅(三)得九以減縱九上三變四進削一剰四十八次商六又乗負隅(三)得十八亦以減縱剰三十與商相呼恰盡得長三十六步又有以積與虚長濶和較共若干求濶者及求長者約和得長濶幾何併濶與較得長幾何而視其所求為長為濶如前法以别實積及負隅而皆以共數為帶縱假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求濶幾何約三和自具三長三濶以併一長二濶共四長五濶又以四較益濶為四長共得八長而餘一濶應八乗積步得數六千九百一十二為實以餘一為負隅以共步為帶縱初商二以乗負隅(一)仍得二(因點為二段此為二十)以置縱次位減之二上壹變九 進位叄變二餘縱二百九十二列原積之下以呼所商二二除四二上陸變二 二九一十八次位玖變一 進位二變一 二二除四 二上壹變七 進位一變○ 餘實一○七貳復以初商二又乗負隅以減縱二上九變七 剰縱二七貳續商四又乗隅減縱四上貳變八 進位七變六是為二六八以乗所商(四)除盡得濶二十四步又有以虚長虚濶約其子母共若干與積若干求長濶若干者法以長母乗濶子為濶率以濶母乗長子為長率又兩母相乗以乗共數為帶縱而約帶縱為幾長幾濶以一乗原積為實以一為負隅如前法為減縱開平方除之假如直積二千三百五十二步只云長取八之五濶取三之二併得六十三步求濶者兩母(三八)互乗得二十四以乗相併(六十三)共一千五百一十二為帶縱而以長母(八)乗濶子(二)得一十六為濶率以濶母(三)乗長子(五)得一十五為長率則知此帶縱數内具有長十五濶十六也以長十五乗直積得三萬五千二百八十為實以濶一十六為負隅初商四紀右(有二點即作四十)以乗負隅得六百四十以減縱四上壹變七六上伍變八 進削壹 餘縱八百七十二以註實下與商呼除四八三十二 八上伍變三進削三四七二十八七上貳變四進削三二四除八 尾位變○餘實四百再以初商所乗隅算(六百四十)減餘縱四上七變三 六上八變二餘縱二百三十二續商二紀右以乗負隅得三十二亦以減縱尾位除貳進位三變○剰縱二百與續商二相呼恰盡得濶四十二以除直積得長五十六帶縱負隅減縱翻法開平方法(積和求長)凡積與勾股和求股者原積但有長乗濶數而負長自乗之數法須損濶益長求之先立一為負隅以和為縱方而以負隅減縱方初商令稍浮常法以乗負隅減縱次呼餘縱開積而原積不及翻以原積減商除之積而以餘負積為實復以初商乗隅以減餘縱如餘縱不及即以餘縱翻減以為負縱而隅積縱三者俱負乃以負縱約餘負積以得次商命負隅以除負積為帶縱負隅減縱翻法開平方假如直積八百六十四長濶和六十求長幾何列實以和為縱方一為負隅初商三(有二段即係三十正得長濶之平損濶益長)紀右以乗負隅(一)仍得三以減縱剰三十與商相呼三三得九(即九百)而原積不及乃翻列九百於原積之上而以原積減之尾位○變六進位○變三 首位削九得餘負積三十六為實再以初商(三)命負隅(一)以減餘縱(三十)減盡乃約餘實得次商六紀右以乗負隅(一)仍得六註尾位呼除負實六六三十六恰盡得長三十六假如直積三千四百五十六長濶和一百二十求長幾何列實定位列和為縱方立一為負隅初商七(有二段即七十)乗負隅(一)仍得七紀右以減縱方餘縱(五即五十)以呼初商合除三千五百而原積不足乃翻以原積除之列三五於原積之上反以原積除之尾位○變四進位○變四 進位削五又進位削三 剰負積四十四為實仍以初商七十乗負隅減餘縱(五十)而餘縱不足乃以餘縱(五十)反減初商(七十)餘二十為廉法挨註次位而縱又為負次商二紀右亦註二於尾位為隅法共二十二皆與所商之二呼除恰盡得長七十二亦有虚立長濶和較求長者假如直積八百六十四步一長二濶三和四較共三百一十二步求長若干依前法演得八長一濶以一濶為實八長為負隅共步為縱方列實初商三紀右(即三十)以乗隅(八)得二百四十以減縱一變七進削三餘縱七十二以呼所商(三)除積合除二千一百六十而積反不足乃翻以積除之列二一六○於上 肆上○變六 進位六變九 進位一變二 進位二變一 尚餘負積一二九六復以初商(三)乗負隅(八)合減縱二百四十而餘縱(七十二)不足翻以餘縱減之剰負縱一百六十八是餘縱積算俱負次約負積商六紀右以乗負隅八又併負縱共二百一十六挨註尾位以呼所商二六一十二 二上削二進削一 一六除六 一上九變三 六六三十六恰盡得長三十六假如直積三千四百五十六步一長二濶三和四較共六百二十四步求長幾何仍前八長一濶以一為實八為負隅共步為縱方初商七紀右以乗負隅(八)得五百六十以減縱方剰六十四註首位合除四千四百八○列原積上以視原積不足翻以原積減之尾位○變四 四上八變二六上四變○ 進位四變一 餘負一千二十四為實再以初商(七十)乗負隅(八)得五百六十者減餘縱而縱又不足則翻以縱減之餘縱四百九十六而隅法縱法積法俱負續商二紀右以乗隅(八)得一十六併入負縱共五百一十二挨尾註之與所商二相呼恰盡得長七十二步同文算指通編卷七
## 10
欽定四庫全書同文算指通編卷八明 李之藻 撰帶縱諸變開平方第十五開方帶縱其變無窮更繹其要有十一種餘可神而明之若積與二濶較及長濶較求濶用帶縱減積開平方假如三廣田積二千四百六十五步第云中廣不及南廣八步亦不及北廣三十六步又不及正長六十七步問廣併長各幾何列積為實併不及二廣(共四十四)以四而一得一十一為縱方以不及正長(六十七)為減積初商一紀右(即一十)以併帶縱共二十一列註首點下為方法以乗減積得一千四百七先以減積所乗呼商一七除七尾位伍變八 進位陸變五 一四除四 進位肆變○一一除一首位貳變一 次以所註方法呼商一二除二二上○變八進削一 一一除一 一上五變四餘實八四八乃倍方一作二為廉法(即二十)併減積(六十七)又併帶縱(一十一)共九十八為方法註退位續商八紀右以併方法得一百六呼除一八除八 一上削八 六八四十八恰盡得中廣一十八步各加不及得南廣二十六步北廣五十四步正長八十五步右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以積求長廣者俱以此法求之凡大小二方和積求徑者用減積帶縱負隅併縱開平方假如大小方田二段共積七千五百九十二步大方面較小方面多二十八步求大小方面各幾何用較自乗(得七百八十四)以減積餘六千八百零八為實倍較(二十八)得五十六為帶縱叧置二為負隅初商四(即四十)乗負隅(二)得八十併縱方共一百三十六為方法註積下以呼所商一四除四 一上陸變二 三四一十二 三上捌變六進位二變一 四六二十四 六上○變六進位六變三餘實一三六八次倍商得八併初方(一百三十六)共二百一十六為廉法註退位續商六紀右亦乗負隅得一十二為隅法併入廉法共二百二十八與次商呼除盡得小方面四十六步加較得大方面七十四步又假如大小方田三段共積四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面幾何以大方面較小面數(三十)自乗得(九百)以中方面較小面數(十二)自乗得(一百四十四)相併共一千四十四以減共積餘三千七百四十四為實併二較倍之得八十四為縱方以三為負隅初商二紀右(即二十)以乗負隅(三)得六十併縱方共一百四十四為方法列首位以呼所商二四除八 四上肆變六 二四除八 四上㭍變八進位叄變二 一二除二 一上削二餘實八百六十四倍方法(六十)作一百二十為廉法以併縱方(八四)得二百四註退位為方法次商四紀右以乗負隅(三)得一十二為隅法併方法共二百一十六與次商呼除二四除八 二上削八 一四除四 一上六變二 四六二十四恰盡得小方面二十四步以較加之得中方面三十六步大方面五十四步凡方田圓田徑相似以其共積求相似之徑幾何者用隅算開平方凡圓者之四可當方者之三併方圓之率為七用七為隅算用四乗原積開方假如方圓田共積二千二百六十八步只云方面圓徑相等求方面圓徑者四乗原積得九千七十二步為實叧列七為隅算初商三紀右(即三十)乗隅(七)共二百一十為方法與商相呼二三除六 二上玖變三一三除三一上○變七進位三變二餘實二七七二乃倍三十作六十為廉法註退位次商六以乗隅(七)得四十二為隅法又以乗廉六十得三百六十併共四百○二仍併入廉法共四六二與商相呼恰盡得方面圓徑俱三十六步又法四乗原積得九千○七十二步併方四圜三得七為法除之得一千二百九十六為實乃以開平方法求得方面圜徑三十六步更簡易凡匿其原積只云一長二濶三和四較更以長乗之共數若干其長濶之較若干以求其長幾何者用益積以補濶則有帶縱隅益積開平方假如田不知積但以長乗一長二濶三和四較共得四萬四千九百二十八步其長濶之較二十四步求長者列實叧置較為益縱約三和得三長三濶併一長二濶得四長五濶又併四較入濶為長得八長一濶共九段以九為隅算初商七十乗隅算(九)得六百三十為隅法又以初商(七)乗益縱(二十四)得一千六百八十註原積之下以益原積 八上貳變○進加一六上玖併一變六進加一 一上肆併一變六共四萬六千六百○八却以隅法(六百三十)註退位與商相呼六七四十二六上六變四進削四 三七二十一 三上六變五進位四變二餘實二五○八乃倍隅法(六百三十)得一千二百六十為方法註退位以商餘實得二紀右又乗隅算(九)得一十八為隅法另以所商二乗益縱(二十四)得四十八併入餘實八上八變六 四上○變五共得二五五六却以方隅二法併共一千二百七十八皆與所商(二)呼除恰盡得長七十二步又同前田不知實用長數乗一長二濶三和四較共若干及其較若干以求長者或損長以就之用帶縱負隅減縱開平方假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬七千二百一十二其較二十八步而不知其積求其長列長乗之積為實較為縱方仍前法推得(九)為負隅初商七十紀右乗負隅得六百三十為方法内減縱法(二十八)剰六百二退位註實下以呼所商六七四十二六上㭍變五進削肆 二七一十四二上壹變七進位貳變○餘實五○七二次倍方法得(一千二百六十)内減縱法(二十八)得一千二百三十二為廉法列餘實之下約實續商得四紀右乗負隅得三十六為隅法併廉法共一二六八改註尾位與續商相呼恰盡得長七十四步又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四較得若干求長者用減積帶縱隅益積開平方假如設為一長二濶三和四較以濶數乗之得二萬九千九百五十二其較二十四問長幾何置較自乗(五百七十六)以減原積餘二萬九千三百七十六為實(以較自乗減其原積故曰減積)較為益縱六為隅算初商七十紀右乗隅(六)得四百二十為隅法註實下又以商(七十)乗益縱(二十四)得一千六百八十以益原積尾次七變五進位叄變○ 又進玖變一又進貳變三得三一○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八 四上一變三進削三 二七一十四 二上○變六 進位三變一餘實一六五六乃倍隅法得八百四十為廉法續商(二)以乗隅(六)得一十二為隅法另以所商(二)乗益縱得四十八以益餘實尾位陸變四進位五變○進位六變七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二註尾位以呼續商恰盡得長七十二步亦有匿積只以濶乗一長二濶三和四較共若干及較若干求長而用帶縱負隅減縱益實開平方者假如田不知積一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千三百四十八步濶不及長二十八步者列實亦列較為縱方九為負隅(共得九長)初商七紀右(即七十)以乗負隅得六百三十為方法内減縱方(二八)得六百二註實下又以乗縱方得一萬六千八百五十六以益實六上捌變四五上肆變○ 八上叄變二 六上玖變六 一上貳變四乃以所商(七)呼除所註之下法(六百二)二上○變六進位二變○ 六上六變四進削四餘實四○六四次倍方法(一千二百六十)減縱方得一千二百三十二為廉法次商四紀右以乗負隅(九)得三十六為隅法以乗縱方得一千零八為益實併入餘積八上四變二進位六變七 一上四變五以廉(一千二百三十二)隅(三十六)相併(一千二百六十八)呼商恰盡得長七十四步右法以濶求長積欠一較故乗較為益實以補其缺亦有同前不知積而以濶乗長濶和較共數及較求濶者用帶縱廉開平方假如直田不云積步只云一長二濶三和四較以濶乗得二萬九千九百五十二步濶不及長二十四步求濶者置乗積為實減較之半(一十二)為縱廉而以初商乗之初商四(即四十)紀右為方法以乗縱廉得四十八即與商相併共五十二註實下照式退位以呼初商(四)五四二十進削貳 二四除八 二上玖變一餘實九一五二次倍所乗縱廉得(九十六)及方法(八)共一百四進位得一千四十為方法再置縱方一十二為廉以相併共一千五十二商實得八紀右亦註尾位為隅以乗縱方得九十六併方廉隅共一千一百四十四註實下以呼次商恰盡得濶四十八步又有同前匿積和較又以濶乗長濶和較共數求濶用帶縱廉負隅開平方者假如田不知積只云一長二濶三和四較以濶乗之共二萬九千三百四十八其較二十八以求濶者置濶乗數為實推得共八較九濶用九為負隅以較八乗得二百二十四為縱廉以初商乗負隅為方法初商四(即四十)紀右乗隅得三百六十併縱廉共五百八十四註實下呼商五四除二十進削貳 四八三十二八上叄變一進位玖變六 四四一十六 四上肆變八進位一變九 進位六變五餘積五九八八次倍方法得七百二十為廉法併縱廉九百四十四為實續商六紀右以乗負隅(九)得五十四為隅法併廉法縱廉共九百九十八註實下呼商恰盡得濶四十六步若同前不知積步第置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱方廉開平方假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬四千九百二十八步較二十四步求其濶若干列實以較為縱方推得八長一濶共九段倍之得一十八為縱廉以乗初商而併計之又兼縱方乃以呼商除之初商四紀右(即四十)為方法乗縱廉(一十八)得七百二十併入方法(四十)共七百六十又併縱方(二十四)共七百八十四以呼商四七二十八 七上肆變六進位肆變一 四八三十二八上玖變七進位六變三四四一十六 四上貳變六進位七變五餘實一三五六八乃倍四得八為方法倍縱廉得一千五百二十併入縱方(二十四)共一千五百四十四為廉法以商餘實得八紀右以乗縱廉(一十八)得一百四十四為隅法乃併方入廉(一千五百四十四)隅(一百四十四)三法共一千六百九十六註實下呼商恰盡得濶四十八步又同前不知積及置長濶和較以長乗得若干及較求濶用帶縱廉負隅乗縱減實開平方者假如一長二濶三和四較長乗得四萬七千二百一十二步濶不及長二十八步求濶幾何列實推得八長用八乗較得二百二十四為縱廉推得九段用九為負隅又以較為減縱方初商四(即四十)紀右以乗負隅得三百六十為方法併入縱廉共五百八十四為下法乗減縱得一萬六千三百五十二為減實註實下變為三○八六○乃以初商四呼下法照常註退位五四得二十進位三變一 四八三十二 八上八變六進位○變七進削一 四四一十六 四上六變○進位六變五餘實七千五百乃倍方法得(七百二十)併縱廉(二百二十四)共九百四十四為廉法約商得六紀右以乗負隅得五十四為隅法即以隅法乗減縱得一千五百一十二以減實餘五九八八以廉隅二法相併得(九百九十八)與次商相乗開之恰盡得濶四十六開立方法第十六凡數自乗平列一面為平方更以原數再乗則四面皆方中積充實為立方矣凡立方點段俱隔二超三而首段尋其原數以自乗再乗如適合見數者即為方法開訖如少于見數則挨身減數尋原而以其再乗所得列首段下除之以為方法(若再乗之數反浮見數即非其原)餘實三倍其方為廉叧置而以方法進一十(如係一則作一十係二則作二十之類)與相乗得數以較餘實約得幾何分之幾何假如已得二之一者即以二為次商亦以乗廉法得數若干以併前所乗數共若干而以次商數總乗之即得三面之廉復以次商數自乗再乗為隅法併入開盡有不盡者以法命之依法分為四段先開首位之捌尋原係二乃以二自乗再乗得八恰盡 抹捌右紀二 次開叄陸伍除點上之伍未用且作(六三)開之乃三倍其二為六另置於方法之上試加一為(一二)以六乗之得一百二十六以除原積叄陸其數反浮乃只作○紀格右為(○二)次求第三位更三倍其(○二)為(○六)置於方法(○二)之上隨意加一位且如只加○為 以與(○六)相乗得一萬二千以視原積叄陸伍肆貳約得三之一乃商三紀格右為 以乗(○六)得一百八十併前(一萬二千)共得一萬二千一百八十又以三乗之得三萬六千五百四十又以三自乗再乗得(二十七)為隅法併入恰盡 凡隅法皆以尾位挨本位所點之下尚餘尾段三箇○再加一○于格右假如列實一千七百二十八首位一自乗再乗只得一以一為方法紀右抹壹次倍一為三作廉法另置乃以方法加○為(○一)以乗廉法三得(○三)約得原積(二十七)内二之一矣乃改○作二為次商紀格右以乗廉法三得六併(○三)共得三十六而以次商之(二)乗之得七十二又以二自乗再乗得八為隅法併入是為七百二十八開盡假如列實三萬二千七百六十八數首位尋原係三以三為方法自乗再乗得(七二)二變五抹叄次倍三作九為廉法加○于方法之右為(○三)以乗九得二百七十以視餘實(五千七百六十)為二之一乃商二紀二于三右以二乗九得一十八併前乗共得二百八十八以二總乗得五百七十六符三廉之數又以二自乗再乗得八為隅法併入盡若次商以方法進位乗廉法而乗得之數適符餘實或於餘實相近不足二之一及三之一以上者只以一為次商之數假如列實九千二百六十一數先開首位玖尋原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖變一以二為方法紀右次倍二得六為廉法另置次以二為(○二)與相乗得一百二十適近本積只以一為次商數以乗所置六仍得六併前乗共得一百二十六又以一自乗再乗為隅依法併入是為一千二百六十一恰盡廣諸乗方法第十七凡積數若干以平面開之適得自乗之數者為開平方其立方乃開平再乗積也(四面皆方中積滿布)三乗方長立方也(如以二自乗起者得兩立方以三自乗起者得三立方之類但以平面一邊之數為準)四乗方平面立方也(如長立方得兩方數則進作四立方如長立方得三方數則進作九立方又如長立方係九方數則進作八十一立方之類倣此以至無窮俱係平面)五乗方大立方也(如係二自乗起者有四立方則進併十六方為大方如係五自乗起者有二十五立方則進併一百二十五方為大方之類)自此推之六乗方視三乗形七乗方視四乗形八乗方視五乗形餘乗倣此可至無窮舊法繁碎且僅止于五乗此立捷法由平面至諸乗總一機軸先以諸乗原委布為一圖乗母為原乗出之子為開凡開方列位以點分段者平方每二位點作一段再乗方每三位一段三乗方每四位一段倣此推之至九乗方則十位一段矣皆自尾小數起而先以最大數之首段檢上圖以尋其原即以原數開之假如平方開者檢知首段數四十九即知七是原數用七自乗可開若首段數係六十四者即知八是原數用八自乗可開若係六十三者不及六十四尚以七數開之餘積另求再乗三乗以上皆同此法假如再乗首段係二十七檢知其原係三即以三開之若是六十三以下亦以三開又假如七乗方首段係二五六原數是二以二開之若原數是六五六不及三數之六五六一仍以二開之也上圖係乗出之數已得乗出之數開方之時第以此數註首段下以除為開右法已得首位方法餘實倍方為廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之數倣此倍之别立通率凡平方只一率為(○二)再乗立方有二率為 (○三)三乗方有三率為四十為六百為四千自此以上諸乗倣此漸加而皆如後圖所推乃以方法之數乗之以乗出之數較餘實約得幾何母之幾何而即以其母為廉法此圖以首行所列之二為平方三為立方四為三乗至十七則十六乗方也餘乗倣此首行順列其第二行數悉承首行上格二數積之如(三三)為六(四六)為(○一)之類數窮則挨加一數如第二行第五格為(○一)其第三行第五格亦為(○一)是也右格内數以檢各乗合用通率而各視其乗法多寡於本位疊加虚○凡平方一乗者用一率為二以加○為(○二)以與方法相乗其立方再乗者用兩率為三三而左小數加一○為(○三)右大數加兩○為 而以 乗方法若三乗方者則用三率為四六四于末位之四加一○為(○四)進位之六加二○為 首位之四加三○為四千亦以大數乗方法右圖只具四六兩位而乗法却宜三位則迴用右方之四以足三率若並位之數相重如四乗方之連用(○○一一)者迴轉減其重數竟以首位之五用之末位為五(○○一一)五照前依位增○其數則為五十為一千為一萬為五萬而以五萬乗方法也至六乗方八乗方以上皆然一乗開平方假如列實六百七十六萬五千二百○一以平方開之初商得二為方法以求廉法立(○二)為通率列中位亦列方法于左位以相乗得(○四)以較餘實(七二)約得六之一乃立六為廉法列于右位以自乗得(六三)為隅法附列乃以廉數(六)乗四十得二百四十以併自乗之三十六共二百七十六盡第二段餘實五二○一另置通率併廉入方為(六二)置左位以乗(○二)得數五百二十以較餘實得一又以一為廉法置右位自乗仍得一為隅法併入恰盡若已得廉法而以乗通率反浮餘實或廉法相合而隅法又浮餘實者皆減其廉法以乗之假如列實二百八十九初商一除實一百餘實一百八十九次商以方法乗通率只係(○二)以較餘積可用九除實一百八十而乗出隅法八十一則浮原積又試用八除實一百六十而乗出隅法六十四亦浮原積惟再減用七為廉法乗得一十四以除餘積尚餘四十九而以廉法自乗得四十九為餘法併入恰盡凡諸乗所用廉法有浮原積者皆照遞減求之再乗開立方假如列實二十三萬八千三百二十八以立方開之尋原以六為母以六自乗再乗得二一六除積 六上捌變二一上叄變二 進抹貳以六為方法以求廉法凡立方皆用二數為通率為三十為三百自下而上疊位而以方法(六)對(○三)以方法自乗得(六三)對□各列于左初乗乃以(六三)乗□得一萬八百以視餘積約得二之一乃立二為廉法以對□復以廉法(二)自乗得(四)以對□各列于右又以(二)乗(四)得(八)為隅法附列于下乃以廉二乗一萬八百得二萬一千六百再乗以六對(○三)乗之得一百八十又以四乗得七百二十以上二次乗出數併之得二萬二千三百二十加入隅法之八恰盡凡方法之乗皆在通率位左以方法數對尾位其乗數自下而上凡廉法之乗皆在通率位右以廉法數對首位其乗數自上而下四乗五乗以上皆倣此右再乗方法若以還原則以二十六自乗再乗若初商方法只係一數者通率無乗須併諸率位除之一而淨即以一為廉法假如列實一千三百三十一以再乗立方開之初商以一為方法除淨首位(一千)次併中位兩通率一除可淨以一為廉法對通率三百次以自乗仍得一對次通率三十又以再乗亦得一為隅法系其下而以隅法之一併入三千三百恰盡右式可例其餘凡以一為方法者不論幾乗方皆以諸位通率併求三乗方假如列實一千四百七十七萬六千三百三十六以三乗方開之尋原以六為母自乗再乗得一二九六除積 六上㭍變一 九上㭍變捌 二上肆變一 一上削壹次以六為初商方法以求廉法凡三乗皆疊用通率三位為四十為六百為四千先列通率於中位乃列方法于左尾位自乗(六三)再乗二一六自下而上對列初乗以二百一十六乗四千得數八十六萬四千較原積約二之一以二為廉法列右首位自乗(四)再乗八三乗(六一)聨列乃以(二)乗八十六萬四千得數一百七十二萬八千再乗以(六三)乗□得數二萬一千六百又以右(四)乗之得數八萬六千四百三乗以(六)乗(○四)得數二百四十以右八乗之得數一千九百二十乃合三乗數積之併入隅法(六一)共得一百八十一萬六千三百三十六恰盡右三乗方法若以還原則以六十二之數自乗再乗三乗 一法以開平方法所得數更以平方開之四乗方假如列實九億一千六百一十三萬二千八百三十二數以四乗方開之尋原六為初商除積七億七千七百六十萬餘實一億三千八百五十三萬二千八百三十二以求廉法凡四乗方通率疊用四位為五十為一千為一萬為五萬中列自下而上而以方法(六)對尾位(○五)列之又自乗再乗三乗四乗亦自下而上對列于左初乗首位左乗得六千四百八十萬以較餘實約得二之一以二為廉法對首位五萬列之亦自乗再乗三乗自上而下對列又四乗得(二三)為隅法系于其下而以首位二數乗左乗所得之數計得一億二千九百六十萬次乗次位左乗得二百一十六萬而以右(四)乗之得八百六十四萬三乗第三位左乗得三萬六千而以右(八)乗之得二十八萬八千四乗尾位左乗得三百而以右(六一)乗之得四千八百以上四乗之積併入右廉四乗所得隅法三十二恰盡右四乗方若以還原則以六十二數自乗再乗以至四乗五乗方假如列實五百六十八億○○二十三萬五千五百八十四數以五乗方開之尋原六為初商除積四百六十六億五千六百萬餘積一百一億四千四百二十三萬五千五百八十四數以求廉法凡五乗方皆疊用通率五位為六十為一千五百為二萬為一十五萬為六十萬中列自下而上而以方法六對尾位(○六)列之又自乗再乗三乗四乗自下而上皆列于左位初乗首位左乗得四十六億六千五百六十萬以較餘實約得二之一以二為廉法對首位六十萬列之亦自乗再乗三乗四乗自上而下對列于右又(五)乗得(四六)為隅法系下而以首位(二)數乗左乗所得之數共得九十三億三千一百二十萬次乗次位左乗得數一億九千四百四十萬而以右(四)乗之得七億七千七百六十萬三乗三位左乗得四百三十二萬而以右(八)乗之得三千四百五十六萬四乗四位左乗得五萬四千而以右(六一)乗之得八十六萬四千五乗五位左乗得三百六十以右(二三)乗之得一萬一千五百二十併上五乗積又併右廉所乗隅法六十四恰盡右五乗方若以還原則以六十二之數自乗再乗以至五乗六乗方假如列實三萬五千二百一十六億一千四百六十萬六千二百○八以六乗方開之尋原六為初商除實二萬七千九百九十三億六千萬餘實七千二百二十二億五千四百六十萬六千二百○八數以求廉法凡六乗方通率疊用六位為七十為二千一百為三萬五千為三十五萬為二百一十萬為七百萬中列而以方法(六)對尾位(○七)列之又自乗再乗三乗四乗五乗自下而上皆列其左初乗首位左位得數三千二百六十五億九千二百萬以較餘積約得二之一以二為廉法對首位七百萬列之亦自乗再乗三乗四乗五乗對列于右又以六乗得一二八為隅法系下而以首位(二)數乗左乗所得之數共得六千五百三十一億八千四百萬次乗次位左乗得一百六十三億二千九百六十萬以右(四)乗之得六百五十三億一千八百四十萬三乗三位左乗得四億五千三百六十萬以右(八)乗之得三十六億二千八百八十萬四乗四位左乗得七百五十六萬以右(六一)乗之得一億二千○九十六萬五乗五位左乗得七萬五千六百以右(二三)乗之得二百四十一萬九千二百六乗六位左乗得四百二十以右(四六)乗之得二十六萬八千八百併上六乗之積又併隅法一百二十八恰盡右六乗方若以還原則以六十二之數自乗再乗以至六乗七乗方假如列實四兆五千九百四十九萬七千二百九十八億六千三百五十七萬二千一百六十一數以七乗方開之首位四其原一以一為方法餘實三兆五千九百四十九萬七千二百九十八億共求一廉法因方法一數無乗當併下位以較餘實而惟首次兩數同位為大數其餘小數不足為多寡且從省只併首次兩位開之(若不相併者以首率八千萬較餘實試用四為廉法乗之似可除然次率八乗即浮原數矣試減用三亦浮原數見後註)此二數併得一億○八百萬以較餘實約可用三數然緣次乗之六以乗中列之第二位其數反浮(初以三乗中首位固可除至次乗六以乗次位得一億六千八百萬併初乗共四億有奇反浮餘實)當減用二為廉法自乗再乗至七乗依式列右凡乗數多于原數者減法倣此初乗以廉二乗八千萬得一億六千萬再乗以廉再乗數(四)乗二千八百萬得一億一千二百萬三乗以廉三乗數(八)乗五百六十萬得四千四百八十萬四乗以廉四乗數(六一)乗七十萬得一千一百二十萬五乗以廉五乗數(二三)乗五萬六千得一百七十九萬二千六乗以廉六乗數(四六)乗二千八百得一十七萬九千二百七乗以廉七乗數 乗八十得一萬○三百六十八右併前七乗之積共得三億二千九百九十八萬一千四百四十併入隅法二百五十六以除餘積尚剰二千九百五十一萬五千六百二億六千三百五十七萬二千一百六十一數再商自首至尾共以一段開之乃併廉法入方法共一十二為三商之數以對尾位(○八)列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上對列一 初乗首位左乗得二千八百六十六萬五千四百四十六億四千萬以較餘積只可一乃以一為廉法乗無可乗故自乗至七乗皆只一照式列右其對中末位之下仍系一為隅法再乗次位左乗得八十三萬六千○七十五億五千二百萬三乗三位左乗得一萬三千九百三十四億五千九百二十萬四乗四位左乗得一百四十五億一千五百二十萬五乗五位左乗得九千六百七十六萬八千六乗六位左乗得四十萬三千二百七乗尾位左乗得九百六十併七乗之積増入隅法之一恰盡右七乗開方若欲還原則以一百二十一數自乗再乗以至七乗以上開方則例共七乗衍至十乗百乗亦復如是妙在尋原變在通率熟玩自得難以備述若夫尋原之法固與還原不同還原者依本乗之數以還實積耳尋原者用前列乗圖以尋下手方法凡尋原惟平方最易以每段只二位也次則立方亦易以每段只三位也三乗則四位為一段尋原難矣自是而上位置愈多尋原愈難矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法開之得數又以平方法開之得數即原矣若五乗方者先以平方開之得數乃以立方開之或先以立方開之得數乃以平方開之即原矣若六乗方者作四乗方開二次即得其原若七乗方者作開平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方開一次又以四乗方開之或先以四乗方開一次又以平方開之即得其原若十乗方者作四乗開方三次亦得其原錯綜變化總由自然進退開闔具有定法孰謂開方諸乗迂逺難冀者乎神而明之從積正負帶減加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思過半也奇零諸乗開方法第十八凡開方諸法不惟全數可開即奇零之數亦各有法大都皆以尋原為第一義有母數子數俱有原數可用者如平方九之四則以三之二為原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方(七二)之八亦以三之二為原以三自乗得九再乗得(七二)以二自乗得四再乗得八也又如三乗方(一八)之(六)以三之二為原謂三再乗得(七二)三乗得(一八)謂二再乗得八三乗得(六一)也如五乗方者 之(四六)以三之二為原謂三數以五乗則得 二數以五乗則得(四六)也有二數並列于母不同而亦有原數可用者如四之二與九之八並列依對乘法兩母乗得三十六兩子乗得一十六是為(六三)之(六一)其平方之原為九之四以四九三十六與夫四四一十六用四為鈕數者也有以全數帶奇數而亦有原可尋者如有全數二又(七二)之(○一)依化法乃為(七二)之(四六)尋其立方之原為三之四以三再乗為(七二)四再乗為(四六)歸其整數即一零三之一也凡有原可尋則可開無原可尋則不可開必命分之母與得分之子各有原則可開若一有原一無原則不可開尋原之術數之多者約之以至于寡如(五四)之(○二)必約之為九之四其開平方之原即三之二也如(一八)之(四二)必約之為(七二)之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六無原不可開矣又如(○二)之(一二)者命分數與得分數俱無原不可開矣然則終不可開乎又非也數窮則變變則通雖無原有數之最相近者可借之以為原吾以本數析之又析而相近之原可得也析之之法多取進位平方或析一為十為百立方或析一為百為千數彌多者求彌密其原亦彌近也彌近之數或稍多干所求或稍約于所求然而皆可以為原者也假如以五數為開平方是為無原而任借(○一)為 之原以自乗得一百以五乗得 雖(○一)不為 之原乃其原之最近者有兩數其一為 以(二二)為原(二十二自乗得四百八十四)此近而朒者其一為 以(三二)為原(二十三自乗得五百二十九)此近而盈者何也試以所借(○一)為命分之母以(二二)為得分之子以(○一)之(二二)自乗(此 整二零 之二)得 之 内除四百為四整數而(四八)為 之(四八)夫四零 之(四八)以視二零(○一)之二猶五百與(二二)之比例也試以所借(○一)為母以(三二)為子以(○一)之(三二)自乗(此係整二零二之三)得 之 内除五百為五整數而(九二)為 之(九二)夫五零 之(九二)以視二零(三二)猶五百與(三二)之比例也故(○一)可以為五借也假如以九數為開立方亦為無原而任借(○一)為 之原(以自乗再乗故)以九乗得 雖九千不以一十為原而其近原者亦有兩數一為 以(○二)為原(自乗再乗)此近而朒者一為九二六一以(一二)為原(自乗再乗)此近而盈者則何也試以(○一)為母(○一)之(○二)係整二數以自乗再乗即得(○一)之八試以(○一)為母(○一)之(一二)係整二數零(○一)之一以自乗再乗即得九零 之 也(母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十併入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千歸元得整九餘為一千之二六一)故(○一)可以為九借也假如列實(○四)以四乗方開之為無原任借一數為(○一)以自乗至四乗得一十萬以(○一)乗之得四百萬用前法推衍其原之近者有兩數其一為(○二)其一為(一二)何也以(○一)為(○二)之母此(○一)之(○二)係整二數以二自乗再乗三乗四乗為(○一)之(二三)以視(○四)其近而朒者以(○一)為(一二)之母此(○一)之(一二)係整二數零(○一)之一以二零(○一)之一自乗再乗(化整數併子法如前母四乗得一十萬子自乗再乗得九千二百六十一)三乗四乗得整四十數零一十萬之八萬四千二百○一(二十一以三乗得一十九萬四千四百八十一以四乗得四百○八萬四千二百○一内以四百萬還元得整四十數其零為八四二○一)以視四十其近而盈者故(○一)可以為(○四)借也以上三論姑借(○一)見例若進至百千萬數其數彌多其析愈精則原愈近矣同文算指通編卷八◆ 《幾何原本-明-》（KR3f0047）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
幾何原本 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案幾何原本六卷西洋歐几里得撰利瑪竇譯而徐光啓所筆受也歐几里得未詳何時人其原書十三卷五百餘題利瑪竇之師丁氏為之集解又續補二卷於後共為十五卷今止六卷者徐光啓自謂譯受是書此其最要者也其書每卷有界説有公論有設題界説者先取所用名目解説之公論者舉其不可疑之理設題則據所欲言之理次第設之先其易者次其難者由淺而深由簡而繁推之至於無以復加而後已又每題有法有解有論有系法言題用解述題意論則發明其所以然之理系則又有旁通者焉卷一論三角形卷二論線卷三論圓卷四論圓内外形卷五卷六俱論比例其餘三角方圓邊線面積體積比例變化相生之義無不曲折盡顯纎㣲畢露光啓序稱其窮方圓平直之情盡規矩準繩之用非虚語也且此為歐邏巴算學専書前作後述不絶於世至歐几里得而為是書盖亦集諸家之成故自始至終毫無疵纇加以光啓反覆推闡其文句尤為明顯以是弁冕西術不為過矣乾隆四十六年十二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 序
幾何原本序
唐虞之世自羲和治厯暨司空后稷工虞典樂五官者非度數不為功周官六藝數與㞐一焉而五藝者不以度數從事亦不得工也襄曠之於音般墨之於械豈有他謬巧哉精于用法爾已故嘗謂三代而上為此業者盛有元元本本師𫝊曹習之學而畢喪於祖龍之𦦨漢以來多任意揣摩如盲人射的虚發無效或依儗形似如持螢燭象得首失尾至於今而此道盡廢有不得不廢者矣幾何原本者度數之宗所以窮方圓平直之情盡規矩準繩之用也利先生從少年時論道之暇留意藝學且此業在波中所謂師𫝊曹習者其師丁氏又絶代名家也以故極精其說而與不佞游久講談餘晷時時及之因請其象數諸書更以華文獨謂此書未譯則他書俱不可得論遂共翻其要約六卷既平業而復之由顯入微從疑得信蓋不用為用衆用所基真可謂萬象之形囿百家之學海雖實未竟然以當他書既可得而論矣私心自謂不意古學廢絶二千年後頓獲補綴唐虞三代之闕典遺義其裨益當世定復不小因偕二三同志刻而傳之先生曰是書也以當百家之用度幾有羲和般墨其人乎猶其小者有大用于此將以習人之靈才令細而確也余以為小用大用實在其人如鄧林伐材棟梁榱桷恣所取之耳顧惟先生之學略有三種大者修身事天小者格物窮理物理之一端别為象數一一皆精實典要洞無可疑其分解擘析亦能使人無疑而余乃亟傳其小者趨欲先其易信使人繹其文想見其意理而知先生之學可信不疑大㮣如是則是書之為用更大矣他所說幾何諸家藉此為用略具其自敘中不備論吳淞徐光啟書
## 卷一之首
欽定四庫全書幾何原本卷一之首西洋利瑪竇譯界說三十六則凡造論先當分别解說論中所用名目故曰界說凡厯法地理樂律算章技藝工巧諸事有度有數者皆依頼十府中幾何府屬凡論幾何先從一㸃始自㸃引之為線線展為靣靣積為體是名三度第一界㸃者無分無長短廣狹厚薄 如下圖(凡圖十干為識干盡用十二支支盡用八卦八)(音)(甲)第二界線有長無廣試如一平靣光照之有光無光之間不容一物是線也真平真圓相遇其相遇處止有一㸃行則止有一線線有直有曲第三界線之界是㸃(凡線有界者兩界必是㸃)第四界直線止有兩端兩端之間上下更無一㸃兩㸃之間至徑者直線也稍曲則繞而長矣直線之中㸃能遮兩界凡量逺近皆用直線甲乙丙是直線甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲線第五界靣者止有長有廣體所見為靣凡體之影極似於靣(無厚之極)想一線横行所留之迹即成靣也第六界靣之界是線第七界平靣一靣平在界之内平靣中間線能遮兩界平靣者諸方皆作直線試如一方靣用一直繩施於 角繞靣運轉不礙於空是平靣也若曲靣者則中間線不遮兩界第八界平角者兩直線於平靣縱横相遇交接處凡言甲乙丙角皆指平角如上甲乙乙丙二線平行相遇不能作角如上甲乙乙丙二線雖相遇不作平角為是曲線所謂角止是兩線相遇不以線之大小較論第九界直線相遇作角為直線角平地兩直線相遇為直線角本書中所論止是直線角但作角有三等今附著於此一直線角二曲線角三雜線角 如下六圖第十界直線垂於横直線之上若兩角等必兩成直角而直線下垂者謂之横線之垂線量法常用兩直角及垂線垂線加於横線之上必不作銳角及鈍角若甲乙線至丙丁上則乙之左右作兩角相等為直角而甲乙為垂線若甲乙為横線則丙丁又為甲乙之垂線何者丙乙與甲乙相遇雖止一直角然甲線若垂下過乙則丙線上下定成兩直角所以丙乙亦為甲乙之垂線(如今)(用短尺一縱一横互相為直線互相為垂線)凡直線上有兩角相連是相等者定俱直角中間線為垂線反用之若是直角則兩線定俱是垂線第十一界凡角大于直角為鈍角如甲乙丙角與甲乙丁角不等而甲乙丙大於甲乙丁則甲乙丙為鈍角第十二界凡角小於直角為銳角如前圖甲乙丁是通上三界論之直角一而己鈍角銳角其大小不等乃至無數是後凡指言角者俱用三字為識其第二字即所指角也 如前圖甲乙丙三字第二乙字即所指鈍角若言甲乙丁即第二乙字是所指銳角第十三界界者一物之終始今所論有三界㸃為線之界線為靣之界靣為體之界體不可為界第十四界或在一界或在多界之間為形一界之形如平圓立圓等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 圖見後卷第十五界圜者一形於平地居一界之間自界至中心作直線俱等若甲乙丙為圜丁為中心則自甲至丁與乙至丁丙至丁其線俱等外圓線為圜之界内形為圜一說圜是一形乃一線屈轉一周復於元處所作如上圖甲丁線轉至乙丁乙丁轉至丙丁丙丁又至甲丁復元處其中形即成圜第十六界圜之中處為圜心第十七界自圜之一界作一直線過中心至他界為圜徑徑分圜兩平分甲丁乙戊圜自甲至乙過丙心作一直線為圜徑第十八界徑線與半圜之界所作形為半圜第十九界在直線界中之形為直線形第二十界在三直線界中之形為三邉形第二十一界在四直線界中之形為四邉形第二十二界在多直線界中之形為多邊形(五邉以上俱是)第二十三界三邊形三邊線等為平邊三角形第二十四界三邊形有兩邊線等為兩邊等三角形(或銳或鈍)第二十五界三邊形三邊線俱不等為三不等三角形第二十六界三邊形有一直角為三邊直角形第二十七界三邊形有一鈍角為三邊鈍角形第二十八界三邉形有三銳角為三邉各銳角形凡三邊形恒以在下者為底在上二邊為腰第二十九界四邊形四邊線等而角直為直角方形第三十界直角形其角俱是直角其邊兩兩相等如上甲乙丙丁形甲乙邊與丙丁邊自相等甲丙與乙丁自相等第三十一界斜方形四邊等俱非直角第三十二界長斜方形其邊兩兩相等俱非直角第三十三界以上方形四種謂之有法四邊形四種之外他方形皆謂之無法四邊形第三十四界兩直線於同靣行至無窮不相離亦不相逺而不得相遇為平行線第三十五界一形每兩邊有平行線為平行線方形第三十六界凡平行線方形若於兩對角作一直線其直線為對角線又於兩邊縱横各作一平行線其兩平行線與對角線交羅相遇即此形分為四平行線方形其兩形有對角線者為角線方形其兩形無對角線者為餘方形甲乙丁丙方形於丙乙兩角作一線為對角線又依乙丁平行作戊己線依甲乙平行作庚辛線其對角線與戊己庚辛兩線交羅相遇於壬即作大小四平行線方形矣則庚壬己丙及戊壬辛乙兩方形謂之角線方形而甲庚壬戊及壬己丁辛謂之餘方形求作四則求作者不得言不可作第一求自此㸃至彼㸃求作一直線此求亦出上篇葢自此㸃直行至彼㸃即是直線自甲至乙或至丙至丁俱可作直線第二求一有界直線求從彼界直行引長之如甲乙線從乙引至丙或引至丁俱一直行第三求不論大小以㸃爲心求作一圜第四求設一度於此求作彼度較此度或大或小(凡言度者或線或面或體)(皆是)或言較小作大可作較大作小不可作何者小之至極數窮盡故也此說非是凡度與數不同數者可以長不可以短長數無窮短數有限如百數減半成五十減之又減至一而止一以下不可損矣自百以上增之可至無窮故曰可長不可短也度者可以長亦可以短長者增之可至無窮短者減之亦復無盡嘗見莊子稱一尺之棰日取其半萬世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若減之可盡是有化爲無也有化爲無猶可言也令巳分者更復合之合之又合仍爲尺棰是始合之初兩無能并爲一有也兩無能并爲一有不可言也公論十九則公論者不可疑第一論設有多度彼此俱與他等則彼與此自相等第二論有多度等若所加之度等則合并之度亦等第三論有多度等若所減之度等則所存之度亦等第四論有多度不等若所加之度等則合并之度不等第五論有多度不等若所减之度等則所存之度不等第六論有多度俱倍於此度則彼多度俱等第七論有多度俱半於此度則彼多度亦等第八論有二度自相合則二度必等(以一度加一度之上)第九論全大於其分(如一尺大於一寸寸者全尺中十分中之一分也)第十論直角俱相等(見界說十)第十一論有二横直線或正或偏任加一縱線若三線之間同方兩角小於兩直角則此二横直線愈長愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直線任意作一戊己縱線或正或偏若戊己線同方兩角俱小於直角或并之小於兩直角則甲乙丙丁線愈長愈相近必有相遇之處欲明此理宜察平行線不得相遇者(界說卅四)加一垂線即三線之間定為直角便知此論兩角小於直角者其行不得不相遇矣第十二論兩直線不能為有界之形第十三論兩直線止能於一㸃相遇如云線長界近相交不止一㸃試於丙乙二界各出直線交於丁假令其交不止一㸃當引至甲則甲丁乙宜為甲丙乙圜之徑而甲丁丙亦如之(界說十七)夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也(界說十七)甲丁乙為全甲丁丙為其分而俱稱右半是全與其分等也(本篇九)第十四論有幾何度等若所加之度各不等則合并之差與所加之差等甲乙丙丁線等于甲乙加乙戊於丙丁加丁己則甲戊大於丙己者庚戊線也而乙戊大於丁己亦如之第十五論有幾何度不等若所加之度等則合并所贏之度與元所贏之度等如上圖反說之戊乙己丁線不等於戊乙加乙甲於己丁加丁丙則戊甲大於己丙者戊庚線也而戊乙大於己丁亦如之第十六論有幾何度等若所減之度不等則餘度所贏之度與減去所贏之度等甲乙丙丁線等於甲乙減戊乙於丙丁減己丁則乙戊大於丁己者庚戊也而丙己大於甲戊亦如之第十七論有幾何度不等若所減之度等則餘度所贏之度與元所贏之度等如十四論反說之甲戊丙己線不等於甲戊減甲乙於丙己減丙丁則乙戊長於丁己者亦庚戊也與甲戊長於丙己者等矣第十八論全與諸分之并等第十九論有二全度此全倍於彼全若此全所減之度倍於彼全所減之度則此較亦倍於彼較(相减之餘曰較)如此度二十彼度十於二十減六於十減三則此較十四彼較七幾何原本卷一之首
## 卷一
欽定四庫全書幾何原本卷一西洋利瑪竇撰第一題于有界直線上求立平邊三角形法曰甲乙直線上求立平邊三角形先以甲為心乙為界作丙乙丁圜次以乙為心甲為界作丙甲丁圜兩圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直線即甲乙丙為平邊三角形論曰以甲為心至圜之界其甲乙線與甲丙甲丁線等以乙為心則乙甲線與乙丙乙丁線亦等何者凡為圜自心至界各線俱等故(界説十五)既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙(公論一)三邊等如所求(凡論有二種此以是為論者正)(論也下倣此)其用法不必作兩圜但以甲為心乙為界作近丙一短界線乙為心甲為界亦如之兩短界線交處即得丙諸三角形俱推前用法作之(詳本篇卄二)第二題一直線線或内或外有一㸃求以㸃為界作直線與元線等法曰有甲㸃及乙丙線求以甲為界作一線與乙丙等先以丙為心乙為界(乙為心丙為界)(亦可作)作丙乙圜(第三求)次觀甲㸃若在丙乙之外則自甲至丙作甲丙線(第一求)如上前圖或甲在丙乙之内則截取甲至丙一分線如上後圖兩法俱以甲丙線為底任于上下作甲丁丙平邊三角形(本篇一)次自三角形兩腰線引長之(第二求)其丁丙引至丙乙圜界而止為丙戊線其丁甲引之出丙乙圜外稍長為甲己線末以丁為心戊為界作丁戊圜其甲己線與丁戊圜相交于庚即甲庚線與乙丙線等論曰丁戊丁庚線同以丁為心戊庚為界故等(界説十五)于丁戊線減丁丙丁庚線減丁甲其所減兩腰線等則所存亦等(公論三)夫丙戊與丙乙同以丙為心戊乙為界亦等(界説十五)即甲庚與丙乙等(公論一)若所設甲㸃即在丙乙線之一界其法尤易假如㸃在丙即以丙為心作乙戊圜從丙至戊即所求第三題兩直線一長一短求于長線減去短線之度法曰甲短線乙丙長線求于乙丙減甲先以甲為度從乙引至别界作乙丁線(本篇二)次以乙為心丁為界作圜(第三求)圜界與乙丙交于戊即乙戊與等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜故(界説十五)第四題兩三角形若相當之兩腰線各等各兩腰線間之角等則兩底線必等而兩形亦等其餘各兩角相當者俱等解曰甲乙丙丁戊己兩三角形之甲與丁兩角等甲丙與丁己兩線甲乙與丁戊兩線各等題言乙丙與戊己兩底線必等而兩三角形亦等甲乙丙與丁戊己兩角甲丙乙與丁己戊兩角俱等論曰如云乙丙與戊己不等即令將甲角置丁角之上兩角必相合無大小甲丙與丁己甲乙與丁戊亦必相合無大小(公論八)此二俱等而云乙丙與戊己不等必乙丙底或在戊己之上為庚或在其下為辛矣戊己既為直線而戊庚己又為直線則兩線當别作一形是兩線能相合為形也辛倣此(公論十二 此)(以非為論者駁論也下倣此)第五題三角形若兩腰等則底線兩端之兩角等而兩腰引出之其底之外兩角亦等解曰甲乙丙三角形其甲丙與甲乙兩腰等題言甲丙乙與甲乙丙兩角等又自甲丙線任引至戊甲乙線任引至丁其乙丙戊與丙乙丁兩外角亦等論曰試如甲戊線稍長即從甲戊截取一分與甲丁等為甲己(本篇三)次自丙至丁乙至己各作直線(第一求)即甲己乙甲丁丙兩三角形必等何者此兩形之甲角同甲己與甲丁兩腰又等甲乙與甲丙兩腰又等則其底丙丁與乙己必等而底線兩端相當之各兩角亦等矣(本篇四)又乙丙己與丙乙丁兩三角形亦等何者此兩形之丙丁乙與乙己丙兩角既等(本論)而甲己甲丁兩腰各減相等之甲丙甲乙線即所存丙己乙丁兩腰又等(公論三)丙丁與乙己兩底又等(本論)又乙丙同腰即乙丙丁與丙乙己兩角亦等也則丙之外乙丙己角與乙之外丙乙丁角必等矣(本篇四)次觀甲乙己與甲丙丁兩角既等于甲乙己減丙乙己角甲丙丁減乙丙丁角則所存甲丙乙與甲乙丙兩角必等(公論三)増從前形知三邊等形其三角俱等第六題三角形若底線兩端之兩角等則兩腰亦等解曰甲乙丙三角形其甲乙丙與甲丙乙兩角等題言甲乙與甲丙兩腰亦等論曰如云兩腰線不等而一長一短試辯之若甲乙為長線即令比甲丙線截去所長之度為乙丁線而乙丁與甲丙等(本篇三)次自丁至丙作直線則本形成兩三角形其一為甲乙丙其一為丁乙丙而甲乙丙全形與丁乙丙分形同也是全與其分等也(公論九)何者彼言丁乙丙分形之乙丁與甲乙丙全形之甲丙兩線既等丁乙丙分形之乙丙與甲乙丙全形之乙丙又同線而元設丁乙丙與甲丙乙兩角等則丁乙丙與甲乙丙兩形亦等也(本篇四)是全與其分等也故底線兩端之兩角等者兩腰必等也第七題一線為底出兩腰線其相遇止有一㸃不得别有腰線與元腰線等而于此㸃外相遇解曰甲乙線為底于甲于乙各出一線至丙㸃相遇題言此為一定之處不得于甲上更出一線與甲丙等乙上更出一線與乙丙等而不于丙相遇論曰若言有别相遇于丁者即問丁當在丙内邪丙外邪若言丁在丙内則有二説俱不可通何者若言丁在甲丙元線之内則如第一圖丁在甲丙兩界之間矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙與甲丁等也是全與其分等也(公論九)若言丁在甲丙乙三角頂間則如第二圖丁在甲丙乙之間矣即令自丙至丁作丙丁線而乙丁丙甲丁丙又成兩三角形次從乙丁引出至己從乙丙引出至戊則乙丁丙形之乙丁乙丙兩腰等者其底線兩端之兩角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外兩角己丁丙戊丙丁宜亦等也(本篇五)而甲丁丙形之甲丁甲丙兩腰等者其底線兩端之兩角甲丙丁甲丁丙宜亦等也(本篇五)夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而為其分今言甲丁丙與甲丙丁兩角等則甲丁丙亦小于戊丙丁矣何況己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外兩角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通何者若言丁在甲丙元線外是丁甲即在丙甲元線之上則甲丙與甲丁等矣即如上第一説駁之若言丁在甲丙乙三角頂外即如上第二説駁之若言丁在丙外而後出二線一在三角形内一在其外甲丁線與乙丙線相交如第五圖即令將丙丁相聯作直線是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜與甲丁丙兩角等也(本篇五)夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而為其分據如彼論則甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜與丁丙乙兩角等也(本篇五)夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而為其分據如彼論則丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説者豈不自相戾乎第八題兩三角形若相當之兩腰各等兩底亦等則兩腰間角必等解曰甲乙丙丁戊己兩三角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁己兩腰各等乙丙與戊己兩底亦等題言甲與丁兩角必等論曰試以丁戊己形加于甲乙丙形之上問丁角在甲角上邪否邪若在上即兩角等矣(公論八)或謂不然乃在于庚即問庚當在丁戊線之内邪或在三角頂之内邪或在三角頂之外邪皆依前論駁之(本篇七)系本題止論甲丁角若旋轉依法論之即三角皆同可見凡線等則角必等不可疑也第九題有直線角求兩平分之法曰乙甲丙角求兩平分之先于甲乙線任截一分為甲丁(本篇三)次于甲丙亦截甲戊與甲丁等次自丁至戊作直線次以丁戊為底立平邊三角形(本篇一)為丁戊己形末自己至甲作直線即乙甲丙角為兩平分論曰丁甲己與戊甲己兩三角形之甲丁與甲戊兩線等甲己同是一線戊己與丁己兩底又等(何言兩底等初)(從戊丁底作此三角平形此二線為腰各等戊丁故)則丁甲己與戊甲己兩角必等(本篇八)用法如上截取甲丁甲戊即以丁為心向乙丙間任作一短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處得己(本篇一)第十題一有界線求兩平分之法曰甲乙線求兩平分先以甲乙為底作甲乙丙兩邊等三角形(本篇一)次以甲丙乙角兩平分之(本篇九)得丙丁直線即分甲乙于丁論曰丙丁乙丙丁甲兩三角形之丙乙丙甲兩腰等而丙丁同線甲丙丁與乙丙丁兩角又等(本篇九)則甲丁與乙丁兩線必等(本篇四)用法以甲為心任用一度但須長于甲乙線之半向上向下各作一短界線次用元度以乙為心亦如之兩界線交處即丙丁末作丙丁直線即分甲乙于戊第十一題一直線任于一㸃上求作垂線法曰甲乙直線任指一㸃于丙求丙上作垂線先于丙左右任用一度各截一界為丁為戊(本篇)(二)次以丁戊為底作兩邊等角形(本篇一)為丁己戊末自己至丙作直線即己丙為甲乙之垂線論曰丁己丙與戊己丙兩角形之己丁己戊兩腰等而己丙同線丙丁與丙戊兩底又等即兩形必等丁與戊兩角亦等(本篇五)丁己丙與戊己丙兩角亦等(本篇)(八九)則丁丙己與戊丙己兩角必等矣等即是直角直角即是垂線(界説十角此後三角形多稱 形省文也)用法于丙㸃左右如上截取丁與戊即以丁為心任用一度但須長于丙丁線向丙上方作短界線次用元度以戊為心亦如之兩界線交處即己又用法于丙左右如上截取丁與戊即任用一度以丁為心于丙上下方各作短界線次用元度以戊為心亦如之則上交為己下交為庚末作己庚直線視直線交于丙㸃即得是用法又為嘗巧之法増若甲乙線所欲立垂線之㸃乃在線末甲界上甲外無餘線可截則于甲乙線上任取一㸃為丙如前法于丙上立丁丙垂線次以甲丙丁角兩平分之(本篇)(九)為己丙線次以甲丙為度于丁丙垂線上截戊丙線(本篇三)次于戊上如前法立垂線與己丙線相遇為庚末自庚至甲作直線如所求論曰庚甲丙與庚丙戊兩角形之甲丙戊丙兩線既等庚丙同線戊丙庚與甲丙庚兩角又等即甲庚戊庚兩線必等(本篇四)而對同邊之甲角戊角亦等(本篇四)戊既直角則甲亦直角是甲庚為甲乙之垂線(界説十)用法甲㸃上欲立垂線先以甲為心向元線上方任抵一界作丙㸃次用元度以丙為心作大半圜圜界與甲乙線相遇為丁次自丁至丙作直線引長之至戊為戊丁線戊丁與圜界相遇為己末自己至甲作直線即所求(此法今未)(能論論見第三卷第三十一題)第十二題有無界直線線外有一㸃求于㸃上作垂線至直線上法曰甲乙線外有丙㸃求從丙作垂線至甲乙先以丙為心作一圜令兩交于甲乙線為丁為戊次從丁戊各作直線至丙次兩平分丁戊于己(本篇十)末自丙至己作直線即丙己為甲乙之垂線論曰丙己丁丙己戊兩角形之丙丁丙戊兩線等丙己同線則丙戊己與丙丁己兩角必等(本篇八)而丁丙己與戊丙己兩角又等則丙己丁與丙己戊等皆直角(本篇四)而丙己定為垂線矣用法以丙為心向直線兩處各作短界線為甲為乙次用元度以甲為心向丙㸃相望處作短界線乙為心亦如之兩界線交處為丁末自丙至丁作直線則丙戊為垂線又用法于甲乙線上近甲近乙任取一㸃為心以丙為界作一圜界于丙㸃及相望處各稍引長之次于甲乙線上視前心或相望如前圖或進或退如後圖任移一㸃為心以丙為界作一圜界至與前圜交處得丁末自丙至丁作直線得戊(若近界作垂線無可截取亦用此法)第十三題一直線至他直線上所作兩角非直角即等于兩直角解曰甲線下至丙丁線遇于乙其甲乙丙與甲乙丁作兩角題言此兩角當是直角若非直角即是一鋭一鈍而并之等于兩直角論曰試于乙上作垂線為戊乙(本篇十一)令戊乙丙與戊乙丁為兩直角即甲乙丁甲乙戊兩鋭角并之與戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊兩鋭角又加戊乙丙一直角并此三角定與戊乙丙戊乙丁兩直角等也(公論十八)次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭直兩角定與甲乙丙鈍角等也次于甲乙戊戊乙丙鋭直兩角又加甲乙丁鋭角并此三角定與甲乙丁甲乙丙鋭鈍兩角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既與兩直角等則甲乙丁與甲乙丙兩角定與兩直角等(公論一)第十四題一直線于線上一㸃出不同方兩直線偕元線每旁作兩角若每旁兩角與兩直角等即後出兩線為一直線解曰甲乙線于丙㸃上左出一線為丙丁右出一線為丙戊若甲丙戊甲丙丁兩角與兩直角等題言丁丙與丙戊是一直線論曰如云不然令别作一直線必從丁丙更引出一線或離戊而上為丁丙己或離戊而下為丁丙庚也若上于戊則甲丙線至丁丙己直線上為甲丙己甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等(本篇十三)如此即甲丙戊甲丙丁兩角與甲丙己甲丙丁兩角亦等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙己兩角較之果相等乎(公論三)夫甲丙己本小于甲丙戊而為其分今曰相等是全與其分等也(公論九)若下于戊則甲丙線至丁丙庚直線上為甲丙庚甲丙丁兩角此兩角宜與兩直角等(本篇十三)如此即甲丙庚甲丙丁兩角與甲丙戊甲丙丁兩角亦等矣試減甲丙丁角而以甲丙戊與甲丙庚較之果相等乎(公論三)夫甲丙戊實小于甲丙庚而為其分今曰相等是全與其分等也(公論九)兩者皆非則丁丙戊是一直線第十五題凡兩直線相交作四角每兩交角必等解曰甲乙與丙丁兩線相交于戊題言甲戊丙與丁戊乙兩角甲戊丁與丙戊乙兩角各等論曰丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與兩直角等(本篇十三)甲戊線至丙丁線上則甲戊丙甲戊丁兩角與兩直角等(本篇十三)如此即丁戊乙甲戊丁兩角亦與甲戊丁甲戊内兩角等(公論十)試減同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙兩角必等(公論)(三)又丁戊線至甲乙線上則甲戊丁丁戊乙兩角與兩直角等(本篇十三)乙戊線至丙丁線上則丁戊乙丙戊乙兩角與兩直角等(本篇十三)如此即甲戊丁丁戊乙兩角亦與丁戊乙丙戊乙兩角(公論十)試減同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推顯兩直線相交于中㸃上作四角與四直角等二系一㸃之上兩直線相交不論幾許線幾許角定與四直角等(公論十八)増題一直線内出不同方兩直線而所作兩交角等即後出兩線為一直線解曰甲乙線内取丙㸃出丙丁丙戊兩線而所作甲丙戊丁丙乙兩交角等或甲丙丁戊丙乙兩交角等題言戊丙丙丁即一直線論曰甲丙戊角既與丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙兩角必與丁丙乙戊丙乙兩角等(公論二)而甲丙戊戊丙乙與兩直角等(本篇十三)則丁丙乙戊丙乙亦與兩直角等是戊丙丙丁為一直線(本篇十四)第十六題凡三角形之外角必大于相對之各角解曰甲乙丙角形自乙甲線引之至丁題言外角丁甲丙必大于相對之内角甲乙丙甲丙乙論曰欲顯丁甲丙角大于甲丙乙角試以甲丙線兩平分于戊(本篇十)自乙至戊作直線引長之從戊外截取戊巳與乙戊等(本篇三)次自甲至己作直線即甲戊己戊乙丙兩角形之戊己與戊乙兩線等戊甲與戊丙兩線等甲戊己乙戊丙兩交角又等(本篇十五)則甲己與乙丙兩底亦等(本篇)(四)兩形之各邊各角俱等而己甲戊與戊丙乙兩角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分則丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相對之甲丙乙内角乎次顯丁甲丙大于甲乙丙試自丙甲線引長之至庚次以甲乙線兩平分于辛(本篇)(十)自丙至辛作直線引長之從辛外截取辛壬與丙辛等(本篇三)次自甲至壬作直線依前論推顯甲辛壬辛丙乙兩角形之各邊各角俱等則壬甲辛與辛乙丙兩角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又與丁甲丙兩交角等(本篇十五)則甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎其餘乙丙上作外角俱大于相對之内角依此推顯第十七題凡三角形之每兩角必小于兩直角解曰甲乙丙角形題言甲乙丙甲丙乙兩角丙甲乙甲乙丙兩角甲丙乙丙甲乙兩角皆小于兩直角論曰試用兩邊線丙甲引出至戊丙乙引出至丁即甲乙丁外角大于相對之甲丙乙内角矣(本篇十六)此兩率者每加一甲乙丙角則甲乙丁甲乙丙必大于甲丙乙甲乙丙矣(公論四)夫甲乙丁甲乙丙與兩直角等也(本篇十三)則甲丙乙甲乙丙小于兩直角也餘二倣此第十八題凡三角形大邊對大角小邊對小角解曰甲乙丙角形之甲丙邊大于甲乙邊乙丙邊題言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙角論曰甲丙邊大于甲乙邊即于甲丙線上截甲丁與甲乙等(本篇三)自乙至丁作直線則甲乙丁與甲丁乙兩角等矣(本篇五)夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相對之丁丙乙内角(本篇十六)則甲乙丁角亦大于甲丙乙角而況甲乙丙又函甲乙丁于其中不又大于甲丙乙乎如乙丙邊大于甲乙邊則乙甲丙角亦大于甲丙乙角依此推顯第十九題凡三角形大角對大邊小角對小邊解曰甲乙丙角形乙角大于丙角題言對乙角之甲丙邊必大于對丙角之甲乙邊論曰如云不然令言或等或小若言甲丙與甲乙等則甲丙角宜與甲乙角等矣(本篇五)何設乙角大于丙角也若言甲丙小于甲乙則甲丙邊對甲乙大角宜大(本篇十八)又何言小也如甲角大于丙角則乙丙邊大于甲乙邊依此推顯第二十題凡三角形之兩邊并之必大于一邊解曰甲乙丙角形題言甲丙甲乙邊并之必大于乙丙邊甲丙丙乙并之必大于甲乙甲乙乙丙并之必大于甲丙論曰試于丙甲邊引長之以甲乙為度截取甲丁(本篇)(三)自丁至乙作直線令甲丁甲乙兩腰等而甲丁乙甲乙丁兩角亦等(本篇五)即丙乙丁角大于甲乙丁角亦大于丙丁乙角矣夫丁丙邊對丙乙丁大角也豈不大于乙丙邊對丙丁乙小角者乎(本篇十九)又甲丁甲乙兩線各加甲丙線等也則甲乙加甲丙者與丙丁等矣丙丁既大于乙丙則甲乙甲丙兩邊并必大于乙丙邊也餘二倣此第二十一題凡三角形于一邊之兩界出兩線復作一三角形在其内則内形兩腰并之必小于相對兩腰而後兩線所作角必大于相對角解曰甲乙丙角形于乙丙邊之兩界各出一線遇于丁題言丁丙丁乙兩線并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角論曰試用内一線引長之如乙丁引之至戊即乙甲戊角形之乙甲甲戊兩線并必大于乙戊線也(本篇二十)此二率者每加一戊丙線則乙甲甲戊戊丙并必大于乙戊戊丙并矣(公論四)又戊丁丙角形之戊丁戊丙線并必大于丁丙線也此二率者每加一丁乙線則戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣(公論四)夫乙甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙豈不更大于丁丙丁乙乎(本篇二十)又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相對之乙甲戊内角(本篇十六)即丁戊丙角形之乙丁丙外角更大于相對之丁戊丙内角矣而乙丁丙角豈不更大于乙甲丙角乎第二十二題三直線求作三角形其每兩線并大于一線也法曰甲乙丙三線其第一第二線并大于第三線(若兩線比第三線或等或小即不能作三角形見本篇二十)求作三角形先任作丁戊線長于三線并次以甲為度從丁截取丁巳線(本篇三)以乙為度從己截取己庚線以丙為度從庚截取庚辛線次以己為心丁為界作丁壬癸圜以庚為心辛為界作辛壬癸圜其兩圜相遇下為壬上為癸末以庚巳為底作癸庚癸巳兩直線即得己癸庚三角形(用壬亦可作線若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是兩 或等或小于第三線不成三角形)(矣)論曰此角形之丁己己癸線皆同圜之半徑等(界説十五)則己癸與甲等庚辛庚癸線亦皆同圜之半徑等則庚癸與丙等己庚元以乙為度則角形三線與所設三線等用法任以一線為底以底之一界為心第二線為度向上作短界線次以又一界為心第三線為度向上作短界線兩界線交處向下作兩腰如所求若設一三角形求别作一形與之等亦用此法第二十三題一直線任于一㸃上求作一角與所設角等法曰甲乙線于丙㸃求作一角與丁戊己角等先于戊丁線任取一㸃為庚于戊巳線任取一㸃為辛自庚至辛作直線次依甲乙線作丙壬癸角形與戊庚辛角形等(本篇卄二)即丙壬丙癸兩腰與戊庚戊辛兩腰等壬癸底與庚辛底又等則丙角與戊角必等(本篇八)第二十四題兩三角形相當之兩腰各等若一形之腰間角大則底亦大解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊兩腰甲丙與丁巳兩腰各等若乙甲丙角大于戊丁己角題言乙丙底必大于戊巳底論曰試依丁戊線從丁㸃作戊丁庚角與乙甲丙角等(本篇卄三)則戊丁庚角大于戊丁己角而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚線與丁巳等(本篇三)即丁庚丁巳俱與甲丙等又自戊至庚作直線是甲乙與丁戊甲丙與丁庚腰線各等乙甲丙與戊丁庚兩角亦等而乙丙與戊庚兩底必等也(本篇四)次問所作戊庚底今在戊巳底上邪抑同在一線邪抑在其下邪若在上即如第二圖自己至庚作直線則丁庚己角形之丁庚丁巳兩腰等而丁庚己與丁己庚兩角亦等矣(本篇五)夫戊庚己角乃丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分則戊庚己益小于戊巳庚也(公論九)則對戊庚己小角之戊己腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也(本篇十九)若戊巳與戊庚兩底同線即如第四圖戊己乃戊庚之分則戊己必小于戊庚也(公論九)若戊庚在戊巳之下即如第六圖自己至庚作直線次引丁庚線出于壬引丁巳線出于辛則丁庚丁巳兩腰等而辛巳庚壬庚己兩外角亦等矣(本篇五)夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之分則戊庚巳益小于戊己庚也(公論九)則對戊庚己小角之戊巳腰必小于對戊己庚大角之戊庚腰也(本篇)(十九)是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙(本篇四)也第二十五題兩三角形相當之兩腰各等若一形之底大則腰間角亦大解曰甲乙丙與丁戊己兩角形其甲乙與丁戊甲丙與丁巳各兩腰等若乙丙底大于戊巳底題言乙甲丙角大于戊丁巳角論曰如云不然令言或小或等若言等則兩形之兩腰各等腰間角又等宜兩底亦等(本篇四)何設乙丙底大也若言乙甲丙角小則對乙甲丙角之乙丙線宜亦小(本篇廿四)何設乙丙底大也第二十六題(二支)兩三角形有相當之兩角等及相當之一邊等則餘兩邊必等餘一角亦等其一邊不論在兩角之内及一角之對先解一邊在兩角之内者曰甲乙丙角形之甲乙丙甲丙乙兩角與丁戊己角形之丁戊巳丁巳戊兩角各等在兩角内之乙丙邊與戊巳邊又等題言甲乙與丁戊兩邊甲丙與丁巳兩邊各等而乙甲丙角與戊丁巳角亦等論曰如云兩邊不等而丁戊大于甲乙令于丁戊線截取庚戊與甲乙等(本篇三)次自庚至己作直線即庚戊巳角形之庚戊戊巳兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等矣夫乙角與戊角元等則甲丙與庚巳宜等(本篇四)而庚巳戊角與甲丙乙角宜亦等也(本篇四)既設丁己戊與甲丙乙兩角等今又言庚己戊與甲丙乙兩角等是庚己戊與丁己戊亦等全與其分等矣(公論)(九)以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等後解相等邊不在兩角之内而在一角之對者曰甲乙丙角形之乙角丙角與丁戊己角形之戊角丁己戊角各等而對丙之甲乙邊與對己之丁戊邊又等題言甲丙與丁己兩邊丙乙與己戊兩邊各等而甲角與戊丁己角亦等論曰如云兩邊不等而戊己大于乙丙令于戊己線截取戊庚與乙丙等(本篇三)次自丁至庚作直線即丁戊庚角形之丁戊戊庚兩邊宜與甲乙乙丙兩邊等矣夫乙角與戊角元等則甲丙與丁庚宜等(本篇四)而丁庚戊角與甲丙乙角宜亦等也既設丁巳戊與甲丙乙兩角等今又言丁庚戊與甲丙乙兩角等是丁庚戊外角與相對之丁巳戊内角等矣(本篇十六)可乎以此見兩邊必等兩邊既等則餘一角亦等第二十七題兩直線有他直線交加其上若内相對兩角等即兩直線必平行解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛而甲庚辛與丁辛庚兩角等題言甲乙丙丁兩線必平行論曰如云不然則甲乙丙丁兩直線必至相遇于壬而庚辛壬成三角形則甲庚辛外角宜大于相對之庚辛壬内角矣(本篇十六)乃先設相等乎若設乙庚辛角與丙辛庚角等亦依此論若言甲乙丙丁兩直線相遇于癸亦依此論第二十八題(二支)兩直線有他直線交加其上若外角與同方相對之内角等或同方兩内角與兩直角等即兩直線必平行先解曰甲乙丙丁兩直線加他直線戊己交于庚于辛其戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等題言甲乙丙丁兩線必平行論曰乙庚辛角與相對之内角丙辛庚等(本篇)(卄七)戊庚甲與乙庚辛兩交角亦等(本篇十五)即兩直線必平行後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等題言甲乙丙丁兩線必平行論曰甲庚辛丙辛庚兩角與兩直角等而甲庚戊甲庚辛兩角亦與兩直角等(本篇十三)試減同用之甲庚辛即所存甲庚戊與丙辛庚等矣既外角與同方相對之内角等即甲乙丙丁必平行(本題)第二十九題(三支)兩平行線有他直線交加其上則内相對兩角必等外角與同方相對之内角亦等同方兩内角亦與兩直角等先解曰此反前二題故同前圖有甲乙丙丁二平行線加他直線戊巳交于庚于辛題言甲庚辛與丁辛庚内相對兩角必等論曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚則丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣(公論四)夫辛庚甲辛庚乙元與兩直角等(本篇十三)據如彼論則丁辛庚辛庚乙兩角小于兩直角而甲乙丙丁兩直線向乙丁行必相遇也(公論十一)可謂平行線乎次解曰戊庚甲外角與同方相對之庚辛丙内角等論曰乙庚辛與相對之丙辛庚兩内角等(本題)則乙庚辛交角相等之戊庚甲(本篇十五)與丙辛庚必等(公論一)後解曰甲庚辛丙辛庚兩内角與兩直角等論曰戊庚甲與庚辛丙兩角既等(本題)而每加一甲庚辛角則庚辛丙甲庚辛兩角與甲庚辛戊庚甲兩角必等(公論二)夫甲庚辛戊庚甲本與兩直角等(本篇十三)則甲庚辛丙辛庚兩内角亦與兩直角等第三十題兩直線與他直線平行則元兩線亦平行解曰此題所指線在同面者不同面線後别有論如甲乙丙丁兩直線各與他線戊巳平行題言甲乙與丙丁亦平行論曰試作庚辛直線交加于三直線甲乙于壬戊巳于子丙丁于癸其甲乙與戊巳既平行即甲壬子與相對之己子壬兩内角等(本篇廿九)丙丁與戊巳既平行即丁癸子内角與己子壬外角亦等(本篇廿九)丁癸子與甲壬子亦為相對之内角亦等(公論一)而甲乙丙丁為平行線(本篇廿七)第三十一題一㸃上求作直線與所設直線平行法曰甲㸃上求作直線與乙丙平行先從甲㸃向乙丙線任指一處作直線為甲丁即乙丙線上成甲丁乙角次于甲㸃上作一角與甲丁乙等(本篇)(廿三)為戊甲丁從戊甲線引之至己即己戊與乙丙平行論曰戊己乙丙兩線有甲丁線聯之其所作戊甲丁與甲丁乙相對之兩内角等即平行線(本篇廿七)増從此題生一用法設一角兩線求作有法四邊形有角與所設角等兩兩邊線與所設線等法曰先作己丁戊角與丙等次截丁戊線與甲等己丁線與乙等末依丁戊平行作己庚依己丁平行作庚戊即所求本題用法于甲㸃求作直線與乙丙平行先作甲丁線次以丁為心任作戊己圜界次用元度以甲為心作庚辛圜界稍長于戊己次取戊己圜界為度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直線各引長之即所求又用法以甲㸃為心于乙丙線近乙處任指一㸃作短界線為丁次用元度以丁為心于乙丙上向丙截取一分作短界線為戊次用元度以戊為心向上與甲平處作短界線又用元度以甲為心向甲平處作短界線後兩界線交處為己自甲至己作直線各引長之即所求第三十二題(二支)凡三角形之外角與相對之内兩角并等凡三角形之内三角并與兩直角等先解曰甲乙丙角形試從乙丙邊引至丁題言甲丙丁外角與相對之内兩角甲乙并等論曰試作戊丙線與甲乙平行(本篇三一)令甲丙為甲乙戊丙之交加線則乙甲丙角與相對之甲丙戊角等(本篇卄九)又乙丁線與兩平行線相遇則戊丙丁外角與相對之甲乙丙内角等(本篇廿九)既甲丙戊與乙甲丙等而戊丙丁與甲乙丙又等則甲丙丁外角與内兩角甲乙并等矣後解曰甲乙丙三角并與兩直角等論曰既甲丙丁角與甲乙兩角并等更于甲丙丁加甲丙乙則甲丙丁甲丙乙兩角并與甲乙丙内三角并等矣(公論二)夫甲丙丁甲丙乙并元與兩直角等(本篇)(十三)則甲乙丙内三角并亦與兩直角等増從此推知凡第一形當兩直角第二形當四直角第三形當六直角自此以上至于無窮每命形之數倍之為所當直角之數(凡一線二線不能為形故三邊)(為第一形四邊為第二形五邊為第三形六邊為第四形倣此以至無窮)又視每形邊數減二邊即所存邊數是本形之數論曰如上四圖第一形三邊減二邊存一邊即是本形一數倍之當兩直角(本題)第二形四邊減二邊存二邊即是本形二數倍之當四直角欲顯此理試以第二形作一對角線成兩三角形每形當兩直角并之則當四直角矣第三形五邊減二邊存三邊即是本形三數倍之當六直角欲顯此理試以第三形作兩對角線成三三角形每形當兩直角并之亦當六直角矣其餘依此推顯以至無窮又一法每形視其邊數每邊當兩直角而減四直角其存者即本形所當直角論曰欲顯此理試于形中任作一㸃從此㸃向各角俱作直線令每形所分角形之數如其邊數每一分形三角當二直角(本題)其近㸃之處不論幾角皆當四直角(本篇十五之系)次減近㸃諸角即是減四直角其存者則本形所當直角如上第四形六邊中間任指一㸃從㸃向各角分為六三角形每一分形三角六形共十八角今于近㸃處減當四直角之六角所存近邊十二角當八直角餘倣此一系凡諸種角形之三角并俱相等(本題増)二系凡兩腰等角形若腰間直角則餘兩角每當直角之半腰間鈍角則餘兩角俱小于半直角腰間鋭角則餘兩角俱大于半直角三系平邊角形每角當直角三分之二四系平邊角形若從一角向對邊作垂線分為兩角形此分形各有一直角在垂線之下兩旁則垂線之上兩旁角每當直角三分之一其餘兩角每當直角三分之二増從三系可分一直角為三平分其法任于一邊立平邊角形次分對直角一邊為兩平分從此邊對角作垂線即所求如上圖甲乙丙直角求三分之先于甲乙線上作甲乙丁平邊角形(本篇一)次平分甲丁于戊(本篇九)末作乙戊直線第三十三題兩平行相等線之界有兩線聯之其兩線亦平行亦相等解曰甲乙丙丁兩平行相等線有甲丙乙丁兩線聯之題言甲丙乙丁亦平行相等線論曰試作甲丁對角線為甲乙丙丁之交加線即乙甲丁丙丁甲相對兩内角等(本篇卄九)又甲丁線上下兩角形之甲乙丙丁兩邊既等甲丁同邊則對乙甲丁角之乙丁線與對丙丁甲角之甲丙線亦等(本篇卄九)而乙丁甲與丙甲丁兩角亦等也(本篇四)此兩角者甲丙乙丁之内相對角也兩角既等則甲丙乙丁兩線必平行(本篇廿七)第三十四題凡平行線方形每相對兩邊線各等每相對兩角各等對角線分本形兩平分解曰甲乙丁丙平行方形(界説三五)題言甲乙與丙丁兩線甲丙與乙丁兩線各等又言乙與丙兩角乙甲丙與丙丁乙兩角各等又言若作甲丁對角線即分本形為兩平分論曰甲乙與丙丁既平行則乙甲丁與丙丁甲相對之兩内角等(本篇廿九)甲丙與乙丁既平行則乙丁甲與丙甲丁相對之兩内角等(本篇廿九)甲乙丁角形之乙甲丁乙丁甲兩角與甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁兩角既各等甲丁同邊則甲乙與丙丁甲丙與乙丁俱等也而丙角與相對之乙角亦等矣(本篇廿六)又乙丁甲角加丙丁甲角與丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙甲丙與丙丁乙相對兩角亦等也(公論二)又甲乙丁甲丁丙兩角形之甲乙乙丁兩邊與丁丙丙甲兩邊各等腰間之乙角與丙角亦等則兩角形必等(本篇四)而甲丁線分本形為兩平分第三十五題兩平行方形若同在平行線内又同底則兩形必等解曰甲乙丙丁兩平行線内有丙丁戊甲與丙丁乙巳兩平行方形同丙丁底題言此兩形等等者不謂腰等角等謂所函之地等後言形等者多倣此先論曰設己在甲戊之内其丙丁戊甲與丙丁乙己皆平行方形丙丁同底則甲戊與丙丁巳乙與丙丁各相對之兩邊各等(本篇三四)而甲戊與己乙亦等(公論一)試于甲戊己乙兩線各減己戊即甲己與戊乙亦等(公論三)而甲丙與戊丁元等(本篇三四)乙戊丁外角與己甲丙内角又等(本篇廿九)則乙戊丁與己甲丙兩角形必等矣(本篇四)次于兩角形每加一丙丁戊己無法四邊形則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形等也(公論二)次論曰設己戊同㸃依前甲戊與戊乙等乙戊丁與戊甲丙兩角形等(本篇四)而每加一戊丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙戊兩平行方形必等(公論二)後論曰設己㸃在戊之外而丙己與戊丁兩線交于庚依前甲戊與己乙兩線等而每加一戊己線即戊乙與甲己兩線亦等(公論二)因顯己甲丙與乙戊丁兩角形亦等(本篇四)次每減一己戊庚角形則所存戊庚丙甲與乙己庚丁兩無法四邊形亦等(公論三)次于兩無法形每加一庚丁丙角形則丙丁戊甲與丙丁乙己兩平行方形必等(公論二)第三十六題兩平行線内有兩平行方形若底等則形亦等解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊己與庚辛丁乙兩平行方形而丙戊與辛丁兩底等題言兩形亦等論曰試自丙至庚戊至乙各作直線相聯其丙戊庚乙各與辛丁等則丙戊與庚乙亦等(本篇卅四)庚乙與丙戊既平行線則庚丙與乙戊亦平行線(本篇卅三)而甲丙戊己與庚丙戊乙兩平行方形同丙戊底者等矣(本篇三五)庚辛丁乙與庚丙戊乙兩平行方形同庚乙底者亦等矣(本篇三五)既爾則庚辛丁乙與甲丙戊己亦等(公論一)第三十七題兩平行線内有兩三角形若同底則兩形必等解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁乙丙丁兩角形同丙丁底題言兩形必等論曰試自丁至戊作直線與甲丙平行次自丁至己作直線與乙丙平行(本篇三一)夫甲丙丁戊乙丙丁己兩平行方形在甲乙丙丁兩平行線内同丙丁底既等(本篇三五)則甲丙丁角形為甲丙丁戊方形之半與乙丙丁角形為乙丙丁己方形之半者(甲丁乙丁兩對角線平分兩方形見本篇卅四)亦等(公論七)第三十八題兩平行線内有兩三角形若底等則兩形必等解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙戊與乙己丁兩角形而丙戊與己丁兩底等題言兩形必等論曰試自庚至戊辛至丁各作直線與甲丙乙己平行(本篇卅一)其甲丙戊庚與乙己丁辛兩平行方形既等(本篇卅六)則甲丙戊與乙己丁兩角形為兩方形之半者(本篇卅四)亦等(公論七)増凡角形任于一邊兩平分之向對角作直線即分本形為兩平分論曰甲乙丙角形試以乙丙邊兩平分于丁(本篇十)自丁至甲作直線即甲丁線分本形為兩平分何者試于甲角上作直線與乙丙平行(本篇卅一)則甲乙丁甲丁丙兩角形在兩平行線内兩底等兩形亦等(本題)二増題凡角形任于一邊任作一㸃求從㸃分本形為兩平分法曰甲乙丙角形從丁㸃求兩平分先自丁至相對甲角作甲丁直線次平分乙丙線于戊(本篇十)作戊己線與甲丁平行(本篇卅一)末作己丁直線即分本形為兩平分論曰試作甲戊直線即甲戊己己丁戊兩角形在兩平行線内同己戊底者等而每加一己戊丙形則己丁丙與甲戊丙兩角形亦等(公論二)夫甲戊丙為甲乙丙之半(本題増)則己丁丙亦甲乙丙之半第三十九題兩三角形其底同其形等必在兩平行線内解曰甲乙丙與丁丙乙兩角形之乙丙底同其形復等題言在兩平行線内者葢云自甲至丁作直線必與乙丙平行論曰如云不然令從甲别作直線與乙丙平行(本篇卅一)必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲戊而乙丁線引出至戊即作戊丙直線是甲乙丙宜與戊丙乙兩角形等矣(本篇卅七)夫甲乙丙與丁丙乙既等而與戊丙乙復等是全與其分等也(公論)(九)設在甲丁下為甲己即作己丙直線是己丙乙與丁丙乙亦等如前駁之第四十題兩三角形其底等其形等必在兩平行線内解曰甲乙丙與丁戊己兩角形之乙丙與戊己兩底等其形亦等題言在兩平行線内者葢云自甲至丁作直線必與乙己平行論曰如云不然令從甲别作直線與乙己平行(本篇卅一)必在甲丁之上或在其下矣設在上為甲庚而戊丁線引出至庚即作庚己直線是甲乙丙宜與庚戊己兩角形等矣(本篇三八)夫甲乙丙與丁戊己既等而與庚戊己復等是全與其分等也(公論九)設在甲丁下為甲辛即作辛己直線是辛戊己與丁戊己亦等如前駁之第四十一題兩平行線内有一平行方形一三角形同底則方形倍大于三角形解曰甲乙丙丁兩平行線内有甲丙丁戊方形乙丁丙角形同丙丁底題言方形倍大于角形論曰試作甲丁直線分方形為兩平分則甲丙丁與乙丁丙兩角形等矣(本篇卅七)夫甲丙丁戊倍大于甲丙丁(本篇卅三)必倍大于乙丁丙第四十二題有三角形求作平行方形與之等而方形角有與所設角等法曰設甲乙丙角形丁角求作平行方形與甲乙丙角形等而有丁角先分一邊為兩平分如乙丙邊平分于戊(本篇十)次作丙戊己角與丁角等(本篇廿)次自甲作直線與乙丙平行(本篇卅一)而與戊己線遇于己末自丙作直線與戊己平行為丙庚(本篇卅一)而與甲己線遇于庚則得己戊丙庚平行方形與甲乙丙角形等論曰試自甲至戊作直線其甲戊丙角形與己戊丙庚平行方形在兩平行線内同底則己戊丙庚倍大于甲戊丙矣(本篇四一)夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙(本篇卅八)(増)即與己戊丙庚等(公論六)第四十三題凡方形對角線旁兩餘方形自相等解曰甲乙丙丁方形有甲丙對角線題言兩旁之乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形(界説卅六)必等論曰甲乙丙甲丙丁兩角形等(本篇卅四)甲戊庚甲庚辛兩角形亦等(本篇卅四)而于甲乙丙減甲戊庚于甲丙丁減甲庚辛則所存乙丙庚戊與庚丙丁辛兩無法四邊形亦等矣(公論三)又庚壬丙己角線方形之庚丙己庚丙壬兩角形等(本篇三四)而于兩無法四邊形每減其一則所存乙壬庚戊與庚己丁辛兩餘方形安得不等(公論三)第四十四題一直線上求作平行方形與所設三角形等而方形角有與所設角等法曰設甲線乙角形丙角求于甲線上作平行方形與乙角形等而有丙角先作丁戊己庚平行方形與乙角形等而戊己庚角與丙角等(本篇四二)次于庚己線引長之作己辛線與甲等次作辛壬線與戊己平行(本篇三一)次于丁戊引長之與辛壬線遇于壬次自壬至己作對角線引出之又自丁庚引長之與對線角遇于癸次自癸作直線與庚辛平行又于壬辛引長之與癸線遇于子末于戊己引長之至癸子線得丑即己丑子辛平行方形如所求論曰此方形之己辛線與甲等而辛己丑角為戊己庚之交角(本篇十五)則與丙等又本形與戊己庚丁同為餘方形等(本篇四三)則與乙角形等第四十五題有多邊直線形求作一平行方形與之等而方形角有與所設角等法曰設甲乙丙五邊形丁角求作平行方形與五邊形等而有丁角先分五邊形為甲乙丙三三角形次作戊己庚辛平行方形與甲等而有丁角(本篇四二)次于戊辛己庚兩平行線引長之作庚辛壬癸平行方形與乙等而有丁角(本篇四四)末復引前線作壬癸子丑平行方形與丙等而有丁角(本篇四四)即此三形并為一平行方形與甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至無窮俱倣此法論曰戊己庚與辛庚癸兩角等而每加一己庚辛角即辛庚癸己庚辛兩角定與己庚辛戊己庚兩角等夫己庚辛戊己庚是兩平行線内角與兩直角等也(本篇廿九)則己庚辛辛庚癸亦與兩直角等而己庚庚癸為一直線也(本篇十四)又戊辛庚與戊己庚兩對角等而辛壬癸與辛庚癸兩對角亦等則戊己庚辛庚辛壬癸皆平行方形也(本篇卅四)壬癸子丑依此推顯(本篇三十)即與戊己癸壬并為一平行方形矣増題兩直線形不等求相減之較幾何法曰甲與乙兩直線形甲大于乙以乙減甲求較幾何先任作丁丙己戊平行方形與甲等次于丙丁線上依丁角作丁丙辛庚平行方形與乙等(本題)即得辛庚戊己為相減之較矣何者丁丙己戊之大于丁丙辛庚較餘一辛庚戊己也則甲大于乙亦辛庚戊己也第四十六題一直線上求立直角方形法曰甲乙線上求立直角方形先于甲乙兩界各立垂線為丁甲為丙乙皆與甲乙線等(本篇十一)次作丁丙線相聯即甲乙丙丁為直角方形論曰甲乙兩角俱直角則丁甲丙乙為平行線(本篇廿八)此兩線自相等則丁丙與甲乙亦平行線(本篇三三)而甲乙丙丁四線俱平行俱相等又甲乙俱直角則相對丁丙亦俱直角(本篇卅四)而甲乙丙丁定為四直角方形第四十七題凡三邊直角形對直角邊上所作直角方形與餘兩邊上所作兩直角方形并等解曰甲乙丙角形于對乙甲丙直角之乙丙邊上作乙丙丁戊直角方形(本篇四六)題言此形與甲乙邊上所作甲乙己庚及甲丙邊上所作甲丙辛壬兩直角方形并等論曰試從甲作甲癸直線與乙戊丙丁平行(本篇卅一)分乙丙邊于子次自甲至丁至戊各作直線末自乙至辛自丙至己各作直線其乙甲丙與乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直線(本篇十四)依顯乙甲甲壬亦一直線又丙乙戊與甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即甲乙戊與丙乙己兩角亦等(公論二)依顯甲丙丁與乙丙辛兩角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊兩邊與丙乙己角形之己乙乙丙兩邊等甲乙戊與丙乙己兩角復等則對等角之甲戊與丙己兩邊亦等而此兩角形亦等矣(本篇四)夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底同在平行線内之丙乙己角形(本篇四一)而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行線内之甲乙戊角形則甲乙己庚不與乙戊癸子等乎(公論)(六)依顯甲丙辛壬直角方形與丙丁癸子直角形等則乙戊丁丙一形與甲乙己庚甲丙辛壬兩形并等矣一増凡直角方形之對角線上作直角方形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之甲丙線上作直角方形倍大于甲乙丙丁形二増題設不等兩直角方形如一以甲為邊一以乙為邊求别作兩直角方形自相等而并之又與元設兩形并等法曰先作丙戊線與甲等次作戊丙丁直角而丙丁線與乙等次作戊丁線相聨末于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁兩腰遇于己(公論十一)而等(本篇六)即己戊己丁兩線上所作兩直角方形自相等而并之又與丙戊丙丁上所作兩直角方形并等論曰己丁戊己戊丁兩角既皆半于直角則丁己戊為直角(本篇卅二)而對直角之丁戊線上所作直角方形與兩腰線上所作兩直角方形并等矣(本題)己戊與己丁既等則其上所作兩直角方形自相等矣又丁戊線上所作直角方形與丙丁丙戊線上所作兩直角方形并既等則己戊己丁上兩直角方形并與丙戊丙丁上兩直角方形并亦等三増題多直角方形求并作一直角方形與之等法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊為邊任等不等求作一直角方形與五形并等先作己庚辛直角而己庚線與甲等庚辛線與乙等次作己辛線旋作己辛壬直角而辛壬與丙等次作己壬線旋作己壬癸直角而壬癸與丁等次作己癸線旋作己癸子直角而癸子與戊等末作己子線題言己子線上所作直角方形即所求論曰己辛上作直角方形與甲乙兩形并等(本題)己壬上作直角方形與己辛及丙兩形并等餘倣此推顯可至無窮四増三邊直角形以兩邊求第三邊長短之數法曰甲乙丙角形甲為直角先得甲乙甲丙兩邊長短之數如甲乙六甲丙八求乙丙邊長短之數其甲乙甲丙上所作兩直角方形并既與乙丙上所作直角方形等(本題)則甲乙之羃(自乘之數曰羃)得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百開方得十即乙丙數十也又設先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之數其甲乙甲丙上兩直角方形并既與乙丙上直角方形等則甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百減三十六得甲丙之羃六十四六十四開方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此以開方盡實者為例其不盡實者自具筭家分法第四十八題凡三角形之一邊上所作直角方形與餘邊所作兩直角方形并等則對一邊之角必直角解曰此反前題如甲乙丙角形其甲丙邊上所作直角方形與甲乙乙丙邊上所作兩直角方形并等題言甲乙丙角必直角論曰試于乙上作甲乙丁直角而乙丁與乙丙兩線等次作丁甲線相聯其甲乙丁既直角則甲丁上直角方形與甲乙乙丁上兩直角方形并等(本篇四七)而甲乙乙丁上兩直角方形并與甲乙乙丙上兩直角方形并又等(甲乙同乙丁乙丙等故)即丁甲上直角方形與甲丙上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁兩腰與甲乙丙角形之甲乙乙丙兩腰既等而丁甲甲丙兩底又等則對底線之兩角亦等(本篇八)甲乙丁既直角即甲乙丙亦直角幾何原本卷一
## 卷二之首
欽定四庫全書幾何原本卷二之首西洋利瑪竇譯界説二則第一界凡直角形之兩邊函一直角者為直角形之矩線如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊即知直角形大小之度今别作戊線已線與甲乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小之度則戊偕已兩線為直角形之矩線此例與筭法通如上圖一邊得三一邊得四相乘得十二則三偕四兩邊為十二之矩數凡直角諸形之内四角皆直故不必更言四邊及平行線止名為直角形省文也凡直角諸形不必全舉四角止舉對角二字即指全形如甲乙丙丁直角形止舉甲丙或乙丁亦省文也第二界諸方形有對角線者其兩餘方形任偕一角線方形為磬折形甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙對角線從庚點作戊己辛壬兩線與方形邊平行而分本形為四方形其辛己庚乙兩形為餘方形辛戊己壬兩形為角線方形(一卷界説三六)兩餘方形任偕一角線方形為磬折形如辛己庚乙兩餘方形偕己壬角線方形同在癸子丑圜界内者是癸子丑磬折形也用辛戊角線方形倣此幾何原本卷二之首
## 卷二
欽定四庫全書幾何原本卷二西洋利瑪竇撰第一題兩直線任以一線任分為若干分其兩元線矩内直角形與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之為乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直角形與甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩線内直角形并等論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩線内(作法于乙界作庚乙丙界作己丙兩垂線俱與甲等為平)(行次作庚己直線與乙丙平行)次于丁戊兩點作辛丁壬戊兩垂線與庚乙己丙平行(一卷卅三)其辛丁與庚乙壬戊與己丙既平行則辛丁與壬戊亦平行而辛丁壬戊與己丙等即亦與甲等(一卷卅四)如此則乙辛直角形在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊矩線内戊己直角形在甲偕戊丙矩線内并之則三矩内直角形與甲偕乙丙兩元線矩内直角形等注曰二卷前十題皆言線之能也(能者謂其上能為直角形也如)(十尺線其上能為百尺方形之類)其説與筭數最近故九卷之十四題俱以數明此十題之理今未及詳因題意難顯畧用數明之如本題設兩數當兩線為六為十以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之一大實與六乘五為三十及六乘三為十八六乘二為十二之三小實并等第二題一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩内直角形并等解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙兩矩線内直角形并等論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形從丙點作己丙垂線與甲戊乙丁平行(一卷卅一)其甲戊與甲乙既等(一卷卅四)則甲己直角形在甲乙甲丙矩線内乙丁與甲乙既等則丙丁直角形在甲乙丙乙矩線内而此兩形并與甲丁直角方形等又論曰試别作丁線與甲乙等其甲乙線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形(即甲乙上直角方形)與甲丙偕丁丙乙偕丁兩矩線内直角形并等(本篇一)注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十乘七為七十及十乘三為三十之兩小實與十自之百一大羃等第三題一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分餘線偕一分線矩内直角形及一分線上直角方形并等解曰甲乙線任兩分于丙題言元線甲乙任偕一分線如甲丙矩内直角形(不論)(甲丙為長分為短分)與分餘丙乙偕甲丙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙巳垂線與甲戊平行(一卷卅一)而于戊丁引長之遇于己其甲戊與甲丙等則甲己直角形在元線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁與甲丙等則丙己直角形在一分線甲丙偕分餘線丙乙矩内而甲己直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等又論曰試别作丁線與一分線甲丙等其甲乙線既任分于丙則甲乙偕丁矩線内直角形(即甲)(乙偕甲丙矩線内直角形)與丁偕丙乙(即甲丙偕丙乙)丁偕甲丙(即甲)(丙上直角方形)兩矩線内直角形并等(本篇一)注曰以數明之設十數任兩分之為七為三如前圖則十乘七為七十與七乘三之實二十一及七自之羃四十九并等如後圖十乘三為三十與七乘三之實二十一及三之羃九并等第四題一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線内兩直角形并等解曰甲乙線任兩分于丙題言甲乙線上直角方形與甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等論曰試于甲乙線上作甲丁直角方形次作乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁平行遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行而分本形為四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊兩邊等而甲乙戊與甲戊乙兩角亦等(一卷五)夫甲乙戊形之三角并與兩直角等(一卷卅二)而甲為直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角(一卷卅之二系)依顯丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與内角丁等為直角(一卷卅九)而己戊度既半直角則己庚戊等為半直角矣角既等則己庚己戊兩邊亦等(一卷)(六)庚辛辛戊亦等(一卷卅四)而辛巳為直角方形也依顯丙壬亦直角方形也又庚辛與甲丙兩對邊等(一卷卅四)而乙丙與庚丙俱為直角方形邊亦等則辛己為甲丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又甲庚及庚丁兩直角形各在甲丙丙乙矩線内也則甲丁直角方形與甲丙丙乙兩線上兩直角方形及兩線矩内兩直角形并等矣系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形又論曰甲乙線既任分于丙則元線甲乙上直角方形與元線偕各分線矩内兩直角形并等(本篇二)又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等(本篇三)甲乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内直角形及丙乙上直角方形并等(本篇三)則甲乙上直角方形與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等注曰以數明之設十數任兩分之為七為三十之羃百與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之實兩二十一并等第五題一直線兩平分之又任兩分之其任兩分線矩内直角形及分内線上直角方形并與平分半線上直角方形等解曰甲乙線兩平分于丙又任兩分于丁其丙丁為分内線(丙丁線者丙乙所以大于丁乙之較又甲丁所)(以大于甲丙之較故曰分内線)題言甲丁丁乙矩線内直角形及分内線丙丁上直角方形并與丙乙線上直角方形等論曰試于丙乙線上作丙己直角方形次作乙戊對角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角線于辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線引長之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形(本篇四之系)而辛丁與丁乙兩線等(一卷卅四)癸辛與丙丁兩線等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩線内而癸庚為分内線丙丁上直角方形也今欲顯甲辛直角形及癸庚直角方形并與丙己直角方形等者于丙辛辛己相等之兩餘方形(一篇四三)每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己兩直角形等矣而甲癸與丙壬兩形同在平行線内又底等即形亦等(一卷)(卅六)則甲癸與丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形則丑寅卯罄折形豈不與甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形豈不與丙巳直角方形等也而甲辛癸庚兩形并亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線内直角形及丙丁上直角方形并與丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為八為二則三為分内數(三者五所以大于二之較又八所以大于五之)(較)二八之實十六三之羃九與五之羃二十五等第六題一直線兩平分之又任引増一直線共為一全線其全線偕引増線矩内直角形及半元線上直角方形并與半元線偕引増線上直角方形等解曰甲乙線兩平分于丙又從乙引長之増乙丁與甲乙通為一全線題言甲丁偕乙丁矩線内直角形及半元線丙乙上直角方形并與丙丁上直角方形等論曰試于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己平行末從壬癸線引長之遇于子夫乙壬癸庚皆直角方形(本篇四之系)而乙丁與丁壬兩線等(一卷卅四)癸辛與丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線内而癸庚為丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形及癸庚直角方形并與丙戊直角方形等者試觀甲癸與丙辛兩直角形同在平行線内又底等即形亦等(一卷卅六)而丙辛與辛戊等(一卷四三)則辛戊與甲癸亦等即又每加一丙壬直角形則丑寅卯磬折形與甲壬等夫磬折形加一癸庚形本與丙戊直角方形等也即甲壬癸庚兩形并亦與丙戊等也則甲丁乙丁矩線内直角形及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上直角方形等注曰以數明之設十數兩平分之各五又引増二共十二二乘之為二十四及五之羃二十五與七之羃四十九等第七題一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角方形并與元線偕一分線矩内直角形二及分餘線上直角方形并等解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙上及任用一分線如甲丙上兩直角方形并(不論甲丙為長分為短分)與甲乙偕甲丙矩内直角形二及分餘線丙乙上直角方形并等論曰試于甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行遇對角線于庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形(本篇四之系)而辛庚與甲丙等(一卷卅四)即辛己為甲丙上直角方形也又甲戊與甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩線内也又戊丁丁壬與甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩線内也夫甲己己壬兩直角形(即癸子丑罄折形)及丙壬直角方形并本與甲丁直角方形等今于甲己辛丁兩直角形并加一丙壬直角方形即與甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣則甲乙甲丙矩線内直角形二及丙乙上直角方形并與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十之羃百及六之羃三十六并與十六互乘之兩實百二十及四之羃十六等如後圖十之羃百及四之羃十六并與十四互乘之兩實八十及六之羃三十六等第八題一直線任兩分之其元線偕初分線矩内直角形四及分餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方形等解曰甲乙線任分于丙題言元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四(不論丙乙為長)(分為短分)及分餘線甲丙上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與丙乙等于全線上作甲戊直角方形次作丁巳對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線于辛次從丙作丙壬線與甲巳平行遇對角線于癸次從辛作子丑線與甲丁平行遇丙壬于寅末從癸作卯辰線與戊己平行遇乙庚于巳其卯壬寅巳乙丑俱角線方形(一卷卅四之系)而卯癸與甲丙兩線等(一卷卅四)即卯壬為甲丙上直角方形又寅辛與丙乙兩線等(一篇卅四)即寅巳為丙乙上直角方形與乙丑等(丙乙與乙)(丁等故)又乙辛辛巳兩線亦各與丙乙等而甲辛子巳兩直角形各在甲乙丙乙矩線内即等(子辛與甲乙等故)寅庚辛戊兩直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即又等(寅辛辛丑與丙乙乙丁等辛庚丑戊與等甲乙之子辛等故)寅巳既與乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚并與寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并為午未申磬折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本與甲戊直角方形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙上直角方形并與甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數任分之為六為四如前圖十六互乘之實四為二百四十及四之羃十六共二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之實四為一百六十及六之羃三十六共一百九十六與十四之羃等第九題一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分内線上兩直角方形并解曰甲乙線平分于丙又任分于丁題言甲丁丁乙上兩直角方形并倍大于平分半線甲丙上分内線丙丁上兩直角方形并論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等次作甲戊戊乙兩腰次從丁作丁己垂線遇戊乙于己從己作己庚線與甲乙平行遇戊丙于庚末作甲己線其甲丙戊角形之甲丙丙戊兩腰等即丙戊甲丙甲戊兩角亦等(一卷五)而甲丙戊為直角即餘兩角皆半直角(一卷卅二之系)依顯丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之戊庚己角為戊丙乙之外角即亦直角(一卷廿九)而庚戊己半直角即庚己戊亦半直角(一卷卅二之系)又庚戊己庚己戊兩角等即庚戊庚己兩腰亦等(一卷六)依顯丁乙己角形之丁乙丁己兩腰亦等夫甲丙戊角形之丙為直角即甲戊線上直角方形與甲丙丙戊線上兩直角方形并等(一卷四七)而甲丙丙戊上兩直角方形自相等即甲戊上直角方形倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚為直角即戊己線上直角方形與庚戊庚己線上兩直角方形并等(一卷四七)而庚戊庚己上兩直角方形自相等即戊己上直角方形倍大于等庚己之丙丁上直角方形矣(庚己丙丁為丙己直)(角形之對邊故見一卷卅四)則是甲戊戊己上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲己上直角方形既等于甲戊戊己上兩直角方形并又等于甲丁丁己上兩直角方形并(一篇四七)則甲丁丁己上兩直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角方形并豈不倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之為七為三分内數二其七之羃四十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及二之羃四第十題一直線兩平分之又任引増一線共為一全線其全線上及引増線上兩直角方形并倍大于平分半線上及分餘半線偕引増線上兩直角方形并解曰甲乙直線平分于丙又任引増為乙丁題言甲丁線上及乙丁線上兩直角方形并倍大于甲丙線上及丙丁線上兩直角方形并論曰試于丙上作丙戊垂線與甲丙等自戊至甲至乙各作腰線次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙引長之遇于庚次作戊己線與丙丁平行末作甲庚線依前題論推顯甲戊乙為直角丙戊乙為半直角即相對之戊庚己亦半直角(一卷廿九)又己為直角(一卷卅四)即己戊庚亦半直角(一卷卅二)而己戊己庚兩腰必等(一卷)(六)依顯乙丁丁庚兩腰亦等夫甲戊上直角方形等于甲丙丙戊上兩直角方形并(一卷四七)必倍大于甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上兩直角方形并(一卷四七)必倍大于對戊己邊之丙丁上直角方形(一卷卅四)則甲戊戊庚上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲庚上直角方形等于甲戊戊庚上兩直角方形并亦等于甲丁丁庚上兩直角方形并則甲丁丁庚上兩直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并也而甲丁乙丁上兩直角方形并倍大于甲丙丙丁上兩直角方形并矣(丁庚與乙丁等故)注曰以數明之設十數平分之各五又任増三為十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及八之羃六十四也第十一題一直線求兩分之而元線偕初分線矩内直角形與分餘線上直角方形等法曰甲乙線求兩分之而元線偕初分小線矩内直角形與分餘大線上直角方形等先于甲乙上作甲丙直角方形次以甲丁線兩平分于戊次作戊乙線次從戊甲引増至己而戊己線與戊乙等末于甲乙線截取甲庚與甲己等即甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等如所求論曰試于庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行其壬庚與丙乙等即與甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等而甲為直角即己庚為甲庚上直角方形也(一卷卅四)今欲顯庚丙直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁兩平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩線内直角形(即丁辛直角形)及甲戊上直角方形并與等戊己之戊乙上直角方形等(本篇六)夫戊乙上直角方形等于甲戊甲乙上兩直角方形并(一卷四七)即丁辛直角形及甲戊上直角方形并與甲戊甲乙上兩直角方形并等矣次各減同用之甲戊上直角方形即所存丁辛直角形不與甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等也注曰此題無數可解説見九卷十四題第十二題三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大于餘邊上兩直角方形并之較為鈍角旁任用一邊偕其引増線之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙為鈍角從餘角如甲下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙之引増線遇于丁為直角題言對鈍角之甲丙邊上直角方形大于甲乙乙丙邊上兩直角方形并之較為丙乙偕乙丁矩線内直角形二反説之則甲乙乙丙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直角方形等論曰丙丁線既任分于乙即丙丁上直角方形與丙乙乙丁上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等(本篇四)此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲丁上兩直角方形并與丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上兩直角方形并(一卷四七)即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并也又甲乙線上直角方形既等于乙丁甲丁上兩直角方形并(一卷四七)即甲丙上直角方形與甲乙丙乙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等矣第十三題三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小于餘邊上兩直角方形并之較為鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙于丁題言對甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小于乙丙甲丙邊上兩直角方形并之較為乙丙偕丁丙矩線内直角形二反説之則乙丙甲丙上兩直角方形并與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線内直角形二并等論曰乙丙線既任分于丁即乙丙丁丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁上直角方形并等(本篇七)此二率者每加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上兩直角方形并(一卷四七)即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上兩直角方形并(一卷四七)即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及甲乙上直角方形并等反説之則甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上兩直角方形并者為乙丙偕丁丙矩線内直角形二也注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角鈍角形中俱有兩鋭角(一卷十七卅二)即對鋭角邊上形亦同此論(如第二第三圖是)但三鋭角形所作垂線任用一角而直角形必用直角鈍角形必用鈍角此為異耳(直角鈍角形不用直角鈍角不能作垂線)第十四題有直線形求作直角方形與之等法曰甲直線無法四邊形求作直角方形與之等先作乙丁形與甲等而直角(一卷四五)次任用一邊引長之如丁丙引之至己而丙己與乙丙等次以丁巳兩平分于庚其庚點或在丙點或在丙點之外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣(葢丙己與乙丙等又與丙)(丁等而餘邊俱相等故乙丁為直角方形見一卷卅四)若庚在丙外即以庚為心丁巳為界作丁辛巳半圜末從乙丙線引長之遇圜界于辛即丙辛上直角方形與甲等論曰試自庚至辛作直線其丁巳線既兩平分于庚又任兩分于丙則丁丙偕丙巳矩内直角形(即乙丁直角形)(葢丙己與乙丙等故)及庚丙上直角方形并與等庚巳之庚辛上直角方形等(本篇五)夫庚辛上直角方形等于庚丙丙辛上兩直角方形并(一卷四七)即乙丁直角形及庚丙上直角方形并與庚丙丙辛上兩直角方形并等次各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形與乙丁直角形等増題凡先得直角方形之對角線所長于本形邊之較而求本形邊法曰直角方形之對角線所長于本形邊之較為甲乙而求本形邊先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁對角線又引長之為丁戊線而丁戊與甲丁等即得乙戊線如所求論曰試于乙戊作戊己垂線從乙甲線引長之遇于己其乙戊己既直角而戊乙己為半直角(一卷卅二)即戊己乙亦半直角而戊乙與戊己兩邊等(一卷六)次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戊庚形為戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁戊甲丁甲戊兩角等也(一卷五)夫乙戊己丁甲己既兩皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊兩角必等而己戊己甲兩邊必等(一卷六)則乙己對角線大于乙戊邊之較為甲乙矣 此増不在本書因其方形故類附于此幾何原本卷二
## 卷三之首
欽定四庫全書幾何原本卷三之首西洋利瑪竇譯界説十則第一界凡圜之徑線等或從心至圜界線等為等圜三卷將論圜之情故先為圜界説此解圜之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙庚丙兩圜等若下圖甲乙乙丙兩徑不等或丁己戊庚從心至圜界不等則兩圜亦不等矣第二界凡直線切圜界過之而不與界交為切線甲乙線切乙己丁圜之界乙又引長之至丙而不與界交其甲丙線全在圜外為切線若戊己線先切圜界而引之至庚入圜内則交線也第三界凡兩圜相切而不相交為切圜甲乙兩圜不相交而相切于丙或切于外如第一圖或切于内如第三圖其第二第四圖則交圜也第四界凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心逺近之度凡一點至一直線上惟垂線至近其他即逺垂線一而已逺者無數也故欲知點與線相去逺近必用垂線為度試如前圖甲點與乙丙線相去逺近必以甲丁垂線為度為甲丁一線獨去直線至近他若甲戊甲己諸線愈大愈逺乃至無數故如後圖説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁兩線其去戊心逺近等為己戊庚戊兩垂線等故若辛壬線去戊心近矣為戊癸垂線小故第五界凡直線割圜之形為圜分甲乙丙丁圜之乙丁直線任割圜之一分如甲乙丁及乙丙丁兩形皆為圜分凡分有三形其過心者為半圜分函心者為圜大分不函心者為圜小分又割圜之直線為弦所割圜界之一分為弧第六界凡圜界偕直線内角為圜分角以下三界論圜角三種本界所言雜圜也其在半圜分内為半圜角在大分内為大分角在小分内為小分角第七界凡圜界任于一點出兩直線作一角為負圜分角甲乙丙圜分甲丙為底于乙點出兩直線作甲乙丙角形其甲乙丙角為負甲乙丙圜分角第八界若兩直線之角乘圜之一分為乘圜分角甲乙丙丁圜内于甲點出甲乙甲丁兩線其乙甲丁角為乘乙丙丁圜分角圜角三種之外又有一種為切邊角或直線切圜或兩圜相切其兩圜相切者又或内或外如上圖甲乙線切丙丁戊圜于丙即甲丙丁乙丙戊兩角為切邊角又丙丁戊己戊庚兩圜外相切于戊及己戊庚己辛壬兩圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱為切邊角第九界凡從圜心以兩直線作角偕圜界作三角形為分圜形甲乙丙丁圜從戊心出戊甲戊丙兩線偕甲丁丙圜界作角形為分圜形第十界凡圜内兩負圜分角相等即所負之圜分相似甲乙丙丁圜内有甲乙己與丁丙戊兩負圜分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戊兩圜分相似又有兩圜或等或不等其負圜分角等即圜分俱相似如上三圖三圜之甲乙丙丁戊己庚辛壬三負圜分角等即所負甲乙丙丁戊己庚辛壬三圜分相似(相似者如云同為幾分圜之幾也)幾何原本卷三之首
## 卷三
欽定四庫全書幾何原本卷三西洋利瑪竇撰第一題有圜求尋其心法曰甲乙丙丁圜求尋其心先于圜之兩界任作一甲丙直線次兩平分之于戊(一卷)(十)次于戊上作乙丁垂線兩平分之于己即己為圜心論曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁線既平分于己離平分不能為心故必言心在乙丁線外為庚即令自庚至丙至戊至甲各作直線則甲庚戊角形之甲戊既與丙庚戊角形之丙戊兩邊等戊庚同邊而庚甲庚丙兩線俱從心至界宜亦等即對等邊之庚戊甲庚戊丙兩角宜亦等(一卷八)而為兩直角矣(一卷界説十)夫乙戊甲既直角而庚戊甲又為直角可不可也系因此推顯圜内有直線分他線為兩平分而作直角即圜心在其内第二題圜界任取二點以直線相聯則直線全在圜内解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二點作直線相聨題言甲丙線全在圜内論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙圜之戊心(本篇一)次作戊甲戊丙兩直線次于甲丁丙線上作戊乙丁線而與圜界遇于乙即戊甲丁丙當為三角形以甲丁丙為底戊甲戊丙兩腰等其戊甲丙戊丙甲兩角宜等(一卷五)而戊丁甲為戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角(一卷十六)則對戊丁甲大角之戊甲線宜大于戊丁線矣(一卷十九)夫戊甲與戊乙本同圜之半徑等據如所論則戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而在圜界依前論令戊甲大于戊乙亦不可通也第三題直線過圜心分他直線為兩平分其分處必為兩直角為兩直角必兩平分解曰乙丙丁圜有丙戊線過甲心分乙丁線為兩平分于己題言甲己必是垂線而己旁為兩直角又言己旁既為兩直角則甲己分乙丁必兩平分先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之乙己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊之甲己乙甲己丁亦等(一卷八)而為兩直角矣後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等(一卷五)又甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形之甲己丁甲丁己兩角各等而對直角之甲乙甲丁兩邊又等則己乙己丁兩邊亦等(一卷廿六)欲顯次論之㫖又有一説如甲丁上直角方形與甲己己丁上兩直角方形并等(一卷四七)而甲乙上直角方形與甲己乙己上兩直角方形并亦等即甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁上兩直角方形并亦等此二率者每減一甲己上直角方形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而兩邊亦等第四題圜内不過心兩直線相交不得俱為兩平分解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過己心(若一過心一不過心即兩線不得俱為兩平分其理易顯)而交于戊題言兩直線或有一線為兩平分不得俱為兩平分論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分于戊試令尋本圜心于己(本篇一)從己至戊作甲乙之垂線其己戊既分甲乙為兩平分即為兩直角(本篇三)而又能分丙丁為兩平分亦宜為兩直角是己戊甲為直角而己戊丙亦直角全與其分等矣第五題兩圜相交必不同心解曰甲乙丁戊乙丁兩圜交于乙于丁題言兩圜不同心論曰若言丙為同心令自丙至乙至甲各作直線其丙乙至圜交而丙甲截兩圜之界于戊于甲夫丙既為戊乙丁圜之心則丙乙與丙戊等而又為甲乙丁圜之心則丙乙與丙甲又等是丙戊與丙甲亦等而全與其分等也第六題兩圜内相切必不同心解曰甲乙丙乙兩圜内相切于乙題言兩圜不同心論曰若言丁為同心令自丁至乙至丙各作直線其丁乙至切界而丁丙截兩圜之界于甲于丙夫丁既為甲乙圜之心則丁乙與丁甲等而又為丙乙圜之心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與其分等也第七題圜徑離心任取一點從點至圜界任出幾線其過心線最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線者愈小而諸線中止兩線等解曰甲丙丁戊乙圜其徑甲乙其心己離心任取一點為庚從庚至圜界任出幾線為庚丙庚丁庚戊題先言從庚所出諸線惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁止可出兩線等先論曰試從已心出三線至丙至丁至戊其丙己庚角形之丙己己庚兩邊并大于丙庚一邊(一卷二十)而丙己己庚等于甲己己庚則庚甲大于庚丙依顯庚丁庚戊俱小于庚甲是庚甲最大次論曰己庚戊角形之己戊一邊小于己庚庚戊兩邊并(一卷二十)而己戊與己乙等則己乙小于己庚庚戊并矣次各減同用之己庚則庚乙小于庚戊依顯庚戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己兩邊等己庚同邊而丙己庚角大于丁己庚角(全大于分)則對大角之庚丙邊大于對小角之庚丁邊(一卷廿四)依顯庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小後論曰試依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界為己辛線次從庚作庚辛線其戊己庚角形之戊己腰與庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰兩腰間角又等則對等角之庚戊庚辛兩底亦等(一卷四)而庚乙兩旁之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之上即依第三論大于庚辛在辛之下即小于庚辛故云庚乙兩旁止可出庚戊庚辛兩線等第八題圜外任取一㸃從㸃任出幾線其至規内則過圜心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線為徑之餘者最小餘線愈近徑餘愈小而諸線中止兩線等解曰乙丙丁戊圜之外從甲㸃任出幾線其一為過癸心之甲壬其餘為甲辛為甲庚為甲己皆至規内(規内線者如車輻之指牙)題先言過心之甲壬最大次言近心之甲辛大于離心之甲庚甲庚又大于甲己三反上言規外之甲乙為乙壬徑餘者(規外)(線者如車輻之湊轂)最小四言甲丙近徑餘小于甲丁甲丁又小于甲戊後言甲乙兩旁止可出兩線等先論曰試從癸心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲癸辛角形之甲癸癸辛兩邊并大于甲辛一邊(一卷二十)而甲癸癸辛與甲壬等則甲壬大于甲辛依顯甲壬更大于甲庚甲己而過心之甲壬最大次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚兩邊等甲癸同邊而甲癸辛角大于甲癸庚角(全大于分)則對大角之甲辛邊大于對小角之甲庚邊(一卷廿四)依顯甲庚大于甲己而規内線愈離心愈小三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊小于甲丙丙癸兩邊并(一卷二十)次每減一相等之乙癸丙癸則甲乙小于甲丙矣依顯甲乙更小于甲丁甲戊而規外甲乙最小四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩邊并小于甲丁丁癸兩邊并(一卷廿一)此二率者每減一相等之丙癸丁癸則甲丙小于甲丁矣依顯甲丙更小于甲戊而愈近徑餘甲乙者愈小後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子兩腰與甲癸丙角形之甲癸癸丙兩腰各等而兩腰間角又等則對等角之甲子甲丙兩底亦等也(一卷四)此外若有從甲出線在子之上即依第四論小于甲丙在子之下即大于甲丙故云甲乙兩旁止可出甲丙甲子兩線等第九題圜内從一㸃至界作三線以上皆等即此㸃必圜心解曰從甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙甲丁三直線若等題言甲㸃為圜心三以上等者更不待論論曰試于乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直線相聨此兩線各兩平分于戊于己從甲出兩直線為甲戊為甲己其甲乙戊角形之甲乙與甲戊丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰乙戊戊丙兩底又等即甲戊乙與甲戊丙兩角亦等(一卷八)為兩直角依顯甲己丙甲己丁亦等為兩直角則甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分為直角而此兩線俱為函心線(本篇一之系)定相遇于甲甲為圜心矣又論曰若言甲非心心在于戊者令戊甲相聨引作己庚徑線即甲是戊心外所取一㸃而從甲所出線愈近心者宜愈大矣(本篇七)則甲丁宜大于甲丙而先設等何也第十題兩圜相交止于兩㸃論曰若言甲乙丙丁戊己圜與甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙乙丁兩直線相聯此兩線各兩平分于壬于癸次從壬癸作子壬子癸兩垂線其子壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各為兩直角即子壬子癸兩線俱為甲庚乙丁辛戊圜之函心線(本篇一之系)而子為其心矣依顯甲乙丙丁戊己圜亦以子為心也夫兩交之圜尚不得同心(本篇五)何縁得有三交又論曰若言兩圜三相交于甲于乙于丁令先尋甲庚乙丁辛戊圜之心于壬(本篇一)次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線此三線等也(一卷界説十五)又甲乙丙丁戊己圜内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線則壬又為甲乙丙丁戊己圜之心(本篇九)不亦交圜同心乎(本篇五)第十一題兩圜内相切作直線聯兩心引出之必至切界解曰甲乙丙甲丁戊兩圜内相切于甲而己為甲乙丙之心庚為甲丁戊之心題言作直線聨庚己兩心引抵圜界必至甲論曰如云不至甲而截兩圜界于乙丁及丙戊令從甲作甲己甲庚兩線其甲己庚角形之庚己己甲兩邉并大于庚甲一邉(一卷二十)而同圜心所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各減同用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲與己乙是内圜同心所出等線則己乙亦大于己丁而分大于全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邉并大于甲己一邉(一卷二十)而同圜心所出之己甲己戊宜等即己庚庚甲大于己戊矣此二率者各減同用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲與庚丙是内圜同心所出等線則庚丙亦大于庚戊而分大子全也可乎第十二題兩圜外相切以直線聯兩心必過切界解曰甲乙丙丁乙戊兩圜外相切于乙其甲乙丙心為己丁乙戊心為庚題言作己庚直線必過乙論曰如云不然而己庚線截兩圜界于戊于丙令于切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角形之己乙乙庚兩邊并大于己庚一邊而乙庚與庚戊乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚戊丙己兩線并亦大于庚己一線矣(一卷二十)夫庚己線分為庚戊丙己尚餘丙戊而云庚戊丙己大于庚己則分大于全也故直線聨己庚必過乙第十三題(二支)圜相切不論内外止以一㸃先論曰甲乙丙丁與甲戊丙己兩圜内相切若云有兩㸃相切于甲又于丙令作直線函兩圜心庚辛引出之如前圖宜至相切之甲之丙(本篇十一)則甲丙為兩圜之同徑矣而此徑線者兩平分于庚又兩平分于辛何也(一直線止以一㸃兩平分)若云庚辛引出直線一抵甲一截兩圜之界于癸于壬即如後圖令從兩心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁圜之心為庚邪辛邪如曰庚也而辛為甲戊内己之心則丙庚辛角形之庚辛辛丙兩邊并大于庚丙一邊(一卷)(二十)而庚辛辛丙與庚癸宜等(辛癸辛丙同圜心所出故)即庚癸亦大于庚丙矣夫庚丙與庚壬者外圜同心所出等線也將庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戊丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙兩邊并大于辛丙一邊(一卷二十)而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙亦大于辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦大于庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圜心所出等線也而安有大小後論曰甲乙與乙丙兩圜外相切于已從甲乙之丁心丙乙之戊心作直線相聨必過已(本篇十三)若云又相切于乙令自乙至丁至戊各作直線其丁乙乙戊并宜與丁戊等而為角形之兩腰又宜大于丁戊(一卷二十)則兩圜相切安得兩㸃又後論曰更令于兩相切之乙之己作直線相聨其直線當在甲乙圜内(本篇二)又當在乙丙圜内何所置之第十四題(二支)圜内兩直線等即距心之逺近等距心之逺近等即兩直線等先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙兩線等題言兩線距戊心逺近亦等論曰試從戊心向甲乙作戊己向丁丙作戊庚各垂線次自丁自甲至戊各作直線其戊己戊庚既各分甲乙丁丙線為兩平分(本篇三)而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形并等(一卷四七)等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩直角方形并等而甲己丁庚上兩直角方形既等即戊己戊庚上兩直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦等是甲乙丁丙兩線距心之度等(本卷界説四)後解曰甲乙丁丙兩線距戊心逺近等題言甲乙丁丙兩線亦等論曰依前論從戊作戊己戊庚兩垂線既等(本卷界説四)而分甲乙丁丙各為兩平分(本篇)(三)其甲戊上直角方形與甲己己戊上兩直角方形并等(一卷四七)等甲戊之丁戊上直角方形與丁庚庚戊上兩直角方形并等即甲己己戊上兩直角方形并與丁庚庚戊上兩直角方形并亦等此二率者每減一相等之己戊戊庚上直角方形即所存甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等第十五題徑為圜内之大線其餘線者近心大于逺心解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其徑甲己其近心線為辛壬逺心線為丙丁題言甲乙最大辛壬近心大于丙丁逺心論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂線其丙丁距心逺于辛壬即庚癸大于庚子(本卷界説四)次于庚癸線截庚丑與庚子等次從丑作乙戊為庚癸之垂線末于庚乙庚丙庚丁庚戊各作直線相聯其庚丑既等于庚子即乙戊與辛壬各以垂線距心逺近等(本卷界説四)而兩線亦等(本篇十四)夫庚乙庚戊并大于乙戊(一卷二十)而與甲己等即甲己大于乙戊亦大于辛壬矣依顯甲己大于他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戊兩腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁兩腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角則乙戊底大于丙丁底(一卷廿四)故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心線大于逺心線也第十六題(三支)圜徑末之直角線全在圜外而直線偕圜界所作切邊角不得更作一直線入其内其半圜分角大于各直線鋭角切邊角小于各直線鋭角先解曰甲乙丙圜丁為心甲丙為徑從甲作甲丙之垂線題言此線全在圜外論曰若言在内如甲乙令自丁至乙作直線即丁甲乙與丁乙甲兩角等(一卷五)丁甲既為直角丁乙又為直角乎夫角形三角并等兩直角(一卷十七)豈得形内自有兩直角也則垂線必在圜外若己戊必不在圜内若甲乙又不在圜界之上(如云在界亦依此論)故曰全在圜外次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角不得更作一直線入其内論曰若云可作如庚甲令從丁心向庚甲作丁辛為庚甲之垂線(一卷十二)夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角并小于兩直角(一卷十七)而丁辛甲為直角即對小角之丁辛線小于對大角之甲丁線矣(一卷十九)甲丁者與丁壬為同圜相等者也將丁壬亦大于丁辛乎則戊甲乙角之内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本圜之内也後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直線鋭角而戊甲垂線偕乙甲圜界所作切邊角小于各直線鋭角論曰依前論甲戊下有直線既云必入圜内即此直線偕戊甲所作各直線鋭角皆小于圜分角而切邊角小于各直線鋭角系己甲線必切圜以一㸃増先解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙從甲作戊甲為甲丙之垂線題言戊甲全在圜外増正論曰試于甲戊線内任取一㸃為庚自庚至丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲兩角小于兩直角(一卷十七)而丁甲庚為直角即丁庚甲小于直角對大角之丁庚線大于對小角之丁甲線矣(一卷十九)則庚㸃在圜之外也凡戊甲以内作㸃皆依此論故戊甲線全在圜外増次解曰從甲作甲辛線在戊甲之下題言甲辛必割圜為分増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁兩角并等于戊甲丁直角必小于兩直角而丁壬甲辛兩線必相遇(分論十一)其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直角等即甲壬丁必為直角(一卷卅二)而對大角之甲丁線必大于對小角之丁壬線矣(一卷十九)夫甲丁線僅至圜界則丁壬不能抵圜界必在圜之内也後支前已正論或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者聞幾何之分不可窮盡如莊子尺棰之義深著明矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾何若從大者半減之減之又減必至一處小于所設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小于直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾何也若從直線鋭角半減之減之又減何以終竟不得小于切邊角邪既本題推顯切邊角中不得容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也有圜有線安得無切邊角且既言直線鋭角大于切邊角即有切邊角矣苟無角安所較大小哉且子言直線與圜界并無切邊角則兩圜外相切亦無角乎曰然曰試如作甲己乙圜其心丙而丁戊為切線即丁甲己為切邊角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛為切邊角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑為切邊角而又小于丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又于切線之外以辰為心作甲己午圜而與前圜外相切于甲依子所説疑無角焉然兩圜外相切而以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截兩圜之界而分丁戊為兩平分不可分乎兩圜兩直線交羅相遇于甲也能不皆以一㸃乎如以一㸃也即此一㸃之外不能無空即不能不為四切邊角矣子所據尺棰之分無盡又言幾何原本書中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可以直線分之耳若用圜線則可分矣如甲乙庚圜與丙甲丁直線相切于甲作丁甲庚切邊大角若移一心作甲戊辛圜又得丁甲辛切邊角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切邊小角即又小于丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何謂不可減邪若十卷第一題所言元無可疑但以圜角分圜角則與其説合矣彼所言大小兩幾何者謂夫能相較為大能相較為小者也如以直線分直線角以圜線分圜線角是已此切邊角與直線角豈能相較為大小哉増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞増至于無窮以大率半減之遞減至于無窮其元大者恒大元小者恒小解曰戊甲乙切邊角為小率壬庚辛直線鋭角為大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己線于甲其切邊角愈増愈大如前論别以庚癸庚子線作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直線角恒大切邊角恒小乃至終古不得相比又増題舊有一説以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之處又一説有率大于此率者有率小于此率者則必有率等于此率者昔人以為皆公論也若用以律本題即不可得故今斥不為公論解曰甲乙丙圜其徑甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙線逐線漸移之向已其所經丁戊己及中間逐線所經無數然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆為鋭角即小于半圜分角纔離鋭角便為直角即大于半圜分角是所經無數線終無有相等線可見前一舊説未為公論又直線鋭角皆小于半圜分角直角與鈍角皆大于半圜分角是有大者有小者終無等者可見後一舊説未為公論也第十七題設一㸃一圜求從㸃作切線法曰甲㸃求作直線切乙丙圜其圜心丁先從甲作甲丁直線截乙丙圜于乙次以丁為心甲為界作甲戊圜次從乙作甲丁之垂線而遇甲戊圜于戊次作戊丁直線而截乙丙圜于丙末作甲丙直線即切乙丙圜于丙論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙兩腰與甲丙丁角形之甲丁丁丙兩腰各等(一卷界説十五)丁角同即甲丙乙戊兩底亦等(一卷四)而戊乙丁為直角即甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙圜之半徑丁丙為一直角矣豈非圜之切線(本篇十六之系)第十八題直線切圜從圜心作直線至切界必為切線之垂線解曰甲乙直線切丙丁圜于丙從戊心至切界作戊丙線題言戊丙為甲乙之垂線論曰如云不然令從戊别作垂線如至已而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既為直角即宜大于己丙戊角(一卷十七)而對大角之戊丙邊宜大于對小角之戊己邊矣(一卷十九)夫戊丙與戊丁等也戊丙大于戊已則戊丁亦大于戊己乎又論曰若云丙非直角即其兩旁角一鋭一鈍令乙丙戊為鋭角則鋭角乃大于半圜分角乎(本篇十六)第十九題直線切圜圜内作切線之垂線則圜心必在垂線之内解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙為甲乙之垂線題言圜心在戊丙線内論曰如云不然心在于已令從已作己丙直線即己丙亦為甲乙之垂線(本篇十八)而已丙甲與戊丙甲等為直角是全與其分等矣第二十題負圜角與分圜角所負所分之圜分同則分圜角必倍大于負圜角解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙負圜角同以乙丙圜分為底題言乙丁丙角倍大于乙甲丙角先論分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲兩角等(一卷五)而乙丁戊外角與内相對兩角并等(一卷卅二)即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依顯丙丁戊亦倍大于丙甲丁則乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁丙外角等于内相對之丁甲丙丁丙甲兩角并(一卷卅二)而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等(一卷)(五)則乙丁丙角倍大于乙甲丙角後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截丁丙者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊線其戊丁丙分圜角與戊甲丙負圜角同以戊乙兩圜分為底如前次論戊丁丙角倍大于戊甲丙角依顯戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙負圜角次于戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角増若乙丁丁丙不作角于心或為半圜或小于半圜則丁心外餘地亦倍大于同底之負圜角論曰試從甲過丁心作甲戊線即丁心外餘地分為乙丁戊戊丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大于乙甲丁丁甲丙兩角第二十一題凡同圜分内所作負圜角俱等解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙兩角題言此兩角等先論函心大分所作曰試從戊作戊丁戊丙線其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角(本篇十二)即甲乙兩角自相等(公論七)後論半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或為半圜分或為不函心小分俱從甲從乙過戊作甲己乙庚兩線若不函心更從戊作戊丁戊丙兩線其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己負圜角(本篇二十)依顯丙戊己分圜角亦倍大于丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊己兩角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依顯此三角亦倍大于丁乙丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等又後論曰二十題増言分圜不作角其心外餘地倍大于同底各負圜角即各角自相等又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇為已試作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并與乙丙己角形之三角并等(一卷卅二)次每減一交角相等之甲己丁乙己丙(一卷十五)即己甲丁己丁甲兩角并與己丙乙己乙丙兩角并等矣而甲丁乙乙丙甲兩角同在甲丁丙乙函心大分内又等(本題第一論)則丁甲丙與丙乙丁亦等又後論曰丁丙之外任取一界為已作丁己丙己兩線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙甲丁己俱為大分次于甲己乙己各作直線相聨其丁甲已與丁乙己兩角同負于甲乙丙己圜界即等(本題第一論)依顯丙乙己與丙甲已兩角同負丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等第二十二題圜内切界四邊形每相對兩角并與兩直角等解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四邊形題言甲乙丙丙丁甲兩角并乙丙丁丁甲乙兩角并各與兩直角等論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圜分即等(本篇)(廿一)依顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等則甲乙丁丙乙丁兩角并為甲乙丙一角與甲丙丁丙甲丁兩角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲并與甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元與兩直角等(一卷卅二)則甲乙丙丙丁甲相對兩角并與兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直角等第二十三題一直線上作兩圜分不得相似而不相等論曰如云不然令于甲乙線上作同方兩圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲丁乙其兩圜相交止于甲乙兩㸃(本篇十)即一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁線截甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙兩線相聨夫兩圜分相似者其負圜角宜等(本卷界説十)則乙丙甲外角與相對之乙丁甲内角等乎(一卷十六)第二十四題相等兩直線上作相似兩圜分必等解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁相似兩圜分題言兩圜分等論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙己丁兩圜分相加亦相合如云不然必兩圜分相加或在内或在外或半在内半在外矣若在内在外即一直線上有兩圜分相似而不相等也(本篇廿三)若半在内半在外即兩圜三相交也(本篇十)兩俱不可故相似者必等第二十五題有圜之分求成圜法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之兩端作甲丙線次作乙丁為甲丙之垂線次作甲乙線相聯其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等或小若大即甲乙丙當為圜之小分何也乙丁分甲丙為兩平分即知圜之心必在乙丁線内(本篇一之系)而心在丁㸃之外則從丁㸃所出丁乙為不過心徑線至小(本篇七)故對小邊之丁甲乙角小于對大邊之丁乙甲角也(一卷十八)即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從乙丁引出一線與甲戊線遇于戊即戊為圜心論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊兩皆直角即對直角之甲戊與戊丙兩線等(一卷四)夫甲戊與乙戊以對角等故既等(一卷六)戊丙與甲戊又等則從戊至界三線皆等而戊為心(本篇九)次法兼論曰若丁乙甲丁甲乙兩角等即甲乙丙為半圜而甲丙為徑丁為心何也丁乙丁甲兩邊等然後丁乙甲丁甲乙兩角等(一卷)(五)今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必等(一卷六)丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁為圜心(本篇九)後法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙當為圜大分何也乙丁分甲丙為兩平分即知圜心在乙丁線内(本篇一之系)而丁㸃在心之外則所出丁乙為過心徑線至大(本篇七)故對大邊之丁甲乙大于對小邊之丁乙甲也(一卷十八)即作乙甲戊角與丁乙甲角等而甲戊線與乙丁線遇于戊即戊為圜心論曰試從戊作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊兩皆直角即對直角之甲戊戊丙兩線亦等(一卷四)夫乙戊與甲戊以對角等故既等(一卷五)戊丙與甲戊亦等則從戊至界三線皆等而戊為心(本篇九)増求圜分之心有一簡法于甲乙丙圜分任取三㸃于甲于乙于丙以兩直線聯之各兩平分于丁于戊從丁從戊作甲乙乙丙之各垂線為己丁為己戊而相遇于己即已為圜心論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩線即圜之心當在兩垂線内(本篇一)而相遇于已即已為圜心其用法圜界上任取四㸃為甲為乙為丙為丁每兩㸃各自為心相向各任作圜分四圜分兩兩相交于戊于己于庚于辛從戊己從庚辛各作直線引長之交于壬即壬為圜心論曰試作甲戊戊乙乙己己甲四直線此四線各為同圜等圜之半徑各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊兩角亦等次作甲乙直線分戊己于癸即甲己癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角之乙癸邊亦等(一卷八)則甲癸己乙癸己俱為直角而戊己線必過心(本篇一)依顯庚辛線亦過心而相遇于壬為圜心第二十六題(二支)等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為辛有甲庚丙與丁辛己兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等論曰試于甲乙丙丁戊己兩圜分之上任取兩㸃于乙于戊從乙作乙甲乙丙從戊作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線相聯其乙與戊兩角既各半于庚辛兩角即乙與戊自相等(本篇二十)而所負甲乙丙與丁戊己兩圜分相似(本卷界説十)又甲庚丙角形之甲庚庚丙兩邊與丁辛己角形之丁辛辛己兩邊各等庚角與辛角又等即甲丙與丁己兩邊亦等(一卷四)而相似之甲乙丙與丁戊己兩圜分在等線上亦等(本篇卄四)夫相等圜減相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等故云等角所乗之圜分等後解在界者曰兩圜之乙與戊兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩圜分亦等論曰乙戊兩角既等而庚辛兩角各倍于乙戊即庚辛自相等(本篇二十)依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而甲乙丙與丁戊己兩圜分亦等(本篇廿四)今于相等圜減相等圜分則所存甲丙丁己兩圜分亦等注曰後解極易明葢庚辛角既各倍于乙戊則依先論甲丙丁己自相等(在心之乘圜角即分圜角隨類異名)第二十七題(二支)等圜之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為辛若甲庚丙乘圜角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題言甲庚丙丁辛己兩角等論曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角與丁辛己角等即甲壬圜分宜與丁己圜分等(本篇)(廿六)而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎後解在界者曰甲丙丁己兩圜分等題言其上乙戊兩角亦等論曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角與戊角等其甲乙壬與丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜等(本篇廿六)而甲丙與丁己元等則甲壬與甲丙亦等乎増題從此推顯兩直線不相交而在一圜之内若兩線界相去之圜分等則兩線必平行若兩線平行則兩線界相去之圜分等先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙兩線其相去之甲乙丁丙兩圜分等題言兩線必平行論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等即甲丙乙與丙甲丁兩乘圜角亦等(本題)既内相對之兩角等即兩線必平行(一卷廿七)後解曰甲丁乙丙為平行線題言甲乙丁丙兩圜分必等論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行即内相對之兩角甲丙乙丙甲丁必等(一卷廿七)而所乘圜分甲乙丁丙亦等(本篇廿六)第二十八題等圜内之直線等則其割本圜之分大與大小與小各等解曰甲乙丙丁戊己兩圜等其心為庚為辛圜内有甲丙丁己兩直線等題言甲乙丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分各等論曰試于甲庚庚丙丁辛辛己各作直線其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之丁己兩底既等而甲庚庚丙兩腰與丁辛辛己兩腰又等即庚辛兩角亦等(一卷八)其所乘之甲丙丁己兩小分必等(本篇廿六)次減相等之甲丙丁己兩小分則所存甲乙丙丁戊己兩大分亦等第二十九題等圜之圜分等則其割圜分之直線亦等解曰依前題兩圜之甲乙丙丁戊己兩圜分等而甲丙丁己兩圜分亦等題言甲丙丁己兩線必等論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲庚庚丙兩腰與丁辛己角形之丁辛辛己兩腰等而庚辛兩角所乘之甲丙丁己兩圜分等即庚辛兩角亦等(本篇廿七)而對等角之甲丙丁己兩線必等(一卷四)注曰第二十六至二十九四題所説俱等圜其在同圜亦依此論第三十題有圜之分求兩平分之法曰甲乙丙圜分求兩平分先于分之兩界作甲丙線次兩平分于丁從丁作乙丁為甲丙之垂線即乙丁分甲乙丙圜分為兩平分論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底亦等(一卷四)而甲乙與乙丙兩圜分亦等(本篇十八)則甲乙丙圜界兩平分于乙矣第三十一題(五支)負半圜角必直角負大分角小于直角負小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其徑甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圜分乙甲丙角負乙甲丙大分又任作乙戊丙角負乙戊丙小分題先言負半圜之甲乙丙為直角二言負大分之乙甲丙角小于直角三言負小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙甲大圜分角大于直角後言丙乙戊小圜分角小于直角先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至已其丁乙丁甲兩線等即丁乙甲丁甲乙兩角等(一卷五)依顯丁乙丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙甲丙乙兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲丙甲丙乙兩内角并等(一卷卅二)則己乙丙與甲乙丙等為直角二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既為直角則乙甲丙小于直角(一卷十七)三論曰甲乙戊丙四邊形在圜之内其乙甲丙乙戊丙相對兩角并等兩直角(本篇廿二)而乙甲丙小于直角則乙戊丙大于直角四論曰甲乙丙直角為丙乙甲大圜分角之分則大于直角後論曰丙乙戊小圜分角為己乙丙直角之分則小于直角此題别有四解四論先解曰甲乙丙半圜其心丁其上任作甲乙丙角題言此為直角論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即丁乙甲丁甲乙兩角亦等(一卷五)而乙丁丙外角既與丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等(一卷卅二)即倍大于丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等兩直角(一卷十三)則甲乙丙為直角二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙丙角題言此小于直角論曰試作甲丁戊徑線次作乙戊線相聯其甲乙戊既為直角(本題一論)即甲乙丙為其分而小于直角三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙丙角題言此大于直角論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至戊次作乙戊線其甲乙戊既負半圜之直角而為甲乙丙角之分則甲乙丙大于直角四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊題言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角小于直角論曰試作乙戊丙徑線次作乙甲線引長之至己其乙甲丙直角為丙甲乙大圜分角之分而丙甲丁小圜分角又為己甲丙直角之分則大分角大于直角小分角小于直角一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角何者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内交角豈非直角二系大分之角大于直角小分之角小于直角終無有角等于直角又從小過大從大過小非大即小終無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互相發也第三十二題直線切圜從切界任作直線割圜為兩分分内各任為負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等解曰甲乙線切丙丁戊圜于丙從丙任作丙戊直線割圜為兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戊兩負圜角題言甲丙戊角與丙庚戊角乙丙戊角與丙丁戊角交互相等先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戊乙丙戊兩皆直角(一卷十八)而丙庚戊丙丁戊兩負半圜角亦皆直角(本篇卅一)則交互相等後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙己過心直線次作戊己線相聯其己丙為甲乙之垂線(一卷十八)而丙戊己為直角(本篇卅一)即戊丙己戊己丙兩角并等于一直角亦等于甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角即所存戊己丙與甲丙戊等也夫戊己丙與丙庚戊元等(本卷廿一)則甲丙戊與丙庚戊交互相等又丙丁戊庚四邊形之丙丁戊丙庚戊兩對角并等兩直角(本篇)(廿二)而甲丙戊乙丙戊兩交角亦等兩直角(一卷十三)此二率者各減一相等之甲丙戊丙庚戊則所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等第三十三題一線上求作圜分而負圜分角與所設直線角等先法曰設甲乙線丙角求線上作圜分而負圜分角與丙等其丙角或直或鋭或鈍若直角先以甲乙兩平分于丁次以丁為心甲乙為界作半圜圜分内作甲戊乙角即負半圜角為直角(本篇卅一)如所求次法曰若設丙鋭角先于甲㸃上作丁甲乙鋭角與丙等次作戊甲為甲丁之垂線于甲乙之上次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線與甲戊線遇于己即己乙己甲兩線等(一卷六)末以己為心甲為界作甲庚圜必過乙即甲庚乙圜分内甲乙線上所作負圜角必為鋭角而與丙等論曰試作甲庚乙角其甲己戊線過己心而丁甲又為戊甲之垂線即丁甲線切甲庚乙圜于甲(本篇十六之系)則丁甲乙與甲庚乙兩角交互相等(本篇卅二)如所求後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次作戊甲為壬甲之垂線餘倣第二法而于甲乙線上作甲癸乙等即與辛等後論同次第三十四題設圜求割一分而負圜分角與所設直線角等法曰設甲乙丙圜求割一分而負圜分角與丁等先作戊己直線切圜于甲(本篇十七)次作已甲乙角與丁等即割圜之甲乙線上所作甲丙乙角負甲丙乙圜分而與丁等何者已甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故(本篇)(卅二)第三十五題圜内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩線交而相分于戊題言甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内直角形等其兩線或俱過心或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各分四線等即兩矩内直角形亦等先論曰圜内線獨丙丁過己心者又有二種其一丙丁平分甲乙線于戊即丙戊線在甲乙上為兩直角(本篇三)試作已乙線相聯其丙丁線既兩平分于己又任兩分于戊即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并與等已丁之已乙上直角方形等(二卷五)夫已乙上直角方形與已戊戊乙上兩直角方形并等(一卷四七)即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并與已戊戊乙上兩直角方形并亦等矣次每減同用之已戊上直角方形則所存丙戊偕戊丁矩内直角形不與戊乙上直角方形等乎戊乙與甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形與丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次論曰若丙丁任分甲乙線于戊即以甲乙線兩平分于庚次于庚已已乙各作直線相聯即已庚為甲乙之垂線而成兩直角(本篇三)其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并與等已丁之已乙上直角方形等(二卷五)而已戊上直角方形與已庚庚戊上兩直角方形并等(一卷四七)已乙上直角方形與已庚庚乙上兩直角方形并亦等則丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上兩直角方形并與已庚庚乙上兩直角方形并等次每減同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不與庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦與庚乙上直角方形等(二卷五)此二相等率者每減同用之庚戊上直角方形則丙戊偕戊丁與甲戊偕戊乙兩矩内直角形等矣後論曰圜内兩線俱不過心者又有二種或一線平分或兩俱任分皆從已心與戊相聨作直線引長之為庚辛線依上論甲戊偕戊乙矩内直角形不論甲乙線平分任分皆與過心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上論丙戊偕戊丁矩内直角形不論丙丁線平分任分亦與過心之庚戊偕戊辛矩内直角形等則甲戊偕戊乙與丙戊偕戊丁兩矩内直角形等第三十六題圜外任取一㸃從㸃出兩直線一切圜一割圜其割圜之全線偕規外線矩内直角形與切圜線上直角方形等解曰甲乙丙圜外任取丁㸃從丁作丁乙線切圜于乙(本篇十七)作丁甲線截圜界于丙題言甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等先論丁甲過戊心者曰試作乙戊線為丁乙之垂線(本篇十八)其甲丙線平分于戊又引出一丙丁線即甲丁偕丙丁矩内直角形及等戊丙之戊乙上直角方形并與戊丁上直角方形等(二卷六)而戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等(一卷四七)即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等此兩率者每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等後論丁甲不過戊心者曰試以甲丙線兩平分于已次從戊心作戊已戊丙戊丁戊乙四線即戊乙為丁乙之垂線(本篇十八)戊已為甲丙之垂線(本篇三)其甲丙線既兩平分于已又引出一丙丁線即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并與已丁上直角方形等(二卷六)次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上兩直角方形并與己丁戊己上兩直角方形并等夫己丙戊己上兩直角方形并與等戊丙之戊乙上直角方形等(一卷四七)而戊丁上直角方形與己丁戊己上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形與戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并與戊乙丁乙上兩直角方形并等次每減同用之戊乙上直角方形則所存甲丁偕丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等一系若從圜外一㸃作數線至規内各全線偕規外線矩内直角形俱等如從甲作甲丙甲丁甲戊各線截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者試作甲乙切圜線則各矩線内直角形與甲乙上直角方形俱等故(本題)二系從圜外一㸃作兩直線切圜此兩線等如甲㸃作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圜界于戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戊矩内直角形等(本題)則此兩直角方形自相等三系從圜外一㸃止可作兩直線切圜若言從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作甲丁線亦切圜令從戊心作戊乙戊丁兩線即甲乙戊為直角而甲丁戊亦宜等為直角(本篇十八)試作甲戊直線則甲乙戊角形内有甲丁戊角應大于甲乙戊角(一卷廿一)安得為直角也又甲乙甲丁若俱切圜即兩線宜等(本題二系)試作甲戊線截圜于己則甲丁為近己線甚小當小于逺己之甲乙線(本篇八)又安得相等也故一㸃上止可作切圜線兩也第三十七題圜外任于一㸃出兩直線一至規外一割圜至規内而割圜全線偕割圜之規外線矩内直角形與至規外之線上直角方形等則至規外之線必切圜解曰甲乙丙圜其心戊從丁㸃作丁乙至規外之線遇圜界于乙又作丁甲割圜至規内之線而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等題言丁乙為切圜線論曰試從丁作丁己線切圜于己(本篇十七)次作戊乙戊己兩線相聯若丁甲不過戊心者又作丁戊直線其丁己上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形等(本篇卅六)而丁乙上直角方形與丁甲偕丁丙矩内直角形亦等則丁乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己兩線亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊與丁己戊角形之丁己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各等(一卷八)而對丁戊底之丁己戊為直角(本篇十八)即丁乙戊亦直角故丁乙為切圜線(本篇十六之系)幾何原本卷三
## 卷四之首
欽定四庫全書幾何原本卷四之首西洋利瑪竇譯界說七則第一界直線形居他直線形内而此形之各角切他形之各邉為形内切形此卷將論切形在圜之内外及作圜在形之内外故解形之切在形内及切在形外者先以直線形為例如前圖丁戊己角形之丁戊己三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三邉則丁戊己為甲乙丙之形内切形如後圖癸子丑角形雖癸子兩角切庚辛壬角形之庚辛壬庚兩邉而丑角不切辛壬邉則癸子丑不可謂庚辛壬之形内切形第二界一直線形居他直線形外而此形之各邉切他形之各角為形外切形如第一界圖甲乙丙為丁己戊之形外切形 其餘各形倣此二例第三界直線形之各角切圜之界為圜内切形甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也第四界直線形之各邉切圜之界為圜外切形甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊是也第五界圜之界切直線形之各邉為形内切圜同第四界圖第六界圜之界切直線形之各角為形外切圜同第三界圖第七界直線之兩界各抵圜界為合圜線甲乙線兩界各抵甲乙丙圜之界為合圜線若丙抵圜而丁不至及戊之兩俱不至不為合圜線幾何原本卷四之首
## 卷四
欽定四庫全書幾何原本卷四西洋利瑪竇撰第一題有圜求作合圜線與所設線等此設線不大于圜之徑線法曰甲乙丙圜求作合線與所設丁線等其丁線不大于圜之徑線(徑為圜内之最大線更大不可)(合見三卷十五)先作甲乙圜徑為乙丙若乙丙與丁等者即是合線若丁小于徑者即于乙丙上截取乙戊與丁等次以乙為心戊為界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合線即與丁等何者甲乙與乙戊等則與丁等第二題有圜求作圜内三角切形與所設三角形等角法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先作庚辛線切圜于甲(三卷十七)次作庚甲乙角與設形之己角等次作辛甲丙角與設形之戊角等末作乙丙線即圜内三角切形與所設丁戊己形等角論曰甲丙乙與庚甲乙兩角等甲乙丙與辛甲丙兩角亦等(三卷卅二)而庚甲乙辛甲丙兩角既與所設己戊兩角各等即甲丙乙甲乙丙亦與己戊各等而乙甲丙必與丁等(一卷卅二)則三角俱等第三題有圜求作圜外三角切形與所設三角形等角法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角與所設丁戊己形之三角各等先于戊己一邉引長之為庚辛次于圜界抵心作甲壬線次作甲壬乙角與丁戊庚等次作乙壬丙角與丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂線此三線各切圜于甲于乙于丙(三卷十六)(之系)而相遇于子于丑于癸(若作甲丙線郎癸甲丙癸丙甲兩角小于兩直角而)(子癸丑癸兩線必相遇餘二倣此)此癸子丑三角與所設丁戊己三角各等論曰甲壬乙子四邉形之四角與四直角等(一卷卅二題内)而壬甲子壬乙子兩為直角即甲壬乙甲子乙兩角并等兩直角彼丁戊庚丁戊己兩角并亦等兩直角(一卷十三)此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙則所存丁戊己與甲子乙等依顯丑角與丁己戊等則癸與丁亦等(一卷卅二)而癸子丑與丁戊己兩形之各三角俱等第四題三角形求作形内切圜法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各兩平分之(一卷九)作乙丁丙丁兩直線相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂線為丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊兩角與乙丁己角形之丁己乙丁乙己兩角各等乙丁同邉即丁戊丁己兩邉亦等(一卷)(廿六)依顯丁丙己角形與丁庚丙角形之丁己丁庚兩邉亦等即丁戊丁己丁庚三線俱等末作圜以丁為心戊為界即過庚己為戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚(三卷十六之系)此為形内切圜第五題三角形求作形外切圜法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分兩邉(若形是直)(角鈍角則分直角鈍角之兩旁邉)于丁于戊次于丁戊上各作垂線為己丁己戊而相遇于己(若自丁至戊作直線即己丁戊)(角形之己丁戊己戊丁兩角小于兩直角故丁己戊己兩線必相遇)其己㸃或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三線或在乙丙邉上止作己甲線其甲丁己角形之甲丁與乙丁己角形之乙丁兩腰等丁己同腰而丁之兩旁角俱直角即甲己己乙兩底必等(一卷四)依顯甲己戊丙己戊兩形之甲己己丙兩底亦等則己甲己乙己丙三線俱等末作圜以己為心甲為界必切丙乙而為角形之形外切圜一系若圜心在三角形内即三角形為銳角形何者每角在圜大分之上故若在一邉之上即為直角形若在形外即為鈍角形二系若三角形為銳角形即圜心必在形内若直角形必在一邉之上若鈍角形必在形外増從此推得一法任設三㸃不在一直線可作一過三㸃之圜其法先以三㸃作三直線相聯成三角形次依前作其同法甲乙丙三㸃先以甲乙兩㸃各自為心相向各任作圜分令兩圜分相交于丁于戊次甲丙兩㸃亦如之令兩圜分相交于己于庚末作丁戊己庚兩線各引長之令相交于辛即辛為圜之心 論見三卷二十五增第六題有圜求作内切圜直角方形法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四線即甲乙丙丁為内切圜直角方形論曰甲乙戊角形之甲戊與乙戊丙角形之戊丙兩腰等乙戊同腰而腰間角兩為直角即其底甲乙乙丙等(一卷四)依顯乙丙丙丁亦等則四邉形之四邉俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角(三卷)(卅一)是為内切圜直角方形第七題有圜求作外切圜直角方形法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁兩徑線以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四線為兩徑之垂線而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛為外切圜直角方形論曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行(一卷)(廿八)依顯甲丙庚壬亦平行則己庚辛壬亦平行(一卷三十)又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等(一卷卅四)而甲丙辛甲己辛兩角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依顯庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱等于甲丙乙丁兩徑既四邉俱等于兩徑則己庚壬辛為直角方形而四邉各切圜(三卷十六之系)第八題直角方形求作形内切圜法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各兩平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚兩線交于壬其甲丁與乙丙既平行相等即半減線之甲辛乙己亦平行相等而甲乙與辛己亦平行相等(一卷卅三)依顯丁丙與辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四線與甲辛戊乙丁辛甲戊四線各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各為等線之半即與之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬為心戊為界必過己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉(三卷十六)是為形内切圜第九題直角方形求作形外切圜法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作對角兩線為甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁角形之甲乙甲丁兩腰等即甲乙丁甲丁乙兩角亦等(一卷五)而乙甲丁為直角即甲乙丁甲丁乙俱半直角(一卷卅二)依顯丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱等又戊甲丁戊丁甲兩角等即戊甲戊丁兩邉亦等(一卷六)依顯戊甲戊乙兩邉亦等而戊乙戊丙兩邉戊丙戊丁兩邉各等次作圜以戊為心甲為界必過乙丙丁而為形外切圜第十題求作兩邉等三角形而底上兩角各倍大于腰間角法曰先任作甲乙線次分之于丙其分法須甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方形等(二卷十一)次以甲為心乙為界作乙丁圜次作乙丁合圜線與甲丙等(本篇一)末作甲丁線相聯其甲乙甲丁等即甲乙丁為兩邉等角形而甲乙丁甲丁乙兩角各倍大于甲角論曰試作丙丁線而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜(本篇五)其甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方形等即亦與至規外之乙丁上直角方形等而乙丁線切甲丙丁圜于丁(三卷卅七)即乙丁切線偕丁丙割線所作乙丁丙角與負丁甲丙圜分之甲角交互相等(三卷卅二)此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角與丙甲丁丙丁甲兩角并等夫乙丙丁外角亦與丙甲丁丙丁甲相對之兩内角等(一卷卅二)即乙丙丁角與甲丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁兩線亦等(一卷六)夫乙丁元與甲丙等即丙丁與甲丙亦等丙甲丁丙丁甲兩角亦等而甲角既與乙丁丙角等即乙丁丙與丙丁甲兩角亦等是甲丁乙倍大于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙丁亦倍大于甲也第十一題有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛兩邉等角形而庚辛兩角各倍大于己角(本篇十)次于圜内作甲丙丁角形與己庚辛角形各等角(本篇二)次以甲丙丁甲丁丙兩角各兩平分(一卷九)作丙戊丁乙兩線末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線相聯即甲乙丙丁戊為五邉内切圜形而五邉五角俱自相等論曰甲丙丁甲丁丙兩角皆倍大于丙甲丁角而兩角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五圜分亦等(三卷廿六)即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五線亦等(三卷廿九)是五邉形之五邉等又甲乙戊丁兩圜分等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁與戊丁丙乙兩圜分等乘兩圜分之甲戊丁乙甲戊兩角亦等依顯餘三角與兩角俱等是五邉形之五角等第十二題有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形(本篇十一)次從己心作己甲己乙己丙己丁己戊五線次從此五線作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五埀線相遇于庚于辛于壬于癸于子(庚戊)(甲庚甲戊兩角小于兩直角故甲庚戊庚線必相遇餘四倣此)五埀線既切圜(三卷十六)即成外切圜五邉形而等邉等角論曰試從己心作己庚己辛己壬己癸己子五線其己甲甲辛上兩直角方形己乙乙辛上兩直角方形之兩并各與己辛上直角方形等(一卷四七)即兩并自相等此兩并率者每減一相等之甲己己乙上直角方形即所存甲辛辛乙上兩直角方形等則甲辛辛乙兩線等也又甲己辛角形之甲己與乙己辛角形之乙己兩腰等己辛同腰而甲辛辛乙兩底又等即甲己辛辛己乙兩角等(一卷八)而甲辛己乙辛己兩角亦等(一卷四)則甲己乙角倍大于辛己乙角也依顯乙己丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也又甲己乙乙己丙兩角乘甲乙乙丙相等之兩圜分(線等故圜分等見三卷廿八)即兩角自相等(三卷廿七)半減之辛己乙乙己壬兩角亦等 乙己辛角形之乙己辛辛乙己兩角與乙己壬角形之乙己壬壬乙己兩角各等而乙己同邉是辛乙乙壬兩邉亦等也(一卷廿六)乙辛己乙壬己兩角亦等也則辛壬線倍大于辛乙線也依顯庚辛線亦倍大于辛甲線也前己顯甲辛辛乙兩線等則倍大之庚辛辛壬兩線亦等也依顯壬癸癸子子庚與庚辛辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五邉等又依前所顯乙辛己與乙壬己兩角等是乙辛甲之減半角與乙壬丙之減半角等即倍大之乙辛甲與乙壬丙亦等也依顯辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛與庚辛壬俱等也是為庚辛壬癸子形之五角等第十三題五邉等邉等角形求作形内切圜法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分(一卷九)其線為己甲己乙而相遇于己(己甲乙己乙甲兩角小于兩直角故己甲己乙)(兩線必相遇)自己作己丙己丁己戊三線其甲己乙角形之甲乙腰與乙己丙角形之乙丙腰等乙己同腰而兩腰間之甲乙己丙乙己兩角等即甲己己丙兩底亦等乙甲己乙丙己兩角亦等(一卷四)又乙甲戊與乙丙丁兩角等而乙甲己為乙甲戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半則乙丙丁角亦兩平分于己丙線矣依顯丙丁戊丁戊甲兩角亦兩平分于己丁己戊兩線矣次從己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五埀線其甲己庚角形之己甲庚己庚甲兩角與甲己子角形之己甲子己子甲兩角各等甲己同邉即兩形必等(一卷廿六)己子與己庚兩線亦等依顯己辛己壬己癸三埀線與己庚己子兩埀線俱等末作圜以己為心庚為界必過辛壬癸子而為甲乙丙丁戊五邉形之内切圜(三卷十六)第十四題五邉等邉等角形求作形外切圜法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙兩角各兩平分其線為己甲己乙而相遇于己(說見前)次從己作己丙己丁己戊三線依前題論推顯乙丙丁丙丁戊丁戊甲三角各兩平分于己丙己丁己戊三線夫五角既等即其半減之角亦等而甲乙己角形之己甲乙己乙甲兩角等即甲己與己乙兩線亦等(一卷六)依顯己丙己丁己戊三線與己甲己乙俱等末作圜以己為心甲為界必過乙丙丁戊而為甲乙丙丁戊五邉形之外切圜第十五題有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邊内切圜形等邊等角先作甲丁徑線次以丁為心庚為界作圜兩圜相交于丙于戊次從庚心作丙庚戊庚兩線各引長之為丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線相聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角論曰庚丙庚丁兩線等而丁丙與丁庚亦等(依圜界說)三邉俱等即庚丙丁為平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙庚丁三角俱等(一卷五)此三角元與兩直角等(一卷卅二)即每角為兩直角三分之一而丙庚丁角為兩直角三分之一也依顯丁庚戊角亦兩直角三分之一而丙庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于兩直角(一卷十三)即戊庚己角亦兩直角三分之一矣則丙庚丁丁庚戊戊庚己三角亦自相等而此三角與己庚甲甲庚乙乙庚丙三角亦等(一卷十五)是輳庚心之六角俱自相等而所乗之六圜分(三卷廿六)及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六線俱自相等(三卷廿九)則甲乙丙丁戊己形之六邉等乂乙丙與甲己兩圜分等而各加一丙丁戊己圜分即乙丙丁戊己與甲己戊丁丙兩圜分等而所乗之乙甲己與甲乙丙兩角等(三卷廿七)依顯乙丙丁丙丁戊丁戊己戊己甲四角與乙甲己甲乙丙兩角俱等則甲乙丙丁戊己形之六角等一系凡圜之半徑為六分圜之一之分弦何者庚丁與丁丙等故故一開規為圜不動而可六平分之二系依前十二十三十四題可作六邉等邉等角形在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉等邉等角形外可作切圜第十六題有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形與丁等角(本篇二)即三邉等而甲乙乙丙丙甲三圜分亦等(三卷廿八)夫甲乙丙圜十正分之則甲乙三分圜之一當為十五分之五次從甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角(本篇十一)即甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等(三卷廿八)夫甲乙丙圜十五分之則甲戊五分圜之一當為十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分兩平分于壬(三卷卅)則壬乙得十五分之一次作壬乙線依壬乙共作十五合圜線(本篇一)則成十五邉等邉形而十五角所乗之圜分等即各角亦等(三卷廿七)一系依前十二十三十四題可作外切圜十五邉形又十五邊形内可作切圜又十五邉形外可作切圜注曰依此法可設一法作無量數形如本題圗甲乙圜分為三分圜之一即命三甲戊圜分為五分圜之一即命五三與五相乗得十五即知此兩分法可作十五邉形又如甲乙命三甲戊命五三與五較得二即知戊乙得十五分之二因分戊乙為兩平分得壬乙線為十五分之一可作内切圜十五邊形也以此法爲例作後題增題若圜内從一㸃設切圜兩不等等邊等角形之各一邊此兩邊一爲若干分圜之一一爲若干分圜之一此兩若干分相乗之數卽後作形之邊數此兩若干分之較數卽兩邊相距之圜分所得後作形邊數内之分數法曰甲乙丙丁戊圜内從甲㸃作數形之各一邊如甲乙爲六邊形之一邊甲丙爲五邊形之一邊甲丁爲四邊形之一邊甲戊爲三邊形之一邊甲乙命六甲丙命五較數一卽乙丙圜分爲所作三十邊等邊等角形之一邊何者五六相乗爲三十故當作三十邊也較數一故當爲一邊也論曰甲乙圜分爲六分圜之一卽得三十分圜之五而甲丙爲五分圜之一卽得三十分圜之六則乙丙得三十分圜之一也依顯乙丁為二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四六乗四得二十四也又較數二也依顯乙戊為十八邉形之三邉也丙丁為二十邉形之一邉也丙戊為十五邉形之二邉也丁戊為十二邉形之一邉也二系凡作形于圜之内等邉則等角何者形之角所乗之圜分皆等故(三卷廿七)凡作形于圜之外即從圜心作直線抵各角依本篇十二題可推顯各角等三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十二十三十四題四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉即分此形一邉所合之圜分為兩平分而每分各作一合線即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至無窮又補題圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉為偶數而等法曰甲乙丙丁戊兩圜同以己為心求于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁戊小圜其多邉為偶數而等先從己心作甲丙徑線截丁戊圜于戊次從戊作庚辛為甲戊之垂線即庚辛線切丁戊圜于戊也(三卷)(十六之系)夫甲庚丙圜分雖大于丙庚若于甲庚丙減其半甲乙存乙丙又減其半乙壬存壬丙又減其半壬癸如是逓減至其減餘丙癸必小于丙庚(如下補論)既得丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜線即丙癸為所求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分數與丙壬之分數等次分甲乙與乙丙分數等分丙甲與甲乙丙分數等則得所求形(三卷廿九)而不至丁戊小圜論曰試從癸作癸子為甲丙之垂線遇甲丙于丑其庚戊丑癸丑戊兩皆直角即庚辛癸子為平行線(一卷)(廿八)庚辛線之切丁戊圜既止一㸃即癸子線更在其外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依顯其餘與丙癸等邉同度距心者(三卷十四)俱不至丁戊圜也(此係十二卷第十六題因六卷今増題宜藉此論故先類附于此)補論其題曰兩幾何不等若于大率逓減其大半必可使其減餘小于元設小率解曰甲乙大率丙小率題言于甲乙逓減其大半至可使其減餘小于丙論曰試以丙倍之又倍之至僅大于甲乙而止為丁戊丁戊之分為丁己己庚庚戊各與丙等也次于甲乙減其大半甲辛存辛乙又減其大半辛壬存壬乙如是逓減至甲乙與丁戊之分數等夫甲辛辛壬壬乙與丁己己庚庚戊分數既等丁戊又大于甲乙若兩率各為兩分而大丁戊之減丁己止于半小甲乙之減甲辛為大半即丁戊之減餘必大于甲乙之減餘也若各為多分而己戊尚多于丙者即又于己戊減己庚于辛乙減其大半辛壬如是逓減卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分壬乙也而庚戊元與丙等是壬乙小于丙也又論曰若于甲乙逓減其半亦同前論何者大丁戊所減不大于半則丁戊之減餘每大于甲乙之減餘以至末分亦大于末分(此係十卷第一題借用于此以足上論)幾何原本卷四
## 卷五之首
欽定四庫全書幾何原本卷五之首西洋利瑪竇譯界説十九則前四卷所論皆獨幾何也此下二卷所論皆自兩以上多幾何同例相比者也而本卷則總説完幾何之同例相比者也諸卷中獨此卷以虚例相比絶不及線靣體諸類也第六卷則論線論角論圜界諸類及諸形之同例相比者也今先解向後所用名目為界説十九第一界分者幾何之幾何也小能度大以小為大之分以小幾何度大幾何謂之分曰幾何之幾何者謂非此小幾何不能為此大幾何之分也如一㸃無分亦非幾何即不能為線之分也一線無廣狹之分非廣狹之幾何即不能為靣之分也一靣無厚薄之分非厚薄之幾何即不能為體之分也曰能度大者謂小幾何度大幾何能盡大之分者也如甲為乙為丙之分則甲為乙三分之一為丙六分之一無贏不足也若戊為丁之一即贏為二即不足己為丁之三即贏為四即不足是小不盡大則丁不能為戊己之分也以數明之若四于八于十二于十六于二十諸數皆能盡分無贏不足也若四于六于七于九于十于十八于三十八諸數或贏或不足皆不能盡分者也本書所論皆指能盡分者故稱為分若不盡分者當稱幾分幾何之幾如四于六為三分六之二不得正名為分不稱小度大也不為大幾何内之小幾何也第二界若小幾何能度大者則大為小之幾倍如第一界圖甲與乙能度丙則丙為甲與乙之幾倍若丁戊不能盡己之分則己不為丁戊之幾倍第三界比例者兩幾何以幾何相比之理兩幾何者或兩數或兩線或兩靣或兩體各以同類大小相比謂之比例若線與靣或數與線相比此異類不為比例又若白線與黒線熱線與冷線相比雖同類不以幾何相比亦不為比例也比例之説在幾何為正用亦有借用者如時如音如聲如所如動如稱之屬皆以比例論之凡兩幾何相比以此幾何比他幾何則此幾何為前率所比之他幾何為後率如以六尺之線比三尺之線則六尺為前率三尺為後率也反用之以三尺之線比六尺之線則三尺為前率六尺為後率也比例為用甚廣故詳論之如左凡比例有二種有大合有小合以數可明者為大合如二十尺之線比十尺之線是也其非數可明者為小合如直角方形之兩邉與其對角線可以相比而非數可明者是也如上二種又有二名其大合線為有兩度之線如二十尺比八尺兩線為大合則二尺四尺皆可兩度之者是也如此之類凡數之比例皆大合也何者有數之屬或無他數可兩度者無有一數不可兩度者若七比九無他數可兩度之以一則可兩度之也其小合線為無兩度之線如直角方形之兩邉與其對角線為小合即分至萬分以及無數終無小線可以盡分能度兩率者是也(此論詳見十卷末題)小合之比例至十卷詳之本篇所論皆大合也凡大合有兩種有等者如二十比二十十尺之線比十尺之線是也有不等者如二十比十八比四十六尺之線比二尺之線是也如上等者為相同之比例其不等者又有兩種有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大合比例之以大不等者又有五種一為幾倍大二為等帶一分三為等帶幾分四為幾倍大帶一分五為幾倍大帶幾分一為幾倍大者謂大幾何内有小幾何或二或三或十或八也如二十與四是二十内為四者五如三十尺之線與五尺之線是三十尺内為五尺者六則二十與四名為五倍大之比例也三十尺與五尺名為六倍大之比例也倣此為名可至無窮也二為等帶一分者謂大幾何内既有小之一别帶一分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至無窮者是也如三與二是三内既有二别帶一一為二之半如十二尺與九尺之線是十二内既有九别帶三三為九三分之一則三與二名為等帶半也十二尺與九尺名為等帶三分之一也三為等帶幾分者謂大幾何内既有小之一别帶幾分而此幾分不能合為一盡分者是也如八與五是八内既有五别帶三一每一各為五之分而三一不能合而為五之分也他如十與八其十内既有八别帶二一雖每一各為八之分與前例相似而二一却能為八四分之一是為帶一分屬在第二不屬三也則八與五名為等帶三分也又如二十二與十六即名為等帶六分也四為幾倍大帶一分者謂大幾何内既有小幾何之二之三之四等别帶一分此一分或元一之半或三分四分之一以至無窮者是也如九與四是九内既有二四别帶一一為四之分之一則九與四名為二倍大帶四分之一也五為幾倍大帶幾分者謂大幾何内既有小幾何之二之三之四等别帶幾分而此幾分不能合為一盡分者是也如十一與三是十一内既有三三别帶二一每一各為三之分而二一不能合而為三之分也則十一與三名為三倍大帶二分也大合比例之以小不等者亦有五種俱與上以大不等五種相反為名一為反幾倍大二為反等帶一分三為反等帶幾分四為反幾倍大帶一分五為反幾倍大帶幾分凡比例諸種如前所設諸數俱有書法書法中有全數有分數全數者如一二三十百等是也分數者如分一以二以三以四等是也書全數依本數書之不必立法書分數必有兩數一為命分數一為得分數如分一以三而取其二則為三分之二即三為命分數二為得分數也分一為十九而取其七則為十九分之七即十九為命分數七為得分數也書以大小不等各五種之比例其一幾倍大以全數書之如二十與四為五倍大之比例即書五是也若四倍即書四六倍即書六也其反幾倍大即用分數書之而以大比例之數為命分之數以一為得分之數如大為五倍大之比例則此書五之一是也若四倍即書四之一六倍即書六之一也其二等帶一分之比例有兩數一全數一分數其全數恒為一其分數則以分率之數為命分數恒以一為得分數如三與二名為等帶半即書一别書二之一也其反等帶一分則全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加一為此之命分數如大為等帶二之一即此書三之二也又如等帶八分之一反書之即書九之八也又如等帶一千分之一反書之即書一千○○一之一千也其三等帶幾分之比例亦有兩數一全數一分數其全數亦恒為一其分數亦以分率之數為命分數以所分之數為得分數如十與七名為等帶三分即書一别書七之三也其反等帶幾分亦全用分數而以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數加大之得分數為此之命分數如大為等帶七之三命數七得數三七加三為十即書十之七也又如等帶二十之三反書之二十加三即書二十三之二十也其四幾倍大帶一分之比例則以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數恒以一為得分數如二十二與七二十二内既有三七别帶一一為七分之一名為三倍大帶七分之一即以三為全數七為命分數一為得分數書三别書七之一也其反幾倍大帶一分則以大比例之命分數為此之得分數以大之命分數乘大之倍數加一為此之命分數如大為三帶七之一即以七乘三得二十一又加一為命分數書二十二之七也又加五帶九之一反書之九乘五得四十五加一為四十六即書四十六之九也其五幾倍大帶幾分之比例亦以幾倍大之數為全數以分率之數為命分數以所分之數為得分數如二十九與八二十九内既有三八别帶五一名為三倍大帶五分即以三為全數八為命分數五為得分數書三别書八之五也其反幾倍大帶幾分則以大比例之命分數為此之得分數以大比例之命分數乘大之倍數加大之得分數為此之命分數如大為三帶八之五即以八乘三得二十四加五為二十九書二十九之八也又如四帶五之二即書二十二之五也以上大小十種足盡比例之凡不得加一減一第四界兩比例之理相似為同理之比例兩幾何相比謂之比例兩比例相比謂之同理之比例如甲與乙兩幾何之比例偕丙與丁兩幾何之比例其理相似為同理之比例又若戊與己兩幾何之比例偕己與庚兩幾何之比例其理相似亦同理之比例凡同理之比例有三種有數之比例有量法之比例有樂律之比例本篇所論皆量法之比例也量法比例又有二種一為連比例連比例者相續不斷其中率與前後兩率逓相為比例而中率既為前率之後又為後率之前如後圖戊與己比己又與庚比是也二為斷比例斷比例者居中兩率一取不再用如前圖甲自與乙比丙自與丁比是也第五界兩幾何倍其身而能相勝者為有比例之幾何上文言為比例之幾何必同類然同類中亦有無比例者故此界顯有比例之幾何也曰倍其身而能相勝者如三尺之線與八尺之線三尺之線三倍其身即大于八尺之線是為有比例之線也又如直角方形之一邉與其對角線雖非大合之比例可以數明而直角方形之一邉一倍之即大于對角線(兩邉等三角形)(其兩邉并必大于一邉見一卷二十)是亦有小合比例之線也又圜之徑四倍之即大于圜之界則圜之徑與界亦有小合比例之線也(圜之界當三徑七分徑之一弱别見圜形書)又曲線與直線亦有比例如以大小兩曲線相合為初月形别作一直角方形與之等(六卷三十三一増題今附)即曲直兩線相視有大有小亦有比例也又方形與圜雖自古至今學士無數不能為相等之形然兩形相視有大有小亦不可謂無比例也又直線角與曲線角亦有比例如上圖直角鈍角鋭角皆有與曲線角等者若第一圖甲乙丙直角在甲乙乙丙兩直線内而其間設有甲乙丁與丙乙戊兩圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角則丁乙戊曲線角與甲乙丙直角等矣依顯壬庚癸曲線角與己庚辛鈍角等也又依顯卯丑辰曲線角與子丑寅鋭角各减同用之子丑丑辰内圜小分即兩角亦等也此五者皆疑無比例而實有比例者也他若有窮之線與無窮之線雖則同類實無比例何者有窮之線畢世倍之不能勝無窮之線故也又線與靣靣與體各自為類亦無比例何者畢世倍線不能及靣畢世倍靣不能及體故也又切圜角與直線鋭角亦無比例何者依三卷十六題所説畢世倍切邉角不能勝至小之鋭角故也此後諸篇中每有倍此幾何令至勝彼幾何者故備著其理以需後論也第六界四幾何若第一與二偕第三與四為同理之比例則第一第三之幾倍偕第二第四之幾倍其相視或等或俱為大俱為小恒如是兩幾何曷顯其能為比例乎上第五界所説是也兩比例曷顯其能為同理之比例乎此所説是也其術通大合小合皆以加倍法求之如一甲二乙三丙四丁四幾何于一甲三丙任加幾倍為戊為己戊倍甲己倍丙其數自相等次于二乙四丁任加幾倍為庚為辛庚倍乙辛倍丁其數自相等而戊與己偕庚與辛相視或等或俱大或俱小如是等大小累試之恒如是即知一甲與二乙偕三丙與四丁為同理之比例也如初試之甲幾倍之戊小于乙幾倍之庚而丙幾倍之己亦小于丁幾倍之辛又試之倍甲之戊與倍乙之庚等而倍丙之己亦與倍丁之辛等三試之倍甲之戊大于倍乙之庚而倍丙之己亦大于倍丁之辛此之謂或相等或雖不等而俱為大俱為小若累合一差即元設四幾何不得為同理之比例如下第八界所指是也下文所論若言四幾何為同理之比例即當推顯第一第三之幾倍與第二第四之幾倍或等或俱大俱小若許其四幾何為同理之比例亦如之以數明之如有四幾何第一為三第二為二第三為六第四為四今以第一之三第三之六同加四倍為十二為二十四次以第二之二第四之四同加七倍為十四為二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍為十八為三十六次以第二之二第四之四同加九倍為十八為三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍為九為十八次以第二之二第四之四同加二倍為四為八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也若爾或俱大俱小或等累試之皆合則三與二偕六與四得為同理之比例也以上論四幾何者斷比例之法也其連比例法倣此但連比例之中率兩用之既為第二又為第三視此異耳第七界同理比例之幾何為相稱之幾何甲與乙若丙與丁是四幾何為同理之比例即四幾何為相稱之幾何又戊與己若己與庚即三幾何亦相稱之幾何第八界四幾何若第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾倍不大于第四之幾倍則第一與二之比例大于第三與四之比例此反上第六界而釋不同理之兩比例其相視曷顯為大曷顯為小也謂第一第三之幾倍與第二第四之幾倍依上累試之其間有第一之幾倍大于第二之幾倍而第三之幾倍乃或等或小于第四之幾倍即第一與二之比例大于第三與四之比例也如上圖甲一乙二丙三丁四甲與丙各三倍為戊己乙與丁各四倍為庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲與乙之比例大于丙與丁也若第一之幾倍小于第二之幾倍而第三之幾倍乃或等或大于第四之幾倍即第一與二之比例小于第三與四之比例如是等大小相戾者但有其一不必再試以數明之中設三二四三四幾何先有第一之倍大于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍後復有第一之倍大于第二之倍而第三之倍乃或等或小于第四之倍即第一與二之比例大于第三與四也若以上圖之數反用之以第一為二第二為一第三為四第四為三則第一與二之比例小于第三與四第九界同理之比例至少必三率同理之比例必兩比例相比如甲與乙若丙與丁是四率斷比例也若連比例之戊與己若己與庚則中率己既為戊之後又為庚之前是以三率當四率也第十界三幾何為同理之連比例則第一與三為再加之比例四幾何為同例之連比例則第一與四為三加之比例倣此以至無窮甲乙丙丁戊五幾何為同理之連比例其甲與乙若乙與丙乙與丙若丙與丁丙與丁若丁與戊即一甲與三丙視一甲與二乙為再加之比例又一甲與四丁視一甲與二乙為三加之比例何者甲丁之中有乙丙兩幾何為同理之比例如甲與乙故也又一甲與五戊視一甲與二乙為四加之比例也若反用之以戊為首則一戊與三丙為再加與四乙為三加與五甲為四加也下第六卷二十題言此直角方形與彼直角方形為此形之一邉與彼形之一邉再加之比例何者若作三幾何為同理之連比例則此直角方形與彼直角方形若第一幾何與第三幾何故也以數明之如此直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此形邉與彼形邉若九與一也夫九與一之間有三為同理之比例則九三一三幾何之連比例既有三與一為比例又以九比三三比一為再加之比例也則彼直角方形當為此形九分之一不止為此形三分之一也大畧第一與二之比例若線相比第一與三若平靣相比第一與四若體相比也(第一與五若筭家三乘方與六)(若四乘方與七若五乘方倣此以至無窮)第十一界同理之幾何前與前相當後與後相當上文己解同理之比例此又解同理之幾何者蓋一比例之兩幾何有前後而同理之兩比例四幾何有兩前兩後故特解言比例之論常以前與前相當後與後相當也如上甲與乙丙與丁兩比例同理則甲與丙相當乙與丁相當也戊己己庚兩比例同理則己既為前又為後兩相當也如下文有兩三角形之邉相比亦常以同理之兩邉相當不可混也上文第六第八界説幾何之幾倍常以一與三同倍二與四同倍則以第一第三為兩前第二第四為兩後各同理故第十二界有屬理更前與前更後與後此下説比例六理皆後論所需也四幾何甲與乙之比例若丙與丁今更推甲與丙若乙與丁為屬理 下言屬理皆省曰更此論未證證見本卷十六此界之理可施于四率同類之比例若兩線兩靣或兩靣兩數等不為同類即不得相更也第十三界有反理取後為前取前為後甲與乙之比例若丙與丁今反推乙與甲若丁與丙為反理證見本篇四之系此界之理亦可施于異類之比例第十四界有合理合前與後為一而比其後甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己今合甲丙為一而比乙丙合丁己為一而比戊己即推甲丙與乙内若丁己與戊己是合兩前後率為兩一率而比兩後率也證見本卷十八第十五界有分理取前之較而比其後甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今分推甲乙之較甲丙與丙乙若丁戊之較丁己與己戊證見本卷十七第十六界有轉理以前為前以前之較為後甲乙與丙乙之比例若丁戊與己戊今轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己證見本卷十九第十七界有平理彼此幾何各自三以上相為同理之連比例則此之第一與三若彼之第一與三又曰去其中取其首尾甲乙丙三幾何丁戊己三幾何等數相為同理之連比例者甲與乙若丁與戊乙與丙若戊與己也今平推首甲與尾丙若首丁與尾己平理之分又有二種如後二界第十八界有平理之序者此之前與後若彼之前與後而此之後與他率若彼之後與他率甲與乙若丁與戊而後乙與他率丙若後戊與他率己是序也今平推甲與丙若丁與己也(此與十七界同重宣序義以别後界)(也)證見本卷二十二第十九界有平理之錯者此數幾何彼數幾何此之前與後若彼之前與後而此之後與他率若彼之他率與其前甲乙丙數幾何丁戊己數幾何其甲與乙若戊與己又此之後乙與他率丙若彼之他率丁與前戊是錯也今平推甲與丙若丁與己也(十八十九界推法于十七界中通論之故兩題中不)(再著也)證見本卷二十三増一幾何有一幾何相與為比例即此幾何必有彼幾何相與為比例而兩比例等一幾何有一幾何相與為比例即必有彼幾何與此幾何為比例而兩比例等(比例同理省曰比例等)甲幾何與乙幾何為比例即此幾何丙亦必有彼幾何如丁相與為比例若甲與乙也丙幾何與丁幾何為比例即必有彼幾何如戊與此幾何丙為比例若丙與丁也此理推廣無礙于理有之不必舉其率也舉率之理備見後卷幾何原本卷五之首
## 卷五
欽定四庫全書幾何原本卷五西洋利瑪竇撰第一題此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍于彼之各率則此之并率亦幾倍于彼之并率解曰如甲乙丙丁此二幾何大于戊己彼二幾何各若干倍題言甲乙丙丁并大于戊己并亦若干倍論曰如甲乙與丙丁既各三倍大于戊與己即以甲乙三分之各與戊等為甲庚庚辛辛乙又以丙丁三分之各與己等為丙壬壬癸癸丁即甲乙與丙丁所分之數等而甲庚既與戊等丙壬既與己等既于甲庚加丙壬于戊加己其甲庚丙壬并與戊己并必等依顯庚辛壬癸并辛乙癸丁并與戊己并各等夫甲乙與丙丁之分三合于戊己皆等(本卷界説二)則甲乙丙丁并三倍大于戊己并第二題六幾何其第一倍第二之數等于第三倍第四之數而第五倍第二之數等于第六倍第四之數則第一第五并倍第二之數等于第三第六并倍第四之數解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四己之數又五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四己之數題言一甲乙五乙庚并倍二丙之數若三丁戊六戊辛并倍四己之數論曰甲乙丁戊之倍于丙己其數等則甲乙幾何内有丙幾何若干與丁戊幾何内有己幾何若干其數亦等(本卷界説二)依顯乙庚丙有丙若干與戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊兩等數率每加一等數之乙庚戊辛率則甲庚丁辛兩幾何内之分數等而一五并之甲庚内有二丙若干與三六并之丁辛内有四己若干亦等注曰若第一第三兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等而第五倍第二之數等于第六倍第四之數或第一倍第二之數等于第三倍第四之數而第五第二兩幾何之數與第六第四兩幾何之數各等俱同本論如上二圖甲庚為第一第五之并率其倍二丙之數與丁辛為第三第六之并率其倍四己之數等也(甲庚内有丙若干與丁辛)(内有己若干等故同理)他若第一第三兩幾何之數第五第六兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等此理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六并之倍第四俱兩倍故第三題四幾何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第三所倍之與第四解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊己兩幾何同若干倍于甲于丙題言以平理推戊倍乙之數若己倍丁論曰戊與己之倍甲與丙其數既等試以戊作若干分各與甲等為戊庚庚辛辛壬次分己亦如之為己癸癸子子丑即戊内有甲若干與己内有丙若干等(本卷界説二)夫戊庚與甲己癸與丙既等而甲之倍乙與丙之倍丁又等則戊庚倍乙若己癸倍丁也依顯庚辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁則一戊庚五庚辛并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也(本篇二)又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁則一戊辛五辛壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛壬子丑以上任作多分皆倣此論第四題(其系爲反理)四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等觧曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與己同任若干倍于一甲三丙别作庚與辛同任若干倍于二乙四丁題言一甲所倍之戊與二乙所倍之庚偕三丙所倍之己與四丁所倍之辛比例亦等論曰試以戊己二㡬何同任倍之為壬為癸别以庚辛同任倍之為子為丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也(本篇三)依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三試之若倍甲之壬小于倍乙之子則倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣(本卷界説)(六)夫戊己之倍為壬癸也庚辛之倍為子丑也不論㡬許倍其等大小三試之恒如是也則一戊所倍之壬與二庚所倍之子偕三己所倍之癸與四辛所倍之丑等大小皆同類也而戊與庚偕己與辛之比例必等(本卷界説六)一系凡四㡬何第一與二偕第三與四比例等即可反推第二與一偕第四與三比例亦等何者如上倍甲之壬與倍乙之子偕倍丙之癸與倍丁之丑等大小俱同類而顯甲與乙若丙與丁即可反説倍乙之子與倍甲之壬偕倍丁之丑與倍丙之癸等大小俱同類而乙與甲亦若丁與丙(本卷界説六)二系别有一論亦本書中所恒用也曰若甲與乙偕兩與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例俱等倣此以至無窮第五題大小兩㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分則此全之分餘所倍于彼全之分餘亦如之解曰甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁之截分丙己題言甲戊之分餘戊乙所倍于丙巳之分餘巳丁亦如其數論曰試作一他㡬何為庚丙今戊巳之倍庚丙若甲戊之倍丙巳也(本卷界説増)甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其數等即其兩并甲乙之倍庚巳亦若(甲)戊之倍丙巳也(本篇一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己則丙丁與庚己等也次毎減同用之丙巳即庚丙與巳丁亦等而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己則戊乙為甲戊之分餘所倍于巳丁為丙巳之分餘者亦若甲乙之倍丙丁也又論曰試作一他㡬何為庚甲令庚甲之倍己丁若甲戊之倍丙巳(本説界説二十)即其兩并庚戊之倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也(本篇一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊與甲乙等矣次毎減同用之甲戊即庚甲與戊乙等也而庚甲之倍己丁若甲乙之倍丙丁也則戊乙之倍巳丁亦若甲乙之倍丙丁也第六題此兩㡬何各倍于彼兩㡬何其數等于此兩㡬何毎減一分其一分之各倍于所當彼㡬何其數等則其分餘或各與彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其數亦等觧曰甲乙丙丁兩㡬何各倍于戊巳兩㡬何其數等毎減一甲庚丙辛甲庚丙辛之倍戊巳其數等題言分餘庚乙辛丁或與戊巳等或尚各倍于戊巳其數亦等論曰甲乙全與其分甲庚既各多倍于戊則分餘庚乙與戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙與戊不等不㡬倍其加于甲庚不成為戊之多倍也然則庚乙與戊等曷為辛丁與巳亦等試作壬丙與己等其一甲庚之倍二戊既若三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙之等四巳則第一第五并之甲乙所倍于二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳也(本篇二)而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己即壬辛與丙丁亦等次毎減同用之丙辛即壬丙與辛丁必等是辛丁與己亦等矣然則庚乙之倍戊曷為與辛丁之倍己等試作壬丙其倍己若庚乙之倍戊依前論甲乙之倍戊若壬辛之倍己(本篇)(二)而壬辛與丙丁等壬丙與辛丁亦等是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣第七題(二支)此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大小于甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比例必等又反上言丙與甲偕丙與乙各為比例亦等論曰試作丁戊兩率任同若干倍于甲乙即丁與戊等别作己任若干倍于丙其丁戊既等即丁視己與戊視己或等或大或小必同類矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕當二又當四之丙所倍之己其等大小既同類(本卷界説)(六)則一甲與二丙之比例若三乙與四丙矣反説之當一當三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊其等大小既同類則一丙與二甲之比例若三丙與四乙矣後論與本篇第四題之系同用反理如甲與丙若乙與丙反推之丙與甲亦若丙與乙也第八題大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大于小與他之比例而他與小之比例大于他與大之比例解曰不等兩幾何甲乙大丙小又有他幾何丁不論等大小于甲乙于丙題言甲乙與丁之比例大于丙與丁之比例又反上言丁與丙之比例大于丁與甲乙之比例論曰試于大幾何甲乙内分甲戊與小幾何丙等而戊乙為分餘次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚己而庚己為戊乙之倍必令大于丁辛庚為甲戊之倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣(本篇)(一)甲戊即丙也次作一壬癸為丁之倍令僅大于辛庚兩倍不足三之又不足任加之己大勿倍也次于壬癸截取子癸與丁等即壬子必不大于辛庚何者向作壬癸為丁之倍元令僅大于辛庚若壬子大于辛庚者何必又倍之為壬癸也故僅大之壬癸截去子癸者必不大于辛庚也則壬子或等或小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸與丁等即庚己必大于子癸又辛庚不小于壬子(或大或等)即辛己亦大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第三丙也而壬癸之倍于當二之丁當四之丁又同一率也則第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸(辛庚元小于壬)(癸)是一甲乙與二丁之比例大于三丙與四丁矣(本卷)(界説八)次反上説一丁所倍之壬癸(反説則丁當一當三丙二甲乙四)大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于四甲乙所倍之辛己(壬癸必小于辛己)是一丁與二丙之比例大于三丁與四甲乙矣(本卷界説八)第九題(二支)兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等先解曰甲乙兩幾何各與丙為比例等題言甲與乙等論曰如云不然而甲大于乙即甲與丙之比例宜大于乙與丙(本篇八)何先設兩比例等也故比例等則甲與乙等後解曰丙幾何與甲與乙各為比例等題言甲與乙等論曰如云不然而甲大于乙即丙與乙之比例宜大于丙與甲(本篇八)何先設兩比例等也第十題(二支)彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大于彼與他之比例則此幾何大于彼他幾何與彼幾何之比例大于他與此之比例則彼幾何小于此先解曰甲乙兩幾何復有丙幾何甲與丙之比例大于乙與丙題言甲大于乙論曰如云不然甲與乙等即所為兩比例宜等(本篇七)何先設甲與丙大也又不然甲小于乙即乙與丙之比例宜大于甲與丙(本篇八)何先設甲與丙大也後解曰丙與乙之比例大于丙與甲題言乙小于甲論曰如云不然乙與甲等即所為兩比例宜等(本篇七)何先設丙與乙大也又不然乙大于甲即丙與甲之比例宜大于丙與乙何先設丙與乙大也第十一題此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比例等題言甲乙與丙丁之比例亦等論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之為癸子丑其一甲與二乙之比例既若三戊與四己即三試之若倍一甲之庚小于倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大于癸即壬亦大于丑矣(本卷界説六)依顯壬之視丑若辛之視子其等大小亦同類矣此三前三後率任作幾許倍其等大小皆同類也(本卷界説六)則甲與乙之比例若丙與丁也第十二題數幾何所為比例皆等則并前率與并後率之比例若各前率與各後率之比例解曰甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己也題言甲丙戊諸前率并與乙丁己諸後率并之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之比例也論曰試于各前率之甲丙戊同任倍之為庚辛壬别于各後率之乙丁己同任倍之為癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若癸之倍乙也(本篇一)夫一甲與二乙既若三丙與四丁又若三戊與四己則庚之倍一甲與癸之倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊與子五之倍四丁己等大小同類也又各前所倍庚辛壬并與各後所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前所自倍與各後所自倍其等大小必同類也(本卷界説六)則一甲與二乙之比例若三甲丙戊并與四乙丁己并矣第十三題數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三與四之比例大于第五與六之比例則第一與二之比例亦大于第五與六之比例解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與四丁之比例大于五戊與六己題言甲與乙之比例亦大于戊與己論曰試以甲丙戊各前率同任倍之為庚辛壬别以乙丁己各後率同任倍之為癸子丑其甲與乙既若丙與丁即三試之若倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等若庚小于癸即辛亦小于子矣(本卷界説六)次丙與丁既大于戊與己又三試之即倍丙之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之丑也或等或小矣(本卷界説八)夫庚癸與辛子等大小同類則壬丑不類于辛子者亦不類于庚癸也故甲與乙之比例亦大于戊與己(本卷界説八)注曰若三丙與四丁之比例或小或等于五戊六己則一甲與二乙之比例亦小亦等于五戊六己依此論推顯第十四題四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一幾何大于第三則第二幾何亦大于第四第一或等或小于第三則第二亦等亦小于第四解曰甲與乙之比例若丙與丁題言甲大于丙則乙亦大于丁若等亦等若小亦小先論曰如甲大于丙即甲與乙之比例大于丙與乙矣(本篇八)夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而三甲與四乙之比例大于五丙與六乙即一丙與二丁之比例亦大于五丙與六乙(本篇十三)是丁幾何小于乙也(本篇十一)次論曰如甲丙等即甲與乙之比例若丙與乙(本篇七)夫甲與乙之比例元若丙與丁而又若丙與乙是丙與丁之比例亦若丙與乙也(本篇)(十一)則乙與丁等也(本篇九)後論曰如甲小于丙即丙與乙之比例大于甲與乙矣(本篇八)夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而三甲與四乙之比例小于五丙與六乙即一丙與二丁之比例亦小于五丙與六乙也(本篇十三)是乙小于丁也(本篇十)第十五題兩分之比例與兩多分并之比例等解曰甲與乙同任倍之為丙丁為戊己題言丙丁與戊己之比例若甲與乙論曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲若干與戊己内有乙若干等次分丙丁為丙庚庚辛辛丁各與甲分等分戊己為戊壬壬癸癸己各與乙分等即丙庚與戊壬若甲與乙也(丙庚)(與甲等戊壬與乙等故見本篇七)庚辛與壬癸辛丁與癸己皆若甲與乙也(本篇十一)則等甲之丙庚與等乙之戊壬定若丙丁全與戊己全而丙丁全與戊己全若甲與乙矣(本篇十二)第十六題(更理)四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等解曰甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若乙與丁論曰試以甲與乙之任倍之為戊為己别以丙與丁同任倍之為庚為辛即戊與己若甲與乙也(本篇十五)庚與辛若丙與丁也夫甲與乙若丙與丁而戊與己亦若甲與乙即戊與己亦若丙與丁矣依顯庚與辛若丙與丁即戊與己亦若庚與辛也(本篇十一)次三試之若戊大于庚則己亦大于辛也若等亦等若小亦小任作幾許倍恒如是也(本篇十四)則倍一甲之戊倍三乙之己與倍二丙之庚倍四丁之辛其等大小必同類也而甲與丙若乙與丁矣第十七題(分理)相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等解曰相合之兩幾何其一為甲乙丁乙其一為丙戊己戊比例等者甲乙與丁乙若丙戊與己戊也題言分之為比例亦等者甲丁與丁乙若丙己與己戊也論曰試以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之為庚辛辛壬為癸子子丑即庚壬之倍甲乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也(本篇一)夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己戊也(本篇二)夫一甲乙與二丁乙之比例既若三丙戊與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若等亦等若小亦小也(本卷界説六)如庚壬小于辛寅而癸丑小于子卯者即每減一同用之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而癸子亦小于丑卯矣依顯庚壬等辛寅而癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛為甲丁之倍癸子為丙己之倍壬寅為丁乙之倍丑卯為己戊之倍而甲丁丙己之所倍視丁乙己戊之所倍其等大小皆同類則甲丁與丁乙若丙己與己戊也(本卷界説六)第十八題(合理)兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其比例等者甲丁與丁乙若丙己與己戊是也題言合之為比例亦等者甲乙與丁乙若丙戊與己戊也論曰如前論以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之為庚辛辛壬為癸子子丑(本篇二)次别以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯即庚壬之倍甲乙若癸丑之倍丙戊也(本篇一)而辛寅之倍丁乙若子卯之倍乙戊也(本篇二)夫一甲丁與二丁乙既若三丙己與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若一甲丁所倍之庚辛小於二丁乙所倍之壬寅即三丙己所倍之癸子亦小於四己戊所倍之丑卯也若等亦等若大亦大也(本卷界説)(六)如庚辛小於壬寅而癸子亦小於丑卯即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小於辛寅而癸丑亦小於子卯矣依顯庚辛等壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸丑等子卯矣庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯即庚壬大於辛寅而癸丑大於子夘矣夫一甲乙所倍之庚壬與二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑與四己戊所倍之子夘其等大小皆同類則甲乙與丁乙若丙戊與己戊也(本卷界説六)第十九題(其系為轉理)兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分餘之比例與兩全之比例亦等解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁全之比例若截取之甲戊與丙己題言分餘戊乙與己丁之比例亦若甲乙與丙丁論曰甲乙與丙丁既若甲戊與丙己試更之甲乙與甲戊若丙丁與丙己也(本篇十六)次分之戊乙與甲戊若己丁與丙己也(本篇十七)又更之戊乙與己丁若甲戊與丙己也(本篇十六)夫甲戊與丙己元若甲乙與丙丁則戊乙與己丁亦若甲乙與丙丁矣一系從此題可推界説第十六之轉理如上甲乙與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己也何者甲乙與戊乙既若丙丁與己丁試更之甲乙與丙丁若截取之戊乙與己丁也(本篇十六)即甲乙全與丙丁全又若分餘之甲戊與丙己矣(本題)又更之則甲乙與甲戊若丙丁與丙己也(本篇十六)此轉理也注曰凡更理可施於同類之比例不可施於異類若轉理不論同異類皆可用也依此系即轉理亦頼更理為用似亦不可施於異類矣今别作一論不頼更理以為轉理明轉理可施於異類也論曰甲乙與丙乙若丁戊與己戊即轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己何者甲乙與丙乙既若丁戊與己戊試分之甲丙與丙乙若丁己與己戊也(本篇十七)次反之丙乙與甲丙若己戊與丁己也(本篇四)次合之甲乙與甲丙若丁戊與丁己也(本篇十八)第二十題(三支)有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於第三則第四亦大於第六第一或等或小於第三則第四亦等亦小於第六先解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例若戊與己而甲大於丙題言丁亦大於己論曰甲既大於丙即甲與乙之比例大於丙與乙矣(本篇八)而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦大於丙與乙矣(本篇十三)又丙與乙之比例若己與戊(乙與丙若戊與己反之則丙與乙若己與戊)即丁與戊之比例大於己與戊矣是丁大於己也(本篇十)次解曰若甲丙等題言丁己亦等論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與乙矣(本篇七)而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦若丙與乙矣(本篇十一)又丙與乙之比例若己與戊(反理)即丁與戊之比例亦若己與戊矣是丁己等也(本篇九)後解曰若甲小於丙題言丁亦小於己論曰甲既小於丙即甲與乙之比例小於丙與乙矣(本篇八)而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦小於丙與乙矣又丙與乙之比例若己與戊(反理)即丁與戊之比例小於己於戊矣是丁小於己也(本篇十)第二十一題(三支)有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一幾何大于第三則第四亦大于第六若第一或等或小于第三則第四亦等亦小于第六解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為連比例不序不序者甲與乙若戊與己乙與丙若丁與戊也以平理推之若甲大于丙題言丁亦大于己論曰甲既大于丙即甲與乙之比例大于丙與乙(本篇)(八)而甲與乙若戊與己即戊與己之比例亦大于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也(本篇四)則戊與己大于戊與丁也是丁大于己也(本篇二十)次解曰若甲丙等題言丁己亦等論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與乙(本篇七)而甲與乙若戊與己即丙與乙之比例亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也(本篇四)則戊與己若戊與丁也是丁己等也(本篇九)後解曰若甲小于丙題言丁亦小于己論曰甲既小于丙即甲與乙之比例小于丙與乙(本篇八)而甲與乙若戊與己即戊與己之比例小于丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙若戊與丁(本篇四)則戊與己小于戊與丁也是丁小于己也(本篇十)第二十二題(平理之序)有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推解曰有若干幾何甲乙丙又有若干幾何丁戊己而甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例若戊與己題言以平理推之甲與丙之比例若丁與己論曰試以甲與丁同任倍之為庚為辛别以乙與戊同任倍之為壬為癸别以丙與己同任倍之為子為丑其一甲與二乙既若三丁與四戊即倍甲之庚與倍乙之壬若倍丁之辛與倍戊之癸也(本篇四)依顯一乙與二丙既若三戊與四己即倍乙之壬與倍丙之子若倍戊之癸與倍己之丑也是庚壬子三幾何辛癸丑三幾何又相為連比例矣次三試之若庚大于子即辛必大于丑也(本篇二十)若等亦等者小亦小也則倍一甲之庚倍三丁之辛與倍二丙之子倍四己之丑等大小皆同類也是甲與丙若丁與己也(本卷界説六)其幾何自三以上如更有丙與寅若己與卯亦依顯甲與寅若丁與卯也何者上既顯甲與丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯即以甲丙寅作三幾何以丁己卯作又三幾何相為連比例依上推論亦得甲與寅之比例若丁與夘也自四以上可至無窮依此推顯第二十三題(平理之錯)若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推解曰甲乙丙若干幾何丁戊己若干幾何相為連比例而錯者甲與乙若戊與己乙與丙若丁與戊也題言以平理推之甲與丙之比例亦若丁與己論曰試以甲乙丁同任倍之為庚辛壬别以丙戊己同任倍之為癸子丑即甲與乙若所自倍之庚與辛(本篇十五)而甲與乙既若戊與己即庚與辛亦若戊與己(本篇十一)戊與己又若所自倍之子與丑即庚與辛亦若子與丑(本篇)(十一)依顯一乙與二丙既若三丁與四戊即倍一乙之辛與倍二丙之癸若倍三丁之壬與倍四戊之子也(本篇四)是庚辛癸三幾何壬子丑三幾何又相為連比例而錯矣次三試之若庚大于癸即壬亦大于丑若等亦等若小亦小(本篇廿一)則一甲三丁所倍之庚壬與二丙四己所倍之癸丑等大小皆同類也是一甲與二丙若三丁與四己(本卷界說六)如三以上既有甲與乙若己與夘乙與丙若戊與己又有丙與寅若丁與戊亦顯甲與寅若丁與卯何者依上論先顯甲與丙若戊與夘次丙與寅又若丁與戊即以甲丙寅作三幾何丁戊夘作又三幾何相為連比例而錯依上論亦得甲與寅若丁與夘四以上悉依此推顯第二十四題凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而第五與二之比例若第六與四則第一第五并與二之比例若第三第六并與四解曰一甲乙與二丙之比例若三丁戊與四己而五乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一甲乙五乙庚并與二丙若三丁戊六戊辛并與四己論曰乙庚與丙既若戊辛與己反之丙與乙庚若己與戊辛也(本篇四)又甲乙與丙既若丁戊與己而丙與乙庚亦若己與戊辛平之甲乙與乙庚若丁戊與戊辛也(本篇廿二)又合之甲庚全與乙庚若丁辛全與戊辛也(本篇十八)夫甲庚與乙庚既若丁辛與戊辛而乙庚與丙亦若戊辛與己平之甲庚與丙若丁辛與己矣(本篇廿二)注曰依本題論可推廣第六題之義作後増題(第六)(題言幾倍後增題不止言倍其義稍廣矣)増題此兩幾何與彼兩幾何比例等于此兩幾何每截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等則分餘兩幾何與彼兩幾何比例亦等解曰如上圗甲庚丁辛此兩幾何與丙己彼兩幾何比例等者甲庚與丙若丁辛與己也題言截取之甲乙與丙若丁戊與己則分餘之乙庚與丙亦若戊辛與己論曰甲乙與丙既若丁戊與己即反之丙與甲乙若己與丁戊也(本篇四)又甲庚與丙既若丁辛與己而丙與甲乙亦若己與丁戊即平之甲庚與甲乙若丁辛與丁戊也(本篇廿二)又分之乙庚與甲乙若戊辛與丁戊也(本篇十七)夫乙庚與甲乙既若戊辛與丁戊而甲乙與丙若丁戊與己即平之若戊辛與己也(本篇廿三)第二十五題四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何并大于餘兩幾何并解曰甲乙與丙丁之比例若戊與己甲乙最大己最小題言甲乙己并大于丙丁戊并論曰試于甲乙截取甲庚與戊等于丙丁截取丙辛與己等即甲庚與丙辛之比例若戊與己也亦若甲乙與丙丁也夫甲乙全與丙丁全既若截取之甲庚與丙辛即亦若分餘之庚乙與辛丁也(本篇)(十九)而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣又甲庚與戊丙辛與己既等即于戊加丙辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁則甲乙己并豈不大于丙丁戊并第二十六題第一與二幾何之比例大于第三與四之比例反之則第二與一之比例小于第四與三之比例解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題言反之二乙與一甲之比例小于四丁與三丙論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙之比例大于戊與乙而甲幾何大于戊(本篇十)則乙與戊之比例大于乙與甲也(本篇八)反之則乙與戊之比例若丁與丙(本篇四)而乙與甲之比例小于丁與丙第二十七題第一與二之比例大于第三與四之比例更之則第一與三之比例亦大于第二與四之比例解曰一甲與二乙之比例大于三丙與四丁題言更之則一甲與三丙之比例亦大于二乙與四丁論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙之比例大于戊與乙而甲㡬何大于戊(本篇十)則甲與丙之比例大于戊與丙也(本篇八)夫戊與乙之比例既若丙與丁更之則戊與丙之比例亦若乙與丁(本篇十六)而甲與丙之比例大于乙與丁矣第二十八題第一與二之比例大于第三與四之比例合之則第一第二并與二之比例亦大于第三第四并與四之比例解曰一甲乙與二乙丙之比例大于三丁戊與四戊己題言合之則甲丙與乙丙之比例亦大于丁己與戊己論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊己即甲乙與乙丙之比例大于庚乙與乙丙而甲乙幾何大于庚乙矣(本篇十)此二率者每加一乙丙即甲丙亦大于庚丙而甲丙與乙丙之比例大于庚丙與乙丙也(本篇八)夫庚乙與乙丙之比例既若丁戊與戊己合之則庚丙與乙丙之比例亦若丁己與戊己也(本篇十八)而甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己矣第二十九題第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比例分之則第一與二之比例亦大于第三與四之比例解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己題言分之則甲乙與乙丙之比例亦大于丁戊與戊己論曰試作庚丙與乙丙之比例若丁己與戊己即甲丙與乙丙之比例亦大于庚丙與乙丙而甲丙幾何大于庚丙矣(本篇十)此二率者每減一同用之乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙與乙丙之比例大于庚乙與乙丙也(本篇八)夫庚丙與乙丙之比例既若丁己與戊己分之則庚乙與乙丙之比例亦若丁戊與戊己也(本篇十七)而甲乙與乙丙之比例大于丁戊與戊己矣第三十題第一合第二與二之比例大于第三合第四與四之比例轉之則第一合第二與一之比例小于第三合第四與三之比例解曰甲丙與乙丙之比例大于丁己與戊己題言轉之則甲丙與甲乙之比例小于丁己與丁戊論曰甲丙與乙丙之比例既大于丁己與戊己分之即甲乙與乙丙之比例亦大于丁戊與戊己也(本篇廿九)又反之乙丙與甲乙之比例小于戊己與丁戊矣(本篇廿六)又合之甲丙與甲乙之比例亦小于丁己與丁戊也(本篇廿八)第三十一題此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第一與二之比例此第二與三之比例大于彼第二與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三之比例解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大于丁與戊乙與丙之比例大于戊與己如是序者題言以平理推則甲與丙之比例亦大于丁與己論曰試作庚與丙之比例若戊與己即乙與丙之比例大于庚與丙而乙幾何大于庚(本篇十)是甲與小庚之比例大于甲與大乙矣(本篇八)夫甲與乙之比例元大于丁與戊即甲與庚之比例更大于丁與戊也次作辛與庚之比例若丁與戊即甲與庚之比例亦大于辛與庚而甲幾何大于辛(本篇十)是大甲與丙之比例大于小辛與丙矣(本篇八)夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也(本篇)(廿二)則甲與丙之比例大于丁與己也第三十二題此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大于彼第二與三之比例此第二與三之比例大于彼第一與二之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大于彼第一與三之比例解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大于戊與己乙與丙之比例大于丁與戊如是錯者題言以平理推則甲與丙之比例亦大于丁與己論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即乙與丙之比例大於庚與丙而乙㡬何大于庚(本篇十)是甲與小庚之比例大于甲與大乙矣(本篇八)夫甲與乙之比例既大于戊與己即甲與庚之比例更大于戊與己也次作辛與庚之比例若戊與己即甲與庚之比例亦大于辛與庚而甲幾何大于辛(本篇十)是大甲與丙之比例大于小辛與丙矣(本篇八)夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也(本篇廿三)則甲與丙之比例大于丁與己也第三十三題此全與彼全之比例大于此全截分與彼全截分之比例則此全分餘與彼全分餘之比例大于此全與彼全之比例解曰甲乙全與丙丁全之比例大于兩截分甲戊與丙己題言兩分餘戊乙與己丁之比例大于甲乙與丙丁論曰甲乙與丙丁之比例既大于甲戊與丙己更之即甲乙與甲戊之比例亦大于丙丁與丙己也(本篇廿七)又轉之甲乙與戊乙之比例小于丙丁與己丁也(本篇三十)又更之甲乙與丙丁之比例小于戊乙與己丁也(本篇廿七)戊乙與己丁分餘也則分餘之比例大于甲乙全與丙丁全矣依顯兩全之比例小于截分則分餘之比例小于兩全第三十四題(三支)若干幾何又有若干㡬何其數等而此第一與彼第一之比例大于此第二與彼第二之比例此第二與彼第二之比例大于此第三與彼第三之比例以後俱如是則此并與彼并之比例大于此末與彼末之比例亦大于此并減第一與彼并減第一之比例而小于此第一與彼第一之比例解曰如甲乙丙三幾何又有丁戊己三幾何其甲與丁之比例大于乙與戊乙與戊之比例大于丙與己題先言甲乙丙并與丁戊己并之比例大于丙與己次言亦大於乙丙并與戊己并後言小于甲與丁論曰甲與丁之比例既大于乙與戊更之即甲與乙之比例大于丁與戊也(本篇廿七)又合之甲乙并與乙之比例大于丁戊并與戊也(本篇)(廿八)又更之甲乙并與丁戊并之比例大于乙與戊也(本篇廿七)是甲乙全與丁戊全之比例大于減并乙與減并戊也既爾即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙全與丁戊全也(本篇卅三)依顯乙與戊之比例亦大于乙丙全與戊己全即甲與丁之比例更大于乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙并之比例大于丁與戊己并也(本篇廿七)又合之甲乙丙全與乙丙并之比例大于丁戊己全與戊己并也(本篇廿八)又更之甲乙丙全與丁戊己全之比例大于乙丙并與戊己并也(本篇廿七)則得次解也又甲乙丙全與丁戊己全之比例既大于減并乙丙與減并戊己即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙丙全與丁戊己全也(本篇卅三)則得後解也又乙與戊之比例既大于丙與己更之即乙與丙之比例大于戊與己也(本篇卄七)又合之乙丙全與丙之比例大于戊己全與己也(本篇卄八)又更之乙丙并與戊己并之比例大于丙與己也(本篇卄七)而甲乙丙并與丁戊己并之比例既大于乙丙并與戊己并即更大于末丙與末己也則得先解也若兩率各有四幾何而丙與己之比例亦大于庚與辛即與前論同理盖依上文論乙與戊之比例大于乙丙庚并與戊己辛并即甲與丁之比例更大于乙丙庚并與戊己辛并也更之即甲與乙丙庚并之比例大于丁與戊己辛并也(本篇十八)又合之甲乙丙庚全與乙丙庚并之比例大于丁戊己辛全與戊己辛并也又更之甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并也(本篇廿七)則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例既大于減并乙丙庚與減并戊己辛即減餘甲與減餘丁之比例大于甲乙丙庚全與丁戊己辛全也(本篇)(卅三)則得後解也又依前論顯乙丙庚并與戊己辛并之比例既大于庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并與戊己辛并即更大于末庚與末辛也則得先解也自五以上至于無窮俱倣此論可顯全題之㫖幾何原本卷五
## 卷六之首
欽定四庫全書幾何原本卷六之首西洋利瑪竇譯界說六則第一界凡形相當之各角等而各等角旁兩線之比例俱等為相似之形甲乙丙丁戊己兩角形之甲角與丁角等乙與戊丙與己各等其甲角旁之甲乙與甲丙两線之比例若丁角旁之丁戊與丁己兩線而甲乙與乙丙若丁戊與戊己甲丙與丙乙若丁己與己戊則此兩角形為相似之形依顯凡平邉形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上諸形俱倣此第二界兩形之各兩邉線互為前後率相與為比例而等為互相視之形甲乙丙丁戊己庚辛兩方形其甲乙乙丙邉與戊己己庚邉相與為比例等而彼此互為前後如甲乙與戊己若己庚與乙丙也則此兩形為互相視之形依顯壬癸子丑寅卯兩角形之壬子與丑寅若丑夘與壬癸或壬癸與丑寅若丑夘與壬子亦互相視之形也第三界理分中末線者一線兩分之其全與大分之比例若大分與小分之比例甲乙線兩分之于丙而甲乙與大分甲丙之比例若大分甲丙與小分丙乙此為理分中末線其分法見本卷三十題而與二卷十一題理同名異此線為用甚廣至量體尤所必須十三卷諸題多頼之古人目為神分線也第四界度各形之髙皆以垂線之亘為度甲乙丙角形從甲頂向乙丙底作甲庚垂線即甲庚為甲乙丙之髙又丁戊己角形作丁辛垂線即丁辛為丁戊己之髙若兩形相視兩垂線等即兩形之髙必等如上兩形在兩平行線之内者是也若以丙己為頂以甲乙丁戊為底則不等自餘諸形之度髙俱倣此凡度物髙以頂底為界以垂線為度盖物之定度止有一不得有二自頂至底垂線一而己偏線無數也第五界比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為一比例之命數此各比例不同理而相聚為一比例者則用相結之法合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為比例之命數謂大幾何所倍於小幾何若干或小幾何在大幾何内若干也如大幾何四倍于小或小幾何為大四分之一即各以四為命比例之數也(五卷界說)(三)今言以彼多比例之命數相乗除而結為此一比例之命數者如十二倍之此比例則以彼二倍六倍兩比例相結也二六相乗為十二故也或以彼三倍四倍兩比例相結也三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例則以彼二倍三倍五倍三比例相結也二乗三為六六乗五為三十故也其曰相結者相結之理盖在中率凡中率為前比例之後後比例之前故以二比例合為一比例則中率為輳合之因如兩爿合此為之膠如兩襟合此為之紐矣第五卷第十界言數幾何為同理之比例則第一與第三為再加之比例再加者以前中二率之命數再加為前後二率之命數亦以中率為紐也但彼所言者多比例同理故止以第一比例之命數累加之此題所言則不同理之多比例不得以第一比例之命數累加之故用此乗除相結之理于不同理之中求其同理别為累加之法其紐結之義頗相類焉下文仍發明借象之術以需後用也五卷言多比例同理者第一與第三為再加與第四為三加與第五為四加以至無窮今此相結之理亦以三率為始三率則兩比例相乗除而中率為紐也若四率則先以前三率之兩比例相乗除而結為一比例復以此初結之比例與第三比例乗除相結為一比例也若五率則先以前三率之兩比例乗除相結復以此再結之比例與第三比例乗除相結又以三結之比例與第四比例乗除相結為一比例也或以第一第二第三率之兩比例乗除相結以第三第四第五之兩比例乗除相結又以此二所結比例乗除相結而為一比例也自六以上倣此以至無窮設三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三兩比例相結也如上圗三幾何二比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六倍大二乗三為六也若以小不等戊己為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為反六倍大也甲乙與丙丁既二倍大試以甲乙二平分之為甲庚庚乙必各與丙丁等丙丁與戊己既三倍大而甲庚庚乙各與丙丁等即甲庚亦三倍大於戊己庚乙亦三倍大於戊己而甲乙必六倍大於戊己又如上圗三幾何二比例前以大不等後以小不等者中率小子前後兩率也其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大(反二倍大者丙丁得戊己之半)即甲乙與戊己為等帶半三乗半得等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反推之半除三為反等帶半也又如上圗三幾何二比例前以小不等後以大不等者中率大於前後二率也其甲乙與丙丁為反二倍大(甲乙得丙丁之半)丙丁與戊己為等帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半(甲乙得戊)(己三分之二)何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己當三是甲乙二戊己當三也後増其乗除之法則以命數三帶得數一為四以半除之得二二比三為反等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三三比二為等帶半也設四幾何為三比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三第三與四三比例相結也如上圗甲乙丙丁四幾何三比例先依上論以甲與乙乙與丙二比例相結為甲與丙之比例次以甲與丙丙與丁相結即得甲與丁之比例也如是逓結可至無窮也或用此圗申明本題之㫖曰甲與乙之命數為丁乙與丙之命數為戊即甲與丙之命數為己何者三命數以一丁二戊相乗得三己即三比例以一甲與乙二乙與丙相乗得三甲與丙後増若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二倍大帶三之二也曷謂借象之術如上所說三幾何二比例者皆以中率為前比例之後後比例之前乗除相結畧如連比例之同用一中率也而不同理别有二比例異中率者是不同理之斷比例也無法可以相結當于其所設幾何之外别立三幾何二比例而同中率者乗除相結作為儀式以彼異中率之四幾何二比例依倣求之即得故謂之借象術也假如所設幾何十六為首十二為尾却云十六與十二之比例若八與三及二與四之比例八為前比例之前四為後比例之後三與二為前之後後之前此所謂異中率也欲以此二比例乗除相結無法可通矣用是别立三幾何二比例如其八與三二與四之比例而務令同中率如三其八得二十四為前比例之前三其三得九為前比例之後即以九為後比例之前又求九與何數為比例若二與四得十八為後比例之後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之比例矣是用借象之術變異中率為同中率乗除相結而合二比例為一比例也其三比例以上亦如上方所說展轉借象逓結之 詳見本卷二十三題筭家所用借象金法雙金法俱本此第六界平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為形大於線甲乙線其上作甲戊丁丙平行方形不滿甲乙線而丙乙上無形即作己乙線與丁丙平行次引戊丁線遇己乙于己是為甲戊己乙滿甲乙線平行方形則甲丁為依甲乙線之有闕平行方形而丙己平行方形為甲丁之闕形又甲丙線上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元設甲丙線之較為丙乙而甲己形大于甲丙線上之甲丁形則甲己為依甲丙線之帶餘平行方形而丙己平行方形為甲己之餘形幾何原本卷六之首
## 卷六
欽定四庫全書幾何原本卷六西洋利瑪竇撰第一題等髙之三角形方形自相與為比例與其底之比例等觧曰甲乙丙丁戊己兩角形等髙其底乙丙戊己丙庚戊辛兩方形等髙其底乙丙戊己題言甲乙丙與丁戊己之比例丙庚與戊辛之比例皆若乙丙與戊己論曰試置四形於庚辛子寅兩平行線内(凡形自頂至底作垂線即本形之髙故等髙者必在平行線内見本卷界說四)于乙子線内作數底線各與乙丙等為乙壬壬癸癸子于己寅線内作數底線各與戊己等為己丑丑寅次從甲從丁作甲壬甲癸甲子丁丑丁寅諸線其甲乙丙甲乙壬甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行線内即等(一卷三八)依顯丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等則子丙底線大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍依顯戊寅之倍戊己亦若丁戊寅之倍丁戊己(底線分數與形之分數等故)即用三試法若子丙底大于戊寅底則甲子丙形亦大于丁戊寅形也若等亦等若小亦小也(一卷三八)則一乙丙所倍之子丙三甲乙丙所倍之甲子丙與二戊己所倍之戊寅四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同類也而一乙丙底與二戊己底之比例若三甲乙丙與四丁戊己矣(五卷)(六界)又丙庚戊辛兩方形各倍大于甲乙丙丁戊己兩角形(一卷卅三)而甲乙丙與丁戊己之比例既若乙丙與戊己即丙庚與戊辛兩方形之比例亦若乙丙與戊己兩底矣(五卷十五)或從壬癸子及丑寅各作直線與庚乙辛己平行即依上論推顯增題凡兩角形兩方形各等底其自相與為比例若兩形之髙之比例解曰甲乙丙與丁戊己兩角形甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形其底乙丙與戊己等題言甲乙丙與丁戊己兩角形之比例甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之比例皆若甲壬與丁癸兩髙論曰試作子壬底線與乙丙等作丑癸底線與戊己等次作甲子丁丑兩線其甲壬子與甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與甲乙丙兩角形等底又等髙即等依顯丁癸丑與丁戊己兩角形亦等(一卷三八)即甲乙丙與丁戊己之比例若甲壬子與丁癸丑也(五卷七)今以甲壬丁癸為底即甲壬子與丁癸丑两角形之比例若甲壬與丁癸兩底也(本篇一)而甲乙丙與丁戊乙之比例亦若甲壬與丁癸矣又甲乙丙與丁戊己兩角形之比例既以倍大故若甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之比例(五卷十五)即兩方形之比例亦若甲壬與丁癸兩底也(五卷十一)若作庚子辛丑兩線亦依前論推顯第二題(二支)三角形任依一邉作平行線即此線分兩餘邉以為比例必等三角形内有一線分兩邉以為比例而等即此線與餘邉為平行先解曰甲乙丙角形内如作丁戊線與乙丙平行題言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊以為比例必等者甲丁與丁乙若甲戊與戊丙也論曰試作丁丙戊乙兩線其丁戊乙丁戊丙兩角形同以丁戊為底同在兩平行線内即等(一卷三七)而甲戊丁與丁戊乙兩角形之比例若甲戊丁與丁戊丙矣(五卷)(七)夫甲戊丁與丁戊乙兩角形亦在兩平行線内(若干)(戊㸃上作一線與甲乙平行即兩形在其内)則甲戊丁與丁戊乙兩角形之比例若甲丁與丁乙兩底也(本篇一)依顯甲戊與戊丙兩底之比例亦若甲戊丁與丁戊丙兩角形也(兩形)(亦在兩平行線内故)是甲丁與丁乙兩線之比例甲戊與戊丙兩線之比例皆若甲戊丁與丁戊乙也或與丁戊丙也(丁戊乙與丁戊丙等)則甲丁與丁乙亦若甲戊與戊丙也(五卷)後解曰甲乙丙角形内有丁戊線分甲乙甲丙于丁于戊以為比例而等題言丁戊與乙丙為平行線論曰試作丁丙戊乙兩線其甲丁與丁乙兩底之比例若甲戊丁與丁戊乙兩角形也(在兩平行線内故見本篇一)而甲丁與丁乙之比例若甲戊與戊丙即甲戊丁與丁戊乙之比例亦若甲戊與戊丙也(五卷十一)又甲戊與戊丙兩底之比例既若甲戊丁與丁戊丙(在兩平行線内故見本篇)(一)則甲戊丁與丁戊乙之比例亦若甲戊丁與丁戊丙也(五卷十一)而丁戊乙與丁戊丙兩角形等矣(五卷九)兩角形同以丁戊為底而等則在兩平行線内(一卷卅九)第三題(二支)三角形任以直線分一角為兩平分而分對角邉為兩分則兩分之比例若餘兩邉之比例三角形分角之線所分對角邉之比例若餘兩邉則所分角為兩平分先解曰甲乙丙角形以甲丁線分乙甲丙角為兩平分題言乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙論曰試作乙戊線與甲丁平行次于丙甲線引長之至戊其甲乙戊與乙甲丁為平行線相對之兩内角等外角丁甲丙與内角戊亦等(一卷廿九)今乙甲丁與丁甲丙又等即甲乙戊角與戊角亦等也而甲戊與甲乙兩腰亦等矣(一卷六)則戊甲與甲丙之比例若乙甲與甲丙也(五卷七)夫戊甲與甲丙之比例若乙丁與丁丙也(本篇二)則乙甲與甲丙之比例亦若乙丁與丁丙也(五卷十一)後解曰乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲丙題言甲丁線分乙甲丙角為兩平分論曰依前作乙戊線與甲丁平行而引丙甲線至戊其乙甲與甲丙之比例既若乙丁與丁丙甲丁線又與戊乙邉平行而乙丁與丁丙之比例若戊甲與甲丙(本篇二)即乙甲與甲丙之比例亦若戊甲與甲丙(五卷十一)是戊甲與乙甲兩線等矣(五卷)(九)則甲乙戊角與戊角亦等也(一卷五)夫甲乙戊與乙甲丁為平行線相對之兩内角等而外角丁甲丙與内角戊亦等(一卷廿九)則乙甲丁丁甲丙兩角必等第四題凡等角三角形其在等角旁之各兩腰線相與為比例必等而對等角之邉為相似之邉解曰甲乙丙丁丙戊兩角形等角者甲乙丙與丁丙戊甲丙乙與丁戊丙乙甲丙與丙丁戊每相當之各角俱等也題言甲乙與乙丙之比例若丁丙與丙戊甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙若丁戊與丙戊而每對等角之邉各相似相似者謂各前各後率各對本形之相當等角論曰試並置兩角形令乙丙丙戊兩底為一直線而丁丙戊為甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙兩角既小于兩直角(一卷廿七)丁戊丙與甲丙乙两角又等即乙戊两角亦小於兩直角而乙甲戊丁兩線引出之必相遇(一卷界說十一)即作兩線令遇于己其丁丙戊外角與甲乙丙内角既等即丁丙與己乙為平行線(一卷)(廿八)依顯甲丙乙外角與丁戊丙内角既等即甲丙與己戊亦平行線(一卷廿八)而甲己丁丙為平行線方行則甲己與丁丙兩線等也甲丙與己丁兩線等也(一卷卅四)夫乙戊己角形内之甲丙線既與己戊邉平行即甲乙與等甲己之丁丙之比例若乙丙與丙戊也(本篇二)更之即甲乙與乙丙若丁丙與丙戊也(五卷十六)又乙戊己角形内之丁丙線既與己乙邉平行即乙丙與丙戊之比例若等己丁之甲丙與丁戊也(本篇二)更之即乙丙與甲丙若丙戊與丁戊也(五卷十六)甲乙與乙丙既若丁丙與丙戊而乙丙與甲丙又若丙戊與丁戊平之即甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也(五卷廿二)一系凡角形内之直線與一邉平行而截一分為角形必與全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直線與乙丙平行而截一分為甲丁戊角形必與甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角與甲乙丙内角等甲戊丁外角亦與甲丙乙内角等(一卷廿九)甲角又同即兩形相似而各等角旁兩邉之比例等(本題)増題凡角形之内任依一邉作一平行線于此邉任取一㸃向對角作直線則所分兩平行線比例等解曰甲乙丙角形内作丁戊線與乙丙平行次于乙丙邉任取己㸃向甲角作直線分丁戊于庚題言乙己與己丙之比例若丁庚與庚戊論曰甲己乙甲庚丁兩角形既相似(本系)即甲己與己乙之比例若甲庚與庚丁也更之即甲己與甲庚若己乙與庚丁也(五卷十六)依顯甲己與甲庚若己丙與庚戊也則乙己與丁庚亦若己丙與庚戊也(五卷十一)更之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也(五卷十六)又論曰甲己乙甲庚丁兩角形甲己丙甲庚戊兩角形既各相似即乙己與甲己之比例若丁庚與庚甲也(本系)依顯甲己與己丙亦若甲庚與庚戊也平之即乙己與己丙若丁庚與庚戊也(五卷廿二)第五題兩三角形其各兩邊之比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等觧曰甲乙丙丁戊己兩角形其各兩邊之比例等者甲乙與乙丙若丁戊與戊己而乙丙與甲丙若戊己與丁己甲丙與甲乙若丁己與丁戊也題言此兩形為等角形而對各相似邊之角甲與丁乙與戊丙與己各等論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與丙角等而戊庚己庚兩線遇于庚即庚角與甲角等(一卷三二)是甲乙丙庚戊己兩形等角矣則甲乙與乙丙之比例若庚戊與戊己也(本篇四)甲乙與乙丙元若丁戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也(五卷十一)而丁戊與庚戊兩線必等(五卷九)又乙丙與甲丙之比例若戊己與庚己(本篇四)而乙丙與甲丙元若戊己與丁己則戊己與庚己亦若戊己與丁己也(五卷十一)而丁己與庚己兩線必等(五卷九)夫庚戊庚己兩腰既與丁戊丁己兩腰各等戊己同底即丁角與庚角亦等(一卷八)其餘庚戊己與丁戊己庚己戊與丁己戊各相當之角俱等(一卷四)而庚角與甲角既等即丁角與甲角亦等丁戊己角與乙角丁己戊角與丙角俱等第六題兩三角形之一角等而等角旁之各兩邊比例等即兩形為等角形而對各相似邊之角各等解曰甲乙丙丁戊己兩角形其乙與戊两角等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己題言餘角丙與己甲與丁俱等論曰試作己戊庚角與乙角等作庚己戊角與丙角等而戊庚己庚两線遇于庚依前論推顯甲乙丙庚戊己兩形等角即甲乙與乙丙之比例若庚戊與戊己也(本篇四)甲乙與乙丙元若丁戊與戊己則庚戊與戊己亦若丁戊與戊己也(五卷十一)而丁戊與庚戊兩線必等(五卷九)夫丁戊庚戊兩邊既等戊己同邊庚戊己角與丁戊己角又等(丁戊己角與乙角等而己戊庚亦與)(乙等故)即其餘各相當之角俱等(一卷四)而庚角既與甲角等庚己戊角既與丙角等即甲角丙角與丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己為等角形矣第七題兩三角形之第一角等而第二相當角各兩旁之邊比例等其第三相當角或俱小于直角或俱不小于直角即兩形為等角形而對各相似邊之角各等解曰甲乙丙丁戊己兩角形其一甲角與一丁角等而第二相當角如甲丙乙兩旁之甲丙丙乙兩邉偕丁己戊兩旁之丁己己戊兩邉比例等其第三相當角如乙與戊或俱小于直角或俱不小于直角題言兩形等角者謂甲丙乙角與己等乙角與戊等先論乙與戊俱小于直角者曰如云不然而甲丙乙大于己令作甲丙庚角與己等即甲庚丙角宜與戊等(一卷卅二)甲庚丙與丁戊己為等角形矣即甲丙與丙庚之比例宜若丁己與己戊(本篇四)而先設甲丙與丙乙若丁己與己戊也是甲丙與丙庚亦若甲丙與丙乙也(五卷十一)是庚丙與乙丙兩線等也(五卷九)丙庚乙與丙乙庚兩角亦等也(一卷五)夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角則較角之丙庚甲必大于直角也(丙庚甲丙庚乙兩角等于兩直角見一卷十三)而丙庚甲既與戊等則丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也後論乙與戊俱不小于直角者曰如云不然依先論乙角與丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同為角形内之兩角乃俱不小于直角(一卷十七)何也則甲丙乙不得不等于丁己戊也而其餘乙與戊角等矣(一卷卅二)第八題直角三邉形從直角向對邉作一垂線分本形為兩直角三邉形即兩形皆與全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形從乙甲丙直角作甲丁垂線題言所分甲丁丙甲丁乙兩三邉形皆與全形相似亦自相似論曰甲乙丙甲丁丙兩形既各以乙甲丙甲丁丙為直角而丙角又同即其餘甲乙丙丁甲丙兩角必等(一卷三)則甲乙丙甲丁丙兩形必為等角形而等角旁之各兩邉比例必等等者謂乙丙與甲丙若甲丙與丙丁也甲丙與甲乙若丙丁與甲丁也乙丙與甲乙若甲丙與甲丁也即甲丁丙角形與甲乙丙全形相似矣(本篇四)依顯甲丁乙角形與甲乙丙全形亦相似也何者丙甲乙甲丁乙兩皆直角而乙角又同即其餘甲丙乙丁甲乙兩角必等(一卷卅二)甲乙丙甲丁乙兩形必為等角形而等角旁之各兩邉比例必等故也依顯甲丁乙甲丁丙兩角形亦相似也何者兩形各與全形相似即兩形自相似(五卷十一)系從直角作垂線即此線為兩分對邉線比例之中率而直角旁兩邉各為對角全邉與同方分邉比例之中率何者丙丁與丁甲之比例若丁甲與丁乙也故丁甲為丙丁丁乙兩分邉比例之中率也又乙丙與丙甲之比例若丙甲與丙丁也故丙甲為乙丙丙丁之中率也乙丙與乙甲之比例若乙甲與乙丁也故乙甲為乙丙乙丁之中率也第九題一直線求截所取之分法曰甲乙直線求截取三分之一先從甲任作一甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己為三分也次作己乙直線末作丁庚線與己乙平行即甲庚為甲乙三分之一論曰甲乙己角形内之丁庚線既與乙己邉平行即己丁與丁甲之比例若乙庚與庚甲也(本篇二)合之己甲與甲丁若乙甲與庚甲也(五卷十八)而甲丁既為己甲三分之一即庚甲亦為乙甲三分之一也注曰甲乙線欲截取十一分之四先作甲丙線為丙甲乙角從甲向丙任平分十一分至丁次作丁乙線末從甲取四分得戊作戊己線與丁乙平行即甲己為十一分甲乙之四何者依上論丁甲與戊甲之比例若乙甲與己甲也反之甲戊與甲丁若甲己與甲乙也(五卷四)甲戊為甲丁十一分之四則甲己亦甲乙十一分之四矣依此可推不盡分之數葢四不為十一之盡分故第十題一直線求截各分如所設之截分法曰甲乙線求截各分如所設甲丙任分之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙兩線相聮于甲任作丙甲乙角次作丙乙線相聮末從丁從戊作丁己戊庚兩線皆與丙乙平行即分甲乙線于己于庚若甲丙之分于丁于戊論曰甲丁與丁戊之比例既若甲己與己庚(本篇二)即甲己與己庚亦若甲丁與丁戊也更作丁辛線與甲乙平行而分戊庚于壬即丁戊與戊丙若丁壬與壬辛也亦若等丁壬之己庚(一卷卅四)與等壬辛之庚乙也(本篇二)則己庚與庚乙亦若丁戊與戊丙也從此題作一用法平分一直線為若干分如甲乙線求五平分即從甲任作甲丙線為丙甲乙角次從甲向丙任作五平分為甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直線相聨末作丁壬戊癸己子庚丑四線皆與辛乙平行即壬癸子丑分甲乙為五平分其理依前論推顯又一簡法如甲乙線求五平分即從丙任作丙乙線為丙乙甲角次于乙丙任取一㸃為丁作丁戊線與甲乙平行次從丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸線令小于甲乙次從甲過癸作甲子線遇乙丙于子末從子作子壬子辛子庚子己四線各引長之而分甲乙于丑于寅于夘于辰為五平分論曰丁戊與甲乙既平行即子壬癸與子丑甲兩角子癸壬與子甲丑兩角各等(一卷廿九)而甲子丑同角即甲子丑癸子壬兩角形相似矣則子癸與癸壬之比例若子甲與甲丑也(本篇四)依顯子壬與壬辛若子丑與丑寅也又癸壬與壬辛等即子壬與壬癸若子壬與壬辛也(五卷七)則子丑與丑甲亦若子丑與丑寅也而甲丑丑寅兩線等矣(五卷十一)依顯寅夘夘辰辰乙俱與甲丑等則甲乙線為五平分又一簡法如甲乙線求五平分即從甲從乙作甲丁乙丙兩平行線次從乙任作戊己庚辛四平分次用元度從甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四線相聨即分甲乙于己于辰于夘于寅為五平分論曰辛庚與壬癸既平行相等即辛壬與庚癸亦平行(一卷卅三)依顯己子戊丑俱平行而甲丑既為四平分則甲己亦四平分(本題)依顯乙辛既為四平分則乙寅亦四平分而通甲乙為五平分又用法先作一器丙丁戊己為平行線任平分為若干格每分作平行線相聨今欲分甲乙為五平分即規取甲乙之度以一角抵戊丙線而一角抵庚辛線如不在庚辛者即漸移之令至也既至壬即戊壬之分為甲乙之分論曰庚癸與子辛既平行相等即癸子庚辛亦平行相等(一卷卅三)而丙丁戊己内諸線俱平行相等戊庚為五平分即戊壬亦五平分矣(本題)戊壬之度既與甲乙等即自戊至壬諸格分甲乙為五平分也如戊丙線上取丑㸃而甲乙度抵庚辛之外若丑寅即從庚辛線引長之為庚寅而癸子諸線俱引長之其丑寅仍為五平分如前論若所欲分之線極小則製器宜宻令相稱焉増題有直線求兩分之而两分之比例若所設兩線之比例法曰甲乙線求兩分之而兩分之比例若所設丙與丁先從甲任作甲戊線而為甲角次截取甲己與丙等己庚與丁等次作庚乙線聨之末作己辛線與庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛與辛乙之比例若丙與丁說見本篇二又増題兩直線各三分之各互為兩前後率比例等即兩中率與兩前兩後率各為比例亦等解曰甲乙丙丁兩線各三分之于戊于己于庚于辛各互為兩前兩後率比例等者甲戊與戊乙若丙庚與庚丁甲己與己乙若丙辛與辛丁也題言中率戊己庚辛各與其前後率為比例亦等者甲戊與戊己若丙庚與庚辛己乙與戊己若辛丁與庚辛也論曰甲戊與戊乙之比例既若丙庚與庚丁即合之甲乙與戊乙若丙丁與庚丁也而甲己與己乙既若丙辛與辛丁即合之甲乙與己乙若丙丁與辛丁也又反之己乙與甲乙若辛丁與丙丁也夫己乙與甲乙既若辛丁與丙丁而甲乙與戊乙又若丙丁與庚丁即平之己乙與戊乙亦若辛丁與庚丁也(五卷廿二)又轉之戊乙與戊己若庚丁與庚辛也又分之己乙與戊己若辛丁與庚辛也此後解也又甲戊與戊乙既若丙庚與庚丁而戊乙與戊己又若庚丁與庚辛即平之甲戊與戊己若丙庚與庚辛也此前觧也又簡論曰如後圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三線相聨其甲戊與戊乙之比例既若丙庚與庚丁即庚戊與丁乙平行(本篇二)甲己與己乙既若丙辛與辛丁即辛己與丁乙平行(本篇二)而庚戊與辛己亦平行(一卷三十)是甲戊與戊己若丙庚與庚辛也己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也(本篇)第十一題兩直線求别作一線相與為連比例法曰甲乙甲丙兩線求别作一線相與為連比例者合兩線任作甲角而甲乙與甲丙之比例若甲丙與他線也先于甲乙引長之為乙丁與甲丙等次作丙乙線相聨次從丁作丁戊線與丙乙平行末于甲丙引長之遇于戊即丙戊為所求線(如以甲丙為前率倣此)論曰甲丁戊角形内之丙乙線既與戊丁邉平行即甲乙與乙丁之比例若甲丙與丙戊也(本篇二)而乙丁甲丙元等即甲乙與甲丙若甲丙與丙戊也(五卷七)注曰别有一法以甲乙乙丙兩線列作甲乙丙直角次以甲丙線聨之而甲乙引長之末從丙作丙丁為甲丙之垂線遇引長線于丁即乙丁為所求線論曰甲丙丁角形之甲丙丁既為直角而從直角至甲丁底有丙乙垂線即丙乙為甲乙乙丁比例之中率(本篇八之系)則甲乙與乙丙若乙丙與乙丁也既從一二得三即從二三求四以上至于無窮俱倣此第十二題三直線求别作一線相與為斷比例法曰甲乙乙丙甲丁三直線求别作一線相與為斷比例者謂甲丁與他線之比例若甲乙與乙丙也先以甲乙乙丙作直線為甲丙次以甲丁線合甲丙任作甲角次作丁乙線相聨次從丙作丙戊線與丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊于戊即丁戊為所求線論曰甲丙戊角形内之丁乙線既與丙戊邊平行即甲丁與丁戊之比例若甲乙與乙丙(本篇二)第十三題兩直線求别作一線為連比例之中率法曰甲乙乙丙兩直線求别作一線為中率者謂甲乙與他線之比例若他線與乙丙也先以兩線作一直線為甲丙次以甲丙兩平分于戊次以戊為心甲丙為界作甲丁丙半圜末從乙至圜界作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率論曰試從丁作丁甲丁丙兩線即甲丁丙為直角(三卷)(卅一)而直角所下乙丁垂線兩分對邉線甲丙其甲乙與乙丁若乙丁與乙丙也(本篇八之系)則乙丁為甲乙乙丙之中率注曰依此題可推凡半圜内之垂線皆為分徑線之中率線如甲乙丙半圜其乙丁為甲丁丁丙之中率己戊為甲戊戊丙之中率辛庚為甲庚庚丙之中率也何者半圜之内從垂線作角皆為直角(三卷卅一)故依前論推顯各為中率也増題一直線有他直線大于元線二倍以上求分他線為兩分而以元線為中率法曰甲乙線大于甲丙二倍以上求兩分甲乙而以甲丙為中率先以甲乙甲丙聨為丙甲乙直角而兩平分甲乙于下次以丁為心甲乙為界作甲戊乙半圜次從丙作丙戊線與甲乙平行而遇半圜界于戊末從戊作戊己垂線而分甲乙于己即戊己為甲己己乙兩分之中率論曰試作戊甲戊乙兩線依本題論即戊己為甲己己乙之中率而甲丙戊己為平行方形即丙甲與戊己等(一卷卅四)則丙甲亦甲己己乙之中率也第十四題(二支)兩平行方形等一角又等即等角旁之兩邉為互相視之邉兩平行方形之一角等而等角旁兩邉為互相視之邉即兩形等先解曰甲乙丙辛乙戊己庚兩平行方形等甲乙丙戊乙庚兩角又等題言此兩角各兩旁之兩邉為互相視之邉者甲乙與乙庚之比例若戊乙與乙丙也論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙庚為一直線其甲乙丙與戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直線(一卷十五增題)次從辛丙己庚各引長之遇于丁其辛乙乙己兩平行方形既等即辛乙與乙丁兩形之比例若乙己與乙丁也(五卷七)而辛乙與乙丁俱在兩平行線之内等髙即辛乙與乙丁兩形之比例若其底甲乙與乙庚也(本篇)(一)依顯乙己與乙丁兩形亦若其底戊乙與乙丙也則甲乙與乙庚亦若戊乙與乙丙也後觧曰甲乙丙戊乙庚等角兩旁之各兩邉為互相視之邉者甲乙與乙庚若戊乙與乙丙也題言辛乙乙己兩平行方形等論曰依上論以兩等角相聨其甲乙與乙庚之比例既若戊乙與乙丙而甲乙與乙庚兩底之比例若平行等髙之辛乙與乙丁兩形(本篇一)戊乙與乙丙兩底之比例若平行等髙之乙己與乙丁兩形則辛乙與乙丁若乙己與乙丁矣而辛乙乙己兩形安得不等(五卷九)第十五題(二支)相等兩三角形之一角等即等角旁之各兩邉互相視兩三角形之一角等而等角旁之各兩邉互相視即兩三角形等先解曰甲乙丙乙丁戊兩角形等兩乙角又等題言等角旁之各兩邉互相視者謂甲乙與乙戊之比例若丁乙與乙丙也論曰試以兩等角相聨于乙令甲乙乙戊為一直線其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直線(一卷十五増題)次作丙戊線相聨其甲乙丙乙丁戊兩角形既等即甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與乙丙戊也(五卷七)夫甲乙丙與乙丙戊兩等髙形之比例若其底甲乙與乙戊也而乙丁戊與乙丙戊兩等髙形亦若其底丁乙與乙丙也則甲乙與乙戊若丁乙與乙丙後解曰兩乙角等而乙旁各兩邊甲乙與乙戊之比例若丁乙與乙丙題言甲乙丙乙丁戊兩角形等論曰依前列兩形令等角旁兩邉各為一直線其甲乙與乙戊之比例既若丁乙與乙丙而甲乙與乙戊兩底又若其上甲乙丙乙丙戊兩等髙角形丁乙與乙丙兩底又若其上乙丁戊乙丙戊兩等髙角形則甲乙丙與乙丙戊之比例若乙丁戊與乙丙戊矣而甲乙丙與乙丁戊豈不相等(五卷九)第十六題(二支)四直線為斷比例即首尾兩線矩内直角形與中兩線矩内直角形等首尾兩線與中兩線兩矩内直角形等即四線為斷比例先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直線為斷比例者謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾兩線矩内直角形戊己庚辛為戊己己庚中兩線矩内直角形題言甲丙戊庚兩形等論曰兩形之乙與己既等為直角而甲乙與己庚之比例若戊己與乙丙是乙己等角旁之各兩邉互相視而甲丙戊庚兩直角形必等(本篇十四)後解曰甲丙戊庚兩直角形等題言四線之比例等者謂甲乙與己庚若戊己與乙丙也論曰甲丙戊庚兩形之乙與己既等為直角即等角旁之各兩邉互相視而甲乙與己庚之比例若戊己與乙丙也(本篇十四)則四線為斷比例矣注曰若平行斜方形而等角亦同此論如上圗以上二題即筭家句股法三數筭法所頼也第十七題(二支)三直線為連比例即首尾兩線矩内直角形與中線上直角方形等首尾線矩内直角形與中線上直角方形等即三線為連比例先解曰甲乙戊己乙丙三線為連比例者甲乙與戊己若戊己與乙丙也而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾線矩内直角形戊己庚辛為戊己上直角方形題言甲丙戊庚兩形等論曰試作己庚線與戊己等即甲乙乙丙己庚戊己為比例等等者謂甲乙與戊己若己庚與乙丙也則戊己己庚矩内直角形(即戊己上直角方形)與甲乙乙丙首尾線矩内之甲丙形等矣(本篇十六)後解曰甲丙直角形與戊庚直角方形等題言甲乙與戊己之比例若戊己與乙丙論曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙與戊己之比例若己庚與乙丙也(本篇十六)而己庚與乙丙亦若等己庚之戊己與乙丙(五卷七)則甲乙與戊己若戊己與乙丙矣注曰若平行斜方形而等角亦同此論如上圗系凡直線上直角方形與他兩線所作矩内直角形等即此線為他兩線之中率何者依上後論甲乙乙丙矩内直角形與戊己上直角方形等即可推甲乙與戊己若戊己與乙丙而戊己為甲乙乙丙之中率故第十八題直線上求作直線形與所設直線形相似而體勢等法曰如甲乙線上求作直線形與所設丙丁戊己庚形相似而體勢等先于設形任從一角向各對角各作直線而分本形為若干角形如上設形則從己向丙向丁作兩直線而分為丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也次于元線上作乙甲壬甲乙壬兩角與丁丙己丙丁己兩角各等其甲壬乙壬兩線遇于壬即甲壬乙與丙己丁兩角亦等而甲壬乙與丙己丁兩形為等角形矣(一卷卅二)次作乙壬辛壬乙辛兩角與丁己戊己丁戊兩角各等其壬辛乙辛兩線遇于辛即乙辛壬與丁戊己兩角亦等而乙壬辛與丁己戊兩形為等角形矣末依上作甲壬癸與丙己庚亦為等角形即甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚兩形等角則相似而體勢等凡設多角形俱倣此論曰壬甲乙角與己丙丁角既等而壬甲癸角與己丙庚角又等即乙甲癸全角與丁丙庚全角等依顯甲乙辛與丙丁戊兩全角亦等而其餘各全角俱等則甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚為等角形矣又甲乙與乙壬之比例既若丙丁與丁己而乙壬與乙辛亦若丁己與丁戊(本篇四)平之即甲乙與乙辛亦若丙丁與丁戊也(五卷廿二)則甲乙辛丙丁戊兩等角旁各兩邊之比例等也而辛戊兩等角旁各兩邊之比例亦等也(兩形等角即等角旁)(各兩邊之比例等見本篇四)又辛壬與壬乙之比例既若戊己與己丁而壬乙與壬甲亦若己丁與己丙壬甲與壬癸亦若己丙與己庚平之即辛壬與壬癸亦若戊己與巳庚也(五卷廿二)則辛壬癸戊己庚兩等角旁各兩邊之比例等也依顯餘角俱如是則兩形為等角形而各等角旁各兩邊之比例俱等是兩形相似而體勢等注曰凡線上形相當之各角等即形相似而體勢等如上甲乙丙丁戊己兩角形其乙丙戊己線上之乙角丙角與戊角己角相當相等者是也若兩形在乙丙丁戊兩線上則雖相似而體勢不等又如上甲丙戊庚兩直角形其甲丁與丁丙之比例若戊辛與辛庚而餘邉之比例俱等亦形相似而體勢等若甲丙壬庚兩直角形雖角旁比例等而在丁丙庚辛線上不相當則體勢不等増作本題别有一簡法如設甲乙丙丁戊己直線形求于庚線上作直線形與相似而體勢等先于甲角旁之甲乙甲己兩線任引出之為甲辛甲丑次從甲向各角各任作直線為甲壬甲癸甲子次于甲乙線上截取甲辛與庚線末從辛作辛壬線與乙丙平行作壬癸與丙丁癸子與丁戊子丑與戊己各平行即所求論曰兩形之甲角既同甲乙丙甲己戊兩角與甲辛壬甲丑子兩角各等(一卷廿九)而甲丙乙甲丙丁兩角與甲壬辛甲壬癸兩角各等即乙丙丁與辛壬癸兩全角亦等依顯丙丁戊丁戊己與壬癸子癸子丑各全角各等則甲乙丙丁戊己與甲辛壬癸子丑兩直線形為等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲癸子甲子丑四三角形與甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形各相似(本篇四之系)即甲乙與乙丙之比例若甲辛與辛壬也而乙丙與丙甲若辛壬與壬甲也丙甲與丙丁若壬甲與壬癸也平之則乙丙與丙丁亦若辛壬與壬癸也依顯餘邉俱如是則兩形相似而體勢等也第十九題相似三角形之比例為其相似邉再加之比例解曰如甲乙丙丁戊己兩角形等角其乙與戊丙與己相當之角各等而甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己題言兩形之比例為乙丙與戊己兩邉再加之比例先論曰若兩角形等即乙丙與戊己兩邉亦等而各兩等邉為相同之比例即兩形亦相同之比例就令作再加之比例亦未免為相同之比例則相等之兩形即可為兩等邉再加之比例矣後論曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙線上截取乙庚為連比例之第三率令乙丙與戊己之比例若戊己與乙庚也(本篇十一)次作甲庚直線其甲乙與乙丙之比例若丁戊與戊己更之即甲乙與丁戊若乙丙與戊己也而乙丙與戊己若戊己與乙庚則甲乙與丁戊若戊己與乙庚也夫甲乙庚與丁戊己兩角形有乙戊兩等角而各兩旁之兩邉又互相視(本篇十五)即兩形等則甲乙丙形與丁戊己形之比例若甲乙丙形與甲乙庚形矣(五卷七)又甲乙丙與甲乙庚兩等髙角形之比例若乙丙底與乙庚底(本篇一)則甲乙丙形與丁戊己形之比例亦若乙丙底與乙庚底也既乙丙戊己乙庚三線為連比例則一乙丙與三乙庚之比例為一乙丙與二戊己再加之比例矣是甲乙丙與丁戊己兩形之比例為乙丙與戊己再加之比例也系依本題可顯凡三直線為連比例即第一線上角形與第二線上角形之比例若第一線與第三線之比例如上甲乙丙三直線為連比例其甲與乙上各有角形相似而體勢等則一甲線與三丙線之比例若甲形與乙形也何者甲線與丙線之比例為甲線與乙線再加之比例而甲形與乙形之比例亦甲線與乙線再加之比例則甲形與乙形之比例若甲線與丙線矣依顯二乙上角形與三丙上角形相似而體勢等則二乙形與三丙形之比例若一甲線與三丙線第二十題(三支)以三角形分相似之多邉直線形則分數必等而相當之各三角形各相似其各相當兩三角形之比例若兩元形之比例其元形之比例為兩相似邉再加之比例先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸兩多邉直線形其乙甲戊庚己癸兩角等餘相當之各角俱等而各等角旁各兩邉之比例各等題先言各以角形分之其角形之分數必等而相當之各角形各相似論曰試從乙甲戊庚己癸兩角向各對角俱作直線為甲丙甲丁己辛己壬其元形既相似即角數等而所分角形之數亦等又乙角既與庚角等而角旁各兩邉之比例亦等即甲乙丙與己庚辛兩角形必相似(本篇六)乙甲丙與庚己辛兩角甲丙乙與己辛庚兩角各等而各等角旁各兩邉之比例各等(本篇四)依顯甲戊丁己癸壬兩角形亦相似又甲丙與丙乙之比例既若己辛與辛庚而丙乙與丙丁若辛庚與辛壬(兩元形相似故)平之即甲丙與丙丁若己辛與辛壬也(五卷廿二)又乙丙丁角既與庚辛壬角等而各減一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙丁角與己辛壬角必等則甲丙丁與己辛壬兩角形亦等角形亦相似矣(本篇六)次解曰題又言各相當角形之比例若兩元形之比例論曰甲乙丙己庚辛兩角形既相似即兩形之比例為甲丙己辛兩相似邉再加之比例(本篇十九)依顯甲丙丁己辛壬之比例亦為甲丙己辛再加之比例則甲乙丙與己庚辛兩角形之比例若甲丙丁與己辛壬兩角形之比例依顯甲丁戊與己壬癸之比例亦若甲丙丁與己辛壬之比例則此形中諸角形之比例若彼形中諸角形之比例此諸形為前率彼諸形為後率而一前與一後之比例又若并前與并後之比例(五卷十二)即此一角形與相當彼一角形之比例若此元形與彼元形之比例矣後解曰題又言兩多邉元形之比例為兩相似邉再加之比例論曰甲乙丙與己庚辛兩角形之比例既若甲乙丙丁戊與己庚辛壬癸兩多邉形之比例而甲乙丙與己庚辛兩形之比例為甲乙己庚兩相似邉再加之比例(本篇十九)則兩元形亦為甲乙己庚再加之比例増題此直線倍大于彼直線則此線上方形與彼線上方形為四倍大之比例若此方形與彼方形為四倍大之比例則此方形邉與彼方形邉為二倍大之比例先解曰甲線倍乙線題言甲上方形與乙上方形為四倍大之比例論曰凡直角方形俱相似(本卷界說一)依本題論則甲方形與乙方形之比例為甲線與乙線再加之比例甲線與乙線既為倍大之比例則兩方形為四倍大之比例矣何者四倍大之比例為二倍大再加之比例若一二四為連比例故也後解曰若甲上方形與乙上方形為四倍大之比例題言甲邉與乙邉為二倍大之比例論曰兩方形四倍大之比例既為兩邉再加之比例則甲邉二倍大于乙邉系依此題可顯三直線為連比例如甲乙丙則第一線上多邉形與第二線上相似多邉形之比例若第一線與第三線之比例此系與本篇第十九題之系同論第二十一題兩直線形各與他直線形相似則自相似解曰甲乙丙丁戊己兩直線形各與庚辛壬形相似題言兩形亦自相似論曰甲乙丙形之各角既與庚辛壬形之各角等而丁戊己形之各角亦與庚辛壬形之各角等即兩形之各角自相等(公論)兩形之各角既等則甲乙丙形與庚辛壬形各等角旁各邉之比例等(五卷十一)而丁戊己形與庚壬辛形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙形與丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角既等各邉之比例又等即兩形定相似矣(本卷界說一)第二十二題(二支)四直線為斷比例則兩比例線上各任作自相似之直線形亦為斷比例兩比例線上各任作自相似之直線形為斷比例則四直線為斷比例先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直線為斷比例者甲乙與丙丁若戊己與庚辛也今于甲乙丙丁上各任作直線形自相似如甲乙壬丙丁癸于戊己庚辛上各任作直線形自相似如戊己丑子庚辛夘寅題言四形亦為斷比例者謂甲乙壬與丙丁癸若戊丑與庚夘也論曰試以甲乙丙丁兩線求其連比例之末率線為辰(本篇十一)次以戊己庚辛兩線求其連比例之末率線為己平之即甲乙與辰之比例若戊己與己也(五卷廿二)夫甲乙壬與丙丁癸兩相似形之比例若甲乙線與辰線(本篇十九及廿之系)而戊丑與庚夘兩相似形之比例若戊己線與己線則甲乙壬與丙丁癸之比例亦若戊丑與庚夘矣(五卷十一)後解曰如前四形為斷比例題言甲乙丙丁戊己庚辛四線亦為斷比例論曰試以甲乙丙丁戊己三線求其斷比例之末率線為午未(本篇十二)次于午未上作直線形與戊丑相似而體勢等為午未酉申(本篇十八)午酉與戊丑相似即與庚夘亦相似而甲乙與丙丁之比例既若戊己與午未依上論即甲乙壬與丙丁癸兩形之比例若戊丑與午酉矣夫甲乙壬與丙丁癸之比例元若戊丑與庚夘則戊丑與午酉亦若戊丑與庚夘也(五卷十一)而午酉與庚夘等也(五卷九)午酉與庚夘既等又相似而體勢等即兩形必在等線之上而庚辛與午未必等(見下方補論)則戊己與午未之比例若戊己與庚辛也而戊己與午未元若甲乙與丙丁則甲乙與丙丁亦若戊己與庚辛也補論曰庚夘午酉兩直線形相等相似而體勢等即在等線之上者何也盖庚辛與午未若云不等者或言庚辛大于午未也則辛夘宜亦大于未酉矣(五卷十四)而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先設兩形等也言小倣此(補論者前此未著而論中無他論可徴故别作一論以足未備)又補論曰甲乙丙丁戊己兩直線形相等相似而體勢等即相似邉如甲乙與丁戊必等者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也即令以甲乙丁戊兩線求其連比例之末率線為庚(本篇十一)其甲乙與丁戊既若丁戊與庚而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大于庚矣然甲乙與庚之比例若甲乙丙形與丁戊己形(本篇十九及廿之系)甲乙既大于庚則甲乙丙宜大于丁戊己何先設兩形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小倣此増論曰本題别有簡論今先顯四線之比例等而甲乙壬與丙丁癸兩形之比例若戊丑與庚夘兩形者盖甲乙與丙丁之比例若戊己與庚辛而甲乙壬與丙丁癸之比例為甲乙與丙丁再加之比例(本篇十九)戊丑與庚卯之比例亦為戊己與庚辛再加之比例是甲乙壬與丙丁癸若戊丑與庚夘也次増論曰今顯四形之比例等而甲乙與丙丁兩線之比例若戊己與庚辛兩線者盖甲乙壬與丙丁癸之比例若戊丑與庚夘而甲乙壬與丙丁癸之比例為甲乙與丙丁再加之比例若戊丑與庚夘為戊己與庚辛再加之比例(本篇十九)則甲乙與丙丁之比例若戊己與庚辛矣第二十三題等角兩平行方形之比例以兩形之各兩邊兩比例相結解曰甲丙丙己兩平行方形之乙丙丁戊丙庚兩角等題言兩形之比例以各等角旁各兩邉之比例相結者謂兩比例之前率在此形兩比例之後率在彼形如甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊相結也或以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結也論曰試以兩等相聨于丙而乙丙丙庚作一直線其乙丙丁角既與戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直線(一卷十五増)次于甲丁己庚各引長之遇于辛次任作一壬線次以乙丙丙庚壬三線求其斷比例之末率線為癸(本篇十二)末以丁丙丙戊癸三線求其斷比例之末率線為子其乙丙與丙庚兩底之比例既若甲丙與丙辛兩形(本篇一)而乙丙與丙庚亦若壬與癸則甲丙與丙辛亦若壬與癸也(五卷十一)依顯丙辛與丙己亦若癸與子也平之即甲丙與丙己若壬與子也(五卷廿二)夫壬與子之比例元以壬與癸癸與子兩比例相結(本卷)(界說五)而壬與癸癸與子元若乙丙與丙庚丁丙與丙戊則甲丙與丙己之比例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戊兩比例相結也其以乙丙與丙戊偕丁丙與丙庚相結則先以乙丙丙戊為一直線可依上推顯後注曰此不同理之比例也兩形不相似(本篇十九)又不相等之形也等角旁各兩邉不互相視(本篇十四)故必用相結之理必湏借象之術其法假虚形實所以通比例之窮也以數明之乙丙六十丙庚二十壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子二即甲丙之實二千四百與丙己之實一千六百若壬三與子二為等帶半之比例也其曰壬與癸癸與子兩比例相結者壬三倍大于癸癸反二倍大于子(反二倍者癸得子之半)三乗半得一五則壬與子為等帶半之比例也其曰借象者乙丙與丙庚丁丙與丙戊二比例既不同理又異中率故借壬與癸癸與子同中率而不同理之二比例以為象(本卷界說五)初作壬與癸若乙丙與丙庚次作癸與子若丁丙與丙戊(本篇十二)則癸為前率之後又為後率之前是為壬子首尾兩率之樞紐令相象之丙庚丁丙亦化兩率為一率為乙丙丙戊首尾兩率之樞紐因以兩比例相結為首尾兩率之比例雖不能使三率為同理之兩比例而合為一連比例亦能使兩不同理之比例首尾合而為一比例矣自三以上可倣此相借以至無窮也(本卷界說五)第二十四題平行線方形之兩角線方形自相似亦與全形相似解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙對角線任作戊己庚辛兩線與丁丙乙丙平行而與對角線交相遇于壬題言戊庚己辛兩角線方形自相似亦與全形相似論曰試依一卷廿九題推顯兩角線形等角又庚甲戊與乙甲丁同角而甲戊壬外角與甲丁丙内角等甲庚壬外角與甲乙丙内角等戊壬庚外角與乙己壬内角等乙己壬外角又與乙丙丁内角等則戊庚形與甲丙全形等角矣依顯己辛形亦與全形等角矣今欲顯兩形與全形相似者試觀甲庚壬與甲乙丙兩角形甲戊壬與甲丁丙兩角形既各等角(一卷廿九)(可推仍見本篇四之系)即甲乙與乙丙之比例若甲庚與庚壬而庚乙兩角旁各兩邊之比例等也(六卷四)又乙丙與丙甲之比例若庚壬與壬甲丙甲與丙丁之比例若壬甲與壬戊平之即乙丙與丙丁若庚壬與壬戊也(五卷廿二)則乙丙丁庚壬戊兩角旁各兩邊之比例等也依顯各角旁各両邊之比例皆等是兩角線方形自相似亦與全形相似第二十五題兩直線形求作他直線形與一形相似與一形相等法曰甲乙兩直線形求作他直線形與甲相似與乙相等先于求相似之甲形任取一邊如丙丁于丙丁邊上作平行方形與甲等為丙戊(一卷四四四五)次于丁戊邊上作平行方形與乙等而戊丁庚角與丁丙己角等為丁辛其丙丁庚己戊辛俱為直線也(一卷四五可推)次作一壬癸線為丙丁丁庚之中率(本篇十三)末于壬癸上作子形與甲相似而體勢等(本篇十八)即子形與乙等論曰丙丁壬癸丁庚三線既為連比例即依本篇二十題之系可顯一丙丁與三丁庚之比例若一丙丁上之甲與二壬癸上之子兩形相似而體勢等者之比例也又丙丁與丁庚之比例若丙戊與丁辛兩等髙平行方形之比例也(本篇一)則丙戊與丁辛若甲與子矣夫丙戊與丁辛元若甲與乙也(丙戊與甲等丁辛與乙等)則甲與乙之比例若甲與子也(五卷十一)而乙形與子形等矣(五卷九)第二十六題平行方形之内減一平行方形其減形與元形相似而體勢等又一角同則減形必依元形之對角線解曰乙丁平行方形之内減戊庚平行方形元形減形相似而體勢等又戊甲庚同角題言戊庚形必依乙丁形之對角線論曰試作甲己己丙對角兩線若兩線為一直線即顯戊庚形依甲丙對角線矣如云甲己己丙非一直線令别作元形之對角線而分戊己邉于辛即作辛壬線與己庚平行其乙丁戊壬兩平行方形既同依甲辛丙一直對角線則宜相似而體勢等矣(本篇廿四)是乙甲與甲丁之比例宜若戊甲與甲壬也夫乙甲與甲丁元若戊甲與甲庚(元設形相似而體勢等)今若所云則戊甲與甲庚亦若戊甲與甲壬矣(五卷十一)而甲壬分與甲庚全亦等矣(五卷九)可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬與己戊平行依前論駁之第二十七題凡依直線之有闕平行方形不滿線者其闕形與半線上之闕形相似而體勢等則半線上似闕形之有闕依形必大于此有闕依形解曰甲乙線平分于丙于半線丙乙上任作丙丁戊乙平行方形其對角線乙丁次作甲乙戊辛滿元線平行方形即甲丁為甲丙半線上之有闕依形丙戊為丙乙半線上之闕形(本卷界說六)此兩形相等相似勢體又等題言甲乙線上凡作有闕依形不滿線者其闕形與丙戊相似而體勢等即甲丙半線上之甲丁有闕依形必大于此有闕依形論曰試于乙丁對角線上任取一㸃為庚從庚作己庚壬線庚癸線與甲乙乙戊各平行即得甲庚為依甲乙元線之有闕平行方形而癸壬為其闕形此癸壬闕形既依乙丁對角線則與丙戊闕形相似而體勢等(本篇廿四)夫丙庚庚戊兩餘方形既等(一卷四三)若每加一癸壬角線方形即丙壬與癸戊亦等也又丙壬與丙己俱在兩平行線内底等即兩形等(一卷三六)而丙己與癸戊兩形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方形與子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬折形之外尚有庚丁形則丙戊形必大于子丑磬折形而等丙戊之甲丁形(丙戊甲丁同在兩平行線内又等底故見一卷三六)必大于等磬折形之甲庚形矣依顯凡依乙丁對角線作形與丙戊相形者其有闕依形俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也又論甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬兩平行方形同在兩平行線内又底等即兩形等(一卷卅六)而庚戊為丁壬之分則丁壬大于庚戊較餘一庚丁形其大于丙庚亦如之(庚戊丙庚兩餘方形等故見一卷四三)即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦較餘一庚丁形也次每加一丙己形則甲丁必大于甲庚矣又解曰若庚㸃在丙戊形外即引乙丁對角線至庚從庚作辛丑線與癸戊平行次引甲癸線至辛引乙戊線至丑而與辛丑線遇于辛于丑末作庚己線與辛甲平行即得甲庚為依甲乙元線之有闕平行方形又得己丑與丙戊相似而體勢等者(兩形同依乙庚對角線故見本篇廿四)為其闕形也題言甲丁形亦大于甲庚形論曰試于丙丁線引出之至子即辛子子丑兩線等(一卷卅四)而辛丁丁丑兩形亦等(一卷卅六)其丁丑己丁兩餘方形既等即己丁與辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既較餘一庚丁形則己丁之大于辛壬亦較餘一庚丁形也此兩率者每加一甲壬平行方形則甲丁大于甲庚者亦較餘一庚丁形矣依顯凡乙丁對角線引出丙戊形外依而作形與丙戊相似者其有闕依形俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也第二十八題一直線求作依線之有闕平行方形與所設直線形等而其闕形與所設平行方形相似其所設直線形不大于半線上所作平行方形與所設平行方形相似者法曰甲乙線求作依線之有闕平行方形與所設直線形丙等而其闕形與所設平行方形丁相似先以甲乙線兩平分于戊次于戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似而體勢等(本篇十八)次作甲辛庚乙滿元線平行方形若甲己平行方形與丙等者(本篇廿五)即得所求矣若甲己大于丙者(題言甲己小即不可作見本篇廿七)即等甲己之戊庚亦大于丙也則尋戊庚之大于丙幾何假令其較為壬(兩直線形不等相減之較法見一卷四五増)即作癸子丑寅平行方形與壬等又與戊庚形相似而體勢(本篇廿五)則戊庚平行方形與丙直線形及癸丑平行方形并等而戊庚必大于癸丑矣夫戊庚與癸丑既相似即戊己與巳庚兩邊之比例若寅癸與癸子也而戊庚既大于癸丑即戊己己庚兩邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳己夘與癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必與癸丑形相等相似而體勢等矣又夘己形既與戊庚相似而體勢等必同依乙己對角線也(本篇廿六)次于己辰線引出抵甲乙元線于夘辰兩界各引出作午未線即甲辰為依甲乙線之有闕平行方形與丙等而其闕形乙辰與戊庚相似(本篇廿四)即亦與丁相似論曰辰庚與辰戊兩餘方形既等(一卷四三)每加一乙辰角線方形即乙己與戊午亦等而與等戊午之戊未亦等(戊午戊未同在平行線内又底等故見一卷卅六)乙己與戊未既等又每加一申辰方形即甲辰平行方形與申酉罄折形亦等矣夫申酉罄折形為戊庚形之分而戊庚與丙及癸丑等戊庚所截去之夘己又與癸丑等則申酉罄折形與丙等也而甲辰亦與丙等也第二十九題一直線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形等而其餘形與所設平行方形相似法曰甲乙線求作依線之帶餘平行方形與所設直線形丙等而其餘形與所設平行方形丁相似先以甲乙線兩平分于戊次于戊乙半線上作戊己庚乙平行方形與丁相似而體勢等(本篇十八)次别作一平行方形與丙及戊庚并等為辛(二卷十四)次别作一平行方形與辛等又與丁相似而體勢等為壬癸子丑(本篇廿五)其丑癸既與辛等即大于戊庚而丑癸既與戊庚相似即丑壬與壬癸兩邉之比例若戊己與己庚也而丑壬與壬癸兩線必大於戊巳與巳庚也(若等或小即丑癸不大於戊庚)次於巳戊引之至卯與壬丑等於巳庚引之至寅與壬癸等而作卯寅平行方形即卯寅與丑癸同依辰巳對角線而等(本篇廿六)又與戊庚相似而體勢等矣次于甲乙引之至巳庚乙引之至午於午卯引之至未末作甲未線與己夘平行即得甲辰帶餘平行方形依甲乙線與丙等而己午為其餘形與戊庚形相似而體勢等(本篇廿四)即與丁相似而體勢等論曰甲夘戊午兩形既等(一卷卅六)戊午與乙寅兩餘方形又等(一卷四三)則甲夘與乙寅亦等矣而每加一夘己形則甲辰平行方形與戊辰寅罄折形亦等矣夫戊辰寅罄折形元與丙等(丑癸即夘寅與丙及戊庚并等每减一戊庚即罄折形與)(丙等)即甲辰亦與丙等第三十題一直線求作理分中末線法曰甲乙線求理分中末先于元線作甲乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己帶餘平行方形與甲丙直角方形等而甲己為其餘形又與甲丙形相似(本篇廿九)即甲己亦直角方形矣(惟直角方)(形恒與直角方形相似)則戊己線分甲乙于辛為理分中末線也(本卷界說三)論曰丁己與甲丙兩形既等每減一甲戊形即所存甲己辛丙兩形亦等矣此兩形之甲辛己戊辛乙兩角既等(兩皆直角故)即兩角旁之各兩邉線為互相視之線也(本篇十四)而等戊辛之甲乙線與等辛己之甲辛線其為比例若甲辛與辛乙也是甲辛乙線為理分中末也又論曰甲乙甲辛辛乙凡三線而第一第三矩内之辛丙直角形與第二甲辛上直角方形等即三線為連比例(本篇十七)而甲乙與甲辛若甲辛與辛乙矣又法曰甲乙線求分于丙而甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方形等(二卷十一)即甲乙之分于丙為理分中末線盖甲乙甲丙丙乙三線為連比例故(本篇廿七)第三十一題三邉直角形之對直角邉上一形與直角旁邉上兩形若相似而體勢等則一形與兩形并等解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙為直角于乙丙上任作直線形為乙丙丁戊次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙壬辛兩形與乙丁形相似而體勢等(本篇)(十八)題言乙丁形與乙庚丙辛兩形并等論曰試從甲作甲癸為乙丙之垂線依本篇第八題之系即乙丙與丙甲兩邉之比例若丙甲與丙癸兩邉則一乙丙邉與三丙癸邉之比例若一乙丙上之乙丁形與二甲丙上之丙辛形也(本篇十九或二十之系)反之則丙癸與乙丙兩邉之比例若丙辛與乙丁兩形也依顯乙癸與乙丙兩邉之比例若乙庚與乙丁兩形也(乙丙乙甲乙癸三邉為連比例故見本篇八之系)夫一丙癸與二乙丙之比例既若三丙辛與四乙丁而五乙癸與二乙丙之比例亦若六乙庚與四乙丁則一丙癸五乙癸并與二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也既一丙癸五乙癸并與二乙丙等則三丙辛六乙庚并與四乙丁亦等(五卷廿四)又論曰甲乙丙與癸甲丙兩角形既相似而甲乙丙角形其乙丙與丙甲之比例若癸甲丙角形之丙甲與丙癸(本篇八)即乙丙與丙甲兩邉相似則癸甲丙與甲乙丙兩角形之比例為丙甲與乙丙再加之比例(本篇十九)而丙辛與乙丁兩形之比例亦為丙甲與乙丙再加之比例(本篇十九二十)則癸甲丙與甲乙丙兩角形之比例若丙辛與乙丁兩形也(五卷十一)依顯癸乙甲與甲乙丙兩角形之比例若乙庚與乙丁兩形也是一甲癸丙與二甲乙丙之比例若三丙辛與四乙丁也而五癸乙甲與二甲乙丙之比例若六乙庚與四乙丁也即一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙之比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也(五卷廿四)既一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙等則三丙辛六乙庚并與四乙丁亦等又論曰一甲丙上直角方形與二乙丙上直角方形之比例若三丙辛形與四乙丁形(此兩率之比例皆甲丙與乙丙再加)(之比例見本篇十九二十)又五甲乙上直角方形與二乙丙上直角方形之比例若六乙庚形與四乙丁形即一甲丙上五甲乙上兩直角方形并與二乙丙上直角方形之比例若三丙辛六乙庚兩形并與四乙丁形(五卷廿四)旣甲丙甲乙上兩直角方形并與乙丙上直角方形等(一卷四十)則丙辛乙庚兩形并與乙丁形等増題角形之一邉上一形與餘兩邉上兩形相似而體勢等者其一形與兩形并等則餘兩邉内角必直角解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直線形與甲乙甲丙上兩形相似而體勢等其一形與兩形并等題言乙甲丙必直角論曰試作甲丁為甲丙之垂線與甲乙等次作丁丙線其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形與乙丙上形相似其丁丙上形與丁甲甲丙上相似而體勢等之兩形并等矣(本題)又甲丁與甲乙等其上兩形亦等即丁丙上形與甲乙甲丙上兩形并亦等而乙丙上形元與甲乙甲丙上兩形并等則丁丙乙丙上兩形亦等而丁丙與乙丙兩線亦等(本篇)(廿二補論)夫甲丙丁角形之甲丁與甲乙丙角形之甲乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙與乙甲丙兩角必等丁甲丙既直角則乙甲丙亦直角第三十二題兩三角形此形之兩邉與彼形之兩邉相似而平置兩形成一外角若各相似之各兩邉各平行則其餘各一邉相聨為一直線解曰甲乙丙丁丙戊兩角形其甲乙甲丙邉與丁丙丁戊邉相似者謂甲乙與甲丙之比例若丁丙與丁戊也試平置兩形令相切成一甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戌各相似之兩邉各平行題言乙丙丙戊為一直線論曰甲乙與丁丙既平行即甲角與内相對之甲丙丁等(一卷廿九)依顯丁角亦與内相對之甲丙丁等則甲丁兩角等而甲乙丙與丁丙戊兩角形之甲丁兩角旁各兩邉比例又等即兩形為等角形而乙角與丁丙戊角必等(本篇六)次于乙角加甲角于丁丙戊角加等甲之甲丙丁角即乙甲兩角并與等甲丙丁丁丙戊兩角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲乙丙形之内三角并與甲丙乙甲丙戊兩角并等夫甲乙丙形之内三角等兩直角(一卷卅二)則甲丙乙甲丙戊并亦等兩直角而為一直線(一卷十四)第三十三題(三支)等圜之乗圜分角或在心或在界其各相當兩乗圜角之比例皆若所乗兩圜分之比例而兩分圜形之比例亦若所乗兩圜分之比例解曰甲乙丙戊己庚兩圜等其心為丁為辛兩圜各任割一圜分為乙丙為己庚其乗圜角之在心者為乙丁丙己辛庚在界者為乙甲丙己戊庚題先言乙丙與己庚兩圜分之比例若乙丁丙與己辛庚兩角次言乙甲丙與己戊庚兩角之比例若乙丙與己庚兩圜分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形與己辛辛庚兩腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙與己庚兩圜分先論曰試作乙丙己庚兩線次作丙壬合圜線與乙丙等作庚癸癸子兩合圜線各與己庚等(四卷一)其丙壬既與乙丙等即乙丙與丙壬兩圜分亦等(三卷十八)而乙丁丙與丙丁壬兩角亦等(三卷廿七)依顯己庚庚癸癸子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等則乙丙壬圜分倍乙丙圜分之數如在心乙丁壬角或乙丁壬内地倍乙丁丙角之數而己庚癸子圜分倍己庚圜分之數如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛庚角之數何者乙丁壬己辛子兩角或兩地内之分數與乙丙壬己庚癸子兩圜分内之分數各等故也然則乙丁壬角與地若等于己辛子角與地即乙丙壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等大小皆同類也則一乙丙與二己庚之比例若三乙丁丙與四己辛庚也(五卷界說六)次論曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦倍大于己戊庚(三卷二十)即乙丁丙與己辛庚兩角之比例若乙甲丙與己戊庚兩角矣(五卷廿五)則乙甲丙與己戊庚在界乗圜之兩角亦若乙丙與己庚兩圜分也(五卷十一)若作甲壬戊癸直線亦可用先論推顯(用地當角說見)(三卷廿増題)後論曰試于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此兩角所乗之乙甲壬丙與丙乙甲壬兩圜分既等(三卷廿七)即兩角亦等而乙丑丙與丙寅壬兩圜小分亦相似亦相等(乙丙與丙壬兩合圜線等故見三卷廿四)次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬兩分圜形等(一卷四)則乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之數如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之數依顯己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之數亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之數然則乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣(五卷界說六)是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小皆同類也則一乙丙圜分與二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形與四己辛庚分圜形也(五卷界說六)一系在圜心兩角之比例皆若兩分圜形二系在圜心角與四直角之比例若圜心角所乗圜分與全圜界四直角與在圜心角之比例若全圜界與圜心角所乗之圜分丁先生言歐几里得六卷中多研察有比例之線竟不及有比例之靣故因其義類増益數題用補闕如左云竇復増一題竊弁于首仍以題㫖從先生舊題隨類附演以廣其用俱稱今者以别于先生舊増也今増題圜與圜為其徑與徑再加之比例解曰甲乙丙丁戊己兩圜其徑甲丙丁己題言甲乙丙與丁戊己為甲丙與丁己再加之比例論曰如云不然當言甲乙丙圜與小于丁戊己之庚辛壬圜或大于丁戊己之癸子丑圜為甲丙與丁己再加之比例也(五卷界說二十増)若言庚辛壬是者試置庚辛壬圜于丁戊己圜内為同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉為偶數又等而全不至内圜也(四卷十六補題)次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形與丁戊己圜内切形相似(四卷)(十六補題可推)其兩圜内兩徑上有丁亥戊未己與甲午乙寅丙相似之兩多邉形則為兩相似邉再加之比例也(本篇二十)而甲丙與丁己兩線為兩形之相似邉據如彼論即甲午乙寅丙與丁亥戊未己兩形甲乙丙與庚辛壬兩圜同為甲丙與丁己兩線再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎則分大于全乎若言癸子丑是者亦如前論甲午乙寅丙與丁亥戊未己兩形甲乙丙與癸子丑兩圜同為甲丙與丁己兩線再加之比例也反之即癸子丑與甲乙丙兩圜之比例為丁己與甲丙兩徑再加之比例也設他圜乾兊離令癸子丑與甲乙丙之比例若丁戊己與乾兊離(五卷界說増)則丁戊己與乾兊離兩圜亦宜為丁己與甲丙兩徑再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于乾兊離而丁戊己與小于甲乙丙之乾兊離兩圜能為丁己與甲丙兩徑再加之比例乎(前己駁有兩圜其第一與他圜之小于第二者不得為元圜兩徑再加之比例)夫甲乙丙不得與圜之大于丁戊己者小于丁戊己者為甲丙與丁己再加之比例則止有元兩圜為其元兩徑再加之比例一系全圜與全圜半圜與半圜相當分與相當分任相與為比例皆等葢諸比例皆兩徑再加之比例故二系三邊直角形對直角邊為徑所作圜與餘兩邉為徑所作兩圜并等半圜與兩半圜并等圜分與相似兩圜分并等(本篇卅一可推)三系三線為連比例以為徑所作三圜亦為連比例推此可求各圜之相與為比例者又可以圜求各圜之相與為比例者(本篇十九二十之系可推)一増題直線形求減所命分其所減所存各作形與所設形相似而體勢等法曰如甲直線形求減三分之一其所減所存各作形與所設乙形相似而體勢等先作丙丁形與甲等與乙相似而體勢等(本篇廿五)次任于其一邉如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊為三平分而取其一庚戊次從庚作己庚為丙戊之垂線(本篇九)次作己丙己戊兩線末于己丙己戊上作己辛己壬兩形各與丙丁相似而體勢等(本篇十八)即所求論曰丙己戊角形既負半圜為直角(三卷卅一)即丙丁直線形與己辛己壬相似之兩形并等(本篇卅)而于等甲之丙丁形減己壬存己辛兩形各與丙丁相似而體勢等則與乙相似而體勢等今欲顯己壬為丙丁三分之一者試觀丙庚己丙己戊兩角形既相似(本篇八)即丙庚與庚己之比例若丙己與己戊也(本篇四)夫丙庚庚己庚戊三線為連比例即丙庚與庚戊為丙庚與庚己再加之比例(本篇八之系)而己辛與己壬兩形亦為丙己與己戊兩相似邉再加之比例(本篇十九二十)即丙庚與庚戊兩線之比例若己辛與己戊兩形也(兩比例為兩同理比例之再加故)合之則丙戊與庚戊之比例若等己辛己壬兩形并之丙丁與己壬矣丙戊三倍于庚戊則丙丁亦三倍于己壬而己壬為等甲之丙丁三分之一若直線形求減之不論所減所存何形其法更易如甲形求減三分之一先作乙丙平行線形與甲等(一卷四一)次分乙丁為三平分而取其一戊丁末從戊作己戊線與丙丁平行即戊丙形為等甲之乙丙形三分之一(本篇一)今附若于大圜求减所設小圜則以圜徑當形邉餘法同前如上圖又今附依此法可方一初月形(方初月形者謂作直)(角方形與初月形等)如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方形與初月形等先從乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形(三卷六)次用方形法四平分之即其一為所求方形與初月形等何者甲乙丙半圜與甲乙乙丙上兩半圜并等(本増題之今附)甲乙乙丙兩線自相等即其上兩半圜亦自相等而庚乙壬丙分圜形為大半圜之半即與乙己丙戊小半圜等此兩率者各減一同用之乙己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月形與庚乙丙角形等而庚己丙辛直角方形與庚乙丙角形亦等則與乙壬丙戊初月形亦等依顯甲乙丙丁直角方形與大圜界上四初月形并等二増題兩直線形求别作一直線形為連比例法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一直線形為連比例先作一戊己庚直線形與甲等與乙丙丁相似而體勢等(本篇廿五)次以兩形相似之各一邉如戊己乙丙為前中率線而求其連比例之末率線為辛壬(本篇十一)末于辛壬上作辛壬癸形與兩形相似而體勢等(本篇十八)即所求論曰戊己乙丙辛壬三線既為連比例即其上三形相似而體勢等者亦為連比例(本篇廿二)今附有兩圜求别作一圜為連比例則以圜徑當形邉依上法作之三増題三直線形求别作一直線形為斷比例法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直線形求别作一直線形為斷比例先作壬癸子丑形與甲等與乙丁相似而體勢等(本篇廿五)次以三形之任各一邉如壬癸乙丙己庚為三率求其斷比例之末率線為寅夘(本篇十二)末于寅夘上作寅夘辰形與己庚辛相似而體勢等(本篇十八)即所求論曰四線既為斷比例即其線上形相似而體勢等者亦為斷比例(本篇廿二)今附有三圜求别作一圜為斷比例亦以圜徑當形邉依上法作之四増題兩直線形求别作一形為連比例之中率法曰甲與乙丙丁兩直線形求别作一形為連比例之中率先作戊己庚直線形與甲等與乙丙丁相似而體勢等(本篇廿五)次求戊己乙丙兩直線連比例之中率為辛壬(本篇十三)末于辛壬上作辛壬癸形與戊己乙丙上形相似而體勢等(本篇十八)即所求論曰戊己辛壬乙丙三線既為連比例即各線上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形亦為連比例(本篇廿二)又法曰甲乙兩直線形求别作一形為連比例之中率先作丁丙己戊平行線形任直斜角與甲等(一卷四五)次作庚戊壬辛平行線形與乙等與丁己形相似而體勢等(本篇)(廿五)次置兩平行線形以戊角相聨而丁戊戊壬為一直線即庚戊戊己亦一直線(一卷十五増)末從兩形引長各邉成丙子辛癸平行線形即兩餘方形俱為丁己庚壬兩形之中率論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即丁戊與己戊之比例若戊壬與戊庚也更之即丁戊與戊壬若己戊與戊庚也夫丁戊與戊壬兩線之比例亦若丁己與戊癸兩形己戊與戊庚兩線之比例又若戊癸與庚壬兩形則戊癸為丁己庚壬之中率矣又論曰丁己庚壬兩形既相似而體勢等即同依丙辛對角線(本篇廿六)而子戊戊癸兩餘方形自相等則丁己與戊癸兩形之比例若子戊與庚壬兩形何者此兩比例皆若丁戊與戊壬也則子戊戊癸皆丁己庚壬之中率也今附若兩圜求作一圜為連比例之中率亦以圜徑當形邉依上前法作之五増一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其比例若所設兩幾何之比例法曰甲直線形求分作兩直線形俱與所設丁形相似而體勢等其比例若所設兩幾何如乙線與丙線之比例先作戊己庚辛直線形與甲等與丁相似而體勢等(本篇廿五)次任用其一邉如戊辛兩分之于壬令戊壬與壬辛之比例若乙與丙也(分法)(先以乙丙兩線聯為一直線次截戊壬與壬辛若乙與丙見本篇十)次于戊辛上作戊癸辛半圜次從壬作癸壬為戊辛之垂線次作戊癸癸辛線相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸癸夘寅辛兩形與戊庚形俱相似而體勢等(本篇十八)即此兩形并與甲等又各與丁相似而體勢等其比例又若乙與丙論曰戊癸辛既負半圜為直角(三卷卅一)即戊子癸寅兩形并與等戊庚之甲等(本篇卅一)又戊壬與壬癸之比例若戊癸與癸辛(俱在直角兩旁故見本篇四)戊壬壬癸壬辛三線為連比例即戊壬與壬辛為戊壬與壬癸再加之比例(本篇八之系)而戊子與癸寅兩形亦為戊癸與癸辛兩相似邉再加之比例(本篇二十)則戊壬與壬辛之比例亦若戊子與癸寅也(兩比例為兩同理比例之再加)(故)夫戊壬與壬辛元若乙與丙也則戊子與癸寅亦若乙與丙也今附若一圜求分作兩圜其比例若所設兩幾何亦以圜徑當形邉依上法作之六増題一直線形求分作兩直線形俱與所設形相似而體勢等其兩分形兩相似邉之比例若所設兩幾何之比例法曰甲直線形求分作兩直線形俱與所設丁形相似而體勢等其兩分形兩相似邉之比例若所設兩幾何如乙線與丙線之比例先以乙與丙兩線求其連比例之末率為戊(本篇十一)次作己庚辛直線形與甲等與丁相似而體勢等次任用其一邉如己辛兩分之于壬令己壬與壬辛之比例若乙與戊也(本篇十)次于己辛線上作己癸辛半圜次從壬作壬癸為己辛之垂線次作己癸癸辛兩線相聨未于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛兩形俱與丁相似而體勢等即此兩形并與等甲之己庚辛等而己癸癸辛兩相似邉之比例若乙與丙論曰己癸辛既負半圜為直角(三卷卅)即己子癸癸丑辛兩形并與等己庚辛之甲等(本篇卅一)又己壬與壬癸之比例若己癸與癸辛(俱在直角兩旁故見本篇四)己壬壬癸壬辛三線為連比例即己壬與壬辛為己壬與壬癸再加之比例(本篇八之系)夫己壬與壬癸之比例既若己子癸癸丑辛兩形相似邉之己癸與癸辛而乙與戊元若己壬與壬辛乙與戊元為乙與丙再加之比例則己癸癸辛之比例若乙與丙今附若一圜求分作兩圜其兩圜徑之比例若所所設两幾何倣此七増題兩直線形求并作一直線形與所設形相似而體勢等法曰甲乙兩直線形求并作一形與所設丙形相似而體勢等先作戊丁己形與甲等作己庚辛形與乙等又各與丙相似而體勢等(本篇廿五)次置兩形令相似之戊己己辛兩邉聨為直角次作戊辛線相聨末依戊辛線作戊辛壬與丙相似而體勢等即與上兩形并等(本篇卅一)如所求又法曰作一平行方形與甲乙兩形并等(一卷四五)次作戊辛壬角形與平行方形等又與丙相似而體勢等即所求今附若兩圜求并作一圜亦以圜徑當形邉依上法作之八増題圜内兩合線交而相分其所分之線彼此互相視解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁兩合線交而相分于戊題言所分之甲戊戊丙乙戊戊丁為互相視之線者謂甲戊與戊丁若乙戊與戊丙也又甲戊與乙戊若戊丁與戊丙也論曰甲戊偕戊丙與乙戊偕戊丁兩矩内直角形等(三卷卅五)即等角旁之兩邉為互相視之邉(本篇十四)九増題圜外任取一㸃從㸃出兩直線皆割圜至規内其兩全線與兩規外線彼此互相視若從㸃作一切圜線則切圜線為各割圜全線與其規外線之各中率解曰甲乙丙丁圜外任取戊㸃從戊作戊丁戊丙兩割圜至規内之線遇圜界于甲于乙題言戊丙戊乙戊丁戊甲互相視者謂戊丙與戊丁若戊甲與戊乙也又戊丙與戊甲若戊丁與戊乙也論曰試從戊作戊己線切圜于己即戊丙偕戊乙矩内直角形與戊己上直角方形等(三卷卅六)又戊丁偕戊甲矩内直角形與戊己上直角方形亦等即戊丙偕戊乙與戊丁偕戊甲兩矩内直角形自相等而等角旁之兩邉為互相視之邉(本篇十四)又戊丙偕戊乙戊丁偕戊甲兩矩内直角形各與戊己上直角方形等(三卷卅六)即戊丙戊己戊乙三線為連比例戊丁戊己戊甲三線亦為連比例而戊己為各全線與其規外線之各中率(本篇十七)十増題兩直線相遇作角從兩線之各一界互下垂線而每方為兩線一自界至相遇處一自界至垂線則各相對之兩線皆彼此互相視解曰甲乙丙乙兩線相遇于乙作甲乙丙角從甲作丙乙之垂線從丙作甲乙之垂線若甲乙丙為鈍角即如前圖兩垂線當至甲乙丙乙之各引出線上為甲丁為丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙為銳角即如後圖甲丁丙戊兩垂線當在甲乙丙乙之内交而相分于己也題言兩圖之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相視者謂甲乙與乙丙若丁乙與乙戊也又甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也論曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙兩角與丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙兩角各等(兩為直角兩于前圗為交角于後圗為同角故)即兩形為等角形而甲乙與丁乙若乙丙與乙戊也(本篇四)更之則甲乙與乙丙若丁乙與乙戊也又論曰依前圗可推後圖之甲丁丙戊交而相分于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相視蓋甲己戊丙己丁既為等角形即甲己與己戊若丙己與己丁也(本篇四)更之則甲己與丙己若己戊與己丁也十一増題平行線形内兩直線與兩邉平行相交而分元形為四平行線形此四形任相與為比例皆等解曰甲乙丙丁平行線形内作戊己庚辛兩線與甲丁丁丙各平行而交于壬題言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相與為比例皆等論曰戊壬與壬己兩線之比例既若戊庚與庚己兩形(本篇一)又若乙壬與壬丙兩形即戊庚與庚己亦若乙壬與壬丙也(五卷十二)依顯乙壬與戊庚亦若壬丙與庚己也十二増題凡四邉形之對角兩線交而相分其所分四三角形任相與為比例皆等解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁兩對角線交相分于戊題言所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相與為比例皆等論曰甲戊與戊丙兩線之比例若甲戊丁與丁戊丙兩角形又若甲戊乙與乙戊丙兩角形(本篇一)即甲戊丁與丁戊丙兩角形亦若甲戊乙與乙戊丙也依顯甲戊乙與甲戊丁亦若乙戊丙與丁戊丙也十三増題三角形任于一邉任取一㸃從㸃求作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何之比例先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙上任取一㸃為丁求從丁作一線分本形為兩形其兩形之比例若所設兩幾何如戊線與己線之比例先以乙丙線兩分之于庚令乙庚與庚丙之比例若戊與己(本篇)(十)其庚與丁若同㸃即作丁甲線則乙丁與丁丙兩線之比例若乙丁甲與丁丙甲兩角形也(本篇一)是丁甲線所分兩形之比例若戊與己次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲線次從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己者謂乙丁辛甲無法四邉形與丁丙辛角之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也論曰試作庚甲線即辛庚甲庚辛丁兩角形等(一卷)(卅七)次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁兩角形亦等則甲乙丙全形與丙庚甲角形之比例若甲乙丙與丙辛丁也(五卷七)分之則乙庚甲角形與丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲無法四邉形與丙辛丁角形也(五卷十七)乙庚甲與丙庚甲兩角形之比例既若乙庚與庚丙(本篇一)則乙丁辛甲無法四邉形與丙辛丁角形之比例亦若乙庚與庚丙也則亦若戊與己也後法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲線次從庚作庚辛線與丁甲平行次作丁辛線相聨即丁辛線分本形為兩形其比例若戊與己者謂乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邉之比例若乙庚與庚丙也亦若戊與己也論曰試作庚甲線如前推顯辛庚甲庚辛丁兩角形等(一卷卅七)次每加一乙庚辛角形即乙庚甲與乙辛丁兩角形亦等則甲乙丙全形與乙庚甲角形之比例若甲乙丙與乙辛丁也(五卷七)分之則丙庚甲角形與乙庚甲角形之比例若丁丙甲辛無法四邉形與乙辛丁角形也(五卷十七)反之則乙庚甲角形與丙庚甲角形之比例若乙辛丁角形與丁丙甲辛無法四邉形也乙庚甲與丙庚甲之比例既若乙庚與庚丙(本篇)則乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邉形之比例亦若乙庚與庚丙也則亦若戊與己也系凡角形任于一邉任取一㸃從㸃求減命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍數每少于命分之一如求減四分之一即作三倍大之比例減五分之一即作四倍大之比例也則全形與所減分之比例其倍數若命分之數也十四増題一直線形求别作一直線形相似而體勢等其小大之比例如所設兩幾何之比例法曰甲直線形求别作直線形相似而體勢等其甲形與所作形小大之比例若所設兩幾何如乙與丙兩線之比例先以乙丙及任用甲之一邉如丁戊三線求其斷比例之末率為己(本篇十二)次求丁戊及己之中率線為庚辛(本篇十三)末從庚辛上作壬直線形與甲相似而體勢等即甲與壬之比例若乙與丙論曰丁戊庚辛己三線為連比例即一丁戊與三己之比例若相似而體勢等之甲與壬(本篇十九二十之系)若先設大甲求作小壬若乙與丙其法同如上圗用此法可依此直線形加作兩倍大三倍四五倍大以至無窮之他形亦可依此直線形減作二分之一三分四五分之一以至無窮之他形其此形與他形皆相似而體勢等有用法作直角方形平行線形及各形之相加相減者如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙線引長之以甲乙為度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊兩平分于己次以己為心甲戊為界作甲庚戊半圜其乙丙線直行遇圜界于庚即乙庚為所求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五倍大于甲丙向者乙庚既為戊乙乙甲之中率線(本篇十三之系)即一戊乙與三乙甲之比例若二庚乙上直角方形與三甲乙上直角方形之比例也(本篇二十之系)戊乙既五倍于乙甲則乙辛亦五倍于甲丙若戊乙為乙甲之六倍則乙辛亦甲丙之六倍若戊乙為乙甲三分之一則乙辛亦甲丙三分之一相加相減倣此以至無窮如甲乙丙丁平行直角形求别作二倍大之他形相似而體勢等先以甲乙線引長之以甲乙為度截取二分至戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以甲戊兩平分于己次以己為心甲戊為界作甲庚戊半圜其丙乙線直行遇圜界于庚即乙庚為所求直角形之一邉也次于甲戊線上截取甲辛與乙庚等從辛作辛壬線與乙丙平行次作甲丙對角線引長之與辛壬線遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸平行直角形即二倍大于甲丙又相似而體勢等何者戊乙乙庚乙甲三線既為連比例(本篇十三之系)如前論一戊乙與三乙甲之比例若二等乙庚之甲辛上平行直角形甲壬與三甲乙上平行直角形甲丙也(本篇二十之系)戊乙既二倍于甲乙則甲壬亦二倍于甲丙用此法凡甲乙上不論何等形與乙庚上形相似而體勢等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形相加相減俱倣此以至無窮今附若用前法作圜則乙庚徑上圜亦二倍大于甲乙徑上圜相加相減倣此以至無窮以上用法與本増題同但此用法隨作隨得中率線不費尋求致為簡易耳十五増題諸三角形求作内切直角方形法曰如甲乙丙銳角形求作内切直角方形先從甲角作甲丁為乙丙之垂線次以甲丁線兩分于戊令甲戊與戊丁之比例若甲丁與乙丙(本篇)(十一増題)末從戊作己庚線與乙丙平行從己從庚作己辛庚壬兩線皆與戊丁平行即得己壬形如所求若直角鈍角形則從直角鈍角作垂線餘法同(如第二第三圗是)論曰己戊庚線既與乙丙平行即乙丁與丁丙若己戊與戊庚也(本篇四之増題)合之即乙丙與丁丙若己庚與戊庚也又丁丙與甲丁若戊庚與甲戊(甲丁丙與甲戊庚為等角形故見本)(篇四之系)平之即乙丙與甲丁若己庚與甲戊也又甲丁與乙丙若甲戊與戊丁平之即乙丙與乙丙若己庚與戊丁也乙丙與乙丙同線必等即己庚與戊丁必等而己庚與辛壬又等(一卷卅四)戊丁與己辛庚壬亦等則己庚庚壬壬辛辛己四邉俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦直角(一卷廿九)其餘亦皆直角而己壬為直角方形又法曰若直角三邉形求依乙角作内切直角方形則以垂線甲乙兩分于丁令甲丁與丁乙之比例若甲乙與乙丙(本篇十)次從丁作丁戊直線與乙丙平行從戊作戊己直線與甲乙平行即得丁己形如所求論曰乙丙與甲乙既若丁戊與甲丁(甲乙丙甲丁戊為等角形)(故見本篇四之系)而甲乙與乙丙又若甲丁與丁乙平之即乙丙與乙丙若丁戊與丁乙也乙丙與乙丙同線必等即丁戊與丁乙必等而丁己為直角方形今附如上三邉直角形依乙角作内切直角方形其方形邉必為甲丁己丙兩分餘邉之中率何者甲丁與丁戊若戊己與己丙故(本篇四之系)幾何原本卷六◆ 《御製數理精薀-清-》（KR3f0048）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
御製數理精藴 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案御製數理精藴五十三卷康熈五十二年聖祖仁皇帝御定律厯淵源之第二部也上編五卷曰立綱明體其别有五曰數理本源曰河圖曰洛書曰周髀經解曰㡬何原本曰算法原本下編四十卷曰分條致用其别亦有五曰首部曰線部曰靣部曰體部曰末部又表八卷其别有四曰八線表曰對數闡㣲表曰對數表曰八線對數表皆通貫中西之異同而辨訂古今之長短如舊傳方程分二色為一法三色為一法四色五色以上為一法頭緒紛然所立假如僅可施之本例而不可移之他處至于正負加減法實並分母諸例率皆謬誤今則約之為和數較數和較兼用和較交變四例而和數不分正負較數任以一色為正即以相當之一色為負皆以異名相併同名相減實足正舊法之訛誤又割圓術古以徑一圍三為周徑之率宋祖沖之用圓容六邊起算元趙友欽用圓容四邉起算皆屢求勾股得徑一者周三一四一五九六二五泰西法亦同其率古今周率之宻無逾于此而舊所傳弧矢諸術周徑皆用古率又弧弦弦背互求諸術立法極為疏舛今則以六宗三要二簡法求得一象限内弦矢割切正餘八線立為一表洵極勾股弧矢之變又㡬何原本止于測面七卷以下徐光啟李之藻後無譯之者新法算書往往有雜引之處讀者未之能詳且理分中末線但有求作之法而莫知所用今則求得各等靣體及球内容外切各等靣體之積至十二等靣及二十等靣之體皆以理分中末線為之比例足以補測量全義量體諸率之簡畧至末部借根方法即古人天元一之術唐宋諸算家咸用之至眀而失傳是以顧應祥唐順之于元李冶測圓海鏡一書所立天元一皆茫然不觧今則具明其加減乗除之例而後根與平方以下諸乗方之多少者咸得其開法與古所云𢃄縱立方三乗方諸變同歸一揆且線靣體一以貫之而本法所不能求者皆可以借根而得至為精妙他若對數表以假數求真數比例規解以量代算皆西法之迥異於中法者咸為疏通證明繪圖立表粲然畢備寔為從古未有之書雖専門名家未能窺髙深于萬一也乾隆四十六年九月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官 (臣) 陸 費 墀
## 上編卷一
欽定四庫全書御製數理精蘊上編卷一數理本原河圖洛書周髀經解數理本原粤稽上古河出圖洛出書八卦是生九疇是敘數學亦於是乎肇焉盖圖書應天地之瑞因聖人而始出數學窮萬物之理自聖人而得明也昔黄帝命𨽻首作算九章之義已啟堯命羲和治厯敬授人時而歲功已成周官以六藝教士數居其一周髀商高之説可考也秦漢而後代不乏人如洛下閎張衡劉焯祖冲之之徒各有著述唐宋設明經算學科其書頒在學宮令博士弟子肄習是知算數之學實格物致知之要務也故論其數設為幾何之分而立相求之法加減乘除凡多寡輕重貴賤盈朒無遺數也論其理設為幾何之形而明所以立算之故比例分合凡方圓大小逺近高深無遺理也溯其本原加減實出於河圖乘除殆出於洛書一奇一偶對待相資遞加遞減而繁衍不窮焉奇偶各分縱横相配互乘互除而變通不滯焉徵其實用測天地之高深審日月之交會察四時之節候較晝夜之短長以至協律度同量衡通食貨便營作皆賴之以為統紀焉今匯集成編以類相從提㸃線面體以為綱分和較順逆以為目法無論巨細惟擇其善者由淺以及深執簡以御繁使理與數協務有裨於天下國家以傳於億萬世云爾易繫辭曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天數五地數五五位相得而各有合朱子曰河圖以五生數統五成數而同處其方葢揭其全以示人而道其常數之體也考其數始於一中於五終於十陽奇隂偶而數之加減由是生焉自一而二自二而三自三而四自四而五皆遞加一以相生自五復加一而成六六加一而七七加一而八八加一而九九加一而十十則仍歸於一故至十而天地之數全矣天數陽也地數陰也言天地即所以言陰陽也五位相得而各有合以五行之序而定位也邵子曰天之陽在南而陰在北地之陰在南而陽在北故河圖之數一陽位於北二陰位於南其即五行質具於地之義而言之歟今以陰陽相生之數論之一為陽天一生水而位北一加一為二為陰地二生火而位南二加一為三為陽天三生木而位東三加一為四為陰地四生金而位西四加一為五為陽天五生土而位中至五而五行之數已周此生數之極也自一至五則五又為一體矣於是以五為中數而復加一則為六六陰也因五中數與一相加故與一同位而屬之水焉六加一為七以中數五計之實加二故與二同位而屬之火焉七加一為八以中數五計之實加三故與三同位而屬之木焉八加一為九以中數五計之實加四故與四同位而屬之金焉九加一為十以中數五計之復加五故與五同位而屬之土焉至十而五行之數再周天地之數已備此成數之極也以陰陽運行之序論之以五生數統十成數位居於中而奇數則始於北一次東三次南七次西九偶數則始於南二次西四次北六次東八此數之陰與陰陽與陽各從其類者也以奇偶相得之數論之一與六合二與七合三與八合四與九合五與十合此又奇偶相得而各有合者也邵子謂圓者河圖之數又曰厯紀之數其肇於此然則所謂數者即一陰一陽一奇一偶循環無間表裡相維百千萬億總由此推之以成其變化河圖者豈非天地自然生成之數也哉洛書之數戴九履一左三右七二四為肩八六為足五居其中朱子謂以五奇數統四偶數而各居其所葢主於陽以統陰而肇其變數之用也邵子曰數學雖多乘除盡之矣夫洛書者數之源也乘除之所以生也易説卦傳曰參天兩地而倚數三天數也二地數也天地相合而萬物育焉一者太極之體其數不行故數行於二三起於三以三參之則三九七一之數生焉起於二以二兩之則二四八六之數生焉其序列之位則天居四正取以陽統陰之義地居四維取以陰從陽之義其三九七一乘數則旋而左除數則返而右也其二四八六乘數則旋而右除數則返而左也二三相合而為五五則無對居中者立其體也二五相合而為十十仍歸一洛書不用者藏其用也是故三始於東方發生之地而位於左自東而南三而三之是為九故戴九自南而西九而三之為二十七去成數餘七故右七自西而北七而三之為二十一去成數餘一故履一奇數左旋以三參之即天道左行之説也如轉而右行以三除之仍復其原數焉二立於西南二陰始生之地而位於右肩自西南而東南二而二之是為四位於左肩自東南而東北四而二之為八位於左足自東北而西北八而二之為十六去十餘六位於右足偶數右旋以二兩之即地道右行之説也如轉而左行以二除之仍復其原數焉此乘除之數見於運行者如此若以對待者觀之一與九對一為數之始九為數之終互乘互除其數不變也二與八對二八互乘俱得十六二除十六得八八除十六仍得二此二與八之相倚也三與七對三七互乘皆二十一三除二十一得七七除二十一仍得三此三與七之相倚也四與六對四六互乘皆二十四四除二十四得六六除二十四仍得四此四與六之相倚也至五為二三之合天地之交陰陽之會位於洛書之中以建人極配上下而為三才故斜直四圍皆得十五合之得四十有五為九五之數要之運行者其序也對待者其位也進退循環縱横交錯總不外於乘除故曰乘除之本原自洛書生也周髀經解數學之失傳乆矣漢晉以來所存幾如一綫其後祖冲之郭守敬輩殫心象數立宻率消長之法以為習算入門之規然其法以有盡度無盡止言天行未及地體是以測之有變更度之多盈縮葢有未盡之餘蘊也明萬厯間西洋人始入中土其中一二習算數者如利瑪竇穆尼閣等著為幾何原本同文算指諸書大體雖具實未闡明理數之精微及我朝定鼎以來遠人慕化至者漸多有湯若望南懷仁安多閔明我相繼治理厯法間明算學而度數之理漸加詳備然詢其所自皆云本中土所流傳粤稽古聖堯之欽明舜之濬哲厯象授時閏餘定歲璿璣玉衡以齊七政推歩之學孰大於是至於三代盛時聲教四訖重譯向風則書籍流傳於海外者殆不一矣周末疇人子弟失官分散嗣經秦火中原之典章既多缺佚而海外之支流反得眞傳此西學之所以有本也古算書存者獨有周髀周公商高問答其本文也榮方陳子以下所推衍也而漢張衡蔡邕以為術數雖存考驗天狀多所違失按榮方陳子始言晷度衡邕所疑或在於是若周髀本文辭簡而意該理精而用博實言數者所不能外其圓方矩度之規推測分合之用莫不與西法相為表裏然則商高一篇誠成周六藝之遺文而非後人所能假託也舊註義多舛訛今悉詳正弁於算書之首以明數學之宗使學者知中外本無二理焉爾昔者周公問於商高曰竊聞乎大夫善數也請問古者包犧立周天厯度周天厯度者分周天三百六十度為推求厯日之用也按通鑑載包犧作甲厯天干地支相配六甲一轉天度一周年以是紀而歲功成月以是紀而朔望定晝夜以是紀而時日分易大傳言包犧仰以觀於天文俯以察於地理其觀察之時必有度數以紀其法象則厯度始於包犧無疑矣夫天不可階而升地不可將尺寸而度請問數從安出天之高明地之博厚非人力所能及其厯度之數不知從何而得也商高曰數之法出於圓方萬物之象不出圓方萬象之數不離圓方河圖者方之象也洛書者圓之象也太極者圓之體奇也四象者方之體偶也奇數天也偶數地也有天地而萬物於是乎生有圓方而萬象於是乎定有奇偶而萬數於是乎立矣圓出於方以數而論出於圓方以圓方而論則圓出於方葢方易度而圓難測方有盡而圓無盡故推圓者以方度之以有盡而度無盡也是以圓周内弦外切屢求勾股為無數多邊形以切近圓界將合而為一而圓周始得故曰圓出於方也方出於矩孟子曰不以規矩不能成方圓夫規所以成圓而矩所以成方也故凡方形必出於二矩相合如矩之二股均者合之即為正方矩之二股一大一小者合之則為長方葢因矩之為形其角直其線正所以能成方體此又直内方外之理故曰方出於矩也矩出於九九八十一度圓方者遞歸於矩而矩之形總不外乎二數相乘九九者數之終而一一乃數之始言九九而不及他數者以九九之内他數俱該也是以一一為一二二為四三三為九四四為一十六五五為二十五六六為三十六七七為四十九八八為六十四九九為八十一乃矩之二股均平所成之正方也一二為二一三為三一四為四一五為五一六為六一七為七一八為八一九為九形雖未方而其理猶存也二三為六二四為八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之長方也至於一百之類雖為正方乃十之相乘十則仍歸於一也又如八十四九十六之類乃六七四十二六八四十八之倍不得自立為數之本又或十一十三十七十九之類十一為二五一十之奇十三為二六一十二之奇十七為四四一十六之奇不得成正方亦不得成長方故不入九九之數也是以九九之數為方之本而方之形必合以矩故曰矩出於九九八十一也故折矩以為勾廣三股修四徑隅五前言圓方之形此言勾股生成之正數也以二矩合之既為方形今以一矩折之則為一方之兩邊是以折矩之橫者為勾之廣折矩之縱者為股之長於勾股之末以科弦連之是為徑隅徑直也隅角也言自兩角相對直連之也勾之廣必三股之修必四而徑隅始得五此乃自然生成之正分也易曰參天兩地而倚數天數一參之則為三地數二兩之則為四三二合之則為五此又勾三股四弦五之正義也既方其外半其一矩此言勾股之面積也勾股以弦連之不得為方形必再合一矩乃為一長方所謂方其外者言弦之外復加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即為兩矩合成之數半之得六乃勾股之面積所謂半其一矩者也環而共盤得成三四五此言勾股弦相和之數也環而共盤者環繞盤旋於勾股弦之周圍得成三四五共之為一十有二乃三數相和之總數也兩矩共長二十有五是為積矩此言勾股相求之法也兩矩者勾與股也其所以相求者以勾股弦各面積彼此加減以立法也勾三自乘為九股四自乘為一十有六合而計之為二十有五是勾股各自乘之積相併而與弦自乘之積等故曰積矩也弦之自乘積内減勾自乘之積得股自乘之積弦之自乘積内減股自乘之積得勾自乘之積故為勾股弦相求之法也故禹之所以治天下者此數之所由生也言禹之平成之功昭垂萬古揆厥所以奏績者必藉勾股以審高下始得順水之性而告厥成功也然則禹之所以治水者非此勾股之數所由生乎周公曰大哉言數請問用矩之道商高曰平矩以正繩此言用矩立法必以正且直也平矩以正繩有兩義平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平(横以度遠平以度高)復自一股引繩以度其分則此分為我所知故以所知推所不知此繩引長時必使與直角對正不論其分之幾何引之亦必令直方能得測度之準故為平矩以正繩又平者均平整齊之謂用矩之道矩之角正(即直角之説也)然後二股得直以之測高測遠乃得度其大小之分此矩既正而所測之度亦正矣孟子曰規矩準繩以為方圓平直繩者即準之之意規矩所以度圓方而準繩所以考平直故準之以平繩之以直始得立法之精微故曰平矩以正繩也偃矩以望高此用矩測高之法也偃者仰也仰矩方可測高矩之一股植立在前一股定平在下然後比例推之葢平股與立股之比即所知之遠與所測之高之比也故仰測之而得高覆矩以測深此用矩測深之法也覆者俯也俯矩方可測深矩之一股立者在前一股平者在上平股與立股之比即所知之遠與所測之深之比也故俯測之而得深臥矩以知遠此用矩測遠之法也臥者平也平矩方可測逺以矩之一股為橫向内一股為縱向前是以橫與縱之比即所知之度與所求之遠之比也故平測之而得遠環矩以為圓此用矩為圓之法也以矩之一端為樞一端旋轉為圓則成一圜環矩者即旋規之説也合矩以為方此用矩為方之法也矩二股也兩矩相合乃成一方即前方出於矩之説也方屬地圓屬天天圓地方前言用矩以測高深廣遠復用矩以為圓方此以圓方屬之天地者非以形體言葢以陰陽動靜之理言也樂記云著不息者天也著不動者地也不息故運而不積圓之象也不動故靜而有常方之理也且圓之數無盡而方之數有盡天不可階而升測天者恆於地上度之是仍以方度圓也凡數之不盡者必奇數之可盡者必偶是以陽為奇陰為偶此方圓之理數所以屬乎天地也方數為典以方出圓典則也言圓之數奇零不盡不可為則故惟方數可為典則以方出圓者以方之形度圓之分從方數中生出圓數即前圓出於方之説也如圓徑求積則以徑自乘之為正方形而以方率圓率比例推之即得圓積是皆以方出圓之理也笠以寫天天青黑地黃赤天數之為笠也青黑為表丹黄為裏以象天地之位此即儀象以表天地之形色也笠形圓故以象天寫象也青黑天之色黃赤地之色天數之為笠形則以青黑為表丹黃為裏以象天地之位葢取天包地之象也是故知地者智知天者聖智出於勾勾出於矩夫矩之於數其裁制萬物惟所為耳天地之高深廣遠非聖智不能知然聖智非由理之自然亦不能無所憑藉而知也故明勾股之數即可以知地而為智知地之數即可因地以知天而為聖矣故曰智出於勾也然勾股之形又賴矩以成故矩為勾股之本而天地之高深廣遠皆賴矩以測况萬物之大小巨細豈能外於矩之度分乎故矩之於數其裁制萬物惟其所為而無不可也周公曰善哉以周公之聖而與之曰善哉則其得數之本立法之妙可謂至矣至是而周髀之義盡矣御製數理精蘊上編卷一
## 上編卷二
欽定四庫全書御製數理精蘊上編卷二幾何原本一幾何原本二幾何原本三幾何原本四幾何原本五幾何原本一第一凡論數度必始於一點自點引之而為線自線廣之而為面自而積之而為體是名三大綱是以有長而無闊者謂之線有長與闊而無厚者謂之面長與闊厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其間不能容分不可以數度然線之兩端即點而線面體皆由此生點雖不入於數實為衆數之本第二線有直曲兩種其二線之一端相合一端漸離必成一角二線若俱直者謂之直線角一線直一線曲者謂之不等線角二線俱曲者謂之曲線角第三凡角之大小皆在於角空之寛狹出角之二線即如規之兩股漸漸張去自然開寛是以命角不論線之長短止看角之大小如丙角兩線雖長其開股之空狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股之空寛遂成大角矣第四凡命角必用三字為記如甲乙丙三角形指甲角則云乙甲丙角指乙角則云甲乙丙角指丙角則云甲丙乙角是也亦有單舉一字者則其所舉之一字即是所指之角也(如單言甲角乙角丙角之類)第五凡有一線以此線之一端為樞復以此線之一端為界旋轉一周即成一圜如甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉復至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜面第六凡圜界不拘長短其分界之所即為弧線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱為弧線因其形似弧故名之第七凡圜自一界過圜心至相對之界畫一直線將一圜為兩平分則為圜徑如乙丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也第八凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻線其度俱相等因平分全徑之半故又謂之半徑線第九凡圜界皆以所對之角而命其弧而角又以所對之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界為角度之規也如乙角為心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也第十凡角相對之弧得圜界四分之一者此角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一半徑將半圜界又分為兩平分則成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一則此二角為直角也若自丁界過乙心至圜界戊處畫一直線又成丁乙戊之徑復得甲乙戊丙乙戊兩相等之直角矣故凡畫一直線交於别線其所成之角若直此線謂之垂線葢因平分圜界為四其四弧相對之四角必相等而皆為直角則其二徑相交必互為垂線可知矣第十一凡角相對之弧不足圜界四分之一者謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角故自圜徑中心復畫一輻線而不平分半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己丙庚之圜於甲乙丙之徑自乙心至甲己丙之半圜界不兩平分於丁處畫一輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍角再將丁乙線引於相對圜界戊處畫一丁乙戊徑線復成甲乙戊一鋭角丙乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖相並謂之並角如甲乙戊丙乙丁二角之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相並而同出一線則謂之並角矣第十二凡一圜内設兩角此一角相對之弧與彼一角相對之弧其限若等則此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也第十三凡有一圜其徑線之中心作相並之二角此二角之度必與二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙丙甲乙丁之相並二角此二角之度必與二直角相等也第十四凡一直線交於他直線其所成之二角或為二直角或與二直角等如丙乙丁直線上畫一甲乙直線至於乙處即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或於丙乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處復成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此二角必與二直角相等也再申明之以乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁線為圜之徑線必將圜界平分為兩平分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲乙線又將半圜界平分為兩平分則此二角各相對之弧皆為一圜界四分之一而各為一直角可知矣又如戊乙線將半圜界雖不兩平分而成一鋭角一鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所限半圜界度為全圜界四分之二故與二直角相等也第十五凡自一心畫為衆線其所成之角雖多止與四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其各角所函之度必與四直角等葢因甲㸃為心衆輻線皆立一圜之界故衆角所對之弧總不越一圜之全度前言一圜之界僅有四直角之弧線兹角雖多亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止與四直角等也第十六凡兩直線相交所成二對角之度必俱相等如甲乙丙丁二線交於戊處成甲戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必俱相等今以二線相交之處為心旋轉畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜之徑線矣惟其俱為徑線故將一圜為兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半圜界因兩半圜界俱係全圜徑線故相交成對角其度必等兹將甲丙乙之半圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧凡兩相等之弧減去一段相等之弧所餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内減去甲丙丙甲同體之弧則所餘丙乙甲丁相對之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等則所對之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其餘甲戊丙丁戊乙亦與甲戊丁丙戊乙同理故其所對之角度亦必相等也第十七凡大小圜界俱定為三百六十度而一度定為六十分一分定為六十秒一秒定為六十㣲一㣲定為六十纖夫圜界定為三百六十度者取其數無竒零便於布算即徴之經傳亦皆符合也(易曰凡三)(百有六十當期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十為二至二分相去)(之數)度下皆以六十起數者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整數也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度則以有度之圜心置於乙角察乙丙乙甲之相離可以容圜界之幾度如容九十度即是甲乙丙直角(何以知為直角因九十度為全圜三百六十度之四分之一前言凡角得)(圜界四分之一者為直角故知其為直角也)若過九十度者為丁乙丙鈍角不足九十度者為丙乙戊鋭角觀此三角之度其餘可類推矣第十八凡二線之間寛狹相離之分俱等則此二線謂之平行線也第十九欲求平行線之間相距幾何則自上一線不拘何處至下一線畫二縱線則此二線為相距度分也如甲乙丙丁二線平行自上線甲乙二處至下線丙丁二處畫二縱線則此二線為相等線其度必等然則甲乙丙丁相對之間其相距之遠近不已見耶第二十平行二線雖引至於無窮其端必不能相合葢二線相離之度各處逺近俱為相等故也如甲乙丙丁平行二線隨意引於戊己又自戊至己畫一縱線其度亦等於甲丙乙丁二縱線故曰平行線雖引至於無窮其端終不能相合也第二十一凡平行二線或縱或斜畫一直線交加於上則平行線上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行線上畫一庚辛斜線其甲乙線之庚戊乙角丙丁線之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大於戊己丁角則戊乙線必離於庚戊線而向丙丁線甲乙丙丁二線不平行矣若甲乙丙丁二線毫無偏斜又得庚辛直線相交成二角則此二角必然相等矣第二十二凡平行二線上畫一斜線則成八角此八角度有相等者必是對角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其兩尖相對謂之對角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二線之内外故謂之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二線之内而立斜線之左右故又謂之相對錯角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一線之界謂之並角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二線之外故謂之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二線之内故又謂之内角總之二平行線上交以斜線所成八角必兩兩相等也第二十三平行線上一邊之二内角或一邊之二外角與二直角相等如丁己戊角與丙己戊角為並角則此二並角與二直角等前第十四節云凡一直線交於他直線所成二角必與二直角相等則此二角同出於一直線為並角故亦與二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙雖為外角而亦為並角此二並角亦與二直角等也他如甲戊己乙戊己二並角丙己辛丁己辛二並角亦與二直角等也第二十四有平行二線復與一線相平行者此三線互相為平行線也如甲乙丙丁二線之間有戊己線與之平行則甲乙丙丁戊己三線互相為平行線也照前第二十一節在此三線上畫一庚辛壬斜線則所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三線之與斜線相交所成之角既各相等則三線互為平行可知矣幾何原本二第一凡各種界所成俱謂之形其直界所成者為直界形曲界所成者為曲界形凡直界所成各形未有少於三角形界者故三角形為諸形之首第二凡三角形一角直者為直角三角形一角鈍者為鈍角三角形三角俱鋭者為鋭角三角形第三凡三角形其三邊線度等者為等邊三角形兩邊線度等者為兩等邊三角形三邊線度俱不等者為不等邊三角形第四凡三角形之三角度相併必與二直角度等如甲乙丙三角形自乙角與甲丙線平行畫一乙丁線則成丙乙丁角與丙角為二尖交錯之二角其度必相等(見首卷第二十二節)而甲角與甲乙丁角為甲丙乙丁二平行線内一邊之二内角與二直角等(見首卷第二十三節)今於甲乙丁直角内減丙乙丁角所餘為甲乙丙角丙乙丁角既與丙角度等則甲乙丙丙乙丁合成之一直角與甲角之一直角非二直角之度耶第五凡三角形自一界線引長成一外角此外角度與三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙線引長至丁所成之丙乙丁角即為外角其度與三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度併之原與二直角等(如本卷第四節云)而甲丁直線與丙乙直線相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦與二直角等(如首卷第十四節云)則此内外二角所併之度與三 形内三角所併之度亦必相等今於内外角所併之二直角内減去甲乙丙角則所餘之丙乙丁一外角度與甲角丙角所併之度為相等可知矣第六凡兩三角形其兩邊線之度相等二線所合之角又等則二形底線之度必等二形之式亦等其底線之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二線甲乙丁己二線又互相等則乙丙戊己之二底線必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若將二形之甲角丁角相合則甲丙丁戊二線甲乙丁己二線各度必等因其俱等故丙乙線之二角與戊己線之二角俱恰相符而無偏側矣若謂乙丙底與戊己底不符必是戊己線上斜於庚或下斜於辛不成直線形矣第七兩三角形其三邊線之度若等則三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線甲丙線丁己線乙丙線戊己線兩兩相等則甲角與丁角乙角與戊角丙角與己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此兩三角形之各線俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八凡兩三角形有一線相等其相等線左右所生之二角又相等則其他線他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線若等而此二線左邊所成之甲角丁角右邊所成之乙角戊角亦相等則甲丙線度與丁己線度等丙乙線度與己戊線度等而丙角與己角亦等甲丙乙形所函之分與丁己戊形所函之分自然相等矣若將甲乙線與丁戊線相較再將甲角與丁角乙角與戊角相較此二線二角之度必俱相符此二線二角既俱相符其他線他角亦必各相符矣若謂一線不符則相等之角亦必不符必其一線斜出或一線偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣第九三角形之兩邊線若等其底線之兩角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙兩邊線之度等則其甲丙底線之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分於丁處自丁至乙角畫一直線遂成甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩形之甲乙線與丙乙線既相等而甲丙底線平分之甲丁丙丁線度亦等則乙丁為兩三角形所共用之各一邊線然則此兩三角形之各三邊線度必俱相等可知矣三角形之三線既各相等則其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也第十有兩邊相等之三角形自上角至底線畫一直線將底線為兩平分則此線為上角之平分線又為底線之垂線也如甲乙丙乙兩邊線度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底線丁畫一直線將甲丙底線為兩平分則為乙角之平分線又為甲丙底線之垂線也葢乙丁線將乙甲丙三角形平分為甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩三角形之各界線度必各相等而各角之度又俱相等則甲乙丁角丙乙丁角將乙角為兩平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又為相等之兩直角因其為兩直角故乙丁線為平分甲丙底線之垂線也第十一凡三角形内長界所對之角必大短界所對之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界長於甲丙界故其相對之甲角大於乙角而甲乙界短於甲丙界故其所對之丙角小於乙角也試依甲丙界度截乙丙於丁復自甲至丁作甲丁線即成甲丙丁兩界相等之三角形夫甲丙丁丙兩界度既相等則甲丁丙丁甲丙兩角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分則乙甲丙角必大於甲丁丙角矣然此甲丁丙角為甲乙丁小三角形之外角與小三角形内之甲乙二角相併之度等(見本卷第五節)既與甲乙二角之度等則大於乙角可知矣夫甲丁丙角既大於乙角則乙甲丙角必更大於乙角矣丙角之小於乙角其理亦同第十二凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角併之與二直角等(見本卷第四節)如甲乙丙三角形之乙角為直角則所餘甲角丙角併之始與乙角相等二角併之僅與一直角等則此二角獨較之必小於直角矣故此甲丙二角為鋭角也又如丁戊己三角形之戊角為鈍角則所餘之丁角己角愈小於直角而為鋭角矣第十三凡自一㸃至一横線畫衆線而衆線内有一垂線必短於他線而他線與垂線相離愈逺則愈長也如自甲㸃至乙丙線畫甲乙甲丁甲戊幾線此内甲乙為垂線較之甲丁甲戊線則其度最短而甲戊線與甲乙線相離既遠於甲丁故更長於甲丁線也葢甲乙為垂線則乙角必為直角(見首卷第十節)而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱為鋭角而小於乙角矣因乙角大於丁角故此乙角相對之甲丁線必長於丁角相對之甲乙線又甲丁戊外角原與甲乙丁乙甲丁二内角相併之度等(見本卷第五節)則此甲丁戊一外角必大於甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大於甲乙丁之内角則甲丁戊角相對之甲戊線必長於甲乙丁角相對之甲丁線可知矣第十四凡三角形將二界線相併必長於所餘之一界線如甲乙丙三角形將甲乙甲丙二界線併之則長於所餘之乙丙界線也試以丙甲線引之至丁作丁甲線與甲乙等則丁丙線為甲丙甲乙二界線之共度矣復自丁至乙作丁乙線成乙甲丁兩界相等之三角形其丁乙甲角與丁角等(見本卷第九節)則丁乙丙角必大於丁角夫丁乙丙角既大於丁角則其所對之丁丙線必長於丁角相對之乙丙線可知矣(見本卷第十一節)幾何原本三第一凡四邊線函四角者其形有五四邊線度等而角度亦等者為正方形四角直而兩邊線短兩邊線長者為長方形四邊線度等而角度不等者為等邊斜方形兩邊線長兩邊線短而角度又不等者為兩等邊斜方形以上四形俱自平行線出如四邊線不等亦不平行而四角度又不等者為不等邊斜方形第二凡四平行線所成方形其所函之角成兩對角必兩兩相等如甲乙丙丁平行線方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁線引長至戊作一線成一丁外角與甲角為二尖交錯之角其度相等(見首卷第二十二節)而丁外角與丙角又為一邊之内外角其度亦等(見首)(卷第二十二節)夫甲丁二角既等丁丙二角又等則甲角與丙角必自相等而丁乙兩對角之相等不言可知矣第三凡平行四邊形自一角至相對之角作一對角線必平分四邊形為兩三角形如甲丙乙丁四邊形作甲乙對角線即成丙甲乙丁甲乙兩相等三角形葢此四邊形之丙丁二角為對角其度必等(見本卷第二節)而對角線所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱為二尖交錯之角其度又兩兩相等(見首卷第二十二節)夫此兩三角形原自一四邊形而分各角又俱相等則其所函之分必等而四邊形平分為兩平分無疑矣第四凡平行線所成方形其兩兩平行線度俱相等如甲丙乙丁四邊形之丙甲線與乙丁線度等丙乙線與甲丁線度等此即如前節作一對角線成兩三角形而兩形之各角必俱相等則丙甲乙丁二線丙乙甲丁二線俱為各相等角所對之線其度亦必相等矣(見二卷第八節)第五平行線方形内兩對角線其相交處必平分二線之正中如甲乙丙丁二線相交於戊則所成甲戊戊乙二線丙戊戊丁二線俱等葢因丙戊乙甲戊丁兩三角形之丙乙甲丁二線為平行線其度等(見本卷第四節)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆為平行線内相對之錯角其度俱等(見首卷第二十二節)夫丙乙甲丁二線既等各相對之錯角又等則丙乙戊丁甲戊二等角相對之戊丙戊丁二線度與甲丁戊乙丙戊二等角相對之戊甲戊乙二線度必皆相等可知矣(見二)(卷第八節)第六凡平行線方形内於對角線上或縱或横正中截開即將此形為兩平分如甲丙乙丁之方形其甲乙對角線上畫一戊己線於庚處截開則平分甲丙乙丁方形為丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚兩三角形之甲庚乙庚二線相等而戊甲庚己乙庚之兩角又為平行線内二尖交錯之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相對之角其度又等則此兩三角形度亦必相等又如甲乙對角線將甲丙乙丁方形為兩平分則其甲丙乙甲丁乙兩三角形度必等將此兩相等之三角形以戊己線截開於甲丙乙形内減甲戊庚於甲丁乙形内減乙己庚則所餘之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱兩兩相等則甲丙乙丁之方形為戊己線所截自為兩平分可知矣第七凡四邊形於對角線不拘何處復作相交二平行線即成四四邊形設如甲丙乙丁四邊形於對角線之戊處復作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行線即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四邊形此四形中之甲戊戊乙二形為對角線上所成之形丙戊戊丁二形為對角線旁所成之形此對角線旁所成兩形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己兩形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙對角線平分為兩平分所成之甲丙乙甲丁乙兩大三角形之分必等其對角線上所成之一小方形復為甲戊對角線平分為兩平分成甲庚戊甲己戊兩小三角形此兩小三角形之分亦必等而對角線上所成之一大方形又為戊乙對角線平分為兩平分成戊壬乙戊辛乙兩中三角形此兩中三角形之分亦必等今將甲丙乙甲丁乙兩大三角形内減去甲庚戊甲己戊之兩相等小三角形再減去戊壬乙戊辛乙之兩相等中三角形所餘對角線旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己兩四邊形此兩四邊形自然相等矣第八凡兩平行線内同底所成之四邊形其面積必等如甲己乙辛兩平行線内於乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形戊乙丙己一斜方四邉形此兩形雖不同而所容之分必相等何也試以兩三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此兩三角形之甲乙丁丙二線等甲戊丁己二線亦等(甲丁戊己二線俱與乙丙平行)(而度分相等若於甲丁戊己二線各加一丁戊線即成甲戊丁己線其度自然)(相等)而戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一邊之内外角其度又等則此兩三角形自然相等可知矣今於兩三角形内各減去丁戊庚則所餘之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等復於此二形内毎加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊乙丙己之兩四邊形其面積必然相等也第九兩平行線内無論作幾四邊形其底度若等則面積必俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙己戊庚辛丁乙兩平行線四邊形其丙己辛丁兩底度相等則其積亦等試自丙己底至庚乙畫二直線即成一庚丙己乙斜四邊形此斜四邊形既與甲丙己戊四邊形同出於丙己之底即同前節两形面積俱等矣至於庚辛丁乙與庚丙己乙又同出於庚乙之底故此两形面積亦俱等觀此兩兩相等則甲丙己戊庚辛丁乙兩形之面積相等明矣第十凡兩平行線内同底所成之各種三角形其面積俱等如甲乙丙丁兩平行線内於丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此兩三角形之面積必等何也自丁至戊作一直線與甲丙平行再自丁至乙作一直線與己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙兩四邊形此二形既同出於丙丁底其面積相等而甲丙丁己丙丁兩三角形為平分兩四邊形之一半其面積亦必相等矣第十一兩平行線内無論作幾三角形其底度若等其面積亦俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙戊庚戊己兩三角形其丙戊戊己兩底度相等故其面積亦等今自戊至辛作一直線與甲丙平行又自己至乙作一直線與庚戊平行即同前節成面積相等之兩四邊形而此甲丙戊庚戊己兩三角形為面積相等兩四邉形之各一半則此两三角形之面積必等可知矣第十二凡有幾三角形其底若俱在一直線而各底相對之角又共遇於一處則其衆三角形必在二平行線之間如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直線上而各底相對之角又皆遇於甲處則此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行線之間矣第十三凡等邊等角各形内五邊者為五角形六邊者為六角形邊愈多角愈多者俱隨其邊與角而名之焉第十四多邊多角形自角至心作線凡有幾界即成幾三角形設如辛七邊形自心至邉七角作七線即成七三角形而此各三角形之分俱相等也第十五欲知衆邊形各邊角之度將邊數加一倍得數減四其所餘之數即為各邊角度也如辛七邉形以七邊數加一倍共為十四十四内減四所餘之十即為十直角數為此七邊形之各邊角之總度也何也假如辛形自心至七角作七線成七三角形凡三角形之三角與二直角等(見二卷第四節)則此七三角形之各三角度共與十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又與四直角等(見首卷第十五)(節)若將十四直角内減四直角乃餘十直角則此十直角與衆邊形之各邊角之總度相等可知矣幾何原本四第一凡有直線切於圜界而不與圜界相交者謂之切線如甲乙丙線切於丁圜乙界其線雖自甲過乙至丙而與圜界不出入相交此甲乙丙線即為圜之切線也又如一圜與一圜界相切而不相交則謂之切圜假如戊圜與己圜於庚界相切二界總未相交故又謂之切圜也第二凡一直線横分圜之兩界謂之弦線其所分圜界之一段謂之弧此弧與弦相交所成之二角謂之弧分角如甲丙線横分甲乙丙丁圜界於甲丙則甲丙線為弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆謂之弧而甲丙弦與甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即謂之弧分之角焉第三凡自一圜弦線之兩頭復作二直線相遇於圜界之一處其所成之角謂之圜分内角又謂之弧分相對之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦線之兩頭各作一直線於甲處相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角與乙丁丙弧相對故又為弧分相對之界角也第四凡一圜有二輻線截弧之一段所成之三角形謂之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二輻線所成之甲丙乙三角形即為分圜面形也第五凡自圜之輻線之末與圜界相切作一垂線則此垂線與輻線之末在圜界僅一㸃相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙輻線於乙末作一丙乙垂線則此丙乙垂線與甲乙輻線俱在圜界乙處之一㸃相切而此垂線之丁等處俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁線此線必長於甲乙輻線(如二卷第十三節云)因其長於輻線必出於圜界之外此甲戊丁線既出於圜界之外則丙乙線全在圜外可知矣第六圜弦線上自圜心作一垂線則將弦線為兩平分如乙丙弦自圜心甲至弦線丁作一垂線必將乙丙弦為兩平分成乙丁丁丙二段若自甲心至弦線乙丙二末作二輻線成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二線為一圜之輻線其度必等此二輻線既等則甲乙丙三角形内甲丁垂線所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若將垂線引長至弧界戊作線則又將乙丙弧界為兩平分矣第七凡自圜外一處至圜界兩邊作二切線此二線之度必等如自圜外甲至圜界乙丙兩邊作甲乙甲丙二切線此二線之度相等今於圜心丁至圜界乙丙二切線之末作二輻線則此二輻線為甲乙甲丙之垂線矣(如本卷第五節云)因其為垂線則甲乙丁甲丙丁之二角必同為直角(見首卷第十節)再自丙至乙作一弦線即成丁乙丙甲乙丙兩三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二線同為圜之輻線其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内減去丁乙丙丁丙乙二角則所餘之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等則甲乙甲丙二切線為等角傍之兩界線自然相等無疑矣第八凡圜内兩弦線若等其分圜弧面之積必等自心至兩弦所作垂線亦必等如甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等則所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面積必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作甲壬甲辛垂線其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二弦之末各作輻線即成甲丙乙甲丁戊兩三角形此兩三角形之各界線必兩兩相等則此兩三角形内相等線所對之角亦必相等(見二)(卷第七節)角既相等則等角相對弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等(見首卷第十二節)丙己乙丁庚戊二弧線既等丙乙丁戊二弦線又等則丁庚戊壬之弧面積與丙己乙辛之弧面積自然相符矣又甲辛甲壬二垂線將丙乙丁戊二弦為兩平分則丙辛乙辛丁壬戊壬之四線亦俱等三角形之各界線既兩兩相等而三角形内各角又兩兩相等則平分丙乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相等矣第九凡弦線之所屬有三種一為弧之切線一為弧之割線一為弧之弦線欲取弧界各角之度用此三線求之必得也如甲圜之甲乙輻線于乙末作丙乙垂線復自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂線丁分作甲丁線又從圜界戊至甲乙輻線作戊己垂線則成三種線此三線内丁乙線為乙戊弧之切線甲丁線為乙戊弧之割線戊己線為乙戊弧之正弦凡欲得各角弧界之度必於此三種線取之如欲取乙甲戊角相對弧度則自與甲角相對乙戊弧之丁乙切線取之或自乙戊弧之甲丁割線取之或自乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧之度數焉第十一圜界内任於圜界一段至圜心作二線至圜界作二線即成二角在圜心者為心角在圜界者為界角設如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二線仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二線成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角為心角甲丁乙角為界角也第十一圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二線所成之式又分為三種有界角心角同用一線者有界角心角不同用一線者有界角二線跨心角二線者總之此三種心角皆大於界角一倍如有三圖圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二線圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二線則第一圗之甲丁乙界角之乙丁線同立於甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角為甲丙丁三角形之外角與甲丁丙丙甲丁二内角等(見二卷第五節)其甲丙丙丁二線又為一圜之輻線其度亦等此二線既等則甲丁丙丙甲丁二角亦必等(見二卷第九節)今甲丙乙之外角既與甲丁丙丙甲丁二内角等則甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二圖甲丁乙界角之乙丁線不同立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之外則自丁角過圜之丙心至對界作一丁丙戊全徑線即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一圖必倍於甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍於乙丁戊小界角於甲丙戊大心角内減去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内減去乙丁戊小界角則所餘之甲丙乙心角必大於所餘之甲丁乙界角一倍矣如第三圖甲丁乙界角之二線正跨於甲丙乙心角二線之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之間則自丁角過圜之丙心至對界作丁丙戊全徑線即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍於甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍於乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角併之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角併之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍於所分之界角則此所併之甲丙乙心角必倍於所併之甲丁乙界角矣第十二凡自圜之弧線一段任作相切界角幾何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧線一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等試自圜之戊心至圜界甲乙作二輻線即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角與甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧線之一段則心角必倍於界角然則甲丙乙乙丁甲二界角既俱為甲戊乙心角之一半則此二角之度必等可知矣第十三凡圜内心角所對弧線之度比界角所對弧線之度少一半則二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相對甲丙弧線之度比甲丁戊界角相對甲戊弧線之度少一半則甲乙丙心角之度必與甲丁戊界角之度相等試自丁角過圜之乙心至對界作丁乙己全徑線復自乙心至戊界作乙戊半徑線即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍於甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍於己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相併甲丁己己丁戊二界角亦相併則甲乙己己乙戊二心角所併之度必倍於甲丁己己丁戊二界角所併之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所併之一半夫甲丙弧線既為甲戊弧線之一半而甲乙丙角又為甲乙己己乙戊二心角所併之一半則甲乙丙心角度必與甲丁戊界角之度相等矣第十四凡圜内界角立於圜界之半者必為直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立於甲丁丙圜界之正一半則此甲乙丙角必然為直角也自甲丁丙之半圜於丁界為兩平分復自丁界至圜心戊作丁戊輻線即成甲戊丁角其相對之甲丁弧為圜界四分之一既為圜界四分之一則必為直角(如首卷第十節云)夫心角相對弧線若為界角相對弧線之一半其二角之度相等矣(如本卷第十三節云)今甲戊丁心角相對之甲丁弧線既為甲乙丙界角相對之甲丁丙弧線之一半則甲戊丁心角度必與甲乙丙界角度相等且甲丁弧線既為圜界四分之一而甲丁丙弧線又為圜界之正一半則甲戊丁心角為直角而甲乙丙界角亦必為直角矣第十五凡圜内界角其所對之弧過於圜界之半者必為鈍角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧大於圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鈍角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大於半圜則此甲戊弧線一段亦大於圜之四分之一矣故此甲戊弧線相對之甲丁戊心角必為鈍角(見首卷第十一節)夫心角相對之弧線比界角相對之弧線少一半則二角之度必相等(如本卷第十三)(節云)今甲丁戊心角相對之甲戊弧線正為甲乙丙界角相對甲戊丙弧線之一半則甲乙丙界角自然與甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既為鈍角則甲乙丙界角亦必為鈍角矣第十六凡圜内界角其所對之弧不及圜界之半者必為鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧小於圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鋭角也試將甲戊丙弧平分於戊為甲戊戊丙兩段復自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角此心角所對之甲戊弧線既不足圜界四分之一則此甲丁戊心角必為鋭角矣(見首卷第十一節)此甲丁戊心角所對之弧比之甲乙丙界角所對之弧為一半則此二角之度必等夫甲丁戊心角既為鋭角則甲乙丙界角亦必為鋭角矣第十七凡函圜各界形之各線與圜界相切而不相交則謂之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界線俱在庚圜界之丁己戊三處相切而不相交故謂之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界線俱在戊圜界之己庚辛壬四處相切而不相交則謂之函圜切界四邊形觀此二圖則知函圜各界形必大於所函圜界形之分矣第十八凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出則謂之圜内所函各邊形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱與丁圜界相抵而不曾割出即謂之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱與戊圜界相抵而不割出則謂之圜内所函四邊形觀此二圖則知函於圜界各界形必小於圜界形之分矣第十九凡等邊衆界形或函圜或函於圜其界數愈多愈與圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三邊比之六角形之六邊則六角形之六邉與圜界相近矣設有十二角形之十二邊比此六角形之六邊則十二角之十二邊又與圜界為近若有二十四角之二十四邊則又更近於十二角之十二邊矣葢函衆界形之度必大於所函之衆界形度(見本卷第十七十八兩節)今甲圜既函等邊六角形自大於六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大於三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其邊愈多者其度愈大故與圜界愈近也又如復有一函圜等邊四角形内又作一函圜等邊八角形此四角形既函八角形必大於八角形可知矣若於八角形内復作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉數愈多則與所函之圜界度愈近矣苟設一函於圜界之多邉形為幾十萬邉(設函於圜界之)(多邉形一自六邉起算一自四邉起算)復設一函圜界之多邉形亦為幾十萬邉(設函圜界之多邉形亦一自六)(邉起算一自四邉起算)使此函圜之多邉形自外與圜界相比而函於圜界之多邉形自内與圜界相比則此二多邊形之每邊直界線將與圜界曲線合而為一故圜界曲線可得直線之度而多邉形之直線亦可得為圜界度也第二十函圜切界等邊形其所函圜之輻線度與一直角三角形之小邊之度等而等邉形之衆界共度又與三角形之大邊之度等則三角形之面積與等邊形之面積等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙輻線與辛壬癸直角三角形之辛壬小邉線度等而五角形之丙丁戊己庚五邉線共度又與三角形之壬癸大邉線度等則此辛壬癸三角形面積必與丙丁戊己庚等邉五角形面積等也何以見之若自五邊形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五線即分成甲丙丁類五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸線度既與五角形之五邉共度等今將壬癸線平分五分以所分之每分為底依前所分五三角形式作甲壬丙類五正式三角形復自所分丙丁戊己四處俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四線遂分辛壬癸一三角形為辛壬丙類五斜式三角形再自甲壬丙類五三角形之甲角至底各作一甲乙垂線俱與圜之輻線等則甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣於是復自辛壬癸三角形之辛角與五甲角相切作一辛子線與壬癸為平行線則此平行線内同底所成之各種三角形之面積必俱相等矣(見三卷第十節)葢辛壬丙甲壬丙兩三角形為同底辛丙丁甲丙丁兩三角形為同底辛丁戊甲丁戊兩三角形為同底辛戊己甲戊己兩三角形為同底辛己癸甲己癸兩三角形為同底故其面積俱相等也且辛壬丙三角形與甲壬丙三角形既俱相等則辛壬丙之類五斜式三角形之面積即如甲壬丙之類五正式三角形之面積矣其所分各形之面積俱等則其全形之面積自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面積與丙丁戊己庚等邉五角形之面積相等也第二十一圜界内函等邊衆界形其圜心至衆界所作中垂線與一直角三角形之小邉之度等而等邊衆界形之衆界共度又與直角三角形之大邊之度等則此三角形之面積與等邊衆界形之面積等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至衆界所作甲辛垂線與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉線共度又與三角形之癸子大邉線度等則此壬子癸三角形面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形面積等也若依前節法將六邉形分為六三角形復以三角形之癸子界照六邉形度分為六分又照六邊形所分六三角形作六正式三角形復自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五處作五斜線成六斜式三角形此兩式三角形同底又同在二平行線内則其面積必兩兩相等此兩式六三角形之垂線既與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而兩式六三角形之底線共度又與壬子癸直角三角形之癸子大邉線度等則壬癸子直角三角形之面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形之面積相等矣第二十二凡圜形之輻線與一直角三角形之小邊線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等如有一甲圜形其甲乙輻線與丙丁戊直角三角形之丙丁小邉線度等而甲圜形之乙周界又與丙丁戊三角形之丁戊大邉線度等則此丙丁戊三角形之面積即與甲圜形之面積相等也何以見之甲圜之輻線與三角形之小邉等者即如等邉衆界形之中垂線與三角形之小邉等也甲圜之周界與三角形之大邉等者即如等邉衆界形之各界共度與三角形之大邉等也若夫函圜衆界形相等之三角形其小邊雖與圜之輻線等其大邉則長於圜之周線故其積分亦大於圜之積分而函於圜衆界形相等之三角形其小邉既短於圜之輻線而大邊亦短於圜之周線故其積分亦小於圜之積分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小邊既與圜之輻線等面三角形之大邉又與圜之周線等則其積分與圜形之積分相等無疑矣然圜周界曲線也等邉衆界形之界度直線也觀之似難於相通者如以圜之内外各設多邉衆界形分為千萬邉(如本卷第十九節云)則逼圜界最近將合而為一乃依所分之段為千萬正式三角形此千萬正式三角形之中垂線亦將與圜之輻線合而為一而千萬邉共界度既與圜周合而為一則圜周之曲線亦變而為直線矣夫千萬邉正式三角形之中垂線既成圜之輻線則與丙丁戊三角形之小邊等而千萬邉正式三角形之底界共度又成圜之周度則又與丙丁戊三角形之大邊度等矣復自丙丁戊三角形之丙角至千萬正式三角形之底界各作千萬斜式三角形以比正式三角形因其㡳同其分自相等故千萬斜式三角形之共積比之千萬正式三角形之共積千萬正式三角形之共積比之丙丁戊一直角三角形之面積丙丁戊直角三角形之面積比之甲圜形之面積俱相等也第二十三有一圜形又一衆界形此圜界度若與彼衆界總度等則圜形之面積必大於衆界形之面積也如甲乙丙丁圜形之周界與戊己庚辛等邊四角形之四邉總度等則圜形之面積必大於等邉四角形之面積矣前言凡圜形之輻線與一直角三角形之小邉線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則三角形之面積與圜形之面積相等矣今試以甲乙丙丁圜形周界為三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬輻線為三角形之小邉作一子丑寅直角三角形則三角形之丑寅大邉線度亦與戊己庚辛四角形之四邉總度等而三角形之子丑小邉線度雖與圜形甲壬輻線等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂線為長若將三角形之子丑小邉線照四角形之壬癸垂線度截開則分子丑線於卯復自卯至寅作一斜弦即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分與戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之則卯丑寅形必小於子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面積既與子丑寅三角形之面積等而戊己庚辛四角形之面積又與卯丑寅三角形之面積等則戊己庚辛四角形之面積必小於甲乙丙丁圜形之面積可知矣觀此凡界度相等之形圜界所函之分比衆界所函之分必大而衆界所函之分與圜界所函之分同者則衆界之總度復比圜界度大也㡬何原本五第一平面之上所立直線無少偏倚其各邊所生之角必俱直則謂之平面上所立垂線也如甲乙之平面正立一丙丁線不偏不倚此即為平面上所立之垂線矣第二凡兩平面相對其所立衆垂線度俱各相等則此相對之平面謂之平行面也如甲乙丙丁二平面間所有戊己衆垂線之度俱相等此甲乙丙丁二平面即為平行面矣第三平面上復立一平面無少偏倚其兩邊所成之角必皆為直角則謂之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面無偏無倚兩邊亦俱成直角此即為平面上所立之直面矣第四凡各面相合其每面之角所合處復成一種體角則謂之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者為各瓣相併所成之厚角也如甲圖四面為四瓣相併所生之厚角乙圖五面為五瓣相併所生之厚角是己第五凡各面相併所成之厚角如將各面計之則其衆角所合之分必不足於四直角度也如甲圖五面合成之厚角若將其五面展開使平作乙丙丁戊己平面之五瓣復以甲為心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相離處不能滿甲圜之周界矣因其不滿於圜之周界故比四直角為不足也或以四直角分强欲作一厚角則其瓣過於大必不能成平面所合之厚角矣第六凡等邊三面所合厚角其三面内之兩面角倂之必大於一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角將乙甲丙丙甲丁二面倂之必大於一直角度矣依前節法將甲厚角展開使平雖不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而併之則較之一直角度為大焉何以見之夫三面展開其所離之虛分仍有三面之分以三面之實分合三面之虛分則為六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角則三角必得二直角三角既得二直角則二角相倂必大於一直角可知矣第七凡平面二線交處作一垂線正立而無偏倚此線任在平面各處俱為垂線如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二線相交己處作一戊己垂線正立而不偏倚則此戊己線任在甲乙丙丁平面上某一處俱為垂線也假使戊己垂線不能正立而有所偏倚則如壬己線近於辛而離於庚矣壬己線既近於辛而離於庚則偏向於丁丙而逺於甲乙而壬己丁壬己丙之二角為鋭角壬己甲壬己乙之二角為鈍角矣戊己既如壬己則不得謂之甲丙丁乙二線相交處正立之垂線矣第八衆線交處立一垂線其各角若俱直此所交各線必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三線相交處立一戊己垂線其與衆線相接各角若俱直則此相交之三線必在一平面也夫衆線之相交固在平面而垂線之所立正所以考面或一角不直則不得謂之平面矣第九平面上若立二垂線必互為平行線如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂線則此二線互為平行線也試自辛過己至壬作一辛壬線則戊己庚辛二垂線所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何處所生之角俱是直角(見本卷首)(節)故戊己壬庚辛己二角俱為直角而相等也且此二角又為二線與一線相交所成之内外角其度既等則戊己庚辛二線必為平行線矣(如首卷第二十一節)第十有二線與一垂線平行雖不在平面之一界此三線亦互相為平行線也如甲乙丙丁二線俱與戊己一垂線平行不立於一直線上雖不居平面之一界此三線亦必互為平行線也試於甲乙丙丁戊己三線之末作一庚辛平面此平面上之戊己線為垂線其四圍平面所生之各角俱是直角矣復自乙過己自丁過己作相交二線則成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱為平行線一邉之内外角俱為相等角矣(見首卷第二十一節)而甲乙己丙丁己二角亦俱為直角夫甲乙丙丁二線在庚辛平面上所生之角皆直又皆與戊己垂線所生之角等則甲乙丙丁二線亦皆得為垂線其與戊己線為互相平行之三線可知矣第十一相對二平面之間横一直線此線在二平面上所生角若俱直則此相對二面互相為平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之間横一戊己直線此戊己線末所抵處其四圍俱成直角則此二平面互相為平行面矣試將此二平面之戊己横線所抵之處作甲乙庚辛相交二線丙丁壬癸相交二線則戊己横線於二平面各界所生之角俱為直角如甲乙丙丁二線與戊己横線相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交錯之角相等故甲乙丙丁相當之二線為平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交錯之角亦相等故庚辛壬癸相當二線亦為平行矣相對二平面之上所有之相當各二線既俱同為平行線則相對之二平面自然互為平行面矣第十二有二平行面橫交一面其相交處所生二線必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交處所生二線亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交處所生二縫既在甲乙丙丁二平面之上自然與甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各線同為平行線且又在戊己一平面内其分自然相對故此二平面與一平面相交之縫線亦得為平行也第十三凡各種面内所積之實為體而皆因其面以名之焉如全體不成角度止現圓之圓面則謂之圓體甲乙圖是也全體各面俱平各邊相等所成各角又等則謂之平面正方體丙丁圖是也全體各面雖平體長而面成兩式其相對各面仍兩兩相等相對各邊則又平行角又相等此謂之平行長方體戊己圖是也體有曲平兩面相雜而不成等邊等面則謂之底平半圓體庚辛圖是也全體相對之各面不平行上下兩面平行則謂之上下面平行體壬癸圖是也體圓而上下面俱平則謂之長圓體子圖是也底為平面其各面俱合於一角而成厚角則謂之尖瓣體底三角者謂之三瓣尖體底四角者謂之四瓣尖體底衆角者謂之衆瓣尖體如丑寅卯三圖是也又或底面圓而漸鋭成形則謂之尖圓體辰圖是也第十四凡圓體長圓體尖圓體俱生於圜面故其外皮面積亦生於圜界一旋轉之度分耳如取甲乙丙丁之圓形則以甲乙徑線為樞心將甲丙乙半圓作轉式旋轉復還於原處即成甲丙乙丁一圓形體如取甲乙戊己平行面之長圓形則以甲乙中線為樞心將丙丁線界作轉式旋轉復還於原處即成甲乙戊己一長圓體如取甲丙丁平底尖圓形則以甲乙中線為樞心將甲丁邉線作轉式旋轉復還於原處即成甲乙丙丁一尖圓體矣第十五凡各體形其各面平行相當則相對兩邊面積俱相等如甲乙丙丁之正方體其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相對二面之積自兩兩相等也第十六凡體面式不一而積等者為積數相等之體面式既同而體積又等者爲面式體積全等之體如甲乙二體為積數相等之體也丙丁二體為面式體積全等之體也第十七凡平行面之長方體自一面之對角線平分為兩三稜體此兩三稜體必爲面式體積全等之體矣如甲乙平行面長方體自丙丁二角至相對戊己二角分為兩段成戊丙乙丁己甲兩三稜體為面式體積全等體也試以甲丙庚戊辛丁乙己兩平面形自戊丙丁己兩對角線均分為兩三角形面則所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面積俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互為平行必兩兩相等再對角線分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等則其積必等而為面式體積全等體無疑矣第十八凡平行二平面之間若同底立各平行體其積必相等設甲乙丙丁平行二平面之間於戊己庚辛底立壬庚癸己二平行體其積俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面與卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面與卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面與丑寅午癸一面俱與戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等則壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面兩三角形之各面各邉度又俱等則此壬庚癸己二平行體之積必然相等也可知矣第十九凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等設如甲乙丙丁平行二平面之間有戊己庚辛壬癸子丑二等積之底立一寅庚正靣平行體一卯子斜面平行體此二體之積必相等試自寅庚正面平行體之戊己庚辛底至卯子斜面平行體之卯辰午未面復作一卯庚斜面平行體則寅庚卯庚二體立於戊己庚辛之一底其積相等矣(如前節所云)而卯子卯庚二體又同立於卯辰午未之面其積亦必相等是以寅庚正面平行體卯子斜面平行體俱與卯庚平行體相等故云凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等也第二十平行平面之間有立於等積三角底之各三面體其積必俱等如甲乙丙丁平行二平面之間有子庚丑寅癸卯等積三角底立戊庚己辛癸壬之兩三面體此二體積必相等何以見之若以此二體之上邊二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二線辛午壬午二界平行作辛申壬申二線又於此二體之下邊二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉丑二線寅癸癸夘二界平行作寅戌戌卯二線則二體所生酉子庚丑戌寅癸卯四邊平行二底俱在子丑寅卯二對角線其度相等(見三卷第三節)其分比三角面各大一倍矣復於所作二底邊酉戌二處作酉未一縱線戌申一縱線即成未庚申癸平行面二方體矣其酉子庚丑戌寅癸卯二底既俱相等則所生之未庚申癸平行面之二方體亦自相等(見本)(卷第十九節)此未庚申癸平行面二方體既各相等則戊庚己辛癸壬之三面體為未庚申癸二方體之正一半其積必等無疑矣第二十一凡各種體形難以圖顯葢以圖止一面故也必用木石製之始能相肖况此各種形體又或有外實而内空者必按其形以求其理始可發明其精藴矣第二十二凡各面所成體形内其各面俱平行或上下面為平行而立於等積之底其體之髙又等則其體之積亦相等如甲乙體其各面俱平行又如丙丁體其上下面平行立於等積之底其髙又等或又如戊己體其上下面平行圓面積又等髙又等則其兩兩體積必相等矣又如庚辛壬癸之類尖體形苟立於等積之底其體之髙若等則其體之積亦相等何以見之若將衆尖體分為平行底之衆小體其所分衆小體之底度髙度必俱相等如子丑圖其所分小體之積俱等故其全體之積亦相等也第二十三凡上下面平行各體與平底尖體同底同髙者不論平面圓面其平底尖體皆得上下面平行體三分之一如甲乙上下面平行之長方體與丙丁四瓣尖體其乙丁兩底積等甲乙丙丁兩髙度又等則甲乙長方體與丙丁尖體三形等如戊己上下面平行之三稜體與庚辛三瓣尖體其己辛兩厎積等戊己庚辛兩髙度又等則戊己三稜體與庚辛尖體三形等又如壬癸上下面平行之長圓體與子丑尖圓體其癸丑兩底積等壬癸子丑兩高度又等則壬癸長圓體與子丑尖圓體三形等又如壬癸長圓體與甲乙戊己類體同底同髙則壬癸長圓體亦與丙丁庚辛類尖體三倍所合之數等又或子丑尖圓體與丙丁庚辛類尖體同底同髙則子丑尖圓體三倍之乃與甲乙一體戊己一體等也夫同底同髙上下面平行體既俱爲尖體之三倍則尖體為上下面平行體三分之一可知矣(葢甲乙戊己壬癸各體其式雖不同苟底積高度相)(等其積必等而丙丁庚辛子丑各體式雖不同苟底積高度相等其積亦必等)(故知丙丁庚辛子丑平底尖體互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各體三分之)(一也如將上下面平行各體以木石為之分作同底同髙之各平底尖體用權)(衡以較其分量則各體之積分自昭然可見矣)第二十四凡長圓體外周面積與長方體底面積相等而長圓體半徑又與長方體高度相等則長圓體積必得長方體積之半也如甲乙丙丁長圓體其周圍外面積與戊己長方體之庚己底面積等而長圓體之壬丁半徑又與長方體之戊庚髙度等則此甲乙丙丁長圓體積必得戊己長方體積之一半也試將甲乙丙丁長圓體從壬癸中線至周圍外面分爲千萬分則成子丑己類千萬長尖體此千萬長尖體之髙與長圓體之壬子半徑等而千萬長尖體之共底即長圓體之周圍外面積則此千萬長尖體必爲戊己長方體之一半矣葢寅己辛三角面爲午己長方面之一半(見三卷第三節)而此子丑己類衆三角面與寅己辛三角面等(見四卷第二十節)子丑己類衆三角面既與寅己辛三角面等則子丑己類衆長尖體亦必與卯辰庚辛己寅三角體等此卯辰庚辛己寅三角體固爲戊己長方體之一半今長圓體所分之衆長尖體既與卯辰庚辛己寅三角體等則亦必爲戊己長方體之一半故甲乙丙丁長圓體爲戊己長方體之一半也第二十五凡球體外面積與尖圓體之底積等而球體之半徑與尖圓體之高度等則此球體之積與尖圓體之積等也如甲乙丙丁球體之外面積與己庚辛尖圓體之庚子辛癸底積等球體之甲戊半徑與尖圓體之己壬高度等則此球體之積爲與尖圓體之積等也試將球體從中心分爲千萬尖體復將尖圓體亦分爲千萬尖體則球體所分尖體毎一分必皆與尖圓體所分尖體一分等何也葢球體所分尖體皆以球體之外面爲底而以球體之甲戊半徑爲高其尖圓體所分尖體皆以尖圓體之底爲底而以尖圓體之己壬高爲高夫尖圓體之底積原與球體之外面積等而尖圓體之高度又與球體甲戊半徑等故此兩種千萬尖體皆爲同底同高其積相等無疑矣(見本卷第十八節)然此兩種千萬尖體即球體尖圓體之所分其所分之體既等則原體亦必相等可知故曰球體與尖圓體俱相等也第二十六凡各形外皮面積相等之體惟圓體所函之積數大於他種各體所函之積如甲乙丙丁外皮面積相等各形内甲圓體所函之積必大於乙丙丁直界體所函之積也何也大凡圓形其半圓周一旋轉間即成圓體此戊己庚半圓周一次旋轉即成甲圓體(見本卷第十四節)又凡平面圓界所函之積必大於等邉各形所函之積(見四卷第二十三節)平面圓界所函猶大於各等邉所函之積則圓體所函必大於各直界體所函之積可知矣第二十七厚角所成等面體形有五種各以面數而名之其一爲四面體每面有三角各三角之各三界度俱等如甲圖是也二爲六面體毎面俱爲正方其方面之四角俱爲直角而各界互等故又爲正方體如乙圖是也三爲八面體毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙圖是也四爲十二面體每面有五角各五角之五界度俱等如丁圖是也五爲二十面體每面有三角各三角之各三界度俱等如戊圖是也第二十八前節發明五種厚角所成等面體形之外不能復生他形葢此五種厚角體俱是等邊三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面(見二)(卷首節)而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面體其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面體其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面體其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合過於五形則不能成厚角故平面六三角形合於一處即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合與四直角等(見首)(卷第十五節)既與四直角等則爲平面不成厚角矣(如本卷第五節)六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角體僅得四面八面二十面三種而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方體其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更無他形若將四平面四角形合於一處即成辛形其甲乙丙丁四角既俱爲直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角僅有一六面正方體而已至於平面五角形所成厚角如戊十二面體其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更無他形也或將四平面五角形如癸子丑寅之四角合於壬此四角俱爲鈍角必大於四直角既大於四直角在平面尚不能相合厚角豈能成耶是以平面五角形所成之厚角僅有一十二面體而已或將平面六角形之三形合於一處爲癸其甲乙丙三角度與四直角等故不成厚角六角平面相合既不成厚角其七角八角等形愈不能成厚角矣故曰四面六面八面十二面二十面五種體只在三角四角五角三種平面形所生此外不能復成他形也御製數理精藴上編卷二
## 上編卷三
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷三幾何原本六幾何原本七幾何原本八幾何原本九幾何原本十幾何原本六第一大凡欲論諸物之不齊必借同類之物以比之始可以得其不齊之度數如一線與他線相比其度之或長或短其數之或多或少自能見之如一面與他面相比其面度之或大或小其積數之或多或少自能見之又如一體與他體相比其體度之或厚或薄其積數之或多或少亦自能見之若將一線與一面相比或一面與一體相比既不同類又不同形則線之長短面之大小體之厚薄俱不可辯矣故曰欲論諸物之不齊必借同類之物以比之也第二將兩數相比其度互為大小則謂之比例其比者與所比者俱謂之率(率者)(法也矩也以數互相準之之謂也)其比之數為前率其所比之數為後率如甲乙二數互相為比其相較之分甲數之度為長其分為多乙數之度為短其分為少如是以比之故謂之二率甲為比之之數故謂之前率乙為所比之數故謂之後率焉第三有四率兩兩相比其一率與二率之比同於三率與四率之比則謂之同理比例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分之五則甲與乙之比例丙與丁之比例此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内將一率與三率分數定為相等二率與四率分數亦定為相等其度之長短雖有不同苟分數定準則一率與二率之比即如三率與四率之比也夫甲乙丙丁四線内甲第一線與丙第三線俱各定為六分乙第二線與丁第四線俱各定為五分則甲度之長雖大於丙度之長其分數則俱為六而乙度之長雖大於丁度之長其分數亦俱為五故知乙第二線度與甲第一線度之六分之五分相等丁第四線度亦與丙第三線度之六分之五分相等所以甲線之比乙線即如丙線之比丁線而謂之同理比例也第四凡四率兩兩相比其一率與二率相比之分若大於三率與四率相比之分則為不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互相為比苟甲第一數與乙第二數相比之分為六與四其丙第三數與丁第四數相比之分為五與四則此甲與乙之比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分為凖則三率四率相比之分為小若依三率四率相比之分為準則一率二率相比之分又大故謂之不同理之比例而比例四率不能行也第五凡有四率一率之度與二率之度相比分數若同於三率之度與四率之度相比分數則此四率又謂之相當比例四率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線相比之度與丙線與丁線相比之度其分數同則此四線謂之各相當線而毎兩率相比其毎度之分數同故又謂之相當比例四率也第六凡三率互相為比其一率與二率之比同於二率與三率之比則謂之相連比例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲數與乙數之比同扵乙數與丙數之比則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣若相連比例率内將一率與三率比之則為隔一位加一倍之比例或有相連比例四率將一率與四率比之則為隔二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之比例也如甲乙丙相連比例率内其甲與丙之比為隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率其甲與丁之比即為隔二位加二倍之比例而甲與戊之比則又為隔三位加三倍之比例矣第七相當比例四率為數學之要因其理之所該最廣故設為雙圜圖以申明之立甲㸃為心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以為三百六十分(首卷第十七節云凡圜無論大小俱定為三百)(六十度)於是自圜之甲心過小圜界之辛壬二處至大圜己庚二處作二線則大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相對之己庚弧界設為六十度則為乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦為六十分矣大凡角度俱定於相對之圜界(見首卷第九節)今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度雖依圜之大小不同而分數則等分數既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相為比即如四率之兩兩相比為同理比例矣是以大圜之三百六十分為一率自大圜所分之己庚弧之六十分為二率小圜之三百六十分為三率自小圜所分之辛壬弧之六十分為四率其乙丙大全圜與本圜己庚分之比即同於丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故凡各率各度雖異相當之分數若同則一率與二率之比必同於三率與四率之比而俱謂之順推比例矣要之分合加減各率之法總不越此圖之互轉相較之理也第八一種反推比例將一率與二率之比同於三率與四率之比者反推之以二率與一率為比四率與三率為比其所比之例仍同故亦謂之相當比例率也如甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙與丁之比反推之以乙與甲為比丁與丙為比則所比之例仍同於相當比例率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數之比例即乙丙大圜全界與所分己庚弧界之比例丙數與丁數之比例即丁戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例也今反以乙與甲為比丁與丙為比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其以二率為一率以三率為四率前後互移故謂之反推比例然名雖為反推比例而相當比例之率仍與順推比例相同也第九一種遞轉比例將一率與二率之比同於三率與四率之比者轉較之以一率與三率為比二率與四率為比其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙與丁之比轉較之以甲與丙為比乙與丁為比則所比之例仍同於相當比例率也如前雙圜圖 乙丙大圜全界一率與所分巳庚弧界二率之比同於丁戊小圜全界三率與所分辛壬弧界四率之比若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧界二率與小圜所分之辛壬弧界四率為比其度雖依圜之大小有異而分數則同其比例仍同於原比例故甲乙丙丁之四數亦如大小二圜為互相比例之率而甲一率與丙三率之比即大圜與小圜之比乙二率與丁四率之比即大圜所分弧界與小圜所分弧界之比也葢以三率為二率以二率為三率遞轉相較故謂之遞轉比例其相當比例之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比例之四率也第十一種分數比例彼四率之中以一率與二率之比同於三率與四率之比矣若將此相比之率所較之分截開以一率與二率之較為一率與二率為比以三率與四率之較為三率與四率為比則其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數於甲數内減去乙數之分為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛乃以戊己易甲與乙線為比以庚辛易丙與丁線為比則所比之例仍同於相當比例率也如前雙圜圖 於乙丙大圜全界内減去所分己庚弧界一段仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧界為比亦與大圜全界與大圜所分弧界小圜全界與小圜所分弧界相比之理同故此甲線内截去乙所成戊己仍與乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍與己庚弧界相比而丙線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍與辛壬弧界相比也其比例仍同於相當比例四率但因其各分内有分開相減之故所以謂之分數比例也第十一一種合數比例有四率以一率與二率之比同於三率與四率之比矣若將此相比之率併之以一率與二率相加為一率仍與二率為比以三率與四率相加為三率仍與四率為比其所比之例亦仍同於相當比例之四率也如甲乙丙丁四數以甲數與乙數相加共為一率與乙數為比丙數與丁數相加共為三率與丁數為比則所比之例仍同於相當比例四率也此合數比例與分數比例之理互相對待彼分數比例以雙圜圖 二圜全界内減去所分弧界一段仍與所分弧界一段為比今此合數比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而與所分弧界一段為比也其所比之理仍同於相當比例四率但因有相加之加故謂之合數比例焉第十二一種更數比例以一率與二率之比同於三率與四率之比者更之將一率與二率相減用其餘分為二率仍與一率為比又將三率與四率相減用其餘分為四率仍與三率為比則其比例之理仍同於相當比例四率也如甲乙丙丁四數於甲第一率内減去乙第二率所餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲與戊己為比復於丙第三率内減去丁第四率所餘為庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙與庚辛為比其所比之理仍同於四率之比例故亦為相當比例之四率也今以雙圜圖解之 乙丙大圜三百六十度之全界仍為一率全界内減去所所分之巳庚弧界六十度一段餘己丙庚三百度一大段 為二率丁戊小圜三百六十度之全界 仍為三率全界内減去所分之辛壬弧界六十度一段餘辛戊壬三百度一大段 為四率則乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之兩相比例亦同為相當比例率也凡四率之内前後之相差雖更入比之仍與相當比例之理同但以其數有更入之故所以謂之更數比例也第十三一種隔位比例有兩相比例四率将此一邉四率内一率與末率為比彼一邊四率内一率與末率為比則其所比之例仍同於相當比例四率也如此一邊有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛四數此甲與乙之比同於彼戊與己之比此乙與丙之比同於彼已與庚之比此丙與丁之比同於彼庚與辛之比若将此四率隔位比之使此一邊之甲與丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其比例仍同於相當比例四率也試以雙圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引長 自庚壬過甲至癸丑作一全徑線復自己辛過甲至子寅作一全徑線則分大圜為庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段為相當四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四段亦為相當四率此二圜之所分四段既俱為相當四率則其各相比例度之大小雖異而分數相同故大圜之庚己一段與已丑一段之比同於小圜之壬辛一段與辛癸一段之比大圜之已丑一段與丑寅一段之比同於小圜之辛癸一段與癸子一段之比大圜之丑寅一段與寅庚一段之比同於小圜之癸子一段與子壬一段之比也若以此各相當四率隔位以比之其大圜之庚已一段與寅庚一段為比而小圜之壬辛一段與子壬一段為比其比例仍同於相當比例四率但以其兩邊各相比例四率内各取兩率隔位以比之故謂之隔位比例耳第十四一種錯綜比例有兩連比例三率此一邊三率内中率與末率之比同於彼一邊三率内中率與末率之比則為相當比例之四率苟錯綜其位分以此一邊首率與末率隔位為比復取另一數與彼一邊中率為比而成同理之四率則此另一數必與彼邊三率為連比例四率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數彼一邊有丁戊已連比例三數将此一邉中率乙數與末率丙數之比同於彼一邊中率戊數與彼一邉末率己數之比則其比例為同理比例矣今錯綜其位分使此一邊所有之首率甲數與所有之末率丙數隔位為比復另取一庚數與彼一邊所有之中率戊數為比則其比例亦同於相當比例四率而此庚數與彼邊丁戊己三率為連比例之數矣何也試以庚數置於彼一邊丁首率之上則庚為首率而丁移而為中率戊又易而為末率是故此一邊甲首率與丙末率之比同於彼一邊所取庚首率與所易戊末率之比但以兩連比例率互相易位増入比之之不同故名之為錯綜比例耳第十五一種加分比例凡有二率依本度各加幾倍所加之分數若等則所成之二率互相為比仍同於原二率之互相為比謂之等倍相加之比例也如甲乙二數於甲數依本度加三倍為丙於乙數依本度加三倍為丁則此丙丁二數互相為比仍同於甲乙二數之互相為比也假若甲度為一大分乙度為一小分則甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相當之分數既等固為同理比例可知矣(見本卷第三節)故凡二率依本度各加幾倍其所加之分數若等其加分之率互相為比必同於原率之互相為比因於原數有相加之分故謂之加分比例也第十六一種減分比例凡有二率依度度各減幾倍所減之分數若俱等則所成之二率互相為比仍同於原二率之互相為比謂之等分相減之比例也如有甲乙丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊一分丙丁之三分内減去丙己一分則戊乙己丁互相為比仍同於原甲乙丙丁全數之互相為比也何也夫甲乙度為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺與丙丁之全三寸為比其相當之分數必等故亦為同理比例矣凡二率之内無論減幾分其所減之分數若等則相比之理必同於原數之比例因於原數内減之故又謂之減分比例也幾何原本七第一前卷所論比例之法凡一十有二(相當比例)(一種相連比例一種正比例一種反比例一種遞轉比例一種分數比例一種)(合數比例一種更數比例一種隔位比例一種錯綜比例一種加分比例一種)(減分比例一種)雖種種變化不窮其每相當分數所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆為相當比例四率也是故線與線為比面與面為比體與體為比依前各種比例之法線之比例若同則為相當比例線面之比例若同則為相當比例面體之比例若同則為相當比例體矣夫線面體為類不同雖不能互相為比假使線面體之每相當分數若等則按其各類相當分數比之亦為同理比例率也如甲之六分線與乙之三分線相比丙之六分面與丁之三分面相比戌之六分體與已之三分體相比此三種每相當分數既俱相等故其比例亦俱相等而六率互為同理比例可知矣第二大凡直角平方面積皆生於二線之度故欲知方面所生比例之分將其二形之縱横線分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分則視甲乙大形之甲戊横線長度得彼丙丁小形之丙己横線長度為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二倍假若將甲乙大形自中線平分為甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横線長度既仍與丙己横線長度為三倍其所分之甲癸形必與丙丁三形相等再彼壬乙形亦與丙丁三形相等則此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形為六分可知矣又或甲乙大形之甲戊横線長度得丙丁小形之丙己横線長度為四倍甲乙大形之甲庚縱線寛度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三倍則大形與小形四倍者有三而大形比小形為十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横線比丙丁小形之丙己横線為十二倍丙丁小形之丙辛縱線反比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲乙大形之甲戊横線之長雖比丙丁小形之丙己横線之長多十一倍而甲乙大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形之丙辛縱線之寛少二倍矣將此縱横二線之多少較之甲乙大形比丙丁小形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之四分之一於是以二形之縱横多少互相較對以比例之始得知此形與彼形之比例焉故凡直角平方面形與他一形相比其比例有二以此形之長與他形之長比之為一比例以此形之寛與他形之寛比之為一比例兩形相比之間而兼兩比例者正以平面之積自二線之度生之之故也第三有兩直角方面形若將此方面横界與他方面横界為比又將他方面縱界與此方面縱界為比其比例若同則此兩方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙丙丁兩形之分必相等是知兩方面形縱横之分互相較對則兩方面之積可知矣第四凡有相比例四率其二率與三率相乘一率與四率相乘則所得之分數俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率為二分丁戊二率為四分戊己三率為三分乙丙四率為六分將丁戊二率為縱線戊已三率為横線以之相乗又將甲乙一率為縱線乙丙四率為横線以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分數俱是十二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁已形之戊己横度復比甲丙形之乙丙横度少一半故其縱横互較之分相等而其積亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率將兩率之分相乘所得之數以一率之分除之即得其一率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分為二率戊己五分為三率乙丙十分為四率今只知一率二率三率之分欲推四率則以丁戊六分二率與戊巳五分三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分為首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙十分為一率戊巳五分為二率丁戊六分為三率二率與三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分為首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率則以戊己為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即遞轉比例之理也第五凡有兩直角方面形此一方面之横界與他一方面横界為比此一方面之縱界與他一方面縱界為比其比例若等則此兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界為丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚縱界亦為丙丁形丙辛縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形面積之比比之甲乙形之一界與丙丁形之一界之比者即如連比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱横界既為丙丁方面縱横界之二倍則甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二為四故甲乙方面積比丙丁方面積為四倍今甲乙方面積為一十六分與丙丁方面積之四分相比較之甲乙方界之四分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分較之二分比一分不為二倍乎故欲求其比例相連之率則於甲乙形之界二倍之得八分與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積十六與丙丁方面積四分之比矣夫八與十六四與八二與四皆二分之一之比例而十六隔八與四比八隔四與二比則皆成四分之一之比例故十六與四較之四與二為兩界上連比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之縱横界為丙丁方面縱横界之三倍則甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三為九故甲乙之面積比丙丁面積為九倍今甲乙之積為三十六分與丙丁方面積四分相比較之甲乙方界之六分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分較之三分比一分不為三倍乎故欲求其比例相連之率則於甲乙形之界三倍之得十八與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積三十六與丙丁方面積四之比例矣葢十八與六六與二皆三分之一之比例而三十六隔十二與四比十八隔六與二比則皆為九分之一之比例故三十六與四較之六與二亦為兩界上連比例隔一位相加之比例也第六凡直角方面形有二種一為長方一為正方因其縱横界之比例各異故其所生之形不同而積不得互相為比也如欲比之必以長方與長方為比正方與正方為比其比例始行如甲乙丙丁兩長方面形其甲乙形之甲戊横界與丙丁形之丙己横界為大一倍甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界與丙丁形之丙辛縱界為比則大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙己横界為比止大一分猶不得大一倍其比例則異故甲乙形所生之積為二十四而丙丁形所生之積為六俱為長方形焉又如子丑寅夘兩正方形其子丑形之子辰横界與寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午縱界與寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍而比例相同復以子丑形之子辰横界與寅卯形之寅未縱界為比子丑形之子午縱界與寅卯形之寅已横界為比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之積為三十六而寅夘形所生之積為四俱為正方形焉以此四形兩兩相比則甲乙長方形與丙丁長方形為比而子丑正方形與寅卯正方形為比各為相當比例之四方面也第七有兩同式長方面於兩形相當之二界各作兩正方面互相為比即同原兩長方面之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方面在甲戊丙己相當二横界各作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙辛兩正方面互相為比即同於原有之甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積既為隔一位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之正方面積亦必為隔一位相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩面互相為比與所作甲庚丙辛之正方面之互相為比其為同理之比例無疑矣第八大凡二平行線内所有直角方面互相為比同於其底之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角方面其甲已面與庚丁面之比即同於甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁底線之比也葢甲巳面之丙巳底線與庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因同在二平行線内其度固同今以二面縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁面為四分矣以甲己面之十二分與庚丁面之四分為比即如甲己面之丙己底三分與庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也第九凡二平行線内所有二界平行斜方面互相為比同於其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙丁兩斜方面積互相為比即同於丙戊巳丁兩底界之互相為比也試將甲戊乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面因與兩斜方面同底同髙其積必等(見三)(卷第八節)前節言凡二平行線内所有直角方面互相為比同於其底之互相為比此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁兩斜方面互相為比必同於丙戊己丁兩底界之互相為比可知矣故凡二平行線内所有面積相比之分數必與底界相比之分數同也第十凡二平行線内所有三角形面積互相為比亦同於其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛壬癸兩三角形其内所函面積互相為比即同於巳庚壬癸兩底界之互相為比也何也凡二平行線内所有三角形得其同底所立四邊形之一半今以甲乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四邊形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四邊形則戊巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一半而辛壬癸三角形為辛壬癸丑四邊形之一半如以兩三角形面積互相為比即同於兩四邊形面積之互相為比而為相當比例四率矣其面積既互相為比則其兩三角形面積相比同於兩三角形底之相比者亦如兩四邊形相比同於兩四邊形底之相比矣然則戊巳庚辛壬癸兩三角形面積互相為比必同於巳庚壬癸兩底界互相為比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳庚三角形面積亦大一倍也㡬何原本八第一凡三角形内與其底線平行作一直線則所截三角形之兩邊線互相為比例線其兩邊線所分各二叚互相為比為相當比例四率而每邊所截之一叚與本全線比之亦為相當比例四率也如甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作一丁戊線則分甲乙一邊為甲丁丁乙二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比其比例俱同為相當比例四率矣又如甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊甲丙全線為比其比例亦俱同為相當比例四率矣今以三角形按所截分分為各式以各式面積互相比者考之自丁戊線之丁戊二端作丁丙戊乙二線則甲乙丙一三角形分為四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在乙丙丁戊二平行線之間又共立於一丁戊之底其二形之積必等(見三卷第十節)於此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁戊兩三角形之底俱在甲乙一直線上而兩三角形之戊角又共在一戊處其兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線上而兩三角形之丁角又共在一丁處其兩形亦在二平行線之間(見三卷第十二節)因各三角形兩兩俱為二平行線所限故其面積互相為比必同於其底界之互相為比也(見七卷第十節)此所以甲丁戊丙丁戊兩三角形積互相為比與其甲戊戊丙兩底線之互相為比同其甲丁戊乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲丁丁乙兩底線之互相為比亦同也冄甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角形之積相等則以甲乙丙之全形與所分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相為比甲乙戊三角形之甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相為比亦必俱相同矣因其各三角形得互相為比例故其所截兩邊線兩兩為相當比例率也第二凡三角形内與底平行作一直線其所截兩邊線之每一叚與各邊全線之比即同於所作線與底線之比也如甲乙丙三角形内與乙丙底平行作一丁戊線此丁戊線所截甲丁一叚與甲乙全線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆如丁戊線與乙丙底線之相比也假若將甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而與甲乙底線平行作一戊己線即成戊巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之度俱各相等然三角形之兩邊與所截之每叚既互相為比(如前節所云)則此乙丙邊之乙己一叚與乙丙邊全線之比即同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比而丁戊之平行線既與乙已平行線度相等則此丁戊平行線與原底乙丙線之比亦必同於彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲戊叚為一率甲丙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙底線為四率為相當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一叚與甲乙邊全線之比既同於丁戊平行線與乙丙底線之比則甲丁叚為一率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙底線為四率亦為相當比例四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁叚得其六分之二分乙丙邊全線為六分則丁戊叚亦得其六分之二分所以成兩兩相當比例之率也第三凡大小兩三角形其相當之二角度若兩兩相等則其餘一角亦必相等如此類兩三角形謂之同式三角形也雖其内容積分不同而其相當各界互相為比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小兩三角形其甲角與丁角等乙角與戊角等則所餘丙角必與己角等而為同式三角形也(二卷第三節言凡三角形之三)(角相併與二直角等則此大小兩三角形之各三角相併亦俱為二直角於二)(直角中减去大形之甲角乙角餘為丙角減去小形之丁角戊角餘為己角其)(所減之數既等則所餘之數亦必等矣)若於大形内與乙丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此兩小形之相當角度與大形之相當角度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同式之形其容積雖不一而其各界互相為比皆為相當比例之四率是故以大三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一邊與小三角形之相當丁戊一邊之比也大三角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一邊與小三角形之相當丁巳一邊之比也大三角形之乙丙底線與所截庚辛底線之比即如大三角形之乙丙底線與小三角形之戊已底線之比也至於甲乙丙大三角形與所截辛壬丙小三角形相當各界之比亦如甲乙丙大三角形與丁戊已小三角形相當各界之比也由此推之凡同式之形其相當各界互相為比皆為相當比例之率可知矣第四同式直角三角形面積互相為比同於三角形各相當界所作方形之互相為比而同式三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳兩同式直角三角形其面積互相為比即同於此兩三角形之乙丙戊巳相當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為比之比例而此兩三角形之面積互相為比比之乙丙戊已相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲壬丁癸二線又與甲乙丁戊二線平行作壬丙癸己二線即成壬乙癸戊兩直角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在二平行線内同為一底其積為一半將半與半相比者即同於全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比必同於壬乙癸戊兩直角長方形互相為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相當二界所作壬乙癸戊兩長方形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同則依乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方形互相為比之比例亦與壬乙癸戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同矣又凡直角兩方形其兩界互相為比之比例若俱同則兩形面積互相為比之比例較之兩界互相為比之比例為隔一位相加之比例(見七卷第五節)今甲乙丙丁戊己兩三角形之各依底線所作正方形互相為比較之二底線互相為比之比例即為隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩三角形之面積互相為比者既與所作庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之比例同則此所作兩正方形面積相比較之兩底相比為隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己兩三角形面積互相為比較之乙丙戊己相當二界互相為比之比例亦為隔一位相加之比例可知矣第五同式無直角三角形面積互相為比同於三角形各相當界所作方形之互相為比而三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己兩同式三角形雖無直角然其相當各角俱等則此兩形面積互相為比同於在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作方形互相為比之比例而兩形之面積互相為比者比之甲乙丁戊相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣試自兩形之丙己二角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一線又自甲丁二角至庚辛二線之末作甲庚丁辛二線又與此二線平行自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱在兩平行線内又同為一底則此兩三角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之一半將半與半相比者同於全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積之比例必同於庚乙辛戊兩長方形之比例矣夫同式兩長方形之比例同於相當界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相當界之比例為連比例隔一位相加之比例今此兩三角形面積之比例既同於庚乙辛戊兩長方之比例亦必同於兩正方之比例則兩三角形面積之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣第六有衆多邊形其邊數同相當各角俱等而相當界之比例又同則謂之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊之比即同於乙丙邊與庚辛邊之比其相當邊互相比之俱同者即謂之同式多邊形也又如衆曲線形於其内外作各種直界形其式若同則謂之同式曲線形也假如有甲乙大小兩曲線形在甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在乙小形内作一辛壬癸子丑五邊形此所作兩五邊形之式若同則曲線形之式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小形外作一庚辛壬癸四邊形此所作兩四邊形之式若同其曲線形之式亦必同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙丙丁大小兩圜分於大圜分内作一戊甲乙三角形於小圜分内作一己丙丁三角形此所作兩三角形之式若同則圜分之式亦必同故謂之同式圜分也第七大小各圜分之式若同則其相對之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小兩圜之戊甲己庚丙辛兩分之式相同其弧雖隨圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所對二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三角形之甲丙相當兩界角之度必等若自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角與兩心角葢心角大於界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今將戊壬乙乙壬己兩心角併之戊甲乙乙甲己兩界角併之則所併之心角亦必比所併之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角併之亦必比庚丙丁丁丙辛所併之兩界角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而兩圜之所併之心角度又等則兩界角相對之戊乙己庚丁辛兩弧叚之分數亦必相等界角所對之弧分既等則心角所對之弧分亦必相等心角所對之弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二心角之度也第八凡大小同式多邊形分為衆三角形其相當三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二線則大形分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁戊之形與相當己壬癸之形同式因其所分各三角形俱為同式故相當各角度必等相當各角度既等則其相當各界之比例亦必俱同自五邊形所分之各三角形之相當界互相為比之比例既同則五邊形之相當各界互相為比之比例亦必同相當各界之比例相同則兩形之式相同可知矣第九凡大小同式多邊形互相為比同於各形相當界所作方形之互相為比而比之各面相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形於大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小兩方形其大小五邊形互相為比必同於所作子丙丑辛大小二方形之互相為比大小五邊形既同於大小兩方形之互相為比則比之丙丁辛壬相當二界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例矣若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩形分為衆三角形則相當各三角形之式必同相當各三角形之式既同則相當各三角形互相為比即同於在三角形各相當界所作方形之互相為比而各三角形面積之互相為比較之各相當界互相為比之比例亦為連比例隔一位相加之比例夫所分衆三角形互相為比既同於所作方形之互相為比則衆三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊形互相為比亦必同於丙丁辛壬相當界所作子丙丑辛大小兩方形之互相為比而比之丙丁辛壬相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣第十凡大小同式直界形互相為比同於在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小兩直界形於此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四邊形之甲丙庚壬相當二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形互相為比即同於兩正方形之互相為比也若將甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩六邊形俱分為三角形則其相當各三角形之式俱相同而相當各三角形互相為比必同於甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比矣此所分三角形之比例既同於所作正方形之比例則大小兩形内各三角形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑兩同式形互相為比亦必同於其所函之甲丙丁己庚壬癸丑兩四邊形之甲丙庚壬兩相當界所作寅丙卯壬兩正方形之互相為比可知矣第十一凡大小同式曲界形互相為比同於在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中雖各函一同式六邊形各函一同式四邊形又各函衆同式三角形此大小二圜之積互相為比必同於在圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比也大凡衆界形或函圜或函於圜其界數愈多愈與圜界相近而圜界分為千萬叚即成千萬直界形(見四卷第十九二十等節)則大小兩圜之比例固與内函相當直界形之比例等矣夫相當直界形之比例原同於兩形之相當界所作方形之比例而圜界形之比例又同於相當直界形之比例則此大小二圜互相為比之比例同於此二圜之輻線或徑線所作正方形互相為比之比例可知矣第十二凡圓面徑與撱圓面(一名鴨蛋形)髙度等者其面積互相為比之比例即同於函兩形各作切方形互相為比之比例而圓形面積與撱圓形面積互相為比之比例又同於圓形徑與撱圓形小徑互相為比之比例也如子壬寅癸之圓面子丑寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同(圓徑)(即撱圓大徑)其面積互相為比之比例必同於圓面外所作切圓戊己庚辛正方形與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方形互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例又同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑卯小徑互相為比之比例也葢平行線内兩面形互相為比之比例同於其底界互相為比之比例(見七卷第八節)今戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例同於己庚底與乙丙底互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅癸圓面與子丑寅卯撱圓面互相為比之比例必同於戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底又即撱圓面之丑卯徑度也夫平圓與撱圓之比例既同於正方形與長方形之比例而正方形與長方形之比例又同於己庚底與乙丙底之比例則圓面與撱圓面之比例同於圓面之壬癸徑與撱圓面之丑卯徑之比例可知矣㡬何原本九第一凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則一形分為兩形與原形共為三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩形與原有甲乙丙形之式俱相同而皆為直角三角形其三形毎相當各界之比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱為直角(見首卷第十節)是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而兩三角形又共一乙角其相當二角度既等則所餘各一角度自等(見八卷第三節)故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦與甲丁丙之丁角相等此兩三角形又共一丙角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相當各角之度既等則三三角形之式必同三三角形之式既同則其毎相當各界之比例亦俱相同可知矣第八凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而所作之垂線為中率此三率即為相連比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚為一率則乙丁叚為三率而所作甲丁垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲丁丙兩三角形為同式故其相當之乙丁甲丁二界互相為比即同於甲丁丁丙二界之互相為比也今以乙丁線為四分丁丙線為一分則甲丁線必得二分因四分與二分之比必同於二分與一分之比故為相連比例三率也第三直角三角形自直角至相對界所作垂線與所分二叚固為相連比例三率如依垂線度作一方形則與所分二叚一為寛度一為長度所作長方形之積相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正方形(即為中率自乗之數)以甲丁垂線所截丁丙一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己丁長方形(即為首率末率相乗之數)其戊丁正方形之積必與己丁長方形之積相等也何也葢同式兩三角之相當界互相為比之比例同故此乙丁界與甲丁界之比即同於甲丁界與丙丁界之比乙丁線既為一率則甲丁線為二率甲丁線復為三率則丙丁線為四率然則此相連比例三率又為相當比例四率矣因其可為相當比例四率故二率與三率相乗一率與四率相乗所得之分數相同(見七卷第四節)今既以甲丁為二率又為三率則甲丁自乗之數即是二率三率相乗之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所得己丁長方形即與甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗(中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中)(故云)其所乗之二式雖異因俱自相連比例四率而生故其積相等而得以為準也第四凡有直角三角形其直角相對界所作方形之積必與兩傍界所作兩方形之積相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相對乙丙界作一乙丁方形其積必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己丙兩方形之積相等也試自甲直角過相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂線則甲乙丙三角形分為甲乙庚甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為同式則其毎相當界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界與丙甲大界之比即同於甲乙丙大三角形之甲丙小界與乙丙大界之比而為相當比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原為一線則庚丙丙甲乙丙又為相連比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙三率為長所作庚丁長方形之積相等也乙丁既為正方形則庚壬度必與方界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙為寛乙丙為長所作之長方也又如甲乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界為相當比例四率又為相連比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為長所作乙壬長方形之積相等也今庚丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩正方形等則兩形相合之乙丁正方形亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知矣第五凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之積必與二小界所作二形之積等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之積等也又或如甲乙丙直角三角形於乙丙大界作乙戊丁丙一半圜於甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之積必與甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之積等也葢依三界所作三形之式既同故同式衆形互相為比即同於相當界所作正方形之互相為比也要之一大界所作一大形内減一小界所作一小形即餘一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形則為一大界所作一大形矣第六一圜之内二絃線相交所截之叚遞轉比之其比例俱同而為相當比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二絃線相交於已其所截之戊已一叚與已丙一叚之比例即同於乙己一叚與己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相當比例之四率也何以見之若自乙至戊自丁至丙復作二絃線即成乙己戊丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角丁角俱切於甲圜之戊丙弧叚其度相等(見四卷第十二節)再乙己戊之己角丁己丙之己角又為兩尖相對之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而兩己角之度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三角形之相當各角既等則其式必同其式既同則毎相當各二線互相為比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相為比例四率可知矣第七圜之徑線不拘何處作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而垂線為中率即為相連比例三率也如甲圜自丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線將乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率此乙戊丁戊戊丙三線為相連比例三率也試自圜界丁至乙丙二處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三角形其丁角既立於圜之乙己丙半界故為直角(見四卷第十四節)而丁戊垂線乃自直角至相對乙丙底界所作之垂線故所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率為相連比例三率也第八自圜外一㸃過圜界二處至相對界作二線以此兩全線互相為比即同於圜界外所截之二叚遞轉為比之比例而為相當比例四率也如己圜自圜外甲㸃過圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為比必同於圜界外所截甲乙甲丁二叚之遞轉相比而為相當比例四率也試自圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙兩三角形此兩三角形之丙戊二角既切於一圜之乙丁弧界其二角之度必等(見四卷第十二節)再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共為一角其度自等兩三角形各二角度俱等則兩三角形必為同式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比之比例即同於甲丁甲乙相當二界互相為比之比例是以甲丙與甲戊之比同於甲丁與甲乙之比將甲丙全線為一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚為四率為相當比例之四率也第九凡函於圜内之三角形以其一角平分為二過相對底界至相對界作一直線則所分角之小邊線與所作線之在三角形内一叚之比即同於所作線之全分與所分角之大邊線之比也如函於圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分過所對乙丙底界至相對界作一直線即成甲丁戊一全線以三角形之甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一叚之比即同於所作甲丁戊全線與三角形之甲丙大邊之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊弦線即成甲乙戊甲丁丙兩三角形此兩三角形之戊丙二角俱切於圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又為一角所平分之兩角其度亦必等因此兩三角形各二角之度等故兩形為同式兩三角形之式既同則兩形之相當二界互相為比之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小分之比即同於甲戊大分與甲丙大分之比也第十凡函於圜内之三角形以其一角為兩平分自角至底作一線則所分底線兩叚互相為比即同於所分角之兩傍兩邊線之互相為比也如函於圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分至乙丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同於以甲乙小邊線與甲丙大邊線之比也試自所分底線之丁至甲丙線與甲乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊平行線一邊之内外角其度必等(見首卷第)(二十三節)而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共一丙角故此兩三角形之各二角度等為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因為平行線内二尖交錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三角之度又俱等則其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二線互相為比即同於戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二線互相為比之比例也今戊丁甲戊二線其度既等則甲乙線與甲丙線之比又同於以甲戊線與戊丙線之比至於丁戊平行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比則又同於甲戊一叚與戊丙一叚之比矣是故甲乙線與甲丙線之比為同於乙丁線與丁丙線之比也㡬何原本十第一大凡直角立方體積皆生於面線互乗之度故欲知方體所生比例之分將所比形之長寛與厚詳較之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之戊乙底平面積與丙丁 形之庚丁底平面積之比例將縱横二線之長寛度分考之即得(見七卷第二節)既得二體底積之比例乃以二形之厚度復與底積比之即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍則戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然則甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四倍者有二可知矣是故欲知直角方體之比例以本體之長寛與厚互相比例以較之即得直角方體互相為比之比例也第二有兩直角長方體若將此一體之底度與他一體之底度又將他一體之厚度與此一體之厚度為比其比例若同則此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故兩體之底積與厚度相較則兩體之積可知矣葢體積之比例視其面線今兩體之底面厚度交互相等如此其體積不得不等也第三有兩直角方體其底面積之縱横二界相比之比例與厚度面積之縱横二界相比之比例若俱同則此兩體為直角正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方體其甲乙體之戊乙底面之戊己横界比丙丁體之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界比丙丁體之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角正方同式體也至於兩體所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱為相當之界而可互相為比例矣第四凡同式直角正方體其體積之比例比之兩界線之比例為連比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙丁體積之比比之甲乙體之界線與丙丁體之界線之比者即如連比例四率内隔二位相加之比例矣蓋甲乙體之各界既為丙丁體之各界之二倍則甲乙體内如丙丁體之二倍者有四二其四為八故甲乙體積比丙丁體積大八倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相比為八分之一甲乙體界二與丙丁體界一相比為二分之一其比例不同蓋以八分比一分較之二分比一分為四倍也如欲求其相連比例之率則於甲乙體之界四倍之得八分與丙丁體界一分為比即如甲乙體積與丙丁體積之比例矣夫八與四四與二二與一皆為連比例二分之一之比例今以八與一為比其間隔四與二之兩位故曰同式兩體積之比例為兩界上連比例隔二位相加之比例也(若邊為三倍則面為九倍體為二十)(七倍亦為隔二位相加之比例也)第五有兩同式直角長方體於兩體相當之二界各作兩正方體互相為比即同於原兩長方體之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二横界各作甲庚丙辛二正方體則所作之甲庚丙辛兩正方體互相為比之比例仍同於原有之甲乙丙丁兩長方體互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式之兩長方體既為隔二位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之兩正方體亦必為隔二位相加之比例矣然則原有之甲乙長方體為原有之丙丁長方體之八分之一其所作甲庚正方體亦為所作丙辛正方體之八分之一可知矣第六凡有大小平面體其相當角度俱等而相當界之比例又同則謂之同式體也如甲乙大小兩平面體其相當各界之度俱等而相當各界之比例又同則甲乙二體謂之同式平面正方體也如丙丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱等而相當各界之比例又同則丙丁二體謂之同式四瓣體也又如大小圓面體於其内外作各種平面體其平面體之式若同則圓面體亦謂之同式體如戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等體是也第七同式各種體之比例同於在各體相當界所作正方體之比例也如甲乙丙丁戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即同於乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩圓球體其互相為比之比例亦同於圓球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋同式平面形互相為比之比例同於各相當二界所作正方面形互相為比之比例矣今各種體之式既同故其相當面互相為比之比例必同相當面互相為比之比例同者縁相當面之各相當界互相為比之比例同也故凡同類兩體知此一體之度而不知彼一體之度欲求知之則在同式兩體相當二界各作一正方體此所作之二體一為一率一為二率所知之體為三率推得四率即其未知之體矣或有同類兩體知此一體之界而不知彼一體之界則依所知一體之界作一正方體其兩體一為一率一為二率所作正方體為三率推得四率即是彼一體界數所作之正方體矣故曰同式兩體之比例與相當界所作正方體之比例相同也第八凡圓面半徑與球體半徑等者其圓面積為球體外面積之四分之一而圓面半徑與球體全徑等者其圓面積與球體外面積等也如丁己圓面之丁戊半徑與甲丙球體之甲乙半徑等則丁己圓面積為甲丙球體外面積之四分之一又如庚壬圓面之庚辛半徑與甲丙球體之甲丙全徑等則庚壬圓面積與甲丙球體外面積等也試作子寅卯一尖圓體使其寅辰卯之底面積與甲丙球體外面積等其子丑髙度與甲丙球體之甲乙半徑等則此尖圓體積與球體積相等(見五卷第二十五節)又作午未申一小尖圓體使其未申底徑與甲丙球體之全徑等亦與大尖圓體之寅丑半徑等其午酉髙度與甲丙球體之甲乙半徑等亦與大尖圓體之子丑髙度等則此小尖圓體積為球體積之四分之一亦即為大尖圓體積之四分之一何以見之蓋大小兩面之比例同於相當界所生連比例隔一位加一倍之比例今大尖圓體之寅夘底徑比小尖圓體之未申底徑大一倍則大尖圓體底積比小尖圓體底積必又大一倍則小尖圓體底積為大尖圓體底積之四分之一矣又兩體同髙者其體積之比例同於其底面之比例今小尖圓體底積既為大尖圓體底積之四分之一則其體積必為大尖圓體積之四分之一而亦為球體之四分之一矣(球體原與大尖圓相等)夫大尖圓體之底積原與球體之外面積等小尖圓體底積既為大尖圓體底積之四分之一亦必為球體外面積之四分之一而丁己圓面固與小尖圓之底積等則為球體外面積之四分之一無疑矣至於庚壬圓面之徑原比丁己圓面之徑大一倍則其面積必大四倍今丁己圓面既為甲丙球體外面積之四分之一則庚壬圓面積比丁己圓面積大四倍者安得不與球體外面積相等乎第九凡球體全徑與上下面平行長圓體底徑髙度相等則球體為長圓體之三分之二也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑度等而球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則球體積為長圓體積之三分之二也蓋長圓體與尖圓體同底同髙則其比例為三分之一(五卷第二十三節言平底尖體與上下面平行體同底同髙則尖體)(為平行體三分之一)尖圓體之底徑與球之全徑等髙與球之半徑等者尖圓體積為球體積之四分之一而尖圓體又為半球體之二分之一矣(説見前節)今於乙己庚丁半長圓體内作己壬庚半球體又作一壬己庚尖圓體則此尖圓體為半球體之二分之一尖圓體既為半球體之二分之一又為半長圓體之三分之一則半球體豈非長圓體之三分之二乎夫全與全之比例即若半與半之比例今半長圓與半球之比例為三分之二則全長圓體與全球體之比例亦為三分之二可知矣第十凡球體全徑與長圓體底徑髙度相等者其球體外面積與長圓體周圍面積等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體其球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑等而球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則此球體外面積必與長圓體之周圍面積等也大凡體之面積相等者其體積之比例同於其髙之比例而體積之比例與髙之比例同者其面積必相等試將球體乙壬半徑分為六分取其三分為髙以長圓周圍面積為底所成之體積必與長圓體積等取半徑之二分為髙以球體外面積為底所成之體積必與球體之積等蓋長圓體與球體之比例原為三與二之比例此所成之二體亦必為三與二之比例一體之髙為三分一體之髙為二分是積之比例與髙之比例同矣非因其面積相等之故乎由是觀之球體外面積與長圓體周圍面積相等也明矣第十一凡球體全徑與上下面平行長圓體底徑髙度相等者其相當毎段之外面積皆相等也如甲乙丙丁一球體戊己庚辛一長圓體此球體之乙丁全徑與長圓體之己庚底徑等球體之甲丙全徑與長圓體之戊己髙度等則球體之癸丙寅一段凸面積必與相當長圓積之辰己庚己一段周圍外面積等也夫乙辰巳丁一段長圓體内分出子癸寅丑一小長圓體餘癸子乙辰巳丁丑寅空心體此空心體與子癸寅丑長圓體之積必等何以知之蓋壬癸為大圓面之半徑而所截卯癸又為小圓面之半徑其壬卯與卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三線成一壬癸卯直角三角形而壬癸半徑所作圓面必與壬卯卯癸兩線為半徑所作兩圓面等(見九卷第六節)又壬癸與壬乙皆一圜之輻線其度必等而卯辰原與壬乙相等故卯辰為半徑所作之圓面即壬癸為半徑所作之圓面於卯辰為半徑所作圓面内減去夘癸為半徑所作圓面即餘壬癸環面與壬卯為半徑所作之圓面等而壬卯與卯癸原相等然則辰癸環面既與壬卯半徑所作之圓面等亦必與卯癸為半徑所作之圓面等矣夫卯癸即小長圓底之半徑而辰癸又為空心體底之環徑其兩面積既等則其兩體積必等無疑矣又壬癸寅小尖圓體原與癸乙辰巳丁寅曲凹體等(乙丙丁半球體為半長圓體三分之二則癸乙)(己丙庚丁寅曲凹體為長圓體三分之一與壬己庚尖圓體相等故壬癸寅一)(段尖圓體與相當癸乙辰巳丁寅一段曲凹體亦必相等也)而壬癸寅小尖圓體為子癸寅丑小長圓體三分之一則癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為辰癸空心體之三分之一矣於乙辰巳丁長圓體内減去壬癸寅小尖圓體又減去癸乙辰巳丁寅曲凹體則餘乙癸壬寅丁一段空心球體必與乙辰壬巳丁一段空心長圓體等(如以乙辰巳丁一段長圓體作)(六分則子癸寅丑小長圓為三分壬癸寅小尖圓體為一分與小尖圓體相等)(之癸乙辰巳丁寅曲凹體亦為一分今既減去小尖圓體及曲凹體是於六分)(内減去二分而存一段空心球體為四分也而壬辰巳大尖圓體亦為乙辰巳)(丁辰圓體三分之一於長圓體内减去大尖圓體則餘乙辰壬巳丁空心長圓)(體為三分之二也三分之二之比例同同於六分之四之比例則此一段空心)(長圓體與一段空心球體相等無疑)若將此兩空心體從壬心至外面剖為千萬尖體(俱以乙壬半徑為髙)(以兩空心體外面為底)則空心球體所分之各尖體與空心長圓體所分之各尖體其積既等其髙又等則其底不得不等(同底同髙)(者其積既等則同髙同積者其底必等)此各尖體之底既等則兩空心體之外面積相等可知矣(千萬尖體之底即兩空心體之面也)夫乙丙丁半球體外面積原與乙己庚丁半長圓體周圍外面積等於半球體内減去乙癸寅丁一段餘癸丙寅一段球體於半長圓體内減去乙辰巳丁一段餘辰己庚已一段長圓體其減去之各段外面積既相等則所餘之球體癸丙寅一段凸面與長圓體辰己庚已一段周圍外面積相等也明矣第十二凡撱圓體大徑與圓球體徑相等者其二體積之比例即同於撱圓體小徑所作方面與圓球體徑所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與甲戊丙己圓球徑等則撱圓體積與球體積之比例即同於撱圓乙丁小徑所作方面與球體戊己徑所作方面之比例也試將撱圓體與球體任意依徑線平行分之其所分之大小平圓面如子丑乃球體大圓面之徑寅卯乃撱圓體小圓面之徑此大小兩平圓面之比例同於其相當子丑寅卯二徑所作二方面之比例(見八卷第十一節)而子丑徑與寅卯徑之比例又同於戊己徑與乙丁徑之比例故此所分之大小圓面之比例亦必同於戊己方面與乙丁方面之比例矣若將此兩體與戊己徑平行任意分為㡬何面其相當大小兩面之比例皆如戊己方面與乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同於乙丁與戊己所作方面之比例則撱圓體與圓球體之比例必同於乙丁所作方面與戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圓體之一段與子丙丑圓球體之一段其比例亦必同於乙丁所作方面與戊己所作方面之比例矣第十三凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體為長圓體之三分之二亦如圓球體與同徑同髙長圓體之比例也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁小徑亦與長圓體之己庚底徑等則撱圓體為長圓體之三分之二其比例即如子丑寅卯球體與辰巳午未長圓體之比例也蓋戊己庚辛長圓體之戊己髙度與辰巳午未長圓體之辰巳髙度等故兩長圓體之比例即同於己庚底積與巳午底積之比例至於戊己庚辛長圓體之己庚底積與撱圓體之乙丁小徑所作圓面積等而辰巳午未長圓體之巳午底積又與球體丑卯全徑所作圓面積等則戊己庚辛長圓體積與辰巳午未長圓體積之比例即同與撱圓體之乙丁小徑所作圓面與球體丑卯全徑所作圓面之比例矣夫撱圓體與球體之比例原同於撱圓體小徑所作圓面與球體全徑所作圓面之比例故撱圓體與球體之比例亦同於撱圓體同徑同髙之長圓體與球體同徑同髙之長圓體之比例也若轉比之即戊己庚辛長圓體與甲乙丙丁撱圓體之比例亦同與辰巳午未長圓體與子丑寅卯球體之比例矣夫球體既為同徑同髙長圓體之三分之二則撱圓體亦必為同徑同髙長圓體之三分之二可知矣第十四凡函撱圓之長方體與所函撱圓體之比例同於函球之正方體與所函球體之比例也如甲乙丙丁長方體函一戊己庚辛撱圓體其長方體之甲乙髙度與撱圓體之戊庚大徑等長方體之乙丙底度與撱圓體之己辛小徑等則此甲乙丙丁長方體與所函戊己庚辛撱圓體之比例同於壬癸子丑正方體與所函寅卯辰午球體之比例也蓋甲乙丙丁長方體之甲乙髙度與壬癸子丑正方體之壬癸髙度等故長方體與正方體之比例同於兩體底積之比例今此長方體之底積與所函撱圓體之己辛小徑所作方面等而正方體之底積與所函球體之卯午全徑所作方面等矣然則此長方體與正方體之比例不同於撱圓體小徑所作方面與球體全徑所作方面之比例乎夫撱圓體與球體之比例原同與撱圓體小徑所作方面與球體全徑所作方面之比例則撱圓體與球體之比例同於函撱圓體之長方體與函球體之正方體之比例可知矣若轉比之則長方體與所函撱圓體之比例亦必同於正方體與所函球體之比例矣第十五凡撱圓體大徑與圓球體之徑等者其撱圓體外面積與球體外面積之比例即同於撱圓體小徑與球體全徑之比例即任分一段其相當一段外面積之比例亦無不同也如甲乙丙丁撱圓體之甲丙大徑與甲戊丙己球體全徑等則此撱圓體外面積與球體外面積之比例必同與撱圓體之乙丁小徑與球體之戊己全徑之比例也即任分寅内卯一段撱圓體外面積與子丙丑一段球體外面積之比例亦仍同於乙丁小徑與戊己全徑之比例也蓋兩體所分寅卯子丑平圓面皆與乙丁戊己徑線平行故寅卯圓界與子丑圓界之比同於寅卯圓徑與子丑圓徑之比而寅卯徑與子丑徑之比又同於乙丁徑與戊己徑之比也然此兩體依徑平分可為無數平圓界其相當各圓界之比例既皆同於乙丁徑於戊己徑之比例則全體外面積之比例豈不同於乙丁徑與戊己徑之比例乎至於所分之寅丙卯一段撱圓體與子丙丑一段球體俱可分為平圓以比之則一段與一段之比例無異於全體與全體之比例也明矣第十六凡撱圓體大徑與長圓體髙度等而撱圓體小徑與長圓體底徑等則撱圓體外面積與長圓體周圍外面積等即任分一段其相當一段之外面積亦無不等也如甲乙丙丁一撱圓體戊己庚辛一長圓體其撱圓體之甲丙大徑與長圓體之戊己髙度等而撱圓體之乙丁小徑與長圓體之己庚底徑等則撱圓體之外面積與長圓體周圍之面積等即任分壬丙癸一段撱圓體外面積亦與相當壬己庚癸一段長圓體之外面積等也試依撱圓體甲丙大徑度作子丑寅卯一球體并作與球體同髙同徑辰巳午未一長圓體則此兩長圓體之髙度等其二體周圍面積之比例必同於二體底徑之比例二長圓體底徑之比例即是撱圓體之乙丁小徑與球體之丑卯全徑之比例也撱圓體外面積與球體外面積之比例原同於撱圓體乙丁徑與球體丑卯徑之比例則戊己庚辛長圓體外面積與撱圓體外面積之比例亦同於辰巳午未長圓體外面積與球體外面積之比例也夫球體外面積原與辰巳午未長圓體外面積等而撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體外面積之比例既與球體外面積與辰巳午未長圓體外面積之比例相同則此撱圓體外面積與戊己庚辛長圓體外面積相等無疑矣至於撱圓體所分一段與球體所分一段之比例與其全體之比例亦相同今撱圓體外面全積與戊己庚辛長圓體周圍外面全積之比例既同於球體外面全積與辰巳午未長圓體周圍外面全積之比例則所分撱圓體之壬丙癸一段外面積與長圓體之壬己庚癸一段外面積之比例亦必同於所分球體之申寅酉一段外面積與長圓體之戌巳午亥一段外面積之比例矣彼球體之申寅酉一段外面積既與長圓體之戌巳午亥一段外面積相等則此撱圓體之壬丙癸一段外面積與長圓體之壬己庚癸一段外面積相等也明矣御製數理精藴上編卷三
## 上編卷四
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷四幾何原本十一幾何原本十二幾何原本十一第一作三界度等之三角形及兩界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形則作一甲乙線取甲乙之度為準以甲為心自甲至丙作弧一段又以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧相交處至甲乙作二線即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原係一圜之輻線其度必等度既等而線未有不等者也若欲作兩度等之三角形仍作一甲乙線比甲乙線之度或大或小取一度以甲乙二處為圜心皆至丙作弧兩段仍於兩弧相交處作二線即成兩界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙線或大或小然二線俱同為一圜之輻線其度自等兩度既等則兩界線亦必等也第二平分直線角為兩分法如甲乙丙角欲平分為兩分乃以一角為心任意作弧線一段則乙甲乙丙二線截於丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩端復作一丁戊線照丁戊線度依前節法作一三界度等之丁己戊三角形則己角與乙角正相對乃自乙角至己角作一乙己直線即分甲乙丙角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊己兩三角形之乙丁乙戊二界是一圜之輻線其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之兩傍界其度亦等而乙己線既為兩形之共界其等無疑此兩三角形之各界度既各相等則與丁己戊己界相對之丁乙己戊乙己二角亦必相等可見矣(見二)(卷第七節)第三平分一直線為兩分法如有甲乙一直線欲平分為兩叚乃如第一節法於甲乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二節法平分甲丙乙角為二分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲乙線於丁而甲丁丁乙兩叚必等也葢甲丙乙原為三界度等之三角形今作丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角形之相當各角各界必俱等而甲丁丁乙為兩形相當之底界其度安得不等乎第四横線上立縱線法如有甲乙一横線欲於丙處立一縱線則於丙之兩傍任意取等度二分為戊丙己丙以戊為心於横線上作弧一叚又以己為心於横線上作弧一叚兩弧相交於丁此丁處正與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙線上正立之縱線也試自戊己至丁作二線成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等而丁丙線既將戊己底線為兩平分則丁丙線必為甲乙線之垂線矣(見二卷第十節)第五有一横線自此線上不拘何處立縱線法如有甲乙一横線自此線上丙處至甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧線一叚截甲乙線於戊己乃自戊己至丙作二線成一戊丙己三角形又照第二節分角法平分丙角為二分自丙至甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三角形之丙戊丙己兩界度等故戊角與己角必等而丙丁線又平分丙角為二則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等而丙丁戊丙丁己兩並角亦必等此兩並角既等則成兩直角既成兩直角則丙丁線必為甲乙横線之垂線矣(見一卷第)(十節)第六在横線一邊立縱線法如有甲乙横線在乙邊欲立一縱線則於甲乙線上不拘何處立為圜心如以丙為圜心自丙至乙為圜界旋轉作一圜則於甲乙線丁處相交即自丁處過丙心至相對界作一直線交圜界於戊乃自戊至乙作一戊乙直線即是乙邊所立之縱線也葢丁乙戊角因在半圜必為直角(見四卷第)(十四節)既為直角則戊乙線必為甲乙線之垂線既為垂線故為横線一邊所立之縱線也若甲乙線一邊之上有一戊㸃欲自戊至甲乙線一邊作一垂線則自戊至甲乙線任意作一戊丁斜線遂將戊丁斜線平分於丙於是以丙為心自戊旋轉作一圜則截甲乙線於己自戊至己作一直線即是欲作之垂線也葢戊己丁角既在半圜必為直角既為直角則戊己必為垂線矣第七一圜分為三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分為三百六十度則取圜之輻線度縁圜界比之即分圜界為六叚將六叚各平分為二則為十二叚十二叚各平分為三則為三十六叚三十六叚各平分為十即成三百六十度矣第八一直線上作角度法如甲乙線上欲作三十度之角則用有度之圜依圜之丙丁輻線度截甲乙線於戊於是以甲為心自戊作弧一叚復依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧於己乃自己至甲作一直線即成己甲戊三十度之角矣第九各種多界形倣己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲倣此式叧作一形則考甲乙界度有㡬分如甲乙界度為三分今取其二分作一丁戊線又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁為圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊為圜心作弧一段兩弧相交於己乃自己至丁戊作二線即成丁戊己一小三角形與原有甲乙丙大三角形為同式也葢丁戊己三角形之三界雖與甲乙丙三角形之三界不等而其相當各角之度俱等因其相當各角之度俱等故其相當各界之比例皆同相當各界之比例既同則其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲倣此式叧作一形則在此六界形作分角線分為四三角形照前法倣作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式與原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也第十有一直線或上或下一㸃作與此線平行一線法如甲乙線上有一丙㸃欲自丙㸃作與甲乙線平行一線則以丙為圜心任意取甲乙線之近甲邊一處作弧一叚如丁又取甲乙線之近乙邊一處為心如戊乃照丙丁原度於丙㸃相對處作弧一叚如己復照丁戊度以丙為心於丙㸃相對處作弧一叚則二弧相交於己乃自丙至己交處作一丙己直線即為甲乙線之平行線也何則試自丁戊二處至丙己二處作二線即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相對之兩縱線丙己丁戊相對之兩横線因依各度所取必两两相等既两两相等則必為平行線之四邊形然則丙己甲乙為平行線四邊形之二線豈有不平行之理哉第十一有一直線上作一正方形法如甲乙一直線欲作一正方形則以甲為心取甲乙度自乙至丙作乙弧線又以乙為心依甲乙度自甲至丁作一弧線又於甲乙線之兩端照本卷第六節立甲丙乙丁二縱線則乙丙弧截於丙甲丁弧截於丁乃自丙至丁作一直線即成甲乙丁丙一正方形也何則丙甲甲乙乙丁三線俱同為一圜之輻線其度必等而丁丙丙甲二線又俱切一圜界為兩尖相合其度亦必等(見四卷第七節)則四界俱等矣且甲乙二角又為垂線所立之角必成直角則丙丁二角亦必為直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形為甲乙線上所立之正方形也第十二平分一弧為兩叚法如有甲乙弧欲平分為兩叚則自甲至乙作一甲乙弦線將此弦線照本卷第三節平分直線為兩分法作一戊丁縱線復自戊引至弧界截甲乙弧於丙即平分甲乙弧為甲丙丙乙兩叚矣葢丙丁縱線既平分甲乙弦線則亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜則必平分甲乙弧為兩叚可知矣(見四卷第六節)第十三有一叚弧欲繼此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧繼此弧欲作一全圜則在此弧界任意指三處如甲丙乙自甲乙二處至丙作甲丙丙乙二線照前節作平分甲丙丙乙兩弦之丁己戊己二線引長則相交於己乃以己為心繼甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二線既平分甲丙丙乙二弦則必平分甲丙丙乙二弧(見四卷第六節)既平分甲丙丙乙二弧則其相交之處必為圜心故己為繼甲丙乙弧界所作全圜之圜心也第十四不拘何處有三㸃求縁此三㸃作一圜法如甲乙丙三㸃不在一直線上欲縁此三㸃作一圜則依前節作甲丙丙乙二線又平分此二線正中作丁己戊己二垂線引長至己處相交遂以己為心以甲乙丙為界作一圜則甲乙丙三㸃俱在一圜之界矣(此節之理與前節同)第十五有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之則於此圜界隨便取甲乙丁三處從甲至乙至丁作二弦線將此二線平分正中為戊己二處自戊己作戊庚己庚兩垂線則相交於庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也(此節之理亦與前同)第十六有圜外一㸃將此㸃至圜界作切線法如一圜之外有一甲㸃欲將此甲㸃與圜界相切作一切線則以此甲㸃至圜心作一甲乙直線又以乙為心以甲為界作一甲丙圜界又自甲乙線所截圜之丁處作一丁己垂線則此垂線即截甲丙圜界於丙乃自丙至乙心作一丙乙直線復自丙乙所截圜界戊處作一戊甲線即是自甲㸃至圜界所作之切線也何則此乙丁乙戊既同為一圜之輻線其乙甲乙丙亦同為一圜之輻線則甲乙戊與丙乙丁兩三角形之各兩邊線必等而兩三角形又同一乙角然則兩三角形之每相當各角必俱等矣(見二卷第六節)夫丁丙線原為甲乙輻線之垂線則丁角必為直角而相當之戊角亦必為直角矣戊角既為直角則甲戊線亦必為乙丙輻線之垂線故甲戊與丙丁皆為圜界之切線也(見四卷第九節)第十七有圜内弦線欲與此弦線平行作圜外切線法如有一甲乙丙丁圜之乙丁弦線欲與此乙丁弦線平行作切圜之切線則從圜心戊至乙丁弦作戊己垂線平分乙丁弦線於己引長截圜界於甲為甲戊線又切甲處作庚辛線為甲戊之垂線即是所求之切線也何則此庚辛線既為甲戊線之垂線其戊甲庚角必為直角又己戊線既為乙丁線之垂線其戊己乙角亦必為直角然則戊甲庚角與戊己乙角既俱為直角其度必等因其度等故乙丁庚辛兩線為兩平行線也又戊甲線為圜之輻線而庚辛既為甲戊之垂線則必為甲乙丙丁圜之切線可知矣(見四卷第九節)第十八作函三角形之圜法如甲乙丙三角形欲作函此三角形之一圜則平分甲丙邊於丁平分丙乙邊於戊自丁戊作二垂線引長至己相交即以己為心任以甲丙乙三角形之一角為界作一甲丙乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也(此節之理與本卷第十三節同)第十九圜内作等度四角形及等度八角形法如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形則以甲乙丙丁二徑線交於圜心皆作直角復自甲丙乙丁四處作甲丙丙乙乙丁丁甲四弦線即成甲丙乙丁等度之四角形也何則甲乙丙丁二徑線在圜心作直角相交則平分圜界為四分矣既平分圜界為四分則甲丙丙乙乙丁丁甲四弦線度必等而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界亦必俱為直角(見四卷第十四節)既俱為直角必為正方形可知矣苟欲作等度八角形則照前平分圜界為四分將所分之每分又各平分為二分即平分圜界為八分乃作八弦線即成甲戊丙己乙庚丁辛一形為圜内等度八角形也第二十圜内作等度六角形三角形十二角形法如甲圜内欲作等度六角形則以圜之甲乙輻線為度將圜界分為乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六弦線即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也何則苟以乙為心以甲為界作一丙甲庚弧線則乙丙乙甲二線俱為丙甲庚圜之輻線而度必等夫乙丙丁戊己庚六界形之諸界因俱照甲乙輻線度所作故此形之六界俱相等也若欲作三角形則照前法將圜界分為六叚以所分六叚兩兩相合為三叚作乙丁丁己己乙三弦線即成一乙丁己等度三角形也若欲作十二角形亦照前法將圜界分為六叚以所分六叚各平分為二分作十二弦線即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也第二十一圜内作各種等度多界形總法苟甲圜内欲作等度多界各種形則察各種形之各角度(見三卷第十七節)如等度三角形之三角俱六十度四角形之四角俱九十度五角形之五角俱一百零八度六角形之六角俱一百二十度七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒八角形之八角俱一百三十五度九角形之九角俱一百四十度十角形之十角俱一百四十四度十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒十二角形之十二角俱一百五十度今甲圜内若欲作一等度九角形則以九角形之每角一百四十度與一百八十度相減餘四十度復以别有度之圜取四十度之分以分甲圜界即平分為乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛壬壬癸癸乙九弦線即成甲圜内等度之九角形也何也從圜心甲作線至各角分九角形為九三角形其每三角形之三角共一百八十度内減去二界角一百四十度餘心角四十度即每界所對之角此九角形之每界即九心角之弦線故以心角度分圜界度即得九角形之分也凡圜内欲作等邊多界形皆依此法作之第二十二作函圜等度多界形法如欲作函圜之等度三角形四角形五角形或多界形則將圜界照欲作之幾界平分為幾段乃自圜心至所分各界作幾輻線於輻線之末各作切界線俱引長至合角即成函圜之等度多界形也如第一圖自甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬三線即成六三角形其庚甲乙庚甲丙兩三角形之庚乙庚丙二線為合尖切圜之線其度必等(見四卷第七節)而庚甲乙辛甲丁兩形之庚甲乙辛甲丁二角為對角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角為輻線切線所成之角其度又皆為直角相等(見四卷第五節)則其餘一角亦必等而其乙甲甲丁二界又同為一圜之輻線其度必等則其他界亦必俱等可知再辛丙辛丁二線壬丁壬乙二線俱為合尖切圜之線其度相等而辛甲丙與壬甲乙兩三角形壬甲丁與庚甲丙兩三角形必俱與前每相當之角等則此六三角形俱相等矣六三角形俱相等則其庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之六界兩兩相合即成庚壬庚辛辛壬之三界其度安得不等乎故庚辛壬三角形為函圜等界形也其第二圖函圜四角形第三圖函圜五角形或更欲作多界形其理皆同第二十三作函等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲作函此三形之圜則任用此三形之甲乙乙丙二界平分於庚辛二處乃自庚辛二處各作垂線至各形中心相交為己即以己為心以各形之角為界作圜即成函此三形之圜也何也各形之界皆為圜之弦線而弦線上所作之垂線必皆交於圜心今甲乙乙丙二界上所作之庚己辛己二線既平分二界而相交於已則己必為圜心故以己為心作圜即成函各等界形之圜也第二十四作函於等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲在此三形内各作一圜則照前節平分甲乙乙丙二界作己庚己辛二垂線引長相交於己即以己為心以庚辛為界作圜即成多界形内所函之圜也何也己庚己辛二線是平分甲乙乙丙二線之垂線引長之必相交於各形之中心今既相交於己則己必為各形之心凡形心作垂線至各界其度必等即如圜之輻線故以己為心庚辛為界所作之圜即為各等界形所函之圜也第二十五有一三角形一圜形於此圜内作切圜界三角形與原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜形欲於此圜内作一切界三角形與原有之甲乙丙三角形同式則於圜界任意作與甲角相等之辛角將此角之兩邊線俱引至圜界作辛庚辛戊二線再自戊至庚作一戊庚線又於戊處作與乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊線復自庚至丁作一庚丁線成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形與原有之甲乙丙三角形為同式也何則其庚辛戊三角形之辛角與庚丁戊三角形之丁角其尖既俱與圜界相切而共立於戊己庚一叚弧分其度必等(見四卷第十二節)此辛角原與甲角等則丁角亦必與甲角等又庚戊丁之戊角原係依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角與甲角戊角與乙角既等則所餘之庚角與丙角亦必等其三角既俱等其兩形必為同式可知矣第二十六有一三角形一圜形於此圜外作切界三角形與原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲於此圜外作一切界三角形與原有之甲乙丙三角形同式則將原有之甲乙丙三角形之乙丙底線引長至辛壬二處此兩傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃於圜心丁處作與辛乙甲角相等之戊丁庚角又作與壬丙甲角相等之己丁庚角則成丁戊丁己丁庚之三輻線於三輻線之末作三垂線引長相交成一癸子丑三角形即是所求之圜外切界三角形與原有之甲乙丙三角形為同式也何則凡三角形之三角相併必與二直角等(見二卷第四節)今戊丁庚子一四邊形可分為兩三角形則此四邊形之四角相併必與四直角等矣四直角内減去子戊丁子庚丁之兩直角所餘戊丁庚戊子庚兩角相併亦必與兩直角等也又辛乙甲外角與甲乙丙内角相併亦與二直角等(見一卷第十四節)其戊丁庚角既係依辛乙甲角之度而作者則戊子庚角必與甲乙丙角相等其庚丑己角亦必與甲丙乙角相等而己癸戊角又必與乙甲丙角相等三角俱等則兩形之式必相同也第二十七三角形内作切三界之圜法如有一甲乙丙三角形欲與此形内切三界作一圜則依此卷第二節之法將甲乙丙三角俱平分為兩分所分三角之三線俱引長使相交於丁自丁至甲乙乙丙丙甲三界線作丁戊丁己丁庚三垂線乃以丁為心以戊己庚為界作一圜即是三角形内之切界圜也何則戊甲丁與庚甲丁兩小三角形之甲角因自一角為兩平分其度必等又丁戊丁庚既係兩垂線則甲戊丁甲庚丁二角俱為直角而相等此戊甲丁庚甲丁兩小三角形内之二角既等其各三角必俱相等而又共用一甲丁線為邊則此兩三角形之各相當邊亦必俱等故丁戊線與丁庚線等者即是丁己線與丁戊線丁庚線等也此三線既等以為輻線作戊己庚圜則必與三角形之甲乙乙丙丙甲三界相切矣第二十八勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾股形欲於此形内作一正方形則以丙為心以乙為界作一乙丁弧線將此弧線平分於戊自戊至丙作一戊丙線即平分丙角為兩分而截甲乙線於庚矣乃自庚與甲丙線平行作庚己線又自庚與乙丙線平行作庚辛線即成庚己丙辛一正方形為所求甲乙丙勾股形内之正方也何則甲丙乙勾股形之丙角原是直角今庚辛庚己二線各與甲丙乙丙平行則庚己丙辛之四角必俱為直角矣而庚己丙三角形内己庚丙角與己丙庚角又俱是直角之一半其度必等則己丙線與庚己線相等而庚辛線與己丙線庚己線與辛丙線皆為平行線内之垂線其度亦等故庚己己丙丙辛辛庚四線相等而庚己丙辛四角俱為直角是為甲乙丙勾股形内之正方形也第二十九勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲於此形内作一正方則將乙丙線引長照甲乙線度増於乙丙作一壬丙線自此壬丙之兩末與甲乙線平行作丁壬癸丙兩垂線使其度俱與甲乙線等又自丁至癸與壬丙線平行作一丁癸線自丁至丙作一對角線截甲乙線於戊乃自戊與乙丙線平行作戊己線截甲丙線於己又自己與戊乙線平行作己庚垂線成一戊乙庚己正方形即為甲乙丙勾股形内欲作之正方也何則試將戊己線引長成辛戊己子線則此辛戊己子線與甲乙線分丁壬丙癸為四長方形其甲戊子癸長方與辛壬乙戊長方既為丁壬丙癸大長方對角線傍所成兩形其分必等(見三卷第)(七節)故子戊線與戊辛線之比例同於乙戊線與戊甲線之比例也然此子戊線與丙乙線等而戊辛線又與甲乙線等則丙乙線與甲乙線之比例亦同於乙戊線與戊甲線之比例也又甲乙丙與甲戊己兩三角形為同式故丙乙線與乙甲線之比例同於己戊線與戊甲線之比例而乙戊線與戊甲線之比例又同於己戊線與戊甲線之比例也乙戊線既與己戊線相等而乙庚線與戊己線己庚線與戊乙線又為兩平行線内之垂線其度相等故戊乙庚己四角俱為直角戊乙庚己四角既俱為直角則戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣第三十三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲於此形内作一正方則自甲角至乙丙底線作一甲辛垂線將此垂線引長出甲角如乙丙底線度作一壬辛線又自壬兩分如乙丙線度與乙丙線平行作一子癸線又自癸至辛作癸辛線截甲乙線於丁自子至辛作子辛線截甲丙線於庚乃自丁至庚作一庚丁線此線必與乙丙平行又自庚丁二處作庚己丁戊二垂線即成丁戊己庚一正方形即為甲乙丙三角形内欲作之正方也何則壬辛線與壬子線之比同於辛丑線與丑庚線之比而辛壬線與壬癸線之比又同於辛丑線與丑丁線之比故辛壬線與癸子線之比亦必同於辛丑線與丁庚線之比也然辛壬與癸子原相等則辛丑與丁庚亦必相等矣辛丑與丁庚既等則丁戊戊己己庚庚丁四邊亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四邊既俱等則為甲乙丙三角形内之正方無疑矣第三十一有一直線將此線為正方對角線作正方法如有一甲乙直線欲以此線為對角線作一正方則將甲乙線平分為戊以戊為心以甲乙為界作一圜即於此圜内作一丙丁徑線為甲乙線之垂線乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直線即成甲丁乙丙一正方形為所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱為直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之兩傍線俱是半徑線必相等又此四三角形之兩傍線所合之角俱為直角亦必相等則甲丙丙乙乙丁丁甲四直線必俱相等可知矣甲丙乙丁四邊形内四角既俱為直角而四邊線又俱相等則必為正方形而甲乙線為其對角線矣第三十二有一直線為正方邊與對角線相較之餘於此線求作其原正方法如有一甲乙線為正方邊與對角線相較之餘求作一正方則先將此甲乙線為一邊作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小對角線於是以丙為心以乙為界作一圜乃引甲丙線至圜界戊處作一甲戊線將此甲戊線為度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也試引甲乙線至己作甲己一對角線此對角線之乙己一叚必與戊己邊線相等何也其丙乙丙戊為一圜之二輻線既等則丙乙戊丙戊乙二角亦等若於丙乙己直角内減去丙乙戊角又於所作丙戊己直角内減去丙戊乙角所餘戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等則乙己戊己兩線必等矣因其相等則所作甲戊己庚一大正方之甲己對角線與戊己一邊線相較則原有之甲乙線為其相較之餘可知矣㡬何原本十二第一有一直線將此線為底作一兩邊度等三角形使底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍之三角形法如有一甲乙直線將此線為底欲作兩邊度等之三角形而底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍則用十一卷第八節之法於甲乙線之兩頭各作一七十二度之角將兩邊線俱引長相交於丙即成一甲乙丙三角形為所求之形也何則凡三角形之三角相併為一百八十度與二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙兩角既俱係七十二度則於一百八十度内減去甲乙二角共一百四十四度餘三十六度即為丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙兩底角比丙角各大一倍也第二有一直線依此線度作兩邊度等三角形使上一角小於兩底角一倍之三角形法如有甲乙一直線以此線為一邊復依此線度作一邊使此兩邊線所合之上一角小於兩底角一倍之三角形則用十一卷第八節之法以甲乙甲丙二線之甲末相合作一乙甲丙角為三十六度再自丙至乙作一乙丙直線為底即得一甲乙丙三角形為所求之形也何則將甲角三十六度與全形三角之共數一百八十度相減餘一百四十四度為乙丙兩底角之共數今甲丙線與甲乙線既等則乙角與丙角必等因其相等將兩底角共數一百四十四度折半得七十二度即為每一底角之數七十二度者三十六度之倍數故甲角比乙丙兩底角俱為小一倍也第三有一直線以此直線為一邊作等邊等角之五界形法如有甲乙一直線以此直線為一邊作一等邊等角之五界形則將此甲乙直線為底用此卷第一節法作一兩邊度等甲丙乙三角形其甲丙乙角為丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五節法於此三角形之週圍作一圜此甲丙丙乙兩直線原係相等其相對之兩弧亦必相等乃以此兩弧自戊丁二處為丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直線即成甲乙丁丙戊五邊五角等度之五界形也何則其甲丙乙角原為丙乙甲角之一半則甲丙乙角為三十六度試自甲乙二處至圜心作甲己乙己二線成甲己乙一三角形則此甲己乙角比甲丙乙角亦為大一倍(見四卷第)(十一節)故甲己乙角為七十二度而甲乙弧線亦為七十二度矣以七十二度於全圜界三百六十度内減之餘二百八十八度折半得一百四十四度即為甲戊丙一叚弧線之數也冄將一百四十四度折半得七十二度即為甲戊一叚弧線之數也既得甲戊弧線之數則戊丙丙丁丁乙各弧線度俱各為七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五線既俱係相等弧之弦線則五線之度必俱等五線之度既等則此形又在圜之内而五角之度豈有不相等者哉第四有一直線分大小兩分為相連比例線法如甲乙直線為全分甲丙一叚為大分丙乙一叚為小分以甲乙全分與甲丙大分之比同於甲丙大分與丙乙小分之比則用此甲乙線為一邊線依此卷第二節法作兩邊等度之兩底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三節法取乙丁線度作邊角俱等之甲戊乙丁已五邊形又自戊至丁作一直線截甲乙線於丙乃得甲丙一大叚為大分丙乙一小叚為小分即是所欲作之相連比例線也何則甲戊乙丁兩弧線度等則甲乙戊乙戊丁兩角度必等又乙戊丁角與乙甲丁角共立於乙丁弧其度必等再甲戊丁與甲乙丁二角亦同立於甲巳丁弧其度亦必等也至於甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因為戊丙乙三角形之外角與丙乙戊丙戊乙兩内角等故甲丙戊與甲戊丙兩角相等此二角既等則甲丙甲戊兩線必等矣又甲戊戊乙兩線度原相等其戊甲乙角必與戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必與戊乙丙一小三角形為同式形矣葢小三角形之丙戊乙角與大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角與大三角形之甲乙戊角為共角而等則小三角形之戊丙乙角與大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙線與甲戊線之比必同於乙戊線與丙乙線之比也夫甲戊原與甲丙相等而乙戊原與甲戊相等故乙戊亦與甲丙相等然則甲乙全線與所分甲丙大分之比必同於甲丙大分與丙乙小分之比可知矣故曰甲乙與甲丙甲丙與丙乙為相連比例之線也第五平分一直線為數叚法如有甲乙一直線欲平分為三分則自甲乙線之兩末作甲丙乙丁二平行線隨意取一甲戊度將甲丙線分為甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度將乙丁線亦分為乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行線之三叚處復作甲丁戊己庚辛丙乙四平行線即平分甲乙直線為甲壬壬癸癸乙之三分矣試觀甲乙丁三角形之甲乙乙丁兩傍線為與甲丁線平行之壬己癸辛二線所分故俱為相當率今以甲乙全線與乙丁全線之比同於丁已叚與甲壬叚之比而已辛叚與壬癸叚之比辛乙叚與癸乙叚之比亦皆與甲乙全線與乙丁全線之比相同也因其比例俱同故丁乙線之丁巳巳辛辛乙三叚為平分而甲乙線之甲壬壬癸癸乙三叚亦為平分也第六有分數之直線將别一直線依此線分分為相當比例率法如有甲乙一直線原分為甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直線欲依此甲乙線分分作三分為相當比例之率則齊二線之一端以為平行線自甲乙線之甲端過丙丁線之丙端作一縱線復自甲乙線之乙端過丙丁線之丁端作一斜線則二線相交於戊乃自戊至所分巳辛二處作戊巳戊辛二線則丙丁線即分為丙庚庚壬壬丁三叚與甲乙線之甲巳己辛辛乙三叚為相當比例率也試審戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相當各式皆同如戊丙庚與戊甲已為同式戊庚壬與戊巳辛為同式戊壬丁與戊辛乙為同式故丙庚與甲已為相當二界庚壬與已辛為相當二界壬丁與辛乙為相當二界此六線既各為相當界故各為相當比例率也第七有二直線作與此二線相連比例之第三線法如有甲乙甲丙二直線欲作與此二線相連比例之第三線則將甲乙甲丙二線之甲末合成一角照甲丙線度增於甲乙線為甲戊線自乙末至丙末作一乙丙線又與乙丙線平行自戊末作一戊己線將甲丙線引至已處乃成一甲已線其自丙末所分之丙已線即為與甲乙甲丙二線相連比例之第三線也葢已戊線既與丙乙線平行故甲乙丙三角形與甲戊己三角形為同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必為相當比例之四率是以甲乙第一率與甲丙第二率之比即同於乙戊第三率與丙巳第四率之比也夫乙戊之度原與甲丙等故甲乙與甲丙之比即甲乙與乙戊之比而甲丙與丙已之比即乙戊與丙巳之比然則甲乙與甲丙甲丙與丙巳豈非相連比例之三線乎第八有三直線作與此三線相當比例之第四線法如有甲乙甲丙乙丁三線欲作與此三線相當比例之第四線則取甲丙線度叧作一甲丙線將此所作甲丙線照甲乙線度紀於乙於是以甲為心自乙作弧一叚又取原有之乙丁線度自乙截弧線於丁即自乙至丁作一乙丁線再依甲丙線度自甲過丁作一甲戊線又與乙丁線平行作一戊丙線此戊丙線即為原三線相當比例之第四線也葢甲丙戊三角形與甲乙丁三角形為同式故甲乙線與甲丙線之比即同於丁乙線與戊丙線之比因其比例相同故戊丙線為原有之甲乙甲丙乙丁三線相當比例之第四線也或欲作相當比例之數線則將甲角上下二線引長為甲癸甲子凡相當各二處任意截為㡬叚作㡬平行線既得相當比例之數線矣如以甲角之甲子甲癸二線截為丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚於所截五處作五平行線即得相當比例之十率矣葢以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙之比以甲丙與甲巳之比同於戊丙與庚已之比以甲已與甲辛之比同於庚已與壬辛之比以甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸之比故將甲子甲癸二線雖分為無數叚作無數平行線其比例亦無不相同也第九有二直線欲叧作一線為此二線之中率法如有甲乙乙丙二線欲另作一線為此二線之中率則將甲乙乙丙二線相連為一甲丙全線乃平分全線於戊以戊為心以甲丙兩末為界作一半圜自二線相連乙處至圜界作一丁乙垂線即為原有甲乙乙丙二線之中率線也何也丁乙線既為圜徑上之垂線則甲乙丁乙乙丙為相連比例之三率(見九)(卷第七節)故甲乙線與乙丁線之比同於乙丁線與乙丙線之比也比例既同則所作乙丁線為原有甲乙乙丙二線之中率可知矣第十有二直線欲另作二線為此二線間之兩率法如有甲乙乙戊二直線欲另作二線為此二線間之兩率則將甲乙乙戊二線之乙末相合為直角又自此二線所合乙角引長為甲乙丙戊乙丁二線次將二矩尺之二角正置於丁戊甲丙二線上如一矩尺為己庚辛一矩尺為壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切於丁戊線之戊末又以壬癸子矩尺之一股切於甲丙線之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合則癸庚二角亦為直角而不離於所跨之線其二矩尺之壬辛二股亦使不離於所切之線末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三線即截丁乙線於癸截乙丙線於庚成乙癸乙庚二線即為原有之甲乙乙戊二線間之兩率也何也如平分戊癸線於丑則丑為心戊為界成一戊庚癸半圜若平分甲庚線於寅則寅為心甲為界成一甲癸庚半圜今乙癸線為甲癸庚半圜徑線上之垂線故乙癸為甲乙乙庚二線之中率而乙庚線為戊庚癸半圜徑線上之垂線故乙庚又為癸乙乙戊二線之中率是以甲乙線與乙癸線之比同於乙癸線與乙庚線之比而乙癸線與乙庚線之比亦同於乙庚線與乙戊線之比因其比例相同故乙癸乙庚二線為甲乙乙戊二線間之兩率也第十一有三角形依一界作等積之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形與原三角形積等則與乙丙平行作一甲丁線又與甲乙平行作一丁丙線即成一甲乙丙丁直角四界形於是平分甲乙線於戊平分丙丁線於巳作一戊巳線則平分甲乙丙丁四界形為兩形此所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩直角四界形之積俱與甲乙丙三角形之積相等也葢甲乙丙三角形為甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩四界形既俱為甲乙丙丁四界形之一半則必與甲乙丙三角形之積俱相等可知矣又如庚辛壬無直角之三角形依辛壬界作一直角四界形與原三角形積等則與辛壬平行作一庚癸線又自辛壬至庚癸線作子辛癸壬二垂線即成一子辛壬癸直角四界形於是平分子辛線於丑平分癸壬線於寅作一丑寅線則平分子辛壬癸四界形為兩形其所分子丑寅癸與丑辛壬寅兩直角四界形之積俱與庚辛壬三角形之積相等也試與庚辛線平行作一卯壬線即成庚辛壬卯一斜方形為與子辛壬癸方形同底同髙故其積必等(見三卷第)(八節)今庚辛壬三角形為庚辛壬卯形之一半則亦必為子辛壬癸方形之一半矣既為一半則所分子丑寅癸與丑辛壬寅直角四界形必與庚辛壬三角形之積相等可知矣第十二有一長方形作與此積相等之正方形法如有甲丙一長方形欲作與此長方形相等之正方形則將甲丙形之丙乙縱線合於甲乙横線照此卷第九節法求得甲乙丙乙二線之中率為丁乙線即以丁乙線為一邊作一丁戊正方形即與甲丙長方形之積相等也何則大凡相連比例三率内中率所作之正方形積與首率末率所作之長方形積相等今丁乙線既為甲乙丙乙二線之中率則丁乙線所作之丁戊正方形積焉得不與甲乙丙乙二線相合所作之甲丙長方形之積相等乎第十三凡多界形作與本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形則自此形中心壬處至各角作衆線又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半與各界平行置於對角各線之間為癸子子丑丑寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八線即成癸子丑寅卯辰巳午之形為原形每界減半之同式形也何也如對角線間所成之甲乙壬癸子壬大小兩三角形之甲乙癸子線既平行而又同一壬角則其相當各角俱等而兩形之式相同倣此推之其乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱為同式形此各相當大小兩形既俱同式則所作癸子丑寅卯辰已午小形之各邊為甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各邊之一半而為同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形從甲角作線至各角取乙丙度之一半置於甲乙甲丙二線之間與乙丙平行如子丑照此於諸對角線間作諸界之平行線即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形為原形每界減半之同式形其理亦與前同若欲作比原形大㡬倍之形則以所作諸對角線按分引長而於本形外作諸界之平行線即成所欲作之大形也第十四作分釐尺法如甲戊尺三寸每寸欲分為百釐則將甲乙邊平分作十分將戊巳邊亦平分為十分對所分之分作諸横線與乙戊平行次將一寸之甲辛乙丙兩邊俱分為十分冄於甲辛邊之第一分作斜線至乙丙邊之乙處如此作十斜線俱與第一分斜線平行即分乙丙之一寸為一百釐也何也甲辛乙丙皆為一寸之度俱平分為十分矣若將每分又分為十釐即每寸亦得百釐然度狹線多必致相淆今作斜線横線各十其横斜相交處共有百分此百分即百釐也如第一斜線與第一横線相交之㸃即為一釐與第二横線相交之㸃即為二釐以至第十横線相交之㸃為十釐即甲辛邊所分之第一分之十釐也一斜線有十釐則十斜線豈非百釐乎由此推之若作二十横線則一斜線得二十釐每寸即分為二百釐作百横線則一斜線得百釐每寸即分為千釐其法甚簡而其用尤甚便也第十五凡有三角形知其一角之度及此一角之兩傍界或知其二角之度及此二角之間一界或不知角度但知三界欲求其餘角餘界法如有一甲乙丙三角形知丙角為三十八度四十四分及丙角兩傍之丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈而欲知其餘角餘界則依十一卷第八節法作與丙角相等之三十八度四十四分之丁角將丁角兩傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳線成一丁戊巳小三角形與甲乙丙大三角形同式量其戊己邊得九分即大形之甲乙邊為九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁兩三角形之式既同其相當各角各界必俱相等小形之丁角即與大形之丙角等其餘兩角亦必等小形之丁已邊既以十三分當大形丙乙邊之十三丈則小形戊巳邊之九分必當大形甲乙邊之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙角為七十六度三十九分丙角為三十八度四十四分及乙丙界長十三丈而欲知其餘角餘界則作己丁界為十三分照乙角丙角度作已角丁角於是畫巳戊丁戊二界相交於戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必與甲角等而小形之丁戊界十四分與大形之甲丙界十四丈相當小形之戊己界九分與大形之甲乙界九丈相當矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角則照前將三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣第十六作分數比例測量儀器法以甲丙乙半圜界分為一百八十度每度作六十分將此半圜之丁甲丁乙丁丙三半徑線照所容方界分截開分為一百分於每分上俱與三半徑平行作縱横線於甲乙徑線之甲乙兩末作兩定表以圜丁心為樞作一遊表如丁巳將此遊表亦如前所分一百分度作二百分復於此儀器後面作一垂線記號以掛墜線如庚即成一全儀器用以測髙深廣逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲測其髙則將儀器按墜線立準看甲乙徑線兩末之定表與旗杆癸處相對乃為地平再將丁巳遊表與旗杆頂尖辛處相對次量儀器中心所對處至旗杆癸處得㡬何如有四十丈則看儀器丁乙線上自丁心至子得四十分以當地平四十丈即視與子相對垂線至遊表相交處有㡬何如丑子三十分即為旗杆自辛至癸相當數為三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣蓋儀器上之丁子丑小三角形與所測得丁癸辛大三角形原為同式其相當各界之比例必俱相同故以丁子四十分與子丑三十分之比即同於丁癸四十丈與癸辛三十丈之比也若欲知丁辛弦線數即視遊表自丁至丑相交之處得㡬何如有五十分其相當數即為五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度則視圜界與遊表相交處如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其餘巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛線原與子丑垂線平行為平行線故癸角必是直角而為九十度也第十七倣各種地形畫圖法如有甲乙丙丁地形欲畫一圖則選能見各地之二處立儀器為戊為巳將戊與巳對准定表先自戊以遊表視庚辛壬癸等處得諸角之度皆細記之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以遊表照前視庚辛壬癸等處得諸角之度亦細記之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度於是任意作一子丑線為戊己相當線於此子丑線之兩末作諸角與所記諸角相等將所作諸角之各線俱引長使相交於寅卯辰巳等處乃以庚辛壬癸所有之諸地形並其餘各處凡目之所見俱畫於圖之相當各界即成一午未申酉之圖即甲乙丙丁地形之圖也葢午未申酉圖内所作寅子丑卯子丑類諸三角形之角度皆與甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳類諸三角形之角度相等而作故其相當各三角形俱為同式此所以全圖與全地形為同式也第十八畫地理圖欲約為小圖或欲廣為大圖法如有甲乙丙丁一地理圖欲約為小圖為原圖四分之一則用甲乙丙丁形界之四分之一畫一戊已庚辛形將甲乙丙丁原形任意分為數正方形而將小形亦分為數正方形視原圖中所有山川城郭村墅林園函於大圖之某正方分者約而畫入小圖某正方形内則此所畫之戊巳庚辛小圖即與原有甲乙丙丁大圖為同式矣第十九作比例尺平分線法如此比例尺欲作平分線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線用本卷第五節法分之各平分為二百分即為比例尺之平分線也以用法明之如有丁戊一直線欲平分為十分則將比例尺一百分之己庚二㸃照丁戊線度展開勿令移動次取比例尺之第十分之辛壬二㸃相離之度即是丁戊線之十分之一分也何則自乙至丙作一線自己至庚作一線自辛至壬復作一線其甲乙丙三角形與甲己庚三角形為同式而甲己庚三角形又與甲辛壬三角形為同式是以所分甲己線與甲乙線之比同於己庚線與乙丙線之比而甲辛線與甲己線之比亦同於辛壬線與己庚線之比也然則十分之甲辛線既為百分之甲己線之十分之一其辛壬線亦必為己庚線之十分之一矣丁戊線原與己庚線同度則辛壬線亦為丁戊線之十分之一可知矣第二十作比例尺分圜線法如於比例尺欲作分圜線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線乃平分甲乙線於未以未為心以甲乙二末為界作一半圜於是分圜界為一百八十度復以甲為圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等處作各弦線又將諸弦線度移於尺之甲乙甲丙二線則此二線即成一圜之諸弦之總線也以用法明之如寅卯寅辰二線所合寅角欲知其度則以寅為心作一辰卯弧將比例尺六十度之丁未兩㸃相距之度照寅辰或寅卯度展開勿令移動次取卯辰相距之度於比例尺上尋至八十度之申酉處恰符即是寅角為八十度也何則若自丁至未自申至酉作二線成甲申酉甲丁未兩同式三角形其相當各角各界俱為相當比例之率故甲未線與甲酉線之比同於丁未線與申酉線之比也夫甲未線既為比例尺所作甲庚六十度之弦線而甲酉線又為甲辛八十度之弦線其丁未線既與小圜寅卯輻線等而輻線原與六十度之弦線等然則丁未線即小圜六十度之弦線而申酉線亦為小圜八十度之弦線也以此得知寅角之卯辰度為八十度也第二十一作比例尺分面線法如此比例尺欲作分面線則以甲樞心處至乙丙二末作甲乙甲丙二線自甲截甲丙線於丁照所截甲丁度於甲心作一甲戊垂線自戊至丁作一戊丁線又照戊丁線度自甲截甲丙線於已自戊至已作一戊已線又照戊已線度自甲截甲丙線於庚自戊至庚作一戊庚線又照戊庚線度自甲截甲丙線於辛自戊至辛作一戊辛線又照戊辛線度自甲截甲丙線於壬自戊至壬作一戊壬線照此累累截之至丙末又將甲丙線所截各度移置甲乙線即成比例尺之分面線也何則於甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二線因為相等度所作故卯丁辰戊二形必等再於戊甲丁直角相對之戊丁界所作之戊巳一方形亦必與直角兩旁界所作卯丁辰戊二方形相等也(見九卷第四節)次於甲已界作未巳正方形甲己界原與戊丁等則甲已界所作未已方形即與戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既與戊巳方形等則必與卯丁辰戊二形相等而亦與卯丁之倍數相等矣夫甲巳界即大於卯丁形一倍為未巳形之一界也倣此論之則甲庚界即為比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即為比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形則將比例尺展開使其丁丑相距之度與癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何則自丁至丑自庚至寅作丁丑庚寅二線成甲丁丑甲庚寅同式兩三角形則甲丁線與甲庚線之比即同於丁丑線與庚寅線之比也夫甲庚線所作方形原比甲丁線所作方形大二倍則庚寅線所作方形必比丁丑線所作方形亦大二倍矣丁丑之度原與子癸等則寅庚線豈非比子癸方形大二倍方形之一界乎第二十二作比例尺分體線法如於比例尺欲作分體線則以甲樞心之甲乙甲丙二線任作丁已一正方體取其戊己一界之度置於尺上自甲截甲乙線於庚次作比戊已界大一倍之辛壬線又於戊巳辛壬二線間照本卷第十節法作相連比例之癸子丑寅二率乃取癸子線度置於尺上仍自甲截甲乙線於辰則甲辰所作卯子正方體必比甲庚所作丁已正方體大一倍矣何則試將癸子線作卯子正方體則與丁己正方體為同式其二體相比之比例必同於戊已癸子二界所生連比例加二倍之比例今辛壬線既為戊巳相連比例之第四率則丁已卯子二體之比例必同於戊已辛壬二線之比例矣辛壬線既比戊己線大一倍則卯子體亦比丁已體大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未線仍照本卷第十節法作戊已巳未二線間相連比例之申酉戌亥二率乃取申酉線度置於尺上自甲截甲乙線於乾則甲乾所作午酉正方體即比甲庚所作丁巳體大二倍矣照此屢倍戊己界求相連比例之四線取其第二線度置於尺之甲乙線上又按甲乙線所截各度移置甲丙線即成比例尺之分體線也以用法明之如有一坎庚正方體欲作大二倍之體則將比例尺展開使其庚與庚(第一次所截之㸃)相距之度與艮庚界度等次取比例尺乾與乾(第三次所截之)(㸃)相距之度即是比坎庚正方體大二倍之正方體之一界度也何則自比例尺之庚乾二處作庚庚乾乾二線即成甲庚庚甲乾乾同式兩三角形則甲庚線與甲乾線之比同於庚庚線與乾乾線之比例矣夫甲乾線所作方體原大於甲庚線所作正方體之二倍則乾乾線所作正方體必大於庚庚線所作正方體之二倍可知矣又㨗法設正方體界一百釐其積數一百萬釐以二因之成二百萬釐立方開之得界一百二十五釐又以三因之成三百萬釐立方開之得界一百四十四釐照此屢倍積數開立方將所得之數於分釐尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線與前求連比例之法無異也御製數理精藴上編卷四
## 上編卷五
欽定四庫全書御製數理精藴上編卷五算法原本一算法原本二算法原本一第一一者數之原也衆一相合而數繁焉不能無大小多寡之不齊而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其準若夫累積小數與大數等者此小數即度盡大數之準也(如大數有八小數有二四倍其二與)(八必等則二即為度盡八之準)苟累積小數不能與大數等者此小數即非度盡大數之準也(如大數有八小數有三二倍其三為六小於八矣二倍其三為九又大於八矣)(若此者即為非度盡大數之準)要之小數為大數之平分者即能度盡大數而小數非大數之平分者即不能度盡大數是故以小度大以寡御多求其恰符而毫無舛者惟在得其平分之法而已第二數之目雖廣總不出奇偶二端何謂偶兩整平分數是也何謂奇不能兩整平分數是也如二四六八十之類平分之俱為整數斯謂之偶數矣若三五七九十一之類平分之俱不能為整數斯謂之奇數矣又如小偶數分大偶數得偶分則謂之偶分之偶數(如小偶數四分大偶數三十二)(得八平分是為偶分其三十二即為偶分之偶數)小偶數分大偶數得奇分則謂之奇分之偶數(如小偶數)(六分大偶數三十得五平分是為奇分其三十即為奇分之偶數)又如小奇數分大奇數得奇分則謂之奇分之奇數矣(如小奇數五分大奇數十五得三平分是為奇分其十五)(即為奇分之奇數)第三乘者兩數相因而成也葢有兩數視此一數有幾何彼一數有幾何將此一數照彼一數加幾倍則兩數積而復成一數故謂之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏層累而得乘則一因即得此立法之精而理則實相通也如有六與十兩數以十為主而加六次得六十以六為主而加十次亦得六十今以十為主而以六乘之或以六為主而以十乘之皆得六十其數無異而比加捷矣第四凡兩數相乘為平方數如四與六相乘得二十四是也試將四六兩數作㸃排之縱立四㸃為甲乙橫列六㸃為甲丁將此六㸃累四次即成甲乙丙丁平方數矣又若相等兩數相乘得數則為正方數如五與五乘得二十五是也苟將五數縱橫各列五㸃或依縱數或依横數累五次即成戊已庚辛正方數矣第五凡數之相乘可用線以表之然線雖無廣分如依一線之長分廣為小方面看此線所有方面若干將彼線所有方面加作幾倍或看彼線所有方面若干將此線所有方面加作幾倍則二線相積而成面矣設如有甲乙二線甲線之分為三乙線之分為四將此二線相乘則依甲線三分之一分作廣分為甲丙依乙線四分之一分作廣分為乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之數將乙丁加為三倍或依乙丁所有之數將甲丙加為四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面為線之積以一線為横一線為縱縱横相因而成故測面者必於線知線即可以知面也第六凡二線彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也設有甲乙二線甲線為三分今將甲線依三分之一分作廣分為三小方形並無餘積而乙線照甲線分則為四分有零亦將乙線依甲線一分作廣分則為四小方形而餘戊一小形以所作甲丙為横乙丁為縱則成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附於十二方形乃為二線相乘之總積也又如此類一線有零分者其餘分在一邊若二線俱有零分者則其餘分亦在二邊矣第七凡三數遞乘為立方數如二與三相乘得六又以四乘之得二十四是也試將二三四之三數作㸃排之縱列二㸃為甲丁横列三㸃為甲乙將此三㸃累二次成丁乙平方數又直立四㸃為丙丁依丙丁數將丁乙平方數累四次即成丙乙立方數矣又若相等三數遞乘得數則為正立方數如三與三乘得九再以三乘得二十七是也試將三數縱橫各排三㸃平列三次成庚已平方數又直立三㸃將庚己平方數累三次即成戊已正立方數矣第八凡數之遞乘為體可用面以表之葢面雖無厚分如依一面之積分廣爲小方體看面所有積分得線之長分若干將面所有小方體加作幾倍則線面因之而成體矣設如有甲乙面之分為四丙丁線之分為三將此面線相乘則依甲乙面四分之一作厚分為四小方體乃依丙丁線分數將甲乙加為三倍即成函十二小方體之丙乙直角立方體矣葢體為面之積而面為線之積故線可以測面并可以測體也第九除者兩數相較而分也葢視大數内有小數之幾倍將大數照小數減幾次則大數分而復為一小數故謂之相較而分然不用減而用除者何也葢減必遞消其分除則一歸而即得除之與減即猶乘之與加正相對待者也如有大數十二小數四若用十二以四減之三次而盡即知十二為四之三倍若用除法則三倍其四與十二較其數適等即知十二為四之三倍矣此除之與減理相通而用較捷也第十凡兩數相乗之平方數以一數除之必得其又一數也設如甲乙五乙丙六兩數相乘之甲乙丙丁平方數三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作㸃排之五㸃為横則縱排六次六㸃為橫則縱排五次皆成方數故兩數不等平方面知其一數或知兩數相差之較始能得其兩邊線也又若正方數則其縱横皆同如戊己庚辛之正方數二十五其縱橫皆五是巳故凡正方面有積數即可得其每邊者葢因其縱橫兩邊皆等故也第十一凡以線乘線即成面而以線除面亦復得線故數之乘者可用線以表之而除者亦可用線以表之也設如有甲乙丙丁一方面積一十二以甲乙線四分除之得乙丙線之三分或以乙丙線三分除之亦得甲乙線之四分試將甲乙乙丙二線作廣分則甲乙線成四小方形乙丙線成三小方形若依甲乙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙線依乙丙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙線葢除之與乘猶分合之相對以線合者仍以線而分返本還原之義有不爽矣第十二凡有零分不均二線相乘之方面以整分線除之必得零分線以零分線除之必得整分線也設如甲線三分乙線四分有零相乘成丁甲面若以甲線三分除之即得乙線四分有零或以乙線四分有零除之亦得甲線三分試將甲線作廣分成三小方形為甲丙乙線作廣分則成四小方形為乙丁餘戊一小形若依甲丙線所有數以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁線或依乙丁線所有數以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙線矣此為二線一整一零相乘之總積故以整線除之得零以零線除之得整若二線俱有零分者彼此除之必俱得零分也第十三凡三數遞乘之立方數以兩數遞除之始得其又一數也設如甲乙四乙丙二丙丁三遞乘得甲丁立方數二十四若以甲乙四除之得乙丁平方數六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作㸃排之二㸃為縱橫排三次直累四次即成方體故三數不等立方體知其兩數或知其三數相差之較始能得各邊也又若正立方體其縱橫厚度皆為一數即以一數遞除二次則其原數自得如戊己正立方數二十七其縱横厚皆三是巳故凡正立方體有積數即可得其每邊者正為其縱横厚度皆等故也第十四凡以線除體即得面而以面除體亦復得線故線可以除面而面亦可以除體也設如有丙乙體積一十二以丙丁線三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁線之三分試將甲乙面作厚分則成四小方體若依丙丁線所有數以分丙乙體即每分得四小方體如甲乙面依甲乙面所有數以分丙乙體即每分得三分如丙丁線葢體本以線面相乗而得故可以線面相除也第十五凡大數用小數可以度盡者此大數必為此小數之所積也然所謂小數可以度盡大數者復有幾種有大數惟一數可以度盡者如四九二十五四十九之類惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大數用兩數三數俱可以度盡者如八與十二之兩數用二用四俱可以度盡八用二用三用四俱可以度盡十二是也有兩大數或三大數用一小數俱可以度盡者如十二十六之兩數或一十十五二十之三數用四可以度盡十二十六之兩數用五可以度盡一十十五二十之三數是也又有一小數可以度盡幾大數將此幾大數相加為一總數此小數亦可以度盡此總數如四可以度盡十二十六兩數若將十二十六相加為二十八則此四亦可以度盡此二十八也又或一小數可以度盡幾大數將此大數不拘幾分分之此小數可以度盡一分亦必可以度盡其餘幾分也如三可以度盡十五將十五分為六九兩數此三可以度盡六亦必可以度盡九也又如六與九兩數用三俱可以度盡若將六與九相乘得五十四此小數三仍可以度盡此五十四也凡此類者皆為彼此有度盡之數也第十六凡大數用小數不可以度盡者此大數必非此小數之所積也然用一以度之無不可以度盡者葢一為數之根諸數皆自一而積之故也所謂度不盡者亦復有幾種有大數無小數可以度盡者如五七十一十三之類任用二用三用四俱不能度盡也有兩大數或三大數用小數彼此不可以度盡者如十五與八之兩數用二用四可以度盡八而不能度盡十五用三用五可以度盡十五而不能度盡八又如四六九之三數用二可以度盡四六而不能度盡九用三可以度盡六九而不能度盡四也又有彼此不能度盡之數或將一數自乘或將兩數俱自乘彼此仍俱不可以度盡也如五與六之兩數彼此不能度盡亦無一小數可以度盡此兩數即將五自乘為二十五或將六自乘為三十六則六仍不能度盡二十五而五仍不能度盡三十六即二十五亦不能度盡三十六也又如三七兩數與二五兩數俱為彼此不能度盡之數或將三與七相乘得二十一將二與五相乘得一十此一十與二十一之兩數仍為彼此不能度盡之數也凡此類者皆為彼此無度盡之數也第十七凡兩數互轉相減未至於一而即可以減盡者此減盡之最小數即可以度盡此兩數也設如有甲乙十六丙丁六之兩數將丙丁六與甲乙十六減二次餘戊乙四將此戊乙四轉與丙丁六相減餘己丁二又將此已丁二轉與戊乙四相減二次即無餘則此已丁二即可以度盡甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二與十六等三倍其二與六等也又如十六與十二與八此三數亦為彼此有度盡之數何也葢十六與十二相減餘四以四轉與十二相減三次而盡則四可以度盡十六與十二矣又二倍其四即與八等則四又可以度盡八然則十六十二與八之三數為彼此有度盡之數可知矣第十八凡兩數互轉相減至於一始可以減盡者一之外别無他小數可以度盡此兩數也設如有甲乙十二丙丁七之兩數將丙丁七與甲乙十二相減餘戊乙五將此戊乙五轉與丙丁七相減餘已丁二將此已丁二又轉與戊乙五相減餘庚乙三又將庚乙三轉與己丁二相減餘辛乙一既至於一始可以度盡甲乙丙丁兩數而一之外如二三四雖可以度盡十二而不能度盡七也又如九與十三及二十之三數亦為彼此無度盡之數何也葢將九與十三互轉相減必至於一即用十三與二十轉減或用九與二十轉減亦皆至於一則除此一之外皆無可以彼此度盡此三數之小數矣第十九凡有大數約為相當比例之最小數以從簡易則為約分法也然數有可約不可約之分可約者度盡之數不可約者度不盡之數也設如有九與十二之兩數欲約為相當比例之最小數乃用求小數度盡大數法以九與十二互轉相減得減盡之數為三則三為度盡九與十二之數矣以三除九得三以三除十二得四此三四兩數即為九與十二相當比例之最小數也又如有六四八之三數欲約為相當比例之最小數乃以六與四互轉相減得減盡之數為二又以二與八相減四次而盡則二為度盡六四八之小數矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三數即六四八相當比例之最小數也此皆數之可約者也若夫數之不可約者互轉相減必至於一而不可以度盡也如有五七兩數以五減七餘二復以二減五二次餘一既餘一則自一之外必無可以度盡之數而不可約矣第二十凡有大分以分母乘之通為小分則為通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘則積少成多其得數溢於原數之外通則變大為小其得數仍函於原數之中也如有大分十二其分母為四欲得其小分則以分母四乘大分十二得小分四十八是已試作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若將中函之方形每分俱分為四小方則十二方形共分為四十八小方形矣其數雖比原大數加四倍然其每分之分只得原數之四分之一故仍函於甲乙方形之内而未嘗溢出原數之外也又如有大分九其分母為九欲得其小分則以分母九乘大分九得小分八十一是已試作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若將其中函之方形每分俱分為九小方則九方形共分為八十一小方形矣其數雖比原大數加九倍而仍函於丙丁方形之内者以其每分之分只得原數之九分之一也由此推之其每分之母或為八或為十二或為數十亦皆倣此通之其所通之數雖至千萬而要皆未有溢於所通原分之外者矣第二十一凡有幾小數欲求俱可以度盡之大數則以此幾小數連乘之得數始為此幾小數度盡之一大數也設如有四五兩小數欲求用四用五俱可以度盡之一數則以四與五相乘得二十即為四五兩數俱可度盡之一大數矣又如有三四五之三小數欲求用三用四用五俱可以度盡之一數則以三與四相乘得十二又以五乘十二得六十即為三四五俱可度盡之一大數矣葢小數為大數之根始能度盡大數如四五可以度盡二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度盡六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二凡有兩數彼此互乘所得之數與原數比例必同也葢數有多寡而分又有大小則紛紜難御故必依此數之分將彼數加為幾倍又依彼數之分將此數加為幾倍則兩分數既同而比例亦同矣如甲乙二數甲為三分之二乙為四分之三欲辨其孰大則依甲數將乙數加三倍為十二分之九依乙數將甲數加四倍為十二分之八如是則所加之兩大分同為十二而所生之兩小分相比即同於原甲數與乙數之相比矣何也甲數本三分之二而為十二分之八者乃加四倍之比例(十二為三之四倍八為二之四倍)而十二分之八之比例仍同於三分之二之比例也乙數本四分之三而為十二分之九者乃加三倍之比例(十二為四之三倍九)(為三之三倍)而十二分之九之比例仍同於四分之三之比例也(此即互乘同母之法如甲為三分之)(二者三即母數二即子數也乙為四分之三者四即母數三即子數也因兩母)(數不同故用互乘以同之)第二十三凡子母分有幾數而子數同為一者先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之則爲各子數也如甲乙丙三數甲為二分之一乙為三分之一丙為四分之一則先以三母數連乘得二十四為甲乙丙之共母數又以二除共母數得十二為甲之子數以三除共母數得八為乙之子數以四除共母數得六為丙之子數葢甲本二分之一子母各加十二倍即為二十四分之十二而二十四與十二之比例仍同於二與一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即為二十四分之八而二十四與八之比例仍同於三與一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即為二十四分之六而二十四與六之比例仍同於四與一之比例也第二十四凡子母分有幾數而子母數俱不等者亦先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之得數復以各子數乘之即為各子數也如有甲乙丙三數甲為三分之二乙為四分之三丙為五分之四則先以三母數連乘得六十為甲乙丙之共母數次以三除共母數得二十以乘子數二得四十為甲之子數又以四除共母數得十五以乘子數三得四十五為乙之子數又以五除共母數得十二以乘子數四得四十八為丙之子數葢甲本三分之二子母各加二十倍即為六十分之四十而六十與四十之比例仍同於三與二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即為六十分之四十五而六十與四十五之比例仍同於四與三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即為六十分之四十八而六十與四十八之比例仍同於五與四之比例也算法原本二第一凡有幾小數與幾大數相比其比例若同則小數相加所得之總數與大數相加所得之總數相比仍同於原數之比例也設如有一小數六一小數四一大數十八一大數十二其小數六為大數十八之三分之一而小數四亦為大數十二之三分之一將兩小數六四相加得一十將兩大數十八十二相加得三十此一十與三十之比即如六與十八四與十二之比皆為三分之一之比例也又如三小數二三四與三大數六九十二相比皆為三分之一將二三四相加得九將六九十二相加得二十七其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相加其總數之比例亦皆同如三與十二四與十六五與二十六與二十四俱為四分之一將三四五六四小數相加得十八將十二十六二十二十四四大數相加得七十二其比例仍為四分之一矣第二凡有幾小數與幾大數之比例若同則小數相減所得之餘數與大數相減所得之餘數相比仍同於原數之比例也設如有一小數十一小數六一大數三十一大數十八其小數十為大數三十之三分之一而小數六亦為大數十八之三分之一將兩小數十與六相減餘四將兩大數三十與十八相減餘十二此四與十二之比即如十與三十六與十八之比皆為三分之一之比例也又如三小數八四三與三大數二十四十二九相比皆為三分之一將四三與八遞相減餘一將十二九與二十四遞相減餘三其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相減其餘數之比例亦皆同如十八與七十二為四分之一而三與十二四與十六五與二十俱為四分之一將小數三四五與十八遞相減餘六將大數十二十六二十與七十二遞相減餘二十四其比例仍為四分之一矣第三凡有一數乘兩數其所得兩數相比仍同於原兩數之相比也設如一數六與八與一十兩數相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八與六十相比即同於原數八與一十之相比矣夫八與四十八一十與六十皆為六分之一故一與六之比同於八與四十八之比而一與六之比亦同於十與六十之比也然則八與四十八之比例必同於十與六十之比例而四十八與六十之比例亦必同於八與一十之比例可知矣第四凡有一數除兩數其所得兩數相比仍同於原兩數之相比也設如一數三除十二與十五之兩數以三除十二得四以三除十五得五則此四與五相比即同於原數十二與十五之相比矣夫十二與四十五與五皆為三分之一故一與三之比同於四與十二之比而一與三之比亦同於五與十五之比也然則四與十二之比例必同於五與十五之比例而四與五之比例亦必同於十二與十五之比例可知矣第五凡相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數等者何也葢兩方面以其縱横界互相為比之比例若等則兩方積必等(見幾何原)(本七卷第三節)今以第一數與第四數相乘即如以第一數為縱第四數為横成一方數而第二數與第二數相乘即如以第二數為縱第三數為横成一方數其積必相等也設如有二與六三與九相當比例四數將第一數二為縱第四數九為横相乘得十八為甲丙一方數將第二數六為縱第三數三為横相乘亦得十八為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之二其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數相等無疑矣第六凡相連比例三數其首數與末數相乘與中一數自乘所得之數等者何也葢兩方面相等者其縱横界之互相比例必等(見幾何原本七卷第三節)今將首數與末數相乘即如以首數為縱末數為横成一方數而中數自乘即是以中數為縱復以中數為横成一方數其積必相等也設如有四六九相連比例三數將首數四為縱末數九為横相乘得三十六為甲丙一方數將中數六為縱仍復為横相乘即是自乘亦得三十六為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之一其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相連比例三數其首末兩數相乘與中數自乘所得之數相等無疑矣第七凡有兩數除一數其所得兩數之比例即同於原兩數之轉相比例也設如有一數十八以二三兩數除之二除十八得九三除十八得六以此九與六兩數相比即同於原兩數三與二之相比也葢二與三六與九為相當比例之四數以第一數二與第四數九相乘第二數三與第三數六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一數除第二數與第三數相乘之數而得第四數也以三除十八得六即如以第二數除第一數與第四數相乘之數而得第三數也夫相當比例數其第二數與第四數之比原同於第一數與第三數之比故第一數二除十八所得之九與第二數三除十八所得之六相比即同於第二數三與第一數二之相比也第八凡有兩數除一數其所得之兩數内有一數與原兩數内一數相等者則所得之兩數與原兩數互轉相比即成相連比例之數也設如有一數三十六以四六兩數除之四除三十六得九六除三十六仍得六與原數六相等則此九與六兩數之比即同於原數六與四之比也葢四與六六與九為相連比例之四數以四為首數九為末數相乗以六為中數自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首數除中數自乘之數而得末數也以六除三十六復得六即如以中數除首末兩數相乘之數而仍得中數也夫相連比例數其末數與中數之比原同於中數與首數之比則首數四除三十六所得九與中數六除三十六所得六相比即同於中數六與首數四之相比也第九凡相當比例四數其第一數度盡第二數則第三數亦必度盡第四數也如有二六三九相當比例四數其第一數二可以度盡第二數六則第三數三亦可以度盡第四數九矣夫相當比例四數第一與第二之比必同於第三與第四之比今第一為二第二為六乃加三倍之比例則第四與第三亦必為加三倍之比例故三倍其二可以度盡六者三倍其三即可以度盡九也第十凡相連比例三數其第一數度盡第二數亦必度盡第三數也如有二四八相連比例三數其第一數二可以度盡第二數四亦必可以度盡第三數八矣夫相連比例三數第一與第二之比同於第二與第三之比今第一數為二第二數為四乃加倍之比例則第二與第三亦必為加倍之比例而第一與第三則為再加一倍之比例故一倍其二可以度盡四者再倍其二即可以度盡八也第十一凡依次遞加取四數其第一第四兩數相加與第二第三兩數相加之數等也如一二三四遞加之四數將第一數一與第四數四相加得五以第二數二與第三數三相加亦得五又如一三五七遞加之四數(一三五七為隔一數以遞加者也)將第一數一與第四數七相加得八以第二數三與第三數五相加亦得八也又如二五八十一遞加之四數(二五八十一為隔二數以遞加)(者也)將第一數一與第四數十一相加得十三以第二數五與第三數八相加亦得十三由此推之或隔三數或隔四數或隔五六數以至極多數但依次遞加取四數無有不如此也第十二凡依次遞加取三數其首末兩數相加與中數加倍之數等也如二三四遞加之三數將首末二四相加得六以中數三倍之亦得六又如二四六遞加之三數(二四六隔一數以遞加者也)將首末二六相加得八以中數四倍之亦得八也又如三六九遞加之三數(三六九隔二數以遞加者也)將首末三九相加得十二以中數六倍之亦得十二由此推之或隔三數或隔四數或隔五六數以至極多數但依次遞加取三數無有不合者也第十三凡依次遞加三數以第二第三兩數相加減去第一數即得挨次之第四數也如二三四之三數以第二數三第三數四相加得七内減去第一數二得五即是第四數又如二四六隔一數遞加之三數以第二數四第三數六相加得一十内減去第一數二得八即是第四數亦為隔一數又如三六九隔二數遞加之三數以第二數六第三數九相加得十五内減去第一數三得十二即是第四數亦為隔二數矣葢此即四率相當比例之理四率中兩率相乘與首末兩率相乘之數等故中兩率相乘以首率除之即得末率而此則中兩數相加與首末兩數相加之數等故以首一數減之即得末一數其義一也第十四凡依次遞加兩數以第二數倍之減去第一數即得挨次之第三數也如二三兩數將第二數三倍之得六内減去第一數二餘四即是第三數又如二四隔一數之兩數將第二數四倍之得八内減去第一數二餘六即是第三數四與六亦為隔一數也又如三六隔二數之兩數將第二數六倍之得十二内減去第一數三餘九即是第三數九與六亦為隔二數也葢此即三率相連比例之理三率以中率自乘與首末兩率相乘之數等故中率自乘以首率除之即得末率而此則中數倍之與首末兩數相加之數等故以首數減之即得末數於此見加減乘除之相對待而加減可以代乘除之理亦可從此推矣第十五凡有彼此可以度盡兩數欲求相連比例之數則以一數自乘以一數除之即得相連比例之第三數也如有四八兩數欲求第三數如四與八之相連比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即為四與八相連比例之第三數葢八者四之二倍而十六又為八之二倍則八與十六之比例必同於四與八之比例矣如有三數求第四數仍如四與八之比例則以第三數十六自乗得二百五十六以第二數八除之得三十二即為四八十六相連比例之第四數葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍則十六與三十二之比例必同於四與八八與十六之比例矣如欲求連比例之第五數或第六數即以相近兩數依前法算之由此遞生可至於無窮焉然此皆四與八之比例或四與十六或三與六五與十之類凡有彼此度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆如此求之無不可得矣第十六凡有彼此不可以度盡之兩數欲依此兩數比例求相連比例之數則以一數自乘為第一率而以又一數自乘為第三率以兩數互乘為第二率即為相連比例之三數也如有三五兩數欲求相連比例三數皆如三與五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三與五相乘得十五此九與十五十五與二十五之三數即如三與五之相連比例三數葢九為三之三倍而十五為五之三倍則九與十五為三與五之比例矣而十五為三之五倍二十五為五之五倍則十五與二十五亦為三與五之比例矣又或已有三數欲求第四數皆如三與五之連比例則以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五復以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六數内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四數即如三與五之相連比例數也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍則二十七與四十五之比例同於三與五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍則四十五與七十五之比例同於三與五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍則七十五與一百二十五之比例亦同於三與五之比例矣如欲求連比例之第五數或第六數以原一數遞乘先得之幾數復以又一數遞乘先得之幾數去其相同者所餘即成相連比例之數由此求之亦可至於無窮也然此皆三與五之比例或三與七四與九五與八之類凡彼此不可以度盡之數欲求相連比例幾數者亦皆倣此求之而即得矣第十七凡相當比例四數其前兩數之間有相連比例二數其後兩數之間亦必有相連比例二數也設如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相當比例之四數甲數二十四與乙數八十一之間有戊三十六己五十四之相連比例兩數則丙數三十二與丁數一百零八之間亦必有庚四十八辛七十二之相連比例兩數也試將甲戊己乙四數求其相當比例之至小數則得壬八癸十二子十八丑二十七之四數其甲與乙之比即同於壬與丑之比而丙與丁之比原同於甲與乙之比則丙與丁之比亦必同於壬與丑之比矣其比例既同則壬可以度盡丙丑亦可以度盡丁而癸與子亦必可以度盡庚與辛(壬癸子丑各四)(倍之即與丙庚辛丁等是四次可以度盡也)是丙庚辛丁四數之比皆與壬癸子丑四數之比相同也夫壬癸子丑原為甲戊己乙連比例相當之小數今丙庚辛丁之比既與之相同則丙庚辛丁亦為相連比例之四數矣既俱為相連比例數則戊己為甲乙兩數間之連比例數庚辛為丙丁兩數間之連比例數無疑矣第十八凡相連比例三數其第一數與第二數之間有相連比例一數則第二數與第三數之間亦必有相連比例一數也設如有甲二乙十八丙一百六十二相連比例之三數其甲數二與乙數十八之間有相連比例之丁數六則乙數十八與丙數一百六十二之間亦必有相連比例之戊數五十四也葢甲與乙之比同於乙與丙之比今丁六為甲二之三倍戊五十四亦為乙十八之三倍則甲與丁之比同於乙與戊之比而丁六為乙十八之三分之一戊五十四亦為丙一百六十二之三分之一則丁與乙之比亦同於戊與丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙為相連比例之五數而丁戊兩數為甲與乙乙與丙三數間之相連比例數可知矣第十九凡相連比例三數其首數與末數有用一數可以度盡者有用一數不可以度盡者如四八十六相連比例之三數其首數四與末數十六為彼此有一數可以度盡之數也如四六九相連比例之三數其首數四與末數九為彼此無一數可以度盡之數也然此兩種相連比例雖有度盡度不盡之分因其首數與中數之比同於中數與末數之比故總謂之相連比例之數焉葢末數可用首數平分即為有度盡之連比例數末數不可用首數平分即為無度盡之連比例數也且首末兩數彼此有一數可以度盡者此三數非相當比例之至小數若首末兩數彼此無一數可以度盡者此三數即為相當比例之至小數也如四八十六之三數其首末兩數為彼此有一數可以度盡之數而中數亦必為此一數可以度盡之數試用二以度之則得二四八之連比例三數或用四以度之則得一二四之連比例三數皆與四八十六之比例相同而比四八十六之數為小故四八十六非相當比例之至小數也如四六九之三數其首末兩數為彼此無一數可以度盡之數故中數亦為無一數可以度盡之數既無一數可以彼此度盡則為相當比例數内之至小數也明矣第二十凡同式兩平方數其間必有相連比例一數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式兩平方數此兩數之間必有壬十二為相連比例之一數焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既為同式平方數則其每邊皆可為比例如甲乙二與甲丁三之比同於戊己四與戊辛六之比而甲乙二與戊己四之比亦同於甲丁三與戊辛六之比也今以甲丁三與甲乙二相因得六甲丁三與戊己四相因得十二則六與十二之比同於甲乙二與戊己四之比矣又戊己四與甲丁三相因得十二戊辛六與戊己四相因得二十四則十二與二十四之比同於甲丁三與戊辛六之比矣夫甲丁三與戊辛六之比原同於甲乙二與戊己四之比則六與十二之比亦必同於十二與二十四之比矣又若兩正方數之間亦必有相連比例之一數也如有甲四丙九兩正方數此四與九兩數之間必有乙六為相連比例之一數焉葢兩正方數其式既同故必有相連比例一數且兩正方數之比例同於其兩邊所作連比例隔一位之比例(見幾何原本七卷第五節)今甲方邊為二丙方邊為三求其與二三相當連比例之第三數則以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四與六六與九之三數即為與二三相當之連比例數而其首數四與末數九既與甲丙兩方數等則中數六亦必為甲丙兩方數間之連比例數矣第二十一凡同式兩平方數相乘得數為正方數也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四為同式兩平方數相乘得一百四十四即為正方數矣葢同式兩平方數之間原有相連比例一數今此六與二十四之間必有十二之一數且連比例三率以首末兩率相乘與中率自乘之數等則此六與二十四兩平方數相乘所得之一百四十四即為中率十二自乘之數矣又若兩正方數相乘得數亦仍為正方數其方根即原兩方根相乘之數也如有甲四丙九兩正方數此兩數相乘得三十六仍為正方數其方根為六亦即甲方根二與丙方根三相乘之數也葢此兩方數俱為正方即為同式兩平方數矣因其式同故相乘亦仍得正方數也凡數有先各自乘而後相乘者有先相乘而後自乘者其理無異故其得數皆等今以二自乘得四以三自乘得九復以四九相乘得三十六此先各自乘而後相乘也以二與三相乘得六復以六自乘得三十六此先相乘而後自乘也且四與九積也積與積乘仍得積二與三根也根與根乘仍得根此亦理之必然者也第二十二凡兩正立方數之間必有相連比例之兩數也如有甲八丁二十七兩正立方數此八與二十七之間必有乙十二丙十八為相連比例之兩數焉葢兩正立方之比例同於其兩邊所作連比例隔二位之比例(見幾何原本十卷第四節)今甲方邊為二丁方邊為三求其與二三相當連比例之第三第四數則以二自乘得四以三自乘得九以二與三相乘得六此四六九為連比例三數又以二遞乘此四六九三數得八十二十八之三連比例數復以三遞乘四六九三數得十二十八二十七之三連比例數除相同者不計其二十七即連比例之第四數則八與十二十二與十八十八與二十七皆為與二三相當之連比例數而其首數八與末數二十七既與甲丁兩立方數等則其中數之十二十八為甲丁兩立方數間連比例之兩數可知矣第二十三凡兩正立方數相乘得數仍為正方數而其方根即原兩立方根相乘之數也如有甲八丁二十七兩正立方數此兩數相乘得二百一十六仍為正立方數而其方根為六亦即甲立方根二與丁立方根三相乘之數也葢此兩立方數俱為正方即為同式兩立方數矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡數有先自乘再乘而後以所得之數相乘者有先以兩數相乘而後以所得之數自乘再乘者其得數皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七復以八與二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而後以所得之數相乘也以二與三相乘得六復以六自乘再乘亦得二百一十六此先以兩數相乘而後以所得之數自乘再乘也且八與二十七積也以積乘積仍得積二與三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四凡兩平方數若一邊相等則此兩平方之比例同於其不等邊之比例也如有甲丙戊庚兩平方數其甲丙平方之甲乙邊為四而戊庚平方之戊已邊亦為四甲丙平方之乙丙邊為六而戊庚平方之己庚邊為八則此兩平方數二十四與三十二之比即同於其不等邊六與八之比也葢甲乙平方數二十四者四之六倍而戊庚平方數三十二者四之八倍也然則二十四與三十二之比即同於六與八之比矣二十四與三十二之比既同於六與八之比則兩平方數之比例同於其不等邊之比例可知矣第二十五凡兩立方數其底積相等則此兩立方之比例同於其髙之比例也如有甲乙丙丁兩立方數其甲乙立方之戊乙底為六而丙丁立方之己丁底亦為六甲乙立方之甲戊髙為四而丙丁立方之丙己髙為五則此兩立方數二十四與三十之比即同於其兩立方之高四與五之比也葢甲乙立方數二十四者六之四倍而丙丁立方數三十者六之五倍也然則二十四與三十之比即同於四與五之比矣二十四與三十之比既同於四與五之比則兩立方數之比例同於其髙之比例可知矣第二十六凡兩線兩面兩體用一度(如尺寸之屬)可以度盡者此類之線面體皆為有整分可以度盡者也設如有甲乙兩線甲線分為五分乙線如甲線度分之得七分無餘則此二線即為一度彼此可以度盡者矣若將此二線各為正方面各為正方體則其兩面兩體亦皆為整分彼此可以度盡者也至如兩線兩面兩體不可以一度度盡者此類之線面體皆為無整分可以度盡者也如丙丁戊己方面其丙丁邊線為五分而丙戊對角線則為七分有餘乃為彼此無度盡之數矣葢以丙丁邊之五分為度則丙戊線得七分有餘或將丙戊線為七分整而以其分為度則丙丁線得五分不足凡此類之線面體皆為無整分彼此可以度盡之數也第二十七凡正方一邊線與對角線無一度可以彼此度盡者葢以本方積與對角線所成方積比之必有一數非正方數也夫對角線自乘所作之方數為本方積之二倍如本方積一則對角線所作之方為二本方積四則對角線所作之方為八此一與二四與八之間無相連比例之整數故一為正方數則二非正方數四為正方數而八亦非正方數二與八既非正方數則邊必有零餘而不能盡矣或對角線所作方積為四則本方積為二對角線所作方積為十六則本方積為八此四與二十六與八之間亦無相連比例之整數故四為正方數而二非正方數十六為正方數而八又非正方數然則對角線所作方積固為正方數而本方積復不能成正方數其邊必有零餘而不能盡矣故凡正方邊線與對角線斷無一度可以彼此度盡之理也第二十八凡正方面與平圓面同徑者其積之比例同於其周圍邊線之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圓面其戊壬庚之徑相等則此方積與圓積之比例同於方周於圓周之比例也何以見之以正方面之壬庚半徑為髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周為底作一子甲直角長形方則此長方形之積比正方形之積必大一倍又以壬庚半徑為髙庚己己戊戊辛辛庚全周為底作一壬庚直角長方形則此長方形之積比平圓形之積亦必大一倍凡直角三角形之小邊與圓形之半徑等而三角形之大邊與圓形之全周等者三角形之積與圓形之積等也今此長方形與三角形同底同髙其積比三角形必大一倍然則壬庚長方形比圓形大一倍可知也夫壬庚子甲兩長方形既同以壬庚為髙則一邊數等一邊相等則其積之比例必同於其不等邊之比例而全與全之比例原同於半與半之比例故兩長方形之比例必同於庚庚與甲甲之比例而方與圓之比例亦必同於庚庚與甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圓周然則方周與圓周之比例豈非方積與圓積之比例乎第二十九凡有不知之一大數用兩小數度之不盡而一有餘一不足者其一多一少之數相併以兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何也如有一大數用小數五度之多一數用小數六度之又少四數則以多一與少四相加得五以六與五兩小數相減餘一為較數除之仍得五即知兩小數各度五次也試排㸃以明之其甲乙五即小數五丙丁六即小數六以甲乙五累五次則為甲乙己丙正方二十五多一為丁以丙丁六累五次則為甲戊丁丙長方三十少四為戊庚於甲戊丁丙長方三十内減去少數戊庚四為二十六於甲乙己丙正方二十五加入多數丁一亦為二十六是知大數有二十六用此五六兩小數各度五次之分也以丁一與戊庚四相加為丁戊五以小數甲乙五與丙丁六相減餘一以一除丁戊五仍得五與甲丙相等故甲丙為庚大數二十六之五次數也若以比例言之其小數五與六相減所餘一者乃度一次之較而一多一少相併之戊丁五者又為度五次之較故以所餘一與度一次之比即同於戊丁五與度五次之比其比例既同故其數亦相等也第三十凡有不知之一大數用兩小數度之不盡而俱有餘或俱不足者其兩有餘或兩不足之數俱相減以兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何也如有一大數用小數六度之多五數用小數七度之仍多一數則以兩多數相減餘四以六與七兩小數相減餘一為較數除之仍得四即知兩小數各度四次也試排㸃以明之其甲乙六即小數六丙丁七即小數七以甲乙六累四次則為甲乙庚丙方二十四多五為戊丁己以丙丁七累四次則為甲戊丁丙方二十八多一為己於甲乙庚丙方二十四加入多數戊丁己五得二十九於甲戊丁丙方二十八加入多數己一亦得二十九是知大數有二十九用此六七兩小數各度四次之分也以己一與戊丁己五相減餘戊丁四以小數甲乙六與丙丁七相減餘一以一除戊丁四仍得四與甲丙相等故甲丙為度大數二十九之四次數也若以比例言之其兩小數相減所餘之一乃度一次之較兩多數相減所餘之戊丁四乃度四次之較故以一與度一次之比即同於戊丁四與度四次之比也又如有不知之一大數用小數八度之少二數用小數九度之少六數則以兩少數相減餘四以八與九兩小數相減餘一為較數除之仍得四即知兩小數各度四次也今作㸃排之其甲乙八即小數八丙丁九即小數九以甲乙八累四次則為甲乙己丙方三十二内少二數為乙庚以丙丁九累四次為甲戊丁丙方三十六丙少六數為乙庚丁戊於甲乙己丙方三十二内減去少數乙庚二為三十於甲戊丁丙方三十六内減去少數乙庚丁戊六亦為三十是知大數有三十用此八九兩小數各度四次之分也以乙庚二與乙庚丁戊六相減餘戊丁四以小數甲乙八與丙丁九相減餘一以一除戊丁四仍得四與甲丙為相等故甲丙為度大數三十之四次數也其比例亦以兩小數相減所餘之較比度一次之分即同於兩少數相減所餘之較比度幾次之分也復有不知之一大數用兩小數度之一小數度之而盡一小數度之而不盡(或有餘或不足)即以不盡之數(或有餘之)(數或不足之數)用兩小數之較度之即得其度幾次之分與大數之幾何其理皆相同也第三十一凡數自少至多遞加之而各有定率者謂之平加比例數也夫平加之數有毎次遞加一者為挨次遞加之數如一二三四之類是也有每次遞加二者為超位平加之數如一三五七之類是也(或遞)(加三或遞加四或遞加五六皆是一理)有每次増一加者為按位相加之數如一三六十之類其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者為按位自乘之數如一四九十六之類其第二次加三第三次加五第四次加七是也復有一種倍加者為挨次倍加之數如一二四八之類每次皆加二倍又如一三九二十七之類每次皆加三倍是也遞加之數雖多按其條理求之大抵不出此數端今各列數分析於後第三十二凡挨次遞加之數將首數與末數相加以位數乘之所得之數折半即為總數也如一二三四五六七八九之九數其毎次所加之數為一將首數一與末數九相加得十以位數九乘之得九十折半得四十五即是此九數之總數也何也夫挨次遞加之數為等邊三角平面形而兩數相乘即成四方形今以位數九為髙末數九為底相乘所得之正方形其數八十一較之總數則多較之總數加倍之數又少此所少即一行之數爰知位數與底數相乘所得之數比總數加倍之數少一行之數矣既知挨次遞加之數為三角形而位數與底數相乘之數為正方形又知位數與底數相乘之數幾等於總積加一倍之數則合兩三角形之數適當總積加一倍之方數矣兩三角形所合其底數必比高數大一數故末數九為底數者加首數一與髙相乘始成兩三角形所合之一方形焉試將此九數作㸃排之自上而下上一下九作為直角三角形復將此九數另作一直角三角形合於原三角形之側則成一長方形其高即位數其底即末數與首數相加之數其積即為總數加一倍之數也然則首數末數相加與位數相乘為總數之倍數可知矣又如四五六七八九之六數欲知其總數亦以首數四與末數九相加得十三為底以位數六乘之得七十八為長方形折半得三十九為總數其理與前同若但知首數為四末數為九不知位數則視首數四以上至一虛幾位今虚三位故以三與末數九相減餘六即位數也何也凡自一遞加之數其末數即位數今首數為四計自一是少三位矣故用三即為所少之位數於末數内減去所少之位即為今之所有之位數也第三十三凡超位平加之數亦將首數與末數相加以位數乘之得數折半為總數也如一三五七九十一之六數(每次皆加二數)將首數一與末數十一相加得十二以位數六乘之得七十二折半得三十六為此六位之總數也葢此超位平加之數與挨次平加之理無異其以首末兩數相加與位數相乘者總欲得此總數之倍數以便折半取之也試將此六位之數作六層排之上一下十一以首末數相加得十二而以位數乘之則六層皆為十二矣上層本首數一加末數十一而成十二下層本末數十一加首數一而成十二是首數末數俱加倍矣二層本第二數三加第五數九而成十二五層本第五數九加第二數三而成十二是第二數第五數俱加倍矣三層本第三數五加第四數七而成十二四層本第四數七加第三數五而成十二是第三數第四數亦俱加倍矣其每位之數皆倍則相乘所得之數豈非此總數之倍數乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之類凡係超位平加之數其理無不相同也第三十四凡毎次按位相加之數將位數加二與末數相乘取其三分之一即為總數也如一三六一十十五之五數其每次皆按位加之(如第二位於第一位一上加二為三第三位於第二位三)(上加三為六是也)將位數五加二與末數十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五數之總數也如或止有位數或止有每一邊數求總數則以位數加一與位數相乘得數復以位數加二乘之取其六分之一即得總數也(若止有每一邊)(數即以每一邊數加一與每邊數相乘得數復以邊數加二乘之取其六分之)(一得數亦同)葢毎次按位相加之數層疊排之其式成等邊三角體其末一數即三角體底面數而位數即毎一邊之數今以位數加二為髙末數為底相乘即成平行面之三稜體凡同底同髙之平行面體為尖體之三倍則此平行面三稜體内必有等邊三角體之三倍故以三除之即得也然必以位數加二為髙者何也以三三角體相湊乃成上下相等之平行面體其髙必比原有之位數多二層(兩三角面相合比原位數多一層今三三角體相合故必比原位數)(多二層也)如止以位數為高即少二層之數而不足三三角體之分故必以位數加二乘之也其止有位數或每一邊數求總數以位數加一與位數相乘復以位數加二乘之而用六除者何也葢位數即底面之每邊數而底面又為等邊之三角面今以邊數加一與邊數相乘成長方面為三角體底面之倍數即如前挨次遞加數之兩三角面相合所成之長方形也凡等髙之體底數倍者積數亦倍彼以位數加二乘三角體之底所成之平行面三稜體既為等邊三角體之三倍矣今以位數加二乘三角體之倍底所成之平行面長方體又必為等邊三角體之六倍矣(以兩三稜體相合即成長方體一三)(稜體為三角體之三倍則兩三稜體必為三角體之六倍矣)故以六除平行面長方體之數而得等邊三角體之數也又或但知首數末數而不知位數則以末數倍之用一為較數開𢃄縱平方即得位數焉葢末數倍之者即兩三角面所合之長方也其闊即三角每邊數其長比闊多一數故用一為較開帶縱平方則得三角毎邊之數既得每邊數即得位數矣第三十五凡每次按位自乘相加之數將位數折半與末數相加復以位數加一乘之取其三分之一即為總數也如一四九十六二十五之五數其每位之數皆按位自乘之數(如第二位之四即二自乘數第三位之九即三自乘數也)將位數五折半為兩個半與末數二十五相加得二十七個半復以位數五加一為六乘之得一百六十五以三除之得五十五即為此五數之總數也如止有位數或止有每一邊數求總數則以位數加半個與位數相乘得數復以位數加一乘之取其三分之一即得總數也(若只有每一邊數即以每一邊數加半個與每一邊數相乘得數復以每)(邊數加一乘之取其三分之一得數亦同)葢按位自乘相加之數層疊排之其式成方底四角尖體其末一數即四角尖體底面數而位數即毎一邊之數今以位數折半與末數相加則成長方面為底再以位數加一為髙乘之即成平行面之長方體凡同底同髙之平行靣體為尖體之三倍則此平行面長方體内必有四角尖體之三倍故以三除之即得也然必以位數折半與末數相加為底復以位數加一為髙者何也葢三四角尖體相湊乃成上下相等之長方體其底比正方面必多半行其髙必比原有之位數多一層(三等邊三角體相合比三角體原位數多二層今三方底四角尖體相合比原)(位數止多一層葢因方底比三角底式大一倍故四角體髙比三角體髙所加)(之數减一半也)如止以末數為底則底必少半行之數止以位數為髙則髙復少一層之數必不足三四角尖體之分故以末數加位數之半而以位數加一乘之適足三四角尖體之分也其止有位數或每一邊求總數以位數加半個與位數相乘復以位數加一乘之而用三除之者何也葢位數即底靣之毎邊數而底面又為正方面今以邊數加半個與邊數相乘成長方面比正方止多半行之分其理即如求三角體總數以邊數加一與邊數相乘為三角體底之倍數也以位數加一與底面相乘成長方體比方底四角尖體大三倍即如求三角體總數以位數加二與倍底相乘為三角體之六倍也彼三角體底倍之為長方此四角體底數加半行即為長方彼三角體總數六倍爲同邊長方體此四角體總數三倍為同邊長方體故三角體以邊數加一與邊數相乘者今四角體以邊數加半與邊數相乘而三角體以位數加二為髙與倍底相乘者今四角體以位數加一與本底加半行相乘總之四角體底式比三角體底式大一倍故立法時三角體加數幾何而此四角體皆用其半也又或但知首數末數而不知位數則以末數開平方即得位數焉葢末數本為正方數故開方即得毎邊數既得毎邊數則得位數矣第三十六凡每次倍加之數將末數與加倍之數相乘減去首數復以所加之分數除之即得總數也如二四八十六四數為毎次以二倍之之數欲求其總數則以末數十六用二乘之(因以二倍之故用二乘)得三十二減去首數二為三十復以其所加分數一除之仍得三十即此四數之總數也葢以二加倍之數其末一數比前幾位之總數止多一首數故二乘末數則比末數多一分仍多一首數故減去首數二而以一除之即得總數也又如三九二十七八十一四數為毎次以三倍之之數欲求其總數則以末數八十一用三乘之(以三倍之故用三)得二百四十二減去首數三為二百四十復以其所加分數二除之得一百二十即為此四數之總數也葢以三加倍之數其末一數為前幾數之倍數而仍多一首數今三乘末數則比末數多二分仍多一首數(三乘)(末數八十一則為八十一者有三除本數八十一仍為多二分也)故必減去首數三而以二除之即得總數也又如四十六六十四二百五十六四數為毎次以四倍之之數欲求總數則以末數二百五十六用四乘之(以四倍之故用四)得一千零二十四減去首數四為一千零二十復以其所加分數三除之得三百四十為此四數之總數也葢以四加倍之數其末一數為前幾數之三倍而仍多一首數今四乘末數則比末數多三分仍多一首數(四乘末數二百五十六則為二百五十六)(者有四除本數二百五十六仍為多三分也)故必減去首數四而以三除之即得總數也凡此倍加之數不論加倍幾何皆為相連比例之數故其比例皆同如遞加二倍之數其四與八之比同於二與四之比即八與十六之比亦皆同於二與四之比也又如遞加三倍之數其九與二十七之比同於三與九之比即二十七與八十一之比亦皆同於三與九之比也即遞加四倍之數其十六與六十四之比同於四與十六之比即六十四與二百五十六之比亦皆同於一與四之比也總之以二倍加者皆一與二之連比例以三倍加者皆一與三之連比例以四倍加者皆一與四之連比例即推之以五倍加六倍加者其理亦無不相同也御製數理精藴上編卷五
## 下編卷一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷一首部一度量權衡命位加法減法因乘歸除度量權衡虞書同律度量衡葢度量衡皆本於律而律為萬事之本也漢志曰度者分寸尺丈引所以度長短也本起於黄鐘之長以子榖秬黍中者一黍之廣度之九十分黄鐘之長一為一分十分為寸十寸為尺十尺為丈十丈為引而五度審矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起於黄鐘之龠以子榖秬黍中者千二百實其龠合龠為合十合為升十升為斗十斗為斛而五量嘉矣權者銖兩斤鈞石所以權輕重也本起於黄鐘之重一龠容千二百黍重十二銖兩之為兩十六兩為斤三十斤為鈞四鈞為石而五權謹矣通考曰律度量衡並因秬黍散為諸法其率可通外此則代不一名度之異名者如左傳注方丈曰堵三堵曰雉(長三丈高一丈)易緯通卦驗十馬尾為一分孫子算術曰蠶所吐絲為忽十忽為絲十絲為豪十豪為釐十釐為分十分為寸十寸為尺十尺為丈小爾雅曰跬一舉足也倍跬謂之步四尺謂之仞倍仞謂之㝷倍㝷謂之常五尺謂之墨倍墨謂之丈倍丈謂之端倍端謂之兩倍兩謂之疋疋百謂之束孔安國又以八尺為仞説文曰人手却十分動脉為寸口十寸為尺周制寸咫尺㝷常仞皆以人體為法又曰婦人手八寸謂之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸為尺十尺為丈人長八尺故曰丈夫量之異名者如左傳齊舊四量豆區鬴鍾四升曰豆各自其四以登於鬴(六斗四升)鬴十則鍾(六十四斗)論語注十六斗曰庾十六斛曰秉孫子算術曰六粟為圭十圭為抄十抄為撮十撮為勺十勺為合漢應劭又以四圭為撮孟康以六十四黍為圭小爾雅一手之盛謂之溢兩手謂之掬掬四謂之豆豆四謂之區區四謂之釡釜二有半謂之藪藪二有半謂之缶缶二謂之鍾鍾二謂之秉秉十六斛衡之異名者如漢志注應劭曰十黍為纍十纍為銖小爾雅二十四銖曰兩兩有半曰㨗倍㨗曰舉倍舉曰鋝鋝謂之鍰二鍰四兩謂之斤斤十謂之衡衡有半謂之秤秤二謂之鈞鈞四謂之石石四謂之鼔通考唐劉承珪以忽萬為分絲則千豪則百釐則十轉以十倍倍之則為一錢黍以二千四百枚為一兩纍以二百四十銖以二十四是則度量衡之名不一故其為制不同而紛雜難用然時易世殊古今沿革有必不可比而同者故入算之際不過取其大同者以審不齊之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定於兩大之而遞進扵無窮小之而遞析於不可測爰悉其名目扵左以為數學之所資焉度法丈以下曰尺(十寸)寸(十分)分(十釐)釐(十豪)豪(十絲)絲(十忽)忽(十微)微(十纖)纖(十沙)沙(十塵)塵(十埃)埃(十渺)𣺌(十漠)漠(以下皆以十析)糢糊逡巡須臾瞬息彈指刹那六徳虚空清浄量法石以下曰斗(十升)升(十合)合(十勺)勺(十撮)撮(十抄)抄(十圭)圭(六粟)粟衡法兩以下曰錢(十分)分(十釐)釐(十豪)豪(十絲)絲(十忽)忽以下並與度法同凡度量衡自單位以上則曰十百千萬億兆京垓秭穰溝澗正載極恒河沙阿僧秪那由他不可思議無量數自億以上有以十進者如十萬曰億十億曰兆之類有以萬進者如萬萬曰億萬億曰兆之類有以自乘之數進者如萬萬曰億億億曰兆之類今立法從中數厯法則曰宮(三十度)度(六十分)分(六十秒)秒(六十微)微(六十纖)纖(六十忽)忽(六十芒)芒(六十塵)塵又有日(十二時又為二十四小時)時(八刻又以小時為四刻)刻(十五分)分以下與前同田法則曰頃(百畝)畝(積二百四十步)分(積二十四步)里法則三百六十步計一百八十丈為一里古稱在天一度在地二百五十里今尺驗之在天一度在地二百里葢古尺得今尺之十分之八實縁縱黍横黍之分也石法二千五百寸(按漢志曰斛重二鈞又曰四鈞為石是二斛為一石也古尺斛積一)(千六百二十寸為今尺之八百六十寸有竒倍之得古尺石積三千二百四十寸為今尺之一千七)(百二十寸有竒以權法凖之石重一百二十斤求其積古尺應得三千一百一十寸為今尺之一千)(六百五十寸有竒今之權法又加古一倍則今尺石積應得三千三百寸有竒今現行斛積為一千)(五百八十寸石積為三千一百六十寸舊算書所載數各不同而多以二千五百寸為率摠之古今)(尺度不同古今量法亦不一須先求其斗斛之積數然後用其積數以比例之方得密合今設例從)(舊數)命位凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐豪皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至扵厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例一位即命一等者宮度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之别焉此又命位之最要者也凡數未至單位者必須作○以存其位如有數一萬二千三百四十丈則補作○以存單位如上式 又如有數一萬二千丈則補作○○○以存百十單之位如下式凡數單位後有竒零者必作㸃於單位上以誌之如有金三百四十五兩六錢七分命兩為單位則於五上作㸃誌之如上式 又如有米六石五斗四升三合命石為單位則於六上作㸃誌之如下式凡列衆數幾多位中有空者必作○以存其位如有數二萬零四百五十六此中千位無數故必作○於萬後百前以存其位如上式 又如有數一萬零三十四此中千位百位俱無數故補作兩○於萬後十前以存其位如下式凡宮度分秒皆兩位列之如有一十一宮二十度三十二分四十五秒列位如上式 又如日時刻分列位日時分則兩位刻止一位列之如二十一日一十八時三刻零二分列位如下式加減乘除算法以加減乘除為入門然究其終雖至扵千變萬化總不出乎此但用法不同耳或應取其相和之數則用加或應取其相較之數則用減或應聚而總其積則用乘或應散而取其分則用除又有先加而後減者或先減而後加者有先乘而後除者或先除而後乘者又有加減與乘除先後互用者古稱九章命算自方田以至勾股數有繁簡理有顯晦法有淺深算有難易然何一不從加減乘除而得故淺言之則算法之入門究言之實算法之全體也加法加者合衆數而成總也葢數始扵一終於九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十百千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次併之即得總數若夫宮度時刻斤兩之類則不以十進必足其所命之分始進一位(如宮度足六十分進)(一度足三十度進一宫如時刻足十五分進一刻足四刻進一時足二十四時進一日如斤兩足十六兩)(進一斤之類)至於定位則以原數列扵上加數列扵下或大數列於上小數列於下按法依次對位列之加畢所得之數依原列之位定之設如有數一萬二千三百四十五與六千七百八十九相加法以原數横列於上加數横列於下按位相對加之(如九與五相對單從單八與四相對十從十百千萬)(數俱各從其類)單位之五九相加得十四進十於前位為一誌之(作一㸃於前位為誌如進二十則作二㸃)(如進三十則作三㸃)本位紀四(書於横格下)次十位之四八相加得十二併所進之一為十三復進十於前位為一誌之本位紀三次百位之三七相加得十併所進之一為十一復進十於前位為一誌之本位紀一次千位之二六相加得八併所進之一為九於是本位紀九至於萬位獨有原數無可加則仍紀一所加之數共得一萬九千一百三十四即總數也設如有數一萬四千五百四十五與一萬七千三百五十相加法以原數横列於上加數横列於下加數内單位無數故作○以存其位仍按位相對加之單位之五對○無可加仍紀五次十位之四五相加得九本位紀九次百位之五三相加得八本位紀八次千位之四七相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次萬位之一與一相加得二併所進之一為三於是本位紀三所加之數共得三萬一千八百九十五即總數也設如有二十三丈零五寸六分與二丈八尺六寸二分相加法以原數横列於上加數横列於下原數内尺位無數故作○以存其位仍按位相對加之分位之六二相加得八本位紀八次寸位之五六相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次尺位之八對○無可加乃併所進之一為九本位紀九次丈位之三二相加得五本位紀五至扵十位獨有原數無可加則仍紀二所加之數共得二十五丈九尺一寸八分即總數也設如有糧四萬五千零三十一石與三千零九十石相加法以原數横列於上加數横列於下原數内百位無數加數内百位單位俱無數故各作○以存其位仍按位相對加之石位之一對○無可加仍紀一次十位之三九相加得十二進十於前位為一誌之本位紀二次百位○與○無可加則以所進之一為本位數故下紀一次千位之五三相加得八本位紀八至於萬位獨有原數無可加則仍紀四所加之數共得四萬八千一百二十一石即總數也設如有銀八兩六錢五分四釐與四兩零六分二釐相加法以原數横列扵上加數横列扵下加數内錢位無數故作○以存其位仍按位相對加之釐位之四二相加得六本位紀六次分位之五六相加得十一進十於前位為一誌之本位紀一次錢位之六對○無可加乃併所進之一為七本位紀七次兩位之八四相加得十二進十於前位為一誌之本位紀二至扵十位無數則紀所進之一為一所加之數共得十二兩七錢一分六釐即總數也設如有田三區一區五百九十二畝三分一區八百五十五畝九分一區七百八十二畝五分相加法以田三區按位横列相對加之分位之三九五相加得十七進十於前位為一誌之本位紀七次畝位之二五二相加得九併所進之一為十進十於前位為一誌之本位紀○次十位之九五八相加得二十二併所進之一為二十三進二十於前位為二誌之本位紀三次百位之五八七相加得二十併所進之二為二十二進二十於前位為二誌之本位紀二至扵千位無數則紀所進之二為二所加之數共得二千二百三十畝零七分即總數也設如有銀九宗一宗八千八百五十二兩一宗三千二百一十一兩一宗五百二十兩一宗九百三十八兩一宗二千五百九十兩一宗一千二百一十五兩一宗二千五百一十八兩一宗五千三百六十六兩一宗四千三百七十二兩相加法因九宗數繁難加故分為三次三次復併為一次則得共數其八千八百五十二兩三千二百一十一兩五百二十兩相併則得一萬二千五百八十三兩其九百三十八兩二千五百九十兩一千二百一十五兩相併則得四千七百四十三兩其二千五百一十八兩五千三百六十六兩四千三百七十二兩相併則得一萬二千二百五十六兩既得三總數又將三數併之得二萬九千五百八十二兩即九宗共數也設如九宮二十度三十分二十六秒與六宫一十八度二十分五十秒相加法以原數横列於上加數横列於下其每項各命兩位仍按各位相對加之秒之單位六對○無可加仍紀六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒進一分誌於分之本位秒之十位紀一次分之單位○與○無可加則以所進之一為本位數故下紀一次分之十位三二相加得五故下紀五次度之單位八對○無可加仍紀八次度之十位二一相加得三十乃以三十度進一宮誌於宮之本位度之十位紀○次宮之本位九六相加得十五併所進之一為十六因十二宮滿一周天故逢十二去之餘四故下紀四所加之數共得四宫八度五十一分一十六秒即總數也設如一日一十五時二刻八分與一日一十二時三刻九分相加法以原數横列於上加數横列於下日時分則合兩位共加刻則仍命以單位葢以四刻進一小時故也分位之八與九相加得十七十五分進一刻故於刻之本位下誌一餘二故單位下紀二十位下紀○次刻位之二與三相加得五併所進之一為六四刻進一時故於時之本位下誌一餘二故本位紀二次時之單位五二相加得七併所進之一得八時之十位一與一相加得二共為二十八二十四時進一日故於日之本位下誌一餘四故時之單位下紀四十位下紀○次日之單位一與一相加得二併所進之一為三故下紀三所加之數共得三日四時二刻二分即總數也設如有物重三十四斤十五兩五錢與二十一斤十四兩三錢相加法以原數横列於上加數横列於下其錢位斤位與斤之十位仍皆按位相對加之兩位與兩之十位則合其數共加之(兩以十六方進一斤故合而加之如列數有兩數無十數者仍作○以存)(十兩之位)錢位之五三相加得八本位紀八兩位之原數十五加數十四相加共得二十九則進十六兩於前斤位為一誌之其所餘十三兩則於兩位紀三十位紀一次斤位之四一相加得五併所進之一為六本位紀六次十位之三二相加得五本位紀五所加之數共得五十六斤十三兩八錢即總數也減法減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之數書於上應減之數書於下横列必對其位相減必從其類(如千減千百減百之類)如或下數大於上數不足減則借前位之一以減本位(加法由後而進前減法則借前而退後其理一也詳)(見設如中)前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之一併於前數而為減數然兩數相減必先辨其多寡首位必大於減數始可其定位亦照原列之次為減餘位設如有數五萬六千七百八十九内減四萬三千六百四十二法自單位減起單位之九減二餘七故下紀七十位之八減四餘四故下紀四百位之七減六餘一故下紀一千位之六減三餘三故下紀三萬位之五減四餘一故下紀一所減之數得一萬三千一百四十七即餘數也設如有數二萬三千六百七十二内減一萬六千四百八十一法自單位減起單位之二減一餘一故下紀一十位之七減八為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十七減八餘九故下紀九百位之六減四併十位所借之一則為六減五餘一故下紀一千位之三減六為下大於上則借前位之一(前位亦作一㸃為誌)作本位之十共十三減六餘七故下紀七萬位之二減一併千位所借之一則為二減二恰盡故下紀○所減之數得七千一百九十一即餘數也設如有六丈七尺八寸九分一釐内減三丈四尺五寸九分九釐法自釐位減起釐位之一減九為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十一減九餘二故下紀二分位之九減九併釐位所借之一則為九減十亦為下大於上故復借前位之一(前位)(下作一㸃為誌)作本位之十共十九減十餘九故下紀九寸位之八減五併所借之一則為八減六餘二故下紀二尺位之七減四餘三故下紀三丈位之六減三餘三故下紀三所減之數得三丈三尺二寸九分二釐即餘數也設如有米六十五石四斗三升二合内減四十六石二斗七升三合法自合位減起合位之二減三為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十二減三餘九故下紀九升位之三減七併合位所借之一則為三減八為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃)(為誌)作本位之十共十三減八餘五故下紀五斗位之四減二併升位所借之一則為四減三餘一故下紀一石位之五減六為下大於上則借前位之一(前位下作)(一㸃為誌)作本位之十共十五減六餘九故下紀九十位之六減四併所借之一則為六減五餘一故下紀一所減之數得十九石一斗五升九合即餘數也設如有銀十五兩三錢六分七釐内減九兩二錢三分四釐法自釐位減起釐位之七減四餘三故下紀三分位之六減三餘三故下紀三錢位之三減二餘一故下紀一兩位之五減九為下大於上則借前位之一(前位)(下作一㸃為誌)作本位之十共十五減九餘六故下紀六十位之一減兩位所借之一恰盡故下紀○所減之數得六兩一錢三分三釐即餘數也設如七宮一十八度二十七分五十二秒内減九宮二十一度三十五分四十三秒法自秒位減起秒之單位二減三為下大於上則借前位之一(前位下作一㸃為誌)作本位之十共十二減三餘九故下紀九秒之十位五減四併所借之一則為五減五恰盡故下紀○分之單位七減五餘二故下紀二分之十位二減三為下大於上則借度位之一為六十分(度位下作一㸃)(為誌)六十分與原二十分共為八十分内減三十分餘五十分故下紀五度之單位八減一併所借之一則為八減二餘六故下紀六度之十位一減二為下大於上則借宮位之一為三十度(宮位下作一㸃)(為誌)三十度與原十度共為四十度内減二十度餘二十度故下紀二宮之單位七減九併所借之一則為七減十為下大於上則外借一周天為十二宮十二宮與原七宮共為十九宮内減十宮餘九宮故下紀九所減之數得九宮二十六度五十二分九秒即餘數也設如一十二日二十二時三刻零九分内減一十一日二十三時三刻十分法自分位減起日位刻位俱各按單位相減其分位時位則合兩位減之分位之九減十為下大扵上則借刻位之一為十五分(刻之本位下作一㸃為誌)十五分與原九分共為二十四分内減十分餘十四分故分之單位紀四分之十位紀一刻之本位三減三併所借之一則為三減四為下大扵上則借時位之一為四刻(時之)(單位下作一㸃為誌)四刻與原三刻共為七刻内減四刻餘三刻故本位下紀三時位之二十二減二十三併所借之一則為二十二減二十四為下大扵上則借日位之一為二十四時(日之本位下作一㸃為誌)二十四時與原二十二時共為四十六時内減二十四時餘二十二時故時之單位下紀二時之十位下亦紀二日位之二減一併所借之一則為二減二恰盡故下紀○日之十位之一減一恰盡故亦紀○所減之數得二十二時三刻一十四分即餘數也設如有物十五斤零四兩八錢内減十二斤十二兩三錢法自錢位減起錢位之八減三餘五故下紀五兩位之四減二似非下大扵上然原數兩之十位為○(十六兩為一斤故作○於斤後)(兩前以存十兩之位)而減數兩之十位為一則為四兩減十二兩亦為下大扵上故借斤位之一為十六兩(斤位下作一㸃為誌)十六兩與原四兩共為二十兩内減十二兩餘八兩故兩之單位紀八十位紀○斤位之五減二併所借之一則為五減三餘二故下紀二十位之一減一恰盡故下紀○所減之數得二斤零八兩五錢即餘數也因乘因乘者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至於煩而無統此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乘數為法實列於上法列扵下必使法實相當(如千對千百對百十對十單對單之類)按法乘實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乘者法實之一位統得數之二位(如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零)(有二位則截得數之四位向前為單位計之)法實相乘再以法乘者(即自乘再)(乘也)法實之一位統得數之三位(如單位後竒零有一位則截得數之三位)(竒零有二位則截得數之六位向前為單位計之)是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乘之類以三位論者則為自乘再乘之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如於左設如有三人每人賞縀二疋問共得幾疋法以三人為實列於上二疋為法列扵下以二因三得六即書於本位下定位以實之三人即是單位而法又止一位為疋今得數之六與實之單位相對故知六是疋位得共數為六疋也設如有八人每人賞米六石問共得幾石法以八人為實列扵上六石為法列扵下以六因八得四十八將四書於前位下(前位為十位故十數紀前位下)八書於本位下(本位為單)(位故單數紀本位下)定位以實之八人即是單位而法亦止一位為石今得數之八與實之單位相對即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共數為四十八石也設如有一十二人每人賞銀五兩問共得幾兩法以一十二人為實列於上五兩為法列扵下命兩位與人之單位相齊先以五乘二得一十將十進前一位作一㸃誌之紀○於本位下(此數無單故下紀○)次以五乘一仍得五併所進之一為六故書六於本位下(一雖為十位而以五乘一則一下為本位矣)共得六○定位因實之單位對法之兩位而得數之○與實之單位相對故知○為兩位而六為十位得共數為六十兩也設如有二十四人每人賞銀三兩六錢問共得幾兩法以二十四人為實列於上三兩六錢為法列於下命錢位與人之單位相齊乃以法之六遍乘實之二四其所得之單位數即對本法位下書之六乘四得二十四將二十進前一位作二㸃誌之四書於本位下次以六乘二得一十二将十進前一位為一書之二併所進之二為四故書四於本位下(二雖為十位而以六乘二)(則二下即為本位矣)法之六既與實乘畢次以法之三遍乘實之二四其所得之單位數即對本法位下書之三乘四得一十二將十進前一位作一㸃誌之二書於本位下次以三乘二得六併所進之一為七故書七於本位下法之三又與實乘畢乃用加法併之共得八六四總書扵下定位以實尾之四係四人為單位而法尾為錢今得數末位之四與實之單位相對即知四是錢位二位為兩三位為十兩得共數為八十六兩四錢也設如有田三百六十畝每畝納糧三升五合問共得若干法以三百六十畝為實列扵上三升五合為法列於下實之單位無數則補○以存其位命合位與畝之單位相齊乃以法之五遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之五乘○仍為○故下紀○五乘六得三十將三十進前一位作三㸃誌之本位紀○五乘三得一十五將十進前一位為一書之五併所進之三為八故書八於本位下又以法之三遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之三乘○仍為○故下紀○三乘六得一十八將十進前一位作一㸃誌之八書於本位下三乘三得九併所進之一為十故進前一位為一書之本位紀○乘畢用加法併之共得一二六○○總書於下定位以實尾之○係單位法尾是合今得數末位之○與實之單位相對即知末位之○是合前一位是升向前數至首位得十石因知共數為一十二石六斗也設如有田三頃五十畝每頃納糧一石二斗三升問共得若干法以三頃五十畝為實列於上(因畝位無數故)(作○以存其位)一石二斗三升為法列於下命石位與頃之單位相齊(題中言每頃納一石故石與頃)(對為單位)乃以法之三遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之三乘○仍得○故下紀○次以三乘五得一十五將十進前一位作一㸃誌之五書於本位下次以三乘三得九併所進之一為十故進前一位為一書之本位紀○又以法之二遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之二乘○仍得○故下紀○二乘五得一十將十進前一位作一㸃誌之本位紀○二乘三得六併所進之一為七故書七於本位下又以法之一遍乘實之三五○其所得之單位數即對本法位下書之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各書於本位下乘畢用加法併之共得四三○五○總書於下定位因每頃納糧一石二斗三升即命頃為單位而石亦為單位其後二位則為竒零凡法實之竒零有一位則統得數之兩位今竒零既有二位則統得數之四位故從後截去四位而第五位定為石因知共數為四石三斗零五合也設如有金三十六兩每兩價銀九兩九錢八分問共價幾何法以三十六兩為實列於上九兩九錢八分為法列於下實中錢位分位俱無數則補作○○以存其位命分位與分位相齊乃以法之八遍乘實之三六○○先以八乘○○仍得○○故下紀○○次以八乘六得四十八將四十進前一位作四㸃誌之八書於本位下次以八乘三得二十四將二十進前一位為二書之四併所進之四為八故書八於本位下又以法之九遍乘實之三六○○先以九乘○○仍得○○故下紀○○次以九乘六得五十四將五十進前一位作五㸃誌之四書於本位下次以九乘三得二十七將二十進前一位作二㸃誌之七併所進之五為十二十又進前一位為一併所誌之二為三故前位書三本位書二又以法之九遍乘實之三六○○先以九乘○○仍得○○故下紀○○次以九乘六得五十四將五十進前一位作五㸃誌之四書於本位下次以九乘三得二十七將二十進前一位作二㸃誌之七併所進之五為十二十又進前一位為一併所誌之二為三故前位書三本位書二乘畢用加法併之共得三五九二八○○定位因題言每兩價銀九兩九錢八分爰以兩為單位其後二位則為竒零竒零既有二位則統得數之四位故從後截去四位而第五位定為兩第六位為十第七位為百因知共數為三百五十九兩二錢八分也設如有物二十六斤求兩數法以二十六斤為實列於上以每斤十六兩為法列於下乃以法之六遍乘實之二六其所得之單位數即對本法位下書之六乘六得三十六將三十進前一位作三㸃誌之六書扵本位下次以六乘二得一十二將十進前一位為一書之二併所進之三為五故書五於本位下又以法之一遍乘實之二六其所得之單位數即對本法位下書之一乘六仍得六故下書六次以一乘二仍得二故下書二乘畢用加法併之得四一六定位因實尾是單位而法尾又是兩位故得數末位之六即為單位為兩而前一位為十又前一位為百因知得數為四百一十六兩也又法斤求兩身加六名為定身加法葢以十六兩之十為一乘之仍得原數故以本身加六即得如二十六斤則從首位加起二六加一十二將一對實之十位二對實之單位下書之又六六加三十六則三對實之單位而六對實之單位後一位書之用加法相併得四一六定位以原斤數之後一位為兩今得數末位之六在原斤數之後一位即知是兩因知得數為四百一十六兩也設如周天三百六十度每度六十分問共得若干分法以三百六十度為實列扵上以六十分為法列扵下(因單位俱無數故各作○以存其位)乃以法之○遍乘實之三六○仍皆得○故各紀○於各位下又以法之六遍乘實之三六○其所得之單位數即對本法位下書之六乘○仍得○故本位下紀○次以六乘六得三十六將三十進前一位作三㸃誌之六書於本位下次以六乘三得一十八將十進前一位作一㸃誌之八併所進之三為十一十又進前一位為一併所誌之一為二故前位書二本位書一乘畢用加法併之共得二一六○○定位以實之末位是單位法之末位是分今求分數故得數末位之○即是分之單位向前數至首位得萬因知共數為二萬一千六百分也設如有驗時儀墜子來一秒往一秒今十五分問共得來往幾秒法以十五分為實列於上以每分六十秒為法列於下乃以法之○遍乘實之一五仍皆得○故各紀○於本位下又以法之六遍乘實之一五其所得之單位數即對本法位下書之六乘五得三十將三十進前一位作三㸃誌之本位紀○次以六乘一仍得六併所進之三為九故書九於本位下定位以實之末位是單位法之末位是秒今求秒數故得數末位之○即是秒之單位其前一位為十又前一位為百因知共數為九百秒也設如一尺二寸自乘求積(以本數乘本數故為自乘)法以一尺二寸互為法實列扵上下乃以法之二遍乘實之一二其所得之單位數即對本法位下書之二乘二得四故下書四次以二乘一仍得二故下書二又以法之一遍乘實之一二其所得之單位數即對本法位下書之一乘二仍得二故下書二次以一乘一仍得一故下書一乘畢用加法併之共得一四四定位因自乘數成平方面其每一尺正方面容積一百寸故百寸為尺百尺為丈俱以兩位命之今實之末位為寸即命為單位法之末位是寸得數末位之四與實之單位相對即知為寸位向前第二位為十寸第三位為百寸既以百寸為尺即知得數為一尺四十四寸也若命尺為單位則扵尺上命位其後一位為竒零故扵得數内從末截去二位以第三位為尺(葢自乘乃兩數相乘兩數既各有一位零)(數故截去兩位算也)今得數有三位即知首位為一尺首位既為尺末位又既為寸則中一位為十寸可知矣設如一尺二寸自乘再乘求積(以本數乘本數所得之數又以本數乘之)(故謂之自乘再乘)法先以一尺二寸互為法實按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸為實復以一尺二寸為法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘數成立方體其每一尺正方體容積一千寸故以千寸為尺千尺為丈俱以三位命之今實之末位為寸即命為單位法之末位是寸得數末位之八與實之單位相對即知為寸位向前第二位為十寸第三位為百寸第四位為千寸既以千寸為一尺即知得數為一尺七百二十八寸也若命尺為單位則於尺上命位其後一位為竒零故扵得數内從末截去三位以第四位為尺(葢自乘再乘乃以三數相乘三數既)(各有一位零數故截去三位算也)今得數有四位即知首位為一尺首位既為尺末位又既為寸則中二位為十寸百寸可知矣歸除歸除者分數也以數分數有各得均齊之義焉凡有兩數以此數減彼數減得幾次即為所得然所減之次數多則益至於紛而難紀此歸除之所以立也歸者一位歸之而得如歸作幾分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之數與法相因而於實内除去也其法以原數為實横列於下除數為法横列於上法之小於實者法之首位與實之首位列齊法之大於實者則法比實退一位看實足法幾倍即為得數自法之末位上紀所得之數既得數乃以所得與法相因書於實下與實相減餘者即為次商實依次按法歸除以恰盡為度(減餘者乃所得與法相因之數在實中所減者其數每與)(法位相對即初商之餘實也至於實位所餘之數則每次取下一位續於減餘之末以為每商之實若實)(無餘位而歸除仍未盡者則按位添○以紀之)如實不足法之一倍者則得數為○定位之法以法中所命單位與原實相對之數為所得之首位數若實之位數少於法者則作幾○位以補足法然後位數一覽即明至於一位歸除㨗法則竟以原數書於上就身用幾分分之得數書於下其定位仍照原列之位定之具見設如於左設如有緞六疋令三人分之問每人得幾疋法以六疋為實列於下三人為法列於上今法與實俱為單位而法比實小故列法與實相齊爰看實足法幾倍今足二倍故書二於法上乃以得數之二與法之三相因得六書於實下與實相減恰盡即得數為二疋也定位因法之三人即為單位而實亦止一位為疋是法之單位與實之疋位相對故得數為二疋也設如有米六十四石令八人分之問每人得幾石法以六十四石為實列於下八人為法列扵上因法之八大於實之首位之六故將法退一位書之爰看實足法幾倍今足八倍故書八於法上乃以得數之八與法之八相因得六十四書於實下(其所得單位數即對得數之本位下書之)與實相減恰盡即得數為八石也定位因法之八人即為單位而與實之石位相對故得數為八石也設如有銀三百四十三兩令七人分之問每人得幾兩法以三百四十三兩為實列於下七人為法列於上因法之七大於實之首位之三故將法退一位書之爰看實足法幾倍今實前兩位為三四足法之四倍(何以知其足法之四倍葢實之三十四内足法之七之四倍為二十八如法之)(七之五倍則為三十五比實則大矣)故書四於法上乃以得數之四與法之七相因得二十八書於實下(其所得單位數即對得數之本位下書之後倣此)與實相減餘六次取實數所餘之三書於減餘之後共六三為次商實爰看實之六三足法幾倍今足九倍故書九於得數之次乃以得數之九與法之七相因得六十三書於次商實之下與實相減恰盡即得數為四十九兩也定位因法之七人即為單位而與實中之兩之十位相對故得數首位即為十而次位為兩是知每人得四十九兩也設如有絲四十五斤共織得緞九十二丈二尺五寸問每斤織得若干法以九十二丈二尺五寸為實列於下四十五斤為法列於上因法之首位四小於實之首位九故列法與實相齊爰看實之九二足法之二倍故書二於法上乃以得數之二與法之四五相因得九○書於實下與實相減餘二次取實數所餘之二書於減餘之後共二二為次商實今實之二二不足法之四五之一分故得數為○乃紀○於上復取實數所餘之五書於二二之後共二二五為三商實(次商實之二二不足法之四五故再取實之一位續書於)(下謂之三商實者○位為次商故也)爰看實之二二五足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之四五相因得二二五書於實下與實相減恰盡即得數為二丈零五寸也定位因法之五斤為單位而與實之丈位相對故得數首位即為丈等而下之為尺為寸是知每斤織得二丈零五寸也設如有田四十五畝六分共納榖五十七石問每畝納榖若干法以五十七石為實列於下四十五畝六分為法列於上因法之首位四小於實之首位五故列法與實相齊又因實之位數少於法故補作○以足其位爰看實之五七○足法之一倍故書一於法上乃以得數之一與法之四五六相因仍得四五六書於實下與實相減餘一一四此後實無餘位故添書一○於減餘之末為次商實爰看一一四○足法之二倍故書二於上乃以得數之二與法之四五六相因得九一二書於實下與實相減餘二二八又添書一○於減餘之末為三商實爰看二二八○足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之四五六相因得二二八○書於實下與實相減恰盡即得數為一石二斗五升也定位因法之五畝為單位而與實之石位相對故得數首位為石是知每畝納榖一石二斗五升也設如有丹砂一兩價值錢二萬五千文問每錢一文該得丹砂幾何法以丹砂一兩為實列於下錢二萬五千為法列於上因法之首位二大於實之首位一故將法退一位列之又因法之百位十位單位俱無數故各作○以存其位而實亦作五○位以補足法爰看實足法之四倍故書四於法上乃以得數之四與法之二五○○○相因得一○○○○○書於實下與實相減恰盡即得數為四絲也定位因法之末位○係單位故從實之首位一兩數至法之單位相對之位為絲是知每錢一文得丹砂四絲也設如有銀一千二百五十兩買果賞人每果一枚價二釐五豪問買果若干法以一千二百五十兩補五○位為實列於下(因法之末位是豪故補五○位與法相對葢命實為一千二百)(五十萬豪也)二釐五豪為法列於上爰看實之一二五足法之五倍故書五於法上乃以得數之五與法之二五相因得一二五書於實下與實相減恰盡然實後尚有五○位故得數後亦添五○位為五十萬也定位因法實俱至豪位止即命豪為單位爰從實之末位數至法之單位相對之位為十萬是知得果為五十萬枚也設如有物重三百八十四兩問得斤數若干法以三百八十四兩為實列於下每斤一十六兩為法列於上爰看實之三八足法之二倍故書二於法上乃以得數之二與法之一六相因得三十二書於實下與實相減餘六次取實數之四書於減餘之後共為六四因足法之四倍故書四於上乃以得數之四與法之一六相因得六十四書於實下與實相減恰盡即得數為二十四斤也定位因法之兩數為單位而與實之十位相對故知得數為二十四斤也又法名為斤稱流法其法曰一退六二五(如一萬兩則為六百二十五斤一千兩則為六十二斤半一百兩則為六)(斤二分半皆以十遞析退者退一位命之也)二一二五(如二萬兩)(則為一千二百五十斤二千兩則為一百二十五斤二百兩則為十二斤半不)(言退者對位命之也餘倣此)三一八七五四二五五三一二五六三七五七四三七五八五九五六二五如三百八十四兩則列於上先以三之一八七五通之爰將一對三之本位以下依次向後書之次以八之五通之將五對八之本位書之次以四之二五通之將二對四之本位書之五則列於次位三數書畢乃以加法併之得數為二十四斤定位因兩之前一位為斤今得數之四在兩之前一位故四即為斤位而又前一位則為十位是知得數為二十四斤也設如周天三百六十度分十二宮問每宮得若干度法以三百六十度為實列於下一十二宮為法列於上爰看實之三六足法之三倍故書三於法上乃以得數之三與法之一二相因得三六書於實下與實相減恰盡然實後尚有○位故得數後亦添一○位即得數為三十度也定位因法之二為單位而與實之十位相對故得數首位為十而每宮為三十度也設如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分之問每刻得若干分法以一千四百四十分為實列於下以九十六刻為法列於上爰看實之一四四僅足法之一倍故書一於法上乃以得數之一與法之九六相因仍得九六書於實下與實相減餘四八次取實之○位書於減餘之後共為四八○因足法之五倍故書五於上乃以得數之五與法之九六相因得四八○書於實下與實相減恰盡即得數為一十五分也定位因法之六為單位而與實之十位相對故得數首位為十而每刻為一十五分也一位歸除㨗法設如有銀三十四萬五千六百七十八兩作二分分之問每分若干法以三十四萬五千六百七十八兩為實列於上視首位之三足二分之幾何今足一倍故下書一一二除二餘一乃移於下位為十(下位作㸃為誌)併下位之四共為十四足二分之七倍故下書七二七除一十四恰盡次五足二分之二倍故下書二二二除四餘一移於下位為十併下位之六共為十六足二分之八倍故下書八二八除一十六恰盡次七足二分之三倍故下書三二三除六餘一移於下位為十併下位之八共為十八足二分之九倍故下書九二九除一十八恰盡定位因得數仍原數之位故知每分得一十七萬二千八百三十九兩也設如有銀一十二萬三千四百五十三兩作九分分之問每分若干法以一十二萬三千四百五十三兩為實列於上因首位之一小於九分故移於下位為十併下位之二共為十二足九分之一倍故下書一一九除九餘三移於下位為三十併下位之三共為三十三足九分之三倍故下書三三九除二十七餘六移於下位為六十併下位之四共為六十四足九分之七倍故下書七七九除六十三餘一移於下位為十併下位之五共為十五足九分之一倍故下書一一九除九餘六移於下位為六十併下位之三共為六十三足九分之七倍故下書七七九除六十三恰盡定位因得數比原數退一位故知每分得一萬三千七百一十七兩也御製數理精藴下編卷一
## 下編卷二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二首部二命分約分通分命分凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所不逮也設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六釐六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也再加入三人所得整數共九兩(一人三兩三人共得九兩)則得十一兩以合原數也設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得若干法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命為十八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再加入十八人所得整數共一百八十兩(一人十兩十八人共)(得一百八十兩)則得一百八十七兩以合原數也約分約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明帶分之根也設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之二十五今以法約之求相當最小數法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為四分之一是歳實共得三百六十五日又四分日之一也(葢將一日剖作四分而得其四分之一也)凡約分法以分母分子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分一百與二十五之比即同於四與一之比是四與一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命分誌之可也設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當最小數法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以二十一減之(因減數大於原數又不得兩數齊等故以二十一轉減之)餘四十二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為七分之三是每人得銀一兩又七分兩之三也(葢將每兩剖作)(七分而得其七分之三也)此法以一百四十七人與六十三兩輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百四十七與六十三之比即同於七與三之比是七與三即一百四十七與六十三之相當最小數也通分凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故為另設加減乘除之法以明其義焉加法凡竒零數相加兩分母同者即併兩分子為得數若相加之數大於母數則於所得數内減去母數為一整數紀其餘為零數設如有九分丈之七(一丈分為九分而得其七分也)與九分丈之五(一丈分為九分而得其五分也)相加求總數法以九分之七與九分之五左右列之將兩分子七與五相加得一十二因子數大於母數乃於一十二内減去母數九為一整數餘三為零數即得整數一丈零九分丈之三為相加之數也此法因兩分母同為九分而兩分子亦同為九分中之零分故徑併兩零分之七與五得一十二又以母數九分收為一丈(葢初以一丈分為九分今滿九分即收為一丈也)其所餘三亦仍為九分中之三分故得一丈零九分丈之三為兩零分之共數此分母相同之加法也(如以真數明之九分丈之七是將一丈分為九分得其九)(分中之七分一丈分為九分則每一分得一尺一寸一分一釐有餘九分中之)(七分則為七尺七寸七分七釐有餘也九分中之五分則為五尺五寸五分五)(釐有餘也兩數相加共得一丈三尺三寸三分三釐有餘即一丈零九分丈之)(三也葢一尺一寸一分一釐有餘既為九分中之一分則三尺三寸三分三釐)(有餘即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三釐不盡之)(數是九分與一丈之比即同於三分與三尺三寸三分有餘之比也)凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀於共母數之下為共零數設如有三分丈之二(一丈分為三分而得其二分也)與五分丈之三(一丈分為五分而得其三分也)相加求總數法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得十將兩得數相加得十九為共子數因子數大於母數乃於十九内減去共母數十五為一整數餘四為零數即得整數一丈零十五分丈之四為相加之數也此法用互乘者本為齊其分母也夫以兩分母相乘得十五者乃以兩分母俱變為十五分也(因分母不同難以相加故變為同等)以前分母三乘後分子三得九者乃以後分子變為十五分中之九也又以後分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦變為十五分中之十也葢十五分之十與三分之二其比例等(俱為五倍比例)而十五分之九與五分之三其比例亦等(俱為三倍比例)兩分母既變為同等則兩分子亦俱為同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也(如以真數明之三分丈之二既變為十五)(分丈之十則每一分為六寸六分六釐有餘今得十分即六尺六寸六分六釐)(有餘也又五分丈之三既變為十五分丈之九則每一分亦為六寸六分六釐)(有餘今得九分即六尺也兩數相加共得一丈二尺六寸六分六釐有餘即一)(丈零十五分丈之四也葢六寸六分六釐有餘即為十五分中之一分今二尺)(六寸六分六釐有餘為四倍六寸六分六釐有餘即十五分中之四分也如以)(十五分除四分即得二尺六寸六分不盡之數是十五分與一丈之比即同於)(四分與二尺六寸六分有餘之比也)又或分母不同而可以加減之使同者則變而同之可省互乘設如有八分兩之一與十二分兩之三相加求總數法以十二分之三變為八分之二則與八分之一兩分母相同故徑併兩分子二與一得三即八分兩之三為相加之數也此法將十二分之三變為八分之二者乃分母分子各減三分之一也母數十二減三分之一餘八子數三減三分之一餘二葢十二分之三與八分之二其比例相等故變從簡易如數有參差者則當用下節之法(如以真數明之八分兩之一是)(將一兩分為八分其一分即一錢二分五釐也又十二分兩之三是將一兩分)(為十二分其三分為二錢五分今變為八分兩之二是將一兩分為八分其二)(分亦為二錢五分也兩數相加共得三錢七分五釐即八分兩之三也葢一錢)(二分五釐為八分中之一分今三錢七分五釐即八分中之三分也如以八分)(除三分即得三錢七分五釐是八分與一兩之比即同於三分與三錢七分五)(釐之比也)設如有六分石之五與三分石之二相加求總數如依前法將六分之五折半為三分之二分半則兩分母雖同而分子却有竒零若將三分之二加一倍作六分之四變少從多則與六分之五兩分母相同乃徑併兩分子五與四得九因子數大於母數乃於九内減去母數六為一整數餘三為零數即得整數一石零六分石之三為相加之數也此法三分之二變為六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡變分母分子或加或減務期所變之分數與原分數比例相同使其兩分母同而兩分子可併也此條與上條用加減雖各異而齊其分母以加之則同也(如以真數明之六分石之五是將一石分為六分則)(每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有餘今得五分即八斗三升三合三)(勺三撮三抄有餘也又三分石之二是將一石分為三分其二分為六斗六升)(六合六勺六撮六抄有餘今變為六分石之四是將一石分為六分其四分亦)(為六斗六升六合六勺六撮六抄有餘也兩數相加共得一石四斗九升九合)(九勺九撮九抄有餘收為五斗即一石零六分石之三也葢六分為一石則三)(分即五斗也)凡子母數有三四種相加者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法加之(三種者以第一數與第二數依前互)(乘法相加得數又與第三數依前互乘法相加四程者以第一數第二數互乘相加得數與第三數互乘)(相加得數復與第四數互乘相加)如兩分母相同者即併其兩分子而與所餘之分母不同者用互乘以加之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相加為得數即不用互乘矣設如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求總數法以前兩分子分母按互乘法相加得十二分斤之十(以兩分母三與四相乘得十二為共母數以前)(分母三乘後分子二得六又以後分母四乘前分子一得四相加得一十為共)(子數是為十二分斤之十)乃以十二分斤之十與第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六(以第三分母五與前兩分母互乘所得之十二相乘得六)(十為共母數以前兩分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母)(五乘前兩分子所得十得五十相加得八十六為共子數是為六十分斤之八)(十六)因子數大於母數乃於共子數八十六内減去共母數六十為一整數餘二十六為零數即得一斤零六十分斤之二十六為總數也凡子母分有四種五種相加者俱倣此(如以真數明之三分斤之一是將一斤分)(為三分其一分即五兩三錢三分三釐有餘也四分斤之二是將一斤分為四)(分則每一分為四兩今得二分即八兩也五分斤之三是將一斤分為五分則)(每一分為三兩二錢今得三分即九兩六錢也三數相加共得二十二兩九錢)(三分三釐有餘内收十六兩為一斤餘六兩九錢三分三釐有餘即六十分斤)(之二十六也葢以十六兩分為六十分每分得二錢六分六釐有餘今六兩九)(錢三分三釐有餘有二十六倍二錢六分六釐有餘即為二十六分也)設如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求總數法因五分丈之三與五分丈之一兩分母相同故直併其兩分子三與一為五分丈之四再以五分丈之四與四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一(以前分母五與後分母四相乘得二十為共母數以前分母五乘後)(分子一得五又以後分母四乘前分子四得十六相加得二十一是為二十分)(丈之二十一)因子數大於母數乃於共子數二十一内減去共母數二十為一整數餘一為零數即得一丈零二十分丈之一為總數也(如以真數明之其五分丈之三即六尺也其四分丈)(之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三數相加得一丈零五寸即一)(丈零二十分丈之一葢一丈分為二十分每分得五寸也)設如有三分兩之二又四分兩之三又十二分兩之四相加求總數法以三分之二與四分之三用互乘法相加得十二分兩之十七(以前分母三與後分母四)(相乘得十二為共母數以前分母三乘後分子三得九又以後分母四乘前分)(子二得八相加得十七是為十二分兩之十七)此所得之十二分兩之十七與第三分母相同即以前兩分所得共子十七與後一分子四相加得二十一是為十二分兩之二十一因子數大於母數乃於共子數二十一内減去共母數十二為一整數餘九為零數即得一兩零十二分兩之九為總數也(如以真數明之其三分兩之二即六錢六分六釐有餘也其四分兩)(之三即七錢五分也其十二分兩之四即三錢三分三釐有餘也三數相加得)(一兩七錢四分九釐有餘收作七錢五分即一兩零十二分兩之九葢十二分)(兩之九即七錢五分也)減法凡竒零數相減兩分母同者即將兩分子相減為餘數設如有十一分丈之七減十一分丈之五求餘數法以十一分丈之七與十一分丈之五左右列之將兩分子五與七相減餘二即得十一分丈之二為餘數也葢因兩分母同為十一分則兩分子亦同為十一分中之零分故徑將兩分子相減餘二亦仍為十一分中之二分是以定為十一分丈之二此分母相同之減法也(如以真數明之十一分丈之七是將一丈分為十一分則每一分得九寸零九)(釐零九絲有餘其中之七分即六尺三寸六分三釐六豪三絲有餘也其中之)(五分即四尺五寸四分五釐四豪五絲有餘也相減餘一尺八寸一分八釐一)(豪八絲有餘即十一分中之二分也葢九寸零九釐零九絲有餘為一分則一)(尺八寸一分八釐一豪八絲有餘即為二分也如以十一分除二分亦得一尺)(八寸一分八釐一豪八絲不盡之數是十一分與一丈之比即同於二分與一)(尺八寸一分八釐一豪八絲有餘之比也)凡竒零數相減兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相減為餘數設如有三分丈之二減五分丈之三求餘數法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得一十將所得兩分子相減餘一即得十五分丈之一為餘數也此法用互乘齊其分母將三分丈之二變為十五分丈之十將五分丈之三變為十五分丈之九兩分母既同為十五分故兩分子十與九相減餘一為十五分丈之一也此分母不同之減法也如兩分母不同可以加減之使其相同者減之亦如加法中例故不重設(如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六釐有餘也)(其五分丈之三即六尺也相減餘六寸六分六釐有餘即十五分丈之一也葢)(一丈分為十五分每一分得六寸六分六釐不盡也)凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘數設如有米一石内減七分石之五求餘數法以整數一石變為七分為分母與分子五相減餘二即得七分石之二為餘數也葢將一石分為七分而於此七分内減去五分則所餘即七分石之二此整數中減零數法也(如以真數明之將一石分為七分則)(每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有餘其五分即七斗一升四合二勺)(八撮五抄有餘也與一石相減餘二斗八升五合七勺一撮四抄有餘即七分)(石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有餘為一分則二斗八升五合七)(勺一撮四抄有餘自為二分也)凡整數帶零分相減者將兩零分用互乘法變為同母然後減之設如有銀八兩零五分兩之四内減五兩零七分兩之三求餘數法以八兩之零數五分之四與五兩之零數七分之三用互乘法兩分母七五相乘得三十五為共母數再以五兩之分母七乘八兩之分子四得二十八為八兩所變之子數又以八兩之分母五乘五兩之分子三得十五為五兩所變之子數乃以八兩五兩二整數相減餘三兩以兩子數二十八與十五相減餘十三即得三兩又三十五分兩之十三為餘數也葢既將兩子數變為同母則八兩者為八兩零三十五分兩之二十八五兩者為五兩零三十五分兩之十五分母既同故以子數相減而得餘數此整數帶零分相減之法也(如以真數明之其八)(兩零五分兩之四即八兩八錢也其五兩零七分兩之三即五兩四錢二分八)(釐五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢七分一釐四豪二絲有餘其三兩為整)(數其三錢七分一釐四豪二絲有餘即三十五分中之十三分也葢將一兩分)(為三十五分則每一分得二分八釐五豪七絲有餘其十三分即三錢七分一)(釐四豪二絲有餘也)凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即將其兩分子相減而與所餘之分母不同者用互乘以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相減即得餘數其理與加法同設如有銅九斤零八分斤之七内減二斤零四分斤之一又減八分斤之三求餘數法以九斤内減去二斤餘七斤為整數乃以八分斤之七與四分斤之一用互乘法將八分斤之七變為三十二分斤之二十八將四分斤之一變為三十二分斤之八兩數相減餘三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十與第三零數八分斤之三用互乘法將三十二分斤之二十變為二百五十六分斤之一百六十將八分斤之三變為二百五十六分斤之九十六兩數相減餘二百五十六分斤之六十四合前整數共得七斤又二百五十六分斤之六十四為餘數也如用約法則為七斤零四分斤之一葢二百五十六為四倍六十四今以六十四為一分則二百五十六自得四分也其餘幾種零分内有兩分母相同或兩分母乘出之數與餘一分母相同俱照同分母之例減之故不再設或零分有四種五種者亦俱倣此此幾種零分相減之法也(如以真數明之其九斤零八分斤之七即)(九斤十四兩也内減二斤零四分斤之一是減去二斤四兩又減去八分斤之)(三是又減去六兩也餘七斤零四兩即七斤零四分斤之一也葢一斤分為四)(分則每一分得四兩今七斤零四兩故謂七斤零四分斤之一也)乘法零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之數即乘出之分也設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何法以兩分母三五相乘得十五分為乘出之分母又以兩分子二四相乘得八分為乘出之分子即定為十五分丈之八為所得之數也今以圖明之如甲乙為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙丁正方形將甲丁分為三分甲乙分為五分内共容十五分即共母數乃兩分母三與五乘出之數也其甲丁之三分之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己二數相乘得甲已庚戊長方形内容八分即共子數乃兩分子二與四乘出之數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也(如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六釐有)(餘也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三)(釐有餘即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分為十五分則每一分得)(六尺六十六寸六十六分六十六釐有餘今得其八分即五十三尺三十三寸)(三十三分三十三釐有餘也)零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即所得之數也設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若干法以分子二與七人相乘得十四以分母五歸之得二兩八錢即七人共得之數也葢五分兩之二是一兩分為五分而得其二分也一人得二分則七人必共得十四分既以一兩分為五分今滿五分收為一兩故以五歸十四得二兩八錢為共數此零分與整數相乘之法也整數帶零分與整數乘者先將整數俱通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得幾何法以整數二丈用分母四通為八分加入分子一共得九分又以整數八丈用分母四通為三十二分乃與九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定為一丈正方一十八為所得之數也此法葢以一丈通為四分是四四自乘之數始合一丈自乘之數故一十六者即分母四自乘之數未乘之先既以四通之故相乘之後必以四四自乘之數收之乃得真數此整數帶零分與整數相乘之法也(如以)(真數明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八)(丈也)整數帶零分與零分乘者先將整數通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之三相乘問得幾何法以整數二丈用分母五通為十分加入分子四得十四分乃與零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定為一丈正方一又一尺正方六十八為所得之數也此法葢以一丈通為五分是五五自乘之數始合一丈自乘之數故以二十五除之又二丈之零分五分之四與所乘之零分五分之三為同母故用此法如兩零分分母不同則先將兩零分用互乘法變為同母然後用所變之分母化整為零再與彼一零分相乘得數以所變之分母自乘之數除之即得乘出之數(法見下節)此整數帶零分與零分相乘之法也(如以真數明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即)(六尺也以六尺與二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也)整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘之數除之即得(如所帶零分本為同母者可省互乘)設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三分丈之二求積法以兩分母四三相乘得一十二為共母數以前分母四乘後分子二得八以後分母三乘前分子三得九為兩分子數乃以共母數十二化闊二丈為二十四分加入分子九得三十三分為闊邊所變之分數又以共母數十二化長三丈為三十六分加入分子八得四十四分為長邊所變之分數爰以闊三十三分與長四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母數十二自乘之一百四十四除之得一○○八餘四八不盡即定為一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八約為三分尺之一為所得之數也此整數帶零分與整數帶零分相乘之法也(如以真數明之其闊二丈又四)(分丈之三即二丈七尺五寸也其長三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六)(分六釐有餘也以二丈七尺五寸與三丈六尺六寸六分六釐有餘相乘即得)(一十丈零八尺有餘也)大分下又帶小分相乘者其例有四(所謂大分下帶小分者是將大)(分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分四分之一是將大分五分之三之一分又分為四分)(而得其一分也)有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之兩母數兩子數對乘即得(總以小分母通之者葢小)(分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一)(體然後可以相乘乘之即所以通之也設法中以度數明之其理自顯)設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相乘問得幾何(此大小分母俱同者也)法以甲數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十與乙所變之分母二十相乘得四百分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子十八相乘得二百三十四分為乘出之分子即定為四百分丈之二百三十四為所得之數也(此法甲乙之小分母俱為四故將其)(大分母之每分亦俱化為四分又將大分子之每分亦俱化為四分使大分與)(小分之子母一體然後乘之今以度數明之甲之五分丈之三乃一丈内之六)(尺其所帶小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五)(分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙)(數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方為一百)(尺而得其五十八尺又小餘五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘)(得數五十八尺五十寸得二百三十四分故為四百分之二百三十四也若以)(尺隨寸命之則五十八尺五十寸又為五千八百五十寸以大分每一分通為)(小分四分則每一千寸分為四分每分得二百五十寸以二百五十寸歸五千)(八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分進)(而命為丈則為四百分丈之二百三十四也)設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相乘問得幾何(此大小分母俱不同者也)法以甲數小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十八與乙所變之分母二十七相乘得七百五十六分為乘出之分母又以甲所變之分子二十三與乙所變之分子一十六相乘得三百六十八分為乘出之分子即定為七百五十六分丈之三百六十八為所得之數也(如以真數明之甲四分丈之三)(即一丈内之七尺五寸又帶小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四釐)(二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分四釐二豪有餘也乙九分丈之五即一)(丈内之五尺五寸五分五釐五豪有餘又帶小分三分之一即一尺一寸一分)(一釐一豪有餘内之三寸七分零三豪有餘是乙共為五尺九寸二分五釐九)(豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十七寸六十五分有餘即七百五十六分)(丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六)(十七寸六十五分不盡之數葢七百五十六分為一百尺則三百六十八分自)(得四十八尺六十七寸六十五分有餘也)設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相乘問得幾何(此大分母同而小分母不同者也)法以甲數小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十二與乙所變之分母四十八相乘得一千五百三十六分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子二十九相乘得三百七十七分為乘出之分子即定為一千五百三十六分丈之三百七十七為所得之數也(如以真數明之)(甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶此一分之四分之一即三寸一分二釐)(五豪是甲數共為四尺零六分二釐五豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一)(分之六分之五即一尺零四分一釐六豪有餘是乙數共為六尺零四分一釐)(六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五十四寸四十二分有餘即一千五百三)(十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得)(二十四尺五十四寸四十二分不盡之數葢一千五百三十六分為一百尺則)(三百七十七分自得二十四尺五十四寸四十二分有餘也)設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一與乙數九分丈之七又帶此一分之五分之二相乘問得幾何(此大分母不同而小分母同者也)法以甲數小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一為甲大小分所變之數又以乙數小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十與乙所變之分母四十五相乘得一千三百五十分為乘出之分母又以甲所變之分子二十一與乙所變之分子三十七相乘得七百七十七分為乘出之分子即定為一千三百五十分之七百七十七為所得之數也(如以真數明之甲六分丈之四即六尺六)(寸六分六釐六豪有餘又帶此一分之五分之一即三寸三分三釐三豪有餘)(是甲數共為六尺九寸九分九釐九豪有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七)(分七釐七豪有餘又帶此一分之五分之二即四寸四分四釐四豪有餘是乙)(數共為八尺二寸二分二釐二豪有餘也兩數相乘得五十七尺五十五寸五)(十五分有餘即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分)(除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不盡之數葢一千三百)(五十分為一百尺則七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有餘)(也)除法零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之即得分數其比例與除出之法同設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何法以九分丈之二為實三分丈之一為法以法分母三除實分母九得三為除出之分母又以法分子一除實分子二仍得二為除出之分子即定為三分丈之二為所得之數也此法即乘法内兩分母兩分子各相乘為所得之數者轉用之耳此零分除零分之法也又法以互乘代除以實分母九乘法分子一得九為除出之分母又以法分母三乘實分子二得六為除出之分子共得九分丈之六即所求之數也此法與前法所得之分母分子之數雖不同而理則一前法之三分之二與此法之九分之六其比例實同葢前法以法除實其得數為減分之比例此法以兩數互乘其得數為加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用兩分母相乘之數省去一層耳如欲明晰其故則以兩分母九與三相乘得二十七法分母三與實分子二相乘得六實分母九與法分子一相乘得九是將三分之一變為二十七分之九將九分之二變為二十七分之六其兩分母既等則其兩分子自成比例故九與六之比即同於三與二之比九分之六以三約之非三分之二耶(如以真數明之實九分丈之二為面積即二十二尺二十)(二寸二十二分二十二釐有餘也法三分丈之一為邊線即三尺三寸三分三)(釐有餘也除之得六尺六寸六分六釐有餘即三分丈之二也如以三分除二)(分亦得六尺六寸六分六釐不盡之數葢三分為一丈其二分自得六尺六寸)(六分六釐有餘也)整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求之數設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何法以分子三為實以分母五通整數八丈得四十為法除之得七寸五分即所求之數也此法以五分乘八丈者是分母通整數將每丈俱通為五分也八丈既通為四十分則五分之三之每一分即與四十分中之每一分同等然而零數三分以四十分除之而得七寸五分者則又為變分為尺寸之比例矣四十分與一丈之比即同於三分與七寸五分之比此整數除零分之法也零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得所求之數設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何法以分母三通整數六丈得一十八為實以分子二為法除之得九丈即所求之數也此法以三分乘六丈者是將每丈俱通為三分也六丈既通為十八分則十八分中之每一分與三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整數之法也整數帶零分歸除整數者先將法實之兩整數俱通為零分而於法中加入分子除之即得設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得幾何法以分母三通二十四丈得七十二為實又以分母三通二丈得六加入分子二得八為法除之得九丈即所求之數也此法以分母三通實二十四丈是將實之每丈俱化為三分也又以分母三通法二丈是將法之每丈亦俱化為三分也兩整數俱化為同等則法實一體故法除實而得所求之數也此整數帶零分除整數之法也整數歸除整數帶零分者先將法實之兩整數俱通為零分而於實中加入分子以法除之即得設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得幾何(即以前法數目作題者取其易明也)法以分母三通二丈得六加入分子二得八為實又以分母三通二十四丈得七十二為法除之得一尺一寸一分不盡約為九分丈之一即所求之數也此法以分母三通法實之兩整數者是將兩整數之每丈俱通為三分也一得七十二分一得八分以七十二與八之比即同於九與一之比故約為九分之一且以七十二除八得一一一不盡之數定為一尺一寸一分有餘者葢七十二分與一丈之比即同於八分與一尺一寸一分有餘之比也此整數除整數帶零分之法也整數帶零分歸除零分者先將整數通為零分加入分子除之即得設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得幾何法以五分丈之四為實以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五為法用兩分母兩分子各自歸除之法以法分母八除實分母五得六二五為除出之分母以法分子二五除實分子四得一六○為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之數也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也實之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分與一丈之比即同於八尺與二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五與一丈之比即同於一六○與二尺五寸六分之比也然六二五與三丈一尺二寸五分之比又即同於一六○與八尺之比而皆為加倍之比例也此整數帶零分除零分之法也又或整數通為零分加入分子之後以法除實而數有竒零不盡者則用互乘代除之法如前數已將整數通為八分丈之二十五為法乃以實分母五乘法分子二十五得一百二十五為除出之分母又以法分母八乘實分子四得三十二為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分與一丈之比即同於三十二分與二尺五寸六分之比也後法之有竒零數而用互乘代除者皆同此例零分歸除整數帶零分者先將整數通為零分加入分子以法除之即得設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得幾何法以實之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四為實以七分丈之四為法用互乘代除之法以實分母三乘法分子四得十二為除出之分母以法分母七乘實分子一十四得九十八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍餘二不盡命為十二分尺之二以法約之為六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之數也葢十二與一尺之比即同於九十八與八尺有餘之比也此零分除整數帶零分之法也整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為零分加入分子而以法除實即得設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十七分兩之一求每畝得租銀幾何法以銀分母二十七通五兩得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分兩之一百三十六為實又以田分母三通五畝得十五加入分子二得十七共得三分畝之十七為法用互乘代除之法以銀分母二十七乘田分子一十七得四百五十九為除出之分母以田分母三乘銀分子一百三十六得四百零八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八錢八分八釐零四百五十九分釐之四百零八即每畝所租之銀數也葢四五九與一兩之比即同於四○八與八錢八分八釐有餘之比也此整數帶零分除整數帶零分之法也大零分下又帶小零分相除者其例有四(有大小分母俱同者)(有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者)今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母數用互乘代除之法歸之即得(如用子母各自對除亦得但恐數有竒零)(故用此法)設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八為甲大小分所變之數以之為實又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九為乙大小分所變之數以之為法然後用互乘代除之法以甲所變之分母四十乘乙所變之分子九得三百六十為除出之分母又以乙所變之分母二十乘甲所變之分子三十八得七百六十為除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一釐零三百六十分釐之四十約為九分釐之一即所求之數也葢三六○與一尺之比即同於七六○與二尺一寸一分一釐有餘之比也此大零分下帶小零分相除之法也(其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此)(例故不重設)御製數理精蘊下編卷二
## 下編卷三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三線部一正比例轉比例合率比例正比例帶分轉比例帶分比例凡物彼此相形並之而用加較之而用減聚之而用乘散之而用除觀之不過兩率然乘除之間四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人幾何每人得物幾何求總物幾何則是每一人得物幾何與幾何人共得物幾何相比而成四率乃自小而得大者也如歸除命法曰有物幾何命幾何人分之每人得物幾何則是共人幾何共物幾何與每一人得物幾何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命數以一人為法故乘與除各省其率耳是雖名為乘除而實為相比之四率也至於比例正法則所該甚廣大而推歩七政天行測量髙深廣逺小而量功命事度大移小無一非由比例而得葢以兩數為比例用今有之數即可以得未有之數也比例之理雖分相連相當二種而相當比例之中實又兼相連比例相當比例一率比二率如三率比四率而相連比例首率比中率若中率比末率者即是中率為二率而又為三率也盡人皆知線有線之比例面有面之比例體有體之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之類正皆比例之屬也然此類中有合數之比例分數之比例均數之比例借數之比例非條分縷析各項專論則不備故仍舊各自為類而獨於比例中最切者詳明其理以列法焉其法一名異乘同除(或名為準測或名為順單)以原有之兩件相除故為同除以今有之一件乘之故為異乘(如先乘而後除亦同)而今則質言之曰正比例葢以原有之兩件為一率二率以今有之一件為三率而所求之一件則為四率也一名為同乘異除(或名為變測或名為互視或名為逆單)以原有之兩件相乘故為同乘以今有之一件除之故為異除而今則質言之曰轉比例葢以原有之兩件為二率三率以今有之一件為一率而所求之一件則為四率也然論其乘除之名雖異究其比例之理則一而已今以數明之如原有之兩數為二與四今有之一數為八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率為十六而一率二與二率四之比即三率八與四率十六之比為相當之比例也如原有之兩數為八與四今有之一數為十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率為二而一率十六與二率八之比即三率四與四率二之比或以一率十六與三率四之比即同於二率八與四率二之比皆為相當之比例也總之乘除之名有異同四率之列有更換而既成比例之後其理無不歸於大同由此引伸觸類推而廣之有合幾四率而為一四率者則名為同乘同除(或名為重測或名為順較逆較)而今則質言之曰合率比例葢其理亦不過合幾乘而為一乘合幾除而為一除各按四率參互錯綜豈能岀於比例之外哉凡此各種比例俱設數例於後以明立法之根加之解說以廣用法之意正比例設如有銀買米每米一石銀八錢今買米二百四十石問共該銀若干法以米一石為一率銀八錢為二率今買米二百四十石為三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二兩即共銀數也葢一石與二百四十石為加二百四十倍而八錢與一百九十二兩亦為加二百四十倍(見幾何原本六卷第十五節)故一石與八錢之比即同於二百四十石與一百九十二兩之比也(此法一率是一止用八錢乘二)(百四十石亦得但為明正比例之理故首設一二易法使人好推尋也)設如有銀買米每銀一兩買米一石三斗今有銀三百二十兩問共買米若干法以銀一兩為一率米一石三斗為二率今銀三百二十兩為三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米數也葢一兩與一石三斗之比即同於三百二十兩與四百一十六石之比也設如有銀賞人每三人賞銀一兩八錢今有二百四十人問共該銀若干法以三人為一率一兩八錢為二率今有二百四十人為三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四兩即共銀數也葢三人與一兩八錢之比即同於二百四十人與一百四十四兩之比也設如有穀換米每穀一石四斗換米八斗四升今有穀三十二石六斗八升問換米若干法以穀一石四斗為一率米八斗四升為二率今有穀三十二石六斗八升為三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所換共米數也葢穀一石四斗與米八斗四升之比即同於穀三十二石六斗八升與米一十九石六斗零八合之比也設如天上二度當地面四百里今七度該里數若干法以原有之二度為一率四百里為二率今有之七度為三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里數也葢一率二與二率四之比為加一倍而三率七與四率十四之比亦為加一倍故二率得一率中之幾分之幾則四率亦得三率中之幾分之幾而為相當比例四率也設如一星一日内行一度三十分今問八刻内應行若干法以原數一日變作九十六刻為一率一度三十分變作九十分(一度作六十分加入三十)(分共九十分)為二率今星行八刻為三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之數葢九十六刻與九十分之比即同於八刻與七分半之比也然将日變為刻者因每日九十六刻不以十進位又今所有者為八刻故以刻數與刻數相比也度變為分者因每度六十分亦不以十進位而今八刻内所行者必為分故以分數與分數相比也設如驗時儀算砲聲自烟起至聞聲計七秒得五里今得十四秒問里數若干法以七秒為一率五里為二率今得十四秒為三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里數也葢七秒與五里之比即同於十四秒與十里之比也設如有羊四百六十隻共賣銀八十二兩八錢問每羊一隻價銀幾何法以羊四百六十隻為一率銀八十二兩八錢為二率羊一隻為三率推得四率一錢八分即每羊一隻之價也(此法三率)(是一止用羊四百六十隻歸除八十二兩八錢亦得但列四率法中不得不備)(其一體也)設如有羊一羣共二百四十隻又生羔七十二隻問加羊羣内十分之幾法以羊二百四十隻為一率十分為二率今生羔七十二隻為三率推得四率三分即為加羊羣内十分之三也葢二百四十與十分之比即同於七十二與三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四總而約之故為十分之三也設如有田科糧每三畝科糧八斗四升今有四千六百三十五畝問得糧若干法以三畝為一率八斗四升為二率今有四千六百三十五畝為三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共糧數也葢三畝與八斗四升之比即同於四千六百三十五畝與一千二百九十七石八斗之比也設如用古量法豆區釜皆以四進有八十豆當二十區有二十區當釜若干法以八十豆為一率二十區為二率又為三率推得四率五釜即二十區所當釜數也此正比例中相連比例法也葢因二十區與二十區相乘得四百區而八十豆與五釜相乘亦得四百區二十區既為二率又為三率故謂相連比例是以八十豆與二十區之比即同於二十區與五釜之比也設如一商原有本銀三千兩一年得利銀九百兩今復将九百兩為本問一年得利若干法以三千兩為一率九百兩為二率又為三率推得四率二百七十兩即九百兩所得之利也此法以九百兩為二率又為三率葢三千兩與九百兩之比為三與九之比例而九百兩與二百七十兩之比亦為三與九之比例也轉比例設如有田一畝原闊八歩長三十歩今闊要十二歩問長得幾何法以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今闊十二歩之長也此法以原有之兩數相乘以今有之一數除之而得今所求之數者因乘出兩數相同故也在正比例原有之兩件為一率二率今有之一件為三率而今所求之一件為四率俱以原有之一件與今有之一件相乘其積相同在轉比例則原有之兩件為二率三率今有之一件為一率而今所求之一件為四率是原有之兩件相乘今有之兩件相乘其積相同此兩法異同之故也雖今闊比原闊多而今長却比原長少故原有之闊(八歩)與長(三十歩)相乘得二百四十歩而今有之闊(十二歩)與長(二十歩)相乘亦得二百四十歩其積既同是以轉而比之自成比例葢今闊比原闊多三分之一今長比原長少三分之一其比例相同(見幾何原本七卷第三節)故今闊十二歩與原闊八歩之比即同於原長三十歩與今長二十歩之比也若借正比例論之以原闊八歩為一率原長三十歩為二率今闊十二歩為三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩則是今闊比原闊多今長亦比原長多所容積數亦多而與一畝之數不合矣故轉以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率而得四率二十歩是為一率與三率之比同於二率與四率之比也設如有地寛二十丈長一百二十丈今換地寛三十丈問長得幾何法以今寛三十丈為一率原長一百二十丈為二率原寛二十丈為三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之長也此法原有之寛與長相乘得二千四百丈今有之寛與長相乘亦得二千四百丈其積既同故轉而比之自成比例以今寛比原寛以原長比今長俱三與二之比例是以今寛三十丈與原寛二十丈之比即同於原長一百二十丈與今長八十丈之比也設如傭工開渠八人開之二十日完今加倍用十六人開之問得幾日完法以今十六人為一率原二十日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人與原八人之比即今之工加一倍而原二十日與今十日之比則今所得之日亦必減一倍故一率十六人與三率八人之比即同於二率二十日與四率十日之比也設如有地四百八十畝八人耕之十二日完今用六人耕之問得幾日完法以今六人為一率原十二日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人數日數不同而所耕之田則同為四百八十畝而所用之工又同為九十六故以八人論一日八工十二日則用九十六工以六人論一日六工十六日亦用九十六工也故轉用四率自成比例以一率六人與三率八人之比即同於二率十二日與四率十六日之比也設如衆軍支米足用四年則每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年問每人每月應支幾何法以今欲用十二年為一率原支米三斗為二率足用四年為三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月應支之數也此法支米多則足用年數少今支米少則足用年數多葢四年與十二年之比在年為加三分之二而三斗與一斗之比在米又為減三分之二其比例固同也設如木星十二年一周天每年行三十度土星則二十八年一周天問每年行幾度法以土星所行一周二十八年為一率木星每年所行三十度為二率木星所行一周十二年為三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有餘即土星每年所行之度數也葢木星周天比土星年數少而行度却多土星周天比木星年數多而行度却少多得少而少反得多故轉而比之以二十八年與十二年之比即同於三十度與十二度有餘之比也設如一人借人之絹寬三尺長二十四丈今還絹寬四尺問長該若干法以今絹寬四尺為一率原絹長二十四丈為二率原絹寬三尺為三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即為今所還寬四尺絹之長也葢原絹寬三尺長二十四丈相乘得七百二十尺今絹寬四尺長十八丈相乘亦得七百二十尺因其積數相同故今絹寬四尺與原絹寬三尺之比即同於原絹長二十四丈與今絹長十八丈之比也設如驗時儀墜子其繩長四尺四寸八分一釐二豪八絲四刻内來往共三千次今造一墜欲使來一秒往一秒問繩長若干法以四刻化三千六百秒為今墜子往來次數自乘得一千二百九十六萬次為一率原墜繩長四尺四寸八分一釐二豪八絲為二率以原墜往來三千次自乘得九百萬次為三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二釐即今所求墜繩之長也夫以四刻化秒者葢以所求之墜子欲其來一秒往一秒也故秒數即次數四刻所化之秒即今墜子在四刻内往來之次數也其比例以次數自乘者因墜子往來之際已成平面形故以往來之方數相比為面比面而原墜與今墜之長數相比為線比線務使其類相當而後可以相比也是以今墜往來次數自乘與原墜往來次數自乘之比即同於原墜長數與今墜長數之比也然原墜於四刻内往來之次數少而墜却長今墜於四刻内往來之次數多而墜却短故以今墜之往來次數與原墜之往來次數為比即同於原墜之長與今墜之長為比所以為轉比例也設如有正方池一面每邊十二丈今欲作寬八丈之池使其池面積數與方池等問長得幾何法以今池寬八丈為一率原池長十二丈為二率原池寬十二丈為三率推得四率十八丈即今欲作池之長也此轉比例中相連比例法也葢原池方面每邊十二丈其積一百四十四丈即二率三率相乘之數今所得四率長十八丈與一率寬八丈相乘亦得一百四十四丈兩數相等故以一率今池寬八丈與三率原池寬十二丈之比即同於二率原池長十二丈與四率今池長十八丈之比也設如原用金九兩係九成今用八成金折還當加幾兩法以今金八成為一率原金九兩為二率原金九成為三率推得四率十兩零一錢二分五釐内減九兩餘一兩一錢二分五釐即八成金當加之數也此法二率三率為體雖不同而數則一故亦為相連比例葢以原金九兩又係九成相乘得十成金八兩一錢以今之八成與所得十兩零一錢二分五釐相乘亦得十成金八兩一錢是八成與九成之比即同於九兩與十兩零一錢二分五釐之比也合率比例設如以夏布換棉布但知每夏布三丈價銀二錢每棉布七丈價銀七錢五分今有夏布四十五丈問換棉布若干法以夏布三丈與棉布價銀七錢五分相乘得二兩二錢五分為一率夏布價銀二錢與棉布七丈相乘得一兩四錢為二率夏布四十五丈為三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所換之棉布數也此法乃兩比例合為一比例也如分作兩比例明之每夏布三丈價銀二錢今夏布四十五丈則價銀應得三兩此一比例也棉布價銀七錢五分得棉布七丈今夏布四十五丈之價三兩則應得棉布二十八丈此又一比例也夫銀三兩原為夏布四十五丈之價則夏布四十五丈所換之棉布二十八丈價銀亦應三兩可知矣葢兩比例中一以三丈作一率一以七錢五分作一率故三丈與七錢五分相乘得二兩二錢五分而為一率是合兩一率而為一一率也一以二錢作二率一以七丈作二率故二錢與七丈相乘得一兩四錢而為二率是合兩二率而為一二率也而後比例之三率即前比例之四率如以兩三率相乘為三率則所得四率亦為兩四率相乘之數必須以前比例之四率除之方得後比例之四率故即以夏布之四十五丈為三率而得棉布之二十八丈為四率也設如以芝麻換黄米但知每芝麻三石換菉豆五石每菉豆四石換黄米三石今有芝麻五十四石問換黄米若干法以芝麻三石與菉豆四石相乘得十二石為一率又以菉豆五石與黄米三石相乘得十五石為二率芝麻五十四石為三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所換之黄米數也此法亦兩比例合為一比例也如分作兩比例明之每芝麻三石換菉豆五石則芝麻五十四石必換菉豆九十石此一比例也菉豆四石換黄米三石則菉豆九十石必換黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原為芝麻五十四石所換則菉豆九十石所換之黄米即芝麻五十四石所換之黄米可知矣葢以兩比例之各一率相乘為一率兩比例之各二率相乘為二率者即合兩次乘除為一次乘除也設如養兵七百名每年額餉一萬二千六百兩内有新著伍兵三百名已應役七個月問該餉銀若干法以原養兵七百名與十二個月相乘得八千四百為一率額餉一萬二千六百兩為二率新兵三百名與七個月相乘得二千一百為三率推得四率三千一百五十兩即兵三百名七個月應得之餉銀數也此法亦兩比例合為一比例也如分作兩比例明之兵七百名得一萬二千六百兩則兵三百名應得五千四百兩(乃兵三百名十二個月應得之數)此一比例也兵三百名十二個月應得五千四百兩則七個月應得三千一百五十兩此又一比例也今以兩比例之各一率相乘為一率兩比例之各三率相乘為三率者亦如兩比例之各一率二率相乘合為一一率二率也設如原有鵝八隻換雞二十隻又雞三十隻換鴨九十隻又鴨六十隻換羊二隻今有羊五隻問換鵝幾何法以所換羊二隻與所換鴨九十隻相乘得一百八十隻再以所換雞二十隻乘之得三千六百隻為一率又以原鴨六十隻與原雞三十隻相乘得一千八百隻又以原鵝八隻乘之得一萬四千四百隻為二率今羊五隻為三率推得四率二十隻即羊五隻所換之鵝數也此法乃三比例合為一比例也如分作三比例明之羊二隻換鴨六十隻則羊五隻必換鴨一百五十隻此一比例也鴨九十隻換雞三十隻則鴨一百五十隻必換雞五十隻此二比例也雞二十隻換鵝八隻則雞五十隻必換鵝二十隻此三比例也夫雞五十隻原為鴨一百五十隻之所換而鴨一百五十隻又原為羊五隻之所換則雞五十隻所換之鵝二十隻即為羊五隻之所換可知矣今以三比例之各一率連乘之為一率又以三比例之各二率連乘之為二率者正合三比例為一比例也設如原有菽三斗換黍二斗又黍四斗換稷三斗又稷五斗換稻四斗又稻六斗換麥五斗今有麥七斗問換菽幾何法以所換麥五斗與所換稻四斗相乘得二石復以所換稷三斗乘之得六石再以所換黍二斗乘之得一十二石為一率又以原有稻六斗與原有稷五斗相乘得三石復以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石為二率今有麥七斗為三率推得四率二石一斗即麥七斗所換之菽數也此合四比例為一比例也如分作四比例明之麥五斗換稻六斗則麥七斗必換稻八斗四升此一比例也稻四斗換稷五斗則稻八斗四升必換稷一石零五升此二比例也稷三斗換黍四斗則稷一石零五升必換黍一石四斗此三比例也黍二斗換菽三斗則黍一石四斗必換菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原為稷一石零五升之所換而稷一石零五升又為稻八斗四升之所換而稻八斗四升又為麥七斗之所換則黍一石四斗所換之菽二石一斗即為麥七斗之所換可知矣今以四比例之各一率連乘之為一率又以四比例之各二率連乘之為二率者正合四比例為一比例也設如原有工人一百開河四十丈二十日工完今有工人一千開河八十丈問得日數幾何法以今有工人一千與原開河四十丈相乘得四萬丈為一率二十日為二率以原有工人一百與今開河八十丈相乘得八千丈為三率推得四率四日即一千人開河八十丈之日數也此法以原有今有兩數互乘以比例者所以齊其分也試将兩首位一千工與一百工互乘得十萬工然後互乘丈數原有一邊得四萬丈今有一邊得八千丈是原一百工開四十丈則十萬工開四萬丈其比例相同今一千工開八十丈則十萬工開八千丈其比例亦同也因兩工數相同故以四萬丈與二十日之比即同於八千丈與四日之比葢原有十萬工開河四萬丈二十日可完今亦有十萬工開河八千丈則四日可完為比例四率也然此法實係兩比例合為一比例也如分作兩比例明之則先以人工為比例原一百工開二十日今一千工即應開二日為今一千工開河四十丈之日數此一轉比例也次用丈數為比例原四十丈應開二日今八十丈則應開四日為今一千工開河八十丈之日數此一正比例也法以兩比例之一率相乘為一率兩比例之三率相乘為三率者正合兩比例為一比例也設如原有書一百篇六人寫之十日完每篇三百字今有書二百篇八人寫之十二日完問每篇得字若干法以今有二百篇與原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一萬二千為一率每篇三百字為二率以原有一百篇與今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百為三率推得四率二百四十字即今八人寫十二日每篇之字數也試将兩首位一百篇與二百篇互乘得二萬篇然後互乘人工與日原有一邊得一萬二千工今有一邊得九千六百工葢原有二萬篇用一萬二千工每篇三百字今亦有二萬篇用九千六百工其每篇必二百四十字為比例四率也然此法實係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以篇數為比例原一百篇每篇三百字今勻為二百篇則每篇只應一百五十字此一轉比例也然人數不同故次以人數為比例原六人寫之每篇應一百五十字今八人寫之則每篇應二百字此一正比例也然日數又不同故次以日數為比例原寫十日每篇應二百字今寫十二日則每篇應二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如原雇人寫書每篇六百字八人寫二十日得一百二十篇今寫書每篇四百五十字却用十二人寫三十日問得篇數幾何法以今有四百五十字與原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七萬二千為一率一百二十篇為二率以原有六百字與今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一萬六千為三率推得四率三百六十篇即今十二人寫三十日之篇數也試将兩首位六百字與四百五十字互乘得二十七萬字然後互乘人工與日原有一邊得七萬二千工今有一邊得二十一萬六千工葢原有一邊二十七萬字用七萬二千工得一百二十篇今一邊亦二十七萬字用二十一萬六千工則得三百六十篇為比例四率也然此法亦係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以字數為比例原每篇六百字為一百二十篇今每篇四百五十字則必匀為一百六十篇此一轉比例也然人數不同故次以人數為比例原八人寫之應得一百六十篇今十二人寫之則應得二百四十篇此一正比例也然日數又不同故次以日數為比例原寫二十日應得二百四十篇今寫三十日則應得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如海船内原有甜水二萬零一百六十斤每人每日用二斤足用四個月今又添四千零三十二斤合前數共二萬四千一百九十二斤欲用六個月問每日每人應用幾何法以原有二萬零一百六十斤與今六個月相乘得一十二萬零九百六十個月為一率每人每日用水二斤通為三十二兩為二率以今有二萬四千一百九十二斤與原四個月相乘得九萬六千七百六十八個月為三率推得四率二十五兩六錢即今每人每日應用之數也試将兩首位數互乘得四億八千七百七十一萬零七百斤然後互乘月數原有一邊得九萬六千七百六十八個月今有一邊得一十二萬零九百六十個月葢原有水四億八千七百七十一萬零七百斤足用九萬六千七百六十八個月每人得三十二兩今有水亦四億八千七百七十一萬零七百斤欲用十三萬零九百六十個月則每人得二十五兩六錢為轉比例四率也然此法亦係兩比例合為一比例也如分作兩比例明之則先以水數為比例原有水二萬零一百六十斤每人每日用三十二兩今水二萬四千一百九十二斤則每人每日應用三十八兩四錢此一正比例也然月數不同故次以月數為比例原用四個月每日應用三十八兩四錢今欲用六個月則每日應用二十五兩六錢此一轉比例也法以兩一率相乘為一率兩三率相乘為三率者正合兩比例為一比例也設如原有米八萬石用車二十四輛日行四十里二十日運完今有米十萬石用車三十輛日行六十里問運完日數幾何法以原有八萬石與今用車三十輛相乘得二百四十萬輛又以今行六十里乘之得一億四千四百萬里為一率二十日為二率以今有十萬石與原用車二十四輛相乘亦得二百四十萬輛又以原行四十里乘之得九千六百萬里為三率推得四率十三日又三分日之一即今米十萬石運完之日數也試将兩首位數互乘得八十億石然後互乘車數里數原有一邊得九千六百萬里今有一邊得一億四千四百萬里葢原有米八十億石用車二百四十萬輛行九千六百萬里得二十日運完今有米亦八十億石亦用車二百四十萬輛行一億四千四百萬里故十三日又三分日之一運完為轉比例四率也然此法亦係三比例合為一比例也如分作三比例明之則先以米數為比例原米八萬石運二十日今米十萬石則應運二十五日此一正比例也然車數不同故次以車數為比例原車二十四輛應運二十五日今車三十輛則應運二十日此一轉比例也然日行里數又不同故次以里數為比例原行四十里應運二十日今行六十里則應運十三日又三分日之一此又一轉比例也法以三比例之各一率連乘之為一率三比例之各三率連乘之為三率者正合三比例為一比例也設如原有麥子一萬二千石車十二輛每車載三石日行八十里四十日運完今有麥三萬石車十六輛每車載四石日行六十里問運完日數幾何法以原有麥子一萬二千石與今車十六輛相乘得一十九萬二千輛又以今每車載麥四石乘之得七十六萬八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八萬里為一率四十日為二率以今有麥子三萬石與原有車十二輛相乘得三十六萬輛又以原每車載麥三石乘之得一百零八萬石又以原行八十里乘之得八千六百四十萬里為三率推得四率七十五日即今麥三萬石運完之日數也試将兩首位數互乘得三億六千萬石然後互乘車數石數里數原有一邊得八千六百四十萬里今有一邊得四千六百零八萬里葢原有麥三億六千萬石用車三十六萬輛載一百零八萬石行八千六百四十萬里得四十日運完今有麥亦三億六千萬石用車一十九萬二千輛載七十六萬八千石行四千六百零八萬里得七十五日運完為轉比例四率也然此法係四比例合為一比例也如分作四比例明之則先以麥數為比例原麥一萬二千石運四十日今麥三萬石則應運一百日此一正比例也然車數不同故次以車數為比例原車十二輛應運一百日今車十六輛則應運七十五日此一轉比例也然每車所載石數不同故次以石數為比例原每車載三石應運七十五日今每車載四石則應運五十六日二五(即四分日之一)此又一轉比例也然日行里數又不同故次以里數為比例原日行八十里應運五十六日二五今日行六十里則應運七十五日此又一轉比例也法以四比例之各一率連乘之為一率四比例之各三率連乘之為三率者正合四比例為一比例也正比例帶分設如有銀買米每米一石價銀八錢四分今買米三分石之二問該銀若干法以米一石用分母三通為三分為一率銀八錢四分為二率分子二分為三率二三率相乘一率除之得四率五錢六分即銀數也葢米一石通為三分以三分與八錢四分之比即同於二分與五錢六分之比皆為三分之二之比例也設如有人行路行過五分之二係八十里問總里數幾何法以分子二分為一率分母五分為二率行過八十里為三率二三率相乘一率除之得四率二百里即總里數也葢總里數之五分之二為八十里以二分與五分之比即同於八十里與二百里之比皆為五分之二之比例也設如有銀買米每米三分石之二價銀七分兩之五今買米四分石之三問該銀若干法以三分石之二為一率七分兩之五為二率四分石之三為三率用通分乘法以二率分母七與三率分母四相乘得二十八為乘出之分母又以二率分子五與三率分子三相乘得一十五為乘出之分子是為二十八分之十五為二率三率相乘之數以一率三分石之二除之因分母除不盡乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八與一率之分子二相乘得五十六為除出之分母又以一率之分母三與乘出之分子十五相乘得四十五為除出之分子即得四率五十六分兩之四十五為所求之數也如求真數則變零分為兩以分母五十六為一率一兩為二率分子四十五為三率推得四率八錢餘二不盡命為五十六分錢之二約為二十八分錢之一即所求之真數也設如有銀買蠟每銀二兩六錢買蠟十斤零五分斤之二又七兩零二分兩之一今有銀九錢問買蠟幾何法以銀二兩六錢為一率以蠟十斤通為一百六十兩又五分斤之二通為六兩四錢又七兩零二分兩之一通為七兩五錢共得一百七十三兩九錢為二率今有銀九錢為三率推得四率六十兩零一錢九分收為三斤零十二兩一錢九分即所求之蠟數也此法雖有零分而分兩實可相通故各相通以為比例四率也設如有銀買羽絨每三分丈之一價銀四分兩之三今欲買八分丈之七問該銀若干法以原羽絨三分丈之一為一率原銀四分兩之三為二率今羽絨八分丈之七為三率用通分乘法以二率分母四與三率分母八相乘得三十二為乘出之分母又以二率分子三與三率分子七相乘得二十一為乘出之分子是為三十二分之二十一為二率三率相乘之數乃以一率三分丈之一除之因分母除不盡乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二與一率之分子一相乘仍得三十二為除出之分母又以一率之分母三與乘出之分子二十一相乘得六十三為除出之分子即得四率三十二分兩之六十三為所求之數也滿分母三十二分收為一兩餘三十一(六十三分内減去三十二分仍餘三十一)為一兩又三十二分兩之三十一如求真數則以分母三十二為一率一兩為二率分子三十一為三率推得四率九錢六分八釐七豪五絲與整數一兩相加得一兩九錢六分八釐七豪五絲即真數也設如有銀買緞每緞二疋共價八兩又五分兩之四今欲買三十六疋問共價若干法以二疋為一率共價八兩用分母五通為四十分加分子四得四十四分為二率今買三十六疋為三率推得四率七百九十二分以每分母五分收為一兩得一百五十八兩又五分兩之二(以五)(分為一率一兩為二率七百九十二分為三率推得四率一百五十八兩餘二)(分即命為五分兩之二)即所求之數也如以五分兩之二收為四錢(五分為一兩則二分為四錢)則得一百五十八兩四錢即緞三十六疋之共價也如以子母分變為真數求之二疋共價八兩又五分兩之四則五分為一兩四分為八錢是二疋共價為八兩八錢即以二疋為一率八兩八錢為二率三十六疋為三率亦得四率一百五十八兩四錢為緞三十六疋之共價也轉比例帶分設如一案長九尺寬一尺六寸今欲将原長減三分之一其面積仍與原案等問寬幾何法以原長九尺用分母三歸之得每分三尺於原長九尺内減去一分之三尺餘六尺為今長為一率原寬一尺六寸為二率原長九尺為三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之寬也此法因分母三可以度盡原長故變今長為真數與他率為比例也設如營造原每日用五十六人為一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人問完工之日得幾何法以今用六十四人為一率以分母九通一月為九分加入分子三共為九分月之十二為二率原用五十六人為三率推得四率九分月之十分半滿分母九分收為一月餘一分半(十分半内減去九分餘一)(分半)約為六分月之一即得一月又六分月之一為今用六十四人完工之日也葢六十四人與一月又九分月之三之比即同於五十六人與一月又六分月之一之比也設如原有一門簾用綾一丈二尺其綾寬一尺五寸今欲作一新簾其綾比原綾寬七分尺之三問應用長數幾何法以原寬一尺五寸用分母七通為十分半加入分子三得今寬一十三分半為一率原長一丈二尺為二率原寬十分半為三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五約為三分尺之一即得九尺又三分尺之一為今應用之長數也葢今寬十三分半與原寬十分半之比即同於原長一丈二尺與今長九尺又三分尺之一之比也設如城守兵一營其糧可支一年又七分年之二今汰去三分之一問應支年數幾何法先以年分母七通一年為七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一減分母三得二為三分之二為現存兵數(汰去三分之一則存者為三分之二)因兩分母不同故用互乘以齊之以兩分母三七相乘得二十一為共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四為今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七為原年分即以所通今存兵十四分為一率原年數二十七分為二率原兵二十一分為三率推得四率二十一分年之四十分半滿分母二十一分收為一年餘十九分半(四十分半内減二十一分餘十九分半)約為七分年之六分半即得一年又七分年之六分半為今應支之年數也葢今存兵比原兵少三分之一則支糧年數必多三分之一故今存兵十四分與原兵二十一分之比即同於原年數二十七分與今年數四十分半之比也御製數理精藴下編卷三
## 下編卷四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷四線部二按分遞折比例(二八差分遞折差分) (三七差分差分四六差分加倍減半)按分遞折比例差分之欵項雖多而按分遞折者皆為相連比例故約之而歸一類如二八三七四六差分俱以十分為總率而按各分以分之者也如遞折差分亦以十分為率而按十分之幾以遞折之者也如加倍減半差分則以倍半為率按一定之分而加減之者也今細分其目如左二八差分者以總物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者則以二與八與三十二為衰數葢八與三十二之比即如二與八之比也有四色者則以二與八與三十二與一百二十八為衰數葢三十二與一百二十八之比亦如二與八之比也至於五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎二八之比例故曰二八差分三七差分者以總物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者則以九與二十一及四十九為衰數(以九為第一衰數者因三與七非彼此度盡之數七作三分必至竒零不盡故以三因三得九)(為三分則以三因七得二十一為七分如二十一轉為三分則四十九又為七分矣)葢九與二十一即如三與七之比而二十一與四十九亦如三與七之比也有四色者則以二十七與六十三及一百四十七與三百四十三為衰數(以三因九得二十七為三分故以七)(因九得六十三為七分若六十三轉為三分則一百四十七為七分一百四十七轉為三分則三百四十)(三又為七分矣)葢二十七與六十三六十三與一百四十七一百四十七與三百四十三皆如三與七之比也五色以上者皆以相連比例求各衰數總不越乎三七之比例故曰三七差分四六差分者以總物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者則以四與六與九為衰數葢六與九之比即如四與六之比也有四色者則以四與六與九與一三五為衰數葢九與一三五之比亦如四與六之比也五色以上者亦以相連比例求各衰數總不越乎四六之比例故曰四六差分遞折差分者十分之中得其幾分即為幾折如得其六分即為六折得其四分即為四折若夫五折則為十分之半故載於倍半法中而别為一類加倍差分其數自少而多皆以倍而加減半差分則數自多而少皆以半而減因加減有定分故立衰有定例總以加倍減半之數為相連比例設為借數以求正數也二八差分設如有銀三千兩令二等人户二八納之問各該若干法以二分八分相併得十分為一率銀三千兩為二率二分為三率推得四率六百兩為下等人户所納之數仍以二分八分相併之十分為一率銀三千兩為二率以八分為三率推得四率二千四百兩即為上等人户所納之數也此法兩用四率者正為明比例之理葢二分八分相併之十分與總銀三千之比即如二分之與六百之比八分之與二千四百之比也又捷法以二八所併之十分歸除總銀三千兩得每分三百兩以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所納之數於總銀内減之即八分所納之數此又正法外之變法也設如有人一千六百名二分賞銀八分賞米問賞銀人若干賞米人若干法以二分八分相併得十分為一率人一千六百名為二率二分為三率推得四率三百二十名為應賞銀之人如以八分為三率推得四率一千二百八十名即應賞米之人也葢二分八分相併之十分與總人一千六百之比即如二分之與三百二十名之比八分之與一千二百八十名之比也又捷法以二八所併之十分歸除總人數一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得賞銀人三百二十名以八分乘之得賞米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也設如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之問每人應得幾何法以二分為甲衰八分為乙衰三十二分為丙衰相併得四十二分為一率總米五百八十八石為二率以甲二分為三率推得四率二十八石即甲分米數以乙八分為三率得四率一百一十二石即乙分米數以丙三十二分為三率得四率四百四十八石即丙分米數也此法用二與八八與三十二者即二八相連比例分葢總分數四十二分與總米五百八十八石之比即二分與二十八石之比八分與一百一十二石之比即三十二分與四百四十八石之比也又捷法以總數四十二分歸除總米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也設如有銅五百二十斤錬成精銅每十分中去渣二分餘精銅八分問精銅與渣各得若干法以十分為一率銅五百二十斤為二率八分為三率推得四率四百一十六斤為精銅之數如以二分為三率推得四率一百零四斤即銅渣之數也葢十分與五百二十斤之比即如八分之與四百一十六斤之比二分之與一百零四斤之比也又捷法以十分歸除總銅五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精銅八分數減總銅餘即銅渣二分數也設如有田二千六百三十五畝以麥穀豆麻四色遞次二八分種問各田應得幾何法以二分為麻衰八分為豆衰三十二分為穀衰一百二十八分為麥衰併之得一百七十分為一率總田二千六百三十五畝為二率以麥一百二十八分為三率得四率一千九百八十四畝即麥田數如以穀三十二分為三率得四率四百九十六畝即穀田數如以豆八分或麻二分為三率所得四率即豆一百二十四畝與麻三十一畝之田數也又捷法以總數一百七十分除總田數二千六百三十五畝得每分一十五畝五分乃以每色分數乘之即得每色應種數也設如有銀三千四百一十兩令五商遞次二八分出問各出幾何法以一商為二分一商為八分一商為三十二分一商為一百二十八分一商為五百一十二分併之得六百八十二分為一率總銀三千四百一十兩為二率以五百一十二分為三率得四率二千五百六十兩即五百一十二分應出之數如以一百二十八分為三率得四率六百四十兩即一百二十八分應出之數如以三十二分為三率得四率一百六十兩即三十二分應出之數如以八分或二分為三率所得四率四十兩即八分應出之數一十兩即二分應出之數也又捷法以總數六百八十二分除總銀三千四百一十兩得每分五兩再以每人分數乘之即得每人應出銀數也設如有糧二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八遞減納之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户問各户所納幾何各等户共納幾何法以五百一十二為甲一户分數再以甲三十户乘之得一萬五千三百六十為甲三十户共分數以一百二十八為乙一户分數再以乙四十户乘之得五千一百二十為乙四十户共分數又以三十二為丙一户分數再以丙五十户乘之得一千六百為丙五十户共分數又以八為丁一户分數再以丁六十户乘之得四百八十為丁六十户共分數又以二為戊一户分數再以戊七十户乘之得一百四十為戊七十户共分數以所得五等共分數併之得二萬二千七百為總分數為一率總糧二千六百五十五石九斗為二率以甲五百一十二分為三率得甲一户納五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共納一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分為三率得乙一户納十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共納五百九十九石零四升以丙三十二分為三率得丙一户納三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共納一百八十七石二斗以丁八分為三率得丁一户納九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共納五十六石一斗六升以戊二分為三率得戊一户納二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共納十六石三斗八升也又捷法以總分數除總糧數得每一分一斗一升七合以各等一户分數乘之得各等一户納糧之數以各等共户分數乘之得各等共户納糧之數葢前法有各等户而各等之中又有衆户故以定分數(二八三十二一百二十八五百一十二之數)為各等分數又以衆户乘之為各等共户之分數此捷法以總分數除總糧是得各等每一户中之一分故以每一户分數乘之得每一户之數以每一等共分數乘之得每一等之全數也三七差分設如有銀五千兩令東西二縣三七支銷問各該幾何法以七分為東縣衰數三分為西縣衰數併之得十分為一率總銀五千兩為二率以七分為三率得四率三千五百兩即東縣應支之數如以三分為三率得四率一千五百兩即西縣應支之數也葢三七比例亦以總衰數與總銀數之比即若每縣衰數與每縣銀數之比故十分與五千之比即若三分與一千五百之比七分與三千五百之比也又捷法先以總衰十分除總銀五千兩得每分五百兩以七分乘之即東縣之數以三分乘之即西縣之數或得東縣數於總銀内減之餘即西縣數也此法以總衰除總銀得每分五百兩以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而後除後法先除而後乘其理一也設如有田二千五百畝令上等户七分種之下等户三分種之問各該幾何法以七分三分相併得十分為一率二千五百畝為二率上户七分為三率得四率一千七百五十畝即上户應種田數如以三分為三率得四率七百五十畝即下户應種田數葢十分與二千五百畝之比即七分與一千七百五十畝之比三分與七百五十畝之比也又捷法以三七相併之十分歸除總田二千五百畝得每分二百五十畝以三分乘之得下户七百五十畝以七分乘之得上户一千七百五十畝葢一分為二百五十畝而三分得七百五十畝七分得一千七百五十畝也設如以車運物行十里二十刻到今已行七里問尚得幾刻到法以十里為一率二十刻為二率以七里與十里相減餘三里為三率推得四率六刻即運到刻數也如以七里為三率推得四率十四刻與總二十刻相減餘六刻亦即運到刻數也葢十里與二十刻之比即三里與六刻之比七里與十四刻之比也又捷法以十里歸除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里為二刻則三里得六刻七里得十四刻也設如種樹一千一百六十株按松柏桃栁四色遞次三七分種問各該幾何法以三百四十三分為松衰一百四十七分為柏衰六十三分為桃衰二十七分為栁衰併之得五百八十分為一率一千一百六十株為二率以三百四十三分為三率得四率六百八十六株即種松之數以一百四十七分為三率得四率二百九十四株即種柏之數以六十三分為三率得四率一百二十六株即種桃之數以二十七分為三率得四率五十四株即種栁之數也又捷法以總衰數五百八十歸除總樹一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得種松之數以一百四十七分乘之得種柏之數以六十三分乘之得種桃之數以二十七分乘之得種栁之數也此法有四位故以三因九得二十七為栁衰數又遞用七因三歸為桃柏松之衰數也設如有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞遞次三七分織問各該絲幾何法以九分為絹衰二十一分為綾衰四十九分為緞衰併之得七十九分為一率絲四百九十七兩七錢為二率以緞四十九分為三率得四率三百零八兩七錢即緞絲數如以綾二十一分為三率得四率一百三十二兩三錢即綾絲數如以絹九分為三率得四率五十六兩七錢即絹絲數也又捷法以總衰數七十九分除總絲四百九十七兩七錢得每分六兩三錢以緞四十九分乘之得緞絲之數以綾二十一分乘之得綾絲之數以絹九分乘之得絹絲之數也此法有三位故以三因三得九為絹之衰數又遞用七因三歸為綾與緞之衰數葢九與二十一二十一與四十九為相連比例三率而九與二十一之比即二十一與四十九之比也設如編銀八百二十八兩二錢令甲乙丙丁戊五等户三七徴納問各户所納幾何法以八十一分為甲衰一百八十九分為乙衰四百四十一分為丙衰一千零二十九分為丁衰二千四百零一分為戊衰併之得四千一百四十一分為一率總銀八百二十八兩二錢為二率以每人分數各為三率得四率之一十六兩二錢即甲所納銀數得四率之三十七兩八錢即乙所納銀數得四率之八十八兩二錢即丙所納銀數得四率之二百零五兩八錢即丁所納銀數得四率之四百八十兩二錢即戊所納銀數也又捷法以總衰數四千一百四十一分歸除總銀八百二十八兩二錢得每分二錢以甲乙丙丁戊各人分數乘之即得各人所納銀數也此法有五位故以三因二十七得八十一分為甲之衰數又遞用七因三歸即得乙丙丁戊各衰數矣設如有田一百三十八畝每畝徴米二斗今七分徴米三分折絲每米一石折絲一斤問各該幾何法以七分為米衰三分為絲衰併之得十分為一率又以徴米二斗乘田一百三十八畝得總米二十七石六斗為二率以米七分為三率得四率一十九石三斗二升即徴米七分之數與總米相減餘八石二斗八升為三分折絲之數按米每石折絲一斤則以八石二斗八升用十六兩乘之得一百三十二兩四錢八分為八斤四兩四錢八分即折絲三分之數也此法以徴米二斗乘總田是得總徴米數而三七分之也總米分去七分即本色米數餘者折為絲即三分絲數也折絲之法每石既為一斤則八石二斗四升自得八斤四兩四錢八分也又捷法以總衰十分歸除總米二十七石六斗得每分二石七斗六升以米七分乘之得米數以絲三分乘之得折絲之米數既得折絲之米數而絲之斤兩亦得矣四六差分設如有金四千兩令上下二等金户六四傾銷問各該幾何法以六分為上等衰數四分為下等衰數併之得十分為一率共金四千兩為二率以六分為三率得四率二千四百兩即上等金户傾銷之數如以四分為三率得四率一千六百兩即下等金户傾銷之數此法以四分六分相併之十分與共金四千兩之比即如六分與二千四百兩之比四分與一千六百兩之比也又捷法以總衰十分歸除共金四千兩得每分四百兩以六分乘之得二千四百兩為上等金户傾銷之數以四分乘之得一千六百兩為下等金户傾銷之數如先得上等六分金數於共金數内減之其餘即下等四分金數也設如有水田三百畝令上下二户四六分灌問各灌若干法以四分六分相併得十分為一率三百畝為二率六分為三率推得四率一百八十畝即上户所灌之田以四分為三率推得四率一百二十畝即下户所灌之田也葢四六相併之十分與三百畝之比即六分與一百八十畝之比四分與一百二十畝之比也又捷法以相併之十分歸除總田三百畝得每分三十畝以六分乘之即上户田數以四分乘之即下户田數葢每一分得三十畝而六分得一百八十畝四分得一百二十畝也如或先得六分田數減總田餘即四分田數也設如有絲二百五十斤換米每絲一斤換米一石今已換過六分尚餘絲四分問已換未換各若干法以四分六分相併得十分為一率将二百五十斤絲變作二百五十石米為二率(每絲一斤換米一石故也)以六分為三率推得四率一百五十石為已換之米數以四分為三率推得四率一百石為未換之米數葢四六相併之十分與二百五十石之比即六分與一百五十石之比四分與一百石之比也又捷法以相併之十分歸除總米二百五十石得每分二十五石以六分乘之得已換之一百五十石以四分乘之得未換之一百石葢每一分得二十五石而四分得一百石六分得一百五十石也設如有絲一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六分織問各該幾何法以四為甲衰數六為乙衰數九為丙衰數併之得十九為一率總絲一千五百五十八斤為二率以甲四分為三率即得甲絲三百二十八斤以乙六分為三率即得乙絲四百九十二斤以丙九分為三率即得丙絲七百三十八斤此法以總衰十九分與總絲一千五百五十八斤之比即甲四分與三百二十八斤之比乙六分與四百九十二斤之比丙九分與七百三十八斤之比也又捷法以總衰數十九分除總絲一千五百五十八斤得每分八十二斤以甲四分乘之得甲絲三百二十八斤以乙六分乘之得乙絲四百九十二斤以丙九分乘之得丙絲七百三十八斤也設如有田九百七十五畝令甲乙丙丁四人四六分種問每人各得幾何法以四分為甲衰六分為乙衰九分為丙衰一十三分半為丁衰併之得三十二分半為一率總田九百七十五畝為二率以甲四分為三率即得甲田一百二十畝以乙六分為三率即得乙田一百八十畝以丙九分丁一十三分半各為三率即得二百七十畝為丙田得四百零五畝為丁田也葢三十二分半與九百七十五畝之比即甲四分與一百二十畝之比乙六分與一百八十畝之比亦即丙九分與二百七十畝之比丁十三分半與四百零五畝之比也又捷法以總衰數三十二分半歸除總田九百七十五畝得每分三十畝以甲乙丙丁各衰數乘之即得每人田數也設如有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按六分四分遞次運載問各該幾何法以四分為戊衰六分為丁衰九分為丙衰一十三分半為乙衰二十分二五為甲衰併之得五十二分七五為一率總糧一千二百六十六石為二率以甲二十分二五為三率得甲運四百八十六石以乙一十三分半為三率得乙運三百二十四石以丙九分為三率得丙運二百一十六石以丁六分為三率得丁運一百四十四石以戊四分為三率得戊運九十六石此法總衰數與總糧之比即各人分數與各人糧數之比也葢六與九九與一三五一三五與二○二五皆同為四六之比例也又捷法以總衰五十二分七五歸除總糧一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰數乘之即得各舟運糧之數也設如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交納上等二十六户下等四十户問各等每户各該幾何法以六為上等衰數以上户二十六户乘之得一百五十六為上等二十六户共衰數以四為下等衰數以下户四十乘之得一百六十為下等四十户共衰數併之得三百一十六為一率總米三百八十五石五斗二升為二率以上等六分為三率得四率七石三斗二升為上等一户米數以上等共分數一百五十六為三率得一百九十石三斗二升為上等二十六户共米數如以下等四分為三率得四率四石八斗八升為下等一户米數以下等共分數一百六十為三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米數也又捷法以總衰三百一十六分歸除總米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米數以上等共分數乘之得上等共米數以四分乘之得下等一户米數以下等共分數乘之得下等共米數也遞折差分設如有熟稻七百九十九畝六分八釐令三人以十分之六收割問每人得幾何法以一百為第一人分數六十為第二人分數三十六為第三人分數三分數相併得一百九十六分為一率總稻七百九十九畝六分八釐為二率第一人分數一百為三率得四率四百零八畝即第一人收割田數如以第二人分數六十為三率得四率二百四十四畝八分即第二人收割田數如以第三人分數三十六為三率得四率一百四十六畝八分八釐即第三人收割田數葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百與六十之比即六十與三十六之比遞次比例皆十分之六也其得數四百零八畝與二百四十四畝八分之比即二百四十四畝八分與一百四十六畝八分八釐之比亦皆為十分之六也又捷法以總分一百九十六除總田七百九十九畝六分八釐得每一分四畝零八釐以一百分乘之得第一人四百零八畝以六十分乘之得第二人二百四十四畝八分以三十六分乘之得第三人一百四十六畝八分八釐也設如有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分之七遞次販貨出賣問每人該銀幾何法以一千為第一人分數七百為第二人分數四百九十為第三人分數三百四十三為第四人分數相併得二千五百三十三分為一率總銀一千二百六十六兩五錢為二率以一千分為三率得四率五百兩即第一人銀數以七百分為三率得四率三百五十兩即第二人銀數以四百九十分為三率得四率二百四十五兩即第三人銀數以三百四十三分為三率得四率一百七十一兩五錢即第四人銀數葢十分之七遞折而下第二人得第一人十分之七則第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰數一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十與七之比例也又捷法以總分二千五百三十三除總銀一千二百六十六兩五錢得每一分五錢以一千分乘之得第一人五百兩以七百分乘之得第二人三百五十兩以四百九十分乘之得第三人二百四十五兩以三百四十三分乘之得第四人一百七十一兩五錢也設如生銅入爐鎔化三次每一次去渣十分之二淨得上好熟銅二百四十八兩問原銅幾何法即以十分之八為分數(十分之中去渣二分得淨)(銅八分故以十分之八為比例)以八分為一率十分為二率熟銅二百四十八兩為三率得四率三百一十兩為第三次入爐銅數又以八分為一率十分為二率三百一十兩為三率得四率三百八十七兩五錢為第二次入爐銅數再以八分為一率十分為二率三百八十七兩五錢為三率得四率四百八十四兩三錢七分五釐即第一次入爐生銅數也此法因八折三次而轉求原數故以八分為一率十分為二率轉求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分為一率十分自乘再乘得一千分為二率熟銅二百四十八兩為三率得四率四百八十四兩三錢七分五釐即第一次入爐生銅數也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法則以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟銅數為三率即得第一次生銅數是合三次乘除而為一次乘除也設如有絲三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分問各得幾何法以一千為甲分數八百為乙分數六百四十為丙分數五百一十二為丁分數相併得二千九百五十二分為一率總絲三百六十九斤為二率以每人分數各為三率所得各四率一百二十五斤為甲數一百斤為乙數八十斤為丙數六十四斤為丁數葢十分之八遞折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰數一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十與八之比例也如捷法先除後乘須用通分不然則斤數有竒零矣設如有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八問每户該出幾何法以一百為上等分數用二十五乘之得二千五百為上等户共分數以六十為中等分數用三十乘之得一千八百為中等户共分數以三十六為下等分數用四十八乘之得一千七百二十八為下等户共分數併之共六千零二十八分為一率絹四百七十丈一尺八寸四分為二率以三等各分數各為三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户數乘各等每户絹數得上等二十五户共出絹一百九十五丈中等三十户共出絹一百四十丈零四尺下等四十八户共出絹一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以總分數六千零二十八分除總絹四百七十丈一尺八寸四分得每一分為七寸八分以各等分數乘之得各等每一户絹數再以各等户數乘之即得各等衆户共出絹數也設如有官糧一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次遞折交納一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户問每等每户各納幾何法以一千為一等分數用二十二户乘之得二萬二千即一等户共分數以七百為二等分數用三十六户乘之得二萬五千二百即二等户共分數以四百九十為三等分數用四十二户乘之得二萬零五百八十為三等户共分數以三百四十三為四等分數用四十八户乘之得一萬六千四百六十四為四等户共分數併之共八萬四千二百四十四分為一率總糧一百六十八石四斗八升八合為二率以一千分為三率得四率一等每户二石以共户數乘之得共納四十四石以七百分為三率得四率二等每户一石四斗以共户數乘之得共納五十石零四斗以四百九十分為三率得四率三等每户九斗八升以共户數乘之得共納四十一石一斗六升以三百四十三分為三率得四率四等每户六斗八升六合以共户數乘之得共納三十二石九斗二升八合也又捷法以總分數八萬四千二百四十四除總糧一百六十八石四斗八升八合得每一分為二合以各等分數乘之得各等每一户糧數再以各等户數乘之即得各等衆户共納糧數也加倍減半差分設如一人讀書日加一倍三日共讀三千四百六十五字問每日所讀幾何法以一為第一日分數二為第二日分數四為第三日分數併之得七分為一率總字三千四百六十五為二率一分為三率得四率四百九十五字即第一日所讀之數倍之得九百九十字即第二日所讀之數又倍之得一千九百八十字即第三日所讀之數也葢加倍者是第二日增於第一日一倍第三日又增於第二日一倍倍數多者由此遞加如二與四四與八八與十六之類皆為加一倍之比例也設如一人織絹日加一倍至第四日織成六丈七尺五寸問每日織幾何法以一為第一日分數二為第二日分數四為第三日分數八為第四日分數併之得十五分為一率總絹六丈七尺五寸為二率一分為三率得四率四尺五寸即第一日之數倍之得九尺為第二日之數又倍之得一丈八尺為第三日之數又倍之得三丈六尺為第四日之數四數相加共得六丈七尺五寸以合原數也設如一人借銀為商三次每次得利銀比本銀加一倍每次還人二百兩三次之後本利還盡問原本銀若干法以一為本銀分數二為第一次本利共分四為第二次本利共分八為第三次本利共分即以八分為一率原本銀一分為二率又以一為第三次還銀分二為第二次還銀分四為第一次還銀分併之得七分與每次還人二百兩相乘得一千四百兩為三率得四率一百七十五兩即原本銀數也葢每次得利銀比本銀加一倍則原本銀為一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未還人計也然每次還人二百兩三次之後本利還盡若第三次不還則得二百兩者一分第二次不還則至第三次必得二百兩者二分第一次不還則至第三次必得二百兩者四分(以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四)(分)是第三次應得二百兩者七分而為一千四百兩矣故以八分與一分之比同於一千四百兩與一百七十五兩之比也又法以二百兩用三次還銀共分七乘之得一千四百兩折半三次亦得本銀之數葢折半三次即以八除也設如一人賣酒每日比原數加一倍一日賣一斤六日賣盡問原酒若干法以一為原酒分數按六日加倍六次得六十四分為一率原酒一分為二率又以一為第六次賣酒分二為第五次賣酒分四為第四次賣酒分八為第三次賣酒分十六為第二次賣酒分三十二為第一次賣酒分併之得六十三分與每斤十六兩相乘得一千零八兩為三率得四率十五兩七錢五分即原酒數也又法以每斤十六兩用六次賣酒共分六十三乘之得一千零八兩折半六次亦得原酒之數葢折半六次即以六十四除也設如有田一千二百畝分與甲乙丙丁四人種之自上以下遞減一半問各該若干法以八為甲分四為乙分二為丙分一為丁分併之得十五分為一率田一千二百畝為二率以甲八分為三率得四率六百四十畝即甲田數以乙四分為三率得四率三百二十畝即乙田數以丙二分為三率得四率一百六十畝即丙田數以丁一分為三率得四率八十畝即丁田數如以甲田六百四十畝折半即乙田數以乙田三百二十畝折半即丙田數以丙田一百六十畝折半即丁田數也設如有銀一萬八千零八十八兩令甲乙丙三人減半分之問各該幾何法以四為甲分數二為乙分數一為丙分數併之得七分為一率總銀一萬八千零八十八兩為二率以甲四分為三率得四率一萬零三百三十六兩即甲所得銀數以乙二分為三率得四率五千一百六十八兩即乙所得銀數以丙一分為三率得四率二千五百八十四兩即丙所得銀數也葢減半者即自上而下折半減之也如四折半為二二折半為一是也今以甲銀一萬零三百三十六兩折半即得乙銀五千一百六十八兩将乙銀再折半即得丙銀二千五百八十四兩也設如有銀三千一百六十兩分與三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之銀減一倍第三等比二等之銀減一倍問各等每人分銀幾何法以四為一等分數二為二等分數一為三等分數以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三數相併共得一百五十八分為一率總銀三千一百六十兩為二率四分為三率得四率八十兩為第一等每人所得銀數減半得四十兩為二等每人所得銀數又減半得二十兩為三等每人所得銀數以各等人數乘各等每人所得銀數即各等共人所得共銀數併之以合原銀數也御製數理精蘊下編卷四
## 下編卷五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷五線部三按數加减比例(遞加遞减差分互□□平差分) (超位加减差分首尾互凖差分)按數加減比例差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位加減即遞加遞减之一類也首尾互凖又為互和折半之變體也遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中數按定數加減則各色之數可得矣超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分銀若干一得三分一得五分一得八分而彼此分數之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減無異故次於遞次加減之後互和折半者亦如遞次加減之理但用法㣲異遞次加減知總物數知總人數併知遞加遞減之數以求各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以互和折半之法逆推之而即得故次於互和折半之後焉遞加遞減差分設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分之問各得幾何法以三人為一率金六十兩為二率一人為三率推得四率二十兩即乙應得之數自乙數加五兩得二十五兩即丙應得之數自乙數減五兩得十五兩即甲應得之數也此法因甲丙二人所得較之乙所得加減之數皆同故以總三人與總六十兩之比即若中一人與中一分二十兩之比也設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五斤問每球重數若干法以四球為一率鉛三百五十斤為二率一球為三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之數乃以遞加二十五斤折半得十二斤半與八十七斤半相加得一百斤即第三球之重與八十七斤半相減餘七十五斤即第二球之重於第三球重數内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重於第二球重數内再減二十五斤餘五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半較之第二球多十二斤半較之第三球則少十二斤半故為二球相和折半之數以遞加二十五斤之數折半加減之即得中二球之重再以二十五斤加減之即得第一與第四球之重也設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以上遞加五斤問各該幾何法以五人為一率金七十五斤為二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之數自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之數再加五斤得二十五斤即公所得之數自伯十五斤而下減五斤餘十斤即子所得之數再減五斤餘五斤即男所得之數也設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十三石給之問各得若干法以五分為一率(即五等官五分也)糧三百零五石為二率一分為三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石遞加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石遞減十三石得四等四十八石五等三十五石也設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依次遞加十七錠問首末兩人各該幾何法以八人為一率銀九百九十六錠為二率一人為三率推得四率一百二十四錠半為第四人第五人相和折半之數乃以遞加十七錠折半得八錠半與一百二十四錠半相加得一百三十三錠即第四人應得之數再以十七錠遞加三次得一百八十四錠即第一人應得之數以八錠半與一百二十四錠半相減餘一百一十六錠即第五人應得之數再以十七錠遞減三次餘六十五錠即第八人應得之數也設如一人有九子不明説出各人歲數但云共有二百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何法以九分為一率(即以九子為九分也)二百零七歲為二率一分為三率推得四率二十三歲即第五子之年自二十三嵗遞加三歲得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二歲長子三十五歲自二十三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十七嵗八子十四歲九子十一歲也設如有敘功之二十人其末一人賞銀一百兩以上遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何法以一分為一率遞加三十兩為二率十九分為三率推得四率五百七十兩即第一人比末一人共多之數於此數内加入末名之一百兩共六百七十兩即第一人應得之數以第一人所得之數與末一人所得之數併之共七百七十兩復以二十人乘之得一萬五千四百兩折半得七千七百兩即二十人共得之銀數也此法蓋以第一人比第二十人共多十九個三十兩故以一分與遞加之三十兩相比即如十九分與第一人共多於第二十人之五百七十兩相比也既得十九分共多之數再加入末一人之一百兩即得第一人應得之數矣又首末二數相併以人數二十乘之折半得其銀數者蓋以遞加之數彼此均同首一人得數至多末一人得數至少首末二人之數相併折半即為中數以中數乘人數而得共數今首末二人之數相併而末折半即用人數乗之故所得之數為應得共數之加倍數是以半之而始得共銀數也設如有牛四十區但云第一區是三十頭餘遞加二十頭問第四十區該幾何總數幾何法以一分為一率遞加二十頭為二率三十九分為三率推得四率七百八十加入第一區之三十共八百一十頭即第四十區之數以首末二區數相併共八百四十頭用四十區乗之得三萬三千六百頭折半得一萬六千八百頭即四十區之總數也此法第二區比第一區加二十由此遞加則第四十區比第一區共多三十九個二十故以一分與二十頭相比即如三十九分與第四十區共多於第一區之七百八十頭相比也再加入第一區之三十頭即第四十區之數繼而併首末兩數以總區數四十乗之折半即得共數也設如有人一百名第一人賞銀一百兩以下遞減五錢問共該銀幾何法以一分為一率遞減五錢為二率九十九分為三率推得四率四十九兩五錢即第一名多於第一百名之數於一百兩内減之餘五十兩零五錢即第一百名應賞之數又與第一名賞銀相併得一百五十兩零五錢以一百名乗之得一萬五千零五十兩折半得七千五百二十五兩即共賞銀數也蓋賞銀遞減五錢則第一名比第一百名多九十九個五錢故以一分與五錢相比即如九十九分與第一名總多於第一百名之數相比也爰以首尾兩數相併以名數一百乗之折半而得總銀數也設如一人染絹初日染八尺日加一尺加至六十尺止問日與絹各幾何法以初日之八尺與末日之六十尺相加得六十八尺為首尾兩日共染之絹數又看八尺以前遞減至一尺有幾分今有七分即為七尺乃於末日之六十尺減去七尺餘五十三尺即為共日五十三日乃以二日為一率六十八尺為二率五十三日為三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之絹數也此法以二日為一率者取其首末相合之共日為準也以初日末日之尺數相併為二率者取其首末尺數相合與首末兩日為比也以八尺遞減至一尺而得日數為三率者蓋以初日之八尺上數至一尺得數必為七分即爲七尺(理與一面尖堆法同)而今有之末日六十尺内減去七尺餘五十三尺即為五十三日故二日與首末相合之尺數相比即如共日五十三日與共絹之尺數相比也設如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末兩日所行共一百六十里問共行幾日及初日末日各行幾里法以初末兩日行數一百六十里折半得八十里乃共日之中數為一率一日為二率共行三百二十里為三率推得四率四日即共行日數也又以日増六里折半得三里與六里相併得九里加於中數八十里得八十九里即第四日所行之數減於中數八十里餘七十一里即第一日所行之數也此法以第四日第一日行數相併折半者為得四日之中數既得四日之中數與一日之比即如共數與四日之比也又以日増之數折半而與日増之數相併加於中數而得末日所行之數減於中數而得初日所行之數者其所得之中數在第二日第三日之間故此中數内加日増數之半即得第三日所行之數減日増數之半即得第二日所行之數故再加日増數之全而得末日所行之數再減日増數之全而得初日所行之數也設如一人織布厯十三日共織一千三百五十二寸因日漸長每日加功六寸至末日比初日多織七十二寸問初末二日各織幾何法以十三日為一率共織數一千三百五十二寸為二率一日為三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中數為第七日所織之數以第七日上計初日下計末日俱得六分於是以六分與日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸於第七日之一百零四寸内減之得六十八寸即初日所織之數於第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所織之數也此法雖求初末兩日之數然以十三日與總織數之比即一日與初末兩日中數之比既得中數按分加之何所不得此又遞次加減法中之又一例也設如有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次遞減分耕問各該幾何法以三分為甲衰數二分為乙衰數一分為丙衰數相併得六分為一率總田七百二十畝為二率一分為三率推得四率一百二十畝為一分即丙所耕之數以二分因之得二百四十畝即乙所耕之數以三分因之得三百六十畝即甲所耕之數也此法併總衰分為一率總田數為二率者是將總衰分比總田數故六分得七百二十畝而一分得一百二十畝也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲遞次至乙至丙皆減一百二十畝故為遞減也凡命法中不定所減分數者即以此法為例設如有銀九十二兩令伯仲叔季四人遞減分之問各得幾何法以四分為伯衰數三分為仲衰數二分為叔衰數一分為季衰數相併得十分為一率總銀九十二兩為二率一分為三率推得四率九兩二錢即季所得之數以二分因之得一十八兩四錢即叔所得之數以三分因之得二十七兩六錢即仲所得之數以四分因之得三十六兩八錢即伯所得之數也此法以十分比總銀即如總銀分為十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯遞次至季皆減一分故謂之遞減差分也設如有金一十二兩六錢欲挨次遞減造套杯六個問各重若干法以六五四三二一為六杯衰分併之得二十一分為一率共金數一十二兩六錢為二率一分為三率推得四率六錢即第六杯之重以二分因之得一兩二錢即第五杯之重以三分因之得一兩八錢即第四杯之重以四分因之得二兩四錢即第三杯之重以五分因之得三兩即第二杯之重以六分因之得三兩六錢即第一杯之重也此法以總分比總銀即如以一分比末一杯之重也以上遞加一分即各杯之重矣設如有糧一千一百三十四石令五等戸遞減納之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户問各等每戸應納若干法以五四三二一為五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分總併之得五百四十分為一率總糧一千一百三十四石為二率一分為三率推得四率二石一斗即五等每户所納之數以二分因之得四石二斗即四等每户所納之數以三分因之得六石三斗即三等每户所納之數以四因之得八石四斗即二等每戸所納之數以五因之得十石五斗即一等每戸所納之數也超位加減差分設如甲丙丁三人買房一所共價八百一十兩丙比甲出銀加一倍丁比甲丙共出銀又加一倍問每人各出幾何法以一分為甲衰數加一倍得二分為丙衰數又以甲一分丙二分相併為三分復加一倍得六分為丁衰數相併得九分為一率總銀八百一十兩為二率以甲一分為三率得四率九十兩即甲所出銀數加一倍得一百八十兩即丙所出銀數將甲丙共銀復加一倍得五百四十兩即丁所出銀數也此法以一分為甲數加一倍為丙數者因丙比甲銀多一倍也又共甲丙兩數加一倍為丁數者因丁比甲丙共銀又多一倍也故以所命各人分數相併得共分數以此共分數比共銀數即如各人分數比各人所出銀數也設如有銀五千兩買馬四匹園一區宅一所其園價比馬價多三倍而宅價比園價又多四倍問各價幾何法以一分為馬衰數加三倍(為三分)得四分為園衰數又將園四分加四倍(為十六分)得二十分為宅衰數相併得二十五分為一率總價五千兩為二率馬一分為三率推得四率二百兩即馬四匹之價(馬每匹價五十兩)加三分六百兩得八百兩即園一區之價再將園價加四分三千二百兩得四千兩即宅一所之價也此法將馬為一分而加三分為園價者因園價比馬價多三倍也又將園價為一分而加四分為宅價者因宅價比園價又多四倍也是以共分之比共價即如馬四匹之一分比各色每一分之價也設如有糧七百六十石以船三次運之第一次運十分二次運七分三次運二分問每次運糧幾何法以十分七分二分相併得十九分為一率共糧七百六十石為二率十分為三率得四率四百石即第一次所運之數如以七分為三率得四率二百八十石即第二次所運之數如以二分為三率得四率八十石即第三次所運之數也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰數分數已明故即以運分作衰分也設如有銅一百八十兩依次遞減造三等儀器上等比中等加二倍中等比下等加一倍問三等儀器各得銅幾何法以一分為下等衰數二分為中等衰數二分加二倍得六分為上等衰數併之得九分為一率共銅一百八十兩為二率下等之一分為三率推得四率二十兩即下等儀器之重加一倍得四十兩即中等儀器之重又加二倍得一百二十兩即上等儀器之重也此法命一分為下等數故加倍為中等數而得二分復以二分加二倍為上等數故上等數又為六分也設如有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹而價之多少不等但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九分之一問各價幾何法以一分為驢衰數四分為馬衰數九分為駝衰數併之得十四分為一率銀七十兩為二率驢一分為三率推得四率五兩即驢一匹之價以四分因之得二十兩即馬一匹之價以九分因之得四十五兩即駝一匹之價此法因駝價為九分故即以九為衰數且兩分母俱同為九分而馬居九分之四故即以四為馬分驢居九分之一故即以一為驢分也既得驢價取其四分即馬價取其九分即駝價也設如一人為商三次初次獲利比原銀多二倍二次獲利比初次本利共銀多四倍三次獲利比二次本利共銀又多三倍共計獲利併原銀得九百兩問原銀幾何法以一分為初商原銀衰數加二倍得三分為初次本利共分又比三分加四倍得十五分為二次本利共分又比十五分加三倍得六十分為三次本利共分即以此六十分為一率三次本利共銀九百兩為二率一分為三率推得四率一十五兩即原銀數也此法初次加二倍是原銀之外加二倍也又加四倍是比初次本利共銀之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共銀之外又加三倍也故以總分比總銀即如一分之比原銀也設如有米二十四石分與四人甲四分乙五分丙七分丁九分問各該幾何法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相併得二十五分為一率共米二十四石為二率一分為三率推得四率九斗六升乃每一分之數以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分為三率故得每人一分之數如以各人分數各為三率即得各人之全分矣設如有銀九十二兩賞二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等賞加一倍上等比中等賞加二倍問各等每人得賞幾何法以一分為下等衰數乗下等十人得十分又將一分加一倍得二分為中等衰數乗中等六人得十二分又將二分加二倍得六分為上等衰數乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相併得四十六分為一率總銀九十二兩為二率下等一分為三率推得四率二兩即下等每人應得之數將二兩加一倍得四兩即中等每人應得之數將四兩再加二倍得十二兩即上等每人應得之數復以各等人數乗各等每人應得之數即得上等四人共得四十八兩中等六人共得二十四兩下等十人共得二十兩也此法以下等一分為三率故得下等每人一分之數按分倍加而得中等上等如以各等衆人分數各為三率即得各等之共數矣設如有米五百三十五石賞與三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗問三等每名各得幾何法以二等比三等每名多五斗與二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗與二等比三等每名多五斗相加得十二斗與一等二十名相乗得二百四十斗兩數相併得四百九十斗乃於總米五百三十五石内減之餘四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相併得一百八十人為一率四百八十六石為二率一人為三率推得四率二石七斗即三等毎一人應得之數加五斗得三石二斗即二等毎一人應得之數再加七斗得三石九斗即一等每一人應得之數也此法以二等比三等毎名多五斗與二等五十人相乗者是求二等比三等共多之數又以一等比二等毎名多七斗併二等比三等毎名多五斗與一等二十人相乗者是求一等比三等共多之數也既得一等二等共多於三等之數於總數内減之所餘即三等相併共一百八十人均分之數故以一百八十人比總米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之數於第二等每一人數内再加七斗即得第一等每一人所得之數矣互和折半差分設如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石問各該若干法以三人為一率總米一百八十石為二率一人為三率推得四率六十石即乙應得之數次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石於乙數内加之得七十八石即甲應得之數於乙數内減之得四十二石即丙應得之數也此法蓋以三人共得之數比一人所得之數其一人所得之數即中一人應得之數甲多乙幾何即乙多丙幾何而甲多丙之數又為甲多乙之倍數故以甲多丙之數分為二分於中數内一加一減則彼此相較之數自得均平故謂之互和折半也設如有銀二百四十兩令趙錢孫李四人互和折半分之但知趙多李一十八兩問各該若干法以四人為一率總銀二百四十兩為二率一人為三率推得四率六十兩即錢孫中二人相和折半之數次取趙多李十八兩之數以三歸之(以三立法者用二歸以四)(立法者用三歸蓋以之相比而得較也)得六兩即四人遞加之數折半得三兩乃中二人相和折半數與中二人應得數之較以此三兩加於六十兩得六十三兩即錢銀數減於六十兩餘五十七兩即孫銀數錢銀數内再加六兩得六十九兩即趙銀數孫銀數内再減六兩餘五十一兩即李銀數也此法蓋以四人共得之數比一人應得之數其一人應得之數固非四人平分之數故比例所得六十兩為錢孫二人之中數較之錢數少三兩較之孫數多三兩故於六十兩中加三兩即錢數減三兩即孫數既得錢孫中二人數則首末二人祇按分數加之而已設如有兵二萬三千八百令甲乙丙丁戊五將互和折半領之只云戊少甲三千三百六十問各將所領若干法以五分為一率兵數二萬三千八百為二率一分為三率推得四率四千七百六十即丙所領之數又取戊少甲之三千三千六十以四歸之(此有五人而較為四故用)(四歸也)得八百四十為平分加減之數自丙數而上遞加之得五千六百即乙所領之數得六千四百四十即甲所領之數由丙數而下遞減之得三千九百二十即丁所領之數得三千零八十即戊所領之數也設如有稻一百九十八畝令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十畝問各該收稻幾何法以六人為一率總田一百九十八畝為二率一人為三率推得四率三十三畝即丙丁中二人相和折半之數次取甲多己三十畝以五歸之得六畝折半得三畝加於三十三畝得三十六畝即丙收數再加六畝得四十二畝即乙收數再加六畝得四十八畝即甲收數又以折半三畝減於三十三畝餘三十畝即丁收數再減六畝餘二十四畝即戊收數再減六畝餘十八畝即己收數此法因三十三畝為丙丁二人之中數較之丙少三畝較之丁多三畝故以丙與丁總差六畝折半加減之即得也首尾互準差分設如甲乙丙丁四人遞次分銀但知甲得六十九兩丁得五十一兩問乙丙各得銀幾何法以三分為甲多於丁之衰數(有四人故用三)(分如或五人則用四分六人則用五分)為一率甲六十九兩與丁五十一兩相減餘一十八兩為二率一分為三率推得四率六兩即四人所得遞加之數將丁銀五十一兩加六兩得五十七兩即丙應得之數再加六兩得六十三兩即乙應得之數也蓋甲數最多丁數最少相差一十八兩由丁至丙至乙至甲相隔三位則知有三差故用三分比一十八兩即如一分比六兩而為遞加數也若三色者以首尾兩數相加折半即中數其法易求故不設例設如五人遞次絡絲第一人絡絲四十兩第五人絡絲二十四兩問中三人各絡絲幾何法以四分為第一人多於第五人之衰數為一率第一第五兩數相減餘一十六兩為二率一分為三率推得四率四兩即五人絡絲遞加之數將第五人絡絲二十四兩加四兩得二十八兩即第四人所絡之數再加四兩得三十二兩即第三人所絡之數再加四兩得三十六兩即第二人所絡之數也此法用四為除法葢第五與第一相隔四位則知有四差故用四為比例也又捷法以第一第五兩數相加折半得三十二兩即第三人所絡之數又以第一第三兩數相加折半得三十六兩即第二人所絡之數復以第三第五兩數相加折半得二十八兩即第四人所絡之數此法即前互和折半之法凡位數竒者俱可用如三五七九是也設如七人運糧不言總數但知第一人第二人共運二十三石七斗第五人第六人第七人共運二十六石一斗其遞加之數俱相等問第三人第四人與前後五人各運幾何法以第一第二兩人共運二十三石七斗折半得十一石八斗五升為第一第二兩人相和折半之數第五第六第七三人共運二十六石一斗三歸之得八石七斗即第六人應運之數乃以第一分第二分之中數一分半與第六分相減餘四分半為一率第一第二兩人相和折半之十一石八斗五升内減第六人之八石七斗餘三石一斗五升為二率一分為三率推得四率七斗即每人遞加之數由第六人八石七斗而下減七斗得八石即第七人應運之數由第六人八石七斗而上遞加七斗得九石四斗即第五人應運之數得十石一斗即第四人應運之數得十石八斗即第三人應運之數得十一石五斗即第二人應運之數得十二石二斗即第一人應運之數也此法蓋因第一人第二人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人則差四分半故先以第一第二之中數與第六相減得其四分半之差數而以四分半比前二人相和折半多於第六人之六石三斗即如一分比每人遞加之七斗也設如八人分銀不言總數但知第一第二第三三人共得四十五兩第七第八二人共得八十五兩其遞加之數俱相等問各人應得若干法以前三人共得銀數四十五兩用三歸之得十五兩即第二人應得之數後二人共得八十五兩折半得四十二兩五錢即第七第八兩人相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二人應得之十五兩與後二人相和折半之四十二兩五錢相減餘二十七兩五錢為二率一分為三率推得四率五兩即每人遞加之數於第二人十五兩内減五兩即得第一人十兩於第二人十五兩外遞加五兩即得第三人二十兩第四人二十五兩第五人三十兩第六人三十五兩第七人四十兩第八人四十五兩之數也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八兩人相和折半之數則差五分半故先以第二與第七第八之中數相減得其五分半之差數而以五分半比後二人相和折半多於第二人之數即如每一分比每人遞加之數也設如八人分米不言總數但知第一第二兩人共得一十一石九斗第七第八兩人共得八石三斗其遞加之數俱相等問每人應得若干法以第一第二兩人共數一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二兩人相和折半之數再以第七第八兩人共數八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八兩人相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第七分第八分之中數七分半相減餘六分為一率第一第二兩人相和折半之五石九斗五升内減第七第八兩人相和折半之四石一斗五升餘一石八斗為二率一分為三率推得四率三斗即每人遞加之數折半得一斗五升加於第一第二兩人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之數以次遞減三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之數也此法蓋因第一第二兩人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八兩人相和折半之數則差六分故先以第一第二之中數與第七第八之中數相減得其六分之差數而以六分比第一第二相和折半多於第七第八相和折半之數即如每一分比每人遞加之數也又以第一第二之中數比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加於第一第二兩人相和折半之數即得第一人之數也設如有竹九節截為九筩盛米遞次長短不均但知根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三升問九節各盛米數幾何法以根底第一第二第三三節共盛米三升九合用三歸之得一升三合即第二節盛米之數梢上第六第七第八第九四節共盛米三升用四歸之得七合五勺即第七第八兩節相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二節盛米一升三合内減第七第八兩節相和折半之七合五勺餘五合五勺為二率一分為三率推得四率一合即每節遞加之數自第二節盛米一升三合而上加一合即得第一節盛米一升四合自第二節盛米一升三合而下遞減一合即得第三節盛一升二合第四節盛一升一合第五節盛一升第六節盛九合第七節盛八合第八節盛七合第九節盛六合也設如有竹九節截為九筩盛米但知根底二節盛米六升三合梢上二節盛米二升一合問各節所盛米數若干法以根底二節共盛米六升三合折半得三升一合五勺為第一第二兩節相和折半之數梢上二節共盛米二升一合折半得一升零五勺為第八第九兩節相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第八分第九分之中數八分半相減餘七分為一率第一第二兩節相和折半之三升一合五勺内減第八第九兩節相和折半之一升零五勺餘二升一合為二率一分為三率推得四率三合即毎節遞加之數折半得一合五勺加於第一第二兩節相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一節盛米之數以次遞減三合即得第二節盛三升第三節盛二升七合第四節盛二升四合第五節盛二升一合第六節盛一升八合第七節盛一升五合第八節盛一升二合第九節盛九合也設如十人按數挨次納糧前三人共納一十三石八斗後四人共納一十三石二斗問十人各納糧數若干法以前三人共納一十三石八斗用三歸之得四石六斗為第二人所納之數後四人共納一十三石二斗用四歸之得三石三斗為第八第九兩人相和折半之數乃以第二分與第八分第九分之中數八分半相減餘六分半為一率第二人之四石六斗内減第八第九兩人相和折半之三石三斗餘一石三斗為二率一分為三率推得四率二斗即每人遞加之數自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所納之數自第二人四石六斗以下遞減二斗得四石四斗即第三人所納之數得四石二斗即第四人所納之數得四石即第五人所納之數得三石八斗即第六人所納之數得三石六斗即第七人所納之數得三石四斗即第八人所納之數得三石二斗即第九人所納之數得三石即第十人所納之數也設如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人遞減納之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數相等問五人各納幾何法以四分為甲多於戊之衰數(自甲至乙至丙)(至丁至戊隔四位故以四分為衰數)三分為乙多於戊之衰數併之為七分以二分為丙多於戊之衰數一分為丁多於戊之衰數併之為三分乃以三分與七分相減餘四分為前二人多於後三人之較又以前二人與後三人相減餘一人為後三人多於前二人之較夫前多四分後多一人而其數相等則四分即為一人之數乃以一人為一率四分為二率戊一人為三率推得四率仍得四分即定為戊一人之分數各加毎人所多衰數則甲得八分乙得七分併之得十五分丙得六分丁得五分併戊之四分亦得十五分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得三十分為一率總米二百四十石為二率一分為三率推得四率八石即每一分之數用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石併之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石併之亦共得一百二十石是甲乙二人納數與丙丁戊三人納數等也設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人遞加分之定甲乙丙丁四人與戊己二人分數相等問六人各分幾何法以一分為乙多於甲之衰數二分為丙多於甲之衰數三分為丁多於甲之衰數併之為六分四分為戊多於甲之衰數五分為己多於甲之衰數併之為九分乃以六分與九分相減餘三分為後二人多於前四人之較又以前四人與後二人相減餘二人為前四人多於後二人之較夫前多二人後多三分而其數相等則三分即為二人之數乃以二人為一率三分為二率甲一人為三率推得四率一分五(即一分半也)即定為甲一人之分數各加每人所多衰數則乙得二分半丙得三分半丁得四分半併甲乙丙丁四人數得十二分戊得五分半己得六分半併戊己二人數亦得十二分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得二十四分為一率總銀六百兩為二率一分為三率推得四率二十五兩即每一分之數用甲一分半乗之得甲三十七兩五錢用乙二分半乗之得乙六十二兩五錢用丙三分半乗之得丙八十七兩五錢用丁四分半乗之得丁一百一十二兩五錢併四人數共得三百兩用戊五分半乗之得戊一百三十七兩五錢用己六分半乗之得己一百六十二兩五錢併二人數亦共得三百兩是甲乙丙丁四人銀數與戊己二人銀數等也設如有麥一千零八畝令七人遞減分收定前三人與後四人所得共數相同問七人各收麥幾何法以六分為第一人比第七人所多衰數(自第一至第七隔六位故以六為衰數)五分為第二人比第七人所多衰數四分為第三人比第七人所多衰數併之為十五分三分為第四人比第七人所多衰數二分為第五人比第七人所多衰數一分為第六人比第七人所多衰數併之為六分乃以六分與十五分相減餘九分為前三人多於後四人之較又以前三人與後四人相減餘一人為後四人多於前三人之較夫前多九分後多一人而其數相等則九分即為一人之數乃以一人為一率九分為二率末一人為三率推得四率仍為九分即定為第七人之分數各加每人所多分數則第一人得十五分第二人得十四分第三人得十三分併之為四十二分第四人得十二分第五人得十一分第六人得十分第七人得九分併之亦為四十二分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得八十四分為一率麥一千零八畝為二率一分為三率推得四率十二畝即毎一分之數用十五分乗之即得第一人一百八十畝用十四分乗之即得第二人一百六十八畝用十三分乗之即得第三人一百五十六畝併三人數共得五百零四畝用十二分乗之即得第四人一百四十四畝用十一分乗之即得第五人一百三十二畝用十分乗之即得第六人一百二十畝用九分乗之即得第七人一百零八畝併四人數亦共得五百零四畝是前三人畝數與後四人畝數等也設如有糧一千零九十二石令七次遞減運送定前二次與後五次運送之數相等問每次運送幾何法以十八分為第一次比第七次所多之衰數(自第一次至第七次相隔六位應以六分為衰數是為每次遞)(加一分今將六分用三因之為十八分是為每一次遞加三分故各衰五四三)(二一俱用三因其比例仍同也)十五分為第二次比第七次所多之衰數併之為三十三分十二分為第三次比第七次所多之衰數九分為第四次比第七次所多之衰數六分為第五次比第七次所多之衰數三分為第六次比第七次所多之衰數併之爲三十分乃以三十分與三十三分相減餘三分為前兩次多於後五次之較又以後五次與前兩次相減餘三次為後五次多於前兩次之較夫前多三分後多三次而其數相等則三分即為三次之數乃以三次為一率三分為二率一次為三率推得四率一分即為第七次之分數各加每次所多衰數第一次得十九分第二次得十六分併之得三十五分第三次得十三分第四次得一十分第五次得七分第六次得四分併第七次之一分亦得三十五分是前後分數已同矣乃以兩總分相併得七十分為一率總糧一千零九十二石為二率一分為三率推得四率一十五石六斗即第七次一分所運之數用十九分乗之得二百九十六石四斗即第一次所運之數用十六分乗之得二百四十九石六斗即第二次所運之數併兩次共得五百四十六石用十三分乗之得二百零二石八斗即第三次所運之數用一十分乗之得一百五十六石即第四次所運之數用七分乗之得一百零九石二斗即第五次所運之數用四分乘之得六十二石四斗即第六次所運之數併第七次所運之一十五石六斗亦共得五百四十六石是前二次運送糧數與後五次運送糧數等也御製數理精藴下編卷五
## 下編卷六
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷六線部四和數比例較數比例和數比例比例之中有合率而復有和數者將幾比例之率合為一比例故謂之合率至於有總數又有分數以分數合而與總數相比則謂之和數其在九章總名差分而其實總不越比例之理故今質名之曰和數比例其立法有以實數與實數比者如合衆人數與總物數之比即若每人數與每物數之比是也有以所立衰數與實數比者如合衆衰數與總物數之比即若每人衰數與每物數之比是也又或以加倍數成率者其得數亦為加倍之數或以兩數相乗而成率者其得數亦為兩數相乗之數要之皆以比例而得故於各條詳加解説以明其故焉設如南北二商合本貿易南出本銀一百五十兩北出本銀二百五十兩共得利銀一千兩按各人所出本銀之分分之問二人各得利銀幾何法以南出本銀一百五十兩與北出本銀二百五十兩相併得四百兩為一率利銀一千兩為二率南出本銀一百五十兩為三率推得四率三百七十五兩即南所分利銀數於共利一千兩内減三百七十五兩餘六百二十五兩即北所分利銀數也如以二人本銀共四百兩為一率二人共利一千兩為二率北出本銀二百五十兩為三率推得四率六百二十五兩即北所分利銀數也此法蓋以二人共本比共利即如每人各本比各利而為相當比例四率也又捷法以二人共出本銀四百兩歸除二人共得利銀一千兩得每一兩之利為二兩五錢乃與各人本銀數相乗即得各人所分利銀數此又以每一兩之利與各人所出本銀之利相比而得也設如趙周馮三人合夥生理趙出本銀一千兩周出本銀八百兩馮出本銀六百兩共得利銀一千二百兩按各人所出本銀之分分之問三人各得利銀幾何法以三人各出本銀相併得二千四百兩為一率三人共得利銀一千二百兩為二率三人所出本銀數各為三率推得各四率趙五百兩周四百兩馮三百兩即為各人所得利銀數也若用捷法則以三人所併本銀二千四百兩歸除共得利銀一千二百兩得每一兩之利為五錢按各人本銀數乗之即各人所得利銀數也設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩得利銀一百九十兩甲分一百二十兩乙分四十兩丙分三十兩問各人原本銀若干法以共利銀一百九十兩為一率共本銀一千五百二十兩為二率每分利銀各為三率推得各四率甲本銀為九百六十兩乙本銀為三百二十兩丙本銀為二百四十兩如用捷法則以共利銀一百九十兩歸除共本銀一千五百二十兩得每一兩利銀之本銀為八兩乃以八兩乗各人利銀分數即得各人本銀之數矣設如甲丙戊三人合本貿易共得利銀三千二百二十兩甲本銀三千六百兩丙本銀五百一十兩戊本銀不知其數但知該分利銀四百八十兩問其本銀若干法以三人共得利銀三千二百二十兩内減戊之利銀四百八十兩餘二千七百四十兩為一率甲丙二人本銀相併得四千一百一十兩為二率戊利銀四百八十兩為三率推得四率七百二十兩即戊之本銀數也此法於總利中減去戊利銀所餘者即甲丙二人之利銀故以甲丙二人之共利銀與甲丙二人之共本銀相比即若戊一人之利銀與戊一人之本銀相比也設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩今得本利共銀一千七百一十兩甲分本利共銀一千零八十兩乙分本利共銀三百六十兩丙分本利共銀二百七十兩問三人所分本利各若干法以三人所得本利共銀一千七百一十兩為一率共出本銀一千五百二十兩為二率各人所分本利共銀各為三率推得各四率甲本銀九百六十兩乙本銀三百二十兩丙本銀二百四十兩即為各人本銀數以各人本銀減各人共銀甲得利銀一百二十兩乙得利銀四十兩丙得利銀三十兩即各人利銀數也設如有三人合本貿易第一人出本銀五百兩係七成第二人出本銀一千兩係八成第三人出本銀一千五百兩係九成共得利銀二千兩皆係十成問每人應得利銀若干法以各人所出本銀數與各銀成色相乗第一人得三百五十兩第二人得八百兩第三人得一千三百五十兩三數相加共得二千五百兩為一率共得利銀二千兩為二率毎人所得相乗之數(第一人三百五十兩第二人八百兩第三人一千三百五十兩)各為三率推得各四率第一人得二百八十兩第二人得六百四十兩第三人得一千零八十兩即各人應得之利銀數也此法以各銀成色乗各人銀數者是將各銀成色俱變作十成銀也如第一人七成銀五百兩變作十成銀止得三百五十兩第二人八成銀一千兩變作十成銀止得八百兩第三人九成銀一千五百兩變作十成銀止得一千三百五十兩併之得十成銀二千五百兩故以總十成銀二千五百兩與共利銀二千兩之比即若毎人十成本銀與每人應得利銀之比也設如甲丙戊三商合本貿易其所出本銀多寡不同時日亦不同甲出本銀六百兩係八個月丙出本銀四百五十兩係六個月戊出本銀五百兩係十個月共得利銀一千兩問各人應分利銀幾何法以各人本銀與各人月分相乗甲得四千八百兩丙得二千七百兩戊得五千兩三數相併得一萬二千五百兩為一率共利銀一千兩為二率各人本銀乗各人月分之數為三率推得各四率甲得三百八十四兩丙得二百一十六兩戊得四百兩即為各人應得之利銀數也此法先以各人本銀乗各人月分者葢以各人所出本銀按月分以加倍也三人本銀各有月分則行利亦按月加倍也設如乙丙丁三人合夥生理乙出本銀二百兩係八個月出本之兩月後又添本銀四十兩丙出本銀三百二十兩係六個月出本之一月後又添本銀八十兩丁出本銀一百六十兩係十個月共得利銀三百六十兩問每人各該利銀幾何法以乙本銀二百兩與八個月相乗得一千六百兩又以後添四十兩與六個月相乗(因出本之兩月後又添銀故用六月)得二百四十兩此兩數相加得一千八百四十兩為乙之衰數以丙本銀三百二十兩與六個月相乗得一千九百二十兩又以後添八十兩與五個月相乗(因出本之一月後又添銀)(故用五月)得四百兩此兩數相加得二千三百二十兩為丙之衰數以丁本銀一百六十兩與十個月相乗得一千六百兩即丁之衰數乃以三人衰數相加得五千七百六十兩為一率三百六十兩為二率各人衰數各為三率推得各四率乙得一百一十五兩丙得一百四十五兩丁得一百兩即各人應得之利銀數也此法因出銀前後各不同故以各人出銀節次乗各人月分而得各人衰數既得各人衰數則相加而與總利銀為比即如各人衰數與各人利銀相比也設如甲乙丙三商合本貿易共得利銀一千兩甲本銀三百兩係十個月乙本銀六百兩丙本銀四百兩俱不知月分其利銀則甲分五百兩乙分三百兩丙分二百兩問乙丙二人出本銀月分各幾何法以甲之利銀五百兩為一率甲之本銀三百兩與十個月相乗得三千兩為二率乙之利銀三百兩為三率推得四率一千八百兩為乙之本銀六百兩與月分相乗之數以乙之本銀六百兩除之得三個月即乙出銀之月分如以丙之利銀二百兩為三率則得四率一千二百兩為丙之本銀四百兩與月分相乗之數以丙之本銀四百兩除之得三個月即丙出本銀之月分也設如乙丙丁三人合本貿易共得利銀三百八十兩丙得利銀為乙三分之一丁得利銀為乙四分之一乙之本銀為八十兩收利十二個月丙丁二人本銀不知數但知丙收利銀係八個月丁收利銀係四個月問乙丙丁利銀各若干丙與丁本銀各若干法以十二分為乙之衰數(兩分母相乗之數)取其三分之一得四分為丙之衰數又取其四分之一得三分為丁之衰數將三衰數相併得一十九分為一率共利三百八十兩為二率以各人衰數各為三率推得各四率乙之利銀得二百四十兩丙之利銀得八十兩丁之利銀得六十兩三宗利銀相併共三百八十兩以合前數又用乙利銀二百四十兩為一率乙本銀八十兩與十二個月相乗得九百六十兩為二率丙利銀八十兩為三率推得四率三百二十兩為丙本銀八個月之共分以八個月除之得四十兩即丙之本銀數復以乙利銀二百四十兩為一率乙本銀九百六十兩為二率丁利銀六十兩為三率推得四率二百四十兩為丁本銀四個月之共分以四個月除之得六十兩即丁之本銀數也設如甲丙戊三家每日派一人當差論各家田數定日之多少甲田八十畝丙田六十畝戊田五十二畝問各人一年内連閏月應該當差之日幾何法以甲丙戊三家田數(甲八十丙六十戊五十二)相併得一百九十二畝為一率一年連閏月作三百八十四日為二率各家田數各為三率推得各四率甲當差一百六十日丙當差一百二十日戊當差一百零四日併之得三百八十四日合一年連閏月之數也設如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里問途中幾日相㑹法以八十里與六十里相併得一百四十里為一率一日為二率一千四百里為三率推得四率十日即相㑹之日也此法以八十里六十里相併為一率者毎一日之内兩人共行一百四十里也一百四十里行一日則一千四百里行十日矣蓋日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里併之以合原數也設如有銀四百八十六兩糴米麥豆三色其石數相等米每石價銀一兩二錢麥每石價銀九錢豆每石價銀六錢問石數若干法以米價一兩二錢麥價九錢豆價六錢相併共得二兩七錢為一率一石為二率總銀四百八十六兩為三率推得四率一百八十石即各色之石數也此法蓋因三色之石數既相等故三色每石之共價與每一石之比即同於三分之共價四百八十六兩與每一分之一百八十石之比也設如有銀一千二百兩買綾絹二色絹一分綾二分綾每疋價銀三兩六錢絹每疋價銀二兩四錢問綾絹與價銀各幾何法以綾價三兩六錢二因之(綾二分故用二因)得七兩二錢與絹價二兩四錢相加共得九兩六錢為一率絹一疋為二率總銀一千二百兩為三率推得四率一百二十五疋為絹數倍之得二百五十疋為綾數以絹每疋價銀二兩四錢與絹一百二十五疋相乗得三百兩為共絹價以綾每疋價銀三兩六錢與綾二百五十疋相乗得九百兩為共綾價也此法蓋因絹為一分綾為二分故將綾價二因之與絹價相加即綾二疋絹一疋之共價以綾二疋絹一疋之共價與絹一疋之比即同於綾二分絹一分之共價一千二百兩與絹一分一百二十五疋之比也設如有銀三百三十六兩買羅八十疋絹一百二十疋羅每疋價比絹每疋價加一倍問羅價絹價各幾何法以羅八十疋倍之得一百六十疋與絹一百二十疋相加得二百八十疋為一率絹一疋為二率總銀三百三十六兩為三率推得四率一兩二錢即絹毎一疋之價倍之得二兩四錢即羅每一疋之價也此法蓋因羅價比絹價加一倍故將羅疋數倍之與絹疋數相加為羅二倍絹一倍之共數而以羅二倍絹一倍之共數與絹一疋之比即同於羅二倍絹一倍之共價三百三十六兩與絹一疋之價一兩二錢之比也設如有銀七百八十五兩令甲乙丙丁四人分之乙得甲銀十分之七丙得乙銀十四分之三丁得丙銀十二分之九問各分銀幾何法以一千六百八十分(三分母連乗之數)為甲衰數取甲十分之七得一千一百七十六分為乙衰數取乙十四分之三得二百五十二分為丙衰數取丙十二分之九得一百八十九分為丁衰數乃以四人衰數相併得三千二百九十七分為一率總銀七百八十五兩爲二率以甲衰一千六百八十分為三率得四率四百兩即甲所分之銀數以乙衰一千一百七十六分為三率得四率二百八十兩即乙所分之銀數以丙衰二百五十二分為三率得四率六十兩即丙所分之銀數以丁衰一百八十九分為三率得四率四十五兩即丁所分之銀數四人所得銀數併之得七百八十五兩以合原數也此法因各分母不同恐難度盡故以分母連乗為甲衰數次各按分取其衰數乃併各衰數為共衰數以共衰數與總銀數之比即同於各人衰數與各銀數之比也設如東西中三村共納糧一千零三十六石東村一百二十戸每戸該納七分西村八十戸每戸該納五分中村六十戸每戸該納四分問各村納糧若干每戸納糧若干法以七分與東村一百二十戸相乗得八百四十分為東村衰數以五分與西村八十戸相乗得四百分為西村衰數以四分與中村六十戸相乗得二百四十分為中村衰數乃以三村衰數相併得一千四百八十分為一率共納糧一千零三十六石為二率各村衰數各為三率推得各四率東村共該納糧五百八十八石西村共該納糧二百八十石中村共該納糧一百六十八石再以各村戸數歸除各村所納糧數則東村每戸該納糧四石九斗西村每戸該納糧三石五斗中村每戸該納糧二石八斗如以三村共衰分數歸除共納糧數得每一分所納糧數而以各村分數乗之即得各村共納糧數以各戸分數乗之即得各村每戸所納之糧數也設如乙丙丁三人共納地租銀十一兩五錢乙田長一百二十丈寛四十丈丙田長二百丈寛六十丈丁田長八十丈寛二十丈問每人該租銀若干法以乙田長一百二十丈與寛四十丈相乗得四千八百丈丙田長二百丈與寛六十丈相乗得一萬二千丈丁田長八十丈與寛二十丈相乗得一千六百丈三數相併共得一萬八千四百丈為一率共地租銀十一兩五錢為二率各田長寛相乗之數各為三率推得各四率乙該銀三兩丙該銀七兩五錢丁該銀一兩併之為十一兩五錢以合原數也設如孫鄭褚三家買貨共載一船逺近船價不同孫家貨物九十五担每担船價六分鄭家貨物八十五担每担船價四分褚家貨物五十六担每担船價二分五釐因中途撥淺共貼銀二兩五錢二分欲照船價分派問各該若干法以孫貨九十五担與每担六分相乗得五兩七錢以鄭貨八十五担與每担四分相乗得三兩四錢以褚貨五十六担與每担二分五釐相乗得一兩四錢乃以三家船價相併共得一十兩五錢為一率共貼銀二兩五錢二分為二率一兩為三率推得四率二錢四分即為每一兩應貼之數復以各家船價銀乗之所得一兩三錢六分八釐即孫應出之數所得八錢一分六釐即鄭應出之數所得三錢三分六釐即褚應出之數也設如甲丙戊三縣共納米四千石論縣之大小米之貴賤運之逺近分之甲縣有三千三百六十戸每米一石價銀八錢運至六十里丙縣有一千二百戸每米一石價銀一兩運至三十里戊縣有二千四百戸每米一石價銀六錢運至八十里問每縣該米若干法以甲縣米價八錢與六十里相乗得四百八十用此數歸除甲縣三千三百六十戸得七為甲縣之衰數又以丙縣米價一兩與三十里相乗得三百用此數歸除丙縣一千二百戸得四為丙縣之衰數以戊縣米價六錢與八十里相乗得四百八十用此數歸除戊縣二千四百戸得五為戊縣之衰數乃以此三衰數相併得一十六為一率總米四千石為二率各縣衰數各為三率推得各四率甲縣為一千七百五十石丙縣為一千石戊縣為一千二百五十石三數相併共四千石以合原數也設如甲乙丙丁戊五處共輸粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟價之貴賤均輸之甲田一萬三千零六十畝粟每石價銀二兩自輸本處乙田一萬二千三百一十二畝粟每石價銀一兩至輸所二百里丙田七千一百八十二畝粟每石價銀一兩二錢至輸所一百五十里丁田一萬三千三百三十八畝粟毎石價銀一兩七錢至輸所二百五十里戊田五千一百三十畝粟每石價銀一兩三錢至輸所一百五十里每石每里車價四釐問各處所輸若干法以甲粟毎石價二兩歸除甲田一萬三千零六十畝得六百五十三為甲衰數次以乙輸所二百里與每石車價四釐相乗得八錢併入乙粟毎石價一兩共一兩八錢歸除乙田一萬二千三百一十二畝得六百八十四為乙衰數次以丙輸所一百五十里與每石車價四釐相乗得六錢併入丙粟每石價一兩二錢共一兩八錢歸除丙田七千一百八十二畝得三百九十九為丙衰數次又以丁輸所二百五十里與每石車價四釐相乗得一兩併入丁粟每石價一兩七錢共二兩七錢歸除丁田一萬三千三百三十八畝得四百九十四為丁衰數次又以戊輸所一百五十里與每石車價四釐相乗得六錢併入戊粟每石價一兩三錢共一兩九錢歸除戊田五千一百三十畝得二百七十為戊衰數乃合五衰數共二千五百為一率共粟二千石為二率五處各衰數各為三率推得各四率甲為五百二十二石四斗乙為五百四十七石二斗丙為三百一十九石二斗丁為三百九十五石二斗戊爲二百一十六石五數相併共二千石以合原數也此法蓋因地畝以定粟數故粟可以均然粟之價既有貴賤而道里又有逺近故取粟價以除地畝正所以均其貴賤而取車價併入粟價以除地畝又所以均其逺近也設如買米八十四石每米一石價一兩四錢七分運價一錢三分今欲抽米作運價與之問正米與運價米各幾何法以每石米價一兩四錢七分與每石運價一錢三分相加得一兩六錢為一率總米八十四石為二率每石米價一兩四錢七分為三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米數如先求運價米數則仍以一兩六錢為一率總米八十四石為二率每石運價一錢三分為三率推得四率六石八斗二升五合即運價米數也既得正米數與運價相乗得十兩零三分二釐七豪五絲為共運價而以運費米數與米價相乗亦得十兩零三分二釐七豪五絲其數適相當也此法蓋因八十四石為正米與運價米之總數今抽米作運費故以米價與運價相併亦為米價與運價之總數以總價與總米之比即同於米價與正米之比又以總價與總米之比即同於運價與運米之比也此法即和數差分之變體舊算書名為就物抽分因其以總米内抽運價故為抽分然要以米價運價之和與總米為比例故附於和數比例之後設如有絲四十三斤十二兩每織絹一疋用絲一斤與織工絲四兩問織絹絲與織工絲各幾何法以織絹絲一斤通為十六兩與織工絲四兩相加得二十兩為一率總絲四十三斤十二兩通為七百兩為二率織工絲四兩為三率得四率一百四十兩收為八斤十二兩即織工絲與總絲相減餘三十五斤即織絹絲也此亦就物抽分法也以毎疋織絹絲及織工絲之共數與總絲之比即同於每疋織工絲與總織工絲之比也較數比例比例之中有和數而復有較數者以數相合而為比例故謂之和數若夫因數之相較而成比例則謂之較數在九章謂之匿價差分其立法蓋以每一物與較數之比即若共物與共較之比或以共物之較與每一物價之較為比即若共物與每一物價之比也又或有以實數相比者或有以各物分數相比者雖未有一定之規然而總不越以彼此相差之較數為比例故今質名之曰較數比例焉設如有錢買綾羅二色綾七尺羅九尺兩價相等但知綾每尺比羅每尺價多三十六文問二色毎尺價錢幾何法以綾一尺為一率綾比羅每尺價多三十六文為二率綾七尺為三率推得四率二百五十二文即綾七尺共多之數又以綾七尺與羅九尺相減餘羅二尺為一率綾七尺共多二百五十二文為二率羅一尺為三率推得四率一百二十六文即羅一尺之價加多三十六文得一百六十二文即綾一尺之價以一百二十六文乗羅九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗綾七尺亦得一千一百三十四文兩價相等也此法蓋因綾一尺多三十六文則綾七尺共多二百五十二文也夫綾價多二百五十二文羅多二尺而其價相等則二百五十二文即羅二尺之價羅二尺價二百五十二文則羅一尺價一百二十六文也既得羅價則綾價亦可推矣又法以綾七尺與羅九尺相減餘二尺為一率綾比羅每尺價多三十六文為二率綾七尺為三率推得四率一百二十六文即羅毎一尺之價加多三十六文得一百六十二文即綾每一尺之價如以羅九尺為三率推得四率一百六十二文即綾每一尺之價減多三十六文餘一百二十六文即羅每一尺之價也此法共綾與共羅之較為二尺綾每尺與羅每尺之較為三十六文凡共物之較與共價之較相比即同於共物與共價之比而共物之較與每一物價之較相比亦必同於共物與每一物價之比故以綾共少二尺與羅每尺價少三十六文之比即同於綾共七尺與羅每尺價一百二十六文之比也又以羅共多二尺與綾每尺多三十六文之比亦即同於羅共九尺與綾毎尺價一百六十二文之比也設如有銀買駝馬二色馬十匹駝六匹兩價相等但知駝每匹比馬每匹價多八兩問二色每匹價銀若干法以駝一匹為一率駝比馬每匹價多八兩為二率駝六匹為三率推得四率四十八兩即駝六匹共多之數又以馬十匹與駝六匹相減餘馬四匹為一率駝六匹共多四十八兩為二率馬一匹為三率推得四率十二兩即馬一匹之價加多八兩得二十兩即駝一匹之價以二十兩乗駝六匹得一百二十兩以十二兩乗馬十匹亦得一百二十兩兩價相等也此法蓋因駝一匹多八兩則駝六匹共多四十八兩也夫駝價多四十八兩馬多四匹而其價相等則四十八兩即馬四匹之價馬四匹價四十八兩則馬一匹價十二兩也又法以駝六匹與馬十匹相減餘四匹為一率駝比馬每匹價多八兩為二率駝六匹為三率推得四率十二兩即馬每匹之價加多八兩得二十兩即駝毎匹之價如以馬十匹為三率推得四率二十兩即駝每匹之價減多八兩餘十二兩即馬每匹之價也蓋駝共少四匹與馬每匹價少八兩之比即同於駝共六匹與馬每匹價十二兩之比又馬共多四匹與駝每匹價多八兩之比即同於馬共十匹與駝每匹價二十兩之比也設如有稻一十八石稷二十二石兩價相等如交換五石則兩邊俱差銀一兩六錢問每石價與共價各若干法以交換五石為一率相差一兩六錢為二率稻一十八石為三率推得四率五兩七錢六分即稻一十八石共多之數又以稻一十八石與稷二十二石相減餘稷四石為一率稻一十八石共多五兩七錢六分為二率稷一石為三率推得四率一兩四錢四分即稷一石之價以稷二十二石乗之得三十一兩六錢八分即稷之共價亦即稻之共價以稻十八石除之得一兩七錢六分即稻一石之價也如交換五石則一為稻十三石稷五石稻十三石價二十二兩八錢八分稷五石價七兩二錢相加得三十兩零八分比共價三十一兩六錢八分少一兩六錢一為稷十七石稻五石稷十七石價二十四兩四錢八分稻五石價八兩八錢相加得三十三兩二錢八分比共價三十一兩六錢八分則多一兩六錢是兩邊俱差一兩六錢也此法蓋因稻五石多一兩六錢則稻十八石共多五兩七錢六分也夫稻多五兩七錢六分稷多四石而其價相等則五兩七錢六分即稷四石之共價稷四石價五兩七錢六分則稷一石價必一兩四錢四分而稷二十二石價必三十一兩六錢八分與稻十八石之價相等故以十八除之得稻每一石之價也設如有金球八銀球十二兩重相等今移換三則銀球邊多六十兩問金球銀球各重幾何法以移换之三為一率多六十兩折半得三十兩(即三金球比三銀球所多之數)為二率金球八為三率推得四率八十兩即金球八共多之數又以金球八與銀球十二相減餘銀球四為一率共多八十兩為二率銀球一為三率推得四率二十兩即銀球一之重數以十二乗之得二百四十兩即銀球十二之共重數亦即金球八之共重數以金球八除之得三十兩即金球一之重數也此法蓋因移換三而差六十兩即三金球比三銀球多三十兩三銀球比三金球少三十兩其總差為六十兩故折半為三金球多於三銀球之重數也三金球多三十兩則八金球共多八十兩夫金球多八十兩銀球多四而其重相等則八十兩即四銀球之重數四銀球重八十兩則一銀球重二十兩而十二銀球必重二百四十兩與八金球之重相等故以八除之即得金球之重數也設如甲乙丙三人合本為商共得利銀四百兩乙比甲多分十二兩丙比乙又多分十六兩問各分利銀幾何法以共利銀四百兩内減乙比甲多十二兩又減丙比甲多二十八兩(丙比乙多十六)(兩則比甲多二十八兩)餘三百六十兩乃以甲乙丙共三人為一率三百六十兩為二率甲一人為三率推得四率一百二十兩即甲應得利銀數加十二兩得一百三十二兩為乙應得利銀數又加十六兩得一百四十八兩為丙應得利銀數也此法減去乙丙共多於甲之數所餘者即三人均分之數故以三人與三百六十兩之比即同於甲一人與一百二十兩之比也設如有銀七百四十兩共買馬驢一百匹馬八十匹驢二十匹其馬每匹價比驢每匹價多三兩問馬驢每匹價各得幾何法以馬驢共一百匹為一率馬每匹多三兩與馬八十匹相乗得二百四十兩於總銀内減之餘五百兩為二率驢一匹為三率推得四率五兩即驢一匹之價加馬每匹多三兩得八兩即馬一匹之價以馬價八兩乗馬八十匹得馬共價六百四十兩以驢價五兩乗驢二十匹得驢共價一百兩也此法蓋因馬每匹多三兩則馬八十匹共多二百四十兩於總銀内減去馬共多之價則馬價皆同於驢價矣故以總數一百匹與銀五百兩之比即同於驢一匹與銀五兩之比也設如有銀二千九百九十六兩二錢買上等田一百六十畝中等田三百畝下等田四百六十畝其上等田比中等田每畝價多四錢七分中等田比下等田每畝價多一兩三錢五分問三等田每畝價銀幾何法以上中下三等田數相併得九百二十畝為一率將中等田三百畝用中等比下等每畝多一兩三錢五分乗之得四百零五兩為中等比下等共多之數又以上等田一百六十畝用上等比下等每畝多一兩八錢二分乗之(上等比中等每)(畝多四錢七分中等比下等每畝多一兩三錢五分共為一兩八錢二分)得二百九十一兩二錢為上等比下等共多之數爰併兩數共六百九十六兩二錢與總銀二千九百九十六兩二錢相減餘二千三百兩為二率下等田一畝為三率推得四率二兩五錢即下等田每一畝之價加多一兩三錢五分得三兩八錢五分即中等田每一畝之價再加多四錢七分得四兩三錢二分即上等田每一畝之價也此法蓋因中等田比下等田每畝多一兩三錢五分則三百畝共多四百零五兩上等田比下等田毎畝多一兩八錢二分則一百六十畝共多二百九十一兩二錢於總銀内減去兩等共多之數則上等田價中等田價皆同於下等田價矣故以三等田共九百二十畝與銀二千三百兩之比即同於下等田每一畝與銀二兩五錢之比也設如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日問疾行者追及之日數幾何法以徐行七十五里與疾行九十五里相減餘二十里為一率一日為二率徐行七十五里與先行八日相乗得六百里為三率推得四率三十日即追及之日數也此法蓋因徐行者先行八日以日行七十五里計之則已多行六百里今疾行者日行九十五里則比徐行者每日多行二十里多二十里為一日追行之數多六百里則為三十日追行之數可知矣設如二人自鄉上城一人步行一人騎馬使步行者先行三十七里騎馬者追至一百五十四里尚不及二十三里問追及之里數幾何法以不及二十三里與先行三十七里相減餘一十四里為一率追至一百五十四里為二率不及二十三里為三率推得四率二百五十三里即追及之里數也此法蓋因步行者已先行三十七里今騎馬者追之止不及二十三里是已追過十四里也追過十四里必須一百五十四里今尚不及二十三里則必須二百五十三里方能追及也設如一人行路步行則三十日可到騎行則二十日可到今行二十六日到問步行騎行日數各幾何法以三十日與二十日相減餘十日為一率步行三十日為二率今行二十六日與騎行二十日相較多六日為三率推得四率十八日為步行之日數與共二十六日相減餘八日即騎行之日數也如以十日為一率騎行二十日為二率今行二十六日與步行三十日相較少四日為三率推得四率八日即騎行之日數也此法蓋因步行三十日可到騎行二十日可到則步行比騎行遲十日即騎行比步行早十日也步行比騎行遲十日而步行為三十日今步行比騎行遲六日則步行為十八日可知矣騎行比步行早十日而騎行為二十日今騎行比步行早四日則騎行為八日可知矣設如有上下二等酒上等酒每斤價銀五分下等酒每斤價銀三分今以二等酒相合一處共重一百二十斤每斤價銀三分六釐問二等酒各幾何法以上等酒價銀五分内減下等酒價銀三分餘二分為一率二等酒共一百二十斤為二率二等酒相合毎斤價銀三分六釐與下等酒價銀三分相較得多六釐為三率推得四率三十六斤為上等酒數於二等酒共一百二十斤内減三十六斤餘八十四斤即下等酒數也如以二等酒相合毎斤價銀三分六釐與上等酒價銀五分相較得少一分四釐為三率則得四率八十四斤即下等酒數也此法上等酒價五分下等酒價三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合價比下等酒價多二分則一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合價比下等價多六釐故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合價比上等酒價少二分則一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合價比上等價少一分四釐故知下等酒有八十四斤也設如有布三百一十疋每疋長四十尺但知每疋扣運費二尺共扣去一十六疋復找囘錢六百文問布毎疋價錢幾何法以毎疋扣運費二尺與總布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋長四十尺與共扣布一十六疋相乗得六百四十尺兩數相減餘二十尺為一率找囘錢六百文為二率每疋長四十尺為三率推得四率一千二百文即每一疋之價也此法蓋以每疋扣運費二尺計之則總布三百一十疋當扣六百二十尺今乃抽去十六疋則扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回錢六百文是六百錢即二十尺之價二十尺價六百文則四十尺(一疋)(之數)價必一千二百文也設如有銀一千零八兩買線一分絲二分綿三分共重三百六十斤俱不言價但知綿二兩當線一兩之價線一兩當絲一兩六錢之價問三色各重若干三色每斤價銀若干法以線一分絲二分綿三分相併得六分為一率共重三百六十斤為二率線一分為三率推得四率六十斤即線一分之重數二因之得一百二十斤即絲二分之重數三因之得一百八十斤即綿三分之重數既得各色之重數即以線重六十斤為線之衰分綿二兩當線一兩之價即將綿一百八十斤二歸之得九十斤為綿之衰分絲一兩六錢當線一兩之價即將絲一百二十斤用一六除之得七十五斤為絲之衰分併三衰分共二百二十五斤為一率總銀一千零八兩為二率線一斤為三率推得四率四兩四錢八分即線每斤之價二歸之得二兩二錢四分即綿每斤之價一六除之得二兩八錢即絲每斤之價也此法先求各色之重數以共分與共重數之比即同於線一分與線重數之比又以各分數因之即得各重數也次求各色之價數既以線重六十斤為線衰分則絲價與綿價必俱變為與線相當之數而後可以為比例蓋綿二兩當線一兩之價則綿一百八十斤必當線九十斤之價故以九十為綿之衰分絲一兩六錢當線一兩之價則絲一百二十斤必當線七十五斤之價故以七十五為絲之衰分既得各衰分併之與總銀相比即同於線每斤與每斤之價相比也既得線每斤之價以二除之得綿每斤之價者綿價居線價二分之一也既得線每斤之價又以一六除之得絲每斤之價者絲價居線價十六分之十也設如李王二人合本生理不知二人本銀之數但知李本銀比王本銀多一倍零八兩共得利銀二十二兩李分十六兩王分六兩問二人各出本銀若干法以王利銀六兩加一倍(因李本銀比王本銀多一)(倍故加一倍也)得十二兩與李利銀十六兩相減餘四兩為一率所零八兩為二率王之利銀六兩為三率推得四率十二兩即王之本銀數加一倍又加八兩共三十二兩為李之本銀數也蓋李之本銀比王之本銀多一倍又多八兩李之利銀比王之利銀多一倍又多四兩是四兩即為八兩所得之利銀數利銀四兩知本銀為八兩則王之利銀六兩即知其本銀為十二兩也設如買緞一千疋不言出銀之數但知每疋賣價七兩二錢則比原出銀少十分之一問原出銀若干法以分母十與分子一相減餘九分為一率以七兩二錢與一千疋相乗得七千二百兩為二率十分為三率推得四率八千兩即原出銀之數也此法蓋因每疋賣價七兩二錢比原出銀少十分之一則今賣價止得原出銀十分之九故以九分與今賣價之比即同於十分與原出銀之比也設如甲丙丁三人合本貿易丙之本銀為甲本銀五分之四丁之本銀為甲本銀三分之二丙之本銀比丁之本銀多十兩問三人本銀各若干法以十五分為甲之衰數(兩分母相乗之數)取甲五分之四得十二分為丙之衰數取甲三分之二得十分為丁之衰數乃以丁十分與丙十二分相減餘二分為一率多十兩為二率甲十五分為三率推得四率七十五兩為甲本銀數如以丙十二分為三率則得四率六十兩為丙本銀數如以丁十分為三率則得四率五十兩為丁本銀數以丁銀與丙銀相減餘十兩即丙多於丁之數也設如有銀賞三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得為一等每人三分之二三等每人所得為二等每人四分之一二等比三等共多得三百兩問每等每人各得幾何法以十二分為一等每人之衰數(兩分母相)(乗之數)取十二分中之三分之二得八分為二等每人之衰數又取八分中之四分之一得二分為三等每人之衰數乃以一等十二分與一等八人相乗得九十六分為一等八人共衰數二等八分與二等六人相乗得四十八分為二等六人共衰數三等二分與三等九人相乗得十八分為三等九人共衰數乃以三等共衰十八分與二等共衰四十八分相減餘三十分為一率二等比三等共多得三百兩為二率一等每人衰數十二分為三率推得四率一百二十兩為一等每人所得之數以一等八人乗之得九百六十兩即一等八人所得之共數如以二等每人衰數八分為三率則得四率八十兩為二等每人所得之數以二等六人乗之得四百八十兩即二等六人所得之共數如以三等每人衰數二分為三率則得四率二十兩為三等每人所得之數以三等九人乗之得一百八十兩即三等九人所得之共數以二等共得四百八十兩與三等共得一百八十兩相減餘三百兩即二等共多於三等之銀數也設如有田一百二十畝一人一日耕四畝一人一日種六畝欲令二人同日完工問耕者該先起工幾何法以四畝與六畝相乗得二十四畝以四畝互乗一日得四日以六畝互乗一日得六日乃以二十四畝為一率四日六日相減餘二日為二率一百二十畝為三率推得四率十日即是耕者該先起工十日也此法蓋因四畝與六畝不同故用互乗以齊其分一得二十四畝耕六日一得二十四畝種四日欲令同日完工則耕者當先起工二日然則田二十四畝當先起工二日今田一百二十畝則當先起工十日也御製數理精藴下編卷六
## 下編卷七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷七線部五和較比例和較比例比例之中有和數較數而復有和較者用和數相比謂之和用較數相比謂之較至於設問中兩物相和兩價相和或每色中㡬物相和乃於和數中推求較數因較數而成比例是以和數為體而較數為用故謂之和較比例在九章一名貴賤差分一名貴賤相和其立法盖於縂物中求其相差之較或於每物中求其相差之較(此貴賤差分法)或用互乗以齊其數然後於互乗數中求其相差之較作為比例而得真數(此貴賤相)(和法)按法立算雖各不同要之縂以和數推出較數為比此和較之所以名也設如有銀四百零五兩七錢共買米麥五百石米每石價銀八錢六分麥每石價銀七錢二分五釐問米麥各該㡬何法以米麥共五百石用米每石價銀八錢六分乗之得四百三十兩與縂銀四百零五兩七錢相較則縂銀少二十四兩三錢又以米麥共五百石用麥每石價銀七錢二分五釐乗之得三百六十二兩五錢與縂銀相較則縂銀多四十三兩二錢乃以多少兩數相併得六十七兩五錢為一率米麥共五百石為二率少二十四兩三錢為三率得四率一百八十石即麥數於共五百石内減之餘三百二十石即米數如以多四十三兩二錢為三率得四率三百二十石亦即米數也此法盖以五百石俱為米計之則價應四百三十兩與今縂銀相較則縂銀少二十四兩三錢如以五百石俱為麥計之則價應三百六十二兩五錢與今縂銀相較則縂銀多四十三兩二錢是米五百石比麥五百石價多六十七兩五錢即麥五百石比米五百石價少六十七兩五錢也是知麥價比米價少六十七兩五錢而麥為五百石今縂銀比米價少二十四兩三錢則麥必為一百八十石也又米價比麥價多六十七兩五錢而米為五百石今縂銀比麥價多四十三兩二錢則米必為三百二十石也又法以米麥每石價銀相減餘一錢三分五釐為一率一石為二率以米麥共五百石用米價乗之得四百三十兩與縂銀四百零五兩七錢相減餘二十四兩三錢為三率得四率一百八十石即麥數於共五百石内減之餘三百二十石即米數如以米麥共五百石用麥價乗之得三百六十二兩五錢與縂銀四百零五兩七錢相減餘四十三兩二錢為三率得四率三百二十石亦即米數也此法盖因米一石比麥一石其價相差一錢三分五釐是知少一錢三分五釐而麥為一石今少二十四兩三錢則麥少為一百八十石也又多一錢三分五釐而米為一石今多四十三兩二錢則米必為三百二十石也前法以五百石縂價之較與五百石為比此法以每一石價之較與一石為比其理同也設如有銀一百兩共買紬絹一百疋紬每疋價銀一兩六錢絹每疋價銀八錢問紬絹各得㡬何法以紬絹共一百疋用紬價一兩六錢乗之得一百六十兩與共銀一百兩相較則共銀少六十兩又以紬絹共一百疋用絹價八錢乗之得八十兩與共銀一百兩相較則共銀多二十兩乃以多少兩數相併得八十兩為一率紬絹共一百疋為二率少六十兩為三率得四率七十五疋即絹數於共一百疋内減之餘二十五疋即紬數如以多二十兩為三率得四率二十五疋亦即紬數也此法盖以一百疋俱為紬計之則價應一百六十兩與共銀相較則共銀少六十兩如以一百疋俱為絹計之則價應八十兩與共銀相較則共銀多二十兩是紬一百疋比絹一百疋價多八十兩即絹一百疋比紬一百疋價少八十兩也是知絹價比紬價少八十兩而絹為一百疋今共價比紬價少六十兩則絹必為七十五疋也又紬價比絹價多八十兩而紬為一百疋今共價比絹價多二十兩則紬必為二十五疋也又法以紬絹每疋價銀相減餘八錢為一率紬一疋為二率以紬絹共一百疋用紬價乗之得一百六十兩與共銀一百兩相減餘六十兩為三率得四率七十五疋即絹數於共一百疋内減之餘二十五疋即紬數如以紬絹共一百疋用絹價乗之得八十兩與共銀一百兩相減餘二十兩為三率得四率二十五疋亦即紬數也此法盖因紬一疋比絹一疋其價相差八錢是知少八錢而絹為一疋今少六十兩則絹必為七十五疋也又多八錢而紬為一疋今多二十兩則紬必為二十五疋也設如雞兔同籠但知頭共三十六足共一百問雞兔各㡬何法以雞兔共三十六頭用雞二足乗之得七十二足與共足一百相較則共足多二十八又以雞兔共三十六頭用兔四足乗之得一百四十四足與共足一百相較則共足少四十四乃以多少兩數相併得七十二足為一率共三十六頭為二率少四十四足為三率得四率二十二即雞數於共三十六隻内減之餘十四即兔數如以多二十八足為三率得四率十四亦即兔數也此法盖以三十六俱為雞計之則應七十二足與今共足相較則共足多二十八若以三十六俱為兔計之則應一百四十四足與今共足相較則共足少四十四是兔三十六比雞三十六多七十二足即雞三十六比兔三十六少七十二足也是知雞少於兔七十二足而雞為三十六隻今雞少於兔四十四足則雞必為二十二隻也又兔多於雞七十二足而兔為三十六隻今兔多於雞二十八足則兔必為十四隻也又法以雞二足兔四足相減餘二足為一率一隻為二率又以共三十六隻用兔四足乗之得一百四十四足與共足一百相減餘四十四為三率得四率二十二即雞數於共三十六隻内減之餘十四即兔數如以共三十六隻用雞二足乗之得七十二足與共足一百相減餘二十八為三率得四率十四亦即兔數也此法盖因雞一隻比兔一隻差二足是知雞少於兔二足而雞為一隻今少於兔四十四足則雞必為二十二隻也又兔多於雞二足而兔為一隻今多於雞二十八足則兔必為十四隻也設如有羊一百四十隻大小不䓁共剪毛一百五十斤大羊每隻剪毛一斤二兩小羊每隻剪毛十二兩問大小羊各㡬何法以共羊一百四十隻用大羊剪毛十八兩乗之(一斤作十六兩加二兩即十八兩也)得二千五百二十兩與共剪毛二千四百兩相較(一百五十斤變為兩得二千四百兩)則共剪毛數少一百二十兩又以共羊一百四十隻用小羊剪毛十二兩乗之得一千六百八十兩與共剪毛二千四百兩相較則共剪毛數多七百二十兩乃以多少兩數相併得八百四十兩為一率共羊一百四十隻為二率多七百二十兩為三率得四率一百二十隻即大羊數於共一百四十隻内減之餘二十隻即小羊數如以少一百二十兩為三率得四率二十隻亦即小羊數也此法盖以一百四十隻俱為大羊計之則應剪毛二千五百二十兩與共剪毛數相較則共剪毛數少一百二十兩若以一百四十隻俱為小羊計之則應剪毛一千六百八十兩與共剪毛數相較則共剪毛數多七百二十兩是大羊一百四十隻比小羊一百四十隻多八百四十兩即小羊一百四十隻比大羊一百四十隻少八百四十兩也是知多八百四十兩而大羊為一百四十隻今少七百二十兩則大羊必為一百二十隻也又少八百四十兩而小羊為一百四十隻今少一百二十兩則小羊必為二十隻也又法以大羊剪毛十八兩小羊剪毛十二兩相減餘六兩為一率一隻為二率以共羊一百四十隻用小羊剪毛數乗之得一千六百八十兩與共剪毛二千四百兩相減餘七百二十兩為三率得四率一百二十隻即大羊數於共一百四十隻内減之餘二十隻即小羊數如以共羊一百四十隻用大羊剪毛數乗之得二千五百二十兩與共剪毛二千四百兩相減餘一百二十兩為三率得四率二十隻亦即小羊數也此法盖以大羊一隻比小羊一隻所剪毛差六兩是知多六兩而大羊為一隻今多七百二十兩則大羊必為一百二十隻也又少六兩而小羊為一隻今少一百二十兩則小羊必為二十隻也設如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六十兩八錢問玉有㡬何法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸為正方體積乃以六十四寸用玉寸方定率二兩六錢乗之得一百六十六兩四錢與共重一百六十兩八錢相較則共重少五兩六錢又以六十四寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百六十兩與共重一百六十兩八錢相較則共重多八錢乃以多少兩數相併得六兩四錢為一率玉六十四寸為二率多八錢為三率得四率八寸即玉數於共六十四寸内減之餘五十六寸即石數如以少五兩六錢為三率得四率五十六寸亦即石數也既得玉八寸則以玉寸方定率二兩六錢乗之得二十兩八錢即玉之重數於共重一百六十兩八錢内減之餘一百四十兩即石之重數如以石五十六寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百四十兩亦即石之重數也此法盖以六十四寸俱為玉計之則應重一百六十六兩四錢與共重數相較則共重數少五兩六錢若以六十四寸俱為石計之則應重一百六十兩與共重數相較則共重數多八錢是石六十四寸比玉六十四寸少六兩四錢即玉六十四寸比石六十四寸多六兩四錢也是知多六兩四錢而玉為六十四寸今多八錢則玉必為八寸也又少六兩四錢而石為六十四寸今少五兩六錢則石必為五十六寸也又法以玉寸方定率二兩六錢與石寸方定率二兩五錢相減餘一錢為一率一寸為二率以共積六十四寸用石寸方定率二兩五錢乗之得一百六十兩與共重一百六十兩八錢相減餘八錢為三率得四率八寸即玉數於共六十四寸内減之餘五十六寸即石數如以共積六十四寸用玉寸方定率二兩六錢乗之得一百六十六兩四錢與共重一百六十兩八錢相減餘五兩六錢為三率得四率五十六寸亦即石數也此法盖以玉一寸比石一寸其重差一錢是知多一錢而玉為一寸今多八錢則玉必為八寸也又少一錢而石為一寸今少五兩六錢則石必為五十六寸也設如有金銀共重三百二十一兩鎔於一處作成一正方體每邉三寸問金銀各重㡬何法以方邊三寸自乗再乗得二十七寸為正方體積乃以二十七寸俱作金算用金寸方定率十六兩八錢乗之得四百五十三兩六錢與共重三百二十一兩相較則共重少一百三十二兩六錢又以二十七寸俱作銀算用銀寸方定率九兩乗之得二百四十三兩與共重三百二十一兩相較則共重多七十八兩乃以多少兩數相併得二百一十兩六錢為一率金二十七寸重四百五十三兩六錢為二率多七十八兩為三率得四率一百六十八兩即金數於共重三百二十一兩内減之餘一百五十三兩即銀數如以銀二十七寸重二百四十三兩為二率少一百三十二兩六錢為三率得四率一百五十三兩亦即銀數也此法盖因金二十七寸比銀二十七寸多二百一十兩六錢即銀二十七寸比金二十七寸少二百一十兩六錢也是知金比銀多二百一十兩六錢而金為四百五十三兩六錢今多七十八兩則金必為一百六十八兩也又銀比金少二百一十兩六錢而銀為二百四十三兩今少一百三十二兩六錢則銀必為一百五十三兩也又法以銀寸方定率九兩與金寸方定率十六兩八錢相減餘七兩八錢為一率金一寸重十六兩八錢為二率以共積二十七寸用銀寸方定率九兩乗之得二百四十三兩與共重三百二十一兩相減餘七十八兩為三率得四率一百六十八兩即金數於共重三百二十一兩内減之餘一百五十三兩即銀數如以銀一寸重九兩為二率以共積二十七寸用金寸方定率十六兩八錢乗之得四百五十三兩六錢與共重三百二十一兩相減餘一百三十二兩六錢為三率得四率一百五十三兩亦即銀數也此法盖以金一寸比銀一寸其重相差七兩八錢是知多七兩八錢而金為十六兩八錢今多七十八兩則金必為一百六十八兩也又少七兩八錢而銀為九兩今少一百三十二兩六錢則銀必為一百五十三兩也設如有金器一件内有銀相参合共重一百七十兩四錢問金銀各重若干法用一桶盛水令滿将金器入内看溢出之水得正方寸數㡬何假如得十二寸即為金銀共積以金寸方定率十六兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共重一百七十兩四錢相較則共重少三十一兩二錢又以銀寸方定率九兩乗之得一百零八兩與共重一百七十兩四錢相較則共重多六十二兩四錢乃以多少兩數相併得九十三兩六錢為一率金十二寸重二百零一兩六錢為二率多六十二兩四錢為三率得四率一百三十四兩四錢即金數於共重一百七十兩四錢内減之餘三十六兩即銀數如以銀十二寸重一百零八兩為二率少三十一兩二錢為三率得四率三十六兩亦即銀數也又法以金寸方定率十六兩八錢與銀寸方定率九兩相減餘七兩八錢為一率金一寸重十六兩八錢為二率以共積十二寸用銀寸方定率九兩乗之得一百零八兩與共重一百七十兩四錢相減餘六十二兩四錢為三率得四率一百三十四兩四錢即金數於共重一百七十兩四錢内減之餘三十六兩即銀數如以銀一寸重九兩為二率以共積十二寸用金寸方定率十六兩八錢乗之得二百零一兩六錢與共重一百七十兩四錢相減餘三十一兩二錢為三率得四率三十六兩亦即銀數也設如有金鑄一器重三百兩俱係九六成色今用九九成色及九一成色二䓁金替換問各得㡬何法以九六成色與三百兩相乗得二百八十八兩為原金數乃以九九成色與三百兩相乗得二百九十七兩與原金二百八十八兩相較則原金少九兩又以九一成色與三百兩相乗得二百七十三兩與原金二百八十八兩相較則原金多十五兩爰以多少兩數相併得二十四兩為一率三百兩為二率原金比九一成色多十五兩為三率得四率一百八十七兩五錢即九九成色金數於共重三百兩内減之餘一百一十二兩五錢即九一成色金數如以原金比九九成色少九兩為三率得四率一百一十二兩五錢亦即九一成色金數也盖九六成色金三百兩為十成金二百八十八兩而九九成色金三百兩為十成金二百九十七兩九一成色金三百兩為十成金二百七十三兩是知九九比九一多二十四兩而九九成色金為三百兩今九六比九一多十五兩則九九成色金必為一百八十七兩五錢也又九一比九九少二十四兩而九一成色金為三百兩今九六比九九少九兩則九一成色金必為一百一十二兩五錢也又法以九九與九一相減餘八分為一率金三百兩為二率以九一與九六相減餘五分為三率得四率一百八十七兩五錢即九九成色金數於共重三百兩内減之餘一百一十二兩五錢即九一成色金數如以九九與九六相減餘三分為三率得四率一百一十二兩五錢亦即九一成色金數也盖九九比九一多八分而九九成色金為三百兩今九六比九一多五分則九九成色金必為一百八十七兩五錢也又九一比九九少八分而九一成色金為三百兩今九六比九九少三分則九一成色金必為一百一十二兩五錢也設如甲乙二人有金成色不䓁甲金一兩可凖銀一十二兩乙金一兩可凖銀八兩今欲鎔為一處令金一兩凖銀九兩問甲乙二人於一兩金中各出金㡬何法以凖銀九兩為中數與甲金凖銀十二兩相較少三兩與乙金凖銀八兩相較多一兩乃以多少兩數併之得四兩為一率金一兩為二率比甲少三兩為三率得四率七錢五分即乙所出金數如以比乙多一兩為三率得四率二錢五分即甲所出金數也此法因銀十二兩與八兩皆金一兩所凖之數雖相乗其數不動故直以十二與八相減作一率(以十二與九八與九之兩較相併得四即十二與八相減之餘數也)盖乙比甲銀少四兩而乙金為一兩今比甲銀少三兩則乙金必為七錢五分也又甲比乙銀多四兩而甲金為一兩今比乙銀多一兩則甲金必為二錢五分也設如有錢四千九百九十五文買栗棗共五千枚只云栗九枚錢一十一文棗七枚錢四文問二色與價各得若干法先用互乗以齊其分以栗九與棗七相乗得六十三為乗出之縂物分即以六十三乗縂錢四千九百九十五文得三十一萬四千六百八十五文為乗出之縂錢數又以棗七乗栗價十一文得七十七文為乗出之栗價以栗九乗棗價四文得三十六文為乗出之棗價然後以栗棗共五千枚用栗價七十七文乗之得三十八萬五千文與乗出之縂錢三十一萬四千六百八十五文相較則縂錢少七萬零三百一十五文又以栗棗共五千枚用棗價三十六文乗之得一十八萬文與乗出之縂錢三十一萬四千六百八十五文相較則縂錢多一十三萬四千六百八十五文乃以栗價七十七文與棗價三十六文相減餘四十一文為一率一枚為二率多一十三萬四千六百八十五文為三率得四率三千二百八十五枚即栗數於共五千枚内減之餘一千七百一十五枚即棗數如以少七萬零三百一十五文為三率得四率一千七百一十五枚亦即棗數也既得栗數則以九枚為一率十一文為二率三千二百八十五枚為三率得四率四千零一十五文即栗之共價既得棗數則以七枚為一率四文為二率一千七百一十五枚為三率得四率九百八十文即棗之共價也如欲先得各價則以四十一文為一率栗價七十七文為二率多一十三萬四千六百八十五文為三率得四率二十五萬二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共價於共錢四千九百九十五文内減之餘九百八十文即棗之共價如以四十一文為一率棗價三十六文為二率少七萬零三百一十五文為三率得四率六萬一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即棗之共價也此法九章名為貴賤相和盖因栗九枚棗七枚其數不同故用互乗以齊其分得栗六十三枚價七十七文棗六十三枚價三十六文今以六十三枚當一枚則為栗一枚價七十七文棗一枚價三十六文是其價各加六十三倍故将縂錢亦加六十三倍即為栗棗共五千枚共價三十一萬四千六百八十五文而栗一枚比棗一枚其價相差四十一文是知栗價比棗價多四十一文而栗為一枚今共價比棗價多一十三萬四千六百八十五文則栗必為三千二百八十五枚也又棗價比栗價少四十一文而棗為一枚今共價比栗價少七萬零三百一十五文則棗必為一千七百一十五枚也其先求各價者盖因栗價比棗價多四十一文而栗價為七十七文今共價比棗價多一十三萬四千六百八十五文則栗價少為二十五萬二千九百四十五文因各價皆為加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文為栗之共價也又棗價比栗價少四十一文而棗價為三十六文今共價比栗價少七萬零三百一十五文則棗價必為六萬一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文為棗之共價也又法以棗七枚栗九枚共五千枚列於上棗價四文栗價十一文共價四千九百九十五文列於下乃以下棗價四文遍乗上棗七枚栗九枚共五千枚得棗二十八枚栗三十六枚共二萬枚又以上棗七枚遍乗下棗價四文栗價十一文共價四千九百九十五文得棗價二十八文栗價七十七文共價三萬四千九百六十五文兩下相較則棗數與棗價同為二十八彼此減盡棗價比栗數多四十一共價比共數多一萬四千九百六十五爰以多四十一為一率栗九枚為二率多一萬四千九百六十五為三率得四率三千二百八十五枚即栗數於五千枚内減之餘一千七百一十五枚即棗數如以栗價十一文為二率得四率四千零一十五文即栗之共價於四千九百九十五文内減之餘九百八十文即棗之共價也若欲先得棗數則以栗九枚價十一文移於前棗七枚價四文移於後乃以下栗價十一文遍乗上栗九枚棗七枚共五千枚得栗九十九枚棗七十七枚共五萬五千枚又以上栗九枚遍乗下栗價十一文棗價四文共價四千九百九十五文得栗價九十九文棗價三十六文共價四萬四千九百五十五文兩下相較則栗數與栗價同為九十九彼此減盡棗價比棗數少四十一共價比共數少一萬零四十五爰以少四十一為一率棗七枚為二率少一萬零四十五為三率得四率一千七百一十五枚即棗數如以棗價四文為二率得四率九百八十文即棗之共價也此法與方程互乗齊分之理同其先求栗數而以棗數列於前者盖将棗數栗數共數皆加四倍棗價栗價共價皆加七倍則棗數與棗價相同是為每棗一枚價一文夫棗數與棗價既相同而減盡無餘則棗栗共數内之共棗數與棗栗共價内之共棗價亦必相同而減盡無餘所餘者即為共栗價多於共栗數之較是比每栗一枚價一文所多之數是知栗價比栗數多四十一文而栗為九枚栗價為十一文今共栗價比共栗數多一萬四千九百六十五文則栗必為三千二百八十五枚栗價必為四千零一十五文也其先求棗數而以栗數列於前者盖将栗數棗數共數皆加十一倍栗價棗價共價皆加九倍則栗數與栗價相同是為每栗一枚價一文夫栗數與栗價既相同而減盡無餘則栗棗共數内之共栗數與栗棗共價内之共栗價亦必相同而減盡無餘所餘者即為共棗價少於共棗數之較是比每棗一枚價一文所少之數是知棗價比棗數少四十一文而棗為七枚棗價為四文今共棗價比共棗數少一萬零四十五文則棗必為一千七百一十五枚棗價必為九百八十文也設如有僧一百人給饅首一百箇大僧一人給三箇小僧三人給一箇問大小僧數及各得饅首若干法先用互乗以齊其分以大僧一人與小僧三人相乗得三人為乗出之縂僧數即以三人乗饅首一百箇得三百箇為乗出之共饅首數又以小僧三人乗大僧饅首三箇得九箇為乗出之大僧饅首數以大僧一人乗小僧饅首一箇仍得一箇為乗出之小僧饅首數然後以共僧一百人與大僧饅首九箇相乗得九百箇與乗出之共饅首三百箇相較則共饅首少六百箇又以共僧一百人與小僧饅首一箇相乗得一百箇與乗出之共饅首三百箇相較則共饅首多二百箇乃以大僧饅首九箇與小僧饅首一箇相減餘八箇為一率一人為二率多二百箇為三率得四率二十五人即大僧數於共僧一百人内減之餘七十五人即小僧數如以少六百箇為三率得四率七十五人亦即小僧數也既得僧數則以一人為一率三箇為二率大僧二十五人為三率得四率七十五箇即大僧饅首數又以三人為一率一箇為二率小僧七十五人為三率得四率二十五箇即小僧饅首數也如欲先得饅首數則仍以八箇為一率大僧饅首九箇為二率今多二百箇為三率得四率二百二十五箇三歸之得七十五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘二十五箇即小僧饅首數如以八箇為一率小僧饅首一箇為二率今少六百箇為三率得四率七十五箇三歸之得二十五箇亦即小僧饅首數也此法用互乗得大僧三人饅首九箇小僧三人饅首一箇今以三人當一人則為大僧一人饅首九箇小僧一人饅首一箇是饅首為加三倍故将共饅首亦加三倍即為共僧一百人共饅首三百箇而大僧一人比小僧一人饅首差八箇是知多八箇而大僧為一人今多二百箇則大僧必為二十五人也又少八箇而小僧為一人今少六百箇則小僧必為七十五人也其先求饅首者因多八箇而大僧饅首為九箇今多二百箇則大僧饅首必為二百二十五箇因饅首為加三倍故以三歸之得七十五箇為大僧饅首數又少八箇而小僧饅首為一箇今少六百箇則小僧饅首必為七十五箇亦以三歸之得二十五箇為小僧饅首數也又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列於上小僧饅首一箇大僧饅首三箇共饅首一百箇列於下乃以下小僧饅首一箇遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原數又以上小僧三人遍乗下小僧饅首一箇大僧饅首三箇共饅首一百箇得小僧饅首三箇大僧饅首九箇共饅首三百箇兩下相較則小僧人數與饅首數同為三彼此減盡大僧饅首數比人數多八共饅首數比共人數多二百爰以多八為一率大僧一人為二率多二百為三率得四率二十五人即大僧數於共一百人内減之餘七十五人即小僧數如以大僧饅首三箇為二率得四率七十五箇即大僧饅首數於共饅首一百箇内減之餘二十五箇即小僧饅首數也若欲先得小僧數則以大僧一人饅首三箇移於前小僧三人饅首一箇移於後乃以下大僧饅首三箇遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧饅首三箇小僧饅首一箇共饅首一百箇仍得原數兩下相較則大僧與大僧饅首同為三彼此減盡小僧饅首數比人數少八共僧饅首數比共人數少二百爰以少八為一率小僧三人為二率少二百為三率得四率七十五即小僧人數如以小僧饅首一箇為二率得四率二十五箇即小僧饅首數也此法先求大僧數而以小僧列於前者盖将小僧饅首大僧饅首共僧饅首數皆加三倍則小僧人數與饅首數相同是為每小僧一人饅首一箇夫小僧數與饅首數既相同而減盡無餘則共僧數内之共小僧數與共饅首數内之共小僧饅首數亦必相同而減盡無餘所餘者即為大僧共饅首數多於共人數之較是比每大僧一人饅首一箇所多之數是知饅首比人數多八箇而大僧為一人大僧饅首為三箇今饅首比人數多二百箇則大僧必為二十五人大僧饅首必為七十五箇也其先求小僧數而以大僧列於前者盖将大僧小僧共僧數皆加三倍則大僧數與饅首數相同是為每大僧一人饅首一箇夫大僧數與饅首數既相同而減盡無餘則共僧數内之共大僧數與共饅首數内之共大僧饅首數亦必相同而減盡無餘所餘者即為小僧饅首數少於小僧數之較是比每小僧一人饅首一箇所少之數是知少八箇而小僧為三人小僧饅首為一箇今少二百箇則小僧必為七十五人小僧饅首必為二十五箇也設如有豆三十三石共換黄米京米一十九石止云每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石問二色米各得㡬何法先用互乗以齊其分以黄米三石與京米一石相乗得三石為乗出之共米數即以三石乗共豆三十三石得九十九石為乗出之共豆數以京米一石乗豆一石仍得一石為乗出黄米所值之豆數以黄米三石乗豆三石得九石為乗出京米所值之豆數然後以共米一十九石用黄米值豆一石乗之仍得一十九石與乗出之共豆九十九石相較則共豆多八十石又以共米一十九石用京米值豆九石乗之得一百七十一石與乗出之共豆九十九石相較則共豆多七十二石乃以黄米值豆一石與京米值豆九石相減餘八石為一率一石為二率少七十二石為三率得四率九石即黄米數於共米十九石内減之餘十石即京米數如以多八十石為三率得四率十石亦即京米數也此法用互乗得黄米三石值豆一石京米三石值豆九石今以米三石當一石則為黄米一石值豆一石京米一石值豆九石是豆為加三倍故将共豆亦加三倍即為共米一十九石共豆九十九石而黄米一石比京米一石所值豆差八石是知豆少八石而黄米為一石今少七十二石則黄米必為九石也又豆多八石而京米為一石今多八十石則京米必為十石也又法以黄米三石京米一石共米一十九石列於上黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石列於下乃以下黄米值豆一石遍乗上黄米三石京米一石共米一十九石仍得原數又以上黄米三石遍乘下黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石得黄米值豆三石京米值豆九石共豆九十九石兩下相較則黄米與所值豆同為三石彼此減盡京米所值豆比京米多八石共豆比共米多八十石爰以多八石為一率京米一石為二率多八十石為三率得四率十石即京米數於共米一十九石内減之餘九石即黄米數也如先求黄米數則以京米一石值豆三石移於前黄米三石值豆一石移於後乃以京米值豆三石遍乗上京米一石黄米三石共米一十九石得京米三石黄米九石共米五十七石又以上京米一石遍乗下京米值豆三石黄米值豆一石共豆三十三石仍得原數兩下相較則京米與所值豆俱為三石彼此減盡黄米所值豆比黄米少八石共豆比共米少二十四石爰以少八石為一率黄米三石為二率少二十四石為三率得四率九石即黄米數也此法先求京米數而以黄米列於前者盖将京米所值豆數黄米所值豆數共米所值豆數皆加三倍則黄米數與所值豆數相同是為每黄米一石值豆一石夫黄米數與所值豆數既相同而減盡無餘則共米數内之共黄米數與共豆數内之共黄米所值豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即為共京米所值豆數多於共京米之較是比每京米一石值豆一石所多之數是知豆比米多八石而京米為一石今豆比米多八十石則京米必為十石也其先求黄米數而以京米列於前者盖将京米黄米共米皆加三倍則京米數與所值豆數相同是為每京米一石值豆一石夫京米數與所值豆數既相同而減盡無餘則共米數内之共京米數與共豆數内之共京米所值豆數亦必相同而減盡無餘所餘者即為黄米所值豆數比黄米所少之較是比每黄米一石值豆一石所少之數是知豆比米少八石而黄米為三石今豆比米少二十四石則黄米必為九石也設如有船桅共五十七槳共二百零四但知大船毎隻三桅六槳小船每隻一桅八槳問大小船數各若干法先用互乗以齊其分以大船三桅與小船一桅相乗得三桅為乗出之共桅數即以三桅乗共槳二百零四得六百一十二為乗出之共槳數以小船一桅乗大船六槳仍得六槳為乗出大船之槳數以大船三桅乗小船八槳得二十四槳為乗出小船之槳數然後以共桅五十七用大船六槳乗之得三百四十二與乗出之共槳六百一十二相較則共槳多二百七十又以共桅五十七用小船二十四槳乘之得一千三百六十八與乗出之共槳六百一十二相較則共槳少七百五十六乃以大船六槳與小船二十四槳相減餘十八槳為一率一桅為二率少七百五十六槳為三率得四率四十二即大船桅數三歸之得十四即大船數也於共桅五十七内減大船桅數餘十五即小船桅數亦即小船數如以得二百七十槳為三率得四率十五亦即小船桅數也此法用互乗得大船三桅六槳小船三桅二十四槳今以三桅當一桅則為大船一桅六槳小船一桅二十四槳是槳為加三倍故将共槳亦加三倍即為共五十七桅共六百一十二槳而大船一桅比小船一桅差十八槳是知少十八槳而大船為一桅今少七百五十六槳則大船必為四十二桅也多十八槳而小船為一桅今多二百七十槳則小船必為十五桅也又法以小船一桅大船三桅共五十七桅列於上小船八槳大船六槳共二百零四槳列於下乃以下小船八槳遍乗上小船一桅大船三桅共五十七桅得小船八桅大船二十四桅共四百五十六桅又以上小船一桅遍乗下小船八槳大船六槳共二百零四槳仍得原數两下相較則小船桅與槳同為八彼此減盡大船桅比槳多十八共桅比共槳多二百五十二爰以多十八為一率大船三桅為二率多二百五十二為三率得四率四十二桅即大船桅數三歸之得十四即大船數於五十七桅内減去大船四十二桅餘十五桅即小船桅數亦即小船數也如欲先得小船數則以大船三桅六槳移於前小船一桅八槳移於後乃以下大船六槳遍乗上大船三桅小船一桅共五十七桅得大船十八桅小船六桅共三百四十二桅又以上大船三桅遍乗下大船六槳小船八槳共二百零四槳得大船十八槳小船二十四槳共六百一十二槳兩下相較則大船桅與槳同為十八彼此減盡小船桅比槳少十八共桅比共槳少二百七十爰以少十八為一率小船一桅為二率少二百七十為三率得四率十五桅即小船桅數亦即小船數也此法先求大船桅數而以小船列於前者盖将小船桅數大船桅數共船桅數皆加八倍則小船桅數與槳數相同是為毎小船一桅一槳夫小船桅數與槳數既相同而減盡無餘則共桅數内之小船共桅數與共槳數内之小船共槳數亦必相同而減盡無餘所餘者即為大船共桅數多於大船共槳數之較是比每大船一桅一槳所多之數是知多十八桅而大船為三桅今多二百五十二桅則大船必為四十二桅也其先求小船桅數而以大船桅數列於前者盖将大船桅數小船桅數共船桅數皆加六倍槳數皆加三倍則大船桅數與槳數相同是為大船一桅一槳夫大船桅數與槳數既相同而減盡無餘則共桅數内之大船共桅數與共槳數内之大船共槳數亦必相同而減盡無餘所餘者即為小船共桅數少於小船共槳數之較是比每小船一桅一槳所少之數是知少十八桅而小船為一桅今少二百七十桅則小船必為十五桅也設如有銀八十七兩按飯銀馬銀二項分給衆人但知三人共給二兩飯銀七人共給五兩馬銀問人數及二項銀數各若干法以三人與七人相乗得二十一人又以三人乗馬銀五兩得一十五兩七人乗飯銀二兩得一十四兩爰以十四兩與十五兩相併得二十九兩為一率二十一人為二率共銀八十七兩為三率得四率六十三人即共人數也既得其人數則以三人為一率飯銀二兩為二率共六十三人為三率得四率四十二兩為飯銀數於共銀八十七兩内減之餘四十五兩即馬銀數如以七人為一率馬銀五兩為二率共六十三人為三率得四率四十五兩亦即馬銀數也盖三人給飯銀二兩則二十一人必給飯銀十四兩七人給馬銀五兩則二十一人必給馬銀十五兩夫二十一人既給飯銀十四兩馬銀十五兩是二十一人共給銀二十九兩矣是知有二十九兩為二十一人今有八十七兩則必為六十三人也又三人共給飯銀二兩則六十三人必共給飯銀四十二兩七人共給馬銀五兩則六十三人必共給馬銀四十五兩也設如賞人飯肉共用碗一百但知二人共飯一碗三人共肉一碗問共人數及二項各用碗若干法以二人與三人相乗得六人又以二人乗肉一碗得二碗三人乗飯一碗得三碗爰以三碗二碗相併得五碗為一率六人為二率共碗一百為三率得四率一百二十人即共人數也既得共人數則以二人為一率飯碗一為二率共一百二十人為三率得四率六十為飯碗數於共碗一百内減之餘四十即肉碗數如以三人為一率得四率四十亦即肉碗數也此法因二人共飯三人共肉其數不同故用互乗以齊其分盖二人共飯一碗則六人必共飯三碗三人共肉一碗則六人必共肉二碗夫六人既共飯三碗共肉二碗是六人共用五碗矣是知有五碗為六人今有一百碗則必為一百二十人也又二人共飯一碗則一百二十人必共飯六十碗三人共肉一碗則一百二十人必共肉四十碗也設如有兵三千四百七十四名每三人給衫絹七十尺每四人給褲絹五十尺問縂絹若干法以三人與四人相乗得十二人又以三人乗褲絹五十尺得一百五十尺四人乗衫絹七十尺得二百八十尺爰以十二人為一率二百八十尺與一百五十尺相併得四百三十尺為二率兵三千四百七十四名為三率得四率一十二萬四千四百八十五尺為共絹數也此法與前同但前法以共銀數求共人數故以銀數為一率人數為二率此法以共人數求共絹數故以人數為一率絹數為二率其比例之理一也設如賞人茶飯酒共用碗一千三百三十八但知三人共茶二碗五人共酒三碗七人共飯六碗問共人數及三項各用碗若干法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗以三人與五人相乗得一十五人又以三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗得十碗是為十五人共用茶酒十九碗復與七人飯六碗互乗以十五人與七人相乗得一百零五人又以十五人乗飯六碗得九十碗七人乗茶酒共十九碗得一百三十三碗爰以一百三十三碗與九十碗相併得二百二十三碗為一率一百零五人為二率共碗一千三百三十八為三率得四率六百三十人即共人數也既得共人數乃以三人為一率茶碗二為二率共六百三十人為三率得四率四百二十為茶碗數又以五人為一率酒碗三為二率共六百三十人為三率得四率三百七十八為酒碗數又以七人為一率飯碗六為二率共六百三十人為三率得四率五百四十為飯碗數也此法因用碗三項故用兩次互乗以齊其分得一百零五人應用三項碗共二百二十三是知有二百二十三碗為一百零五人今有一千三百三十八碗則必為六百三十人也既得共人數則以各項分數比例求之即得各項碗之共數矣設如有燈大小二䓁大燈居小燈三分之二但知大燈三盞用油四兩小燈四盞用油三兩共用油十八斤零七兩問大小燈數各若干法以大燈三盞與小燈四盞相乗得十二盞又以小燈四盞乗大燈用油四兩得大燈用油十六兩以大燈三盞乗小燈用油三兩得小燈用油九兩又将大燈用油十六兩二因之(大燈二分故用二因)得三十二兩将小燈用油九兩三因之(小燈三分)(故用三因)得二十七兩二數相併得五十九兩為一率十二盞為二率共油十八斤七兩通為二百九十五兩為三率得四率六十盞為燈一分之數二因之得一百二十盞即大燈數三因之得一百八十盞即小燈數也此法因有𢃄分而互乗所得之十二盞為一分之衰數又因共油數為大燈二分小燈三分之共數故亦二因十六兩三因九兩併之為五分之衰數是知油五分之衰數五十九兩與燈一分之衰數十二盞之比即同於五分共油二百九十五兩與一分燈數六十盞之比也既得一分為六十盞故二因之得大燈數三因之得小燈數也設如有銀二十五兩三錢買銅鐡二色其重相䓁鐡三斤價四錢銅二斤價五錢問斤數及各價㡬何法以鐡三斤與銅二斤相乗得六斤又以銅二斤乗鐡價四錢得八錢以鐡三斤乗銅價五錢得一兩五錢乃以八錢與一兩五錢相併得二兩三錢為一率六斤為二率縂銀二十五兩三錢為三率得四率六十六斤為銅鐡相䓁之斤數又以鐡三斤為一率價四錢為二率今鐡六十六斤為三率得四率八兩八錢即鐡價於共銀二十五兩三錢内減之餘十六兩五錢即銅價如以銅二斤為一率價五錢為二率今銅六十六斤為三率得四率十六兩五錢亦即銅價也盖鐡三斤價四錢則六斤價八錢銅二斤價五錢則六斤價一兩五錢是銅鐡各六斤而共價為二兩三錢故以二兩三錢與各六斤之比即同於共價二十五兩三錢與各六十六斤之比也既得各斤數則以各價比例求之即得各價數矣設如有米九百石令甲乙二處各因米價貴賤納之其所納之銀適相等甲處米價每石五錢乙處米價每石七錢問各米數及共價數㡬何法以乙七錢乗甲一石得七石以甲五錢乗乙一石得五石乃以七石與五石相併得十二石為一率以甲七石為二率縂米九百石為三率得四率五百二十五石即甲處納米之數於九百石内減之餘三百七十五石即乙處納米之數如以乙五石為二率得四率三百七十五石亦即乙處納米之數以甲五百二十五石與每石價五錢相乗得二百六十二兩五錢以乙三百七十五石與每石價七錢相乗亦得二百六十二兩五錢是其所納之銀數適相䓁也盖甲處每石價五錢則七石之價為三兩五錢乙處每石價七錢則五石之價亦為三兩五錢其價相䓁是十二石之中甲應七石乙應五石故以十二石與甲七石之比即同於縂米九百石與甲五百二十五石之比又十二石與乙五石之比即同於縂米九百石與乙三百七十五石之比也設如空車一日行三十里重車一日行二十里今載米至倉徃返足一日問距倉路逺㡬何法以空車行三十里與重車行二十里相乗得六百里又以重車行二十里乗空車一日得二十日以空車行三十里乗重車一日得三十日乃以二十日與三十日相併得五十日為一率六百里為二率一日為三率得四率一十二里即距倉之里數也盖空車一日行三十里則二十日行六百里重車一日行二十里則三十日亦行六百里一徃一返共五十日是知五十日徃返六百里則今一日必徃返十二里也設如重車一日行五十里輕車一日行七十五里今載米至倉五日徃返三次問距倉里數㡬何法以重車行五十里與輕車行七十五里相乗得三千七百五十里又以輕車行七十五里乗重車一日得七十五日以重車行五十里乗輕車一日得五十日乃以七十五日與五十日相併得一百二十五日為一率三千七百五十里為二率五日為三率得四率一百五十里即五日徃返之里數以三次除之得五十里即距倉之里數也此法與前法同前法一日徃返一次故所得即距倉之里數此法五日徃返三次故所得為徃返三次之里數是以用三次除之而得距倉之里數也御製數理精藴下編卷七
## 下編卷八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷八線部六盈朒(單法) (雙套)盈朒盈有餘也朒不足也設有餘不足以求適中亦為因較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求實數而盈朒則以虚數求實數然虚數皆與實數相較而生盈朒之差則虚數亦實數也比例以所有之三率求所餘之一率而盈朒則所有為两數且两數之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者則以两數相加為相較之率有两盈或两朒者則以兩數相減為相較之率有一盈一適足或一朒一適足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不一致惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得其實錯綜變幻其用不窮所謂以實御虚和較互見者庶㡬盡於此矣一盈一朒設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每人七两分之則餘四两每人九两分之則少十二两問人數及銀數各若干法以七两與九两相減餘二两為一率一人為二率盈四两與朒十二两相加共十六两為三率推得四率八即為人數以八人與每人七两相乗得五十六两加盈四两得六十两即為銀數或以八人與每人九两相乗得七十二两減朒十二两餘六十两亦為銀數也此法盖因前設分七两後設分九两是每一人多分二两也然每人分七两則縂銀盈四两每人分九两則縂銀朒十二两是盈朒相差共十六两矣夫一人多分二两而縂銀差十六两則二两為一人之所多而十六两為八人之所多可知矣故二两與一人之比同於十六两與八人之比而為比例四率也既得人數以每人七两計之則八人應得五十六两因銀尚餘四两故加四两得六十两為銀數也若以每人九两計之則八人應得七十二两因銀少十二两故減十二两餘六十两為銀數也此先得人數之法也又先得銀數之法用互乗以齊其分以九两乗盈四两為加九倍得盈三十六两以七两乗朒十二两為加七倍得朒八十四两相加得一百二十两為二率七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率六十两即為銀數既得銀數則於六十两内減盈四两餘五十六两以每人七两除之得八為人數或於六十两加朒十二两共七十二两以每人九两除之亦得八為人數也此法以九两互乗盈四两者将盈四两加九倍也盈四两加九倍則為盈三十六两既以盈數加九倍則縂銀數與所分七两亦皆當加九倍七两加九倍則為六十三两是則九倍之縂銀每人六十三两分之盈三十六两也以七两互乗朒十二两者将朒十二两加七倍也朒十二两加七倍則為朒八十四两既以朒數加七倍則縂銀數與所分九两亦皆當加七倍九两加七倍則亦為六十三两是則七倍之縂銀每人六十三两分之朒八十四两也夫每人既皆分六十三两則是所分之加倍共銀數亦必相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十两即此二倍之銀數也知二倍為一百二十两即知一倍之為㡬何矣故以二為一率一百二十两為二率一為三率推得四率六十两為銀數也既得銀數則於六十两内減盈四两餘五十六两即為分七两者之共數而以七两除之得八人或於六十两加朒十二两得七十二两即為分九两者之共數而以九两除之亦得八人也此先得銀數之法也又法将盈四两與朒十二两相加得十六两為一率七两與九两相減餘二两為二率盈四两為三率得四率五錢與所分七两相加得七两五錢為每人應得之數又以五錢除盈四两得八為人數或仍以十六两為一率二两為二率以朒十二两為三率得四率一两五錢與所分九两相減亦得七两五錢為每人應得之數又以一两五錢除朒十二两亦得八為人數以八人與每人七两五錢相乗得六十两為銀數也此法盖因九兩與七两相較差二两盈四两與朒十二两相併為十六两是縂銀盈朒共差十六两由於每人之多二两也今銀尚盈四两則每人分七两者其每一分應多五錢而為七两五錢矣故十六两與二两之比同於四两與五錢之比而為比例四率也且一人多五錢而共多四兩則其為八人可知矣故五錢與一人之比同於四两與八人之比亦為比例四率也若以朒數論之則縂銀共差十六两者由於每人少二两今銀朒十二两則每人分九两者其每一分應少一两五錢而為七两五錢矣且一人少一两五錢而共少十二两則其為八人又可知矣既得人數則以八人與每人七两五錢相乗得六十两而為縂銀數也此先得每一人所得銀數之法也要之第一法先求人數第二法先求物價第三法先求適足之數立法雖各不同而各先得其一一得而無不得者實由於理之一貫者也設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多六兩問人數及物價各若干法以出四兩與出六兩相減餘二兩為一率一人為二率朒四兩與盈六兩相加共十兩為三率推得四率五即為人數以五人與每人四兩相乗得二十两加朒四兩共得二十四兩即為物價或以五人與每人六兩相乗得三十兩減盈六两亦得二十四兩為物價也此法盖因前設出四兩後設出六兩是每一人多出二兩也然出四兩則朒四兩出六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩矣夫一人多出二兩而縂價即多十两則二两為一人之所多而十兩為㡬人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人數以每人出四兩計之則五人應出二十两因於物價朒四兩故加四兩得二十四兩為物價若以每人出六兩計之則五人應出三十兩因於物價盈六兩故減六兩亦得二十四兩為物價也此法與首題第一法盈朒之加減不同者首題以共人所分共銀為問故分少則縂銀必盈分多則縂銀必朒其所謂盈朒者乃銀數之盈朒故得人數與分銀數相乗加盈減朒而得銀數也此以共人所出共銀為問故出少則比物價為朒出多則比物價為盈其所謂盈朒者乃出數之盈朒故得人數與出銀數相乗減盈加朒而得物價也法縂一理但加減盈朒之間少不同耳又先得銀數之法以六兩乗朒四兩為加六倍得朒二十四兩以四兩乗盈六兩為加四倍得盈二十四两相加得四十八兩為二率四倍與六倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率二十四兩即為物價既得物價則於二十四兩内減朒四兩餘二十兩以每人四兩除之得五即為人數或於二十四兩加盈六兩共三十兩以每人六兩除之亦得五為人數也此法盖将朒四兩加六倍為二十四兩則物價亦當加六倍而出四兩者亦必加六倍而為出二十四兩矣将盈六兩加四倍為二十四兩則物價亦當加四倍而出六兩者亦必加四倍而為出二十四兩矣夫每人同出二十四兩則其加倍共出之數亦必相同然比六倍物價則朒比四倍物價則盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八兩即二倍物價也故以二為一率四十八兩為二率一為三率推得四率二十四兩為物價也既得物價則於二十四兩減朒四兩餘二十兩即為出四兩者所共出之數而以四兩除之得五人或於二十四兩加盈六兩共三十兩即為出六兩者所共出之數而以六两除之亦得五人也又法将朒四兩與盈六两相加共十两為一率将出四兩與出六兩相減餘二兩為二率朒四兩為三率得四率八錢與出四兩相加得四兩八錢為每人應出之數又以八錢除朒四兩得五為人數或仍以十两為一率二兩為二率盈六兩為三率得四率一兩二錢於出六兩内減之餘四兩八錢亦為每人應出之數又以一两二錢除盈六兩亦得五為人數以五人與四两八錢相乗得二十四兩為物價也此法盖因盈朒之相差十兩由於每人之多二兩今欲補足所朒之四兩則每人應多八錢若欲損所盈之六两則每人應少一兩二錢故十兩與二兩之比同於四兩與八錢之比亦同於六兩與一兩二錢之比也且一人多八錢即益所朒之四兩一人減一两二錢即損所盈之六兩則其為五人也可知矣既得人數則以五人與每人四兩八錢相乗得二十四兩而為物價之縂銀也設如衆人乗船渡河每一船載十三人則餘十二人若每一船載十八人則餘一船問共人數及船數各若干法以餘十二人為盈十二人餘一船為朒十八人乃以每船所載十三人與每船所載十八人相減餘五人為一率一船為二率盈十二人與朒十八人相加共三十人為三率推得四率六即為船數以六船與每船載十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十為人數或以六船與每船十八人相乗得一百零八人減朒十八人亦餘九十為人數也盖每一船多載五人而盈朒相差為三十人故五人與一船之比同於三十人與六船之比也以每船十三人計之六船共載七十八人加無船之十二人共九十人以每船十八人計之六船應載一百零八人因一船無人則減去十八人餘九十人或減一船餘五船與十八人相乗亦得九十人也又先得人數之法以每船載十八人乗盈十二人為加十八倍得盈二百一十六人又以每船載十三人乗朒十八人為加十三倍得朒二百三十四人二數相加得四百五十人為二率以十三倍與十八倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率九十即為人數減盈十二人餘七十八人以每船十三人除之得六為船數或於九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六為船數也盖十八人與十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍則共人數之加十八倍者為每船二百三十四人餘二百一十六人也若以十八人加十三倍則共人數之加十三倍者為每船二百三十四人又少二百三十四人也(二百三十四人為一船所載之人分)十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人數故五倍與四百五十人之比即如一倍與九十人之比也既得人數減去所餘之十二人以每船十三人除之得船數或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船數焉又法将盈十二人與朒十八人相加得三十人為一率十三人與十八人相減餘五人為二率盈十二人為三率得四率二人與每船十三人相加得十五人為每船應載之數又以二人除盈十二人得六為船數或仍以三十人為一率五人為二率以朒十八人為三率得四率三人與每船十八人相減餘十五人為每船應載之數又以三人除十八人亦得六為船數以六船與每船十五人相乗得九十為人數也盖盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合載所盈之十二人則每船十三人者應加二人而為十五人欲分載所朒之十八人則每船十八人者應減三人而為十五人也且一船加二人即合載十二人一船減三人即分載十八人則其為六船也可知矣兩盈設如有人分果不知人數亦不知果數只云每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚問人數與果數各若干法以每人十二枚與十三枚相減餘一枚為一率一人為二率以盈六枚與盈十二枚相減餘六枚為三率推得四率六為人數以六人與十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚為果數若以六人與十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚為果數也盖一人多一枚而兩盈相差六枚其為六人可知故凡所分之數相減餘一者其盈朒之差即人數也又先得果數之法以十三枚乗盈十二枚為加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚為加十二倍得盈七十二枚相減餘八十四枚為二率十二倍與十三倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率八十四枚為果數内減盈十二枚餘七十二枚以每人十二枚除之得六為人數若於八十四枚減盈六枚餘七十八枚以每人十三枚除之亦得六為人數也盖十二倍比十三倍差一倍則盈朒相差八十四枚即一倍之果數故凡互乗差一倍者則互乗所得盈朒之差即為縂數既得人數又得縂數則以人數除縂數即得每人所分之數矣又法以兩盈數相減為一率互乗所得之兩盈數相減為二率一人為三率得四率即為每人所應得之數也此題前二法固以兩盈相減即為人數互乗所得兩盈相減即為縂數盖因十二與十三相減餘一數故也其或餘㡬數者亦即為㡬倍人數或為㡬倍縂數其以人數除縂數即同於以㡬倍人數除㡬倍縂數也設如有緞一疋欲作新帳幔一架先摺作六幅每幅比舊制長一尺二寸後摺作七幅每幅比舊制長二寸問緞之長及舊帳之長各若干法以長一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以長二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅與七幅相減餘一幅為一率一尺四寸與七尺二寸相減餘五尺八寸為二率一幅為三率推得四率五尺八寸為舊帳之長加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺為緞之長也(若於五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二)(尺)盖摺作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也摺作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而兩盈相差五尺八寸且兩盈之數皆比舊帳為盈則五尺八寸為舊帳之長可知矣既得舊帳之數則加一尺二寸而以六幅乗之即得緞之長數也或以六幅與五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得緞之長數盖七尺二寸者原係六因一尺二寸所得之數則加於舊帳而縂乗之與各乗其數而後加之一也若以七幅算之其理亦同又先得緞之長法以七幅乗盈七尺二寸為加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸為加六倍得盈八尺四寸相減餘四十二尺為二率六倍與七倍相減餘一倍為一率仍以一倍為三率推得四率四十二尺為緞之長減盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸為舊帳之長也(若減盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸)盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍緞之長比舊帳四十二幅長五十尺零四寸六倍緞之長比舊帳四十二幅長八尺四寸是兩盈相差四十二尺即一倍緞之長也既得緞之長則減其共盈數而以幅數除之即得舊帳之長或先以幅數除之而減其每幅之盈亦得舊帳之長也兩朒設如有銀買馬不知銀數亦不知馬數但云每一匹十五兩不足八十兩每一匹十三兩仍不足十六兩問馬數及銀數各若干法以十三兩與十五兩相減餘二兩為一率一馬為二率朒十六兩與朒八十兩相減餘六十四兩為三率推得四率三十二為馬數以三十二匹與每匹十五兩相乗得四百八十兩減朒八十兩得四百两為銀數若以三十二匹與每匹十三兩相乗得四百一十六兩減朒十六兩亦得四百兩為銀數也盖一馬差二兩則縂銀差六十四兩二兩與一馬之比即同於六十四兩與三十二馬之比也既得馬數則與每匹之價相乗而減其所朒之數即得銀數矣又先得銀數之法以十三兩乗朒八十兩為加十三倍得朒一千零四十兩以十五兩乗朒十六兩為加十五倍得朒二百四十兩相減餘八百两為二率十三倍與十五倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率四百兩為銀數加朒八十兩共四百八十兩以每匹十五兩除之得三十二為馬數或於四百兩加朒十六兩共四百一十六兩以每匹十三兩除之亦得三十二為馬數也盖将十五兩加十三倍十三兩加十五倍皆得一百九十五兩馬價齊同祗十三倍銀數則朒一千零四十兩十五倍銀數則朒二百四十兩是兩朒相差八百兩即二倍之銀數故以四率求之而得銀數也既得銀數則加其所朒之數以每匹之價除之即得馬數矣設如有米易布不知米數亦不知布數但云易布二十疋則米少一石易布十六疋則米仍少二斗問米數及布數各若干法以十六疋與二十疋相減餘四疋為一率二斗與一石相減餘八斗為二率一疋為三率推得四率二斗為布每疋所值米數以二斗與二十疋相乗得四石減朒一石餘三石為米數若以二斗與十六疋相乗得三石二斗減朒二斗亦餘三石為米數既得米數以每疋二斗除之得十五疋為布數也又先得米數之法以十六疋乗朒一石為加十六倍得朒十六石以二十疋乗朒二斗為加二十倍得朒四石相減餘十二石為二率十六倍與二十倍相減餘四倍為一率一倍為三率推得四率三石為米數加朒一石共四石為一率二十疋為二率三石為三率得四率十五疋為布數或於三石加朒二斗共三石二斗為一率十六疋為二率三石為三率亦得四率十五疋為布數也盖二十疋加十六倍十六疋加二十倍皆為易布三百二十疋而十六倍其米數則朒十六石二十倍其米數則朒四石是兩朒相差十二石即相差四倍之米數故以比例求之得米數也既得米數則加朒一石為四石即足易布二十疋故四石與二十疋之比同於三石與十五疋之比也或加朒二斗得三石二斗即足易布十六疋故三石二斗與十六疋之比亦同於三石與十五疋之比也又先得布數之法以朒二斗與朒一石相減餘八斗為一率十六疋與十二疋相減餘四疋為二率朒一石為三率得四率五疋與二十疋相減餘十五疋為布數又以五疋為一率朒一石為二率十五疋為三率推得四率三石為米數也若仍以八斗為一率四疋為二率朒二斗為三率則得四率一疋與十六疋相減亦得十五疋為布數又以一疋為一率二斗為二率十五疋為三率亦得四率三石為米數也此法即先求適足之理盖十五疋即適足之數也一盈一適足設如按户納糧不知户數亦不知糧數只云每户三升盈六石每户二升五合適足問人户及糧數各若干法以二升五合與三升相減餘五合為一率盈六石變為六千合為二率一户為三率推得四率一千二百為户數與每户二升五合相乗得三十石為糧數也盖每户多五合而縂糧多六石其為一千二百户可知故五合與六石之比同於一與一千二百之比也(此以一户為三率者)(二三率原可互易變之以明比例之理也)既得户數則與二升五合相乗適足三十石之數矣若以一千二百户與每户三升相乗得三十六石減盈六石亦得三十石為糧數也又先得糧數之法以二升五合乗盈六石為加二十五倍(以合為單位)得盈一百五十石以三升乗適足為加三十倍仍得適足(盖全糧一分每户二升五合而適足若将全糧加三十倍為三十分)(則二升五合亦當加三十倍為七斗五升是全糧三十分每户七斗五升仍適)(足也)故即以一百五十石為二率将二十五倍與三十倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率三十石為糧數以每户二升五合除之得一千二百為户數或加盈六石為三十六石以每户三升除之亦得一千二百為户數也設如有井不知其深有繩不知其長只云将繩作三摺入井長八尺将繩作五摺入井適足問井深繩長各若干法以三摺與五摺相減餘二摺為一率長八尺用三摺因之得盈二丈四尺為二率一摺為三率推得四率一丈二尺為井深以五摺乗之得六丈為繩長或以三摺乗之加盈二丈四尺亦得六丈為繩長也盖摺作三摺每摺盈八尺是三摺共盈二丈四尺也五摺比三摺多二摺而盈與適足無可加減則盈二丈四尺即為二摺之數其一摺為一丈二尺矣井深既為五摺之一故一摺之數即為井深之數也既得井深則以五摺乗之得繩長之數或以三摺乗之加盈二丈四尺亦得繩長之數也又先得繩長之法以五摺乗盈二丈四尺為加五倍得盈一十二丈以三摺乗適足為加三倍仍得適足故即以一十二丈為二率三倍與五倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率六丈為繩長以五摺除之得一丈二尺為井深或減盈二丈四尺餘三丈六尺以三摺除之亦得一丈二尺為井深也一朒一適足設如計日登程不知日數亦不知路程只云每日行五十五里則離所欲至之地共差六十里每日行六十里適足問日數及路程各若干法以五十五里與六十里相減餘五里為一率一日為二率朒六十里為三率推得四率十二為日數與每日六十里相乗得七百二十里為路數若以日數十二與每日行五十五里相乗得六百六十里是不到六十里也加朒六十里亦得七百二十里也又先得路程之法以六十里乗朒六十里為加六十倍得朒三千六百里以五十五里乗適足為加五十五倍仍得適足故即以三千六百里為二率五十五倍與六十倍相減餘五倍為一率一倍為三率推得四率七百二十里為路程以每日六十里除之得十二為日數或於七百二十里内減朒六十里餘六百六十里以每日五十五里除之亦得十二為日數也設如有直田一段欲截一頭作園只云截長十步不足三十二步截長十二步適足問截積及原濶各若干法以十步與十二步相減餘二步為一率朒三十二步為二率一步為三率推得四率十六步為原濶與十二步相乗得一百九十二步為截積或與十步相乗加朒三十二步亦得一百九十二步為截積也盖長十步則少三十二步長十二步則適足是三十二步者即長二步與原濶相乗之積故以二步除之得原濶也既得原濶則與截長十二步相乗得截積或與截長十步相乗加朒三十二步亦得截積也又先得截積之法以十二步乗朒三十二步為加十二倍得朒三百八十四步以十步乗適足為加十倍仍得適足故即以三百八十四步為二率以十倍與十二倍相減餘二倍為一率一倍為三率推得四率一百九十二步為截積以截長十二步除之得十六步為原濶或於一百九十二步内減朒三十二步餘一百六十步以截長十步除之亦得十六步為原濶也䨇套盈朒盈朒之法皆以每人㡬何而盈㡬何每人㡬何而朒㡬何為問其首數皆為一故以一人之較與共較為比例而得人數即欲先求共數不過用一互乗以齊其分而已故為單法若䨇套則以㡬人㡬何而盈㡬何㡬人㡬何而朒㡬何為問其首數已不同故必先用一互乗以齊之而後可以為比若欲先求共數則用两互乗是以謂之䨇套至於比例相求之理則仍與單法同也一盈一朒設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每四人分銀三兩則盈六兩每六人分銀九兩則朒三兩問人數與銀數各若干法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率四人六人互乗得二十四人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二即為人數既得人數乃以四人為一率三兩為二率十二人為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩即為銀數或以六人為一率九兩為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩亦餘十五兩為銀數也此法必用互乗以齊其數者盖單法以所分數相減為一率一人為二率盈朒相加為三率今三兩為四人之所分九兩為六人之所分不可以相減而為一率也四人與六人人數不同不可以為二率也所以必用互乗以齊之一則為二十四人分十八兩雖為加六倍其比例仍同於四人分三兩也一則為二十四人分三十六兩雖為加四倍其比例仍同於六人分九兩也是以十八兩與三十六兩相減餘十八兩為二十四人之所差而盈朒差九兩即知為㡬人之所差故十八兩與二十四人之比即同於九兩與十二人之比也既得人數之後而仍用比例四率者何也盖單法所分之銀數為一人之所分故以人數與所分之銀數相乗加盈減朒而即得縂銀今則所分之銀數為四人或六人之所分故每㡬人與所分㡬何之比即如縂人與縂銀之比而得四率加盈減朒始得縂銀數也又㨗法以四人歸除三兩每一人應得七錢五分以六人歸除九兩每一人應得一兩五錢乃照盈朒單法列之為每人七錢五分分之盈六兩每人一兩五錢分之朒三兩是以七錢五分與一兩五錢相減餘七錢五分為一率一人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二為人數既得人數則以一人為一率一兩五錢為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩餘十五兩為銀數也或以每人七錢五分為二率推得四率九兩加盈六兩亦得十五兩為銀數也此法以四人除三兩以六人除九兩皆為度盡之數若數有竒零度不盡者則必用互乗之法而後可又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩又以三十六兩互乗盈六兩為加三十六倍得盈二百一十六兩以六人互乗三兩得一十八兩又以一十八兩互乗朒三兩為加十八倍得朒五十四兩兩數相加得二百七十兩為二率十八倍與三十六倍相減餘十八倍為一率一倍為三率推得四率十五兩為銀數既得銀數乃以三兩為一率四人為二率十五兩減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人數或以九兩為一率六人為二率十五兩加朒三兩共十八兩為三率亦得四率十二為人數也盖單法以所分之數相減為一率以所分之數互乗盈朒之數相減為二率一倍為三率得四率為銀數今則三兩為四人之所分九兩為六人之所分其數不同即三兩與九兩互乗亦皆得二十七兩而一則為三十六人分二十七兩(加九倍也)一則為十八人分二十七兩(加三倍也)其數亦仍不同不可相為比例故必以四人六人互乗為二十四人以齊其人數又必以十八與三十六互乗盈朒之數以齊其所分銀數然後人數與所分銀數俱同可以設為比例是以十八兩加三十六倍三十六兩加十八倍皆為六百四十八兩即如三十六倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩盈二百一十六兩若十八倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩朒五十四兩也然則盈朒相差二百七十兩即十八倍銀數之所差矣故十八倍與二百七十兩之比即同於一倍與十五兩之比而為比例四率也既得銀數而減盈加朒為比例四率者盖以所分之銀數與㡬何人之比即如減盈加朒之縂銀數與縂人數之比也又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率以互乗所得之十八兩為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數(若以三十六兩為二率則得四率十)(八兩減朒三兩亦得十五兩為銀數)既得銀數則以三兩為一率四人為二率十五兩内減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人數也(若以九兩為一率六人為二率十五两内加朒三兩共十八兩為三)(率亦得四率十二為人數)此法盖合兩四率而為一四率原法以十八兩為一率二十四人為二率九兩為三率得四率十二為人數又如以二十四人為一率十八兩為二率(與四人為一率三兩為二率者同因其俱為四與三之比例)十二人為三率則得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數今将兩四率合為一四率則前四率中省以二十四乗後四率中省以二十四除故以十八兩為一率又為二率以九兩為三率而得四率九兩加盈六兩為銀數也設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云每八人出銀七兩則盈四兩五錢每九人出銀六兩則朒三兩問人數及物價各若干法以八人互乗六兩得四十八兩以九人互乗七兩得六十三兩相減餘十五兩為一率八人九人互乗得七十二人為二率盈四兩五錢與朒三兩相加得七兩五錢為三率推得四率三十六即為人數既得人數乃以八人為一率七兩為二率三十六人為三率推得四率三十一兩五錢減盈四兩五錢餘二十七兩即為物價或以九人為一率六兩為二率三十六人為三率推得四率二十四兩加朒三兩亦得二十七兩為物價也此法用互乗以齊其數一則變為七十二人出六十三兩一則變為七十二人出四十八兩其相差十五兩是十五兩為七十二人之所差則盈朒相加之七兩五錢即知為三十六人之所差故十五兩與七十二人之比即同於七兩五錢與三十六人之比也既得人數仍用比例四率以每㡬人與所出㡬何之比即如縂人與縂銀之比而得數内減盈加朒即為物價也又先得銀數之法以八人互乗六兩得四十八兩又以四十八兩互乗盈四兩五錢為加四十八倍得盈二百一十六兩以九人互乗七兩得六十三兩又以六十三兩互乗朒三兩為加六十三倍得朒一百八十九兩二數相加得四百零五兩為二率四十八倍與六十三倍相減餘十五倍為一率一倍為三率推得四率二十七兩為銀數既得銀數乃以七兩為一率八人為二率二十七兩内加盈四兩五錢共三十一兩五錢為三率推得四率三十六為人數或以六兩為一率九人為二率於二十七兩減朒三兩餘二十四兩為三率亦得四率三十六為人數也此法用互乗以齊人數銀數而成比例故八人與九人互乗皆為七十二人以六十三兩與四十八兩互乗皆為出三千零二十四兩此數比四十八倍之物價則盈二百一十六兩比六十三倍之物價則朒一百八十九兩其盈朒之相差為四百零五兩其四十八倍與六十三倍相差為十五倍以十五倍與四百零五兩之比即同於一倍與二十七兩之比也既得銀數仍用比例四率盖以所出之銀數與㡬何人之比即如加盈減朒之縂銀數與縂人數之比也兩盈設如衆人輪班值日不知人數亦不知日數只云每四人值五日則盈二十日每八人值九日仍盈八日問人數及日數各若干法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相減餘四日為一率四人八人互乗得三十二人為二率盈八日與盈二十日相減餘十二日為三率推得四率九十六為人數既得人數乃以四人為一率五日為二率九十六人為三率推得四率一百二十日減盈二十日餘一百為日數或以八人為一率九日為二率九十六人為三率推得四率一百零八日減盈八日亦餘一百為日數也此法用互乗以齊其分一則變為三十二人值四十日一則變為三十二人值三十六日其相差為四日知四日為三十二人之所差則兩盈相減之十二日即知為九十六人之所差矣既得人數則以每㡬人與值㡬日之比即同於縂人與縂日之比而於得數之内減其所盈即為日數也又先得日數之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日為加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日為加四十倍得盈三百二十日相減餘四百日為二率三十六倍與四十倍相減餘四倍為一率一倍為三率推得四率一百為日數既得日數乃以五日為一率四人為二率一百日内加盈二十日共一百二十日為三率推得四率九十六為人數或以九日為一率八人為二率一百日内加盈八日共一百零八日為三率亦得四率九十六為人數也盖八人四人互乗皆為三十二人三十六日四十日互乗皆為一千四百四十日然比三十六倍日數則盈七百二十日比四十倍日數則盈三百二十日二數相差為四百日三十六倍與四十倍相差為四倍知四倍之為四百日即知一倍之為一百日矣既得日數則以所值之㡬日與㡬人之比即同於加盈之縂日數與縂人數之比也兩朒設如有人分絹分之不盡只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋問人數及絹數各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三人六人互乗得一十八人為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率六十為人數既得人數則以三人為一率五疋為二率六十人為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數若以六人為一率九疋為二率六十人為三率推得四率九十疋減朒十疋亦得八十疋為絹數也此法用互乗以齊其數一則變為十八人分三十疋朒二十疋一則變為十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋為十八人之所差即知十疋為六十人之所差故三疋與十八人之比即同於十疋與六十人之比也又先得絹數之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三十疋為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數也(若以二十七疋為二率則求得四率九十疋減〔？〕十疋亦得八十疋)(為絹數)既得絹數則加朒二十疋共一百疋為三率五疋為一率三人為二率推得四率六十為人數也此法亦合兩四率而為一四率盖原法以三疋為一率十八人為二率十疋為三率得四率六十為人數又如以十八人為一率三十疋為二率(與三人為一率五疋為二率者同因其俱為三與五之比)(例)六十人為三率得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數今合兩四率為一四率則前四率中省以一十八乗後四率中省以一十八除也一盈一適足設如衆人支糧每三人支九石盈五十四石每四人支十四石適足問人數與糧數各若干法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相減餘六石為一率三人四人互乗得十二人為二率盈與適足無可加減即以盈五十四石為三率推得四率一百零八為人數既得人數乃以四人為一率十四石為二率一百零八人為三率推得四率三百七十八石為糧數或以三人為一率九石為二率一百零八人為三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石為糧數也此法用互乗以齊其分一則變為十二人支三十六石一則變為十二人支四十二石其相差六石知六石為十二人之所差即知五十四石為一百零八人之所差矣既得人數則以每㡬人與支㡬石之比即同於縂人數與縂糧數之比也又先得糧數之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石為加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗適足為加三十六倍仍得適足故即以盈二千二百六十八石為二率三十六倍與四十二倍相減餘六倍為一率一倍為三率推得四率三百七十八石為糧數既得糧數乃以十四石為一率四人為二率三百七十八石為三率推得四率一百零八為人數或以九石為一率三人為二率三百七十八石内減盈五十四石餘三百二十四石為三率亦得四率一百零八為人數也盖三十六石與四十二石互乗皆為支一千五百一十二石然四十二倍其糧數則盈二千二百六十八石三十六倍其糧數則適足三十六倍與四十二倍差六倍知六倍之為二千二百六十八石即知一倍之為三百七十八石矣既得糧數則以所支之㡬石與㡬人之比即同於縂糧數與縂人數之比也一朒一適足設如以車運米每四車載六十石則米少六十石每三車載四十石則米適足問車數與米數各若干法以四車互乗四十石得一百六十石以三車互乗六十石得一百八十石相減餘二十石為一率三車四車互乗得十二車為二率朒與適足無可加減即以朒六十石為三率推得四率三十六為車數既得車數則以十二車為一率以互乗所得之一百六十石為二率(與三)(車為一率四十石為二率同以其俱為三與四十之比例也)三十六車為三率推得四率四百八十石為米數若将互乗所得之一百八十石為二率則得四率五百四十石減朒六十石亦得四百八十石為米數也此法互乗後一得十二車載一百八十石一得十二車載一百六十石其相差為二十石知二十石為十二車之所差即知六十石為三十六車之所差故二十石與十二車之比即同於六十石與三十六車之比也又先得米數之法欲省互乗則将兩車數變為同䓁以四車載六十石用四歸三因為三車載四十五石則兩首數同矣乃以四十石與四十五石相減餘五石為一率四十石為二率朒六十石為三率推得四率四百八十石為米數既得米數即以四十石為一率三車為二率四百八十石為三率推得四率三十六即車數也此法不用互乗止将兩首數變為同䓁極為簡㨗然必其數可以度盡為同等者方可用之若其數不能度盡則必仍用互乗之法焉御製數理精藴下編卷八
## 下編卷九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷九線部七借衰互徵疊借互徵借衰互徵借衰互徵者有總數而無分數或有分數而無總數或無總數分數之實率而但有其盈率則不得不别借一衰數以為比例然後可以得其真數故曰借衰然而所借之衰又各不同有借於本數之中者有借於本數之外者借彼徵此借虚徵實故曰互徵葢先借各項衰數合而為總衰數以總衰數與總真數相比即若各項衰數與各項真數之比也或先借總衰數加減出各衰數之較以各衰數之較與真數之較相比即若總衰數與總真數之比也或以各衰數之較與真數之較相比即若各項衰數與各項真數之比也要之皆就比例之法而推廣之耳設如有銀一千八百兩命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍問甲乙各得幾何法借一為乙衰五為甲衰併之得六為一率總銀一千八百兩為二率乙衰一為三率得四率三百兩即乙所分之數與一千八百兩相減餘一千五百兩即甲所分之數以三百兩與一千五百兩相較則甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍則是甲有五分乙有一分故借一為乙衰五為甲衰倂之得六為總衰以總衰與總銀之比卽若乙一衰與乙銀一分之比也(此法卽和數比例因借衰之首故設一最)(易者以發明其理云)設如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比 二官加一倍少二年問每官各該幾年法借一衰為第一官年數借二衰多六年為第二官年數借四衰多十年為第三官年數倂三官衰數得七為一率倂後二官共多十六年於總年數内減之餘八十四年為二率第一官一衰為三率得四率十二年為第一官年數倍之加多六年得三十年為第二官年數又倍第二官年數減少二年得五十八年為第三官年數合三數而共為一百年也此法第一官既借一衰則第二官加一倍零六年者當借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍則當借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年為第三官衰數也設如有甲乙丙三人共銀四十四兩乙比甲銀多一倍零四兩丙比甲乙二人共數又多六兩求各人銀數幾何法借一為甲衰借二多四兩為乙衰借三多十兩為丙衰倂三衰得六為一率併乙丙二人多數為十四兩於總銀内減之餘三十兩為二率甲衰一為三率得四率五兩卽甲銀倍之加多四兩得十四兩為乙銀併甲乙銀又加多六兩得二十五兩即丙銀也此法既以一為甲衰乙比甲加一倍零四兩故借二多四兩為乙衰也丙併甲乙共數多六兩故借三多十兩為丙衰也甲衰一乙衰二併之為三乙比甲多四兩丙比甲乙共數又多六兩併之為十兩也設如有甲乙二人入山採果共得三百枚但云甲數加六百枚乙數加二百枚則甲數比乙數多二倍問甲乙各得幾何法借三為甲衰借一為乙衰併之得四為一率以三百枚與六百枚二百枚相加得一千一百為二率乙衰一為三率得四率二百七十五卽乙一分之數減加數二百餘七十五卽乙數以七十五與三百枚相減餘二百二十五卽甲數以乙七十五與甲二百二十五相較則甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍則甲為三分乙為一分故借三為甲衰一為乙衰併之為總衰作一率又以原果與兩加數相併為總數作二率葢總衰與總數之比即乙一衰與乙果一分之比也設如有銀一百九十六兩買駝四匹馬六匹驢十頭馬比驢價加一倍零二兩駝比馬價加一倍零四兩問各價銀若干法借一衰為驢價以驢十因之得十借二衰多二兩為馬價以馬六因之得十二衰多十二兩(一馬多二兩六馬故多十二兩)借四衰多八兩為駝價以駝四因之得十六衰多三十二兩(一駝多八兩四駝故多三十二兩)併三色衰數(驢十馬十二駝十六)共三十八為一率又併駝馬多價(駝三十二兩馬十二兩)共四十四兩於總銀内減之餘一百五十二兩為二率驢一衰為三率得四率四兩即驢一頭之價倍之加多二兩得十兩即馬一匹之價又倍之加多四兩得二十四兩即駝一匹之價也此法既借一衰為驢價馬比驢加一倍零二兩故借二衰多二兩為馬價也駝比馬又加一倍當借四衰多四兩再加多馬四兩則四衰多八兩為駝價也乃以各數因之(驢十馬六駝四)故得各項總衰數也設如問一人歳數答曰我比弟長二年父年倍我仍多兩歳伯父兼我三人歳數再加四年整百歳問四人各得年數幾何法借一衰為其弟歳數借一衰零二年為本人歳數倍之得二衰零四年再加多兩歳得二衰零六年為其父歳數總併之得四衰零八年為其伯之歳數即以四衰為一率八年四年相併得十二年與百歳相減餘八十八年為二率其弟一衰為三率得四率二十二即其弟之歳數加長二年得二十四即本人之歳數倍本人歳數再加多兩歳得五十即其父之歳數併三人歳數得九十六即其伯之歳數再加四年是為整百歳也此法既借一衰為其弟歳數本人較長二年故借一衰零二年為本人歳數也其父年比本人加倍又多兩嵗故借二衰零六年為其父歳數也(加倍為二衰零四年)(又加多兩歳故為二衰零六年也)將三人歳數相併得四衰零八年為其伯之歳數再加四年方整百嵗則減四年又減所零之八年餘八十八年即四衰相當之數也設如漏壺一具上有渴烏注水凡十二時而滿下有一孔通天池洩水凡十八時而盡若上注下洩問幾時可得水滿法以十二時與十八時相乘得二百一十六時卽借二百一十六分為壺水衰數又以十二時與十八時相減餘六時卽借六分為一時水滿分數乃以六分為一率一時為二率二百一十六分為三率得四率三十六卽是水滿一壺之時也此法以十二時乘十八時者卽借一壺水作二百一十六分算也十二時滿二百一十六分則一時滿十八分十八時盡二百一十六分則一時洩十二分一時滿十八分而洩十二分則壺中所存止得六分故以十二減十八餘六分為一時所滿之水也滿水六分既得一時則壺中滿二百一十六分而得三十六時矣設如漏壺一座注水於内下有三孔大孔流水二時而盡中孔流水三時而盡小孔流水六時而盡若三孔齊開問水幾時可盡法以大孔之二時乘中孔之三時得六時又以小孔之六時乘之得三十六時卽借三十六分為壺水總衰數以大孔二時除之得十八分以中孔三時除之得十二分以小孔六時除之得六分併三數得三十六為一率一時為二率借衰三十六為三率得四率一時卽一時水可盡也此法葢以三色之數連乘為共分其大孔二時流盡則一時流十八分中孔三時流盡則一時流十二分小孔六時流盡則一時流六分故併三數而為一時所流者有三十六分今壺水止有三十六分故一時可以流盡也設如有人自鄉上城共一百二十里今行尚未到若以行過路六分之一與餘路三分之一相加便是到城里數問該若干法借十五衰為一率一百二十里為二率餘路三分卽借三衰為三率得四率二十四里卽到城里數也此法借十五衰為一率者因餘路取三分之一尚餘二分又取行過路六分之一補足餘路二分之數是行過路之一分卽抵餘路之二分也今將餘路一分借一衰則行過路一分當借二衰六分則當借十二衰再加餘路三衰是共得十五衰故十五衰與一百二十里之比卽餘路三分與二十四里之比也(每分該八里)設如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一從水面往下取四分之一相併便是水深數問該幾何法借十三衰為一率二丈六尺為二率自水面往下四分卽借四衰為三率得四率八尺卽水之深也此法借十三衰為一率者因水面往下取四分之一尚餘三分又取水面向上三分之一補足水面下三分之數是水面上之一分卽準水面下之三分也今將水面下一分借一衰則水面上一分當借三衰一分借三衰則三分必當借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰與二丈六尺之比卽水面下四分與八尺之比也設如有人問此時係何時刻答曰自子正到此時時刻折半與自此時到午正三分之一相加便是此時時刻法借二衰為自子正到此時衰數(時折半者)(定為一衰今用全數故借二衰)又借三衰為自此時到午正衰數(三分故借三衰因三分之一與折半之數相等故亦將一)(分借一衰)併之得五衰為子正到午正之分為一率又計子正到午正得十二小時因化為七百二十分為二率自子正到此時二衰為三率得四率二百八十八分收為四小時三刻三分即定為寅正三刻三分也此法因題言自子正到此時時刻折半故以折半數借為一衰今用全數為自子正起算故借二衰題又言到午正時刻三分之一與折半之數相加則是折半數即與三分之一之數相等故將三分亦借為三衰是子正到午正共為五衰矣計子正到午正時刻得七百二十分故五衰與七百二十分之比即二衰與二百八十八分之比既得二百八十八分收為四小時三刻三分即自子正到寅正三刻三分也設如有人問到日落得幾時答曰自日出到此時時刻取四分之一從此時到日落時刻折半兩數相加即是此時時分法借二衰為自此時到日落時衰數(時折)(半者借一衰今用全數故借二衰)又借四衰為自日出到此時衰數(四分故借四衰因四分之一與折半之數相等故亦)(將一分借一衰)併之得六衰為一率又察晝夜長短如自日出至日落止有十小時卽化作六百分為二率自此時到日落二衰為三率得四率二百分收為三小時一刻五分即到日落之時分也此法因題言自此時到日落時刻折半故以折半數借為一衰今用全數則當借為二衰題又言自日出到此時四分之一與折半之數相加則是折半數即與四分之一之數相等故將四分亦借為四衰是日出到日落共為六衰矣如日出至日落時刻得六百分則六衰與六百分之比即二衰與二百分之比故以二百分收為三時一刻五分也設如有羊一羣不知數目但云賣去三分之一又分四分之一另為一羣下餘一千隻問原共數幾何法以兩分母相乘得十二為總衰内減三分之一餘八又減四分之一餘五為一率一千為二率總衰十二為三率得四率二千四百即共數也此法因題言三分之一四分之一兩分子同分母不同故以兩分母相乘為總衰分内減三分之一又減四分之一所餘五即如總數分十二分而一千為其五分也故五衰與一千之比即如十二衰與二千四百之比也設如有羊一羣不知數目但云賞人七分之五又將所餘者賣五分之三尚餘八百隻問原共數若干法以兩分母相乘得三十五為總羊衰數内去七分之五餘一十(將三十五分為七分每分)(得五今去五分為二十五故仍餘一十也)又將一十為所餘羊衰數内去五分之三餘四(將一十分為五分每)(分得二今去三分為六故仍餘四也)卽以四為一率所餘羊八百隻為二率總衰三十五為三率得四率七千卽原羊共數也此法葢因共數為七千内去七分之五是去五千餘二千又將二千去五分之三是去一千二百仍餘八百故借總衰三十五内去七分之五所餘又去五分之三而得餘衰四以餘衰四與餘羊八百之比卽若總衰三十五與總羊七千之比也此法與前法㣲異者前法雖有三分四分之不同是於總數中計分故其為分則一此法賞人七分之五者是去總數内七分之五而賣五分之三者乃賞人後所餘之五分之三也立法少異故借衰中總分餘分相減亦别至減餘歸四率其比例仍同也設如有田七百四十二畝内有耕者種者耘者種者比耕者得十分之七耘者比種者得五分之三問每項各幾何法以兩分母兩分子互相連乘共得一千零五十為耕者衰數此數十分之取其七分得七百三十五為種者衰數此數五分之取其三分得四百四十一為耘者衰數併三衰數得二千二百二十六為一率七百四十二畝為二率以耕者衰數一千零五十為三率得四率三百五十畝即所耕之田以種者衰數七百三十五為三率得四率二百四十五畝即所種之田以耘者衰數四百四十一為三率得四率一百四十七畝即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借數有竒零故即以本題分數連乘之得數後仍依各項分之則衰數無竒零而各分各數俱可比例而得矣設如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一問共髙若干法先借一數可分為三分五分者乃借三十為總衰此數三分之二得二十又五分之一得六兩數相加得二十六與總衰三十相減餘四為一率上露三丈二尺為二率總衰三十為三率得四率二十四丈卽塔之髙也此法以減餘四衰與上露三丈二尺之比卽總衰三十與塔總髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺則共二十四丈也又法於借衰三十内減去三分之二(減去)(二十)又減五分之一(減去六)餘四衰卽以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰為八尺也一衰為八尺則三十衰自得二百四十尺矣設如有木匠與瓦匠小工三項分工價瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一兩二錢問每項工價若干法以兩分母兩分子連乘共得四十為木匠衰數此數五分之二得十六為瓦匠衰數四分之一得十為小工衰數又將十六衰與十衰相減餘六為一率多一兩二錢為二率木匠衰數四十為三率得四率八兩卽木匠價取五分之二得三兩二錢卽瓦匠價取四分之一得二兩卽小工價以二兩與三兩二錢相減餘一兩二錢卽瓦匠多於小工之數也此法亦以題中分母分子連乘作衰數但用瓦匠比小工所多衰數銀數與木匠衰數銀數為比例何也葢各項衰數與各項銀數之比皆同今瓦匠衰數與小工衰數之比卽瓦匠銀數與小工銀數之比也又瓦匠衰數多於小工衰數之六與瓦匠銀數多於小工銀數一兩二錢之比卽同於小工衰數與小工銀數之比又即同於木匠衰數與木匠銀數之比故直以六衰與多一兩二錢為一率二率也設如有金不足色欲煉成上等好金第一次入爐煅去三分之一第二次入爐煅去四分之一第三次入爐煅去五分之一第四次入爐煅去六分之一方淨剩上等好金二十七兩問原金幾何法借三分四分五分六分俱分得盡之六十為原金總衰此數三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四數相併得五十七與原借數六十相減餘三為一率淨剩金二十七兩為二率總衰六十為三率得四率五百四十兩卽原金數也此法因原金中鎔銷四次所餘二十七兩故借衰中亦減去四次之數所餘為三衰以三衰與二十七兩之比卽六十衰與五百四十兩之比也設如有銅不知斤數但云取七分之三作上等儀器又取所餘之五分之二作中等儀器又取所餘之四分之一作三等儀器仍餘五十四斤問原銅共數幾何法以三分母連乘得一百四十為總銅衰數取其七分之三餘八十為二次餘銅衰數(一百四十分為七分每分二十今去三分為六十仍餘八十也)又將所餘八十取其五分之二餘四十八為三次餘銅衰數(八十分為五分每分十六今去二分)(為三十二仍餘四十八也)又將所餘四十八取其四分之一餘三十六為所餘衰數(四十八分為四)(分每分十二今去一分十二仍餘三十六也)即以三十六為一率餘銅五十四斤為二率總衰一百四十為三率得四率二百一十斤卽原銅共數也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤餘一百二十斤又將一百二十斤内去五分之二是去四十八斤餘七十二斤又將七十二斤内去四分之一是去十八斤餘五十四斤而與原剩數合也此法亦是按節次另定分數與均分者不同故立衰數亦按節次減去取其餘衰三十六與餘銅五十四斤之比卽若總衰一百四十與總銅二百一十斤之比也設如問一老人嵗數但云加三分之二減四分之一得一百三十六歳求其嵗數幾何法借十二為總衰數此數三分之二為八四分之一為三於總衰十二内加八減三得十七為一率一百三十六嵗為二率總衰十二為三率得四率九十六嵗即老人嵗數也此法借十二衰即三分與四分相乘之數三分四分俱可以分盡也於總衰十二内加八即加三分之二也又減三即減四分之一也所得十七即加減衰數也以加減衰數與加減年數之比即若所借總衰與所得歳數之比也設如有一數但云其數二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共併為五百二十二問原數幾何法先借一數可分為二分三分四分五分六分者乃借六十為總衰數此數依法剖之其二分之一為三十其三分之一為二十其四分之一為十五其五分之一為十二其六分之一為十併之得八十七為一率共併數五百二十二為二率總衰六十為三率得四率三百六十即原數也此法借數六十與原數為比者因原數隱而未露故虚借一數作比例以互徵之葢併數八十七者原數為六十併數五百二十二者原數為三百六十其比例同也設如有馬一羣但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一併原數共一百一十二匹問原數幾何法先借一數可分為二分三分四分者乃借十二為衰數此數加一倍得二十四又加二分之一為六又加三分之一為四又加四分之一為三共得三十七為一率共數一百一十二減一餘一百一十一為二率衰數十二為三率得四率三十六即原數也此法與前法同但題中又加一匹是真數也故於總數内減去一匹為比例蓋加分所得衰數三十七與加分所得共數一百一十一之比即若所借原衰十二與原數三十六之比也設如一人為商三次第一次得利比本為三分之二將利加入本銀第二次得利比本為四分之三又將此利加入本銀第三次得利比本為五分之三三次本利共銀一千四百兩問原本銀若干法借六十為本銀衰數取其三分之二得四十與六十相加得一百又將一百取其四分之三得七十五與一百相加得一百七十五又將一百七十五取其五分之三得一百零五與一百七十五相加得二百八十為一率本利共銀一千四百兩為二率原借衰數六十為三率得四率三百兩即原本銀數也葢三百兩三分之二得二百與本銀相加得五百於五百内取四分之三得三百七十五仍與五百相加得八百七十五於八百七十五内取五分之三得五百二十五仍與八百七十五相加得一千四百以合原數其借六十為本銀衰數加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰與本利共銀之比即如本銀借衰與原有本銀之比也疊借互徵疊借互徵者因原問内設數隱伏一次借衰尚不能得其真數故不得不借兩數以比較之先借一數與原數相較復借一數與原數相較然後據兩較以立算而真數可得故曰疊借葢以疊借之數比原問之數或多或少乃作盈朒法算之以求兩借數之較也故其較之一多一少者用加或兩較俱多兩較俱少者用減一如盈朒之例以兩差數之較與兩借數之較為比而得借數與真數之較或以兩借數互乘兩差數以兩差數之較與互乘所得兩差數之較為比而得所求之真數其法雖繁實有條理亦借數之巧也設如有銀一百兩命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍問毎人應得幾何法先借十二兩為甲銀衰數則丙應得六兩(比甲少一倍)丁應得二兩(比丙少二倍)併三數得二十兩與原銀一百兩相較少八十兩再借二十四兩為甲銀衰數則丙應得十二兩(比甲少一倍)丁應得四兩(比丙少二)(倍)併三數得四十兩與原銀一百兩相較仍少六十兩乃以前借數十二兩少八十兩書於右後借數二十四兩少六十兩書於左作兩不足法算之於是兩少數相減餘二十兩為一率兩借數相減餘十二兩為二率前借數與原數相較之少八十兩為三率得四率四十八兩加入前借數十二兩共得六十兩即甲銀數或以後借數與原數相較之少六十兩為三率得四率三十六兩加入後借數二十四兩亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數減一倍得三十兩即丙銀數再取丙銀三分之一得十兩即丁銀數也(因丙銀比丁銀多二倍故於丙銀中取三分之一即丁銀)此法先借一人銀數加減出三人銀數與原總銀相較得其差數又借一人銀數加減出三人銀數又與原總銀相較復得一差數爰將兩借數相減是得甲一人兩借數之較也又將兩差數相減(因兩)(差俱少故相減如一多一少則相加)是得三人兩差數之較也乃以比例求之以三人兩差數之較比一人兩借數之較即同於三人共數與原總銀之差比一人借數與本銀之差也故以二十兩與十二兩之比同於八十兩與四十八兩之比為借數十二兩少於甲本銀之差數或以二十兩與十二兩之比同於六十兩與三十六兩之比為借數二十四兩少於甲本銀之差數各與借數相加皆得甲本銀數也(因其為少故與借數相加若差數為多則與借數相減)此即盈朒先求適足之法葢兩少數相差二十兩由於兩借數之相差十二兩如欲補足所少之八十兩則應加四十八兩或欲補足所少之六十兩則應加三十六兩也又如欲借兩數所得差數一多一少用相加立算則先借四十八兩為甲銀衰數丙應得二十四兩丁應得八兩併三數得八十兩與原銀一百兩相較少二十兩再借六十六兩為甲銀衰數丙應得三十三兩丁應得十一兩併三數得一百一十兩與原銀一百兩相較則多十兩乃以前借數四十八兩少二十兩書於右後借數六十六兩多十兩書於左作一盈一朒法算之於是一多數一少數相加得三十兩為一率兩借數相減餘十八兩為二率前借數與原數相較之少二十兩為三率得四率十二兩加入前借數四十八兩共得六十兩即甲銀數如以後借數與原數相較之多十兩為三率得四率六兩與後借數六十六兩相減亦得六十兩為甲銀數既得甲銀數其丙丁銀數按分遞減之即得矣又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十八兩互乘後多十兩為加四十八倍得多四百八十兩以後借數六十六兩互乘前少二十兩為加六十六倍得少一千三百二十兩乃以互乘所得一多一少兩數相加得一千八百兩為二率原一多一少兩數相加得三十兩為一率一人為三率得四率六十兩即甲銀數也葢所加四十八倍與六十六倍相差為十八倍則互乘所得一多一少兩數相差之一千八百兩即十八倍總銀數也(見盈朒法)然甲銀為總銀之三十分之十八(蓋兩差數之較為三十則兩借數之)(較為十八少數為二十則借數加一十二多數為一十則借數減六皆三十與)(十八之比例也)必為十八倍總銀之三十分之一(葢三十分之十八者將總銀分為三十分而得其十八分也若十八倍總)(銀則其一分即十八也)故以三十分與一千八百兩之比即同於一分與六十兩之比即甲銀數也設如有香爐二座不言重數但知爐葢一個重一百五十斤如以葢加甲爐則重於乙爐二倍以葢加乙爐乃與甲爐相等求甲乙二爐各重幾何法先借三十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤為乙爐衰數(因甲爐加葢比乙爐重二倍故)(以乙爐衰數定為甲爐衰數加葢之三分之一)以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲爐衰數三十斤多一百八十斤則是所借甲爐衰數三十斤少一百八十斤再借九十斤為甲爐衰數加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤為乙爐衰數以乙爐衰數加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲爐衰數九十斤多一百四十斤則是所借甲爐衰數九十斤少一百四十斤乃以前借甲爐衰數三十斤少一百八十斤書於右後借甲爐衰數九十斤少一百四十斤書於左作兩朒法算之於是兩少數相減餘四十斤為一率兩借數相減餘六十斤為二率前借數與原數相較之少一百八十斤為三率得四率二百七十斤加入前借數三十斤共三百斤即甲爐之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙爐之重加葢一百五十斤共三百斤與甲爐相等也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十斤互乗後少一百四十斤為加三十倍得少四千二百斤以後借數九十斤互乘前少一百八十斤為加九十倍得少一萬六千二百斤乃以互乗所得兩少數相減餘一萬二千斤為二率原兩少數相減餘四十斤為一率甲爐一為三率得四率三百斤即甲爐之重數也葢所加三十倍與九十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之一萬二千斤即六十倍總差數也然甲爐重數為總差數之四十分之六十(蓋兩差數之較為四十則兩借數之較為六十少數為一百八十則)(借數加二百七十皆四十與六十之比例也)必為六十倍總差數之四十分之一(葢四十分之六十者將總差數分為)(四十分而得其六十分也若六十倍總差數則其一分即六十分也)故以四十分與一萬二千斤之比即同於一分與三百斤之比也設如有銅鑄甲乙二鐘未稱斤數但云取乙鐘銅八十斤入甲鐘則所餘得甲鐘四分之一若取甲鐘銅八十斤入乙鐘則所餘得乙鐘三分之二問二鐘各得銅數若干法先借一百二十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得二百斤此數四分之得五十斤(因取乙鐘銅八十斤入甲)(鐘所餘得甲鐘之四分之一故四分之為乙鐘之一分)加八十斤得一百三十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未取八十斤)(入甲鐘時得一百三十斤也)若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百一十斤而甲鐘止餘四十斤(甲鐘一百二十斤中去八十斤故餘四十斤)加一半二十斤得六十斤為乙鐘數(因取甲鐘)(銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故四十斤為三分之二而加一分為)(二十斤共六十斤為乙鐘數)而與乙鐘二百一十斤相較則少一百五十斤再借三百六十斤為甲鐘衰數取乙鐘銅八十斤加入甲鐘則甲鐘得四百四十斤此數四分之得一百一十斤(因取乙鐘銅八十斤入甲鐘所餘得甲鐘)(之四分之一故四分之為乙鐘之一分)加八十斤得一百九十斤為乙鐘衰數(此乙鐘未取八十斤入甲鐘時得一)(百九十斤也)若取甲鐘銅八十斤加入乙鐘則乙鐘得二百七十斤而甲鐘止餘二百八十斤(甲鐘三百六十斤中去八十斤故餘二百八十斤)加一半一百四十斤得四百二十斤為乙鐘數(因取甲鐘銅八十斤入乙鐘所餘得乙鐘三分之二故二百八十斤)(為三分之二而加一分為一百四十斤共四百二十斤為乙鐘數)而與乙鐘二百七十斤相較則多一百五十斤乃將前借數一百二十斤少一百五十斤書於右後借數三百六十斤多一百五十斤書於左用盈朒法算之於是以一多一少兩數相加得三百為一率兩借數相減餘二百四十為二率前借數與乙衰相較之少一百五十斤為三率得四率一百二十斤加前借數一百二十斤共二百四十斤為甲鐘斤數加入乙鐘銅八十斤為三百二十斤四分之得八十斤(既取乙鐘銅八十斤入甲鐘故餘此數)再加入甲鐘銅八十斤得一百六十斤為乙鐘斤數也又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數一百二十斤互乘後多一百五十斤為加一百二十倍得多一萬八千斤以後借數三百六十斤互乗前少一百五十斤為加三百六十倍得少五萬四千斤乃以互乘所得一多一少兩數相加得七萬二千斤為二率原一多一少兩數相加得三百斤為一率甲鐘一為三率得四率二百四十斤即甲鐘重數也葢所加一百二十倍與三百六十倍相差為二百四十倍則互乘所得一多一少兩數相加之七萬二千斤即二百四十倍總差數也然甲鐘重數為總差數之三百分之二百四十必為二百四十倍總差數之三百分之一故以三百分與七萬二千斤之比即同於一分與二百四十斤之比也設如甲丙二人入山採礦皆不知所得之數但云甲與丙二十四兩則所餘得丙之四分之一若丙與甲三十兩則所餘得甲之六分之一問兩人各得之數若干法先借四十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得六十四兩此數四分之得十六兩(因甲得丙四分之一故將丙數四分也)加二十四兩得四十兩為甲之衰數(因甲與丙二十四兩所餘得丙)(四分之一故仍以二十四兩加入為甲衰數也)若丙與甲三十兩則甲得七十兩而丙止餘十兩六因之得六十兩為甲數(因丙與甲三十兩所餘得甲六分之)(一故將丙之十兩六因之為甲數)而與甲七十兩相較則少十兩再借六十兩為丙之衰數加甲與二十四兩得八十四兩此數四分之得二十一兩加二十四兩得四十五兩為甲之衰數(其所加所分之故同前)若丙與甲三十兩則甲得七十五兩而丙止餘三十兩六因之得一百八十兩而與甲七十五兩相較又多一百零五兩乃將前借數四十兩少十兩書於右後借數六十兩多一百零五兩書於左用盈朒法算之於是以一多一少兩數相加得一百一十五為一率兩借數相減餘二十為二率前借數與甲相較之少十兩為三率得四率一兩七錢三分九釐一毫有餘加前借數四十兩共四十一兩七錢三分九釐一毫有餘為丙所得之數此數加二十四兩得六十五兩七錢三分九釐一毫有餘再四分之得一十六兩四錢三分四釐七毫有餘(因甲得丙銀四分之)(一故四分之)加入二十四兩得四十兩四錢三分四釐七毫有餘為甲所得之數(甲既)(與丙二十四兩故止剰一十六兩有餘若未與丙二十四兩其全數則四十兩)(有餘也)若將甲數加三十兩得七十兩四錢三分四釐七毫有餘將丙數減三十兩得十一兩七錢三分九釐一毫有餘此丙十一兩七錢三分九釐一毫有餘即為甲七十兩四錢三分四釐七毫有餘之六分之一也(因丙與甲三十兩則丙數居甲數之六分)(之一故將四十兩有餘再加八丙三十兩得七十兩有餘則丙數内減去三十)(兩止得十一兩有餘故為甲數之六分之一也)又法既得兩借數之差用互乘以齊其分以前借數四十兩互乘後多一百零五兩為加四十倍得多四千二百兩以後借數六十兩互乗前少十兩為加六十倍得少六百兩乃以互乗所得一多一少兩數相加得四千八百兩為二率原一多一少兩數相加得一百一十五兩為一率一人為三率得四率四十一兩七錢三分九釐一毫有餘即丙所得之數也葢所加四十倍與六十倍相差為二十倍則互乗所得一多一少兩數相加之四千八百兩即二十倍總差數也然丙數為總差數之一百一十五分之二十必為二十倍總差數之一百一十五分之一故以一百一十五分與四千八百兩之比即同於一分與四十一兩七錢三分九釐一毫有餘之比也設如有銅缸磁缸二面若於銅缸内添水五十斤則比磁缸内水多二倍若於磁缸内添水五十斤則與銅缸内水數相等問二缸各得水數若干法先借十斤為銅缸水之衰數加五十斤得六十斤此數三分之得二十斤為磁缸水之衰數(因銅缸加五十斤則比磁缸水多二倍故三分)(之為磁缸水衰數也)以磁缸水衰數加五十斤得七十斤(因磁缸加五十斤與銅缸水相等故亦加五十斤)比所借銅缸水之衰數十斤多六十斤則是所借銅缸水之衰數十斤少六十斤再借二十二斤為銅缸水之衰數加五十斤得七十二斤此數三分之得二十四斤為磁缸水之衰數以磁缸水衰數加五十斤得七十四斤比所借銅缸水之衰數二十二斤多五十二斤則是所借銅缸水之衰數二十二斤少五十二斤乃以前借數十斤少六十斤書於右後借數二十二斤少五十二斤書於左作兩朒法算之於是兩少數相減餘八斤為一率兩借數相減餘十二斤為二率前借數與銅缸相較之少六十斤為三率得四率九十斤加入前借數十斤共一百斤即銅缸之水數加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水數以磁缸水數加五十斤亦得一百斤與銅缸水數相等也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數十斤互乗後少五十二斤為加十倍得少五百二十斤以後借數二十二斤互乗前少六十斤為加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得兩少數相減餘八百斤為二率原兩少數相減餘八斤為一率銅缸一為三率得四率一百斤即銅缸之水數也葢所加十倍與二十二倍相差為十二倍則互乗所得兩少數相差之八百斤即十二倍總差數也然銅缸水數為總差數之八分之十二必為十二倍總差數之八分之一故以八分與八百斤之比即同於一分與一百斤之比也設如有羊三羣甲羣四百隻丙羣為甲丁兩羣二分之一丁羣為甲丙兩羣三分之一問丙丁兩羣羊數各若干法先借三百隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有六百隻内減甲羣四百隻餘二百隻為丁羣衰數又併甲丙二羣得七百隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣二百隻三因之得六百隻與甲丙兩羣七百隻相較則少一百隻再借二百四十隻為丙羣衰數丙羣既為甲丁兩羣二分之一則甲丁兩羣當有四百八十隻内減甲羣四百隻餘八十隻為丁羣衰數又併甲丙二羣得六百四十隻丁羣既為甲丙兩羣三分之一則將丁羣八十隻三因之得二百四十隻與甲丙兩羣六百四十隻相較則少四百隻乃將前借數三百隻少一百隻書於右後借數二百四十隻少四百隻書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘三百隻為一率兩借數相減餘六十隻為二率前借數與甲丙兩羣相較之少一百隻為三率得四率二十隻加前借數三百隻共三百二十隻即丙羣之羊數加入甲羣四百隻得七百二十隻三分之得二百四十隻即丁羣之羊數也若併甲丁兩羣得六百四十隻折半得三百二十隻即丙羣為甲丁兩羣二分之一也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三百隻互乗後少四百隻為加三百倍得少一十二萬隻以後借數二百四十隻互乗前少一百隻為加二百四十倍得少二萬四千隻乃以互乗所得兩少數相減餘九萬六千隻為二率原兩少數相減餘三百隻為一率丙一羣為三率得四率三百二十隻即丙羣之羊數也葢所加三百倍與二百四十倍相差為六十倍則互乗所得兩少數相差之九萬六千隻即六十倍總差數也然丙羣為總差數之三百分之六十必為六十倍總差數之三百分之一故以三百分與九萬六千隻之比即同於一分與三百二十隻之比也設如有田一百畝令甲乙二人分耕若以甲田三分之一與乙以乙田五分之一與甲則各得五十畝問甲乙原田數各若干法先借三十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘七十畝為乙原田之衰數甲原田三十畝之三分之一為十畝乙原田七十畝之五分之一為十四畝若甲與乙十畝乙與甲十四畝則甲得田三十四畝(甲三十畝與乙十畝餘二十畝又得乙所與十)(四畝故為三十四畝)與各五十畝相比則甲少十六畝再借六十畝為甲原田之衰數此數與一百畝相減餘四十畝為乙原田之衰數甲原田六十畝之三分之一為二十畝乙原田四十畝之五分之一為八畝若甲與乙二十畝乙與甲八畝則甲得田四十八畝(甲六十畝與乙二十畝餘四十畝又得乙)(所與八畝故為四十八畝)與各五十畝相比則甲少二畝乃將前借數三十畝少十六畝書於右後借數六十畝少二畝書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減得十四畝為一率兩借數相減餘三十畝為二率前借數與五十畝相較之少十六畝為三率得四率三十四畝二分八釐有餘加前借數三十畝共六十四畝二分八釐有餘即甲原田之數與一百畝相減餘三十五畝七分一釐有餘即乙原田之數也若甲以其三分之一二十一畝四分二釐有餘與乙而乙以其五分之一七畝一分四釐有餘與甲則兩人各得五十畝矣又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數三十畝互乗後少二畝為加三十倍得少六十畝以後借數六十畝互乗前少十六畝為加六十倍得少九百六十畝乃以互乗所得兩少數相減餘九百畝為二率原兩少數相減餘十四畝為一率甲一人為三率得四率六十四畝二分八釐有餘即甲原田之數也葢所加三十倍與六十倍相差為三十倍則互乗所得兩少數相差之九百畝即三十倍總差數也然甲原田為總差數之十四分之三十必為三十倍總差數之十四分之一故以十四分與九百畝之比即同於一分與六十四畝二分八釐有餘之比也設如甲丙丁三人共有銀二百一十兩只云甲與丙四分之一丁與甲二分之一丙與丁三分之一則每人均得銀七十兩問各人原有之銀數若干法先借十兩為甲銀衰數此數減四分之一二兩五錢餘七兩五錢與七十兩相減餘六十二兩五錢為丁銀二分之一加一倍得一百二十五兩為丁銀衰數(因甲與丙四分之一丁與甲二分之一成七十兩故於甲衰十兩内減四)(分之一餘七兩五錢再加六十二兩五錢方湊成七十兩故以六十二兩五錢)(即為丁銀二分之一加一倍得丁銀全數也)又併甲丁兩衰數得一百三十五兩與總銀二百一十兩相減餘七十五兩為丙銀衰數(因三人共)(銀二百一十兩減去甲銀十兩丁銀一百二十五兩所餘七十五兩即丙之銀)(數也)又於丙衰七十五兩内減三分之一二十五兩餘五十兩加甲衰四分之一二兩五錢共得五十二兩五錢(因丙與丁三分)(之一甲與丙四分之一成七十兩故於丙衰七十五兩内減與丁二十五兩又)(加甲所與二兩五錢共五十二兩五錢也)此數與七十兩相較則少十七兩五錢再借二十八兩為甲銀衰數此數減四分之一七兩餘二十一兩與七十兩相減餘四十九兩為丁銀二分之一加一倍得九十八兩為丁銀衰數(甲銀減四分之一餘四十九兩既為丁銀二分之一故加)(一倍即為丁銀全數也)又併甲丁兩衰數得一百二十六兩與總銀二百一十兩相減餘八十四兩為丙銀衰數(因三人共銀二百一十兩減去)(甲銀二十八兩丁銀九十八兩其餘八十四兩即丙之銀數也)又於丙衰八十四兩内減三分之一二十八兩餘五十六兩加甲衰四分之一七兩共得六十三兩(因丙與丁三分之一甲與丙四分之一成七十兩故)(於丙衰八十四兩内減與丁二十八兩又加甲所與七兩共得六十三兩也)此數與七十兩相較則少七兩乃將前借數十兩少十七兩五錢書於右後借數二十八兩少七兩書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘十兩五錢為一率兩借數相減餘十八兩為二率前借數與七十兩相較之少十七兩五錢為三率得四率三十兩加前借十兩共四十兩即甲之銀數減四分之一十兩餘三十兩(因去一分與丙也)與七十兩相減餘四十兩倍之得八十兩即丁之銀數併甲丁銀數得一百二十兩與總銀二百一十兩相減餘九十兩即丙之銀數也此疊借三色之法也借衰時加減甚繁然條理分明自能了然如此法前借數甲衰十兩丙衰七十五兩丁衰一百二十五兩若於丁衰減去二分之一(減六十二兩五錢與甲)加丙衰三分之一(丙與丁二十五)(兩)得八十七兩五錢與七十兩相較則多十七兩五錢丙差與丁差其數一也至再借二十八兩為甲衰其加減亦與前借數同惟甲成七十兩至丙則少七兩丁則多七兩其數相同故但取丙差數就其兩差之較數以比例之得甲之原銀數也又法既得兩借數之差用互乗以齊其分以前借數十兩互乗後少七兩為加十倍得少七十兩以後借數二十八兩互乗前少十七兩五錢為加二十八倍得少四百九十兩乃以互乗所得兩少數相減餘四百二十兩為二率原兩少數相減餘十兩五錢為一率甲一人為三率得四率四十兩即甲銀數也葢所加十倍與二十八倍相差為十八倍則互乗所得兩少數相差之四百二十兩即十八倍之總差數也然甲銀為總差數之十分半之十八必為十八倍總差數之十分半之一故以十分半與四百二十兩之比即同於一分與四十兩之比也設如甲丙兩果園不知畝數將甲園擴出五十畝則比丙園大二倍若將丙園擴出五十畝則比甲園大一倍問兩園原有之畝數若干法借四十畝為甲園衰數加五十畝得九十畝此數三分之得三十畝為丙園衰數(因甲加五十畝比丙園大二倍是丙園為甲園三分之一也故三分)(之)將丙園三十畝加五十畝得八十畝與甲園四十畝相較適大一倍此數已合則不必再借故凡疊借法中一借即合原數者皆如此例不必再借也設如大小兩船雇夫小船每人出銀為大船每人五分之四若大船八人小船五人出銀則不足七兩若大船六人小船八人出銀則不足三兩問共銀及每人各出銀幾何法以五分為大船每人衰數四分為小船每人衰數(因小船每人為大船每人五分之四也)以五分與大船八人相乗得四十分為大船八人共衰數以四分與小船五人相乗得二十分為小船五人共衰數相加得六十分為大船八人小船五人共出銀共分數又將五分與大船六人相乗得三十分為大船六人共衰數以四分與小船八人相乗得三十二分為小船八人共衰數相加得六十二分為大船六人小船八人共出銀共分數乃將六十分少七兩書於右六十二分少三兩書於左用兩朒求總銀法算之於是以六十分與六十二分相減餘二分為一率以兩少數相減餘四兩為二率一分為三率得四率二兩為每分之銀數與六十分相乗得一百二十兩加少七兩得一百二十七兩為雇夫之總銀數(如與六十)(二分相乗則得一百二十四兩加少三兩亦得一百二十七兩為雇夫之總銀)(數)又以每分二兩與大船每人衰數五分相乗得十兩為大船每人所出銀數以每分二兩與小船每人衰數四分相乗得八兩為小船每人所出銀數也此盈朒内兩朒之正法但因有借分為衰數之故故附於此以備疊借之一體云設如有石二塊大小不等俱不知重數只有銅條一根重十二兩互換稱之而得二石之各重幾何法先將銅條分作十二分每分又作十分用一繩繫於第五分之上(繫於五分者隨便取)(一數也)乃以五分加一倍與十二分相較餘二分折半得一分與五分相加為六分乃以五分為一率六分為二率餘二分作二兩為三率(因銅條重十二兩分為十二分今二分故)(為二兩也)得四率二兩四錢(此四率是先將銅條之五分處)(取均平之法葢提繫在五分上必於五分之端加二兩四錢乃與七分相平也)爰以銅條作秤杆將大石掛在銅條一頭離提繫五分而以小石作錘稱之今離提繫得六分始平記之(如前圖)又將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作錘稱之今離提繫得四分始平亦記之(如後圖)乃先借二十六兩四錢為大石衰數與前所得二兩四錢相減餘二十四兩(内減二兩四錢者因銅條之五分一邊必加二兩四錢始平今)(於借衰中減去者所以補足均平之數然後較物之輕重也)用六分為一率(即小石在六分之數)五分為二率(即大石在五分)(之數)二十四兩為三率(即大石衰中減去二兩四錢所餘之)(數)得四率二十兩為小石之衰數(此四率是)(以大石衰數求小石衰數)因以小石衰數二十兩與二兩四錢相減餘十七兩六錢(此亦減去二兩)(四錢因小石移在五分之一邊補足均平之數也)用四分為一率(即大石在四分之數)五分為二率(即小石在五分之數)十七兩六錢為三率(即小石衰中減去二兩四錢所餘之數)得四率二十二兩(此第二四率又以小石衰數轉求大石衰)(數試其合否也)與所借大石衰數二十六兩四錢相較則少四兩四錢再加三十二兩四錢為大石衰數與二兩四錢相減餘三十兩用六分為一率五分為二率三十兩為三率得四率二十五兩為小石之衰數因以小石衰數二十五兩與二兩四錢相減餘二十二兩六錢用四分為一率五分為二率二十二兩六錢為三率得四率二十八兩二錢五分與所借大石衰數三十二兩四錢相較則少四兩一錢五分乃將前借數二十六兩四錢少四兩四錢書於右後借數三十二兩四錢少四兩一錢五分書於左用兩不足法算之於是以兩少數相減餘二錢五分為一率兩借數相減餘六兩為二率前借數與大石衰數相較之少四兩四錢為三率得四率一百零五兩六錢加前借數二十六兩四錢共一百三十二兩即大石之重數又於大石重數内減去二兩四錢餘一百二十九兩六錢用六分為一率五分為二率(即前以大)(石衰數求小石衰數之法既有大石真數故仍以前法求小石真數)一百二十九兩六錢為三率得四率一百零八兩為小石之重數也如以四分為一率五分為二率(即前以小石求大石之重法)於小石重數一百零八兩内減去二兩四錢餘一百零五兩六錢為三率得四率一百三十二兩為大石之重數亦合前數也此法葢因銅條重十二兩而分作十二分設如作一甲乙線為銅條分作十二分每分重一兩提繫在丙處甲丙與丙丁等則其重亦必等如以甲丁與甲乙相減則餘丁乙即丙乙多於甲丙之二分也既多二分必重二兩如以二兩重物掛於乙丁中間之戊處則丙乙自重於甲丙也今欲以物趂之使其兩平則以甲丙五分為一率丙戊六分為二率二兩為三率得四率二兩四錢是將二兩四錢之物加於甲處始得兩平其以丙戊六分為二率者何也葢丙丁與甲丙等而重者止在丁乙一段而戊為丁乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加重而後可以勝逺之輕若於甲接長二分則於二分之中施二兩之物即稱平矣故以二兩四錢加於甲處始能趂平丁乙之二分也此法數層加減幾用比例頗覺繁瑣而用方程算之㣲覺簡明但係疊借本法故兩收之收入疊借者所以存其理而收入方程者所以取其簡也御製數理精藴下編卷九
## 下編卷十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十線部八方程(和數類變較數類法和較兼用類和較交 類 附)方程方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦歸於一法一實而已其二色者設二行三色者設三行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後可算也然其要總在於分和較和數相比者則互乗而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減異同之號正負異號則相加正負同號則相減其理與盈朒同葢正者為主之數負者虚比之數其始也任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虚實互乗之後任以一層為主凡異號相加者悉依本層其號皆不變也若同號相減者本層多其號亦不變本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼少彼少則此多也至於首色減盡則第二色即為首色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減始不淆也今定為例和數者不用正負之號較數者則用正負之號和較兼用者和仍不用正負之號而較則用之和較交變者則隨其法而辨别之以定其號焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别為設問以附其後古人所謂以御錯糅正負者庶乎盡於此矣和數類設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價幾何法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列於上馬三匹牛五頭共價三十八兩列於下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二十頭價銀一百五十二兩又以下馬三匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價銀一百五十二兩内減一百四十四兩餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得二十兩為牛五頭之共價於馬牛共價三十八兩内減去二十兩餘十八兩為馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩卽馬每匹之價也此法葢以首色二數遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為各増三倍兩下各色既俱各増倍分則其比例皆同是故馬兩下相平而減盡無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相減餘八兩是為相當之數葢一百五十二兩内減去一百四十四兩卽減去馬十二匹牛十八頭之共價而所餘之八兩為牛二頭之價也又如以牛數列於前馬數列於後則先得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十八兩列於上牛五頭馬三匹共價三十八兩列於下乃以下牛五頭遍乘上牛六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二百二十八兩兩下相較則牛各三十頭彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二匹價銀二百四十兩内減二百二十八兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹乘之得十八兩為馬三匹之共價於牛馬共價三十八兩内減去十八兩餘二十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩卽為相當之數葢二百四十兩内減去二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十八匹之共價而所餘之十二兩為馬二匹之價也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此類也設如緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩緞三疋紗五疋紬九疋共價九十兩問緞紗紬各價幾何法先以緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩列於上緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩列於下乃以上緞二疋遍乘下緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩得緞二疋紗八疋紬十四疋價銀一百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二疋紗六疋紬八疋價銀八十四兩仍得原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡紗八疋内減六疋餘二疋紬十四疋内減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋紬六疋價銀三十六兩也(緞既兩下相平而減盡無餘則)(所餘紗二疋紬六疋價銀三十六兩即為相當之數葢一百二十兩内減去八)(十四兩即減去緞二疋紗六疋紬八疋之共價而所餘三十六兩為紗二疋紬)(六疋之共價也)次以緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩列於上緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩列於下乃以下緞三疋遍乘上緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十兩得緞三疋紗十二疋紬二十一疋價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘下緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此減盡紗十二疋内減五疋餘七疋紬二十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗七疋紬十二疋價銀九十兩也(緞既兩下相平)(而減盡無餘則所餘紗七疋紬十二疋價銀九十兩即為相當之數葢一百八)(十兩内減九十兩即減緞三疋紗五疋紬九疋之共價而所餘九十兩為紗七)(疋紬十二疋之共價也)於是將兩次所得之餘作二色方程算之其紗二疋紬六疋價銀三十六兩列於上紗七疋紬十二疋價銀九十兩列於下以下紗七疋遍乗上紗二疋紬六疋價銀三十六兩得紗十四疋紬四十二疋價銀二百五十二兩以上紗二疋遍乗下紗七疋紬十二疋價銀九十兩得紗十四疋紬二十四疋價銀一百八十兩兩下相較則紗各十四疋彼此減盡紬四十二疋内減二十四疋餘十八疋價銀二百五十二兩内減一百八十兩餘七十二兩爰以餘紬十八疋除餘銀七十二兩得四兩即紬每疋之價以紬六疋乗之得二十四兩為紬六疋之共價於紗紬共價三十六兩内減二十四兩餘十二兩為紗二疋之共價以紗二疋除之得六兩即紗每疋之價也以緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩計之則紗六疋共價三十六兩紬八疋共價三十二兩紗紬共價為六十八兩於共價八十四兩内減六十八兩餘十六兩為緞二疋之共價以緞二疋除之得八兩即緞每疋之價也設如有上中下三等人户納糧上等五户中等十二户下等三户共納糧一石二斗六升又上等四户二等二户共納糧五斗二升又中等二十户下等二十五户共納糧一石五斗問上中下三等每户各納糧幾何法先以上等五户中等十二户下等三户納糧一石二斗六升列於上上等四户(因無中等故作空位以存其分餘仍對位列之)下等二户納糧五斗二升列於下乃以下層上等四户遍乗上層上等五户中等十二户下等三户納糧一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户納糧五石零四升又以上層上等五户遍乗下層上等四户下等二户納糧五斗二升得上等二十户下等十户納糧二石六斗兩下相較則上等各二十户彼此減盡中等四十八户無可減仍得四十八户下等十二户内減十户餘二户納糧五石零四升内減二石六斗餘二石四斗四升即為中等四十八户下等二户共納糧二石四斗四升也(上等既兩下相平而)(減盡無餘則所餘中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升即為相當之)(數葢五石零四升内減二石六斗即減去上等二十户下等十户之共糧數而)(所餘二石四斗四升為中等四十八户下等二户之共糧數也)既得中等四十八户下等二户之二色則中等二十户下等二十五户亦即為二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升列於上中等二十户下等二十五户納糧一石五斗列於下乃以上層中等四十八户遍乗下層中等二十户下等二十五户納糧一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户納糧七十二石又以下層中等二十户遍乘上層中等四十八户下等二户納糧二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户納糧四十八石八斗兩下相較則中等各九百六十户彼此減盡下等一千二百户内減四十户餘一千一百六十户納糧七十二石内減四十八石八斗餘二十三石二斗爰以所餘下等一千一百六十户除餘糧二十三石二斗得二升即下等每户納糧之數以下等二户乘之得四升為下等二户納糧之共數於中等下等共納糧二石四斗四升内減四升餘二石四斗為中等四十八户納糧之共數以中等四十八户除之得五升即中等每户納糧之數以上等四户下等二户共納糧五斗二升計之(因無中户故省一次)則下等二户共納糧四升於五斗二升内減四升餘四斗八升為上等四户納糧之共數以上等四户除之得一斗二升即上等每户納糧之數也設如有銀賞四等人各不知數只云一等一人二等二人三等三人四等四人共賞銀三十兩又一等二人二等三人三等四人四等五人共賞銀四十四兩又一等四人二等五人三等七人四等八人共賞銀七十七兩又一等六人二等五人三等四人四等二人共賞銀六十六兩問每等人各賞銀幾何法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩列於上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列於下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩得一等二人二等四人三等六人四等八人共銀六十兩又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩仍得原數兩下相較則一等各二人彼此減盡二等兩下相減餘一人三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘三人共銀兩下相減餘一十六兩即二等一人三等二人四等三人共銀十六兩也(葢六十兩内減四十四兩即減去一等二人二等三人三等四人四)(等五人之共銀數故所餘之十六兩為二等一人三等二人四等三人之共銀)(數也)次以一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩列於上一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩列於下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共銀四十四兩得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共銀一百七十六兩又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共銀一百五十四兩兩下相較則一等各八人彼此減盡二等兩下相減餘二人三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘四人共銀兩下相減餘二十二兩即二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩也(葢一百七十六兩内減一百五十四兩即減去一等八人)(二等十人三等十四人四等十六人之共銀數故所餘之二十二兩為二等二)(人三等二人四等四人之共銀數也)次以一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩列於上一等六人二等五人三等四人四等二人共銀六十六兩列於下乃以下一等六人遍乘上一等四人二等五人三等七人四等八人共銀七十七兩得一等二十四人二等三十人三等四十二人四等四十八人共銀四百六十二兩又以上一等四人遍乘下一等六人二等五人三等四人四等二人共銀六十六兩得一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人共銀二百六十四兩兩下相較則一等各二十四人彼此減盡二等兩下相減餘十人三等兩下相減餘二十六人四等兩下相減餘四十人共銀兩下相減餘一百九十八兩即二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩也(葢四百六)(十二兩内減二百六十四兩即減去一等二十四人二等二十人三等十六人)(四等八人之共銀數故所餘之一百九十八兩為二等十人三等二十六人四)(等四十人之共銀數也)於是將三次所得之餘作三色方程算之先以二等一人三等二人四等三人共銀十六兩列於上二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩列於下乃以下二等二人遍乗上二等一人三等二人四等三人共銀十六兩得二等二人三等四人四等六人共銀三十二兩又以上二等一人遍乗下二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩仍得原數兩下相較則二等各二人彼此減盡三等兩下相減餘二人四等兩下相減餘二人共銀兩下相減餘十兩即三等二人四等二人共銀十兩也(葢三十二兩内減二十二兩即減去二等二人三等二人四等四人)(之共銀數故所餘之十兩為三等二人四等二人之共銀數也)次以二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩列於上二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩列於下乃以下二等十人遍乗上二等二人三等二人四等四人共銀二十二兩得二等二十人三等二十人四等四十人共銀二百二十兩又以上二等二人遍乗下二等十人三等二十六人四等四十人共銀一百九十八兩得二等二十人三等五十二人四等八十人共銀三百九十六兩兩下相較則二等各二十人彼此減盡三等兩下相減餘三十二人四等兩下相減餘四十人共銀兩下相減餘一百七十六兩即三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩也(葢三百九十六兩内減二百二十兩即減去二等二十人三等二十人四等四)(十人之共銀數故所餘之一百七十六兩為三等三十二人四等四十人之共)(銀數也此間兩層相減雖下層數多於上層然俱係反減故不用變號)於是又將兩次所得之餘作二色方程算之其三等二人四等二人共銀十兩列於上三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩列於下乃以下三等三十二人遍乗上三等二人四等二人共銀十兩得三等六十四人四等六十四人共銀三百二十兩又以上三等二人遍乗下三等三十二人四等四十人共銀一百七十六兩得三等六十四人四等八十人共銀三百五十二兩兩下相較則三等各六十四人彼此減盡四等兩下相減餘十六人共銀兩下相減餘三十二兩即四等十六人之共銀數以四等十六人除之得二兩即四等每一人所應得之數也以四等二人因之得四兩為四等二人之共銀數於三等二人四等二人共銀十兩内減之餘六兩為三等二人之共銀數以三等二人除之得三兩即三等每一人所應得之數也以二等一人三等二人四等三人共銀十六兩計之則三等二人應得六兩四等三人應得六兩共十二兩於共銀十六兩内減之餘四兩即二等每一人所應得之數也再以一等一人二等二人三等三人四等四人共銀三十兩計之則二等二人應得八兩三等三人應得九兩四等四人應得八兩共二十五兩於共銀三十兩内減之餘五兩即一等每一人所應得之數也較數類設如硯七方比筆三枝價多四百八十文又硯三方比筆九枝價少一百八十文問硯筆價各若干法以硯七為正筆三為負價多四百八十文為正(多為硯比筆之所多與硯同類故亦為正)列於上又以硯三為正筆九為負價少一百八十文為負(少為硯比筆之所少即為筆比硯之所多與筆同類故亦)(為負)列於下乃以下硯三遍乘上硯七筆三價多四百八十文得硯二十一為正筆九為負價多一千四百四十文為正又以上硯七遍乗下硯三筆九價少一百八十文得硯二十一為正筆六十三為負價少一千二百六十文為負兩下相較則硯各二十一彼此減盡筆九枝與六十三枝兩層皆負故相減餘五十四枝價多一千四百四十文與少一千二百六十文一正一負故相加得二千七百文乃筆五十四枝之共價以減餘筆五十四除之得五十文即筆每一枝之價以三因之得一百五十文為筆三枝之共價與硯多四百八十文相加得六百三十文為硯七方之共價以硯七除之得九十文即硯每一方之價也此法用互乗則上層為硯二十一方比筆九枝價多一千四百四十文下層為硯二十一方比筆六十三枝價少一千二百六十文夫硯既皆二十一方則其共價必相等然比筆九枝之價則多比筆六十三枝之價則少是多與少相加之二千七百文即筆九枝與筆六十三枝相差之五十四枝之價也筆五十四枝共價為二千七百文則筆一枝價五十文而筆三枝價為一百五十文矣硯七方比筆三枝價既多四百八十文則於一百五十文加四百八十文共六百三十文即硯七方之共價故以硯七除之得九十文為硯每一方之價也設如有甲丙二馬羣各不知數只云甲三羣比丙二羣多一千五百三十匹甲二羣與丙七羣相等問甲丙每羣馬數各幾何法以甲三羣為正丙二羣為負多一千五百三十匹為正列於上又以甲二羣為正丙七羣為負相等作一空位(相等無數)(可列故作一○以存其位)列於下乃以下甲二羣遍乗上甲三羣丙二羣多一千五百三十匹得甲六羣仍為正丙四羣仍為負多三千零六十匹亦仍為正又以上甲三羣遍乗下甲二羣丙七羣得甲六羣仍為正丙二十一羣為負相等無可乘亦仍為空位兩下相較則甲各六羣彼此減盡丙四羣與丙二十一羣兩層皆負故相減餘十七羣多三千零六十匹與相等無可加減仍得三千零六十匹乃丙十七羣之共數以減餘丙十七羣除之得一百八十匹為丙每羣之數七因之得一千二百六十匹為丙七羣之共數甲二羣既與丙七羣相等則一千二百六十匹亦即為甲二羣之共數以甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之數也此法用互乗則上層為甲六羣比丙四羣多三千零六十匹下層為甲六羣與丙二十一羣相等甲六羣既與丙二十一羣相等則丙二十一羣比丙四羣多三千零六十匹兩下各減丙四羣則為丙十七羣共馬三千零六十匹矣丙十七羣既為共馬三千零六十匹則丙一羣得馬一百八十匹而丙七羣為馬一千二百六十匹甲二羣既與丙七羣相等則一千二百六十匹用甲二羣除之得六百三十匹即甲每羣之數也設如有錢買桃蘋果梨三色各不知價只云桃三箇比蘋果二箇梨二箇價多二十四文桃二箇梨三箇比蘋果五箇價少十二文桃四箇蘋果三箇比梨八箇價多一百零八文問桃蘋果梨各價幾何法先以桃三為正蘋果二梨二為負價多二十四文為正列於上又以桃二為正蘋果五為負梨三為正價少十二文為負列於下乃以下桃二遍乗上桃三蘋果二梨二價多工十四文得桃六仍為正蘋果四為負梨四為負價多四十八文為正(即桃六比蘋果四梨四價多四十八文比原數加二倍)又以上桃三遍乗下桃二蘋果五梨三價少十二文得桃六仍為正蘋果十五為負梨九為正價少三十六文為負(即桃)(六梨九比蘋果十五價少三十六文比原數加三倍)於是任以上層為主兩下相較則桃各六彼此減盡蘋果兩層皆負故相減餘十一本層少反減故變負為正且為首一色減盡其次一色即轉而為首故亦變負為正梨一正一負故相加得十三仍依本層為負多四十八文與少三十六文相加得八十四文仍依本層為正即為蘋果十一比梨十三價多三十四文也(葢桃彼此減盡)(蘋果上層少四下層少十五是下層比上層所少為十一即上層比下層多十)(一也梨上層少四下層多九下之所多即上之所少是上層比下層少十三也)(錢上層多四十八文下層少三十六文下之所少即上之所多是上層比下層)(多八十四文也蘋果多十一梨少十三錢即多八十四文故為蘋果十一比梨)(十三價多八十四文也)復以桃二為正蘋果五為負梨三為正價少十二文為負列於上又以桃四蘋果三為正梨八為負價多一百零八文為正列於下乃以上桃二遍乗下桃四蘋果三梨八價多一百零八文得桃八仍為正蘋果六亦仍為正梨十六為負價多二百一十六文為正(即桃八蘋果六比梨十六價多二百一十六文比原數加二倍)又以下桃四遍乗上桃二蘋果五梨三價少十二文得桃八仍為正蘋果二十為負梨十二為正價少四十八文為負(即桃八梨十二)(比蘋果二十價少四十八文比原數加四倍)於是仍以上層為主兩下相較則桃各八彼此減盡蘋果一正一負故相加得二十六仍依本層為正梨一正一負故相加得二十八仍依本層為負多二百一十六文與少四十八文相加得二百六十四文亦仍依本層為正即為蘋果二十六比梨二十八價多二百六十四文也(葢桃彼此減盡蘋果)(上層多六下層少二十下之所少即上之所多是上層比下層多二十六也梨)(上層少十六下層多十二下之所多即上之所少是上層比下層少二十八也)(錢上層多二百一十六文下層少四十八文下之所少即上之所多是上層比)(下層多二百六十四文也蘋果多二十六梨少二十八錢即多二百六十四文)(故為蘋果二十六比梨二十八價多二百六十四文也)爰將兩次所得之餘作二色方程算之其蘋果十一為正梨十三為負價多八十四文為正列於上蘋果二十六為正梨二十八為負價多二百六十四文為正列於下乃以上蘋果十一遍乘下蘋果二十六梨二十八價多二百六十四文得蘋果二百八十六為正梨三百零八為負價多二千九百零四文為正(即蘋果二百八十六比梨)(三百零八價多二千九百零四文比原數加十一倍)又以下蘋果二十六遍乗上蘋果十一梨十三價多八十四文得蘋果二百八十六為正梨三百三十八為負價多二千一百八十四文為正(即蘋果二百八十六比梨三百三十八價多二千一百八)(十四文比原數加二十六倍)兩下相較則蘋果各二百八十六彼此減盡梨兩層皆負故相減餘三十兩多數相同故亦相減餘七百二十文乃梨三十之共價(葢蘋果皆二百八十)(六則其共價必相等然比梨三百三十八之價則多二千一百八十四文比梨)(三百零八之價則多二千九百零四文是兩多相差之七百二十文即梨相差)(三十之共價也)以梨三十除之得二十四文即梨每箇之價以梨十三乗之得三百一十二文為梨十三之共價蘋果十一既比梨十三價多八十四文則於三百一十二文加八十四文得三百九十六文為蘋果十一之共價以十一除之得三十六文即蘋果每箇之價以桃三比蘋果二梨二價多二十四文計之則梨二價四十八文蘋果二價七十二文共價一百二十文加桃三多二十四文共一百四十四文即為桃三之共價以三除之得四十八文即桃每箇之價也設如有銀買銅錫鉛鐵各不知價只云銅三斤比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢又銅二斤鉛一斤比錫二斤鐵二斤價多二錢又銅一斤錫二斤與鉛三斤鐵八斤價相等又銅五斤鐵三十斤比錫四斤鉛二十四斤價少二錢問銅錫鉛鐵各價幾何法先以銅三斤為正錫二斤鉛二斤鐵四斤俱為負價多一錢為正列於上又銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢為正列於下乃以下銅二斤遍乗上銅三斤錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢得銅六斤為正錫四斤鉛四斤鐵八斤俱為負價多二錢為正又以上銅三斤遍乗下銅二斤錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢得銅六斤為正錫六斤為負鉛三斤為正鐵六斤為負價多六錢為正於是以上層為主兩下相較則銅各六斤彼此減盡錫兩層皆負故相減餘二斤本層少乃變負為正鉛一正一負故相加得七斤仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減餘二斤仍依本層為負價兩層皆正故亦相減餘四錢本層少乃變正為負即錫二斤比鉛七斤鐵二斤價少四錢也(葢銅彼此減盡錫上層少四斤下層少六斤是下層比上層所少為二斤即上)(層比下層多二斤也鉛上層少四斤下層多三斤下之所多即上之所少是上)(層比下層少七斤也鐵上層少八斤下層少六斤是上層比下層所少為二斤)(也價上層多二錢下層多六錢是下層比上層所多為四錢即上層比下層少)(四錢也錫多二斤鉛少七斤鐵少二斤價即少四錢故為錫二斤比鉛七斤鐵)(二斤價少四錢也)次以銅二斤為正錫二斤為負鉛一斤為正鐵二斤為負價多二錢為正列於上又銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤為負相等作一空位列於下乃以下銅一斤遍乗上銅二斤錫二斤鉛一斤鐵二斤價多二錢仍得原數又以上銅二斤遍乗下銅一斤錫二斤鉛三斤鐵八斤得銅二斤錫四斤仍為正鉛六斤鐵十六斤仍為負相等無可乗仍為空位於是以上層為主兩下相較則銅各二斤彼此減盡錫一正一負故相加得六斤仍依本層為負鉛一正一負故亦相加得七斤仍依本層為正鐵兩層皆負故相減餘十四斤本層少乃變負為正價多二錢與相等無可加減仍得二錢為正即鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢也(葢銅彼此減盡錫上層少二斤)(下層多四斤下之所多即上之所少是上層比下層少六斤也鉛上層多一斤)(下層少六斤下之所少即上之所多是上層比下層多七斤也鐵上層少二斤)(下層少十六斤是下層比上層所少為十四斤即上層比下層多十四斤也鉛)(多七斤鐵多十四斤錫少六斤而價即多二錢故為鉛七斤鐵十四斤比錫六)(斤價多二錢也)因首色銅數減盡則錫即轉而為首應為正今錫六斤為負則重列三色之際不能一體須俱變其號然後為順故將錫六斤變負為正而以鉛七斤鐵十四斤價多二錢俱變正為負葢原鉛七斤鐵十四斤比錫六斤價多二錢今變為錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價少二錢也(若以下層為主則相加應依下層為正即不用變)次以銅一斤錫二斤為正鉛三斤鐵八斤為負相等作一空位列於上又銅五斤為正錫四斤鉛二十四斤為負鐵三十斤為正價少二錢為負列於下乃以下銅五斤遍乗上銅一斤錫二斤鉛三斤鐵八斤得銅五斤錫十斤為正鉛十五斤鐵四十斤為負相等無可乗仍為空位又以上銅一斤遍乗下銅五斤錫四斤鉛二十四斤鐵三十斤價少二錢仍得原數於是以上層為主兩下相較則銅各五斤彼此減盡錫一正一負故相加得十四斤仍依本層為正鉛兩層皆負故相減餘九斤本層少乃變負為正鐵一正一負故相加得七十斤仍依本層為負價少二錢與相等無可加減仍得二錢本層無數乃變負為正即錫十四斤鉛九斤比鐵七十斤價多二錢也(葢銅彼此減盡錫上層多十斤下層少四斤下之所少即上之所多是上層比)(下層多十四斤也鉛上層少十五斤下層少二十四斤是下層比上層所少為)(九斤即上層比下層多九斤也鐵上層少四十斤下層多三十斤下之所多即)(上之所少是上層比下層少七十斤也價下層少二錢即上層多二錢也錫多)(十四斤鉛多九斤鐵少七十斤價即多二錢故為錫十四斤鉛九斤比鐵七十)(斤價多二錢也)爰將三次所得之餘作三色方程算之先以錫二斤為正鉛七斤鐵二斤價少四錢俱為負列於上又錫六斤為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為負列於下乃以下錫六斤遍乗上錫二斤鉛七斤鐵二斤價少四錢得錫十二斤為正鉛四十二斤鐵十二斤價少二兩四錢俱為負又以上錫二斤遍乗下錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得錫十二斤為正鉛十四斤鐵二十八斤價少四錢俱為負於是以上層為主兩下相較則錫各十二斤彼此減盡鉛兩層皆負故相減餘二十八斤仍依本層為負鐵兩層皆負故亦相減餘十六斤本層少乃變負為正價兩層皆負故亦相減餘二兩仍依本層為負即鐵十六斤比鉛二十八斤價少二兩也(葢錫彼此減盡)(鉛上層少四十二斤下層少十四斤是上層比下層所少為二十八斤也鐵上)(層少十二斤下層少二十八斤是下層比上層所少為十六斤即上層比下層)(多十六斤也價上層少二兩四錢下層少四錢是上層比下層所少為二兩也)(鐵多十六斤鉛少二十八斤價即少二兩故為鐵十六斤比鉛二十八斤價少)(二兩也)次以錫六斤為正鉛七斤鐵十四斤價少二錢俱為負列於上又錫十四斤鉛九斤為正鐵七十斤為負價多二錢為正列於下乃以下錫十四斤遍乗上錫六斤鉛七斤鐵十四斤價少二錢得錫八十四斤為正鉛九十八斤鐵一百九十六斤價少二兩八錢俱為負又以上錫六斤遍乗下錫十四斤鉛九斤鐵七十斤價多二錢得錫八十四斤鉛五十四斤為正鐵四百二十斤為負價多一兩二錢為正於是以上層為主兩下相較則錫各八十四斤彼此減盡鉛一正一負故相加得一百五十二斤仍依本層為負鐵兩層皆負故相減餘二百二十四斤本層少乃變負為正價一正一負故相加得四兩仍依本層為負即鐵二百二十四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也(葢錫彼此減盡鉛上層少九十八斤下層多五)(十四斤下之所多即上之所少是上層比下層少一百五十二斤也鐵上層少)(一百九十六斤下層少四百二十斤是下層比上層所少為二百二十四斤即)(上層比下層多二百二十四斤也價上層少二兩八錢下層多一兩二錢下之)(所多即上之所少是上層比下層少四兩也鐵多二百二十四斤鉛少一百五)(十二斤價即少四兩故為鐵二百二十四斤比鉛一百五十二斤價少四兩也)爰將兩次所得之餘作二色方程算之其所餘鉛兩首色俱為負是為同號可以互乗減盡故不變其號即將鉛二十八斤為負鐵十六斤為正價少二兩為負列於上又鉛一百五十二斤為負鐵二百二十四斤為正價少四兩為負列於下乃以下鉛一百五十二斤遍乗上鉛二十八斤鐵十六斤價少二兩得鉛四千二百五十六斤為負鐵二千四百三十二斤為正價少三百零四兩為負又以上鉛二十八斤遍乗下鉛一百五十二斤鐵二百二十四斤價少四兩得鉛四千二百五十六斤為負鐵六千二百七十二斤為正價少一百一十二兩為負兩下相較則鉛各四千二百五十六斤彼此減盡鐵兩層皆正故亦相減餘三千八百四十斤價兩層皆負故亦相減餘一百九十二兩即鐵三千八百四十斤之共價以鐵三千八百四十斤除之得五分即鐵每一斤之價也以鐵十六斤乗之得八錢為鐵十六斤之共價鐵十六斤既比鉛二十八斤價少二兩則加二兩得二兩八錢為鉛二十八斤之共價以鉛二十八斤除之得一錢即鉛每一斤之價也以錫六斤比鉛七斤鐵十四斤價少二錢計之則鉛七斤價七錢鐵十四斤價亦七錢共一兩四錢錫六斤既比鉛七斤鐵十四斤價少二錢則減二錢餘一兩二錢為錫六斤之共價以錫六斤除之得二錢即錫每一斤之價也再以銅三斤比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢計之則錫二斤價四錢鉛二斤價二錢鐵四斤價二錢共八錢銅三斤既比錫二斤鉛二斤鐵四斤價多一錢則加一錢共九錢為銅三斤之共價以銅三斤除之得三錢即銅每一斤之價也和較兼用類設如有大小二石不知其重只云二大石比七小石少三十斤三大石二小石共三百三十斤問大小石各重幾何法以大石二為正小石七為負少三十斤為負列於上大石三小石二共重三百三十斤列於下乃以上大石二遍乗下大石三小石二重三百三十斤得大石六小石四共重六百六十斤又以下大石三遍乗上大石二小石七少三十斤得大石六仍為正小石二十一仍為負少九十斤亦仍為負兩下相較則大石各六彼此減盡小石四加小石二十一得小石二十五六百六十斤加九十斤得七百五十斤乃小石二十五之共數以小石二十五除之得三十斤即一小石之重數以二因之得六十斤為二小石之共數於大小石共重三百三十斤内減之餘二百七十斤為三大石之共數以三除之得九十斤即一大石之重數也此法葢因三大石二小石共重三百三十斤為和數皆一類為正故不用正負之號遇正則為同類相減遇負則為異類相加相加之後仍為和數者以其依本層之號故亦不用正號葢六大石四小石共重六百六十斤而六大石比二十一小石少九十斤則加九十斤即六大石與二十一小石等矣故小石二十五共重七百五十斤以二十五除之而得一小石之重數也既得小石之重數則於和數共重三百三十斤内減二小石重六十斤餘為三大石之共數若於較數七小石之共重二百一十斤内減少三十斤所餘即為二大石之共數既得三大石或二大石之共數乃以大石數除之即得一大石之重數矣設如有米用牛馬騾三色載之各不知數只云牛二馬三騾四共載八石馬三騾三與牛三所載相等牛四馬一比騾八所載多三石問各載幾何法先以牛二馬三騾四共米八石列於上次以牛三為正馬三騾三為負相等作一空位列於下(題言馬三騾三比牛三則馬騾應為正牛)(應為負因列法以牛為首故以牛為正馬騾為負即牛三比馬三騾三相等其)(理一也)乃以上牛二遍乘下牛三馬三騾三得牛六仍為正馬六騾六仍為負又以下牛三遍乗上牛二馬三騾四共載八石得牛六馬九騾十二共載二十四石於是以下層為主兩下相較(若以上層為主)(則相加數皆為負况首色減盡二色即轉而為首即變負為正故不若以下層)(為主而皆為正也)則牛各六彼此減盡馬九加馬六得馬十五(因依本層為和數故不用號)騾十二加騾六得騾十八二十四石無可加減仍為二十四石即馬十五騾十八共載二十四石也(葢牛六馬九騾十二共載二十四石而牛六與馬六)(騾六相等則將本層牛六變為馬六騾六矣故為馬十五騾十八共載二十四)(石也)次以牛三為正馬三騾三為負相等作一空位列於上牛四馬一為正騾八為負多三石為正列於下乃以上牛三遍乗下牛四馬一騾八多三石得牛十二為正馬三亦為正騾二十四為負多九石為正又以下牛四遍乗上牛三馬三騾三得牛十二為正馬十二為負騾十二為負於是以上層為主兩下相較則牛各十二彼此減盡馬一正一負故相加得十五仍依本層為正騾兩層皆負故相減餘十二仍依本層為負九石無可加減仍為九石依本層為正即馬十五比騾十二所載多九石也(葢牛彼此減盡)(馬上層多三下層少十二是上層比下層多十五也騾上層少二十四下層少)(十二是上層比下層所少為十二也馬多十五騾少十二而米即多九石故為)(馬十五比騾十二所載多九石也)爰將兩次所得之餘如和較兼用二色方程法算之其馬十五騾十八共米二十四石列於上又馬十五為正騾十二為負多米九石為正列於下因首色皆為十五兩數齊同即不用互乘兩下相較則馬各十五彼此減盡騾十八加騾十二得三十米二十四石減九石餘十五石乃騾三十共載之數以三十除之得五斗即為每一騾所載之數以騾十二乗之得六石為騾十二共載之數加馬十五之多九石得十五石即為馬十五共載之數以馬十五除之得一石為每一馬所載之數以牛三與馬三騾三相等計之則馬三應載三石騾三應載一石五斗共四石五斗以牛三除之得一石五斗即為每一牛所載之數也設如有銀買綾羅絹三色各不知價只云綾一疋羅二疋絹四疋共價七兩四錢又綾二疋絹八疋比羅四疋多六兩八錢又綾三疋比羅六疋絹七疋少一兩二錢問各價幾何法先以綾一羅二絹四共銀七兩四錢列於上(和數皆為正不用號)又綾二為正羅四為負絹八為正多六兩八錢為正列於下乃以下綾二遍乗上綾一羅二絹四共銀七兩四錢得綾二羅四絹八共銀十四兩八錢又以上綾一遍乗下綾二羅四絹八多六兩八錢仍得原數於是以上層為主兩下相較則綾各二彼此減盡羅一正一負故相加得羅八依本層為正絹兩層皆正故相減恰盡價兩層皆正亦相減餘八兩乃羅八疋之共價(葢綾彼此減盡絹亦減盡惟羅上層多四疋下層少四疋是上層比下層多八)(疋而價即多八兩故為羅八疋之共價也)以羅八除之得一兩即為羅每一疋之價也次以綾二為正羅四為負絹八為正多六兩八錢為正列於上又綾三為正羅六為負絹七為負少一兩二錢為負列於下乃以下綾三遍乗上綾二羅四絹八多六兩八錢得綾六為正羅十二為負絹二十四為正多二十兩四錢為正又以上綾二遍乗下綾三羅六絹七少一兩二錢得綾六為正羅十二為負絹十四為負少二兩四錢為負於是以上層為主兩下相較則綾各六彼此減盡羅兩層皆負亦減盡絹一正一負故相加得三十八銀一正一負故相加得二十二兩八錢乃絹三十八疋之共價(葢綾彼此減盡羅亦減盡絹上)(層多二十四疋下層少十四疋是上層比下層多三十八疋也銀上層多二十)(兩四錢下層少二兩四錢是上層比下層多二十二兩八錢也絹多而銀亦多)(故為絹之共價也)以絹三十八除之得六錢即絹每一疋之價也以綾一羅二絹四共價七兩四錢計之則羅二疋應價二兩絹四疋應價二兩四錢共四兩四錢於共價七兩四錢内減之餘三兩即綾每一疋之價也此法互乗相減之後即得一法一實故省重列二色若物與價俱各減盡者則此層必為彼層之幾倍與少一層者同是為少一行不可算也和較交變類設如有琴瑟箏三種樂器各不知價但知琴一張瑟三張箏三張共價九十兩又琴一張瑟二張箏五張共價八十八兩又琴三張瑟八張箏五張共價二百二十兩問琴瑟箏每張各價幾何法先以琴一瑟三箏三共銀九十兩列於上又琴一瑟二箏五共銀八十八兩列於下(因和數皆為正故不用號)因首色皆為一故省互乗即以上層為主兩下相較則琴各一彼此減盡瑟兩下相減餘一本層多仍為正箏兩下相減餘二本層少變正為負銀九十兩減八十八兩餘二兩本層多亦仍為正即瑟一比箏二價多二兩也(葢兩層琴各一張其價必相等但上層多瑟一張下層多箏二)(張則上層多銀二兩即瑟一比箏二所多之價也)次以琴一瑟二箏五共銀八十八兩列於上又琴三瑟八箏五共銀二百二十兩列於下乃以下琴三遍乗上琴一瑟二箏五共銀八十八兩得琴三瑟六箏十五共銀二百六十四兩又以上琴一遍乗下琴三瑟八箏五共銀二百二十兩仍得原數於是以上層為主兩下相較則琴各三彼此減盡瑟兩下相減餘二本層少變正為負箏兩下相減餘十本層多仍為正銀二百六十四兩減二百二十兩餘四十四兩本層多亦仍為正即箏十比瑟二價多四十四兩也(葢兩層琴各三張其價必相等)(但上層多箏十張下層多瑟二張則丄層多銀四十四兩即箏十張比瑟二張)(所多之價也)因首色減盡則瑟轉而為首應為正今瑟為負重列二色之際不能一體須俱變其號然後為順故將瑟二變負為正而以箏十與價多四十四兩俱變正為負葢原箏十比瑟二多四十四兩今變為瑟二比箏十少四十四兩也(若以下層為主則本層多即得瑟二為正不用變號)爰將兩次所得之餘如較數二色方程算之其瑟一為正箏二為負多二兩為正列於上瑟二為正箏十為負少四十四兩為負列於下乃以下瑟二遍乗上瑟一箏二多二兩得瑟二仍為正箏四為負多四兩為正又以上瑟一遍乘下瑟二箏十少四十四兩仍得原數兩下相較則瑟各二彼此減盡箏兩層皆負故相減餘六多四兩與少四十四兩相加得四十八兩即箏六張之共價也(葢瑟皆為二張則其共價必相)(等然比箏四張之價則多比箏十張之價則少是多少相加之四十八兩即箏)(十與箏四相差六張之價也)乃以箏六除銀四十八兩得八兩為箏毎張之價以箏十因之得八十兩為箏十張之共價瑟二張既比箏十張少四十四兩則於八十兩内減四十四兩餘三十六兩即為瑟二張之共價以瑟二除之得十八兩為瑟毎張之價以琴一瑟三箏三共銀九十兩計之則瑟三價五十四兩箏三價二十四兩共七十八兩於共銀九十兩内減之餘十二兩即琴毎一張之價也設如有古量斛庾釜三種盛米各數不同只云三斛二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升問斛庾釡各盛米若干法先以斛三為正庾二為負釜二為正多一石零八升為正列於上又斛二為正庾三釜五為負少六石亦為負列於下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二多一石零八升得斛六仍為正庾四為負釜四為正多二石一斗六升亦為正又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少六石得斛六仍為正庾九釜十五俱為負少十八石亦為負於是以上層為主兩下相較則斛各六彼此減盡庾兩層皆負故相減餘五本層少乃變負為正釡一正一負故相加得十九仍依本層為正多二石一斗六升與少十八石相加得二十石一斗六升仍依本層為正即五庾十九釡共二十石一斗六升也(葢斛彼此減盡庾上層少四下層少九是下層比上層所少為五即上層比下)(層多五也釜上層多四下層少十五是上層比下層多十九也米上層多二石)(一斗六升下層少十八石是上層比下層多二十石一斗六升也庾釜多則米)(亦多故為五庾十九釜共二十石一斗六升也)次以斛二為正庾三釡五與少六石俱為負列於上又斛一庾一為正釜二為負多一石三斗二升為正列於下乃以上斛二遍乗下斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛二庾二為正釡四為負多二石六斗四升為正又以下斛一遍乗上斛二庾三釜五少六石仍得原數於是以上層為主兩下相較則斛各二彼此減盡庾一正一負故相加得五仍依本層為正釜兩層皆負故相減餘一本層少乃變負為正多二石六斗四升與少六石相加得八石六斗四升仍依本層為正即五庾一釜共八石六斗四升也(葢斛彼此減盡庾上)(層多二下層少三是上層比下層多五也釜上層少四下層少五是下層比上)(層所少為一即上層比下層多一也米上層多二石六斗四升下層少六石是)(上層比下層多八石六斗四升也庾釜多而米亦多故為五庾一釡共八石六)(斗四升也)爰以兩次所得之餘如和數二色方程算之其庾五釜十九共二十石一斗六升列於上庾五釡一共八石六斗四升列於下(變為和數故不用號)夫首數皆為五則省互乗兩下相較庾各五彼此減盡釡十九減一餘十八米二十石一斗六升減八石六斗四升餘十一石五斗二升即為釜十八所盛之共數以十八除之得六斗四升為毎一釜所盛之數於八石六斗四升内減之餘八石為庾五所盛之共數以五除之得一石六斗為毎一庾所盛之數以斛三釡二比庾二多一石零八升計之則庾二應三石二斗加多一石零八升得四石二斗八升即為斛三釜二之共數減釡二之一石二斗八升餘三石為斛三所盛之共數以三除之得一石為每一斛所盛之數也設如用船車駝運糧各不知數只云三船比七車一駝少三十三石六斗二車比一船十二駝少二十一石六斗八駝比一船三車少二十一石六斗問船車駝各載幾何法先以船三為正車七駝一與少三十三石六斗俱為負列於上又船一改為正車二改為負駝十二亦改為正少二十一石六斗改為多二十一石六斗亦為正列於下(葢二車比一船十二駝少二十一石六斗即一船十)(二駝比二車多二十一石六斗也)乃以上船三遍乗下船一車二駝十二多二十一石六斗得船三為正車六為負駝三十六為正多六十四石八斗為正又以下船一遍乗上船三車七駝一少三十三石六斗仍得原數於是以上層為主兩下相較則船各三彼此減盡車兩層皆負故相減餘一本層少乃變負為正駝一正一負故相加得三十七仍依本層為正多六十四石八斗與少三十三石六斗相加得九十八石四斗亦依本層為正即車一駝三十七共載九十八石四斗也(葢船)(彼此減盡車上層少六下層少七是下層比上層所少為一即上層比下層多)(一也駝上層多三十六下層少一是上層比下層多三十七也糧上層多六十)(四石八斗下層少三十三石六斗是上層比下層多九十八石四斗也車多駝)(多則糧亦多故九十八石四斗為車一駝三十七之共數也)次以船一為正車二為負駝十二為正多二十一石六斗為正列於上又船一車三俱改為正駝八改為負少二十一石六斗改為多二十一石六斗為正列於下(葢八)(駝比一船三車少二十一石六斗即一船三車比八駝多二十一石六斗也)首數皆一故省互乘即以上層為主兩下相較則船各一彼此減盡車一正一負故相加得五仍依本層為負駝一正一負故亦相加得二十仍依本層為正糧兩層皆正相減恰盡即為駝二十與車五相等今車應轉為首色為正故重列之際須俱變其號以車變負為正駝變正為負即為車五與駝二十相等也(葢兩下相較船數相等上層少車二下層多車三上之所少即下之所多是下)(層多車五上層多駝十二下層少駝八下之所少即上之所多是上層多駝二)(十今既兩下糧數相等則為車五與駝二十相等矣)爰以兩次所得之餘如和較兼用二色方程算之其車一駝三十七共糧九十八石四斗列於上(因為和數故不用號)又車五為正駝二十為負列於下(糧兩下相等故無數可列仍作空以存其位)乃以下車五遍乗上車一駝三十七共糧九十八石四斗得車五駝一百八十五共糧四百九十二石又以上車一遍乗下車五駝二十仍得原數兩下相較則車各五彼此減盡駝一百八十五加駝二十得二百零五糧止一層無數可加減仍得四百九十二石即駝二百零五所載之共數也以駝二百零五除之得二石四斗為每一駝所載之數以二十乗之得四十八石為駝二十所載之共數車五既與之相等即以車五除之得九石六斗即為每一車所載之數以三船比七車一駝少三十三石六斗計之則一駝應二石四斗七車應六十七石二斗共六十九石六斗減三船少三十三石六斗餘三十六石為三船所載之共數以三除之得十二石為毎一船所載之數也設如有錢買瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共價一百五十六文瓜一梨八共價一百二十六文桃二榴七共價一百六十文榴四梨七共價一百四十八文問瓜桃榴梨各價幾何法先以瓜二桃四共價一百五十六文列於上(因題有四色而此行無榴梨乃各作空位以存其分餘俱照式)(對位列之)又以瓜一梨八共價一百二十六文列於下(因為和數故不用號)乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共價一百二十六文得瓜二梨十六共價二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共價一百五十六文仍得原數於是以下層為主兩下相較則瓜各二彼此減盡桃四無可減仍為四依本層為正榴仍為空位梨十六無可減仍為十六本層無數乃變正為負價二百五十二文内減一百五十六文餘九十六文本層少乃變正為負即為桃四比梨十六價少九十六文也(葢瓜皆為二則其共價必相等然上層有梨十六則共價二百五十二文下層)(有桃四則共價一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之)(價也)至是瓜既已減盡但餘三色即變四色為三色而以桃為首對位列之是以桃四為正(此行無榴數故仍作空位以存其分餘俱對位列之)梨十六為負少九十六文為負列於上桃二榴七共價一百六十文列於下(因為和數)(故不用號)乃以上桃四遍乗下桃二榴七共價一百六十文得桃八榴二十八共價六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍為正梨三十二仍為負少一百九十二文為負於是以上層為主兩下相較則桃各八彼此減盡榴二十八無可減仍為二十八依本層為正梨三十二無可加仍為三十二本層無數乃變負為正六百四十文與少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本層為正即榴二十八梨三十二共價八百三十二文也(葢桃彼此)(減盡上層多榴二十八下層少梨三十二即上層多梨三十二故多與少相差)(之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共價也)至是桃又減盡但餘二色即變三色為二色而以榴為首對位列之是以榴二十八梨三十二共價八百三十二文列於上榴四梨七共價一百四十八文列於下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共價一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共價四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共價八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共價三千三百二十八文兩下相較則榴各一百一十二彼此減盡梨兩下相減餘六十八價兩下相減餘八百一十六文即梨六十八之共價也以梨六十八除之得十二文為梨每個之價以七因之得八十四文為梨七之共價於榴梨共價一百四十八文内減之餘六十四文為榴四之共價以四除之得十六文即榴毎個之價以桃二榴七共價一百六十文計之則榴七應價一百一十二文於桃榴共價一百六十文内減之餘四十八文為桃二之共價以二除之得二十四文為桃每個之價再以瓜二桃四共價一百五十六文計之則桃四應價九十六文於桃瓜共價一百五十六文内減之餘六十文為瓜二之共價以二除之得三十文即瓜毎個之價也附法設如有石二塊大小不等不知重數只有銅條一根重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一頭七分將大石掛於銅條一頭離提繫五分而以小石作砣稱之離提繫得六分始平又將小石掛在銅條一頭離提繫五分而以大石作砣稱之離提繫得四分始平問大小二石各重幾何法先以五分加一倍與十二分相較餘二分折半得一分與五分相加為六分乃以五分為一率六分為二率餘二分作二兩為三率得四率二兩四錢即五分之端加二兩四錢始與七分相平也爰將二兩四錢以大石離提繫五分因之得十二兩為五大石比六小石所多之數(大石離提繫五分小石離提繫六分而平是大石重六分小石重五)(分也若五大石六小石則各得三十分其重始等然五分之一端應加二兩四)(錢是大石重六分尚多二兩四錢也若五大石則多十二兩矣故為五大石比)(六小石多十二兩也)又將二兩四錢以小石離提繫五分因之亦得十二兩為四大石比五小石所少之數(小石離提繫五分大石離提繫四分而平)(是小石重四分大石重五分也若五小石四大石則各得二十分其重始等然)(五分之一端應加二兩四錢是小石重四分尚多二兩四錢也若五小石則多)(十二兩矣故為五小石比四大石多十二兩因以大石為首故變為四大石比)(五小石少十二兩也)因作較數方程法算之以大石五為正小石六為負重多十二兩為正列於上又大石四為正小石五為負重少十二兩為負列於下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二兩得大石二十小石二十五少六十兩又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二兩得大石二十小石二十四多四十八兩兩下相較則大石各二十彼此減盡小石兩層皆負故相減餘一重少六十兩與多四十八兩相加得一百零八兩即為一小石之重數以小石六因之得六百四十八兩為六小石之共重數加五大石所多十二兩得六百六十兩為五大石之共重數以五歸之得一百三十二兩即為一大石之重數也此本疊借互徵之法而以方程算之稍為簡易焉設如有銀一千六百四十兩兄弟二人分之各不知數只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五十兩問兄弟各分銀幾何法以一千六百四十兩為兄四分弟六分之共銀數以三百五十兩為兄一分弟一分之共銀數如和數方程法算之以兄四分弟六分共銀一千六百四十兩列於上兄一分弟一分共銀三百五十兩列於下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共銀一千六百四十兩仍得原數又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共銀三百五十兩得兄四分弟四分共銀一千四百兩兩下相較則兄各四分彼此減盡弟兩下相減餘二分銀兩下相減餘二百四十兩即弟二分之共銀數以弟二分除之得一百二十兩為弟一分之銀數以弟六分乗之得七百二十兩即弟所分之共銀數於共銀一千六百四十兩内減之餘九百二十兩即兄所分之共銀數也(此法用疊借互徵算)(之亦可)設如甲乙二人分果不知其數只云甲予乙九枚則乙與甲等乙予甲九枚則一甲與二乙等問甲乙分果各幾何法將甲予乙九枚以二因之得一十八枚為一甲比一乙所多之數(葢甲予乙九枚則甲)(與乙等若甲不予乙則甲多九枚乙少九枚是甲比乙多十八枚也)又將乙予甲九枚以三因之得二十七枚為一甲比二乙所少之數(葢乙予甲九枚則一甲與二乙)(等若乙不予甲則乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙少二)(十七枚也)因作較數方程法算之以甲一為正乙一為負多十八枚為正列於上又甲一為正乙二為負少二十七枚為負列於下因甲首色皆為一故不用互乗兩下相較則甲各一彼此減盡乙兩層皆負故相減餘一果一正一負故相加得四十五枚即為乙之果數如甲多十八枚得六十三枚即為甲之果數也若甲與乙九枚則甲餘五十四乙亦得五十四是甲與乙相等若乙與甲九枚則乙餘三十六甲得七十二是一甲與二乙相等也(此法用疊借互徵算之亦可)設如有田二千六百五十畝令上中下三等農夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七畝中等比下等毎人多五畝問上中下三等毎人各耕幾何法以二千六百五十畝為和以多七畝多五畝為較如和較兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝列於上(因為和數故不用號)又上等一人為正中等一人為負多七畝為正列於下(無下等則作空以存)(其位)乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝仍得原數又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七畝得上等四十人為正中等四十人為負多二百八十畝為正於是以上層為主兩下相較則上等各四十人彼此減盡中等五十人加四十人得九十人下等無可加減仍得七十人田二千六百五十畝減二百八十畝餘二千三百七十畝即中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝也(因依本層故仍為和數)次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝列於上(因為和數故不用號)又中等一人為正下等一人為負多五畝為正列於下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝仍得原數又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五畝得中等九十人為正下等九十人為負多四百五十畝為正兩下相較則中等各九十人彼此減盡下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十畝減四百五十畝餘一千九百二十畝即下等一百六十人之共數也以下等一百六十人除之得十二畝為下等每人所耕之數加五畝得十七畝為中等毎人所耕之數又加七畝得二十四畝為上等每人所耕之數也(此法本和數比例以方程算之亦可)御製數理精藴下編卷十
## 下編卷十一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十一面部一平方帶縱平方平方平方者等邊四直角之面積也以形而言則為兩矩所合以積而言則為自乗之數因其有廣無厚故曰平方因其縱横相等故曰正方葢方積面也而其邊則線也有線求面則相乗而得積有面求線則開方而得邊開之之法略與歸除同但歸除有法有實而開方則有實而無法故古人立為商除廉隅之制以相求每積二位得邊之一位所謂一百一十定無疑一千三十有零餘九千九百不離十一萬方為一百推是也其法先從一角而剖其冪以自一至九自乗之數為方根與所有之積相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方邊止一位若有餘實即初商方積外别成一磬折形其附初商之兩旁者謂之廉兩廉之角所合一小方謂之隅廉有二故倍初商為兩廉之共長是為廉法視餘積足廉法幾倍即是次商隅即次商之自乗故次商為隅法合廉隅而以次商乗之則得兩廉一隅之共積所謂初商方積外别成一磬折形者是也故次商為初商所得方邊之零如次商數與初商餘積相減尚有不盡之實則又成一磬折形而仍為兩廉一隅但較前廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照初商之例逐層遞析之實盡而止實不盡者必非自乗之正數遞析之至於纎塵終有奇零若餘實不足廉隅法之數者則方邊為空位此開方之定法也面形不一而容積皆以方積為準故平方為算諸面之本諸面必通之方積而後可施其法也設如正方面積三十六尺開方問每一邊數幾何法列方積三十六尺自末位起算每方積二位定方邊一位今積止有二位則於六尺上作記定單位以自一至九自乗之方根數與之相審知與六尺自乗之數恰合乃以六尺書於方積六尺之上而以六尺自乗之三十六尺書於方積原數之下相減恰盡即得開方之數為六尺也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆六尺其中函一尺小正方三十六自邊計之為六尺自乗之積以積開之則與六尺自乗方根之數相準故商除之恰盡也葢方積為二位是以方邊止一位方積即六尺自乗之數故無廉隅之可用次商如有餘積則自成廉隅而用次商矣設如正方面積一丈四十四尺開方問每一邊數幾何法列方積一丈四十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即於四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗之正方一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊末位積四十四尺續書於下(大凢以餘積續書於下者每取方積)(之二位以當方邊之一位也)為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺為廉法以除四十四尺足二尺即定次商為二尺書於方積四尺之上而以次商二尺為隅法與廉法二十尺相加共得二十二尺為廉隅共法書於餘積之左以次商二尺乗之得四十四尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆一丈二尺其中函積一丈四十四尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊一丈即初商數其中函正方積一丈即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長十尺即初商數其各闊二尺即次商數廉有二故倍初商為廉法其己壬丙辛一小正方為隅其邊二尺亦即次商數故以次商為隅法合兩廉一隅成一磬折形附於初商自乗方之兩邊而成一總正方形此廉隅之法所由生也設如正方面積五百二十九尺開方問毎一邊數幾何(此題正方面積之三位皆以尺命位似與前題分丈尺者不同然其取方積二位續書於下其)(末位即命為單位立算則與丈尺同也)法列方積五百二十九尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃於九尺上定單位五百尺上定十位其五百尺為初商積以初商本位計之則五百尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積五百尺之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘一百尺爰以方邊第二位積二十九尺續書於下共一百二十九尺為次商廉隅之共積乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商為三尺書於方積九尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書於餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減恰盡是開得二十三尺為方面每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方形每邊皆二十三尺其中函積五百二十九尺是為共積其從一角所分甲庚己戊正方形每邊二十尺即初商數其中函積四百尺即初商自乗數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為兩廉其各長二十尺即初商數其各闊三尺即次商數其己壬丙辛一小正方為隅其邊三尺亦即次商數合兩廉一隅成一磬折形附於初商自乗方之兩邊而成一總正方形也設如正方面積五丈四十七尺五十六寸開方問每一邊數幾何法列方積五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記即於六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈為初商積與二丈自乗之數相準即定初商為二丈書於方積五丈之上而以二丈自乗之四丈書於初商積之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積四十七尺續書於下共一百四十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺為廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上而以次商三尺為隅法與廉法四十尺相加共得四十三尺為廉隅共法書於餘積之左以次商三尺乗之得一百二十九尺與次商廉隅共積相減餘一十八尺即一千八百寸復以方邊末位積五十六寸續書於下共一千八百五十六寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸為廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商為四寸書於方積六寸之上而以三商四寸為隅法與廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸為廉隅共法書於餘積之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得二丈三尺四寸為方面每一邊之數也設如正方面積四十五萬九千六百八十四尺開方問每一邊數幾何(此題正方面積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺寸三色)(者不同然其每取方積二位續書於下其末位即命為單位立算仍與丈尺寸同也)法列方積四十五萬九千六百八十四尺自末位起算每方積二位定方邊一位故隔一位作記乃於四尺上定單位六百尺上定十位五萬尺上定百位其四十五萬尺為初商積以初商本位計之則五萬尺為初商積之單位而四十五萬尺為四十五與六自乗之數相準即定初商為六書於方積五萬尺之上而以六自乗之三十六書於初商積之下相減餘九萬尺爰以方邊第二位積九千六百尺續書於下共九萬九千六百尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則六百尺為次商積之單位而九萬九千六百尺為九百九十六而初商之六即為六十故以初商之六作六十倍之得一百二十為廉法以除九百九十六足七倍即定次商為七書於方積六百尺之上而以次商七為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十七為廉隅共法書於餘積之左以次商七乗之得八百八十九與次商廉隅共積相減餘一萬零七百尺復以方邊末位積八十四尺續書於下共一萬零七百八十四尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十為廉法以除一萬零七百八十四足八倍即定三商為八書於方積四尺之上而以三商八為隅法與廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八為廉隅共法書於餘積之左以三商八乗之得一萬零七百八十四與三商廉隅共積相減恰盡是開得六百七十八尺為方面每一邊之數也設如正方面積三十五丈九十一尺六十寸四十九分開方問每一邊數幾何法列方積三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作記即於九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈為初商積與五丈自乗之數相準即定初商為五丈書於方積五丈之上而以五丈自乗之二十五丈書於初商積之下相減餘一十丈即一千尺爰以方邊第二位積九十一尺續書於下共一千零九十一尺為次商廉隅之共積乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺為廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商為九尺書於方積一丈之上而以次商九尺為隅法與廉法一百尺相加共得一百零九尺為廉隅共法書於餘積之左以次商九尺乗之得九百八十一尺與次商廉隅共積相減餘一百一十尺即一萬一千寸復以方邊第三位積六十寸續書於下共一萬一千零六十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸為亷法以除一萬一千零六十寸足九寸即定三商為九寸書於方積空寸之上而以三商九寸為隅法與廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸為廉隅共法書於餘積之左以三商九寸乗之得一萬零七百零一寸與三商廉隅共積相減餘三百五十九寸即三萬五千九百分復以方邊末位積四十九分續書於下共三萬五千九百四十九分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一萬一千九百八十分為廉法以除三萬五千九百四十九分足三分即定四商為三分書於方積九分之上而以四商三分為隅法與廉法一萬一千九百八十分相加共得一萬一千九百八十三分為廉隅共法書於餘積之左以四商三分乗之得三萬五千九百四十九分與四商廉隅共積相減恰盡是開得五丈九尺九寸三分為方面每一邊之數也設如正方面積五百八十五萬六千四百尺開方問每一邊數幾何法列方積五百八十五萬六千四百尺補二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作記於空尺上定單位四百尺上定十位五萬尺上定百位五百萬尺上定千位其五百萬尺為初商積以初商本位計之則五百萬尺為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積五百萬尺之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘一百萬尺爰以方邊第二位積八十五萬尺續書於下共一百八十五萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則五萬尺為次商積之單位而一百八十五萬尺為一百八十五而初商之二即為二十故以初商之二作二十倍之得四十為廉法以除一百八十五足四倍即定次商為四書於方積五萬尺之上而以次商四為隅法與廉法四十相加共得四十四為㢘隅共法書於餘積之左以次商四乗之得一百七十六與次商廉隅共積相減餘九萬尺復以方邊第三位積六千四百尺續書於下共九萬六千四百尺為三商㢘隅之共積以三商本位計之則四百為三商積之單位而九萬六千四百尺為九百六十四而初商之二即為二百次商之四即為四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十為廉法以除九百六十四足二倍即定三商為二書於方積四百尺之上而以三商二為隅法與㢘法四百八十相加共得四百八十二為廉隅共法書於餘積之左以三商二乗之得九百六十四與三商㢘隅共積相減恰盡是開得二千四百二十尺為方面每一邊之數也此法方積之末有二空位故所得方邊之末亦補一空位凢設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之設如正方面積八十二丈六十二尺八十一寸開方問每一邊數幾何法列方積八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作記於一寸上定寸位於二尺上定尺位於二丈上定丈位其八十二丈為初商積與九丈自乗之數相準即定初商為九丈書於方積二丈之上而以九丈自乗之八十一丈書於方積八十二丈之下相減餘一丈即一百尺爰以方邊第二位積六十二尺續書於下共一百六十二尺為次商廉隅之共積乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺為㢘法以除一百六十二尺其數不足是次商為空位也乃書一空於方積二尺之上以存次商之位復以方邊末位積八十一寸續書於下共一百六十二尺八十一寸即一萬六千二百八十一寸為三商㢘隅之共積仍以一百八十尺作一千八百寸為㢘法以除一萬六千二百八十一寸足九寸即定三商為九寸書於方積一寸之上而以三商九寸為隅法與㢘法一千八百寸相加共得一千八百零九寸為㢘隅共法書於餘積之左而以三商九寸乗之得一萬六千二百八十一寸與三商㢘隅共積相減恰盡是開得九丈零九寸為方面每一邊之數也此法方積無空位而商出之方邊有空位凡㢘法除餘積而數不足者皆依此例推之設如正方面積六千四百一十一萬二千零四十九尺開方問每一邊數幾何法列方積六千四百一十一萬二千零四十九尺自末位起算每隔一位作記於九尺上定單位空百尺上定十位一萬尺上定百位四百萬尺上定千位其六千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬為初商積之單位而六千四百萬為六千四與八自乗之數相合即定初商為八書於方積四百萬尺之上而以八自乗之六十四書於初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積一十一萬尺續書於下為次商廉隅之共積以次商本位計之則一萬尺為次商積之單位而一十一萬尺為一十一而初商之八即為八十故以初商之八作八十倍之得一百六十為廉法以除一十一其數不足是次商為空位乃書一空於方積一萬尺之上以存次商之位復以方邊第三位積二千尺續書於下共一十一萬二千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空百尺為三商積之單位而一十一萬二千尺為一千一百二十尺而初商之八即為八百次商之空即為空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百為廉法以除一千一百二十其數仍不足是三商之為空位乃再書一空於方積空百尺之上以存三商之位復以方邊末位積四十九尺續書於下共一十一萬二千零四十九尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之八千倍之得一萬六千為廉法以除一十一萬二千零四十九足七倍即定四商為七書於方積九尺之上而以四商七為隅法與㢘法一萬六千相加共得一萬六千零七為㢘隅共法書於餘積之左而以四商七乗之得一十一萬二千零四十九與餘積相減恰盡是開得八千零七尺為方面每一邊之數也此法方積中雖有一空位而商出之方邊却有二空位凡開方遇此類者皆依此例推之設如有積一萬四千九百二十八尺開方問每一邊數幾何法列積一萬四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作記於八尺上定單位九百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺為初商積以初商本位計之則一萬尺為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書於方積一萬尺之上而以一自乗之一書於初商積之下相減無餘爰以方邊第二位積四千九百尺續書於下為次商㢘隅之共積以次商本位計之則九百尺為次商積之單位而四千九百尺為四十九而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除四十九足二倍即定次商為二書於方積九百尺之上而以次商二為隅法與㢘法二十相加共得二十二為㢘隅共法書於餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘五百尺復以方邊末位積二十八尺續書於下共五百二十八尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為廉法以除五百二十八足二倍即定三商為二書於方積八尺之上而以三商二為隅法與廉法二百四十相加共得二百四十二為㢘隅共法書於餘積之左以三商二乗之得四百八十四與三商廉隅共積相減餘四十四尺不盡是開得一百二十二尺為方面每一邊之數仍餘四十四尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増書兩空於總積之後復續書兩空於四十四尺之後為幾十幾寸之位是則四十四尺作四千四百寸為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸為廉法以除四千四百寸足一倍即定四商為一寸書於餘積空寸之上而以四商一為隅法與廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸為廉隅共法書於餘積之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸與餘積相減餘一千九百五十九寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書兩空於後増空十空寸之後復續書兩空於五十九寸之後為幾十幾分之位是則一千九百五十九寸作一十九萬五千九百分為五商廉隅之共積爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一萬二千二百一十分倍之得二萬四千四百二十分為廉法以除一十九萬五千九百分足八倍即定五商為八分書於餘積空分之上而以五商八為隅法與㢘法二萬四千四百二十分相加共得二萬四千四百二十八分為廉隅共法書於餘積之左以五商八分乗之得一十九萬五千四百二十四分與餘積相減仍餘四百七十六分不盡是開得一百二十二尺一寸八分為方面每一邊之數也此法原積本非自乗所得之數雖遞析之終不能盡凡開方遇此類者皆依此例推之設如有一方臺上面共鋪方甎四千零九十六塊問每一邊得甎幾何法列方甎四千零九十六塊為方積於六塊上定單位空百塊上定十位其四千塊為初商積以初商本位計之則空百塊為初商積之單位而四千塊為四十與六自乗之數相準即定初商為六書於方積空百塊之上而以六自乗之三十六書於初商積之下相減餘四百塊爰以餘積九十六塊續書於下共四百九十六塊為次商廉隅之共積而以初商六作六十倍之得一百二十為廉法以除四百九十六足四倍即定次商為四書於方積六塊之上而以次商四為隅法與廉法一百二十相加共得一百二十四為廉隅共法書於餘積之左以次商四乗之得四百九十六與餘積相減恰盡是開得六十四塊為方臺上面每一邊之甎數也設如有三百六十一人用船分載其每船所載人數與共船數相等問共船幾何法列三百六十一人為方積於一人上定單位三百人上定十位其三百人為初商積以初商本位計之則三百為初商積之單位止與一自乗之數相準即定初商為一書於方積三百之上而以一自乗之一書於初商積之下相減餘二百爰以餘積六十一續書於下共二百六十一為次商廉隅之共積而以初商一作一十倍之得二十為廉法以除二百六十一足九倍即定次商為九書於方積一人之上而以次商九為隅法與廉法二十相加共得二十九為㢘隅共法書於餘積之左以次商九乗之得二百六十一與餘積相減恰盡是開得十九為共船數而每船載十九人也設如有銀七百八十四兩散給夫匠其每人所得銀數與其人數相等問共人數幾何法列七百八十四兩為方積於四兩上定單位七百兩上定十位其七百兩為初商積以初商本位計之則七百為初商積之單位止與二自乗之數相準即定初商為二書於方積七百之上而以二自乗之四書於初商積之下相減餘三百爰以餘積八十四續書於下共三百八十四為次商廉隅之共積而以初商二作二十倍之得四十為廉法以除三百八十四足八倍即定次商為八書於方積四兩之上而以次商八為隅法與㢘法四十相加共得四十八為㢘隅共法書於餘積之左以次商八乗之得三百八十四與餘積相減恰盡是開得二十八為共人數而每人得銀二十八兩也設如用船運粮六千五百六十一石欲取一船别用將此船米分載各船每船領去一石其本船尚餘一石問共船幾何法列米六千五百六十一石為方積於一石上定單位五百石上定十位其六千五百石為初商積以初商本位計之則五百石為初商積之單位而六千五百為六十五與八自乗之數相準即定初商為八書於方積五百之上而以八自乗之六十四書於初商積之下相減餘一百爰以餘積六十一續書於下共一百六十一為次商廉隅之共積而以初商八作八十倍之得一百六十為廉法以除一百六十一足一倍即定次商為一書於方積一石之上而以次商一為隅法與廉法一百六十相加共得一百六十一為廉隅共法書於餘積之左以次商一乗之仍得一百六十一與餘積相減恰盡是開得八十一為共船數而每船載米八十一石也此法葢因一船所載之米分與各船毎船各領一石即共去八十石故本船尚餘一石也設如有錢一萬五千六百二十五文買瓜每瓜一個與脚錢一文因無現錢將一瓜準作脚錢問瓜數幾何法列錢一萬五千六百二十五為方積於五文上定單位六百上定十位一萬上定百位其一萬為初商積以初商本位計之則一萬為初商積之單位止與一自乗之數相合即定初商為一書於方積一萬之上而以一自乗之一書於初商積之下相減無餘爰以第二位積五千六百續書於下為次商㢘隅之共積以次商本位計之則六百為次商積之單位而五千六百為五十六而初商之一即為一十故以初商之一作一十倍之得二十為廉法以除五十六足二倍即定次商為二書於方積六百之上而以次商二為隅法與㢘法二十相加共得二十二為㢘隅共法書於餘積之左以次商二乗之得四十四與次商廉隅共積相減餘一千二百復以末位積二十五續書於下共一千二百二十五為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十為㢘法以除一千二百二十五足五倍即定三商為五書於方積五文之上而以三商五為隅法與㢘法二百四十相加共得二百四十五為㢘隅共法書於餘積之左以三商五乗之得一千二百二十五與餘積相減恰盡是開得一百二十五為共瓜之數亦即每瓜之價也此法因每瓜應給脚錢一文今以一瓜準之即知一瓜之價與瓜之共數相等故以開方法算之而得也帶縱平方帶縱平方者兩等邊直角長方面積也有積數因長比闊之較或長與闊之和而得邊故曰帶縱葢正方之縱横皆同故止有積即可得其邊若長方則縱横不等知其積又必知其縱横相差之較或縱横相併之和始能得其邊故以長闊之較為問者則皆較為帶縱加所開之數商除之而得闊或四因積數加較自乗平方開之即長闊之和和加較半之而得長和減較半之而得闊或半較自乗加原積而開平方即得半和加半較而得長減半較而得闊如以長闊之和為問者則用和為帶縱減去所開之數商除之而得闊或四因積數減和自乗平方開之即長闊之較較減和半之而得闊較加和半之而得長或半和自乗減原積而開平方即得半較加半和而得長減半和而得闊夫用半較半和之法與四因積數之法同出一理葢四因積數加全較自乗故開方而得全和半較自乗加原積故開方而得半和四因積數減全和自乗故開方而得全較半和自乗減原積故開方而得半較此即面與線之比例面加四倍而邊加一倍邊得其半而積為四分之一也法雖不一要之皆使歸於正方以求其和較是則雖曰帶縱仍不外乎平方之理也設如有長方面積八尺縱多二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書於原積八尺之上而以所商二尺加縱多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺書於原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺加入縱多二尺得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲乙長比甲丁闊所多戊乙即縱多之數初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢因此法長闊兩邊俱止一位而積亦止一位故初商所得即為一邊而加入縱多即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也又法以積八尺用四因之得三十二尺而以縱多二尺自乗得四尺加八四因之數得三十六尺開方得六尺即為長闊相和之數乃以縱多二尺與長闊之和六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減縱多二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四長方形廻環相湊成一空心正方式再加入縱多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊類每一邊即長闊之和故開方得長闊之和既得和加縱多是為倍長故折半而得長減縱多則為倍闊故折半而得闊或得長而減縱多亦得闊也又法先將縱多二尺折半得一尺為半較自乗仍得一尺與原積八尺相加得九尺平方開之得三尺為半和於半和減半較得二尺為闊於半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為長甲丁為闊戊乙為縱多之較將較折半於庚而移庚乙丙辛置於丁己癸壬再加己辛子癸半較自乗之方則成甲庚子壬一正方形故開方而得甲庚甲壬之邊皆為半和也於甲壬之半和減丁壬之半較得甲丁之闊於甲庚之半和加庚乙之半較得甲乙之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺將甲丁邊引長作丁辛與丁丙等則甲辛為長闊之和又如甲乙邊截甲丁於庚則庚丁為長闊之較甲辛和折半於己而庚丁較亦折半於己故以己為心甲為界作一半圜而引丙丁邊至戊界作一戊丁直線戊巳輻線則甲巳戊己巳辛皆為半和而庚己己丁皆為半較且甲丁戊丁丁辛又為連比例之三線矣其戊丁中率自乗之方與甲丁首率丁辛末率相乗之長方等(見幾何原本九卷第三節)則是戊丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又戊丁巳為勾股形其戊丁邊自乗之方與己丁邊自乗之方相併而與戊巳自乗之方等(見幾何原本九卷第四節)故與原設甲乙丙丁長方積等之戊丁自乗之方加以己丁半較自乗之數開方而得戊巳為半和於戊巳相等之己辛半和減己丁半較而得丁辛與丁丙等之闊又與戊巳相等之甲巳半和加己丁半較而得甲丁之長也設如有長方面積一千二百五十四尺縱多五尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一千二百為初商積可商三十尺乃以三十尺書於原積二十尺之上而以初商三十尺加縱多五尺得三十五尺以初商三十尺乗之得一千零五十尺書於原積之下相減餘二百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商三十尺倍之得六十尺加縱多五尺得六十五尺為廉法以除二百零四尺足三尺則以三尺書於原積四尺之上而以廉法六十五尺加隅法三尺得六十八尺為廉隅共法以次商三尺乗之得二百零四尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得三十三尺加縱多五尺得三十八尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積一千二百五十四尺其甲乙邊長三十八尺甲丁邊闊三十三尺其甲乙長比甲丁闊所多之甲辛即縱多之數其甲戊己庚長方形容積一千零五十尺即初商所減之積其辛壬與辛戊俱三十尺即初商數其甲戊三十五尺即初商加縱多之數其戊乙丑己壬己子癸兩長方為兩方廉庚壬癸丁小長方為縱廉方廉有二縱廉止一故倍初商加縱多數為廉法其己丑丙子為隅其長闊皆與次商等故以次商為隅法合兩方廉一縱廉一小隅成一磬折形環附初商長方之兩傍成一大長方與平方之理無異若次商仍減積不盡則又為兩方廉一縱廉一小隅復成一磬折形得三商四商以至多商皆依此法遞析開之又法以積一千二百五十四尺用四因之得五千零一十六尺而以縱多五尺自乗得二十五尺加入四因之數得五千零四十一尺開方得七十一尺即為長闊相和之數乃以縱多五尺與長闊之和七十一尺相加得七十六尺折半得三十八尺即長方之長減縱多五尺即長方之闊也又法先將縱多五尺折半得二尺五寸為半較自乗得六尺二十五寸與原積一千二百五十四尺相加得一千二百六十尺二十五寸開方得三十五尺五寸為半和於半和減半較得三十三尺為闊於半和加半較得三十八尺為長也設如有長方面積一十八萬一千四百六十丈縱多八丈問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一十八萬丈為初商積可商四百丈乃以四百丈書於原積八萬丈之上而以初商四百丈加縱多八丈得四百零八丈以初商四百丈乗之得一十六萬三千二百丈書於原積之下相減餘一萬八千二百六十丈為次商廉隅之共積乃以初商四百丈倍之得八百丈加縱多八丈得八百零八丈為㢘法以除一萬八千二百六十丈足二十丈則以二十丈書於原積四百丈之上而以廉法八百零八丈加隅法二十丈得八百二十八丈為廉隅共法以次商二十丈乗之得一萬六千五百六十丈書於餘積之下與餘積相減餘一千七百丈為三商廉隅之共積乃以初商次商之二百四十丈俱倍之得八百四十丈加縱多八丈得八百四十八丈為廉法以除一千七百丈足二丈則以二丈書於原積空丈之上而以廉法八百四十八丈加隅法二丈得八百五十丈為廉隅共法以三商二丈乗之得一千七百丈書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得四百二十二丈加縱多八丈得四百三十丈即為長方之長也又法以縱多八丈折半得四丈為半較自乗得十六丈與原積一十八萬一千四百六十丈相加得一十八萬一千四百七十六丈開方得四百二十六丈為半和於半和減半較得四百二十二丈為闊於半和加半較得四百三十丈為長也設如有長方面積四萬五千二百九十六尺縱多一百四十六尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其四萬尺為初商積可商二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺以所商二百尺乗之得六萬九千二百尺大於原積是初商不可商二百尺也乃改商一百尺書於原積四萬尺之上而以所商一百尺加縱多一百四十六尺得二百四十六尺以初商一百尺乗之得二萬四千六百尺書於原積之下相減餘二萬零六百九十六尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺加縱多一百四十六尺得三百四十六尺為廉法以除二萬零六百九十六尺足五十尺則以五十尺書於原積二百尺之上而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺得三百九十六尺為廉隅共法以次商五十尺乗之得一萬九千八百尺書於餘積之下與餘積相減餘八百九十六尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百五十尺倍之得三百尺加縱多一百四十六尺得四百四十六尺為廉法以除八百九十六尺足二尺則以二尺書於原積六尺之上而以廉法四百四十六尺加隅法二尺得四百四十八尺為廉隅共法以三商二尺乗之得八百九十六尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百五十二尺加縱多一百四十六尺得二百九十八尺即為長方之長也此法原積初商應得二百尺因加縱多相乗得數大於原積故改商一百尺始合凡開帶縱方遇此類者皆依此例推之又法加縱多一百四十六尺折半得七十三尺為半較自乗得五千三百二十九尺與原積四萬五千二百九十六尺相加得五萬零六百二十五尺開方得二百二十五尺為半和於半和減半較得一百五十二尺為闊於半和加半較得二百九十八尺為長也設如有長方面積一萬六千一百二十八尺縱多七十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一萬為初商積可商一百尺加縱多七十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一萬七千二百尺大於原積是初商不可商一百尺也乃改商九十尺書於原積一百尺之上而以所商九十尺加縱多七十二尺得一百六十二尺以所商九十尺乗之得一萬四千五百八十尺書於原積之下相減餘一千五百四十八尺為次商廉隅之共積乃以初商九十尺倍之得一百八十尺加縱多七十二尺得二百五十二尺為廉法以除一千五百四十八尺足六尺則以六尺書於原積八尺之上而以廉法二百五十二尺加隅法六尺得二百五十八尺為廉隅共法以次商六尺乗之得一千五百四十八尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊為九十六尺加縱多七十二尺得一百六十八尺即長方之長也此法原積初商應得一百尺因加縱多相乗得數大於原積故改商九十尺而原積一萬尺之上應開百位者空其位而不計也或縱多太大過於初商所得之數則用四因積數之法或用縱多折半之法設例在後設如有長方面積三萬四千五百六十九尺縱多三千八百三十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其三萬尺為初商積應商一百尺而縱多數為三千轉大如初商數凡遇此類則用四因積數加較自乗開方法之或用半較自乗加於原積開方之法為明白簡易也故以縱多三千八百三十二尺折半得一千九百一十六尺為半較自乗得三百六十七萬一千零五十六尺與原積三萬四千五百六十九尺相加得三百七十萬五千六百二十五尺開方得一千九百二十五尺為半和於半和減半較得九尺為闊於半和加半較得三千八百四十一尺為長也設如有月臺一座共用方甎一千九百二十塊其長比闊多八塊問長闊兩面各用甎幾何法以長比闊多八塊折半得四塊為半較自乗得十六塊與積數一千九百二十塊相加得一千九百三十六塊開方得四十四塊為半和於半和四十四塊減半較得四十塊為闊面甎數於半和加半較得四十八塊為長面甎數也設如有銀三百六十兩賞人其人數比每人所得銀數為五分之二問人數及每人所得銀數各幾何法先用比例分其總銀數以五分為一率二分為二率三百六十兩為三率得四率一百四十四兩開方得十二為人數以人數除共銀數三百六十兩得三十兩為每人所得之銀數也此法以人數為闊其每人所得銀數為長成一長方形人數既居銀數之五分之二是闊為二分長為五分也今將其共銀分作五分而取其二分即人數與所得銀數相等而成正方形矣故開方而得人數也設如有長方面積八尺長闊相和六尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之積八尺止可商二尺乃以二尺書於原積八尺之上而以所商二尺與和數六尺相減餘四尺以所商二尺乗之得八尺書於原積之下相減恰盡即知長方之闊得二尺與和六尺相減得四尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺其甲乙邊長四尺甲丁邊闊二尺其甲丁與甲乙相併得六尺即長闊之和初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一邊葢兩邊俱止一位故以初商所得為一邊於長闊和内減去初商所餘即又一邊是以兩邊相乗而與原積相等也此法比較數為問者在加減之異其以較數為問者以所商之數與較數相加此以和數為問者則以所商之數與和數相減也又法以積八尺用四因之得三十二尺而以和數六尺自乗得三十六尺減去四因之數餘四尺開方得二尺即為長闊相較之數乃以較數二尺與和數六尺相加得八尺折半得四尺即長方之長減較二尺得二尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形容積八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四長方形廻環相湊成一空心正方式較之和數六尺自乗之甲戊辛子正方形所少者止正中之一小正方形故相減即餘丑丙庚癸之一小正方形其丑丙類每一邊即長闊之較故開方得長闊之較既得較加於和數是為倍長故折半而得長長減較而得闊也此法比較數為問者亦在加減之異其以較為問者用較自乗與四因數相加開方而得和此以和為問者用和自乗與四因數相減開方而得較也又法先將和數六尺折半得三尺為半和自乗得九尺與原積八尺相減得一尺平方開之仍得一尺為半較於半和減半較得二尺為闊於半和加半較得四尺為長如圖甲乙丙丁長方形甲乙為闊甲丁為長甲壬為長闊和(丁壬與丁丙闊)(等)折半為甲庚半和將甲乙丙丁長方内之庚辛丙丁移於乙丑癸己則成甲丑癸己辛庚一磬折形與甲庚半和自乗之甲丑子庚正方形相減餘己癸子辛一小正方形即半較自乗之方故開方而得半較也故甲丑之半和減乙丑之半較得甲乙之闊於甲庚之半和加庚丁之半較得甲丁之長也又圖甲乙丙丁長方形容積八尺甲壬為長闊之和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁長減等甲乙闊之甲戊餘戊丁為長闊之較其庚丁則為半較而甲丁己丁丁壬又為連比例之三線故己丁中率自乗之方與甲丁首率丁壬末率相乗之長方等(見幾何原本九卷第三節)則是己丁自乗之方與原設甲乙丙丁長方之積等也又己庚丁為勾股形其己丁邊自乗之方與丁庚邊自乗之方相併而與己庚自乗之方等(見幾何原本九卷第四節)故於己庚半和自乗方内減去與原設甲乙丙丁長方積相等之己丁自乗之數開方而得庚丁為半較於己庚相等之庚壬半和内減庚丁半較而得丁壬與丁丙等之闊又於己庚相等之甲庚半和加庚丁半較而得甲丁之長也設如有長方面積八百六十四尺長闊相和六十尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其八百尺為初商積可商二十尺乃以二十尺書於原積八百尺之上而以初商二十尺與和數六十尺相減得四十尺以初商二十尺乗之得八百尺書於原積之下相減餘六十四尺為次商廉隅之共積乃以初商二十尺倍之得四十尺與和數六十尺相減餘二十尺為廉法以除六十四尺足三尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為四尺則以四尺書於原積四尺之上而以廉法二十尺與次商四尺相減得十六尺以次商四尺乗之得六十四尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得二十四尺與和六十尺相減餘三十六尺即為長方之長也如圖甲乙丙丁長方形容積八百六十四尺其甲乙邊闊二十四尺甲丁邊長三十六尺甲戊為長闊和六十尺其丁戊與甲乙等甲子二十尺為初商數與辛戊等甲辛四十尺則和内減去初商之數兩數相乗成甲子己辛長方形即初商所減之積也丁戊既與甲乙等辛戊又與甲子等則丁辛與子乙等丁庚己辛小長方積與庚丑壬丙長方積等是則次商廉隅之共積即子乙壬丑之積也次於甲戊和内減倍初商數四十尺如寅戊餘甲寅二十尺與子癸等為廉法子乙者為次商數也子乙與丑癸等則於子癸廉法内減丑癸餘子丑與次商子乙相乗得子乙壬丑小長方即次商所減之積故減原積恰盡也以初商甲子二十尺合次商子乙四尺得甲乙二十四尺為闊於甲戊長闊和六十尺内減與甲乙相等之丁戊闊二十四尺得甲丁三十六尺為長也三商以後皆倣此遞析開之又法以積八百六十四尺用四因之得三千四百五十六尺而以和六十尺自乗得三千六百尺減去四因之數餘一百四十四尺開方得一十二尺即為長闊之較乃以較十二尺與和六十尺相加得七十二尺折半得三十六尺即長方之長減較十二尺得二十四尺即長方之闊也又法先將和數六十尺折半得三十尺為半和自乗得九百尺與原積八百六十四尺相減得三十六尺開方得六尺為半較於半和減半較得二十四尺為闊於半和加半較得三十六尺為長也設如有長方面積一萬九千三百一十二尺長闊相和二百七十八尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其一萬尺為初商積可商一百尺乃以一百尺書於原積一萬尺之上而以初商一百尺與和數二百七十八尺相減得一百七十八尺以初商一百尺乗之得一萬七千八百尺書於原積之下相減餘一千五百一十二尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數相減得七十八尺為廉法以除一千五百一十二尺止足一十尺因廉法内尚要減去商數為法故取大數為三十尺則以三十尺書於原積三百尺之上而以廉法七十八尺與次商三十尺相減得四十八尺以次商三十尺乗之得一千四百四十尺書與餘積之下與餘積相減餘七十二尺為三商廉隅之共積乃以初商次商之一百三十尺倍之得二百六十尺與和數二百七十八尺相減餘十八尺為廉法以除七十二尺止足四尺亦因取大於足除之數故定為六尺則以六尺書於原積二尺之上而以廉法十八尺與三商六尺相減得十二尺以三商六尺乗之得七十二尺書於餘積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百三十六尺與和二百七十八尺相減餘一百四十二尺即為長方之長也此法次商三商皆取大於足除之數反覆商除始能相符不若四因積數減和自乗開方之法或半和自乗減原積開方之法為整齊也法以一萬九千三百一十二尺用四因之得七萬七千二百四十八尺而以和二百七十八尺自乗得七萬七千二百八十四尺減去四因之數餘三十六尺開方得六尺即為長闊之較乃以較六尺與和二百七十八尺相加得二百八十四尺折半得一百四十二尺即長方之長減較六尺得一百三十六尺即長方之闊也設如有長方面積六萬九千三百六十尺長闊相和七百八十二尺問長闊各幾何法列積如開平方法商之其六萬為初商積可除二百尺而以二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一萬六千四百尺大於積數乃改商一百尺書於原積六萬尺之上而以所商一百尺與和數七百八十二尺相減得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六萬八千二百尺書於原積之下相減餘一千一百六十尺為次商廉隅之共積乃以初商一百尺倍之得二百尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺為廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰書空位於原積三百尺之上而以二尺書於原積空尺之上而以廉法五百八十二尺與三商二尺相減得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺書於原積之下與餘積相減恰盡即知長方之闊得一百零二尺與和七百八十二尺相減餘六百八十尺即為長方之長也此法初商應商二百尺因減縱相乗得數轉大於原積故改商一百尺凡遇此類不若用四因積數之法與半和自乗之法算之法以和數七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五萬二千八百八十一尺與原積六萬九千三百六十尺相減餘八萬三千五百二十一尺開方得二百八十九尺為半較於半和減半較得一百零二尺為闊於半和加半較得六百八十尺為長也設如有錢四千七百六十文買果樹不知數但知樹之共數與每株之價相加得一百七十四問樹數及價各幾何法以共數一百七十四折半得八十七為半和自乗得七千五百六十九與共錢四千七百六十文相減餘二千八百零九開方得五十三為半較於半和減半較餘三十四為樹數於半和加半較得一百四十為樹價也此法以樹數為闊樹價為長成一長方形其樹數與樹價相加即如長闊之和故以半和自乗減積開方得半較既得半較以減半和為樹數加半和為樹價也設如有法書一卷共一千一百五十九字其行數與每行字數相加共八十問行數及字數各幾何法以和數八十折半得四十為半和自乗得一千六百與共字一千一百五十九相減餘四百四十一開方得二十一為半較於半和加半較得六十一為行數於半和減半較餘十九為每行字數也設如有五百八十八人用船均載其船數與每船所載人數相加比船數多四分之三問船數與每船所載人數各幾何法先用比例分其積以三分為一率一分為二率五百八十八人為三率得四率一百九十六人用開平方法開之得十四為船數以三因之得四十二為每船所載之人數也此以船數為闊每船所載人數為長成一長方形船數與人數相加即如長闊之和和數既比船數多四分之三則是和數為四分每船所載人數為三分船數為一分即闊為一分長為三分也故將共人數三分之而取其一則人數與船數同為一分而成正方形矣故平方開之即得船數每船所載人數既為船數之三倍故三因之為所載人數也御製數理精藴下編卷十一
## 下編卷十二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十二面部二勾股(定勾股無零數法形内勾股弦相求法附勾股求積 勾股 求中垂線及容方圓)(等形相求勾股弦和較 法)勾股周髀曰折矩以為勾廣三股修四徑隅五既方其外半其一矩環而共盤得成三四五兩矩共長二十有五是為積矩此言勾股正數之所以立法也葢勾股得長方之半形故其一角必成矩(所謂直角也)而後可謂勾股如其一角不能成矩則為三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立於圜界之正一半而自直角所作垂線遂成連比例三率是以直角相對界所作方形之積必與兩傍二界所作兩方形之積等(見幾何原)(本九卷第四節)而勾股弦彼此相求之法於此生焉其法所該有四一勾股弦三者知其二而得其一或知其二而得其積一勾股形自其直角對弦界求垂線一勾股形内容方圓等形一勾股弦三者知其一復知其餘二者之較或二者之和而得其二或知其兩較或兩和或一較一和而得其三(勾股弦和較之法雖雜出多端然皆不出勾股)(弦方積相求之理較有勾股較勾弦較股弦較和有勾股和勾弦和股弦和和較相疉則又有弦與勾股)(和相和或名之曰弦和和有弦與勾股和相較或名之曰弦和較有弦與勾股較相和或名之曰弦較和)(有弦與勾股較相較或名之曰弦較較又有勾與股弦和相和者或名之曰勾和和股與勾弦和相和者)(或名之曰股和和即弦和和也勾與股弦和相較者或名之曰勾和較股與勾弦較相和者或名之曰股)(較和即弦較和也股與勾弦和相較者或名之曰股和較勾與股弦較相和者或名之曰勾較和即弦較)(較也勾與股弦較相較者或名之曰勾較較股與勾弦較相較者或名之曰股較較即弦和較也)此四者皆勾股之正法理一定而數隨之者也至若勾三股四弦五之類倍之至於億兆而總不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之則三者止有其一即可得其二或有積而即得其三界此為數一定而法隨之者也一一按類列題發明如左定勾股弦無零數法設如用二四八連比例三率定勾股弦無零數問各得幾何法以中率四命為四尺為股首率二尺與末率八尺相減餘六尺折半得三尺為勾首率二尺與末率八尺相加得十尺折半得五尺為弦也如圖甲乙為首率二尺丙乙為中率四尺乙丁為末率八尺今以甲乙與乙丁相和共為甲丁十尺而以丙乙立於甲丁線相和之乙處乃以甲丁折半於戊以戊為心甲丙丁為界作半圜復以丙至甲至丁作丙甲丙丁二線遂成甲丙丁勾股形其丙角立於圜界之半必為直角(見幾何原本四卷第)(十四節)而丙乙為垂線即將甲丙丁勾股形分為甲乙丙丙乙丁兩勾股形而與原形為同式三勾股形矣(見幾何原本九卷第一節)其甲乙與丙乙之比同於丙乙與乙丁之比為連比例三率故以中率丙乙為股而首率甲乙(與己丁等)與末率乙丁相減餘乙己折半得乙戊為勾又首率甲乙與末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半徑與丙戊等為弦也此法原為定勾股弦三者俱無零數之法所設之數必彼此可以度盡始可立為準則否則勾股弦三者必有一不盡之數矣設如有四六可以度盡之兩數欲定勾股弦無零數問各得幾何法以四尺為首率六尺為中率將中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺為末率乃以中率六尺為股首率四尺與末率九尺相減餘五尺折半得二尺五寸為勾首率四尺與末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸為弦也如圖甲乙為首率四尺丙乙為中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半於戊以戊為心甲丙丁為界作半圜復自丙至甲至丁作二線則成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即為丙直角之垂線故以中率丙乙為股而首率甲乙與末率乙丁相減餘乙己折半得乙戊為勾而首率甲乙與末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁與丙戊等為弦也設如有四六九連比例三率以中率六倍之為股定勾弦無零數問各得幾何法以首率四尺與末率九尺相減餘五尺為勾首率四尺與末率九尺相加得十三尺為弦也如圖甲乙為首率四尺丙乙為中率六尺乙丁為末率九尺爰以甲乙首率與乙丁末率相和折半於戊以戊為心甲丙丁為界作一全圜復自丙至甲至丁作二線則成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即為丙直角之垂線今將中率丙乙倍之即得丙庚為股故以首率甲乙(與己丁等)與末率乙丁相減餘乙己與庚辛等為勾又首率甲乙與末率乙丁相加得甲丁全徑與丙辛等為弦也葢前二法用中率為股故以首率末率相減折半為勾首率末率相加折半為弦此法則倍中率為股故以首率末率相減即為勾首率末率相加即為弦而皆不用折半也又圖甲乙為首率四尺乙丙為末率九尺甲丙為首率與末率相加之十三尺丁丙為首率與末率相減所餘之五尺如依甲丙線度作甲戊己丙正方形即為弦自乗之方如依丁丙線度作丁庚辛丙正方形即為勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形將兩邊線引長至甲戊己丙正方形界則成甲癸丑乙與丑壬己子二長方形仍餘癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引長至乙丑子丙正方形之丑子界則又成乙丑寅丁一長方形與前一長方形等仍餘庚寅子辛一小長方形合前癸戊壬丑一小正方形則亦與前一長方形等是此四長方形皆為首率與末率相乗之長方而與中率自乗之正方形相等矣(見算法原本二卷第三節)如以此四長方形共計之則為甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既為弦自乗之一正方而丁庚辛丙又為勾自乗之一正方則兩方相減所餘之甲戊己辛庚丁磬折形之積與股自乗之一正方等(見幾何原本九卷第四節)甲戊己辛庚丁磬折形既為四長方之共積則四長方之共積亦必與股自乗之一正方等首率末率相乗之四長方既與股自乗之一正方等則中率自乗之四正方亦必與股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而為股自乗之一正方則其每邊必比中率各大一倍(見幾何原本七卷第五節)故倍中率而為股者必取首率末率之和而為弦首率末率之較而為勾葢首率末率相和自乗之一正方内減去首率末率相較自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方積也勾股弦相求法(勾股求積附)設如有股四尺勾三尺求弦幾何法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺開方得五尺即為弦也如圖甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形積乙丙勾所作乙己庚丙正方形積相併必與甲丙弦所作甲丙壬辛正方形積等試自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形而甲乙丙勾股形分為甲乙癸乙丙癸同式兩勾股形矣其甲癸與甲乙之比同於甲乙與甲丙之比為連比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形與甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛長方形之積相等也又癸丙與乙丙之比同於乙丙與甲丙之比為連比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形與癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子長方形之積相等也一正方所分之二長方既與二正方之積相等則此二正方之積相合與彼一正方之積相等可知矣設如有勾五尺弦十三尺求股幾何法以勾五尺自乗得二十五尺弦十三尺自乗得一百六十九尺相減餘一百四十四尺開方得十二尺即為股也如圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形其癸丙壬子長方形積與乙丙勾所作乙己庚丙正方形積等其甲癸子辛長方形積與甲乙股所作丁戊乙甲正方形積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内減去與乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子長方形餘甲癸子辛長方形即與丁戊乙甲正方形之積相等故開方而得甲乙為股也設如有股二十一尺弦二十九尺求勾幾何法以股二十一尺自乗得四百四十一尺弦二十九尺自乗得八百四十一尺相減餘四百尺開方得二十尺即為勾也如圖甲乙丙勾股形自乙直角過甲丙弦作一乙癸子線則將甲丙壬辛正方形分為甲癸子辛癸丙壬子二長方形其甲癸子辛長方形積與甲乙股所作丁戊乙甲正方形積等其癸丙壬子長方形積與乙丙勾所作乙己庚丙正方形積等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内減去與丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛長方形餘癸丙壬子長方形即與乙己庚丙正方形之積相等故開方而得乙丙為勾也設如有勾六尺股八尺求面積幾何法以勾六尺與股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺為面積也如圖甲乙丙勾股形其乙丙勾與甲乙股相乗則成甲乙丙丁長方形其積比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股積也若有勾弦求面積則用勾弦求股之法得股與勾相乗折半得面積或有股弦求面積則用股弦求勾之法得勾與股相乗折半得面積也又法將勾六尺折半得三尺與股八尺相乗亦得二十四尺為面積也如圖甲乙丙勾股形將乙丙勾折半為乙丁與甲乙股相乗成甲乙丁戊長方形其甲戊己小勾股形與己丁丙小勾股形之積等如以甲戊己小勾股形移於己丁丙適合甲乙丙勾股形積故甲乙丁戊長方形積與甲乙丙勾股形積相等也勾股形内求中垂線及容方圓等形設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作垂線問得幾何法以弦十尺為一率勾六尺為二率股八尺為三率推得四率四尺八寸即為自直角對弦界所作垂線也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線則將甲乙丙勾股形分為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲乙勾之比同於今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦與甲丁勾之比而為相當比例四率也設如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角對弦界作垂線分弦為二段問所分二段大小各幾何法以勾六尺自乗得三十六尺以弦十尺除之得三尺六寸為垂線所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以弦十尺除之得六尺四寸為垂線所分之大界也如圖甲乙丙勾股形作甲丁垂線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙兩勾股形皆與原形為同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲乙勾之比同於今所分甲丁乙勾股形之甲乙弦與乙丁勾之比為連比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙弦與甲丙股之比又同於今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦與丙丁股之比亦為連比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又為今所分甲丁乙勾股形之弦者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦為首率除之得末率乙丁為甲丁垂線所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又為今所分甲丁丙勾股形之弦者為中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦為首率除之得末率丁丙為甲丁垂線所分之大界也設如有勾五尺股十二尺問内容方邊幾何法以勾五尺與股十二尺相加得十七尺為一率勾五尺為二率股十二尺為三率推得四率三尺五寸二分九釐有餘為内容方邊也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股十二尺乙丙為勾五尺試依乙丙勾數將甲乙股引長作甲戊線為勾股和十七尺自戊與乙丙勾平行作戊丁線又將甲丙弦引長作甲丁線則成甲戊丁同式勾股形復自丙角與甲戊線平行作丙壬線則成丙壬戊乙正方即為甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股與乙丙方邊之比同於甲乙丙勾股形之甲乙股與己辛方邊之比也設如有方城一座四正有門自南門直行八里有一塔自西門直行至二里切城角亦望見塔問城每面幾何法以西門外二里與南門外八里相乗得十六里開方得四里倍之得八里即為城每一面之數也如圖甲乙丙勾股形乙己為西門外二里甲丁為南門外八里戊己與戊丁皆為城之每邊之一半而甲丁戊勾股形與戊己乙勾股形為同式故乙己與己戊之比同於戊丁與丁甲之比為相當比例四率且己戊與戊丁皆為一體故又為相連比例三率是以乙己首率與甲丁末率相乗開方而得戊丁或戊己皆為中率為城之每邊之一半也設如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊長方形但知丁戊寛為戊丙長四分之一從甲至戊為四尺從乙至己為九尺問長方及勾股各幾何法以甲戊四尺與乙己九尺相乗得三十六尺為内容長方之積用四歸之得九尺開方得三尺為己丙即長方之闊以四因之得十二尺為戊丙即長方之長以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺為股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺為勾也葢丁己乙勾股形與甲戊丁勾股形皆與甲乙丙勾股形為同式故丁己乙勾股形之乙己勾與丁己股之比即同於甲戊丁勾股形之丁戊勾與甲戊股之比而乙己首率與甲戊四率相乗之數必與丁己二率與丁戊三率相乗之數相等是以乙己與甲戊相乗即為丁己丙戊長方形之積也丁戊既為戊丙之四分之一則以四歸之即成丁戊線所作之正方形積故開方得丁戊之闊又四因之而得戊丙之長也既得丁戊而丁戊與己丙等故己丙與乙己相加得乙丙之勾而戊丙與甲戊相加得甲丙之股也設如有勾八尺股十五尺弦十七尺問内容圓徑幾何法以勾八尺與股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺弦十七尺三數相加共四十尺除之得三尺為容圓半徑倍之得六尺為容圓全徑也如圖甲乙丙勾股形内容丁圜形試自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三線則分甲乙丙勾股形為甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股弦三線皆為三角形之底邊而丁戊半徑皆為其垂線矣今勾股相乗所得之長方積原比甲乙丙勾股形積大一倍即如將所分三三角形各用垂線乗底邊所得之三長方積合為一長方也三長方之長雖不同而闊則一故各以長除積而得闊者即如合勾股弦三邊除勾股相乗之積而得半徑也又法以勾八尺與股十五尺相加得二十三尺内減弦十七尺餘六尺即為内容圓之全徑也如圖甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三線又作丁戊丁己丁庚三垂線則丙戊與丙己等甲戊與甲庚等乙己與乙庚原等甲乙股與乙丙勾相併比甲丙弦所多者惟乙己乙庚二段今於甲乙股乙丙勾相併度内減去甲丙弦即如甲乙股内減去與甲戊等之甲庚乙丙勾内減去與丙戊等之丙己所餘者止乙庚與乙己皆為圓之半徑二半徑相合非全徑耶勾股弦和較相求法(上)勾股弦和較相求之法錯綜變換共有六十舊算書所有者八按舊法可以變通者三十有四舊法所無今創立者一十有八依題比類列目於前按法循序設問於後以備人之觀覽焉有勾有股弦較求股弦(第一舊有)有勾有股弦和求股弦(第二舊有)有股有勾弦較求勾弦(第三舊有)有股有勾弦和求勾弦(第四舊有)有弦有勾股較求勾股(第五舊有)有弦有勾股和求勾股(第六舊有)有勾弦和有股弦和求勾股弦(第七舊有)有勾股和有股弦和求勾股弦(第八新立)有勾股和有勾弦和求勾股弦(第九新立)有勾弦較有股弦較求勾股弦(第十舊有)有勾股較有勾弦較求勾股弦(第十一按舊法變通)有勾股較有股弦較求勾股弦(第十二按舊法變通)有勾股和有勾弦較求勾股弦(第十四新立)有勾股和有股弦較求勾股弦(第十五新立)有勾弦和有股弦較求勾股弦(並見第十五新立)有勾弦和有勾股較求勾股弦(第十三按舊法變通)有股弦和有勾弦較求勾股弦(并見第十四新立)有股弦和有勾股較求勾股弦(并見第十三按舊法變通)有勾有勾股弦總和求股弦(第十八按舊法變通)有勾有弦與勾股和之較求股弦(第十六按舊法變通)有勾有弦與勾股較之和求股弦(第十九按舊法變通)有勾有弦與勾股較之較求股弦(第十七按舊法變通)有股有勾股弦總和求勾弦(第二十二按舊法變通)有股有弦與勾股和之較求勾弦(第二十按舊法變通)有股有弦與勾股較之和求勾弦(第二十三按舊法變通)有股有弦與勾股較之較求勾弦(第二十一按舊法變通)有弦有勾股弦總和求勾股(第二十六按舊法變通)有弦有弦與勾股和之較求勾股(第二十四按舊法變通)有弦有弦與勾股較之和求勾股(第二十七按舊法變通)有弦有弦與勾股較之較求勾股(第二十五按舊法變通)有勾股和有勾股弦總和求勾股弦(并見第二十六按舊)(法變通)有勾股和有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第二)(十四按舊法變通)有勾股和有弦與勾股較之和求勾股弦(第三十八)(新立)有勾股和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十七)(新立)有勾弦和有勾股弦總和求勾股弦(并見第二十二按舊)(法變通)有勾弦和有弦與勾股和之較求勾股弦(第三十九)(新立)有勾弦和有弦與勾股較之和求勾股弦(第十四新)(立)有勾弦和有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第二)(十一按舊法變通)有股弦和有勾股弦總和求勾股弦(并見第十八按舊法)(變通)有股弦和有弦與勾股和之較求勾股弦(第四十一)(新立)有股弦和有弦與勾股較之和求勾股弦(並見第十)(九按舊法變通)有股弦和有弦與勾股較之較求勾股弦(第四十二)(新立)有勾股較有勾股弦總和求勾股弦(第三十四新立)有勾股較有弦與勾股和之較求勾股弦(第四十三)(新立)有勾股較有弦與勾股較之和求勾股弦(并見第二)(十七按舊法變通)有勾股較有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第二)(十五按舊法變通)有勾弦較有勾股弦總和求勾股弦(第三十五新立)有勾弦較有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第二)(十按舊法變通)有勾弦較有弦與勾股較之和求勾股弦(并見第二)(十三按舊法變通)有勾弦較有弦與勾股較之較求勾股弦(第四十四)(新立)有股弦較有勾股弦總和求勾股弦(第三十六新立)有股弦較有弦與勾股和之較求勾股弦(并見第十)(六按舊法變通)有股弦較有弦與勾股較之和求勾股弦(第四十五)(新立)有股弦較有弦與勾股較之較求勾股弦(并見第十)(七按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股和之較求勾股弦(第三十三按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股較之和求勾股弦(第三十按舊法變通)有勾股弦總和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十一按舊法變通)有弦與勾股和之較有弦與勾股較之和求勾股弦(第二十九按舊法變通)有弦與勾股和之較有弦與勾股較之較求勾股弦(第二十八按舊法變通)有弦與勾股較之和有弦與勾股較之較求勾股弦(第三十二按舊法變通)設如有勾十五尺股弦較五尺求股弦各幾何(第一)法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股弦較五尺除之得四十五尺為股弦和與股弦較五尺相加得五十尺折半得二十五尺為弦於弦二十五尺内減股弦較五尺餘二十尺為股也如圖甲乙為勾十五尺丁乙為股弦較五尺試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾股形復以丁乙線引長而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為連比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股弦較除之得末率乙丙為股弦和也乙丙與丁乙相加得丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於丁戊半徑内減丁乙股弦較餘乙戊即為股也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即股弦和其庚乙闊即股弦較故將勾自乗之數以股弦較除之而得股弦和也又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股弦較五尺自乗得二十五尺相減餘二百尺折半得一百尺以股弦較五尺除之得二十尺為股加股弦較五尺得二十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等而已壬丙辛即股弦較自乗之正方積也於乙丙丁戊己庚磬折形積内減己壬丙辛股弦較自乗之正方積餘庚乙壬己與戊己辛丁二長方形折半即餘戊己辛丁一長方形其戊己長即股其己辛闊即股弦較故以股弦較除折半之積而得股也設如有勾二十八尺股弦和九十八尺求股弦各幾何(第二)法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股弦和九十八尺除之得八尺為股弦較與股弦和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺為弦於股弦和九十八尺内減弦五十三尺餘四十五尺為股也如圖甲乙為勾二十八尺乙丙為股弦和九十八尺試自甲至丙作甲丙線則成甲乙丙勾股形復以乙丙線引長而以甲為直角作甲丁線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心作丙甲丁半圜則乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股弦和除之得末率丁乙為股弦較也丁乙與乙丙相加得丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙丙股弦和内減戊丙半徑或於丁戊半徑内減丁乙股弦較餘乙戊即為股也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為股自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與勾自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即股弦和其庚乙闊即股弦較故勾自乗之數以股弦和除之而得股弦較也又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股弦和九十八尺自乗得九千六百零四尺兩數相加得一萬零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股弦和九十八尺除之得五十三尺為弦於股弦和九十八尺内減弦五十三尺餘四十五尺為股也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之正方積内戊己丙庚為弦自乗之正方積甲辛戊壬為股自乗之正方積辛乙己戊與壬戊庚丁為股弦相乗之二長方積勾自乗之正方積則與癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方積則成癸子戊丑正方形為一勾方一股方相和之積而與戊己丙庚一弦方之積相等今以勾自乗之磬折形之積加於股弦和自乗之正方積内即如將癸寅壬丑長方形移補於子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大長方形折半則餘壬己丙丁一長方形其闊即弦其長即股弦和故以股弦和除折半之積而得弦也設如有股三十二尺勾弦較十六尺求勾弦各幾何(第三)法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾弦較十六尺除之得六十四尺為勾弦和與勾弦較十六尺相加得八十尺折半得四十尺為弦於弦四十尺内減勾弦較十六尺餘二十四尺為勾也如圖甲乙為股三十二尺丁乙為勾弦較十六尺試自甲至丁作甲丁線則成甲乙丁勾股形復以丁乙線引長而以甲為直角作甲丙線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則丁乙甲乙乙丙即為連比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾弦較除之得末率乙丙為勾弦和也丁乙與乙丙相加為丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於丁戊半徑内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦和其庚乙闊即勾弦較故將股自乗之數以勾弦較除之而得勾弦和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾弦較十六尺自乗得二百五十六尺相減餘七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾弦較十六尺除之得二十四尺為勾加勾弦較十六尺得四十尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等而以壬丙辛即勾弦較自乗之正方積也於乙丙丁戊己庚磬折形積内減己壬丙辛勾弦較自乗之正方積餘庚乙壬己與戊己辛丁二長方形折半即餘戊己辛丁一長方形其戊己長即勾其己辛闊即勾弦較故以勾弦較除折半之積而得勾也設如有股八尺勾弦和十六尺求勾弦各幾何(第四)法以股八尺自乗得六十四尺以勾弦和十六尺除之得四尺為勾弦較與勾弦和十六尺相加得二十尺折半得十尺為弦於勾弦和十六尺内減弦十尺餘六尺為勾也如圖甲乙為股八尺乙丙為勾弦和十六尺試自甲至丙作甲丙線則成甲乙丙勾股形復以乙丙線引長而以甲為直角作甲丁線則又成丙甲丁勾股形爰以丁丙線折半於戊而以戊為心甲為界作丙甲丁半圜則乙丙甲乙丁乙即為連比例三率故將中率甲乙股自乗以首率乙丙勾弦和除之得末率丁乙為勾弦較也丁乙與乙丙相加為丁丙全徑折半得丁戊戊丙半徑俱與甲戊等故甲戊為弦於乙丙勾弦和内減戊丙半徑或丁戊半徑内減丁乙勾弦較餘乙戊即為勾也又圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積甲庚己戊為勾自乗之正方積故乙丙丁戊己庚磬折形與股自乗之正方積相等今將戊己辛丁移為辛壬癸丙則成庚乙癸壬一長方形其庚壬長即勾弦和其庚乙闊即勾弦較故股自乗之數以勾弦和除之而得勾弦較也又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾弦和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾弦和十六尺除之得十尺為弦於勾弦和十六尺内減弦十尺餘六尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之正方積内戊己丙庚為弦自乗之正方積甲辛戊壬為勾自乗之正方積辛乙己戊與壬戊庚丁為勾弦相乗之二長方積股自乗之正方積則與癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方積則成癸子戊丑正方形為一勾方一股方相和之積而與戊己丙庚一弦方之積相等今以股自乗之磬折形之積加於勾弦和自乗之正方積内即如將癸寅壬丑長方形移補於子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大長方形折半則餘壬己丙丁一長方形其闊即弦其長即勾弦和故以勾弦和除折半之積而得弦也設如有弦三十四尺勾股較十四尺求勾股各幾何(第五)法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股較自乗得一百九十六尺相減餘九百六十尺折半得四百八十尺為勾股相乗之一長方形積乃以勾股較十四尺為長闊較用帶縱較數開方法算之得闊十六尺為勾得長三十尺為股也如圖甲乙丙丁為弦自乗之正方積戊己庚辛為勾股較自乗之正方積相減餘甲戊乙類四勾股形為二長方形積折半餘一長方形積其闊即勾其長即股其長闊較即勾股較故以帶縱較數開方法算之而得闊為勾得長為股也又法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股較十四尺自乗得一百九十六尺相減餘二千一百一十六尺開方得四十六尺為勾股和於勾股和四十六尺内減勾股較十四尺餘三十二尺折半得十六尺為勾於勾十六尺加勾股較十四尺得三十尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之正方内容甲戊己類八勾股積與壬癸子丑一勾股較積戊己庚辛為弦自乗之正方内容戊癸己類四勾股積與壬癸子丑一勾股較積倍之則為八勾股積二勾股較積即如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬癸子丑一小正方形今減所餘壬癸子丑一小正方形(即一勾股較積)仍餘八勾股積一勾股較積為甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故開方而得勾股和也設如有弦三十九尺勾股和五十一尺求勾股各幾何(第六)法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺相減餘一千零八十尺折半得五百四十尺為勾股相乗之一長方形積乃以勾股和五十一尺為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊十五尺為勾得長三十六尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之正方積戊己庚辛為弦自乗之正方積相減餘甲戊己類四勾股形為二長方形積折半餘一長方形積其闊即勾其長即股其長闊和即勾股和故以帶縱和數開方法算之而得闊為勾得長為股也又法以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相減餘四百四十一尺開方得二十一尺為勾股較於勾股和五十一尺内減勾股較二十一尺餘三十尺折半得十五尺為勾於勾十五尺加勾股較二十一尺得三十六尺為股也如圖戊己庚辛為弦自乗之正方内容戊癸己類四勾股積與壬癸子丑一勾股較積倍之則為八勾股積二勾股較積即如甲乙丙丁一大正方形仍餘壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁為勾股和自乘之正方内容甲戊巳類八勾股積壬癸子丑一勾股較積今以所倍之一大正方形又餘一小正方形内減甲乙丙丁正方形即餘壬癸子丑一小正方形為勾股較積故開方而得勾股較也設如有勾弦和二十四尺股弦和二十七尺求勾股弦各幾何(第七)法以勾弦和二十四尺與股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺開方得三十六尺為勾股弦總和於總和三十六尺内減勾弦和二十四尺餘十二尺為股於總和三十六尺内減股弦和二十七尺餘九尺為勾於股弦和二十七尺内減股十二尺或勾弦和二十四尺内減勾九尺餘十五尺為弦也如圖甲乙線為勾弦和甲丁線為股弦和相乗得甲乙丙丁長方形内戊己庚丁為弦自乗之正方辛乙壬己為勾股相乗之長方甲辛巳戊為股弦相乘之長方己壬丙庚為勾弦相乗之長方倍之即為癸子丑寅一大正方其每一邊即勾股弦之總和其卯辰己寅為弦自乗之正方即如前圖之戊己庚丁然其午未申辰為股自乘之正方其酉子戌未為勾自乗之正方兩方相合又與前圖戊己庚丁弦自乗之正方相等其艮酉未午與未戌乾申為勾股相乗之二長方每一形即如前圖之辛乙壬己然其亥午辰卯與辰申坎巳為股弦相乗之二長方每一形即如前圖之甲辛己戊然其癸艮午亥與申乾丑坎為勾弦相乗之二長方每一形即如前圖之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁長方每一形俱多一倍故甲乙勾弦和甲丁股弦和相乗所成之甲乙丙丁長方倍之而與癸子丑寅正方等開方得癸子類之每一邊皆為勾股弦之總和也設如有勾股和二十一尺股弦和二十七尺求勾股弦各幾何(第八)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股弦和二十七尺自乗得七百二十九尺兩數相減餘二百八十八尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和二十七尺相減餘六尺為勾弦較(葢股與勾)(和股與弦和皆為一股所和故相減即勾弦較也)自乗得三十六尺與兩和自乗相減之餘二百八十八尺相加得三百二十四尺開方得十八尺為股與勾弦較之和内減勾弦較六尺餘十二尺為股於勾股和二十一尺内減股十二尺餘九尺為勾加勾弦較六尺得十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己為股自乘之一正方辛己壬丁為勾自乘之一正方甲戊已辛與己庚丙壬為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為股弦和自乗之一大正方内卯子巳辰為股自乗之一正方午辰未寅為弦自乗之一正方癸卯辰午與辰巳丑未為股弦相乗之二長方今甲乙丙丁勾股和自乗之方與癸子丑寅股弦和自乗之方相減則於癸子丑寅股弦和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌乾勾自乗之一正方又去申卯辰酉與辰巳亥戌勾股相乗之二長方所餘癸申酉午與戌亥丑未二長方為勾弦較與股相乗之二長方又午酉乾戌未寅一磬折形為弦自乗之一正方内減勾自乗之一正方所餘之股自乗之一正方如以此磬折形積作一股自乗之一正方再加癸申酉午與戌亥丑未之勾弦較與股相乗之二長方則惟缺午艮未震為勾弦較自乗之一小正方今以勾弦較自乗之數加於兩和自乗相減之餘甫成癸坎丑震一正方故開方而得癸坎類之每一邊為股與勾弦較相和之數也設如有勾股和二十一尺勾弦和二十四尺求勾股弦各幾何(第九)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾弦和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相減餘一百三十五尺乃以勾股和二十一尺與勾弦和二十四尺相減餘三尺為股弦較(葢勾與股)(和勾與弦和皆為一勾所和故相減即股弦較也)自乗得九尺與兩和自乗相減之餘一百三十五尺相加得一百四十四尺開方得十二尺為勾與股弦較之和内減股弦較三尺餘九尺為勾於勾股和二十一尺内減勾九尺餘十二尺為股加股弦較三尺得十五尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己為勾自乗之一正方辛已壬丁為股自乗之一正方甲戊已辛與己庚丙壬為勾股相乘之二長方又癸子丑寅為勾弦和自乗之一大正方内卯子巳辰為勾自乗之一正方午辰未寅為弦自乗之一正方癸卯辰午與辰己丑未為勾弦相乗之二長方今甲乙丙丁勾股和自乗之方與癸子丑寅勾弦和自乗之方相減則於癸子丑寅勾弦和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌乾股自乘之一正方又去申卯辰酉與辰己亥戌勾股相乗之二長方所餘癸申酉午與戌亥丑未二長方為股弦較與勾相乗之二長方又午酉乾戌未寅一磬折形為弦自乗之一正方内減股自乗之一正方所餘之勾自乗之一正方如以此磬折形積作一勾自乗之一正方再加癸申酉午與戌亥丑未之股弦較與勾相乗之二長方則惟缺午艮未震為股弦較自乗之一小正方今以股弦較自乗之數加於兩和自乗相減之餘甫成癸坎丑震一正方故開方而得癸坎類之每一邊為勾與股弦較相和之數也設如有勾弦較九尺股弦較二尺求勾股弦各幾何(第十)法以勾弦較九尺與股弦較二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺開方得六尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得八尺為勾加勾弦較九尺得十五尺為股於勾數加勾弦較九尺得十七尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之一正方二方相減所餘甲乙己戊庚丁磬折形即與勾自乗之一正方等而乙己與庚丁皆為股弦較試作甲壬癸辛一正方為勾自乗之方則壬乙與辛丁皆為股弦較其壬丑與乙己等辛子與丁庚等亦皆為股弦較以壬乙之勾弦較與壬丑之股弦較相乗則成壬乙己丑之一長方形以辛丁之勾弦較與辛子之股弦較相乗則成辛子庚丁之一長方形此兩長方形必與戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁與勾自乗之一正方相等之磬折形内減甲壬丑戊子辛一小磬折形則餘壬乙己丑與辛子庚丁二長方形若於甲壬癸辛勾自乗之一正方内減甲壬丑戊子辛磬折形則餘戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既與甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同減去甲壬丑戊子辛磬折形則彼所餘之二長方必與此所餘之一正方相等可知矣故勾弦較與股弦較相乗倍之開方而得弦比勾股和相差之較加股弦較得勾加勾弦較而得股也(葢圖以乙丙為弦己)(丙為股故乙己為股弦較若以壬癸勾與己丙股相和則壬癸勾之壬丑一段)(即為股弦較而勾股和比弦所多者惟丑癸一段故丑癸為弦比勾股和相差)(之較也)設如有勾股較三十四尺勾弦較三十六尺求勾股弦各幾何(第十一)法以勾股較三十四尺與勾弦較三十六尺相減餘二尺為股弦較即如前法以股弦較二尺與勾弦較三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺開方得十二尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得十四尺為勾加勾弦較三十六尺得四十八尺為股於勾數加勾弦較三十六尺得五十尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得五十尺為弦也如圖甲乙為勾甲丙為股甲丁為弦乙丙為勾股較乙丁為勾弦較而丙丁為股弦較今以乙丁勾弦較減乙丙勾股較所餘丙丁即為股弦較既得股弦較則如勾弦較股弦較求勾股弦之法算之即得各數矣設如有勾股較十四尺股弦較二尺求勾股弦各幾何(第二十)法以勾股較十四尺與股弦較二尺相加得十六尺為勾弦較即如前法以勾弦較十六尺與股弦較二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺開方得八尺為弦比勾股和相差之較加股弦較二尺得十尺為勾加勾弦較十六尺得二十四尺為股於勾數加勾弦較十六尺得二十六尺為弦或於股數加股弦較二尺亦得二十六尺為弦也如圖甲乙為勾甲丙為股甲丁為弦乙丙為勾股較丙丁為股弦較而乙丁為勾弦較今以乙丙勾股較與丙丁股弦較相加則得乙丁之勾弦較既得勾弦較則如勾弦較股弦較求勾股弦之法算之即得各數矣設如有勾弦和二十四尺勾股較三尺求勾股弦各幾何(第十三)法以勾弦和二十四尺加勾股較三尺得二十七尺為股弦和用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之以勾弦和二十四尺與股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺開方得三十六尺為勾股弦總和内減勾弦和二十四尺餘十二尺為股減勾股較三尺餘九尺為勾於勾弦和二十四尺内減勾九尺餘十五尺為弦也如圖甲丙為股乙丙為勾丙丁為弦乙丁為勾弦和甲乙為勾股較而甲丁為股弦和故甲乙勾股較與乙丁勾弦和相加得甲丁為股弦和也若夫股弦和勾股較求勾股弦者則於股弦和内減勾股較即勾弦和亦用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙為股乙丙為勾丙丁為弦則甲丁為股弦和甲乙為勾股較而乙丁為勾弦和故於甲丁股弦和内減甲乙勾股較餘乙丁為勾弦和也設如有勾股和二十三尺勾弦較九尺求勾股弦各幾何(第十四)法以勾股和二十三尺加勾弦較九尺得三十二尺為股弦和用勾股和股弦和求勾股弦之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺兩數相減餘四百五十九尺乃以勾弦較九尺自乗得八十一尺與兩和自乗相減之餘四百九十五尺相加得五百七十六尺開方得二十四尺為股與勾弦較之和内減勾弦較九尺餘十五尺為股於勾股和二十三尺内減股十五尺餘八尺為勾加勾弦較九尺得十七尺為弦也如圖甲丙為弦乙丙為勾丙丁為股乙丁為勾股和甲乙為勾弦較而甲丁為股弦和故甲乙勾弦較與乙丁勾股和相加得甲丁為股弦和也若夫股弦和勾弦較求勾股弦者則於股弦和内減勾弦較即勾股和亦用勾股和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙為弦乙丙為勾丙丁為股則甲丁為股弦和甲乙為勾弦較而乙丁為勾股和故於甲丁股弦和内減甲乙勾弦較餘乙丁為勾股和也設如有勾股和十七尺股弦較一尺求勾股弦各幾何(第十五)法以勾股和十七尺加股弦較一尺得十八尺為勾弦和用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾弦和十八尺自乗得三百二十四尺兩數相減餘三十五尺乃以股弦較一尺自乗仍得一尺與兩和自乗相減之餘三十五尺相加得三十六尺開方得六尺為勾與股弦較之和内減股弦較一尺餘五尺為勾於勾股和十七尺内減勾五尺餘十二尺為股加股弦較一尺得十三尺為弦也如圖甲乙為勾乙丙為股乙丁為弦甲丙為勾股和丙丁為股弦較而甲丁為勾弦和故甲丙勾股和與丙丁股弦較相加得甲丁為勾弦和也若夫勾弦和股弦較求勾股弦者則於勾弦和内減股弦較即勾股和亦用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之如甲乙為勾乙丙為股乙丁為弦則甲丁為勾弦和丙丁為股弦較而甲丙為勾股和故於甲丁勾弦和内減丙丁股弦較餘甲丙為勾股和也設如有勾八尺弦與勾股和之較六尺求股弦各幾何(第十六)法以勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為勾乙丙為股甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦與勾股和之較丁乙為股弦較故甲乙勾内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙為股弦較也若有股弦較與弦與勾股和之較求勾股弦者則以股弦較與弦與勾股和之較相加即勾亦用有勾有股弦較求股弦法算之設如有勾八尺弦與勾股較之較十尺求股弦各幾何(第十七)法以勾八尺與弦與勾股較之較十尺相減餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為股丙乙為勾甲丁為弦甲丙為勾股較乙丁為股弦較丙丁為弦與勾股較之較故丙丁弦與勾股較之較内減丙丁勾餘乙丁為股弦較也若有股弦較與弦與勾股較之較求勾股弦者則以股弦較與弦與勾股較之較相減餘即勾亦用有勾有股弦較求股弦法算之設如有勾八尺勾股弦總和四十尺求股弦各幾何(第十八)法以勾八尺與勾股弦總和四十尺相減餘三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為勾乙丙為股丙丁為弦甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙勾餘乙丁為股弦和也若有股弦和與勾股弦總和求勾股弦者則以股弦和與勾股弦總和相減餘即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之設如有勾八尺弦與勾股較之和二十四尺求股弦各幾何(第十九)法以勾八尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為勾甲丙為股乙丙為勾股較丙丁為弦甲丁為股弦和乙丁為弦與勾股較之和故以甲乙勾與乙丁弦與勾股較之和相加得甲丁為股弦和也若有股弦和與弦與勾股較之和求勾股弦者則於股弦和内減弦與勾股較之和餘即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之設如有股十五尺弦與勾股和之較六尺求勾弦各幾何(第二十)法以股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙為股乙丙為勾甲丙為勾股和丁丙為弦甲丁為弦與勾股和之較丁乙為勾弦較故甲乙股内減甲丁弦與勾股和之較餘丁乙即勾弦較也若有勾弦較與弦與勾股和之較求勾股弦者則以勾弦較與弦與勾股和之較相加即股亦用有股有勾弦較求勾弦法算之設如有股十五尺弦與勾股較之較十尺求勾弦各幾何(第二十一)法以股十五尺與弦與勾股較之較十尺相加得二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股甲丙為勾丙丁為弦甲丁為勾弦和丙乙為勾股較乙丁為弦與勾股較之較故以甲乙股與乙丁弦與勾股較之較相加得甲丁為勾弦和也若有勾弦和與弦與勾股較之較求勾股弦者則於勾弦和内減弦與勾股較之較餘即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之設如有股十五尺勾股弦總和四十尺求勾弦各幾何(第二十二)法以股十五尺與勾股弦總和四十尺相減餘二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為股乙丙為勾丙丁為弦甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙股餘乙丁為勾弦和也若有勾弦和與勾股弦總和求勾股弦者則以勾股和與勾股弦總和相減餘即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之設如有股十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾弦各幾何(第二十三)法以股十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相減餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙為股丙乙為勾丙丁為弦甲丙為勾股較乙丁為勾弦較甲丁為弦與勾股較之和故甲丁弦與勾股較之和内減甲乙股餘乙丁為勾弦較也若有勾弦較與弦與勾股較之和求勾股弦者則以勾弦較與弦與勾股較之和相減餘即股亦用有股有勾弦較求勾弦法算之設如有弦十七尺弦與勾股和之較六尺求勾股各幾何(第二十四)法以弦十七尺與弦與勾股和之較六尺相加得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為弦甲丙為勾丙丁為股甲丁為勾股和乙丁為弦與勾股和之較故甲乙弦與乙丁弦與勾股和之較相加得甲丁為勾股和也若有勾股和與弦與勾股和之較求勾股弦者則於勾股和内減弦與勾股和之較餘即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之設如有弦十七尺弦與勾股較之較十尺求勾股各幾何(第二十五)法以弦十七尺内減弦與勾股較之較十尺餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙為弦丙丁為股乙丁為勾丙乙為勾股較甲丙為弦與勾股較之較故甲乙弦内減甲丙弦與勾股較之較餘丙乙為勾股較也若有勾股較與弦與勾股較之較求勾股弦者則以勾股較與弦與勾股較之較相加即弦亦用有弦有勾股較求勾股法算之設如有弦十七尺勾股弦總和四十尺求勾股各幾何(第二十六)法以弦十七尺與勾股弦總和四十尺相減餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為弦乙丙為勾丙丁為股甲丁為勾股弦總和故甲丁勾股弦總和内減甲乙弦餘乙丁為勾股和也若有勾股和與勾股弦總和求勾股弦者則以勾股和與勾股弦總和相減餘即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之設如有弦十七尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股各幾何(第二十七)法以弦十七尺與弦與勾股較之和二十四尺相減餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙為弦乙丙為股丁丙為勾乙丁為勾股較甲丁為弦與勾股較之和故甲丁弦與勾股較之和内減甲乙弦餘乙丁為勾股較也若有勾股較與弦與勾股較之和求勾股弦者則於弦與勾股較之和内減勾股較餘即弦亦用有弦有勾股較求勾股法算之設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第二十八)法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾股較之較十尺相加得十六尺折半得八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較用有勾有股弦較求股弦法算之如甲乙為股戊乙乙丙皆為勾甲丙為勾股和甲戊為勾股較甲丁為弦丁丙即弦與勾股和之較戊丁即弦與勾股較之較故丁丙弦與勾股和之較與戊丁弦與勾股較之較相加得戊丙為二勾之共數是以折半得勾也既得勾則於勾内減弦與勾股和之較即股弦較矣設如有弦與勾股和之較六尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第二十九)法以弦與勾股和之較六尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺為股於股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較用有股有勾弦較求勾弦法算之如甲乙乙丙皆為股丁乙為勾丁丙為勾股和甲丁為勾股較丁戊為弦戊丙即弦與勾股和之較甲戊即弦與勾股較之和故戊丙弦與勾股和之較與甲戊弦與勾股較之和相加得甲丙為二股之共數是以折半得股也既得股則於股内減弦與勾股和之較即勾弦較矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第三十)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股較之和二十四尺餘十六尺折半得八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙為弦乙丙為股丙丁為勾乙戊為勾股較甲丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較之和故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦與勾股較之和餘戊丁即二勾之共數是以折半得勾也既得勾則於勾股弦總和内減勾即股弦和矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十一)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股較之較十尺餘三十尺折半得十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減股十五尺餘二十五尺為勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙為弦乙丙為勾丙丁為股戊乙為勾股較甲丁為勾股弦總和甲戊為弦與勾股較之較故甲丁勾股弦總和内減甲戊弦與勾股較之較餘戊丁即二股之共數是以折半得股也既得股則於勾股弦總和内減股即勾弦和矣設如有弦與勾股較之和二十四尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十二)法以弦與勾股較之和二十四尺與弦與勾股較之較十尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較用有弦有勾股較求勾股法算之如甲乙乙丙皆為弦乙丁為勾股較甲丁為弦與勾股較之和丁丙為弦與勾股較之較故甲丁弦與勾股較之和與丁丙弦與勾股較之較相加得甲丙為二弦之共數是以折半得弦也既得弦則於弦與勾股較之和内減弦即勾股較矣設如有勾股弦總和四十尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第三十三)法以勾股弦總和四十尺内減弦與勾股和之較六尺餘三十四尺折半得十七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙為勾股和乙丙為弦甲丙為勾股弦總和甲丁為弦與勾股和之較故甲丙勾股弦總和内減甲丁弦與勾股和之較餘丁丙即二弦之共數是以折半得弦也既得弦則於勾股弦總和内減弦即勾股和矣御製數理精藴下編卷十二
## 下編卷十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十三面部三勾股(勾股弦和較相求法下股勾股積與和較相求 正勾 比例)勾股弦和較相求法(下)設如有勾股較七尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十四)法以勾股弦總和四十尺内減勾股較七尺餘三十三尺為兩勾一弦之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾股較是於股内減勾股較即)(又得一勾矣故為兩勾一弦也)自乗得一千零八十九尺又以勾股較七尺自乗得四十九尺兩自乗數相減餘一千零四十尺折半得五百二十尺為長方積乃以勾股弦總和四十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得七十三尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減勾八尺又減股十五尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一弦自乗之一大正方内戊己庚辛為弦自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己為勾弦相乗之四長方弦自乗之一正方内容四勾股積為勾股相乗之二長方又勾股較自乗之一小正方今於甲乙丙丁兩勾一弦自乗之一大正方内減去午未申酉勾股較自乗之一小正方尚餘勾股相乗之二長方勾弦相乗之四長方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一長方勾弦相乗之二長方勾自乗之二正方與戌亥乾坎長方形等其濶即勾其長為兩勾兩弦一股其長濶和為三勾兩弦一股故以勾股弦總和與兩勾一弦之共數相併為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也又法以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺為長方積乃以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法筭之得闊二十五尺為勾弦和得長三十二尺為股弦和於勾股弦總和四十尺内減勾弦和二十五尺餘十五尺為股減勾股較七尺餘八尺為勾又於勾弦和二十五尺内減勾八尺餘十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為勾自乗之一正方甲辰辛寅與癸己卯丙為勾弦相乗之二長方寅辛己戊與己癸卯庚為股弦相乗之二長方辰子壬辛與壬丑己癸為勾股相乗之二長方如以勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併則又與弦自乗之一正方相等是為弦自乗之正方二股弦相乗之長方二勾弦相乗之長方二勾股相乗之長方二折半即得弦自乗之正方一股弦相乗之長方一勾弦相乗之長方一勾股相乗之長方一而與午未申酉勾弦和與股弦和相乗之長方等葢午未申酉之長方内戌亥乾酉為弦自乗之一正方午坎亥戌為股弦相乗之一長方亥艮申乾為勾弦相乗之一長方坎未艮亥為勾股相乗之一長方其濶即勾弦和其長即股弦和其長濶較即勾股較故以勾股較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為勾弦和也設如有勾弦較九尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十五)法以勾股弦總和四十尺内減勾弦較九尺餘三十一尺為兩勾一股之共數(盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減勾弦較是於弦内減勾弦較即)(又得一勾矣故為兩勾一股也)自乗得九百六十一尺又以勾股弦總和四十尺與勾弦較九尺相加得四十九尺爲兩弦一股之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加勾弦較是於勾數加勾弦)(較即又得一弦矣故為兩弦一股也)自乗得二千四百零一尺兩數相減餘一千四百四十尺四歸之得三百六十尺為長方積乃以勾弦較九尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶十五尺為股於勾股弦總和四十尺内減股十五尺餘二十五尺為勾弦和減勾弦較九尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾弦較九尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一股自乗之一大正方内戊己庚辛為股自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為股弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去勾自乗之方與股自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃勾弦較與股相乗之四長方(戌戊為弦壬戊為勾故戌)(壬為勾弦較)以四歸之則餘股自乗之一正方勾弦較與股相乗之一長方共為戌坤兌亥一長方其闊即股其長即股與勾弦較之和故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得濶為股也設如有股弦較二尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何(第三十六)法以勾股弦總和四十尺内減股弦較二尺餘三十八尺為兩股一勾之共數(盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數内減股弦較是於弦内減股弦較即)(又得一股矣故為兩股一勾也)自乗得一千四百四十四尺又以勾股弦總和四十尺與股弦較二尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數(葢勾股弦總和為一勾一股一弦之共數今加股弦較是於股)(數加股弦較即又得一弦矣故為兩弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺兩數相減餘三百二十尺四歸之得八十尺為長方積乃以股弦較二尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊八尺為勾於勾股弦總和四十尺内減勾八尺餘三十二尺為股弦和減股弦較二尺餘三十尺折半得十五尺為股加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為兩股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁為股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己為勾股相乗之四長方又午未申酉為兩弦一勾自乗之一大正方内戊己庚辛為勾自乗之一正方午乾戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛離酉為弦自乗之四正方戌戊辛亥乾坎巳戊巳艮震庚辛庚巽離為勾弦相乗之四長方今於午未申酉之正方内減去甲乙丙丁之正方所餘四隅之午乾子甲壬戌等類四磬折形皆為弦自乗之方内減去股自乗之方與勾自乗之四正方積相等四面之戌壬癸亥等類四長方形乃股弦較與勾相乗之四長方(戌戊為弦壬戊為股故戌壬為股弦)(較)以四歸之則餘勾自乗之一正方股弦較與勾相乗之一長方共為戌坤兊亥一長方其闊即勾其長即勾與股弦較之和故以股弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第三十七)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺與弦與勾股較之較十尺相加得三十三尺為兩勾一弦之共數(葢弦與勾股較之較為一勾一股弦較之)(共數與勾股和相加則得兩勾一股一股弦較而股加股弦較即弦故為兩勾)(一弦之共數也)自乗得一千零八十九尺兩自乗數相減餘五百六十尺折半得二百八十尺為長方積乃以弦與勾股較之較十尺與兩勾一弦之共數三十三尺相加得四十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾股和二十三尺内減勾八尺餘十五尺為股又於股十五尺内減勾八尺餘七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一弦自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方未申酉辰亥乾申未乾子坎申申坎艮酉為勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌為勾弦相乗之四長方今以兩正方相減則是癸子丑寅方内減去離辰坤震股自乗之一正方即如前圖之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然又巽未辰離辰酉兑坤勾股相乗之二長方即如前圖之甲辛己戊己壬丙庚然所餘之卯離震坤己寅一磬折形與勾自乗之一正方等(弦自乗之正方内減股自乗之方則與勾自乗之方)(等)再午巽離卯與坤兌戌己二小長方為股弦較與勾相乗之二長方若各補於勾自乗之二正方内即成勾與弦與勾股較之較相乗二長方(葢弦與勾股較之較乃弦)(内減去勾股較之餘然弦内有一勾一勾股較一股弦較若減去勾股較則所)(餘為一勾一股弦較矣今以股弦較與勾相乗之長方補於勾自乗之正方内)(則其長為一勾一股弦較即弦與勾股較之較其濶即勾故為勾與弦與勾股)(較之較相乗之長方也)合計之則為勾自乗二正方勾弦相乗二長方勾與弦與勾股較之較相乗二長方折半則餘勾自乗一正方勾弦相乗一長方勾與弦與勾股較之較相乗一長方之共積與金木水火長方形等其闊即勾其長為一勾一弦一弦與勾股較之較其長闊和為兩勾一弦一弦與勾股較之較故以弦與勾股較之較與兩勾一弦之共數相加用帯縱和數開方法算之得闊為勾也設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第三十八)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相加得一千一百零五尺為長方積乃以弦與勾股較之和二十四尺倍之得四十八尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得十七尺為弦於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較之和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方癸午辰卯與辰未丑巳為勾股較與弦相乗之二長方兩大正方相併則得弦自乗三正方勾股較與弦相乗二長方共為申酉戌亥一長方形何也卯辰巳寅為一弦方戊己庚丁一股方與辛乙壬己一勾方相併為一弦方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二長方即四勾股積與午子未辰勾股較自乗之一正方相併又為一弦方癸午辰卯辰未丑巳即勾股較與弦相乗之二長方今二自乗方相加則成申酉戌亥之一大長方其闊即弦其長為三弦二勾股較其長濶較為二弦二勾股較故将弦與勾股較之和倍之為二弦二勾股較之共數用𢃄縱較數開方法算之得闊為弦也設如有勾弦和二十五尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第三十九)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十一尺為兩勾一股之共數(葢勾弦和為一勾一弦之共數今於弦數)(内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩勾一股之共數矣)與勾弦和二十五尺相乗得七百七十五尺兩數相減餘一百五十尺為長方積乃以勾弦和二十五尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得長十五尺為股於股十五尺内減弦與勾股和之較六尺餘九尺為勾弦較與勾弦和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊巳庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩勾一股與勾弦和相乗之一大長方内卯辰己寅為股自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為勾與弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為勾自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為勾自乗之一正方與卯辰巳寅股自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑巳一長方其辰巳長即股其辰巳巳丑長闊和即勾弦和故以𢃄縱和數開方法算之得長為股也設如有勾弦和二十五尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第四十)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得四十九尺為兩弦一股之共數(葢勾弦和加弦與勾股較之和)(則得兩弦一勾一勾股較而勾加勾股較即股故為兩弦一股也)自乗得二千四百零一尺兩自乗數相加得三千零二十六尺為長方積乃以兩弦一股之共數倍之得九十八尺為四弦二股之共數與勾弦和相加得一百二十三尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得濶三十四尺折半得十七尺為弦於勾弦和二十五尺内減弦十七尺餘八尺為勾又於弦與勾股較之和二十四尺内減弦十七尺餘七尺為勾股較與勾八尺相加得十五尺為股也如圖甲乙丙丁為勾弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為勾自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為勾弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一股自乗之一大正方内卯辰己寅為弦自乗之四正方午未子辰為股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己為股弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方勾弦相乗二長方股弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其濶即二弦數其長為三弦一勾二股數其長濶和為五弦一勾二股數故将兩弦一股之共數倍之與勾弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也設如有股弦和三十二尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第四十一)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十八尺為兩股一勾之共數(葢股弦和為一股一弦之共數今於)(弦數内加弦與勾股和之較即為勾股和是為兩股一勾之共數矣)與股弦和三十二尺相乗得一千二百一十六尺兩數相減餘一百九十二尺為長方積乃以股弦和三十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊八尺為勾於勾八尺内減弦與勾股和之較六尺餘二尺為股弦較與股弦和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減股弦較二尺餘十五尺為股也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬己為股自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩股一勾與股弦和相乗之一大長方内卯辰巳寅為勾自乗之一正方午未申卯與癸酉未午為股弦相乗之二長方與甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二長方等未戌亥申為股自乗之一正方與甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦為股自乗之一正方與卯辰己寅勾自乗之一正方相併乃與甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等兩數相減所餘為辰亥丑己一長方其辰己濶即勾其辰己巳丑長濶和即股弦和故以𢃄縱和數開方法算之得闊為勾也設如有股弦和三十二尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第四十二)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺與弦與勾股較之較十尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數(葢弦與勾股較之較為一勾一股弦)(較之共數與股弦和相加則得一勾一股一弦一股弦較而股加股弦較即又)(得一弦故為兩弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺兩自乗數相加得二千七百八十八尺為長方積乃以兩弦一勾之共數倍之得八十四尺為四弦二勾之共數與股弦和三十二尺相加得一百一十六尺為長濶和用𢃄縱和數開方法算之得闊三十四尺折半得十七尺為弦於股弦和三十二尺内減弦十七尺餘十五尺為股又於弦十七尺内減弦與勾股較之較十尺餘七尺為勾股較於股十五尺内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁為弦自乗之一正方辛乙壬巳為股自乗之一正方甲辛己戊與巳壬丙庚為股弦相乗之二長方又癸子丑寅為兩弦一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之四正方午子未辰為勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳為勾弦相乗之四長方今以兩自乗之方相併則得弦自乗五正方又勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併為弦自乗之一正方共為弦自乗六正方股弦相乗二長方勾弦相乗四長方相合共成乾坎艮震一大長方其闊即二弦數其長為三弦一股二勾數其長濶和為五弦一股二勾數故将兩弦一勾之共數倍之與股弦和相加為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶為二弦而折半為弦也設如有勾股較七尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何(第四十三)法以弦與勾股和之較六尺自乗得三十六尺折半得十八尺為長方積以勾股較七尺為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得二尺為股弦較與弦與勾股和之較六尺相加得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股再加股弦較二尺得十七尺為弦也如圖甲乙丙丁為弦自乗之一正方戊己丙庚為股自乗之一正方甲壬癸辛為勾自乗之一正方戊丑癸子為弦與勾股和之較自乗之一正方其積與壬乙己丑辛子庚丁之勾弦較與股弦較相乗之二長方等(見前有勾弦較股弦較求勾股弦法)今以弦與勾股和之較自乗折半必與壬乙己丑一長方積相等其乙己闊即股弦較其壬乙長即勾弦較而勾弦較之中有一股弦較一勾股較故以勾股較為長闊較用帯縱較數開方法算之得濶為股弦較也設如有勾弦較九尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何(第四十四)法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數(葢弦與勾股較之較乃弦内減去勾股較之餘然弦)(内有一勾一勾股較一股弦較今减去勾股較故餘為勾與股弦較之共數也)自乗得一百尺又以勾弦較九尺與弦與勾股較之較十尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數(葢勾加勾弦較即弦今弦與勾股較)(之較既為勾與股弦較之共數若加勾弦較則為弦與股弦較之共數矣)自乗得三百六十一尺兩自乗數相减餘二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺於兩自乗數相減之餘二百六十一尺内減之餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長十五尺為股以股十五尺與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾與股弦較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛乙壬己為股弦較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為股弦較與勾相乗之二長方又癸子丑寅為弦與股弦較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午未子辰為股弦較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬巳然癸午辰卯與辰未丑巳為股弦較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去勾自乗方所餘之股自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾弦較與股弦較相乗之二長方共積與弦與勾股和之較自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形變為股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥乾丑己二長方共積變為弦與勾股和之較自乗之方作一巽離坤兌正方形則此二正方邉之較即勾弦較(並見勾弦較股弦較求勾股弦法中)是以坎艮震巽股自乗之正方形内減去水艮金木勾弦較自乗之正方則餘坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木離巽之一正方形與巽離坤兌之正方形等是則坎水木金震巽磬折形與巽離坤兌正方形相合共為坎水離巽類之二長方矣折半則為一長方其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也又法以弦與勾股較之較十尺為勾與股弦較之共數與勾弦較九尺相加得十九尺為弦與股弦較之共數兩數相併得二十九尺為一勾一弦二股弦較之共數與勾弦較九尺相乗得二百六十一尺又以勾弦較九尺自乗得八十一尺兩積相減餘一百八十尺折半得九十尺為長方積以勾弦較九尺為長闊較用帯縱較數開方法算之得長十五尺為股與弦與股弦較之共數十九尺相加得三十四尺折半得十七尺為弦内減勾弦較九尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為勾弦較與一勾一弦二股弦較相乗之長方内甲乙己戊為勾弦較與勾弦和相乗之一長方與庚辛壬癸股自乗之一正方積等(見股與勾弦較求勾)(弦法中)戊己丙丁為勾弦較與股弦較相乗之二長方與癸子丑寅弦與勾股和之較自乗之一正方積等此二正方邉之較即勾弦較(並見勾弦較股弦較求勾股弦法中)是以庚辛壬癸股自乗之正方形内減去卯辛巳辰勾弦較自乗之正方則餘庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方與癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一長方與辰己壬子之長方形等折半即餘庚卯子癸一長方形其闊即弦與勾股和之較其長即股其長闊較即勾弦較故以勾弦較為長闊較用𢃄縱較數開方法算之得長為股也設如有股弦較二尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何(第四十五)法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數(葢弦内減股弦較餘即股故於弦與勾股較之和内減股弦較)(餘即為股與勾股較之共數也)自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩自乗數相減餘九十二尺又於股與勾股較之共數自乗之四百八十四尺内減兩自乗數相減所餘之九十二尺餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得濶十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方内戊己庚丁為股自乗之一正方辛乙壬己為勾股較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與股相乗之二長方又癸子丑寅為弦與勾股較相和自乗之一大正方内卯辰巳寅為弦自乗之一正方午子未辰為勾股較自乗之一正方即如前圖之辛乙壬己然癸午辰卯與辰未丑己為勾股較與弦相乗之二長方兩自乗方相減則於癸子丑寅正方形内減去與甲乙丙丁正方形相等之申子乾戌正方形所餘卯酉戌亥巳寅磬折形為弦自乗方内減去股自乗方所餘之勾自乗之方積其癸申酉卯與亥乾丑巳為勾股較與股弦較相乗之二長方今以此餘積再於甲乙丙丁正方形内減之則減去坎艮震丁勾自乗之一正方其積與卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽離戊與戊離坤坎二長方即如癸申酉卯亥乾丑巳二長方然所餘兌巳庚震與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方火辛己兌與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方巽火兌離與離兌艮坤為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将巽火兌離離兌艮坤二長方移為水木辛火木金乙辛則成水金丙震一大長方形其闊即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長濶和用帯縱和數開方法算之得濶為二勾股較折半得勾股較也又法以弦與勾股較之和二十四尺減股弦較二尺餘二十二尺為股與勾股較之共數自乗得四百八十四尺又以弦與勾股較之和二十四尺與股與勾股較之共數二十二尺相加得四十六尺為一股一弦二勾股較之共數以股弦較二尺乗之得九十二尺兩數相減餘三百九十二尺為長方積乃以股與勾股較之共數二十二尺倍之得四十四尺内減股弦較二尺餘四十二尺為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊十四尺折半得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦於弦内減股弦較二尺餘十五尺為股於股内減勾股較七尺餘八尺為勾也如圖甲乙丙丁為股與勾股較相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股較之共數自乗之正方也(盖圖以甲辛為股辛乙為勾股較若以甲申為勾則申辛亦勾股較故為一勾)(兩勾股較也)内巳午未丁為勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌為勾股較自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚為勾股較與勾相乗之四長方又癸子丑寅為股弦較與一股一弦二勾股較相乗之一長方内癸子辰夘為股弦較與股弦和相乗之一長方與勾自乗之一正方等(見勾與股弦較求股弦法中)卯辰丑寅為股弦較與二勾股較相乗之二長方今以兩積相減則於甲乙丙丁正方形内減去與癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又減去與卯辰丑寅相等之甲乾坎戊戊坎艮巳之股弦較與二勾股較相乗之二長方所餘酉巳庚未與己壬丙庚為股與勾股較相乗之二長方申辛己酉與辛乙壬己為勾股較自乗之二正方乾申酉坎坎酉午艮為勾與股弦較之較與勾股較相乗之二長方試将乾申酉坎坎酉午艮二長方移為震巽辛申巽離乙辛則成震離丙未一大長方形其濶即二勾股較其長即二股内少一股弦較其長濶和為二勾股較二股内少一股弦較故以股與勾股較之共數倍之得二股二勾股較内減去一股弦較為長闊和用𢃄縱和數開方法算之得闊為二勾股較折半得勾股較也勾股積與勾股弦和較相求法設如有勾股積一百二十尺勾十尺求股弦各幾何法以勾股積一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺為股勾股求弦得弦二十六尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其闊即勾其長即股故以勾除倍積而得股也設如有勾股積六十尺股十五尺求勾弦各幾何法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺為勾勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其長即股其濶即勾故以股除倍積而得勾也設如有勾股積三十尺弦十三尺求勾股各幾何法以勾股積三十尺四因之得一百二十尺又以弦十三尺自乗得一百六十九尺相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較乃以勾股積倍之為長方積以勾股較為長濶較用帯縱較數開方法算之得濶五尺為勾得長十二尺為股如圖甲乙丙丁為弦自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股積戊己庚辛一勾股較自乗方積故於弦自乗方内減四勾股積即餘勾股較自乗之方而開方得勾股較也設如有勾股積六十尺勾股較七尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺倍之得一百二十尺以勾股較七尺為長濶較用𢃄縱較數開方法算之得濶八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙勾股形積倍之成甲乙丙丁長方形積其濶即勾其長即股其長濶較即勾股較故用𢃄縱較數開方法算之得闊為勾也又如有勾股積幾何知勾弦較或股弦較求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後設如有勾股積六十尺勾股和二十三尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺兩數相減餘四十九尺開方得七尺為勾股較於勾股和二十三尺内減勾股較七尺餘十六尺折半得八尺為勾加勾股較七尺得十五尺為股勾股求弦得弦十七尺如圖甲乙丙丁為勾股和自乗之方内容八勾股積一勾股較自乗方積今於勾股和自乗之方内減八勾股積所餘戊己庚辛正方即勾股較自乗之方故開方而得勾股較也又如有勾股積幾何知勾弦和或股弦和求勾股弦法中用帯縱立方算之始得茲故不設設在𢃄縱立方之後設如有勾股積六十尺勾股弦總和四十尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以勾股弦總和四十尺自乗得一千六百尺兩數相減餘一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股弦總和四十尺除之得十七尺為弦於勾股弦總和四十尺内減弦十七尺餘二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為勾股弦總和自乗之一大正方内戊己庚丁為勾自乗之一正方辛壬癸己為股自乗之一正方子乙丑壬為弦自乗之一正方寅子壬辛與壬丑卯癸為股弦相乗之二長方甲寅辛辰與癸卯丙己為勾弦相乗之二長方辰辛己戊與己癸己庚為勾股相乗之二長方夫勾股相乗之二長方與四勾股積等今於勾股弦總和自乗之一大正方内減去四勾股積即減去勾股相乗之二長方而勾自乗之一正方與股自乗之一正方相併又與弦自乗之一正方等故所餘者為弦自乗之二正方股弦相乗之二長方勾弦相乗之二長方折半即得弦自乗之一正方股弦相乗之一長方勾弦相乗之一長方與甲乙丑辰長方形等其濶即弦其長即勾股弦總和故以勾股弦總和除之而得弦也設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺以弦與勾股和之較六尺除之得四十尺為勾股弦總數内減弦與勾股和之較六尺餘三十四尺折半得十七尺為弦加弦與勾股和之較六尺得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如圖甲乙為勾股和丙乙為弦甲丙為弦與勾股和之較試依甲乙線作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙線作丙己庚乙弦自乗之一正方二方相較其甲丁戊庚己丙磬折形乃與四勾股積相等(葢勾股和自乗方内容八勾股積一勾股較自乗方積弦自乗)(方内容四勾股積一勾股較自乗方積二方相減所餘磬折形積與四勾股積)(相等)引而長之即如丙甲戊庚一長方形其濶即弦與勾股和之較其長即弦與勾股和之和故以弦與勾股和之較除之得勾股弦總數也設如有勾股積六十尺弦與勾股較之和二十四尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺兩數相減餘三百三十六尺折半得一百六十八尺用弦與勾股較之和二十四尺除之得七尺為勾股較於弦與勾股較之和二十四尺内減勾股較七尺餘十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦與勾股較之和自乗之一正方甲戊己庚為弦自乗之一正方而弦自乗之方内容四勾股積一勾股較自乗方積今減去四勾股積餘辛壬癸子為勾股較自乗之一正方而巳丑丙寅亦為勾股較自乗之一正方再戊乙丑巳與庚己寅丁又為勾股較與弦相乗之二長方折半則餘戊乙丑己一長方己丑丙寅一正方其戊寅長即弦與勾股較之和其戊乙闊即勾股較故以弦與勾股較之和除之而得勾股較也設如有勾股積六十尺弦與勾股較之較十尺求勾股弦各幾何法以勾股積六十尺四因之得二百四十尺又以弦與勾股較之較十尺自乗得一百尺兩數相減餘一百四十尺折半得七十尺以弦與勾股較之較十尺除之得七尺為勾股較與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦用有弦有勾股較求勾股法算之得勾八尺股十五尺如圖甲乙丙丁為弦自乗之一大正方内丁戊己庚為勾股較自乗之一正方辛乙壬己為弦與勾股較之較自乗之一正方甲辛己戊與己壬丙庚為勾股較與弦與勾股較之較相乗之二長方葢弦自乗方内容四勾股積一勾股較自乗方積今丁戊己庚既為勾股較自乗之方若於甲乙丙丁弦自乗方内減之則所餘甲乙丙庚巳戊磬折形即與四勾股積相等又於四勾股積相等之甲乙丙庚己戊磬折形内減辛乙壬己弦與勾股較之較自乗之方則尚餘甲辛己戊己壬丙庚二長方折半則得巳壬丙庚一長方其己壬長即弦與勾股較之較其己庚闊即勾股較故以弦與勾股較之較除之而得勾股較也正勾股比例設如有正勾股知勾十二尺求股與弦各幾何法以正勾股定分之勾三分為一率股四分為二率今所設之勾一十二尺為三率推得四率十六尺為股仍以勾三分為一率弦五分為二率今所設之勾十二尺為三率推得四率二十尺為弦也葢大小兩同式形其相當各界互相比之比例俱為相當比例四率(見幾何原夲八)(卷第三節)故正勾股定分之勾三與股四之比即同於今所設之勾十二與股十六之比又正勾股定分之勾三與弦五之比亦同於今所設之勾十二與弦二十之比也又㨗法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所設之勾股形為加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分弦五分各加四倍即得所求之股弦之各數矣設如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之勾三分股四分相併得七分為一率勾三分為二率今所設之勾股和六十三尺為三率推得四率二十七尺為勾若以股四分為二率即得四率三十六尺為股若以弦五分為二率即得四率四十五尺為弦也葢正勾股定分之勾股和七尺與勾三股四弦五各相為比即同於今所設之勾股和六十三尺與勾二十七尺股三十六尺弦四十五尺各相比之比例也又㨗法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所設之勾股形為加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加九倍即得所求之各數也設如有正勾股知勾股弦總和六十尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之勾三分股四分弦五分相併共得十二分為一率勾三分為二率今所設之勾股弦總和六十尺為三率推得四率十五尺為勾若以股四分為二率即得四率二十尺為股若以弦五分為二率即得四率二十五尺為弦也又㨗法以勾股弦總和六十尺用正勾股定分之勾三股四弦五相併之十二分除之得五尺即知今所設之勾股形為加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加五倍即得所求之各數也設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉幾何法以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘或以勾九尺七歸四因亦得五尺一寸四分二釐八毫有餘為内容方邉也葢勾三分股四分者則以勾股和七分為一率勾三分為二率股四分為三率推得四率為内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺與十二尺之比仍同於三分與四分之比故以其分數相求得内容方邊仍為比例四率也設如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜徑幾何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即為内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者則於勾股和七分内減弦五分餘二分為内容圜徑(見勾股容圜第二法)是内容圜徑得股四分之二得勾三分之二也今九尺與十二尺之比同於三分與四分之比故十二尺與六尺之比仍同於四與二之比而九尺與六尺之比亦仍同於三與二之比也設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方邊幾何法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七歸四因或以股十二尺七歸三因得五尺一寸四分二釐八毫有餘即内容方邊也葢内容方邊得勾七分之四得股七分之三(見前法)故必先比例得勾數或股數復比例得内容方邊也設如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜徑幾何法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分為一率内容圜徑二分為二率今所設之勾股和二十一尺為三率推得四率六尺即内容圜徑也葢勾三分股四分弦五分者其内容圜徑為二分(見前法)故勾股和之七分與内容圜徑二分之比即同於今所設之勾股和之二十一尺與内容圜徑六尺之比也總之正勾股形知一數即得所求之各數要先以勾三股四弦五求得所知之定分及所求之定分(如勾股較則以勾三分與股四分相減餘)(一分又如弦與勾股較之和則以勾股較一分與弦五分相加得六分之類)乃以所知之定分與所求之定分之比即同於今所知之數與今所求之數之比也設如有正勾股面積九十六尺求勾股弦各幾何法以正勾股定分之面積六分為一率勾三分自乗得九分為二率今所設之勾股積九十六尺為三率推得四率一百四十四尺為勾自乗之方開方得十二尺為勾如以正勾股定分之股四分自乗為二率則得今所設之股自乗之方如以正勾股定分之弦五分自乗為二率則得今所設之弦自乗之方各開方而即得各數矣或得勾而以正勾股定分之勾股弦各比例之亦可葢同式兩勾股形其面積互相為比即同於勾股形各相當界所作正方形互相為比(見幾何原夲八卷第四節)故以正勾股定分之面積六尺與勾股弦各方之比即同於今所設之面積九十六尺與勾股弦各方之比也又㨗法以面積九十六尺用正勾股定分之面積六尺除之得十六尺開方得四尺即知今所設之勾股弦為各加四倍之比例乃以正勾股定分之各數各加四倍即得各數葢兩直角方面形其兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例(見幾何原夲七卷第五節)(今勾股為長方之半正方與正方為比長方與長方為比其比例相同並見第)(六節)故積大十六倍者界必大四倍既知其大四倍則以正勾股之定分各加四倍即得矣設如有正勾股知勾自乗股自乗弦自乗共積四百五十尺求勾股弦各幾何法以共積四百五十尺折半得二百二十五尺為弦自乗方積開方得一十五尺為弦既得弦則以勾股弦之定分比例之得九尺為勾得十二尺為股也如用面積為比例則以弦五分自乗之二十五分為一率勾三分自乗之九分為二率今所得之弦自乗方二百二十五尺為三率求得四率八十一尺為勾自乗方積開方得九尺為勾若以股四分自乗之十六分為二率則得四率一百四十四尺為股自乗方積開方得十二尺為股也葢弦自乗之一方既與勾自乗股自乗之二方等則勾自乗股自乗弦自乗之三方必與弦自乗之二方等故折半即得弦自乗之一方而開方得弦也御製數理精蘊下編卷十三
## 下編卷十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十四面部四三角形三角形凡三角形立於圓界之一半者為直角即勾股過圓界之一半者為鋭角不及圓界之一半者為鈍角然不拘鋭角鈍角自一角至底邊作垂線即分為兩直角是仍不離乎勾股也兩腰等者垂線即當底之一半而兩腰不等者所分底界則有大小不同故和較相比之法因之而生葢和求較較求和要必歸於勾股相求之理由勾股而得垂線則凡面積及内容方圓等形皆無不可得至於三角形角度相求之法乃割圓八線實所以極三角之用即如周髀所謂仰矩知髙俯矩知深是也故另為一卷茲但取三角形之面線相求諸法悉具圖觧以次勾股使與勾股相表裏焉設如有等邊三角形每邉十尺求中垂線幾何法以底邉十尺折半得五尺為勾任以兩腰之一邉十尺為弦勾弦求股得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也如圖甲乙丙三角形其甲乙甲丙兩腰相等則其底邊之乙丙兩角度亦必相等(見幾何原夲二卷第九節)今所求之垂線為甲丁即将甲乙丙三角形平分為兩直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆為直角其度又等故所分之兩直角三角形為同式形而甲丁垂線又為兩三角形所共用之邉線則所分之底邊之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底邊折半為勾任以甲乙甲丙兩邉之一邊為弦求得股為中垂線也又法以底邊十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺開方得八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線也葢弦比勾大一倍則弦之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍為連比例隔一位相加之比例(見幾何原夲七卷第五節)依勾弦求股之法於弦自乗方積之四倍内減勾自乗方積之一倍餘三倍即為股自乗之方積是中垂線之自乗方積為勾自乗方積之三倍故将底邊折半自乗三因之即與中垂線自乗之方積等而開方得中垂線也設如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂線幾何法以底一百五十尺為一率大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率以大腰一百二十二尺與小腰一百一十二尺相減餘十尺為三率求得四率十五尺六寸為底邊之較與底一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦求得股八十九尺六寸為中垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚截乙丙底於戊又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等則己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較(葢甲)(庚與甲丙等故庚乙為兩腰之較)乙丙為底邊之和乙戊為底邉之較(葢丁丙與丁戊等故乙戊為底邉之較)今以乙丙底邉之和與乙己兩腰之和為比即同於乙庚兩腰之較與乙戊底邊之較為比為轉比例之四率(幾何原夲九卷第八)(節自圜外一點至圜内所作之兩線此兩全線之比例同於圜外兩叚轉相比)(之比例)故乙丙為一率乙己為二率乙庚為三率求得四率為乙戊既得乙戊則於乙丙底邊内減去乙戊餘戊丙折半得丁丙為勾甲丙為弦求為股為甲丁中垂線也又法以大腰一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺兩自乘數相減餘二千三百四十尺以底邊一百五十尺除之得十五尺六寸為底邊之較與底邊一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦求得股八十九尺六寸為中垂線也如圖甲乙丙三角形試自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙兩勾股形甲乙甲丙皆為弦乙丁丁丙皆為勾共以甲丁為股乙丙為兩勾之和乙戊為兩勾之較今以甲乙弦自乘則成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙為乙丁勾自乘之一正方形於甲戊己乙正方形内減去丁庚辛乙正方形所餘甲戊己辛庚丁磬折形積即與甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙弦自乘則成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙為丁丙勾自乘之一正方形於甲壬癸丙正方形内減去丁子丑丙正方形所餘甲壬癸丑子丁磬折形積亦與甲丁股自乘之一正方形等是則前圖之甲戊己辛庚丁磬折形與後圖之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若兩自乘之數相減則如甲戊己乙正方形内減去與甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又減去丁子丑丙一小正方形所餘為子庚辛乙丙丑一小磬折形引而長之成一長方形其長即乙丁與丁丙之和其濶即乙丁與丁丙之較故以乙丁與丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之積而得乙丁與丁丙之較也又圖甲乙丙三角形作甲丁垂線分為兩勾股形共以甲丁垂線為股故甲乙弦自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙弦自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今兩勾股形之股既同則兩弦方相減所餘之數即兩勾方相減所餘之數故甲丁乙勾股形之甲乙弦自乘方内減甲丁丙勾股形之甲丙弦自乘方所餘庚辛乙寅丑子磬折形即與甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内減甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所餘乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而長之遂成乙壬酉未長方形其長即乙丁丁丙兩勾之和其闊即乙丁丁丙兩勾之較其積即乙丁丁丙兩勾方相減之餘亦即甲乙甲丙兩弦方相減之餘是以兩弦自乘相減之餘積以兩勾之和除之而得兩勾之較也設如有鋭角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂線幾何法以底二十一尺為一率以大腰十七尺與小腰十尺相加得二十七尺為二率以大腰十七尺與小腰十尺相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較與底二十一尺相減餘十二尺折半得六尺為勾以小腰十尺為弦求得股八尺為中垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚截乙丙底邊於戊又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰等則己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較乙丙為底邊之和乙戊為底邉之較其乙丙與乙己之比即同於庚乙與乙戊之比為轉比例四率也又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺兩自乘數相減餘一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺為底邊之較與底二十一尺相減餘十二尺折半得六尺為勾以小腰十尺為弦求得股八尺為中垂線也圖解同前設如有斜立鋭角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂線幾何法以底十尺為一率大腰二十一尺與小腰十七尺相減餘四尺為二率大腰二十一尺與小腰十七尺相加得三十八尺為三率求得四率十五尺二寸為底與形外垂線兩邊連底之總内減去底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為勾以小腰十七尺為弦求得股十六尺八尺為形外垂線也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所求形外垂線試以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰於庚又将甲乙大腰引長至己作甲己線與甲丙小腰相等復将乙丙底引長至戊作乙戊線則成甲乙戊三角形其乙丙為底邉之較乙戊為底邊之和乙庚為兩腰之較乙己為兩腰之和自圜外至圜内所作兩線之比例既同於圜外兩叚轉相比之比例則圜外兩叚之比例亦必同於兩全線轉相比之比例故乙丙與乙庚之比即同於乙己與乙戊之比為比例四率既得乙戊則減乙丙餘丙戊折半得丙丁為勾甲丙為弦求得股即甲丁垂線也又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺兩自乘數相減餘一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸為底與形外垂線兩邊連底之總内減底十尺餘五尺二寸折半得二尺六寸為勾以小腰十七尺為弦求得股十六尺八寸為形外垂線也如圖甲乙丙三角形将乙丙底引長至戊自甲作垂線至丁則丁戊與丁丙等又自甲至戊作甲戊線與甲丙小腰等則成甲丁乙甲丁戊兩勾股形甲乙甲戊皆為弦乙丁丁戊皆為勾共以甲丁為股而乙丙為兩勾之較乙戊為兩勾之和前法以和求較此法以較求和其理一也圖解並同前設如有鋭角三角形兩腰俱五尺底六尺求面積幾何法先以底六尺折半得三尺為勾任以兩腰之一邊五尺為弦求得股四尺為中垂線與底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形以乙丙底邊與甲丁中垂線相乘成戊乙丙己長方形積比三角形積正大一倍故折半得三角積也設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面積幾何法先用求中垂線法求得中垂線八尺與底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺為三角面積也如圖甲乙丙三角形先求甲丁垂線既得甲丁垂線乃與乙丙底邊相乘成戊乙丙己長方形比三角形積正大一倍故折半得三角積也又法以甲乙邊十七尺乙丙邊二十一尺甲丙邊十尺三數相加得四十八尺為三邊之總折半得二十四尺為半總以甲乙邊十七尺與半總二十四尺相減餘七尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊二十一尺與半總二十四尺相減餘三尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊十尺與半總二十四尺相減餘十四尺為甲丙邊與半總之較乃以半總二十四尺為一率甲丙邊與半總之較十四尺為二率乙丙邊與半總之較三尺與甲乙邊與半總之較七尺相乘得二十一尺為三率求得四率十二尺二十五寸開方得三尺五寸為三角形自中心至三邊之垂線與三邊之總四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面積或以所得垂線三尺五寸與半總二十四尺相乘亦得八十四尺為三角形之面積也此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱兩兩相等(丁巳丙與丁庚丙等丁巳乙與丁戊乙等)(丁戊甲與丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三較之和(乙巳)(與乙戊等即甲丙邊與半總之較巳丙與丙庚等即甲乙邊與半總之較丙辛)(與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總之較)試自辛作直角将乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁巳平行乙辛壬形與乙巳丁形遂為同式形其乙辛與乙巳之比即同於壬辛與丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之數雖有而壬辛之數却無又但知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數故以巳丙與丙辛相乘之數為三率(何以知巳丙與丙辛相乘之數即丁巳與壬辛相乘之數)(試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直角癸丙辛角與辛壬)(癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角為癸丙辛角之外角相合亦共成一)(百八十度是庚丙巳角與辛壬癸角等庚丁巳角與癸丙辛角等是以壬癸丙)(辛形與丙庚丁巳形為同式形而丙辛壬勾股形與丁己丙勾股形亦為同式)(形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是)(以巳丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁巳一率與壬辛四率相乘之數等)(故直以己丙丙辛相乘之數作三率也)其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與乙巳之比同於丁己與壬辛相乘之面(即己丙與丙辛相乘之面)與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁巳為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也既得自中心至三邊之垂線則用垂線與三邊之總相乘所得一長方積(即如用垂線與三邊各相)(乘所得三長方積合為一長方)比三角形積大一倍故折半而得三角形之面積如以垂線與半總相乘即與三角形積等而不用折半矣設如有鋭角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方邊幾何法先用求中垂線法求得中垂線十二尺與底邊四十四尺相加得五十六尺為一率中垂線十二尺為二率底邊四十四尺為三率推得四率九尺四寸二分八釐五毫有餘即三角形内所容正方之一邊也如圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為小腰乙丙為底甲丁為所得中垂線戊己庚辛為今所求内容正方形試依甲丁中垂線度将乙丙線引長作乙癸線為五十六尺又與甲丙線平行作壬癸線又将甲乙線引長作壬乙線則成與甲乙丙同式之壬乙癸三角形復與底線平行作甲子線與丙癸等即與甲丁垂線等又與甲丁平行作子丑線與甲丁等則甲丁垂線所作甲丁丑子正方形即為壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底與甲丁方邊之比即同於甲乙丙三角形之乙丙底與戊巳方邊之比故中垂線與底邊相加為一率中垂線為二率底邉為三率推得四率為内容正方之一邊也設如等邊三角形每邊一尺二寸求内容圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九釐二毫有餘以三歸之得三寸四分六釐四毫有餘即内容圜形半徑倍之得六寸九分二釐八毫有餘即内容圜形全徑也如圖甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙巳垂線與甲戊中垂線相交於丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊與丁己即内容圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁亦必為丁巳或丁戊之二倍丁戊既為内容圜形之半徑則甲丁即為内容圜形之全徑而甲戊中垂線必為丁戊半徑之三倍矣故求得甲戊中垂線以三歸之得丁戊即内容圜形之半徑倍之得庚戊即内容圜形之全徑也設如等邊三角形每邊一尺二寸求外切圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線一尺零三分九釐二毫有餘三歸四因得一尺三寸八分五釐六毫有餘即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂線又自丙角至甲乙線界作丙己垂線與甲戊中垂線相交於丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁與丙丁即外切圜形之半徑又甲戊乙甲巳丁兩勾股形為同式形甲乙為乙戊之二倍則甲丁亦必為丁己或丁戊之二倍甲丁既為外切圜形之半徑則為甲戊中垂線之三分之二而甲戊中垂線却為甲庚全徑之四分之三矣故求得甲戊中垂線三歸四因得甲庚即外切圜形之全徑也又法以每邊一尺二寸自乘三歸四因開方得一尺三寸八分五釐六毫有餘即外切圜形全徑也如圖甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形試自甲角作甲戊中垂線又引長作甲丁全徑線復自丁至乙作丁乙線遂成甲乙丁甲戊乙兩勾股形為同式形甲乙既為乙戊之二倍則甲丁亦必為乙丁之二倍故甲丁自乘方積比乙丁自乘方積大四倍若依勾弦求股之法言之則甲丁弦自乘方積内減乙丁勾自乘方積所餘為甲乙股自乘之方積今甲丁弦自乘方積既為乙丁勾自乘方積之四倍則是甲乙每邊自乘方積為甲丁全徑自乘方積之四分之三矣故以一邊自乘三歸四因即與全徑自乘之方積等而開方得外切圜形之全徑也設如有鋭角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜徑幾何法先用求中垂線法求得中垂線二百四十尺與底四百一十八尺相乘得一十萬零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三數相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半徑倍之得一百九十尺即内容圜全徑也如圖甲乙丙三角形内容戊圜形試自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三線遂分甲乙丙三角形為甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三邊皆為三角形之底而戊巳半徑皆為三角形之垂線今乙丙底邊與甲丁中垂線相乘所得之長方積原比甲乙丙三角形積大一倍即如将所分三三角形各用垂線乘底邊所得之三長方積合為一長方也三長方之長雖不同而濶則一故各以長除積而得濶者即如合三角形之三邊除三角形之倍積而得半徑也設如有鋭角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜徑幾何法用求中垂線法求得中垂線一百三十四尺四寸為一率小腰一百六十八尺為二率大腰一百八十三尺為三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為中垂線試作切三角一圜自甲角至圜對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於圜界之一半必為直角與甲丁垂線所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比而為相當比例四率也設如有鈍角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜徑幾何法用求中垂線法求得中垂線八尺為一率小腰十尺為二率大腰十七尺為三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜徑也如圖甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底甲丁為中垂線試作切三角一圜自甲角至圜對界作甲戊全徑線又自丙角至戊作丙戊線則甲丙戊三角形之丙角立於圜界之一半必為直角與甲丁垂線所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角與乙角皆對甲丙弧其度又等故甲丙戊與甲丁乙兩三角形為同式形是以甲丁與甲乙之比同於甲丙與甲戊之比而為相當比例四率也御數精藴下編卷十四
## 下編卷十五
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷十五面部五割圜(屢求勾股)割圜周髀曰圓出於方方出於矩矩者所謂直角即勾股也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人用割圜之法内弦外切屢求勾股為無數多邊形以切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖冲之以圜容六邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内容正方之斜弦自乗折半開方而得四邊之一亦用屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外正方之斜弦減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以八邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜徑為弦半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾股小弦逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆可以互相比例矣割圜八線則將圜周分為三百六十度先求弧度通弦折半為正弦既得正弦而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至於餘弦餘矢餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内而正弦外而切線至於無數則圜周亦漸變為直線二者互相恭考俱為相符可見理之至者先後一揆法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜即勾股之用二者交相成而兩相得乎圜内容六邊起算設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為弦六邊之一邊一兆折半得五千億為勾求得股八千六百六十億二千五百四十萬三千七百八十四(小餘四三八六四六七六)(三七二三一七○七五二九三六一八三四七一)與半徑相減餘一千三百三十九億七千四百五十九萬六千二百一十五(小餘五六一三五三二三六二)(七六八二九二四七○六三八一六五二九)復為勾六邊之一邊折半之五千億為股求得弦五千一百七十六億三千八百零九萬零二百零五(小餘○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六)(五七六六四)為圜内所容十二邊形之每一邊如是屢求得圜内二十四邊形之每一邊為二千六百一十億五千二百三十八萬四千四百四十零(小餘一○三一八三○九)(六八一二四五五七九○九七八○二○三八七)圜内四十八邊形之每一邊為一千三百零八億零六百二十五萬八千四百六十零(小餘二八)(六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九)圜内九十六邊形之每一邊為六百五十四億三千八百一十六萬五千六百四十三(小餘五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三)(三)圜内一百九十二邊形之每一邊為三百二十七億二千三百四十六萬三千二百五十二(小餘九七三五六三二八五九二八五六五八)(九九一八九八三三二一三)圜内三百八十四邊形之每一邊為一百六十三億六千二百二十七萬九千二百零七(小餘八七四二五八五七)(○三九八一四六五八九五二六六七九九六四)圜内七百六十八邉形之每一邊為八十一億八千一百二十萬八千零五十二(小餘四六九五七九)(一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七)圜内一千五百三十六邊形之每一邊為四十億九千零六十一萬二千五百八十二(小餘)(三二八一九○二二八八二六一一七九六八五八五一九○○三九)圜内三千零七十二邊形之每一邊為二十億四千五百三十萬七千三百六十零(小餘六七六六○九○八二三八五九二二二九二一○二○七九○二)(九)圜内六千一百四十四邊形之每一邊為一十億二千二百六十五萬三千八百一十四(小餘○二七三九五○二二○二八五九八九五八)(八五二二四三九一七)圜内一萬二千二百八十八邊形之毎一邊為五億一千一百三十二萬六千九百二十三(小餘七二四八三四六二)(八一二三二九九○三一九○八八四七六七九)圜内二萬四千五百七十六邊形之每一邊為二億五千五百六十六萬三千四百六十三(小餘九五一三○九四八○五二三四四九○一一一四一○六三一七六)圜内四萬九千一百五十二邊形之每一邊為一億二千七百八十三萬一千七百三十二(小餘二三六七六六二六一八六九四七六四六四)(○四九二○九九九七)圜内九萬八千三百零四邊形之毎一邊為六千三百九十一萬五千八百六十六(小餘一五一○二二○七一一六○七○)(八○七一二六三八七○七五三)圜内一十九萬六千六百零八邊形之每一邊為三千一百九十五萬七千九百三十三(小餘○七九五九○)(九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○)圜内三十九萬三千二百一十六邊形之毎一邊為一千五百九十七萬八千九百六十六(小餘五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六)(七)圜内七十八萬六千四百三十二邊形之每一邊為七百九十八萬九千四百八十三(小餘二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五)(六一一一一四八)圜内一百五十七萬二千八百六十四邊形之每一邊為三百九十九萬四千七百四十一(小餘六二五一一七四五二九)(七五八六八○七○六八一一七九三三九)圜内三百一十四萬五千七百二十八邊形之毎一邊為一百九十九萬七千三百七十零(小餘)(八一七五五九○九六六六四○五九二五四○○二八六七九六四)圜内六百二十九萬一千四百五十六邊形之毎一邊為九十九萬八千六百八十五(小餘四○八七七九六七二八三九七五五七五七四○六一一三)(六一四)圜内一千二百五十八萬二千九百一十二邊形之每一邊為四十九萬九千三百四十二(小餘七○四三八九八五一九八三三一)(二三六三九八二九九六三五五)圜内二千五百一十六萬五千八百二十四邊形之每一邊為二十四萬九千六百七十一(小餘三五二一)(九四九二七九三七○八八六一七六九八八○二六五六)圜内五千零三十三萬一千六百四十八邊形之每一邊為一十二萬四千八百三十五(小餘六七六○九七四六四二一一七二三三二二五○四七○九四一)(八)圜内一億零六十六萬三千二百九十六邊形之毎一邊為六萬二千四百一十七(小餘八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五)(八七八四三)圜内二億零一百三十二萬六千五百九十二邊形之每一邊為三萬一千二百零八(小餘九一九○二四三六六○七一九二九二)(○四二六九一一八四○二)圜内四億零二百六十五萬三千一百八十四邊形之每一邊為一萬五千六百零四(小餘四五九五一二一八三○)(三六四三九四九七一○七三二○九五一)圜内八億零五百三十萬六千三百六十八邊形之毎一邊為七千八百零二(小餘二二九七五六○九一五)(一八二七九一五○四八二九一五一四二)圜内一十六億一千零六十一萬二千七百三十六邊形之每一邊為三千九百零一(小餘一一四八)(七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五)圜内三十二億二千一百二十二萬五千四百七十二邊形之每一邊為一千九百五十零(小餘五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六)(八七四)圜内六十四億四千二百四十五萬零九百四十四邊形之每一邊為九百七十五(小餘二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六)(四一一九九二六)圜内一百二十八億八千四百九十萬一千八百八十八邊形之每一邊為四百八十七(小餘六三九三五九七五五七一九)(八九三六七七四九八九○九九○五)圜内二百五十七億六千九百八十萬三千七百七十六邊形之每一邊為二百四十三(小餘八一九六)(七九八七七八五九九四六八三八七四九四五四九五三)圜内五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊形之每一邊為一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九八七九○)(九)乃以五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊之數與其每一邊一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四)(一四二四七九八七九○九)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六五八○一三四八二二○三五)(五○一○八八七六八)為圜徑二兆之周數圜内容四邊起算設如圜徑二兆用内容四邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆折半得一兆自乗得一穣倍之開方得一兆四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六)(九)為圜内所容四邊形之每一邊乃以半徑一兆為弦四邊之一邊一兆四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○四八八○一六八八七二四二)(○九六九八○七八五六九)折半得七千零七十一億零六百七十八萬一千一百八十六(小餘五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四)為勾亦即為股(四邊折半所成之勾股形其勾與股相等)與半徑相減餘二千九百二十八億九千三百二十一萬八千八百一十三(小餘四五)(二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六)復為勾四邊之一邊折半之七千零七十一億零六百七十八萬一千一百八十六(小餘五四七五二四四三九八四四三六二一 四八四九 二八四)為股求得弦七千六百五十三億六千六百八十六萬四千七百三十零(小餘一七)(九五四三四五六九一九九六八 六 七九七七三三五二三)為圜内所容八邊形之每一邊復以半徑一兆為弦八邊之一邊折半得三千八百二十六億八千三百四十三萬二千三百六十五(小餘九八九七七一七二八四五 九八四 三 三九)(八八六六七六一)為勾求得股九千二百三十八億七千九百五十三萬二千五百一十一(小餘二八六七五六一二八一八三一八九三九六七八八二八六)(八二二)與半徑相減餘七百六十一億二千零四十六萬七千四百八十八(小餘七一)(三二四三八七一八一六八一○六○三二一一七一三一七八)復為勾八邊之一邊折半之三千八百二十六億八千三百四十三萬二千三百六十五(小餘○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六)(七六一)為股求得弦三千九百零一億八千零六十四萬四千零三十二(小餘二五六五)(三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五)為圜内所容十六邊形之毎一邊如是屢求得圜内三十二邊形之每一邊為一千九百六十億三千四百二十八萬零六百五十九(小餘一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六)(九一七二二)圜内六十四邊形之每一邊為九百八十一億三千五百三十四萬八千六百五十四(小餘八三六○二八五○九九一五○七三五)(四一九二一八○四五八六)圜内一百二十八邊形之每一邊為四百九十億八千二百四十五萬七千零四十五(小餘八二四五七六○六三四)(七一六二一○六二○八五七五四一三二)圜内二百五十六邊形之每一邊為二百四十五億四千三百零七萬六千五百七十一(小餘四三)(九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○)圜内五百一十二邊形之每一邊為一百二十二億七千一百七十六萬九千二百九十八(小餘三○八九五○七一九二八一一○九八九七五三九一)(五○二八七)圜内一千零二十四邊形之毎一邊為六十一億三千五百九十一萬三千五百二十五(小餘九三四八一八四○○九三五六一)(三五六一一八八八五○三一八)圜内二千零四十八邊形之每一邊為三十億六千七百九十六萬零三百七十二(小餘五六九五三一二二四六)(○七五五四四八二五五三五七八○五四)圜内四千零九十六邊形之每一邊為一十五億三千三百九十八萬零六百三十七(小餘四八五四)(○九○五三八七七二一六八○六九八○五三六五二九)圜内八千一百九十二邊形之每一邊為七億六千六百九十九萬零三百七十五(小餘)(一四二七九一一七八一四四九六三四○七九一三二八八三一一)圜内一萬六千三百八十四邊形之毎一邊為三億八千三百四十九萬五千一百九十四(小餘六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五)(四三七○三三三)圜内三萬二千七百六十八邊形之每一邊為一億九千一百七十四萬七千五百九十八(小餘一九一九五四六九一七)(四一○四四四三三三四一二七四三一七)圜内六萬五千五百三十六邊形之每一邊為九千五百八十七萬三千七百九十九(小餘二○六一)(三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七)圜内一十三萬一千零七十二邊形之每一邊為四千七百九十三萬六千八百九十九(小餘六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二)(七)圜内二十六萬二千一百四十四邉形之每一邊為二千三百九十六萬八千四百四十九(小餘八一○一三九四一二八四三○四四三)(七四六一七五二八三三○)圜内五十二萬四千二百八十八邊形之毎一邊為一千一百九十八萬四千二百二十四(小餘九○五二八四)(八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八)圜内一百零四萬八千五百七十六邊形之每一邊為五百九十九萬二千一百一十二(小餘四五二六六九三二一五○○九○九九三八七二六○○六○六五)圜内二百零九萬七千一百五十二邊形之每一邊為二百九十九萬六千零五十六(小餘二二六三三八○二二四五七七○八七一四一二○二)(五三九六六)圜内四百一十九萬四千三百零四邊形之毎一邊為一百四十九萬八千零二十八(小餘一一三一六九四三一四四二二六一○)(七五三四七四三二九三三)圜内八百三十八萬八千六百零八邊形之毎一邊為七十四萬九千零一十四(小餘○五六五八四七六八二四七八○)(六三七七四六五一五五○七七)圜内一千六百七十七萬七千二百一十六邊形之毎一邊為三十七萬四千五百零七(小餘○二八二九二)(三九○六八九七三七六六八七○六六八○○三二)圜内三千三百五十五萬四千四百三十二邊形之每一邊為一十八萬七千二百五十三(小餘五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二)(四)圜内六千七百一十萬八千八百六十四邊形之每一邊為九萬三千六百二十六(小餘七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六)(五○三○六)圜内一億三千四百二十一萬七千七百二十八邊形之毎一邊為四萬六千八百一十三(小餘三七八五三六五四九一○五)(五一九○一三四三一○二四六八二)圜内二億六千八百四十三萬五千四百五十六邊形之每一邊為二萬三千四百零六(小餘六八九二)(六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四)圜内五億三千六百八十七萬零九百一十二邊形之每一邊為一萬一千七百零三(小餘三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一)圜内一十億七千三百七十四萬一千八百二十四邊形之每一邊為五千八百五十一(小餘六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六)(六四六一四六四)圜内二十一億四千七百四十八萬三千六百四十八邊形之每一邊為二千九百二十五(小餘八三六一五八五三四三)(一九三六一○五九二一七○八五三九四)圜内四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六邊形之毎一邊為一千四百六十二(小餘)(九一八○七九二六七一五九六八○九二○九六二七七四五二九)圜内八十五億八千九百九十三萬四千五百九十二邊形之每一邊為七百三十一(小餘四九五○三九六三三五七九八四○五○三一四○一六六)(○二七)圜内一百七十一億七千九百八十六萬九千一百八十四邊形之每一邊為三百六十五(小餘七二九五一九八一六七八九九二)(○二五七六八四九九二八八六)圜内三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊形之毎一邊為一百八十二(小餘八六四七)(五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○)乃以三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊之數與其每一邊一百八十二(小餘八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八)(六○七七○)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三)(三六○)為圜徑二兆之周數圜外切六邊起算設如圜徑二兆用外切六邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆為弦半徑一兆為勾求得股一兆七千三百二十億五千零八十萬七千五百六十八(小餘八七七二九三五二七四)(四六三四一五○五八七二三六六九四二)取其三分之二得一兆一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七)(五六一○○三九一四九一一二九五)即圜外六邊形之毎一邊(葢圜徑為弦半徑為勾所得股即圜外三邊形之每邊之一半)(倍之為圜外三邊形之每一邊其毎一邊之三分之一即圜外六邊形之每一)(邊今以六邊起算故省求三邊止以所得之股取其三分之二為六邊形之毎)(一邊也)乃以六邊形之每一邊一兆一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一四九)(一一二九五)折半得五千七百七十三億五千零二十六萬九千一百八十九(小餘六二)(五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)為勾半徑一兆為股即用六邊之一邊為弦(圜内六邊與半徑等圜外六邊亦與本形半徑等故即用六邊之一邊為弦也)與半徑相減餘一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九)(○一八二九七五六一○○三九一四九一一二九五)即股弦較又即小同式形之勾復以六邊形之一邊折半之勾五千七百七十三億五千零二十六萬九千一百八十九(小餘六二五七)(六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)為一率半徑之股一兆為二率小同式形之勾一千五百四十七億零五十三萬八千三百七十九(小餘二五一五二九○一八二九七五六一○○三)(九一四九一一二九五)為三率推得四率二千六百七十九億四千九百一十九萬二千四百三十一(小餘一二二七○六四七二五五三六五八四九四)(一二七六三三○五七)為小同式形之股倍之得五千三百五十八億九千八百三十八萬四千八百六十二(小餘二四五四一二九四五一○七)(三一六九八八二五五二六六一一四)為圜外十二邊形之每一邊如是屢求得圜外二十四邊形之毎一邊為二千六百三十三億零四百九十九萬五千一百七十四(小餘七九)(一七○六九四三○五二九一四八一九四三四二○七一八四)圜外四十八邊形之每一邊為一千三百一十億八千六百九十二萬五千六百三十零(小餘四七六四五七一二九○八七四四九七五九八八五五八九)(八四二)圜外九十六邊形之每一邊為六百五十四億七千三百二十二萬零八百二十五(小餘九四五一七二八七八五一七八九七七八六九一)(九二四七三一○)圜外一百九十二邊形之每一邊為三百二十七億二千七百八十四萬四千二百七十零(小餘六二三一六五三三○六)(八二一五七二二五九三九八八九七五六)圜外三百八十四邊形之每一邊為一百六十三億六千二百八十二萬六千八百零七(小餘五八)(七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二)圜外七百六十八邊形之每一邊為八十一億八千一百二十七萬六千五百零一(小餘五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六)圜外一千五百三十六邊形之毎一邊為四十億九千零六十二萬一千一百三十八(小餘四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三)(○八六七○)圜外三千零七十二邊形之毎一邊為二十億四千五百三十萬八千四百三十零(小餘一八九六八二三○九八七九八九二○四九)(四○七三○一四三八)圜外六千一百四十四邊形之毎一邊為一十億二千二百六十五萬三千九百四十七(小餘七一六五○二九四○六)(○七九二三六一七○八二四○○七六八)圜外一萬二千二百八十八邊形之每一邊為五億一千一百三十二萬六千九百四十零(小餘)(四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二)圜外二萬四千五百七十六邊形之每一邊為二億五千五百六十六萬三千四百六十六(小餘○四○二○一六六四○五二四五三七一九三三)(九一五○五八二)圜外四萬九千一百五十二邊形之每一邊為一億二千七百八十三萬一千七百三十二(小餘四九七八七七七八四○)(一○五六○七七四○一○四六二三四八)圜外九萬八千三百零四邊形之毎一邊為六千三百九十一萬五千八百六十六(小餘一八三六六一)(○一一四○三三三五六四一三七七六七八四八四)圜外一十九萬六千六百零八邊形之每一邊為三千一百九十五萬七千九百三十三(小餘○八三六七○七七○六三八九二五一四九七五○二五一六九四)圜外三十九萬三千二百一十六邊形之毎一邊為一千五百九十七萬八千九百六十六(小餘五四○八一五四一八四三七○一○三七九)(二○二九四三三二二)圜外七十八萬六千四百三十二邊形之每一邊為七百九十八萬九千四百八十三(小餘二七○二八○二一三三五八)(二一○八七二五八六○四二○三○)圜外一百五十七萬二千八百六十四邊形之每一邊為三百九十九萬四千七百四十一(小餘六三)(五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八)圜外三百一十四萬五千七百二十八邊形之每一邊為一百九十九萬七千三百七十零(小餘八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六)(四四三五四)圜外六百二十九萬一千四百五十六邊形之每一邊為九十九萬八千六百八十五(小餘四○八七七九七九七三四七三八一六)(○七九七四二七五二九八)圜外一千二百五十八萬二千九百一十二邊形之毎一邊為四十九萬九千三百四十二(小餘七○四三八九)(八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四)圜外二千五百一十六萬五千八百二十四邊形之每一邊為二十四萬九千六百七十一(小餘三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六)(二)圜外五千零三十三萬一千六百四十八邊形之每一邊為一十二萬四千八百三十五(小餘六七六○九七四六四四五四九○二三九八)(八一三七二三○八二)圜外一億零六十六萬三千二百九十六邊形之每一邊為六萬二千四百一十七(小餘八三八○四八七三二一六六六五)(六四三五七○三三九六九七六)圜外二億零一百三十二萬六千五百九十二邊形之每一邊為三萬一千二百零八(小餘九一九○二四三六)(六○七五七二八八七二三八八七六五四二八)圜外四億零二百六十五萬三千一百八十四邊形之毎一邊為一萬五千六百零四(小餘四五)(九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八○)圜外八億零五百三十萬六千三百六十八邊形之每一邊為七千八百零二(小餘二二)(九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一○)圜外一十六億一千零六十一萬二千七百三十六邊形之毎一邊為三千九百零一(小餘一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六)(二)圜外三十二億二千一百二十二萬五千四百七十二邊形之每一邊為一千九百五十零(小餘五五七四三九○二二八七九五七五三)(五三二六三四七○三六八)圜外六十四億四千二百四十五萬零九百四十四邊形之每一邊為九百七十五(小餘二七八七一九五一一四三九)(七八七四四四七一八一一六三二○)圜外一百二十八億八千四百九十萬一千八百八十八邊形之毎一邊為四百八十七(小餘六三九三)(五九七五五七一九八九三六九三三六九八五五八○二)圜外二百五十七億六千九百八十萬三千七百七十六邊形之每一邊為二百四十三(小餘八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二七七六○)(六)圜外五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊形之每一邊為一百二十一(小餘九○九八三九九三八九二九九七三四二一)(○七七六八二五一六)乃以五百一十五億三千九百六十萬七千五百五十二邊之數與其每一邊一百二十一(小餘九○九八三九九三)(八九二九九七三四二一○七七六八二五一六)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七六九三二一)(五四六○一七七八二八三九六○八三二)為圜徑二兆之周數圜外切四邊起算設如圜徑二兆用外切四邊起算問得圜周幾何法以圜徑二兆為外切四邊形之每一邊乃以圜徑二兆為股亦即為勾求得弦二兆八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七)(六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八)為圜外四邊形之斜弦與圜徑相減餘八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九)(六一五七一三八)即圜外八邊形之每一邊又以八邊形之毎一邊八千二百八十四億二千七百一十二萬四千七百四十六(小餘一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三)(八)折半得四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)為勾半徑一兆為股求得弦一兆零八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)與半徑相減餘八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九)(九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)即股弦較又即小同式形之勾復以八邊形之一邊折半之勾四千一百四十二億一千三百五十六萬二千三百七十三(小餘○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)為一率半徑之股一兆為二率小同式形之勾八百二十三億九千二百二十萬零二百九十二(小餘三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七)(八八四○一二一)為三率推得四率一千九百八十九億一千二百三十六萬七千三百七十九(小餘六五八○○六九一一五九七六二二六四四六七)(六二二八五九七)為小同式形之股倍之得三千九百七十八億二千四百七十三萬四千七百五十九(小餘三一六○一三八二三一九五二四)(五二八九三五二四五七一九四)為圜外十六邊形之每一邊如是屢求得圜外三十二邊形之毎一邊為一千九百六十九億八千二百八十萬六千七百一十四(小餘三二八五)(○六一五四三九五○四二五八二六五四八六四五八四)圜外六十四邊形之每一邊為九百八十二億五千三百六十九萬九千五百三十八(小餘九三四五○八二一○六八六六四二五四二六二七二三四一五八)圜外一百二十八邊形之毎一邊為四百九十億九千七百二十四萬四千二百一十七(小餘八五○八八八二○九一五九五○七九二一八一)(七四四二三八四)圜外二百五十六邊形之毎一邊為二百四十五億四千四百九十二萬四千七百五十九(小餘一三二五五○四六一七)(七五一○六四六八五四一五九二八九○)圜外五百一十二邊形之毎一邊為一百二十二億七千二百萬零三百一十五(小餘二四六八○三九二)(八五八八七三一二○二六二一六七○五八二)圜外一千零二十四邊形之毎一邊為六十一億三千五百九十四萬二千四百零二(小餘八四)(五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四)圜外二千零四十八邊形之每一邊為三十億六千七百九十六萬三千九百八十二(小餘一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四)(四)圜外四千零九十六邊形之每一邊為一十五億三千三百九十八萬一千零八十八(小餘六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五)(五八四七五三八)圜外八千一百九十二邊形之每一邊為七億六千六百九十九萬零四百三十一(小餘五四二八八一九七六六九一四六八三)(六八一五四四三九三二○)圜外一萬六千三百八十四邊形之毎一邊為三億八千三百四十九萬五千二百零一(小餘六七一四一七七七)(○二九一五五五一二一七二六一八二一一○)圜外三萬二千七百六十八邊形之每一邊為一億九千一百七十四萬七千五百九十九(小餘○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五一四六一○六)圜外六萬五千五百三十六邊形之毎一邊為九千五百八十七萬三千七百九十九(小餘三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七六)(一九八五八)圜外一十三萬一千零七十二邊形之每一邊為四千七百九十三萬六千八百九十九(小餘六三○六○五九九○三七一六九)(七五二九八八九四六二九四四)圜外二十六萬二千一百四十四邊形之每一邊為二千三百九十六萬八千四百四十九(小餘八一一八)(六○六○六九五七○二三二六九五八九三○一三二○)圜外五十二萬四千二百八十八邊形之每一邊為一千一百九十八萬四千二百二十四(小餘九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○○二三)(三六六)圜外一百零四萬八千五百七十六邊形之每一邊為五百九十九萬二千一百一十二(小餘四五二六九六二一五一五八九三九六)(六○一二八○二○一五四)圜外二百零九萬七千一百五十二邊形之毎一邊為二百九十九萬六千零五十六(小餘二二六三四一三八四一)(六四九六二三○六三四八二四八二二○)圜外四百一十九萬四千三百零四邊形之每一邊為一百四十九萬八千零二十八(小餘一一三一)(六九八五一六五五六六七七一五五三八六四一七五四)圜外八百三十八萬八千六百零八邊形之每一邊為七十四萬九千零一十四(小餘○五)(六五八四八二○七七四四八二一七八一五三二九一四五二)圜外一千六百七十七萬七千二百一十六邊形之每一邊為三十七萬四千五百零七(小餘○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七四○四)(七三○)圜外三千三百五十五萬四千四百三十二邊形之毎一邊為一十八萬七千二百五十三(小餘五一四一四六一九六九八六三二)(七四四四五七○一三三五七四)圜外六千七百一十萬八千八百六十四邊形之每一邊為九萬三千六百二十六(小餘七五七○七三○九八二)(八七九八一三九四七八五八七三三八六)圜外一億三千四百二十一萬七千七百二十八邊形之毎一邊為四萬六千八百一十三(小餘)(三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二)圜外二億六千八百四十三萬五千四百五十六邊形之毎一邊為二萬三千四百零六(小餘六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五)(九三九一六)圜外五億三千六百八十七萬零九百一十二邊形之每一邊為一萬一千七百零三(小餘三四四六三四一三七二七七五八一九)(九二九四六九○○○九六)圜外一十億七千三百七十四萬一千八百二十四邊形之毎一邊為五千八百五十一(小餘六七二三一七○六)(八六三八七四○九○三一三一七七五四四○)圜外二十一億四千七百四十八萬三千六百四十八邊形之每一邊為二千九百二十五(小餘八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四)圜外四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六邊形之毎一邊為一千四百六十二(小餘九一八○七九二六七一五九六八一三九八)(三六九八五○二五二)圜外八十五億八千九百九十三萬四千五百九十二邊形之每一邊為七百三十一(小餘四五九○三九六三三五七九)(八四○六○一三四六三六七一六六)圜外一百七十一億七千九百八十六萬九千一百八十四邊形之每一邊為三百六十五(小餘七二)(九五一九八一六七八九九二○二八八四四三三六三八三八)圜外三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊形之每一邊為一百八十二(小餘八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九二九)(五四四五○)乃以三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八邊之數與其每一邊一百八十二(小餘八六四七五九九○八三)(九四九六○一四二六九二九五四四五○)之數相乗得六兆二千八百三十一億八千五百三十萬七千一百七十九(小餘五八六四七七三一二七一七)(八六一八五八九四一三三七六○○)為圜徑二兆之周數御製數理精藴下編卷十五
## 下編卷十六
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷十六面部割圜(割圜八線八線相求) (六宗限内三要總法二簡法求象 各線)割圜八線圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中設為正弦餘弦正矢餘矢正切餘切正割餘割名之曰割圜八線設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為甲己己丁二段己丁為己戊丁角所對之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊己為正角則己戊丁為餘角正角所對為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全徑平行作己辛線謂之通弦其對己丁正弧而立於戊丁半徑者曰正弦又與戊丁半徑平行作壬己線謂之餘弦以其為甲己餘弧之所對也於戊丁半徑内減戊庚餘庚丁謂之正矢於甲戊半徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切將己戊半徑引長與正切相遇於癸成戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘割每一角一弧即有正弦餘弦正矢餘矢己成四線於圜界之内復引出半徑於圜界之外而成正切餘切正割餘割之四線内外共為八線故曰割圜八線逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘弧之正即為正弧之餘是以前四十五度之八線正餘互相對待為用不必復求後四十五度之八線也凡此八線皆九十度以内鋭角之所成若直角九十度者則不能成八線葢因半徑即九十度之正弦甲戊半徑即甲丁弧之弦而切線割線為平行終無相遇之處也若鈍角過九十度以外者則於半周一百八十度内減其角度用其餘度之八線即如己庚為己丁弧之正弦亦即乙己弧之正弦也要之八線以正弦為本有正弦則諸線皆由此生故六宗三要皆係正弦之法六宗三要(二簡法附)西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等邊形之一邊為相當弧之通弦以為立表之原故謂之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半徑不藉他求數無零餘而理最易見此其一也四邊形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜弦此又其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則又出於三邊及五邊非别自立一法也既得此六種形之一邊各半之即得六種弧之各正弦爰命此六種弧為本弧按法可求本弧之餘弦可求倍本弧之正弦餘弦亦可求半本弧之正弦餘弦是為三要又以不等两弧之正弦餘弦求相加相減弧之正弦又两弧距六十度前後之度等得其两正弦之較即得距弧之正弦是又名為二簡法由此錯綜之可得正弦一百二十其中最小者為四十五分之弦其次一度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以弦求弦而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜内容十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正弦三百六十其中最小者為十五分之正弦又增一法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一分至四分之正弦較之四十五分為尤密可知矣今以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按類具例於左六宗(圜内容六邊形四邊形三邊形十邊形五邊形十五邊形)設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内容六邊形每邊之弧得圜周六分之一皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三角形則甲角所對之弧為六十度而甲乙甲丙两腰俱為半徑既相等則乙角丙角亦必相等而各為六十度矣三角既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六十度則乙丙邊十萬為六十度之通弦折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之正弦也此即六邊起算之理前設圜徑為二兆者所以求其密合今設圜徑為二十萬所以取其便於用也設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬為弦自乗得四百億又以半徑十萬為勾自乗得一百億相減餘三百億開方得股一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)即圜内容三邊形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎邊之弧得圜周三分之一皆一百二十度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每邊弧之一半而丙角立於圜界之一半必為直角故半徑為勾全徑為弦求得股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為一百二十度則乙丙邊一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)為一百二十度之通弦折半得乙戊八萬六千六百零二(小餘五四○三七八四)即乙己弧六十度之正弦也設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自乗得一百億倍之得二百億開方得一十四萬一千四百二十一(小餘三五六二三七三)即圜内容四邊形之每一邊也如甲圜内容四邊形每邊之弧得圜周四分之一皆九十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙勾股形若命甲乙半徑為股則甲丙半徑為勾若命甲丙半徑為股則甲乙半徑為勾因勾股皆為半徑故以半徑自乗倍之開方而得弦即如勾股各自乗併之開方而得弦也乙丙弧既為九十度則乙丙邊一十四萬一千四百二十一(小餘三五六二三七三)為九十度之通弦折半得乙丁七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)即乙戊弧四十五度之正弦也理分中末線(此西法名也因命一線為首率將此首率分為大小两分大分為中)(率小分為末率與原線共為相連比例三率故謂之理分中末線也)設如以十萬為首率作相連比例三率使中率末率相加與首率等求中率末率各幾何法以十萬自乗得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊六萬一千八百零二即相連比例之中率以中率與首率十萬相減餘三萬八千一百九十七即相連比例之末率也此法葢因連比例三率之首率末率相乗之長方積與中率自乗之正方積等而首率之中有一中率一末率之數故首率自乗之一正方積中有首率中率相乗之一長方又有首率末率相乗之一長方即如甲乙為首率丙乙為中率甲丙為末率丙乙中率自乗之正方為丁戊乙丙甲丙末率與甲乙首率相乗之長方為甲丙庚辛(甲辛與甲乙等)此一正方一長方之積等而甲乙首率自乗之正方為甲乙己辛丙乙中率與甲乙首率相乗之長方為丙乙己庚(丙庚)(與甲乙等)夫甲丙庚辛之長方既與丁戊乙丙之正方等則甲乙己辛之正方亦必與丁戊己庚之長方等是以丁戊己庚長方形之闊即中率其長比闊之較即首率故以首率自乗為長方積仍以首率為長比闊之較用帶縱平方法開之得闊為中率也又法以首率十萬為股首率十萬折半得五萬為勾求得弦一十一萬一千八百零三内減勾五萬餘六萬一千八百零三為相連比例之中率以中率與首率相減餘三萬八千一百九十七即為相連比例之末率也如圖甲乙與乙丙皆為首率今以甲乙為股乙丙折半得乙丁為勾求得甲丁弦試依甲丁弦度將乙丁勾引長至戊作丁乙戊線仍自甲至戊作一圜界則甲丁戊丁同為半徑且皆為弦於戊丁弦内減乙丁勾所餘乙戊與己乙等即中率於甲乙首率内減去與乙戊相等之己乙中率所餘甲己即末率也此法與前法理實相同帶縱較數開方法有以半較自乗與原積相加開方得半和於半和内減半較得闊者今此法以首率為股自乘得甲乙丙壬正方形即與庚戊丙辛長方形積等乙丙即長闊之較乙丁即半較戊丁即半和今以乙丁為勾自乘甲乙為股自乘相加開方得甲丁弦即如乙丁半較自乘與甲乙自乘原積相加開方而得甲丁與戊丁等戊丁内減乙丁餘戊乙即半和内減半較得闊為中率也設如圜徑二十萬求内容十邊形之一邊幾何法用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為首率自乘得一百億為長方積以十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為連比例之中率即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度其通弦即圜内十邊形之一邊試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界戊作一乙戊線則截甲丙線於丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂為一百零八度之通弦此乙丙丁三角形與甲乙丙三角形為同式形(乙丙丁三角形之乙角當戊丙弧為乙丙弧之倍則乙丙丁三)(角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其餘一角亦必等故為)(同式形)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙丁之比為相連比例三率而甲乙為首率乙丙為中率丙丁為末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一為三十六度則乙角必比甲角大一倍為七十二度(三角形之三角共一百八十度甲角既為三十六度則乙丙两角必)(為一百四十四度平分之各得七十二度比甲角為大一倍也)而乙丙丁三角形之乙角與甲乙丙三角形之甲角等則甲丁乙三角形之乙角亦必與甲角等是則甲丁乙三角形必两邊相等之三角形而乙丙丁三角形亦為两邊相等之三角形也夫甲丁既與丁乙等而丁乙又與乙丙中率等則甲丁亦必與中率等矣是以甲丁中率與丁丙末率相加與甲丙首率等故用連比例三率有首率求中率法算之得中率為十邊形之一邊也又法以圜徑二十萬折半得半徑十萬為股自乘得一百億又以半徑十萬折半得五萬為勾自乗得二十五億相加得一百二十五億開方得弦一十一萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)於弦數内減去勾數餘六萬一千八百零三(小餘三九)(八八七四九)即圜内容十邊形之每一邊也如甲圜内容十邊形每邊之弧得圜周十分之一皆三十六度試自圜心甲至圜界乙作甲乙半徑線為股又自圜心甲取直角作甲丙半徑線折半得甲丁為勾求得乙丁弦内減與甲丁相等之戊丁餘乙戊即與乙己等為圜内容十邊形之毎一邊也乙己弧既為三十六度則乙己邊六萬一千八百零三(小餘三九)(八八七四九)為三十六度之通弦折半得乙庚三萬零九百零一(小餘六九九四三七四)即乙辛弧十八度之正弦也設如圜徑二十萬求内容五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形每邊之弧得圜周五分之一皆七十二度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為七十二度之通弦如以乙丙弧七十二度折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即五邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為五邊形之毎一邊也又法以半徑十萬為股自乘得一百億圜内容十邊形之一邊六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)為勾自乘得三十八億一千九百六十六萬零一百一十二(小餘四八九九九○五八五八五○○一)相加得一百三十八億一千九百六十六萬零一百一十二(小餘四八九九九○五八五八五○○一)開方得弦一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也此法葢因半徑自乘十邊形之一邊自乘兩自乘方積相併即與五邊形之一邊自乘之方積等故用勾股求弦之法算之如甲圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線遂成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊又成乙戊丁勾股形乙戊五邊形每邊之半為股丁戊末率之半為勾乙丁中率為弦試依甲丁半徑度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五邊形之一邊度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子丑已為乙丁弦自乘之一正方(甲已既與乙丁弦等故甲子丑已為弦自乘之正方)已寅辛丁長方形亦與乙丁弦自乘之一正方等(丁辛原與甲丁首率等己丁末率與丁辛首率相乘自與乙丁中率自乘)(之正方等)而子庚寅丑長方形為乙丁弦自乘之一正方内少勾自乘之四正方(葢子)(庚辛夘長方形為首率與末率相乘之長方與乙丁中率自乘之正方等内却)(少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形實為戊丁勾自乘之四正方故子庚)(寅丑長方形為乙丁弦自乘之一正方少勾自乘之四正方也)是則甲丁半徑自乘之甲庚辛丁正方形内有弦自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今弦自乘之四正方内少勾自乘之四正方即與股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之乙丙癸壬正方形實為乙戊股自乘之四正方然則甲丁半徑自乘方與乙丁十邊形之一邊自乘方相併既與乙戊股自乘之四正方等而乙丙一邊自乘之正方豈不與甲丁半徑自乘乙丁十邊形之一邊自乘之兩正方等乎故以甲丁半徑為股乙丁十邊形之一邊為勾求得弦而為五邊形之一邊也又法以半徑十萬自乘得一百億為長方積仍以半徑十萬為長闊之較用帶縱較數開方法算之得長一十六萬一千八百零三(小餘三九八八七四九)折半得八萬零九百零一(小餘六九九四三七四)為自圜心至五邊形每邊之垂線乃以半徑十萬為弦圜心至五邊形每邊之垂線為股求得勾五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)即圜内容五邊形之每一邊也如甲圜内容五邊形將乙丙弧折半於丁作乙丁線即圜内容十邊形之一邊仍自圜心甲至丁作甲丁半徑線成甲乙丁三角形又依乙丁線度截甲丁半徑於己作乙己線成乙己丁三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲乙為首率乙丁為中率己丁為末率甲己亦與乙丁等為中率而乙丙邊平分己丁末率於戊是以己戊與戊丁俱為半末率而甲戊自圜心至邊之垂線則為一中率半末率之共數今以半徑首率自乘為長方積開帶縱平方得長乃首率與中率之和其内有兩中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至邊之垂線既得甲戊垂線乃以甲乙半徑為弦甲戊垂線為股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五邊形之一邊也或以乙丁中率為弦戊丁半末率為勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五邊形之一邊也乙丙弧既為七十二度則乙丙邊一十一萬七千五百五十七(小餘)(○五○四五八四)為七十二度之通弦折半得乙戊五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)即乙丁弧三十六度之正弦也設如圜徑二十萬求内容十五邊形之一邊幾何法以半徑十萬為弦圜内容五邊形之半五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為勾求得股八萬零九百零一(小餘六九九四)(三七五)内減半徑之半五萬餘三萬零九百零一(小餘六九九四三七五)為股次以圜内容三邊形之一邊一十七萬三千二百零五(小餘○八○七五六八)内減圜内容五邊形之一邊一十一萬七千五百五十七(小餘○五)(○四五八四)餘五萬五千六百四十八(小餘○三)(○二九八四)折半得二萬七千八百二十四(小餘○一五一四九二)為勾求得弦四萬一千五百八十二(小餘三三八一六三五)即圜内容十五邊形之每一邊也如甲圜内容十五邊形每邊之弧得圜周十五分之一皆二十四度試從圜界乙作圜内容三邊形又作圜内容五邊形将三邊形之每一邊弧分五段五邊形之每一邊弧分三段即得十五邊形之每一邊弧如戊庚與己丁二段皆為十五邊形之弧故以甲丁半徑為弦丁丙五邊之半為勾求得甲丙股内減甲辛自圜心至三角底邊之垂線為半徑之半餘辛丙與癸丁或壬庚等復於三邊形之戊己邊内減五邊形之庚丁邊即如戊己線内減壬癸餘戊壬與癸己二段折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚為股癸己或戊壬為勾求得己丁弦或戊庚弦即圜内容十五邊形之每一邊也己丁弧既為二十四度則己丁邊四萬一千五百八十二(小餘三三八一六三五)為二十四度之通弦折半得己子二萬零七百九十一(小餘)(一六九○八一七)即己丑弧十二度之正弦也新增按分作相連比例四率法設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成一)(立方積)為實又以一率十萬自乘三因之得三百億(成三平面積)為法以除原實一千兆得三萬乃以三萬自乘再乘得二十七兆益於原實一千兆内得一千零二十七兆為共實按除法以所得三萬與法三百億相因得九百兆與共實相減餘一百二十七兆為第二位實以法之三百億除之得四千乃以首位所得三萬合次位所得四千共三萬四千自乘再乘得三十九兆三千零四十億仍益於原實一千兆内得一千零三十九兆三千零四十億為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆餘一十九兆三千零四十億為第三位實以法之三百億除之得六百所餘太多因益積故取畧大之數為七百合前两位所得三萬四千共三萬四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九億二千三百萬仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九億二千三百萬為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆餘七千八百一十九億二千三百萬為第四位實以法之三百億除之得二十合前三位所得三萬四千七百共三萬四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二億一千零四萬八千為共實按除法減首位所得三萬與法三百億相因之九百兆又減次位所得四千與法三百億相因之一百二十兆又減三位所得七百與法三百億相因之二十一兆又減四位所得二十與法三百億相因之六千億餘二千五百四十二億一千零四萬八千為末位實以法之三百億除之得八所餘亦太多因益積仍取畧大之數為九合前四位所得三萬四千七百二十共三萬四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬零二千四百八十九仍益於原實一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九為共實按除法以五次所得之數與法相因之數遞減之仍餘一百六十七億六千六百四十萬二千四百八十九不盡是共除得三萬四千七百二十九為相連比例之二率也以二率之三萬四千七百二十九自乘得一十二億零六百一十萬三千四百四十一以一率之十萬除之得一萬二千零六十一為三率以二率之三萬四千七百二十九三倍之得十萬四千一百八十七内減去一率之十萬餘四千一百八十七為四率如以三率之一萬二千零六十一自乘以二率之三萬四千七百二十九除之亦得四千一百八十七為四率也此為益實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率三倍等而連比例四率之理一率自乘用四率再乘與二率自乘再乘之數等今立法以一率自乘再乘為原實較之三倍二率與一率自乘之面積相乘之數却少一二率自乘再乘之數故以累除所得之數屢次自乘再乘益入原實然後按法除之始足二率三倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰辰乙皆為二率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率之三倍甲乙丙丁戊己為一率自乘再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為三倍二率與一率自乘面積相乘之長方體(一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方體合之即成三倍)(二率乘一率自乘面積之一長方體)比一率自乘再乘之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乘用四率再乘之數與二率自乘再乘之積等若於一率自乘再乘之正方體内加入二率自乘再乘之正方體即如於甲乙丙丁戊己正方體上加一庚甲酉戊壬癸之扁方體成庚乙丙丁壬癸之長方體而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙為二率之三倍苟合乙丙丁申與辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙為二率若不加積止以三方面除之則所得仍為一率之三分之一比二率數必小故以屢除所得之數屢次自乘再乘益入原積則積漸增而得數亦漸大遞及末位則所少之積已足而除得之數即為二率之全數焉設如圜徑二十萬求内容十八邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乘再乘得一千兆為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得三萬四千七百二十九(小餘)(六三五五三三四)為二率即圜内十八邊形之每一邊也如甲圜内容十八邊形每邊之弧得圜周十八分之一皆二十度其通弦即圜内十八邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形而乙庚為六十度之通弦復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形(乙丙戊三角形)(之乙角當庚丙弧為乙丙弧之倍則乙丙戊三角形之乙角與甲乙丙三角形)(之甲角等又與甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半)(徑平行則丙丁戊三角形之丙角與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必)(等又與乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而為同式形)(也)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又乙庚為六十度之通弦與甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆與乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率與丁戊四率相加方與乙丙二率之三倍等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十八邊形之一邊也乙丙弧既為二十度乙丙邊三萬四千七百二十九(小餘六三五五三三四)為二十度之通弦折半得一萬七千三百六十四(小餘)(八一七七六六七)即十度之正弦也設如圜徑二十萬求内容九邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十八邊形之一邊三萬四千七百二十九(小餘六三五五三三四)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線三萬四千二百零二(小餘○一四三三二六)倍之得六萬八千四百零四(小餘○二八六六五二)即圜内容九邊形之每一邊也如甲圜容九邊形每邊之弧得圜周九分之一皆四十度試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為四十度之通弦如以乙丙弧四十度折半於丁作乙丁線即圜内容十八邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即九邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十八邊形之一邊為小腰求得中垂線倍之為九邊形之每一邊也乙丙弧既為四十度乙丙邊為四十度之通弦其乙戊中垂線三萬四千二百零二(小餘○一四三三二六)即乙丁弧二十度之正弦也按分作相連比例四率又法設如以十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何法以一率十萬自乘再乘得一千兆(成一)(立方體)為實又以一率十萬自乘二因之得二百億(成二平面積)為法以除原實一千兆得五萬為盡數因減實大於益實故取畧小之數為四萬乃以四萬自乘再乘得六十四兆益於原實一千兆内得一千零六十四兆為益實復以所得四萬自乘得一十六億以一率十萬再乘得一百六十兆於益實内減之餘九百零四兆為正實按除法以所得四萬與法二百億相因得八百兆與正實相減餘一百零四兆為第二位實以法之二百億除之得五千仍取畧小之數為四千乃以首位所得四萬合次位所得四千共四萬四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十億益於原實一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十億為益實復以所得四萬四千自乘得一十九億三千六百萬以一率十萬再乘得一百九十三兆六千億於益實内減之餘八百九十一兆五千八百四十億為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆餘一十一兆五千八百四十億為第三位實以法之二百億除之得五百合前两位所得四萬四千共四萬四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一億二千五百萬益於原實一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一億二千五百萬為益實復以所得四萬四千五百自乗得一十九億八千零二十五萬以一率十萬再乗得一百九十八兆零二百五十億於益實内減之餘八百九十兆零九百六十一億二千五百萬為正實按除法減首位所得四萬與法二百億相因之八百兆又減次位所得四千與法二百億相因之八十兆又減三位所得五百與法二百億相因之一十兆餘九百六十一億二千五百萬為第四位實以法之二百億除之實不足法乃以第四位為空位而第五位得四故以四為末位合前四位所得四萬四千五百空十共四萬四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四益於原實一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八億九千零一十三萬六千零六十四為益實復以所得四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以十萬再乗得一百九十八兆零六百零六億零一百六十萬於益實内減之餘八百九十兆零八百四十二億八千八百五十二萬六千零六十四為正實按除法以五次所得之數於法相因之數遞減之仍餘四十二億八千八百五十三萬六千零六十四不盡是共除得四萬四千五百零四為相連比例之二率也以二率之四萬四千五百零四自乗得一十九億八千零六十萬六千零一十六以一率之十萬除之得一萬九千八百零六為三率以二率之四萬四千五百零四二因之與三率之一萬九千八百零六相加得十萬八千八百一十四減去一率之十萬餘八千八百一十四為四率如以三率之一萬九千八百零六自乗以一率之四萬四千五百零四除之亦得八千八百一十四為四率也此為益實兼減實歸除之法葢因此法止有一率之數作相連比例四率使一率與四率之共數與二率两倍再加一三率之數等而相連比例四率之理一率自乗用四率再乗與二率自乘再乗之數等又一率自乗用三率再乗與二率自乗用一率再乗之數等今立法以一率自乘再乗為原實較之二率加倍與一率自乗之面積相乗之數却少一一率自乗四率再乗之數又多一一率自乗三率再乗之數故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原實又以屢除所得之數屢次自乗以一率再乗與益實相減然後按法除之始足二率两倍之數也如圖甲乙為一率庚子子辰皆為二率辰乙為三率庚甲為四率庚乙為一率四率之共數又為二率两倍再加一三率之共數甲乙丙丁戊巳為一率自乗再乘之正方體庚乙丙丁壬癸為两倍二率併一三率與一率自乗面積相乘之長方體比一率自乗再乗之正方體多一庚甲酉戊壬癸扁方體此扁方體即一率自乗四率再乗之扁方體與二率自乗再乗之積等比两倍二率與一率自乗面積相乗之扁方體多一辰乙丙丁午未扁方體此扁方體即一率自乗三率再乗之扁方體與二率自乗一率再乗之積等若於一率自乗再乗之正方體内加入二率自乗再乗之數再減去二率自乗一率再乗之數即如於甲乙丙丁戊己正方體内加入庚甲酉戊壬癸之扁方體減去辰乙丙丁午未之扁方體成一庚辰己午壬癸之扁方體而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰為二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰為二率若不益少減多而以二方面除之則所得仍為一率之二分之一比二率數必大故以屢除所得之數屢次自乗再乗益入原積復以屢除所得之數自乗用一率再乗逐層與原積相減遞及末位則所少之積漸足所多之積漸消而除得之數即為二率之全數焉設如圜徑二十萬求内容十四邊形之一邊幾何法用連比例四率有一率求第二率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法以圜徑二十萬折半得十萬為一率自乗再乗得一千兆為實又以半徑十萬自乗倍之得二百億為法按益實兼減實歸除之法除實得四萬四千五百零四(小餘一八六七九一三)為二率即圜内十四邊形之每一邊也如甲圜内容十四邊形每邊之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有餘其通弦即圜内十四邊形之一邊試自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形復自圜界乙至圜界庚作一乙庚線則截甲丙線於戊又成乙丙戊三角形復自圜界丙按丙戊線度至乙庚線之丁作一丙丁線則又成丙丁戊三角形此三三角形皆為同式形(乙戊丙三角形之乙角當丙庚弧為乙丙弧之倍則)(乙戊丙三角形之乙角與乙甲丙三角形之甲角等又與乙甲丙三角形同用)(丙角而丙丁戊三角形之丁丙線與甲辛半徑平行即丙丁戊三角形之丙角)(與甲丙辛三角形之甲角為相對錯角亦必等又與乙丙戊三角形同用戊角)(是此三三角形之各角互相等而為同式形也)其相當各邊俱成相連比例故甲乙與乙丙之比同於乙丙與丙戊之比乙丙與丙戊之比又同於丙戊與戊丁之比為相連比例四率而甲乙為一率乙丙為二率丙戊為三率戊丁為四率也又按乙戊度作壬戊線與丁丙平行則截甲乙線於壬乃自壬與乙丙平行作壬子線復自壬與乙戊平行作壬癸線則又成甲壬子與壬戊癸丙三角形與乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形與丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆與乙丙二率等而癸子與丁戊四率等是甲丙一率内有兩二率一三率而少一四率也若以甲丙一率與癸子四率相加方與二率之兩倍再加一三率之數等故用連比例四率有一率求二率法算之得二率為十四邊形之每一邊也設如圜徑二十萬求内容七邊形之一邊幾何法以半徑十萬為底仍以半徑十萬與圜内容十四邊形之一邊四萬四千五百零四(小餘一八六七九一三)為兩腰用三角形求中垂線法算之得中垂線四萬三千三百八十八(小餘三七三九一一八)倍之得八萬六千七百七十六(小餘七四七八二三六)即圜内容七邊形之每一邊也如甲圜容七邊形每邊之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有餘試自圜心甲至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二半徑線遂成甲乙丙三角形其乙丙邊為五十一度二十五分四十二秒有餘之通弦如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有餘折半於丁作乙丁線即圜内容十四邊形之一邊仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半徑線又成甲乙丁三角形而甲丁線平分乙丙線於戊此乙戊線為甲乙丁三角形之中垂線即七邊形每邊之一半故以甲丁半徑為底甲乙半徑為大腰乙丁十四邊形之一邊為小腰求得乙戊中垂線倍之為七邊形之每一邊也三要(有本弧之正弦求本弧之餘弦有本弧之正弦餘弦求倍弧之正弦餘弦有本弧之)(正弦餘弦求半弧之正弦餘弦)設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)求餘弧五十四度之正弦幾何法以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為勾半徑十萬為弦求得股八萬零九百零一(小餘六九九四三七)(五)為五十四度之正弦即三十六度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙餘弧五十四度乙丁為三十六度之正弦試自乙至象限中心戊作乙戊半徑線遂成乙丁戊勾股形乙戊為弦乙丁為勾求得丁戊股與乙己等為乙丙餘弧五十四度之正弦即甲乙正弧三十六度之餘弦也設如本弧三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)餘弦八萬零九百零一(小餘六九九四三七五)求倍弧七十二度之正弦餘弦各幾何法以半徑十萬為一率本弧之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)為二率本弧之餘弦八萬零九百零一(小餘六九)(九四三七五)為三率求得四率四萬七千五百五十二(小餘八二五八一四七)倍之得九萬五千一百零五(小餘六五一六二九四)即倍弧七十二度之正弦也求餘弦則以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二)(二九二)自乘以半徑十萬除之得三萬四千五百四十九(小餘一五○二八一二)倍之得六萬九千零九十八(小餘三○○五六二四)與半徑十萬相減餘三萬零九百零一(小餘六九九四)(三七六)即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度乙己為三十六度之正弦庚乙為三十六度之餘弦與戊辛等(葢辛甲與乙己等則戊辛必與戊己等戊己即)(庚乙也)丁壬為七十二度之正弦試與乙己平行作辛癸線遂成戊乙己戊辛癸同式兩勾股形其戊乙己勾股形之戊乙弦與乙己勾之比同於戊辛癸勾股形之戊辛弦與辛癸勾之比為相當比例四率而辛癸與子壬等為丁壬之半(葢辛甲為丁甲之半則辛癸亦為丁壬之半)故倍之得丁壬為甲丁七十二度之正弦也又如求餘弦其甲辛戊甲癸辛為同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾之比同於甲癸辛勾股形之甲辛弦與甲癸勾之比為相連比例三率既得甲癸倍之得甲壬(葢甲丁為甲辛之倍則甲壬亦為甲癸之倍)與甲戊半徑相減餘壬戊與丁丑等即甲丁七十二度之餘弦也設如本弧四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七)(八一一八六)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)求半弧二十二度三十分之正弦幾何法以本弧之正弦七萬零七百一十(小餘)(六七八一一八六)為股本弧之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八八一四)為勾求得弦七萬六千五百三十六(小餘)(六八六四七三○)折半得三萬八千二百六十八(小餘三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦於戊甲半徑内減去戊己餘己甲為勾乙己為股求弦得乙甲為四十五度之通弦折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正弦也又捷法以本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八)(八一四)折半得一萬四千六百四十四(小餘)(六六○九四○七)與半徑十萬相乘開方得三萬八千二百六十八(小餘三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也葢乙己為四十五度之正弦甲己為四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正弦如與乙己平行作一辛壬線平分甲己於壬成甲辛戊甲壬辛同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦與甲辛勾之比同於甲壬辛勾股形之甲辛弦與甲壬勾之比為連比例三率故首率甲戊與末率甲壬相乘(首率甲戊與末率甲)(壬相乘與中率甲辛自乘之積相等)開方得甲辛為二十二度三十分之正弦也新增有本弧之餘弦求倍弧之餘弦及半弧之餘弦設如本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一(小餘六九)(九四三七五)求倍弧七十二度之餘弦幾何法以本弧三十六度之餘弦八萬零九百零一(小餘六九九四三七五)自乘以半徑十萬除之得六萬五千四百五十(小餘八四九七一八)(七)與半徑十萬相減餘三萬四千五百四十九(小餘一五○二八一三)倍之得六萬九千零九十八(小餘三○○五六二六)仍與半徑十萬相減餘三萬零九百零一(小餘六九九四三七四)即倍弧七十二度之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之為甲丁弧七十二度丁己為三十六度之正弦戊己為三十六度之餘弦丁庚為七十二度之正弦辛丁為七十二度之餘弦與戊庚等試自己至壬作己壬垂線遂成甲己戊己壬戊同式兩勾股形其甲己戊勾股形之戊甲弦與戊己股之比同於己壬戊勾股形之戊己弦與戊壬股之比為連比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬與戊甲半徑相減餘壬甲倍之得庚甲仍與戊甲半徑相減餘戊庚與辛丁等即甲丁弧七十二度之餘弦也設如本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七)(八一一八六)求半弧二十二度三十分之餘弦幾何法以本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)與半徑十萬相減餘二萬九千二百八十九(小餘三二一八八一四)折半得一萬四千六百四十四(小餘六六○九)(四○七)與本弧四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)相加得八萬五千三百五十五(小餘三三九○五九三)與半徑十萬相乘開方得九萬二千三百八十七(小餘九五三二五一一)即半弧二十二度三十分之餘弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半為丁乙弧二十二度三十分乙己為四十五度之正弦戊己與庚乙等為四十五度之餘弦乙辛為二十二度三十分之正弦戊辛為二十二度三十分之餘弦戊己四十五度之餘弦與戊甲半徑相減餘己甲折半得己壬再與戊己相加得戊壬試自辛至壬作辛壬垂線遂成甲辛戊辛壬戊同式兩勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲弦與戊辛股之比同於辛壬戊勾股形之戊辛弦與戊壬股之比為連比例三率故首率戊甲與末率戊壬相乘開方得戊辛為二十二度三十分之餘弦也新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦設如三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二)(五二二九二)求其三分之一十二度之正弦幾何法用連比例四率有一率求二率使一率與四率相加與二率三倍等之法以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)倍之得一十一萬七千五百五十七(小餘○五○四五八四)為七十二度之通弦乃以半徑十萬自乘得一百億用七十二度之通弦再乘得一千一百七十五兆五千七百零五億零四百五十八萬四千為實又以半徑十萬自乘三因之得三百億為法按益實歸除之法除實得四萬一千五百八十二(小餘三三)(八一六三四)為二十四度之通弦折半得二萬零七百九十一(小餘一六九○八一七)即十二度之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁為其正弦倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通弦試以七十二度取其三分之一二十四度為甲庚弧其通弦甲庚與甲戊庚戊兩半徑成一戊甲庚三角形又庚戊半徑截甲己通弦於辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲邊作庚壬線成一庚辛壬三角形此兩三角形俱與戊甲庚三角形為同式形其相當各邊俱成相連比例故戊甲為一率甲庚為二率庚辛為三率辛壬為四率也今甲己七十二度之通弦内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率(葢己癸癸壬辛甲三段皆)(與甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通弦内有己癸)(癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也)若以甲己通弦為髙與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體則比三倍二率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體必少一四率為高與一率半徑自乘之方面相乘所成之扁方體此扁方體與二率自乘再乘之正方體等故以一率半徑自乘之三方面為法除實每次所得二率之數自乘再乘益入原積則積漸增與三倍二率與一率半徑自乘之方面相乘所成之長方體合而除得之數即為二率既得甲庚二率為二十四度之通弦半之得甲子即甲丑弧十二度之正弦也二簡法(有兩弧之正弦餘弦求兩弧相加相減之正弦有距六十度前後相等弧之正)(弦求距弧之正弦)設如四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八)(六)餘弦亦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)又有二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七五)餘弦九萬一千三百五十四(小餘五四五七六四二)求兩弧相加六十九度之正弦及兩弧相減二十一度之正弦各幾何法以半徑十萬為一率四十五度之正弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)為二率二十四度之餘弦九萬一千三百五十四(小餘五四五七六四二)為三率求得四率六萬四千五百九十七(小餘四一八八○二○)又以半徑十萬為一率四十五度之餘弦七萬零七百一十(小餘六七八一一八六)為二率二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘)(六六四三○七五)為三率求得四率二萬八千七百六十(小餘六二三八四七六)乃以兩四率相加得九萬三千三百五十八(小餘○四二六四九)(六)即兩弧相加所得六十九度之正弦如以兩四率相減餘三萬五千八百三十六(小餘七九四九五四五)即兩弧相減所餘二十一度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己為四十五度之正弦己戊為四十五度之餘弦於乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又於乙甲弧四十五度減乙子弧二十四度餘子甲弧二十一度試自丙至子作丙子線則丙乙弧乙子弧皆為二十四度丙庚與庚子皆為二十四度之正弦庚戊則為二十四度之餘弦今以乙戊半徑為一率乙己四十五度之正弦為二率庚戊二十四度之餘弦為三率求得四率庚辛與壬癸等又以乙戊半徑為一率己戊四十五度之餘弦為二率丙庚二十四度之正弦為三率求得四率丙壬故以丙壬加於庚辛(庚辛原與壬癸等)共得丙癸即丙甲弧六十九度之正弦如於庚辛内減與丙壬相等之庚夘餘夘辛與子丑等即子甲弧二十一度之正弦也葢乙己戊與庚辛戊為同式勾股形故乙戊與乙己之比同於庚戊與庚辛之比為相當比例四率又寅癸戊與乙己戊亦為同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角與丙庚寅勾股形之寅角為兩尖相對角其度等癸角與庚角俱為直角其度又等則戊角必與丙角等如作庚壬線成丙壬庚勾股形則此形之丙角既與乙己戊勾股形之戊角等而壬角又為直角與乙己戊勾股形之己角等故亦為同式勾股形而乙戊與己戊之比同於丙庚與丙壬之比為相當比例四率也設如八十四度之弧距六十度二十四度其正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)求距弧二十四度之正弦幾何法以八十四度之正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)内減三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九)(二)餘四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)即距弧二十四度之正弦也如有距六十度前二十四度為三十六度其正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)求距六十度後二十四度為八十四度之正弦則以三十六度之正弦五萬八千七百七十八(小餘五二五二)(二九二)與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)相加得九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)即八十四度之正弦也又如有距六十度後二十四度為八十四度其正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三)(○七六)求距六十度前二十四度為三十六度之正弦則以八十四度之正弦九萬九千四百五十二(小餘一八九五三六八)與距弧二十四度之正弦四萬零六百七十三(小餘六六四三○七六)相減餘五萬八千七百七十八(小餘五二五二二九二)即三十六度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚為八十四度之正弦乙辛為三十六度之正弦與壬庚等丙壬為兩正弦之較試自巳至象限中心戊作己戊線又自丙至乙作丙乙線則丙癸癸乙皆為距弧二十四度之正弦與丙壬兩正弦之較相等葢己戊甲角六十度則己戊丁角為三十度丙庚與丁戊平行則丙子己角與丁戊己角為二平行線上所成之内外角必相等皆為三十度丙癸子角為直角則子丙癸角必為六十度矣又自乙至子作乙子線則乙癸子與丙癸子為同形勾股形癸乙子角亦必為六十度癸子乙角亦必為三十度兩勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必為六十度矣三角度既等則三邊必相等今丙壬為丙子之半丙癸為丙乙之半丙子既與丙乙等故丙壬亦必與丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正弦則以各距弧之正弦與之相加可得六十度以後三十度各弧之正弦若有六十度以後各弧之正弦則以各距弧之正弦與之相減可得六十度以前三十度各弧之正弦六十度前後三十度之正弦用加減而即得較之勾股比例諸法甚為簡便也八線相求設如四十八度之正弦七萬四千三百一十四(小餘四八)(二五四七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)求正矢正切正割各幾何法以半徑十萬内減四十八度之餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)餘三萬三千零八十六(小餘九三九三六四二)為正矢以餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六)(○六三五八)為一率正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)為二率半徑十萬為三率求得四率一十一萬一千零六十一(小餘二五一四八三○)為正切以餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十四萬九千四百四十七(小餘六五四九八六六)為正割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正弦甲丁為餘弦與丙戊等乙丙為正矢故乙戊半徑内減與甲丁餘弦相等之丙戊餘乙丙即為正矢己乙為正切巳戊為正割甲丙戊己乙戊兩勾股形為同式形故丙戊餘弦與甲丙正弦之比同於乙戊半徑與己乙正切之比為相當比例四率又丙戊餘弦與甲戊半徑之比同於乙戊半徑與己戊正割之比亦為相當比例四率也又正切求正割捷法以餘弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三萬八千三百八十六(小餘四○三三五○三六)與本弧之正切一十一萬一千零六十一(小餘二五一四)(八三○)相加得一十四萬九千四百四十七(小餘六五四八三三三)即為本弧之正割也如圖甲乙弧四十八度己乙為正切己戊為正割試將甲庚餘弧四十二度折半得庚辛二十一度移於乙壬又作乙癸為乙壬弧二十一度之正切與己乙相加得己癸與己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角為直角九十度二角併之為一百三十八度於一百八十度内減之餘四十二度為戊己乙角今於甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角為六十九度仍與戊己乙角四十二度相加於一百八十度内減之所餘亦六十九度即為戊癸己角戊癸己角既與己戊癸角相等則己戊與己癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求割線可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相減即得半餘弧之正切若有本弧之正割及半餘弧之正切相減即得本弧之正切也設如四十八度之正弧七萬四千三百一十四(小餘四八)(二五四七七)餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)求餘矢餘切餘割各幾何法以半徑十萬内減四十八度之正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)餘二萬五千六百八十五(小餘五一七四五二三)為餘矢以正弦七萬四千三百一十四(小餘)(四八二五四七七)為一率餘弦六萬六千九百一十三(小餘○六○六三五八)為二率半徑十萬為三率求得四率九萬零四十(小餘四○四四)(二九七)為餘切以正弦七萬四千三百一十四(小餘四八二五四七七)為一率半徑十萬為二率仍以半徑十萬為三率求得四率一十三萬四千五百六十三(小餘二七二九六○)(七)為餘割也如圖甲乙弧四十八度甲丙為正弦與丁戊等甲丁為餘弦巳丁為餘矢故已戊半徑内減與甲丙正弦相等之丁戊餘己丁即為餘矢庚己為餘切庚戊為餘割甲丁戊庚己戊兩勾股形為同式形故丁戊正弦與甲丁餘弦之比同於己戊半徑與庚己餘切之比為相當比例四率又丁戊正弦與甲戊半徑之比同於己戊半徑與庚戊餘割之比亦為相當比例四率也又餘切求餘割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四萬四千五百二十二(小餘六八六五三一○)與本弧之餘切九萬零四十(小餘四○四四二九七)相加得一十三萬四千五百六十三(小餘二七二九六○)(七)即為本弧之餘割也如圖甲乙弧四十八度庚己為其餘切庚戊為其餘割試將甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移於壬己又作癸己為壬己弧二十四度之正切與庚己相加得庚癸與庚戊餘割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角為直角九十度二角相併為一百三十二度於一百八十度内減之餘四十八度為戊庚己角今於甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角為六十六度仍與戊庚己角四十八度相加於一百八十度内減之所餘亦為六十六度即為戊癸庚角戊癸庚角既與庚戊癸角相等則庚戊與庚癸邊亦必相等也有此法則凡有逐度逐分之切線求餘割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之餘切餘割相減即得半本弧之正切若有本弧之餘割及半本弧之正切相減即得本弧之餘切矣求象限内各線總法六宗倂新增十八邊形及九邊形之每邊各半之得八弧之正弦用要法之一各求其餘弦次取十二度(十五邊之半)用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正弦復用新增法求其三分之一得十五分之正弦復求其三分之一即得五分之正弦既得五分之正弦乃用簡法之一求六十度以内之正弦每越五分而得一弦可得七百二十又用簡法之二求六十度以外之正弦亦越五分而得一弦又得三百六十(如以一度之弦與五十九度之弦相加即六十一度之弦以二度之)(弦與五十八度之弦相加即六十二度之弦以至二十九度之弦與三十一度之弦相加即得八十九度)(之弦也)總而計之一象限中共得正弦一千零八十己居全表五分之一(象限中逐分計之共正弦五千四百故一千零八十為五分之一也)再以五分之弦用要法之三得二分三十秒之弦復用新增法求其三分之一得五十秒之弦乃以五十秒之弧為一率五十秒之弦為二率一分之弧化六十秒為三率得四率為一分之弦既得一分之弦即用簡法之一簡法之二錯綜加減之則一象限中每度每分之正弦悉得矣既得每度每分之正弦則用前八線相求之法即得每度每分之切割諸線矣如於一分之中欲析為六十秒則以比例四率求之即得每秒之八線也御製數理精蘊下編卷十六
## 下編卷十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十七面部三角形邊線角度相求三角形邊線角度相求三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為两直角形則亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分為二㮣以邊線相求者也至於割圜之法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度為凖而三角之度必與两直角之度等角之大者所對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所由廣也如知两角一邊求又一邊者以對所知之角與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為比也知两邊一角求又一角者以對所知之邊與對所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也或所知之一角在所知两邊之間而求又一角者則角無所對之邊而邊亦無所對之角必用两邊之和較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求两角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線法分為两直角形而三角自隨之而得或用三邊之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故不成法葢角度為虚率而邊線為實數無實數而虚率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相度得宜耳設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何法以丙角五十七度與象限九十度相減餘三十三度為甲角乃以甲角為對所知之角其正弦五萬四千四百六十四為一率丙角為對所求之角其正弦八萬三千八百六十七為二率丙乙邊為所知之邊其數五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三釐有餘即甲乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦是故丙角五十七度之餘弧為三十三度丙角五十七度之餘弦為三十三度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正弦丙庚(即辛己)與丙角正弦己庚之比同於丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角五十七度之正切一十五萬三千九百八十六為二率丙乙邊五丈為三率求得四率七丈六尺九寸九分三釐即甲乙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚戊正切之比同於丙乙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙邊幾何法以丙角二十三度三十五分與九十度相減餘六十六度二十五分為甲角乃以丙角為對所知之角其正弦四萬零八為一率以甲角為對所求之角其正弦九萬一千六百四十八為二率甲乙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦故丙角二十三度三十五分之餘弧為六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之餘弦為六十六度二十五分之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正弦己庚與甲角正弦丙庚之比同於甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角二十三度三十五分之餘切線二十二萬九千零七十三為二率甲乙邊三十二丈為三率求得四率七十三丈三尺零三分有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑與丁庚餘切之比同於甲乙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙邊幾何法以丙角四十三度三十七分與九十度相減餘四十六度二十三分為甲角乃以甲角為對所知之角其正弦七萬二千三百九十七為一率(甲角正弦即丙角餘弦或)(直用丙角餘弦亦可)以乙角為對所求之角其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數二十一尺為三率求得四率二十九尺零六釐有餘即甲丙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦(與丙庚等)己丙線為半徑即九十度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲角正弦丙庚與半徑己丙之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角四十三度三十七分之正割一十三萬八千一百二十七為二率丙乙邊二十一尺為三率求得四率二十九尺零六釐有餘即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙正割之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸二分求甲乙邊丙乙邊各幾何法以丙角五十一度五十一分與九十度相減餘三十八度零九分為甲角求甲乙邊則以乙角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以丙角為對所求之角其正弦七萬八千六百四十為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙為所求之邊也求丙乙邊亦以乙角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率而以甲角為對所求之角其正弦六萬一千七百七十二為二率甲丙邊為所知之邊其數八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故半徑己丙與丙角正弦己庚之比同於甲丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率又半徑巳丙與甲角正弦丙庚之比同於甲丙邊與丙乙邊之比為相當比例四率也又法求甲乙邊以丙角五十一度五十一分之正割一十六萬一千八百八十五為一率其正切一十二萬七千三百零六為二率甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率七十丈零六分有餘即甲乙邊也求丙乙邊則仍以丙角正割一十六萬一千八百八十五為一率而以半徑十萬為二率仍以甲丙邊八十九丈零二寸二分為三率求得四率五十四丈九尺九寸有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙角之正弧庚戊線為丙角之正切庚丙線為丙角之正割庚戊丙與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙角正割庚丙與正切庚戊之比同於甲丙邊與甲乙邊之比又丙角正割庚丙與半徑丙戊之比同於甲丙邊與丙乙邊之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊二十丈丙乙邊三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各幾何法以甲乙邊二十丈為一率丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為二率半徑十萬為三率求得四率一十七萬三千二百零五為甲角之正切撿八線表得六十度即甲角之度與九十度相減餘三十度即丙角之度也如先求丙角則以丙乙邊三十四丈六尺四寸一分為一率甲乙邊二十丈為二率半徑十萬為三率求得四率五萬七千七百三十五為丙角之正切撿八線表得三十度即丙角之度與九十度相減餘六十度即甲角之度也如圖先求甲角則如甲丁戊一象限己戊弧為甲角六十度之弧庚戊為甲角之正切甲戊為半徑甲戊庚與甲乙丙兩勾股形為同式形故甲乙邊與丙乙邊之比同於甲戊半徑與庚戊正切之比為相當比例四率先求丙角則如丙丁戊一象限己丁弧為丙角三十度之弧辛丁為丙角之正切丙丁為半徑丙丁辛與丙乙甲兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲乙邊之比同於丙丁半徑與辛丁正切之比為相當比例四率也又法以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分為兩邊之和為一率又以甲乙邊二十丈與丙乙邊三十四丈六尺四寸一分相減餘一十四丈六尺四寸一分為兩邊之較為二率以乙角之外角九十度折半得四十五度為半外角其正切十萬為三率(四十五度之正切與半徑)(十萬等)求得四率二十六萬七千九百四十八為半較角之正切撿八線表得十五度為半較角與半外角四十五度相減餘三十度即丙角之度如以半較角十五度與半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如圖甲乙丙直角三角形以乙直角為心甲乙小邊為半徑作一甲戊丁圜截丙乙大邊於戊將丙乙引長至圜界丁則丁乙戊乙俱為半徑與甲乙等自丁至丙即兩邊之和自戊至丙即兩邊之較甲乙丁角即乙角之外角試自甲至戊作一甲戊線則成甲乙戊直角三角形其乙甲戊與乙戊甲二角相併與甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自甲至丁作一丁甲線即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大於甲戊乙角之較又即丙角小於甲戊乙角之較故於圜界戊至甲丙邊己作己戊線與甲丁線平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形與丙戊己三角形為同式形故兩邊之和丙丁與甲戊丁半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較丙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲乙邊六十尺丙乙邊三十二尺求甲丙邊幾何法以甲乙邊六十尺為一率丙乙邊三十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬三千三百三十三為甲角之正切撿八線表得二十八度零四分即甲角之度(如用丙乙邊作一率甲乙邊作二率即先得丙角度)乃以甲角為對所知之角其正弦四萬七千零五十為一率乙角為對所求之角其正弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知之邊其數三十二尺為三率求得四率六十八尺零一分二釐有餘即甲丙為所求之邊也又既得甲角之後用割線法則以半徑為一率甲角之正割為二率甲乙邊為三率求得四率即甲丙為所求之邊也或得丙角則用丙角之正割為二率丙乙邊為三率亦得甲丙邊若得丙角仍用甲乙邊為三率則用丙角餘割(即甲角之正割)為二率而亦得甲丙邊也又法用勾股求弦以甲乙為股丙乙為勾求得弦即甲丙邊也法已載於勾股集中設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知甲丙邊一百零二丈二尺丙乙邊四十八丈求甲角丙角各幾何法以甲丙邊為對所知之邊其數一百零二丈二尺為一率丙乙邊為對所求之邊其數四十八丈為二率乙角為所知之角其正弦即半徑十萬為三率求得四率四萬六千九百六十六為甲角之正弦撿八線表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之餘弦即丙角之正弦如撿八線表餘弦數得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚爲甲角正弦辛己與甲庚等為甲角之餘弦即丙角之正弦甲庚己與甲乙丙両勾股形為同式形故甲丙邊與丙乙邊之比同於甲己半徑與己庚正弦之比為相當比例四率也又法以丙乙邊四十八丈為一率甲丙邊一百零二丈二尺為二率半徑十萬為三率求得四率二十一萬二千九百一十六為丙角之正割撿八線表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之餘割即甲角之正割如撿餘割數得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊為半徑己戊為丙角之正切己丙為丙角之正割甲乙丙與己戊丙兩勾股形為同式形故丙乙邊與甲丙邊之比同與丙戊半徑與己丙正割之比為相當比例四率也設如甲乙丙銳角三角形知乙丙邊三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角六十度與丙角四十六度相加得一百零六度與半圜一百八十度相減餘七十四度為甲角求甲丙邊則以甲角為對所知之角其正弦九萬六千一百二十六為一率以乙角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙為所求之一邊也求甲乙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦九萬六千一百二十六為一率而以丙角為對所求之角其正弦七萬一千九百三十四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙為所求之又一邊也如圖甲乙丙三角形作含三角形之圜則每界角各對一弧試自圜心丁作三角形各邊之垂線即将每角所對之弧平分一半各成兩心角其每一心角與相當各界角之度等(見幾何原本四卷第十三節)是以乙角所對甲丙弧原係一百二十度今為丁庚癸垂線所平分各為六十度一為甲丁癸一為癸丁丙皆與乙角原度等丙角所對甲乙弧原係九十二度今為丁戊辛垂線所平分各為四十六度一為甲丁辛一為辛丁乙皆與丙角原度等甲角所對乙丙弧原係一百四十八度今為丁己壬垂線所平分各為七十四度一為乙丁壬一為壬丁丙皆與甲角原度等乙己為乙丁壬角之正弦己丙為壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲庚為甲丁癸角之正弦庚丙為癸丁丙角之正弦亦即乙角之正弦甲戊為甲丁辛角之正弦戊乙為辛丁乙角之正弦亦即丙角之正弦故求甲丙邊者以乙己與甲庚之比或己丙與庚丙之比皆同於乙丙與甲丙之比又如求甲乙邊者以己丙與甲戊之比或乙己與戊乙之比皆同於乙丙與甲乙之比俱是半與半全與全之比例而各為相當比例四率也又圖求甲丙邊者則用甲丙為半徑自丙角至甲乙界作丙丁垂線為甲角正弦又依甲丙度截丙乙於戊使戊乙與甲丙等(凡用正弦比例因在圜内皆同半徑今使)(戊乙與甲丙相同而後正弦之大小乃見)乃自戊至甲乙界又作戊己垂線為乙角正弦觀戊己小於丙丁則知甲丙(同戊乙)亦小於乙丙故甲角正弦丙丁與乙角正弦戊己之比同於乙丙邊與甲丙邊之比為相當比例四率也又如求甲乙邊者則用甲乙為半徑自乙角至甲丙界作乙丁垂線為甲角正弦又依甲乙度截乙丙於戊使戊丙與甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂線為丙角正弦觀戊己小於乙丁則知甲乙(同戊丙)亦小於乙丙故甲角正弦乙丁與丙角正弦戊己之比同於乙丙邊與甲乙邊之比為相當比例四率也又法求甲乙邊以乙角六十度之餘切五萬七千七百三十五與丙角四十六度之餘切九萬六千五百六十九相加得一十五萬四千三百零四為一率乙角之餘割一十一萬五千四百七十為二率乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相加之一十五萬四千三百零四為一率而以丙角餘割一十三萬九千零一十六為二率仍以乙丙邊三十二丈為三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鋭角三角形分為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形即如乙角六十度與象限九十度相減餘三十度為甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度與象限九十度相減餘四十四度為甲丁丙三角形之甲角乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角兩餘切相加即兩甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙兩三角形為同式形甲癸子與甲丁丙兩三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙兩三角形亦為同式形是故求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙邊九丈七尺八寸求丙角甲乙邊甲丙邊各幾何法以甲角五十度與乙角七十度相加得一百二十度與半圜一百八十度相減餘六十度為丙角求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率以丙角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈零五寸六分有餘即甲乙為所求之一邊也求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率而以乙角為對所求之角其正弦九萬三千九百六十九為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數九丈七尺八寸為三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有餘即甲丙為所求之又一邊也此法所知之角與邊雖與前法少異然總是有兩角一邊得其所餘一角則仍與前法同矣設如甲乙丙鈍角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙邊七十九丈零一寸求甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角二十四度與丙角三十六度三十分相加得六十度三十分與半圜一百八十度相減餘一百一十九度三十分為甲鈍角求甲乙邊則以甲鈍角為對所知之角夫甲角既為鈍角過九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分與半圜一百八十度相減餘六十度三十分為甲角之外角其正弦八萬七千零三十六為一率(凡鈍角之外角其正)(弦即鈍角之正弦解見割圜集内)丙角為對所求之角其正弦五萬九千四百八十二為二率乙丙邊為所知之邊其數七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙為所求之一邊也如求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角用其外角正弦八萬七千零三十六為一率而以乙角為對所求之角其正弦四萬零六百七十四為二率仍以乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘(如既得甲乙邊)(而以丙角為對所知之角其正弦為一率甲乙邊為所知之邊其數為三率所)(得亦同)即甲丙為所求之又一邊也此法亦有兩角一邊但甲為鈍角故用外角正弦求法畧異試以求甲乙邊言之則甲乙邊為半徑於甲角之外作乙丁垂線則成乙甲丁之外角其乙丁垂線即乙甲丁外角之正弦又按甲乙邊度截乙丙邊於戊使戊丙與甲乙半徑等作戊己垂線即丙角之正弦夫戊己丙與乙丁丙两勾股形為同式形故乙甲丁外角之正弦乙丁與丙角之正弦戊己之比即同於乙丙邊與等甲乙邊之戊丙之比為相當比例四率也其求甲丙邊用外角正弦其理亦同又法求甲乙邊以乙角二十四度之餘切二十二萬四千六百零四與丙角三十六度三十分之餘切一十三萬五千一百四十二相加得三十五萬九千七百四十六為一率乙角之餘割二十四萬五千八百五十九為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有餘即甲乙邊求甲丙邊則仍以两角餘切相加之三十五萬九千七百四十六為一率而以丙角之餘割一十六萬八千一百一十七為二率乙丙邊七十九丈零一寸為三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有餘即甲丙邊也此法葢以甲乙丙一鈍角三角形分為甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之餘切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之餘割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之餘切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之餘割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两餘切相加之數即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬與甲丁乙两三角形為同式形甲癸子與甲丁丙两三角形為同式形故甲壬子與甲乙丙两三角形亦為同式形是以求甲乙邊者以壬子與甲壬之比同於乙丙與甲乙之比求甲丙邊者以壬子與甲子之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鈍角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙邊一十六丈求甲角甲乙邊甲丙邊各幾何法以乙角三十三度三十八分四十秒與丙外角五十五度五十三分相減餘二十二度一十四分二十秒即甲角(取甲)(角當以丙外角與半圜一百八十度相減餘為丙鈍角仍以丙鈍角與乙角相)(加又與半圜一百八十度相減餘為甲角今止以丙外角内減乙角即得甲角)(者葢因丙外角與乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共為一百八)(十度與半圜等今於半圜内減去丙鈍角所餘為丙外角而一百八十度内減)(丙鈍角則餘乙甲二角共度是甲乙二角共度與丙外角之度等故於丙外角)(内減去乙角即甲角也)求甲乙邊則以甲角為對所知之角其正弦三萬七千八百四十七為一率以丙外角為對所求之角其正弦八萬二千七百九十為二率乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙為所求之一邊求甲丙邊則仍以甲角為對所知之角其正弦三萬七千八百四十七為一率而以乙角為對所求之角其正弦五萬五千四百零四為二率仍以乙丙邊為所知之邊其數一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘(如既得甲乙邊而以丙外角為對所知之角其正弦為一率甲乙邊為所)(知之邊其數為三率所得亦同)即甲丙為所求之又一邊也此法亦有两角一邊與前法同但先有外角少異耳又法求甲乙邊以乙角三十三度三十八分四十秒之餘切一十五萬零二百五十九與丙外角五十五度五十三分之餘切六萬七千七百四十八相減餘八萬二千五百一十一為一率乙角之餘割一十八萬零四百九十三為二率乙丙邊一十六丈為三率求得四率三十五丈即甲乙邊求甲丙邊則仍以兩角餘切相減之八萬二千五百一十一為一率而以丙外角之餘割一十二萬零七百八十八為二率仍以乙丙邊一十六丈為三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有餘即甲丙邊也此法葢以乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙甲丁丙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之餘切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之餘割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角餘切與甲丁乙三角形之乙角餘切相減之數即兩甲角之正切相減之較如子壬甲癸壬三角形與甲丁丙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁乙三角形為同式形故甲子壬三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲子之比同於乙丙與甲乙之比又子壬與甲壬之比同於乙丙與甲丙之比皆為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲角六十度甲乙邊四十丈甲丙邊二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分為兩邊之和為一率又以甲乙邊四十丈與甲丙邊二十六丈一尺零八分相減餘一十三丈八尺九寸二分為兩邊之較為二率以甲角六十度與半圜一百八十度相減餘一百二十度為外角折半得六十度為半外角其正切一十七萬三千二百零五為三率求得四率三萬六千三百九十七為半較角之正切撿八線表得二十度為半較角與半外角六十度相減餘四十度即乙角之度如以半較角二十度與半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙兩角即以丙角為對所知之角其正弦九萬八千四百八十一為一率以甲角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率甲乙邊為所知之邊其數四十丈為三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙為所求之邊也如圖甲乙丙鋭角三角形以甲角為心甲丙小邊為半徑作一丙丁戊圜截甲乙大邊於戊將甲乙引長至圜界丁則甲丁甲戊俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較丁甲丙角即甲角之外角試自丙至戊作一丙戊線則成甲丙戊三角形其甲丙戊與甲戊丙二角併之與丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角與邊角度等其切線亦等故自丙至丁作一丙丁線即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大於甲戊丙角之較亦即乙角小於甲戊丙角之較故自圜界戊至乙丙邊己作己戊線與丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故兩邊之和丁乙與丁戊丙半外角切線丁丙之比即同於兩邊之較戊乙與半較角切線戊己之比為相當比例四率也又法自丙角作丙丁垂線分為丙丁甲丙丁乙兩直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂線及甲丁分邊以丁角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率二十二丈六尺一寸有餘為丙丁垂線又以丁角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角六十度與九十度相減餘三十度即甲丙丁角(即丙之分角)為對所求之角其正弦五萬為二率(直用甲角餘弦亦可)甲丙邊為所知之邊其數二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊既得甲丁分邊乃與甲乙邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊於是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙邊以丁乙二十六丈九尺四寸六分為一率丙丁二十二丈六尺一寸有餘為二率半徑十萬為三率求得四率八萬三千九百零八為乙角正切撿八線表得四十度為乙角以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度與一百八十度相減餘八十度為丙角既得乙丙两角則用两角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊矣或先求乙丙邊則以丁乙二十六丈九尺四寸六分為勾丙丁二十二丈六尺一寸為股求得弦三十五丈一尺七寸五分有餘即乙丙邊也又法先求甲丁分邊比例而得乙角以半徑十萬為一率(即丁直角之正弦)以甲角六十度之餘弦五萬為二率(即丙分角之正弦)以甲丙邊二十六丈一尺零八分為三率求得四率十三丈零五寸四分為甲丁分邊乃以甲丁分邊十三丈零五寸四分為一率以甲丁分邊與甲乙全邊四十丈相減餘二十六丈九尺四寸六分為丁乙分邊為二率甲角六十度之餘切五萬七千七百三十五為三率求得四率一十一萬九千一百七十六為乙角餘切撿表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己為甲角之餘切而庚己甲與甲丁丙為同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸為乙角之餘切而壬癸乙與乙丁丙為同式形故甲丁與丁乙之比同於庚己與壬癸之比也又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊二十六丈一尺零八分為一率甲乙邊四十丈為二率甲角六十度餘割一十一萬五千四百七十為三率求得四率一十七萬六千九百一十一為甲角餘切與乙角餘切之共數即甲丙丁與乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度與象限九十度相減餘三十度即甲丙丁之分角撿其正切五萬七千七百三十五與两分角之共切一十七萬六千九百一十一相減餘一十一萬九千一百七十六為丁丙乙分角之正切即乙角之餘切撿表得四十度即乙角之度也以乙角四十度與甲角六十度相加得一百度又與半圜一百八十度相減餘八十度即丙角之度也如甲乙丙鋭角三角形作丙丁垂線分為甲丁丙與乙丁丙两直角形以丙角為心作一戊己庚半圜則丙丁垂線平分於己两邊各成一象限試與甲乙邊平行作一辛壬線則辛己一段為甲丙丁分角之正切即甲角之餘切己壬一段為乙丙丁分角之正切又即乙角之餘切而辛丙為甲丙丁分角之正割亦即甲角之餘割辛壬丙與甲乙丙两三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比即同於甲角餘割辛丙(即甲丙丁分角之正割)與甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率也既得辛壬两分角之共切内減去甲丙丁分角三十度之正切辛己所餘己壬為乙丙丁分角之正切即為乙角之餘切撿表即得乙角也設如甲乙丙鈍角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙邊五十四尺甲丙邊三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊五十四尺與甲丙邊三十六尺九寸相加得九十尺九寸為两邊之和為一率又以甲乙邊與甲丙邊相減餘一十七尺一寸為两邊之較為二率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分為外角折半得三十度一十三分為半外角其正切五萬八千二百四十為三率求得四率一萬零九百五十六為半較角之正切撿八線表得六度一十五分為半較角與半外角三十度一十三分相減餘二十三度五十八分即乙角之度如以半較角六度一十五分與半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙邊則以丙角為對所知之角其正弦五萬九千四百三十五為一率甲外角為對所求之角(甲角為鈍角故)(用外角)其正弦八萬六千九百七十八為二率甲乙邊為所知之邊其數五十四尺為三率求得四率七十九尺零二分四釐有餘即乙丙邊也如圖甲乙丙鈍角三角形以甲角為心甲丙為半徑作一丙丁戊圜其乙丁為两邊之和乙戊為两邊之較丙丁為半外角之正切己戊為半較角之正切乙丁丙三角形與乙戊己三角形為同式形故以两邊之和乙丁與丁戊丙半外角切線丙丁之比即同於两邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法自丙角作丙丁垂線於形外成丙丁乙與丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂線及甲丁虚邊以丁直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以甲角一百一十九度三十四分與半圜一百八十度相減餘六十度二十六分即甲外角為對所求之角其正弦八萬六千九百七十八為二率甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率三十二尺零九分五釐為丙丁垂線又以丁直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率又以甲外角六十度二十六分與九十度相減餘二十九度三十四分為甲丙丁角(即丙外分角)為對所求之角其正弦四萬九千三百四十四為二率(如直用甲外角之餘弦為)(二率亦可)甲丙邊為所知之邊其數三十六尺九寸為三率求得四率十八尺二寸零八釐為甲丁虚邊與甲乙邊五十四尺相加得七十二尺二寸零八釐為乙丁全邊又以乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為一率丙丁垂線三十二尺零九分五釐為二率半徑十萬為三率求得四率四萬四千四百四十八為乙角正切撿八線表得二十三度五十八分為乙角之度與甲外角六十度二十六分相減餘三十六度二十八分即丙角之度(甲外角與乙丙二内角等故減去乙角餘即丙角)既得乙丙二角則用两角一邊求又一邊之法算之即得乙丙邊或先求乙丙邊則以乙丁全邊七十二尺二寸零八釐為股丙丁垂線三十二尺零九分五釐為勾求得弦七十九尺零二分即乙丙邊也又法用甲角餘割餘切求乙角丙角以甲丙邊三十六尺九寸為一率甲乙邊五十四尺為二率以甲外角六十度二十六分之餘割一十一萬四千九百七十一為三率求得四率一十六萬八千二百五十為甲外角餘切與乙角餘切之較數乃以甲外角六十度二十六分之餘切五萬六千七百三十一與两餘切之較相加得二十二萬四千九百八十一為乙角餘切撿表得二十三度五十八分即乙角之度與甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分與半圜一百八十度相減餘三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙鈍角形将甲乙邊引長自丙角作丙丁垂線遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其餘切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之餘割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之餘切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角餘切與丙丁甲三角形之甲角餘切相減即两丙角相差之較如子庚丙辛庚三角形與丙丁甲三角形為同式形丙辛子三角形與丙丁乙三角形為同式形故丙庚子三角形與丙甲乙三角形亦為同式形是以甲丙邊與甲乙邊之比同於甲外角餘割庚丙(即甲己)與两餘切之較子庚之比為相當比例四率也既得子庚两餘切之較與甲外角之餘切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之餘切撿表得乙角度既得乙角則以乙角與甲角相併與半圜相減餘即丙角矣設如甲乙丙鋭角三角形知乙角六十度甲乙邊八十丈甲丙邊七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙邊各幾何法以甲丙邊為對所知之邊其數七十丈三尺四寸為一率甲乙邊為對所求之邊其數八十丈為二率乙角為所知之角其正弦八萬六千六百零三為三率求得四率九萬八千四百九十六為丙角正弦撿表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度則以乙角六十度與丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分與一百八十度相減餘三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正弦八萬六千六百零三為一率甲角為對所求之角其正弦六萬四千二百一十二為二率甲丙邊為所知之邊其數七十丈三尺四寸為三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有餘即乙丙為所求之邊也又法用餘割求丙角以甲乙邊八十丈為一率甲丙邊七十丈三尺四寸為二率乙角六十度之餘割十一萬五千四百七十為三率求得四率十萬一千五百二十六為丙角餘割撿表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙鋭角三角形作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形故甲乙邊與甲丙邊之比同於乙角餘割甲庚(即戊乙)與丙角餘割甲辛(即己丙)之比為相當比例四率也設如甲乙丙鈍角三角形知丙角一百一十度甲乙邊二十二丈五尺五寸甲丙邊十二丈求甲角乙角及乙丙邊各幾何法以甲乙邊為對所知之邊其數二十二丈五尺五寸為一率甲丙邊為對所求之邊其數十二丈為二率丙角為所知之角其外角七十度之正弦九萬三千九百六十九為三率求得四率五萬為乙角正弦撿表得三十度即乙角度也既得乙角度則以乙角三十度與丙角一百一十度相加得一百四十度與一百八十度相減餘四十度即甲角度也既得甲角求乙丙邊則以乙角為對所知之角其正弦五萬為一率甲角為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率甲丙邊為所知之邊其數十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙為所求之邊也又法用餘割求乙角以甲丙邊十二丈為一率甲乙邊二十二丈五尺五寸為二率丙外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為三率求得四率一十九萬九千九百七十七為乙角之餘割撿表得三十度即乙角度也如甲乙丙鈍角三角形将乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之餘割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛與甲乙丙两三角形為同式形故甲丙邊與甲乙邊之比同於丙外角餘割甲辛(即己丙)與乙角餘割甲庚(即戊乙)之比為相當比例四率也設如甲乙丙鋭角三角形知甲乙邊一百二十二尺甲丙邊一百一十二尺乙丙邊一百五十尺求甲乙丙三角各幾何法求丙角以甲丙邊一百一十二尺與乙丙邊一百五十尺相乗得一萬六千八百尺倍之得三萬三千六百尺為一率以甲丙邊一百一十二尺自乘得一萬二千五百四十四尺乙丙邊一百五十尺自乘得二萬二千五百尺以两邊各自乘數相加得三萬五千零四十四尺又以甲乙邊一百二十二尺自乘得一萬四千八百八十四尺與两邊各自乘相加數三萬五千零四十四尺相減餘二萬零一尺六十尺為二率半徑十萬為三率求得四率六萬為甲分角之正弦即丙角之餘弦撿表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角則以甲乙邊與乙丙邊相乘得數倍之為一率以甲乙邊乙丙邊各自乘相加内減去甲丙邊自乘之數餘為二率半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正弦即乙角之餘弦撿表即得乙角之度也或既得丙角用两邊一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三邊之面積互相加減使面與面比而得線與線之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙邊作一甲丁垂線分為甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三邊之各正方復作两邊相乘之長方其甲丙戊己為甲丙邊自乘之一正方庚辛乙甲為甲乙邊自乘之一正方乙壬癸丙為乙丙邊自乘之一正方丙癸丑子為甲丙邊與乙丙邊相乘之一長方倍之為丙癸卯寅一大長方今於甲丙戊己與乙壬癸丙两正方相併數内減庚辛乙甲一正方則是減去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又減去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之較其積與乙壬申未一長方等(甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙弦方)(内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因)(两三角形同用一股故其两弦較與两弦和相乘之數两勾較與两勾和相乗)(之數必然相等午乙即两弦之較辰己與辛乙相併即两弦之和庚辛乙午己)(辰磬折形即两弦較與两弦和相乗之積而乙未為两勾之較乙丙為两勾之)(和乙壬申未即两勾較與两勾和相乗之積所以知其相等也)所餘為未申癸丙一長方試以甲丁垂線引長則平分未申癸丙一長方為未申酉丁與丁酉癸丙二長方此二長方與丙癸丑子子丑夘寅二長方同用一邊為二平行線内所有二方面互相為比同於其底互相為比之例故丙癸夘寅之長方與未申癸丙之長方之比即同於丙寅邊與未丙邊之比也又比例之理全與全半與半之比例相同故丙癸夘寅之長方(為甲丙邊與乙丙邊相乗又加一倍之積)與未申癸丙之長方(即甲丙邊乙丙邊两正方相併内減甲乙邊一正方所餘)(之積)相比同於丙子邊(與甲丙邊同)與丁丙邊之比也又甲丙邊即如甲丁垂線所分丁直角之正弦而甲丁垂線所分之丁丙邊即如甲分角之正弦是以甲丙邊與乙丙邊相乘加倍之丙癸夘寅長方積為一率甲丙邊乙丙邊两正方相併積内減甲乙邊一正方所餘未申癸丙長方積為二率對丁直角之正弦半徑十萬為三率求得四率為甲分角之正弦即丙角之餘弦也又求分邊得角法以乙丙邊為底其數一百五十尺為一率甲乙邊大腰一百二十二尺與甲丙邊小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺為二率两邊相減餘一十尺為三率求得四率一十五尺六寸為分邊之較與乙丙邊一百五十尺相減餘一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸為丁丙分邊之數乃以甲丙邊為對所知之邊其數一百一十二尺為一率丁丙分邊為對所求之邊其數六十七尺二寸為二率丁角為所知之角其正弦半徑十萬為三率求得四率六萬為甲丁丙三角形之甲角正弦又即丙角之餘弦撿表得五十三度零八分為丙角之度既得丙角則用两邊一角比例之法遂得甲乙二角矣如圖以甲角為心甲丙小邊為半徑作一戊丙己庚圜截甲乙邊於庚截丙乙邊於戊将甲乙引長至圜界己則甲己與甲丙等自己至乙即两邊之和自庚至乙即两邊之較乙戊即乙丁丁丙两分邊之較是故分邊之和乙丙與两邊之和己乙之比即同於两邊之較庚乙與分邊之較乙戊之比為轉比例四率也又法以甲乙邊一百二十二尺乙丙邊一百五十尺甲丙邊一百一十二尺三數相加得三百八十四尺為三邊之總折半得一百九十二尺為半總以甲乙邊一百二十二尺與半總一百九十二尺相減餘七十尺為甲乙邊與半總之較以乙丙邊一百五十尺與半總一百九十二尺相減餘四十二尺為乙丙邊與半總之較以甲丙邊一百一十二尺與半總一百九十二尺相減餘八十尺為甲丙邊與半總之較乃以半總一百九十二尺為一率甲丙邊與半總之較八十尺為二率甲乙邊與半總之較七十尺與乙丙邊與半總之較四十二尺相乗得二千九百四十尺為三率求得四率一千二百二十五尺開方得三十五尺為三角形自中心至三邊之垂線先求丙角則用甲乙邊與半總之較七十尺為一率三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率求得四率五萬為丙半角之正切撿表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角則用甲丙邊與半總之較八十尺為一率先求甲角則用乙丙邊與半總之較四十二尺為一率俱用三角形自中心至三邊之垂線三十五尺為二率半徑十萬為三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以線與線為比三率四率以面與面為比也如甲乙丙三角形自中心丁至三邊各作一垂線又自中心丁至三角各作一分角線即成六直角三角形俱两两相等(丁己丙與丁庚丙等)(丁己乙與丁戊乙等丁戊甲與丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙線至辛則乙辛為三邊之半總即三較之和(乙己與乙戊等即甲丙邊與半總之較己丙與丙庚等即甲乙)(邊與半總之較丙辛與甲戊甲庚等即乙丙邊與半總之較)試自辛作直角將乙丁線引長作一乙辛壬直角形則壬辛與丁己平行乙辛壬形與乙己丁形遂為同式形其乙辛與乙己之比即同於壬辛與丁己之比然乙辛一率乙己二率之數雖有而壬辛之數却無又但知己丙與丙辛相乘之數即丁己與壬辛相乘之數故以己丙與丙辛相乘之數為三率(何以知己丙與丙辛相乘之數即丁)(己與壬辛相乘之數試作壬丙線壬癸線使丙癸與丙辛等癸角辛角皆為直)(角癸丙辛角與辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角為癸丙辛角之)(外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角與辛壬癸角等庚丁己角與癸丙)(辛角等是以壬癸丙辛形與丙庚丁己形為同式形而丙辛壬勾股形與丁巳)(丙勾股形亦為同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三)(率即得四率壬辛是以己丙二率與丙辛三率相乘之數即與丁己一率壬辛)(四率相乘之數等故直以己丙丙辛相乘之數作三率也)其所得四率即丁己自乘之數是故乙辛與乙己之比同於丁己與壬辛相乘之面(即己丙與)(丙辛相乗之面)與丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故開方而得丁己為三角形自中心至三邊之垂線與丁戊與丁庚俱相等又即三角形容圜之半徑也製數理蘊下編卷十七
## 下編卷十八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十八面部八測量(勾股測量三角測量)測量周髀曰偃矩以窺髙覆矩以測深卧矩以知逺蓋以矩度或表杆相度窺測立者則取其直平者則取其方必使成直角以大小勾股為比例以在器之勾股比所測之勾股彼此相形而得之者也然勾股必為直角而三角形則惟變所適而無定形要以角度為準而用割圜八線以為比例凡求角求邊皆以三角形之法為本總以對所知為一率對所求為二率所知為三率得四率即所求也或一測或屢測惟在隨時而致用或用正或用餘惟在比例之相當不特凡物之髙深廣逺可得而推即七政之躔度天地之形體俱可得而測也勾股測量(凡用矩度或立表杆必用垂線取其與地平成直角以為準則若地不平)(須記取某處與人目所看相平為記)設如有一旗杆欲測其髙但知距旗杆之逺為三丈問得髙幾何法用矩度(矩度之制必用正方每邊定一百分或二百分横𥪡俱界)(線畫成小方分自中心所出線俱平分每邊一半對中心所出線兩邉安定表)(取中心安遊表看分數必以其自中心所出線為準見幾何原本十二卷)定準墜線以定表看地平遊表看旗杆頂得距地平分四十分(此矩度前邊為百分自中心平分半)(邊為五十分)乃以中心平分距分五十分為一率所得距分四十分為二率距旗杆之逺三丈為三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所對地平至旗杆頂之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如圖甲乙為旗杆之髙丙乙為距旗杆之逺丁為矩度中心丁丙為矩度中心距地之高己庚為定表所對地平為戊辛壬為遊表看旗杆頂甲其丁庚為矩度中心平分距分五十分壬庚為遊表距地平分四十分其丁庚與壬庚之比同於丁戊與甲戊之比故丁庚五十分為一率壬庚四十分為二率丁戊距旗杆之逺三丈為三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺為旗杆之高也又用表杆測法於距旗杆三丈處立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端與旗杆頂齊量二表間相距得五尺乃以五尺為一率前表八尺内減後表四尺餘四尺為二率距旗杆之逺三丈為三率求得四率二丈四尺加入後表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如圖甲乙為旗杆之高乙丙為距旗杆之逺三丈丁丙為後表之髙四尺戊己為前表之高八尺丙己為二表之距五尺戊庚為二表之較四尺丁戊甲為人目視線試與乙丙平行作辛丁線遂成甲辛丁戊庚丁兩勾股形為同式形故丁庚與戊庚之比同於丁辛與甲辛之比既得甲辛加與丁丙相等之辛乙即得甲乙為旗杆之高也設如一樹欲測其逺爰取一直角横量十五丈問得逺幾何法以矩度定表與遊表定準直角以定表對樹遊表隨直角立表杆二三處横量十五丈於此處復安矩度以定表對所立表杆取直看原處以遊表看樹得距矩度中心平分線距分三十分乃以所得距分三十分為一率矩度中心平分距分五十分為二率横量十五丈為三率求得四率二十五丈即離樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙為直角乙丙為横量十五丈丁戊為所立二表杆丙為矩度中心丙己為矩度中心平分距分五十分己庚為所得距分三十分丙己庚勾股形與甲乙丙勾股形為同式形故己庚與己丙之比即同於丙乙與甲乙之比也又用表杆測法先立一表於乙取直角横量十五丈至丙次立一表於丙自丙對甲相直復立一表於丁次依丁丙度引至乙丙線上截乙丙於戊乃以丙戊折半於己遂得丁己丙勾股形與甲乙丙勾股形為同式形因量丙己得三丈為一率丁己得五丈為二率丙乙十五丈為三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也設如有山一座欲知其高用重矩之法測之問山之高得幾何法用矩度定準墜線以定表看地平遊表看山頂得距地平分四十分又向後量九丈復安矩度定準墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看山頂得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分為一率中心平分距分五十分為二率後矩度距地平分三十二分為三率求得四率四十分為前矩度遊表與後矩度遊表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘十分為一率後矩度距地平分三十二分為二率向後量九丈為三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所對地平至山頂之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如圖甲乙為山之高丙為前矩度中心丙庚為定表所對地平為戊丙己為遊表看山頂甲其己庚為遊表距地平分四十分丙庚為中心平分距分五十分丙丁為向後量九丈丁為後矩度中心丁壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊表看山頂甲其辛壬為遊表距地平分三十二分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度遊表距地平分辛壬度於前矩度作癸子線則丙子中心距分必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於癸子與丙子之比而得丙子之分既得丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑(與前矩度子庚等)即前後兩矩度遊表同距地平分所得中心距分之較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以丁丑與辛壬之比同於丁丙與甲戊之比而為相當比例四率也又法用矩度定準墜線以定表看地平遊表看山頂向後量九丈復安矩度定準墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看山頂得距地平分三十二分其中心平分距分為五十分爰察前矩度距地平分三十二分處得距中心距分為四十分乃以所得四十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘十分為一率距地平分三十二分為二率向後量九丈為三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所對地平至山頂之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如圖甲乙為山之高丙為前矩度中心定表所對地平為戊遊表看山頂甲丙丁為向後量九丈丁為後矩度中心其辛壬為遊表距地平分三十二分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度距地平分三十二分辛壬度於前矩度三十二分處作己庚線其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截後矩度丁壬中心平分距分於癸則丁癸為減餘十分其丁癸與辛壬之比即同於丁丙與甲戊之比也前法兩矩度遊表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其兩中心距分之較此法因取其距地平相等之分故其兩中心距分不同相減即得其兩中心距分之較也設如一牆欲知其逺用重矩之法測之問牆之逺得幾何法用矩度定凖墜線以定表看地平遊表看牆頂得距地平分四十分又向後量一丈復安矩度定凖墜線以定表仍看前矩度定表所看地平原處遊表看牆頂得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分為一率中心平分距分五十分為二率後矩度距地平分二十四分為三率求得四率三十分為前矩度遊表與後矩度遊表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率前矩度所得中心距分三十分為二率向後量一丈為三率求得四率一丈五尺即前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度中心平分距分五十分為二率所得四率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心丙庚為定表所對地平為戊丙己為遊表看牆頂甲其己庚為遊表距地平分四十分丙庚為中心平分距分五十分丙丁為向後量一丈丁為後矩度中心丁壬為定表所對地平亦為戊丁辛為遊表看牆頂甲其辛壬為遊表距地平分二十四分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度遊表距地平分辛壬度於前矩度作癸子線則丙子中心距分必小於丙庚故己庚與丙庚之比同於癸子與丙子之比而得丙子之分既得丙子則以丙子與丁壬相減餘丁丑(與前)(矩度子庚等)即前後兩矩度遊表同距地平分所得中心距分之較乃自辛至丑作辛丑線遂成辛壬丑勾股形與癸子丙同度俱與甲戊丙勾股形為同式形而辛壬丁勾股形又與甲戊丁勾股形為同式形且丁丙與丁丑皆為兩勾股形之各股之較故辛丑丁三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以丁丑與丑壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁丑與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比也又法用矩度定凖墜線以定表看地平遊表看牆頂向後量一丈復安矩度定凖墜線以定表對前矩度中心遊表看牆頂得距地平分二十四分其中心平分距分為五十分爰察前矩度距地平分二十四分處得距中心距分為三十分乃以所得三十分與後矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率前矩度中心距分三十分為二率向後量一丈為三率求得四率一丈五尺即前矩度距牆之逺若求後矩度距牆之逺則以後矩度中心平分距分五十分為二率所得四率二丈五尺即後矩度距牆之逺也如圖甲乙為牆之高丙為前矩度中心定表所對地平為戊遊表看牆頂甲丙丁為向後量一丈丁為後矩度中心其辛壬為遊表距地平分二十四分丁壬為中心平分距分五十分試依後矩度距地平分二十四分辛壬度於前矩度二十四分處作己庚線其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截後矩度丁壬中心平分距分於癸則丁癸為減餘二十分其丁癸與癸壬之比同於丁丙與丙戊之比又丁癸與丁壬之比亦同於丁丙與丁戊之比也設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量三十九丈測之問兩處各距石幾何法先平安矩度於右以定表看左矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分三十七分五釐其遊表之斜距分為六十二分五釐次平安矩度於左以定表看右矩度之中心遊表看石得距矩度中心距分十一分二釐五豪其遊表之斜距分為五十一分二釐五豪乃以所得兩距分相併得四十八分七釐五豪為一率右矩度所得之遊表斜距分六十二分五釐為二率横量三十九丈為三率求得四率五十丈為右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺則仍以兩距分相併為一率左矩度所得之遊表斜距分五十一分二釐五豪為二率橫量三十九丈為三率求得四率四十一丈為左矩度距石之逺也如圖甲為石乙為右矩度中心其丁戊為距分三十七分五釐戊乙為遊表斜距分六十二分五釐乙丙為横量三十九丈丙為左矩度中心其己庚為距分十一分二釐五豪己丙為遊表斜距分五十一分二釐五豪試自甲角至乙丙線作甲辛垂線分為兩勾股形則丁戊乙勾股形與甲辛乙勾股形為同式形已庚丙勾股形與甲辛丙勾股形為同式形而乙丙即為兩勾之和故以丁戊與己庚兩勾相併與戊乙之比同於乙丙與甲乙之比又丁戊與己庚兩勾相併與己丙之比同於乙丙與甲丙之比俱為相當比例四率也設如隔河一樹欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹横量十七丈測之問離樹之逺得幾何法先平安矩度於一處隨定表横量十七丈復安一矩度(若止用一矩度則記凖一處亦可)以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分四十九分其遊表之斜距分為七十分次以後安矩度定表看先安矩度中心遊表看樹得距矩度中心距分十五分其遊表之斜距分為五十二分二釐乃以先安矩度之中心距分四十九分與後安矩度之中心距分十五分相減餘三十四分為一率先安矩度遊表斜距分七十分為二率横量十七丈為三率求得四率三十五丈為先安矩度距樹之逺若以後安矩度遊表斜距分五十二分二釐為二率則得四率二十六丈一尺為後安矩度距樹之逺也如圖甲為樹乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分四十九分戊乙為遊表斜距分七十分乙丙為横量十七丈丙為後安矩度中心其己庚為距矩度中心距分十五分庚丙為遊表斜距分五十二分二釐按己庚十五分截丁戊四十九分於辛則辛戊為減餘三十四分乃自辛至乙作辛乙線與庚丙等又將乙丙線引長於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其乙丁辛勾股形與丙己庚勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而乙丁戊勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故乙戊辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以辛戊與乙戊之比同於乙丙與甲乙之比而辛戊與乙辛(乙辛即與丙庚度等)之比又同於乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以外故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛兩勾股形(乙丁辛即丙己庚)亦同以乙丁為股故即成兩兩同式形若遊表視線在對角以内或一在對角之内一在對角之外所得距矩度中心距分不同者則須取其同距矩度中心距分之度以為比例如後法設如隔河一亭欲測其逺不能定直角爰取兩處俱斜對亭横量三十丈測之問距亭之逺得幾何法先平安矩度於一處隨定表横量三十丈復安一矩度以先安矩度定表看後安矩度中心遊表看亭得距矩度中心距分二十七分其遊表之斜距分為五十六分八釐有餘次以後安矩度看先安矩度中心遊表看亭亦察距矩度中心距分二十七分處得距中心距分三十分其遊表之斜距分為四十分三釐有餘乃以所得距中心距分三十分與先安矩度中心平分距分五十分相減餘二十分為一率先安矩度遊表斜距分五十六分八釐有餘為二率横量三十丈為三率求得四率八十五丈二尺有餘為先安矩度距亭之逺若以後安矩度遊表斜距分四十分三釐有餘為二率則得四率六十丈四尺五寸有餘為後安矩度距亭之逺也如圖甲為亭乙為先安矩度中心其丁戊為距矩度中心距分二十七分乙戊為中心平分距分五十分丁乙為遊表斜距分五十六分八釐有餘乙丙為横量三十丈丙為後安矩度中心其己庚亦為距矩度中心距分二十七分丙庚為距中心平分距分三十分己丙為遊表斜距分四十分三釐有餘按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分於辛則乙辛為減餘二十分又自丁至辛作丁辛線與己丙等又將乙丙線引長於壬自甲作甲壬垂線遂成甲壬丙甲壬乙兩勾股形其丁戊辛勾股形與己庚丙勾股形同度俱與甲壬丙勾股形為同式形而丁戊乙勾股形又與甲壬乙勾股形為同式形故丁乙辛三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以乙辛與丁乙之比同於乙丙與甲乙之比又乙辛與丁辛(即己丙)之比同於乙丙與甲丙之比也此法蓋因遊表視線俱在對角以内故甲壬垂線所成甲壬乙甲壬丙兩勾股形同以甲壬為勾而兩矩度上亦取與丁戊相等之己庚為勾使成兩兩同式形然後可以為比例也設如有塔一座欲知其高用相等兩表測之問得高幾何法先立一表比人目高四尺看塔頂得距分六尺又自前表向後量六丈復立一表亦比人目高四尺看塔頂得距分八尺乃以前距分六尺與後距分八尺相減餘二尺為一率表比人目高四尺為二率向後量六丈為三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔頂下地平之逺則以兩距分相減之較為一率前表距分六尺為二率向後量之數為三率得四率十八丈為前表距塔頂下地平之逺若求後表距塔頂下地平之逺則以後表距分八尺為二率得四率二十四丈即後表距塔頂下地平之逺也如圖甲乙為塔之高丙丁與戊己為兩表比人目之高四尺丁目為前表距分六尺丁己為向後量六丈己目為後表距分八尺試依前距分丁目六尺度截後距分己目於庚則庚目為減餘二尺乃自戊過丙至辛作戊丙辛線又自戊至庚作戊庚線遂成戊己庚勾股形與丙丁目勾股形同度俱與甲辛丙勾股形為同式形而戊己目勾股形又與甲辛戊勾股形為同式形且丙戊與庚目皆為兩勾股形之各股之較故戊庚目三角形與甲丙戊三角形又為同式形是以庚目與戊己之比同於戊丙與甲辛之比又庚目與己庚之比同於丙戊與辛丙之比庚目與己目之比並同於丙戊與辛戊之比也設如有樓一座欲知其高用不等兩表測之問得高幾何法先立長表比人目高六尺看樓脊得距分五尺四寸又自先立長表向後量二丈立短表比人目高四尺看樓脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺為一率前表距分五尺四寸為二率後表比人目之高四尺為三率求得四率三尺六寸為前表與後表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸與後表距分六尺四寸相減餘二尺八寸為一率後表比人目之高四尺為二率以前表距分五尺四寸内減所得之三尺六寸餘一尺八寸與兩表相距二丈相減餘一丈八尺二寸為三率求得四率二丈六尺加後表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如圖甲乙為樓之高丙丁為前表比人目之高六尺丁目為前表距分五尺四寸丁己為向後量二丈戊己為後表比人目之高四尺己目為後表距分六尺四寸試依後表戊己度作庚辛垂線截丁目於辛則辛目距分必小於丁目故丙丁與丁目之比同於庚辛與辛目之比而得辛目之分既得辛目則以辛目與己目相減餘壬目即前後兩表同高所得距分之較又於兩表相距丁己内減丁辛餘辛己即同高兩表相距之分故壬目與戊己(即庚辛)之比即同於戊庚(即辛己)與甲癸之比也三角度數測量(度數測量必取資於儀器全圜儀半圜儀象限儀雖為體不同)(其為用則一以九十度為準以定表遊表為二視線其相距之度即為所測之角)設如一塔不知其髙但知距塔之逺為三十丈欲測其高幾何法以儀器定凖墜線以定表看地平遊表看塔尖得兩表相距二十四度乃以二十四度與九十度相減餘六十六度為對所知之角其正弦九萬一千三百五十五為一率儀器上二十四度為對所求之角其正弦四萬零六百七十四為二率距塔之逺三十丈為所知之邊為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即所求之塔之高也如圖甲乙為塔之高丙乙為距塔之逺儀器中心為丁丁丙為儀器中心距地之高丁戊為定表所對地平為庚丁己為遊表看塔尖甲得兩表距弧二十四度為己戊其正弦為己辛其餘弦為壬己與丁辛等象限九十度内減二十四度餘六十六度為癸己即甲角之正弧其正弦即壬己是以與壬己相等之丁辛與己辛之比同於丁庚與甲庚之比為相當比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也又法以半徑十萬為一率二十四度之切線四萬四千五百二十三為二率距塔之逺三十丈為三率求得四率十三丈三尺五寸七分加儀器之高即塔之高也如圖己戊弧為二十四度丁戊為半徑壬戊為二十四度之正切故丁戊與壬戊之比同於丁庚與甲庚之比為相當比例四率也設如一樹欲知其逺取一直角横量十五丈測之問得幾何法以儀器定遊表於九十度定表看樹對遊表立兩表竿取直橫量十五丈復安儀器於此以定表看原處遊表看樹得兩表相距六十度乃以六十度與九十度相減餘三十度為對所知之角其正弦五萬為一率儀器上六十度為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率横量十五丈為所知之邊為三率求得四率二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為距樹之逺乙為所定直角丙乙為横量十五丈丙為儀器中心丙丁為定表看原處乙丙戊為遊表看甲得兩表距弧六十度為戊丁其正弦為戊己餘弦為庚戊與丙己等象限九十度内減六十度餘三十度為辛戊即甲角之正弧其正弦即庚戊是以與庚戊相等之丙己與戊己之比同於丙乙與甲乙之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率丙角六十度之正切十七萬三千二百零五為二率横量十五丈為三率求得四率二十五丈九尺八寸即所測之樹之逺也若求甲丙斜距則以半徑十萬為一率丙角六十度之正割二十萬為二率横量十五丈為三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如圖戊丁弧為六十度丙丁為半徑己丁為六十度之正切己丙為六十度之正割故丙丁與己丁之比同於丙乙與甲乙之比又丙丁與己丙之比同於丙乙與甲丙之比俱各為相當比例四率也設如一山欲知其高用重測之法測之退步十丈問山之高得幾何法先安儀器定準墜線以定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十度又退行十丈復安儀器定準墜線以定表仍看前儀器定表所看地平原處仍以遊表看山頂得兩表相距四十度乃以前儀器所得五十度内減後儀器所得四十度餘十度為對所知之角其正弦一萬七千三百六十五為一率後儀器所得四十度為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率退行十丈為所知之邊為三率求得四率三十七丈零一寸為前儀器中心至山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率前儀器所得五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率前儀器中心至山頂之斜距三十七丈零一寸為所知之邊為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為退行十丈前測得丙角五十度後測得丁角四十度而丙角為甲丙丁三角形之外角與丁甲二内角相併之度等(解見三角形邊線角度相求巻)(中)故丙角五十度内減丁角四十度餘十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丙邊既得甲丙邊然後用甲乙丙直角三角形求甲乙邊為山之高也又法以前測所得五十度之餘切八萬三千九百一十與後測所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘三萬五千二百六十五為一率半徑十萬為二率退行十丈為三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如圖戊己為丙角之餘切即丙甲乙角之正切與壬癸等庚辛為丁角之餘切即丁甲乙角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸與戊丙及庚丁俱同為半徑甲癸壬三角形與甲乙丙三角形為同式形而甲癸子三角形與甲乙丁三角形為同式形故甲壬子三角形與甲丙丁三角形亦為同式形是以子壬與甲癸之比同於丁丙與甲乙之比而為相當比例四率也設如人在山上欲測山之高但知山前有二樹與山參直二樹相距十八丈問山之高得幾何法於山頂安儀器定準墜線以定表向空中取一平線先以遊表看逺樹得遊表距垂線四十九度次以遊表看近樹得遊表距垂線三十八度乃以所得兩數相減餘十一度為對所知之角其正弦一萬九千零八十一為一率以看逺樹所得之四十九度與九十度相減餘四十一度為對所求之角其正弦六萬五千六百零六為二率二樹相距十八丈為三率求得四率六十一丈八尺九寸為近樹距山頂之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以看近樹所得之三十八度與九十度相減餘五十二度為對所求之角其正弦七萬八千八百零一為二率近樹距山頂之斜距六十一丈八尺九寸為所知之邊為三率求得四率四十八丈七尺七寸即所測之山之高也如圖甲乙為兩樹相距十八丈丙丁為山之高甲丙丁角為看逺樹所得之四十九度乙丙丁角為看近樹所得之三十八度兩數相減餘十一度為甲丙乙角甲丙丁角四十九度與九十度相減所餘之四十一度為甲角乙丙丁角三十八度與九十度相減所餘之五十二度為乙角先用甲乙丙鈍角三角形求丙乙邊既得丙乙邊然後用乙丙丁直角三角形求丙丁邊為山之高也又法以先看逺樹所得四十九度之正切十一萬五千零三十七與後看近樹所得三十八度之正切七萬八千一百二十九相減餘三萬六千九百零八為一率半徑十萬為二率二樹相距之十八丈為三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如圖戊己為甲丙丁角之正切庚己為乙丙丁角之正切戊庚即兩正切之較丙己為半徑故戊庚與丙己之比同於甲乙與丙丁之比而為相當比例四率也設如一石欲知其逺不取直角於左右兩處横量五十丈測之問兩處各距石幾何法先平安儀器於左以定表看右儀器之中心遊表看石得兩表相距七十度次平安儀器於右以定表看左儀器之中心遊表看石得兩表相距六十度乃以兩角度相併得一百三十度與一百八十度相減餘五十度為對所知之角其正弦七萬六千六百零四為一率求右邊則以左邊儀器所得七十度為對所求之角其正弦九萬三千九百六十九為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邊距石之逺則以右邊儀器所得六十度為對所求之角其正弦八萬六千六百零三為二率左右相距五十丈為所知之邊為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度兩角相併與一百八十度相減得甲角五十度共為甲乙丙銳角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊及甲丙邊也又法以左邊儀器所得七十度之餘切三萬六千三百九十七與右邊儀器所得六十度之餘切五萬七千七百三十五相併得九萬四千一百三十二為一率右邊儀器所得六十度之餘割十一萬五千四百三十為二率左右相距五十丈為三率求得四率六十一丈三尺三寸為右邊距石之逺若求左邉距石之逺則以左邊儀器所得七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率左右相距五十丈為三率求得四率五十六丈五尺三寸為左邊距石之逺也如圖甲為石乙丙為左右相距五十丈乙角為左邊所測七十度丙角為右邊所測六十度試自甲至乙丙線上作甲丁垂線分為甲丁乙甲丁丙兩直角形戊己為丙角之餘切即丁甲丙角之正切與壬癸等己丙為丙角之餘割即丁甲丙角之正割與甲癸等庚辛為乙角之餘切即丁甲乙角之正切與壬子等庚乙為乙角之餘割即丁甲乙角之正割與甲子等而癸子即兩餘切之和甲壬癸與甲丁丙為同式形甲壬子與甲丁乙為同式形故甲子癸與甲乙丙亦為同式形是以癸子與甲癸之比同於丙乙與甲丙之比又癸子與甲子之比同於丙乙與甲乙之比皆為相當比例四率也設如隔河一樹欲知其逺不能定直角爰取兩處俱斜對樹横量十二丈測之問離樹之逺得幾何法平安儀器於一處隨定表横量十二丈復安一儀器(若止用一儀器則記凖一處亦可)以先安儀器定表看後安儀器中心遊表看樹得兩表相距一百一十度次以後安儀器定表看先安儀器中心遊表看樹得兩表相距四十度乃以兩角度相併得一百五十度與一百八十度相減餘三十度為對所知之角其正弦五萬為一率後安儀器所得四十度為對所求之角其正弦六萬四千二百七十九為二率横量十二丈為所知之邊為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為一百一十度丙角為四十度兩角相併與一百八十度相減得甲角三十度共為甲乙丙鈍角三角形蓋知乙丙二角及乙丙邊而求甲乙邊也又法以先安儀器所得之外角七十度之餘切三萬六千三百九十七與後安儀器所得四十度之餘切十一萬九千一百七十五相減餘八萬二千七百七十八為一率先安儀器所得之外角七十度之餘割十萬六千四百一十八為二率横量十二丈為三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所測之樹之逺也如圖甲為樹甲乙為離樹之逺乙丙為横量十二丈乙角為先安儀器所得一百一十度丙角為後安儀器所得四十度試將乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己為乙外角之餘切即乙甲丁角之正切與壬癸等己乙為乙外角之餘割即乙甲丁角之正割與甲壬等庚辛為丙角之餘切即丙甲丁角之正切與子癸等子壬即兩餘切之較甲癸壬三角形與甲丁乙三角形為同式形甲癸子三角形與甲丁丙三角形為同式形故甲壬子三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以子壬與甲壬之比同於丙乙與甲乙之比而為相當比例四率也設如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右兩處横量一百丈先求斜距測之問山之高得幾何法以儀器斜對山頂隨定表横量一百丈任記一處遊表看山頂得兩表相距八十六度五十三分又隨定表横量一百丈所記之處復安儀器斜對山頂以定表看原處遊表看山頂得兩表相距七十八度零七分乃以兩角度相併得一百六十五度與一百八十度相減餘一十五度為對所知之角其正弦二萬五千八百八十二為一率後測所得七十八度零七分為對所求之角其正弦九萬七千八百五十七為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率三百七十八丈零九寸為先安儀器至山頂之斜距次以儀器安於原處定凖墜線定表看地平遊表看山頂得兩表相距五十一度乃以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率儀器所得五十一度為對所求之角其正弦七萬七千七百一十五為二率儀器至山頂之斜距三百七十八丈零九寸為所知之邊為三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所測之山之高也如圖甲為山頂甲乙為先安儀器至山頂之斜距乙丙為横量一百丈甲丙為後安儀器至山頂之斜距乙角為八十六度五十三分丙角為七十八度零七分兩角相併與一百八十度相減得甲角一十五度遂成甲乙丙鋭角三角形今有乙丙二角與乙丙邊求甲乙邊即先安儀器至山頂之斜距又甲丁為山之高甲乙為儀器至山頂之斜距丁角即山頂垂線與地平所成直角乙角為五十一度復成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角與甲乙邊求甲丁邊即山之高也設如人在山坡測山之高前後不得地平爰取斜坡前後兩處相距一百丈測之問山之高得幾何法於山坡先安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距四十度於是向後就斜坡直量一百丈復安儀器定準墜線以定表空取一地平以遊表看山頂得兩表相距三十五度又以遊表看前儀器中心得兩表相距十三度乃以前儀器所得四十度内減後儀器所得三十五度餘五度為對所知之角其正弦八千七百一十六為一率以前儀器所得四十度内減後儀器看前儀器中心所得十三度餘二十七度為對所求之外角其正弦四萬五千三百九十九為二率退量一百丈為所知之邊為三率求得四率五百二十丈八尺七寸為山頂至後儀器之斜距次以山頂垂線與地平所成直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率後儀器所得三十五度為對所求之角其正弦五萬七千三百五十八為二率山頂至後儀器之斜距五百二十丈八尺七寸為所知之邊為三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所測之山之高也如圖甲乙為山之高丙丁為山坡斜距一百丈甲丙戊角為前儀器所得四十度甲丁乙角為後儀器所得三十五度丙丁乙角為後儀器看前儀器中心所得十三度若將戊丙線引長至己則甲己戊角與甲丁乙角為二平行線之内外角其度必等故於甲丙戊角四十度内減甲丁乙角三十五度餘五度為丁甲丙角(此即前題退步兩測之理)又試將丁丙線引長至庚則庚丙戊角與丙丁乙角亦為二平行線之内外角其度亦等故於甲丙戊角四十度内減與庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度餘甲丙庚角二十七度為甲丙丁鈍角之外角故先用甲丙丁鈍角三角形求甲丁邊為後儀器至山頂之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙邊為山之高也設如東西二樹欲知其相距之逺測處距西樹五十丈距東樹七十丈問二樹相距幾何法以儀器定表看東樹遊表看西樹得兩表相距五十度乃以距西樹五十丈與距東樹七十丈相加得一百二十丈為一率又以五十丈與七十丈相減餘二十丈為二率兩表相距五十度與一百八十度相減餘一百三十度為外角折半得六十五度為半外角其正切二十一萬四千四百五十一為三率求得四率三萬五千七百四十二為半較角之正切檢表得十九度四十分與半外角六十五度相減餘四十五度二十分為小角與半外角六十五度相加得八十四度四十分為大角既得二角則以小角四十五度二十分為對所知之角其正弦七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則丙戊丙丁俱為半徑與甲丙等自丁至乙即兩邊之和自戊至乙即兩邊之較試自甲至戊作甲戊線則成丙甲戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率兩表相距五十度之正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十八丈三尺為西樹至看東樹視線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距五十度之餘弦六萬四千二百七十九為二率距西樹之逺五十丈為三率求得四率三十二丈一尺四寸為西樹至看東樹視線上垂線所分之小段分邊線將此數與距東樹之逺七十丈相減餘三十七丈八尺六寸亦為西樹至看東樹視線上垂線所分之大段分邊線爰以此線為勾所得垂線為股求得弦五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形先求得甲丁垂線為股次求得丁丙小段分邊線與乙丙相減餘乙丁大段分邊線為勾求得甲乙弦即二樹相距之逺也又法以距西樹之逺五十丈為一率距東樹之逺七十丈為二率兩表相距五十度之餘割一十三萬零五百四十一為三率求得四率一十八萬二千七百五十七為西樹至看東樹視線上垂線所分兩分角之兩正切之和内減兩表相距五十度之餘切八萬三千九百一十餘九萬八千八百四十七為對西樹視線之對邊角之餘切檢表得四十五度二十分即對西樹視線之對邊角乃以此角度為對所知之角其正弦七萬一千一百二十一為一率兩表相距五十度為對所求之角其正弦七萬六千六百零四為二率距西樹之逺為所知之邊其數五十丈為三率求得四率五十三丈八尺五寸即東西二樹相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為西樹乙為東樹丙為儀器中心甲丙為距西樹五十丈乙丙為距東樹七十丈丙角為兩表視線相距五十度試自甲角至乙丙視線上作甲丁垂線遂分甲乙丙三角形為甲丁乙甲丁丙兩直角三角形以甲角為心作一戊己庚半圜則甲丁垂線平分於己兩邊各成一象限又與乙丙平行作一辛壬線則辛己一段為乙甲丁分角之正切即乙角之餘切己壬一段為丙甲丁分角之正切即丙角之餘切而甲壬為丙甲丁分角之正割亦即丙角之餘割甲辛壬與甲乙丙兩三角形為同式形故甲丙邊與乙丙邊之比同於丙角餘割甲壬(即丙甲丁分角之正割)與丙甲丁乙甲丁兩分角之正切相合之辛壬之比為相當比例四率既得辛壬兩分角之共切内減去丙甲丁分角之正切己壬(即丙角之餘切)所餘辛己為乙甲丁分角之正切即為乙角之餘切檢表即得乙角既得乙角則用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣設如南北二橋欲知其相距之逺測處距南橋九十丈距北橋一百二十丈問二橋相距幾何法以儀器定表看北橋遊表看南橋得兩表相距一百二十度乃以距南橋九十丈與距北橋一百二十丈相加得二百一十丈為一率又以九十丈與一百二十丈相減餘三十丈為二率兩表相距一百二十度與一百八十度相減餘六十度為外角折半得三十度為半外角其正切五萬七千七百三十五為三率求得四率八千二百四十八為半較角之正切檢表得四度四十三分與半外角三十度相減餘二十五度一十七分為小角與半外角三十度相加得三十四度四十三分為大角既得二角則以小角二十五度十七分為對所知之角其正弦四萬二千七百零九為一率兩表相距一百二十度為對所求之角其外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺為所知之邊其數九十丈為三率求得四率一百八十二丈四尺九寸為南北二橋相距之逺也如圖甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈丙角為兩表視線相距一百二十度今以丙角為心甲丙小邊為半徑作一甲丁戊圜截乙丙大邊於戊將乙丙引長至圜界丁則乙丁為兩邊之和乙戊為兩邊之較試自甲至戊作甲戊線成甲丙戊三角形其丙甲戊與丙戊甲二角併之與甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁線即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大於丙甲戊角之較亦即乙角小於丙戊甲角之較故自圜界戊至甲乙邊作己戊線與甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁與乙己戊為同式形故兩邊之和乙丁與丁戊甲半外角切線甲丁之比即同於兩邊之較乙戊與半較角切線己戊之比為相當比例四率也又法以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺九十丈為三率求得四率七十七丈九尺四寸為南橋至看北橋視線引長虚邊線上之垂線又以半徑十萬為一率兩表相距一百二十度之外角六十度之餘弦五萬為二率距南橋之逺五十丈為三率求得四率四十五丈為南橋至看北橋視線引長所成直角之虚邊線與距北橋一百二十丈相加得一百六十五丈為南橋至看北橋視線引長之總邊線爰以此線為股所得南橋至虚邊之垂線為勾求得弦一百八十二丈四尺八寸即南北二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈試將乙丙線引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形先求得甲丁垂線為勾次求得丙丁虚邊線與乙丙相加得乙丁總邊線為股求得甲乙弦即二橋相距之逺也又法以距南橋之逺九十丈為一率距北橋之逺一百二十丈為二率兩表相距一百二十度之外角六十度之餘割一十一萬五千四百七十為三率求得四率一十五萬三千九百六十為南橋至看北橋視線引長虚邊線上之垂線所成兩分角之正切之較與兩表相距一百二十度之外角六十度之餘切五萬七十七百三十五相加得二十一萬一千六百九十五為對南橋視線之對邊角之餘切檢表得二十五度十七分即對南橋視線之對邊角乃以此角度為對所知之角其正弦四萬二千七百零九為一率兩表相距一百二十度為對所求之角其外角六十度之正弦八萬六千六百零三為二率距南橋之逺為所知之邊其數九十丈為三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二橋相距之逺也如圖甲乙丙三角形甲為南橋乙為北橋丙為儀器中心甲丙為距南橋九十丈乙丙為距北橋一百二十丈丙角為兩表視線相距一百二十度試將乙丙邊引長自甲角作甲丁垂線遂成甲丁丙甲丁乙兩直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其餘切戊己即甲丁丙三(角)形之甲角之正切如度辛丙外角之餘割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之餘切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角餘切與甲丁丙三角形之丙角餘切相減即兩甲角相差之較如子庚甲辛庚三角形與甲丁丙三角形為同式形甲辛子三角形與甲丁乙三角形為同式形故甲子庚三角形與甲乙丙三角形亦為同式形是以甲丙邊與乙丙邊之比同於丙外角餘割甲庚(即己丙)與兩餘切之較子庚之比為相當比例四率既得子庚兩餘切之較與丙外角之餘切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之餘切撿表得乙角既得乙角則用兩角一邊比例求之而得甲乙邊矣設如隔河東西二樹欲知其相距之逺爰對一樹取一直角左右横量十三丈測之問二樹相距幾何法先對西樹安儀器於右定遊表於九十度以定表看西樹隨遊表横量十三丈乃以遊表看東樹得西樹視線距横量邊線九十度東樹視線距横量邊線三十八度西樹東樹兩視線相距為五十二度次於直角横量十三丈處安儀器於左以定表看右儀器中心遊表看東樹得東樹視線距横量邊線一百一十度復以遊表看西樹得西樹視線距横量邊線四十五度乃先求右儀器距西樹之逺以左儀器看西樹距横量邊線之四十五度與九十度相減餘四十五度為對所知之角其正弦七萬零七百一十一為一率以左儀器看西樹距横量邊線之四十五度為對所求之角其正弦七萬零七百一十一為二率左右横量十三丈為所知之邊為三率求得四率十三丈為右儀器距西樹之逺次求右儀器距東樹之逺以右儀器看東樹距横量邊線三十八度與左儀器看東樹距横量邊線一百一十度相併得一百四十八度與一百八十度相減餘三十二度為對所知之角其正弦五萬二千九百九十二為一率以左儀器看東樹距横量邊線一百一十度為對所求之角其外角七十度之正弦九萬三千九百六十九為二率左右横量十三丈為所知之邊為三率求得四率二十三丈零五寸為右儀器距東樹之逺末求東西二樹相距之逺以右儀器距西樹十三丈與右儀器距東樹二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸為一率又以十三丈與二十三丈零五寸相減餘十丈零五寸為二率以右儀器看西樹東樹兩表相距五十二度與一百八十度相減餘一百二十八度為外角折半得六十四度為半外角其正切二十萬零五千零三十為三率求得四率五萬七千一百五十八為半較角之正切撿表得二十九度四十五分與半外角六十四度相減餘三十四度十五分為小角以半較角二十九度四十五分與半外角六十四度相加得九十三度四十五分為大角乃以小角三十四度十五分為對所知之角其正弦五萬六千二百八十為一率看西樹東樹兩表相距之五十二度為對所求之角其正弦七萬八千八百零一為二率右儀器距西樹之逺十三丈為所知之邊為三率求得四率十八丈二尺為東西二樹相距之逺也如圖甲為西樹乙為東樹丙為右儀器中心丁為左儀器中心丙丁為兩測之距十三丈甲丙丁角為直角九十度甲丙乙角為右儀器看東樹西樹兩表相距之五十二度乙丙丁角為右儀器看東樹視線距横量邊線三十八度乙丁丙角為左儀器看東樹視線距横量邊線一百一十度甲丁丙角為左儀器看西樹距横量邊線四十五度先以甲丁丙角四十五度與九十度相減餘四十五度為丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙邊為右儀器距西樹之逺次以乙丙丁角三十八度與乙丁丙角一百一十度併之與一百八十度相減餘三十二度為丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙邊為右儀器距東樹之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二邊甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙邊為東西二樹相距之逺也設如南北二峯欲知其相距之逺不取直角於左右兩處横量一百丈測之問二峯相距幾何法安儀器於右隨定表向左横量一百丈乃以遊表看南峯得南峯視線距横量邊線一百零七度復以遊表看北峯得北峯視線距横量邊線四十六度南峯北峯兩視線相距為六十一度次於横量一百丈處安儀器於左以定表看右儀器中心遊表看北峯得北峯視線距横量邊線九十九度復以遊表看南峯得南峯視線距横量邊線五十度北峯南峯兩視線相距為四十九度乃先求左儀器距北峯之逺以右儀器看北峯距横量邊線之四十六度與左儀器看北峯距横量邊線之九十九度相倂得一百四十五度與一百八十度相減餘三十五度為對所知之角其正弦五萬七千三百五十八為一率以右儀器看北峯距横量邊線之四十六度為對所求之角其正弦七萬一千九百三十四為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率一百二十五丈四尺一寸為左儀器距北峯之逺次求左儀器距南峯之逺以左儀器看南峯距横量邊線之五十度與右儀器看南峯距横量邊線之一百零七度相併得一百五十七度與一百八十度相減餘二十三度為對所知之角其正弦三萬九千零七十三為一率右儀器看南峯距横量邊線一百零七度為對所求之角其外角七十三度之正弦九萬五千六百三十為二率横量一百丈為所知之邊為三率求得四率二百四十四丈七尺四寸為左儀器距南峯之逺末求南北二峯相距之逺以左儀器距北峯一百二十五丈四尺一寸與左儀器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸為一率又以一百二十五丈四尺一寸與二百四十四丈七尺四寸相減餘一百一十九丈三尺三寸為二率以左儀器看南峯北峯兩視線相距四十九度與一百八十度相減餘一百三十一度為外角折半得六十五度三十分為半外角其正切二十一萬九千四百三十為三率求得四率七萬零七百四十為半較角之正切查表得三十五度十六分與半外角六十五度三十分相減餘三十度十四分為小角與半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分為大角乃以小角三十度十四分為對所知之角其正弦五萬零三百五十二為一率左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度為對所求之角其正弦七萬五千四百七十一為二率左儀器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸為所知之邊為三率求得四率一百八十七丈九尺七寸為南北二峯相距之逺也又法求自北峯至左儀器距南峯視線上之垂線作勾股法算之則以垂線所分直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度為對所求之角其正弦七萬五千四百七十一為二率左儀器距北峯之逺為所知之邊其數一百二十五丈四尺一寸為三率求得四率九十四丈六尺四寸為自北峯至左儀器距南峯視線上之垂線次求左儀器至垂線末之分邊線仍以垂線所分直角為對所知之角其正弦即半徑十萬為一率以左儀器看南峯北峯兩視線相距之四十九度與九十度相減餘四十一度為對所求之角其正弦六萬五千六百零六為二率(即四十九度之餘弦)左儀器距北峯之逺為所知之邊其數一百二十五丈四尺一寸為三率求得四率八十二丈二尺七寸為自左儀器至垂線末之分邊線與左儀器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相減餘一百六十二丈四尺七寸為南峯距垂線末之分邊線乃以此數為股所得垂線九十四丈六尺四寸為勾求得弦一百八十八丈零二寸即南北二峯相距之逺也如圖甲為南峯乙為北峯丙為右儀器中心丁為左儀器中心丙丁為兩測之距一百丈甲丙丁角為右儀器看南峯視線距横量邊線一百零七度乙丙丁角為右儀器看北峯視線距横量邊線四十六度乙丁丙角為左儀器看北峯視線距横量邊線九十九度甲丁丙角為左儀器看南峯視線距横量邊線五十度甲丁乙角為左儀器看南峯北峯兩表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度與乙丁丙角九十九度併之與一百八十度相減餘三十五度為丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁邊為左儀器距北峯之逺次以甲丁丙角五十度與甲丙丁角一百零七度併之與一百八十度相減餘二十三度為丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁邊為左儀器距南峯之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二邊甲丁乙一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙邊為南北二峯相距之逺也又或求得乙戊垂線又求得丁戊為左儀器至垂線末之分邊線則以丁戊與甲丁相減餘甲戊為股乙戊垂線為勾而得甲乙弦為南北二峯相距之逺也御製數理精藴下編卷十八
## 下編卷十九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷十九面部九各面形縂論直線形各面形總論面之爲形成於方圜直線所成皆方之類曲線所成皆圜之類立法則方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所謂方有盡而圜無盡是也論理則圜又爲衆界形之本葢衆界形或函圜或函於圜其邊皆當弧線之度故求衆界形者必以圜界爲宗也因有方圜衆界之各異是以邊線等者面積不等如衆界形之毎一邊與圜徑俱設爲一○○○○則方面積爲一○○○○○○○○而圜面積爲七八五三九八一六三等邊形之面積爲四三三○一二七○五等邊形之面積爲一七二○四七七四一六等邊形之面積爲二五九八○七六二○七等邊形之面積爲三六三三九一二四○八等邊形之面積爲四八二八四二七一二九等邊形之面積爲六一八一八二四二○十等邊形之面積爲七六九四二○八八三此各形之面積皆以方積比例者也或以圜面積設爲一○○○○○○○○則圜徑得一一二八三小餘七九一六如圜徑與衆界形之毎一邊俱設爲一一二八三小餘七九一六則圜面積爲一○○○○○○○○而三等邊形之面積爲五五一三二八八九方面積爲一二七三二三九五四五等邊形之面積爲二一九○五七九八六六等邊形之面積爲三三○七九七三三四七等邊形之面積爲四六二六八四○九八八等邊形之面積爲六一四七七四四三五九等邊形之面積爲七八七○九四三○二十等邊形之面積爲九七九六五七○九九此各形之面積皆以圜積比例者也葢因各形之邊線相等面積不同故皆定爲面與面之比例也面積等者邊線不等如衆界形之面積與圜面積俱設爲一○○○○○○○○○○○○○○○○則方邊爲一○○○○○○○○而圜徑爲一一二八三七九一六三等邊形之毎邊爲一五一九六七一三七五等邊形之毎邊爲七六二三八七○五六等邊形之毎邊爲六二○四○三二四七等邊形之毎邊爲五二四五八一二六八等邊形之毎邊爲四五五○八九八五九等邊形之毎邊爲四○二一九九六三十等邊形之毎邊爲三六○五一○五八此各形之邊線皆以方邊比例者也或以圜徑設爲一○○○○○○○○則圜面積爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面積與衆界形之面積俱設爲七八五三九八一六三三九七四四八三則圜徑爲一○○○○○○○○而二等邊形之毎邊爲一三四六七七三六九四等邊形(卽正方)之毎邊爲八八六二二六九二五等邊形之毎邊爲六七五六四七九三六等邊形之毎邊爲五四九八一八○五七等邊形之毎邊爲四六四八九八○三八等邊形之毎邊爲四○三三一二八八九等邊形之毎邊爲三五六四四○一四十等邊形之毎邊爲三一九四九四一八此各形之邊線皆以圜徑比例者也葢因各形之面積相等邊線不同故皆定爲線與線之比例也然自衆界形之中心分之則又各成三角形皆以勾股爲準則故勾股三角形雖爲面而不囿於面之中却别立一章焉要之衆界形邊求積者歸之勾股積求邊者歸之正方引而伸之觸類而長之凡爲面形者不能違是也直線形設如正方形每邊五十尺問對角斜線幾何法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分零六豪有餘即所求之對角斜線也如圖甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每邊皆五十尺甲丙為所求對角斜線甲乙為股則乙丙為勾乙丙為股則甲乙為勾因甲乙與乙丙相等皆可互為勾股故以一邊自乗倍之開方得弦卽如各自乗相併開方而得弦也又用定率比例法以定率之方邊一○○○○○○○爲一率對角斜線一四一四二一三五為二率今所設之方邊五十尺為三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有餘卽所求之對角斜線也葢定率設方邊為一千萬其對角斜線為一千四百一十四萬二千一百三十五故定率之方邊一千萬與定率之對角斜線一千四百一十四萬二千一百三十五之比卽如今所設之方邊五十尺與所求之對角斜線七十尺七寸一分零六豪有餘之比也若有對角斜線求方邊則以對角斜線自乗折半開方所得為正方形之每一邊也葢甲丙弦自乗之方與甲乙股乙丙勾兩正方相併之積等今以甲丙弦自乗折半則必與甲乙或乙丙自乗之一正方相等故開方而得每一邊也或用定率比例法以定率之對角斜線一四一四二一三五為一率方邊一○○○○○○○為二率今所設之對角斜線為三率求得四率卽方邊也設如正方形每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何法以每邊二尺自乗得四尺倍之得八尺開方得二尺八寸二分八釐四豪有餘卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每邊即甲乙丙丁方形之對角斜線試於戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙為心戊為界作戊己弧與丁角相切則丁乙與己乙皆為半徑其度相等葢丁乙對角斜線自乗之方為甲乙邊自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽為甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形積即與甲乙丙丁正方形積相等也設如正方形每邊二尺今將其積四倍之問得方邊幾何法以每邊二尺倍之得四尺卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊二尺其面積四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以每邊二尺倍之而卽得也此法葢因兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例(見幾何原本七卷第五節)故戊乙己庚正方面積一十六尺與甲乙丙丁正方面積之四尺相比為四分之一而戊乙己庚正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而十六與四之比其間隔八之一位故為連比例隔一位相加之比例也設如長方形長十二尺闊八尺今將其積倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何法以闊八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三釐七豪有餘即所求之闊旣得闊乃以原闊八尺為一率原長十二尺為二率今所得闊一十一尺三寸一分三釐七豪有餘為三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有餘卽所求之長也或以長十二尺自乗倍之開方亦得一十六尺九寸七分零五豪有餘為所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺將其積倍之即如戊己庚辛長方形此兩長方面積之比例卽同於其相當二界各作一正方面積之比例(見幾何原本七卷第七節)故依甲乙丙丁長方形之丁丙闊界作丁丙壬癸正方形將其積倍之卽如戊己庚辛長方形之辛庚闊界所作之辛庚子丑正方形故開方得辛庚為所求之闊也既得辛庚之闊則以甲乙與甲丁之比卽同於戊己與戊辛之比得戊辛為所求之長也若以原長自乗倍之開方卽如以二長界各作一正方形互相為比例也設如長方形長十二尺闊八尺今將其積四倍之仍與原形為同式形問得長闊各幾何法以闊八尺倍之得十六尺卽所求之闊又以原長十二尺倍之得二十四尺即所求之長也如圖甲乙丙丁長方形甲乙闊八尺甲丁長十二尺將其積四倍之卽如戊己庚辛長方形其每邊得甲乙丙丁長方形每邊之二倍是故不用四倍其積開方止以各邊之數倍之而即得也此法葢因兩長方面之比例既同於其相當二界各作一正方面之比例而兩正方面之比例比之二界之比例為連比例隔一位相加之比例故兩長方面之比例較之兩界之比例亦為連比例隔一位相加之比例也設如三角形面積三千尺底闊八十尺問中長幾何法以積三千尺倍之得六千尺用底闊八十尺除之得七十五尺卽所求之長也如圖甲乙丙三角形其積倍之成丁乙丙戊長方形乙丙為底闊故以底闊除長方積得甲己為中長也設如兩兩等邊無直角斜方形(一日象目形)小邊皆二十五丈大邊皆三十九丈對兩小角斜線五十六丈問面積㡬何法以對角斜線分斜方形為兩三角形算之以對角斜線五十六丈為底大邊三十九丈小邊二十五丈為兩腰用三角形求中垂線法求得中垂線十五丈乃以對角斜線五十六丈與中垂線十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面積也如圖甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小邊皆二十五丈甲乙丁丙二大邊皆三十九丈甲丙對兩小角斜線五十六丈今以甲丙斜線分甲乙丙丁斜方形為甲乙丙甲丁丙兩三角形俱以甲丙為底甲丁與丁丙為兩腰求得丁戊或乙己皆為中垂線故以甲丙斜線與丁戊垂線相乗所得甲丙庚辛長方形比甲丁丙三角形積大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函兩三角形積故所得之甲丙庚辛長方形與甲乙丙丁斜方形之面積相等也設如不等邊兩直角斜方形直角之邊長五十丈上闊二十丈下闊二十八丈問面積幾何法以上闊二十丈與下闊二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之積面也如圖甲乙丙丁斜方形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與甲乙長相乗遂成甲乙己庚長方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形與斜方内所少之辛己丙勾股形之積等故所得之甲乙己庚長方形即甲乙丙丁斜方形之面積也又法上闊下闊相併與長相乗得數折半即斜方形之面積也葢前法上闊下闊相加折半而後與長相乗此法則上闊下闊相加卽與長相乗而後折半其理一也設如梯形長三十丈上闊十二丈下闊二十丈問面積㡬何法以上闊十二丈與下闊二十丈相加得三十二丈折半得十六丈與長三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面積也如圖甲乙丙丁梯形以上闊甲丁與下闊乙丙相加得乙戊折半為乙己與丁己長相乗遂成庚乙己丁長方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形與梯形内所少之丁己丙勾股形之面積等故所得之庚乙己丁長方形卽甲乙丙丁梯形之面積也又法以上闊下闊相併與長相乗得數折半即梯形之面積也設如三角形自尖至底中長二百尺底闊一百五十尺今欲自尖截長一百二十尺問截闊㡬何法以中長二百尺為一率底闊一百五十尺為二率截長一百二十尺為三率求得四率九十尺即所截之闊也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二百尺乙丙底闊一百五十尺甲戊為所截長一百二十尺而甲丁與乙丙之比即同於甲戊與己庚之比也如以截闊求截長則以底闊為一率中長為二率截闊為三率所得四率即所截之長也設如不等邊兩直角斜方形長九十尺上闊二十尺下闊三十八尺今欲截中闊二十七尺問上下各截長㡬何法以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率以上闊二十尺與所截中闊二十七尺相減餘七尺為三率求得四率三十五尺即上所截之長以上所截之長三十五尺與總長九十尺相減餘五十五尺即下所截之長也如欲先得下所截之長則仍以上闊二十尺與下闊三十八尺相減餘一十八尺為一率長九十尺為二率乃以所截中闊二十七尺與下闊三十八尺相減餘一十一尺為三率求得四率五十五尺即下所截之長也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙為長九十尺與丁戊等乙丙為下闊三十八尺甲丁為上闊二十尺與乙戊等己庚為所截中闊二十七尺上闊與下闊相減餘戊丙十八尺上闊與所截中闊相減餘辛庚七尺而戊丙與丁戊之比即同於辛庚與丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上闊與下闊相減餘戊丙十八尺所截中闊與下闊相減餘壬丙十一尺而戊丙與丁戊之比又同於壬丙與庚壬之比也如有所截上長或所截下長求截闊則以總長為一率上下闊相減所餘為二率截長為三率求得四率有上截長則與上闊相加有下截長則與下闊相減所得即所截之闊也設如梯形面積一千五百尺下闊四十尺中長五十尺問上闊幾何法以積一千五百尺倍之得三千尺用長五十尺除之得六十尺為上下兩闊相和之數内減下闊四十尺餘二十尺即上闊也如圖甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形試將己角取直作己辛線則截斜方形一叚為己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移補於甲庚乙遂成庚乙己辛長方形其積原與甲乙己戊斜方形等今用庚乙中長除之得乙己即上下兩闊相和之數内減乙丙下闊所餘丙己與甲丁等即上闊也設如不等邊兩直角斜方形積九千六百尺長一百二十尺上下兩闊相差之較四十尺問上闊下闊各㡬何法以積九千六百尺倍之得一萬九千二百尺用長一百二十尺除之得一百六十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較四十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較四十尺得一百尺即下闊也如圖甲乙丙丁斜方形其甲乙長一百二十尺甲丁上闊與乙丙下闊相差戊丙四十尺試將原積倍之遂成甲乙己庚長方形故以甲乙長除之得乙己為上下闊相和之數内減戊丙上下兩闊相差之較餘數折半得乙戊與甲丁等為上闊加戊丙較得乙丙為下闊也設如梯形面積六千六百五十尺長九十五尺上下兩闊相差之較二十尺問上闊下闊各幾何法以積六千六百五十尺倍之得一萬三千三百尺用長九十五尺除之得一百四十尺為上下兩闊相和之數内減上下兩闊相差之較二十尺餘一百二十尺折半得六十尺為上闊加上下兩闊相差之較二十尺得八十尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長九十五尺甲丁上闊與乙丙下闊相差乙戊與己丙共二十尺試將原積倍之成甲乙庚辛斜方形與壬乙庚癸長方形之積等故以甲戊長除壬乙庚癸長方形得乙庚為上下兩闊相和之数内減乙戊與己丙上下兩闊相差之較餘折半得戊己與甲丁等為上闊加乙戊與己丙上下兩闊相差之較得乙丙為下闊也設如方環形外周二百八十丈内周一百二十丈求面積幾何法以外周二百八十丈四歸之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四歸之得三十丈自乗得九百丈兩自乗数相減餘四千丈卽方環之面積也如圖甲乙丙丁外周二百八十丈四歸之得甲乙之一邊自乗得甲乙丙丁大方積戊己庚辛内周一百二十丈四歸之得戊己之一邊自乗得戊己庚辛小方積兩方積相減所餘即方環之面積也又法以外周二百八十丈自乗得七萬八千四百丈内周一百二十丈自乗得一萬四千四百丈兩數相減餘六萬四千丈以十六除之得四千丈即方環面積也前法將内外周各四歸之而得内外方邊故以内外方邊各自乗相減而得方環面積此法即以内外周各自乘相減以十六除之而得方環面積也葢内外周為内外方邊之四倍内外周自乘之積必比内外方邊自乘之積大十六倍(凡方邊大一倍則面積大四倍今方邊大四倍故面積大十六倍為)(隔一位相加之連比例也)是以兩周各自乗相減之餘積比兩方邊各自乘相減之餘積亦大十六倍也又有方環面積求外方邊至内方邊之闊則以外周二百八十丈與内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方環面積四千丈得二十丈即外方邊至内方邊之闊也如圖自方環内邊作壬癸子丑二線則甲乙癸壬子丑丙丁為外方邊與闊相乘之二長方壬戊辛子己癸丑庚為内方邊與闊相乘之二長方引而長之成寅夘辰己一長方其長即半外周與半内周之和其闊即外方邊至内方邊之闊故以外周與内周相併折半除方環面積而得外方邊至内方邊之闊也又法以内方邊三十丈與外方邊七十丈相減餘四十丈折半得二十丈亦即外方邊至内方邊之闊也如圖甲丁為外方邊減與戊辛内方邊相等之壬子餘甲壬與子丁折半得甲壬即方環之闊也設如方環面積四千尺闊二十尺求内外方邊各幾何法以闊二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺四歸之得六百尺以闊二十尺除之得三十尺即内方邊又以闊二十尺倍之得四十尺加内方邊三十尺得七十尺即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環形内減甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳闊自乘之四正方餘寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四長方四歸之得寅辰已戊一長方其闊即方環之闊其長即方環内邊之長故以寅戊闊除之得戊己為内方邊也又法置環積四千尺以闊二十尺除之得二百尺四歸之得五十尺加闊二十尺得七十尺即外方邊於五十尺内減闊二十尺餘三十尺即内方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛方環積以闊除之即得壬癸子丑為内周外周相併折半之中數以四歸之即得壬癸一邊與戊寅等故加闊得外邊減闊得内邊也設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從上叚截勾股形積五十四尺問截長闊各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺即所截之闊既得所截之闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之闊九尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺甲丁戊勾股形為截積五十四尺是故甲乙與乙丙之比應同於甲丁與丁戊之比然而無甲丁之數故將截積倍之為甲丁與丁戊相乘之長方則甲乙與乙丙之比必同於甲丁與丁戊相乘之長方與丁戊自乘之正方之比(葢截積倍之成)(己甲丁戊長方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形為二平行線内直角)(方形其面之互相為比同於其底之互相為比見幾何原本八卷第七節)故開方而得丁戊為所截之闊又乙丙與甲乙之比即同於丁戊與甲丁之比而得甲丁為所截之長也若先求截長則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長葢乙丙與甲乙之比同於丁戊與甲丁之比亦必同於丁戊與甲丁相乘之長方與甲丁自乘之正方之比(截積倍之成甲丁戊己長方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互)(相為比亦同於其底之互相為比也)故開方而得甲丁為所截之長也既得截長則用比例四率求之亦得所截之闊矣又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺為一率所截之勾股形積五十四尺為二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺為三率則得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形積五十四尺此兩勾股形為同式形故甲乙丙勾股積與甲丁戊勾股積之比同於乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形與丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同於甲乙股自乗之癸子乙甲正方形與甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也設如勾股形股三十六尺勾二十七尺今從下叚截斜方形積四百三十二尺問截長及上闊各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積四百三十二尺倍之得八百六十四尺為三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内減所得四率六百四十八尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之上闊九尺與勾二十七尺相減餘一十八尺為三率求得四率二十四尺即所截之長也此法亦係線與線為比面與面為比也如圖甲乙丙勾股形甲乙為股三十六尺乙丙為勾二十七尺丁乙丙戊斜方形為截積四百三十二尺其甲乙與乙丙之比應同於戊己(即丁乙)與己丙之比然而無戊己之數故將截積倍之遂成戊己之長與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形將此長方形為三率所得四率即丁戊乙丙上下兩闊之較(即己丙也)與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也(葢截積倍之成庚丁乙辛長方形己)(丙兩闊之較與两闊之和相乘成壬己丙癸長方形此二長方形同以兩闊之)(和為長故丁乙與己丙之比即如庚丁乙辛長方形與壬己丙癸長方形之比)(也)又己丙上下兩闊之較與丁戊乙丙上下兩闊之和相乘之積與丁戊乙丙上下兩闊之數各自乗相減之餘積等試依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形兩正方形相減所餘為辰丑寅卯午巳磬折形引而長之遂成辰丑申未長方形其辰丑即上下兩闊之較其丑申即上下兩闊之和故所得四率長方形積與辰丑寅卯午巳磬折形之積等今於乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内減辰丑寅卯午巳磬折形所餘即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故開方而得丁戊為所截之闊也既得所截之闊則以丁戊與乙丙相減餘巳丙而乙丙與甲乙之比卽同於己丙與戊己(卽丁乙)之比也又法以勾二十七尺與股三十六尺相乘折半得勾股積四百八十六尺内減從下叚所截之斜方積四百三十二尺餘五十四尺即為從上段所截之勾股形積依前法比例求之所得亦同設如三角形中長二十尺底闊一十五尺今從上段截三角形積五十四尺問截長闊各幾何法以底闊一十五尺為一率中長二十尺為二率截積五十四尺倍之得一百零八尺為三率求得四率一百四十四尺開方得一十二尺即所截之長既得所截之長則以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率所截之長十二尺為三率求得四率九尺卽所截之闊也此法亦一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙三角形甲丁中長二十尺乙丙底闊十五尺甲戊己三角形為截積五十四尺是故乙丙與甲丁之比應同於戊己與甲庚之比然而無戊己之數故將截積倍之為戊己與甲庚相乘之長方則乙丙與甲丁之比必同於戊己與甲庚相乘之長方與甲庚自乘之正方之比故開方而得甲庚為所截之長又甲丁與乙丙之比同於甲庚與戊己之比而得戊己為所截之闊也若先求截闊則以中長二十尺為一率底闊一十五尺為二率倍截積一百零八尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊葢甲丁與乙丙之比同於甲庚與戊己之比亦同於甲庚與戊己相乘之長方與戊己自乘之正方之比故開方而得戊己為所截之闊也既得截闊則用比例四率求之亦得所截之長矣又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角積一百五十尺為一率所截之三角積五十四尺為二率以底闊十五尺自乘得二百二十五尺為三率求得四率八十一尺開方得九尺為所截之闊若以中長二十尺自乘得四百尺為三率則得四率一百四十四尺開方得十二尺為所截之長也如圖甲乙丙三角形截甲戊己三角形積五十四尺此兩三角形為同式形故甲乙丙三角形積與甲戊己三角形積之比同於甲丁中長自乘之甲丁辛壬正方形與甲庚截長自乘之甲庚癸子正方形之比亦同於乙丙底闊自乘之乙丙丑寅正方形與戊己截闊自乘之戊巳卯辰正方形之比也設如三角形中長二十尺底闊十五尺今從下段截梯形積九十六尺問截長及上闊各幾何法以中長二十尺為一率底闊十五尺為二率截積九十六尺倍之得一百九十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以底闊十五尺自乘得二百二十五尺内減所得四率一百四十四尺餘八十一尺開方得九尺為所截之上闊既得所截之上闊則以底闊十五尺為一率中長二十尺為二率所截之上闊九尺與底闊十五尺相減餘六尺為三率求得四率八尺即所截下段之長也如圖甲乙丙三角形甲丁為中長二十尺乙丙為底闊十五尺戊乙丙己梯形為截積九十六尺戊己為所截之闊庚丁(與戊辛己壬等)為所截之長乙辛壬丙兩叚為截闊與底闊之較是故甲丁與乙丙之比應同於庚丁與乙辛壬丙兩段之比矣(葢甲丁與乙丁之比同於等庚丁之戊辛與乙辛之比又甲丁與丁)(丙之比同於等庚丁之己壬與壬丙之比合之則甲丁與乙丁丁丙兩叚之比)(亦同於庚丁與乙辛壬丙兩段之比也)但今無庚丁之數故將截積倍之遂成庚丁所截之長與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形將此長方形為三率所得四率即乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之長方形也又乙辛壬丙上下兩闊之較與戊己乙丙上下兩闊之和相乘之積與戊己乙丙上下兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乘方積相減即餘戊己自乘方積開方而得戊己為所截之闊也既得戊己截闊則於乙丙底闊内減之餘乙辛壬丙而乙丙與甲丁之比又同於乙辛壬丙兩段與庚丁截長之比也又法以底闊十五尺與中長二十尺相乘折半得三角形積一百五十尺内減從下段所截之梯形積九十六尺餘五十四尺卽為從上段所截之三角形積依前法比例求之所得亦同設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從上段截積一百六十八尺問截長闊各幾何法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積一百六十八尺倍之得三百三十六尺為三率求得四率一百一十二尺乃以上闊十二尺自乘得一百四十四尺與所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺開方得十六尺即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率截闊十六尺内減上闊十二尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截之長也此法亦係一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁斜方形甲乙長二十四尺與丁戊等甲丁為上闊十二尺乙丙為下闊二十尺甲己庚丁斜方形為截積一百六十八尺是故丁戊與戊丙之比應同於丁辛與辛庚之比然而無丁辛之數故將截積倍之爲丁辛截長與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之長方形也又辛庚上中兩闊之較與甲丁己庚上中兩闊之和相乘之積與甲丁己庚上中兩闊之數各自乘相減之餘積等試依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形兩正方形相減所餘為寅癸子丑辰卯磬折形引而長之遂成寅癸巳午長方形其寅癸即上中兩闊之較其癸己即上中兩闊之和故所得四率長方形積與寅癸子丑辰卯磬折形之積等今於甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故開方而得已庚為所截之闊也既得所截之闊則以己庚與甲丁相減餘辛庚而戊丙與丁戊之比卽同於辛庚與丁辛之比也又法將斜方形增作勾股形算之以上闊十二尺與下闊二十尺相減餘八尺為一率長二十四尺為二率上闊十二尺為三率求得四率三十六尺為斜方形上所增小勾股形之股與斜方形之長二十四尺相加得六十尺為斜方形與所增小勾股形相併所成之大勾股形之股乃以上闊十二尺為小勾所得三十六尺為小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺為斜方形上所增之小勾股形積與截積一百六十八尺相加得三百八十四尺為所截之勾股形積乃用勾股形從上段截勾股積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁斜方形增作勾股形為壬乙丙其上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為戊丙以戊丙與丁戊之比同於甲丁與壬甲之比得壬甲為小勾股形之股以壬甲與甲乙相加得壬乙為大勾股形之股又壬甲丁勾股形積與甲己庚丁斜方形截積相加得壬己庚勾股形積即壬乙丙大勾股形從上段截壬己庚勾股形積也設如不等邊兩直角斜方形長二十四尺上闊十二尺下闊二十尺今從下段截積二百一十六尺求截長闊各幾何法以長二十四尺為一率下闊二十尺内減上闊十二尺餘八尺為二率截積二百一十六尺倍之得四百三十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以下闊二十尺自乘得四百尺内減所得四率一百四十四尺餘二百五十六尺開方得一十六尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較八尺為一率長二十四尺為二率下闊二十尺内減截闊十六尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截下段之長也此與勾股形從下叚截斜方形積之理同前法從上段截積所得四率為上闊與截闊各自乘相減之餘積上闊小而截闊大故以上闊自乘與所得四率相加開方而得截闊此法從下段截積所得四率為下闊與截闊各自乘相減之餘積下闊大而截闊小故以下闊自乘内減所得四率開方而得截闊也設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今從上段截積二十四丈問截長闊各幾何法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率截積二十四丈倍之得四十八丈為三率求得四率二十四丈乃以上闊五丈自乘得二十五丈與所得四率二十四丈相加得四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈内減上闊五丈餘二丈為三率求得四率四丈即所截之長也此法亦係一率與二率為線與線之比例三率與四率為面與面之比例也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈戊己庚辛俱相等乙丙下闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈甲壬癸丁小梯形為截積二十四丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同於甲庚截長與壬庚辛癸上中兩闊之較之比然無甲庚之數故將截積倍之為甲庚截長與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形為三率所得四率即壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之長方形也又壬庚辛癸上中兩闊之較與甲丁壬癸上中兩闊之和相乘之積與甲丁壬癸上中兩闊之數各自乘相減之餘積等故以所得四率長方形積與甲丁自乘方積相加即得壬癸自乗方積開方而得壬癸為所截之闊也既得壬癸截闊則以上下兩闊相減之乙戊己丙兩叚與甲戊總長之比卽同於上中兩闊相減之壬庚辛癸兩叚與甲庚截長之比矣又法將梯形增作三角形算之以上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為一率長十二丈為二率上闊五丈為三率求得四率十丈為梯形上所増小三角形之中長與梯形之長十二丈相加得二十二丈為梯形與所増小三角形相併所成之大三角形之中長乃以上闊五丈為底所得十丈為中長相乗得五十丈折半得二十五丈為梯形上所増之小三角形積與截積二十四丈相加得四十九丈為所截之三角形積乃用三角形從上段截三角積法算之而得所截之闊焉如圖甲乙丙丁梯形增作三角形為子乙丙其上闊甲丁與下闊乙丙相減所餘為乙戊己丙而乙戊己丙與甲戊之比即同於甲丁與子丑之比得子丑為小三角形之中長以子丑與等甲戊之丑寅相加得子寅為大三角形之中長又子甲丁三角形積與甲壬癸丁斜方形截積相加得子壬癸三角形積即子乙丙大三角形從上段截子壬癸三角形積也設如梯形長十二丈上闊五丈下闊十一丈今自下叚截積七十二丈問截長闊各幾何法以長十二丈為一率上闊五丈與下闊十一丈相減餘六丈為二率以截積七十二丈倍之得一百四十四丈為三率求得四率七十二丈乃以下闊十一丈自乗得一百二十一丈内減所得四率七十二丈餘四十九丈開方得七丈即所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減之較六丈為一率長十二丈為二率截闊七丈與下闊十一丈相減餘四丈為三率求得四率八丈即所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲戊長十二丈甲丁上闊五丈與戊己等乙丙下闊十一丈乙戊與己丙兩段為上下兩闊相減之較六丈庚乙丙辛梯形為截積七十二丈是故甲戊總長與乙戊己丙上下兩闊之較之比應同於庚壬截長與乙壬癸丙中下兩闊之較之比然無庚壬之數故將截積倍之為庚壬截長與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形為三率所得四率卽乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之長方形也又乙壬癸丙中下兩闊之較與庚辛乙丙中下兩闊之和相乗之積與庚辛乙丙中下兩闊之數各自乗相減之餘積等故以所得四率長方形積與乙丙自乗方積相減即餘庚辛自乗方積開方而得庚辛為所截之闊也設如梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺今自一邊截勾股積四百五十尺問截長闊各幾何法以長一百二十尺為一率上闊二十尺與下闊八十尺相減餘六十尺折半得三十尺為二率截積四百五十尺倍之得九百尺為三率求得四率二百二十五尺開方得一十五尺為所截之闊既得所截之闊則以上下兩闊相減折半之三十尺為一率長一百二十尺為二率截闊十五尺為三率求得四率六十尺為所截之長也如圖甲乙丙丁梯形甲丁上闊二十尺與戊己等乙丙下闊八十尺甲戊長一百二十尺乙戊為上下闊相減折半之三十尺庚乙辛為所截勾股積四百五十尺甲乙戊勾股形與庚乙辛勾股形為同式形故立算與勾股形從上段截勾股積之法相同也設如梯形長一百二十尺上闊四十尺下闊八十尺今自一邊截斜方形積四千二百尺問截上闊下闊各幾何法以上闊四十尺與下闊八十尺相減餘四十尺折半得二十尺為所截斜方形上闊與下闊之較又以截積四千二百尺倍之得八千四百尺以長一百二十尺餘之得七十尺為所截斜方形上闊與下闊之和内減上闊下闊之較二十尺餘五十尺折半得二十五尺為上闊加較二十尺得四十五尺為下闊也如圖甲乙丙丁梯形甲丁為上闊四十尺與戊己等乙丙為下闊八十尺甲戊為長一百二十尺甲乙辛庚為所截斜方形積四千二百尺倍之成壬癸辛庚長方形乙戊為所截斜方形上下兩闊之較今以甲戊長除壬癸辛庚長方積得癸辛為上下兩闊之和内減乙戊上下兩闊之較餘癸乙與戊辛折半得戊辛與甲庚等即所截斜方形之上闊加乙戊上下兩闊之較得乙辛即所截斜方形之下闊也設如三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊四十二丈面積三百三十六丈今欲平分面積一半與原三角形為同式形問所截三邊各幾何法以原面積三百三十六丈為一率原面積折半得一百六十八丈為二率底邊四十二丈自乗得一千七百六十四丈為三率求得四率八百八十二丈開方得二十九丈六尺九寸八分四釐八豪有餘為所截之底邊乃以全底邊四十二丈為一率大腰邊三十四丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分四釐八豪有餘為三率求得四率二十四丈零四寸一分六釐二豪有餘為所截之大腰邊仍以全底邊四十二丈為一率小腰邊二十丈為二率所截之底邊二十九丈六尺九寸八分有餘為三率求得四率十四丈一尺四寸二分一釐三豪有餘即所截之小腰邊也如圖甲乙丙三角形平分面積一半成丁戊丙三角形此兩三角形既為同式形則甲乙丙三角形之面積與丁戊丙三角形之面積之比同於各邊各自乗之正方面積與所截各邊各自乗之正方面積之比故以甲乙丙三角形面積為一率丁戊丙三角形面積為二率乙丙底邊自乗如乙己庚丙正方面為三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故開方得戊丙也既得戊丙則乙丙與甲丙之比同於戊丙與丁丙之比又乙丙與甲乙之比同於戊丙與丁戊之比俱為相當比例四率也若取原積三分之一或幾分之幾者則將其積以其分數歸之比例並同又法以乙丙邊四十二丈自乗折半開方即得戊丙邊甲丙邊自乗折半開方即得丁丙邊甲乙邊自乗折半開方即得丁戊邊此即面與面比線與線比之理也又法設全積為一尺半積為五十寸乃以五十寸開方得七寸零七釐一豪零六忽而以各邊之數乗之即得各邊所截之數葢全積為一尺其全邊亦為一尺半積為五十寸其截邊為七寸零七釐一豪零六忽今以一尺與全邊之比即同於七寸零七釐一豪零六忽與截邊之比又因一尺為一率故省一率之除止用乗而即得也若取幾分之一者皆倣此類推之設如大小兩正方面積共四百一十尺大正方邊比小正方邊多六尺問兩正方邊及面積各幾何法以兩正方面積共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺與倍共積八百二十尺相減餘七百八十四尺開方得二十八尺為大小兩正方邊之和加大正方比小正方每邊所多六尺得三十四尺折半得十七尺為大正方之邊内減六尺餘十一尺為小正方之邊以大正方邊十七尺自乗得二百八十九尺為大正方之面積以小正方邊十一尺自乗得一百二十一尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚一正方形仍餘癸子丙戊兩正方邊之較自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形與甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形與丁戊己庚正方形等其中疊一癸子丙戊正方形即戊丙較自乗之積故以戊丙較自乗與所倍共積相減即得甲辛壬庚正方形開方得甲庚為兩正方邊之和加較折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊既得方邊則各自乗即得各面積矣又法以兩正方邊之較六尺自乗得三十六尺與兩正方共積四百一十尺相減餘三百七十四尺折半得一百八十七尺為長方積以兩正方邊之較六尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊十一尺為小正方之邊加較六尺得十七尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙為兩正方邊之較以戊丙邊較自乗得辛壬丙戊一正方形與共積相減餘甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛長方形移於庚己子丑即戊甲癸子丑一長方形折半得丁戊子丑一長方形庚丑與戊丙等即長闊之較故用帶縱較數開方法算之得丁戊闊即小方邊加庚丑較得丁丑與丁丙等即大方邊也設如大小兩正方面積共六百一十七尺大小兩正方邊共三十五尺問大小兩正方邊及面積各幾何法以兩正方面積共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以兩正方邊共三十五尺自乗得一千二百二十五尺與倍共積一千二百三十四尺相減餘九尺開方得三尺為大小兩正方邊之較與共邊三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺為大正方之邊内減兩正方邊之較三尺餘十六尺為小正方之邊以大正方邊十九尺自乗得三百六十一尺為大正方之面積以小正方邊十六尺自乗得二百五十六尺為小正方之面積也如圖甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚為兩正方邊之和戊丙為兩正方邊之較試以兩正方之共積倍之則得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊較自乗之一正方形故以甲庚共邊自乗得甲辛壬庚正方形與倍共積相減卽餘癸子丙戊一小正方形開方得戊丙即兩正方邊之較與兩正方邊之和相加折半得丁丙為大正方邊内減戊丙較得丁戊為小正方邊旣得方邊則各自乗卽得各面積矣又法以兩正方邊之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内減兩正方共積六百一十七尺餘六百零八尺折半得三百零四尺為長方積以兩正方邊之和三十五尺為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊十六尺為小正方之邊與共積三十五尺相減餘十九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共邊自乗得壬癸子丑一正方形内減與甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又減與戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形餘壬寅辰午與辰卯子己二長方形折半得壬寅辰午一長方形其壬午長與甲乙大方邊等壬寅闊與戊己小方邊等兩正方之共邊卽長闊之和故用帶縱和數開方法算之得闊為小方邊得長為大方邊也設如大小兩正方形大正方邊比小正方邊多七尺大正方積比小正方積多三百四十三尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多三百四十三尺用大正方邊比小正方邊所多七尺除之得四十九尺為大小兩正方邊之和加兩正方邊之較七尺得五十六尺折半得二十八尺為大正方之邊與共邊四十九尺相減餘二十一尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙丑寅一長方形其壬乙闊即兩正方邊之較乙丑長卽兩正方邊之和故以壬乙兩正方邊之較除之得乙丑兩正方邊之和以乙丑與丁乙相加折半得乙丙為大正方形之邊將乙丙與乙丑共邊相減餘丙丑與子癸等卽戊己為小正方形之邊也設如大小兩正方形共邊三十一尺大正方積比小正方積多一百五十五尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多一百五十五尺用共邊三十一尺除之得五尺為大小兩正方邊之較與共邊三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺為大正方之邊與共邊三十一尺相減餘十三尺為小正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形則壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之積引而長之成壬乙丑寅長方形其乙丑長即兩正方邊之和其壬乙闊即兩正方邊之較故以乙丑兩正方邊之和除之得壬乙與乙丑相加折半得乙丙為大正方形之邊以乙丙與乙丑相減餘丙丑與子癸等即戊己為小正方形之邊也設如大小兩正方形共積一百三十尺大正方積比小正方積多三十二尺問大小兩正方邊各幾何法以大正方積比小正方積所多三十二尺與共積一百三十尺相減餘九十八尺折半得四十九尺為小正方之積開方得七尺為小正方之邊又以小正方積四十九尺與大正方積比小正方積多三十二尺相加得八十一尺為大正方之積開方得九尺為大正方之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形則甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之積以此磬折形積與兩正方形之共積相減餘壬癸丙子與戊己庚辛兩小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故開方得戊己為小方邊又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形積與甲乙癸壬子丁磬折形積相加即得甲乙丙丁大正方形故開方得甲乙為大方邊也設如不等三正方形共積三百八十一尺大方邊比次方邊多三尺次方邊比小方邊多三尺問三方邊各幾何法以大方邊比次方邊所多三尺與次方邊比小方邊所多三尺相加得六尺為大方邊比小方邊所多之較自乗得二十六尺又以次方邊比小方邊所多三尺自乗得九尺兩數相併得四十五尺與共積三百八十一尺相減餘三百三十六尺三因之得一千零八尺為長方積以大方邊比小方邊多六尺倍之得十二尺又以次方邊比小方邊多三尺倍之得六尺兩數相併得十八尺為長闊之較用帶縱較數開方法算之得闊二十四尺三歸之得八尺為小正方形之邊加次方邊比小方邊多三尺得十一尺為次正方形之邊又加大方邊比次方邊多三尺得十四尺為大正方形之邊也如圖甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形試於甲乙丙丁大正方形内作與壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形則辰己即大正方邊比小正方邊所多之較又於戊己庚辛次正方形内作與壬癸子丑相等之午己未申小正方形則申酉即次正方邊比小正方邊所多之較以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得兩正方形之共積與三正方形之共積相減則餘寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四長方形又試將此所餘三小正方形及四長方形之積共作壬癸乾坎一長方形加三倍卽成艮癸乾震一大長方形其艮癸闊為壬癸小方邊之三倍與癸巽等巽乾卽長闊之較而巽離乃辰己與甲寅相併之數為大方邊比小方邊所多之較之二倍離乾乃申酉與戊午相併之數為次方邊比小方邊所多之較之二倍故以大方邊與小方邊之較倍之得巽離又以次方邊與小方邊之較亦倍之得離乾巽離與離乾相併得巽乾為長闊之較用帶縱較數開方法算之得艮癸闊三歸之得壬癸為小正方形之邊加次方邊比小方邊所多之較卽得次正方形之邊又加大方邊比次方邊所多之較卽得大正方形之邊也設如甲乙丙丁不等邊無直角四邊形甲乙邊十尺甲丁邊十七尺丁丙邊二十八尺乙丙邊三十五尺自丁角至乙角斜線二十一尺問面積幾何法以丁乙斜線分為甲乙丁丁乙丙兩三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀線八尺與乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺為甲乙丁三角形之面積又用丁乙丙三角形求得丁己垂線一十六尺八寸與乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺為丁乙丙三角形之面積以兩三角形之面積相併得三百七十八尺卽甲乙丙丁四邊形之面積也凡無法多邊形皆任以兩角作對角斜線分為幾三角形算之舊術四不等邊形分為兩段一為勾股形一為斜方形葢必有二平行線然後可算若此法非二平行線者則必分為丁己丙與丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然後可算不如分為兩三角形算之為簡㨗而密合也設如甲乙丙三角形面積三百八十四尺乙丙底邊二十二尺今自甲角將原積平分為二問每分底邊幾何法以乙丙底邊三十二尺折半得十六尺卽每分底邊之數也葢自甲至乙丙線上作甲戊垂線則甲丁乙甲丁丙兩三角形同以甲戊為髙即為二平行線内同底兩三角形其面積必等(見幾何原本三)(卷第十節)故甲丁乙甲丁丙兩三角形積為相等而各得甲乙丙三角形積之一半也如分三分或四分者倣此類推設如甲乙丙丁二平行線無直角四邊形甲乙邊八丈丙丁邊十二丈面積一百六十丈今將原積分為四分問每分截邊幾何法以甲乙八丈與丙丁十二丈相加得二十丈四歸之得五丈即每分所截之邊乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙線成甲戊丙三角形為第一分又從丙量至己得五丈自戊至己作戊己線成丙戊己三角形為第二分又從己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚線成己戊庚三角形為第三分又自庚至丁餘二丈自戊至乙餘三丈庚丁與戊乙相併亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即為第四分也葢甲乙與丙丁二線既為平行自乙至辛作乙辛垂線則三三角形與一斜方形同以乙辛為高其邊線既等則所得各形之面積亦必相等而各為四邊形面積之四分之一也設如甲乙丙丁戊不等邊無直角五邊形面積一十九丈九十八尺甲乙邊二丈五尺乙丙邊三丈九尺丙丁邊六丈丁戊邊一丈五尺甲戊邊四丈一尺自甲角至丙角斜線五丈六尺自甲角至丁角斜線五丈二尺今自甲角將面積平分為三分問截各邊幾何法以面積十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜線分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面積法求得甲乙丙三角形面積四丈二十尺甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面積二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊兩三角形面積俱不足一分所應得之數而甲丙丁三角形面積又過一分所應得之數故先以甲乙丙三角形面積四丈二十尺與每分所應得六丈六十六尺相減餘二丈四十六尺卽第一分應得甲乙丙三角形面積外又截甲丙丁三角形以補之之數乃以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率所應截之二丈四十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率一丈零九寸八分有餘為甲丙丁三角形補甲乙丙三角形分數之邊如丙己乃自甲至己作甲己線成甲乙丙己不等邊四邊形為第一分又以甲丙丁三角形面積一十三丈四十四尺為一率每分所應得六丈六十六尺為二率丙丁邊六丈為三率求得四率二丈九尺七寸三分有餘為甲丙丁三角形内應得一分之邊如己庚又自甲至庚作甲庚線成甲己庚三角形為第二分餘甲庚丁戊不等邊四邊形即第三分此三分之面積俱為相等也葢兩形同髙者其面積之比例同於其底邊之比例故以甲丙丁三角形面積與甲丙己三角形截積之比同於丙丁與丙己之比而得甲丙己三角形面積為二丈四十六尺與甲乙丙三角形面積四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面積與甲己庚三角形面積之比同於丙丁與己庚之比而得甲己庚三角形面積六丈六十六尺則所餘甲庚丁戊四邊形面積亦必為六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面積二丈三十四尺與每分六丈六十六尺相減餘四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面積乃以甲丙丁三角形面積與甲庚丁三角形面積之比同於丙丁與庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有餘與丙己己庚相加得六丈以合丙丁原數也御製數理精蘊下編卷十九
## 下編卷二十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十面部十曲線形曲線形設如圜徑一尺二寸問周幾何法用周徑定率比例以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽一微八纖卽所求之圜之周數也葢圜之數竒零不盡立法必自方數始是故圜内容形屢求勾股至億萬邊圜外切形屢求勾股至億萬邊内外凑集使圜周變為直線精密已極始為得之爰設圜徑為一而圜周得三一四一五九二六五有餘是為定率故以圜徑一與圜周三一四一五九二六五之比卽同於今所設之圜徑一尺二寸與今所得之圜周三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽一㣲八纖之比也又周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九豪一絲一忽五微有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑一一三周得三五四九九九九六九有餘進而為三五五則周數微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之間耳又周徑定率比例以徑數七為一率周數二十二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸七分一釐四豪二絲八忽五㣲七纖有餘為圜之周數也葢以徑一周三一四一五九二六五之定率約之徑七周得二一九九一一四八五有餘進而為二二則周數大而所得周數亦大至於舊術徑一圍三乃圜内容六等邊形之共度實小於圜之周線故徑一則圍三有餘圍三則徑一不足也設如圜周一丈五尺問徑幾何法用周徑定率比例以周數三一四一五九二六五為一率徑數一○○○○○○○○為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲八忽二㣲有餘即所求之圜之徑數也葢前法有徑求周故以定率之徑與定率之周為比卽如今所設之徑與今所得之周為比此法有周求徑故以定率之周與定率之徑為比卽如今所設之周與今所得之徑為比也又周徑定率比例以周數一○○○○○○○○為一率徑數三一八三○九八八為二率今所設之圜周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲八忽二㣲為圜之徑數也葢圜周為三一四一五九二六五則圜徑為一○○○○○○○○若圜周為一○○○○○○○○則圜徑為三一八三○九八八其比例仍同也如以周數三五五為一率徑數一一三為二率今所設之圜周一丈五尺為三率亦得四率四尺七寸七分四釐六豪四絲七忽八微有餘為圜之徑數又或以周數二二為一率徑數七為二率今所設之圜周一丈五尺為三率則得四率四尺七寸七分二釐七豪二絲七忽二微有餘較之前法所得徑數稍小葢徑為七而周稍小於二二若周為二二徑必稍大於七今截而為七則徑數稍小故所得徑數亦稍小也設如圜徑八寸問面積幾何法以圜徑八寸用徑求周法求得圜周二尺五寸一分三釐二豪七絲四忽一微二纖折半得一尺二寸五分六釐六豪二絲七忽零六纖與半徑四寸相乘得五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘卽圜之面積也葢圜之半徑線若與直角三角形之小邊線度等而圜之周界又與直角三角形之大邊線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等(見幾何原本四卷第二十一節)如甲乙丙丁圜形其戊丙半徑與己庚辛直角三角形之己庚小邊線度等而甲乙丙丁圜周界與己庚辛直角三角形之庚辛大邊線度等則此己庚辛三角形之面積即與甲乙丙丁圜形之面積相等是故以戊丙半徑相等之己庚與乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己長方形(癸壬庚己長方形積即與己庚辛三角形積等)卽為圜之面積也如以全周與全徑相乗則以四歸之亦得圜面積葢全徑為半徑之倍全周為半周之倍則全周全徑相乗之積必大於半周半徑相乗之積四倍為隔一位相加之比例故全周與全徑相乗以四歸之而得圜面積也又法用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所設之圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘即圜之面積也此法葢因圜徑方邊相等圜積方積不同故以圜徑自乗作方積定為面與面之比例如子寅圜徑為一○○○○則其自乗之辰己午未正方積為一○○○○○○○○而圜徑一○○○○所得之子丑寅卯圜面積為七八五三九八一六故以子寅圜徑一○○○○自乗之辰己午未正方積一○○○○○○○○與子寅圜徑所得之子丑寅卯圜面積七八五三九八一六之比即同於今所設之甲丙圜徑八寸自乗之戊己庚辛正方積六十四寸與今所得之甲乙丙丁圜面積五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘之比也又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以圜徑一○○○○○○○○為一率方邊八八六二二六九二為二率今所設之圜徑八寸為三率求得四率七寸零八釐九豪八絲一忽五微四纖有餘為與圜面積相等之正方形每邊之數自乗得五十寸二十六分五十四釐八十二豪有餘即圜之面積也此法葢以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同先定為線與線之比例既得線而後自乗之為面也如子寅圜徑一○○○○○○○○其所得之積開方則得八八六二二六九二即為辰己午未正方之每邊是以子丑寅卯圜面積與辰己午未方面積為相等故子寅圜徑一○○○○○○○○與辰己方邊八八六二二六九二之比即同於今所設之甲丙圜徑八寸與今所得之戊己方邊七寸零八釐九豪八絲一忽五微四纖之比既得戊己方邊自乗得戊己庚辛方面積即與甲乙丙丁圜面積為相等也又法用方周圜周定率比例以方周數四五二為一率圜周數三五五為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十六分五十四釐八十六豪有餘即圜之面積也此法葢因方周與圜周之比同於方積與圜積之比(見算法原本二卷第二十八節)如子丑圜徑為一一三則子丑圜周為三五五寅卯辰己正方邊與圜徑同亦為一一三則寅卯辰己方周為四五二(方邊一一三以四因之則得四五二)試以正方面之午丑半徑為高寅卯辰己方周為底作一午丑未申長方形則比寅卯辰己正方形之面積大一倍又以圜面之午丑半徑為高子丑圜周為底作一午丑酉戌長方形則比子丑圜形之面積亦大一倍此兩長方形同以午丑為高故此兩長方面積之比例必同於兩底邊丑未與丑酉之比例且全與全之比例又同於半與半之比例故方積與圜積之比例亦必同於兩底邊丑未與丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二與圜周三五五之比即同於今所設之甲丙圜徑自乗之戊己庚辛正方積與今所得之甲乙丙丁圜面積之比也又法以十四分為一率十一分為二率圜徑八寸自乗得六十四寸為三率求得四率五十寸二十八分五十七釐一十四豪有餘為圜之面積也此法亦係方周與圜周之比同於方積與圜積之比葢圜徑七則圜周為二二半之得一一方邊七則方周為二八半之得一四故以十四分與十一分之比亦同於今所設圜徑自乗之方積與今所得圜面積之比也然所得之面積過大者因徑七圍二十二之定率其周既大故所得之圜積亦大也舊術圜積得方積四分之三求積則以圜徑自乗四分損一得圜積求徑則以圜積三分益一開方得圜徑此仍以徑一圍三立法故徑求積所得之數必小積求徑所得之數必大也設如圜周六尺六寸問面積幾何法以圜周六尺六寸用圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八豪四絲五忽二微有餘折半得一尺零五分零四豪二絲二忽六微有餘與半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四釐五十八豪有餘即圜之面積也又法用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率今所設之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸為三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四釐五十九豪有餘即圜之面積也此法葢以圜周自乗之正方積與圜積設為比例為面與面之比例也圜周為一○○○○則其自乗方積為一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面積為七九五七七四七有餘故以圜周一○○○○自乗之方積一○○○○○○○○與圜積七九五七七四七之比即同於今所設之圜周六尺六寸自乗之方積四十三尺五十六寸與今所得之圜面積三尺四十六寸六十三分九十四釐五十九豪有餘之比也舊術圜積為周自乗方積十二分之一有圜周求積則以圜周自乗以十二除之得圜積有圜積求周則將圜積以十二因之開方得圜周此仍以徑一圍三立法故周求積所得之數必大積求周所得之數必小也設如圜面積六尺一十六寸問徑幾何法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五釐五十六豪六十四絲為與圜徑相等之正方邊之正方面積開方得二尺八寸零五豪六絲有餘即圜之徑數也葢圜積為七八五三九八一六則方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則方積為一二七三二三九五四其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○為一率者即如以圜積七八五三九八一六為一率而以方積一二七三二三九五四為二率者即如以方積一○○○○○○○○為二率也又法用圜積方積相等圜徑方邊不同之定率比例以方邊一○○○○○○○○為一率圜徑一一二八三七九一六為二率今所設之圜面積六尺一十六寸開方得二尺四寸八分一釐九豪三絲四忽有餘為三率求得四率二尺八寸零五豪六絲二忽有餘即圜之徑數也此法亦以圜積方積設為相等使圜徑與方邊不同故以圜面積開方得方邊為線與線之比例葢方邊為八八六二二六九二則圜徑為一○○○○○○○○若方邊為一○○○○○○○○則圜徑為一一二八三七九一六其比例仍同故以方邊一○○○○○○○○為一率者即如以方邊八八六二二六九二為一率而以圜徑一一二八三七九一六為二率者即如以圜徑一○○○○○○○○為二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五為一率方周四五二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十二豪九十五絲有餘開方亦得二尺八寸零五豪六絲有餘為圜之徑數也又法以十一分為一率十四分為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸開方得二尺八寸為圜之徑數也葢徑七圍二十二之定率其徑既小則方周與方積亦皆小故開方所得之圜徑亦小也設如圜面積六尺一十六寸問周幾何法以圜面積六尺一十六寸用圜積求徑法求得圜徑二尺八寸零五豪六絲有餘又用圜徑求周法求得八尺七寸九分八釐二豪二絲有餘即圜之周數也又法用圜積與圜周方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率圜周方積一二五六六三七○六二為二率今所設之圜面積六尺一十六寸為三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三釐零一豪有餘開方得八尺七寸九分八釐二豪有餘即圜之周數也葢圜積為七九五七七四七則圜周自乗方積為一○○○○○○○○若圜積為一○○○○○○○○則圜周自乗方積為一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜積一○○○○○○○○與圜周自乗方積一二五六六三七○六二之比即同於今所設之圜面積六尺一十六寸與今所得之圜周自乗方積七十七尺四十寸八十八分四十三釐零一豪之比既得圜周自乗方積開方即得圜周也設如撱圜形(一音鴨蛋形)大徑九尺小徑六尺問面積幾何法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方邊圜徑相等方積圜積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之大小徑相乗之長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面積也葢圜面積與撱圜面積之比同於圜外所切之正方形積與撱圜形外所切之長方積之比(見幾何原本八卷第十二節)則圜外所切之正方形積與圜面積之比亦必同於撱圜形外所切之長方形積與撱圜面積之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大徑九尺乙丁小徑六尺以大徑與小徑相乗遂成戊己庚辛長方形此長方形積與撱圜形積之比即同於正方積與圜積之比故以定率之方積數為一率圜積數為二率今所得之大小徑相乗之長方積為三率求得四率為撱圜形之面積也設如撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大徑九尺問小徑幾何法用圜徑方邊相等圜積方積不同之定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所設之撱圜形面積四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪為三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圜形之小徑也葢方面積與圜面積之比既同於長方面積與撱圜形面積之比則圜面積與方面積之比亦必同於撱圜形面積與長方面積之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛長方形其戊己長與甲丙大徑等其己庚闊與乙丁小徑等故以大徑除之得小徑也如有小徑求大徑則以所得長方積用小徑除之而得大徑也設如圓環形外周二十一尺三寸内周七尺一寸闊二尺二寸六分求面積幾何法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以闊二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積也如圖甲乙丙丁圓環形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙與丁乙皆二尺二寸六分試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小邊與甲乙大圜之戊乙半徑等庚辛大邊與大圜之周界等則己庚辛直角三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊於壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角三角形其面積與丙丁小圜之面積等如於己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環形之面積等矣故如斜尖方形求積法以如丙丁内周之壬癸與如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙闊之壬庚乗之得子丑庚壬一長方形與癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圓環形之面積也設如圓環形外徑二尺四寸内徑一尺二寸求面積幾何法以外徑二尺四寸求得周七尺五寸三分九釐八豪二絲有餘又以内徑一尺二寸求得周三尺七寸六分九釐九豪一絲有餘乃以内徑一尺二寸與外徑二尺四寸相減餘一尺二寸折半得六寸為圓環形之闊依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十釐有餘為圓環形之面積也又法以外徑二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内徑一尺二寸自乗得一尺四十四寸兩數相減餘四尺三十二寸為方環面積乃用方積圜積定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圜積七八五三九八一六為二率今所得之方環面積四尺三十二寸為三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十釐有餘即圓環形之面積也此法葢以方環圓環為比例即如用方積圜積定率為比例也分而言之則外徑自乗與外大圜面積為比内徑自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外徑各自乗相減即用方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也設如圓環形外周六尺六寸内周二尺二寸求面積幾何法以外周六尺六寸求得徑二尺一寸零八豪四絲有餘又以内周二尺二寸求得徑七寸零二豪八絲有餘兩徑相減餘一尺四寸零五豪六絲有餘折半得七寸零二豪八絲有餘為圓環形之闊依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二釐有餘即圓環形之面積也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸兩數相減餘三十八尺七十二寸乃用圜周方積與圜積定率比例以圜周方積一○○○○○○○○為一率圜積七九五七七四七為二率兩周自乗相減之餘三十八尺七十二寸為三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九釐有餘即圓環形之面積也此法葢以兩圜周自乗相減之餘積與圓環積為比例卽如用圜周方積圜積定率為比例也分而言之則外周自乗與外大圜面積為比内周自乗與内小圜面積為比既得兩圜面積相減始為圓環面積今以内外周各自乗相減即用圜周方積圜積定率比例是合兩比例而為一比例也設如圓環形面積四百六十二尺闊七尺求内外徑各幾何法以闊七尺除圓環面積四百六十二尺得六十六尺即内外周相併折半之數為中周乃以周求徑法求得徑二十一尺零八釐四豪五絲有餘為内外徑相併折半之數為中徑加闊七尺得二十八尺零八釐四豪五絲有餘卽外徑中徑内減闊七尺餘一十四尺零八釐四豪五絲有餘即内徑也如圖甲乙丙丁圓環形其面積四百六十二尺甲丙與丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺為戊己周次所得之中徑二十一尺零八釐四豪五絲有餘為戊己徑其甲戊與戊丙等丁己與己乙等故甲戊與己乙兩段戊丙與丁己兩段皆與丁乙及甲丙闊度等是以於中徑内加闊得外徑減闊得内徑也又法先用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率圓環積四百六十二尺為三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七釐有餘為方環積乃以闊七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺與所得之方環積相減餘三百九十二尺二十三寸六十六分六十七釐有餘四歸之得九十八尺零五寸九十一分六十六釐有餘以闊七尺除之得一十四尺零八釐四豪五絲有餘為内圜徑加倍闊十四尺得二十八尺零八釐四豪五絲有餘為外圜徑也此法葢以圓環積變為方環積卽如前法方環積變為圓環積也如甲乙丙丁圓環形變為戊己庚辛壬癸子丑方環形内減戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛闊自乗之四正方形餘寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四長方形四歸之餘寅卯癸壬一長方形以寅壬闊除之得壬癸長與丙丁内徑等加甲丙與丁乙得甲乙即外徑也設如圓環形面積三百零八尺闊七尺求内外周各幾何法以闊七尺除圓環面積三百零八尺得四十四尺為内外周相併折半之數為中周又用徑求周法以徑數一○○○○○○○○為一率周數三一四一五九二六五為二率闊七尺為三率求得四率二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘為内外周相減折半之數為半較乃以半較二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘與中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一釐一豪四絲有餘卽外周數以半較二十一尺九寸九分一釐一豪四絲有餘與中周四十四尺相減餘二十二尺零八釐八豪六絲有餘即内周數也如圖甲乙丙丁圓環形其面積三百零八尺丁乙闊七尺試依甲乙大圜之戊乙半徑度與甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形則己庚辛三角形之面積與甲乙大圜之面積等又依丙丁小圜之戊丁半徑截己庚辛三角形之己庚小邊於壬又依丙丁小圜周度作壬癸線與庚辛平行則成己壬癸一小直角之三角形積乃與丙丁小圜之面積等如於己庚辛大三角形内減己壬癸小三角形所餘癸辛庚壬斜尖方形之面積必與甲乙丙丁圓環面積等矣而癸辛庚壬斜尖方形積又與子丑庚壬長方形積等故以如丁乙闊之壬庚除之得丑庚為内外周相併折半之中周數又以寅庚全徑與庚辛全周之比同於丁乙圓環闊(與子)(丑等)與辛丑半較之比葢丁乙為内外徑相減折半之較辛丑即内外周相減折半之較為相當比例四率也既得辛丑與丑卯等即辛庚外周大於丑庚中周之較亦即癸壬内周(與卯庚等)小於丑庚中周之較故於中周加半較得外周減半較得内周也設如圓環形面積三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及闊各幾何法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一豪有餘又用周徑求積法求得内周圜面積九寸六十二分七十七釐五十豪有餘與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十豪有餘即外周圓面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之外周圜面積三尺四十五寸六十二分七十七釐五十豪有餘為三率求得四率四尺四十寸零六分六十九釐一十七豪有餘為外徑自乗之方積開方得二尺零九分七釐七豪有餘即外徑減去内徑三寸五分零一豪餘一尺七寸四分七釐六豪折半得八寸七分三釐八豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周六尺五寸九分零一豪有餘即外周數也設如圓環形面積三百八十四尺外周八十八尺求内周及闊各幾何法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一釐二豪有餘又用周徑求積法求得外周圜面積六百一十六尺二十四寸六十四分有餘内減去圓環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分有餘為内周圜面積乃用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之内周圜面積二百三十二尺二十四寸六十四分為三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九釐五十豪有餘即内徑自乗之方積開方得一十七尺一寸九分六釐有餘即内徑與外徑二十八尺零一分一釐二豪相減餘一十尺八寸一分五釐二豪有餘折半得五尺四寸零七釐六豪即圓環形之闊又用徑求周法求得周五十四尺零二分二釐八豪有餘即内周數也設如圜徑一尺二寸今截弧矢形一段矢闊二寸四分求弦長幾何法以矢闊二寸四分為首率圜徑一尺二寸内減矢闊二寸四分餘九寸六分為末率首率末率相乗得二十三寸零四分開方得四寸八分為中率倍之得九寸六分即弧矢形之弦數也如圖甲乙圜徑一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊為矢闊二寸四分試自甲至丙作甲丙線自丙至乙作丙乙線遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半弦即為其垂線故所截甲戊為首率戊乙為末率求得丙戊為中率(見幾何原本九卷第二節並見勾股卷定勾股)(無零數法中)倍之得丙丁即弧矢形之弦也又法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為弦矢闊二寸四分與半徑六寸相減餘三寸六分為勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之弦數也如圖甲乙圜徑一尺二寸折半得甲己半徑六寸與丙己等為弦又於甲己半徑六寸内減甲戊矢闊二寸四分餘戊己三寸六分為勾求得丙戊股倍之得丙丁為弧矢形之弦也設如圜徑一 尺七寸今截弧矢形一段弦長一尺五寸求矢闊幾何法以弦長一尺五寸折半得半弦七寸五分自乗得五十六寸二十五分為長方積以圜徑一尺七寸為長闊和用帶縱和數開方法算之得闊四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁為弦長一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二線成甲丙乙直角三角形而丙戊為垂線故甲戊為首率戊乙為末率丙戊為中率中率自乗之正方與首率末率相乗之長方等今以丙丁弦折半得半弦丙戊自乗即與甲戊矢為闊戊乙截徑為長相乗之長方等故以甲乙為長闊和求得甲戊闊即矢也又法以圜徑一尺七寸折半得八寸五分為弦以弦長一尺五寸折半得七寸五分為股求得勾四寸與半徑八寸五分相減餘四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸折半得丙己半徑八寸五分為弦丙丁弦一尺五寸折半得丙戊七寸五分為股求得戊己勾與甲己半徑相減餘甲戊卽矢之闊也又法以圜徑一尺七寸為弦弧弦一尺五寸為股求得勾八寸與圜徑一尺七寸相減餘九寸折半得四寸五分卽矢之闊也如圖甲乙圜徑一尺七寸與丁庚等如自丙至庚作丙庚線則成丁丙庚直角三角形故以丁庚為弦丙丁為股求得丙庚勾與戊辛等以戊辛與甲乙全徑相減餘甲戊與辛乙兩叚折半卽得甲戊為矢之闊也設如弧矢形弦長一尺二寸矢闊四寸求圜徑幾何法以矢闊四寸為首率弦長一尺二寸折半得六寸為中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸為圜之截徑加矢闊四寸得一尺三寸卽圜之徑數也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長一尺二寸丁乙矢闊四寸試繼甲丁丙弧作一全圜(法見幾何原本十一卷十三節)將丁乙矢線引長作丁戊全徑線又自甲至丁作甲丁線自甲至戊作甲戊線遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半弦即為其中垂線故丁乙矢為首率乙戊截徑為末率而甲乙半弦即為中率故丁乙與甲乙之比同於甲乙與乙戊之比而得乙戊截徑加丁乙矢卽得丁戊為圜之全徑也設如弧矢形弦長八尺矢闊二尺求面積幾何法先用弧矢形有弦矢求圜徑法求得圜之全徑十尺折半得半徑五尺為一率半弦四尺為二率以半徑十萬為三率求得四率八萬為正弦數撿八線表得五十三度零七分四十九秒為半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒為全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九萬六千秒為一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八萬二千五百三十八秒為二率全徑十尺求得全周三十一尺四寸一分五釐九豪二絲有餘為三率求得四率九尺二寸七分二釐九豪八絲有餘為全弧之數與半徑五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十釐為自圜心所分弧背三角形積又於半徑五尺内減矢二尺餘三尺與弦八尺相乗得二十四尺折半得十二尺為自圜心至弦所分直線三角形積與弧背三角形積二十三尺一十八寸二十四分五十釐相減餘一十一尺一十八寸二十四分五十釐即弧矢形之面積也如圖甲乙丙丁弧矢形甲丙弦長八尺丁乙矢闊二尺甲乙為半弦四尺試繼此弧作一全圜求得丁戊全徑(解見)(前)折半得己丁半徑既得半徑而甲乙半弦又即為甲丁半弧之正弦故比例得正弦數撿表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分與甲丁丙全弧之度分之比同於甲戊丙丁全周之尺寸與甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之數與己丁半徑相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面積又於丁己半徑内減丁乙矢餘乙己為截半徑與甲丙弦相乘折半得甲己丙直線三角形面積與甲己丙丁弧背三角形面積相減餘即甲乙丙丁弧矢形之面積也設如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界長二尺二寸求圜徑及弦長矢闊各幾何法以截弧一百二十度為一率全圜三百六十度為二率截弧二尺二寸為三率求得四率六尺六寸為圜之周數用圜周求徑法求得圜徑二尺一寸零八豪四絲有餘乃以半徑十萬為一率截弧一百二十度折半得六十度查正弦得八萬六千六百零三倍之得一十七萬三千二百零六即一百二十度之通弦為二率今所得之圜徑二尺一寸零八豪四絲有餘折半得一尺零五分零四豪二絲有餘為三率求得四率一尺八寸一分九釐三豪九絲有餘卽弧矢形之弦數又以半徑十萬為一率六十度之餘弦五萬與半徑十萬相減餘五萬卽六十度之正矢為二率今所得之半徑一尺零五分零四豪二絲有餘為三率求得四率五寸二分五釐二豪一絲有餘即弧矢形之矢數也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界為二尺二寸求甲丙全徑及乙丁弦甲戊矢則以乙甲丁弧一百二十度與甲乙丙丁全圜三百六十度之比卽同於乙甲丁弧界二尺二寸與甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也旣得全周求得甲丙全徑折半於己心自己至乙作己乙半徑線則乙戊卽如六十度之正弦乙丁卽如一百二十度之通弦甲戊即如六十度之正矢故以半徑十萬與一百二十度之通弦一十七萬三千二百零六之比卽同於己乙半徑一尺零五分零四豪二絲有餘與乙丁全弦一尺八寸一分九釐三豪九絲有餘之比又半徑十萬與六十度之正矢五萬之比卽同於己乙半徑與甲戊矢五寸二分五釐二豪一絲有餘之比也設如圜形截弧矢一段任自弧界一處對圜心至弦作一斜線長一尺二寸將全弦分為大小兩段大段長一尺八寸小段長一尺六寸問圜徑幾何法以所作之斜線一尺二寸為一率截弦小段一尺六寸為二率大段一尺八寸為三率求得四率二尺四寸為自截弦處過圜心至圜對界之線將此線與所作之斜線一尺二寸相加得三尺六寸卽圜徑也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲對圜心戊至乙丁弦上作甲己斜線將乙丁弦分為乙己己丁兩段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸試將甲己斜線引長過圜心至圜對界丙作甲丙線又自甲至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙線遂成甲己乙丁己丙兩同式三角形(乙角)(對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角對乙丙弧丁角亦對乙丙弧兩己角為對角)(故兩三角形為同式形也)故以甲己與乙己之比即同於己丁與己丙之比既得己丙與甲己相加卽得甲丙為圜徑也設如圜形截弧矢一段任自弧界一處至弦作一垂線長一尺二寸將全弦分為大小兩段其大段長三尺小段長一尺問圜徑幾何法以所作垂線一尺二寸為一率截弦小段一尺為二率大段三尺為三率求得四率二尺五寸為自截弦處至圜對界之直線乃以此線與所作之垂線一尺二寸相加得三尺七寸為股以截弦小段一尺與大段三尺相減餘二尺為勾求得弦四尺二寸卽圜徑也如圖甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁弦上作甲戊垂線長一尺二寸將乙丁弦分為乙戊戊丁兩叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺試將甲戊垂線引長至圜對界丙作甲丙線又自甲至乙作甲乙線復自丁至丙作丁丙線遂成甲戊乙丁戊丙兩同式三角形(乙角對甲丁弧丙角亦對甲丁弧甲角對乙丙弧丁角亦對乙丙弧兩戊角俱)(為直角故兩三角形為同式形也)故以甲戊與戊乙之比同於丁戊與戊丙之比既得戊丙與甲戊相加即得甲丙又以乙戊(同己丁)與戊丁相減餘戊己與甲庚等乃自甲至庚作甲庚線與乙丁平行則甲角為直角必立於圜界之一半又自庚至丙作庚丙線則又成庚甲丙勾股形故以庚甲為勾甲丙為股求得庚丙弦即圜徑也設如一大圜形内容四小圜形但知大圜形徑一尺二寸求小圜形徑幾何法以大圜形徑一尺二寸自乘倍之開方得一尺六寸九分七釐零五絲有餘内減大圜形徑一尺二寸餘四寸九分七釐零五絲有餘即小圜形徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形試切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方邊即大圜形全徑用方邊求斜弦法求得壬庚己辛兩斜弦即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方邊遂為四勾股形之各弦兩斜弦各折半遂各為四勾股形之各勾股任取一勾股和減弦即得容圜全徑也(觧見勾股容圜法中)設如一大圜形内容四小圜形但知小圜形徑五寸求大圜形徑幾何法以小圜形徑五寸自乘倍之開方得七寸零七釐一豪有餘加小圜形徑五寸得一尺二寸零七釐一豪有餘即大圜形徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形試連四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四線遂成乙丙丁戊一正方形用方邊求斜弦法求得乙丁斜弦加己乙與丁庚兩半徑(即一小圜形之全徑)即得己庚大圜形全徑也設如一大圜形内容三小圜形但知大圜形徑一尺二寸求内容小圜形徑幾何法以大圜形徑一尺二寸求得外切三角形之每邊為二尺零七分八釐四豪六絲有餘乃以大圜形徑一尺二寸為三角形之兩腰半徑六寸為中埀線用三角形容圜法求得容圜半徑二寸七分八釐四豪六絲有餘倍之得五寸五分六釐九豪二絲有餘卽小圜形全徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁三小圜形試求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角線皆與圜之全徑等卽成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以兩全徑為兩腰一半徑為中垂線用三角形容圜法算之卽得一小圜徑也設如一大圜形内容三小圜形但知小圜形徑五寸求大圜形徑幾何法以小圜形徑五寸為等邊三角形之每一邊用等邊三角形求外切圜形全徑法求得外切圜徑五寸七分七釐三豪五絲有餘加小圜全徑五寸得一尺零七分七釐三豪五絲有餘卽大圜形全徑也如圖甲大圜形内容乙丙丁三小圜形試連三小圜形中心作乙丙乙丁丙丁三線遂成乙丙丁等邊三角形其毎邊皆與小圜全徑等又切乙丙丁三角作一圜形用等邊三角形求外切圜形全徑法(解見三角形卷)求得乙戊徑線加己乙與戊庚兩半徑(即一小圜形之全徑)卽得己庚大圜形全徑也御製數理精蘊下編卷二十
## 下編卷二十一
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十一面部十一圜内容各等邊形圜外切各等邊形圜内容各等邊形設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰以三等邊形之每一邊為弦每一邊折半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二寸取其四分之三亦得九寸為圜内容三等邊形之中垂線乃以每一邊之一尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂線九寸相乘得九十三寸五十三分零七釐有餘折半得四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙線即圜内容六等邊形之每一邊與丁戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜内容三等邊形之每一邊也其甲己中垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為圜徑四分之三既得一邊又得中垂線即如三角形求面積法算之而得圜内容三等邊形之面積也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半徑十萬為一率六十度之正弦八萬六千六百零三為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸一分九釐六豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四分之三為中垂線與每一邊之數相乘折半得四十六寸七十六分五十六釐有餘即圜内容三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三等邊形每一邊之弧皆一百二十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲丙即一百二十度之通弦是故半徑十萬與六十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之毎一邊八六六○二五四○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率一尺零三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之面積三二四七五九五三為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容三等邊形之面積四一三四九六六七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率四十六寸七十六分五十三釐有餘即圜内容三等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸開方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為圜内容四等邊形之每一邊其半徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑一為勾一即為股故止以半徑自乘倍之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊形之每一邊也每一邊自乘是仍為半徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形之面積也又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半徑十萬為一率四十五度之正弦七萬零七百一十一為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸二分四釐二豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎一邊既得每一邊之數即以毎一邊自乘得七十二寸即圜内容四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五度之正弦甲丙即九十度之通弦是故半徑十萬與四十五度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之毎一邊七○七一○六七八為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容四等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之面積五○○○○○○○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率七十二寸即圜内容四等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容四等邊形之面積六三六六一九七七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率七十二寸即圜内容四等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以所得中率與半徑首率相減餘二寸二分九釐一豪八絲為末率折半得一寸一分四釐五豪九絲為半末率即以此半末率為勾中率為弦求得股三寸五分二釐六豪七絲一忽有餘倍之得七寸零五釐三豪四絲二忽有餘為圜内容五等邊形之每一邊又以中率與半末率相加得四寸八分五釐四豪一絲有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十七寸一十一分九十釐有餘五因之得八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己五等邊形試自圜心庚至每角各作一半徑線即分五等邊形為五三角形又自乙至戊作乙戊線即圜内容十等邊形之每一邊庚乙庚戊半徑與乙戊邊遂成庚乙戊三角形又依乙戊線度截庚乙半徑於辛作戊辛線則又成戊辛乙三角形與庚乙戊三角形為同式形故庚乙為首率乙戊戊辛俱為中率辛乙為末率辛壬與壬乙俱為半末率是以壬乙半末率為勾乙戊中率為弦求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等邊形之毎一邊又以庚辛中率與辛壬半末率相加得庚壬中垂線用三角形求面積法算之得庚丁戊一三角形面積五倍之而得圜内容五等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半徑十萬為一率三十六度之正弦五萬八千七百七十九為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸五分二釐六豪七絲四忽倍之得七寸零五釐三豪四絲八忽為圜内容五等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率三十六度之餘弦八萬零九百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸八分五釐四豪一絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘五因之得八十五寸五十九分六十釐有餘為圜内容五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己五等邊形每一邊之弧皆七十二度試將甲丙邊折半於庚自圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於壬則甲壬弧為三十六度甲庚即三十六度之正弦甲丙即七十二度之通弦辛庚即三十六度之餘弦是故半徑十萬與三十六度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十六度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之每一邊五八七七八五二五為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率七寸零五釐三豪四絲二忽有餘即圜内容五等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之面積五九四四一○三一為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容五等邊形之面積七五六八二六七二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率八十五寸五十九分五十釐有餘即圜内容五等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容六等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸即圜内容六等邊形之每一邊爰以半徑六寸為弦毎一邊折半得三寸為勾求得股五寸一分九釐六豪一絲五忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十五寸五十八分八十四釐有餘六因之得九十三寸五十三分零四釐有餘即圜内容六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等邊形其每一邊皆六寸與半徑等試自圜心庚至每角各作一半徑線即分六等邊形為六三角形以甲庚半徑為弦甲丙一邊折半得甲辛為勾求得股為庚辛中垂線用三角形求面積法算之得甲丙庚一三角形之面積六倍之而得圜内容六等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半徑十萬為一率三十度之正弦五萬為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸倍之得六寸為圜内容六等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率三十度之餘弦八萬六千六百零三為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸一分九釐六豪一絲八忽為自圜心至每一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘六因之得九十三寸五十三分一十二釐有餘為圜内容六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等邊形每一邊之弧皆六十度試將甲丙邊折半於庚自圜心辛作辛庚壬半徑線遂平分甲丙弧於壬則甲壬弧為三十度甲庚即三十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛庚即三十度之餘弦是故半徑十萬與三十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲庚之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與三十度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與辛庚中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之每一邊五○○○○○○○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率六寸即圜内容六等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之面積六四九五一九○五為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率九十三寸五十三分零七釐有餘即圜内容六等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容六等邊形之面積八二六九九三三四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率九十三寸五十三分零七釐有餘即圜内容六等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容七等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為一率用連比例四率有一率求二率三率四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七釐零二絲五忽有餘為圜内容十四等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以半徑六寸為底仍以半徑六寸與十四等邊形之毎一邊二寸六分七釐零二絲五忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法算之得二寸六分零三豪三絲有餘倍之得五寸二分零六豪六絲有餘為圜内容七等邊形之每一邊爰以半徑六寸為弦七等邊形之每一邊折半為勾求得股五寸四分零五豪八絲一忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十四寸零七分二十九釐有餘七因之得九十八寸五十一分零三釐有餘即圜内容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等邊形試自圜心壬至毎角各作一半徑線即分七等邊形為七三角形又自戊至乙作戊乙線即圜内容十四等邊形之毎一邊壬乙壬戊半徑與戊乙邊遂成壬戊乙三角形故以壬乙半徑為底壬戊半徑與戊乙十四等邊形之每一邊為兩腰求得戊癸垂線倍之得戊己即圜内容七等邊形之每一邊也又壬戊為弦戊癸為勾求得股為壬癸中垂線用三角形求面積法算之得壬戊己一三角形之面積七倍之而得圜内容七等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘乃以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸六分零三豪二絲八忽倍之得五寸二分零六豪五絲六忽為圜内容七等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬零九十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸四分零五豪八絲二忽為自圜心至每一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘七因之得九十八寸五十分九十六釐有餘為圜内容七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等邊形每一邊之弧皆五十一度二十五分四十二秒有餘試將甲丙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧於子則甲子弧為二十五度四十二分五十一秒有餘甲壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦甲丙即五十一度二十五分四十二秒有餘之通弦癸壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦是故半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦之比即如所設之半徑六寸與癸壬中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之每一邊四三三八八三七四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率五寸二分零六豪六絲有餘即圜内容七等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之面積六八四一○二五四為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率九十八寸五十一分零七釐有餘即圜内容七等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容七等邊形之面積八七一○二六四一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率九十八寸五十一分零七釐有餘即圜内容七等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容八等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得圜内容四等邊形之每一邊為八寸四分八釐五毫二絲八忽有餘折半得四寸二分四釐二毫六絲四忽有餘為股又以四邊之半四寸二分四釐二豪六絲四忽有餘與半徑六寸相減餘一寸七分五釐七毫三絲六忽有餘為勾求得弦四寸五分九釐二豪一絲九忽有餘為圜内容八等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為弦八等邊形之毎一邊折半得二寸二分九釐六豪零九忽有餘為勾求得股五寸五分四釐三豪二絲八忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十二寸七十二分七十八釐有餘八因之得一尺零一寸八十二分二十四釐有餘即圜内容八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等邊形先求得圜内容四等邊形之毎一邊為戊己折半得戊壬與癸壬等為股以癸壬與癸乙半徑相減餘壬乙為勾求得戊乙弦為圜内容八等邊形之每一邊試自圜心至每角各作一半徑線即分八等邊形為八三角形以癸乙半徑為弦戊乙折半得子乙為勾求得股為癸子中垂線用三角形求面積法算之得癸戊乙一三角形之面積八倍之而得圜内容八等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半徑十萬為一率二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸二分九釐六豪零八忽倍之得四寸五分九釐二豪一絲六忽為圜内容八等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十二度三十分之餘弦九萬二千三百八十八為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸五分四釐三豪二絲八忽為自圜心至毎一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四釐有餘為圜内容八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等邊形毎一邊之弧皆四十五度試將甲丙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲丙弧於子則甲子弧為二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦甲丙即四十五度之通弦癸壬即二十二度三十分之餘弦是故半徑十萬與二十二度三十分之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十二度三十分之餘弦之比即如所設之半徑六寸與癸壬中垂線之比也乂用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之毎一邊三八二六八三四三為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸五分九釐二豪二絲有餘即圜内容八等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之面積七○七一○六七八為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三釐有餘即圜内容八等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容八等邊形之面積九○○三一六三一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三釐有餘即圜内容八等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容九等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為一率用連比例四率有一率求二率三率四率使一率與四率相加與二率三倍等之法求得二率二寸零八釐三豪七絲七忽有餘為圜内容十八等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)乃以半徑六寸為底仍以半徑六寸與圜内容十八等邊形之毎一邊二寸零八釐三豪七絲七忽有餘為兩腰用三角形求中垂線法算之得二寸零五釐二豪一絲一忽有餘倍之得四寸一分零四豪二絲二忽有餘即圜内容九等邊形之毎一邊爰以半徑六寸為弦九等邊形之毎一邊折半為勾求得股五寸六分三釐八豪一絲五忽有餘為自圜心至毎一邊之中垂線乃以毎一邊折半之數與中垂線相乘得一十一寸五十七分零一釐有餘九因之得一尺零四寸一十三分零九釐有餘即圜内容九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形試自圜心子至每角各作一半徑線即分九等邊形為九三角形又自己至乙作己乙線即圜内容十八等邊形之毎一邊子乙子己半徑與己乙邊遂成子己乙三角形故以子乙半徑為底子己半徑與己乙十八等邊形之毎一邊為兩腰求得己丑垂線倍之得己庚為圜内容九等邊形之每一邊也又子己為弦己丑為勾求得股為子丑中垂線用三角形求面積法算之得子己庚一三角形之面積九倍之而得圜内容九等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半徑十萬為一率二十度之正弦三萬四千二百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸零五釐二豪一絲二忽倍之得四寸一分零四豪二絲四忽為圜内容九等邊形之每一邊次以半徑十萬為一率二十度之餘弦九萬三千九百六十九為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸六分三釐八豪一絲四忽為自圜心至毎一邊之中垂線與毎一邊折半之數相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九釐有餘為圜内容九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等邊形毎一邊之弧皆四十度試將甲丙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於寅則甲寅弧為二十度甲子即二十度之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即二十度之餘弦是故半徑十萬與二十度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與二十度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與丑子中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之毎一邊三四二○二○一四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸一分零四豪二絲四忽有餘即圜内容九等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之面積七二三一三六○六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五釐有餘即圜内容九等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容九等邊形之面積九二○七二五四二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五釐有餘即圜内容九等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求内容十等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率末率使中率末率相加與首率等之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊(詳見割圜卷中)爰以半徑六寸為弦十等邊形之每一邊折半得一寸八分五釐四豪一絲有餘為勾求得股五寸七分零六豪三絲三忽有餘為自圜心至每一邊之中垂線乃以每一邊折半之數與中垂線相乘得一十寸五十八分零一釐有餘十因之得一尺零五寸八十分一十釐有餘即圜内容十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等邊形其子乙半徑為首率己乙每一邊為中率其毎一邊皆三寸七分零八豪二絲有餘試自圜心子至每角各作一半徑線即分十等邊形為十三角形以子乙半徑為弦己乙折半得丑乙為勾求得股為子丑中垂線用三角形求面積法算之得子己乙一三角形之面積十倍之而得圜内容十等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度十分之毎分得三十六度折半得十八度乃以半徑十萬為一率十八度之正弦三萬零九百零二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一寸八分五釐四豪一絲二忽倍之得三寸七分零八豪二絲四忽為圜内容十等邊形之毎一邊次以半徑十萬為一率十八度之餘弦九萬五千一百零六為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸七分零六豪三絲六忽為自圜心至毎一邊之中垂線與每一邊折半之數相乘十因之得一尺零五寸八十分二十七釐有餘為圜内容十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等邊形每一邊之弧皆三十六度試將甲丙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲丙弧於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑子即十八度之餘弦是故半徑十萬與十八度之正弦之比即如所設之半徑六寸與甲子之半邊之比既得半邊倍之即全邊又半徑十萬與十八度之餘弦之比即如所設之半徑六寸與丑子中垂線之比也又用求圜内各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之每一邊三○九○一六九九為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲有餘即圜内容十等邊形之每一邊也又用求圜内各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之面積七三四七三一五六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺零五寸八十分一十三釐有餘即圜内容十等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜内容十等邊形之面積九三五四八九二八為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺零五寸八十分一十三釐有餘即圜内容十等邊形之面積也圜外切各等邊形設如圜徑一尺二寸求外切三等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘倍之得二尺零七分八釐四豪六絲有餘為圜外切三等邊形之毎一邊爰以三等邊形之每一邊為弦毎一邊折半為勾求得股一尺八寸或以半徑六寸三倍之得一尺八寸為圜外切三等邊形之中垂線乃以每一邊之二尺零七分八釐四豪六絲有餘與中垂線一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十二分二十八釐有餘折半得一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形試將丙丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線則成丙巳庚三角形其丙庚巳角為六十度丙巳庚角為九十度庚丙巳角為三十度又自甲至己作甲己線為圜内容六等邊形之每一邊則又成甲己庚甲己丙兩三角形其甲己庚三角形之甲己庚角為六十度故甲己丙三角形之甲己丙角為三十度而甲丙己角亦為三十度則丙甲與甲己皆與半徑等矣故丙庚即全徑為弦庚己即半徑為勾求得丙己股倍之得丙丁為圜外切三等邊形之每一邊也又丙甲既與半徑等則丙乙中垂線為半徑之三倍用三角形求面積法算之而得圜外切三等邊形之面積也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半徑十萬為一率六十度之正切一十七萬三千二百零五為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一尺零三分九釐二豪三絲倍之得二尺零七分八釐四豪六絲為圜外切三等邊形之毎一邊也既得三等邊形之每一邊乃以半徑三因之與毎一邊之數相乘折半得一尺八十七寸零六分一十四釐為圜外切三等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊三等邊形每一邊之弧皆一百二十度試將丙丁邊折半於己自圜心庚作庚己半徑線則甲己弧為六十度丙己即六十度之正切丙丁即六十度正切之倍是故半徑十萬與六十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙己之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之每一邊一七三二○五○八○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率二尺零七分八釐四豪六絲即圜外切三等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之面積一二九九○三八一○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切三等邊形之面積一六五三九八六六九為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四釐有餘即圜外切三等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切四等邊形之每一邊及面積幾何法因圜徑一尺二寸即外切四等邊形之毎一邊自乘得一尺四十四寸即圜外切四等邊形之面積故他法皆不設止存一題以備體焉設如圜徑一尺二寸求外切五等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸為首率用連比例三率有首率求中率之法求得中率三寸七分零八豪二絲有餘倍之得七寸四分一釐六豪四絲有餘為自圜心至外切五等邊形各角之分角線乃以分角線為弦圜之半徑為股求得勾四寸三分五釐九豪二絲四忽有餘倍之得八寸七分一釐八豪四絲八忽有餘為圜外切五等邊形之每一邊爰以每一邊之八寸七分一釐八豪四絲八忽有餘與半徑六寸相乘得五十二寸三十一分零八釐有餘折半得二十六寸一十五分五十四釐有餘五因之得一尺三十寸七十七分七十二釐有餘即圜外切五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚五等邊形以辛乙半徑為首率(即理分中末線之全分)則自圜心至角之辛己分角線為倍中率(即倍理分中末線之大分)何以知之試自丙角至戊己二角作丙戊丙己兩角相對斜線成丙戊己三角形復自戊角至庚角作戊庚兩角相對斜線截丙己斜線於壬又成戊己壬三角形與丙戊己三角形為同式形(戊己壬三角形之戊角當)(巳庚邊與戊巳邊等故戊己壬三角形之戊角與丙戊己三角形之丙角等又)(同用一巳角則其餘一角亦必等故為同式形)而丙戊為首率(即理分中末線之全分)戊己為中率(即理分中末線之大分)己壬為末率(即理分中末線之小分)丙壬亦與戊己等為中率乃自壬至丙戊線作壬癸垂線平分丙戊邊於癸遂成丙癸壬勾股形與辛乙己勾股形為同式形(辛乙己勾)(股形之辛角當乙己邊為戊己邊之半故辛乙巳勾股之辛角與丙癸壬勾股)(之丙角等癸角與乙角又同為直角則其餘一角亦必等故為同式形)夫丙戊既為首率丙壬既為中率若以丙戊之半丙癸為首率則丙壬之半丙子亦為中率而丙壬即為倍中率丙癸壬勾股形與辛乙巳勾股形既為同式形則辛乙己勾股形之辛乙股與辛己弦之比必同於丙癸壬勾股形之丙癸股與丙壬弦之比是以辛乙半徑為首率則辛己分角線亦即為倍中率也既得辛己分角線乃以辛己分角線為弦辛乙半徑為股求得乙己勾倍之得戊己即圜外切五等邊形之毎一邊也又自圜心至各角作分角線即分五等邊形為五三角形其辛乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切五等邊形之每一邊與半徑相乘折半得辛戊巳一三角形之面積五倍之而得圜外切五等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半徑十萬為一率三十六度之正切七萬二千六百五十四為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸三分五釐九豪二絲四忽倍之得八寸七分一釐八豪四絲八忽為圜外切五等邊形之毎一邊既得五等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半五因之得一尺三十寸七十七分七十二釐為圜外切五等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚五等邊形每一邊之弧皆七十二度試將丙丁邊折半於辛自圜心壬作壬辛半徑線又作壬丙分角線割圜界於甲則甲辛弧為三十六度丙辛即三十六度之正切丙丁即三十六度正切之倍是故半徑十萬與三十六度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙辛之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之每一邊七二六五四二五二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率八寸七分一釐八豪五絲一忽有餘即圜外切五等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之面積九○八一七八一六為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六釐有餘即圜外切五等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切五等邊形之面積一一五六三二八三四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六釐即圜外切五等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切六等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸自乘得三十六寸三歸四因得四十八寸開方得六寸九分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等邊形之毎一邊乃以毎一邊之六寸九分二釐八豪二絲有餘與半徑六寸相乘得四十一寸五十六分九十二釐有餘折半得二十寸七十八分四十六釐有餘六因之得一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等邊形試自圜心至各角作分角線即分六等邊形為六三角形其壬乙半徑即每一三角形之中垂線而中垂線自乘之方為每邊自乘之方之四分之三故以半徑自乘三歸四因開方即得圜外切六等邊形之每一邊也既得毎一邊與半徑相乘折半得壬戊己一三角形之面積六倍之而得圜外切六等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度六分之毎分得六十度折半得三十度乃以半徑十萬為一率三十度之正切五萬七千七百三十五為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸四分六釐四豪一絲倍之得六寸九分二釐八豪二絲為圜外切六等邊形之毎一邊既得六等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半六因之得一尺二十四寸七十分七十六釐為圜外切六等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛六等邊形毎一邊之弧皆六十度試將丙丁邊折半於壬自圜心癸作癸壬半徑線又作癸丙分角線割圜界於子則子壬弧為三十度丙壬即三十度之正切丙丁即三十度正切之倍是故半徑十萬與三十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙壬之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之每一邊五七七三五○二七為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率六寸九分二釐八豪二絲有餘即圜外切六等邊形之毎一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之面積八六六○二五四○為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切六等邊形之面積一一○二六五七八一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六釐有餘即圜外切六等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切七等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容七等邊形之每一邊為五寸二分零六豪六絲有餘又求得自圜心至每一邊之中垂線為五寸四分零五豪八絲一忽有餘乃以中垂線之數為一率每一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘為圜外切七等邊形之每一邊爰以每一邊之五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘與半徑六寸相乘得三十四寸六十七分三十三釐有餘折半得一十七寸三十三分六十六釐有餘七因之得一尺二十一寸三十五分六十二釐有餘即圜外切七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等邊形先求得圜内容七等邊形之毎一邊為癸子又求得圜心至每一邊之中垂線為丑寅以丑寅與癸子之比即同於丑乙與巳庚之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分七等邊形為七三角形其丑乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切七等邊形之每一邊與半徑相乘折半得丑己庚一三角形之面積七倍之而得圜外切七等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘乃以半徑十萬為一率二十五度四十二分五十一秒之正切四萬八千一百五十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸八分八釐九毫四絲二忽有餘倍之得五寸七分七釐八毫八絲四忽有餘為圜外切七等邊形之每一邊既得七等邊形之每一邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六釐有餘為圜外切七等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等邊形每一邊之弧皆五十一度二十五分四十二秒有餘試將丙丁邊折半於癸自圜心子作子癸半徑線又作子丙分角線割圜界於甲則甲癸弧為二十五度四十二分五十一秒有餘丙癸即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切之倍是故半徑十萬與二十五度四十二分五十一秒有餘之正切之比即如所設之半徑六寸與丙癸之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之毎一邊四八一五七四六二為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率五寸七分七釐八豪八絲九忽有餘即圜外切七等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之面積八四二七五五五八為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八釐有餘即圜外切七等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切七等邊形之面積一○七三○二九七四為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八釐有餘即圜外切七等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切八等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽有餘内減圜徑一尺二寸餘四寸九分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之毎一邊乃以每一邊之四寸九分七釐零五絲六忽有餘與半徑六寸相乘得二十九寸八十二分三十三釐有餘折半得一十四寸九十一分一十六釐有餘八因之得一尺一十九寸二十九分二十八釐有餘即圜外切八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形試依甲乙圜徑度作子丑寅夘正方形又作子寅對角斜線於子寅對角斜線内減與甲乙圜徑相等之辰己餘子辰巳寅兩段即與圜外切八等邊形之丙丁一邊相等也何則丙子丁勾股形因子寅斜線平分為子辰丙子辰丁兩勾股形與原形為同式形(子辰丙勾股形之辰角與丙子丁勾股形之子)(角同為直角又同用一丙角其餘一角必等故為同式形)丙子既與子丁等子辰必與丙辰等而為丙丁之一半則子辰巳寅兩段亦必與丙丁一邊等故以圜徑自乘倍之開方而得對角斜線於斜線内減圜徑即圜外切八等邊形之毎一邊也又自圜心至各角作分角線即分八等邊形為八三角形其午乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切八等邊形之每一邊與半徑相乘折半得午己庚一三角形之面積八倍之而得圜外切八等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半徑十萬為一率二十二度三十分之正切四萬一千四百二十一為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸四分八釐五豪二絲六忽倍之得四寸九分七釐零五絲二忽為圜外切八等邊形之毎一邊既得八等邊形之每一邊乃以半徑與每一邊之數相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四釐有餘為圜外切八等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等邊形每一邊之弧皆四十五度試將丙丁邊折半於子自圜心五作丑子半徑線又作丑丙分角線割圜界於寅則寅子弧為二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半徑十萬與二十二度三十分之正切之比即如所設之半徑六寸與丙子之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之毎一邊四一四二一三五六為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸九分七釐零五絲六忽有餘即圜外切八等邊形之毎一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之面積八二八四二七一二為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五釐有餘即圜外切八等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切八等邊形之面積一○五四七八六一七為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五釐有餘即圜外切八等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切九等邊形之毎一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容九等邊形之毎一邊為四寸一分零四豪二絲二忽有餘又求得自圜心至毎一邊之中垂線為五寸六分三釐八豪一絲五忽有餘乃以中垂線之數為一率毎一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率四寸三分六釐七豪六絲二忽有餘為圜外切九等邊形之毎一邊爰以毎一邊之四寸三分六釐七豪六絲二忽有餘與半徑六寸相乘得二十六寸二十分五十七釐有餘折半得一十三寸一十分二十八釐有餘九因之得一尺一十七寸九十二分五十七釐有餘即圜外切九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等邊形先求得圜内容九等邊形之每一邊為丑寅又求得圜心至每一邊之中垂線為夘辰以卯辰與丑寅之比即同於卯乙與庚辛之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分九等邊形為九三角形其卯乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切九等邊形之毎一邊與半徑相乘折半得卯庚辛一三角形之面積九倍之而得圜外切九等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度九分之毎分得四十度折半得二十度乃以半徑十萬為一率二十度之正切三萬六千三百九十七為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率二寸一分八釐三豪八絲二忽倍之得四寸三分六釐七豪六絲四忽為圜外切九等邊形之每一邊既得九等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半九因之得一尺一十七寸九十二分六十二釐有餘為圜外切九等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等邊形每一邊之弧皆四十度試將丙丁邊折半於丑自圜心寅作寅丑半徑線又作寅丙分角線割圜界於甲則甲丑弧為二十度丙丑即二十度之正切丙丁即二十度之正切之倍是故半徑十萬與二十度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙丑之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之每一邊三六三九七○二四為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率四寸三分六釐七豪六絲四忽有餘即圜外切九等邊形之每一邊也又用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之面積八一八九三三○三為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十三釐有餘即圜外切九等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切九等邊形之面積一○四二六九七九一為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十五釐有餘即圜外切九等邊形之面積也設如圜徑一尺二寸求外切十等邊形之每一邊及面積幾何法以圜徑一尺二寸求得内容十等邊形之毎一邊為三寸七分零八豪二絲有餘又求得自圜心至每一邊之中垂線為五寸七分零六豪三絲三忽有餘乃以中垂線之數為一率每一邊之數為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率三寸八分九釐九豪零三忽有餘為圜外切十等邊形之毎一邊爰以毎一邊之三寸八分九釐九豪零三忽有餘與半徑六寸相乘得二十三寸三十九分四十一釐有餘折半得一十一寸六十九分七十釐有餘十因之得一尺一十六寸九十七分一十二釐有餘即圜外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等邊形先求得圜内容十等邊形之毎一邊為寅卯又求得圜心至每一邊之中垂線為辰巳以辰巳與寅卯之比即同於辰乙與庚辛之比為相當比例四率也又自圜心至各角作分角線即分十等邊形為十三角形其辰乙中垂線即圜之半徑故以所得圜外切十等邊形之每一邊與半徑相乘折半得辰庚辛一三角形之面積十倍之而得圜外切十等邊形之總面積也又法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度乃以半徑十萬為一率十八度之正切三萬二千四百九十二為二率今所設之半徑六寸為三率求得四率一寸九分四釐九豪五絲二忽倍之得三寸八分九釐九豪零四忽為圜外切十等邊形之每一邊既得十等邊形之毎一邊乃以半徑與毎一邊之數相乘折半十因之得一尺一十六寸九十七分一十二釐為圜外切十等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等邊形毎一邊之弧皆三十六度試將丙丁邊折半於寅自圜心卯作卯寅半徑線又作卯丙分角線割圜界於辰則辰寅弧為十八度丙寅即十八度之正切丙丁即十八度之正切之倍是故半徑十萬與十八度之正切之比即如所設之半徑六寸與丙寅之半邊之比既得半邊倍之即全邊也又用求圜外各形之一邊之定率比例以定率之圜徑一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之每一邊三二四九一九七○為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率三寸八分九釐九豪零三忽有餘即圜外切十等邊形之每一邊也乂用求圜外各形之面積之定率比例以定率之圜徑自乘之正方面積一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之面積八一二二九九二四為二率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十釐有餘即圜外切十等邊形之面積也又用圜面積之定率比例以定率之圜面積一○○○○○○○○為一率圜外切十等邊形之面積一○三四二五一五二為二率今所設之圜徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘為三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十釐有餘即圜外切十等邊形之面積也御製數理精藴下編卷二十一
## 下編卷二十二
欽定四庫全書御製數理精藴卷二十二面部十二各等邊形更面形各等邊形設如五等邊形每邊一尺二寸問面積㡬何法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正弦五萬八千七百七十九為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺零二分零七豪七絲二忽有餘為五等邊形外切圜之半徑或用求圜内容五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容五等邊形之每邊五八七七八五二五為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺零四分一釐五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦五等邊形之每邊折半為勾求得股八寸二分五釐八豪二絲七忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線或以三十六度之正弦五萬八千七百七十九為一率三十六度之餘弦八萬零九百零二為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五釐八豪二絲五忽有餘為五等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得四十九寸五十四分九十釐有餘五因之得二尺四十七寸七十四分五十釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為七十二度將甲乙邊折半於己自圜心庚作庚己辛半徑線遂平分甲乙弧於辛則甲辛弧為三十六度甲己即三十六度之正弦庚己即三十六度之餘弦是故三十六度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之半徑甲庚之比又三十六度之正弦與三十六度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲己與所得之垂線庚己之比也(此即圜内容五等邊形之法而轉用之也)又法以三十六度之正切七萬二千六百五十四為一率半徑十萬為二率今所設之五等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率八寸二分五釐八豪三絲二忽有餘為五等邊形内容圜之半徑或用求圜外切五等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切五等邊形之每邊七二六五四二五二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺六寸五分一釐六豪五絲八忽有餘折半得八寸二分五釐八豪二絲九忽有餘為五等邊形内容圜之半徑即五等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘為五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心己作甲己庚線遂平分丙丁邊於庚則丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丙庚與所得之内容圜半徑己庚之比也(此即圜外切五等邊形之法而轉用之也)又法用連比例三率有中率求末率之法以每邊一尺二寸為中率求得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率與中率相加得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為首率即五等邊形兩角相對之斜線乃以此斜線為弦每邊之半為勾求得股一尺八寸四方六釐六豪零九忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之和(即五等邊形自一角至每邊正中之垂線)復以此垂線為首率每邊之半為中率求得末率一寸九分四釐九豪五絲二忽為五等邊形中心至每邊正中之垂線與分角線之較乃以此較數與先所得和數相加得二尺零四分一釐五豪六絲一忽有餘折半得一尺零二分零七豪八絲有餘為五等邊形之分角線(即五等邊)(形外切圜之半徑)仍以此較數與先所得和數相減得一尺六寸五分一釐六豪五絲七忽有餘折半得八寸二分五釐八豪二絲八忽有餘為五等邊形中心至每邊正中之垂線(即五等邊形内容圜之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形巳為五等邊形之中心試自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙線截甲丙線於庚則又成丁庚丙三角形此兩三角形為同式形故甲丙線為首率(即理分中末線之全分)丙丁邊為中率(即理)(分中末線之大分)而所截之甲庚一段與丙丁邊等亦為中率庚丙一段即為末率(即理)(分中末線之小分)其比例為甲丙首率與丙丁中率之比即同於丙丁中率與庚丙末率之比故按連比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率與甲庚中率相加即得甲丙首率為兩角相對斜線爰用甲丙斜線為弦丙辛每邊之半為勾求得用辛股為己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之和既得甲辛線則用連比例有首率中率求末率之法以甲辛為首率丙辛為中率求得辛壬末率即己辛中心至邊之垂線與甲己分角線之較既得辛壬與甲辛相加折半得甲己即分角線又為五等邊形外切圜之半徑以辛壬與甲辛相減折半得己辛即中心至每邊之垂線又為五等邊形内容圜之半徑既得己辛垂線與丙丁每邊之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面積五倍之即五等邊形之面積也又既得五等邊形兩角相對之斜線與自一角至每邊正中之垂線求面積捷法以所得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘加每邊之半六寸得一尺三寸四分一釐六豪四絲有餘與自一角至每邊正中之垂線一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘相乗得二尺四十七寸七十四分八十四釐有餘即五等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊五等邊形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二線遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂線則甲己垂線與丙己每邊之半相乗即得甲丙丁三角形面積又自乙角至甲丙線上作乙庚垂線則乙庚垂線與甲丙斜線相乗即得甲乙丙甲戊丁兩三角形之共面積然無乙庚之數今試自丁角至乙角作丁乙斜線截甲丙斜線於辛則甲辛與丁辛等俱為中率乙辛與辛丙等俱為末率又成乙辛庚勾股形與甲丙己勾股形為同式形(丁辛丙三角形之辛角原與丙角等)(而與乙辛庚勾股形之辛角為對角其度亦等庚角與己角又同為直角其餘)(一角亦必等所以為同式形)故甲丙為一率甲己為二率乙辛為三率乙庚為四率凡二率三率相乗與一率四率相乗之數等今以甲己垂線與乙辛末率相乗必與乙庚垂線與甲丙斜線相乗之積等是即甲乙丙甲戊丁兩三角形之共積矣故以乙辛末率與丙己每邊之半相加而與甲己垂線相乗即得甲乙丙丁戊五等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率五等邊形面積一七二○四七七四一為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而五等邊形之每一邊一○○○○所得之五等邊形面積為一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯己午正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰五等邊形面積一七二○四七七四一之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊五等邊形面積二尺四十七寸七十四分八十七釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之五等邊形之每邊七六二三八七○五為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺五寸七分四釐零三忽有餘為與五等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得二尺四十七寸七十四分八十五釐有餘即五等邊形之面積也葢五等邊形之每邊為七六二三八七○五正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰五等邊形之寅卯一邊七六二三八七○五與己午未申正方形之午未一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一邊一尺五寸七分四釐零三忽有餘之比既得庚辛一邊自乗得己庚辛壬正方面積即與甲乙丙丁戊五等邊形之面積為相等也如有五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之五等邊形之面積一七二○四七七四一為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之每邊與正方形之每邊相等五等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率五等邊形之每邊七六二三八七○五為二率今所設之五等邊形之面積二尺四十七寸七十四分八十七釐開方得一尺五寸七分四釐零三忽有餘為三率求得四率一尺二寸即五等邊形之每一邊也此法葢因五等邊形之面積與正方形之面積相等五等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以五等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如六等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法因六等邊形之每邊與分角線(即六等邊)(形外切圜之半徑)相等故即以每邊一尺二寸為弦每邊之半六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲有餘為六等邊形中心至每邊正中之垂線(即六等邊形内容圜)(之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八釐有餘即六等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己六等邊形庚為六等邊形之中心其庚丙分角線與丙丁類每邊等故以庚丙為弦每邊之半丙辛為勾求得庚辛股即六等邊形中心至每邊正中之垂線既得垂線與丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面積六倍之即六等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率六等邊形面積二五九八○七六二○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九釐有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而六等邊形之每一邊一○○○○所得之六等邊形面積為二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊一○○○○自乗之寅卯午未正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰己六等邊形面積二五九八○七六二○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己六等邊形面積三尺七十四寸一十二分二十九釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之六等邊形之每邊六二○四○三二四為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘為與六等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得三尺七十四寸一十二分二十六釐有餘即六等邊形之面積也葢六等邊形之每邊為六二○四○三二四正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰己六等邊形之寅卯一邊六二○四○三二四與午未申酉正方形之未申一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之丙丁一邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一邊一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘之比既得辛壬一邊自乗得庚辛壬癸正方面積即與甲乙丙丁戊己六等邊形之面積為相等也如有六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之六等邊形之面積二五九八○七六二○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之每邊與正方形之每邊相等六等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率六等邊形之每邊六二○四○三二四為二率今所設之六等邊形之面積三尺七十四寸一十二分二十九釐開方得一尺九寸三分四釐二豪二絲五忽有餘為三率求得四率一尺二寸即六等邊形之每一邊也此法葢因六等邊形之面積與正方形之面積相等六等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以六等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如七等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有餘折半得二十五度四十二分五十一秒有餘爰以二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺三寸八分二釐八豪七絲有餘為七等邊形外切圜之半徑或用求圜内容七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容七等邊形之每邊四三三八八三七四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺七寸六分五釐七豪一絲七忽有餘折半得一尺三寸八分二釐八豪五絲八忽有餘為七率邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦七等邊形之每邊折半為勾求得股一尺二寸四分五釐九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦四萬三千三百八十八為一率二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦九萬零九十七為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五釐九豪二絲五忽有餘為七等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得七十四寸七十五分五十五釐有餘七因之得五尺二十三寸二十八分八十五釐有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為五十一度二十五分四十二秒有餘將甲乙邊折半於辛自圜心壬作壬辛癸半徑線遂平分甲乙弧於癸則甲癸弧為二十五度四十二分五十一秒有餘甲辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦壬辛即二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦是故二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之半徑甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有餘之正弦與二十五度四十二分五十一秒有餘之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲辛與所得之垂線壬辛之比也(此即圜内容七等邊形之法而轉用之也)又法以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切四萬八千一百五十七為一率半徑十萬為二率今所設之七等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺二寸四分五釐九豪二絲四忽有餘為七等邊形内容圜之半徑或用求圜外切七等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切七等邊形之每邊四八一五七四六二為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺四寸九分一釐八豪二絲五忽有餘折半得一尺二寸四分五釐九豪一絲二忽有餘為七等邊形内容圜之半徑即七等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十釐有餘即七等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚七等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心辛作甲辛壬線遂平分丁戊邊於壬則丁壬即二十五度四十二分五十一秒有餘之正切故以二十五度四十二分五十一秒有餘之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丁壬與所得之内容圜半徑辛壬之比也(此即圜外切七等邊形之法而轉用之也)又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率七等邊形面積三六三三九一二四○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三釐有餘即七等邊形之面積也葢七等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而七等邊形之每一邊一○○○○所得之七等邊形面積為三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊一○○○○自乗之卯辰未申正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰己午七等邊形面積三六三三九一二四○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊巳庚七等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚七等邊形面積五尺二十三寸二十八分三十三釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之七等邊形之每邊五二四五八一二六為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘為與七等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得五尺二十三寸二十八分三十釐有餘即七等邊形之面積也葢七等邊形之每邊為五二四五八一二六正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰己午七等邊形之卯辰一邊五二四五八一二六與未申酉戌正方形之申酉一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚七等邊形之丁戊一邊一尺二寸與今所得之辛壬癸乾正方形之壬癸一邊二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘之比既得壬癸一邊自乗得辛壬癸乾正方面積即與甲乙丙丁戊己庚七等邊形之面積為相等也如有七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之七等邊形之面積三六三三九一二四○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即七等邊形之每一邊也此法葢因七等邊形之每邊與正方形之每邊相等七等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率七等邊形之每邊五二四五八一二六為二率今所設之七等邊形之面積五尺二十三寸二十八分三十三釐開方得二尺二寸八分七釐五豪三絲八忽有餘為三率求得四率一尺二寸即七等邊形之每一邊也此法葢因七等邊形之面積與正方形之面積相等七等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以七等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如八等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為一率半徑十萬為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸六分七釐八豪八絲九忽有餘為八等邊形外切圜之半徑或用求圜内容八等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容八等邊形之每邊三八二六八三四三為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺一寸三分五釐七豪五絲一忽有餘折半得一尺五寸六分七釐八豪七絲五忽有餘為八等邊形之切圜之半徑乃以此半徑為弦八等邊形之每邊折半為勾求得股一尺四寸四分八釐五豪二絲七忽有餘為八等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十二度三十分之正弦三萬八千二百六十八為一率二十二度三十分之餘弦九萬二千三百八十八為二率今所設之八等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺四寸四分八釐五豪四絲一忽有餘為八等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得八十六寸九十一分二十四釐有餘八因之得六尺九十五寸二十九分九十二釐有餘即八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為四十五度將甲乙邊折半於壬自圜心癸作癸壬子半徑線遂平分甲乙弧於子則甲子弧為二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦癸壬即二十二度三十分之餘弦是故二十二度三十分之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲壬與所得之半徑甲癸之比又二十二度三十分之正弦與二十二度三十分之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲壬與所得之垂線癸壬之比也(此即圜内容八等邊形之法而轉用之也)又法以二十二度三十分之正切四萬一千四百二十一為一率半徑十萬為二率今所設之八等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺四寸四分八釐五豪四絲有餘為八等邊形内容圜之半徑或用求圜外切八等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切八等邊形之每邊四一四二一三五六為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺八寸九分七釐零五絲六忽有餘折半得一尺四寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為八等邊形内容圜之半徑即八等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四釐有餘為八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形試作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每邊正中之垂線遂平分丁戊邊於癸則丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半丁癸與所得之内容圜半徑壬癸之比也(此即圜外切八等邊形之法而轉用之也)又法以每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸開方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有餘與每邊之半六寸相加得一尺四寸四分八釐五豪二絲八忽有餘為自中心至每邊正中之垂線乃以此垂線與每邊之半相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四釐為八等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形壬為八等邊形之中心試將辛甲乙丙丁戊己庚四邊俱引長相交遂成癸子丑寅正方形其四角丙子丁類勾股相等之四勾股形之弦即八等邊形之每一邊故以丙丁一邊自乗折半開方得丙子或子丁於丙子内再加乙丙邊之半卯丙得卯子與壬辰等即八等邊形自中心至每邊正中之垂線既得垂線與每邊之半相乗八因之即得八等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率八等邊形面積四八二八四二七一二為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘即八等邊形之面積也葢八等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而八等邊形之每一邊一○○○○所得之八等邊形面積為四八二八四二七一二故以子丑寅卯辰巳午未八等邊形之卯辰一邊一○○○○自乗之卯辰申酉正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰巳午未八等邊形面積四八二八四二七一二之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之每一邊一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形面積六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之八等邊形之每邊四五五○八九八五為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘為與八等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得六尺九十五寸二十九分三十五釐有餘即八等邊形之面積也葢八等邊形之每邊為四五五○八九八五正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未八等邊形之卯辰一邊四五五○八九八五與申酉戌亥正方形之酉戌一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之丁戊一邊一尺二寸與今所得之癸乾一邊二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘之比既得癸乾一邊自乗得壬癸乾坎正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛八等邊形之面積為相等也如有八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之八等邊形之面積四八二八四二七一二為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即八等邊形之每一邊也此法葢因八等邊形之每邊與正方形之每邊相等八等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率八等邊形之每邊四五五○八九八五為二率今所設之八等邊形之面積六尺九十五寸二十九分三十五釐開方得二尺六寸三分六釐八豪四絲一忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八等邊形之每一邊也此法葢因八等邊形之面積與正方形之面積相等八等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以八等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也設如九等邊形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度爰以二十度之正弦三萬四千二百零二為一率半徑十萬為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺七寸五分四釐二豪八絲三忽有餘為九等邊形外切圜之半徑或用求圜内容九等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容九等邊形之每邊三四二○二○一四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺五寸零八釐五豪六絲五忽有餘折半得一尺七寸五分四釐二豪八絲二忽有餘為九等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦九等邊形之每邊折半為勾求得股一尺六寸四分八釐四豪八絲六忽有餘為九等邊形之中心至每邊正中之垂線或以二十度之正弦三萬四千二百零二為一率二十度之餘弦九萬三千九百六十九為二率今所設之九等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺六寸四分八釐四豪八絲二忽有餘為九等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得九十八寸九十分八十九釐有餘九因之得八尺九十寸一十八分零一釐有餘即九等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為四十度將甲乙邊折半於癸自圜心子作子癸丑半徑線遂平分甲乙弧於丑則甲丑弧為二十度甲癸即二十度之正弦子癸即二十度之餘弦是故二十度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲癸與所得之半徑甲子之比又二十度之正弦與二十度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲癸與所得之垂線子癸之比也(此即圜内容九等邊形之法而轉用之也)又法以二十度之正切三萬六千三百九十七為一率半徑十萬為二率今所設之九等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺六寸四分八釐四豪八絲七忽有餘為九等邊形内容圜之半徑或用求圜外切九等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切九等邊形之每邊三六三九七○二四為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺二寸九分六釐九豪七絲二忽有餘折半得一尺六寸四分八釐四豪八絲六忽有餘為九等邊形内容圜之半徑即九等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九釐有餘為九等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形試作一内容圜形自甲角過圜心癸作甲癸子線遂平分戊巳邊於子則戊子即二十度之正切故以二十度之正切與半徑十萬之比同於今所設之每邊之半戊子與所得之内容圜半徑癸子之比也(此即圜外切九等邊形之法而轉用之也)又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率九等邊形面積六一八一八二四二○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率八尺九十寸一十八分二十六釐有餘即九等邊形之面積也葢九等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而九等邊形之每一邊一○○○○所得之九等邊形面積為六一八一八二四二○故以子丑寅卯辰巳午未申九等邊形之辰已一邊一○○○○自乗之辰已酉戌正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰巳午未申九等邊形面積六一八一八二四二○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之每一邊一尺二寸自乗之戊己癸乾正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形面積八尺九十寸一十八分二十六釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之九等邊形之每邊四○二一九九六三為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘為與九等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得八尺九十寸一十八分二十一釐有餘即九等邊形之面積也葢九等邊形之每邊為四○二一九九六三正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等邊形之辰巳一邊四○二一九九六三與酉戌亥金正方形之戌亥一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之戊已一邊一尺二寸與今所得之癸乾坎艮正方形之乾坎一邊二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘之比既得乾坎一邊自乗得癸乾坎艮正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛壬九等邊形之面積為相等也如有九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之九等邊形之面積六一八一八二四二○為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即九等邊形之每一邊也此法葢因九等邊形之每邊與正方形之每邊相等九等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率九等邊形之每邊四○二一九九六三為二率今所設之九等邊形之面積八尺九十寸一十八分二十六釐開方得二尺九寸八分三釐五豪九絲二忽有餘為三率求得四率一尺二寸即九等邊形之每一邊也此法葢因九等邊形之面積與正方形之面積相等九等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以九等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也形每邊一尺二寸問面積幾何法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度爰以十八度之正弦三萬零九百零二為一率半徑十萬為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪二絲一忽有餘為十等邊形外切圜之半徑或用求圜内容十等邊形之一邊之定率比例以定率之圜内容十等邊形之每邊三○九○一六九九為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺八寸八分三釐二豪八絲一忽有餘折半得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為十等邊形外切圜之半徑乃以此半徑為弦十等邊形之每邊折半為勾求得股一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘為十等邊形之中心至每邊正中之垂線或以十八度之正弦三萬零九百零二為一率十八度之餘弦九萬五千一百零六為二率今所設之十等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺八寸四分六釐五豪九絲八忽有餘為十等邊形之中心至每邊正中之垂線既得此垂線乃與每邊折半之數相乗得一尺一十寸七十九分五十八釐有餘十因之得一十一尺零七寸九十五分八十釐有餘即十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形試作一外切圜形則每邊之弧皆為三十六度將甲乙邊折半於子自圜心丑作丑子寅半徑線遂平分甲乙弧於寅則甲寅弧為十八度甲子即十八度之正弦丑子即十八度之餘弦是故十八度之正弦與半徑十萬之比即如今所設之每邊之半甲子與所得之半徑甲丑之比又十八度之正弦與十八度之餘弦之比即如今所設之每邊之半甲子與所得之垂線丑子之比也(此即圜内容十等邊形之法而轉用之也)又法以十八度之正切三萬二千四百九十二為一率半徑十萬為二率今所設之十等邊形之每邊之半六寸為三率求得四率一尺八寸四分六釐六豪零八忽有餘為十等邊形内容圜之半徑或用求圜外切十等邊形之一邊之定率比例以定率之圜外切十等邊形之每邊三二四九一九七○為一率圜徑一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺六寸九分三釐二豪二絲有餘折半得一尺八寸四分六釐六豪一絲有餘為十等邊形内容圜之半徑即十等邊形之中心至每邊正中之垂線乃與每邊折半之數相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘為十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形試作一内容圜形自中心子至每邊之正中作子丑垂線遂平分戊巳邊於丑則戊丑即十八度之正切故以十八度之正切與半徑十萬之比同於今所設之毎邊之半戊丑與所得之内容圜半徑子丑之比也(此即圜外切十等邊形之法而轉用之也)又法用連比例三率有中率求末率之法以每邊一尺二寸為中率求得末率七寸四分一釐六豪四絲有餘(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率與中率相加得一尺九寸四分一釐六豪四絲有餘為首率即十等邊形之分角線(即十等邊形外切圜之半)(徑)乃以分角線為弦每邊之半為勾求得股一尺八寸四分六釐六豪零九忽有餘為十等邊形自中心至每邊正中之垂線(即十等邊形内容圜之半徑)乃以此垂線與每邊之半相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分五十四釐有餘即十等邊形之面積也如圖甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形子為十等邊形之中心試自中心子至戊巳二角作子戊子巳二線成子戊已三角形又自已角至丙角作巳丙線截子戊線於丑則又成巳丑戊三角形與子戊巳三角形為同式形故子戊線為首率(即理分中末線之全分)戊已邊為中率(即理分中末線之大分)而所截之子丑一段與戊巳邊等亦為中率丑戊一段即為末率(即理分中末線之小分)其比例為子戊首率與戊巳中率之比即同於戊已中率與丑戊末率之比故按連比例三率有中率求末率之法求得丑戊末率與子丑中率相加即得子戊首率為分角線又為十等邊形外切圜之半徑以子戊為弦戊巳邊之半戊寅為勾求得子寅股即十等邊形中心子至每邊正中之垂線又為十等邊形内容圜之半徑既得子寅垂線與戊已邊之半戊寅相乗得子戊巳一三角形之面積十因之即十等邊形之面積也又法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率十等邊形面積七六九四二○八八三為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為三率求得四率一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘即十等邊形之面積也葢十等邊形之每一邊為一○○○○則其自乗之正方面積為一○○○○○○○○而十等邊形之每一邊一○○○○所得之十等邊形面積為七六九四二○八八三故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等邊形之辰巳一邊一○○○○自乗之辰巳戌亥正方面積一○○○○○○○○與子丑寅卯辰已午未申酉十等邊形面積七六九四二○八八三之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之每一邊一尺二寸自乗之戊己乾坎正方面積一尺四十四寸與今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形面積一十一尺零七寸九十六分六十釐有餘之比也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之十等邊形之每邊三六○五一○五八為一率正方形之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之每邊一尺二寸為三率求得四率三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘為十等邊形面積相等之正方形每邊之數自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七釐有餘即十等邊形之面積也葢十等邊形之每邊為三六○五一○五八正方形之每邊為一○○○○○○○○則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等邊形之辰巳一邊三六○五一○五八與戌亥金木正方形之亥金一邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之戊巳一邊一尺二寸與今所得之乾坎艮震正方形之坎艮一邊三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘之比既得坎艮一邊自乗得乾坎艮震正方面積即與甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等邊形之面積為相等也如有十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐求每邊之數則用邊線相等面積不同之定率比例以定率之十等邊形之面積七六九四二○八八三為一率正方形之面積一○○○○○○○○為二率今所設之十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐為三率求得四率一尺四十四寸開方得一尺二寸即十等邊形之每一邊也此法葢因十等邊形之每邊與正方形之每邊相等十等邊形之面積與正方形之面積不同故先定為面與面之比例既得面積而後開方得線也又法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率十等邊形之每邊三六○五一○五八為二率今所設之十等邊形之面積一十一尺零七寸九十六分六十釐開方得三尺三寸二分八釐六豪一絲二忽有餘為三率求得四率一尺二寸即十等邊形之每一邊也此法葢因十等邊形之面積與正方形之面積相等十等邊形之每邊與正方形之每邊不同故以十等邊形之面積先開方既得方邊而後為線與線之比例也更面形設如正方形每邊一尺二寸今欲作與正方形積相等之圜面積問徑幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之正方形之每邊一○○○○○○○○為一率圜徑一一二八三七九一六為二率今所設之正方形之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺三寸五分四釐零五絲四忽有餘即所求之圜徑也葢正方形之每邊為一○○○○○○○○圜徑為一一二八三七九一六則兩面積相等故以子丑寅卯正方形之每邊一○○○○○○○○與辰巳圜徑一一二八三七九一六之比即同於今所設之甲乙丙丁正方形之每邊一尺二寸與今所得之戊巳圜徑一尺三寸五分四釐零五絲四忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如正方形面積一尺四十四寸今欲作與正方邊相等之圜徑問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之正方面積一○○○○○○○○為一率圜面積七八五三九八一六為二率今所設之正方面積一尺四十四寸為三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三釐有餘即所求之圜面積也葢正方面積為一○○○○○○○○圜面積為七八五三九八一六則正方形之每邊與圜徑相等故以子丑寅卯正方面積一○○○○○○○○與辰巳圜面積七八五三九八一六之比即同於今所設之甲乙丙丁正方面積一尺四十四寸與今所得之戊巳圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐有餘之比而正方形之每邊與圜徑亦為相等也設如圜徑一尺二寸今欲作與圜面積相等之三等邊形問每一邊幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之圜徑一一二八三七九一六為一率三等邊形之每邊一五一九六七一三七為二率今所設之圜徑一尺二寸為三率求得四率一尺六寸一分六釐一豪二絲八忽有餘即三等邊形之每一邊也葢圜徑為一一二八三七九一六三等邊形之每邊為一五一九六七一三七則兩面積相等故以子丑圜徑一一二八三七九一六與寅卯辰三等邊形之每邊一五一九六七一三七之比即同於今所設之甲乙圜徑一尺二寸與今所得之丙丁戊三等邊形之毎邊一尺六寸一分六釐一豪二絲八忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如圜面積一尺四十四寸今欲作與圜徑相等之五等邊形問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之圜面積七八五三九八一六為一率五等邊形面積一七二○四七七四一為二率今所設之圜面積一尺四十四寸為三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五釐有餘即五等邊形之面積也葢圜面積為七八五三九八一六五等邊形面積為一七二○四七七四一則圜徑與五等邊形之每邊相等故以子丑圜面積七八五三九八一六與寅卯辰巳午五等邊形面積一七二○四七七四一之比即同於今所設之甲乙圜面積一尺四十四寸與今所得之丙丁戊己庚五等邊形面積三尺一十五寸四十四分三十五釐有餘之比而圜徑與五等邊形之每邊亦為相等也設如六等邊形每邊一尺二寸今欲作與六等邊形面積相等之七等邊形問每一邊幾何法用面積相等邊線不同之定率比例以定率之六等邊形每邊六二○四○三二四為一率七等邊形之每邊五二四五八一二六為二率今所設之六等邊形每邊一尺二寸為三率求得四率一尺零一分四釐六豪五絲八忽有餘即七等邊形之每一邊也葢六等邊形每邊為六二○四○三二四七等邊形毎邊為五二四五八一二六則兩面積相等故以子丑寅卯辰巳六等邊形之每邊六二○四○三二四與午未申酉戌亥金七等邊形之每邊五二四五八一二六之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己六等邊形之每邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸乾坎艮七等邊形之每邊一尺零一分四釐六豪五絲八忽有餘之比而兩面積亦為相等也設如五等邊形面積一尺四十四寸今欲作與五等邊形每邊相等之八等邊形問積幾何法用邊線相等面積不同之定率比例以定率之五等邊形面積一七二○四七七四一為一率八等邊形面積四八二八四二七一二為二率今所設之五等邊形面積一尺四十四寸為三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二釐有餘即八等邊形之面積也葢五等邊形面積為一七二○四七七四一八等邊形面積為四八二八四二七一二則五等邊形之每邊與八等邊形之每邊相等故以子丑寅卯辰五等邊形之面積一七二○四七七四一與巳午未申酉戌亥金八等邊形之面積四八二八四二七一二之比即同於今所設之甲乙丙丁戊五等邊形之面積一尺四十四寸與今所得之己庚辛壬癸乾坎艮八等邊形之面積四尺零四寸一十二分八十二釐有餘之比而五等邊形之每邊與八等邊形之每邊亦為相等也御製數理精藴下編卷二十二
## 下編卷二十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十三體部一立方立方立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱横與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第相乗而後得其全積其開之也必次第析之而後得其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬纔為三十餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而法乃可施也設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何法列正方體積一百二十五尺自末位起算每方積三位定方邊一位今積止有三位則於五尺上作記定單位以自一至九自乗再乗之方根數與之相審知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五尺書於方積五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺書於方積原數之下相減恰盡即得開方之數為五尺也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊皆五尺其中函一尺小方體一百二十五自邊計之為五尺自面計之則為五尺自乗之二十五尺自通體計之則為五尺自乗再乗之一百二十五尺以積開之則與五尺自乗再乗之數相準故商除之恰盡也蓋方積為三位是以方邊止一位方積即五尺自乗再乗之數别無廉隅故不用次商如有餘實則自成廉隅而用次商矣設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈七百二十八尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊末位餘積七百二十八尺續書於下(大凡以餘積續書於下者每取方積之三位以當方邊之一位也)為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除方積七百二十八尺足二尺即定次商為二尺書於方積八尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈二尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺其中函積一丈七百二十八尺是為共積其先從一角所分戊乙庚己方體每邊一丈即初商數其中函積亦一丈即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊一丈即初商數其厚二尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊一丈亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其卯形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積此立方廉隅之法所由生也三商以後皆倣此逓析開之又法列積一丈七百二十八尺自末位起算作記定位同前乃截一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合則定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二十八尺續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積三百尺除方積七百二十八尺足二尺則定次商為二尺書於方積八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為一丈二尺也此法止用三方廉面積除立方體積得次商數即併初商數自乗再乗得數與原積相減雖為省去長廉小隅一層然方邊位數少者還為簡易至於方邊位數過四位以上則累次自乗再乗反比逓析之理為煩矣設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立方問每一邊數幾何(此題正方體積之六位皆以尺命位似與前題分丈尺者)(不同然其取方積三位續書於下其末位即命為單位立算則與丈尺同也)法列正方體積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於七尺上定單位八千尺上定十位其一十四萬八千尺為初商積以初商本位計之則八千尺為初商積之單位而一十四萬八千尺為一百四十八止與五自乗再乗之數相準即定初商為五書於方積八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五書於初商積之下相減餘二萬三千尺爰以方邊第二位餘積八百七十七尺續書於下共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積以除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上而以初商之五十尺與次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺為次商三長廉面積復以次商三尺自乗得九尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七千九百五十九尺為廉隅共法書於餘積之左以次商之三尺乗之得二萬三千八百七十七尺與餘積相減恰盡是開得五十三尺為正方體積每一邊之數也如圖甲乙丙丁正方體形每邊五十三尺其中函積一十四萬八千八百七十七尺是為共積其從一角所分戊乙庚己方體每邊五十尺即初商邊數其中函積一十二萬五千尺即初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸形三方體為三方廉其每邊五十尺即初商數其厚三尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長廉其每邊五十尺亦即初商數其闊其厚皆三尺亦即次商數方廉有三故三倍初商之自乗為廉法以定次商其邜形一小正方體為隅其長與闊與厚皆同為三尺亦即次商數故以次商為隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三長廉卯一方隅而成一磬折體形附於初商自乗再乗之方體三面而成一甲乙丙丁之總正方體積也又法列積一十四萬八千八百七十七尺自末位起算作記定位同前乃截一十四萬八千尺為初商積與五十自乗再乗之數相準則定初商五十尺書於方積八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二萬五千尺書於原積一十四萬八千之下相減餘二萬三千尺乃合第二位積八百七十七尺共二萬三千八百七十七尺為次商廉隅之共積而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺為次商三方廉面積即以三方廉面積除方積二萬三千八百七十七尺足三尺即定次商為三尺書於方積七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四萬八千八百七十七尺與原積符合相減恰盡即定立方邊為五十三尺也此法亦止用三方廉面積除立方體積得次商數即併初商數自乗再乗以減原積也設如正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記即於七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積八百六十尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百六十尺足二尺即定次商為二尺書於方積空尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉面積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與次商廉隅共積相減餘一百三十二尺即一十三萬二千寸復以方邊第三位餘積八百六十七寸續書於下共一十三萬二千八百六十七寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十三萬二千八百六十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得一丈二尺三寸為正方體積每一邊之數也設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺自末位起算每方積三位定方邊一位故隔二位作記乃於六尺上定單位八千尺上定十位四百萬尺上定百位其九千四百萬尺為初商積以初商本位計之則四百萬尺為初商積之單位而九千四百萬尺為九十四止與四自乗再乗之數相準即定初商為四書於方積四百萬尺之上而以四自乗再乗之六十四書於初商積之下相減餘三千萬尺爰以方邊第二位餘積八十一萬八千尺續書於下共三十零八十一萬八千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則八千尺為次商積之單位而三千零八十一萬八千尺為三萬零八百一十八而初商之四即為四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百為次商三方廉面積以除三萬零八百一十八足五倍即定次商為五書於方積八千尺之上而以初商之四十與次商之五相乗得二百三因之得六百為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五千四百二十五為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之五乗之得二萬七千一百二十五與次商廉隅共積相減餘三百六十九萬三千尺復以方邊末位餘積八百一十六尺續書於下共三百六十九萬三千八百一十六尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十萬零二千五百三因之得六十萬零七千五百為三商三方廉面積以除三百六十九萬三千八百一十六尺足六倍即定三商為六書於方積六尺之上而以初商次商之四百五十與三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百為三商三長廉面積復以三商之六自乗得三十六為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六十一萬五千六百三十六為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之六乗之得三百六十九萬三千八百一十六與三商廉隅共積相減恰盡是開得四百五十六尺為正方體積毎一邊之數也設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸開立方問每一邊數幾何法列正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作記即於七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈為初商積與七丈自乗再乗之數相準即定初商為七丈書於方積七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈書於初商積之下相減餘四丈即四千尺爰以方邊第二位餘積四百二十八尺續書於下共四千四百二十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一萬四千七百尺為次商三方廉面積以除方積四千四百二十八尺其數不足是次商為空位也乃書一空於方積八尺之上以存次商之位復以方邊末位餘積九百二十七寸續書於下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二萬八千九百二十七寸為三商廉隅之共積仍以次商三方廉面積一萬四千七百尺作一百四十七萬寸為廉法以除四百四十二萬八千九百二十七寸足三寸即定三商為三寸書於方積七寸之上又以初商之七丈為七百寸與三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一百四十七萬六千三百零九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得四百四十二萬八千九百二十七寸與三商廉隅共積相減恰盡是開得七丈零三寸為正方體積毎一邊之數也此法商出之方邊有空位凡廉法除餘積而數不足者皆依此例推之設如正方體積三千九百三十萬四千尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積三千九百三十萬四千尺補三空位以足其分自末空位起算每隔二位作記乃於空尺上定單位四千尺上定十位九百萬尺上定百位其三千九百萬尺為初商積以初商本位計之則九百萬尺為初商積之單位而三千九百為三十九止與三自乗再乗之數相準即定初商為三書於方積九百萬尺之上而以三自乗再乗之二十七書於初商積之下相減餘一千二百萬尺爰以方邊第二位餘積三十萬四千尺續書於下共一千二百三十萬四千尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四千尺為次商積之單位而一千二百三十萬四千尺為一萬二千三百零四而初商之三即為三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百為次商三方廉面積以除餘積一萬二千三百零四足四倍即定次商為四書於方積四千尺之上又以初商之三十與次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千零七十六為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之四乗之得一萬二千三百零四與餘積相減恰盡是開得三百四十尺為正方體積每一邊之數也此法方積之末有三空位故所得方邊之末亦補一空位凡設數未至單位者皆依此例補足位分然後開之設如正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分開立方問每一邊數幾何法列正方體積一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作記於四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈為初商積與一丈自乗再乗之數相合即定初商為一丈書於方積一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積八百七十九尺續書於下為次商廉隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺為次商三方廉面積以除八百七十九尺足二尺即定次商為二尺書於方積九尺之上而以初商之一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次商三長廉而積復以次商之二尺自乗得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺與餘積相減仍餘一百五十一尺即一十五萬一千寸又以方邊第三位餘積八十寸續書於下共一十五萬一千零八十寸為三商廉隅之共積乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一萬四千四百寸三因之得四萬三千二百寸為三商三方廉面積以除一十五萬一千零八十寸足三寸即定三商為三寸書於方積空寸之上而以初商次商之一百二十寸與三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸為三商三長廉面積復以三商之三寸自乗得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬四千二百八十九寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之三寸乗之得一十三萬二千八百六十七寸與餘積相減仍餘一萬八千二百一十三寸即一千八百二十一萬三千分又以方邊第四位餘積九百零四分續書於下共一千八百二十一萬三千九百零四分為四商廉隅之共積乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一萬二千九百分三因之得四百五十三萬八千七百分為四商三方廉面積以除一千八百二十一萬三千九百零四分足四分即定四商為四分書於方積四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分與四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一萬四千七百六十分為四商三長廉面積復以四商之四分自乗得一十六分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百五十五萬三千四百七十六分為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之四分乗之得一千八百二十一萬三千九百零四分與餘積相減恰盡是開得一丈二尺三寸四分為正方體積每一邊之數也設如正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺開立方問毎一邊數幾何法列正方體積八十億六千零一十五萬零一百二十五尺自末位起算每隔二位作記於五尺上定單位空千尺上定十位空百萬尺上定百位八十億尺上定千位其八十億尺為初商積以初商本位計之則八十億尺為初商積之單位而八十億尺為八止與二自乗再乗之數相合即定初商為二書於方積八十億尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減恰盡爰以方邊第二位餘積六千萬尺續書於下為次商廉隅之共積以次商本位計之則空百萬尺為次商之單位而六千萬尺為六十而初商之二即為二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除六十其數不足是次商為空位乃書一空於方積空百萬尺之上以存次商之位復以方邊第三位餘積一十五萬尺續書於下共六千零一十五萬尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則空千尺為三商之單位而六千零一十五萬尺為六萬零一百五十而初商之二即為二百次商之空即為空十故以初商次商之二空作二百自乗得四萬三因之得十二萬為三商三方廉面積以除六萬零一百五十其數仍不足是三商亦為空位乃再書一空於方積空千尺之上以存三商之位復以方邊末位餘積一百二十五尺續書於下共六千零一十五萬零一百二十五尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百萬尺三因之得一千二百萬尺為四商三方廉面積以除六千零一十五萬零一百二十五尺足五尺即定四商為五尺書於方積五尺之上而以初商之二千尺與四商之五尺相乗得一萬尺三因之得三萬尺為四商三長廉面積復以四商之五尺自乗得二十五尺為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千二百零三萬零二十五尺為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之五尺乗之得六千零一十五萬零一百二十五尺與餘積相減恰盡是開得二千零五尺為正方體積每一邊之數也此法商出之方邊有二空位凡開立方遇此類者皆依此例推之設如正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺開立方問每一邊數幾何法列正方體積三十二億九千四百六十四萬六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作記於二尺上定單位六千尺上定十位四百萬尺上定百位三十億尺上定千位其三十億尺為初商積以初商本位計之則三十億尺為初商積之單位而三十億尺為三止與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於方積三十億尺之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘二十億尺爰以方邊第二位餘積二億九千四百萬尺續書於下共二十二億九千四百萬尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則四百萬尺為次商積之單位而二十二億九千四百萬尺為二千二百九十四而初商之一即為一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除二千二百九十四足七倍因定次商為七而以初商之一十與次商之七相乗得七十三因之得二百一十為次商三長廉面積復以次商之七自乗得四十九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十九為次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大於次商廉隅之共積是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百一十六為次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大於次商廉隅之共積是次商不可商六也又改商五而以初商之一十與次商之五相乗得五十三因之得一百五十為次商三長廉面積復以次商之五自乗得二十五為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百七十五為次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大於次商廉隅之共積是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十與次商之四相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之四自乗得一十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四百三十六為次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小於次商廉隅之共積可減也乃以次商之四書於方積四百萬尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四與次商廉隅之共積相減餘五億五千萬尺復以方邊第三位餘積六十四萬六千尺續書於下共五億五千零六十四萬六千尺為三商廉隅之共積以三商本位計之則六千尺為三商積之單位而五億五千零六十四萬六千尺為五十五萬零六百四十六而初商次商之一十四即為一百四十乃以初商之一百四十自乗得一萬九千六百三因之得五萬八千八百為三商三方廉面積以除五十五萬零六百四十六足九倍因定三商為九而以初商次商之一百四十與三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十為三商三長廉面積復以三商之九自乗得八十一為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千六百六十一為三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六萬三千九百四十九大於三商廉隅之共積是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十與三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十為三商三長廉面積復以三商之八自乗得六十四為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六萬二千二百二十四為三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九萬七千七百九十二是小於三商廉隅之共積可減也乃以三商之八書於方積六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九萬七千七百九十二與三商廉隅之共積相減餘五千二百八十五萬四千尺復以方邊末位餘積二百七十二尺續書於下共五千二百八十五萬四千二百七十二尺為四商廉隅之共積以四商本位計之則積與邊皆仍為本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九萬零四百三因之得六百五十七萬一千二百為四商三方廉面積以除五千二百八十五萬四千二百七十二足八倍即定四商為八書於方積二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十與四商之八相乗得一萬一千八百四十三因之得三萬五千五百二十為四商三長廉面積復以四商之八自乗得六十四為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百六十萬六千七百八十四為四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五萬四千二百七十二與餘積相減恰盡是開得一千四百八十八尺為正方體積毎一邊之數也此法蓋因方邊之第三位第四位二數太大故次商廉隅之共積以次商之三方廉除得次商之邊繼而以次商之邊與次商廉隅共法相乗大於原積甚多改商三次所乗之數始與次商廉隅之共積相準而後次商之數可定凡開立方遇此類者皆依此例推之如或廉隅共法與商出之數相乗得數大於廉隅共積幾一倍者則改商必審其與廉隅共積相近小數始可為準也設如有積一萬四千七百三十四尺開立方問每一邊數幾何法列積一萬四千七百三十四尺自末位起算隔二位作記於四尺上定單位四千尺上定十位其一萬四千尺為初商積以初商本位計之則四千尺為初商積之單位而一萬四千為一十四止與二自乗再乗之數相準即定初商為二書於方積四千尺之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘六千尺爰以方邊第二位餘積七百三十四尺續書於下共六千七百三十四尺為次商廉隅之共積以次商本位計之則邊與積皆仍為本位而初商之二則為二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺為次商三方廉面積以除方積六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺與次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺為次商三長廉面積復以次商之五尺自乗得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共一千五百二十五尺為次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大於次商廉隅之共積是次商不可商五尺也乃改商四尺書於方積四尺之上而以初商之二十尺與次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺為次商三長廉面積復以次商之四尺自乗得一十六尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百五十六尺為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺與餘積相減仍餘九百一十尺是開得二十四尺為方體每一邊之數仍餘九百一十尺不盡也如欲以餘數再開則得方邊之寸數乃増三空於總積之後復續書三空於九百一十尺之後為幾百幾十幾寸之位是則九百一十尺作九十一萬寸為三商廉隅之共積爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五萬七千六百寸三因之得一十七萬二千八百寸為三商三方廉面積以除餘積九十一萬寸足五寸即定三商為五寸書於餘積空寸之上而以初商次商之二百四十寸與三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸為三商三長廉面積復以三商之五寸自乗得二十五寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十七萬六千四百二十五寸為三商廉隅共法書於餘積之左以三商之五寸乗之得八十八萬二千一百二十五寸與餘積相減仍餘二萬七千八百七十五寸不盡如再以餘數開之則得方邊之分數乃又續書三空於原積空寸之後復續書三空於二萬七千八百七十五寸之後為幾百幾十幾分之位是則二萬七千八百七十五寸作二千七百八十七萬五千分為四商廉隅之共積爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百萬零二千五百分三因之得一千八百萬零七千五百分為四商三方廉面積以除餘積二千七百八十七萬五千分足一分即定四商為一分書於餘積空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分與四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分為四商三長廉面積復以四商之一分自乗仍得一分為四商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千八百零一萬四千八百五十一分為四商廉隅共法書於餘積之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一萬四千八百五十一分與餘積相減仍餘九百八十六萬零一百四十九分不盡是開得二十四尺五寸一分為方體每一邊之數也此法原積本非自乗再乗所得之數雖逓析之終不能盡凡開立方遇此類者皆以此例推之設如有方亭幾座用方甎鋪地共用一千七百二十八塊其所鋪之座數與毎座毎行之甎數相等問亭之座數幾何法列方甎一千七百二十八塊為立方積用開立方法開之於八塊上定單位一千塊上定十位其一千塊為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於方積一千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減恰盡爰以第二位餘積七百二十八塊續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除七百二十八足二倍即定次商為二書於方積八塊之上而以初商之一十與次商之二相乗得二十三因之得六十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百六十四書於餘積之左以次商之二乗之得七百二十八與餘積相減恰盡是得所鋪亭數為一十二座也此法因所鋪之亭數與每行甎數相等是每行甎一十二塊其亭亦一十二座雖非立方形而法則立方法也故用立方開之設如有方倉一座共盛糧八百七十八石八斗問倉髙幾何法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺為立方積用開立方法開之其二千尺為初商積以初商本位計之則二千尺為初商積之單位止與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於方積二千之上而以一自乗再乗之一書於初商積之下相減餘一千尺爰以第二位餘積一百九十七尺續書於下共一千一百九十七尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除一千一百九十七尺足三倍即定次商為三書於方積七尺之上而以初商之一十與次商之三相乗得三十三因之得九十為次商三長廉面積復以次商之三自乗得九為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百九十九為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺與餘積相減恰盡是開得方倉之高為一十三尺也此法因糧是石法所問乃倉之尺數故先將石變為尺而開立方即得倉之髙也設如有方石一塊重一二萬六千六百二十兩問每邊尺寸幾何法以石之定率每寸重二兩五錢除二萬六千六百二十兩得一萬零六百四十八寸為立方積用開立方法開之其一萬寸為初商積以初商本位計之則空千位為初商積之單位而一萬尺為一十與二自乗再乗之數相準即定初商為二書於空千寸之上而以二自乗再乗之八書於初商積之下相減餘二千寸爰以第二位餘積六百四十八寸續書於下共二千六百四十八寸為次商廉隅之共積而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百為次商三方廉面積以除二千六百四十八寸足二倍即定次商為二書於方積八寸之上而以初商之二十與次商之二相乗得四十三因之得一百二十為次商三長廉面積復以次商之二自乗得四為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千三百二十四為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸與餘積相減恰盡是開得二十二寸為正方石毎一邊之數也此法因石是兩數所問乃石之寸數故先將石之兩數變為寸而開立方即得石之寸數也設如有水銀一萬六千三百四十四兩六錢八分欲作一方匣盛之問匣高幾何法先以水銀定率毎寸重一十二兩二錢八分除一萬六千三百四十四兩六錢八分得一千三百三十一寸為立方積用開立方法開之其一千寸為初商積以初商本位計之則一千為初商積之單位與一自乗再乗之數相合即定初商為一書於一千寸之上而以一自乗再乗之一書於方積一千寸之下相減恰盡爰以第二位餘積三百三十一寸續書於下為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三百三十一寸足一倍即定次商為一書於方積一寸之上而以初商之一十與次商之一相乗得一十三因之得三十為次商三長廉面積復以次商之一自乗仍得一為一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百三十一為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之一乗之仍得三百三十一與餘積相減恰盡是開得一十一寸為方匣之高也設如有方池一區其深與方相等容水四千零九十六尺問深幾何法列四千零九十六尺為立方積用開立方法開之其四千尺為初商積以初商本位計之則四千為初商積之單位與一自乗再乗之數相準即定初商為一書於四千尺之上而以一自乗再乗之一書於方積四千尺之下相減餘三千尺爰以第二位餘積九十六尺續書於下共三千零九十六尺為次商廉隅之共積而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百為次商三方廉面積以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺則合於初商之數再合方廉長廉小隅面積必大於次商廉隅之共積可知故商九尺八尺七尺皆仍大於次商廉隅之共積乃改商六尺書於方積六尺之上而以初商之一十與次商之六相乗得六十三因之得一百八十為次商三長廉面積復以次商之六自乗得三十六為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百一十六為次商廉隅共法書於餘積之左以次商之六乗之得三千零九十六與餘積相減恰盡是開得一十六尺為池之深也此法因池之深與方相等其所容水數即正方體積故立方開之得一邊之數即池之深也御製數理精藴下編卷二十三
## 下編卷二十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十四體部二帶縱較數立方帶縱和數立方(勾股法四條附)帶縱較數立方帶縱立方者兩兩等邊長方體積也高與闊相等惟長不同者為帶一縱立方長與闊相等而皆比高多者則為帶兩縱相同之立方至於長與闊與髙皆不等者則為帶兩縱不同之立方開之之法大㮣與立方同祗有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與闊相等惟長不同為問者則以初商為髙與闊以之自乘又以初商加縱數為長以之再乘得初商積至次商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附於初商積之方面者即初商數其二方亷附於初商積之長面者則帶縱也其二長亷附於初商積之方邊者即初商數其一長亷附於初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縱相同之法如以長與闊相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乘又以初商為髙以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初商積之正面者則帶兩縱其二方亷附於初商積之旁面者則各帶一縱也其一長亷附於初商積之髙邉者即初商數其二長亷附於初商積之長闊兩邊者則各帶一縱也其𢃄兩縱不同之法如以闊比髙多長比闊又多為問者則以初商為髙又以初商加闊縱為闊與髙相乘又加長縱為長以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初商積之正面者則𢃄兩縱其二方亷附於初商積之旁面者則一𢃄闊縱一𢃄長縱也其一長亷附於初商積之髙邊者即初商數其二長亷附於初商積之長闊兩邊者則各𢃄一縱也惟小隅則無論𢃄一縱兩縱皆各以所商之數自乘再乘成一小正方其每邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之闊與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商之例遞析推之法雖不一要皆本於正方而後加𢃄縱故凡商出之數皆為小邊方體共十二邊若𢃄一縱或𢃄兩縱相同者則八邊相等四邊相等若𢃄兩縱不同者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各邊也設如𢃄一縱立方積一百一十二尺其髙與闊相等長比髙闊多三尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其積一百一十二尺止可商四尺乃以四尺書於原積二尺之上而以所商四尺為髙與闊(因髙與闊等故四尺即方之髙與闊也)加縱多三尺得七尺為長即以髙與闊四尺自乗得一十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱四尺加縱多三尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲已為闊己戊為長甲乙甲已俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即所𢃄之縱甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也葢因此法髙與闊俱止一位其積止一位之積故初商所得即髙與闊之邊加入縱多即為長邊也凡有帶一縱無次商者依此法開之設如𢃄一縱立方積二千四百四十八尺其髙與闊相等長比髙闊多五尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其二千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之髙與闊加縱多五尺得十五尺為初商之長即以初商之髙與闊十尺自乗得一百尺又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺書於原積之下相減餘九百四十八尺為次商亷隅之共積乃以初商之髙與闊十尺自乗得一百尺(此一)(方亷初商數也)又以初商之髙與闊十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺(加倍為𢃄縱兩方亷即初商加縱多也)兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商亷隅之共積九百四十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之髙與闊十尺倍之得二十尺(此兩長亷初商數也)與初商之長十五尺相併(此𢃄)(縱一長亷也)得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺為次商三長亷面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方亷三長亷一小隅面積共得四百七十四尺為亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱一十二尺加縱多五尺得一十七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁長方體形容積二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊闊皆十二尺甲己長十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即縱多之數其從一角所分辛乙癸壬長方體形壬癸與辛乙皆十尺即初商數壬辛十五尺即初商加縱多之數辛乙癸壬長方積一千五百尺即初商自乗又以初商加縱多再乘之數所餘子形丑形寅形為三方廉其中寅形為一正方廉每邊十尺即初商數子形丑形為二長方廉每闊十尺長十五尺其長比闊多五尺即縱多之數其厚皆二尺即次商數卯形辰形巳形為三長廉其辰形巳形皆長十尺即初商數夘形比辰形巳形皆長五尺即縱多之數其闊與厚皆二尺亦即次商數其巳形一小正方體為隅其長闊與高皆二尺亦即次商數合子丑寅三方廉夘辰巳三長廉巳一小方隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總長方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積二千尺商十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之高與闊加縱多五尺得十五尺為初商之長即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺又以初商之長十五尺再乘得一千五百尺書於原積之下相減餘九百四十八尺為次商積乃以初商之髙與闊十尺自乘得一百尺又以初商之髙與闊十尺與初商之長十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商積九百四十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上合初商次商共一十二尺為初商次商之髙與闊加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商次商之髙與闊十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相減恰盡即知立方之髙與闊俱十二尺其長為十七尺也設如帶一縱立方積一萬九千零八寸其髙與闊相等長比髙闊多一百二十寸問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其一萬九千寸為初商積可商二十寸則以二十寸為髙與闊加縱多一百二十寸得一百四十寸為長即以髙與闊二十寸自乗得四百寸又以長一百四十寸再乘得五萬六千寸大於原積二倍有餘乃退商十寸書於原積九千寸之上而以所商十寸為初商之高與闊加縱多一百二十寸得一百三十寸為初商之長乃以初商之髙與闊十寸自乘得一百寸又以初商之長一百三十寸再乘得一萬三千寸書於原積之下相減餘六千零八寸為次商廉隅之共積乃以初商之髙與闊十寸自乘得一百寸又以初商之髙與闊十寸與初商之長一百三十寸相乘得一千三百寸倍之得二千六百寸兩數相併得二千七百寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積六千零八寸足二寸則以二寸書於原積八寸之上而以初商之髙與闊十寸倍之得二十寸又與初商之長一百三十寸相併得一百五十寸以次商之二寸乘之得三百寸為次商三長廉面積又以次商之二寸自乘得四寸為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千零四寸為廉隅共法以次商之二寸乘之得六千零八寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱十二寸加縱多一百二十寸得一百三十二寸即立方之長也此法因帶縱甚大按立方例所得初商數並加縱多所得初商積必大於原積㡬倍依次漸取小數開之又至甚煩故約略其分退商之至商出之積比原積微小而後可是則帶縱立方立法之最難者也設如帶一縱立方積二丈零四十二尺四百一十五寸其髙與闊相等長比髙闊多一尺二寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其二丈為初商積可商一丈乃以一丈書於原積二丈之上而以所商一丈為初商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二寸為初商之長即以初商之高與闊一丈自乘仍得一丈又以初商之長一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺書於原積之下相減餘九百二十二尺四百一十五寸為次商廉隅之共積乃以初商之高與闊一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之長一丈一尺二寸作一十一尺二寸與初商之高與闊一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺兩數相併得三百二十四尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積九百二十二尺足二尺則以二尺書於原積二尺之上而以初商之高與闊一十尺倍之得二十尺與初商之長一十一尺二寸相併得三十一尺二寸以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三百九十尺四十寸為廉隅共法以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸書於餘積之下相減仍餘一百四十一尺六百一十五寸即一十四萬一千六百一十五寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之一丈二尺為高與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺二寸為長乃以初商次商之高與闊一丈二尺作一百二十寸自乘得一萬四千四百寸又以初商次商之長一丈三尺二寸作一百三十二寸與初商次商之高與闊一百二十寸相乘得一萬五千八百四十寸倍之得三萬一千六百八十寸兩數相併得四萬六千零八十寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積一十四萬一千六百一十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上而以初商次商之髙與闊一百二十寸倍之得二百四十寸與長一百三十二寸相併得三百七十二寸以三商之三寸乘之得一千一百一十六寸為三商三長廉面積又以三商之三寸自乘得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得四萬七千二百零五寸為㢘隅共法以三商之三寸乘之得一十四萬一千六百一十五寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱一丈二尺三寸加縱多一尺二寸俱一丈三尺五寸即立方之長也又法以初商積二丈商一丈書於原積二丈之上而以所商一丈為初商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈一尺二寸為初商之長即以初商之高與闊一丈自乘仍得一丈又以初商之長一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺書於原積之下相減餘九百二十二尺四百一十五寸為次商積乃以初商之高與闊一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之長一丈一尺二寸作一十一尺二寸與初商之高與闊一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺兩數相併得三百二十四尺為次商三方廉面積以除次商積九百二十二尺四百一十五寸足二尺則以二尺書於原積二尺之上合初商次商共一丈二尺為初商次商之高與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺二寸為初商次商之長乃以初商次商之髙與闊一丈二尺自乘得一丈四十四尺又以初商次商之長一丈三尺二寸再乘得一丈九百尺零八百寸與原積相減餘一百四十一尺六百一十五寸即一十四萬一千六百一十五寸為三商積乃以初商次商之高與闊一丈二尺作一百二十寸自乘得一萬四千四百寸又以初商次商之長一丈三尺二寸作一百三十二寸與初商次商之高與闊一百二十寸相乘得一萬五千八百四十寸倍之得三萬一千六百八十寸兩數相併得四萬六千零八十寸為三商三方㢘面積以除三商積一十四萬一千六百一十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上合初商次商三商共一丈二尺三寸為初商次商三商之髙與闊加縱多一尺二寸得一丈三尺五寸為初商次商三商之長乃以初商次商三商之髙與闊一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之長一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸與原積相減恰盡即知立方之高與闊俱一丈二尺三寸其長為一丈三尺五寸也設如帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長與闊俱比髙多二尺問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小之數商七尺乃以七尺書於原積七尺之上而以所商七尺為高加縱多二尺得九尺為長與闊即以長與闊九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與闊也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積五百六十七尺其甲乙為高甲子為闊甲巳為長甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所帶之縱其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之積庚辛壬癸丙丁戊已磬折體形即所帶之縱積也此法因長闊俱比高多故初商所得為髙於高加縱多即長與闊也設如帶兩縱相同立方積三千四百六十八尺其長與闊俱比高多五尺問長闊高各㡬何法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積三千尺之上而以初商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺(此一方廉長闊皆帶一縱)(也)又以初商之髙十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺(加倍為帶縱兩方廉即初商加縱多也)兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之長與闊十五尺倍之得三十尺(此兩長廉即長闊各帶一縱也)與初商之髙十尺相併(此一長廉初商數也)得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得六百零九尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高為十二尺加縱多五尺得十七尺為立方之長與闊也如圖甲乙丙丁扁方體形容積三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊長甲已闊俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即縱多之數其從一角所分壬乙子癸扁方體形癸子與壬乙皆十尺即初商數壬癸與癸申皆十五尺即初商加縱多之數壬乙子癸扁方積二千二百五十尺即初商加縱多自乘又以初商再乘之數所餘丑形寅形夘形為三方廉其中寅形為一正方廉每邊十五尺即初商加縱多之數丑形夘形為二長方廉每高十尺長十五尺其長比髙多五尺即縱多之數其厚皆二尺即次商數辰形巳形午形為三長廉巳形長十尺即初商數辰形午形比巳形俱長五尺即縱多之數其闊與厚皆一尺亦即次商數其巳形一小正方體為隅其長闊高皆二尺亦即次商數合丑寅夘三方廉辰巳午三長廉巳一小方隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積三千尺商十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊即以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘一千二百一十八尺為次商積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商積一千二百一十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加縱多五尺得十七尺為初商次商之長與闊乃以初商次商之長與闊十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺與原積相減恰盡即知立方之高為十二尺其長與闊得十七尺也設如帶兩縱相同立方積一百零三萬四千二百八十九寸其長與闊俱比高多三百三十寸問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之其一百萬寸為初商積可商一百寸乃以所商一百寸為高加縱多三百三十寸得四百三十寸為長與闊即以長與闊四百三十寸自乘得一十八萬四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九萬寸大於原積十倍有餘是初商不可商一百寸也乃改商十寸為高(既大於原積十倍有)(餘故取十分之一商之為十寸)加縱多三百三十寸得三百四十寸為長與闊即以長與闊三百四十寸自乘得一十一萬五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五萬六千寸仍大於原積是亦不可商一十寸也乃改商九寸書於原積九寸之上而以所商九寸為髙加縱多三百三十寸得三百三十九寸為長與闊即以長與闊三百三十九寸自乘得一十一萬四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三萬四千二百八十九寸書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為九寸加縱多三百三十寸得三百三十九寸為立方之長與闊也設如帶兩縱相同立方積一十一丈五百零九尺二百六十八寸其長與闊俱比高多二尺一寸問長闊髙各㡬何法列積如開立方法商之其一十一丈為初商積可商二丈乃以二丈書於原積一丈之上而以所商二丈為初商之髙加縱多二尺一寸得二丈二尺一寸為初商之長與闊乃以初商之長與闊二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸書於原積之下相減餘一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺與初商之長與闊二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺兩數相併得一千三百七十二尺四十一寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千七百四十一尺零六十八寸足一尺則以一尺書於原積九尺之上而以初商之長與闊二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸與初商之髙二十尺相併得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸為次商三長廉面積又以次商之一尺自乘仍得一尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千四百三十七尺六十一寸為廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸書於餘積之下相減仍餘三百零三尺四百五十八寸即三十萬三千四百五十八寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之二丈一尺為髙加縱多二尺一寸得二丈三尺一寸為長與闊乃以初商次商之長與闊二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五萬三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸與初商次商之長與闊二百三十一寸相乘得四萬八千五百一十寸倍之得九萬七千零二十寸兩數相併得一十五萬零三百八十一寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積三十萬零三千四百五十八寸足二寸則以二寸書於原積八寸之上而以初商次商之長與闊二百三十一寸倍之得四百六十二寸與初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸為三商三長廉面積又以三商之二寸自乘得四寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十五萬一千七百二十九寸為廉隅共法以三商之二寸乘之得三十萬三千四百五十八寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之高得二丈一尺二寸加縱多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之長與闊也設如帶兩縱不同立方積一百九十二尺其闊比高多二尺其長比闊又多二尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺為髙加闊比髙多二尺得七尺為闊再加長比闊多二尺得九尺為長即以高五尺與闊七尺相乘得三十五尺又以長九尺再乘得三百一十五尺大於原積乃改商四尺書於原積二尺之上而以所商四尺為髙加闊比髙多二尺得六尺為闊再加長比闊多二尺得八尺為長即以髙四尺與闊六尺相乘得二十四尺又以長八尺再乘得一百九十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺其闊為六尺其長為八尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百九十二尺其甲乙為髙四尺甲已為闊六尺己戊為長八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即闊比髙所帶之縱己戊比己辛所多辛戊四尺即長比髙所帶之縱甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方積庚壬癸子丙丁戊辛已磬折體形即長闊兩縱所多之長方積也此法因長比闊多闊又比髙多故初商所得即為髙於髙加闊縱為闊於闊加長縱為長也設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其闊比髙多二尺其長比闊又多四尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商之闊再加長比闊多四尺得十六尺為初商之長乃以初商之高十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之長十六尺再乘得一千九百二十尺書於原積之下相減餘一千一百零四尺為次商廉隅之共積乃以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺(此帶闊縱一方廉也)又以初商之高十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺(此帶長縱一方廉也)又以初商之闊十二尺與初商之長十六尺相乘得一百九十二尺(此帶長闊兩縱一方廉也)三數相併得四百七十二尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一千一百零四尺足二尺則以二尺書於原積四尺之上而以初商之髙十尺(此一長廉初商數也)與初商之闊十二尺相併(此帶闊縱一長廉也)得二十二尺又與初商之長十六尺相併(此帶長縱一長廉也)得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得五百五十二尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高得十二尺加闊比髙多二尺得十四尺為闊又加長比闊多四尺得十八尺為長也如圖甲乙丙丁長方體形容積三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊闊十四尺甲已長十八尺甲戊比甲庚所多二尺即闊比髙所多之數甲已比辛己所多六尺即長比髙所多之數其從一角所分壬乙子癸長方體形壬乙與癸子皆十尺即初商之數壬未與癸申皆十二尺即初商之髙加闊多之數壬癸與未申皆十六尺即初商之髙加闊多又加長多之數壬乙子癸長方體形所容一千九百二十尺即初商積所餘丑形寅形夘形為三方廉其夘形之髙十尺即初商之數其帶闊縱二尺如酉即闊多之數其丑形之髙十尺亦即初商之數其帶長縱六尺如戌即長多之數其寅形之闊十尺又帶闊多二尺如亥即初商之髙加闊多之數其帶長縱六尺如乾即初商之髙加闊多又加長多之數其厚皆二尺即次商之數辰形巳形午形為三長廉其辰形之長十尺即初商之數巳形比辰形所多二尺如坎即闊多之數其午形比辰形所多六尺如艮即長多之數其闊與厚皆二尺亦即次商之數其已形一小正方體為隅其長闊與髙俱二尺亦即次商之數合三方廉三長廉一小隅共成一磬折體形附於初商長方體之三面而成甲乙丙丁之總長方體積也三商以後皆倣此遞析開之又法以初商積三千尺商十尺書於原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加闊比髙多二尺得十二尺為初商之闊再加長比闊多四尺得十六尺為初商之長即以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之長十六尺再乘得一千九百二十尺書於原積之下相減餘一千一百零四尺為次商積乃以初商之闊十二尺與初商之長十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之髙十尺與初商之闊十二尺相乘得一百二十尺又以初商之髙十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數相併得四百七十二尺為次商三方廉面積以除次商積一千一百零四尺足二尺則以二尺書於原積四尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加闊比髙多二尺得十四尺為初商次商之闊再加長比闊多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次商之高十二尺與初商次商之闊十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之長十八尺再乘得三千零二十四尺與原積相減恰盡即知立方之髙為十二尺其闊為十四尺其長為十八尺也設如帶兩縱不同立方積三十萬零一百六十寸其闊比髙多九十二寸其長比髙多一百一十四寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三十萬寸為初商積可商六十寸乃以所商六十寸為髙加闊比髙多九十二寸得一百五十二寸為闊再加長比髙多一百一十四寸得一百七十四寸為長即以高六十寸與闊一百五十二寸相乘得九千一百二十寸又以長一百七十四寸再乘得一百五十八萬六千八百八十寸大於原積五倍有餘是初商不可商六十寸也乃改商二十寸書於原積空千寸之上而以所商二十寸為高加闊比髙多九十二寸得一百一十二寸為闊又以高二十寸加長比高多一百一十四寸得一百三十四寸為長乃以高二十寸與闊一百一十二寸相乘得二千二百四十寸又以長一百三十四寸再乘得三十萬零一百六十寸書於原積之下相減恰盡是知次商為空位而立方之髙為二十寸其闊為一百一十二寸其長為一百三十四寸也設如帶兩縱不同立方積一萬三千二百八十四寸其闊比髙多三寸其長比闊多一百一十一寸問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其一萬三千寸為初商積可商二十寸乃以所商二十寸為高加闊比髙多三寸得二十三寸為闊再加長比闊多一百一十一寸得一百三十四寸為長即以髙與闊與長按法相乘得六萬一千六百四十寸大於原積四倍有餘是初商不可商二十寸也乃退商十寸而以所商十寸為髙加闊比高多三寸得十三寸為闊再加長比闊多一百一十一寸得一百二十四寸為長即以髙與闊與長按法相乘得一萬六千一百二十寸仍大於原積乃復退商九寸書於原積四寸之上而以所商九寸為髙加闊比髙多三寸得十二寸為闊再加長比闊多一百一十一寸共一百二十三寸為長即以高九寸與闊十二寸相乘得一百零八寸又以長一百二十三寸再乘得一萬三千二百八十四寸書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為九寸其闊為十二寸其長為一百二十三寸也設如帶兩縱不同立方積一十三丈二百四十九尺五百四十五寸其闊比髙多一尺其長比闊又多二尺二寸問髙闊長㡬何法列積如開立方法商之其一十三丈為初商積可商二丈乃以二丈書於原積三丈之上而以所商二丈為初商之髙加闊比髙多一尺得二丈一尺為初商之闊再加長比闊多二尺二寸得二丈三尺二寸為初商之長即以初商之髙二丈與初商之闊二丈一尺相乘得四丈二十尺又以初商之長二丈三尺二寸再乘得九丈七百四十四尺書於原積之下相減餘三丈五百零五尺五百四十五寸即三千五百零五尺五百四十五寸為次商廉隅之共積乃以初商之髙二丈作二十尺初商之闊二丈一尺作二十一尺相乘得四百二十尺又以初商之長二丈三尺二寸作二十三尺二寸與初商之髙二十尺相乘得四百六十四尺又以初商之闊二十一尺與初商之長二十三尺二寸相乘得四百八十七尺二十寸三數相併得一千三百七十一尺二十寸為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積三千五百零五尺五百四十五寸足二尺則以二尺書於原積九尺之上而以初商之髙二十尺與初商之闊二十一尺初商之長二十三尺二寸相併得六十四尺二寸以次商之二尺乘之得一百二十八尺四十寸為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一千五百零三尺六十寸為廉隅共法以次商之二尺乘之得三千零七尺二百寸書於餘積之下相減仍餘四百九十八尺三百四十五寸即四十九萬八千三百四十五寸為三商廉隅之共積其初商次商所得之二丈二尺為髙加闊比髙多一尺得二丈三尺為闊又加長比闊多二尺二寸得二丈五尺二寸為長乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸初商次商之闊二丈三尺作二百三十寸相乘得五萬零六百寸又以初商次商之長二丈五尺二寸作二百五十二寸與初商次商之髙二百二十寸相乘得五萬五千四百四十寸又以初商次商之闊二百三十寸與初商次商之長二百五十二寸相乘得五萬七千九百六十寸三數相併得一十六萬四千寸為三商三方廉面積以除三商廉隅之共積四十九萬八千三百四十五寸足三寸則以三寸書於原積五寸之上而以初商次商之髙二百二十寸與初商次商之闊二百三十寸初商次商之長二百五十二寸相併得七百零二寸以三商之三寸乘之得二千一百零六寸為三商三長廉面積又以三商之三寸自乘得九寸為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得一十六萬六千一百一十五寸為廉隅共法以三商之三寸乘之得四十九萬八千三百四十五寸書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙得二丈二尺三寸加闊比髙多一尺得二丈三尺三寸為闊又加長比闊多二尺二寸得二丈五尺五寸為長也設如帶兩縱不同立方積一百三十二萬八千二百五十尺其闊比髙多五尺其長比闊又多五尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其一百萬尺為初商積可商一百尺乃以一百尺書於原積一百萬尺之上而以所商之一百尺為初商之髙加闊比髙多五尺得一百零五尺為初商之闊再加長比闊多五尺得一百一十尺為初商之長乃以初商之髙一百尺與初商之闊一百零五尺相乘得一萬零五百尺又以初商之長一百一十尺再乘得一百一十五萬五千尺書於原積之下相減餘一十七萬三千二百五十尺為次商廉隅之共積乃以初商之髙一百尺與初商之闊一百零五尺相乘得一萬零五百尺又以初商之髙一百尺與初商之長一百一十尺相乘得一萬一千尺又以初商之闊一百零五尺與初商之長一百一十尺相乘得一萬一千五百五十尺三數相併得三萬三千零五十尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積一十七萬三千二百五十尺不足一十尺僅足五尺是次商為空位也乃書一空於原積八千尺之上以存次商之位復以所商五尺書於原積空尺之上而以初商次商之髙一百尺與初商次商之闊一百零五尺初商次商之長一百一十尺相併得三百一十五尺以三商之五尺乘之得一千五百七十五尺為三商三長廉面積又以三商五尺自乘得二十五尺為三商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三萬四千六百五十尺為廉隅共法以三商之五尺乘之得一十七萬三千二百五十尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之髙為一百零五尺加闊比髙多五尺得一百一十尺為闊又加長比闊多五尺得一百一十五尺為長也設如一尺土方三萬九千六百八十八尺築堤一段其髙與闊相等其長比高闊多六十尺問髙闊長各㡬何法列積用帶一縱立方法開之其三萬九千尺為初商積可商三十尺乃以所商三十尺為髙與闊加縱多六十尺得九十尺為長即以髙與闊三十尺自乘得九百尺又以長九十尺再乘得八萬一千尺大於原積乃改商二十尺書於原積九千尺之上而以所商二十尺為初商之髙與闊加縱多六十尺得八十尺為初商之長即以初商之髙與闊二十尺自乘得四百尺又以初商之長八十尺再乘得三萬二千尺書於原積之下相減餘七千六百八十八尺為次商廉隅之共積乃以初商之高與闊二十尺自乘得四百尺又以初商之長八十尺與初商之高與闊二十尺相乘得一千六百尺倍之得三千二百尺兩數相併得三千六百尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積七千六百八十八尺足二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商之髙與闊二十尺倍之得四十尺與初商之長八十尺相併得一百二十尺以次商之二尺乘之得二百四十尺為次商三長廉面積又以次商之二尺自乘得四尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得三千八百四十四尺為廉隅共法以次商之二尺乘之得七千六百八十八尺書於餘積之下相減恰盡是知堤之髙與闊俱二十二尺加長比髙闊多六十尺得八十二尺為堤一段之長也設如有倉一座容米二千四百石其倉之長與闊俱比髙多五尺問倉之長闊髙各㡬何法将米二千四百石用每石定法二尺五百寸乘之得六千尺乃以六千尺為帶兩縱相同立方積用帶兩縱相同法開之其六千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之高加縱多五尺得十五尺為初商之長與闊乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺書於原積之下相減餘三千七百五十尺為次商廉隅之共積乃以初商之長與闊十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺與初商之長與闊十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得五百二十五尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積三千七百五十尺足七尺乃按法算之得廉隅共法八百五十四尺以次商之七尺乘之得五千九百七十八尺大於次商廉隅之共積乃改商六尺按法算之得廉隅共法八百零一尺以次商之六尺乘之仍大於次商廉隅之共積又改商五尺書於原積空尺之上而以初商之長與闊十五尺倍之得三十尺與初商之高十尺相併得四十尺以次商之五尺乘之得二百尺為次商三長廉面積又以次商之五尺自乘得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得七百五十尺為廉隅共法以次商之五尺乘之得三千七百五十尺書於餘積之下相減恰盡是知倉之高為一十五尺加縱多五尺得二十尺為倉之長與闊也設如挑河一段但知挑出土方七萬六千一百四十尺其寬比深多三尺其長比寬多二百六十四尺問寬長深各㡬何法列積用帶兩縱不同立方法開之其七萬六千尺為初商積可商四十尺因長縱甚多故取小數商二十尺為深加寬比深多三尺得二十三尺為寬再加長比寬多二百六十四尺得二百八十七尺為長以三數相乘得十萬三千二百零二十尺大於原積乃改商十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之深加寬比深多三尺得十三尺為初商之寬再加長比寬多二百六十四尺得二百七十七尺為初商之長乃以初商之深十尺與初商之寬十三尺相乘得一百三十尺又以初商之長二百七十七尺再乘得三萬六千零十尺書於原積之下相減餘四萬零一百三十尺為次商亷隅之共積乃以初商之深十尺與初商之寬十三尺相乘得一百三十尺又以初商之寬十三尺與初商之長二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺與初商之長二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三數相併得六千五百零一尺為次商三方廉面積以除次商廉隅之共積四萬零一百三十尺足五尺則以五尺書於原積空尺之上而以初商之深十尺與初商之寬十三尺初商之長二百七十七尺相併得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺為次商三長亷面積又以次商之五尺自乘得二十五尺為次商一小隅面積合三方廉三長廉一小隅面積共得八千零二十六尺為廉隅共法以次商之五尺乘之得四萬零一百三十尺書於餘積之下相減恰盡是知挑河之深為十五尺加寬比深多三尺得十八尺為寬再加長比寛多二百六十四尺得二百八十二尺為河一段之長也𢃄縱和數立方𢃄縱較數立方其法已難而𢃄縱和數立方立法尤難故古無傳而以理推之則法有與較數相對待者其𢃄一縱立方高與闊相等惟長不同如以長與高和或長與闊和為問者則以初商為高與闊而與和數相減餘為長乃以高與闊自乗以長再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大於原積者則以和數除原積得數約開平方可得幾數取略大數以定初商初商減積有餘實者其初商方積外有二方亷一長亷成兩面磬折體形而初商之高與闊少一次商初商之長多一次商故内少一方亷積商除之法則以初商之高與闊與初商之長相乗倍之為二方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷積與餘實相加始足次商二方亷一長亷之共積故以次商與初商之長相減餘為初商次商之共長與初商相乗倍之為二方亷面積又以初商次商之共長與次商相乗為一長亷面積合二方亷一長亷面積以次商乗之為二方亷一長亷之共積所謂初商方積外成兩面磬折體形是也其𢃄兩縱相同立方長與闊相等惟高不同如以高與闊和或高與長和為問者則以初商為高與和數相減餘為長與闊乃以長與闊自乗以高再乗為初商積其或和數甚多而積甚少按立方法商之必至大於原積者則以和數自乗除原積約足幾倍取略大數以定初商初商減積有餘實者初商方積外止一方亷成一扁方體形而初商之高少一次商初商之長與闊各多一次商故内少二方亷一長亷積商除之法則以初商之長與闊自乗為一方亷面積視餘實足方亷面積幾倍取略大數以定次商以次商與初商之長與闊相減餘為初商次商之長與闊而與初商相乗次商再乗倍之為二方亷積又以次商自乗初商再乗為一長亷積合二方亷一長亷積與餘實相加始足次商一方亷積故以初商次商之長與闊自乗次商再乗為一方亷積所謂初商方積外成一扁方體形是也其𢃄兩縱不同立方與𢃄兩縱相同立方同但帶兩縱相同者其次商積為一正方廉帶兩縱不同者其次商積為一長方廉耳要之定商皆以小於半和為準有時退商而反不足進商而反有餘須合初商次商以斟酌之至次商以後因有益積之法故廉法亦不足憑則又須較量而増損之可也設如帶一縱立方積七百六十八尺其高與闊等長與闊和二十尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積七百六十八尺可商九尺則以九尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十一尺為長即以高與闊九尺自乘得八十一尺又以長十一尺再乘得八百九十一尺大於原積乃退商八尺書於原積八尺之上而以所商八尺為高與闊與長闊和二十尺相減餘十二尺為長即以髙與闊八尺自乘得六十四尺又以長十二尺再乘得七百六十八尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱八尺長十二尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積七百六十八尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙乙丙俱八尺丙丁為十二尺乙丙與丙丁共二十尺即長闊之和初商所得即高與闊於長闊和内減去初商所餘即長也此法與較數帶縱立方有加減之異彼以所商之數與較數相加此則以所商之數與和數相減也設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其高與闊相等長與闊和二十九尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其二千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積二千尺之上而以所商十尺為初商之高與闊與長闊和二十九尺相減餘十九尺為初商之長即以初商之高與闊十尺自乘得一百尺又以初商之長十九尺再乘得一千九百尺書於原積之下相減餘五百四十八尺乃以初商之髙與闊十尺與初商之長十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除餘積五百四十八尺足一尺因仍益積且初商之長尚減去次商數故取大數為二尺則以二尺書於原積八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺與餘積五百四十八尺相加得七百四十八尺為次商二方廉一長廉之共積乃以次商二尺與初高之長十九尺相減餘十七尺為初商次商之長與初商之高與闊十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺為二方廉面積又以次商二尺與初商次商之長十七尺相乘得三十四尺為一長廉面積合二方廉一長廉面積共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高與闊俱十二尺長十七尺也如圖甲乙丙丁長方體形甲乙高乙戊闊皆十二尺戊丙長十七尺乙戊與戊丙共二十九尺即長闊之和其從一角所分己乙壬癸長方體形己乙與乙庚皆十尺即初商數壬庚十九尺即長闊和内減初商所餘之數比戊丙多子壬一段即次商數己乙壬癸長方積一千九百尺即初商自乘又以初商與長闊和相減之餘再乘之數比初商原體積多丑寅壬癸一扁方體形因初商積内多減去此積故以初商自乗次商再乗而得丑寅壬癸扁方體積與餘積相加即得甲己辛庚丙丁兩面磬折體形其辰形巳形為兩方廉其闊十尺即初商數其長十七尺即長闊和内減初商次商之數其厚皆二尺即次商數午形為一長廉其長十七尺與方廉同其闊與厚皆二尺亦即次商數合二方廉一長廉共成一磬折體形附於長方體之兩面而成甲乙丙丁之總長方體積也設如帶一縱立方積九萬九千九百五十四尺其高與闊相等長與闊和一千二百四十三尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其九萬九千尺為初商積可商四十尺而長闊和為一千二百四十三尺按法相乘過大於原積爰以長闊和一千二百四十三尺除原積九萬九千九百五十四尺足八十尺有餘以八十尺開平方約足九尺乃以九尺書於原積四尺之上而以所商九尺為髙與闊與長闊和一千二百四十三尺相減餘一千二百三十四尺為長即以髙與闊九尺自乘得八十一尺又以長一千二百三十四尺再乘得九萬九千九百五十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙與闊俱九尺長一千二百三十四尺也此法葢因帶一縱甚多高與闊甚少其長闊和比長所多無㡬故以長闊和除原積即得髙與闊自乘之一面積而開平方所得即髙與闊與長闊和相減所餘即長也設如帶兩縱相同立方積三百八十四尺其長與闊相等高與闊和十四尺問髙闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積三百八十四尺可商七尺因欲得小於半和之數乃退商六尺書於原積四尺之上而以所商六尺為高與高闊和十四尺相減餘八尺為長與闊即以長與闊八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺長與闊皆八尺也如圖甲乙丙丁戊己扁方體形容積三百八十四尺其甲乙為高乙丙為闊丙丁為長甲乙六尺乙丙與丙丁皆八尺甲乙與乙丙共十四尺即高與闊之和初商所得為高於高闊和内減去初商所餘為闊亦即長也設如帶兩縱相同立方積六千九百一十二尺其長與闊相等高與闊和三十六尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其六千尺為初商積可商十尺乃以十尺書於原積六千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之長與闊即以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺書於原積之下相減餘一百五十二尺乃以初商之長與闊二十六尺自乘得六百七十六尺以除餘積一百五十二尺不足一尺因仍益積且初商之長與闊内尚減去次商數故取大數為二尺書於原積二尺之上而以次商二尺與初商之長與闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之長與闊與初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺為二方廉積又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千尺與餘積一百五十二尺相加得一千一百五十二尺為次商一方廉積乃以初商次商之長二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺長與闊皆二十四尺也如圖甲乙丙丁扁方體形容積六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊長甲己闊俱二十四尺甲己與甲乙共三十六尺即高與闊之和其從一面所分庚乙癸子扁方體形庚乙十尺即初商數庚丑與庚寅皆二十六尺即高闊和内減初商之數庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積六千七百六十尺即初商與高闊和相減之餘數自乘又以初商再乘之數比初商原體積多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與闊與初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊扁方體形其甲戊長甲己闊皆二十四尺即高闊和内減初商次商之數甲庚厚二尺即次商數附於初商扁方體之一面而成甲乙丙丁之總扁方體積也三商以後皆倣此遞析推之設如帶兩縱相同立方積三百九十六萬八千零六十四尺其長與闊相等高與闊和一千尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其三百萬尺為初商積可商一百尺而高闊和為一千尺按法相乘過大於原積爰以髙闊和一千尺自乘得一百萬尺以除原積三百九十六萬八千零六十四尺足三尺取略大數為四尺乃以四尺書於原積四尺之上而以所商四尺為髙與高闊和一千尺相減餘九百九十六尺為長與闊即以長與闊九百九十六尺自乘得九十九萬二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六萬八千零六十四尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為四尺長與闊俱九百九十六尺也此法葢因帶兩縱甚多而高數甚少其高闊和比原長原闊所多無㡬故以高闊和自乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊亦即長邊也設如帶兩縱不同立方積四百八十尺高與闊和十四尺高與長和十六尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其積四百八十尺可商七尺因欲得小於半和之數乃退商六尺書於原積空尺之上而以所商六尺為高與高與闊和十四尺相減餘八尺為闊又以高六尺與高與長和十六尺相減餘十尺為長即以高六尺與闊八尺相乘得四十八尺又以長十尺再乘得四百八十尺書於原積之下相減恰盡是知立方之高為六尺其闊為八尺其長為十尺也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積四百八十尺其甲乙為高六尺乙丙為闊八尺甲己為長十尺甲己與甲乙共十六尺即高與長之和甲乙與乙丙共十四尺即高與闊之和初商所得為高與高闊和相減所餘為闊以高與高長和相減所餘即長也設如帶兩縱不同立方積八千零六十四尺高與闊和三十六尺高與長和四十尺問高闊長各㡬何法列積如開立方法商之其八千尺為初商積可商二十尺因欲得小於半和之數乃退商十尺書於原積八千尺之上而以所商十尺為初商之高與高闊和三十六尺相減餘二十六尺為初商之闊又以初商之高十尺與高長和四十尺相減餘三十尺為初商之長即以初商之高十尺與初商之闊二十六尺相乘得二百六十尺以初商之長三十尺再乘得七千八百尺書於原積之下相減餘二百六十四尺為一長方廉積其厚即次商之數其長與闊比初商之長與闊各少一次商之數乃以初商之長三十尺與初商之闊二十六尺相乘得七百八十尺以除餘積二百六十四尺不足一尺因仍益積且初商之長闊尚減去次商數故取大數為二尺書於原積四尺之上而以所商二尺與初商之闊二十六尺相減餘二十四尺為初商次商之闊以所商二尺與初商之長三十尺相減餘二十八尺為初商次商之長即以初商次商之闊二十四尺與初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之長二十八尺與初商之高十尺相乘得二百八十尺兩數相併得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺為二方廉積又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺為一長廉積合二方廉一長廉積共一千零八十尺與餘積二百六十四尺相加得一千三百四十四尺為次商一方廉積乃以初商次商之闊二十四尺與長二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺書於餘積之下相減恰盡是知立方之高十二尺闊二十四尺長二十八尺也如圗甲乙丙丁扁長方體形容積八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊長二十八尺甲己闊二十四尺甲乙與甲己共三十六尺即高與闊之和甲乙與甲戊共四十尺即高與長之和其從一面所分庚乙癸子扁長方體形庚乙十尺即初商數庚丑三十尺即高與長和内減初商之數庚寅二十六尺即高與闊和内減初商之數庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商數庚乙癸子長方積七千八百尺即初商之長與初商之闊相乘又以初商之高再乘之數比原長原闊多巳午二方廉積未一長廉積因初商積内多減去此積故以初商次商之長與初商之髙相乘以初商次商之闊與初商之髙相乘兩數相併以次商再乘即得巳午二方廉積又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一長廉積與餘積相加即得甲庚辛壬丁戊一扁長方體形其甲巳闊二十四尺即髙闊和内減初商次商之數甲戊長二十八尺即髙長和内減初商次啇之數甲庚厚二尺即次啇數附於初啇扁長方體之一面而成甲乙丙丁之總扁長方體積也三商以後皆倣此逓折推之設如帶兩縱不同立方積一十七萬二千六百九十二尺髙與闊和一百二十九尺髙與長和二百四十尺問髙闊長各幾何法列積如開立方法商之其一十七萬二千尺為初商積可啇五十尺而長即為一百九十尺闊即為七十九尺按法相乘過大於原積爰以髙與闊和一百二十九尺與髙與長和二百四十尺相乘得三萬零八百六十尺以除原積一十七萬二千六百九十二尺足五尺取略大之數為六尺乃以六尺書於原積二尺之上而以所商六尺為髙與髙與闊和一百二十九尺相減餘一百二十三尺為闊又以髙六尺與髙與長和二百四十尺相減餘二百三十四尺為長即以闊一百二十三尺與長二百三十四尺相乘得二萬八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七萬二千六百九十二尺書於原積之下相減恰盡是知立方之髙為六尺闊為一百二十三尺長為二百三十四尺也此法蓋因帶兩縱甚多而髙數甚少其髙與闊和比原闊所多無幾髙與長和比原長所多亦無㡬故以高與闊和與高與長和相乘得一面積以除原積即得高與高闊和相減所餘為闊與高與長和相減所餘即長也附勾股法四條設如勾股積六尺勾弦較二尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦較二尺除之得七十二尺折半得三十六尺為長方體積乃以勾弦較二尺折半得一尺為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊三尺為勾加勾弦較二尺得五尺為弦以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾弦較必得股自乘積以勾弦較除之始得勾弦和而勾弦和為二勾一勾弦較之共數將勾弦和半之為一勾半勾弦較之共數今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之髙與闊勾與半勾弦較之共數為帶縱立方之長半勾弦較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其長為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之長又為勾弦較與勾弦和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戌乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾弦較甲乙丙長即勾弦和今以股自乘之數用勾弦較除之得勾弦和即如寅卯辰巳之長方體積用勾弦較除之而得乾坎辰巳之長方體積其午未辰巳之髙闊相乘之面積未減而坎未之長即為勾弦和矣勾弦和既為二勾一勾弦較之共數折半則得一勾半勾弦較之共數故將所得之乾坎辰巳長方體積折半為艮震辰巳長方體積其巳辰髙未辰闊仍皆為勾與巽未等其震未長為勾與半勾弦較之共數震巽為半勾弦較即長比髙闊所多之數故以勾弦較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為勾也設如勾股積六尺勾弦和八尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦和八尺除之得十八尺折半得九尺為扁方體積乃以勾弦和八尺折半得四尺為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊三尺為勾於勾弦和八尺内減勾三尺餘五尺為弦以勾三尺除倍積十二尺得四尺為股也此法有勾股積勾弦和必得股自乘積以勾弦和除之始得勾弦較半之為半勾弦較今作為帶縱立方體算者即如以勾為帶縱立方之長與闊半勾弦較為帶縱立方之髙一勾半勾弦較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即勾也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如勾自乘股自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為勾自乘之數其髙為股自乘之數其勾自乘之底邊即勾而股自乘之髙又為勾弦較與勾弦和相乘之數是暗中已得股自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戊乙丙為勾自乘之正方則戌甲乙酉丙乙磬折形與股自乘之正方等引而長之成戌甲丙亥之長方其戌甲闊即勾弦較甲乙丙長即勾弦和今以股自乘之數用勾弦和除之則得勾弦較即如寅卯辰巳之長方體積用勾弦和除之而得乾卯辰坎扁方體積其卯午辰未之長闊相乘之面積未減而乾卯之髙即為勾弦較矣折半則得艮卯辰震扁方體積其卯午長午辰闊仍皆為勾而艮卯之髙為半勾弦較其艮卯與卯午即髙與長闊之和為一勾半勾弦較之共數而勾弦和乃二勾一勾弦較之共數故以勾弦和折半得一勾半勾弦較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為勾也設如勾股積六尺股弦較一尺求勾股弦各㡬何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦較一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺為長方體積乃以股弦較一尺折半得五寸為長方體之長比髙闊所多之較用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊四尺為股加股弦較一尺得五尺為弦以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積有股弦較必得勾自乘積以股弦較除之始得股弦和而股弦和為二股一股弦較之共數將股弦和半之為一股半股弦較之共數今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之髙與闊股與半股弦較之共數為帶縱立方之長半股弦較為帶縱之較用帶縱較數立方法開之得髙與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之則成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其長為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之長又為股弦較與股弦和相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳之長方體形然又試作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘之數用股弦較除之得股弦和即如寅卯辰巳之長方體積用股弦較除之仍得寅卯辰巳之長方體積其午未辰巳髙闊相乘之面積與卯未之長俱未減而卯未之長即命為股弦和矣股弦和既為二股一股弦較之共數折半則得一股半股弦較之共數故將所得之寅卯辰已長方體積折半為乾坎辰已長方體積其未辰闊已辰髙仍皆為股與艮未等其坎未長為股與半股弦較之共數坎艮為半股弦較即長比髙闊所多之數故以股弦較折半用帶一縱較數開立方法算之得髙與闊為股也設如勾股積六尺股弦和九尺求勾股弦各幾何法以勾股積六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦和九尺除之得十六尺折半得八尺為扁方體積乃以股弦和九尺折半得四尺五寸為扁方體之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊四尺為股於股弦和九尺内減股四尺餘五尺為弦以股四尺除倍積十二尺得三尺為勾也此法有勾股積股弦和必得勾自乘積以股弦和除之始得股弦較半之為半股弦較今作為帶縱立方體算者即如以股為帶縱立方之長與闊半股弦較為帶縱立方之髙一股半股弦較之共數為帶縱立方之髙與長闊之和用帶兩縱相同和數立方法開之得長與闊即股也如甲乙丙勾股積倍之成甲丁乙丙勾股相乘之長方面積自乘得戊己庚辛正方面積即如股自乘勾自乘兩自乘數再相乘之壬癸子丑長方面積試將此長方面積變為長方體積其底為股自乘之數其髙為勾自乘之數其股自乘之底邊即股而勾自乘之髙又為股弦和與股弦較相乘之數是暗中已得勾自乘之一數矣其長方體即如寅卯辰巳長方體形然又試作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲為股自乘之正方則戌乙甲酉甲丙磬折形與勾自乘之正方等引而長之成戌乙丙亥之長方其戌乙闊即股弦較乙甲丙長即股弦和今以勾自乘之數用股弦和除之則得股弦較即如寅夘辰巳之長方體積用股弦和除之而得乾夘辰坎扁方體積其夘午辰未長闊相乘之面積未減而乾夘之高即為股弦較矣折半則得艮夘辰震扁方體積其夘午長午辰闊仍皆為股而艮夘之高為半股弦較其艮夘與夘午即高與長闊之和為一股半股弦較之共數而股弦和乃二股一股弦較之共數故以股弦和折半得一股半股弦較用帶兩縱相同和數開立方法算之得長與闊為股也御製數理精藴下編卷二十四
## 下編卷二十五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十五體部三各體形總論直線體各體形總論體之為形成於面面之相合為厚角故凡體形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成渾圓是雖無角而實賴於角也方體有正方斜方尖方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之殊至於各等面體惟成於三角四角五角之面而兼盡乎方圓之理函於圓者其角切於球之外面函圓者球之外面切於各面之中心而各體又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則葢體成於面面生於線理固然也有積求邊則必以方圓為比例是以邊線等者體積不等如圓球徑與各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體積為一○○○○○○○○○圓球體積為五二三五九八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面體積為四七一四○四五二一十二面體積為七六六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑得一二四○小餘七○○九八如圓球徑與各等面體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則圓球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面體積為一四六三五四七九○五一二十面體積為四一六六七三○四六三此各形之體積皆以球積比例者也葢因各形之邊線相等體積不同故皆定為體與體之比例也體積等者邊線不等如圓球體積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○則正方體之每邊為一○○○○○○○○而圓球徑為一二四○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二面體之每邊為五○七二二二○七二十面體之每邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊比例者也或以圓球徑設為一○○○○○○○○則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三如圓球體積與各等面體積俱設為五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三則圓球徑為一○○○○○○○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八八一八九五二十面體之每邊為六二一四四三三二此各形之邊線皆以球徑比例者也葢因各形之體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要之邊求積者亦皆本於勾股而積求邊者一皆歸之正方此方所以為立法之原入算之本也直線體設如正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方體積每邊得二尺五寸一分有餘試於戊己庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相等也設如正方體每邊二尺今將其積八倍之問得方邊幾何法以每邊二尺倍之得四尺即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之而即得也此法葢因兩體積之比例比之兩界之比例為連比例隔二位相加之比例(見幾何原本十巻第四節)故戊己庚辛正方體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積之八尺相比為八分之一而戊己庚辛正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之二尺之比為二分之一夫六十四與三十二三十二與十六十六與八八與四四與二皆為二分之一之連比例而六十四與八之比其間隔三十二與十六之兩位故為連比例隔二位相加之比例也設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原闊八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之闊也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之高也或以闊八寸自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即同於其相當二界各作兩正方體積之比例(見幾何原本十)(巻第五節)故依甲乙丙丁長方體之甲戊長界作甲戊丑子正方體將其積倍之即如己庚辛壬長方體之己癸長界所作之己癸卯寅正方體故開立方得己癸為所求之長也既得己癸之長則以甲戊與丁戊之比即同於己癸與壬癸之比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙之比同於己癸與己庚之比得己庚為所求之高也若以原闊自乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐有餘為今所求之闊原高自乘再乘倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為今所求之高皆如以其相當二界各作正方體互相為比之理也設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積八倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何法以長一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之長又以原闊八寸倍之得一尺六寸即所求之闊又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二寸將其積八倍之即如巳庚辛壬長方體其每邊得甲乙丙丁長方體毎邊之二倍是故不用八倍其積開立方止以各邊之數倍之而即得也此法蓋因兩長方體之比例既同於其相當二界各作正方體之比例而兩正方體之比例比之二界之比例為連比例隔二位相加之比例故兩長方體積之比例較之兩體各界之比例亦為連比例隔二位相加之比例也設如塹堵體形闊五尺長十二尺高七尺問積幾何法以闊五尺與長十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即塹堵體形之積也葢塹堵體形即平行二勾股面之三稜長體如甲乙丙丁戊己塹堵體形其兩端之二面皆為勾股形一為甲乙丙一為丁戊己俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁己長方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊長方體形凡平行面之長方體自其一面之對角線平分為兩三稜體此兩三稜體之積相等(見幾何原本五卷第十七節)夫一長方體所分兩三稜體之積既相等則三稜體積必為長方體積之一半故將所得之甲乙丙丁庚戊長方體積折半即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也又法以闊五尺與高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乘得二百一十尺即塹堵體形之積也如甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙高與乙丙闊相乘折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也設如芻蕘體形闊四尺長十二尺高四尺問積幾何法以闊四尺與長十二尺相乘得四十八尺又與高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即芻蕘體形之積也葢芻蕘體形即平行兩三角面之三稜長體(有直角為塹堵體無直角為芻蕘體)如甲乙丙丁戊己芻蕘體形其兩端之二面皆為三角形一為甲乙丙一為丁戊巳俱平行以乙丙闊與丙丁長相乘成乙丙丁已長方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸長方體形凡平行面之三稜體積為平行面方體積之一半(見幾何原本五卷第)(二十節)故將所得之辛乙丙丁壬癸長方體積折半即得甲乙丙丁戊己芻蕘體形之積也又法以闊四尺與高四尺相乘得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乘得九十六尺即芻蕘體形之積也如甲乙丙丁戊己芻蕘體形以乙丙闊與甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乘即得甲乙丙丁戊己芻蕘體形之積也設如方底尖體形底方毎邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問自尖至底中立垂線之高幾何法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐五豪三絲有餘為勾以自尖至四角之斜線六尺為弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七釐六豪八絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半於己得乙巳為勾以自尖至角之甲乙斜線為弦求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰用平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三豪五絲為弦以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐六豪七絲有餘即自尖至底中立垂線之高數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線而以此甲庚為弦底邉折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之高也設如方底尖體形底方每邊六尺高三尺問積幾何法以下方每邊六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其高又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等(見幾何原本五卷第二十)(三節)試將甲己高倍之得壬己與乙丙丁戊底面積相乘得癸乙丁子正方體形此正方體之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆與尖方體之底面積等又自甲心依各稜至各角剖之則成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方體此每一尖方體俱為倍高正方體之六分之一既為倍高正方體之六分之一則必為同高扁方體之三分之一故將所得庚乙丁辛之同高方體積三分之而得甲乙丙丁戊尖方體之積也設如陽馬體形底方毎邊六尺高亦六尺問積幾何法以底方毎邊六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽馬體與尖方體形雖不同而法則一葢尖方體形尖在正中陽馬體形尖在一隅然大凡體形其底面積等高度又等則其體積亦必相等(見幾)(何原本二巻第二十二節)故今陽馬體之乙丙丁戊底面積即如尖方體之底其甲丁高度即如尖方體之高度故形雖不同而積則一也設如鼈臑體形長與闊俱四尺高九尺問積幾何法以長與闊四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲乙丙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙闊相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半葢各類尖體其底面積等其高又等則其體積亦等(見幾何原)(本二卷第二十二節)今甲乙丙丁鼈臑體之乙丙丁底積為甲戊乙丙丁陽馬體之乙丙丁戊底面積之一半則甲乙丙丁鼈臑體積亦必為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半鼈臑體既為陽馬體之一半而陽馬體又為長方體之三分之一則鼈臑體必為長方體之六分之一故將所得甲庚戊乙丙己長方體積六分之即得甲乙丙丁鼈臑體之積也又凡正方體或長方體按法剖之即成塹堵陽馬鼈臑各體而自得其相比之率也如圖甲乙丙丁戊己正方體自其庚乙一面對角線至對面戊辛對角斜線平分之即得甲乙辛戊己與庚乙丙丁戊二塹堵體又將庚乙丙丁戊塹堵體自其上稜戊角至乙對角依乙丙下稜斜剖之則得戊乙丙丁辛一陽馬體乙丙戊庚一鼈臑體又將戊乙丙丁辛陽馬體自其戊乙相對斜稜平分之則得戊乙丁辛與戊乙丙丁二鼈臑體夫一正方體剖之得二塹堵體是塹堵體為正方體二分之一也一塹堵體剖之得一陽馬體一鼈臑體而一陽馬體剖之又得二鼈臑體是陽馬體為塹堵體之三分之二即為正方體之三分之一而鼈臑體為塹堵體之三分之一即為正方體之六分之一也設如上下不等正方體形上方毎邊四尺下方毎邊六尺高八尺問積幾何法以上方每邊四尺自乘得一十六尺下方每邊六尺自乘得三十六尺又以上方毎邊四尺與下方毎邊六尺相乘得二十四尺三數相併得七十六尺與高八尺相乘得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如甲乙丙丁上下不等正方體形戊丁上方邊自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方邊自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方邊與庚丙下方邊相乘得壬癸子丑長方面形將此三方面形相併與高八尺相乘得三長方體形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙庚丙辛長方體比甲戊丁己長方體多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已巳四方廉體又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已丑辛四長廉體而壬癸子丑長方體比甲戊丁巳長方體多壬癸戊甲巳丁子丑二方廉體若將共多之六方廉體四長廉體俱截去則此三長方體之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得十二塹堵體十二陽馬體將甲戊丁已類三長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等三正方體故三歸之而得甲乙丙丁上下不等一正方體形之積也又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率高八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體之共高乃以下方邊六尺自乘得三十六尺與所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三歸之得二百八十八尺為大尖方體之積又以高八尺與共高二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之高以上方邊四尺自乘得十六尺與上高十六尺相乘得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘二百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也如甲乙丙丁上下不等正方體形加戊甲丁小尖方體形遂成戊乙丙大尖方體形先以上方邊與丁方邊相減折半如巳庚下方邊折半如己辛依勾股比例巳庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下方面相乘三歸之得戊乙丙大尖方體積以戊癸與甲丁上方面相乘三歸之得戊甲丁小尖方體積於戊乙丙大尖方體積内減去戊甲丁小尖方體積所餘必甲乙丙丁上下不等正方體形之積也設如上下不等長方體形上方長四尺闊三尺下方長八尺闊六尺高十尺問積幾何法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上闊三尺與下長八尺相乘得二十四尺以下闊六尺與上長四尺相乘得二十四尺四數相併得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形戊丁上長與甲戊上闊相乘得一甲戊丁庚長方面形倍之得二甲戊丁庚長方面形已丙下長與乙己下闊相乘得一乙己丙辛長方面形倍之得二乙己丙辛長方面形甲戊上闊與已丙下長相乘得一壬癸子丑長方面形乙己下闊與戊丁上長相乘得一寅卯辰巳長方面形將此六長方面形相併與高十尺相乘得六長方體形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛長方體比二甲戊丁庚長方體為多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方廉體又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚丑辛八長廉體而一壬癸子丑長方體比一甲戊丁庚長方體多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉體而一寅卯辰巳長方體比一甲戊丁庚長方體多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉體若將共多之十二方廉體八長廉體俱截去則此六長方體之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉體變為二塹堵體每一長廉體變為三陽馬體共得二十四塹堵體二十四陽馬體將六長方體各加四塹堵體四陽馬體則皆成上下不等六長方體故六歸之而得甲乙丙丁上下不等長方體形之積也又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上闊三尺相乘得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下闊六尺相乘得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺與高十尺相乘得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也此法與前法同此法之以上長倍之加下長與上闊相乘之數即前法之上長上闊相乘倍之又加上闊與下長相乘之數也又此法之以下長倍之加上長與下闊相乘之數即前法之下長下闊相乘倍之又加下闊與上長相乘之數也圖解並同又法以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺又以上長四尺與下闊六尺相乘下長八尺與上闊三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺與高十尺相乘得八百四十尺三歸之得二百八十尺亦即上下不等長方體形之積也葢此法與上下不等正方體求積之法同但正方體上下俱係正方面故止用上下方邊各自乘上方邊與下方邊相乘此則上下方面各有長闊既用上方長闊相乘下方長闊相乘又必以上長乘下闊下長乘上闊相加折半以取中數乃可相併而與高數相乘三歸之而得體積也又法以上長四尺與下長八尺相減餘四尺折半得二尺為一率高十尺為二率下長八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等長方體形上補成一尖長方體之共高乃以下長八尺與下闊六尺相乘得四十八尺與所得共高二十尺相乘得九百六十尺三歸之得三百二十尺為大尖長方體之積又以高十尺與共高二十尺相減餘十尺為上小尖長方體之高以上長四尺與上闊三尺相乘得十二尺與上高十尺相乘得一百二十尺三歸之得四十尺為上小尖長方體之積與大尖長方體積三百二十尺相減餘二百八十尺即上下不等長方體形之積也如甲乙丙丁上下不等長方體形加戊甲丁小尖長方體形遂成戊乙丙大尖長方體形先以上長與下長相減折半如己庚以下長折半如己辛依勾股比例己庚與壬庚之比即同於己辛與戊辛之比以戊辛與乙丙下長方面相乘三歸之得戊乙丙大尖長方體積以戊癸與甲丁上長方面相乘三歸之得戊甲丁小尖長方體積於戊乙丙大尖體積内減去戊甲丁小尖體積所餘必甲乙丙丁上下不等長方體形之積也設如上下不等芻蕘體形上長十尺下長十四尺下闊五尺高十二尺問積幾何法以上長十尺與下闊五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺為上下相等芻蕘體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下闊五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等芻蕘體積三百尺相併得三百八十尺即上下不等芻蕘體之積也如甲乙丙丁戊上下不等芻蕘體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一芻蕘體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛闊(與乙丙等)相乘即得己辛壬庚芻蕘體之底面積與甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊芻蕘體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙闊相乘得乙辛與庚丁二尖方體之底面積與高相乘三歸之即得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與甲己辛壬戊一芻蕘積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻蕘體之總積也設如兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸闊八寸高三尺七寸問積幾何法以長二尺四寸與闊八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體形以乙丙闊與丙丁長相乘得乙丙丁庚長方面積以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之間所有立於等積底之各平行體其積必俱相等(見幾何原本五巻第十九節)故甲乙丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立之長方體為相等也設如空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問内外方邊各幾何法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸與共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸為内方邊與外方邊相乘長方面積乃以厚二寸倍之得四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子類六長方扁體六歸之得丑寅巳子一長方扁體用厚二寸除之得丑寅卯辰一長方面積其丑寅闊與戊己等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長闊之較故以厚二寸倍之為帶縱求得闊為内方邊長為外方邊也又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較自乘再乘得六十四寸與空心正方體積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長方面積以内外方邊之較四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸即内方邊加較四寸得一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅則空心正方體變為甲戊辛庚丙丁壬磬折體形其甲戊即磬折體之厚為甲乙外方邊與戊己内方邊之較依開立方次商法分之得癸子丑三方廉體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅體與共積相減餘三方廉體三長廉體三歸之則餘癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方體則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得乙庚闊與戊乙等即空心方體之内方邊以甲戊與戊乙相加得甲乙即空心方體之外方邊也設如大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊各幾何法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乘再乘得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長方面積乃以邊較四尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十二尺即小正方之邊數加較四尺得十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體試於甲乙丙丁大正方體減去戊己庚辛小正方體餘壬甲戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體形依開立方次商法分之則得癸子丑三方廉體寅卯辰三長廉體巳一小隅體以甲戊邊較自乘再乘得巳一小隅體與磬折體積相減餘三方廉體三長廉體三歸之則得癸一方廉體寅一長廉體共成午甲乙庚未申一扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長闊之較故用帶縱開平方法算之得乙庚闊與戊乙等即小正方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也設如大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百零八尺問兩體之每邊及體積各幾何法以共邊二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百一十六尺三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊八尺即小正方之邊數與共邊二十四尺相減餘十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體以共邊二十四尺自乘再乘則成壬乙癸子一總正方體内減甲乙丙丁與戊己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅卯三方廉體辰巳午三長廉體三歸之則得丑一方廉體辰一長廉體共成未壬乙丙戊申一扁方體用壬乙共邊除之則得未壬戊申之長方面形其未壬闊與壬甲等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為長闊和用帶縱和數開平方法算之得未壬闊即小正方之邊數與長闊和相減餘壬戊長即大正方之邊數也御製數理精蘊下編卷二十五
## 下編卷二十六
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十六體部四曲線體曲線體設如長圎體徑與髙皆七尺問積㡬何法以長圎體徑七尺用求圎面積法求得圎面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先以乙丙底徑求得乙己丙戊圎面積而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁長圎體之積也又法以長圎體徑七尺用徑求周法求得圎周二十一尺九寸九分一釐一豪四絲八忽五微五纖有餘與髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九釐八十五豪有餘為長圎體之外面積以半徑三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五釐有餘折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁長圎體先求得乙己丙戊圎周與甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面積為底以庚甲半徑乗之得庚甲丙辛長方體為甲乙丙丁長圎體積之二倍葢因長圎體之外面積與長方體之底面積等而長圎體之半徑又與長方體之髙度等則長圎體為長方體之一半(見㡬何原本五卷第二十四節)故折半即得甲乙丙丁長圎體之積也又法用長方體長圎體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之長圎體徑七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺為三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九釐有餘即長圎體之積也此法葢以長方體與長圎體為比例定率之一○○○○○○○○○為長方體積而七八五三九八一六三為長方體同髙同徑之長圎體積故以徑自乗髙再乗得長方體積彼定率之長方體與長圎體之比即同於今所得之長方體積與所求之長圎體積之比也設如尖圎體底徑六尺中髙六尺問積㡬何法以底徑六尺用求圎面積法求得底面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百釐有餘三歸之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百釐有餘即尖圎體之積也如圗甲乙丙丁戊尖圎體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底面積以甲己髙乗之得庚乙丁辛長圎體為甲乙丙丁戊尖圎體之三倍葢因上下面平行各體與平底尖體同底同髙者其平底尖體皆得上下面平行體之三分之一(見㡬何原本五卷第二十三節)故以所得庚乙丁辛長圎體積三歸之即得甲乙丙丁戊尖圎體積也又法用尖方體尖圎體之定率比例以尖方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積七八五三九八一六三為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺成尖方體積為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六釐有餘即尖圎體之積也蓋尖方體為長方體之三分之一而尖圎體為長圎體之三分之一故尖方體與尖圎體之比即同於長方體與長圎體之比也又捷法定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率尖圎體積二六一七九九三八八為二率今所設之尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺為三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八釐有餘即尖圎體之積也此法葢以長方體與尖圎體為比例長方體積為一○○○○○○○○○則長圎體積為七八五三九八一六三將此長圎體積三歸之則得尖圎體積為二六一七九九三八八故定率之長方體與尖圎體之比即同於今底徑自乗髙再乗所得之長方體積與所求之尖圎體積之比也設如尖圎體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何法以底周二十二尺用周求徑法求得底徑七尺零二釐八豪一絲七忽有餘折半得半徑三尺五寸零一釐四豪零八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線五尺為弦求得股三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎體以乙丙丁戊底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑為勾以自尖至底周之甲乙斜線為弦求得甲巳股即中垂線之髙也設如圎球徑二尺問外面積幾何法以圎球徑二尺用徑求周法求得周六尺二寸八分三釐一豪八絲五忽有餘與徑二尺相乗得一十二尺五十六寸六十三分七十釐有餘即圎球之外面積也如圗甲乙丙丁圎球體以甲丙全徑與甲乙丙丁全周相乗即得圎球體之外面積葢因圎面半徑與球體半徑等者其圎面積為球體外面積之四分之一而圎面半徑與球體全徑等者其圎面積與球體外面積等(見幾何原本十巻第)(八節)故圎球全徑與全周相乗而得圎球之外面積也設如圎球徑一尺二寸問積幾何法以圎球徑一尺二寸用徑求圎面積法求得圎面積一尺一十三寸零九分七十三釐三十五豪四十絲有餘以圎球徑一尺二寸乗之得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四釐有餘為長圎體積三歸之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一釐有餘倍之得九百零四寸七百七十八分六百八十二釐有餘即圎球之體積也如圗甲乙丙丁圎球體求得戊己庚辛平圎面積以甲丙全徑乗之得與圎球同徑同髙之壬戊庚癸長圎體此球體之乙丁全徑與長圎體之戊庚底徑度等而球體之甲丙全徑又與長圎體之壬戊髙度等則球體積為長圎體積之三分之二(見㡬何原本十卷第九節)試以圎球同徑之平圎面積為底圎球之半徑為髙作一甲乙丁尖圎體則其積為甲乙丁半球體積之半夫尖圎體與長圎體同底同髙其比例為三分之一而尖圎體又為半球體之二分之一則半球體必為半長圎體之三分之二半球體既為半長圎體之三分之二則全球體必為全長圎體之三分之二可知故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸倍之即得甲乙丙丁圎球體積也又法以圎球徑一尺二寸用求圎球之外面積法求得圎球之外面積四尺五十二寸三十八分九十三釐四十一豪六十絲有餘以半徑六寸乗之得二尺七百一十四寸三百三十六分四十九釐有餘三歸之得九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圎球之體積也如圗甲乙丙丁圎球體先求得外面積乃以此外面積為底戊丙半徑為髙作一戊己庚尖圎體其體積必與圎球體積等葢尖圎體之底面積與球體之外面積等尖圎體之髙度與球體之半徑等則其體積亦必等(見㡬何原本五卷第)(二十五節)故以戊丙半徑與外面積相乗三歸之即如得戊己庚尖圗體積而為甲乙丙丁圎球體積也又法以方邉球徑相等方積球積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率今所設之圎球徑一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圎球之體積也此法葢因圎球徑與正方邉相等而圎球積與正方積不同故以圎球徑自乗再乗作正方積為體與體之比例如子丑圎球徑為一○○○則其自乗再乗之寅邜辰巳正方體積為一○○○○○○○○○而圎球徑一○○○所得之子午丑未圎球體積為五二三五九八七七五故以子丑圎球徑一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方體積一○○○○○○○○○與子丑圎球徑所得之子午丑未圎球體積五二三五九八七七五之比即同於今所設之甲丙圎球徑一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁圎球體積九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘之比也又法用球積方積相等球徑方邉不同之定率比例以圎球徑一○○○○○○○○為一率正方邉八○五九九五九七為二率今所設之圎球徑一尺二寸為三率求得四率九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有餘為與圎球積相等之正方體每邉之數自乗再乗得九百零四寸七百七十八分六百四十九釐有餘即圎球之體積也此法葢以圎球積與正方積設為相等使圎球徑與正方邉不同先定為線與線之比例既得線而後自乗再乗之為體也如子丑圎球徑一○○○○○○○○其所得之體積開立方則得八○五九九五九七即為寅邜辰巳正方體之每一邉是子午丑未圎球積與寅邜辰巳正方積相等故子丑圎球徑一○○○○○○○○與寅邜正方邉八○五九九五九七之比即同於今所設之甲丙圎球徑一尺二寸與今所得之戊巳正方邉九寸六分七釐一豪九絲五忽一微六纖有餘之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方體積即與甲乙丙丁圎球體積為相等也又法以二十一分為一率十一分為二率今所設之圎球徑一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零五寸一百四十二分八百五十七釐有餘為圎球之體積也葢以正方體積一○○○○○○○○○圎球體積五二三五九八七七五之定率約之則正方體積二十一而圎球體積得一○九九有餘進而為十一則圎球體積稍大故今所得之圎球體積亦稍大也設如圎球積六尺問徑㡬何法用球徑方邉相等球積方積不同之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之圎球積六尺為三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二釐有餘為與圎球徑相等之正方邉之正方體積開立方得二尺二寸五分四釐五豪零二忽有餘即圎球之徑也葢圎球積為五二三五九八七七五則正方積為一○○○○○○○○○若圎球積為一○○○○○○○○○則正方積為一九○九八五九三一七其比例仍同故以圎球積一○○○○○○○○○為一率者即如以圎球積五二三五九八七七五為一率而以正方積一九○九八五九三一七為二率者即如以正方積一○○○○○○○○○為二率也又法用球積方積相等球徑方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○○九八為二率今所設之圎球積六尺開立方得一尺八寸一分七釐一豪二絲有餘為三率求得四率二尺二寸五分四釐五豪零二忽有餘即圎球之徑也此法亦以圎球積與正方積設為相等使圎球徑與正方邉不同故以圎球積開立方得立方邉為線與線之比例葢方邉為八○五九九五九七則球徑為一○○○○○○○○若方邉為一○○○○○○○○則球徑為一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○為一率者即如以方邉八○五九九五九七為一率而以球徑一二四○七○○九八為二率者即如以球徑一○○○○○○○○為二率也設如撱圎體大徑六寸小徑四寸問積幾何法以小徑四寸用徑求圎面積法求得圎面積一十二寸五十六分六十三釐七十豪六十絲有餘以大徑六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三釐有餘為長圎體積三歸之得二十五寸一百三十二分七百四十一釐有餘倍之得五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圎體之積也如圗甲乙丙丁撱圎體以乙丁小徑求得戊己庚辛平圎面積再以甲丙大徑乗之得壬戊庚癸長圎體此撱圎體積即為長圎體積之三分之二亦如圎球體積為同徑同髙之長圎體積之三分之二故以所得壬戊庚癸長圎體積三歸倍之即得甲乙丙丁撱圎體積也又法以小徑四寸自乗得十六寸以大徑六寸再乗得九十六寸為長方體積乃用方積球積不同方邉球徑相等之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率今所得之長方體積九十六寸為三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二釐有餘即撱圎體之積也葢函撱圎之長方體與所函撱圎體之比同於函球之正方體與所函球體之比(見幾何原本十卷第十四節)如甲乙丙丁撱圎體甲丙大徑六寸乙丁小徑四寸以乙丁小徑自乗又以甲丙大徑再乗遂成戊己庚辛長方體形此長方體積與撱圎體積之比即同於正方體積與圎球體積之比故以定率之正方體積為一率圎球體積為二率今所得之長方體積為三率求得四率為撱圎體之積也設如撱圎體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各㡬何法用方積球積不同方邉球徑相等之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之撱圎體積五十寸為三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五釐八百五十豪有餘為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長與濶之較用帶一縦開立方法算之得濶三寸九分九釐二豪有餘即撱圎體之小徑加大徑比小徑多二寸得五寸九分九釐二豪有餘即撱圎體之大徑也如圗甲乙丙丁撱圎體用球積與方積之定率比例即成戊己庚辛長方體形其戊己長即甲丙大徑壬庚濶即乙丁小徑甲丙大徑比乙丁小徑多二寸即長濶之較故用帶一縦開立方法算之得濶為撱圎體之小徑得長為撱圎體之大徑也設如上下不等圎面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積㡬何法以上徑四尺用徑求圎面積法求得上圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘又以下徑六尺用徑求圎面積法求得下圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘又以上徑四尺與下徑六尺相乗得二十四尺開方得中徑四尺八寸九分八釐九豪七絲九忽四微八纖有餘用徑求圎面積法求得中圎面積一十八尺八十四寸九十五分五十五釐八十五豪有餘三數相併得五十九尺六十九寸二分六十釐三十豪有餘與髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百釐有餘三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圎面體之積也葢上下不等圎面體立法與上下不等正方體同理但上下不等正方體上下俱係方面故求得上中下三方面積相併與髙相乗三歸之而得體積此上下俱係圎面故求得上中下三圎面積相併與髙相乗三歸之而得體積也又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圎面體上補成一尖圎體之共髙乃以下徑六尺用徑求圎面積法求得圎面積二十八尺二十七寸四十三分三十三釐八十五豪有餘與所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百釐有餘三歸之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘為大尖圎體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上尖圎體之髙以上徑四尺用徑求圎面積法求得圎面積一十二尺五十六寸六十三分七十釐六十豪有餘與上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百釐有餘三歸之得六十七尺二十寸六百四十三分二百釐有餘為上小尖圎體之積與大尖圎體積二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百釐有餘相減餘一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百釐有餘即上下不等圎面體之積也如圗甲乙丙丁上下不等圎面體如戊甲丁小尖圎體遂成戊乙丙大尖圎體故於戊乙丙大尖圎體積内減去戊甲丁小尖圎體積而得甲乙丙丁上下不等圎面體之積也又法用上下不等正方體與上下不等圎面體之定率比例以正方體積一○○○○○○○○○為一率圎面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相併以髙八尺乗之得六百零八尺三歸之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六釐有餘成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圎面體之積也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺相乗下徑六尺自乗上徑四尺與下徑六尺相乗三數相併以髙八尺乗之得六百零八尺為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百釐有餘即上下不等圎面體之積也此法葢以三上下不等正方體與一上下不等圎面體為比例夫一上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為七八五三九八一六三若三上下不等正方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等圎面體積為二六一七九九三八八故以上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數相併以髙乗之所得為三上下不等正方體積彼定率之三上下不等正方體與一上下不等圎面體之比即同於今所得之三上下不等正方體積與所求之一上下不等圎面體積之比也設如上下不等撱圎面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得一十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃用方積圎積之定率比例以方積一○○○○○○○○○為一率圎積七八五三九八一六三為二率三數相併之八十四尺為三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五釐六十九豪有餘與髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百釐有餘三歸之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三釐有餘即上下不等撱圎面體之積也葢上下不等撱圎面體立法與上下不等圎面體同但上下不等圎面體上下俱係圎面故求得上中下三圎面積相併與髙相乗三歸之而得體積此上下俱係撱圎面故必求得上中下三長方面積相併用定率比例得三撱圎面積乃與髙相乗三歸之而得體積也又法以上大徑四尺與下大徑八尺相減餘四尺折半得二尺為一率髙十尺為二率下大徑八尺折半得四尺為三率求得四率二十尺為上下不等撱圎面體上補成一尖撱圎體之共髙乃以下大徑八尺小徑六尺用求撱圎面積法求得下撱圎面積三十七尺六十九寸九十一分一十一釐六十八豪有餘與所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百釐有餘三歸之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘為大尖撱圎面體之積又以髙十尺與共髙二十尺相減餘十尺為上小尖撱圎面體之髙以上大徑四尺小徑三尺用求撱圎面積法求得上撱圎面積九尺四十二寸四十七分七十七釐九十二豪有餘與上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百釐有餘三歸之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百釐有餘為上小尖撱圎面體積與大尖撱圎面體積二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百釐有餘相減餘二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百釐有餘即上下不等撱圎面體積也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面體如戊甲丁小尖撱圎面積遂成戊乙丙大尖撱圎面體故於戊乙丙大尖撱圎面體内減戊甲丁小尖撱圎面體而得甲乙丙丁上下不等撱圎面體之積也又法用上下不等長方體與上下不等撱圎面體之定率比例以長方體積一○○○○○○○○○為一率長圎體積七八五三九八一六三為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺成上下不等長方體積為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十釐有餘即上下不等撱圎面體之積也葢長方面積與撱圎面積之比同於方面積與圎面積之比故上下不等長方體與上下不等撱圎面體之比即同於長方體與長圎體之比也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共一十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺為三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十釐有餘即上下不等撱圎面體之積也此法葢以六上下不等長方體與一上下不等撱圎面體為比例夫一上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圎面體積為七八五三九八一六三若六上下不等長方體積為一○○○○○○○○○則一上下不等撱圎面體積為一三○八九九六九四故以上大徑倍之加下大徑與上小徑相乗以下大徑倍之加上大徑與下小徑相乗兩數相併以髙乗之所得為六上下不等長方體積彼定率之六上下不等長方體積與一上下不等撱圎面體積之比即同於今所得之六上下不等長方體積與所求之一上下不等撱圎面體積之比也設如截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積㡬何法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半得四寸八分為中率求得末率一尺一寸五分二釐為圎球之截徑加髙二寸得一尺三寸五分二釐為圎球之全徑折半得六寸七分六釐為圎球之半徑又以髙二寸為勾底徑九寸六分折半得四寸八分為股求得弦五寸二分作平圎半徑用求圓面積法求得平圎面積八十四寸九十四分八十六釐有餘即為截球體一段之外面積與圎球半徑六寸七分六釐相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐有餘三歸之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘為自圎球中心所分球面尖圎體積又以截球體底徑九寸六分用求平圎面積法求得截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘於圎球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘四寸七分六釐與截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐有餘為自圎球中心至截球體底徑所分平面尖圎體積與球面尖圎體積一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘相減餘七十六寸五百七十一分八十八釐有餘即截球體一段之積也如圗甲乙丙截球體一段其乙丙底徑即如弧矢形之弦長其甲丁髙即如弧矢形之矢濶故甲丁為首率乙丙底徑折半得乙丁為中率求得丁戊末率為截球徑(見各面形弦矢求圎徑法)與甲丁髙相加得甲戊為圎球全徑折半得甲巳為圎球半徑又以甲丁為勾乙丁為股求得甲乙弦乃以甲乙弦為半徑求得庚乙丙平圎面積即與甲乙丙截球體一段之外面積等葢圎面半徑與球體半徑等者其圎面積為球體外面積之四分之一而圎面半徑與球體全徑等者其圎面積與球體外面積等(見㡬何原本十卷第八節)故甲辛戊壬圎球體其外面積為同徑子丑寅邜平圎面積之四倍若甲辛壬半球體其外面積必為子丑寅邜平圎面積之二倍然則甲己半徑求得平圎面積又辛己半徑亦求得平圎面積兩面積相併必與甲辛壬半球體之外面積等矣今甲乙丙截球體一段若以甲丁為半徑求得平圎面積又以乙丁為半徑求得平圎面積兩面積相併亦必與甲乙丙截球體一段之外面積等而甲乙弦自乗之正方與甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相併之積等則甲乙弦為半徑所得之圎面積亦必與甲丁勾為半徑所得之圎面積乙丁股為半徑所得之圎面積相併之積等故以甲乙弦為半徑所得之庚乙丙平圎面積即與甲乙丙截球體一段之外面積相等也既得截球體一段之外面積與甲巳圎球半徑相乗三歸之得己丙甲乙球面尖圎體積又以乙丙截球體底徑求得乙丙底面積與丁巳截半徑相乗三歸之得己丙丁乙平面尖圎體積與己丙甲乙球面尖圎體積相減所餘即甲乙丙截球體一段之積也又法先求得圎球徑一尺三寸五分二釐用徑求周法求得圎周四尺二寸四分七釐四豪三絲三忽有餘與截球體一段之髙二寸相乗得八十四寸九十四分八十六釐有餘即為截球一段之外面積與圎球半徑六寸七分六釐相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六釐三歸之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘為自圎球中心所分球面尖圎體積又以截球體底徑九寸六分用求平圎面積法求得截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘於圎球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘四寸七分六釐與截球體之底面積七十二寸三十八分二十二釐有餘相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二釐有餘三歸之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四釐有餘為自圎球中心至截球徑所分平面尖圎體積與球面尖圎體積一百九十一寸四百一十七分五百一十二釐有餘相減餘七十六寸五百七十一分八十八釐有餘即截球體一段之積也如圗甲乙丙截球體一段先求得甲戊全徑與庚辛等又求得壬庚癸辛全周與甲丁髙相乗得庚子丑辛截長圎體一段之外面積與甲乙丙截球體一段之外面積等葢球體全徑與長圎體底徑髙度相等者其相當每段之外面積皆相等(見㡬何原本十卷第十一節)既得甲乙丙截球體一段之外面積則與甲巳半徑相乗三歸之而得己丙甲乙球面尖圎體積又以乙丙截球體底面積與丁己截半徑相乗三歸之而得己丙丁乙平面尖圎體積與己丙甲乙球面尖圎體積相減餘即得甲乙丙截球體一段之積也設如空心圎球積二千寸厚三寸問内外徑數各㡬何法用球徑方邉相等球積方積不同之定率比例以球積一○○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率今所設之空心圎球積二千寸為三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐相減餘三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四釐有餘六歸之得六百寸六百一十九分七百七十二釐有餘用厚三寸除之得三尺零二十分六十五釐九十豪為内徑與外徑相乗長方面積乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縦較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球外徑也此法蓋以空心圎球體與空心正方體為比例即如用球積與方積定率為比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球體其甲丙外徑與壬癸外方邉等其戊庚内徑與寅邜内方邉等是以甲乙丙丁大球體與壬癸子丑大正方體為比戊己庚辛小球體與寅邜辰已小正方體為比而空心圎球體與空心正方體之比即如球體積與方體積之比也既得空心正方體積則用算空心正方體法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面酉戌坎未類六長方扁體六歸之得酉戌坎未一長方扁體用厚三寸除之得酉戌亥乾一長方面積其酉戌濶與戊庚等即内徑其酉乾長與壬丑等即外徑其酉寅巳乾皆與壬酉厚度等酉寅巳乾併之即長濶之較故以厚三寸倍之為帶縦求得濶為内徑長為外徑也又法用定率比例求得空心正方體積以厚三寸倍之得六寸為内方邉與外方邉之較自乗再乗得二百一十六寸與所得空心正方體積三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四釐有餘相減餘三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四釐有餘三歸之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四釐有餘以内外方邉之較六寸除之得二尺零二十分六十五釐九十豪有餘為長方面積以内外方邉之較六寸為長濶之較用帶縦較數開平方法算之得闊一尺一寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球内徑得長一尺七寸四分六釐三豪九絲七忽有餘即空心圎球外徑也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球體用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方體将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅則空心正方體變為壬寅己辰子申未午罄折體形其壬寅即罄折體之厚為甲丙外徑與戊庚内徑之較依開立方法分之得酉戌亥三方亷體乾坎艮三長亷體震一小隅體以壬寅厚度自乗再乗得震一小隅體與空心正方體積相減餘三方亷體三長亷體三歸之則餘酉一方亷體乾一長亷體共成巽壬癸辰坤離一扁方體其巽壬厚與壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤離扁方體則得壬癸辰坤長方面壬寅即長濶之較故用帶縦較數開平方法算之得邜辰濶與寅癸等即空心圎球之内徑以壬寅與寅癸相加得壬癸與甲丙等即空心圎球之外徑也設如圎窖一座周二十四尺髙十尺問盛米㡬何法以周二十四尺用圎周求面積法求得圎面積四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘與髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為圎窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圎窖體積四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米數也此法與求長圎體積之法同如甲乙丙丁長圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面積用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁長圎體積既得體積則以一石積數二千五百寸與一石之比同於今所得之體積與今所求之米數之比也設如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各㡬何法以米一石為一率一石積數定率二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圎窖之積數以髙十尺除之得四十尺為圎窖之面積乃用圎積方積之定率比例以圎積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率今所得之圎窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十豪有餘開平方得七尺一寸三分六釐四豪九絲有餘即圎窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九豪四絲有餘即圎窖之周數也設如積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何法以底周十四尺用圎周求面積法求得圎面積一十五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二豪有餘為尖圎堆之底面積與髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百釐有餘三歸之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之尖圎堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有餘即所堆之米數也此法與尖圎體求積之法同既得尖圎堆之積而以一石之積數定率為比例即得米數也設如倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數㡬何法以底周六尺為半周倍之得一十二尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一十一尺四十五寸九十一分五十五釐有餘折半得五尺七十二寸九十五分七十七釐有餘為倚壁尖圎堆之底面積以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有餘三歸之得七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為倚壁尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁尖圎堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有餘即倚壁所堆之米數也葢倚壁尖圎堆即尖圎體之一半故求得平圎面積折半與髙數相乗又以三歸之得倚壁尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也設如倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米數㡬何法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一百八十三尺三十四寸六十四分九十釐有餘四歸之得四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内角尖圎堆之底面積與髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三歸之得七十六尺三百九十四寸三百七十分為倚壁内角尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁内角尖圎堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米數也蓋倚壁内角尖圎堆即尖圎體之四分之一故求得平圎面積四歸之與髙數相乗又以三歸之得倚壁内角尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也設如倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問米數㡬何法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周用圎周求面積法求得圎面積一百五十四尺六寸一十九分八十一釐九十二豪有餘四歸三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八釐四十四豪有餘為倚壁外角尖圎堆之底面積以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十釐有餘三歸之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘即倚壁外角尖圎堆之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率今所得之倚壁外角尖圎堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有餘即倚壁外角所堆之米數也蓋倚壁外角尖圎堆即尖圎體四分之三故求得平圎面積四歸三因與髙數相乗又以三歸之得倚壁外角尖圎堆之積數而以一石積數為比例即得米數也御製數理精蘊下編卷二十六
## 下編卷二十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷二十七體部五各等面體各等面體設如四面體每邊一尺二寸求積幾何法以每邊一尺二寸為弦每邊折半得六寸為勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲零四微有餘為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘為每一面之面積又以毎邊一尺二寸為弦每一面之中垂線取其三分之二得六寸九分二釐八豪二絲零二㣲有餘為勾求得股九寸七分九釐七豪九絲五忽九微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線或以毎一面之中垂線一尺零三分九釐二豪三絲零四微有餘為弦每一面之中垂線取其三分之一得三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘為勾亦得股九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底之中之立垂線以此立垂線與每一面之面積六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百三十七釐有餘即四面體之積也如圗甲乙丙丁四面體其稜六角四平鋪之則面亦四各成一等邊三角形試以乙丙丁之一面為底以乙丙一邊為弦丁丙一邊折半得戊丙為勾求得乙戊股與甲戊等即每一面之中垂線與丁丙一邊相乗折半得乙丙丁底面積又以甲丙一邊為弦己丙中垂線之三分之二為勾求得甲己股為自尖至底中心之立垂線或以甲戊每一面之中垂線為弦己戊中垂線之三分之一為勾亦得甲己股為自尖至底中心之立垂線乃以甲己立垂線與乙丙丁底面積相乗三歸之即得甲乙丙丁四面體之積也又求自尖至底中心之立垂線㨗法以毎邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘即自尖至底中心之立垂線也此法葢因甲丙為弦戊丙為勾求得甲戊股則甲戊自乗方為甲丙自乗方之四分之三(見等邊三角形求中垂線法)又甲戊為弦己戊為勾求得甲己股則甲己自乗方為甲戊自乗方之九分之八(己戊為甲戊三分之一則甲戊自乗方為)(九分己戊自乗方為一分甲己自乗方為八分)甲戊自乗方既為甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方為甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又為甲戊自乗方九分之八則甲己自乗方必為甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一邊自乗三歸二因得甲己自乗方積而開方得甲己為立垂線之髙數也又用知一邊求髙數之定率比例求自尖至底中心之立垂線以定率之四面體之每邊一○○○○○○○○為一率四面體之立垂線八一六四九六五八為二率今所設之四面體之每邊一尺二寸為三率求得四率九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘即四面體自尖至底中心之立垂線也又用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率四面體積一一七八五一一二九為二率今所設之四面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十釐有餘即四面體之積也葢四面體之每一邊為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而四面體之每一邊一○○○所得之四面體積為一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面體之每邊一尺自乗再乗之辰巳午未正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅卯四面體積一一七八五一一二九之比即同於今所設之甲乙丙丁四面體之每邊一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐有餘之比也又用體積相等邊線不同之定率比例以定率之四面體之每邊二○三九六四八九○為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之四面體之毎邊一尺二寸為三率求得四率五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘為與四面體積相等之正方體每邊之數自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百釐有餘即四面體之積也葢四面體之每邊為二○三九六四八九○正方體之每邊為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅卯四面體之毎邊二○三九六四八九○與辰巳午未正方體之每邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁四面體之每邊一尺二寸與今所得之戊己庚辛正方體之每邊五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘之比既得一邊自乗再乗得戊己庚辛正方體積即與甲乙丙丁四面體之積為相等也如有四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之四面體積一一七八五一一二九為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體之每一邊也此法葢因四面體之每邊與正方體之每邊相等四面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之毎邊一○○○○○○○○為一率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率今所設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐開立方得五寸八分八釐三豪三絲六忽五微有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一邊也此法葢因四面體積與正方體積相等四面體之每邊與正方體之每邊不同故以四面體積先開立方得正方體之每邊而後為線與線之比例也設如八面體每邊一尺二寸求積幾何法以八面體分作二尖方體算之将每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每邊自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也如圖甲乙丙丁戊己八面體其稜十二角六平鋪之則面為八各成一等邊三角形自體正中對四角平分截之則成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方體甲丙為二尖方體之共髙即甲乙丙丁正方形之對角斜線故以戊乙一邊自乗得戊乙己丁正方面積為二尖方體之共底又以戊乙己丁正方面積倍之開平方即如甲乙為勾乙丙為股各自乗相併開方得甲丙弦為八面體之對角斜線即二尖方體之共髙以此共髙與戊乙己丁二尖方體之底面積相乗三歸之得二尖方體積即八面體之總積也又用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率八面體積四七一四○四五二一為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘即八面體之積也葢八面體之每一邊為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而八面體之每一邊一○○○所得之八面體積為四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面體之每邊一尺自乗再乗之午未申酉正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅卯辰己八面體積四七一四○四五二一之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己八面體之每邊一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊己八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘之比也又用體積相等邊線不同之定率比例以定率之八面體之每邊一二八四八九八二九為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸為三率求得四率九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘為與八面體積相等之正方體每邊之數自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六釐有餘即八面體之積也葢八面體之每邊為一二八四八九八二九正方體之毎邊為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅卯辰己八面體之每邊一二八四八九八二九與午未申酉正方體之每邊一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己八面體之每邊一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方體之每邊九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘之比既得一邊自乗再乗得庚辛壬癸正方體積即與甲乙丙丁戊己八面體之積為相等也如有八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之八面體積四七一四○四五二一為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之每一邊也此法葢因八面體之每邊與正方體之每邊相等八面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之每邊一○○○○○○○○為一率八面體之每邊一二八四八九八二九為二率今所設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開立方得九寸三分三釐九豪二絲六忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八面體之每一邊也此法葢因八面體積與正方體積相等八面體之每邊與正方體之每邊不同故以八面體積先開立方得正方體之每邊而後為線與線之比例也設如十二面體每邊一尺二寸求積幾何法以十二面體分作十二五角尖體算之将每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七豪八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十豪有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪四絲零七微有餘為每一面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八豪二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零二微有餘為十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八豪二絲九忽一微有餘為勾求得股一尺三寸三分六釐二豪一絲九忽六微有餘為十二面體之中心至每一面中心之立垂線爰以此立垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐三十豪有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八釐有餘即十二面體之總積也如圖甲乙丙丁戊十二面體其稜三十角二十平鋪之則面十二各成一等邊五角形先求得己庚辛壬癸五等邊形之子已類分角線又求得子丑自中心至每邊之垂線復求得己庚辛壬癸五等邊形之面積次以辛壬一邊為大分己辛兩角相對斜線為全分故辛壬與己辛之比同於理分中末線之大分與全分之比而得兩角相對之斜線又自十二面體之正中截之則成十等邊之面形而其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之寅卯等線亦為乙丙兩角相對斜線(與己辛等)之一半而為十等邊形之一邊故寅卯與辰寅之比又同於理分中末線之大分與全分之比而得十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以辰寅斜線為弦每面中心至每邉之子丑垂線為勾求得辰子股即十二面體中心至每面中心之立垂線以此辰子立垂線與己庚辛壬癸一面積相乗三歸之得辰巳庚辛壬癸一五角尖體積十二因之即得甲乙丙丁戊十二面體之總積也又用邉線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率十二面體積七六六三一一八九○三為二率今所設之十二面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘即十二面體之積也蓋十二面體之每一邉為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而十二面體之每一邉一○○○所得之十二面體積為七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面體之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅邜辰十二面體積七六六三一一八九○三之比即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘之比也又用體積相等邉線不同之定率比例以定率之十二面體之每邉五○七二二三○七為一率正方體之每邉一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體之每邉一尺二寸為三率求得四率二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘為與十二面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八釐有餘即十二面體之積也葢十二面體之每邉為五○七二二二○七正方體之每邉為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅邜辰十二面體之每邉五○七二二二○七與巳午未申正方體之每邉一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊十二面體之每邉一尺二寸與今所得之己庚辛壬正方體之每邉二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方體積即與甲乙丙丁戊十二面體之積為相等也如有十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐求每邉之數則用邉線相等體積不同之定率比例以定率之十二面體積七六六三一一八九○三為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即十二面體之每一邉也此法葢因十二面體之每邉與正方體之每邉相等十二面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邉線不同之定率比例以定率之正方體之每邉一○○○○○○○○為一率十二面體之每邉五○七二二二○七為二率今所設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐開立方得二尺三寸六分五釐八豪二絲七忽六微有餘為三率求得四率一尺二寸即十二面體之每一邉也此法葢因十二面體積與正方體積相等十二面體之每邉與正方體之每邉不同故以十二面體積先開立方得正方體之每邉而後為線與線之比例也設如二十面體每邉一尺二寸求積幾何法以二十面體分作二十三角尖體算之將每邉一尺二寸求得三等邉形之分角線為六寸九分二釐八豪二絲零二微有餘自中心至每邉之垂線為三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘面積為六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之每邉一尺二寸折半得六寸為三率求得四率九寸七分零八豪二絲零三微有餘為二十面體之中心至每邉正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邉之垂線三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘為勾求得股九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘為二十面體之中心至每一面中心之立垂線爰以此立垂線與每一面積六十二寸三十五分三十八釐二十四豪有餘相乗三歸之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五釐有餘為一三角尖體積二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百釐有餘即二十面體之總積也如圗甲乙丙丁戊二十面體其稜三十角十二平鋪之則面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚類分角線又求得庚辛自中心至每邉之垂線復求得巳丙丁三等邉形之面積次自二十面體之正中截之則成十等邉之面形而其所截之處皆正當每邉之一半故其所截之壬癸等線亦為乙丙每邉之一半而為十等邉形之一邉故壬癸與子壬之比同於理分中末線之大分與全分之比而得二十面體之中心至每邉正中之斜線乃以子壬斜線為弦每面中心至每邉之庚辛垂線為勾求得子庚股即二十面體中心至每面中心之立垂線以此子庚立垂線與己丙丁一面積相乗三歸之得子己丙丁一三角尖體積二十因之即得甲乙丙丁戊二十面體之總積也又用邉線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率今所設之二十面體之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐有餘即二十面體之積也葢二十面體之每一邉為一○○○則其自乗再乗之正方體積為一○○○○○○○○○而二十面體之每一邉一○○○所得之二十面體積為二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面體之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方體積一○○○○○○○○○與子丑寅邜辰巳二十面體積二一八一六九四九六九之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己二十面體之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方體積一尺七百二十八寸與今所得之甲乙丙丁戊己二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐有餘之比也又用體積相等邉線不同之定率比例以定率之二十面體之每邉七七一○二五三四為一率正方體之每邉一○○○○○○○○為二率今所設之二十面體之每邉一尺二寸為三率求得四率一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘為與二十面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九釐有餘即二十面體之積也葢二十面體之每邉為七七一○二五三四正方體之每邉為一○○○○○○○○則兩體積相等故以子丑寅邜辰巳二十面體之每邉七七一○二五三四與午未申酉正方體之每邉一○○○○○○○○之比即同於今所設之甲乙丙丁戊己二十面體之每邉一尺二寸與今所得之庚辛壬癸正方體之每邉一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘之比既得一邊自乗再乗得庚辛壬癸正方體積即與甲乙丙丁戊己二十面體之積為相等也如有二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐求每邊之數則用邊線相等體積不同之定率比例以定率之二十面體積二一八一六九四九六九為一率正方體積一○○○○○○○○○為二率今所設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即二十面體之每一邊也此法葢因二十面體之每邊與正方體之毎邊相等二十面體積與正方體積不同故先定為體與體之比例既得正方體積而後開立方得線也又法用體積相等邉線不同之定率比例以定率之正方體之每邉一○○○○○○○○為一率二十面體之每邉七七一○二五三四為二率今所設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八釐開立方得一尺五寸五分六釐三豪六絲九忽有餘為三率求得四率一尺二寸即二十面體之每一邉也此法葢因二十面體積與正方體積相等二十面體之毎邉與正方體之每邉不同故以二十面體積先開立方得正方體之每邉而後為線與線之比例也御製數理精藴下編二十七
## 下編卷二十八
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十八體部六球内容各等面體球外切各等面體球内容各等面體設如圓球徑一尺二寸求内容四面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸三歸二因得八寸為圓球内容四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得六十四寸二歸三因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積四十一寸五十六分九十二釐一十九豪有餘與自尖至每面中心之立垂線八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十釐有餘三歸之得一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊四面體甲己與丙庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心甲辛與丙辛俱為圓球半徑甲己壬勾股形與甲庚辛勾股形為同式形(甲己壬勾股形以甲己自)(尖至底中心立垂線為股己壬一面中垂線之三分之一為勾甲壬一面中垂)(線為弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂線之三分之二為股庚辛四面體中)(心至每面中心之垂線為勾甲辛四面體自尖至中心立垂線為弦故兩勾股)(形同用一甲角而己角庚角同為直角其壬角與辛角亦必相等所以為同式)(形也)己壬為丙壬一面中垂線之三分之一亦為甲壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為甲辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而甲辛即圓球之半徑故庚辛亦為圓球半徑之三分之一庚辛與辛已等今命甲辛圓球半徑為三分則甲乙圓球全徑為六分以辛己一分與甲辛三分相加則得甲巳四分是甲巳立垂線為甲乙圓球全徑之六分之四即三分之二故以甲乙圓球徑三歸二因即得甲己為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每邊自乘方之三分之二(見前四面體求積法)故以甲己立垂線自乘二歸三因即得每一邊自乘方積開平方得甲丙為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁戊三角形面積與甲巳立垂線相乘三歸之即得甲丙丁戊四面體之積也又求邊捷法以圓球徑一尺二寸自乘三歸二因得九十六寸開平方亦得九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘為内容四面體之每一邊也蓋四面體之甲巳立垂線既為甲乙圓球徑之三分之二則甲己自乘方必為甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又為甲丙每邊自乘方之三分之二即六分之四則甲丙每一邊自乘方必為甲乙圓球徑自乘方之九分之六即三分之二故以圓球徑自乘三歸二因開平方亦得四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線二歸三因即圓球徑或以一邊自乘二歸三因開平方亦即得圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容四面體之一邊八一六四九六五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率九寸七分九釐七豪九絲五忽八㣲有餘即圓球内容四面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積六四一五○○二九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百五十釐有餘即圓球内容四面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容四面體積一二二五一七五三○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百四十九釐有餘即圓球内容四面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容正方體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之每一邊以一邊自乘再乘得三百三十二寸五百五十三分七百四十四釐有餘即圓球内容正方體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方體試以丙丁一邊為股丁乙一邊為勾求得丙乙弦即每一面之對角斜線勾與股既相等則丙乙每一面對角斜線自乘方為丙丁或丁乙每邊自乘方之二倍矣又試以丙乙對角斜線為股甲丙一邊為勾求得甲乙弦即圓球徑則甲乙圓球徑自乘方又為甲丙類每邊自乘方之三倍矣故以圓球徑自乘三歸即得每邊自乘之積開平方即得圓球内容正方體之一邊以一邊自乘再乘即得圓球内容正方體之積也如有正方體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘三因之開平方即得圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容正方體之一邊五七七三五○二六為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘即圓球内容正方體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積一九二四五○○八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容正方體積三六七五五二五九○為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八釐有餘即圓球内容正方體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容八面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊自乘得七十二寸以球徑一尺二寸再乘得八百六十四寸三歸之得二百八十八寸即圓球内容八面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面體自正中對四角平分截之則成甲丙己丁戊乙丁戊丙己二尖方體甲乙圓球徑為二尖方體之共髙即甲丙乙丁正方面之對角斜線試以甲丙一邊為股乙丙一邊為勾則甲乙球徑為弦勾與股既相等則甲乙自乘方為甲丙自乘方之二倍故以甲乙球徑自乘折半開方即得甲丙為内容八面體之一邊以戊丙一邊自乘得戊丙己丁二尖方體之共底面積以甲乙共髙再乘三歸之得二尖方體積即八面體之總積也如有八面體之一邊求外切圓球徑則以一邊自乘加倍開平方得對角斜線即圓球徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容八面體之一邊七○七一○六七八為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率八寸四分八釐五豪二絲八忽一㣲有餘即圓球内容八面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積一六六六六六六六六為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率二百八十八寸即圓球内容八面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容八面體積三一八三○九八八五為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八釐有餘即圓球内容八面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容十二面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六○一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊用五等邊形求面積法求得每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪有餘又用五等邊形求外切圜徑法求得半徑(即分角線)三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積三十一寸五十四分三十八釐五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七釐有餘三歸之得五十寸一百三十二分九百三十五釐為一五角尖體積十二因之得六百零一寸五百九十五分二百二十釐有餘即圓球内容十二面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊試自十二面體之甲卯一邊正中至中心辰作庚辰垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲辰圓球半徑共成甲庚辰勾股形庚辰為股甲庚為勾甲辰為弦庚辰即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之小分何以知之蓋十二面體每面之壬子兩角相對斜線(與甲丙等)為全分則子丑一邊(與甲卯等)為大分若以壬子兩角相對斜線為大分則子丑一邊為小分兩角相對斜線之一半庚辛為大分則每邊之半甲庚即為小分矣又庚辰中心至每邊正中之垂線既為十等邊形外切圜之半徑而庚辛為十等邊形之一邊則庚辛為大分而庚辰必為全分矣因庚辰全分為股甲庚小分為勾而甲辰圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股小分為勾求得弦與小分之比同於甲辰半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙全徑與甲卯全邊之比也既得一邊則用五等邊形求面積法求得壬癸子丑寅五等邊形面積又求得巳癸五等邊形外切圜半徑(即分角線)乃以辰癸圓球半徑為弦(與辰甲等)已癸分角線為勾求得辰巳股即圓球中心至内容十二面體每面中心之立垂線與壬癸子丑寅五等邊形面積相乘三歸之得辰壬癸子丑寅一五角尖體積十二因之即得圓球内容十二面體之總積也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也又求邊法用求圓球内容正方體之一邊法以圓球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸三歸之得四十八寸開平方得六寸九分二釐八豪二絲零三㣲有餘為圓球内容十二面體每一面兩角相對斜線乃以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率每一面兩角相對斜線六寸九分二釐八豪二絲零三㣲為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽四㣲有餘即圓球内容十二面體之每一邊也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面體試於每一面各作一斜線相連則十二斜線之二十四端合為八角遂成正方體形其十二面之十二斜線即正方體之十二邊其八角即正方體之八角皆切於圓球之面故用求球内容正方體法求得正方體之一邊即十二面體每一面兩角相對之斜線既得斜線則以理分中末線之全分與大分之比即同於兩角相對之斜線與每一邊之比而得十二面體之每一邊也如有十二面體之每一邊求外切圓球徑則先求得每面兩角相對斜線為正方體之一邊用正方體求外切圓球徑之法亦即得圓球徑矣又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體之一邊三五六八二二○九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率四寸二分八釐一豪八絲六忽五㣲有餘即圓球内容十二面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積三四八一四五四八二為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十二釐有餘即圓球内容十二面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容十二面體積六六四九○八八九一為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十一釐有餘即圓球内容十二面體之積也設如圓球徑一尺二寸求内容二十面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得弦一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘又用三等邊形求外切圜徑法求得半徑(即分角線)三寸六分四釐二豪三絲七忽一㣲有餘為勾圓球半徑六寸為弦求得股四寸七分六釐七豪九絲二忽七㣲有餘為自圓球中心至每一面中心之立垂線與每一面積一十七寸二十三分四十一釐七十豪有餘相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四釐有餘三歸之得二十七寸三百九十分四百二十一釐有餘為一三角尖體積二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十釐有餘即圓球内容二十面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸内容甲丙丁戊己二十面體自正中平分截之則成十等邊面形其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之庚辛等線亦為甲丙每邊之一半而為十等邊形之一邊試自二十面體之甲癸一邊正中至中心壬作庚壬垂線即為所截十等邊形外切圜之半徑與甲庚每邊之半甲壬圓球半徑共成甲庚壬勾股形庚壬為股甲庚為勾甲壬為弦庚壬即如理分中末線之全分甲庚即如理分中末線之大分何以知之蓋庚壬中心至每邊正中之斜線既為十等邊形外切圜之半徑庚辛既為十等邊形之一邊則庚辛為大分庚壬必為全分庚辛為每邊之半甲庚亦為每邊之半則甲庚亦即為大分矣因庚壬全分為股甲庚大分為勾甲壬圓球半徑為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比同於甲壬半徑與甲庚半邊之比即同於今所設之甲乙圓球全徑與甲癸全邊之比也又圖子丑圓球内容子丙寅丑卯已二十面體自丙已二處横截之則所截之面成圓内容甲丙丁戊己五等邊面形試自二十面體之巳角至寅角作已寅全徑線則成巳丙寅勾股形巳丙為股丙寅為勾已寅為弦以甲丙丁戊己五等邊面形言之則巳丙股為兩角相對斜線即如理分中末線之全分丙寅勾與丙丁一邊同即如理分中末線之大分今己丙全分既為股丙寅大分既為勾巳寅與子丑同為圓球徑既為弦故以理分中末線之全分為股大分為勾求得弦與大分之比即同於今所設之子丑全徑與丙寅一邊之比也既得一邊則用三等邊形求面積法求得辰已午三等邊形面積又求得未巳三等邊形外切圜半徑即分角線乃以壬巳圓球半徑(與甲壬等)為弦未巳分角線為勾求得壬未股即圓球中心至内容二十面體每面中心之立垂線與辰巳午三等邊形面積相乘三歸之得壬辰巳午一三角尖體積二十因之即得圓球内容二十面體之積也如有二十面體之一邊求外切圓球徑則先求得自中心至每邊正中之垂線為股半邊為勾求得弦倍之即圓球全徑也又用求球内各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體之一邊五二五七三一一一為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率六寸三分零八豪七絲七忽三㣲有餘即圓球内容二十面體之一邊也又用求球内各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積三一七○一八八三三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球内容二十面體積六○五四六一三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三釐有餘即圓球内容二十面體之積也球外切各等面體設如圓球徑一尺二寸求外切四面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為圓球外切四面體自尖至每面中心之立垂線自乘得五尺七十六寸二歸三因得八尺六十四寸開平方得二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之每一邊也乃以四面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積三尺七十四寸一十二分二十九釐七十二豪有餘與自尖至每面中心之立垂線二尺四寸相乘三歸之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十六釐有餘即圓球外切四面體之積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己四面體丙乙與丁庚俱為自尖至每面中心之立垂線相交於辛為四面體之中心亦即圓球之中心辛乙與辛庚俱為圓球半徑丙乙壬勾股形與丙庚辛勾股形為同式形(丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂線為股乙壬)(一面中垂線之三分之一為勾丙壬一面中垂線為弦丙庚辛勾股形以丙庚)(一面中垂線之三分之二為股庚辛圓球半徑為勾丙辛四面體自尖至中心)(立垂線為弦故兩勾股形同用一丙角而乙角庚角同為直角其壬角與辛角)(亦必相等所以為同式形)乙壬為丁壬一面中垂線之三分之一亦為丙壬一面中垂線之三分之一故庚辛亦必為丙辛四面體自尖至中心立垂線之三分之一而庚辛為圓球半徑與甲辛等甲辛既為丙辛之三分之一則丙甲即為丙辛之三分之二與甲乙全徑等故以甲乙圓球徑倍之得丙乙為四面體自尖至每面中心之立垂線也又四面體之立垂線自乘方為每一邊自乘方之三分之二(見前四面體求積法)故以丙乙立垂線自乘二歸三因得每一邊自乘方積開平方得丙丁為四面體之每一邊也既得一邊則用等邊三角形求面積法求得丁戊己三角形面積與丙乙立垂線相乘三歸之即得丙丁戊己四面體之積也如有四面體之一邊求内容圓球徑則先求得自尖至每面中心之立垂線折半即内容圓球徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率球外切四面體之一邊二四四九四八九七四為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率二尺九寸三分九釐三豪八絲七忽六㣲有餘即圓球外切四面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率球外切四面體積一七三二○五○八○七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切四面體積三三○七九七三三七二為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四釐有餘即圓球外切四面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切正方體之每一邊及體積幾何法因圓球徑一尺二寸即外切正方體之每一邊自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方體積故他法皆不設止存此題以備一體焉設如圓球徑一尺二寸求外切八面體之每一邊及體積幾何法以圓球徑一尺二寸折半得六寸為圓球外切八面體中心至每面中心之立垂線自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸開平方得一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之每一邊也乃以八面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積九十三寸五十三分零七釐四十三豪有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得一百八十七寸零六十一分四百八十六釐有餘為一三角尖體積八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八釐有餘即圓球外切八面體之總積也如圖甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面體自丁辛己庚四角平分之則成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方體將二尖方體自尖依各稜直剖之則又得子丙丁庚類八三角尖體圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切八面體中心至每一面中心之立垂線試自丙角至丁庚邊正中壬作丙壬一面中垂線又自八面體中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂線復自八面體中心子至丁庚邊正中壬作子壬線遂成壬癸子勾股形此形以子癸立垂線(即圓球半徑)為股丙壬一面中垂線之三分之一癸壬為勾八面體中心至每邊正中斜線子壬為弦(子壬即八面體每邊之一半蓋壬丑與庚)(己平行其度相等折半於子故為每邊之半)夫癸壬既為丙壬一面中垂線之三分之一則癸壬自乘方必為丙壬一面中垂線自乘方之九分之一而丙壬一面中垂線自乘方原為丙丁每邊自乘方之十二分之九則癸壬自乘方必為丙丁每邊自乘方之十二分之一又子壬既為每邊之半則其自乘方必為每邊自乘方之四分之一今命為十二分之三癸壬勾自乘方既為每邊自乘方十二分之一子壬弦自乘方又為每邊自乘方十二分之三則子癸股自乘方必為每邊自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圓球半徑自乘六因之得每邊自乘方積開平方得八面體之每一邊也既得每一邊則用等邊三角形求面積法求得丙丁庚一面積與子癸圓球半徑相乘三歸之得子丙丁庚一三角尖體積八因之即得丙丁戊己庚辛八面體之總積也如有八面體之一邊求内容圓球徑則求得自中心至每一面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切八面體之一邊一二二四七四四八七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺四寸六分九釐六豪九絲三忽八㣲有餘即圓球外切八面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積八六六○二五四○三為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六釐有餘即圓球外切八面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切八面體積一六五三九八六六八六為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七釐有餘即圓球外切八面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切十二面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率三寸七分零八豪二絲零三㣲有餘為圓球外切十二面體每一面中心至邊之垂線又以全分一○○○○○○○○為一率倍小分七六三九三二○二為二率今所設之圓球半徑六寸為三率求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二㣲有餘為每一面中心至角之分角線乃以每一面之分角線為弦每一面中心至邊之垂線為股求得勾二寸六分九釐四豪一絲六忽八㣲有餘倍之得五寸三分八釐八豪三絲三忽六㣲有餘即圓球外切十二面體之每一邊也乃以十二面體之每一邊與每一面中心至邊之垂線相乘得數折半五因之得四十九寸九十五分二十六釐零九豪有餘為圓球外切十二面體之每一面之積與圓球半徑六寸相乘三歸之得九十九寸九百零五分二百一十八釐有餘為每一五角尖體積十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六釐有餘即圓球外切十二面體之總積也蓋圓球外切十二面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切十二面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切十二面體之每一面中心至邊之垂線(即五等邊形内容圜)(半徑)為大分每一面中心至角之分角線(即五等邊形外切圓半徑)為倍小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與子癸皆十二面體之每一邊辛壬壬癸子丑丑丙皆為十二面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為十二面體中心至每邊正中之垂線寅辰為十二面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為大分辰丙為倍小分何以知之寅卯既為十二面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為小分(蓋十二面體中心至每邊正中之垂)(線為全分則其每一面兩角相對斜線之一半為大分而毎邊之半即為小分)(見球内容十二面體法)試依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形則丑巳與已卯亦皆為全分巳卯既為全分而丙卯又為小分則巳丙即為大分丑已丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形(寅辰丑勾股形之丑角與寅角併之)(共九十度而寅長丑勾股形之丑角與丑已丙勾股形之丑角併之亦共九十)(度故此二勾股形之已丑丙角與丑寅辰角為相等辰角與巳角又同為直角)(其餘一角亦必等故為同式形)丑已丙勾股形之丑巳股為全分則己丙勾為大分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾亦即為大分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與大分之比也又凡五等邊形自心至邊之垂線為大分則自心至角之分角線即為倍小分如丙午未申酉五等邊形其辰丑垂線為大分則辰申分角線為倍小分何以知之蓋丙未兩角相對斜線為全分則未甲一邊為大分而酉未與丙申兩兩角相對斜線相交所截戌申一段即為小分成連比例三率故丙戌與戌未亦皆為大分與未申等試自戌至亥作戌亥垂線平分丙未兩角相對斜線於亥則成丙亥戌勾股形與辰丑申勾股形為同式形(辰丑申勾股形之辰角當丑申半邊所對之弧為未申邊所對之弧之一)(半故辰丑申勾股形之辰角與丙戌亥勾股形之丙角等丑角與亥角又同為)(直角其餘一角亦必等故為同式形)夫丙未為全分則丙戌為大分丙未為大分則丙戌為小分若以丙未之半丙亥為大分則丙戌即為倍小分故以辰丑垂線為大分則辰申分角線亦即為倍小分今圓球半徑與每面中心至邊之垂線之比既同於全分與大分之比則圓球半徑與每面分角線之比亦即同於全分與倍小分之比也既得辰丑垂線又得辰申分角線則用股弦求勾法求得丑申勾倍之得未申即圓球外切十二面體之每一邊既得每一邊又得每面中心至邊之垂線則以辰丑每面中心至邊之垂線與未申一邊相乘折半五因之得丙午未申酉五等邊形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未申酉一五角尖體積十二因之即得丙丁戊己庚十二面體之總積也如有十二面體之一邊求内容圓球徑則求得十二面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑一○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體之每一邊四四九○二七九七為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率五寸三分八釐八豪三絲三忽五㣲有餘即圓球外切十二面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積六九三七八六三六七為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十釐有餘即圓球外切十二面禮之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切十二面體積一三二五○三四三五八為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十二釐有餘即圓球外切十二面體之積也設如圓球徑一尺二寸求外切二十面體之每一邊及體積幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之圓球徑一尺二寸折半得六寸為三率求得四率二寸二分九釐一豪七絲九忽六㣲有餘為圓球外切二十面體每一面中心至邊之垂線三因之得六寸八分七釐五豪三絲八忽八㣲有餘為每一面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方得七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之每一邊也乃以二十面體之每一邊用等邊三角形求面積法求得每一面積二十七寸二十九分一十九釐有餘與圓球半徑六寸相乘三歸之得五十四寸五百八十三分八百釐有餘為一三角尖體積二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有餘即圓球外切二十面體之總積也蓋圓球外切二十面體其圓球之外面皆切於各面之中心圓球之半徑即外切二十面體中心至每一面中心之立垂線以圓球半徑為理分中末線之全分則外切二十面體之每一面中心至邊之垂線(即三等邊形内容圜半徑)為小分每一面中心至角之分角線(即三等邊形外切圜)(半徑)為倍小分其每一面自一角至對邊之中垂線為三小分如甲乙圓球徑一尺二寸外切丙丁戊己庚二十面體按其一面中垂線平分剖之則成丙辛壬癸子丑不等邊六角形丙辛與癸子皆二十面體之每一邊丑丙辛壬壬癸子丑皆為二十面體之每一面自一角至對邊之中垂線寅丑與寅卯皆為二十面體中心至每邊正中之垂線寅辰為二十面體中心至每面中心之立垂線即圓球半徑辰丑為每面中心至邊之垂線辰丙為每面中心至角之分角線今以寅辰為全分則辰丑為小分辰丙為倍小分丙丑即為三小分也何以知之寅卯既為二十面體中心至每邊正中之垂線平分丙辛邊於卯故丙卯為每邊之半寅卯為全分則丙卯為大分(蓋二十面體中心至毎邊正中之垂線為全分則每邊之半為大分見球内容)(二十面體法)試依寅卯全分度作已卯寅丑正方形則丑巳與已卯亦皆為全分已卯既為全分而丙卯又為大分則已丙即為小分丑巳丙勾股形與寅辰丑勾股形為同式形丑已丙勾股形之丑巳股為全分則巳丙勾為小分寅辰丑勾股形之寅辰股為全分則辰丑勾為小分故以寅辰圓球半徑與辰丑每面中心至邊之垂線之比即同於理分中末線之全分與小分之比也既得辰丑每面中心至邊之垂線則以三因之即得丙丑每面自一角至對邊之中垂線而每面自一角至對邊之中垂線自乘方為每邊自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至對邊之中垂線自乘三歸四因開平方即得午未為圓球外切二十面體之每一邊既得午未一邊與丙丑每面自一角至對邊之中垂線相乘折半得丙午未一三角形面積與寅辰圓球半徑相乘三歸之得寅丙午未一三角尖體積二十因之即得丙丁戊己庚二十面體之總積也如有二十面體之每一邊求内容圓球徑則求得二十面體中心至每面中心之立垂線即内容圓球之半徑也又用求球外各形之一邊之定率比例以定率之圓球徑○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體之每一邊六六一五八四五三為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率七寸九分三釐九豪零一忽四㣲有餘即圓球外切二十面體之一邊也又用求球外各形之體積之定率比例以定率之圓球徑自乘再乘之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體積六三一七五六九九九為二率今所設之圓球徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸為三率求得四率一尺九十一寸六百七十六分零九十四釐有餘即圓球外切二十面體之積也又用圓球積之定率比例以定率之圓球積一○○○○○○○○○為一率圓球外切二十面體積一二○六五六六九九一為二率今所設之圓球徑一尺二寸求得圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十四釐有餘為三率求得四率一尺零九十一寸六百七十六分零九十四釐有餘即圓球外切二十面體之積也御製數理精藴下編卷二十八
## 下編卷二十九
欽定四庫全書御製數理精蘊下編卷二十九體部七各等面體互容更體形各等面體互容設如正方體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘即正方體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容丁甲戊己四面體以四面體之六稜切於正方體之六面則四面體之每一邊即為正方體之每一面之對角斜線故用方邊求斜弦之法以一邊自乗倍之開平方即得内容四面體之每一邊也如有四面體之一邊求外切正方體之一邊則用斜弦求方邊法以四面體之一邊自乗折半開平方即得外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以正方體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸開平方得八寸四分八釐五豪二絲八忽一微有餘即正方體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於正方體之六面則正方體之每一邊即與内容八面體之對角斜線等(甲乙與戊庚等)故用斜弦求方邊之法以一邊自乗折半開平方即得内容八面體之每一邊也如有八面體之一邊求外切正方體之一邊則用方邊求斜弦法以八面體之一邊自乗加倍開平方即得外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率四寸五分八釐三豪五絲九忽二微有餘即正方體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸十二面體以十二面體之六稜切於正方體之六面則方正體之每邊與十二面體之兩邊相對之線等(即十二面體中心至每邊正中之斜)(線之倍)而正方體之每邊之半即為十二面體中心至每邊正中之斜線試將十二面體之正中截之則成十等邊之面形而其所截之處皆正當每邊之一半故其所截之子丑等線亦為戊己兩角相對斜線之一半而為十等邊形之一邊其子寅外切圜之半徑為中心至每邊正中之斜線即正方體每邊之一半子寅即如理分中末線之全分子丑即如理分中末線之大分而戊子每邊之半即如理分中末線之小分(見球内容十二面體)(法)故全分與小分之比同於今所設之正方體每邊之半與内容十二面體每邊之半之比即同於今所設之正方體之一邊與内容十二面體之一邊之比也如有十二面體之一邊求外切正方體之一邊則以十二面體之一邊為理分中末線之小分比例得全分即外切正方體之每一邊也設如正方體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所設之正方體每邊一尺二寸為三率求得四率七寸四分一釐六豪四絲零七微有餘即正方體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸二十面體以二十面體之六稜切於正方體之六面則正方體之每邊與二十面體之兩邊相對之線等即二十面體戊庚兩角相對之斜線試自二十面體之戊庚二角類對角平截之則所截之面成戊己庚子丑五等邊之面形戊庚兩角相對斜線即如理分中末線之全分庚子(與己庚等)一邊即如理分中末線之大分(見球)(内容二十面體法)故全分與大分之比即同於今所設之正方體之毎一邊與内容二十面體之每一邊之比也如有二十面體之一邊求外切正方體之一邊則以二十面體之一邊為理分中末線之大分比例得全分即外切正方體之每一邊也設如四面體毎邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線折半得四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘為四面體内容圓球全徑乃用求球内容正方體之每一邊法以球徑自乗三歸開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬正方體以正方體之丁己辛癸四角切於四面體各面之中心則四面體中心至每一面中心之立垂線即正方體中心至角之斜線四面體内容圓球徑即正方體外切圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球内容正方體之一邊即四面體内容正方體之一邊也又法以四面體每邊一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八歸除之得八寸開平方得二寸八分二釐八豪四絲二忽七微有餘即四面體内容正方體之每一邊也此法與前法同蓋四面體之自尖至底中心之立垂線自乗方為每邊自乗方之三分之二(即六分之四)内容圓球徑為立垂線之一半(見球外切四面體法)則内容圓球徑自乗方為立垂線自乗方之四分之一即為毎邊自乗方之六分之一而圓球内容正方體之每邊自乗方又為圓球徑自乗方之三分之一故内容正方體之每邊自乗方為四面體之每邊自乗方之十八分之一也如有正方體之一邊求外切四面體之一邊則以正方體之毎邊自乗以十八乗之開平方即得外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸折半得六寸即四面體内容八面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬八面體以八面體之四面切於四面體之各面以八面體之六角切於四面體之六稜其各角皆當各稜之一半故内容八面體之毎邊亦為四面體每邊之一半也如有八面體之一邊求外切四面體之一邊則以八面體之一邊倍之即得外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以四面體每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽八微有餘為四面體自尖至底中心之立垂線折半得四寸八分九釐八毫九絲七忽九微有餘為四面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微為三率求得四率一寸七分四釐八豪零三忽九微有餘即四面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬十二面體以十二面體之戊庚壬癸四角切於四面體各面之中心則四面體中心至毎一面中心之立垂線即十二面中心至各角之斜線四面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之每一邊即四面體内容十二面體之每一邊也如有十二面體之一邊求外切四面體之每一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切四面體之每一邊即十二面體外切四面體之每一邊也設如四面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以四面體毎邊一尺二寸求得内容圓球全徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘(法見前題)乃用求球外切二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球全徑折半得半徑二寸四分四釐九豪四絲八忽有微有餘為三率求得四率九分三釐五豪六絲二忽一微有餘為二十面體毎一面中心至邊之垂線三因之得二寸八分零六豪八絲六忽三微有餘為二十面體每一面自角至對邊之垂線自乘三歸四因開平方得三寸二分五釐二豪六絲三忽三微有餘即四面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬二十面體以二十面體之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切於四面體各面之中心則四面體中心至每一面中心之立垂線即二十面體中心至每一面中心之立垂線四面體内容圓球徑即二十面體内容圓球徑故先求得四面體内容圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即四面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切四面體之一邊則求得二十面體内容圓球徑又求得球外切四面體之一邊即二十面體外切四面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以每邊一尺二寸三歸之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸開平方得五寸六分五釐六豪八絲六忽四微有餘即八面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛正方體以正方體之八角切於八面體各面之中心試自八面體之壬角至對邊作壬癸一面中垂線又自一面中心辛與甲丁邊平行作子丑線則壬辛為壬癸三分之二子丑亦為甲丁三分之二辛丑即為甲丁三分之一與丑庚等辛丑丑庚與内容正方體之辛庚一邊遂成辛丑庚勾股形辛丑既與丑庚等故以辛丑自乘倍之開平方即得辛庚為八面體内容正方體之每一邊也如有正方體之一邊求外切八面體之一邊則以正方體之一邊自乘折半開平方得數三因之即外切八面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何八面體之每邊即内容四面體之每一邊也何以知之蓋甲乙丙丁八面體内容戊乙丙己四面體以乙丙己底面合於八面體之一面則上尖戊切於八面體甲庚丁一面之中心(其戊乙邊恰與乙丙邊等)故八面體之每一邊即内容四面體之每一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以八面體每邊一尺二寸自乘得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方得九寸七分九厘七豪九絲五忽八微有餘為八面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以全徑自乘三歸開平方得五寸六分五釐六豪八絲五忽四微有餘為十二面體每一面兩角相對斜線又以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率大分六一八○三三九九為二率今所得之每一面兩角相對斜線為三率求得四率三寸四分九釐六豪一絲二忽八微有餘即八面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛十二面體以十二面體之戊己庚辛壬癸子丑八角切於八面體各面之中心則八面體中心至每面中心之立垂線即内容十二面體中心至各角之斜線八面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得八面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即八面體内容十二面體之一邊也如有十二面體之一邊求外切八面體之一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切八面體之一邊即十二面體外切八面體之一邊也設如八面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以八面體毎邊一尺二寸自乘得一尺四十四寸六歸之得二十四寸開平方得四寸八分九釐八豪九絲七忽九微有餘為八面體内容圓球半徑乃用求球外切二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為一率小分三八一九六六○一為二率今所得之圓球半徑四寸八分九釐八豪九絲七忽九微為三率求得四率一寸八分七釐一豪二絲四忽三微有餘為二十面體毎一面中心至邊之垂線三因之得五寸六分一釐三豪七絲二忽九微有餘為毎一面自角至對邊之垂線自乗三歸四因開平方得六寸四分八釐二豪一絲七忽五微有餘即八面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁八面體内容戊己庚辛壬癸二十面體以二十面體之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切於八面體各面之中心則八面體中心至每面中心之立垂線即内容二十面體中心至每面中心之立垂線八面體内容圓球徑即二十面體内容圓球徑故先求得八面體内容圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即八面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切八面體之一邊則先求得二十面體内客圓球徑又求得球外切八面體之一邊即二十面體外切八面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體每邊一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六豪四絲零七微有餘即十二面體内容正方體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内容庚乙辛丁壬己正方體以正方體之十二稜切於十二面體之各面則正方體之每一邊即十二面體之每一面兩角相對斜線故用五等邊面形有邊求對角斜線法算之即得十二面體内容正方體之每一邊也如有正方體之一邊求外切十二面體之一邊則正方體之一邊即外切十二面體之每一面兩角相對斜線用五等邊面形有對角斜線求邊法算之即得正方體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容四面體之每一邊幾何法以十二面體每邊一尺二寸用求十二面體外切圓球徑法以理分中末線之小分三八一九六六○一為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體每邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘為十二面體中心至每邊正中之斜線以此斜線為股每邊之半六寸為勾求得弦一尺六寸八分一釐五豪一絲零二微有餘倍之得三尺三寸六分三釐零二絲零四微有餘為十二面體外切圓球全徑乃用求球内容四面體之一邊法以球徑自乗三歸二因開平方得二尺七寸四分五釐八豪九絲四忽六微有餘即十二面體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内客庚辛壬癸四面體以四面體之四角切於十二面體之四角則十二面體中心至各角之斜線即四面體中心至各角之斜線十二面體外切圓球徑即四面體外切圓球徑故先求得十二面體外切圓球徑又求得球内容四面體之一邊即十二面體内容四面體之一邊也如有四面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得四面體外切圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即四面體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以理分中末線之小分三八一九六六○一為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之十二面體毎邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘為十二面體中心至毎邊正中之斜線倍之得三尺一寸四分一釐六豪四絲零六微有餘(即十二面體外切正方體之一邊)為内容八面體兩角相對斜線自乗折半開平方得二尺二寸二分一釐四豪七絲五忽二微有餘即十二面體内容八面體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己十二面體内容庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於十二面體之六稜則十二面體中心至每邊正中之斜線即内容八面體中心至各角之斜線倍之則得八面體兩角相對之斜線故用斜弦求方邊法求得方邊即十二面體内容八面體之每一邊也如有八面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得八面體兩角相對斜線折半為外切十二面體中心至每邊正中之斜線乃以理分中末線之全分與小分之比同於十二面體中心至毎邊正中之斜線與每邊之半之比既得每邊之半倍之即八面體外切十二面體之一邊也設如十二面體每邊一尺二寸求内容二十面體之每一邊幾何法以十二面體毎邊一尺二寸用求十二面體中心至毎面中心之立垂線法求得中心至毎邊正中之斜線一尺五寸七分零八豪二絲零三微有餘又求得每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘乃以中心至毎邊正中之斜線為弦每一面中心至邊之垂線為勾求得股一尺三寸三分六釐二豪一絲九忽六微有餘倍之得二尺六寸七分二釐四豪三絲九忽二微有餘為十二面體内容圓球全徑乃用求球内容二十面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股大分六一八○三三九九為勾求得弦一一七五五七○五○為一率大分六一八○三三九九為二率今所得之圓球全徑二尺六寸七分二釐四豪三絲九忽二微為三率求得四率一尺四寸零四釐九豪八絲四忽四微有餘即十二面體内容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊十二面體内容己庚辛壬癸二十面體以二十面體之十二角切於十二面體各面之中心則十二面體中心至毎面中心之立垂線即内容二十面體中心至各角之斜線十二面體内容圓球徑即二十面體外切圓球徑故先求得十二面體内容圓球徑又求得球内容二十面體之一邊即十二面體内容二十面體之一邊也如有二十面體之一邊求外切十二面體之一邊則先求得二十面體外切圓球徑又求得球外切十二面體之一邊即二十面體外切十二面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容正方體之每一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至每面中心之立垂線法求得中心至毎邊正中之斜線九寸七分零八豪二絲零三微有餘又求得每一面中心至邊之垂線三寸四分六釐四豪一絲零一微有餘乃以中心至毎邊正中之斜線為弦以毎一面中心至邊之垂線為勾求得股九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内容圓球全徑乃用求球内容正方體之一邊法以球徑自乗三歸開平方得一尺零四分七釐二豪一絲三忽四微有餘即二十面體内容正方體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸正方體以正方體之八角切於二十面體之八面之中心則二十面體中心至毎一面中心之立垂線即内容正方體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即正方體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容正方體之一邊即二十面體内客正方體之一邊也如有正方體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得正方體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即正方體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容四面體之毎一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至每面中心之立垂線法求得立垂線九寸釐六釐九豪一絲三忽五微有餘(法見前題)倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内客圓球全徑乃用求球内容四面體之毎一邊法以球徑自乗三歸二因開平方得一尺四寸八分零九豪八絲三忽五微有餘即二十面體内容四面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸四面體以四面體之四角切於二十面體之四面之中心則二十面體中心至每面中心之立垂線即内容四面體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即四面體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容四面體之一邊即二十面體内容四面體之毎一邊也如有四面體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得四面體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即四面體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一邊幾何法以理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率今所設之二十面體毎邊一尺二寸折半得六寸為三率求得四率九寸七分零八豪二絲零三微有餘為二十面體中心至毎邊正中之斜線倍之得一尺九寸四分一釐六豪四絲零六微有餘(即二十面體外切正方體之一邊)為内容八面體兩角相對之斜線自乗折半開平方得一尺三寸七分二釐九豪四絲七忽一微有餘即二十面體内容八面體之毎一邊也如圖甲乙丙丁戊己二十面體内容庚辛壬癸八面體以八面體之六角切於二十面體之六稜則二十面體中心至每邊正中之斜線即内容八面體中心至各角之斜線倍之則得八面體兩角相對之斜線故用斜弦求方邊法求得方邊即二十面體内容八面體之毎一邊也如有八面體之每一邊求外切二十面體之每一邊則先求得八面體之角相對斜線折半為外切二十面體中心至每邊正中之斜線乃以理分中末線之全分與大分之比同於二十面體中心至每邊正中之斜線與毎邊之半之比既得毎邊之半倍之即八面體外切二十面體之一邊也設如二十面體每邊一尺二寸求内容十二面體之每一邊幾何法以二十面體毎邊一尺二寸用求二十面體中心至毎面中心之立垂線法求得立垂線九寸零六釐九豪一絲三忽五微有餘(法前)見倍之得一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為二十面體内容圓球全徑乃用求球内容十二面體之一邊法以理分中末線之全分一○○○○○○○○為股小分三八一九六六○一為勾求得弦一○七○四六六二六為一率小分三八一九六六 一為二率今所得之圓球全徑一尺八寸一分三釐八豪二絲七忽有餘為三率求得四率六寸四分七釐二豪一絲三忽五微有餘即二十面體内容十二面體之每一邊也如圖甲乙丙丁戊二十面體内容己庚辛壬癸十二面體以十二面體之二十角切於二十面體各面之中心則二十面體中心至每面中心之立垂線即内容十二面體中心至角之斜線二十面體内容圓球徑即十二面體外切圓球徑故先求得二十面體内容圓球徑又求得球内容十二面體之一邊即二十面體内容十二面體之一邊也如有十二面體之一邊求外切二十面體之一邊則先求得十二面體外切圓球徑又求得球外切二十面體之一邊即十二面體外切二十面體之每一邊也更體形設如正方體每邊一尺二寸今欲作與正方體積相等之圓球體問徑幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之正方體之每邊一○○○○○○○○為一率圓球徑一二四○七○○九八為二率今所設之正方體之毎邊一尺二寸為三率求得四率一尺四寸八分八釐八豪四絲一忽有餘即圓球之徑也葢正方體之每邊為一○○○○○○○○圓球徑為一二四○七○○九八則兩體積相等故以子丑寅卯正方體之每邊一○○○○○○○○與辰巳圓球徑一二四○七○○九八之比即同於今所設之甲乙丙丁正方體之每邊一尺二寸與今所得之戊己圓球徑一尺四寸八分八釐八豪四絲一忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如正方體積一尺七百二十八寸今欲作與正方邊相等之圓球體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之正方體積一○○○○○○○○○為一率圓球積五二三五九八七七五為二率今所設之正方體積一尺七百二十八寸為三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘即圓球之積也葢正方體積為一○○○○○○○○○圓球積為五二三五九八七七五則正方體之每邊與圓球徑相等故以子丑寅卯正方體積一○○○○○○○○○與辰巳圓球積五二三五九八七七五之比即同於今所設之甲乙丙丁正方體積一尺七百二十八寸與今所得之戊己圓球積九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘之比而正方體之每邊與圓球徑亦為相等也設如圓球徑一尺二寸今欲作與圓球積相等之四面體問毎一邊幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之圓球徑一二四○七○○九八為一率四面體之毎邊二○三九六四八九○為二率今所設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率一尺九寸七分二釐七豪三絲八忽有餘即四面體之每一邊也葢圓球徑為一二四○七○○九八四面體之毎邊為二○三九六四八九○則兩體積相等故以子丑圓球徑一二四○七○○九八與寅卯辰巳四面體之每邊二○三九六四八九○之比即同於今所設之甲乙圓球徑一尺二寸與今所得之丙丁戊己四面體之每邊一尺九寸七分二釐七豪三絲八忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如圓球積一尺七百二十八寸今欲作與圓球徑相等之四面體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之圓球積五二三五九八七七五為一率四面體積一一七八五一一二九為二率今所設之圓球積一尺七百二十八寸為三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五釐有餘即四面體之積也葢圓球積為五二三五九八七七五四面體積為一一七八五一一二九則圓球徑與四面體之每邊相等故以子丑圓球積五二三五九八七七五與寅卯辰巳四面體積一一七八五一一二九之比即同於今所設之甲乙圓球積一尺七百二十八寸與今所得之丙丁戊己四面體積三百八十八寸九百三十六分六百四十五釐有餘之比而圓球徑與四面體之毎邊亦為相等也設如八面體每邊一尺二寸今欲作與八面體積相等之十二面體問每邊幾何法用體積相等邊線不同之定率比例以定率之八面體之每邊一二八四八九八二九為一率十二面體之每邊五○七二二二○七為二率今所設之八面體之每邊一尺二寸為三率求得四率四寸七分三釐七豪零七忽有餘即十二面體之每一邊也葢八面體之每邊為一二八四八九八二九十二面體之每邊為五○七二二二○七則兩體積相等故以子丑寅卯八面體之每邊一二八四八九八二九與辰巳午未申十二面體之每邊五○七二二二○七之比即同於今所設之甲乙丙丁八面體之每邊一尺二寸與今所得之戊己庚辛壬十二面體之毎邊四寸七分三釐七豪零七忽有餘之比而兩體積亦為相等也設如八面體積一尺七百二十八寸今欲作與八面體毎邊相等之二十面體問積幾何法用邊線相等體積不同之定率比例以定率之八面體積四七一四○四五二一為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率今所設之八面體積一尺七百二十八寸為三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二釐有餘即二十面體之積也葢八面體積為四七一四○四五二一二十面體積為二一八一六九四九六九則八面體之毎邊與二十面體之毎邊相等故以子丑寅卯八面體積四七一四○四五二一與辰巳午未申酉二十面體積二一八一六九四九六九之比即同於今所設之甲乙丙丁八面體積一尺七百二十八寸與今所得之戊己庚辛壬癸二十面體積七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二釐有餘之比而八面體之每邊與二十面體之每邊亦為相等也御製數理精藴下編卷二十九
## 下編卷三十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十體部八各體權度比例堆垜各體權度比例數學至體而備以其綜線面之全而盡度量衡之用也葢線面存乎度體則存乎量求輕重則存乎衡是以又有權度之比例其法㮣以諸物製爲正方其邊一寸其積千分較量豪釐俾有定率然後凡物知其體積即知其重輕知其重輕即知其體積而權度無遁情也且體之爲質不一邊積等者輕重不同輕重等者邊積不同皆有互相比例之法而各體無混淆也赤金十六兩八錢紋銀九兩水銀十二兩二錢八分紅銅七兩五錢白銅六兩九錢八分黃銅六兩八錢綱六兩七錢三分生鐵六兩七錢熟鐵六兩七錢三分高錫六兩三錢六錫七兩六錢倭鉛六兩黑鉛九兩九錢三分白玉二兩六錢金珀八錢白瑪瑙二兩三錢紅瑪瑙二兩二錢硨磲一兩五錢二分青石二兩八錢八分白石二兩五錢紅石二兩五錢六分象牙一兩五錢四分牛角一兩九錢沉香八錢二分白檀八錢三分紫檀一兩零二分花梨八錢七分楠木四錢八分黃楊七錢五分烏木一兩一錢油八錢三分水九錢三分設如有金一方每邊三寸問重幾何法以一寸爲一率金寸方重一十六兩八錢爲二率今所設之金方每邊三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三兩六錢即金之重數也此法葢因金方每邊三寸則體積爲二十七寸以一寸與一十六兩八錢之比同於二十七寸與四百五十三兩六錢之比也設如有銀一方每邊二寸問重幾何法以一寸爲一率銀寸方重九兩爲二率今所設之銀方每邊二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二兩即銀之重數也此法葢因銀方每邊二寸則體積爲八寸以一寸與九兩之比同於八寸與七十二兩之比也設如黄銅一條重三百七十四兩問積幾何法以黃銅寸方重六兩八錢為一率一寸爲二率今所設黄銅重三百七十四兩爲三率求得四率五十五寸即黃銅之積也設如熟鐵一塊重十六兩欲鎔爲正方體問毎邊幾何法以熟鐵寸方重六兩七錢三分爲一率一寸爲二率今鐵重十六兩爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四釐有餘開立方得一寸三分三釐有餘即每邊之數也設如水銀一匣但知匣闊四寸長六寸高三寸五分問内水銀重數幾何法以匣闊四寸與長六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水銀一匣之積數爰以一寸爲一率水銀寸方重一十二兩二錢八分爲二率今所得之水銀一匣之積數八十四寸爲三率求得四率一千零三十一兩五錢二分即水銀之重數也設如白玉一方重九十三兩六錢但知闊比高多一寸長比闊多三寸問高闊長各幾何法以玉寸方重二兩六錢爲一率一寸爲二率今所設玉重九十三兩六錢爲三率求得四率三十六寸爲長方體積乃以闊比高多一寸長比闊多三寸爲帶兩縱之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得高二寸加闊比高多一寸得三寸爲闊再加長比闊多三寸得六寸爲長也設如金與銀鎔於一處共得正方體積二十七寸重二百七十四兩二錢問金與銀各幾何法以共積二十七寸以銀寸方重九兩乘之得二百四十三兩與共重二百七十四兩二錢相減餘三十一兩二錢乃以銀寸方重九兩與金寸方重十六兩八錢相減餘七兩八錢爲一率金一寸爲二率今相減所餘之三十一兩二錢爲三率求得四率四寸即金之寸數於共積二十七寸内減去四寸餘二十三寸即銀之寸數也以金四寸與金寸方重十六兩八錢相乘得六十七兩二錢以銀二十三寸與銀寸方重九兩相乘得二百零七兩兩數相併得二百七十四兩二錢仍與原數相合也此即和較比例之法葢銀二十七寸則其重數應得二百四十三兩與共重二百七十四兩二錢相減餘三十一兩二錢即金重於銀之數而金每寸比銀毎寸多七兩八錢故多七兩八錢則金有一寸今多三十一兩二錢則知金有四寸也若欲先得銀數則仍以七兩八錢爲一率一寸爲二率將共積二十七寸以金寸方重十六兩八錢乘之得四百五十三兩六錢内減共重二百七十四兩二錢餘一百七十九兩四錢爲三率求得四率二十三寸即銀之寸數與共積二十七寸相減餘四寸即金之寸數葢少七兩八錢則銀有一寸今少一百七十九兩四錢則知銀有二十三寸也設如金鑲玉爐一座共重四十六兩七錢問金玉各幾何法用盛水器皿一件置爐其中實之以水取出爐看水淺幾何設如盛水器皿係正方形每邊五寸取出爐水淺五分即以毎邊五寸自乘得二十五寸以水淺五分爲高再乘得一十二寸五百分爲爐之體積即金玉之共積爰以共積一十二寸五百分以玉寸方重二兩六錢乘之得三十二兩五錢與共重四十六兩七錢相減餘一十四兩二錢乃以玉寸方重二兩六錢與金重一十六兩八錢相減餘一十四兩二錢爲一率金一寸爲二率今相減所餘一十四兩二錢爲三率求得四率一寸爲金之寸數於共積一十二寸五百分内減去一寸餘十一寸五百分爲玉之寸數金一寸重得十六兩八錢玉十一寸五百分與玉寸方重二兩六錢相乘得二十九兩九錢爲玉之重數兩數相併共得四十六兩七錢仍與原數相合也如欲先得玉數則仍以一十四兩二錢爲一率一寸爲二率將所得共積一十二寸五百分以金寸方重十六兩八錢乘之得二百一十兩内減共重四十六兩七錢餘一百六十三兩三錢爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸數與共積一十二寸五百分相減餘一寸即金之寸數也設如空心金球一個外徑一尺二寸厚三分問重幾何法以金球外徑一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸乃用方邊球徑相等方積球積不同之定率比例以方積一○○○○○○○○○爲一率球積五二三五九八七七五爲二率今球徑自乘再乘之正方體積一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三釐有餘爲球之全體積又以厚三分倍之得六分與外徑一尺二寸相減餘一尺一寸四分爲空心徑自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方積一○○○○○○○○○爲一率球積五二三五九八七七五爲二率今空心徑自乘再乘之正方體積一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三釐有餘爲球内空心虛積兩積相減餘一百二十九寸零四十四分零六十釐有餘爲空心球體積乃以一寸爲一率金寸方重十六兩八錢爲二率空心球體積一百二十九寸零四十四分零六十釐有餘爲三率求得四率二千一百六十七兩九錢四分有餘即空心金球體之重數也設如正方青石一塊紅石一塊紅石比青石毎邊多二寸體積多五十六寸問二石之邊數及重數各幾何法以紅石比青石每邊多二寸爲邊較體積多五十六寸爲積較用大小二立方有邊較積較求邊法算之以邊較二寸自乘再乘得八寸與積較五十六寸相減餘四十八寸三歸之得一十六寸以邊較二寸除之得八寸爲長方面積以邊較二寸爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊二寸即青石之邊數加紅石比青石每邊多二寸得四寸即紅石之邊數乃以一寸爲一率紅石寸方重二兩五錢六分爲二率紅石毎邊四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三兩八錢四分即紅石之重數也又以一寸爲一率青石寸方重二兩八錢八分爲二率青石每邊二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三兩零四分即青石之重數也此法因二石皆爲正方體故用大小二立方有邊較積較求邊之法求得二石之邊自乘再乘即得二石之體積用寸方重數定率以比例之即得二石之重數也設如有正方水桶三個第一桶每邊一尺第三桶比第二桶每邊多二寸第三桶體積與第一桶第二桶兩桶之共積相等問三桶水之重數各幾何法以一寸爲一率水寸方重九錢三分為二率第一桶正方每邊一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十兩爲第一桶水之重數又以第三桶比第二桶每邊多二寸爲邊較以第一桶體積一千寸爲第三桶比第二桶所多之積較用大小二立方有邊較積較求邊法算之以邊較二寸自乘再乘得八寸與積較一千寸相減餘九百九十二寸三歸之得三百三十寸六百六十六分六百六十六釐有餘以邊較二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三釐有餘爲長方面積以邊較二寸爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊一尺一寸八分九釐有餘爲第二桶之邊數加較二寸得一尺三寸八分九釐有餘爲第三桶之邊數乃以一寸爲一率水寸方重九錢三分爲二率第二桶每邊一尺一寸八分九釐有餘自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有餘爲三率求得四率一千五百七十兩九錢九分三釐有餘即第二桶水之重數又以一寸爲一率水寸方重九錢三分爲二率第三桶每邊一尺三寸八分九釐有餘自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有餘爲三率求得四率二千四百九十二兩二錢三分八釐有餘即第三桶水之重數也此法葢因第三桶之體積與第一第二兩桶之共積相等則第一桶體積一千寸即第三桶體積比第二桶體積所多之較也而第三桶比第二桶每邊多二寸故用大小二立方有邊較積較求邊法求得二桶之邊數自乘再乘即得二桶之體積用寸方重數定率以比例之即得二桶水之重數也設如金球一個徑二寸二分六釐今欲作一銀球其重與金球等問徑幾何法以金方邊一寸爲一率銀方邊一寸二分三釐爲二率今所設之金球徑二寸二分六釐爲三率求得四率二寸七分七釐有餘即銀球之徑數也此法葢因各色俱爲正方體其重數俱設爲十六兩八錢與金寸方等故金方邊爲一寸銀方邊爲一寸二分三釐水銀方邊爲一寸一分一釐鉛方邊爲一寸一分九釐銅方邊爲一寸三分一釐鐵方邊爲一寸三分六釐錫方邊爲一寸三分九釐石方邊爲一寸八分九釐水方邊爲二寸六分四釐油方邊爲二寸七分四釐皆係邊與邊之比例故球徑與球徑之比同於方邊與方邊之比而爲相當比例四率也設如青石一塊正方一尺二寸重四千九百七十六兩六錢四分今欲作與青石一樣大熟鐵一塊問重幾何法以青石寸方重二兩八錢八分爲一率熟鐵寸方重六兩七錢三分爲二率今所設之青石重四千九百七十六兩六錢四分爲三率求得四率一萬一千六百二十九兩四錢四分即與青石一樣大熟鐵之重數也堆垜堆垜之法雖爲體屬而一面平堆與方圓束形實與面同方者即平方法其餘則用梯形法以其每層皆遞加之數也束形亦與一面平堆同法葢圓者以六包一方者以八包一三角者以九包一有邊求積有周求積其理皆相通也若夫以方面層累者則爲四角尖堆以三角面層累者則爲三角尖堆此二者每層之邊皆同爲遞加一數每層之面積則三角爲按位相加之數四角爲按位自乘相加之數其傍皆崚嶒不平故與體亦微異也至於以長方面層累者則爲長方堆以全堆而減去上截者則爲半堆總以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之於後設如一面直角尖堆底十二求積幾何法以底十二加尖上一得十三與層數十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之積也如圖甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二層其每層皆加一爲挨次遞加之數成直角三角形試另作一丁戊己直角三角形合於原形之側則成甲乙丁戊長方形其高即層數其底即首數與末數相加之數其積即總數加一倍之數(見算法原本二卷第三十二節)故以底十二與上尖一相加與層數十二相乘得長方積析半即得一面直角尖堆之積也此法與勾股求積之法異者葢勾股之上尖爲一㸃無數可紀此上尖一即其上之闊成斜方形故用斜方求積之法以上闊與下闊相加以高數乘之折半而得積也設如一面直角尖堆積二十八求底幾何法以一面直角尖堆積二十八倍之得五十六爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊七即一面直角尖堆之底數也如圖甲乙丙一面直角尖堆積倍之則成甲乙丁戊長方形積其乙丁長比甲乙闊多一故用帶縱較數開平方法算之得甲乙與乙丙等爲一面直角尖堆之底闊也設如一面三角尖堆底七求積幾何法以底七加上尖一得八與層數七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之積也如圖甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七層其每層皆加一爲挨次遞加之數成等邊三角形試另作一丁戊巳等邊三角形合於原形之側則成甲乙丁戊斜方形其高即層數其底即首數與末數相加之數其積即總數加一倍之數故以底七與上尖一相加與層數七相乘得斜方積折半得一面三角尖堆之積也設如一面三角尖堆積三十六求每邊幾何法以一面三角尖堆積三十六倍之得七十二爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八即一面三角尖堆每一邊之數也如圖甲乙丙一面三角尖堆積倍之則成甲乙丁戊斜長方積若直排之即與直角長方積等故其求邊之法亦與前直角尖堆求邊之法同也設如一面梯形堆上五下九求積幾何法以上五與下九相加得十四又視上五以上至一虛四位即以所虛之四與下九相減餘五爲層數與上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲層數五(凡自一遞加之數其末數即位數今首數爲五計自一己)(截去四位故於末數内減去所少之位即爲今之所有之位見算法原本二巻)(第三十二節)試另作一戊己庚辛梯形合於原形之側則成甲乙己庚斜方形其底即上數與下數相加之數其高即層數其積即總數加一倍之數故以上數與下數相加與層數相乘折半即得一面梯形堆之積也又法以底九用一面三角尖堆求積法求得總積四十五又以上五内減一餘四爲上虛小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求積法求得上虛小一面三角尖堆積十兩積相減餘三十五即一面梯形堆之積也如圖甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆總積又求得戊己庚上虛小三角尖堆積相減即得甲乙丙丁梯形堆之積也如有上闊或下闊與層數求積者則於層數内減一餘爲上下闊之較與上闊相加則得下闊與下闊相減則得上闊皆用有上下闊之法算之而得積也設如一面梯形堆積三十五下九問上幾何法以下九用一面三角尖堆求積法求得總積四十五内減梯形積三十五餘十爲上虛小一面三角尖堆積用一面三角尖堆有積求邊法求得每邊四加一得五即一面梯形堆之上闊也如圖甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆總積内減甲乙丙丁梯形堆積餘戊己庚上虛小一面三角尖堆積乃用有積求邊法求得己庚四因每層埃次遞加一故加一即得甲丁五爲上闊也如有上闊求下闊者則以上闊内減一爲上虛小三角尖堆之底求得上虛小三角尖堆積與梯形積相加爲三角尖堆總積亦用有積求邊法算之即得下闊也設如一面梯形堆積三十五上闊比下闊少四問上下闊各幾何法以梯形堆積三十五倍之得七十又以上下闊之較四加一得五爲層數以除倍積七十得十四爲上下闊之和加較四得十八折半得九爲下闊内減較四餘五爲上闊也如圖甲乙丙丁一面梯形堆積每層挨次加一今甲丁上闊比乙丙下闊少四即知甲乙爲五層矣故以甲乙丙丁梯形積倍之則成甲乙戊己斜方積以甲乙五層除之得乙戊爲上下闊之和加上下闊之較折半即得下闊於下闊内減上下闊之較即得上闊也如有積與上下闊之和求上下闊者則將積數加一倍以上下闊之和除之即得層數内減一即得上下闊之較或有積與層數求上下闊者則於層數内減一即得上下闊之較以層數除倍積即得上下闊之和既有較有和即得上下闊矣設如一面六角堆每邊六求積幾何法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每邊六減一餘五爲每一面三角尖堆之底與毎邊六(即底加一也)相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆積六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之積也如圖甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之則成甲庚辛類六三角尖堆而餘中心一其每一三角尖堆之甲庚一邊比六角堆之甲己一邊少一故以六角堆之每一邊内減一即得三角尖堆之每一邊而求得一面三角尖堆積六因之再加中心一即得一面六角堆之總積也設如一面六角堆積九十一求每邊幾何法以一面六角堆積九十一減中心一餘九十六歸之得十五爲一面三角尖堆積用一面三角尖堆有積求邊法算之得每邊五加一得六即六角堆之每一邊也如圖甲乙丙丁戊己一面六角堆積先減去中心一以六歸之則得甲庚辛一三角尖堆積其三角尖堆之甲庚一邊比六角堆之甲己一邊少一故用一面三角尖堆有積求邊法求得一邊再加一爲一面六角堆之每一邊也此即算書所謂圓束也本以六包一不能成圓凡云圓者皆六邊也周四十求積幾何法以外周四十加四得四十四四歸之得十一爲方束每一邊之數自乘得一百二十一即方束之積也如圖甲乙丙丁方束其四隅之四各爲兩邊所同用故必以外周加四以四歸之始得甲乙每一邊之數以一邊自乘即爲方束之積數也又法以外周四十加八得四十八與外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之積也葢方束以八包一其外周所包之數亦必以八遞加爲超位平加之數如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一層爲八第二層爲十六第三層爲二十四第四層爲三十二第五層爲四十毎層皆加八爲超位平加之數引而長之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上闊如以首數八與末數四十相加得四十八用層數五乘之折半即得總數(見算法原)(本二卷第三十二節)然其層數之五乃係外周四十用八歸所得之數今以内周八與外周四十相加即與外周四十栒乘是未用八歸故將相乘所得之數必以八歸又以二歸(即折半)始得總數夫先用八歸後用二歸即與用十六歸除等(二與八相因得)(一十六合兩次除爲一次除)故以十六歸除得總數再加中心一即得方束之積也又按第一法以外周四十加四以四歸之得方束之每一邊是外周加四則得每邊之四倍若以外周加四自乘必得方束積之十六倍而以十六歸除亦即得方束之積今以外周加八與外周相乘成長方形則其長比毎邊之四倍多四其闊比每邊之四倍少四其積必爲方束積之十六倍而少十六以十六歸除則得方束積而少一故加一而得方束積也此方束毎邊十一係奇數故有中心之一若方束毎邊係偶數者則無中心之一詳見下法設如方束外周三十六求積幾何法以外周三十六加四得四十四歸之得一十爲方束毎一邊之數自乘得一百即方束之積也又法以外周三十六加八得四十四與外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之積也此方束每邊係偶數無中心一其最内一層爲四其外周三十六用八歸之則得四層半然其立法亦與前法同乘除得數仍加一者葢以外周加四則得每邊之四倍若以外周加四自乘必得方束積之十六倍而以十六歸除亦即得方束之積今以外周加八與外周相乘成長方形則其長比每邊之四倍多四其闊比每邊之四倍少四其積必爲方束積之十六倍而少十六以十六歸除則得方束積而少一故加一而得方束積也設如方束積一百求外周幾何法以方束積一百開平方得一十四因之得四十内減四餘三十六即方束外周之數也如圖甲乙丙丁方束開方則得甲乙一邊前法以外周加四四歸之而得一邊此法以一邊四因之減四而即得外周也又法以方束積一百内減一餘九十九以十六乘之得一千五百八十四爲長方積以八爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十六即方束之外周數也此即方束有外周求積之法而轉用之前法以外周加八與外周相乘十六除之再加一而得積此法則以積數減一餘用十六乘之以八爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如三稜束外周二十七求積幾何法以外周二十七加三得三十三歸之得一十爲三稜束每一邊之數用一面三角尖堆有邊求積法以每邊一十加一得一十一與每邊一十相乘得一百一十折半得五十五即三稜束之積也如圖甲乙丙三稜束其三角之三各爲兩邊所同用故必以外周加三以三歸之始得甲乙每一邊之數即如一面三角尖堆之每一邊故用一面三角尖堆有邊求積法算之即得三稜束之積也又法以外周二十七加九得三十六與外周二十七相乘得九百七十二以十八歸除得五十四加中心一得五十五爲三稜束之積也葢三稜束以九包一其外周所包之數亦必以九遞加爲超位平加之數如甲乙丙三稜束除却中心之一最内一層爲九第二層爲十八第三層爲二十七每層皆加九爲超位平加之數引而長之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上闊如以首數九與末數二十七相加得三十六用層數三乘之折半即得總數(見算法原本二卷第三十二節)然其層數之三乃係外周二十七用九歸所得之數今以内周九與外周二十七相加即與外周二十七相乘是未用九歸故將相乘所得之數必以九歸又以二歸(即折半)始得總數夫先用九歸後用二歸即與十八歸除等(二與九相乘得一十八合兩次除爲一次除)故以十八歸除得總數再加中心一即得三稜束之積也又按第一法以外周二十七加三以三歸之得一面三角尖堆之每一邊是外周加三則得每邊之三倍若以毎邊之三倍再加三與每邊之三倍相乘必得一面三角尖堆積之十八倍(葢以一面三角尖堆之毎一邊加一與每邊之數相乘則得一面三角尖)(堆積之二倍今以毎邊之三倍加三與每邊之三倍相乘是邊加三倍則積加)(九倍彼旣爲一面三角尖堆積之二倍故此即爲十八倍也)而以十八歸除亦即得三稜束之積今以外周加九與外周相乘成長方形則其長比每邊之三倍加三者尚多三其闊比每邊之三倍少三其積必爲一面三角尖堆積之十八倍而少十八以十八歸除則得一面三角尖堆積而少一故加一而得三稜束之積也此三稜束亦有無中心之一者葢緣三稜束包中心一爲一層者周圍九其底則四包中心一爲二層者周圍十八其底則七凡如此類周遞加九邊遞加三者皆有中心之一其餘皆無中心之一詳見下法設如三稜束外周三十求積幾何法以外周三十加三得三十三三歸之得十一爲三稜束每一邊之數用一面三角尖堆有邊求積法以每邊十一加一得十二與每邊十一相乘得一百三十二折半得六十六即三稜束之積也又法以外周三十加九得三十九與外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三稜束之積也此三稜束無中心其最内一層爲三其外周三十用九歸之則得三層又三分之一然其立法亦與前法同乘除得數仍加一者葢以外周加三則得每邊之三倍若以每邊之三倍再加三與每邊之三倍相乘必得一面三角尖堆積之十八倍而以十八歸除亦即得三稜束之積今以外周加九與外周相乘成長方形則其長比每邊之三倍加三者尚多三其闊比每邊之三倍少三其積必爲一面三角尖堆積之十八倍而少十八以十八歸除則得一面三角尖堆積而少一故加一而得三稜束之積也設如三稜束積六十六求外周幾何法以三稜束積六十六倍之得一百三十二爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十一爲三稜束之每一邊三因之得三十三内減三餘三十即三稜束之外周數也如圖甲乙丙三稜束用一面三角尖堆有積求邊法求得甲乙一邊前法以外周加三三歸之而得一邊此法以一邊三因之減三而即得外周也又法以三稜束積六十六内減一餘六十五以十八乘之得一千一百七十爲長方積以九爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十即三稜束之外周數也此即三稜束有外周求積之法而轉用之前法以外周加九與外周相乘十八除之再加一而得積此法則以積數減一餘用十八乘之以九爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如圓束外周三十求積幾何法以外周三十六歸之得五爲一面三角尖堆之每一邊用一面三角尖堆有邊求積法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆積六因之得九十加中心一得九十一即圓束之積也如圖甲乙丙丁戊己圓束六分之則成甲庚辛類六三角尖堆形而餘中心一故以外周六分之而得甲庚每一邊之數即如一面三角尖堆之每一邊而求得一三角尖堆積六因之得六三角尖堆積加中心一即爲圓束之積數也又法以外周三十加六得三十六與外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圓束之積也葢圓束以六包一其外周所包之數亦必以六遞加爲超位平加之數如甲乙丙丁戊己圓束除却中心之一最内一層爲六第二層爲十二第三層爲十八第四層爲二十四第五層爲三十每層皆加六爲超位平加之數引而長之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上闊如以首數六與末數三十相加得三十六用層數五乘之折半即得總數(見算法厚本二卷第三十二節)然其層數之五乃係外周三十用六歸所得之數今以内周六與外周三十相加即與外周三十相乘是未用六歸故將相乘所得之數必以六歸又以二歸(即析半)始得總數夫先用六歸後用二歸即與十二歸除等(二與六相因得一十二合兩次除爲一次)(除)故以十二歸除得總數再加中心一即得圓束之積也又按第一法以外周三十六歸之得一面三角尖堆之每一邊是圓束之外周爲一面三角尖堆每邊之六倍若以外周加六與外周相乘則必得一面三角尖堆積之七十二倍(葢以一面三角尖堆之毎一邊加一與每一邊之數相乘則得一面三角尖堆)(積之二倍今以每邊之六倍加六與毎邊之六倍相乘是邊加六倍則積加三)(十六倍彼既爲一面三角尖堆積之二倍故此即爲七十二倍也)以一面三角尖堆積六倍之加中心一則得圓束積今將七十二倍積以十二除之亦得一面三角尖堆積之六倍故加中心一而得圓束之積也凡圓束皆有中心設此解與前法相通耳設如圓束積九十一求外周幾何法以圓束積九十一減中心一餘九十六歸之得一十五倍之得三十(或即以九十三)(歸之所得亦同葢六歸二因與三歸所得之數同也)爲長方積以一爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五又以六因之得三十即圓束之外周數也如圖甲乙丙丁戊己圓束減去中心一以六歸之則得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有積求邊法求得甲庚一邊以六因之而得外周也又法以圓束積九十一減一餘九十以十二乘之得一千零八十爲長方積以六爲長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊三十即圓束之外周數也此即圓束有外周求積之法而轉用之前法以外周加六與外周相乘十二除之再加一而得積此法則將積數減一餘用十二乘之以六爲長闊之較用帶縱開方得闊而爲外周也設如塹堵堆底五求積幾何法以底五自乘得二十五爲底面積又以位數五加一得六與底面積二十五相乘得一百五十折半得七十五即塹堵堆之積也如圖甲乙丙丁戊塹堵堆即一面直角尖堆累積之體也兩直角面相合成長方面形比原位數多一行而兩塹堵體相合成長方體形比原位數亦必多一面故以位數加一與底面積相乘所以增其一面之數成長方體形爲塹堵堆之二倍折半而得塹堵堆之積也設如三角尖堆每邊五求積幾何法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲底面積再以每邊五加二得七與底面積十五相乘得一百零五三歸之得三十五即三角尖堆之積也如圖甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累積成等邊三角體形其每邊之數即位數也試按位作㸃排之第一層爲一第二層爲三第三層爲六第四層爲十第五層爲十五爲每次按位相加之數如以位數加二與末數相乘取其三分之一即得總數(見算)(法原本二卷第三十四節)今以每邊加一與每邊之數相乘折半即得底面積再以位數加二爲高與底面積相乘成平行面之三稜體是爲三角尖體之三倍故以三除之而得也然必以位數加二爲高者葢以三三角尖體相湊乃成上下相等之平行面體其高必比原有之位數多二層(兩相角面相合比原位數多一行今三三角體相合故必比原位數多二)(面也)又以一平行面三稜體分爲三三角尖體其二面爲兩體所同用今以位數加二爲高與底數相乘所以增其二面之分也又法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十爲倍底積再以位數加二得七與倍底積三十相乘得二百一十六歸之亦得三十五爲三角尖堆之積也此法與前法同葢以每邊加一與每邊之數相乘則得底面積之二倍前法以位數加二與底數相乘既爲三角尖堆積之三倍此法以位數加二與倍底積相乘即爲三角尖堆積之六倍矣故以六歸之得積也又法以每邊五自乘再乘得一百二十五爲第一數再以每邊五自乘得二十五爲第二數又以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十倍之得六十爲第三數三數相加共得二百一十六歸之得三十五即三角尖堆之積也此法與第二法同葢以每邊自乘再乘爲第一數是未以每邊加一相乘亦未以位數加二再乘也因未以每邊加一相乘則其所成之正方形必比前所得之長少一層之數故又以每邊自乘爲第二數也因未以位數加二再乘則其高必比前所得之高少二層之數故又以每邊加一與每邊相乘(即如前之倍底積)又倍之爲第三數也三數相加始爲三角尖堆積之六倍故以六歸之而得積也設如三角尖堆積一百二十求每邊幾何法以三角尖堆積一百二十六因之得七百二十爲長方體積以一爲長與闊之較以二爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八即三角尖堆之每一邊也此法即三角尖堆有邊求積之法而轉用之葢有邊求積則以每邊加一與每邊相乘又以每邊加二再乘得長方體積爲三角尖堆積之六倍是長比闊多一高比闊多二今以三角尖堆積六因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲每邊之數也設如四角尖堆每邊五求積幾何法以每邊五加半得五個半與每邊五相乘得二十七個半又以每邊五加一得六與二十七個半相乘得一百六十五三歸之得五十五即四角尖堆之積數也如圖甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累積成方底四角尖體形其每邊之數即位數也試按位作㸃排之第一層爲一第二層爲四第三層爲九第四層爲十六第五層爲二十五爲每次按位自乘相加之數如以每邊加半與每邊相乘復以位數加一乘之取其三分之一即得總數(見算法原本二卷第三十五節)今以每邊加半與每邊相乘是得長方面積復以位數加一爲高乘之是得長方體積爲四角尖體之三倍故以三除之即得也然以邊數加半爲長以位數加一爲高者葢以三四角尖體相湊乃成上下相等之長方體其底必比正方面多半行其高必比原有之位數多一層(三角體以邊數加一與邊數相乘四)(角體以邊數加半與邊數相乘三角體以位數加二爲高四角體以位數加一)(爲高總以四角體比三角體底式大一倍故三角體爲長方體六分之一四角)(體爲長方體三分之一三角體加數幾何而此四角體皆用其半也)又以一長方體分爲三四角尖體其三面爲兩體所同用而少一行之數試以甲乙丙丁四角尖體作爲戊己庚辛陽馬尖體形爲長方體三分之一所餘爲三分之二其戊己庚戊庚辛兩面爲兩體所同用而戊庚一行又爲兩面所同用是此兩面爲兩體所同用而少一行之數也又以其所餘三分之二平分之必有一面爲兩體所同用是以長方體分爲三四角尖體有三面爲兩體所同用而少一行之數也今以每邊加半與每邊之數相乘又以位數加一乘之所以增其三面少一行之分也(葢其高既比原位數多一則其)(傍面一層宜爲一面三角尖堆之倍數而其傍面只比毎邊多半是傍面只爲)(一面三角尖堆之數也又其高旣比原位多一則其上面一層爲毎邊自乘之)(數即爲一面三角尖堆之倍數而少一行共之爲三面少一行之數也)又法以每邊五自乘再乘得一百二十五爲第一數再以每邊五自乘得二十五爲第二數又以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十折半得十五爲第三數三數相加共得一百六十五三歸之得五十五即四角尖堆之積也此法與第一法同葢以每邊自乘再乘爲第一數是未以每邊加半與每邊相乘亦未以位數加一再乘也因未以位數加一再乘則其上層即少一每邊自乘之數故以每邊自乘爲第二數也因未以每邊加半相乘則其傍面即少一面三角尖堆之數故以每邊加一與每邊相乘折半爲第三數也三數相加始爲四角尖堆積之三倍故以三歸之而得積也又法以每邊五加一得六與每邊五相乘得三十又以每邊五加二得七乘之得二百一十三歸之得七十爲三角尖堆之倍積又以每邊五求得一面三角尖堆積十五與倍三角尖堆積七十相減亦得五十五爲四角尖堆之積也如圖甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆積之一倍而少一面之數葢四角尖堆底面積爲三角尖堆底面積之一倍而少一行故四角尖堆體積爲三角尖堆體積之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆積内減一面三角尖堆積即得四角尖堆積也又法以每邊五用塹堵堆求積法求得塹堵堆積七十五又以每邊五用三角尖堆求積法求得三角尖堆積三十五兩數相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之積也如圖甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一邊求得戊己庚辛壬塹堵堆積四角尖體爲塹堵體三分之二三角尖體爲塹堵體三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆積與塹堵堆積相加即與二方底四角尖堆之積等故折半而得四角尖堆之積也設如四角尖堆積二百零四求每邊幾何法以四角尖堆積二百零四三因之得六百一十二爲長方體積以半爲長與闊之較以一爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八即四角尖堆之每一邊也此法即四角尖堆有邊求積之法而轉用之葢四角尖堆有邊求積則以每邊加半與毎邊相乘又以毎邊加一再乘得長方體積爲四角尖堆積之三倍是長比闊多半高比闊多一今以四角尖堆積三因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲每邊之數也設如長方堆底長九闊七上一行收頂求積幾何法以底闊七爲方堆之底用四角尖堆有邊求積法求得四角尖堆積一百四十又以底闊七與長九相減餘二爲兩一面三角尖堆即以底闊七用一面三角尖堆有邊求積法求得一面三角尖堆積二十八二因之得五十六爲兩一面三角尖堆積與前所得四角尖堆積一百四十相加得一百九十六即長方堆之積也如圖甲乙丙丁戊長方堆丙丁長比乙丙闊多庚丁二試自己至庚截去二面則成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊兩一面三角尖堆形其乙丙闊與丙庚等即四角尖堆之毎一邊亦即一面三角尖堆之毎一邊故以一邊求得四角尖堆積又求得兩一面三角尖堆積相加即得長方堆之積也又法以闊七與長九相減餘二折半得一又加半得一個半與長九相加得十個半與底闊七相乘得七十三個半又以底闊七(即層數)加一得八再乘得五百八十八三歸之得一百九十六即長方堆之積也此法與前法之理同如甲乙丙丁戊長方堆既分爲一四角尖堆兩一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固當以丙庚加半與乙丙相乘以甲乙加一再乘得一長方體形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊兩一面三角尖堆當以庚丁與乙丙相乘以戊丁(同甲乙)加一再乘得二長方面形爲兩一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍數不同故又以庚丁折半與庚丁相加即增其一長方面之分得三長方面形亦爲兩一面三角尖堆之三倍故以三歸之得一四角尖堆兩一面三角尖堆合之與甲乙丙丁戊一長方堆之積相等也又法以底闊七與長九相減餘二再加一得三爲頂上之長乃以底長九倍之得十八加頂長三得二十一與底闊七相乘得一百四十七再以高數七加一得八再乘(闊數即高數也)得一千一百七十六六歸之得一百九十六即長方堆之積也此法與第二法同葢前法以長闊相減折半加半與長相加此法以長闊相減不折半加一與倍長相加則其長比前法多一倍闊與高皆與前數同而體積亦必比前數大一倍故前法用三歸此法用六歸也設如長方堆積二百七十六長比闊多二求每邊幾何法以長方堆積二百七十六三因之得八百二十八爲長方體積以長比闊多二折半又加半得一個半與二相加得三個半爲長與闊之較以一爲高與闊之較用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊八爲底闊加長比闊多二得十爲長也此法即長方堆有邊求積之法而轉用之葢長方堆有邊求積則以原長闊之較折半又加半與原長相加乃與闊相乘又以闊加一再乘得長方體積爲長方堆之三倍是長比闊多原長闊之較又多半較仍多半高比闊多一今以長方堆積三因之得長方體積故用帶兩縱不同較數開立方法算之得闊爲底邊之闊加長闊之較得數爲長也設如三角半堆底邊八上邊五求積幾何法以底邊八用三角尖堆有邊求積法求得三角尖堆全積一百二十又以上邊五減一得四爲上虚三角尖堆之每邊亦用三角尖堆有邊求積法求得上虛三角尖堆積二十與先所得三角尖堆全積一百二十相減餘一百即三角半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己三角半堆若於其上加一小三角尖堆則成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每邊比三角半堆之上邊少一故先求得大三角尖堆全積又求得上虚小三角尖堆積相減即得三角半堆之積也又法以底邊八加一得九與底邊八相乘得七十二爲第一數又以上邊五與底邊八相併得十三以上邊五加一得六乘之得七十八爲第二數兩數相併得一百五十又以上邊五與下邊八相減餘三加一得四爲層數與兩數相加之一百五十相乘得六百六歸之得一百爲三角半堆之積也此法與等邊三角尖堆求積之法同葢等邊三角尖堆其上尖一即上邊其每邊之數即底邊亦即層數其法以每邊加一與每邊相乘又以每邊加二再乘得長方體積爲三角尖堆積之六倍分之則得長比高闊多一之一長方體形又得長比闊多一之二長方面形(即上多二層)若依此法以底邊加一與底邊相乘即長比闊多一之長方體之一面數也以上邊一與下邊相加又以上邊一加一得二乘之則得長比闊多一之二長方面之兩行數也此兩數相併以層數乘之則亦得長比高闊多一之一長方體形又得長比闊多一之二長方面形共成一長方體形爲三角尖堆之六倍矣設如三角半堆積一百上邊五求底邊幾何法以上邊五減一餘四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有邊求積法求得上虛三角尖堆積二十與半堆積一百相加得一百二十爲等邊三角尖堆全積用三角尖堆有積求邊法求得每邊八即三角半堆之底邊也如有底邊求上邊者則以底邊求得三角尖堆全積與半堆積相減餘爲上虚三角尖堆積求得上虚小三角尖堆之毎邊加一即上邊也設如四角半堆底邊十二上邊五求積幾何法以底邊十二用四角尖堆有邊求積法求得四角尖堆全積六百五十又以上邊五減一得四爲上虚四角尖堆之每邊亦用四角尖堆有邊求積法求得上虚四角尖堆積三十與先所得四角尖堆全積六百五十相減餘六百二十即四角半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己庚四角半堆若於其上加一小四角尖堆則成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每邊比四角半堆之上邊少一故求得大四角尖堆全積又求得上虚小四角尖堆積相減即得四角半堆之積也又法以上邊五自乘得二十五爲第一數以底邊十二自乘得一百四十四爲第二數以上邊五與底邊十二相乘得六十爲第三數又以上邊五與底邊十二相減餘七折半得三個半爲第四數四數相併得二百三十二個半又以上下邊相減所餘之七加一得八爲層數與四數相併之二百三十二個半相乘得一千八百六十三歸之得六百二十即四角半堆之積也此法與等邊四角尖堆求積之法同葢等邊四角尖堆其上尖一即上邊其每邊之數即底邊亦即層數其法以每邊加半與每邊相乘又以每邊加一再乘得長方體積爲四角尖堆積之三倍分之則得每邊自乘再乘之一正方體形每邊自乘之一正方面形又得長比闊多一之半層長方面形若以底邊自乘即正方體之一面數也以上邊一與底邊相乘則得每邊自乘正方面之一行數也以上邊一自乘又以上邊一與底邊相減折半此兩數相併即得長比闊多一之半層長方面之一行數也四數相併再以層數乘之則亦得一正方體形一正方面形又得長比闊多一之半層長方面形共成一長方體形爲四角尖堆之六倍矣又此法與上下不等正方體之法異者在多上下邊相減折半之一數因堆垜之傍面有餘分故也設如四角半堆積六百二十上邊五求底邊幾何法以上邊五減一餘四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有邊求積法求得上虛四角尖堆積三十與半堆積六百二十相加得六百五十爲等邊四角尖堆全積用四角尖堆有積求邊法求得每邊十二即四角半堆之底邊也如有底邊求上邊者則以底邊求得四角尖堆全積與半堆積相減餘爲上虚四角尖堆積求得上虛小四角尖堆之每邊加一即上邊也設如長方半堆底長十二闊十上長八闊六求積幾何法以底長十二闊十用長方堆求積法求得長方堆全積四百九十五又以上長八闊六各減一得長七闊五爲上虛長方堆之長闊亦用長方堆求積法求得上虛長方堆積八十五與先所得長方堆全積相減餘四百一十即長方半堆之積也如圖甲乙丙丁戊己庚長方半堆若於其上加一小長方堆則成上一行收頂之長方堆形其上所加之小長方堆之每邊比長方半堆之上邊少一故先求得長方堆全積又求得上虛小長方堆積相減即得長方半堆之積也又法以上長八與上闊六相乘得四十八爲第一數以底長十二與底闊十相乘得一百二十爲第二數以上長八與底闊十相乘得八十以上闊六與底長十二相乘得七十二兩數相併折半得七十六爲第三數又以上下長相減餘四折半得二爲第四數以此四數相加得二百四十六又以上長與底長相減所餘之四加一得五爲層數與四數相加之二百四十六相乘得一千二百三十三歸之得四百一十即長方半堆之積也此法與四角半堆求積之法同葢四角半堆長闊皆相等此則有長闊之不同故四角半堆以上邊自乘爲第一數者此則以上長闊相乘爲第一數四角半堆以下邊自乘爲第二數者此則以下長闊相乘爲第二數四角半堆以上下相乘爲第三數者此則以上長與下闊相乘上闊與下長相乘相併折半爲第三數四角半堆以上下相減折半爲第四數者此則以上下長相減折半爲第四數(如以上下闊相減折半亦同)其理皆相通也又法以上長八倍之得十六加下長十二得二十八以上闊六乘之得一百六十八又以下長十二倍之得二十四加上長八得三十二以下闊十乘之得三百二十又以下長十二與上長八相減餘四三數相加得四百九十二又以上下長相減所餘之四加一得五爲層數與三數相加之四百九十二相乘得二千四百六十六歸之得四百一十即長方半堆之積也此法與第二法同葢此法用數比前法大一倍故前法用三歸此法用六歸也又此法與上下不等長方體之法異者在多上下長相減之一數因堆垜之傍面有餘分故也又法以底闊十與長十二相乘得一百二十又以長十二闊十各減一得長十一闊九相乘得九十九又以長十一闊九各減一得長十闊八相乘得八十又以長十闊八各減一得長九闊七相乘得六十三再以長九闊七各減一得長八闊六(即上長闊)相乘得四十八以此五數相加共得四百一十即長方半堆之積也此法將每層長闊相乘得每層之積故總加之即五層之共積也法雖層累相加實爲顯而易見凡堆垜諸法皆可以此法御之若層數太多者用本法爲簡易也設如長方半堆積四百一十上長八闊六求底長闊各㡬何法以上長八闊六各減一得長七闊五爲上虚小長方堆之長闊用長方堆有邊求積法求得上虛小長方堆積八十五與半堆積四百一十相加得四百九十五爲長方堆全積用長方堆有積求邊法求得闊十長十二即長方半堆之底邊數也如有底邊長闊求上邊長闊者則以底邊求得長方堆全積與半堆積相減餘爲上虛小長方堆積求得上虚小長方堆之長闊兩邊各加一即長方半堆上邊長闊之數也御製數理精藴下編卷三十
## 下編卷三十一
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十一末部一借根方比例(定位法乘法) (除加法 法) (減法)借根方比例借根方者假借根數方數以求實數之法也凡法必借根借方加減乘除令與未知之數比例齊等而本數以出大意與借衰疊借略同然借衰疊借之法止可以御本部而此法則線面體諸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之邊數即所謂線以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以線類爲問者則借根數以比之以面類爲問者則借平方長方以比之以體類爲問者則借立方或累次多乘方以比之至於借數又有一定之位與降位之法(定位降位法俱詳後)要之此法設立虚數依所問之比例乘除加減務令根方之數與眞數相當適等而所求之數以出此亦借數之巧也定位法衆數之經緯盡歸乘除而乘除之條理又取準於定位况借數一法又用根方諸名一經乘除俱變爲幾根幾方之號而本數之比例由此而生其定位與常法稍異故變從簡易設表如左右表前行所列者借數之名後行所列者定數之位其借數者即比例也根與方數俱爲相連比例率如根爲二則平方爲四立方爲八以立方與平方之比同於平方與根數之比即爲八與四之比同於四與二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之數權約爲幾根幾方以統御之加減後餘幾根幾方即知眞數若干矣(如根爲二數其平方即爲四若餘二平方即知其真數有八或餘二)(根即知其真數有四也)其定位者即視根方所對之位也乘法定位以兩數所對之位數相加其加數所對之方即乘出之方也除法定位以兩數所對之位數相減其減餘數所對之方即除出之方也(乘法以眞數乘根仍得根葢根對一)(而眞數對○無可加也如以根乘根即得平方葢根對一一與一相加得二二所對之表爲平方故定乘)(得之數爲平方也如以根乘平方即得立方葢根對一平方對二一二相加得三而三所對之表爲立方)(故定乘得之數爲立方也又如以平方乘平方則二與二相加爲四查所對之表得三乘方以平方乘立)(方則二與三相加爲五查所對之表得四乘方以立方乘立方則三與三相加爲六查所對之表得五乘)(方餘皆倣此除法以真數除根仍得根葢根對一而真數對○無可減也如以根除根即得真數葢根對)(一一與一相減得○而○所對之表爲眞數故定除得之數爲真數也如以根除平方即得根葢根對一)(平方對二一二相減餘一而一所對之表爲根故定除得之數爲根數也又如以平方除平方則二與二)(減盡爲○查所對之表得真數以平方除立方則二與三相減餘一查所對之表得根數以立方除立方)(則三與三相減得○查所對之表亦得真數也餘皆倣此)定多少與相同號式凡數有多者用此號一如一平方多二根則如此列之凡數有少者用此號一如一立方少二平方則如此列之凡數有相等者用此號一如二立方與十六相等則如此列之至於數之多少不齊用號各異加減乘除之後有不變者有以多變少以少變多者俱詳於本法加法凡多與多加得數仍爲多少與少加得數仍爲少多與少加少與多加則反相減爲所得數而多數大則得數亦爲多少數大則得數亦爲少其故何也葢因多數大少數小以其所多補其所少而其所多者尚有餘也少數大多數小以其所多補其所少而其所少者仍不足也多少之號定而加法不淆矣設如有三平方多四根與二平方多三根相加問得幾何法以三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲五平方多七根即所求之數也此多與多加得數仍爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下數二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二與下八相加得二十即五平方之數上多八與下多六相加得十四即多七根之數葢上數共二十下數共十四兩數相加得三十四即二十多十四也設如有四立方少一平方與三立方少二平方相加問得幾何法以四立方與三立方相加得七立方一平方與二平方相加得三平方是爲七立方少三平方即所求之數也此少與少加得數仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九爲九十九下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八與下八十一相加得一百八十九即七立方之數上少九與下少十八相加得二十七即少三平方之數葢上數九十九下數六十三兩數相加得一百六十二即一百八十九少二十七也設如有四平方多四根與二平方少三根相加問得幾何法以四平方與二平方相加得六平方四根與三根相加應得七根今多少兩數不同故於多四根内反減去少三根餘一根因多數大故得數爲多是爲六平方多一根即所求之數也此多少兩數不同相加所多數大以其所多補足所少而所多仍有餘葢以上數多四根補足下數少三根仍多一根也如以數明之以根爲二則一平方爲四上數四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下數二平方得八少三根得少六是八少六爲二上十六與下八相加得二十四即六平方之數上多八補足下少六仍餘二即多一根之數葢上數二十四下數二兩數相加得二十六即二十四多二也設如有二立方少三平方與一立方多二平方相加問得幾何法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加應得五平方今多少兩數不同故於少三平方内反減去多二平方餘一平方因少數大故得數爲少是爲三立方少一平方即所求之數也此多少兩數不同相加所少數大以其所多補其所少而所少仍不足葢於上數少三平方内增入下數多二平方仍少一平方也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七爲二十七下數一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四與下二十七相加得八十一即三立方之數上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之數葢上數二十七下數四十五兩數相加得七十二即八十一少九也設如有二立方多三平方少四根與一立方多二平方少三根相加問得幾何法以二立方與一立方相加得三立方三平方與二平方相加得五平方四根與三根相加得七根是爲三立方多五平方少七根即所求之數也此三位相加多少各自相同故多與多加仍爲多少與少加仍爲少也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八爲二十下數一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六爲十上十六與下八相加得二十四即三立方之數上多十二與下多八相加得二十即多五平方之數上少八與下少六相加得十四即少七根之數葢上數二十下數十兩數相加得三十即二十四多二十又少十四也設如有四立方多三平方少二根多五眞數與五立方少一平方多三根少二眞數相加問得幾何法以四立方與五立方相加得九立方多三平方與少一平方相減餘二平方多數大故爲多少二根與多三根相減餘一根多數大故爲多多五眞數與少二眞數相減餘三眞數多數大故爲多是爲九立方多二平方多一根多三眞數即所求之數也此四位相加而多少各自不同須各以所多補足所少故相減所餘爲所得數也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多眞數五是三十二多十二少四又多五爲四十五下數五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少眞數二是四十少四多六又少二爲四十上三十二與下四十相加得七十二即九立方之數上多十二補足下少四仍餘八即多二平方之數上少四增入下多六反多二即多一根之數上多五補足下少二仍餘三即多三眞數葢上數四十五下數四十兩數相加得八十五即七十二多八又多二又多三也設如有一立方多三根與一平方少一根相加問得幾何法以一立方與一平方相加得一立方多一平方多三根與少一根相減餘二根多數大故爲多是爲一立方多一平方多二根即所求之數也此相加兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆今上層無平方位而下層却有平方位故上層列一空平方位以補之凡法皆當如此也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上二十七與下無可加仍得二十七即一立方之數下九與上空位亦無可加仍得九即一平方之數上多九補足下少三仍餘六即多二根之數葢上數三十六下數六兩數相加得四十二即二十七多九又多六也減法凡多與多減原數大於減數則減餘仍爲多少與少減原數大於減數則減餘仍爲少若多與多減減數大於原數則反減而減餘即變爲少葢減數之所多既大於原數之所多則原數之所多内減盡與原數之所多相等之數仍須於原數之整分内多減去所大之幾何則所餘之整分内即少幾何矣若少與少減減數大於原數則反減而減餘即變爲多葢減數之所少既大於原數之所少則原數之所少内減盡與原數之所少相等之數仍須於原數之整分内少減所大之幾何故所餘之整分内即多幾何矣至於多與少減少與多減則反相加爲減餘數而原數多則減餘仍爲多原數少則減餘仍爲少其故何也葢因原數多減數少則原數已多在彼而減數又少於此是所餘益多也原數少減數多則原數已少在彼而減數又多於此是所餘益少也多少之號明而減法不淆矣設如有四平方多五根内減二平方多二根問所餘幾何法以四平方減二平方餘二平方五根減二根餘三根是爲二平方多三根即所求之數也此多與多減原數大於減數故減餘仍爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下數二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内減下十八餘十八即二平方之數上十五内減下六餘九即三根之數葢上數共五十一下數共二十四兩數相減餘二十七即十八多九也設如有四立方少三平方内減三立方少二平方問所餘幾何法以四立方減三立方餘一立方三平方減二平方餘一平方是爲一立方少一平方即所求之數也此少與少減原數大於減數故減餘仍爲少也如以數明之以平方爲九則一立方爲二十七上數四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七爲八十一下數三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八爲六十三上一百零八内減下八十一餘二十七即一立方之數上二十七内減下十八餘九即少一平方之數葢上數八十一下數六十三兩數相減餘十八即二十七少九也設如有七平方多三根内減四平方多五根問所餘幾何法以七平方減四平方餘三平方三根内不能減五根乃於下數多五根内反減上數多三根餘二根即變爲少是爲三平方少二根即所求之數也此多與多減減數大於原數故反減而減餘即變爲少葢原數多三根減數多五根是減數比原數大二根如於原數三根内減去減數三根則減數仍餘二根此二根必須於原數平方内減之原數既多減二根則餘數即少二根也如以數明之以根爲三則一平方爲九上數七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下數四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内減下三十六餘二十七即三平方之數下十五内反減上九餘六即少二根之數葢上數共七十二下數共五十一兩數相減餘二十一即二十七少六也設如有六平方少三根内減二平方少四根問所餘幾何法以六平方減二平方餘四平方三根内不能減四根乃於下數少四根内反減上數少三根餘一根即變爲多是爲四平方多一根即所求之數也此少與少減減數大於原數故反減而減餘即變爲多葢原數少三根減數少四根是減數比原數大一根如於原數三根内減去減數三根則減數仍餘一根此一根係原數平方内所少減之一根原數既少減一根則餘數即多一根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二爲八十四下數二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六爲十六上九十六内減下三十二餘六十四即四平方之數下十六反減上十二餘四即多一根之數葢上數八十四下數十六兩數相減餘六十八即六十四多四也設如有三平方多四根内減二平方少一根問所餘幾何法以三平方減二平方餘一平方四根減一根應餘三根今多少兩數不同故反相加得五根因原數多故得數仍爲多是爲一平方多五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數多減數少原數已多而減數又少則所餘者愈多葢原數多四根減數少一根是原數比減數已多五根故減餘即爲多五根也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下數二平方得三十二少一根得少四是三十二少四爲二十八上四十八内減下三十二餘十六即一平方之數上多十六加下少四得二十即多五根之數葢上數六十四下數二十八兩數相減餘三十六即十六多二十也設如有五平方少二根内減三平方多三根問所餘幾何法以五平方減三平方餘二平方二根不能減三根且多少兩數不同故反相加得五根因原數少故得數仍爲少是爲二平方少五根即所求之數也此多少兩數不同相減原數少減數多原數已少減數又多則所餘者愈少葢原數少二根減數多三根是原數比減數已少五根故減餘即爲少五根也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五上數五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十爲一百一十五下數三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内減下七十五餘五十即二平方之數上少十加下多十五得二十五即少五根之數葢上數一百一十五下數九十兩數相減餘二十五即五十少二十五也設如有四立方多六平方内減二立方多三平方多三根問所餘幾何法以四立方減二立方餘二立方六平方減三平方再減三根餘三平方少三根是爲二立方多三平方少三根即所求之數也此相減兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆今上層無根位而下層却有根位故上層作一空根位以補之是原根位無數而減數多三根故所餘即少三根也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八上數四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下數二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六爲三十四上三十二内減下十六餘十六即二立方之數上二十四内減下十二餘十二即三平方之數下六無可減仍爲六即少三根之數葢上數五十六下數三十四兩數相減餘二十二即十六多十二又少六也設如有五立方多四平方多三根少八眞數内減四立方多二平方多二根少九眞數問所餘幾何法以五立方減四立方餘一立方四平方減二平方餘二平方多與多減原數大故爲多多三根減二根餘一根多與多減原數大故爲多八眞數不能減九眞數乃於下數少九内反減上數少八餘一即變爲多是爲一立方多二平方多一根多一眞數即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少眞數八是一百三十五多三十六又多九又少八爲一百七十二下數四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少眞數九是一百零八多十八又多六又少九爲一百二十三上一百三十五内減下一百零八餘二十七即一立方之數上三十六内減下十八餘十八即多二平方之數上九内減下六餘三即多一根之數下九反減上八餘一即多一眞數葢上數一百七十二下數一百二十三兩數相減餘四十九即二十七多十八又多三又多一也設如有二立方多三根内減一平方少一根問所餘幾何法以二立方減一平方餘二立方少一平方三根減一根應餘二根今多少兩數不同故反相加得四根因原數多故得數仍爲多是爲二立方少一平方多四根即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七上數二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下數一平方得九少一根得少三是九少三爲六上五十四無可減仍爲五十四即二立方之數下九無可減仍爲九即少一平方之數上多九與下少三相加得十二即多四根之數葢上數六十三下數六兩數相減餘五十七即五十四少九又多十二也乘法凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘與常法同其書乘出之數以類相從(如乘出之數爲根俱書於根之下乘)(出之數爲平方俱書於平方之下皆依定位表例)其定多少之號則臨期互有轉移葢法實俱止一位者其乘出之數爲多不必言矣法實不止一位俱係多者(如幾平方多幾根或幾根多幾眞數又或)(幾平方多幾根又多幾眞數之類)其乘出之數亦俱爲多葢以多乘多則多者益多也法實兩數俱係少者其爲首一位已係整數爲多(如幾平方少幾根或幾根少幾眞數或幾平方少幾根又少幾眞數之類)故乘出之數則有多少之分如爲首一位相乘係多與多乘其乘出之數爲多而次位爲少者與首位乘是爲少與多乘或首位與次位爲少者乘是爲多與少乘則其乘出之數俱爲少葢少與多乘多與少乘則少者益少而得數固少也(如㡬平方少幾根與幾眞數相乘以眞數乘平)(方即爲多與多乘以眞數乘根即爲多與少乘也)至於少與少乘其乘出之數反變爲多(如幾立方少幾平方與幾根少幾眞數相乘以眞數乘平方即爲少與少乘也)其故何也葢法實首位爲多次位以後爲少則乘出之數首位内少次位之數必多末位之數須於乘出首位數中減去次位之數加入末位之數始與實數相合(除首位上下兩整數相乘以後次位皆係少與少乘爲多而次位對首位乘必爲少與多乘或)(多與少乘則此兩數俱爲少合之爲首位數内少次位之數而多末位之數葢因次位所少數内有兩分)(末位之數首位數内減去次位之全數即如多減去一末位之數倘能於次位數中先減去末位數然後)(再於首位數中減之始與實數相合今次位數中既不能先減去末位數故轉於首位數中減去次位數)(反加入一末位數也)所謂減者即少數所謂加者即多數多少之分既定則依加法相加即爲所得之數也設如有三根多二眞數以三眞數乘之問得幾何法以三眞數乘二眞數得多六眞數(以多)(與多乘故爲多也又几以眞數乘根方之數其位皆不變如以眞數乘眞數仍)(得眞數以眞數乘根仍得根葢定位表中眞數之位爲○於根方之位無所加)(也)以三眞數乘三根得多九根是爲九根多六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則上數三根得十二多二眞數共得十四以下眞數三乘之所得三十六即九根之數所得多六即多六眞數葢以下數三與上數十四相乘得四十二即三十六多六也設如有四根多二眞數以二根多三眞數乘之問得幾何法以多三眞數乘多二眞數得多六眞數以多三眞數乘四根得多十二根又以二根乘多二眞數得多四根以二根乘四根得八平方(以根與根乘即得平方葢根所對之位爲)(一以一加一爲二即平方所對之位故得數定爲平方)相加得八平方多一十六根又多六眞數即所求之數也如圖甲乙爲四根乙丙爲多二眞數甲丁爲二根丁戊爲多三眞數以甲丙四根多二眞數與甲戊二根多三眞數相乘成甲戊己丙長方形其甲丁庚乙長方形即八平方其乙庚辛丙與丁戊壬庚二長方形即所多十六根其庚壬己辛長方形即所多六眞數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六上數四根得十六多二眞數共得十八下數二根得八多三真數共得十一相乘所得一百二十八即八平方之數所得多六十四即多十六根之數所得多六即多六眞數葢以下數十一與上數十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也設如有二平方多三根以二根多四眞數乘之問得幾何法因上層無眞數位故列一空位以補之以多四眞數乘空眞數仍爲空以多四眞數乘多三根得多十二根以多四眞數乘二平方得多八平方以二根乘空眞數仍爲空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方(以根)(乘平方即得立方葢根所對之位爲一平方所對之位爲二以一加二得三即)(立方所對之位也)相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之數也此相乘兩數位分不同須各按位列號補足位分始不相淆凡法皆當如此如圖甲乙丙丁爲二平方丁丙戊己爲多三根庚辛爲二根戊庚爲多四眞數以甲乙戊己二平方多三根與戊辛二根多四眞數相乘成乙己辛癸扁方體其丙己庚子十二根即四真數乘三根之數其甲乙丙丁子丑八平方即四眞數乘二平方之數其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之數其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之數也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五一立方爲一百二十五上數二平方得五十多三根得多十五共得六十五下數二根得一十多四眞數共得十四相乘所得五百即四立方之數所得多三百五十即多十四平方之數所得多六十即多十二根之數葢以下數十四與上數六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也設如有二根少四眞數以一根多三眞數乘之問得幾何法以多三眞數乘少四眞數得少十二眞數(多與少乘故爲少)以多三眞數乘二根得多六根(凡爲首一位皆爲多而數前無號者亦即爲多今以多三眞數)(與多二根相乘故其得數仍爲多)又以一根乘少四眞數得少四根(以多與少乘故爲少)以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二眞數即所求之數也如圖甲乙爲二根丙乙爲少四眞數甲丁爲一根丁戊爲多三真數以甲乙二根少四眞數與甲戊一根多三眞數相乘成甲戊己乙長方形其庚壬己辛長方形即多三眞數乘少四眞數之十二眞數丁戊己辛長方形即多三眞數乘二根之六根丙庚辛乙長方形即一根乘少四眞數之四根甲丁辛乙長方形即一根乘二根之二平方合之爲甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二眞數今以丁戊己辛之多六根少十二眞數補丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二眞數也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六上數二根得十二少四眞數則餘八下數一根得六多三眞數共得九相乘所得七十二即二平方之數所得多十二即多二根之數所得少十二即少十二眞數之數葢以下數九與上數八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也設如有一根少一眞數以一根少二眞數乘之問得幾何法以少二眞數乘少一眞數得多二眞數(少與少乘故爲多)以少二眞數乘一根得少二根(一根爲首且無號故爲多今以少二眞數與多一根相乘故其得數)(亦爲少也)又以一根乘少一眞數得少一根(多與少乘故爲少)以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二眞數即所求之數也如圖甲乙爲一根丙乙爲少一眞數甲丁亦爲一根戊丁爲少二眞數以甲乙一根少一眞數與甲丁一根少二眞數相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小長方形即少二眞數乘少一眞數之二眞數其戊壬己丁即二眞數乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一眞數之一根其甲乙己丁爲一根乘一根之一平方合之爲甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二眞數實得甲丙庚戊之一長方形葢甲乙己丁之一正方内減戊壬己丁之二根又減丙乙己辛之一根是重減去庚壬己辛之二眞數則甲丙庚戊長方内必缺二眞數故將少二眞數乘少一眞數所得之二眞數即預定爲多號以補重減之分然後得甲丙庚戊之一長方爲所得之實數也是則少與少乘之爲多者非於整數之外有盈分而爲多實因所少之數有過分而爲多也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六上數一根爲六少一眞數則餘五下數一根爲六少二眞數則餘四相乘所得三十六即一平方之數所得少十八即少三根之數所得多二即多二眞數之數葢以下數四與上數五相乘得二十即三十六少十八多二也設如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之問得幾何法因上下兩層皆無眞數位故各列一空位以補之以空眞數乘上層各位仍得各空位以少二根乘空眞數仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空眞數仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之數也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一一四乘方爲二百四十三上數二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三爲三十三下數二平方得十八少二根得少六是十八少六爲十二相乘所得九百七十二即四四乘方之數所得少六百四十八即少八三乘方之數所得多五十四即多二立方之數所得多十八即多二平方之數葢以下數十二與上數三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四復多十八也設如有三平方少二根多二眞數與一平方多二根少三眞數相乘問得幾何法以少三眞數乘多二眞數得少六眞數以少三眞數乘少二根得多六根以少三眞數乘三平方得少九平方又以多二根乘多二眞數得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二眞數得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六眞數即所求之數也如以數明之以根爲四則一平方爲十六一立方爲六十四一三乘方爲二百五十六上數三平方得四十八少二根得少八多二眞數共得四十二下數一平方得十六多二根得多八少三眞數共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之數所得多二百五十六即多四立方之數所得少一百七十六即少十一平方之數所得多四十即多十根之數所得少六即少六眞數之數葢以下數二十一與上數四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十復少六也除法凡除法按位列數必以眞數爲單位法尾未至眞數者須補○以存其位(如法尾爲根則補一○以存眞數位法尾爲平方則補二○以)(存眞數位法尾爲立方則補三○以存眞數位)將得數首位紀於眞數之上(如眞數之位爲○者則紀於○位之上)眞數所對實中之位即得數首位之數(如眞數對實中根位即定得數首位爲根如眞數對實中平方位即定得數首位爲平方)(如眞數對實中立方位即定得數首位爲立方餘俱倣此)其歸除遞減皆與常法同至於定號亦與乘法同俱詳設如於左設如有十二立方多九平方多六根以三眞數除之問得幾何法以三眞數除十二立方得四立方以四立方乘三眞數得十二立方與實相減恰盡餘多九平方多六根復以三眞數除多九平方得多三平方以多三平方乘三眞數得多九平方與實相減恰盡餘多六根又以三眞數除多六根得多二根以多二根乘三眞數得多六根與實相減恰盡無餘是爲四立方多三平方多二根即所求之數也此法葢因眞數除立方多平方與多根故得數之位仍從實數之位且眞數之位下對實中立方之位故定得數首位亦爲立方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共爲四百二十三以眞數三除之所得一百零八即四立方之數所得多二十七即多三平方之數所得多六即多二根之數葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也設如有十二立方多八平方多六根以二根除之問得幾何法因法尾未至眞數位故設一空眞數位以補之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方與實相減恰盡餘多八平方多六根復以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方與實相減恰盡餘多六根復以二根除多六根得多三眞數以多三眞數乘二根得多六根與實相減恰盡無餘是爲六平方多四根多三眞數即所求之數也此法葢因根數除立方多平方與多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲二則一平方爲四一立方爲八實數十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共爲一百四十法數二根爲四除之所得二十四即六平方之數所得多八即多四根之數所得多三即多三眞數之數葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也設如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之問得幾何法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方與實相減恰盡餘多八立方多八平方復以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方與實相減恰盡餘多八平方又以四平方除多八平方得多二眞數以多二眞數乘四平方得多八平方與實相減恰盡無餘是爲一平方多二根又多二眞數即所求之數也此法葢因平方除三乘方多立方與多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位亦爲平方又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七一三乘方爲八十一實數四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共爲六百一十二法數四平方爲三十六除之所得之九即一平方之數所得多六即多二根之數所得多二即多二眞數之數葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二也設如有四立方多八平方多七根多二眞數以二平方多三根多二眞數除之問得幾何法以二平方多三根多二眞數除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二眞數得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方與實相減餘多二平方多三根多二眞數復以二平方多三根多二眞數除二平方多三根多二眞數得多一眞數以多一眞數乘多二眞數得多二眞數以多一眞數乘多三根得多三根以多一眞數乘二平方得多二平方與實相減恰盡無餘是爲二根多一眞數即所求之數也此法葢因平方多根多眞數除立方多平方多根多眞數故以平方除立方得根以平方除多平方得多眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又因實數皆爲多故得數亦皆爲多也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二眞數即多二是爲一百零八多七十二又多二十一又多二共爲二百零三法數二平方得十八多三根得多九多二眞數即多二是爲十八多九又多二共爲二十九除之所得之六即二根之數所得多一即多一眞數葢二百零三以二十九除之得七即六多一也設如有六平方少一根少十五眞數以三根少五眞數除之問得幾何法以三根少五眞數除六平方少一根得二根以二根乘少五眞數得少十根以二根乘三根得六平方與實相減平方恰盡根之減數大於原數轉減之餘多九根少十五眞數復以三根少五眞數除多九根少十五眞數得多三眞數(減餘之九根爲多故除得之三眞數亦爲多也)以多三眞數與少五眞數相乘得少十五眞數以多三眞數與三根相乘得多九根與實相減恰盡無餘是爲二根多三眞數即所求之數也此法葢因根少眞數除平方少根少眞數故以根除平方得根以根除多根(根原爲少而減餘數變爲多)得多眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又因實數原爲少而次位餘實之數變爲多故定得數次位爲多也如以數明之以根爲五則一平方爲二十五實數六平方得一百五十少一根得少五少十五真數即少十五是爲一百五十少五又少十五共爲一百三十法數三根得十五少五眞數即少五是爲十五少五共爲一十除之所得之一十即二根之數所得之多三即多三眞數之數葢一百三十以十除之得十三即十多三也設如有九立方少十二平方少五根多六眞數以三平方少二根少三眞數除之問得幾何法以三平方少二根少三眞數除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三眞數得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方與實相減立方恰盡原少十二平方減少六平方餘少六平方原少五根不能減九根轉減之餘多四根又多六眞數復以三平方少二根少三眞數除少六平方多四根多六眞數得少二眞數以少二眞數乘少三眞數得多六眞數以少二眞數乘少二根得多四根以少二眞數乘三平方得少六平方與實相減恰盡無餘是爲三根少二眞數即所求之數也此法葢因平方少根少眞數除立方少平方少根與多眞數故以平方除立方得根以平方除少平方得少眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又實數之號雖有少有多不同而次位餘實之首數爲少故定得數次位爲少也如以數明之以根爲七則一平方爲四十九一立方爲三百四十三實數九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六眞數即多六是爲三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共爲二千四百七十法數三平方得一百四十七少二根得少十四少三眞數即少三是爲一百四十七少十四又少三共爲一百三十除之所得之二十一即三根之數所得之少二即少二眞數之數葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也設如有八立方多八平方多二根少四眞數以二平方多三根多二眞數除之問得幾何法以二平方多三根多二眞數除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二眞數得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方與實相減立方恰盡平方與根之減數俱大於原數故皆轉減之餘少四平方少六根又少四眞數復以二平方多三根多二眞數除少四平方少六根少四眞數得少二眞數以少二眞數乘多二眞數得少四眞數以少二眞數乘多三根得少六根以少二眞數乘二平方得少四平方與實相減恰盡無餘是爲四根少二眞數即所求之數也此法葢因平方多根多眞數除立方多平方多根與少眞數故以平方除立方得根以平方除少平方(平方原爲多而減餘數變爲少)得少眞數且眞數之位下對實中根位故定得數首位爲根又實數之號雖有多有少不同而次位餘實皆變爲少故定得數次位爲少也如以數明之以根爲三則一平方爲九一立方爲二十七實數八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四眞數即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共爲二百九十法數二平方得十八多三根得多九多二眞數即多二是十八多九又多二共爲二十九除之所得十二即四根之數所得少二即少二眞數之數葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也設如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二眞數以二平方少二根多一眞數除之問得幾何法以二平方少二根多一眞數除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一眞數得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方與實相減三乘方恰盡原少二立方不能減少四立方轉減之餘多二立方原少四平方減多二平方故相加爲少六平方仍多五根復以二平方少二根多一眞數除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一眞數得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方與實相減立方恰盡原少六平方減少二平方餘少四平方原多五根減多一根餘多四根仍少二眞數又以二平方少二根多一眞數除少四平方多四根少二眞數得少二眞數以少二眞數乘多一眞數得少二眞數以少二眞數乘少二根得多四根以少二眞數乘二平方得少四平方與實相減恰盡無餘是爲二平方多一根少二眞數即所求之數也此法葢因平方少根多眞數除三乘方少立方又少平方仍多根與少眞數故以平方除三乘方得平方以平方除多立方(立方原爲少而減餘)(數變爲多)得多根以平方除少平方得少眞數且眞數之位下對實中平方之位故定得數首位爲平方又實數之號雖有多有少不同而次位餘實之首數變爲多三位餘實之首數仍爲少故定得數之次位爲多三位爲少也如以數明之以根爲六則一平方爲三十六一立方爲二百一十六一三乘方爲一千二百九十六實數四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二眞數即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十復少二共爲四千六百三十六法數二平方得七十二少二根得少十二多一眞數即多一是七十二少十二又多一共爲六十一除之所得七十二即二平方之數所得多六即多一根之數所得少二即少二眞數之數葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也御製數理精藴下編卷三十一
## 下編卷三十二
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十二末部二借根方比例(開諸乘方法) (諸乘方表)開諸乘方法借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍而無所用兹故不載焉平方設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問每一根之數幾何法列方積一萬五千一百二十九尺自末位起算每方積二位定方根一位故隔一位作記乃於九尺上定單位一百尺上定十位一萬尺上定百位其一萬尺爲初商積與一百自乘之數相合即定初商爲一百尺書於方積一萬尺之上而以初商一百尺自乘之一萬尺書於初商積之下相減恰盡爰以方根第二位積五千一百尺續書於後爲次商廉隅之共積而以初商之一百尺倍之得二百尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一萬四千四百尺與原積相減餘七百尺爰以方根第三位積二十九尺續書於後共七百二十九尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以除三商積足三倍即定三商爲三尺書於方積九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一萬五千一百二十九尺與原積相減恰盡是開得一百二十三尺爲平方每一根之數也此法止用廉法除餘積得次商即併初商數自乘得數復與原積相減與常法不同然自三乘方以至多乘方則廉法條例甚繁難於布算用此法甚爲省便在平方立方不覺其省(平方止省小隅一層立方止省長廉小隅二層)而在多乘方所省實多葢各設一例以備體也立方設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五尺開立方問每一根之數幾何法列方積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算每方積三位定方根一位故隔二位作記乃於五尺上定單位三千尺上定十位一百萬尺上定百位其四千一百萬尺爲初商積與三百自乘再乘之數相準即定初商爲三百尺書於方積一百萬尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書於初商積之下相減餘一千四百萬尺爰以方根第二位餘積六萬三千尺續書於後共一千四百零六萬三千尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺爲次商廉法以除次商積足四十倍即定次商爲四十尺書於方積三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十萬四千尺與原積相減餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第三位餘積六百二十五尺續書於後共一百七十五萬九千六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一萬五千六百尺三因之得三十四萬六千八百尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡是開得三百四十五尺爲立方每一根之數也又用表開法列積四千一百零六萬三千六百二十五尺自末位起算隔二位作記定位同前乃截方根第二位以前積四一○六三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三九三○四(即初商次商自乘再乘之數)其所對初商根爲三次商根爲四即將三四書於初商次商之位而以三九三○四書於初商次商積之下相減餘一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除餘積一七五九足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六萬三千六百二十五尺與原積相減恰盡即定立方根爲三百四十五尺也三乘方設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之數幾何法列方積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算每方積四位定方根一位故隔三位作記乃於一尺上定單位七萬尺上定十位三億尺上定百位其一千零三十三億尺爲初商積與五百乘三次之數相準即定初商爲五百尺書於方積三億尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五億尺書於初商積之下相減餘四百零八億尺爰以方根第二位積五千五百一十七萬尺續書於後共四百零八億五千五百一十七萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之五百尺乘二次得一億二千五百萬尺四因之得五億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一億六千四百九十六萬尺大於原積是次商不可商八也乃改商七爲七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五億六千零一萬尺仍大於原積是次商不可商七也又改商六爲六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三億四千四百九十六萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積七萬尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三億四千四百九十六尺與原積相減餘五十億一千零二十一萬尺爰以方根第三位積七千一百二十一尺續書於後共五十億一千零二十一萬七千一百二十一尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之五百六十尺乘二次得一億七千五百六十一萬六千尺四因之得七億零二百四十六萬四千尺爲三商亷法以除三商積足七倍即定三商爲七尺書於方積一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得五百六十七尺爲三乘方每一根之數也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘與次商相乘六因之爲六自乘廉以次商自乘與初商相乘四因之爲四長廉以次商自乘再乘爲一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘三次即得應減之積也又法用開平方法兩次開之初以原積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺開平方得三十二萬一千四百八十九尺次以三十二萬一千四百八十九尺復開平方得五百六十七尺即三乘方每一根之數也又用表開法列積一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺自末位起算隔三位作記定位同前乃截方根第二位以前積一○三三五五一七爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲九八三四四九六(即初商次商乘三次之數)其所對初商根爲五次商根爲六即將五六書於初商次商之位而以九八三四四九六書於初商次商積之下相減餘五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除餘積五○一○二一足七倍即定三商爲七書於三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三億五千五百一十七萬七千一百二十一尺與原積相減恰盡即定三乘方根爲五百六十七尺也四乘方設如有四乘方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺開四乘方問每一根之數幾何法列方積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算每方積五位定方根一位故隔四位作記乃於五尺上定單位九十萬尺上定十位空百億尺上定百位其二百六十二兆尺爲初商積與七百乘四次之數相準即定初商爲七百尺書於方積空百億尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百億尺書於初商積之下相減餘九十三兆九千三百億尺爰以方根第二位餘積三十五億四千九百九十萬尺續書於後共九十三兆九千三百三十五億四千九百九十萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一億尺五因之得一兆二千零五億尺爲次商廉法以除次商積足七十倍因定次商爲七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四億一千五百七十萬尺大於原積是次商不可商七也乃改商六爲六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺小於原積可減也乃定次商爲六十尺書於方積九十萬尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十萬尺與原積相減餘八兆四千五百一十億一千二百三十萬尺爰以方根第三位餘積七萬八千一百二十五尺續書於後共八兆四千五百一十億一千二百三十七萬八千一百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六億二千一百七十六萬尺五因之得一兆六千六百八十一億零八百八十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡是開得七百六十五尺爲四乘方每一根之數也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉爲法除餘積得次商以初商自乘再乘與次商相乘十因之爲十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘兩數相乘十因之爲十自乘廉以次商自乘再乘與初商相乘五因之爲五長廉以次商數乘三次爲一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘四次即得應減之積也又用表開法列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺自末位起算隔四位作記定位同前乃截方根第二位以前積二六二○○三五四九九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲二五三五五二五三七六(即初商次商乘四次之數)其所對初商根爲七次商根爲六即將七六書於初商次商之位而以二五三五五二五三七六書於初商次商積之下相減餘八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除餘積八四五一○一二三足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七萬八千一百二十五尺與原積相減恰盡即定四乘方根爲七百六十五尺也五乘方設如有五乘方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開五乘方問每一根之數幾何法列方積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算每方積六位定方根一位故隔五位作記乃於五尺上定單位五百萬尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺爲初商積與九百乘五次之數相準即定初商爲九百尺書於方積八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺書於初商積之下相減餘三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位積三千零一十億二千五百萬尺續書於後共三十二京七千六百二十七兆三千零一十億二千五百萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百億尺六因之得三千五百四十二兆九千四百億尺爲次商廉法以除次商積足八十倍因定次商爲八十尺按法相乘大於原積乃改商七十尺書於方積五百萬尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百萬尺與原積相減餘二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百萬尺爰以方根第三位積三十九萬零六百二十五尺續書於後共二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百三十九萬零六百二十五尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十萬尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十萬尺爲三商廉法以除三商積足五倍即定三商爲五尺書於方積五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡是開得九百七十五尺爲五乘方每一根之數也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉爲法除餘積得次商以初商乘三次與次商相乘十五乘之爲十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘兩數相乘二十乘之爲二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘兩數相乘十五乘之爲十五自乘廉以次商乘三次與初商相乘六因之爲六長廉以次商乘四次爲一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘五次即得應減之積也又法用開平方開立方法開之初以原積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺開平方得九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺又以九億二千六百八十五萬九千三百七十五尺開立方得九百七十五尺即五乘方每一根之數也又用表開法列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺自末位起算隔五位作記定位同前乃截方根第二位以前積八五九○六八三○一○二五爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲八三二九七二○○四九二九(即初商次商乘五次之數)其所對初商根爲九次商根爲七即將九七書於初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九書於初商次商積之下相減餘二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除餘積二六○九六二九六○九六足五倍即定三商爲五書於三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九萬零六百二十五尺與原積相減恰盡即定五乘方根爲九百七十五尺也六乘方設如有六乘方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺開六乘方問每一根之數幾何法列方積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算每方積七位定方根一位故隔六位作記乃於八尺上定單位九千萬尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺爲初商積與八百乘六次之數相準即定初商爲八百尺書於方積五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺書於初商積之下相減餘一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位積九十九兆二千五百二十三億九千萬尺續書於後共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三億九千萬尺爲次商廉隅之共積而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺爲次商廉法以除次商積足六十倍因定次商爲六十尺按法相乘大於原積乃改商五十尺書於方積九千萬尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二億五千萬尺與原積相減餘五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千萬尺爰以方根第三位積五百九十萬零九百二十八尺續書於後共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四千五百九十萬零九百二十八尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六億二千五百萬尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三億七千五百萬尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰盡是開得八百五十二尺爲六乘方每一根之數也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉爲法除餘積得次商以初商乘四次與次商相乘二十一乘之爲二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘兩數相乘三十五乘之爲三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘兩數相乘三十五乘之爲三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次兩數相乘二十一乘之爲二十一自乘廉以次商乘四次與初商相乘七因之爲七長廉以次商乘五次爲一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今得次商之後合初商乘六次即得應減之積也又用表開法列積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺自末位起算隔六位作記定位同前乃截方根第二位以前積三二五八九四五九九二五二三九爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲三二○五七七○八八二八一二五(即初商次商乘六次之數)其所對初商根爲八次商根爲五即將八五書於初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五書於初商次商積之下相減餘五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除餘積五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十萬零九百二十八尺與原積相減恰盡即定六乘方根爲八百五十二尺也七乘方設如有七乘方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開七乘方問每一根之數幾何法列方積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算每方積八位定方根一位故隔七位作記乃於一尺上定單位三億尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺爲初商積與七百乘七次之數相準即定初商爲七百尺書於方積二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺書於初商積之下相減餘六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位積二百三十三兆九千三百八十三億尺續書於後共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三億尺爲次商廉隅之共積而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺爲次商廉法以除次商積足九倍止可商九尺是次商爲空位也乃書一空於方積三億尺之上而以九尺書於方積一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡是開得七百零九尺爲七乘方每一根之數也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉爲法除餘積得次商以初商乘五次與次商相乘二十八乘之爲二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘兩數相乘五十六乘之爲五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘兩數相乘七十乘之爲七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次兩數相乘五十六乘之爲五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次兩數相乘二十八乘之爲二十八自乘廉以次商乘五次與初商相乘八因之爲八長廉以次商乘六次爲一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘七次即得應減之積也又法用開平方法三次開之初以原積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺開平方得二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺次以二千五百二十六億八千八百一十八萬七千七百六十一尺復開平方得五十萬二千六百八十一尺又以五十萬二千六百八十一尺復開平方得七百零九尺即七乘方每一根之數也又用表開法列積六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺自末位起算隔七位作記定位同前乃截方根第二位以前積六三八五一三二○二三三九三八三爲初商次商之積於表中取比此數相近略小之數爲五七六四八○一○○○○○○○○(即初商次商乘七次之數)其所對初商根爲七次商根爲○即將七○書於初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○書於初商次商積之下相減餘六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除餘積六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商爲九書於三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億九千零一十九萬三千一百二十一尺與原積相減恰盡即定七乘方根爲七百零九尺也八乘方設如有八乘方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開八乘方問每一根之數幾何法列方積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算每方積九位定方根一位故隔八位作記乃於二尺上定單位四十億尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺爲初商積與四百乘八次之數相準即定初商爲四百尺書於方積五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺書於初商積之下相減餘一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位積八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺續書於後共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十億尺爲次商廉隅之共積而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺爲次商廉法以除次商積足二十倍即定次商爲二十尺書於方積四十億尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十億尺與原積相減餘一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十億尺爰以方根第三位積九億五千二百八十二萬七千二百九十二尺續書於後共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六億尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡是開得四百二十二尺爲八乘方每一根之數也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉爲法除餘積得次商以初商乘六次與次商相乘三十六乘之爲三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘兩數相乘八十四乘之爲八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次兩數相乘一百二十六乘之爲一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次兩數相乘八十四乘之爲八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次兩數相乘三十六乘之爲三十六自乘廉以次商乘六次與初商相乘九因之爲九長廉以次商乘七次爲一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘八次即得應減之積也又法用開立方法兩次開之初以原積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺開立方得七千五百一十五萬一千四百四十八尺次以七千五百一十五萬一千四百四十八尺復開立方得四百二十二尺即八乘方每一根之數也又用表開法列積四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺自末位起算隔八位作記定位同前乃截方根第二位以前積四二四四三五八四九一八五四四四爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲四○六六七一三八三八四九四七二(即初商次商乘八次之數)其所對初商根爲四次商根爲二即將四二書於初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二書於初商次商積之下相減餘一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除餘積一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九億五千二百八十二萬七千三百九十二尺與原積相減恰盡即定八乘方根爲四百二十二尺也九乘方設如有九乘方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開九乘方問每一根之數幾何法列方積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算每方積十位定方根一位故隔九位作記乃於四尺上定單位二百億尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺爲初商積與三百乘九次之數相準即定初商爲三百尺書於方積六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺書於初商積之下相減餘二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位積九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺續書於後共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百億尺爲次商廉隅之共積而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺爲次商廉法以除次商積足十倍即定次商爲一十尺書於方積二百億尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百億尺與原積相減餘五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百億尺爰以方根第三位積九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺續書於後共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺爲三商廉隅之共積而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十億尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百億尺爲三商廉法以除三商積足二倍即定三商爲二尺書於方積四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰盡是開得三百一十二尺爲九乘方每一根之數也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉爲法除餘積得次商以初商乘七次與次商相乘四十五乘之爲四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘兩數相乘一百二十乘之爲一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘兩數相乘二百一十乘之爲二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次兩數相乘二百五十二乘之爲二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次兩數相乘二百一十乘之爲二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次兩數相乘一百二十乘之爲一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次兩數相乘四十五乘之爲四十五自乘廉以次商乘七次與初商相乘十因之爲十長廉以次商乘八次爲一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十長廉一小隅以次商乘之爲次商廉隅之共積今此法得次商之後合初商乘九次即得應減之積也又法用開平方開四乘方法開之初以原積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺開平方得二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四億六千六百五十五萬二千八百三十二尺開四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之數也又用表開法列積八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺自末位起算隔九位作記定位同前乃截方根第二位以前積八七四○六九四四七八○一四三二爲初商次商之積於表中取比此數相近畧小之數爲八一九六二八二八六九八○八○一(即初商次商乘九次之數)其所對初商根爲三次商根爲一即將三一書於初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一書於初商次商積之下相減餘五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除餘積五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商爲二書於三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十億四千七百二十二萬零二百二十四尺與原積相減恰盡即定九乘方根爲三百一十二尺也諸乘方表凡表上横行所列自一至九之數為初商根右直行所列自○至九之數為次商根其中每格所列細數二層上層為初商次商積(如立方表第一行第三格上層一七二八即方根一)(二自乘再乘之數餘倣此)下層為三商亷法(如立方表第一行第三格下層四三即三)(商亷法乃以初商次商兩根一二自乘三因截去末一位之數葢方根既有三位則初商為百次商為十)(以一百二十自乘三因得四三二○○為亷法除實至三商本位止今㨗法止用次商餘積求三商不加)(三商本位之積其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商餘積多一位故截去末一位止)(用四三為亷法除實則法實尾位均齊定位始無誤餘倣此)用表之法具見設如立方表御製數理精藴下編卷三十二
## 下編卷三十三
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十三末部三借根方比例(帶縱平方乘方帶縱立方三乘方四 五乘方附)帶縱平方借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較縱之名惟有多根少根之號而毎根之數或爲長方之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實總不出和較之兩端如云一平方多㡬根與幾真數等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如云一平方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則皆長方之長也如云一平方多幾真數與幾根等或幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱惟眞數比根少平方者則爲和縱也至於開之之法皆以眞數爲長方積以根數爲縱(即以根數作眞數用如三根即作三)(眞數五根即作五真數之類解見設如)依面部帶縱平方法開之有較縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者以和較相減折半而得每根之數(用半和半較立法者則相減即得根)(數不用折半)其根爲長方之長者以和較相加折半而得每根之數也(用半和半較立法者則相加即得根數不用折半)俱詳設如設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根之數幾何法以二十四尺爲長方積二根爲縱多二尺用帶縱較數開平方法算之將積數四因加縱多自乘之數得一百尺開平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較二尺得六尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根與二十四尺相等也若以積計之則積之多於平方者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則長多於闊者爲戊丁之二尺故以二根即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則爲四種一平方多二根與二十四尺相等一也如二根多一平方亦必與二十四尺相等又一也若於一平方多二根與二十四尺各减去二根則爲一平方與二十四尺少二根相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根餘甲乙己戊一平方故爲一平方)(與二十四尺少二根相等也)又如一平方多二根與二十四尺各减去一平方則爲二根與二十四尺少一平方相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内減去甲乙己戊一平方餘戊己丙丁二根故爲二根與)(二十四尺少一平方相等也)此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比一正方多根數故知其爲較縱而每根之數爲闊也設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根之數幾何法以四十五尺爲長方積四根爲縱多四尺用帶縱較數開平方法算之將積數四因加縱多自乘之數得一百九十六尺開平方得十四尺爲和加較四尺得十八尺折半得九尺爲一根之數即長方之長減較四尺得五尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根於甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四根則餘甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根與四十五尺相等也若以積計之則積之少於平方者爲丁丙己戊之四根若以邊計之則闊少於長者爲丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多也此法錯綜其名亦爲四種一平方少四根與四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必與四根相等又一也若於一平方少四根與四十五尺各加四根則爲一平方與四十五尺多四根相等此又其一也(甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成)(甲乙己戊一平方故爲一平方與四十五尺多四根相等也)如一平方亦必與四根多四十五尺相等此又其一也此四者名雖不同合而觀之總爲真數比一正方少根數故知其爲較縱而其每根之數爲長也設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一根之數幾何法以三十六尺爲長方積十三根爲和十三尺用帶縱和數開平方法算之將積數四因與和自乘數相減餘二十五尺開平方得五尺爲較與和十三尺相减餘八尺折半得四尺爲一根之數即長方之闊加較五尺得九尺即長方之長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺與十三根相等也若以積計之則積三十六尺與一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以邊計之則長九尺與闊四尺相加得甲戊之十三尺故將十三根作十三尺爲和也此法錯綜其名亦爲四種一平方多三十六尺與十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必與十三根相等又一也若於一平方多三十六尺與十三根各减去三十六尺則爲一平方與十三根少三十六尺相等此又其一也(甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁)(三十六尺餘丁丙己戊一平方故云一平方與十三根少三十六尺相等也)又如一平方多三十六尺與十三根各减去一平方則爲三十六尺與十三根少一平方相等此又其一也(甲乙己戊十三根内)(減去丁丙己戊一平方餘甲乙丙丁三十六尺故爲三十六尺與十三根少一)(平方相等也)此四者名雖不同合而觀之總爲眞數比根數少一正方故知其爲和而其毎根之數爲闊也設如有一平方多三十二尺與十二根相等問每一根之數幾何法以三十二尺爲長方積十二根爲和十二尺用帶縱和數開平方法算之將積數四因與和自乘數相減餘十六尺開平方得四尺爲較加和十二尺得十六尺折半得八尺爲一根之數即長方之長減較四尺餘四尺即長方之闊也如圖甲乙丙丁長方形共積三十二尺甲乙八尺爲一根爲長甲丁四尺爲闊甲戊十二尺爲和甲乙己戊爲十二根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺與十二根相等也若以積計之則積三十二尺與一平方相加共得甲乙己戊十二根若以邊計之則長八尺與闊四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺爲和也此法亦眞數比根數少一正方故知其爲和而其每根之數爲長也帶縱立方 (三乘方) (四乘方) (五乘方附)借根方比例開帶縱立方與常法不同常法先知各邊之和或較既開得一邊之數以和較加減之即得各邊之數此法止有根方多少之號而無和縱較縱之名惟求每根之數而不問餘邊其立法之本意葢欲借根方以求他數既得一根之數則所求之數已得而方之形體有所不計且其與根方相等之積數或爲長方體扁方體形或非長方體扁方體形(或於長方)(扁方之内少幾數或於長方扁方之外多幾數則不能成長方扁方體形也)皆不可知故不可以帶縱之常法求也(其積數或原爲幾根幾方之總數而非一長方或一)(扁方之全數則止可以逐方逐根計之若作一長方或一扁方算則其各邊必有奇零不盡而轉與所設)(之根數不合矣)今類其法分爲九種如一立方多幾根與幾真數等一也一立方少幾根與幾眞數等二也一立方多幾平方與幾真數等三也一立方少幾平方與幾眞數等四也一立方多幾平方多幾根與幾眞數等五也一立方少幾平方少幾根與幾真數等六也一立方多幾平方少幾根與幾眞數等七也一立方少幾平方多幾根與幾真數等八也又幾平方少一立方與幾眞數等九也其開之之法除第九種外餘俱依立方法定初商復視所帶根方爲多號者其商數須取略小於應得之數所帶根方數爲少號者其商數須取略大於應得之數俱以初商數自乘再乘爲立方積以初商自乘數與幾平方相乘爲所帶平方之共積以初商數與幾根相乘爲所帶根數之共積多號者與立方積相加少號者與立方積相減然後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商自乘數三因之爲立方廉以初商數倍之與幾平方相乘爲所帶平方之共廉多號者與立方廉相加少號者與立方廉相減又加減所帶之根數(多根者加少根者減)爲次商廉法以廉法除次商積得次商即合初商自乘再乘爲立方積仍如所帶幾根幾平方加減之而後減原積並與初商同至於第九種之法則將立方與真數俱用平方數除之得一平方少幾分立方之一與幾眞數等依平方法定初商其商數須取略大於應得之數乃以初商數自乘爲平方積又以初商數再乘爲立方積以平方數除之得數爲少幾分立方之一以減平方積而後與原積相減不盡者爲次商積次商之法以初商數倍之爲平方廉又以初商自乘數三因之爲立方廉以平方數除之得數以減平方廉餘爲次商廉法以廉法除次商積得次商其減積之法與初商同以上九種如法開之即得每根之數也要之所謂一立方者即一正方體而多平方多根少平方少根即變正方體而爲長方體扁方體或爲磬折長方體扁方體其積數中有立方則用再乘有平方則用自乘有根則用商數多則相加少則相減九種之中無異術也即推之多乘方莫不皆然總以其累乘之數爲主而以所帶根方之積數加減之與立方無二理也爰將立方九種之法各設一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各設二例以附其後焉設如有一立方多八根與一千八百二十四尺相等問毎一根之數幾何法列原積一千八百二十四尺按立方法作記於四尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺八因之得八十尺爲多八根之共積與一立方積相加得一千零八十尺書於原積之下相減餘七百四十四尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉加根數八共三百零八尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺八因之得九十六尺爲八根之共積與立方積相加共得一千八百二十四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及八根之共數以邊計之則所得毎根之數即正方體之毎一邊因正方體之外多八根故成一磬折體而非正方體亦非長方體也設如有一立方少九根與一千六百二十尺相等問毎一根之數幾何法列原積一千六百二十尺按立方法作記於空尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於原積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺九因之得九十尺爲少九根之共積與立方積相減餘九百一十尺書於原積之下相減餘七百一十尺爲次商積而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺爲一立方廉内減去根數九餘二百九十一尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺九因之得一百零八尺爲少九根之共積與立方積相減餘一千六百二十尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少九根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊因正方體内少九根之數故成磬折體而非正方體亦非扁方體也設如有一立方多四平方與二千三百零四尺相等問每一根之數幾何法列原積二千三百零四尺按立方法作記於四尺上定單位二千尺上定十位其二千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相準即定初商爲十尺書於原積二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺爲多四平方之共積與立方積相加得一千四百尺書於原積之下相減餘九百零四尺爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺爲四平方廉與一立方廉相加得三百八十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺爲一立方積又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺爲多四平方之共積與立方積相加共得二千三百零四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體及四平方之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多四平方故成長方體而非正方體也設如有一立方少八平方與七千九百三十五尺相等問每一根之數幾何法列原積七千九百三十五尺按立方法作記於五尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖應商十尺而所帶平方爲少號故取略大之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺爲少八平方之共積與立方積相減餘四千八百尺書於原積之下相減餘三千一百三十五尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺爲八平方廉與一立方廉相減餘八百八十尺爲次商廉法以除次商積足三倍即定次商爲三尺書於原積五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一萬二千一百六十七尺爲一立方積又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺爲少八平方之共積與一立方積相減餘七千九百三十五尺書於原積之下相減恰盡是開得二十三尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體少八平方之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少八平方故成扁方體而非正方體也設如有一立方多十三平方多三十根與二萬七千一百四十四尺相等問毎一根之數幾何法列原積二萬七千一百四十四尺按立方法作記於四尺上定單位七千尺上定十位其二萬七千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相合應商三十尺而所帶平方與根皆爲多號故取略小之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺爲多十三平方之共積又以初商之二十尺三十乘之得六百尺爲多三十根之共積三積(立方平方與根之三數)相加得一萬三千八百尺書於原積之下相減餘一萬三千三百四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺爲十三平方廉與立方廉相加得一千七百二十尺又加根數三十共一千七百五十尺爲次商廉法以除次商積足七倍因取略小之數爲六尺書於原積四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一萬七千五百七十六尺爲一立方積又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺爲多十三平方之共積又以二十六尺三十乘之得七百八十尺爲多三十根之共積三積相加共二萬七千一百四十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十六尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體及十三平方與三十根之共數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多十三平方又多三十根恰成長方體而非正方體亦非磬折體也(將所多之十三平方内十平方附於正方體之一面又以)(三平方加於正方體之又一面即成磬折體而缺三十根之數如以三十根補)(其缺即成長方體其寛即一根爲二十六尺其長即一根多十尺爲三十六尺)(其高即一根多三尺爲二十九尺也此因所多之平方及根數適足長方體形)(故爲長方體若平方與根數不能補足者仍爲磬折體也)設如有一立方少七平方少八根與七千零八十四尺相等問每一根之數幾何法列原積七千零八十四尺按立方法作記於四尺上定單位七千尺上定十位其七千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相凖而所帶平方與根皆爲少號故取略大之數爲二十尺書於原積七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺爲少七平方之共積又以初商之二十尺八因之得一百六十尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得二千九百六十尺以減立方積餘五千零四十尺書於原積之下相減餘二千零四十四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺爲七平方廉與立方廉相減餘九百二十尺又減去根數八餘九百一十二尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一萬零六百四十八尺爲一立方積又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺爲少七平方之共積又以二十二尺八因之得一百七十六尺爲少八根之共積與少七平方共積相加得三千五百六十四尺以減立方積餘七千零八十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體少七平方又少八根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之毎一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少七平方又少八根故成磬折體而非正方體也設如有一立方多一平方少二十根與三萬三千一百五十二尺相等問每一根之數幾何法列原積三萬三千一百五十二尺按立方法作記於二尺上定單位三千尺上定十位其三萬三千尺爲初商積與三十自乘再乘之數相準即定初商爲三十尺書於原積三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二萬七千尺爲一立方積又以初商三十尺自乘之九百尺爲多一平方積又以初商之三十尺二十乘之得六百尺爲少二十根之共積於立方積内加多一平方積得二萬七千九百尺又減去少二十根之共積餘二萬七千三百尺書於原積之下相減餘五千八百五十二尺爲次商積而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺爲一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺爲一平方廉與立方廉相加得二千七百六十尺又減去根數二十餘二千七百四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三萬二千七百六十八尺爲一立方積又以三十二尺自乘之一千零二十四尺爲多一平方積又以三十二尺二十乘之得六百四十尺爲少二十根之共積於一立方積内加多一平方積得三萬三千七百九十二尺又減去少二十根之共積得三萬三千一百五十二尺書於原積之下相減恰盡是開得三十二尺爲每一根之數也此法以積計之爲一正方體多一平方復少二十根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之外多一平方又少二十根故成磬折體而非正方體也設如有一立方少三平方多二根與一萬二千一百四十四尺相等問每一根之數幾何法列原積一萬二千一百四十四尺按立方法作記於四尺上定單位二千尺上定十位其一萬二千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相凖即定初商爲二十尺書於原積二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺爲少三平方之共積又以初商之二十尺二因之得四十尺爲多二根之共積於立方積内減去少三平方之共積餘六千八百尺又加入多二根之共積得六千八百四十尺書於原積之下相減餘五千三百零四尺爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺爲三平方廉與立方廉相減餘一千零八十尺又加入根數二得一千零八十二尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於原積四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺爲少三平方之共積又以二十四尺二因之得四十八尺爲多二根之共積於立方積内減去三平方之共積餘一萬二千零九十六尺又加入多二根之共積得一萬二千一百四十四尺書於原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲毎一根之數也此法以積計之爲一正方體少三平方復多二根之數以邊計之則所得每根之數即正方體之每一邊亦即平方之每一邊因正方體之内少三平方又多二根故成磬折體而非正方體也設如有四十平方少一立方與五千六百二十五尺相等問每一根之數幾何法以四十平方少一立方與五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一與一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分爲歸除所得之積按平方法作記於空尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積再乘得一千尺爲一立方積以四十除之得二十五尺爲少四十分立方之一之積與一平方積相減餘七十五尺書於所得積之下相減餘六十五尺六十二寸五十分爲次商積而以初商之一十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉以四十除之得七尺五寸爲四十分立方之一之廉與平方廉相減餘十二尺五寸爲次商廉法以除次商積足五倍即定次商爲五尺書於所得積空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺爲一平方積再乘得三千三百七十五尺爲一立方積以四十除之得八十四尺三十七寸五十分爲四十分立方之一之積與一平方積相減餘一百四十尺六十二寸五十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與四十相乘得九千尺爲四十平方積内減去一立方積餘五千六百二十五尺與原積相合是開得一十五尺爲每一根之數也此法以積計之爲四十平方少一正方體之數以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因四十平方内少十五平方之一正方體(每邊爲十五尺故十五平方爲一正方體也)餘二十五平方爲長方體(其寛即一根爲十五尺其高亦十五尺其長爲二十)(五尺也)而非正方體也設如有五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺相等問每一根之數幾何法以五百平方少一立方與二十七萬四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一與五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分爲歸除所得之積按平方法作記於八尺上定單位五百尺上定十位其五百尺爲初商積與二十自乘之數相準即定初商爲二十尺書於所得積五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺爲一平方積再乘得八千尺爲一立方積以五百除之得十六尺爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘三百八十四尺書於所得積之下相減餘一百六十四尺三十五寸二十分爲次商積而以初商之二十尺倍之得四十尺爲一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉以五百除之得二尺四寸爲五百分立方之一之廉與平方廉相減得三十七尺六寸爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於所得積八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺爲一平方積再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積以五百除之得二十七尺六十四寸八十分爲少五百分立方之一之積與平方積相減餘五百四十八尺三十五寸二十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與五百相乘得二十八萬八千尺爲五百平方積内減去一立方積餘二十七萬四千一百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也此法以積計之爲五百平方少一正方體以邊計之則所得每根之數即平方之每一邊亦即正方體之每一邊因五百平方内少二十四平方之一正方體(每邊爲二十四尺故)(二十四平方即一正方體也)餘四百七十六平方爲長方體(其寛即一根爲二十四尺其高亦爲二十四尺其長爲四百七)(十六尺也)而非正方體也設如有一三乘方多二平方與二萬一千零二十四尺相等問每一根之數幾何法列原積二萬一千零二十四尺按三乘方法作記於四尺上定單位二萬尺上定十位其二萬尺爲初商積與十尺乘三次之數相準即定初商爲十尺書於原積二萬尺之上而以初商十尺乘三次之一萬尺爲一三乘方積又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得一萬零二百尺書於原積之下相減餘一萬零八百二十四尺爲次商積而以初商之十尺再乘四因之得四千尺爲三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺爲多二平方之廉與三乘方廉相加得四千零四十尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積四尺之上合初商共十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺爲多二平方之共積與三乘方積相加得二萬一千零二十四尺書於原積之下相減恰盡是開得一十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及平方兩次開之將原積二萬一千零二十四尺爲長方積以多二平方作二尺爲縱多折半得一尺爲半較自乘仍得一尺與積相加得二萬一千零二十五尺開平方得一百四十五尺爲半和内減半較一尺(凡多平方)(者即減半較如少平方者則加半較)餘一百四十四尺爲正方積復開平方得十二尺即每一根之數也葢三乘方多平方與方根自乘爲闊加多平方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數復開平方即得每一根之數也設如有一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺相等問每一根之數幾何法以一千平方少一三乘方與一十二萬三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一與一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分爲歸除所得之積按平方法作記於三尺上定單位一百尺上定十位其一百尺爲初商積與十尺自乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺爲一平方積又以初商之十尺乘三次得一萬尺爲一三乘方積以一千除之得一十尺爲千分三乘方之一之積與一平方積相減餘九十尺書於所得積之下相減餘三十三尺二十六寸四十分爲次商積而以初商之十尺倍之得二十尺爲一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺爲一三乘方廉以一千除之得四尺爲千分三乘方之一之廉與平方廉相減餘一十六尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於所得積三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺爲一平方積又以十二尺乘三次得二萬零七百三十六尺爲一三乘方積以一千除之得二十尺零七十三寸六十分與一平方積相減餘一百二十三尺二十六寸四十分書於所得積之下相減恰盡乃以一平方積與一千相乘得一十四萬四千尺爲一千平方積内減去一三乘方積餘一十二萬三千二百六十四尺與原積相合是開得一十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及平方兩次開之將原積一十二萬三千二百六十四尺爲長方積以一千平方作一千尺爲和折半得五百尺爲半和自乘得二十五萬尺與積相減餘十二萬六千七百三十六尺開平方得三百五十六尺爲半較與半和相減餘一百四十四尺爲正方積復開平方得一十二尺即每一根之數也葢平方少三乘方與方根自乘爲闊與平方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數復開平方即得每一根之數也設如有一四乘方多二立方與七百九十九萬零二百七十二尺相等問每一根之數幾何法列原積七百九十九萬零二百七十二尺按四乘方法作記於二尺上定單位九十萬尺上定十位其七百九十萬尺爲初商積與二十乘四次之數相準即定初商爲二十尺書於原積九十萬尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十萬尺爲一四乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一萬六千尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得三百二十一萬六千尺書於原積之下相減餘四百七十七萬四千二百七十二尺爲次商積而以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺爲多二立方之廉與四乘方廉相加得八十萬零二千四百尺爲次商廉法以除次商積足五倍因取略小之數爲四尺書於原積二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積又以二十四尺自乘再乘之一萬三千八百二十四尺二因之得二萬七千六百四十八尺爲多二立方之共積與四乘方積相加得七百九十九萬零二百七十二尺書於原積之下相減恰盡是開得二十四尺爲每一根之數也葢四乘方多立方之數不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也設如有二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺相等問每一根之數幾何法以二千立方少一四乘方與一千九百六十八萬五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一與九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸爲歸除所得之積按立方法作記於二尺上定單位九千尺上定十位其九千尺爲初商積與二十自乘再乘之數相準即定初商爲二十尺書於所得積九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺爲一立方積又以初商之二十尺乘四次得三百二十萬尺爲一四乘方積以二千除之得一千六百尺爲二千分四乘方之一之積與一立方積相減餘六千四百尺書於所得積之下相減餘三千四百四十二尺六百八十八寸爲次商積而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺爲一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十萬尺爲一四乘方廉以二千除之得四百尺爲二千分四乘方之一之廉與立方廉相減餘八百尺爲次商廉法以除次商積足四倍即定次商爲四尺書於所得積二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一萬三千八百二十四尺爲一立方積又以二十四尺乘四次得七百九十六萬二千六百二十四尺爲一四乘方積以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸與一立方積相減餘九千八百四十二尺六百八十八寸書於所得積之下相減恰盡乃以一立方積與二千相乘得二千七百六十四萬八千尺爲二千立方積内減去一四乘方積餘一千九百六十八萬五千三百七十六尺與原積相合是開得二十四尺爲每一根之數也葢立方少四乘方之數亦不與平方立方之數相合故不能以平方立方之法開也設如有一五乘方多四立方與一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺相等問每一根之數幾何法列原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺按五乘方法作記於六尺上定單位三百萬尺上定十位其一億一千三百萬尺爲初商積與二十乘五次之數相準即定初商爲二十尺書於原積三百萬尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百萬尺爲一五乘方積又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三萬二千尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得六千四百零三萬二千尺書於原積之下相減餘四千九百三十九萬零四百九十六尺爲次商積而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十萬尺爲一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺爲四立方之廉與五乘方廉相加得一千九百二十萬零四千八百尺爲次商廉法以除次商積足二倍即定次商爲二尺書於原積六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一億一千三百三十七萬九千九百零四尺爲一五乘方積又以二十二尺自乘再乘之一萬零六百四十八尺四因之得四萬二千五百九十二尺爲多四立方之共積與五乘方積相加得一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺書於原積之下相減恰盡是開得二十二尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及立方開之將原積一億一千三百四十二萬二千四百九十六尺爲長方積以多四立方作四尺爲縱多折半得二尺自乘得四尺與積相加得一億一千三百四十二萬二千五百尺開平方得一萬零六百五十尺爲半和内減半較二尺(因立方爲多號故減半較若立)(方爲少號即加半較)得一萬零六百四十八尺爲立方積開立方得二十二尺即每一根之數也葢五乘方多立方與方根自乘再乘爲闊加多立方數爲長所作之長方積等故用帶縱較數開平方法開之得數復開立方即得每一根之數也設如有一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺相等問每一根之數幾何法以一萬立方少一五乘方與一千一百五十三萬八千四百三十九尺俱以一萬除之得一立方少一萬分五乘方之一與一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分爲歸除所得之積按立方法作記於三尺上定單位一千尺上定十位其一千尺爲初商積與十尺自乘再乘之數相合即定初商爲十尺書於所得積一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺爲一立方積又以初商十尺乘五次得一百萬尺爲一五乘方積以一萬除之得一百尺爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘九百尺書於所得積之下相減餘二百五十三尺八百四十三寸九百分爲次商積而以初商之十尺自乘三因之得三百尺爲一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十萬尺爲一五乘方廉以一萬除之得六十尺爲一萬分五乘方之一之廉與立方廉相減餘二百四十尺爲次商廉法以除次商積足一倍即定次商爲一尺書於所得積三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺爲一立方積又以十一尺乘五次得一百七十七萬一千五百六十一尺爲一五乘方積以一萬除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分爲一萬分五乘方之一之積與立方積相減餘一千一百五十三尺八百四十三寸九百分書於所得積之下相減恰盡乃以一立方積與一萬相乘得一千三百三十一萬尺爲一萬立方積内減去一五乘方積餘一千一百五十三萬八千四百三十九尺與原積相合是開得一十一尺爲每一根之數也又法用帶縱平方及立方開之將原積一千一百五十三萬八千四百三十九尺爲長方積以一萬立方作一萬尺爲和折半得五千尺爲半和自乘得二千五百萬尺與積相減餘一千三百四十六萬一千五百六十一尺開平方得三千六百六十九尺爲半較與半和相減餘一千三百三十一尺爲立方積開立方得一十一尺即每一根之數也葢立方少五乘方與方根自乘再乘爲闊與立方數相減爲長所作之長方積等故用帶縱和數開平方法開之得數復開立方即得每一根之數也御製數理精藴下編卷三十三
## 下編卷三十四
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十四末部四借根方比例(線類)線類設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小分多四尺問大小分各幾何法借一根為小分則大分即為一根多四尺兩數相加得二根多四尺與一丈相等二根既多四尺乃減去所多四尺餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六尺是為二根與六尺相等二根既與六尺相等則一根必與三尺相等前既借一根為小分則三尺即小分再加四尺得七尺即大分也(此減法也於一丈内減去大分所多之四)(尺餘六尺折半得三尺即小分之數此法甚易盖因借根比例之首先設此以)(明其理使人由淺以入深也)設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問共人數幾何法借一根為為首一人所得之銀數亦即為衆匠之人數以衆匠之人數一根與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相加得七根與三百四十三兩相等七根既與三百四十三兩相等則一根必與四十九兩相等即為首一人所得之銀數亦即衆匠之人數以四十九人與六兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得共銀數再加為首一人所得銀數四十九兩得三百四十三兩以合原數也(此歸)(除法也以每匠得銀六兩加一兩得七兩以除共銀三百四十三兩即得四十)(九兩為為首一人所得銀數亦即衆匠之人數葢為首一人之銀既與衆匠人)(數等若以為首一人之銀分給衆匠每人必多得一兩故於每人之銀數外加)(一兩以除共銀即得也)設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相等問二繩各長若干法借九根為長繩之數五根為短繩之數兩數相減餘四根以五根除九根得一八即一丈八尺是為四根與一丈八尺相等四根既與一丈八尺相等則一根必與四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即長繩數五因之得二丈二尺五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也(此歸除法)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三人各銀幾何法借一根為三人之總銀數以甲乙共銀九十兩計之則丙為一根少九十兩以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩計之則乙為一根少七十三兩三數相加得三根少二百零八兩而與所借之一根相等三根少二百零八兩與一根各加二百零八兩得三根與一根多二百零八兩相等(三根少二百零八兩内加二百零八兩則補足)(三根整數一根上再加二百零八兩則為一根多二百零八兩矣)三根與一根再各減一根則餘二根與二百零八兩相等二根既與二百零八兩相等則一根必與一百零四兩相等即三人之總銀數總銀一百零四兩内減甲乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十一兩為乙銀數也(此加減法也如以三數相加得二百零八)(兩折半得一百零四兩即總銀數總銀數内減甲乙共銀數餘為丙銀數總銀)(數内減甲丙共銀數餘為乙銀數總銀數内減乙丙共銀數餘為甲銀數也)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各銀幾何法借二根為三人之總銀數以甲乙共銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙共銀為一根多三十四兩丙銀為一根少三十四兩(二根既為三人之總銀數平分之則甲乙應得一根)(丙應得一根甲乙共銀比丙所多六十八兩平分之則甲乙應得三十四兩丙)(應得三十四兩甲乙所得為多丙所得為少故甲乙為一根多三十四兩丙為)(一根少三十四兩共相差為六十八兩下倣此)以乙丙共銀數比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為一根多五十兩甲銀為一根少五十兩以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩計之則丙甲共銀為一根多六十二兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀一根少三十四兩甲銀一根少五十兩乙銀一根少六十二兩三數相加得三根少一百四十六兩而與所借之二根相等三根少一百四十六兩與二根各加一百四十六兩得三根與二根多一百四十六兩相等三根與二根再各減二根則餘一根與一百四十六兩相等一根既與一百四十六兩相等則二根必與二百九十二兩相等即三人之總銀數前既以丙銀為一根少三十四兩乃於一百四十六兩内減三十四兩餘一百一十二兩即丙銀數甲為一根少五十兩乃於一百四十六兩内減五十兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少六十二兩乃於一百四十六兩内減六十二兩餘八十四兩即乙銀數也(此加減法)(也如以甲乙比丙所多之六十八兩與乙丙比甲所多之一百兩相加得一百)(六十八兩折半得八十四兩即乙銀數又以乙丙比甲所多之一百兩與甲丙)(比乙所多之一百二十四兩相加得二百二十四兩折半得一百一十二兩即)(丙銀數再以乙丙數相加得一百九十六兩内減去乙丙比甲所多之一百兩)(餘九十六兩即甲銀數也)設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何法借一根為第一人所得餘銀之數則一兩多一根為第一人所得總銀數又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為十根減去一根仍餘九根再於九根内減去第二人所得之二兩為九根少二兩以九根少二兩取其十分之一得十分根之九少二錢與第二人之二兩相加得二兩(作二十錢)多十分根之九少二錢為與第一人所得之一兩(作一十錢)多一根相等一兩多一根與二兩多十分根之九少二錢各加二錢得一兩二錢多一根與二兩多十分根之九相等多一根與多十分根之九各減十分根之九餘一兩二錢多十分根之一與二兩相等一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則餘十分根之一與八錢相等十分根之一既與八錢相等則一根必與八兩相等即第一人所得餘銀之數乃以十因之得八十兩又加第一人所得之一兩共八十一兩即原共銀數第一人得一兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩共為九兩第二人得二兩又加餘銀七十兩之十分之一七兩亦共為九兩第三人得三兩又加餘銀六十兩之十分之一六兩亦共為九兩第四人得銀四兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘銀四十兩之十分之一四兩亦共為九兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩之十分之一三兩亦共為九兩第七人得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是共九人每人得銀九兩皆相等也(此加減法)(也以分母十與分子一相減餘九即人數以人數九自乗得八十一即總銀數)(也葢惟人數與每人所得銀數相等者每人遞加一兩又各加餘銀十分之一所得)(始能相等故以人數自乗即得銀數也)設如有人行路共二千八百里步行則日行七十里坐船則日行九十里乗馬則日行一百里但知步行之日數倍於坐船坐船之日數倍於乗馬問步行及坐船乗馬之日數各若干法借一根為乗馬之日數則坐船之日數為二根步行之日數為四根以一根與一百里相乗得一百根為乗馬所行之里數以二根與九十里相乗得一百八十根為坐船所行之里數以四根與七十里相乗得二百八十根為步行所行之里數三數相加得五百六十根是為五百六十根與二千八百里相等五百六十根既與二千八百里相等則一百根必與五百里相等前既以一百根為乗馬所行之里數則與一百根相等之五百里即乗馬所行之里數以乗馬每日行一百里除之得五日與一根相等即乗馬所行之日數倍之得十日即坐船所行之日數以坐船每日行九十里乗之得九百里為坐船所行之里數再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日數以步行每日行七十里乗之得一千四百里為步行之里數以乗馬所行之五百里與坐船所行之九百里及步行之一千四百里相併共得二千八百里以合原數也(此遞加比例法用借衰互)(徵法算之亦可)設如一驢一馬一車共馱載一千五百二十斤馬所馱之數倍於驢仍多四十斤車所載之數倍於馬驢共馱之數却少四十斤問驢馬車各馱載幾何法借一根為驢所馱之數則馬為二根多四十斤車為六根多四十斤(驢馬數相併得)(三根多四十斤倍之為六根多八十斤内減去少四十斤則為六根多四十斤)三數相加得九根多八十斤是為九根多八十斤與一千五百二十斤相等多八十斤與一千五百二十斤各減去八十斤則餘九根與一千四百四十斤相等九根既與一千四百四十斤相等則一根必與一百六十斤相等即驢所馱之數倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤為馬所馱之數將馬驢所馱之數相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再減去四十斤得一千斤即車所載之數驢馱一百六十斤馬馱三百六十斤車載一千斤三數相加共一千五百二十斤以合原數也(此按數加)(減比例法用借衰互徵法算之亦可)設如有銀三百八十五兩令十一人挨次遞加三兩分之問每人各得若干法借一根為第一人所得銀數以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人遞加三兩計之共得多一百六十五兩是為十一根多一百六十五兩與三百八十五兩相等十一根多一百六十五兩與三百八十五兩各減一百六十五兩則餘十一根與二百二十兩相等十一根既與二百二十兩相等則一根必與二十兩相等即第一人所得銀數遞加三兩則知第二人得二十三兩第三人得二十六兩第四人得二十九兩第五人得三十二兩第六人得三十五兩第七人得三十八兩第八人得四十一兩第九人得四十四兩第十人得四十七兩第十一人得五十兩各數相加共得三百八十五兩以合原數也(此按數加)(減比例法)設如有銀四百七十四兩令十二人挨次遞加分之但知第一人得銀一十二兩問每人各得若干法借一根為每人遞加之數以第一人至第十二人遞加一根計之則得六十六根再以十二兩與十二人相乗得一百四十四兩是為六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩相等六十六根多一百四十四兩與四百七十四兩各減去一百四十四兩則餘六十六根與三百三十兩相等六十六根既與三百三十兩相等則一根必與五兩相等即每人遞加之數以第一人所得十二兩加五兩即第二人所得十七兩依此遞加則知第三人得二十二兩第四人得二十七兩第五人得三十二兩第六人得三十七兩第七人得四十二兩第八人得四十七兩第九人得五十二兩第十人得五十七兩第十一人得六十二兩第十二人得六十七兩各數相加共得四百七十四兩以合原數也(此按數加)(減比例法)設如一人借銀營利三次每次得利之後則還銀二百四十兩復以餘銀作本其每次所得利銀皆與每次本銀相等至第三次還銀後則銀盡無餘問原借銀若干法借一根為原借本銀數則第一次利銀亦為一根是本利共二根除還銀二百四十兩則初次餘銀即為二根少二百四十兩再以二根少二百四十兩為第二次本銀數加第二次利銀則為四根少四百八十兩除還銀二百四十兩則第二次餘銀即為四根少七百二十兩再以四根少七百二十兩為第三次本銀數加第三次利銀則為八根少一千四百四十兩除還銀二百四十兩則第三次餘銀當為八根少一千六百八十兩八根少一千六百八十兩而銀盡無餘即八根與一千六百八十兩相等也八根既與一千六百八十兩相等則一根必與二百一十兩相等即原借本銀之數因每次所得利銀皆與本銀相等故以原借本銀之數倍之得四百二十兩除還二百四十兩餘一百八十兩為第二次本銀之數又倍之得三百六十兩又除還二百四十兩餘一百二十兩為第三次本銀之數又倍之得二百四十兩再還二百四十兩則銀恰盡無餘也(此按分遞折比例法用疊借互徵法算之亦可)設如甲乙丙三人各作一器則甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作問得日幾何法借一千一百五十二根(三分母連乗之數)為三人同作完之日數以甲六日計之則甲每日得一百九十二根以乙八日計之則乙每日得一百四十四根以丙二十四日計之則丙每日得四十八根三數相加共得三百八十四根與一日相等三百八十四根既與一日相等則一千一百五十二根必與三日相等即三人同作完之日數也(此和數比例法)設如甲丙二商不言本銀若干但知甲之本銀四倍於丙而甲本銀内減去七十二兩則兩人之銀適等問二人本銀各幾何法借一根為丙本銀數則甲本銀為四根以甲本銀減七十二兩與丙銀相等計之則於甲本銀四根内減七十二兩是為甲四根少七十二兩與丙一根相等四根少七十二兩與一根各加七十二兩得四根與一根多七十二兩相等四根與一根各減去一根則餘三根與七十二兩相等三根既與七十二兩相等則一根必與二十四兩相等即丙本銀數再加七十二兩得九十六兩即甲本銀數也(此較數比例法)設如甲乙二人分銀其數相等甲用過一百兩乙用過三十兩則乙之餘銀三倍於甲問二人原各分銀幾何法借一根為原分銀之數則甲之餘銀為一根少一百兩乙之餘銀為一根少三十兩乙之餘銀既三倍於甲則將甲餘銀一根少一百兩三倍之為三根少三百兩即與乙之餘銀一根少三十兩相等矣三根少三百兩與一根少三十兩各加三百兩則得三根與一根多二百七十兩相等(甲三根少三百兩今加三百兩則補足三根整)(數乙一根少三十兩今加三百兩以三十兩補原少之數則止多二百七十兩)三根與一根各減去一根則餘二根與二百七十兩相等二根既與二百七十兩相等則一根必與一百三十五兩相等前既借一根為原分銀之數則此一百三十五兩即原分銀之數矣甲用過一百兩餘三十五兩乙用過三十兩餘一百零五兩故乙之餘銀三倍於甲也(此較數比例法用疊借互徵法算之亦可)設如甲乙二人行路兩日行到初日乙所行之路四倍於甲次日甲所行之路三倍於乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里問次日二人各行若干法借一根為次日乙所行之路則甲次日所行之路為三根以初日乙行二百四十里與一根相加得一根多二百四十里為乙兩日所行之路以初日甲行六十里與三根相加得三根多六十里為甲兩日所行之路是為乙一根多二百四十里與甲三根多六十里相等一根與三根各減一根多二百四十里與多六十里各減六十里則餘一百八十里與二根相等一百八十里既與二根相等則九十里必與一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里與初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里與初日所行六十里相加亦得三百三十里是兩人同行俱到也(此較數比例法)設如有甲乙二商各有本銀生理但知乙本銀比甲本銀多六兩數年得利之後甲本利共銀比原銀為十一倍乙本利共銀比原銀為七倍而兩人之銀適等問二人原有本銀各幾何法借一根為甲本銀數則乙本銀為一根多六兩甲本利共銀既比原銀為十一倍則以十一乗一根得十一根為甲本利共銀數乙本利共銀既比原銀為七倍則以七乗一根多六兩得七根多四十二兩為乙本利共銀數是為甲十一根與乙七根多四十二兩相等十一根與七根各減七根餘四根與四十二兩相等四根既與四十二兩相等則一根必與十兩零五錢相等即甲原銀之數十一乗之得一百一十五兩五錢即甲本利共銀之數以六兩與十兩零五錢相加得一十六兩五錢即乙原銀之數七因之亦得一百一十五兩五錢為乙本利共銀之數也(此較數比例法用疊借互徵法算之)(亦可)設如甲乙二人分銀其數相等甲銀外加三百兩乙銀外加六十五兩則甲之共銀三倍於乙問二人原各分銀若干法借一根為原分銀之數則乙之共銀為一根多六十五兩甲之共銀為一根多三百兩甲之共銀既三倍於乙則將乙之共銀一根多六十五兩三倍之為三根多一百九十五兩即與甲之共銀一根多三百兩相等矣三根多一百九十五兩與一根多三百兩各減一百九十五兩則餘三根與一根多一百零五兩相等三根與一根再各減去一根則餘二根與一百零五兩相等二根既與一百零五兩相等則一根必與五十二兩五錢相等前既借一根為原分銀之數則此五十二兩五錢即原分銀之數矣以五十二兩五錢與六十五兩相加得一百一十七兩五錢為乙之共銀數以五十二兩五錢與三百兩相加得三百五十二兩五錢為甲之共銀數即乙之共銀之三倍也(此較數比例法用疊借互徵法算之亦可)設如金球十二銀球十八其輕重適等若將銀球七換金球七則銀球邊多三百二十二兩問金球銀球各重幾何法借一根為金球換銀球之差數以七乗之得七根為七金球換七銀球之差數是為七根與三百二十二兩相等七根既與三百二十二兩相等則一根必與四十六兩相等即一金球一銀球相換之差數一金球一銀球相換之差數既為四十六兩則一金球比一銀球之重必差二十三兩一金球比一銀球既重二十三兩則十二金球比十二銀球必重二百七十六兩如以銀球再加六個(十八個)即與十二金球等是銀球六個與二百七十六兩相等也乃以六歸之得四十六兩即一銀球之重數加二十三兩得六十九兩即一金球之重數以四十六兩與十八銀球相乗得八百二十八兩以六十九兩與十二金球相乗亦得八百二十八兩也(此較數比例法)設如一人買縀十二疋一人買紬三十二疋用銀適等但知緞每疋價比紬每疋價多六兩問紬緞價銀各若干法借一根為紬價則緞價為一根多六兩各以總數乗之則紬總價得三十二根緞總價得十二根多七十二兩是為紬價三十二根與緞價十二根多七十二兩相等三十二根與十二根各減去十二根則餘二十根與七十二兩相等二十根既與七十二兩相等則一根必與三兩六錢相等即紬每疋之價加緞每疋比紬每疋多六兩得九兩六錢即緞每疋之價以九兩六錢乗十二疋得一百一十五兩二錢為緞總價以三兩六錢乗三十二疋亦得一百一十五兩二錢為紬總價兩數適等也(此較數比例法)設如甲乙二人共買緞一百疋甲買三十八疋止與銀三百一十二兩乙買六十二疋止與銀六百兩而兩人所欠之銀適等問緞價及欠銀各若干法借一根為緞每疋價銀數則甲三十八疋總銀數為三十八根又甲止與銀三百一十二兩則甲所欠之銀即為三十八根少三百一十二兩乙六十二疋總銀數為六十二根又乙止與銀六百兩則乙所欠之銀即為六十二根少六百兩是為甲三十八根少三百一十二兩與乙六十二根少六百兩相等少三百一十二兩與少六百兩各加六百兩得三十八根多二百八十八兩與六十二根相等(乙為六十二根少六百兩今加六百兩則補足六十二根)(整數甲為三十八根少三百一十二兩今加六百兩以三百一十二兩補原少)(之數則止多二百八十八兩也)又三十八根與六十二根各減去三十八根則餘二十四根與二百八十八兩相等二十四根既與二百八十八兩相等則一根必與十二兩相等即緞每疋之價銀數再以十二兩乗三十八疋得四百五十六兩即甲所買緞之總銀數内減甲與銀三百一十二兩餘一百四十四兩為甲所欠銀數又以十二兩乗六十二疋得七百四十四兩為乙所買緞之總銀數内減乙與銀六百兩亦餘一百四十四兩為乙所欠銀數也(此較數比例法)設如有米分給大小二等工人但知小工人數比大工人數為七倍大工人給米一升二合小工人給米八合共給過米五石四斗四升問人數米數各幾何法借一根為大工人之數則七根為小工人之數以一根與一升二合相乗(作一)(十二合)得一十二根為大工人米數以七根與八合相乗得五十六根為小工人米數兩米數相加得六十八根與五石四斗四升相等六十八根既與五石四斗四升相等則十二根必與九斗六升相等前既以十二根為大工人米數則與十二根相等之九斗六升即大工人之米數爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人與一根相等即大工人之數七因之得五百六十即小工人之數以八合乗之得四石四斗八升即小工人之米數也(此和較比例法用疊借互徵法算之亦可)設如有銀一百兩分給大小二等匠人共一百名大匠人每人給銀一兩五錢小匠人每人給銀五錢問大小匠人各若干法借一根為大匠人數則小匠人為一百少一根以一兩五錢與一根相乗得十五根為大匠人共銀數又以五錢與一百少一根相乗得五十兩(作五百錢)少五根為小匠人共銀數兩銀數相加得五十兩(作五百錢)多十根(原少五根加十五根則反多十根也)與銀一百兩(作一千錢)相等五十兩與一百兩各減去五十兩則餘十根與五十兩相等十根既與五十兩相等則十五根必與七十五兩(即七百五十錢)相等前既以十五根為大匠人共銀數則與十五根相等之七十五兩即大匠人之共銀數爰以大匠人每人所得一兩五錢除之得五十人與一根相等即大匠人之數於共一百人内減大匠人五十人餘五十人即小匠人之數以五錢乗之得二十五兩即小匠人之共銀數也(此和較比例法用方程法)(算之亦可)設如有銀一百兩分賞馬步兵共一百名馬兵一人賞三兩步兵三人賞一兩問馬步兵各若干法借一根為步兵所得銀數則馬兵所得銀數即為三根相加得四根為馬步兵共得銀數是為四根與一百兩相等四根既與一百兩相等則一根必與二十五兩相等即步兵所得銀數於一百兩内減之餘七十五兩為馬兵所得銀數以每人三兩歸之得二十五即馬兵人數於一百名内減之餘七十五即步兵人數也(此和較比例法)設如雞兔同籠但知共頭三十六共足一百問雞兔各若干法借一根為兔數則雞為三十六少一根以兔四足乗兔一根得四根為兔之共足數以雞二足乗雞三十六少一根得七十二少二根為雞之共足數兩數相加得七十二多二根與一百相等七十二與一百各減七十二則餘二根與二十八相等二根既與二十八相等則一根必與十四相等即兔數於共三十六内減兔十四餘二十二即雞數兔十四以四足乗之得五十六為兔共足數雞二十二以二足乗之得四十四為雞共足數相加得一百以合原數也(此和較比)(例法)設如有人行路乗馬乗船共六十三日乗馬日行一百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之里數比乗馬所行之里數為十八倍問乗馬乗船之日數各若干法借一根為乗馬之日數則乗船之日數為六十三日少一根以一根與一百六十里相乗得一百六十根為乗馬所行之里數以六十三日少一根與一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根為乗船所行之里數乗船所行里數既為乗馬所行里數之十八倍則以十八乗乗馬所行之里數一百六十根得二千八百八十根是為二千八百八十根與九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根與少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根與九千零七十二里相等三千零二十四根既與九千零七十二里相等則一百六十根必與四百八十里相等前既以一百六十根為乗馬所行之里數則與一百六十根相等之四百八十里即乗馬所行之里數以乗馬每日所行一百六十里除之得三日與一根相等即乗馬所行之日數以三日與六十三日相減餘六十日為乗船所行之日數以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里數為乗馬所行之里數之十八倍也(此和較比例法用疊借互徵法算之亦可)設如有青緞藍緞二色共七十疋青緞每疋長四十七尺藍緞每疋長六十尺其藍緞總尺數比青緞總尺數多二十七尺問青緞藍緞二色各若干法借一根為青緞疋數則藍緞為七十疋少一根各以尺數乗之則青緞之總尺數得四十七根藍緞之總尺數得四千二百尺少六十根於藍緞總尺數内減去比青緞所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是為青緞四十七根與藍緞四千一百七十三尺少六十根相等四十七根與少六十根各加六十根得一百零七根與四千一百七十三尺相等一百零七根既與四千一百七十三尺相等則四十七根必與一千八百三十三尺相等前既以四十七根為青緞之總尺數則與四十七根相等之一千八百三十三尺即青緞之總尺數以每疋長四十七尺除之得三十九疋與一根相等即青緞之疋數以三十九疋與七十疋相減餘三十一疋即藍緞之疋數以三十一疋與六十尺相乗得一千八百六十尺即藍緞之總尺數比青緞多二十七尺也(此和較比例法)設如有人買絹紬二色共價銀一百二十七兩四錢絹一尺價銀七分紬一尺價銀一錢四分其絹之尺數比紬之尺數為五倍問絹紬尺數各若干法借一根為紬之尺數則絹之尺數為五根以紬價一錢四分(作一十四分)乗一根得一十四根為紬共價以絹價七分乗五根得三十五根為絹共價兩數相加共得四十九根是為四十九根與一百二十七兩四錢相等四十九根既與一百二十七兩四錢相等則十四根必與三十六兩四錢相等前既以十四根為紬共價則與十四根相等之三十六兩四錢即紬之共價以紬每尺價一錢四分除之得二百六十尺與一根相等即紬之尺數五因之得一千三百尺即絹之尺數也(此和較比例法)設如甲有十成銀一百二十四兩丙有三成銀不知數但知將二色銀鎔於一處則俱為五成銀問三成銀幾何法借一根為丙銀數因二色銀鎔於一處俱為五成故以五成與丙銀三成相減餘二成為每兩所少之數以五成與甲銀十成相減餘五成為每兩所多之數乃以每兩所少二成乗丙銀一根得二根以每兩所多五成乗甲銀一百二十四兩得六百二十成是為二根與六百二十成相等(丙之所少即甲之所多其數相等也)以丙銀每兩少二成除之則得一根與三百一十兩相等前既借一根為丙銀數則與一根相等之三百一十兩即丙之銀數也(此和較比例法)設如有銀大小共九百二十四錠重二百七十六兩大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二問大小錠各若干法借一根為大錠數則小錠為九百二十四錠少一根因大錠重三分兩之一小錠重七分兩之二其分母不同乃以兩分母三與七相乗得二十一為共母數又以小錠分母七互乗大錠分子一得七即變三分之一為二十一分之七為大錠之重數又以大錠分母三互乗小錠分子二得六即變七分之二為二十一分之六為小錠之重數乃以一根與大錠分子七相乗得七根為大錠之重數以九百二十四錠少一根與小錠分子六相乗得五千五百四十四少六根為小錠之重數兩數相加得五千五百四十四多一根為共重數又各重數既皆通為二十一分則共重二百七十六兩亦以分母二十一通之得五千七百九十六是為五千五百四十四多一根與五千七百九十六相等五千五百四十四與五千七百九十六各減五千五百四十四則餘一根與二百五十二相等即大錠之共數與共九百二十四錠相減餘六百七十二為小錠之共數以大錠重三分兩之一與大錠共數相乗得八十四兩為大錠之共重數以小錠重七分兩之二與小錠共數相乗得一百九十二兩為小錠之共重數相加得二百七十六兩以合原數也(此和較比例法)設如衆人雇船每人出銀一兩二錢則少四兩四錢每人出銀一兩五錢則多八兩二錢問人數及船價銀各若干法借一根為人數以一根與一兩五錢相乗得十五根則船價銀為十五根少八兩二錢又以一根與一兩二錢相乗得十二根則船價銀又為十二根多四兩四錢此二數為相等兩邊各加八兩二錢得十五根與十二根多十二兩多錢相等兩邊再各減十二根則餘三根與十二兩六錢相等三根既與十二兩六錢相等則一根必與四兩二錢相等前既借一根為人數則此四兩二錢即為四十二人為雇船之人數以每人出一兩二錢乗之得五十兩零四錢再加四兩四錢得五十四兩八錢為船價以每人出一兩五錢乗之得六十三兩減去八兩二錢亦為五十四兩八錢兩數相同也(此盈朒法)設如有銀買緞二色下號緞每疋價銀八兩上號緞每疋價銀十一兩若俱買下號者則銀多二百九十六兩若俱買上號者則銀多三十二兩問緞數及銀數各若干法借一根為緞數以一根與十一兩相乗得十一根為上號緞共價則共銀為十一根多三十二兩又以一根與八兩相乗得八根為下號緞共價則共銀為八根多二百九十二兩此二數為相等兩邊各減三十二兩得十一根與八根多二百六十四兩相等兩邊再各減八根則餘三根與二百六十四兩相等三根既與二百六十四兩相等則一根必與八十八兩相等前既借一根為緞數則此八十八兩即為八十八疋為緞之總數以每疋八兩乗之得七百零四兩為下號緞共價數加多二百九十六兩得一千兩為共有銀數以每疋十一兩乗之得九百六十八兩為上號緞共價數加多三十二兩亦得一千兩兩數相同也(此盈朒法)設如有井一口不知其深有繩一條不知其長但知取繩六分之一比井深少三尺四寸取繩四分之一比井深適等問井深及繩長各若干法借二十四根為繩長數(兩分母相乗之數)取其四分之一得六根則井深即為六根又取其六分之一得四根則井深又為四根多三尺四寸此二數為相等兩邊各減四根得二根與三尺四寸相等二根既與三尺四寸相等則一根必與一尺七寸相等而二十四根必與四丈零八寸相等即繩之長數也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸為井深或取其四分之一亦得一丈零二寸兩數相同也(此盈朒法)設如有人買房用本銀三分之二則比房價多五十九兩用本銀五分之二則比房價少四十九兩八錢問本銀房價各若干法借十五根為本銀數(兩分母相乗之數)以用本銀三分之二比房價多五十九兩計之則房價為十根少五十九兩以用本銀五分之二比房價少四十九兩八錢計之則房價又為六根多四十九兩八錢此二數為相等兩邊各加五十九兩得十根與六根多一百零八兩八錢相等兩邊再各減去六根則餘四根與一百零八兩八錢相等四根既與一百零八兩八錢相等則一根必與二十七兩二錢相等而十五根必與四百零八兩相等即本銀數取其三分之二得二百七十二兩減多五十九兩得二百一十三兩為房價數又將本銀取其五分之二得一百六十三兩二錢加少四十九兩八錢亦得二百一十三兩兩數相同也(此盈朒法)設如有銀分給二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四兩今欲與下等人每人三兩則銀多七十三兩每人四兩則銀少二十兩問人數及銀數各若干法借一根為下等人數則上等人數為二根以一根與四兩相乗得四根為下等人所得共銀數以二根與八兩(下等每人)(四兩上等多四兩故每人八兩)相乗得十六根為上等人所得共銀數兩數相加得二十根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為二十根少二十兩又以一根與三兩相乗得三根為下等人所得共銀數以二根與七兩相乗得十四根為上等人所得共銀數兩數相加得十七根為上下二等人所得共銀數則原銀數即為十七根多七十三兩此兩數為相等兩邊各加二十兩得二十根與十七根多九十三兩相等兩邊再各減十七根則餘三根與九十三兩相等三根既與九十三兩相等則一根必與三十一兩相等前既借一根為下等人數則此三十一兩即為三十一人為下等人數倍之得六十二人即上等人數以下等三十一人用三兩乗之得九十三兩以上等六十二人用七兩乗之得四百三十四兩兩數相加共得五百二十七兩再加所多七十三兩得六百兩為原銀數若以下等三十一人用四兩乗之得一百二十四兩以上等六十二人用八兩乗之得四百九十六兩兩數相加共得六百二十兩減去所少二十兩亦得六百兩兩數相同也(此盈朒法)設如有人分銀不言人數亦不言銀數但知毎四人分銀十八兩則銀少八兩每三人分銀十一兩則銀多十二兩問人數及銀數各若干法借十二根為人數以四人分銀十八兩計之則每人應得四兩五錢爰以四兩五錢乗十二根得五十四根為共分銀之數而原銀即為五十四根少八兩以三人分銀十一兩計之則每人應得三兩又三分兩之二爰以三兩又三分兩之二乗十二根得四十四根為共分銀之數而原銀又為四十四根多十二兩此兩數為相等兩邊各加八兩得五十四根與四十四根多二十兩相等兩邊各減四十四根得十根與二十兩相等十根既與二十兩相等則十二根必與二十四兩相等前既借十二根為人數則此二十四兩即為二十四人為共人數也以三人為一率十一兩為二率二十四人為三率求得四率八十八兩加多十二兩共一百兩為原銀數或以四人為一率十八兩為二率二十四人為三率求得四率一百零八兩減少八兩亦得一百兩兩數相同也(此雙套盈朒法)設如有一商人販緞不言每疋價銀之數亦不言每疋稅銀之數但知販緞八十疋納稅用緞四疋則多銀二兩販緞三百一十疋納稅用緞十四疋則少銀六兩五錢問每疋價銀及稅銀幾何法借一根為緞一疋之價銀數以納稅用緞四疋多銀二兩計之則緞八十疋之稅銀數為四根少銀二兩以納稅用緞十四疋少銀六兩五錢計之則緞三百一十疋之稅銀數為十四根多銀六兩五錢此兩緞數不相等故難用比例須用互乗法以八十疋與三百一十疋相乗得二萬四千八百疋為共緞數乃以三百一十疋乗四根少銀二兩得一千二百四十根少銀六百二十兩為二萬四千八百疋之稅銀數又以八十疋乗十四根多銀六兩五錢得一千一百二十根多五百二十兩亦為二萬四千八百疋之稅銀數此兩緞數既為相等故乗出之稅銀數亦為相等兩邊各加六百二十兩得一千二百四十根與一千一百二十根多一千一百四十兩相等兩邊再各減一千一百二十根則餘一百二十根與一千一百四十兩相等一百二十根既與一千一百四十兩相等則一根必與九兩五錢相等即緞一疋之價銀數以緞四疋與銀九兩五錢相乗得三十八兩減去多二兩餘三十六兩即緞八十疋之稅銀數以八十疋除三十六兩得四錢五分即緞一疋之稅銀數以四錢五分與緞三百一十疋相乗得一百三十九兩五錢即緞三百一十疋之稅銀數又以緞十四疋與九兩五錢相乗得一百三十三兩再加少六兩五錢亦得一百三十九兩五錢兩數相同也(此雙套盈朒法)設如有銀一千二百零九兩令甲乙二人分之取甲四分之一與乙三分之一相加即與甲銀等問二人各得幾何法借十二根(兩分母相乗數)為甲銀數則乙銀為一千二百零九兩少十二根取甲銀四分之一為三根取乙銀三分之一為四百零三兩少四根相加得四百零三兩少一根是為十二根與四百零三兩少一根相等十二根與少一根各加一根得十三根與四百零三兩相等十三根既與四百零三兩相等則十二根必與三百七十二兩相等即甲銀數於總銀内減甲銀數餘八百三十七兩即乙銀數取甲銀四分之一得九十三兩取乙銀三分之一得二百七十九兩相加得三百七十二兩與甲銀等也(此借衰互徵法)(用方程法算之亦可)設如有銀一千兩令甲乙丙三人分之乙所得之數倍於甲仍多三十兩丙所得之數倍於乙問每人各得若干法借一根為甲銀數則乙為二根多三十兩丙為四根多六十兩三數相併共得七根多九十兩而與一千兩相等九十兩與一千兩各減九十兩餘七根與九百一十兩相等七根既與九百一十兩相等則一根必與一百三十兩相等即甲所得銀數倍之再加三十兩得二百九十兩為乙所得銀數又倍之得五百八十兩為丙所得銀數也(此借衰互徵法用方)(程法算之亦可)設如甲乙丙三人分銀六千兩乙得甲三分之一丙得乙二分之一問三人各得幾何法借一根為甲銀數則乙銀為三分根之一丙銀為六分根之一三數相加得六分根之九(以甲一根為六分則乙為六分根之二丙為六分根)(之一共得六分根之九即一根半)與六千兩相等各以六乗之得九根與三萬六千兩相等九根既與三萬六千兩相等則一根必與四千兩相等即甲銀數三分之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數又二分之得六百六十六兩又三分兩之二為丙銀數也又法借一根為丙銀數則乙銀為二根甲銀為六根相加得九根與六千兩相等九根既與六千兩相等則一根必與六百六十六兩又三分兩之二相等即丙銀數倍之得一千三百三十三兩又三分兩之一為乙銀數三因之得四千兩即甲銀數也(此借衰互徵法)設如有金銀錫銅四色不言重數但知共數五分之二為銅數金銀錫共數七分之四為錫數金銀共數八分之五為銀數金重三千零二十四兩問四色各重若干法借二百八十根為共數(用三分母連乗之數取其)(可以度盡也)取其五分之二得一百一十二根為銅數與二百八十根相減餘一百六十八根為金銀錫之共數取其七分之四得九十六根為錫數與一百六十八根相減餘七十二根為金銀之共數又取其八分之五得四十五根為銀數與七十二根相減餘二十七根為金數是為二十七根與三千零二十四兩相等二十七根既與三千零二十四兩相等則一根必與一百一十二兩相等四十五根必與五千零四十兩相等即銀數九十六根必與一萬零七百五十二兩相等即錫數一百一十二根必與一萬二千五百四十四兩相等即銅數四數相加共得三萬一千三百六十兩以所借共重二百八十根與每一根之一百一十二兩相乗亦得三萬一千三百六十兩為四色之共數也(此借衰互徵法)設如有銀三百五十六兩分與三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍於二等内少二兩二等所得倍於三等又多四兩問三等人每人各得幾何法借一根為三等一人所得銀數則二等一人所得銀數為二根多四兩一等一人所得銀數為四根多六兩以各等共人數因之則三等所得共銀數為三根二等所得共銀數為八根多十六兩一等所得共銀數為二十根多三十兩三數相加共得三十一根多四十六兩為與三百五十六兩相等三十一根多四十六兩與三百五十六兩各減去四十六兩則餘三十一根與三百一十兩相等三十一根既與三百一十兩相等則一根必與十兩相等即三等一人所得銀數倍之加四兩得二十四兩即二等一人所得銀數又倍之減二兩得四十六兩即一等一人所得銀數三等三人共得三十兩二等四人共得九十六兩一等五人共得二百三十兩三數相加共得三百五十六兩以合原數也(此借)(衰互徵法)設如甲丙二人共有米三百八十四石甲納官八分之一丙納官六分之一共納五十四石問二人原米及納官米各若干法借一根為甲納米數則丙納米為五十四石少一根將甲納米一根八因之得八根為甲原米數丙納米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根為丙原米數相加得三百二十四石多二根為甲丙共米數是為三百二十四石多二根與三百八十四石相等三百二十四石與三百八十四石各減去三百二十四石餘二根與六十石相等二根既與六十石相等則一根必與三十石相等即甲所納米數八因之得二百四十石為甲原米數以甲原米數與三百八十四石相減餘一百四十四石為丙原米數六歸之得二十四石即丙所納米數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙二人不言本銀若干但知以乙本銀三分之一與甲本銀相加再加六十兩共得一千兩以甲本銀五分之一與乙本銀相加亦得一千兩問二人本銀各幾何法借十五根(兩分母相乗數)為乙本銀數以乙三分之一與甲本銀相加又加六十兩共得一千兩計之則甲本銀應得九百四十兩少五根取其五分之一則為一百八十八兩少一根以甲本銀五分之一一百八十八兩少一根與乙本銀十五根相加得一百八十八兩多十四根與一千兩相等一邊一百八十八兩一邊一千兩各減去一百八十八兩則得十四根與八百一十二兩相等十四根既與八百一十二兩相等則一根必與五十八兩相等前既借十五根為乙本銀數乃以十五乗之得八百七十兩即乙本銀數取其三分之一得二百九十兩與一千兩相減又減六十兩餘六百五十兩即甲本銀數也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙二商不言本銀若干但知各得利銀九十兩其甲之本利共銀三倍於乙之本銀乙之本利共銀二倍於甲之本銀問每人本銀幾何法借三根為甲之本銀數加利銀九十兩得三根多九十兩為甲之本利共銀數甲之本利共銀既三倍於乙之本銀則乙之本銀數即為一根多三十兩再加利銀九十兩得一根多一百二十兩為乙之本利共銀數亦為甲之本銀之二倍也乃以甲之本銀三根倍之得六根與乙之一根多一百二十兩相等六根與一根各減去一根則餘五根與一百二十兩相等五根既與一百二十兩相等則三根必與七十二兩相等即甲之本銀數加利銀九十兩得一百六十二兩三歸之得五十四兩為乙之本銀數以乙本銀五十四兩加利銀九十兩共一百四十四兩為甲之本銀之二倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲丙二人有銀不言其數但知甲銀加九兩為丙銀之三倍丙銀加七兩為甲銀之二倍問二人各銀若干法借六根(三倍二倍相乗數)為甲銀數加九兩為六根多九兩甲銀加九兩既為丙銀之三倍則以三歸之得二根多三兩為丙銀數加七兩為二根多十兩丙銀加七兩既為甲銀之二倍則以二歸之得一根多五兩仍為甲銀數先借六根與今所得一根多五兩既同為甲銀數則其數必等六根與一根各減一根餘五根與五兩相等五根既與五兩相等則六根必與六兩相等即甲銀數加九兩得一十五兩三歸之得五兩即丙銀數加七兩得一十二兩即甲銀六兩之二倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲丙二人有銀不言其數但知將丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍若將甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍問二人各銀若干法借六根(二倍三倍相乗數)為甲原銀數加丙與甲二兩得六根多二兩以丙銀與甲二兩則甲銀為丙銀之二倍計之則以六根多二兩半之得三根多一兩為丙餘銀數丙先以二兩與甲則丙之原銀必為三根多三兩加甲與丙二兩得三根多六兩以甲銀與丙三兩則丙銀為甲銀之三倍計之則以三根多六兩三歸之得一根多二兩為甲餘銀數甲先以三兩與丙則甲之原銀必為一根多五兩夫先借六根與今所得一根多五兩既同為甲原銀數則其數必等六根與一根各減一根餘五根與五兩相等五根既與五兩相等則六根必與六兩相等即甲原銀之數加丙與甲二兩得八兩半之得四兩為丙餘銀之數丙餘銀既為四兩則原銀必為六兩加甲與丙三兩得九兩三歸之得三兩即甲餘銀之數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙二人共銀一千二百四十兩於甲銀内加乙銀四分之一乙銀内加甲銀五分之一其數相等問二人原銀各幾何法借二十根(兩分母相乗數)為甲原銀數則一千二百四十兩少二十根為乙原銀數甲原銀五分之一為四根乙原銀四分之一為三百一十兩少五根將甲原銀五分之一四根與乙原銀一千二百四十兩少二十根相加得一千二百四十兩少十六根(原少二十根加入四根止少十六根)將乙原銀四分之一三百一十兩少五根與甲原銀二十根相加得三百一十兩多十五根(原二十根補乙少五根餘十五根)此二數為相等少十六根與多十五根各加十六根則得一千二百四十兩與三百一十兩多三十一根相等再一千二百四十兩與三百一十兩各減三百一十兩則餘九百三十兩與三十一根相等九百三十兩既與三十一根相等則六百兩必與二十根相等前既借二十根為甲原銀數則此六百兩即甲原銀之數以六百兩與一千二百四十兩相減餘六百四十兩即乙原銀之數若甲銀内加乙原銀四分之一一百六十兩乙銀内加甲原銀五分之一一百二十兩則俱為七百六十兩也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲原有銀五十兩乙原有銀八十兩乙用過之銀比甲用過之銀爲三分之一甲所餘之銀比乙所餘之銀亦爲三分之一問二人用銀及餘銀各若干法借一根爲乙用過銀數則甲用過之銀爲三根而乙所餘之銀爲八十兩少一根甲所餘之銀爲五十兩少三根甲餘銀既比乙餘銀爲三分之一則以甲餘銀五十兩少三根三因之爲一百五十兩少九根是爲乙餘銀八十兩少一根與甲餘銀一百五十兩少九根相等少一根與少九根各加九根得八十兩多八根與一百五十兩相等再八十兩與一百五十兩各減八十兩餘八根與七十兩相等八根既與七十兩相等則一根必與八兩七錢五分相等即乙用過銀數三因之得二十六兩二錢五分即甲用過銀數以甲用過銀數與甲原有銀數相減餘二十三兩七錢五分爲甲所餘銀數三因之得七十一兩二錢五分即乙所餘銀數也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲銀比乙銀所多之數與丙銀四分之一相等乙銀比丙銀所多之數與甲銀五分之一相等若以乙銀五分之二與丙銀相較則丙銀多一百一十四兩問三人各銀幾何法借五根爲乙銀數則丙銀數爲二根多一百一十四兩於乙銀數五根内減去丙銀數二根多一百一十四兩餘三根少一百一十四兩爲乙銀比丙銀所多之數與甲銀五分之一相等五因之得一十五根少五百七十兩爲甲銀數又於甲銀數一十五根少五百七十兩内減去乙銀數五根餘十根少五百七十兩爲甲銀比乙銀所多之數與丙銀四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十兩亦爲丙銀數此四十根少二千二百八十兩與二根多一百一十四兩既同爲丙銀數是爲相等乃於二根多一百一十四兩與四十根少二千二百八十兩各加二千二百八十兩得二根多二千三百九十四兩與四十根相等二根與四十根再各減二根則餘三十八根與二千三百九十四兩相等三十八根既與二千三百九十四兩相等則一根必與六十三兩相等而五根必與三百一十五兩相等即乙銀數丙銀數既爲二根多一百一十四兩乃以六十三兩倍之得一百二十六兩(即二)(根之數亦即乙五分之二之數)加一百一十四兩共得二百四十兩即丙銀數甲銀比乙銀所多之數既爲丙銀四分之一乃以丙銀數四歸之得六十兩與乙銀三百一十五兩相加得三百七十五兩即甲銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙三人有銀但知甲銀七十兩乙銀三十四兩而丙銀不知數如以丙銀與甲銀相減又以丙銀與乙銀相減其甲銀之餘則三倍於乙問丙銀若干法借一根爲丙銀數則甲丙相減之餘爲七十兩少一根乙丙相減之餘爲三十四兩少一根甲之餘銀既三倍於乙則以乙丙相減之餘三十四兩少一根三因之得一百零二兩少三根是爲七十兩少一根與一百零二兩少三根相等少一根與少三根各加三根得七十兩多二根與一百零二兩相等七十兩與一百零二兩各減七十兩則餘二根與三十二兩相等二根既與三十二兩相等則一根必與十六兩相等即丙銀數與甲銀七十兩相減餘五十四兩與乙銀三十四兩相減餘十八兩是甲餘銀爲乙餘銀之三倍也(此疊借互徵法用方程法算之)(亦可)設如甲乙丙三人各有銀不言數但知將乙銀十兩與甲則甲乙二人之銀相等若將丙銀十四兩與乙則乙丙二人之銀相等若將甲銀十八兩與丙則丙銀比甲銀爲五倍問三人各銀若干法借一根爲甲原銀數則乙之原銀必爲一根多二十兩(以十兩與甲則皆爲一根多十兩其數相)(等)丙之原銀必爲一根多四十八兩(乙之)(原銀既爲一根多二十兩再加十四兩俱爲一根多三十四兩其數相等)又甲之原銀既爲一根以十八兩與丙計之則爲一根少十八兩丙之原銀既爲一根多四十八兩今再加十八兩則爲一根多六十六兩此丙之一根多六十六兩比甲之一根少十八兩既爲五倍則以甲之一根少十八兩五因之得五根少九十兩而與丙之一根多六十六兩爲相等少九十兩與多六十六兩各加九十兩得五根與一根多一百五十六兩相等五根與一根各減一根則餘四根與一百五十六兩相等四根既與一百五十六兩相等則一根必與三十九兩相等即甲原銀之數甲原銀既爲三十九兩則乙原銀必爲五十九兩以十兩與甲則皆得四十九兩乙原銀既爲五十九兩則丙原銀必爲八十七兩以十四兩與乙則皆得七十三兩丙原銀既爲八十七兩甲原銀既爲三十九兩甲以十八兩與丙則丙爲一百零五兩而甲爲二十一兩是丙銀比甲銀爲五倍也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙三人有銀但知甲銀二萬五千兩乙得甲丙共銀二分之一丙得甲乙共銀八分之一問乙丙二人各銀幾何法借二根爲丙銀數則甲乙共銀數爲十六根乙銀數爲十六根少二萬五千兩甲丙共銀數爲二根多二萬五千兩半之又得乙銀數爲一根多一萬二千五百兩十六根少二萬五千兩與一根多一萬二千五百兩既同爲乙銀數則爲相等十六根少二萬五千兩與一根多一萬二千五百兩各加二萬五千兩得十六根與一根多三萬七千五百兩相等十六根與一根各減一根則餘十五根與三萬七千五百兩相等十五根既與三萬七千五百兩相等則二根必與五千兩相等即丙銀數與甲銀二萬五千兩相加得三萬兩半之得一萬五千兩即乙銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如一商貿易不言本銀若干但知第一次所得利銀比本銀爲四分之一用去銀二十兩第二次所得利銀比第二次本銀爲五分之二用去銀十四兩第三次所得利銀比第三次本銀爲三分之一用去銀十五兩合計所餘利銀共八十兩問原本銀及每次所得利銀各幾何法借十二根爲原本銀數則第一次利銀爲三根本利相加得十五根内減用去銀二十兩得十五根少二十兩爲第二次本銀數取其五分之二得六根少八兩爲第二次利銀數本利相加得二十一根少二十八兩又減用去銀十四兩得二十一根少四十二兩爲第三次本銀數取其三分之一得七根少十四兩爲第三次利銀數以第三次本利相加得二十八根少五十六兩又減用去銀十五兩則爲二十八根少七十一兩而原借十二根與所餘利銀八十兩遂爲十二根多八十兩是爲二十八根少七十一兩與十二根多八十兩相等少七十一兩與多八十兩各加七十一兩得二十八根與十二根多一百五十一兩相等二十八根與十二根各減十二根得十六根與一百五十一兩相等十六根既與一百五十一兩相等則十二根必與一百一十三兩二錢五分相等即原本銀數四歸之得二十八兩三錢一分二釐五毫即第一次所得利銀數本利相加減用去二十兩得一百二十一兩五錢六分二釐五毫即第二次本銀數取其五分之二得四十八兩六錢一 二分五釐即第二次所得利銀數本利一 相加又減用去十四兩得一百五十六兩一錢八分七釐五毫即第三次本銀數三歸之得五十二兩零六分二釐五毫即第三次所得利銀數本利相加又減用去十五兩得一百九十三兩二錢五分即原本銀與三次所餘共利銀相加之數蓋原本銀一百一十三兩二錢五分又加所餘共利銀八十兩即一百九十三兩二錢五分兩數相等也(此疊借互)(徵法)設如有人貿易四次第一次所得利銀比原本銀爲九分之一用去銀比原本銀爲十二分之一第二次所得利銀比原本銀爲六分之一用去銀比原本銀爲九分之四第三次所得利銀比原本銀爲四分之一用去銀比原本銀爲二分之一第四次所得利銀比原本銀爲三分之一用去銀比原本銀爲三分之二合四次利銀已用盡仍用本銀六百兩問本利銀各若干法借三十六根爲本銀數(借三十六者以九與十二)(與六皆係用三可以度盡之數獨四與九不能度盡故借四九相乘之數則各)(分母皆可以度盡也)則第一次利銀爲四根第二次利銀爲六根第三次利銀爲九根第四次利銀爲十二根四數相加共得三十一根爲四次利銀之共數第一次用去爲三根第二次用去爲十六根第三次用去爲十八根第四次用去爲二十四根四數相加共得六十一根爲四次用去銀之共數以四次利銀皆用盡仍用本銀六百兩計之則四次利銀之共數三十一根仍如本銀六百兩乃與四次用去銀之共數六十一根相等也三十一根與六十一根各減去三十一根則餘三十根與六百兩相等三十根既與六百兩相等則一根必與二十兩相等而三十六根必與七百二十兩相等即本銀數三十一根又與六百二十兩相等即利銀數六十一根又與一千二百二十兩相等即用去銀數也(此疊借互徵法)設如甲乙丙丁四人同出銀作生理内甲丙丁三人所出銀不言數但知乙出銀五兩若將甲所出銀二分之一與乙又將乙所出銀五分之一與丙又將丙所出銀七分之一與丁又將丁所出銀九分之一與甲則四人所出之銀皆相等問四人各出銀若干法借二根爲甲出銀數則甲將一根(二分)(之一)與乙乙將一兩(五分之一)與丙是甲爲一根乙爲一根多四兩今以甲與乙相較則數不相等蓋因甲尚當得丁銀九分之一也甲因未得丁銀九分之一故比乙銀少四兩是四兩即丁銀之九分之一也九分之一既爲四兩則三十六兩即爲丁原銀數丁既以四兩與甲則丁所餘止三十二兩以丁三十二兩與乙一根多四兩相較其數又不相等蓋因丁尚當得丙銀七分之一也丁因未得丙銀七分之一故比乙銀差一根少二十八兩(於乙一根多四兩内減去三十二兩即餘一根少二十八兩也)是一根少二十八兩即丙銀之七分之一也七分之一既爲一根少二十八兩則七根少一百九十六兩即爲丙原銀數丙既以一根少二十八兩與丁則丙所餘爲六根少一百六十八兩再加乙所與之一兩則丙得六根少一百六十七兩矣夫四人既按分各與之則乙爲一根多四兩甲餘一根又得丁四兩亦爲一根多四兩丁餘三十二兩又得丙一根少二十八兩亦爲一根多四兩其數皆相等則丙之六根少一百六十七兩亦必與一根多四兩爲相等矣少一百六十七兩與多四兩各加一百六十七兩得六根與一根多一百七十一兩相等六根與一根各減一根則餘五根與一百七十一兩相等五根既與一百七十一兩相等則一根必與三十四兩二錢相等而二根必與六十八兩四錢相等即甲所出銀數又七根必與二百三十九兩四錢相等内減去一百九十六兩(丙原爲七根少一百九十六兩)餘四十三兩四錢爲丙所出銀數乃於丁所出銀内減九分之一(餘三十二兩)加丙銀之七分之一(六兩)(二錢)得三十八兩二錢於丙所出銀内減七分之一(餘三十七兩二錢)加乙銀之五分之一(一兩)亦得銀三十八兩二錢於乙所出銀内減五分之一(餘四兩)加甲銀之二分之一(三十四兩二錢)亦得銀三十八兩二錢於甲所出銀内減二分之一(餘三十四兩二錢)加丁銀之九分之一(四兩)亦得銀三十八兩二錢也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如甲乙丙丁戊五人各出銀不言數但知甲乙共銀二百四十兩丙銀爲甲銀三分之一丁銀爲乙銀四分之一戊銀七十二兩與丙丁共數相等問五人各銀若干法借十二根爲甲銀數則乙銀爲二百四十兩少十二根丙銀爲四根丁銀爲六十兩少三根以丙丁二數相加得六十兩多一根而與戊銀七十二兩相等七十二兩與六十兩各減六十兩得十二兩與一根相等十二兩既與一根相等則十二根必與一百四十四兩相等即甲銀數甲乙共銀二百四十兩内減甲銀數餘九十六兩即乙銀數將甲銀數三歸之得四十八兩即丙銀數將乙銀數四歸之得二十四兩即丁銀數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有銀六百兩令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百兩丙丁共得二百兩戊己共得二百兩丙所得銀比甲所得銀爲四分之一戊所得銀比丁所得銀爲三分之一乙所得銀比己所得銀爲二分之一問六人各分銀幾何法借十二根爲甲所得銀數則乙所得銀爲二百兩少十二根丙所得銀爲三根丁所得銀爲二百兩少三根戊所得銀爲六十六兩又三分兩之二少一根(戊比丁爲三分之一以三除丁數即是)己所得銀爲四百兩少二十四根(乙比己爲二分之一以二乗乙數即是)以戊己兩數相加得四百六十六兩又三分兩之二少二十五根是爲二百兩與四百六十六兩又三分兩之二少二十五根相等二百兩與四百六十六兩又三分兩之二少二十五根各加二十五根得二百兩多二十五根與四百六十六兩又三分兩之二相等二百兩與四百六十六兩又三分兩之二各減二百兩則餘二十五根與二百六十六兩又三分兩之二相等二十五根既與二百六十六兩又三分兩之二相等則一根必與十兩又三分兩之二相等三根必與三十二兩相等即丙所得銀數四因之得一百二十八兩爲甲所得銀數甲乙共得二百兩内減甲所得銀數餘七十二兩爲乙所得銀數丙丁共得二百兩内減丙所得銀數餘一百六十八兩爲丁所得銀數乙所得銀七十二兩二因之得一百四十四兩爲己所得銀數丁所得銀一百六十八兩三歸之得五十六兩爲戊所得銀數也(此疊借互徵法用方程法)(算之亦可)設如有駝一羣七十二個馬一羣不知數牛一羣與駝馬相併之數等羊一羣與駝馬相乗之數等又爲牛數之六十倍問馬牛羊各幾何法借一根爲馬數則一根多七十二爲牛數以駝數七十二與馬數一根相乗得七十二根爲羊數再以牛數一根多七十二與六十相乗得六十根多四千三百二十亦爲羊數此兩數既同爲羊數則爲相等七十二根與六十根各減六十根則餘十二根與四千三百二十相等十二根既與四千三百二十相等則一根必與三百六十相等即馬一羣之數與駝數相加得四百三十二即牛一羣之數再與六十相乗得二萬五千九百二十即羊一羣之數以駝七十二與馬三百六十相乘亦得二萬五千九百二十爲相等也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有大小二石不知重數有銅條一根重十二兩均分十二分以繩繫於第五分之上一頭五分一頭七分將大石掛於銅條之端離提繫五分而以小石作砣稱之離提繫六分始平又將小石掛於銅條之端離提繫五分而以大石作砣稱之離提繫四分始平問二石各重若干法先以五分加一倍與十二分相減餘二分折半得一分與五分相加爲六分乃以五分爲一率六分爲二率餘二分之重二兩爲三率求得四率二兩四錢即五分之端加二兩四錢始與七分相平也今大石離提繫五分小石離提繫六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二兩四錢則小石爲大石六分之五而少二兩也(銅條五分之端應加二兩四錢而平)(今大石在五分之一頭是大石多二兩四錢也將二兩四錢以大石之六分除)(之每分得四錢是大石比小石每分多四錢以小石五分計之則大石比小石)(多二兩故小石爲大石之六分之五而少二兩也)又小石離提繫五分大石離提繫四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二兩四錢則小石爲大石五分之四而多二兩四錢也(銅條五分之端應加二兩四錢而平今小石在五分之一頭是)(小石多二兩四錢也將二兩四錢以小石之四分除之每分得六錢是小石比)(大石每分多六錢以小石四分計之則小石比大石多二兩四錢故小石爲大)(石之五分之四而多二兩四錢也)乃借三十根(六分五分相乗)(之數)爲大石之重數以小石爲大石六分之五而少二兩計之則小石之重爲二十五根少二兩以小石爲大石五分之四而多二兩四錢計之則小石之重又爲二十四根多二兩四錢此兩數爲相等兩邊各加二兩得二十五根與二十四根多四兩四錢相等兩邊再各減去二十四根餘一根與四兩四錢相等一根既與四兩四錢相等則三十根必與一百三十二兩相等即大石之重數六歸之得二十二兩五因之得一百一十兩減去二兩得一百零八兩即小石之重數或以大石之重數五歸之得二十六兩四錢四因之得一百零五兩六錢加二兩四錢亦得一百零八兩爲小石之重數也(此疊借互徵法用方程法算之亦可)設如有銀買馬牛二色馬四匹牛八頭共價五十六兩又馬三匹牛五頭共價三十八兩問馬牛各價若干法借一根爲牛一頭之價則前牛八頭之共價爲八根前馬四匹之共價爲五十六兩少八根而後牛五頭之共價爲五根乃以前馬四匹爲一率共價五十六兩少八根爲二率後馬三匹爲三率求得四率四十二兩少六根爲後馬三匹之共價内加後牛五頭之共價五根得四十二兩少一根爲後馬三匹牛五頭之共價與後共價三十八兩相等四十二兩少一根與三十八兩各加一根得四十二兩與三十八兩多一根相等四十二兩與三十八兩多一根再各減去三十八兩則餘四兩與一根相等即牛一頭之價八因之得三十二兩爲前牛八頭之共價於前共價五十六兩内減之餘二十四兩爲前馬四匹之共價四歸之得六兩爲馬一匹之價又以後馬三匹因之得十八兩爲後馬三匹之共價於後共價三十八兩内減之餘二十兩爲後牛五頭之共價五歸之亦得四兩爲牛一頭之價也(此二色和數方程法)設如有錢買桃梨二色桃四個比梨八個少錢十二文桃九個比梨六個多錢二十一文問桃梨多價若干法借一根爲桃一個之價則前桃四個之共價爲四根前梨八個之共價爲十二文多四根而後桃九個之共價爲九根乃以前梨八個爲一率共價十二文多四根爲二率後梨六個爲三率求得四率九文多三根爲後梨六個之共價加後桃比梨多錢二十一文得三十文多三根與後桃九個之共價九根相等(九桃比六梨多二十一文故以二十一文與六梨之價相加即與九桃之價等)(也)三十文多三根與九根各減去三根則餘三十文與六根相等三十文既與六根相等則五文必與一根相等即桃一個之價四因之得二十文爲前桃四個之共價加入桃比梨少錢十二文得三十二文爲前梨八個之共價八歸之得四文爲梨一個之價又以後梨六個因之得二十四文爲後梨六個之共價加入桃比梨多錢二十一文得四十五文爲後桃九個之共價九歸之亦得五文爲桃一個之價也(此二色較數方程法)設如有銀買緞紗紬三色初次買緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩二次買緞一疋紗四疋紬七疋共價六十兩三次買緞三疋紗五疋紬九疋共價九十兩問緞紗紬每疋各價若干法借一根爲紬每疋之價則初次紬之共價爲八根二次紬之共價爲七根三次紬之共價爲九根而初次緞之共價爲八十四兩少八根仍少紗六疋乃以初次緞二疋爲一率緞價八十四兩少八根仍少紗六疋爲二率二次緞一疋爲三率求得四率四十二兩少四根仍少紗三疋爲二次緞價加入二次紬價七根紗四疋得四十二兩多三根仍多紗一疋爲二次緞一疋紗四疋紬七疋之共價與二次共價六十兩相等四十二兩多三根多紗一疋與六十兩各減去四十二兩餘三根多紗一疋與十八兩相等三根多紗一疋與十八兩再各減去三根餘紗一疋與十八兩少三根相等即紗一疋之價爲十八兩少三根也又以二次緞一疋爲一率緞價四十二兩少四根仍少紗三疋爲二率三次緞三疋爲三率求得四率一百二十六兩少十二根仍少紗九疋爲三次緞價加入三次紬價九根紗五疋得一百二十六兩少三根仍少紗四疋爲三次緞三疋紗五疋紬九疋之共價與三次共價九十兩相等一百二十六兩少三根少紗四疋與九十兩各加紗四疋得一百二十六兩少三根與九十兩多紗四疋相等一百二十六兩少三根與九十兩多紗四疋再各減去九十兩餘三十六兩少三根與紗四疋相等即紗四疋之價爲三十六兩少三根也前所得紗一疋之價爲十八兩少三根今又得紗四疋之價爲三十六兩少三根此二分雖同而疋數不一故又以紗一疋爲一率前所得之紗一疋之價十八兩少三根爲二率今紗四疋爲三率求得四率七十二兩少十二根爲紗四疋之價乃與後所得紗四疋之價三十六兩少三根相等三十六兩少三根與七十二兩少十二根各加十二根得三十六兩多九根與七十二兩相等三十六兩多九根與七十二兩再各減去三十六兩餘九根與三十六兩相等九根既與三十六兩相等則一根必與四兩相等即紬一疋之價也紗一疋之價既爲十八兩少三根則於十八兩内減去三根之共數十二兩餘六兩即紗一疋之價初次紗六疋以紗價六兩乘之得三十六兩初次紬八疋以紬價四兩乘之得三十二兩兩數相加得六十八兩與初次共銀八十四兩相減餘十六兩爲緞二疋之價二歸之得八兩即緞一疋之價也其二次緞之共價爲八兩紗之共價爲二十四兩紬之共價爲二十八兩相加共得六十兩三次緞之共價爲二十四兩紗之共價爲三十兩紬之共價爲三十六兩相加共得九十兩皆合原數也(此三色和數方程法)設如甲乙丙三人各有銀買銅鐵錫三色甲買銅二斤鐵二斤錫一斤共銀九錢乙買銅三斤比鐵六斤錫二斤之價多二錢丙買銅二斤鐵四斤與錫四斤之價相等問銅鐵錫每斤各價若干法借一根爲錫每斤之價則甲錫之價即爲一根乙錫之價爲二根丙錫之價爲四根而甲銅之共價爲九錢少一根仍少鐵二斤乃以甲銅二斤爲一率銅價九錢少一根仍少鐵二斤爲二率乙銅三斤爲三率求得四率一兩三錢五分少一根半仍少鐵三斤爲乙銅三斤之價内減比錫二斤鐵六斤所多之二錢餘一兩一錢五分少一根半仍少鐵三斤與乙錫二斤之共價二根多鐵六斤相等一兩一錢五分少一根半少鐵三斤與二根多鐵六斤各加鐵三斤得一兩一錢五分少一根半與二根多鐵九斤相等一兩一錢五分少一根半與二根多鐵九斤再各減去二根餘一兩一錢五分少三根半與鐵九斤相等即鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根半也又以甲銅二斤之共價九錢少一根仍少鐵二斤即爲丙銅二斤之共價(丙銅與甲銅俱爲二斤故其共價相等省一四率也)加鐵四斤得九錢少一根多鐵二斤與丙錫四斤之共價四根相等九錢少一根多鐵二斤與四根各加一根得九錢多鐵二斤與五根相等九錢多鐵二斤與五根再各減去九錢餘鐵二斤與五根少九錢相等即鐵二斤之價爲五根少九錢也前所得鐵九斤之價爲一兩一錢五分少三根半今又得鐵二斤之價爲五根少九錢此二分雖同而斤數不一故又以鐵二斤爲一率今所得之鐵二斤之價五根少九錢爲二率前所得之鐵九斤爲三率求得四率二十二根半少四兩零五分爲鐵九斤之價乃與前所得鐵九斤之價一兩一錢五分少三根半相等二十二根半少四兩零五分與一兩一錢五分少三根半各加四兩零五分得二十二根半與五兩二錢少三根半相等二十二根半與五兩二錢少三根半再各加三根半得二十六根與五兩二錢相等二十六根既與五兩二錢相等則一根必與二錢相等即錫每斤之價也鐵二斤之價既爲五根少九錢則以五根之共數一兩内減去九錢餘一錢爲鐵二斤之共價半之得五分即鐵每斤之價於甲共銀九錢内減去鐵二斤之價一錢又減去錫一斤之價二錢餘六錢爲銅二斤之共價半之得三錢爲銅每斤之價也其乙銅三斤之共價爲九錢乙鐵六斤之共價爲三錢乙錫二斤之共價爲四錢是銅三斤比錫二斤鐵六斤之價多二錢也丙銅二斤之共價爲六錢丙鐵四斤之共價爲二錢丙錫四斤之共價爲八錢是銅二斤鐵四斤與錫四斤之價等也(此三色和較兼用方程法)御製數理精藴下編卷三十四
## 下編卷三十五
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十五末部五借根方比例(面類)面類設如大小兩正方面積共二百一十八尺其大方面積比小方面積多一百二十尺問大小方面積各幾何法借一根為小方面毎邊之數自乘得一平方為小方面積則大方面積為一平方多一百二十尺兩數相加得二平方多一百二十尺與共積二百一十八尺相等一百二十尺與二百一十八尺各減去一百二十尺餘二平方與九十八尺相等二平方旣與九十八尺相等則一平方必與四十九尺相等卽小方面積加一百二十尺得一百六十九尺卽大方面積也(此卽減法因面類之首故設此最易者焉)設如甲乙二長方面積共三百尺甲長八尺乙長二丈四尺其甲闊比乙闊為二倍問二長方闊數積數各幾何法借一根為乙之闊數則甲之闊為二根以一根與一丈四尺相乘得十四根為乙之面積以二根與八尺相乘得十六根為甲之面積相加得三十根與三百尺相等三十根旣與三百尺相等則一根必與十尺相等卽乙之闊數與長一丈四尺相乘得一百四十尺為乙之面積於共積三百尺内減之餘一百六十尺為甲之面積或倍乙之闊十尺得二十尺為甲之闊與長八尺相乘亦得一百六十尺為甲之面積也(此歸除法)設如有甲乙丙三長方甲方闊十尺不知長乙方闊十六尺長與甲等丙方闊四尺面積與甲之長相等又甲乙二方之共面積與丙方之長數相併為三千一百五十尺問三方各長若干法借一根為甲方之長數以闊十尺乘之得十根為甲方之面積乙方之長與甲等亦為一根以闊十六尺乘之得十六根為乙方之面積丙方之面積與甲之長相等亦為一根以闊四尺除之得四分根之一為丙方之長數以甲方之面積十根乙方之面積十六根丙方之長數四分根之一相併共得二十六根又四分根之一與三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一旣與三千一百五十尺相等則一根必與一百二十尺相等卽甲方之長數亦卽乙方之長數亦卽丙方之面積以甲方闊十尺與長一百二十尺相乘得一千二百尺卽甲方之面積以乙方闊十六尺與長一百二十尺相乘得一千九百二十尺卽乙方之面積以丙方闊四尺除面積一百二十尺得三十尺卽丙方之長數也(此歸除法)設如有長方形其長闊和五百零四丈面積為闊自乘之七倍問長闊各幾何法借一根為闊數則長數為五百零四丈少一根以一根與五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方為長方面積又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦為長方面積而與五百零四根少一平方相等兩邊各加一平方得八平方與五百零四根相等八平方與五百零四根各降一位則為八根與五百零四丈相等八根旣與五百零四丈相等則一根必與六十三丈相等卽長方之闊數與五百零四丈相減餘四百四十一丈卽長數也以闊六十三丈自乘得三千九百六十九丈以闊六十三丈與長四百四十一丈相乘得二萬七千七百八十三丈為闊自乘之七倍也(此比例法)設如有樓一座不知髙數正方池一面不知邊數但云以六丈與樓之髙數相乘與池之邊數等以一百零八丈與樓之髙數相乘與池之面積等問樓髙及池邊數各幾何法借一根為樓之髙數以一根與六丈相乘得六根為池之邊數自乘得三十六平方為池之面積又以一根與一百零八丈相乘得一百零八根亦為池之面積是為三十六平方與一百零八根相等三十六平方與一百零八根各降一位則為三十六根與一百零八丈相等三十六根旣與一百零八丈相等則一根必與三丈相等卽樓之髙數以六丈乘之得一十八丈為池之邊數自乘得三百二十四丈為池之面積又以一百零八丈與樓髙三丈相乘亦得三百二十四丈與池之面積相等也(此面積相除法)設如甲乙二人有銀不言兩數但知其銀之比例同於八與五若以二人銀相併則與二人銀相乘之數等問二人銀各若干法借八根為甲銀數五根為乙銀數相乘得四十平方又以八根與五根相加得一十三根是為四十平方與十三根相等四十平方與十三根各降一位則為四十根與十三兩相等四十根旣與十三兩相等則八根必與二兩六錢相等卽甲銀數五根必與一兩六錢二分五釐相等卽乙銀數兩數相加得四兩二錢二分五釐若以兩數相乘亦得四兩二錢二分五釐也(此比例法)設如有大小二正方池小池毎邊為大池毎邊之三分之一二池共邊數為二池共面積之五十分之一問二池邊數面積各幾何法借一根為小池毎邊之數則大池毎池之數為三根兩邊數相加得四根又以一根自乘得一平方為小池面積以三根自乘得九平方為大池面積兩面積相加得十平方為二池共邊之五十倍乃以共邊四根以五十乘之得二百根是為十平方與二百根相等十平方與二百根各降一位則為十根與二百丈相等十根旣與二百丈相等則一根必與二十丈相等卽小池毎邊之數三因之得六十丈卽大池毎邊之數也兩邊數相加得八十丈又以小池毎邊二十丈自乘得四百丈為小池面積以大池毎邊六十丈自乘得三千六百丈為大池面積兩面積相加得四千丈為共邊之五十倍也(此二正方邊線面積比例法)設如有甲乙丙三正方乙方毎邊為甲方毎邊之四分之一丙方毎邊為甲方毎邊之八分之一而乙丙兩方之共面積為甲方毎邊之十倍問三方邊數面積各幾何法借八根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為二根丙方毎邊之數為一根以二根自乘得四平方為乙方面積以一根自乘得一平方為丙方面積兩面積相加得五平方為甲方毎邊之十倍乃以甲方毎邊八根十因之得八十根是為五平方與八十根相等五平方與八十根各降一位則為五根與八十尺相等五根旣與八十尺相等則一根必與十六尺相等卽丙方毎邊之數倍之得三十二尺卽乙方毎邊之數八因之得一百二十八尺卽甲方毎邊之數也以乙方每邊三十二尺自乘得一千零二十四尺為乙方面積以丙方毎邊十六尺自乘得二百五十六尺為丙方面積兩面積相加得一千二百八十尺為甲方毎邊之十倍也(此三正方邊線面積比例法)設如有甲乙二正方甲方為乙方毎邊之三倍以甲方邊四分之一與乙方面積相乘則與甲方面積等問二方邊數面積各幾何法借十二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為四根以十二根自乘得一百四十四平方為甲方面積以四根自乘得一十六平方為乙方面積取甲方邊四分之一三根與乙方面積一十六平方相乘得四十八立方是為四十八立方與一百四十四平方相等四十八立方與一百四十四平方各降二位則為四十八根與一百四十四尺相等四十八根旣與一百四十四尺相等則十二根必與三十六尺相等卽甲方毎邊之數三歸之得十二尺卽乙方毎邊之數也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺卽甲方之面積以十二尺自乘得一百四十四尺卽乙方之面積以甲方毎邊四分之一九尺與乙方面積相乘得一千二百九十六尺與甲方面積相等也(此二正方邊線面積比例法)設如有大小二正方大方邊與小方邊之比例同於五與三大方面積比小方面積多二千三百零四丈問大小二方邊各幾何法借三根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為五根以三根自乘得九平方為小方之面積以五根自乘得二十五平方為大方之面積二面積相減餘一十六平方與二千三百零四丈相等一十六平方旣與二千三百零四丈相等則一平方必與一百四十四丈相等開平方得一十二丈為一根之數三因之得三十六丈卽小方毎邊之數五因之得六十丈卽大方毎邊之數以三十六丈自乘得一千二百九十六丈為小方面積以六十丈自乘得三千六百丈為大方面積兩面積相減餘二千三百零四丈以合原數也(此二正方比例開平方法)設如有甲乙二正方甲方毎邊為乙方毎邊之三倍又有丙一長方其長與甲方之毎邊等其闊與乙方之毎邊等三方面積共二萬零八百丈問三方邊數面積各若干法借一根為乙方毎邊之數則甲方毎邊之數為三根以一根自乘得一平方為乙方之面積以三根自乘得九平方為甲方之面積以一根與三根相乘得三平方為丙方之面積三面積相加得一十三平方與二萬零八百丈相等十三平方旣與二萬零八百丈相等則一平方必與一千六百丈相等卽乙方之面積開平方得四十丈為一根之數卽乙方毎邊之數三因之得一百二十丈卽甲方毎邊之數以一百二十丈自乘得一萬四千四百丈卽甲方之面積以四十丈與一百二十丈相乘得四千八百丈卽丙方之面積三面積相併共得二萬零八百丈以合原數也(此二正方比例開平)(方法)設如有兵二萬九千四百八十四名欲排作三軍俱為正方第二軍每邊比第一軍每邊為三倍第三軍每邊比第二軍每邊亦為三倍問三軍兵數各若干法借一根為第一軍每邊之數則第二軍每邊之數為三根第三軍毎邊之數為九根以一根自乘得一平方為第一軍之總數以三根自乘得九平方為第二軍之總數以九根自乘得八十一平方為第三軍之總數三總數相加得九十一平方與二萬九千四百八十四相等九十一平方旣與二萬九千四百八十四相等則一平方必與三百二十四相等卽第一軍之總數開平方得十八為一根之數卽第一軍每邊之數也以第一軍毎邊之數用三乘之得五十四卽第二軍毎邊之數以第一軍之總數用九乘之得二千九百一十六卽第二軍之總數又以第一軍毎邊之數用九乘之得一百六十二卽第三軍每邊之數以第一軍之總數用八十一乘之得二萬六千二百四十四卽第三軍之總數三總數相加共二萬九千四百八十四以合原數也(此三正方比例開平方法)設如一正方一長方俱不知其邊數但知長方之面積為八萬一千尺其長為正方邊之十五分之二其闊為正方邊之二十五分之三問二方邊各若干法借一根為正方每邊之數則長方之長為十五分根之二長方之闊為二十五分根之三以正方邊一根自乘得一平方為正方之面積以長方之長闊相乘得三百七十五分平方之六(以兩分母十五)(與二十五相乘得三百七十五以兩分子二與三相乘得六故為三百七十五)(之六)為長方面積是為三百七十五分平方之六與八萬一千尺相等乃以六分為一率八萬一千尺為二率三百七十五分為三率求得四率五百零六萬二千五百尺與一平方相等(葢三百七十五分平方之)(六者將一平方分為三百七十五分而得其六分也六分旣為八萬一千尺則)(三百七十五分必為五百零六萬二千五百尺也)開平方得二千二百五十尺為一根之數卽正方每邊之數其十五分之二為三百尺卽長方之長其二十五分之三為二百七十尺卽長方之闊相乘得八萬一千尺以合原數也(此帶分比例開平方法)設如有大小二正方大方比小方毎邊多六尺面積多一千七百一十六尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方每邊之數則大方每邊之數為一根多六尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為大方之面積大方旣比小方面積多一千七百一十六尺則以小方之面積一平方加一千七百一十六尺與大方之面積一平方多十二根多三十六尺相等兩邊各減去一平方又各減三十六尺得十二根與一千六百八十尺相等十二根旣與一千六百八十尺相等則一根必與一百四十尺相等卽小方毎邊之數加六尺得一百四十六尺卽大方每邊之數以一百四十尺自乘得一萬九千六百尺卽小方之面積以一百四十六尺自乘得二萬一千三百一十六尺卽大方之面積兩面積相減餘一千七百一十六尺以合原數也(此二正方)(有邊較積較求邊法)設如有大小二正方大方比小方每邊多二十四尺面積共七千二百五十尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多二十四尺以一根自乘得一平方為小方之面積以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺為大方之面積兩面積相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺與七千二百五十尺相等兩邊各減五百七十六尺得二平方多四十八根與六千六百七十四尺相等二平方多四十八根旣與六千六百七十四尺相等則一平方多二十四根必與三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺為長方積以二十四根作二十四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四十七尺為一根之數卽小方每邊之數加二十四尺得七十一尺卽大方每邊之數以四十七尺自乘得二千二百零九尺卽小方之面積以七十一尺自乘得五千零四十一尺卽大方之面積兩面積相加共七千二百五十尺以合原數也(此二正方有邊較積)(和求邊法)設如有大小二正方邊數共三十六尺面積共六百六十六尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方每邊之數為三十六尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方為大方之面積兩面積相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方與六百六十六尺相等兩邊各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方與六百六十六尺多七十二根相等兩邊各減六百六十六尺得六百三十尺多二平方與七十二根相等六百三十尺多二平方旣與七十二根相等則三百一十五尺多一平方必與三十六根相等乃以三百一十五尺為長方積以三十六根作三十六尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十五尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊三十六尺相減餘二十一尺卽大方毎邊之數以小方每邊一十五尺自乘得二百二十五尺卽小方之面積以大方每邊二十一尺自乘得四百四十一尺卽大方之面積兩面積相加共六百六十六尺以合原數也(此二正方有邊和積和求邊法)設如有大小二正方邊數共一百一十尺大方比小方面積為五倍少四尺問二方邊數面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一百一十尺少一根以一根自乘得一平方為小方之面積以一百一十尺少一根自乘得一萬二千一百尺少二百二十根多一平方為大方之面積大方旣比小方面積為五倍少四尺則將小方加五倍將大方加四尺是為五平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等兩邊各減一平方得四平方與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等四平方旣與一萬二千一百零四尺少二百二十根相等則一平方必與三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺為長方積以五十五根作五十五尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊三十四尺為一根之數卽小方每邊之數與共邊一百一十尺相減餘七十六尺卽大方毎邊之數以三十四尺自乘得一千一百五十六尺卽小方之面積以七十六尺自乘得五千七百七十六尺卽大方之面積再加四尺得五千七百八十尺為小方面積一千一百五十六尺之五倍也(此亦二正方有邊和積較法但積較)(有倍分耳)設如有一長方又有大小二正方三面積共四百四十一丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等但知小正方邊為九丈問大正方邊若干法借一根為大方毎邊之數自乘得一平方為大方之面積以九丈自乘得八十一丈為小方之面積以九丈與一根相乘得九根為長方之面積三面積相加得一平方多九根又多八十一丈與四百四十一丈相等兩邊各減八十一丈得一平方多九根與三百六十丈相等乃以三百六十丈為長方積以九根作九丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十五丈為一根之數卽大方毎邊之數以十五丈自乘得二百二十五丈卽大方之面積以十五丈與九丈相乘得一百三十五丈卽長方之面積三面積相併共得四百四十一丈以合原數也(此帶縱較數開平方法)設如有一長方又有大小二正方三面積共四百五十七丈長方之長與大正方邊等長方之闊與小正方邊等長闊共二十四丈問長闊各幾何法借一根為長方之闊則長方之長為二十四丈少一根以一根自乘得一平方為小正方之面積以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方為大正方之面積以一根與二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方為長方之面積三面積相加得一平方多五百七十六丈少二十四根與四百五十七丈相等兩邊各加二十四根得一平方多五百七十六丈與二十四根多四百五十七丈相等兩邊各減四百五十七丈得一平方多一百一十九丈與二十四根相等乃以一百一十九丈為長方積以二十四根作二十四丈為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊七丈為一根之數卽長方之闊與二十四丈相減餘一十七丈卽長方之長以七丈自乘得四十九丈卽小正方之面積以一十七丈自乘得二百八十九丈卽大正方之面積以七丈與一十七丈相乘得一百一十九丈卽長方之面積三面積相併共得四百五十七丈以合原數也(此帶縱和數開平方法)設如有一長方其面積八萬三千二百三十二丈又有一正方其毎邊與長方之闊等若以正方面積自乘則與兩方之共面積等問二方邊數各若干法借一根為正方之面積自乘得一平方為正方面積自乘之數又以一根與八萬三千二百三十二丈相加得一根多八萬三千二百三十二丈與一平方相等乃以八萬三千二百三十二丈為長方積以一根作一丈為長闊較用帶縱較數開平方法算之得長二百八十九丈為一根之數卽正方之面積亦卽長方之長開平方得一十七丈卽正方之邊亦卽長方之闊以正方面積二百八十九丈與長方面積八萬三千二百三十二丈相併共得八萬三千五百二十一丈又以正方面積二百八十九丈自乘亦得八萬三千五百二十一丈是與兩方之共面積相等也(此帶縱較數開平方法)設如有銀買駝馬共六十一匹駝毎匹之價與共駝數等馬毎匹之價與共馬數等今賣馬一匹之價與共駝數等賣駝一匹之價為共馬數之二倍共得利銀七百一十九兩問駝數馬數及毎匹價各若干法借一根為共馬數則六十一匹少一根為共駝數以共馬數一根自乘得一平方為買馬之共價以共駝數六十一匹少一根自乘得三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方為買駝之共價兩共價相加得三千七百二十一兩少一百二十二根多二平方為買駝馬之總銀數又以共馬數一根與共駝數六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方為賣馬之共銀數以共駝數六十一匹少一根與二倍共馬數二根相乘得一百二十二根少二平方為賣駝之共銀數兩共銀數相加得一百八十三根少三平方為賣駝馬之總銀數内減買駝馬總銀數三千七百二十一兩少一百二十二根多一平方餘三百零五根少五平方又少三千七百二十一兩與利銀七百一十九兩相等兩邊各加三千七百二十一兩得三百零五根少五平方與四千四百四十兩相等三百零五根少五平方旣與四千四百四十兩相等則六十一根少一平方必與八百八十八兩相等乃以八百八十八兩為長方積以六十一根作六十一為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四為一根之數卽共馬數亦卽馬毎匹之價為二十四兩也以二十四匹與六十一匹相減餘三十七匹卽共駝數亦卽駝毎匹之價為三十七兩也以二十四匹與二十四兩相乘得五百七十六兩為買馬之共銀數以三十七匹與三十七兩相乘得一千三百六十九兩為買駝之共銀數相加得一千九百四十五兩卽買駝馬之總銀數以二十四匹與三十七兩相乘得八百八十八兩為賣馬之共銀數以三十七匹與四十八兩相乘得一千七百七十六兩為賣駝之共銀數相加得二千六百六十四兩卽賣駝馬之總銀數比買駝馬之總銀數多七百一十九兩為利銀數也(此帶縱和數開平方法)設如有木匠瓦匠共三十名又有匠頭不知名數但知毎匠頭一人得銀三十六兩其木匠一人之銀數與瓦匠之人數等瓦匠一人之銀數與木匠之人數等而匠頭之人數與木匠瓦匠相差之數等匠頭之共銀數與木匠之共銀數等問匠頭與木匠瓦匠之人數及毎人所得之銀數各幾何法借一根為木匠之人數則瓦匠之人數為三十少一根以一根與三十少一根相乘得三十根少一平方為木匠之共銀數亦為瓦匠之共銀數又以木匠之人數一根與瓦匠之人數三十少一根相減得三十少二根為匠頭之人數與毎人三十六兩相乘得一千零八十兩少七十二根為匠頭之總銀數與木匠之共銀數三十根少一平方相等兩邊各加七十二根得一百零二根少一平方與一千零八十兩相等乃以一千零八十兩為長方積以一百零二根作一百零二為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊一十二為一根之數卽木匠之人數以一十二人與三十人相減餘一十八人卽瓦匠之人數以十二與十八相乘得二百一十六兩卽木匠之共銀數亦卽瓦匠之共銀數以十二與十八相減餘六卽匠頭之人數與三十六兩相乘亦得二十一十六兩卽匠頭之共銀數與木匠之共銀數等也(此帶)(縱和數開平方法)設如有馬騾䭾物不言馬騾共數亦不言馬騾各數但知馬比騾多十匹馬共䭾一萬二千斤騾亦共䭾一萬二千斤而騾一匹所䭾之數比馬一匹所䭾之數多四十斤問馬騾數及所䭾數各若干法借一根為騾數則馬數為一根多十匹以一根除一萬二千斤得一根之一萬二千斤為騾一匹所䭾之數以一根多十匹除一萬二千斤得一根多十匹之一萬二千斤為馬一匹所䭾之數因兩分母不同乃用互乘法以齊其分將馬分母一根多十匹與騾分子一萬二千斤相乘得一萬二千根多一十二萬斤以騾分母一根與馬分子一萬二千斤相乘得一萬二千根以互乘所得兩分子相減餘一十二萬斤為騾比馬多䭾之數又以馬分母一根多十匹與騾分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦為騾比馬多䭾之數是為四十平方多四百根與一十二萬斤相等四十平方多四百根旣與一十二萬斤相等則一平方多十根必與三千斤相等乃以三千為長方積以十根作一十為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊五十為一根之數卽騾數加十匹得六十匹卽馬數以五十匹除一萬二千斤得二百四十斤卽騾一匹所䭾之數以六十匹除一萬二千斤得二百斤卽馬一匹所䭾之數也(此帶縱較數開平方法)設如有數一十萬欲分為大小兩分與全分為相連比例三率問大小兩分各幾何法借一根為大分則小分為十萬少一根是全分十萬為首率而一根為中率十萬少一根為末率矣乃以首率十萬與末率十萬少一根相乘得一百億少十萬根而與中率一根自乘之一平方相等乃以一百億為長方積十萬根作十萬為長闊數用帶縱較數開平方法算之得闊六萬一千八百零三為一根之數卽大分與全分十萬相減餘三萬八千一百九十七卽小分也葢十萬與六萬一千八百零三之比卽同於六萬一千八百零三與三萬八千一百九十七之比而為相連比例之三率也(此即求圜)(内容十邊法)設如有股二十尺勾弦較十尺問勾弦各幾何法借一根為勾數則一根多一十尺為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺為弦自乘之數兩自乘之數相減得二十根多一百尺為股自乘之數而與股二十尺自乘之四百尺為相等兩邊各減一百尺得二十根與三百尺相等二十根旣與三百尺相等則一根必與一十五尺相等卽勾數加勾弦較十尺得二十五尺卽弦數也如圗甲乙為弦甲丙為勾(乙丁同)丙乙為勾弦較甲丁為勾弦和甲己戊乙為弦自乘方庚己壬辛為勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形為股自乘數與甲庚勾弦較(甲庚與丙乙等)乘甲丁勾弦和之甲庚癸丁長方積等借一根為勾數者卽庚己或庚辛也(庚己庚辛皆與甲丙等)一根多十尺為弦數者卽庚己加庚甲也一根自乘得一平方為勾自乘方者卽庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺為弦自乘方者卽庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根(甲庚較十尺乘甲丙一根得十根為甲庚)(辛丙長方辛子較十尺乘子戊一根得十根為辛壬戊子長方是共為二十根)又多丙辛子乙之一百尺共為甲己戊乙之正方也於甲己戊乙弦自乘方内減去庚己壬辛勾自乘之一平方餘二十根多一百尺卽甲乙戊壬辛庚之磬折形亦卽甲庚癸丁之長方形而與股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁長方内減去丙辛子乙一百尺餘甲庚辛丙及乙子癸丁卽二十根之數為三百尺也二十根之數為三百尺則一根之數必為十五尺也(此勾股弦和較相求法)設如有股二十四尺勾弦和三十二尺問勾弦各幾何法借一根為勾數則三十二尺少一根為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方為弦自乘之數兩自乘之數相減得一千零二十四尺少六十四根為股自乘之數而與股二十四尺自乘之五百七十六尺為相等兩邊各加六十四根得一千零二十四尺與五百七十六尺多六十四根相等兩邊各減五百七十六尺得四百四十八尺與六十四根相等四百四十八尺旣與六十四根相等則七尺必與一根相等卽勾數以勾七尺與勾弦和三十二尺相減餘二十五尺卽弦數也(此勾股弦和較相求法)設如有弦五尺勾股和七尺問勾股各幾何法借一根為股數則七尺少一根為勾數以一根自乘得一平方為股自乘之數以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方為勾自乘之數兩自乘數相加得四十九尺少一十四根多二平方為弦自乘之數而與弦五尺自乘之二十五尺為相等兩邊各加一十四根得四十九尺多二平方與二十五尺多一十四根相等兩邊各減四十九尺得二平方與一十四根少二十四尺相等二平方旣與十四根少二十四尺相等則一平方必與七根少十二尺相等乃以十二尺為長方積七根作七尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長四尺為一根之數卽股數以股四尺與勾股和七尺相減餘三尺卽勾數也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙弦五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己為勾股和自乘方辛丙庚己為股自乘方乙丁壬丙為勾自乘方借一根為股數者卽甲乙也(壬戊己庚皆與)(甲乙等為一根數)一根自乘得一平方為股自乘方者卽辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方為勾自乘方者卽甲丁戊己勾股和自乘方内減去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共為十四根(甲乙一根乘甲己和七尺得七)(根為甲乙庚己長方辛己一根乘己戊和得七根為辛壬戊己長方共十四根)又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也(於甲丁戊己勾股和自乘方内減去甲乙丙壬戊己)(磬折形餘乙丁壬丙為勾自乘數今減去十四根乃減去甲乙庚己一長方又)(減去辛壬戊己一長方是比磬折形多減去辛丙庚己一平方故必加一平方)(以補多減之數始為乙丁壬丙勾自乘方也)辛丙庚己股自乘數乙丁壬丙勾自乘數相加與弦自乘之數相等兩邊各加各減得一平方與七根少十二尺相等者卽辛丙庚己一平方與甲乙庚己七根數相較而少甲乙丙辛之長方十二尺也今不知七根之數又不知一平方之數但知一平方與七根相較之甲乙丙辛長方為十二尺故卽以十二尺為長方積以甲己為長闊和用帶縱和數開平方法算之得甲乙長而為股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾弦和五十尺股弦和八十一尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則五十尺少一根為弦數一根多三十一尺為股數(以五十尺與八)(十一尺相減餘三十一尺為勾股較故一根多三十一尺為股數)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方為弦自乘之數以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得一千五百三十九尺少一百六十二根亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以一千五百三十九尺為長方積以一百六十二根作一百六十二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊九尺為一根之數卽勾數以勾九尺與勾弦和五十尺相減餘四十一尺卽弦數以勾九尺與勾股較三十一尺相加得四十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和二十三尺勾弦和二十五尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則二十三尺少一根為股數二十五尺少一根為弦數以一根自乘得一平方為勾自乘之數以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方為股自乘之數以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方為弦自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得九十六尺少四根亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以九十六尺為長方積四根作四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺為一根之數卽勾數以勾八尺與勾股和二十三尺相減餘十五尺卽股數以勾八尺與勾弦和二十五尺相減餘十七尺卽弦數也(此勾股弦和較相求法)設如有股弦和二十五尺勾弦較八尺問勾股弦各幾何法借一根為股數則二十五尺少一根為弦數十七尺少一根為勾數(股弦和二十五)(尺内減勾弦較八尺得一十七尺為勾股和故勾為十七尺少一根)以一根自乘得一平方為股自乘之數以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方為勾自乘之數以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方為弦自乘之數以勾自乘之數與弦自乘之數相減得三百三十六尺少一十六根亦為股自乘之數而與股數一根自乘之一平方為相等乃以三百三十六尺為長方積十六根作十六尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十二尺為一根之數卽股數以股十二尺與股弦和二十五尺相減餘一十三尺卽弦數内減勾弦較八尺餘五尺卽勾數也(此勾股弦)(和較相求法)設如有股弦較一尺勾弦較三十二尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則一根多三十二尺為弦數一根多三十一尺為股數(股弦較與)(勾弦較相減餘三十一尺為勾股較故股為一根多三十一尺也)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺為弦自乘之數以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得二根多六十三尺亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等乃以六十三尺為長方積以二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得長九尺為一根之數卽勾數以勾九尺與勾弦較三十二尺相加得四十一尺卽弦數内減股弦較一尺餘四十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和七十三尺勾弦較與股弦較之和三十三尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則七十三尺少一根為股數五十三尺為弦數(以勾股和七十三尺加勾)(弦較與股弦較之和三十三尺得一百零六尺卽二弦數故半之得五十三尺)(為弦數也)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方為股自乘之數以五十三尺自乘得二千八百零九尺為弦自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等兩邊各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺與二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺旣與二平方相等則七十三根少一千二百六十尺必與一平方相等乃以一千二百六十尺為長方積七十三根作七十三尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十八尺為一根之數卽勾數以勾二十八尺與勾股和七十三尺相減餘四十五尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股弦總和一百五十尺勾股較股弦較勾弦較共八十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則一根多四十尺為弦數(將三較共八十尺折半得四十尺卽勾弦較)一百一十尺少二根為股數(總和一百五十尺内減去勾數一根又減)(去弦數一根多四十尺得一百一十尺少二根為股數)以一根自乘得一平方為勾自乘之數以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺為弦自乘之數以一百一十尺少二根自乘得一萬二千一百尺少四百四十根多四平方為股自乘之數以股自乘之數與弦自乘之數相減得五百二十根少三平方又少一萬零五百尺亦為勾自乘之數而與勾數一根自乘之一平方為相等兩邊各加三平方得五百二十根少一萬零五百尺與四平方相等五百二十根少一萬零五百尺旣與四平方相等則一百三十根少二千六百二十五尺必與一平方相等乃以二千六百二十五尺為長方積以一百三十根作一百三十尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十五尺為一根之數卽勾數以勾二十五尺與勾弦較四十尺相加得六十五尺卽弦數以勾弦和九十尺與勾股弦總和一百五十尺相減餘六十尺卽股數也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股和二十三尺弦與勾股較之較十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾股較數則一根多十尺為弦數以一根自乘得一平方為勾股較自乘之數以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺為弦自乘之數倍之得二平方多四十根又多二百尺内減去勾股較自乘之一平方餘一平方多四十根多二百尺為勾股和自乘之數而與勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺為相等兩邊各減去二百尺得一平方多四十根與三百二十九尺相等乃以三百二十九尺為長方積以多四十根作四十尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊七尺為一根之數卽勾股較與勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺為股内減較七尺餘八尺為勾又以勾股較七尺與弦與勾股較之較十尺相加得十七尺為弦也(此勾股弦和較相求法)設如有勾股積一千零八十尺勾股弦總和一百八十尺問勾股弦各幾何法借一根為弦數則一百八十尺少一根為勾股和數以一根自乘得一平方為弦自乘之數以一百八十尺少一根自乘得三萬二千四百尺少三百六十根多一平方為勾股和自乘之數又以勾股積一千零八十尺四因之得四千三百二十尺與弦自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦為勾股和自乘之數而與勾股和自乘之三萬二千四百尺少三百六十根多一平方為相等(勾股和自乘數内有一弦自乘方有四勾股積故四因勾)(股積與弦自乘之數相加卽與勾股和自乘之數相等也)兩邊各減四千三百二十尺得二萬八千零八十尺少三百六十根多一平方與一平方相等兩邊各加三百六十根得二萬八千零八十尺多一平方與一平方多三百六十根相等兩邊再各減一平方得三百六十根與二萬八千零八十尺相等三百六十根旣與二萬八千零八十尺相等則一根必與七十八尺相等卽弦數以弦七十八尺與一百八十尺相減餘一百零二尺卽勾股和又以弦自乘得六千零八十四尺與四勾股積四千三百二十尺相減餘一千七百六十四尺平方開之得四十二尺卽勾股較與勾股和一百零二尺相減餘六十尺折半得三十尺卽勾數加勾股較四十二尺得七十二尺卽股數也(此勾股積與勾股弦)(和較相求法)設如有勾股積六十尺弦與勾股和之較六尺問勾股弦各幾何法借一根為弦數則一根多六尺為勾股和數以一根自乘得一平方為弦自乘之數以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為勾股和自乘之數又以勾股積六十尺四因之得二百四十尺與弦自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦為勾股和自乘之數而與勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺為相等兩邊各減去一平方得十二根多三十六尺與二百四十尺相等兩邊又各減去三十六尺得十二根與二百零四尺相等十二根旣與二百零四尺相等則一根必與十七尺相等卽弦數加弦與勾股和之較六尺得二十三尺為勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也(此勾股積與勾股弦和較相求法)設如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂線幾何法借一根為中垂線之面積以小腰十尺自乘得一百尺内減去一根得一百尺少一根為小分底之面積(中垂線為股小腰為)(弦小分底為勾於弦積内減去股積餘為勾積也)又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内減去一根餘二百八十九尺少一根為大分底之面積(中垂線為股大腰為弦大分底為勾於弦積内減去股積餘為)(勾積也)又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内減大小兩分底之共面積三百八十九尺少二根餘五十二尺多二根折半得二十六尺多一根為小分底乘大分底之面積(底邊自乘内有大分底自乘之一正方小)(分底自乘之一正方小分底乘大分底之二長方故減去二正方餘數折半卽)(為小分底乘大分底之一長方也)此數與小分底之面積及大分底之面積為相連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之面積為末率也乃以首率大分底之面積二百八十九尺少一根與末率小分底之面積一百尺少一根相乘得二萬八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面積二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二數為相等兩邊各加三百八十九根得二萬八千九百尺多一平方與六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等兩邊各減一平方得二萬八千九百尺與六百七十六尺多四百四十一根相等兩邊再各減去六百七十六尺得二萬八千二百二十四尺與四百四十一根相等二萬八千二百二十四尺旣與四百四十一根相等則六十四尺必與一根相等卽中垂線之面積開平方得八尺卽中垂線也(此三角形求中垂線法)設如有三角形底十四尺大腰與中垂線之較三尺小腰與中垂線之較一尺求中垂線及兩腰各幾何法借一根為中垂線則大腰為一根多三尺小腰為一根多一尺以一根自乘得一平方為中垂線之面積以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺為大腰之面積内減去中垂線之面積一平方餘六根多九尺為大分底之面積以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺為小腰之面積内減去中垂線之面積一平方餘二根多一尺為小分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小兩分底之共面積八根多十尺餘一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為相連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之面積為末率也乃以首率大分底之面積六根多九尺與末率小分底之面積二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面積九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二數為相等兩邊各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺與八千六百四十九尺多十六平方相等兩邊各減十二平方得七百六十八根多九尺與八千六百四十九尺多四平方相等兩邊再各減八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺與四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺旣與四平方相等則一百九十二根少二千一百六十尺必與一平方相等乃以二千一百六十尺為長方積以一百九十二根作一百九十二尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十二尺為一根之數卽中垂線加三尺得十五尺卽大腰加一尺得十三尺卽小腰也(此三角形和較)(相求法)御製數理精藴下編卷三十五
## 下編卷三十六
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十六末部六借根方比例(體類)體類設如有扁方體髙十八尺若將體積加六倍則髙與長闊皆相等問長闊之各一邊及體積幾何法借一根為長闊之各一邊數以一根自乘得一平方為扁方體之面積再以髙十八尺乘之得十八平方為扁方體之體積又以一根與一平方相乘得一立方為扁方體積之六倍乃以扁方體之體積十八平方六因之得一百零八平方是為一立方與一百零八平方相等兩邊各降二位得一根與一百零八尺相等卽扁方體之長闊各一邊數也以一百零八尺自乘得一萬一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十萬零九千九百五十二尺為扁方體積六因之得一百二十五萬九千七百一十二尺與毎邊一百零八尺自乘再乘之立方積相等此扁方體邊線比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同於其髙之比例今扁方體之長闊各一邊旣與正方體之毎一邊等而正方體積為扁方體積之六倍則其髙亦必為六倍故以扁方體之髙數六因之卽得長闊之各一邊數也設如有一長方體髙三尺五寸又有一正方體其每一面積與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍問正方體之一邊及體積各幾何法借一根為正方體毎邊之數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽長方體之底面積以一平方與髙三十五寸相乘得三十五平方為長方體之體積又以一根自乘再乘得一立方為正方體之體積長方體積旣為正方體之五倍乃以一立方五因之得五立方而與三十五平方為相等兩邊各降二位得五根與三十五寸相等五根旣與三十五寸相等則一根必與七寸相等卽正方體之毎一邊之數也以七寸自乘再乘得三百四十三寸卽正方體之體積又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸卽長方體之體積為正方體積之五倍此一長方體一正方體同底比例法也葢兩體之底面積旣同則其體積之比例同於其髙之比例今正方體之每一面積旣與長方體之底面積等而長方體積為正方體積之五倍則其髙亦必為五倍故長方體之髙之五分之一卽正方體之毎一邊之數也設如有一正方面形又有一正方體形但知正方面毎邊為正方體毎邊之八倍而正方面積與正方體積相等問邊線積數各若干法借一根為正方體毎邊之數則正方面毎邊之數為八根以一根自乘再乘得一立方為正方體積以八根自乘得六十四平方為正方面積是為一立方與六十四平方相等兩邊各降二位得一根與六十四尺相等卽正方體毎邊之數八因之得五百一十二尺卽正方面毎邊之數以五百一十二尺自乘得二十六萬二千一百四十四尺為正方面積以六十四尺自乘再乘亦得二十六萬二千一百四十四尺為正方體積兩數相等也(此一平方一立方邊數積數比例法)設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於四與六闊與長之比例同於六與九其髙與闊相乘之數為長數之四倍問髙闊長各幾何法借四根為髙數六根為闊數九根為長數以髙四根與闊六根相乘得二十四平方為長數之四倍乃以長數九根四因之得三十六根是為二十四平方與三十六根相等兩邊各降一位得二十四根與三十六尺相等二十四根旣與三十六尺相等則四根必與六尺相等卽髙數六根必與九尺相等卽闊數九根必與一十三尺五寸相等卽長數以髙六尺與闊九尺相乘得五十四尺四歸之得一十三尺五寸與長數相等也(此帶兩縱不同立方邊線面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體長二十四尺髙與闊和五十二尺其髙與闊相乘之積與長自乘之積等問髙闊各若干法借一根為髙數則闊數為五十二尺少一根以髙一根與闊五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以長二十四尺自乘得五百七十六尺此二數為相等乃以五百七十六尺為長方積以五十二根作五十二尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十六尺為一根之數卽立方之髙數與髙闊和五十二尺相減餘三十六尺卽立方之闊數以髙十六尺與闊三十六尺相乘得五百七十六尺與長二十四尺自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊線與面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體髙十二寸長比闊多十寸其長與闊相乘之積與髙自乘之積等問長闊各若干法借一根為闊數則長數為一根多十寸以闊一根與長一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二數為相等乃以一百四十四寸為長方積以十根作十寸為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八寸為一根之數卽立方之闊數加長比闊多十寸得十八寸卽立方之長數以闊八寸與長十八寸相乘得一百四十四寸與髙十二寸自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊較與面積比例法)設如有帶兩縱不同立方體長比闊多四寸闊比髙多二寸其體積比髙自乘再乘之正方體多一百七十六寸問長闊髙各幾何法借一根為髙數則闊數為一根多二寸長數為一根多六寸以髙一根與闊一根多二寸相乘得一平方多二根再以長一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内減髙數一根自乘再乘之一立方餘八平方多十二根與一百七十六寸相等八平方多十二根旣與一百七十六寸相等則一平方多一根半必與二十二寸相等乃以二十二寸為長方積以一根半作一寸五分為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸為一根之數卽立方之髙數加闊比髙多二寸得六寸卽立方之闊數再加長比闊多四寸得十寸卽立方之長數以長闊相乘以髙再乘得二百四十寸為立方體積内減髙四寸自乘再乘之六十四寸餘一百七十六寸以合原數也(此帶兩縱不同立方邊較與積較比例法)設如一長方池深二十尺長闊和六十尺其體積一萬七千二百八十尺問長闊各若干法借一根為闊數則長數為六十尺少一根以闊一根與長六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方與一萬七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方旣與一萬七千二百八十尺相等則六十根少一平方必與八百六十四尺相等乃以八百六十四尺為長方積以六十根作六十尺為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊二十四尺為一根之數卽池之闊數與長闊和六十尺相減餘三十六尺卽池之長數以長闊相乘以深再乘得一萬七千二百八十尺以合原數也(此帶兩縱不同立方知一邊與)(兩邊和相求法)設如一長方池深三十尺長比闊多十尺其體積七萬一千二百八十尺問長闊各若干法借一根為闊數則長數為一根多十尺以闊一根與長一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根與七萬一千二百八十尺相等三十平方多三百根旣與七萬一千二百八十尺相等則一平方多十根必與二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺為長方積以十根作十尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊四十四尺為一根之數卽池之闊數加長比闊多十尺得五十四尺卽池之長數也以長闊相乘以深再乘得七萬一千二百八十尺以合原數也(此帶兩縱不同立方知一邊與兩邊較相求法)設如有帶兩縱不同立方體長闊髙共五十八尺長比闊多六尺其對角斜線自乘之數為一千一百五十六尺問長闊髙各幾何法借一根為闊數則長數為一根多六尺以長闊兩數相加得二根多六尺與長闊髙共五十八尺相減餘五十二尺少二根為髙數以闊一根自乘得一平方為闊自乘之數以長一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺為長自乘之數以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方為髙自乘之數三自乘數相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方與對角線自乘之一千一百五十六尺相等兩邊各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方與一千一百五十六尺多一百九十六根相等兩邊各減一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方與一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方旣與一百九十六根相等則二百六十四尺多一平方必與三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺為長方積以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長十八尺為一根之數卽立方之闊加長比闊多六尺得二十四尺卽立方之長長闊相加得四十二尺與長闊髙共五十八尺相減餘十六尺卽立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以闊十八尺自乘得三百二十四尺以長二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘數相加得一千一百五十六尺與對角斜線自乘之數相等也(此帶兩縱不同立方邊線面積和較)(相求法)設如有帶兩縱不同立方體其長闊髙為相連比例三率長為首率闊為中率髙為末率共五十七寸其六面積共二千零五十二寸問長闊髙各幾何法借一根為長數則闊髙之共數為五十七寸少一根又以六面積共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸為三面積共數以長闊髙共五十七寸除之得一十八寸為闊數(因長為首率闊為中率髙為末)(率故其三面積一為首率乘中率一為末率乘中率一為首率乘末率而首率)(乘末率之數與中率自乘之數等則此三而積相合卽為首率中率末率之共)(數乘中率之數矣故以長闊髙之共數除之卽得中率為闊也)以闊一十八尺與闊髙之共數五十七寸少一根相減餘三十九寸少一根為髙數乃以首率長一根與末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方與中率闊十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸為長方積以三十九根作三十九寸為長闊和用帶縱和數開平方法算之得長二十七寸為一根之數卽立方之長數與髙長和三十九寸相減餘一十二寸卽立方之髙數以長二十七寸與闊十八寸之比同於闊十八寸與髙十二寸之比為相連比例三率也(此帶兩縱不同立方邊線面積相和比例法)設如有帶兩縱不同立方體其髙與闊之比例同於一與二闊與長之比例同於二與三以髙自乘再乘之數與闊自乘再乘之數相加比原體積多一千零二十九寸問長闊髙各幾何法借一根為髙數則闊數為二根長數為三根以闊二根與長三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方為原體積又以髙一根自乘再乘得一立方以闊二根自乘再乘得八立方相併得九立方内減原體積六立方餘三立方與一千零二十九寸相等三立方旣與一千零二十九寸相等則一立方必與三百四十三寸相等乃以三百四十三寸開立方得七寸為一根之數卽立方之髙數倍之得十四寸卽立方之闊數三因之得二十一寸卽立方之長數以長二十一寸與闊十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸為原體積又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸闊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相併得三千零八十七寸與原體積相減餘一千零二十九寸以合原數也(此帶兩縱不同立方邊線)(體積比例法)設如有甲乙丙三正方體甲方邊與乙方邊之比例同於二與三乙方積比甲方積多一百五十二寸丙方積比乙方積多七百八十四寸問三正方體之邊數各若干法借二根為甲方毎邊之數則乙方毎邊之數為三根以二根自乘再乘得八立方為甲方之體積以三根自乘再乘得二十七立方為乙方之體積兩體積相減餘一十九立方與一百五十二寸相等十九立方旣與一百五十二寸相等則一立方必與八寸相等乃以八寸開立方得二寸為一根之數倍之得四寸卽甲方毎邊之數三因之得六寸卽乙方毎邊之數自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸開立方得十寸卽丙方毎邊之數也(此三正方體邊)(線體積比例法)設如有帶兩縱不同立方體髙比闊為五分之一闊比長亦為五分之一體積六十一萬四千一百二十五尺問髙闊長各幾何法借一根為髙數則闊數為五根長數為二十五根以闊五根與長二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方與六十一萬四千一百二十五尺相等一百二十五立方旣與六十一萬四千一百二十五尺相等則一立方必與四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺開立方得十七尺為一根之數卽立方之髙以五乘之得八十五尺卽立方之闊以二十五乘之得四百二十五尺卽立方之長也乃以長闊相乘得三萬六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一萬四千一百二十五尺以合原數也(此帶)(分比例開立方法)設如有一大長方體其闊三倍於髙其長三倍於闊又有一小長方體比大長方體髙為二分之一闊為三分之二長為九分之七小長方體積二萬三千六百二十五寸問大小二長方體之長闊髙各幾何法借一根為大長方體之髙則大長方體之闊為三根大長方體之長為九根小長方體之髙為半根小長方體之闊為二根小長方體之長為七根乃以長七根與闊二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方為小長方體積與二萬三千六百二十五寸相等七立方旣與二萬三千六百二十五寸相等則一立方必與三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸開立方得十五寸為一根之數卽大長方體之髙三因之得四十五寸卽大長方體之闊又以三因之得一百三十五寸卽大長方體之長以大長方體之髙折半得七寸五分卽小長方體之髙以大長方體之闊三歸二因得三十寸卽小長方體之闊以大長方體之長九歸七因得一百零五寸卽小長方體之長以小長方體之長闊相乘再以髙乘之得二萬三千六百二十五寸以合原數也(此帶分比)(例開立方法)設如有人買馬三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次馬數四分之一與第二次馬數之一半相乘又與第一次馬數三分之一相乘得六千五百六十一匹問三次所買馬數各若干法借三根為第一次買馬之數(第一次分母數)則第二次買馬之數為六根第三次買馬之數為十二根以第三次四分之一三根與第二次之一半三根相乘得九平方又與第一次三分之一一根相乘得九立方與六千五百六十一匹相等九立方旣與六千五百六十一匹相等則一立方必與七百二十九匹相等乃以七百二十九匹開立方得九匹為一根之數三因之得二十七匹為第一次買馬之數倍之得五十四匹為第二次買馬之數又倍之得一百零八匹為第三次買馬之數以第三次四分之一二十七匹與第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原數也(此帶分比例開立方法)設如有馬牛羊各不知數但知牛數比馬數多四羊數與馬牛相乘之數等馬毎匹之價與牛數等牛毎頭之價與馬數等羊毎隻之價比馬毎匹價少十兩而羊之共價為一百九十二兩問馬牛羊及價銀各若干法借一根為馬數則牛數為一根多四以馬數一根與牛數一根多四相乘得一平方多四根為羊數馬價與牛數等為一根多四兩則羊價為一根少六兩以羊數一平方多四根與羊價一根少六兩相乘得一立方少二平方少二十四根為羊之共價與一百九十二兩相等乃以一百九十二兩為磬折扁方體積用帶縱開立方法算之得八為一根之數卽馬數亦卽牛毎頭之價為八兩也加牛比馬多四得十二為牛數亦卽馬毎匹之價為十二兩也以馬數八與牛數十二相乘得九十六為羊數以羊數九十六歸除羊共價一百九十二兩得二兩為羊毎隻價比馬一匹之價少十兩也(此磬折扁方體求邊法)設如有馬騾運重其共馬數比馬毎匹所䭾之數多二十騾毎匹所䭾之數比共馬數多三十其共騾數與馬所䭾之共數等但知騾共䭾一千一百萬斤問馬數騾數及所䭾之斤數各若干法借一根為共馬數則馬毎匹所䭾之斤數為一根少二十斤騾毎匹所䭾之數為一根多三十斤以共馬數一根與馬毎匹䭾一根少二十斤相乘得一平方少二十根為馬所䭾之共數亦卽共騾數再以騾毎匹䭾一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根為騾所䭾之共數與一千一百萬斤相等乃以一千一百萬斤為磬折長方體積用帶縱開立方法算之得二百二十為一根之數卽共馬數減二十餘二百斤為馬毎匹所䭾之數以共馬二百二十匹與馬毎匹所䭾之二百斤相乘得四萬四千斤為馬所䭾之共數亦卽共騾數以共騾四萬四千匹歸除一千一百萬斤得二百五十斤為騾毎匹所䭾之數比共馬數二百二十多三十也(此磬折長方體)(求邊法)設如有大小二正方體邊數共二尺六寸體積共五千零九十六寸問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以二十六寸少一根自乘再乘得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方為大方之體積兩體積相加得一萬七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方與五千零九十六寸相等兩邊各加二千零二十八根得一萬七千五百七十六寸多七十八平方與五千零九十六寸多二千零二十八根相等兩邊各減五千零九十六寸得一萬二千四百八十寸多七十八平方與二千零二十八根相等一萬二千四百八十寸多七十八平方旣與二千零二十八根相等則一百六十寸多一平方必與二十六根相等乃以一百六十寸為長方積以二十六根作二十六寸為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十寸為一根之數卽小方毎邊之數與共邊二十六寸相減餘一十六寸卽大方毎邊之數以十寸自乘再乘得一千寸卽小方之體積以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸卽大方之體積兩體積相加共五千零九十六寸以合原數也(此二正方體有)(邊和積和求邊法)設如有大小二正方體大方邊比小方邊多四尺大方積比小方積多一千二百一十六尺問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多四尺以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺為大方之體積兩體積相減得十二平方多四十八根多六十四尺與一千二百一十六尺相等兩邊各減六十四尺得十二平方多四十八根與一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根旣與一千一百五十二尺相等則一平方多四根必與九十六尺相等乃以九十六尺為長方積以四根作四尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺為一根之數卽小方每邊之數加四尺得一十二尺卽大方毎邊之數以八尺自乘再乘得五百一十二尺卽小方之體積以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺卽大方之體積兩體積相減餘一千二百一十六尺以合原數也(此二正方體有)(邊較積較求邊法)設如有大小二正方體大方邊比小方邊多二尺體積共一千零七十二尺問二正方體邊數體積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊之數為一根多二尺以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺為大方之體積兩體積相加得二立方多六平方多十二根多八尺與一千零七十二尺相等兩邊各減去八尺得二立方多六平方多十二根與一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根旣與一千零六十四尺相等則一立方多三平方多六根必與五百三十二尺相等乃以五百三十二尺為磬折長方體積用帶縱開立方法算之得七尺為一根之數卽小方毎邊之數加二尺得九尺卽大方每邊之數以七尺自乘再乘得三百四十三尺卽小方之體積以九尺自乘再乘得七百二十九尺卽大方之體積兩體積相加得一千零七十二尺以合原數也(此二)(正方體有邊較積和求邊法)設如有大小二正方體邊數共十四尺大方比積小方積多二百九十六尺問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方每邊之數則大方每邊之數為十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方為小方之體積以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方為大方之體積兩體積相減得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方與二百九十六尺相等兩邊各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺與二千七百四十四尺多四十二平方相等兩邊各減去二百九十六尺又各減去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根與二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根旣與二千四百四十八尺相等則一立方少二十一平方多二百九十四根必與一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺為磬折扁方體積用帶縱開立方法算之得六尺為一根之數卽小方毎邊之數與共邊數十四尺相減餘八尺卽大方每邊之數以六尺自乘再乘得二百一十六尺為小方之體積以八尺自乘再乘得五百一十二尺為大方之體積兩體積相減餘二百九十六尺以合原數也(此二正方體有邊和積較求邊法)設如勾股積二百四十尺股弦較四尺問勾股弦各幾何法借一根為股數則弦為一根多四尺以一根自乘得一平方為股自乘之數以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺為弦自乘之數内減去股自乘之一平方餘八根多十六尺為勾自乘之數凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之數為相連比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺與末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股積二百四十尺倍之得四百八十尺為中率自乘得二十三萬零四百尺是為八立方多十六平方與二十三萬零四百尺相等八立方多十六平方旣與二十三萬零四百尺相等則一立方多二平方必與二萬八千八百尺相等乃以二萬八千八百尺為長方體積用帶縱開立方法算之得三十尺為一根之數卽股數加股弦較四尺得三十四尺卽弦數又以股三十尺除倍積四百八十尺得十六尺卽勾數也(此有勾股積有股弦較求勾股弦法)設如勾股積二百四十尺勾弦和五十尺問勾股弦各幾何法借一根為勾數則弦為五十尺少一根以一根自乘得一平方為勾自乘之數以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方為弦自乘之數内減去勾自乘之一平方餘二千五百尺少一百根為股自乘之數凡勾自乘之數與勾股相乘之數及股自乘之數為相連比例三率則以首率勾自乘之一平方與末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股積二百四十尺倍之得四百八十尺為中率自乘得二十三萬零四百尺是為二千五百平方少一百立方與二十三萬零四百尺相等二千五百平方少一百立方旣與二十三萬零四百尺相等則一平方少二十五分立方之一必與九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸為扁方體積用帶縱開立方法算之得一十六尺為一根之數卽勾數與勾弦和五十尺相減餘三十四尺卽弦數又以勾十六尺除倍積四百八十尺得三十尺卽股數也(此有勾股積有勾弦和求勾股弦法)設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率三倍等問二率三率四率各幾何法借一根為二率以二率一根自乘得一平方以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率又以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率將四率俱以百億乘之則一率為一千兆二率為一百億根三率為一十萬平方四率為一立方(因四率為)(百億分立方之一以百億乘之則得一整立方故將餘三率俱以百億乘之其)(比例始相當也)乃以一率與四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百億根是為三百億根與一千兆多一立方相等兩邊各減去一立方得三百億根少一立方與一千兆相等乃以一千兆為實以三百億根為法用割圜内新增益實歸除法算之得三萬四千七百二十九為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬二千零六十一為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得四千一百八十七為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零四千一百八十七與二率之三倍相等也(此卽求圜内容十八邊法)設如有數十萬為一率作相連比例四率使一率與四率相加與二率兩倍再加一三率之數等問二率三率四率各幾何法借一根為二率以二率一根自乘得一平方以一率十萬除之得十萬分平方之一為三率以二率一根與三率十萬分平方之一相乘得十萬分立方之一以一率十萬除之得一百億分立方之一為四率將四率俱以百億乘之則一率為一千兆二率為一百億根三率為一十萬平方四率為一立方乃以一率與四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百億根加一三率得二百億根多十萬平方是為二百億根多十萬平方與一千兆多一立方相等兩邊各減去一立方得二百億根多十萬平方少一立方與一千兆相等乃以一千兆為實以二百億根為法用割圜内益實兼減實歸除法算之得四萬四千五百零四為一根之數卽相連比例之第二率也以二率自乘一率除之得一萬九千八百零六為相連比例之第三率又以二率與三率相乘一率除之得八千八百一十四為相連比例之第四率乃以一率與四率相加得一十萬零八千八百一十四與二率兩倍加一三率之數相等也(此卽求圜内容十四邊法)設如有大小二正方面大方毎邊為小方毎邊之二倍若以兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺問二方邊面積各幾何法借一根為小方毎邊之數則大方毎邊數為二根以一根自乘得一平方為小方之面積以二根自乘得四平方為大方之面積以一平方與四平方相乘得四三乘方為兩方面積相乘之數與五萬八千五百六十四尺相等四三乘方旣與五萬八千五百六十四尺相等則一三乘方必與一萬四千六百四十一尺相等乃以一萬四千六百四十一尺為三乘方積用開三乘方法算之得十一尺為一根之數卽小方每邊之數倍之得二十二尺卽大方每邊之數以十一尺自乘得一百二十一尺卽小方之面積以二十二尺自乘得四百八十四尺卽大方之面積兩面積相乘得五萬八千五百六十四尺以合原數也(此開)(三乘方法)設如有解錢糧船不言數但知每船所載銀鞘之數比船數加一倍每鞘内銀數與共鞘數等其共銀數為五百三十四萬五千三百四十四兩問船數鞘數各若干法借一根為船數則每船所載鞘數為二根以一根與二根相乘得二平方為共鞘數亦為每鞘内銀數自乘得四三乘方與五百三十四萬五千三百四十四兩相等四三乘方旣與五百三十四萬五千三百四十四兩相等則一三乘方必與一百三十三萬六千三百三十六兩相等乃以一百三十三萬六千三百三十六兩為三乘方積用開三乘方法算之得三十四為一根之數卽船數倍之得六十八卽每船之鞘數以船數三十四與每船所載鞘數六十八相乘得二千三百一十二為共鞘數亦卽每鞘内之銀數自乘得五百三十四萬五千三百四十四兩以合原數也(此開三乘方法)設如有一正方又有一長方二方面積共二十三萬六千一百九十六尺長方之長比正方面積多二十四尺長方之闊比正方面積少二十尺問二方邊面積各幾何法借一根為正方每邊之數自乘得一平方為正方之面積則長方之長為一平方多二十四尺長方之闊為一平方少二十尺長闊相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺為長方面積加正方面積之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺為二方之共面積與二十三萬六千一百九十六尺相等兩邊各加四百八十尺得一三乘方多五平方與二十三萬六千六百七十六尺相等乃以二十三萬六千六百七十六尺為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得二十二為一根之數卽正方每邊之數自乘得四百八十四尺為正方面積加二十四尺得五百零八尺為長方之長減二十尺得四百六十四尺為長方之闊長闊相乘得二十三萬五千七百一十二尺為長方面積兩面積相加得二十三萬六千一百九十六尺以合原數也(此帶縱開三乘方法)設如有一長方其面積五百二十七丈又有大小二正方其面積共一千二百五十丈大正方邊與長方之長等小正方邊與長方之闊等問長方之長闊各幾何法借一根為大方每邊之數自乘得一平方為大方之面積則小方之面積為一千二百五十丈少一平方此大方面積與長方面積及小方面積為相連比例三率乃以首率大方面積一平方與末率小方面積一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以長方面積五百二十七丈為中率自乘得二十七萬七千七百二十九丈此兩數為相等乃以二十七萬七千七百二十九丈為帶縱三乘方積用帶縱開三乘方法算之得三十一為一根之數卽大方每邊之數亦卽長方之長以長三十一丈除長方面積五百二十七丈得十七丈卽長方之闊亦卽小正方每邊之數乃以三十一丈自乗得九百六十一丈為大方面積以十七丈自乘得二百八十九丈為小方面積兩面積相加得一千二百五十丈以合原數也(此帶縱開三乘方法)設如有一方臺俱係正方石砌成其用石之塊數與每一石之面積等其共石之體積為五十三萬七千八百二十四寸問用石之塊數及每一石之邊數若干法借一根為每一石之邊數自乘得一平方為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得一立方為每一石之體積與所用石之塊數一平方相乘得一四乘方為共石之體積與五十三萬七千八百二十四寸相等乃以五十三萬七千八百二十四寸為四乘方積用開四乘方法算之得一十四寸為一根之數卽每一石之邊數自乘得一百九十六寸為每一石之面積亦卽所用石之塊數再乘得二千七百四十四寸為每一石之體積與所用石之塊數相乘得五十三萬七千八百二十四寸以合原數也(此開四乘方法)設如有二十四正方體又有一扁方體共積八百二十九萬四千四百寸扁方體之髙與正方體之邊數等扁方體之長與闊俱與正方體之面積等問正方體扁方體之邊數各若干法借一根為正方體每邊之數亦卽扁方體之髙數以一根自乘得一平方為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一立方為正方體之積以二十四乘之得二十四立方為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方為扁方體之積兩積數相加得一四乘方多二十四立方與共體積八百二十九萬四千四百寸相等乃以八百二十九萬四千四百寸為帶縱四乘方積用帶縱開四乘方法算之得二十四寸為一根之數卽正方體之每邊亦卽扁方體之髙自乘得五百七十六寸為正方體之面積亦卽扁方體之長與闊再乘得一萬三千八百二十四寸為一正方體之積以二十四乘之得三十三萬一千七百七十六寸為二十四正方體之共積又以扁方體之長闊五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六萬二千六百二十四寸為一扁方體積兩積相加得八百二十九萬四千四百寸以合原數也(此帶縱開)(四乘方法)設如有商人貿易第一次之銀數比原本銀加一倍第二次之銀數與第一次銀自乘再乘之數等第三次之銀數與第一次銀自乘又乘第二次銀之數等將第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬三千二百八十兩問原本銀數及每次銀數各若干法借一根為原本銀數則第一次之銀數為二根自乘再乘得八立方為第二次之銀數以第一次自乘之四平方與第二次之八立方相乘得三十二四乘方為第三次之銀數與第二次之銀數八立方相加得三十二四乘方多八立方與三萬三千二百八十兩相等三十二四乘方多八立方旣與三萬三千二百八十兩相等則一四乘方多四分立方之一必與一千零四十兩相等乃以一千零四十兩為帶縱四乘方積用帶縱開四乘方法算之得四兩為一根之數卽原本銀數也倍之得八兩為第一次之銀數自乘再乘得五百一十二兩為第二次之銀數又以第一次銀數八兩自乘之六十四兩與第二次之銀數五百一十二兩相乘得三萬二千七百六十八兩為第三次之銀數與第二次之銀數相加得三萬三千二百八十兩以合原數也(此帶縱開四乘方法)設如有一小長方體闊為髙之二倍長為髙之三倍又有一大長方體其每邊之比例與小長方體同其髙數與小長方體長闊相乘之數等體積八萬二千九百四十四尺問二長方體長闊髙各幾何法借一根為小長方體之髙則闊為二根長為三根長闊相乘得六平方為大長方體之髙倍之得十二平方為大長方體之闊三因之得十八平方為大長方體之長長闊相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方為大長方體積與八萬二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方旣與八萬二千九百四十四尺相等則一五乘方必與六十四尺相等乃以六十四尺為五乘方積用開五乘方法算之得二尺為一根之數卽小長方體之髙倍之得四尺卽小長方體之闊三因之得六尺卽小長方體之長長闊相乘得二十四尺卽大長方體之髙倍之得四十八尺卽大長方體之闊三因之得七十二尺卽大長方體之長長闊相乘再以髙乘之得八萬二千九百四十四尺以合原數也(此開)(五乘方法)設如有大小二正方體大方體積比小方體積多一千七百四十四寸以小方邊與大方邊相乘得一百四十寸問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方體每邊之數以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸為大方體每邊之數以一根自乘再乘得一立方為小方體積數以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四萬四千寸為大方體積内減小方體積一立方餘一立方之二百七十四萬四千寸少一立方與一千七百四十四寸相等兩邊各以立方乘之得一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸少一五乘方相等兩邊各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方與二百七十四萬四千寸相等乃以二百七十四萬四千寸為帶縱五乘方積用帶縱開五乘方法算之得十寸為一根之數卽小方體每邊之數以十寸除一百四十寸得一十四寸卽大方體每邊之數以小方體每邊十寸自乘再乘得一千寸為小方體積以大方體每邊十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸為大方體積兩體積相減餘一千七百四十四寸以合原數也(此帶縱開)(五乘方法)設如有大小二正方體共積四千一百二十三寸以小方邊與大方邊相乘得四十八寸問二正方體之邊數體積各幾何法借一根為小方體每邊之數以一根除四十八寸得一根之四十八寸為大方體每邊之數以一根自乘再乘得一立方為小方體積以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一萬零五百九十二寸為大方體積兩體積相加得一立方多一立方之一十一萬零五百九十二寸與四千一百二十三寸相等兩邊各以立方乘之得四千一百二十三立方與一五乘方多一十一萬零五百九十二寸相等兩邊各減一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方與一十一萬零五百九十二寸相等乃以一十一萬零五百九十二寸為帶縱五乘方積用帶縱開五乘方法算之得三寸為一根之數卽小方體每邊之數以三寸除四十八寸得十六寸為大方體每邊之數以小方體每邊三寸自乘再乘得二十七寸為小方體積數以大方體每邊十六寸自乘再乘得四千零九十六寸為大方體積數兩體積相加得四千一百二十三寸以合原數也(此帶縱開五乘方法)設如有一長方體積二千一百八十七尺其髙數自乘與闊等闊數自乘與長數等問髙闊長各若干法借一根為髙自乘得一平方為闊以闊自乘得一三乘方為長長闊相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方為長方體積與二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺為六乘方積用開六乘方法算之得三尺為一根之數卽長方之髙自乘得九尺卽長方之闊以闊自乘得八十一尺為長方之長乃以長闊相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原數也(此開六乘方法)設如甲丙正方花園二所園中各有正方水池一面甲池每邊為丙池每邊之三倍甲園每邊與甲池之面積等丙園每邊與丙池之面積等若以兩園之面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺問園池每邊各若干法借一根為丙池每邊之數則甲池每邊之數為三根以一根自乘得一平方為丙池之面積卽丙園每邊之數自乘得一三乘方為丙園之面積以三根自乘得九平方為甲池之面積卽甲園每邊之數自乘得八十一三乘方為甲園之面積兩園之面積相乘得八十一七乘方與五百三十萬八千四百一十六尺相等八十一七乘方旣與五百三十萬八千四百一十六尺相等則一七乘方必與六萬五千五百三十六尺相等乃以六萬五千五百三十六尺為七乘方積用開七乘方法算之得四尺為一根之數卽丙池每邊之數三因之得十二尺卽甲池每邊之數以甲池每邊十二尺自乘得一百四十四尺為甲池之面積卽甲園每邊之數以丙池每邊四尺自乘得一十六尺為丙池之面積卽丙園每邊之數以甲園每邊一百四十四尺自乘得二萬零七百三十六尺卽甲園之面積以丙園每邊十六尺自乘得二百五十六尺卽丙園之面積乃以兩園面積相乘得五百三十萬八千四百一十六尺以合原數也(此開七乘方法)設如有甲乙丙三長方體甲方之髙為闊二分之一乙方之髙與闊為甲方之二倍丙方之髙與闊為甲方之三倍俱不知長甲方體積與面積自乘之數等乙方之體積與髙闊相併乘甲方面積之數等丙方之體積與乙方體積自乘再乘之數等今但知丙方體積八十八萬四千七百三十六丈問三方髙闊長各若干法借一根為甲方之髙則甲方之闊為二根乙方之髙亦為二根乙方之闊為四根丙方之髙為三根丙方之闊為六根以甲方髙一根與闊二根相乘得二平方卽甲方之面積自乘得四三乘方卽甲方之體積乙方髙二根與闊四根相併得六根與甲方面積二平方相乘得十二立方卽乙方之體積自乘再乘得一千七百二十八八乘方卽丙方之體積與八十八萬四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方旣與八十八萬四千七百三十六丈相等則一八乘方必與五百一十二丈相等乃以五百一十二丈為八乘方積用開八乘方法算之得二丈為一根之數卽甲方之髙倍之得四丈卽甲方之闊髙闊相乘得八丈卽甲方之面積自乘得六十四丈卽甲方之體積又將甲方髙二丈倍之得四丈卽乙方之髙將甲方闊四丈倍之得八丈卽乙方之闊髙闊相併得一十二丈與甲方面積八丈相乘得九十六丈卽乙方之體積又以髙四丈闊八丈相乘得三十二丈以除體積九十六丈得三丈卽乙方之長又將甲方髙二丈三因之得六丈卽丙方之髙將甲方闊四丈三因之得一十二丈卽丙方之闊以乙方體積九十六丈自乘再乘得八十八萬四千七百三十六丈卽丙方之體積又髙六丈闊十二丈相乘得七十二丈以除體積八十八萬四千七百三十六丈得一萬二千二百八十八丈卽丙方之長也(此開八乘方法)設如有客船不言數但云每船之人數與船數等每人之本銀數與船數自乘再乘之數等其共銀自乘之數為六千零四十六萬六千一百七十六兩問船數人數各若干法借一根為船數亦為每船之人數以一根自乘得一平方為共人數再乘得一立方為每人本銀數與一平方相乘得一四乘方為共銀數以一四乘方自乘得一九乘方為本銀自乘之數與六千零四十六萬六千一百七十六兩相等乃以六千零四十六萬六千一百七十六為九乘方積用開九乘方法算之得六為一根之數卽船數亦卽每船之人數自乘得三十六為共人數再乘得二百一十六為每人之銀數以三十六人乘之得七千七百七十六兩為共銀數自乘得六千零四十六萬六千一百七十六兩以合原數也(此開九乘方法)御製數理精藴下編卷三十六
## 下編卷三十七
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十七末部七難題難題算術之學不外於線面體其間比例相求或借根借方等法既已分門别類於前然設問中有紆廻繁襍之不同者非審詳明辨則何以得其統緒兹又探賾鉤深編為難題一卷俾學者殫思觀變以不迷於入算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸類而長之將以窮天下之變亦不難也設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次問三人何日同班法以三日與四日相乘得十二日再與五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十為三四五皆可以度盡之數三與四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能與丙同班三與五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能與乙同班四與五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能與甲同班惟六十日為甲第二十次值班之日為乙第十五次值班之日為丙第十二次值班之日故為三人同班之日也設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何法先以三數之率定為七十五數之率定為二十一七數之率定為十五乃以三數之率七十與餘二相乘得一百四十以五數之率二十一與餘三相乘得六十三以七數之率十五與餘二相乘得三十三數相併得二百三十三又以三五七遞乘得一百零五於二百三十三内減兩次餘二十三即總錢數也此法以三數之率定為七十者以其用七數五數皆盡惟用三數之餘一也今以餘二相乘得一百四十則是用七數五數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之率定為二十一者以其用三數七數皆盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘得六十三則是用三數七數皆盡惟用五數之餘三矣以七數之率定為十五者以其用三數五數皆盡惟用七數之餘一也今以餘二相乘得三十則是用三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以此三數相併自為三數餘二五數餘三七數餘二之數又以三五七遞乘得一百零五者此數用三五七皆可數盡故二百三十三雖為三數餘二五數餘三七數餘二之數然減去一百零五餘一百二十八以三五七數之其所餘之數仍同也即再減去一百零五餘二十三以三五七數之其所餘之數亦同也是以問數在一百零五以下必二十三如問數在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原數更在二百三十三以上則遞加一百零五求之必有合也至其作率之法不過一乘一減如以三五七命算則以五七相乘得三十五以三減之餘二不可為率以其所餘為二難與他數相乘也故將三十五倍之得七十以三減之餘一故七十即為三數之率三七相乘得二十一以五減之餘一故二十一即為五數之率三五相乘得一十五以七減之餘一故十五即為七數之率或以五數七數九數命算皆倣此例推之設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田幾何法以七畝三畝五畝連乘得一百零五畝為治田總衰數以每日耘七畝除之得十五日為耘田衰數以每日耕三畝除之得三十五日為耕田衰數以每日種五畝除之得二十一日為種田衰數三數相併得七十一日為一率一百零五畝為二率一日為三率得四率一畝四分七釐有餘即每日自耕自種自耘之數也此法葢因一日耘七畝則一百零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一百零五畝湏耕三十五日一日種五畝則一百零五畝湏種二十一日併之得七十一日是一人自耕自種自耘治田一百零五畝即知一日治田一畝四分七釐有餘也設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利銀抵兑問得月數幾何法以今借銀八百両為一率原借銀一千二百両為二率原欠利銀四月作一百二十日為三率得四率一百八十日以三十日歸之得六月為所求之日數也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借甲之銀數少故月數多而其利相等為轉比例四率也設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一錢一分七釐今買大布一疋長二丈五尺闊一尺六寸問價幾何法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相乘得二十三尺四十寸為一率價一錢一分七釐為二率今布長二丈五尺闊一尺六寸相乘得四十尺為三率求得四率二錢即今布之價也凡物惟長不同或惟闊不同則各以其長闊為比例今長闊俱不同故以其長闊各相乘為面與面之比例也設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両問四人各得銀數幾何法先以總銀三百九十六両内減去甲多十両丙多八両餘三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両為各分之總銀數乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四連乘之得一百二十為總衰數於總衰一百二十内取二分之一得六十為甲衰取五分之三得七十二為乙衰取三分之一得四十為丙衰取四分之一得三十為丁衰併之得二百零二衰為一率以各分總銀數四百零四両為二率一衰為三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之銀數用乙衰七十二乘之得一百四十四両内減所少二十両餘一百二十四両即乙所分之銀數用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之銀數用丁衰三十乘之得六十両減所少六両餘五十四両即丁所分之銀數將四人所分之銀併之得三百九十六両以合原數也設如甲乙丙三商貨殖二年共得利銀八千五百八十両甲原出本銀三千両至滿八月収回一千両至滿十九月又添一千二百兩乙原出本銀二千四百両至滿六月収回八百両至滿十五月又添一千四百両丙原出本銀二千両滿七月悉収回至滿十七月别出本銀一千六百両問各人分得利銀若干法以甲本銀三千両與八月相乘(滿八月収)(回一千両是八月以前皆為三千両)得二萬四千両又以収回一千両與原本銀三千両相減餘二千両以八月與十九月相減餘十一月(八月収回一千両餘二千両十九月後方添一千二百両則是八月以後)(十九月以前此十一月皆為二千両)以十一月與二千両相乘得二萬二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月與二年之二十四月相減餘五月(十九)(月後添一千二百両是十九月以後二十四月以前此五月皆為三千二百両)以五月與三千二百両相乘得一萬六千両以三得數相併共六萬二千両為甲之共衰數乙本銀二千四百両與六月相乘(滿六月収回八百両是六月以前皆為二千四百両)得一萬四千四百両又以収回八百両與原本銀二千四百両相減餘一千六百両以六月與十五月相減餘九月(六月後収回八)(百両餘一千六百両十五月後方添一千四百両是六月以後十五月以前此)(九月皆為一千六百両)以九月與一千六百両相乘得一萬四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月與二年之二十四月相減餘九月(十五月後添一千四百両是十五月以後二十四月以前此九月皆為三千両)以九月與三千両相乘得二萬七千両三數相併共五萬五千八百両為乙之共衰數丙本銀二千両與七月相乘(滿七)(月悉収回則七月以前皆為二千両)得一萬四千両又以十七月與二十四月相減餘七月與别出本銀一千六百両相乘(七月悉収回不算外至第)(十七月方出本一千六百両是十七月以後二十四月以前止七月也)得一萬一千二百両二數相併共二萬五千二百両為丙之共衰數以甲乙丙三衰數相併(甲六萬二千乙五萬五千八百丙二萬五千二百)共得一十四萬三千両為一率總利銀八千五百八十両為二率一両為三率求得四率六分以各人衰數乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両為各人所得利銀之數也設如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重幾何法用一木杆結繫於中両端令平乃以大石掛於一端以小石作砣稱之如大石距提繫一寸小石距提繫六寸得平則以一寸為一率小石重四両為二率六寸為三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙為大石距提繫一寸甲丙為小石距提繫六寸丁為大石戊為小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙與戊小石之比同於甲丙與丁大石之比也設如有銀大小二錠共重十五両求大小錠各重幾何法用一木杆結繫於中両端令平乃以大錠小錠各掛一端如大錠距提繫四寸小錠距提繫六寸得平則以四寸六寸相加得十寸為一率共重十五両為二率大錠距提繫四寸為三率得四率六両即小錠之重如以小錠距提繫六寸為三率則得四率九両即大錠之重也如圗甲乙為大錠距提繫四寸甲丙為小錠距提繫六寸故以甲乙甲丙共分與丁戊共重之比同於甲乙與戊小錠之比亦同於甲丙與丁大錠之比也設如以戥稱銀戥數不足將砣上加四兩稱之得二百兩原砣重八兩問銀實重幾何法以原砣重八兩爲一率又以原砣八兩與加四兩相併得十二兩爲二率以今稱二百兩爲三率得四率三百兩爲原銀之重數也如圖甲乙爲二百兩之分丙爲砣重十二兩試將甲乙戥衡引長至丁甲丁爲三百兩之分戊爲原砣重八兩甲乙乗丙砣卽與甲丁乗戊砣之數等故以戊砣與甲乙之比同於丙砣與甲丁之比爲轉比例四率也設如戥子失去墜砣欲配一砣不知輕重以重三兩之物用六錢之砣稱之得四兩問原砣重幾何法以原重三兩爲一率今稱得四兩爲二率今砣重六錢爲三率求得四率八錢卽原砣之重也如圖甲乙爲戥盤距提繫之分丙爲物重甲丁爲三兩之分戊為原砣甲己為四両之分庚為今砣以比例論之甲乙與戊砣之比同於甲丁與丙重之比又甲乙與庚砣之比同於甲己與丙重之比是甲丁乘戊砣即與甲己乘庚砣之數等故以甲丁與庚砣之比即同於甲己與戊砣之比為轉比例四率也設如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水幾何法以木板一塊置於水面用騐時儀墜子候之看六十秒内木板流逺幾丈如流逺十丈即以十丈變為一百尺乃以河上寛十尺與下寛六尺相加折半得八尺與河深五尺相乘得四十尺又與木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之數又以六十秒収為一分為一率水流四千尺為二率以每日二十四小時化為一千四百四十分(一小)(時為四刻一刻為十五分)為三率求得四率五千七百六十萬尺即一日内所流之數也此法先用木板以騐所流之緩急水急則木随水流亦急水緩則木随水流亦緩看木之緩急即知水流之多少故先求得河口面積再以逺乘之即得水流之積數也設如有房一所不知間數亦不知房價但云每房六間每年租銀二十四両五年後適得本銀每房八間每年租銀三十五両八年後得本銀外又得利銀二千一百六十両問房數房價各幾何法以五年與每年二十四両相乘得一百二十両以八年與每年三十五両相乘得二百八十両是為每房六間租一百二十両適足每房八間租二百八十両盈二千一百六十両乃以六間互乘二百八十両得一千六百八十両以八間互乘一百二十両得九百六十両相減餘七百二十両為一率以六間與八間相乘得四十八間為二率以利銀二千一百六十両為三率得四率一百四十四間即房之總數也又以六間為一率五年得一百二十両為二率總房一百四十四間為三率得四率二千八百八十両即房價或以八間為一率八年得二百八十両為二率總房一百四十四間為三率得四率五千零四十両内減利銀二千一百六十両亦得二千八百八十両為房價也此法葢因五年八年之數不同故以五年八年與每年銀數相乘作總得租銀算也設如有銀買物不知銀數亦不知物價但云取銀六分之五買之則多六両取銀四分之三買之仍多二両問銀數及物價各幾何法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十相減餘二分為一率盈六両與盈二両相減餘四両為二率両分母互乘得二十四分為三率求得四率四十八両即為銀數取六分之五為四十両減盈六两得三十四両為物價或取四分之三得三十六両減盈二両亦得三十四両為物價也又先得物價之法以前分母六互乘後分子三得十八以後分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両為加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両為加二十倍乃以十八倍與二十倍相減餘二倍為一率互乘所得両盈數相減餘六十八両為二率一倍為三率求得四率三十四両即物價加盈六両得四十両即原銀六分之五乃用五歸六因得四十八両為原銀數或於物價三十四両加盈二両得三十六両即原銀四分之三乃用三歸四因亦得四十八両為原銀數也此盈朒單法因帶分母子不同故用通分互乘以齊其分耳設如有銀買米不知米數亦不知米價只云買米四分之一用銀二十両則米少一石若買三分之一用銀二十四両則米多二石問米數及米價各幾何法以前分母四互乘得分子一得四以後分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得後分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也既得米價乃以八錢除二十両得二十五石減朒一石餘二十四石為米四分之一以四因之得九十六石即米數或以八錢除二十四両得三十石加盈二石得三十二石為米三分之一以三因之亦得九十六石為米數也葢以分母互乘前則為十二分之三後則為十二分之四(両分母互乘得十二)又以分子互乘前則為米十二分(両分子互乘亦得十二分)用銀八十两朒四石後則為米十二分用銀七十二両盈六石夫米之分數既同而銀差八両則盈朒差十石故知十石價八両即知一石價八錢也此䨇套盈朒之法但有米之分數又有石數故立法微不同若止帶零分則惟用通分法餘俱與䨇套盈朒之法同又先得米數之法以銀數列於上分數列於下乃以前分母四互乘後分子一得四以後分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘後所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分與八十分相減餘八分為一率朒二十四石與盈四十石相加得六十四石為二率両分母互乘得十二分為三率求得四率九十六石即原米數也既得米數四歸之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八錢為米價或將米數三歸之得三十二石減盈二石餘三十石以除二十四両亦得八錢為米價也葢用互乘前則為四百八十両(二十両與二十四両互乘得四百八十両)買米十二分之七十二朒二十四石後則為四百八十両買米十二分之八十盈四十石夫銀數既同而米差八分則盈朒相差六十四石故知八分為六十四石即知十二分為九十六石也又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石(因四分之一價二十両故用四因為米總價)又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石(因三分之一價二十四両故用三因為米)(總價)作盈朒單法算以朒四石與盈六石相加得十石為一率八十両與七十二両相減餘八両為二率一石為三率求得四率八錢即米一石之價也此法葢因分數整齊故可比例而得其全分之價若有竒零則湏用前法或用通分法算之設如有一數不知幾何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百問原數幾何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三數相加得一千九百八十併所加之四十共二千零二十與共數六千七百相減餘四千六百八十為連乘之整數乃借一衰為原數以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰為一率原數一衰為二率以連乘整數四千六百八十為三率求得四率十三即為原數也此法葢因三乘原數外加一十而又用四乘五乘六乘則此一十己用四乘五乘六乘矣四乘後加二十而又用五乘六乘則此二十已用五乘六乘矣五乘後加三十而又用六乘則三十已用六乘矣故將一十二十三十之數亦用連乘併後所加之四十與共數相減然後為三四五六與原數連乘之整分而以三四五六連乘所得之三百六十與原數一為比例即同於今三四五六連乘所得之四千六百八十與原數十三之比例也設如甲乙二車運糧甲車先行二日乙車後行五日追及甲車比乙車運價少五錢又甲車先行二日乙車後行七日追過甲車八十里甲車比乙車運價少一両一錢問甲乙二車日行里數及運價各幾何法以乙車五日為正甲車七日為負里數相等作一空位(甲車先行二日乙車行五日追及是乙車)(行五日甲車行七日其里數相等)運價多五錢為正列於上又以乙車七日為正甲車九日為負過八十里為正運價多一両一錢為正列於下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一錢得乙三十五日仍為正甲四十五日仍為負多行四百里運價多五両五錢仍為正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日運價多五錢得乙三十五日仍為正甲四十九日仍為負多三両五錢仍為正相等無可乘仍為空位於是以上層為主両下相較則乙各三十五日彼此減盡甲両下相減餘四日本層少變負為正里數無可加減仍得四百里為正價両下相減餘二両依本層為正即甲車四日行四百里運價二両也以四日除四百里得一百里為甲車每日所行之里數以四日除二両得五錢即甲車每日之運價以乙車七日比甲車九日多行八十里價多一両一錢計之則甲車九日行九百里加多八十里共九百八十里為乙車七日所行之里數以七日除之得一百四十里即乙車每日所行之里數甲車九日運價四両五錢加多一両一錢共五両六錢為乙車七日之運價以七日除之得八錢即乙車每日之運價也此法因有里數運價二種或名疊脚然不過除両次耳若里數為較運價為和難以分列正負者則分両法算之設如甲乙丙三人有銀各不知數只云甲得乙銀二分之一乙得丙銀三分之一丙得甲銀四分之一則各得七百两問三人原銀各幾何法先以甲三分乙一分共七百両列於上(甲原銀四分丙得去一分餘三分又得乙一分故為甲三分乙一分共七)(百両丙無數作空位以足其分)又以甲一分丙二分共七百両列於下(丙原銀三分乙得去一分餘二分又得甲一分)(故為甲一分丙二分共七百両乙無數亦作空位以足其分)乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原數於是以下層為主両下相較則甲各三分彼此減盡乙一分無可減仍為一分依本層為正丙六分無可減仍為六分本層無數則為負銀両下相減餘一千四百両本層少爲負即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分為正丙六分為負少一千四百両為負列於上又以乙一分丙一分共七百兩列於下(乙原銀二分甲得去一分餘一分又)(得丙一分故為乙一分丙一分共七百両因為和數故不用號)因首色皆為一故省互乘両下相較則乙各一分彼此減盡丙六與丙一相加得七分銀一千四百與七百相加得二千一百両即為丙七分之共數以七除之得三百両為丙一分之數以丙原銀三分乘之得九百両為丙之銀數以乙一分丙一分共七百両計之則於七百両内減去丙一分三百両餘四百両即乙一分之數以乙原銀二分乘之得八百両為乙之銀數以甲三分乙一分共七百両計之則於七百両内減去乙一分四百両餘三百両三歸之得一百両即甲一分之數以甲原銀四分乘之得四百両為甲之銀數也設如有長方面積八百六十四歩一長二闊三和四較共三百一十二歩問長闊各幾何法以積數八因之得六千九百一十二歩為大長方形積乃以長闊和較共數三百一十二歩為長闊和折半得一百五十六歩為半和自乘得二萬四千三百三十六歩與六千九百一十二歩相減餘一萬七千四百二十四歩開平方得一百三十二歩為半較與半和一百五十六歩相減得二十四歩為原闊數以闊除原積八百六十四歩得三十六歩為原長數也此法葢因三和内有三長三闊加一長二闊共四長五闊如以四較加於四闊則又成四長是共得八長一闊此三百一十二歩即八長一闊之共數今將原積八倍之成一大長方形其闊即原闊其長為原長之八倍故以三百一十二為長闊和求得闊即為原闊以原闊除原積即得原長也設如買果木樹不知樹數亦不知樹價但知樹每株之價為樹共數之六倍而每株脚錢六文其脚錢并樹價共三千六百文問樹每株價及樹數各幾何法先以共錢三千六百文六因之得二萬一千六百文為長方積脚錢六文為縱多爰以縱多六文折半得三文為半較自乘得九文與二萬一千六百文相加得二萬一千六百零九文開平方得一百四十七文為半和内減半較三文得一百四十四文為樹每株之價六歸之得二十四為樹之共數也此法以樹數為闊樹價併脚錢為長成長方形因每株之價為樹數之六倍是長為闊之六倍又多六文故六倍其積則長比闊多六文故以帶縱開方法算之得闊為樹價六歸之得樹數也設如一河寛一丈二尺中間生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸適與岸齊問蒲長水深各幾何法以河寛一丈二尺折半得六尺為勾以蒲稍出水三尺為股弦較乃以勾六尺自乘得三十六尺以股弦較三尺除之得一十二尺為股弦和加股弦較三尺得一十五尺折半得七尺五寸為弦即蒲之長内減股弦較三尺餘四尺五寸為股即水之深也如圖甲乙為河寛丙丁為蒲長與甲丁等戊丁為水深丙戊為蒲稍出水三尺故戊丁為股甲戊為勾甲丁為弦丙戊為股弦較用有勾有股弦較之法求得股為水深得弦為蒲之長也設如圓柱髙二十一尺周四尺以繩自底至末繞柱七周與柱適齊問繩長幾何法以柱周四尺七因之得二十八尺為股柱髙二十一尺為勾求得弦三十五尺即繩之長也此法葢合七勾股為一勾股算也如圖甲乙為柱髙二十一尺甲丙為七分之一若將柱面平鋪之成一平面則丙丁即柱周四尺甲丁即繩繞柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙為甲丙之七倍繩長為甲丁之七倍故將柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙為勾乙戊為股求得甲戊弦即繩長也設如一方匣内對角斜容一比例尺長一尺一寸寛三寸問匣方邊幾何法以比例尺寛三寸與長一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半開方得九寸八分九釐九豪即方匣之邊數也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙為對角斜線癸壬為比例尺之長壬乙與丁癸二叚與己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形則乙為方之中心壬乙為己庚方邊之一半與壬庚等而壬乙與丁癸両段即與己庚等故以比例尺之長闊相加即為丁乙對角斜線用斜求方之法自乘折半開方即得方邊也設如三角形底二丈八尺小腰與中垂線之較二尺大腰與中垂線之較六尺問両腰各幾何法借一衰為中垂線則小腰為一衰多二尺小腰與中垂線之和為二衰多二尺與小腰較二尺相乗得四衰多四尺為小分底自乘方積大腰為一衰多六尺大腰與中垂線之和為二衰多六尺與大腰較六尺相乘得十二衰多三十六尺為大分底自乘方積以両方積相較則大分底方為小分底方之三倍多二十四尺(大分底方十二衰為小分底方四衰之三倍即將小分底)(方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺與大分底方十二衰多三十六)(尺相減仍餘二十四尺)乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内減去所多之二十四尺餘七百六十尺為小分底自乘四正方小分底乘大分底二長方積折半得三百八十尺為小分底自乘二正方小分底乘大分底一長方積共成一大長方底二十八尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十尺為小分底自乘得一百尺以小腰較二尺除之得五十尺為小腰與中垂線之和内加小腰較二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰較二尺與大腰較六尺相減餘四尺即大腰與小腰之較與小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙為小腰甲丙為大腰乙丙為底自甲角作甲丁垂線則分為甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股弦和與甲乙甲丁股弦較相乘則得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形(見勾股法)以甲丁甲丙股弦和與甲丁甲丙股弦較相乘則得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既為乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故於乙壬癸丙大正方形内減去二十四尺餘者即與乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛為大分底乘小分底二長方共成丑寅卯丙一長方形折半得丑辰己丙長方形乙丙即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊為乙丁小勾自乘以股弦較除之得股弦和故加股弦較折半即得甲乙為弦也或求得甲丙邊亦同設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊較三尺八寸求乙角丙角度幾何法依甲丙邊度截甲乙邊於丁餘乙丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成乙丁丙鈍角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率乙丁邊三尺八寸為二率甲角五十三度八分與一百八十度相減餘一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁鈍角之外角(與丁丙甲)(角等)其正弦八萬九千四百四十一為三率求得四率二萬七千八百五十八為丙分角正弦撿表得十六度十分為丙分角與丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角與丁外角相減餘四十七度十六分即乙角度也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙邊一丈一尺二寸甲乙乙丙両邊較二尺八寸求乙角丙角度各幾何法依乙丙邊度截甲乙邊於丁餘甲丁即両邊較自丙至丁作丙丁線成甲丁丙鈍角形乃以甲丁邊二尺八寸與甲丙邊一丈一尺二寸相加得一丈四尺為一率甲丁與甲丙相減餘八尺四寸為二率甲角半外角六十三度二十六分之正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率一十一萬九千九百九十一為半較角切線撿表得五十度十二分為半較角度與半外角相減餘十三度十四分為丙分角倍之與甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角與甲角相加則得丙丁乙角與丙大分角等是丙大分角與一丙小分角一甲角之度等故倍小分角與甲角相加得丙全角也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙邊一丈二尺二寸甲乙甲丙両邊和二丈六尺二寸求丙角乙角度各幾何法以甲乙與甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁線成丁乙丙三角形乃以乙丙邊一丈二尺二寸為一率丙丁邊二丈六尺二寸為二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角(與甲乙丁角等)其正弦四萬四千七百二十四為三率求得四率九萬六千零四十六為丙乙丁角正弦撿表得七十三度五十分為丙乙丁角内減半甲角二十六度三十四分(即甲乙丁角)餘四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相併與半周相減餘七十九度三十六分即丙角度也設如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙邊一丈五尺甲丙乙丙両邊和二丈三尺四寸求乙角丙角度幾何法以甲丙與乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁線成甲乙丁三角形乃以甲丁邊二丈三尺四寸與甲乙邊一丈五尺相加得三丈八尺四寸為一率甲丁邊與甲乙邊相減餘八尺四寸為二率甲角五十三度八分與半周相減折半得半外角六十三度二十六分其正切線一十九萬九千九百八十六為三率求得四率四萬三千七百四十七為半較角切線撿表得二十三度三十八分為半較角與半外角相減餘三十九度四十八分為丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂與半周相減餘四十七度十六分即乙角度也設如有一旗杆不知其髙用日影測之問髙幾何法先立一表長五尺看影長幾尺如得四尺同時看旗杆影為幾尺如得二丈四尺乃以表影長四尺為一率表髙五尺為二率旗杆影長二丈四尺為三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙為旗杆乙丙為旗杆影丁戊為表髙戊己為表影甲乙丙與丁戊己為同式勾股形故己戊與丁戊之比同於乙丙與甲乙之比也設如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影測之問塔髙幾何法先立一表長六尺影長四尺同時看塔影所至記之閲時看表影長五尺塔影比先所記之處長幾尺如得八尺乃以表影差一尺為一率表髙六尺為二率影差八尺為三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙為塔髙乙丙為先所記塔影乙丁為後所記塔影戊己為表髙己庚為先所記表影己辛為後所記表影戊庚辛與甲丙丁戊己庚與甲乙丙皆為同式形故庚辛與戊己之比同於丙丁與甲乙之比也設如逺望一村欲知其逺用放鎗騐時儀墜子候之問逺幾何法令一人在村邊放鎗一見烟出即用騐時儀墜子候之一聞鎗響即止計自見烟至聞響得幾秒如得三秒即以一秒為一率一百二十八丈五尺七寸為二率三秒為三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢響與烟一時並出其見烟而未聞響者聲未至也故自見烟至聞響之分即路逺之分嘗以其分較之路逺五里得七秒以七歸之每秒得一百二十八丈五尺七寸聞雷亦然自一見電光至聞雷響候其秒數即得里數也設如梭形闊四尺中長九尺求積幾何法以中長九尺與闊四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形積也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁與甲丙相乘則成戊己庚辛長方形其積比梭形多一倍故半之為梭形積也此法必甲乙與乙丙等甲丁與丁丙等或甲乙與甲丁等乙丙與丁丙等則其中長適為両三角形之垂線故長闊相乘折半而得積也若中長不得為垂線則湏先量得四邊數及長數或闊數用三角形求中垂線法算之設如三廣形上闊三尺中闊五尺下闊四尺上截長六尺下截長四尺求積幾何法以中闊五尺與上闊三尺相加折半得四尺與上截長六尺相乘得二十四尺又以中闊五尺與下闊四尺相加折半得四尺五寸與下截長四尺相乘得十八尺両數相併得四十二尺即三廣形積也如圗甲乙丙丁戊己三廣形以乙戊線分之則成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求積之法(見第十九卷直線形)求得両梯形之積而併之即為三廣形積也舊術以上下闊相加折半加中闊與長相乘得積此必上下両截長數相等者然後可算若上下不相等湏用両梯形算之設如眉形両尖相距弦長二十四尺外弧距弦九尺内弧距弦四尺求積幾何法以両尖相距二十四尺為弦外弧距弦九尺為矢用弧矢求積法以矢九尺為首率弦二十四尺折半得十二尺為中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺為圜徑折半得半徑十二尺五寸為一率半弦十二尺為二率半徑十萬為三率求得四率九萬六千為半外弧之正弦撿八線表得七十三度四十五分為半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分為外弧之度分乃以三百六十度為一率外弧一百四十七度半為二率全徑二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九釐八豪為三率求得四率三十二尺一寸七分九釐五豪為外弧之數與半徑十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分為自圜心所分弧背三角形積又以矢九尺與半徑十二尺五寸相減餘三尺五寸與弦二十四尺相乘折半得四十二尺為自圜心至弦所分直線三角形積與弧背三角形積相減餘一百五十九尺一十二寸一十八分為外弧矢全積(見第二十卷曲線形)又以両尖相距二十四尺為弦内弧距弦四尺為矢亦用弧矢求積法求得内弧矢虚積六十五尺三十七寸六十分與外弧矢積相減餘九十三尺七十四寸五十八分即眉形積也如圗甲乙丙丁眉形甲丙為弦乙戊為外弧矢丁戊為内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形積又求得甲丁丙戊弧矢形積相減即得甲乙丙丁眉形積也設如橄㰖形長二尺四寸闊八寸求積幾何法以長二尺四寸為弦闊八寸折半得四寸為矢用弧矢求積法求得弧矢積六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄㰖形積也如圗甲乙丙丁橄㰖形自甲至丙作甲丙線平分乙丁於戊則成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形積倍之即橄㰖形積也設如錢形徑一尺二寸求積幾何法以錢形徑一尺二寸求得圜面積一尺一十三寸零九分七十三釐又求得内容方積七十二寸相減餘四十一寸零九分七十三釐倍之得八十二寸一十九分四十六釐即錢形積也如圖甲乙丙丁錢形作戊己己庚庚辛辛戊四線則分為壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形積又求得戊己庚辛内方積相減餘壬癸子丑四弧矢形倍之即得錢形積也設如銀錠形徑一尺二寸求積幾何法以銀錠形徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即銀錠形積也如圖甲乙丙丁戊己銀錠形以甲丁徑自乘折半則得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形與所盈壬癸二弧矢形之積等故乙丙戊己正方積即與銀錠形之積等也設如甲乙丙丁四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐甲圜徑比乙圜徑多三尺乙圜徑比丙圜徑多三尺丙圜徑比丁圜徑多二尺問四圜徑各幾何法用圜積方積定率比例以圜積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率四平圜共積二百一十七尺五十五寸五十三分一十釐為三率求得四率二百七十七尺為四平方共積乃以丙圜徑比丁圜徑所多之二尺自乘得四尺又以乙圜徑比丁圜徑所多之五尺(丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故)(乙比丁多五尺)自乘得二十五尺又以甲圜徑比丁圜徑所多之八尺(乙比丁多五尺甲又比乙多三)(尺故甲比丁多八尺)自乘得六十四尺三數相併得九十三尺與四平方共積二百七十七尺相減餘一百八十四尺為長方積以丙圜徑比丁圜徑多二尺乙圜徑比丁圜徑多五尺甲圜徑比丁圜徑多八尺相加得十五尺為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊八尺二歸之得四尺即丁圜徑加二尺得六尺即丙圜徑再加三尺得九尺即乙圜徑再加三尺得十二尺即甲圜徑也如圖甲乙丙丁四平圜形變為甲乙丙丁四平方形則四圜徑之較即四方邊之較故於四方形内減去壬癸子三較方餘戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六長方共成未申酉戌一長方戌亥為長闊之較即三邊較之共數故用帶縱較數開平方法算之得闊折半而得丁方邊即丁圜徑遞加之即得甲乙丙各圜徑也設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方邊離圜界五丈方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分問方邊圜徑各幾何法以方邊離圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈與方内圜外積三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相減餘二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜積定率七八五三九八一六與方積定率一○○○○○○○○相減餘二一四六○一八四為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分為三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分為長方積又以二一四六○一八四為一率一○○○○○○○○為二率以方邊離圜界五丈四因之得二十丈為三率求得四率九十三丈一尺九寸五分為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内圜徑加方邊離圜界共十丈得二十丈即外方邊也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方邊離圜界五丈自乘四因與積相減則減去己庚辛壬四小方形餘癸子丑寅四長方形及卯辰巳午四隅積今欲以卯辰巳午四隅積補足戊圜虚積共成未申酉戌長方形應以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率今所餘之卯辰巳午方内圜外積為三率則得四率為未亥方積而戊圜虚積即補足在其中然今乃以卯辰巳午四隅積并癸子丑寅四長方積共為三率則戊圜虚積固已補足而癸子丑寅四長方積必多補出之分是知癸子丑寅四長方形其寛仍為戌酉而亥酉之長必亦多補出之分矣(癸子丑寅四長)(方形為二平行線内直角方形其面之互相為比同於其底之互相為比見幾)(何原本八卷第七節)故又以定率之方積圜積相減餘方内圜外積為一率方積為二率以方邊離圜界五丈四因之得亥酉之長為三率求得四率即將亥酉之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得未申闊即為内圜徑也設如有一方形内不切方邊容一圜形但知方角離圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分問方邊圜徑各幾何法以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈與方内圜外積一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相減餘五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢積二八五三九八一六為一率(方積一○○○○○○○○方内容圜積七八五三九八)(一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六為弧矢積)圜内容方積五○○○○○○○為二率今減餘積五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分為三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分為長方積又以二八五三九八一六為一率五○○○○○○○為二率以方角離圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内圜所容方邊以四隅方邊十五丈倍之得三十丈與内圜所容方邊十丈相加得四十丈即外方邊以内圜所容方邊十丈求得對角斜線十四丈一尺四寸二分即内圜徑加方角離圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方對角斜線也如圖甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角離圜界甲卯自乘倍之與積相減則減去己庚辛壬四小正方形(以甲卯自乘折半得己正方形積故甲卯)(自乘倍之即得四正方形積也)餘癸子丑寅四長方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形變為卯辰巳午一正方形應以定率弧矢積為一率方積為二率未申酉戌四弧矢虚積為三率則得四率為卯辰巳午虚方積然今無未申酉戌四弧矢虚積而以癸子丑寅四長方形内虚未申酉戌四弧矢形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為卯辰亥乾長方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四長方實積與午巳亥乾長方積之比同於弧矢積與方積之比則其所虚之未申酉戌四弧矢形與卯辰巳午正方形之比亦同於弧矢積與方積之比而癸子丑寅之共長與長亥之比亦必同於弧矢積與方積之比矣故以四長方之共邊比例得辰亥邊為長闊和求得卯辰闊為内圜所容正方形之每一邊也設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方角五丈圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分問圜徑方邊各幾何法以圜界離方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜積定率七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分為三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内減所得一百丈餘二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢積二八五三九八一六(方積一○○○○○○○○内容圜積七八五)(三九八一六圜内容方積五○○○○○○○相減餘二八五三九八一六)用圜積變方積法通之得三六三三八○二三為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分為三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸為長方積又以三六三三八○二三為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方角五丈四因之得二十丈為三率求得四率五十五丈零三寸八分七釐四豪為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊十丈即内方對角斜線用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方邊以内方對角斜線十丈加圜界離方角共十丈得二十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而多丑寅卯辰四弧矢形所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積多丑寅卯辰四弧矢形故所變之方環亦多丑寅卯辰四弧矢形所變之積也以圜界離方角五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小方形餘酉戌亥乾四長方形及丑寅卯辰四弧矢形所變之積今欲以丑寅卯辰四弧矢形所變之積補成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮長方形應以定率四弧矢形已變之積為一率方積為二率(設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七)(八五三九八一六圜内容方積為五○○○○○○○内圜積與内方積相減)(餘二八五三九八一六是二八五三九八一六與一○○○○○○○○相比)(為弧矢積與外方積之定率也然今所多之四弧矢積先已用圜率變為方率)(故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率)(弧矢積二八五三九八一六為三率得四率三六三三八○二三是三六三三)(八○二三與一○○○○○○○○相比為已變之弧矢積與外方積之定率)(也)今所多之丑寅卯辰四弧矢形已變之積為三率則得四率為辛壬癸子正方積然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已變之積并酉戌亥乾四長方積共為三率則辛壬癸子正方積固已補足而酉戌亥乾四長方必多補出之分是知酉戌亥乾四長方其寛仍為子癸而癸坎之長必亦多補出之分矣故又以四弧矢形已變之積為一率方積為二率以圜界離方邊五丈四因之得癸坎之長為三率求得四率即將癸坎之長亦増補出之分乃以此為長闊之較求得辛壬闊即内方對角斜線也設如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界離方邊十五丈圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分問圜徑方邊各幾何法以圜界離方邊十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜積方積定率比例圜積七八五三九八一六為一率方積一○○○○○○○○為二率今圜内方外積一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分為三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内減所得九百丈餘五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外積二一四六○一八四(方積一○○○○○○○○内容圜積七八五三九八一六相)(減餘二一四六○一八四)用圜積變方積法通之得二七三二三九五五為一率方積一○○○○○○○○為二率今減餘積五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分為三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分為長方積又以二七三二三九五五為一率一○○○○○○○○為二率以圜界離方邊十五丈四因之得六十丈為三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分為長闊和用帶縱和數開平方法算之得闊十丈即内方邊加圜界離方邊共三十丈得四十丈即外圜徑也如圖甲乙圜形内容丙方形以圜積方積定率比例則變為丁戊己庚辛壬癸子方環形而少丑寅卯辰四隅所變之積葢圜環變為方環今圜内方外積比圜環積少丑寅卯辰四隅故所變之方環亦少丑寅卯辰四隅所變之積也以圜界離方邊十五丈自乘四因與積相減則減去巳午未申四小正方形餘酉戌亥乾四長方形而内少丑寅卯辰四隅所變之積今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所變之積作為辛壬癸子正方形應以定率四隅形已變之積為一率方積為二率(設方積為一○○○○○○○○方内容圜積為七八五三九)(八一六相減餘二一四六○一八四是三一四六○一八四與一○○○○○)(○口○相比為圜外四隅積與外方積之定率也然今所少者乃圜外四隅積)(用圜積方積比例之數故又以圜積七八五三九八一六為一率方積一○○)(○○○○○○為二率圜外四隅積二一四六○一八四為三率求得四率二)(七三二三九五五是二七三二三九五五與一○○○○○○○○相比為已)(變之四隅積與外方積之定率也)丑寅卯辰四隅形已變之虚積為三率則得四率為辛壬癸子虚方積然今無辛壬癸子四隅形已變之虚積而以酉戌亥乾四長方内虚丑寅卯辰四隅形之餘積為三率實積既變則虚積亦變故求得四率為辛壬坎艮長方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥乾四長方實積與子癸坎艮長方形之比同於己變之四隅積與方積之比則其所虚之丑寅卯辰四隅已變之積與辛壬癸子正方形之比亦同於己變之四隅積與方積之比而酉戌亥乾之共長與壬坎之比亦少同於己變之四隅積與方積之比矣故以四長方之共邊比例而得壬坎邊為長闊和求得辛壬闊為内方邊也設如有一大球體内容四小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八寸為長方積以大球徑一尺二寸四因之得四尺八寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊五寸三分九釐三豪即内容四小球之徑也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己四小球體試自四小球之中心俱各作線聮之則成一四等面體又以甲乙大球心為心丙丁戊己小球心為界作一虚圓則成四等面體外切圓球體其四面體之一邊即小球徑以四面體外切丁庚虚球徑加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙辛壬正方形内甲癸丁子為小球徑自乘方(即四面體每邊自乘方)丁庚辛丑為四面體外切圓球徑自乘方癸乙庚丁子丁丑壬為四面體之每邊與外切圓球徑相乘二長方凡四面體每邊自乘方為外切圓球徑自乘方三分之二(見第二十八卷球内容四)(面體法)故甲癸丁子正方形為丁庚辛丑正方形三分之二將甲乙辛壬正方形倍之則得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四長方而丁庚辛丑二正方為甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四長方即與寅卯辰巳長方積等其巳午長闊之較為甲乙球徑之四倍故四因大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為四面體之一邊自乘二歸三因開平方得四面體外切圓球徑再加一小球徑即大球徑也設如有一大球體内容六小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺三寸自乘得一尺四十四寸為長方積以大球徑一尺二寸倍之得二尺四寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸九分七釐即内容六小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛六小球體試自六小球之中心俱各作線聮之則成一八等面體其八面體之一邊即小球徑以八面體之對角線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙壬癸正方形内甲子丙丑為小球徑自乘方(即八面體每邊自乘方)丙戌壬寅為八面體對角線自乘方子乙戊丙丑丙寅癸為八面體之每邊與對角線相乘二長方凡八面體每邊自乘方為對角線自乘方之一半(見第二十七卷八面體法)故丙戊壬寅一正方與甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共為甲子丙丑三正方子乙戊丙二長方與卯辰巳午長方積等其午未長闊之較為甲乙球徑之二倍故倍大球徑為較縱求得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為八面體之一邊自乘加倍開方得對角線再加一小球徑即大球徑也設如一大球體内容八小球體大球徑一尺二寸求小球徑幾何法以大球徑一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸為長方積以大球徑一尺二寸為長闊之較用帶縱較數開平方法算之得闊四寸三分九釐二豪即内容八小球之徑數也如圖甲乙大球體内容丙丁戊己庚辛壬癸八小球體試自八小球之中心俱各作線聮之則成一正方體其正方體之一邊即小球徑以正方體之丙壬對角斜線加一小球徑即大球徑故以大球徑自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰為小球徑自乘方卯巳子午為正方體對角斜線自乘方寅乙巳卯辰卯午丑為小球徑乘正方體對角斜線二長方凡正方對角斜線自乘方為每邊自乘方之三倍(見第二十八卷球内容正方體法)故卯巳子午正方形為甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一長方共成未乙巳申一長方甲乙球徑即長闊之較故用帶縱較數開平方法算之得闊即小球徑也如先有小球徑求大球徑則以小球徑為正方體之一邊自乘三因之開平方得正方體對角斜線再加一小球徑即大球徑也設如有三角形底十四尺中埀線十二尺大腰與小腰之較二尺求両腰各幾何法借一根為小腰則大腰為一根多二尺以一根自乗得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乗之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以一根多二尺自乘得一平方多四根多四尺為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方多四根少一百四十尺為大分底之面積又以底十四尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方多四根少二百八十四尺餘四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而小分底乘大分底之面積為中率小分底之積為末率也乃以首率大分底之面積一平方多四根少一百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二萬零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五萬七千六百尺此二數為相等両邊各減一三乘方四立方二萬零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根與三萬七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既與三萬七千四百四十尺相等則一平方多二根必與一百九十五尺相等乃以一百九十五尺為長方積以多二根作二尺為長闊較用帶縱較數開平方法算之得闊十三尺為一根之數即小腰加二尺得十五尺即大腰也設如有三角形底十四尺中垂線十二尺大腰與小腰之和二十八尺求大小腰各幾何法借一根為小腰則二十八尺少一根為大腰以一根自乘得一平方為小腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少一百四十四尺為小分底之面積以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方為大腰之面積内減中垂線十二尺自乘之一百四十四尺餘一平方少五十六根多六百四十尺為大分底之而積又以底四十尺自乘得一百九十六尺内減去大小両分底之共面積二平方少五十六根多四百九十六尺餘五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方為小分底乘大分底之面積此數與大分底之面積及小分底之面積為連比例三率葢大分底之面積為首率而大分底乗小分底之而積為中率小分底之而積為末率也乃以首率大分底之面積一平方少五十六根多六百四十尺與末率小分底之面積一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面積二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺此二數為相等両邊各減一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九萬二千一百六十尺與一千零八十四平方少八千四百根多二萬二千五百尺相等両邊各減四百九十六平方各加八千四百根又各加九萬二千一百六十尺得一萬六千四百六十四根與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等一萬六千四百六十四根既與五百八十八平方多一十一萬四千六百六十尺相等則二十八根必與一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺為長方積以二十八根作二十八尺為長闊和求得闊十三尺為一根之數即小腰也御製數理精藴下編巻三十七
## 下編卷三十八
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十八末部八對數比例對數比例對數比例乃西士若往訥白爾所作以借數與眞數對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者復加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再乘故三歸即開立方推之至於諸乘方莫不皆以假數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代之甚易也其立數之原起於連比例葢比例四率二率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者有見於此故設假數以加減代乘除之用此表之所以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折半至於數十次使彼此皆可為比例而假數由之而生又有相較之一法省開方之多次尤為甚㨗至於他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難而用之甚易甚勿以易而忘其難也明對數之原之一凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之四假數其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數即得第四率相對之假數若減第四率相對之假數即得第一率相對之假數如二四八十六連比例四率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四其遞加遞減之數皆為一以二率四相對之假數二與三率八相對之假數三相加得五内減一率二相對之假數一即得四率十六相對之假數四若減四率十六相對之假數四即得一率二相對之假數一或以二之假數為三四之假數為五八之假數為七十六之假數為九其遞加遞減之數皆為二以二率四相對之假數五與三率八相對之假數七相加内減一率二相對之假數三即得四率十六相對之假數九若減四率十六相對之假數九即得一率二相對之假數三明對數之原之二凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對之假數即得末率相對之假數若減末率相對之假數即得首率相對之假數如一三九連比例三率任對設一之假數為四三之假數為五九之假數為六其遞加遞減之數皆為一以中率三相對之假數五倍之得十内減首率一相對之假數四即得末率九相對之假數六若減末率九相對之假數六即得首率一相對之假數四或以一之假數為八三之假數為五九之假數為二其遞加遞減之數皆為三以中率三相對之假數五倍之内減首率一相對之假數八即得末率九相對之假數二若減末率九相對之假數二即得首率一相對之假數八明對數之原之三凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假數與第三率相對之假數相加内減第一率相對之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相對之假數亦得第一率相對之假數如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六連比例幾率任對設二之假數為一四之假數為二八之假數為三十六之假數為四三十二之假數為五六十四之假數為六一百二十八之假數為七二百五十六之假數為八其遞加遞減之數皆為一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相對之假數三與三率六十四相對之假數六相加得九内減一率四相對之假數二即得四率一百二十八相對之假數七若減四率一百二十八相對之假數七即得一率四相對之假數二明對數之綱之一凡假數皆可隨意而定然一之假數必定為○方與眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但遞進一位則其假數亦皆遞加一數葢乘除之數始於一故一不用乘亦不用除而加減之數始於○故○無可加亦無可減也假數旣以加減代乘除故一之假數必定為○而一與十十與百百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍之相連比例率然其數皆為一但遞進一位故一之假數定為○者十之假數即定為一百之假數即定為二千之假數即定為三萬之假數即定為四十萬之假數即定為五百萬之假數即定為六千萬之假數即定為七億之假數即定為八亦皆遞加一數而假數即與位數相同試以一百與一千相乘得十萬為進二位以一百相對之假數二與一千相對之假數三相加即得十萬相對之假數五亦為加二數也以一十除一千得一百為退一位以一十相對之假數一與一千相對之假數三相減即得一百相對之假數二亦為減一數也如或以十之假數定為二百之假數定為四千之假數定為六是為遞加二數未甞不可然眞數進一位者假數則加二數即不得與位數相同矣明對數之綱之二凡眞數不同而位數同者其假數雖不同而首位必同眞數相同而遞進幾位者其假數首位必遞加幾數而次位以後却相同如自一至九眞數皆為單位則假數首位皆為○故二之假數為○三○一○二九九九五七三之假數為○四七七一二一二五四七四之假數為○六○二○五九九九一三五之假數為○六九八九七○○○四三六之假數為○七七八一五一二五○四首位以後零數遞增至十則首位皆為一至百則首位皆為二至千則首位皆為三至萬則首位皆為四至十萬則首位皆為五如一十一一百一十一千一百一萬一千一十一萬雖遞進一位而其數皆為一一故其假數首位雖遞加一數而次位以後皆同為○四一三九二六八五二明對數之目用中比例求假數法之一凡連比例率以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數如一十為首率一百為中率一千為末率以首率一十與末率一千相乘開平方得一百為中率以首率一十之假數一○○○○○○○○○○與末率一千之假數三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假數葢首率末率相乘與中率自乘之數等以首率末率兩假數相加即與中率之假數加倍之數等故折半為中率之假數也明對數之目用中比例求假數法之二凡十百千萬之假數既定而欲求其間零數之假數則以前後相近之兩數一為首率一為末率求得中率之眞數並求得中率之假數累次比例使中率恰得所求之眞數其假數即為所求之假數如求九之假數因九在一與十之間則以一為首率十為末率相乘開方得三一六二二七七七為第一次之中率即以首率一之假數○○○○○○○○○○○與末率十之假數一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○為第一次中率之假數此所得之中率較之首率去九為近故以所得之中率復為首率十為末率相乘開方得五六二三四一三二為第二次之中率即以第二次之首率末率兩假數相加折半得○七五○○○○○○○○為第二次中率之假數又以第二次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得七四九八九四二一為第三次之中率即以第三次之首率末率兩假數相加折半得○八七五○○○○○○○為第三次中率之假數又以第三次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得八六五九六四三二為第四次之中率即以第四次之首率末率兩假數相加折半得○九三七五○○○○○○為第四次中率之假數又以第四次所得之中率復為首率十為末率相乘開方得九三○五七二○四為第五次之中率即以第五次之首率末率兩假數相加折半得○九六八七五○○○○○為第五次中率之假數此所得之中率較之末率去九為近故以第五次所得之中率復為末率仍以第五次之首率為首率相乘開方得八九七六八七一三為第六次之中率即以第六次首率末率兩假數相加折半得○九五三一二五○○○○為第六次中率之假數由此遞推去九漸近而即以相近之兩率比例相求得第七次之中率為九一三九八一七○其假數為○九六○九三七五○○○第八次之中率為九○一七九七七七其假數為○九五七○三一二五○○第九次之中率為九○一七三三三三其假數為○九五五○七八一二五○第十次之中率為八九九七○七九六其假數為○九五四一○一五六二五第十一次之中率為九○○七二○○八其假數為○九五四五八九八四三七第十二次之中率為九○○二一三八八其假數為○九五四三四五七○三一第十三次之中率為八九九九六○八八其假數為○九五四二二三六三二八第十四次之中率為九○○○八七三七其假數為○九五四二八四六六七九第十五次之中率為九○○○二四一二其假數為○九五四二五四一五○三第十六次之中率為八九九九九二五○其假數為○九五四二三八八九一五第十六次之中率為九○○○○八二一其假數為○九五四二四六五二○九第十八次之中率為九○○○○○四一其假數為○九五四二四二七○六二第十九次之中率為八九九九九六五○其假數為○九五四二四○七九八九第二十次之中率為八九九九九八四五其假數為○九五四二四一七五二六第二十一次之中率為八九九九九九四三其假數為○九五四二四二二二九四第二十二次之中率為八九九九九九九二其假數為○九五四二四二四六七八第二十三次之中率為九○○○○○一六其假數為○九五四二四二五八七○第二十四次之中率為九○○○○○○四其假數為○九五四二四二五二七四第二十五次之中率為八九九九九九九八其假數為○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率則恰得九○○○○○○○其假數為○九五四二四二五一二五即所求之假數也然所得中率雖爲九而七空位之後尚有竒零故所得之假數猶為稍大故開方之位數愈多則所得之假數愈密也明對數之目用遞次自乘求假數法之一凡連比例率之自小而大者以第一率之眞數遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次加倍即得加倍各率之假數而以各率之假數按率除之即得第一率之假數如以二為連比例第一率其假數為○三○一○二九九九五七以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數以第一率之假數○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三為第二率之假數而以第二率之假數用二除之即得第一率之假數又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數以第二率之假數○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六為第四率之假數而以第四率之假數用四除之即得第一率之假數也明對數之目用遞次自乘求假數法之二凡連比例率自小而大者其假數之首位旣因眞數之位數而遞加故求假數者以所求之眞數為連比例第一率遞次自乘即得加倍各率之眞數以第一率假數之首位遞次加倍即得加倍各率之假數而眞數自乘又進一位者則假數加倍後又加一數而以各率之假數按次除之即得所求第一率之假數如求二之假數則以二為連比例第一率是為單位故傍紀○即第二率之假數首位為○也又以第一率之眞數二自乘得四為第二率之眞數仍為單位故傍亦紀○卽第二率之假數首位亦為○也又以第二率之眞數四自乘得十六為第四率之眞數是為進前一位故傍紀一即第四率之假數首位為一也又以第四率之眞數十六自乘得二百五十六為第八率之眞數以第四率之假數一倍之得二是為進前二位故傍紀二即第八率之假數首位為二也又以第八率之眞數二百五十六自乘得六萬五千五百三十六為第十六率之眞數以第八率之假數二倍之得四是為進前四位故傍紀四即第十六率之假數首位為四也又以第十六率之眞數六萬五千五百三十六自乘得四十二億九千四百九十六萬七千二百九十六為第三十二率之眞數以第十六率之假數四倍之得八又因第十六率眞數自乘所得首位乃逢十又進一位之數故將假數加倍所得之八又加一得九是為進前九位故傍紀九即第三十二率之假數首位為九也由此遞乘至第一萬六千三百八十四率之眞數則自單位以前共得四千九百三十二位故傍紀四九三二為第一萬六千三百八十四率之假數以一萬六千三百八十四除之得○三○一○即為第一率二之假數葢以一萬除四千為實不足法一倍則其首位必為○也然其位數尚少故僅得五位若再遞乘至第一千三百七十四億四千六百九十五萬三千四百七十二率之眞數則自單位以前共得四百一十三億七千五百六十五萬五千三百零七位即其假數為四一三七五六五五三○七以率數除之得○三○一○二九九九五六六即為第一率二之假數也此法葢因眞數進一位則假數首位加一數今遞乘所得之眞數既得若干位則其假數首位必加若干數乃以首位為單位遞進向前者也而連比例各率之假數以率數除之即得第一率之假數故以率數除之所得第一率之假數為首位以後之零數也明對數之目用遞次開方求假數法之一凡連比例率之自大而小者以第一率之眞數遞次開方即得加倍各率之眞數以第一率之假數遞次折半即得加倍各率之假數而以各率之假數按率乘之即得第一率之假數如以二百五十六為連比例第一率其假數為二四○八二三九九六五三以第一率之眞數二百五十六開方得十六為第二率之眞數以第一率之假數二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六為第二率之假數而以第二率之假數用二乘之即得第一率之假數又以第二率之眞數十六開方得四為第四率之眞數以第二率之假數一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三為第四率之假數而以第四率之假數用四乘之即得第一率之假數明對數之目用遞次開方求假數法之二凡遞次開方率皆用二倍葢眞數開方假數折半而折半即二歸故遞次折半之假數以遞次加倍之率數乘之即得第一率之假數如原數為第一率加倍得二為第一次開方之率數(葢折半即二歸以二歸者復用二乘必仍得原數也)又加倍得四為第二次開方之率數(葢折)(半二次即四歸以四歸者復用四乘必亦得原數也)遞次加倍則第三次之率為八第四次之率為十六第五次之率為三十二第六次之率為六十四第七次之率為一百二十八第八次之率為二百五十六第九次之率為五百一十二第十次之率為一千零二十四第二十次之率為一百零四萬八千五百七十六第三十次之率為十億七千三百七十四萬一千八百二十四第四十次之率為一兆零九百九十五億一千一百六十二萬七千七百七十六第五十次之率為一千一百二十五兆八千九百九十九億零六百八十四萬二千六百二十四凡有眞數求假數皆以所求之數為第一率眞數開方幾次則假數必折半幾次今雖無第一率之假數而苟得其折半第幾次之假數則加倍幾次必得第一率之假數故以加倍第幾次之率數與折半第幾次之假數相乘即得第一率之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之三凡眞數不可與假數為比例者因眞數開方假數折半其相比之分數不同若開方至於數十次則開方之數即與折半之數相同故假數即可用眞數比例而得是以凡求假數者皆以其眞數開方至幾十次與此所得之假數相比即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得所求之假數如眞數為一十假數為一○以眞數一十開方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次開方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次開方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次開方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次開方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次開方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次開方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此遞次開方至第五十四次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而與第五十三次開方所得折半之數同是故眞數即可與假數為比例矣乃以一十之假數一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此遞次折半亦至第五十四次則得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即為第五十四次開方之假數於是以眞數之零數一二七八一九一四九三二○○三二三五為一率假數之零數五五五一一一五一二三一二五七八二七○為二率眞數之零數一為三率(一率為十)(七位則三率亦加十六空位以足其分)得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即為一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數前亦仍得十七空位蓋真數為一則假數為○今真數之零數即比一多之較假數之零數即比○多之較故以真數之較與假數之較為比例也凡求假數者皆以真數開方至幾十次首位得一又得十五空位則以其後之零數與此所得之假數為比例即得其開方第幾十次之假數按前率數乘之即得第一率之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之四凡真數首位為一者則開方首位必得一若首位非一者則以真數遞乘幾次使首位得一即以遞乘所得之真數遞次開方至得十五空位乃以其後之零數與前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假數相比例即得開方第幾次之假數按前率數乘之即得遞乘所得真數之假數再看遞乘所得真數為連比例第幾率則以第幾率之數除之即得所求之假數如求二之假數則以二為連比例第一率遞次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此數命為第一率其首位之一千命為單位開方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次開方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次開方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次開方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次開方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次開方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次開方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此遞次開方至第十七次則得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次則得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次則得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次則得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率(三率有十七位則一率亦加十六空位以足其)(分)其假數十七空位後之零數四三四二九四四八一九○三二五一八○四為二率今所得眞數之零數一六八五一六○五七○五三九四九七七為三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即為開方第四十七次之假數前亦仍為十七空位以加倍四十七次之率數一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為第一率一○二四之假數(葢開方第)(四十七次之假數為十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故)(前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位)然一○二四首位之一開方雖命為單位而其實則為千位千之假數首位應為三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是為一千零二十四之假數又因一千零二十四為二之連比例第十率故以十歸之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即為所求之連比例第一率二之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之五凡求假數眞數開方之次數愈多則所得之假數愈密然用假數不過至十二位觀前遞次開方表内至九空位以後其開方之數與折半之數已同七位其零數所差甚微故眞數開方至二十七次即可以立率如求二之假數按前法遞次乘之至第十率得一○二四開方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣於是察前眞數一○遞次開方表内第三十四次數得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦為九空位即以其眞數之零數一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七為一率其假數十一空位後之零數五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五為二率眞數之零數一為三率(一率為二十一位則三率)(亦加二十空位以足其分)得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即為一○○○○○○○○○一之假數前亦仍為十一空位乃即用此數為比例以眞數之零數一為一率(三率)(為二十二位則一率亦加二十一空位以足其分)其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五為二率今以一○二四開方二十七次所得之零數一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二為三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即為一○二四開方第二十七次之假數前亦仍為十一空位以加倍二十七次之率數一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即為第一率一○二四之假數與前法所得之數同(前法得三九八収之亦為四○○以後竒零㣲有不合止截用十二)(位)再按前法首位加三而以率數十歸之即得○三○一○二九九九五六六四○為二之假數也此法較之前法開方省二十次而所得之數同故求假數者用此法亦便也明對數之目用遞次開方求假數法之六凡開方之數與折半之數雖不同然而不同之較遞次漸少故又有相較之法至開方第十次以後則以較數相減即得開方之數如求六之假數以六為連比例第一率遞次乘之得連比例第九率為一千零七萬七千六百九十六乃以此數命為第一率其首位之一千萬命為單位開方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次開方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次開方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次開方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次開方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七與第四次開方所得折半之數漸近乃以第四次開方所得數折半(首位之一不折半葢首位之一諸次開方)(皆同其數不變也)得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七與第五次開方所得數相減餘二九二五五五九八六二九二八九三七五四○為第五次之較設使有第五次之較則將第四次開方所得數折半内減第五次之較即第五次開方所得數然第五次之較乃與第五次開方數相減而得故第五次猶必用開方也第六次開方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次開方所得數折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三與第六次開方所得數相減餘七三一三○一五二○八二二四六五一六九為第六次之第一較又將第五次之較四歸之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五與第六次之第一較相減餘八八四四四九○九七六九二一五為第六次之第二較設使有第二較則將第五次之較四歸之内減第六次之第二較即為第六次之第一較將第五次開方所得數折半内減第六次之第一較即第六次開方所得數然第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第六次開方數相減而得故第六次猶必用開方也第七次開方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次開方所得數折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七與第七次開方所得數相減餘一八二八一四三二五七六一七○三五九二為第七次之第一較又將第六次之第一較四歸之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二與第七次之第一較相減餘一一○五四四四三九一二七○○為第七次之第二較又將第六次之第二較八歸之得一一○五五六一三七二一一五二與第七次之第二較相減餘一一六九八○八四五二為第七次之第三較設使有第三較則將第六次之第二較八歸之内減第七次之第三較即為第七次之第二較將第六次之第一較四歸之内減第七次之第二較即為第七次之第一較將第六次開方所得數折半内減第七次之第一較即第七次開方所得數然第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第七次開方數相減而得故第七次猶必用開方也第八次開方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次開方所得數折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二與第八次開方所得數相減餘四五七○二一九九七○八○四三二○八為第八次之第一較又將第七次之第一較四歸之得四五七○三五八一四四○四二五八九八與第八次之第一較相減餘一三八一七三二三八二六九○為第八次之第二較又將第七次之第二較八歸之得一三八一八○五四八九○八七與第八次之第二較相減餘七三一○六三九七為第八次之第三較又將第七次之第三較十六歸之得七三一一三○二八與第八次之第三較相減餘六六三一為第八次之第四較設使有第四較則將第七次之第三較十六歸之内減第八次之第四較即為第八次之第三較將第七次之第二較八歸之内減第八次之第三較即為第八次之第二較將第七次之第一較四歸之内減第八次之第二較即為第八次之第一較將第七次之開方數折半内減第八次之第一較即第八次開方數然第四較乃與第三較相減而得第三較乃與第二較相減而得第二較乃與第一較相減而得而第一較乃與第八次開方數相減而得故第八次猶必用開方也至第九次開方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次開方數折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七與第九次開方數相減餘一一四二五三七七二一五○三一九○九為第九次之第一較又將第八次之第一較四歸之得一一四二五五四九九二七○一○八○二與第九次之第一較相減餘一七二七一一九七八八九三為第九次之第二較又將第八次之第二較八歸之得一七二七一六五四七八三六與第九次之第二較相減餘四五六八九四三為第九次之第三較又將第八次之第三較十六歸之得四五六九一五○與第九次之第三較相減餘二○七為第九次之第四較又將第八次之第四較三十二除之亦得二○七與第九次之第四較同故自第十次以後則不用開方(若間方止用二十二位則第八次之第三較已同至第九次即不用)(開方亦不用第四較)即以第九次之第四較三十二除之得六為第十次之第四較將第九次之第三較十六除之得二八五五五八内減第十次之第四較餘二八五五五二即為第十次之第三較將第九次之第二較八歸之得二一五八八九九七三六一内減第十次之第三較餘二一五八八七一一八○九即為第十次之第二較將第九次之第一較四歸之得二八五六三四四三○三七五七九七七内減第十次之第二較餘二八五六三二二七一五○四六一六八即為第十次之第一較將第九次開方所得數折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内減第十次之第一較又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即為第十次開方所得數也至第十一次則將第十次之第四較三十二除之不足一倍故無第四較而以第十次之第三較十六除之得一七八四七即為第十一次之第三較將第十次之第三較八歸之得二六九八五八八九七六内減第十一次之第三較餘二六九八五七一一二九即為第十一次之第二較將第十次之第一較四歸之得七一四○八○六七八七六一五四二内減第十一次之第二較餘七一四○七七九八○一九○四一三即為第十一次之第一較將第十次開方所得數折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内減第十一次之第一較又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即為第十一次開方所得數也由此遞推至第二十三次開方數得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得眞數之零數一為一率(三率截用十四位則一率亦加十三空位以足其分)其假數十一空位後之零數四三四二九四四八一八七四一四為二率(截用十四位以從簡易)今開方二十三次所得之零數九二二六二八八九一○四三○七為三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即為開方第二十三次之假數前則為十空位(二率有十四位而其前為十一空位今四率得十五位故前為)(十空位)以加倍二十三次之率數八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五(葢開方第二十三次之假數為十五位并前十空位共二)(十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共為二十五位也此截用十)(二位)即為第一率一○○七七六九六之假數然首位之一開方雖命為單位其實則為千萬千萬之假數首位應為七故首位為七得七○○三三六一二五三四五是為一千零七萬七千六百九十六之假數又因其為連比例第九率故用九歸之得○七七八一五一二五○三八即為連比例第一率六之假數也明對數之目用遞次開方求假數法之七凡求假數先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九數而他數皆由此生然此九十九數内有以兩數相乘除而得者則以兩假數相加減即為所求眞數之假數至五空位以後則又可以比例而得不必逐一而求也如一至九之九數惟二三七之三數用前遞次開方求假數法求之至於四則係二與二相乘所得之數故以二之假數○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即為四之假數至於五係以二除十所得之數故以二之假數與十之假數相減餘○六九八九七○○○四三四即為五之假數至於六係二與三相乘所得之數故以二之假數與三之假數相加得○七七八一五一二五○三八即為六之假數(或先得六之假數内減二之假數即得三之假數)至於八係二與四相乘所得之數故以二之假數與四之假數相加得○九○三○八九九八六九九即為八之假數至於九係三與三相乘所得之數故以三之假數○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即為九之假數(或先得九之假數折半即得三十假數)如一一至一九之九數惟一一一三一七一九之四數用前遞次開方求假數法求之至於一二係二與六相乘所得之數故以二之假數與六之假數相加得一○七九一八一二四六○四為一十二之假數内減首位之一餘○○七九一八一二四六○四即為一二之假數(葢自)(一一至九空位零九其首位之一皆為單位首位以下為小餘試将一十二以)(十除之仍得一二則其首位之一即為單位二為小餘故於十二之假數内減)(首位之一即減去十之假數而所餘為一二之假數也)至於一四乃二與七相乘所得之數故以二之假數與七之假數相加得一一四六一二八○三五六七為一十四之假數内減首位之一餘○一四六一二八○三五六七即為一四之假數至於一五乃三與五相乘所得之數故以三之假數與五之假數相加得一一七六○九一二五九○六為一十五之假數内減首位之一餘○一七六○九一二五九○六即為一五之假數餘皆倣此(詳見對數闡㣲)至於一○○○○○一以後之假數則即可用前遞次開方表内相近數比例而得之如求一○○○○○一之假數則以前表内開方第二十一次眞數五空位後之零數一○九七九五八七三五為一率(截用十位以從簡便)其假數七空位後之零數四七六八三七一五八二為二率(亦截用十位)今眞數之零數一為一率(添九空位)(以足其分)得四率四三四二九四三有餘前亦仍為七空位(因假數止用十二位故四率止求七位并七空)(位為十四位已為足用)截前十二位得○○○○○○○四三四二九即為一○○○○○一之假數二因之得○○○○○○○八六八五九(第十三位滿五則進一數餘倣此)即為一○○○○○二之假數三因之得○○○○○○一三○二八八即為一○○○○○三之假數又以前表内開方第十九次眞數五空位後之零數四三九一八四二一七三為一率其假數六空位後之零數一九○七三四八六三二為二率今眞數之零數四為三率(添九)(空位以足其分)得四率一七三七一七四○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即為一○○○○○四之假數(不以前所得四率四因之者因前所得一○○)(○○○一之假數四因之則㣲小且表内第十九次開方數與此所求眞數相)(近故又用比例以求其準)將所得一○○○○○四之假數四歸五因(將一○○○○○四之假數四歸五因者)(因欲得一○○○○○一之假數而以五因之也)得○○○○○○二一七一四七即為一○○○○○五之假數將所得一○○○○○四之假數四歸六因得○○○○○○二六○五七六即為一○○○○○六之假數又以前表内開方第十八次眞數五空位後之零數八七八三七○三六三四為一率其假數六空位後之零數三八一四六九七二六五為二率今眞數之零數七為三率得四率三○四○○四八○前亦仍為六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即為一○○○○○七之假數(不以前所得四率四)(歸七因者因前所得一○○○○○四之假數四歸七因之則㣲小且表内第)(十八次開方數與此所求眞數相近故又用比例以求其準)將所得一○○○○○七之假數七歸八因得一○○○○○三四七四三四即為一○○○○○八之假數又將所得一○○○○○七之假數七歸九因得○○○○○○三九○八六三即為一○○○○○九之假數至於一○○○○○○一以後之假數則并不用比例葢五空位零一之假數為四三四二九而前所得十五空位零一之假數亦為四三四二九其假數皆相同但遞退一位故以五空位零一至九之假數從未截去一位(末位滿五以上則進一數)前添一空位即得六空位零一至九之假數以六空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假數以七空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假數以八空位零一至九之假數從末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假數明對數之目用前所得九十九數求他假數法之一凡求假數既得前九十九數而他數有由此乘除而得者則以假數相加減即得所求之假數其不由乘除而得者謂之數根(因無他數可以度盡即算法原本所謂連比例之至)(小數)則其假數亦不可以加減而得然有雖為數根而前九十九數中有為其根所生者則逆求之即得原根之假數如前九十九數首位既皆為單位則以十乘之即為十以百乘之即為百以千乘之即為千以萬乘之即為萬故以二之假數與一十之假數相加即為二十之假數與一百之假數相加即為二百之假數與一千之假數相加即為二千之假數與一萬之假數相加即為二萬之假數又如十一之假數與一十之假數相加即為一百一十之假數以一○五之假數與一百之假數相加即為一百零五之假數與一千之假數相加即為一千零五十之假數眞數同則假數亦同但眞數進一位則假數首位加一數耳又如三與七相乘得二十一則以三之假數與七之假數相加即為二十一之假數二與十一相乘得二十二則以二之假數與十一之假數相加即為二十二之假數至於二十三二十九之類則不以乘除而得是為數根若夫五十三雖亦為數根然以五十三與二相乘則得一百零六前既得一○六之假數則與一百之假數相加即為一百零六之假數内減二之假數即為五十三之假數由此類推數自繁衍而其不可以乘除而得者則又以累乘累除之法而得之(詳見後)要未有出於前九十九數之外者也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之二凡求假數其眞數有以累乘而得者則以假數累加之即得所求之假數如二萬零七百零三為二萬與一○三及一○○五累乘所得之數則以二萬之假數四三○一○二九九九五六六與一○三之假數○○一二八三七二二四七一及一○○五之假數○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即為二萬零七百零三之假數若先有假數四三一六○三三二八二一三求眞數則視假數内足減二萬之假數即以二萬之假數書於原假數下相減餘○○一五○○三二八六四七足減一○三之假數即以一○三之假數書於減餘之下相減餘○○○二一六六○六一七六與一○○五之假數恰合是知其假數為二萬與一○三及一○○五之三假數相加所得之數則其眞數即知為三眞數累乘所得之數矣乃以二萬與一○三相乘得二萬零六百再以一○○五乘之得二萬零七百零三即為所求之眞數也明對數之目用前所得九十九數求他假數法之三凡求假數而不知其眞數為何數累乘而得者則以所知前位之整數累除之除得累乘之眞數則以其假數累加之即得所求之假數如求二十三之假數而不知其為何數累乘而得但知二十之假數為一三○一○二九九九五六六則以二十三為實以二十為法除之得一一又以兩層所減數按位相加得二二即二十與一一相乘之數以之為法除原實二十三得一○四又以兩層所減數按位相加得二二八八即二二與一○四相乘之數以之爲法除原實二十三得一○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九四四即二二八八與一○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四與一○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○四又以兩層所減數按位相加得二二九九九九一八八四(法止用十位故第十一位滿五以上者進)(一數用若不滿五則去之)即二二九九八九九八八八與一○○○○四相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○三又以兩層所减數相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四與一○○○○○三相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四與一○○○○○○五相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○二又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四與一○○○○○○○二相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○八又以兩層所減數按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○與一○○○○○○○○八相乘之數以之為法除原實二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三係二十與一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得一三六一七二七八三六○六即為二十三之假數也若先有假數一三六一七二七八三六○六求眞數則視假數内足減二十之假數即以二十之假數書於原假數之下相減餘○○六○六九七八四○四○足減一一之假數即以一一之假數書於減餘之下相減餘○○一九三○五一五五二四足減一○四之假數即以一○四之假數書於減餘之下相減餘○○○二二七一八一五九四足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○一○五七五四一八足減一○○○二之假數即以一○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一八九○三九七足減一○○○○四之假數即以一○○○○四之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○一五三二五四足減一○○○○○三之假數即以一○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○二二九六六足減一○○○○○○五之假數即以一○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一二五一足減一○○○○○○○二之假數即以一○○○○○○○二之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○三八二足減一○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此十一假數累加所得之數而眞數即為此十一眞數累乘所得之數乃以此十一眞數累乘之得二十三即為所求之眞數也又如求五千六百八十九之假數而不知其為何數累乘而得但知五千六百之假數為三七四八一八八○二七○○則以五千六百八十九為實以五千六百為法除之得一○一又以兩層所減數按位相加得五六五六即五千六百與一○一相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○五又以兩層所減數按位相加得五六八四二八即五六五六與一○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○八又以兩層所減數按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八與一○○○八相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四與一○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九與一○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○三又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六與一○○○○○○○三相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以兩層所減數按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七與一○○○○○○○○五相乘之數以之為法除原實五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九係五千六百與一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之數乃以其各假數累加之得三七五五○三五九三三七一即為五千六百八十九之假數也若先有假數三七五五○三五九三三七一求眞數則視假數内足減五千六百之假數即以五千六百之假數書於原假數之下相減餘○○○六八四七九○六七一足減一○一之假數即以一○一之假數書於減餘之下相減餘○○○二五二六五三二九三足減一○○五之假數即以一○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○三六○四七一一七足減一○○○八之假數即以一○○○八之假數書於減餘之下相減餘○○○○○一三一七四四八足減一○○○○三之假數即以一○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○一四五八四足減一○○○○○○三之假數即以一○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○一五五五足減一○○○○○○○三之假數即以一○○○○○○○三之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○二五二足減一○○○○○○○○五之假數即以一○○○○○○○○五之假數書於減餘之下相減餘○○○○○○○○○○三五足減一○○○○○○○○○八之假數即以一○○○○○○○○○八之假數書於減餘之下相減恰盡是知其假數為此九假數累加所得之數而眞數即為此九眞數累乘所得之數乃以此九眞數累乘之得五千六百八十九即為所求之眞數也求八線對數凡求八線之假數定半徑為一百億位數既多為用愈密且眞數十一位則假數首位為一○又取其便於用也先以正弦餘弦之眞數求得假數復以正弦餘弦之假數加減之即得切線割線之假數如一分之正弦為二九○八八八二求其假數得六四六三七二六一一○九又如六十度之正弦為八六六○二五四○三八求其假數得九九三七五三○六三一七如求六十度切線之假數則以六十度正弦之假數九九三七五三○六三一七為二率半徑之假數一○○○○○○○○○○○為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二三率相加内減一率餘一○二三八五六○六二七四即六十度正切線之假數如求六十度割線之假數則以半徑之假數一○○○○○○○○○○○為二率又為三率六十度餘弦之假數九六九八九七○○○四三為一率二率倍之内減一率餘一○三○一○二九九九五七即六十度正割線之假數也對數用法設如一百二十三與四百五十六相乘問得幾何法以對數表之一二三之假數二○八九九○五一一一四與四五六之假數二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假數四七四八八六九九五四一所對之眞數得五六○八八即五萬六千零八十八為相乘所得之數也設如三千四百五十六與二千六百七十九相乘問得幾何法以對數表之三四五六之假數三五三八五七三七三三八與二六七九之假數三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因對數表假數首位止於四眞數止於五位故將相加所得假數首位之六暫當四查假數四九六六五四六四四七四相近畧少者為四九六六五四五三二一六其相對之眞數得九二五八六即為九二五八六○○(因假數首位多二數則眞數必多二位)又以九二五八六○○之假數與九二五八七○○之假數相減餘四六九○七為一率以九二五八六○○與九二五八七○○相減餘一○○為二率今相加所得之假數與九二五八六○○之假數相減餘一一二五八為三率得四率二四即眞數九二五八六之後二位之數葢假數多四六九○七則眞數多一百今假數多一一二五八則眞數應多二十四為比例四率也乃以所得二四與九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五萬八千六百二十四為相乘所得之數也大凡眞數二四位以後其假數之較相差無多故眞數即可與假數為比例若用前累乘累除之法固為甚密然較之比例則難而得數則同此對數表所以止於五位也設如三千七百四十四以十六除之問得幾何法以對數表之三七四四之假數三五七三三三五八四○一内減一六之假數一二○四一一九九八二七餘二三六九二一五八五七四乃查假數二三六九二一五八五七四所對之眞數得三三四即二百三十四為歸除所得之數也設有米三十二石令一千零二十四人分之問毎一人應得幾何法以對數表之三二之假數首位加二為三五○五一四九九七八三(因法之假數大)(於實之假數故以實之假數加二即如以實之眞數加兩空位也)内減一○二四之假數三○一○二九九九五六六餘○四九四八五○○二一七因假數首位為○卽知眞數應得單位其得數首位為升仍以假數首位加三查三四九四八五○○二一七所對之眞數得三一七五(因眞數得四位故將假數首位作三查表)(若眞數求五位則將假數首位作四查表或五位後仍有餘數則用比例求之)即三升一合二勺五撮為毎人所應得之數也設如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙邊十二丈求丙乙邊丙甲邊各幾何法以甲角五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與甲乙邊十二丈(作一二○○○)之假數四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四一五五三六七七一五八為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一四三○一即一十四丈三尺零一分為丙乙邊也求丙甲邊則以乙角九十度之正弦假數一○○○○○○○○○○○(即半徑之)(數)與甲乙邊十二丈之假數四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内減丙角四十度之正弦假數九八○八○六七四九六七餘四二七一一一三七四九三為丙甲邊之假數查假數相近所對之眞數得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分為丙甲邊也設如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙邊十六丈甲丙邊十二丈問丙角乙角及乙丙邊各若干法以甲乙邊十六丈與甲丙邊十二丈相加得二十八丈為邊總甲乙邊與甲丙邊相減餘四丈為邊較甲角五十度與一百八十度相減餘一百三十度折半為六十五度為半外角乃以邊較四丈(作四○○○)之假數三六○二○五九九九一三與半外角六十五度之正切假數一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内減邊總二十八丈(作二八○○○)之假數四四四七一五八○三一三餘九四八六二二九四一二二爲半較角正切之假數查正切假數相近所對之眞數得十七度二分為半較角與半外角相加得八十二度二分為對甲乙大邊之丙角與半外角六十五度相減餘四十七度五十八分為對甲丙小邊之乙角也又求丙乙邊則以五十度之正弦假數九八八四二五三九六六五與十六丈(作一六○○○)之假數四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内減丙角八十二度二分之正弦假數九九九五七八八二○九八餘四○九二五八五七三九四為丙乙邊之假數查假數相近所對之眞數得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分為丙乙邊也凡眞數用加減然後比例者須以眞數加減得數再查假數依法算之餘皆倣此設如六十四自乘問得幾何法以對數表之六四之假數一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假數所對之眞數得四○九六即四千零九十六為自乘所得之數也葢自乘兩數相同則其兩假數亦相同故二因之即如二假數相加也設如正方面積三百六十一尺開平方問毎一邊數幾何法以對數表之三六一之假數二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假數所對之眞數得一九即一十九尺為開平方所得毎邊之數也葢正方面積之假數乃以毎邊之假數加倍所得之數故折半即得毎邊之假數對其眞數即得毎邊之數也設如正方面積一百五十二萬二千七百五十六尺開平方問毎一邊數幾何法先以方積前五位一五二二七查得假數為四一八二六一四三四七七因方積係七位今止查得五位仍餘二位故將假數首位之四加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數又以一五二二七○○與一五二二八○○相減餘一○○為一率以一五二二七○○之假數與一五二二八○○之假數相減餘二八五二○四為二率方積之後二位數五六為三率得四率一五九七○四葢眞數多一百則假數多二八五二○四今眞數多五十六則假數應多一五九七一四為比例四率也乃以所得四率與一五二二七○○之假數相加得六一八二六三○三一九一即為一五二二七五六之假數折半得三○九一三一五一五九六仍查假數所對之眞數得一二三四即一千二百三十四尺為開平方所得毎邊之數也又㨗法以一五二二七之假數首位加二得六一八二六一四三四七七即為一五二二七○○之假數折半得三○九一三○七一七三八查假數相近畧大者(葢一五二二七○○之假數畧少於一五二二七五六之假數則其)(折半之假數亦必畧少於一二三四之假數亦取畧大者用之)對其眞數得一二三四即為毎邊之數也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方積前五位查表後有幾位則假數首位加幾數折半查假數相近者即可得之若方根過五位以上者須用比例則以方積查假數亦須用比例方得密合設如正方面積一百五十二兆四千一百五十七億六千五百二十七萬九千三百八十四尺問毎一邊數幾何法以方積前五位一五二四一查得假數為四一八三○一三四六三一因方積係十五位今止查得五位仍餘十位故將假數首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即為一五二四一○○○○○○○○○○之假數又以一五二四一○○○○○○○○○○與一五二四二○○○○○○○○○○相減截用六空位得一○○○○○○為一率以一五二四一之假數與一五二四二之假數相減餘二八四九四二為二率方積後十位數截用前六位得五七六五二七為三率(因表中假數止於十一位)(則眞數亦止須用十一位雖眞數後再多幾位其假數前十一位亦相同故查)(表用五位比例用六位共為十一位)得四率一六四二七七與一五二四一○○○○○○○○○○之假數相加得一四一八三○二九八九○八即為一五二四一五七六五二七○○○○之假數亦即同於一五二四一五七六五二七九三八四之假數折半得七○九一五一四九四五四因假數首位為七即知眞數應得八位今對數表假數首位止於四眞數止於五位故將折半所得假數首位之七減去三得四○九一五一四九四五四查假數相近畧少者為四○九一四九一○九四三對其眞數得一二三四五即為一二三四五○○○(因假數首位多三數則眞)(數進三位)又以一二三四五○○○之假數與一二三四六○○○之假數相減餘三五一七八三為一率以一二三四五○○○與一二三四六○○○相減餘一○○○為二率今折半所餘之假數與一二三四五○○○之假數相減餘二三八五一一為三率得四率六七八與一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四萬五千六百七十八尺為開平方所得毎一邊之數也設如勾二十七尺股三十六尺求弦若干法以對數表之二七之假數一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四為勾自乘之假數仍查假數所對之眞數得七二九為勾自乘之眞數又以三六之假數一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六為股自乘之假數仍查假數所對之眞數得一二九六為股自乘之眞數兩自乘之眞數相加(不以兩自乘之假數)(相加者葢假數相加則是相乘故必對其眞數然後相加也)得二○二五為弦自乘之眞數查其假數得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假數所對之眞數得四五即四十五尺為開方所得之弦數也設如三十六自乘再乘問得幾何法以對數表之三六之假數一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假數所對之眞數得四六六五六即四萬六千六百五十六為自乘再乘所得之數也葢自乘再乘係以方根乘二次則假數亦加二次故以方根之假數三因之即如以方根之假數加二次也其或位數多者依乘法之例推之設如正方體積一萬三千八百二十四尺開立方問毎一邊數幾何法以對數表之一三八二四之假數四一四○六三三七二五一用三歸之得一三八○二一一二四一七仍查假數所對之眞數得二四即二十四尺為開立方所得每邊之數也葢正方體積之假數乃以毎邊之假數三因所得之數故三歸之即得每邊之假數對其眞數即得毎邊之數也其或位數多者依平方之例推之設如方根一十六尺問三乘方積幾何法以對數表之一六之假數一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假數所對之眞數得六五五三六即六萬五千五百三十六尺為三乘方之積數也葢三乘方係以方根乘三次則其假數亦加三次故以方根之假數四因之即如以方根之假數加三次也其或位數多者亦依乘法之例推之設如三乘方積二萬零七百三十六尺問方根幾何法以對數表之二○七三六之假數四三一六七二四九八四二用四歸之得一○七九一八一二四六○仍查假數所對之眞數得一二即一十二尺為開三乘方所得方根之數也葢三乘方積之假數乃以方根之假數四因所得之數故四歸之即得方根之假數對其眞數即得方根之數也其或位數多者亦依平方之例推之大凡開諸乘方之理亦皆由於連比例葢方根為連比例第一率平方積為第二率立方積為第三率三乘方積為第四率四乘方積為第五率五乘方積為第六率六乘方積為第七率七乘方積為第八率八乘方積為第九率九乘方積為第十率(與借根方比例)(定位表同)以第一率方根之假數各以率數乘之即得各乘方積之假數而以各乘方積之假數各以率數除之亦即得第一率方根之假數故由三乘方而進之四乘方求積則用五因求根則用五歸五乘方求積則用六因求根則用六歸推之至於九乘方求積則用十因求根則用十歸即至於一百乘方則以方根之假數用一百零一乘之即得方積之假數以方積之假數用一百零一除之即得方根之假數乘除之數愈繁愈見對數之易此對數之大用也御製數理精藴下編卷三十八
## 下編卷三十九
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷三十九末部九比例規解(平分線分體線) (分面線更體線) (更面線五金線)比例規解比例尺代算凡㸃線面體乘除開方皆可以規度而得然於畫圖製器尤所必需誠算器之至善者焉究其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成兩邊相等之三角形於中任截兩邊相等之各三角形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰平分線以御三率一曰分面線一曰更面線以御面羃一曰分體線一曰更體線以御體積一曰五金線以御輕重一曰分圓線一曰正弦線一曰正切線一曰正割線以御測量併製平儀諸器凡此十線或總歸一器或分為數體任意為之無所不可今將各線之分法及用法併著於篇此外又有假數尺即用對數及正弦割切諸線之對數為之用於三率比例測量尤為簡捷亦詳其法於後平分線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷十九節之法將甲乙甲丙二線俱平分為二百分即為平分線也尺之長短任意為之尺短則平分一百分尺長則平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也設如一丁戊線欲加五倍問得幾何法以比例尺平分線第十分之己庚二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第五十分之辛壬二㸃相離之度作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又五十分之㸃為辛與壬而甲辛壬為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形故甲庚與己庚之比同於甲壬與辛壬之比而甲庚與甲壬之比亦同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁戊之五倍可知矣若欲將丁戊線加十五倍則仍以丁戊線度於十分上定尺取平分線第一百五十分之子丑二㸃相離之度作寅卯線即為丁戊線之十五倍也若欲將丁戊線加三分之二則將平分線第三十分之辰巳二㸃依丁戊線度展開勿令移動而取平分線第五十分之午未二㸃相離之度作申酉線即為丁戊線加三分之二也(以丁戊線為三)(分而加二分共得五分因三與五之㸃近樞難用故用三十與五十其比例同)(也)若有丁癸丁戊二線欲定其比例之分數則將平分線第一百分之戌亥二㸃依丁癸線度展開勿令移動次取丁戊線度尋至平分線第二十分之乾坎二㸃其相離之度恰符即定為一百分之二十約為五分之一即丁癸丁戊兩線之比例也要之用尺之法不外於三率求四率如以一率為腰二率為底而定尺則三率復為腰而其底即四率也以一率為腰三率為底而定尺則二率復為腰而其底亦即四率也若以一率為底二率為腰而定尺則三率復為底而其腰則四率也諸線之用雖各不同其比例之理則一也設如一丁戊線欲分為六分問每分幾何法以比例尺平分線第六十分之己庚二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二㸃相離之度截丁戊線於癸則丁癸即丁戊線六分之一也葢六十分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底又十分之㸃為辛與壬而甲辛壬亦為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰辛壬相距為底此兩三角形為同式形則甲庚與甲壬之比同於己庚與辛壬之比甲壬既為甲庚六分之一則辛壬必為己庚六分之一而丁癸亦為丁戊線六分之一可知矣若欲分丁戊線為七分則將平分線第七十分之子丑二㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平分線第十分之辛壬二㸃相離之度截丁戊線於寅則丁寅即丁戊線七分之一也又若丁戊線欲取七分之三則仍以丁戊線度於七十分上定尺而取平分線第三十分之卯辰二㸃相離之度截丁戊線於己則丁己即丁戊線七分之三也設如有十三人每人給銀七兩問其銀幾何法以比例尺平分線第十分之丁戊二㸃依分釐尺七釐之度展開勿令移動次取平分線第一百三十分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得九分一釐即得共銀為九十一兩也葢十分之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又一百三十分之㸃為己與庚而甲己庚亦為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊十分與甲庚一百三十分之比同於丁戊七釐與己庚九分一釐之比也又以十分當一人故以一百三十分當十三人以七釐當七兩故九分一釐即為九十一兩葢十分與一人之比同於一百三十分與十三人之比而七釐與七兩之比亦同於九分一釐與九十一兩之比也設如每官一員每月給公費錢二千二百文共給錢八千八百文問官員幾何法以比例尺平分線第二十二分之丁戊二㸃依分釐尺一分之度展開勿令移動次取平分線第八十八分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得四分即得官四員也葢二十二分之㸃為丁與戊而甲丁戊為兩邊相等之三角形甲丁甲戊為腰丁戊相距為底又八十八分之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為底此兩三角形為同式形故甲戊二十二分與甲庚八十八分之比同於丁戊一分與己庚四分之比也又以二十二分當錢二千二百故以八十八分當錢八千八百以一分當官一員故四分即為官四員葢二十二分與二千二百之比同於八十八分與八千八百之比而一分與一員之比亦同於四分與四員之比也設如原有粟五斗易布二疋今有粟三石問易布幾何法以比例尺平分線第二十分之丁戊二㸃(四倍五斗之數因五分近樞難用故用四倍之數也)依分釐尺二分之度展開勿令移動次取平分線第一百二十分之己庚二㸃相離之度(四倍三石之數三石為三十斗故四倍之得一百二十也)於分釐尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之㸃為丁與戊一百二十分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式兩三角形故甲戊二十分與甲庚一百二十分之比同於丁戊二分與己庚一寸二分之比也又以二十分當五斗為四倍之數故以一百二十分當三石亦為四倍之數以二分當二疋故一寸二分即為十二疋葢二十分與五斗之比同於一百二十分與三石之比而二分與二疋之比亦同於一寸二分與十二疋之比也設如有二十七及十八之兩數問其相連比例之三數幾何法以比例尺平分線第二十七分之丁戊二㸃依分釐尺一分八釐之度展開勿令移動次取平分線第十八分之己庚二㸃相離之度於分釐尺上量之得一分二釐即相連比例之第三數為十二也葢二十七分之㸃為丁與戊十八分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十七與甲庚十八之比同於丁戊十八與己庚十二之比也丁戊與甲庚既同為十八即連比例之中率則己庚十二為連比例之第三率無疑矣設如有勾五尺股十二尺問弦幾何法以比例尺平分線甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二㸃依本線五十分之度展開勿令移動次取平分線甲庚五十分(當勾數)甲己一百二十分(當股數)之己庚二㸃相離之度於本線上量之為一百三十分即得弦十三尺也葢勾三股四弦五為勾股弦之定數今以甲戊三十甲丁四十為兩腰而丁戊五十為底則其兩腰相交之甲角必為直角故以今有之勾股數為兩腰而取其底即為所求之弦數也若有勾五尺有弦十三尺而求股則取本線一百三十分之度自五十分之庚㸃尋至一百二十分之己㸃其相離之度恰符即得股十二尺矣設如有圓徑三十五寸問圓周幾何法以比例尺平分線第二十一分之丁戊二㸃(徑率七之三倍也因七分近樞故用三倍之數)依分釐尺三分五釐之度展開勿令移動次取平分線第六十六分之己庚二㸃相離之度(周率二十二之三倍也因徑率用三倍故周率亦三倍之)於分釐尺上量之得一寸一分即一百一十寸為所求之圓周也葢二十一分之㸃為丁與戊六十六分之㸃為己與庚而甲丁戊與甲己庚為同式三角形故甲戊二十一與丁戊三分五釐之比同於甲庚六十六與己庚一寸一分之比而甲戊與甲庚既為徑與周之比例則丁戊與己庚亦必為徑與周之比例矣又甲戊為徑率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一釐當一寸故己庚亦以一釐當一寸其比例俱相當也分面線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十一節之法分之即為分面線也或設正方面界一百釐其積數一萬釐以二因之得二萬釐開平方得一百四十一釐為積二萬釐之根又以三因之得三萬釐開平方得一百七十三釐為積三萬釐之根照此屢倍積數開平方將所得之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分面線也設如有甲乙丙三正方形甲形每邊一寸其積數之比例甲為一分乙為六分丙為九分今欲作一大正方形與甲乙丙三正方形之積等問其邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃(因甲)(方之積為一分故用一分也)依甲正方形每邊一寸之度展開勿令移動乃併三正方面積共十六分即取分面線第十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即所求大正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙丙三正方形之共積等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍則十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一邊其積為一分則以十六分相距之度所作正方形其積必為十六分與三正方形之共積相等也設如有大小等邊三角形小形每邊一寸大形每邊四寸今欲將兩面積相減取其餘積作同式等邊三角形問其邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依小形每邊一寸之度展開勿令移動次以大形每邊四寸之度於分面線上尋至第十六分之兩㸃其相距之度恰合即大形與小形之比例為十六與一相減餘十五為較積即取分面線第十五分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸八分七釐即較形之每一邊也葢大小同式多邊形之比例同於相當界所作正方形之比例(見幾何原本八卷第九節)今十六分所作正方形與一分所作正方形之比例為十六與一則十六分相距之度所作正方形與一分相距之度所作正方形之比例亦為十六與一矣夫大小兩距度即大小兩三角形之相當界其所作兩正方形之比例既為十六與一則大小兩三角形之比例亦必為十六與一矣既得兩形之比例乃相減以得較既得較積之比例復用積以求邊即得所求之邊數也設如有五等邊形每邊二尺欲三倍其積作同式五等邊形問其每邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸四分五釐即三尺四寸五分為所求大形之每一邊用其度作五等邊形其積與原形之三倍等也葢大小同式形之比例同於相當界所作正方形之比例(見幾何原本八巻第九節)今一分所作正方形與三分所作正方形之比例為一與三則一分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為一與三矣夫一分相距之度即原形之界則以三分相距之度為大形之界其積為原形之三倍可知矣又以二寸當原形之邊二尺故三寸四分五釐即為三尺四寸五分也設如有六等邊形每邊三尺欲取其積四分之三作同式六等邊形問其每邊幾何法以比例尺分面線第四分之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取分面線第三分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸六分即二尺六寸為所求小形之每一邊用其度作六邊形其積即為原形四分之三也葢大小同式形之比例同於相當界所作正方形之比例今四分所作正方形與三分所作正方形之比例為四與三則四分相距之度所作正方形與三分相距之度所作正方形之比例亦必為四與三矣夫四分相距之度即原形之界則以三分相距之度為小形之界其積為原形四分之三可知矣又以三寸當原形之邊三尺故二寸六分即為二尺六寸也設如有三率相連比例數首率二尺末率八尺問中率幾何法以比例尺分面線第二分之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取分面線第八分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即四尺為相連比例之中率也葢相連比例三率其首率所作正方形與中率所作正方形之比同於首率與末率之比今首率為二尺末率為八尺則首率所作正方形與中率所作正方形之比例即如二與八之比例故以二分相距之度為首率之數則八分相距之度必為中率之數可知矣又首率用二寸當二尺故中率四寸即為四尺也設如有正方面積一千六百尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積數一千六百尺相較其比例如一與十六即取分面線第十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即四十尺為所求正方之每一邊也葢一分之積既為一百尺則十六分之積必為一千六百尺而一分相距之度既為方積一百尺之每一邊則十六分相距之度必為方積一千六百尺之每一邊矣又以一寸當十尺故四寸即為四十尺也設如有正方面積九千零二十五尺問每一邊幾何法以比例尺分面線第一百分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之一百釐作一百尺自乘得一萬尺與積數九千零二十五尺相較其比例如一百與九十有餘即取分面線第九十分有餘相距之度於分釐尺上量之得九分五釐即九十五尺為所求正方之每一邊也葢一百分之積既為一萬尺則九十分有餘之積必為九千餘尺而一百分相距之度既為方積一萬尺之每一邊則九十分有餘相距之度必為方積九千餘尺之每一邊矣又以一寸當一百尺故九分五釐即為九十五尺也更面線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線設積數一億用面部内面積相等邊線不同之定率比例得各形之邊線其方邊一萬圜徑一萬一千二百八十四三等邊一萬五千一百九十七五等邊七千六百二十四六等邊六千二百零四七等邊五千二百四十六八等邊四千五百五十一九等邊四千零二十二十等邊三千六百零五將各形邊數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成更面線也設如有甲圓形徑一尺二寸欲作一正方形其積與圓積等問每邊幾何法以比例尺更面線圓號之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零六釐即一尺零六分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與圜積等也葢圓號與方號之比例原為同積之圓徑與方邊之比例則其兩距度之比例亦必為圓徑與方邊之比例今圓號相距之度既為圓徑則方號相距之度必為方邊無疑矣又以一寸二分當圓徑一尺二寸故一寸零六釐即為方邊一尺零六分也設如有甲三邊形每邊一十五尺又有乙五邊形每邊十尺欲併作一正方形問每邊幾何法以比例尺更面線三邊號之兩㸃依分釐尺一寸五分之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得九分八釐七豪即九尺八寸七分為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲三邊形積等也又以五邊號之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸三分一釐即十三尺一寸為方正形之每一邊用其度作正方形其積與乙五邊形積等也乃將兩正方形用分面線求其積之比例以分面線第十分之兩㸃依小方邊九分八釐七豪之度展開勿令移動復以大方邊一寸三分一釐之度於分面線上尋至第十七分六釐之處其相距之度恰合即兩方形之比例為十分與十七分六釐併之得二十七分六釐即取分面線第二十七分六釐相距之度於分釐尺上量之得一寸六分四釐即十六尺四寸為正方形之每一邊用其度作正方形其積與甲乙兩形之積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相加故先用更面線將甲乙兩形俱變為正方形復用分面線求其比例而併之即得所求大正方形之一邊也設如有甲八邊形每邊十二尺又有乙六邊形每邊六尺今將兩面積相減用其餘積作一七邊形問其邊幾何法以比例尺更面線八邊號之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸三分八釐即十三尺八寸為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲八邊形積等也又以六邊號之兩㸃依分釐尺六分之度展開勿令移動次取七邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得五分零七豪即五尺零七分為七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與乙六邊形積等也乃將兩七邊形用分面線求其比例以分面線第十分之兩㸃依小七邊形之邊五分零七豪之度展開勿令移動復以大七邊形之邊一寸三分八釐之度於分面線上尋至第七十八分之處其相距之度恰合即兩七邊形之比例為十分與七十八分相減餘六十八分即取分面線第六十八分相距之度於分釐尺上量之得一寸三分即十三尺為所求七邊形之每一邊用其度作七邊形其積與甲乙兩形相減之餘積等也葢甲乙兩形不同類不能得其比例即不能相減故先用更面線將甲乙兩形俱變為七邊形復用分面線求其比例而後相減即得所求七邊形之一邊也設如有十等邊形積四千四百四十五尺問每一邊幾何法先以比例尺分面線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺與積四千四百四十五尺相較其比例如一與四十四又九之五即取分面線第四十四分又九之五相距之度於分釐尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二為方形之一邊用其度作正方形其積與十邊形積等也乃以更面線方號之兩㸃依方形每邊六寸六分又三分之二之度展開勿令移動次取十邊號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸四分即二十四尺為所求十邊形之每一邊也葢正方形為各面形比例之宗故凡有積求邊者必先用分面線求得方形之邊然後用更面線使方號兩㸃相距之度與方邊等而取所求形之號兩㸃相距之度即所求形之一邊自圓形三邊形以至九邊形皆同一法也分體線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十二節之法分之即為分體線也或設正方體界一百釐其積數一百萬釐以二因之得二百萬釐開立方得一百二十六釐為積二百萬釐之根又以三因之得三百萬釐開立方得一百四十四釐為積三百萬釐之根照此屢倍積數開立方將所得之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線也設如有甲乙丙三正方體甲形每邊二寸其積數之比例甲為一分乙為三分丙為四分今欲作一大正方體與甲乙丙三正方體之積等問其邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依甲正方體每邊二寸之度展開勿令移動乃併三正方體積共八分即取八分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸即所求大正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲乙丙三正方體之共積等也葢八分所作正方體原比一分所作正方體大八倍則八分相距之度所作正方體亦必比一分相距之度所作正方體大八倍矣一分相距之度即甲正方體之一邊其積為一分則以八分相距之度所作正方體其積必為八分與三正方體之共積相等也設如有大小兩四等面體小體每邊一寸大體每邊三寸今將兩體積相減取其餘積作同式四面體問其邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依小體每邊一寸之度展開勿令移動次以大體每邊三寸之度於分體線尋至第二十七分之兩㸃其相距之度恰合即大形與小形之比例為二十七與一相減餘二十六為較積即取分體線第二十六分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸九分六釐即較體之每一邊也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例(見幾何原本十卷第七節)今二十七分所作正方體與一分所作正方體之比例為二十七與一則二十七分相距之度所作正方體與一分相距之度所作正方體之比例亦必為二十七與一矣夫大小兩距度即大小兩體之相當界其所作兩正方體之比例既為二十七與一則大小兩四面體之比例亦必為二十七與一矣既得兩體之比例乃相減以得較既得較積之比例復用積以求邊即得所求之邊數也設如有八等面體每邊一尺欲四倍其積作同式八等面體問其每邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取第四分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分九釐即一尺五寸九分為所求體之一邊用其度作八等面體其積與原體之四倍等也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例今一分所作正方體與四分所作正方體之比例為一與四則一分相距之度所作正方體與四分相距之度所作正方體之比例亦必為一與四矣夫一分相距之度即原體之界則以四分相距之度為大體之界其積為原體之四倍可知矣又以一寸當原形邊一尺故一寸五分九釐即為一尺五寸九分也設如有圓球徑三尺欲取其積五分之二作同式圓球體問其徑幾何法以比例尺分體線第五分之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取分體線第二分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸二分一釐即二尺二寸一分為所求小體之一邊用其度為徑作圓球體其積為原體五分之二也葢大小同式體之比例同於相當界所作正方體之比例今五分所作正方體與二分所作正方體之比例為五與二則五分相距之度所作正方體與二分相距之度所作正方體之比例亦必為五與二矣夫五分相距之度即原體之徑則以二分相距之度為小體之徑其積為原體五分之二可知矣又以三寸當原體之徑三尺故二寸二分一釐即為二尺二寸一分也設如有四率相連比例數一率八尺四率二十七尺求二率三率各幾何法以比例尺分體線第八分之兩㸃依分釐尺八分之度展開勿令移動次取分體線第二十七分之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸二分即十二尺為連比例四率之第二率既得二率乃用平分線有一率二率求連比例第三率之法以平分線第八分之兩㸃依分釐尺一寸二分之度展開勿令移動次取平分線第十二分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸八分即十八尺為連比例四率之第三率也葢相連比例四率其一率所作正方體與二率所作正方體之比例同於一率與四率之比例今一率為八尺四率為二十七尺則一率所作正方體與二率所作正方體之比例即如八與二十七之比例故以八分相距之度為一率之數則二十七分相距之度必為二率之數可知矣又一率用八分當八尺故二率一寸二分即為十二尺至於求第三率之法即平分線求連比例三率之理也設如有正方體積二萬七千尺問每一邊幾何法以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺與積數二萬七千尺相較其比例如一與二十七即取分體線第二十七分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸即三十尺為所求正方體之每一邊也葢一分之積既為一千尺則二十七分之積必為二萬七千尺而一分相距之度既為方積一千尺之每一邊則二十七分相距之度必為方積二萬七千尺之每一邊矣又以一寸當十尺故三寸即為三十尺也設如有正方體積八十三萬零五百八十四尺問每一邊幾何法以比例尺分體線第一百分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之一百釐作一百尺自乘再乘得一百萬尺與積數八十三萬零五百八十四尺相較其比例如一百與八十三有餘即取分體線第八十三分有餘相距之度於分釐尺上量之得九分四釐即九十四尺為所求正方體之每一邊也葢一百分之積既為一百萬尺則八十三分有餘之積必為八十三萬餘尺而一百分相距之度既為方積一百萬尺之每一邊則八十三分有餘相距之度必為方積八十三萬餘尺之每一邊矣又以一寸當一百尺故九分四釐即為九十四尺也設如有銀正方體每邊二寸問重幾何法以比例尺分體線第九分之兩㸃(銀正)(方一寸之定率為九兩故用九分度)依分釐尺一寸之度展開勿令移動次取分釐尺二寸之度於分體線上尋至第七十二分之兩㸃其相距之度恰合即七十二兩為銀正方體之重數也葢各體重數之比例與積數之比例等相距之度一寸其積為九分相距之度二寸其積則為七十二分今相距一寸之九分既為正方一寸銀體之重數則相距二寸之七十二分必為正方二寸銀體之重數矣又以九分當九兩故七十二分為七十二兩也設如有大銅球體徑二寸重三十一兩四錢一分今有小銅球體徑一寸二分問重幾何法以比例尺分體線第三十一分四釐之處依大球徑二寸之度展開勿令移動次取小球徑一寸二分之度於分體線上尋至第六分七釐有餘之處其相距之度恰合即六兩七錢有餘為小銅球體之重數也葢各體重數之比例與積數之比例等相距之度二寸其積為三十一分四釐相距之度一寸二分其積則為六分七釐今相距一寸之三十一分四釐既為徑二寸大銅球體之重數則相距一寸二分之六分七釐必為徑一寸二分小銅球體之重數矣又以三十一分四釐當三十一兩四錢故六分七釐即為六兩七錢也更體線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線設積數一兆用體部内體積相等邊線不同之定率比例得各體之邊線其立方邊一萬球徑一萬二千四百零七四面體邊二萬零三百九十七八面體邊一萬二千八百四十九十二面體邊五千零七十二二十面體邊七千七百一十將各體邊線數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成更體線也設如有甲球體徑二尺欲作一正方體其積與球積等問每邊幾何法以比例尺更體線球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取方號之兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸六分一釐即一尺六寸一分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲球積等也葢球號與方號之比例原為同積之球徑與立方邊之比例則其兩距度之比例亦必為球徑與立方邊之比例今球號相距之度既為球徑則方號相距之度必為方邊無疑矣又以二寸當球徑二尺故一寸六分一釐即為一尺六寸一分也設如有甲四面體每邊三尺又有乙八面體每邊四尺欲併作一正方體問每邊幾何法以比例尺更體線四面號之兩㸃依分釐尺三寸之度展開勿令移動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸四分六釐即一尺四寸六分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲四面體積等也又以八面號之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取方號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸一分一釐即三尺一寸一分為正方體之每一邊用其度作正方體其積與乙八面體積等也乃將兩正方體用分體線求其積之比例以分體線第一分之兩㸃依小方體每邊一寸四分六釐之度展開勿令移動復以大方體每邊三寸一分一釐之度於分體線上尋至第九分五釐之處其相距之度恰合即兩方體之比例為一與九分五釐併之得十分五釐即取分體線第十分五釐相距之度於分釐尺上量之得三寸二分即三尺二寸為正方體之每一邊用其度作正方體其積與甲乙兩體之積等也葢甲乙兩體不同類不能得其比例即不能相加故先用更體線將甲乙兩體俱變為正方體復用分體線求其比例而併之即得所求大方體之一邊也設如有甲正方體每邊二尺又有乙球體徑亦二尺今將兩體積相減用其餘積作十二面體問其邊幾何法以比例尺更體線方號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取十二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零一釐四豪即一尺零一分四釐為十二面體之每一邊用其度作十二面體其積與甲正方體積等也又以球號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取十二面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得八分一釐七豪即八寸一分七釐為十二面體之每一邊用其度作十二面體其積與乙球體積等也乃將兩十二面體用分體線求其比例以分體線第十分之兩㸃依小十二面體每邊八分一釐七豪之度展開勿令移動復以大十二面體每邊一寸零一釐四豪之度於分體線上尋至第十九分其相距之度恰合即兩十二面體之比例為十分與十九分相減餘九分即取分體線第九分兩㸃相距之度於分釐尺上量之得七分九釐即七寸九分為所求十二面體之每一邊用其度作十二面體與甲乙兩體相減之餘積等也葢甲乙兩體不同類不能得其比例即不能相減故先用更體線將甲乙兩體俱變為十二面體復用分體線求其比例而後相減即得所求十二面體之一邊也設如有二十面體積一萬七千四百五十五尺問每一邊幾何法先以比例尺分體線第一分之兩㸃依分釐尺一寸之度展開勿令移動乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺與積數一萬七千四百五十五尺相較其比例如一與十七又九之五即取分體線第十七分又九之五相距之度於分釐尺上量之得二寸五分九釐即二十五尺九寸為正方體之一邊用其度作正方體其積與二十面體積等也乃以更體線方號之兩㸃依正方體每邊二寸五分九釐之度展開勿令移動次取二十面號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即二十尺為所求二十面體之每一邊也葢正方體為各體形比例之宗故凡有積求邊者必先用分體線求得方體之邊然後用更體線使方號兩㸃相距之度與方邊等而取所求體之號兩㸃相距之度即所求體之一邊自球體四面體至二十面體皆同一法也五金線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用各體權度比例定率數金重十六兩八錢水銀重十二兩二錢八分鉛重九兩九錢三分銀重九兩銅重七兩五錢鐵重六兩七錢錫重六兩三錢為各體正方一寸輕重之比例(定率數有三十)(餘種尺不能盡載惟此數者其用為多故止載此)若重數相等則其積數必不同故又用轉比例之法求其體積之比例命金之積為十億則與金同重之水銀積為十三億六千八百零七萬八千一百七十五(水銀重十二兩二錢)(八分為一率金重十六兩八錢為二率金積十億為三率得四率即水銀積餘)(倣此)鉛之積為十六億九千一百八十四萬二千九百銀之積為十八億六千六百六十六萬六千六百六十六銅之積為二十二億四千萬鐵之積為二十五億零七百四十六萬二千六百八十六錫之積為二十六億六千六百六十六萬六千六百六十六既得各體之積數乃開立方求其方根則金之數為一千水銀之數為一千一百一十鉛之數為一千一百九十一銀之數為一千二百三十一銅之數為一千三百零八鐵之數為一千三百五十八錫之數為一千三百八十六爰將各根數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成五金線也設如有金球徑二尺欲作一銀球其重與金球等問徑幾何法以比例尺五金線金號之兩㸃依分釐尺二寸之度展開勿令移動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸四分六釐即二尺四寸六分為銀球徑用其度作銀球即與金球重等也葢金號與銀號之比例原為同重之金體邊與銀體邊之比例則金號與銀號兩距度之比例亦必為同重之金體邊與銀體邊之比例今金號相距之度既為金球徑則銀號相距之度必為銀球徑可知矣又以二寸當金球徑二尺故二寸四分六釐即為二尺四寸六分也設如有金正方體每邊一寸重十六兩八錢今欲作銀八面體其重與金正方體等問每一邊幾何法先以比例尺更體線正方體之兩㸃依正方每邊一寸之度展開勿令移動次取八面體兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸二分八釐有餘即為金正方體等重之金八面體之每一邊數乃以五金線金號之兩㸃依金八面體每邊一寸二分八釐之度展開勿令移動次取銀號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分八釐有餘即為銀八面體之每一邊用其度作八面體其重與金正方體等也葢兩體不同類不能得其比例故先用更體線變正方體為八面體而後用五金線比例之其法與前同也設如有銅正方體每邊二寸重六十兩今有鉛一百兩欲鑄為球體問徑幾何法先以分體線第六十分之兩㸃(原重六十)(兩故取六十分)依銅正方體每邊二寸之度展開勿令移動次取分體線第一百分兩㸃相距之度(今重一百兩故取一百分)於分釐尺上量之得二寸三分七釐即重一百兩之銅正方體之每一邊又以更體線正方號之兩㸃依正方每邊二寸三分七釐之度展開勿令移動次取球號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸九分四釐即重一百兩之銅球徑復以五金線銅號之兩㸃依銅球徑二寸九分四釐之度展開勿令移動次取鉛號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸六分八釐即重一百兩之鉛球徑也葢兩重數不同而兩體又不同不能得其比例故先用分體線變為同重之銅正方體又用更體線變為同重之銅球體乃用五金線銅與鉛之邊線以比例之而後得其徑數也設如銀正方一寸重九兩問銅正方一寸重幾何法以五金線銀號之兩㸃依正方一寸之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸零五釐二豪即為重九兩之銅正方邊數乃以分體線九十分之兩㸃依一寸零五釐二豪之度展開勿令移動而以今銅正方一寸之度於分體線上尋至七十五分之兩㸃其相距之度恰合即七兩五錢為銅正方一寸重數也葢銀重九兩其方邊一寸則銅重九兩其方邊必為一寸零五釐二豪又銅方邊一寸零五釐二豪其重九兩則銅方邊一寸其重即為七兩五錢也設如有銀正方體每邊二寸重七十二兩今欲作一銅二十面體其邊與正方體等問重幾何法先以比例尺更體線正方體之兩㸃依正方每邊二寸之度展開勿令移動次取二十面體兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分四釐有餘即為銀正方體等重之銀二十面體之每一邊乃以五金線銀號之兩㸃依銀二十面體每邊一寸五分四釐之度展開勿令移動次取銅號兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸六分三釐有餘即為銀二十面體同重之銅二十面體之每一邊復以分體線第七十二分之兩㸃依銅二十面體每邊一寸六分三釐之度展開勿令移動而以今所作銅二十面體每邊二寸之度於分體線上尋至第一百三十分有餘之處其相距之度恰合即一百三十兩有餘為銅二十面體之重數也葢兩體不同類不能得其比例故先用更體線變正方體為二十面體又用五金線變銀二十面體為銅二十面體復用分體線有邊求重之法比例之然後得其重數也御製數理精藴下編卷三十九
## 下編卷四十
欽定四庫全書御製數理精藴下編卷四十末部十比例規解(分圓線假數尺) (正弦線數尺正切線線假正割線割盡日晷法正弦假 切 數尺 線假數尺)分圓線(即圓内之通弦線)自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線依幾何原本十二卷二十節之法分之即為分圓線也或用八線表三十分之正弦倍之即一度之通弦一度之正弦倍之即二度之通弦一度三十分之正弦倍之即三度之通弦至於九十度之正弦倍之即一百八十度之通弦以所得通弦之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分圓線也設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十九度問丙乙通弦幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取分圓線二十九度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸即丙乙通弦之數也葢圓之半徑與六十度之通弦等六十度之通弦既為六寸則二十九度相距之三寸即為二十九度之通弦可知矣設如甲乙半徑六寸丙乙通弦三寸問丙乙弧度幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取通弦三寸之度於分圓線上尋至二十九度之兩㸃其相距之度恰合即丙乙弧為二十九度也葢圓之半徑與六十度之通弦等通弦六寸相當之度為六十度則丙乙通弦三寸相當之二十九度即為丙乙弧之度可知矣設如丙乙弧三十一度丙乙通弦一寸零三釐問甲乙半徑幾何法以比例尺分圓線三十一度之兩㸃依通弦一寸零三釐之度展開勿令移動次取六十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即甲乙半徑也葢六十度之通弦與圓之半徑等三十一度之通弦為一寸零三釐則六十度之通弦二寸即為圓之半徑可知矣設如圓徑六寸内容五等邊形問每一邊幾何法以比例尺分圓線六十度之兩㸃依半徑三寸之度展開勿令移動次以圓周三百六十度用五歸之得七十二度即五等邊形每邊相當之弧乃取分圓線七十二度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得三寸五分有餘即圓内五等邊形之一邊也葢圓内容五邊形之每一邊即七十二度之通弦而半徑又即六十度之通弦六十度之通弦為三寸則七十二度之通弦三寸五分有餘即為圓内容五等邊形之一邊可知矣設如有甲乙丙三角形問乙角之度幾何法以乙角為心任以一處為界作丁戊弧則乙丁乙戊皆為圓之半徑丁己戊爲乙角之通弦乃以比例尺分圓線六十度之兩㸃依乙丁半徑之度展開勿令移動次取丁己戊通弦之度於分圓線上尋至三十度之兩㸃其相距之度恰合即乙角為三十度也正弦線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正弦線自一度至九十度之數(自八十度至九十度正弦每度之較甚㣲若尺小不能分)(或隔一度而作一㸃或隔五度而作一㸃)於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正弦線也設如甲乙半徑六寸丙乙弧二十一度問丙丁正弦幾何法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正弦線二十一度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸一分五釐即丙丁正弦之數也葢圓之半徑與九十度之正弦等九十度之正弦既為六寸則二十一度相距之二寸一分五釐即為二十一度之正弦可知矣若用分圓線則以分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圓線四十二度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸三分為四十二度之通弦折半得二寸一分五釐即丙丁正弦之數也葢正弦之弧為弧背之一半正弦為通弦之一半故求得倍弧之通弦折半即半弧之正弦此分圓線與正弦線可以互相為用也設如甲乙半徑六寸乙丁正弦三寸問乙丙弧之度幾何法以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正弦三寸之度於正弦線上尋至三十度之兩㸃其相距之度恰合即乙丙弧為三十度也葢圓之半徑與九十度之正弦等正弦六寸相當之度為九十度則正弦三寸相當之三十度為丙乙弧之度可知矣若用分圓線則以分圓線六十度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次以正弦三寸倍之得六寸於分圓線上尋之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也設如甲乙弧三十二度甲丙正弦一寸零六釐問乙丁半徑幾何法以比例尺正弦線三十二度之兩㸃依正弦一寸零六釐之度展開勿令移動次取九十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即乙丁半徑也盖九十度之正弦與圓之半徑等三十二度之正弦為一寸零六釐則九十度之正弦二寸即為圓之半徑可知矣若用分圓線則以三十二度倍之得六十四度以正弦一寸零六釐倍之得通弦二寸一分二釐乃以分圓線六十四度之兩㸃依通弦二寸一分二釐之度展開勿令移動次取分圓線六十度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得二寸即乙丁半徑也設如簡平儀下盤作節氣線問其法若何法自甲圓心作乙丙徑線又自甲平分作赤道線即為春分秋分線乃以比例尺正弦線九十度之兩㸃依甲乙半徑之度展開勿令移動次取二十三度半兩㸃相距之度(二至黄赤道大距度)於赤道線左右丙乙徑上作識如丁戊依識與赤道平行作線即為夏至冬至線(丁為夏至戊為冬至)復以正弦線九十度之兩㸃依甲戊二十三度半之正弦線度展開勿令移動而取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度於赤道左右作識悉與赤道平行作線即成二十四節氣線也葢赤道即春分秋分距二分十五度之線左為驚蟄寒露右為清明白露距二分三十度之線左為雨水霜降右為穀雨處暑距二分四十五度之線左為立春立冬右為立夏立秋距二分六十度之線左為大寒小雪右為小滿大暑距二分七十五度之線左為小寒大雪右為芒種小暑距二分九十度之線左即冬至右即夏至也設如簡平儀下盤欲作時刻線問其法若何法如前作徑線及赤道二至線乃以比例尺正弦線九十度之兩㸃依半徑(即春)(秋分線之半)之度展開勿令移動次取十五度三十度及四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度自圓心於赤道線上下作識即春秋分時之二十四時刻也又以比例尺正弦線九十度之兩㸃依冬夏至線之半展開勿令移動取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各兩㸃相距之度自圓徑與二至線相交之處於二至線上下作識即二至時之二十四時刻也乃用三㸃串圓之法將二至及二分之㸃連為一線即成時刻線矣葢中心横線為卯正酉正距中心十五度之線上為辰初酉初下為卯初戌初距中心三十度之線上為辰正申正下為寅正戌正距中心四十五度之線上為巳初申初下為寅初亥初距中心六十度之線上為巳正未正下為丑正亥正距中心七十五度之線上為午初未初下為丑初子初距中心九十度之線即圓周上為午正下為子正也正切線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正切線自一度至四十五度之數於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正切線也至於四十五度以後則與四十五度以前相為正餘葢四十五度之正切線與半徑等四十五度以前之正切線即四十五度以後之餘切線而半徑與正切之比同於餘切與半徑之比故切線止用四十五度即足九十度之用也設如甲乙半徑六寸乙丙弧三十五度問丁乙切線幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正切線三十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得四寸二分即丁乙切線之數也葢圓之半徑與四十五度之切線等四十五度之切線既為六寸則三十五度相距之四寸二分即為三十五度之切線可知矣設如甲乙半徑六寸乙丙弧五十八度問丁乙切線幾何法以五十八度與九十度相減餘三十二度為餘弧乃以比例尺正切線三十二度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取四十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得九寸六分即丁乙切線之數也葢圓之半徑與四十五度之切線等而三十二度之正切即為五十八度之餘切夫半徑與正切之比既同於餘切與半徑之比故以三十二度相距之六寸當半徑而四十五度相距之九寸六分即為五十八度之切線也凡過四十五度者皆倣此設如甲乙半徑六寸丙乙切線四寸二分問丁乙弧之度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取切線四寸二分之度於正切線上尋至三十五度之兩㸃其相距之度恰合即丁乙弧為三十五度也葢圓之半徑與四十五度之切線等切線六寸相當之度為四十五度則切線四寸二分相當之三十五度即為乙丁弧之度可知矣設如甲乙弧三十五度丙乙切線一寸零五釐問丁乙半徑幾何法以比例尺正切線三十五度之兩㸃依切線一寸零五釐之度展開勿令移動次取正切線四十五度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半徑也葢四十五度之切線與圓之半徑等三十五度之切線為一寸零五釐則四十五度之切線一寸五分即為丁乙半徑可知矣設如地平上立表髙四尺日中影長三尺六寸零二釐問日髙度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取分釐尺三寸六分零二豪之度於正切線上尋至四十二度之兩㸃其相距之度恰合乃以四十二度與九十度相減得四十八度為日距地平之髙度也蓋地平上立表取影以表為半徑則影為日距地平之餘切線如甲乙表髙為半徑乙丙影長為切線求得乙丁弧為甲角之度故與九十度相減得丙角始為日距地平之度也設如壁上立横表四尺日中影長二尺四寸零三釐問日髙度幾何法以比例尺正切線四十五度之兩㸃依分釐尺四寸之度展開勿令移動次取分釐尺二寸四分零三豪之度於正切線上尋至三十一度之兩㸃其相距之度恰合即日距地平之髙為三十一度也葢壁上立横表取影以表為半徑則影即日距地平之正切線如甲乙横表為半徑甲丙影長為切線求得甲丁弧為乙角之度與乙丙戊角之度等故即為日距地平之髙度也正割線自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲丙二線用八線表正割線自初度至七十度之數(初度割線即圓之半徑自一度至十度其每度之較甚㣲)(若尺小不能分或隔五度作一㸃自七十度以上漸與切線平行其數甚大尺)(上不能容故止取七十度也)於分釐尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二線即成正割線也設如甲乙半徑六寸乙丙弧四十一度問甲丁割線幾何法以比例尺正割線初度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取正割線四十一度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得七寸九分五釐即甲丁割線之數也葢初度尚無切線故其割線即圓之半徑初度之割線既為六寸則四十一度相距之七寸九分五釐即為四十一度之割線可知矣設如甲乙半徑六寸甲丙割線一尺二寸問丁乙弧之度幾何法以比例尺正割線初度之兩㸃依半徑六寸之度展開勿令移動次取割線一尺二寸之度於正割線上尋至六十度之兩㸃其相距之度恰合即丁乙弧為六十度也葢初度之割線即圓之半徑割線六寸相當之度為初度則割線一尺二寸相當之六十度即為丁乙弧之度可知矣設如甲乙弧四十四度半丙丁割線二寸一分零三豪問丁乙半徑幾何法以比例尺正割線四十四度半之兩㸃依割線二寸一分零三豪之度展開勿令移動次取初度兩㸃相距之度於分釐尺上量之得一寸五分即丁乙半徑之數也葢初度之割線即圓之半徑四十四度半之割線為二寸一分零三豪則初度之割線一寸五分即為丁乙半徑可知矣作地平日晷法(以北極出地四十度為準)法先作南北東西線相交於甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角五十度為赤道髙丙角四十度為北極高而乙角為直角次取晷表之甲乙度截南北線於丁為半徑作圜用比例尺分圓線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各分分圜界作識乃自丁圜心引出各界作線至東西線上即得午正前後各初正時刻或以甲乙為半徑用比例尺正切線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切線自甲左右作識於東西線上亦即午正前後各初正時刻(甲為午正距甲)(十五度前為午初後為未初距甲三十度前為巳正)(後為未正距甲四十五度前為巳初後為申初距甲)(六十度前為辰正後為申正距甲七十五度前為辰)(初後為酉初也)乃以晷表之丙為晷心至各㸃作線即時刻線也卯正酉正各距午正前後九十度故自丙晷心與東西線平行作線即卯正酉正線卯正以前酉正以後則日轉在北影轉在南故與辰初酉初反對作線即卯初戌初線也次按刻細分則自午正甲㸃每加三度四十五分而得一刻葢十五度當四刻而三度四十五分則當一刻也此法葢因北極為天之樞赤道為天之帶太陽雖由黄道而行時刻皆以赤道而定故以晷表之甲乙指赤道丙乙指北極而東西線即為赤道線丙乙即為過極經圈甲乙即為半徑午正太陽在正南則影在正北若偏東偏西若干度則其切線即其影之長故以甲乙為半徑作圜而分圜界者即所以求切線至於用比例尺正切線者正以切線分時刻也地平日晷作節氣線法法以甲乙丙晷表之甲角與丙乙平行作戊己線而以甲乙為半徑用比例尺正切線比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切線自甲左右作識於戊己線上即得各節氣日影界(春秋分為赤道)(冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分)(小寒大雪距赤道南芒種小暑距赤道北各二十二)(度四十分大寒小雪距赤道南小滿大暑距赤道北)(各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距)(赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南穀)(雨處暑距赤道北各十一度三十分驚蟄寒露距赤)(道南清明白露距赤道北各五度五十五度)或以二十三度三十分之正切線甲戊為半徑作圜將甲乙線引長平分為四象限用比例尺分圓線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各圜界又以乙戊為半徑作戊己弧而依所分甲戊小圜界各與甲乙平行作線截戊己弧界又自乙至戊己各弧界作線截戊甲己線亦即得各節氣日影界(甲為)(春秋分距甲十五度左為驚蟄寒露右為清明白露)(距甲三十度左為雨水霜降右為穀雨處暑距甲四)(十五度左為立春立冬右為立夏立秋距甲六十度)(左為大寒小雪右為小滿大暑距甲七十五度左為)(小寒大雪右為芒種小暑)乃自乙至各㸃作線與午正時刻線相交其相交之㸃即午正各節氣日影界也若求未初節氣線則先以丙乙為半徑作圜又依甲乙度截午正線於庚而以未初線與赤道相交之辛㸃至庚相距之度截圜界於壬作壬辛線乃與壬辛取直角作癸子十字線以壬辛為半徑如前法比得二十三度三十分等距緯之各切線於辛左右作識於癸子線乃自壬至各㸃作線與未初時刻線相交其相交之㸃即未初各節氣日影界也倣此類推則得各時刻之各節氣日影界或用捷法另取一紙畫甲乙丙表式將乙甲乙戊乙己類各節氣線俱畫長些如求未初節氣線則以丙合於晷心丙而以甲乙春秋分線合於未初時刻線與赤道相交之辛㸃乃於各節氣線與未初時刻線相交之處俱作㸃識之即得未初各節氣之日影界餘倣此乃將各時刻線與莭氣線相交之㸃作線聫之即成節氣線也葢春秋分日行赤道而晷表之甲乙指赤道故赤道線即為春秋分線春秋分時日在赤道則午正日影在甲春分以後秋分以前日在赤道北夏至而極北則影在南春分以前秋分以後日在赤道南冬至而極南則影在北故以甲乙為半徑而取各距度之切線為各節氣之影界且切線與半徑成直角故先與甲乙取直角作十字線而後得其切線也(甲乙本直立之線與之取直角則戊端應在晷面下)(己端應在空中出晷面上而其距午正線之逺近與)(平面斜線之度同葢平與立之理一也)其以冬夏至之影界為半徑作圜用分圓線求之者葢半徑與冬夏至距緯正弦之比同於各節氣距二分度之正弦與各節氣距緯正弦之比故以甲戊為半徑作圜為一率又以乙戊為半徑作戊己弧則甲戊切線即變為冬夏至距緯之正弦為二率而用分圓線所分各圜界即得各節氣距二分度之正弦為三率其自圜界作線截戊己弧即得各節氣距緯之正弦為四率既得各節氣之距緯度又自乙至各弧界作線截戊甲己線則戊甲己線仍為各節氣距緯之切線故用正弦即如用切線也然雖得各節氣之影界而猶不在午正線之上故自乙至各節氣㸃作線交於午正線乃自乙表端照至各節氣㸃所必經之處故為午正節氣日影界也至於未初春秋分時則日影至辛乙辛為影線成乙甲辛勾股形甲乙為股(甲乙)(表直立故為股)甲辛為勾乙辛為弦故以甲乙度截午正線於庚而取庚辛之度即與乙辛影線之度等又乙辛線與丙乙為直角成丙乙辛立勾股形丙乙為勾乙辛影線為股丙辛時刻線為弦(葢丙乙為過極經圈乙辛為赤道影線經)(圈與赤道無在而非直角故乙辛與影線亦無在而)(非直角也)故以丙乙為半徑作圜而取庚辛度截圜界於壬成丙壬辛平勾股形即與丙乙辛立勾股形相等(丙壬與丙乙等壬辛與乙辛等丙辛仍為弦線故成)(相等勾股形)爰以壬辛影線為半徑與壬辛作直角取各節氣之切線為各節氣日影界皆與午正取節氣線之法同至其捷法乃以已成之勾股已分之切線轉移用之尤為便捷也向南壁上畫立面日晷法(以北極出地四十度為準)法先作直線及東西横線相交於甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角四十度丙角五十度而乙為直角乃依地平日晷作時刻線法求之即得各時刻線葢晷表之甲丙指天頂甲乙指赤道故丙甲乙角定為四十度則乙甲丁外角為五十度即赤道之髙度也丙乙指南極丙戊指地平故甲丙乙角定為五十度則乙丙戊外角為四十度乃南極入地之度即北極出地之度也甲乙既指赤道丙乙既指南極則丙乙即為過極經圈甲乙即為半徑午正太陽在正南則影在正北若偏東偏西若干度則其切線即其影之長皆與地平日晷之法同至於作節氣線之法亦與地平日晷同但赤道線以上為春分前秋分後至冬至之節氣線赤道線以下為春分後秋分前至夏至之節氣線葢春分以後秋分以前日行赤道北夏至而極北其度髙故其影在下也秋分以後春分以前日行赤道南冬至而極南其度卑故其影在上也向東壁上畫立面日晷法(以北極出地四十度為準)法先安甲乙直表與壁面成直角(甲乙表不拘尺寸)次作甲丙垂線及甲丁横線各成直角次以甲為心作甲丙丁象限弧用比例尺分圓線比得赤道髙五十度之弧為丁戊自甲至戊作甲戊赤道線乃以甲乙表長為半徑用比例尺正切線比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切線於赤道線上作識按識作十字線即成時刻線也(甲㸃為卯正距甲十五度前為卯初後為)(辰初距甲三十度為辰正距甲四十五度為巳初距)(甲六十度為巳正距甲七十五度為午初)葢時刻生於赤道春秋分時卯正日出正東與表對射故無影若向南若干度則其切線即其影之長至於午正則距卯正九十度切線與割線平行故無切線而日影即與壁面平行故亦無影也若於向西壁上畫晷則以午初為未初巳正為未正巳初為申初辰正為申正辰初為酉初卯正為酉正卯初為戌初餘俱與向東壁上畫晷法同向東壁上立面日晷畫節氣線法法以乙表端至卯初㸃相距之度為半徑用比例尺正切線比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切線於卯初線左右作識即得各節氣日影界(春秋分為赤道冬至距赤道南)(夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤)(道南芒種小暑距赤道北各二十二度四十分大寒)(小雪距赤道南小滿大暑距赤道北各二十度十二)(分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六)(度二十三分雨水霜降距赤道南穀雨處暑距赤道)(北各十一度三十分驚蟄寒露距赤道南清明白露)(距赤道北各五度五十五分)又以乙表端至卯正㸃相距之度(即甲)(乙表長)為半徑比得各節氣距緯度之切線於卯正線左右作識即為卯正各節氣日影界凡各時刻節氣俱以乙表端至各時刻㸃相距之度為半徑比得各節氣距緯度之切線於各時刻線左右作識即得各時刻各節氣之日影界將各㸃作線聨之即成節氣線也葢春秋分時日在赤道故其影界即在赤道線之上其自表端至各時刻㸃相距之度即春秋分各時刻之影線也若春分以後秋分以前日在赤道北夏至而極北則影在南春分以前秋分以後日在赤道南冬至而極南則影在北故以表端至各時刻㸃相距之度為半徑而取各節氣距緯度之切線即為各時刻各節氣之日影界聨之即成節氣線也向西壁法同假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取假數表内自一至一百所對之假數於分釐尺上取其度(如二之假數為○三○一)(則為三寸零一釐)截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十分作線與甲丁平行自一十以上又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間零數之度如一○至一一之斜線其與第一直線相交之處即一○一也故假數雖止於一百而可以當一千之用若尺止長一尺則如上圖截去自一至九之數從一十起至一百止葢十之假數為一而百之假數為二今既截去一尺則假數即減去首位之一取其零數作寸分釐豪用時則以十為單總之假數尺雖始於一十終於一百小之則可以為單為零大之則可以為千為萬皆因假數之首位雖遞加一數而其後之零數皆同故可以進退為用惟在比例分明加減詳審則其用自無窮也設如有十二人每人給銀四兩五錢問共銀幾何法以假數尺之四分五釐(即從一十至四十五之度)與一十二分相加得五十四分即五十四兩為共銀數也葢一人與四兩五錢之比同於一十二人與五十四兩之比而真數以乘得者假數以加得之故以四分五釐當四兩五錢以十二分當十二人兩線相加即得五十四兩為共銀數也設如有米四百八十石每石價銀七錢五分問共價銀幾何法以假數尺之七分五釐(即自一十至七十五之度)與四十八分相加過於一百分之度乃以其過於一百分之餘度自假數尺十分以上量之得三十六分即三百六十兩為共價銀數也葢以四十八分當四百八十石是以單當十則相加過於一百分即為過於一千分矣而以其過於一千分之餘度自十分以上量之是以十分當千分則三十六分即為三千六百分既以七分五釐當七錢五分故三千六百分即為三百六十兩也設如有銀五百一十二兩令三十二人分之問每人幾何法以假數尺之五十一分二釐内減去三十二分以其餘度自假數尺十分以上量之得十六分即十六兩為每人之銀數也葢三十二人與五百一十二兩之比同於一人與十六兩之比而真數以除得者假數以減得之故以五十一分二釐當五百一十二兩以三十二分當三十二人相減用其餘度自十分以上量之是以十分當一分故十六分即為一分六釐既以五十一分二釐當五百一十二兩則一分六釐即為十六兩也設如有米四十二石令六十人分之問每人幾何法以假數尺之四十二分内減去六分(即自一十至六十之度)不足於一十之分乃以其不足於一十之度自假數尺一百以下減之餘七十分即七斗為每人之米數也葢以四十二分當四十二石以六分當六十人而以相減不足於一十之分自一百以下減之是以百分當十分則所餘之七十分即為七分矣且以六分當六十人是所減之數以單當十則減餘之數即以十為單而單即為零故所餘之七分即為七釐既以四十二分當四十二石故七釐即為七斗也設如每銀二兩五錢兑錢四千七百五十文今有銀八兩問兑錢幾何法以假數尺之二十五分與四十七分五釐相減餘度與八十分相加過於一百分乃以其過於一百分之餘度自假數尺十分以上量之得十五分二釐即一萬五千二百為共錢數也葢二兩五錢與四千七百五十文之比同於八兩與一萬五千二百文之比故以二兩五錢為一率四千七百五十為二率八兩為三率得一萬五千二百為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於二率内減去一率以其餘度與三率相加而得四率其理同也又四率既過於一百分而以其過於一百分之餘度自十分上量之是以十分當百分故十五分二釐即為一百五十二分既以四十七分半當四千七百五十則一百五十二分即為一萬五千二百也設如有銀六兩買米五石今有銀四兩八錢問買米幾何法以假數尺之六十分内減去五十分餘度與四十八分相減得四十分即四石為米數也葢六兩與五石之比同於四兩八錢與四石之比故以六兩為一率五石為二率四兩八錢為三率得四石為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於一率内減去二率以其餘度與三率相減而得四率其理同也總之二率大於一率者則四率亦大於三率故以二率多於一率之分與三率相加而得四率若二率小於一率者則四率亦小於三率故以二率小於一率之分與三率相減而得四率用雖不同而理實一也正弦假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至九十度之正弦假數減去首位之八於分釐尺上取其度(如一度之正弦假數為八二四一八減去首位之八)(餘二四一八即為二寸四分一釐八豪)截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數如自一度至二度之斜線其與第一直線相交之處即一度五分其與第二直線相交之處即一度十分葢一度有六十分故直線分為十二每一直線當五分若於直線之間酌量取之則五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至九十度止葢九十度之正弦假數首位為一○一度之正弦假數首位為八相減餘二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺則假數首位須再減去一數故從六度起六度之正弦假數首位為九減去首位之九取其零數作寸分釐豪至九十度則恰得一尺之分也設如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙邊五尺三寸七分問甲乙邊幾何法以正弦假數尺之四十四度三十分與五十三度相減用其餘度與假數尺之五十三分七釐相加得六丁一分一釐即六尺一寸一分為甲乙邊也葢甲角正弦與丙角正弦之比同於乙丙邊與甲乙邊之比故以四十四度三十分之正弦為一率五十三度之正弦為二率假數尺之五十三分七釐當乙丙邊為三率得六十一分一釐當甲乙邊為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於二率内減去一率以其餘度與三率相加而得四率其理同也設如甲乙丙三角形甲乙邊六尺一寸一分甲丙邊七尺五寸九分乙角八十二度三十分問丙角幾何法以假數尺之六十一分一釐與七十五分九釐相減用其餘度與正弦假數尺之八十二度三十分相減得五十三度為丙角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同於乙角正弦與丙角正弦之比故以七十五分九釐當甲丙邊為一率六十一分一釐當甲乙邊為二率八十二度三十分之正弦為三率得乙角五十三度為四率本宜以二率與三率相加内減去一率而得四率今先於一率内減去二率餘度與三率相減而得四率其理同也切線假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至四十五度之切線假數減去首位之八於分釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正弦假數尺同至於四十五度以後則與四十五度以前相為正餘葢四十五度之正切線與半徑等四十五度以前之正切線即四十五度以後之餘切線而半徑與正切之比同於餘切與半徑之比故切線尺止用四十五度正餘相對即足八十九度之用若尺小止用一百分則截去自一度至五度之數從六度起至四十五度止其餘度則至八十四度止亦與正弦假數尺同也設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四尺三寸六分乙丙邊四尺二寸九分問甲角幾何法以假數尺之四十三分六釐與四十二分九釐相減用其餘度與切線假數尺之四十五度相減得四十四度三十分為甲角度也葢甲丙邊與乙丙邊之比同於半徑與甲角切線之比故以四十三分六釐當甲丙邊為一率四十二分九釐當乙丙邊為二率四十五度之切線當半徑為三率得甲角四十四度三十分為四率也因二率小於一率故於一率内減去二率餘數於三率内減之即得四率也設如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙邊三十二尺三寸問乙丙邊幾何法以切線假數尺之五十三度與半徑相減用其餘度與假數尺之三十二分三釐相加得四十二分九釐即四十二尺九寸為乙丙邊也蓋半徑與甲角正切線之比同於甲丙邊與乙丙邊之比而甲角餘切線與半徑之比亦同於甲丙邊與乙丙邊之比故以五十三度之餘切線為一率四十五度之切線當半徑為二率三十二分三釐當甲丙邊為三率得四十二分九釐當乙丙邊為四率因五十三度切線自四十五度起是已減去半徑矣故以二率與三率相加即得四率不必更減一率也割線假數尺法按分釐尺二百分之度作甲丁乙丙二平行線又作甲乙丁丙二線令成直角乃取八線對數表内自一度至八十九度之割線假數減去首位之一於分釐尺上取其度截甲丁乙丙二邊依所截㸃作線與甲乙邊平行又將甲乙丁丙二邊各平分為十二分作線與甲丁平行又依分釐尺法於各平行線之間悉作斜線則斜線與直線相交之處即其間之分數皆與正弦假數尺同若尺小止用一百分則截去自八十五度至八十九度之數從○度起至八十四度止葢○度之割線即半徑其假數為一○今從○度起即減去半徑之數至八十四度以後則假數甚大一尺之内不能容故止八十四度止也設如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙邊四十二尺九寸問甲乙邊幾何法以割線假數尺之四十五度三十分與假數尺之四十二分九釐相加得六十一分一釐即六十一尺一寸為甲乙邊也葢半徑與甲角割線之比同於甲丙邊與甲乙邊之比故以半徑為一率四十五度三十分之割線為二率四十二分九釐當甲丙邊為三率得六十一分一釐當甲乙邊為四率因割線先巳減去半徑之數故二率與三率相加即得四率不必更減半徑也設如甲乙丙直角三角形甲丙邊四十二尺九寸甲乙邊五十三尺七寸問甲角幾何法以假數尺之四十二分九釐與五十三分七釐相減用其餘度自割線假數尺○度以上量之得三十七度為甲角度也葢甲丙邊與甲乙邊之比同於半徑與甲角割線之比故以四十二分九釐當甲丙邊為一率五十三分七釐當甲乙邊為二率半徑為三率得三十七度當甲角為四率因○度之割線即半徑故以一率二率相減之餘度自○度以上量之即如與半徑相加也御製數理精藴下編卷四十
## 表卷一上
欽定四庫全書御製數理精藴表卷一上八線表八線表説八線之用關於數理者甚大立表愈宻則為用愈精西洋舊表設半徑為十萬用以推測步算秒微或有不合既而又有新表設半徑為一千萬取數較精但逐分列表用中比例以求秒數止可用於正弦餘弦若切線割線至六十度以後其遞増之數不均用中比例尚不能宻合兹又用本法細推(法見割圜)每十秒遞折求零秒則用比例所差無多檢用亦便用表之法並列如左列表之法○度至四十四度列於右方之上其分秒順列右行自上而下檢得某度某分秒對上層各線之數用之若有各線之數求度分秒者則對上層各線行内檢得某數橫對至右行即得某度分秒 四十五度至八十九度列於左方之下其分秒逆列左行自下而上檢得某度某分秒對下層各線之數用之若有各線之數求度分秒者則對下層各線行内檢得某數橫對至左行即得某度分秒凡查零秒用中比例如檢一度三分十三秒之正弦則以一度三分十秒與一度三分二十秒相減餘十秒為一率一度三分十秒之正弦一八三七三四與一度三分二十秒之正弦一八四二一九相減餘四八五為二率三秒為三率求得四率一四五與一度三分十秒之正弦相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正弦蓋多十秒則正弦多四八五今多三秒則正弦應多一四五為比例四率也如檢一度三分十三秒之餘弦則仍以十秒為一率一度三分十秒之餘弦九九九八三一二内減一度三分二十秒之餘弦九九九八三○三餘九為二率三秒為三率求得四率三與一度三分十秒之餘弦相減餘九九九八三○九即一度三分十三秒之餘弦蓋多十秒則餘弦少九今多三秒則餘弦應少三為比例四率也 如有正弦一八三八七九求度分秒與一度三分十秒之正弦相較則多與一度三分二十秒之正弦相較則少即知在十秒二十秒之間乃以一度三分十秒與一度三分二十秒之正弦相減餘四八五為一率十秒為二率今有之正弦内減一度三分十秒之正弦餘一四五為三率求得四率三秒與一度三分十秒相加即得一度三分十三秒蓋多四八五則多十秒今多一四五則應多三秒為比例四率也如有餘弦九九九八三○九求度分秒則以一度三分十秒之餘弦内減一度三分二十秒之餘弦餘九為一率十秒為二率一度三分十秒之餘弦内減今有之餘弦餘三為三率求得四率三秒與一度三分十秒相加即得一度三分十三秒蓋少九則多十秒今少三則應多三秒為比例四率也八線内有正矢餘矢二線正矢即半徑減餘弦之數餘矢即半徑減正弦之數故表内雖不列正矢餘矢而其數已寓矣◆ 《數學鑰-清-》（KR3f0050）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
數學鑰 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案數學鑰六巻國朝杜知耕撰其書列古方田粟布裒分少廣商功均輸盈朒方程勾股九章取今線面體三部之法𨽻之載其圖解並摘其要語以為之注與方中通所撰數度衍用今法以合九章者體例相同而每章設例必標其凡於章首每問答有所旁通者必附其術於條下所引証之文必著其所出蒐輯尤詳梅文鼎勿菴歴算書記曰近代作者如李長茂算海詳説亦有發明然不能具九章惟方位伯數度衍於九章之外蒐羅甚富杜端伯數學鑰圖注九章頗中肯綮可為筭家程式其説固不誣矣世有二本其一為妄人竄亂殊失本真此本猶當日初刋今據以校正以復知耕之舊焉乾隆四十六年四月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸費墀
## 卷一凡例
欽定四庫全書數學鑰卷一凡例柘城杜知耕撰凡例(計十四則)一則數非圖不明圖非手指不明圖用甲乙等字作誌者代指也作誌必用甲乙等字者取其筆畫省而不亂正文也甲乙等字盡則用子丑等字又盡則用乾坤等字如云甲乙丙丁方形則指第一圖戊巳庚辛方形則指第二圖或錯舉二字謂第一圖為甲丁或乙丙形謂第二圖為戊辛或巳庚形又指第一圖左下角曰甲角右下角曰乙角又或有兩角相連如第三圖兩形相同一角如第四圖舉一字不能别為某形某角則連用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字為所指之角二則四邊皆等四角中矩者曰方形如第一圖四角中矩四邊兩兩相等者曰直形如第二圖或四邊等或兩邊等而四角俱不中矩者曰象目形如第三圖四邊俱不等兩角中矩兩角不中矩者曰斜方形如第四圖角不中矩兩邊相等者曰梯形如第五圖邊及角俱不等者曰無法形如第六圖三邊形有一方角者(甲為方角)曰勾股形如第七圖無方角者曰三角形如第八圖三則形邊之界曰線線之縱者曰長或曰高衡者曰濶或曰廣在下者或曰底斜對兩角者曰弦四則形之積步積尺曰積曰容方形之容或曰羃五則線之作誌處曰㸃六則兩線相並曰和七則以此線比彼線彼線之大于此線者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰較或曰差如甲丙線之大于甲乙線為丙乙則丙乙為兩線之較線或曰兩線之差丁己形之大于丁戊形為庚己形則庚己為兩形之較形或曰兩形之差八則甲乙線上作甲丙方形各邊俱等于甲乙曰甲乙線上方形其形之容即甲乙自乘之數丁戊衡線戊己縱線内作丁己直形己庚與丁戊等庚丁與戊己等曰丁戊偕戊己兩線矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之數九則甲乙衡線上作丙丁縱線而丙丁乙與丙丁甲兩角俱方角則丙丁為甲乙線上之垂線十則兩直線引至無窮不相離亦不相遇曰平行線平行線内任作幾形皆等高如甲乙丙丁兩線平行兩線内作戊己庚三角形與辛壬直形兩形之高必相等凡兩形等高者則曰同在平行線内十一則甲乙丙三形並為一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形十二則方形並舉四邊曰方周十三則方形或圓形外實中虚曰環其中虚處曰虚形或曰缺形十四則甲乙形以丙丁線分之成甲丁丙乙兩形或再以戊己線分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形謂甲丁等二形或甲庚等四形曰分形謂甲乙元形曰全形數學鑰巻一凡例
## 卷一目録
欽定四庫全書數學鑰巻一目録柘城杜知耕撰方田上(直線類)一則實積求畝二則直形求積三則方形求積四則勾股求積(二法)五則三角形求積六則斜方形求積七則梯形求積(西法)八則象目形求積(二法)九則諸直線形求積十則積求方邊(即開平方) (二法)十一則方邊求斜弦十二則斜弦求方邊十三則直積求長與濶(即帶縱開平方)十四則直形以長求濶十五則直形以濶求長十六則直形長濶求弦十七則直形濶弦求長十八則直形長弦求濶十九則直形長及弦濶差求濶二十則直形濶及弦長差求長二十一則直形弦及長濶和求長濶差二十二則直形長及弦濶和求濶二十三則直形濶及弦長和求長二十四則直形弦及長濶差求長與濶二十五則直形長弦和及濶弦和求長與濶二十六則直形長弦差及濶弦差求長與濶二十七則直形積及長濶和求長濶差二十八則直形積及長濶和求弦二十九則兩邊等之三角形求對角之垂線(増)三十則有一方角之三角形求對角之垂線(増)三十一則不等邊而無方角之三角形求對角之垂線三十二則方周求積三十三則方環以周求積(増)三十四則方環以積及濶求邊三十五則直形依長截濶三十六則直形依濶截長三十七則直形截勾股三十八則直形截三角三十九則直形截斜方四十則直形截梯形四十一則三角形以截積截濶求截長(勾股截積)(同)四十二則三角形以截積截長求截濶四十三則三角形以截長求截濶四十四則三角形以截濶求截長四十五則三角形以截積求截長四十六則三角形以截積求截濶四十七則斜方形以截積截長求截濶(梯形截積)(同)四十八則斜方形以截積截濶求截長四十九則斜方形以截濶求截長五十則斜方形以截長求截濶五十一則斜方形依小邊截積求截濶五十二則斜方形依大邊截積求截濶五十三則梯形截勾股五十四則梯形截斜方五十五則梯形截無法五邊形(増)五十六則方環截外周(増)五十七則方環截内周數學鑰巻一目録
## 卷一
欽定四庫全書數學鑰巻一柘城杜知耕撰方田上(直線類)一則實積求畝設田積二萬九千五百二十步求畝法曰置積為實以畝法二四除之得一百二十三畝即所求解曰五尺為步二百四十步為畝如自甲至乙濶一步(即五尺)餘三邊各與甲乙等則甲丙方形為積一步二百四十倍之則為一畝故畝法用二四也本巻及二巻皆言求積之法得積以此法求之即得畝數二則直形求積設直田長十步濶八步求積法曰置長為實以濶乘之得八十步即所求解曰直田長濶不等求積之法任取一邊為此一邊之倍數(或以濶乘長或以長乘濶)如甲戊形之戊乙己甲各二步則二倍甲乙邊八步之數而甲戊形得積一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙邊八步之數故得積八十步也三則方形求積設方田方八步求積法曰置八步自乘得六十四步即所求解曰方田四邊皆等以此邊為此邊之倍數與以他邊為此邊之倍數同故法用自乘也四則勾股求積設勾股田股長十二步勾濶八步求積法曰置股為實以勾乘之(得九十六步)折半得四十八步即所求解曰勾股形當等高等濶直形之半如甲乙丙勾股形另作丁己直形與之等高(謂丁庚與甲丙)(等)等濶(謂丁戊與甲乙等)以庚戊線分之則成丁戊庚庚己戊兩勾股形皆與甲乙丙勾股形等夫丁己一直形當甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不當丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形積也故半之得勾股積又法置股為實以半勾(四步)乘之所得同前(半股為實以勾乘之亦得)解曰丁己直形再以壬辛線中分之成丁壬辛己兩分形法以半勾乘股所得即分形積也勾股既為丁己直形之半而分形亦為丁己直形之半故分形積即勾股積也五則三角形求積設三角田中長一十二步底濶八步求積法同勾股田解曰甲乙丙三角形依底線作甲丁直形從角以丙己線分之則三角形内成甲己丙乙己丙兩勾股形直形内成甲丙己丁兩分形從前解推之甲己丙勾股形當甲丙分形之半乙己丙勾股形當己丁直形之半兩勾股形既當兩分形之半而三角全形不為甲丁全形之半乎故求積之法與勾股同也 或兩邊等(如第一圖)或三邊等(如第二圖)或三邊俱不等(如第三圖)法皆同六則斜方形求積設斜方田長一十五步上濶六步下濶十步求積法曰置長為實以兩濶相並(共一十六步)折半(得八步)為法乘之得一百二十步即所求解曰甲乙丁庚斜方形減去辛丁直形所餘必甲庚辛勾股形勾股形既為等高等濶直形之半(本巻四則)則己庚直形必與甲庚辛勾股形等又己庚直形與辛丁直形並亦必與甲庚辛勾股形與辛丁直形並等法並兩濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁兩形並也安得不與甲乙丁庚斜方形等乎七則梯形求積設梯田長一十五步上濶六步下濶十步求積法同斜方田解曰甲乙丙丁梯形減去戊丁直形餘甲丙戊乙丁己兩勾股形必與辛丙己庚兩分形等今戊丁直形與兩分形並則與全梯形等矣故並兩濶折半乘長得積也八則象目形求積設象目田濶八步正長一十二步求積法曰置正長為實以濶乘之得九十六步即所求解曰幾何原本云甲乙丙丁象目形甲戊為正長自乙作乙己線與甲戊平行次于丁丙線引長之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙兩形在平行線内(等高即在平行線内)而同底(等濶即同底)則兩形必相等何也甲戊乙己兩線既平行則戊己必與甲乙等而丙丁元等于甲乙則丙丁與戊己必亦等丙丁既與甲乙等則甲丙乙丁兩線必平行而亦相等因顯甲丙戊乙丁己兩三角形亦等于兩形内每減一己丙庚三角形所餘甲庚己戊庚乙丙丁兩無法四邊形亦等次于兩無法形每加一甲庚乙三角形則成甲乙丙丁甲乙戊己兩形安得不等法以濶乘正長得甲己直形之積即甲乙丙丁象目形之積又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步兩數相乘亦得九十六步與前同解曰象目田以甲丁線分之則成相等之兩三角形甲丁即底丙戊即中長也故以底乘長得全積也(三角法以底乘)(長折半得積今不折故得兩形之共積)九則諸直線形求積第一圖可作三三角形第二圖可作一斜方形一三角形第三圖可作一三角形而減一小三角形第四圖可作一方形而減一勾股形第五圖可作一直形一勾股形第六圖可作兩三角形其餘千形萬狀凡屬直線邊者皆依方直三角勾股裁之十則積求方邊(即開平方)設方田積三萬六千一百步求方邊法曰置積于中為實初商一百步于實左亦置一百步于實右為方法左右對呼除實一萬步(餘二萬六千一百步)倍方法(得二百步)為亷法次商九十步于左初商之次(共一百九十步)亦置九十步于右亷法之次為隅法(共二百九十步)以左次商與亷法對呼除實一萬八千步(餘八千一百步)又以左次商與隅法對呼除實八千一百步恰盡于左得一百九十步即所求方邊之數解曰初商與方法對呼所除者己辛方形也(即大方積)次商與亷法對呼所除者甲壬壬丁兩直形也(即兩亷)必倍方法為亷法者以亷有二也次商與隅法對呼所除者庚戊方形也(即隅方)四形恰盡實積則初次兩商之數為方田邊無疑矣又設方田積七萬一千八百二十四步求方邊法曰置積于中為實初商二百步于左亦置二百步于右為方法左右對呼除實四萬步(餘三萬一千八)(百二十四步)倍方法(得四百步)為亷法次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次為隅法先以次商與亷法對呼除實二萬四千步再以次商與隅法對呼除實三千六百步(餘實四千二百二十)(四步)又倍次商(得一百二十步)並右亷法(共五百二十步)復為亷法三商八步于左初商次商之次(共二百六十八步)亦置八步于右亷法之次復為隅法先以三商與亷法對呼除實四千一百六十步再以三商與隅法對呼除實六十四步恰盡于左初次三三商共得二百六十八步即所求方邊之數解曰此與前條無異但前二位此三位耳初商次商不能盡故三商之如三商又不盡則四商五商倣此十一則方邊求斜弦設方田方五十步求弦法曰置方數自乘(得二千五百步)倍之(得五千步)平方開之(本巻十則)得七十步零七分有竒即所求解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙弦線次作己庚辛壬方形令方邊與甲丁方形之弦線等則庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形當一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各與甲丁形内四三角形等是形外四三角形又當一甲丁方形矣因知斜弦自乘之方形(即庚壬方形)倍大于方邊自乘之方形(即甲丁方形)法置方邊自乘即甲丁方積也倍之即庚壬方積也平方開之得庚壬方形之邊即得甲丁方形之弦也十二則斜弦求方邊設方田弦長七十步零七分有竒求方邊法曰置弦自乘(得五千步)折半(得二千五百步)平方開之得五十步即所求解曰置弦自乘求庚壬方積也(圖同上則)折半即甲丁方積也故平方開之得甲乙十三則直積求長與濶(即帶縱開平方)設直田積九百七十二步長濶差九步求長與濶法曰置積四因之(得三千八百八十八步)又長濶差自乘(得八十一步)兩數並(共三千九百六十九步)平方開之得六十三步加長濶差(共七)(十二步)折半得三十六步即長以長濶差減長餘二十七步即濶解曰一線任兩分之兩分線矩内形四及兩分線之較線上方形一並與元線上方形等如圖甲乙線兩分于丙丙子庚癸己壬辛丑四線各與乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四線各與甲丙等則丙庚庚己己辛辛丙四形必兩分線矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙則丑壬必兩分線之較線壬癸癸子子丑又各等于丑壬則癸丑形必較線上方形矣甲乙元線上方形不與五形並等乎直田積即兩分線矩内形也四因之者矩内形四也長濶差自乘即較線上方形也五形並等于元線上方形故平方開之得甲乙元線即長濶相和之度也(開方所得之六十三步)長濶和增一長濶差即兩長兩長折半非一長而何以長濶差減長非濶而何十四則直形以長求濶設直田積九百七十二步長三十六步求濶法曰置積為實以長除之得二十七步即所求解曰濶為長之倍數故以長除積得濶(本巻二則)十五則直形以濶求長設直田積九百七十二步濶二十七步求長法曰置積為實以濶除之得三十六步即所求解曰長亦為濶之倍數故以濶除實得長(本巻二則)十六則直形長濶求弦設直田濶二十七步長三十六步求弦法曰長濶各自乘(長得一千二百九十六步濶得)(七百二十九步)兩數並(共二千零二十五步)平方開之得四十五步即所求解曰此即勾股求弦(六巻一則)十七則直形濶弦求長設直田濶二十七步弦四十五步求長法曰弦濶各自乘(弦得二千零二十五步濶得七百二十九步)兩數相減(餘一千二百九十六)平方開之得三十六步即所求解曰此即勾弦求股(六巻二則)十八則直形長弦求濶設直田長三十六步弦四十五步求濶法曰弦長各自乘(弦得二千零二十五步長得一千二百九十六步)兩數相減(餘七百二十九步)平方開之得二十七步即所求解曰此即股弦求勾(六巻三則)十九則直形長及弦濶差求濶設直田長三十六步弦濶差一十八步求濶法曰長與弦濶差各自乘(長得一千二百九十六步弦濶差得三百二十四步)兩數相減(餘九百七十二步)折半(得四百八十六步)以弦濶差為法除之得二十七步即所求解曰此即股與勾弦較求勾(六巻十四則)二十則直形濶及弦長差求長設直田濶二十七步弦長差九步求長法曰置濶自乘(得七百二十九步)以弦長差為法除之(得八十一步)減弦長差(餘七十二步)折半得三十六步即所求解曰此即勾與股弦較求股(六巻十五則)二十一則直形弦及長濶和求長濶差設直田長濶和六十三步弦四十五步求長濶差法曰置弦自乘(得二千零二十五步)倍之(得四千零五十步)另置長濶和自乘(得三千九百六十九步)兩數相減(餘八十一步)平方開之得九步即長濶差以減長濶和(餘五十四步)折半得二十七步即濶加長濶差得三十六步即長解曰此即弦與勾股和求勾股較(六巻七則)二十二則直形長及弦濶和求濶設直田弦濶和七十二步長三十六步求濶法曰置長自乘(得一千二百九十六步)以弦濶和為法除之得一十八步即弦濶差以減弦濶和(餘五十四步)折半得二十七步即所求解曰此即股與勾弦和求勾弦較(六巻十八則)二十三則直形濶及弦長和求長設直田弦長和八十一步濶二十七步求長法曰置濶自乘(得七百二十九步)以弦長和為法除之得九步即弦長差以減弦長和(餘七十二步)折半得三十六步即所求解曰此即勾與股弦和求股弦較(六巻十九則)二十四則直形弦及長濶差求長與濶設直田長濶差九步弦四十五步求長與濶法曰置弦自乘(得二千零二十五步)倍之(得四千零五十步)另置長濶差自乘(得八十一步)兩數相減(餘三千九百六十九步)平方開之得六十三步即長濶和加長濶差(共七十二步)折半得三十六步即長減長濶差餘二十七步即濶解曰此即弦與勾股較求勾股和(六巻十則)二十五則直形長弦和及濶弦和求長與濶設直田長弦和八十一步濶弦和七十二步求長與濶法曰置長弦和以濶弦和乘之(得五千八百三十二步)倍之(得一萬一千六百六十四步)平方開之得一百零八步與長弦和相減餘二十七步即濶與濶弦和相減餘三十六步即長解曰此即勾弦和股弦和求勾與股(六巻十三則)二十六則直形長弦差及濶弦差求長與濶設直田長弦差九步濶弦差一十八步求長與濶法曰置長弦差以濶弦差乘之(得一百六十二步)倍之(得三百二十四)(步)平方開之得一十八步加濶弦差得三十六步即長加長弦差得二十七步即濶解曰此勾弦較股弦較求勾與股(六巻二十則)二十七則直形積及長濶和求長濶差設直田長濶和六十三步積九百七十二步求長濶差法曰置長濶和自乘(得三千九百六十九步)另置積四因之(得三千八百八十八步)兩數相減(餘八十一步)平方開之得九步即所求解曰長濶和自乘之方積當直田積四長濶差自乘之方積一故以長濶和自乘減去四直田積餘以平方開之得長濶差也(本巻十三則)二十八則直形積及長濶和求弦設直田積九百七十二步長濶和六十三步求弦法曰置長濶和自乘(得三千九百六十九步)另置積倍之(得一千九百四)(十四步)兩數相減(餘二千零二十五步)平方開之得四十五步即所求解曰甲戊形長濶和自乘之方也庚辛形弦自乘之方也甲戊形内勾股八及長濶差自乘之方一庚辛形内勾股四及長濶差自乘之方一每二勾股當一直形(如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙)(兩勾股形)是長濶和上方形大于弦上方形之較為二直田積也故法以長濶和自乘減去二直田積平方開之即得弦度也二十九則兩邊等之三角形求對角之垂線設三角田底濶六步兩餘邊各五步求中長法曰置底折半(得三自步)乘(得九)(步)餘邊亦自乘(得二十五步)兩數相減(餘一)(十六步)平方開之得四步即所求解曰丙乙作弦乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾弦求股法也(六巻二則)甲乙邊折半即得勾者以乙丙丙甲兩邊等也設兩邊不等此法不行矣則有下法在三十則有一方角之三角形求對角之垂線設不等邊三角田有一方角(丙為方角即勾股田)底濶十步乙丙邊六步甲丙邊八步求中長法曰置乙丙邊自乘(得三十六步)以底除之(得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾弦求股法)又自乘(得一十二步九分六釐)與丙乙邊自乘之數相減(餘二十三步零四釐)平方開之得四步八分即所求解曰此勾股求對角垂線法也(六巻二十)(五則)因有方角故用之若無方角此法又窮矣更有一法不問等邊方角與否皆可求如下則三十一則不等邊而無方角之三角形求對角之垂線設三角田底濶一十五步乙丙邊八步甲丙邊十步求中長法曰置乙丙甲丙兩邊各自乘(乙丙得六十四步甲丙得一百步)兩數相減(餘三十六步)為實以底除之(得二)(步四分)以減底(餘一十二步六分)折半(得六步三分)(即乙丁之度以下勾弦求股法)又自乘(得三十九步六分九釐)另置乙丙自乘(得六十四步)兩數相減(餘二十四步三分一釐)平方開之得四步九分三釐有竒即所求解曰甲乙丙三角形丁為對角㸃另作庚辛為乙丙邊上方壬癸為甲丙邊上方壬癸大于庚辛之較為夘子丑磬折形若移丑于寅則成夘子寅直形又作辰巳為丁乙上方午未為甲丁上方午未大于辰巳之較為申酉戌磬折形若移戌于亥則成申酉亥直形申酉亥與夘子寅兩直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁線分之則成丁乙丙丁甲丙兩勾股形既皆勾股形則丙乙弦上方形必與丙丁股乙丁勾上兩方形並等甲丙弦上方形必與丙丁股甲丁勾上兩方形並等(六巻一則)從此推之則甲丙上方形大于丙乙上方形之容必與丙丁甲丁上兩方形大于丙丁乙丁上兩方形之容等試減去同用之丙丁上方形則甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形與甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上兩方形相減餘即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底為長(以甲丁乙丁兩線並為長即以甲乙全線為長)以甲丁乙丁之較線甲己為濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既為甲丁乙丁之較線于甲乙線減去甲己則己丁乙丁兩線等矣故折半得乙丁餘仍勾弦求股法(六巻二則)同前則三十二則方周求積設方田周二百步求積法曰置周自乘(得四萬步)以方法十六除之得二千五百步即所求解曰假如一步以四面計之則周四步四步自乘得一十六步是周自乘之十六步止得實積一步故以十六為方法也然此法止可施于方田至于直田則不可用如下圖直田長六十步濶四十步周亦得二百步實積止得二千四百步如以前法求之則多積百步矣三十三則方環以周求積設方環田外周二百八十步内周一百二十步求積法曰二周各自乘(外周得七萬八千四百步内周得一萬四千四百步)兩數相減(餘六萬四千步)以方法十六除之得四千步即所求解曰此方内減方法也○如知環濶則用梯田法置兩周相並折半以濶乘之即得環積三十四則方環以積及濶求邊設方環田積四千步濶二十步求内外邊法曰置濶自乘(得四百步)以四因之(得一千六百步)以減環積(餘二千四百步)餘積以四歸之(得六百步)以濶除之得三十步即内邊倍濶(得四十步)加之得七十步即外邊解曰法以環濶自乘者求環之隅方也(即甲等)以四因之者環之隅有四也(即甲乙丙丁四方形)以減環積所餘必四直形也(即戊己庚辛四直形)四歸之者取四直形之一也以濶除之即得内邊者其直形以環之濶為濶以内邊之度為長也加兩濶即得外邊者外邊大于内邊之較為兩濶也○或四因環濶除積得五十步(即直方兩形並之共長)加濶得外邊減濶得内邊三十五則直形依長截濶設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步求截濶法曰置積為實以元長除之得三十二步即所求解曰即以長求濶法(本巻十四則)三十六則直形依濶截長設直田濶六十四步依元濶截積二千七百二十步求截長法曰置積為實以元濶除之得四十二步五分即所求解曰即以濶求長法(本巻十五則)三十七則直形截勾股設直田長八十五步依元長截積一千三百六十步成勾股形法曰置積倍之(得二千七百二十步)以元長除之得三十二步即所求解曰勾股形當等高等濶直形之半法倍勾股積即乙丙直形積也乙丙直形既倍勾股積則必與勾股等高等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股之濶也三十八則直形截三角設直田濶六十四步依元濶截積一千三百六十步成三角形求長法曰置積倍之(得二千七百二十步)以元濶除之得四十二步五分即所求解曰三角形亦當等高等濶直形之半法倍三角積即甲乙直形積也甲乙直形既倍三角積則必與三角形等高等濶矣故求甲乙直形之長即三角形之長也三十九則直形截斜方設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步成斜方形兩濶相差五步求兩濶法曰置積為實以元長除之(得三十二步)另置相差五步折半(得二步五分)並三十二步得三十四步五分即大邊減三十二步得二十九步五分即小邊解曰以元長除積者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶為斜方兩濶之中度(謂小于大邊二步五分大于小邊亦二步五分)故置差折半增減之即得兩濶四十則直形截梯形設直田濶六十步依元濶截積三千七百八十步成梯形兩濶相差一十二步求長法曰置積為實倍元濶(得一百二十步)減相差一十二步(餘一百零八步)折半(得五十四步)為法除之得七十步即所求解曰倍濶減差折半者求甲乙直形之濶也甲乙直形濶為梯形兩邊之中度(謂小于大邊六步大于小邊亦六步)則直形之容必與梯形等故求直形之長即得梯形之長四十一則三角形以截積截濶求截長(勾股截積同)設三角田依角截積一千三百六十步截濶六十四步求截長法曰置積倍之(得二千七百二十步)以濶除之得四十二步五分即所求解曰此與直田截三角同(本巻三十八則)四十二則三角形以截積截長求截濶設三角田依角截積一千三百六十步截長四十二步五分求截濶法曰置積倍之(得二千七百二十步)以長除之得六十四步即所求解曰此與直田截勾股同(本巻三十七則)四十三則三角形以截長求截濶設三角田元長二百步濶一百五十步自角截長一百五十步求截濶法曰置截長為實以元濶乘之(得二)(萬二千五百步)以元長除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一線分之分線若與底線平行則分形之比例必各與全形等謂丙丁與丁戊若丙甲與甲乙丁戊與丙庚若甲乙與丙己又丁戊與甲乙若丙丁與甲丙丙庚與丙己也(泰西幾何原本)甲乙丙即元形丁戊丙即截形也則截長與截濶之比例必若元長與元濶矣截濶與元濶之比例亦必若截長與元長矣(謂截長大于截濶幾)(分之幾則元長亦大于元濶幾分之)(幾截濶小于元濶幾分之幾則截長)(亦小于元長幾分之幾)法以元濶乘截長以元長除之者借元長及元濶之比例因截長以求截濶也(求比例用異乘同除法詳三巻五則)四十四則三角形以截濶求截長設三角田元長二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截長法曰置截濶為實以元長乘之(得二萬二千五百步)以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元長之比例因截濶以求截長也四十五則三角形以截積求截長設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截長法曰置積倍之(得一萬六)(千八百七十五步)為實以元長乘之(得三百三十七萬五千步)以元濶除之(得二萬二千五百步)平方開之得一百五十步即所求解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等高等濶之直形辛壬為截長丙庚線上方形丁壬辛壬兩形之高必相等兩形既等高則其比例必若丁戊與辛戊(幾何原本云凡兩形)(等高形與形之比例若線與線)辛戊與截長丙庚等而丁戊即截濶是丁壬與辛壬之比例若截濶與截長也分形之比例元與全形等(本巻四十三則)則丁壬與辛壬之比例又若元濶與元長矣法倍截積者求丁壬直形也以元長乘元濶除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬為截長丙庚上方形故平方開之得截長也四十六則三角形以截積求截濶設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截濶法曰置截積倍之(得一)(萬六千八百七十五步)為實以元濶乘之(得二百五十三萬一千二百五十步)以元長除之(得一萬二千六)(百五十六步二分五釐)平方開之得一百一十二步五分即所求解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等高等濶之直形丁辛為截濶丁戊上方形丁壬丁辛兩形之濶必相等兩形既等濶則其比例必若戊壬與戊辛戊辛與截濶等戊壬與截長等是丁壬與丁辛之比例若截長與截濶亦若元長與元濶矣法倍截積者求丁壬直形也以元濶乘元長除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛為截濶丁戊上方形故平方開之得截濶也○以上皆自角截積法若自底截積則以截積減元積餘積亦以上法求之得濶即截濶得長減元長餘為截長四十七則斜方形以截積截長求截濶(梯形截積同)設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步依小邊截積八百二十二步五分截長三十五步求截濶法曰置積為實以截長除之(得二十三步五分)倍之(得四十七步)減小邊元濶餘二十七步即所求解曰以截長除積者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙為小邊及截濶之中度倍之則與小邊及截濶並等矣故減小邊即得截濶也四十八則斜方形以截積截濶求截長設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步依小邊截積八百二十二步五分截濶二十七步求截長法曰置積為實以截濶與小邊元濶並(得四)(十七步)折半(得二十三步五分)為法除之得三十五步即所求解曰以截濶與小邊相並折半者求兩濶之中度甲乙也(同前圖)故以除積得截長四十九則斜方形以截濶求截長設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步截濶二十七步求截長法曰置小邊元濶與截濶相減(餘七)(步)為實以元長乘之(得六百三十步)另以兩元濶相減(餘一十八)(步)除之得三十五步即所求解曰小邊與截濶相減所餘必庚己兩元濶相減所餘必甲戊庚己與截長之比例若甲戊與元長也與三角形同(本巻四十三則)五十則斜方形以截長求截濶設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截長三十五步求截濶法曰置截長為實以兩元濶相減(餘一十八步)乘之(得六百三十步)以元長除之(得七步)並小邊元濶得二十七步即所求解曰七步即己庚之度也(圖同前)故加小邊元濶得截濶餘同前解五十一則斜方形依小邊截積求截濶設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截積八百二十二步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減(餘一十八步)乘之(得一萬四千八百零五步)以元長除之(得一百六十四步五分)倍之(得三百二十九步)另以小邊元濶自乘(得四百步)兩數並(共七百二十九步)平方開之得二十七步即所求解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁與甲乙為兩元濶辛己為截濶丙戊為元長丙庚為截長庚己為小邊與截濶之較線甲戊為兩元濶之較線癸辛為截濶上方形子辛為小邊上方形(庚辛與丙丁等)癸辛之大于子辛者為丑寅兩亷與夘一隅夘隅即較線庚己上方形也截形以丙庚線分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截長丙庚除直形必得辛庚線再以較線己庚乘之必成一亷(兩亷俱以小邊為長以較線為濶)若以截長丙庚除勾股必得庚壬線庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形與勾股兩形實一截形之分也若以己庚乘截積以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例與截形等(本巻四十九則)丙戊之與甲戊必若丙庚之與己庚故置截積以元長丙戊除之以兩邊較線甲戊乘之亦得一亷半隅與前同倍之則成兩亷一隅夫小邊上方形之小于截濶上方形者此兩亷一隅也並之則成截濶上方形矣故平方開之得截濶五十二則斜方形依大邊截積求截濶設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自大邊截積一千七百八十七步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減(餘一十八步)乘之(得三萬二千一)(百七十五步)以元長除之(得三百五十七步五分)倍之(得七百一十五步)另以大邊元濶自乘(得一千四百四十四步)兩數相減(餘七百二十九步)平方開之得二十七步即所求解曰既自大邊截積則元形之大邊亦即截形之大邊而截濶為小邊小邊上方形之小于大邊上方形者兩亷一隅也故于大邊上方形内減去兩亷一隅平方開之即得截濶○若並求長得濶用本巻四十八則法求之五十三則梯形截勾股設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步自一角截勾股積三百四十八步四分八釐求截濶法曰置積倍之(得六百九十六)(步九分六釐)以兩元濶相減(餘六十步)折半(得三十步)乘之(得二萬零九百零八步八)(分)以元長除之(得一百七十四步二分四)(釐)平方開之得一十三步二分即所求解曰甲乙丙丁梯形減去甲戊丙丁斜方所餘必戊丁乙勾股形截積亦勾股形則是勾股截勾股也故法同勾股(本巻四十六則)○若求長則倍截積以截濶除之即得(本巻三十八則)五十四則梯形截斜方設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截斜方積三千六百步求截濶法曰置積為實以元長除之(得三十步)另以兩元濶相減(餘六十步)四歸之(得一十五步)兩數並得四十五步即所求解曰元長除截積得己戊甲庚為大邊大于小邊之半甲己又為甲庚之半則甲己為大邊大于小邊四分之一矣故四歸兩濶之較並己戊得截濶五十五則梯形截無法五邊形設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截五邊形(即甲戊己丁丙)積五千六百五十一步五分二釐求截濶法曰先求梯田全積(本巻七則)減去截積(餘三)(百四十八步四分八釐)以梯田截勾股法求之(本巻五十三則)得濶(一十三步二分)以減大邊元濶餘六十六步八分即所求解曰一十三步二分者乙己戊餘形之濶乙戊也大邊元濶甲乙減去乙戊餘甲戊即截濶五十六則方環截外周設方環田外方七十步自外截積二千四百步求截環内方法曰置元方自乘(得四千九百步)減去截積(餘二千五百步)平方開之得五十步即所求解曰餘環外方即截環内方五十七則方環截内周設方環田内方三十步自内截積一千六百步求截環外方法曰置内方自乘(得九百步)與截積並(得二千五百步)平方開之得五十步即所求解曰内方自乘者補環内虚形以便開方也數學鑰巻一
## 卷二凡例
欽定四庫全書數學鑰巻二凡例柘城杜知耕撰凡例一則圓必中規不中規者不得為圓形形界曲線曰周(如甲乙丙)(丁線)過心直線曰徑(如丁丙線)二則一率自乘之數等于兩率相乘之數則此率為兩率之中率如甲與乙之比例猶乙與丙則乙為甲丙之中率三則設内外兩形内形或以角或以邊抵外形之界而不交曰相切如丙為甲乙之内切形甲乙為丙之外切形四則曲線直線相雜曰雜線形五則割甲乙丙丁圓之一分為甲乙丙弧矢形甲乙丙曲線曰背甲乙衡線曰弦丙丁縱線曰矢丙己曰全徑丁己曰餘徑丁戊曰離徑丙戊曰半徑六則設甲乙直線以線為徑作甲乙丙丁圓形曰甲乙線上圓形數學鑰巻二凡例
## 卷二目録
欽定四庫全書數學鑰卷二目録柘城杜知耕撰方田下(曲線類)一則圓徑求周二則圓周求徑三則圓周徑求積四則圓徑求積五則圓周求積六則圓積求徑七則圓積求周八則圓環求積(增)九則圓環以積及内周求外周(增)十則圓環以積及外周求内周十一則圓環以積及内外周求環濶(增)十二則圓環以兩周求環濶(增)十三則圓環以積及濶求兩周(增)十四則圓環以積及濶求徑十五則圓環以全徑及虚徑求積(西法)十六則撱圓求積(西法)十七則弧矢求積(增)十八則弧矢形以積矢弦及離徑求背(西法)十九則弧矢形以矢弦求餘徑(求全徑離徑半)(徑附)(西法)二十則弧矢形以矢徑求弦二十一則弧矢形以離徑半徑求弦(西法)二十二則弧矢形以弦及餘徑求矢(增)二十三則弧矢形以弦及全徑求矢二十四則弧矢形以半弦半徑求矢二十五則弧矢形以半弦及離徑求矢(增)二十六則弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑較求矢與弦二十七則舊弧矢法以矢弦求積二十八則舊弧矢法以積矢求弦二十九則舊弧矢法以積弦求矢(增)三十則增弧矢法以矢弦求積(增)三十一則圓截圓三十二則圓截弧矢(西法)三十三則弧矢形截雜線三角形三十四則方内減圓以餘積求圓積三十五則方内減圓以餘積求方積(求方邊圓徑)(附)三十六則圓内減方以餘積求方積(求方邊圓徑)(附)三十七則圓内減方以餘積求圓積三十八則方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑(增)三十九則圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方弦四十則諸雜線形求積數學鑰巻二目録
## 卷二
欽定四庫全書數學鑰巻二柘城杜知耕撰方田下(曲線類)一則圓徑求周設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二十二乘之(得六百一十六步)以徑法七除之得八十八步即所求解曰徑法七周法二十二者徑與周之比例若七與二十二也何也西洋亞竒黙德云圓徑與圓周三倍又七十之十則朒(謂周不及此數也)三倍又七十一之十則盈(謂周過于此數也)先論三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三步則戊午弦必三百零六步(戊午元與午子)(等午子既倍大于甲午則戊午亦必倍大于甲午)各自乘甲午股得二萬三千四百零九步戊午弦得九萬三千六百三十六步兩數相減餘七萬零二百二十七步平方開之得二百六十五步有竒為戊甲勾(即半徑)則戊甲與甲午之比例為二百六十五步有竒與一百五十三步次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚(庚戊線割圜界)(于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分)則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午並戊甲而與甲午(甲午即午庚偕甲庚)若戊甲與甲庚先定戊午戊甲並為五百七十一步有竒午甲為一百五十三步則戊午並戊甲與甲午之比例若五百七十一步有竒與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百七十一步有竒與一百五十三步矣即以兩數各自乘並而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚戊線(戊甲為勾甲庚為股庚戊為弦)則庚戊與甲庚之比例若五百九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚並戊甲一千一百六十二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百六十二步又八之一有竒兩數各自乘並而開方得一千一百七十二步又八之一為辛戊線(甲戊為勾甲辛為股)(辛戊為弦)則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊並戊甲二千三百三十四步又四之一與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之一兩數各自乘並而開方得二千三百三十九步又四之一有竒為寅戊線(戊甲為勾甲寅為股寅戊為弦)則寅戊與寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒與一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊並戊甲四千六百七十三步五分有竒與寅甲一百五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三步則戊甲為四千六百七十三步五分有竒子戊午為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百九十二分之一復作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六百七十三步五分(未申倍大于未甲乙丁全徑亦倍大于甲戊半徑)以一百五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎 次論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心從丙作丙甲與半徑戊丙等(甲丙即六邊形之一邊)從乙作乙甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七百八十步乙丙弦為一千五百六十步兩數各自乘相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百八十步次平分甲乙丙角作乙丁線以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾股形自相似葢同用丁方角在半圜内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形有兩角等者各腰俱相似則乙丁(大股)與丙丁(大勾)若丁丙(小股)與丁己(小勾)又乙丙(大弦)與丁丙(大勾)若己丙(小弦)與丁己(小勾)更之乙丙與己丙(兩弦)若丁丙與丁己(兩勾)是乙丁與丁丙(兩股)丁丙與丁己(兩勾)乙丙與己丙(兩弦)三比例皆等又乙丙與己丙(兩弦)若乙丙並甲乙(兩腰)與甲丙底之兩分則乙丁與丁丙亦若乙丙並乙甲與甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙並為二千九百一十一步弱甲丙先設七百八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱與七百八十步各自乘並而開方得三千零一十三步又四之一弱為乙丙線(乙丁丙形之弦)則乙丙與丁丙之比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙並乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱並為五千九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘並而開方得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線(乙辛)(丙形之弦)則二百四十步與一千八百三十八步又十一之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數並三千六百六十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一千零七步弱兩數各自乘並而開方得一千零九步弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙庚與庚丙若壬乙並乙丙二千零一十六步又六之一與丙壬六十六步兩數各自乘並而開方得二千零一十七步又四之一弱為乙丙線(乙庚丙形之弦)則庚丙與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零七零四二二有竒設周一則徑三一八三八五六五零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八五七有竒設周一則徑三一八一八一八一八一八有竒再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之二則圓周求徑設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七因之(得六百一十六步)以周法二十二除之得二十八步即所求解曰即前法反用之三則圓周徑求積設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折半(得四十四步)為實以徑折半(得一十四步)為法乘之得六百一十六步即所求解曰圓形與半徑為高全周為底之三角形等何也測量全義云甲乙丙丁圜自戊心百分之必皆成三角形而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等兩全形有不等乎故法以半徑乘半周得庚戊辛三角形之積即得甲乙丙丁圜之積也○或云己戊甲雖全圜百分之一其底終屬曲線不可與直線三角形為比不知甲戊壬角大于己戊甲角而己戊甲中垂線大于甲戊壬中垂線兩相折准即謂之無差亦可四則圓徑求積設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘(得七百八十四步)再以十一乘之(得八千六百二十四步)以十四除之得六百一十六步即所求解曰測量全義云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形之半己戊癸形既為己丁直形之半必為倍大于己丁之己壬方形四之一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半徑為高凡兩形等高者形與形之比例若線與線(兩線即兩底○一巻四十五則)今庚辛底與圜周等己癸底與圜徑等是己戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七與圜周二十二若以四倍大于己戊癸之己壬方形與庚戊辛三角形較其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等(本巻三則)故方圓之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一以為圓積也五則圓周求積設圓田周八十八步求積法曰置周自乘(得七千七百四十四)(步)以七因之(得五萬四千二百零八步)以八十八除之得六百一十六步即所求解曰戊己庚辛圜戊己徑與甲乙丙丁圜周等則兩圜之比例為其徑與徑再加之比例再加云者以兩徑各自乘之數以為比例也設甲乙徑七戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一(本巻四則)今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也六則圓積求徑設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十四乘之(得八千六百二十四步)以十一除之(得七百八十四步)平方開之得二十八步即所求解曰以十四乘十一除者因圜積以求戊己方積也平方開之得方邊即得圜徑者方邊與圜徑等也七則圓積求周設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八十八乘之(得五萬四千二百零八步)以七除之(得七千七百四十四步)平方開之得八十八步即所求解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積也(本巻五則)故平方開之得圜周八則圓環求積設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置内外兩周各自乘(外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步)兩數相減(餘四千二百三十五步)以七乘之(得二萬九千六百四十五步)以八十八除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求解曰與方環求積同(一巻三十三則及本巻五則)九則圓環以積及内周求外周設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫内周一十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之(得二萬九)(千六百四十五步)以七除之(得四千二百三十五步)另置内周自乘(得一)(百二十一步)兩數並(共四千三百五十六步)平方開之得六十六步即所求解曰兩數並共成周上方積故平方開之得外周十則圓環以積及外周求内周設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘(得四千三百五十六步)另置環積以八十八乘之(得二萬九千六百四十五步)以七除之(得四千二)(百三十五步)兩數相減(餘百二十一步)平方開之得一十一步即所求解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘即内周上方積也故平方開之得内周十一則圓環以積及内外周求環濶設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩周相並(共七十七步)折半(得三十八步五分)為法除之得八步七分五釐即所求解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故用梯形求長法(一巻四十八則)即得環濶十二則圓環以兩周求環濶設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置兩周各以七乘之(外周得四百六十二步内周得七十七步)各以二十二除之(外周得二十一步内周得三步五分)兩數相減(餘一十七步五分)折半得八步七分五釐即所求解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虚徑也全徑減虚徑所餘即環之兩濶故折半得一濶也十三則圓環以積及濶求兩周設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求兩周法曰置積為實以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之(得一百九十二步五分)以七除之(得二十七步五分)與三十八步五分相並得六十六步即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虚徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也十四則圓環以積及濶求徑設圓環田積三百三十六步八分七釐五毫濶八步七分五釐求全徑及虚徑法曰置積以十四乘之(得四)(千七百一十六步二分五釐)十一除之(得四百二十八步七分五釐)另置濶自乘(得七十六步五分六釐二毫五絲)以四因之(得三百零六步二分五釐)兩數相減(餘一百二十二步五分)為實以四因濶(得三十五步)為法除之得三步五分即虚徑倍濶(得一十七步五分)加之得二十一步即全徑解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環積也餘即方環求内方法(一巻五十六則)十五則圓環以全徑及虚徑求積設圓環田全徑二十一步虚徑三步五分求積法曰置兩徑各自乘(全徑得四百四十一步虚徑得一十二步二分五釐)兩數相減(餘四百二十八步七分五釐)以十一乘之(得四千七百一十六步二分五釐)十四除之得三百三十六步八分七釐五毫即所求解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四除者因方環積以求圓環積也十六則撱圓求積設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩徑相乘(得三千六百步)以十一乘之(得三萬九千六百步)以十四除之得二千八百二十八步五分七釐有竒即所求解曰西洋亞竒黙德云取撱圓兩徑之中率為徑作圓其容與撱圓等(四九之中率為六謂四之與六)(猶六之與九也)夫求中率之法以兩徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓積也(撱圓形狀不同恐不能無小差)十七則弧矢求積設弧矢田矢濶五步弦長一十七步三分二釐有竒背二十步零九分五釐二毫有竒離徑五步求積法曰置背以離徑並矢(共十步)乘之(得二百零九步五分二釐三毫有竒)另置弦以離徑乘之(得八十六步六分有竒)兩數相減(餘一百二十二步九分二釐三毫有竒)折半得六十一步四分六釐一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑並即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積(本巻三則)則雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙弦為濶以丁戊離徑為高若以高乘濶折半必得三角形之積(一巻五則)于雜線形内減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背離徑乘弦相減折半得積也(相減而後折半與各折半而後相減得數同)十八則弧矢形以積矢弦及離徑求背設弧矢田積六十一步四分六釐一毫有竒矢五步弦一十七步三分二釐有竒離徑五步求背法曰置積倍之(得一百二十二步九分二)(釐三毫有竒)另置弦以離徑乘之(得八十六步六)(分有竒)兩數並(得二百零九步五分二釐三毫有竒)以矢並離徑(共十步)除之得二十步零九分五釐二毫有竒即所求解曰即前則求積法反用之十九則弧矢形以矢弦求餘徑(求全徑離徑半徑附)設弧矢田矢五步弦一十七步三分二釐有竒求餘徑法曰置弦折半(得八步六分六釐有竒)自乘(得七十五步)以矢除之得一十五步即所求解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為餘徑自圓心戊作戊乙線成丁戊乙勾股形丁乙半弦為股丁戊離徑為勾戊乙半徑為弦另作辛夘形為丁戊勾上方形庚壬形為戊乙弦上方形夫庚壬之大于辛夘者為癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也弦上方形與勾股上兩方形並等故也(六巻一則)若移子于寅則成癸丑寅直形必以勾弦較為濶勾弦和為長今戊乙弦等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾弦較也故以矢除丁乙半弦(弧矢形之弦)自乘之積即得勾弦和又乙戊弦(勾股形之弦)既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即離徑加矢折半即半徑二十則弧矢形以矢徑求弦設弧矢田矢五步徑二十步求弦法曰以矢減徑(餘一)(十五步)以矢乘之(得七十五步)平方開之(得八步六分六釐有竒)倍之得一十七步三分二釐有竒即所求解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半弦自乘之數故平方開之得半弦倍之得全弦也二十一則弧矢形以離徑半徑求弦設弧矢田半徑十步離徑五步求弦法曰置半徑離徑各自乘(半徑得一百步離徑得二十五步)兩數相減(餘七十五步)平方開之(得八步六分六釐有竒)倍之得一十七步三分二釐有竒即所求解曰半徑乙戊為弦(勾股形之弦)離徑丁戊為勾求得乙丁股即半弦也(弧矢形之)(弦)故倍之得全弦二十二則弧矢形以弦及餘徑求矢設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒餘徑一十五步求矢法曰置弦折半(得八步六分六釐有竒)自乘(得七十五步)以餘徑除之得五步即所求解曰依十九則解半弦自乘之數即矢偕餘徑相乘之數故以餘徑除之得矢二十三則弧矢形以弦及全徑求矢設弧矢田弦一十七步三分二釐有竒全徑二十步求矢法曰置弦徑各自乘(弦得三百步徑得四百步)兩數相減(餘一)(百步)平方開之(得十步)以減全徑(餘十步)折半得五步即所求解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘徑之較線上方形一(一巻十三則)全弦上方形當半弦上方形四又半弦上方形與矢偕餘徑矩内形等(本巻十九)(則)于全徑上方積内減去全弦上方積即減去矢偕餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折半得矢也二十四則弧矢形以半弦半徑求矢設弧矢田半弦八步六分六釐有竒半徑十步求矢法曰置半弦半徑各自乘(半弦得七十五步半徑得一百步)兩數相減(餘二十五步)平方開之(得五步)以減半徑得五步即所求解曰半弦丁乙為股戊乙半徑為弦求得丁戊勾即離徑也故以之減半徑得矢二十五則弧矢形以半弦及離徑求矢設弧矢田半弦八步六分六釐有竒離徑五步求矢法曰置半弦離徑各自乘(半弦得七十五步離徑得二十五步)兩數並(得一百步)平方開之(得十步)減去離徑得五步即所求解曰半弦丁乙(圖同前則)為股離徑丁戊為勾求得乙戊弦即徑也故減去離徑得矢二十六則弧矢形以半徑半弦較及半弦離徑較求矢與弦設弧矢田半徑多半弦一步三分四釐弱半弦多離徑三步六分六釐強求矢及弦法曰並兩數(共五步)以半徑多半弦之數乘之(得六步七分)倍之(得一十三步四分)平方開之(得三步六分六釐)以加半徑多半弦之數得五步即離徑再加半弦多離徑之數得八步六分六釐即半弦再加半徑多半弦之數得十步即半徑半徑減去離徑餘五步即矢解曰戊乙半徑(圖同二十四則)多于丁乙半弦之數即股弦較丁乙半弦多于丁戊離徑之數即勾股較勾股較並股弦較即勾弦較此即勾弦較股弦較求勾股弦法也(六巻二十則)二十七則舊弧矢法以矢弦求積設弧矢田矢十步弦二十步求積法曰置矢弦相並(共三十步)折半(得一十五步)以矢乘之得一百五十步即所求解曰舊説圓徑一周三甲乙丙丁圓徑二十步周六十步甲乙丙弧矢形為全圓之半其背為全周之半必三十步法以矢弦相並即與弧背等折半以矢乘之猶圓法以半徑乘周折半得積之義也(本巻三則)以舊法論全圓得積三百步而半圓之弧得積一百五十步與圍三徑一之數脗合無差過此以往其矢漸短弧形漸細其差漸多甚至百步之積有差至二十餘步者即如十七則弧矢田弦一十七步三分二釐有竒矢五步依舊法求之止得積五十五步八分較前法所求之積則少五步六分六釐有竒前法雖密于舊法然必背矢弦皆具方可起算舊法有矢有弦即可得積故並存之二十八則舊弧矢法以積矢求弦設弧矢田積五十五步八分矢五步求弦法曰置積倍之(得一百分十一步六)以矢除之(得二十二步三分二釐)減去矢餘一十七步三分二釐即所求解曰舊法以矢乘半弦半矢得弧矢積若以矢除弧矢積必仍得半弦半矢以矢除弧矢積既得半弦半矢以矢除弧矢之倍積不得一弦一矢乎一弦一矢内減去一矢所餘非弦而何二十九則舊弧矢法以積弦求矢設弧矢田積五十五步八分弦一十七步三分二釐求矢法曰置積八因之(得四百四十六步四分)另置弦自乘(得二)(百九十九步九分八釐二毫四絲)兩數並(共七百四十六步三)(分八釐二毫四絲)平方開之(得二十七步三分二釐)減去弦(餘十步)折半得五步即所求解曰甲丁方形邊與一弦二矢等甲戊乙己丁庚丙辛各與矢等其戊己等四直形即矢偕一弦一矢矩内形壬子即弦上方形也又弧矢形以矢乘半弦半矢得積(本巻二十七則)而當一直形之半則四直形必當八弧矢積矣是一弦二矢上方形與弦上方積一及弧矢積八並等反之則弦上方積一及弧矢積八並為一方其邊必一弦二矢也法並兩數以平方開之所得即一弦二矢之度故減弦折半得矢也○舊弧矢法弦背積及徑輾轉相求共三百二十六法實亦不出十七則以下十法之外其不能該者止以上三法耳故存之三十則增弧矢法以矢弦求積設甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙弦一十七步三分二釐有竒求積法曰有矢與弦可得丁壬餘徑餘徑加矢可得丙壬全徑(本卷十九則)甲己與丙壬等即以甲己為弦甲乙為股求乙巳勾得十步(六卷三則)為乙巳庚餘弧之弦又將乙己折半得巳辛復為勾戊巳半徑為弦求戊辛股以減半徑(戊庚與戊巳等)餘庚辛一步三分四釐為乙己庚餘弧之矢另求甲己徑上半圓積(得一百五十七步一分四釐二毫八絲○本巻三則)次求甲乙己勾股積(得八十六步六分○一巻四則)與半圓積相減(餘七十步零五分四釐二毫八)(絲)為甲乙丙與乙己庚兩弧之共積置為實兩弧各以三弦一矢相並以矢乘之(甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得)(四十一步九分九釐五毫六絲)以甲乙丙弧數乘實(得二萬零九十步零五分八釐)(九毫四絲四忽)並兩弧數(共三百二十六步七分九釐五毫六絲)除之得六十一步四分七釐七毫五絲有竒即所求解曰此借兩弧三弦一矢以矢乘之之數為比例以分共積也此法較舊法為密然大弧既盈則小弧必朒較十七則未免有千一之差如必欲得弧積眞數密量弧背從十七則可也三十一則圓截圓設圓田徑二十一步依外周截積三百三十六步八分七釐五毫求餘圓徑法曰置徑自乘(得四百四十一步)另置截積以十四乘之(得四千七百一十六步二分五釐)十一除之(得四百二十八步七分五釐)兩數相減(餘一十二步二分五釐)平方開之得三步五分即所求解曰此與方環截積同(一巻五十六則)三十二則圓截弧矢(舊法)設圓田徑一十三步截弧矢積三十二步求矢法曰置截積自乘(得一千零二十)(四步)為實用商法商矢四步即以所商之矢乘截積(得一百二十八步)為上亷另以矢每步加負隅二分五釐(得五步)與徑相減餘八步為餘徑又以所商之矢自乘(得一十六步)以乘餘徑(得一百二十八)(步)為下亷並兩亷(共二百五十六步)為法除實得四步即所求解曰弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得(本巻二十七則)若以半弦半矢相並除積必得矢法置截積自乘是倍截積為三十二若以三十二半弦與三十二半矢並除倍積必亦得矢法以矢乘截積得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半弦若以半弦大于半矢之數三十二倍之與三十二全矢並即與三十二半弦三十二半矢相並之數同今無半弦數須以矢乘餘徑以為半弦自乘之方(本巻十九則)如甲乙方形甲己為半弦甲丁為半矢丁己為半矢弦較(即半)(弦大于半矢之度)則丁己乙戊直形必半矢弦較以半弦為倍數者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁則庚丙戊辛直形必半矢弦較以半矢為倍數者也兩直形並再以矢乘之必半矢弦較以截積三十二為倍數者也何也弧矢之積元以矢乘半弦半矢而得故也甲乙大方形減去丁己乙戊與庚丙戊辛兩直形餘甲丙小方形為甲丁半矢之冪法所謂負隅也負隅既為半矢之冪必為全矢冪四分之一故法以二分五釐為負隅也法用矢自乘以乘餘徑與用矢乘餘徑再以矢乘之得數同也○按元注云所得之矢過于所商之矢為約矢太短不及所商之矢為約矢太長宜更商之商約之法既無一定惟以意斟酌之若整齊之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此條實無善法姑以此考驗所商之合否耳若止欲考驗所商之合否又何如以所商之矢求半弦(本巻二十則)再加半矢以矢乘之(本巻二十七則)合積為準過積為約矢太長不及積為約矢太短不較捷乎三十三則弧矢截雜線三角形設半圓弧矢田弦二十步自心截雜線三角形背長一十步零四分七釐六毫一絲六忽求截積法曰置截背以弦折半(得十步)乘之(得一百零四步七分)(六釐一毫六絲)折半得五十二步三分八釐零八絲即所求解曰雜線三角形為圓之分形故求積之法同圓(本巻三則)三十四則方内減圓以餘積求圓積設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之(得一千八百四十八步)以圓法十一與方法十四相減餘三為法除之得六百一十六步即所求解曰圓既為方十四分之十一則方内減圓之餘積必為方十四分之三圓十一分之三矣故十一乘三歸得圓積也三十五則方内減圓以餘積求方積(求方邊圓徑附)設方田減去内切圓田四隅餘積一百六十八步求方積法曰置積為實以十四乘之(得二千三百五十二步)以圓法十一與方法十四相減餘三為法歸之得七百八十四步即所求解同前○置方積平方開之即方邊亦即圓徑三十六則圓内減方以餘積求方積(求方邊圓徑附)設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求方積法曰置積為實以七乘之(得一千五百六十八步)以七與圓法十一相減餘四為法歸之得三百九十二步即所求解曰内切方形之弦與外切方形之邊等則内切方形必倍小于外切方形而若七之與十四夫圓既為外方十四分之十一而内方不為圓十一分之七乎圓内減方之餘積為圓十一分之四即為内方七分之四故七乘四除得内切方積也○置方積平方開之即得方邊倍方積平方開之即得圓徑三十七則圓内減方以餘積求圓積設圓田減去内切方田餘積二百二十四步求圓積法曰置積為實以圓法十一乘之(得二千四百六十四步)以圓法十一與七相減餘四為法歸之得六百一十六步即所求解同前三十八則方内減不相切之圓以餘積求方邊及圓徑設方田内減圓田方邊至圓周五步餘積一千七百二十五步求方邊及圓徑法曰置五步自乘(得二十五步)以三因之(得七十五步)與餘積並(共一千八百步)另置五步以六因之(得三十步)為縱方以平方帶縱開之(得九十步則一巻十三)減去縱方餘六十步即方邊再減兩邊各五步(共十步)餘五十步即圓徑解曰依圖分之成甲乙等方形四子丑等直形八乾坎等雜線三角形四其甲乙等四形即方邊至圓周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步為濶其長則圓之半徑也乾坎等四形為方減内切圓形之餘積以方四圓三推之(舊法謂方内容圓圓居方)(四分之三)四形並必當方四分之一乾坎艮三形並必足以補癸形之闕而與一小方二直形一雜形並共凑成一坤震方形矣次移甲于丁移乙于戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚闕庚辛壬三形故法取方邊至圓周之五步自乘以三因之加入積内也自壬至丁凡六形每形濶五步共計三十步故法取方邊至圓周之五步以六因之為縱方也帶縱開方法置積四因之縱方自乘兩數並平方開之得長濶相和之度(即兑巽與巽震並)減去縱方(即兑坤)餘兩濶(即坤巽與巽震並)即方邊方邊之大于圓徑者為兩邊之各五步故減之得圓徑(本則及下則皆用周三徑一法)三十九則圓内減不相切之方以餘積求圓徑及方弦設圓田内減方田圓周至方角一步餘積四十三步求圓徑及方弦法曰置一步自乘(仍得一步)以二因之(得二步)與餘積並(並四十五步)另置一步以四因之(得四步)為縱方以平方帶縱開之(得一十四步)減去縱方即圓徑再減圓周至方角各一步(共二步)餘八步即方弦解曰依内方角作一圓線此圓線偕外圓周必成一圓環形次依環濶改作方環圓環當方環四分之三故止作方環之三隅即與圓環等依圖分之成甲乙丙三方形丁戊己庚辛壬六直形尚餘癸子丑寅四弧矢形為圓減内切方形之餘積以圓三方二推之(舊法謂圓内容方方居圓三分)(之二)四弧矢形並當圓三分之一必當内方二分之一而夘癸辰方形亦當内方二分之一則四弧矢形必能補夘癸辰方形之闕而與辛壬丙三形並共輳成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于乾尚闕未申二形故法取圓周至方角一步自乘二因之補入積内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圓周至方角之一步四因之為縱方也以平方帶縱開之得巽艮艮坎長濶相和之度減去縱方巽震餘震艮艮坎兩濶即圓徑圓徑之大于方弦者為兩邊之各一步故減之得方弦四十則諸雜線形求積第一圖可作一弧矢形而減一弧矢形第二圖可作半弧矢形而減半弧矢形第三圖可作兩弧矢形第四圖移甲丙實形補乙丁虚形成戊三角形又移己實形補庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五圖甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移戊實形補己虚形庚亦成三角形癸借壬虚形亦成三角形(得積)(減去壬圓形)此一大形内成弧矢形二三角形五而減一圓形凡屬雜線形者皆依五形例裁之數學鑰巻二
## 卷三凡例
欽定四庫全書數學鑰卷三凡例柘城杜知耕撰凡例一則設一數與甲乙兩率為同名與丙丁兩率為異名置所設之數為實以甲乘丙除曰同乘異除以丙乘甲除曰異乗同除以丙乘甲得數乘實曰異乘同乘(與以丙乘)(復以甲乘同)以丙乘甲得數除實曰異除同除(與以丙除復以甲除)(同)以丙乘丁除曰異乘異除以甲乘乙除曰同乘同除二則設一數以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求變為以四率乘二率復以六率乘之得數乘實以三率乘一率復以五率乗之得數除實即得所求亦曰同乘同除三則凡用一率除二率乘者則變為先以二率乘後以一率除凡用一率除復用二率除者則變為以一率乘二率得數除實恐歸除多有畸零不盡之數也四則設甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙復乘甲曰維乘以甲乘乙復以乙乘甲曰互乘以甲乘乙復乘丙曰遍五則命分數曰母得分數曰子母數者子之本數子數者母之分數六則設兩數一為法一為實以法除實得若干將法實任各若干倍之以倍法除倍實必仍得若干與原得數同若以倍法除元實則得數小于元得數之倍數即同元法小于倍法之倍數若以元法除倍實則得數大于元得數之倍數即倍實大于元實之倍數如元實為六十元法為五十以五十除六十得十二任三倍元實為一百八十亦三倍元法為一百五十以一百五十除一百八十亦得十二與元得數同以倍法一百五十除元實六十得四則四與元得數十二之比例若元法五十與倍法一百五十也以元法五十除倍實一百八十得三十六則三十六與元得數十二之比例若倍實一百八十與元實六十也數學鑰巻三凡例
## 卷三上目録
欽定四庫全書數學鑰巻三上目録柘城杜知耕撰粟布一則糴糶一法二則糴糶二法三則糴糶三法四則糴糶四法五則糴糶五法六則糴糶六法七則糴糶七法八則糴糶八法九則撞換一法十則撞換二法十一則撞換三法十二則盤量倉窖十三則布帛十四則銀色一法十五則銀色二法十六則銀色三法十七則銀色四法十八則銀色五法十九則銀色六法二十則斤兩一法二十一則斤兩二法二十二則斤兩三法二十三則斤兩四法二十四則斤兩五法二十五則斤兩六法二十六則權重一法二十七則權重二法(増)二十八則權重三法巻三下目録衰分一則合率差分二則折半差分三則四六差分四則三七差分五則二八差分六則逓減差分一法七則逓減差分二法八則逓減差分三法九則帶分子母差分一法十則帶分子母差分二法十一則互和逓減差分一法十二則互和逓減差分二法十三則匿價差分一法十四則匿價差分二法十五則二色差分十六則三色差分(四色五色六色附)十七則貴賤和率差分十八則首尾和率差分附分法一則命分二則約分三則乗分四則課分五則通分數學鑰巻三目録
## 卷三上
欽定四庫全書數學鑰巻三上柘城杜知耕撰粟布一則糴糶一法設粟三十五石每石價銀二錢五分求共銀法曰置粟為實以價乘之得八兩七錢五分即所求二則糴糶二法設粟三十五石賣銀八兩七錢五分求每石價法曰置銀為實以粟除之得二錢五分即所求三則糴糶三法設粟每石價銀二錢五分今有銀八兩七錢五分求值粟法曰置銀為實以價除之得三十五石即所求四則糴糶四法設銀八兩七錢五分共買粟三十五石求每銀一兩值粟若干法曰置粟為實以銀除之得四石即所求解曰凡以物交易或論箇論斛論斤論尺之類莫不有數有價以價乘共物則得共銀以價除共銀則得共物以共物除共銀則得每一物所值之價以共銀除共物則得每銀一兩或一錢或一分所值之物交易常用之法盡于此矣五則糴糶五法設原有粟二石六斗賣銀六錢五分今有粟三十五石求值銀法曰置今粟為實以原價乘之(得二十二兩七錢五)(分)以原粟除之得八兩七錢五分即所求解曰此異乘同除也銀與粟異名以原銀乘今粟故謂異乘粟與粟同名以原粟除今粟故謂同除若以原粟除原價得每石價以乘今粟或先以原粟除今粟再以原價乘之俱未嘗不合但先用歸除恐遇竒零不盡之數難用乘法故變為先乘後除也六則糴糶六法設原有銀三十兩零七錢五分買粟一百二十三石今有銀八兩七錢五分求值粟法曰置今銀為實以原粟乘之(得一千零七十六兩二錢五分)以原銀除之得三十五石即所求解同前七則糴糶七法設原銀五錢買米一石每米八斗五升換粟一石七斗今有銀八兩七錢五分求值粟法曰以今銀八兩七錢五分乘粟一石七斗(得一十四兩八錢七分五釐)為實以米價五錢乘米八斗五升(得四錢二分五釐)為法除之得三十五石即所求解曰米八斗五升粟一石七斗其價等法以米價乘米所得之四錢二分五釐既為八斗五升之米價亦一石七斗之粟價也以粟乘銀以價除之亦異乘同除法也八則糴糶八法設粟一石七斗換米八斗五升每米一石價銀五錢今有粟三十五石求值銀法曰置米八斗五升以米價五錢乘之(得四錢二分五釐)再以今粟三十五石乘之(得一)(十四兩八錢七分五釐)為實以粟一石七斗除之得銀八兩七錢五分即所求解同前九則撞換一法設稻每石價六錢二分五釐粟每石價二錢五分今有稻一十四石換粟求粟數法曰置稻一十四石為實以稻價乘之(得八兩七錢五分)以粟價除之得三十五石即所求十則撞換二法設每菽三斗換黍二斗每黍四斗換稷三斗每稷五斗換稻四斗每稻六斗換麥五斗今有麥七斗換菽求菽數法曰以今麥七斗乘每稻六斗(得四石二斗)再以每稷五斗乗之(得二十一石)再以每黍四斗黍之(得八十四石)再以每菽三斗乘之(得二百五十二石)為實以換黍二斗乘換稷三斗(得六斗)再以換稻四斗乘之(得二石四斗)再以換麥五斗乘之(得一十二石)為法除之得二石一斗即所求解曰若置麥七斗為實以換麥五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升為麥七斗應換之稻再以八斗四升為實以換稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升為麥七斗應換之稷再以一石零五升為實以換稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗為麥七斗應換之黍再以一石四斗為實以換黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗為麥七斗應換之菽凡四除四乘方得菽數今逓乘為實逓乘為法一次歸除即得所求非徒省力亦免遇畸零之數難於布算耳十一則撞換三法設黍一石換菽三石每黍三石換麥一石今黍三十三石共換菽麥一十九石求菽麥各若干法曰列黍三石黍一石共黍三十三石于左列麥一石菽三石共菽麥一十九石于右先以右上互乘左中(仍得一石)以左上互乘右中(得九石)兩數相減(餘八石)為長法次以左中互乘右下(仍得一十九石)以右中互乘左下(得九十九石)兩數相減(餘八十石)以長法除之(得一十石)為短法以麥一石乘短法仍得十石為麥數以黍三石乘短法得三十石為換麥黍數以麥數減共菽數餘九石為菽數以換麥黍數減共黍餘三石為換菽黍數(解見三巻)(下十七則)十二則盤量倉窖設直倉底長七尺濶五尺髙八尺求容粟數法曰以底濶乘長(得三十五尺)再以髙乘之(得二百八十尺)為實取木板四塊如圖錯綜合之令縱廣及髙各一尺納粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之為法乘實得三十三石六斗即所求解曰倉窖形狀不一求積法俱詳四巻十三則布帛設原買布長四十尺濶二尺二寸價銀七錢五分今有布長三十六尺濶一尺八寸求價法曰置今布長三十六尺以濶一尺八寸乘之(得六十四尺八寸)再以原價七錢五分乘之(得四十八兩六錢)為實另置原布長四十尺以濶二尺二寸乘之(得八十八尺)為法除實得五錢五分二釐二毫有竒即所求十四則銀色一法設九三色銀一兩二錢傾銷足色求銀數法曰置銀一兩二錢為實以銀色九三乘之得一兩一錢一分六釐即所求十五則銀色一法設足色銀一兩一錢一分六釐改傾九三色求銀數法曰置銀一兩一錢一分六釐為實以九三除之得一兩二錢即所求十六則銀色三法設八五色銀五兩六錢改傾九五色銀求銀數法曰置銀五兩六錢為實以八五乘之(得四兩七錢六分)再以九五除之得五兩零一分零五毫即所求十七則銀色四法設足色銀七兩六錢五分傾成九兩求銀色法曰置銀七兩六錢五分為實以九兩除之得八五即所求十八則銀色五法設足色銀三十五兩二錢改傾八八色銀求加銅數法曰置銀三十五兩二錢為實以八八除之(得四十兩)與原銀相減餘四兩八錢即所求十九則銀色六法設傾八八色銀用銅四兩八錢求用銀數法曰置銅四兩八錢為實以八八與一兩相減餘一錢二分為法除之(得四十兩)與銅數相減餘三十五兩二錢即所求二十則斤兩一法設物重一千四十兩求斤法曰置物重為實以斤法十六除之得六十五斤即所求二十一則斤兩二法設物重六十五斤求兩法曰置物重為實以斤法十六乘之得一千四十兩即所求二十二則斤兩三法設物重六十五斤四兩每斤價二錢五分求共價法曰先取四兩以斤法十六除之(得二五)並六十五斤之下(成六五二五)為實以價乘之得一十六兩三錢一分二釐五毫即所求二十三則斤兩四法設物每斤價二錢五分今銀一十六兩三錢一分二釐五毫求值物重法曰置今銀為實以價為法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四兩共六十五斤四兩即所求二十四則斤兩五法設物每斤價四兩求每兩價法曰置每斤價為實以斤法十六除之得二錢五分即所求二十五則斤兩六法設物每兩價二錢五分求斤價法曰置每兩價為實以斤法十六乘之得四兩即所求二十六則權重一法設秤原錘重二十六兩遇重物不能勝另取一物重四十六兩八錢作錘秤之得一千零七十二兩求物重真數法曰置物重一千零七十二兩為實以借用作錘之四十六兩八錢乘之(得五萬零一百六十九兩六錢)再以原錘二十六兩除之得一千九百二十九兩六錢即所求解曰借用之錘重于原錘若干倍則借用之錘所秤之物重亦重于原錘所秤之物重若干倍以原錘除借用之錘得一八是借用之錘重於原錘十分之八也則于借用錘所秤之一千零七十二兩以十分之八加之必得一千九百二十九兩六錢為原錘所秤之重法先乘後除者亦異乘同除也(本巻五則)二十七則權重二法設秤失其錘止有原秤過輕重二物重者重一千九百二十九兩六錢輕者重四十六兩八錢以輕者作錘秤重者得一千零七十二兩求原錘重法曰置四十六兩八錢為實以一千零七十二兩乘之(得五萬零一百)(六十九兩六錢)以一千九百二十九兩六錢除之得二十六兩即所求解曰一千九百二十九兩六錢之與一千零七十二兩若四十六兩八錢之與原錘也故以之乘除得原錘之重二十八則權重三法設秤失其錘有輕重兩物不知斤兩以輕者作錘秤重者得五十二兩以重者作錘秤輕者得一十三兩求原錘重法曰置兩數相乘(得六百七十六兩)平方開之得二十六兩即所求解曰兩數之中率即原錘之重兩數相乘平方開之求中率之法也(二巻十六則)○又法以等重二物一作錘一作物秤之所得之數即原錘之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤雖有微差尚可得近似之數至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至與真數懸絶留心此道者不可不知也數學鑰巻三上
## 卷三下
欽定四庫全書數學鑰巻三下柘城杜知耕撰衰分(諸分附)一則合率差分設有銀一百二十一兩一錢七分五釐買稻麥菽三等糧買稻一分每斗價九分二釐麥二分毎斗價八分五釐菽三分每斗價三分六釐求三色糧各若干法曰置共銀為實另二因麥價(得一錢七分)三因菽價(得一)(錢零八釐)與稻價並(共三錢七分)為法除實得三十二石七斗五升為稻數二因稻數得六十五石五斗為麥數三因稻數得九十八石二斗五升為菽數解曰稻一麥二菽三共六衰而稻為六分之一麥為六分之二菽為六分之三二因麥價者令麥二倍于稻也三因菽價者令菽三倍于稻也合二與三得五是麥菽得五而稻得一則稻為六分之一矣故並價除實即得稻數也麥原二倍于稻故二因稻數得麥數菽原三倍于稻故三因稻數得菽數○如求各銀數則以各價乘各數即得二則折半差分設銀六百七十二兩令甲乙丙三等人折半納之求各應納銀數法曰置共銀為實定丙為一衰乙倍丙為二衰甲倍乙為四衰並之共七衰為法除實得九十六兩為丙數二因丙數得一百九十二兩為乙數二因乙數得三百八十四兩為甲數解曰所謂折半者令乙半於甲丙半於乙以一為丙衰倍一得二為乙衰乙倍于丙即丙半於乙也倍二得四為甲衰甲倍于乙即乙半于甲也並之共得七衰而丙為七分之一故以七除實得丙數餘同前解三則四六差分設銀八百一十二兩五錢令甲乙丙丁四等人四六納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丁為四衰以一五乘四得六為丙衰再以一五乘六得九為乙衰再以一五乘九得十三衰五分為甲衰並之共三十二衰五分為法除實得二十五兩為一衰之數四因二十五兩得一百兩為丁數六因二十五兩得一百五十兩為丙數九因二十五兩得二百二十五兩為乙數以十三衰五分乗二十五兩得三百三十七兩五錢為甲數解曰定衰之法當六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一與一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之與九九之與六皆若六之與四也並四數共三十二衰半除實所得銀數即原銀三十二分五釐之一而丁應納者則三十二分五釐之四故四因一衰之數得丁數也餘同前解四則三七差分設有銀一千九百七十五兩令甲乙丙三等人三七納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定丙為九衰七因三歸得二十一為乙衰再七因三歸得四十九為甲衰並之共七十九衰為法除實得二十五兩為一衰之數九因之得二百二十五兩為丙數以二十一乘之得五百二十五兩為乙數以四十九乘之得一千二百二十五兩為甲數解曰不以三為丙衰而以九為丙衰者以三為丙衰則不能得甲衰也何也試定三為丙衰七為乙衰七因三歸則得一六三三不盡定九為丙衰正為甲衰地也若甲乙丙丁四位則九又不可為丁衰必三倍之得二十七為丁衰若五位又三倍二十七得八十一為戊衰位多者倣此五則二八差分設有銀一千零五十兩令甲乙丙三等人二八納之求各應納銀數法曰置共銀為實先定二為丙衰四因二得八為乙衰四因八得三十二為甲衰並之共四十二衰為法除實得二十五兩為一衰之數二因之得五十兩為丙數八因之得二百兩為乙數三十二乘之得八百兩為甲數解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也六則逓減差分一法設米一千一百三十四石令五等人户逓減納之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸應納銀數法曰置共米為實先定五等六十戸為六十衰二因四等戸數得一百零二衰三因三等戸數得一百二十六衰四因二等戸數得一百三十二衰五因一等戸數得一百二十衰五數並共五百四十衰為法除實得二石一斗為第五等每戸納數以五等六十戸乘之得一百二十六石為第五等共納數以二因二石一斗得四石二斗為第四等毎戸納數以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗為第四等共納數以三因二石一斗得六石三斗為第三等毎戸納數以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗為第三等共納數以四因二石一斗得八石四斗為第二等每户納數以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗為第二等共納數以五因二石一斗得十石零五斗為第一等每戸納數以一等二十四戸乘之得二百五十二石為第一等共納數解同本巻一則七則逓減差分二法設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人納之定甲乙二人納數與丙丁戊三人納數等求各應納米數法曰置共米為實先以一為戊衰二為丁衰三為丙衰四為乙衰五為甲衰次並戊一丁二丙三得六並乙四甲五得九以六減九餘三于每人衰數各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰並之共三十衰為法除實得八石為一衰之數四因之得三十二石為戊數五因之得四十石為丁數六因之得四十八石為丙數七因之得五十六石為乙數八因之得六十四石為甲數解曰若六位令丙丁戊己四人與甲乙二人納數等則並己一戊二丁三丙四共十並乙五甲六共十一兩數相減餘一為實另以甲乙二人與丙丁戊己四人相減餘二人為法歸之得五各加入每人衰數己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人與甲乙二人納數等並庚一己二戊三丁四丙五共十五並乙六甲七共十三是四人衰數反多于二人衰數前法不行矣則置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五並之共五十五乙得三十六甲得四十九並之共八十五兩數相減餘三十為實另以甲乙二人與丙丁戊己庚五人相減餘三人為法歸之得十各加入每人衰數庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九餘倣此八則逓減差分三法設米二百六十五石令三等人戸納之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各應納米數法曰置共米為實並七斗五斗(共一石二斗)乘上等尸數(得二十四石)以五斗因中等尸數(得二十五石)兩數並(共四十九石)減實餘二百一十六石並三等尸數(共一百八十戸)為法除之得一石二斗為下等納數加五斗共一石七斗為中等納數再加七斗共二石四斗為上等納數以每等納數乘每等戸數得每等共納數解曰共米内減去上中兩等多于下等米數所餘即一百八十戸均平公納之米除實得一石二斗即每戸均納之數均納之數即下等每戸應納之數也故加五斗得中等每戸納數再加七斗得上等每戸納數九則帶分子母差分一法設甲乙丙三人納銀令乙納甲數六分之五丙納甲數四分之三乙多丙納銀八兩求共銀及各應納銀數法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八減二十餘二為法另以乙多丙八兩乘二十四(得一百九十二兩)以法除之得九十六兩即甲數以八兩乘二十(得一百六十兩)以法除之得八十兩即乙數以八兩乘十八(得一百四十四)(兩)以法除之得七十二兩即丙數並之得二百四十八兩即共銀數解曰此借比例以求真數也二十四與二十六分之五也二十四與十八四分之三也六分之五之二十較四分之三之十八多二六分之五之乙數較四分之三之丙數却多八兩則二十四之與甲數二十之與乙數十八之與丙數其比例必皆若二與八也故八乘二除各得真數也十則帶分子母差分二法設布一十二萬四千四百八十五疋給散軍士每三名給襖布七疋每四名給褲布五疋求軍數法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下(得十五)左上互乘右下(得二十八)並之(共四十三)為法另以左上右上相乘(得一十二)以乘共布(得一百四)(十九萬三千八百二十疋)以法除之得三萬四千七百四十名即所求解曰十二為三名者四當給襖布二十八疋為四名者三當給褲布一十五疋是毎軍士十二名給布四十三疋也反之每給布四十三疋得軍士一十二名也故十二乘四十三除得軍數也十一則互和逓減差分一法設米一百八十石令甲乙丙三人逓減納之定甲多丙米三十六石求各應納米數法曰置共米以人數歸之得六十石為乙數另置甲多丙數折半(得一十八石)加乙數得七十八石為甲數減乙數得四十二石為丙數解曰甲多于乙數必為甲多于丙數之半丙少于乙數亦必為丙少于甲數之半兩相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三歸之得乙數加減之得甲與丙數也十二則互和逓減差分二法設令甲乙丙丁四人逓減納銀定甲納六十九兩丁納五十一兩求乙丙應納數及共銀數法曰以丁數減甲數(餘一十八兩)三歸之得六兩加丁數得五十七兩為丙數加丙數得六十三兩為乙數並之共二百四十兩為共銀數解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三數並與甲多于丁數等故三歸得每率逓差之數凡四位以上皆取首尾兩數相減五位則四歸之六位則五歸之七位則六歸之即得每率逓差之數餘同前十三則匿價差分一法設銀一百八十兩零二錢五分買麥六十五石菽二十五石麥每石多菽價一兩零七分求各價法曰置麥以麥多菽價乗之(得六十九兩五錢五分)以減元銀(餘一百一十兩)(零七錢)並麥菽兩數除之得一兩二錢三分即菽價加麥多菽價得二兩三錢即麥價解曰減去麥多菽價餘銀即菽九十石之共價故以九十石歸之得菽價十四則匿價差分二法設稻一十八石稷二十二石其值適等交換五石則兩率差銀一兩六錢二分五釐求各價法曰置一兩六錢二分五釐以交換五石歸之得三錢二分五釐以乗稻一十八石(得五兩八錢五分)另以稻一十八石減稷二十二石餘四石為法除之得一兩四錢六分二釐五毫即稷價另以三錢二分五釐乗稷二十二石(得七)(兩一錢五分)以前法除之得一兩七錢八分七釐五毫即稻價解曰交換五石兩率相差一兩六錢二分五釐則一兩六錢二分五釐必稻五石多稷五石之價也以五歸之得三錢二分五釐即稻稷每石相差之價稻稷既每石相差三錢二分五釐則一十八石必差五兩八錢五分矣今稷多稻四石而價適等是稷四石之價必五兩八錢五分也故四歸之得稷價又稻與稷價之比例原若十八與二十二既以三錢二分五釐乗稻一十八石得稷每四石之價則以三錢二分五釐乗稷二十二石必得稻每四石之價無疑矣故四歸之得稻價十五則二色差分設銀六十七兩五錢共買稻菽一百石稻毎石價八錢菽毎石價三錢求稻菽各若干法曰以菽價乗共一百石(得三十兩)以減原銀(餘三十七兩五錢)為實以兩價相減(餘五錢)為法除之得七十五石即稻數以減共一百石餘二十五石即菽數解曰原銀為稻菽共百石之價以菽價乗百石為菽百石之價兩率不等者以稻貴于菽也今稻毎石多菽價五錢是兩率毎相差五錢百石内必有稻一石兩率相減餘銀三十七兩五錢凡為五錢者七十五故得稻七十五石也十六則三色差分(四色五色六色附)設銀十兩零五錢共買稻麥菽一十八石稻每石價八錢麥每石價六錢菽毎石價三錢求三色各若干法曰置共糧以三歸之得六石為麥數以麥價因之得三兩六錢為麥共價另以麥數減共糧(餘一十二石)以菽價因之(得三兩六錢)另以麥共價減原銀(餘六兩九錢)兩數相減(餘三兩三錢)為實稻菽兩價相減(餘五錢)為法除之得六石六斗為稻數以稻麥兩數減共糧餘五石四斗為菽數解曰若四色則四歸共物得若干即第二色數亦即第三色數以第二色價乗之得第二色共價以第三色價乗之得第三色共價以兩數減共物兩共價減原銀餘依二色差分法求之五色則五歸六色則六歸之倣此○按三色以上亦可與共物共價相合無差然實非一定不易之數即前三色論之設稻九石共價七兩二錢麥二石共價一兩二錢菽七石共價二兩一錢亦與原銀共糧共價皆合而與上法所求三色之數不同十七則貴賤和率差分設銀一百二十七兩五錢共買稻麥一百零八石毎稻三石價四兩毎麥四石價三兩五錢求二色數及價各若干法曰列稻三石麥四石共稻麥一百零八石于右次列稻價四兩麥價三兩五錢原銀一百二十七兩五錢于左以右上互乘左中(得十兩零五錢)以左上互乘右中(得一十六兩)兩數相減餘五兩五錢為長法次以右中互乗左下(得五百一十兩)以左中互乗右下(得三百七十八兩)兩數相減(餘一百三十二)(兩)以長法除之得二十四為短法以稻三石乗短法得七十二石即稻數以稻價乗短法得九十六兩即稻共價以稻數減共稻麥一百零八石餘三十六石即麥數以稻共價減原銀一百二十七兩五錢餘三十一兩五錢即麥共價解曰此與前二色差分同但彼數齊此數不齊耳凡數之不齊者必假一數以齊之今稻三石麥四石則以十二齊之何為必齊之十二也十二為四倍稻三石三倍麥四石之數也以稻三乗麥價即得麥十二石之價以麥四乗稻價即稻十二石之價兩數相減為長法者即稻十二石多于麥十二石之銀數亦即稻四石多于麥四石之價又三倍之之數也以麥價乗共稻麥一百零八石即麥四百三十二石之價亦即一百零八石盡皆為麥而又四倍其價之數也以麥四乗原銀即稻麥四百三十二石之共價亦即稻麥一百零八石之原價而又四倍之之數也兩數相減之餘即麥四百三十二石少于稻麥共四百三十二石之價實即稻七十二石多于麥七十二石之價又四倍之之數也以之為實若以稻四石多于麥四石之價除之必得稻七十二石今稻四石多于麥四石之價不可得止得稻十二石多于麥十二石之價為長法除實得二十四二十四者即為稻三石者二十四也(十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得數即減若干倍也)故為短法以稻三石乗之得稻數以稻價乗之得共稻價○若欲先得麥數則以稻三石乗元銀以稻價乗共稻麥數兩數相減以長法除之得數為短法以麥四石乗之得麥數以麥價乗之得共麥價(解同前)○按此條當列稻三石價四兩共稻麥一百零八石于右列麥四石價三兩五錢共銀一百二十七兩五錢于左以左上互乗右中(得一十六兩)以右上互乗右中(得十)(兩零五錢)兩數相減(餘五兩五錢)為法次以左上右上相乗(得一)(十二石)以乗左下(得一)(千五百三十兩)以左中十兩零五錢乗右下(得一千一百三十四兩)兩數相減(餘三百九十六兩)為實以法除之得七十二石即稻數似較舊法更捷○舊法以十二倍之法除四倍之實故止得二十四以稻三石乗之方得稻數後法以十二倍之法除十二倍之實故一除即得稻數無須再乗也十八則首尾兩和差分設十人挨次逓減納銀甲乙丙三人共納一十三兩八錢庚辛壬癸四人共納一十三兩求各應納銀數法曰列三人于右上定甲九衰乙八衰丙七衰共二十四衰列于右中三人納數列于右下次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人納數列于左下先以右上徧乗左行(中得一十八衰下得三十九兩六錢)次以左上徧乗右行(中得九十六衰下得五十)(五兩二錢)以兩下對減(餘一十五兩六錢)為實兩中對減(餘七十八衰)為法除之得二錢(為十人挨次逓減之數)另以右上歸右下得四兩六錢為乙數加乙二錢得四兩八錢為甲數减乙二錢得四兩四錢為丙數減丙二錢得四兩二錢為丁數以下各逓減二錢得應納銀數解曰首三人尾四人兩數不齊不可相減以求首尾相差之數故互乗以齊之夫左下尾四人共納之銀數也以右上三人乗之得三十九兩六錢即三倍尾四人為一十二人之納數右下首三人共納之銀數也以左上四人乘之得五十五兩二錢即四倍首三人亦為一十二人之納數對減之餘即首十二人多于尾十二人之納數故以為實左中尾四人之衰數以右上三人乗之得十八即三倍尾四人為一十二人之衰數右中首三人之衰數以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦為一十二人之衰數對減之餘即首十二人多于尾十二人之衰數故以為法以法除實所得非一衰之銀數而何一衰之銀數即十人挨次逓減之數也以右上三人歸右下納數即得乙數何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也減甲之多補丙之少則成三平數乙居甲丙之中故三歸之得平數即得乙數也數學鑰巻三下
## 卷三附
欽定四庫全書數學鑰巻三附柘城杜知耕撰分法一則命分設銀四十兩三人分之求毎人應分銀數法曰置銀為實以人數除之得一十三兩餘一不盡則以法為分母以不盡之一為分子命為一十三兩又三分兩之一解曰三分兩之一即三錢三分三三不盡二則約分設以九十八為法除實不盡者四十二求約若干法曰以子四十二減母九十八(餘五十六)再減之餘一十四復以母十四減子四十二(餘二十八)再減之亦餘一十四謂之子母相同即以十四為法除母九十八得七除子四十二得三即命為七分之三解曰母數九十八是七箇十四子數四十二是三箇十四九十八之與四十二若七之與三也故命為七分之三遇不可約之數直以本數命之如母九十七子四十二此數之不可約者也直命為九十七之四十二三則乘分設一十八人分銀毎人分得三百七十六兩又九分兩之六求共銀法曰置三百七十六兩為實以母九因之(得三千三百八十四兩)加入子六(共三千三百九十兩)以人數乘之(得六萬一千零二十兩)再以母九歸之得六千七百八十兩即所求解曰不以母因實則不能加入子數故因實以就子也四則課分設有布二疋又九分疋之五用過一疋又六分疋之一求餘布法曰置用過布一疋以母六因之(仍得六)加入子一(共七)又以原布母九因之(得六十三)另置原布二疋以母九因之(得一十八)加入子五(共二十三)又以用過布母六因之(得一百三十八)兩數相減(餘七十五)為實以兩母(謂九與六)相乘(得五十四)為法除之得一疋零二十一以約分法約之得十八之七即命為餘布一疋又十八分疋之七解曰兩數各帶子母不得不兩因之兩因之不得不兩歸之法以兩母相乘除實者與兩歸得數同也五則通分設粟四十五石毎七分石之五值銀八分兩之六求共銀法曰置粟為實以粟母七乘銀子六(得四十二)為法乘實(得一千八百九十)另以銀母八乘粟子五(得四十)為法除之得四十七兩二錢五分即所求解曰原當置粟為實以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以銀子六乘之銀母八除之即得銀數然既以粟母七乘之又以銀子六乘之不如以粟母七乘銀子六以乘之也既以粟子五除之又以銀母八除之不如以銀母八乘粟子五以除之也數學鑰巻三附
## 卷四凡例
欽定四庫全書數學鑰巻四凡例柘城杜知耕撰凡例一則形為體之界在上之界曰靣在下之界曰底底與面有長廣而無厚薄故底面之積曰平積二則體之縱者曰長衡者曰廣立者曰髙三則底面長廣及髙皆等者曰立方如第一圖底面皆方而髙不與長廣等者曰方體如第二圖長廣及髙皆不等而角方者曰直體亦曰直方體如第三圖底或方或直而傍為勾股形曰塹堵如第四圖底或方或直而傍為三角形曰芻蕘如第五圖底或方或圓或多邊而上鋭至盡者曰錐體如第六圖凡底面相等者即取底之形為體之名設底六邊即為六邊體如第七圖渾然無界無稜者曰渾體渾圓如第八圖渾撱圓如第九圖面長殺于底長而無廣者曰鋭脊如第十圖面之長廣各殺于底者曰鋭面如第十一圖上下皆有長無廣者曰鼈臑如第十二圖四則錐及鋭面等體自傍科量之度非正髙五邊七邊等底中長折半之㸃非正心五則線之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分體之度尺容千寸寸容千分六則相似兩形之比例為線與線再加之比例再加者謂兩線各自乘以為比例也相似兩體之比例為線與線三加之比例三加者謂兩線各自乘再乘以為比例也兩形有一度等者同兩線之比例兩體有一度等者同兩形之比例兩體有兩度等者亦同兩線之比例七則堆止一層曰平堆二層以上曰髙堆數學鑰巻四凡例
## 卷四目録
欽定四庫全書數學鑰卷四目録柘城杜知耕撰少廣一則立方求積二則直體求積三則塹堵求積四則芻蕘求積五則三角體求積六則六邊體求積(八邊十二邊附)(増)七則五邊體求積(九邊附)八則圓體求積(増)九則撱圓體求積(増)十則弧矢體求積十一則錐體求積十二則諸雜線體求積(西法)十三則渾圓求積(二法)(增)十四則渾撱圓求積十五則鋭脊體求積(増)十六則鼈臑求積(増)十七則等廣鋭面體求積十八則鋭面方體求積十九則鋭面直體求積(二法) (後法増)二十則鋭面圓體求積(増)二十一則鋭面撱圖體求積(西法)二十二則諸鋭面體求積二十三則求錐體之正髙二十四則立方以積求邊一法(即開立方法)二十五則立方以積求邊二法(増)二十六則方體以積求邊一法(即帶縱開立方法)(増)二十七則方體以積求邊二法二十八則直體以積求邊一法(増)二十九則直體以積求邊二法三十則渾圓以積求徑(増)三十一則渾撱圓以積求徑三十二則三乗還原(即開三乗方法附) (五乗七乗)三十三則委粟求積三十四則倚壁委粟求積三十五則倚外角委粟求積三十六則倚内角委粟求積三十七則方平堆以周求積三十八則方平堆以積求周三十九則三角平堆以濶求積四十則三角平堆以積求濶四十一則梯形平堆以濶求積四十二則六邊平堆以邊求積四十三則六邊平堆以積求邊(求周附)四十四則塹堵髙堆求積四十五則方底髙堆求積四十六則三角髙堆求積四十七則直底髙堆求積四十八則直底鋭面堆求積四十九則三角鋭面堆求積數學鑰巻四目録
## 卷四
欽定四庫全書數學鑰巻四柘城杜知耕撰少廣一則立方求積設立方方三尺求積法曰置三尺自乘(得九尺)再以三尺乘之得二十七尺即所求解曰算體之法先求底積(即方圓等形求積詳一二巻)以髙為底積倍數如圖長廣各三尺相乘得九尺為底積若髙二尺則二倍底積之數得一十八尺髙三尺則三倍底積之數得二十七尺二則直體求積設直體長七尺廣五尺髙一十二尺求積法曰以廣乘長(得三十五尺)以髙乘之得四百二十尺即所求解同前三則塹堵求積設塹堵長一十二尺廣五尺髙七尺求積法曰以廣乘長(得六十尺)以髙乘之(得四百二十尺)折半得二百一十尺即所求解曰甲乙丙丁直體與塹堵髙廣長各等依甲乙線丙乙稜分之必成二塹堵夫一直體既能當二塹堵則一塹堵必當半直體也故折半得積四則芻蕘求積設芻蕘長一十二尺廣五尺髙七尺求積法同塹堵解曰甲乙丙戊芻蕘依丙丁線丙戊脊分之必成二塹堵各為相當直方之半兩直方並必成一直方夫直方之兩分既倍于芻蕘之兩分直方之全體不倍于芻蕘之全體乎故亦折半得積同塹堵也五則三角體求積設三角體廣六尺中長五尺高一十二尺求積法曰置長廣相乘(得三十尺)以髙乘之(得三百六十尺)折半得一百八十尺即所求解曰即芻蕘但彼横此縱耳○勾股體同六則六邊體求積(八邊及十二邊附)設六邊體每邊廣二十尺中長三十四尺六寸四分有竒髙四十尺求積法曰置廣三因之(得六十尺)以長折半(得一十七尺三)(寸二分零二毫)乘之(得一千零三十九尺二寸一分二釐)為底積再以高乘之得四萬一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六邊底依各角分之成三角形六三角求積法以廣乘長折半(一巻五則)不折則得兩三角積故三因邊廣以底長之半乘之(底之半長即三角之中長)即得六三角積(即全)(底積)猶平圓半徑乘半周之義也(二巻三則)若無底長之度則取邊廣為弦(全底分為六三角形每形之三邊俱等以甲乙為弦即以丙乙為弦也)半廣為勾(丁乙)各自乘相減平方開之得股(丙丁)即底長之半(六巻二則)○設八邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾(丁乙)另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强為弦(丙乙)各自乘相減平方開之得股(丙丁)即底長之半設十二邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾(丁乙)另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强為弦(丙乙)各自乘相減平方開之得股(丙丁)即底長之半按七六五三六乃四十五度弧之通弦四十五度為三百六十度八之一故以之除八邊底之一邊即得外切圓形之半徑五一七六四乃三十度弧之通弦三十度為三百六十度十二之一故以之除十二邊底之一邊即得外切圓形之半徑外切圓形之半徑即三角形之腰線(丙乙)也(見大)(測及八線表)七則五邊體求積設五邊體毎邊廣二十尺中長三十尺零七寸七分六釐六毫强高四十尺求積法曰置邊廣以邊數五因之(得一百尺)折半(得五十尺)為實另置邊廣折半(得十尺)自乘(得一百尺)以中長除之(得三尺二寸四分九釐一毫强)與中長相減(餘二十七尺五寸二分七釐四)(毫强)折半(得一十三尺七寸六分三釐七毫强)為法乘實(得六百八十八尺一寸八分八)(釐)為底積再以高乘之得二萬七千五百二十七尺五寸二分即所求解曰五邊底依各角分之成三角形五欲求底積必先得三角積欲求三角積必先得三角之中長(丙丁)然上則六邊邊為偶數角與角相對邊與邊相對其全底之長即相對兩三角之中長令五邊邊為竒數邊與角相對其底長(己丁)小半為此三角之中線(丙丁)大半為彼三角之腰線(己丙)折半則得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙(于己丁底長減去己丙餘即丁丙)欲得己丙必先求外切圓形之己戊徑(己戊折半即己丙)欲得己戊必先求外切圓徑大于底長之丁戊(底長加丁戊即己戊)欲求丁戊則用弧矢以弦及餘徑求矢法(二巻二十二則)今邊廣甲戊乙弧矢形之甲乙弦也邊廣折半自乘丁乙半弦上方形也底長己丁餘徑也以除半弦上方形所得者丁戊矢也以矢減底長所餘者倍三角中長之辛丁也故半之為三角之中長又五因邊廣折半者取五三角底之半也若無底長之度則取邊廣折半為勾(丁乙)另置邊廣以一一七五五八除之得一七零一二八八為弦(丙乙)各自乘相減平方開之得股(丙丁)即三角形之中長(六巻二則)一 一七五五八乃七十二度弧之通弦七十二度為三百六十度五之一故以之除五邊之一即得外切圓形之半徑(丙乙)為三角形之腰線也○設九邊底每邊廣二十尺求三角分形之中長則以二十尺折半為勾(丁乙)另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八為弦(丙乙)自乘相減平方開之得股(丙丁)即三角形之中長六八四零四乃四十度弧之通弦四十度為三百六十度九之一故以之除九邊之一即得三角形之腰線也八則圓體求積設圓體徑三十尺高四十尺求積法曰置徑自乘(得九)(百尺)再以高乘之(得三萬六千尺)用圓法十一乘十四除(二巻四則)得二萬八千二百八十五尺七寸有竒即所求解曰以徑自乘再以髙乘之方體積也方體與圓體等髙則兩體即若兩底之比例故用平圓法求圓體之積也九則撱圓體求積設撱圓體大徑三十六尺小徑一十六尺髙四十尺求積法曰置兩徑相乘(得五百七十六尺)再以高乘之(得二萬三)(千零四十尺)用圓法十一乘十四除得一萬八千一百零二尺八寸有竒即所求解同前則及二巻十六則十則弧矢體求積設弧矢體矢濶八尺六寸六分零二毫弦長三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六絲高四十尺求積法曰置半弦自乘(得二百二十五步)以矢除之(得二十五尺九寸八分零)(九壹强)為餘徑餘徑加矢折半(得一)(十七尺三寸二分零五毫五絲)為法乘背(得六百二)(十八尺五寸六分九釐)另以餘徑減矢折半(得八尺六寸六分零四毫弱)為法乘弦(得二百五十九尺八寸一分二釐)兩數相減(餘三百六十八尺七寸五分七)(釐)折半(得一百八十四尺三寸七分八釐)為底積再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求(二卷十七則)十一則錐體求積設方錐方二十尺高四十尺求積法曰置二十尺自乘(得四百尺)為底積再以高乘之(得一)(萬六千尺)以錐法三歸之得五千三百三十三尺三寸三分有奇即所求解曰方邊自乘再以高乘之方體也方錐居方體三之一故三歸得積也何以知方錐居體三之一也試作立方如甲乙自心至各稜分之必成錐體六俱以方靣為底方邊之半為高更作一方體與錐體同底等高如丙丁丙丁方體既與錐體同底必亦與甲乙立方同底既與錐體等高必以甲乙方邊之半為高兩方體既同底則兩體之比例若高與高丙丁體必為甲乙立方二之一矣錐體既為甲乙立方六之一不為等高同底丙丁方體三之一乎再作直體廣二尺長四尺高八尺如癸辛亦自心至各稜分之亦成錐體六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六錐體形勢雖殊而俱等何也丑與寅同長丑之高倍于寅而寅之廣倍于丑折寅之廣凖丑之高則丑寅二體等矣又丑與卯同廣丑之長倍于卯而卯之高倍于丑折丑之長凖卯之高則丑卯二體亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六錐俱等矣今癸辛一直體能分為相等之六錐體則一錐體不為癸辛直體六之一乎錐體既為同底倍高直體六之一必為同底等高三之一無疑矣○從此推之不論方圓多邊弧矢凡屬錐體者皆為同底等高體三之一十二則諸雜線體求積凡體先求底積底屬直線依一巻九則例屬曲線及雜線依二巻四十則例裁之得底積再以高乘之即得體積十三則渾圓求積設渾圓徑十尺求積法曰置徑自乘(得一百尺)四因之(得四)(百尺)十一乘十四除(得三百一十四尺二寸八分六釐弱)為靣積再以半徑乘之(得一千五百七十一尺四寸三分弱)以三歸之得五百二十三尺八寸一分即所求解曰置徑自乘再以十一乘十十四除者渾圓中丙子乙丑平圓積也以四因之者渾圓面積當平圓積四也何也渾圓面任割一分(如甲丁己戊)欲求面分之容則取自甲頂至戊界之度(甲戊線)為半徑作平圓(如辛癸平圓辛壬與甲戊等)其容即等若自乙丙平割渾圓之半取自甲頂至乙界之度為半徑作平圓其容必與渾圓半靣等今丙子乙丑平圓半徑為乙庚乙庚與甲庚等乙庚甲庚兩線偕甲乙線則成一勾股形甲乙為弦乙庚甲庚一為勾一為股也以弦為半徑之平圓必倍大于或勾或股為半徑之平圓渾圓半靣既等于以甲乙弦為半徑之平圓不倍大于以乙庚勾為半徑之丙子乙丑平圓乎半面既倍大于丙子乙丑平圓全靣不四倍大于丙子乙丑平圓乎法以半徑乘之以三歸之又何也平圓求積同于以圓周為底以半徑為高之三角形(二巻四則)故渾圓求積同于以全面為底以半徑為高之錐體以高乘底以三歸之者錐體求積之法也(本巻十一則)○又嘗借西洋割圓八線表考之如前徑十尺之渾圓自頂中剖之再以乙丙線平分之依八線表例分乙丁甲曲線為九十度設任割球分為甲丁己戊其甲丁曲線三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八線表中求三十度通弦得五尺二十九度通弦得四尺八寸四分八釐一毫用梯形求積法(一巻七則)並兩數折半得四尺九寸二分四釐零五絲再求二十八度通弦得四尺六寸九分四釐七毫與二十九度通弦並而折半得四尺七寸七分一釐四毫依次折盡三十度共得通弦數七十六尺七寸五分九釐七毫五絲用圓徑求周法(二巻一則)求得二百四十一尺二寸四分五釐弱(為球分面上三十段梯形兩濶折半之數)為實復求甲丁曲線三十分之一得八分七釐三毫有竒(取渾圓全周以三十六歸之即得)為梯長乘實得割球靣積二十一尺零五分有奇叧求甲戊直線得二尺五寸八分八釐二毫(即表中十五度通弦)倍之得五尺一寸七分六釐四毫為徑求圓積亦得二十一尺零五分有竒與前數合又法置徑自乘再以徑乘之(得一千尺)以十一乘二十一除得數同解曰圓體與方體等高則兩體之比例若兩底之比例是方體與圓體若十四與十一也又圓體與渾圓等高令圓體之底同渾圓中心之平圓則圓體之容必等于以平圓為底以渾圓半徑為高(渾圓半徑即固體高度之半也)之錐體六(本巻十一則)渾圓之面既四倍于中心平圓而渾圓求積之法又同錐體則渾圓之容必等于以平圓為底半徑為高之錐體四夫以相等之錐體圓體得六而渾圓得四是圓體與渾圓若六之與四六之與四即三之與二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二約之為二十一與十一則二十一與十一即等高立方渾圓之比例也法置徑自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一為渾圓也十四則渾撱圓求積設渾撱圓大徑四十尺小徑二十尺求積法曰置小徑自乘(得四百尺)再以大徑乘之(得一)(萬六千尺)以十一乘二十一除得八千三百八十尺零九寸五分即所求解曰小徑自乘再以大徑乘之甲乙方體也方體渾撱圓比例亦猶立方與渾圓故十一乘二十一除得渾撱圓之積十五則鋭脊體求積設鋭脊體脊長十尺底長十四尺廣五尺高十二尺求積法曰倍底長加脊長(得三十八尺)以廣乘之(得一百九十尺)再以高乘之(得二千二百八十尺)以六歸之得三百八十尺即所求解曰依甲丙乙丁兩線分之成芻蕘一斜錐二(斜錐與正錐同論)芻蕘以高乘底積之半得積(本巻四則)錐以高乘底積三之一得積(本巻)(十一則)夫芻蕘之底長即鋭脊之脊長也若三倍脊長以六歸之即得芻蕘底長之半又兩斜錐之底長即鋭脊之脊長與底長之較也(即戊庚己辛兩線並之度)若二倍較線以六歸之即得斜錐底長三之一今倍底長加脊長非即三倍脊長二倍較線乎以六歸之以廣乘之再以高乘之得三分體之積即全體之積法先乘後歸亦異乘同除之意也十六則鼈臑求積設鼈臑上長二尺下長四尺高九尺求積法曰置兩長相乘(得八)(尺)再以高乘之(得七十二尺)以六歸之得一十二尺即所求解曰叧作一芻蕘如下圖芻蕘原為等高同底方體二之一(本巻四則)依甲丙乙丙兩線各從底稜分之成一錐體二鼈臑錐體原為等高同底方體三之一(本巻十一)(則)必為芻蕘三之二于芻蕘内減去錐體所餘三之一則兩鼈臑也兩鼈臑並既為芻蕘三之一必為與芻蕘等高同底方體六之一矣與芻蕘等高同底即為鼈臑等高倍底者也兩鼈臑既為等高倍底方體六之一則一鱉臑亦必為等高同底方體六之一故用六歸也十七則等廣鋭面體求積設等廣鋭靣體靣長四尺底長一十二尺底面俱廣五尺高一十二尺求積法曰並兩長折半(得八尺)以廣乘之(得四十尺)再以高乘之得四百八十尺即所求解曰依甲丙乙丁兩線分之成一直體二塹堵全靣即一直體底全底即一直體二塹堵底底靣並而折半則成一直體一塹堵底矣夫直體以高乘本底得積(本巻二則)塹堵以高乘半底得積(本巻三則)今一塹堵之全底即兩塹堵之半底也故以高乘㡳靣相並折半之數得全積十八則鋭靣方體求積設鋭靣方體靣方六尺底方八尺高一十二尺求積法曰置上方自乘(得三十六尺)下方自乘(得六十四尺)上下兩方相乘(得四)(十八尺)三數並(共一百四十八尺)以高乘之(得一千七百七十六尺)以三歸之得五百九十二尺即所求解曰各依面稜分之成方體一塹堵方錐各四凡九體而有三等三等求積之法則各殊方體以高乘底得積(本巻二則)塹堵以高乘底二之一得積(本巻三則)方錐以高乘底三之一得積(本巻十一則)若從方體則與塹堵不合從塹堵又與方錐不合不得不用三歸以就方錐然用三歸必三倍方體之底半倍塹堵之底而後可今下方自乘即甲乙方形得方體之底一塹堵方錐之底各四上方自乘即丙丁方形得方體之底一上下相乘即戊己直形得方體之底一塹堵之底二合三形共方體底三塹堵底六方錐底四夫方體底三三歸之仍得一塹堵底六三歸之得二二塹堵底即四塹堵底二之一也方錐底四三歸之各得三之一今以高乘一方體底四塹堵底二之一四方錐底三之一故得全積(餘同本巻十五則)十九則鋭靣直體求積設鋭靣直體靣長六尺廣五尺底長十尺廣八尺高一十二尺求積法曰倍上長加下長(共二十二尺)以上廣乘之(得一百一)(十尺)另倍下長加上長(共二十六尺)以下廣乘之(得二百零八尺)兩數並(得三百一十八尺)以高乘之(得三千八百一十六尺)以六歸之得六百三十六尺即所求解曰依各靣稜分之亦成九體與前則同但四塹堵兩兩相等辛戊與庚己等丙戊與丁己等四塹堵既不等則三歸之法不可用矣于是有六歸之法倍上長加下長以上廣乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直體底三丙戊己丁塹堵底各一倍下長加上長以下廣乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直體底三辛戊庚己塹堵底各三丙戊丁己塹堵底各二甲戊等四錐底各二合之共直體底六塹堵底十二與辛戊等者六與丙戊等者六錐底八以六歸之得一直體底四塹堵底二之一四錐底三之一故以高乘之得全積○按鋭靣直體亦有可用三歸者如後圖面長五尺廣三尺底長七尺廣四尺二寸高一十二尺用前法得積二百六十一尺六寸今以面廣乘靣長得一十五尺以底廣乘底長得二十九尺四寸以靣廣乘底長得二十一尺(或以底廣乘靣長亦同)三數並共六十五尺四寸以高乘之以三歸之得積同用此法求前體則不合其故何也葢前體乃鋭脊之截體後體乃直錐之截體後體底靣長廣可互為比例若依四角斜線引而高之必成直錐是以謂之直錐之截體依前例分為九體其四塹堵雖體勢不同而容積皆等故用三歸而合也若前體底靣長廣不可為比例亦依四角斜線引而高之止成鋭脊終不成錐體是以謂之鋭脊之截體如前分為九體其四塹堵體勢既異而大小復殊故用三歸必不合也鋭靣直體有此二等不可不知也二十則鋭靣圓體求積設鋭靣圓體靣徑六尺底徑八尺高一十二尺求積法曰置靣徑自乘(得三十六尺)底徑自乘(得六十四)(尺)兩徑相乘(得四十八尺)三數並(共一)(百四十八尺)以高乘之(得一千七百七十六尺)再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求解曰此與鋭靣方體法同元當用三歸得鋭靣方體積再十一乘十四除為本積今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除猶三歸又十四除也二十一則鋭面撱圓體求積設鋭面撱圓體面大徑四尺小徑二尺底大徑八尺小徑六尺高一十二尺求積法曰倍靣大徑加底大徑以靣小徑乘之(得三十二尺)另倍底大徑加靣大徑以底小徑乘之(得一百二十尺)兩數並(共一百五十二尺)以高乘之(得一千八百二十四尺)再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求解曰此與鋭靣直體法同元當用六歸得鋭靣直體積再十一乘十四除為本積今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除猶六歸又十四除也二十二則諸鋭靣體求積設鋭靣六邊體靣每邊廣一尺中長一尺七寸三分二釐(所謂中長者乃邊與邊相對之度非角與角相對之度也底同)底每邊廣二尺中長三尺四寸六分四釐高四尺求積法曰置高以底長折半乘之(得六尺九寸二分八釐)以兩長相減折半(得八寸六分六釐)除之得八尺為錐高另三因底邊二尺(得六尺)以底長之半乘之(得十尺零三寸九分二釐)以錐高八尺乘之三歸之(得二十七尺七)(寸一分强)為錐積另三因靣邊一尺(得三尺)以靣長之半乘之(得二尺五寸九分八釐)以原高減錐高餘四尺乘之三歸之(得三尺四寸六分四釐)為虚積以虚積減錐積餘二十四尺二寸四分八釐即所求解曰凡鋭靣體底靣長廣能為比例者皆諸錐之截體既得錐積復得體外虚積相減之餘即為所求之實積然欲求錐積必先求錐高錐高甲丙與元高甲丁之比例若底長之半甲乙與底靣兩半長之較線己乙也法以底長之半乘高以兩半長之較線除之者乃借乙己與己戊之比例(己戊即甲丁)因甲乙以求甲丙也凡鋭靣體俱同此法二十三則求錐體之正高設方錐底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘(得一百六十九尺)另以底方折半自乘(得二十五尺)兩數相减(餘一百四十四尺)平方開之得一十二尺即所求解曰此勾弦求股法也(六巻二則)凡求諸錐體之積須得諸錐正高自傍面量者乃斜高非正高也自頂至底中心方為正高方錐係偶邊故折底長為勾如遇竒邊則求底中心至邊之度為勾(本巻七則)二十四則立方以積求邊一法(即開立方)設立方積三千三百七十五尺求方邊法曰置積于中為實先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘(得一千尺)除實(餘二千三百七十五尺)三因下法十尺(得三十尺)為方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次(共一十五尺)以次商五尺徧乘之(得七十五)(尺)為廉法再以方法乘廉法(得二千二百五十尺)除實(餘一百二十五)(尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)為隅法除實恰盡合左初商次商得一十五尺即所求解曰初商自乘再乘大方積也次商五尺乘下法十尺得五十尺即方廉甲乙丙丁一側面之平積也(丁乙五尺丁丙十尺相乘)(得五十尺)以初商乘之必得一方廉之積(每一方廉積五百尺)若以方法三十尺乘之則得三方廉之積(三方廉皆等)又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛長廉一方面之平積也(戊己五尺戊庚)(亦五尺相乘得二十五尺)以初商乘之必得一長亷之積(每一長廉積二)(百五十尺)若以方法三十尺乘之則得三長廉之積(三長廉皆)(等)今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之側面長亷之方面兩平積也總以方法三十尺乘之即得三方廉三長廉之共積矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方積以三方廉附于大方之三面以三長廉補方廉之缺又以一隅方補長廉之缺八體凑合則成一縱廣皆一十五尺之立方矣二十五則立方以積求邊二法設立方積三百六十五萬二千二百六十四尺求方邊法曰置積于中為實先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘(得一百萬尺)除實(餘二百六十五萬二千二百六)(十四尺)三因下法一百尺(得三百尺)為方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次(共一百五十尺)次商五十尺徧乘之(得七千五百尺)為廉法以方法乘廉法(得二百二十五萬尺)除實(餘四十萬零二千二百六十四尺)又以次商自乘再乘(得一十二萬五千尺)為隅法除實(餘二十七萬七)(千二百六十四尺)復三因下法一百五十尺(得四百五十尺)為方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次(共一百五十四尺)以三商四尺徧乘之(得六百一十六尺)又為廉法以方法乘廉法(得二十七萬七千二百尺)除實(餘六十四尺)又以三商四尺自乘再乘(得六十四尺)為隅法除實恰盡合左初次三商共得一百五十四尺即所求解曰此與前則同但彼二位此三位耳設三商又不盡復三因初次三商為方法四商之倣此二十六則方體以積求邊一法(即帶縱開立方)設方體積二千九百二十五尺長廣相等高朒二尺求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以朒二尺減十尺餘八尺乘之(得尺百)除實(餘二千一百二十五尺)倍八尺加初商十尺(共二十六尺)為方廉法又倍初商十尺加八尺(共二十八尺)為長廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法(得二百六十尺)以次商五尺乘長廉法(得一百四十尺)兩數並(共四百尺)以次商五尺乘之(得二千尺)除實(餘一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)為隅法除實恰盡合初商次商共得一十五尺即底方之度減高朒二尺餘一十三尺即高度解曰初商自乘大方之底積又減二尺乘之高朒于縱及廣也倍八尺加十尺為方廉法者以方廉廣十尺者一廣八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之長皆十尺也倍十尺加八尺為長廉法者以長廉長八尺者一長十尺者二也又以次商五尺乘之者三長廉之廣皆五尺也又並六廉以五尺乘之者六廉之厚皆五尺也餘同前則○改設前積為三千二百四十三尺三寸七分五釐初商十尺次商五尺仍餘積三百一十八尺三寸七分五釐又以朒二尺減初次兩商十五尺餘十三尺倍之加十五尺共四十一尺為方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺為長廉法三商五寸于初次兩商一十五尺之次以初次兩商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘長廉法得二十一尺五寸並兩數共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除實餘一寸二分五釐陞二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除實恰盡合初次三商得一十五尺五寸為底方之度减高朒二尺餘一十三尺五寸為高度○餘積一寸二分五釐陞二位何也葢體以縱廣及高各一尺為積一尺一尺實積千寸取十分尺之一為寸是一寸而實積百寸也故寸以下皆陞二位二十七則方體以積求邊二法設方體積四千二百七十五尺長廣相等高多四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺自乘又以多四尺並十尺共十四尺乘之(得一千四百尺)除實(餘二千八百七十五)(尺)倍十四尺加初商十尺(共三十八尺)為方廉法倍初商十尺加十四尺(共三十四尺)為長廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法(得三百八十尺)以次商五尺乘長廉法(得一百七十尺)兩數並(共五百五十尺)又以次商五尺乘之(得二千七百五十尺)除實(餘一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)為隅法除實恰盡合初次兩商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前二十八則直體以積求邊一法設直體積七千二百尺高一十二尺廣朒于長十尺求長廣法曰置積以高除之(得六百尺)四因之(得二千四百尺)叧置廣朒于長十尺自乘(得一百尺)兩數並平方開之(得五十尺)減廣朒于長十尺(餘四十尺)折半得二十尺即廣加十尺得三十尺即長解曰以高除積所得者直體底積也故平方帶縱開之即得所求也二十九則直體以積求邊二法設直體積三千一百三十五尺高多長四尺長多廣四尺求各度法曰置積于中為實初商十尺以十尺減長多廣四尺餘六尺乘之又以十尺加高多長四尺共十四尺乘之(得八百四十尺)除實(餘二千二百九十五尺)列十尺六尺十四尺為方廉法並十尺六尺十四尺共三十尺為長廉法次商五尺置于初商之次方廉法維乘以六尺乘十尺(得六十尺)十尺乘十四尺(得一百四十尺)十四尺乘六尺(得八十四尺)並之(共二百八十四尺)又以次商五尺乘長廉法(得一百五十尺)兩數並(共四百二十四尺)再以次商五尺乘之(得二千一百七十尺)除實(餘一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百十五尺) 為隅法除實恰盡合初次兩商共一十五尺即長増四尺共一十九尺即高減長四尺餘一十一尺即廣解曰初商十尺為大方之長減四尺餘六尺為廣増四尺共一十四尺為高故兩乘得大方積大方三面之平積即三方廉之底積也而大方之三面各不等以廣六尺乘長十尺得甲乙丙丁面平積以長十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平積以高一十四尺乘廣六尺得已庚乙丁面平積故列三位為方廉法維乘也又大方三稜之度即三長廉之高也而大方三稜亦不等甲乙稜十尺乙丁稜六尺乙己稜一十四尺故並三數為長廉法也餘同前解三十則渾圓以積求徑設渾圓積一千七百六十七尺八分五釐七毫有竒求圓徑法曰置積二十一乘十一除(得三千三百七十五尺)立方開之得一十五尺即所求解曰十一與二十一渾圓立方之比例也(本巻十三則)二十一乘十一除令渾圓化為相當之立方故立方開之得方邊即得圓徑也三十一則渾撱圓以積求徑設渾撱圓積二千二百三十九尺二寸八分五釐有竒大徑多小徑四尺求兩徑法曰置積二十一乘十一除(得四千二百七十五尺)以帶縱立方開之得一十五尺即小徑加多四尺得一十九尺即大徑解曰渾㨊圓與方體之比例亦若渾圓與立方故二十一乘十一除帶縱立方開之得方體之廣及高即渾撱圓之兩徑也三十二則三乘還原(即開三乘方)設三乘積六百二十五尺求還原法曰置積為實平方開之(得二十五尺)再以平方開之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所謂三乘方也反求元數即所謂開三乘方也三乘原無形體可言但法類于開平方立方故亦謂之方耳○從此推之一次平方一次立方可開五乘方三次平方可開七乘方三十三則委粟求積設委粟底周八十八尺高八尺八寸求積法曰置周自乘(得七千七百四十四尺)以高乘之(得六萬八千一百四十七尺二寸)再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求解曰此即圓錐也圓形與周上方形之比例若七與八十八(二巻五則)凡兩體等高者體與體之比例若底與底圓體與周上等高方體之比例必亦若七與八十八今圓錐居圓體三之一以三乘八十八得二百六十四則是圓錐與周上等高方體之比例必若七與二百六十四矣二十四則倚壁委粟求積設倚壁委粟周四十四尺高八尺八寸求積法曰置周自乘(得一)(千九百三十六尺)以高乘之(得一萬七千零三十六尺八寸)再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求解曰此圓錐之半也半錐居全錐二之一半周上方體(與圓錐等高下同)居全周上方體四之一故其比例為七與一百三十二也三十五則倚外角委粟求積設倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求積法曰置周自乘(得四千三百五十六)(尺)以高乘之(得三萬八千三)(百三十二尺八寸)再七乘一百九十八除得一千三百五十五尺二寸即所求解曰此圓錐四之三也與全周上方體(與圓錐等高下同)之◆ 《句股引蒙-清-》（KR3f0052）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
勾股引蒙 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案勾股引蒙五卷國朝陳訏撰訏字言楊海寧人由貢生官淳安縣教諭是書成於康熈六十一年壬寅首載加減乗除之法雜引諸書如加法則從同文算指列位自左而右減法則從梅文鼎筆算列位自上而下易横為直乗法則用程大位算法統宗鋪地錦法畫格為界除法則用梅文鼎籌算直書列位至定位則又用西人横書之式葢兼採諸法故例不畫一至開帶縱平方但列較數而不列和數開帶縱立方但列帶一縱而不列帶兩縱相同及帶兩縱不同皆為未備所論勾股諸法謂勾股和自乗方與絃積相減所餘之積轉減弦積為股弦較不知以勾股和自乗積與倍弦積相減所餘為勾股較積不得為勾股較也又謂勾股相乗以勾股較除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾積股相乗矣則用此一勾股相乗之積而勾股和與勾股較除之皆得容方無是理也又謂勾股相乗之積為容方者四斜弦内為容方者兩不知勾股形内以弦為界止容一方試以勾三股四之容方積較尚不及勾股積四分之一而股愈長則容方愈小者更無論矣又謂勾股弦之長恒兩倍於容圓之周不知平圓積以半周除之而得半徑勾股相乗積以總和除而得半徑根既不同不得牽混為一也如斯之類亦多未協其三角法則全録梅文鼎平三角舉要畧加詮釋所用八線小表以餘線可以正弦正切正割三線加減得之故不備列其半徑止用十萬亦測量全義所載泰西之舊表無所發明然算法精㣲猝不易得其門徑此書由淺入深循途開示於初學亦不為無功觀其名以引蒙宗㫖可見録存其説亦足為發軔之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總校官(臣)陸 費 墀
## 凡例
欽定四庫全書句股引蒙海寜 陳訏 撰凡例六藝數居其一句股又九章之一古周髀積羃今三角八線皆句股法也但不得其門每多望洋是編如蒙童初識之無漸至握管作文或析其數或明其理為入門之始故名勾股引蒙自籌算法行珠算可廢至専用筆算籌亦似可不用宣城梅定九先生有筆算一書備極諸用然其要不過加減乘除四字今止發其端餘不辭費葢全帙中皆加減乗除故也籌算剙自逺西較珠算最為雅便但定位置○殊費推𫾣今有訣法有假如簡明易曉庶無悞用并列製籌之法用時即不必攜籌便楮可代數學之有開方為勾股之所必需平方易立方難今不厭其詳務使開卷易明至𢃄縱方雖於勾股法不恒用然法尤㣲奥不可不知故併載焉勾股為測量諸法之原變化神妙不外叅互一定之數今載唐荆川先生論李凉菴水部論為註釋數條足以括其變化有志之士亦在熟之而已測量法西刻備有成書實與中法無異但文義簡奥是編顯淺明晰且先列中法後列西法知中法自有勾股以來未嘗禮失而求諸野但製器之巧當推西法耳三率為西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附測量之末三角法之前一覽瞭然俾習者易如反掌三角法即測量全義中所載測三角直線法至梅刻三角舉要尤明顯矣今備錄梅本而於取邊取線之所以然或附管見或補圖明之三角八線必檢表得度雖弧三角(即西法三角曲線)與平三角㣲有不同未可據平三角遽為步厯之準然算三角若不得表將何印証但八線表未能備刻今附八線小表雖具體而微然與八線全表無異元李欒城測圓海鏡明顧箬溪為之注釋宣城梅定九先生謂止容圓一術引而伸之遂如五花八門想昔時視為絶學今昌運作人算學設館肄習然天府之書無從窺見即梅刻諸書亦購覓甚難是編不辭固陋視李顧二書似各法具備且由淺入深人易曉悉譬之江河濫觴之始可涓涓不已以至於海云爾
## 卷一
欽定四庫全書句股引蒙卷一海寜 陳訏 撰筆算(古用珠算今資毫穎凡寫法俱左為大右為小其法不外加減乗除其用視籌格)加如先有幾百幾十尺(舉尺以例其餘)又幾百幾十幾尺又幾十幾尺俱平寫寫完用横畫為界併之從末小位起每留零數寫於本位每滿十數即於前位加一㸃其前位仝先所寫數又所加一㸃直下併之留零數進十數如前法一路併向左去凡滿十者不論或百或千或萬總之左位比本位多十倍俱稱為十也假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百七十八尺四六八八 (從末位併起如四六八為一十八進一㸃于前左位留八零數寫本位)三九七○ (此三九七同所進一㸃併之得二十進兩㸃于前左位而本位無零置○)一 一四 (此首位有一一又連兩㸃併之得四竟寫四字於下)右共四百○八尺(從左首位至末小位)減先從左大位減至右末小位假如四百○八尺先減一百七十八尺(存二百)(三十尺)八 四○ 三四三四三二一又減九十六尺(存一百三十四尺如右)如再減若干亦同此法乗有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之類依位數畫或方或長格各管所乗之位為縱横式俱左為大右為小又每格斜界從末小位界起為斜式亦左為大右為小斜界之末格為最小之位無可併進其餘斜界一路併去留零數於本位而以滿一十者進一㸃於前滿二十者進二㸃如前加法倒併至左寫完看末位應是尺是寸逆推而上即得所乗之萬千百十假如自乗以一百七十八乗一百七十八先寫一七八於上(平寫)再寫一七八於側(直寫)依平位側位畫縱横格(或平位多畫長方格或側位多畫直方格)再畫斜格(末小位起)先從右邊末位乗起以末位之八乗平寫之末位八得六十四寫六字於末位斜格之左寫四字於右再以右邊之八乗平寫中位之七得五十六寫五字於下格斜界之左寫六字於右再以右邊之八乗平寫首位之一得八寫八字於下格斜界之右(以上右邊之八乘完)次以右邊中位之七乗平寫末位之八得五十六寫五字於中位斜格之左寫六字於右次以右邊之七乗平寫中位之七得四十九寫四字於中格斜界之左寫九字於右次以右邊中位之七乗平寫之一得一七如七寫七字於中格斜界之右(以上右邊之七乗完)又以右邊之一乗平寫末位之八得八寫八字於上位斜格之右次以右邊之一乗平寫中位之七得七寫七字於上位斜格之右次以右邊之一乗平寫首位之一得一寫一字於上位斜格之右(以上右邊之一乗完)各位俱乗畢將斜界各數併之圖具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺從尺逆推而上至三字是萬位得三萬一千六百八十四尺(若以尺乗寸則末位之四是四寸凡兩錢斤之類俱同此)假如相乗圖算俱同自乗除除與減相似而不同猶加與乗亦相似而不同葢加減止用小九數如二與三為五而乗與除則兩字合呼如二三得六也除即九歸法列籌除實西法始創先列籌式如左籌算(附籌式)(籌每副九根每根九格左為大數右為小數以第一格右邊字為某號籌如一字即為一號籌)(二字即為二號籌算時照為法之數列籌從左而右看列實數近少除之其每籌之背俱合九)(數面一背必八面二背必七第九號籌之背則虚界斜格無字為法數之○用其除法用法另)(詳)右每籌九格每格已備所乘之數如一號籌一一如一 一二如二如第二號籌則第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字寫在斜格之左為大數第六格即二六得一十二以一字寫斜格之左二字寫斜格之右凡籌俱左為大數右為小數也其列籌亦分左大右小如法數或係一十九則一號籌列左九號籌列右也凡兩籌相並成斜方格右每籌九格每格已備所乘之數如一號籌一一如一 一二如二如第二號籌則第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字寫在斜格之左為大數第六格即二六得一十二以一字寫斜格之左二字寫斜格之右凡籌俱左為大數右為小數也其列籌亦分左大右小如法數或係一十九則一號籌列左九號籌列右也凡兩籌相並成斜方格其斜方格内之數須合併算滿十即進於左位而留零數於本位其在斜方外者不可合也除取近少除即珠算之歸法如以物求價物為法照物之數列籌價為實共若干價横寫數目(亦左邊起寫至右邉)視列籌某格近少除之(如在第一格除即寫一字如在第二格除即寫二字為商除之數)所以取近少者蓋以法除實必非一除可盡故留餘實以便再除假如做工三百八十四丈用銀三千五百七十一兩二錢求每丈該銀若干以做工為法列三八四籌以銀為實横寫三五七一二取格之近少除之右列三八四號籌除實視每格自一格至八格俱少惟九格之 三四五六與實近少除之因在第九格為初商九餘實一一五二視列籌第三格之(為十一進一㸃于前)一一五二除實盡為次商三按初商之九寫於實首位者因在三號籌左邊之字除起(左邊是大數即是十位)遇十在本身故第一次除寫實之第一位所謂在本身也右工每丈該銀九兩三錢按定位(詳後)凡法小實大者從實首順尋法首而法前得令如工三百較之銀三千是為法小實大應實上順尋法首今實之第二位是百即為法之首位而法前得令則實之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九兩蓋令者兩斤尺石之所由起也九既為兩則三為錢無疑故貴定位也詳後法置○(開方置○不用此法)逢單須進位 遇十在本身退位單仍十 兩一位還升各籌俱右為單位左為十位其左邊無字而兩籌斜格相併如五與六併為一十一之類則進於十位亦謂之十也此進位之位與本身之身俱指所商之數應寫實數上之第幾位如初商在第一位次商在二位之類為一定之位而進位則從本位而進於左位也依此寫法有不相連接中間空一位者是商數大小相懸應置○也退位單仍十句即補首句逢單須進位之所未盡蓋如同是籌上之單位除實而所除之實位或有用退位除者則雖在籌右格之單位除仍作遇十在本身其所寫商數初商在首位次商在次位也假如實一十一兩七錢二分 法二十三石(列籌)列三號三號籌視五格至九格俱浮於實惟退位除則第四格 之九二是零數與一之大數相近故從實首除籌之一十為九除十而於次位還一則所除乃在第二位而書商數於實首位是為單仍十耳然次位除起而實首書商數則依然逢單進位也兩一位還升句承上退位句以申明逢單須進位也謂惟退位除者雖單亦同十耳若實首是一法首亦是一而恰用第一格除實則逢單應書商數於實首一之前位上葢總以籌之左大右小為逢單遇十故前句是退位除者雖在單格亦作十論而在本身置商此句兩一是雖或一十一百而在籌格之單位除者亦作單論而在本身前一位置商也假如實一百五十七兩 法一百二十六石列一二六籌在第一格右小位除實則應置商於實本位之前一位若法實俱是一在左大格除者不宜進位置商假如實一七八二 法一八列一八籌初次商俱在九格除實俱籌上併進左大位是十位是遇十在本身其商數不宜進位也右依前法寫商數而中間空缺不接連者即○位也定位法小實大順尋法首而於法前得令假如人參三十五兩用價共二百二十七兩五錢求每參一兩價若干(以銀為實) (以參為法)五 列三號五號籌(此即參為法)除實七 籌第六格除二十一是遇十在本身寫五 二 六字於實之第一位上餘實一七五除第六 二 五格亦遇十在本身寫五字於實之第二位上(除盡)順尋法首者如上所列實二百二十七兩五錢人參為法是三十五兩則十為法首而實之第二位是十為法首位直上所寫商數之五即法首位而法前得令令者兩也實首直上之六為法前法前得令為六兩六既為兩則五為錢矣答曰每參一兩價銀六兩五錢法大實小逆尋法首而於法前得令假如堤工三百五十用銀二十二兩七錢五分求每一工該銀若干(以銀為實以工為法)列三號五號籌除實同前法之首是百實之首乃是十是為法大實小當實首十逆推法首百則實之前位即法首位而實前第二位是法前位以之得令為兩而順逓推下則初商之六乃是分位次商之五乃是釐矣答曰每人一工該銀六分五釐又如法愈大實愈小則實前逆尋法首或二○三四○法前得令仝前假如隄三千四百工共銀一十五兩三錢求每工該銀若干(以銀為實以工為法)實 列三號四號籌除實三 初商四次商五俱籌上左邊除實商數各依遇十在本身寫法數千銀數十為法大實小從實首十數逆尋法首則實前二位為法首而又於法前得令起兩退右挨數則實首上之四為四釐挨右之五為五毫矣答曰每工四釐五毫法實等者實首即為法首而於法前得令法實相等如同是千同是百之類命分凡除至單位而止故曰實如法而一所謂一者即單也其除之至單位仍有不盡之餘實則以分命之其一除之至盡如錢分釐毫絲忽以次求之其一以法數為分母不盡者為分子命為幾分之幾假如十九人分銀二百五十四兩依商除法已各該一十七兩矣不盡七兩命之曰十九分兩之七(葢以不盡之七剖為七个十九分得一併百三十三分以十九人分之各得七分)(整數零數為每人分得十七兩○十九分兩之七)附約法(厯法用之便於積算餘可不必)凡命分可約者約之古法曰可半者半之不可半者以少減多更相減損求其有等者以等約之西法謂之紐數以等數約母子數則皆除盡(如八十一人分銀二十七兩不能各得一兩并不能各得五錢依命分法命為八十一分兩之)(二十七今以法約之為三之一葢八十一是三个二十七若剖兩為八十一分即各得二十七)(分是三之一也)(均分法曰置分母八十一用逓減法以分子二十七減之餘五十四復以二十七減之餘仍二)(十七兩數相同是有等也即用此二十七轉除分母得三除分子得一如此不用細分但以每)(兩均剖為三而各得其一分即三人共一兩也)(若分子是五十四則用轉減法以子五十四轉減母八十一餘二十七又以母餘二十七轉減)(子五十四亦餘二十七是相等也即以此等數二為法除母得三除子五四得二是為約得三之)(又㨗法八十一乃九九相乗之數二十七乃三九相乗之數皆九也即可為紐數約之為九分)(兩之三)當位籌算求兩斤尺石之類竟除近少或即除盡不用當位法惟開方每商後應取兩廉約數故如餘實一百先取長廉時雖或籌之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取長廉也今開方依西法用籌故先附此右各法俱籌算入門之始從此開方句股三角握算推步無慮紊悮矣(惟開方置○與此不同)句股引蒙卷一
## 卷二
欽定四庫全書句股引蒙卷二海寜 陳訏 撰開方開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立方大籌置廉用散籌平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一為十九个十九也立方則十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中并列并除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角之用也(此所測之㸃非開方㸃定開位之㸃)開平方法先㸃定開位從末單位㸃起(如積實尾無單位者於尾位置○㸃起)隔一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命分一㸃者根必單二㸃者根必十(俱以次増)先從左大數視平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬亦定矣(立方同)凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然初商法平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為初商若干此第一次除之商數名為方根㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌者用退位法除次商法以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平方籌左取某格近少除之為次商若干三商法以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方籌之左除實同前法(各商同此)每商置○定位三則(開方定位依㸃逓加不用順尋逆尋法立方同)三商式如列實三㸃為三開(從末零位㸃起每開一位)㸃前無餘該大籌單位除實三格内除九為初商三寫三字在首㸃積實之二 上三 九 次商應倍初商之三列六號籌為廉除○ 實若取近少莫如三格但次㸃位前實止有二位而籌有三位不得除至次㸃位後便須置○是為次商得○寫○於次㸃位積實上隔○籌於平方籌左三商既列六號籌○籌於平方籌之左便應統取近少除至末㸃位止今四格恰除盡為三商得四寫四於末㸃位積實之上三商根必百故初商之三為三百四商式㸃前無餘大籌單位除九初商得三書商數及置○與三商俱同前法四商倍三商之四列八號籌於大籌之左及前六號籌與○籌之右四格除盡為四商四四商根必千故初商之三為三千四商○○式初商視平方籌取三格除九為初商得三次商倍方根列六號籌於表左應除至次㸃位止但次㸃前實止一位而法之一格兩位下俱三位便須置○隔○籌於前列籌右平方籌左為次商得○三商應除至三㸃位止但三㸃前止三位取近少在三格法有四位便須置○隔(○)籌於前列籌右平方籌左為三商得(○)四商四格恰除盡為四商得四四商根必千故初商之三為三千加籌凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十數又當為升籌升籌凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列於平方籌左而前商之四號籌去之隔籌每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢置一○只應隔一○籌耳(立方每隔○○兩籌與平方異)命分見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘不盡之實命為若干分之若干分如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌(連前商籌)(在内)視第一格八四一命為八百四十一分之五百七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止視第一格而命其全數與現在不盡之分也求分杪凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣(平方隔一)(位㸃是每開兩位故増○○)右皆開平方法其平方帶縱者開方附左平方𢃄縱列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊(即正)(方)加縱數即𢃄縱之長方如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以平方開之得闊因以知其長開方得闊加縱式假如長田六百二十四步 闊不及長二步初商得二除四百步 又以商數二乗縱二步(二二如四)除四十步 餘一百八十四步又倍初商列四號籌次商四格除一百七十六步 又以商數四乘縱二步(二四如八) 共一百八十四步除盡為次商四開得闊二十四步 加縱二步為長二十六步比例分積式假如直田積四百五十步 長多闊一倍法平分其積得二百二十五步平方開之得闊一十五步倍之得三十步即長假如長田積二百五十二步 長比闊多四分(分母)之三(分子)法以分子三加分母四共七為法以分母四乗積為實法除實得一百四十四步開方得闊一十二步又以闊一十二步七因四除之得二十一步為長(長比闊多九步較之十二步為四分之三)開立方法從末單位㸃起每㸃隔二位視列實位一㸃一開二㸃二開餘同凡一㸃者方根必單二㸃者方根必十以次而増先從列實左大位視立方籌取近少除之㸃前無餘除一二格之單位㸃前餘一除三四格之十位㸃前餘二除五六七八九之百位立方根單其積實必從單至幾百止如九之所積其平面自乗得八十一而立體則九與八十一相乗得七百二十九故根單必積實至百位而單位㸃起隔兩位至百也立方根十其積實必從幾千至幾萬幾十萬止如九十之所積其平面自乗得八千一百而立體則九十與八千一百相乗得七十二萬九千故根十其積實必從千位萬位至十萬位止而㸃亦隔兩位也餘以類推立方積實必得三位故一㸃一開二㸃二開而開數定於此矣一㸃者根必單二㸃者根必十方根定於此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃位止置○肇於此矣若尾位列實止於十則實右補一○列實止於百則實右補○○以便從單位㸃起若列實不至單位止則㸃位一錯而開數方根置○俱因之以錯矣故列至單位開方之異於籌除者在此初商法同平方視列實用立方大籌視單位十位百位依法取近少除之至前首㸃位止在第幾格為初商若干為方根次商以初商方根自之(即自乗)又三倍自乗之實得若干列某號籌於立方籌之左為平廉法再以初商方根竟三倍之列某號籌於立方籌之右為長廉法視平廉籌及大籌某格近少列為平廉約數將平廉約數在某格之隅數(即大籌兩行平寫之數)乗立方大籌右之長廉(如九格之八一為隅數即將長廉籌八格一格所列之數依大小次併之)得若干數為長廉約法併平廉長廉兩約數若干以減初商所餘之實至次㸃位止為次商若干如併兩廉數浮於實須退位改商如位多於實應置○不得除至次㸃位後右立方有平廉三長廉三與平方異三商去前商左右列籌以初商兩商自之又三倍之為平廉列籌於立方籌左再以初次兩商竟三倍之為長廉列籌於立方籌右如前商法除至三㸃位止四商(以下皆同)去前商籌依法列平廉長廉籌除至末㸃位止為四商若干如尚有餘實依命分法右前法俱前商之後即將前各商數自之又三倍之為平廉列籌視某格與餘實近少列為平廉約數再以前各商竟三倍之為長廉列籌(俱依前法分列大籌)(左右)視平廉約數在某格之隅數取以乗長廉得若干數為長廉約數其萬千百十各依位數附於平廉之本位併之而除餘實其隅數即在大籌之除格其廉積即在散籌之每格仍是於全數中除兩廉應除之餘實而隅數亦不煩再乗再除也梅定九先生籌算仍依古法先以前商三倍之為廉法以前商數自之又三倍之為方法以方法除餘積得次商既得次商用其數以乗方法為三平廉積又次商自乗以乗廉法為三長廉積再以次商為隅法以隅法自乗再乗得小立方形為隅積三共併之除餘積不知既列籌除則籌之每格即乗有廉之全積何必多此一乗且大籌在初商為方根在每商即為隅積今用籌倂除何必又自乘再乗耶立方籌右行隅數定位二開 次商三格以上是單位 四格以下是十位三開 三商三格以上是單位 四格以下是十位次商三格以上是百位 四格以下是千位四開 四商三格以上是單位 四格以下是十位三商三格以上是百位 四格以下是千位次商三格以上是萬位 四格以下是十萬位右隅數以末商三格以上是單四格以下是十起層累逓加法式二開商式假如積實六千八百五十九兩㸃兩開兩㸃根必十㸃前無餘從單位㸃俱隔二位(連本位共三位)初商 列立方大籌視第四格之六四雖係近少然㸃前無餘必從單位除寜可在第一格除一蓋第二格雖亦單位然八浮於六不可除實故除一格之一為近少除去一千為初商一(兩㸃根必十此初商一為方根)次商 以方根一十自之又三倍自乗之實得三百列三號籌於立方籌左為平廉籌又以方根竟三倍之得三十列三號籌於立方籌右為長廉籌前商餘實五八五九視平廉籌之九格三四二九相近列為平廉約數其九格之隅數八一乗長廉之三十得二千四百三十為長廉約數併兩廉約數共五千八百五十九除實盡在第九格為次商九次商在九格除盡即次商隅數九亦在除内葢隅在長平兩廉相凑之角故次商之隅即同次商之商數其在大籌之第幾格者為隅之邊數而在第幾格之自乗者為隅之實數今與大籌並列同除故隅亦在其中也三平廉貼於前商方形之正面側面及或上或下而後成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全數也三倍之則所貼方根三面之平廉全數也但全數與方根等方而全數之積多於現在之餘積故於此三平廉全數中視某格與餘實近少而為平廉約數然此三平廉者與方根闊狹厚薄相等今三面貼凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有長廉三一縱二横補於平廉不能合縫之際始得凑合成方法以方根又三倍之者成三個長廉之全數也再以平廉之隅數乗長廉則為現在平廉貼身應得之數為長廉約數併之除餘實而隅亦在所除之中而此四面之方凑合無缺矣葢平廉以方根為準長廉以平廉為準而隅數與平廉長廉又互相為準數藏大籌巧在與大籌並列同除法精密矣初商次商退位除式假如積實一萬九千六百八十三初商二十 積實兩㸃兩開方根必十㸃前餘一位應從立方籌之十位除實但籌之三格四格俱大於積實應退在第二格之八除八千(籌格退位)餘一一六八三此退位不用三四格除實而退至二格者籌數浮於實數用退位除恰除至㸃位止故取二格之八為近少也此初商止退籌格不退商位次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一號二號籌列立方籌左為平廉以方根二十竟三倍之得六十取六號籌列立方籌右為長廉 雖九格一萬一千五百二十九相近然再加長廉便浮於實故不取九格(凡平廉籌格與除至㸃位)(之實位數相當者則萬千十百之數亦必相符今㸃位前實係一萬一千六百八十三平廉九格恰)(五位便是一萬一千五百二十九矣蓋二開次商得九以九乗平廉法得廉約數一萬○八百加隅)(約數七百二十九共數如前以此推算即得實數然不如即視位數更為簡㨗故比㸃位少一位則)(其數必小多一位便須置○也)八格之一○五一二雖更相近然若以八格之隅數六十四乗長廉之六十得三千八百四十併平廉八格之一○五一二為一萬四千三百五十二亦浮於現在之餘實故又應退格取七格之八千七百四十三單為平廉約數取七格之四九隅數乗長廉之六十得二千九百四十為長廉約數俱係千數可併進而除首位次位之一 一矣於是併兩廉約數共一萬一千六百八十三單除盡為次商七(此退格約廉因籌數雖浮籌位不多於餘實故止退格而不改商也)自乗再乗還原次商置○式 三商加○籌式假如積實一億二千九百五十五萬四千二百一十六三㸃三開㸃前餘二位初商㸃前餘二位視立方大籌百位除實第五格之一二五近少除之得初商五百次商以方根五百自之得二十五萬又三倍之得七十五萬為平廉列七號五號籌於立方籌左以方根竟三倍之得一千五百為長廉列一號五號籌於立方籌右若取平廉籌相近莫如第六格之四五二一六相近然次商應除至次㸃位止今籌位多實位少若依籌位即平廉巳除至㸃位後何况更有長廉是必變商之大位為小位則有後商㸃前之實應除而不患除至㸃位之後故應商數置○為次商○(前二商式是退格併亷此處次商是退位再商故有置○不置○之)(别)三商 因前平廉籌巳備三廉實數尚未商除而前商之○又無實數可三倍故不去前籌不將前商自之又三倍之止於立方籌左前平廉籌右加○○兩籌蓋立方毎㸃隔二位今加○○籌則前商變為後商變次商之十為三商之單矣故平廉籌仍照前七十五萬而七五列籌之第六格之四百五十萬相近又立方大籌六格之二百一十六單共四五○○二十六列為平廉約數再以隅數之三六在三開次商為三千六百者今為三開三商之三十六(見前隅數定位)以之乗三倍方根之一千五百為五萬四千列為長廉約數併之共四百五十五萬四千二百一十六除餘實盡為三商六右共開方得五百○六自乘再乘還原五開三商列籌不隔○ 商數置○式四商隔○籌式 又商數置○式五商又隔○籌式假如積實一萬七千三百一十八億(即萬萬)九千○百九十一萬六千七百二十九(按他書十萬曰億算學書萬萬曰億後同)五開列實如左五㸃五開五㸃根必萬㸃前無餘從單位初商 㸃前無餘從立方籌單位一格除實一萬億為初商方根一萬次商 以初商一萬自之得一億又三倍之得三億列三號籌於立方籌左為平廉以方根一萬竟三倍之得三萬列三號籌於立方籌右為長廉視第二格之六○八近少為平廉約數以此三號籌二格之隅數四乗長廉之四得一二為長廉約數(按隅數五開次商三格以上是百萬位)併之除七千二百八十億為次商二千三商 以前初商除一萬億次商除七千二百八十億餘實三八九○九一六七二九去前所列籌以初次兩商(共一萬二千)自之得一四四又三倍之得四三二列籌於立方籌左為平廉(凡乗大數各存○餘位則從單位逆推乗數定位不紊)上圖如兩商一十二萬自之得一億四千四百○○萬再以初次兩商一萬二千竟三倍之得三萬六千列立方籌右為長廉法如法列兩廉約數取近少莫如九格(三八九五二)(九)但三商應除至三㸃位止今籌格六位而第三㸃前連㸃位亦止四位法實不符應商除退位不但變大數商為小數商又有後商㸃前之實可合籌格之多位應本商置○為三商○百四商 立方凡前商置○則後商應隔○○兩籌以當每㸃之隔二位列於平方籌左前商平廉四三二號籌之右為平廉再如法列長廉籌取兩廉約數併除餘實又莫如九格(三八八○七二九)但五開四商應除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而籌格有八故又應置○為四商○十五商 依立方法後商應去前商之廉籌另依商法置平長兩廉籌約數除實今前三四兩商俱未除實俱退商數置有○○今五商仍存前商廉籌及○○籌再加○○籌以當每㸃之隔二位列於立方籌左廉籌及○○籌之右為五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九為平廉約數(此)(約數首位三係十億位)再以九格之隅數八十一(五開五商次格以下是)(十位)乗長廉之三萬六千得二百九十一萬六千為長廉約數併之除餘實至五開尾㸃位止為五商九右五商共一萬二千○○九(末商平廉 長廉) (三八八八○○○七二九 二九一六)(併之) (三八九○九一六七二九)右五開式末商九是單數凡立方積不過至十位百位止今何以能除至三十八億九千○百萬各位之多葢三商○四商○雖兩商無除而○無定位列實未除之三八九○萬即皆前商平廉之所應有之數改商而未嘗改廉但因籌數位多實數位少故知三四商之皆應置○而前商未除之平廉其約數仍在至五商則但以五商之隅數乗前商原有之長廉以為長廉約數葢隅因亷為升降而亷依方限不因商為升降特借五商之九同格幷除非單九能除至十億位也立方帶縱方為闊加縱為長法與開方無異先視某格與方根近少為商數乗縱數再乗得縱積併入方積以減原實為初商次商以下更加縱積縱廉積除餘實為次商(餘商同)併兩商數得闊因闊以知長(用㸃定開位悉依立方) (縱積除至㸃後)如初商視立方大籌某格近少之格數取為方根依定位列於原實之下又以方根之數因縱數若干即以因得之數再乗方根數得若干為縱積依定位列方根之下併減原實為初商若干(按方根悉如開方法但未即除實如併縱積多于原實應退位或改商或退格在方根不可除)(至㸃後其併縱積則除至㸃位之後葢縱在立方之外積非立方之積不可以每㸃之位為定)(也)如次商列平廉長廉法悉如立方先取平廉約數依定位列餘實之下再取長廉約數列平廉約數之下次以次商之商數(有兩廉約數在某格即某格是商數)因縱數得若干再以商數乗之為次商縱積依定位列兩廉約數之下又以縱數倍之為縱廉法乗初商數得若干以乗得之數與次商數乗之得若干為縱廉積依位列於約數之下共併之減原實為次商若干右𢃄縱方兩開者次商之平廉必列至次㸃位止如有三開者則加縱積縱廉積除至次㸃位之後(與開方不同)止兩開者即併積亦必次㸃位止若併積之位浮於餘實應退格改商以除實若平廉各格多於㸃前之實或應退格或應置○同前開方置○法三商以下列廉法悉如前其縱廉法應乗上初商次商再以乗得之數乗末商為縱廉積併除實(四)(商以下同)如積實九萬七千二百○十○尺但云闊不及長三尺初商近少在四格即方根四十闊不及長三尺即三為縱法乗初商之四十得一百二十(此縱靣)再以初商四十乗一百二十得縱積四千八百(此縱)(體)先以方根積六萬四千照位列實下又以縱積四千八百列方根積之千位下併之得六萬八千八百減原實為初商四十餘實二萬八千四百不先除方根者恐加縱積多於原實故先併後除次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百為平廉列大籌左再以方根四十竟三倍之得一百二十為長廉列大籌右取平廉第五格(二四一二五)為近少為平廉約數以五格之隅數(二五)乗長廉之一百二十得三千(兩開次商四格以下)(隅數是十)為長廉約數列於平廉下之千位以縱法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五為次商縱積照定位列於兩廉之下又以縱法之三竟三倍之得六為縱廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百為縱廉積照定位列於縱積之下併之共除餘實二萬八千四百盡為次商五右共開方四十五尺加長三尺為長四十八尺如積實二百萬○○○○○○尺 但云闊不及長三尺三㸃三開 初商是百㸃前無餘初商一(在大籌單位除實)以三為縱法乗商數一百得三百(此縱靣)又以商數一百乗三百得三萬(此縱體)合方根積共一百○三萬減積實為初商闊之一百按此初商除方根并除長三尺之縱但止除方根等形之縱未除次商後加縱廉積之縱次商依立方法平廉三萬長廉三百取近少(三格九二七以)(相近因𢃄縱有縱積應加故退格約廉)二格之六○八相近為平廉約數以第二格隅數四(三開次商三格以上是百位)乗長廉得一十二萬為長廉約數以縱法三尺乗次商二十(取平廉長廉約數俱在二格即是二十)得縱面六十又以商數二十乗縱面六十得縱積一千二百以縱法三尺倍之得六為縱廉(次商方根加廉則所𢃄之縱亦應加)(廉但次商之縱是小於方根加廉之縱而非短於方根之縱止縱旁兩邊有廉而縱頂無廉故法止)(倍之)乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得縱廉積一萬二千併之平廉約數六十○萬八千長廉約數一十二萬縱積一千二百縱廉積一萬二千共七十四萬一千二百減餘積仍餘二十二萬八千八百○十○單為次商二十三商平廉三千二百長廉三百六十依開方法置籌取第五格近少二十一萬六千一百二十五為平廉約數以第五格隅數二十五乗長廉三百六十得九千為長廉約數以縱法三尺乗商數五得一十五又以商數五乗一十五得七十五為縱積以縱廉六(縱法三尺倍之得六)乗初次兩商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百為縱廉積依法併之共二十二萬八千八百○○除實盡為三商五右共開方一百二十五尺加縱三尺為一百二十八尺按立方𢃄縱初商未開之前其所開之方未有定數而縱長三尺則有定數然雖有定數而如三開者其方闊必等於每開立方之邊或匾縱或長縱故每商必先依開方法開本身立方之方再以縱之三尺乗商數得縱之面更以商數乗縱之面而得縱之積在初商無廉故止併方根積與縱積除實為初商若干也至於次商則方根有廉而所立之方其形更大於方根今𢃄縱方則其長雖定於三尺而其方之大小應與次商之方相等但立方之廉有三而此𢃄縱方則縱首無廉止應兩旁有廉故廉止於二但此兩廉亦止如方根之方其合縫之處亦如立方平廉之不能凑合必有一長廉焉於是以縱法乗次商而得𢃄縱長廉之面又以次商商數乗縱面而得𢃄縱長廉之積此所謂縱積也其實乃𢃄縱之長廉積也于是𢃄縱之兩平廉以縱法倍之即以乗初商之數為𢃄縱平廉之面以此𢃄縱平廉之面乗次商商數而得𢃄縱平廉之積於是所𢃄之縱其縱則定於三尺而其方之形與次商之方等矣葢其法與開立方同而立方則先有平廉後有長廉今開所𢃄之縱乃先有長廉後有平廉此為異耳至三商與次商同惟縱廉積以縱法乗初商次商之商數而以乗得之數再乗三商之商數葢必連初商次商再乗三商方是三商𢃄縱之平廉其廉比初商次商較薄而其方之形則初商次商後之三商其闊狹與三商有廉之方相等其理一也附立方減縱法假如立方積五千七百七十六尺 但云長不及闊三尺㸃前無餘除單格初商除一格之單位因二格之八浮於列實故止除一格之一為商數以三尺為縱法乗商數一十(兩㸃根必十)得三十再以三十乗商數一十得縱積三百以初商方根積一千減去縱積三百餘七百以減原實為初商一十餘實五千○七十六尺次商依開立方法列平廉長廉籌近少取三號籌(次商以初商自之又三倍之)之九格三千四百二十九為平廉約數以隅乗長廉得二千四百三十尺為長廉約數合之為五千八百五十九(其數稍浮於實者立方積也後以縱積等)(減之乃成匾方形故凡減縱之末商必約數浮於實以待後減)為立方兩廉約數次以縱法三尺乗次商九得二十七尺為縱面又以次商九乗縱面之二十七得二百四十三尺為立方減縱之長廉積今名縱積次以縱法三尺倍之得六尺為縱廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺為立方減縱之兩平廉積今名縱廉積合縱積縱廉積共七百八十三尺以減立方之兩廉約數餘廉積五千○七十六尺減餘實盡為次商九(此餘廉積即前立方兩廉不浮之約數葢既先于前所稍浮之立方廉約中除縱廉等積)(則所餘者乃方根應有各廉之真數因本商未除故末後除之而合也)右共開得闊一十九尺減長不及闊三尺為十六尺長以上𢃄縱方開法初商方根積必至首㸃位止次商平廉長廉共約數必至次㸃位止不得除至㸃位之後惟減縱每商之廉其約數應稍浮于列實以待後減縱廉等積句股引蒙卷二
## 卷三
欽定四庫全書句股引蒙卷三海寜 陳訏 撰句股法句股名義直者為股横者為句斜者為弦句股併減名義句股和(句與股相併) 句弦和(句與弦相併)股弦和(股與弦相併)句股較(句與股相較) 句弦較(句與弦相較)股弦較(股與弦相較)弦和和(弦與句股和相併) 弦較和(弦與句股較相併)弦和較(弦與句股和相減) 弦較較(弦與句股較相減)右和較等名凡句股書多用此以從簡便故備列於前庶一覽瞭然句股弦準數句三股四弦五句股弦無一定之數然必先有一定相差之數以參互之為千變萬化之準則不外乎句三股四弦五而變化由此起焉後俱依此立法句股求弦句自乗股自乗兩積實相併開方得弦句股各自乗之實必合弦自乗之實故併積開方得弦(按句股開方俱平方後同)如句(三)自乗得九股(四)自乗得一十六併之共二十五平方開之得五即弦(五)句弦求股句自乗弦自乗兩積實相減開方得股股弦求句股自乗弦自乗兩積實相減開方得句弦自乗之積實必合一句一股自乗之積實故於弦積内減句積開方得股於弦積内減股積開方得句如弦(五)自乗得二十五為弦積内減句積九餘一十六為股(四)之積若弦積減股積一十六餘九為句(三)之積俱用開方得所求較求股弦句自乗股弦較自乗兩積實相減倍較為法除之得股股又加較得弦句積中除股弦較之積則所餘必倍於股之長故以倍較為法除餘積得股之長如句(三)自乗得九減弦長於股之較一(積亦一)則餘積八必倍於股長故倍較(一)為二除之得四即得股四若不倍較為法但以較除相減之餘積則除較之外必尚存倍於股長之數故於減餘之積去較折半亦得股長如句餘積八以較一除之仍是八必倍於股(四)故去較又折半亦得股(四)以上二法於股之長加較即得弦於股之長減較即得句故不再立求句法股弦和求股句自乗以股弦和為法除之得數以減股弦和折半得股股弦和内減股即得弦股弦和除句則所得數必弦長於股之較數故於股弦中去弦長於股之較則股弦等長而折半得股如股(四)弦五共九除句積(九)得一即股(四)弦(五)之較(一)去較(一)存(八)則弦與股齊故折半得股句弦和求句股自乗句弦和自乗兩積實相減折半以句弦和為法除之得句(句弦和内減句即得弦)句弦和自乗之積必倍於句與句弦和相乗之積而尚多一股積故於和積内減股積則所餘者為句乗句弦和之倍積故折半使止存一句乗句弦和之積而以句股和為法除之得句如股(四)自乗得一十六句弦和自乗得六十四内減十六餘四十八折半餘二十四以句(三)弦(五)為法除之得三為句句既得即於句弦和除句得弦五句弦和求弦股自乗以句弦和為法除股積得數加句弦和折半得弦於弦之長減句弦較亦即得句句弦和除股積則所得之數即弦長於句之較數句較既得則加句弦之長使句長與弦長等故折半得弦如股四自乗得十六以句弦和八為法除之得二加句弦和之八為一十折半即弦五句股和求句股弦自乗句股和自乗兩積實相減再以餘積減弦積以平方開之加句股和半之得股股内減商數得句句股和之積幾倍於弦積止少一句股之較積故以句股和積與弦積相減再以減餘之積減弦積則所存者為弦長於股之較積於是開方得較而再加句股和則句股等長故折半得股如句(三)股(四)得和七自乗得四十九以弦自乗得二十五減之存二十四再以二十四減弦積之二十五存一為弦長於股之較積開方仍得一加句股和共八折半得股(四)股得亦可依法得句(按此所得之較乃句股較作股弦較者誤)句股弦較求句股弦句弦較乗股弦較倍積實開方加股較得句句加句較得股股又加股較得弦如句弦較(二)乗股弦較(一)仍得二倍之得四開方得二加股較(一)得句三於句三加股較一得股四於股四又加股較一得弦五句股弦和求句股弦句弦和乗股弦和得積實倍之開方減股弦和得句減句弦和得股減句股和得弦如句(三)弦(五)為句弦和八乗股(四)弦(五)之股弦和九得七十二倍之為一百四十四開方得一十二合句股弦之長於一邊矣故於十二減句弦和八得股(四)於十二減股(四)弦(五)之股弦和九得句(三)於十二減句(三)股(四)之句股和七得弦(五)句股求容方句股相乗以句股併為法除之得容方徑若句股較為法除之亦得容方徑(按若勾股較二句有誤)容方外餘句餘股相乗平方開之亦得容方徑以容方徑自乗得實以餘句為法除之得餘股以餘股為法除之得餘句句股相乗之實為容方者四斜弦内為容方者兩故容方之實必等於餘句餘股之實雖長短不齊極致而句伸則股縮股伸則句縮有參互之準此即測望之法所由起也句股求容圓句股相乗倍積實併句股弦為法除之得容圓徑句股相乗併句股弦減半為法除之亦得容圓徑圓周恒三倍於圓徑而句股弦之長恒兩倍於容圓之周故于句股相乗之稍或倍之而併句股弦為法或不倍之而以句股弦折半為法俱得容圓徑而容圓徑即弦和較也(按勾股之長兩倍於容圓)(周語誤)句股論(李之藻)句股弦三合成形錯綜立義句股相減其差曰較句股相併其名曰和股弦之差曰股弦較句弦之差曰句弦較併句股與弦較其差曰弦和較句股之差與弦相減其差曰弦較較股弦相併曰股弦和句弦相倂曰句弦和句股之差併弦曰弦較和句股弦併曰弦和和句股各自乗併之為弦實故開之得弦句弦自乗減餘為股實故開之得股股弦各自乗減餘為句實故開之得句句股和自乗倍弦實相減開其餘即句股較也句股較自乗以減倍弦實開其餘即句股和也併句弦以除股實得句弦較若以句弦較除股實即得句弦和矣併股弦以除句實得股弦較若以股弦較除句實即得股弦和矣句股和自乗減弦實除以弦較較得弦較和矣除以弦較和非即弦較較乎句股較自乗減弦實除以弦和和則得弦和較矣除以弦和較非即弦和和乎句乗股為實併句股為法除得容方徑句乗股倍之併句股弦除之得容圓徑而容圓之徑即弦和較也又錯綜論之句為主以加股弦較即弦較較以減股弦較即弦和較若加弦較和又即股弦和也股為主以加句弦較即弦較和以減句弦較即弦和較若加弦較較又即句弦和也句股較為主以加股弦較即句弦較若減股弦和亦即句弦和也句股和為主以加股弦較復得句弦和若減股弦和亦得句弦較也至若諸較諸和法相因配連綴減半恒得所求若取句股較以加句股和半之得股以減句股和半之得句若取股弦較以加股弦和半之得弦以減股弦和半之得股取句弦較者以加句弦和半之得弦以減句弦和半之得句取弦和較者以加弦和和半之得和以減弦和和半之得勾股弦取弦較較者以加弦較和半之得弦以減弦較和半之得較加減乗除圓變不滯神而明之存乎其人逺近髙深方圓弧矢準此而推亦在乎熟之而已觧註(以句三股四弦五為準)句股和自乗倍弦實相減開其餘即句股較如句(三)股(四)和七自乗四十九如弦(五)實二十五倍之五十以四十九減五十餘一即句三股四之較一句股較自乗以減倍弦實開其餘即句股和如句股較一以減倍弦實之五十餘四十九開方得七即句三股四之和七併句弦以除股實得句弦較如句(三)弦(五)併之得八以除股(四)之實一六得二為句(三)弦(五)之較二句弦較除股實即得句弦和如句(三)弦(五)之較二以股(四)之實一六除之得八為句(三)弦(五)之和八併股弦以除句實得股弦較如股(四)弦(五)併得九以句三之實九除之得一為股(四)弦(五)之較一以股弦較除句實即得股弦和如股(四)弦(五)之較一以句三之實九除之為股(四)弦(五)之和九句股和自乗減弦實除以弦較較得弦較和如句(三)股(四)之和七自乗得四十九減弦(五)之實二十五餘二十四以句股差(一)與弦(五)相減之弦較較四除之得六為句股之差(一)與弦(五)併之弦較和六除以弦較和即得弦較較如二十四以弦較和之六除之得四為句股之差一減弦五之弦較較四句股較自乗減弦實除以弦和和則得弦和較如句(三)股(四)之較一自乗仍得一減弦(五)之實二十五為二十四以句三股四弦五之弦和和除之得二為併句(三)股(四)與弦(五)較之弦和較除以弦和較即弦和和如二十四除以弦和較之二得一十二為句三股四弦五相併之弦和和句股測望論(唐荆川先生)句股所謂矩也古人執數寸之矩而日月運行朓朒遲速之變山谿之髙深廣逺凡目力所及無不可知葢不能逃乎數也句股之法横為句縱為股斜為弦句股求弦句股自乗相併為實平方開之得弦句弦求股句弦自乗相減為實平方開之得股股弦求句同法葢一弦實藏一句一股之實一句一股之實併得一弦實也數非兩不行因句股而得弦因股弦而得句因句弦而得股三者之中其兩者顯而可知其一者藏而不可知因兩以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑則塔影髙則日影之類塔影之在地者可量而人足可以至於戴日之下而日與塔髙低之數不可知則是有句而無股弦三者缺其二數不可起而句股之法窮矣於是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句為股長幾何則大句股每一尺之句其長幾何可知矣此以人目與表與所望之高三相值而知之也人目至表小弦也人目至所望之髙大弦也又法表為小股其髙幾何與至塔下之數相乗以小句除之則得塔髙葢横之則小股至塔之積縱之則為小句至塔頂之積縱横之數恰同是變句以為股因横而得縱者也句股弦三者有一可知則立表之法可得而用若其高與逺之數皆不可知而但目力可及如隔海望山之類則句股弦三者無一可知而立表之法又窮矣於是有重表之法葢兩表相去幾何為影差者幾何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之窮也重表者以通一表之窮也其實重表一表也一表句股也無二法也句股容方圓論凡竒零不齊之數準之於齊圓準之於方不齊之圓準於齊之圓不齊之方準於齊之方句股容圓準於句股容方假令句五股五弦七有竒此為整方均齊無較之句股其容方徑該得句之半盖容方積得句股全積四分之一其取全積時句股分在兩亷則句五股五五五二十五内一半為句積一半為股積其求容方則併句股為縱一亷得十為長之數得闊二五與原句相半盖始初則一半句積一半股積横列之而為正方及取容方則股積在上句積在下而為長方矣其容方所以止得半句者則以句股之數均也若句短股長則容方以漸而闊不止於半句矣故大半為股積小半為句積其始横列時句積與股同長而不同闊其縱列時則股積之闊如故而句積截長以為闊則闊與股積同而長與股積異與横列正相反此變長為闊而取容方之法也其謂之句積股積者從容方徑與句股相乗之數而名之也若取容圓徑則用句股自之而倍其數以句股與弦併為法蓋容圓之徑多於容方方有四角與弦相礙故其數少圓弦宛轉故其數多若以求容方與求容圓相比則積中恰少一叚圓徑與半弦和較相乗之數弦和較者句股併與弦相較之數也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方則亦倍句股為法得二十亦恰得二寸五分之徑如求容圓則不用倍句股為法而用一句股併與一弦是以一弦代一句股倂也以一弦代一句股併恰少一弦和較加一弦和較則亦兩句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之徑一句股得十一弦得七恰少弦和較三是取容圓之徑其所以少一弦和較者圓徑多於方徑也假令取容圓不用句股倍積而止用句股本積則宜句股併為亷而除去半弦和較亦得或約得圓徑之後與半弦和較相乗添積而以句股併為亷不除亦得或用句股倍積用兩句股相併為亷而以全弦和較與約得圓徑相乗添積亦得此改方為圓之妙其機括只寓之於弦和較間也至於句股積與弦積亦只於句股較中求之盖數起於參伍參伍起於畸零不齊也假令句五股五齊數之句股則句股冪倍之即得弦冪盖兩句股積而成弦積也至於句短股長相乗之積則成一長方倍之而弦側不當中徑亦不成弦冪維以一句股較積補之乃能使長方為一正方而得弦積盖句股之差愈逺則長方愈狹長方愈狹則句股之差積愈多故句股差者所以權長方不及正方之數以相補輳此補狹為方之法也右荆川先生論句股測望論句股求容方圓詳矣盡矣愚按句股測望即句股求容方法而變化用之但容方則以句股求容方而測望則以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中間十字界之則為容方者四若斜弦界之則此一半平方之内其為完全容方者一而完全容方之外兩角凑成亦必與此完全之容方相等此就句股等長而言也至句股不必等長而同此一容方則句長者股必短股長者句必短亦千變萬化自有一定之盈縮也於是通之為測望之法以表代容方邊以表前積實代容方之積實若所容為長方則必句短股長若所容為匾方則必股短句長股為縱為髙句為横為逺以或句或股為法除之即得所求之或髙或逺故望髙測逺即變化於句股求容方之一法也測量法句股之術可御髙深廣逺法本周髀中法用表測西法用矩測立表測高設甲㸃為髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙幾何法依地平線立一丈之表為丁丙(逺乙二丈)與地平為直角(凡立表以線垂下試之三靣附表即與地平為直角)依地平線退行(八尺)為辛巳(巳為人日望處人目以下六尺若立竿為準亦可)視己丁甲三㸃令成斜弦以丁丙表(一丈)減己戊人目以下之六尺餘丁辛(四尺)與等戊乙之巳庚(二丈八尺)乗之得(一十一丈八尺)為實以等戊丙之巳辛(八尺)為法除之得甲庚(一丈四尺)加等己戊人目以下之庚乙(六尺)得甲乙髙二丈按此以丁辛與已庚相乗得實以巳辛為法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得實以已辛為法除之得甲壬之髙即丁以上之髙附西法三率算術(西法三角八線全用三率算術其法詳三角前此先)(附其略)三率算術詳西法三角八線書中其法同類為比例列一二三四率而二率三率相乗得實一率為法除之四率為所求之數凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率如前立表測髙以己辛(小句)比丁辛(小股)若己庚(大句)與庚(甲大 股)一率 己辛八尺 為法二率 丁辛四尺 與三率相乗得實三率 己庚二丈八尺四率 庚甲一丈四尺(加庚乙人目以下得甲乙髙)按右法以己庚為三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬為三率則得丁以上之髙即甲壬之髙變而通之若以之測遠以小股(辛丁)比小句(己辛)若大股(或甲庚或甲壬)與大句(大股甲庚即大句庚己大股甲)(壬即大句壬丁)總之同類比例以二率三率相乗得實以一率為法除之即得所求之四率也餘詳本法(後省文依西法以比若與不更列三率)立表測深測逺設甲乙為壁立深谷甲至丙廣二丈七尺求甲乙深㡬何法依甲丙線於地立(六尺)之表為戊丁距丙(五尺)人目從表端(戊)窺(乙)使戊丙乙三㸃成斜弦直線以丁戊(六尺)與甲丙(二丈七尺)相乗(得一十六丈二)(尺)為實以丁丙(五尺)為法除之得甲乙深(三丈二尺四寸)是為以丙丁(小句)比丁戊(小股)若丙甲(大句)與甲乙(大股)設井一口其徑甲乙五尺欲測深㡬何法立表於井口為戊甲髙(五尺)從戊視丙截甲乙徑於己(得四寸)減井徑(五尺)餘己乙(四尺六寸)以乗戊甲(五尺)得(二千三百寸)為實以甲己(四寸)為法除之得乙丙井深(五丈七尺五寸)是為以己甲比甲戊若己乙與乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁與丁戊設地平有甲㸃不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺幾何法依地平立丁表於戊高(四尺五寸)距丙(九尺)人目從表端窺甲令乙丁甲成斜弦直線次以乙丙(六尺)減丁戊表(四尺五寸)餘乙己(一尺五寸)乃以乙丙(六尺)乗等丙戊之己丁(九尺)得(五十四尺)為實以乙巳(一尺五寸)為法除之得丙甲逺(三丈六尺)是為以乙己比己丁若乙丙與丙甲重表測髙測逺測深設不知髙之逺不知逺之髙各得幾何欲測甲乙之高而不知逺欲測丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙於丙地立丁丙表高(十尺)退後(五尺)立竿於戊高四尺人目在巳視表末令己丁甲成斜弦直線次從丁丙前表退後(十五尺)立癸壬表亦髙(十尺)退後(八尺)立竿於子亦高(四尺)人目在丑視表末令丑癸甲成斜弦直線以癸壬表減人目丑子(四尺)餘癸辛(四尺)與兩表相距(舊名表間)等丙壬之丁癸(十五尺)乘之得(九十尺)為髙實以等丙戊之寅巳減等壬子之辛丑(八尺)餘卯丑較(三尺)為法(舊名影差)除高實得甲辰髙(三十尺)是為以丑卯比辛癸若癸丁與甲辰加等癸壬表之(十尺)得甲乙總髙(四十尺)次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯(五尺)與表間相距之丁癸(十五尺)乗之得(七十五尺)為逺實亦以寅巳與辛丑之較卯丑(三尺)為法除之得等丙乙之丁辰(二十五尺)是為以丑卯比卯辛若癸丁與丁辰右測量法積實除實余昔刻句股述繪圖系説已詳其數兹不再贅錢唐毛宗旦扆再氏著九章蠡測於測望法論西法比例之理尤明晰詳盡今併錄於左毛扆再氏曰測量之理知逺而不知髙以逺測髙知髙而不知逺以髙測逺若髙逺兩不知所謂無逺之髙無髙之逺必用重表測之也既有等髙之二表(皆十尺)又有等髙之二人目竿(皆四尺)則甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形為甲庚巳之分形兩形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形兩形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳兩形之比例既皆等於甲庚巳是甲辰丁與丁寅巳兩形之比例亦等矣後表所得甲辰癸與癸辛丑形之比例皆等於甲庚丑亦同此論夫丁寅巳之比例既同於甲辰丁而癸辛丑之比例亦同於甲辰癸則辰丁與寅巳必若辰癸與辛丑反之則辰癸與辰丁必若辛丑與寅巳也今辰癸與辰丁之較為丁癸而辛丑與寅巳之較為卯丑則卯丑與丁癸兩較之比例則必俱等於各線相當之比例即可知辰丁與寅巳(皆句)及甲辰與丁寅(皆股)俱若兩較之丁癸與卯丑矣法置辛癸乗癸丁為髙實而以丑卯除得辰甲者是借丑卯與癸丁之比例因寅丁以求辰甲也(寅丁與辛癸等)又置卯辛乗癸丁為逺實而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯與癸丁之比例因巳寅以求丁辰也(巳寅與卯辛等)辰甲為表外之髙丁辰亦表外之逺設不知廣之深不知深之廣重表測之各得幾何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知廣先求乙甲之深自谷岸乙㸃退行(四尺)至戊地立人目表為巳戊髙(二尺七寸)依乙岸窺谷底丙㸃令巳乙丙成斜弦直線次於谷旁立表為壬乙髙(五尺)復依巳戊線立人目表為辛戊髙(八尺)(二寸)人目依壬表末望丙令辛壬丙成斜弦直線以辛戊(八尺二寸)減壬乙表(五尺)餘辛庚(三尺二寸)再與巳戊(二尺七寸)相減餘辛癸較(五尺)乃以等巳戊之癸庚(二尺七寸)與壬表(五尺)乗之得(一百三十五寸)為深實以辛癸較(五寸)為法除之得乙甲深(二丈七尺)是為以辛癸比癸庚若壬乙與乙甲次求甲丙之廣以等戊巳之庚壬(四尺)與壬乙表(五尺)相乘(得二十尺)為廣實亦以辛癸較(五寸)為法除之得甲丙廣(四丈)是為以辛癸比庚壬若壬乙與甲丙設甲乙不知逺以矩尺(即木工曲尺)測之欲知甲乙之逺先立丙表於甲與地平為直角次以矩尺内直角加於丙表之末以丙戊尺向逺視乙令丙戊乙成斜弦直線次從丙丁尺視巳以甲丙表自乘而以甲巳相距之逺為法除之得甲乙之逺是為以巳甲比甲丙若甲丙與甲乙則丙甲為連比例之中率按矩尺為直角形若兩邊等平則甲丙表兩平地之句必等今矩尺一昻一俯則巳甲必小於丙甲而丙甲必小於甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲與甲乙葢皆以小比大以小大同類為比例而不執句股縱横為同類故三率法應二率三率相乘而此用二率自乘而以一率為法除之非另有連比例之中率也若變而通之以丙子比子戊若丙甲與甲乙西法矩度測量矩度代表度有直景倒景有一矩測重矩測積實與為法除悉如中法亦可三率法求之造矩度用堅木或銅版為之依上圖從矩極均分十二度(陳䃤庵止用一十度省一乘法)或每度更細分之從通光耳視所測相參直以權線所切何度何分比例推算與立表測量等變景法景即直景倒景也變景者視權線所切直景不變而倒景必變爲直景也一矩測量即倒景可不必變而重矩測量則倒景必變其法以矩度自乗(如矩度十二自乗得一百四十四為)(矩冪)以景度(即權線所切之度如幾度幾分則矩度景度通照幾分度分之)為法除之(其變)(景之理詳句股述)直景必高多逺少如一象限人望四十五度(半象限九十度)以上權線必切直景倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下權線必切倒景變景者變倒景之少度為直景之多度葢測物愈逺則矩愈平其權線所切必在倒景故必變之如上丁戊變乙壬也矩度測髙直景以矩度乗逺得積實以景度為法除之設所測不知其髙距所逺三十尺權線切直景八度法以矩度(十二)與逺(三十)相乗得三百六十為積實以直景八度為法除之(如籌算檢八號籌視某格與積實近少除之)得四十五尺為矩乙角以上之髙即所測之髙是為以小句(景度)比小股(矩度)若大句(逺)與大股(髙)倒景以景度乗逺得積實以矩度為法除之設逺六十尺權線切倒景七度又五分度之一法以景度(七)通五分之得(三十六)分以乗逺(六十)得積實二千一百六十以矩度(十二)通五分之得(六十)為法除之得三十六尺為矩乙角以上之髙(此倒景不必變但變其法以景度乘逺以矩度)(為法除之亦同)是為以小句比大句若小股與大股重矩測髙(測髙先不知其逺則用重矩如重表測法)前矩直景後矩直景以矩度乗表間得積實以兩景較為法除之(表間即懸矩之幹兩矩相距之間)設前直景(五度)後直景(十度)兩矩相距(十尺)法以矩度(十二)乗表間(十尺)得(一百十尺) 為實以兩景較(五度)為法除之得二十四尺為矩乙角以上之髙以小句比小股若大句與大股同前首條前矩直景後矩倒景以矩度乗表間得積實以倒景變直景與前直景較以景較為法除之設前直景(十一度)後倒景(九度)兩矩相距(二十二尺)法以矩度(十二)乗表間二十得(二百四十)為積實又以倒景(九度)為法除矩冪(一百四十四)得變景十六與前矩直景較餘(五)為法除積實得(四十八)為矩乙角以上之髙是為以小句(景較)比小股(矩度)若大句(表間相距)與大股(所測之髙)前矩倒景後矩倒景將兩倒景俱變為直景仍以矩度乗表間得積以兩變景較為法除之得所測之髙仝前按測望即容方求餘句餘股法其矩測之倒景必變者葢立表測髙人目退望使參相直若所測愈髙則人目距表愈近所測愈低則人目距表愈逺表即容方之邊而人目退望之處即餘句也今矩之甲角愈髙則倒景反多矩之甲角愈低則倒景反少故必變景而後合於人目退望之餘句余舊刻句股述論之詳矣但舊刻於前後俱倒景一條悞以景較乗逺以矩度為法於三率以小句比大股若大句與大股法不合若依前一表測髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度為法則此兩倒景巳俱變直景矣豈可仍用倒景法乎特為改正測逺按測無髙之逺先用重矩測得髙(巳壬)次以矩度(甲)為一率以後矩所變之景(乙戊)為二率以高(巳壬)為三率即得四率之逺是為以小股(甲乙)比小句(乙戊)若大股(巳壬)與大句(壬乙)右高(巳壬)得四八變景(乙戊)得一六矩度(甲乙)十二度依三率法得逺六十四葢倒景既變直景則甲乙戊成直角小句股形與巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例以測髙法還原設逺(六十四尺)倒景(一六)矩度(一二)以矩度乗逺(六四)以變景度(一六)為法除之得高(四八)與前重矩測高第二條相合按重矩測無高之逺西法測量法義同文算指俱未論及錢唐毛扆再氏補論一則但干支字様與圖互異且比例之法辨晰各較相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易曉然便於初學故創為此圖測深設井口或徑廣十二尺求至水面深幾何用矩度視深(辛)使甲巳辛叅相直視權線在直景乙戊(三度)以矩度(十二)乘等庚巳之辛壬水面(十二尺)得(一百四十四尺)為實以乙戊(三度)為法除之得(巳壬)深(四十八尺)是為以(乙戊)比(乙甲)若(壬辛)與(壬巳)設池面不知廣就池岸設垂線至水得一丈三尺測廣幾何權線切倒景丁戊(三度)依法變為直景(四十)(八度)以乗巳壬(十三尺)得(六百二十四尺)為實以甲乙矩度(十二)為法除之得庚巳廣(五十二尺)是為以甲乙比乙癸若巳壬與等(壬辛)之巳庚又倒景不變以矩度乘(巳壬)得積以倒景丁戊(三度)為法除之亦得巳庚廣(五十二尺)按倒景必變直景若止一矩測廣則倒景亦可不變然在直景則景度乗深而矩度為法除之若在倒景則矩度乗深而景度為法除之固兩不相混也至於測髙則必矩度乗取積實而景度為法除之此兩矩測一定不易之法也附三率算術古名異乗同除西法變為三率原有丁戊股十四尺丙戊句十一尺二寸今截丁乙股十尺求乙甲截句幾何西法三率一率 (以)原有股十四尺 為法二率 (比)原有句十一尺二寸 (相乗為實)三率 (若)今截股十尺四率 (與)求得截句八尺 法除實所得術以原股比原句若截股與截句凡言以者為一率言比者為二率言若者為三率言與者為四率二率三率常相乘為實一率為法除實故名三率而求得之數為四率按西法三率算術専為比例之用如右所求在截句則以原股比原句若截股與截句如所求在截股則以原句比原股若截句與截股又如所求在原句則以截股比截句若原股與原句再如所求在原股則以截句比截股若原句與原股隨所比例各視所求而以同類比之如前測望諸法或以小句比小股若大句與大股或以大句比大股若小句與小股之類其縱横大小不相紊亂後三角法悉依此術縱横大小相為比例而又線與線為類邊與邊為類法益加宻矣勾股引蒙卷三
## 卷四
欽定四庫全書勾股引蒙卷四海寧 陳訏 撰三角法八線全圖(周天三百六十度兩分之為半)(周四分之為一象限 每一象)(限各九十度又名弧度 六)凡正方角(乙)即直角即象限之角其所對弧必九十度凡在一象限不及九十度者為鋭角(如丙)凡過一象限多於九十度者為鈍角凡言角以中一字為所指之角(如甲乙癸)凡求某角者求其角之對弧度與分凡求某角即本角之弧矢弦割切為正其外為餘凡半徑為全數為一○○○○○八線有增減半徑無増減常為十萬弧中旋轉可如弦如句凡正角以半徑全數為正弦凡鈍角以外角之正餘弦為正餘弦直角(即正方角一名勾股形)有角有邊求餘角餘邊(直角之一)假如(壬癸丁)勾股形有丁角(五十七度)壬丁弦(九十一)(丈八尺)求餘角餘邊先求癸丁邊術曰以半徑全數比丁角之餘弦若壬丁弦與癸丁句一率(原設弦)半徑 一○○○○○ 為法二率(原設句)丁角(五十七度)餘弦 五四四六四 (相乗)三率(今有弦)壬丁邊 九十一丈八尺 (為實)四率(今所求句)癸丁邊 五十丈 (法除實得所求)右三率法後同 半徑即乙丁餘弦即甲丁求壬癸邊以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股一率(原設弦)半徑 一○○○○○二率(原設股)丁角(五十七度)正弦 ○八三八六七三率(今有弦)壬丁邊 九十一丈八尺四率(所求股)壬癸邊 七十七丈求壬角以丁角五十七度與象限九十度相減得餘三十三度為壬角右例先得弦以求勾股假如(壬癸丁)勾股形有丁角(六十二度)癸丁勾(二十四丈)求餘角餘邊求壬角以丁角(六十二度)與象限相減得餘(二十八度)為壬角 平面弧止容一正方角兩鋭角今既有勾股形(癸)則於一象限内減丁角之度其餘度自必壬角戊丙丁勾股形以戊丙切線為股丙丁半徑為勾戊丁割線為弦是丁角原有之線 今壬癸丁勾股形與戊丙丁勾股形既同丁角則其比例等求壬丁邊以半徑比丁角之割線若癸丁勾與壬丁弦一率(原設勾)半徑 一○○○○○二率(原設弦)丁角(六十二度)割線 二一三○○五三率(今有勾)癸丁邊 二十四丈四率(所求弦)壬丁邊 五十一丈一尺求壬癸邊以半徑比丁角之切線若癸丁勾與壬癸股一率(原設勾)半徑 一○○○○○二率(原設股)丁角(六十二度)切線 一八八○七三三率(今有勾)癸丁邊 二十四丈四率(所求股)壬癸邊 四十五丈一尺右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及勾亦同按半徑隨弧旋轉無有増減故可為弦為勾為股各隨比例之所取用視邊與線之縱横小大為比例有邊求角(直角之二)假如(壬癸丁)勾股形有壬丁弦(一百○二丈二尺)癸丁勾(四十八丈)求二角一邊求丁角以丁壬弦比癸丁勾若半徑乙丁與丁角之餘弦甲丁一 壬丁邊 一百○二丈二尺二 癸丁邊 ○四十八丈三 半徑 一○○○○○四 丁角餘弦 四六九六六以所得餘弦檢表得六十二度為丁角度右壬角癸角俱止一邊無兩邊不能以邊比邊為以線比線之例惟丁角有兩邊故先求丁角得丁角而丁角度之八線即可為餘角之比例矣然丁角必求餘弦為四率者蓋若求正弦正切之股則壬癸無邊可例若求正割則雖可以癸丁邊比壬丁邊若餘弦(甲丁)與正割(壬丁)之例然餘弦尚未求得又無可為比故以壬丁弦比癸丁句若乙丁弦之半徑與甲丁勾之丁角餘弦相比例也宣城梅定九氏曰得其角度則諸數歴然可於無句股中尋出勾股余亦曰知四率應求之線之故則一率二率三率瞭然可於無比例中尋出比例矣求壬角以丁角六十二度與象限相減得餘二十八度為壬角求壬癸邊以半徑比丁角之正弦若壬丁弦與壬癸股一 半徑 一○○○○○二 丁角(六十二度)正弦 ○八八二五九三 壬丁邊 一百○二丈二尺四 壬癸邊 ○九十丈○二尺三寸右例以邊求角而先知方角故止用二邊此先有之邊是弦與勾故求壬癸邊之股者以壬丁邊之斜弦為比而正弦如股半徑旋轉如弦可線與線相比以為邊與邊相比之例也若先有者是股邊勾邊則求切線者以股邉為例而勾之比股者又可以半徑為勾如下求丁角法假如壬癸丁三角形有壬丁邊一百○六丈壬癸邊九十丈癸丁邊五十六丈求角求癸角以壬丁大邊與丁癸邊相加得(一百)(六十二丈)為總又相減得(五十丈)為較以較乘總得(八千一百丈)為實以壬癸邊(九十丈)為法除之仍得(九十丈)與壬癸邊數等即知癸角為正方角求丁角以丁癸邊比壬癸邊若半徑與丁角切線一 丁癸勾 五十六丈二 壬癸股 九十丈三 半徑 一○○○○○四 丁角切線 一六○七一四以所得切線檢表得五十八度○六分為丁角有一角必有一弧每一弧必有八線今求丁角而壬癸邊如丁角弧之切線可以半徑相比故先以丁癸邊比壬癸邊為例若半徑與丁角之切線求壬角以丁角(五十八度○六分)與象限相減得餘三十一度五十四分為壬角右例亦以邊求角而先不知其為勾股形故兼用三邊鋭角有兩角一邊求餘角餘邊(鋭角之一)假如(乙丙丁)鋭角有丙角(六十度)丁角(五十度)丙丁邊(一百二十尺)求乙角以丙角(六十度)丁角(五十度)相併得(一百一十)(度)以減半周一百八十度餘七十度為乙角右丙角丁角有度而無邊乙角有邊而無度先以兩角之度除半周而乙角之弧度得矣既得乙角之度即可以乙角之線比乙角相對之邊若他角之線與他角之邊求乙丁邊以乙角正弦比丙丁邊若丙角正弦與乙丁邊一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁邊(即乙角對邊) 一百二十尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙丁邊(即丙角對邊) 一百一十尺○六寸以前諸法俱線比線邊比邊互相為例此處以線比邊下求乙丙邊同求乙丙邊以乙角正弦比丙丁邊若丁角正弦與乙丙邊一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁(乙角對邊) 一百二十尺三 丁角(五十度)正弦 七六六○四四 乙丙(丁角對邊) ○九十七尺八寸右例先有之邊在兩角之間也若先有之邊與一角相對亦同有一角兩邊求餘角餘邊(鋭角之二)假如(甲乙丙)鋭角形有丙角(六十度)甲丙邊(八千尺)甲乙邊(七千○三十四尺)求乙角以甲乙邊比甲丙邊若丙角正弦與乙角正弦一 甲乙邊 七千○三十四尺二 甲丙邊 八千尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙角 正弦 九八四九六檢表得八十度○三分為乙角凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大依割線之低昻也今丙角斜邊長近俯乙角斜邊短近仰則乙角必大於丙角故以小邊比大邊亦若正弦小之比大而可得角也此以小比大也求甲角以丙角乙角相併得(一百四十度○三分)以減半周餘三十九度五十七分為甲角求乙丙邊以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邊與乙丙邊一 乙角(八十○度三分)正弦 九八四九六二 甲角(三十九度五十七分)正弦 六四二一二三 甲丙(乙角對邊) 八千尺四 乙丙(甲角對邊) 五千二百一十五尺乙角以乙丙為底其正弦從甲下垂故弦長甲角以甲丙為底正弦從乙下垂故弦短今乙丙邊小於甲乙甲丙之兩邊故以最大之邉比之先以最大之線比最小之線用乙角甲角之正弦為例也右例有兩邊一角而角與一邊相對假如(甲乙丙)鋭角形有甲丙邊(四百尺)乙丙邊(二百六十一尺○八分)丙角(六十度)角在兩邊之中不與邊對求甲乙邊先求中長線分為兩勾股形以半徑比丙角正弦若甲丙邊與甲丁中長線(此下四則皆為求甲乙邊與甲全角故先求分形之邊及)(分形之角)一 半徑 一○○○○○二 丙角(六十度)正弦 ○八六六○三三 甲丙邊 四百尺四 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分求丙丁邊(求中長線專為分邊而求)以半徑比丙角餘弦若甲丙邊與丙丁邊一 半徑 一○○○○○二 丙角(六十度)餘弦 ○五○○○○三 甲丙邊 四百尺四 丙丁邊 二百尺求角者須先審四率之線應求某線而以邊之可比例者為一二率求邊者須先審二率應用某線可與四率之邊相比例而以一率三率比之盖邊有定在而線則隨所比例而變其所取也如右求丙丁邊乃分邊而非乙丙之全邊妙在八線餘弦限於正弦而不越於正弦之外與丁丙分邊限於中長線甲丁不能越丁而至乙故二率取為比例而得丙丁之分邊求乙丁邊以丙丁與丙乙相減餘六十一尺○八分為乙丁求丁甲乙分角以甲丁中長線比乙丁分邊若半徑與甲分角切線一 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分邊 ○六十一尺○八分三 半徑 一○○○○○四 甲分角切線 ○一七六三三檢切線表得一十度為甲分角右求分角之線自必以分邊為例則所得之線乃分角之線而非甲全角之線惟切線即在角之對邊故分邊之線為分角之度求甲乙邊以半徑比甲分角割線若甲丁中長線與甲乙邊一 半徑 一○○○○○二 甲分角(十度)割線 一○一五四三三 甲丁中長線 三百四十六尺四寸一分四 甲乙邊 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中長線為底則割線即甲乙邊求甲全角以丙角(六十度)之餘角三十度(即分形甲丁丙之甲分角)與求得甲分角(一十度)相併得四十度為甲全角求乙角以甲分角(一十度)減象限得八十度為乙角(或併丙甲)(二角減半周同)右例有兩邊一角而角在兩邊之中不與邊對故用分形以取勾股用切線分外角(梅本新増)假如(甲乙丙)鋭角形有甲丙邊(四百尺)乙丙邊(二百六十一尺)(○八分)丙角六十度求甲角以甲丙邊乙丙邊相併為總相減為較又以丙角(六十度)減半周得外角(一百二十度)半之得半外角(六十度)檢其切線依三率法求得半較角以減半外角得甲角一 兩邊總 六百六十一尺○八分二 兩邊較 一百三十八尺九寸三分三 半外角切線 一七三二○五四 半較角切線 ○三六三九七檢切線表得二十度為半較角轉與半外角(六十)(度)相減得甲角四十度求乙角以甲丙二角相併共(一百度)以減半周得餘八十度為乙角求甲乙邊以甲角(四十度)正弦 六四二七九比丙角(六十度)正弦 八六六○三若乙丙邊 二百六十一尺○八分與甲乙邊 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角兩邊而角在邊中不與邊對之三角也但此不用求分邊分角之煩而徑求甲角之半較角葢一弧之中既有丙角則所餘之度皆甲乙之角為丙之外角應將外角中分為半外角以為甲乙兩角之地然甲角邊長鋭於乙角則乙角必大甲角必小又應於外角之半分出較角而後甲角始得其真在半外角既中分外角之半則此較角亦必中分較角之半為半較角故先以邊總比邊較為一二率蓋邊總如半外角之總猶之外角一百二十而半外角止六十也以邊較求甲角之半較角猶甲角小於乙角若干而此求得之較為小於乙角若干之半名半較角也所以求切線者盖切線在各弧之貼際必與本角之底為直角形如勾股其線遇本角之割線而止今所求在所割之半較角則莫如半外角之切線比半較角之切線同在弧之貼際不煩更覓他線也梅刻増此一條簡捷巧便而所以然之理初學茫然為補圖明之如左此平三角借弧以明其理若弧三角所容三角不止三個如平方立方有面體之别後同有三邊求角(鋭角之三)假如(甲乙丙)鋭角形有乙丙邊(二十丈)甲丙邊(一十七丈五尺)(八寸五分)乙甲邊一(十三丈○五寸)求兩勾相減之數為勾較任以(乙丙)大邊為底從甲角作甲丁虚垂線至底分為兩勾股形一甲丁丙形以甲丙邊為弦丁丙為勾一甲丁乙形以甲乙邊為弦丁乙為勾兩弦相併為總相減為較 兩勾相併(即乙丙邊原數)為勾總 求戊丙勾較以勾總比弦總若弦較與勾較一 兩勾之總(即乙丙) 二十丈二 兩弦之總 三十丈○六尺三寸五分三 兩弦之較 四丈五尺三寸五分四 兩勾之較(即丙戊) 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角無度則無線可比止乙至丙之勾似丙角之餘弦然餘弦長短必限於正弦今甲丁中垂線即丙角之正弦今若求丙角餘弦又多乙丁勾之長故先求勾較之丙戊既得勾較則可加分形之勾(戊丁)而得丁丙分邊與丙角之餘弦等以之比例而得丙角之餘弦即查表得丙角之度求分形之兩勾以勾較(六丈九尺四寸六分)減勾總(二十丈即乙丙)餘乙戊(一十三丈○五)(寸四分)半之得丁乙(即戊丁)六丈五尺二寸七分為甲丁乙分勾之形又以戊丁(六丈五尺二寸七分)加勾較(六丈九尺四寸六分 即戊丙)得丁丙一十三丈四尺七寸三分為甲乙丙分勾之形求丙角以甲丙弦比丁丙勾若半徑與丙角餘弦一 甲丙邊 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分邊 一十三丈四尺七寸三分三 半徑 一○○○○○四 丙角餘弦 ○七六六一六檢餘弦表得丙角四十度求甲角先求分形大半之甲角以丙角(四十度)減象限餘五十度為(丁甲丙)分形甲角次求分形小半之甲角以甲乙弦比丁乙勾若半徑與分形甲角之正弦一 甲乙邊 一十三丈○五寸二 丁乙分邊 ○六丈五尺二寸七分三 半徑 一○○○○○四 甲分角正弦 ○五○○一五(以甲丁為底則甲乙邊如半徑而乙丁邊如甲分角之正弦)檢正弦表得三十度為(丁甲乙)分形之甲角併分形兩甲角(先得五十度次得三十度)得共八十度為甲全角求乙角併丙甲二角共(一百二十度)以減半周得餘六十度為乙角鈍角有兩角一邊求餘角餘邊(鈍角之一)假如(乙丙丁)鈍角形有丙角(三十六度半)乙角(二十四度)丁乙邊(五十四丈)求丁角以丙丁二角併共(六十度半)以減半周得餘一百一十九度半為丁鈍角求乙丙邊以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邊與乙丙邊一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 丁角(一百十九度三十分)正弦 八七○三六三 乙丁邊 五十四丈四 乙丙邊 七十九丈○一寸右所用丁角正弦即六十度半正弦以鈍角度減半周用之凡鈍角同求丁丙邊以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邊 五十四丈四 丁丙邊 三十六丈九尺二寸凡鈍角以外角之正弦為正弦蓋即此鈍角之外角也如圖丁為鈍角乙丙為丁角所對之弧乙丁甲為丁角之外角至於正弦皆以本角之勾為底以割線(半徑同)與弧之相界處直線垂下與本角之底為正方直角如圖乙丁甲為丁角之外角乙丁如外角之割線夘丁如外角之餘弦而夘乙則外角之正弦也至如丙角以丙丁為底其正弦丑丁近乙丁邊乙角以乙丙為底其正弦子丁近乙丙邊也補圖明之有一角兩邊求餘角餘邊(鈍角之二)假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分鈍角形(此)(鈍角所對之弧度分)甲丙邊四千尺甲乙邊三千五百一十七尺(前則用他角求鈍角此則用鈍角求他角)乙角為鈍角甲丙為鈍角所對之弧度乙丁為丙角正弦甲戊為鈍角用外角之正弦求丙角以甲丙邊比甲乙邊若乙角正弦與丙角正弦一 甲丙邊 四千尺二 甲乙邊 三千五百一十七尺三 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四九六(即八十度三分正度)四 丙角 正弦 八六六○三檢表得丙角六十度按乙角為鈍角其所用外角之正弦即鈍角九十九度五十七分減半周一百八十度所餘八十度○三分之外角其所有之正弦也(每度六十分)求丙角者止丁外角之正弦可比丙角之正弦故先以甲丙邊比甲乙邊為例俱以長比短而縱與縱為同類求甲角併乙丙二角共一百五十九度五十七分以減半周得餘二十度○三分為甲角求乙丙邊以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙邊與乙丙邊一 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四六九二 甲角(二十度○三分)正弦 三四二八四三 甲丙邊 四千尺四 乙丙邊 一千三百九十二尺右甲角正弦以甲丙為底乙已即甲角正弦與甲已為正方角此二則皆以大比小右例有兩角一邊而先有對角之邊若兩邊一角而邊在角之兩旁不與角對又另法如左假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊(一千○八十尺)乙丙邊(一千五百八十二尺)乙角(二十四度)丙戊為虚股 戊丁為虚勾乙角乙丁為底丑丁為正弦 乙丁即餘弦 丙角丙丁為底子丁為正弦先以半徑比乙角正弦若乙丙邊與丙戊邊一 半徑 一○○○○○二 乙角(二十四度)正弦 ○四○六七四三 乙丙邊 一千五百八十二尺四 丙戊邊(即虚垂線) ○六百四十三尺又以半徑比乙角餘弦若乙丙邊與乙戊一 半徑 一○○○○○二 乙角(二十四度)餘弦 ○九一三五五三 乙丙邊 一千五百八十二尺四 乙戊邊(即乙丁引長線) 一千四百四十五尺右以原邊乙丁(一千○八十尺)與引長乙戊邊相減得丁戊(三百六十五尺)為形外所作虚勾股形之勾(先得丙戊)(垂線為股原有邊之丁丙為弦)求丁丙邊依勾股求弦法以丙戊股自乘(四十一萬三千四百四十九尺)丁戊勾自乘(一十三萬三千二百二十五尺)併之得數(五十四萬六千六百七十)(四尺)為實平方開之得弦七百三十九尺為丁丙邊求丙角以丁丙邊比丁乙邊若乙角正弦與丙角正弦一 丁丙邊 ○七百三十九尺二 丁乙邊 一千○八十尺三 乙角(二十四度)正弦 四○六七四四 丙角 正弦 五九四四二檢表得丙角三十六度二十九分求丁角以丙乙二角併之共(六十度二十九分)以減半周得餘一百一十九度三十一分為丁鈍角此三角形既有乙角度當先求丙角之鋭而後丁角之鈍可以半周相減即得但求丙角雖有乙丁邊可為丙角正弦之比例(凡正弦必在本角相對之邊)然丙丁無邊不能以邊比邊為乙角正弦比丙角正弦之例故又當先求丙丁邊但丙丁邊如勾股之斜弦當以勾股求弦法求之今丁戊無勾丙戊無股故先求丙戊邊以作虚股再求乙戊邊以作虚勾而後用勾股求弦法而得丙丁之邊三邊既得則每角之正弦必近本角所對之邊即可以所對之兩邊相比為兩角之正弦相比之例求之矣葢丙角以丙丁為底其正弦子丁近乙丁邊而乙角之正弦子丑近丙丁邊故必先得邊以為求線之比例也既先有乙角又求得丙角則丁角半周減之即得矣右兩邊一角而角不與邊對用切線分外角(梅本新増)假如乙丁丙鈍角形有乙丁邊(五百四十尺)丙乙邊(七)(百九十一尺)乙角(二十四)度求丙角以(丁乙丙乙)兩邊相併為總相減為較又以(乙)角(二十)(四度)減半周得外角(一百五十六度)半之得半外角(七十八度)以邊總比邊較若半外角切線與半較角切線一 兩邊之總 一千三百三十一尺二 兩邊之較 ○二百五十一尺三 半外角切線 四七○四六三四 半較角切線 ○八八七一九檢表得半較角(四十一度三十五分)以減半外角(七十八度)得餘(三十六度二十五分)為丙角求丁角併乙丙二角共(六十度二十五分)以減半周得一百一十九度三十五分為丁鈍角求丁丙邊以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邊與丁丙邊一 丙角(三十六度二十五分)正弦 五九三六五二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邊 五百四十尺四 丁丙邊 三百六十九尺九寸八分右新増一則亦角在兩邊之中不與邊對與前三角形無異亦俱先求丙角前法先以勾股求弦法求丙丁邊先補虚勾虚股以求丙丁邊邊得而丙角之線可比例以求丙角其法詳此新増法竟求丙角而求丙丁邊反在求得丙角之後更簡捷矣其邊總邊較半外角切線與半較角切線補圖明之如左(甲庚癸為半周子庚為半徑)(甲壬為乙角度壬辛癸為外角)(壬辛為半外角割子夘為半外角)(線夘為半外角切壬)(線丑為半較角切己)(線辛為半較角己)新式三邊求角(鈍角之三)假如(乙丙丁)鈍角形有乙丙邊(三百五十尺)乙丁邊(六)(百○七尺)丁丙邊(三百尺)右有邊無角術自乙角作虚垂線至甲又引丁丙線横出遇於甲而成正方形為乙甲丁勾股形又横線至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛為兩勾之總丁丙邊為兩勾之較乙丁邊為大形(乙甲丁)之弦乙丙邊為小形(乙甲辛即)(乙甲丙)之弦兩弦相併為總相減為較先求勾總此因將求丁角度而三角無度則無線可比唯丙丁句似丁角餘弦然丁角以乙丁為半徑則乙甲為正弦而餘弦應自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之餘弦故必先求甲丁勾始與丁角餘弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾總以為分形之勾股而後甲丁之勾可比得丁角之餘弦以查表而得丁角也一 勾較(即丁丙邊) 三百尺二 弦較(即乙丁邊減乙丙之餘)二百三十二尺三 弦總(即乙丁乙丙二邊相併) 九百八十二尺四 勾總(即丁辛) 七百五十九尺四寸以勾較(三百尺)減所得勾總(七百五十九尺四寸)餘數(四百五十九尺)(四寸)半之得數(二百二十九尺七寸)為小形之勾甲丙以甲丙小形之勾加丁丙較(三百尺)得數(五百二十九尺七寸)為大形之勾甲丁求丁角以乙丁弦比丁甲勾若半徑與丁角之餘弦一 乙丁弦 六百○七尺二 甲丁勾 五百二十九尺七寸三 半徑 一○○○○○四 丁角餘弦 ○八七二六五檢表得丁角二十九度一十四分求丙角(用乙甲丙小形)鈍角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之弦乙丙即此鈍角丙之外角割線以甲丙勾比乙丙弦若半徑與丙角之割線一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙弦 三百七十五尺三 半徑 一○○○○○四 丙角割線 一六三二五六檢表得丙角(五十二度一十四分)為本形之丙外角以減半周得丙鈍角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜弦實即丙角之割線至於求丁角求丙角俱以半徑為三率而丁角之三率用以作弦丙角之三率用以作勾半徑可勾可股可弦顧隨所取用耳求乙角併丁丙二角所得度分共(一百五十七度)以減半周得餘二十三度為乙角右例鈍角形三邊求角作垂線於形外徑求鈍角乃新式也若以大邊為底從鈍角分中長線同鋭角之三補圖 乙丙丁三角形 乙己為丙角弧度 乙辛為丙外角 丙戊即(乙丙)為丙外角割線 乙壬壬辛為外角之丁角乙角乙甲即中長線 乙甲丙即小形勾股 乙甲丁即大形勾股乙丙即虚勾虚股之弦 戊辛為切線右鈍角用割線宣城梅定九先生新増此式為割線求度分之法盖割線乃象限中所割各度之線必與切線相遇以為増減割線割於弧内切線切於弧外彼増此減彼減此増如前鈍角之二己辛為半較角其切線即從己之弧外起今外角乙辛即從辛之弧外起此新式之用割線視前法無異也至鈍角之所以用外角者蓋大圜兩分之為半周四分之為象限凡象限止九十度而自一度至四十四度為平度自四十五度至八十九度為髙度其髙度之正線即平度之餘線而髙度之餘線即平度之正線故四十四與四十五同表四十三與四十六同表以至○度○分則與八十九度六十分同表此作八線表者因髙度平度如測望之直景倒景相反而實相通為此省文也今凡鈍角度必過象限之外在八線無半弧之表可查則用外角之線度以減半弧而所餘之度即鈍角所對之弧度明矣此因八線表而立鈍角用外角之法也勾股引䝉卷四
## 卷五
欽定四庫全書勾股引蒙卷五海寧 陳訏 撰象限線度總目正弦 正切 正割 正矢(以餘弦減全)餘弦 餘切 餘割 餘矢(以正弦減全)平度(正線即髙度餘線)髙度(正線即平度餘線)初一 八八二 八七三 八六四 八五五 八四六 八三七 八二八 八一九 八十十 七九十一 七八十二 七七十三 七六十四 七五十五 七四十六 七三十七 七二十八 七一十九 七十二十 六九二一 六八二二 六七二三 六六二四 六五二五 六四二六 六三二七 六二二八 六一二九 六十三十 五九三一 五八三二 五七三三 五六三四 五五三五 五四三六 五三三七 五二三八 五一三九 五十四十 四九四一 四八四二 四七四三 四六四四 四五求弧度之分秒如設數與表相合即本度分也不合則表數與設數近少者相減得差乗六十得數為實再表中近多者與近少相減得差為法而一得數以加近少之弧度分即所求之弧度分秒◆ 《少廣補遺-清-》（KR3f0054）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
少廣補遺 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案少廣補遺一卷國朝陳世仁撰世仁海寧人康熈乙未進士其書以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等題分為十二法後有抽竒抽偶諸目蓋堆垜之法也按堆垜乃少廣中之一術與尖錐體相似而實不同蓋堆體臺體外平而中實堆垜為衆體所積面有峻峭中多空隙故二法相較煩簡頓殊古少廣中僅具以邊數層數求積數法亦未有解其故者至以積求邊數層數之法則未備焉又其為用甚少故算家率畧而不詳世仁有見於此専取堆垜諸形反覆相求各立一法雖圖説未具不能使學者窺其立法之意而於少廣之遺法引伸觸類實於數學有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總校官(臣)陸 費 墀
## 少廣補遺
欽定四庫全書少廣補遺海寧陳世仁撰少廣補遺第一篇凖本章平立方員開三角及諸尖一十二法一平尖置倍實平方帶一縱開之得本數之底數與其徑數二立尖置六倍實立方法開之内闕一縱所得之數溢於本數之底與徑數一數三倍尖除原實末必五數進一十除之得本數之底數四方尖(尖内諸自乗數依根數序次相併)置三倍實先開立方次以立方根開平方一半平方一次除半方根得本數之徑數與其底數五再乗尖(尖内諸立方依根數序次相併)置實二除之於除得數内復減原實平方開之繼以開得數為實帶一縱方開之得原數之底數 從底數逆數至尖數偶者得底所對之前數數竒者得自尖及底之中數中數與底相乘對數加一五數於數之次亦與底相乘所得數為本數徑數六抽竒平尖置實以帶一縦方開之得本數徑數亦得本數逆數至尖所對之前數以得本數底數七抽偶平尖置實平方法開之得本數徑數亦得本數逆數至尖自尖數至底之中數以得本數底數八抽偶數立尖(本尖内層數及層内諸數偶者盡去之抽竒法反之)以前方尖法開之得本數徑數亦得本數自尖數至底之中數以得本數底數九抽竒數立尖三倍置實立方法開之闕一縦以所得數減一得本數徑數亦得本數逆數至尖所對之前數因得本數底數十抽竒偶數方尖前立尖法開之得本數底數以底數逆數至尖得自尖及底之中數或平分數因得本數徑數十一抽偶再乘尖二除原實闕半縦平方法開之方之所得之數即得徑數平尖抽偶法收之得本數之底數十二抽竒再乘尖二除原實平方法開之方之所得之數即徑數平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分數倍之得本數之底數少廣補遺第二篇開抽竒抽偶立尖一本尖内層數偶者去之置原數十之而加二為實立方帶平方法開之次除半平方闕一縦所得數溢於本數底倍於本數徑各一數二本尖諸層内數偶者去之原數就位十之而加五為實立方法開之所餘數及半方根者五除方減一即本數之底與徑數 立方帶平方法開之所餘數及半平方又半方根者五除方得本數徑數復減一即本數底數三本尖内層數竒者去之一十二倍置實立方帶平方法除之餘實就方根増一數取縦其方之根視本數底數及本數徑倍數各溢一數其縦之限視本數徑數及本數底半數各朒一數四本尖諸層内數竒者去之原數就位十之而加五為實立方法開之闕一縦者所得數減一以五除之即本數之底與徑數 立方帶平方法開之所餘數及半平方又半方根者五除方得本數底數復減一即本數徑數少廣補遺第三篇準本章帶縦諸方開三角及諸尖之半積為三角帶一鈍角形 諸尖先得徑數以法算得底數一平尖徑之半平方加半縱減原實為正實 以徑除正實得數徑數加之二抽竒平尖徑之平方加一縦減原實為正實 徑除正實得數倍徑加之三抽偶平尖徑之方減原實為正實倍徑除正實得數徑數加之五除減一取之四立尖徑之立方一平方三及倍徑為數六而一之減原實為正實徑竒者徑除正實得數次置徑加一而二除之為半平方加半縦併徑除正實之數半平方加半縦法開之復置徑減一亦二除之與開得數併之 徑耦者半徑除正實得數次置徑二除之而加一為平方并半徑除正實之數平方法開之復置徑二除之減一與開得數併之五方尖(諸數自乗依根數序次相并)四因原數為正實置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數六而一之減先得正實為次得正實 徑除次得正實得數以徑之加一為平方併之方法開之開得數復置徑減一相并二除之少廣補遺第四篇開三角及諸尖之半積先得徑數以法算得底數一抽偶立尖(本尖内層數偶者去之)置徑倍之取其方與立方又半平方闕一縦為數一十二而一之減原實為正實 徑竒者徑除正實得數以徑之半平方加半縦并之半平方加半縦法開之開得數復置徑減一并之 徑偶者半徑除正實得數徑之加一縦方并之加一縦方法開之開得數置徑減一并之二抽偶立尖之二(本尖内層數及諸層内數偶者皆去之)置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數二十四而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數次置徑加一而二除之為平方并徑除正實之數方法開之開得數五除之減一與徑之減一之數并之 徑偶者半徑除正實得數次置徑二除之又置徑二除之而加一各為方以并半徑除正實之數復減一而二除之帶一縦方開之開得數五除之而加一與徑之減二之數併之三抽竒立尖(本尖内層數竒者去之)置徑倍之而益一取其方與立方為數復置徑倍之而益二與徑之減一相乘得數併之一十二而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數以徑之益一數為半平方帶半縦并之半方帶半縦法開之開得數徑之減一并之 徑偶者半徑除正實得數以徑之益一數為帶一縦方并之帶一縦方法開之開得數以徑之減一并之四抽竒立尖之二(本尖内層數及諸層内數竒者皆去之)以徑之立方及三平方與倍徑為數三而一之減原實為正實 徑竒者以徑除正實得數次置徑加一而二除之為帶一縦方并徑除正實之數帶一縦方開之開得數二因之復置徑減一并之 徑偶者半徑除正實得數次置徑二除之而加一為兩平方併半徑除正實之數減二而以二除之帶二縦方法開之開得數復二因而以徑加之五抽竒偶方尖(諸自乗數依根數竒偶序次相并)置徑倍之取其立方與三平方及又倍徑為數六而一之減原實為正實 徑除正實得數次置徑加一為平方并之方法開之開得數置徑減一并之少廣補遺第五篇開抽偶立失之半積合失内竒偶諸層取層内數偶者去之先得徑數以法算得底數其一得徑偶徑之立方與三平方及倍徑并之一十二而一之減原實為正實 以半徑除正實得數復分半徑竒偶御之半徑竒者置半徑加一為方而二除之以并半徑除正實之數復二除之平方開之方之所得之數五除減一與半徑減一之數并之 半徑偶者置徑四除之復置徑四除之而加一各為方以并半徑除正實之數減一而二除之帶一縦方開之方之所得之數五除減一與半徑并之 如得正實之後或半徑除之不盡與雖盡而并别數平方帶一縦方開之不得者設别法如下條如前取徑之立方與三平方及倍徑并之一十二而一之復置徑益二而二除之取其數為平方減一與前數并之減原實為正實 半徑除正實得數分半徑之竒偶御之 半徑偶者置徑四除之而益一為平方以半徑除正實之半并之平方開之開得之數五除減一與半徑并之 半徑竒者置半徑益三而二除之為方復置半徑益三而二除之轉減一為方合之以并半徑除正實之數減一而二除之帶一縦方開之方之所得之數五除減一與半徑益一之數并之其一得徑竒置徑減三而取其倍數及其立方與三平方并之六而一之減原實之倍數為正實 置徑減一而二除之為法分法之竒偶御之 法竒者法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法減一為方并法除正實之數以方開之餘實之不及方者法因之而折半若前有剰實者亦折半并之以平方開之 偶者法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法二除之復置法二除之而減一各為方倍之以并法除正實之數減一而平方開之餘實之不及方者法因之而折半如前有剰實者亦折半并之以平方開之 凡餘實因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之 餘實之方二因之而減一為正方與前方較其贏絀若正方絀者徑之減一之數并之也其絀以法之加二其贏以法為準少廣補遺第六篇開抽竒立尖之半積合尖内竒偶諸層取層内數竒者去之 先得徑數以法算得底數其一得徑偶置半徑之立方與三平方及全徑并而十之一十五而一之以其數減原實為正實 半徑除正實得數分半徑之竒偶御之 半徑竒者置半徑加一而二除之為帶一縦方倍之并半徑除正實之數復加倍以帶二縦方開之開得數置半徑減一并之 半徑偶者置徑四分之為帶一縦方復置徑四分之而加一亦為帶一縦方并半徑除正實之數皆倍之平方開之若原徑過四以上者置徑減四而二除之數并之 上法如有不合或得正實之後半徑除之不盡與雖盡而并别數平方帶二縦方開之不得者設别法如下條置半徑之立方與三平方及全徑并而十之一十五而一之復置半徑益一為帶一縦方并之損二為數以減原實為正實 以半徑除半正實得數分半徑之竒偶御之 半徑竒者置半徑加一而二除之復加一而為平方并半徑除半正實之數皆四因之平方開之開得數半徑減一并之 半徑偶者置全徑四除之益一為帶一縦方并半徑除半正實之數皆四因之帶二縦平方開之開得數半徑并之其一得徑竒置徑減三折半而取其倍數及其立方與三平方并而十之一十五而一之減原實為正實 復置徑減一折半為法視法之竒偶分御之 法竒者以半法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置法減一為帶二縦方并之帶二縦方法開之餘實之不及方者倍法因之若前有剰實者四因併入而開帶二縦方其視前方贏絀之數法之加一為率 法偶者半法除正實得數有餘實之不及法者别存之次置半法與半法之減一各為帶一縦方加倍并之平方法開之其餘實之不及方者倍法因之若前有剰實者四因併入而開帶二縦方其視前方贏絀之數絀者以法之加二贏者以法為率 凡餘實因倍法不可為帶二縦方或為之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方較前方絀者置徑之減一并之少廣補遺第七篇準本章多乘方以立尖形律餘尖得四法一方尖準立尖如數一 一四 一四九一十二倍置實帶一縦平方法開之開得數益一復方之所得數溢於本數之底與徑一數二抽偶方尖準立尖三倍置實闕半縦平方開之帶一縦方法收之得本數底加一以二除之之數與本數徑數三抽竒方尖準立尖三倍置實帶一縦平方法開之開得數益一復方之得本數底二除益一與本數徑益一數四立尖還準立尖如數一 一一二 一一二一二三六倍置實帶一縦方開之開得數益一倍之仍除帶一縦方得本數底與本數徑溢一數少廣補開尖法設如第一準本章平立方圓開三角及諸尖計一十二條平尖設如 原數六倍數一十二 帶一縦方根三尖之實 一 二 三立尖設如 原數十六因數六十 闕一縦立方根四 減一得三尖之實 一 一二 一二三倍尖設如 原數七二除數三五 末五進一十除得四尖之實 一 二 四方尖設如 原數十四三因數四十二 立方二十七 平方九 半平方四五 半方根一五尖之實 一 四 九再乘尖設如 原數三十六二除數十八 内復減原實餘一四四 平方根十二帶一縦方收得三 三數逆至尖得中數二二乘三得六尖之實 一 八 二十七再乘尖又設如 原數一百二除數五十 復減原實餘四 平方根二十 𢃄一縦方收得四 四數逆至尖得對數二 加五數於對數之次得二五四因二五得十尖之實 一 八 二十七 六十四抽竒平尖設如 原數十二𢃄一縦方根三 對數三全數六尖之實 二 四 六抽偶平尖設如 原數九平方根三 中數三全數五尖之實 一 三 五抽偶數立尖原註本尖内層數及層内諸數偶者去之設如 原數十四方尖法開之得三 中數三全數五尖之實 一 一三 一三五抽竒數立尖原註尖内層數及層内諸數竒者去之設如 原數二十三因數六十 闕一縦立方根四 四減一得三 對數三全數六尖之實 二 二四 二四六抽竒偶數方尖設如原數三十五六因數二百一十 闕一縦立方根六 六減一得五全數五中數三尖之實 一 九 二十五又設如 原數五十六六因數三百三十六 闕一縦立方根七 七減一得六 全數六對數三尖之實 四 十六 三十六抽偶再乘尖設如 原數一百五十三二除數七六五 闕半縦平方根九 復方之三 中數三全數五尖之實 一 二十七 一百二十五抽竒再乘尖設如 原數二百八十八二除數百四十四 平方根十二 復方之𢃄一縦三對數三全數六尖之實 八 六十四 二百一十六第二開抽偶抽竒立尖木尖内層數偶者去之設如 原數二十二加二得數二百六十四 立方二百一十六 平方三十六 半平方闕一縦十二 方根減一得五折半得三尖之實 一 一二三 一二三四五本尖諸層内數偶者去之設如 原數六就位加五得數九 立方八 半方根一 方根五除得四 四減一得三尖之實 一 一 一三又設如 原數十就位加五得數十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四減一得三尖之實 一 一 一三 一三本尖内層數竒者去之設如 原數三十四加二得數四百零八 立方三百四十三 平方四十九 餘縦二八一十六 方根七減一得六縦限二益一得三尖之實 一二 一二三四 一二三四五六本尖諸層内數竒者去之設如 原數十六就位加五得二十四 闕一縦立方根三 方根減一以五除之得四尖之實 二 二 二四 二四又設如 原數十就位加五得數十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四減一得三尖之實 二 二 二四第三準本章𢃄縦諸方開三角及諸尖之半積似三角𢃄一鈍角形平尖設如 原數二十四 徑三減六得十八 三除十八得六 加三得九尖之實 七 八 九抽竒平尖設如 原數十八 徑三減十二得六 三除六得二 加六得八尖之實 四 六 八抽偶平尖設如 原數二十七 徑三減九得十八 六除十八得三加三得六 五除六減一得十一尖之實 七 九 十一立尖設如 原數三十一 徑三減一十得二十一 三除二十一得七 七加三得十半平方加半縦開十得四 四加一得五尖之實 一二三 一二三四 一二三四五又設如 原數二十五 徑二減四得二十一 加四仍二十五 平方根五尖之實 一二三四 一二三四五方尖設如 原數五十 徑三四因數二百 減五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二折半得五尖之實 九 十六 二十五第四開三角及諸尖半積抽偶立尖原註本尖内層數偶者去之設如原數四十九 徑三減二十二得二十七 三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七尖之實 一二三 一二三四五 一二三四五六七又設如 原數二十一 徑二減七得十四 復加六得二十 𢃄一縦方根四併一得五尖之實 一二三 一二三四五抽偶立尖原註本尖内層數及諸層内數偶者皆去之設如 原數五十 徑三減一十四得三十六 三除三十六得十二并四得十六 平方根四 五除方根四減一得七并二得九尖之實 一三五 一三五七 一三五七九又設如 原數四十一 徑二減五得三十六 并五仍四十一 四十一減一而二除之數二十得𢃄一縦方根四 五除四加一得九尖之實 一三五七 一三五七九抽竒立尖原註本尖内層數竒者去之設如原數六十七 徑三減三十四得三十三 三除三十三得十一并十得二十一 半方𢃄半縦開之得六并二得八尖之實 一二三四 一二三四五六 一二三四五六七八又設如 原數三十一 徑二減一十三得十八 并十二得三十 𢃄一縦方根五并一得六尖之實 一二三四 一二三四五六抽竒立尖原註本尖内層數及諸層内數竒者皆去之設如 原數六十二 徑三減二十得四十二 三除四十二得十四并六得二十𢃄一縦方根四 二因四得八并二得十尖之實 二四六 二四六八 二四六八十又設如 原數五十 徑二減八得四十二 并八仍得五十 五十減二而二除之得二十四 𢃄二縦方根四 五除四加二得十尖之實 二四六八 二四六八十抽竒偶數方尖設如 原數一百五十五 徑三減五十六得九十九 三除九十九得三十三加十六得四十九 平方根七并二得九尖之實 二十五 四十九 八十一又設如 原數二百 徑三減五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二得十尖之實 三十六 六十四 一百第五開抽偶立尖半積合本尖竒偶諸層取層内數偶者皆去之先得徑偶設如 原數一百 徑六減二十八得七十二 三除七十二得二十四并八得三十二 二除三十二得十六方之得四 五除四減一得七并二得九尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九又設如 原數五十 徑四減十得四十 二除四十得二十 二十并五得二十五減一而半之得十二 𢃄一縦方根三倍三得六六減一得五并二得七尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七先得徑偶次條設如 原數六十六 徑四減十八得四十八 二除四十八得二十四半之得十二并四得十六 平方根四 五除四減一并二得九尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九又設如 原數一百二十七 徑六減四十三得八十四 三除八十四得二十八并十三減一得四十 二除四十得二十𢃄一縦方根得四五除四減一并四得十一尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九 一三五七九十一先得徑竒設如 原數一百六十三 徑七倍數三百二十六 減二十得三百零六 三除三百零六得百零二并四得百零六 平方開百得十存餘實六加五得九 平方開九得三 五除三減一與前方十較之合贏絀率 五并六得十一尖之實 一三五 一三五七 一三五七一三五七九 一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一又設如 原數二百零三 徑七倍數四百零六 減二十得三百八十六 三除三百八十六得一百二十八餘剰實二 一百二十八并四得百三十二 平方開百二十一得十一餘實十一以一五因之并前剰實之半不可方 退方根商一百得方十餘實三十二 三十二加五得四十八并前剰實之半得四十九末方得七 五除七減一與前方十較之合贏絀率得十三尖之實 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一 一三五七九十一十三又設如 原數九十一 徑五倍數一百八十二 減四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一減一得九十 平方開八十一得九餘實九方根得三 五除三減一與前方九較之合贏絀率并四得九尖之實 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九又設如 原數七十五 徑五倍數一百五十 減四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五減一得七十四 平方開六十四得八餘實一十不可方 退方根商四十九得七餘實二十五方根得五 五除五減一與前方較之合贏絀率得九尖之實 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九法外設如 原數四十一 徑三倍數八十二 平方商六十四得八 餘實十八折半得九方之得三 五除三減一與八較之合贏絀率并二得七尖之實 一三五 一三五七 一三五七第六開抽竒立尖半積合本尖竒偶諸層取層内數竒者皆去之先得徑偶設如 原數一百二十四 徑六減四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 𢃄二縦方根八 八并二得十尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十又設如 原數一百 徑四減十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十尖之實 二四六八 二四六八 二四六八十二四六八十先得徑偶次條設如 原數一百五十四 徑六減五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又設如 原數八十二 徑四減二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 𢃄二縦方根八并二得十尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十先得徑竒設如 原數一百九十六 徑七減十六得一百八十 一百八十減五得一百二十一百二十并八為百二十八𢃄二縦方開百二十得十存餘實八 六因八得四十八𢃄二縦方根得六與前方較之合贏絀率 六併六得一十二尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二又設如 原數一百六十六 徑七減十六得一百五十 一百五十減五得一百并八得一百零八 𢃄二縱方開九十九得九餘實九以六因之不可為𢃄二縦方 退方根商八十得八餘實二十八以六因之得一百六十八 𢃄二縦方商百六十八與前方較合贏絀率得十二尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又設如 原數一百十二 徑五減四得一百零八一百零八併四仍一百十二平方開百得十餘實十二 四因十二得四十八𢃄二縦方根得六較前方合贏絀率六併四得十尖之實 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十又設如 原數九十四 徑五減四得數九十 并四仍九十四 平方開八十一得九餘實十三以四因之不可為𢃄二縦方 退方根商六十四得八餘實三十 四因三十得百二十𢃄二縦方除之較前方合贏絀率得十尖之實 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十法外設如 原數四十四 徑三五除四十四得八十八 帶二縦方商八十得八餘實以二因之不可復為帶二縦方 帶二縦方商六十三得根數竒 商四十八得根數六餘實四十 二因四十得八十除帶二縦方與前方較之合贏絀率得八尖之實 二四六 二四六 二四六八第七準本章多乗方依立尖形推餘尖方尖準立尖設如 原數二十一十二因數二百四十 帶一縦方根十五益一數十六 復方之四減一得三尖之實 一 一四 一四九抽偶立尖準立尖設如 原數四十六三因數一百三十八 闕半縦平方根十二 復帶一縦方之三 五除三 一得五尖之實 一 一九 一九二十五抽竒方尖準立尖設如 原數八十三因數二百四十 帶一縦方根十五益一數十六復方之四 四減一得三倍之得六尖之實 四 四十六 四十六三十六立尖還準立尖設如 原數十五六因數九十 帶一縦方根九益一數倍之得二十復除帶一縦方四 四減一得三尖之實 一 一一二 一一二一二三少廣補開尖法覈原開正尖全積二十法設各就本尖用之平尖法一之一 尖一倍數二 帶一縦方根一立尖法一之二 尖一因數六 闕一縦立方根二 減一得一倍尖法一之三 尖一二除數五 進五作十除得一方尖法一之四 尖一因數三 方體一 方面一 半方面五 半方根再乘尖法一之五 尖一二除數五 減原實餘四 平方根二 復除帶一縦方一抽竒平尖法一之六 尖二帶一縦方根一 對數一全數二抽偶平尖法一之七 尖一平方根一抽偶立尖法一之八原註尖内層數及層内諸數偶者盡去之 尖一因數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原註尖内層數及層内諸數竒者盡去之 尖二因數六 闕一縦立方根二 減一得二之對數抽竒偶數方尖法一之十 尖一因數六 闕一縦立方根二 二減一即一又尖四因數二十四 闕一縦立方根三 三減一數二抽偶再乘尖法一之十一 尖一二除數五 闕半縦平方根一 復方之亦一抽竒再乘尖法一之十二 尖八二除數四 平方根二 復帶一縦方之一 對數一全數二抽偶立尖法原註尖内層數偶者去之二之一尖一加二數十二 方體八 方面四 半方面應闕一縦今闕 二減一得一抽偶立尖法原註本尖諸層内數偶者去之二之二 尖一就位加五數一五 方體一 半方根五 五除一得二減一復一又尖一 一就位加五數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二減一復一抽竒立尖法原註尖内層數竒者去之二之三尖一二加二數三十六 方體二十七 方面九 縦限視本數徑數及本數底半數應朒一數今空 三減一數二抽竒立尖法原註本尖諸層内數竒者去之二之四 尖二二就位加五數六 闕一縦立方根二 二減一得一以五除之復二又尖二就位加五數三 方體一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二減一亦一方尖準立尖法七之一 尖一加二數十二 帶一縦方根三 三益一得四復方之得二 二減一即一抽偶方尖準立尖法七之二 尖一倍數三 闕半縦平方根二復帶一縦方之一 二因一減一亦一抽竒方尖準立尖法七之三 尖四三倍數十二 帶一縦方根三益一得四復方之得二二減一以二因之亦二 減一亦一立尖還準立尖法七之四 尖一因數六帶一縦方根二 二益一得三倍之得六復除帶一縦方得二 二減一即一少廣補遺◆ 《莊氏算學-清-》（KR3f0055）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
莊氏算學 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案莊氏算學八卷國朝莊亨陽撰亨陽字元仲南靖人康熙戊戌進士官至淮徐道是編乃其自部曹出董河防於髙深測量之宜隨事推究設問答以窮其變因筆之于書其後人取殘藁裒緝成帙中間大㫖皆遵御製數理精藴而參以幾何原本梅氏全書分條採摘各加剖晰頗稱明顯末為七政步法亦本之新法算書而節取其要其于推步之法條目賅廣縷列星羅無不各有端緒恭案御製數理精藴線面體三部凡三十餘卷幾何原本五卷梅氏全書卷帙亦為浩博學算者非出自專門不能驟窺蹊徑今亨陽撮舉精要别加薈萃簡而不漏括而不支可為入門之津筏雖未能大有所發明而以為學者啟蒙之資則殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校官(臣)陸 費 墀
## 卷一
欽定四庫全書莊氏算學卷一淮徐海道莊亨陽撰梅勿庵開方法一平方平方四邊相等今所求者其一邊之數西法謂之方根方者初商也初商不盡則倍初商之根為廉法除之得兩廉又以次商為隅法自乘得隅以補兩廉之空而成正方形是謂次商又不盡則合初商次商得數倍之為㢘法除之得次兩廉又以三商為隅法自乘得隅以補次兩廉之空而成正方形自此而四商五商倣而加之能事畢矣凡減隅積皆視其隅數為何等隅數是單則積止於單位隅數是十其積止於百位百止於萬位千止於百萬位萬止於億位每隅法大一位則隅積大兩位所以初商減積止初㸃次商減積止次㸃三商四商五商皆可以類推也(自單位作㸃起每隔一位㸃之有二㸃商數有十三㸃商數有百也)凡初商得一二三四皆書於㸃之上一位商得五六七八九皆書於㸃之上兩位其故何也五以上之廉倍之則十故豫進一位以居次商四以下雖倍之猶单數也所以不同大約所商单數必在亷法上一位乃法上得零之理也開方有實無法廉法者乃其法也次商用歸除凡歸除得數皆書於籌之第一位今須看次商所減之數其籌行内第一位是空與否若不空即以次商得數對餘實首一位書之若第一位是空則以次商得數對餘實上一位書之雖不離籌之第一位而所商之有空位無空位出矣立方審空位之法亦然一立方平方則一方次合兩廉一隅以成方面立方則一方次有三平廉以輔於方之三面又有三長廉以補三平廉之隙又有小方隅以補三平廉之隙推之三商四商皆然而方體成矣三平廉長濶相同皆如初商數三長廉長如初商數其兩頭髙與濶則如次商數立方三位作㸃者自乘再乘之積止於三位也初商㸃在首位則獨商首位㸃在次位則合商兩位在三位則合商三位也凡初商得一數者書於㸃上一位得二三四五者書於㸃上二位得六七八九者書於㸃上三位其故何也盖開方以廉為法而平方只有二廉其廉之積數只有進一位故一進而足立方則有三平廉而其積數有進一位者有進兩位者故必立三等也要其豫為續商之地使所得單數居於法上之一位則同方單一其廉法單三若方單二則廉法一十二變為十數進一位矣故一用常法二用進法也方單五其廉法七十五若方單六則廉法一百零八又變百數進兩位矣故五用進法而六以上用超進之法也三平廉用自乘者三平面積也三長廉則未有積故與平廉異也次商數自乘以乘長廉者每長廉之一數各分次商自乘之數也一平方帶縱平方帶縱者長方面也初商得平方與縱方縱方之濶如平方之數長則加所設縱之數次商得廉縱一廉二隅一蓋倍廉不倍縱一為帶縱之廉一為不帶縱之廉也用法與平方相似但初商時必以初廉得數乘縱數為縱方積然後合兩積以減原實為稍異耳若應商十數因無縱積改商單九是初商空也則於初商位紀○而紀其改商之數於○下若次商者然既為次商則減積亦盡於第二㸃初商得五至得九皆書於㸃上二位不論縱之多寡若得四以下則視縱之多少而為之進退法以縱折半加入初商(單從單十從十百千各以類加)若滿五以上則亦進書於㸃之上兩位(如初商三而縱有四初商四而縱有四之類)若縱數少雖加之而不滿五則仍書於㸃之上一位(如初商四而縱只有一初商六而縱只有二之類)搃而言之所商單數皆書於廉法之上一位故初商得數有進退之法乃豫為廉法之地以居次商也初商五以上倍之則十雖無縱加廉法已進位矣初商雖四以下而以半縱加之滿五則其倍之加縱而為廉法也亦滿十而進位矣㢘法進位故初商亦必進蓋豫算所商單數已在廉法之上也又初商若得單數其廉法即為命分凡商得單數必在命分上一位凡開方皆然一立方帶縱凡立方帶縱有三一只帶一縱如云長多方若干或高多方若干是也一帶兩縱而縱數相同如云長不及方若干髙不及方若干是也一帶兩縱而縱數不相同如云長多濶若干濶又多髙若干是也大約帶一縱者只有縱數而已帶兩縱者有縱數又有縱方故其術不同立方帶一縱者長多於方謂之横縱髙多於方謂之直縱初商得立方一方縱一合成長立方形次商平廉三内帶縱者二長廉三内帶縱者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆倣此以積實列位作㸃如立方法截首一㸃為初商之實視立方表中積數有小於初商實者用其方根為初商得數用其積數為初商積數次以初商自乘以乘縱數為縱積合計立方積縱積共數以減原積而定初商不及減者改商之及減而止次商則以初商得數自乘而三之又以縱與初商相乘而兩之共為平廉法或以初商三之縱倍之併其數以乘初商或以初商加縱而倍之併初商數以乘初商竝同(所謂帶縱㢘二不帶縱廉一也)又以初商三之加入縱為長廉法(所謂)(帶縱廉一不帶縱廉二也)乃以平廉法約第二㸃上餘實商除得數為次商於是以次商乘平廉法為三平廉積又以次商自乘以乘長廉為三長廉積就以次商自乘再乘為隅積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實不及減者改商之及減而止三商則以初商次商所得數加縱而倍之併商得數為法仍與商得數相乘為平廉法又以初商次商所得數三之加縱為長廉法以除原實如次商法餘倣此列商得數依立方法得一書於㸃之上一位得二三四五書於㸃之上兩位得六七八九書於㸃之上三位若縱數多廉法有進位則宜用常法者改用進法宜用進法者用超進之法宜超進者更超一位書之其法於次商時酌而定之蓋次商時有三平㢘三長㢘再加隅一為命分之法法上一位單數也從此單數逆尋而上自單而十而百而千至初商位止有不合者改而書之若與初商恰合不必強改此法甚妙平方帶縱亦可用之也若宜商一十而改單九或宜商一百而改九十凡得數改退小一等數者皆不用最上一㸃而以第二㸃論之此尤要訣不可忘(或於初商外作圈而以所商小一等數書於圈下亦可以上一㸃論也)立方帶兩縱縱數相同者如髙不及方若干則方之横與直俱多於髙是為兩縱初商有縱廉二縱方一并立方而四蓋兩縱廉輔立方之兩面而縱方以補其隅合為一短方形也次商平廉三内帶一縱者二帶兩縱者一長廉三内帶縱者二不帶縱者一小隅一共七形合一短方形也用法先以縱倍之為縱廉法又以縱自乘為縱方法乃如立方法列位作㸃視表中求初商方數及立方積次以初商得數乘縱方數為縱方積又以初商自乘數乘縱廉數為縱廉積合計縱方縱廉立方之積共若干數以減原實而定初商不及減改商之及減而止次商則以初商得數加縱倍之以乘初商得數(所謂帶一縱之)(廉二也)又以初商加縱自乘得數(所謂帶兩縱之廉一也)併之共為平廉法或以初商三之加縱以初商加縱乘之亦同次以初商加縱倍之併初商數共為長廉法(所謂帶縱者二不帶縱者)(一也)或以初商三之縱倍之亦同乃置餘實列位以廉法位酌定初商列法而進退之以平為法而除餘實得數為次商(皆所以減首位是空與否而為之進若退)或合平廉長廉兩法以求次商亦同於是以次商乘平廉法為平廉積又以次商自乗數乗長廉法為長廉積又以次商自乗再乗為隅積合計平廉長廉隅積共若干以減餘實而定次商又法以次商乗長廉法為長廉法又以次商自乗為隅法併長廉平廉隅法以與次商相乗為次商廉隅共積以減餘實亦同不及減者改商之及減而止三商四商倣此立方帶兩縱縱數不相同者如長多於濶髙又多於長初商有大廉縱一小廉縱一縱方一并立方形而四蓋大廉縱以輔髙之一面小廉縱以輔長之一面而縱方以補兩縱之闕也次商平廉三内帶小縱者一帶大縱者亦一兼帶兩縱者又一長廉三内帶小縱者一帶大縱者一不帶縱者一小隅共七形合成不等方形也用法以兩縱相併為縱亷以兩縱相乗為縱方乃如立方法列位作㸃求初商之實以立方表求得初商立方積次以初商乗縱方數得縱方積以初商自乗乗縱廉數得縱亷積合計三積以減原實皆如前法次商則以初商長濶維乗得數而併之為平廉法又以初商長濶髙併之為長廉法乃置餘實列位(以平廉酌定初商之)(位而進退之)遂以平廉為法求次商以次商乗平廉為平廉積以次商自乗數乗長廉為長廉積以次商自乗再乗為隅積合三積以減餘實不及則改及則止以待三商餘倣此凡不能成一單數者則以所商長濶髙維乗併之如平廉又以長濶髙併之如長廉又加單一如隅為命分母以所餘之數為命分子維乗之法如初商三十尺為濶加縱五尺共三十五尺為長又加縱一尺共三十六尺為髙濶乗長得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺長乗髙得一千二百六十尺併三維乗數共得三千三百九十尺為平廉法若合長亷加隅一即為命分母也若在次商後則加次商得數若在三商後則加三商得數用籌法開方用籌㨗法廉隅二形也故有二法今借開方大籌為隅法列於亷法籌下而共商之則隅亷合為一法而用加㨗矣存前法者所以著其理用㨗法者所以善其事既得初商即倍根數為廉法以亷法數用籌(如商根為四則用八)(商根為六則用十二)以列於立方籌之上為廉隅共法合視共法籌某行内有與次商之實同者或畧少者減實以得次商以本行内方根命之既得次商則合初商次商倍之以其數用籌列平方籌以求三商四商以下倣此隅者小平方也故可以平方籌為法廉之數每大于隅一位今以平方籌為隅列於廉下則隅之進位與廉之本位兩半圓合成一數故亷隅可合為一法也何以知亷大於隅一位也曰有次商則初商是十數矣平方之廉法是初商倍數故大於隅一位若次商之實小於廉隅共法之第一行則知次商是空位也(不能成一數故空)則於廉法籌下平方籌上加一空位籌為廉隅共法以求三商既得三商則合初商三商數倍之去空位籌以倍數用籌列於平方籌之上以求四商如初商得四次商得空則用空位籌列於八籌之下及三商既得九則倍四○九而為八一八之數空位籌可不用矣若兩空位則加兩空籌三空位則加三空籌餘倣此凡餘實必在商數下一位起倘空位則可作圏補之又凡亷隅共法籌第一行數即命分母也盖能滿此數即成一單數矣若立方則以初商數自乗而三之為平廉法以平亷法用籌列於立方籌之上為平廉小隅共法别以初商數三之而比共法尾位進一位為長亷法以長亷法用籌列於立方籌之下(法于長廉法籌下加一空籌以合進一位之數)視共法籌内有小於實者為平廉小隅共積用其根數為次商次以次商自乗數(即平方籌之積數)與長廉法相乗(以平)(方籌之數尋長廉籌之行取其行内積數用之)得數加入平隅共積為次商搃積以減次商實乃如法以求三商餘倣此隅者小立方也故可以立方籌為法平廉之數每大於隅二位今以立方籌為隅法列於平廉下則隅之首位與平亷之末位兩半圓合成一數故平㢘小隅可合為一法長㢘之兩頭皆如次商自乗之數故可以平方乗之又長㢘之數每大於隅一位故於下加一空籌以進其位便加積也何以知平㢘大于隅二位而長亷只大一位也蓋平㢘者初商自乗之積也初商於次商為十數十乗十則成百數矣隅積者次商本位也故平㢘與隅如百與單相去二位也若長㢘則是初商之三倍位同初商初商與次商如十與單故長亷與小隅亦如十與單相去一位也若次商之實小於平廉小隅共法之第一行或僅如共法之第一行而無長廉積則次商是空位也法於初商下作空位圈以為次商而于平㢘籌下立方籌上加兩空位籌為三商平亷小隅之共法以求三商其長㢘法下又加一空位籌并原有一空位籌共兩空位籌為三商長㢘法或長㢘不必加空籌但于得數下加兩圜若商數有兩空位者平㢘下小隅上加四空位籌長㢘積下加三圈蓋有空位則所求者三商也初商與三商如百與單而平㢘者初商之自乗百乗百成萬故平㢘與三商之隅如萬與單大四位也此加兩空籌之理(平㢘原大二位加二空籌則大)(四位矣)初商與三商既如百與單則長㢘與隅亦如百與單大兩位也此又加一空籌之理也命分還原法如原實八步開得方二步除實四步不盡命為方二步又五分步之四然在兩亷可得五之四在隅則得二十五分步之十六而已實不及五之四也故通分法還原以分母五通二步得一十分又納分子四共一十四分自乗得一百九十六為實以命分五自乘得二十五為法除之只得七步又二十五分步之二十一以較原實少二十五之四矣故必另置分母五以分子四減之餘一以轉乗分子四得四即隅差也加隅差入方積中然後以分母自乗除之則合原積矣若立方積一十七步開得立方每面二步除八步餘九步如法命為立方二步又十九分步之九在平㢘可得十九分步之九在長㢘與隅則不滿也法以分母十九通二步為三十八分又納分子九分共四十七分為立方全數以全數自乗再乗得一十○萬三千八百二十三分為通積另置分母十九自乗得三百六十一内減分子九自乗八十一餘二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分為隅差又置分母十九内減得分九餘十分轉乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分為長亷每步虚數又以長㢘法六步乗之得一萬○二百六十分為長㢘差合二差共一萬二千七百八十分以加入通積共得一十一萬六千六百○三分為實以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分為法以除實得一十七步合原積莊氏算學卷一
## 卷二
欽定四庫全書莊氏算學卷二淮徐海道莊亨陽撰幾何原本舉要凡角度皆起於圓心而見於圓界圓不論大小俱有三百六十度之數度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不盡之數分之故執有度之圓界為凡角大小之規也二平行線若作一斜線交加於上則二横線内外所成之二角俱為相等在平行線上作一斜直線即成八角此八角之庚戊乙甲戊己兩相等角謂之對角甲戊庚庚戊乙兩角同心謂之並角庚戊乙戊己丁二角相等角一邊謂内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖錯交謂相對錯角庚戊乙丁己辛二角之等角一邊謂之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一邊謂之内角八角之中半鈍半鋭各自相等推之三平行線四平行線皆然也凡三角形之三角相並必與二直角等而具半周之度凡三角形自一界線引長成一外角將三角形内所對二角並之始與一外角等凡三角有二形兩邊線之度各等二線所合之角俱等則二形底線之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界線之度各相等則三角度亦必等而形内所函亦等也若二形一界線之度相等於相等線左右所生之二角又相等則他線他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二邊等線者其底線之兩角度亦為相等也蓋作一長線上剖角下剖底成兩直角三角形各相等也則底線左右所成角必等可知凡三角形之長界線必對大角最長對最大次長對次大短者對小者凡三角形必有二鋭角何也凡三角形將三角並之必與二直角等故一鈍必兩鋭一直亦兩鋭即三等角亦皆鋭也凡自一㸃至一横線作衆線衆線内有一垂線必短於他線而他線之與垂線相離愈逺者線愈長也凡三角無論直鋭鈍合並二界線必長於所餘之一界線所以凡自一㸃又至一㸃畫㡬線其各線中僅一線直而短餘必曲而長矣四邊形有五種一四方形邊角俱等也一長方形角等而兩邊長兩邊短也若四邊等而角兩鈍兩鋭者謂斜方形又兩邊長兩邊短而角兩鈍兩鋭者謂長斜方形若四邊不等四角又不等者謂無法形凡四邊平行線形其角之各兩對角必俱相等於對角作線分為兩三角形是為對角線必将平行線四邊形分為兩平分凡平行線之四邊作兩對角線相交處為平分二線之正中凡於四邊形對角線之正中作一斜横線截開則將四邊形為兩平分四邊形若於對角線不拘何處交加依兩界作二平行線即成四四邊形二形為對角線内之形二形為對角線旁餘之形此兩旁形其積必等蓋對角線原属平分而等今交加線中所成兩大三角兩小三角形亦属平分而等於原兩三角内對減兩大三角兩小三角則所旁餘四邊形其積亦必等兩平行線内凡同底所成之四邊形其面積俱等何也如甲乙戊丁丙己兩三角形其甲丁戊己二線之度俱與乙丙平行線為等故互相等也若於甲丁戊己二線每加一戊丁線即甲戊丁己兩線俱等因甲乙丙丁之四邊形為平行線則所各相對之線亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一邊之内外角兩形為等自此兩三角形減去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等於此所存之二形每加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊己丙乙之相等積四邊形矣故凡兩平行線内凡同立於一底者則線無論短長所存之四邊形俱等積也兩平行線内若同立一底凡所有各種三角形之面積亦俱等也蓋三角為平行四邊形之一半四邊既等則三角亦等也底度同亦然凡衆角形自角至心作線有㡬界即成㡬角形若作六界即成六三角形矣欲知衆邊形角度之數将邊數加倍於得總數内減四其所餘之數為直角數即為衆角度也如七邊形是七個三角形凡三角形併三角等兩直角則七三角形等十四直角而圓心所有之七角當四直角矣故将十四直角減四直角餘十直角之度為衆角之總度也凡一直線切於圓界雖長過界而不與圓界出入交加此謂之切線又兩圓之圓界相過相切而不相交加出入謂之切圓凡一直線横分圓界謂之弦如戊所分圓界之一段謂之弧如甲乙丙弦線與弧線相遇處成兩形如甲乙丙俱為圓之弧分之角凡自弦之兩頭作兩線外向圓界相遇此角名為圓分内角又謂對弧立角自圓心作二輻線至弧線成三角形謂之分圓面形凡自與圓界相切輻線之末作垂線必在圓外凡在圓弦線若自圓心作垂線可以平分弦線垂至圓界便可平分弧線蓋自甲心作兩半徑至乙丙二處其線相等則丙乙二角相等故自甲角至乙丙底線之丁處作垂線便是平分也凡自圓外一㸃至圓界兩邊作二切線此二線必相等蓋自圓心作二輻線與二切線相切則二切線與二輻線互為垂線而兩線相遇之角必俱為直角又於兩直角作一對角線是謂弦線而成丁乙丙與甲乙丁兩三角形丙乙丙丁係輻線原等則底線兩合角必等減圓内兩角數則甲乙丁甲丁乙二角乃兩直角之所餘也二角既等二切線亦必等矣凡圓有兩弦線若等其分圓弧面之積亦等若自心至兩弦各作一垂線則二垂線度亦等又自心至兩弦線之各兩頭作四輻線亦等則所成之兩三角形亦等於甲乙輻線末作垂線者切線也甲輻線割圓於戊而至丁者割線也戊垂線至己者正弦也凡立於乙戊弧之角者欲求三角之度三邊之數皆於是取也三角俱抵圓邊者界角也一角居心二角抵邊者心角也心角交與界角有三種其圓心所生界角或在二直線之一線者或在二直線之外者或在二直線之間者此三種心角皆大於界角一倍如第一圖心角在丁乙直線之内則心角為甲丙丁鈍角形之外角外角則兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲為一圓之輻線相等則所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度則比丁角為大一倍可知矣第二圖心角在丁乙直線之外則自丁過内心至戊作一直線成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一小界角凖前論大心角倍於大界角小心角亦倍於小界角今於大心角減去小心角大界角減去小界角則所減之心角倍於所減之界角而所存之原心角亦倍於所存之原界角也第三圖心角在丁乙丁甲直線之間自丁界過丙心至對界作一直線亦如第一圖論将心角剖為二界角亦剖為二則分為兩心角各倍於兩界角仍合為一心角則倍於一界角也自圓之弧線凡一叚任與圓界何處其尖相切所成之界角有㡬何其度俱為等也蓋同立一弧者心角皆大於界角一倍如上節所云則同弧之界角不論何處皆小於心角一倍也因其俱為心角之半則不拘何處作界角皆相等也圓内有一心角一界角若心角所對弧度得界角所對弧度之一半此兩角度必相等也盖同弧之心角大於界角一倍今於心角弧度去一半則兩角必相等也凡圓之界角若立於圓界之半必為直角蓋心角所對弧線若是界角所對弧線之一半則二角之度必等今界角對弧為半周将半周弧剖作二心角則二角皆為直角既為直角則界角對弧乃兼兩心角對弧者安得不為直角乎凡圓之界角若在半圓分之小分内必為鈍角也如圖甲乙丙為小半圓則所餘甲丁丙為大半圓若将甲丁丙弧線於丁處平分又自圓心作戊丁戊甲兩線丁甲弧大於圓周四分之一為鈍角也又心角對弧若為界角對弧之一半則二角度為相等今甲丁正得甲丁丙之半則戊為鈍角乙亦為鈍角也凡圓之界角若在半圓分之大分内必為鋭角也如圖甲乙丙為大半圓所餘甲戊丙為小半圓若将甲丙為弧線兩分於戊又自丁作丁甲丁戊兩線成甲丁戊心角形此心角形所對既不足圓界四分之一則為鋭角也既為鋭角則甲乙丙角必為鋭角可知矣函圓形者有函圓切三角形函圓切四方形有函圓切多邊形圓内切形者有圓内切三角形圓内切四方形圓内切多邊形函圓衆界形之度大於函於圓之界其函衆界形之圓界度亦大於所函之衆界形在外者大在内者小也故函形界必大於函於形界也有一函圓衆界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直線内一直線度若與所函圓之輻線度等又一直線度與函圓衆界形之各界共度等則三角形面積與衆界形面積俱等也如自幾邊形之心至角作幾線分為幾三角求三角之中長線即輻線也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行線内同底所作三角形俱等也合衆三角形之底為一大三角形之底其面積當無不等也一圓所函之衆界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直線内一直線度與彼圓自心至衆界形界所作垂線度若等再一直線度與彼衆界形之共界度若等則兩形之面積俱等也有一圓形有一勾股形若股如半徑勾若全周則兩形之面積必等也蓋比前函圓之衆界形則為小比前函於圓之衆界形則為大就中間取之恰合無疑也夫函於圓之衆界形輻線及界而不及弧是比圓為小也函圓之衆界形輻線雖及弧而衆界度共線又長是比圓為大也今以圓周及輻線取直角三角形而合之相等無疑則可得圓之面積也盖圓線式異於直線式難於符合然苟將圓線作萬萬段亦與直線近也衆界形或函圓或函於圓其界數愈多愈與圓界度相近如自函三邊而為六邊六邊而為十二邊十二邊而為廿四邊無論内外愈近圓界度數也試設一函於圓九十六邊形又設一函圓九十六邊形而作一圓若将函圓形作一千五百六十二分又將他形照此所分之度分之則函於圓形僅得一千五百六十一分矣而圓界度大於所函之衆界小於函圓之衆界必得一千五百六十一分餘其圓界中心徑線必得四百九十七分若即小數算之將圓界作二十二分則中心徑線必得七分餘故在圓界可得直線之度在直線亦可得圓界之度也有一圓形又一衆界形此圓界度若與彼衆界度等則圓形之面積必大于衆界形之面積也試凖前半徑作股界度作勾之法求之則方周圓周之界度雖同而圓之垂線長方之垂線短則方所成之三角不及圓所成之三角而所函之面積方亦不及圓矣凡平面上所立之線若無偏斜猶平階立直柱其各邊所生之角若俱直是謂平面上之垂線相對兩平面之角各垂線度若俱等此相對二平面謂之平行面平面上所立之平面若無偏斜猶平地上作直壁是謂平面上之直平面自三面四面以上其各瓣相並所存之角謂之厚角成厚角之平面各角度不足於四直角度也何也試将五面厚角尖使其平伸共為一平面則五瓣各相離而有空處不能成圓面故不足四直角也若欲將四直角顯尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣平面三稜厚角其三面内若将兩面角並之必大於所餘之一角度也試將三平面使之平伸而兩角相並一角孤行則可見矣凡平面上二直線相交處作一垂線莫偏斜則此線於平面上在在俱為垂線也蓋若有偏則自平面上視之或成鈍角或成鋭角既無偏斜則為直角既為直角則移向平面上處處俱為垂線矣衆線相交處立一垂線其角若俱直此所交之各線必在平面一也平面上作二垂線正直立之此二線必互為平行也蓋於平面上作一直線而正直作二垂線則所交直線之角皆為直角所謂二直線一邊成内外之二角也凡平行二線之間任意自此一線至彼一線隨處作直線斜線交線三角形線俱同原平行線在平面上二線與他一線平行雖在别面此二線亦互相為平行也相對二平面間若横一線正垂在二平面上俱生直角此相對二面互相為平行面也蓋於二平面上各作對角斜線兩相交處為兩平面之中而垂線正當兩線相交之處而俱成直角則兩平面上之兩對角四邊俱係平行則兩平面亦必為平行者也二平行而上凡相當之各二線俱為平行也二平行面横穿一平面而皆成直角則中間縫線亦必平行也如以木版穿木版之狀各種面内積之處謂體依面之端名之也設如全身無角只有一圓面此謂圓體全身各面俱平而有角此謂平體立方是也其身有曲平兩相襍謂之襍體如半截橄㰖是也全身相對之各二面俱平行此謂平行面體長立方長斜立方是也全身相對之面不平行而獨兩底面平行此謂底平行面體三角柱是也周圍圓形而底與面平謂長圓體圓柱是也一平面底而立幾平面俱合於一角而成大此總謂尖瓣體也底三角者為三瓣尖體底四角者謂四瓣尖體底衆角者謂衆瓣尖體若在平面上立圓面而成鋭尖此謂尖圓體也所云圓體長圓體尖圓體此三種面俱生於一動之間耳以甲乙為樞心將甲乙丙作轉式旋轉一周即成為圓體也於甲乙丙丁平面形以甲乙為樞心以丙丁線界作轉式旋轉一周即為長圓體也於甲乙丙三角形以甲乙為樞心以丙界作轉式旋轉一周即尖圓體也樞心正則為正體樞心偏則偏體矣凡體若面平行相當所對兩邊面積俱為等也如正方體六面相當則六面面積俱等如長方體各底面相當則底面之面積俱等也凡體苟面積形式一同俱等謂全等體形不等而積等謂等積體積不等而式等謂等式體平行面三凡體形自對角線分為兩段此兩段為全等體也平行平面之間若同在一底立各平行體形其積俱為等如面例平行平面之間有在等積底所立之各平行體形其積必俱等蓋所立之處不同而其度同也故等也平行平面之間有在等積三角形兩底所立各三面體形此所立各體之積必俱等也理如前節平行平面之間同在一底作一平行體形作一三面體形則三面體形必為平行體形之一半各種體形難以發明必作圖以明然有空實二端空者宗其空實者宗其實乃可耳凡等式體苟立於等積之底其體之髙若等則其積俱為等凡尖圓尖瓣皆然也蓋將大體截分為衆小體其小體底度亦等也有各種平行底之平面體與各種平面尖體兩底積若等其髙數又等則此一平行底之平面體與彼平面尖體三形之積等推之平行面體與四瓣尖體三形之積等平行底之圓面體與圓面尖體三形之積等蓋三面尖體為三平面平行底平面體三分之一四面尖體為平行面體三分之一尖圓體為圓柱體三分之一也若将實形作空形以水注之作比例可見凡相等界度之體内其圓體所函之積數强於他種體所函之積也如一圓一方一十二瓣體論積皆不及圓蓋如論面函於圓界之積大於各等邊平形所函之積也六面俱為等面八角俱為直角是謂正方體厚角正體有五種觀於各面數而名之也一為四瓣面之體此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是謂四瓣體二為六瓣面之體即正方體也三為八瓣面之體共八面面各三角各三界度若俱等是為八瓣面體四為十二瓣面之體此每面有五角各五界度若俱等是謂十二瓣體五為二十瓣面之體此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是謂二十瓣體此正體五種外不生他形總不外三角四角五角之平面合而成也蓋将三角平面形三瓣形合成一厚角餘一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣體是也将三角平面四形合之復加四形八瓣體是也将三角平面五形合之復加十五形二十瓣體是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣蓋六三角平面形界於界角於角而對合之成六角之平面形能為平尖不能顯也是故三角形所生只於四瓣八瓣二十瓣自此而外無有也四角所成只於正方角此外無有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣體是也此外不能成他角也至六角平面形則将三角相合已等於四直角能為平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣凡比例面比面體比體線比線不同者不相謀也凡将兩物度數互相比之此比出之度數為大為小謂之比例其比者與所比於物者俱謂率齊數之謂也其比之物謂前率其所比於之物謂後率也如甲乙二線相比此所比出之甲線或為長或為多乙線或為短或為少謂之比例也将此二線相比故謂之二率而所比之甲線謂之前率其比於之乙線謂之後率矣凡兩兩相比謂之四率如一率與二率之比同於三率與四率之比此為同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙線為甲線六分之五丁線為丙線六分之五則甲乙二線之比同於丙丁二線之比是謂同理比例苟求得乙線有甲幾倍之數則可知丁線有丙幾倍之數也又凡四率将一率與三率分作幾分将分數相等定凖此兩率分度雖不同而分數為等於是以二從一以四從三㸔幾分為均其一與二之比即如三與四之比為同理比例也有兩不同之比例如二率四率之分數相等而一率於二率為四之六三率於四率為四之五則不同矣而可相比例謂一與二之比大於三與四之比也前比例之數多再比例之數少也故又謂之兩不相同之比例也有相連比例率如甲線一(一率)乙線二(二三率同)丙線四(四率)甲與乙之比同於乙與丁之比是謂相連比例倣此於相連比例之内将一率甲與三率丙比者謂隔一位加一倍之比例也将甲與丁比者謂隔二位加二倍之比例也将甲與戊比者謂隔三位加三倍之比例也比例難於講觧試作圓以明之於大圓内作小圓於圓之中心作二線割小圓弧抵大圓弧則成大圓己甲庚小圓辛甲壬之甲角此甲角之對弧己庚苟為大圓之六十度則亦為辛壬小圓之六十度蓋圓之大小雖不同而分數為等故以大圓周為一率庚己弧為二率小圓周為三率壬辛弧為四率一與二之比同於三與四之比也兩圓周為比之之率為前率兩弧為比於之率為後率兩兩相當分數俱等是為順理比例也倣此凡各率各度雖異相當之數若等一二之比同於三四之比俱為順理比例又有幾種論如左一種反比例反一為二反三為四仍相等也如前大圓周為一率大弧界為二率小圓周為三率小弧界為四率今以大弧界為一率大圓周為二率小弧界為三率小圓周為四率比例亦同也一種轉理比例謂一與三比二與四比也以大圓周為一率小圓周為二率大弧界為三率小弧界為四率其比例亦無不同也一種分理比例謂於一率三率中各減與二率四率相等之一分以比二率四率仍為相當比例也如二率四率原於一率三率為六之一今各減一率三率之一分則又為五之一比例亦然也一種合理比例謂合原一率二率之數以比二率合原三率四率之數以比四率原各為六之一今又各為七之一也一種更理比例謂換却二率四率之原數各更以他數如原各為六之一今又各為六之五也一種隔位比例如有兩項四率原為相當比例則以此四率中之一率與四率為比又以彼四率中之一率與四率為比合為一四率仍為相當比例率也一種錯綜比例如此邊有相連比例三率彼邊亦有相連比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟錯綜之則取此中末之比例彼另設一線置於彼第一線之比又取此上末之比例彼另設一線與彼中線之比蓋彼雖另設一線仍是相連比例線此相連之比同於彼相連之比此隔位之比亦同於彼隔位之比也一種相減比例如甲丙乙丁二線所有之三倍内減去丙戊丁己二倍互相之比同於原甲丙乙丁二線之比也一種相加比例如甲乙二線照本度各加三倍為丙丁線互相之比同於原甲乙二線之比也得此比例線之法則面之相當者為比例面體之相當者為比例體也且線亦可以例面面亦可以例體也如甲六分線與乙三分線相比丙六分面與丁三分面相比戊六分體與巳三分體相比每每相當分數相等則互相為比例也以二數相乗所得兩數為均若以二線均為幾度每各線度作小方形以此線小方乗彼線小方即成兩直角四界形蓋以一線為横一線為縱彼此互乗形亦均也又一線分為三度作小方形一線分為四度有竒作小方形一線横一線縱乗成函十二長方形而竒數亦附於方末也又将前線所作方形取其半相乗亦得四方形也蓋取三方之半而為六小方取四方之半而為八小方八六四十八六八亦四十八便成兩函四十八之長方形而其總度仍相等也蓋兼取其半而無改於原度故也四方直角平面形凡在一線可以相乗也如甲乙形欲乗丙丁線則將此形作四小方體又将丙丁依甲乙所分之厚分比之若得三分則将甲乙形三層垜之遂成函十二小方形之直角體也凡六面平行直角體必得壘一四邊直角平面與一直線相乗而成也凡兩直角平面形欲相比例有兩比例焉如大形之長度與小形之長度幾倍為均大形之寛度與小形之寛度幾倍為均是也然合(闕)比兩比例仍是一比例如甲方之長與乙方之長三倍為均甲方之寛與乙方之寛兩倍為均二三相乗為六則甲方之形與乙方之形之比例為六倍為均也若長四倍為均寛三倍為均三四一十二則大形與小形之比例為十二倍為均也再若大形之横度比小形十二為均小形之直度比大横直度三倍為均則以三除十二得四大形比小形四倍為均也若四倍則以四除十二得三倍為均皆成一比例也有兩直角形若此形之長倍於彼形之長而彼形之寛反倍於此形之寛則此兩形之積為等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得數必同於一率四率相乗所得數也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘為十二首尾率二六相乗亦一十二也試将三度四度之線相乗作長方形又将二度四度線相乗作長方形形雖不同而積等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率則以一率與四率相乗所得數與二率三率相乗所得數無以異也如東河之水流速三倍西河之水流速六倍東河之流一秒十缸欲知西河之流一秒幾何缸則以東河之三倍為一率西河之六倍為一率東河之十缸為三率求得西河之流二十缸試相乗之數為等也又如三個兵每月餉六兩今已五月應餉幾何則以三兵為一率六兩為二率五月為三率求得餉銀一十兩試相乗之數又等也有兩個直角面苟此面之横界與他面之横界此面之縱界與他面之縱界比例若等則此兩面相比之比例即為兩界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相連比例一條所云也蓋兩界之比例第為一倍之比例而兩面之比例為加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而為二縱界亦大於乙一倍而為二則甲之面大於乙之面三倍而為四為二倍為均者二若甲之横界縱界各大於乙五倍則甲之面内與乙之面内六倍為均者有六矣丙乙之邊線為相連比例丙乙之面於相連比例中為隔一位加一倍比例今設一甲線為一分乙線為二分丙線為四分為相連比例則丙面與乙面之比同於丙線與甲線之比蓋丙面大於乙面三倍丙線長於甲線三倍共為隔一位加一倍之比例也前數節所論直角面之縱横界比例等者謂之同直角面其兩相比例之横界俱謂之相當界也在相同直角面縱横兩相當界之比例必等也在相同直角面於兩面相當之一界作為兩方面則所作兩方面互相之比即同於原面互相之比亦為隔一位加一倍之比例也直角體則有三比例長也寛也厚也如大形之長寛厚各大於小形之長寛厚一倍則先成長寛倍之平面形於平面形上又叠一相等之平面形則亦倍厚矣倍而成平面則二倍為均者有二倍而成體則四倍為均者有二矣有直角兩體苟此一體之底與他一體之底為大一倍而他一體之厚與此一體之厚亦大一倍則此二體之積等蓋即一體之豎起與放倒也有兩直角體苟此體之長寛厚界與彼體之長寛厚界相比之比例若俱同謂之同式體而長寛厚各一邊相比例之界俱謂相當界也凡兩直角同式體互相比之比例為界比例之隔二位加二倍之比例也如大體之長寛厚比小體各大一倍則此兩體相比之比為隔二位相加之比例也蓋界線為相連之比例者倍而為平面為隔一位相加之比例又倍而為體則為隔二位相加之比例也苟作一相連比線之率甲為一分乙為二分丙為四分丁為八分又作一直角體與三界各加一倍之直角體則小體與大體之比同於一率甲線與四率丁線之比若知甲線比丁線為八分之一即可知大體比小體為八分之一也有直角同式兩體在此兩體比例相當之二界立作兩四方體互相以比之其比例仍同於原體之比也蓋原體為隔一位加一倍之比例則於兩相當界所作體亦為隔一位加一倍之比例均是八分之一也凡二平行線内凡有直角面互相之比同於與此兩底互相之比也如甲己面之丙己底界與戊丁面之己丁底界若大三倍則甲己面與戊丁面亦大三倍也試将戊己相兼之縱界依此界分與丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分總為大三倍也凡二平行線内所有凡平行四邊面互相之比同於其兩底界互相之比也蓋同底所立之直面斜面積俱同則直面斜面之比例俱等故底若大三倍則面亦大三倍也凡在二平行線之間若有兩三角形以兩形積互相之比必同於兩底界互相之比也蓋同底所作之三角形為四邊形之一半四邊形之比例等則三角形之比例亦等故三角底若大一倍則三角形積亦大一倍底若大三倍則積亦大三倍也凡三角幾形之底俱在於一直線又與各底相對之衆角皆聚於一處則其三角衆形必在二平行線之間也觀圖可見凡三角形作與底線平行之線不拘何處截斷則兩旁之線皆成四比例線如圖甲丁與丁乙之比同於甲戊與戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段與甲乙全線之比同於甲戊一段與甲戊全線之比是分線之比例同也故曰四相比例也蓋自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二線分為幾三角形此内之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在二平行線之間又同立於丁戊之底則其積等也又各増入甲戊丁三角形其積亦等也又甲丁戊丙丁戊兩三角形其底線同在甲丙一直線而兩角又相遇於丁即如前所云二平行線之間有兩三角形則兩形積互相之比必同於兩形底界互相之比則甲丁戊形積比丙戊丁形亦同於底線甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊兩形積之比亦同於甲丁丁乙兩底線之比也再甲乙戊甲丁丙兩形之積既等則甲丁戊形積與乙丁戊形積之比同於甲丁段與乙丁段之比而又同於甲戊段與丙戊段之比是以甲丁段與乙丁段之比必同於甲戊段與丙戊段之比也故以甲丁為一率丁乙為二率甲戊為三率可以求戊丙之四率也誠如是以甲乙丙全形之三角或與所分甲乙戊三角或與所分甲丙丁三角之比例俱為同也因其比例同而此三角全形所分兩形之積既為等則甲丙丁所分形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底與甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱為同也則甲丁段之一分為一率甲乙全線三分為二率甲戊段一分為三率甲丙全線四分為四率亦為相比例率也凡在三角形内不論何處作與底平行直線則以所作平行線與原底線之比同於兩邊所截一段與各每邊全線之比也如圖所截若甲丁段二分甲乙線六分則丁戊線亦為二分乙丙線亦為六分可知也何也試将甲乙丙三角形轉以乙甲線為底於戊丁線之戊處至己處作與甲乙平行線則己乙之度即戊丁之度準前節全線與截段相比之例則戊丁平行線與原為底乙丙全線之比必同於甲戊與甲丙全線甲丁與甲乙全線之比也故以甲戊為一率甲丙為二率戊丁為三率乙丙為四率為四相比例以甲丁為一率甲乙為二率戊丁為三率乙丙為四率亦四相比例率也大小三角形每每相當角若等則其積雖異而其形為同謂同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑壬三角形此所分出兩形與原形每每相當角俱等亦謂同式形也三角衆形内相當各二角度若等則餘一角度必等亦謂同式三角形也蓋三角相合必與二直角等足半周之度也有衆大小三角形若同式将衆形相當界互相比之比例為同俱為相比例率也如二勾股同式形則此股與相當股之比必同於勾與勾之比股與股之比也試将勾股如前截一小勾股可騐矣同式直角兩形互相之比同於在此各一面相當界所作方形相比之比例蓋三角積得方形之半全與全之比若半與半之比也同式直角兩形互相之比即是各一面相當界相比之比例為加一倍之比例也如甲線一分乙線二分丙線四分為相連比例線今兩形之三邊線若各大一倍則亦如直角四邊形積為大三倍矣大三倍則非相連比例線而為甲線一分與丙線四分隔一位加一倍之比例也同式鈍角鋭角互相之比亦同於此各一面相當界所作方形互相比之比例而為在此各一邊相當界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前節有多邊衆形其邊數同而相當角度等謂同式多邊形則大形甲邊之比與小形甲邊之比同於乙邊與乙邊之比也有衆曲界形在曲界形之或内或外作相函之各種直界形其式若等亦謂同式曲界形也兩襍界形二圓分形亦於兩中間各作三角形若同式即謂之同式襍界同式圓分也大小各圓分之式若同其分限雖殊而分數必等與其分相對所成之心角必俱等也将同式大小多邊兩形内為三角以分此所分相當大小三角形之式俱同也如兩五邊形各分為三三角形則甲乙丙與己庚辛相當為同式甲丙丁與己辛壬相當為同式己壬癸與甲丁戊相當為同式蓋兩形相當角度等則相當界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相當之比同於甲丙己辛相當二界相比之比例由是甲丙己辛之比同於丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦猶甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦猶丁戊壬癸之比故曰相同式也凡同式多邊大小衆形互相之比同於在此相當界所作四方形互相比之比例而與此各一面相當界互相比之比例為加一倍之比例也理如前凡大小同式直界形互相之比同於在其形内外相函之同式形各相當界立作平面方形互相比之比例如圖甲乙丙庚辛壬相當三角各二形之比同於在甲丙庚壬所作方形相比之比例也蓋大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故於甲丙庚壬相當二界立作方形而得比例也凡圓曲襍各種界形之内将每每一類同式形互相之比同於在所比形之内外相函同式形之每每相當所作方形相比之比例也如圖大小二圓形内雖函六面同式多邊兩形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四邊同式兩形函甲丙丁庚壬癸三角同式兩形而但取所函四邊形甲丙壬庚相當界所作之方形便得圓形比例也蓋衆界之界愈多則於圓界愈近故将直角形分為千萬界形在圓界可以近用之而圓曲形亦既可以為千萬直界形以用之故将此二圓為同式直界互相之比同於在所函同式形之相當二界所作方形相比之比例也然則二圓互相之比同於或在輻線或在徑線所作方形相比之比例可知矣凡大小平面體之相當角度若俱等相當界互相比而比例若同是謂同式體正方體四瓣面體皆然若圓柱體則論其中所函尖瓣等體若同式則謂之同式圓體各種體之式若同将每每一類體互相之比同於在每每相當界作四方體相比之比例如於兩同式尖瓣體之相當作四方體是也同式各種體内将每每一類體互相比者同於在此内外各所函者函於者同式體之每每相當界作方體互相比之比例也如兩球體函於兩方體以小球則大球則以小方為一率小球為二率大方為三率可以得大球之四率也自直角三角形之直角至相對界作一垂線分為兩直角形則此大小三三角形俱為同式也盖中垂兩傍所成俱為直角而乙角又不變兩角相等則一角亦等而丁變為甲甲變為丁矣丙角亦不變而與乙甲丁同為同式三三角形也自直角三角形之直角至於對界作一垂線截相對界為兩段則所截之兩段長者為一率短者為三率而垂線為中率為相連比例三率也如甲乙丙甲丁乙兩角俱為同式則比例必同以乙丁比甲丁同於甲丁比丁丙也自直角作垂線至於對界在此垂線作四方形又将所分對界兩段一段為長一段為髙合作長方形兩積俱等也盖三線既為相連比例線凡相連比例三線其中線自乗之積同於一線三線相乗之積故也凡直角三角形是謂勾股勾股上兩方合之與弦上方等積何也如圖以甲乙丙全形分為甲乙庚甲庚丙大小兩形是為同式形而每每相當界互相比之比例同也於是以小形庚丙與全形甲丙之比同於全形甲丙與全形乙丙之比為相連比例率也則在甲丙中率所作四方形必同於一率庚丙為髙與三率乙丙為長相乗所作長方形之積等也又大形乙庚與全形甲乙之比同於全形甲乙與全形乙丙之比亦為相連比例率而在甲乙中率所作方形同於一三合率所作方形之積等也今庚丁乙壬所分之兩形與己丙戊乙兩方形每等則将所分兩形相合則乙丁方形自然與己丙戊乙兩方形等可知矣在勾股弦三界作凡同式三形弦上積兼有勾股之積也在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圓在二小界作甲庚乙兩半圓亦如前節為等也而甲庚乙半圓之甲戊乙弧一段甲己丙半圓之甲丁丙弧一段若減之則所餘甲庚乙戊甲己丙丁二段又與甲乙丙原三角形之積等也一圓之内二弦線不拘何處相交以相交所截之段互相轉比之比例俱同為四相比例率也如圖二線於己處相交以此戊己段與己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位轉之為己乙己丁雖以後為前以前為後比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段為相比例率也蓋乙戊己丁己丙兩形此兩形之乙角丁角既俱切於圓界而又同立於戊丙之弧則此二角為等而二角之己角為對尖之角其角亦為等二形之三角俱等即為同式也同式則戊己己丙相當二線互相之比即同於己乙己丁相當二線互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱為相比例率也於圓徑線不拘何處作一垂線將徑線截為兩段則所截之兩段為一率三率而垂線為中率成相連比例也即勾股垂線之理自圓外之凡一㸃出二線過圓界之二處至相對弧界則此兩全線互相之比同於在圓界外所有之二段轉位以比之比例而為四相比例率也如圓自丙至丁自戊至乙相交作二線成甲丙丁甲乙戊兩三角形則兩形之丙戊二角既同切於圓界同立於乙丁之弧則丙戊等角也再甲角既係公共則亦等角也二角既等則同式矣同式則甲丙甲戊相當二界互相之比同於甲丁甲乙相當二界相比之比例以甲丙為一率甲戊為二率轉位甲丁為三率轉位甲乙為四率俱為相比例率也将函於圓之三角形於甲角作平分角之甲戊直線則甲乙傍線與甲丁段直線之比即同於甲戊全直線與甲丙傍線之比也蓋甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度為等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角而平分為兩角其度亦必等是為同式形也則以兩形之相當甲乙小界與甲丁小界之比同於又相當甲戊大界與甲丙大界之比也將函於圓三角形之甲角為兩平分自甲角至底線作甲丁直線分底線為兩段以乙丁與丁丙之比同於甲乙傍線與甲丙傍線之比也蓋自丁處作甲乙平行之丁戊線成戊丁丙小三角形則全形之乙角與小形之丁角為平行線一邊之内外角為等而丙角係公共角亦為等為同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角為平行線間之尖錯交角度為等而甲丁戊甲乙丁之甲角原係平分亦為等是甲丁戊角之丁角甲角等可知兩角既等則兩等角所對甲戊丁戊線亦必等也是故全形甲乙線與甲丙線之比同於相當丁戊線與戊丙之比而甲戊線與丁戊線等則甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二線既為丁戊平行線所截則乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也凡球體在長圓内苟此球徑線與長圓體之底徑髙度若俱等則此球積為長圓體三分之二也何則將球體合長圓體於乙丁平分之又將半長圓體内減去半球體餘乙己庚丁申丙癸凹面體為與己庚壬尖圓體等積等也何以知之将尖圓凹面二體俱與己庚底平行分為幾段之面則兩體之面積每段各相等也試将尖圓體分癸夘申一段之面積必與分曲凹形午癸申戌一段周圍之面積等矣何也以壬癸半徑作正方與壬子子癸兩線作兩正方並之為等也又以壬癸半徑線作一圓與以壬子子癸為兩半徑線作兩圓並之為等也再壬乙與壬癸俱是一圓之半徑線必等而壬乙與夘午俱為一長方之平行線亦必等則卯午與壬癸亦必等也是則以壬子子癸為兩半徑作兩圓亦必等於卯午半徑線所作一圓也今將夘午所作圓内減去與壬子線相等之癸卯線所作之圓即餘癸午曲凹形一段周圍之面與癸子為半徑線所作圓面等也夫卯癸線與癸子線既為等線而卯癸與癸子為半徑作兩圓亦必等則癸午曲凹形之面積必與卯癸為半徑作圓之面積等矣再将壬未半徑作一圓以壬辰辰未為兩半徑作兩圓等亦如前所云以辰未為半徑作一圓與壬未相等辰已線為半徑作一圓之面積内減去辰未作圓之面積所餘未巳曲凹形一段周圍之面積與壬辰為半徑作圓之面積等而壬辰與辰寅既為正方之等線則以尖體内之辰寅為半徑作圓之面積與相對未巳曲凹形之面積等也夫兩體每段所分既俱相等則全體亦必相等矣前云一尖圓體與一長圓體其底積髙數若等則尖圓體與長圓體為三分之一也所餘曲凹形既與尖圓等積則亦三分之一而所減半球為半長圓體三分之二而全球為全長圓體三分之二矣有一尖圓體又一半球體苟尖圓體底徑與半球體徑度等而尖圓體髙度與半球體半徑又等則此尖圓體為半球體積之一半也盖尖圓為長圓三分之一而半球為長圓體三分之二則尖圓為半球之半也又球體徑度與尖圓體底徑度若等而球體半徑與尖圓體髙又等則此一球體之積當四尖圓體之積也蓋將尖圓加一倍則與半球等合四尖圓則與全球等也有一球體又一尖圓體苟尖圓體底面積與球體外面總積若等而尖圓髙度與球體半徑又等則此兩體之積為等也何也将球體從外面至心分為千萬尖體此所分千萬尖體之底積必與原球外面之總積等亦即與尖圓體之底面積等也又原尖圓體之髙與所分千萬尖體之髙旣等則一尖圓體之積與所分千萬尖體總積等也如是其所分千萬尖體之總積既與原球之積等則此尖圓體之積必與此球體之積等可知矣凡有一球體苟以此球體之半徑作一圓則所作圓之面積於此球體外面積為四分之一也如前節之言既為相等又作一小尖圓體其底徑與原球徑等其髙與原球體半徑等則於原球為四分之一而於前大尖圓體亦為四分之一也此大小兩尖圓體之髙度既等其兩底面積之比同於兩體積之比例體積為四分之一底面積亦為四分之一而於球體外面之積亦為四分之一也因其為四分之一而小尖圓體之半徑原與球體半徑等則以此球體半徑作圓之面積亦與球體外面積為四分之一可知矣有一球體又一圓形苟此圓形之半徑與球體徑度若等則此一圓形之面積為與一球體外面積等也蓋以球之半徑作圓之半徑則其面積為球四分之一若以球之全徑為圓之半徑則半徑所作之圓視全徑所作之圓面積又為四分之一矣何則凡圓互相之比同於相當界所作方形互相比之比例又為每相當界互相比之比例為加一倍之比例也兹兩半徑之比為大一倍而兩圓面之比又加一倍即是半徑作圓為一分全徑作圓為四分既為四分則此圓面積與球體外面等積可知矣有長圓體又一長方體苟此長方體底面積與長圓體周圍面積若等又此長方體髙度與長圓體半徑之半又等則此長方體之積為與一長圓體之積等也何也将長圓體從壬癸心線至外面分為千萬長體則此所分千萬長體之共積為子己長方體積之一半也蓋子庚髙度與所分千萬長體之壬丁髙度相等又長方體之庚己底面積與所分千萬長體之底共面積及長圓體甲丙周圍面積等如前所云所分千萬長體之共積與子己長方體為一半亦如以子庚髙度分一半為戊庚而戊己長體即與所分千萬長體相等矣如是則戊己長方體積與甲丙長圓體等積可知也有一球體一長圓體苟此長圓體之底徑度髙度與球體徑度若等則此球體外面之積為與長圓體周圍之面積等也蓋將球體半徑乙壬分為六分用半徑之半三分與戊己庚辛長圓體之面積相乗得數照前節所云為長圓體之積也又用所分六分之二為乙壬半徑三分之一與球體外面積相乗得數為球體之積也夫球體比長圓體積為三分之二矣然用三與長圓體周圍之面積相乗者為得長圓體積用二與球體外面積相乗者為得球體積今以球體與長圓體相比之比例同於為乗面積用三二兩數之比例如是則球體外面之積與長圓體周圍之積等可知也有一平面鴨卵形其大徑度與圓徑若等則鴨卵形之平面積與圓面積之比同於以鴨卵形之小徑與大徑相比之比例也何也将與戊己徑線平行任分幾線此每線假如庚辛與壬癸之比同於戊己與乙丁之比而為作鴨卵形之定理也今每平行線俱依此之比例即平行鴨蛋形之積與圓形之積相比同於乙丁小徑與戊己大徑之比例也長方面内有平面鴨卵形正方面内有圓形苟長方之寛與鴨蛋形小徑度等長與大徑度等而正方一邊度又圓徑度俱與鴨蛋形大徑度等則以長方面積與正方面積之比例同於以鴨蛋形面積與圓形面積相比之比例也又鴨蛋體大徑與球體徑度若等則鴨蛋體外面積與球體外面積相比之比例同於以鴨蛋體小徑與大徑相比之比例也何則将兩體外面俱分幾平行圓此每圓假如以子丑圓界與寅卯圓界之比同於以子丑圓徑與寅卯圓徑之比也今照作鴨蛋形之定理而子丑徑與寅邜徑之比同於戊己徑乙丁徑相比之比例誠如是其每大圓界與相對小圓界俱依此為比例則兩外面積之相比同於兩徑之相比可知矣有能函鴨蛋體之長圓體則鴨蛋體外面之全積為與長圓體周圍之積等也則試以鴨蛋體之大徑作球之徑又作一函球之長圓則函球之長圓與函鴨蛋之長圓周圍面積之比同於兩底圓界相比之比例亦同於大徑線與小徑線相比之比例也又球體之面積與函球體之周圍面積既等則以函球體周圍面積與函鴨蛋體周圓面積之比亦同於大徑與小徑之比也則是鴨蛋體面積與函鴨蛋體周圍面積二項與球體面積相比皆同於大徑與小徑之比則鴨蛋與函蛋體兩項面積相等可知矣有一鴨蛋體函於一球體則兩積之比同於鴨蛋體小徑線所作正方面與球體大徑線所作正方面相比之比例也有一鴨卵體有一恰函鴨蛋體此兩體積之比同於球體積與函球體積相比之比例也有一鴨蛋體恰函於長圓體内則鴨蛋體積為得長圓體積三分之二也蓋蛋體與函卵體之比同於球體與函球體之比則彼為三分之二此亦三分之二也有一長方體恰函鴨蛋體有一見方體恰函球體則長方體積與鴨蛋體積之比同於見方體積與球體積相比之比例也又長方體積與見方體積之比同於鴨蛋體積與球體積相比之比例也有一球體恰函於長圓體内若将此兩體俱於寅邜處分之此所分球體子丙丑一段之凸面積與所分相對長圓體寅巳庚卯一段之周圍外面積為等也何則假如於癸子丑辰小長圓體内減去壬子丑小尖圓體此所減小尖圓體積為小長圓體積三分之一其所餘者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹體之一段周圍面積與子丑線為徑作相對圓之面積等矣如是則乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體與癸子丑辰小長圓體此二體之底面積髙度既等其體積亦等而乙寅子丑卯丁曲凹體之積與壬子丑小尖圓之積等矣然因何為等蓋壬子丑小尖圓體所分每每圓之面積與所分相對每每曲凸體周圓之面積等也壬子丑小尖圓體積既為癸子丑辰小長圓體積三分之一又此小長圓體積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為相等則是乙寅子丑卯丁曲凹體之積與乙寅子丑卯丁辰癸長圓一段空心體積為三分之一苟於乙子丑丁球段内減去壬子丑一小尖圓體餘乙子壬丑丁球體一段之積與乙寅卯丁一長圓體積為三分之二也若於乙寅卯丁長圓體内減去壬寅卯尖圓體為此乙寅卯丁長圓體三分之一餘乙寅壬卯丁長圓體一段之積與乙子壬丑丁球體一段之積等也今将乙寅壬卯丁一段之體從外面至心之壬處分為千萬尖體之共底面積相乗得數為乙寅壬卯丁一段之體積數也又以此乙子壬丑丁一段之體從外面至心之壬處分為千萬尖體若以乙壬半徑為髙度用三分之一與所分千萬尖體之共底面積相乗得數為乙子壬丑丁一段之體積數也如前所云此乙寅壬卯丁一段體積與乙子壬丑丁一段體積既等則此兩體面積亦必等而此乙丙丁半球體凸面積與乙己庚丁半長圓體周圍外面積亦等若於半長圓内減去乙寅邜丁一段外面積於半球體内減去乙子丑丁一段外面積此所減之乙子丑丁一段面積與彼所減之乙寅邜丁一段面積為相等此所餘子丙丑球體一段面積與彼所餘寅己庚邜長圓體一段面積相等可知也有鴨蛋體一半有球體一半若全球體徑度與全蛋體大徑度等而半鴨蛋體髙度與半球體髙度亦等則此半蛋體外面之積與半球體外面積同於以蛋體小徑度與球體徑度相比之比例也理同前有大小半鴨蛋體有大小半長圓體若全體之小徑與全體之底徑等而大小半體之髙度又等則此大小半鴨蛋體外面之積與大小半長圓體周圍外面之積等也何則試作一鴨蛋體外函以球體又外函以長圓體照甲己髙度截於寅丑為長三分之一則全與全半與半之比亦若三分之一與三分之一之比也是小半蛋體之外面積與小半球體外面之積之比亦若函小半蛋體外面之積與函小半球體長圓之外面積相比之比例而小半球之外面積既與函球小半長圓之外面積等則小半蛋體之外面積安得不與函蛋體小半長圓之外面積等乎有一鴨蛋體恰函於一球體内則以鴨蛋每段之積與相對球體每段積之比同於以鴨蛋體小徑之所作正方面積與球體徑度所作正方面積之比也如圖甲寅邜一段與相對球體甲子丑一段俱與乙丁戊己大小徑線平行分為幾圓面此所分蛋體每圓之面積與所分相對球體之每圓面積之比同於以乙丁小徑度所作正方面積與戊己大徑度所作正方面積相比之比例如是則以甲寅邜之體積與甲子丑之體積之比同於乙丁徑之方面積與戊己徑方面積相比之比例可知矣在一直線一邊立垂線法如乙丁線欲於乙邊作垂線則将規矩一股任意立於甲丁線上或丙處為心又以一股自乙處轉作一圓則於丁乙線之甲處相交自相交丁處過丙心至相對圓界作一直線此線於戊處與圓界合自戊處至乙處作一戊乙直線即垂線也分圓界為三百六十度法則照圓之輻線度分此界為六段六段分為十二段十二段各平分為三段則為三十六段三十六段各平分為五段則為一 百八十段一百八十段又各平分為二段則成三百六十段矣一直線上欲作一三十度角則将甲乙線照分度圓之丙丁輻線度截於戊處又以規矩一股立於甲一股自戊處旋轉作一弧線乃以規矩取圓界之丙庚度将弧線截於己處自己至甲作一直線即為三十度角也有丁戊直線欲於丙處作平行線則以規立於丙向丁戊線作弧線如甲又以規取丙甲度立於乙向丙㸃平行作一弧線又照甲乙度以規立於丙向第二次所作弧線處再作一弧線則二線於己處相交自丙至乙作一直線則成平行線也如甲乙線上作一四方形則以規矩立於甲作丙乙弧線又立於乙作甲丁弧線又於甲乙兩頭如法立甲丙乙丁垂線於丙丁二處相切又作丙丁一直線即成為四方形矣如乙圓之外有甲㸃欲於此㸃作切圓線則於甲㸃至圓心作一直線又以乙為心以甲為界作甲丙弧線又自甲乙線所割丁處作丁己垂線截外圓界於丙又自丙至乙作一直線又於丙乙線所割戊處作甲戊線則所求之切線也欲知圓界内等角之角度則三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒(度各六十分分各六十秒)八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度作函圓多界等度之各種形法則自圓心作幾輻線(三邊)(作三線四邊作四線餘倣此)於輻線末各作切界線引至合角則成函圓多界形也作函多界俱等各種形圓法則照平分直線法作垂線引二垂線相交處為心以角為界即成函多界之圓形也各形作内切圓亦照分直線法以交合處為心以邊為界即是也一三角形一圓形欲於此圓外作切界三角形與原有之三角形同式如圖将乙丙底線引長作辛壬線即成乙丙兩外角即於圖作與辛乙甲等之子癸戊角作與壬丙甲等之己癸子角於癸己子三輻線末作垂線引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相並必與兩直角等今丑戊癸子四邊形作戊子線分為兩形此四邊形之四角相並必與四直角等就中減戊子原作之兩直角所餘癸丑兩角相並亦與兩直角等也又直線上内外並必與二直角等則辛乙甲外角甲乙丙内角並之必為兩直角今戊癸子角既為效辛乙甲所作則戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而論則丙角必等於卯角甲角必等於寅角又可知矣若欲於圓内作切界同式三角形如圖任意作與甲角等度之辛角将角逐線引至圓界作辛庚辛戊二線再自戊至庚作一直線又於戊處倣乙角作戊角引線至壬切圓界再自壬至庚作直線即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊兩形同立於戊庚之弧而壬辛兩角同切於圓界則兩角為等因其為等此辛角原倣甲角而為比壬等於辛則亦必等於甲也又戊角乃倣乙角而為比亦必等也二角既等則庚角之等丙角可知矣勾股形作容方則以直角為心勾末為界規作一象限将弧線兩平分處作直線至直角分弦線為兩於弦線分處作一勾垂線又作一股垂線即成兩直角也有甲乙直線欲将此直線為正方對角線與正方邊相較之所餘求作一正方則以甲乙線為一邊線作一小正方作甲丙小對角線又以丙為心乙為界作一圓又引甲丙線至戊作甲戊為大正方一邊線作大正方即是所求之正方也何也引甲乙線至己為對角線乙己之線與戊己之線等盖丙乙丙戊同為小圓之輻線則戊乙兩角為等也若於丙乙己丙戊己二直角内減去乙丙戊則所餘乙戊兩角又等也兩角既等則兩邊亦等而甲乙為戊己相較之餘也有一直線将此線為底作一兩邊等度而兩邊各一角為上一角之倍則将兩頭各作七十二度角兩線引長相交則上角必三十六度也若以一直線為兩邊等度線則作一三十六度角兩邊如線之長而止又作一底線則下兩角各七十二度也若欲以一直線為五邊形之一邊則如前於此線之兩頭各作七十二度之兩邊等形於此形外作切角圓形再於兩長邊弧線度各平分之則成五邊形也何則丙乙弧之界角為三十六度若為心角則七十二度則丙乙弧乃得圓分之七十二度於圓分為五分之一也則於甲丙弧及甲乙弧各兩分之合成五分故為五邊形也理分中末線将全線求大小分則将全線為一邊線作一兩邊等度兩底角與上一角各大一倍之三角形又作五邊形乃自甲至乙作直線截於丙處則丁戊為全丁丙為大分戊丙為小分得相連比例也盖丁甲乙戊兩弧線度等則甲戊丁乙甲戊兩角度必等又戊甲乙角與戊丁乙角共立於乙戊弧則角度亦等也再甲戊乙與戊甲丁兩角本相等若以等角内減去甲丙戊形則所餘丁甲乙丁戊乙兩角必等矣然則丁戊乙角原係與乙丁戊角為大一倍作者則丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙兩角為等矣其丁丙甲角因為甲丙戊之一外角與丙甲戊丙戊甲兩内角為等而丁丙甲與丁甲丙兩角為等矣因其等則丁甲丁丙兩線為等也又丁甲甲戊兩線原等其甲丁戊角必與甲乙丁角等而丁戊甲甲戊丙大小兩三角形内小三角形之丙甲戊角與大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角與丁戊甲之戊角原係共角亦必等因大小兩三角形既等是為同式則以戊丁線與甲丁線相比之比同於以戊甲線與丙戊線相比之比例而丁甲與丁丙等戊甲與丁甲等亦與丁丙等則以丁戊全線與大分丁丙相比之比同於丁丙大分與丙戊小分相比之比例為相連比例也欲平分甲乙一直線為數段則於甲乙末各作一直線如丙丁将丙丁各為平分作線割甲乙線則甲乙線亦為平分也於是甲乙線與乙壬線之比同於甲丁線與丁己線相比之比例矣又如有甲乙線於己辛兩處分為三分又有丙丁一線亦欲分為三分為相比例三率則以甲乙線丙丁線為平行線自甲乙之末各分直線切丙丁線末至戊相㑹又自辛己兩處各作兩線亦合於戊則丙丁線即分為三分而為甲乙線之相比例三率矣有直線二率作與此相連比例三率線法如有八分甲乙四分甲丙之二線求作一二分之相連線則将甲丙甲乙二線合成甲角又於乙末増甲丙線度為甲戊線自乙至丙作一直線又於戊作乙丙之平行線如戊己将甲丙線引至己處則所引丙己線度即為二分之分而為甲乙甲丙相連比例第三率也(甲乙甲丙乙戊丙己為比例四率乙戊同甲丙除去不用則甲乙與甲丙之比同扵甲丙與丙己之比也)有直線三率欲作相比例第四率線再為相比例數率線則照様作甲丙線而以甲乙線度截於乙處乃用規矩以甲為心以乙為界作一弧線而取乙丁線度一股立於乙一股交於弧線得相交之丁處遂作乙丁線又作甲戊線切丁末如甲丙度長又作與乙丁平行之戊丙線其戊丙線即為第四率也盖甲丙全與甲乙段之比同於丁乙平行線與戊丙底之比比例同也若欲作相比例數率則将甲戊甲丙線引長如癸子中作平行數線分為五叚即得十相比例率也故以甲乙與甲丙之比同於丁乙與戊丙之比例甲丙與甲己之比同於戊丙與庚己之比例甲己與甲辛之比同於庚己與壬辛之比例甲辛與甲癸之比同於壬辛與子癸之比例也比例尺二股各有平分線分為二百餘分假如有丁戊一線欲分為十分則以規矩取丁戊線度立於尺各二百分之乙丙二㸃将尺乙丙二處照丁戊線度開之使不移動次以規矩立於尺之第二十分之己庚二㸃取己庚之間度此間度即是平分丁戊線為十分之度也何也如甲乙丙三角形為己庚平行線所截則甲己與甲乙之比同於己庚與乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分為十分之一乙丙十分己庚一分亦為十分之一也於比例尺作圓之諸弦線之總線法則自甲之合處至乙丙二末作二線於甲乙之丁處為心以甲乙兩末為界作半圓而分半圓界為百八十度自甲處至所分圓界各作弦線而立規矩一股於甲處又以一股於戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等處取弦線度各作於甲乙甲丙兩線上即為諸弦線度之總線也其取用之法若欲知寅角之度則以規矩一股立寅處一股任意作夘辰弧線隨取寅夘輻線之度立於尺之六十度之丁未處将尺之丁未照輻線度開之勿動乃将規矩取夘辰弧線之度放於尺兩股所容中間何處恰好若恰容在八十度之申酉處則是現原有寅角八十度之弦線也何則若作丁未申酉二直線則甲申酉之三角形為平行之丁未線所截則甲丁與甲酉之比同於丁未與申酉之比也然則甲丁為六十度弦線甲酉為八十度弦線其與底平行之丁未線既與小圓輻線等所以丁未線為小圓六十度之弦線申酉線亦為小圓八十度之弦線以此知寅角夘辰度之為八十度也如此凡大小圓之輻線度安於尺之六十度處照此開之其大小圓之諸弦線之度俱現於兩股間也(以六十度通弦)(即半徑故)於比例作分平面線法自甲之合處至乙丙二末作直線截甲丙線於丁處照甲丁度於甲末作甲戊垂線自戊處至所截丁處作戊丁線照戊丁線度将甲丙線截於己處自戊至己作戊己線又照戊己線度将甲丙線截於庚處自戊至庚作戊庚線照此不止作至丙末又将甲乙線亦照甲丙所截截之即成分平面線也何則於甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊兩方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方為大一倍甲庚方大甲丁方為二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此則甲辛甲壬等界上方俱是大於甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大於此形二倍之四方形則以規矩取癸子界度立於丁處将尺照此度開之勿動次将規矩取尺庚寅處度作方即大於癸子方二倍也盖於丁丑庚寅作二線而甲庚寅之三角為丑丁平行線所分則以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大於甲丁二倍則寅庚亦大於丑丁二倍矣有二直線欲以此二線作中比例線法則将二直線相連為圓徑以平分處為心以兩末為界作圓形然後於二線連接處作垂線切圓界則為中比例線也有二直線作中二率比例線如圖将二線合為直角又引作十字線如丁與丙取矩尺庚癸二角正跨兩引線上使矩尺壬辛股二處正切於甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三線其所現乙癸乙庚則為中二率線也蓋以戊癸之丑為心戊末為界作半圓以甲庚之寅為心甲末為界作半圓則乙癸線者甲庚半圓徑上之垂線為甲乙乙庚之中率也乙庚線者戊癸半圓徑上之垂線為乙戊乙癸之中率也則以甲乙線比乙癸線同於以乙癸線比乙庚線也以乙癸線比乙庚線同於以乙庚線比乙戊線也故曰中二率也於比例尺作分體線法則於甲之合處至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二線以規矩取丁己方體之戊己界度立於甲而截於甲乙線之庚處次作大於戊己界一倍之辛壬線依前法求得中二率為癸子丑寅二線将癸子界作見方體則此體大於丁己見方體一倍也盖四線為相連比例率而戊己與辛壬為加二倍之比例則丁己卯子二體為同式而以戊己癸子各一界相比之比例為加二倍之比例也戊己辛壬二線之比因同於丁己卯子二體之比例若辛壬第四線大於戊己一倍則卯子體亦大於丁己體一倍矣次将規矩取癸子界度一股立於甲一股照此度截於甲乙線之辰處則此度所作方體大於原丁己體一倍矣再作比原丁己體之戊己界長二倍之己未線照前求中二率之申酉戌亥二線将申酉第二率線度取於規矩一股立於甲一股截甲乙線之乾處則甲乾界度所作方體比原丁己體為二倍可知也照此不止作大於丁己體之戊己界或三四倍或五六倍之長線如前求得中二率将所求第二率度截於尺線上即成比例尺之分體線也若有一坎庚見方體欲作一大於此二倍之體則以規矩取坎庚體之艮庚界度将比例尺之所截庚處照此開之勿動次将比例尺第三所截乾處之開度取於規矩即是大於坎庚體二倍之形界盖甲庚線與甲乾線之比同於以庚庚與乾乾線之比例甲乾上方大於甲庚上方二倍則乾乾上方必大於庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度長一百釐則以此界一百釐自乘再乘則此體積共乙百萬釐大此一倍之體數為二百萬釐其二百萬釐體之一面界度為一百二十五釐又大二倍之體數為三百萬釐其三百萬釐體之一面界度為一百四十四釐如此累加将外界之釐數書明又将釐度分於尺寸欲書入比例尺則将所書之數以規矩取所分之度初照一百釐界度截比例尺之庚處次照一百二十五釐界度截於辰處三照一百四十四釐界度截於乾處不止至末與前法所分俱為同也有一直角四界形作為與此等積之正方形如圖将甲乙乙丙合為一直線求得中率之丁乙線作丁戊正方形為與甲丙等積也盖相連比例三率其中率自乘之積與首率末率相乗之積等故丁己上方與甲乙乗乙丙之方等積也凡有三角形知其一角之度及角兩旁之界度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角為三十七度角兩旁丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈則作與丙角為等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作為十四分長丁己界作為十三分長自戊至己作直線相㑹與甲乙丙大形同式将戊角之度取於規矩安於分度圓界看容多少便知戊角度若干若容七十度則大形甲角之度亦為七十度矣又小形己角可知為七十三度則大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之為九丈矣餘皆如此盖即小以知大舉一以例餘也作不用比筭測髙深廣逺各種三角形之儀器法先作甲乙丙半圓界分為百八十度将此半圓之丁甲丁乙丁丙三半徑線每每分為一百分各作直線縱橫相交㑹如碁局再於徑線之兩末作兩立表安住不動又於丁心處如圖作一逰表如戊己将逰表亦如半徑度分為二百分再於此儀器後面掛一墜線為庚即可按線而測矣如欲測旗杆之髙則将儀器之丁心安於所立之處定准墜線以甲乙徑線兩末之立表與旗杆癸處對准為地平穏住不動再将戊己逰表與旗杆尖之辛處相對准次量所立之丁處至旗杆癸處得若干若得四十丈則看儀器地平線上自丁心起用四十分當四十丈如子再㸔子處垂線與上逰表相交處得若干若得三十分如丑則旗杆之髙為三十丈也若欲測丁辛弦線數則㸔自丁至丑相交處得若干分若得五十分則相當數為五十丈也若欲測丁癸辛三角形之各角度則癸角既為直角再㸔圓界自乙至遊表相交處得若干度為丁角度與九十度相減所餘者為辛角度也畫地圖者選戊己兩處可以盡見諸形先於戊處立儀器指諸要𦂳數處看所成之數角各得幾何度記之次移儀器到己處将不動表與己對准為地平亦指於諸要𦂳數處看所成之數角亦各幾何度亦記之然後取一幅紙任意作一線為戊己相當線将前所測角度倣而作之一 一與前相當成數三角形其中邊所有之形一一畫上即成圖也若将大圖蹲入小圖則将大圖分為數正方形小圖亦分為數正方形與大圖相當将大圖中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入於小圖即與原大圖同也 凡有多界形倣此或為大或為小之同式形方如甲乙丙丁一無法形欲減各界之半作同式形則任意自一壬處作諸對角線又任意将甲乙界之度取其半為甲乙平行線作於甲壬乙壬二線之間恰容癸子處照此於對角線間作諸界之平行線則所成癸子卯己之形即是原有形每界減一半之同式小形也苟欲作大於原有之形則将對角線任意引長而照前任意加為界度與原界作平行線即成所欲作之大形也或自一角發線亦可凡兩數相乗者平行方數也如二三相乗為六是也三數連乗者立方數也如二三乗得六又乗以四則為四六二十四也(以上為幾何原本)凡一與三之比同於四與十二之比一與五之比同於十二與六十之比二之比三亦猶四之比六也六之比九也盖凡可以倍計者皆可為比例二其二而為四二其三而為六三其二而為六三其三而為九故三與九之比同於六與三十六之比(按末句有誤數)凡可以度盡大數之衆小數相合於此加數根之一所得之總數與所度之大數等也如大數有六可以小數二三度盡若加數根一則亦六也大數二十八可以小數二四七十四度盡若将二四七十四與數根之一并之則亦二十八也有一比例數求與此比例相等之相連比例數法如三與五之比例求與此比例相等之相連比例幾将三自因得九又三與五因得十五又五自因得二十五則此九與十五及二十五之三數為三與五比例相等之相連比例三數也三與五之比同於九與十五之比例九與十五之比同於十五與二十五之比為相連比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五與七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四數為三與五比例相等之相連比例四數同於三與五之比例也凡一數除衆數所除得數之比同於原衆數之比也如以三歸十二而得四以三歸十五而得五則四與五之比若十二與十五之比也而四與十二之比同於五與十五之比也有同相比例四數其首末相乗所得數與中兩數相乗之得數等也有相等兩方數則此縱與彼縱之比同於以彼横與此横之比也如四六相乗與三八相乗皆為二十四則以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例為等也凡以兩數除一數而盡此得之兩數相比若所用以歸除兩數之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六則九六兩數之比若六四之比也凡有平加衆數此衆數内之凡一數若作為原數将此數以上有幾位平加幾次相差之數與首數並之得數為與原數等也如上所列之數若将十五作原數此十五以上有四位而衆數原平加之數係三若将三之四次數而與首數三相並得十五與所作原數之數等也由此推之若於平加衆數内凡減一位将所餘之位數與原平加之數相乗得數與衆小數内至小數相並與衆數内至大數為等也假如上六數内減一數餘五數将此五與平加之三相因得十五與至小數三相並得(三六九二五八 一一一) 十八為與至大數相等矣凡平加衆數若将此數内之兩數相並所得數與兩傍相等隔位之他兩數相並得數等也如十二與九為廿一十五與六亦廿一十八與三亦廿一也盖升愈升降愈降合降與升則但見平也又将此内凡一數之兩傍數相加折半即與中間數等也如十五加九為廿四折半斯得十二矣十二加六為十八折半斯得九矣十八加十二為三十折半斯得十五矣其理則前節可推也又此平加衆數若将首末兩數相加以所有幾位之位數相乗得數折半則與原有衆數之總數等也如十八加三為廿一以位數六乗之得乙百二十六折半得六十三與衆數之總數等也盖照前節推六數相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒數理亦相同凡平加之位若是竒數則以中一位之數與位數幾相乗即得衆數之總數也如所列以中一位一○乗位數五得五十即為衆數之總數也盖首尾相加乗位數折半而得總數今中位乃首尾相加之一半故以乗位數(四七○三六 一一一)總數(○五) 即為總數也凡有自一每位平加二比例衆竒數之總與位數自乗之得數等也如所列總數得四十九以位數七七自乗亦四十九也若一三五七九五位總數二十五以位數五自乗亦二十五也理如前節以中一位數乗位數同盖七位則七為中五位則五為中故也亦如首乗相並(一三五七九一三 一一) 折半乗位數之理也凡有自二每位平加二之比例衆偶數以位數加一以與位數相乗即與衆數之總數等也如所列位數是七加一為八以與位數七相乗為五十六即總數之數也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位數是偶則(二四六八○二四 一一一) 以位數自乗可得衆數之總數也凡平加比例之衆數如所列以小數一與大數十一相減餘十以平加數根二除之得五再加入小數一得六(一三五七九一 一) 即原有之位數也凡平加比例知小數及位數與平加數根而求大數法如所列知小數三知位數六知平加數根四将位數六減一餘五與平加數四相因得二十加十入小數三即大數為廿三也若欲知小數則亦以位數六減一餘五與平加數四相因得二十以與大數十三相減餘三則此三即為至小數也若知小數及位數及平加數根而求知總數則先察得大數為二十三加入小數三為二十六以與位數六相乗得一百五十六折半得七十八為所求之總數也若知大數及平加數根及位數而求知總數法亦如之若知大小兩數及位數求平加數根法則将三與廿三相減餘二十又将位數六減一為五除之得四則此四為平加數之根也若知大小兩數及平加數根而求位數法則将大數與小數相減餘二十以平加數四除之得五加一為六即是所求之位數也若知平加之數根與位數及衆位之總數而求至大至小之兩數法則将總數七十八以位數六除之得十三為首末兩數相加之一半又将十三加倍作廿六為首末兩數相加之總數乃将位數六減一餘五與平加數根四相乗得二十為至大數又将前所得之二十六與此二十相減餘六為小數之加一倍數此數折半為三是所求之至小數也将三加入二十得二十三為所求之至大數也此法之理備於前矣凡不等兩數求一數可以度盡之法如二十與廿四相減餘四又将四與二十相減餘十六以十六與四相減餘八以四減八則無餘則此四為度盡兩數之數也謂之轉減亦謂之紐數三邊無角不可以相比例則必先求中長線以為正弦然後角可求也然中長線之數為正弦而僅有半徑無角無餘弦則其數又不可知故以勾弦求股之術求之除一邊為弦則總較之術所求者勾也盖兩弦之總之較既具於上兩邊矣所求者欲破下邊以為兩勾而得其較耳兩弦之總乗弦之較以兩勾之總除之必得較矣(鈍角則以較除而得總)以勾較之餘取其半以益較必得大勾矣存其半必得小勾矣如此則中長線之數可明而勾股弦相求之術可施既得勾股之數則用以與半徑正餘弦相比例而角可得矣一角有角無對邊數兩邊有邊無對角數則皆不可以互求矣然此兩邊所對之角乃與得角合成半周度是此角之外之弧度即兩角之度也但未知兩角之大小何如剖分耳惟外角有平行之對角與兩角之一角等度則雖其數未可知而其形可剖欲知其數者必以兩角之較求之欲知兩角之較者又必以兩邊之較例之兩邊有總有較半外角又有切線則可因是以求半較角矣以半較角減半外角則小邊對角之度得矣其餘一角則可以三隅反矣三較連乗者求三角容圓之半徑也○三較者三邊與半總相較之餘也三較連乗所得之數乃容員半徑自乗又乗半總之數也故以三較連乗為中率而以半總除之則得容員半徑之積數矣以積數開方則得半徑矣○兩數所以相合者何也盖引伸三較於一邊則半總也從兩邊之角直剖為長線於第一較處横斷作小勾即容員半徑也至末總斷作大勾而以容員半徑乗之即二較三較相乗之數也小勾自乗比乗大勾如第一較與半總之比例則二較相乗以小勾自乗乗之亦如第一較與半總之比例(闕)錢百文買果百顆 梨一顆錢三文 柑一顆錢二文橄欖七顆錢一文 算得梨四顆錢十二文 柑四十顆錢八十文 橄欖五十六顆錢八文(按此條前後皆有闕文)莊氏算學卷二
## 卷三
欽定四庫全書莊氏算學卷三淮徐海道莊亨陽撰勾股測量立表杆測法(凡立表杆必用垂線取直並凖量所立地距人立尺寸以取)測髙(設有一旗杆距人立處三丈欲知其髙立表杆測之)法以距旗杆三丈處立一表杆髙四尺(如圖丁丙)向前又立一表杆髙八尺(如圖戊己)看兩表端與旗杆頂齊(如圖甲丁)量兩表間相距五尺(如圖丁庚)乃以五尺為一率前表八尺内減後表四尺餘四尺(如圖戊庚)為二率距旗杆三丈(如圖丁辛)為三率求得四率二丈四尺(如圖甲辛)加入後表四尺得二丈八尺(如圖)(甲乙)即旗杆之髙也測逺(設有一樹欲知其逺用表杆測之)法先立一表杆對樹(如圖甲乙)次于表杆處取直角横量十五丈立一表杆(如丙)再依次表立一表杆對樹參直(如丁)乃於丁表處作垂線至丙乙線界(如圖丁己)量得五丈復量丙己度得三丈爰以三丈為一率五丈為二率十五丈(丙乙)為三率求得四率二十五丈(如圖甲乙)即樹之逺也比例(比例者以原有之兩數為例以今有之一數與之比較而得所求之數也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一)(率歸除得四率為所求)正比例(一名異乗同除)法以原有之兩數為一率二率今有之一數為三率得四率為所求凡一率與三率為類二率與四率為類設如每三人賞銀一兩八錢今應賞二百四十人共該銀若干 法以原有之三人為一率一兩八錢為二率今有之二百四十人為三率求得四率一百四十四兩即賞銀總數轉比例(一名同乗異除)法以今有之一數為一率原有之兩數為二率三率得四率為所求假如有田一畆原濶八步長三十步今要濶十二步該長若干 法以今濶十二步為一率原長三十步為二率原濶八步為三率求得四率二十步即今所求之長數(葢乗除之數逓増逓減者為正比例總數相同分者多則得數轉少分者少則得數)(轉多為轉比例)正比例帶分設如每銅二斤六兩換錫三斤九兩今有銅七斤十二兩該換錫若干法以原銅二斤六兩通為三十八兩為一率原錫三斤九兩通為五十七兩為二率今銅七斤十二兩通為一百二十四兩為三率求得四率一百八十六兩即今所換錫數以每十六兩為一斤除之得十一斤零十兩轉比例帶分設如營造每日用五十六人計一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工該幾何日法以今用六十四人為一率因分母為九(即命一月為九分也)加入分子三共十二為二率原用五十六人為三率求得四率十分半滿分母九分收為一月餘一分半即命為一月又九分月之一分半為完工之日數若欲知一分半之日數則以九分為一率以一月通為三十日為二率以一分半為三率求得四率五日是為分子日數合率比例(係合兩比例或合三比例用一次除乗而得)設如以夏布換綿布但知每夏布三丈價銀二錢每綿布七丈價銀七錢五分今有夏布四十五丈應換綿布若干法以夏布三丈與綿布價銀七錢五分相乗得二兩二錢五分為一率夏布價銀二錢與綿布七丈相乗得一兩四錢為二率夏布四十五丈為三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所換綿布之數(此兩比例合為一比例法)如分兩比例算之則先以夏布三丈為一率價銀二錢為二率今夏布四十五丈為三率求得四率為價銀三兩即夏布四十五丈所值銀數再以綿布價銀七錢五分為一率綿布七丈為二率夏布所值銀三兩為三率求得四率二十八丈即為夏布所換綿布之數設如原有鵝八隻換雞二十隻雞三十隻換鴨九十隻鴨六十隻換羊二隻今有羊五隻問換鵞幾何法以羊二隻與所換鴨九十隻相乗得一百八十隻再以所換鷄二十隻乗之得三千六百隻為一率以原鴨六十隻與原雞三十隻相乗得一千八百隻再以原鵝八隻乗之得一萬四千四百隻為二率今羊五隻為三率求得四率二十隻即羊五隻所換鵞數(此三比例合為一比)(例法)如欲分三比例算之則先求羊五隻所換鴨數以羊二隻為一率鴨六十隻為二率今羊五隻為三率求得四率得鴨一百五十隻即羊五隻所換鴨數次求鴨一百五十隻所換雞數以鴨九十隻為一率雞三十隻為二率今羊五隻所值之鴨一百五十隻為三率求得四率得雞五十隻即羊五隻所值雞數然後求雞五十隻所換鵞數以雞二十隻為一率鵞八隻為二率今羊五隻所值之雞五十隻為三率求得四率得鵝二十隻即羊五隻所換鵞數也測髙(設有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆兩測求之)法先立一表杆髙四尺(如圖丁丙)向前又立一表杆髙八尺(如圖戊己)看兩表端與旗杆頂齊(如圖甲丁)量兩表間相距五尺(如圖丁庚)記之再退後三丈對凖前表立一表杆髙四尺(如圖)(壬癸)向前又立一表杆髙八尺(如圖子丑)看兩表端與旗杆頂齊(如圖甲壬)量兩表間相距一丈(如圖壬夘)乃以再測之距度一丈與先測之距度五尺相減餘五尺(如圖壬寅)為一率前表八尺與後表四尺相減餘四尺(如圖子夘)為二率先測與再測相距之三丈(如圖壬丁)為三率求得四率二丈四尺(如圖甲辛)加入後表髙四尺得二丈八尺(如圖甲乙)即旗杆之髙如欲求其逺則以再測之距度一丈與先測之距度五尺相減餘五尺(如圖壬寅)為一率再測之距度一丈(如圖壬夘)為二率兩測相距之三丈(如圖壬丁)為三率求得四率六丈(如圖)(壬辛)即旗杆距退後表杆之逺又法設塔一座欲知其髙用相等兩表測之法先立一表杆比人目髙四尺人離表杆六尺㸔塔頂與表端齊又自前表退後六丈復立一表杆亦比人目髙四尺人離表杆八尺㸔塔頂與表端齊乃以前表距分六尺與後表距分八尺相減餘二尺(如圖己壬)為一率表比人目髙四尺(如圖辛庚)為二率兩表相距六丈(如圖辛戊)為三率求得四率十二丈(如圖甲癸)加表比人目髙四尺(如圖癸乙)共十二丈四尺(如圖甲乙)即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔頂距地平之髙如求塔距前表之逺則以兩表距分相減之二尺(如圖己壬)為一率前表距分六尺(如圖丙丁)為二率兩表相距之六尺(如圖辛戊)為三率求得四率十八丈(如圖戊癸)即塔距前表之逺再加六丈即塔距後表之逺又法設樓一座欲知其髙以不等兩表測之法先立一長表比人目髙六尺人離表五尺四寸㸔樓脊與表端齊又退後二丈立一短表比人目髙四尺人離表六尺四寸㸔樓脊與表端齊乃以前表比人目髙六尺(如圖丙丁)為一率前表距分五尺四寸(如圖目丁)為二率後表比人目髙四尺(如圖戊己與庚辛同)為三率求得四率三尺六寸(如圖目辛)為前表與後表同髙所得之距分(庚目辛勾股形與戊壬己)(勾股形同)爰以三尺六寸(如圖目辛與壬己同)與後表距分六尺四寸(如圖目己)相減餘二尺八寸(如目)圖壬為一率後表比人目髙四尺(如圖戊己)為二率前表距分五尺四寸(如圖目丁)内減三尺六寸餘一尺八寸(如圖辛丁)與兩表相距之二丈(如圖己丁)相減餘一丈八尺二寸(如圖戊庚)為三率求得四率二丈六尺(如圖甲癸)加表比人目之髙四尺(如圖癸乙)共得三丈(如圖甲乙)即人目以上之髙再加人目距地尺寸即樓脊距地之髙又日景測髙(設一旗杆量日景長十丈問髙㡬何)法于同時立一表杆髙四尺量表景長二尺乃以表景二尺為一率表髙四尺為二率旗杆之景一丈為三率求得四率二丈即旗杆之髙矩度測量(矩度之制必用正方每邊定一百分或二百分横豎俱界線畫成小方分對中)(心所出線兩邊安表取中心安逰表定凖墜線以成勾股)測髙(設有一旗杆距人立處三丈欲測其髙㡬何)法用矩度以定表看地平逰表看旗杆頂得距地平分四十分(此矩度係界畫為一百分自中心平分半矩為五十分)乃以半矩五十分(如圖丁己)為一率所得距分四十分(如圖辛己)為二率距旗杆三丈(如圖丁庚)為三率求得四率二丈四尺(如圖甲庚)即矩度中心所對地平至旗杆頂之髙再加矩度中心距地(如圖庚乙)即所求旗杆之髙也測逺(設有一樹欲求其逺用矩度測之)法須平安矩度以定表與逰表定凖正方直角定表對樹隨逰表所指立表杆二三處横量十五丈復安矩度定表對表杆逰表對樹得矩中心距分三十分乃以距分三十分(如圖戊丁)為一率半矩五十分(如圖戊丙)為二率横量十五丈(如圖丙乙)為三率求得四率二十五丈(如圖甲乙)即所求樹之逺也重矩測髙(設山一座欲知其髙以重矩測之)法用矩度以定表看地平逰表看山頂得距地平分四十分又向後量九丈復安矩度以定表仍看前矩定表所看原處逰表看山頂得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分(如圖己庚)為一率半矩五十分(如圖丙庚)為二率後矩距分三十二分(如圖辛壬)為三率求得四率四十分(如圖)(丙子)乃以後矩之半矩五十分與四十分相減(後矩之辛壬丑勾股)(形與前矩之癸子丙勾股形相同)餘十分(如圖丁丑)為一率後矩距分三十二分(如圖辛壬)為二率兩矩相距九丈(如圖丁丙)為三率求得四率二十八丈八尺(如圖甲戊)即矩度中心所對地平至山頂之髙再加矩度中心矩即所求山之髙 若求山距後矩之逺則以相距矩分相減之十分(如圖丁丑)為一率半矩五十分(如圖丁壬)為二率兩矩相距之九丈(如圖丁丙)為三率求得四率四十五丈(如圖丁戊)即後矩距山之逺減兩矩相距九丈即前矩距山之逺又法設有一石欲知其逺不取直角于左右兩處測之法先平安矩度于右以定表對左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五釐其逰表之斜矩分為六十二分五釐次安矩度于左以定表對右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二釐五毫其逰表之斜距分為五十一分二釐五毫横量兩矩相距三十九丈乃以兩矩中心距分相併得四十八分七釐五毫(如圖甲乙與丙丁兩)(勾股相併)為一率右矩逰表之斜距分六十二分五釐(如圖右丁)為二率横量三十九丈(如圖右左)為三率求得四率五十丈(如圖石右)即右矩距石之逺如求左矩距石則仍以四十八分七釐五毫為一率以左矩逰表之斜距分五十一分二釐五毫(如圖甲左)為二率仍以三十九丈為三率求得四率四十一丈(如圖石左)即左矩距石之逺也又法設隔河一樹欲知其逺不能定直角斜對樹兩測求之法先平安矩度于一處復隨定表所指横量十七丈安一矩度(如止用一矩度則記凖一處亦可)以先安矩度定表看後安矩度中心逰表看樹得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分為七十分次以後安矩度定表看先安矩度中心逰表看樹得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分為五十二分二釐乃以先安矩度之中心距分四十九分與後安矩度之中心距分十五分相減為三十四分(如圖戊乙)為一率先安矩度逰表之斜距分七十分(如圖乙先)為二率横量十七丈(如圖先後)為三率求得四率三十五丈(如圖樹先)即先安矩度距樹之逺如求後安矩度距樹則仍以三十四分為一率以後安矩度逰表之斜距分五十二分二釐(如圖丁後與戊先等)為二率仍以十七丈為三率求得四率二十六丈一尺(如圖樹後)即後安矩度距樹之逺尖圓體(圓底尖堆得長圓體三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圓底尖堆四分之一外角)(堆得圓底尖堆四分之三)圓底尖堆設積米一堆髙五尺底周一十四尺問該米數幾何法以底周十四尺用圓周求面積法求得圓面積一十五尺五十九寸七十一分八十四釐一十二毫有餘為尖圓堆之㡳面積再與髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百釐有餘(為長圓體積)三歸之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為圓底尖堆之積數然後以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有餘即所求圓底尖堆之米數倚壁尖堆設倚壁積米一堆高四尺底周六尺該米幾何法以底周六尺(此全圓周之半)倍之得一十二尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一十一尺四十五寸九十一分五十五釐有餘(為全圓面積)折半得五尺七十二寸九十五分七十七釐有餘為倚壁尖堆之底面積再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有餘(為半周長圓體積)三歸之得七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為倚壁尖堆之積數然後以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有餘即所求倚壁尖堆之米數倚壁内角堆設倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺該米幾何法以周一十二尺(此全圓周四分之一)四因之得四十八尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一百八十三尺三十四寸六十四分九十釐有餘(此全圓面積)四歸之得四十五尺八十三寸六十六分二十二釐有餘為倚壁内角凖之底面積再與髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分(為長圓一角之體積)三歸之得七十六尺三百九十四寸三百七十分為倚壁内角堆之積數然後以石率除之得三十石零五斗五升七合有餘即所求倚壁内角堆之米數倚壁外角堆設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺該米幾何法以周三十三尺(此全圓周四分之三)三歸四因得四十四尺為全周乃用圓周求面積法求得圓面積一百五十四尺六寸一十九分八十一釐九十二毫有餘四歸三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六釐四十四毫有餘為倚壁外堆之底面積再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十釐有餘三歸之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為倚壁外角堆之積數然後以石率除之得九十二石三升七合有餘即所求倚壁外角堆之米數截積正方形從一邊截積設正方積二百二十五尺今欲于一邊截積四十五尺問截濶幾何法以總積二百二十五尺開平方得十五尺為正方邊以十五尺除截積四十五尺得三尺即截積之濶于十五尺内減三尺餘十二尺即截剰餘積之濶也正方形從兩邊截積設正方積三百六十一尺今欲截積一百六十五尺餘積仍為正方形問應得邊數幾何法以總積三百六十一尺與截積一百六十五尺相減餘一百九十六尺開平方得一十四尺即截積所除之正方邊長方形截積設長方形一萬九千二百尺長比濶多四十尺今減積二千八百八十尺問餘積長濶各幾何法以總積一萬九千二百尺用帶縦平方得長一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶則以長一百六十尺除截積二千二百八十尺得十八尺為截積之濶于原濶一百二十尺内減十八尺餘一百零二尺即截剰餘積之濶如欲截長則以濶一百二十尺除截積二千二百八十尺得二十四尺為截積之濶于原長一百六十尺内減二十四尺餘一百三十六尺即截剰餘積之長截積勾股形截上段積設股三十六尺勾二十七尺今從上段截積五十四尺問應截長濶各幾何法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積五十四尺倍之(即甲丁與丁戊相乗之長方)為三率求得四率八十一尺開方得九尺即所截之濶(葢股與勾之比必同于甲丁丁戊相乗之長方與丁)(戊自乗之正方之比)再以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率所截之濶九尺為三率求得四率十二尺即所截之長勾股形截下段積設股三十六尺勾二十七尺今從下段截斜方形積四百三十二尺問截長及上濶各若干法以股三十六尺為一率勾二十七尺為二率截積四百三十二尺倍之得八百六十四尺為三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内減所得四率六百四十八尺餘八十一尺開方得九尺為所截之濶再以勾二十七尺為一率股三十六尺為二率濶九尺與勾二十七尺相減餘十八尺(如圖己丙)為三率求得四率二十四尺(如圖戊己與丁乙等)即所截之長或用勾股形有邊求積法求得勾股積四百八十六尺内減從下段所截之斜方積四百三十二尺餘五十四尺即為從上段所截之勾股形積依前法比例求之所得之濶即上濶上段之長與股三十六相減即下段所截之長三角形截積算法與勾股形同(底濶如勾中長如股)斜方形截上段積設兩直角斜方形長二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今從上股截積一百六十八尺該截長濶各幾何法以長二十四尺為一率下濶二十尺内減上濶十二尺餘八尺為二率截積一百六十八尺倍之得三百三十六尺為三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺與所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺開方得十六尺即所截之濶乃以上下兩濶相較減之八尺為一率長二十四尺為二率截濶與上濶相減餘四尺為三率求得四率十二尺即所截之長斜方形截下段積設斜方形長二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今從下段截積二百一十六尺求截長濶法以長二十四尺為一率下濶内減上濶餘八尺為二率截積二百一十六尺倍之得四百三十二尺為三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内減所得四率一百四十四尺餘二百五十六尺開方得一十六尺即所截之濶再以上下兩濶較減所餘之八尺為一率長二十四尺為二率下濶二十尺内減截濶十六尺餘四尺為三率求得四率十二尺即所截下段之長梯形梯形截上段積截下段積法俱與斜方形同上下兩濶較比斜方形為二倍截積比斜方形亦為二倍故其比例皆同梯形自一邊截勾股積設梯形長一百二十尺上闊二十尺下闊八十尺今自一邊截勾股積四百五十尺求截長闊幾何法以長一百二十尺為一率上濶二十尺與下濶八十尺較減餘六十尺折半得三十尺(如圖乙戊)為二率截積四百五十尺倍之得九百尺為三率求得四率二百二十五尺開方得一十五尺為所截之濶(如圖乙辛)乃以半較三十尺為一率長一百二十尺為二率截濶十五尺為三率求得四率六十尺即所截之長梯形自一邊截斜方形積設梯形長一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一邊截斜方形積四千二百尺求所截之上下濶法以上濶四十尺與下濶八十尺較減餘四十尺折半得二十尺為所截斜方形上濶與下濶之較又以截積四千二百尺倍之得八千四百尺以長一百二十尺除之得七十尺為所截斜方形上濶與下濶之和加較二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶減較二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶分積三角形平分面積一半仍與原形同式設三角形小腰邊二十丈大腰邊三十四丈底邊四十二丈面積三百三十六丈今分面積一半與原形同式問所截三邊各長若干法以原面積三百三十六丈為一率原面積折半得一百六十八丈為二率底邊四十二丈自乗得一千七百六十四丈為三率求得四率八百八十二丈開方得二十九丈六尺九寸八分四釐八毫為所截之底邊乃以原底邊為一率大腰邊為二率所截底邊為三率求得四率二十四丈零四寸一分六釐有餘即所截之大腰邊又以原底邊為一率小腰邊為二率所截底邊為三率求得四率十四丈一尺四寸二分有餘即所截之小腰邊○凡各形截積仍欲與原形同式者算法倣此圓面截弧矢形有矢求圓設圓形徑一尺二寸矢濶二寸四分求弦長甲乙為全徑甲戊為矢丙丁為弦甲丙丁為截弧矢形法以矢濶二寸四分為首率圓徑一尺二寸内減矢濶二寸四分餘九寸六分為末率首末率相乗得二十三寸零四分開方得四寸八分為中率(即丙戊)倍之得九寸六分為弧矢形之弦圓面截弧矢形有弦求矢設圓形徑一尺七寸弦長一尺五寸求矢濶法以弦長一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分為長方積以圓徑一尺七寸為長濶和用帶縦和數開方法算之得濶四寸五分即弦矢形之矢弧矢形求圓徑設弧矢形弦長一尺一寸矢濶四寸求圓徑法以矢濶四寸為首率弦長一尺二寸折半得六寸為中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸為圓之截徑加矢濶四寸即圓徑圓面截弧矢形求積法用勾股八線表比例求截弧之度分隨比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圓心作一弧背三角形以半徑數與弧背之丈尺相乗得數折半為弧背三角形之面積又自圓心至弦作一平三角形用半徑與矢相減餘數為中垂線以中垂線與弦相乗得數折半為平三角形面積兩三角形面積相減即弧矢形面積又法以矢與弦相加以半矢乗之得數為弧矢形面積此法較前法微疎如無八線表則以此法算之併積兩正方形併積有邊較求分積及邊設大小兩正方積共四百一十尺大方邊比小方邊多六尺問分積及各邊幾何法以共積四百一十尺加倍得八百二十尺又以兩方邊較六尺自乗得三十六尺與八百二十尺相減餘七百八十四尺開方得二十八尺為兩方邊之和加較六尺折半得十七尺為大正方之邊減較六尺折半得十一尺為小正方之邊以方邊各自乗得積數兩正方形併積有邊總求分積及邊設大小兩正方形積共六百一十七尺兩正方邊共三十五尺求分積及各邊之數幾何法以共積六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以兩邊和三十五丈自乗得一千二百二十五尺與倍積相減餘九尺開方得三尺即兩方邊之較兩邊和三十五尺與邊較三尺相加折半得十九尺即大正方之邊減邊較三尺得十六尺即小正方之邊次方邊各自乗得積數兩正方形相併有邊較積較求各邊設大方邊比小方邊多七尺大方積比小方積多三百四十三尺求各方邊法以積較三百四十三尺用邊較七尺除之得四十九尺即兩正方邊之和加較七尺折半得二十八尺為大正方之邊減較七尺餘二十一尺為小正方之邊兩正方形相併有邊總積較求各邊設大小兩正方邊共三十一尺大正方積比小正方積多一百五十五尺求各邊法以積較一百五十五尺用兩邊和三十九尺除之得五尺為兩方邊之較與兩邊和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之邊減較五尺餘十三尺即小正方之邊兩正方形併積有積較求各邊設大小兩正方積共一百三十尺大正方積比小正方積多二十二尺求各邊法以積較三十二尺與共積一百三十尺相減餘九十八尺折半得四十九尺即小正方之積開方得七尺即小正方之邊小方積四十九尺與積較三十二尺相加得八十一尺即大正方之積開方得九尺即大正方之邊三正方形併積有三邊較求各邊設三正方形共積三百八十一尺大方邊比次方邊多六尺次方邊比小方邊多三尺求各方邊法以大方邊比小方邊所多之較六尺自乗得三十六尺又以次方邊比小方邊所多之較三尺自乗得九尺兩數相併得四十五尺與共積三百八十一尺相減餘三百三十六尺三因之得一千零八尺為長方積(其濶為三小正)(方邊長為三小正方邊兩大方邊較兩次方邊較)又以大方邊較六尺倍之得十二尺次方邊較三尺倍之得六尺兩數相併得十八尺為長濶較用帶縱較數開方法算之得濶二十四尺歸之得八尺即小正方邊加次方邊所多之較三尺得十一尺即次方邊再加大方邊所多之較三尺得十四尺即大正方容面圓面容正方設圓徑十尺問内容正方邊幾何法以圓徑十尺自乗得一百尺折半得五十尺開平方得七尺零七分一釐有餘即圓面内所容正方邊也圓面容三角形設圓徑二十尺問内容三角形之一邊尺寸㡬何乙丙與半徑等甲乙丙為正勾股形全徑為弦乙丙為勾則甲丙為股法以圓徑二十尺為弦折半十尺為勾用勾弦求股法得十七尺三寸二分有餘即圓面内所容三角形之一邊三角形容正方面設三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺問内容正方邊㡬何法先用三角形求中垂線法求得十二尺為中垂線與底四十四尺相加得五十六尺為一率中垂線十二尺為二率原底邊四十四尺為三率求得四率九尺四寸二分八釐有餘即三角形内所容正方邊也三角形容圓面設三角形每邊一尺二寸問内容圓面徑㡬何乙丙丁勾股形與甲丙丁勾股形同式丙丁勾為乙丁弦之半則甲丙勾亦必為甲丁弦之半甲丁與乙甲等故甲丙圓面半徑得乙丙中垂線三分之一倍之即為全徑法先用三角形求中垂線法求得一尺零三分九釐有餘為中垂線以三歸之得三寸四分六釐有餘為圓面半徑倍之得六寸九分二釐有餘即所求圓面徑勾股形容正方設勾九尺股十二尺問内容正方邊幾何法以勾九尺與股十二尺相加得二十一尺為一率勾九尺為二率股十二尺為三率求得四率五尺一寸四分二釐有餘即勾股形内所容正方面邊也勾股形容圓面設勾九尺股十二尺問内容圓面徑幾何乙庚與乙戊等庚丁與丁己等于乙丙與丙丁勾股和内減乙丁弦所餘為戊丙及丙己二段各為圓面之半徑相併即為全徑法以勾股求弦法求得十五尺為弦乃以勾九尺與股十二尺相加得二十一尺内減弦數十五尺餘六尺即所容圓面徑鋭角鈍角三角形容圓面式法先用三角形有邊求積法求得三角形積倍之為長方積併三邊共數除之得數為圓面半徑加倍即為全徑按分逓折比例 二八差分 三七差分 四六差分 逓折差分 加倍減半差分設有人一千六百名二分賞銀八分賞米求賞銀賞米人數各幾何法以二分八分相併得十分為一率人一千六百名為二率二分為三率求得四率三百二十名即賞銀人數再以八分為三率求得四率一千二百八十名即賞米人數設有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米數若干法以二分為甲衰八分為乙衰二歸八因得三十二為丙衰三數相併得四十二分為一率米數五百八十八石為二率若以甲衰二分為三率則求得四率二十八石即甲應分米數若以乙衰八分為三率則求得四率百一十二石即乙應分米數或以丙衰三十二分為三率則求得四率四百四十八石為丙應分之米數設有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓減納之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十問各户該納若干法以逓減最少之戊户為二衰丁户為八衰挨次二歸八因則丙户為三十二衰乙户為一百二十八衰甲户為五百一十二衰再以甲户三十與甲衰五百一十二相乗得一萬五千三百六十為甲户共衰數 以乙户四十與乙衰一百二十八相乗得五千一百二十為乙户共衰數 以丙戸五十與丙衰三十二相乗得一千六百為丙户共衰數 以丁户六十與丁衰八相乗得四百八十為丁户共衰數 以戊戸七十與戊衰二相乗得一百四十為戊户共衰數 乃以五等衰數相併得總衰二萬二千七百為一率糧數二千六百五十五石九斗為二率以甲衰五百一十二為三率求得四率五十九石九斗零四合為一甲户應納糧數以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升為甲户共納糧數 以乙衰一百二十八為三率求得四率十四石九斗七升六合為一乙戸應納糧數以乙户四十乗之得五百九十九石零四升為乙户共納糧數 以丙衰三十二為三率求得四率為一丙户應納糧數以丙户五十乗之得數為丙户共納糧數 丁戊二等算法倣此以上係二八差分之式設有銀五千兩令二縣分支東縣支七分西縣支三分問各支若干法以三分七分相併得十分為一率銀五千兩為二率若以東縣七分為三率求得四率三千五百兩即東縣應支之數以西縣三分為三率求得四率一千五百兩即西縣應支之數設以車載物行十里限二十刻今已行七里該幾刻方到法以十里為一率二十刻為二率十里減去已行七里餘三里為三率求得四率為六數即再行六刻方到設有熟絲四百九十七兩七錢按絹綾緞逓次三七分織問各該若干法將三數三因之得九分為絹衰三歸七因得二十一分為綾衰七數七因之得四十九分為緞衰三數相併得總衰七十九分為一率總絲四百九十七兩七錢為二率若以緞衰四十九分為三率則求得四率三百零八兩七錢為織緞餘數以綾衰二十一分為三率則求得四率一百三十二兩三錢為織綾線數以絹衰九分為三率則求得四率五十七兩六錢為織絹線數設有田一百三十八畝每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折絲每米一石折絲一斤問各該若干法以三分七分相併得十分為一率以米二斗乗田一百三十八畆得總米二十七石六斗為二率七分為三率求得四率十九石三斗二升即徴米之數再以總米二十七石六斗減去徴米十九石三斗二升餘八石二斗八升為折絲之數以米一石為一率絲一斤通為十六兩為二率折絲米八石二斗八升為三率求得四率一百三十二兩四錢八分以斤法收之得八斤四兩四錢八分即米三分折絲之數以上係三七差分法設有水田三百畆令上下二戸四六分灌問各灌若干畆法以四分六分相併得十分為一率田三百畆為二率以六分為三率求得四率一百八十畆即上户應灌之田以四分為三率求得四率一百二十畆即下户應灌之田設有糧一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次應載問各載若干法以四分為戊衰六分為丁衰挨次六因四歸得九分為丙衰十三分半為乙衰二十分二五為甲衰五數相併得總衰五十二分七五為一率糧一千二百六十六石為二率以甲衰二十分二五為三率求得四率四百八十六石即甲舟應運糧數以乙衰十三分半為三率則求得四率三百二十四石以丙衰九分為三率則求得四率二百一十六石以丁衰六分為三率則求得四率一百四十四石以戊衰四分為三率則求得四率九十六石為各舟應運糧之數設有熟稻七百九十九畆六分八釐令甲乙丙三人挨次以十分之六收穫問各分收若干法以一百為甲衰六十為乙衰三十六為丙衰三數相併得總衰一百九十六為一率稻七百九十九畆六分八釐為二率甲衰一百為三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十為三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六為三率求得四率一百四十六畆八分八釐即三人應收之米數以上係四六差分法設有銀一千二百六十六兩五錢令四商以十分之七逓次販貨出賣問每人該銀若干法以一千為第一人分數七百為第二人分數四百九十為第三人分數三百四十三為第四人分數合併得二千五百三十三分為一率銀一千二百六十六兩五錢為二率以四商分數各為二率求得各四率第一人五百兩第二人三百五十兩第三人二百四十五兩第四人一百七十一兩五錢為各販貨之數設有生銅入爐三次每次鎔去渣十分之二今得浄熟銅三百四十八兩問原銅㡬何法以八分自乗再乗得五百十二分為一率十分自乗再乗得一千分為二率熟銅三百四十八兩為三率求得四率四百八十四兩三錢七分五釐即原銅之數設有絹四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八問每戸出若干法以一百為上等分數以二十五戸乗之得二千五百分以六十為中等分數以三十五户乗之得一千八百分以三十六為下等分數以四十八户乗之得一千七百二十八分三數相併得總衰六千零二十八分為一率絹四百七十丈一尺八寸四分為二率以三等各衰為三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人應出之數設一人織絹日加一倍四日而成六丈七尺五寸問日織絹若干法以一為初日分數二為次日分數四為三日分數八為四日分數合併得十五分為一率絹六丈七尺五寸為二率以一二四分各為三率求得四率四尺五寸為初日所織倍之得九尺為次日所織又倍之得一丈八尺為次三日所織又倍之得三丈六尺為第四日所織合之共六丈七尺五寸也設一人借銀為商三次每次得利比本銀加一倍每次還銀二百兩三次本利還盡亦無餘銀問原本若干法以一為本銀分數二為本利共分四為二次本利共分八為三次本利共分即以八分為一率原本銀一分為二率又以一為第三次還銀分二為第二次還銀分四為第一次還銀分合併得七分與二百兩相乗得一千四百兩為三率求得四率一百七十五兩為原本銀數設有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓減一半分種問各種若干畆法以八為甲分四為乙分二為丙分一為丁分合併得十五分為一率田一千二百畆為二率以甲八分為三率求得四率六百四十畆即甲所種田數折半則乙得三百二十畆又減半則丙得一百六十畆又減半則丁得八十畆也設有銀三千一百六十兩令三等人逓次減半分用一等二十名二等二十四名三等三十名問每等人得銀㡬何法以四為一等分數以二十乗之得八十分二為二等分數以二十四乗之得四十八分一為三等分數以三十乗之得三十分合併得一百五十八分為一率銀三千一百六十兩為二率以各等人數各為三率求得四率一等銀八十兩二等四十兩三等二十兩即各等每一人應得銀數以上皆各等差分之例按數加減比例 逓加逓減差分 超位加減差分互和折半差分 首尾互凖差分設有金六十兩令甲乙丙三人依次逓加五兩分之問各得若干法以三人為一率六十兩為二率一人為三率求得四率二十兩為乙應得金數加五兩則為甲之數減五兩則為丙之數設有銀九百九十六兩分給八人自末名以上逓加十七兩問首末二人各得若干法以八人為一率九百九十六兩為二率一人為三率求得四率一百二十四兩五錢再以十七兩折半得八兩五錢加之得一百三十三兩為第四人應得銀數再加十七兩得一百五十兩為第三人再加十七兩得一百六十七兩為第二人再加十七兩得一百八十四兩為首二人應得銀數又將原數以八兩五錢減之得一百一十六兩為第五人應得銀數再以十七兩逓減三次餘六十五兩即末一人應得銀數設有一百人首名賞銀一百兩以下逓減五錢問該銀若干法以一分為一率逓減五錢為二率九十九分為三率求得四率四十九兩五錢即第一名多于百名之數于一百兩内減之得五十兩零五錢即第一名應賞之數又與第一名賞銀各得一百五十兩零五錢以百名乗之得一萬五千零五十兩折半得七千五百二十五兩即賞銀總數設一人行路日增六里共行三百二十里但知初末兩日所行共一百六十里問該行㡬日初末兩日各該若干里法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中數為一率一日為二率共行三百二十里為三率求得四率四日即所行日數又以日增六里折半得三里加于中數八十里得八十三里為第三日所行里數再加六里得八十九里為第四日所行里數第二日則減中數之三為七十七里初日更減六里為七十一里設有人十三日共織布一十三丈五尺三寸因日漸長每日加工六寸問初末兩日各織布若干法以十三日為一率布一千三百五十三寸為二率一日為三率求得四率一百零四寸為第七日所織之數亦即初末兩日互相折半之中數乃以第七日上計初日下計末日俱得六分與逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内減之餘六十八寸初日所織之數加之得一百四十寸為末日所織之數設有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓減分耕問各該若干畆法以三分為甲衰二分為乙衰一分為丙衰合併得六分為一率田七百二十畆為二率一分為三率求得四率一百二十畆為丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所減分數者以此為例設有糧一千一百三十四石令五等戸逓減納之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十問毎户納若干法以五四三二一為五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五數合併得總衰五百四十分為一率糧一千一百三十四石為二率一分為三率求得四率二石一斗為第五率一户應納糧數二分因之得四石二斗應第四等三分因之得六石三斗屬第三等四分因之得八石四斗屬第二等五分因之得十石五斗屬第一等皆就一戸算之以上逓加逓減例設有米二十四石分與甲四分乙五分丙七分丁九分問各得若干法以四五七九合併得二十五分為一率米二十四石為二率以甲乙丙丁各分數各為三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分數設有銀五千兩買得馬四匹園一區宅一所其園價多馬三倍宅價又多園四倍問各價若干法以一分為馬衰加三倍得四分為園衰又將四分加四倍得二十分為宅衰合併得二十五分為一率價五千兩為二率以馬衰為三率求得四率二百兩為馬價加三倍得八百兩為園價園價加四倍得四千兩為宅價設有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九分之一問各價若干法以一分為驢衰四分為馬衰九分為駝衰合併得十四分為一率銀七十兩為二率駝馬驢各衰數各為三率求得各四率驢為五兩馬為二十兩駝為四十五兩即各畜之價設一人為商三次初收獲利比原銀多二倍二次獲利比初次本利又多四倍三次獲利比二次本利又多三倍共計利與原銀得九百兩問原本銀若干法以一分為初次本衰加二倍得三分為初次本利共衰又于三分加四倍得十五分為二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分為三次本利共衰即以六十分為一率三次本利共九百兩為二率一分為三率求得四率十五即原本銀數設有米五百三十五石賞三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗問各等每人得米若干法以五斗米數與二等五十名人數相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗與一等二十名人數相乗得米二十四石合併得四十九石于總米五百三十五石内減去此數餘得四百八十六石乃以三等人數相併得一百八十人為一率四百八十六石為二率一人為三率求得四率二石七斗即三等一人應得米數加五斗為三石二斗是二等人所得再加七斗為三石九斗是一等人所得以上係超位加減設有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石問各該米若干法以三人為一率米一百八十石為二率一人為三率求得四率六十石即乙應得米數再以甲多于丙之三十六石折半為十八石加于乙數為七十八石屬甲減于乙數為四十二石屬丙設有銀二百四十兩趙錢孫李四人互相折半分之但知趙多于李十八兩問各該銀若干法以四人為一率銀二百四十兩為二率一人為三率求得四率六十兩為錢孫二人相和折半之數再以趙多于李之十八兩三歸(四人用三歸若三人則用二歸五人則用四歸也)得六兩即四人逓加之數較折半得三兩加于六十兩即錢銀數再加六兩為六十九兩即趙銀較于六十兩減三兩為五十七兩屬孫再減六兩為五十一兩屬李以上互相折半設甲乙丙丁四人挨次分銀但知甲得六十九兩丁得五十一兩問乙丙兩人銀數法以三分為甲多于丁之衰數(四人故用三分若五人則用四分六人則用五)(分也)為一率于六十九兩中減去五十一兩餘十八兩為二率一分為三率求得四率六兩為四人逓加之較于丁之五十一兩内加六兩得五十七兩為丙再加六兩得六十三兩屬乙如三色者則以首尾兩數相和折半即得中數設七人運糧不言總數但知第一人第二人共運二十三石七斗第五第六第七共運二十六石一斗其逓加之數俱相等問每人運糧若干法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升為第一人第二人相和折半之數于二十六石一斗以三歸之得八石七斗即第六人應運糧數乃以第一分第二分之中數一分半與第六分相減餘四分半為一率第一二人共運折半之中數十一石八斗五升與第六人之八石七斗相減餘三石一斗五升為二率一分為三率求得四率七斗即每人逓加之數由第一人而上逓加七斗則第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗設八人分米但知第一二兩人共得十一石九斗第七八兩人共得八石三斗其逓加之數俱相等問每人應得米數若干法以十一石九斗折半得五石九斗五升為第一二兩人相和折半之數再以八石三斗折半得四石一斗五升為第七八兩人相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第七分第八分之中數七分半相減餘六分為一率第一第二相和折半之五石九斗九升與第七第八相和折半之四石一斗五升相減餘一石八斗為二率一分為三率求得四率三斗即每人逓加之較折半為一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗為第一人應得米數以次逓減三斗即以下諸人之數設有竹九節截為九筒逓次長短不均但知根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三升問九筒各盛米數法以三升九合三歸之得一升三合即第二節盛米之數又以三升四歸之得七合五勺即第七八兩節相和折半之數乃以第二分與第七第八折半之中數七分半相減餘二分半為一率以一升三合與七合五勺相減餘五合五勺為二率一分為三率求得四率一合即每節逓加之較自第一節所盛一升三合而加一合即第一節所盛米數逓減一合即以下諸節之數也設有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓減納之定甲乙納數與丙丁戊納數相等問各納㡬何法以四分為甲多于戊之衰(自甲至戊隔四位故以四分為衰數也)三分為乙多于戊之衰合併得七分以二分為丙多于戊之(次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同)十五分為第二次比第七次所多衰數合併得三十三分十二分為第三次比第七次所多衰數九分為第四次比第七次所多衰數六分為第五次比第七次所多衰數三分為第六次比第七次所多衰數合併得三十分乃以三十分同三十三分相減餘三分為前兩次多于後五次之較又以後五次同前二次相減餘三次為後五次多于前兩次之較夫前多三分後多五次而其數則相等則三分即為三總分數合之得三十分為一率米二百四十石為二率每人衰數各為三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石設有糧一千零九十二石令七次逓減運送定前二次與後五次運數相等問每次運數若干法以十八分為第一次比第七次所多衰數(第一至第七隔六位)(應以六為所多衰數則每位逓加一分但前後較歸除不盡不可分法故將六分用三因之為十八分則每一)(次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同)十五分為第二次比第七次所多衰數合併得三十三分十二分為第三次比第七次所多衰數九分為第四次比第七次所多衰數六分為第五次比第七次所多衰數三分為第六次比第七次所多衰數合併得三十分乃以三十分同三十三分相減餘三分為前兩次多于後五次之較又以後五次同前二次相減餘三次為後五次多于前兩次之較夫前多三分後多五次而其數則相等則三分即為三次之數乃以三次為一率三分為二率一次為三率求得四率一分即第七次之分數每次逓加三分則第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合併得三十五分第二次十六分第一次十九分合併亦三十五分然後并兩總數得七十分為一率糧一千零九十二石為二率一分為三率求得四率十五石六斗即第七次一分之運數再以每次各分較乗之則第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之為五百四十六石是前兩次運數第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗與第七次十五石六斗合之亦為五百四十六石是後五次運數以上首尾互凖邊求積設三廣田南濶六十步北濶八十步中濶四十步長一百二十步中濶距南北邊相等問積幾何法宜截作兩梯形田算之以南濶六十步與中濶四十步合併折半得五十步與半長六十步相乗得三十步為南半截梯形積又以北濶八十步與中濶四十步合併折半得六十步與半長六十步相乗得三千六百步為北半截梯形積兩形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三廣積法積求邊設三廣田積二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北邊相等問長幾何法以二十七畆五分用畆法化步得步數四因之置南北濶將中濶數倍之三數相并為法除之得一百二十步即三廣田之長如兩距不必相等必有距南北各數或邊求積或積求邊皆截兩梯形算之莊氏算學卷三
## 卷四
欽定四庫全書莊氏算學卷四淮徐海道莊亨陽撰曲線體設長圓體徑與高皆七尺問積幾何法以長圓體徑七尺求得圓面積三十八尺四十八寸四十五分零九釐九十六豪二十五絲有餘以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七釐有餘即長圓體之積也又法以長圓體徑七尺求得圓周數與髙七尺相乗得數為長圓體之外面積以半徑之三尺五寸乗之得數折半即長圓體之積也又法以長方體積一○○○○○○○○為一率長圓體積七八五三九八一六三為二率現設之長圓體徑七尺自乗以髙七尺再乗得數為三率求得四率即長圓體之積也(一率一○○○○○○○○二二率七八五三九八一六三 三率三四二四率 六九三九一五六九)(九○九)設尖圓體底徑六尺中髙六尺問積幾何法以底徑六尺求得底面積數以髙六尺乗之得數以三歸之即尖圓體之積也又法以尖方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積七八五三九八一六三為二率現設之尖圓徑體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數三歸之成尖方體積為三率求得四率即尖圓體之積也(一率一○○○○○○○○○六二率七八五三九八一六三 三率七二 四率五 四八六六七七三六)又法以長方體積一○○○○○○○○為一率尖圓體積二六一七九九三八八為二率現設之尖圓體底徑六尺自乗以髙六尺再乗得數為三率求得四率即尖圓體之積也(一率一○○○○○○○○五二率二六一七九九三八八三率二一六 四率 六五四八六六七八)(○八)設尖圓體底周二十二尺自尖至底周之斜線五尺求中垂線之髙幾何法以底周二十二尺求得底徑數折半得半徑為勾以自尖至底周之斜線五尺為弦求得股數即中垂線之髙也(三尺五寸六分九釐三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙)設圓球徑二尺問外面積幾何法以圓球徑二尺求得周數與徑二尺相乗得數即圓球之外面積也(一十二尺五十六寸六十三分七十釐有餘即圓珠外面積)設圓球徑一尺二寸問積幾何法以圓球徑一尺二寸求得圓面積數以圓球徑一尺二寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即圓球之體積也又法以圓球徑一尺二寸求得圓球之外面積數以半徑六寸乗之得數三歸之即圓球之體積也又法用方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也(一率一○○○○○○○○四二率五二三五九八八七七五 三率一七二八 率九○四七七八六)又法以圓球徑一○○○○○○○○為一率正方邊八○五九九五九七為二率現設之圓球徑一尺二寸為三率求得四率數為與圎球積相等之正方體每邊之數自乗再乗即圓球之體積也又法以二十一分為一率十一分為二率現設之圓球徑一尺二寸自乗再乗得數為三率求得四率即圓球之體積也設圓球積六尺問徑幾何法以球積一○○○○○○○○ 為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之圓球積六尺為三率求得四率數為與圓球徑相等之正方邊之正方體積開立方即得圓球之徑也(一率一○○○○○○○○一二率一九○九八五九二一七 三率六 四率 一四五九一五五九)(○二)又法以方邊一○○○○○○○○為一率球徑一二四○七○○九八為二率現設之圓球積六尺開立方得數為三率求得四率即圓球之徑也(一率一○○○○○○○○○二率一二四○七○○九八三率一八一七一二 四率二二五四五)(○二)設撱圓體大徑六寸小徑四寸問積幾何法以小徑四寸求得圓面積數以大徑六寸乗之得數為長圓體積三歸之得數倍之即撱圓體之積也又法以小徑四寸自乗得數以大徑六寸再乗得數為長圓方體積乃以方積一○○○○○○○○為一率球積五二三五九八七七五為二率現得之長方體積為三率求得四率即撱圓體之積也(一率一○○○○○○○○五二率五二三五九八七七五 三率九六 四率 ○二六五四八二)設撱圓體積五十寸大徑比小徑多二寸問大小徑各幾何法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設撱圓體積五十寸為三率求得四率為長方體積乃以大徑比小徑多二寸為長圓與濶之較用帶一縱開立方法算之得濶數即撱圓體之小徑加大徑比小徑多二寸即撱圓體之大徑也(五寸九分九釐二毫大徑)(一率一○○○○○○○○九二率一九○九八五九三一七 三率五○四率 五四九二九六五八)(五○)設上下不等圓面體上徑四尺下徑六尺髙八尺問積幾何法以上徑四尺求得上圓面積又以下徑六尺求得下圓面積又以上徑四尺與下徑六尺相乗得數開方得中徑用徑求圓面積法求得中圓面積數三數相併與髙八尺相乗得數三歸之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六釐有餘即上下不等圓面體之積也又法以上徑四尺與下徑六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下徑六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等圓面體上補成一小尖圓體之共髙乃以下徑六尺求得圓面積數與所得共髙數相乗得數三歸為大尖圓體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘數為上尖圓體之髙以上徑四尺求得圓面積與上髙數相乗得數三歸之為上小尖圓體之積與大尖圓體積相減餘即上下不等圓面體之積也又法以正方體積一○○○○○○○○為一率圓面體積七八五三九八一六三為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數三歸之成上下不等正方體積為三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一釐有餘即上下不等圓面體之積也(一率一○○○○○○○○六二率七八五三九八一六三 三率二○二六六 六六六六六 四率)(一五九一七四○二七七○一)又㨗法以一○○○○○○○○為一率二六一七九九三八八為二率上徑四尺自乗下徑六尺自乗上下徑相乗三數相併以髙八尺乗之得數為三率求得四率即上下不等圓面體之積也設上下不等撱圓面體上大徑四尺小徑三尺下大徑八尺小徑六尺髙十尺問積幾何法以上大徑四尺與上小徑三尺相乗得十二尺以下大徑八尺與下小徑六尺相乗得四十八尺又以上大徑四尺與下小徑六尺相乗下大徑八尺與上小徑三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三數相併得八十四尺乃以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六三為二率三數相併為三率求得四率數與髙十尺相乗得數三歸之即上下不等撱圓面體之積也又㨗法以一○○○○○○○○為一率一三○八九九六九四為二率以上大徑四尺倍之加下大徑八尺共十六尺與上小徑三尺相乗得四十八尺以下大徑八尺倍之加上大徑四尺共二十尺與下小徑六尺相乗得一百二十尺兩數相併以髙十尺乗之得數為三率求得四率即上下不等撱圓面體之積也設截球體一段髙二寸底徑九寸六分問積幾何法以髙二寸為首率底徑九寸六分折半為中率求得末率一尺一寸五分二釐為圓球之截徑加髙二寸為圓球之全徑折半為圓球之半徑又以髙二寸為勾底徑折半為股求得弦五寸二分作平圓半徑用求圓面積法求得平圓面積數即為截球體一段之外面積與圓球半徑六寸七分六釐相乗得數三歸之餘為自圓球中心所分球面尖圓體積又以截球體底徑九寸六分用求平圓面積法求得截球體之底面積數於圓球半徑六寸七分六釐内減去截球體之髙二寸餘數與截球體之底面積數相乗得數三歸之餘為自圓球中心至截球體底徑所分平面尖圓體積與球面尖圓體積數相減餘即截球體一段之積也(七十六寸五百七十一分八百八十釐有餘即截積數)設空心圓球積二千寸厚三寸問内外徑數各幾何法以球積一○○○○○○○○為一率方積一九○九八五九三一七為二率現設之空心圓球積二千寸為三率求得四率為空心正方體積乃用算空心正方體法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得數與所得空心正方體積數相減餘數六歸之得數用厚三寸除之得内徑相乗長方面積數乃以厚三寸倍之得六寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶一尺一寸四分六釐三毫九絲七忽有餘即空心圓球内徑加較六寸即空心圓球外徑也(一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七 三率二○○四率三八一九七一八)設圓窖一座周二十四尺髙十尺問盛米若干法以周二十四尺求得圓面積數與髙一丈相乗得數為圓窖之積數乃以米一石積數定率二千五百寸為一率一石為二率圓窖體積四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有餘為三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有餘即所盛之米也(一率二千五百寸二二率一石有三率四百五十八尺三百六十六寸 百二十分 餘 四率一百八)(十三石三斗四升六合四勺有餘)設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑各幾何法以米一石為一率一石積數二千五百寸為二率盛米一百六十石為三率求得四率四百尺為圓窖之積數以髙十尺除之得四十尺為圓窖之面積乃以圓積一○○○○○○○○為一率方積一二七三二三九五四為二率現得之圓窖面積四十尺為三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一釐六十毫有餘開平方得七尺一寸三分六釐四毫九絲有餘即圓窖之徑數再用徑求周法求得周二十二尺四寸一分九釐九毫四絲有餘即圓窖之周數也(一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四 三率四○四率十五○九二九五八一六○)設積米一堆髙五尺底周十四尺問米數幾何法以底周十四尺求得圓面積數為尖圓堆之底面積與髙五尺相乗得數三歸之為尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之尖圓堆之積數二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十釐有餘為三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有餘即所堆之米數也(一率二五八二率一率三率二五九九五三○六 二 四 一○三九八一)設倚壁積米一堆髙四尺底周六尺問米數幾何法以底周六尺為半周倍之為全周以周求得圓面積數折半為倚壁尖圓堆之底面積以髙四尺乗之得數三歸之為倚壁尖圓堆之積數以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁尖圓堆之積數七尺六百三十九寸四百三十六分有餘為三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有餘即倚壁所堆之米數也(一率二五九四三六) (二率一○三率七六三四率三 五五七七)設倚壁内角積米一堆髙五尺周一十二尺問米數幾何法以周一十二尺四因之得四十八尺為全周以周求得圓面積數四歸之為倚壁内角尖圓堆之底面積與髙五尺相乗得數三歸之為倚壁内角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為一率一石為二率現得之倚壁内角尖圓堆之積數七十六尺三百九十四寸三百七十分為三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有餘即倚壁内角所堆之米數也設倚壁外角積米一堆髙六尺底周三十三尺問米數幾何法以周三十三尺三歸四因得四十四尺為全周以周求得圓面積數四歸三因得數為倚壁外角尖圓堆之底面積以髙六尺乗之得數三歸之即倚壁外角尖圓堆之積數乃以米一石積數二千五百寸為率一石為二率現得之倚壁外角尖圓堆之積數二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十釐有餘為三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有餘即倚壁外角所堆之米數也(一率二五八二率一九三率二三一九二九七二 八四率 二四三七一八)各等面體設四面體每邊一尺二寸求積幾何法以每邊一尺二寸為弦每邊折半得六寸為勾求得股數為每一面之中垂線與每邊一尺二寸相乗折半為每一面之面積又以每邊一尺二寸為弦每一面之中垂線取其三分之二為勾求得股數為四面體自尖至底中心之立垂線或以每一面之中垂線數為弦每一面之中垂線取其三分之一為勾亦得股為四面體自尖至底中心之立垂線以此立垂線與每一面之面積數相乗三歸之得二百零三寸六百四十六分七百三十七釐有餘即四面體之積也又求自尖至底中心之立垂線㨗法以每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸三歸二因得九十六寸開平方即得自尖至底中心之立垂線又以正方體積一○○○○○○○○為一率四面體積一一七八五一一二九為二率現設之四面體之每邊一尺二寸自乗再乗為三率求得四率即四面體之積也(一率一○○○○○○○○○二率一七八五一一二九三率一七二八 四率二 三六四六七五 ○)設四面體體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐問每邊數幾何法以四面體積一 一七八五一 一二九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即四面體之每一邊也(一率一一七八五一一二九七二率一○○○○○○○○ 三率二○三六四六 五○ 四率 一七二)又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率四面體之每邊二○三九六四八九○為二率現設之四面體積二百零三寸六百四十六分七百五十釐開立方得五寸八分八釐三毫三絲六忽五微有餘為三率求得四率一尺二寸即四面體之每一辶也(一率一○○○○○○○○七二率二○三九六四八九○三率二○三六四六 五○ 四率一二)設八面體每邊一尺二寸求積幾何法以八面體分作二尖方體算之將每邊一尺二寸自乗得一尺四十四寸為二尖方體之共底面積又以每邊自乗之一尺四十四寸倍之開平方得一尺六寸九分七釐零五絲六忽二微有餘為二尖方體之共髙即八面體之對角斜線以此斜線與二尖方體之共底面積一尺四十四寸相乗三歸之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六釐有餘即八面體之積也又法以正方體積一○○○○○○○○為一率八面體積四七一四○四五二一為二率現設之八面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二釐有餘即八面體之積也(一率一○○○○○○○○四二率四七一四○○四二五二一 三率一七二八 率八一四五八七 一)設八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐問每邊之數幾何法以八面體積四七一四○四五二一為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即八面體之每一邊也(一率四七○○ ○) (一) (四○四五二一八二率一○○○○○七三率八一四五 七○一二 四率一)又法以正方體之每一邊一○○○○○○○○為一率八面體之每邊一二八四八九八二九為二率現設之八面體積八百一十四寸五百八十七分一十二釐開立方得九寸三分三釐九毫二絲六忽有餘為三率求得四率一尺二寸即八面體之每一邊也(一率一○○○○○○○○二二率一二八四八九八二九 三率九三三九 六 四率一二)設十二面體每邊一尺二寸求積幾何法以十二面體分作十二五角尖體算之將每邊一尺二寸求得五等邊形之分角線為一尺零二分零七毫八絲零九微有餘自中心至每邊之垂線為八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘面積為二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘乃用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現設之每邉一尺二寸為三率求得四率一尺九寸四分一釐六毫四絲零七微有餘為每一面兩角相對之斜線又用理分中末線之大分六一八○三三九九為一率全分一○○○○○○○○為二率現得之每一面兩角相對之斜線折半得九寸七分零八毫二絲零三微有餘為三率求得四率一尺五寸七分零八毫二絲零二微有餘為十二面體之中心至每邊正中之斜線乃以此斜線為弦每一面中心至邊之垂線八寸二分五釐八毫二絲九忽一微有餘為勾求得股一尺三寸三分六釐二毫一絲九忽六微有餘為十二面體之中心至每一面中心之立垂線以此立垂線與每一面積二尺四十七寸七十四分八十七釐三十毫有餘相乗三歸之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九釐有餘為一五角尖體積十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八釐有餘即十二面體之總積也(一率六一八○三三九九率二率一○○○○○○○○ 三率一二 四 一九四一六四○七)(一率六一八○三三九九○二率一○○○○○○八○○ 三率九七○八二 三 四率一五七八○)(二○二)又法以正方體積一○○○○○○○○為一率十二面體積七六六三一一八九○三為二率現設之十二面體之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐有餘即十二面體之積也(一率一○○○○○○○○八九○三 三率一七二八) (二率七六六三一四率一三二四一) (一八)設十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐求每邊數幾何法以十二面體積七六六三一 一八九○三為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之十二面體積一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即十二面體之每一邊也(一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一)又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率十二面體之每邊五○七二二二○七為二率現設之十二面體積開立方得數為三率求得四率即十二面體之每一邊也設二十面體每邊一尺二寸求積幾何法以正方體積一○○○○○○○○為一率二十面體積二一八一六九四九六九為二率現設之二十面體之每邊一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸為三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六釐有餘即二十面體之積也(一率一○○○○○○○○四九六九 三率一七二八) (二辛二一八一六九四率三七六九九六)(八九○六)又法以二十面體之每邊七七一○二五三四為一率正方體之每邊一○○○○○○○○為二率現設之二十面體之每邊數為三率求得四率為與二十面體積相等之正方體每邉之數自乗再乗即二十面體之積也(一率七七一○二五三四率二率一○○○○○○○○ 三率一二 四 一五五六三六九)設二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐求每邊數幾何法以二十面體積二一八一六九四九六九為一率正方體積一○○○○○○○○為二率現設之二十面體積三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六釐為三率求得四率一尺七百二十八寸開立方得一尺二寸即二十面體之每一邊也(一率二一八一六九四九六九六二率一○○○○○○○○ 三率三七六九九 八九○六 四率)又法以正方體之每邊一○○○○○○○○為一率二十面體之每邉七七一○二五三四為二率現設之二十面體積開立方得數為三率求得四率即二十面體之每一邊也(一率一○○○○○○○○三二率七七一○二二五三四 三率一五五六 六九 四率一)莊氏算學卷四
## 卷五
欽定四庫全書莊氏算學卷五淮徐海道莊亨陽撰中西筆算度量權衡度法丈 尺 寸 分 釐 毫 絲 忽 微 纎 沙塵埃 𣺌 漠 模糊 逡巡 須㬰 瞬息 彈指刹那 六徳 虚空 清浄(俱逓以十析)量法石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭(俱逓以十析) 粟(六粟)(為圭)權衡兩 錢 分 釐 毫 絲 忽(俱逓以十析忽以下並與度法同)凡丈 石 兩以上則為十 百 千 萬(逓増十倍) 億兆 京 垓 秭 穰 溝 澗 正 載 極恒河沙 阿僧秖 那由他(不可思議無量數億以下俱逓増萬倍)田法頃(百畆為頃)畆(二百四十步為一畆)分(二十四步為分)步(方五尺為步)斤法斤(十六兩為一斤)兩(以下俱與權衡同)里法里(三百六十步為一里計一百八十丈)厯法周天(十二宫為周)宮(三十度為宫)度(六十分為度)分 秒 微 纎忽 芒 塵(俱逓以六十析)日時日(十二時又為二十四小時)時(八刻又為二小時)刻(十五分)分以下俱與前同石法石(積二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此係舊法如以尺度較倉積先將現用斗較准然後用為比例)(方得宻合也)命位凡數視所命單位為本如度法命丈為單位則尺寸分釐皆為竒零命尺為單位則寸以下為竒零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為竒零而尺則進而為十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為竒零命斗為單位則升以下為竒零而石則進而為十若命升為單位則合以下為竒零而斗則進而為十石則進而為百衡法命兩為單位則錢分釐毫皆為竒零命錢為單位則分以下為竒零而兩則進而為十若命分為單位則釐以下為竒零而錢則進而為十兩則進而為百故凡列數單為一位十為二位百為三位千為四位萬為五位如有數一萬二千三百四十五則以單位為末向前列之共有五位即知此數首位是萬矣至于厯法宮度分秒日時刻分之定位則每項命兩位如宫曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰幾十幾分之類葢因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常列一位即命一等者宫度時刻則兩位命為一等而每一等有十單之列焉此又命位之最要者也加法加者命衆數而總成也葢數始于一終于九至十又復為一等而上之十百千萬以至億兆京垓皆得名之為一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之數合前後之位言之有單十千萬之等先自單數加起成十則進前一位仍為一以單數紀本位下挨次并之即得總數若夫宮度時刻斤兩之數則不以十進必足所命之分始進一位減法減者較衆數而得餘也凡以少減多以小減大原有之數書于上應減之數書于下横列必對其位相減必從其類(如千減千百減百之類)如或下數大于上數不足減則借前之一以減本位(加法由後而進前減法則借前而退後其理一也)前位作一㸃以誌之既得本位則前位所借之一并于前數而為減數然數相減必先辯其多寡首位必大于減數始可其定位亦然原列之次為減餘位因乗因乗者生數也以數生數有生生不已之義焉凡有幾數彼此按次加之為得總數然所加之次數多則必至于繁而無統此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如兩位以上則各以每位所因之數而又層累以積之也其法以原數為實乗數為法實列于上法列于下必使法實相當(如千對千百對百十對十單對單之類)按法乗實合而加之為所得數定位之法視其法實所命之單位後有竒零與否如無竒零則實中所命之單位相對即法尾之數若有竒零則法實相乗者法實之一位統得數之二位(如單位後竒零有一位則截得數之二位竒零有二位則截得數之四位向前為單位紀之)法實相乗再以法乗者(即自乗再乗也)法實之一位統得數之三位(如單位後竒零有一位則截得數之三竒零有二位則截得數之六位向前為單位紀之)是故得數以一位論者則為單十百千之類以兩位論者則為自乗之類以三位論者則為自乗再乗之類錯綜交互用法不一必須臨題詳審求其無誤始為得之具見設如于左開平方法平方積者兩數相乗所得之數也開之之法每方積二位得方邊一位法以自乗數與方根相商以相合者即定為初商書于積之上而以自乗之數書于初商積之下爰以方邊末位積數續書于下為次商亷隅之共積乃以初商之數倍之為亷法以除餘積足幾倍即定次商為幾倍書于方積之上而以次商數為隅法與亷法數相加得數為亷隅共法書于餘積之左以次商數乗之得數與次商亷隅共積相減減盡則已如有餘數又為第三位以後積數商開之法與次商同開帶縱平方法較法法以縦方積四因以較自乗二數相加以開平方法開之得邊總加較折半為長減較折半為濶也又法以縱多折半自乗與原積相加以開平方法開之得數為半和于半和較減半較得濶于半和加半較得長也較數縱平方有較無長濶和故四因積數與較自乗數相加得長濶和積開方為長濶和和數縱平方有長濶和無長濶較故用和自乗得和積與四因積相減餘數為較積開平方為長濶較總之有長濶和有較者于和内加較折半為長減較折半為濶其理同也和法法以縱方積數四因以和自乘得數減去四因之數以開平方法開之即長濶相較之數以較數與和數相加折半為長減較即濶也又法以和數折半為半和自乗與原積相減以開平方法開之得數為半較于半和減半較為濶于半和加半較為長開立方法立方者自乗再乗所得之數也有正方體之積數而求其每一邊之數也每積數三位得邊數一位其體形有初商之一大正方(此為自一至九自乗再乗數)為首位用各數自乗再乗為首位積以減通積餘數為次位以後積數次位積形為磬折體包大方之三面故有三平亷其邊與大方等其厚與次商數等有三長亷其長與大方等其寛厚皆與次商數等有一小隅係次商自乗再乗之數法以初商數自乗相因為三平廉面積與餘積相商約得幾倍(用為少之數)即定次位為幾數然後以次商數與初商數相乗三因為三長亷面積又以次商自乗為小隅面積三數相并為平亷長亷小隅之共面積再以次商數乗之為磬折形通積以減餘積減盡則止如有餘數又為第三位以後積數開之之法與次商同開平方者有正方面之積數而求其每一邊之數也每積二位得方邊一位以縱横之積數能至十倍故也法以各數自乗之數除首位積其餘數為第二位以後積數次以首位數加倍為亷法以商餘積得幾倍即定次位為幾數並以此數為隅法然後以第二位數與亷法隅法相乗以減餘積減盡則止再有不盡之數又為第三位積數照前商除其法皆同田地頃畆分法縱横方五尺為一步二百四十步為一畆一百畆為一頃凡地縱横相乗得積步得積步以二百四十步除之得畆數再二十四步為一分除不盡者為零若干步凡得積丈以六十除之得畆數(每邊數一丈得積四步)再六丈為一分除不盡者為零若干丈尺正比例以原有之兩數及現有之一數而求所不知之一數也其法以原有為兩數為一率二率以現有之一數為三率二率三率相乗一率除之得四率為所求三率與一率同類四率與二率同類莊氏算學卷五
## 卷六
欽定四庫全書莊氏算學卷六淮徐海道莊亨陽撰比例十法一法正方邊求積(設正方邊五十步問積數若干)法以方邊五十步自乗得二千五百步即正方積如係田地則以畆法二百四十除之得畆數二十四步為一分滿一百畆為頃凡面積皆同積求邊即開平方法方求斜(設正方邊五十尺求對角斜線)法以方邊五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺開方得七十尺七寸一分○六毫有餘即對角斜線又倍積求邊與此法同斜求方(設對角斜線五十尺求正方邊)法以對角斜線五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺開平方得三十五尺三十五分五釐三毫有餘即正方邊○又正方積折半求方邊與此法同四倍積求邊法以方邊數加倍即得二法長方邊求積(設濶八尺長十二尺求長方積)法以濶八尺與長十二尺相乗得九十六尺即長方面積積求邊有長濶較或長濶和者用開帶縱平方法算之有濶邊者以濶數除積得長邊有長邊者以長數除積得濶邊更面(設長方形長十二尺濶八尺今將長積倍之仍與原長方同式問得長濶各幾何)法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺開方得一十一尺三寸一分三釐有餘即所求之濶乃以原濶八尺為一率原長十二尺為二率今濶一十一尺三寸一分三釐為三率得四率一十六尺九寸七分有餘即所求之長三法斜方形(有兩直角)有邊求積法以上濶二十丈與下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈與長五十丈相乗得一千二百丈即斜方形積數有積數有長有上下兩濶較求上下濶法將積數加倍以長除之得數為上下兩濶和加較折半得下濶減較折半得上濶有積有上下濶求長法將積加倍以兩濶共數除之得數即所求之長梯形(算法與前斜方形同)四法三角形有中長有底濶求積(設底濶八十尺中長七十五尺問面積)法以中長七十五尺與底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面積有積數有底濶求中長(設三角形積三千尺底濶八十尺問中長)法以積三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中長有積數有中長求底濶與前法同勾股形有邊求積有積求邊算法俱與三角形同葢三角形之中長即勾股形之股三角形之底為勾之兩倍三角形積亦勾股形積之兩倍俱得長方面之一半故全與全半與半為比其數相同甲丙丁為三角形丙丁為底濶甲乙為中長甲丙乙為勾股形甲乙為股丙乙為勾甲丙為弦五法鋭角鈍角三角形(多邊形附)三角形求中垂線及面積(設三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺)法以底二十一尺為一率兩腰相加得二十七尺為二率兩腰相減餘七尺為三率求得四率九尺為底邊之較(如圖戊丙)與底二十一尺相減餘十二尺(如圖乙戊)折半得六尺(如圖乙丁)乃用勾弦求股法以甲乙小腰十尺為弦自乗得一百尺為弦方乙丁六尺為勾自乗得三十六尺為勾方弦方内減去勾方餘六十四尺開方得八尺為股即甲丁中垂線再以中垂線八尺與乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面積凡十字正方角為直角大于直角者為鈍角(如圖甲角)不及直角者為鋭角(如圖乙角丙角也)甲乙邊為小腰甲丙邊為大腰乙丙邊為底戊丙為底較甲丁為中垂線多邊形有邊有對角斜線求面積法依對角斜線分多邊形為幾形算之六法兩兩等邊無直角斜方形(此等形必有對角斜線方可命算)有邊求積(設斜方形兩小邊皆二十五尺兩大邊皆三十九尺對兩鋭角斜線五十六尺)(問面積)法以對角斜線分斜方形為兩三角形以對角斜線五十六尺為底大邊三十九尺小邊二十五尺為兩腰用三角形求中垂線法(法載三角形條下)求得中垂線十五尺乃以對角斜線與中垂線相乗得八百四十尺即斜方形之面積有勾有股求弦法以股自乗得股方以勾自乗得勾方兩自乗數相加開平方得數為弦有勾有弦求股法以勾自乗得勾方以弦自乗得弦方弦方内減勾方餘數開平方得數為股有股有弦求勾法以股自乗得股方以弦自乗得弦方弦方内減股方餘數開平方得數為勾甲乙為對角斜線丁己與丙戊俱為中垂線七法方環形有邊求積(設方環外周二十八丈内周一十二丈求面積)法以外周二十八丈四歸之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四歸之得三丈自乗得九丈兩自乗數相減餘四十丈即方環面積有積及濶求内外邊(設面積四千尺濶二十尺求内外方邊)法以濶二十尺自乗得四百尺(如圖之甲壬寅戊小正方)四因之(為四)(正方)得一千六百尺與環積四千尺相減餘二千四百尺(壬戊子辛等四縦方共積)四歸之得六百尺(一線方積)以濶二十尺除之得三十尺即内方邊又以濶二十尺(如圖甲壬)倍之(如甲壬并)(子丁)得四十尺加内方邊三十尺(如戊辛與壬子等)得七十尺即外方邊有内外方邊求邊法以外周二十八丈四歸之得七丈(如圖甲丁)又以内周一十二丈四歸之得三丈(如圖戊辛與壬子等)七丈與三丈相減餘四丈(如圖甲壬及子丁二段)折半得二丈即方環外周至内周之濶八法圓面徑求周(設圓徑一尺二寸)法用周徑定率比例以徑數一一三為一率周數三五五為二率現設圓徑一尺二寸為三率求得四率三尺七寸六分九釐九毫有餘即所求之圓周周求徑(設圓周一丈五尺)法以周四三五五為一率徑數一一三為二率現設圓周一丈五尺為三率求得四率四尺七寸七分四釐六毫有餘即所求之圓徑徑求面積(設徑八寸)法用徑求周法求得圓周二尺五寸一分三釐二毫七絲有餘折半得一尺二寸五分六釐六毫三絲有餘又將徑八寸折半得四寸兩折半數相乗得五十寸二十六分五十四釐八十二毫即所求之圓面積又法用方周圓周定率比例以方周定率四五二為一率圓周定率三五五為一率現設圓徑八寸自乗為三率求得四率即圓面積周求面積(設圓周六尺六寸)法用周求徑法求得圓徑二尺一寸零八毫四絲五忽折半得一尺○五分○四毫二絲二忽又將周六尺六寸折半得三尺三寸兩折半數相乗得三尺四十六寸六十三分九十四釐五十八毫即所求之圓面積又法用圓周方積與圓積定率比例以圓周方積一○○○○○○○○為一率圓積七九五七七四七為二率現設之圓周六尺六寸自乗為三率求得四率即圓面積圓面積求徑(設圓面積六尺一十六寸)法用圓周方周定率比例以圓周二五五為一率方周四五二為二率現設之圓面積六尺一十六寸為三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四釐九十三毫為正方面積開方得二尺八寸○五毫有餘即所求之圓徑圓面積求圓周(設圓面積六尺一十六寸)法用圓積求徑法求得圓徑二尺八寸零五毫有餘又用圓徑求周法求得八尺七寸九分八釐有餘即圓之周數九法撱圓(一名鴨蛋形)徑求面積(設大徑九尺小徑六尺問面積)法以大徑九尺與小徑六尺相乗得五十四尺為長方積乃用方積圓積之定率比例以方積一○○○○○○○○為一率圓積七八五三九八一六為二率長方積五十四尺為三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有餘即所求撱圓形之面積積求徑(設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大徑九尺問小徑)法用圓積方積之定率比例以圓積七八五三九八 一六為一率方積一○○○○○○○○為二率現設撱圓積四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫為三率求得四率五十四尺為長方積以大徑九尺除之得六尺即撱圓形之小徑如有小徑求大徑則以小徑數除長方積得數即大徑十法圓環形圓環形有内外周及濶求面積(設外周二十一尺三寸内周七尺一寸)(濶二尺二寸六分問面積)法以外周二十一尺三寸與内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圓環形之面積圓環形有内外徑求面積法用圓徑求周法以内徑數求得内周外徑數求得外周又以内徑與外徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即徑圓環形有内外周求面積法用圓周求徑法以内周數求得内徑外周數求得外徑乃以兩徑相減餘數折半為環濶依前有内外周及濶求面積法算之即得圓環形有面積及濶求内外徑(設面積四百六十二尺濶七尺求内外徑)法以濶七尺除面積得六十六尺即内外周相併折半之數為中周(如圖戊己周)乃用周求徑法求得徑二十一尺有餘為内外徑相併折半之數為中徑(如圖戊己徑)加濶七尺得二十八尺有餘即外徑中徑内減濶七尺餘十四尺有零即内徑圓環形有面積及濶求内外周依前法求得内外徑再用徑求周法算之即得圓環形有面積及内周求外周并濶(設面積三尺三十六寸内)(周一尺一寸)法以内周一尺一寸用周求徑法求得内徑三寸五分零一毫有餘又用周徑求積法求得内周圓面積九寸六十二分七十七厘五十毫與圓環積三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七釐五十毫即外周圓面積乃用有圓面積求徑法求得外周徑二尺零九分七釐七毫内減去内徑三寸五分零一毫餘一尺七寸四分七釐六毫折半得八寸七分三釐八毫即圓環形之濶又用徑求周法求得周六尺五寸九分有餘即外周數也圓環形有面積及外周求内周并濶(設面積三尺百八十四)(外周八十八尺)法以外周八十八尺用周求徑法求得外徑二十八尺零一分一釐一毫有餘又用周徑求積法求得外周圓面積六百一十六尺二十四寸六十四分内減去環積三百八十四尺餘二百三十二尺二十四寸六十四分為内周圓面積乃用有圓面積求徑法求得内周徑一十七尺一寸九分六釐與外徑二十八尺零一分一釐二毫相減餘一十尺八寸一分五釐二毫折半得五尺四寸零七釐六毫即圓環形之濶再用徑求周法求得周五十四尺零二分二釐八毫有餘即内周數也莊氏算學巻六
## 卷七
欽定四庫全書莊氏算學卷七淮徐海道莊亨陽撰正方體邊求積法以邊數自乗得平方面積再以邊數乗之得立方體積如係米糓則用石法除之得石斗各數(二千五百寸為一石二百五十寸為)(一斗二十五寸為一升)凡筭積糓法皆同倍積求邊(設正邊二尺)法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求邊數八倍積求邊將邊數加倍即得長方體邊求積法以長邊與濶邊相乗得長方面積再與髙數相乗得長方體積○如係米糓則用石法除之得石斗各數倍積求邊(設長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形同式問長濶髙)法用正立方比例先以長一尺二寸自乗再乗得立方積一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長再用比例以求濶與髙以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶又以原長一尺二寸為一率原髙四寸為二率今所得之長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙長圓體圓周及髙求積(設圓周二十四尺髙十尺)法用圓周求面積法求得圓徑七尺六十三寸九十五分有餘又求得圓面積四十五尺八十三寸六十六分有餘為圓面積再與髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有餘即所求之長圓體積○如係米糓或米窖問盛米幾何俱以石法除體積得石斗各數有徑求積法同積及髙求周徑(設圓窖一座盛米一百六十石髙十尺問周徑)法以石法二千五百寸與米數相乗得四百尺為圓窖積以髙十尺除之得四十尺為圓窖面積乃用圓面積求徑法(用圓周三五五方周四五二比例開平方)求得圓徑七尺一寸三分六釐有餘即所求之圓徑再用徑求周法(徑二三周三五五比例)求得二十二尺四寸一分九釐有餘即所求之圓周帶縱較數立方帶縱立方者兩兩等邊長方體積也髙與濶相等惟長不同者為帶一縱立方長與濶相等而皆比髙多者則為帶兩縱相同之立方至于長與濶與髙皆不同者則為帶兩縱不同之立方開之之法大槩與立方同止有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與濶相等惟長不同為問者則以初商為髙與濶以之自乗又以初商加縦數為長以之再乗得初商積至次商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附于初商積之方面者即初商數其二方亷附于初商積之長面者則帶縱也其二長亷附于初商積之方邊者即商數其一長亷附于初商積之長邊者則帶縱也其帶兩縦相同之法如以長與濶相等皆比髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乗又以初商為髙以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縱其二方亷附于初商積之旁面者則各帶一縦也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者即各帶一縱也其帶兩縱不同之法如以濶比髙多長比濶又多為問者則以初商為髙又以初商加濶縱為濶與髙相乗又加長縦為長以之再乗得初商積至次商以後其一方亷附于初商積之正面者則帶兩縦其二方亷附于初商積之旁面者則一帶濶縱一帶長縱也其一長亷附于初商積之髙邊者即初商數其二長亷附于初商積之長濶兩邊者則各帶一縱也惟小隅則無論帶一縱兩縱皆各以所商之數自乗再乗成一小正方其每邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之濶與厚焉凡有幾層亷隅皆依次商之例逓析推之法雖不一要皆本于正方而後加帶縱故商出之數皆為小邊方體共十二面邊若帶一縦或帶兩縦相同者則八邊相等四邊相等若帶兩縦不同者則每四邊各相等是故得其一邊加入縱多即得各邊也帶一縱立方設帶一縱立方積一百一十二尺其髙與濶相等長比髙濶多三尺問髙濶長各幾何法列積如開立方法商之其積一百一十二尺止可商四尺乃以四尺書于原積二尺之上而以所商四尺為髙與濶(因髙與濶等故四尺即方之髙與濶也)加縱多三尺得七尺為長即以髙與濶四尺自乗得一十六尺又以長七尺再乗得一百一十二尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙與濶俱四尺加縱多三尺得七尺即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長方體形容積一百一十二尺其甲乙為髙甲己為濶己戊為長甲乙甲己俱四尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即所帶之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即帶縱所多之扁方積也設如帶一縱立方積二千四百四十八尺其髙濶相等長比髙濶多五尺問髙濶長各幾何法以初商積二千尺商十尺書于原積二千尺之上而以所商十尺為初商之髙濶加縦多五尺得十五尺為初商之長即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之長十五尺再乗得一千五百尺書于原積之下相減餘九百四十八尺為初商積乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺與初商之長十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺兩數相併得四百尺為次商三方亷面積以除次商積九百四十八尺足二尺則以二尺書于原積八尺之上合初商次商共一十二尺為初商次商之髙濶加縱多五尺得十七尺為初商次商之長乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之長十七尺再乗得二千四百四十八尺與原積相減恰盡即知立方之髙濶俱十二尺其長為十七尺也設帶兩縱相同立方積五百六十七尺其長濶俱比髙多二尺問長濶髙各幾何法以共積五百六十七尺可商八尺因留兩縱積故取略小數商七尺乃以七尺書于原積七尺之上而以所商七尺為髙加縱多二尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺書于原積之下相減恰盡是知立方之髙為七尺加縱多二尺得九尺即立方之長與濶也設如帶兩縱不同立方積三千零二十四尺其濶比髙多二尺其長比濶又多四尺問髙濶長各幾何法以初商積三千尺商十尺書于原積三千尺之上而以所商十尺為初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺為初商之濶再加長比濶多四尺得十六尺為初商之長即以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之長十六尺再乗得一千九百二十尺書于原積之下相減餘一千一百零四尺為次商積乃以初商之濶十二尺與初商之長十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺與初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺與初商之長十六尺相乘得一百六十尺三數相併得四百七十二尺為次商三方亷面積以除次商積一千一百零四尺足二尺則以二尺書于原積四尺之上合初商次商共十二尺為初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺為初商次商之濶再加長比濶多四尺得十八尺為初商次商之長乃以初商次商之髙十二尺與初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之長十八尺再乗得三千零二十四尺與原積相減恰盡即知立方之髙十二尺其濶為十四尺其長為十八尺也直線體設正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾何法以每邊二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺開立方得二尺五寸一分有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方體積每邊二尺五寸一分有餘設長方體長一尺二寸濶八寸髙四寸今將其積倍之仍與原形為同式形問得長濶髙各幾何法以長一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘即所求之長既得長乃以原長一尺二寸為一率原濶八寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率一尺零七釐有餘即所求之濶也又以原長一尺二寸為一率原高四寸為二率今長一尺五寸一分一釐有餘為三率求得四率五寸零三釐有餘即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之開立方亦得一尺零一釐有餘為所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為所求之髙也如圖甲乙丙丁長方體甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊長一尺二寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體此兩長方體積之比例即如相當二界各作兩正方體積之比例也設塹堵體形濶五尺長十二尺髙七尺問積幾何法以濶五尺與長十二尺相乗得六十尺又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得二百一十尺即塹堵體形之積也又法以濶五尺與髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸與長十二尺相乗得二百一十尺即塹堵體形之積也如圖甲乙丙丁戊己塹堵體形以甲乙髙與乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己塹堵體形之積也設芻甍體形濶四尺長十二尺髙四尺問積幾何法以濶四尺與長十二尺相乗得四十八尺又與髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即芻甍體形之積也又法以濶四尺與髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺與長十二尺相乗得九十六尺即芻甍體形之積也如甲乙丙丁戊己芻甍體形以乙丙濶與甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面積又與丙丁長相乗即得甲乙丙丁戊己芻甍體形之積也設方底尖體形底方每邊五尺自尖至四角之斜線皆六尺問尖至底中垂線之髙幾何法以底方每邊五尺求對角斜線法求得底方對角斜線七尺零七分一釐零六絲有餘折半得三尺五寸三分五釐五毫三絲有餘為勾以自尖至底四角斜線六尺為弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七釐六毫八絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊方底尖體形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁對角斜線折半于己得乙己為勾以自尖至角之甲乙斜線為弦求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也又法以底方每邊五尺為平面三角形之底以自尖至四角之斜線六尺為兩腰角平面三角形求中垂線法求得一面中垂線五尺四寸五分四釐三毫五絲為弦以底方每邊五尺折半得二尺五寸為勾求得股四尺八寸四分七釐六毫七絲有餘即自尖至底中立垂線之髙數也如圖甲乙丙丁戊尖方體其四面皆為平面三角形一為甲乙丙一為甲丙丁一為甲丁戊一為甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙為底以甲乙甲丙為兩腰求得甲庚中垂線以甲庚為弦底邊折半得庚己為勾求得甲己股即自尖至底中立垂線之髙也設方底尖體形底方每邊六尺髙三尺問積幾何法以下方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三歸之得三十六尺即方底尖體形之積也如甲乙丙丁戊方底尖體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方體形此扁方體與尖方體之底面積等其髙又等故庚乙丁辛一扁方體之積與甲乙丙丁戊尖方體三形之積等也設陽馬體形底方每邊六尺髙亦六尺問積幾何法以底方每邊六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三歸之得七十二尺即陽馬體形之積也如甲乙丙丁戊陽馬體形以乙丙一邊自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方體形此己乙丁甲一正方體之積與甲乙丙丁戊陽馬體三形之積等故三分之即得陽馬體之積也此陽馬體形與尖方體形雖不一而法則同也葢尖方體形尖在正中陽馬體形尖在一隅凡體形其底面積等髙度又等其體積必相等也設如鼈臑體形長與濶俱四尺髙九尺問積幾何法以長與濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六歸之得二十四尺即鼈臑體形之積也葢鼈臑體即勾股面之尖體如甲丙乙丁鼈臑體形以丁丙長與乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己長方體形此一長方體之積與甲戊乙丙丁陽馬體三形之積等而甲乙丙丁鼈臑體之積又為甲戊乙丙丁陽馬體積之一半陽馬體為長方體三分之一則鼈臑體又為長方體六分之一矣設上下不等正方體形上方每邊四尺下方每邊六尺髙八尺問積幾何法以上方每邊四尺自乗得一十六尺下方每邊六尺自乗得三十六尺又以上方每邊四尺與下方每邊六尺相乗得二十四尺三數相并得七十六尺與髙八尺相乗得六百零八尺三歸之得三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也又法以上方邊四尺與下方邊六尺相減餘二尺折半得一尺為一率髙八尺為二率下方邊六尺折半得三尺為三率求得四率二十四尺為上下不等正方體形上補成一尖方體形之共髙乃以下方邊六尺自乗得三十六尺與所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三歸之得三百八十八尺為大尖方體之積又以髙八尺與共髙二十四尺相減餘十六尺為上小尖方體之髙以上方邊四尺自乗得十六尺與上髙十六尺相乗得二百五十六尺三歸之得八十五尺三百三十三寸有餘為上小尖方體之積與大尖方體積二百八十八尺相減餘三百零二尺六百六十六寸有餘即上下不等正方體形之積也設上下不等長方體形上方長四尺濶三尺下方長八尺濶六尺髙十尺問積幾何法以上長四尺與上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下長八尺與下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺與下長八尺相乗得二十四尺以下濶六尺與上長四尺相乗得二十四尺四數相并得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也又法以上長四尺倍之得八尺加下長八尺共十六尺與上濶三尺相乗得四十八尺又以下長八尺倍之得十六尺加上長四尺得二十尺與下濶六尺相乗得一百二十尺兩數相併得一百六十八尺與髙十尺相乗得一千六百八十尺六歸之得二百八十尺即上下不等長方體形之積也設上下不等芻甍體形上長十尺下長十四尺下濶五尺髙十二尺問積幾何法以上長十尺與下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺為上下相等芻甍體積又以上長十尺與下長十四尺相減餘四尺與下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三歸之得八十尺與先所得上下相等芻甍體積三百尺相并得三百八十尺即上下不等芻甍體之積也如甲乙丙丁戊上下不等芻甍體形自其上稜之甲戊兩端直剖之則分為甲己辛壬戊一芻甍體甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體故以與上長相等之己庚與己辛濶相乗即得己辛壬庚芻甍體之面積與甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊芻甍體積又以甲戊上長與丙丁下長相減所餘丙辛壬丁二叚即二尖方體之共長與乙丙濶相乗得乙辛與庚辛二尖方體之底面積與髙相乗三歸之即得甲乙丙辛與戊庚壬丁二尖方體積與一甲己辛壬戊一芻甍積相加即得甲乙丙丁戊一上下不等芻甍體之總積也設兩兩平行邊斜長方體形長二尺四寸濶八寸髙二尺七寸問積幾何法以長二尺四寸與濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即兩兩平行邊斜長方體形之積也如圖甲乙丙丁戊己斜長方體形以乙丙濶與丙丁長相乗得乙丙丁庚長方面積以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬長方體凡平行平面之間所有立于等積底之各平行體其積俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之長方體必與己乙丙丁辛壬正立長方之體積為相等也設空心正方體積一千二百一十六寸厚二寸問内外方邊各幾何法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸與共積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸六歸之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸為内方邊與外方邊相乗長方面積乃以厚二寸倍之得四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊得長一尺二寸即外方邊也如圖甲乙丙丁戊己庚辛空心正方體其甲丑即空心正方體之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸類八小隅體與空心正方體相減則餘空心正方體之六面丑寅巳子類六長方扁體六歸之得丑寅己子一長方扁體用厚二寸除之得丑寅夘辰一長方面積其丑寅濶與戊己等即内方邊其丑辰長與甲乙等即外方邊其丑戊辛辰皆與甲丑厚度等丑戊辛辰並之即長濶之較故以厚二寸倍之為帶縱求得濶為内方邊長為外方邊也又法以厚二寸倍之得四寸為内方邊與外方邊之較自乗再乗得六十四寸與空心正方體積一千二百一十六寸相減餘一千一百五十二寸三歸之得三百八十四寸以内外方邊之較四寸除之得九十六寸為長方面積以内外方邊之較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶八寸即内方邊加較四寸得一尺一寸即外方邊也設大小兩正方體大正方體比小正方體每邊多四寸積多二千三百六十八寸問大小兩正方邊多幾何法以大正方邊比小正方邊所多之較四寸自乗再乗得六十四寸與大正方體比小正方體所多之積二千三百六十八寸相減餘二千三百零四寸三歸之得七百六十八寸以邊較四寸除之得一百九十二寸為長方面積乃以邊較四寸為長濶之較用帶縱較數開平方法算之得濶十二寸即小正方之邊數加較四寸得十六寸即大正方之數也如甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體試于甲乙丙丁大正方體減出戊己庚辛一小正方體餘壬申戊辛庚丙丁三面磬折體形即大正方積比小正方積所多之較甲戊為磬折體之厚即大正方邊比小正方邊所多之較此三面磬折體形依開立方次商法分之則得癸子丑三方亷體寅夘辰三長亷體己一小隅體以甲戊邊較自乗再乗得己一小隅體與磬折體積相減餘三方亷體三長亷體三歸之則得癸一方亷體寅一長亷體共成午甲已未庚甲乙扁方體其午甲厚與甲戊等以午甲厚除之則得甲乙庚未之長方面形甲戊即長濶之較故用帶縱開平方法算之得乙庚濶與戊乙等即小正方之邊數以甲戊與戊乙相加得甲乙即大正方之邊數也設大小二正方體共邊二十四尺共積四千六百零八尺問兩體之每邊及體積各幾何法以共邊二十四尺自乗再乗得一萬三千八百二十四尺内減共積四千六百零八尺餘九千二百十六尺三歸之得三千零七十二尺以共邊二十四尺除之得一百二十八尺為長方面積乃以共邊二十四尺為長濶和用𢃄縱和數開平方法算之得濶八尺即小正方之邊數與共濶二十四尺相減餘十六尺即大正方之邊數也如圖甲乙丙丁一大正方體戊己庚辛一小正方體以共邊二十四尺自乗再乗則成壬乙癸子一總正方體内減甲乙丙丁戊己庚辛大小兩正方體之共積餘丑寅夘三方亷體辰已午三長亷體三歸之則得丑一方亷體辰一長亷體共成未壬乙丙戊甲一扁方體用壬乙共邊除之則得未壬戊甲之長方面形其未壬濶與壬申等其壬戊長與甲乙等故以壬乙共邊為長濶和用帶縦和數開平方法算之得未壬濶即小正方之邊數與長濶和相減餘壬戊長即大正方之邊數也設人立河坡平處欲知水邊低于平地之數用重表之法測之法于河坡平處立四尺表杆測之稍前再立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分六尺向前直量三丈復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對水邊低處量得距分四尺八寸乃以前測之距分六尺與後測之距分四尺八寸相減餘一尺二寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率前測與後測相距三丈為三率求得四率五丈為水邊低于表尖之數内減去表髙四尺餘四丈六尺即水邊低于河坡平處之數也設人在山上欲知山澗之深用重表測之法于山邊立二尺表杆稍後立四尺表杆測之看兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺再退量五尺復立四尺表杆重測稍前仍立二尺表杆㸔兩表端參對澗底量得兩杆相距得三尺四寸乃以後測之距分三尺四寸與前測之距分三尺相減餘四寸為一率表杆四尺與二尺相減餘二尺為二率兩表相距五尺為三率求得四率二丈五尺為山澗距表尖之深内減去表髙四尺餘二丈一尺即所求山澗之深也設東西二樹欲知其相距之逺測距東樹七十丈距西樹五十丈問二樹相距法用同式形比例先以距東樹七十丈取其五十分之一得一丈四尺即對東樹直量一丈四尺作記又以距西樹五十丈亦取其五十分之一得一丈即對西樹直量一丈作記乃于兩作記處斜量如得四尺五寸是為同式形之相距數然後以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺(因兩作記處為二樹測處五十分之一則所得同式形之相距數亦必為)(二樹相距數五十分之一)即二樹相距之逺也設東西二樹欲知其相距之逺用重表或取同式形測之問二樹相距法先用不取直角測逺法(如測石測樹之法)求得二樹距測處之逺再用知兩逺求相距之法求之設左右兩峰不知其髙逺欲求兩峰相距法先用重表求髙逺法各求得髙與逺(其髙為尖峰距地平之髙)(其逺為山根距測處之逺)如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求弦法以左峰四十八丈為股逺六十四丈為勾求得弦八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈為股逺七十二丈為勾求得弦九十七丈即右峰距人之逺然後用知兩逺求相距法各取其百分之一對左峰直量八尺作記對右峰直量九尺七寸作記如于兩作記處横量得一丈二尺即加一百倍為一百二十丈得兩峰相距之逺左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙兩峰相距如設如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸測之問水面距地之深設井口徑濶九尺法于井沿取直角立表杆測之人目對表端斜向井沿看水以恰見水邊為凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸則以一尺五寸為一率表髙四尺為二率井口濶九尺為三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也方圓諸率徑○七周二二徑○五○周一五七徑○三二周一○○徑一一三周三五五徑一○○○○○○周三一四一五九二凡徑求周者以周率乗以徑率除得周周求徑者以徑率乗以周率除得徑平方積四○○○○○○○○平圓積三一四一五九二六五平方積一○○○○○○○○平圓積○七八五三九八一六平方積四五二平圓積三五五平方積一四平圓積一一立方積 同平方率圓柱積同平圓率圓周自乗積八八圓周中占積○七方柱積三方錐積一圓柱積三圓尖積一圓柱積三圓球積二立方積六○○○○○○○○立圓積三一四一五九二六五立方積一○○○○○○○○渾圓積○五二三五九八七七立方積六八七渾圓積三五五立方積二一渾圓積一一立方積二一渾圓積一 一渾圓面積四平圓面積一撱圓求積兩徑相乗數以十一乗之十四除之得所求解曰取撱圓兩徑之中率作圓其容與撱圓等渾撱圓求積小徑自乗再以大徑乗之以十一乗二十一除得所求解曰方體渾撱圓之比例猶立方與渾圓也弧矢求徑及離徑半徑置弦折半自乗以矢除之得所求解曰半弦股也矢弦句較也餘徑弦句和也股之自乗積以和除之得較以較除之得和故以矢除之得餘徑餘徑加矢折半為半徑半徑減矢為離徑也弧矢求積(舊法以矢弦相并得弧背徑一圍三之義也疎甚不可法)置弧背以離徑并矢(即半徑)乗之别置弦以離徑乗之兩數相減餘折半得所求解曰弧背圓周分線也離徑并矢圓半徑也于弧背兩端作線㑹于圓心成雜線形求積之法當與圓同故以半徑乗背折半得積也又雜線形内除弧矢形餘一三角形以弦為濶以離徑為高高乘濶折半得積以減雜線形積則所餘者弧矢積矣故以半徑乗背離徑乗弦相減折半得積也求中率法以兩率相乗得數平方開之得中率截方錐體求積法置上方自乗下方自乗上下方相乗三數并以髙乗之以三除之得所求右形得方體一塹堵方錐各四今方體三塹堵方錐體各十二故以三除也(凡塹堵二之一方錐三之一)截圓錐體求積法置上徑自乗下徑自乗上下徑相乗三數並以髙乗之再十一乗四十二除得所求(元當用三除之又十一乗十四除之今用四十二除)(者三因十四得四十二合兩次除為一次除也)截直鋭體求積倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之兩數并以髙乗之以六除之得所求右形具體如截方錐今得直體六塹堵錐體各二十四故以六除也截撱圓鋭體求積倍面大徑加底大徑以面小徑乗之又倍底大徑加面大徑以底小徑乗之兩數並以髙乗之再以十一乗八十四除得所求(此以六因十四得八十四也)莊氏算學卷七
## 卷八
欽定四庫全書莊氏算學卷八淮徐海道莊亨陽撰七政經緯日躔法年根查二百恒年表内年根録之隨記最髙衝之數于旁(表内)(之數微滿三十即進一秒下並同)日數查周嵗平行表内日數録之隨記最髙行之數于旁平行年根與日數相加得之髙衝最髙衝與最髙行相加得之引數以髙衝減平行得之或平行不及減加十二宮減之均數以引數宫度分查加減差表得之(數内秒滿三十收為一分也)法○宮至五宫順查本行與左行相較六宮至十一宮逆查本行與右行相較將較數以引數零分乗之得數視本行大者減小者加若引數無零分則直用本行之數隨記加減號(如引數係九宫一十八度十七分逆查本行為一度五十七分四十二秒較右行一)(度五十七分三十六秒得多六秒以引數七分乗之得四二為四秒一十二微去微數不用净得四秒將本行)(四十二秒減去四秒為一度五十七分三十八秒得均數記減字號)細行以均數依加減號加減于平行得之宿度以細行宮度查距宿鈐取度分小于細行者用之若本宮宿度分大于細行則借前一宮用(自己巳年起算至本年共若干年以)(每年五十一秒乗之以六十除之得數何度分以加于用宿之度分内與細行度分相減餘為某宿幾度幾分)月離法四年根查二百恒年表録之(月自行即引數六正交年根加減六宫用如七減 為一一加六為)(七餘同)四日數查日平行表内日數録之平行實行年根日數相加得之正交年根減日數即得兩日差以太陽宮度查日差表得分數即以分數查時刻平行表得之(表内秒滿三十收為一分)隨記加減號平行總平引以日差依加減號加減于兩平行得之兩均數以平引宮度分查加減差表同日躔隨記加減號實行實行引以均數依號加減于平行總平引得之太陽録本日日躔細行距日次引以實行減太陽即得滿六宮者去之次均以距日次引宮度查二三均表定直行再以實行引宫度定横行○一二宮順查三四五宫逆查相較(其較出之數若)(係二四六等行以二除之三六九等以三除之得數或餘一二秒復化為微除至三十微即進一秒視本位大)(小而加減之得次均數記加減號)白道經以次均依號加減于實行得之交均大距數以距日次引宮度查交均表得之表内距限即大距之數記加減號正交經以交均依號加減于正交平行得之中交以正交之宮加減六宮用白經即録前白道經之數月距正交以白經轉減正交經得之同升差以月距正交宮度查白道升度得之記加減號黄道視行以同升差依號加減于白道得之視緯以月距正交宮度查黄白距度表定横行又以大距數之數查表内相近之數用之定南北號四宿查距宿鈐同日躔各以本度分減之過宮土木星法年根交行查恒年表兩日數查平行表兩平行如日躔前均中分以引數平行宮度分查表相較同日躔記加減號實經以前均依號加減于平行得之日躔即録本日細行次引以日躔轉減實經得之次均較分以次引宮度分查表同前均記加減號三均以中分較分分數相乗逢三十秒進一分以下十除之即得并均二三相加得之視經以實經依次均號加減于并均得之正交實經以實經數録之距交以實經倒減交行得之中分以距交宮度查緯行表相較將較出之分化為秒以五除之得若干計本位至本數得幾分(如距交二宫十三度即查二宫十度)(與十五度相較十度係五分四十九秒十五度係四分三十八秒較多一分十一秒將分化為秒共得七十一)(秒以五除之得一十四秒計十位至十三位得三分為四十二秒得五分○八秒餘倣此)視本位大小加減之即得如有緯行細表則不用分如其數直書之緯限亦同緯限以次引宮度分查緯行表緯度之數距交在前六宮用北度之數後六宮用南度之數以五分之或以兩數平分之亦得表内旁另注加減字于數内加減之視緯以緯限度化為分用中分零分相乗得數以六十除之距交在前六宮緯北後六宮緯南宿度火星法年根正交同土木兩日數同土木兩平行同土木兩均數距日同土木實行引同土木太陽即日躔相距以太陽倒減實行得之半距距餘半相距在前六宮相距折半為半距不用距餘半相距在後六宮以實行正減太陽得半距半距折半為距餘半日引以太陽減去本年最髙衝之數加減六宮用半徑以實引宮度分查表相較得之日差以日引宮度分查表相較得之星數以半徑日差相加得之總以距日星數相加得之較以距日星數用大減小得之半距均線有距餘半者以距餘半查八線表正切線之數無則以半距查正切線之數以較相乗以總除之減弧以所除之數查八線表取近者用之次均或半距或距餘半減去減弧得之視行相距在前六宮次均與實行相加相距在後六宮次均與實行相減距交以實行減正交得之中分以距交查表同土木星得數兩平分之緯限以相距查表亦平分之即得視緯同土木宿度同土木金水星法三年根查同土木伏見日數本星平行表内日數録之距冬至引數 日數即録太陽平行表内日數三平行同土木三前均中分同土木實經引同土木實行視前均號加減反用之二均較分以實行宮度分查表同土木三均同土木并均同土木視經同土木次實引實引加十六度即得前中分金星以次實引查同土木得數平分之水星無次實引以實引宮度查之前緯限以實引宮度查小輪之數亦平分之即得前緯乗除同土木若中分在前六宫緯限在○一二九十十一六宮中分在後六宮緯限在三四五六七八六宮者緯為北若中分在前六宮緯限在三四五六七八六宮中分在後六宮緯限在○一二九十十一六宮者為緯南後中分以實行實引兩宮相見之處查同前(如實行四宮實引六宫必欲表内兩)(宮俱有方用或有四宮無六宮有六宮無四宮者不用餘倣此)後緯同前緯依表内南北號記之視緯視前後二緯同號者相加異號者以大減小即得宿度三較連乗發明分角取心從心作三垂線破為六勾股形其垂線界處即為三邊與半總之較者二 三較連為一線即成半總 半總一面線之末作岀線引分角過心中線與垂線合添成大勾股形與中線第一垂線平行即為相似形 第一垂線為小勾股之勾中直線為弦其旁為股股即第一較添成大勾股其過心中線即為弦 小勾視大勾如第一較視半總 小勾自乗視小勾乗大勾亦如第一較視半總 小勾乗大勾之積同第二第三較相乗之積第二第三相乗之積以第一較乗之為總積則小勾乗大勾之積亦可以第一較乗之為總積總積以半總除之得小勾之積以小勾之積除之得半總所以然者小勾為勾第二較為股一勾股也大勾為股以第三較為勾又一勾股也凡勾股相似形小股乗大勾之數即小勾乗大股之數故二三較相乗之積與小勾乗大勾之積均也二三較相乗之積復乗以第一較之所得積與小勾自乗又乗半總所得積均也 如勾三股四弦五半總六則勾較三股較二弦較一勾股較相乗得六弦較乗之仍得六此三較連乗之數也容員半徑一乗半總亦仍得六此員半徑自乗又乗半總之數也 三較連乗以半總除之者所以取圓半徑也三較連乗而以首較乗半總除之者所求對角之線也既以首較乗半總則通二法為一法故中間可省首較一乗(按求對角線語有脱誤)莊氏算學卷八◆ 《九章錄要-清-》（KR3f0056）
## 提要
欽定四庫全書 子部六
九章録要 天文算法類二(算書之屬)提要(臣)等謹案九章録要十二卷國朝屠文漪撰文漪字蒓洲松江人其書因古九章之術叅以今法與杜知耕所著數學鑰體例相似而互有詳畧踈宻知耕詳於方田文漪則詳於勾股知耕論少廣備及形體文漪推少廣則研及廉隅之辨知耕叅以西法每於設問之下附著其理文漪則采録梅文鼎諸書推闡以盡其用大致皆綴集今古之法以成書而取舎各異合而視之亦可以互相發也是書有借徴一條即借衰叠借之術為知耕之所未及考其所載雖未極精宻然於借數之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上總纂官(臣)紀昀(臣)陸錫熊(臣)孫士毅總 校 官(臣)陸費 墀
## 卷一
欽定四庫全書九章録要卷一松江屠文漪撰乗除諸法九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先講也具詳於左并乗并除 算以速見巧乗或屢乗除或屢除不若一乗一除之捷也假如有數須用一十五乗復一十八乗者直以二百七十乗之(先以十五與十八相乗)餘可意推其在除法尤以并為便葢使分除而前除不盡以後必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除適盡則後除雖有零餘亦當無幾特便於命分而并除者餘實反多然約之亦正相同耳分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有時宜用分者不可以一律拘假如有數須二百四十五乗(凡為四十九者五)則先以五乗之復以七乗之又以七乗之既無易誤之患而算較㨗也其在除法則須審量何也恐前除不盡而後仍用零除也葢以法除實或不能盡者非必如三六七九等除雖破實之一為十為百與千(如實米一石破為十斗為百升為千合之類是也)而終不盡也即如二四五八等除但破實之一為十與百千自無不盡而若不破實則仍不盡矣前除既破實以至於盡後除勢不中止此於命分反逺特求分釐數者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分釐數既得分釐數而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取㨗豈須借徑此其宜審者也更恐前除破實且不盡則雖求分釐數亦未能精細故所分之除法孰先孰後(大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末)又不可不審總之運算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有銀四百五十兩用一百六十八除若并除得二兩又一百六十八分兩之一百一十四即不復破實細除但約之為二十八分兩之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除(以原數四百五十故先用三除若係三百五十便當)(先用七除次八次三也)得二兩六錢七分八釐五毫七絲又七分絲之一(尚可再除而數微已甚矣)倘欲以兩命分則惟二兩整數已定外餘須以原法乗之乃得一百一十四之數仍再約之反不㨗也(右一條新增)乗除相減歸一法 數須乗除並用而可用乗省除或用除省乗則歸一尤為至便如數須一十八乗復三除者直以六乗之須四乗復十二除者直以三除之其法乗數多則從乗除數多則從除而必先取乗除兩數以少除多除之可盡即用除得之數不可盡者不能歸一也省乗用除倘有零餘則約分簡易更非原數乗除之比(右一條新訂)兩數一半一倍乗法 置兩數欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得數同如一數五百二十五一數三十二倍上數為一千零五十半下數為一十六乗之視以原數相乗者㨗矣此特宜於數之少者葢直可以臆計而不煩布算也(右一條新增)倍除法 置兩數欲以法除實者若倍其法除之所得數亦倍之即應得之數如有數須四十五除則用九十除須一百三十五除則用二百七十除亦倍所得數㨗於以原法除也遇零分欲求分釐數者依此除之若欲命分則仍其子還用原母(即原法也)以命之或須約者更約之滿原母者歸整為一數俱不用倍(右一條新)(增)乗除通用法 二乗與五除同二除與五乗同(置銀十兩以二)(乗之得二十兩以五除之得二兩其差十倍然而可通用者其乗除俱得二數則同耳) 四乗與二五除同四除與二五乗同(其差百倍) 八乗與一二五除同八除與一二五乗同(其差千倍)以加減代乗法 假如有數須八乗者即於實下一位減二若實數係五二五當減一十則於實之本位減一也有數須一零五乗者即於實下第二位加五若實數係二二五當加一十則於實下一位加一也加減俱從小數始三率準測乗除法 數有已知者因以測所未知則列前三率求後一率先定三率之位第一率與第三率相準第二率與未知之第四率相準如穀準穀錢準錢之類乃以二率三率相乗為實以一率為法除之得四率為所求數舊名異乗同除(左例原銀與原米是為同今銀與原)(米是為異)假如原有銀三十六兩糴米四十八石今銀六十三兩問米幾何一率 原銀三十六兩二率 原米四十八石三率 今銀六十三兩四率 八十四石為今米數右法若先以一率除二率得數乃以乗三率或先以一率除三率得數乃以乗二率所得四率皆同但除之不盡必用零乗之法則不若從前先乗後除為㨗(凡數須乗除並用者每以乗居先倣此)右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率三率化多為寡乗除法 别求一通數可以除盡率中之兩數者(其一必係第一率其一或第二率或第三率)即以通數除率數所得數列本率下以代率數乗除如前無通數者則否一率 三十六 三(此以十二為通數)二率 四十八 四三率 六十三四率 八十四又式一率 三十六 四(此以九為通數)二率 四十八三率 六十三 七四率 八十四三率易位乗除法 前法以原銀原米相連置一二率而今銀置三率葢以二率視四率猶以一率視三率三率視四率亦猶一率視二率其數可例推也若如左例原珠數多其價數反少今珠數少其價數反多必以一率與三率互換其位而後三率之視四率亦猶一率之視二率矣乗除如前得所求數舊名同乗異除(若如前置率則當以一率二率相乗以三率除之) 假如原有小珠五十顆今有珠稍大三十顆其總重適等原珠共價銀一十二兩問今價幾何一率 今珠三十顆 三(以十為通數)二率 原價十二兩三率原珠五十顆 五四率 二十兩為今價又如有物一枚以稱稱之稱小不及其錘重十兩外加一錘重八兩稱之得三十五斤依小稱算該幾斤一率 原錘十兩 二(以五為通數)二率 今重三十五斤 七三率 并兩錘十八兩四率 六十三斤為實重數又如原稱稱物重三十五斤失原錘欲别作錘配之不知輕重却借一錘重十兩以較原稱之物得六十三斤問原錘重一率 原重三十五斤二率 今錘十兩三率 今重六十三斤四率 十八兩為原錘重(此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也)三率重測法數或繁襍非三率可盡當疊用三率之法次第推之假如原母銀五十兩三月得子銀四兩今母銀二百兩欲得子銀二百兩須幾年一率 原母五十兩二率 原子四兩三率 今母二百兩四率 十六兩為今母三月之子又一率 子十六兩二率 三月三率 子二百兩四率 三十七月二分月之一為所求數右例亦可用并法一率 原子四兩二率 原母乗三月得一百五十兩三率 今須子二百兩四率 七千五百兩為今母乗月之數再以今母除之得月數又如客販布賣之每匹二錢即母銀百兩已得息三十兩設每匹賣二錢四分則百兩獲息幾何一率 已得息并母一百三十兩二率 母一百兩三率 布價二錢化二十分四率 十五分又十三分分之五為每匹母銀别有㨗法應補於後一率 二十分二率 一百三十兩三率 四分四率 二十六兩并三十兩得五十六兩又一率 每匹母十五分又十三之五二率 布價二錢四分内息八分又十三之八三率 母一百兩四率 五十六兩為所求息數又㨗法一率 二十分二率 一百三十兩三率 二十四分四率 一百五十六兩此為母子并數三率并乗并除法數雖繁襍而可歸并入三率之内則以三率盡之假如煉礦求銀初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得銀七十五兩問原礦幾何一率 三子相乗得三十二率 三母相乗得八十四三率 煉得銀七十五兩四率 二百一十兩為原礦又如原有綾八匹換紗二十匹原紗三十匹換布一百匹原布六十匹換錦二匹今有綾一十八匹問換錦幾何一率 原綾紗布乗得一萬四千四百二率 原換紗布錦乗得四千匹三率 今綾一十八匹四率 五匹為換錦數乗除先化大小數法 凡數大小雜見不便相乗除則先以大數化為小數假如原有銀六錢買絲七兩今有銀五兩問買絲幾何此因銀數有錢復有兩須化兩為錢其絲自作兩算不必化錢也大凡同類者須化殊類則否(遇多數取最小數為主以大數化之倣此如一十二兩三錢四分化為一千二)(百三十四分之類)一率 六(原銀錢數)二率 七(原絲兩數)三率 五十(今銀化為錢數)四率 五十八又三分之一(今應得絲兩數)右例亦可以錢從兩化之而不如前法之㨗一率 五分之三(原銀化為兩數)二率 七(原絲兩數)三率 五(今銀兩數)四率 五十八又三分之一(得絲兩數同前)又如原銀六錢二分五釐買絲七兩今銀一百三十二兩問買絲幾何此若以大數化小則原銀今銀當悉化為釐而原銀數固可以兩命分又不如從兩化之為便所貴乎隨宜通變者也(因今銀是以兩計而化之非為絲以兩計)(也)一率 八分之五(原銀化為兩數)二率 七(原絲兩數)三率 一百三十二(今銀兩數)四率 一千四百七十八又五分之二(今應得絲兩數)(右一條新增)九章録要卷一
## 卷二
欽定四庫全書九章録要卷二松江屠文漪撰零分法几數不能有整而無零分有法以通之則零不異於整也知此而零分皆可相并減相乗除乃能盡九章之術故備論於左竒零命分約法 以法除實除得數為整數餘實少於法除之不可乃成竒零或原實先少於法則無整而但有零矣(假如以尺計物是亦以法除實也物不滿尺是亦實少於法也)凡此皆須命分而母子數多者必當約之其法有三一曰以實除法假如法一百六十八實一十四則以實除法適盡得一十二是為一十二分之一也一曰減法除實假如法一百六十八實一百四十則以實減法餘二十八乃以餘法除實適盡得五是為六分之五也一曰以通數並除法實列法實兩數以少減多更互相減至兩數相等即為通數假如法一百六十八實三十五依前互相減得七為通數因以除實盡得五亦以除法盡得二十四是為二十四分之五也又如二百五十分之二百一十約為二十五分之二十一是亦以十為通數也二十四分之一十約為一十二分之五是亦以二為通數也(前兩法之一十四與二十八亦即是通數之易得者)(耳葢三法小異而理則同)亦有不可約者即以法為母實為子命分整帶零分化整為零分法 凡以法除實務得數歸整值餘實少於法不得已而命分乃有整帶零分此固然也而此特謂歸整命分之後其數可定不復與他數相并減相乗除者耳若更有他數須與之相并減相乗除則無論未歸整者且當以法為母實為子而勿急於歸整(必歸整無零分方可歸整也)即遇整帶零分已成之數亦必化整為零分何也數或零或整皆可與他數相并減乗除若本數自兼零整則難用整法又難用零分法故必須化之而不能化零為整但可化整為零其法以原母為母以原母乗整得數并原子為子如有數七零五分之三則化為五分之三十八是也零分與整相并法零分并整則成整帶零分矣若更須與他數相并減乗除者亦以原母為母以原母乗整得數并原子為子如前法零分與整相減法 零整相減者法亦以原母為母以原母乗整得數減原子為子如甲數七乙數五分之三相減得五分之三十二是也(歸整則為六又五分之二)零分相并法 諸數皆零分欲相并者法以諸母累乗得數為共母以諸子各累乗他母得數為諸子(本子與本)(母不相乗之或諸子各乗共母而以本母除 得數為諸子亦可)乃相并為子假如甲數五分之二乙數七分之四丙數八分之三則以三母累乗得二百八十為共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二為甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十為乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五為丙子并之得三百七十七為子凡得二百八十分之三百七十七是也(歸整為一又二百八十分之九十七)右法亦有可省者如甲數五分之四乙數三分之一丙數一十五分之七即以丙母一十五為共母而以甲子乗乙母得一十二為甲子以乙子乗甲母得五為乙子(丙子即用原數)并之得二十四為子凡得一十五分之二十四仍約為五分之八是也(歸整為一又五分之三)零分相減法 零分相減者依并分法累乗為共母為諸子而減之為子如甲數五分之二乙數七分之四内減丙數八分之三得二百八十分之一百六十七是也零分與整相乗法 零分數整數相乗者以原母為母以原子乗整得數為子如甲數七乙數五分之三相乗得五分之二十一是也(歸整為四又五分之一)零分除整法 以零分數為法除整數者以原子為母以原母乗整得數為子如乙數五分之三除甲數七得三分之三十五是也(歸整為一十一又三分之二)整除零分法 以整數為法除零分數者以整乗原母得數為母以原子為子如甲數七除乙數五分之三得三十五分之三是也零分相乗法 兩零分數相乗者以兩母相乗得數為母以兩子相乗得數為子如甲數九分之八乙數五分之三相乗得四十五分之二十四仍約為一十五分之八是也(或兩母同或兩子同者亦必相乗)右法亦有可省者以兩母相乗以甲子除之為母即竟以乙子為子如右例兩母相乗以乙子除之為母則以甲子為子得一十五分之八不須更約是也零分除零分法 以法除實而法實兩數俱係零分者以法子乗實母得數為母以法母乗實子得數為子如甲數九分之八除乙數五分之三得四十分之二十七是也(若兩母相同者竟以法子為母實子為子兩子相同者反以實母為母法母為子也)右法亦有可省者以法子乗實母以法母除之為母即竟以實子為子如甲數九分之八除乙數二十七分之一十三得二十四分之一十三是也零分自乗法 零分數自乗者以母自乗得數為母以子自乗得數為子如有數三分之五自乗得九分之二十五是也(歸整為二又九分之七)零分開方法 零分開平方除者以母自開得數為母以子自開得數為子如有數九分之二十五開方得三分之五是也(歸整為一又三分之二舉按此因論零分法而及開方故聊 大畧而已)(其詳在少廣章中)零分求分釐小整數法 實少於法除之不足不能成整而為零分若求分釐小整數則以母除子即得如八分兩之三除得三錢七分五釐一十六分兩之一除得六分二釐五毫是也葢其初以兩計故三不可以八除而析為錢為分釐則可除矣至除盡而止亦有終不可盡者仍當就最後小數命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也(或欲還原子即以原母乗之如八乗三錢七分五釐得三兩為八分)(兩之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石為七分石之二是也)分釐數命分法 據分釐小整數欲以大數命分者法以分釐數依其下最小數化之為子以所用大數亦依最小數化之置一算為母(其為伯千及萬億則因乎所化之數而只置一)(算也)乃以法約之如六錢六分二釐五毫欲以兩命分則以六千六百二十五為子(六千六百二十五毫也)以一萬分為母(一兩為一萬毫也)乃約為八十分兩之五十三是也亦有不可約者即以所立之母子命分九章録要卷二
## 卷三
欽定四庫全書九章録要卷三松江屠文漪撰方田法古九章一曰方田以御田疇界域今其書不𫝊特據所見近世之書芟其繁謬補其缺遺以意隸之云爾方田長方田求積步 方田謂正方四面等者法以方自乗得積長方謂兩長兩廣各等者法以長乗廣方長帶偏斜求積 似方與長方而稍偏斜者長不等則并兩長半之廣不等則并兩廣半之然後以長乗廣如偏斜甚者須裁令方正分别算之勿用此法又有方長田一邊斜者假如東長四十步西長四十一步南廣三十步北廣三十九步於法應得積一千三百九十七步四分步之一也然此乃謂四面俱偏斜者耳若止是西邊一面偏斜則從北廣東頭向西量之盡三十步止即向南直量之其長亦當四十步是田之大體本係長方獨北廣西頭盈九步句九股四十則弦四十一以斜弦為西長并東長而半之豈不謬乎法當并兩廣半之以長四十步乗之得積一千三百八十步斯不誤矣三廣求積 三廣謂中及兩邊廣各不等者法倍中廣并入邊兩廣以四除之以中長乗之其中長亦須於兩三處量之如有不等者并而分之以為之長(并三則三)(分四則四分)邊長似斜弦之處勿量也 按田形不可窮盡善算者以意推之法無預設或贅為四廣五廣之法固已迂矣且其法云四廣并而四除之五廣并而五除之尤甚謬誤四廣須倍其中之兩廣并邊兩廣以六除之五廣須倍其中之三廣并邊兩廣以八除之乃合 又按廣形亦有須辨者如三廣而中廣近一邊不居正中者是也即須分别算之句股求積 法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句 按句股須量其弦以互求法推之與法合者是也若弦太長或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角三角求積 法以一面之長乗中廣半之 假如三面長等者是真三角也率長七而中廣六不待量也不然則量中廣處須令如兩句股乃合(三角率長七中廣六則中廣微)(强然所較甚微即依率算之可也)四角斜方求積 法以中長乗中廣半之 假如中廣兩角未必相對則中廣直徑不能與中長如十字矣但各自量之令如四句股者仍并兩句為一中廣以乗中長如上法以上諸形皆屬方之類故長廣必直即遇斜弦其弦亦直如有一處彎曲若弧與睂之狀者别從圓之類求之乃無失也員田求積 法以周自乗以十二除之或以徑自乗復以三乗之以四除之或以周乗徑或以半周乗半徑以四除之 按員物率周三而徑一然田員豈能中規其小偏者不妨以規員之法施之但將周徑並量參互折中亦可無誤若偏甚則勿以員論也(員率周三徑一)(則周微强然所較甚微亦依率算之)環田求積 環田謂於員内減員者法并内外周半之以徑乗之半環倣此(其徑勿據一處慮廣狹不等)弧矢求積 弧矢謂員田之半若張弓者法并弦長矢徑半之以矢徑乗之不及員之半者法亦如之過半者勿得用也凡矢徑半弦是員之半矢長則過矢短則不及(不及員之半者如縱破長員之半若從而益之有可以成員之理者也過員之半者如横)(截長員之半無可以成員之理者也弧矢之法詳見少廣章本與員法相㑹合故惟有可員之理者乃得)(用之)棗核長員求積 棗核謂兩頭尖中廣處員者長員謂兩頭亦員者法半中廣并入中長以半廣乗之按二者雖不全員然是兩弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之員田但員法不可施之於此耳(舊法棗核乃四角斜方 右一條新增)横截長員求積 形似弧矢而矢徑半弦有餘者固不可用弧矢法而可以弧矢法變通求之葢横截長員之半與縱破長員之半其積正等此之矢徑乃彼之半弦此之弦長乃彼之二矢也法四除弦并入矢徑以半弦乗之(右一條新增)蛾睂牛角求積 蛾睂謂兩邊之長相隨而彎者牛角則横截蛾睂之半也睂有中廣無横廣角有一頭横廣無中廣其實同耳法并兩長半之以半廣乗之但牛角横廣一頭須畧似方形若太偏斜則横廣未足為準恐據以下算必浮於實積此又不可不知 以上諸形皆屬員之類若應員處乃直者别從方之類求之畝步互求 二百四十乗畝得步二百四十除步得畝九章録要卷三
## 卷四
欽定四庫全書九章録要卷四松江屠文漪撰粟米法古九章二曰粟米以御交質變易方倉窖求積尺 法以方自乗復以髙乗之(窖則當以深乗只言)(髙者統於倉也深亦髙也)得積長方倉窖求積 法以長乗廣復以髙乗之員倉窖求積法以員周自乗復以髙乗之以員周率十二除之或以徑自乗復以髙乗之以員徑率三乗之四除之長員倉窖求積 法半中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之(此法亦可用之員倉窖而員法不可用之長員 右一條新增)方平堆求積(凡窖形上下之大小不等者亦倣此法下三條同) 法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三數以髙乗之以三除之(因并三數故須三除也)長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之(并二數中凡有六數故用六除此法亦可用之方平堆也)員平堆求積 法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三數以髙乗之以三十六除之(并三數應三除)(員周率十二除故用三十六除也)或以上徑自乗又以下徑自乗又以上徑乗下徑并三數以髙乗之以四除之(并三數應三除員徑率三乗四除以三乗當三除並)(省之故只用四除也)長員平堆求積 法先半中廣并入中長以為長半中廣以為廣(上下之中廣中長俱依此法並不用原廣原長)然後倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數以髙乗之以六除之(此法亦可用之員平堆而不如前法之捷 右一條新增)方尖堆求積 法以下方自乗復以髙乗之以尖率三除之長方尖堆求積法以下廣乗下長復以髙乗之以尖率三除之(右一條新增)長方平尖堆求積(既云尖又云平者無上廣而有上長従横頭視之則尖從縱之旁面視之)(則平故曰平尖) 法倍下長加上長以下廣乗之復以髙乗之以六除之(此用六除者何也試從上長兩頭盡處向下直截之而以兩頭合成尖堆别算)(其義自見葢下長多於上長之數乃尖堆之下長所當以下廣乗之而用尖率三除者也其與上長相等)(之下長所當以下廣乗之而折半者也今既統下長之全數而倍之則為尖堆之下長者有二二用六除)(猶一用三除也為上長相等之下長亦二又加上長成三三用六除猶一用折半也)按此與平堆異者以其無上廣故用平堆法之半而亦以六除之此與尖堆異者以其有上長而尖堆既無上長可加則但倍下長以乗下廣以六除之於法亦通乃知數之相準而法之可以相推有如此者(右一)(條新增)員尖堆求積法以下周自乗復以髙乗之以員周率并尖率三十六除之(員周率十二尖率三故其率三十六)或以下徑自乗復以髙乗之以員徑率并尖率四除之(尖率應三除員徑率)(三乗四除亦以三乗三除相當省之故只用四除)長員尖堆求積 法半下中廣并入中長以半廣乗之復以髙乗之以尖率三除之(右一條新增)倚壁員尖堆求積 員尖之半也法以下周自乗復以髙乗之以倚壁率十八除之内角員尖堆求積 員尖四之一也法以下周自乗復以髙乗之以内角率九除之外角員尖堆求積 員尖四之三也法以下周自乗復以髙乗之以外角率二十七除之按右三條算家沿習有此然必先取周徑較量果恰得員尖二之一四之一四之三而後其法可施耳如或不然則當以長員法及尖堆率參酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通於算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者並指直髙而言非謂斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之(法見商功章) 又凡平堆尖堆斜髙之處雖不據以立算然亦必如句股之弦乃合於法彎曲者則否方倉以積與方求髙與髙求方 法以方自乗數除積得髙以髙除積開方得方長方倉以積及髙與廣求長與長求廣 法以髙長相乗數除積得廣以髙廣相乗數除積得長(若以積與長廣求髙)(其理易見不復贅)員倉以積與周徑求髙與髙求周徑 算周者以員周率十二乗積算徑者以員徑率四乗三除積乃用方倉法長員倉以積及髙與廣求長與長求廣 法以髙與半廣相乗數除積減半廣得長以髙除積以長為帶縱開平方除之得半廣倍之得廣(其方員長方員尖堆但加尖率三乗餘並)(同上四法不復贅)方平堆以積及髙與上方求下方與下方求上方 法以三乗積以髙除之乃減上方自乗數以上方為帶縱開平方除之得下方減下方自乗數以下方為帶縱開平方除之得上方員平堆以積及髙與上周徑求下周徑與下周徑求上周徑 算周者以三十六乗積算徑者以四乗積並再以髙除之乃減上周自乗數以上周為帶縱開平方除之得下周餘倣此石尺互求 舊法立方二尺五寸為一石(立方一尺者二有半也)故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各隨時地不同須臨算較量損益其法未可一概也竹席圍米求積 假如竹席大小相等原用兩席合作圍貯米二十石今用三席合作圍問貯米幾何法以原席二自乗得四為一率原米石數為二率今席三自乗得九為三率求得四率四十五為今貯米石數九章録要卷四
## 卷五
欽定四庫全書九章録要卷五松江屠文漪撰差分法古九章三曰差分亦曰衰分以御貴賤廩税一分遞加減衰分(以最少者一分之數遞加成多若從多者遞減則減至最少者而減盡也)法以一為首衰(從少者起算)自一而二而三四遞加為各等衰并之為總衰以為一率總實為二率各等衰為三率求得四率即各等數假如有銀七十二兩甲乙丙丁戊五人以一分遞加減分之問各幾何一率 一十五(總衰) (衰分章三率法獨有宜先以一率除二率者)二率 七十二(總實) (一率除二率得四兩八錢)三率 五(甲衰)四(乙) 三(丙) 二(丁) 一(戊)四率 (二十四兩) (一十九一十四九兩兩二錢兩四錢六錢) (四兩八錢)右各等中倘復各自有數不齊者先以各衰乗之為各總衰然後并為大總衰假如有糧二千四百石甲乙丙丁四等户依前例輸之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户則以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户數為各總衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百為大總衰列一二率如前若以各總衰為三率即得各等總數以各衰為三率即得各等每户數(以下諸法)(倣此)減半衰分(乙當甲之半丙又當乙之半也) 法以一為首衰自一而二乗之又二乗之為各等衰(以一二乗得二以二二乗得四并之得七餘倣此)列率乗除如前二八衰分(甲視乙為八與二乙視丙又為八與二也) 法以二為首衰自二而四乗之又四乗之為各等衰(以二四乗得八以八四乗得三十二并之)(得四十二餘倣此)列率乗除如前四六衰分(同上) 法以四為首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同為各等衰(以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九餘倣此)乗除如前三七衰分(同上) 法以三為首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之為各等衰(以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三)(分之一并之得二十六又三之一餘倣此)乗除如前或厭零分多者就首衰之數以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰則三乗首衰之三得九為首衰甲乙丙丁四等衰則又三乗九得二十七為首衰甲乙丙丁戊五等衰則又三乗二十七得八十一為首衰(每多一等則首衰多三乗一番)既增廣其首衰然後用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣十分之六遞減衰分 法以一為首衰(此從多者起算所謂首衰之一)(亦與前一為首衰者不同前一只是一數此則無定之數也)遇二等衰則為一十三等衰則為一百四等衰則為一千以為首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之為各等衰(以一百六)(乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六餘倣此)乗除如前凡十分之七或八九諸數遞減衰分俱準此推之不别為法以滋繁瑣減半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二數求總實減半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少則曰減半言其自少而多則曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也(零分法一又二之一化為二之三乃用子乗母除則當三乗二除猶之六乗四除也)三七衰分是二又三之一乗加也(零分法二又三之一化為三之七乃用子乗母除亦)(是七乗三除也)十分之六遞減衰分是一又三之二乗加也(零分法一又三之二化為三之五乃用子乗母除則當五乗三除猶之十乗六除以此遞加與六乗十除)(遞減同耳)以上所云幾乗加者但取衰分之數以少除多即得之(假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所)(云幾乗加也)若各衰分止舉首尾二等最少最多之數問總實幾何者不必論其中間分作幾等但以首尾數多少相減減餘以原乗數減一數為法而除之(假如原係)(四乗加者以三除之原係一又二之一乗加者以二之一除之原係二又三之一乗加者以一又三之一)(除之原係二乗加者以一除之一除固可不必除然於法不容沒此一除恐似别為一法也)即得最少以至次多諸等之總實以并最多數即得全總實右例以原乗數減一數為除法亦不必求原乗數而減之但以衰分之數多少相減減餘以少數除之即得除法(假如三七衰分三七相減餘四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相減餘四)(以六除四得三之二與原乗數減一數同 右一條新訂)減半二八四六三七十分之六各衰分求隔等數不論幾乗加但知首等最少之數再知中間一等之數即可隔等而求之假如知首等數與第六等數者第六等數已經五度加矣則以此數自乗以首等數除之即得十度加之數(倍五為十也凡自乗者以倍相求 十度加乃是第十一)(等)若以六度加之數(第七等)自乗以首等數除之即得十二度加之數(第十三等)若以五度加六度加之數相乗以首等數除之即得十一度加之數(五六并為十一也凡二等數相)(乗者并而求之二十一度加是第十 等)若以三度加(第四等)八度加(第九等)之數相乗以首等數除之亦得十一度加之數此謂以少求多者或以多求少如以十六度加之數(第十七等)以首等數乗之開方除之即得八度加之數亦可以十六度加之數以首等數乗之以十度加之數除之得六度加之數葢取以少求多之法而反用之即是也(右一條新訂)右求總實求隔等數二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九諸數遞減衰分準此推之無不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商販獲息當母二之一并入母銀又獲息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之數俱合子母而言則當以最後一度之數為總實不得并諸度之數為總實且首一數即係原母則一度自有一度之加與甲乙分金十等人止須九度加者亦微有辨也合率衰分 率者衰分多寡之大率也(與三率之率自不相涉各有取)(義也)葢衰分各等之實數有所未知而各等之大率已知因合各率以與總實相權而衰分得焉不計其合未有能分者也然則以前諸法無非合率衰分而此獨以合率名者何也前諸法若三七若四六皆有準則固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六為準乃不可専名而獨名之合率也各率為各衰并之為總衰乗除如前假如有銀二百四十兩甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分則甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之為二十五為總衰也其各等中又各有數不齊者亦依前法兹仍具例於左以備參觀假如有銀七兩零八分欲買銅一停錫二停鉛三停其價銅每斤一錢八分錫一錢三分鉛五分問三物各幾何一率 五十九(總衰) (一銅價二錫價三鉛價并)二率 七百零八(總價) (一率除二率得一十二)三率 一(銅衰) 二(錫) 三(鉛)四率 一十二(銅斤數)二十四(錫) 三十六(鉛)右總衰總價俱化兩錢為分者既得三物斤數各以價乗之得各總價數或以銅總衰一十八分錫總衰二十六分鉛總衰一十五分為三率即先得各總價乃各以價除之亦得各斤數又如有銀五百九十四兩糴米一停麥二停豆三停共三百九十六石其價米一石抵麥一石六斗抵豆二石問三物及價各幾何此須用重測法先以米衰一麥衰二豆衰三并之得六為總衰為一率三物共石數為二率各衰為三率求得三物各石數(米六十六麥一)(百三十二豆一百九十八)然後别求各價其法置三物停數以三物相當抵之數乗除之或益貴物以從賤則用乗或減賤物以從貴則用除以為各衰仍并之為總衰為一率三物共價為二率各衰為三率求得三物各總價乃以前所求三物各石數除之即得每石價(米二兩四)(錢麥一兩五錢豆一兩二錢)一率 三又四之三(總衰)二率 五百九十四(總價兩數十一率除二率得一百五 八又五之二)三率 一(米衰) 一又四之一(麥) 一又二之一(豆)四率 (一百五十八兩四錢米) (一百九十八兩麥) (二百三十七兩六錢豆)右以米為主而減麥與豆以從之米衰一得一麥衰二以一又五之三除之(即一六也米一抵麥一六故)得一又四之一豆衰三以二除之(米一抵豆二故)得一又二之一并之得三又四之三又式一率 七又二之一(總衰)二率 五百九十四(總價十一率除二率得七 九又五之一)三率 二(米衰) 二又二之一(麥) 三(豆)四率右以豆為主而益米與麥以從之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麥衰二以一又五之三除之(先除以從)(米)再以二乗之(次乗以從豆)得二又二之一并之得七又二之一又式一率 六(總衰)二率 五百九十四(總價得一率除二率 九十九)三率 一又五之三(米衰)二(麥)二又五之二(豆)四率右以麥為主而益米減豆以從之麥衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之(先除以從米)次以一又五之三乗之(次乗以從麥)得二又五之二并之得六右例或不復用米一麥二豆三等衰但就三物各石數而取一數為主其餘則益貴減賤以從之為總衰以除總價即得其物每石之價依法復損益之得餘二物每石之價如以米為主米六十六麥一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除總價得二兩四錢即米每石價也仍以一又五之三除之得麥價以二除之得豆價若以麥豆為主法並倣此(右一條新訂)合率帶分母子衰分 合率衰分其間等差各帶母子分數者自有帶分之法假如有銀七百九十五兩甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一問各實數幾何其法先并各衰分數并各子以乗各母從小數并起惟丁衰十一無并其丙衰係十二又係三則以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十為甲衰并之得一百五十九為總衰一率 一百五十九(總衰)二率 七百九十五(總銀) (一率除二率得五)三率 八十(甲衰)五十六(乙)十二(丙)十一(丁)四率 四百 二百八十 六十 五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一則丙衰係十三又係三欲以十三并三用三除十三除之不盡即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二為乙衰依法推得二百六十為甲衰其丙之十三丁之十一轉須用三乗之以為衰丙得三十九丁得三十三也合率帶分匿總實以較求衰分 假如四人分銀不知總實但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙與丁差四兩問各幾何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六為甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰以丙丁二衰之較為一率丙丁之較為二率各衰為三率(不用約法覽之易曉)一率 二十四二率 四三率 五百七十六(甲)四百八十乙四百三十二(丙)四百八(丁)四率 九十六 八十 七十二 六十八右例帶分與前例母子不同其法互見而可相通前亦可以較求分此亦可以總實求分也又凡以前諸衰分法若匿其總實任舉一等所得之數或兩等所差之數皆可倣二例而求之合率帶分匿總實以餘實求分 假如四人分銀不知總實但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚餘五兩問各幾何此四母皆銀也用并母法得九百六十為總衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十為甲衰二百四十為乙衰一百九十二為丙衰一百六十為丁衰以四衰減總衰餘八為餘銀之衰為一率餘銀為二率各衰為三率(率式不贅但求得總實即得各分數矣)右例四母皆據總實言之故可以餘實求總實求分若以前諸衰分法不可以餘實求也右例亦可任舉兩等所得之較以求之(又右二例俱可用借徵法)(葢用并分法亦借衰也)一數遞加減衰分以等求總實(與一分遞加減相類而不同者一分為不定之)(數一數則一而已又自此以下及同較衰分共十法皆謂每等只一人者與以前諸法自别)凡一數遞加自一而二而三四此不難於衰分須求總實㨗法耳假如欲分十五等問總實幾何法以首等一(以少者為首)并末等十五(等十五則末等所得數亦十五也)得十六以等數乗之折半得一百二十為總實又如有物倚牆一面尖堆下廣二十四枚以首層一并下層二十四得二十五以層數(即下廣數)乗之折半得三百為總積(前一分遞)(加法若每等只一人者亦可用此以求總實但依法所得數須更以較數乗之方得總實若未經較數相)(乗止得總衰而非總實也假如每一分銀四兩遞加分十五等依法得一百二十為總衰更以每等之較)(四乗之得四百八十為總實也)一數遞加減衰分以總實求等 假如總實一百二十以一數遞加分之得幾等法倍實開方除之得十五而餘實亦十五即十五是等數又如總積物三百欲作倚牆一面尖堆倍積開方得二十四而餘實亦二十四即二十四是下廣數(前一分遞加法若每等只一人者亦可用此以求等)(數但須先以每等之較數為法除實而後依上法求之假如銀四百八十兩每一分四兩遞加分之則先)(以較四除實得一百二十乃依法求得十五為等數也)右二法謂首等數起於一者故比之倚牆一面尖堆若不從一數起即各等俱以一數遞加但謂之同較衰分不在此例如倚牆一面平堆每層亦俱較一而當依同較衰分法也(前一分遞加衰分亦謂首等所得之一分同於各等所差之一)(分也如其不然即是同較衰分矣)又右二法不可用之同較衰分而下同較諸法(凡七法)則可用之一數遞加衰分也(亦可用之一分遞加之每等只一人者 右一)(條新增)同較衰分(不論較數幾何但甲乙之較乙丙之較丙丁之較各等俱同者是也)假如總實九十九作十一等分之各等俱較一數問各幾何法以等數減一存十與等數相乗折半得五十五以較一乗之仍得五十五(較一則乗猶不乗也而於法不可無此一)(乗者為較不止於一者而設也)以減總實餘四十四以等數除之得四為首等數或以并總實得一百五十四以等數除之得十四為末等數餘以次推之同較衰分以等及較與首數求尾數與尾數求首數求總實 如前例十一等每等各較一法以等數減一存十以較一乗之仍得十并首數四得尾數減尾數十四得首數并首尾數以等數乗之折半得總實同較衰分以較與首尾數求等求總實 法以首尾數相減得首尾較以較除之加一數得等數如前法求總實同較衰分以總實及較與首尾和求等求分 法以首尾和折半為法除總實得等數即以等數減一乗較數得首尾較和較相減半之得首數相并半之得尾數同較衰分以總實及等與首尾較求較求分 法倍總實以等數除之得首尾和如前法求之再以等數減一除首尾較得各較同較衰分以總實及等與首幾等和或尾幾等和求較求分(言或者首尾不必並舉)法以帶和之等數乗總實以全等數除之(所得數乃首尾幾等應得均平之數也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足)(而此盈彼不足其數必相當故下但云與和相減而不必問其首尾也)與和數相減減餘以帶和之等數折半為法除之再以全等數減帶和等數為法除之得各較(右一條新增)同較衰分以等與首幾等和尾幾等和求較求分求總實 假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分銀甲乙丙三人共一百一十一兩庚辛二人共四十一兩問各較幾何各分幾何總實幾何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相減餘九十九又以二三相并得五折半為二又二之一以減人數總八餘五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三為法以除九十九得三為各較數乃以甲乙丙和三除之得乙數加較得甲數減較得丙數或以庚辛和并較半之得庚數減較半之得辛數次求丁戊已數并八數為總實(右例但取)(首尾並舉而或舉首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡於法)(皆通即總數滿百人而但舉首尾兩三人亦無不可也)同較衰分令多寡齊數法 假如有銀二百七十兩作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數齊問各幾何法如一分遞加減列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相減較三以二人三人相減之較一為法除之仍得三(較一則亦不必除而言除者為較有不止於一者也)却於五等衰各加三數為各衰并之為總衰列三率求之一率 三十(總衰)二率 二百七十(總實) (一率除二率得九)三率 八(甲衰)七(乙) 六(丙) 五(丁) 四(戊)四率 七十二 六十三 五十四 四十五 三十六又如有銀七十兩作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人數與丙丁戊已庚五人數齊問各幾何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二却於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之一率 二十三又三之一(總衰)二率 七十(總實) (一率除二率得三)按一數遞加一分遞加衰分只三人甲數與乙丙數齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也同較衰分又法 前同較衰分八法皆謂每等只一人者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每等一人耳若但欲衰分則雖每等之中復有人數多寡不齊非無法以分之 假如銀三百二十四兩甲乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二十一為甲等一人所得數遞減較得各等數(右一條新增)(或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等)(數)母子差分(此謂商賈以母銀得息非帶分之母子也)假如三商共得子銀四百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月一率 二百(甲子)二率 三千(甲母乗月數)三率 一百二十(乙子) 八十(丙子)四率 一千八百(乙母兼月數) 一千二百(丙母兼月數)各再以母除得月數乙得三丙得一又二之一又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問乙月丙母一率 六十(甲子)二率 二千四百(甲母乗月數)三率 四十八(乙子) 三十(丙子)四率 一千九百二十(乙母兼月數)一千二百(丙母兼月數)(乙再以母除得八月) (丙再以月除得一百二十兩)又如三商共得子銀一千五百二十兩甲母一千八十兩乙母三百六十兩丙不知母其子銀則丙得二百四十兩問甲乙各子及丙母一率 一千四百四十(甲乙共母)二率 一千二百八十(總子減丙子得甲乙共子)三率 一千八十(甲母)三百六十(乙母)四率 九百六十(甲子)三百二十(乙子)又一率 一千二百八十(甲乙共子)二率 一千四百四十(甲乙共母)三率 二百四十(丙子)四率 二百七十(丙母)又如二商共得子銀一百兩甲母倍於乙外又一十五兩其子銀則甲得六十八兩乙得三十二兩問甲乙母各幾何一率 四(甲子倍乙外又盈此數)二率 十五(甲母倍乙外又盈此數)三率 六十八(甲子) 三十二(乙子)四率 二百五十五(甲母)一百二十(乙母)貴賤差分 法以貴價乗總物數與總價數相減餘以貴賤價較數為法除之得賤物數或以賤價乗總物數與總價數相減餘以價較數為法除之得貴物數假如米每石價二兩麥每石價一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各幾何法以米價乗總石數得八十減總價得六以米麥價較五分兩之二為法除之得一十五是麥石數餘為米石數或先求米石數亦可又如上酒每斗價錢三百次酒每斗價二百二十今欲襍和二酒立價二百五十問一斗内上酒幾何次酒幾何法以上酒價減立價餘五十以上次價較八十為法除之得八分斗之五為次酒餘八分斗之三為上酒也或以次酒價減立價算之先得上酒數亦同匿價差分 假如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾比羅每匹多六錢羅比絹每匹多八錢問三物各價幾何法以羅二百匹乗羅絹價較得一百六十兩以綾一百匹乗綾羅羅絹二價較得一百四十兩并之得三百兩以減總價得五百兩以總匹數五百除之得一兩為絹每匹價以次推得綾羅價或以羅二百匹乗綾羅價較得一百二十兩以絹二百匹乗綾羅羅絹二價較得二百八十兩并之得四百兩以并總價得一千二百兩以總匹數五百除之得二兩四錢為綾每匹價又或先求羅價亦可又如米十四石麥十八石兩總價適等但云米每石價多於麥三錢六分問二物各價幾何法以米麥石數較四除價較得九分以麥數十八乗之得米每石價以米數十四乗之得麥每石價又如金九塊銀十一塊其總重適等交換一塊則金輕十三兩問金銀各塊重法以輕重較十三兩折半得六兩五錢以金銀塊數較二除之得三兩二錢五分以銀數十一乗之得金每塊重以金數九乗之得銀每塊重(此與上米麥例同惟折半不同耳葢輕重交換較二實止較一故須折也)襍差分法 假如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各幾隻各總載兵幾何一率 二千九百(三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰)二率 一十二(三隻四隻相乗船數為大小船各衰)三率 四千三百五十(總兵數)四率 一十八(大小船各數)次求大小船各總載兵數一率 三 四二率 五百 三百三率 一十八 一十八四率 三千(大船總載兵數) 一千三百五十(小船總載兵數)右例亦可先求大小船各總載兵數一率 二千九百(三隻五百名四隻三百名互乗并得兵數為兵總衰)二率 四千三百五十(總兵數)三率 二千(四隻互乗五百名為大船兵衰) 九百(三隻互乗三百名為小船兵衰)四率 三千 一千三百五十次求大小船各數一率 五百 三百二率 三 四三率 三千 一千三百五十四率 一十八 一十八又如出兵左右營兵數相等左營用大船每三隻載五百名右營用小船每四隻載三百名共用船一百七十四隻問左右營兵各幾何各總用船幾隻一率 二千九百(三隻五百名四隻三百名互乗并得船數約為二十九)二率 一十五萬(五百三百相乗兵數約為一千五百 以百為通數)三率 一百七十四(總船數)四率 九千(左右營各兵數)次求各總用船數一率 五百 三百二率 三 四三率 九千 九千四率 五十四(左營用大船數) 一百二十(右營用小船數)右例亦可先求大小船各總數一率 二千九百(三隻五百四隻三百互乗并得船數為船總衰約為二十九)二率 一百七十四(總船數)三率 九百(三百互乗三隻為大船衰約為九) 二千(五百互乘四隻為小船衰約為二十)四率 五十四 一百二十次求各總載兵數一率 三 四二率 五百 三百三率 五十四 一百二十四率 九千 九千又如犒師每二十四名給牛一頭每五名給羊一頭共用牛羊一千七百四十頭問兵幾何牛羊各幾何一率 二十九(二十四名一頭五名一頭互乗并得牛羊數)二率 一百二十(二十四名五名相乗兵數)三率 一千七百四十(牛羊總數)四率 七千二百(兵數)次求牛羊各總數一率 二十四 五二率 一 一三率 七千二百 七千二百四率 三百(牛數) 一千四百四十(羊數)右例初測第一率不必互乗直以五與二十四并得二十九再測不必列第二率直以二十四與五除兵數即得牛與羊各總數而立法必如是者葢此例與前二例本同一法若從簡省乃似别為一法而學者反眩惑也右例亦可先求牛羊各數一率 二十九(如前互乗并得牛羊數為牛羊總衰)二率 一千七百四十(牛羊總數)三率 五(五名互乗一頭為牛衰)二十四(二十四名互乗一頭為羊衰)四率 三百 一千四百四十次求兵數如前二例不復贅 又按右例謂兵既給牛又給羊者不然則給牛之兵與給羊之兵數等者若兩營兵一給牛一給羊牛羊數等而兩營兵數不等乃舉兩營兵總數問兩營各數及牛羊數(依上以一千七)(百四十為兵總數餘並同)則以二十九為一率以一為二率(一與一相)(乗仍得一也)以一千七百四十為三率求得六十為四率為牛羊各數又或先求兩營兵各數則以二十九為兵總衰為一率一千七百四十為二率二十四為給牛兵衰五為給羊兵衰為三率求得一千四百四十與三百為四率為給牛與給羊兵各數也㕘觀前諸例其法自備不復詳列又如賞軍毎馬兵五名給紬三匹毎歩兵四名給布六匹總計馬歩兵共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩兵各幾何紬布各幾何此與前例不同葢馬兵與步兵數既不等紬與布數又不等也法以馬兵五名紬三匹歩兵四名布六匹互乗得數相減餘一十八為法别以馬兵五名紬三匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘二萬零七百以法除之得一千一百五十為步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵總四千六百名以布六匹乗之得布總六千九百匹其餘則馬兵及紬總數也或以步兵四名布六匹馬步總八千一百名紬布總九千匹互乗得數相減餘一萬二千六百以法除之得七百為馬兵及紬衰乃以馬兵五名乗之得馬兵總三千五百名以紬三匹乗之得紬總二千一百匹其餘則步兵及布總數又如大船四櫓四槳小船二櫓八槳今但見總作櫓一百張槳二百零八張問大小船各幾何法以四櫓四槳二櫓八槳互乗得數相減餘二十四為法别以大船四櫓四槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘四百三十二以法除之得一十八為小船數或以小船二櫓八槳總一百櫓二百零八槳互乗得數相減餘三百八十四以法除之得一十六為大船數右例與前賞馬步兵紬布例同前馬兵及紬衰步兵及布衰在此即大小船各數也(右一條新訂)又如漏壺一具上有渇烏注水三時而滿下有天池洩水八時而盡今且注且洩問幾時可滿一壺(法先求一)(時所注所洩之數)一率 三時 八時二率 一壺 一壺三率 一時 一時四率 三分壺之一(注) 八分壺之一(洩)次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求全壺滿時一率 二十四分壺之五二率 一時三率 一壺四率 四時又五分時之四又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿幾何法先求一時所注所洩之數置率如前次以一時所注所洩相減餘為一時所注之數而求五時又三分時之一所注之數一率 一時二率 二十四分壺之五三率 五時又三分時之一四率 一壺又九分壺之一又如漏壺一具下開三孔洩水大孔四時盡一壺次六時而盡又次十二時而盡若三孔俱開則一壺須幾時盡法以三孔一時所洩之數并而計之知一時泄二分壺之一則二時盡一壺一率 四時 六時 十二時二率 一壺三率 一時四率 (四分壺之一) (六分壺之一) (十二分壺之一)右例或以最小孔十二時為主求餘二孔所注之數乃并而計之知十二時盡幾壺則知幾時盡一壺(或以)(中孔六時為主亦同)一率 四時 六時二率 一壺三率 十二時四率 三壺 二壺又如甲乙銀各不知數取乙九兩與甲即甲倍多於乙取甲七兩與乙則甲乙正等問各幾何法以乙與甲九兩甲與乙七兩并之得十六兩倍之得三十二兩是倍多之數即以三十二兩為乙衰幷未與甲九兩得乙數四十一兩以六十四兩為甲衰減未得乙九兩得甲數五十五兩(右一條新訂)又如甲乙銀不知數取乙四兩與甲即甲多於乙二之一乙二而甲三也取甲七兩與乙則甲乙等問各幾何法如前并而倍之得二十二兩是二之一多數即以四十四兩為乙衰六十六兩為甲衰依前求得乙數四十八甲數六十二(右一條新訂)又如商販不知其母但云每度俱獲倍息(母一得子亦一)即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母幾何凡倍上加倍者率三倍而一得八(一兩三倍之成八兩也四倍則一得)(十六餘準此推之)法以八除三百得三十七兩五錢以減三百得二百六十二兩五錢即原母數(若四度而盡者即以十六除而)(減之)按右例立法之意乍閲之或未解葢原母倘係三百則每度用其倍息三度後仍存三百矣何得子母俱盡須知三倍後之三百其母為三十七兩五錢故於三百内減之而餘即原母數也一三倍而成八故用八除三百得母三十七兩五錢猶之三度折半爾(右一)(條新訂)自貴賤差分至此諸例亦可以借徵法求之别見數條於後又如黄金百斤製一鑪既成慮匠人盜金和銀銷毁驗之則損工費乃以器貯水令滿已知水幾斤即以純金百斤入器内溢出水六十斤加水令滿復以銀百斤入之溢水九十斤再貯滿水却以鑪入之溢水六十五斤問和銀及實金幾何法以金銀溢水之較三十斤以百斤除之得每斤溢水之較十分斤之三為法以除鑪與金溢水之較五斤得和銀數一十六斤又三分斤之二以除鑪與銀溢水之較二十五斤得實金數八十三斤又三分斤之一(補貴賤差分第三條)又如犒軍每八名給豕一頭每六名給羊一頭每三名給兔一頭共用豕羊兔一千一百二十五頭問兵幾何豕羊兔各幾何法以八名六名相乗為兔衰八名三名相乗為羊衰六名三名相乗為豕衰(此所謂三維乗)(也或先求兵總衰而豕羊兔各以所給兵名數除之亦同)并之得九十為豕羊兔總衰為一率以八名六名三名累乗得一百四十四為兵總衰為二率豕羊兔總實為三率求得四率一千八百為兵總數豕羊兔各以所給兵名數除之得各數或以豕羊兔總衰為一率豕羊兔總實為二率豕羊兔各衰為三率即先得三物各數乃各以所給兵名數乗之得兵總數(按此例亦謂兵既給豕又給羊兔者下例同)又如賞軍每八名給紬五匹每六名給絹四匹每四名給布三匹共用紬絹布三千六百七十五匹問兵幾何紬絹布各幾何法以八名六名相乗再以三匹乗之為布衰八名四名相乗再以四匹乗之為絹衰六名四名相乗再以五匹乗之為紬衰(或先求兵總衰而紬絹布)(各以匹數乗之以所給兵數除之亦同)并之得三百九十二為紬絹布總衰八名六名四名累乗得一百九十二為兵總衰如前法求之得兵總數一千八百(右二例與零分章并分法相似)按此例與前例本同一法前例豕羊兔俱以一頭立算故不須以頭數與維乗數再相乗耳但今算家相𫝊僅知有前例而無後例則法有所窮故特出此條其實前例亦暗寓頭數一回乗也(補襍差分第六第七條 右一條新增)九章録要卷五
## 卷六
欽定四庫全書九章録要卷六松江屠文漪撰少廣法古九章四曰少廣以御積冪方員開平方法 平方開除先列實視實有幾位(凡實之大數從千起)(者四位從萬起者五位葢實尾雖止於十而無以下小數亦存一虚位止於百而無以下小數亦存兩虚)(位一定不可易也)即知須幾開而盡(凡經再開者開得平方大數從十起三開者百)(四開者千或實尾一開虚擬而未經開者即開得數終於十而無以下小數也)率實兩位而一開逆從實尾向左數之(尾在右也)至實首則一位亦一開也其開之法有三曰方曰亷曰隅(方法亦謂之商意中商量而定)(之也隅即次商三商而又自有隅法)初開視實首位以起方法實首一位開者(一位之實多不過九)取三及以下數自乗兩位開者(兩位)(之實少不下十一)取三及以上數自乗所取以自乗之數初商也列實首之左(亦有不列於左而即借實首位列之者説詳於後)自乗所得數用以減實是為初開餘實須再開則用亷法亷法者倍前方法以之除實得次商相隨列初商之右即以次商為隅法自乗得數用減實訖(於亷法下一位減之觀後)(假例自明)是為再開自三開以後俱倣此(或問亷隅之義曰初開已成平方形矣再開欲增廣其前方則不必四邊俱加而但於兩邊各加一亷其)(長如前方之數亷有二故倍之也此未及亷之廣以除實得次商次商乃亷之廣數而所加二亷其長各)(如前方之數則二亷相㑹之一角猶缺一小平方其四邊皆與亷之廣等故又以次商為隅法而自乗以)(足之也)假如實一萬五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此須三度開而實首只甲一位開也甲數一則取一為初商列甲之左而以一自乗仍得一即於甲位去一此初開也再開倍前方一得二(前方是一百倍之為二百而此且勿)(論也但謂之一謂之二可耳)為亷法以二除乙之五(乙丙兩位為再開之位而)(亷法當於乙位除隅法當於丙位除也)則於乙減四存一於甲空位列二為次商而以隅二自乗得四於丙位減之則去乙之一加丙一為七此再開也三開倍前方一十二得二十四(前方一下復有二則且謂之一十二矣不計其為一百二十也雖更多亦然)為亷法先以二除丙之七(丁戊兩位為三開之位則亷法當於丁位除而亷法有二十四)(即二當於丙位除四乃於丁位除也)則於丙減六存一於乙空位列三為三商次以四與三相乗得一十二於丙丁兩位減之(亷之四當於丁位除而與商乗得一十二即一又當於丙位除矣隅法亦然)則並去丙之一丁之二又以隅三自乗得九於戊位減之適盡得方一百二十三又如實四十五萬九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦須三度開而實首乃甲乙兩位開也甲乙數四十五(甲四乙五并而計之則曰四十五而不必問其為四十五萬也)且取六為初商列甲之左而以六自乗得三十六於甲乙兩位減之則去甲之四加乙五為九此初開也再開倍六得一十二為亷法先以一除乙之九則於乙減七存二於甲空位列七為次商(不用實者以八開之則 不足也)次以二與七相乗得一十四於乙丙兩位減之則減乙二為一丙九為五又以隅七自乗得四十九於丙丁兩位減之則去丙之五加丁六為七此再開也三開倍六十七得一百三十四為亷法先以一除乙之一(戊己)(兩位為三開之位則亷法之一當於丙位除而乙位當列三商矣今乙位有實則亦以除丙之法除之葢)(乙丙同除猶實首之兩位并開也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一則以亷一除丙當去丙)(之一而列一於乙為三商今以除乙之一則為見一無除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳)則改乙一為九加丙空為一而其下實不足除即又減乙九為八為三商而加丙一為二(乙之一丙之十也試列十於丙)(而以亷一除之與此同則除乙猶之除丙耳)次以三與八相乗得二十四於丙丁兩位減之則去丙之二減丁七為三次以四與八相乗得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊八為六又以隅八自乗得六十四於戊己兩位減之適盡得方六百七十八又如實六百七十六列甲乙丙三位此只須兩度開而實首係甲一位開也甲數六且取二為初商列甲左而以二自乗得四即於甲減四存二此初開也再開倍二得四為亷法以四除甲之二則改甲二為五又以四除乙之七則於乙減四存三於甲加一為六為次商(此甲乙同除如前第二例第三開之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是)(以亷四除乙之二十七合觀二例其義益明)乃以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得方二十六開方得數審空位例假如實六十五萬四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此須三度開而實首係甲乙兩位開也甲乙數六十五且取八為初商列甲左而以八自乗得六十四於甲乙兩位減之則去甲之六減乙五為一此初開也再開倍八得一十六為亷法先以一除乙之一而其下實不足除知再開值空位矣(丙丁為再開之位則亷之六當於丙位除一當於乙位除而除得次商當在甲位今若去)(乙之一而列一於甲為次商即丙位無六可除此當為見一無除改作九而下添一然則商乃在乙位而)(甲位空矣可知無次商宜便接三開也)三開倍八十得一百六十(前方八下)(有空位則謂之八十也若更有空位亦遞進之)為亷法仍先以一除乙之一(戊己為三開之位則亷法當於戊位除而亷法有一百六十即六當於丁位除一當於丙位除今乙位有)(實又須以除丙之法除之葢除乙猶之除丙其説已詳前二例矣 三商自當在乙位也)則改乙一為九為三商而加丙四為五次以六與九相乗得五十四於丙丁兩位減之則並去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一於戊己兩位減之適盡得方八百零九開方初商列位法 凡初商列於實首位之左者為多而不盡然也須知實首兩位開而初商數不滿五者必當借實首甲位列之何也實首甲一位開則乙丙為次開之位而乙屬亷丙屬隅也亷法於乙位除即除得次商當在甲位而初商不得不列甲之左矣實首兩位開則丙丁為次開之位而丙屬亷丁屬隅也亷法於丙位除而初商係五倍之為十遇十進位乃當於乙位除即除得次商亦當在甲位而初商不得不列甲之左矣(五以上更不必言)若實首既以兩位開而初商係四倍之為八只當於丙位除然則除得次商當在乙位而初商當列甲位又何疑乎(四以下更不必言)且如實二千四百零一列甲乙丙丁四位當取四為初商而減甲乙實一十六則先去甲之二加乙四為八乃以初商四列甲位再開倍四得八為亷法以除乙之八則改乙八為九為次商加丙空為八而以隅九自乗得八十一減丙丁實並盡得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其誤甚矣葢開得商數中間應有空位與否信手布算即自然而見本不煩擬議也但審定初商位置則無空者不致誤而成空而以後俱任其自然之數可耳又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一於甲為次商而以隅一自乗減丁之一亦盡乃得方四十一豈非誤之尤甚者乎葢丙丁為次開之位而亷法止有八則當於丙位除除得次商當在乙位雖乙位有實而以除丙之法除乙然次商畢竟仍在乙位斷無進到甲位之理不辨於此且致大誤故詳論之而初商若便列在甲位亦自無此弊矣開方餘實命分法 開方餘實僅及所開方數一倍以下則命分命分者倍方加一數以命之(倍方者亷法加一數者隅)(法)假如實五十五開得方七而餘實六即倍七又加一數得一十五以為母而以六為子命之曰一十五分之六并整為七零一十五分之六也開方求零分密法 開方餘實欲除令盡即所得方數必帶零分而若以所命之分為方數試以自乗見積頗朒於原實則法猶疎也且如實二十開得方四而餘實四依命分法為九之四并整為四又九之四乃化整俱為零曰九之四十母子各自乗以見方積母得八十一(此原實一之方積也葢一實而縱横俱分為九則其中應有方積八十一矣)子得一千六百(此總方積也)以母積除子積歸整得實一十九又八十一之六十一則朒於原實八十一之二十當更有法以開之其法倍九之四十(倍之為亷法也)為九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十約為三十六之一與前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九約為三十六之一百六十一以母除子歸整得方四又三十六之一十七仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一千二百九十六子得二萬五千九百二十一以母積除子積歸整得實二十又一千二百九十六之一雖盈於原實一千二百九十六之一然比之朒於原實八十一之二十則其法已密矣又法如實二十開得方四而餘實四但倍方為分母不復加隅而以餘實為子曰八之四約為二之一并整為四又二之一乃化整俱為零曰二之九母子各自乗以見方積母得四子得八十一以母積除子積歸整得實二十又四之一則盈於原實四之一亦更有法以開之其法倍二之九為一之九(本欲倍其子而半其母則)(子自倍矣不須更用約法)以除盈四之一得三十六之一與前方二之九相減(此與前法正同而盈朒并減有辨葢前方朒於原實則以亷法除所朒之數而)(與之相并前方盈於原實則以亷法除所盈之數而與之相減也)得七十二之三百二十二約為三十六之一百六十一以下各數並與前法同(按二法所得數其歸正同葢偶同耳他處則往往小異也)右二法開方自乗得積並盈於原實一千二百九十六之一必欲除盡依法再開之以四又三十六之一十七復化為三十六之一百六十一倍之為一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一萬一千五百九十二之一與前方三十六之一百六十一相減得四十一萬七千三百一十二之一百八十六萬六千二百七十六約為一萬一千五百九十二之五萬一千八百四十一以母除子歸整得方四又一萬一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱為零母子各自乗以見方積母得一億三千四百三十七萬四千四百六十四子得二十六億八千七百四十八萬九千二百八十一以母積除子積歸整得實二十又一億三千四百三十七萬四千四百六十四之一此則盈於原實為數甚微矣欲除盡依法再開又法開方不盡實則增開數以求之凡增一開者化實之一為百而開得方數當十而一增二開者化實之一為萬而開得方數當百而一假如實二十四化為二千四百開之得四十九是為一十之四十九以母除子歸整得方四又一十之九仍化整俱為零自乗以見方積得一百之二千四百零一以母積除子積歸整得實二十四又一百之一乃盈於原實一百之一也或增二開三開者倣此零分開方法 原實係整數而開之帶零分者前法已詳矣若原實先係零分而欲開方者法以母自開得數為母子自開得數為子其大端也如實九之四開得方三之二是已更有開得數復成零分乃須分别算之如實九之二十母開得三子開得四又九之四化為九之四十(此只依命分之數聊示其法耳未及密率也)此當用整除零分法以三乗九為母以四十為子得方二十七之四十也如實二十之九母開得九之四十子開得三此當用零分除整法以四十為母以九乗三為子得方四十之二十七也又如實七之二十母開得二又五之三化為五之一十三子開得九之四十此當用零分除零分法以一十三乗九為母以五乗四十為子得方一百一十七之二百也葢原實之母本法也原實之子則實也故右三例用法分别如此前零分篇中於開方法未詳兹乃盡其變云長方以積與長廣較求長廣 法以四乗積并較實開方得長廣和和較相并半之得長相減半之得廣長方以積與長廣和求長廣 法以四乗積減和實開方得長廣較 按四乗積者以四長方兩縱兩横列四隅合為大平方則四邊各兼長廣之數而中央不滿者正較自乗之小平方故知和實中有四積一較實也(二法亦見句股章彼以八乗積者句股之積半長方積也)右二法可該下文縱方七法而七法更不可不講者葢變化無窮之用出焉固非右二法所能及矣具詳於左帶縱并方亷開平方法長方以積與較求廣者其長之積多於廣當加法以帶除其長積名帶縱并方亷開平方依常列實定開位以較為帶縱初開稍朒其商以帶縱并之為方法(常法以方與商為一此以方與商為二)乃以乗商減實再開倍前商亦以帶縱并之為亷法以除實得次商其隅法如常假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣較一十二求廣者初商得二列甲左而以縱并商得三十二(須知初商之二是二十故并縱得三十二也凡商與縱并者以十隨十以百隨百并之相減亦)(然)為方法乃以方法乗商以三乗二得六(此處只作二與三且)(勿論其為二十與三十可也)於甲位減之(依常法商二自乗當於甲位減今與方法三相)(乗亦同也)則減甲八為二次以二乗二得四於乙位減之(六於甲位減則四當於乙位減故初開而減及次開之亷位也)則減乙六為二此初開也再開倍前商二得四并縱得五十二(倍商是四十也 倍)(商不倍縱)為亷法先以五除甲之二(倍商之四當於乙位除因帶縱首之一而)(成五亦同除得次商當在甲位今甲位有實故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而進一位)(也此五只作五若倍商四縱首六并成一十乃當進一位耳)則改甲二為四為次商次以二乗四得八於丙位減之(五於乙位除則二當於丙位除故亷)(法而減及隅位也)則減乙二為一加丙四為六又以隅四自乗得一十六減乙丙兩位實盡得廣二十四(并較得長三十)又如實二十三萬零四百列甲乙丙丁戊己六位(戊己)(為虚位)帶縱七百二十初商得二(若商三則并縱首之七為一十又與商乗)(得三十而實首只二十三不足除故用二)列甲左(不列甲位者帶縱故也)而以縱并商得九百二十為方法乃以方法乗商以九乗二得一十八於甲乙兩位減之則去甲之二加乙三為五次以二乗二得四於丙位減之則減乙五為四加丙空為六此初開也再開倍前商二得四并縱得一千一百二十為亷法先以一除乙之四(倍商之四當於丙位除因并縱)(首之七而成一十一則此一當進而於乙位除除得次商當在甲位矣初商不列甲位正為此也)則去乙之四於甲空位列四為次商次以一乗四得四於丙位減之則減丙六為二次以二乗四得八於丁位減之則減丙二為一加丁四為六又以隅四自乗得一十六減丙丁實並盡得廣二百四十(并較得長九百六十)又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而以縱并商得一百七十二為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次七仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二此初開也再開倍前商一得二并縱得二百七十二為亷法先以二除乙之二而其下實不足除知再開值空位矣(倍商之二當於乙位除除得次商當在甲位今若去乙之二而列一於甲為次商即)(丙丁兩位無七與二可除當為見二無除改作九而下添二然則商乃在乙位矣既退一位知是三商非)(次商也)三開倍前商一十得二十(此一與二皆百也謂之十者依常法)并縱得二百七十二為亷法仍先以二除乙之二(倍商之二)(十當於丙位除乙位有實故以除丙之法除乙也)則改乙二為九加丙二為四而其下實又不足除即又減乙九為八為三商而加丙四為六次以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則去丙之六加丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八(并較得長一百八十)又如實一萬六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二此當減一開而實首取三位并開之(若初)(商一則并縱得一百七十二而乙丙兩位無七與二可除也)初商得九(此當借列實首甲位)而以縱并商得一百六十二為方法乃以方法乗商以一乗九得九於乙位減之(初商之九當於丙位減因并縱首之七而成一)(十六則此一當進而於乙位減)則去甲之一加乙六為七次以六乗九得五十四於乙丙兩位減之則減乙七為一加丙一為七次以二乗九得一十八於丙丁兩位減之則減丙七為五加丁二為四此初開也再開倍前商九得一十八并縱得二百五十二為亷法先以二除乙之一(倍商之一十八當於丙丁兩位減并縱首七而成二十五其位亦同今乙位有實故以除丙之)(法除乙也)則改乙一為五又以二除丙之五則於丙減二存三於乙加一為六為次商次以五乗六得三十於丙位減之則去丙之三次以二乗六得一十二於丁戊兩位減之則減丁四為三戊八為六又以隅六自乗得三十六減丁戊實並盡得廣九十六(并較得長一百六十)又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千零八十八初商得一(初商是百而縱乃至千故)(只可用一)列甲左而以縱并商得一千一百八十八為方法乃以方法乗商以一乗一仍得一於甲位減之(方一)(百之一當於乙位減此是縱首一千之一故進一位)則去甲之一次一仍得一於乙位減之則減乙六為五次八仍得八於丙位減之則減乙五為四加丙六為八次八仍得八於丁位減之則減丙八為七加丁四為六此初開也再開倍前商一得二并縱得一千二百八十八為亷法先以一除乙之四(倍商之二當於丙位減此是縱首之一故進一位也下三開倣此)則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以二乗三得六於丙位減之則減丙七為一次以八乗三得二十四於丙丁兩位減之則去乙之一加丙一為九減丁六為二次以八乗三得二十四於丁戊兩位減之則去丁之二減戊六為二又以隅三自乗得九於丁位減之則減丙九為八加丁空為一此再開也三開倍前商一十三得二十六并縱得一千三百四十八為亷法先以一除丙之八則於丙減六存二於乙空位列六為三商次以三乗六得一十八於丙丁兩位減之則去丙之二加丁一為三次以四乗六得二十四於丁戊兩位減之則去丁之三加戊二為八次以八乗六得四十八於戊己兩位減之則減戊八為三加己四為六又以隅六自乗得三十六減戊己實並盡得廣一百三十六(并較得長一千二百二十四)帶縱減積開平方法 長方積較求廣或於實内減長積以就其方名帶縱減積開平方列實定位以較為帶縱初開亦稍朒其商先以帶縱乗商減實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以帶縱乗商減實乃以亷法除實合次商其隅法如常假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得二列甲左而先以縱乗商以一乗二得二於甲位減之(此縱之一商之二皆十也依常法商二自乗於甲位減今以縱一乗商二亦同葢凡)(十與十百與百相乗皆於本位減必相乗又得十乃進一位若商係十而乗縱之百則當進一位商係百)(而乗縱之十則當退一位次商三商其理不殊各以所商應除之位為本位而進退之也負縱益積倣此)則減甲八為六次以二乗二得四於乙位減之則減乙六為二乃以商二自乗得四於甲位減之則又減甲六為二此初開也再開倍前商二得四為亷法約計次商當得四(約計減積之餘尚有商亷相乗及隅自乗之數也)亦先以縱乗商以一乗四得四於乙位減之(次商即再開之隅隅本位在丙然隅)(四只是四數而所與乗之縱一則是一十故進一位也若以比初開所除之位則為退一位至三開即比)(再開又退一位矣)則減甲二為一加乙二為八次以二乗四得八於丙位減之則減乙八為七加丙四為六乃以亷四除甲之一則改甲一為二加乙七為九又以四除乙之九則於乙減八存一於甲加二為四為次商又以隅四自乗得一十六減乙丙實並盡得廣二十四又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位帶縱七十二初商得一列甲左而先以縱乗商以七乗一仍得七於乙位減之則減乙九為二次二仍得二於丙位減之則減丙四為二乃以商一自乗得一於甲位減之則去甲之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商不足除知再開值空位(乙位實二試擬)(一為次商而以縱首之七相乗當比初開退一位於丙位減之則丙實只有二必減及於乙而亷已不足)(除未暇論其他矣故知再開值空位也)三開倍前商一十得二十為亷法約計三商當得八亦先以縱乗商以七乗八得五十六於丙丁兩位減之則減乙二為一加丙二為六丁四為八次以二乗八得一十六於丁戊兩位減之則減丁八為六加戊空為四乃以亷二除乙之一則改乙一為五又以二除丙之六則去丙之六於乙加三為八為三商又以隅八自乗得六十四減丁戊實並盡得廣一百零八 按積較求廣雖有二法只如一法耳前法并縱於方亷以除實此法分縱與方亷先後減實異而不異也分作兩度減固不如并作一度除之便然必備識諸法而後可以盡其變化之用不容廢云負縱減方亷開平方法 長方以積與較求長者其廣之積少於長當損其法之長名負縱減方亷開平方列實定開位以較為負縱初開稍盈其商以負縱減之為方法乃以乗商減實再開倍前商亦以負縱減之為亷法以除實得次商其隅法如常 假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二求長者初商得三列甲左而以負縱減商得一十八為方法乃以方法乗商以一乗三得三於甲位減之則減甲八為五次以八乗三得二十四於甲乙兩位減之則減甲五為三乙六為二此初開也再開倍前商三得六減負縱得四十八為亷法先以四除甲之三則改甲三為七於乙加二為四而其下實不足除即又於甲減一存六為次商而於乙加四為八次以八乗六得四十八於乙丙兩位減之則減乙八為三加丙四為六又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六(減較得廣二十四)又如實一萬九千四百四十列甲乙丙丁戊五位負縱七十二初商得一列甲左而以負縱減商得二十八為方法乃以方法乗商以二乗一仍得二於乙位減之(商係百而乗方之十故退一位也)則減乙九為七次八仍得八於丙位減之則減乙七為六加丙四為六此初開也再開倍前商一得二減負縱得一百二十八為亷法先以一除甲之一則改甲一為九於乙加一為七而其下實不足除即又於甲減一存八為次商而於乙加一為八次以二乗八得一十六於乙丙兩位減之則減乙八為七去丙之六次以八乗八得六十四於丙丁兩位減之則減乙七為六加丙空為四去丁之四又以隅八自乗得六十四減乙丙實並盡得長一百八十(減較得廣一百零八)負縱益積開平方法長方積較求長或益積以補廣而就其方名負縱益積開平方列實定位以較為負縱初開亦稍盈其商先以負縱乗商益實乃以商自乗減實再開倍前商為亷法約計當得次商若干亦先以負縱乗商益實乃以亷法除實合次商其隅法如常假如長方積八百六十四列甲乙丙三位較一十二初商得三(此當列甲左第二位因有益積故也初開畢不妨從甲左第二位移入甲左凡縱方)(諸例其商位每不可拘善算者自了然於心手之間耳)而先以負縱乗商以一乗三得三於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為一次以二乗三得六於乙位加之則加甲一為二減乙六為二乃以商三自乗得九於甲位減之則去甲左之一加甲二為三此初開也再開倍前商三得六為亷法約計次商當得六亦先以負縱乗商以一乗六得六於乙位加之則加乙二為八次以二乗六得一十二於乙丙兩位加之則加乙八為九丙四為六乃以亷六除甲之三則改甲三為五又以六除乙之九則於乙減六存三於甲加一為六為次商又以隅六自乗得三十六減乙丙實並盡得長三十六又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位負縱一千零八十八此當增一開(負縱至千而依實位)(初商只是百數無是理也)初商得一列甲左第二位而先以負縱乗商以一乗一仍得一於甲左空位加之(甲左空位是商千應)(除之本位也商千乗縱千當於本位加)則列一於甲左次八仍得八於乙位加之則加甲一為二減乙六為四次八仍得八於丙位加之則加乙四為五減丙六為四乃以商一自乗得一於甲左空位減之則去甲左之一此初開也再開倍前商一得二為亷法約計次商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於甲位加之則加甲二為四次以八乗二得一十六於乙丙兩位加之則加乙五為七去丙之四次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙空為二去丁之四乃以亷二除甲之四則去甲之四於甲左空位列二為次商又以隅二自乗得四於乙位減之則減乙七為三此再開也三開倍前商一十二得二十四為亷法約計三商當得二亦先以負縱乗商以一乗二得二於乙位加之則加乙三為五次以八乗二得一十六於丙丁兩位加之則加丙二為三丁空為六次以八乗二得一十六於丁戊兩位加之則加丁六為八減戊六為二乃以亷二除乙之五則於乙減四存一於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丙位減之則去乙之一加丙三為五又以隅二自乗得四於丁位減之則減丁八為四此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四為亷法約計四商當得四亦先以負縱乗商以一乗四得四於丙位加之則加丙五為九次以八乗四得三十二於丁戊兩位加之則加丁四為七戊二為四次以八乗四得三十二於戊己兩位加之則加戊四為七己四為六乃以亷二除丙之九則於丙減八存一於乙空位列四為四商次以四乗四得一十六於丙丁兩位減之則去丙之一減丁七為一次以四乗四得一十六於丁戊兩位減之則去丁之一減戊七為一又以隅四自乗得一十六減戊己實並盡得長一千二百二十四 按積較求長二法不同論負縱以并方亷為便而使負縱多初商少乃宜用益積也别擬取㨗之術凡負縱減商而商不足則以所負商數為負方(亦可稱餘負縱也)以負方乗商益積即初開畢矣自再開以後減亷固無礙耳帶縱負隅益積開平方法 長方以積與和求廣者用和為帶縱(此與用較為帶縱又别用較為帶縱者以縱并方亷而乗商減實用和為帶縱者直)(以縱乗商減實耳然且患縱多積少而須益積及減縱二法矣)則已兼長廣而積有長廣相乗無廣自乗故置負隅法以益積而以帶縱開之名帶縱負隅益積開平方列實定開位以和為帶縱别置一算為負隅初開稍朒其商以乗負隅(一為)(負隅則可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他處即負隅或不止於一也觀後各例自)(見)為方法先以方法乗商益實乃以帶縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法先以亷法乗商益實又以隅法乗商(隅乗商云者因有負隅之乗故又分隅與商為二也然負隅若止於一則直云商自乗或隅自乗亦)(可耳)益實乃以帶縱除實合次商假如長方積八百六十四列甲乙丙三位其長廣和六十求廣者初商得二(此當列甲左第二位)而以乗負隅仍得二為方法先以方二乗商二得四於甲位加之則於甲左空位列一而減甲八為二乃以縱六乗商二得一十二於甲左及甲兩位減之則去甲左之一甲之二此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以亷四乗商四得一十六於甲乙兩位加之則加甲空為二減乙六為二又以隅四乗商四得一十六於乙丙兩位加之則加乙二為四去丙之四乃以縱六除甲之二(以縱除與以亷除其位同此縱之六與亷之四皆十也以十隨十當於亷本位)(乙位除之除得次商當在甲位今甲位有實則甲乙同除也 至此宜將初商仍移入甲左矣)則改甲二為三於乙加二為六又以六除乙之六則去乙之六於甲加一為四為次商得廣二十四帶縱負隅減縱開平方法 長方積和求廣或減負隅於縱而以餘縱開之名帶縱負隅減縱開平方列實定位以和為帶縱别置一算為負隅初開亦稍朒其商以乗負隅為方法以方法減縱乃以餘縱乗商減實再開倍前商以乗負隅為亷法約計當得次商若干以乗負隅為隅法以亷法減縱又以隅法減縱乃以餘縱除實合次商假如長方積八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗負隅仍得二為方法以方法減縱餘四十乃以縱四乗商二得八於甲位減之則去甲之八此初開也再開倍前商二得四以乗負隅仍得四為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘二十又以隅法減縱餘一十六乃以縱一除乙之六則於乙減四存二於甲空位列四為次商次以六乗四得二十四減乙丙實並盡得廣二十四又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十初商得一列甲左而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘一千二百六十乃以縱乗商以一乗一仍得一於甲位減之則去甲之一次二仍得二於乙位減之則減乙六為四次六仍得六於丙位減之則去丙之六此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為亷法約計次商當得三以乗負隅仍得三為隅法以亷法減縱餘一千一百六十又以隅法減縱餘一千一百三十乃以縱一除乙之四則於乙減三存一於甲空位列三為次商次以一乗三得三於丙位減之則去乙之一加丙空為七次以三乗三得九於丁位減之則減丙七為六加丁四為五此再開也三開倍前商一十三得二十六以乗負隅仍得二十六為亷法約計三商當得六以乗負隅仍得六為隅法以亷法減縱餘一千一百又以隅法減縱餘一千零九十四乃以縱一除丙之六則去丙之六於乙空位列六為三商次以九乗六得五十四於丁戊兩位減之則去丁之五減戊六為二又以四乗六得二十四減戊己實並盡得廣一百三十六 按積和求廣二法以減縱法為優葢初開以後欲約得續商之數比益積為差易但先以亷減縱而以餘縱求之如第一例餘實六十四且作四與十六相乗之數而餘縱二十析之亦得四與十六兩數即四為次商為隅法以再減餘縱得一十六而以縱除實正得次商矣如第二例直以亷減餘之縱約餘實得次商三商雖得商後須再以隅減縱而縱多商少隅減之餘與亷減之餘當不至大相懸也然此特謂積和求廣之本法止以一為負隅者若施之他處負隅不止於一則因續商有負隅之乗理當小異不得僅如右二説且開除往往遇負積更須參用下文翻法耳帶縱負隅減縱翻法開平方法 長方以積與和求長者積有長廣相乗無長自乗法當損廣以益長故以和為帶縱别置一算為負隅初開稍盈其商以乗負隅為方法以方法減縱以餘縱乗商減積而積常不足則翻以所負積數為積再開倍前商以乗負隅為亷法以亷法減縱而縱又常不足亦翻以所負縱數為縱既隅積縱三者俱負乃以負縱除負積得次商又以次商乗負隅為隅法以乗商減負積名帶縱負隅減縱翻法開平方假如長方積三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求長者初商得七(此雖列甲左而除得次商乃在乙位則又當借)(列甲位也)而以乗負隅仍得七為方法以方法減縱餘五十乃以縱五乗商七得三十五於甲乙兩位減之而積不足四十四則去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四於丙列四於丁為負積此初開也再開倍前商七得一十四以乗負隅仍得一十四為亷法以亷法減縱而縱不足二十即以負縱二除丙之四則去丙之四於乙空位列二為次商又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四減丁位負積適盡得長七十二又如實一十六萬六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位帶縱一千三百六十此當增一開初商得一(若初商九百或八百商愈少則負積且愈多故知當為一千也)列甲左第二位而以乗負隅仍得一為方法以方法減縱餘三百六十乃以縱乗商以三乗一仍得三於甲位減之(商千之位在甲左商)(千乗縱百則退一位故當於甲位減)以六乗一仍得六於乙位減之而積不足一十九萬三千五百三十六則去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一於甲列九於乙列三於丙列五於丁列三於戊列六於己為負積此初開也再開倍前商一得二以乗負隅仍得二為廉法以亷法減縱而縱不足六百四十即以負縱六除甲之一(倍商之二是千也依常法當於甲位除除得次商當在甲左此負縱之六)(是百也則當於乙位除而甲位有負積故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商應列之位特因負縱)(數朒故耳)則於乙加四為十三又以六除乙之十三則於乙減六存七於甲加一為二為次商(此當於再開畢後移列甲左葢)(三開則負縱亦盈至千與常法倍商數等矣)次以四乗二得八於丙位減之則減乙七為六加丙三為五又以次商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於乙位減之則減乙六為二此再開也三開倍前商一十二得二十四以乗負隅仍得二十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零四十即以負縱一除乙之二則去乙之二於甲空位列二為三商次以四乗二得八於丁位減之則減丙五為四加丁五為七又以三商乗負隅仍得二為隅法以乗商二得四於丁位減之則減丁七為三此三開也四開倍前商一百二十二得二百四十四以乗負隅仍得二百四十四為亷法以亷法減縱而縱不足一千零八十即以負縱一除丙之四則去丙之四於乙空位列四為四商次以八乗四得三十二於丁戊兩位減之則去丁之三減戊三為一又以四商乗負隅仍得四為隅法以乗商四得一十六減戊己負積並盡得長一千二百二十四 按積和求廣初開後必有餘積(若遇負積即初商是長非廣也此亦指一為負隅者而言)求長則初開常負積其大凡也若求長用益積法則初開所負之積不妨於再開所益積内減之(再開所負於三開所益減)但欲約次商患其茫然無緒可尋故只倣減縱法葢減縱則縱常不足因即以負縱除負積而得商此翻法所以為良也其間更有變例不可不知者别詳於左一求長而初開後乃有餘積此其初商必與求廣相同者也既有餘積則以亷減縱亦必有餘縱(若積餘縱負乃)(是商數過盈非所求之長當改商就朒)且如實一萬九千四百四十和二百八十八初商得一百(求廣求長同)而餘積六百四十再開以亷減縱餘八十八約餘積為八與八十相乗之數而餘縱析之亦得八與八十兩數此若求廣即再開為空位以八為三商以再減餘縱得八十而以除積正得三商為廣一百零八若求長即以八十為次商以再減餘縱得八而以除積正得次商為長一百八十葢只用減縱法而廣長皆得可不須翻法也又如實二萬零九百四十四和二百九十初商得一百而餘積一千九百四十四再開以亷減縱餘九十約餘積一千九百(其下小數且置不算也)為四十與五十相乗之數則朒為三十與六十相乗之數則盈而餘縱析之亦得四十與五十兩數及三十與六十兩數此若求廣則取盈數(宜有餘積也)以三十為次商(廣不合有一百六十故不)(用六)以再減餘縱得六十而以除積一千八百得次商仍餘積一百四十四三開以亷減縱餘三十約餘積為六與二十四相乗之數而餘縱析之亦得六與二十四兩數即以六為三商以再減餘縱得二十四而以除積正得三商為廣一百三十六若求長則取朒數(宜負積也)以五十為次商(長不合止一百四十故不用四)以再減餘縱得四十而以除積二千合次商積負五十六三開以亷減縱縱負一十以負縱除負積四十得四為三商而以隅四自乗得一十六減負積盡為長一百五十四葢始終用減縱法以得廣始於減縱終於翻法以得長非可執一云(右一條及下四條所舉假例皆以一為負隅故例中不言負隅之乗)(取省文便覽也又自此以下凡積縱商亷諸數百則曰百千則曰千而不復著甲乙之位非前後互異正)(取參觀以相發明耳)一負積當以負縱除而以亷減縱適盡者約負積得次商以乗負隅為隅法以乗商減負積(既無負縱則獨用隅法減)(負積也或以負隅除負積以常法平方開之亦可)如實八百六十四初商三十而負積三十六再開以亷減縱適盡即約負積得次商六為隅法自乗得三十六減負積盡為長三十六又如實九千三百七十五和二百初商一百而負積六百二十五再開以亷減縱適盡即約負積得次商二十為隅法自乗得四百減負積三開以亷減縱縱負四十乃以負縱除負積二百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長一百二十五(負積)(六百二十五常法開平方亦得二十五平方再開亷法之四十猶翻法三開負縱之四十也葢縱亷相減)(負縱即是餘亷而在負隅法中方亷隅皆負也縱乃正也以相減則負縱固是餘負亷也)一以亷減縱有餘縱不可以除負積者約計當得次商若干以乗負隅為隅法再減餘縱縱負則以負縱除負積合次商(負縱與隅法皆所用以除負積者也無負縱則獨用隅法有餘縱則以隅)(法相減)如實一千六百六十六和八十三初商四十而負積五十四再開以亷減縱餘三即約九為次商以再減餘縱縱負六乃以負縱除負積合次商為長四十九也一以亷減縱有餘縱不可以除負積再以隅減縱適盡者此為有商無除(隅與縱相減並盡既無負縱即無餘隅矣無可用以除負積者)(也)而其負積則續商以除之如實五萬五千五百七十五和四百八十初商二百而負積四百二十五再開以亷減縱餘八十即以八十為次商(若以九十為次商則減縱)(而縱負一十矣然以一十除負積欲合次商之九十當有負積九百乃足除耳今只四百二十五是負積)(又負於法不得行也)以再減餘縱適盡無可除三開以亷減縱縱負八十乃以負縱除負積四百得五為三商而以隅五自乗得二十五減負積盡為長二百八十五一以亷減縱有餘縱再以隅減縱仍有餘縱者以餘縱乗商益負積(餘縱以減積負縱以減負積然則餘縱當以益負積矣)而續商以除之如實一萬六千一百二十八和二百六十四初商一百而負積二百七十二再開以亷減縱餘六十四即以六十為次商(不以七十為次商者猶前例不可以九十為次商也)以再減餘縱仍餘四則以餘縱乗商得二百四十以益負積得五百一十二三開以亷減縱縱負五十六乃以負縱除負積四百四十八得八為三商而以隅八自乗得六十四減負積盡為長一百六十八右自帶縱并方亷開平方至此凡有縱方七法六法所以御平方之變而翻法又所以通縱方之窮也此外更有隅算開平方一法其以商亷相乗與負隅同而負隅則以益積及減帶縱隅算則以除積而并帶縱葢隅有正負猶縱有正負也(若以一為隅算則與無隅算同商亷固即)(是隅算之一也)以此八法為綱領而錯綜變化其用不窮矣隅算法前未有例於後見之云平方以斜徑求方 法以斜徑自乗為實以二為隅算開方 假如方田斜徑七十步求方者以斜徑自乗得四千九百為實以二為隅算初商四十以乗隅算得八十為方法以方法乗商得三千二百減實再開倍前商得八十以乗隅算得一百六十為亷法以亷法除實一千四百四十得九為次商又以次商乗隅算得一十八為隅法以隅法乗商得一百六十二減實不盡九十八倍商加隅仍乗隅算以命分為一百九十八之九十八約為九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也 按斜徑自乗之實倍方積故以二為隅算開之(或不用隅算以斜徑實半之開方亦得)舊説率方五斜徑七然方五則斜七而强斜七則方五而弱未可為密率不若方斜積率方一斜二無黍絲差也平方以方求斜徑 法倍方積開方大小兩方以共積及兩方互乗數求大小方 法倍兩方互乗數減共積開方得兩方較乃以兩方互乗數為實以較為帶縱用帶縱并方亷開之(言并方亷而或用減積可)(知不待言也他倣此)得小方或以較為負縱用負縱減方亷開之得大方又法倍兩方互乗數并共積開方得兩方和乃以兩方互乗數為實以和為帶縱一為負隅用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方(按此葢以句股法通)(之大方股也小方句也共積弦實也兩方互乗數句股相乗長方積也故倍互乗數則與共積相并减而)(開方可得和與較也或和或較但得其一即以互乗數為實用縱方開之自見大小方矣若兼求和與較)(以見大小方不用縱方之法亦可耳)大小兩方以共積及兩方較求大小方 法以較實減共積餘為實以二為隅算倍較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方或倍較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方 假如大小兩方田共積七千五百九十二步兩方較二十八步求大方者以較自乗得七百八十四以減共積得六千八百零八為實以二為隅算倍較得五十六為負縱初商七十以乗隅算得一百四十為方法先以負縱乗商得三千九百二十益實乃以方法乗商得九千八百減實再開倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十為亷法約計次商當得四以乗隅算得八為隅法先以負縱乗商得二百二十四益實乃以亷法除實一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二減實盡得大方七十四(此以隅算負縱益積法為例餘可類推)大小兩方以共積及兩方和求大小方 法以和實減共積餘為實以二為負隅倍和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得小方或用翻法開之得大方(按右二條但倍共積)(以減較實開方得兩方和以減和實開方得兩方較兼和較以見大小方最為便易然欲倣此意而推之)(三方以上則格而難通矣若以較和實減共積為實倍較和為帶縱負縱則推之三方以上總用此法不)(過遞增其隅算負隅之數及中方以較較為縱微不同耳合下二條觀之乃知法之妙也)大小三方以共積及三方之兩較求各方 法以兩較實減共積餘為實以三為隅算而視其較若係大與小中與小之兩較則倍兩較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得小方係大與中大與小之兩較則倍兩較為負縱用隅算負縱減方亷開之得大方或係大與中中與小之兩較而大與中之較盈於中與小之較(可知中方近小方也)則倍兩較之較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之大與中之較朒於中與小之較(中方近大方也)則倍較較為負縱用隅算負縱減方亷開之大與中之較中與小之較等則直用隅算開之得中方大小三方以共積及三方之兩和求各方 法以兩和實減共積餘為實以三為負隅倍兩和為帶縱用帶縱負隅減縱開之得中方及小方或用翻法開之得大方(按并兩和實其數自多雖以共積減之猶多也以此為實則除之常有餘實矣并兩和又倍之)(其數亦復不少以此為縱則減之常有餘縱矣故舉大與中與小之兩和往往只用負隅減縱法即得大)(方不須翻法也惟大方與中小二方盈朒迥殊者乃間用翻法耳)右四條以較求方以和求方其法兩兩相對由二方以推之三方更推之多方皆可以一理貫也但較有帶縱負縱之分和則惟有帶縱而已又中方以較較為縱與大小方固殊而以和和為縱則與大小方不異故以較求者其緒繁以和求者其術簡也且如甲乙丙丁戊五方舉甲與戊乙與戊丙與戊丁與戊之四較即先求戊方以四較實減共積餘為實以五為隅算倍四較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之求甲方者用負縱(若四較皆以甲方為主即先求甲方也 甲大戊小)並如右法至於求乙丙丁三方者當倍較較為縱而欲得較較固自有説假使求乙方即并乙與丙與丁與戊之三較而以甲與乙之較減之餘則較較也葢以大於乙之較與小於乙之較相減既得較較且可知乙方為近大方為近小方而較較為帶縱為負縱矣(乙下於甲一等似近)(大方而較較當為負縱然使并乙與丙丁戊之三較不及甲與乙一較之數即乙近小方而當為帶縱也)(等并三較與一較之數 者但用隅算開之)丙丁倣此其以和求者只如右法云三廣田以積與三廣之兩較及長廣較求長廣 法以中廣與長之較為帶縱(必以中廣為主此算三廣之定法 既稱長廣則中廣必)(朒於長故直稱帶縱而下文立法皆就帶縱言之也然亦或有中廣反盈於長者自當為負縱耳)以中廣與南北廣之兩較并而四除之為旁縱(長既有縱廣不)(當又稱縱而廣之有較亦縱也故謂之旁縱)而中廣朒則為旁帶縱中廣盈則為旁負縱又有不同旁帶縱者用雙帶縱并方亷兼減積開之(帶縱法以并方亷為便而兩縱分屬長廣兩邊則初開未可皆并入方故)(兼用減積法至再開或減積或并亷者亷固統長廣兩邊不妨并兩縱也)旁負縱者用帶縱并方亷兼負縱益積減亷開之(帶縱既用并方亷法而兩縱分屬長)(亷兩邊則初方不可一并一減故負縱必用益積法至再開或益積或減亷者亷統長廣兩邊不妨且并)(且減也)得中廣 假如三廣田積二千四百六十五步中廣朒於南廣八步朒於北廣三十六步朒於長六十七步求三廣及長者以長廣較六十七為帶縱以兩廣較并而四除之得一十一為旁帶縱初商一十并帶縱得七十七為方法先以方法乗旁帶縱得八百四十七減積乃以方法乗商得七百七十減積再開倍前商得二十并帶縱得八十七為亷法約計次商當得八為隅法先以隅法乗旁帶縱得八十八減積乃以亷法除積六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四減積盡得中廣一十八(各加較得南廣二十六北廣五)(十四長八十五)或再開以旁帶縱并入亷法得九十八以除積七百八十四得八為次商而以隅法減積盡尤簡捷又如三廣田積二千四百六十五步中廣盈於南廣一十五步盈於北廣九步朒於長五十步求長廣者以長廣較五十為帶縱以兩廣較并而四除之得六為旁負縱初商三十并帶縱得八十為方法先以方法乗旁負縱得四百八十益積乃以方法乗商得二千四百減積再開倍前商得六十并帶縱得一百一十為亷法約計次商當得五為隅法先以隅法乗旁負縱得三十益積乃以亷法除積五百五十合次商又以隅五自乗得二十五減積盡得中廣三十五(各加)(減較得南廣二十北廣二十六長八十五)或再開以旁負縱減亷法得一百零四以除積五百二十得五為次商而以隅法減積盡尤便(按右條之法亦可以縱為旁縱以旁縱為縱也雖縱有帶負之分而帶縱兼旁負縱)(者易為負縱兼旁帶縱於算亦通然長廣之較自當為縱廣與廣之較自當為旁縱理固如此耳且如下)(文各條例中其法更加隅算及負隅者縱與旁縱斷不可移易也)方長帶偏斜田以積及四邊之三較求長廣 法以一邊為主若主東一邊即以東長與南北廣之兩較俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相減而以所餘盈朒之數半之為縱以東西之較半之為旁縱其為帶縱負縱並以東一邊之盈朒分之先求東長如前三廣田法 假如偏斜田積四千一百四十八步東長盈於南廣十步朒於北廣四步朒於西長八步求各長廣者以東與南北兩較相減得盈六半之得三為負縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十減負縱得五十七為方法先以方法乗旁帶縱得二百二十八減積乃以方法乗商得三千四百二十減積再開倍前商得一百二十減負縱得一百一十七并旁帶縱得一百二十一為亷法以亷法除積四百八十四得四為次商而以隅四自乗得一十六減積盡得東長六十四(各加減較得南廣五十四北廣六十八西長七十二)又如偏斜田積一萬一千四百步東長盈於南廣一百三十步盈於北廣一百一十步朒於西長二十步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得一十為旁帶縱初商一百(此因負縱多而初商少兼用益積法)先以負縱乗旁帶縱得一千二百益積(凡帶縱皆用之減積也此旁帶縱何以益積葢以方法相乗則減積耳方法之中有商有帶縱)(方也商也帶縱也皆正也兩正相乗宜減積一正一負相乗宜益積也)次以商乗旁帶縱得一千減積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十并旁帶縱得九十為亷法以亷法除積七千二百得八十為次商而以隅八十自乗得六千四百減積盡得東長一百八十(南廣五十北廣七十西長二百)又如偏斜田積八千一百步東長盈於南廣一百二十五步盈於北廣一百一十五步盈於西長一十六步求長廣者以東與南北兩較相并半之得一百二十為負縱以東西較半之得八為旁負縱初商一百先以負縱乗旁負縱得九百六十減積(凡負縱皆用之益積此旁)(負縱何以減積葢一正一負相乗宜益積則兩負相乗又宜減積也兩負如無負也)次以商乗旁負縱得八百益積又以負縱乗商得一萬二千益積乃以商自乗得一萬減積再開倍前商得二百減負縱得八十又減旁負縱得七十二為亷法以亷法除積五千零四十得七十為次商而以隅七十自乗得四千九百減積盡得東長一百七十(南廣四十五北廣五十五)(西長一百五十四) 按右三例第一例以負縱減方亷兼帶縱減積并亷也其第二例第三例亦是負縱兼旁縱而初開以負縱減商商皆不足當以所負商數各二十為負方第二例以負方乗旁帶縱得二百益積又以負方乗商得二千益積第三例以負方乗旁負縱得一百六十減積又以負方乗商得二千益積即初開各畢矣前著例頗詳者欲使其中條理顯然而㨗徑自出也三廣田以積與三廣和兩廣較及長廣較求長廣 法以四乗積為實以和為帶縱一為隅算(凡三廣必倍中廣并邊兩)(廣而四除之以為廣今四乗積則可以當四除矣乃以三廣和為帶縱而猶少一中廣即以一隅算并縱)(隅算固所求之中廣也)以中廣與長之較為旁帶縱(如中廣反盈於長則)(為負也)用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之得中廣(以加)(長廣較得長以減三廣和得南北二廣和欲知南北各廣數以兩廣較推之其較非必南北之較而皆可)(以次第推也為按此以長廣較為旁縱者和不得為旁縱也凡和 帶縱必加隅算及負隅而隅算負隅)(勢不得在旁也此隅算只一猶與無隅算同縱與旁縱可以互換非負隅之比負隅雖只一其縱亦不可)(移耳)方長帶偏斜田以積與三邊和及長較廣較求長廣法以二乗積為實以和為帶縱一為負隅(以三邊和為帶縱非)(有二長即有二廣故以二乗積而有二長者一為負隅以求廣因以減縱中之廣有二廣者一為負隅以)(求長因以減縱中之長)以長較或廣較半之為旁縱(求長則取長較求廣)(則取廣較)其為帶縱負縱以所求一邊之盈朒分之乃用帶縱負隅減縱兼旁縱開之得一邊長廣 假如偏斜田積四千一百四十八步東南北三邊和一百八十六步東長朒於西八步南廣朒於北一十四步求各長廣者以二乗積得八千二百九十六為實以一為負隅以和一百八十六為帶縱以東西較半之得四為旁帶縱初商六十以乗負隅仍得六十為方法以方法減縱餘一百二十六先以餘縱乗旁帶縱得五百零四減實乃以餘縱乗商得七千五百六十減實再開倍前商得一百二十以乗負隅仍得一百二十為亷法約計次商當得四以乗負隅仍得四為隅法以亷法減縱餘六十六又以隅法減縱餘六十二乃先以隅法乗旁帶縱得一十六益實(在負隅法中方亷隅皆負)(也旁帶縱以正而與負乗故宜益實也)而以餘縱減實二百四十八合次商得東長六十四(以減和更以廣較推之得南廣五十四北廣六十八以長較見)(西長七十二)或再開以旁帶縱乗負隅仍得四(凡縱不與隅算及負)(隅二者相乗而旁縱自再開以後欲與亷縱相并減則必與二者相乗也前以隅法乗之而益積隅法固)(已先乗負隅矣)以減縱餘五十八(帶縱而乗負隅故以減縱)而以除實二百三十二合次商亦便又如偏斜田積三千二百五十步東南北三邊和一百七十四步東長朒於西一十二步南廣朒於北六步此須用帶縱負隅減縱翻法(倍積為實則除實宜有餘實一長二廣為)(縱則減縱宜有餘縱而或須用翻法者必其田狹長之甚也)而兼旁縱開之以二乗積得六千五百為實以一為負隅以和一百七十四為帶縱以東西較半之得六為旁帶縱初商一百(若商八十或九十則負積愈多而八十且有餘縱無以置之九十雖有負縱其數甚少不能除盡負積故)(定商一百)以乗負隅仍得一百為方法以方法減縱餘七十四先以餘縱乗旁帶縱得四百四十四減實乃以餘縱乗商得七千四百減實實負一千三百四十四再開倍前商得二百以乗負隅仍得二百為亷法以亷法減縱縱負二十六約計次商當得二十以乗負隅仍得二十為隅法先以隅法乗旁帶縱得一百二十減負實乃以負縱除負實五百二十合次商又以隅法乗商得四百減負實三開倍前商得二百四十以乗負隅仍得二百四十為亷法以亷法減縱縱負六十六約計三商當得四以乗負隅仍得四為隅法先以隅法乗旁帶縱得二十四減負實乃以負縱除負實二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六減負實盡得東長一百二十四(南廣二十二北廣二十八西長一百三十)(六)或再開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得三十二以除負實六百四十得二十為次商而以隅法減負實四百三開以旁帶縱乗負隅仍得六以并負縱得七十二以除負實二百八十八得四為三商而以隅法減負實盡尤便 按算術固不能盡言即如偏斜田設舉積及東南和東北和東西較則并兩和為帶縱以二為負隅而依前半較為旁縱倍積為實開之得東長或舉積及東南和東北和東西和則以四乗積為實以東西和除之得南北和而并東南和東北和以南北和減之半其餘得東長如三廣田舉積與三廣之兩較及長廣和則以和為帶縱一為負隅并兩較而四除之為旁縱以開積得中廣神而明之法隨問變豈可限也兹因偏斜田而引伸其説凡諸條例莫不皆然請以俟通人之自悟焉長方以重長重廣共步及積求長廣 法以共步為帶縱而求長則以長數(重幾長則為幾數也下廣數同)為負隅以廣數乗積為實求廣則以廣數為負隅以長數乗積為實用帶縱負隅減縱及翻法開之(不論求長求廣但負隅數少乗積數多者)(積與縱常有餘往往用帶縱負隅減縱法負隅數多乗積數少者積與縱常不足往往用翻法惟田形狹)(長之甚者則不然臨算當自知之不可預定耳) 假如長方積八百六十四步二長五廣共一百九十二步為帶縱以五乗積得四千三百二十為實(五乗積則得長乗廣之數五而可以五廣為帶縱也)以二為負隅(實中無長自乗之數而帶縱有二長故以二為負隅不益實即減縱也)用帶縱負隅減縱開之得長三十六或以二乗積得一千七百二十八為實以五為負隅用翻法開之得廣二十四 更有重長重廣重和重較共步及積求長廣者如積八百六十四步一和二較三長四廣共二百八十八步法先約一和得一長一廣并三長四廣得四長五廣又以二較益廣為長共得六長三廣乃如前求之若重較數多既益廣盡為長而尚有餘較者此則不可求長但可求廣(原積無長乗較之數故不可求長原積有廣自乗及廣乗)(較之數各一故可求廣)且如積八百六十四步一和六較三長四廣共三百三十六步約一和三長四廣得四長五廣又以六較之五益廣為長共得九長而餘一較則以九長減較為廣乃得九廣十較而以十乗積得八千六百四十為實以一為隅算(十乗積則得廣自乗及廣乗較之數各十)(而帶縱少一廣故以一為隅算并縱也)以共步為帶縱用隅算帶縱并方亷開之得廣二十四長方以長廣母子分數之共步及積求長廣 法以長母乗廣子為廣率為廣數以廣母乗長子為長率為長數以兩母相乗為總率以乗共步為帶縱乃如前重長重廣例求之 假如長方積八百四十步五分長之二四分廣之一共二十步求長廣者以五乗一得五為廣率為五廣以四乗二得八為長率為八長以五與四乗得二十為總率以乗共步得四百為帶縱而此帶縱之數凡有八長五廣也乃以八乗積得六千七百二十為實以五為負隅用帶縱負隅減縱開之得廣二十四或以五乗積得四千二百為實以八為負隅用翻法開之得長三十五長方匿原積以長乗重長重廣積步及較或以廣乗重長重廣積步及較求長廣 法以乗積為實并長廣數為隅算而長乗求長則以廣數乗較為負縱用隅算負縱減方亷開之廣乗求廣則以長數乗較為帶縱用隅算帶縱并方亷開之若廣乗求長則以廣數乗較為負縱又以較為旁負縱用隅算雙負縱減方亷兼益積開之長乗求廣則以長數乗較為帶縱又以較為旁帶縱用隅算雙帶縱并方亷兼減積開之假如長方匿其原積而以廣乗六長三廣得六千九百一十二步其長廣較一十二步求長者以乗積六千九百一十二為實以九為隅算以三乗較得三十六為負縱又以較一十二為旁負縱初商三十以乗隅算得二百七十減負縱得二百三十四為方法先以方法乗旁負縱得二千八百零八益實乃以方法乗商得七千零二十減實再開倍前商得六十以乗隅算得五百四十減負縱得五百零四為亷法約計次商當得六以乗隅算得五十四為隅法先以隅法乗旁負縱得六百四十八益實乃以亷法除實三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四減實盡得長三十六或再開以旁負縱乗隅算得一百零八以減亷法得三百九十六以除實二千三百七十六得六為次商而以隅法減實盡尤捷 右法更有以長乗重長重廣重和重較或以廣乗之而以其積步及較求長廣者並先約和較為長廣不待言矣若以較益廣盡為長而尚有餘較如前九長一較之比者别自有法且如九長一較法以九為隅算而長乗求長則以一乗較為帶縱廣乗求廣則以十乗較為帶縱(九廣十較也)廣乗求長則以一乗較為帶縱又以較為旁負縱長乗求廣則以十乗較為帶縱又以較為旁帶縱依例開之長方匿原積以長乗重長重廣積步及和或以廣乗重長重廣積步及和求長廣 此與前一條相似而不同以長乗者但可求長以廣乗者但可求廣(隅算及負隅無)(旁加者勢不能也故長乗不便於求廣廣乗不便於求長矣)法亦以乗積為實而長乗求長則以廣數乗和為帶縱廣乗求廣則以長數乗和為帶縱又以長廣數相減餘數為隅算不足數為負隅求長取長求廣取廣為之乃用隅算帶縱并方亷或用帶縱負隅減縱及翻法開之如六長三廣長乗求長則以三乗和為帶縱以三為隅算(六長三廣)(相減長餘三以為隅算之數葢并三長於帶縱得六長三廣也)廣乗求廣則以六乗和為帶縱以三為負隅(六長三廣相減廣不足三以為負隅之數葢減三廣於帶)(縱亦得六長三廣也)開之是也 右法長廣所乗若更兼重和重較者先約和較為長廣而約得餘較如前九長一較之比亦别有法且如九長一較長乗求長則以一乗和為負縱以十一為隅算(減一長一廣於隅算得九長一較也)廣乗求廣則以十乗和為帶縱以十一為負隅(減十一廣於帶縱亦)(得九長一較也)依例開之九章録要卷六
## 卷七
欽定四庫全書九章錄要卷七松江屠文漪撰商功法古九章五曰商功以御功程積實塹堵求積尺 凡築城墻堤塹之類上下廣不等者法并上下廣折半以髙乘之復以長乘之得積塹堵求積又法 堤塹之類亦有兩頭之上廣之下廣之髙各不等者法倍東髙加入西髙以東頭上下廣并而乘之折半又倍西髙加入東髙以西頭上下廣并而乘之折半并二數以長乘之以六除之或不用兩度折半者則以十二除之(右一條新訂)方臺求積 法同粟米章方窖長方臺求積法同長方窖員臺求積 法同員窖長員臺求積法同長員窖方錐求積 法同粟米方尖堆方錐改方臺求各數法 假如方錐下方二十四尺髙三十二尺今改方臺上方六尺問髙幾何一率 二十四(原下方尺數無減)二率 三十二(原髙尺數)三率 一十八(今上下方較尺數)四率 二十四(今髙尺數)又如前例問截去幾何一率 二十四(下方)二率 三十二(原髙)三率 六(今臺上方即今截下方)四率 八(今所截之髙)右二例若求今髙以減原髙亦得所截之髙求截髙以減原髙亦得今髙而必備其法者庻各得所求不須借徑也又如前例今髙二十四尺問上方幾何一率 三十二(原髙)二率 二十四(下方)三率 八(今髙減原髙為所截之髙)四率 六(今截下方即今臺上方)右例亦可以今髙列三率求得四率為今上下方較以減下方而得上方也員臺改員錐求各數 假如員臺下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改員錐問髙㡬何一率 五十四(原上下周較)二率 二十四(原髙)三率 七十二(今下周無減)四率 三十二(今髙)又如前例問增髙㡬何一率 五十四(原上下周較)二率 二十四(原髙)三率 一十八(原臺上周即今增下周)四率 八(今所增之髙)又如前例今髙三十二尺問上周一率 二十四(原髙)二率 五十四(原上下周較)三率 三十二(今髙)四率 七十二(今上下周較以減下周適盡知為員錐也)右例亦可以今所增之髙列三率求得四率為所增上下周較以減原上周適盡而知為員錐也又右六法方減員增特互舉以見例而法則相通且方或以周算員或以徑算亦皆同耳塹堵增減求數法 假如築墻上廣二尺下廣六尺髙二十尺今已築至上廣三尺六寸問髙㡬何一率 四十(原上下廣較化寸數)二率 二十(原高尺數)三率 二十四(今上下廣較化寸數)四率 一十二(今高尺數)又如前例今欲築至髙二十四尺問上廣㡬何一率 二十(原高尺數)二率 四十(原上下廣較化寸數)三率 二十四(今高尺數)四率 四十八(今上下廣較寸數以減下廣得一十二寸為今上廣)塹堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下廣較半之為勾直高為股斜高為弦以勾股法互求之(右一)(條新増)功程遲速例 假如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法以十八日減四十五日得二十七日為乙匠未畢之工知甲匠十八日當乙二十七日也列率求之一率 二十七二率 一十八三率 四十五四率 三十又如甲匠製造六十日而畢乙匠則百日而畢問兩匠并營須㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之工當乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一為并營日數或以百日除六十日得乙匠一日之工當甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一(右一條新增)方尖堆物求積(自此以下皆隙積之法隙積謂積之有隙者如累棊及積酒罌之類與前積尺)(法不同) 假如方尖堆下廣十二問積㡬何法置下廣十二别以下廣加一枚為十三而乗之得一百五十六又以下廣加半枚為十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得積六百五十方平堆物求積 法以下廣依尖堆法求積别以上廣減一枚為下廣依尖堆法求積兩尖堆積相減得平堆積(此以平堆先作尖算乃減上虗尖成平也)長方平尖堆求積(旣云尖又云平者上廣只一故謂之尖上長不止於一故又謂之平也)假如長方平尖堆下廣十長十二問積㡬何法以長廣較半之得一又加半枚得一有半并長得十三有半以廣乗之得一百三十五又以廣加一枚為十一而乗之得一千四百八十五以三除之得積四百九十五 又法先以廣長較加一枚得上長而算之(上廣只一不必言)假如平尖堆下廣八長十三問積幾何此可知上廣一而長六也乃倍下長加上長得三十二以下廣乗之得二百五十六又以下廣乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得積三百八十四長方平堆求積 法倍上長加下長以上廣乗之又倍下長加上長以下廣乗之并二數加上下長較(上下廣較)(同)以髙乗之(上下長較加一數得髙上下廣較亦同)以六除之得積按此法長方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之蓋一法而兼四法可云居要者也三角尖堆求積 假如三角尖堆下廣八問積㡬何法置下廣八别以下廣加一枚為九而乗之得七十二又以下廣加二枚為十而乗之得七百二十以六除之得積一百二十三角平堆求積 法以上廣自乗又以下廣自乗又以上廣乗下廣又倍下廣加上廣并四數以髙乗之(上下)(廣較加一數得髙)以六除之得積 按此法亦可用之三角尖堆九章錄要卷七
## 卷八
欽定四庫全書九章錄要卷八松江屠文漪撰均輸法古九章六曰均輸以御逺近勞費均輸例 假如有糧二萬石令甲乙丙丁戊五縣依戸口多少道里逺近價値上下而均輸之每車載五十石行一里僦値一錢甲縣三萬零五百二十戸米石價二兩乙縣一萬二千三百一十二戸米石價一兩四錢逺輸二百里丙縣七千一百八十二户米石價一兩六錢逺輸一百五十里丁縣一萬三千三百四十三户米石價一兩七錢逺輸二百五十里戊縣一萬五千三百一十戸米石價一兩三錢逺輸三百五十里問五縣各㡬何五縣每戸各幾何法以僦價并入米價以除各縣户數而求各縣之衰惟甲縣自輸本縣無僦價以米價化為二十錢除户數得一千五百二十六為甲衰其乙丙丁戊四縣俱有僦價各以所輸里數乗僦一錢而以每載五十石除之得各運價乙縣行二百里乗除得四錢并米價共一十八錢以除戸數得六百八十四為乙衰丙縣行一百五十里乗除得三錢并米價共一十九錢以除戸數得三百七十八為丙衰丁縣行二百五十里乗除得五錢并米價共二十二錢以除戸數得六百零六又二之一為丁衰戊縣行三百五十里乗除得七錢并米價共二十錢以除戸數得七百六十五又二之一為戊衰并五衰共三千九百六十為總衰一率 三千九百六十二率 二萬三率 (二千五百二十六) (六百八十四) (三百七十八) (六百零六又二之一) (七百六十五又二之一)(甲) (乙) (丙) (丁) (戊)四率 (七千七百零七石零) (三千四百五十四石) (一千九百三千零六三千八百零九石零十三石一六十六石)(七升又九十九分升) (五斗四升又十一分) (九升又十一九斗三升又一斗六升分升之一 十九分又九十九)(之七) (升之六) (升三) (分升之十六)右已得各縣米數次以各縣戸數除之即得每戸數逺近勞費襍例 假如僦車運貨原議行路二千里載重二千四百斤給値一十五兩今重三千斤行二千六百里問値㡬何一率 四百八十萬(原路及重相乗數約為四十八)二率 一十五(原値兩數)三率 七百八十萬(今路及重相乗數約為七十八)四率 二十四又八分之三(今値兩數)右亦可用重測法一率 二千(原行里數)二率 一十五(原値兩數)三率 二千六百(今行里數)四率 一十九又二之一(今行路仍載原重僦值兩數)又一率 二千四百(今行路載原重斤數)二率 一十九又二之一(原重須僦價兩數)三率 三千(今重斤數)四率 二十四又八之三右重測法或先以載重列率次以行路列率求之一率 二千四百(原重)二率 一十五(原値)三率 三千(今重)四率 一十八又四之三(今重仍行原路僦値兩數)又一率 二千(今重行原路)二率 一十八又四之三(原路僦價)三率 二千六百(今行路)四率 二十四又八之三又如前例載二千四百斤行二千里値一十五兩今載三千二百斤給値一十二兩問當行路㡬何一率 二千四百(原重)二率 一十五(原値)三率 三千二百(今重)四率 二十(今重仍行原路僦値)又一率 二十(今重行原路値)二率 二千(原路)三率 一十二(今値)四率 一千二百(今路)右亦可用併測法求得四率今重兼行路之數再以今重除之得行路數(下同)又如前例載二千四百斤行二千里値一十五兩今路一千七百里給值七兩六錢五分問當載重㡬何一率 二千(原路)二率 一十五(原値兩數百或化為一千五 分)三率 一千七百(今路)四率 一十二又四之三(今路仍載原重僦値分或化一千二百七十五)又一率 一十二又四之三(今路載原重値五或化一千二百七十 分)二率 二千四百(原重)三率 七又二十之一十三(今值十或化七百六 五分)四率 一千四百四十(今重)又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日可及一率 一又二之一(先發日減較日為追上日數)二率 二又二之一(馳追日數)三率 一十一又二之一(較日數)四率 一十九又六之一(追及日數訂右一條新)又如行程二千七百里十八人同行止有馬七匹更換騎之十里一換問騎行歩行各㡬何法以馬數乗行程得數以人數除之得每人騎行一千零五十里減行程餘為歩行數又如空車日行七十里若重載即日行五十里今運米到倉五日三返問路逺㡬何法并空車重車日行數以三返乗之為日數列一率以空車重車日行數相乗為里數列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之一率 三百六十二率 三千五百三率 五四率 四十八又一十八之一十一(所求里數)九章錄要卷八
## 卷九
欽定四庫全書九章錄要卷九松江屠文漪撰盈朒法古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隱襍互見盈不足例 假如衆人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹問人數帛數各㡬何法以盈不足數相并為人實以分數互乗盈不足數相幷為帛實乃以分數相減之較為法除人實得人數八除帛實得帛數五十五 按盈不足數及分數互乗盈不足數俱相并若遇兩盈兩不足即相減惟以分數相減之較為法則諸例皆同都不用并也又按右例若止求人數以乗分數而以盈不足數加減算之亦得帛數即不用互乗之法可也以下諸例倣此又如田形長方欲於中截分一段截長七歩不足七歩截長九歩盈十一歩問原闊歩及所截積歩各㡬何法以盈不足數相幷為原闊之實以截長數互乗盈不足數相幷為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊歩九截積歩七十又如絹一匹作帳摺成六幅比舊帳長六寸摺成七幅比舊帳短四寸問舊帳幅新絹各長㡬何法先以幅數各乗長短數以為盈不足數(六幅共盈三十六寸七幅共朒二十)(八寸不以六寸四寸為盈朒數也)然後以盈不足數相并為舊帳幅實以幅數互乗盈不足數相并為新絹實俱以幅數之較為法除之得舊帳幅長六尺四寸新絹長四丈二尺又如井不知深(謂水面以上至井口非謂水深也)將繩摺作三股入井汲水餘繩四尺摺作四股入井餘繩一尺問井深繩長各㡬何法先以股數各乗餘繩數以為兩盈數(與上帳幅例同)然後以兩盈數相減為井實以股數互乗兩盈數相減為繩實俱以股數之較為法除之得井深八尺繩長三丈六尺又如官米不知其數甲乙二等户並輸乙户所輸當甲户十之八令甲等八户乙等五戸輸之不足三石令甲等六户乙等八戸輸之不足一石問二等户輸米則例及官米總數各㡬何法先以甲乙二等衰各乗户數依問所列并之以為輸數(此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙)(衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四為輸數不以原户數為輸)(數也)然後以兩不足數相減為則例之實以輸數互乗兩不足數相減為總米之實乃以輸數之較為法除則例實以二等衰各乗之得二等戸輸米則例甲每户五石乙每户四石(按以法除則例之實當得則例之數而此條乃不同者前旣以)(甲户乗衰作十數乙户乗衰作八數則此除得之數僅得甲户十之一乙户八之一故須以二等衰各乗)(之而後二等則例皆得也)又以輸數之較為法除總米實得官米總六十三石按右三條其法不異於前兩條但中間復帶細數須相乗者故微有不同耳若帶分盈朒雖亦大略相類而自為一法别起例於後又如長方田中欲截分一段截長三十八歩不足二十五歩截長四十歩適足問原闊歩及所截積歩各㡬何法以不足數為原闊之實以適足之截長數乗不足數為截積之實俱以截長之較為法除之得原闊十二歩半截積五百歩(一盈一適足者倣此)帶分盈不足例 假如將銀買物用銀三分之二盈三兩用五分之三不足一兩問銀數物價各㡬何法先以分子互乗分母以為用銀數(分子二乗分母五則以十為用數不以二)(為用數分子三乗分母三則以九為用數不以三為用數)然後以盈不足數相并以兩分母相乗之數乗之為銀實(分子旣互乗分母以為用數則盈不)(足亦必累乗兩分母以為銀實也)以用銀數互乗盈不足數相并為物價實俱以用銀數之較為法除之得總銀六十兩物價三十七兩又如衆人買物每六人共出銀九兩盈三兩每四人共出銀七兩盈六兩問人數物價各㡬何法如前先以銀率互乗人率以為出銀數然後以兩盈數相減以兩人率相乗之數乗之為人實以出銀數互乗兩盈數相減為物價實俱以出銀數之較為法除之得人數一十二物價兩數一十五按右例似與帶分有别而實則同也六人共銀九兩即是六分之九零分法原有子數多於母數者也所用算術旣無少異宜附帶分之條或别立名目重出一條徒滋學者之惑殆未深知其理之一耳 又按第一例旣以用銀數互乗盈不足得數若再以用銀數與乗得之數又互換而乗之(前用銀數十互乗不足一兩仍得十用銀)(數九互乗盈三兩得二十七今再以用銀數十互乗二十七得二百七十用銀數九互乗十得九十也)相并以兩分子相乗之數除之以為銀實(第二例亦然此姑就)(第一例言之)於算亦通而叠用互乗數目紛紜非法之良宜從芟削者也(右二條新訂)又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何法先以分子互乗分母及石數以為用銀數以兩不足數互乗石數以為兩不足數然後以兩不足數相減以兩分母相乗之數乗之為銀實以用銀數互乗兩不足數相減以兩石數相乗之數除之為米價實俱以用銀數之較為法除之得總銀三十六兩米每石價一兩五錢按右例於帶分之外更有石數不齊須用乗除故其法頗繁宜依所問列左右二行左分子一乗右分母又乗右石數得一百零八為左用銀數左不足三乗右石數得三十六為左不足數右亦如之然後再用互乗庻無淆亂之患 按用銀數互乗兩不足得數即以為米價實(不用兩石數相乗之數除也)以用銀數之較為法除之却再以十石除之則得十二石之總價以十二石除之則得十石之總價又按用銀數旣互乗兩不足得數再與乗得數互換乗之相減以兩石數相乗之數除之又以兩分子相乗之數除之以為銀實其法亦通然知之則可用之則迂矣(右一條新増)又如穀不知數取三分之一賣銀八兩不足一石取九分之四賣銀十兩適足問總穀㡬何每銀一兩直榖㡬何法如前先以分子互乗分母及兩數以為出榖數以適足之兩數乗不足數以為不足數然後以不足數以兩分母相乗之數乗之為穀實以適足之出穀數乗不足數以兩兩數相乗之數除之為銀直實俱以出穀數之較為法除之得總穀四十五石每銀一兩之直穀二石按右例旣得總穀石數但取適足銀數以原母乘之原子除之即得總穀所直之銀而銀一兩所直之穀可知矣此法最捷(右一條新訂)又按此章諸例皆可以借徵法求之别著一條於第十二篇中餘可反隅而得也九章錄要卷九
## 卷十
欽定四庫全書九章錄要卷十松江屠文漪撰方程法古九章八曰方程以御錯揉正負二色方程例 假如綾五匹紗八匹共價銀二十四兩又綾七匹紗四匹共價二十二兩八錢問綾紗每匹價各㡬何法依所問列左右二行以綾五互乗綾七紗四及價所得數各注於其下(綾得三十五紗得二十價得一百一十四)亦以綾七互乗綾五紗八及價注所得數如前(綾得三十)(五紗得五十六價得一百六十八)兩綾數相對減盡兩紗數減餘(三十)(六)為法兩價數減餘(五十四)為實以法除實得紗每匹價一兩五錢乃就一行中以紗匹數乗價減共價餘以綾匹數除之得綾每匹價二兩四錢按右例若以紗互乗即先得綾價於法皆通以後各例倣此又按例以綾互乗則兩綾所得數必相對減盡矣立法之意正欲使兩綾數等而後價數之不齊由於紗數之不齊顯然可推也然旣知此義則以後凡同物相乘如綾之比者直可省之故槪不贅書惟於右一條具文見義云又如七釵九鈿共重九兩四錢釵重鈿輕於中互换其一則輕重適等問釵鈿各重㡬何法依所問釵鈿互換其一以六釵一鈿一釵八鈿左右對列而中分其總重之數繫之兩行如前求之得一釵之重七錢一鈿之重五錢二色方程兼正負例 假如賣米七石買麥三石米家得銀九兩六錢又賣米三石買麥九石米家出銀三兩六錢問米麥每石價各㡬何法以米為正麥為負米家所得之價為正米家所出之價為負列左右兩行如前若以米互乘麥及價者(麥負九得六十三價負得二十五兩二錢)(麥負三得九價正得二十八兩八錢)而麥數減餘(五十四)為法兩價數相并(五十四)為實以法除實得麥每石價一兩乃以麥負九石乘價減負價餘以米三石除之或以麥負三石乘價并正價以米七石除之得米每石價一兩八錢按負有背負之義謂正之反也亦有負欠之義此例從米家賣米言之故賣米為正買麥為負米家所得之價為正所出之價為負若從麥家言者反是其并減之法此以兩正及兩負同名者相減一正一負異名者相并自互乗得數及已得一物之價而以其物數乗價與原正負價幷減求第二物之價皆然二色正負反用并減例 凡互乗所得數固以兩正兩負同名相減一正一負異名相并為常法而亦有反用之者假如賣米五石麥五石得銀一十四兩賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何此若以米互乗麥與價(米係兩正同名)則兩米相乘所得數自必相對減盡不待乗而可知矣兩麥兩價俱係正負異名其乘得數固宜相并如常法也(麥正得二十麥負得三十五并)(得五十五價正得五十六價負得一十并得六十六)若以麥互乗米與價(麥係正負)(異名)則兩麥相乘所得數乃須相并殊非立法之意故變通其法反以兩麥相減而兩米俱正同名反相并(米五得三十五米四得二十并得五十五)兩價正負異名亦反相減(價正得九)(十八價負得一十減得八十八)此其義何也賣米買麥而出銀猶之買米賣麥而得銀然則正可變為負負可變為正今不變其正負之名但變其并減之法此法之變生乎常而常變不殊其用者也且非特此也同名相減取其數之齊者以相比例而其餘之不齊可得而推故同減而異必并異名相減取其數之齊者以相償補而其餘之不齊亦可得而推故異減而同必并此法之變反乎常而常變各成其用者也依法求之得米每石價一兩六錢麥每石價一兩二錢自三色正負以上凡互乘所得數則兩法並用若已得一物之價而以其物數乗價與原正負價相并減求第二物之價者只依常法不在變通之例按右所論同減異并異減同并明其所以然之故益見法之當然而不可易矣乃旣經并減後所得之數謂之正乎謂之負乎此在二色方程但取其數為法實以相除猶不必深辨也若三色以上而不分正負後更與他數相并減其道何由故特剖而論之曰凡并減雖兩行相對要以一行為主如以正并者(為主之行)(繫正也)得數仍為正以負并者得數仍為負也以正減者減而有餘(為主之行有餘也)則為正減而不足則為負以負減者減而有餘則為負減而不足則為正也此一定之理斷不容混耳更有為主之行無數而借相對之行所有數虛立於本行以為數者或遇應借而不知借或借而槩稱為負則非矣夫數豈可借盖實非借也試思兩正相減而此少彼多猶謂之負則此無彼有得不謂之負乎(兩負相減亦然)又試思以正幷負而此有正數猶取彼負以益之則此無正數得不取彼負以實之乎(以負并正亦然)故借正為負借負為正凡以同名互乘相減者固宜如是也若以異名互乗則亦當借正為正借負為負此皆自然之理施之於算無往不合者其要則曰同減異借異減同借兩言而已每見算家之書於已經并減之數及應借之數處之茫然莫能致辨於是誤在毫釐失之千里縱復强為牽合究且於率難通則方程之法或㡬乎廢矣兹因論并減異同而並暢其説然後以三色四色方程著例於左覽者當如觀火而自五色以上直可推之至於無窮也(右一條新訂)三色方程例 假如綾五匹紗三匹紬五匹共價二十二兩五錢又綾四匹紗二匹紬七匹共價二十一兩又綾八匹紗六匹紬九匹共價三十九兩問三物每匹價各㡬何法依所問列左右中三行乃以左行中行綾互乘紗紬及價又以右行中行綾互乗紗紬及價所得數各注於其下次以中行左行相減且如左行為主(或以中行為主亦可)減得紗正八紬負二十價負一十二注左行之旁又以中行右行相減且如右行為主減得紗正二紬負一十五價負一十五注右行之旁(圖式具後其左右中三行上中三層俱可互換耳)兩旁所注數即是二色方程再依二色法求之得紬每匹價一兩二錢紗每匹一兩五錢二價旣得綾價易見每匹二兩四錢(按右例原數無正負因相減而有正負也若左例原數已兼正)(負則别為一條借又按方程章惟右一例不可用借徴法餘並可以 徴求之而條縷多者方程為便)三色方程兼正負例 假如綾五匹換紗三匹綾家得銀七兩五錢又綾四匹換紗二匹紬七匹綾家出銀一兩八錢又綾八匹換紬九匹綾家得銀八兩四錢問三物每匹價各㡬何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘餘物及價各注所得數空者闕之(依後圖以上乗下為便故第一層三行俱實而空位則在下諸層也)次以中行左行相并減且如左行為主借得紗正一十六減得紬正二十并得價正四十八又以中行右行相并減且如右行為主減得紗負二借得紬正三十五并得價正三十九注於兩旁再以二色方程法求之(物價同前例右一條新增)三色方程兼正負又例(前法止於三色而已此法則四色五色所從出也) 假如依前例綾正五紗負三價正七兩五錢綾正四紗負二紬負七價負一兩八錢綾正八紬負九價正八兩四錢求各物價法列三行如後圖式(惟第一行第三層第三行)(第二層可虗可實餘必如圖)專以第三行為主先以第三行紗互乗第一行綾紬及價以第一行紗互乗第三行綾及價各注所得數乃以第三行與第一行相并減借得紬正二十一減得綾負二并得價正二十兩零四錢次以第三行借紬互乗第二行綾及價以第二行紬互乗第三行綾及價(就第一行互乗相并減之數而乗之非乗原數也)各注所得數乃以第三行與第二行相并減減得綾正一百五十為法并得價正三百六十兩為實以法除實得綾每匹價以次求各價又如行程顧騾一匹馬一匹共價錢七百又顧馬二匹驢一匹共價八百四十又顧騾一匹驢三匹共價七百問三物每匹顧値各㡬何法列三行如前以第三行與第一行互乗乃相并減借得馬負一驢無并減只用乗得之數價減盡不存次與第二行互乗第三行價已盡無乗闕之乃相并減并得驢正七為法借得價正八百四十為實以法除實得驢每匹價一百二十以次求各價驢每匹三百四十馬每匹三百六十按此例三物及價俱正而云正負者三物中缺其一是乃所謂負也算家就物强分正負則謬之甚者又如依前所問更置其位先求一騾之力又更置其位先求一馬之力(此例算家誤甚故反覆以明之)(右一條三式俱新訂)四色方程兼正負例(四色五色以上皆與三色一法聊著此以見例云)假如綾二匹紗七匹共價一十五兩三錢又紗 匹絹三匹共價九兩又絹五匹紬五匹共價一十一兩又紬四匹綾三匹共價一十二兩問四物每匹價各㡬何法列四行如後圖式乃依前法以第四行為主先與第一行互乘而并減之次第二行次第三行最後減得紬負一百五十五為法價負一百八十六為實以法除實得紬每匹價一兩二錢餘價次第求之綾每匹二兩四錢紗每匹一兩五錢絹每匹一兩按自三色方程以上凡前諸行所有之物為末行所無者互乗後即借其乘得之數下層之價亦然如末行無價與第一行互乘而借其數或第一行亦無價則待至二三行互乘後有數而借之也若有數而減盡即彼此俱無數當於次行互乗後借之其末行所有之物為前諸行所無者無可并減末行只用互乗所得之數下層之價亦然(右一條新訂)九章錄要卷十
## 卷十一之一
欽定四庫全書九章錄要卷十一之一松江屠文漪撰句股法古九章九曰句股以御髙深廣逺廣曰句修曰股斜徑曰弦句股相減之差數曰句股較句弦相減之差數曰句弦較股弦相減之差數曰股弦較弦與句股較相減之差數曰弦較較 (句較和) (股和較)弦與句股和相減之差數曰弦和較 (句較較) (股)(較較)句股相并之通數曰句股和句弦相并之通數曰句弦和股弦相并之通數曰股弦和弦與句股較相并之通數曰弦較和 (句和較) (股)(較和)弦與句股和相并之通數曰弦和和 (句和和) (股)(和和)句股求弦 法并句股實得弦實開方 又法并句股較實句股和實半之亦得弦實句弦求股 法以句實減弦實得股實開方 又法以句弦較乗句弦和亦得股實股弦求句 法以股實減弦實得句實開方 又法以股弦較乗股弦和亦得句實句與股弦較求股弦 法以較除句實得股弦和(和減較半)(之得股和幷較半之得弦餘倣此) 又法以句實減較實倍較而除之得股(股并較得弦) 又法以句實并較實倍較而除之得弦(弦減較得股)股與句弦較求句弦 法以較除股實得句弦和 又法以股實減較實倍較而除之得句 又法以股實并較實倍較而除之得弦句與股弦和求股弦 法以和除句實得股弦較 又法以句實減和實倍和而除之得股(股減和得弦) 又法以句實并和實倍和而除之得弦(弦減和得股)股與句弦和求句弦 法以和除股實得句弦較 又法以股實減和實倍和而除之得句 又法以股實并和實倍和而除之得弦句與弦較較求股弦 法以句減弦較較得股弦較股與弦較較求句弦 法以股并弦較較得句弦和句與弦和較求股弦 法以句減弦和較得股弦較股與弦和較求句弦 法以股減弦和較得句弦較句與弦較和求股弦 法以句并弦較和得股弦和股與弦較和求句弦 法以股減弦較和得句弦較句與弦和和求股弦 法以句減弦和和得股弦和股與弦和和求句弦 法以股減弦和和得句弦和弦與句股較求句股 法倍弦實減較實開方得句股和弦與句股和求句股 法倍弦實減和實開方得句股較句弦較股弦較求句股弦 法以兩較相乗倍之開方得弦和較并股弦較得句并句弦較得股并兩較得弦減句股和亦得弦句弦和股弦和求句股弦 法以兩和相乘倍之開方得弦和和減股弦和得句減句弦和得股減兩和得弦減句股和亦得弦句弦和股弦較求句股弦 法以和較相乘倍之開方得弦較較減股弦較得句減句弦和得股減一較一和得弦并句股較亦得弦句弦較股弦和求句股弦 法以較和相乘倍之開方得弦較和減股弦和得句減句弦較得股減一和一較得弦減句股較亦得弦(右二條新增)弦較較弦和較求句股弦 法以兩較相減半之得股弦較相并半之得句 又法以兩較相乘為實以兩較相減為法除之得股并兩較實半之以兩較相減為法除之得弦弦較和弦和和求句股弦 法以兩和相并半之得股弦和相減半之得句 又法以兩和相乘為實以兩和相并為法除之得股并兩和實半之以兩和相并為法除之得弦弦和較弦較和求句股弦 法以較和相減半之得句弦較相并半之得股 又法以較和相乗為實以較和相減為法除之得句并較和實半之以較和相減為法除之得弦弦較較弦和和求句股弦 法以較和相并半之得句弦和相減半之得股 又法以較和相乗為實以較和相并為法除之得句并較和實半之以較和相并為法除之得弦(右四條新增)弦較較弦較和求句股弦 法以較和相減半之得句股較相並半之得弦弦和較弦和和求句股弦 法以較和相並半之得句股和相減半之得弦句股求積法以句股相乗半之得積(後凡稱積者皆指此其云句股矩者則句股相乗之冪乃少廣章所稱之積指長方積而言者也)弦與句股較求積 法以弦實減較實以四除之弦與句股和求積 法以弦實減和實以四除之積句求股 法倍積以句除之積股求句 法倍積以股除之積弦求句股 法以四乗積減弦實開方得句股較并弦實開方得句股和積與句股較求句股弦 法以八乗積並較實開方得句股和以四乘積並較實開方得弦積與句股和求句股弦 法以八乗積減和實開方得句股較以四乗積減和實開方得弦(右二則或倍積以少廣章縱方法求句股亦得)積與弦較較求句股弦 法以四乗積以弦較較除之得弦較和積與弦較和求句股弦 法以四乘積以弦較和除之得弦較較積與弦和較求句股弦 法以四乗積以弦和較除之得弦和和積與弦和和求句股弦 法以四乗積以弦和和除之得弦和較(右四條新增)句股求容方 法以句股相乗以句股和除之得容方邊餘句餘股求容方求句股 法以餘句餘股相乗開方得容方邊並餘句得句并餘股得股容方與餘句求餘股與餘股求餘句 法以方自乘以餘句除之得餘股以餘股除之得餘句容方與句求股與股求句法以句減容方得餘句乃以句乗容方以餘句除之得股以股減容方得餘股乃以股乗容方以餘股除之得句(右一條新增)(按句股容方有法而容長方無法者容方大小有一定之形容長方則無定形故也然長方之冪亦必等)(於餘句餘股相乗之冪而可以長方與餘句求餘股與餘股求餘句盖測望諸法多本於此若以餘句餘)(股求長方則必知其長乃可求廣知其廣乃可求長不然即難求矣又長方形在句股之中有縱有横設)(以長廣並餘句股為句股減句股為餘句股及與句求股與股求句則非知其縱横不可假如句十股六)(十與句十四股五十六内容長方廣八長十二餘句二餘股四十八皆同但有縱横之異耳)餘句與股餘股與句求容方 法以餘句乗股為實以餘句為帶縱開平方除之得容方(餘句乗股之積猶句乗容方之積故)(以餘句為較而用長方積與較求廣法也)以餘股乗句為實以餘股為帶縱開平方除之亦得容方(義與上同)兩餘句與股求離股容方 前例容方其方一邊切句一邊切股一角切弦此則切句與弦而一邊乃離股者也離股處有内餘句切弦處有外餘句法以外餘句乗股為實並兩餘句為帶縱開平方除之得容方按容方若更離句者如前以外餘句乗股為實並兩餘句為帶縱又以離句數為旁帶縱用雙帶縱開平方除之得容方 又按右例雖稱離股稱餘句然使句股互換者亦即以法互換而用之無異理也句上容方(方形半在句内半在句外而句當其中也股上容方倣此) 法以句股相乗以股與半句和除之得方邊股上容方 法以句股相乘以句與半股和除之(按句股容)(長方無法者以長方大小無一定之形若半方則有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上則)(縱横已見而凡容方與句股餘句股互求諸法皆可變通而用之 右二條新增)句股求容員 法以句股相乘倍之以弦和和除之得容員徑(即弦和較也)句外容員(員在句外而從股弦直望之皆當員邊也) 法以句股相乘倍之以弦較和除之(即弦較較也)股外容員 法以句股相乗倍之以弦較較除之(即弦較和)(也)弦外容員 法以句股相乘倍之以弦和較除之(即弦和和)(也)句上容員(句當員徑之中也) 法以句股相乗倍之以股弦和除之股上容員 法以句股相乗倍之以句弦和除之弦上容員 法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容員(句股角當員之中央也) 法以句股相乗倍之以弦除之句外容半員(從股直望之當員徑從弦直望之當員邊也) 法以句股相乗倍之以句弦較除之股外容半員 法以句股相乗倍之以股弦較除之兩句中夾容員(於一股為大小二句而員在其間也) 法以兩句相乗倍之以兩句和除之兩股中夾容員 法以兩股相乗倍之以兩股和除之兩弦中夾容員 法以兩弦相乗倍之以兩弦較除之句與股率句弦和率求股弦(如句三股四弦五則股得句弦和二之一是為股率)(一句弦和率二也) 法以二率相乗為股準二率各自乗相減半之為句準相并半之為弦凖乃以句乗股準以句準除之得股以句乘弦準以句準除之得弦股與句率股弦和率求句弦 法以二率相乗為句準二率各自乗相減半之為股準相并半之為弦準乃以股乗句準以股準除之得句以股乗弦準以股準除之得弦 假如弦與股率句弦和率及弦與句率股弦和率求句股則如右二例求各準乃以弦乘句準以弦準除之得句以弦乗股準以弦準除之得股容方與股率句弦和率求句股弦與句率股弦和率求句股弦 法如右二例求各準乃以句準乗容方邊以股準除之得餘句並容方邊得句以股準乗容方邊以句準除之得餘股并容方邊得股(右三條新訂)句股比例用法 木長九尺圍之三尺葛生其下圍木四周上與木齊問葛長法以木長為句四周三尺相乗一十二尺為股句股求弦得一十五尺為葛長又例 員木徑二尺五寸當中為板厚七寸問板兩面廣法以木徑為弦板厚為句句弦求股得二尺四寸為板廣又例員木不知其徑鋸深一寸鋸道長一尺問木徑法以鋸道為句鋸深倍之為股弦較(一面鋸深一寸若兩靣即深二)(寸故倍之)句與股弦較求弦得二尺六寸為木徑又例 木不知髙索不知長木梢垂索委地二尺引索斜去離木八尺乃適到地問木髙與索長法以離木為句委地為股弦較句與股弦較求股弦得一十五尺為木高一十七尺為索長又例户不知髙廣竿不知長短持竿出户横之不出四尺竪之不出二尺斜之適出問户髙廣與竿長法以横之不出為句弦較竪之不出為股弦較二較求句股弦得六尺為户廣八尺為户髙十尺為竿長又例 人不知數相與分帛帛總七百六十八匹每人分得帛數多於人數八問㡬人各分帛㡬匹法以帛總數為積分帛多於人數為句股較積與句股較求句股得二十四為人數三十二為各分帛數(句股積乃句股)(相乗數之半故用八乗此只當用四乘)又例 方城不知大小四靣正中開門東門外百歩有木出南門二百二十五歩斜見木問城方法以東門外為餘句南門外為餘股餘句餘股求容方得一百五十歩倍之為城方(所求容方止城方之半故倍之也)又例 方城不知大小東北角直北八十歩有木從東南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜見木問城方法以直北為外餘句直南為内餘句西行為股兩餘句與股求離股容方得二百五十歩為城方(此已是城之全方故不用倍)又例 城方七百二十歩馬歩二卒同發城中央率馬行二里歩行一里令歩卒直南行馬卒直東行又折而西南直行抹過城東南角與歩卒㑹問歩卒南行歩㡬何馬卒東行西南行歩各㡬何法以南行為股東行為句西南行為弦歩行率為股率馬行率為句弦和率城方之半為容方容方與股率句弦和率求句股弦得八百四十為歩卒南行歩六百三十為馬卒東行歩一千零五十為馬卒西南行歩九章錄要卷十一之一
## 卷十一之二
欽定四庫全書九章錄要卷十一之二松江屠文漪撰句股圖說句股弦及諸較和更互相求法已備載於前而其所以然之故非圖說不顯兹首列周髀三圗而取後人圗說删其繁複補其缺漏正其迂曲輯為一篇若容員非恒用之要術可得略云周髀句股員方圖句股弦相求 左右圗弦冪中有句股二冪之實故句股弦三者舉兩數則其一可知也句股較句股和弦積相求 弦圗外大方為句股和冪中有句股之積八句股較冪之實一(黄實是也)弦冪中有句股之積四句股較冪之實一故句股較句股和弦積四者舉兩數則其餘可知句與股弦較求股弦 句實以股弦較為廣股弦和為長(謂在弦冪内股冪外者若股實則以句弦較為廣句弦和為長也)觀左右圖可見而後圗更顯全圗為弦冪內分一股冪即其餘皆為句實而黄實固股弦較冪也青實之廣亦股弦較也則句實以股弦較為廣審矣兩青一黄三實并其內之長兼兩股其外之長兼兩弦法應并而半之則句實以股弦和為長又審矣故以較除之得和也若於三實內減黄實而半之則得一青實而其長為股於三實外更加一黄實而半之則得一青一黄兩實并而其長為弦故句實較實相減倍較除之得股相并倍較除之得弦也倍較除猶之半其實也股與句弦較求句弦倣此不復為圗(右圗說新訂)句與股弦和求股弦 前以股弦較除句實得股弦和則以和除必得較即前圗可推矣而句實和實相并減以求句弦則非後圗不明全圖為股弦和冪於中四隅各分一股冪即中央黄實為股弦較冪青實之廣皆股弦較而就一隅論之以一股冪旁加兩青實一黄實之磬折形合而成一弦冪夫弦冪兼句股二冪者也可知兩青一黄三實并固與一句冪之實等也且三實并作磬折形與并作長方形無以異則句實以股弦較為廣股弦和為長審矣故以和除之得較也若於全圗冪内減兩青實一黄實而半之則得兩股冪一青實之長方形而其廣為股於全圖冪外更加兩青實一黄實而半之則得兩股冪三青實一黄實之長方形而其廣為弦故句實和實相減倍和除之得股相并倍和除之得弦也倍和除猶之半其實也股與句弦和求句弦倣此(右圗說新訂)句弦較股弦較求弦和較 兩較相乗之冪二當弦和較之冪一各為圖以相比則明此圖以股弦和為廣倍句弦和為長而於廣邊截二股分之則黄實朱實之廣皆股弦較於長邊截四句分之則黄實之長青實之廣皆句弦較而黄實固兩較相乗之冪且有二也總計全圗中有句股矩八朱實青實各四黄實二夫句股矩幷朱實成句弦矩幷青實成股弦矩然則此圗中并得句弦矩股弦矩各四而存黄實為兩較相乗之冪者二也乃以第二圗參之此圗為弦和和冪於其内分句弦矩股弦矩各四兩縱兩横列四隅即中央黄實為弦和較冪也夫此圖大冪與第一圗大冪形異而實同則以此句弦矩股弦矩各四與第一圖相當而此一黄實當第一圗兩黄實無疑矣然何以見右兩圗大冪之異形同實更以第三圗參之此圗亦弦和和冪而縱横俱截一句一弦一股分之則一弦冪旁加一句股矩一句弦矩一股弦矩合為長方形固句弦和股弦和相乗之冪(句弦和為廣股弦和為長是兩)(和相乗之冪也)而當第一圖半冪也長方形之外亦有句股矩句弦矩股弦矩各一又句冪股冪并之成弦冪一是亦一句弦和股弦和相乘之冪而當第一圗半冪也故知第一第二兩圗大冪異形同實也(右三圗并說新易)句弦和股弦和求弦和和 兩和相乗之冪二當弦和和之冪一觀前兩較求弦和較第三圗已明不復贅(右舊有圗說新刪)句弦和股弦較求弦較較 一和一較相乗之冪二當弦較較之冪一全圗為句弦和冪於中分一股冪一句冪則黄實之邊青實朱實之廣皆股弦較股弦較乗句弦和應得一青實一朱實一黄實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黄實而重借一黄實也且股減句弦和即弦較較(原以一句一弦幷今減股則句盡而弦内且減一句股較矣存者宜為弦較較也)則兩朱實一黃實一句冪并固弦較較之冪矣而兩青實一黃實一股冪并乃成弦冪則兩青實一黃實并又與句冪等而可代弦較較冪中之句冪矣故知弦較較冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也(右圖説新增)句弦較股弦和求弦較和 一較一和相乗之冪二當弦較和之冪一全圖為股弦和冪於中分一句冪一股冪則黃實之邊青實朱實之廣皆句弦較句弦較乘股弦和應得一青實一朱實一黃實之長方形又倍之得兩青實兩朱實一黃實而重借一黃實也且句減股弦和即弦較和(原以一股一弦并今以句)(減股猶餘句股之較并入弦故為弦較和也)則兩朱實一黃實一股冪并固弦較和之冪矣而兩青實一黃實一句冪并乃成弦冪則兩青實一黄實并又與股冪等而可代弦較和冪中之股冪矣故知弦較和冪亦得兩青實兩朱實兩黃實也(右圖説新増)句股求容方句股和與容方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也容方旣四邊等試以容方外餘句言之餘句為小句而方邊固小股也然則大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其冪宜等也又試以容方外餘股言之餘股為小股而方邊固小句也然則大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其冪又宜等也故以句股和除句股矩得容方邊也(右圖説新訂)容方餘句餘股相求全圖為句股矩冪於中斜界一弦平分為兩冪原無小異也然則兩朱兩青實各自相當而餘句餘股相乘之冪為長方黄實者不得不等於方黄實矣故容方餘句餘股可互求也(右圖説新訂)容方與句求股餘句與股相乗之冪猶容方邉與句相乗之冪何也餘句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其冪宜等也故以句乗容方以餘句除之得股也(容方與股求句倣此 右圖説新増)又試以前三色之實言之黄與黄朱與朱青與青旣皆等則長方黃實并兩朱實與方黃實并兩朱實亦宜等也長方黃實并兩青實與方黃實并兩青實亦宜等也故容方可與句求股與股求句也句上容方股及半句和與方邊相乘之冪等於句股相乘之冪何也方形半在句内則餘句為小句半方邊為小股而若以方邊為小股即餘句止為小句之半然則大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其冪宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方倣此不復為圖(右圖說新增)九章錄要卷十一之二
## 卷十一之三
欽定四庫全書九章錄要卷十一之三松江屠文漪撰句股測望法句股法所以施之測望而髙深廣逺所求不同且古人以表後人以矩其法亦小異也别詳於左表測髙 城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却後距表五尺望城頭與表末齊人目髙四尺問城髙一率 五(人足距表尺數) (按若先知髙欲求逺者一二率互換而以城髙)二率 六(表減目髙尺數) (減表為三率)三率 二十五(表距城趾尺數)四率 三十(求得尺數加表十尺得城髙)表式髙者約長十尺或八尺短者約長四尺或三尺其制薄而方廣二寸厚半之首平體直二面中心界墨就墨路垂線以權鎭之免令欹側表趺鑿空寸許鐵趾實之以便竪立測髙則用髙表測深與廣逺則用短表若測極逺立身髙處并用髙表至於人目至足尺寸不一且平視仰窺杪分輒移目足前後亦多難定酌用一身表約髙四尺其表端立一窺筩如荻管大長五六寸以竹與五金為之綴於表端設機仰俯目測更確表測深 井不知深(謂水靣以上至井口非謂水深也)量井徑五尺以三尺表立井沿從表末俯望與下對靣水際相參直人目入井徑四寸問井深一率 四(目入井徑寸數)二率 三十(表髙寸數)三率 四十六(井徑減目入寸數)四率 三百四十五(井深寸數)表測逺 江不知闊就江沿立表髙三尺八寸却後一丈六尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問江闊一率 二(人目減表寸數)二率 一百六十(人足距表寸數)三率 三十八(表髙寸數)四率 三千零四十(江闊寸數)又如大湖不知闊㡬何里湖濵有石壁直髙六十五丈即邊壁立表髙三尺八寸却後二丈五尺望表末與對岸水際相參直人目髙四尺問湖闊一率 二(人目減表寸數)二率 二百五十(人足距表寸數)三率 六千五百三十八(壁表相并寸數)四率 八十一萬七千二百五十(湖闊寸數以里法三百六十歩歩法)(五尺通之得四十五里一白四十五歩)兩表測廣 城墻不知東西之廣於城東北隅直北四十歩立東表於東表正西三十歩立西表乃從東表直北行二歩望西表與城西北角相參直問城廣一率 二(人足距東表歩數)二率 三十(兩表相距歩數)三率 四十(東表距城歩數)四率 六百(求得歩數加兩表間三十歩得廣)四表測逺 山不知逺近指山趾一石或樓閣樹木為標乃立左兩表前後相距十二歩與所指標相參直次從左兩表平行向右立右兩表三靣表間相距各十二歩却從右後表平行向右望右前表與所指標相參直人立處距右後表二尺問山石距前表逺一率 五之二(立處距右後表尺數化為歩數)二率 十二(右兩表間歩數) (按右例四表中間正方或作長方形亦可)三率 十二前(兩表間歩數) (耳)四率 三百六十(石逺歩數)按右諸例皆句股容方及容長方以餘句求餘股法亦以小句股比類求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重測為稍異耳四表測逺又法 山不知逺指山趾一石測之先立甲表從甲表望山石為大股次於甲表之右(或左亦同)任意逺近立乙表甲乙表間為大句(句股之角須令正方下小句股同)次於乙表之右後任意逺近立丙表與乙表及山石相參直乙丙表間為小句又於丙表之右前立丁表與甲乙表相參直丙丁表間為小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩問山石去甲表逺一率 三(小句歩數)二率 二十四(小股歩數)三率 四十(大句歩數)四率 三百二十(石逺歩數)兩表重測廣逺 方城隔水不知城東西廣㡬何及去城多逺遥對城東北隅之直北立東表於東表正西四十歩立西表齊人目處以索連之乃從東表直北行去表十七歩遙望城西北隅入索東端十歩又直北行去表七十二歩遙望城西北隅與西表相參合問城廣及去表逺法先求景差一率 四十(東西表相距歩數)二率 七十二(後北行距表歩數)三率 一十(入索歩數)四率 一十八(景差歩數)次求城廣一率 一(前北行距表減景差餘歩數)二率 三十(東西表相距減入索餘歩數)三率 一十七(前北行距表歩數)四率 五伯一十(求得歩數加表間四十歩得城廣)次求城逺一率 一(同上)二率 五十四(後北行距表減景差餘歩數)三率 一十七(同上)四率 九伯一十八(城逺歩數)重表測高逺 海中有島不知高逺立二表各髙一丈二尺前後參直相距一百六十歩從前表退行六十九歩三尺望島峰與前表端齊又從後表退行七十歩望島峰與後表端齊人目高三尺問島高一率 二(前後退行距表歩數相減餘尺數)二率 九(表減人目髙尺數)三率 八百(前後表相距歩數化為尺數)四率 三千六百(求得尺數加表十二尺得島高)次求島去前表逺一率 二(同上) (按例若以後退行距表歩數為三率即得島去後表逺也)二率 八百(同上)三率 三百四十八(前退行距表歩數化為尺數)四率 一十三萬九千二百(島逺尺數)按右例與前兩表測廣逺其理本同前兩表間横索以測廣此竪表以測髙無以異也但前兩表横索只如一表而距表或近或逺以再測之此用前後表兩測之其法小異耳然前例若於前兩表之北相距五十四歩更立後兩表横索如前而北行距東後表十八歩望城西北隅亦當入索十歩則置東西表間四十歩不算竟以入索十歩為準而前北行十七歩後北行十八歩前後表間五十四歩與右例全無異矣所求景差即是移表向後通其意者法皆一貫也矩測髙 城不知髙距城趾二丈四尺以矩測之目窺通光與城頭相參直權線在直景八度人目高四尺問城高一率 八(直景度) (按矩測與表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互換而以)二率 十二(矩度) (城髙減目為三率也)三率 二十四(距城尺)數四率 三十六(求得尺)數(加目高四尺得城髙)又如牆不知髙距墻址三丈如法測之權線在倒景八度人目髙四尺問牆高一率 十二(矩度)二率 八(倒景度)三率 三十(距墻尺數)四率 二十(求得尺數加目高四尺得牆髙)矩式以銅版或堅木為四角正方形與楸枰相似甲角乙角立兩耳各通一竅名曰通光以便窺望若不設兩耳即立相等兩小表或安一通光之管皆可甲角為矩極系線任其下垂以權鎭之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣為兩乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱從邊起望矩極斜行毎度或更分為三分五分至十二分愈細則法愈宻矣用時甲昻乙低測髙目切乙角測深與逺目切甲角窺通光與所測物相參直任權線下垂値何度以算推之共矩用手持未免動搖又目足游移不易審定宜製一表髙四尺或五尺置矩其上轉動以機至測廣别是一法以矩平置之若向南測物身在東偏則令通光與東角相參直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取準亦難宜更立一短表斜向前數尺與西角參直然後引矩極之線屬之表端視線切何度方為精審 直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之兩竅若權線適在兩景中間是為句股平分即各物在地之景皆與其物之高等若在直景度則景必較短在倒景度則景必較長此二景之義也(假如在直景四度為矩度三之一則凡物景皆當其物三之 在倒景四)(度則凡物皆當其景三之一故可量物景以測其髙亦可從物髙以測其景量景測髙畧同前測髙例從)(髙測景畧同後測逺例)今以矩向所求物測望者則亦可前却其歩使權線適在兩景中間旣句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别兩景算之如當以直景度為一率矩度為二率而遇倒景則以矩度為一率倒景度為二率也(亦可變倒景為直景而仍為一率然不如一二率易位之)(便)其當以倒景度為一率者倣此更有重測之術以前後測所値景度之較為一率而使當直得倒當倒得直則必須變倒為直或變直為倒其變之法以矩度自乗為實以所値度為法除之即得變度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四為實以三為法除之得四十八為直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一為直景度也變直為倒亦如之矩測深 井不知深量井徑五尺以矩測之目窺通光與近身井沿及對靣水際相參直權線在直景三度問井深一率 三(直景度)二率 十二(矩度)三率 五(井徑尺數)四率 二十(井深尺數)又如池不知深已知池徑二丈四尺如法測之權線在倒景七度問池深一率 十二(矩度)二率 七(倒景度)三率 二十四(池徑尺數)四率 一十四(池深尺數)矩測逺 溪不知闊溪岸直髙八尺人立岸邊以矩測之通光與對岸水際相參直權線在倒景三度人目髙四尺問溪闊一率 三(倒景度)二率 十二(矩度)三率 十二(人目溪岸并尺數)四率 四十八(溪闊尺數)矩測廣 城牆不知東西之廣於城東北角直北相距三十歩以矩測之通光與城東北角相參直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一問城廣一率 六(倒景度通為分數)二率 六十(矩度通為分數)三率 三十(距城歩數)四率 三百(城廣歩數)重矩測髙逺 山不知髙逺以矩測之通光與山頂相參直權線在倒景九度却後直行距前測處八十歩如前測之權線在倒景八度人目髙四尺問山高一率 二(兩倒度俱變直度相減餘度數)二率 十二(矩度)三率 四百(兩測處相距歩數化為尺數)四率 二千四百(求得尺數加目四尺得山髙)次求山去前測處逺一率 二(同上)二率 四百(同上)三率 十六(前測倒度變為直度)四率 三千二百(山逺尺數)按重矩測廣逺者依前測廣法而重之遇直景皆變為倒景其列率則與重表測髙逺同盖横為廣竪為髙一理也知此可以通彼不復為例重矩測深逺 石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺㡬何及石壁直下至水面㡬何深者邊壁竪木木旁垂繩以取端直乃於石上附木用矩測之令通光與垂繩相並斜望對岸水際入矩倒景四度五分度之二却升髙去前測處一丈如前測之入倒景四度五分度之四問水逺一率 二(兩倒景相減餘分數)二率 六十(矩度通為分數)三率 一十(兩測處相去尺數)四率 三百(水逺尺數)次求前測處至水靣深一率 二(同上)二率 一十(同上)三率 二十二(前測倒度通為分數)四率 一百一十(壁深尺數)按此乃以測廣法測逺以測逺法測深也法無多端特用有變化耳(右一條新訂)半矩尺測逺 溪不知闊就溪沿立表髙五尺以矩尺綴表端矩角與表端齊從矩角望矩外端與對岸水際相參直乃回望矩内端所指處平地去表四寸問溪闊一率 四(尺指處距表寸)數二率 五十(表高寸數)三率 五十(同前)四率 六百二十五(溪闊寸數)按半矩尺若於兩端俱畫分寸以測高深廣逺亦與矩度及表相類而不如矩表之便故略而不論此特取其簡易者附矩表之後云更有水景測高法置盂水(或用鏡亦同)稍推移之令人目見所測物景正當水之中心乃以人目至足為小股人足至水心為小句水心距所測物之趾為大句以求大股又有日景測髙法量所測物景别立短表量其景乃以表高為小股表景為小句物景為大句以求大股二法若遇逺峰遙島旣不免於技窮而且目取水心之景則分寸易差日當隂晦之時則測量恐廢俱非通術吾無取焉九章錄要卷十一之三
## 卷十二
欽定四庫全書九章錄要卷十二松江屠文漪撰借徴法衰分盈朒方程之外更有借徴之法蓋借衰原於衰分疉借原於盈朒而觸類通之可以窮難知之數此九章法外之巧也故以次九章之後借衰互徴 借衰者本無正衰而借立虚數為衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦從其便假如商販不知其母初往獲息當母十之三以并入母再往獲息當母五之三以并入母又往折閲四之一又往獲倍息(母一子亦一也)以并入母又往折閲六之一亦不知實在總銀㡬何只云更須銀十兩即所獲子銀為原母數者二問原母及總銀其法任意借一數為原母且如原母十兩如前計之當得總銀二十六兩若論母一子二則不足四兩以四兩之原母及總銀推之而不足十兩者可知也一率 四(借衰不足兩數)二率 十(借衰原母兩數) 二十六(借衰總銀兩數)三率 十(所問不足兩數)四率 二十五(所問原母兩數)六十五(所問總銀兩數)又如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各㡬隻試借大小各六為船衰計總載兵一千四百五十名以一千四百五十名所須之船推之而四千三百五十名所用船可知也一率 一千四百五十(借衰兵數)二率 六(借衰船數)三率 四千三百五十(所問兵數)四率 一十八(所問船載)按右例用借衰法較之衰分章用互乗者倍㨗(右一條新)(增)又如漏壺注水三時而滿洩水八時而盡問且注且洩㡬時滿一壺即借十二時推之凡注四壺洩一壺半相減得二壺半一率 二壺又二分壺之一二率 十二時三率 一壺四率 四時又五分時之四又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿㡬何亦借十二時推之注洩相減得二壺半一率 十二時二率 二壺又二分壺之一三率 五時又三分時之一四率 一壺又九分壺之一又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即任意借一數算之且如借銀二兩加三度倍息得一十六兩為用銀之衰於十六兩内減母二兩餘十四兩為母銀之衰一率 十六兩二率 十四兩三率 三百兩四率 二百六十二兩五錢右例說見衰分章參觀自解其意也(若四度五度而盡者即加四度)(五度倍息如法算之章以上四條並已見衰分)疊借互徴盈數最難知則兩借虚數以徴之盖彷彿盈朒之法然原數初無盈朒而盈朒生於借數乃因其盈朒推求眞數立法尤為竒巧假如米每石價二兩麥一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各㡬何試借米三十石用價六十兩則麥一十石當用價一十六兩計價總七十六兩以比原總盈二兩列左又借米十五石用價三十兩則麥二十五石當用價四十兩計價總七十兩以比原總不足四兩列右盈不足相并為法米麥各以所借石數及所借用價數左右互乗盈不足數相并以法除之即各得所求正數若兩盈兩不足者為法之數及互乗得數皆相減(與盈朒章同)右例借衰或據價原總數算之而以總石數較原總以得盈朒如法乗除亦合又如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾多於羅每匹六錢羅多於絹每匹八錢問三物各價㡬何試借二兩為綾價一兩四錢為羅價六錢為絹價計價總六百兩比原總不足二百列左又借三兩為綾價二兩四錢為羅價一兩六錢為絹價計價總一千一百兩比原總盈三百列右三物各以所借價數互乗盈不足數如前法求之即各得正價又如賞軍每馬兵五名給紬三匹每歩兵四名給布六匹總馬歩共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩各㡬何紬布各㡬何試借馬兵四千給紬二千四百則歩兵四千一百應給布六千一百五十計總紬布八千八百五十比原總不足四百五十列左又借馬兵五千給紬三千則歩兵三千一百應給布四千六百五十計總紬布七千六百五十比原總不足一千三百五十列右馬歩紬布各以所借數互乗兩不足數如法求之即各得正數右例借衰或據紬布原總數算之而以馬歩總數較原總以得盈朒如法乗除皆合(右一條新増)又如大船四櫓四漿小船二櫓八漿今但見總作櫓一百張漿二百零八張問大小船各㡬何試借大船二十櫓八十小船一十櫓二十則大船槳八十小船槳八十總一百六十比原總不足四十八列左又借大船十五櫓六十小船二十櫓四十則大船槳六十小船漿一百六十總二百二十比原總盈十二列右大小船及大小船櫓槳各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數(右一條新增)右例借衰或據槳原總數算之而以櫓總數較原總得盈朒如法乗除亦同又如商販不知其母但云每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母㡬何即借三百為母三度後當用六百固盈三百列左又借二百五十為母三度後止應用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足數如法求之得原母(右一條新增)右例已見借衰互徴旣可單借而得則不須疊借矣舉此以見法之無窮耳凡單借可得者亦可疊借而得若須疊借而得者往往非單借所能得也(以上五條並已)(見衰分章)又如乙匠製造四十五日而畢加甲匠則十八日而畢問獨用甲匠須㡬日法先推乙匠十八日所成為四十五日内五分之二則甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之當成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之當成十五分之十三則全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足數如法求之得甲日(右一條已見商功章)又如驛使先發一十三日别遣騎追之馳二日半訪之驛舍知先後經過較十一日半問更須㡬日追及法以先發日減較日知二日半追上一日半則一日追上五分日之三也因借二十日推之當追上五分日之六十減較日二分日之二十三為盈二之一列左又借十五日推之當追上五分日之四十五比較日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得追及日又如空車日行七十里若載重即日行五十里今運米到倉五日三返問路逺㡬何試借五十里推之重行三日則空行七分日之十五而五日減三日餘二日止七分日之十四為盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半則重行十分日之二十一而五日減一日半餘三日半固十分日之三十五為不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足數如法求之得路逺(右二條已見均輸章俱新增)又如將銀買米用銀三分之一買十石不足三兩用九分之四買十二石不足二兩問銀數及米每石價各㡬何試借二十七兩為銀總數内以三之一九兩買十石不足三兩則米價當為一兩二錢而以九之四一十二兩買十二石不足二兩四錢比原數不足四錢列左又借五十四兩為銀總數内以三之一一十八兩買十石不足三兩則米價當為二兩一錢而以九之四二十四兩買十二石不足一兩二錢比原數盈八錢列右銀總數與三之一九之四及米價各以所借數互乗盈不足數如法求之即各得正數右例或據九分之四算之而以三分之一較原不足數以得盈朒如法乘除亦同(右一條已見盈朒章新增)又如賣米五石麥五石得銀一十四兩又賣米四石買麥七石出銀二兩問米麥每石價各㡬何試借二兩為米價八錢為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二兩四錢比原數盈四兩四錢列左又借一兩八錢為米價一兩為麥價以符一十四兩之數則賣米四石買麥七石當得銀二錢比原數盈二兩二錢列右米麥價各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數 右例或據賣米買麥數算之而以總賣價較原價以得盈朒如法乗除亦同(右一條已見方程章新增)又如甲乙銀各不知數别有銀八十兩以與甲則甲為乙數者三以與乙則乙為甲數者二問原數各㡬何試借四十為甲數加八十得一百二十而以其三之一四十為乙數加八十得一百二十則倍甲外盈四十列左又借七十為甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十為乙數加八十得一百三十則欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借數及所借又加八十之數互乗盈不足數如法求之即各得所問數(甲原六十四乙原四十八)又如甲乙銀不知數乙以十六兩與甲則乙當甲三之一甲以二十四兩與乙則甲當乙七之五問各實數㡬何試借二十九兩為甲數(減二十四與乙則餘五故借此數且得乙)(十六成四十五又為三倍乙之地也)又得乙十六兩則成四十五兩而乙居三之一應是一十五兩并未與甲十六兩共三十一兩為乙數又得甲二十四兩則成五十五兩乃甲減二十四止餘五兩論甲五乙七乙止應七兩固盈四十八兩列左再借四十四兩為甲數(以二十四與乙則餘)(二十為五數者四又得十六成六十為三倍乙之地也)又得乙十六兩則成六十兩而乙居三之一應是二十兩並未與甲十六兩共三十六兩為乙數又得甲二十四兩則成六十兩乃甲減二十四止餘二十兩論甲五乙七乙止應二十八兩亦盈三十二兩列右甲乙各以所借數及所借加減得失之數互乗兩盈數如法求之即各得所問數(甲原七十四乙原四十六)又如出師有中上下三軍中軍四萬上軍為中下二軍二分之一下軍為中上二軍三分之一問上下軍各㡬何試借三萬為上軍則中下二軍應六萬而下軍止應二萬若為中上三分之一中上止應六萬而實七萬固盈一萬列左又借二萬四千為上軍則中下二軍應四萬八千而下軍止應八千若為中上三分之一中上止應二萬四千而實六萬四千又盈四萬列右上軍下軍中上二軍中下二軍各以所借數互乗兩盈數如法求之即各得正數(上軍三萬二千下軍二萬四千)又如甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百兩問各原母㡬何試借一百兩為甲母内減四之一二十五兩與丙應存七十五兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙六百二十五兩而乙母當為一千二百五十兩内旣減二之一應存六百二十五兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙七十五兩而丙母應為二百二十五兩内旣減三之一應存一百五十兩加入得甲二十五兩共一百七十五兩欲滿七百則不足五百二十五列左又借二百兩為甲母内減四之一五十兩與丙應存一百五十兩又贏乙二之一而為七百兩是得乙五百五十兩而乙母應為一千一百兩内旣減二之一應存五百五十兩又贏丙三之一而為七百兩是得丙一百五十兩而丙母應為四百五十兩內旣減三之一應存三百兩加入得甲五十兩共三百五十兩欲滿七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母數及所借加減得失之數互乗兩不足數如法求之即各得所問數(甲母四百乙母八百丙母九百)又如甲乙丙三數甲加七十三得為乙丙數者二乙加七十三得為甲丙數者三丙加七十三得為甲乙數者四問各原數㡬何此因三數牽連難析必以前法再三推求而得之先借一為甲衰甲加七十三當兼乙丙而倍之因以減半得三十七為乙丙數而乙丙又衰分焉且如借二為乙數則丙係三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十六若乙欲為甲丙數者三(應一百零八)固不足三十三列左(只列)(乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下倣此)又借五為乙數則丙係三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合數三十三若乙欲為甲丙數者三(應九十九)亦不足二十一列右乙丙各以所借數互乗兩不足數如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三為甲衰加七十三以其半三十八為乙而數而乙丙又衰分之為法如前焉即借二為乙數則丙係三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合數三十九若乙欲為甲丙數者三(應一百一十七)固不足四十二列左又借二十為乙數則丙係一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合數二十一若乙欲為甲丙數者三(應六十三)又盈三十列右乙丙各以所借數互乗盈不足數如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一於是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别為圖列左而以後所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所問察之左甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加(八十三又四之一)亦得為甲丙數者三(甲丙共二十七又四之三)惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合數一十一零四之一若丙欲為甲乙數者四(應四十五)則盈五十四零四之三隨列於左又審右甲衰及所加已得為乙丙數者二乙衰及所加(八十五又二之一)亦得為甲丙數者三(甲丙共二十八又二之一)惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合數一十五零二之一若丙欲為甲乙數者四(應六十二)亦盈三十六零二之一隨列於右甲乙丙各以衰互乗兩盈數如法求之得七為甲數一十七為乙數二十三為丙數九章錄要卷十二◆ 《佛國暦象編》（KR3f0057）
## 篇目
円通著佛國暦象編 底本:(德風本)東叡大王府藏版% BR0.1.1a佛國暦象編序吾佛世尊已成無上覺洞視無盡世界而無遺如暦數象緯則唯是五明之一兮未可以為六道之樞機也雖然當説世間依正有漏因累終不能委諸冥漢莫辨明矣故妙髙三輪窮説求壊之劫列宿雙曜審示運旋之象可記晝矣夫印度之地異學織扇競道理於毫釐逞議論於吻舌佛菩% BR0.1.1b薩為立因量破之猶如驚颷之捲墜蘀也而宝■噐象之成壊曜當之運行則恬乎莫壊疑者獨何哉蓋以夫異學之師或能得天眼通體其實量寰區之内森羅之象咸在其所見也今也喎蘭之學行人々喜蛛蝥之靡説者日衒■新竒乃以大地為一大圓球凝停乎積氣之中哉以為地球與大隂及諸星同是出累運動不常居者% BR0.1.2a%至若其大陽距地之量運籌乖角不翅倍蓰抑何踈繆也蓋造化斡轉之妙非人力所及者而謂尺寸械噐坐盡宇宙之變自忌其薉陋日興天爭職遂騁其狂黠以掩矇顓民惑亂莫甚鳥夫漢土聖人大明禮義務叙彜倫上帝之尊明神之敬興天下之民潔清竭誠洋々如在祀事甚勞是以人心感化威而信之禮義行乎其間矣故% BR0.1.2b六合之丱存而不論止乎其數之所至無用之辯不急之察所以棄而不治也自唐虞居其官在璣衡齊七政三代共之亦唯所以恊歳時或農事也而其以神道設敎一興吾佛同轍唯其優降顯微小有間耳獨蝸蘭之俗立性姦險競勝為習沁醉人心苞蔵隂毒在吾邦也前鋻不遠其蔑棄神明絶滅天下之人之良心其害殆深矣% BR0.1.3a%哉况以吾佛世尊所説天地譏詆以為荒誕不揣其所誇張暦數亦皆從梵暦中■竊来也遂使不知者謂佛法只是虚設誘愚之方便要皆玩要不足土廟堂則霊塲之威冝於宣夜者邪非乎豈不悲乎哉積善珂月律師用力於此三十年常採■経論章疏以取堂量■及歴史百家之書無不搜索遂能甄明佛國暦象而疑冰頓融% BR0.1.3b迺慨夫喎蘭之學誹笑周孔玩弄神佛大有害于世敎遂條次■所當集記録求五卷命曰佛國暦象編律師雅深于佛敎非弋利名之徒只懼其弊之滋浸潤吾皇國之民外慕之心日生卒開禍釁之端也不能豈斯舉是以務揚搉正道斬伐蘖説嘘煦天下萬世之養生以翼賛國家聖神髙大之禮政欲佛法王法與天% BR0.1.4a%地日月煇焔于無窮之世也矣余固同其奥■聞来写適興其讐挍乃叙以弁其首文化苐七庚午朧月東寺留學沙弥出雲智轂序并書% BR0.2.1a佛國暦象編序是編何爲而著也厥故蓋有三焉欲顯楊聖説之天地而破諸邪説以護正法一也欲示諸邦暦術因循梵暦而得其法始備二也欲補以梵暦不傳吾邦爲瑜伽者之闕典三也凡事出聖昔者幽而難覈出庸情者疏而易知然而得厥實者縱一時有爲回邪所蔽久而人必知其眞如周髀千載之後人見其徴焉其出於臆斷者縱有暫爲也所取久而其% BR0.2.1b非竟彰如渾天家雖爲日月行於水中説至于今人僉知其妄焉今也遠夷邪説盛行于東方詳其爲説以月及五星輒爲地球而以地球還爲星矣胡其怪僻荒蕩至于斯哉果如所言則天亦地也地亦天也月與五星惟土塊巳何爲至聖以時祭祀而吾邦特尊兩曜以稱神乎由是觀之此説非獨災於佛敎亦紊周孔懿典並説皇國皇神之道故遊其門者佛説天地須彌% BR0.2.2a%與鐵圍盡以爲虚誕遂至侮慢聖典蔑弃神明以廢祭祀大典悲夫顧人不盡愚故厥始則鮮惑之者渠巧機工最善測算徵以交食星度之驗於是乎人浸信而卒溺矣予嘗撿明史彼土亦初惡夫耶蘇會士遠濵之外藩彼濳留其邊陸誘以星暦人伏其精嗣後漸入中都洋洋乎遂蔓於天下而近其天説浸波及于吾邦輕窕之士競唱其説海内信之者日加焉然彼暦術凡其爲綱領者無一不% BR0.2.2b <欠>% BR0.2.3a <欠>%% BR0.2.3b其志急弘法梵暦未遑治之也冝乎其法不備于今予毎以爲恨是以自忘其固陋捜索經論渉獵史子畧輯梵暦要領以發紀緯之秘蘊勒爲五卷題以今名自蔵凾底巳有年矣近竊出以示二三同志僉曰此書墔邪揚正有扶持大敎焉請以公于世予時未敢以爲然客歳予友山門金蔵輝公自持一本介凌雲統司獻諸輪王大王特賜% BR0.2.4a%敎旨鋟梓辱所蔵于王府鄙懷雖不敢陳素所懇願惟所懼淺識寡聞辭埋鄙昧未足以發聖旨之蔓一而遽致大方之譏讀者■以意逆志縁流求源則眞道亦庶幾乎維時文化十二龍集旃蒙大淵獻大簇日圓通書于平安東森積善敎院% BR0.3.1a佛國暦象編篇目卷之一 暦原第一凡二十條論支那暦術資印度法而後始周備論梵暦漸入支那大較論言古者梵暦亦未精密之非論支那造暦歴代變更籍諸賢脩飾而其法浸備及太陽高卑五星緯度恆星年等皆是梵法論梵暦已淵源於東漢之時論回暦原由及其法理本梵暦論回暦所用十二宮名及其形象全與梵暦同及% BR0.3.1b羅喉計都亦是梵名以證回即梵論回回本國古天竺屬後世印度壤地爲回回部落故多是釋種當用梵暦且古傳譯三藏多由其境來于中國論西洋暦法舊是梵暦論回西二暦要不出七曜暦七曜九執本是開合之異論回西立閏日宮閏不立閏月即梵暦法其立閏月者亦是梵暦一種論西洋用恆星年與回暦小異而是亦出梵暦的% BR0.3.2a%證第一節論回西恆星年太陽暦本遠起印度第二節論回回暦立太陽年太陰年與西洋暦有異而西暦亦不踰其閫域則二家共是梵法論西洋別回回立恆星年在何代論日月交食交常度等佛所説以出明證論大經六月一食與漢儒百八十日一食其義不同論聖敎所説變異之蝕論支那古來兩蝕變異有明證% BR0.3.2b論印度暦術自遠古傳其備已久卷之二 天體體第二凡八條論支那古來所傳天體三家四説之異總論七説須彌蓋天異同西洋舊説西洋新説論西學偏縱臆度顛倒常理論西洋精器不足憑印度天説% BR0.3.3a%地形第三之一凡八條論支那渾蓋二説論西洋所説地體論西洋所定地球經緯之里數甚非論支那西洋以北辰爲天最中其義多所塞論地球周九萬里之説理甚非論西儒謂物附地不墜大氣壓之義違現量論日月轉於地下之説違現量論日月横旋能合現量卷之三 地形第三之二凡一十六條% BR0.3.3b論後世地動之説應佛懸記據佛記立現量以駮新説地動及大陰爲地之副星之非論印度所説天地體状及其輿地與西儒所言五大洲大畧脗合且西儒所言印度地界與聖敎等所載大不同是不蹈其地而妄推者辨北地有夜極短之國證北極下有一年爲一晝夜國竺漢古昔已有其説論所以須彌半腰不礙日光之理% BR0.3.4a%辨日光不及夜國限分論日光經度論閻浮提地形論佛説周髀之異同論定北辰之所處辨由旬量詳閻浮提北邊有七林七河閻浮提日行緯度及林河等量(附氷海所處)論南北二極異義辨西儒地球不同支那渾天% BR0.3.4b暦法第四之一凡六條論梵暦大概探大藏中出梵暦立法不同者十二辨暦之啓閉起於印度論十二支獸之本據論皇國暦首三鏡及八將神等本梵暦辨印度辰法卷之四 暦法第四之二凡二十六條回西二暦之大概造暦大意(附諸用數)% BR0.3.5a%黄道日躔定氣太陰白道宿度略出日藏經暦法太陰宿度竺漢異同梵法百八足宿度三種合法配百八足於宮宿日月諸星周天左右異説梵暦黄白二道緯度重明日月合離及月光開覆% BR0.3.5b論月光異義論日月宮之體及其神之有無(附日光開覆)太陽平行及閏月四天下節氣差九十日推歩天度日月諸用數圭表晝夜三十時之名字(并測影)漏刻之法印度測影之大概印度交食術之一% BR0.3.6a%印度交食術之二印度交食術之三印度交食術之四(論羅計之義不一凖)印度交食術之五(術交食大概又證高卑之説原起印度)卷之五 暦法第四之三凡二十七條論日有五蝕論日蝕之疑難論暗虚之説論西説太陽測量無定凖論西洋新舊天説不足依用% BR0.3.6b徴西説七曜離地之庀謬明據論西洋五星距地測量之謬論西法恆星天測量之非及恆星爲太陽之謬論以地球妄爲星僻説論五星測騐起印度論測七曜形量印度西洋大異(弁徴西測之非)論西洋測量無所適從論日月體量内外所説不同論言輿地廣狹内外典其説大異論周髀所言四極節氣之差與佛説契合% BR0.3.7a%論西法地度不合其實論世間天説正與邪並不出南方一洲義擧周髀之正以徴西説不經論金邊山及閻浮樹可得而窺論非佛説則不能盡日月及極遠之事詳日月行度之義詳日月行度速疾辨南極之義論印度星暦之説不來此土者多證印度測曜宿高卑其傳甚久% BR0.3.7b論侍天形服翳月光之説駁周覧地球妄談眼智第五自二條初明天眼自十 (一明印度獨有眼智之法 二明天眼有漏無漏三明天眼有性得修得 四詳天眼相 五詳修天眼法六辨天眼之事誠實 七明人皆固有天眼之性 八比較外典以釋如來藏性之義 九明修天眼依地 十明修天眼有解行證之三)次明智自四 (一畧明諸智 二辨情智之分 三畧明事業二識之分四示不知情智之分則不可得讀佛典)佛國暦象編篇目終
## 1
% BR1.1a佛國暦象編卷之一平安東森隱士無外子釋圓通 撰雲陽 空谷子釋智轂 校問近者和蘭天學盛行海内外其言曰天體如碧璃透映而渾圓七曜列宿層層運旋以裏地地如彈丸適天之最中萬象羅列四靣人居焉而其地球經度當吾邦里法三千四百七十里蓋其術取北極出地之高低以推驗度分因割圓八線之精算以量測晷象或由兩蝕刻分加減以定東西之里數製造望遠鏡象限儀等巧器而覈定其度數里程是以測驗甚% BR1.1b密其理亦精當且西洋人常通賈舶於萬國到亞弗利加洲喝㕥國見南極出地三十六度與吾神州見北極出地同其赤道線下之地蘓門答剌三佛齊等國則見南北兩極在於左右其地度經緯正對者兩處之人以足版相抵而立也(日本與喝㕥國適當地球上下正對也)則地體之爲圓形也斯可見耳而佛經所説則輿地之量甚廣大一須彌界猶尚過所謂地球之量億倍况於大千界乎是其可異之一也彼言天地倶團圓而無有上下伹以所蹈爲下以所戴爲上四靣互上下而無定實上下矣佛氏説則不然覆載常定上下偏% BR1.2a%位故天不爲地之下四靣不可爲天兩家之説乖角天淵是其可異之二也彼以爲日月衆星竪旋地下佛氏則説日月衆星各乗五風横旋須彌而其體之大小運旋之高下義大不同且以日月衆星屬有情屬非情亦大牴牾是其可異之三也彼此所談方枘圓鑿夫西洋天説率實測正算驗諸二曜交食纎毫不失則誠似可信者佛氏所説九山八海終不見其實梵釋四王竟歸寓談則一代大敎總齊演劇冝矣支那及回回等佛敎爲之廢今之世信佛者千百中僅一二已(見暦算全書)我東方亦將然可不懼哉圓智如% BR1.2b來得通薩埵豈有謬這箇淺事哉意大藏經中別有明説請子懸白日以破雲霧答季世爲佛敎之害者莫大於此事不啻外學之士生毀詆雖學佛之徒間亦自懷疑不肖少時受學天文嘗大惑之不得其解者葢有年冝矣子之有斯問也近世水府有不染居士者嘗恐後世疑佛者自天文地理而始著護法資治論諜諜論辨雖其志可嘉亦未深慣吾大敎其説牽強概出私意徒増岐路未足以闢疑也不肖道行之暇廣撿内外研精覃思幾三十年及今日洞了通融渙然氷釋今當因徴問條% BR1.3a%示鄙衷分爲五科初論暦原二辨天體三判地形四評暦法五示眼智暦原第一 凡二十條論支那暦術資印度法而後始周備支那國暦法古昔甚踈故如大陰晦朔見薄蝕不於朔望閏餘乖次等歴史徃徃載之夫日月交食葢暦法喉緊而漢以前矇乎不曉後漢暦志十八載漢中興十二世百九十六年日食七十二朔三十二晦三十七月二日三葢以不知定朔之法故致此疎謬也(暦學答問曰問日蝕古無其法漢日蝕毎先天終漢四百年無人修改則落下閎張衡皆夢夢歟按古月% BR1.3b食毎小在朔者以其用平朔耳古所以用平朔者以日月並紀平度也今按是即所以不知交食也)自漢末洎六朝稍論交食而猶未詳當逮唐之盛其法始備余竊尋繹其所由漢以後梵國之敎東漸内外經籍入支那者不爲不多天文暦術陰陽讖緯之書葢亦在其中然梵漢語異須譯而通亦不易曉况暦術渺藐専門世業猶尚病諸焉有容易達其致者矣哉六朝以後天學之士雖或學之梵僧哉考之書無得其精測者唐高宗時司天猶未詳定朔之法時暦與天不合氣序多違晦朔月見薄蝕毎失時聞印度善歩暦(如唐書西域傳中天竺傳云有文字善歩暦)遂遠求其人以爲暦% BR1.4a%官其見于史者不尠唐書暦志十六云高宗時戊寅暦益疎(是瞿曇謙所著甲子元辰暦也高祖以戊寅歳甲子日登極故名)淳風作甲子元暦以獻(高宗麟德元年甲子李淳風作麟德甲子元暦)因劉焯皇極暦法増損所冝當時以爲密與太史令瞿曇羅所上經緯暦參行(唐百官志三十七云司天覧一人正三品監掌察天文稽暦數凡天文圖書器物非其任不得與焉註云開元二年復曰太史監改令爲監◯瞿曇者姓羅者名釋迦氏又名瞿曇氏印度四姓之一也翻譯名義集一云瞿曇星名從星立稱至于後代改姓釋迦文句云瞿曇此云純淑應法師翻爲地最勝謂除天外人類中此族最勝)甲子南至改元聖暦作光宅暦(命羅作之)將用之三年罷又云九執暦者出于西域詔太史監瞿曇悉達譯之(悉達此云成就中印度之語也)斷取近距以開% BR1.4b元二年二月朔爲暦首(以二月春分爲歳首即是梵暦之法也此暦法出于後)悉達嘗著太唐開元占經一百一十卷載唐書藝文志又暦官陳玄景從瞿曇羅奉九執暦太史令南宮説從悉達著光宅暦草十卷同見于唐書玄景及説並名天學故得爲暦官太史令又舊唐書十六天文志下云上元二年七月癸未朔日有触之大星皆見司天秋官正瞿曇誤奏曰癸未大陽虧辰正後六刻起虧已正後一刻復滿虧於張四度周之分野(新唐書暦志十七上亦載瞿曇譔事)又唐藝文志四十九載瞿曇謙大唐甲子元辰暦一卷大唐刻漏經一卷謙亦爲印度人又% BR1.5a%同暦志載天竺得摩羅所傳斷日蝕法如下引凡數十年間而印度瞿曇氏爲暦官見于史者四人其佗如得摩羅者更應有數人凡此數家梵暦皆自從而來故宿曜經揚景風註曰凡欲知日月五星所在宿分者縁天竺暦術可以推知何宿也(如印度七曜暦等)今有迦葉氏瞿曇氏僧倶摩羅等三家天竺暦並掌在太史閣然今之行用多瞿曇氏暦與大衍相參奉耳(揚景風葢德宗時天官受天學於印度三藏大廣智不空故註三藏所譯宿曜經曰弟子上都草澤揚景風修註時多與風同受者故又曰親𣴎三藏指揮使爲修註繕冩奉凡是門人各持一本又唐書暦志十九云詔司天除𣴎嗣與夏官正揚景風雜麟德大衍之旨治新暦)又有九執暦前已引% BR1.5b之(明史及暦算全書等謾言唐始止有九執暦葢無稽之言耳殊不知梵暦入于支那在六朝間而唐不唯有九執暦又有數家梵暦)要之梵暦之法先曉二曜有高卑之行(後當出其義)以日爲日月爲月七曜暦九執暦等即是唐巳前日月並紀平行度用平朔至李淳風法異于此蓋取之於印度故也何以知之淳風出瞿曇謙甲子元辰暦之後而依倣其法(已見于上註)及與瞿曇羅同時継爲太史令是時朝廷専徴暦士於印度則淳風蓋多與之交其承梵暦者可推而知也淳風之後嵩陽大衍暦出而支那暦道始大備焉故唐書暦志十七上云自漢太初至麟德暦有二十三家與天雖% BR1.6a%近而不密也至一行密矣後世雖有改作者皆依倣而已暦學疑問補二云李淳風麟德暦復去歳差不用直至開元某年僧一行作大衍暦乃始愽徴廣證以大暢朔旨于是分天自爲天歳自爲歳歴代遵用又暦學答問一云漢晉史志徃徃有日蝕不在朔而在朔之二日或晦日者自唐李淳風麟德暦始用定朔至一行大衍暦又發明之始有四大三小之月而触必在朔葢淳風言定朔嵩陽發歳差皆是梵法也而淳風不用歳差則歴術之美未盡嵩陽絶前光後後世修暦者不能出厥範圍也夫師専闡三密洪業% BR1.6b之暇傍學暦術陰陽之書傑出獨詣淵府者何也是無他偏出親就金剛智不空等大賢瞿曇悉達等諸英能熟梵法而參考之支那遂得成斯鴻業也耳論梵暦漸入支那大較梵國之暦延浸支那甚有淵源按高僧傳慧嚴傳云東海何𣴎天以愽物著名乃問嚴佛國將用何暦嚴云天竺夏至之日方中無影所謂天中於五行土德色尚黄數尚五八寸爲一尺十兩當此土十二兩建辰之月爲歳首及討覈分至推挍薄触顧歩光影其法甚詳宿度年紀咸有條例𣴎天無所厝難後婆利% BR1.7a%國人來果同嚴説帝勅任預受焉梵暦之法傳于支那其大者葢是時之爲始也宋史律暦志八云宋何承天始悟測景以定氣序註云景極長冬至極短夏至始立八尺之表連測十餘年即知舊景初暦冬至常遲天三日乃造元嘉暦冬至加時比舊退减三日葢慧嚴所言討覈分至推挍薄触顧歩光影者即是已非承天之創意也又呉黄武中所譯出摩登伽經明時品明測影之法承天豈或據之邪又同律暦志九云觀天地陰陽之體以正位辨方定時考閏莫近乎圭表宋何𣴎天始立表候日景十年間知冬至唐% BR1.7b一行造大衍暦用圭表測知氣序常後天一日葢二家同測景象定節氣取暦元其旨已廣出大集等經立世阿毘曇等論則取範於此者斷可知也又魏書律暦志云大祖天興初命仍用景初暦歳年積久頗以爲疎世祖平凉土得趙歐所修玄始暦後謂爲密以代景初又云高壮踐祚乃用敦煌趙歐甲寅元暦然其星度稍爲差遠臣(指歐)輒鳩集異同研其損益更造新暦以甲寅爲元(立元與玄始暦同秖加其精覈)考其盈縮晷象周密又從約省起自景明因名景明暦(景明者魏世宗年號不取上元甲子直以景明爲截算之元斷取近距乃與悉達譯九執暦以開元二年爲暦元全同)而伺% BR1.8a%察晷度要在冬夏二至前後各五日然後乃可取驗(雖隋書暦志曰劉焯始悟日行有盈縮可見先此歐既悟其義)又有趙歐甲子元暦序一卷同算經一卷並載隋經籍志按地理志曰敦煌者西域要道蒲昌海玉門陽關在焉其地西接疏勒于闐素遵用印度經典律暦葢西域弘法諸師所必經而此地嘗有如三藏法護法乘等(出高僧傳)其所齎來經典先海聚此地而後漸支那故當時暦法漢土尚未備而邊垂之境獨先傳耳且廣輿記廿四曰赤斤蒙古古西戎地戰國時月氏居之漢武帝時爲酒泉敦煌二郡地葢歐之先既月氏人則據印度其理% BR1.8b必然但其術寫梵而未盡也耳夫支那暦法自漢太初至金大明暦並皆推遠古七曜齊元之甲子以爲暦元故其法甚煩諸家暦元無一同者今歐之法即測二至景象以爲暦元全如元授時則與印度西洋取暦元其法全同乃知歐之本梵書也必矣若夫推二曜盈縮測五星之術唐以前未詳如揚景風所言(見上)而歐曷獨得推星度測晷象以盡周密哉其本天竺斷可知也又魏書一百七上曰太史令胡榮及雍州沙門統道融等總合九家共成一暦考古合今謂爲最密融師亦傍善天學先於大衍成一家要亦梵% BR1.9a%暦耳又佛祖通載九云後周宇文泰宇文護並崇重佛法與西域三藏十四人宣譯經論天文等凡百餘卷又續高僧傳一云周建武帝天和中達摩流支奉勅譯婆羅門天文二十卷又按隋經籍志載婆羅門天文經一卷(婆羅門捨仙人所説)婆羅門竭伽仙人天文説三十卷(胎藏曼荼羅外金剛部院有竭伽仙葢是乎)婆羅門天經一卷解天命星宿要訣一卷摩登伽經星圖一卷(此經説星度測景等大畧在藏中慶字凾星圖此方無聞葢失傳爲可惜)婆羅門算法一卷婆羅門算經三卷(婆羅門此云浄裔印度四姓之一)是皆六朝之間印度天文暦數之書之入于支那者也又唐藝文志載都利聿% BR1.9b斯經二卷(貞元中都利術士李彌乾傳自西天竺有璩公者譯其文)陣輔聿斯四門經一卷(印度暦術之書)唐以前所見已如是其他所不載于史如唐貞元中所傳西印度婆羅門僧金倶咜著九曜暦法等理應若干葢自印度及胡諸國所入弘法沙門婆羅門豈止什佰其所傳亦不可以概也耳又後周太史甄鸞呉太子太輔闞澤並當時天學名家(甄鸞作天和暦著周髀算經註及數術記遺等闞澤著乾象暦等之註)而倶深信佛乗故鸞著笑道論以諌周武排佛澤敦勸呉主以闡佛乗此之二士並親參印度諸師聞於佛乗蓋亦禀彼之天文必矣由是觀之印度暦術漸于支那由來% BR1.10a%久矣又元明之間回回天學盛行支那回暦者即梵暦之一也用回是用梵也(明世祖時頒行回暦於天下等見于後)暦學疑問補一云隋以前西暦未入中國(此義已前批)其見於史者在唐爲九執暦在元爲萬年暦在明爲回回暦在本朝爲西洋暦萬年暦用亦不久世祖至元四年西域札馬魯丁撰術萬年暦世祖稍頒行之至十八年改用授時暦在明用回回暦三百年後亦漸疎明洪武初設回回司天臺于蕐臺尋罷回回司天監設回回科隷欽天官毎年官生依其本法奏進日月交食及五星凌犯等暦明史三十一曰洪武元年又置% BR1.10b回回司天監後改監爲欽天設四科曰天文曰漏刻曰回回暦曰大統暦又云回回暦科推算日月交食五星凌犯最爲精密以是觀之梵暦之入支那也可謂淵源東漢濫觴晉魏流漫唐宋匯澤元明焉論言古者梵暦亦未精密之非梵暦之起其來尚矣故其術固精細然或疑曰古昔梵暦葢亦疎而不密矣故唐書暦志云九執暦者出于西域開元六年詔太史令瞿曇悉達譯之以開元二年二月朔爲暦首其算皆以字書不用籌策其術繋粹或幸而中不可以爲法名數詭異初其辨之也% BR1.11a%陳玄景持以惑當時謂一行冩其術未盡妄矣則是九執暦亦不足爲據也曰不然荊璞不遭其人則同瓦礫不是非寶也不知之也劉義叟等固不知筆算之法(唐暦志劉義叟所著其義見暦算全書)妄謂爲繋粹耳暦算全書籌算部自序云唐有九執暦不用布算唯以筆記史爲繋重其法不傳今西儒筆算其遺意歟朱子語類云聞季通云西域有九執暦却是順算又明史三十一云弘治中月食屢不應日食亦舛正德十二三年連推日食起復皆不合於是朱裕上言至元辛巳距今二百三十七年歳久不能無差(言授時暦法久而差)若不量% BR1.11b〈宮島本〉加損益恐愈久愈舛半推古法半推新法兩相交驗回回科推驗西域九執暦法徃復參較則交食可正而七政可齊(回暦精密如上交引明史明)當此時西洋天學士龍蕐民鄧玉凾湯若望羅雅谷利瑪竇等十有餘人在漢土盛言西洋天學而不出九執暦範圍也夫宋時謂爲順算明暦家亦推如此則劉義叟妄■决矣 ＝馬＋又÷又論支那造暦歴代變更籍諸賢脩飾而後其法浸備及大陽高卑五星緯度恆星年等皆是梵法支那暦術葢歴代諸賢潤色之而後漸備者矣續弘簡録郭守敬傅云爰及三代暦無定法周秦之間閏% BR1.12a〈宮島本〉%餘乖次(自秦至漢初用顓頊暦)西漢造三統暦(漢興百有餘年)百三十年而是非始定東漢造四分暦(章帝元和二年)七十餘年而儀式方備又百二十一年而劉洪造乾象暦(靈帝光和中也乾象暦儀載晉書十七)始悟月行有遲疾又百二十一年而姜笈造三紀甲子暦始悟以月食衝撿日宿度所在(此法畧出晉書十八)又五十七年何𣴎天造元嘉暦始悟以朔望及弦皆定大小餘(此法出宋書卷十三承天據梵暦始知立表測影定節氣如前論)又六十五年祖冲之造大明暦始悟大陽有歳差之數極星去不動處一度餘(此法出宋書十三是由測景象久益詳)又五十二年張子信始悟日月交道有表裏五星有遲疾% BR1.12b(隋書十七云張孟賓受業於張子信並棄舊書事更作新法又有趙道嚴凖晷影之長短定日行進退更作盈縮以求虧食之期由此觀之趙道嚴葢先于劉焯知日行有盈縮矣又按當時印度那連提耶舎等諸士在于支那譯大集日藏分此經中明測影之法彼之諸士葢據之也)又三十三年劉焯造皇極暦(出隋書十八)始悟日行有盈縮(知日行有盈縮者起乎敦煌趙歐景明暦如前論又趙道嚴繼歐以測盈縮道嚴與歐同姓葢歐之支族亦未可知也)又三十五年愽仁均造戊寅元暦頗釆舊儀始用定朔又四十六年李淳風造麟德暦以古暦章蔀元首分不齊始爲總法用進朔以避晦晨月見(當時印度瞿曇謙等諸士譯印度七曜九曜等暦以詳二曜盈縮何言仁均淳風獨自創之耶葢修史者忌隠假法於外國者也甚非君子之義)又六十六年一行造大衍暦始以朔有四大三% BR1.13a%小定九服交食之異又九十四年徐昂造宜明暦始悟氣刻時三差又二百三十六年姚舜輔造紀元暦始悟食甚泛餘差數(此事出宋史三十三舜輔善梵暦如後辨)以上計千一百八十二年暦經七十改其創法者十有三家自是又百七十四年専命臣等改治新暦守敬爲暦也斷不用上元甲子爲暦元直立表測影以至元辛巳爲截算之元即所謂授時暦是也而其法全與梵法同漢已後改暦七十餘守敬授時爲最優而守敬之法原據梵法雖立法精密非其自已出者也(印度西洋回回取暦元皆本晷象與用上元甲子者異又授時消長之法亦本瞿曇氏暦之法)以授時積年% BR1.13b稍踈明改造大統暦以洪武十七年甲子爲暦元推羅計宿度以知交食至於此時始純泯合梵暦加之別譯回回暦頒行天下終明三百年不復以易之也(其回暦即是梵暦其辨具于後)夫從漢太初至元授時千三百五十六年經七十餘家䆮備而未曉日月有高卑之行可謂未得盡其精微焉且未詳五星黄道緯度可不謂踈乎此二端者暦道大節目而元明司天及西洋歸化利瑪竇羅雅谷芥儒畧等猶未覈論者何也葢暦道玄而難測故也然太陽最高卑之説五星凌犯經緯度之法徃徃見經論則印度暦道其備既在三千% BR1.14a%年前矣葢大聖神智三明六通玄且遠如此(此事如後具辨)又如七曜過宮之宿度唐三百年中梵暦盛流支那而未見有其名義宋觀天暦始言之葢其備久而其法漸被遠亦斯類也(此事出宋史三十)又宋史藝文志載姚舜輔蝕神隱耀暦三卷是灼然梵暦之法梵以羅計二曜爲蝕神頭蝕神尾而梵暦曰羅計常隱行不見今其書命以蝕神隱耀舜輔之用梵法■然可見其 ＝火＋爵悟食甚汎餘差數(此法本在回暦)造紀元暦(出宋史三十二)以爲創法一大家亦由於此耳又同藝文志有符天九曜通元立成法二卷(支那舊無九曜之説故知是梵暦)符天行宮一卷(支那% BR1.14b舊無十二宮之名)錢明逸西國七曜暦一卷其餘載七曜暦法都九部十五卷五星暦二部三卷而七曜暦九執暦元是同法九執中除羅計以爲七曜求日月正交中交是即羅計故與九執第開合異耳五星暦者亦惟畧日月二曜耳趙宋以前無九執七曜等暦法宿曜經云七曜上運行於天下直人間其精靈神驗内外典籍具備自南西北三方諸國皆悉用之唯東大唐一國未審知委其曜乃知以上數部皆梵暦之法也又有青蘿妙度眞經大暦一卷甚似胡名葢回暦之類又有萬年暦十二卷葢亦札馬魯丁萬年暦之% BR1.15a%類耳此等推其題名以知必西域暦之類此外有統元五星立成統元七曜細行暦亦舜輔所作純據梵暦而成之若今清時憲暦全寫西洋暦而統元寫之未盡者也論梵暦已淵源於東漢之時梵暦之法雖劉宋之時始傳行之其實已淵源于東漢矣從東漢顯宗永平十年至獻帝延康元年凡十一世一百五十四年西域傳敎大德一十二人所譯經論總二百九十二部三百九十五卷其傳敎開士莫有不洞通五明者但其意専在救三有患累而不% BR1.15b以天文暦數等爲急故鮮有言之者雖然偶有窒於此者則聞亦爲傳譯之漢桓帝建和中有安世高所譯舎頭諌經肇開之大緒(一名二十八宿經與摩登伽經同本異譯)葢師善七曜五行盈縮推歩之術故傳譯天文暦象以融會彼此也(貞元釋敎録云沙門安清字世高安息國王后之太子也幼懷淳孝敬養竭誠仁及蠢類言行若踐䂓矩焉加以剋意好學外國典籍莫不該貫七曜五行之象風角雲物之占推歩盈縮悉窮其變漢桓之初始到東夏高才悟機一聞能達至止未久大通蕐言廣事宜譯)又印度曇伽羅竺律炎維祗難月支支識支謙等傳敎之士十有一人咸在其本邦廣通五明(五明中工巧明愽學天文暦數)其來正當漢室末運曇伽羅嘗以魏黄初中(文帝暦号)來於洛% BR1.16a%陽大行佛法時尚書郎揚偉修景初暦葢必參聞之矣(貞元釋敎録云沙門曇伽羅中印度人師幼而才質過人讀書一覽文義通暢善學四韋陀風雲星宿圖識運變莫不該綜自言天下文理畢己生腹)支謙又與竺律炎維祗難等入呉譯摩登伽經(貞元釋敎録云居士支謙字恭大月氏人也祖父法度以漢靈帝世率國人數百歸化率善中郎將謙十歳學漢書十三學婆羅門書並得精妙兼通六國語言初桓靈世支讖譯出法典有支亮字紀明資學於讖謙又受業於亮莫不經籍究練少不藝術綜習時人語曰智襄獻帝之末漢室大亂與郷人數十共奔於呉呉主拜爲愽士使補導東宮既善梵漢之語譯摩登伽經等八十八部曲得聖義辞旨文雅摩登伽經具明星暦如前已引)時中書令闞澤受漢劉洪乾象暦而行于呉亦深從事佛敎信順諸師理必學印度星暦矣故曰梵暦實胚胎東漢之時也% BR1.16b矣論回暦原由及其法理本梵暦回回國暦葢梵暦之支流也何以證之明史三十七云回回暦法西域黙狄納國馬哈麻所作又大明一統志九十云黙德那國即回回祖國也初國王謨罕驀德生而神靈有大德臣伏西域諸國諸國尊號爲別諳秡爾猶蕐言天使云其敎専以事天爲本而無像設其經有三十藏凡三千六百卷其書體旁行有篆草楷今西洋諸國皆用之又有陰陽星暦醫藥音藥之類(西洋諸國用回暦其所由出可以見)按馬哈麻謨罕驀德葢一% BR1.17a%人耳輟畊録亦云元耶律文正王於星暦卜筮雜算内算音律儒釋異國之書無不通嘗言西域暦五星密於中國乃作麻答把暦葢回鶻暦名也(回回又云回鶻)麻答把恐馬哈(呼馬切)麻之訛轉或答字哈之誤耳按天方黙德那等回境即古波斯之壤地(波斯之地古周迴數萬里後分爲數國)當唐之時釋迦佛鉢在波斯王宮其王中印度之裔佛敎之所布故經典律暦舊専用印度由是觀之馬哈麻所作回暦本於印度瞿曇氏迦葉氏等梵暦也明矣葢馬哈麻建國當隋開皇巳未之年(見明史)佛之出興先於隋凡千有六百年梵暦之備先是粗% BR1.17b見藏經則馬哈麻之暦據梵法也必矣論回暦所用十二宮名及其形象全與梵暦同及羅喉計覩亦是梵名以證回即梵回暦所用十二宮其名與象全同梵暦其名曰白羊金牛陰陽(又曰夫婦)巨蟹獅子室女(又曰少女)天秤天蝎人馬(又曰弓宮)摩羯寶瓶雙魚此十二宮名義原出大集日藏經曰昔在殊致羅婆菩薩受龍王請始説十二宮及星象暦數其他摩登伽經孔雀經宿曜經等徃徃説之回暦全據之又回暦法周天度三百六十而無餘分毎度六十分毎分六十秒微纎以下咸凖之毎宮% BR1.18a%三十度宮度起白羊節氣以春分爲歳首推歩七曜及羅計以七曜紀日不用甲乙皆是梵法又唐書暦志十八云九執暦者出于西域(九執者梵暦中之葢是瞿曇氏暦也)以開元六年詔太史監瞿曇悉達譯之斷取近距以開元二年二月朔爲暦首(立表測景斷取近距不用上元甲子回回西洋授時暦等一皆據之其以二月春分爲歳首與回暦同)度法有六十(回回西洋並用之)月有二十九日七百三分日之三百七十三暦首有朔虚分百二十六(朔策及日周分者印度諸暦回西暦等並皆不同是由古今布算之踈密里差等之異故也)周天三百六十度無餘分(回西並用之)日去没分九百分度之十三二月爲時六時爲歳(印度諸國有六時三% BR1.18b時四時不同葢如中南二竺大抵近乎赤道之下春秋二分日在人之頭頂所以有三時六時也)三十度爲相是即此耳(宮又名爲相毎宮三十度回西並同之)暦學疑問補二以周歳日躔匀分三百六十度伹彼以春分爲大陽年第一月第一日其註云今回暦之大陽年既以春分爲歳首則以仲春後半月爲正旦又云然以其時春分正在白羊此即據宿曜大集等所説梵法也宿曜經云二月春分朔于時曜躔婁(日躔婁也既隨大陽宿度以立正朔故知以節氣朔爲朔回暦大陽年之法求大陽白羊宮第一日中心行度者是也)道齊(大陽在赤道最中)景正(赤道下之國當二至日中無影)月中(日夜停分故)氣和(陰陽停分)庶物漸榮一切増長故梵天拆爲暦元(印度回回以春分爲% BR1.19a%正旦其義如是)大集日藏經云正月(支那二月也)合角宿滿(是故印度呼二月爲角月)此正月白羊之神主儅其月回暦葢據之矣又回暦推歩羅睺計覩以測交食此法亦起於印度羅睺支那翻曰障障日月義計都譯曰旗表幟於蝕義是中印度之語而非回回西洋之語也回西支那皆非其本創法則第因循守其名不能以標譯名故大集大日熾盛光等諸經攘災訣梵天火羅等宿暦之書並皆存梵語不翻轉之及回回西洋支那元以來之諸暦盡沿襲之不能復變改也又十二宮中磨羯宮亦存梵語餘悉譯以爲其邦語葢其邦無其物% BR1.19b不得以餘名當之可見己凡上數條暦法之肯綮而皆寫梵法則回暦即梵暦皦如白日豈於是有疑冰猶未凘者矣哉論回回本國古天竺屬後世印度壤地爲回回部落故多是釋種當用梵暦且古傳譯三藏多由其境來于中國古印度諸國大月氏大夏罽賓龜茲于闐天方條支等並皆爲回回部落印度古多皆釋氏而回部諸國亦率是釋種西域聞見録云哈密古之回國於唐最盛自是以西數萬里皆回回部落又聞見録古之龜% BR1.20a%茲革名庫車于闐名和闐罽賓大夏月氏總名葉爾羗其餘覩貨羅及波斯等並今爲回人部落暦學疑問補云天方國即回回國(廣輿記云自天方抵中國凡匝歳按天方黙德納回暦所出之地即古之波斯國)唐書一百四十六云波斯國其先中印度波斯匿王大月氏別裔王因以姓又爲國號(見行地球圖分波斯天方以爲二者葢從後世西域記云波斯國周數萬里)前漢書西域傳云大月氏西君大夏而塞王南君罽賓塞種分散徃徃爲數國自疏勒以西北休循捐毒之屬皆塞種也(師古云即所謂釋種者也塞先得切亦語有輕重也)又佛祖統記三十三唐彦琮法師云蔥嶺以西並屬梵種(梵種者言釋氏也按古者回回之於印度% BR1.20b猶如朝鮮之於支那也後世或以回回即爲天竺暦學疑問補云婆羅門回回宋史四百九十云天竺舊名身毒復曰婆羅門倶舎寶疏云婆羅門國以建子立正葢諸文皆呼印度以名婆羅門然今清人以回回爲婆羅門者回部境壤益廣大而西北兩竺乾位之邊境皆屬之故也)葢回國與印度壤地相接梵種多王于其地故經典律暦皆宗印度從事佛敎唐書云回紇(亦曰回回)諸國多事佛是也佛敎之東漸也迦葉摩騰竺法蘭爲嚆矢爾後月支國支婁迦讖及支謙安息國世高安玄曇諦等康居國康孟詳等相繼來至東夏東漢之代翻經傳譯之緇素載于傳者十有二人其中今所擧支婁迦讖等六人即所謂回回人(月支安息康居等今並爲回境)其餘騰蘭等六人皆% BR1.21a%經回境而來漢地東漢傳敎之士僅十數人猶且如是况三國以來弘敎緇素自回境來者應以百數焉由是觀之回回諸國受用印度經典律暦最久况回回諸國多皆釋氏之裔者乎然則回暦即梵暦復奚容疑論西洋暦法舊是梵暦西洋暦原出自梵暦暦學疑問補云回回國人能從事暦法西洋人初亦同回回事佛而西洋人精於算復從回暦又云厥後歐邏巴又於回暦研精故又自立敎典奉天主以別於回回今攷其暦法則回回泰% BR1.21b西大同小異而皆本蓋天(梅勿菴以蓋天強會渾天蓋見周髀蓋天古聖人説遽自糢糊以塗抹人目耳)又云歐邏巴暦法因回暦加精大■並 ＝至＋攴同回暦又揆日候星紀要云暦學至今日明且確矣(指清朝)而泰西氏之大綱多出於回回又明史三十一云西洋人之來中土者皆自稱歐邏巴人其暦法與回回同而加精密歐邏巴在回回西其風俗相類而好奇喜新競勝之習過之故其暦法與回回同源而世世増修又一統志言回回謨罕驀德臣伏西域諸國西洋等皆尊用其陰陽星暦(明史三百三十二廣輿記廿四畧同)馬哈麻建國(馬哈麻謨罕驀德即同人事已辨于前)在隋開皇中則西洋% BR1.22a%用回暦其來久而回暦即梵暦明矣近者有天學家摸刻西洋天球圖以公行于世其十二宮名義形象全取諸印度故如麿羯宮其物以西洋之所無直存梵語是其證之著明者也又西暦求羅計行度以推交食而羅候計覩是中印度之語並如上已辨故曰回西二暦本出於梵暦也(明史及暦算全書等稱西暦元出回暦而不知其原出於印度甚爲疎簡)論回西二暦要不出七曜暦七曜九執本是開合之異回西二暦取要言之不出七曜暦此法元起於印度% BR1.22b即如九執暦印度呼九曜又名九執梵暦或爲七曜或爲九曜秪是開合之異耳而七曜暦亦必未羅計行度以推交食故可得名爲九執暦九執其實則在詳七曜行度故如七曜攘災訣雖歩九曜而題曰七曜訣(見行本脱月曜推歩葢逸下卷爲可惜)七九秪是開合異可以見已而梵暦多明七曜旁及羅計故嵩陽梵天火羅云按聿斯經(載唐書及宋史藝文志葢西印度暦書)云凡人只知有七曜不知暗虚星號曰羅睺計都此星在隠位而不見逄日月即蝕號曰蝕神計都者蝕神尾也號豹尾(羅睺號曰食神頭故計覩號爲蝕神尾又曰龍首龍尾即内道口外道口又呼名正交中交者是也)宿曜% BR1.23a%大日熾盛光月藏日藏摩登伽等諸經則率唯論七曜不及羅計葢七曜其象著明而暦術重係之羅計二曜在隱位暦象不専之故也但論推交食陰陽占候則不能外之耳竊按世界經久萬邦遞通是以中天之法(中天竺當天最中如後漢書西域傳論之自我言之只是閻浮洲之中耳)漸流四埀故近世回西支那本邦論暦法雖小有出入亦唯原出七曜暦者可以驗耳論回西立閏日宮閏不立閏月即梵暦法其立閏月者亦是梵暦一種瞿曇氏暦立閏月者如大衍及授時等摩登伽經立% BR1.23b世阿毘曇等概是也其立閏日宮閏而不立閏月者其法全如回回大陽暦西洋恆星暦宿曜經所云二月春分朔曜躔婁春分日爲歳首正旦即是也若其印度僧倶摩羅迦葉氏等暦雖其立法不傳據經中散説隱約亦然論西洋用恆星年與回暦小異而是亦出梵暦的證第一節回西二暦大都同但其異者西洋立恆星年回回立大陽年大陰年耳暦學疑問補云西法以大陽會恆星爲歳謂之恆星年既隨黄道東行其恆星所分宮% BR1.24a%度亦必不能常與中氣同日暦書何以不用按其法以日躔斗四度爲正月朔故曰以太陽會恆星爲歳也其斗四度葢其所定麿羯宮之初度也(在今時冬至後十二日)自此日躔行滿三十度即爲第二月交寶瓶宮又地度合攷云康煕丁卯年十一月(廿八)癸卯日應西暦正月初一日斗四度二六零據此則西國暦日以建子之月爲正月也其法不論大陰晦朔只以太陽爲主但以太陽到斗宿四度爲正月一日耳西暦大畧雖不出七曜暦但太陽爲主以立暦年以日躔斗四度麿羯宮初度爲歳首正朔者獨與回法不同所謂% BR1.24b別於回回是也而是又非創於西洋者其以日躔斗四度爲歳首以日過麿羯宮爲正月以過寶瓶宮爲二月等並皆起於梵暦其曰以建子之月爲歳首者見倶舎寶師疏曰婆羅門國以建子爲正此方先時以建子立正(即太曜躔斗宿過麿羯宮建子之月爲正朔也寶師所言即從迦葉氏僧倶摩羅等暦法也宿曜經則羊宮爲第一月麿羯爲十月即此方十一月也以春分爲正月第一日故也)如支那有夏殷周歳首之異印度亦有以建子建卯等月爲歳首者言其以日躔斗四度爲正旦以日過麿羯宮爲正月者(即建子之月也)見宿曜經曰斗三足女四足虚二足鎭星位焉其神如麿羯故名麿羯宮(足者猶度也周% BR1.25a%天度分爲百八足以配十二宮毎宮有九足又分配二十七宿毎宿有四足印度法除牛宿以配毎日午時故以二十七宿配周天度是梵暦一法也印度又用三百六十度則如九執暦若以度配足則毎足有三度三十三分有奇)又云婁四足胃四足昴一足熒惑位焉其神如羊故名羊宮又云二月春分朔于時太曜躔婁宿此中自斗第二足至虚第二足合九足是爲麿羯宮斗第一足即屬人馬宮而毎足三度三十三分有奇故斗第二足即當斗第四度即是西洋恆星年之法也又大集日藏經八云白月一日(是説十一月朔也)合斗(言月也)二日合女乃至十五日合鬼是白月滿(此月太陰合鬼而滿故印度呼此月名鬼月十二月合星而滿故呼此月名星月十二月皆如是既呼以爲月故以月滿% BR1.25b之宿立名可謂得其冝也葢回回分爲太陰年者是也)十月合鬼滿(即此方十一月也揚景風曜經註云鬼月唐之十一月也斗建子之辰也)晝十二時夜十八時(印度分晝夜爲三十時一時有三十臘婆臘婆猶刻)日午之影長十二脚跡(流行經文有錯亂今就善本正之)日極近南觜宿夜行(是言夜半中星也)女在日前(是晨前星也)當此之時辰星用事是十月時(以羊宮爲正月義與宿曜經同)麿羯之神主儅其月(此經之指月准瞿曇氏暦今引以爲太曜躔斗宿過麿羯宮即當今十一月之證)葢宿曜大集二經以二月春分爲正朔者皆從瞿曇氏暦者也故知西洋恆星暦本取之梵暦者也梅子以恆星年爲西洋創法者未嘗撿梵書故也(余私按此暦法太陽躔斗四度過麿羯宮是正北之位此月朔太陽亦合斗魁斗建子故% BR1.26a%日月宮斗並皆正向北位焉可謂冝爲歳首大集月藏經斗至壁七宿配爲北史天官書同此正義曰南斗六星牽牛六星並北宮玄武之位魁斗建子是亦十二辰之初而位于北語曰北辰居其所衆星共之者是示所以貴北位之義况印度天文爲衆星迴旋須彌則其爲歳首之義甚合矣而天方國節氣差于支那三日是以可准知印度西洋等之氣差十二辰名義出大集月藏經第一)論回西恆星年太陽暦本遠起印度第二節回西恆星年太陽暦月日之法又本遠起乎印度宿曜大集其證已明晰而又智度論第四十八云一月或三十日半或三十日或二十九日半或二十七日半有四種月一者日月二者世間月三者月月四者星宿月日月者三十日半世間月者三十日月月者% BR1.26b二十九日加六十二分之三十星宿月者二十七日加六十七分之二十一(流行本甚多誤恐三十七之訛)是歳三百六十六日周而復始是即恆星年大陽年之暦日也(日月者如太陽過宮或三十日或三十一日或廿九日今云三十日半者概之也凡單就大陽立者謂之日月世間月者非日月之實行惟從紀年紀月以名者也月月者是朔策之數是偏從月故也星宿月者轉終分之數也月一周天普經列宿故云也)又大方廣文殊師利儀䡄經徴應品云有陰陽宿曜法廿八宿十二宮分各各分別彼宿曜等與宮相合(下審七曜過宮今廣故畧之)是皆恆星暦也故知其本起自印度論回回暦立大陽年大陰年與西洋暦有異而西% BR1.27a%暦亦不踰其閫域則二家共是梵法回回大陽暦之法云太陽過白羊宮三十一日(印度回回之正月支那日本之二月也)金牛宮三十一日(彼二月此三月)陰陽宮三十一日(彼三月此四月)巨蟹宮三十二日(彼四月此五月)獅子宮三十一日(彼五月此六月)雙女宮三十一日(彼六月此七月)天秤宮三十日(彼七月此八月)天蝎宮三十日(彼八月此九月)人馬宮二十九日(彼九月此十月)麿羯宮二十九日(彼十月此十一月)寶瓶宮三十日(彼十一月此十二月)雙魚宮三十日(彼十二月此正月)已上十二宮謂之太陽年不動的月凡三百六十五日乃歳周之日也若遇宮分有閏之年於雙魚宮加一日凡三百% BR1.27b六十六日其太陰年者單月大雙月小月大三十日月小二十九日凡三百五十四日乃十二月之日也遇月分有閏之年於第十二月内増一日凡三百五十五日謂之太陰年動的月若遇此土有閏之年則其正月移早一月如首年春分在第一月遇閏則春分在第二月而移其春分之前月爲第一月故曰動的月而其紀歳則以大陰年而不用大陽年是回暦之大概也又暦學疑問補云如麿羯宮最卑行速故二十八日而行一宮即成一月(是即十一月冬至前後也)若巨蟹宮日躔最高行遲故三十一日而行一宮始成一月% BR1.28a%其餘宮度各以或近最卑或近最高遲速之行不同按西洋月日本倣回回大陽暦小有出入西暦麿羯宮則二十八日巨蟹宮則三十一日回暦麿羯宮則二十九日巨蟹宮三十二日餘畧之葢馬哈麻之造回暦當隋開皇中是時西域舊已有瞿曇氏迦葉氏(法蕐文句云摩訶迦葉此翻大龜氏其先代學道靈龜負圖而應從德命族故云龜氏又翻譯名義集云南山曰瞿曇星名從星立稱至于後代改姓釋迦印度専明天文星暦由來久矣)九執等數家之暦可知馬哈麻之暦不過據梵暦少加工夫耳而西洋恆星暦紀月則雖首麿羯推歩則以白羊宮爲測算之端則亦不出回暦之範圍可見也其以羊% BR1.28b宮爲起算之端者測算論節氣故太陽之緯度爲主其紀月首麿羯者紀月本論恆星故太陽之經度爲主其法最爲明也論西洋別回回立恆星年在何代西洋初用回暦如一統志所云其別立恆星暦者想必未甚遠也暦學疑問補云或曰暦書所引舊測多在千餘年已前然則西月日之興所從來久矣曰殆非也唐始有九執暦元始有回回暦歐邏巴又從回暦加精必在回暦之後彼見回回暦之太陰年太陽年能變古法以矜奇創故復變此西月日立恆星年% BR1.29a%以勝之若其所引舊測葢皆以新法追改其月日耳按此論雖不全當然恆星年在回暦之後固然葢唐時傳敎之師多經回回而來矣其所傳惟止於梵暦未曽聞有西暦當於此時西洋猶奉佛敎與回回未別則其暦法亦當與回同必未有恆年之法故一統志曰今西洋諸國皆用回暦是也西暦入支那在明末而其創法理當少前於此則其立恆年者必在宋元之間也耳矣論日月交食交常度等佛所説以出明證夫二曜交食暦道甚著明者矣吾佛世尊圓音師子% BR1.29b吼無所不盡今一一擧敎量以破千載疑濛如交常度之數大經月喩品云復次善男子如人見月六月一食章安疏云世云六月一食者書云(書上恐當有暦字)正由運行相遇六月周陰陽御故有此触經雖因譬喩之便僅示數語六月一触即交常度之率而交食之大要也此交常度通於兩蝕經明月喩故唯言月故章安引暦書云陰陽相御即是言日月互触也(疏曰運行相遇即是交之義)又大方廣文殊儀䡄經云又一晝一夜名爲一日十五日爲半月兩半月爲一月陰陽者當了知如是六月爲羅睺障時十二月爲一年十二年爲% BR1.30a%大年此亦指交常度而言者與大經正同如交食不動使者陀羅尼法曰先触一日一夜不食作方壇而以供養從月初触乃見三種相又底哩三摩耶經陀羅尼集經求聞持經等密䡄徃徃明期日月触以求悉地若其法不有則何由得知触時而行之邪可見交常度之説世尊已言及之矣但其言修羅手障者特言變異之触也耳(人多不知聖經明交食常度遽見修羅手障之文妄作穿鑿今爲蒙具釋交常之文交會之術大率以百七十三日有餘爲限所以然者日之行天一歳一周月之行天二十九日有奇已得一周日月異道互相交錯月之一周必半在日道裏從外而入内也半在日道表從内而出外或六入七出或七入六出凡十三出入而與日一會謂之交常度通而計之一百七十三日有% BR1.30b奇而有一交交在望前朔則日食望則月食交在望後望則月食後月朔則日食雖然若月先在裏依限而触者多若月先在表雖依限而食者少故復別求交定度以知入食限與不入也又雖有食月食加時在書日食加時在夜則不載諸當暦也經文且從交常度之數故曰六月一食是約交終而爲言故云六月乃百七十三日有餘也)論大經六月一食與漢儒百八十日一食其義不同涅槃經六月一触之文與王仲任論衡曰百八十日月一食大有逕庭仲任葢不知交食之理者也故其上文云大率四十一二月日一食今撿之近世寛政十年十月朔日食同十一年四月朔日食同十二年% BR1.31a%四月朔日食連年大抵如是仲任之鹵芥可知已且言百八十日月一食者又太踈漫焉有交道亘百八十日者哉漢儒之昧於暦象如此故漢三統四分等暦歩月食而多失之焉葢日月行度固有大量古人豈昧於此哉雖然漢已前不曉其行度有盈縮是以其術不能與天合也漢劉洪始悟月行有遲疾隋劉焯始悟日行有盈縮知此二事而後始可與論交食也且古者猶未知有歳差故亦不得與天密合也明已前世既研精審於盈縮暦術得與天近而未知日月行度何由有遲疾至回西二暦窺由二曜行度常% BR1.31b有高卑故■使其經緯度有盈縮是以其術大得殫 ＝至＋攴精矣而我大藏中已徃徃有高卑之説則是既知有交常度而又知有高卑盈縮也可見與王仲任曰百八十日月一触其語相似而大小齊而大經所謂六月一触則指六月之朔策也故可言六月不可言百八十日也論聖敎所説變異之触涅槃經正法念經等並以日月触爲修羅手障其説頗似渉恠然是即變異之触而人自不達以爲詭異也葢經説修羅之障者是謂六月一食外之食也(是所% BR1.32a%謂變異葢二曜有触以其同度同道相逼也是故常度之外斷無有餘兩曜縱有失度必不過前後七八度也豈有日月相距數十度而触之理故知如下所引非時之触則由修羅等障故也然此變触者多限或亞細亞等一洲或其中一二國其義如下文又雖常度之触其触淺則亦有此國已見而彼國不曽見者此是非今之所論也)涅槃經九云羅睺阿修羅王以手遮月世間之人咸謂月食修羅實不能触以修羅障其明故是月團圓無有虧損但以手障故使不現此下過十九行又云復次善男子如人見六月一食經文初明變異之触次明常度之触其義灼然正法念經云修羅與帝釋闘時日月之光射修羅之眼故修羅以手障日月世人不知謂爲日月触又瑜伽略纂云亦% BR1.32b有天神菩薩並阿修羅手障以爲日食亦有一方一處變恠故然又楞嚴經曰一洲感悪縁則覩日月及星悪相又蕐嚴經云⼀一國人感悪縁則彼當土衆生覩諸一切不祥或見暈玦彗孛但此國見彼國衆生本所不見又大方廣文殊儀䡄經云又彼天人阿修羅等若行不善相闘戰時此時人間現諸悪相所謂非時地動忽作風雹閃電異常天火黒煙處處皆起是彼計都星作日月触共有如是種種諸悪相現又云一切星曜及阿修羅於此大年中或順或逆作諸善悪又白月分十五日月滿之時羅睺阿修羅現全% BR1.33a%触日月者大地中有大刀兵會(下説兩触徴應甚審詳文廣故畧之)則變異常度二食始不相混也論支那古來兩触變異有明證兩触者交常度數之外斷然無可触之理若常度之外有交触者必是變異春秋襄公二十四年秋七月甲子朔日有食之既又八月癸巳朔日有食之按七月朔日食既而八月又日食於推歩之術極無此理何則凡交食之法五箇月二十二分月之二十乃爲一交故交正在朔則日食既前後望不食交正在望則月食既前後朔不食常度如是故知其一触必是% BR1.33b變也又同二十一年九月庚戌朔日有触之冬十月庚辰朔日有食之是亦頻月日食常理所無又晉武帝泰始二年七月晦十月朔並日有食之同九年四月朔七月朔並日有食之凡此類皆非常度之触不遑枚擧又晉懷帝永喜五年三月壬申丙夜月食既丁夜又触既豈有一夕再触之理哉又同永喜元年十一月乙亥黄黒氣掩日是河圖所云日薄者也其説云凡日食皆於晦朔有不於晦朔者爲日薄同愍帝建興二年正月辛未庚時日隕於地又有三日相𣴎出於西方而東行此等變異非常理所可推若據% BR1.34a%俗典則徒稱變異而止佛經則説天龍八部之作業全同説人趣之事業葢用天眼以窮其變毫無所謬也唐書天文志云大和二年十二月癸亥有黒䘲與日如闘同六年三月有黒䘲與日如闘元史天文志云至正十八年三月辛丑夜大同路有黒氣蔽于西方聲如雷然俄頃有雲如火交射中天遍地倶見火光以物觸地輙有火起至夜半空中如有兵戈相擊之聲是全與起世經立世阿毘曇等説修羅闘戰之相相似又至正二十七年正月乙未夜晉寧路絳州天鼓鳴空中如聞戰闘之聲又同十三年十二月天% BR1.34b鼓鳴于西北又元統十八年七月辛丑至夜半空中如有兵戈相擊之聲又至元二十九年正月甲午朔日有食之有物漸侵入日中不能既日體如金環然左方有珥上有抱氣左傳杜註詳言中食修元史者豈不知中食乎而不以中食爲文曰有物漸侵入日中則其必非中蝕既曰漸侵入必非常途五蝕之状葢亦變異矣此類不遑擧之經説有徴果如是豈可誣哉世之局儒或弗信天神爲人示凶變以譴懲而妄執邪見或徒謂變異而弗知内責於己皆不足與論道也且如依憑漢書謂萬物之精上爲列星以羅% BR1.35a%計二星爲修羅之精者附會不足取若夫了得上二義則佛説赫乎若白日矣論印度暦術自遠古傳其備己久中印度迦毘羅其建國最久自劫初平等王子孫相𣴎四十五世至熾㷔王凡一百一萬四千五十六世而師子頬王生淨飯王淨飯王生悉達多成佛號釋迦文(出起世經)比之異邦歴世甚久憲章先備當釋尊出世時典籍滋阜天文地理書數伎藝等書厥類凡六十四種圖書總六萬藏所謂四韋陀典十八大經等是也(准摩登伽經劫初有梵天造一韋陀後有仙名白淨又分造四韋陀其弟子有二十有一各造% BR1.35b一韋陀如是展轉爲凡千二百十有六種有百二十八萬偈一千七百卷十八大經等不遑引之百論及疏弘决第十仁王經吉藏疏等出之方便心論曰過去有那耶摩明聞思二慧聞慧有八一天文二算數二醫方四咒術及四韋陀是爲八思慧有八一長壽天二星宿天乃至他化自在天是爲八)其書或在成劫之初或在佛出世數千歳之前釋尊降誕當周昭王二十三年癸丑先是星暦推歩其法畢備如太陽最高卑之行明己前不知之郭太史稱名家猶尚矇於此葢其法自回回傳之至于清始著焉而雜寶藏經大集經多論等(出文並出于後)已有最高卑之説則在彼三千年前(佛出世幾三千年)其法已備矣如交食之法釋尊出興時其事已詳其證如前所云然則爾時% BR1.36a%時暦行世猶如大東支那之今日也後漢書西域傳云其國則殷於中土玉燭和氣(爾雅云時和謂之玉燭)靈聖之所降集賢懿之所挺生神跡詭異理絶人區感騐明顯則事出天外郭璞曰天竺浮屠所興今聞之説地殷土中物壤琛麗民愽仁智俗高理學立徳厚生何負諸夏古稱愛人之國世挺賢聖之人豈虚搆哉符子云軒轅遊蕐胥之國王邵云即天竺也山海經云申毒之國(天竺又曰申毒)偎人而愛人朱子曰大抵地形如饅頭其撚尖則崑崙也天竺直崑崙正南所以土地廣而所生亦多異人(理學類編)河圖云崑崙者帝之下都% BR1.36b地之中也水經云崑崙在西北去嵩高五萬里地之中也崑崙者印度名阿耨達山即大雪山也夫天竺開國最早地殷氣和靈聖降集故百凡藝術能先於萬邦開暦術亦先於萬國而備也佛國暦象編卷之一終
## 2
% BR2.1a佛國暦象編卷之二平安東森隱士無外子釋圓通 撰雲陽 空谷子釋智轂 校天體第二 凡八條問西洋舊説曰天體渾圓透映如碧瓈半見地上半隱地下其兩端曰南北極周旋無端名曰渾天其新説曰太陽常在天之中心運轉地球即以太陽爲中心而旋環其外與大藏經所説大反通之如何答天地之義高遠愽大豈可容易測定乎故自古議者紛紛競起端緒以探虚遠甚難折衷今當擧諸家異説% BR2.1b而後示大藏之明説以覈論之論支那古來所傳天體三家四説之異在昔支那言天者三家後世更有四説三家者曰葢天曰宣夜曰渾天是也葢天即周髀之説也其本起乎庖■氏（周髀算經云古者庖■立周天暦度）周公受之商高（商高殷大夫見 ＝忄＋義周髀）周人志之故曰周髀（髀股也股者表也得之股表之謂也）其言曰天似葢笠地法覆槃天地中高外下北極之下爲天地之中其地最高滂沱四隤三光隱映以爲晝夜天中高於外衡冬至日之所在六萬里北極下地高於外衡下地亦六萬里外衡高於北極下地二萬里天地% BR2.2a%隆高相從（北極下地則地頂也外衡下地則地之最卑處也故云天地隆高相從又周髀云天離地八萬里冬至之日雖在外衡常出極下地上二萬里故日兆月月光乃出故成明月星辰乃得行列是故秋分以徃到冬至三光之精微以成其道遠此陰陽之性自然也）日距地常八萬里麗天而平轉分冬夏之間日前行道以爲七衡六間毎衡周徑里數各依算術用勾股里差推晷影極游以爲遠近之數皆得於表股者也是髀之名之所由出也又晉宋暦志論葢天並與之同夫葢天之爲説較諸佛氏之須彌則事之精粗量之廣■雖非無 ＝阝＋医小異而其相状髣髴大同乃信聖智所測被此冥契非凡見之所能企及矣佛氏所説須彌卓立地心其% BR2.2b高八萬由旬而日月衆星上下以遶其半腰焉周髀曰北極下地穹隆而高六萬里三光隱映以爲晝夜可見其相大同周髀又曰日月運行四極之道（四極猶如須彌四洲）故日運行處極北北方日中南方夜半日在極東東方日中西方夜半日在極西西方日中東方夜半凡此四方晝夜易處起世經十曰若南洲日正中時東洲日則始没西洲日則初出北洲正當夜半若西洲日正中時此南洲日則始没北洲日則初出東洲正當夜半若北洲日正中時西洲日則始没東洲日則初出南洲正當夜半若東洲日正中時北洲日% BR2.3a%則始没南洲日則初出西洲正當夜半（畧出文）立世阿毘曇倶舎論等並皆同之印度支那聖説暗符大體既合故至于節氣推歩分至籌運等其法亦皆相類豈可不奉信哉今爲蒙士因其圖以詳焉周髀算經曰凡日月運行四極之道故日光外所照徑八十一萬里周二百四十三萬里以日光外所及之際爲四極外衡之外日光所及十六萬七千里衡外所照左右合爲三十三萬四千里合外衡日道徑四十七萬六千里四極之徑都爲八十一萬里是皆測影而所得於表股之數也% BR2.3b% BR2.4a%% BR2.4b七衡六間圖% BR2.5a%周髀曰七衡周而六間以當六月節六月爲百八十二日八分日之五故日夏至在東井極内衡日冬至在牽牛（堯時冬至日在虚周公時在牛今在箕）極外衡也衡復更終冬至一歳一内極一外極月則三十日十六分日之七而一外極一内極又曰人望所見遠近冝如日光所照君卿註曰近我一十六萬七千里之内及我我自見日故爲日出日遠我十六萬七千里之外日則不見我我亦不見日故爲日入是爲日與目見於十六萬七千里之中故曰遠近冝如日光之所照葢天之説梗概如是若欲悉知者當就本書而研論語曰譬% BR2.5b如北辰居其所而衆星拱之若夫渾天則不可言衆星拱之由之觀之宣尼葢亦從葢天嘗見參宿出没夕出東方其兩肩正向北辰至半夜則在于正南兩肩亦正向北至曉則自正西亦却向北以是觀之衆% BR2.6a%星拱于北辰之象甚著矣元史天文志一四海測騐曰鐵勒北極出地五十五度晝七十刻夜三十刻北海北極出地六十五度晝八十二刻夜一十八刻若到北極出地六十五度之地則極之左右合而百三十度常見不没如傘葢爾周髀曰凡北極之左右物有朝生暮獲註曰北極之下從春分至秋分爲晝從秋分至春分爲夜又曰北辰之下六月見日六月不見日一歳者即北辰之下一晝一夜如此則北極下地者其見界左右合百八十餘度衆星常見不隱其半歳則太陽常繞而不没則葢天之象皎然見焉若% BR2.6b在此地則雖欲不葢天得哉古者楊雄鄭玄蔡邕葛洪之徒自執渾天而不信周髀聖説反爲之僻難其説曰天如雞子地如中黄孤居於天内天大而地小天表裏有水天地乘氣而立載水而行周天之度中分之則半覆地上半繞地下天之出入行於水中爲必然矣而引之證曰易晉卦坤下離上以證日出於地也又明夷之卦離下坤上以證日入於地也又需卦乾下坎上此亦天入水中象也（見隋書等）按是説甚妄豈有天入水中日月行地中之理哉惑之甚也今得萬國交通粗知寰宇形状故聞極下有日月半歳不% BR2.7a%没之地而不復疑周髀所言始徴矣倘使楊雄葛洪起於九原則何顔得對今日之人哉周髀曰或知者或疑其可知或疑其難知此言上聖不學而知之趙君卿註云上聖者智無不至明無不見是豈君卿虚搆哉周髀算經今幸存焉請詳研之昔在三代能言天文者甘石巫咸竝皆從葢天隋書天文志曰三國時呉太史令陳卓始列甘氏石氏巫咸三家星宦著於圖録又曰參校周齊梁陳及祖■孫僧化宦私舊 ＝日＋恆圖刊其大小正其疎密依凖三家星位以爲葢圖三家既如此况周公孔子論天以爲葢天後世孰有得% BR2.7b而尚焉者哉梁武帝會諸儒於長春殿審測天體撰天地義隋書曰其文全同周髀（又出涅槃經疏等）惜哉不傳又漢王仲任深排渾天而述葢天詳于其所著論衡中（隋書十九載王生駁渾儀説云舊説天轉從地下過今堀地一丈輙有水天何得從水中行乎甚不然也◯按西學渾天大與之異見于後今不贅）漢季諸儒多駮王仲任而張渾文皆騁胸臆於視聽之外夫渾葢之異聖凡眞僞相隔何啻霄壤而猶千歳不辨者獨何也嗟乎紫朱淆亂維昔而然豈止天文乎哉至于近世天下皆信日月乾象不當行於水中王生之後千七百有餘年渾葢之金鍮至于今日灼乎始分葢事之隱顯亦有% BR2.8a%時然也宣夜者宋書隋書及爾雅釋天疏竝曰其學絶無師法唯晉書天文志云宣夜之書云惟漢秘書郎郄萠記先師相傳云天了無質仰而瞻之高遠無極眼瞀精絶故蒼蒼然也譬之旁望遠道之黄山而皆靑俯察千仞之深谷而窈黒夫靑非眞色而黒非有體也日月衆星自然浮生虚空之中其行其正皆須氣焉是以七曜或逝或住或順或逆伏見無常進退不同由乎無所根繋故各異也故辰極常居其所而北斗不與衆星西没也攝提塡星皆東行日行一度月行% BR2.8b十三度遲疾任情其無所繋著可知矣若綴附天體不可爾也由此言觀之其梗概可見其言天固無體行止須氣者最是確論勝夫言天體如碧瓈以爲有堅實之體者遠矣又以曰虞喜安天本因宣夜考之宣夜亦以日月衆星爲平轉者也據安天説曰地深測於不測今文曰日月衆星浮生虚空行止皆須氣宣夜之爲横旋可以知矣如其曰天無尅實之體唯氣之須者粗與吾聖敎之説合葢此説亦非出凡見者與後世言天者大不同渾天者晉書天文志丹陽葛洪曰渾天儀註云天如% BR2.9a%鷄子地如中黄孤居於天内天大而地小天表裏有水天地各乗氣而立載水而行周天三百六十五度四分度之一又中分之則半覆地上半繞地下故二十八宿半見半隱天轉如車轂之運也（渾儀註當是鄭玄之説）又曰呉時中常侍王蕃傳劉洪乾象暦依其法而制渾儀立論考度曰前儒舊説（指鄭玄張衡等）天地體状如鳥卵天包地外猶■之裏黄也周旋無端其形渾渾然 ＝士÷冖÷卵＋殳故曰渾天也周天三百六十五度五百八十九分度之百四十五半覆地上半在地下其二端謂之南極北極北極出地三十六度南極入地三十六度兩極% BR2.9b相去一百八十二度半疆繞北極徑七十二度常見不隱謂之上䂓繞南極七十二度謂之下䂓赤道帯天之紘去兩極各九十一度少疆黄道日之所行也（文廣徃撿上䂓下䂓者隨地各異是葢從陽城者乎）宋書天文志曰御史中丞何𣴎天論渾象體曰詳尋前説因觀渾儀研求其意有以悟天形正圓而水周其下言四方者東暘谷日之所出西至濛汜日之所入莊子又云北溟之魚化而爲鳥將徒於南溟斯亦古遺記四方皆水證也四方皆水謂之四海凡五行相生水生於金是故百川發源皆自山出由高趣下歸注於海日爲陽精光曜% BR2.10a%炎熾一夜入水所經焦竭百川歸注足以相補故旱不爲减浸不爲益隋書天文志葛洪釋王生之難渾儀文曰日隨天而入地若天果如渾者則天之出入行於水中爲必然矣故黄帝書曰天在地外水在天外水浮天而載地者也又易曰時乗六龍夫陽爻稱龍龍者居水之物以喩天天陽物也又出入水中與龍相似故比以龍也又晉需二卦（如前引）此亦天入水中之象也然則天之出入水中無復疑矣先儒多據渾天而斥葢天搆造傳會惑亂時人以今觀之殆不堪捧腹又按西漢已後始有渾天之器而無渾天之% BR2.10b書宋書天文志云天之正體經無前説宣夜則絶無師法周髀術數具存天状多所違失（惑渾天以斥葢天祗是妄爲失耳）惟渾天僅得其情今史官所用候臺銅儀則其法也官有器而無本書前史亦闕而不論（是蔡邕上書之文今節畧之）蔡沈書經集傳云渾儀此必古有其法遭秦而滅明史暦算全書等亦徃徃遁事秦火晉書天文志云其巫咸甘石之説後代所宗奉暴秦燔書六經殘滅而天官星占存而不毀可見滅於秦火之言其造辭也夫漢去三代不遠而馬書班志竝不論渾天以蔡邕之愽而曰渾天官有器而無本書六經諸子亦不% BR2.11a%見其説則知渾天其非聖説出後人之手也而其制作亦諸説紛紜葢前漢武帝大初中落下閎始經營渾儀鮮于妄人量度之然素法未備後曁宣帝世耿壽昌鑄銅始造圓儀以考歴度又至東漢和帝時賈逵繋作更加黄道又曁順帝時張衡制渾象具内外䂓南北極黄赤道列二十四氣二十八宿中外星官及日月五緯以漏水轉之殿上室内星宿出没與天相應衡所浩渾儀或爲衡創制或爲古器由亂亡失衡復之厥説紛紜難决呉陸績亦造渾象王蕃又依劉洪乾象暦之法以制之立論考度晉末五胡滑夏% BR2.11b于戈糜沸陸王舊器散落銷亡宋高祖平長安得衡舊器儀状雖擧不綴經星七曜文帝（宋第三主）詔太史錢樂之更鑄渾儀徑六尺八分少周一丈八尺二寸六分少地在天内立黄赤二道南北二極䂓二十八宿北斗極星五分爲一度置日月五星於黄道之上立漏刻以水轉儀昬明中星與天相應（以上抄取晉宋隋等暦史及書經集傳之意）由此觀之則渾儀之制所出非一或存或亡或増修或改作而今之所傳葢是劉宋渾儀耳舊渾儀者欲其貴則曰是乃書所謂璇璣玉衡也此説本起於鄭玄宋書天文志曰鄭玄説動運爲璣持正爲% BR2.12a%衡皆以玉爲之視其行度觀受禪是非也渾儀和氏之舊器歴代相傳謂之璣衡是以璣衡爲器名也王蕃未深考遽據其説曰渾天遭秦之亂師徒喪絶而失其文惟渾天儀尚在候臺然張衡傳則云張作渾天儀考歩陰陽最爲詳密據此則自衡以前未有斯儀焉得爲和氏舊器又爲在秦候臺乎宋徐爰立義以駮鄭玄之説云夫候審七曜當以運行爲體（言應從先儒以璣衡爲七星之義不可以爲器名也）設器擬象焉得定其盈縮推斯而言未爲通論設使唐虞之世已有渾儀渉歴三代以爲定準後世聿遵孰敢非革夫琁玉貴義之稱璣% BR2.12b衡詳細之目所以先儒爲北斗七星天綱運轉聖人仰觀俯察以審時變焉史臣案設器象定其恆度合之則吉失之則凶以之占察有何不可渾文癈絶徐爰此説甚有至理况尚古物皆質素何以璣玉造乎此器其非益見焉史記天官書曰北斗七星所謂旋璣玉衡以齊七政説苑辨物篇曰夫天文地理則聖智之府古者聖王定律暦考天文登靈臺以望氣氛故堯曰咨爾舜天之歴數在爾躬允執其中書曰在璿璣玉衡以齊七政璿璣謂北辰勾陳樞星也以其魁杓之所指二十八宿爲吉凶禍福盈縮之占各以% BR2.13a%類爲驗馬班及劉向去古竝未遠而三氏咸善天文顧必有所傳又周髀算經云欲知北極樞璿璣周四極常以夏至夜半時北極南游所極冬至夜半時北游所極冬至日加酉之時西游所極夏至日加卯之時東游所極此北極璿璣四游又曰璿璣徑二萬三千里周六萬九千里又定太陽行度爲七衡六間極辰之所在謂之内衡三氏之言與周髀甚相近必是古之遺傳矣葢聖人法象天地以審時變直當就於天象以論之安得以爲器之名哉後世四家者安穹昕平四天是也安天者晉成帝咸% BR2.13b庚中會稽虞喜因宣夜之説作安天論以爲天高窮無窮地深測於不測天確乎在上有常安之形地魄焉在下有居靜之體當相覆冒方則倶方圓則倶圓無方圓不同之義也其光曜布列各自運行猶江海之有朝汐萬品之有行藏也（晉書天文志）是以三光爲平轉其説粗同蓋天穹天者虞族祖河間太守聳之所立其論云天形穹隆如雞子幕其際周接四海之表浮于元氣之上譬如覆奩以抑水而不没者氣充其中故也日繞辰極没西而還東不出入地中天之有極猶蓋之有斗也% BR2.14a%天北方下於地三十度極之傾在地卯酉之北亦三十度人在卯酉之南十餘萬里故斗極之下不爲地中當對天地卯酉之位耳日行黄道繞極極北去黄道百一十五度南去黄道六十七度二至之所舎以爲長短也（出晉書天文志）是亦三光平轉與蓋天不甚異昕天者呉太常姚信所造其言云人爲靈蟲形最似天今人頥前多臨胸而項不能覆背近取諸身故知天之體南低入地北則偏高又冬至極低而運近南故日去人遠而斗去人近北天氣至故氷寒也夏至極起而天運近北而斗去人遠日去人近南天氣至% BR2.14b故蒸熱也極之立時日行地中淺故夜短天去地高故晝長也極之低時日行地中深故夜長天去地下淺故晝短也（出晉宋天文志昕音軒）此説尤爲詭異平天者其形體事義未見所出隋書天文志云渾蓋及宣夜三説竝驅平昕安穹四天騰沸至當不二理唯一揆豈容天體七種殊説王充論衡云天平正與地無異然而日出上日入下者隨天轉運視天若覆盆之状故視日上下然似若出入地中矣然則日之出近也其入遠不復見故謂之入運見於東方近故謂之出諸史皆曰王仲任據蓋天之説以駁渾儀今% BR2.15a%按文意仲任雖率據蓋天而與蓋儀不全同仲任意謂人目不及遠故見四邊垂下如覆盆其實則天平正與地無異故論衡曰夫視天之居近者則高遠則下焉實者平正四方中央高下皆同今望天之四邊若下者非也遠也非徒下若合矣又曰天不若倚蓋之状日之出入不隨天高下明矣由是觀之平天者似指仲任之説以上諸説皆好奇狥異可謂自任之甚德非聖人才非天授強騁無稽之談于視聽之所不及非君子闕疑之義也今姑擧其説以廣異聞耳總論七説% BR2.15b今古殊説雖紫朱混今也眞已有騐僞自見焉是故如後世四説不復煩論而古之三家宣夜不傳惟渾蓋傳迄于今也而渾蓋亦相矛盾故王仲任駁渾天云舊説天轉從地下過今堀地一丈輙有水天何得從水中行乎日隨天而轉非入地夫人目所望不過十里天地合矣實非合也遠使然耳今視日入非入也亦遠耳當日入西方時其下之人亦將謂之爲中也四方之人各以其近者爲出遠者爲入矣今試使一人把大炬火夜半行於平地去人十里火光滅矣非滅也遠使然耳今日西轉不復見是火滅之類也% BR2.16a%（出晉書天文志等）此論専據蓋天而立焉而今立西洋地球者亦不能易斯説也仲任之後梁武勅學士撰天地義以通蓋駁渾又有渾蓋雙用而取厥衷者故唐書天文志云蓋天之説李淳風以爲天地中高而四隤日月相隱蔽以爲晝夜遶北極常見者謂之上䂓南極常隱者謂之下䂓赤道横絡者謂之中䂓淳風又別註周髀以通之又嵩陽雙用渾蓋以兩審焉師奉玄宗勅制渾天儀圓天之象具列宿赤道及周天度數注水激輪令其自轉一晝夜而天運周外絡二輪綴以日月令得運行毎天西旋一周日東行一度月% BR2.16b行十三度十九分度之七二十九轉有餘而日月會三百六十五轉而日周轉以木櫃爲地平令儀半在地下晦明朔望遲速有凖立木人二于地平上其一前置皷以候刻至一刻則自擊之其一前置鐘以候辰至一辰亦自撞之皆于櫃中各■輪軸鉤鍵關鏁 ＝方＋色交錯（出唐書及師諸傳）其奇巧可見非深體渾天者何能至于此也其鋭意於蓋天亦甚至矣唐書天文志云及一行考月行出入黄道爲圖三十六究九道之増損而蓋天之状見焉削篾爲度徑一分其厚半之長與圖等穴其正中植鍼爲樞令可環運自中樞之外均% BR2.17a%刻百四十七度全度之末旋爲外䂓䂓外太半度再旋爲重䂓以均賦周天度分又去極樞九十一度少半旋爲赤道帯天之紘距極三十五度旋爲内䂓乃歩冬至日躔所在以正辰次之中以立宿距按渾儀所測甘石巫咸衆星明者皆以篾横考入宿距縱考去極度而後圖之其赤道外衆星疏密之状與仰視小殊者由渾儀去南極漸近其度益狹而蓋圖漸遠其度益廣雖然若考其去極入宿度數移之于渾天則一也余竊惟至當不二天體曷煩二説嵩陽雙用蓋渾必有微意蓋師體眞出俗無造次乖法其造暦% BR2.17b運數意莫非宣通佛乗何必縁飾俗見以淆亂眞理哉閲師之大毗廬遮那經疏而可知也按渾蓋二儀葢爲測暦象設之而不爲明天地體状而二儀之於測量各有冝於形驗者苟有其所冝則何不取耶若夫偏論天地體状則吾家有専説在渾蓋豈足盡之乎又舊唐書十五云凡日晷差冬夏不同南北亦異而先儒一以里數齊之喪其事實沙門一行因脩大衍圖更爲覆矩圖自丹穴以曁幽都之地凡爲圖二十四以考日蝕之分數知夜漏之短長今載諸州測景尺寸覆矩想亦應是蓋圖之類師之於天文殫其% BR2.18a%精微無復倫匹（唐書天文志一行尤稱精愽後世未能過也）雖然師之所爲只是姑充時情而已其實則猶綽乎有餘裕也師如論其實則必應當造須彌儀葢師在世才不惑故不及於此而止豈不惜哉又自宋已後曁于明周髀之書人皆與山海經十洲記等諸書同類竝觀聊備奇聞耳明末西儒入于支那而齎萬國圖籍人見之果知有極下以一歳爲一晝夜之國而西洋寒煖五帯之説亦與周髀七衡脗合又赤道下有二穫之言今皆徴矣於是人始信此書周公之眞撰而知乎先聖制作之精神千載不可易是故清儒梅勿菴謂今% BR2.18b有甌邏巴實測之算與之相應然後知所述周公受學商高其説亦非無本而自苦周髀西説不合則遂搆造私意以謂蓋天即渾天曰天體渾圓故惟渾天儀適爲能肖然欲詳求其測算之事冩記平靣是爲蓋天故渾天如塑像蓋天如繪像總一天也吁梅子何不自思之甚也夫漢王仲任葛洪已下曁于李唐諸大家論渾蓋是非其義紛紜未决漢去古不甚遠而群賢富於聞見其猶病諸葢是坐渾蓋之異故也楊雄鄭玄蔡邕葛洪等豈不能辨其同異者哉況周髀之與渾天齟齬懸絶後世何由得輙言渾蓋是一% BR2.19a%明史及暦算全書見周髀有徴信以爲支那渾蓋之義徃古流傳西土也今印度西洋之天説是其遺意耳矣何其誣之甚廣讀異方之書者自知之矣須彌蓋天異同渾天儀雖於測量最便而及立厥天説一無聖典可徴況如日月轉於地下出入水中等之説鹵莽殊甚周髀一經今幸存焉其書雖殘缺梗概殆備支那古昔天説可觀者獨存此書與大藏中之説大概合符夫厥義千載不可易而萬里之外與千聖所言所測冥契與努誇奇創朝夕遞易者豈可同床而論哉今% BR2.19b畧竺漢對映則周髀曰地之中穹嶐漸高六萬里滂沲四隤三光隱映以爲晝夜是全同説須彌在地中央巍巍乎高八萬由旬其佗三光隱映而四洲易晝夜異節氣等大率相似獨有九山八海大小精粗以爲異耳即是理之當然當同而同當異而異者也夫大荒之外寥廓天壤有日月衆星可以法有四時節氣可以考是以仰觀俯察測晷影推籌運遂騐天地之體状創䂓矩勾股之術定七衡六間之數審三光之度以垂法於萬世是唯聖者之所能知而凡愚之所不可企及也夫百世不刊之典而千載不能易謂% BR2.20a%之常理常理則數之本然者也印度天説亦不出理數之外而千載不易非常理而何也所謂當同而同者蓋是也其九山八海等體状非可任數而測者非可推理以闚者是支那聖人所闕而不言而印度聖賢能言之所謂當異而異者也夫支那聖人闕而不言而印度聖賢何以能言之是無他彼土聖者依禪定力能起天眼通及世間諸淨行梵志能起勝加行以得通果故雖説理百端而於須彌器界毫不疑夫太古聖人佛出世前已垂敎以取五通法天眼即其一也天眼也者能徹視遠境不爲山嶽壁障等所礙% BR2.20b其得之淺者或能視千里或至萬里依未到禪而修者能得之若得其深者徹見數億萬里之外乃至無邊之境其見遠境猶■掌中菴摩羅菓依根本禪而 ＝目＋示修者能得之不止能視障外遠境以能視至微矣故婆娑一百三十六日七極微成一微塵七微塵成一銅塵七銅塵成一水塵其最細色者此惟三眼能得見之一天眼二轉輪王眼三住後有菩薩眼凡印度聖者諸佛子得天眼者不遑論之支那僧伽得其淺處者不爲不多如玄高使僧印見十方無極世界則甚深境界能及於他且佛圖澄單道開佛調耆域等% BR2.21a%諸士大權示化者固亡論其餘自玄暢曇諦等僧傳所載逮得天眼者甚多雖然不知者疑知之者未見者疑見之者人情自古爾如漢武不信弦膠魏人不信火布葢是類矣屈見者忽聞天眼之説輙處之荒唐不經豈非不信弦膠火布者哉又西域聞見録云阿拉克控喝爾西北一大國也人多巧思冬能使之炎熱夏能使之飛霜以金木製爲人形爲之服役然非邪詭之術皆人力爲之古者行令變候吹律回陽物之感爲然則何疑彼夏霜冬炎出於巧思耶夫天眼者人人天性之固有修力之所發而非巧思之所% BR2.21b能得非奇伎之所能爲鬼神弗能與之人又其本具雖毫不減神聖不依其法修習則其用不獨顯譬如荊璞雖本自具連乗之明不假追琢則不異頑石如人惟知有肉眼而不知自具天眼嗟乎安得無卞氏之歎哉佛出世己前印度修梵行者甚衆得天眼者既已不尠而九山八海等固無異説佛出世後得天眼者最多其説天地者亦全同而終無異論近世元之帝師發思巴（印度人也）著彰所知論明九山八海等全同倶舎等説因循不易其説可謂知所守非如支那西洋談天有種種異説夫人情所嚮徃大率皆同豈% BR2.22a%印度獨賢而其他皆愚哉而印度不變其恆者何也是無他葢有天眼之法故也天眼者直見實境以定其事是故無異説也若夫由數而測者唯止知於其數而已豈得以尋常人事所爲決察宇宙之外以詳其體状乎是印度之所以獨有九山八海之説也西學者曰其邦巧製望遠鏡以測其體故無纎毫違其實而不知遠鏡亦不足依憑何者近視西儒十有餘家各以遠鏡測定太陽等皆差天隔一無有定凖遠鏡豈足憑哉如詳諸後西洋舊説% BR2.22b西洋談天者甚多異説彼土初専依印度之法以用梵暦當元明之間彼土天學滋興豪傑竝出異説沸騰爭奇競巧各張一家各互詆排湯若望羅雅谷利瑪實艾儒畧等説曰天體渾圓恆運旋而以裏地地如彈丸永靜不動適于天中而四靣人居焉以天或爲十重或爲十二重最上一層名之常靜天爲諸天主宰其次爲宗動天帯轉下諸重天也此天之運依南北二極從東而西左旋十二時歴一周其各天皆爲此一動所製而運焉其次爲恆星天此天之本動也南北一近一距之動七千年而行一周東西正行% BR2.23a%約二萬五千餘年而行一周其次土星天二十九年一百五十五日零二十五刻行一周其次木星天約十一年三百十三日七十刻行一周其次火星天約一年三百二十一日九十三刻行一周其次大陽天照映世界萬象取光故在七曜之中也約三百六十五日二十三刻五分行一周其次金水二星之天皆從大陽天行其次大陰天最近地是其舊説大概也明熊壇石游子六等諸家竝皆依之與支那所談渾天儀状頗同而但其言地形者更殊西説不言三光行水中支那不言地徑三萬里又無常靜宗動等説% BR2.23b此其異也西洋新説西洋新説亦有數家其古説者天爲動地爲靜新法者反之其義益巧益奇暦象新書曰其學原起歐邏巴比太古剌私者傳之於亜弗利加州然而時人不信之故其學不傳（是當元太宗時）其後西洋熱爾馬泥亜國人古伯爾喜須者深窮天學専通彼新法（是當明憲宗時）尼通氏奇兒氏等大家繼興竝述此説時人咸服從（奇兒全書行于時當皇國元文五年至今僅七十年）古伯爾之説云日在天中心而運旋焉月則地爲心而旋地之與月一旋大陽爲% BR2.24a%之一晝夜金水二星日爲心而旋火木土三星如次三天重疉而日地爲心而旋焉又土木火金水五星加地球是爲六星名之大惑星此外木星周圍有小星四又繞於土星有小星五合有九星加太陰爲十是名十惑星也又得逸骨説云月則地爲心旋之日則地與月爲心旋之金水二星日爲心旋之火木土三星如次三天重疉日及地球爲内繞于其外而以謂太陰五星等皆是人居而與此地球無異矣若從太陰等覩此地球則海水由爲太陽所照故光明遠照無異星月奇説百端不知其所止駮之如第五卷% BR2.24b古伯爾之説% BR2.25a%得逸骨之説% BR2.25b又黄石齋云地在天中而地動天靜其地轉天運者猶舟行岸移非岸移矣實舟行也耳又一説云地在天之中心從西而東一旋轉以爲晝夜月一日旋轉十三度有奇大陽一日旋轉一度竝皆右旋異説紛紜終無一定暦學疑問云西人象數之學各有授受師説故其法亦多不同此兩歳差之天利西泰言之徐文定公作暦書時湯羅及諸西士棄不復用厥後穆氏（宇尼閣西洋之人也）著天歩眞原北海薜氏本之著天學會通則又用之（見西説無一定）故知其授受非一家也梅氏唯就西洋古義而言之尚見其授受非一況新法益% BR2.26a%多異説爭巧競端是非遞起故游子六非地動之説云舟行千里人乃寝食不安矣地之一周旋轉不經九萬里則不爲晝夜倘如此則人焉能安寝食哉必天動於外而旋地靜於内乃確然也又暦學疑問云問五星天皆以日爲心然乎西人舊説以七政天各重相裏厥後測得金星有弦望之形故新圖皆以日爲心但上三星輪大而能包地金水輪小不能包地故有經天不經天之殊然以實數考之惟金水抱日爲輪確然可信（今謂是亦何得必乎）若木火土亦以日爲心者乃其次輪上星行距日之跡非眞形也互不相容如% BR2.26b此夫仰觀俯察窮厥無窮測厥不測以達天地之情是唯聖者所得能而非凡庸之所得闚定也論西學偏縱臆度顛倒常理近世西學士矜其測器之巧恃其籌運之精偏謂天體可憑器而闚大塊可任數而測故縱其臆度或爲動或爲靜忽以天爲地（諸星悉爲人界是也）忽以地天（大地爲星是也）人人百計惟情是度不知聖庸之分耶抑定不測之事於大荒之外孰能信其無徴聖者不言無徴良有以也論西洋精器不足憑% BR2.27a%西學者云吾天學非敢臆譚有象限儀百游儀地平儀弩儀天環天球紀限儀渾蓋簡平儀黄赤全儀等妙器及其餘種種精巧奇絶具審測量精測算且諸器之中遠鏡最妙而頗察其實誠非荒唐之言揣摩之見今此言多足見厥謬何者大陽離地利西泰之取測得一千六百零五萬五千六百九十里餘（天經或問一之四十九号）又飛把救數之所測日大於地球（取半中徑以爲積）一千五百八十倍得逸骨之所測一千六百八十二倍古伯爾所測一千七百七十九倍聞迭而立牛數之所測一萬四千九百零五倍迭剌飛列之所測三% BR2.27b萬四千九百九十六倍其異大抵如是自餘數家煩故略之得逸骨迭剌飛列兩家之違天淵匪比（出大陽窮理了解説）必竟戯論何精算之有又天經或問云彗孛皆火也火氣從下挾土上升不遇陰雲不成雷電凌空直突至于火際結聚不散附于晶宇即成彗孛游藝搆造巧辭瞞盱當時彼託言遠鏡以爲實測人惑爲信然西洋新法竝皆謂彗星是一經星也和蘭名之數佗耳鐸數蹋耳■此譯尻尾星其説曰此星惟透 ＝扌＋四÷方體而受日光於厥表白影現於厥後（亦是巧説何足爲凖）其説紛紛其誰是憑天經或問即曰各有測算之法測量% BR2.28a%之器實非荒唐揣摩之謂直是一毫不爽者而人人測量乖違不啻空壤世未曽聞推數有數百萬是違而猶尚稱精者也荒唐莫甚焉夫經常也百世不能得而易之謂也游藝今題其書稱天經或間而其書今悉爲人所易者何也且夫言新法者焉能保百年不爲人所易其義耶今設百州有百豪傑而更論天象則其説必皆不齊何者以尋常之智測不測之事於視聽之表誰得而知其正故聖門之徒闕不言寔有由也經曰日有食之不曰月食日内其辭者聖者述其所見而闕其所不見是所以立言正大而萬世% BR2.28b不能易之也若有言則必有所稽而果徴矣故爲萬世所法如周髀是也近所將來西洋新法之天學厥義益新奇如以宿曜悉爲世界以地爲星臆斷不經無有底極然而其書篇篇新聞事事極巧故泥者甚衆矣夫釋氏之道則慈悲爲根實相爲體以達萬法之元而極流轉還源之本末也孔門則仁義爲宗天理爲極葢眞則闡迷情俗則維彛倫竝務厥急好奇務愽君子之所不取也況無己智分求事於大荒之外豈賢哲之所爲哉印度天説% BR2.29a%印度天説大異漢西兩土印度從大古至于佛世大仙出興相繼不絶各有所説竝得深禪而發五通天眼不昧故上極非想下至阿鼻其於考覈暦象推歩薄触等術精而詳矣發宿命通粗知三有之因果以天眼神境審二十五類之依正所以與漢西兩土偏就人趣説於天地者異也人能味之則足知彼此之説各其所以然之理也印度所説之天者乃是果報依處而非謂如卵■碧瓈者也所謂六欲天色無色 ＝士÷冖÷卵＋殳等諸天是也六欲中初二天在於須彌中諸曜宿名空居天竝屬初天亡關今所論故畧之倶舎婆娑等% BR2.29b諸論詳具其説夫印度内外經典竝皆分器界爲三諸天隨爲三部所謂欲色無色是也如是者法爾自然而不可不然之理也其知所以然者必由修禪是名九次第禪也蓋修習禪定者必先發欲界定此定有麁住細住之淺深可以知欲界六天果報差別於是加行進修者發根本四禪乃色界淨妙四大（地水火風也）直入此身定中發種種妙觸此四禪一一有重重麁妙於是識得色天有十八差別發天眼等六通必依此定而修之故名之依地復進修無色四禪其言廣在經論非可盡於此也則印度之明器界非任數% BR2.30a%推理以言之者也按彼地在於上世如得四禪等者纔是世禪之一分人無稱之者其爲世所知識者皆優游深禪莫不自在五神通等印度經論所載不遑枚擧支那亦至漢已後及唐宋發四禪及深禪者比比見于僧傳吾皇國得道者不甚多而如神變泰澄法道等深淺難測者亦不一而足也若得九次第禪者欲色及無色諸天自現定中皎然如對明鏡天地之相無復可疑非啻不疑之當此時豁然洞了天地吾人元是一識一精明今時澆季雖無得深境者然日月麗焉星辰列焉豈修之而無應哉輿薪之不見% BR2.30b一羽之不擧其責果將誰歸若其發欲界及未到等淺定者未能得天眼而於其法無毫所疑譬如臨渤海者未渡而不疑深廣瞻泰山者未登而信高廣如得深禪者直徹視盡天地獨自明了與夫器測籌運之所摸索不可同日而論也地形第三之一 凡八條辨地體有三曰支那曰西洋曰印度支那又有諸説今畧明渾蓋之二渾天家曰天地如鳥卵天包地外猶■之裏黄周旋無端其形渾渾然故曰渾天天表 ＝士÷冖÷卵＋殳裏有水兩儀轉運各乗氣而浮載水而行（晉宋魏等歴史大抵% BR2.31a%若同）如此説則天如卵之■而地其黄海即其清故言 ＝士÷冖÷卵＋殳日月轉地下出入海中實鹵奔之甚何足深議馬融鄭玄揚雄等強立理引證排葢張渾時人服其愽而不疑今世誰亦肯之豈可不謂不經哉論周髀大概則謂地法覆槃中高外下北極之下爲天地之中其地穹隆而高六萬里滂■四隤三光隱映以爲晝夜 ＝汔－乙＋巴其義髣髴不異須彌聖者所測其義冥契誰不俯信葢周髀者實支那天文暦數之祖法也後世雖多異説皆莫不私依倣之自非上聖其孰埀法於萬世也哉故如周髀所言七衡六間日道之高卑等率與印% BR2.31b度西洋之説合夜國等之義數千載之下果見厥徴信與渾天使日月行於水中者豈同日而論之耶又如西説或爲地如彈丸或地爲星或星爲地或使天地無動靜在可謂不經之甚矣與周髀之萬世不能易之者其將孰取其佗虞喜姚信等異説紛紛何足勞筆哉知地之高六萬里者蓋以三光隱映而爲晝夜故也其他大抵前已具之故今畧之若欲詳知者周髀算經幸見行于世可就以撿然近人據暦算全書加註牽強渾蓋以混之妄作圖解画蛇添足見者請勿惑誤焉% BR2.32a%周髀大地圖% BR2.32b論西洋所説地體西洋説者湯若望羅雅谷利瑪竇艾儒畧等數人所論而名之古説明末始入于支那者也其説謂水地合一圓球而在天之最中天虚而恆旋于外地實而永靜于内而四靣窪者爲河海突者爲山嶽平者爲原田而地球之量周圍九萬里直徑二萬八千六百四十七里一百五十九丈七尺一寸何由知然曰隨地有極星高低故暦學疑問一云地之正圓無疑也是故南行二百五十里則南星多見一度而北極低一度北行二百五十里則北極高一度而南星少見% BR2.33a%一度若地非正圓何以能然至於水之爲物其性就下四靣皆天則地居中央爲㝡下水以海爲壑而以地爲根水之附地又何疑焉所疑者地既渾圓則人居地上不能平立也然吾以近事徴之江南北極高三十二度浙江高三十度相去二度則其所戴之天頂即差二度各以所居之方爲正則遥看異地皆成斜立又況京師極高四十度瓊海極高二十度若自京師而觀瓊海其人立處皆當傾跌而今不然豈非首戴皆天足履皆地初無欹側不憂環立歟然則南行而過赤道之表北遊而至戴極之下亦若是已矣% BR2.33b按地球之説原元西域（指回回）札馬魯丁所造元史天文志云昔來亦阿子漢言地理志也其制以木爲圓毬七分爲水其色緑三分爲土地其色白画江河湖海脈絡貫串於其中画作小方井以計幅圓之廣袤道里之遠近今地球是也西儒蓋又從加精耳而確執以爲天地體状彼以隨地有二極高低爲地圓之證是大不然二極有高低者由其遠近故爾非由地圓而有高低也請以近事諭之今樹兩表南北相距十有八里（擬百八十度）其崇三丈六尺（擬三十六度）置大炬火于兩表之端（擬南北二極）而人立兩表之中間以視炬火% BR2.34a%其炬當如委地（擬見南北二極於赤道下）人行少北則北則北炬少高而南炬少低益北則北炬益高南炬愈卑而其窮竟失矣非失遠而令然也其南行亦復如是二極之從地高低隱顯何因地圓之有哉論西洋所定地球經緯之里數甚非西洋定地球經緯之里數法曰測北極高低二百五十里而南北倶差一度故二百五十乗三百六十則得九萬里也是既實測非揣摩之説然是此測騐未可遽以爲的證也何則以二極高低測南北緯度者唯可得知二極距離之度而不可得知周地之度也% BR2.34b況於因是以定東西周地之度耶是固執二極出没全因地高低遂以爲標凖以定經緯而限周地爲九萬里也噫寰宇之内豈如是小隘者乎其於周髀説四極周圍二百四十三萬里殊爲天淵而於印度之説則不當其萬一遂令人懷疑於佛敎是不可不辨也廣輿記二十四云西洋古里國去中國十萬里又云祖法兒自古里西北海行十晝夜而可至是亦必不下數千里而亜墨利加者遠於此爲益遥要之從吾皇國迄亜墨利加西海其道程依稀將二十萬里假令水陸曲折减其半猶當不下十萬里若使地周% BR2.35a%九萬里則亜墨利加洲當在何地翻譯名義集云成光子曰中天竺國東至震旦五萬八千里南至金地國西至阿拘遮國北至小香山阿耨達亦各五萬八千里夫自香山至南海十一萬六千里而自香山至于北海過十餘萬里則閻浮南北亦將當二十餘萬里平陸有土之地既如此況復溟海倍蓯之者乎是知今所行地球圖與諸載籍不合者多按西域記云烏茶國東南境臨大海濵南去僧伽羅國二萬餘里靜天遥望見彼國佛牙窣堵婆上寳珠光明離離然如明炬懸燭烏茶南印度之境而直過海上二萬餘% BR2.35b里北距香山當十四萬餘里況對之北際之地則殆近二十五萬里又云僧伽羅國南浮海數千里至那羅稽羅州州人卑少長餘三尺則其益遠亦更加矣南海傳室利佛逝國日中人立竝皆無影正是赤道下之地也據玄弉義淨傳僧伽羅去室利佛逝不及二萬里是猶非極南之地而北鉄勒等之地亦非極北之境而其路程幾已將二十五萬里焉彼之所謂地球全徑不足今所引之半徑者何也果知地球九萬里之説謬妄不足據也論支那西洋以北辰爲天最中其義多所塞% BR2.36a%支那西洋竝以北辰爲天之最中厥義者難通者皇明通紀云永樂八年四月成祖北征次長清塞夜南望北斗五雜爼亦云成祖北征出塞三千餘里南望北斗成祖北征之地者韃靼清水源是也出一統志第九十廣輿記外譯余嘗聞但州估舶曰至于北海大洋中見北辰在天頂當時甚疑之後■通紀始知 ＝門 免有此理通紀所云雖與元史所記四海測騐甚不合然六軍所倶視豈其全妄哉則不知北斗正中之地果在何地若據印度之説則北辰當于閻浮提中央與通紀所言其義適合又西域聞見録云京師望北% BR2.36b斗偏直北西域望北斗轉少北而偏西若西説則此義難通何者若地形圓球而北極當乎其正頂則從地球四靣望紫微垣内外當無有偏直不同譬如百尺竿頭懸大炬火人圓繞而望之因人遠近成炬之高卑則有之然必無有偏直不同之理茲知地球之説其非也若據印度之説則聞見録所言甚易知紫微垣者當閻浮提之正中而由厥地中邊望之故如是耳論地球周九萬里之説理甚非地球之説甚不合現量若夫地周九萬里則從地平% BR2.37a%至地頂其道二萬二千五百里（地周四分之一）以地平對於地頂高一萬四千三百二十四里弱（地周之半徑）若斯則姑十分之以計之則二千二百五十里而其高低千四百三十二里百二十歩亦百分之二里九十歩而其高低一里百五十五歩半強如此則從地平至于地頂如登嶮崖從地頂至于地平急於下斷峯若海上則其水之落幾當如瀑布今觀大洋一目瞭然萬里平坦宛如碧盤其違於現見如是誰其許之曰地靣閻勾故不可如所論甚急曰殆非也今從其閻勾所算猶如此若從其絃則其急又益甚矣夫從地平% BR2.37b至于地頂其絃二萬零二百五十六里二百二十三歩弱而其高低一萬四千三百二十四里弱勾之與絃差二千二百四十三里餘則其急更如何哉曰泰西所立非如子之所論地體圑圓人因其所居以爲上下之謂耳故隨處皆地頂隨處皆地平而無常地頂常地平上下亦從而然則何有如登崕下峰哉曰不然請試徴其非從崑崙出四大河其一者支那黄河（印度名司陀河司陀豈支那之轉）從崑崙無熱池流五萬八千餘里入于東海其二名曰恆伽河同出無熱池流十萬餘里而澍東南海其三名曰辛頭河流亦五萬八千% BR2.38a%餘里漸于西海其四名曰縛蒭河流五萬八千餘里而入西北海（出婆裟等諸論）此四大河源出閻浮最中最高之處各流數萬里而漸四維之海地若無常高下則四大河何各自四方流乎若凖西説以言之則赤道下高於崑崙當乎萬餘里（言若從居赤道下人言之則崑崙殆近地平故也）然反恆伽河從崑崙流殆至赤道下者何也水豈使得逆流哉其違於現量如此朱子曰大抵地形如饅頭此言甚得之又西域聞見録曰回疆地勢高星光燦爛如埀又朱子語類曰骨利幹其地天地相距不甚遠是故夜甚短而不亦太暗可見地非無常最高% BR2.38b處豈得謂隨處爲地頂耶今且當以小擬大物倘有如此高低則物奚得安立其上哉地球可隨而知耳地球一分千里之圖% BR2.39a%西域記云自南印度烏茶國海濵靜夜遙望見僧伽羅國佛牙塔上寶珠光明離離然如明炬懸燭也而其相距已二萬餘里則僧伽羅卑於烏茶當一萬四千里若彼西説理當如臨淵底星影安得望之離離然如明炬懸燭哉且晉書天文志云凡候氣之法氣初出時若雲非雲若霧非霧髣髴若可見初出時森森然若桑楡上五六尺者是千五百里平睨則千里擧目望即五百里仰瞻中天即百里内平望桑楡間二千里登高而望下屬地者三千里既曰高瞻中天者阻三千里則登高望下屬地況其遠二萬餘里非% BR2.39b彼塔大高於我則理必不可見而反下於我殆一萬四千里則安得望之離離其非灼乎明矣論西儒謂物附地不墜大氣壓之義違現量西儒謂地球正圓元無上下人自爲上下之謂耳物着地不墜者大氣壓之故也而其意亦有不充於是故近別搆造新意謂物皆有引力重力其所以着地而不墜者由地球心力能引之令不墜故也西人測游氣力以造氣舩載人行空功智即如是然而遂酖瑤厥術恢張險僻蒙騙天下之人令壤地運轉令人倒立詭異玩弄無所不至是因以地爲圓隨爲臆斷% BR2.40a%不知所止耳今謂大氣壓故令物不墜則物皆悉可爾然能壓磐石河海之重而不能壓雲煙埃霧之輕者何也且専辨諸力以解物附地之理而有甚自塞既曰地轉一晝夜一周然則一周九萬里疾過電光其旋運之勢當飛盤石逆河海岑嶺飛騰五嶽反覆而寰宇體状大不然風息太虚則寂寂寥寥雲煙飛鳥卷舒無心東西隨情且未見晨靄夕霧騰空而爲動氣所引其紕繆可見耳論日月轉於地下之説違現量如西儒説地圓而日月轉於地下則有甚難會者造% BR2.40b化論云泰山有日觀峯鷄鳴日既昇又唐書天文志云十三年南至岱宗禮畢自上傳呼萬歳聲聞于下時山下夜漏未盡自日觀東望日已漸高又登皇國富士者曰於山頂寅初刻既覩日方昇若日昇於地下則不問地之高下日未踰地平其光當不照地上由地平障之故其光不能及我雖曰高山爲地平所障同平地則山上山下日出不可有如是甚不同今以比例喩之西儒云月在地影之上日在地球之下日光不能照之故失其光而謂之食漸出地影之外日能照之則漸復元光食悉由地影之蔽又西儒測% BR2.41a%曰月離地心四十八萬二千五百二十里餘而月之大地球之三十八分一弱夫以三十八分之大與數十萬里之高而尚或有爲地影所掩殆及二時者（約皆既之食以言之）泰山雖大不足月量萬分之一富士雖高孰與月之高夫渺茫之高萬里之大猶爲地影所掩不受日光十有餘刻然今以地上之卑與孤峯之小（泰山猶對月以爲小）日未踰地平反先蒙日光者何也故知爲日月轉於地下則不合現量就圖而以撿焉今且從西儒月蝕之理以比例之若日在地下則日光不得及地上踰於地平而始及地上圖% BR2.41b月入暗虚而食圖論日月横旋能合現量渾葢是非聚訟久矣何徴决之如北極下地半歳日常不没曜宿輪環若傘葢然是即蓋天之明據烏得% BR2.42a%非之若言地定正圓故從極下左右之地則爲葢天固亡論若從赤道前後之地則謂渾天而日月轉於地下亦可是亦不然今見騐日月不繞於地下夫天將曉雲氣靉靆宛如横■布帛極目千里延漫敷濩 ＝方＋色豈非横旋之徴哉凡雲煙爲象氣爲之宰雲元輕虚内無制其動者太陽横旋之氣射之以成是象太虚無物惟有大氣存耳曜宿之運載也職由之若夫曜宿出人地下則曉雲之象恰當如噴於下然未曽一見其象如是唯常覩陣雲千里如■布已豈非横旋 ＝方＋色之象確乎而明哉登于高峯而見日出甚蚤者以雖% BR2.42b極遠横旋而不在地下也今登高瞻望則目力能及乎遠可以驗耳又夏至前後日將出時發於寅位雲氣横疉如曳尾暾暉遠映滾轉北指子位日没後霞彩明赩挾帯餘暉横沈北天屢騐恆爾横旋之象豈不明哉若凖極北半年日常不没地則日月横旋固亡論若爾者横旋則見有其徴竪旋則無一有其徴誰有捨有其徴而從無其徴者哉雖西儒搆造地圓之説而言從正帯之地則日月竪轉於地下地圓者非所共許人焉取汝之家醜今復徴地圓之非廣輿記一統志等並曰泰山其峯曰日觀鷄鳴日既昇泰% BR2.43a%先照高山圖% BR2.43b山在濟南厥平陸北極出地不過三十七八度然山頭觀日已於四更則日出理在丑位（何由知然日之出没若卯酉若寅戌則行度與時刻不合故也）日没亦應當於亥位日出已甚蚤則日没亦甚晩出没理均故也如是則十分而已見九分圓繞雖其餘一分理當不止觀日體而餘暉在於子位所謂正帯地猶見日月横旋（見日已然則月亦可凖知）已如是則天下爲蓋天皎如白日又極北之地極短夜則少頃而天明日觀峯亦粗同是倶因地之高故也耳非因地圓日行有横豎灼然明也佛國暦象編卷之二終
## 3
% BR3.1a佛國暦象編卷之三平安東森隱士無外子釋圓通 撰雲陽 空谷子釋智轂 校地形第三之二 凡十六條論後世地動之説應佛懸記西洋新説奇兒尼通骨百耳尼得逸骨等諸人皆主張地動謂地球一旋是爲一晝夜轉三百六十是名一年即一周天也其説最奇（西洋古説家亦不肯取之如暦象考成所排）而其新説亦不一凖或曰太陽是天之最中或曰地球是中心異説沸騰支泒益濫使人無所止焉按地% BR3.1b動之説不獨今日漢末亦已有之考靈耀曰地有四遊冬至上北而西三萬里夏至地下南而東三萬里春秋二分其中矣地常動不止譬如人在舟而坐舟行而人不覺雖如西説不甚奇人猶不取之要秖不出臆譚故也今西儒所立地動之説而詭異更甚近人好奇溺而不自知也而夫佛陀者天眼窮三際將來之事早已知之豫爲防之以垂之慈悲立世阿毘曇一云有諸外道作如是説是大地恆去不息是言應答此事不然若實爾者如向上擲應不全地又諸外道作如是説日月星辰恆住不移大地自轉疑是% BR3.2a%天迴是言應答此事不然若如是者射不至堋又諸外道作如是説大地恆浮隨風來去應如是答此事不然若實爾者地恆併動若不爾者地作何相地住不動佛懸知邪説之起豫記如是新説地動家種種奇説皆不能出此三説範圍也（佛之懸記其類甚多果有厥徴皆如地動可見通明不徒然）據佛記立現量以駮新説地動及太陰爲地之副星之非西儒新説曰水金火木土五星與地球合爲六大曜又名六惑星（言此六曜恆動其居而無所在焉使人惑故名）各旋轉不齊如% BR3.2b地球轉一周是爲一晝夜轉三百六十五回是名一歳如土星轉一萬零七百五十九回餘是爲一周天餘之四星凖之又歳星周圍有小星四鎭星周圍有小星五以望遠鏡測之並有虧盈是以並之大陰名爲副惑十星原其説所由據以望遠鏡窺得土木二星傍有小星而時陵犯遽以爲太陰之於地球猶如是遂搆造此一大詭異以煽惑人今請凖佛説立現量以辨其非彼曰地轉一周爲一晝夜夫地球九萬里一晝一夜而一周地則其行非速於箭大凡二十四倍則不能也豈有此理哉（試測箭行量人息一呼箭行幾不過五十歩一% BR3.3a%吸亦然凡人息一晝夜而一萬三千五百故呼吸合成二萬七千故知箭行一晝夜而得百三十五萬歩乗以二十四恰成三千二百四十萬歩九萬里則亦三千二百四十萬歩故得兩數正適當故云速於箭凡二十四倍）若爾則如人向東射者其箭當後於堋二十四倍蓋箭在於空而人與堋着地箭行遲於地旋而地旋速於箭則當比箭及百歩人與堋隨地倶轉先於箭凡二千四百歩也論所謂射不至堋是已如其向東射者終必不得至侯如其向西射者箭離弦未過於空倐爾及侯而如其南北射者亦終不得中侯也飛鳥行雲皆類之其違現量如此且也太極分爲兩儀萬物以化醇生生之理確乎不可秡也在天則% BR3.3b爲日月在地則爲水火在人則爲男女是其昭乎若觀火無可以疑者也況其餘億萬無數之物皆莫不係兩儀作用者 皇國神敎支那印度聖藉皆不外於此而今外藩奇説使地轉速於電光以爲一大惑星以太陰爲小惑星抱地旋轉愚弄三國神聖以縱其狂黠吾曹焉得不務闢斯邪説哉若果使之横行方域之内則東方君子之風掃地而銷歇蠻夷姦險之俗必浸瑤民心豈非大可懼乎有心之人其思之論印度所説天地體状及其輿地與西儒所言五大洲大略脗合且西儒所言印度地界與聖敎% BR3.4a%等所載大不同是不蹈其地而妄推者印度所説天地者大異西洋之説所言天者乃是果報依處而非謂如卵■碧瓈者所謂六欲天色無色 ＝士÷冖÷卵＋殳等諸天是也此事甚廣雖非可盡於此今且略言之若其詳見于倶舎婆娑等諸論所謂地者倶舎世品曰諸有情業増上力先於最下依止虚空有風輪生廣無數厚十六億由旬（由旬新曰踰繕那此云合謂法合應爾由旬有大小或八十里或四十里或十六里也）如是風輪其體堅密假設有一大諾健那神（乃大金剛神也此云露形神）以金剛輪奮威懸擊金剛有碎風輪無損又諸有情業増上力起大雲雨澍風輪% BR3.4b上滴如車輪積水成輪如是水輪於未凝結位深十一億二萬由旬間如何水輪不傍流散答有餘師説一切有情業力所持令不流散如所飲食未熟變時終不流移堕於熟藏有餘師説由風力持令不流散如篅持穀（竹圜盛穀曰篅）有情業力風別風起搏擊此水上結成金如熟乳停止凝成瞙故水輪減唯厚八洛叉餘轉成金輪厚三億二萬二輪廣量其數是同謂徑十二億三千四百半周圍其邊數成三倍謂周圍量成三十六億一萬三百五十踰繕那是名風水金三輪也三輪上又有地輪地輪有九山八海以爲六趣% BR3.5a%依止處也倶舎曰於金輪上有九大山妙高山王（梵云須彌）處中而住餘八周匝遶妙高山於八山中前七名内第七山外有大洲等此外復有鐵輪圍周匝如輪圍一世界持雙等七唯金所成妙高山王四寶爲體謂如次四靣北東南西金銀吠瑠璃頗胝迦寶隨寶威德色顯於空故瞻浮洲空似吠瑠璃色如是寶等從何而生亦諸有情業増上力復大雲起雨金輪上滴如車軸積水奔濤其水即爲衆寶種藏由具威德猛風鑽擊變生衆寶類等如是變生金寶等已復由業力引起別風簡別寶等攝令聚集成山成洲分水% BR3.5b甘鹹令別成立内海外海如九山住金輪上入水量皆等八萬踰繕那蘇迷盧山（舊曰須彌此云妙高）出水亦爾餘八出水半半漸卑謂初持雙山出水四萬乃至最後鐵論圍山出水三百一十半如是九山一一廣量各各自與出水量同天龍神鬼等八部種族人非人等地居有情皆依於此而住也次八海者倶舎曰妙高爲初輪圍爲後中間有八海前七名爲内七中皆具八功德水如是七海初廣八萬約持雙山内邊周圍量於其四靣數各三倍謂各成二億四萬喩繕那（乃二十四萬由旬也）其餘六海量半半狹謂第二海量廣四萬乃% BR3.6a%至第七量廣一千二百五十此等不説周圍量者以煩多故第八名外鹹水盈滿量廣三十二萬二千踰繕那次四大洲是乃人趣所居也倶舎曰於外海中大洲有四謂於四靣對妙高山南瞻浮洲北廣南狹三邊量等其相如車南邊唯廣三踰繕那半三邊各有二千踰繕那東勝身洲東狹西廣三邊量等形如半月東三百五十其三邊各二千西牛貨洲圓如滿月徑二千五百周圍七千半北倶盧洲形如方座四邊量等靣各二千復有八中洲是大洲眷屬謂四大洲側各有二中洲瞻部洲邊二中洲者一遮未羅洲% BR3.6b此云猫牛二筏羅遮末羅此云勝猫牛婆娑一百七十二云此八中洲一一復有五百小洲以爲眷屬於中或有人住或非人住或有空者立世阿毘曇云爾時佛告比丘迦樓羅鳥所住四洲其東弗毘提南閻浮提二洲中間有迦樓羅洲南閻浮提西瞿耶尼二洲中間有迦樓羅洲西瞿耶尼北鬱單越二洲中間有迦樓羅洲是鳥洲者圍一千由旬洲形團圓一切皆是深浮留林迦樓羅鳥住在林中洲外水下並龍住處龍居此地按西人齎來地球圖亞細亞歐邏巴亞弗利加三州者乃印度所言瞻部洲是也彼分壃% BR3.7a%以爲三大洲者甚廣大故也印度總爲一大洲者一壤地故也而今西洋地球圖與聖敎所言甚合倶舎曰瞻部州北廣南狹其相如車（印度車者前狹後廣形近三角）三邊各二千由旬（一邊之葇當八萬里）南邊唯廣三由旬半（即百四十里）形頗三角彼之地球所圖亞細亞等之三大洲元一壤地而其形東西北三邊廣葇大約各等獨南邊狹而甚尖與諸經論所説其象大合蓋西人所傳賈舶杬海所親見者故亦如此伹西圖則其形斜三角聖説則似正三角蓋西圖則雖親見而圖廣遠之境目力之所不及亦唯取其全形於臆想中非如天眼所% BR3.7b照獨可信者也又聖敎所明二中洲遮末羅者即墨瓦臘泥加其筏羅遮末羅者亞墨利加是也此二中洲西人曰近世有人始知海内有此地故用其人名以名其國然聖敎具明其國則天眼所覩徴信如白日可知吾黨非逞偏執也又倶舎曰此八中洲皆人所住人形短小如此方侏儒西域記曰南海那羅稽羅洲人卑小長餘三尺又梁書諸夷傳倭其南有侏儒國人長三四尺又唐書南蠻傳云室利佛逝國咸亨至開元遣使又獻侏儒僧祗女各二並皆出於南海是乃似倶舎及婆娑所言遮末羅人即當南方墨% BR3.8a%瓦羅泥加又倶舎曰此二中洲又各有五百小洲屬焉今之所引那羅稽羅及侏儒國等蓋皆亦其小洲耳利瑪竇所著萬國圖並近年蘭人將來地球圖三四種其所註甚多杜撰又其所圖多不合諸典籍如靈鷲山置於南海普陀落圖於東洋又如須達長者之居趾在於暹羅非一讀印度之書者之所可信按其錫蘭嶌者（彼謬爲靈鷲山）恐是楞伽山又彼地球所圖五印度之壃多不合西域記慈恩傳南海傳及所有大藏之説西域記云五印度之境周九萬餘里三埀大海北背雪山北廣南狹形如半月畫野區分七千餘% BR3.8b國時特暑熱地多泉濕北乃山阜隱軫丘陵潟滷東則川野沃潤疇壟膏膄南方草木榮荗西方土地磽确斯大概也然彼地球所圖廣葇倶不過三十度約之鳥道則東西爲七千五百里南北亦爾按地理志支那之廣約鳥道經緯並三千里支那尚爾況五印度則在崑崙之南閻浮中心而沃野萬里天府之地也經説閻浮提十六大國皆在印度玄弉三藏西域記曰周九萬餘里義淨三藏南海傳所言粗亦同蓋此二師躬自歴覽所記及當時王玄策等數千人身至其地而所聞見西域南海豈叙記虚誕以自欺欺% BR3.9a%人耶由是觀之則彼地球所圖但擧大概者而不必精選也且歸化西儒所著職方外記萬國管窺等亦不能無疑大約目所未見語多矛盾例如六朝已後歴代諸史明一統志清廣輿記等記吾皇國之事不堪捧腹者甚多蓋皆是記其傳聞者而與玄弉義淨等三藏久住彼土記所親聞見者大異者斷可知也辨北地有夜極短之國有人疑曰若實有須彌山而日月繞其半腰則萬國晝夜自當齊同無甚長短之差也然歴史綱鑑二十云骨利幹於鐵勒諸部爲最遠晝長夜短日没後天% BR3.9b色正曛煮羊髀適熟日已復出矣又唐書天文志云鐵勒回訖在薛延陀之北去京師六千九百里其北又有骨利幹居澣海之北北距大海晝長而夜短既如曛不暝夕胹羊髀纔熟而曙蓋近口出没之所今按此事甚易曉蓋以其地高也泰山日觀峯鷄鳴日既昇可知骨利澣則高於泰嶺矣朱子語類曰唐太宗用兵至極北處夜亦不曽太暗少頃即天明謂在地尖處去天地上下不相遠掩日光甚不得蓋詳日行有高卑須彌及七山有廣狹高卑瞻浮洲地有高低差降是故受日光不侔致令處處晝夜有長短按% BR3.10a%元史天文志四海測騐鐵勒北極出地五十五度夏至晷景長五尺一分晝七十刻夜三十刻唐書天文志曰北至鐵勒之地挍其里數已在回紇（又曰回回）之北又南距洛陽九千八百一十五里則極長之晝其夕常明然則骨利幹猶在其南矣（元史曰鐵勒夏至夜三十刻似與唐書所言不合而鐵勒廣數千里山嶽嶮峻而高低極甚故測騐當隨地而多差例始泰山山上山下日出大有遲速）可知其地愈高其夜愈短其地益卑其夜益長晝之長短反之是無他北邊金山有高卑故障於日光亦有差降南洲地亦以有高低故其日光射照■有 ＝至＋攴早晩也耳% BR3.10b證北極下有一年爲一晝夜國竺漢古昔已有其説西説北極左右各二十五度之地半年爲夜半年爲晝晝亦不甚明猶正帯地申時日傍地平而繞是名夜國界此説非肇西説先聖既已言之周髀筭經云春分夜以至秋分夜極下常有日光秋分夜以至春分夜極下常無日光又云凡北極之左右物有朝生暮獲趙君卿註云北極之下從春分至秋分爲晝從秋分至春分爲夜物有朝生暮獲者亦有春芻而秋熟又曰北極左右夏有不釋之氷（左右者指璿璣二十萬里之外）古% BR3.11a%昔遠西未通於支那聖人唯由理以推之於數千歳之下果有徴信豈不偉哉又涅槃經曰日月光明不至處之衆生因佛光所照迭初得相見又立世阿毘曇論曰時有一人曰長脛生有神境通因欲見閻浮樹徃問佛佛敎以方處長脛從敎踰於六大山登第七金邊山頂轉靣向北聳身遠望唯見黒暗怖畏而反閻浮樹者在于閻浮提極北（此洲因有此樹故名閻浮提）而此所言長脛之見黒暗者其時蓋當極下之夜間也何者長脛如遇極下之晝則必見此樹而不見其黒暗矣而其夜國亦非常夜也半年爲晝半年爲夜而從% BR3.11b其夜得名也所以是地然者大陽毎從春分向赤道北日漸高于北近于北及夏至北至是極而高亦極焉太陽自此還向南行日卑日遠至秋分復在赤道此限百有八十日日照恆及於北極下乃是夜國之晝也故周髀云春分以至秋分晝之象註曰北極下見日光也日永主物生故象晝也自秋分太陽向赤道南日漸卑于南及冬至南至是極而卑亦極焉（最卑與冬至時有小差今且從大約）太陽自此還向北行日高日近至春分復在赤道此限百有八十日恆不見日光者周髀云秋分夜以至春分日外遠極故日光不及也% BR3.12a%論須彌半腰所以下礙日光之理夜國半年爲晝半年爲夜之義已粗得聞之然若據印度説則此義似最難曉何者及日繞坎位須彌遮日光故不得日日無夜人皆苦其難會謂是自不達耳立世阿毘曇云從閻浮路内至鬱單越内路相去四億八萬八百由旬周迴十四億四萬二千四百由旬其外路者相去四億八萬一千三百八十由旬周迴十四億四萬四千四百四十由旬而其日月迴照輪者徑四億八萬一千九十由旬周迴十四億四萬三千二百七十由旬（此中皆以十萬爲億）以晝夜百刻除之一% BR3.12b刻日行正當一萬四千四百三十二由旬七分（即一由旬十分之七）則須彌半腰二萬由旬之障日光者纔當一刻三十八分五十七秒四微據暦法黎明旭暉先發日出前二刻半餘暉照日没後二刻半而須彌半腰障日不見日體僅可一刻強而其前後旭暉餘暉相挾照故雖其少障間猶齊月中桂影而其山腰亦極遠人不能見也是姑凖人間土石之山以爲言而況須彌是勝果天寶非人間所有也經曰由須彌寶光四天下虚空各異厥色及日既没於南洲而中西洲有時空色如紅者須彌西靣赤頗底迦寶光映虚空餘% BR3.13a%暉延及我南洲之所爲也又閻浮提虚空常靑色者以須彌南靣瑠璃寶光映於虚空故也（起世經云須彌山王北靣天金所成照鬱單越洲乃至南靣天靑瑠璃所成照閻浮提洲）如西域記曰獅子國佛牙塔上寶珠光明如明炬懸燭隔二萬餘里而猶能見于烏荼國嘗聞其寶者即頗底迦也則太陽過於須彌時寶光必大助日光矣自夜國至于須彌凡二十萬由旬而寶光助日光則其必無翳障可知也（又金光明一歎佛身金色之光明曰金色晃曜猶如須彌又証寶山光明者立世二曰北邊有山名曰修槃那般娑此譯云金邊山秋月天晴不雨最放光明有人至大黒山頂仰觀北面遥見彼山光明照曜因相謂曰是須彌山我今已見天上是金邊山閻浮北邊寶山光明尚已如是況須彌是天寶其光明何啻% BR3.13b金邊之類乎哉）辨日光不及夜國限分須彌半腰不甚礙日光故自春分至秋分日光及於夜國則不俟辨可知而自秋分至春分日光不及夜國者其南邊之障有二縁謂由太陽卑行與閻浮地形其北邊之障亦有二縁謂由太陽高行與須彌掩蔽今詳北邊日障者謂南洲冬至則北洲夏至南洲夏至則北洲冬至故日躔高卑亦互易時彼最高則此最卑彼最卑則此最高是以秋分後南邊日躔益卑且爲地頂所礙其照不及焉其北邊則斯時日躔% BR3.14a%益高而須彌上半礙之其照不至焉起世經云須彌山王上出海水八萬四千由旬下狹上濶漸漸寛大端正殊特蓋南洲秋分則北洲春分而北洲日躔日日高故日光爲須彌山頂寛廣處（横八萬四千由旬）所礙而其左右（此東西日道在中䂓已下）又爲諸高嶽所含其照不能及夜國也次審其南邊日障者謂秋分後日在北天則最高行在南天則最卑行而漸遠於北漸下於南是故日光爲地頂所障地頂者崑崙是也地頂高凡二萬五千九百餘里（地頂者詳之下篇）加之北邊地勢嶮而甚祟且修槃那雞羅婆等北邊峻嶽重疉隱蔽以阻南% BR3.14b天日光若日出東下䂓時東海高嶽礙日照若日没西下䂓時西海峻嶺掩日光正法念經身念處品説閻浮提西方山海曰彼以聞慧或以天眼見此大海過五分已有大輪山眞金所成高千由旬廣五百由旬復過輪山已見大海有大山名曰白山多有林樹其色白淨水沫圍繞高一千由旬縱廣五百由旬復過此山已見有大山名曰善雲高百由旬廣六十四由旬空無人住過此山已有玻瓈山高三千由旬廣千由旬乃至須彌西靣名曰没山日至此山閻浮提人謂之日没故名没山又同經説東方山海曰海中% BR3.15a%有山名光明鬘高一百由旬縱廣三百由旬白銀所成復見大波海北有一大山名阿奴摩那廣十四由旬白銀莊嚴復見有大山名曰善慧一切閻浮檀金廣千由旬高五百由旬是名閻浮提東方山海（經説四大洲山海文甚廣故今畧擧東西之一二耳）又同經觀天品曰須彌山持諸世間處于六萬衆山之中六萬衆山以爲圍遶高峻廣大峻嶽藩圍其東西可以見是故秋分已後日道以距北日遠且卑故南爲地頂所礙東西爲衆峯所掩日光不能及極北之地也春分已後日道日高且日近于北故日光踰越三邊地頂高峯直得照臨夜% BR3.15b% BR3.16a%以一萬由旬爲一分九厘五毛法之□圖% BR3.16b% BR3.17a%須彌七金山及四大洲半靣略圖% BR3.17b% BR3.18a%南閻浮洲圖% BR3.18b國也雖然自非詳七金山之體状及閻浮提之地形深撿晝夜之暦理等不勝分曉疑難故別廣考廣證以附編後請徃而撿焉今纔圖少分以彰焉耳論日光經度閻須彌及與地頂等開掩日光之所爲則既得聞之然周髀爲日光所及左右各十六萬七千里今佛説爲日光自北洲及於南洲北極下則理非甚乖乎曰不然也自北洲迴照輪至於南洲北極下徑度恰當四十八萬零五百四十五由旬據立世阿毘曇迴照輪徑度四十八萬一千零九十由旬也是故其照尚% BR3.19a%能及極之南五百四十五由旬所謂泰山峯鷄鳴日既昇其言足信矣（泰山者距北極凡三百十二由旬餘）問立世阿毘曇曰日光經度七十二萬一千二百由旬是合左右數也折半之則三十六萬零六百由旬故知日光從北天不可及南方之極下也曰所言日光經度則折半日行内路數而日光方及三洲之量也是就常照三洲平陸以立限者而其義與今異也若爾者何由得知日光及四十八萬一千九百由旬耶曰日光恆由開覆月宮故令月虧盈而日若在北方外路而月在南天外路則相距幾及四十八萬一千三百八十由% BR3.19b旬（日光開覆月宮日日三由旬三分三十三秒）今之所據是也然今以理推之夜國從其坎位受日光者甚幽渺而可類自高峯纔見夕日日雖在午之時猶當類此方申時況日在子位乎論閻浮提地形問前篇徃徃言日光爲閻浮提地頂所礙故其照不及極下地而未明其理請聞其詳答欲知此義者須先知地頂有三處其一朱子語類曰唐太宗用兵至極北處夜亦不曽太暗少頃即天明謂在地尖處去天地不相遠掩日光不甚得周髀曰北極下人所居% BR3.20a%高六萬里西域聞見録載回疆風土曰一日則見月如線而鈎地勢高星光燦爛如埀（回回其地近於極北）愽物志曰北太行（山名）而北去不知山所限極處亦如東海不知所窮盡蓋地勢漸高於北故云爾也是此諸文並皆以極下爲地頂也想閻浮提地勢凖須彌及七金山漸高於北漸下於南也如皇國壤地雖不甚大北方多嶮南方漸平即四州皆中心須彌而凖之勢也理豈不然乎其二崑崙是也理學類編云大抵地形如饅頭其撚尖則崑崙也（朱子語類據周髀以極北爲地尖而類編則又崑崙爲地頂其言矛盾何從乎自崑崙至極下相距數萬里）山海經云崑崙之墟方% BR3.20b八百里高萬仭（郭璞註曰皆謂墟基高輪高庳耳自此已上二千五百里去嵩高五萬里蓋天地之中也）禹本紀言崑崙其高二千五百餘里日月所相避隱爲光明也（凖上註是墟基已上之里數也）河圖括地象曰地南北三億三萬五千五百里地部之位起形廣大者有崑崙山廣萬里高一萬一千里神物之所生聖人仙人之所集也出五色雲氣五色流水其泉南流入中國名曰河也其山中應于天最居中八十城布繞之中國東南隅居其一分是奸城也愽雅曰崑崙墟有三山閬風板桐玄圃其高萬一千一百十里餘水經曰崑崙在西北去嵩高五萬里地之中也高萬一% BR3.21a%千里（水經括地象等書其所言遽見則雖似誕深撿則皆有徴信是必神聖之遺傳矣今如西説遽見則雖似是再撿則其義多與實乖不可不擇也）樓炭經曰崑崙山者閻浮提地之中心也起世經曰雪山（此云崑崙）高五百由旬（即二萬里也）闊厚亦爾其山殊妙四寶所成其四靣有四金峯挺出山外各高二十由旬復有高峯衆寶間雜逈然秀出高百由旬（即四千里）於山頂上有池名曰阿耨達多（此云無熱池）其池縱廣五十由旬從無熱池流出四河以注四維興起行經曰崑崙者則閻浮提地之中心也山皆寶石周帀有五百窟窟皆黄金常有五百羅漢居之印度支那崑崙爲地之中其義並同矣按從% BR3.21b閻浮南際金地國迄于崑崙麓凡十一萬六千里凖導水六十分一之法（出於崑崙水經金地國而入南海故）度之崑崙之麓從南海高大約可一千九百三十三里餘而崑崙高二萬里其中峯高四千里故對之南海而言則崑崙高都當二萬五千九百三十餘里由是觀之北極下之地高當不及崑崙而其地勢廻連續崑崙之北陸地尚嶮峻況崇山峻嶺乎故諸文以北極下爲地頂者多矣今據佛説以義斷三之地頂則閻浮提地縱廣二千由旬而其北極以南七百六十由旬是此人之所住其分限之其北極以北千二百四十由旬% BR3.22a%則皆神仙龍鬼之所住也若就人之所住而言則崑崙是地之最高處而且地之中也若就南方一天下閻浮一洲而言則北極下地是地之中心而周髀所言是也須彌是四天下之中央而人天八部之依處也其義散蔓大藏中故不煩辨論佛説與周髀有異同問周髀以北極爲天地中心故與佛敎齟齬懸矣如何會之曰是甚有由致蓋周髀者定天地高廣皆測晷景所得於圭表非偶然者又非毫出臆斷者也如理法自然者何則北辰位於南方之處中而赤道以% BR3.22b北之衆星悉皆拱之恰如蓋笠適于閻浮之最中而輪環焉迴照輪以北衆星者秪轉南洲一天之上不通四洲也如日東平安城北極出地三十六度則左右合七十二度如蓋笠而繞見晝夜無没也若北極出地五十五度之地則左右合百十度其見界晝夜無没是分位之衆星豈有轉四洲乎其轉四洲者翅所麗廻照輪内外衆星曜宿等也由是觀之周髀以北極爲天地之中心者是亦出乎理自然也且周髀則如非啻測得南洲一天下又髣髴摸象得四天下者既測地高爲六萬里不如是則三光隱映理不當% BR3.23a%故也然崑崙高尚不過二萬五千九百餘里況極下之地高猶不及崑崙焉當六萬里之高若爾者周髀所測抑將寄何地若欲由是捨之而是元所得圭表質測而聖智之所推非徒然何得爲之不是哉但以北極爲中心故似獨測南洲一天下者支那聖敎惟言人趣而不言有天趣等是故理不可謂一天下之外也而其至測地高則日月雖邈遠有晷景無所遁者遂由三光隱映之理以測地高爲六萬里聖智之所推幾稱其實豈可不瞻仰乎而周髀中心北極而外立四極佛説四天下各立北極又各立南極是爲% BR3.23b異已夫爲天眼之用也上極非想下徹阿鼻其至論天地則以須彌四天下是名依報談天人龍鬼等八部以爲正報是猶天眼見之萬一耳至其廣論三有二十五有高遠愽大非可盡於此吾家猶名之小乗藏況其大乗藏乎問印度亦有南極之説耶曰如南印度幾逼赤道下故恆親見南極也南海傳云若欲取正方冝於夜揆北辰直望南極定其邪正的辨禺中可見直正對二極以植表而質晷景之邪正（傳言持律者質時非時非爲天文等設也）是佗邦所不可得而企也仍如詳之下文% BR3.24a%論定北辰之所處漢西並皆以極星爲天之最中雖學佛徒間亦有謂極星爲須彌頂者然皇明通紀云成祖四月次長清塞夜南望北斗明志云成祖北征出塞三千餘里南望北斗想自非頂北極不得南望北斗若由是言北辰非天最中者衆星何樞北辰以拱之蓋是一大節目不可不審詳今據經論撿北極之所處赤道以南百四十五由旬是名外路即當二十三度半赤道以北亦百四十五由旬名曰内路一度則當六由旬十七分零二一三一度爲二百五十里則一由旬恰當% BR3.24b四十里零五一七一五故自日月迴照輪（此曰赤道）至于北極當五百五十五由旬三十一分九一七即二萬二千五百里而與九十度適當經説爲閻浮提南北廣二千由旬從閻浮提地南際至北極相距七百六十由旬零三十一分九一七須知閻浮提北際過北極下之北尚有千二百三十九由旬二十八分零八三由是觀之明成祖北征出塞三千里南望北斗亦不足爲異閻浮提之地赤道以南縱廣二百五由旬（即八千三百零六里零一五七五）赤道以北縱廣一千七百九十五由旬也（即七萬二千七百一十八里二八四二五）攷西洋萬國圖亞弗利% BR3.25a%加南際過于赤道三十五度乃是八千七百五十里經説爲二百五由旬乃八千三百里餘則兩數依稀相近又萬國圖爲亞弗利加之地際過冬至界十度奇（即二千五百里奇）經説爲六十由旬（乃二千四百三十一里奇）亦兩數髣髴相類至言其極北則荒蕩孟浪無所憑蓋南邊則西舶能得親到故其所言合實如極下之地人得而到者少矣況如極下之北則非凡人得而所踵暗算妄推何庶幾其實哉雖然今古以北辰爲天地之中亦甚有所以也是適於閻浮之最中故也人之所測焉出此外哉是所以稱其自然也與印度之天仙% BR3.25b及佛陀廣明三有二十五趣者豈全同哉辨由旬量由旬新譯家曰踰繕那西域記云自古聖王一日軍行舊傳一踰繕那四十里矣印度國俗乃三十里聖敎所載唯十六里新舊異説不易辨然舊譯皆以由旬爲四十里如長阿含樓炭等經日宮之量直爲二千四十里閻浮樹高爲四千里類西域記曰聖敎所載唯十六里何從乎今幸得厥據天文家測赤道南北緯度以爲四十七度一度則當二百五十里是測北極之高低而得故最足爲據也（以皇國里法則一度當二十八里四% BR3.26a%百二十歩）立世阿毘曇曰從極南路至極北路二百九十由旬日月於是中行無有減長置四十七度乗二百五十則得一萬一千七百五十里以如二百九十由旬而一得四十里零百八十六歩奇（零里已下得五一七二四以里法三百六十乗之得百八十六歩奇）是即一由旬之量也舊譯所言與佛説適合（論者即是佛直説故）舊譯師皆非聊爾人必當有所稟𣴎而有百八十六歩之餘分者必是度量之差矣詳閻浮提北邊有七林七河原夫閻浮提地出北極下之北尚過其半蓋自古無人能到極下是以未曽有詳極北之事者然周髀等% BR3.26b並皆北極爲天地之中固無異説若爾者極北有萬里之地亦奚疑矣而與西洋地球以亞墨利加爲在北極之北者義大別是編處處散説可知也極北之地則皆神仙之居而非庸流之境也立世阿毘曇曰是閻浮樹外有二林形如半月圍繞此樹其内有林名呵梨勒外名阿摩勒乃至是二林廣五十由旬東西達海其南復有七林七河相間其最北林名曰菴羅次名閻浮三名婆羅四名多羅五名人林六名石榴林七名劫畢多林其一一林河廣五十由旬東西達海林河相次互相間錯閻浮地林河所覆七百由% BR3.27a%旬其劫畢多林南有六大國其最南國曰高流次曰倶臈婆三名毗提訶四名摩訶毘提訶五名鬱多羅曼陀六名捨喜摩羅是六大國人皆貞善又經開是七林爲三十其七中五林各開四以爲二十林其二林各開五以爲十林都成三十重林起世經一云於大海北有大樹王名曰閻浮樹身周圍有七由旬根下入地二十一由旬高百由旬乃至枝葉四靣垂覆五十由旬邊有空地靑草徧布○次有菴婆羅樹林閻浮樹林多羅樹林那多樹林亦各縱廣五十由旬間有空地生諸靑草○次有男名樹林女名樹林刪% BR3.27b陀那林眞陀那林亦各縱廣五十由旬邊有空地靑草彌覆○次有訶黎勒果林鞞酼勒果林阿摩勒果林菴婆羅多迦果林亦各縱廣五十由旬邊有空地靑草彌覆○次有可殊羅樹林毘羅果林婆那娑果林石榴果林亦各縱廣五十由旬邊有空地靑草彌覆○次有烏勃樹林柰樹林甘蔗林細竹林大竹林亦各縱廣五十五由旬邊有空地靑草彌覆○次有萩林葦林割羅林大割羅林迦奢文陀林亦各縱廣五十由旬邊有空地靑草彌覆○次有阿提目多迦蕐林瞻波蕐林波吒羅蕐林薔薇蕐林亦各縱廣五% BR3.28a%十由旬邊有空地靑草徧覆復有諸池優鉢羅蕐鉢頭摩蕐拘牟陀蕐奔荼利迦蕐等彌覆池上復有諸池毒蛇充滿亦各縱廣五十由旬間有空地靑草徧覆次復有海名烏禪那迦闊十二由旬其水清冷味甚甘美輕輭澄淨此海中有轉輪聖王所行之道亦闊十二由旬閻浮提中轉輪聖王出現世時此中海道自然涌現與水齊平（此經閻浮提爲七千由旬蓋從小由旬量又小林三十□各五十由旬及諸池各五十由旬七池合三百五十由旬及烏禪那迦海等通計近二千由旬亦從小由旬也又經文畧説七河曰諸池各五十由旬以河爲池隨譯人意樂也）經與論互有影略相映可以詳焉論曰七林七河所覆七百由旬（林河% BR3.28b廣各五十由旬故林河合七百由旬也）又閻浮樹外有二林圍繞此樹其内林名呵黎勒外名阿摩勒二林圍繞閻浮樹廣各五十由旬故前後合成二百由旬閻浮樹枝葉所蔭覆百由旬其墟基高八百里其地凖前後概論之廣可三百二十八由旬誰知極北之外有如是神仙廣大之境閻浮提日行緯度及林河等量（附氷海所處）六十由旬（從閻浮提地南際至日行外路）○百四十五由旬（從外路至赤道）○百四十五由旬（從赤道至内路）○四百一十由旬（從日行内路至北極下）○七百由旬（七林七河之地）○合百由旬（閻浮樹南邊二林廣各五% BR3.29a%十由旬）○三百二十八由旬（閻浮樹墟基之廣也）○合百由旬（閻浮樹北邊二林廣各五十由旬）○十二由旬（烏禪那迦海此一者凖起世經）閻浮提地南北廣總計二千由旬西洋萬國圖所言氷海者即是劫畢多河也此河南北二千里東西八萬里直達海其所以常凍之理非止由在寒帯之地非純潮故也（又北地氷山之事見樓炭經等又見補正記之二及資持記等）論所謂六大國者不知指何國未得詳之今西洋書雖言萬國者多此外未相知者甚多此之蕐嚴大集月藏等諸經所説之國數猶不足其十⼀一也% BR3.29b南閻浮洲圖% BR3.30a%論南北二極異義西儒謂天者以南北極爲環轉之樞故名爲極如輪之轂如麿之臍天之最中有不轉之地以爲之樞非星也蓋指其近極之星而名耳印度説者爲曜宿心於須彌而繞焉若爾者二極不動似難通曉然印度漢西厥義固不同何可以此䂓彼耶夫森羅曜宿其行不同者多豈可概而齊乎赫赫二曜既異其行五星運轉伏退參差不定或轉一洲或轉四洲或一年一周或數年一周既有種種之動何異二之不動正法念經云風輪所持北方衆星輪轉不没既日輪轉% BR3.30b不没則其處中如輪轂麿臍可知也南極亦可凖知而渾天家及西儒等爲天有尅實之質而二極則環轉之樞者理甚不然曜宿之行既不全齊一軸之所環轉如何能得一時應順逆遲疾耶若天果有質者體是何也其不可知必矣西洋新説天爲靜地爲動則彼猶不取樞軸可以知其無必然之理也辨西儒地球不同支那渾天西洋舊説以南北二極爲天樞軸而地爲正圓令日月轉於地下與支那渾天相似而不同也（其義詳于前）漢立渾天之稱者蓋天地爲體内地而水裏之天圍其% BR3.31a%外水地合一渾渾然状象鷄卵故曰渾天如西説固非渾亦非蓋也歸化西儒附順支那以西説天地枉亦名渾天者影傍以誘時人耳古者豈有使人倒立地下説哉彼謂大地圓球而所戴皆天所覆皆地無有常之地頂地下是殆非也今觀天南北二極其位常定矣而衆星拱之天既有常位地豈無定位耶厥説使天地傾於南北如將僵仆者夫寥廓天地大氣載而安立焉有何所礙使之欹側耶莫非所謂頭觸不周之山拆天柱絶地維之類據大藏經及周髀之説天地至正無毫欹側之理況有人着地下之義邪% BR3.31b請深思旃暦法第四之一 凡六條論梵暦大概漢西二暦者多有其書而存焉今之所不論也獨梵暦無有傳於世者是吾黨之闕典也梵暦之名見於史冊者其別五其四出前其一名孝威見舊唐書並當時秘在臺閣故其書一不落世間故不傳也今取散在經論者以擧梗概學者由是修之則推知梵暦亦不甚難且漢西二暦原出梵暦故其綱領不甚異以末推本參考彼此則亦非難通曉況厥節目出於% BR3.32a%經論乎又明史所載回回暦是即梵暦之一也又都利聿斯經五卷出宗叡請來録未得之是西印度之暦書而書目載唐宋史志又梵天火羅（一行之撰）引用之夫暦術者以交食爲喉緊騐其暦與天合不合者偏唯係之也然回西支那並皆傳其術於印度則彼土暦法備而久可知矣如迦葉氏其先感靈龜負圖而應從德命族故言龜氏荊溪曰如此方河圖此族世善天文故有迦葉氏暦婆羅門種也（是印度四姓之一也彼土執政大臣並皆出於此姓）此姓専業學經典及天文星暦陰陽讖緯又刹利種（是四姓中之王種也）亦能學天文星暦等故有瞿曇% BR3.32b氏暦（瞿曇氏亦曰釋氏）是以其學大盛於佗那又彼土沙懣如善星比丘善星暦者多矣且三明倶解之人莫不皆該明之律有厥制者禁邪命故非制爲法者也大藏中徃徃説天文星暦是豈徒■者哉又西域記曰 ＝方＋色外道雜居處處研窮天文暦術其學熾可知也今考梵暦凡造暦者必求起算之端謂之暦元立元有二其一遠溯上古求七曜齊元之甲子以爲暦元謂古昔當甲子日有七曜同度如連珠謂之齊元之甲子自漢太初至金大明暦皆遵用之其一直立表測晷揆元即今不用積年日法授時暦是也然遠求% BR3.33a%億萬之演積者不若近斷取目前也回西並皆驗氣栽元而不取推求演紀上元甲子而其不用演積者梵暦爲之魁唐書曰九執暦者斷取近距以開元二年二月朔爲暦首其不用積年可見高僧傳慧嚴曰天竺者討覈分至顧歩光影其法甚詳是言直測驗於天以取元也大集月藏摩登伽經等詳明測影印度立暦元本於驗氣昭著矣今從皇國節氣而造梵暦則如今歳文化六年之春分距冬至日數九十四日二百九十二分九十五秒二十四微七十二纎三十一忽也（若爲日周一萬之法則九十四日三千二百五十八分七十四秒五十二微也）乃% BR3.33b當二月八日辰初三刻四二零七是日梵暦正月第一日（回疆以是日爲歳首正旦）日躔在白羊宮是太陽年節氣之一日也二十四節七十二候從而可得也以六十分爲一度以六十秒爲一分遞拆之以至微亦以九百羅婆爲一日（如此方刻）按印度之疆壤地渺邈故暦亦不一且時改易經論所載立法多異而梵暦亦必古疎後密胡梵諸暦法雖有出入以子丑等屬紀年以十二宮配月以七曜二十八宿紀日等西域諸國其揆一也蓋梵暦雖多大概不出四種一大陽暦二太陰暦三陰陽合暦四恆星暦而推五星羅計者諸暦並% BR3.34a%同其陰陽二暦者如回暦恆星暦者如西洋暦（暦算全書雖以恆星年爲西洋之創法是法原本梵暦如前辨之）陰陽合暦者合太陰太陽之二暦以閏月定四時而紀年則從月節氣則從日者是也大藏中多言月閏由是觀之昔在所行于印度暦者乃陰陽合暦而全無異日東及與支那也回回諸部紀年則用太陰暦節氣則用太陽暦以分用二暦故不立閏月也暦學疑問補云今回暦之太陽年既以春分爲歳首則是以仲春之後半月爲正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日奇遂一併移之歳終孟春之前半改爲十一月之後半孟春% BR3.34b之後半合仲春之前半共三十日改爲十二月故遂借白羊等十二宮以名其太陽年之月宿曜經曰上古二月白愽叉二月春分朔于時曜躔婁宿道齊景正月中氣和庶物漸榮梵天命爲暦元景風註云天竺以二月爲歳首以其道齊景正日夜停分拆爲暦元又曰天竺建卯爲歳首回疆暦日其所由出可以見經曰梵天命爲故梵暦其來尚矣今經曰春分朔曜躔婁是乃太陽暦而主日行緯度也又日藏經宿曜經並以二十八宿紀日是主月行經度即太陰暦也又地度合攷一云按西洋法以白羊宮初度爲測% BR3.35a%算之端而紀月又首麿竭是知西洋暦術起算則取白羊宮初度紀月則首麿竭以太陽躔斗四度爲麿羯宮初度又爲歳首正旦等一皆本印度宿曜經云斗三足女四足虚二足鎭星位焉其神如麿羯故名麿羯宮（足猶度也西洋亦有呼度爲足者）其所從而來可見斗第二足當其四度如上已辨之其麿羯宮爲歳首者倶舎寶疏曰印度以建子爲正可見西洋始與印度同暦日按不空三藏譯出宿曜經在唐乾元二年寶法師當大宗貞觀中而名於世其間可百二十年而寶師云印度建子爲正不空譯曰建卯爲正并梵天命爲% BR3.35b暦元又隋譯日藏經亦同宿曜經蓋五印度境壤廣故別當有建子爲正之國猶如支那有三統建正之異義推寶師所言必是當西印度暦廣輿記曰西洋皆用麻哈馬之經典暦數等故也而測周歳之晷影推晨前宿度夜半中星歩太陰宿度求日躔定氣五星叚目詳十二宮及十二辰之主儅等日藏經及摩登伽經等粗説其梗概推以求之則其法亦非難知爲遮那業人別將考梵暦以遺後學非可悉於此焉又印度別有一法歩月離推宿度經論多以昴爲先首即秋分月値昴之辰故日藏經言宿度皆昴爲首% BR3.36a%（日藏經八曰月合諸星起昴終胃月行宿訖一月將滿八月黒初月合在胃如是輪轉不息）又宿曜經序宿直所生品摩登伽經星圖品等以昴爲首謂此宿吉祥而東門第一宿故也（配當與支那小異）其義出日藏經季秋月値昴滿所以印度以是月名昴月（自此方八月十六日至九月十五日）印度俗以此辰祭祀昴宿以祈吉祥暦算全書曰回回俗以九月節人各相賀如此方歳首一倣印度可見又顧歩日影有自秋分至秋分者如日藏經時非時經春秋二分則日至赤道正中故冝爲測影之端又有自夏至至夏至者如摩登伽經明時品中印度至夏至日午無影亦便取端而起節% BR3.36b氣立暦首者春分爲最摩登伽經曰月朔起初月一日其月起於二月一日節氣起春（出明時品）宿曜經同之日東正月十六日則彼正月第一日也探大藏中出梵暦立法不同者十二若夫印度之境畫野區分七千餘國而歴世最久故暦法改易豈止什佰哉況五印度時異暦者多乎是故經論説暦法者多不同是由説經之地不同或所傳之人異故也今探經論言暦法者略擇立法不同者十二立世阿毘曇云若世間中三十牟休多（此翻曰時）决定恆爲一日夜其一牟休多有三十分是一一分% BR3.37a%名曰羅婆（羅婆猶刻）日若増時日一羅婆日若減時亦一羅婆若日最長十八牟休多是時最短十二牟休多若夜最長十八牟休多是時日最短十二牟休多若日夜等時（春秋二分）日十五牟休多夜十五牟休多又曰日夜等分並十五牟休多其六牟休多恆動二十四牟休多不動印度俗以一晝夜爲六時即晝夜各三而又分一晝夜以爲三十時其二十四時恆不動謂日極短不過十二時夜短亦爾而晝増極六時夜増極六時故曰六時恆動而分一時爲三十刻故六時乃有百八十刻自冬至至夏至日増一刻故成百八% BR3.37b十刻又自夏至至冬至日減一刻夜増一刻晝夜増減各百八十刻是故一月而積三十刻合爲一時之差六月而成六時之増減其法甚著明○復次日藏經云一千六百刹那一迦羅（迦羅猶刻）六十迦羅名摸呼律多（義翻曰時）三十摸呼律多爲一晝夜此經所説辰法同前而刻法益一倍也其法粗同前而分一時爲六十刻故恆動六時總爲三百六十刻則日夜加減退亦二刻進亦二刻其法䆮精已○復次摩登伽經曰婦人紡線得長一尋是則名爲刹那時也六十刹那名一羅婆（刹那如秒羅婆猶刻）三十羅婆名爲一時此一時% BR3.38a%者日一分也凡三十分爲一日夜此三十分各有名字日初出分名曰四用二月一日（是節氣之一日也）日初出時人影長於九十六尋第二影長六十尋第三名富影長十二尋第四名星影長六十尋五名大富影長五尋六名三圍影長四尋七名對靣影長三尋第八名共於日正中影共人等第九名尺影長三尋第十名勢影長四尋十一名勝影長五尋十二大堅影長六尋十三婆修影十二尋十四端正影六十尋十五凶惡九十六尋此是一日十五分名日没名惡二名星現三名収攝四名安穩五名無邊第六名忽七名% BR3.38b羅利第八名眠第九名梵第十名地提十一鳥鳴十二名才十三名大十四影足十五丘聚此是晝夜三十分名此經説刹那量（此方微忽也）與日藏不同刻法亦與前異矣以三十羅婆爲一時故三十時則當九百刻而其恆動六時恰百八十刻故日夜増減各一刻而微秒之布算二經大不同日藏經則以一千六百刹那爲一迦羅六十迦羅爲一時故三十時有二百八十八萬刹那摩登伽經則一晝夜爲九百刻故有五萬四千刹那是布算有精粗可知也日藏之刹那猶如此方微纎摩登伽之刹那猶如此方分秒授時% BR3.39a%暦之小餘多止秒故一晝夜百刻則有百萬秒若西暦則歩小餘至纎忽故一晝夜九十六刻而有九十六億忽其究精細如是○復次大毘婆娑百三十六云此中擧麤以顯細以細難知不可顯故謂百二十刹那（刹那者猶秒）成一怛刹那（是猶分）六十怛刹那成一臘婆（是猶刻）此有七千二百刹那三十臘婆成一牟呼栗多（此云時）此有二百一十六千刹那（即二十一萬六千也）三十牟呼栗多成一晝夜此有少二十不滿六千五百千刹那（即六百四十八萬也）是亦立法與前稍異矣（婆娑次下云一晝夜六百四十八萬刹那此麤非刹那量如我義者如壯士一彈指頃經六十五刹那尚説刹那量文甚廣徃撿余嘗見% BR3.39b經中有如是説以爲是唯示無常迅速之理耳今考暦數天度恆如是豈不慼慼乎仁王經云一念中有九十刹那一刹那中有九十刹那一刹那中有九百生滅較之天度敢非虚設也西暦既歩一晝夜以爲九十六億忽若歩忽下系毫則理實如仁王婆娑所言）○復次舎頭諌經云十五瞬名曰卒（瞬猶秒卒猶分）二十卒則爲一時（時猶刻）三十時名曰須曳（須曳猶時）三十須曳爲晝夜是立法時與刻不異日藏等而分秒之積不同故知暦法異前三十須曳爲一晝夜一須曳爲三十時故恆動六須曳則有百八十時晝夜増減以一時爲進退冬至已後晝進一時夜退一時至夏至晝長百八十時其増方極焉夏至已後夜進一時晝退一時至冬至夜長百八十% BR3.40a%時其増減亦方極焉此立法同立世阿毘曇等而十五瞬爲一卒二十卒爲一時則一時有三百瞬三十時有九千瞬三十時爲一須曳三十須曳爲一晝夜則一晝夜有二十七萬瞬故積數既異于前其暦別可知○復次西域記云百二十刹那爲一咀刹那六十咀刹那爲一臘縛三十臘縛爲一牟呼栗多五牟呼栗多爲一時六時合爲一日一夜（夜三晝三）此中刹那猶微咀刹那猶秒臘婆猶分牟呼栗多猶刻是故一咀殺那有百二十微一臘縛有七千二百微一牟呼栗多有二十一萬六千微一時有百八萬微六時則% BR3.40b有六百四十八萬微辰刻等法粗同日藏等而微秒積稍異于前暦法不同可知○復次舎頭諫經曰問何所是節何所是限何所是須曳摩登王曰譬如有人切三尺縷不長不短是號爲節（節猶刹那）計六十節名之曰限（節猶分限猶刻）二十限名須曳如斯計之晝夜流過有三十須曳此布算則恆動六須曳有百二十限分配六月則一月有二十限二十限有千二百節分配三十日以増減晝夜進亦四十節退亦四十節○復次摩訶僧祗律十七云二十念（念猶微）名一瞬（瞬猶秒）二十瞬名一彈指（彈指猶分）二十彈指名一羅豫（羅豫猶刻）二十% BR3.41a%羅豫名一須曳日極長有十八須曳夜極短時有十二須曳夜極長時有十八須曳日極短時有十二須曳此暦法雖稍同始積法不同恆動六須曳有百二十羅豫（羅豫猶刻）以配六月則晝夜増減毎月一須曳一須曳有二十羅豫二十羅豫有四百彈指四百彈指有八千瞬八千瞬有十六萬念以配一月則分四百彈指為三十分故日日増十三彈指六瞬六念奇日日減亦然此日周分似法月平行約分可謂甚奇○復次一晝夜爲二十四時毎時爲六十分乃合二十四時爲日周分一千四百四十分又分一晝夜爲九% BR3.41b十六刻毎刻十五分命時起午正（初四刻屬前日）是回回暦法而原取法於瞿曇氏暦（其義如後辨之）○復次出曜經曰百二十時謂之一晝夜是亦一種暦法以一晝夜爲百二十刻幾類此方十二時之法○復次大方廣文殊儀䡄經十云今説時分之量自一彈指至一百彈指爲一初分時四初分時爲一中分時四中分時爲一移分四移分時爲一日倍此爲一晝夜分此暦日亦是一種之別法也○復次同經次下云我今復説時分之量入滅眴息最爲疾速以十入息爲一滅分十滅爲一刹那十刹那爲一須曳分一百須曳爲一% BR3.42a%晝夜此暦法與授時暦日周分幾相類即一晝夜百刻之法也如上暦法不同者十二大藏中所擧之暦法豈止是哉今纔出近所聞見耳又印度與支那相去五萬八千里里差亦不少故大毘婆娑百三十六云一歳有十二月晝夜増減爲二時由減及増（日北行爲一時日南行爲一時）各六月故然晝與夜増減相違雖各二時而立四位（二至二分之四象限也）晝夜増減各一臘縛（日増百八十臘婆夜減亦爾夜増百八十臘縛日減亦爾）月則各一牟呼栗多（牟呼栗多者乃時也三十日而差一牟呼栗多）三十牟呼栗多成一晝夜於中晝夜多少四類不同（指四象限也）増位極長不過十八減位極% BR3.42b短惟有十二晝夜停位各有十五羯栗底迦月白半第八日晝夜各十五牟呼栗多從此以後晝減夜増各一臘縛（羯栗底迦月者從此方八月十六日至九月十五日）至末伽始羅月（從九月十六日至十月十五日）白半第八日夜有十六牟呼栗多晝十四至報沙月（自十月十六日至十一月十五日）白半第八日（即上絃也）夜有十七晝有十三至摩伽月白半第八日夜十八晝十二從此已後夜減晝増各一臘縛至頗勒寠那月白半第八日夜（自十二月十六日至正月十五日）夜十七晝十三至制怛羅月白半第八日夜有十六晝十四至吠舎佉月白半第八日晝夜各十五（即是春分）從此以後夜減% BR3.43a%晝増各一臘縛至誓瑟搋月白半第八日夜有十四晝十六至阿沙荼月白半第八日夜十三晝十七至室羅筏拏月白半第八日（自五月十六日至六月十五日即是夏至）從此以後晝減夜増各一臘縛至婆達羅鉢陀月白半第八日（自六月十六日至七月十五日）夜有十三晝十七至阿濕縛廋闍月白半第八日（自七月十六日至八月十五日）夜有十四晝十六如是復至羯栗底迦月白半第八日晝夜停等是名略説時之分齊由此觀則似印度之境與支那及日本節氣差七日此方冬夏等皆在其月中氣印度則冬至夏至等並在上弦故也倶舎寶疏擧婆娑今文% BR3.43b釋曰晝夜増減月日亦是節氣月日非是月生月盡之月日此月生月盡晝夜増減不定故凖輪圍山徑一百二十萬八百七十五踰繕那略計西洲南洲相去三十萬踰繕那南洲節氣不同計有九十日異（立世亦同之）此國（支那）去彼國（印度）五萬里節氣七日不同（按寶師之説恐不是若凖四天下節氣差九十日義則閻浮提春分即西瞿耶尼冬至若據此義印度者自支那西南去五萬餘里故比支那則節氣當遲七日而節氣反疾七日故知寶師之説恐非節氣則關太陽緯度殆近赤道故寒暑與此方大不同故似節氣與支那差七日余又別有考）按立世阿毘曇始説日躔定氣以二至二分皆配中氣十五日是全同支那而次標有別時以二至二分配白半第九日% BR3.44a%而出閏月法須知五印度之境藩國最多是以時有不同暦國是故魏晉已後隋唐之間言印度歳首者見有三別曰建辰曰建卯曰建子其中十而九皆言建卯爲歳首而建子爲正者必是西印度之地矣其義如前出之辨暦之啓閉起於印度支那日本陰陽家所用啓閉亦起於印度其説出於七佛所説神咒經第四曰建者生氣萠芽陰陽亦長除者代謝移易之體滿者神祗受供無復盈平者陽氣凝澍無増減定者鬼神交會悪氣不行執者陰氣% BR3.44b偏多陽氣少破者陰陽交解説破之義危者天窓開地戸閉成者陽氣足陰氣并故名成収者陽氣流陰氣平萠芽生故言収開者陰性開陽氣出故名開閉者天窓地戸儼然閉塞萬神不行故名閉是皇和之俗稱中叚者也支那回回俗遵用之同於皇國彼經翻譯附東晉録故知啓閉之義由來亦久矣論十二支獸之本據紀暦所専用十二支亦名爲十二支獸其説亦起印度十二縁生祥瑞經下云若復有人審諦觀察十二縁生了達善惡憂喜得失應画轉輪圖冩分別謂從% BR3.45a%無明乃至老死月日分位次第羅列鼠牛虎兎龍蛇馬羊猴雞犬豕十二相状本形轉輪凡如來敎法託事顯眞是出世本旨以十二辰諭十二縁生可謂事理冥合者也又月藏經星宿攝受品演七曜列宿已復説十二辰云所言辰者有十二種一名彌沙二名毘利沙三名彌偸那四名羯迦吒迦五名■阿六名 ＝糸＋台÷木迦若七名兜羅八名毘梨支迦九名檀尼毘十名摩伽羅十一名鳩槃十二名彌那又大集經虚空目分淨目品第五説行化賢聖爲十二獸住四天下海中曰東方海中有瑠璃山名曰潮其山有三窟一名種% BR3.45b種色二名無死三名善住處廣各一由旬高各六由旬有一毒虵住于第一窟有一馬住于第二窟有一羊住于第三窟各皆修聲聞慈又南海中有玻瓈山亦有三窟（各有名號又説其高廣下例知）有三獸而住有一獼猴住第一窟有一雞住第二窟有一犬住第三窟亦各修聲聞慈又西海中有銀山又有三窟有三獸而住有一猪住第一窟有一鼠住第二窟有一牛住第三窟又北倶盧洲海中有金山名功德相有三窟有一獅子住第一窟有一兎住第二窟有一龍住第三窟各修聲聞慈是十二獸常行閻浮提内發深重願一日% BR3.46a%一夜常令一獸遊行敎化餘十一獸安住修慈周而復始七月一日鼠初遊行以聲聞乘敎化鼠身衆生令離惡業勸修善事如是次第至十三日鼠復還行如是乃至盡十二月至十二歳亦復如是（文廣故畧出以十二獸名紀日紀月紀歳今日盡十二月至十二歳豈非其義乎）七佛所説神咒經十二獸名體與支那全同此經有獅子而無虎雖然義全合十二支故其一獸是傳聞之異耳不惟以十二支紀年月日紀時亦與此方同故大方廣文殊儀䡄經云若木星直日卯時生者及得日月星宿於晝夜分合其本位乃是賢聖生處故知彼土亦有以十二% BR3.46b支名十二時義回回暦亦用十二支見彼暦而用十干唯限支那梵書中未曽見用十干者余竊疑支那古昔雅有子丑寅卯等十二支而無有十二支獸之義按以是爲十二獸者似佛敎東漸之後漢人以其數適相合遵用之者若不爾者十二獸名義何由得彼此■合耶例如二十八宿雖其義相合星象不同 ＝月＋忽故十二支字字皆與獸名異非可以知乎事物紀原云事始曰黄帝立子丑十二辰以名月又以十二名獸屬之是無其據非出漢明已前書不足深論矣嘉祥仁王疏由并擧子丑寅卯等與鼠牛虎兔等觀則% BR3.47a%用十二支獸在陣隋已前其始必是魏晉之間矣又以七曜紀日以月合列宿紀日並起印度而回回支那神洲等咸遵用之其法詳出日藏經及宿曜經等論皇國暦首三鏡及八將神等本梵暦皇國暦首掲歳德八將神等者原本印度故梵天火羅九曜及七曜攘災訣並羅睺名黄幡計都名豹尾安倍晴明撰述簠簋内傳専述天竺傳來之興起殊摽三鏡於暦首以顯吾顯密之深致可謂深信大士簠簋五卷章章該羅佛乗包括支那陰陽運氣雅貫攝神道亡論今詳國暦用梵暦過半且簠簋内傳元% BR3.47b因註宣明暦以輨轄吾内傳而宣明暦者純本大衍暦嵩陽深窮梵暦而參之易大衍數以造之故名大衍今暦則七曜推歩交食節氣並據西法其述精妙堪可嘆稱而其原由咸莫非同根矣近聞有言簠簋内傳蓋偽書而非安氏眞撰者甚爲忘説若果然者今時所頒行暦首出三鏡及歳德八將神金神等復其紀日用十二支獸及與啓閉等是爲從何處傳耶況時暦則國家大典若有載誣妄以奏者則縣官豈敢茫然頒布諸天下甘以受其欺哉顧從安公奏暦已來率由舊章千載不改者復何所疑矣且也簠簋% BR3.48a%内傳貫三國所傳之深旨朝野巨益公私明鑑非出庸人之手者安公之撰明矣謂之爲偽撰者亦何所考棄玉爲瓦礫豈不惜哉辨印度辰法印度者分一歳以爲六時或爲四時或爲三時西域記曰分一歳以爲六時謂然熱（正月十六日至三月十五日）盛熱（三月十六日至五月十五日）雨時（五月十六日至七月十五日）荗時（七月十六日至九月十五日）漸寒（九月十六日至十一月十五日）盛寒（十一月十六日至十二月十五日）也如來聖敎歳爲三時謂熱時（正月十六日至五月十五日）雨時（五月十六日至九月十五日）寒時（九月十六日至正月十五日）或爲四時春夏秋% BR3.48b冬也又最勝王經除病品曰三月是春時三月名爲夏三月名秋分三月謂冬時此據一年中三三別説（言四時各有孟仲季故云三三）二二爲一節便成歳六時初二是蕐時三四名熱際五六名兩際七八謂秋時九十是寒時後二名冰雪又提謂經明八王日謂立春春分立夏夏至立秋秋分立冬冬至是謂八王日天地諸神陰陽交代故名八王日又金光明經喜祥疏曰六時者正月二月是木王現時四月五月是火王現時七八月是金王現時十月十一月是水王現時十二月三月是陽土寄王六月九月是陰土寄王王名爲現% BR3.49a%又見同經天台䟽等文廣故姑置之佛國暦象編卷之三終% BR3.49b
## 4
% BR4.1a佛國暦象編卷之四平安東森隱士無外子釋圓通 撰雲陽 空谷子釋智轂 校暦法第四之二 凡二十六條回西二暦之大概西洋恒星年回回太陽年偏就太陽過宮及其宿度以修暦故恒星暦者太陽一周恒星日分三百六十五日五時三刻三分四十五秒（時爲廿四）積四年而日下分合成二十三時一刻（刻則爲九十六分爲一千四百四十）故閏年則其閏一日加第二月爲二十九日恒星年暦日者正% BR4.1b月三十一日（日本十一月）二月二十八日（日本十二月）三月三十一日（日本正月下倣之）四月三十日五月三十一日六月三十日七月三十一日八月三十一日九月三十日十月三十一日十一月三十日十二月三十一日總三百六十五日五時三刻三分太（秒爲八萬六千四百）爲之常年法乃太陽一周恒星日分也作之百刻法則爲三百六十五日二十四刻二十一分小餘八七五太陽自斗四度至于斗四度爲之恒星年法○回回太陽暦者太陽一周十二宮日分而自冬至至冬至之歳也三百六十五日二十四分二十秒爲之歳實周天% BR4.2a%爲三百六十度一度爲六十分一晝夜爲九十六刻一歳之氣盈二十四分二十秒積四年而成九十六分八十秒故置閏一日遇宮分有閏年於雙魚宮加一日凡三百六十六日（大論四十八日曰是歳三百六十六日周而復始摩登伽經一曰凡歳三百六十五日日一周天是並曰太陽一周天之數此中大論者概日下餘分爲言經者畧餘分云耳）○宮數 一白羊二金牛三陰陽四巨蟹五獅子六雙女七天秤八天蝎九人馬十麿羯十一寶瓶十二雙魚○宮日 白羊戌宮三十一日（日至此宮初度時此方春分彼土以是日爲歳首正旦）金牛酉宮三十一日陰陽申宮三十一日巨蟹未宮三十二日獅子午宮三十一日雙% BR4.2b女己宮三十一日天秤辰宮三十日天蝎卯宮三十日人馬寅宮二十九日麿羯丑宮二十九日寶瓶子宮三十日雙魚亥宮（白羊爲正月如次雙魚爲十二月）是名曰太陽年又巳上十二宮名曰不動之月○太陰年者偏就太陰周天及與合朔以修暦○月分大小者單月大雙月小凡十二月所謂動之月也月大三十日月小二十九日凡三百五十四日乃十二月之日也遇月分周閏之年於第十二月増一日以爲三百五十五日是其大概也巳上三暦雖後世因循古法回西各加精而其祖法並出於梵暦上巳悉焉又梵暦數品% BR4.3a%亦上巳詳焉然諸經論多言閏月故知佛世所用多是陰陽合暦而節氣從太陽緯度以定二十四節紀年紀月從太陰晦朔以立月日置閏月定四時立法率同神洲及支那之暦且引其一二立世阿毘曇五曰具足五年有一遊伽即両閏月其一從月其二從日五年中間十二日又九日又六日又三日又十五日（是言閏餘之長短）此中日夜是其長短月者分別三用一分別月二分別十五日三分別圓滿日者分別夜日分別夏冬節分別年是三用從日得成（分別月者謂推遲疾最高卑等分別十五日者謂歩月之大小等也分別圓滿者謂歩進望退望等也日之三用中分別夜日% BR4.3b者推盈縮最卑等分別夏冬秋節者分別二十四節等分別歳差等也）閏月有両者一從月二從日是閏月者從月所作四月日應作両小月一小月者是第三中第二小月是第七半中一年之中應六小月五年足少三十日此三十日應補五年中若不作小月則月圓不當時是小月者從日所作依世間説以三十牟休多決定一日夜分三十牟休多爲六十分（回西並以度下分爲六十分由來久可以見）日行疾故五十九分便周長餘一分（九執暦以日平行爲五十九分八秒回暦亦用之回暦即梵暦可以知）因此事故二月則長一日又二月復長一日乃至一年足長六日如是五年則長一月用是% BR4.4a%一月補五年中是爲日家閏月若不作閏者時節及年差壞不當造暦大意（附諸用數）造暦之法必先立元（古者推從演紀上元甲子距求年之積歳以爲立元是故其述甚煩矣授時始從梵法立表測景以歩氣朔直以至元十八年歳次辛巳爲裁筧元上考徃古下驗將來皆距立元爲筧周歳消長百年各一其諸應等類隨時推之不用上元甲子爲元）元正然後定元法元法定然後度周天以定分至三者有程則暦可成矣日周九百是瞿曇氏暦及九執暦之法也 又一法日周一萬出處有前文 又一法千四百四十回暦% BR4.4b之法也又一法千八百藏中間見此法探得梵暦立法不同者十二元法隨不同今唯舉其三巳歳實三十二萬四千瞿曇氏九執暦之法也歳周三百六十五日餘二百四十五六十爲法九百置實如法而一得十五羅婆又此十五置實六十（此分下六十秒）爲法再如法而一則得二十五（此羅婆下須曳也猶如剌下秒）以五十二乘之則得十三羅婆唐書舉九執暦法曰日去没分九百分度之十三是也便與回暦以日平行約分爲五十九分八% BR4.5a%秒者正適當前言麻哈馬本據梵暦以造回暦者於之可見其詳者當辨暦儀中又法歳實五十壹萬八千四百歳周三百六十五日餘三百九十二是回暦之法也朔實二萬六千一百九十三分六二七三朔策二十九日四百七十零分六十二秒七三一一五是九執暦七百三分日之三百七十三之法也若以此九執暦朔策之法作日周一萬之朔策則得朔策二十九日五千三百零五分八十三秒二四% BR4.5b此朔策日分與清朝時憲暦朔策之日分密合時憲者専以西法所造然西法精算本出九執摸範於是亦見焉又法朔實四萬二千五百二十四分零三九八三朔策二十九日七百六十四分零三九八三是回暦之法氣策十五日二百一十八分五十四秒一六七是九執暦之法也又法十五日餘三百十二是回暦之法也氣盈二百一十八分五十四秒一六七是九執暦之% BR4.6a%法也又法三百十二回暦之法也朔虚四百二十二分四十七秒五一零六六九是九執暦七百三分日之三百三十之法也若以同法作日周一萬之法則得朔虚四千六百九十四分一十六秒七八五二與時憲暦之朔虚適當大足見西暦之摸範又法朔虚六百七十五十九分六十零秒一六九五是回暦之法也望策十四日七百三十八十七分六十二秒五四五% BR4.6b是九執暦之法也若作日周一萬之法則得望策十四日七千六百五十二分九十一秒五四五又法十四日千零九十一分十一秒九九一五是回暦之法也弦策七日三千八百二十六分四十五秒八十一微是瞿曇氏暦法也 其佗諸用數略之諸應者先從其地立表測景當定暦元元定然後諸應隨而可得焉土旺策三日餘六十五 瞿曇氏暦又法三日百四十零八 回回暦% BR4.7a%通閏十日零八百零六分三十七秒二二六二瞿曇氏暦月閏八百零六分三十七秒二六八八五 瞿曇氏暦又法千四百十九二 回回暦刻法十五 回回暦凡造暦者先首求節氣然印度回西並以求春分白羊宮初度爲起筧之端支那則以求冬至爲起筧之端（立法各自共據首於冬至者主日之南至也然日行最卑之點去冬至今時或及五度六度惟春分則日躔在赤道中心之點千歳不可復易故此法足以爲永䂓）在昔唐元和中西% BR4.7b印度僧金倶吒凖支那暦日考歩九曜之宿度今爲比例出黄道日躔定氣復爲撿歳差其尤并掲今歳文化七年日躔定氣以便比較黄道日躔定氣% BR4.8a%% BR4.8b% BR4.9a%是唐開元十二年天正冬至以後黄道日躔定氣也曁于文化七年相去千八十有七年今則冬至日躔在箕一度自斗九度至于箕一度相距十有八度也由是推之則經六十年方差一度金倶吒曰推將來% BR4.9b則八十三年而適當差一度大率言歳差者古多後少如授時辨之倘欲據梵暦求節氣者金倶吒之所推亦足乎法焉如經朔定朔等當就梵暦考之余尋將造梵暦儀凡修密敎者不可不知梵暦余置之懷久矣今幸得詳之亦是道業之一助耳按印度取列宿之象與支那不全同雖然以義合故翻經三藏以對譯之已摩登伽經宿曜經等雖説星象詳其象有難指定者如辨于後與大集經舎頭諌經七曜星辰別行法等參考則星圖宿度等非難知余尋將考定海内同志之士請爲法務研之% BR4.10a%又印度之紀月者就白月十五日太陰値之而滿宿以命其月如宿曜經太陰白道宿度黒愽叉（印度以黒月十五日爲前白月十五日爲後）一日 軫 亢 房 尾 斗 虚 壁 胃 畢 參 柳 張二日 角 氐 心 箕 女 危 奎 昴 觜 井 星 翼三日 亢 房 尾 斗 虚 室 婁 畢 參 鬼 張 軫四日 氐 心 箕 女 危 壁 胃 觜 井 柳 翼 角% BR4.10b五日 房 尾 斗 虚 室 奎 昴 參 鬼 星 軫 亢六日 心 箕 女 危 壁 婁 畢 井 柳 張 角 氐七日 尾 斗 虚 室 奎 胃 觜 鬼 星 翼 亢 房八日 箕 女 危 壁 婁 昴 參 柳 張 軫 氐 心九日 斗 虚 室 奎 胃 畢 井 星 翼 角 房 尾十日 女 危 壁 婁 昴 觜 鬼 張 軫 亢 心 箕十一日 虚 室 奎 胃 畢 參 柳 翼 角 氐 尾 斗十二日 危 壁 婁 昴 觜 井 星 軫 亢 房 箕 女十三日 室 奎 胃 畢 參 鬼 張 角 氐 心 斗 虚十四日 壁 婁 昴 觜 井 柳 翼 亢 房 尾 女 危% BR4.11a%十五日 奎 胃 畢 參 鬼 星 軫 氐 心 箕 虚 室（是黒月十五日也由月有大小故星軫箕三宿之外九宿者咸兼両日三宿獨不壘日者甚深致其壘日者以三合可解謂前合並合後合是也）白愽叉一日 奎 胃 畢 參 鬼 張 角 氐 心 斗 虚 室二日 婁 昴 觜 井 柳 翼 亢 房 尾 女 危 壁三日 胃 畢 參 鬼 星 軫 氐 心 箕 虚 室 奎四日 昴 觜 井 柳 張 角 房 尾 斗 危 壁 婁五日 畢 參 鬼 星 翼 亢 心 箕 女 室 奎 胃六日 觜 井 柳 張 軫 氐 尾 斗 虚 壁 婁 昴% BR4.11b七日 參 鬼 星 翼 角 房 箕 女 危 奎 胃 畢八日 井 柳 張 軫 亢 心 斗 虚 室 婁 昴 觜九日 鬼 星 翼 角 氐 尾 女 危 壁 胃 畢 參十日 柳 張 軫 亢 房 箕 虚 室 奎 昴 觜 井十一日 星 翼 角 氐 心 斗 危 壁 婁 畢 參 鬼十二日 張 軫 亢 房 尾 女 室 奎 胃 觜 井 柳十三日 翼 角 氐 心 箕 虚 壁 婁 昴 參 鬼 星十四日 軫 亢 房 尾 斗 危 奎 胃 畢 井 柳 張十五日 角 氐 心 箕 女 室 婁 昴 觜 鬼 星 翼（月値角而滿）（月値氐而滿）（月値心而滿）（月値箕而滿）（月値女而滿）（月値室而滿）（月値婁而滿）（月値昴而滿）（月値觜而滿）（月値鬼而滿）（月値星而滿）（月値翼而滿）% BR4.12a%按印度以皇國二月爲歳首如前辨此中有三別一者太陽年則直以春分爲歳首正旦二者從建寅正月十六至建卯二月之十五爲歳首二月西域記等諸説並皆從之三者以二月十六日爲歳首正旦也今撿之太陽年春分爲歳首者固亡論其一二中第三之説其義符合甚多宿曜經云上古白愽叉二月春分朔于時曜躔婁道齊景正日中氣和梵天歓喜命爲歳元是二月中氣明矣若爾者在正月中極無其理故當從以二月十六日爲歳首正旦歟又惠嚴傳曰天竺者以建辰爲正月若從二月中爲歳首則% BR4.12b或曰卯爲正或曰建辰爲正両不乖也又以七曜暦驗三月定望太陰之宿度連年並皆在角二月則不然又驗日躔享保十二年三月朔太陽在婁二度太陰亦在婁二度（是當印度白愽叉二月朔）文化六年三月九日日在婁初三月朔月亦在婁初大約連年凖之漢二月曰降婁豈非言之耶今回回太陽年以春分爲正旦故大陰年亦以准之已凡此數條並足徴建卯歳首雖然唐三藏在于印度所親見聞决無妄傳故今從西域記以正月十六日爲歳首蓋五印度壤地廣大故暦法不齊耳% BR4.13a%略出日藏經暦法正月○合角而滿○晝十五時夜十五時○日近北行○日午之長六脚跡○張宿夜行（是言夜半中星）○婁在日前○熒惑用事○日過白羊宮（日東正月十六日至二月十五日）印度是月名角月○斗建卯位二月○合氐而滿○晝十六時夜十四時○日行近北○日午之影四脚跡○角宿夜行（是夜半中星下倣之）○昴在日前○大白用事○日過金牛宮（日東二月十六日至三月十五日）○印度是月名氐月○斗建辰位三月○合心而滿○晝十七時夜十三時近北行○% BR4.13b日午之影長両脚跡○氐宿夜行○觜在日前○辰星用事○日過男女宮（吾神洲三月十六日四月十五日）○印度是月名心月○斗建巳位四月○合箕而滿○晝十八時夜十二時○日極行北○日午之影長半脚跡○房宿夜行○日隨井星○日過傍蟹宮○是時日光炎熾（吾神洲四月十六日至五月十五日）○印度是月名箕月○斗建午位五月○合女而滿○晝十七時夜十三時強○日近南行○日午之影長二脚跡○箕宿夜行○心在日前○日過師子宮（吾神洲五月十六日至六月十五日）○印% BR4.14a%度是月名女月○斗建未位六月○合室而滿○晝十六時夜十四時○日轉近南○日午之影長四脚跡○女宿夜行○張在日前○日過小女宮（日東六月十六日至七月十五日）○印度是月名室月○斗建申位七月○合婁而滿○晝十五時夜十五時○日午之影長六脚跡○室宿夜行○角在日前○太白用事○日過秤量宮（日東七月十六日至八月十五日）○印度是月名婁月○是乃當秋分之節○斗建酉位八月○合昴而滿○晝十四時夜十六時○日午之% BR4.14b影長八脚跡○日行南陸○婁宿夜行○房在日前○是時熒惑隨日○日過蝎蟲宮（日東八月十六日至九月十五日）○印度是月名昴月○斗建戌位九月 合觜而滿○晝十三時夜十七時○日午影長十脚跡○昴宿夜行○尾在日前○歳星用事得失諸事皆悉由之（言歳星係人事最重）○日過人馬宮（日東九月十六日至十月十五日）○印度是月名觜月○斗建亥位十月○合鬼而滿○晝十二時夜十八時○日午之影長十二脚跡○觜宿夜行○女在日前○辰% BR4.15a%星用事○日過摩竭宮（日東十月十六日至十一月十五日）○印度是月名鬼月○是冬至之辰也○斗建子位十一月○合星而滿○晝十三時夜十七時○日轉近北日午之影十脚跡○鬼宿夜行○危在日前○辰星用事○日過寶瓶宮（日東十一月十六日至十二月十五日）○印度是月名星月○斗建丑位十二月○合翼而滿○晝十四時夜十六時○日轉近北○日午之影八脚跡○七星夜行○歳星用事○日過雙魚宮（日東十二月十六日至正月十五日）○印度是月名翼月○斗建寅位% BR4.15b據本經略出其暦法現行經本錯誤甚多矣閲者知之又竺漢相去五萬八千里氣差不少（余別有考）太陰宿度竺漢同異二十八宿雖粗與漢合非全同也故畧擧舎頭諌經文以對校日藏經摩登伽經宿曜經而與支那不全同自見焉名稱宿（此曰昴）與月共行三十時（藏經同今伽經昴爲十二時者准經後文誤也）○宿曜經爲之前合○授時暦赤道宿度以昴爲十一度三十分○梵法當十三度餘○昴有六星形如散蕐（昴此方古圖或爲六或爲七今定爲七）昴竺漢星象似% BR4.16a%全同○梵名訖㗚底迦（出義淨譯孔雀經）長育宿（此曰畢）與月共行四十五時（藏諌伽皆同）○經爲前合○授時暦赤道宿度以畢爲十七度四十分○梵則當十九度四十分餘○畢漢爲八星梵爲五星伽經曰形如飛鴈藏經曰形如立叉諌經曰形如車行曜經曰形如車按言其象三角西域車形三角故○梵名尸嚧■你（出義淨譯孔雀經） ＝口＋皿鹿首宿（此曰觜）與月共倶三十時（伽經同今藏經爲十五時）○經爲前合○觜授時爲無度五分○梵當十三度餘○觜漢爲三星梵亦爲三星藏曜諌伽四經% BR4.16b並曰形如鹿首大同漢星象伹言宿度大異○梵名蔑㗚伽尸囉（出義淨譯孔雀經）生養宿（此曰參）及月倶十五時（伽經與今同藏爲四十五時似誤）○經爲並合○參授時爲十一度一十分○梵暦六度三十分餘○參漢爲十星梵爲一星諌經曰形類圓光色則黄○梵名頓達囉（同出孔雀經）増財宿（井）與月而倶四十五時（藏爲十五時恐與參錯誤伽經同今）○經爲並合○井授時宿度爲三十三度三十分○梵則當十九度四十分餘○井漢爲八星梵爲二星伽經曰形如人歩諌經曰其形對立○梵名% BR4.17a%富那婆蘇（出宝星經）熾盛宿（鬼）與月共同遊三十時（藏伽同今）○經爲並合○鬼宿度授時爲二度二十分梵則當十三度餘○鬼漢爲四星梵爲三星藏曰三星猶如諸佛胸前滿相（説如卍相故或是當曰五星）曜經曰鬼四星形如瓶伽經曰鬼三星形如畫瓶諌經曰形像鉤尺鬼漢爲五星◇形如此（或爲四星可亦知也）◇◇藏 ◇＝図經説爲滿相形蓋如此乎曜伽二經並言形如瓶蓋應是曰瓶◇伽經曰三星恐似誤四爲三既曰如畫瓶故諌經言像鉤尺者似取四中之三如取% BR4.17b南斗六星中之四◇○梵名富沙（宝星經）孔雀經作布灑不覲宿（柳）與月不相捨離三十時（藏伽二經並爲十五時）○經爲並合○柳授時爲十三度餘梵爲十三度十一分○柳漢爲八星梵爲六星曜經曰形如蛇頭諌經曰形如曲鉤○梵名阿失麗沙（宝星經）以上七宿儅於東門（三經並同）史天宦書東井至軫七宿爲南宦○諌伽二經並合七宿成二百二十五時日藏爲百九十五時土地宿（七星）及月而行三十時（三經並同）% BR4.18a%○經爲並合○七星授時爲六度三十二分梵當十三度餘○七星漢爲七星伽經曰七星五則顕現二星隱没形如河曲藏經曰形如河岸諌經曰形類曲河曜經曰星六星形如牆◇◇漢◇◇梵又横圖出星辰別行法○梵名莫伽（宝星經）前德宿（張）與月倶行三十時（三經並同）○經爲並合○張授時爲十七度二十五分梵當十三度餘○漢爲六星梵亦爲六星曜經曰形如杵（形如獨鈷杵）星象全與漢合藏伽諌三經並爲二星伽曰如人歩諌曰南北對立藏曰形如脚跡三説% BR4.18b並同取六中之二歟○梵名破求（宝星經名初破求）北德宿（翼）共月而行四十五時（伽同今日藏爲十五時）○經爲並行○翼授時爲十八度七十五分梵爲十九度四十分餘○漢爲二十二星梵則爲二星諌曰二星南北對立伽曰形如人歩曜曰形如跏趺藏曰形如脚跡四説其象並同取二十二星中上之二歟◇梵◇◇漢○梵名破求（宝星經名第二破求）象宿（軫）共月倶行三十時（三經並同）○經爲並合○軫授時爲十七度三十分梵當十三度餘○軫漢爲四星曜藏伽三經並曰軫五星% BR4.19a%形如人手諌經曰軫五星形類象行◇漢◇◇象跡○梵名阿薩多（宝星經）孔雀經曰訶悉須彩畫宿（角）及月而行三十時（伽同今藏作十五時）○經爲並合○角授時爲十二度一十分梵當十三度一十分○角漢爲二星曜經亦爲二星曰角二星形如長幢藏伽諌三經並角爲一星而諌曰角有一要星形圓色黄◇◇漢◇○梵名質多羅（宝星孔雀並同）善元宿（亢）及月而行十五時（藏登二經並同今）○經爲並行○亢授時爲九度二十分梵當六度% BR4.19b三十分餘 亢漢爲四星◇◇梵皆爲一星曜經曰形如火珠諌經曰亢有一要星形圓色黄 梵名薩婆底（宝星經）又孔雀經曰莎底並善元之義善挌宿（氐）共月倶行四十五時（藏伽二經並同今）○經爲並合○氐授時爲十六度三十分氐梵爲十九度四十分餘○氐漢爲四星梵諸經皆曰形如角◇○梵名蘇舎佉（宝星經）孔雀曰昆舎佉（並善挌之義）○以上七宿儅於南門○諌伽二經並七宿合爲二百二十五時日藏爲百八十時史天宦書角至箕七宿爲東宦% BR4.20a%悦可宿（房）與月共倶三十時（藏伽二經並同今）○經爲並合○房授時爲五度六十分梵爲十三度一十分餘○房漢爲四星◇◇藏經曰房四星形如瓔珞曜經曰形如長布伽經曰形如珠貫諸説並與漢星象合◇◇○梵名阿奴邏陀（宝星經）尊長宿（心）及月而行十五時（藏伽同今）○經爲隨合○心授時爲六度五十分梵亦爲六度三十分○心漢爲三星◇梵亦爲三星伽經曰形如鳥◇藏經曰三星形如大麥諌經曰形類麥邊小中大◇○梵名逝瑟吒（宝星經）孔雀曰跂瑟吒% BR4.20b根元宿（尾）與月共倶三十時（藏伽同今）○經爲隨合○尾授時爲十九度一十分梵爲十三度餘○尾漢爲九星梵曜經爲九星餘三經曰尾七星形如蠍尾似梵漢全同曜經曰尾七星形如師子項毛是亦其象相類○梵名暮羅（宝星孔雀並同）前魚宿（箕）與月倶行十五時（藏伽並爲三十時）○經爲隨合○箕授時爲十度四十分梵當六度三十分餘○箕漢爲四星◇梵亦爲四星曜經曰形如牛歩諌經曰箕四星形類象（疑脱歩字）南廣北狹伽經曰如牛歩藏經曰如牛角其象皆相類◇按% BR4.21a%梵漢全同○寶星經曰初阿沙茶（此云箕宿）孔雀曰前阿舎茶（阿沙茶魚之梵語）北魚宿（斗）與月同行四十五時（藏登同今）○經爲隨合○斗授時爲二十五度二十分梵當十九度四十分餘○斗漢爲六星梵爲四星曜經曰斗四星形如象歩諌經曰其形類象南廣北狹（箕斗曰前魚北魚形相類故歟）◇伽經亦曰如象歩藏經曰斗四星形如人拓地（可知）○寶星曰第二阿沙茶孔雀曰後阿沙茶無容宿（牛）與月而共同行六時（藏伽並同今）% BR4.21b○經爲隨合○牛授時爲七度二十分梵爲僅二度三十分餘○牛漢爲六星梵爲三星曜藏諌伽四經並曰牛三星形如牛頭◇◇漢◇梵○梵名失羅婆（宝星經）孔雀曰阿苾哩杜耳聰宿（女）共月而行三十時（藏伽同今）○經爲隨合○女授時爲十一度三十五分梵爲十三度餘○漢爲四星◇曜經曰女三星形如犁格諌曰女三星形類麥邊小中大伽經曰女三星形如穬麥藏經曰女四星形如大麥粒◇梵名室囉末拏（孔雀經）藏經爲四星可考% BR4.22a%以上七宿主儅西門諌經七宿合爲百七十⼀一時藏諌二經並爲百八十六時貪財宿（虚）共月而倶三十時（藏伽同今）○經爲隨合○虚授時爲八度九十五分太梵爲十三度餘○虚漢爲二星◇宿曜經曰虚四星形如訶梨勒藏經虚四星形如鳥諌經曰虚四星形像調脱之珠伽經曰形如飛鳥（似取壘壁陳西之四星）○孔雀經曰伹你瑟吒（宝星經女虚梵名似錯誤）百毒宿（危）及月而行十五時（藏伽同今）○經爲隨合○危授時爲十五度四十分梵當六% BR4.22b度三十分○漢爲三星◇◇曜藏諌伽四經皆爲一星而諌經曰危一星形圓色黄◇○梵名舎多毘沙（宝星經）前賢跡宿（室）共月倶行三十時（藏伽同今）○經爲隨合○室授時爲十七度一十分梵爲十三度一十分餘○室漢爲二星梵亦四經倶爲二星而曜經曰形如車轅藏經曰形如脚跡伽經曰如人歩諌經曰二星相遠對立諌經説最詳矣按與漢室宿全同◇◇◇○寶星經曰第一跋陀羅跋陀（跋陀羅賢之梵語跋陀跡之梵語）% BR4.23a%北賢跡宿（壁）及月而行四十五時（藏伽與今同）○經爲隨合○壁授時爲八度六十分梵爲十九度四十分餘○壁漢爲二星四經皆爲二星星象與漢全同曜經曰壁二星形如立竿伽經曰如脚跡諌經曰壁二星相遠對立◇◇其象梵漢全同○梵名第二跋陀羅流灌宿（奎）共月而行三十時（藏伽同今）○經爲前合○奎授時爲十六度六十分梵爲十三度餘○漢爲十六星曜經曰奎三十二星形如小艇伽經曰奎一大星自餘小者爲之輔翼形如% BR4.23b半珪星象似與漢全同諌經曰奎一星形圓色黄當與伽經意同取其一要星而言耳藏經亦爲一星當一意○梵名麗婆底（宝星經）馬師宿（婁）共月而行三十時（藏伽同今）○經爲前合○婁授時爲十一度八十分梵爲十三度餘○婁漢爲三星◇◇梵亦爲三星曜伽藏三經並曰形如馬首諌經獨曰形類馬鞍而其象皆同◇○梵名阿湿毗膩（此之婁宿宝星經）長息宿（胃）共月而行三十時（藏伽同今）○經爲前合○胃授時爲十五度六十分梵爲十% BR4.24a%三度餘○胃漢爲三星◇曜經曰形如三角藏伽二經並曰胃三星形如鼎足其象並同◇諌經獨爲五星或恐寫誤又曰形類珂可考○梵名婆邏尼（宝星經）以上七星主儅北門諌經七宿合爲二百⼀一十時日藏經亦爲二百一十時伽經七宿合爲百九十五時二十八宿合成八百三十一時經且從大數而説若詳則當八百二十六時三十分時之十九分餘是即轉終日二十七日四百九十九分一十一秒二九四六九五也星暦者固非吾法之急務% BR4.24b是故徃古未曽聞審詳梵法星圖宿度者雖然傳密者不可不知之也如日藏寶星及文殊儀䡄等説宿曜之災祥陰陽星暦等者凡不下數十部豈徒設者哉今雙擧四經對映彼此比較梵漢私考度圖象大率雖既定其象有未的切者故直就天象與經説對較以質其暦運則梵法亦可以得矣頃試騐其六七宿其象與經合如符節◇斗梵云北魚經曰北魚形類象歩南廣北狹◇即斗之東四星是也其象灼乎無可復濫其佗若有難知者騐以度數則亦可得知也% BR4.25a%梵法百八足印度別有一法分天度爲百八足宿曜經分列宿以配百八足乃毎宮九足毎宿四足故合二十七宿（除牛宿）爲百八足以太陰平行爲四足是故宿度太抵配太陰平行是故於二十七宿中一晝夜與月倶行者十六又一晝夜又一日與月倶行者六又一日與月倶行者五又半日與月倶行者一也當知竺漢星度大節雖不異細目不同此中足者演密鈔云足猶度西洋今猶有度量名曰足者是亦倣印度耳宿度三種合法% BR4.25b宿曜經曰香味仙人問曰二十七宿有闊有狹皆以四足均分則月行或在前或在後騐天與説差互不同宿直之冝如何定得凡月宿有三種合法一者前合二者隨合三者並合知此三合則宿直之時可知也云何爲前合奎婁胃昴畢觜六宿爲前合也參井鬼柳星張翼軫角亢氐房十二宿爲並合也心尾箕斗女虚危室壁九宿爲隨合也凡宿在月前月居宿後爲前合月在宿前宿居月後如犢子隨母爲隨合宿月並行爲並合東爲前西爲後假如月在東宿在西則是宿在月後月居宿前也（景風註曰凡天象之法東爲前西爲後此% BR4.26a%前後者似從漢説而言一本作西爲前東爲後准下文初爲正）頌云 六宿未到名前合 十二宿月左右合九宿如犢隨母行 從奎宿直應當知 同經曰從奎下六宿月未到宿則名彼宿直也從參下十二宿月左右合從心九宿如犢隨母行者則配月爲母配宿爲犢則月居前宿居後如犢隨母之像也騐之於天則宿月用之無差又舎頭諌經曰此二十八宿三宿在前而道御行宿在前行月則在後是謂道御何謂爲三流灌（奎）馬師（婁）長息（胃）又從善元（亢）十二侍從矣從名稱（昴）下十二與月侶行與宿曜經大同小異% BR4.26b配百八足於宮宿白羊宮九足配於三宿則婁四足胃四足昴一足○戌位○熒惑位焉是時火星近日故云○降婁（是辰漢云降婁宿曜經曰上古春分朔太陽躔婁義全與支那同） 太陽暦是月三十一日太陽過是宮一宮一度三十三分十八秒○太陰過是宮凡當六十七時半（約平行當此二日二時八百三十三分）從吾邦正月十六日至二月十五日下倣之金牛宮九足配於三宿昴三足畢四足觜二足○酉位○大梁○太白位焉（言太白先於日也）○太陰過是宮凡當八十二時半（是就一晝夜三十時法言也）% BR4.27a%陰陽宮九足配爲觜二足參四足井三足○申位○實沈○辰星位焉言先於日○太陰過是宮凡當六十三時又一時三十分七分半○從吾邦三月十六日至四月十五日巨蟹宮九足配爲井一足鬼四足柳四足○未位○鶉首○太陰位焉言太陰主儅是月○太陰過是宮凡當七十一時又三十分時之七分半○太陽暦是月三十二日從此方四月十六日至五月十五日○從寶瓶至巨蟹總六宮屬太陰分故宿曜經云月理陰位從柳宿逆行取鬼井參觜畢昴胃% BR4.27b婁奎壁室危等一十三宿迄至虚宿之半恰當子地之中分爲六宮也又云月光清凉物類相感以陰蟲巨蟹爲宮神也師子宮九足配爲星四足張四足翼一足○午位○鶉火○太陽位焉言太陽主儅是月○太陽暦是月三十一日○太陰過是宮七十一時三十分時之七分半雙女宮九足配爲翼三足軫四足角二足○巳位○鶉尾○辰星位焉言水星行日前（水星爲月精）○太陰過是宮七十八時三十分時之二十二分半○從% BR4.28a%此六月十六日至七月十五日天秤宮九足配爲角二足亢四足氐三足○辰位○壽星○太白位焉金星在日前而是時用事（金星風精也）○太陰過是宮六十三時二十二分餘天蝎宮九足配爲氐二足房四足心四足○卯位○大火○熒惑位焉是時火星隨日用事○太陰過是宮五十六時三十分時之七分半○從吾邦八月十六日至九月十五日○太陽暦是月三十日人馬宮九足配爲尾四足箕四足斗一足○寅位○折木○太陰過是宮五十六時三十分時之七分% BR4.28b半○從吾邦九月十六日至十月十五日○太陽暦是月二十九日麿竭宮九足配爲斗三足女四足虚二足○丑位○星紀○鎭星位焉是時土星近日用事○太陰過是宮七十八時三十分時之二十二分半○從吾邦十月十六日至十一月十五日○太陽暦是月二十九日從師子至麿竭六宮總屬太陽故宿曜經曰天地初建寒暑之精化爲日月烏兔抗衝生成萬物分宿設宮管摽羣品日理陽位從星宿順行取張翼% BR4.29a%軫角■弖房心尾箕斗女等一十三宿迄至虚宿 ＝亢？ 弖!氐？
之半恰當子地之中分爲六宮也然日月天子倶以五星爲臣佐而日光炎猛物類相感以陽獸師子爲宮柛日性剛義月性柔惠義以濟下惠以及臣而日月亦各以柛宮均賜五星以速至遲行度緩急於斯彰焉寶瓶宮九足配爲虚二足危四足室三足○子位○鎭星位焉（土星日精）○是時土星近日用事○太陰過是宮五十二時半○太陽暦是月三十日雙魚宮九足配爲室一足壁四足奎四足○亥位○% BR4.29b諏觜○歳星位焉（木精）是時歳星用事近於日前○太陰過是宮八十二時半○太陽暦是月三十日按宿曜經者除牛宿故雖與舎頭等有六時之差今且從舎頭等配屬其時後更直就天象當撿其宿度日月諸星周天左右異説日月星宿或爲左旋或爲右旋是古今異説竺漢差目宋書云劉向五紀論云夏暦以爲列宿日月皆西移列宿疾而日次之月最遲故日與列宿昬倶入西方後九十一日是宿在北方又九十一日是宿在東% BR4.30a%方又九十一日在南方此明日行遲於列宿也月生三日日入而月見西方十五日日入而月見東方將晦日未出乃見東方以此明月行之遲於日而皆西行也同暦志上曰霍融上言諸暦不如夏暦密雖然先儒多爲好詭不取也故宋書云夏暦七曜西行特違衆法按史所載古暦有六謂黄帝顓頊夏殷周及魯暦也然先儒多訝古暦並疏濶以爲偽妄是甚不爾暦者泰不火之故漢興百有餘年猶用顓頊暦漢書曰以張蒼言比六暦顓頊暦疏濶中最爲微近可見漢初古暦猶具存何言偽妄霍融謂夏暦最密朱% BR4.30b子曰古暦疏濶而差少後世暦法雖精密而遂差多矣然夏暦以日月衆星皆爲西移是以從漢迨唐諸儒咸不取洎于宋張渠朱子等名家潛取梵法復遵於夏暦以爲日月衆星悉皆西移傳云天軆至圓周圍三百六十五度四分度之一繞地左旋常一日一周而過一度日麗天而少遲故日行一日亦繞地一周而在天爲不及一度積三百六十五日九百四十分日之二百三十五而與天會是一歳日行之數也月麗天而最遲一日常不及天十三度十九分度之七積二十九日九百四十分日之四百九十九而與% BR4.31a%日會十二會得全日三百四十八餘分之積又五千九百八十八如日法九百四十而一得六不盡三百四十八通計得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一歳月行之數也歳有十二月月在三十日三百六十者一歳之常數也故日與天會而多五日九百四十分日之二百三十五者爲氣盈月與日會而少五日九百四十分日之五百九十二者爲朔虚合氣盈朔虚而閏生焉（朱子語類佛祖通戴等出之）孔子欲行夏之時宋儒據於夏暦良有所以也○按印度亦於曜宿旋轉有左右異義而聖經所説立世阿毘曇% BR4.31b等以爲西移夏暦所言大約近梵暦如後詳今證印度亦有西移之説者南山律相感通傳南山問天人黄瓊曰經中咸言右旋右脇右遶等相今云左遶如何答云天常法爾人常乃右也故日月星辰皆左行也（今天學家謂西移爲左旋今文謂東移爲左行）天氣風轉遂從西没不見月之始生也初在西方漸漸而東亦從西没漸上東廻也西没風轉也地上蔓艸生必左旋此是天常也今有西從日月之轉人謀也是知印度亦有曜宿東旋之説同傳云弟子天人語同天竺如佛出世時人天常交接而有彼此與聞所以今引以證之也% BR4.32a%梵暦日月行度及合離法立世阿毘曇曰日宮者行百八十路月宮者行十五路（是日月南北緯度之數也）日十二路是月一路（是日月平行度）從極南路至極北路二百九十由旬（是即南北緯度也赤道左右合而四十七度也）日月兩路一者外路二者内路從閻浮提内路至北倶盧洲内路相去四億八萬八百由旬周迴十四億四萬二千四百由旬其外路相去四億八萬一千三百八十由旬周迴十四億四萬四千一百四十由旬彰所知論云北行六月南行六月行至中道曰日月廻照輪歴徧謂之一歳今凖知閻浮提與鬱單% BR4.32b越迴照輪相去四億八萬一千九十由旬周迴十四億四萬二千二百七十由旬所謂是赤道也立世不説之葢是略耳其月行者傍行則疾周行則遲其日行者周行則疾傍行則遲（若得此意則左旋右旋之論似倶得倶失也）日與月或合或離一一日中日行四萬八千八十由旬合離皆爾若稍合時日日覆月三由旬又一由旬三分之一以此方便（方便者言其漸次也）故十五日一切被覆月光不現（是自黒月一日至黒月十五日此方十六日已後十五日也）若稍離時日日日行四萬八千八十由旬是日離月三由旬又一由旬三分之一% BR4.33a%以是方便故十五日月大圓明如是數量日行周圍疾速於月四萬八千八十由旬爾時世尊重宜此義而説偈言 四萬有八千 八十諸由旬 日逐月行爾 離月量亦然 已上説月日之經度按積三由旬又一由旬三分之一十有五日則成五十由旬恰當月之廣是故合離然也耳四萬八千零八十由旬積三十日而十四億四萬二千四百由旬是内路一周天之度也梵暦黄白二道緯度立世阿毘曇曰日恒行一由旬半又一由旬九分之% BR4.33b一其一一日出時如是入亦如是（南行爲出北行爲入）六月日中從内路出至於外路（赤道以北爲内路赤道以南爲外路）月恒行十九由旬又一由旬三分之一其一一日出亦如是入亦如是十五日從内路至外路十五日從外路至内路是就白道緯度而言其平行一由旬半又一由旬三分之一積百八十日而成二百九十由旬是赤道南北之度而乃半年之周也月恒行十九由旬又一由旬三分之一積十五日而亦成二百九十由旬是即轉中分之數也此中所言南北行度乃此方所謂與日月東移其義% BR4.34a%便合矣○然今説不専爲暦算故惟言其大分不詳審其小餘雖然推其理以測其數則得其布算不亦難矣○若詳梵暦之法則盈縮遲疾之差最易知其義甚明矣重明日月合離及月光開覆立世阿毘曇云云何黒半云何白半由日黒半由日白半日恒逐月行一一日相近四萬八千八十由旬日日相離亦復如是若相近時日日月圓被覆三由旬又一由旬三分之一以此事故十五日月被覆則盡是日黒半滿日日離月亦四萬八千八十由旬月% BR4.34b日日開三由旬又三分之一以此事故十五日月則開淨圓滿日月若最相離是時月圓世間則説白半圓滿日月若共一處是名合行世間則曰黒白圓滿若日隨月後行日光照月光月光麤故被照生影此月影還自翳月是故見月後分不圓以此事故漸漸掩覆至十五日覆月都盡隨後行時是名黒半若日在月前行日日開淨亦復如是至十五日具足圓滿在前行時是名白半論月光異義漢土西洋並言月固無光是日之魄映也聖敎説則% BR4.35a%不爾謂日月宮者倶是天寶各有其光伹日宮者火珠而熾月宮者水珠而微故爲日所映奪而生影故言此月影還自翳月立世五云是日宮者厚五十一由旬廣五十一由旬周迴一百五十三由旬玻瓈所成赤金所覆火大分多下際火分復爲最多其下際光亦爲最勝其上際金城圍繞城高一由旬殿樓悉皆衆寶所成日天子與諸眷屬倶住於其中又曰月宮者厚五十由旬廣五十由旬是月宮殿瑠璃所成白銀所覆水大分多下際水分復爲最多其下際光亦爲最勝其上際金城圍繞宮殿城門衆寶所成月% BR4.35b天子與諸眷屬倶住於其中凡天寶赫■頗非夜光 ＝亦÷火之類其僅小者尚能照于二萬餘里如前引况月宮是勝果天寶何自無其光明今直以望遠鏡闚月體其寶光玲瓏明徹目擊所存無復可疑矣論日月宮之體及其神之有無（附月光開覆）人多言月是陰精夫陰之精者厥體何爲若夫水者水性濫溢今何故堅實而不流若夫氣者氣體輕浮何故凝停而不散若夫土石者土石其質頑重何光明之有抑誰御之運轉還復使之萬古無差乎人多言日是陽精今謂陽精則火火性必傳物無物則不% BR4.36a%傳傳則必燔燔則必盡盡則必解散無跡不審此火依何煨燼萬世熾熖而永無窮盡也今見就日便得火就月便得水是厥體爲水火珠也明矣而運動旋移古今不易其轍是無其主宰安得如此哉夫山川江河比之二曜則其大小及萬一而尚有神祗之鎭其靈維新矣至聖欽望山川是虚設者哉况日月宮者天寶所成厥質之大也非五嶽四瀆之類而嶽瀆尚有神況赫靈耀焉無厥主宰吾金仙氏出興于世也梵釋日月恒爲侍衛故諸部大經無日月諸天不列其會佛眼所照十方塵刹猶如掌菓曷暗一須彌% BR4.36b界中事耶雖然凡人所信惟耳與目巳除此之外咸致疑無明翳障深掩其智悲哉若准聖教之説分月廣五十由旬爲十五分黒月一日（此方十六日）覆其一分乃至黒月十五日覆其第十五分其明是盡復白月一日日離月又十五分之一乃至白月十五日離其第十五分而月皆離其所覆故其明圓滿焉自影翳月之理尤著明矣太陽平行及閏月立世阿毘曇云以三十牟休多（此云時）决定是一日夜分三十牟休多爲六十分日行疾故五十九分便周% BR4.37a%長餘一分因是事故二月則長一日又二月復長一日乃至一年足長六日如是五年則長一月用是一月補五年中是爲日家閏月今謂日平行分爲五十九分者略小餘耳此論例皆舉大率不説秒微下閏餘等並然若特爲暦術則如瞿曇氏暦日平行爲五十九分八秒九執暦亦日去没分九百分度之十三是適當日平行五十九分八秒回回暦亦爲日平行五十九分八秒亦西洋暦太陽平行爲九十八分五十六秒四十六微九十二纎八十二忽准梵爲之六分算則爲% BR4.37b五十九分八秒一十九微四四奇是亦少加微纎耳由是觀之西暦者寫回暦回暦者取九執暦者灼乎明矣西暦潛取梵暦其類皆如是四天下節氣差九十日立世五曰東弗婆提八月十五日自恣日閻浮提是五月十五日結夏時西倶耶尼二月十五日北鬱單越是十一月十五日今驗之日與列宿倶入西方後九十一日是宿在北方又九十一日是宿在東方又九十一日在南方此明合立世所説足徴信佛説之不謬也○又立世五云日光經度七億二萬一千二% BR4.38a%百由旬周迴二十一億六萬三千六百由旬閻浮提日出時北鬱單越日没時東弗婆提正中西瞿耶尼正夜是一四天下四時由日得成推歩天度日月諸用數日行百八十路是從冬至至夏至經百八十日餘復從夏至至冬至亦爾合成三百六十日月行十五路日之十二路是月一路徃反成一月若日出入時十二日所行路月出入時一日行所得之度也% BR4.38b内外路距度二百九十由旬是赤道内外之緯度也此方爲之四十七度餘是從極南路至極北路度數也如詳之於後内路四億八萬八百由旬是從閻浮提日之極北路至北鬱單越極北路直徑之數也内路周迴十四億四萬二千四百由旬是四天下内路極北周迴之度也周髀謂之内衡又謂之内規外路徑度四億八萬一千三百八十由旬% BR4.39a%是從閻浮提日之極南路至北鬱單越日之極南路直徑之數也外路周迴十四億四萬四千一百四十由旬是四天下日之極南路周迴之里數也周髀謂之外衡古者又謂之外規日月迴照輪徑度四億八萬一千零九十由旬是從閻浮提赤道至北鬱單越赤道度同周迴十四億四萬三千二百七十由旬是所謂赤道也立世説内外路不説中路者可凖知也李淳風註周髀以七衡六間爲三分謂之内% BR4.39b規中規外規與今理全均周髀是名曰内衡中衡下衡天度經緯各分爲三百六十度（印度西洋回回並不用五度四分度之一）毎度六十分毎分六十秒微纎以下倶凖之一度便當四千零零九由旬零八三三以三百六十度除迴照輪得之太陽平行約分五十九分八秒太陽經度平行十四億六萬四千四百二十二由旬七七奇日行過天度日二萬千百五十二由旬七七三三% BR4.40a%日行平度三百六十五度十六分五十七秒二七奇日平行過天度五度十六分五十七秒二七一太一月之積百五十八度十七分十八秒一五一零七一零四太陽緯度日一由旬半又一由旬九分之一此是以南北緯度二百九十由旬分爲百八十分其一分之數也日從南路至北路其行已極爲之夏至從北路至南路其行已極爲之冬至日至二路中間爲之春秋二分周髀曰七衡周而六間以當六月節六月爲百八十二日八分日之五與立% BR4.40b世所説其義全同以一度爲二百五十里則赤道南北四十七度餘故廣當一萬一千七百五十里餘又一由旬爲四十里零五一七二四一太（准六朝里法則恰當四十里與）則二百九十由旬適當一萬一千七百五十里故兩數脗合焉此太陽緯度的當支那西洋所言日行右旋之數也太陰緯度平行十九由旬又一由旬三分之一積十有五日而行二百九十由旬徃反成一月太陰平行度十有三度一十零分三十五秒是元瞿曇氏暦法而回暦用之西洋加精取其微% BR4.41a%纎以爲一十三度一十零分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒是亦西暦出於梵法可見舊法豈無微芒乎西儒特加之耳轉實二萬四千七百九十九臘婆一十一分廿零秒五十四微三十七纎三十三忽五十芒轉終日二十七日四百九十九臘婆一十一分廿零秒五四三七三三五圭表摩登伽經下曰月會諸宿六月中旬月在女宿未在七星其一月中晝十七分夜十三分爾時當樹十二% BR4.41b寸表量日中影長於五寸七月中旬月在室宿未在於翼晝十六分夜十四分影長八寸八月中旬月在婁宿未在於亢影十三寸晝夜各分爲十五分九月中旬月在昴宿未在於房影十五寸晝十四分夜十六分十月中旬月在觜宿未在於箕影十八寸晝十三分夜十七分十一月中旬月在鬼宿未在於女中影則有二十一寸晝十二分夜十八分臘月中旬月在七星未在於危影十八寸晝十三分夜十七分正月中旬月在翼宿未在於奎影十五寸晝十四分夜十六分二月中旬月在角宿未在於胃影十三寸晝% BR4.42a%夜十五爲三十分三月中旬月在於氐宿未在於畢中影十寸晝十六分夜十四分四月中旬月在心宿未在於參中影七寸晝十七分夜十三分五月中旬月在箕宿未在於鬼中影四寸晝十八分夜十二分如是等名月會宿法晝夜三十時之名字（并測影）摩登伽經明時品曰婦人紡線得長一尋是則名爲刹那時也六十刹那名爲一羅婆三十羅婆名爲一時此一時者日一分也凡三十分名爲一日夜此三十分各有名字日初出分名曰四用二月一日日初% BR4.42b出時人影長於九十六尋第二影長六十尋第三名冨影長十二尋第四名屋影長六尋五名大冨影長五尋六名三圍影長四尋七名對面影長三尋第八名共於日正中影共人等第九名尺影長三尋第十名勢影長四尋十一名勝影長五尋十二大堅影長六尋十三婆修影十二尋十四端正影六十尋十五凶惡九十六尋此是一日十五分名日没名惡二名星現三名収攝四名安穩五名無邊六名忽七名羅刹第八名眠第九名梵第十名地提十一鳥鳴十二名才十三名大十四影足十五丘聚此是晝夜三十% BR4.43a%分名 又舎頭諫經曰日初出時人自度影九丈六尺其彼須臾名爲四六丈影須臾名曰爲勝一丈二尺其影須臾名曰冨樂六尺須臾影名曰卧首五尺影須臾曰冨安四尺影須臾名曰離樂三尺影須臾名曰等善面日中須臾名曰金剛中後須臾名曰犂訶四尺影須臾名曰強力五尺影須臾名曰得勝六尺影須臾名曰皆實一丈二尺須臾名曰治業六丈須臾名曰善仁初日入須臾九丈六尺影名曰最猗而懷恐懼今吾當説向夜須臾日没須臾名曰凶弊第二須臾名曰妙女次名家英次名憂合次名無底% BR4.43b次名梵矣次名彩畫次名無懷次名棄意次名安樂次名日火次名種火是要晝夜則有三十須臾漏刻之法摩登伽經曰漏刻之法如人瞬頃名一羅婆此四羅婆名一迦啅四十迦啅名一迦羅三十迦羅則名一刻如是二刻名爲一分一刻用水盈滿五升圓筩四寸以承瓶下黄金六銖以爲此筩漏水五升是名一刻如是時法我已説印度測影之大概佛説時非時經 （並舉日藏經及與摩登伽經以備對較）% BR4.44a%冬初分（印度有三時四時六時之不同聖教多用三時）第一（十五日七脚爲時七脚半非時從八月十六日私三十日）第二（十五日八脚爲時六脚八指非 （藏曰九月合觜滿晝十四時夜十六時日午之影長八脚時從九月一日至十五日） 跡伽曰九月中旬月在昴影十五寸晝十四分夜十六分）第三（十五日九脚爲時七脚六指非時從九月十六日至三十日）第四（十五日十脚爲時八脚三指非 （藏曰十月合鬼滿晝十三時夜十七時日午之影長十脚時從十月一日至十五日） 跡伽曰十月中旬月在觜影十八寸晝十三分夜十七分）第五（十五日十一脚爲時九脚四指% BR4.44b非時從十月十六日至三十日）第六（十五日十二脚爲時十一脚六 （藏曰十一月合七星滿晝十二時夜十八時日午之影十指非時從十一月一日至十五 二脚跡伽曰十一月中旬月在鬼中影則有二十一日晝日） 十二分夜十八分）第七（十五日十一脚半爲時十脚三指非時從十一月十六日至三十日）第八（十五日十一脚爲時九脚四指 （藏曰十二月合翼滿晝行十三時夜行十七時日轉近北非時從十二月一日至十五日） 日午之影十二脚跡伽曰臘月中旬在七星影十八寸晝十三分夜十七分）% BR4.45a%春初分第一（十五日十脚爲時八脚少三指非時從十二月十六日至三十日）第二（十五日十脚爲時八脚少三 （藏曰正月合角滿晝行十四時夜行十六時日轉近北日指非時從正月十六日至三十） 午之影長八脚跡伽曰正月中旬月在翼影十五寸晝十四分夜十六分）第三（十五日九脚爲時六脚少三指非時從正月十六日至三十日）第四（十五日八脚爲時五脚少三指 （藏曰二月合氐滿晝行十五時夜行十五時日近北行日% BR4.45b非時從二月一日至十五日） 午之影長六脚跡伽曰二月中旬月在角影十三寸晝夜十五爲三十分）第五（十五日七脚爲時三脚少三指非時從二月十六日三十日）第六（十五日六脚爲時三脚少四指 （藏曰三月合心滿晝行十六時夜行十四時日行近北日非時從三月一日至十五日） 午之影長四脚跡伽曰三月中旬月在氐中影十寸晝十六分夜十四分）第七（十五日五脚爲時三脚少三指非時從三月十六日至三十日）第八（十五日四脚爲時二脚少一指 （藏曰四月合箕滿晝行十七時夜行十三時日近北行日% BR4.46a%非時從四月一日至十五日） 午之影長两脚跡伽曰四月中旬月在心中影七寸晝十七分夜十三分）夏初分第一（十五日三脚爲時二脚少四指非時從四月十六日至三十日）第二（十五日二脚爲時二脚少四指 （藏曰五月合女滿晝行十八時夜行十二時日極行北日非時從五月一日至十五日） 午之影長半脚跡伽曰五月中旬月在箕中影四寸晝十八分夜十二分）第三（十五日二脚半爲時一脚少三指非時從五月十六日至三十% BR4.46b日）第四（十五日三脚半爲時二脚少二 （藏曰六月合室滿晝行十七時夜行十三時強日近南行指非時從六月一日至十五日） 日午之影長二脚跡伽曰六月中旬月在女其一月中晝十七分夜十三分爾時當樹十二寸表量日中影長於五寸）第五（十五日四脚半爲時一脚半非時從六月十六日至三十日）第六（十五日五脚爲時三脚非時從 （藏曰七月合婁滿晝行十六時夜行十四時日轉近南日七月一日至十五日） 午之影長四脚跡伽曰七月中旬月在室晝十六分夜十四分影長八寸）% BR4.47a%第七（十五日五脚半爲時三脚半非時從七月十六日至三十日）第八（十五日六脚爲時四脚半非時 （藏曰八月合昴滿晝夜各十五時日午之影長六脚跡伽從八月一日至十五日） 曰八月中旬月在婁影十三寸晝夜各分爲十五分）如是諸比丘我已説十二月時非時經説測影有異同者彼土疆壤廣而説經之地亦不同故致測影不齊且傳譯不能儻無差謬加以或有傳寫之誤今畧舉三經以備挍訂當測影以質之實驗焉宋史暦志亦出頻年之測影又可合攷若能伺% BR4.47b察則三國數萬里之氣差應目擊而知焉印度交食術之一問交食者驗暦之大端而最難測矣若所論則印度當審詳其大概可得而聞耶曰暦術者雖不關佛出世之事或爲有所塞於此者或爲特致問者有説及於暦者如此編徃徃出之此外専明天文星暦地理等者佛教十藏中有名器世界藏者又有龍樹所説名大悲方便論者並未來此土且暦者國家之大典而國有専官俛焉從事焉故傳譯諸師不敢急通之且吾法偏事弘眞乘不意通世典是以經論雖事及% BR4.48a%是者多直示其梗概耳而無一詳布算測量者是所以梵暦難知而不傳於今也今粗探大藏雖一章一句有言及於此者則摘以研覈之尤爲暦術之要領者不爲不多漸集以考成凡關暦法之節目者其大畧無一不説大藏中者如交食術者經論雖不説其測算以既已説其交常度觀之佛出世時其法詳備如前篇論之今又證彼地有厥精測則舊唐書暦志李淳風鱗德暦求日月虧初及復末之時刻術中云迦葉考威等天竺法先依日月行遲疾度以推入交遠近日月食分加時日月触亦爲十五分去交十五% BR4.48b度十四度十三度影虧不法触自此已下乃依驗触十二度十五分触二分少強以漸差降自五度半已上触既十四分強若五度無餘分已下皆触盡又用前触多少以定後触分餘若既其後触度及分即加七度以爲触度若望月触既來月朔日雖入而不注触（是自非精暦術者所不能得而知也後世暦算家皆法之故孔穎達左傳註疏詳論無前月食既後朔復食之理者蓋皆據之耳）若触半已下五分取一分若半已上三分取一分以加來月朔触度及分若今歳日触度及分然後可騐後触度分數多少（若今已下恐有錯脱）又云六月依節一触白月十五日是月触節黒月盡是日触% BR4.49a%節以亦吉凶之象驚告王者奉順正法蒼生福盛雖時應触由福故也其触即退李淳風嘗從羅達等士禀承梵暦於是亦可見同舊唐書云按僧倶摩羅所傳斷日触法朔日度躔于鬱車宮者的触諸斷不得其触據日所在之宮有火星在前三後一之宮并伏在日下並不触若五星皆見又水在陰暦及三星已上同聚一宿則亦不触凡星與日別宮或別宿則易斷其鬱車宮者即中國降婁之次也（按印度者直近赤道下而降婁之次亦當天之中央故其触分甚淺而且加時若當午則理應當触而不触况五星同度則雖触分深或有不触者如支那吾邦距赤道遠矣故理不一準也）唐開元已後曁于元至元% BR4.49b中當触不触者凡十次（見續弘簡録履謙之傳）必是今所言之類矣哉識者若見今之所引則印度精於厥術不俟辨自知矣今李淳風所引迦葉考威之術與授時大統其交食之術全同是則由六朝已後印度暦術漸于支那其法同根故也印度交食術之二西印度僧金倶吒七曜攘災決云羅睺遏羅師者一名黄幡一名触神頭一名複一名大陽首常隱行不見逢日月則触朔望逢之必触與日月相對亦触謹按天竺婆毘麿歩之云爾漢説云日月同道月掩日% BR4.50a%而日蝕天對日衝其大如日日光不照謂之暗虚暗虚値月而月蝕二説不同今按天竺暦得其正理矣對人本宮則有災禍或隱覆不通爲厄最重常逆行於天行無徐疾十九日行一度一月行一度十分度之六一年行十九度三分度之一一年半行一次（即是一宮也）十八年一周天（言周十二宮畢）退十一度三分度之二凡九十三年一大終而復始（唐元和元年丙戌入暦正月在軫十度當吾邦大同元年）羅睺有本行日左旋三分有奇本書略出九十三年之推歩同七曜攘災決云計都遏囉師一名豹尾一名蝕神尾一名月勃力一名太陰首常隱行不% BR4.50b見到人本宮則有災禍或隱覆不通爲厄最重常順行於天行無徐疾九日行一度一月行三度十分度之四九月行一次（一次即一宮也）一年行四十度十分度之七凡九年一周天（言周十二宮畢）差六度十分度之三凡六十二年七周天差三度十分度之四（唐元和元年丙戌入暦正月在牛五度當吾邦大同元年）計都有本行日右旋六分三十九秒有奇本書略出六十二年之推歩而云推之考驗徃古及今年所留宿度若應符契分毫無差也九曜五行暦又同此説又一行梵天火羅云按聿斯經云凡人只知有七曜不知暗虚星號曰羅睺計都此星在隱% BR4.51a%位而不見逢日月即蝕號曰蝕神計都者蝕神之尾也號豹尾按回回西洋等歩羅計以推交蝕者皆不過其術從印度傳而私加精亦益於是見之何者西法取之於回暦回暦者直是梵暦其義前已極辨今亦撿回西二暦歩羅睺本行以爲日日左旋三分有奇今與婆毘麿歩羅睺術全合滋見前辨不妄焉况回西二暦直存梵語稱羅睺計都其從而所來莫明焉印度交食術之三大方廣文殊儀䡄經云十入息爲一滅分十滅爲一% BR4.51b刹那十刹那爲一須臾一百須臾爲一晝夜分當須了知此時分之量乃至如是六月爲羅睺障時十二月爲一年十二年爲大年（自子至亥凡十二年陰陽各六而大年已畢竺漢其義合如符契亦不奇哉）又云若婁畢胃此等星宿之分日月蝕者一切人民生種種病若奎壁宿之分若有蝕者若先月蝕後有日蝕者於半月中災乃至廣明日月蝕及地動之徴應又云彼計都星作日月蝕共有如是種種諸惡相現此經分明説羅睺計都作日月蝕人多以羅睺障錯爲修羅障修羅則彼趣之通名而羅睺者彼趣一王之別名也豈可混乎羅睺此云覆障% BR4.52a%又云吸氣（玄賛翻云執日者就彼別號以義翻耳）又熾盛光陀羅尼經云或被羅睺掩蔽日月薄蝕（文殊儀䡄熾盛光等諸經詳五星之陵犯九執二十八宿十二宮神等示善惡徴應非明推歩者安得能詳其陵犯失度等哉）回回西洋等之暦以白道之交點名羅睺指白道之中點名計都月道自南遡北以交黄道之一點曰羅睺此點有本行日日左旋三分有奇而羅睺正對之點爲計都所謂龍頭龍尾又曰内道口外道口是也葢黄白二道兩規斜絡其兩交之點必正對也而日月之行到于羅計則必蝕焉太陰從入交初日或六出七入或七出六入而會太陽其間乃當百七十有三日經約交% BR4.52b常度爲言故舉以一晝夜爲百刻時分之量已而言如是六月爲羅睺障時經則伹説暦之節目與曜宿之徴應而不説其術者大聖偏以破惡證眞爲急而不欲亘世法之瑣末且其術則在其家而存也印度交食術之四（論羅計之義不一準）按就交食稱羅睺者三其一以龍頭名羅睺以龍尾名計都支那又謂之内道口外道口其二實爲別有蝕神星名羅睺計都者而作日月蝕其三羅睺阿修羅王作非常之蝕其義如詳第一卷印度謂爲障者名羅睺羅如尊者羅睺羅障胎六年故云也羅睺羅% BR4.53a%阿修羅王有時障日月之光故云也（羅睺具云羅睺羅故大論曰羅睺羅阿修羅王）此中初説以白道之交點爲羅睺以白道之中點爲計都而以爲此是月行難算故設諸道之交點以便揆算其行度此名耳實非有其星也而及言其月蝕欲詳所以爲其蝕者無徴焉是所以有種種異説也支那説云天有虚道日有暗氣常與日對月行虚道爲暗氣所衝是故蝕焉西説云天圓形地便在中心日一日行一度月一日行十三度餘以周天三百六十度記之自朔至望僅行一半月距日一百八十度而日月正對望中間地球障隔月輪在地影% BR4.53b之上日輪在地球之下日光不能照之故失其光而謂之食漸出地影之外日能照之則漸復元光因知月食則由地影之蔽此義甚非也若爾者當如北邊地絶無月蝕據唐書等鐵勒回紇部在薜延陁之北去洛陽六千九百里又有骨利幹既日没天色正曛煮一羊脾纔熟而東方已曙如此地者以理推之當日没于亥而出于丑故不見日過僅三十度之間而日隱於地甚淺故地上猶有餘暉况如上天日月相望處無地可隔何地影之有若爾者彼地當斷無月蝕云何有其義骨利幹者即回回部落也而回回暦% BR4.54a%推月蝕其術與竺漢無異者何也地影之説其非灼乎明矣且西洋喜競勝誇奇創雖搆造地影障月之義至歩其羅計猶不能易其術潛用印度之法者豈不甚拙哉其事苟不踰人之隷而猥加私意於其間者何也支那暗虚之説稍雖近不得其實何者羅睺果有本行三分有奇計都有本行六分三十九秒餘而羅計之徴應速於影響自古大畏懼日蝕者聖賢有所深考也葢非暗氣作月蝕可以知也况於別有羅計之測算乎故支那先人皆信其説而云羅計氣孛謂之火土木水之四餘羅計見交食之影氣孛不% BR4.54b常見見則有異是皆從印度之義者也蜜部經論説羅計之徴應者多豈徒設者哉夫羅計爲變當日月日月蝕當星星亡是天地間一大嚴誡豈徒任諸數不畏而可哉如聖人畏蝕懼雷豈以處之愚哉印度交食術之五（術交食大概又證高卑之説原起印度）暦法疏密驗在交蝕其事著者有三一曰加時早晩二曰食分深淺三曰起復方位取其密合不容偶然推歩加時必本於躔離朓朒考求食分必本於距交遠近懸知起復必本於地形方位人目邪直得之至要唯在入氣盈縮入轉遲疾得其精當而巳若未得% BR4.55a%其正則合朔不失之先必失之後合朔失之前後則虧食時刻其能密乎况食分多寡起復時刻何由知其正哉若合朔正則加時無早晩之差氣刻適中則食分無加減之失其要在驗氣驗氣者必在陰陽消息之間其氣由何見之惟候其日影進退則其機將無所遁候之不過植表測影以窮其氣至之始是故印度討覈分至顧歩光影其法甚詳然古者暦法不得與天密合者不悟日月行度有盈縮故也六朝已後䆮測焉未詳迨于唐其法大備矣然而猶尚迄于明末無曉所以日月行度盈縮之理者也回回傅梵% BR4.55b暦而専測七曜行度有高卑以究盈縮之理西洋亦傅回暦而加精是所以精於授時大統而與天密合也其功偏在詳最高卑明已前古人所未嘗測得也今撿印度經論徃徃見有高卑之説日藏經云何名爲日前後行上行幾影下行幾影影有幾歩名曰爲轉初轉云何（西術求最高卑之年根者即今初轉之義）云何月北月南（是即言最高最卑冬至夏至等）云何次第（是言損益之次第也）此經特言暦法故文雖甚簡意最要矣又雖不關暦法有言高卑者多論六云冬末八夜春初八夜是盛寒時所以爾者寒勢浮盡必先盛後衰以日下近地故熱勢微少是故% BR4.56a%寒甚又同論七云天竺冬末月八日春初月八日此十六日寒勢猛甚多發冷病以冬春氣交爭故又日在下道行光照處少故寒甚春末月八日夏初月八日此十六日熱勢極盛多發熱病以日正在上故所照處廣是故大熱夏末月八日冬初月八日此十六日不寒不熱以日所行道不高不下故以寒熱倶發冷熱病雜寳藏經八云問曰日之在上其體是一何以夏時極熱冬時極寒夏則日長冬則日短斯那答言須彌山有上下道（日繞須彌故云爾非須彌直有日道）日於夏時行於上道路遠行遲照于金山是故日長而暑熱日於% BR4.56b冬時行於下道路近行速照大海水是故日短極寒此二文雖不特爲暦術高卑盈縮遲疾之理文甚著矣瑜伽論二云日輪以火頗胝所成月輪以水頗胝所成此二論中月輪行速及不定（言月行有遲疾故曰不定）畧纂釋曰月行速者謂南北路速於日不定者繞山行遲於日又瑜伽論云又復日行時有遠近若遠蘇迷盧立爲寒分若近蘇迷盧立爲熱分即由此故没有遲疾言朓朒之理甚分明也（瑜伽言月行經緯者與漢説不同如前辨之）測五星高卑者如嘉祥仁王疏引印度三藏之所傅由是觀之盈縮高卑之理當佛出世之時其説既已盡% BR4.57a%矣大體明則推歩無惑印度暦術備而久於是可見四方知暦者皆其波及爾耳稱印度曰神跡詭異理絶人區者實非過與也今西術盛行海内専談地體圓球而測其經度以爲不足僅三千五百里者（吾邦之里法）證之以星度世人以其暦法與天密合惑其精技是以遂信彼地球疑須彌或以爲虚誕破佛法之因縁莫甚焉（通）之無似不忍聞之探大藏中撰梵暦以顯日月列星繞于須彌而發斂無差交食不失而示支那西洋不過原受梵暦之裔而加以私意彼西法奇説百端豈止亂吾聖教乎壞亂支那聖典皇國神% BR4.57b道請海内諸兄弟須務而闢焉矣佛國暦象編卷之四終
## 5
% BR5.1a佛國暦象編卷之五平安東森隱士無外子釋圓通 撰雲陽 空谷子釋智轂 校暦法第四之三 凡二十七條論日有五蝕日有五蝕是日月經緯錯行之所爲是猶可因理而推者也如其變異之蝕則不可因理而推者而佛敎以是變異之蝕爲修羅之障是支那西洋之所不曽知者也南齊書云舊説曰日有五蝕謂起上下左右中央是也交會舊術云日蝕不從東始以月從其西% BR5.1b東行及日交中交從外入内者先會後交虧西南角先交後會虧西北角交從内出者先會後交虧西北角先交後會虧西南角日正在交中者則虧於西故不嘗蝕東也若日中有虧名爲西子不名爲蝕也漢尚書令黄香曰日蝕皆從西月蝕皆從東無上下中央者春秋魯桓三年日蝕貫中下上竟黒疑者以爲日月正等月何得不而見日中鄭玄云月正掩日日光從四邊出故言從中起也王逸亦謂日蝕不起於東然而晉書恭帝元煕元年十一月丁亥朔日有蝕之而云自義煕元年至是日蝕日從上始皆爲革命% BR5.2a%之徴自義煕至是其間十有五年日食凡五而皆從上始也是天示其徴應者而非常理之所推矣豈運籌任數者所可得而知哉論日蝕之疑難南齊書曰王逸以爲月若掩日當蝕日西月行既疾須曳應過西崖既復次蝕東崖今察日蝕西崖缺而光已復過東崖而獨不掩逸之此意實爲巨疑王充論衡亦出此疑難如支那西洋之説爲日月倶東移而月速於日十二倍則此疑甚難通若據印度之説則此難易曉日之周行速於月而日月倶西移日自% BR5.2b東及月故日蝕毎虧從西而月之緯行速於日十二倍故日繞蝕而與月斜別或差於西北或差西南是故不應西崖既復次蝕東崖也加旃當此時二曜之行有高卑之別不致此難論暗虚之説南齊書云先儒難月以望蝕去日極遠誰蝕月乎説者稱日有暗氣天有虚道常與日衡相對月行在虚道中則爲氣所弇故月爲蝕也又隋書曰月食以月行虚道暗氣所衝日有暗氣天有虚道正黄道常與□對如鏡居下魄耀見陰名曰暗氣奄月則食故稱% BR5.3a%當月月食當星星亡暗虚之説古人有所深考故其義雖不中不甚遠也較之西洋以月蝕爲地影則其義頗近矣雖然不如羅睺計都之有實騐而其義的切也（羅計者詳之於前）論西説太陽測量無定凖西洋天學家測日之量其差舛最甚矣利瑪竇曰日大於地一百六十五倍八之三而其徑四百八十八萬四千零三十五里餘西洋新説云日徑大於地三百六十倍同新説云日徑大於地爲五倍奇其大小懸絶既致空壤數百倍之差矣其餘十有餘家其違% BR5.3b並皆不啻螘垤與丘山也凡運籌任數者未曽聞如此許多乖角而稱可者也西學者謂七曜離地及其大小等各有測算之法測量之器實非荒唐之言揣摩之見直是一毫不爽者然高低尚有定位而行天轉旋皆可測也不畏大方極口自讚而其無定凖如斯奚得其無毫差哉彼自謂器測實騐誠得厥眞而極遠之境取徴無則故十人測之而有十差爾孰與佛説爲日宮五十一由旬其言一出而千載不易者論西洋新舊天説不足依用西洋舊説測地周爲九萬里而月離地心爲四十八% BR5.4a%萬二千五百二十餘里辰星離地心九十一萬八千七百五十餘里太白離地心二百四十萬六百八十一里餘日離地心一千六百零五萬五千六百八十一里餘熒惑離地心二千七百四十一萬二千一百里餘歳星離地心一萬二千六百七十六萬九千五百八十四里餘塡星離地心二萬五百七十七萬五百六十四里餘經星離地心三萬二千二百七十六萬九千八百四十五里餘此外即係一日一周宗動之天包絡轉運諸天者其離地心有六萬四千七百三十三萬八千六百九十里餘其新説者與舊説大% BR5.4b異而詭變滋甚其義如粗出於前而其七曜離地等之測算十有餘家亦各天隔今擧其二家測算之異餘畧之戞數濕以儞之所測算水星距地三萬三千倍縛而捊之所測算水星距地五萬⼀一千⼀一百三十八倍金火木土亦各互齟齬天淵不同若是全令人無所適從予故曰不足依用也徴西説七曜離地之諧謬明據西洋新説家並言月者地球之副星而獨繞地球故去地最近或爲地球半徑一萬九千倍或地球徑六千倍凡新舊諸説言七曜離地之數者率皆妄誕不% BR5.5a%足依用何者晉書天文志云凡月蝕五星其國皆亡五星入月其野有逐相又曰惠帝太安二年歳星入月中占曰國有逐相又曰元帝大興三年十二月巳未太白入月在斗又曰成帝咸康元年二月乙未太白入月同四年四月巳已七月乙巳月倶奄太白（奄與入其象自別）同六年二月太白入月同十年十一月月奄塡星又云孝武太元十二年二月戊寅熒惑入月占曰有亂臣死同十三年十一月戊子辰星入月同十八年正月乙酉熒惑入月隋書天文志亦云凡月蝕五星其國亡凡五星入月其野有逐相蓋天變者司% BR5.5b天奏之史臣記之天下倶所見而驗證莫明焉今撿一兩史五星入月者不一而足若西説者如何通西説爲言辰星高於月爲皇國里法七萬二千七百零五五而入月者數矣又西説爲言歳星高於月爲皇國里法二千百零四萬九千五百一十零里六六不盡而今五星皆有入月者何也其餘皆凖之其非顯著如此若據印度之説則廻照輪距地百六十萬里於皇國里法爲二十六萬六千六百六十六里有奇而行度時有高卑故有月奄五星又時有五星入月兩無妨如印度斷日蝕法言或火星在日下或三星% BR5.6a%已上同聚一宿則不得其蝕其義與支那同以可知耳近者西洋新説奇譎百出人徒惑厥精算是以不能遽悟其非然今以五星入月實驗觀之則其説殆若瓦解矣論西洋五星距地測量之謬上已以五星入月之辨駁西洋五星離地之測量今又重覈論其非西洋天學家戞數濕以儞之所測算以地球半中徑爲積 五星距地球遠點之測量土星距地二十四萬四千倍% BR5.6b木星距地一十四萬三千倍火星距地五萬九千倍金星距地三萬八千倍水星距地三萬三千倍又五星距地球近點之測量土星距地十七萬六千倍（較前遠點其差六萬八千倍）木星距地八萬七千倍 （較前遠點其差五萬六千倍）火星距地八千倍 （較前遠點其差五萬一千倍）金星距地六千倍 （較前遠點其差三萬二千倍）水星距地一萬一千倍 （較前遠點其差二萬二千倍）% BR5.7a%縛而捊之所測算 五星距地球遠點之測量土星距地三十八萬零五百五十倍木星距地二十二萬二千二百五十倍火星距地九萬二千二百二十一倍金星距地六萬零零五十倍水星距地五萬一千一百三十八倍又五星距地球近點之測量土星距地二十七萬六千二百六十八倍（較前遠點其差十萬零四千二百八十二倍）木星距地一十三萬六千二百六十八倍（較前遠點其差八萬五千九百八十二倍）火星距地一萬三千% BR5.7b六百六十八倍（較前遠點其差七萬八千五百五十三倍）金星距地九千零四十倍（較前遠點其差五萬一千零零九倍）水星距地二萬三千二百二十一倍（較前遠點其差二萬七千九百一十七倍）其不同如此今且就後測算以論之其乖理殊甚其論土星自近點至遠點加距十萬四千二百八十二倍而人視其遠點之時與近點之時無異者何也今以例徴其非彼説月之徑爲皇國里法九百三十八里而以月距地爲地之半中徑三百七十倍今人視月其大僅如扇設二倍之則爲地之半中徑七百四十倍而人所見必當如徑二三寸玉盌倘更三倍之% BR5.8a%則爲地之半中徑一千一百一十倍而其大可一寸倘四倍之則人終當不得見之今土星在其近點時與其遠點益十萬四千餘倍所見相齊者何也請試以月之距地騐之其非自明矣論西法恆星天測量之非及恆星爲太陽之謬西法爲恆星高於太陽二萬九千六百七十一萬四千一百五十五里而西儒測五星距地既妄則其測恆星亦誰肯爲適當乎且彼新法以謂恆星者皆太陽而不動也今請併徴其非南齊書曰難曰日之夜蝕驗於夜星之亡晝蝕既盡晝星何故反不見答之% BR5.8b曰夫言光有所衝則有不衝光矣言有所當亦有所不當矣夜蝕度遠與所當而同没晝蝕度近由非衝而得明西法今爲恆星者皆太陽而其體焰熾不須佗光若然則當日之夜蝕所衝之星亡者何也恆星之非太陽確乎者矣且也以當夜蝕之所衝而亡驗之恆星之不甚高於日亦可以知也耳西儒不自度謾悖聖賢濫陰陽而無所畏憚豈不哀哉（此中爲恆星以爲月所隔不能受日光故亡者且從南齊書若據印度之義則當於日衝而爲羅計所蝕也言當星則星亡是也）論以地球妄爲星僻説% BR5.9a%地球旋動之非巳駁於前如其以地球爲星者害於聖敎更甚矣皇國及支那印度其法雖異至其崇天神重鬼神則其揆一也今西説爲言此地恆運轉與曜宿全同自月及五星等見我地球則由海水爲日所照故其光與月無異由是輙以爲月及五星亦地球而人居於此與我地球無異矣甚矣哉人之好詭一何至斯儻夫如是則互天互地我與彼既等有何所憚而敬天之爲竟令人至無所畏懼其害於道莫大焉西洋書中又有測月中人之長者殊不知荒唐不稽者聖賢之所誡夫赫奕二曜其有晷影之跡猶% BR5.9b有難得而測者況於五星中人之有無乎哉況於其形之長短乎其罔天地誣聖賢奚其深也輕窕之徒聞而悦之其極必至蔑如内外之聖典紊天地之常倫其害於名敎妨於慈濟甚不少小是余之所以務而闢之者也試問西學家既以月及五星爲人居而獨不得以太陽爲人居者是大火聚故也耳夫日月星宿元是同象何猥容人按排亘古七曜之徴應速於影嚮歴代史志鑿鑿言之其豈皆盡虚設者哉聖人寅賓出餞納者豈愚而然者也歟論五星測騐起於印度% BR5.10a%唐已前亦測五星而其術未詳故宿曜經曰大唐未審知委其曜盛唐已後得傳印度諸暦其法漸備矣然而洎丁元猶未究其精故輟畊録曰文正王嘗言西域暦五星密於中國乃作回回暦又宿曜經説七曜經曰南西北三方諸國一切悉用之印度西北者回西是也回西七曜暦則自印度波及於彼於是亦可見也耳而印度七曜暦傳于今者有西印度僧金倶吒在唐天和中而推歩之者雖粗略其梗概亦足見之惜哉其書殘缺脱太陰之推歩摩登伽經畧出七曜一周天之數文殊儀䡄經熾盛光等諸經説五% BR5.10b星陵犯之徴應甚詳矣當知其術從而來大尚焉論測七曜形量印度西洋大異（并徴西測之非）西測云太陽之大當吾邦里法三十二萬九千五百零一里零九太陰之大九百三十八里八四零五土星之大二萬九千二百九十六里四零四四大於月三十一倍餘木星之大三萬五千三百零一里九三七大於月凡三十七倍半餘火星之大一千九百十八里二三七大於月二倍餘金星之大三千四百一十二里六六大於月幾四倍水星之大一千八百三十零一里二一零六大於月幾二倍西測五星之量% BR5.11a%悉皆暗算妄推不足依憑也古既五星入月數也大於月數十倍而能入月中人見其星之大如本者何也三尺童亦所不惑也印度説者宿曜經云日廣五十一由旬下靣玻瓈之寶火精之質也温舒能照萬物立世阿毘曇論曰是日宮者厚五十一由旬廣五十一由旬周迴一百五十三由旬玻瓈所成赤金所覆火大分多下際火分復爲最多其下際光亦爲最勝其上際金城圍繞城高一由旬衆寶所成種種摩尼之所嚴飾日天子與諸眷屬於其中住瑜伽論云其日輪量五十一踰繕% BR5.11b那當知月輪其量减一日輪以火頗胝所成便當支那二千四十里月宮宿曜經云月廣五十由旬下靣瑠璃之寶水精之質也清凉能照萬物立世阿毘曇論曰是月宮者厚五十由旬廣五十由旬周迴一百五十由旬是月宮殿瑠璃所成白銀所覆水大分多下際水分復爲最多其下際光亦爲最勝其上際金城圍繞高一由旬衆寶所成種種摩尼之所嚴飾月天子與諸眷屬倶於其中住瑜伽論曰月輪以水頗胝所成金星宿曜經云風精太白廣十由旬唐里法四百里而居月% BR5.12a%二十五分之一七曜攘災决云太白西方金之精一名長庚徑一百里其色白而光明此是西印度所傳其説體量頗異蓋此書本凖西印度之所傳故或有里法之異也木星宿曜經云空精歳星廣九由旬凡當唐里法三百六十里攘災决云歳星東方木之精一名攝提徑一百里其色靑水星宿曜經云月精辰星廣八由旬凡當唐三百二十里攘災决云辰星北方水之精一名寃星經一百里其色黒% BR5.12b火星宿曜經云火精熒惑廣七由旬凡當唐二百八十里攘災决云熒惑南方火之精一曰罸星徑七十里其色赤土星宿曜經云日精鎭星廣六由旬凡當唐二百四十里攘災决云鎭星中央土之精一名地徑五十里其色黄其佗雜星量各不齊瑜伽論云諸星宿中其量大者十八拘盧舎量（凡當唐百八里）中者十拘盧舎量（凡當唐六十里）最小者四拘盧舎量（凡當唐二十四里）又増一阿含及樓炭等説星量頗故畧之按西測爲木火土三星大於月數% BR5.13a%十倍然以五星入月驗之（月亦有掩五星互有高卑行故也）五星小於月且與月互高卑也必矣是皆實驗也可見印度之説信而徴矣論西洋測量無所適從西洋天學其爲名家者競究測七曜離地及其體量而其同異懸絶今唯擧太陽離地之異其佗畧之太陽離地之遠點以地之半中徑爲積以言其列下者皆其人名也太陽距地一千五百八十六倍 飛把耳救數同一千二百一十倍 甫鐸陸脈由數% BR5.13b同一千一百四十六倍 曷而秡得及牛數同一千七百七十九倍 骨百耳尼結由數同一千一百八十二倍 得逸骨同三千四百三十倍 缺甫歴力由數同一萬四千九百零五倍 聞迭而立牛數同七千四百二十七倍 力郭濕郁留數同二萬二千三百七十四倍 戛數濕以儞同三萬四千九百九十六倍 迭剌飛列此中其差最多者三萬三千八百五十倍也未曽聞測算一事而有如是逈乖角者須知無縁大荒之外% BR5.14a%的取測算之徴所以遂不免歸於臆斷也論日月體量内外所説不同印度西洋其説如前篇支那之説者白虎通曰日月徑千里又徐整長暦云日月徑千里周圍三千里竺漢二説其差凡不過一倍若較西法則其差甚夥若以日大於地三百六十倍比之印度日宮五十一由旬則其異凡五千百餘倍也夫佛者王於諸天仙神鬼敎化萬邦其敎無國不至矣聖言一出千載永不易烏北之庸常凡人之臆説漢土爲日徑千里者其言縱容似與印度之説頗合是必古之遺傳而出神% BR5.14b聖之説者矣不類西法之荒唐者遠矣論言輿地廣狹内外典其説大異西洋地球之説如前數論支那説者河圖括地象曰地南北三億三萬五千五百里地部之位起形高大者有崑崙山廣萬里高萬一千里神物之所生聖人仙人之所集也出五色雲氣五色流水其泉南流入中國名曰河也其山中應于天最居中八十域布繞之中國東南隅居其一分是奸城也淮南子云禹乃使太章歩自東極至于西極二億三萬三千五百里七十五歩使豎亥歩自北極至于南極二億三萬三% BR5.15a%千五百里七十五歩（太章豎亥善行人皆禹臣也）周髀曰日光外所照徑八十一萬里周二百四十三萬里周髀者測景得于圭表者而其所言氷海夜國今現有實據周髀所言輿地大於西説之地球許多也而其測量雖至外衡之外日光之所及而不言地之所限矣河圖及淮南之説是皆采録舊聞者而必有其所傳與西説各恣臆斷者不同故其崑崙等之説今皆有實據故言地之大亦當必有其所本矣夫神人者履水猶地豈常理之所推哉太章豎亥蓋是神人然而支那所説皆不過言閻浮提一天下之内外其義如詳前% BR5.15b篇印度所説輿地其度甚廣大與西説懸絶倶舎曰地徑十二億三千四百五十由旬乃當唐四千九百三十八萬里是以天眼親見以所測定不同庸常凡人暗算妄推西説言地甚小而測日太廣大也印度則與是相反夫日月雖顯象是天地間之一物而非可與天地對較其大小者況大於地數百倍者哉悖聖説最甚矣是故信彼説者皆言雖聖人於天文地理則所未達也使人輕蔑聖典者遂皆可根於此豈可不哀哉論周髀所言四極節氣之差與佛説契合% BR5.16a%上章就於佛説詳四天下日道及節氣之差而撿周髀所言其立日道及節氣之差全同佛説周髀云凡日月運行四極之道故日光外所照徑八十一萬里周二百四十三萬里故日運行處極北北方日中南方夜半日在極東東方日中西方日中東方夜半凡此四方者天地四極晝夜易處加四時相及又云日月之道常縁宿南至夏至日中北至冬至之夜半南至冬至日中北至夏至夜半亦徑三十五萬七千里周一百七萬一千里問西洋談地球者亦爲晝夜易% BR5.16b處節氣隨地何唯佛説及周髀乎曰西儒所言雖相類其義大非矣余騐諸三事一者明史及廣輿記並言天方國一曰西域用回回暦與中國暦前後差三日若凖此義則自支那至亞墨利加食人國相隔百八十度故其節氣之差當不過七八日也今以自支那京師至天方東西相隔凡七十五度而尚云節氣差三日凖知之故也如立世及周髀之説者里差百八十度則氣差適當百八十日故與西説乖角天淵也二者余嘗■有合考和蘭暦相當皇國元禄十六 ＝門 免年之與皇國暦者本年春分西暦則彼之三月二十% BR5.17a%一日是日乃吾邦二月五日而皇國春分則當二月六日未初三刻故我與彼氣差僅一日也本年夏至西暦則彼之六月廿二日而吾邦當五月九日皇國夏至即與彼同日也又本年秋分西暦則彼九月二十四日是日乃吾邦八月十四日而皇國秋分乃當本月十二日差不足二日又本年冬至西暦則彼十二月廿三日是日乃吾邦十一月十五日而吾邦冬至乃當十一月十四日與彼差僅一日也又是歳彼正月三日滿月同夜月蝕（自酉刻至戌刻虧二分半）皇國暦則當十一月十六日吾邦亦當是夜酉時月帯蝕所見七% BR5.17b分是亦同時（伹食分有淺深耳）又是歳當彼十二月廿三日冬至月触（自酉中刻至戌中刻虧三分）皇國暦亦同日酉時月帯触所見八分半是亦同時而僅有刻差及食分多寡耳自皇國至紅毛國道程凡百三十五度然利瑪竇坤輿圖曰相隔百八十度則時差六辰而晝夜相反焉是大妄矣今既騐和西二暦彼此相距百三十五度而時差僅四刻餘而氣差則不足二日也以之凖知相距百八十度則氣差僅不過三日也耳西説大謬也明矣凖佛説及周髀從吾南洲而言則當此地冬至東洲則春分西洲則秋分北洲則夏至也左右% BR5.18a%相距九十度則氣差亦九十日若南北若東西其正對地者相距百八十度而其氣差亦百八十日也其辰恰差六時是故言晝夜易處寒暑相反今據立世阿毘曇折半迴照輪則爲七億二千一百六十三由旬半是即半周天之里程也以配之三百六十度則毎度當四千九由旬而天度差一度則節氣亦差一日矣撿今和西二暦其夏至者同日而無差其冬至者二暦差一日也故折半二至以取之我與彼節氣相差適半日也按和蘭者其地在于閻浮提西北之涯而皇國者在于閻浮提東洋中與和蘭相距凡當% BR5.18b二千由旬乃適當半度故氣差方當半日也而與立世阿毘曇等所説其義甚合矣是實騐而最足徴焉既以西暦親騐之無所容疑豈非執柯伐柯者乎西説地度不當其實也於是益彰焉三者若子午卯酉正對地者晝夜相反節氣相表裏焉驗之以星度之移其義確存於目擊復奚疑矣今如參宿爲冬至夜半之中星是夜乃昬見卯位而又過九十一日則昬見午位又過九十一日乃昬見酉位又過九十一日則凖知昬在子位由是觀之左右相距九十度則其氣差一季故異春夏別秋冬若正對而相距百八十% BR5.19a%四洲晝夜易處異節氣圖% BR5.19b四洲黄道三䂓圖% BR5.20a%日所在約南洲以配晝夜十二時圖% BR5.20b度則寒暑相反晝夜易處其理無所容惑焉若西説者紅毛與我相距百三十五度故非假如參宿爲吾邦冬至中星則距吾冬至百三十五日而是時參宿始爲紅毛冬至中星則西法地度其義與天下合也逈遠矣二暦氣差僅不過半日故也騐中星之移則西法之非欲遁而靡地焉耳論西法地度不合其實西儒以天度配諸地以辨方隅別於里程也其有益知地理也不少矣是事本起回回如詳前篇想西洋邊埀諸國常事通賈舶於萬國故水行是厥常矣渺% BR5.21a%邈瀛洋由何別其遠近其所憑獨有天度耳是故彼以學天度爲切要也然西儒之所測其量不過閻浮提及與二中洲是故不過天度四分之一也西儒爲法以極星出地爲標凖故若相距二百五十里北則極益高一度若二百五十里南則極益卑亦一度也故以二百五十里乘三百六十度則得九萬里也遂以爲一周地之量而其地度之法以梗於地理故皓儒碩生一皆信之不悟其非甚可哀矣其義如第二卷辨之近者有以吾邦里法測地度者曰驗北極出地二十八里四百二十歩而差一度故地球之周凡% BR5.21b一萬百五十二里徑三千二百四十四里三百三十歩餘夫蕩蕩坤輿豈如是渺小者哉如吾神洲居天下之萬一東西凡當五百七里百八十歩故（以地理撿之自肥瓊浦至與南部之東涯則幾及二十度雖然今且從東西十八度之義以所布算也）假使以吾邦二十布列東西則其一萬百五十二里既皆盡焉毫靡地容海矣彼疏於理曷如此甚哉論世間天説正與邪並不出南方一洲義夫寰字寥廓也不可能得而測令人難知莫若天也按西儒所測不過閻浮提與二中洲也而彼坤輿圖所載比較諸正法念經等之所説西人未知者甚多% BR5.22a%矣況如餘三天下固凡人之所不知而又非舟揖所能至也蓋極辰環運中樞如輪軸如麿臍矣是故天下之測量諸數之所由而出獨係於斯暦象測算惟是之由焉肉眼所見慮知所測豈得出此外哉周髀者雖聖者所測亦是應人之所知是故以極辰爲中樞以測定於天比之佛説則天地之量小大雖異梗概無差周髀所言外衡經緯比之立世等所説外衡（立世謂之外路）經緯幾當二十四分之一（周髀所測外衡經度爲八十一萬里而立世所説外衡經度一千九百二十五萬五千二百里也）是亦似出於自然之數者其佗三光之運地體之義無不與佛説脗合豈% BR5.22b不信哉周髀及宣夜之外渾天已下支那西洋諸説一皆庸常凡人之所臆度皆不足取而其義雖異以極辰爲中樞者其揆一也是偏由乎人之所測肉眼所見爲極辰所限故也其測量不出此外也冝矣哉擧周髀之正以徴西説不經周髀爲經其數也事也得之圭表得之星度悉有實據也無毫所加臆見未嘗一言日月體幾許星宿體幾許又測天地偏據測景以定七衡六間立里程之外未曽言天地之大幾許也故周髀曰日光所照四極徑八十一萬里周二百四十三萬里過此而徃者% BR5.23a%未之或知聖者立言正大而未嘗謂無其據異乎西儒謾欲必於大荒之外也西儒曰吾天學皆由實測非一任臆斷者今謂西儒天説雖皆似實騐其實不過臆見如彼測日或爲地之五倍或爲百六十五倍或爲三百五十倍其所測各懸絶西儒亦由測算本於實騐然而周髀則由表股取日景於遙天之外而其測景而定數者在於視聽之間西儒則取測器於手裡而其决數在於大荒之外（如日月體量等）識見所不及遂不過臆見而已其事相似而其實大異是其所以所測各有許多之差也同測其事而致數百倍之違% BR5.23b恬然自信豈不謂之不經乎哉論金邊山及閻浮樹可得而窺立世象王品曰修槃那般娑山（此云金邊山）高二十四由旬（當九百六十里）於秋月時天晴不雨最放光明復有諸人近雪山住四月（彼土之俗避暑易處）高平地會互相招呼徃觀天上至摩訶迦羅山頂仰觀北靣遙見彼山光明照曜因相謂曰是須彌山我今已見天上又同閻浮提品曰時有一人名曰長脛本是王種姓拘利氏宿業果報所得神通是人有此威神相貌若行水中前脚未没後脚已移若行草上草葉未靡便得移歩（是名生得% BR5.24a%通通之微者而非眞神境通也）是人北踰六山登第七金邊山頂轉靣向北聳身遠望唯見黒暗怖畏而反佛問汝至閻浮樹不答言不至佛問汝何所見是人答曰唯覩黒暗佛言此黒暗色即閻浮樹是人重禮佛足更向北行重度七山又度六大國及七林七河等乃至閻浮樹而得詳見之今世幸有精製望遠鏡齎持以至蝦夷之北而從高山窺於其北則必當得覩金邊之光明及閻浮樹之相若進於蝦夷至于北溟而窺之則益可矣以論曰從摩訶迦羅山（在于北印度此云太黒山）得見金邊光明凖知其地勢頗高而北極出地大率當及五% BR5.24b十餘度故與蝦夷北邊其地勢䆮應均矣極北雖幽渺若其有光明者謂可得窺見其事者據之故也不肖若不得遂此擧者請海内同志佛子的窺得是實徴而闡海内之惑以宣暢佛乘則護法莫大焉想金邊山距北極也必不遠矣而閻浮樹者在于極辰之北千二百由旬也若夫親得此實徴則種種邪説一時氷消我焉好惟法是荷矣耳論非佛説則不能盡日月及極遠之事夫日月衆星運轉太虚萬古無錯孰御而■使然也 ＝至＋攴若爲非情而自爾則其理甚不盡矣夫五嶽土壤之% BR5.25a%積也四瀆水泉之聚也尚有神祗在而鎭焉況日月衆星照臨天地發育萬者生靈仰而憑焉群品由而成焉豈比嶽瀆哉是以先聖寅賓出日餞納日當其巡狩則類于上帝禋于六宗望山川徧于群神巍巍堯舜敬天尊神其事既如是然今蠻夷之術盛行于世以月爲土壤以五星爲人居悖先聖曷甚哉加旃或由是騁怪誕妖妄之説或由是縱術數詭變之談其要由不知神道故也明儒云西人巧於術數而暗通機之學可謂知言之選矣西儒喜搆造詭異荒唐不知其必然而誘惑愚惷也吾法得天眼神境等神% BR5.25b通以見其實者之外出於臆想情解者敢弗取也縱愽識強記盡天下之書其在于聞見之間得其實者之外出於情量臆斷者亦敢弗取也如敎而解如解而行如行而證六通無礙無毫所惑是名眞知道之人遠見萬劫之前猶如今日其見萬劫之後亦然而不爲山壁所障徹視無窮天地猶如眎掌菓例如釋迦懸知今日盛起地道説預爲設難破復如遠説海外萬里之事今日皆有徴如是而后始可得語大荒之外論幽渺之事又非如是人之所言不足爲據也碌碌庸人不自揣厥分猥測荒唐之事筆以惑人輕% BR5.26a%窕之士競騁焉苟存意於道者豈不務而闢乎哉詳日月行度之義起世經云彼日天勝大宮殿有五種風吹轉而行何等爲五一名爲持二名爲住三名隨順轉四名波羅訶迦五名將行於彼日天宮殿之前別有無量諸天先行皆名窂行（婆娑翻名堅行天）又同經曰彼月天子最勝宮殿爲五種風攝持而行何等爲五一持二住三順四攝五行以此五風所攝持故月天宮殿依空而行亦有無量諸天引前而行彼諸天子皆有名字印度多謂氣爲風西洋多謂風爲氣其義遞通故知乘五% BR5.26b種太氣而運旋四天下又正法念經曰閻浮提北名曰風輪可以合考詳日月行度速疾大毘婆娑百三十六云譬如四善射夫各執弓箭相背攢立欲射四方有一捷夫來語之曰汝等今可一時放箭我能遍接倶令不堕於意云何此捷疾不苾芻白佛甚疾世尊佛言彼人捷疾不及地行藥叉地行藥叉捷疾不及空行藥叉空行捷疾不及四大王衆天彼天捷疾不及日月輪二輪捷疾不及堅行天子此是導引日月輪車者又正法念經云以天眼觀% BR5.27a%須彌山高廣八萬四千由旬阿修羅王住在其側居此水下以衆生業之所住持令日旋轉有大尊神名曰健疾常在前導于眴目頃能行十千一百五十由旬周市旋轉以日爲度其行捷疾不如是則不可得一日而能轉四天下辨南極之義問揆日候星紀要一云至萬暦四十八年庚申湯羅兩公航海過赤道南三月有奇見南極已高三十餘度又物理小識一云滿剌加國處赤道下南北二極此地皆可測春秋分日正麗天頂冬夏至日距頂各% BR5.27b二十三度有奇彼人目境常見晝夜平亦常見南北極麗天諸星無一隱者又見天經或問載南北見界圖赤道以南衆星拱南辰猶如赤道以北衆星拱北辰由是觀之蓋天及與印度天説非與天不合耶曰是非難曉矣人皆久肄渾天之説故固執以爲衆星綴附于天而繞矣更聞赤道以南衆星拱南辰而繞益以謂渾天及地球之説信而徴焉於是嘲蓋天須彌之説以爲虚誕是自不達也耳若夫太陰一周爲之一月太陽一周爲之一歳五星之運亦各異其行留退順逆各任其情豈能一軸之所轉哉其義如詳% BR5.28a%于前若爾者南邊有居輪恰如北邊也復奚異湯羅諸人從北邊五十餘度之地始泛南海偶得見南極以爲飾己説具想如南印度人見南極蓋其常矣故南海傳云若欲取正方者冝須夜揆北辰直望南極定其邪正的辨禺中彼土者登高山而窺則闔天星曜無一不見者故星暦等較之諸邦爲最詳又據佛説四洲各有北極及南極是故對較四洲之衆星則當如今所在此見界衆星不足百分之一故文殊儀䡄經中空居大曜日月五星羅睺計都爲首別列六十一大曜總擧無數大曜復別列四十一星王總擧% BR5.28b百千眷屬復列三十六億衆星十二宮三十六宮及無數大宮又正法念經説東弗婆提有多星宿海衆星多聚其海上故名耳如此精愽豈他邦所及乎其詳於星象亡論而如南印度者詳南極之事幾知吾方於北極而彼地者亦得能見北極也而彼地諸人悉信日月衆星繞須彌皆不疑矣且其詳南極豈類此地人逈暗推以議之耶而彼不疑其蓋天則我焉復容疑乎哉論印度星暦説不來此上者多印度言星象也最精且愽矣雖然非是出世之急故% BR5.29a%弘法諸師不務而傳譯焉是以不來此土者甚多如南極之事獨見南海傳而其餘無嘗詳之者又紫微内外之衆星限于一洲而不互餘三洲義偶見瑜伽略纂曰繞須彌而行者此據通天下星等（言指通四天下星也）非別洲星（別洲者指南閻浮洲一天下）如北斗辰一洲轉故（是指紫微宮内外）亦有表時善惡一方一國之所共覩非於餘處如前所論紫微宮内外則當於閻浮提之中心其象如蓋笠印度内外之典藉以北辰及斗爲禱天之要法其本命元辰者關於人最重矣不肖昔未曽得其意今也及撿是事始得知所以北斗辰關人切而司% BR5.29b其命辰之理何者北辰則距閻浮南際七百六十由旬零三二也當於閻浮提中心而位焉其於人也如懸蓋矣原所以天地人理一而人之命辰本係於斯之象其不顯乎故瑜伽爲法修護摩時必特供曜宿其由致深矣哉是故密部中特説北斗辰者甚多瑜祗熾盛光等爲首妙見經七佛神咒經北斗別行法七星如意輪等之法不遑枚擧而當審詳閻浮提所當極辰下之地閻浮提地過于極辰之北者猶千二百由旬餘地如詳之於第三卷凖閻浮提餘三天下亦不可無紫微宮内外之衆星如南閻浮提餘三天% BR5.30a%下亦各不可無南極内外之衆星印度極詳此事故慈恩瑜伽疏謂有別洲星與通天下星之別今撿之以通大下星較別洲星其別洲星應當甚多凡若所在紫微宮前後百三十度之分内衆星悉在此洲上而環運焉故所不通餘洲也而又若所在南極前後百三十度之分内衆星是亦限一洲不通餘洲由是別洲之星理甚夥西説曰金水二星者其運輪小而不能包地惟抱日爲輪月者其輪益小而秪抱地爲輪又令地遽轉等逞種種苛纎以爲精微皆妄誕也耳今以紫微宮内外衆星之游輪有通不凖知之五% BR5.30b星等有運轉廣狹行度遲疾參差不齊亦何所塞之有夫六十一種之大曜及無數眷屬三十六億之衆星豈耐凡之所見況二極各布列四天下絶非肉眼之所知以藐焉天地謾任胸臆蓋不知己分之甚也證印度測曜宿高卑其傳甚久印度則當佛出世時已有測七曜高卑術如前已引經論而證今復撿嘉祥仁王疏云三藏師云外國（指印度）大白星名天師星如理行則國豐失度則儉○彗星者外國名閻羅王星此星隨所出處必有災難也○輪星者有暉如輪若日月五星破輪星中央則國% BR5.31a%土分散日月五星在輪星右行則國土安樂也左行亦不好也○鬼星者九月中日没在東北若行駃是過時節若近上則鬼神來破國病人（輪星者此方所未聞鬼星者似言鬼宿）○火星者熒惑星也此主賊若夫高則賊起若下則賊伏若在子處則下若在午爲高○水星者即是濕星亦是太白若在寅爲下若在申爲高一處三十日行十二月得一周從鷄狗猪鼠四處行無水從鬼蛇羊猴四處行則多水從牛虎龍馬四處行則平水平水則不多不少○風星者即昴星在虎處則高一處三十日行猴處行則下若高多風無雨若下多% BR5.31b雨少風七月高正月下八月至正月（從秋分至春分）漸漸下二月至七月（從春分至秋分）漸漸高（此高卑言其大概耳若欲詳知者就於暦術而冝撿）隨日行則有三種二月三月八月九月同日行十月十一月十二月正月此四月在日前行四月五月六月七月此四月在日後行此是如法行異此則失度不好也刀星者且滿星一處行逕二年半若在兎處最高若在鷄處最下若高多刀兵衆生餓疾病若下少刀兵此中三藏者即指嘉祥所稟𣴎印度之師或是眞諦等矣嘉祥與天台同時在陳隋之間印度詳高卑術而其傳久可見也西洋雖専測七曜高卑% BR5.32a%未曾聞測經星之高卑也以今已詳言昴星等高卑觀則印度不止言七曜高卑亦能得測列宿高卑之行又不止測經星亦能得測其佗雜星而其如輪星刀星等此方所未嘗聞也又有五星之外與經星不齊其行者今已言刀星一處行逕二年半是與五星叚目全同由是觀之西儒恆星天之説其非也滋彰焉西人漫欲以井蛙之見尅測渺邈天地是非不恐大方者哉論侍天形服翳月光之説間阿含起世等經説縁諸天形服隱翳月光否致月% BR5.32b有虧盈其言非甚近誕耶曰是自不達而謂爲誕耳今擧文而釋之起世經曰月天宮殿縱廣正等四十九由旬四靣垣牆七寶所成月天宮殿純以天銀天靑瑠璃而相間錯二分天銀清淨無垢光甚明曜餘之一分天靑瑠璃亦甚清淨表裏映徹光明遠照亦爲五風攝持而行於此月殿亦有大輦靑瑠璃成輿高十六由旬廣八由旬彼月天子身分光明照彼靑輦其輦光明照月宮殿宮殿光照四大洲彼月天子有五百光向下而照有五百光傍行而照是故月天名千光明亦復名爲凉冷光明又何因縁月天宮殿% BR5.33a%漸漸現耶佛答此月三因縁一背相轉出二靑身諸天形服瓔珞一切悉靑常半月中隱覆其宮以隱覆故月漸而現三從日天宮殿有六十光明一時流出障彼月輪以此因縁漸漸而現復何因縁是月宮殿圓淨滿足亦三因縁故令如是一月天宮殿靣相轉出二靑色諸天常半月中隱月宮殿此月宮於十五日時形最圓滿光明熾盛是故能覆諸光三此月宮十五日時圓滿具足於一切處皆離翳障是時日光不能隱覆乃至於黒月分第十五日一切不現者最近日宮由彼日光所覆翳故一切不現此中虧盈各% BR5.33b説三縁初所説背相轉出故虧靣相轉出故盈者與瑜伽論所説同同論云此月輪於上稍欹便見半月由彼餘分障其近分遂令不見如如漸側如是如是漸現圓滿若於黒分如如漸低如是如是漸現虧減經與論合考則義自明也其第三縁説由日光開覆致有虧盈者即立世阿毘曇論最審詳之如前出之其第二縁説由侍天形服有虧盈者是理當演八部衆之所見夫如來出興不獨爲人趣是以始從成道終至涅槃毎説經會天龍夜叉等八部大衆莫不圍遶焉且八部之衆甚多而人纔居其萬一巳耳故不% BR5.34a%啻説人之所見也今由何知其爲八部之所見者月城之大四方正等當二千里而上已説月有千光其五百光向下而照其五百光傍行而照而人之所見則理當向下五百光及月城下靣寶光也立世阿毘曇論云月宮者厚五十由旬廣五十由旬瑠璃所成白銀所覆水大分多下際水分復爲最多其下際光亦爲最勝此中既説下際光最勝其照下土者下際寶光是也豈關二千里之上金城中侍天翳障乎故知今所説爲侍天所翳障者其傍行光明而與八部之所見者而決非説人之所見也故所以月光虧盈% BR5.34b者立世阿毘曇説之既盡矣其事如前詳之起世經等廣説其縁故不須偏以人事爲難既月天身分有千光則侍天亦有所應光明而靑色靑光白色白光是常所定也今巳言侍天形服瓔珞悉靑故知數多侍天悉有靑光則豈不翳障月光哉況月宮者其果報齊四王天婆娑論云四天王身長一拘盧舎四分之一即百二十五弓依正法念經四天諸身其量脩短一同王身凖知月宮諸天之身量亦當然也身量廣大而赫■身光亦凖月天子其靑光翳障月光也 ＝亦÷火著矣豈可以庸常凡人之事爲難耶夫善思旃% BR5.35a%駁周覧地球妄談近聞西洋賈舶有一周地球者徒是妄説耳不肖嘗見一冊子新井白石所筆曰元禄中奉命在長崎視蘭賈事一日蘭人語曰先是五十年吾國王欲窮■ ＝氵＋専天之地遂命造巨鑑十有二艘遣人浮滄溟以之四方方各三艘尅日同發居久適東洋者還奏曰臣等望渤澥直進將窮大陽所浴之處忽船重不能動猶如委膠泥然俄頃驚濤大起若逆掣者却退數里似下峻崖因得還耳之南溟者反奏曰臣等直欲窮南溟侵太瀛幾數萬里忽激浪漲湧鼓怒若雷船不得% BR5.35b敢前輙取遠鏡候之南可五六百里海水奔注猶如數條瀑布或百尺許或二百尺許餘無所見浮西海者復命曰臣等直欲西攀金樞入渺瀰幾數萬里不見天日矇乎不知所嚮有彌覆海靣者如蛛網状甚堅靱能遮船厲力割裂得遁歸蓋黒闇中不可辨果是何物餘無所見航北海者反報曰直北指大洋見曠渺之地無有人住相議欲墾辟之三船各留人凡五十員分其糗糧與其器械而還請再與數百人徃將理之遂許之再到其地則所留五十人皆既死云蓋是北極下之地也是新井氏所親筆其人典實不% BR5.36a%挿欺妄斯蘭人之話似説其實者夫大荒之境神僊異類之居異氣甚多非凡人之所堪也如是至渺之説非神用之人則何由得能知之若欲知之莫如學佛典竊按如蜘蛛網者蓋是羅刹空網矣東西二邊之處近於東西迦樓羅洲也南溟激濤者乃是大波海而近于鐵圍也北邊陸地即是到於七林七河之地也又近梓泰西圖説者其中曰有人欲過北海出東洋北海堅冰厚數丈不可得舟行更轉路自南方赤道下過及折向北不可復行所謂是冰海烏能得過之邪又元禄中東國有一諸候欲探東溟新造巨% BR5.36b船差人試之數日陷於泥海船不能動一日大風幸得離之得以還報與蘭人之話適合且據大毘婆娑之説東西隅各有一迦樓羅洲廣各一千由旬是非人住處假使強侵之則將■粉豈得陵到哉 ＝敕＋韭眼智第五 自二條後漢書論印度風土曰其國則殷乎中土靈聖賢懿之所降集神迹詭異則理絶人區感驗明顯則事出天外是非過與也夫■天之下何地不降賢哲若有 ＝氵＋専賢哲則豈得無法敎哉然聞印度獨有眼智之法未聞佗邦始有此事是乃理絶人區之謂歟所言眼及% BR5.37a%智各有二一有漏（眼耳等六瘡門日漏泄過失無窮使有情稽留生死流轉三界謂之漏漏即惑染有此漏者謂之有漏）二無漏且有漏天眼有二一生得天眼二修得天眼生得天眼者唯有漏無無漏者此即色界初靜慮地所生諸天果報即是異熟生（餘趣有少分倶舎論云似天謂生餘趣由勝業等之所引生能遠聞似天眼耳如藏臣寶菩薩輪王諸龍鬼神及中有等）二修得天眼者諸仙所敎及世間定力所得者是也此有多淺深若依初靜慮發者能見諸色便至梵天若依第二靜慮發者所見能至光音天乃至依第四靜慮發者所見能至廣果及色究竟天竪既爾横亦凖焉故初禪得者能見四天下乃至第四禪得者% BR5.37b能得見三千界又有不作意則傍極中千界作意則能極大千界等之別廣明如婆娑百八十六次無漏天眼者唯是修得無生得者此即佛世尊所敎佛及阿羅漢等無漏道力所得者是也然就一家所判言之有界内界外別界内天眼則唯約定力界外天眼則約法性界外天眼中亦有別圓二敎之殊敎門繁廣不能悉擧示之故今先略擧天眼相後示修習相以開蒙士天眼相者倶舎論二十七云如是眼耳何故名天體即是天（指色界諸天）定地攝故（禪定力所得）極清淨故立以天名由此經言天眼耳者無有皮肉筋纏血% BR5.38a%塗唯妙大種（色界四大故）所造淨色又云肉眼於諸法被障細遠色無能見功用天眼見無遺法蘊足論云於眼團有異色界大種所造天眼清淨現前由此天眼能見前後左右上下諸色差別非石壁等所能障故婆娑一百八十六云天眼左右勝劣品類必同謂非左劣右勝等倶舎寶疏云問此是天眼於一切頓見十方諸色境不曰能見智度論三十九云菩薩天眼有二種一者從禪定力得二者先世行業果報得業報得業報生天眼常在肉眼中以是故三千世界所有之物不能爲礙因天眼開障肉眼得見是故肉眼% BR5.38b得名果報生天眼常現在前不待攝心又云肉眼因縁虚誑不淨天眼因縁清淨又云菩薩天眼有二種一者果報得二者修禪得果報得者常與肉眼合用唯夜闇天眼獨用諸人得果報天眼見四天下（須彌四洲是也）欲界諸天見下不見上菩薩所得果報天眼見三千大千世界禪定離欲天眼所見如先十力天眼明中説又云肉眼不能見障外事又不能遠見是故求天眼廣明天眼如毘婆娑第一百八十六卷中其佗經論徃徃明六通甚廣今擧其大略耳總論眼根有其五一者肉眼二者天眼三者慧眼四者法眼五者% BR5.39a%佛眼其義甚廣皆略之又通有六種神境天眼天耳佗心宿住漏盡是也如倶舎廿七明今略之後明修習相者倶舎論廿七云天眼耳根即四靜慮所生淨色謂縁光聲修加行故依四靜慮於眼耳邊引起彼地（指四禪天也）微妙大種（四大種也）所造淨色眼耳二根見色聞聲名天眼耳（天耳者同文故來也耳）光記云修得由修定得故正理論七十六云根本四靜慮中有定相應勝無記慧名爲天眼及天耳通此所引生大種果名天眼耳極清淨故立以天名大毘婆娑論一百八十六云謂初修業者於世俗三摩地（三界九地禪等）已善修習善得% BR5.39b自在令起現前爲欲引發天眼通故先取淨鏡靣相或日月輪星宮藥草燈燭未尼諸光明相或大火聚燒諸城邑多踰繕那燄洞然相取是相己由假想作意力於不見位能起光明勝解相續引發天眼有時即於常眼處所有色界大種所造淨天眼起能見衆色若好若惡又法蘊足論七云初靜慮所攝離生喜樂（離欲界地之惑所生功德名曰離生喜樂地）倶行心一境性説名爲定（此定名曰初禪欲修天眼者非先得此定已上則無縁修天眼雖然已於初禪前之未至定分發天眼微視數萬里外是名似發所見麁且淺非眞天眼）即於此定若修若習恆作常作加行不捨説名爲修若修若習若多所作顯彼自% BR5.40a%在能令證得現法樂住義如前説於光明想善攝受等者云何光明定加行修何加行入光明定謂於此定初修業者先應善取淨月輪相或復善取淨日輪相或復善取藥物末尼諸天宮殿星宿光明或復善取燈燭光明或復善取焚燒城邑川土光明或復善取焚燒十檐或二十檐或三十檐或四十檐或五十檐或百檐或千檐或無量百千檐薪火光明（觀想自微至著）此火光明熾盛極熾盛洞然徧洞然（從上文義皆就定想而説勿以常途看謂論文煩芿）隨取一種光明相己審諦思惟解了觀察勝解堅住而分別之彼於爾時若心散亂馳流餘境% BR5.40b不能守念令住一縁思惟所取諸光明相齊此未名光明定加行亦未名入光明定彼若爾時攝録自心令不散亂馳流餘境能令一趣住念一縁思惟如是諸光明相如是思惟發勤精進乃至勵意不息是名光明定加行亦名入光明定彼於此道生己修習多修習故便令心住等住近住安住一趣等持無二無退思惟如是諸光明想齊此名爲己入光明定而未名爲光明定想云何名爲光明定想謂即依止前光明定思惟如前諸光明相諸想等想解了取像己想當想名光明定想此光明定想名光明想於光明想% BR5.41a%善攝受者謂於此想恭敬攝受殷勤攝受尊重攝受思惟彼因彼門彼理彼方便彼行相故名善攝受善思惟者謂數數起光明想己數數思惟光明相想善修習者謂於此想數習數修數多所作故名修習善通達者謂於此想等了審了等審觀察故名善通達若晝若夜無有差別者謂如晝分審諦思惟解了觀察勝解堅住分別如前諸光明相夜分亦爾如於夜分審諦思惟解了觀察勝解堅住分別如前諸光明相晝分亦爾故名若晝若夜無有差別（得天眼者夜視猶如晝也）若前若後無有差別者（得天眼者視後猶如前）謂如對靣審諦% BR5.41b思惟解了觀察勝解堅住分別如前諸光明相背靣亦爾如於背靣對靣亦爾復次如於前時審諦思惟解了觀察勝解堅住分別如前諸光明相今時亦爾如於今時前時亦爾（肉眼唯能視現前境耳天眼不啻能視現在境復能視過去久遠劫之境復能視未來之境至曠遠）故名若前若後無有差別若下若上無有差別者（天眼視上方至色究竟天視下方至阿毘至若界外天眼者能至無邊）謂如於下方審諦思惟解了觀察勝解堅住分別如前諸光明相於上方亦爾如於上方於下方亦爾故名若下若上無有差別開心者謂發起光明照了鮮淨倶行之心離葢者謂遠離昏沈睡眠纏（十纏）葢（五葢）心% BR5.42a%用明了修照倶心者謂修習光明照了鮮淨倶行之心除闇昧心者謂此心中不起闇昧相惟起光明相如燈燭光明了除闇相（以上四心者勤加除障之法也）修無量定者謂修無量光明相定是名修定者云何爲定謂即於光明審諦思惟解了觀察勝解堅住分別所起心住等住乃至心一境性總名爲定云何爲修謂於此定若修若習恆作常作加行不捨總名爲修若多所作者顯於此定能得自在能令證得殊勝知見者云何名爲殊勝知見謂於此定若修若習若多所作至圓滿位於舊眼邊發起色界大種所造清淨天眼（於欲界身% BR5.42b中獲得色界清淨大種所造天眼是因禪定力故也）依此天眼生淨眼識依此眼識能徧觀察前後左右上下諸色如如色界大種所造清淨天眼舊眼邊起如是如是生淨眼識依此眼識領受觀察彼彼諸色是名此中殊勝知見有作是説由意淨故勝解觀見即人肉眼變成天眼名勝智見今此義中即前所説清淨眼識相應勝慧説名爲智亦名爲見謂天眼識相應勝慧領受觀察彼彼諸色是名此中殊勝智見今且擧修習大略耳其義散蔓大藏中請就而研尋焉夫無天眼已既有天眼則見大千界尚如掌菓況於一四天下乎與談天者% BR5.43a%家臆度百計以役役籌運者豈可同日而論哉其任數者至極遠之境則毫釐之差積爲山嶽如彼西洋舊説測日爲大於地百六十八倍新説則測日爲大於地纔五倍是所謂毫差積爲山嶽者也彼所測量寧足依據何故信凡人之臆説疑大聖之妙旨一經説舎利弗一時以天眼見水有蟲不可飲以密絹漉至七而蟲猶不盡天眼見極細色過見微鏡遠矣又説阿那律得半頭天眼見三千界如掌中菴摩羅果其見於極遠彼窺天鏡豈足比耶問言天眼唯出佛經西洋支那無嘗有是説不審何由知其不妄耶答% BR5.43b山中人不信有魚大如木海上人不信有木大如魚漢武帝不信弦膠魏人不信火布胡人見錦不信有蟲食樹吐絲所成呉人身在江南不信有千人氈帳及來河北不信有二萬石舩皆實驗也如世有祝師及諸幻術猶能履火蹈刃種瓜移井倐忽之間千變萬化人力所爲尚能如此況於得厥眞性神通者乎佛前佛後印度佛子梵志修得天眼者豈止億兆哉其事詳於大藏中又支那及本邦間有得天眼者粗見諸僧傳世已澆季而得禪者甚鮮矣雖然若纔得欲界禪而觀慧少得相應則可信人雅具天眼之性% BR5.44a%無毫所疑譬如臨海濵者雖未得泛於瀛洋而窮其深廣聞其曠渺無毫所疑焉在昔間有得諸深禪而發眞似天眼徹視數千萬里之外者且擧其一二以爲左證在乎支那以摩騰法蘭等爲其始有如寶誌杯度白足等不啻具天眼六通無礙而厥深淺不可測者高僧傳玄高傳云高學徒之中遊刃六門者（六門者禪定之名即六妙門是也）百有餘人（入室之弟子也）有玄紹者秦州隴西人學究諸禪神力自在手指出水供高洗漱其水香淨倍異於常毎得非常蕐香以獻三寶靈異如紹者又十一人時西海有樊會僧印者亦從高受學志% BR5.44b狹量褊得少爲足便謂已得羅漢頓盡禪門高乃密以神力令印於定中備見十方無極世界諸佛所説法門不同印於一夏尋其所見永不能盡方知定水無底大生慚愧支那僧傳中此類不啻什佰又吾本邦累代碩德間有得神通者然吾法有佛嚴誡淺位行人縱修得神通深禁現之故若有分得之者不爲佗所知也況世淹澆季絶乏其人豈不慨然哉問縱經論徃徃有其方法在而不得聞其至當理則何由得翹信耶答欲覈此義者莫若學大乘蓋自非曉唯識唯心之理終無縁達天眼之理夫離肉眼之性別% BR5.45a%非有天眼之性也若不達是性則不啻暗天眼之理又焉得達自己靈知之一念及與萬物之理本耶原夫大眼者色界清淨四大種之所成也（大種有許多麁妙如後文）大種體是法性（大種謂地水火風也）亦名眞如亦名如來藏亦名唯識楞嚴曰眼耳等六根色聲等六塵眼識等六識本是如來藏妙眞如性清淨本然周褊法界地水火風亦復如是如來藏中性色眞空性空性空眞色（眞空者名無相非言虚無頑空也）性火眞空性空眞火清淨本然周徧法界性水性風等亦復如是若此虚空性圓周徧不動搖當知現前地水火風均名五大性眞圓融皆如來% BR5.45b藏本無生滅若見聞覺知性圓周徧本無動搖當知無邊不動虚空并其動搖地水火風均名六大性眞圓融皆如來藏本無生滅若此識心本無所從當知了別見聞覺知圓滿湛然性非從所兼彼虚空地水火風均名七大性眞圓融皆如來藏本無生滅是名楞嚴圓成實性其説慇懃叮嚀修圓乘者不可不讀也今且比較外典以釋其義者楞嚴所謂如來藏者如易所謂太極也太極生兩儀兩儀生三才三才生萬物生生理無窮是幾似藏性之義老子謂有物混成先天地生老氏又謂之玄牝孔子謂之太極極含% BR5.46a%靈知蘊萬品之性蓋無象而有象也故非獨氣矣孟子云何謂浩然之氣曰難言也其爲氣也至大至剛以直養而無害則塞天地之間今唯言氣而意似含蓄以爲難言故也夫太極生兩儀兩儀生三才而天氣也地質也人靈也以質視氣則質爲粗以氣視太極則氣又爲粗太極豈唯氣哉然冝古皆言天積氣地積質爾若夫果唯氣質則當茫然無知混然無能而四時百物孰司其柄死生治亂孰尸其權如以爲偶然則慧迪從逆捷如影嚮治亂得失信於金石雷擊霜飛人妖物眚皆非偶然者也其説害於道豈少% BR5.46b小哉吾聖敎以萬法之極名爲如來藏（如來亦名如去如謂萬法一如之義來謂生生無窮去謂滅滅無盡今則以來顯去藏謂含藏萬象之義也）又名妙明眞心等而不爲氣者氣是無知心是靈知無知之氣曷得能生神鬼人畜蠢蠢蠕動之靈知譬如來油榨砂萬斛終不得一滴若言氣能生靈知者草木亦生於氣而何無知耶若言侔生於氣而一有知一無知者於理甚窒矣須知氣所生而非能生也故楞嚴名之如來藏法蕐名之實相所言藏性者體唯⼀一精明矣萬物外此莫有一法可得者也是故修稱性徧則肉眼體全與盡虚空相融無所不至當於此時行者% BR5.47a%雖自無分於天眼之事冷煖自知靡毫所疑矣吾聖敎之爲法也縱理既極解既盡若不如理而行如解而證則不爲稱以實悟圓乘者也若欲體信衆生雅具天眼之性者先須就師聞圓實之理而依法修習將護不已則一旦豁然藏性當自現前灼然體達本具靈知徧於盡虚空而不得能所於是觀見法界則盡天地無所非眼中也妙解雖既如是不依法而行則無縁得其眼用於是若欲修天眼者先須修依地若不然則縱修習而不能得天眼依地者四根本禪是也欲修四禪則必先當修欲界定如登高必自卑% BR5.47b以此定必爲發定之始摩訶止觀云若身端心攝氣息調和覺此心路泯然澄淨怗怗安穩躡躡而入其心在縁不馳散者此名麁住從此心後怗怗勝前名爲細住兩心前後中間必有持身法此法起時自然身體正直不疲不痛如似有物扶助身力若來時緊急去時寛緩疲困此是麤惡持法若好持法持麁細法無寛急過或一兩時或一兩日或一兩月稍覺深細豁爾心地作一分開明身如雲如影忽然明靜與定法相應持心不動懷抱淨除爽爽清凉雖復空靜而猶見身心之相未有支林（謂禪定也）功德是名欲界定% BR5.48a%成論名此十善相應心閃閃爍爍不應久住又此定稱名電光遺敎云若見電光暫得見道涅槃經云一切衆生皆有初地味禪若修不修必定當得文理既如是世雖澆季若有行人修習至誠則何不發欲界定今雖澆末間非無其人若依止是定得發一分之開明則灼然了知見聞覺知體是一精明雖不深境界體法無所疑若更進正發未到定則心地開明大倍於前止觀云從是心（指前欲界定）後泯然一轉虚豁不見欲界定中身首衣服床鋪猶如虚空冏冏（冏者光也）安穩身是事障未來障去身空未來得發（未到定又名未來定）% BR5.48b是名未到地相無所知人得此定謂是無生忍性障猶在未入初禪豈得謬稱無生忍耶如灰覆火愚者輕踏之（凡夫始得深妙之境界是以謬認以爲眞境界故有此誡）未到定之相既如是未得發根本禪則雖無禪定眞實功德（若得入初禪則發八種功德）若得此定發則定中總不見身心世界洞然明白唯有一精明於是益加精修則開發相似天眼徹視遠境能至若百里若千里若數萬里之外而是非眞天眼也發此定甚有淺深（余別有考）僧傳中間見發此定者然此等之定者皆世間禪而學大乘者非敢所期而修觀稱性則欲界未到等之依地法爾自發% BR5.49a%焉修觀者不可不知也今雖淹澆季不可謂絶無其人若自非依止是定修習圓乗一旦豁然泯絶境智者則不足爲知法人也問若言修能稱性者今絶無得天眼者何也曰今雖親無其人以有解行證之分故亦足能取徹底之信謂解者如先了知鏡能現像行者如麿鏡垢除照顯而由用功之淺深照用有明昧發天眼亦復如是證者如垢除照顯見自己靣無所擬冝今初心行人雖分得相應眼識稱性稍知周徧奈何無始薫染以未淨除故照用不顯譬如鏡未麿則像不現以像不現豈疑其照用耶如物沈濁水% BR5.49b則不得見之水澄清則物自彰焉以其不見豈疑有物哉行者分得相應則豁達人皆固有天眼等六神通之性無毫所疑今家名之解了名字位從此位進而不已則修益稱性定中大開明而觀見無窮之天地如明鏡現像此位有五種淺深是名觀行五品位從是精修益加焉位踰一等則得入相似鐵輪位此位爲用也不惟得天眼均淨六根上從阿加尼陀天下至阿鼻至明視聽之詳思察之毫無所遺豈止一四天下哉百億之天地皆於性中現焉若准小乘則是爲眞位之神通若在大乘則尚是名相似内凡位% BR5.50a%未爲眞位聖者也過是位已始得入眞位眞位有四十二品之差降其神通妙用豈可測知哉爲井蛙不可語滄海與山左難論珍羞如證中道之妙用縱令爲廣論之徒生疑惑者多而信之者鮮矣故今裁示入理之門耳庶幾一時攝心觀察是眼識體全靈知若達是理則於天眼之事粗足釋疑氷吾黨非喜逞偏黨愛見也西人所稱近始得知如亞墨利加墨瓦臘泥加數千載之前聖敎言之已詳矣又如亞細亞等三大洲其形三角倶舎等諸論已亦説之今徴之於彼坤輿圖且如西洋新説使地運轉如來懸知是% BR5.50b説起于後世爲預設其難破以遺之將來慈濟之深可謂至矣盡矣又正法念經身念處品廣明修得天眼者詳見四天下所有國土聚落山川河海及六萬諸山圍繞須彌等之相其義甚詳矣其佗一代藏經無性非其事深思旃復次明智者大藏中常所演二智三智四智五智及倶舎十智仁王十智汾陽十智天台妙玄之二十智等取要言之不出眞俗二智而今則不問眞與俗又非俗廣論智惟爲欲令人知智與情之分也凡世間之典籍稱爲智者皆慮知情量之分而總非實智也% BR5.51a%當知實智也者離念絶想昭昭靈靈洞然覺知諸法恰如明鏡現像似清水浮影若介爾起念即墮情以不得爲智矣慮知又名覺觀性相分別之爲四十六以名心所此心所及心王等概皆屬情若自非能達藏性者何由知智稱境而照察矣哉蓋佛乘之外未曽有明斷情亡念已別有許多智用者也佛敎有大小兩乘小乘則明六識是名事識大乘則明八識是名業識若非破無明證法性者則不能由業識也夫凡人之於念也其所現行但限六識意識外取五塵之境内起相貌是名法塵名其能縁以爲縁影心若% BR5.51b詳之則識先了別前境是名心王而領納其若樂捨是名受次取其相貌是名想違順行於此是名行此受想行總名心所合色法（色有十一種）以爲五蘊凡學世典者僉昧心地故小乗之性相猶不能得而讀況知大乘所明益精且深哉故偶雖有見佛典者夢夢而不知所分曉矣及見界外邈遠之説惑耳驚心大生毀詆者多矣是不知別有境界故也言以佛典不知讀佛典者是也猥欲以六識縁影之分別智商量若八識所現之心境若無垢清淨之寶智焉得闚其堂哉世人伹知以慮知爲智而不知離念別有智是亦% BR5.52a%如惟知有肉眼而不知別有天眼及五眼猶爲不然者試道絶心路已誰能覺知焉子貢言不得其門而入不見宗廟之美百宦之冨世人不嘗知入理之門妄欲議大聖之經典豈不謬哉請一了知現前一念之心元是如來藏理清淨湛然周徧虚空若修稱性徧則豈照古今横觀十方森羅萬象現於自己之性中如浮光齊幻影靡事不明也矣當於此時灼然洞達智眼之分釋迦一代之藏經朗然在汝之心裏要欲令人達此智眼而無疑故不自揣鄙陋伹論其梗概也耳% BR5.52b佛國暦象編初編卷之五終