// 来源：漢籍リポジトリ（Kanseki Repository）
// 条目：《四库全书》天文算法类
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// 获取时间：2026-10-08 17:54:13
// 补注：本件为四库全书子部天文算法类之汇辑，取自漢籍リポジトリ天文算法類（KR3f）全部仓位；与四库总目著录书目不完全等同（kanripo 另含存目及增补之书），以各仓文首题名为准。
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◆ 《周髀算经-汉-》（KR3f0001）
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周髀算经序 积学斋徐乃昌臧书周髀算经二卷古葢天之学也以勾股之法度天地之高厚推日月之运行而得其度数其书出于商周之间自周公受之于商高周人志之谓之周髀其所从来远矣隋书经籍志有周髀一卷赵婴注周髀一卷甄鸾重述而唐之艺文志天文类有赵婴注周髀一卷甄鸾注周髀一卷其历算类仍有李淳风注周髀算经二卷本此一书耳至于本朝崇文緫目与夫中兴馆阁书目皆有周髀算经二卷云赵君卿述甄鸾重述李淳风等注释赵君卿名爽君卿其字也如是则在唐以前则有赵婴之注而本朝以来则是赵爽之本所记不同意者赵婴赵爽止是一人岂其字文相类转写之误耶然亦当以隋唐之书为正可也又崇文緫目及李籍周髀音义皆云赵君卿不详何代人今以序文考之有曰浑天有灵宪之文葢天有周髀之法灵宪乃张衡之所作实后汉安顺之世而甄鸾之重述者乃是解释君卿之所注出于宇文周之世以此推之则君卿者其亦魏晋之间人乎若夫乘勾股朱黄之实立倍差减并之术以尽开方之妙百世之下莫之可易则君卿者诚算学之宗师也嘉定六年癸酉十一月一日丁卯冬至承议郎权知汀州军州兼管内劝农事主管坑冶括苍鲍澣之仲祺谨书周髀算经序夫高而大者莫大于天厚而广者莫广于地体恢洪而廓落形修广而幽清可以玄象课其进退然而宏逹不可指掌也可以晷仪验其长短然其巨阔不可度量也虽穷神知化不能极其妙探赜索隐不能尽其微是以诡异之说出则两端之理生遂有浑天葢天兼而并之故能弥纶天地之道有以见天地之赜则浑天有灵宪之文葢天有周髀之法累代存之官司是掌所以钦若昊天恭授民时爽以暗蔽才学浅昧邻高山之仰止慕景行之轨辙负薪余日聊观周髀其㫖约而远其言曲而中将恐废替濡滞不通使谈天者无所取则輙依经为图诚冀颓毁重仞之墙披露堂室之奥庻博物君子时逈思焉周髀题辞始读周髀輙骇其艰怪及再一寻讨不过乘方圆参两以生勾股遂至于算数所不可及葢亦因天地自然之数耳故其书称荣方学于陈子至毕思骛神卒无所用其智乃知谓天葢高固可坐而定者不诬也然周髀率以表影一寸度为千里按李淳风所引宋元嘉十九年测影干交州夏至日影在表南三寸二分共得一尺八寸二分洛去交一万一千里是不及六百里一寸也观此则日径千二百五十里去地八万里之说又有不可尽据者故蔡邕谓周髀术数具存验天多所违失又云周髀者即葢天之说也是以王任仲据葢天之说以駮浑仪为桓君山所屈则周髀之术可睹矣又淳风别引宋书历志二十四表影与今宋书相较则互有不同近刻宋书为友人姚叔祥所校称善本因举此叚问之叔祥云于时政以不得周髀故贻足下今日之问耳并识于此以竢刋定绣水沈士龙题周髀以周人志之乃称周髀而虞喜则谓天之体转四方地体卑不动天周其上故云周其解周字又一义也然周髀之说夺于浑天如杨子云八难卒无有能破之者惟梁武帝于长春殿讲义别儗天体全同周髀以排浑天之论其后遂不复显凡以世乏善算遂令真秘湮屈余读魏书有〔？〕人成公兴佣赁宼谦之家为其开舍南辣田谦之坐树下算兴时来看后谦之算七曜有所不了惘然自失兴曰先生何为不怿谦之曰我学算累年而近算周髀不合以此自媿且非汝所知何劳问也兴曰先生试随兴语布之俄然便决谦之叹伏不测请师事之兴后入嵩山石室尸解乃知周髀非僊真有道算难遽合彼桓郑蔡陆者恐未易以声附子云也武原胡震亨题周髀题辞
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周髀算经卷上(南陵徐乃昌校勘经籍记)汉 赵 君卿 注北周汉中郡守前司隶臣甄鸾重述唐朝议大夫行大史令上轻车都尉臣李淳风等奉𠡠注释明 赵 开美 校昔者周公问于商高曰窃闻乎大夫善数也(唐寅)(曰经文也)周公姓姬名旦武王之弟商高周时贤大夫善算者也周公位居冡宰德则至高尚自卑巳以自牧下学而上逹况其凡乎(唐寅曰此赵注也)请问古者包牺立周天历度包牺三皇之一始画八卦以商高善数能通乎微妙逹乎无方无大不综无幽不显闻包牺立周天历度运章蔀之法易曰古者包牺氏之王天下也仰则观象于天俯则观法于地此之谓也夫天不可阶而升地不可将尺寸而度邈乎悬广无阶可升荡乎遐远无度可量请问数从安出心昧其机请问其目商高曰数之法出于圆方圆径一而周三方径一而匝四伸圆之周而为勾展方之匝而为股共结一角邪适弦五政圆方邪径相通之率故曰数之法出于圆方圆方者天地之形隂阳之数然则周公之所问天地也是以商高陈圆方之形以见其象因竒耦之数以制其法所谓言约㫖远微妙幽通矣圆出于方方出于矩圆䂓之数理之以方方周匝也方正之物出之以矩矩广长也矩出于九九八十一推圆方之率通广长之数当须乘除以计之九九者乘除之原也故折矩故者申事之辞也将为勾股之率故曰折矩也以为勾广三广圆之周横者谓之广勾亦广广短也股修四应方之匝从者谓之修股亦修修长也径隅五自然相应之率径直隅角也亦谓之弦既方之外半其一矩勾股之法先知二数然后推一见勾股然后求弦先各自乘成其实实成势化外乃变通故曰既方其外或并勾股之实以求弦实之中乃求勾股之分并实不正等更相取与互有所得故曰半其一矩其术勾股各自乘三三如九四四一十六并为弦自乘之实二十五减勾于弦为股之实一十六减股于弦为勾之实九环而共盘得成三四五盘读如盘桓之盘言取而并减之积环屈而共盘之谓开方除之其一面故曰得成三四五也两矩共长二十有五是谓积矩两矩者勾股各自乘之实共长者并实之数将以施于万事而此先陈其率也故禹之所以治天下者此数之所生也禹治洪水决流江河望山川之形定高下之势除滔天之灾释昏蛰之厄使东注于海而无浸溺乃勾股之所由生也勾股圆方图 弦实二十五朱及黄朱实六黄实一勾股方圆图注赵君卿曰勾股各自乘并之为弦实开方除之即弦也案弦图又可以勾股相乘为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中黄实加差实亦成弦实以差实减弦实半其余以差为从法开方除之复得勾矣加差于勾即股凡并勾股之实即成弦实或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股弦差为广股弦并为袤而股实方其里减矩勾之实于弦实开其余即股倍股在两边为从法开矩勾之角即股弦差加股为弦以差除勾实得股弦并以并除勾实亦得股弦差令并自乘与勾实为实倍并为法所得亦弦勾实减并自乘如法为股股实之矩以勾股差为广勾弦并为袤而勾实方其里减矩股之实于弦实开其余即勾倍勾在两边为从法开矩股之角即勾弦差加勾为弦以差除股实得勾弦并以并除股实得勾弦差令并自乘与股实为实倍并为法所得亦弦股实减并自乘如法为勾两差相乘倍而开之所得以股弦差增之为勾以勾弦差增之为股两差増之为弦倍弦实列勾股差实见弦实者以图考之倍弦实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并也令并自乘倍弦实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差以差减并而半之为勾加差于并而半之为股其倍弦为广袤合令勾股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差以差减合半其余为广减广于弦即所求也观其迭相䂓矩共为反复互与通分各有所得然则统叙群伦弘纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之也释圆方勾股注按君卿注曰勾股各自乘并之为弦实开方除之即弦臣鸾曰假令勾三自乘得九股四自乘得十六并之得二十五开方除之得五为弦也(寅曰五五二十五弦实四面之一也)注云按弦图又可以勾股相乘为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乘为中黄实(寅曰勾股相乘其数一十二也)臣鸾曰以勾弦差二倍之为四自乘得一十六为左图中黄实也(寅曰甄氏止注以勾股十二字之义)臣淳风等谨按注云以勾股之差自乘为中黄实鸾云倍勾弦差自乘者苟求异端虽合其数于率不通(寅曰勾股之差其数一也自乘得一一如)注云加差实亦成弦实臣鸾曰加差实一并外矩青八得九并中黄十六得二十五亦成弦实也臣淳风等谨按注云加差实一亦成弦实鸾曰加差实并外矩及中黄者虽合其数于率不通(寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十)(四加一为弦实二十五也)注云以差实减弦实半其余以差为从法开方除之复得勾矣臣鸾曰以差实九减弦实二十五余十六半之得八以差一加之得九开之得勾三也臣淳风等谨按注宜云以差实一减弦实二十五余二十四半之为十二以差一从开方除之得勾三鸾云以差实九减弦实者虽合其数于率不通(顾应祥曰以差实一减弦实二十五)注云加差于勾即股臣鸾曰加差一于勾三得股四也注云凡并勾股之实即成弦实臣鸾曰勾实九股实十六并之得二十五也注云或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股弦差为广股弦并为袤臣鸾曰以股弦差一为广股四并弦五得九为袤左图外青也注云而股实方其里臣鸾曰为左图中黄十六注云减矩勾之实于弦实开其余即股臣鸾曰减矩勾之实九于弦实二十五余一十六开之得四股也注云倍股在两边为从法开矩勾之角即股弦差臣鸾曰倍股四得八在图两边以为从法开矩勾之角九得一也注云加股为弦臣鸾曰加差一于股四则弦五也注云以差除勾实得股弦并臣鸾曰以差一除勾实九得九即股四弦五并为九也注云以并除勾实亦得股弦差臣鸾曰以九除勾实九得股弦差一注云令并自乘与勾实为实臣鸾曰令并股弦得九自乘为八十一又与勾实九加之得九十为实注云倍并为法臣鸾曰倍股弦并九得十八者为法注云所得亦弦臣鸾曰除之得五为弦(寅曰以法十八除实九十)注云勾实减并自乘如法为股臣鸾曰以勾实九减并自乘八十一余七十二以法十八除之得四为股也注云股实之矩以勾弦差为广勾弦并为袤臣鸾曰股实之矩以勾弦差二为广勾弦并八为袤注云而勾实方其里减矩股之实于弦实开其余即勾臣鸾曰勾实有九方在右图里以减矩股之实十六于弦实二十五余九开之得三勾也注云陪勾在两邉臣鸾曰各三也(寅曰倍之得六)注云为从法开矩股之角即勾弦差加勾为弦臣鸾曰加差二于勾三则弦五也注云以差除股实得勾弦并臣鸾曰以差二除股实十六得八勾三弦五并为八也注云以并除股实亦得勾弦差臣鸾曰以并除股实十六得勾弦差二注云令并自乘与股实为实臣鸾曰令并八自乘得六十四与股实十六加之得八十为实注云倍并为法臣鸾曰倍勾弦并八得十六为法注云所得亦弦臣鸾曰除之得弦五也注云股实减并自乘如法为勾臣鸾曰以股实十六减并自乘六十四余四十八以法十六除之得三为勾也注云两差相乘倍而开之所得以股弦差增之为勾臣鸾曰以股弦差一乘勾弦差二得二倍之为四开之得二以股弦差一増之得三勾也注云以勾弦差增之为股臣鸾曰以弦差二增之得四股也注云两差增之为弦臣鸾曰以股弦差一勾弦差二増之得五弦也注云倍弦实列勾股差实见弦实者以图考之倍弦实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实臣鸾曰倍弦实二十五得五十满外大方七七四十九而多黄实黄实之多即勾股差实也注云以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并臣鸾曰以差实一减五十余四十九开之即大方之面七也亦是勾股并也注云令并自乘倍弦实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差臣鸾曰并七自乘得四十九倍弦实二十五得五十以减之余即中黄方差实一也故开之即勾股差一也注云以差减并而半之为勾臣鸾曰以差一减并七余六半之得三勾也注云加差于并而半之为股臣鸾曰以差一加并七得八而半之得四股也注云其倍弦为广袤合臣鸾曰倍弦二十五为五十为广袤合臣淳风等谨按列广袤术宜云倍弦五得十为广袤合今鸾云倍弦二十五者错也(寅曰勾广一袤九股广二袤八)注云而令勾股见者自乘为其实四实以减之开其余所得为差臣鸾曰令自乘者以七七自乘得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一臣淳风等谨按注意令自乘者十自乘得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股弦差减股弦并余数若据股实而言之一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾弦并余数也鸾云令自乘者以七七自乘得四十九四实者大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实者四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一者错也(寅曰大方之中有四弦实故四)(其勾实得三十六减之余六十四开其余得八为勾之广袤差四其股实得六十四)(减之余三十六开得六为股之广袤差所谓广袤差者勾广一而袤九股广二而袤)(入广袤相减之余也)注云以差减合半其余为广臣鸾曰以差一减合七余六半之得三广也臣淳风等谨按注意以差八六各减合十余二四半之得一二一即股弦差二即勾弦差以差减弦即各袤广也鸾云以差一减合七余六半之得三广者错也(寅曰以勾之广)(袤差八减广袤合十余二半之为勾之广以股袤差六减广袤合十余四半之为股)(之广二注皆未莹)注云减广于弦即所求也臣鸾曰以广三减弦五即所求差二也臣淳风等谨按注意以广一二各减弦五即所求股四勾三也鸾云以广三减弦五即所求差二者此错也(寅曰甄鸾述说终此)周公曰大哉言数(唐寅曰此经文也)心逹数术之意故发大哉之数(唐寅曰此赵注也)请问用矩之道谓用表之宜测望之法商高日平矩以正绳以求绳之正定平悬之体将欲愼毫厘之差防千里之失偃矩以望高覆矩以测深卧矩以知远言施用无方曲从其事术在九章环矩以为圆合矩以为方既以追寻情理又可造制圆方言矩之于物无所不至方属地圆属天天圆地方物有圆方数有竒耦天动为圆其数竒地静为方其数耦此配隂阳之义非实天地之体也天不可穷而见地不可尽而观岂能定其圆方乎又曰北极之下高人所居六万里滂沲四𬯎而下天之中央亦高四旁六万里是为形状同归而不殊涂隆高齐耽而易以陈故曰天似葢笠地法覆槃方数为典以方出圆夫体方则度影正形圆则审实难盖方者有常而圆者多变故当制法而理之理之法者半周半径相乘则得方矣又可周径相乘四而一又可径自乘三之四而一又可周自乘十二而一故圆出于方(典实也)笠以写天笠亦如葢其形正圆戴之所以象天写犹象也言笠之体象天之形诗云何蓑何笠此之义也天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄为里以象天地之位既象其形又法其位言相方类不亦似乎是故知地者智知天者圣言天之高大地之广远自非圣智其孰能与于此乎智出于勾勾亦影也察勾之损益加物之高远故曰智出于勾勾出于矩矩谓之表表不移亦为勾为勾将正故曰勾出于矩焉夫矩之于数其裁制万物唯所为耳言包含几微转通旋环也周公曰善哉善哉言明晓之意所谓问一事而万事逹昔者荣方问于陈子荣方陈子是周公之后人非周髀之本文然此二人共相解释后之学者谓之章句因从其类列于事下又欲尊而远之故云昔者时世官号未之前闻曰今者窃闻夫子之道荣方问陈子能述商高之㫖明周公之道知日之高大日去地与圆径之术光之所照日旁照之所及也一日所行日行天之度也远近之数冬至夏至去人之远近也人所望见人目之所极也四极之穷日光之所远也列星之宿二十八宿之度也天地之广袤袤长也东西南北谓之广长夫子之道皆能知之其信有之乎而明察之故不昧不疑陈子曰然言可知也荣方曰方虽不省愿夫子幸而说之欲以不省之情而观大雅之法今若方者可教此道邪不能自料访之贤者陈子曰然言可教也此皆算术之所及言周髀之法出于算术之妙也子之于算足以知此矣若诚累思之累重也言若诚能重累思之则逹至微之理于是荣方归而思之数日不能得虽濳心驰思而才单智竭复见陈子曰方思之不能得敢请问之陈子曰思之未熟熟犹善也此亦望远起高之术而子不能得则子之于数未能通类定高远者立两表望悬邈者施累矩言未能通类求勾股之意是智有所不及而神有所穷言不能通类是情智有所不及而神思有所穷滞夫道术言约而用博者智类之明夫道术圣人之所以极深而研几唯深也故能通天下之志唯几也故能成天下之务是以其言约其㫖远故曰智类之明也问一类而万事逹者谓之知道引而伸之触类而长之天下之能事毕矣故谓之知道也今子所学欲知天地之数算数之术是用智矣而尚有所难是子之智类单算术所包尚以为难是子智类单尽夫道术所以难通者既学矣患其不博不能广博既博矣患其不习不能究习既习矣患其不能知不能知类故同术相学术教同者则当学通类之意同事相观事类同者观其㫖趣之类此列士之愚智列犹别也言视其术鉴其学则愚智者别矣贤不肖之所分贤者逹于事物之理不肖者暗于照察之情至于役神驰思聦明殊别矣是故能类以合类此贤者业精习智之质也学其伦类观其指归唯贤智精习者能之也夫学同业而不能入神者此不肖无智而业不能精习俱学道术明不察不能以类合类而长之此心游目荡义不入神也是故算不能精习吾岂以道隐子哉固复熟思之凡教之道不愤不启不悱不发愤而悱之然后启发既不精思又不学习故言吾无隐也尔固复熟思之举一隅使及之以三也荣方复归思之数日不能得复见陈子曰方思之以精熟矣智有所不及而神有所穷知不能得愿终请说之自知不敏避席而请说之陈子曰复坐吾语汝于是荣方复坐而请陈子说之曰夏至南万六千里冬至南十三万五千里日中立竿测影臣鸾曰南戴日下立八尺表表影千里而差一寸是则天上一寸地下千里今夏至影有一尺六寸故其万六千里冬至影一丈三尺五寸则知其十三万五千里此一者天道之数言天道数一悉以如此周髀长八尺夏至之日晷一尺六寸晷影也此数望之从周城之南千里也而周官测影尺有六寸盖出周城南千里也记云神州之土方五千里虽差一寸不出畿地之分先王知之实故建王国髀者股也正晷者勾也以髀为股以影为勾股定然后可以度日之高远正晷者日中之时节也正南千里勾一尺五寸正北千里勾一尺七寸候其影使表相去二千里影差二寸将求日之高远故先见其表影之率日益表南晷日益长候勾六尺候其影使长六尺者欲令勾股相应勾三股四弦五勾六股八弦十即取竹空径一寸长八尺捕影而视之空正掩日以径寸之空视日之影髀长则大矩短则小正满八尺也捕犹索也掩犹覆也而日应空之孔掩若重䂓更言八尺者举其定也又曰近则大远则小以影六尺为正由此观之率八十寸而得径一寸以此为日髀之率之为六十寸以两表相去二千里乘得十二万里为实以影差二寸为法除之得日底地去表六万里求从髀至日八万里者先置表高八尺上十之为八十寸以两表相去二千里乘之得十六万为实以影差二寸为法除之得从表端上至日八万里也若求邪至日者以日下为勾日高为股勾股各自乘并而开方除之得邪至日从髀所旁至日所十万里旁此古邪字求其数之术曰以表南至日下六万里为勾以日高八万里为股为之求弦勾股各自乘并而开方除之即邪至日之所也臣鸾曰求从髀邪至日所法先置南至日底六万里为勾重张自乘得三十六亿为勾实更置日高八万里为股重张自乘得六十四亿为股实并勾股实得一百亿为弦实开方除之得从王城至日十万里今有十万里问径几何曰一千二百五十里八十寸而得径一寸以一寸乘十万里为实八十寸为法即得以率率之八十里得径一里十万里得径千二百五十里法当以空径为勾率竹长为股率日去人为大股大股之勾即日径也其术以勾率乘大股股率而一此以八十里为法十万里为实实如法而一即得日径故曰日晷径千二百五十里臣鸾曰求以率八十里得径一里十万里得径千二百五十里法先置竹孔径一寸为十里为勾更置邪去曰十万里为股以勾十里乘股十万里得一亿为实更置日去地八万里为法除实得日晷径千二百五十里故云日晷径也臣淳风等谨按夏至王城望日立两表相去二千里表高八尺影去前表一尺五寸去后表一尺七寸旧术以前后影差二寸为法以前影寸数乘表间为实实如法得万五千里为日下去南表里又以表高八十寸乘表间为实实如法得八万里为表上去日里仍以表寸为日高影寸为日下待日渐高候日影六尺用之为勾以表为股为之求弦得十万里为邪表数目取管圆孔径一寸长八尺望日满筒以为率长八十寸为一邪去日十万里日径即千二百五十里以理推之法云天之处心高于外衡六万里者此乃语与术违勾六尺股八尺弦十尺角隅正方自然之数盖依绳水之定施之于表矩然则天无别体用日以为高下术既随乎而迁高下从何而出语术相违是为大失又按二表下地依水平法定其高下若北表地高则以为勾以间为弦置其高数其影乘之其表除之所得益股为定间若北表下者亦置所下以法乘除所得以减股为定间又以高下之数与间相约为地高远之率求远者影乘定间差法而一所得加表日之高也求邪去地者弦乘定间差法而一所得加弦日邪去地此三等至皆以日为正求日下地高下者置戴日之远近地高下率乘之如间率而一所得为日下地高下形势隆杀与表间同可依此率若形势不等非代所知率日径求日大小者径率乘间如法而一得日径此径当即得不待影长六尺凡度日者先须定二矩水平者影南北立勾齐高四尺相去一丈以二弦候牵于勾上并率二则拟为候影勾上立表弦下望日前一则上畔后一则下畔引则就影合与表日参直二至前后三四日间影不移处即是当以候表亦望人取一影亦可日径影端表头为则然地有高下表望不同后六术乃穷其实 第一后高前下术高为勾表间为弦后复影为所求率表为有所率以勾为所有数所得益股为定间 第二后下术以其所下为勾表间为弦置其所下以影乘表除所得减股余为定间第三邪下术依其北高之率高其勾影合与地势隆杀相似余同平法假令髀邪下而南其邪亦同不须别望但弦短与勾股不得相应其南里数亦随地势不得校乎平则促若用此术但得南望若北望者即用勾照南下之术当北高之地 第四邪上术依其后下之率下其勾影此谓廻望北极以为高逺者望去取差亦同南望此术弦长亦与勾股不得相应唯得北望不得南望若南望者即用勾影北高之术第五平术不论高下周髀度日用此平术故东西南北四望皆通远近一差不须别术 第六术者是外衡其径云四十七万六千里半之得二十三万八千里者是外衡去天心之处心高于外衡六万里为率南行二十三万八千里下校六万里约之得南行一百一十九里下校三十里一百一十九歩差下三十歩则三十歩大强差下十歩以此为准则不合有平地地既平而用术尤乖理验且自古论晷影差变毎有不同今略其梗槩取其推歩之要尚书攷灵曜云日永影尺五寸日短一十三尺日正南千里而减一寸张衡灵宪云悬天之晷薄地之仪皆移千里而差一寸郑玄注周礼云凡日影于地千里而差一寸王蕃姜岌因此为说按前诸说是数并同其言更出书非直有此以事考量恐非实矣谨按宋元嘉十九年歳在壬午遣使徃交州度日影夏至之日影在表南三寸二分太康地理志交趾去洛阳一万一千里阳城去洛阳一百八十里交趾西南望阳城洛阳在其东南较而言之令阳城去交趾近于洛阳去交趾一百八十里则交趾去阳城一万八百二十里而影差尺有八寸二分是六百里而影差一寸也况复人路迂廻羊肠曲折方于鸟道所较弥多以事验之又未盈五百里而差一寸眀矣千里之言固非实也何承天又云诏以土圭测影考校二至 三日有余从来积歳及交州所上验其增减亦相符合此则影差之验也周礼大司徒职曰夏至之影尺有五寸马融以为洛阳郑玄以为阳城尚书攷灵曜日永影一尺五寸郑玄以为阳城日短十三尺易纬通卦验夏至影尺有四寸八分冬至一丈三尺刘向洪范传夏至影一尺五寸八分是时汉都长安而向不言测影处所若在长安则非晷影之正也夏至影长一尺五寸八分冬至一丈三尺一寸四分向又云春秋分长七尺三寸六分此即緫是虗妄后汉历志夏至影一尺五寸后汉洛阳冬至一丈三尺自梁天监巳前并同此数魏景𥘉夏至影一尺五寸魏𥘉都许昌与颕川相近后都洛阳又在地中之数但易纬因汉历旧影似不别影之冬至一丈三尺晋姜岌影一尺五寸宋都建康在江表验影之数遥取阳城冬至一丈三尺宋大明祖冲之历夏至影一尺五寸宋都秣陵遥取影同前冬至一丈三尺后魏信都芳注周髀四术云按永平元年戊子是梁天监之七年也见洛阳测影又见公孙崇集诸朝士共观秘书影同是夏至之日以八尺之表测日中影皆长一尺五寸八分虽无六尺近六寸梁武帝大同十年太史令虞邝以九尺表于江左建康测夏至日中影长一尺三寸二分以八尺表测之影长一尺一寸七分强冬至一丈三尺七分八尺表影长一丈一尺六寸二分弱隋开皇元年冬至影长一丈二尺七寸二分开皇二年夏至影一尺四寸八分冬至长安测夏至洛阳测及王邵隋灵感志冬至一丈二尺七寸二分长安测也开皇四年夏至一尺四寸八分洛阳测也冬至一丈二尺八寸八分洛阳测也大唐正观二年己五五月二十三日癸亥夏至中影一尺四寸六分长安测也十一月二十九丙寅冬至中影一丈二尺六寸三分长安测也按汉魏及隋所记夏至中影或长短齐其盈缩之中则夏至之影尺有五寸为近定实矣以周官推之洛阳为所交会则冬至一丈二尺五寸亦为近矣按梁武帝都金陵云洛阳南北大较千里以尺表令其有九尺影则大同十年江左八尺表夏至中影长一尺一寸七分若是为夏至八尺表千里而差一寸弱矣此推验即是夏至影差降升不同南北逺近数亦有异日高图注赵君卿曰黄甲与黄乙其实正等以表高乘两表相去为黄甲之实以影差为黄甲之广而一所得则变得黄甲之袤上与日齐按图当加表高今言八万里者从表以上复加之青丙与青已其实亦等黄甲与青丙相连黄乙与青已相连其实亦等皆以影差为广臣鸾曰求日高法先置表高八尺为八万里为袤以相两表相去二千里为广乘袤八万里得一亿六千万里为黄甲之实以影差二寸为二千里为法除之得黄乙之袤八万里即上与日齐此言王城去天名曰甲日底地上至日名曰乙上天名青丙下地名青戊据影六尺王城上天南至日六万里王城南至日底地亦六万里是上下等数日夏至南万六千里者立表八尺于王城影一尺六寸影寸千里故王城去夏至日底地万六千里也法曰周髀长八尺勾之损益寸千里勾谓影也言悬天之影薄地之仪皆千里而差一寸故曰极者天广袤也言极之远近有定则天广长可知今立表高八尺以望极其勾一丈三寸由此观之则从周北十万三千里而至极下谓冬至日加卯酉之时若春秋分之夜半极南两旁与天中齐故以为周去天中之数荣方曰周髀者何陈子曰古时天子治周古时天子谓周成王时以治周居王城故曰昔先王之经邑奄观九隩靡地不营土圭测影不缩不盈当风雨之所交然后可以建王城此之谓也此数望之从周故曰周髀言周都河南为四方之中故以为望主也髀者表也用其行事故曰髀由此捕望故曰表影为勾故曰勾股也日夏至南万六千里日冬至南十三万五千里日中无影以此观之从南至夏至之日中十一万九千里诸言极者斥天之中极去周十万三千里亦谓极与天中齐时更加南万六千里是也北至其夜半亦然日极在极北正等也凡径二十三万八千里并南北之数也此夏至日道之径也其径者圆中之直者也其周七十一万四千里周匝也谓天戴日行其数以三乘径臣鸾曰求夏至日道径法列夏至日去天中心十一万九千里夏至夜一日亦去天中心十一万九千里并之得夏至日道径二十三万八千里三乘径得周七十一万四千里也从夏至之日中至冬至之日中十一万九千里冬至日中去周十三万五千里除夏至日中去周一万六千里是也北至极下亦然则从极南至冬至之日中二十三万八千里从极北至其夜半亦然凡径四十七万六千里此冬至日道径也其周百四十二万八千里从春秋分之日中北至极下十七万八千五百里春秋之日影七尺五寸五分加望极之勾一丈三寸臣鸾曰求冬至日道径法列夏至去冬至日中十一万九千里从夏至日道北径亦十一万九千里并之得冬至日中北极下二十三万八千里从极至夜半亦二十三万八千里并之得冬至道径四十七万六千里以三乘径即冬至日道周一百四十二万八千里从极下北至其夜半亦然凡径三十五万七千里周一百七万一千里故日月之道常縁宿日道亦与宿正内衡之南外衡之北圆而成规以为黄道二十八宿列焉日之行也一出一入或表或里五月二十三分月之二十一道一交谓之合朔交会及月蚀相去之数故曰縁宿也日行黄道以宿为正故曰宿正于中衡之数与黄道等臣鸾曰求春秋分日道法列春秋分日中北至极下十七万八千五百里从北极北至其夜半亦然并之得春秋分日道径三十五万七千里以三乘径即日道周一百七万一千里求黄道径法列从北极南至夏至日中一十一万九千里以从极北去冬至夜半二十三万八千里并之得黄道三十五万七千里从极南至冬至日北至夏至日夜半亦黄道径也以三乘径周得一百七万一千里也南至夏至之日中北至冬至之夜半南至冬至之日中北至夏至之夜半亦径三十五万七千里周一百七万一千里此皆黄道之数与中衡等春分之日夜分以至秋分之日夜分极下常有日光春秋分者昼夜等春分至秋分日内近极故日光照及也秋分之日夜分以至春分之日夜分极下常无日光秋分至春分日外远极故日光照不及也故春秋分之日夜分之时日所照适至极隂阳之分等也冬至夏至者日道发歛之所生也至昼夜长短之所极发犹往也歛犹还也极终也春秋分者隂阳之修昼夜之象修长也言隂阳长短之等昼者阳夜者隂以明暗之差为隂阳之象春分以至秋分昼之象北极下见日光也日永主物生故象昼也秋分至春分夜之象北极下不见日光也日短主物死故象夜也故春秋分之日中光之所照北极下夜半日光之所照亦南至极此日夜分之时也故曰日照四旁各十六万七千里至极者谓璇玑之际为阳绝隂障以日之时而日光有所不逮故知日旁照十六万七千里不及天中一万一千五百里也人望所见远近宜如日光所照日近我一十六万七千里之内及我我自见日故为日出日远我十六万七千里之外日则不见我我亦不见日故为日入是为日与目见于十六万七千里之中故曰逺近宜如日光之所照也从周所望见北过极六万四千里自此以下诸言减者皆置日光之所照若人目之所见十六万七千里以除之此除极至周十万三千里臣鸾曰求从周所望见北过极六万四千里法列人目所极十六万七千里以王城周去极十万三千里减之余六万四千里即人望过极之数也南过冬至之日三万二千里除冬至日中去周十三万五千里臣鸾曰求冬至日中三万二千里法列人目所极十六万七千里以冬至日中去王城十三万五千里减之余即过冬至日中三万二千里也夏至之日中光南过冬至之日中光四万八千里除冬至之日中相去十一万九千里臣鸾曰求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里法列日高照十六万七千里以冬夏至日中相去一十一万九千里减之余即南过冬至之日中光四万八千里南过人所望见一万六千里夏至日中去周万六千里臣鸾曰求夏至日中光南过人所望见万六千里法列王城去夏至日中光南过人所望见万六千里加日光所及十六万七千里得十八万三千里以人目所极十六万七千里减之余即南过人目所望见一万六千里也北过周十五万一千里除周夏至之日中一万六千里臣鸾曰求夏至日中光北过周十五万一千里法列日光所及十六万七千里以王城去夏至日中一万六千里减之余即北过周十五万一千里北过极四万八千里除极去夏至之日十一万九千里臣鸾曰求夏至日中光北过极四万八千里法列日光所及十六万七千里以北极去夏至夜半十一万九千里减之余即北过极四万八千里也冬至之夜半日光南不至人所见七千里倍日光所照里数以减冬至日道径四十七万六千里又除冬至日中去周十三万五千里臣鸾曰求冬至夜半日光南不至人目所见七千里法列日光十六万七千里倍之得三十三万四千里以减冬至日道径四十七万六千里余十四万二千里复以冬至日中去周十三万五千里减之余即不至人目所见七千里不至极下七万一千里从极至夜半除所照十六万七千里臣鸾曰求冬至日光不至极下七万一千里法列冬至夜半去极二十三万八千里以日光一十六万七千里减之余即不至极下七万一千里夏至之日中与夜半日光九万六千里过极相接倍日光所照以夏至日道径减之余即相接之数臣鸾曰求夏至日中日光与夜半相接九万六千里法列倍日光所照十六万七千里得径三十三万四千里以夏至日过径二十三万八千里减之余即日光相接九万六千里也冬至之日中与夜半日光不相及十四万二千里不至极下七万一千里倍日光所照以减冬至日道径余即不相及之数半之即各不至极下臣鸾曰求冬至日光与夜半日不及十四万二千里不至极下七万一千里法列冬至日道径四十七万六千里以倍日光所照三十三万四千里减之余即日光不相及十四万二千里半之即不至极下七万一千里也夏至之日正东西望直周东西日下至周五万九千五百九十八里半求之术以夏至日道径二十三万八千里为弦倍极去周十万三千里得二十万六千里为股为之求勾以股自乘减弦自乘其余开方除之得勾一十一万九千一百九十七里有竒半之各得周半数臣鸾曰求夏至日正东西去周法列夏至道径二十三万八千里为弦自相乘得五百六十六亿四千四百万为弦实更置极去周十万三千里倍之为二十万六千里为股重张自相乘得四百二十四亿三千六百万为股实以减弦实余一百四十二亿八百万即勾实以开方除之得正东西去周一十一万九千一百九十七里二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一半之即周东西各五万九千五百九十八里半经曰竒者分也若求分者倍分母得四十七万六千七百九十即一方得五万九千五百九十八里半四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一本经无所余算之次因而演之也冬至之日正东西方不见日正东西方者周之卯酉日在十六万七千里之外不见日以算求之日下至周二十一万四千五百五十七里半求之术以冬至日道径四十七万六千里为弦倍极之去周十万三千里得二十万六十里为勾为之求股勾自乘减弦之自乘其余开方除之得四十二万九千一百一十五里有竒半之各得东西数臣鸾曰求冬至正东西方不见日法列冬至日道径四十七万六千里为弦重张相乘得二千二百六十五亿七千六百万里为弦实更列极去周十万三千里倍之得二十万六千里为勾重张相乘得四百二十四亿三千六百万以减弦实余一千八百四十一亿四十万即股实开方除之得周直东西四十二万九千一百一十五里八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五半即周一方去日二十一万四千五百五十七里半亦倍分母得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五凡此数者日道之发歛凡此上周径之数者日道徃还之所至昼夜长短之所极冬至夏至观律之数听钟之音观律数之生听钟音之变知寒暑之极明代序之化也冬至昼夏至夜冬至昼夜日道径半之得夏至昼夜日道径法置冬至日道径四十七万六千半之得夏至日中去夏至夜半二十三万八千里以四极之里也差数及日光所还观之以差数之所及日光所还以此观之则四极之穷也四极径八十一万里从极南至冬至日中二十三万八千里又日光所照十六万七千里凡径四十万五千里北至其夜半亦然故日径八十一万里八十一者阳数之终日之所极臣鸾曰求四极径八十一万里法列冬至日中去极二十三万八千里复加冬至日光所极十六万七千里得四十万五千里北至其夜半亦然并南北即是大径八十一万里周二百四十三万里三乘径即周臣鸾曰以三乘八十一万里得周二百四十三万自此以外日所不及也从周至南日照处三十万二千里半径除周去极十万三千里臣鸾曰求周南三十万二千里法列半径四十万五千以王城去极十万三千里减之余即周南至日照处三十万二千里周北至日照处五十万八千里半径加周去极十万三千里臣鸾曰求周去冬至夜半日北极照处五十万八千里法列半道径四十万五千里加周夜半去极十万三千里得冬至夜半北极照去周五十万八千里东西各三十九万一千六百八十三里半求之术以径八十一万里为弦倍去周十万三千里得二十万六千里为勾为之求股得七十八万三千三百六十七里有竒半之各得东西之数臣鸾曰求东西各三十九万一千六百八十三里半法列径八十一万里重张自乘得六千五百六十一亿为弦实更置倍周去北极二十万六千里为勾重张自乘得四百二十四亿三千六百万以减弦实余六千一百三十六亿六千四百万即股实以开方除之得股七十八万三千三百六十七里一百五十六万六千七百三十五分里之十四万三千三百一十一半之即得去周三十九万一千六百八十三里半分母亦倍之得三百一十三万三千四百七十分里之十四万三千三百一十一也周在天中南十万三千里故东西矩中径二万六千六百三十二里有竒求矩中径二万六千六百三十二里有竒法列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之余即矩中径之数臣鸾曰求矩中径二万六千六百三十二里有竒法列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之余二万六千六百三十三里取一里破为一百五十六万六千七百三十五分减一十四万三千三百一十一余一百四十二万三千四百二十四即径东西矩二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四周北五十万八千里冬至日十三万五千里冬至日道径四十七万六千里周一百四十二万八千里日光四极当周东西各三十九万一千六百八十三里有竒此方圆之法此言求圆于方之法万物周事而圆方用焉大匠造制而䂓矩设焉或毁方而为圆或破圆而为方方中为圆者谓之圆方圆中为方者谓之方圆也七衡图注赵君卿曰靑图画者天地合际人目所远者也天至高地至卑非合也人目极观而天地合也日入青图画内谓之日出出青图画外谓之日入青图画之内外皆天也北辰正居天中之央人所谓东西南北者非有常处各以日出之处为东日中为南日入为西日没为北北辰之下六月见日六月不见日从春分至秋分六月常见日从秋分至春分六月常不见日见日为昼不见日为夜所谓一歳者即北辰之下一昼一夜黄图画者黄道也二十八宿列焉日月星辰躔焉使青图在上不动贯其极而转之即交矣我之所在北辰之南非天地之中也我之卯酉非天地之卯酉内第一夏至日道也出第四春秋分日道也外第七冬至日道也皆随黄道日冬至在牵牛春分在娄夏至在东井秋分在角冬至从南而北夏至从北而南终而复始也凡为此图以丈为尺以尺为寸以寸为分分一千里凡用缯方八尺一寸今用缯方四尺五分分为二千里方为四极之图尽七衡之意吕氏曰凡四海之内东西二万八千里南北二万六千里吕氏秦相吕不韦作吕氏春秋此之义在有始第一篇非周髀本文尔雅云九夷八狄七戎六蛮谓之四海言东西南北之数者将以明车辙马迹之所至河图括地象云而有君长之州九阻中国之文德及而不治又云八极之广东西二亿二万三千五百里南北二亿三万三千五百里淮南子地形训云禹使大章歩自东极至于西极孺亥歩自北极至于南极而数皆然或其广濶将焉可歩矣亦后学之徒未之或知也夫言亿者十万曰亿也凡为日月运行之圆周春秋分冬夏至璇玑之运也七衡周而六间以当六月节六月为百八十二日八分日之五节六月者从冬至至夏至日百八十二日八分日之五为半岁六月节者谓中气也不尽其日也此日周天通四分一之倍法四以除之即得也臣鸾曰求七衡周而六间以当六月节六月为一百八十二日八分日之五此为半岁也列周天三百六十五日四分日之一通分内子得一千四百六十一为实倍分母四为八除实得半岁一百八十二日八分日之五也故日夏至在东井极内衡日冬至在牵牛极外衡也东井牵牛为长短之限内外之极也衡复更终冬至冬至日从外衡还黄道一周年复于故衡终于冬至故曰一岁三百六十五日四分日之一一岁一内极一外极从冬至一内极及一外极度终于星月穷于次是为一岁三十日十六分日之七月一外极一内极欲分一岁为十二月一衡间当一月此举中相去之日数以此言之月行二十九日九百四十分日之四百九十九则过周天一日而与月合宿论其入内外之极六归粗通未心得也日光言内极月光言外极日阳从冬至起月隂从夏至起往来之始易曰日徃则月来月往则日来此之谓也此数置一百八十二日八分日之五通分内子五以六间乘分母以除之得三十以三约法得十六约余得七臣鸾曰求三十日十六分日之七法列半岁一百八十二日八分日之五通分内子得一千四百六十一为实以六间乘分母八得四十八除实得三十日不尽二十一更置法实求等数平于三即以约法得十六约余得七即是从中气相去三十日十六分日之七也是故 衡之间万九千八百三十三里三分里之一即为百歩此数夏至冬至相去十一万九千里以六间除之得矣法与余分皆半之臣鸾曰求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一法置冬至夏至相去十一万九千里以六间除之即得法与余分半之得也欲知次衡径倍而增内衡之径倍一衡间数以増内衡二之以增内衡径二乘所倍一衡之间数以増内衡径即得三衡径次衡放此次至皆如数内一衡径二十三万八千里周七十一万四千里分为三百六十五度四分度之一度得一千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三通周天四分之一为法又以四乘衡周为实实如法得一百歩不满法者十之如法得十歩不满法者十之如法得一歩不满者以法命之至七衡皆如此臣鸾曰求内衡度法置夏至径二十三万八千里以三乘之得内外衡周七十一万四千里以周天分母四乘内衡周得二百八十五万六千里为实以周天分一千四百六十一为法除之得一千九百五十四里不尽一千二百六即而三之为三千六百十八以法除之得二百歩不尽六百九十六歩上十之如法而得四十歩不尽一千一百一十六复上十之如法而一得七歩不尽九百三十三即是一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三次二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩周八十三万三千里分里为度度得二千二百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之千三百三十二通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满者求歩数不尽者命分臣鸾曰求第二衡法列一衡间一万九千八百三十三里少半里倍之得三万九千六百六十六里太半里増内衡径二十三万八千里得第二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩是三分里之二又以三乘之歩满三百成一里得二衡周八十三万三千里以周天分母四乘周得三百三十三万二千为实更置周天三百六十五度四分度之一通分内子得一千四百六十一为法除之得二千二百八十里不尽九百二十以三百乘之得二十七万六千复以前法除之得一百八十八歩不尽一千三百三十二即是度得二千二百八十里一百八十八歩一千四百六十一分歩之一千三百三十二次三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩周九十五万二千里分为度度得二千六百六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七十通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求歩数不尽者命分臣鸾曰求第三衡法列倍一衡间得三万九千六百六十六里三分里之二增第二衡径二十七万七千里六百六十六里二百歩即三分里之二得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩以三乘径歩歩满三百成里得周九十五万二千里又以分母四乘周得三百八十万八千为实以周天分一千四百六十一为法以除实得二千六百六里不尽六百三十四以三百乘之以法除之得一百三十歩不尽二百七十即是度得二千六百六里一百三十歩一千四百六十一分歩之二百七十次四衡径三十五万七千里周一百七万一千里分为度度得二千九百三十二里七十一歩千四百一十分歩之六百六十九通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求歩数不尽者命分臣鸾曰求第四衡法列倍一衡间三万九千六百六十六里三分里之二増第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩歩满三百成里得径三十五万七千里以三乘之得周一百七万一千里以分母乘之得四百二十八万四千里为实以周天分一千四百六十一除之得二千九百三十二里不尽三百四十八以三百乘之以法除之得七十一歩不尽六百六十九即是度得二千九百三十二里七十一歩一千四百六十一分歩之六百六十九次五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩周一百一十九万里分为度度得三千二百五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六十八通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求歩数不尽者命分臣鸾曰求第五衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二増第四衡径三十五万七千里满三百成里得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩以三分乘径得周一百一十九万里又以分母四乘周得四百七十六万为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千二百五十八里不尽六十二以三百乘之以法除之得十二歩不尽一千六十八即是度得三千二百五十八里十二歩一千四百六十一分歩之一千六十八次六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩周一百三十万九千里分为度度得三千五百八十三里二百五十四歩千四百六十一分歩之六通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得一里不满法者求歩不尽者命分臣鸾曰求第六衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二以増第五衡径三十九万六千六百六十六里一百歩又三乘径得周一百三十万九千里又以分母四乘周得五百二十三万六千为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千五百八十三里不尽一千二百三十七以三百乘之以法除之得二百五十四歩不尽六即是度得三千五百八十三里二百五十四歩一千四百六十一分歩之六次七衡径四十七万六千里周一百四十二万八千里分为度得三千九百九里一百九十五歩千四百六十一分歩之四百五通周天四分之一为法四乘衡周为实实如法得里数不满法者求歩数不尽者命分臣鸾曰求第七衡法列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二増第六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩得第七衡径四十七万六十里以三乘之得周一百四十二万八千里以分母四乘之得五日七十一万二千为实以周天分一千四百六十一为法除之得三千九百九里不尽九百五十一又以三百乘之所得以法一千四百六十一除之得一百九十五歩不尽四百五即是度得三千九百九里一百九十五歩一千四百六十一分歩之四百五其次曰冬至所北照过北衡十六万七千里冬至十一月日在牵牛径在北方因其在北故言照过北衡为径八十一万里倍所照増七衡径周二百四十三万里三乘倍増七衡周分为三百六十五度四分度之一度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七过此而徃者未之或知过八十一万里之外或知者或疑其可知或疑其难知此言上圣不学而知之上圣者智无不至明无不见攷灵曜曰微式出冥唯审其形此之谓也故冬至日晷丈三尺五寸夏至日晷尺六寸冬至日晷长夏至日晷短日晷损益寸差千里故冬至夏至之日南北游十一万九千里四极径八十一万里周二百四十三万里分为度度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七此度之相去也臣鸾曰求冬至日所北照十六万七千里并南北日光得三十三万四千里増冬至日道径四十七万六千里得八十一万里三之得周二百四十三万以周天分母四乘之得九百七十二万里为实以周天分一千四百六十一为法除之得六千六百五十二里不尽一千四百二十八以三百乘之得四十三万八千四百复以法除之得二百九十三歩不尽三百二十七即是度得六千六百五十二里二百九十三歩一千四百六十一分歩之三百二十七其南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八术曰置十一万九千里为实以半歳一百八十二日八分日之五为法半歳考从外衡去内衡以为法除相去之数得一日所行也而通之通之者数不合齐以法等得相通入以八乘也得九十五万二千为实通十一万九千里所得一千四百六十一为法除之通百八十二日八分日之五也实如法得一里不满法者三之如法得百歩一里三百歩当以三百乘而言之三之者不欲转法便以一位为百实故从一位命为百不满法者十之如法得十歩上下用三百乘故此十之便以位为十实故从一位命为十不满法者十之如法得一歩复十之者但以一位为实故从一位命为一不满法者以法命之位尽于一歩故以法命其余分为残歩臣鸾曰求南北游法置冬至十一万九千里以半岁日分母八乘之得九十五万二千为实通半歳一百八十二日八分日之五得一千四百六十一以除得六百五十一里不尽八百八十九以三百乘之得二十六万六千七百复以法除之得一百八十二歩不尽七百九十八即得日南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八周髀算经卷上
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## SB03n0070-001周髀算经音义-一卷.
周髀音义
假承务郞秘书省钧考算经文字臣李籍撰序周髀(步米切周髀算经者以九数勾股重差算日月周天行度远近之数皆得于股表即)(推步盖天之法也髀者股也以表为股周天历度本包牺氏立法其传自周公受之于大夫商)(高周人志之故曰周髀)赵君卿撰(雏免切述也君卿赵爽字也不详何代人)恢(苦回切大也)廓落(上枯郭切下历各切)晷仪(居洧切日影也)度量(上达各切)(下录章切)探赜(上吐南切下上革切赜者含蓄含蓄者探之可及故易中有曰探𦣱)索隐(上色白切下于谨切隐者隐匿隐匿者索之可得故易曰索隐)诡异(上居委切下于)(冀切诡谲怪也)浑天(胡昆切浑天者言天地之体譬如鸟卵天包地外犹壳之褁黄也周)(旋无端其形浑浑然故曰浑天史官候台所用铜仪则其法也立八尺圆体具天地之形以正)(黄道古察发歛以行日月以歩五纬精微深妙不代百易之道也官有其器而无其书)盖天(居大切盖天之说即周髀是也其言天似盖笠地似覆槃天地各中高外下北极之下为)(天地之中其地最高而滂沱四𬯎三光隐映以为昼夜天中高于外衡冬至日之所在六万里)(北极下地二万里天地隆高相从日去地常八万里日丽天而平转分冬夏之间日前行道为)(七衡六间毎衡周径里数各依算术用勾股重差推晷影极游以为逺近之数皆得于表股者)(也故曰周髀又周髀家云天圆如张盖地方如棋局天旁转如推磨而左行日月右行随天左)(转故日月实东行而天牵之以西没譬之于蚁行磨石之上磨左旋而蚁右去磨疾而蚁迟故)(不得不随磨以左廻焉天形南高而北下日出高故见日入下故不见天之形如倚盖故极在)(人北是其证也极在天之中而今在人北所以知天之形如倚盖也)灵宪(诈建切灵宪张)(衡所述其说主于浑天)重仞(上直龙切下音刅八尺曰仞)奥(于到切)迥(戸顶)(切逺也)卷上甄鸾(上之人切下历官切甄鸾北周司隷校尉)重述(上直龙切下时律切赵爽既加)(注释甄鸾又从而发明故曰重述)善数(色具切数算也)包牺(上蒲交切下虚宜切)历度(徒个切)而度(大各切量也)勾股圆方图(勾古侯切股公土切圆径一而周三方径一而匝四伸圆之周而为)(勾展方之匝而为股共结一角邪适五乃圆方邪径相通之率也勾股圆方图盖以此设学)(者观之思过半矣)弦(胡田切共结一角也)率(朔律切数相与也又音律)竒耦(上居)(宜切下乌口切)矩(俱雨切)折(之列切)更相(上古衡切下息羊切)共盘(上渠)(用切下蒲官切)昏垫(都念切下也书曰下民昏垫)并(卑政切)勾股之差(楚佳切不齐也勾股之差其数差一谓勾三股四也)量均(力仗切)为袤(莫候切长)(也)偃矩覆矩(偃于宪切仰也覆敷目切俯也矩表也仰表所以望高俯表所以测)(深)方属地(殊玉切下同)滂沲(上普郎切下唐何切)四𬯎(徒回切)列星之宿(思救切二十八宿之度也礼记月令宿离不忒是也)不省(息井切省窹也)(不省言不窹也犹言不敏也)累思(鲁水切)累重也(直能切)才单(德寒)(青戊)极者(竭忆切诸言极者斥天中极去周十万三千里)奄(衣检切覆也)九隩(于到切土可居也)靡地(母被切无也)斥(昌石切指也)缘宿(息救切二十八)(宿也)蚀(乘力切日月亏曰蚀稍小侵亏如蠧食草木之叶也)适至(施直切恰也)发歛(力冉切发徃歛还也)璇玑(上音璇下音机)逮(音迨及也)有竒(居宜切数之余)(也易曰归竒于扐)冬至夏至观律之数听钟之音(律吕戍切)(听陀定切此谓冬夏二至合八能之士以观律之数而听钟音之清浊也晋律历志曰隂阳和)(则景至律气应则灰除是故天子常以冬夏至日御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷影)(侯钟律权土炭效隂阳冬至阳气应则灰除是故乐均清影长极黄钟通土炭轻而衡仰夏至)(隂气应则乐均浊影短极㽔宾通土炭重而衡低进退于先后五日之中八能各以候状闻太)(史令封丄效则和否则占)七衡图(何庚切七衡者七䂓也谓䂓为衡者取其衡运则生䂓䂓者正圆之谓也内一)(衡径二十三万八千里次二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩次三衡径三十一万)(七千三百三十三里一百歩次四衡径三十五万七千里次五衡径三十九万六千六百六十)(六里二百歩次六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩次七衡径四十七万六千里即)(其径而三之则各得其周也凡日月运行之图周七衡周而六间一衡之间万九千八百三十)(三里一百歩以六衡乘之即夏至冬至相去十一万九千里也)青图画者(胡卦切界)(也俗作画)合际(上胡合切下子例切)常处(昌据切所也)躔(呈延切次也)卯酉(上莫饱切下以久切皆辰名也卯正东也酉正西也)牵牛(上轻烟切下如字率牛北)(方宿也冬至日在牵牛)娄(卢侯切娄西方宿也春分日在娄)东井(子郢切南方宿)(也夏至日在东井)角(记岳切东方宿也秋分日在角)用缯(慈陵切帛也)吕氏(两举切吕氏者吕氏春秋也吕不韦为秦相国集当世儒士使著所闻为十二纪八览六论合)(十余万言备古今之事名为吕氏春秋)四海(呼改切吕氏春秋曰几四海之内东西二)(万八千里南北二万六千里尔雅云九夷八狄七戎六蛮谓之四海言东西南北之数者将明)(车辙马迹之所至河图括地象亦云里数而有君长之州九阻中国之文德及而不治又云八)(极之广东西二亿二万三千五百里南北二亿三万三千五百里淮南子地形训云禹使大章)(歩自东极至于西极孺亥歩自北极至于南极而数皆然)河图括地象(括音䀨河)(图括地象纬书名也)淮南子(并如字汉淮南王安所著之书也)大章(音泰人名)六间(古闲切两衡相去之间也)粗通(徂五切略也)放此(甫两切效也下同)卷下四和(户戈切调也四和者谓之极子午卯酉得东西南北之中天地之所合四时之所交)(风雨之所会隂阳之所和然则百物阜安草木蕃庻故曰四和)阜安(房缶切盛也)蕃庻(符袁切茂也)易处(夷益切交也)盖笠(上居大切下音立)覆槃(上方)(六切下蒲官切)离地(力智切去也)障蔽(上之亮切隔也下必䄃切奄也)日兆月(直绍切日者阳之精譬犹火光月者隂之精譬犹水光月含影故月光生于日之所照魄)(生于日之所蔽当日则光盈就日则明尽月禀日光而成形兆故云日兆月也)魄(匹陌切月)(之明消也康诰曰惟三月哉生魄孔安国曰三月始生魄月十六日眀消而魄生杨子曰既望)(则终魄于东亦此意也)行列(胡刚切)极枢(春朱切尔雅曰枢谓之枨郭璞云门)(戸扉枢也此言极枢者取其居中而临制四方也)绳系(古诣切结也)表颠(多年)(切顶也)中折(之列切屈也)漏(卢候切漏以铜受水刻节昼夜百刻晷漏中星畧例)(曰日行有南北晷漏有长短然二十四气晷差迟疾不同勾股使然也直䂓中则差迟与勾股)(数齐则差急随辰极高下所遇不同如黄道刻漏此乃数之浅者近代且犹未晓今推黄道去)(极与晷影漏刻昏距中星四术反复相求消息同率施相为中以合九股之变)揆度(上巨)(癸切下大各切)释(施只切散也)朝生(陟遥切旦也)暮获(胡麦切)获(胡郭)(切収也)葶苈(上音亭下音历)荠麦(在礼切)正勾(上音政下音钩)无令(离呈切使也)纎微(思廉切细也)督(音笃察也)分度(徒固切数也)经纬(上坚丁切下子贵切南北为经东西为纬)圆定正(音政)则复(扶富切又也)须女(如字星名也)游仪(如字游仪所以望星也真观中李淳风造四游仪元枢为轴以)(连结玉衡游筩而贯约䂓矩又元枢北立北辰南距地轴旁转于内玉衡在元枢之间而南北)(游仰以观天之辰宿下以识器之晷度开元九年率府兵曹叅军梁令瓉以木为游仪一行是)(之乃奏黄道游仪古有其术而无其噐昔人潜思未能得今令瓉所为日道月交皆自然契合)(于推步尤要请㫖更铸以铜十年仪成)车辐(方六切所以实论而凑毂者也以圆度为)(辐)为毂(古禄切所以受辐也以经纬之交为毂)二十八宿(息救切)副置(敷救切别也别置算也下同)地恊(檄颊切合也)相应(于证切)叅正(上仓含切下音正)八节(并如字二至者寒暑之极二分者隂阳之和四立者生长収藏)(之始是为八节)二十四气(并如字一歳凡八节节三气三而入之故为二十四气)气损益九寸九分六分分之一(并如字损者减也破一分为六)(分然后减之益者加也加以小分满六分得一从分)冬至(并如字至极也冬至夏至寒暑)(之极)启蛰(直立切藏也易曰龙蛇之蛰以存身也左氏传曰启蛰而郊)春分(府文)(切分之言中也春分为阳之中秋分为隂之中)芒种(上莫郎切下之用切)处暑(昌据)(切所也)时舎(音舍不用也)虚诞(音但谩也)一概(古代切)矛楯(上莫)(浮切下食闰切矛所以勾楯所以蔽噐不同不相为用凡言矛楯者况其所趣异也)后天(并如字月后天者月东行者也此见日月与天俱西南游一日一夜天一周而月在昨夜之东)(故曰后天)故舎(式夜切舎谓二十八宿之舎也)积后天(资昔切以月后天分看小)(岁积分则积后天分也)大岁(徒盖切大歳者十三月为一歳也)经岁(坚丁切经)(常也经歳者通十二月十九分之七)小月(并如字小月者二十九日为一月)大月(徒盖切大月者三十日为一月)经月(坚丁切经月者以十九乘周天分则经月之积)合朔(上曷合切下色角切)覆九(敷救切盖也下同)当(音当)正南方(音政)三十六头(并如字考灵曜曰分周天为三十六头头有十度九十六分之十四长日分于)(寅行二十四头入于戌行十二头短日分于辰行十二头入于申行二十日头北之谓也)坎(苦感切正北方之卦也)巽(苏困切东南隅之卦也)坤(苦混切西南隅之卦也)离(吕支切正南方之卦也)干(渠焉切西北隅之卦也)艮(古恨切东北隅之卦也)章(止良切条也十九歳为一章言余闰尽为暦法章条也)蔀(薄口切蔀之言齐同日月之分)(也而又众残齐合群数毕满故谓之蔀四章为一蔀凡七十六歳也)遂(徐醉切遂者终也言)(五行之德一终尽极日月辰终也二十蔀为一遂凡千五百二十歳)首(始九切始也言日月)(五星终而复始也三遂为一首凡四千五百六十歳也)极(如字终也言日月星辰弦望晦)(朔寒暑推移万物生育终而复始故谓之极七首为一极凡三万一千九百二十歳也)干凿度(徒固切干凿度易纬书也)周髀音义(终)附算学源流晋书律历志黄帝纪三纲而阐书契乃使羲龢常仪占月车区占星气伶伦造律吕大挠造甲子隷首作算数容成緫斯六术攷定气象建行察发飮起消息正闰余述而著焉谓之调历汉书律历志一曰律数二曰和声三曰审度四曰嘉五曰权衡数者一十百千万也所以算数事物顺性命之理也其算法用竹径一分长六寸二百七十一枚而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍叅纪于一协于十长于百大于千衍于万其法在算术乎附算法歌诀开平方法少人通起手先呼九数重百与万同并百万二三隔位一相从千同十万和千万三四连身九九终除尽虚加一倍回还折半复原宗
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周髀算经卷下汉 赵 君卿 注北周汉中郡守前司隶臣甄鸾重述唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉𠡠臣释明 毛 晋 挍凡日月运行四极之道运周也极至也谓外衡也日月周行四方至外衡而还故曰四极也极下者其地高人所居六万里滂沲四𬯎而下游北极从外衡主极下乃高六万里而言人所居盖复尽外衡滂四𬯎而下如覆槃也天之中央亦高四旁六万里四旁犹四极也随地穹窿而高如盖笠故日光外所照径八十一万里周二百四十三万里日至外衡而还出其光十六万七千里故日照故日运行处极北北方日中南方夜半日在极东东方日中西方夜半日在极南南方日中北方夜半日在极西西方日中东方夜半凡此四方者天地四极四和四和者谓之极子午卯酉得东西南北之中天地之所合四时之所交风雨之所会隂阳之所和然则百物阜安草木蕃庻故曰四和昼夜易处南方为昼北方为夜加四时相及南方日中北方夜半然其隂阳所终冬至所极皆若一也隂阳之数齐冬夏之节同寒暑之气均长短之晷等周廻无差运变不二天象葢笠地法覆槃见乃谓之象形乃谓之法在上故准葢在下故拟槃象法义同葢槃形等互文异器以别尊卑仰象俯法名号殊矣天离地八万里然其隆高相从其相去八万里冬至之日虽在外衡常出极下地上二万里天地隆高高列外衡六万里冬至之日虽在外衡其相望为平地直常出地北极下地上二万里言日月不相障蔽故能扬光于昼纳明于夜故日兆月日者阳之精譬犹火光月者隂之精譬犹水光月含影故月光生于日之所照魄生于日之所蔽当日即光盈就日即眀尽月禀日光而成形兆故云日兆月也月光乃出故成明月待日然后能舒其光以成其眀星辰乃得行列灵宪曰众星𬒳曜因水火转光故能成其行列是故秋分以徃到冬至三光之精微以成其道远日从中衡徃至外衡其径日远以其相远故光微不言从冬至到春分者俱在中衡之外其同可知此天地隂阳之性自然也自然如此故曰性也欲知北极枢璇周四极极中不动璇玑也言北极璇玑周旋四至极至也常以夏至夜半时北极南游所极游在枢南之所至冬至夜半时北游所极游在枢北之所至冬至日加酉之时西游所极游在枢西之所至日加卯之时东游所极游在枢东之所至此北极璇玑四游北极游常近冬至而言夏至夜半者极见冬至夜半极不见也正北极璇玑之中正北天之中正极之所游极处璇玑之中天心之正故曰璇玑也冬至日加酉之时立八尺表以绳系表顚希望北极中大星引绳致地而识之顚首希仰致至也识之者所望大星表首及绳至地参相直而识之也又到旦明日加卯之时复引绳希望之首及绳致地而识其端相去二尺三寸日加卯酉之时望至地之相去子也故东西极二万三千里影寸千里故为东西所致之里数也其两端相去正东西以绳至地所谓两端相直为东西之正也中折之以指表正南北所识两端之中与表为南北之正加此时者皆以漏揆度之此东西南北之时冬至日加卯酉者北极之正东西日不见矣以漏度之者一日一夜百刻从半夜至日中从日中至夜半无冬夏常各五十刻中分之得二十五刻加极卯酉之时揆亦度也其绳致地所识去表丈三寸故天之中去周十万三千里北极东西之时与天中齐故以所望表勾为天之去周之里数何以知其南北极之时以冬至夜半北游所极也北过天中万一千五百里以夏至南游所极不及天中万一千五百里此皆以绳系表顚而希望之北极至地所识丈一尺四寸半故去周十二万四千五百里过天中万一千五百里其南极至地所识九尺一寸半故去周九万一千五百里其南不及天中万一千五百里此璇玑四极南北过不及之法东西南北之正勾以表为股以影为勾绳至地所亦加矩中径二万六千六百三十二里有竒法列八十一万里以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之余二万六千六百三十三里取一里破为一百五十六万六千七百三十五分减一十四万三千三百一十一余一百四十二万三千四百二十四即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四周去极十万三千里日去人十六万七千里夏至去周一万六千里夏至日道径二十三万八千里周七十一万四千里春秋分日道径三十五万七千里周一百七万一千里冬至日道径四十七万六千里周一百四十二万八千里日光四极八十一万里周二百四十三万里从周南三十万二千里影言正勾者四方之影皆正而定也璇玑径二万三千里周六万九千里此阳绝隂彰故不生万物春秋分谓之隂阳之中而日光所照适至璇玑之径为阳绝隂彰故万物不复生也其术曰立正勾定之正四方之法也以日始出立表而识其晷日入复识其晷晷之两端相直者正东西也中折之指表者正南北也极下不生万物何以知之以何法知之也冬至之日去夏至十一万九千里万物尽死夏至之日去北极十一万九千里是以知极下不生万物北极左右夏有不释之氷氷冻不解是以推之夏至之日外衡之下为冬矣万物当死此日远近为冬夏非隂阳之气爽或疑焉春分秋分日在中衡春分以徃日益北五万九千五百里而夏至秋分以徃日益南五万九千五百里而冬至并冬至夏至相去十一万九千里以徃日益北近中衡以徃日益南逺中衡中衡去周七万五千五百里影七尺五寸五分中衡左右冬有不死之草夏长之类此欲以内衡之外外衡之内常为夏也然其修广爽未之前闻此阳彰隂微故万物不死五谷一歳再熟近日阳多农再熟凡北极之左右物有朝生暮获获疑作获谓葶苈荠麦冬生之类北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜物有朝生暮获者亦有春刍而秋熟然其所育皆是周地冬生之类荠麦之属言左右者不在璇玑二万三千里之内也此阳微隂彰故无夏长之类立二十八宿以周天历度之法以用也列二十八宿之度用周天术曰倍正南方倍犹背也正南方者二极之正南北也以正勾定之正勾之法日出入识其晷晷两端相直者正东西中折之以指表正南北即平地径二十一歩周六十三歩令其平矩以水正如定水之平故曰平矩以水正也则位径一百二十一尺七寸五分因而三之为三百六十五尺四分尺之一径一百二十一尺七寸五分周三百六十五尺二寸五分者四分之一而或言一百二十尺举其全数以应周天三百六十五度四分度之一审定分之无令有纎㣲所分平地周一尺为一度二寸五分为四分度之一其令审定不欲使有细小之差也纎微细分也臣鸾曰求一百二十一尺七寸五分因而三之为三百六十五度四分度之一法列径一百二十一尺七寸五分以三乘得三百六十五尺二寸五分二寸五分者即四分之一此即周天三百六十五度四分度之一分度以定则正督经纬而四分之一合各九十一度十六分度之五南北为经东西为纬督亦通尺周天四分之一又以四乘分母以法除之臣鸾曰求分度以定四分之一合各九十一度十六分度之五法列周天三百六十五度以四分度之一而通分内之五法千四百六十一为实更以四乘分母得十六为法除之得九十一不尽五即是各九十一度十六分度之五也于是圆定而正分所圆为天度又四分之皆定而正则立表正南北之中央以绳系颠希望牵牛中央星之中引绳至经纬之交以望之星与表绳参相直也则复望须女之星先至者复候须女中则当以绳望之如复以表绳希望须女先至定中须女之先至者又复如上引绳至经纬之交以望之即以一游仪希望牵牛中央星出中正表西几何度游仪亦表也游仪移望星为正知星出中正之表西几何度故曰游仪各如游仪所至之尺为度数所游分圆周一尺应天一度故以游仪所至尺数为度游在于八尺之上故知牵牛八度须女中而望牵牛游在八尺之上故牵牛为八度其次星放此以尽二十八宿度则之矣皆如此上法定立周度者周天之度各以其所先至游仪度上二十八宿不以一星为体皆以先至之星为正之度车辐引绳就中央之正以为毂则正矣以经纬之交为毂以圆度为辐知一宿得㡬何度则引绳如辐凑毂为正望星定度皆以方为正南知二十八宿为几何度然后环而布之也日所以入亦以周定之亦同望星之周欲知日之出入出入二十八宿东西南北面之宿列置各应其方立表望之知日出入何宿从出入径几何度即以三百六十五度四分度之一而各置二十八宿以二十八宿列置地所圆周之度使四面之宿各应其方以东井夜半中牵牛之𥘉临子之中东井牵牛相对之宿也东井临午则牵牛临于子也东井出中正表西三十度十六分度之七而临未之中牵牛𥘉亦当临丑之中分周天之度为十二位而十二辰各当其一所应十二月从午至未三十度十六分度之七未与丑相对而东井牵牛之所居分之法巳陈于上矣臣鸾曰求东井出中正表西三十度十六分度之七法先通周天得一千四百六十一为实以位法十二乘周天分母以得四十八为法除实得三十度不尽二十一更副置法实等数平于三约不尽二十一得七约法四十八得十六即位三十度一十六分度之七于是天与地恊恊合也置东井牵牛使居丑未相对则天之列宿与地所为图周相应合得之矣乃以置周二十八宿从东井牵牛所居以置十二位焉置以定乃复置周度之中央立正表置周度之中央者经纬之交也以冬至夏至之日以望日始出也立一游仪于度上以望中央表之晷从日所出度上立一游仪皆望中表之晷所以然者当矅不复当日得以觇之也晷参正则日所出之宿度游仪与中央表及晷参相直游仪之下即所出合宿度日入放此此日出法求之牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九牵牛冬至日所在之宿于外衡者与极相去之度数术曰置外衡去北极枢二十三万八千里除璇玑万一千五百里北极常近牵牛为枢过极万一千五百里此求去极故以除之其不除者二十二万六千五百里以为实以三百乘之里为歩以周天分一千四百六十一乘歩分内衡之度以周天分为法法有分故以周天乘实齐同之得九百九十二亿七千四百九十五万以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三以为法如上乘内歩歩为通分内子得八亿五千六百八十万实如法得一度以八亿五千六百八十万为一度法不满法求里歩上求度故以此次求里次求歩约之合三百得一以为实上以三百乘里为歩而求里故以三百约余分为里之实以千四百六十一分为法得一里里歩皆以周天之分为母求度当齐同法实等故乘以散之度以定当次求故还为法不满法者三之如法得百歩上以三百约之为里之实此当以三乘之为歩之实而言之者不欲转法更以一位为百实故从一位命为百也不满法者又上十之如法得一歩又复上之者便以一位为一实故从一实为一不满法者以法命之位尽于一歩故以其法命余为残分次放此次娄与角及东井皆如此也臣鸾曰求牵牛星去极法先列衡去极枢二十三万八千里减极去枢心一万一千五百里余二十二万六千五百里以三百乘里得六千七百九十五万歩又以周天分一千四百六十一乘之得九百九十二亿七千四百九十五万歩为实更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三亦以三百乘一千九百五十四里为歩内二百四十七歩得五十八万六千四百四十七歩又以周天分母千四百六十一乘歩内子九百三十三得八亿五千六百八十万为法以除实得一百一十五度不尽七亿四千二百九十五万去下法不用更以三百约余分七亿四千二百九十五万得二百四十七万六千五百为实更以周天分千四百六十一除之得一千六百九十五里不尽一百五以三百乗之得三万一千五百复以前法除之得二十一歩不尽八百一十九即牵牛去北极一百二十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六娄春分日所在之宿也角秋分日所在之宿也为中衡也术曰置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实不言加除者娄与角准北极在枢两旁正与枢齐以娄角无差故便以去枢之数为实如上乗里为歩歩为分得七百八十二亿三千六百五十五万以内衡一度数为法实如法得一度不满法者求里歩不满法者以法命之臣鸾曰求娄与角去极法列中衡去极枢十七万八千五百里以三百乗之得五千三百五十五万歩又以周天分千四百六十一分乘之得七百八十二亿三千六百五十五万为实以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三亦以三百乘里内歩二百四十七得五十八万六千四百四十七歩又以分毋千四百六十一分乗之内子得八亿五千六百八十万为法以除实得九十一度不尽二亿六千七百七十五万以三百约之得八十九万二千五百下法不用以周天分千四百六十一除之得六百一十里不尽千二百九十以三百乗之得三十八万七千如前法除之得二百六十四歩不尽一千二百九十六即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之千二百四十五东井夏至日所在之宿为内衡术曰置内衡去北极枢十一万九千里加璇玑万一千五百里北极游常近东井为枢不及极万一千五百里此求去极故加之得十三万五百里以为实如上乘里为歩歩为分得五百七十一亿九千八百一十五万分以内衡一度数为法实如法得一度不满法者求里歩不满者以法命之臣鸾曰求东井去极法列内衡去极枢十一万九千里加璇玑万一千五百里得十三万五百里以三百乘里为歩复以分毋千四百六十一乘之得五百七十一亿九千八百一十五万为实通分内衡一度数为歩歩为分得八亿五千六百八十万为法以除实得六十六度不尽六亿四千九百三十五万以三百约之得二百一十六万四千五百下法不用更以周天千四百六十一为法除之得千四百八十一里不尽七百五十九以三百乘之得二十二万七千七百复以周天分除之得一百五十五歩不尽一千二百四十五即是东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之一千二百四十五凡八节二十四气气损益九寸九分六分分之一冬至晷长一丈三尺五寸夏至晷长一尺六寸问次节损益寸数长短各几何冬至晷长一丈三尺五寸小寒丈二尺五寸(小分五)大寒丈一尺五寸一分(小分四)立春丈五寸二分(小分三)雨水九尺五寸二分(小分二)启蛰八尺五寸四分(小分一)春分七尺五寸五分清明六尺五寸五分(小分五)榖雨五尺五寸六分(小分四)立夏四尺五寸七分(小分三)小满三尺五寸八分(小分一)芒种二尺五寸九分(小分一)夏至一尺六寸小暑二尺五寸九分(小分一)大暑二尺五寸八分(小分二)立秋四尺五寸七分(小分三)处暑五尺五寸六分(小分四)自露六尺五寸五分(小分五)秋分七尺五寸五分寒露八尺五寸四分(小分一)霜降九尺五寸三分(小分二)立冬丈五寸二分(小分三)小雪丈一尺五寸一分(小分四)大雪丈二尺五寸(小分五)凡为八节二十四气二至者寒暑之极二分者隂阳之和四立者生长収藏之始是为八节节三气三而八之故为二十四气损益九寸九分六分分之一损者减也破一分为六分然后减之益者加也以小分满六得一从分冬至夏至为损益之始冬至晷长极当反短故为损之始夏至晷短极当反长故为益之始此爽之新术术曰置冬至晷以夏至晷减之余为实以十二为法十二者半歳十二气也为法者一节益之法实如法得一寸不满法者十之以法除之得一分求分故十之也不满法者以法命之法与余分皆半之也旧晷之术于理未当谓春秋分者隂阳晷等各七尺五寸五分故中衡去周七万五千五百里按春分之影七尺五寸七百二十三分秋分之影七尺四寸二百六十二分差一寸四百六十一分以此推之是为不等冬至至小寒多半日之影夏至至小暑少半日之影芒种至夏至多二日之影大雪至冬至多三日之影又半歳一百八十二日八分日之五而此用四分日之二率故一日得七百三十分寸之四百七十六非也节候不正十五日有二十二分日之七以一日之率十五日为一节至令差错不通尤甚易曰旧井无禽时舎也言法三十日实当改而舎之于是爽更为新术以一气率之使言约法易上下相通周而复始除纰缪臣鸾曰求二十四气损益之法先置冬至影长丈三尺五寸以夏至影一尺六寸减之余一丈一尺九寸上十之为实以半歳十二为法除之得九寸不尽十一复上十之如法而一得九分不尽二与法十二皆半之得六分之一即是气损益法先置冬至影长丈三尺五寸以气损益九寸九分六分分之一其破一分以为六分减其余即是小寒影长丈二尺五寸小分五余悉依此法求益法置夏至影一尺六寸以九寸九分六分分之一増之小分满六从大分一即是小暑二尺五寸九分小分一次气倣此臣淳风等谨按此术本及赵君卿注求二十四气影例损益九寸九分六分分之一以为定率检勘术注有所未通又按宋书历志所载何承天元嘉历影冬至一丈三尺小寒一丈二尺四寸八分大寒一丈一尺三寸四分立春九尺九寸一分雨水八尺二寸八分启蛰六尺七寸二分春分五尺三寸九分清明四尺二寸五分谷雨三尺二寸五分立夏二尺五寸小满一尺九寸七分芒种一尺九寸九分夏至一尺五寸小暑一尺六寸九分大暑一尺九寸七分立秋二尺五寸处暑三尺三寸五分白露四尺二寸五分秋分五尺三寸九分寒露六尺七寸二分霜降八尺二寸八分立冬九尺九寸一分小雪一丈一尺三寸四分大雪一丈二尺四寸八分司马续汉志所载四分暦影亦与此相近至如祖冲之历宋大明历影与何承天虽有小差皆是量天实数讐校三历足验君卿所立率虚诞且周髀本文外衡下于天中六万里而二十四气率乃足平迁所以知者按望影之法日近影短日远影长又以高下言之日高影短日卑影长夏至之日最近北又最高其影尺有五寸自此以后曰行渐远向南天体又渐向下以及冬至冬至之日最近南居于外衡日最近下故日影一丈三尺此当毎歳差降有别不可均为一槩设其升降之理今此又自冬至毕于芒种自夏至毕于大雪均差毎气损九寸有竒是为天体正平无高卑之异而日但南北均行又无升降之殊即无内衡高于外衡六万里自相矛楯又按尚书考灵曜所陈格上格下里数及郑注升降逺近虽有成䂓亦未臻理实欲求至当皆依天体高下远近修䂓以定差数自霜降毕于立春升降差多南北差少自雨水毕于寒露南北差多升降差少依此推歩乃得其实然事渉浑仪与盖天相返月后天十三度十九分度之七月后天者月东行也此见日月与天俱西南游一日一夜天一周而月在昨宿之东故曰后天又曰章歳除章月加日周一日作率以一日所行为一度周天之日为天度术曰置章月二百三十五以章歳十九除之加日行一度得十三度十分九度之七此月一日行之数即后天之度及分臣鸾曰月后天十三度十九分度之七法列章月二百三十五以章歳十九除之得十二度加日行一度得十三度余十九分度之七即月后天之度分小歳月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二小歳者十二月为一歳一歳之月十二月则有余十三月复不足而言大小歳通閠月为不及故舍亦犹后天也假令十一月朔旦冬至日月俱起牵牛之𥘉而月十二与日会此数月发牵牛所行之度也术曰置小歳三百五十四日九百四十分日之三百四十八小歳者除经歳十九分月之七以七乘周天分千四百六十一得万二百二十七以减经歳之积分余三十三万三千一百八则小歳之积分也以九百四十分除之即得小歳之积日及分以月后天十三度十九分度之七乘之为实通分内子为二百五十四之乘者乘小歳积分也又以度分母乘日分母为法实如法得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十三以月后天分乘小歳积分得八千四百六十万九千四百三十二则积后天分也以度分母十九乘日分母九百四十得万七千八百六十除之即得以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之此犹四分之一也约之即得当于齐同故细言之通分内子为六百五十二万三千三百六十五除积后天分得十二周天即去之其不足除者不足除者不及故舎之六百三十二万九千五十二是也(寅曰三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十)(二以万七千八百六十除不及故舎之分得此分矣)此月不及故舎之分度数他皆放此次至经月皆如此臣鸾曰求小歳月不及故舍法列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得三十四万三千三百三十五是为经歳之积分以十九分月之七以七乘周天分一千四百六十一得万二百二十七以减经歳积分不尽三十三万三千一百八小歳积分也以九百四十除之得三百五十四日不尽三百四十八还通分内子复得本积分三十三万三千一百八更置月后天十三度十九分度之七通分内子得二百五十四以乘本积分得积后天分八千四百六十万九千四百三十二为实更列月后天分毋十九以乘日分母九百四十得万七千八百六十为法除之得积后天四千七百三十七度不尽六千六百一十二即是得四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二还通分内子得本分八千四百六十万九千四百三十二为实更列周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五即通分内子得六百五十二万三千三百六十五以除实得十二下法不用余分即不及故舎之分六百三十二万九千五十二更以日月分毋相乘得万七千八百六十为法除分不及故舎之分六百三十二万九千五十二得三百五十四度不尽六千六百一十二即不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二大歳月不及故舎十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八大歳者十三月为一歳也术曰置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七大歳者加经歳十九分月之十二以十二乘周天分千四百六十一得万七千五百三十二以加经歳积分得三十六万八百六十七则大歳之积分也以七百四十除之即得以月后天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分毋为法实如法得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八此月后天分乘大歳积分得九千一百六十六万二百一十八则积后天分也以周天除之除积后天分得十四周天即去之其不足除者不足除者三十三万三千一百八是也此月不及故舎之分度数臣鸾曰求大歳月不及故舎法列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得经积分三十四万三千三百三十五更以十九分月之十二乘周天分千四百六十一得一万七千五百三十二以经歳积分加大歳积分得三十六万八百六十七为实以九百四十除之得大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七还通分内子本分三十六万八百六十七更列月后天十三度十九分度之七通分内子得二百五十四以乘本分得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实以万七千八百六十为法除之得积后天度五千一百三十二不尽二千六百九十八即命分还通内子得本积后天分九千一百六十六万二百一十八为实以周天分六百五十二万三千三百六十五为法除实得十四周天之数余以日月分母万七千八百六十除之得大歳不及故舎十八度不尽万一千六百二十八即以命分也经歳月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百里经常也即十二月十九分月之七也术曰置经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五经歳者通十二月十九分月之七为二百三十五乘周天千四百六十一得三十四万三千三百三十五则经歳之积分又以周天分毋四乘二百三十五得九百四十为法除之即得以月后天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十以月后天分乘经歳积分得八千七百二十万七千九十则积后天之分以周天除之除积后天分得十三周天即去之其不足除者不足除者二百四十万三千三百四十五是也此月不及故舎之分度数臣鸾曰求经歳月不及故舍法列十二月十九分月之七通分内子得二百三十五以乘周天分千四百六十一得三十四万三千三百三十五即经歳分也以日分母四乘二百三十五得九百四十为法以除得经歳三百六十五日不尽二百三十五即命分还通分内子即复本歳分三十四万三千三百三十五更列通月后天度分二百五十四以乘经歳分得积后天分八千七百二十万七千九十为实更列万七千八百六十除实得积后天度四千八百八十二不尽万四千五百七十即命分还通分内子复本积后天分为实以周天分六百五十二万三千三百六十五除实得十三周天即去之余分三百四十万三千三百四十五以万七千八百六十除之得不及故舎百三十四度不尽万一百五即以命分也小月不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百三十五小月者二十九日为一月一月之二十九日则有余三十日复不足而言大小者通其余分术曰置小月二十九日小月者减经月之积分四百九十九余二万七千二百六十则小月之积也以九百四十除之即得以月后天十三度十九分度之七乘之为实又以度分毋乘日分毋为法实如法得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十以月后天乘小月积分得六百九十二万四千四十则积后天之分也以周天分除之除积后天分得一周天而去之其不足除者不足除者四十万六百七十五此月不及故舎之分度数臣鸾曰求小月不及故舎法置二十九日以九百四十乘之得二万七千二百六十则小月之分也更列月后天十三度十九分度之七通分内子得二百五十四以乘小月分得六百九十二万四千四十为实以万七千八百六十为法除实得三百八十七度不尽万二千二百二十以命分还通分内子得本实更列周天分六百五十二万三千三百六十五除本实得一周天不尽四十万六百七十五即不及故舎之分又以万九千八百六十除不及故舎之分得二十二度不尽七千七百三十五即以命分大月不及故舎三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五大月者三十日为一月也术曰置大月三十日大月加经积分四百四十一得二万八千二百则大月之积分也以九百四十除之即得以月后天十三度十九分度之七乘之为实又以度分毋乘日分毋为法实如法得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十以月后天分乘大月积分七百一十六万二千八百则积后天之分也以周天除之除积后天分得一周天即去之其不足除者不足除者六十三万九千四百三十五是也此月不及故舎之分度数臣鸾曰求大月不及故舎法置三十日以九百四十乘之得二万八千二百以后天分二百五十四乘之得七百一十六万二千八百为实以万七千八百六十为法以除实得四百一度不尽九百四十即以命分还通分内子复本实更以周天六百五十二万三千三百六十五为法除本实得一周余不足除积六十三万九千四百三十五分以万七千八百六十为法以除实得大月不及故舎三十五度不尽万四千三百三十五即命分也经月不及故舎二十九度万七千八百六十分度之九千四百八十一经常也常月者一月月与日合数术曰置经月二十九日九百四十分日之四百九十九经月者以十九乘周天分一千四百六十一得二万七千七百五十九则经月之积以九百四十除之即得以月后天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六以月后天分乘经月积分得七百五万七百八十六则积后天之分以周天除之除积后天分得一周天即去之其不足除者不足除者五十二万七千四百二十一是也此月不及故舎之分度数臣鸾曰求经月不及故舎法以十九乘周天分千四百六十一得二万七千七百五十九即经月积分以九百四十除积分得经月二十九日九百四十分日之四百九十九还通分内子得本经月积分以后天分乘本积分得七百五万七百八十六即后天之积分更以万七千八百六十除之得积后天三百九十四度不尽万三千九百四十六即以命分还通分内子得本后天积分为实以周天六百五十二万三千三百六十五除之得一周余分五十二万七千四百二十一即不及故舎之分以一万七千八百六十除之得经月不及故舎二十九度不尽九千四百八十一即以命分冬至昼极短日出辰而入申如上日之分入何宿法分十二辰于地所圆之周舎相去三十度十六分度之七子午居南北卯酉居东西日出入时立一游仪以望中央表之晷游仪之下即日出入阳照三不覆九阳日也覆犹徧也照三者南三辰已午未东西相当正南方日出入相当不覆三辰为正南方夏至昼极长日出寅而入戍阳照九不覆三不覆三者北方三辰亥子丑冬至日出入之三辰属昼昼夜互见是出入三辰分为昼夜各半明矣考灵曜曰分周天为三十六头头有十度九十六分度之十四长日分于寅行二十四头入于戍行十二头短日分于辰行十二头入于申行二十四头此之谓也东西相当正北方出入相当不覆三辰为北方日出左而入右南北行圣人南面而治天下故以东为左西为右日冬至从南而北夏至从北而南故曰南北行故冬至从坎阳在子日出巽而入坤见日光少故曰寒冬至十一月斗建子位在北方故曰从坎坎亦北也阳气所始故曰在子巽东南坤西南日见少晷阳照三不覆九也夏至从离隂在午日出艮而入干见日光多故曰暑夏至五月斗建午位在南方故曰在午艮东北干西北日见多晷阳照九不覆三也日月失度而寒暑相奸考灵曜曰在璇玑玉衡以齐七政璇玑未中而星中是急急则日过其度不及其宿璇玑玉衡中而星未中是舒舒则日不及其度夜月过其宿璇玑中而星中是周周则风雨时风雨时则草木蕃盛而百谷熟故书曰急常寒若舒常燠若急舒不调是失度寒暑不时即相奸徃者诎来者信也故屈信相感从夏至南往日益短故曰诎从冬至北来日益长故曰信言来往相推诎信相感更衰代盛此天之常道易曰日徃则月来月徃则日来日月相推而明生焉寒徃则暑来暑徃则寒来寒暑相推而歳成焉徃者诎也来者信也诎信相感而利生焉此之谓也故冬至之后日右行夏至之后日左行左者徃右者来冬至日出从辰来北故曰右行夏至日出从寅徃南故曰左行故月与日合为一月从合至合则为一月日复日为一日从旦至旦则为一日日复星为一岁冬至日出在牵牛从牵牛周牵牛则为一岁也外衡冬至日在牵牛内衡夏至日在东井六气复返皆谓中气中气月中也言日月徃来中气各六传曰先王之正时履端于始举正于中归余于终谓中气也隂阳之数日月之法谓隂阳之度数日月之法十九岁为一章章条也言闰余尽为法章条也乾象曰辰为岁中以御朔之月而纳焉朔为章中除朔为章月月差为闰臣鸾曰岁中除章中为章歳求余法置中气相去三十日十六分日之七通分内子得四百八十七又置从朔至朔一月之日二十九九百四十分日之四百九十九通之得二万七千七百五十九二者法异当同之者以中气分母十六乘朔分得四十四万四千一百四十四变为中气积分也以朔分母九百四十乘中气分得四十五万七千七百八十为朔日积分以少减多求等数平之得一千九百四十八为法除中气积得二百二十八即章中也更以一千九百四十八除朔积分得二百三十五即章月也章月与章中差七即一章之闰更置二百二十八以岁中十二除之得十九为章岁也更置章月二百三十五以章岁十九除之得十二月十九分月之七即一年之月也四章为一蔀七十六岁蔀之言齐同日月之分为一蔀也一岁之月十二月十九分月之七通分内子得二百三十五一岁之日三百六十五日四分日之一通之得一千四百六十一分母不同则子不齐当互乘之以齐同之者以日分母四乘月分得九百四十即一蔀之月以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九即一蔀之日以日月分母相乘得七十六得一蔀之岁以一岁之月除蔀月得七十六岁又以一岁之日除蔀日亦得七十六矣岁月余既终日分又尽众残齐合群数毕满故谓之蔀臣鸾曰求蔀法列章岁十九以四乘之得一蔀七十六岁求一蔀之月法十二月十九分月之七通分内子得二百三十五即月分也更列一岁三百六十五日四分日之一通分内子得一千四百六十一以日分母四乘月分得九百四十即一蔀之月以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九即一蔀之日以日分毋四乘月分母十九得七十六即一蔀之岁更以月分母十九乘蔀月九百四十得万七千八百六十为实以十二月十九分月之七通分内子得二百三十五为法以除实得七十六亦一蔀之岁也更列一蔀之日二万七千七百五十九以分母四乘之得十一万一千三十六为实以周天分千四百六十一除之得一蔀之岁七十六也二十蔀为一遂遂千五百二十岁遂者竟也言五行之德一终竟极日月辰终也干凿度曰至德之数先立金木水火土五凡各三百四岁五德运行日月开辟甲子为蔀首七十六岁次得癸卯蔀七十六岁次壬午蔀七十六岁次辛酉蔀七十六岁凡三百四岁木德也主春生次庚子蔀七十六岁次已卯蔀七十六岁次戊午蔀七十六岁次丁酉蔀七十六岁凡三百四岁金德也主秋成次丙子蔀七十六岁次乙卯蔀七十六岁次甲午蔀七十六岁次癸酉蔀七十六岁凡三百四岁火德也主夏长次壬子蔀七十六岁次辛卯蔀七十六岁次庚午蔀七十六岁次巳酉蔀七十六岁凡三百四岁水德也主冬藏次戊子蔀七十六岁次丁卯蔀七十六岁次丙午蔀七十六岁次乙酉蔀七十六岁凡二百四岁土德也主致养其德四正子午卯酉而朝四时焉凡一千五百二十岁终一纪复甲子故谓之遂也求五德日名之法置一蔀者七十六岁德四蔀因而四之为三百四岁以一岁三百六十五日四分日之一乘之为十一万一千三十六以六十去之余三十六命甲子算外得庚子金德也求次德加三十六去之命如前则次德日也求算蔀名置一章岁数以周天分乘之得二万七千七百五十九以六十去之余三十九命以甲子算外得癸卯蔀求蔀加三十九满六十去之命如前得次蔀臣鸾曰求遂法列一蔀七十六岁以二十乘之得千五百二十岁即以遂之岁求五德金木水火土法列一蔀七十六岁以周天分千四百六十一乘之得十一万一千三十六即以六十除之余三十六命从甲子算外得庚子凡三百四岁主秋成金德也加三十六得七十二以六十除之余十二命从甲子算外得丙子凡三百四岁火德主夏长次放此求蔀名列一章十九岁以周天分一千四百六十一岁乘之得二万七千七百五十九以六十去之余三十九命从甲子算外得癸卯蔀七十六岁复加三十九亦六十去之余十八命亦起甲子算外次得壬午蔀次放此至甲子即止之三遂为一首首四千五百六十岁首始也言日月五星终而复始也考灵曜曰日月首甲子冬至日月五星俱起牵牛𥘉日月合若璧五星如联珠青龙甲寅摄提格并四千五百六十岁积及𥘉故谓首也臣鸾曰求一首法列遂一千五百二十岁三之得一首四千五百六十岁也七首为一极极三万一千九百二十岁生数皆终万物复始极终也言日月星辰弦望晦朔寒暑推移万物生育皆复始故谓之极臣鸾曰求极先列一首四千五百六十以以七乘之得一极三万一千九百二十岁也天以更元作纪历元始作为七纪法天数更始复为法述之何以知天三百六十五度四分度之一而日行一度而月后天十三度十九分度之七二十九日九百四十分日之四百九十九为一月十二月十九分月之七为一岁非周髀本文盖人问师之辞其欲知度之所分法术之所生耳周天除之除积后天分得一周即弃之其不足除者如合朔古者包牺神农制作为历度元之始见三光未如其则三光日月星则法也日月列星未有分度则星之𥘉列谓二十八宿也日主昼月主夜昼夜为一日日月俱起建星建六星在斗上也日月起建星谓十一月朔旦冬至日也为历术者度起牵牛前五度则建星其近也月度疾日度迟度日月所行之度也日月相逐于二十九日三十日间言日月二十九日则未合三十日复相过而日行天二十九度余如九百四十分日之四百九十九未有定分未知余分定几何也于是三百六十五日南极影长明日反短以岁终日影反长故知之三百六十五日者三三百六十六日者一影四岁而后知差一日是为四岁共一日故岁得四分日之一故知一岁三百六十五日四分日之一岁终也月积后天十三周又与百三十四度余经数月后天之周故度求之余者未知也言欲求之也无虑后天十三度十九分度之七未有定无虑者粗计也此巳得月后天数而言未有者求之意未有见故也于是日行天七十六周月行天千一十六周及合于建星月行一月则行过一周而与日合七十六岁九百四十周天所过复九百四十日七十六周并之得一千一十六为一月后天率分尽度终复还及𥘉也臣鸾曰求于是日行天七十六周日行天千一十六周及合于建星法以九百四十周并七十六周得一千一十六周则日月气朔合于建星置月行后天之数以日后天之数除之得一十三度十九分度之七则月一日行天之度以日度行率除月行率一日得月度几何置月行率一千一十六为实日行率七十六为法实如法而一法及余分皆四约之与乾象同归而殊途义等而法异也复置七十六岁之积月置章岁之月二百三十五以四乘之得九百四十则蔀之积月也以七十六岁除之得十二月十九分月之七则一岁之月亦以四约法除分蔀岁除月与章岁除章月同置周天度数以十二月十九分月之七除之得二十九日九百四十分日之四百九十九则一月日之数通周天四分日之一为千四百六十一通十二月十九分月之七为二百三十五分母不同则子不齐当互乘以同齐之以十九乘千四百六十一为二万七千七百五十九以四乘二百三十五为九百四十及以除之则月与日合之数臣鸾曰求日行一度法还置前一千一十六以七十六岁除之得十三度不尽二十八以求等平于四以四约余得七约分得十九是十三度十九分度之七更列一章岁积月二百三十五以周天分母四乘之即一蔀月九百四十亦以七十六岁除之得一岁之十二月十九分月之七余分及法并以四约更通周天得千四百六十一复通十二月十九分月之七得二百三十五分母不同互乘之以月分母十九乘日分得二万七千七百五十九以日分母四乘月分得九百四十除之二万七千七百五十九得二十九日九百四十分日之四百九十九而月与日合此其数也周髀算经卷下(终)◆ 《新仪象法要-宋-》（KR3f0002）
## 御题新仪象法要
御题新仪象法要
梁代浑仪巳制之失传苏颂乃重为有经有纬述前验具说具图期后垂亦曰用心究钩股即看影椠悉毫厘大成圆象精锱黍皇祖鸿贻万世规乾隆乙未孟春上澣
## 提要
钦定四库全书 子部六
新仪象法要 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案新仪象法要三卷宋苏颂撰颂字子容南安人徙居丹徒庆厯二年进士官至右仆射兼中书门下侍郎累爵赵郡公事迹具宋史本传是书为重修浑仪而作事在元祐间而尤袤遂初堂书目称为绍圣仪象法要宋艺文志有仪象法要一卷亦注云绍圣中编盖其书成于绍圣初也案本传称时别制浑仪命颂提举颂既邃于律算以吏部令史韩公亷有巧思奏用之授以古法为台三层上设浑仪中设浑象下设司辰贯以一机激水转轮不假人力时至刻临则司辰出告星辰躔度所次占候测騐不差晷刻昼夜晦明皆可推见前此未有也叶梦得石林燕语亦谓颂所修制之精逺出前古其学畧授冬官正袁惟几今其法苏氏子孙亦不传云云案书中有官局生袁惟几之名与燕语所记相合其说可信知宋时故甚重之矣书首列进状一首上卷自浑仪至水趺共十七图中卷自浑象至冬至晓中星图共十八图下卷自仪象台至浑仪圭表共二十五图图后各有说葢当时奉勅撰进者其列玑衡制度候视法式甚为详悉南宋以后流传甚稀此本为明钱曽所藏后有乾道壬辰九月九日呉兴施元之刻本于三衢坐啸斋字两行葢从宋椠影摹者元之字徳初官至司谏尝注苏诗行世此书卷末天运轮等四图及各条所附一本云云皆元之据别本补入校核殊精而曾所抄尤极工致其撰读书敏求记载入是书自称图様界昼不爽毫髪凡数月而后成楮墨精妙绝伦不数宋本良非夸语也我朝仪器精宻敻绝千古颂所创造固无足轻重而一时讲求制作之意颇有足备叅考者且流传秘册阅数百年而摹绘如新是固宜为寳贵矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷上
钦定四库全书新仪象法要巻上宋 苏颂 撰浑仪 六合仪三辰仪 四游仪天经双环 阴纬单环天常单环 三辰仪双环赤道单环 黄道双环四象单环 天运单环四游仪双环 望筒直距龙柱 鳌云水趺进仪象状臣颂先准元祐元年冬十一月诏㫖定夺新旧浑仪寻集日官及检详应前后论列干证文字赴翰林天文院太史局两处对得新浑仪系至道皇祐中置造并堪行用旧浑仪系熙寜中所造环器怯薄水趺低垫难以行使奉圣㫖下秘书省依所定施行臣窃以仪象之法度数备存而日官所以互有论诉者葢以器未合古名亦不正至于测候须人运动人手有髙下故躔度亦随而移转是致两竞各指得失终无定论葢古人测候天数其法有二一曰浑天仪规天矩地机隐于内上布经躔以日星行度察寒暑进退如张衡浑天开元水运铜浑是也二曰铜候仪今新旧浑仪翰林天文院与太史局所用者是也又案吴中常侍王蕃云浑天仪者羲和之旧器积代相传谓之机衡其为用也以察三光以分宿度者也又有浑天象者以著天体以布星辰二者以考于天葢宻矣详此则浑天仪铜浑仪之外又有浑天象凡三器也浑天象厯代罕传其制惟隋书志称梁代秘府有之云是宋元嘉中所造者由是而言古人候天具此三器乃能尽妙今惟一法诚恐未得亲宻然则张衡之制史失其传开元旧器唐世已亡国朝太平兴国初巴蜀人张思训首创其式以献太宗皇帝召工造于禁中逾年而成诏置文明殿(今文徳殿是也)东鼓楼下题曰太平浑仪自思训死机绳断坏无复知其法制者臣昨访问得吏部守当官韩公㢘通九章筭术常以钩股法推考天度臣切思古人言天有周髀之术其说曰髀股也股者表也日行周径里数各依筭术用钩股重差推晷影极㳺以为逺近之数皆得表股周人受之故曰周髀若通此术则天数从可知也因说与张衡一行梁令瓒张思训法式大纲问其可以㝷究依仿制造否其人称若据筭术案器象亦可成就既而撰到九章钩股测騐浑天书一卷并造到木様机轮一坐臣观其器范虽不尽如古人之说然激水运轮亦有巧思若令造作必有可取遂具奏陈乞先创木様进呈差官试验如候天有凖即别造铜器奉二年八月十六日诏如臣所请置局差官及专作材料等遂奏差郑州原武县主簿充夀州州学教授王沇之充专监造作兼管句收支官物太史局夏官正周日严秋官正于太古冬官正张仲宣等与韩公㢘同充制度官局生袁惟㡬苖景张端节级刘仲景学生侯永和于汤臣测验晷景刻漏等都作人贠尹清部辖指画工作至三年五月先造成小様有㫖赴都堂呈验自后造大木様至十二月工毕又奏乞差承受内臣一贠赴局预先指说前件仪法准备内中进呈日有宣问十月入内内侍省差到供奉官黄卿从至闰十二月二日具劄子取禀安立去处得㫖置于集英殿臣谨案厯代天文之器制范颇多法亦小异至于激水运机其用则一葢天者运行不息水者注之不竭以不竭逐不息之运茍注挹均调则参校旋转之势无有差舛也故张衡浑天云置宻室中以漏水转之令司之者闭户唱之以告灵台之观天者璇玑所加某星始见某星已中某星今没皆如符合唐开元中诏浮屠一行与率府兵曹梁令瓒及诸术士更造铸铜浑仪为之圆天之象具列宿及周天度数注水激轮令其自转一日一夜天转一周又别置二轮络在天外缀以日月令得运行每天西转一匝日正东行一度月行十二度有奇凡二十九转而日月㑹三百六十五转而日行匝仍置木柜以为地平令仪半在地上又立二木偶人于地平之前置钟鼓使木人自然撞击以候辰刻命之曰水运浑天俯视图既成置武成殿前以示百僚梁朝浑象以木为之其圆如丸徧体布二十八宿三家星(谓巫咸石申甘徳三家星图以青黄)(赤三色别之)黄赤道及天河等别为横规环以绕其外上下半之以象地张思训浑仪为楼数层髙丈余中有轮轴闗柱激水以运轮又有直神揺铃扣钟击鼓每一昼夜周而复始又有十二神各直一时时至则自执牌循环而出报随刻数以定昼夜之长短至冬水凝运行迟涩则以水银代之故无差舛又有日月星象皆取仰观案旧法日月行度皆人所运新制成于自然尤为精妙然则据上所述张衡所谓灵台之璇玑者兼浑仪候仪之法也置宻室中者浑象也故葛洪云张平子陆公纪之徒(张衡字平子陆绩字公纪)咸以为推步七曜之运以度厯象昏明之证候校以三八之气考以刻漏之分占晷景之往来求形验于事情莫宻于浑象也开元水运俯视图亦浑象也思训凖开元之法而上以葢为紫宫旁为周天度而正东西转出其新意也今则兼采诸家之说备存仪象之器共置一台中台有二隔浑仪置于上浑象置于下枢机轮轴隐于中钟鼔时刻司辰运于轮上木阁五层蔽于前司辰击鼓揺铃执牌出没于阁内以水激轮轮转而仪象皆动此兼用诸家之法也浑仪则上候三辰之行度增黄道为单环环中日见半体使望筒尝指日日体尝在筒窍中天西行一周日东移一度此出新意也浑象则列紫宫于北顶布中外官星二十八舍周天度黄赤道天河徧于天体此用王蕃及隋志所说也又以五色珠为日月五星贯以丝绳两末以钩环挂于南北轴依七曜盈缩迟疾留逆移徙令常在见行躔次之内昼夜随天而旋使人于其旁验星在之次与台上测验相应以不差为凖此用一行思训所说而增损之也二器皆出一机以水激之不由人力校之前古疎宻虽未易知而器度筭数亦仿佛其遗象也又制刻漏四副一曰浮箭漏二曰稗漏皆与今太史及朝堂所用略同三曰沈箭漏四曰不息漏并采用术人所制法式置于别室使挈壶专掌逐时刻与仪象互相叅考以合天星行度为正所以验器数与天运不差则寒暑气候自正也虞书称在璇玑玉衡以齐七政盖观四七之中星以知节候之早晚考灵耀曰观玉仪之游昏明主时乃命中星者也璇玑中而星未中为急急则日过其度月不及其宿璇玑未中而星中为舒舒则日不及其度月过其宿璇玑中而星中为调调则风雨时庶草蕃庑而五谷登万事康由是言之观璇玑者不独视天时而布政令抑欲察灾祥而省得失也易曰先天而天不违后天而奉天时此之谓也今依月令创为四时中星图以晓昏之度附于卷后将以上备圣主南面之省观此仪象之大用也又上论浑天仪铜候仪浑天象三器不同古人之说亦有所未尽陈苖谓张衡所造葢亦止在浑象七曜而何承天莫辨仪象之异若但以一名命之则不能尽其妙用也今新制备二器而通三用当总谓之浑天恭俟圣鉴以正其名也光禄大夫守吏部尚书兼侍读上䕶军武功郡开国侯臣苏颂上右浑仪其制为轮三重一曰六合仪纵置于地浑中即天经也与地浑相结其体不动二曰三辰仪置六合仪内三曰四㳺仪置三辰仪内曰六合者象上下四方天地之体也曰天经者对地浑也又名阳经环者以地浑为阴纬环对名也又植四龙柱于浑下之四维各绕以龙故名曰龙柱又置鳌云于六合仪下承以云气云下有鳌座名曰鳌云又四龙柱下设十字水趺凿沟通水道以平髙下故名曰水趺别设天常单环于六合仪内又设黄道双环赤道单环皆在三辰仪内东西相交随天运转以騐列舍之行又为四象环附三辰仪相结于天运环黄赤道两交又为直距二纵置于四㳺仪内北属六合仪地浑之上以正北极出地之度南属六合仪地浑之下以正南极入地之度此浑仪大形也直距内夹置望筒一筒之半设闗轴附直距上使运转低昂窥测四方之星度李淳风制六合仪三辰仪四游仪凡三重六合仪有金浑纬规其法刘曜时孔挺所增四游仪即舜璇玑玉衡之遗法也本朝至道中韩显符止用淳风六合四㳺仪移三辰仪黄赤道安于六合仪如孔挺之说逮皇祐中复徙黄赤道附于三辰仪今则全用淳风三重之制而于三辰仪上设天运环以水运之水运之法始于汉张衡成于唐梁今瓒及僧一行复扵本朝张思训今又变正其制设天运环下以天柱闗轮之类上动浑仪此出新制也右六合仪其制有天经有地浑有天常环天经即双规也古制止言外双规李淳风始有六合之名梁令瓒名阳经双规韩显符名天经双规元丰复曰阳经双规地浑之制梁名单横规李淳风名金浑纬规梁令瓒名阴纬单环又谓之阴浑韩显符名地盘平凖皇祐周琮及元丰所制与今仪复曰阴纬单环天经则纵置地浑则横置天经环两面各布列周天度数半在地浑之上半在地浑之下地浑环面已上为天其下为地其南北与天经环相属持之地浑面凿渠为平水沟以正天地之髙下于环内布列八干四维十二辰位以象地天常环于天经地浑内衔置之环侧布列十有二时与时初正之分刻以成百刻之数右三辰仪其制为双环在阳经环内两环面各布周天度数环内附带黄道赤道今又新置四象环附于三辰仪相结于天运环黄赤道两交及天运环近南极下与鳌云内牙轴相衔若鳌云中天柱动则天运环动以转三辰仪轮古无此仪李淳风造黄道仪始置之僧一行梁令瓒因之周琮造浑仪与元丰仪及今仪皆循用之右四游仪舜典曰璇玑(或曰璇玑)梁曰双环规李淳风曰四游仪梁令瓒曰璇枢双环韩显符曰游规周琮及元丰所制并今仪复曰四游仪其仪为双环在三辰仪内南北各有杠夹于双环各有轴窍以运杠环两面各布周天度数直距在双环内连环体属于六合仪南北极之杠轴内直北上属北极直南下属南极置望筒于直距内其半以闗轴夹持之使得运转凡游仪东西运转则望筒南北低昂故游仪运动无所不至而望筒随㳺仪所至又置半筒以备测天运环相对之星以窥知天象右天经双环两环各直径七尺七寸七分阔五寸厚八分与地浑单环相结于子午午正环两面各列周天三百六十五度有畸其环半出地上半入地下于地浑面自北扶天而上三十有五度少弱则北极出地之度也于地浑面自南属地而下三十有五度少弱则南极入地之度也环内当南北极为枢孔夹置杠轴轴末出环外各为脐二层以安三辰四游之杠内各为孔与直距内望筒之孔相通其北则北极出地之度自此而止也其南则南极入地之度自此而止也北极出地三十有五度少弱四回而运之凡七十度半弱其度常见于地上则为紫微垣其星凡三十有七其数一百八十有三于四时常见不隐谓之上规南极入地三十五度少弱四回而运之凡七十度半弱其度常隐于地下其下星常隠而不见谓之下规上下规间一百一十有二度则黄道赤道内外宫也其星凡二百四十有六其数一千二百八十一则近日而隐逺日而见谓之中规右阴纬单环其直径与阔如阳经环之度其厚二寸半其环与阳经南北子午相衔阳经当阴纬环上下之半故阴纬环面上为天下为地其上下各一百八十二度有畸环面凿为平水沟通流以为凖其环内向布列八卦维辰之位具如前说右天常单环其直径六尺七寸七分阔九分厚五分其环入阳经阴纬环里古人以鸟壳之裹黄况之内与三辰仪重置居赤道之表环面列有十二时昼夜百刻以揆时刻之度具如前说古无此环周琮等造三重仪始置之元丰仪因之今新仪循用右三辰仪双环其直径六尺四寸八分阔一寸八分厚七分两面各列周天三百六十五度有畸内带黄赤道下带天运环在六合仪内转动不息右赤道单环其直径六尺三寸阔九分厚六分其环结于三辰仪内横络天腹谓之中极以格黄道外则正与六合仪天常环相对环北面分列二十八舍周天之度内列二十有四气六十有四卦环外列七十有二候其四正日躔之宿旧据厯法推步今以新仪考测知日躔与今天道差违凡三度葢元丰甲子岁冬之日至在赤道斗三度夏之日至在井九度少弱春分日在奎初度强秋分日在轸七度太弱定为四正之宿占测七政以叶天度右黄道双环今所创也其直径阔厚如赤道之数环面列周天之度与赤道同其环结于三辰仪与六合仪相叠以定南北极则黄道正在三辰仪南北其东西与赤道相结黄道出赤道外二十四度弱去极一百一十五度少弱为冬至黄道入赤道内二十四度弱去极六十七度半弱为夏至其东西与赤道相交去极各九十一度少弱为春秋二分冬夏二至春秋二分谓之四正太阴五星出入皆循其道各有度数古制虽有赤道后汉和帝时知赤道与天度颇有进退诏贾逵始置双道李淳风一行梁令瓒韩显符周琮熙寜元丰仪又因之今新仪循用不改唯显符徙黄道附于六合仪黄道旧单环外于北际见太阳体(不全见以测半)日为法今以望筒于黄道双环(中全见日)体若仰窥太阳随天运转则太阳适周于双环之内右四象单环今之所创也附扵三辰仪南北极末与南天运环黄赤道东西交相结今两交无低垫之患随天运环运转与天符合右天运单环亦今所创也附于三辰仪居黄道之南环外周设四百七十八牙距下与鳌云中天毂相衔其最下动枢轮轴一牙上动天柱一牙距乃上转天运环一距天运环转则三辰仪与环俱动以象天运无穷旧三辰仪未有水运故无此环今创为之其四百七十八牙距即倣用周天度分之法一本云其直径四尺一寸四分半阔一寸九分厚七分附于三辰仪居黄道之南环外周设六百牙距(云云)其六百牙距即倣用元丰新浮漏六百分之法右四游仪双环直径六尺阔一寸七分两旁外唇厚六分半内唇半隠起二分共厚八分半即舜典所谓璇玑也环两面布周天三百六十五度有畸其环外与六合三辰仪三重相叠其南北端两极内置直距直距中夹横箫使南北低昂六合仪不动以定天体三辰仪则随天运环动转以追天运若四游仪则有时转动亦追天运以横箫窥测无所不至右直距二望筒一直距各长五尺六寸六分阔一寸六分厚八分安四游仪中上属北极下属南极中施闗轴以夹望筒望筒即舜典所谓玉衡也亦谓之横箫李淳风曰玉衡梁令瓒曰玉衡望筒韩显符曰窥管周琮及元丰所制并今新仪复曰望筒中空长五尺七寸四分方一寸六分其两首各为方掩方一寸七分方掩中各为圜孔孔径七分半望其上孔适周日体于直距中南北低昂旋运持正窥测七曜与列宿距度之逺近右四龙柱各髙七尺七寸每柱植于十字水趺之末上属阴纬环之四维而上下各以一龙绕之案旧法其势端直映蔽四维今因元丰制作为曲抱之势使人立其下便于窥测右鳌云其髙四尺下植于水趺十字之心饰以云气上承六合仪令无垫坠承以鳌坐故曰鳌云皆中空内隠天柱上属天运环古制无鳌云后魏永兴中诏造候部铁仪于水平上以龟负双规韩显符不用元丰仪周日严等设鳌云于水趺之上今新仪因之其内隐天柱上属天运环乃新制也右十字水趺后魏曰十字水中植立四龙柱李淳风曰凖基末植鳌足以张四表梁令瓒曰水平槽韩显符复曰十字水平元丰所制并今新仪复曰水趺其制各长一丈四寸髙七寸五分阔八寸四分十字置之中凿水道深一寸五分相通以行水视水平则髙下正矣四末为水斗外各方一尺二寸髙下与水趺等凿方孔以受四龙柱于水斗中其十字之会开天门方二寸自下枢轴运天柱由鳌云中上属六合仪双环水趺旧无天门今创为之以度天柱上拨天运环动三辰仪新仪象法要卷上
## 卷中
钦定四库全书新仪象法要卷中宋 苏颂 撰浑象 浑象六合仪浑象地柜 浑象赤道牙浑象紫微垣星图 浑象东北方中外官星图浑象西南方中外官星图 浑象北极星图浑象南极星图 四时昏晓加临中星图春分昏中星图 春分晓中星图夏至昏中星图 夏至晓中星图秋分昏中星图 秋分晓中星图冬至昏中星图 冬至晓中星图右浑象一座太史旧无今倣隋制增损制之上列二十八宿周天度及紫微垣中外官星以俯视七政之运转纳于六合仪天经地浑内周以一木柜载之其中贯以枢轴轴南北出浑象外(南长北短)地浑在木柜面横置之以象地天经与地浑相结纵置之半在地上半隠地下以象天其枢轴北贯天经上杠中末与杠平出柜外三十五度少弱以象北极出地南亦贯天经出下杠外入柜内三十五度少弱以象南极入地就赤道为牙距四百七十八牙以衔天轮随机轮之地毂以运动按隋志云浑天象者其制有机而无衡梁末秘府有以木为之其圆如丸其大数围南北两头有轴遍体布二十八宿三家星黄赤二道及天汉等别为横规以抱其外高下半之(此谓抱规抱浑象高下谓之半)以象地南轴头入地注于南植植柱也以象南极北轴头出于地上注于北植以象北极正东西运转昏明中星既其应度分至气节亦验在不差而已今所制大率倣此并约梁令瓉张思训法别为日月五星循绕三百六十五度随天运转又王蕃云浑象之法地当在天内其势不便故反观其形地为外郭而已解者无异在内诡状殊体而合于理可谓竒巧也今地浑亦有浑象外盖出于蕃法也一云以象南极入地别设天运轮一侧置浑象南其毂贯南枢轴之末其轴为牙距六百以衔天轴轴下接天轮随机轮之地毂以运动右浑象六合仪其制有天经双规地浑单环双规直径五尺四寸七分厚八分纵置木柜小单环直径五尺四寸七分阔三寸七分厚一寸五分横置木柜面浑象纳其中半隠地下半出地上以视南北极之髙下右浑象木地柜一以安浑象及天经地浑内置天轮与赤道牙相接随天轮运转右浑象赤道牙一浑象体正圆如毬径四尺五寸六分半上布周天三百六十五度有畸中外官星其名二百四十六其数一千二百八十一紫微垣在浑象北上规星其名三十七其数一百八十三二项总名二百八十三星数一千四百六十四东西绕以黄赤二道二十八舍相距于四方日月五星所行中贯以枢轴南北置之赤道牙与天轮相衔候天轮动则与浑象俱转其天度星舍等及黄赤道日月五星所行周旋浑象各有名数距度次序标道右紫微垣星图一凡三十七名一百八十三星布列浑象之北上规所以正天地之南北也北斗七星在垣内所以正四时也史志曰中宫北极五星钩陈六星皆在紫宫中北极北辰之最尊者也其细星天之枢也天运无穷三光迭曜而极星不移故曰居其所而众星拱之旧说皆以纽星即天极在正北为天心不动今验天极亦昼夜运转其不移处乃在天极之内一度有半故浑象杠轴正中置之不动以象天心也自天极外诸星皆随浑象运转以象列宿随天左旋也天有二十八宿为十二次舍布列四方三百六十五度有畸而天极亦具其数古人所谓天形如盖即天心为盖之杠轴列舍如盖之橑辐分布十二次舍之度数紫宫近天极故狭而密列舍布四方故阔而疎也北斗七星所谓璇玑玉衡以齐七政者也(魁四星为璇玑杓五星为玉衡)杓携龙角(杓斗柄也龙角东方星携)(连也)衡中南斗(衡斗中央之星也)魁枕参首(斗第一星为魁)用昏建者杓(斗第七星为杓斗之星也)夜半建者衡(假令杓昏建寅则夜半衡亦建寅)平旦建者魁斗为帝车运于中央照临四海分阴阳建四时均五行移节度定诸纪皆系于斗故扬子云云日一南而万物死(谓夏至已后日第南陆一反南道群隂渐长万物所以死也)日一北而万物生(谓冬至已后日穷北陆一反北道群阳渐长万物所以生也)斗一北而万物虚(谓立冬已)(后斗杓建亥自亥之后阴主于时万物以敛故曰虚)斗一南而万物盈(谓立夏已后斗杓建)(巳自巳之后阳主于时万物华盛故曰盈)日之南也右行而左还斗之北也左行而右还(日则迎天右行谓春行西方厯七星而南秋行东方厯七星而北始行西方故云右)(行也还从东方故云左还也斗则随天而行春指东方厯三辰而南秋指西方厯三辰而北始指东方故云左)(行也还从西方故云右还也)由是言之天形无垠昼夜不息所以分节候运寒暑日与斗建相推移于上而成岁于下也所以著于图象者欲俯仰之㕘合先天而趋务也故人君南面聴天下常视四七之中星察玉衡之杓建考日躔之南北顺天时而布民政自唐虞以来莫不尚之然则浑象人居天外故俯视之星图人在天里故仰观之二者相戾盖俯仰之异也其下中外官星亦倣此右浑象中外官星图二凡二百四十六名一千二百八十一星分布于四方周遍天体惟南极入地常隠不见紫微宫常见不隠余星近日而伏逺日而出四时互见二十八宿为十二次三百六十五度有畸日月五星之所舍也史志曰东宫苍龙谓角亢氐房心尾箕七宿其形如龙在东方故曰苍龙也南宫朱鸟谓东井舆鬼栁七星张翼轸七宿其形如鹑鸟在南方故曰朱鸟也西宫咸池白虎谓奎娄胃昴毕觜觽参为白虎在西方故曰白虎也北方元武谓南斗牵牛女虚危营室东壁有龟蛇体在北方故曰元武也凡星皆随天左旋日月五星常违天右转昏晓于是乎正寒暑于是乎生岁时于是乎成所以著于浑象者将以俯察而知七政行度之所在也著于图者将以仰观而上合乎天象也星有三色所以别三家之异也出于石申者赤也出于甘徳者黒出于巫咸者黄紫宫诸星亦同出三家中外官与紫宫星总二百八十三名一千四百六十四星汉志所载紫宫及中外官星才百一十八名积数七百八十三星至晋武帝时太史令陈卓揔三家所著星图方具上数至今不改然则施于浑象者惟天极北斗二十八舍为占候之要其余备载者所以具上象之全体也右浑象北极南极星图二古图有圆纵二法图圆视天极则亲视南极则不及横图视列舍则亲视两极则疎何以言之夫天体正圆如两盖之相合南北两极犹两盖之杠毂二十八宿犹盖之弓撩(周礼考工记盖弓二十八以象星注云盖)(弓撩也然则古之置盖者亦取法于天)赤道横络天腹如两盖之交处赤道之北为内郭如上覆盖赤道之南为外郭如下仰盖故列弓撩之数近两毂则狭渐逺渐阔至交则极阔势之然也亦犹列舍之度近两极则狭渐逺渐阔至赤道则极阔也以圆图视之则近北星颇合天形近南星度当渐狭则反阔矣以横图视之则去两极星度皆阔失天形矣今倣天形为覆仰两圆图以盖言之则星度并在盖外皆以图心为极自赤道而北为北极内官星图赤道而南为南极外官星图两图相合全体浑象则星官阔狭之势脗与天合以之占候则不失毫厘矣右四时昏晓加临中星图圣人南面视四时之中所以候四时之早晚以布民政故尧命羲和厯象日月星辰敬授人时舜在璇玑玉衡以齐七政皆谓此也然则天以二十八宿分布四方凡三百六十五度有畸为日月五星之次舍日行一度为一日周天为一岁月行三十日一周天为一月故日月一岁十二㑹为四时时有孟仲季仲为分至人君不能日夕察候星度故举四时之中以验之曰日中春分也曰日永夏至也曰宵中秋分也曰日短冬至也所谓星鸟者南方之星七为朱鸟体春分则见于南方也所谓星火者东方之星七为苍龙体夏至则见于南方也所谓星虚者北方之星七为元武体秋分则见于南方也所谓星昴者西方之星七为白虎体冬至则见于南方也郑康成云凡记昏明中星者为人君南面而聴天下视时候以授民事也既举四时之中又昏旦视四方列宿则孟季之月与周天之度数从可知也故厯代圣王尚之经史记云夏有小正周有时训秦汉暨唐及本朝皆有月令所以顺天时而督民务也诗曰定之方中作于楚宫又有三星在天在隅在户之候春秋传曰启蛰而郊龙见而雩又曰凡土功水昏正而栽又曰凡马日中而出日中而入此皆视列宿而行国政也然其上所记及唐虞之世日行次舍如此厯三代汉唐至今数千年日行渐逺故中星随而转移今以礼记月令洎唐及本朝所测合为四时昏旦中星图所以上备宸庭观览顺阴阳而颁政令也四仲图别出于后(图称月令者是汉太初厯星度称唐者是开元大衍厯星度称今者是元丰所测见今星度也)新仪象法要卷中
## 卷下
钦定四库全书新仪象法要卷下宋 苏颂 撰水运仪象台 运动仪象制度木阁昼夜机轮 机轮轴天轮 拨牙机轮木阁第一层 昼时钟鼓轮木阁第二层 昼夜时初正司辰轮木阁第三层 报刻司辰轮木阁第四层五层 夜漏金钲轮夜漏司晨轮 枢轮退水壶铁枢轴 天柱天毂 天池平水壶天衡 升水上下轮河车天河 仪象运水法浑仪圭表右水运仪象台其制为台四方而再重上狭下广髙下相地之宜四面以巨枋木为柱柱间各设广桄周以板壁下布地栿上布板面内设天梯再休隔上开南北向各一门隔下开二门各南向双扉(别本云再休隔上开南向一门东西向各)(一门隔下开二门各南向双扉)浑仪置上隔(即台面也)仪有三重曰六合仪曰三辰仪曰四㳺仪其上以脱摘板屋覆之六合仪有阳经双规为天规纵置之阴纬单规为地浑横置之三辰仪南施天运环(天运环系新剏)浑象连木地柜置台中隔浑象亦有天经双规纵置木地柜中半出地上半隠地下有地浑单规置地柜面(为柜之子口浑象等今倣隋书志新剏)台内仰设昼夜机轮八重贯以机轮轴第一重曰天轮在天束上与浑象赤道牙相接第二重曰昼时钟鼓轮第三重曰时刻钟鼓轮第四层曰时初正司辰轮第五重曰报刻司辰轮第六重曰夜漏金钲轮(钲今号曰铮铮是也)第七重曰夜漏更筹司辰轮最下第八重曰夜漏箭轮外以五层半座木阁蔽之层皆有门以见木人出入第一层左揺铃右扣钟中击鼓第二层报时初及时正第三层报刻第四层击夜漏金钲第五层报夜漏更筹又于八轮之北侧设枢轮其轮以七十二辐为三十六洪束以三辋夹持受水三十六壶毂中横贯铁枢轴一南北出轴南为地毂运拨地轮天柱中动机轮动浑象上动浑仪(别本云又)(于八轮之北侧设枢轮以九十六辐四十八洪束以三辋夹扶受水四十八壶毂中横铁枢轴一南北出轴南)(中以天梯下毂以运天梯上动浑仪末以地毂运拨牙机轮上动浑象)又枢轮左设天池平水壶平水壶受天池水注入受水壶以激枢轮受水壶水落入退水壶由壶下北窍引水入升水下壶以升水下轮运水入升水上壶上壶内升水上轮及河车同转上下轮运水入天河天河复流入天池周而复始一云三辰仪南施天运环浑象连木地柜置台中隔浑象(云云)半隠地下上有池浑双规置地柜面体外亦施天运(倣隋志新剙)台内仰设昼夜机轮右运动仪象制度先设枢轮一机轮八以天柱四植于台内枢梁二东西横安于天柱前后以载枢轴天梁二安于天柱枢梁上以挂天闗左右天极二南北置之南寄台前东西柱北贯天柱东西天梁之下枢梁之上机轮轴一立置台中天束一以横木二合为一天束横置之两末安于东西天极中天轮之下拨牙机之上中为窍以束机轮轴机轮轴下为地极横置之两末安东西两地足中地极之正中安铁枢臼一以承机轴之纂纂亦以铁为之天池在天柱之左平水壶在天池之南两壶各以木架载之平水壶面接天池水窍其底与枢轮受水壶面相次退水壶在枢轮之下上下升水轴壶并河车两轴并寄枢梁天梁下横桄之中其昼夜八机轮同贯机轮轴拨牙轴所以转七轮枢轮三十六(三十六一云四)(十八)双轮共贯一毂受水壶三十六在枢轮外辋间所以受水运枢轮也天衡一置枢轮上天闗一置衡脑天权一置衡尾天条一在衡之前天衡闗舌一以天条缀之所以激发天衡闗也枢衡一在天衡闗舌上衡脑为格义(格音阁)以抵受水壶以枢权挂其末所以节受水壶之升降也左右天锁二分置东西天柱间梁上所以持正枢轮也右木阁五层在机轮前第一层时初木人左揺铃刻至中击鼓时正右扣钟第二层木人出报时初又时正第三层木人出报十二时中百刻第四层夜漏击金钲第五层分布木人出报夜漏箭右昼夜机轮八重第一重曰天轮以拨浑象之赤道牙第二重曰拨牙机轮上安牙距随天柱中轮转动以运上下七轮第三重曰时刻钟鼔轮上安时初正百刻拨牙以击钟鼓铃第四重曰时初正司辰轮上安时初十二司辰时正十二司辰第五重曰报刻司辰轮上安百刻司辰第六重曰夜漏金钲轮上安拨牙以击夜漏金钲第七重曰夜漏更筹司辰轮上安日出入昏晓待旦更筹司辰第八重曰夜漏箭轮以载金钲夜漏箭轮以上八重并贯于轴上以天束束之下以铁枢曰承之外以前木阁五层以蔽之(赤道牙一本云天运轮)机轮轴一上贯于天束窍中下纳于地极上枢臼中以安昼夜八机轮右天轮直径三尺八寸上安六百牙距其毂贯于铁轴在天束上与浑象天运轮相接于轮之南辋上衔天轴所以运天运轮天运轮斜对南极之中如侧葢之势以天轴拨其牙距以运浑象故下机轮轴上贯天机轮动则天轮西转天轮西转则天轴东向及使天运轮与浑象同时西旋右拨牙机轮随天柱中轮转动在昼时钟鼔轮上直径六尺七寸轮下施六百牙距以待中轮动作每中轮动机轮六牙距为一刻五十牙距为一时其六百牙为十二时者元丰法也一本云拨牙机轮与后枢轮相对在第三层阁内与报刻司辰轮相叠直径六尺七寸下施六百牙距以待枢轮动作每枢轮动机轮六牙距右木阁第一层开三门每时初即服绯司辰于左门内揺铃刻至即服绿司晨中门内击鼓时正即服紫司辰右门内扣钟右昼时钟鼓轮在木阁第一层内径六尺七寸上应百刻十二时每时初正及每刻与机轮六百牙距相应轮上置拨牙刻至则中击鼓时初则左揺铃时正则右扣钟右木阁第二层正中开一门每机轮转则昼夜时初正司辰轮动时初则服绯司辰执牌出报时正则服紫司辰执牌出报右昼夜时初正司辰轮在木阁第二层内直径七尺三寸上置二十四司辰十二人报时初十二人报时正每至时正时初其司辰各执牌出见于中门之内右木阁第三层亦正中开一门每机轮转则报刻司辰轮动刻至则服绿司辰执牌出报右报刻司辰轮在木阁第三层内直径七尺二寸上布十二时之百刻分布报刻司辰除时初外以刻言之其司辰九十六人以应正衙钟鼓楼报刻之节每刻则司辰各执牌出见右木阁第四第五层正中开一门每日入昬五更待旦晓日出木人皆击金钲以应第五层司辰第五层司辰出报夜漏等日入后二刻半为昬昏为初更每更有五筹更尽为待旦十刻待旦十刻后晓晓后二刻半为日出其日入服绯司辰出报昏二刻半服绿司辰出报更有五筹初一筹服绯司辰出报更初余四筹服绿司辰各出报凡五更总司辰二十有五待旦十刻服绿司辰各出报晓二刻半服绿司辰出报日出服绯司辰出报司辰各执牌出见于中门之外右夜漏金钲轮在第四层木阁内直径六尺七寸上设夜漏更筹箭每筹施一拨牙每更筹至日出日入皆击金钲右夜漏司辰轮在木阁第五层内直径八尺与夜漏箭轮相叠每至日出入昏晓及待旦刻并更筹各有司辰牌出报于中门之内箭轮径六尺七寸其轮与司辰轮相叠凡冬夏夜有长短不可以一法测之故一岁设六十一箭箭亦有长短故随节气更换则四时之昼夜各无差舛右枢轮一退水壶一枢轮直径一丈一尺以七十二辐(七十二一本云九十六)双植于一毂为三十六(三十六一本云四十八)洪束以三辋每洪夹持受水壶一总三十六壶每壶长一尺阔五寸深四寸于壶侧置铁拨牙以拨天衡闗舌枢轮毂中贯以铁枢轴南北出南以运仪象退水壶长一丈一尺四寸阔一尺九寸东髙三尺二寸西髙二尺五寸五分中髙一尺五寸五分置枢轮下以接退水每受水一壶过水落入退水壶北下为窍水由下窍北流入升水下壶右鐡枢轮轴一长五尺九寸方一寸八分贯枢轮毂中南北出于毂前后相随去枢梁阔狭鑢为两圆项于枢梁上为铁仰月承之使运转安南地毂以拨天柱下轮运转天柱(一本云前后相去随)右天柱长丈九尺五寸其法以木为之上丳鳌云中为天柱上轮以动天毂中为天柱中轮以动机轮下为天柱下轮以待枢轮地毂动作右天毂二置于浑仪天经中以仰月承之后天毂以待天柱上轮动作前天毂与天运环相衔与后毂贯于一轴后毂动则前毂动前毂动则天运环动一本无天柱天毂有天梯天托一本云仰月承之使运转轴南安地毂以拨机轮牙距次安梯下毂以拨天梯右天池壶一平水壶一平水壶上有凖水箭自河车发水入天河以注天池壶天池壶受水有多少紧慢不均故以平水壶节之即注枢轮受水壶昼夜停匀时刻自正右天衡一在枢轴之上中为铁闗轴于东天柱间横桄上为𫘞峰植两铁颊以贯其轴常使转动天权一挂于天衡尾天闗一挂于脑天条一(即铁鹤膝也)缀于权里右垂(长短随枢轮髙下)天衡闗舌一末为铁闗轴寄安于平水壶架南北桄上常使转动首缀扵天条舌动则闗起左右天鏁各一末皆为闗轴寄安左右天柱横桄上东西相对以拒枢轮之辐枢衡枢权各一在天衡闗舌上正中为闗轴于平水壶南北横桄上为两颊以贯其轴常使运动首为格义西距枢轮受水壶权随于衡东随水壶虚实低昂右升水上下轮各一直径各五尺六寸上轮与河车同贯一轴轴末南寄天梁下横桄上正中北寄台腹木阁横桄上为〔？〕手柱载之(木阁髙七尺一寸长七尺三寸阔二尺五寸上布板面板面南)(下立木柱二北寄台桄上使人在其上运河车)下轮轴末南置枢梁下横桄正中北亦为〔？〕手柱载之柱寄于台后地面板上升水上下壶各一上壶长七尺四寸阔九寸五分两头髙二尺三寸中一尺五寸下壶长七尺二寸阔一尺六寸髙二尺一寸并在二轮下以承轮天河在升水上轮之上以受上轮水下壶南为水窍与退水壶窍相通河车转则升水上下轮俱转河车与上轮俱东向即下轮逆行西向升水下轮发升水下壶水右上入升水上壶升水上轮发升水上壶水左入天河注入天池右河车一天河一河车直径四尺八寸天河长三尺八寸阔七寸髙六寸东为水窍与天池面相接河车外出十六拨牙以拨升水下轮十六距对拨牙北安手把八以运河车二轮辋外斜安戽斗二十四上轮十六下轮八河车转则上下轮俱带戽斗运水入天河天河注水入天池仪象运水法水运之制始于下壶先实水于升水下壶壶满则拨河车八距河车动则升水上下轮俱动升水下轮以八戽斗运水入升水上壶升水上轮以十六戽斗运水入天河天河东流入天池天池水南出渇乌注入平水壶由渇乌西注入枢轮受水壶受水壶之东与铁枢衡格义相对格义以距受水壶壶虚即为格义所格所以能受水水实即格义不能胜壶故格义落格义落即壶侧铁拨击开天衡闗舌掣动天条天条动则天衡起发动天衡闗左天鏁开即放枢轮一辐过一辐逼即枢轴动其枢轮所检栝者二一以运浑仪二以动机轮所谓运浑仪者枢轮动则地毂动地毂动则天柱下轮动天柱下轮动则天毂后轮动天毂后轮动则天毂前轮动天毂前轮动则天运环动天运环动则三辰仪随天运转此枢轮所以运浑仪也所谓动机轮者枢轮动则地毂动地毂动则天柱下轮动天柱下轮动则天柱中轮动天柱中轮动则机轮动则枢轮所以动机轮也机轮所以检栝者四一以天轮运浑象二以动钟鼓轮三以动时初正司辰轮四以动报刻司辰轮所谓以天轮运浑象者机轮动则天轮动天轮动则浑象随天运转此天轮所以动浑象也所谓动钟鼓轮者机轮动则昼时钟鼓轮相随而动其轮上有牙距时初则拨左木人所执铃竿以揺铃时正则拨右木人所执撞竿以扣钟刻至则拨中人所执椎以击鼓三者并在本阁第一层左右及中门内相应此机轮所以动钟鼓轮也所谓动时初正司辰轮者机轮动则昼夜时初正司辰轮相随而动时至则轮上木人执牌出木阁第二层门中以报初及正此机轮所以动时初正司辰轮也所谓动报刻司辰轮者机轮动则报刻司辰轮相随而动刻至则轮上木人于木阁第三层门中出报此机轮所以动报刻司辰轮也已上枢轮一辐过则左天鏁及天闗开左天鏁及天闗开则一受水落入退水壶一壶落则闗鏁再拒次壶则激轮右回故以右天鏁拒之使不能西也每受水一壶过水落入退水壶由下窍北流入升水下壶再动河车运水入上水壶周而复始右浑仪圭表一旧法浑仪圭表各为一器故浑仪不能测晷景之长短土圭亦不能验七政之行度今以二器合为一法其制于浑仪下安圭座面与水趺中心相结各为水沟通流以定平凖圭长一丈三尺为日行晷之南北于圭面分尺寸两旁列二十四气自圭面上与阴纬环面与直距望筒之半为表之髙表髙八尺故自阴纬环面及望筒之半至鳌云之下亦髙八尺常于午正以望筒指日令景透筒窍至圭面以窍心之景指圭面之尺寸为凖望筒所以上考时刻五星留逆徐疾日道升降黄道去极逺近圭面所以下候二十四气晷景之长短二法相参则气候与上象相合考正厯数免有差舛右浑象天运轮一浑象体正圆如毬径四尺五寸六分半上布周天三百六十五度有畸中外官星其名二百四十六其数一千二百八十一紫微垣在浑象北上规星其名三十七其数一百八十三星数一千四百六十四东西绕以黄赤二道二十八舍相距于四方日月五星所行中贯以枢轴南北置之轴末贯以天运轮下与天轴及天转牙距相衔候天轮动作则天运轮与浑象俱转其天度星舍等及黄赤道日月五星所行周旋浑象各有名数距度(别本)右铁天轴一置于浑象木地柜底轴两头安于台中隔柜上东西横桄下在天轮天运轮中与两轮拨牙相衔其天轮西向则天轴东旋天轴东旋则天运轮西旋天运轮西旋则浑象随轮而转象天西旋(别本)右天梯长一丈九尺五寸其法以铁栝联周匝上以鼇云中天梯上毂挂之下贯枢轴中天梯下毂每运一括则动天运环一距以转三辰仪随天运动(别本)右天托二 鼇云内各髙三尺七寸下为双义 水趺之心下间阔三寸一分南托上四分之一为曲尺上间阔四寸五分(为曲尺故也)双夹天梯于曲尺间对开三窍置三轴以贯四毂上曰上天毂上与浑仪天运环相距次曰中天毂与上天毂相距下曰下天毂与中天毂相距下之次曰天梯上毂在下天毂之北共贯一轴以挂天梯(别本)新仪象法要卷下◆ 《六经天法编-宋-》（KR3f0003）
## 提要
钦定四库全书 子部六
六经天文编 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案六经天文编二卷宋王应麟撰应麟有郑氏周易注已著录是编裒六经之言天文者以易书诗所载为上卷周礼礼记春秋所载为下卷三代以上推步之书不传论者谓古法疎而今法宻如岁差里差之辨皆圣人所未言晋虞喜始知岁差唐人作覆矩图始知地有东西南北里差然尧典豳风月令左传国语所言星辰前后已相差一次是岁差之法可即是例推周礼土圭之法日南景短日北景长日东景夕日西景朝是里差之法亦可即是而见后世推步之源未尝不见于六经特古文简约不及后来之推衍详察耳此编虽以天文为名而不专主于星象凡隂阳五行风雨以及卦义悉彚集之采录先儒经说为多义有未备则旁涉史志以明之亦推步家所当考证也宋史艺文志作六卷至正四明续志作二卷今此书分上下二篇则二卷为是考国朝吉水李振裕补刋玉海序称应麟著述逾三十种已刻者玉海附词学指南又有遗书十三种自诗攷至通鉴答问共五十余卷板皆朽蚀悉为补刋之是编亦与焉此本前后无序跋纸墨甚旧盖犹至元六年王厚孙所刋也乾隆四十六年六月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷上
钦定四库全书六经天文编卷上宋 王应麟 撰天道易天行健胡氏曰天者干之形干者天之用天之形望之其色苍然南枢入地下三十六度北枢出地上三十六度状如倚杵此天形也言其用则一昼一夜之间凡行九十余万里夫人一呼一吸谓之一息一息之间天已行八十余里人之一昼一夜有一万三千六百余息是故一昼一夜而天行九十余万里则天之健用可知 程氏曰传谓天形如鸡子上规之星常见下规之星常隠中规日月五星之所由二十八宿布于其间半覆地上半绕地下以所行度数知之故观天之行有以见重干之象朱氏曰天一而已但言天行则见其一日一周而明日又一周若重复之象非至健不能也或问乎邵子曰天何依曰依乎地地何附曰附乎天天地何所依附曰自相依附天依形地附气其形也有涯其气也无涯但天之形员如弹丸朝夜运转其南北两端后髙前下乃其枢轴不动之处其运转者亦无形质但如劲风之旋当昼则自左旋而向右向夕则自前降而归后当夜则自右转而复左将旦则自后升而趋前旋转无穷升降不息是为天体而实非有体也地则气之查滓聚成形质者但以其束于劲风旋转之中故得以兀然浮空甚久而不坠耳黄帝问于岐伯曰地有凭乎岐伯曰大气举之亦谓此也天文郑氏曰离为日日天文也艮为石石地文也天文在下地文在上天地之文交相饰成贲 汉上朱氏曰以天文言之无非刚柔交错阴阳之精在地象物成列光耀离合皆刚柔也日阳也而为离月隂也而为坎纬星动者阳也而太白辰星为隂经星不动者阴也而析木鹑首为阳北斗振天二极不动故曰天文也圣人观乎天文则知刚柔有常矣故南面而立视昬旦之星日月之次以知四时寒暑之变春震秋兑泰之时也夏离冬坎贲之时也泰易为贲四时互变时变之象也离有坎日降而月升也坎复成离月降而日升也天气也而成文地形也而有理形散为气明而幽也气聚成形幽而明也仰观乎天凡地之成形者莫不有是文俯察乎地凡天之成象者莫不具是理故分而为二揲之以四生二仪四象八卦成三百八十四爻万有一千五百二十策皆源于太极知此则知幽明之故也鸟兽之文即天文太𤣥曰察龙虎之文观鸟龟之理举鸟兽则龟见矣仰观龙虎鸟龟之文其形成于地俯观山川原隰之宜其象见于天凡在地者皆法天者也 或问天有形乎曰天积阳也气也易曰日月丽乎天百谷草木丽乎土日月附丽乎天亦若百谷草木之丽乎土天果有质欤日月之行或迟或速奔星上下前后或卑或髙不得自如庄周曰天之苍苍其正色耶其视下也亦若是而已列御冦曰日月星辰积气中之有光耀者郄萌曰天了无质郑康成曰天清明无形或曰星陨石何也曰光耀既散气凝为石如人之精神既散形亦刚彊矣故曰在天成象在地成形成形者皆地也坎坤体也坎中之干二五也干阳流于坤阴故月以速为退月体不明待日而明明者干也横渠曰日月之精互蔵其宅是也干言日月合其明者坎离互用也豫言日月不过者坎为月伏离为日日月㑹于北方也恒言日月得天者干九四之五变离坎也小畜上九中孚六四归妹六五月几望者小畜四有伏坎巽有伏震月在东日在西望也中孚讼坎变震月在东亦望也归妹六五月在东日在西亦望也然曰几望者小畜中孚坎在四也归妹六五爻在五也坎在四若五则中矣是故日望月则月食月掩日则日食坎离之交胜也离在地为火在天为日干体也其中画乃坤之二五横渠所谓阴阳之精互蔵其宅欤行迟者阴丽乎阳也晋曰昼者日出地上进而中也丰曰宜日中者九四之五也离九三丰彖曰日昃者日中而又西也干九三既济曰终日者日在下也豫六二曰不终日者二动之五成离日在上也夬九二曰暮夜者动成离日在西方之下日薄于虞渊之时也或曰夕日入为夕大畜曰日新者大壮一变需坎月离日合照也再变大畜艮终复始日新也益曰日进者初九自下而进也卜丘楚论十日其说源于易之昼夜又为大明者悬象著明莫大于日月而月受明于日阳为大阴为小故曰大明干大明终始晋进而丽乎大明皆日也又为明者日月相推而生明屯九五求四四往之五讼初往四皆坎月在东月之明也大有九四离动井九五旅上体日在上日之明也困初六丰九四曰幽不明者日在西而隠伏也大有贲同人明夷曰文明者离居二五也坤为文又为光者日月之明无所不及也孟子曰日月有明容光必照管辂曰日中为光易九言光者皆明之所及也坤之化光者舍坎离也观之观光者四五交也颐之光者四施初也夬之光者离自下升也未济之光者二五易也需光亨者大壮四之五日西月东四五得位也凡言未光者皆未能行也屯九五未之二也噬嗑九四噬六五而后光也晋上九反三自治而后光也夬九五中行上决而后光也萃九五之二而后光也凡言光明者兼体用也老子曰用其光复归于明体用合一光明无尽履刚中正而不倚故离目下升光明不疚言无私照也谦以刚济柔故坎自上降万物化光言皆相见也艮行止动静不失其时故坎离下济其道光明言久不息也凡言光大者其象与光明同曰大者指阳爻也坤曰光大者初三五也涣六四曰光大者二从四也咸九四可以光大者九也四来初往则离坎成四往初来则离坎毁未光大也益自否之九四三变离坎而成益大者光也言光辉者日月之光挥散也言晖者主离日也管辂曰朝日为晖或曰星辰何象也曰艮离也邵雍曰离为星贲艮上离下彖曰柔来文刚又曰分刚上而文柔天文也班固曰阴阳之精其本在地张衡曰地有山岳精钟为星葢星辰者地之精气上发乎天而有光耀者也星日之余也辰月之余也月生于日之所照也众星被耀因水转光三辰同形阴阳相配其体则艮也河洛篇曰天中极星昆仑之墟天门明堂太山之精中挺三台也五灵诸侯也岍岐荆山壶口雷首太岳砥柱东方之宿也析城王屋太行恒山碣石西倾朱圉北方之宿也鸟䑕太华熊耳外方桐柏嶓冢陪尾西方之宿也荆山内方大别岷山衡山九江敷浅原南方之宿也九隘之险九河之曲瀁水三危汶江九折上为列星诸贤之论不诡于经矣故精斁气歇坎极离见乃有陨星其光烛地者离也陨而成石或为阜堆尘沙者艮也日为阳月为阴岁荧惑镇为阳太白辰为阴斗魁为阳尾为阴天南为阳北为阴东为阳西为阴日月东行天西转日自牵牛至东井分刚上而文柔也月自角至壁柔来而文刚也五星东行有迟有速北斗西行昬明迭建二十八宿分配五行各有隂阳四时隠见至于中外之宫无名之星河汉之精皆发乎阴阳者也则二气交错成天之文信矣 苏氏曰天地一物也隂阳一气也或为象或为形所在之不同故在云者明其一也象者形之精华发于上者也形者象之体质留于下者也人见其上下真以为两矣岂知其未尝不一耶由是观之世之所谓变化者未尝不出于一而两于所在也自两以往有不可胜计者矣八卦纳甲晦朔㑹为坤象三日朏而出于庚为震象五日上弦而见于丁为兊象七日盈于甲壬为乾象既形而生魄退于辛为巽象八日下弦消于丙为艮象七日复与日㑹于辰次之所而为坤象 系辞县象著明莫大乎日月虞翻曰谓日月悬天成八卦象三日暮震象月出庚八日兑象月见丁十五日乾象月盈甲壬十六日旦巽象月退辛二十三日艮象月消丙三十日坤象月灭乙晦夕朔旦则坎象水流戊日中则离离象火就巳戊巳土位象见于中日月相推而明生焉 蛊先甲三日后甲三日虞翻曰谓初变成干干为甲至二成离离为日谓干三爻在前故先甲三日贲时也变三至四体离至五成干干三爻在后故后甲三日旡妄时也易出震消息厯乾坤象干为始坤为终故终则有始干为天震为行故天行也 巽九五先庚三日后庚三日虞翻曰谓变初至二成离至三成震震主庚离为日震三爻在前故先庚三日谓益时也动四至五成离终上成震震爻在后故后庚三日也干成于甲坤成于庚隂阳天地之始终故经举甲庚于蛊彖巽五也 革已日乃孚虞翻曰离为日孚谓坎四动体离五在坎中故已日乃孚以成既济 汉上朱氏曰已日当读作戊巳之已十日至庚而更更革也自庚至己十日浃矣已日者浃日也革自遯来无妄变也二变家人三变离四变革无妄之震纳庚革之离纳已故有此象二应五三应上孚也 赵氏曰天道左旋日月右转两曜行天若弹丸然月受日光向为明而背为魄下土视之则有盈阙葢日行一度一岁一周天月行十三度十九分度之七一月一周天合离盈速之既异朓朒弦望之攸分魄者月之体坤之纯阴象焉明者日之光干之纯阳象焉其生明也一阳在下震之象其生魄也一隂在下巽之象二阳浸长上弦为兑二隂浸长下弦为艮三日明于庚震纳庚也十六魄于辛巽纳辛也八日弦于丁兑纳丁也廿三弦于丙艮纳丙也日月相望于三五月盈在甲故干纳甲日月合符于晦朔月没于乙故坤纳乙明满于甲而尽乎壬壬廿九日也过则晦矣故干复纳壬魄全于乙而止乎癸癸二日也过则明矣故坤复纳癸望前月行先乎日故以昬定望后月行后乎日故以晨定月近于朔故必三十度而明始见月逺于望故不待十度而魄已生日月相去各九十余度四分天之一明与魄分谓之弦日月相对各百八十余度直乎天之半明周乎魄谓之望日离也纳己巳居阳中月坎也纳戊戌居隂中日月合徳戊巳无位循环不穷所以为中 朱氏参同契说曰首言乾坤坎离四卦橐籥之外其次即言屯蒙六十卦以见一日用功之早晚又次即言纳甲六卦以见一月用功之进退又次即言十二辟卦以分纳甲六卦而两之葢内以详理月节而外以兼统岁功其所取于易以为说者如是而已初未尝及夫三百八十四爻也今世所传火候之法乃以三百八十四爻为一周天之数以一爻直一日而爻多日少则不免去其四卦二十四爻以俟二十四气之至而渐加焉已非出于自然脗合之度矣且当日所用之爻或隂或阳初无次第不知功夫有何分别又况一日之间已周三百六十之数而其一气所加仅得一爻多少重轻不相权凖又此二十四者进增微渐退减暴疾无复往来循环之势恐亦后人以意为之未必魏君之本指也参同之书本不为明易乃姑借此纳甲之法以寓其行持进退之候异时每欲学之而不得其传无下手处不敢轻议然其所言纳甲之法则今所传京房占法见于火珠林者是其遗说沈存中笔谈解释甚详亦自有理参同所云甲乙丙丁庚辛者乃以月之昬旦出没言之非以分六卦之方也此虽非为明易而设然易中无所不有茍其言自成一说可推而通则亦无害于易(□)七日来复正义曰案易纬稽览图云卦气起中孚故离坎震兑各主其一方其余六十卦卦有六爻爻别主一日凡主三百六十日余有五日四分日之一者每日分为八十分五日分为四百分四分日之一又为二十分是四百二十分六十卦分之六七四十二卦别各得七分是每卦得六日七分也剥卦阳气之尽在于九月之末十月当纯坤用事坤卦有六日七分坤卦之尽则复卦阳来是从剥尽至阳气来复隔坤之一卦六日七分举成数言之 大衍厯议曰十二月卦出于孟氏章句其说易本于气而后以人事明之京氏又以卦爻配朞之日坎离震兑其用事自分至之首皆得八十分日之七十三颐晋井大畜皆五日十四分余皆六日七分止于占灾眚与吉凶善败之事至于观隂阳之变则错乱而不明自乾象厯以降皆因京氏惟天保厯依易通统轨图自八十有二节五卦初爻相次用事及上爻而与中气偕终非京氏本㫖及七畧所传按郎𫖮所传卦皆六日七分不以初爻相次用事齐厯谬矣 汉上朱氏曰先儒旧传自子夏京房陆绩虞翻皆以阳涉六隂极而反初为七日至王昭素乃畅其说曰干有六阳坤有六阴一隂自五月而生属坤阴道始进阳道渐消九月一阳在上众隂剥物至十月则六隂数极十一月一阳复生自剥至十一月隔坤之六阴隂数既六过六而七则位属阳以此知过坤六位即六日之象至于复为七日之象是以安定曰凡厯七爻以一爻为一日故谓之七日伊川曰七变而为复故云七日蘓子曰坤与初九为七其实皆源于子夏夫阳生于子隂生于午自午至子七而必复乾坤消息之理也故以一日言之自午时至夜半复得子时以一年言之自五月至十一月复得子月以一月言之自午日凡七日复得子日以一纪言之自午岁凡七岁复得子岁天道运行其数自尔合之为一纪分之为一岁一月一日莫不皆然故六十卦当三百六十日而两卦相去皆以七日且卦有以爻为岁者有以爻为月者有以爻为日者于复言七日来复者明卦气也陆希声谓圣人言七日来复为歴数之微明是也以消息言之自立冬十月节至大雪十一月节坤至复卦凡厯七爻以卦气言之自冬至十一月中气卦起中孚至复卦凡厯七日圣人观天道之行反复不过七日故曰七日来复彖曰七日来复天行也王辅嗣曰复不可逺也夫天道如是复道岂可逺乎岂惟不可逺亦不能逺矣中孚十一月之卦也以岁言之阳始于冬至以厯言之日始于牵牛以日言之昼始于夜半以人言之虑始于心思易于复言七日来复冬至也于姤言品物咸章夏至也举二至则律厯见矣 陆氏曰临九二爻体在兑兑隂卦也有阳消之象焉故称八月有凶戒之也复卦初爻体震震阳卦有阳息之象焉故称七日来复喜之也兑在西方月生于西兑象得八故曰八月戒在逺也震在东方日生于东震象得七故曰七日喜于近也七八主静故于彖象言之 李氏曰复刚长而以日云者幸其至之速临阳消而以月云者幸其消之迟 朱氏曰自五月姤卦一阴始生至此七爻而一阳来复乃天运之自然积隂之下一阳复生天地生物之心几于灭息而至此乃复可见在人则为静极而动恶极而善本心几息而复见之端也邵子之诗曰冬至子之半天心无改移一阳初动处万物未生时𤣥酒味方淡大音声正希此言如不信更请问庖牺至哉言也学者冝尽心焉治厯明时汉上朱氏曰干始于坎而终于离坤始于离而终于坎干终而坤革之地革天也阳极生隂乃为寒坤终而干革之天革地也隂极生阳乃为暑天地相革寒暑相成是亦水火相息也坎冬离夏震春兑秋四时也故曰天地革而四时成君子观泽中有火则知日月坎离有交㑹之道日火也月水也冬至日起牵牛一度右行而周十二次尽斗二十六度则复还牵牛之一度而厯更端矣牵牛者星纪也水之位也日月交㑹于此泽中有火之象也厯更端者革也昔者黄帝迎日推策始作调厯阅世十一厯年五千而更七厯至汉造厯岁在甲子乃十一月冬至甲子朔为入厯之始是时日月如合璧复㑹于牵牛距上元太初十四万三千一百二十七岁葢日月盈缩与天错行积久闰差君子必修治其厯以明四时之正所谓四时之正者冬至日月必㑹于牵牛之一度而弦望晦朔分至启闭皆得其正矣日月不㑹者司厯之过也尝问厯于郭忠孝曰古厯起于牵牛一度沈括谓今宿于斗六度谓之岁差何也曰久则必差差久必复于牵牛牵牛一度者乃上元太初起厯之元也天之动始于坎厯艮与震而左行地之动始于离歴坤与兑而右行是以日月㑹于牵牛万物成于艮故曰天地以顺动故日月不过而四时不忒 田氏曰自干至革其卦凡四十有九太衍之用也分而象两天地革矣揲之以四四时成矣是以至革则治厯后世以大衍为厯者岂非得是欤 蔡氏曰黄道之差始自春分秋分赤道所交月道之差始自交初交中黄道所交日出入赤道二十四度月出入黄道六度黄道一周退前所交六十分度之一是谓岁差月道一周退前所交一度八万九千七百七十二分度之四万三千五百三少半积二万一千九百一十五年而岁差周积二百二十一月及分一千七百五十三而交道周矣赤道纮带天之中日道月道斜交赤道之内外其周围长短与赤道无差而日月每日行度亦无盈缩进退厯家欲求日月交㑹故以赤道为起算之法以赤道度数而揆之黄道则日行有盈缩焉以赤道度数而揆之月道则月行有进退焉非日月之行真有盈缩进退也象闰当期沙随程氏曰分而为二挂一曰象两象三而不曰两仪三才者此据厯法言之阳为春夏隂为秋冬所谓两也阳为夏隂为冬春秋为隂阳之中所谓三也故揲之以四然后以象四时归竒于扐以象闰五岁再闰故再扐而后挂此十有八变之一也指问曰扐按厯法十九年七闰为一章其间五岁再闰者二余亦不满六岁故举其大数曰五岁再闰二十七章为一㑹三㑹为一统三统为一元元四千六百一十七岁冬至甲子朔旦无余分此太元之厯法也是谓天统千五百三十九岁甲辰朔旦冬至无余分是谓地统又千五百三十九岁甲申朔旦冬至无余分是谓人统云元二百四十三章也汉上朱氏曰得五与四四则策数三十六四九也是为干之策干之象老阳也得九与八八则策数二十四四六也是为坤之策坤之策老隂也得五与八八得九与四八策数皆二十八四七也是为震坎艮之策少阳也得九与四四得五与四八策数皆三十二四八也是为巽离兑之策少隂也三十六合二十四六十也二十八合三十二亦六十也干之策六爻二百一十有六坤之策六爻一百四十有四乾坤之策凡三百有六十当朞之日具四时也震坎艮之策六爻一百六十有八巽离兑之策六爻一百九十有二震坎艮巽离兑之策凡三百有六十亦当朞之日举乾坤则六卦举矣刘牧谓经唯举乾坤老阳老隂三百六十之数当期之日不更别举他卦之爻而疑六日七分之义此不以三隅反也唐陆希声谓易以年统月以岁统旬以日统时凡言月者以一策当一月一九之策三十有六是为三年故曰皆一九之策也又曰以年统月一日十二时七日八十四时一九之策三十六二六之策四十八凡八十有四是为七日八十四时故曰七日者一九二六之策也又曰以日统时一朔之旬三十日七二十八策八三十二策凡六十策半之为三十故曰言旬者合七八之策而半之以象一朔之旬一闰三十日再闰六十日九三十六策六二十四策凡六十策故曰言岁者全之以象再闰之日月有朔虚故半之岁有中盈故全之一月三旬八月二十四旬而老隂之策二十有四故曰八月之旬当极隂之策二十有四三岁为一闰一岁三百六十日而二篇之爻三百八十有四除三百六十日余二十四日故曰闰之日当二篇之爻八十有四乾坤之策当朞之日而少六日故曰虚分包焉二篇之爻三百八十四爻多二十四日故曰盈分萃焉其说本于系辞坤干之策当朞之日然时有抵牾 龟山杨氏曰以爻当期其原出于系辞而以星日气候分布诸爻易未有也其流详于纬书世传稽览图是也杨子草𤣥盖用此耳卦气起于中孚冬至卦也太𤣥以中凖之其次复卦太𤣥以周凖之升大寒卦也太𤣥以干凖之今之厯书亦然而先天以复为冬至噬嗑为大寒 林氏曰大哉易乎本夫道徳性情之妙而放诸隂阳气数之中如复所谓七日临所谓八月蛊所谓先甲后甲巽所谓先庚后庚又如十年三岁月几望已日乃孚是皆隂阳气数当然之变又岂浮说遁辞所能得也尝攷之大传乾坤之策凡三百有六十以当期之日其所以酬酢万变终终而始始者不出乎四时五行当期之数也孟氏而下有焦赣氏以一卦变为六十四积而至于四千九十六凡一卦所主六日震离坎兑寄直于分至之日如曰冬至则坎用事次未济次蹇次颐次中孚次复当期之数循环为变此正子云以太𤣥凖易法也然太𤣥以二首统九日自中孚起牵牛一度则于焦氏之法微有不合其后孔颖达求之易纬又以四正卦各主其一方卦有六爻爻主一气所谓二十四气也其余卦六十为爻者三百六十六日七分则以一卦主之较以周天之度无有余不足之分三家之学是皆以卦气言易者也然当期之数所用不同如此十二月卦图朱氏曰谓温厚之气盛于东南严凝之气盛于西北者礼家之说也谓阳生于子于卦为复隂生于午于卦为姤者厯家之说也谓巽位东南干位西北者说卦之说也此三者各为一说而礼家厯家之言犹可相通至于说卦则其卦位自为一说而与彼二者不相谋矣干于文王八卦之位在西北于十二卦之位在东南坤于丈王八卦之位在西南于十二卦之位在西北故今图列文王八卦于内而布十二卦于外以见彼此位置迥然不同论十二卦则阳始于子而终于已隂始于午而终于亥论四时之气则阳始于寅而终于未隂始于申而终于丑此二说者虽若小差而所争不过二位葢子位一阳虽生而未出乎地至寅位泰卦则三阳之生方出地上而温厚之气从此始焉已位乾卦六阳虽极而温厚之气未终故午位一隂虽生而未害于阳必至未位遯卦而后温厚之气始尽也其午位隂已生而严凝之气及申方始亥位六隂虽极而严凝之气至丑方尽义亦放此葢地中之气难见而地上之气易识故周人以建子为正虽得天统而孔子之论为邦乃以夏时为政葢取其隂阳始终之著明也坤蹇解卦之彖辞皆以东北为阳方西南为隂方然则谓冬春为阳夏秋为隂亦是一说但说卦又以干为西北则隂有不尽乎西以巽为东南则阳有不尽乎东又与三卦彖辞小不同但此自是一说与他说如十二卦之类各不相通尔阳主进而隂主退阳主息而隂主消进而息者其气彊退而消者其气弱此隂阳之所以为柔刚也阳刚温厚居东南主春夏而以作长为事隂柔严凝居西北主秋冬而以敛蔵为事作长为生敛蔵为杀此刚柔之所以为仁义也以此观之则隂阳刚柔仁义之位岂不晓然而彼扬子云之所谓于仁也柔于义也刚者乃自其用处之末流言之葢亦所谓阳中之隂隂中之阳固不妨自为一义但不可以杂乎此而论之耳天地之间一气而已分隂分阳便是两物故阳为仁而隂为义然隂阳又各分而为二故阳之初为木为春为仁阳之盛为火为夏为礼隂之初为金为秋为义隂之极为水为冬为智葢人之恻隠方自中出而礼之恭敬则已尽发于外义之羞恶方自外入而智之是非则已全伏于中故其象类如此非是假合附㑹若能黙㑹于心便自可见元亨利贞其理亦然文言取类尤为明白五行之中四者既各有所属而土居中宫为四行之地四时之主在人则为信为真实之义而为四徳之地众善之主也葢天人一物内外一理流通贯彻初无间隔邵子曰至哉文王之作易也其得天地之用乎故乾坤交而为泰坎离交而为既济也干生于子坤生于午坎终于寅离终于申以应天之时也置干于西北退坤于西南长子用事而长女代母坎离得位而兑艮为耦以应地之方也王者之法其尽于是矣此言文王改易伏羲卦图之意也葢自干南坤北而交则干北坤南而为泰矣自离东坎西而交则离西坎东而为既济矣乾坤之交者自其所以成而反其所由生也故再变则干退乎西北坤退乎西南也坎离之变者东自上而西西自下而东也故乾坤既退则离得干位而坎得坤位也震用事者发生于东方巽代母者长养于东南也 易通卦騐曰冬至四十五日以次周天三百六十五日复当故卦干西北也主立冬坎北方也主冬至艮东北也主立春震东方也主春分巽东南也主立夏离南方也主夏至坤西南也主立秋兑西方也主秋分乾坤朱氏曰干一而实故以质言而曰大坤一而虚故以量言而曰广葢天之形虽包于地之外而其气常行乎地之中也 汉上朱氏曰伏羲画卦干上坤下立天地之位归蔵先坤后干首万物之母连山干始于子坤始于午至于周易尊干卑坤其体乃定阖辟以一岁言之寒暑也以一日言之昼夜也以一身言之出入之息死生之变也无阖则无辟无静则无动此归蔵所以先坤欤荀爽曰干起坎而终于离坤起于离而终于坎离坎者乾坤之家而隂阳之府故曰大明终始 张氏曰干曰行以徳言也坤曰势以体言也徳大而难名故曰健体定而不变故曰坤凡卦之不可以名言者唯干焉尔吕氏曰天下惟有一理坤之彖止曰乃顺承天徳合无疆而已葢理未有在干之外者也故曰效法之谓坤泰内健而外顺否内柔而外刚何也干健也坤顺也否则上下不交有天地之形而无乾坤之用故不言健顺魏氏曰干天也离日也皆为君之象坤地也坎月也皆为臣之象未有乾坤不交而能位天地坎离不交而能育万物君臣不交而能跻斯世于泰和也六十卦直日四正卦 冬至坎用事 春分震 夏至离 秋分兑十一月未济蹇颐中孚复 十二月屯谦睽升临正月小过蒙益渐泰 二月需随晋解大壮 三月豫讼蛊革夬 四月旅师比小畜干 五月大有家人井咸姤 六月鼎丰涣履遯 七月恒节同人损否 八月巽萃大畜贲观 九月归妹无妄明夷困剥 十月艮既济噬嗑大过坤 四正为方伯中孚为三公复为天子屯为诸侯谦为大夫睽为九卿升还从三公周而复始 九三应上九清净微温阳风 九三应上六绛赤决温隂雨 六三应上六白浊微寒隂雨 六三应上九曲尘决寒阳风 诸卦上有阳爻者阳风上有隂爻者隂雨(后魏厯志) 十二辟卦 复子 临丑泰寅 大壮卯 夬辰 干已 姤午 遯未 否申观酉 剥戌 坤亥书尧厯象图厯法所起古法以纪蔀为宗从伏羲先天甲寅积周一千八百一十四纪再入十五纪人元一十有二蔀当癸酉蔀岁在己丑而生帝尧至甲辰岁十有六即位越二十有一岁得甲子而演纪作厯是年天正冬至日在虚一度按干凿度皇极经世及汉皇甫谧所载并然岁差法按纪元厯 岁周三百六十五度二千四百三十六分此一岁之气积分也 周天三百六十五度二千五百六十四分太阳所纒周天之度也 岁差一百二十八分注云以岁周数除周天数即得太阳岁行不及之分度母一万注以一度为万分 自演纪至开元甲子冬至日在斗十度凡退三十八度四千一百二十八分至干徳甲子冬至日在斗六度凡退四十一度四千八百四十八分至庆厯甲申冬至日在斗五度此法通古合今故知尧厯日在虚度而鸟火昴虚以仲月昏中合尧典推厯代所入蔀例按干凿度入天元一千八百一十四纪再十五纪而尧生于人元之癸酉蔀己丑岁至甲辰岁十有六以唐侯升为天子至文王受洛书再入十六纪当天元戊午蔀二十四岁在癸丑又五年戊午受丹书明年己未改元越十有二年辛未正月戊午武王伐商故经曰惟十有三年春一月戊午师渡孟津由此逆推今古不差积年数尧在位七十年 舜五十年 夏四百三十二年 商六百二十九年 周八百六十七年 秦庄襄终二世四十三年 前后汉合四百二十六年 汉至太初一百三年 太初至唐开元甲子凡八百二十七年 开元甲子至本朝庆厯甲申凡三百二十一年三统厯七十六年为一蔀二十蔀为一纪积一千五百二十岁凡纪首者皆岁甲寅日甲子即以甲子之日为初蔀名甲子蔀一也满七十六岁其后年初日次癸夘即以癸夘为蔀首二也从此以后壬午为蔀三也乙酉蔀二十也是一纪之数终而复始甲寅(天子蔀甲)甲寅(己酉蔀)甲寅(甲午蔀)甲寅(己卯蔀)庚午(癸卯蔀)庚午(戊子蔀)庚午(癸酉蔀)庚午(戊午蔀)丙戌(壬午蔀)丙戌(丁卯蔀)丙戌(壬子蔀)丙戌(丁酉蔀)壬寅(辛酉蔀)壬寅(丙午蔀)壬寅(辛卯蔀)壬寅(丙子蔀)戊午(庚子蔀)戊午(乙酉蔀)戊午(庚午蔀)戊午(乙夘蔀)甲戌(己卯蔀)甲戌(地子蔀甲)甲戌(己酉蔀)甲戌(甲午蔀)庚寅(戊午蔀)庚寅(癸夘蔀)庚寅(戊子蔀)庚寅(癸酉蔀)丙午(丁酉蔀)丙午(壬午蔀)丙午(丁夘蔀)丙午(壬子蔀)壬戌(丙子蔀)壬戌(辛酉蔀)壬戌(丙午蔀)壬戌(辛夘蔀)戊寅(乙夘蔀)戊寅(庚子蔀)戊寅(乙酉蔀)戊寅(庚午蔀)甲午(甲干蔀)甲午(己夘蔀)甲午(人子蔀甲)甲午(己酉蔀)庚戌(癸酉蔀)庚戌(戊午蔀)庚戌(癸夘蔀)庚戌(戊子蔀)丙寅(壬子蔀)丙寅(丁酉蔀)丙寅(壬午蔀)丙寅(丁夘蔀)壬午(辛夘蔀)壬午(丙子蔀)壬午(辛酉蔀)壬午(丙午蔀)戊戌(庚午蔀)戊戌(乙夘蔀)戊戌(庚子蔀)戊戌(乙酉蔀)朱氏曰厯所以纪数之书也象所以观天之器也日阳精一日而绕地一周月隂精一月而与日一㑹星二十八宿众星为经金木水火土五星为纬辰以日月所㑹分周天之度为十二次 正义曰古时真厯遭战国及秦而亡汉存六厯虽详于五纪之论皆秦汉之际假托为之实不得正 大衍厯议曰汉自中兴以来图䜟漏泄而考灵曜命厯序皆有甲寅元其所起在四分厯庚申元后百一十四岁纬所载壬子冬至则其遗术也董巴议曰昔伏羲始造八卦作三画以象二十四气黄帝因之初作调厯厯代十一更年五千凡有七厯颛顼以今之孟春正月为元其时正月朔旦立春五星㑹于天厯营室也冰冻始泮蛰虫始发鸡始三号天曰作时地曰作昌人曰作乐鸟兽万物莫不应和故颛顼圣人为厯宗也汤作殷厯弗复以正月朔旦立春为节更以十一月朔旦冬至为元首下至周鲁及汉皆从其节据正四时夏为得天以承尧舜从颛顼故也礼记大戴曰虞夏之厯建正于孟春此之谓也闰一年余十有一日四分日之一二年余二十有二日四分日之二三年余三十有三日四分日之三四年余四十有五日五年余五十六日四分日之一素问立端于始表正于中推余于终而天度毕矣注立首气于初节之日示斗建于月半之辰退余闰于相望之后 朱氏曰天体至圆周围三百六十五度四分度之一绕地左旋常一日一周而过一度日丽天而少迟一日绕地一周无余而常不及天一度积三百六十五日九百四十分日之二百三十五而与初躔㑹是一岁日行之数也月丽天而尤迟一日常不及天十三度十九分度之七积二十九日九百四十分日之四百九十九而与日㑹十二㑹得全日三百四十八余分之积五千九百八十八如日法九百四十而一得六不尽三百四十八通计得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一岁月行之数也岁有十二月月有三十日三百六十者岁之常数也故日行而多五日九百四十分日之二百三十五者为气盈月行而少五日九百四十分日之五百九十二者为朔虚合气盈朔虚而闰生焉故一岁闰率则十日九百四十分日之八百二十七三岁一闰则三十二日九百四十分日之六百一五岁再闰则五十四日九百四十分日之三百七十五十有九岁七闰则气朔分齐是为一章也故积之三年而不置闰则春之一月入于夏而时渐不定矣子之一月入于丑而岁渐不成矣积之之欠至于三失闰则春皆入夏而时全不定矣十二失闰则子皆入丑而岁全不成矣 叶氏曰治厯者先求一岁有余不足之数以置闰则四时久而不差葢日差则月不成月差则时不成时差则岁不成矣 吴氏曰三岁余三十三日四分日之三三岁一闰尚余三日四分日之三五岁余五十六日四分日之五五岁再闰则又少三日四分日之五十九年七闰谓之一章总十九年而论之余二百一十三日四分日之三闰月又小七闰计二百丹三日尚余十日四分日之三积至八十一章然后盈虚之数尽而复始矣今言三百有六旬有六日意其以四分日之一而当一日焉 胡氏曰迎日推策则有其数转玑观衡则有其象归竒于扐以象闰数也斗指两辰之间象也象数者天理也非人所能为也故以定时成岁者唐典也以诏王居门终月者周制也班告朔于邦国不以是为附月之余而弗之数也出日纳日叶氏曰日之出纳以一日言之则东西也以一岁言之则日阳物随阳以进退南者阳之正位冬至阳始萌日自斗而北行则进而离其所至春分而阳功显万物于是皆作故谓之出夏至隂始萌日自井而南行则退而复其所至秋分而阳功毕万物于是皆成故谓之纳一日之出纳均于东西惟仲春在奎十四度仲秋在角五度景居二至长短之中去极俱九十一度皆以卯出以酉入则嵎夷正其所自出也故命曰𤾉谷西正其所自入也故命曰昧谷因其一日出纳之正使治其一岁出纳之事者宾饯也 朱氏曰出日方出之日盖以春分之旦朝方出之日而识其初出之景也纳日方纳之日葢以秋分之暮夕方纳之日而识其景也四仲中星春则以胃加酉夏则以栁加酉秋则以氐加酉冬则以虚加酉中星各见于午位 正义曰四方皆有七宿各成一形东方成龙形西方成虎形皆南首而北尾南方成鸟形北方成龟形皆西首而东尾天道左旋日体右行故星见之方与四时相逆春则南方见夏则东方见秋则北方见冬则西方见 何承天曰尧典日永星火以正仲夏今季夏则火中宵中星虚以殷仲秋今季秋则虚中尔来二千七百余年以中星检之所差二十七八度则尧冬至日在须女十度左右也汉太初厯冬至在牵牛初后汉四分及魏景初法同在斗二十一 林氏曰鸟火虚昴皆是分至之昏见于南方直正午之中星而孔氏谓七星毕见不以为中星王肃觉其非遂谓宅嵎夷孟月也日中日永宵中仲月也鸟火虚昴季月也此说并与天象偶合然分孟仲季非书之意葢不知厯家有岁差之法以月令日在某宿而求之所以不合按厯家自北齐向子信始知岁差之法故以厯推之凡八十余年差一度月令日在某宿比之尧时则已差矣故唐一行云月在虚一则星火星昴皆以仲月昏中而沈存中亦云尧典日短星昴今乃日短星东壁 朱氏曰中星或以象言或以次言或以星言者葢星适当昏中则以星言如星虚星昴是也星不当中而适当其次者则以次言如尾火是也次不当中而适界于两次之间者则以象言如星鸟是也圣人作厯推攷参验以识四时中星其立言之法详密如此又按尧冬至日在虚昏中昴今日在斗昏中壁而中星古今不同者葢天有三百六十五度四分度之一岁有三百六十五日四分日之一天度四分之一而有余岁日四分之一而不足故天度常平运而舒日运常内转而缩天渐差而西岁渐差而东此即岁差之由唐一行所谓岁差者日与黄道俱差者是也古厯简易未立差法但随时占候修改以与天合至东晋虞喜始以天为天以岁为岁乃立差法以追其变约以五十年而退一度何承天以为太过乃倍其年而又反不及至隋刘焯取二家中数为七十五年葢为近之而亦未为精密也尧时昏旦星中于午月令差于未汉晋以来又差今比尧舜时似差及四分之一 陈氏曰书之所言皆昏星也书于仲夏举房心(火房心也)而月令举亢书于仲秋举虚而月令举牛书于仲冬举昴而月令举壁则书之中星常在后而月令中星常在前葢月令举月本书举月中也 郑氏曰二十八宿环列于四方随天而西转四方虽有定星而星无定居各以时见于南方天形北倾故北极居天之中而常在人北二十八宿常半隠半见日东行厯二十八宿故隠见各有时必于南方攷之惟仲春之月四方之星各居其位故星火在东星鸟在南星昴在西星虚在北至仲夏则鸟转而西火转而南虚转而东昴转而北至仲秋则火转而西虚转而南昴转而东鸟转而北至仲冬则虚转而西昴转而南鸟转而东火转而北来岁仲春则鸟又转而南矣循环无穷尧典考中星以正四时甚简而明异乎吕令之星举月本也 方氏曰书言分至之所中月令言昏旦之所中彼以时为主此以月为主然见于南方则一也尧典日星 月令日星(秦厯㫁取近距以乙夘岁正月)唐月令日星(己巳合朔立春为上元七曜俱在营室)孟春(日在营室昏参中旦) 正月(节日在虚昏昴中晓心中斗建寅初)(尾中) (中气日在危昬毕中晓尾中斗寅中)日中星鸟 仲春(日在奎昬弧中旦建) 二月(节日在营室昬东初井中晓箕中斗卯)(星中) (中气日在奎昬东井中晓南斗中斗夘中)季春(日在胃昬七星中旦) 三月(节日在娄昬栁中晓南斗中斗辰初)(牵牛中) (中气日在胃昬张中晓南斗中斗辰中)孟夏(日在毕昬翼中旦婺) 四月(节日在昴昬翼中晓牵牛中斗已初)(女中) (中气日在毕昬轸中晓须女中斗已中)日永星火 仲夏(日在东井昬元中旦) 五月(节日在参昬角晓危中斗午初)(危中) (中气日在东井昬亢中晓营室中斗午中)季夏(日在栁昬火中旦奎) 六月(节日在东升昬氐中晓东壁中斗未初)(中) (中气日在栁昬尾中晓奎中斗未中)孟秋(日在翼昬建星中旦) 七月(节日在张昬尾中晓娄中斗申初)(毕中) (中气日在张昬箕中晓昴中斗申中)宵中星虚 仲秋(日在角昬牵牛中旦) 八月(节日在翼昬南斗中晚毕中斗酉初)(觜觽中) (中气日在轸昬南斗中晓东井中斗酉中)季秋(日在房昬虚中旦栁) 九月(节日在角昬牵牛中晓东井中斗戌初)(中) (中气日在氐昬须女中晓栁中斗戌中)孟冬(日在尾昬危中旦七) 十月(节日在房昬虚中晓张中斗亥初)(星中) (中气日在尾昬危中晓翼中斗亥中)日短星昴 仲冬(日在斗昬东壁中旦) 十一月(节日在箕昬营空中晓轸中斗子初)(轸中) (中气日在南斗昬东壁中晓角中斗子中)季冬(日在婺女昬娄中旦) 十二月(节日在南斗昬奎中晓亢中斗丑初)(氐中) (中气日在须女昬娄中晓氐中斗丑中)马融郑𤣥以为星鸟星火谓正在南方春分之昬七星中仲夏之昬心星中秋分之昬虚星中冬至之昬昴星中皆举正中之星不为一方尽见 夏氏曰仲春之月日在昴入于酉地初昬之时鹑火之星见于南方正午之位当是时也昼五十刻夜五十刻昼夜相等故曰日中又云星鸟者葢是时朱鸟亦见南方不言鹑火而言星鸟举四象也仲夏之月日在星入于酉地初昬之时大火见于南方正午之位当是时也昼长夜短昼六十刻夜四十刻故谓之日永星火此举十二次也仲秋之月日在心入于酉地初昏之时虚星见于南方正午之位当是时也昼夜分昼五十刻夜五十刻故谓之宵中星虚仲冬之月日在虚入于酉地初昏之时昴星见于南方正午之位方是时也昼短夜长昼四十刻夜六十刻故谓之日短星昴此举二十八宿也 贾逵曰太初厯冬至日在牵牛初者牵牛初星也古黄帝夏殷周鲁冬至日在建星建星即今斗星也 蔡邕曰颛帝厯术曰天元正月己巳朔旦立春俱以日月起于天庙营室五度今月令孟春之月日在营室 王孝通诘傅仁均曰日短星昴以正仲冬七宿毕见举中宿言耳举中宿则余星可知仁均专守昴中执文害意不亦谬乎又月令仲冬昬东壁中明昴中非为常准若尧时星昴昏中差至东壁然则尧前七千余载冬至昬翼中日应在东井井极北去人最近故暑斗极南去人最逺故寒寒暑易位必不然矣仁均对曰宋祖冲之立岁差隋张胄𤣥等因而修之虽差数不同各明其意孝通未晓乃执南斗为冬至常星夫日躔宿度如邮传之过宿度既差黄道随而变矣 大衍厯议曰夏厯十二次立春日在东壁三度于太初星距壁一度太也颛顼厯上元甲寅岁正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮维之首葢重黎受职于颛顼九黎乱徳二官咸废帝尧复其子孙命掌天地四时以及虞夏故本其所由生命曰颛顼其实夏厯也汤作殷厯更以十一月甲子合朔冬至为上元周人因之距羲和千祀昬明中星率差半次夏时直月节者皆当十有二中故因循夏令其后吕不韦得之以为秦法更考中星断取近距以乙夘岁正月己巳合朔立春为上元洪范传曰厯记始于颛顼上元太始阏逢摄提格之岁毕〔？〕之月朔日己巳立春七曜俱在营室五度是也 角至箕为苍龙凡七十五度斗至壁为𤣥武凡九十八度四分度之一奎至参为白虎凡八十度井至轸为朱雀凡百一十度总为三百六十五度四分度之一日日行一度月日行十三度十九分度之七正月㑹于亥其辰为〔？〕訾二月㑹戌为降娄三月㑹酉为大梁四月㑹申为实沈五月㑹未为鹑首六月㑹午为鹑火七月㑹已为鹑尾八月㑹辰为夀星九月㑹夘为大火十月㑹寅为析木十一月㑹丑为星纪十二月㑹子为𤣥枵日永短正义曰马融云古制刻漏昼夜百刻昼长六十刻夜短四十刻昼短四十刻夜长六十刻昼中五十刻夜亦五十刻融之此言据日出见为说天之昼夜以日出入为分人之昼夜以昬明为限日未出前二刻半为明日入后二刻半为昬损夜五刻以禆于昼则昼多于夜复校五刻古今厯术与太史所候皆云夏至之昼六十五刻夜三十五刻冬至之昼四十五刻夜五十五刻春分秋分之昼五十五刻夜四十五刻此其不易之法也然今太史细候之法则校常法半刻也从春分至于夏至昼渐长增九刻半夏至至于秋分所减亦如之从秋分至于冬至昼渐短减十刻半从冬至至于春分其增亦如之又于每气之间增减刻数有多有少不可通而为率汉初未能审知率九日增减一刻和帝时待诏霍融始请改之郑注书纬考灵曜仍云今日増减一刻犹尚未觉误也郑注此云日长者日见之漏五十五刻日短者日见之漏四十五刻与厯不同故王肃难云知日见之漏减昼漏五刻不意马融为传已减之矣因马融所减而又减之故日长为五十五刻因以冬至反之取其夏至夜刻以为冬至昼短此其所以误 陈氏曰日之行也斗建寅则出乙而渐北斗建午则出艮而渐南渐北则春既分而昼加长渐南则秋既分而昼加短长短不过百刻 蔡氏曰天体北高而南下地体平著乎其中日近北则去地逺而出早入迟故昼长日近南则去地近而出迟入早故昼短日分十二时者岁月日时之定数日分百刻者古厯日分之用数羲和蘓氏曰禹贡嵎夷在青州又曰𤾉谷则其地近日而光明当在东方海上以此推之则昧谷当在西极朔方幽都当在幽州而南交为交趾明矣春曰宅嵎夷夏曰宅南交冬曰宅朔方而秋独曰宅西徐广曰西今天水之西县也羲和之任亦重矣尧都于冀而其所重任之臣乃在四极万里之外理必不然当是致日景以定分至然后厯可起也故使往验之于四极非常宅也 李氏曰作厯之法必先凖定四面方隅以为表识然后地中可求即地中然后可以候日月之出没星辰之转运故尧所以使四子各宅一方者非谓居是地也特使定其方隅耳如土圭之法测日之南北东西知其景之长短朝夕亦尧之遗法也 朱氏曰羲和主厯象授时而已非是各行其方之事葢官在国都而统治之方其极至此非往居于彼也玑衡朱氏曰美珠谓之璇玑机也以璇饰玑所以象天体之运转也衡横也谓衡箫也以玉为管横而设之所以窥玑而察七政之运行犹今之浑天仪也齐犹审也七政日月五星也七者运行于天有迟有速有顺有逆犹人君之有政事也言舜初摄位乃察玑衡以审七政之所在以起浑天仪晋天文志云言天体者有三家一曰周髀二曰宣夜三曰浑天宣夜绝无师说不知其状如何周髀之术以为天似覆盆葢以斗极为中中髙而四边下日月旁行遶之日近而见之为昼日逺而不见为夜蔡邕以为考验天象多所违失浑天说王蕃曰天之形状似鸟卵地居其中天包地外犹卵之裹黄圆如弹丸故曰浑天言其形体浑浑然也其术以为天半覆地上半在地下其天居地上见有一百八十二度半强地下亦然北极去地上三十六度南极入地亦三十六度而嵩髙正当天之中极南五十五度当嵩髙之上又其南十二度为夏至之日道又其南二十四度为春秋分之日道又其南二十四度为冬至之日道南下去地三十一度而已是夏至日北去极六十七度春秋分去极九十一度冬至去极一百一十五度此其大率也其南北极持其两端其天与日月星宿斜而回转此必古有其法遭秦而灭至汉武时落下闳始经营之鲜于妄人又量度之至宣帝时耿夀昌始铸铜而为之象衡长八尺孔径一寸玑径八尺圆周二丈五尺强转而望之以知日月星辰之所在即璇玑玉衡之遗法蔡邕以为近得天体之实者也沈括曰旧法规环一面刻周天度一面加银丁葢以夜候之天晦不可目察则以手切之也古人以璇饰玑疑亦为此今按此以汉法逆推古制然厯代以来其法渐宻本朝因之为仪三重其在外者曰六合仪平置单环上刻十二辰八干四隅在地之位以凖地面而定四方侧立黒双环具刻去极度数以中分天脊直跨地平使其半出地上半入地下而结于其子午以为天经斜倚赤单环具刻赤道度数以平分天腹横绕天经亦使半出地上半入地下而结于其卯酉以为天纬二环表里相结不动其天经之环则南北二极皆为员轴虚中而内向以挈三辰四游之环以其上下四方于是可攷故曰六合次其内曰三辰仪侧立黒双环亦刻去极度数外贯天经之轴内挈黄赤二道其赤道则为赤单环外依天纬亦刻宿度而结于黑双环之卯酉其黄道则为黄双环亦刻宿度而又斜倚于赤道之腹以交结于卯酉而半入其内以为春分后之日轨半出其外以为秋分后之日轨又为白单环以承其交使不倾垫下设机轮以水激之使其日夜随天东西运转以象天行以其日月星辰于是可攷故曰三辰其最在内者曰四游仪亦为黒双环如三辰仪之制以贯天经之轴其环之内则两面当中各施直距外趾指两轴而当其要中之内又为小窾以受玉衡要中之小轴使衡既得随环东西运转又可随处南北低昂以待占候者之仰窥焉以其东西南北无不周徧故曰四游此其法之大畧也厯家之说又以北斗魁四星为机杓三星为衡今详经文简质不应北斗二字乃用寓名恐未必然姑存其说以广异闻 马融曰浑天仪可旋转故曰玑衡其横箫所以视星宿也以璇为玑以玉为衡葢贵天象也 张氏曰葢天之法如绘像止得其半浑天之法如塑象能得其全尧之厯象日星葢天法也舜之璇玑玉衡浑天法也浑法宻于葢天创意者尚畧述作者愈详也 夏氏曰七政在天躔度长短多寡不同日行一度月行十三度十九分度之七岁星日行千七百二十八分度之百四十五荧惑日行一万三千八百二十四分度之七千三百五十五太白辰星日各行一度镇星日行四千三百八十分度之百四十五七政躔度长短多寡不同如此然必谓之齐者曽氏谓步七政之轨度时数以转玑窥衡而不差焉故曰齐其不齐者乃陵厯鬭食盈缩犯守者也葢玑衡所见者皆时数轨度之当然不如玑衡则为变异此说是也沈存中谓熙宁中受诏典领厯官考察星辰以玑衡求极星从窥管候之凡三月极星常循窥管之中夜夜不差则窥管即玉衡也陈氏曰舜齐七政不言经星经者纬星所次也言乎纬经在其中矣 曾氏曰尧之时观天以厯象至舜又察之以玑衡圣人之法至后世益备也曰七者则日月五星曰政者则羲和之所治无不任焉其体至大葢一言而尽 王蕃曰郑𤣥说动运为玑持正为衡皆以玉为之视其行度观受禅是非也浑仪羲和氏之旧器厯代相传谓之玑衡其所由来有原统矣而斯器设在候台史官禁密学者寡得闻见穿凿之徒不解玑衡之意见有七政之言因以为北斗七星缔造虚文托之䜟纬史迁班固犹尚惑之郑𤣥有瞻雅髙逺之才沈静精妙之思超然独辟改正其说圣人复出不易斯言矣 蘓氏曰古人测候天数其法有二一曰浑天仪规天矩地机隠于内上布经躔以攷日星行度寒暑进退如张衡浑天开元水运铜浑是也二曰铜候仪今新旧浑仪翰林天文院与太史局所有是也又案吴王蕃曰浑天仪者羲和之旧器积代相传谓之玑衡其为用也以察三光以分度宿者也又有浑天象者以著天体以布星辰二者以攷于天葢密矣详此则浑天仪铜候仪之外又有浑天象凡三器也浑天象歴代罕传其制梁武袐府有之云是宋元嘉中所造者古人候天具此三器乃能尽妙 黄氏曰太极未判天地人三才函于其中谓之浑沌浑沌云者言天地人浑然而未分也太极既判轻清者为天重浊者为地清浊浑者为人轻清者气也重浊者形也形气合者人也故凡气之发见于天者皆太极中自然之理运而为日月分而为五星列而为二十八舍㑹而为斗极莫不皆有常理与人道相应可以理而知也今畧举其梗槩列之于下天体圆地体方圆者动方者静天包地地依天天体周围皆三百六十五度四分度之一径一百二十一度四分度之三凡一度为百分四分度之一即百分中二十五分也四分度之三即百分中七十五分也天左旋东出地上西入地下动而不息一昼一夜行三百六十六度四分度之一(縁日)(东行一度故天左旋三百六十六度然后日复出于东方)地体径二十四度其厚半之势倾东南其西北之髙不过一度邵雍谓水火土石合而为地今所谓径二十四度者乃土石之体尔土石之外水接于天皆为地体地之径亦得一百二十一度四分度之三也两极南北上下枢是也北髙而南下自地上观之北极出地上三十五度有余南极入地下亦三十五度有余两极之中皆去九十一度三分度之一谓之赤道横络天腹以纪二十八宿相距之度大抵两极正居南北之中是为天心中气存焉其动有常不疾不徐昼夜循环斡旋天运自东而西分为四时寒暑所以平隂阳所以和此后天之太极也先天之太极造天地于无形后天之太极运天地于有形三才妙用尽在是矣日太阳之精主生养恩徳人君之象也人君有道则日五色失道则日露其慝谴告人主而儆戒之如史志所载日有食之日中乌见日中黒子日色赤日无光或变为孛星夜见中天光芒四溢之类是也日体径一度半自西而东一日行一度一岁一周天所行之路谓之黄道与赤道相交半出赤道外半入赤道内冬至之日黄道出赤道外二十四度去北极最逺日出辰日入申故时寒昼短而夜长夏至之日黄道入赤道内二十四度去北极最近日出寅日入戌故时暑昼长而夜短春分秋分黄道与赤道相交当两极之中日出卯日入酉故时和而昼夜均焉月太隂之精主刑罚威权大臣之象大臣有徳能尽辅相之道则月行常度或大臣擅权贵戚官官用事则月露其慝而变异生焉如史志所载月有食之月掩五星五星入月月光昼见或变为彗星陵犯紫宫侵扫列舍之类是也月体径一度半一日行十三度百分度之三十七二十七日有余一周天所行之路谓之白道与黄道相交半出黄道外半入黄道内出入不过六度如黄道出入赤道二十四度也阳精犹火阴精犹水火则有光水则含影故月光生于日之所照魄生于日之所不照当日则光明就日则光尽与日同度谓之朔(月行潜于日下与日㑹也)迩一遐三谓之弦(分天体为四分)(谓初八日及二十三日月行近日一分谓之迩一逺日三分谓之遐三迩日一分受日光之半故半明半魄如)(弓张弦上弦昬见故光在西下弦旦见故光在东也)衡分天中谓之望(谓十五日之昬日入)(西月出东东西相望光满而魄死也)光尽体伏谓之晦(谓三十日月行近于日光体皆不见)(也)月行于白道与黄道正交之处在朔则日食在望则月食日食者月体掩日光也月食者月入暗虚不受日光也(暗虚者日正对照处)经星三垣二十八舍中外官星是也计二百八十三官一千五百六十五星其星不动三垣紫微太微天市垣也二十八舍东方七宿角亢氐房心尾箕为苍龙之体北方七宿斗牛女虚危室壁为灵龟之体西方七宿奎娄胃昴毕觜参为白虎之体南方七宿井鬼栁星张翼轸为朱雀之体中外官星在朝象官如三台诸侯九卿骑官羽林之类是也在野象物如鸡狗狼鱼龟鼈之类是也在人象事如离宫阁道华葢五车之类是也其余因义制名观其名则可知其义也经星皆守常位随天运转譬如百官万民各守其职业而听命于七政七政之行至其所居之次或有进退不常变异失序则灾祥之应如影响然可占而知也纬星五行之精木曰岁星火曰荧惑土曰填星金曰太白水曰辰星并日月而言谓之七政皆丽于天天行速七政行迟迟为速所带故与天俱东出西入也五星辅佐日月斡旋五气如六官分职而治号令天下利害安危由斯而出至治之世人事有常则各守其常度而行其或君侵臣职臣专君权政令错缪风教陵迟乖气所感则变化多端非复常理如史志所载荧惑入于匏𤓰一夕不见匏𤓰在黄道北三十余度或勾已而行光芒震耀如五斗器太白忽犯狼星狼星在黄道南四十余度或昼见经天与日争明甚者变为妖星岁星之精变为欃枪荧惑之精变为蚩尤之旗填星之精变为天贼太白之精变为天狗辰星之精变为枉矢之类如日之精变为孛月之精变为彗政教失于此变异见于彼故为政者尤谨候焉天汉四渎之精也起于鹑火经西方之宿而过北方至于箕尾而入地下二十四气本一气也以一岁言之则一气耳以四时言之则一气分而为四气以十二月言之则一气分而为六气故六阴六阳为十二气又于六隂六阳之中每一气分其初终则又裂而为二十四气二十四气之中每一气有三应故又分而为三候是为七十二候原其本始实一气耳自一而为四自四而为十二自十二而为二十四自二十四而为七十二皆一气之节也十二辰乃十二月斗纲所指之地也斗纲所指之辰即一月元气所在正月指寅二月指卯三月指辰四月指已五月指午六月指未七月指申八月指酉九月指戌十月指亥十一月指子十二月指丑谓之月建天之元气无形可见观斗纲所建之辰即可知矣斗有七星第一星曰魁第五星曰衡第七星曰杓此三星谓之斗纲假如建寅之月昬则杓指寅夜半衡指寅平旦魁指寅他月放此十二次乃日月所㑹之处凡日月一岁十二㑹故有十二次建子之月次名𤣥枵建丑之月次名星纪建寅之月次名析木建卯之月次名大火建辰之月次名夀星建巳之月次名鹑尾建午之月次名鹑火建未之月次名鹑首建申之月次名实沈建酉之月次名大梁建戌之月次名降娄建亥之月次名〔？〕訾十二分野即辰次所临之地也在天为十二辰十二次在地为十二国十二州凡日月之交食星辰之变异以所临分野占之或吉或凶各有当之者矣五辰天地气数合而成五行复升为五气五气之精为五辰圣人正五事修五行调五气则五辰自然顺轨故曰抚于五辰亦犹五行之精凝于地而为金银铅汞砂也黄氏曰五辰纬星凡星皆出辰没戌故五星为五辰十二舍经星亦为十二辰岁星司肃典致时雨荧惑司哲典致时燠太白司乂典致时旸辰星司谋典致时寒填星司圣典致时风经星有常不变纬星有伏有息有进有退与日相终始变则不可准难齐惟圣人能安之而以日星为纪日成月要岁㑹由是而出故庶绩凝焉叶氏曰五行散之在阴以配日者谓之辰别之居方以㑹日月者亦谓之辰其实一也 王氏运气论曰五运六气之说不见于儒者之六经而见于医家之素问夫素问乃先秦古书虽未必皆黄帝歧伯之言然秦火以前春秋战国之际有如和缓秦越人辈虽甚精于医其察天地阴阳五行之用未能若是精宻也且夫寒暑燥湿风火者天之隂阳三阴三阳上奉之木火土金水五者地之隂阳生长化收蔵下应之而五运行于其间即五行之化气也天数中于五戊居之地数中于六巳居之戊巳土也化气必以五六故甲巳化土而居于其首土生金故乙庚次之金生水故丙辛次之水生木故丁壬次之木生火故戊巳次之此化气之序也地之三阴三阳亦五行尔而火独有二五行之妙理也葢木王于东火王于南金王于西水王于北而土王于四维戊附于戌而在干已附于辰而在巽而未之对冲在丑故辰戌丑未寄王之位也未在西南其卦为坤其时为长夏以其处四时之中吕氏月令谓之中央土此土正王之位也春木生火秋金生水冬水生木而夏火制金生气绝矣惟土王于西南然后以火生土以土生金四时之序循环不穷然火方王于午土遽王于未则火气必耗故君火以名其气温而未热相火以位与太阴同处未申之间奉君令以行暑气于是火不耗于土不屈于金故丙盛则庚伏此火所以独分君相之位也天气始于甲地气始于子子甲相合命曰岁立曰行四周而为二纪天以六为节故气以六朞而为一备地以五为制故运以五岁而为一周运统一岁于四时之表气分六位于一岁之中风雨燥湿寒暑其应有候其至有期然用以占焉往往不效非素问之无验用其说者知常而不知变故也凡物理有常必有变虽天地之运动往来消息盈虚可以逆其必然者常也若其变则无所不至可知而不可必也尝试即其常而言之五太之运是为太过其至先时五少之运是为不及其至后时惟平气则不疾不徐其至以时其大畧如此火运上临少隂水运上临太阳木运上临厥隂金运上临阳明土运上临太阴谓之天符木运临卯火运临午金运临酉水运临子土运临四维谓之岁㑹五太与在泉气同谓之同天符五少与在泉气同谓之同岁㑹若是者其气和土运上见少阳金运上见厥隂谓之运刑天若是者其气乖此皆五运之常也主气各居一步厥隂主初少隂少阳次之太阴阳明又次之太阳主终六位不迁客气与岁推移子岁太阳之水为初丑岁厥阴之木为初迭相往来而少阳之为初气乃在太阴之后半岁已前司天主之半岁已后在泉主之其大畧如此若其情则有相得与不相得其位则有顺有逆相得者木火相临火土相临之类也不相得者金木相临水火相临之类也父临子则顺木居少阳之位是已反此则寒水居金位斯逆矣君临臣则顺君火居少阳之位是已反此则相火居君火之位斯逆矣此皆六气之常也及论其变则有正有邪于是有变有胜有复有郁有发有淫有承当时而行者正也非时而行者邪也当时而行其过则为变非时而行其至则为胜其救则为复抑而不伸则为郁郁而怒起则为发陵其所胜则为淫极而必反则为承假如太角之化为启拆而变为摧拉太徴之化为暄燠而变为炎烈正化之为变者然也少角木气不足清胜而热复少徴火气不足寒胜而两复邪化之正复然也寒甚而无阳燄是为火郁热甚而无凄清是为金郁抑而不伸者然也水郁而发则为冰雹土郁而发则为飘骤郁抑而怒起者然也风淫所胜则克太阴热淫所胜则克阳明陵其所胜者也相火之下水气承之湿土之下风气承之极则有反者然也然摧拉之变不应普天悉皆大风炎烈之变不应薄海悉皆燔灼清气之胜不应宇宙无不明洁雨气之复不应山泽无不蒸溽郁也发也淫也承也其理皆然凡此者其应非有候其至非有期是以可知而不可必也其应非有候则有不时而应者矣其至非有时则有卒然而至者矣是故千里之逺其变相似者有之百里之近其变不同者亦有之即其时当其处随其变而占焉则吉㓙可知况素问所以论天地之气化者将以观其变而救民之疾也夫大而天地小而人之一身五行之气皆在焉天地之气有常无变则人亦和平而无灾天地之气变而失常则疾疠之所从出也是故木气胜则肝以实病脾以虚病火气胜则心以实病肺以虚病此医者所能致察儒者不得其详也至于官天地理阴阳顺五行使冬无愆阳夏无伏阴春无凄风秋无苦雨和平之气行于两间国无水旱之灾民无妖孽之病此儒者所当致察医家未必能知也素问亦畧言之矣五行之精是为五纬与运气相应有岁星有畏星以此察其行之逆顺而占其吉㓙然必曰徳者福之过者罚之则是运气之和平而为休祥有徳者召之也运气之乖戾而为灾𤯝有过者致之也虽然其说畧而未详吾儒之经则详矣洪范九畴始于五行中于皇极终于五福六极圣人建极于上以顺五行之用是以天下之民有五福而无六极有五福皆可以康宁矣无六极皆免于疾病此其道固有行乎运气之外者是谓大顺成周之时尝见之由庚之诗作而阴阳得由其道华黍之诗作而四时不失其和由仪之诗作而万物各得其宜此建皇极顺五行使民有五福而无六极之验也是故素问方伎之书而洪范则圣人经世之大法也知有素问不知有洪范方伎之流也知有洪范不知有素问儒者何病焉月生明生魄魄者乃月之无光处也魄生则明死魄死则明生初三日明始生谓之哉生明又谓之朏又谓之死魄故初二日谓之旁死魄旁近也十六日谓之哉生魄晦则日月相㑹于东方望则日月相望葢月本无光借日以为光合璧则暗相逺而日烛不及则亦暗 薛氏曰哉生明月一日也旁死魄月二日也至望日则明全生而魄全死自望后一日则月生魄魄生则明死矣至晦日则明全死而魄全生故每月之终谓之晦以其魄全晦故也每月之始谓之朔以其明初见故也 邵子曰日行阳度则盈行隂度则缩宾主之道也月逺日则明生而迟近日则魄生而疾君臣之义也阳消则生阴故日下而月西出也阴盛敌阳故日望而月东出也天为父日为子故天左旋日右行日为夫月为妇故日东出月西生也 张氏曰诸厯家说月一日至四日行最疾日夜行十四度余五日至八日行次疾日夜行十三度余自九日至十九日其行迟日夜行十二度余二十日至二十三日行又小疾日夜行十三度余二十四至晦行又大疾日夜行十四度余以一月均之则日得十三度十九分度之七也初三日日初入时月在庚上哉生明见西方八日为上弦日初入时月在丁上十五日为望日初入时月在甲上盛于东方十六日将出时月在辛上载死魄见平旦二十三下弦日将出时月在丙上三十日为晦月与日合在乙上月本无光借日以为光及其盛也遂与阳敌 朱氏天问注曰厯家旧说月朔则去日渐逺故魄死而明生既望则去日渐近故魄生而明死至晦而朔则又逺日而明复生所谓死而复育也此说误矣若果如此则未望之前西近东逺而始生之明当在月东既望之后东近西逺而未死之明却在月西矣安得未望载魄于西既望终魄于东而溯日以为明乎故唯近世沈括之说乃为得之葢括之言曰月本无光犹一银丸日耀之乃光耳光之初生日在其傍故光侧而所见才如钩日渐逺则斜照而光稍满大氐如一弹丸以粉涂其半侧视之则粉处如钩对视之则正圆也近岁王普又申其说月生明之夕但见其一钩至日月相望而人处其中方得见其全明必有神人能凌到景旁日月而往㕘其间则虽弦晦之时亦复见其全明而与望夕无异耳以此观之则知月光常满但自人所立处视之有偏有正故见其光有盈有亏非既死而复生也若顾兔在腹之问则世俗桂树蛙兔之传其惑久矣或者以为日月在天如两镜相照而地居其中四旁皆空水也故月中微黒之处乃镜中大地之影畧有形似而非真有是物也斯言有理足破千古之疑矣 参同注曰三日第一节之中月生明之时也葢始受一阳之光而昬见于西方庚地八日第二节之中月上弦之时受二阳之光而昬见南方丁地十五日第三节之中月既望之时全受日光盛满而昬见于东方甲地是为干体十六日第四节之始也始受下一阴为巽而成魄以平旦而没于西方辛地二十三日第五节之中复生中一阴为艮而下弦以平旦而没于南方丙地三十日第六节之终全变三阳而光尽体伏于西北一月六节既尽而禅于后月复生震卦云震一兑二干三巽四艮五坤六每五日为一节朔旦震始用事为日月阴阳交感之初道家象此以为修炼之法 乡饮酒义月者三日则成魄三月则成时魄者月之有体而无光处也故书言哉生明旁死魄皆谓月二三日月初生时也凡言既生魄即谓月十六日月始阙时也今此篇两言月三日而成魄则是汉儒专门陋学未尝读尚书者之言耳叶氏曰朔二日而生明其旁为死魄旁死魄哉生明者以朔数之也望二日而生魄哉生魄既生魄者以望数之也 吕氏曰尧史以星正时周史以月正日恐厯久必差而星月则明著易见也三正怠弃三正马氏云建子建丑建寅三正也 蘓氏曰王者各以五行徳之王易服色改正朔孔子曰行夏之时自舜以前必有以建子建丑为正者 伊训惟元祀十有二月乙丑蔡氏曰夏曰岁商曰祀周曰年一也元祀者太甲即位之元年十二月者商以建丑为正故以十二月为正也乙丑日也不系以朔者非朔日也三代虽正朔不同然皆以寅月起数葢朝觐㑹同班厯授时则以正朔行事至于纪月之数则皆以寅为首也改正朔而不改月数则于经史尤可考周建子矣而诗言四月维夏六月徂暑则寅月起数周未尝改也秦建亥矣而史记始皇三十一年十二月更名腊曰嘉平夫腊必建丑月也秦以亥正则腊为三月云十二月者则寅月起数秦未尝改也至三十七年书十月癸丑始皇出游十一月行至云梦继书七月丙寅始皇崩九月葬郦山先书十月十一月而继书七月九月者知其以十月为正朔而寅月起数未尝改也且秦史制书谓改年始朝贺皆自十月朔夫秦继周者也若改月数则周之十月为建酉月矣安在其为建亥乎汉初史氏所书旧例也汉仍秦正亦书曰元年冬十月则正朔改而月数不改亦已明矣且经曰元祀十有二月乙丑则以十二月为正朔而改元何疑乎惟其以正朔行事也故后乎此者复政厥辟亦以十二月朔奉嗣王归于亳葢祠告复政皆重事也故皆以正朔行之 朱氏曰三代正朔以元祀十有二月攷之则商人但以建丑之月为岁首而不改月号以孟子七八月十一月十二月之说攷之则周人以建子之月为正月而不改时以书一月戊午厥四月哉生明之类考之则古史例不书时以程子假天时以立义之云考之则是夫子作春秋时特加此四字以系年见行夏时之意天开于子地辟于丑人生于寅故斗柄建此三辰之月皆可以为岁首而三代迭用之夏以寅为人正商以丑为地正周以子为天正也然时以作事则岁月自当以人为纪故孔子尝曰吾得夏时焉而说者以为谓夏小正之属葢取其时之正与其令之善苏氏曰正月而谓之十二月何也殷之正月则夏之十二月也殷虽以建丑为正然犹以夏正数月亦犹周公作豳诗于成王之世而云七月流火九月授衣皆夏正也史记秦始皇三十一年十二月更名腊曰嘉平夫腊必建丑之月也秦以十月为正则腊当在三月而云十二月以是知古者虽改正朔然犹以夏正数月也夏氏曰春秋所书乃孔子尊王故以周正数之其实周时数月实用夏正今七月四月之诗可见矣兼秦本纪亦以十月为岁首则岁首但以十月为之而已非改十月为正月也 爰革夏正林氏曰夏以建寅为正汤革之始以建丑为正是革正为用商正也革正之事古未尝有葢始于汤而武王因之遂以建子为正故易之革曰汤武革命顺乎天而应乎人 论语疏曰郑康成之义自古以来皆改正朔孔安国注尚书汤革命创制改正易服是从汤始改正朔也 朱氏曰阳气虽始于黄钟而其月为建子然犹潜于地中而未有以见其生物之功也厯丑转寅而三阳始备于是叶风乃至盛徳在木而春气应焉古之圣人以是为生物之始改岁之端葢以人之所共见者言之未有知其所由始也至商周始以征伐有天下于是更其正朔定为一代之制以新天下之耳目而有三统之说然以言乎天则生物之功未著以言乎地则改岁之义不明而凡四时五行之序皆不得其中正此孔子所以论考三王之制而必行夏之时也 泰誓惟十有三年春蔡氏曰汉孔氏以春为建子之月葢谓三代改正朔必改月数改月数必以其正为四时之首序言一月戊午既以一月为建子之月而经又系之以春故遂以建子之月为春夫改正朔不改月数于太甲辨之详矣而四时改易尤为无义冬不可以为春寒不可以为暖固不待辨而明也或曰郑氏笺诗维莫之春亦言周之季春于夏为孟春曰此汉儒承袭之误耳且臣工诗言维莫之春亦又何求如何新畬于皇来牟将受厥明葢言莫春则当治其新畬矣今如何哉然牟麦将熟可以受上帝之明赐夫牟麦将熟则建辰之月夏正季春审矣郑氏于诗且不得其义则其攷之固不审也不然则商以季冬为春周以仲冬为春四时反逆皆不得其正岂三代圣人奉天之政乎一月戊午吕氏曰春秋惟定公无正葢昭公之丧未归定公未立故不书正今纣之正朔已绝周之正朔未颁故止书一月见君臣之分毫厘必计所以正天地之大义也辰弗集房夏氏曰辰弗集房其说有二汉孔氏谓辰日月所㑹房所舍之次集合也不合则日食可知唐孔氏广其说谓日月俱左行于天日行迟月行速日每日行一度月每夜行十三度十九分度之七计二十九日过半已行天一周又逐及日而与日聚㑹故日月所聚㑹处谓之辰一岁十二㑹故为十二辰即此子丑寅卯之属是也房如房室之房谓日月所舍止之处计季秋九月之朔日月当㑹于大火之次今乃不合于舍则日食可知据二孔此说则以辰弗集为日食房为所舍之处非二十八宿之房胡舍人则谓日月交㑹之谓辰日行赤道月行黄道日行速月行迟一月一㑹必合于黄道赤道之间或髙或低或上或下不相掩蔽是谓不食或左或右或先或后偶相掩蔽则食之矣是日月交㑹则有蚀今既言不集所舍则不得谓之蚀兼此房乃二十八宿之房非是十二次之舍此言辰弗集房葢是秋九月日月当合朔于房心之次今也弗集房则是厯之误非日蚀据胡氏此说则以辰弗集为厯误非日蚀以房为二十八宿之房非十二次之舍二说相反如此惟林少颖折中之谓胡以辰弗集房为厯误夫厯误至于当合朔而不合朔此非精于厯者不足以知何至于瞽奏鼓啬夫驰庶人走故当依孔氏为日食但孔氏以集为集合之集则非其义所以起胡氏之疑兼胡氏以房为房心之房攷之九月日月虽㑹于大火之次其说颇通但日之所在星宿不见止可推算知之非能举目而见则房又不当为房心之房当是日月所㑹之舍即皆可谓之房也是所谓房者又当依孔氏说为所次之舍也按唐书厯志论辰弗集房之义谓古文集与辑义同日月嘉㑹而阴阳辑睦阳常明而阴亦含章若变而相伤则不辑矣兼汉书帝纪言东夷北蛮颇未集睦颜师古谓集与辑同以此观之则辰弗集房为日蚀明矣葢此辑乃辑睦之辑谓日月不相辑睦于所㑹之舍则蚀也 蔡氏曰按唐志日蚀在仲康即位之五年 张氏曰日月相望谓之望相合谓之朔每至朔则日月当如合璧有一毫不合则月与日参差月魄磨荡上下侵犯此日所以食也 林氏曰近代善厯者推仲康时九月合朔已过房心北矣据左氏传曰宋大辰之虚陈太皥之虚郑祝融之虚皆火房所谓房者皆所次之舍也 王氏曰厯家推步日食于朔月食于望一百七十三日有余而为交交然后食此厯法之常也(沈存中云西天法罗㬋计都皆逆步之乃今之交道也交)(初谓之罗㬋交中谓之计都)然春秋二百四十二年书日食三十有六隠公三年三月己巳日食至威公三年七月壬辰朔而又食中间十有二年至庄公十八年又食中间三十二年则当交而不食也襄公二十一年九月庚戌朔日食十月庚辰朔又食二十四年七月甲子朔日食八月癸巳朔又食则不当交而食也夫不当交而食与当交而不食非厯法所能尽推故先王以日食为天灾日主阳月主阴月食阳胜阴也日食阴胜阳也 大衍厯议曰仲康五年癸巳岁九月庚戌朔日蚀在房二度冬夏风雨蔡氏曰好风者箕星好雨者毕星汉志言轸星亦好雨意者星宿皆有所好也日有中道月有九行中道者黄道也北至东井去极近南至牵牛去极逺东至角西至娄去极中是也九行者黒道二出黄道北赤道二出黄道南白道二出黄道西青道二出黄道东并黄道为九行也日极南至于牵牛则为冬至极北至于东井则为夏至南北中东至角西至娄则为春秋分月立春春分从青道立秋秋分从白道立冬冬至从黒道立夏夏至从赤道所谓日月之行则有冬有夏也月行东北入于箕则多风月行西南入于毕则多雨所谓月之从星则以风雨也 夏氏曰日月之行则有冬有夏葢夏则阳用事日当进而北昼则进而长阳胜则为温暑冬则阴用事日当退而南昼则退而短阴胜则为风寒此皆行必循轨故所以有冬夏也月之从星则以风雨者月行立春东从青道立秋西从白道立冬北从黒道立夏南从赤道箕东北宿毕西南宿月若失道妄行东入箕则旱风西入毕则阴雨此月从星则以风雨也土中凡地偏于南多暑偏于北多寒偏于东多风偏于西多阴唯中则得天地之正阴阳之和 司马氏曰地中者非地体之中乃其地得寒暑风雨之中郑康成以为日景于地千里而差一寸故王畿千里取其景同唐开元中太史测景五百二十六里二百七十步而差二寸五厘然则康成之言未可据也冬至汉丈三尺唐丈二尺七寸一分夏至汉尺五寸唐尺四寸七分夫日行有逺近土深有南北气应有早晏故其景不能不小有出入也日行黄道每岁有差地中亦当随而转移故周在洛邑汉在颍川阳城唐在汴州浚仪而唐志犹取阳城日晷以为法与汉志不同 范氏曰测景之法见于周官与诗所以求地之中以建王国而阜安万民者也然必验之数术考之中星参之气朔校之刻漏而后为得故其地中之景冬至丈三尺夏至尺有五寸由此而进退之则二十四气皆可推而见之矣若夫当至而不至未当至而至则有日月之变水旱之沴人民疾疫之灾古先哲王必谨视之以修人事而奉天之戒周公卜洛以为天地之所合四时之所交风雨之所㑹阴阳之所和世传阳城是其地而今登封故台在焉唐开元中择河南平地始于滑州之白马南至于汴之浚仪得岳台又南至于扶沟又南至于上蔡之武津至岳台为适中也五行正义曰天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土此其生数也地六成水天七成火地八成木天九成金地十成土此其成数也系辞曰天数五地数五五位相得而各有合谓此也 叶氏曰夫五行周流于天地之间未之有位也言天之五数地之五数而谓之五位必有奠方而正其居者而学者莫能知吾独以世言太一九宫者论之此其说虽出干凿度学者所不道然而以五居中列其一三七九为四旁二四六八为四隅则天地二五之数皆在特虚其十而不见以土无正位寄王于四方与月令中央土独不举成数者同义十虽不见而九宫纵横错综数之皆得十五则土之成数葢未尝不具也是在易则谓之五位洪范则谓之九畴兹其为洛书者欤易所先者五位故畧九畴而不见洪范所用者九畴故置五位而不言阴阳运而生五行五行之大不可以正名但见其周流不息者而已故谓之行天之五行为气雨旸寒燠风是也地之五行为形金木水火土是也 朱氏曰五行者质具于地而气行于天者也以质而语其生之序则曰水火木金土而水木阳也火金阴也以气而语其行之序则曰木火土金水而木火阳也金水阴也又统而言之则气阳而质阴也又错而言之则动阳而静阴也 曾氏曰润下炎上言其所性之成于天者然水导之则行潴之则聚火燃之则炽宿之则壮则其所化亦未尝不因之于人也或曲直之或革之或稼穑之言其所化之因于人者然可以曲直可以革可以稼穑则其所性亦未尝不成之于天也所谓天不人不因人不天不成者也润下者水也故水曰润下炎上者火也故火曰炎上木金亦然惟稼穑而非土也故言其于之稼穑而已 王氏曰自天一至于天五五行之生数也以竒生者成而耦以耦生者成而竒其成之者皆五五者天数之中也葢中者所以成物也道立于两成于三变于五而天地之数具其为十也耦之而已葢五行之为物其时其位其材其气其性其形其事其情其色其声其臭其味皆各有耦推而散之无所不通一柔一刚一晦一明故有正有邪有美有恶有丑有好有凶有吉性命之理道徳之意皆在是矣耦之中又有耦焉而万物之变遂至于无穷其相生也所以相继也其相克也所以相治也水言润则火燥土溽木敷金歛可知也火言炎则水洌土蒸木温金清可知也水言下火言上则木左金右土中央可知也木言曲直则土圜金方火锐水平可知也金言从革则木变土化水因火革可知也土言稼穑则水之井洫火之爨冶木金之为器械可知也 马氏曰水火木金土天地生五行之序也木火土金水五行相生之序也水火金木土五行相尅之序也天地之生五行也以数其相生也以气其相尅也以形 吴氏曰土爰稼穑谷在其中自其治之有司则谓之府以其通天下用之则谓之行五纪岁星十二岁一周天所以纪岁月一日行天十三度而赢二十九日过半而一周天与日㑹所以纪月自夜半至明日夜半日一出没行天一度所以纪日星二十八宿辰其次也日百刻二十八宿昼夜迭见而天行周十二次故曰十二辰亦曰十二时所以纪星辰积辰而为日积日而为月积月而为岁岁日月星辰其行各有盈缩进退迟速长短之不同然皆不离于数故以厯而纪其数因以是数而推攷其行度以验其当否 朱氏曰左传曰日月所㑹是谓辰注云一岁日月十二㑹所㑹为辰十一月辰在星纪十二月辰在元枵之类是也然此特在天之位耳若以地言之则南面而立其前后左右亦有四方十二辰之位焉但在地之位一定不易而在天之象运转不停惟天之鹑火加于地之午位乃与地合而得天运之正耳葢周天三百六十五度四分度之一周布二十八宿以著天体而定四方之位以天绕地则一昼一夜适周一匝而又超一度日月五星亦随天以绕地而唯日之行一日一周无余无欠其余则各有迟速之差焉然其悬也固非缀属而居其运也亦非推挽而行但当其气之盛处精神光耀自然发越而又各自有次第耳列子曰天积气耳日月星宿亦积气中之有光曜者张衡灵宪曰星也者体生于地精成于天列居错跱各有攸属此言皆得之矣(正义曰从冬至以及明年冬至为一)(岁)庶徴郑氏曰雨木气也春始施生故木气为雨旸金气也秋物成而坚故金气为旸燠火气也寒水气也风土气也凡气非风不行犹金木水火非土不处故土气为风吴氏曰按易说坎为雨则雨属水而为冬离为日则旸属火而为夏诗疏载毛公释小明日月方奥云二月之初燠暖也则燠之为春为木明矣汉志引狐突金寒之言颜师古谓金行在西故谓之寒则寒之为秋为金明矣又按稽疑以雨属水以霁属火霁旸也则庶徴雨之为水旸之为火类例抑又甚明 陈氏曰燠热凉寒四时之气也雨旸风者佐四时之气以生育万物者也止言寒燠者葢燠者温之始寒者凉之极也六经天文编卷上
## 卷下
钦定四库全书六经天文编卷下宋 王应麟 撰诗三五参昴毛氏曰三心五噣参伐昴留 正义曰心实三星而列宿之尊故元命苞曰心为天王公羊又云心为大辰故言三星此及绸缪苕之华皆云心也元命苞云栁五星释天云咮谓之栁天文志曰栁谓鸟喙则喙者栁星也以其为鸟星之口故谓之喙 天文志云参白虎宿三星直下有三星锐曰伐其外四星左右肩股也则参实三星故绸缪传曰三星参也以伐与参连体参为列宿统名之若同一宿然但伐亦为大星与参互见皆得相统故周礼熊旗六旒以象伐注云伐属白虎宿与参连体而六星言六旒以象伐明伐得统参也公羊传曰伐为大辰皆互举之文故言参伐也元命苞云昴六星昴之为言留言物成就系留是也 解颐新语曰元命包以栁为五星天文志星经以栁为八星后之明厯象者皆以元命包为非以天文志星经为是又心以三月见于东噣以正月见于东诗人言三五在东乃一时所见耳心噣见于东方既不同时则五非噣明矣或者又谓心之东见其次相连者亢氐房也心三星亢氐房各四星合而言之为十有五故曰三五 朱氏曰三五言其稀葢初昬或将旦时也定之方中李氏曰尔雅曰营室谓之定左传曰凡土功水昬正而栽杜氏注云谓今十月定星昬而中于是植板筑而兴作定之方中作于楚宫葢定星昬中之时于是而作宫也揆之以日作于楚室者揆度其日之出入以定其东西南北也攷周礼匠人云水地以县置𣙗以县视以景为规识日出之景与日入之景昼参诸日中之景夜攷之极星以正朝夕此所谓揆之以日也毛氏云度日出日入以知东西而视定北凖极以正南北毛氏之意则以谓定星之昬正四方而中取则视之以正其南因准极以正其北作为楚邱之宫也度之以日影度日出之影与日入之影以知东西而作为楚邱之室也其说不然按诗但言得土功之时制不闻有东西南北之别也不如王氏之说曰方其庀徒而作宫则占营室之中及辨内外之位而作室则揆之以日占营室之中者序所谓得其时揆之以日景者序所谓得其制 朱氏曰定北方之宿营室星也此星昬而正中夏正十月也于是时可以营制宫室故谓之营室楚宫楚邱之宫也树八尺之臬而度其日出入之景以定东西又参日中之景以正南北也楚室犹楚宫 正义曰传言南视定匠人云昼参诸日中之景不言以定星参之经传未有以定星正南北者故笺以定为记时挈壶漏刻朱氏曰夏官挈壶氏下士六人挈县挈之名壶盛水器葢置壶浮箭以为昼夜之节也 易氏曰挈壶之制不可攷以唐制推之水海浮箭四匮注水始自夜天池以入于日天池自日天池以入于平壶以次相注入于水海浮箭而上以浮箭为刻分昼夜计十二时每时八刻二十分每刻六十分箭四十八二箭当一气岁统二百一十九万一千五百分悉刻于箭上铜乌引水而下注浮箭而上登至于昼夜之别分至之候冬夏长短昏晓隠见与周官晷影无差 王氏曰日月之行有冬有夏而昼夜之晷有短有长先王由是分十有二时于一昼一夜之间以漏箭凖十二时而为百刻寅申巳亥子午卯酉之八时每时各占八刻则合而为六十四刻辰戌丑未之四时每时各占九刻则合而为三十六刻以百刻定长短而分昼夜于是立挈壶氏之职以壶盛水而为漏水以正十二时之刻早暮之期于此正矣后世挈壶氏不能掌其职不能辰夜不夙则莫此诗人所以刺也 陈氏曰挈壶之法葢为箭四十八以候二十四气大率七日大半而易一箭孔颖达谓浮箭壶内以出刻为准贾公彦谓漏水壶内以没刻为度葢各述其所闻而已虽浮没不同大槩一也 正义曰挈壶者悬繋之名刻谓置箭壶内刻以为节而浮之水上令水漏而刻下以记昼夜昬明之度数也案乾象厯及诸厯法与今太史所候皆云冬至则昼四十五夜五十五夏至则昼六十五夜三十五春秋分则昼五十五半夜四十四半从春分至于夏至昼渐长增九刻半从夏至至于秋分所减亦如之从秋分至于冬至昼渐短减十刻半从冬至至于春分所加亦如之又于每气之间加减刻数有多有少其事在于厯术以其算数有多有少不可通而为率故太史之官立为法定作四十八箭以一年有二十四气每一气之间又分为二通率七日强半而易一箭故周年而用箭四十八也厯言昼夜者以昬明为限马融王肃注尚书以为日永则昼漏六十刻夜漏四十刻日短则昼漏四十刻夜漏六十刻日中宵中则昼夜各五十刻者以尚书有日出日入之语遂以日见为限尚书纬谓刻为商郑作士昬礼目录云日入三商为昬举全数以言耳其实日见之前日入之后距昬明各有二刻半减昼五刻以禆夜故于厯法皆多校五刻也郑于尧典注云日中宵中者日见之漏与不见者齐也日永者日见之漏五十五刻日不见之漏四十五刻又与马王不同者郑言日中宵中者其漏齐则可矣其言日永日短之数则与厯甚错马融言昼漏六十夜漏四十减昼以禆夜矣郑意谓其未减又减昼五刻以增之是郑之妄说耳漏刻之数见在史官古今厯者莫不符合郑独有此异不可强为之辞 史记正义曰马融以昬明为限郑𤣥以日出入为限故有五刻之差三星在天毛以为三星者参也首章言在天谓始见东方十月之时故王肃述毛云三星在天谓十月也在天既据十月二章在隅谓在东南隅又在十月之后也谓十一月十二月也卒章在戸言参星正中直戸谓正月中也故月令孟春之月昬参中是参星直戸在正月中也郑以为三星者心也一名火星凡嫁娶者以二月之昬火星未见之时为之首章言在天谓昬而火星始见东方三月之末四月之中也二章言在隅又晚于在天谓四月之末五月之中也卒章言在戸又晚于在隅谓五月之末六月之中故月令季夏之月昬火中是六月之中心星直戸也 朱氏曰三星心也在天昬始见于东方建辰之月也 李氏曰仲春之月心星未见至三月四月则见而在东方左氏曰火出于夏为三月周官季春出火言三月之时已失其时矣况于在隅在户乎在隅则四月之末五月之中在戸则五月之末六月之中月令曰仲夏之月昬心中是也郑以三星为心星则可若以心为有尊卑夫妇父子之象则其说凿矣 吕氏曰三星见则非昬姻之时在天在隅在戸随所见而互言之不必以为时之先后七月流火左传张趯曰火星中而寒暑退服䖍云火大火心也季冬十二月平旦正中在南方大寒退季夏六月黄昬火星中大暑退是火为寒暑之候又曰火犹西流谓火下为流 朱氏曰火以六月之昬加于地之南方至七月之昬则下而西流矣 曹氏曰季夏昬正在于南方暑已极矣过是而流流则暑退故七月流火也至九月流尽而伏于戌寒气始胜 王氏曰七月九月一之日二之日何也阳生矣则言日阴生矣则言月与易临至于八月有㐫复七日来复同意然则四月正阳也秀葽言月何也秀葽以言阴生也阴始于四月生于五月而于四月言阴生者气之先至者也 胡氏曰星辰之运始则见于辰至未然后得其中至于申则流至于戌则伏传言火见于辰又以大火为大辰又以日月星为三辰岂非日月星辰至于辰而毕见故邪诗言定之方中左传言火星中而寒暑退及月令所纪昬旦中星非他取也取其中于未耳诗言七月流火岂非至申则流欤传言火伏于戌岂非至戌则伏欤余星皆类此然尧典特取其见于午者何哉葢圣人南面而听天下以荅阳为义也岁亦阳止正义曰十月为阳者时纯坤用事而嫌于无阳君子爱阳而恶阴故以阳名之诗纬曰阳生酉仲阴生戌仲是十月中兼有阴阳也四月秀葽靡草死岂无阴乎明阴阳常兼有也 张氏曰阳虽生于子实兆于亥故十月荠麦生阴虽生于午实兆于己故四月靡草死 朱氏曰复之一阳非顿然便生乃是坤卦中积来一日生一分至十一月一阳始成也以此见天地无休息处十月未尝无阳此理分明列庄之徒葢已窥见之矣故有宻移之说 汉上朱氏曰十月纯坤用事而称龙者天地未尝一日而无阳亦未尝一日而无君子正月繁霜曹氏曰霜者阴之凝也正月建巳之月夏之四月周之六月也纯阳用事不宜有霜阳微而为阴所胜则霜为之降是以王者恶之 沈氏曰先儒以日食正阳之月止谓四月不然也正阳乃两事正谓四月阳谓十月诗有正月繁霜十月之交日有食之二者先王所恶也葢四月纯阳不欲为阴所侵十月纯阴不欲过而干阳也蔡氏曰阳包阴则为霰(离)阳和阴则为雪(离交坎)阴包阳则为雹(坎)阴入阳则为霜(坎交离)十月之交朱氏曰十月以夏正言之建亥之月也交日月交㑹谓晦朔之间也厯法周天三百六十五度四分度之一左旋于地一昼一夜则其行一周而又过一度日月皆右行于天一昼一夜则日行一度月行十三度十九分度之七故日一岁而一周天月二十九日有竒而一周天又逐及于日而与之㑹一岁凡十二㑹方㑹则月光都尽而为晦巳㑹则月光复苏而为朔朔后晦前各十五日日月相对则月光正满而为望晦朔而日月之合东西同度南北同道则月揜日而日为之食望而日月之对同度同道则月亢日而月为之食是皆有常度矣然王者修徳行政用贤去奸能使阳盛足以胜阴阴衰不能侵阳则日月之行虽或当食而月常避日故其迟速髙下必有参差而不正相合不正相对者所以当食而不食也若国无政不用善使臣子背君父妾妇乗其夫小人陵君子夷狄侵中国则阴盛阳微当食必食虽曰行有常度而实为非常之变矣苏氏曰日食天变之大者也然正阳之月古尤忌之夏之四月为纯阳故谓之正月十月纯阴疑其无阳故谓之阳月纯阳而食阳弱之甚也纯阴而食阴壮之甚也凡日月之食皆有常度矣而以为不用其行者月不避日失其道也然其所以然者则以四国无政不用善人故也如此则日月之食皆非常矣而以月食为其常日食为不臧者阴亢阳而不胜犹可言也阴胜阳而揜之不可言也故春秋日食必书而月食则无纪焉亦以此尔 张氏曰诗有夏正无周正七月之陈王业六月之北伐十月之交刺纯阴用事而日食四月维夏六月徂暑言暑之极其至皆夏正也汉厯幽王无八月朔食而唐厯则有之议者疑其傅㑹而为此也 补传曰诗人于夏正皆以月言于周正则以日言故不曰朔日而曰朔月也日月皆右行月行天一周追及于日而与之㑹则食杜预曰日月动物不能不少有盈缩故有虽交而不食者有频交而食者孔颖达曰月或在日道表或在日道里故不食月与日同道乃食也又曰若月先在里依限而食者多若月先在表虽依限而食者少此皆据厯而言若然则诗人以为孔丑何也唐志日食议曰日君道也月臣道也望而至于黄道是谓臣干君明则阳斯蚀之朔而至于黄道是谓臣壅君明则阳为之蚀十月之交于厯当蚀君子犹以为变诗人悼之然则古之太平日不蚀星不孛葢有之矣若过至未分月或变行而避之或五星潜在日下御侮以救之或涉交数浅或在阳厯阳盛阴微则不蚀或徳之休明而有小眚焉则天为之隠虽交而不蚀四者皆徳之所由生也故说者谓交而食阳微而阴乗之也交而不食阳盛而阴不能掩也此则系乎人事所感葢臣子背君父妾妇乗其夫小人陵君子夷狄侵中国所感如是则阴盛阳微而日为之食矣曰彼月而微此日而微者意当时月食又适与日食相近 正义曰厯家为交食之法大率以百七十三日有竒为限古之厯书亡矣今世有周厯鲁厯者葢汉初为之其交无迟速盈缩攷日食之法而其年月往往参差是以汉世通儒未有以厯考此辛卯日食者 大衍厯议曰虞〔？〕以厯推之在幽王六年开元厯定交分四万三千四百二十九入蚀限加时在昼大东众星朱氏曰汉天河也跂隅貌织女星名在汉旁三星跂然如隅也七襄未详传曰反也笺云驾也驾谓更其肆也葢天有十二次日月所止舍所谓肆也经星一昼一夜左旋一周而有余则终日之间自卯至酉当更七次也晥明星貌牵牛星名服驾也箱车箱也启明长庚皆金星也以其先日而出故谓之启明以其后日而入故谓之长庚葢金水二星常附日行而或先或后但金大水小故独以金星为言也天毕毕星也状如掩兔之毕行行列也箕斗二星以夏秋之间见于南方云北斗者以其在箕之北也或曰北斗常见不隠者也翕引也舌下二星也南斗柄固指西若北斗而西柄则亦秋时也欧阳氏曰谭人仰诉于天言我民困矣天之云汉有光亦能下监我民乎其不言日月之明而言云汉之光者谓不能下监也天虽有织女不能为我织而成章虽有牵牛不能为我驾车而输物虽有启明长庚不能助日为昼俾我营作虽有天毕不能为我掩捕鸟兽虽有箕不能为我簸扬糠粃虽有斗不能为我挹酌酒浆箕斗非徒不可用而已箕引其舌反若有所噬斗西其柄反若有所挹取于东也 李氏曰尔雅曰明星谓之启明孙炎曰明星太白也出东方髙三舍今曰太白观此则启明即是太白也长庚不知是何星毛氏云只是一星故后世亦以长庚为太白郑渔仲乃谓启明金星长庚水星金在日西故日将出则东见水在日东故日将没则西见又似是二星不得浑而为一也唐卢仝月蚀诗厯言星辰不救月蚀之事其体制正类此诗 刘氏曰金星朝在东所以启日之明夕在西所以续日之长云汉杨泉物理论云汉水之精也气发而升精华浮上宛转随流名曰天河一曰云汉 埤雅曰万物之精上为列星河精上为天汉诗曰倬彼云汉昭回于天言水气之在天为云水象之在天为汉今皆倬然昭明回转于上则非雨之候也又曰瞻卬昊天有嘒其星言旱久而繁星备见则尤非雨之候也且其正言昊天则夏之时也以今观之炎夏旱暵而热则小星森布如棋星阳之精也阳盛而亢则星稠于上其理然也天道周礼圭景郑司农曰测土深谓南北东西之深也日南谓立表处大南近日也日北谓立表处大北逺日也景夕谓日跌景乃中立表处大东近日也景朝谓日未中而景中立表处大西逺日也土圭之长尺有五寸以夏至之日立八尺之表其景适与土圭等谓之地中今颍川阳城地为然 康成曰昼漏半而置土圭表阴阳审其南北景短于土圭谓之日南是地于日为近南也景长于土圭谓之日北是地于日为近北也东于土圭谓之日东是地于日为近东也西于土圭谓之日西是地于日为近西也如是则寒暑阴风偏而不和是未得其所求凡日景于地千里而差一寸景尺有五寸者南戴日下万五千里地与星辰四游升降于三万里之中是以半之得地之中也畿方千里取象于日一寸为止 疏曰冯相氏云冬夏致日春秋致月皆以土圭度之是以冬官考工记云土圭尺有五寸以致日三光考灵耀云四游升降于三万里中下云日至之景尺有五寸谓之地中则是半三万里而万五千里与土圭等是千里差一寸算法亦然言此者欲见经日南日北之等皆去中表千里为术景长景短皆差一寸通卦验云冬日至树八尺之表日中视其晷是以知用八尺表而以昼漏半度景也景一寸差千里故于地中尺五寸景去南戴日下万五千里考灵耀言四游升降者春分之时地与星辰复本位至夏至之日地与星辰东南游万五千里下降亦然至秋分还复正至冬至地与星辰西北游亦万五千里上升亦然至春分还复正进退不过三万里故云地与星辰四游升降于三万里之中是以半之得地之中也元命包云日圆望之广尺以应千里故郑注王制云象日月之大也考灵耀曰从上临下八万里天以圆覆地以方载河图括地象曰天不足西北地不足东南西北为天门东南为地户天门无上地户无下又云极广长南北二亿三万一千五百里东西二亿三万三千里又云天左动起于牵牛地右动起于毕广雅云天圜南北二亿三万三千五百里七十五步东西短减四步周六亿十万七百里二十五步从地至天亿一万六千七百八十七里半下度地之厚与天髙等天度云东方七宿七十五度南方七宿百一十二度西方七宿八十度北方七宿九十八度四分宿之一四方三百六十五度四分度之一度二千九百三十二里二十八宿间相距积百七万九百一十三里径三十五万六千九百七十里 易氏曰郑氏之说本于考灵耀谓土圭之法以一分当百里以一寸当千里日景于地凡千里而差一寸故于颍川阳城之地置一表为中表又于中表之四面各去千里而置四表昼漏半则各参以土圭之景以验南北东西其景皆有一寸之差其说果可从乎殊不知大司徒所谓日南日北日东日西者特四时测景之灋如夏至日在南陆躔于东井景长尺有五寸故曰日南则景短多暑冬至日在北陆躔于牵牛景长丈有三尺故曰日北则景长多寒秋分日在东陆躔于角其景常候以夕故曰日东则景夕多风春分日在西陆躔于娄其景常候以朝故曰日西则景朝多隂四时之间春秋不可致日故日景不言尺寸之度冬至日景虽言尺寸之度而实过于土圭之制惟夏至之日景长尺有五寸正与土圭等所以求地中昔尧之敬授人时皆以中星验日景而独于仲夏言敬致致即致日也致日于尺有五寸之景此即求中之法地中既正是以因其日之东南西北而知天地于此乎合因其景之长短朝夕而知四时于此乎交多风多隂得其序而知风雨于此乎会多寒多暑得其序而知隂阳于此乎和以至百物阜安又造化冲和之气其应然也匠人建国主王国而言也大司徒之建国以土圭之灋测土深以正日景日至之景尺有五寸谓之地中此则賛大司徒求地中而已水地以县置槷以县者此二县字有先后之序先于造城之处以水平地于四旁立四柱以绳县之其绳附柱不偏量其四旁适均则其地平矣方于中立八尺之表表即𣙗也复以绳县之其绳附柱不偏而后眡表之景又于四旁之地为规圜之势画以识之日出于东其景在西则识其出景之端日入于西其景在东则识其入景之端景之两端既定中屈其所量之绳而两者相合则地中可验又虑其所规之不正也复以出入之景与日中之景三者相参故曰参又虑其所参之或偏也复以日中之景与极星之度两者相攷故曰考且极星之度何与于日中之景凡以验日景之中而已盖夏至日在南陆躔于东井去极六十六度有奇而其景尺有五寸冬至日在北陆躔于牵牛去极一百一十六度有奇而其景丈有三尺春分日在西陆躔于娄秋分日在东陆躔于角去极九十一度有奇而其景均焉观日躔去极之逺近以验四时攷四时日景之短长以求地中则东西可正故曰以正朝夕东西既正然后度日景两交之间屈其绳之半以指𣙗而求合乎规圜之势则南北亦正矣 王氏曰以日景正其朝则地之中得矣以极星正其夕则天之中得矣书曰自服于土中又曰其自时配皇天则洛邑非特地之中亦天之中矣 大衍厯议曰宋元嘉中南征林邑五月立表望之日在表北交州影在表南三寸林邑九寸一分交州去洛水陆之路九千里盖山川囘折使之然以表考其弦当五千乎开元十二年测交州夏至在表南三寸三分与元嘉所测畧同使者大相元太言交州望极才高二十余度八月海中望老人星下列星粲然明大者甚众古所未识乃浑天家以为常没地中者也大率去南极二十度已上之星则见太史监南宫说择河南平地设水凖绳墨植表而以引度之自滑台始白马夏至之晷尺五寸七分又南百九十八里百七十九步得浚仪岳台晷尺五寸三分又南百六十七里二百八十一步得扶沟晷尺四寸四分又南百六十里百一十步至上蔡武津晷尺三寸六分半大率五百二十六里二百七十步晷差二寸余而旧说王畿千里影差一寸妄矣吴王蕃考先儒所传以戴日下万五千里为句股斜射阳城考周径之率以揆天度当千四百六里二十四步有余今测日晷距阳城五千里已在戴日之南则一度之广皆三分减二南北极相去八万里其径五万里宇宙之广岂若是乎然则蕃之术以蠡测海者也 隋天文志曰先儒皆云夏至立八尺表于阳城其影与土圭等案尚书考灵耀称日永景尺五寸日短景尺三寸易通卦验曰夏至景一尺四寸八分冬至一丈三尺周髀云成周土中夏至景一尺六寸冬至景一丈三尺五寸刘向鸿范传曰夏至景长一尺五寸八分冬至一丈三尺一寸四分春秋二分景七尺三寸六分后汉四分厯魏景初厯宋元嘉厯大明祖冲之厯皆与考灵耀同汉魏及宋所都皆别四家厯法候景则齐且纬候所陈恐难依据刘向二分之景直以率推非因表候定其长短考灵耀周髀张衡灵宪及郑𤣥注周官并云日影于地千里而差一寸宋元嘉十九年壬午使使往交州测影夏至之日影出表南三寸二分何承天遥取阳城云夏至一尺五寸计阳城去交州路当万里而影实差一尺八寸二分是六百里而差一寸也又梁大同中二至所测以八尺表率取之夏至当一尺一寸七分彊后信都芳注周髀四术称永平元年戊子当梁天监之七年见洛阳测影又见公孙崇集诸朝士共观秘书影同是夏至日其中影皆长一尺五寸八分以此推之金陵去洛南北略当千里而影差四寸则二百五十里而影差一寸也 王朴曰古者植圭于阳城以其近洛也盖尚慊其中乃在洛之东偏开元十二年遣使天下候影南距林邑北距横野中得浚仪之岳台应南北弦居地之中正月正岁王氏曰元者德也正者政也德欲终始如一故即位之一年谓之元年政欲每岁改易故改岁之一月谓之正月正月之吉则朔月也朔月谓之吉则明生之几故也三代各有正月而周以建子之月为正夏以建寅之月为正夏正据人所见故谓之人正授民事则宜据人所见故周亦兼用夏时而以夏之正月为正岁始和布治以周之正月而正岁又观象灋则以兼用夏时故也兼用夏时而以正月之吉使万民观治象则正岁先王之正也正月之吉时王之正也万民取正于时王而巳若夫百官则又当取正于先王也 易氏曰夏正建寅谓之正岁周正建子谓之正月建子为时王之正月示万民以更新之意故大宰县治象于月吉而复歛于挟日建寅为民时之正岁吏治于是乎始故小宰帅治官之属观治象于已歛之后 张氏曰周官于布治言正月之吉此周正也而以夏正为正岁所谓正岁十有二月令斩氷此其证尤彰明又七月言月皆夏时而以周之正为一之日观此可见兼存之法其兼存之何也周人虽以天统改用建子为正月而以夏数得天故未尝废星辰疏云五纬即五星言纬者二十八宿随天左转为经五星右旋为纬星备云五星初起牵牛此云星明是五纬又星备云岁星一日行十二分度之一十二岁而周天荧惑日行三十三分度之一三十三岁而周天镇星日行二十八分度之一二十八岁而周天太白日行八分度之一八岁而周天辰星日行一度一岁而周天是五纬所行度数之事二十八星面有七不当日月之会直谓之星若日月所会则谓之宿谓之辰谓之次亦谓之房故书云辰弗集于房 朱氏曰纬星隂中之阳经星阳中之隂司中司命郑司农云司中三能三阶也司命文昌宫星 疏云案武陵太守星传云三台一名天柱上台司命为太尉中台司中为司徒下台司禄为司空文昌宫第四曰司命第五曰司中二文俱有司中司命故两载之 康成云司中司命文昌第五第四星或曰中能上能也 疏云先郑以为司中是三台司命是文昌星今案三台与文昌皆有司中司命何得分之武陵太守星传云文昌宫六星第一曰上将第二曰次将第三曰贵相第四曰司命第五曰司中第六曰司禄是其本次也或曰中能者亦据星传而言 洪氏楚辞注曰按史记天官书文昌六星四曰司命晋书天文志三台六星两两而居西近文昌二星曰上台为司命主夀然则有两司命也祭法王立七祀诸侯立五祀皆有司命疏云司命宫中小神而汉书郊祀志荆巫有司命说者曰文昌第四星也五臣云司命星名主知生死辅天行化诛恶护善也大司命云乘清气兮御隂阳少司命云登九天兮抚彗星其非宫中小神明矣飌师雨师疏云春秋纬云月离于箕风扬沙故知风师箕也诗云月离于毕俾滂沱矣是雨师毕也郑义大阳不变隂为金雨为木风为土明为火晦为水若从妻所好言之则洪范云星有好风星有好雨郑注云箕星好风毕星好雨是土十为木八妻木八为金九妻故东方箕星好风西方毕星好雨 洪氏楚辞注曰按丰隆或曰云师或曰雷师屏翳或曰云师或曰雨师或曰风师归藏云丰隆筮云气而告之则云师也穆天子传云天子升昆仑封丰隆之葬郭璞云丰隆筮师御云得大壮卦遂为雷师淮南子季春三月丰隆乃出以将其雨张衡思𤣥赋云丰隆軯其震霆云师〔？〕以交集则丰隆雷也云师屏翳也天问曰萍号起雨则屏翳雨师也洛神赋云屏翳收风则风师也淮南子云雨师洒道风伯扫尘说者以为箕毕二星列仙传云赤松子神农时为雨师风俗通云𤣥冥为雨师其说不同据楚辞则以丰隆为云师飞廉为风伯屏翳为雨师十𪸩易氏曰𪸩者日之光气也日以光为主是谓太阳隂邪侵之则为祲此眡祲占象所以有十𪸩之法祲谓隂气薄于日而浸淫相侵也象谓隂柔附日而凝结成象也䥴谓隂气刺日如童子所佩之䥴也监谓隂气抱日如冠珥而背璚也暗谓隂气蔽日方昼而暗者也瞢谓隂气蒙蔽日光瞢然也弥谓隂气贯日弥天不竟也叙谓隂气不常以叙而至也𬯀谓隂气自下而升于上也想谓隂气无迹形似可想也以洪范五行推之阳为君子为中国隂为小人为夷狄妖祥可以类求 王氏曰气祥谓之祲以日傍之气相侵也形本谓之象谓气在日傍未成形也𫔔如童子佩𫔔之𫔔谓傍气刺日也监如王启监厥乱之监谓云气在上而临日也暗谓昼晦或日蚀也瞢谓日无光也弥如弥缝之弥谓气贯日也叙如时叙之叙谓云有次叙在日上也𬯀如朝𬯀于西之𬯀谓虹气见日傍也想谓杂气有似可形想也岁年注云中数曰岁朔数曰年中朔大小不齐正之以闰若今时作厯日 疏云一年有二十四气皆节气在前中气在后节气一名朔气朔气在晦则后月闰中气在朔则前月闰节气有入前月法中气无入前月法中气匝则为岁朔气匝则为年假令十二月中气在晦则闰十二月十六日得后正月立春节此即朔数曰年至后年正月一日得启蛰中此中气匝此即中数曰岁 月令正义曰十二月中气一周总三百六十五日四分日之一谓之一岁十二月之朔一周谓三百五十四日谓之为年此是岁年相对故有朔数中数之别若散而言之岁亦年也故尔雅释天云唐虞曰载夏曰岁商曰祀周曰年是也十有二岁注云岁谓太岁岁星与日同次之月斗所建之辰乐说岁星与日常应太岁月建以见然则今厯太岁非此也岁星为阳右行于天太岁为隂左行于地十二岁而小周其妖祥之占甘氏岁星经其遗象也 疏云太岁在地与天上岁星相应而行岁星为阳右行于天一岁移一辰又分前辰为一百三十四分而侵一分则一百四十四年跳一辰十二辰匝则总有千七百二十八年十二跳辰匝以此而计之十二岁一小周谓一年移一辰故也千七百二十八年一大周十二跳帀故也岁左行于地一与岁星跳辰年数同此则服䖍注春秋龙度天门是也以岁星本在东方谓之龙以辰为天门故以岁日跳度为龙度天门也岁星为阳人之所见太岁为隂人所不覩既岁星与太岁虽右行左行不同要行度不异故举岁星以表太岁言岁星与日同次之月一年之中惟于一辰之上为法若元年甲子朔旦冬至日月五星俱赴于牵牛之初是岁星与日同次之月十一月斗建子子有太岁至后年岁星移向子上十二月日月会于𤣥枵十二月斗建丑丑有太岁自此已后皆然 大衍厯议曰岁星自商周迄春秋之季率百二十余年而超一次战国后其行寖急至汉尚微差及哀平间余势乃尽更八十四年而超一次因以为常此其与余星异也姬氏出自灵威仰之精受木行正气岁星主农祥后稷凭焉故周人常阅其禨祥而观善败其始王也次于鹑火以达天鼋及其衰也淫于𤣥枵以害鸟帑 易氏曰先郑以岁为太岁后郑谓大岁所在岁星所居要之二者并行初不相悖然春秋所述妖祥之事则皆岁星也襄二十八年岁在星纪而淫于𤣥枵是谓蛇乘龙梓慎以为宋郑必饥则言其所属裨灶以为周楚所恶则言其所冲其岁星乖次之所应乎昭三十二年岁在星纪而吴伐越史墨以为不及四十年越其有吴以岁星十二年而一周存亡之数不过三纪非岁星顺次之所应乎此保章氏所以言十有二岁之相相谓有相可覩者也其相有嬴缩晕角之变而妖祥应焉岂太岁可以并言哉致日致月陈氏曰礼曰大明生于东月生于西诗曰日居月诸出自东方又曰东方之日东方之月盖月之始则生于西其盛则生于东扬子曰月未望则载魄于西既望则终魄于东汉书谓日有中道月有九行中道黄道也黄道北至东井南至牵牛东至角西至娄夏至日在东井而北近极星则晷短故立八尺之表而景尺五寸冬至日在牵牛而南逺极星则晷长故立八尺之表而景丈三尺春分日在娄秋分日在角而中于极星则景中故立八尺之表而景七尺三寸六分日阳也阳用事则日进而北昼进而长阳胜故为温为暑隂用事则日退而南昼退而短隂胜故为凉为寒若日失节于南则晷过而长为常寒失节于北则晷退而短为常燠此四时致日之法也月之九行在东西南北有青白赤黑之道各二而出于黄道之旁立春春分月循青道而春分上弦在东井圆于角下弦于牵牛立秋秋分循白道秋分上弦在牵牛圆于娄下弦于东井立冬冬至北从黑道立夏夏至南从赤道古之致月者不在立春立秋而常在二分不在二分之望而常在弦者以月入八日与不尽八日得隂阳之正平故也考之于经仲夏平秩南讹敬致冬夏致日春秋致月则致日不于春秋致月不于冬夏而汉书有春秋致日之事盖兼后世之法也然日之与月其隂阳尊卑之辨若君臣然观君居中而佚臣旁行而劳臣近君则威损逺君则势盛威损与君异势盛与君同月逺日则其光盈近日则其明阙未望则出西既望则出东则日有中道月有九行之说盖足信也 易氏曰冬至日在牵牛景长丈有三尺夏至日在东井景长尺有五寸此长短之极所以致日春分日在娄月上弦于东井下弦于牵牛秋分日在角月上弦于牵牛下弦于东井此长短之中所以致月然致日必于冬夏致月必于春秋者何也天度一月易一位一时易一方以牵牛东井运于四方者推之日月所经正在分至为天度之中 天文录曰冬至之日日出辰入申昼行地上百四十六度强夜行地下二百一十九度少弱故昼短夜长夏至之日日出寅入戌昼行地上二百一十九度少弱夜行地下一百四十六度强故昼长夜短春秋分之日日出卯入酉昼行地上夜行地下皆一百八十二度半强昼夜长短同 邵子曰天行所以为昼夜日行所以为寒暑夏浅冬深天地之交也左旋右行天日之交也日朝在东夕在西随天之行也夏在北冬在南随天之交也天一周而超一星应日之行也春酉正夏午正秋夘正冬子正应日之交也二十八星北方九十八度四分一斗二十六(四分退二)牛八女十二虚十危十六室十六壁十 西方八十度奎十六娄十二胃十四昴十一毕十六觜二参九 南方百十二度井三十三鬼四栁十五星七张十八翼十八轸十七 东方七十五度角十二亢九氐十五房五心五尾十八箕十一右赤道度周天三百六十五度四分一(后汉志)(汉志斗二十六不载四分度之一危十七壁九一晋志斗二十六分四百五十五 淮南子箕十)(四分一九五代钦天厯虚十少毕十七觜一参十鬼三北 十八度少西八十一度南一百一十一)(度东七十五度)北方九十六度四分一斗二十四(进一)牛七女十一虚十危十六室十八壁十 西方八十三度奎十七娄十二胃十五昴十二毕十六觜三参八 南方百九度井二十鬼四栁十四星七张十七翼十九轸十八 东方七十七度角十三亢十氐十六房五心五尾十八箕十右黄道度(永元黄道铜仪斗二十四四分度之一 后汉志)凡二十八宿分为十二次寅为析木燕之分自尾十度至斗十一度夘为大火宋之分自氐五度至尾九度辰为夀星郑之分自轸十二度至氐四度已为鹑尾楚之分自张十七度(汉志十八)至轸十一度午为鹑火周之分自栁九度至张十六度(汉志十七)未为鹑首秦之分自井十六度至栁八度申为实沈魏之分自毕十二度至井十五度酉为大梁晋之分自胃七度至毕十一度戌为降娄鲁之分自奎五度至胃六度亥为娵訾卫之分自危十六度至奎四度子为𤣥枵齐之分自女八度至危十五度丑为星纪吴越之分自斗十二度至女七度(唐六典)沈氏曰二十八宿为其有二十八星当度故立以为宿前世测候多或改变如唐书测得毕有十七度半觜只有半度之类皆谬说也星既不当度自不当用为宿次自是浑仪度距疎宻不等耳凡二十八宿度数皆以赤道为法唯黄道度有不合度者盖黄道有斜有直故度数与赤道不等即须以当度星为宿唯虚宿未有奇数自是日之余分厯家取以为斗分者也余宿则不然朱氏曰天有黄道有赤道天如一圆匣赤道是相合缝处在天之中黄道半在赤道之内半在赤道之外东西与赤道相交度是横分为度数会是日月在黄道赤道相交处望是月与日相向如一在子一在午皆同一度谓如月在毕十一度日亦在毕十一度虽同此度却南北相向日蚀于朔者月常在下日常在上既相会月在下遮日故日蚀望时月蚀固是隂敢与阳敌然厯家又谓之暗虚盖火日外影其中实暗望时当其中暗处故月蚀星土分星注云星纪吴越也𤣥枵齐也娵訾卫也降娄鲁也大梁赵也实沈晋也鹑首秦也鹑火周也鹑尾楚也夀星郑也大火宋也析木燕也据郑注与班固地理志分野合(志魏即晋地韩即郑地)帝王世纪亦用其说考之左传国语皆合但以国为断则疆土变易不合天文之正呉越(扬州斗牛)齐(青州危女虚)卫(冀州室壁)鲁(青州奎娄)赵晋(冀并州觜胃昴毕)(参)秦(雍州井鬼)周(豫州张栁星)楚(荆州翼轸)郑(豫州角亢)宋(豫州心氐房)燕(幽州)(尾箕)六家分星异同之谱春秋纬文耀钩北斗七星主九州华岐龙门积石至三危之野雍州属魁星大行以东至碣石王屋砥柱冀州属枢星三河雷泽东至海岱以北兖州青州属机星蒙山以东至南江会稽震泽徐扬之州属权星大别以东至雷泽九江荆州属衡星荆山西南至岷山北岖鸟鼠梁州属开星外方熊耳以至泗水陪尾豫州属揺星陈氏曰九州十二域或系之北斗或系之二十八宿或系之五星雍主魁冀主枢青兖主机扬徐主权荆主衡梁主开阳豫主揺光此系之北斗者也星纪吴越𤣥枵齐娵訾卫降娄鲁大梁赵实沈晋鹑首秦鹑火周鹑尾楚夀星郑大火宋析木燕此系之二十八宿者也岁星主齐吴荧惑主楚越镇星主王子太白主大臣辰星主燕赵代此系之五星者也然吴越南而星纪在丑齐东而𤣥枵在子鲁东而降娄在戌东西南北相反而相属何耶先儒以为古者受封之日岁星所在之辰其国属焉观春秋传凡言占相之术以岁之所在为福岁之所冲为灾故师旷梓慎裨灶之徒以天道在西北而晋不害岁在越而吴不利岁滛𤣥枵而宋郑饥岁弃星纪而周楚恶岁在豕韦而蔡祸岁及大梁而楚凶则古之言星次者未尝不视岁之所在也梓慎曰龙宋郑之星也宋大辰之虚也陈太皥之虚也郑祝融之虗也皆火房也卫高阳之虚也其星为大水以陈为火则大皡之木为火母故也以卫为水则高阳水行故也子产曰迁阏伯于商丘主辰商人是因故辰为商星迁实沈于大夏主参唐人是因故参为晋星然则十二域之所主亦若此也 易氏曰在诸侯则谓之分星在九州则谓之星土九州星土之书亡矣今其可言者十二国之分考之传记烖祥所应亦有可证而不诬者昭十年有星出于婺女郑禆灶曰今兹岁在颛顼之墟姜氏任氏实守其地释者以颛顼之墟为𤣥枵此𤣥枵为齐之分星而青州之星土也昭三十二年吴伐越晋史墨曰越得岁而吴伐之必受其凶释者以为岁在星纪此星纪为越之分星而扬州之星土也昭元年郑子产曰成王灭唐而封太叔焉故参为晋星实沈为参神此实沈为晋之分星而并州之星土也襄九年晋士弱曰陶唐氏之火正阏伯居商丘相土因之故商主大火此大火为宋之分星而豫州之星土也昭十七年星孛及汉申须曰汉水祥也卫颛顼之墟故为帝丘其星为大水此娵訾为卫之分星而冀州之星土也襄二十八年春无氷梓慎曰岁在星纪而淫于𤣥枵蛇乘龙龙宋郑之星此夀星为郑之分星而亦豫州之星土也郑语周史曰楚重黎之后也黎为高辛氏火正此鹑尾为楚之分星而荆州之星土也尔雅曰析木谓之津释者谓天汉之津梁为燕此析木为燕之分星而幽州之星土也以至周之鹑火秦之鹑首赵之大梁鲁之降娄无非以其州之星土而为其国之分星所占烖祥其应不差然亦有可疑者武王伐殷岁在鹑火伶州鸠曰岁之所在我有周之分野盖指鹑火为西周丰岐之地今乃以当洛阳之东周何也周平王以丰岐之地赐秦襄公而其分星乃谓之鹑首又何也如燕在北而配以东方之析木鲁在东而配以西方之降娄秦居西北而鹑首次于东南吴越居东南而星纪次于东北此皆稽之分野有不合者贾氏以为古者受封之月岁星所在之辰恐不其然若谓受封之辰则春秋战国之诸侯以之占妖祥可也后世占分野而妖祥亦应岂皆古者受封之辰乎此堪舆之书虽足攷古而言郡国所入之度则非古之灋 一行曰近代诸儒言星土者或以州或以国虞夏秦汉郡国废置不同周之兴也王畿千里及其衰也仅得河南七县今又天下一统而直以鹑火为周分则疆埸舛矣七国之初天下地形雌韩而雄魏魏地西距高陵尽河东河内北固漳邺东分梁宋至于汝南韩据全郑之地南尽颍川南阳西达虢畧距函谷固宜阳北连上党皆绵亘数州相错如绣考云汉山河之象多者或至十余宿其后魏徙大梁则西河合于东井秦㧞宜阳而上党入于舆鬼方战国未灭时星家之言屡有明效今则同在畿甸之中矣而或者犹据汉书地理志推之是守甘石遗术而不知变通之数也 春秋正义曰星纪在于东北吴越实在东南鲁卫东方诸侯遥属戌亥之次又三家分晋方始有赵而韩魏无分赵独有之地理志分郡国以配诸次其地分或多或少鹑首极多鹑火甚狭徒以相传为说其源不可得闻 通典曰凡国之分野上配天象始于周季 吕氏曰十二次盖战国言星者以当时所有之国分配之星经出于战国之末故举当时东西周疆界以言之 唐氏曰子产言封实沈于大夏主参封阏伯于商邱主辰则辰为商邱分参为大夏分其来已久非因封国始有分野若以封国岁星所在即为分星则每封国自有分星不因相土因阏伯晋人因实沈矣 陈氏曰所可据者其惟析木乎其宿尾箕亦艮之维燕可以言东北也十有二次而可言者一 魏氏曰星不依方而以受封之日为次此传注之可疑班志始著十二国分野所属然独秦周韩燕有所入宿度他皆无之既言角亢氐为韩矣又自井六度起井乃秦分也既言尾箕为燕矣又谓自危四至斗六然危斗乃齐吴分也以汉晋二史所载宿度较之刘昭所注则汉志之差多至十余度而晋志不过差一二度而已 洪氏曰卫本受封于河内商虚后徙楚邱河内乃冀州所部汉属司𨽻其他邑皆在东郡属兖州于并州了不相干魏分晋地得河内河东数十县于益州亦不相干十二风易氏曰三代不推厯而厯未尝不正以厯起于律而每月足以候其气也昔黄帝得嶰谷之管而神瞽为之制十二律以此候十二月之气无非天地之中气以此调十二月之声无非天地之和声是谓十有二风之占何谓十有二风艮为条风从大吕大蔟之律震为明庶风从圜钟之律巽为清明风从姑洗中吕之律离为景风从蕤宾之律坤为凉风从函钟夷则之律兊为阊阖风从南吕之律干为不周风从无射应钟之律坎为广莫风从黄钟之律传所谓八风从律是已然特八风而已每风行于两月之间各得四十五日有奇如八卦之分直四时亦然以十二月言之亦曰十有二风其法于缇室之中因逐月律管以为入地之浅深月气至则葭灰飞此所以察天地之和然左氏载师旷歌北风又歌南风而知晋楚之胜负妖祥之应可决于此即治厯之道王氏曰十有二风风之生于十二辰之位者也盖天地之气合以生风八风本乎八卦四维之风兼于其月故艮为条风而立春亦曰条风巽为清明风而立夏亦曰清明风坤为凉风而立秋亦曰凉风干为不周风而立冬亦曰不周风故八风变而言之又谓十二风三辰易氏曰三辰日月斗也日合于天统故天神可得而犹其居月合于地统故地示可得而犹其居斗合于人统故人鬼可得而犹其居犹即图也天神位乎上其居为阳即日合天统之法而图之地示位乎下其居为隂即月合地统之法而图之人鬼位乎隂阳之间即斗合人统之法而图之 沈氏曰日月星谓之三辰者日月星至于辰而毕见星有三类一经星北极为之长二舍星大火为之长三行星辰星为之长故皆谓之辰司民司禄司民轩辕角也司禄文昌第六星或曰下能也 疏云武陵太守星传云轩辕十七星如龙形有两角角有大民小民文昌宫有六星第一为上将第二为次将第三为贵相第四为司命第五为司中第六为司禄是司民在轩辕角司禄在文昌第六星也石氏星传曰上能司命为太尉中能司中为司徒下能司禄为司冦是司禄在下能也以二处并有司禄故举二文以见义极星朱氏曰北辰之为天枢何也曰天圆而动包乎地外地方而静处乎天中故天之形半覆乎地上半绕乎地下而左旋不息其枢纽不动之处则在夫南北之端焉谓之极者犹屋脊之谓极也然南极低入地三十六度故周囘七十二度常隠不见北极高出地三十六度故周囘七十二度常见不隠北极之星正在常见不隠七十二度之中常居其所而不动其旁则经星随天左旋日月五纬右转更迭隐见皆若环绕而归向之知此则知天枢之说太一如人主北极如帝都帝坐惟在紫微者据北极七十二度常见不隠之中故有北辰之号而常居其所盖天形运转昼夜不息而此为之枢如轮之毂如硙之齐虽欲动而不可得非有意于不动也若太微之在翼天市之在尾摄提之在亢其南距赤道也皆近其北距天极也皆逺则固不容于不动而不免与二十八宿同其运行矣故其或东或西或隠或见各有度数仰而观之盖无晷刻之或停也 蔡氏曰日晷有差如千里差一寸极星无差日辰月岁星之号日谓从甲至癸辰谓从子至亥月谓从娵至荼岁谓从摄提格至赤奋若星谓从角至轸 尔雅疏曰日为阳辰为隂甲寅之岁曰阏逢摄提格乙夘之岁曰旃蒙单阏丙辰之岁曰柔兆执徐丁巳之岁曰强圉大荒落戊午之岁曰著雍敦牂己未之岁曰屠维恊洽庚申之岁曰上章涒滩辛酉之岁曰重光作噩壬戌之岁曰𤣥〔？〕阉茂癸亥之岁曰昭阳大渊献甲子之岁曰阏逢困敦乙丑之岁曰旃蒙赤奋若以此推之周而复始以日配月之名设若正月得甲则曰毕陬二月得乙则曰橘如三月得丙则曰修寎四月得丁则曰圉余五月得戊则曰厉臯六月得己则曰则且七月得庚则曰窒相八月得辛则曰塞壮九月得壬则曰终𤣥十月得癸则曰极阳十一月得甲则曰毕辜十二月得乙则曰橘涂周而复始史记歴书云月名毕聚四方皆有七宿各成一形东方龙西方虎皆南首而北尾南方鸟北方龟皆西首而东尾 诗正义曰二十八宿连四方为名者唯箕斗井壁四星而已礼记天地日月星辰月令正义曰老子云道生一者一则混元之气与大初大始大素同又与易之大极礼之大一其义不殊皆为气形之始也一生二者谓混元之气分为二二则天地也与易之两仪又与礼之大一分而为天地同也二生三者谓参之以人为三才也三生万物者谓天地人既定万物备生其间分为天地说有多家状貌之殊凡有六等一曰盖天文见周髀如盖在上二曰浑天形如弹丸地在其中天包其外犹如鸡卵白之绕黄扬雄桓谭张衡蔡邕陆绩王肃郑𤣥之徒并所依用三曰宣夜旧说云殷代之制其形体事义无所出以言之四曰昕天昕读为轩言天北高南下若车之轩是吴时姚信所说五曰穹天云穹隆在上虞氏所说不知其名也六曰安天是晋时虞喜所论注考灵耀用浑天之法案郑注考灵耀云天者纯阳清明无形圣人则之制璇玑玊衡以度其象如郑此言则天是太虚本无形体但指诸星运转以为天耳但诸星之转从东而西必三百六十五日四分日之一星复旧处星既左转日则右行亦三百六十五日四分日之一至旧星之处即以一日之行而为一度计二十八宿一周天凡三百六十五度四分度之一是天之一周之数也天如弹丸围圜三百六十五度四分度之一案考灵耀云一度二千九百三十二里千四百六十一分里之三百四十八周天百七万一千里者是天圆周之里数也以围三径一言之则直径三十五万七千里此为二十八宿周回直径之数也然二十八宿之外上下东西各有万五千里是为四游之极谓之四表据四表之内并星宿内总有三十八万七千里然则天之中央上下正半之处则一十九万三千五百里地在于中是地去天之数也郑注考灵耀云地盖厚三万里春分之时地正当中自此地渐渐而下至夏至之时地下游万五千里地之上畔与天中平夏至之后地渐渐向上至秋分地正当天之中央自此地渐渐而上至冬至上游万五千里地之下畔与天中乎自冬至后地渐渐而下此是地之升降于三万里之中但浑天之体虽绕于地地则中央正平天则北高南下北极高于地三十六度南极下于地三十六度然则北极之下三十六度常见不没南极之上三十六度常没不见南极去北极一百二十一度余若逐曲计之则一百八十一度余若以南北中半言之谓之赤道去南极九十一度余去北极亦九十一度余此是春秋分之日道也赤道之北二十四度为夏至之日道去北极六十七度也赤道之南二十四度为冬至之日道去南极亦六十七度地有升降星辰有四游又郑注考灵耀云天旁行四表之中冬南夏北春西秋东皆薄四表而止地亦升降于天之中冬至而下夏至而上二至上下盖极地厚也地与星辰俱有四游升降四游者自立春地与星辰西游春分西游之极地虽西极升降正中从此渐渐而东至春末复正自立夏之后北游夏至北游之极地则升降极下至夏季复正立秋之后东游秋分东游之极地则升降正中至秋季复正立冬之后南游冬至南游之极地则升降极上冬季复正此是地及星辰四游之义也星辰亦随地升降故郑注考灵耀云夏日道上与四表平下去东井十二度为三万里则是夏至之日上极万五千里星辰下极万五千里故夏至之日下至东井三万里也日有九道故考灵耀云万世不失九道谋郑注引河图帝览嬉云黄道一青道二出黄道东赤道二出黄道南白道二出黄道西黑道二出黄道北日春东从青道夏南从赤道秋西从白道冬北从黑道立春星辰西游日则东游春分星辰西游之极日东游之极日与星辰相去三万里夏则星辰北游日则南游夏至星辰北游之极日南游之极日与星辰相去三万里以此推之秋冬放此可知计夏至之日日在井星正当嵩高之上以其南游之极故在嵩高之南万五千里所以夏至有尺五寸之景也于时日又上极星辰下极故日下去东井三万里也然郑四游之极元出周髀之文但日与星辰四游相反春分日在娄则娄星极西日体在娄星之东去娄三万里以度言之十二度也则日没之时去昏中之星近校十度旦时日极于东去旦中之星逺校十度若秋分日在角则角星极东日体在角星之西去角三万里则日没之时去昏中之星逺校十度旦时日极于西去旦中之星近校十度此皆厯乖违于数不合但二十八宿从东而左行日从西而右行一度逆㳂二十八宿按汉书律歴志云冬至之时日在牵牛初度春分之时日在娄四度夏至之时日在东井三十一度秋分之时日在角十度若日在东井则极长八尺之表尺五寸之景若春分在娄秋分在角昼夜等八尺之表七尺五寸之景冬至日在斗则昼极短八尺之表一丈三尺之景一丈三尺之中去其一尺五寸则余有一丈一尺五寸之景是冬夏徃来之景也凡于地千里而差一寸则夏至去冬至体渐南渐下相去一十万五千里又考灵耀云正月假上八万里假下一十万四千里所以有假上假下者郑注考灵耀之意以天去地十九万三千五百里正月雨水之时日在上假于天八万里下至地一十一万三千五百里夏至之时日上极与天表平也后日渐向下故郑注考灵耀之意以天去地十九万三千五百里正月雨水之时日在上假于天八万里下至地一十一万三千五百里夏至之时日上极与天表平也后日渐向下故郑注考灵耀云夏至日与表平冬至之时日下至于地八万里上至于天十一万三千五百里也委曲俱具考灵耀注凡二十八宿及诸星皆循天左行一日一夜一周天一周天之外更行一度计一年三百六十五周天四分度之一日月五星则右行日一日一度月一日一十三度十九分度之七此相通之数也今厯象之说则月一日至于四日行最疾日行十四度余自五日至八日行次疾日行十三度余自九日至十九日行则迟日行十二度余自二十日至二十三日又小疾日行十三度余自二十四日至于晦行又最疾日行一十四度余此是月行之大率也二十七日月行一周天至二十九日强半月及于日与日相会乃为一月故考灵耀云九百四十分为一日一十九日与四百九十九分为月是一月二十九日之外至第三十日分至四百九十九分月及于日计九百四十分则四百七十为半今四百九十九分是过半二十九分也月是隂精日为阳精故周髀云日犹火月犹水火则外光水则含景故月光生于日所照魄生于日所蔽当日则光盈就日则明尽京房云月与星辰隂者也有形无光日照之乃有光先师以为日似弹丸月似镜体或以为月亦似弹丸日照处则明不照处则暗刘熈释名云日实也大明盛实月阙也满则缺也说题辞云星精阳之荣也阳精为日日分为星故其字日下生也天高地下日盈月阙觜星度少井斗度多日月右行星辰左转四游升降之差二仪运动之法非由人事所作皆是造化自然 邵子曰天圆而地方天南高而北下是以望之如倚盖然地东南下西北高是以东南多水西北多山天覆地地载天天地相函故天下有地地上有天月者日之影也月体本黒受日之光而白 方氏曰日者循星以进退者也月者应日以死生者也星者日所舎辰者星所次以其得阳之精故谓之星以其所次有时故谓之辰也日月星辰即尧典所言歴象洪范所言五纪是矣宿言宿之于此离言离之于彼 刘氏曰隂气合阳于天上则为日星是以其光下垂焉阳气合隂于地下则为山川是以其窍上通焉山川者五行之本也故天之气出入于地中则升为四时地之气凝结于天上则降为五行 真氏曰日星丽乎天阳之为也山川丽乎地隂之为也秉者主持之谓阳主精气故为日星之光日太阳也星少阳也隂主形质故为山川之窍播者布也谓隂阳二气分为五行而布为四时也和犹合也谓隂阳和合而月始生也月太隂也本有质而无光其盈亏也以受日光之多少月之朔也始与日合越三日而明生八日而上弦其光半十五日而望其光满此谓三五而盈也既望而渐亏二十二日而下弦其亏半三十日而晦其光尽此所谓三五而阙也方其晦也是为纯隂故魄存而光泯至日月合朔而明复生焉和而月生盖取此义 朱氏曰天包乎地地特天中之一物耳汤谷蒙汜固无其所然日月出水乃升于天及其西下又入于水故其出入似有处所而所行里数厯家以为周天赤道一百七万四千里日一昼夜而一周春秋二分昼夜各行其半而夏长冬短一进一退又各以其什之一焉日以其光加于月魄而为之明如人登车而载于其上也故曰月未望则载魄于西既望则终魄于东其溯于日乎言月之方生则以日之光加被于魄之西而渐满其东以至于望而后圜及既望矣则以日之光终守其魄之东而渐亏其西以至于晦而后尽盖月溯日以为明未望则日在其右既望则日在其左故各向其所在而受光如民向君之化而成俗也说扬子者皆以载为哉固失其指而李轨解魄为光尤为乖谬至宋贯之司马公始觉其非然遂欲改魄为朏则亦未深考此载字之义而失之愈逺矣唯近岁王伯照以为未望则魄为明所载似得其理既而又曰既望则明为魄所终则是下句当曰终明而不当为终魄矣星亦受日之光凡天地之光皆日也 陆氏曰地载万物天垂象则昭布在上皆地之精神也月令夏时正义曰案吕不韦集诸儒士著为十二月纪合十余万言名为吕氏春秋篇首皆有月令与此文同是一证也又周无太尉唯秦官有太尉而此月令云乃命太尉此是官名不合周法二证也又秦以十月建亥为岁首而月令云为来岁授朔日即是九月为岁终十月为授朔此是时不合周法三证也又周有六冕郊天迎气则用大裘乘玉路建大常日月之章而月令服饰车旗并依时色此是事不合周法四证也然案秦始皇十二年吕不韦死十六年并天下然后以十月为岁首岁首用十月时不韦已死十五年而不韦不得以十月为正不用秦正而用夏时者以夏数得天正故用之也周礼虽以建子为正其祭祀田猎亦用夏正也 通典曰按月令本出于管子即周时人也至秦吕不韦编为吕氏春秋汉戴圣又取集成礼记证其根本并周制 大衍厯议曰夏小正虽颇疎简失传乃羲和遗迹何承天循大戴之说复用夏时更以正月甲子夜半合朔雨水为上元进乖夏厯退非周正故近代推月令小正者皆不与古合开元厯推夏时立春日在营室之末昏东井二度中古厯以参右肩为距方当南正故小正曰正月初昏斗杓悬在下魁枕参首所以著参中也季春在昴十一度半去参距星十八度故曰三月参则伏立夏日在井四度昏角中南门右星入角距西五度其左星入角距东六度故曰四月初昏南门正昴则见五月节日在舆鬼一度半参去日道最逺以浑仪度之参体始见其肩股犹在浊中房星正中故曰五月参则见初昏大火中八月参中则曙失传也辰伏则参见非中也十月初昏南门见亦失传也定星方中则南门伏非昏见也 林氏曰小戴氏之书谓孔子于杞得夏时焉郑氏以为夏后氏四时之书也今小戴氏月令则吕不韦所作也其于季秋之月合百县为来岁受朔盖秦人以建亥为正故也小戴知夏时出于夫子而近取秦人所作为何耶世所传大戴礼而夏小正在焉郑氏注释月令引夏小正盖不一而足也欲以夏后氏之遗书发挥后来者耳是夏小正之书所为近古不可诬也今其书具存其于春正月则鱼陟负氷农纬厥耒二月则有鸣仓庚三月则田鼠化为𫛪此于月令句读或小有不合者如所谓昴则见初昏参则见浮游又有所谓俊风寒日耰黍蓄兰剥鱓鸣札此其戞戞乎为三代遗篇也日度陈氏曰阳生于子故日之行也自北而西厯南而东冬至在牵牛春分在娄夏至在东井秋分在角月令正月在营室二月在奎三月在胃四月在毕五月在东井六月在栁七月在翼八月在角九月在房十月在尾十一月在斗十二月在婺女则娄井角以三仲月中言之也斗以仲冬月本言之也其余或举月本或举月末不必皆月中也 方氏曰日月所会谓之辰每一岁而十二会焉日与月会而此独称日者盖阳以成岁为事而隂特从之故以日为主与书言出日纳日而不及月同意素问注曰日行迟故昼夜行天之一度而三百六十五日一周天而犹有度之奇分矣月行速故昼夜行天之十三度余而二十九日一周天也言有竒者谓十三度外复行十九分度之七故曰月行十三度而有奇也礼义及汉律厯志云二十八宿及诸星皆从东而循天西行日月及五星皆从西而循天东行今太史说云并循天而东行从东而西转也 魏氏曰月行十三度余者特约法耳其实则一日至四二十四至晦行十四度余五日至八二十至二十三行十三度余惟自九日至十九仅行十二度余此犹二至之晷刻最迟 正义曰一辰有三十度十二辰总有三百六十度余有五度四分度之一度别为九十六分总五度有四百八十分又四分度之一为二十四分并之为五百四分十二辰分之各得四十二分则是每辰有三十度九十六分度之四十二计之日月实行一会唯二十九分过半若通均一岁会数则每位有三十度九十六分度之四十二 大衍厯议曰夏厯十二次立春日在东壁三度于太初星距壁一度太也颛顼厯上元甲寅岁正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮维之首盖重黎受职于颛顼九黎乱德二官咸废帝尧复其子孙命掌天地四时以及虞夏故本其所由生命曰颛顼其实夏厯也汤作殷厯更以十一月甲子合朔冬至为上元周人因之距羲和千祀昏明中星率差半次夏时直月节者皆当十有二中故因循夏令其后吕不韦得之以为秦法更考中星㫁取近距以乙夘岁正月己巳合朔立春为上元洪范传曰厯记始于颛顼上元太始阏逢摄提格之岁毕陬之月朔日己巳立春七曜俱在营室五度是也中星方氏曰中谓中于南方也先昏而后旦者顺隂阳之义也书于春言星鸟夏言星火秋言星虚冬言星昴与此不同何也盖书言分至之所中者此言昏旦之所中者彼以时为主此以月为主故详畧不同然其见于南方则一也弧与建星非二十八宿之数而仲春昏旦举之者由弧近井建近斗井三十三度斗二十六度其度最寛难以明其星之中故也至于孟秋昏举建星者亦以是尔考之厯法其间固不能无差经之所言亦要其大畧姑以记时而已 大衍厯议曰古厯冬至昬明中星去日九十二度春分秋分百度夏至百一十八度率一气差三度九日差一刻秦厯十二次立春在营室五度于太初星距危十六度少也昬毕八度中月令参中谓肩股也晨心八度中月令尾中于太初星距尾也仲春昬东井十四度中月令弧中弧星入东井十八度晨南斗二度中月令建星中于太初星距西建也甄耀度及鲁厯南方有狼弧无东井鬼北方有建星无南斗井斗度长弧建度短故以正昏明云气候素问曰五日谓之候三候谓之气六气谓之时四时谓之岁 正义曰汉时以惊蛰为正月中(夏小正正月启蛰)雨水为二月节(月令仲春始雨水)汉末以雨水为正月中惊蛰为二月节是刘歆作三统厯时改之也三统厯二月节谷雨清明中按通卦验及今厯唯以清明为三月节谷雨为三月中余皆同 汉上朱氏曰二十四气七十二候见于周公之时训吕不韦取以为月令焉其上则见于夏小正夏小正者夏后氏之书孔子得之于杞者也夏建寅故其书始于正月周建子而授民时巡狩烝享皆用夏正故其书始于立春夏小正具十二月而无中气有候应而无日数至于时训乃五日为候三候为气六十日为节二书详畧虽异其大要则同岂时训因小正而加详欤左氏传曰先王之正时也履端于始举正于中归余于终中谓中气也汉诏曰昔者黄帝合而不死名察发敛定清浊起五部建气物分数气谓二十四气也则中气其来尚矣仲尼赞易时已有时训观七月一篇则有取于时训可知易通卦验易家传先师之言所记气候比之时训晚者二十有四早者三当以时训为定故子云太𤣥二十四关子 明论七十二候皆以时训 太衍厯议曰七十二候原于周公时训月令虽颇有增益然先后之次则同自后魏始载于厯乃依易轨所传不合经义今改从古 春秋正义曰夏小正曰正月启蛰其传曰言始发蛰也故汉氏之始以启蛰为正月中雨水为二月节及太初以后更改气名以雨水为正月中惊蛰为二月节以迄于今踵而不改 吕氏曰月令本于吕氏春秋吕氏本于夏小正而小正之文乃曰鱼陟负氷淮南时则训亦曰鱼上负氷上犹陟也小戴去一负字于文为阙夏小正正月雁北向吕氏春秋淮南时则训皆曰孟春之月候鴈北盖鴈以北方为居自北而南则谓之来自南而北则谓之北正月非来南之时也其误可见当从小正吕览淮南作鸿雁北为允(夏小正正月鴈北乡九月遰鸿雁记其来以九月归以正月如是而已吕览月令时则训凡四见者按高诱注)(吕览云八月少者其父母也九月者其子也推此则知季冬北乡亦其大者而正月则其小者也)日至方氏曰阳生于子而其气舒故昼刻多日浸长隂生于午而其气促故昼刻少而日浸短以隂生于午则阳极于此故仲夏言日长至阳生于子则隂极于此故仲冬言日短至所谓冬至夏至者其名盖出于此然而以刻数之则如是尔以景量之夏至日极北而在东井其景尺有五寸冬至日极南而在牵牛其景丈有三尺以为长短之极则与此异矣盖刻之长短由日出之早晚景之长短由日行之南北故也 高氏曰一隂生于午一阳生于子当此之时正隂阳争死生分之际也故人君合于二至之时尽斋戒之诚躬掩身之德止声色薄滋味节嗜欲定心气百官静事无以渎人主之聴以定晏隂之所成以待隂阳之所定盖古人养气必于子午二时而推广之故于子午二月 春秋正义曰日之行天有南有北常立八尺之表以候景之短长夏至之景尺有五寸日最长而景最短是谓日北至也自是以后日稍近南冬至之景一丈三尺日最短而景最长是谓日南至也星囘于天正义曰去年季冬日次于𤣥枵从此每月移次他辰至此月穷尽还次𤣥枵故云日穷于次去年季冬月与日相会于𤣥枵自此月与日相会于他辰至此穷尽还复会于𤣥枵故云月穷于纪二十八宿随天而行每日虽周天一匝早晚不同至此月复于故处与去年季冬早晚相似故云星囘于天土牛陈氏曰土胜水牛善耕胜水故可胜寒气善耕故可以示农耕之早晚后世土牛之法以岁之干色为首甲至癸为十干甲乙木其色青丙丁火其色赤戊己土其色黄庚辛金其色白壬癸水其色黒支色为身子至亥为十二支寅夘木其色青巳午火其色赤申酉金其色白亥子水其色黑辰戌丑未其色黄纳音色为腹若甲子乙丑金其色白丙寅丁夘火其色赤他皆放此以立春日干色为角耳尾支色为胫纳音色为蹄设令甲子岁甲为干其色青则青为牛首子为支其色黒则黒为身纳音金其色白则白为腹又若丙寅日立春丙为干其色赤则赤为角耳尾寅为支其色青则青为胫纳音火其色赤则赤为蹄其说盖有所传然也 景祐元年以土牛经四篇颁天下丁度为序三光乡饮酒义注三光三大辰也天之政教出于大辰焉正义曰案昭十七年有星孛于大辰公羊云大辰者何大火也伐为大辰北辰亦为大辰故尔雅云大辰房心尾也大火谓之大辰北极谓之北辰是三大辰也何休曰大火与伐天所以示民时早晚天下取以为正故谓之大辰辰时也春秋元胡氏曰即位之一年必称元年者明人君之用也大哉乾元万物资始天之用也至哉坤元万物资生地之用也成位乎其中则与天地参故体元者人主之职而调元者宰相之事元即仁也仁人心也春秋深明其用当自贵者始故治国先正其心以正朝廷与百官而逺近莫不壹于正矣春秋立文兼述作按舜典纪元日商训称元祀此经书元年所谓祖二帝明三王述而不作者也正次王王次春乃立法创制裁自圣心无所述于人者非史册之旧文矣春王正月程氏曰春天时正月王正书春王正月示人君当上奉天时下承王正明此义则知王与天同大而人道正矣周正月非春也假天时以立义耳 胡氏曰按左氏曰王周正月周人以建子为岁首则冬十有一月是也前乎周者以丑为正其书始即位曰惟元祀十有二月则知月不易也后乎周者以亥为正其书始建国曰元年冬十月则知时不易也建子非春亦明矣乃以夏时冠周月何哉圣人语颜囘以为邦则曰行夏之时作春秋以经世则曰春王正月此见诸行事之验也或曰非天子不议礼仲尼有圣德无其位而改正朔可乎曰有是言也不曰春秋天子之事乎以夏时冠月垂法后世以周正纪事示无其位不敢自专也其㫖微矣加王以正者公羊言大一统是也 春秋史外传心之要典可得闻乎书王正月者心之体也伊尹所谓一哉王心箕子所谓无偏无党是也及仪父宋人盟心之妄也克段于鄢心之贼也归仲子之赗心之邪也祭伯来心之贰也益师卒而不日心之慢也按周公作诗以陈王业而其诗曰七月流火九月授衣周书作周月以纪王政而其书曰维十一月既南至日短极是周人虽以建子为正亦不改夏之月也然则周王之月纪当世之事夫子革之明矣周书有周月以纪政而其言曰夏数得天百王所同其在商周革命改正示不相沿至于敬授民时巡狩承享犹自夏焉 朱氏曰春秋书正据伊川说则是周正建子之月但非春而书春则夫子有行夏时之意而假天时以立义耳文定引商书十有二月汉史冬十月为证以明周不改月此固然矣然以孟子考之则七八月乃建午建未之月暑雨苗长之时而十一月十二月乃建戌建亥之月将寒成梁之候又似并改月号此又何耶或者当时二者并行惟人所用但春秋既是国史则必用时王之正其比商书不同者盖后世之弥文而秦汉直称十月者则其制度之濶畧耳(注谓十月乃后人追改)孟子所谓七八月乃今之五六月所谓十一月十二月乃今之九月十月是周人固已改月矣但天时则不可改故书云秋大熟未获此即止是今时之秋盖非酉戌之月则未有以见夫岁之大熟而未获也以此考之今春秋月数乃鲁史之旧文而四时之序则孔子之微意伊川所谓假天时以立义者正谓此也若谓周人初不改月则未有明据故文定只以商秦二事为证则无他可考必矣如胡传之说则是周亦未尝改月而孔子特以夏正建寅之月为岁首月下所书之事却是周正建子月事自是之后月与事常相差两月恐圣人制作不如是之错乱无章也考之刘质夫说亦云先书春王正月而后书二百四十二年之事皆天理也似亦以春字为夫子所加(王字亦非史策旧文)但鲁史本谓之春秋则又似元有此字春秋纪春无氷为异则固以周正纪事也石林叶氏又考左传所记祭足取麦谷邓来朝三事以为经传所记有例差两月者是经用周正而传取国史有自用夏正者失于更改也 陈氏曰鲁谓之春秋者其书法以四时冠月也西周之史言时皆夏时也言月皆周月也未有以夏时冠周月也以夏时冠周月则鲁史也夫子之修春秋每孟月书时以见鲁史每正月书王以存周正盖尊周而罪鲁也 李氏曰书泰誓一月戊午武成惟一月壬辰一以周正而以晦朔弦望系其下不用春夏秋冬纪事也春秋书春王正月者因鲁史之旧孔子不删去春字者因其旧以讥之也 吕氏曰尧授舜正月上日受终于文祖舜授禹正月朔旦受命于神宗书载舜禹受命之始正月之外未尝复加一辞也春秋乐道尧舜之道而以王冠正月其书法与典谟不类是独何欤天下皆知有帝故虞之正月不冠以帝天下皆知有王故夏之正月不冠以王大纲已举大法已明复加一辞则为赘矣春秋之时人欲肆天理灭夫子不得已而标王之一字出诸正月之上然后天下知自隠至哀二百四十二年之间予夺褒贬无非王道之流行自岁首至岁穷三百六旬之间视聴食息无非王道之发见 张氏曰书元年春者鲁史旧文也书正月者亦鲁史旧文也夫子笔一王字于其间而精神皆变傥止如旧史岂不陋哉以王次春春者天之所为也以言王即天也故典曰天叙礼曰天秩命曰天命讨曰天讨天子岂得以私意乱之乎以正次王以言礼乐征伐皆自天子出也诸侯岂得以私心干之乎于王之一字则知二百四十二年之笔削皆王道之所寓也闰月刘氏曰前闰后闰大约相去三十二月十九年七闰为一章杜预长厯既违五岁再闰又非归余于终但据春秋经传考日辰晦朔前后甲子不合则置一闰非厯也大衍厯议曰列国之厯不可以一术齐矣而长厯日子不在其月则改易闰余欲以求合故闰月相距近则十余月逺或七十余月此杜预所甚谬也夫合朔先天则经书日蚀以纠之中气后天则传书南至以明之其在晦二日则原乎定朔以得之列国之厯或殊则稽于六家之术以知之此四者皆治厯之大端而预所未晓也正义曰长厯称大凡经传有七百七十九日汉末宋仲子集七厯以考春秋鲁厯得五百二十九日失二百五十日是其不与春秋相符也长厯僖元年闰十一月五年闰十二月又闰之相去大率三十二月杜于此闰相去凡五十月不与厯数同者杜推春秋日月上下置闰或稀或穊自凖春秋时法故不与常厯同 程氏曰孔子所书加王于春正之间明为周王之正则所用必周厯也夫周正皆建子也而今也推之厯法积之气候验之日食则春秋所书隠桓之正皆建丑庄闵僖文宣之正建子及丑者相半至成襄昭定哀之正而后建子间亦有建亥者非一代正朔自异尚也厯乱而不知正也其正者偶然也日食春秋日食三十六谷梁以为朔二十六晦七夜二二日一公羊以为朔二十七二日七晦二左氏以为朔十六二日十八晦一不书日者二谷梁之例书日食有四隠三年二月己巳传云言日不言朔食晦日也桓十七年冬十月朔传云言朔不言日食既朔也是二日食庄十八年三月传云不言日不言朔夜食也桓三年七月壬辰朔传云言日言朔食正朔也公羊以为不言朔者是二日食也左氏以为不言朔者史失之 沈氏曰后世厯家推验精者不过二十六惟唐一行得二十七而本朝卫朴得三十五独庄十八年三月古今筭不入蚀法祖冲之曰春秋书食有日朔者凡二十六其所据厯非周则鲁以周厯考之检其朔日失二十五鲁厯校之又失十三 大衍厯议曰春秋日蚀有甲乙者三十四殷厯鲁厯先一日者十三后一日者三周厯先一日者二十二先二日者九 正义曰自隠之元年尽哀二十七年积二百五十五年凡三千一百五十四月唯三十七食是虽交而不食也襄二十一年九月十月频食二十四年七月八月频食是频交而食也汉以来为厯者皆一百七十三日有余而始一交会未有频月食者许氏曰春秋三书食既桓三年以周桓败宣八年以楚庄兴至襄二十四年而中国诸侯皆受盟于楚矣 胡氏曰经书日食三十六去之千有余岁而精厯筭者所能攷也其行有常度矣然每食必书示后世治厯明时之法也有常度则灾而非异矣然每食必书示后世遇灾而惧之意也日者众阳之宗人君之表而有食之灾咎象也克谨天戒则虽有其象而无其应弗克畏天灾咎之来必矣凡经所书者或妾妇乘其夫或臣子背君父或政权在臣下或夷狄侵中国皆阳微隂盛之证也是故十月之交诗人以刺日有食之春秋必书以戒人君不可忽天象也岁星正义曰以古今厯书推步五星金水日行一度土三百七十七日行星十二度火七百八十日行星四百一十五度四者皆不得十二年而一终唯木二百九十八日行星三十三度十二年而彊一周举其大数十二年而一终服氏以为有事于武宫之岁龙度天门谓十五年岁星从申越未而至午厯家以周天十二次次别为一百四十四分岁星每年行一百四十五分是岁星行一次外剩行一分积一百四十四年乃剩行一次故昭十五年得超一辰 周语昔武王伐殷岁在鹑火月在天驷日在析木之津辰在斗柄星在天鼋刘歆三统之术筭此五位所在武王以殷之十二月二十八日戊午发师其年岁星在鹑火之次也其日月合宿于房五度房即天驷之星也日在箕七度箕于次分在析木之津也日月之会谓之辰斗柄斗前也戊午后三日得周二月辛酉朔日月合宿于箕十度在斗前一度是谓辰在斗柄也星在天鼋者星于五星为水星辰星是也天鼋即𤣥枵次之别名也于是辰星在婺女之宿其分在天鼋之宿次也鹑是张星也驷是房星也天宿以右旋为次张翼轸角亢氐房凡七宿是自鹑火至驷为七列列宿有七也鹑火在午天鼋在子斗柄所建月移一次是自午至子为南北之揆七月也 大衍厯议曰太初三统厯岁星十二周天超一次推商周间事大抵皆合验开元注记差九十余度盖不知岁星后率故也皇极麟德厯七周天超一次以推汉魏间事尚未差上验春秋所载亦差九十余度盖不知岁星前率故也天保天和厯得二率之中故上合于春秋下犹宻于记注以推永平黄初间事逺者或差三十余度盖不知战国后岁星变行故也夫五事感于中而五行之祥应于下五纬之变彰于上若声发而响和形动而影随故王者失典刑之正则星辰为之乱行汨彜伦之叙则天事为之无象当其乱行无象又可以歴纪齐乎故襄公二十八年岁在星纪滛于𤣥枵至三十年八月始及陬訾之口超次而前二年守之 陈氏曰步五星之法莫难于火莫易于木虽见伏留行逆顺迟速五者皆然而前后之数惟火为多端木谓之岁者以一朞一次十有二次而周天指诸掌而可定也夫以易推之星而见于左氏史记二家之所载则有甚难晓者焉襄二十八年其在年表则丙辰也岁在星纪而淫于𤣥枵非梓氏之云乎辰而在丑巳而在子矣越三岁而戊午也岁在娵訾之口其明年乃及降娄非禆灶之云乎午而在亥未而在戌矣逮昭之八年丁夘也今在析木之津非史赵之云乎夘而在寅矣故杜预于襄之十八年丙午也释董叔天道西北之语而知其岁在豕韦豕韦者何亥之谓也摄提格岁岁隂左行在寅星右转居丑单阏岁在夘星居子执徐岁在辰星居亥大荒落岁在巳星居戌史记之天官书则云乎尔也如左氏之说则寅而在夘午而在亥矣如司马之说则寅而在丑辰而在亥以次推之皆不同焉三礼义宗曰岁星为阳太岁为隂今厯太岁不与岁星辰合(襄十六年岁夀星而太岁在酉) 郑氏曰占候之学起于春秋战国其时所谓精于其道者梓慎禆灶之徒耳后世之言天者不能及也鲁昭公十七年冬有星孛于大辰西及汉禆灶言于子产曰若我用瓘斚玉瓒郑必不火子产弗与明年五月壬午四国皆火灶曰不用吾言郑又将火子产复弗与曰天道逺人道迩灶焉知天道卒弗与亦不复火二十四年五月乙未朔日有食之梓慎曰将水昭子曰旱也是秋大旱如昭子之言夫灾旱易推之数也慎灶至精之术也而或中或否后世之愚瞽若之何而谈吉凶知昭子之言则知隂阳消长之道可以理推不可以象求也知子产之言则知言而中者亦不可聴况于不中者乎 程氏曰按三统厯法岁星一年而行一次一次分为一百四十四分其实岁星一年而行一百四十五分然则每岁而剩(一作成)一分一百四十四年而满本数所以每一百四十四年而超一次也隐元年岁在豕韦一名陬訾之口(襄十八年天道多在西北)桓元年岁在𤣥枵(昭十年岁在颛顼之虚)庄元年岁在鹑火二十三年超在实沈闵元年岁在大梁僖元年岁在鹑首文元年岁在降娄宣元年岁在夀星成元年岁在降娄襄元年岁在夀星(二十八年岁在星纪淫于𤣥枵及三十年岁在陬訾之口明年乃)(降娄)昭元年岁在大梁(八年史赵曰今在析木之津鹑十五年有事于武宫之岁合在 首)(而超居鹑火十十三年蔡复楚凶谓大梁也 三 二年越得岁在星纪)定元年岁在𤣥枵哀元年岁在大梁星变陨星一庄七年夏四月辛夘夜恒星不见夜中星陨如雨 胡氏曰恒星者列星也如雨者言众也人事感于下则天变动于上前此者五国连衡旅拒王命后此者齐桓晋文更霸中国政归盟主而王室遂虚其为法度废绝威信陵迟之象著矣星孛三文十有四年秋七月有星孛入于北斗昭十七年冬有星孛于大辰哀十三年冬十有一月有星孛于东方 胡氏曰孛者恶气所生暗乱不明之貌也入于北斗者斗有环域天之三辰纲纪星也宋先代之后齐晋天子方伯中国纪纲彗者所以除旧布新也祯祥妖孽随其所感先事而著后三年宋弑昭公又二年齐弑懿公又二年晋弑灵公此三君者皆违道失德而死于乱符叔服之言大辰心也心为明堂天子之象其前星太子后星庶子孛星加心象天子适庶将分争也后五年景王崩王室乱刘子单子立王猛尹氏召伯立子朝歴数载而后定有星孛于东方不言宿名者不加宿也当是时吴人僭乱凭陵上国日敝于兵暴骨如莽其戾气所感固将壅吴而降之罚也故氛祲所指在于东方假手越人吴国遂灭天之示人显矣史之有占明矣程氏曰孛与彗相似而不同彗如帚而芒直上孛如彗而圜其芒四出而气孛孛然彗与孛固二也传者一之非也 髙氏曰晏子曰君若不改孛星将出彗星何惧乎然则孛之为变甚于彗矣 昭二十六年齐有彗星不书鲁不见哀十四年冬有星孛在获麟后刘歆以为不言所在官失之也北陆西陆尔雅释天云北陆虚也西陆昴也孙炎云陆中也北方之宿虚为中也西方之宿昴为中也 诗正义曰日在北陆谓日体在北方之中宿是建丑之月夏之十二月也刘歆三统厯术十二月小寒节日在女八度大寒中日在危一度是大寒前一日日犹在虚于此之时可藏氷也西陆朝觌而出之谓日行已过于昴星在日之后早朝出见也三统术四月立夏节日在毕十二度星去日半次然后见是立夏之日日去昴星之界已十二度昴星得朝见也于此之时可出氷也 吕氏曰天道左旋日月右行自北而西自南而东六气叶氏曰医和以隂阳风雨晦明为天之六气素问以寒暑燥湿风火为隂阳之六气与洪范小异隂之气为寒阳之气为燠明之气为旸暑之气为燠燥之气为旸湿之气为雨要不逃乎五行则亦洪范而已 吕氏曰五六天地之数素问书亦不出五六两字如六元六气之类皆是虽所用处有不同而五六之数则一盖隂阳互相交也天之数是五而今却是六地之数六而今却是五正是天气下降地气上腾八风正义曰服䖍以为八卦之风干音石其风不周坎音革其风广莫艮音匏其风融(条风一名融)震音竹其风明庶巽音木其风清明离音丝其风景坤音土其风凉兑音金其风阊阖 沈氏曰案乐纬云坎主冬至乐用管艮主立春乐用埙震主春分乐用鼔巽主立夏乐用笙离主夏至乐用弦坤主立秋乐用磬兊主秋分乐用钟干主立冬乐用祝敔此八方之音既有二说未知孰是 陈氏曰主朔易者坎也故其音革其风广莫为果蓏者艮也故其音匏其风融震为竹故其音竹其风明庶巽为木故其音木其风清明兑为金故其音金其风阊阖干为玉故其音石其风不周瓦土器也故坤音瓦而风凉蠺火精也故离音丝其风景六经天文编卷下◆ 《(原本)革象新书-元-》（KR3f0004）
## 提要
钦定四库全书 子部六
重修革象新书 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案重修革象新书二卷明王祎删定元赵氏本也祎有大事记续编已著录是书并赵氏原本五卷为二卷前有祎自序称原书涉于芜冗鄙陋反若昧其指意之所在因为之纂次削其支离证其讹舛厘其次第挈其要领云云今以原书相校其所润色者颇多刋除者亦复不少然于改定之处不加论辨使观者莫能寻其增损之迹以救其得失之由又其中舛谬之处亦未能芟除浄尽特其字句之芜累一经修饬斐然可观抑亦善于㸃窜者矣平心而论原本词虽稍沓而详赡可考改本文虽颇畧而简径易明各有所长未容偏废故今仿新旧唐书之例并著于录焉乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 原序[宋濓
革象新书原序
革象新书者赵縁督先生之所著也先生鄱阳人隠遁自晦不知其名若字或曰名敬字子恭或曰友钦其名弗能详也故世因其自号称之为縁督先生先生宋宗室之子习天官遁甲钤式诸书欲以事功自奋一日坐芝山酒肆中逢丈夫修眉方瞳索酒酣饮先生异而即之相与谈𤣥者颇久且曰汝来何迟也于是出囊中九还七返丹书遗之临别先生问其姓名曰我扶风石得之也得之盖世传杏林仙人云先生自是视世事若漠然不经意间往东海上独居十年注周易数万言时人无有知者唯傅文懿公立极独畏敬之以为发前人所未言先生复即弃去乗青骡从以小苍头往来衢婺山水间人不见其有所赍旅中之费未尝有乏绝竟不知为何术倦游而休泊然坐忘遂葬于衢之龙游鸡鸣山原有朱晖徳明者龙游人也久从先生游得其星厯之学因获受是书而晖亦以占天名家晖既没其门人同里章濬深惧泯灭无传亟正其舛讹刻于文梓而来征濓为之序濓闻天官之说歴代所步必㣲有弗同盖欲随时考验以合于天运而已自唐涉宋其法寖精至元为尤宻耶律文正王楚材以金大明厯后天乃损节气之分减周天之秒去交终之率治月转之余以至两曜五行后先出没皆有以研穷之而正其失且以西域与中国地里相去之逺立为里差以増损之名曰西征庚午元厯可谓无遗憾者矣已而许文正公衡王文肃公恂太史令郭公守敬复与南北日官陈鼎臣邓元麟等徧参歴代厯法重测日月星辰消息运行之变酌取中数以为厯本即所定授时厯厯经厯议二书犹存可考证弗诬也君子谓当世所推步者皆二三大儒㑹其精神博其见闻备其仪像而后能造其精微今先生值天书有禁之时又独处大江之南且无所谓观天之器其所著书往往与诸公脗合而无间者虽绝伦之识有以致之诚以人心之理本同固皆相符而无南北之异也抑余闻西域逺在万里之外元既取其国有扎玛尔丹者献万年厯其测候之法但用十二宫而分为三百六十度至于二十八宿次舍之说皆若所不闻及推日月之薄蚀颇与中国合者亦以理之同故也呜呼四海内外凡圎颅方趾之民其心皆同其理皆不殊也岂特占天之事为独然哉先生之易已亡于兵烬所著兵家书暨神僊方技之言亦不存其所存者仅止此而已当与厯经并行无疑濓故特序先生之事于篇首使读者知先生之学通乎天人庶几相与谨其传焉金华宋濓序
## 原序[王祎
革象新书原序
革象司天之书也鄱阳赵縁督先生所纂先生名友某字子恭其先于宋有属籍其学长于律法算数而天官星家之术尤精读其书可见也其书有推步立成等篇皆载占验之例而革象者则天地日月五星四时之故厯象之制俱在焉然其为言涉于芜冗鄙陋反若昧其㫖意之所在予因为之纂次削其支离证其譌舛厘其次等挈其要领于是辞益简而㫖加明矣夫司天之学儒者之所宜务而世顾恒置之弗讲何哉有志于斯者即是书求之精㣲之奥从可得而知也金华王祎序
## 卷上
钦定四库全书革象新书卷上元 赵友钦 撰明 王祎 刋订天体左旋天体之运有常度而无停机天非有体也因星之所附丽拟之为天之体耳观夫星之昏在东者及晓则西坠昏所不见者至晓则东升东西转运有以验天体之左旋矣然而北天之星未尝入地终夜可见其旋转为甚窄窥之以管其间一星旋转尤宻不出管中者曰纽星纽星所在天体不动是为北极若南天之星虽终夜不常见而其旋转亦不逺知为南极之所在而南极亦不动南北二极为天体之管辖其犹门之枢车之轴欤试以圎瓜譬之北极乃瓜顶聨蔕之所南极乃瓜末含花之所天之东西为最广则比瓜之腰围北极髙而南极下故北极之旁虽旋转而常在于天南极之侧虽旋转而不出于地此又可验地在天内天如鸡子地如内黄矣然天体极圎(不类鸡子)乃取以为譬者非取其形之肖特以比天包地外而已以今譬之天体如鞠内盛半水而浮板水上板譬则地也置物板上鞠虽外转板岂常动乎赤道周围天体如圎瓜其分十二次犹瓜有十二瓣也周天三百六十五度余四之一均为十二分则一瓣为三十度四十三分七十五秒其度辐辏于南北二极则度之形敛尖于瓜之两端而开广于瓜之腰围瓜腰一围名曰赤道其度在赤道者正得一度之广去赤道则渐逺而渐狭虽名一度实不及一度也各度以二十八宿之距星纪数谓之经度若以天体比之弹丸则东西南北相距皆然东西分经则南北亦当分纬纬度皆以北极相去逺近为数亦三百六十五度余四之一两极相距一百八十二度六十二分五十秒赤道横分两极与两极相逺各九十一度三十一分二十五秒天顶名嵩髙北极偏于嵩髙而北五十五度有奇赤道则斜倚于嵩髙之南三十六度盖北极既偏于嵩髙之北南极既偏于地中之南所以赤道必斜倚于南也虽曰斜倚于南而其东西两傍则固在卯酉之位矣黄道损益子正𤣥枵由于虚七度赤道均分周天宿度十二次以子中为的而分之黄道宿度与赤道宿度多寡不同而黄道各次宿度亦不等盖由冬夏二至之日黄道平近于两极其度敛狭毎度约得十之九春秋二分斜行赤道之交赤道所在度既广而又斜行毎度为十有一惟四立之日度在酌中之处余则以渐而广狭矣今授时厯冬至日躔箕宿故寅申度数最少巳亥度数最多余则多寡稍近也日道岁差日行不由赤道昼永在赤道北昼短在赤道南其道别名黄道黄道赤道如两环交差自冬至始言之日在赤道之南横距赤道二十三度九十分冬至后行渐近北及仲春则离冬至所躔九十一度有竒而在赤道之交过交入赤道北斜去逺赤道九十一度有竒为夏至所躔而近北横距亦二十三度九十分复从此渐转而南但非由故道及仲秋复交于赤道而去夏至所躔亦九十一度有竒然非仲春之交乃其相对之处过交出赤道南其去赤道乃九十一度有竒为次年冬至复元度此周天岁终之说也夫尧典日短星昴谓仲冬昏时昴宿见于午方也昴见正南则日躔虚宿可知盖正东为夘正西为酉正南为午正北为子一日十二时昼夜歴十二位乃定方也天以各经宿分十二次乃动体也动者无常位名天盘定者有常位名地盘仲冬日在虚宿属天盘子而酉时日在酉方则天盘之子加地盘之酉子加酉则酉必加午昴宿属天盘酉故昏见于正南也又北斗有柄常指天盘夘辰间冬至日躔虚宿则昏见时天盘卯辰间加于地盘之子故世谓十一月斗柄为建子然天旋一昼夜而周酉末戌初则指丑而非子矣且冬至时日随天盘寅以加地盘申酉界其天盘夘辰之间实加地盘之戌则斗柄又指戌而不指子也盖天体一时转一位戌末亥初乃指子但不可谓初昏指子耳夫日躔既有岁差则昏旦亦必有差唐虞初昏乃今戌亥之时其后仲冬日差在卯则斗柄夜半指子差在午则平旦指子差在酉则日中方指子世谓闰月斗柄指两辰之间者非也夫唐虞之时仲冬日在虚汉太初厯日冬至在牵牛之初而今授时厯至元冬至日在箕九度二十二分十八秒斗牛女虚危室壁北天七宿也三冬日躔之故曰日在北陆箕属寅而冬至日躔之冬至后乃始躔斗则仲冬尚在东陆也以汉武较帝尧时已差一二十度而当时唐都洛下闳但疑八百年差一度何邪晋虞喜不用天周岁终之术谓天度与岁日数殊天自为天岁自为岁始以天体为三百六十五度二十六分乃四分之一有余岁策为三百六十五日二十四分乃四分之一不足一岁差二分五十年差一度宋何承天以为岁差太速改为百年差一度周天为三百六十五度二十五分半周岁为三百六十五日二十四分半隋刘焯又折衷之以七十五年差一度唐一行又以八十三年差一度自后诸厯各各不同宋厯多在七十五度左十五秒周岁三百六十五日二十四分二十五秒半右统天厯谓周天赤道三百六十五度二十五分七年差一度半又谓上古岁策多后世岁策少故上古岁差少后世岁差多也盖三代以前未有岁差之法晋宋而后虽立岁差而未有定论李淳风犹谓无差冬至日常躔斗十三度至一行而论始定然其差数岁岁如一未有先加后减之法是故上考往古百年加一秒下验将来百年减一秒其加减岁策亲切之数非岁积久曷従知之授时厯以赤道分三百六十五度二十五分七十五秒而黄道止为三百六十五度二十五分六十四秒相悬十一秒者以黄道一周同于岁策三百六十五日二十四分二十五秒比周天尚未足一分五十秒其一分五十秒不在瓜之腰围横距赤道二十四度敛而狭之止广一分三十九秒以此一分三十九秒并入岁周故云黄道三百六十五度二十五分六十四秒也黄道虽岁差冬夏二至日躔必在横距赤道二十四度然其差毎岁不同岁差移一分余斜络于二十八宿之间岁久皆其经行之道如卷纻丝为团丝丝纒络虽重复参差而其周道则一而已且唐虞时日躔冬至在子夏至在午春分在夘秋分在酉今未四千年而冬至在寅夏至在申春秋二分在巳亥计其岁差退四五十度则由帝尧后万余年冬至日反躔午夏至日反躔子春分在酉秋分在夘矣若复旧躔而冬至在子夏至在午当在二三万年之间逆而推之帝尧之前亦必如是矣日月盈缩古法一昼夜月行十三度余十九之一然观其所躔先后不同有差至四五度者后汉刘洪始推究之知其疾行则十四度余约四之三迟行则止十二度不余其间渐疾渐迟大率二百四十八日盈缩九匝隋刘焯又推究日行亦有盈缩自冬至行一度五分渐减一二分至三四分以及赤道之交则正行一度従此复渐减之极于夏至止行九十五分自夏至后其行渐増所増与所减之数相似及冬至则复如前盖一日行一度有余曰疾不及一度曰迟以増亏之数相补一日止为一度従冬至距春分以行疾而积盈従春分距夏至以行迟而消其积盈比之常度犹差前故冬至距夏至皆曰盈段従夏至距秋分以行迟而积缩従秋分距冬至以行疾而消其积缩比之常度犹差后故夏至距冬至皆曰缩段然春分二日之前已交赤道则盈二度有余秋分二日之后才交赤道则缩二度有余故二分之际盈缩最多矣授时厯谓日在赤道之南行疾赤道之北行迟而后厯亦以春分距秋分行迟秋分距春分行疾要之月行迟疾盈缩之理亦然但度数不同耳授时厯谓每转二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半乃盈缩之一匝其间迟疾之数相补遂以十三度三十六分八十七秒半为一日月平行之度李淳风有推步月孛法以六十二日行七度六十二年七周天孛者彗星之属光芒偏扫者为彗光芒四出者为孛孛之所在月行最迟与孛对冲则月行最疾孛不常见则月行最迟处可以测之矣(按孛者彗星之属光芒偏扫者为彗光芒)(四出者为孛一段所引未当考月孛之孛与彗孛之孛不同月孛乃月歴天之最髙处其行较迟卑则其行较)(速至于彗孛之星隠见无时行无定度非可以常理测也审如其论则由月而可算孛星实属误㑹)若夫日躔十二次盖因各次黄道宿度不等又日有盈缩故或近或久不同且一岁分二十四气名曰常气授时厯一气为十五日二十一分八十四秒三十七毫半则是以常气为定不复増减而旧厯则有増减之法月度缩而日度盈则定朔在常朔后名曰朒月度盈而日度缩则定朔在常朔前名曰脁若俱盈俱缩则对消而用有余数定弦定望亦如之盖古者未曽推步日月盈缩止以常期弦望为定今朔与弦望既有常定之名复有进退之法定朔在日没以后若无日食见其初亏者则进以次日为朔恐月见于晦之晨也定弦望在日出以前则退一日定望在日出以后其望有食初亏在日出前者亦退一日定望在十七虽日出后亦退一日为其太迟也或望在十四上弦在初七下弦在二十二则不可退退则太早也或望在十三上弦在初六下弦在二十一非退而太早因进朔而然虽不皆早其朔不进或朔进而大月连四日为其过多朔亦不进也授时厯则不然当朔计二十九日五十三分五秒九十三毫当望半之当弦又半之实定而不进退矣但月食在夜半后虽属次日亦只以当夜言望月有九行月行不由黄道亦不由赤道乃出入黄道之内外而有九行九行止是一道其道与黄道相交如赤道然然黄赤二道相逺处二十三度九十分而月道距黄道逺六度二分而已其相交处交之始强名曰罗㬋交之中强名曰计都自交始至交中月在黄道外名阳厯乃背罗向计之处也自交中至交始月在黄道内名隂厯乃背计向罗之处也月道犹水道日道犹陆道而罗计犹桥道其岁岁改异则由日行岁差之故也(案交行岁岁改易不独因日行)(岁差之故考交行有迟速而岁差无退行交行岁十九度强岁差则岁不及一分谓交行由岁差亦误㑹也)且所谓九行者阳厯在夏至日躔之南夏为南乃南之南也名外朱道隂厯在冬至日躔之北北为内名内朱道在北而曰朱道者冬至属子若冬至日躔伏于地盘子位则月在黄道之上凡地以下为北上为南故曰内朱道乃北之南也茍冬至日躔反在午位则内朱道亦在黄道之北矣此不论反而论伏黒道之理亦然隂厯在夏至日躔之北名内黒道夏为南乃南之北也阳厯在冬至日躔之南名内黒道在南而曰黒者月道在黄道之下凡地以上为南下为北故虽南而曰黒冬为北乃北之北也月行朱道则罗在日之春躔计在日之秋躔月行黒道则罗在日之秋躔计在日之春躔阳厯在秋分日躔之东名外青道乃东之东也阴厯在春分日躔之东名内青道乃西之东也阳厯在春分日躔之西名外白道乃西之西也隂厯在秋分日躔之西名内白道乃东之西也青白道不论反复若天地卯酉互位者亦然月行青道则罗在日之夏躔计在日之冬躔月行白道则罗在日之冬躔计在日之夏躔是故以内外分别朱黒青白为八道八道而曰九行者以八道之行交于黄道而穿度其间故通以九言也八道变易不常不可置于浑仪亦不可画于星圗所可具者黄赤二道耳欲别于黄故涂以赤赤道与八道各相交逺近朱道止十八度逺黒道至三十度逺青白二道约二十四度逺授时厯谓月従黄道之交出外一百八十一度八十九分六十七秒则中交于黄道従此入黄道内复至交初则该三百六十三度七十九分三十六秒乃月道之一周计二十七日二十一分二十二秒二十四毫与古厯数不同焉月体半明月体本无圎缺如悬黒漆丸于簷下映日必有光转射暗壁其半边因映日故有光而半边元暗也遇望与日躔度相对半边之光全向于地普照人间半边之暗全向于天人不可见也及渐相近而侧相映则向地之边光渐少矣至晦朔则与日同经日与天近月与日近其半边之光全向于天半边之暗则向于地及渐相逺而侧相映则向地之边光渐多矣故月体之光暗半轮转旋人目所不及因谓其有圎缺耳然其与日对望为地所隔犹能受日之光者阴阳精气之潜通如吸铁之石感霜之钟莫或间之也月明不全莹而似瑕者如悬明镜照水之处则莹映地之处则瑕世以为山河所印之景是也(按月之莹瑕为山河所印之景其说相沿已久而于理未确考舆地全圗其在下者固不得见)(即东西与中间三面形势亦迥不相同月东升西降在在照景而莹瑕终始不异且光魄交际往往不齐似因)(凸凹之形而成明暗之质非山河印景亦未必如镜之平也)日月薄食日所行黄道未尝附著于天其道印天一周乃在天之黄道在天黄道如大环日行黄道如小环小环居大环之内虽寛窄有少殊而皆为三百六十五度四分度之一且以日拟尺而量故为度则日行之黄道要为得数之真者夫日体大其道周围亦大月体小其道周围亦小月道在日道内亦犹小环在大环之中日去人逺月去人近月体因近视而比日体之大月道因近视而比日道之广亦由日道之比乎天道矣若日食于朔月食于望则当以天度经纬推之日月之行常数以二十九日五十三分五秒九十三毫相㑹二次相㑹则同一经度虽其行度有盈缩定朔有先后所差不多较其同经不同纬止曰合朔或月従八道穿度黄道适与日遇则为同经同纬合朔而有食矣日体为月体所蔽故日食而日体非有损也日道与月道相交之处有二若正㑹于交则月体障尽日体而日暗甚谓之食既若交不正但在交之前后而度相近者亦食而不既近于正交则食分多逺于正交则食分少也两朔之间日月对躔而望平分黄道之半黄道有二交若不当二交前后而望则月不食望在二交前后者必食食或既或不既其食分数则以距交逺近推之月体映日而明但涉经度相对其光已满或于二交限内对经对纬所受日光伤于太胜阳极反亢故致月体黒暗如染红浓厚反成紫也授时厯望在交之前后者距交十三度五分则不食若当交限内则有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内其食必既余八度七十分虽是食限而食不既也古者以日对冲之处名为暗虚谓日之象景也月体因之而失明故云暗日非有象景而强名之故云虚暗虚縁日而有故其圎径与日等日体径一度月体半之而其径亦准一度则日道之广亦必与径同月道既准一度则暗虚广二度也今以暗虚之黄道与月之本道两道相交以交前四度三十五分并交后四度三十五分共八度七十分为食既限既限之前八度七十分为既外前限既限之后八度七十分为既外后限此三限在暗虚则为二十六度十分而在月道止为十三度五分也夫日食至十分即为食既月食乃至十五分者盖十分已是食既既则已尽黒然所食虽既而才入既限故食十分以上之数为既内之分月望正在交的而食则名曰既内五分乃十五分也所以然者月之食限交前后各十三度五分归限八度七十分而望则巳食十分矣更归八十七分而后望则食十一分以十三度五分均为十五分毎分计八十七分食十分计归限八度七十分又既内五分计四度三十五分共十三度五分乃前限之一半其出后限亦然故月食有既限而日食则不立既限矣月食分数唯以距交逺近而论别无四时加减八方所见食分并同而日食则不然旧厯云假令中国食既戴日之下所亏才半化外反观则交而不食化外食既戴日之下所亏才半中国反观则交而不食何则日如大赤丸月如小黒丸共悬一索日上而月下即其下正望之黒丸必掩赤丸似食之既及傍观有逺近之差则食数有多寡矣日行有四时之异月行有九道之殊日行极南月在阴厯则中国见食分多月在阳厯则中国见食分少开北户而向日之处月在阳厯反食多在隂厯反食少夏日近中国冬日近交广唯戴日之下则在酌中之间凡食在午前见食早午后见食迟地偏西见食早偏东见食迟此其推步之差实因四时早晚及地偏南北东西而加减然南北东西不可以里路计南北则考表景及北极出地之数东西亦考表景及中星之所在以为加减之法今太史所验徒以中国所见者言之而已且推步虽有法亦时或有失日月交㑹于夜望食于昼人不及见固所不论若带食分出入在晨昏之际虽不见其食甚但见初亏或见复圎以前则必论之而所谓食甚之时则在初亏复圎之际其非食既者亦于此际食分最多従此则转减少也日食止言既月食言既又言甚者盖月初既之时名食既食既之后生光之前此际名为食甚若日则不然食既甚生光无所分别食既不久止须臾耳日月在望交者月道广一度暗虚之道广二度两度相犯者多故食限亦多至十三度五分而其食之时刻亦不少在朔交者日月二道皆广一度相犯者少故食限亦少约八度左右而其食之时刻亦不多日之食限少故其食也罕月之食限广故其食也频若夫起复方位则以月在阴阳厯论之月在阳厯者日食起于西南甚于正南复于东南月食起于东北甚于正北复于西北月在隂厯者日食起于西北甚于正北复于东北月食起于东南甚于正南复于西南凡日月食至八分以上者日食但云起于西复于东月食但云起于东复于西也日月之食其所行交道有常数虽盛世所不免故可以筹策推非若五星有反常之变也五纬距合日月悬虚运转不附于天五星亦然月虽因日而有晦朔弦望其迟速不因日若五星则因日而有迟留伏逆矣近日则疾逺日则迟迟甚而留留久而退初迟退渐疾退退最疾而后迟退如初退止而留留久而顺行却従最迟以至于最疾最疾则与日同躔也岁星最疾约四日行一度荧惑最疾约七日行五度填星最疾约七日行一度此三星比日行度较少故伏合以后日在前岁星距日十三度而晨见荧惑距日十九度而晨见填星距日十八度半而晨见晨见则在东方大约近一逺二而留周天相半而退岁星初留约距日一百九度初退约距日一百三十一度荧惑初留约距日一百三十四度初退约距日一百四十四度填星初留约距日九十四度初退约距日一百二十八度凡退行最疾之时必与日对冲退止而留则背距日如初退之度留久而顺行则背距日如初留之度日近于后躔渐近而行渐疾背近如晨见距日度则伏而光不著矣与日未对冲之先夜半后可望谓之晨段与日既对冲之后夜半前可望谓之夕段太白辰星则不然太白最疾约四日行五度有余辰星最疾约一日行一度有余此两星皆比日行度较多伏合以后则过日而前太白距日十度半而夕见辰星距日十六度而夕见夕见则在西方太白距日甚逺不过四十五度辰星距日甚逺不过二十四度既已甚逺则所行迟比日较少由是渐与日近太白距日三十度有余而初留辰星距日二十一度半而初留太白留后距日二十四度有余而初退辰星留后距日十九度半而初退退行之际与日相近如夕见之度伏而不著与日相逺如夕见之度辰见于东退行最疾之时与日必同度退止而留则距日如初退之度留久而顺行则距日如初留之度迟行渐疾而渐近日距日如退伏之度则又退而不著矣与日未退合之先昏后可望谓之夕段与日既退合之后晓前可望谓之晨段盖金木形体大故伏见与日近水大土形体小故伏见与日逺岁星八十三年而七周天与日合度者七十六合期约三百九十九日荧惑七十九年而四十二周天与日合度者三十七合期约七百八十日填星五十九年而二周天与日合度者五十七合期约三百七十八日太白辰星与日常相近随日一年一周天太白八年而五合于日退合者又五约五百八十四日而顺逆两合辰星四十六年之间合于日者一百四十五退合亦然约一百一十六日而顺逆两合此乃五纬之常数也古法唯知有常度未知有变数之加减北齐张子信仰观岁久知五纬有盈缩之变当加减常数以求其逐日之躔盖五纬不由黄道亦不由月之九道而出入黄道内外各自有其道视日逺近为迟疾如足力之有勤倦其变数之加减如里路之径直斜曲也岁星加减最多处约七度荧惑加减最多处二十五度有余填星加减最多处八度有余太白加减最多处四度有余辰星加减最多处六度有余此乃五纬盈缩之变数也若夫罗㬋计都月孛紫气则其行均平无有迟疾罗㬋计都従月交黄道求之月交之终始该三百六十三度七十九分三十四秒歴二十七日二十一分二十二秒二十四毫罗计于其间各逆行一度四十六分三十秒其数并月行交终之度即黄道周天之度凡十八年有余而周天交初复在旧躔矣月孛従月之盈缩而求盈缩一转该二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半孛行三度十一分四十秒半黄道周天之度并孛行数即月行数也凡六十二年而七周天月行最迟之处与之同躔矣紫气起于闰法约二十八年而周天授时厯以一十日八十七分五十三秒八十四毫为一岁之闰紫气则一岁行十三度五分四秒六十毫八十芒两数比之乃加二之算二十八年十闰紫气行十二宫亦加二之算也旧云紫气即景星罕闻其见史记注云景星状如半月生于晦朔助月为明见则人君有徳初盛之庆也五纬与月孛紫气皆以左旋步之罗㬋计都逆行乃右旋步之设十一曜不附天而空转则右转者亦皆左旋其留者一日绕地一周与天同过一度行疾者反为迟行迟者反为疾退者反为疾之甚矣盖顺行而迟疾者皆一日绕地一周以不及天行之数为所行度退行者乃一日绕地一周多退天行之数退迟者先天不甚多退疾则愈多矣以物喻之日月犹鱼也鱼行江河不著其底必慿江河之水以行或逆或顺各任其情日月虽悬虚不附于天意其必慿天之气以行五纬之行亦犹是也夫在天成象日月星辰皆象也而日月五星独异于众星自有行度者此阴阳五行之精可以为造化之妙非众星之比也日月五星体性不齐故迟疾有异亦当以隂阳五行别之日至之景天暑则日髙而近北天寒则日低而近南立表木以测其景日在中天表景最短东西出没之时表景最长以四时验之中昼之景渐长渐短逐日不同于是以中昼表景极短之日为夏至以中昼表景极长之日为冬至其所以短者由日近北而髙所以长者由日近南而低也日髙则行天必久而昼长昼长则阳气积多而暑矣日低则行天不久而昼短昼短则阴气积多而寒矣寒暑之变验日景之长短可知也昼夜短长冬至日躔距赤道二十四度立冬与立春所距亦相近是时黄道横而平近南极也立夏至立秋黄道横平而近北极亦然盖冬夏之日躔东西移差多南北移差少春秋则黄道斜移于南北虽东西行而南北差速于冬夏故春秋六七日间増减昼夜一刻而二至前后其昼夜短长増减一刻相去二十余日矣是故冬夏増减之日迟春秋増减之日速日数未始均平也旧云日未出二刻半天先明日已入二刻半天方昏然此五刻不可以众星出没论但日始出为昼入则为夜也气积寒暑夏至昼最长日最近北午中也冬至昼最短日最近南子中也然大暑乃在六月为未中大寒乃在十二月为丑中犹昼夜间未时热甚于午丑时寒过于子也譬如甑之蒸也灶火甚炎可比午中而蒸气犹未盛及其气盛则灶火已稍衰矣灶火尽灭可比子中而蒸气又良久然后衰也寒暑之气岂非积久致之乎时分百刻昼夜十二时均分百刻一时有八大刻二小刻大刻总九十六小刻总二十四小刻六准大刻一故共为百刻也上半时之大刻四始曰初初次初一次初二次初三最后小刻为初四下半时之大刻亦四始曰正初次正一次正二次正三最后小刻为正四若子时则上半时在夜半前属昨日下半时在夜半后属今日亦犹冬至得十一月中气一阳来复为天道之初耳古厯毎时以二小刻为始乃各继以四大刻然不若今厯之便于筹策也世谓子午夘酉各九刻余皆八刻者非是
## 题革象新书后
题革象新书后
占天之学本圣贤大事业载典尧舜盖有由也自慎灶之说行而儒者始术之矣其氛祲祥𤯝周官虽具至甘石星座其曰骑官羽林丞尉之类袭用秦汉名称愈疑后学学者不屑用力焉殊不知经纬天地首务明时时茍不明终不能抚五星以播四政矣革象谈异十无一二皆为厯设学者所当究心者也第以邵子之书不堪作厯致可疑焉皇极经世欠厯数用宋人虽有此谈西山蔡氏以为书不尽言者蔵诸用也又曰以当时日月五星推而上之得尧即位之日是即逆推法而不著其法者岂非蔵诸用乎且数家以毫厘丝忽极于十百千万如因影求形无具可隠况康节数学直继孔子程子尝言厯法主于日日正他皆可推洛下闳作厯言数百年后当差一日何承天因立差法摊其差于所厯之年以验分数竟亦不审独尧夫于日月交感之际以阴阳亏盈求之差法遂定可谓冠绝古今此非虚语也又按邵学伯温不与而传王豫豫殁书殉蜀道士杜可大购得于发冢之盗以授廖应淮由是邵学复出近世祝秘傅立齐琦皆得邵学者本朝宋学士先正最号博洽其序此书曰傅立极敬畏縁督谓其能发前人所未言不知立时曽见此说否也又论耶律西征庚午厯精妙绝出及元许王郭陈邓诸公相与订定授时厯可法万代曽无一言及邵近舜江人余诚者为予言邵学内外篇具见传书而秘传书又有内外集具天地人三元之学其天元所论厯数极为精简意必具逆推法或伊川所谓冠绝古今者耳惜乎吾不得而时读焉因并书之以为有志圣贤大事业者告蒙泉岳正书◆ 《(重修)革象新书-元-》（KR3f0005）
## 提要
钦定四库全书 子部六提要革象新书五卷 天文算法类一(推步之属)(臣)等谨案革象新书五卷不著撰人名氏宋濓作序称赵縁督先生所著先生鄱阳人隠遯自晦不知其名若字或曰名敬字子恭或曰友钦弗能详也王祎尝刋定其书序称名友某字子恭其先于宋有属籍考宋史宗室世系表汉王房十二世以友字聨名书中称岁策加减法自至元年辛巳行之至今其人当在郭守敬后时代亦合然语出传闻未能确定都卭三余赘笔称尝见一杂书云先生名友钦字敬夫饶之徳兴人其敬字子恭及字子公者皆非亦不言其何所本惟其为赵姓则灼然无疑也其书自王祎删润之后世所行者皆祎本赵氏原本遂佚惟永乐大典所载与祎本参校互有异同知姚广孝编纂之时所据犹为旧帙祎序颇讥其芜冗鄙陋然术数之家主于测算未可以文章工拙相绳又祎于天文星气虽亦究心而儒者之兼通终不及専门之本业故二本所载亦互有短长并录存之亦足以资参考其中如日至之景一条周髀谓夏至日直内衡冬至直外衡中国近内衡之下地平与内衡相际于寅戌外衡相际于辰申二至长短以是为限其寒暑之气则以近日逺日为殊而此书谓日之长短由于日行之高低气之寒暑由于积气之多寡天周岁终一条天左旋其枢名赤极日右旋其枢名黄极经星亦右旋宗黄极以成岁差而此书谓天体不可知但以经星言之左旋论东西不论南北右旋论南北不论东西截然殊致而此书谓如良驽二马驽不及良一周遭则复遇一处日道岁差一条岁差由于经星右旋凡考冬至日躔某星㡬度㡬分为一事至授时法所立加减谓之岁实消长与恒气冬至定气冬至又为一事迥乎不同而此书合而一之又天地正中一条日中天则形小出地入地则形大乃蒙气之故而此书谓天顶逺而四旁近又南北度必测北极出地东西度必测月食时刻别无他术而此书欲以北极定东西之偏正以东西景定南北之偏正地域逺近一条地球浑圆随处皆有天顶而此书拘泥旧说谓阳城为天顶之下又元史所记南北海昼夜刻数各有盈缩而此书为南方昼夜长短不较多又时刻由赤道度而景移在地平故早晚景移迟近午景移疾愈南则迟者愈迟疾者愈疾而此书谓偏西则早迟而晚疾偏东则早疾而晚迟月体半明一条凡日月相望必近交道乃入暗虚逺于交道则地不得而掩之而此书为隔地受光如吸铁之石其论皆失之疏舛他如以月孛之孛为彗孛之孛谓地上之天多于地下之天谓黄道岁岁不由旧路谓月驳为山河影谓月食谓受日光多阳极反亢谓日月围径相倍谓暗虚非地影或拘泥旧法或自出新解于测验亦多违失然其覃思推究颇亦发前人所未发于今法为疎于古法则为已宻在元以前谈天诸家犹为有心得者故于讹误之处并以今法加案驳正而仍存其说以备一家之学焉乾隆四十六年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书
革象新书卷一 元 赵友钦 撰天道左旋 日至之景岁序终始 闰定四时天周岁终 厯法改革星分棋布 日道岁差黄道损益天道左旋古人仰观天象遂知夜乆而星移斗转渐渐不同昬暮东出者晓则西坠昬暮不见者晓则东升北天之星虽然旋转未尝入地四时皆见其彻夜在天然其旋转有甚窄者以衡管窥之众星无有不转但有一星旋转最密循环不出于管中名曰纽星者是也古人以旋磨比天则磨脐比为天之不动处此即纽星旋转之所名曰北极(案日右旋成寒暑月右旋成朔望五星右旋成伏见经星右旋成岁差其理一也又皆随大气运之)(而左以成东出西没之象经星之右旋甚㣲故昔人不觉遂以左旋之天归之经星耳北极乃左旋之枢歩算)(家谓之不动处贾逵张衡蔡邕王蕃陆绩皆以纽星为不动处梁祖暅之测纽星离不动处一度有竒元郭守)(敬测离三度有竒矣)亦犹车轮之轴瓣瓜之攒顶也复观南天虽无彻夜见者但比东西星宿旋转则不甚逺由是而推乃是南北俱各有极北极在地平之上南极在地平之下今比北极为瓜之聫蔓处南极为瓜之有花处东西旋转最广之所比乎瓜之腰围北极傍虽然旋转常在于天南极侧近虽然旋转不出于地如是则知地在天内天如鸡子地如中黄然鸡子形不正圆古人非以天形相肖而比之但喻天包地外而已以此观之天如蹴毬内盛半毬之水水上浮一木板比似人间地平板上杂置㣲细之物比如万类蹴毬虽圆转不已板上之物俱不觉知谓天体转旋者天非可见其体因众星出没于东西管辖于两极有常度无停机遂即星所附丽拟以为天之体耳日至之景古者因见天暑而日髙近北天寒而日低近南遂立表木以测其长短之景东出西没之时表景最长日正中天表景最短若以四时验之中昼之景渐短逐日不同乃以中昼表景极短之日为夏至中昼表景极长之日为冬至中昼之景所以短者葢日近北而髙所以长者葢日近南而低日髙则行天必乆而昼长昼长则人间阳气积多而暑日低则行天不乆而昼短昼短则人间阳气渐少而寒(案周髀算经夏至日值内衡冬至日值外衡春秋分日值中衡地在天之中央周圆皆应天度)(人居地面目之四望成地平而中土近内衡之下地平与内衡相际于寅戌与外衡相际于辰申故夏永而冬)(短此以髙低言其说殊踈又日气常下行火气常上行相应之义也夏至日行近中土之天顶盛阳下行故暑)(犹近火之焰也冬至日行逺中土之天顶侧照则力减故寒犹逺于火之焰也此専以气积言其说亦疎)此寒暑因日而变也岁序终始古人以冬至为第一日逐日记之第三百六十六日中昼景复最长是为次年冬至数夏至亦然故曰三百六旬有六日二至未定时辰但以午景验之似乎皆在午矣虽云三百六十六日为一朞然第一日午中数至第三百六十六日午中只满三百六十五日比似初一日午中数至初六日午中只满五日也积二朞满七百三十日积三朞满一千九十五日积四朞满一千四百六十日第一日为第一冬至第三百六十六日为第二冬至第七百三十一日为第三冬至第一千九十六日为第四冬至第一千四百六十一日为第五冬至五次冬至只得四朞满一千四百六十日然古人于第一千四百六十一日测午景尚未极长第一千四百六十二日才是冬至如此则四朞之日满一千四百六十一每年三百六十五日有余积四年之余总多一日一日十二时四分之则每年有三时为余数古人谓三百六十五日四分日之一葢将一日分与四年为余数每年得四分之一也(案古法每歳三百六十五日四分日之一约计大致耳太初法大于四分日之一以后诸)(家推歩皆不及四分日之一)一日既作四分则当定二至之时辰然二至时辰难必其的当酌量拟度以定之耳闰定四时古人测验得月圆一次不及三十日止是二十九日有余十九年积六千九百三十九日余九时数内月圆二百三十五次置立铜壶木箭漏水之法其水渐次消长则其箭渐次浮沉箭在分为百刻沉浮一次是为一日刻者刋之于箭也一时八刻有余三时总二十五刻如是则每年三百六十五日二十五刻也十九年积六千九百三十九日七十五刻均作二百三十五朔每朔计二十九日五十三刻有竒其余数均分不尽若将一箭百刻变为二百三十五画而如总朔之数则每朔得二十九日余一百二十四画尚有余数均分不尽遂将已分之画又复细分为四如是则一日百刻变为九百四十画每朔该二十九画矣所以四其二百三十五者葢每年有余数四之一其四之一细为二百三十五画而如总朔之数则一日该九百四十画方可均而无余以九百四十名为日法每年三百六十五日余二百三十五画乃九百四十之二百三十五此数即是每年余数四之一每朔二十九日其余亦云九百四十之四百九十九若以整数二十九日亦分细画则每朔该二万七千七百五十九画每年三百六十五日有余均分作二十四气每气计一十五日余二百五画六十二秒半此葢又以一画细为百秒也两气计三十日四百一十一画余二十五秒是为一节若一朔比之相较八百五十二画二十五秒名曰一月之闰数一节三十日有余其余数四百一十一画二十五秒名曰气盈一朔不及三十日是三十日内有亏乃亏四百四十一画名曰朔虗并气盈朔虗之数得八百五十二画二十五秒即一月之闰数也每年十二月共计闰数一万二百二十七画积十九年共计闰数一十九万四千三百一十三画若二万七千七百五十九画闰为一朔则该七闰无余月光晦而复苏为朔朔在本日四百四十画以前者则第三十日为后朔朔在四百四十一画以后者则第三十一日为后朔所以然者葢画少是本日早时虽加一朔之数后朔止是第三十日内画多是本日晚时既加一朔之数则后朔在第三十一日矣后朔在第三十日者本朔只领得二十九日谓之月小后朔在第三十一日者本朔方领得三十日谓之月大则干名与后朔同月小则不同矣月朔时刻非可以真知其数乃酌量拟度权定于本日之刻画耳每年二十四气于内十二节气十二中气十九年之内中气有二百二十八若一朔之内置一中气则七朔无中气者是闰有正月中气者为正月有二月中气者为二月他月皆然若是则闰月必无中气矣年有闰月者十三朔无者十二朔古人以十九年为一章初年甲子日子时朔旦冬至在岁次甲谓之至朔同日第二十年为第二章首复得至朔同日然非甲子之日先期夜半乃癸卯日酉时第三十九年为第三章首复得至朔同日乃是癸未日午时第五十八年为第四章首复得至朔同日乃是癸亥日卯时第七十七年至朔又复同日乃癸卯日子时因其至朔同在夜半与第一章初年同遂以七十六年名一蔀蔀者以至朔同在夜半蔀蔽昧之时也第七十七年为第二蔀首每蔀四章其第七十七年亦曰第一章首毎章甲子差三十九日九时总四章共差一百五十九日于内甲子整数两周除一百二十日每蔀只差三十九日总二十蔀名曰一纪总差七百八十日计甲子十三个周整数无余乃无差如是则一纪总一千五百二十年必然至朔同于甲子日之先期夜半但非甲子歳首总三纪积四千五百六十年至朔同于甲子日之先期夜半又在甲子歳首总㑹如初名曰一元一元之内岁次甲子者七十六与蔀年同积一百六十六万五千五百四十日日为甲子者二万七千七百五十九其数与每朔之积画相同一蔀之内积日亦同此数葢一元有六十蔀也日法九百四十故九百四十朔为一蔀在昔黄帝命大挠作甲子𨽻首作算数羲和占日常仪占月车区占星气伶伦制律吕容成总斯六术而造厯即此厯数也自黄帝调厯以至汉前诸厯虽推歩而先后其气朔然数之多少短长犹未増减在后渐渐増减之以至于今益加详密矣天周岁终古人仰观天象见众星昬晓出没乃知天体每日运转一周然众星昬见四时渐渐不同唐虞之时日永则心㝛当南方正午之位心㝛三星中赤者名曰大火故曰日永星火日短则昴㝛当午位春中则张翼之类当午位南方七㝛配朱雀故曰日中星鸟秋中则虗㝛当午位歳歳皆然古人因见四时昬晓之中星不同乃知太阳所躔渐异歳终而中星复旧是太阳亦复旧而行天一周矣每年三百六十五日余四之一故亦以周天分为三百六十五度余四之一歳数与天数相同故曰天周歳终太阳一日行一度分寸尺丈引名曰五度分天为度者亦是度量之义似乎以太阳为尺其一度即日圆之径数也(案古字度渡通用度者行而过之之名以日右旋一昼夜所过即为一度故后汉书)(云在天成度在厯成日古法歳三百六十五日四分日之一因定天周为三百六十五度四分度之一此所言)(殊夫命度之意)于日行之道定二十八㝛之名㝛之星数多寡不等各就其数内定一㸃为距星距者隔越之义乃以此二十八㸃距星为各㝛之界各㝛度数由此而分且如南斗从柄而起以第三㸃为距前二㸃及为距之半㸃未离于箕而尚属于箕余三㸃半方在本㝛度内然本㝛之星数少所占乃有二十余度者葢斗牛之间又有建星等类不在𤣥武七㝛之数就附于斗所以斗星虽少而占度却多他㝛亦犹是也及观太隂所躔昬晓渐异见其移六七度遂知一日之内月行十三度有奇月与日同躔之时谓之合朔月与日对光满匡廓两轮相望名曰望近一逺三月体黑白各半似乎张弦之弓名曰弦月行及日光尽体伏名曰晦此晦朔望之名义十九年为一章之内太阳在天一十九周太隂在天二百五十四周于月周之数减去日周则为二百三十五朔十九日之内太阳行十九度太隂行二百五十四度与十九年周天之数相同以二百五十四度于十九则知太隂每日行十三度余十九之七每年行十三周十九之七每日太隂逺太阳十二度十九之七每年太隂太阳十二周余十九之七故每年之日月合十二朔余十九之七为闰积十九年七闰也一朔之内太阳行二十九度余九百四十之四百九十九太隂行一周外余数与太阳同太隂一周止该二十日余三百二画有奇旧云天道左旋日月右转葢谓日月附著天体天虽一昼夜而周太阳于天止移一度太隂则移十三度有奇在后推测却是日月与天道相逺而不附于天如此则是太阳每日周地一遍每年总计三百六十五周余四之一天多过一度则亦是每日周地三百六十六度余四之一太阳每日不及天运一度太隂每日与太阳相去十二度余十九之七却是日速月迟由是观之日月右旋之说乃厯家用逆推之术取其简省筹策耳日月相㑹为朔朔者月终而复始也月迟日速厯二十九日四百九十九画而复同度今以良驽二马比之日比良马月比驽马一度比之一里日月遶地一周比似马之循环封疆一遍每里分为十九段每段为小尺良马每日周遭一次计行三百六十五里四段七十五尺驽马每日不及一周遭止行三百五十二里十六段七十五尺较迟一十二里七段即所谓不及十二度十九之七也以段计之每日渐多二百三十五段以尺计之每日渐多二万三千五百尺每画渐多二十五尺良驽一处同时发程乍分先后不甚相逺歴一十四日七百一十九画半良驽相距半周遭又歴此数总二十九日四百九十九画驽不及良一周遭二马复同一处矣此即一朔之喻次朔而复相㑹不㑹于元所相㑹九百四十次方于元所相㑹乃一蔀之数也古人又云天与日㑹者天体每日遶地而行三百六十六度余四之一太阳每日遶地一周计三百六十五度余四之一天不可知其体但以经星言之天速日迟每日不及一度一年而不及一周则日复旧躔故曰天与日㑹亦可以良驽二马比之兹不赘(案天左旋其枢名北极亦名赤极日右旋其枢名黄极经星亦右旋宗黄极以成岁差故春分)(黄赤道之交古在赤道外之星今移而入赤道内秋分黄赤道之交古在赤道内之星今移而出赤道外此云)(天体不可知但以经星言之谬也左旋乃东西旋一凖乎赤道而宗赤极右旋乃南北旋日与经星皆凖乎黄)(道而宗黄极月五星各行一道各宗一极月曰白道白极五星之道与极各以其星名之此用后儒附㑹之说)(不知左旋论东西不论南北右旋论南北不论东西截然殊致非用逆推之术简省筹策也)十九年则天与日㑹而月亦㑹是为一章之数但非子时相㑹若四章为一蔀则日月皆与天㑹于夜半皆在地平之下乃日月与天地四者俱㑹也此云良驽九百四十㑹而方㑹元所者以九百四十㑹比一蔀之朔㑹于元所比日月之与地㑹此止比日月与地㑹而不比天㑹故不喻及一章之数厯法改革一阳生于子中才交冬至已属次年葢冬至日极于南却转而北午景极长渐改而短亦犹夜以后属次日界于子时正中世间人事一日始于天晓一年始于建寅之月故古者以建寅之月为正如此则子丑两月虽属次年纪厯则犹在旧歳谓之敬授人时即今月蚀夜半后虽近晓亦止以当夜言之与子丑两月尚作旧年相似三统之说谓夏正建寅商正建丑周正建子先儒考索乃知商周二代虽以子丑为分颁授时之首而月数未尝改易(案左传昭公十七年梓慎曰火出于夏为三月于商为四月于周为五月乃月数改易之)(明证此用后儒附㑹之说谬也)至于厯法则因气朔有差后世累改由古及今六十余厯矣周衰之时司天失职汉太初厯粗为可取然犹踈畧未宻唐一行作大衍厯当时以为密矣以今观之犹自甚踈葢岁浅则差少未觉久而积差渐多不容不改要当随时测验以求天数之真星分棋布天体如圆瓜古人分为十二次乃似瓜有十二瓣也周天三百六十五度余四之一均作十二分则一瓣计三十度四十三分七十五秒度度皆辐辏于南北极如是则其度敛尖于两端最广处在于瓜之腰一围名曰赤道其度在赤道者正得一度之广去赤道逺者渐逺渐狭虽有一度之名寔为无腰围一度之广矣各度皆以二十八宿之距星纪数谓之经度古人又谓天体如弹丸东西南北相距皆然东西分经则南北亦当分纬纬度皆以北极相去逺近为数亦是三百六十五度余四之一两极相距一百八十二度六十二分五十秒赤道横分两极与极相逺各九十一度三十一分二十五秒天顶名曰嵩髙北极偏于嵩髙而北者五十五度有竒赤道则斜倚在嵩髙之南三十六度葢北极既偏于嵩髙之北南极既偏于地中之南所以赤道不得不斜倚于南也赤道虽倚南于东西两傍犹在卯酉正位由是观之所谓天如弹丸者得其圆象之似所谓天如倚葢者但以言其葢顶斜倚而辐辏所谓天如鸡子者喻其天包地外而已日道岁差日行不由赤道昼永在赤道北昼短在赤道南其道别名黄道黄道之与赤道似乎两环交差且以冬至为始言之太阳当时在赤道之南横距赤道二十三度九十分从冬至后行渐近北迆逦向于赤道及乎仲春之时斜去冬至躔九十一度有奇则在赤道之交矣过交入赤道北斜去九十一度有奇及于夏至躔则又与赤道逺最近于北横距亦二十三度九十分从此渐渐转南非由故道乃一环而循歴两边亦向赤道及乎仲秋交于赤道已斜去夏至躔九十一度有竒非春中之交乃相对处耳过出赤道南斜去赤道九十一度有竒及乎冬至又躔元度故曰天周岁终尧典云日短星昴者乃仲冬昴宿昬见于午方昬时若昴㝛正南则知日躔虚㝛何以言之正东之方名曰卯位正西之方名曰酉位日正南处名曰午位一日十二时太阳厯过十二位乃定方也天以各宿经度分为十二次乃动体也动者无常位名曰天盘定方有常位名曰地盘仲冬太阳在虚㝛虚属天盘子酉时太阳在酉方此际天盘子加地盘酉子加酉则酉必加午昴㝛属天盘酉故昬见于正南汉作太初厯推歩得冬至日在牵牛之初今之授时厯推歩日躔当至元冬至乃在箕九度二十二分一十八秒以汉武时较帝尧时已差一二十度当时唐都洛下闳但拟八百年差一度虽知有差尚自疎畧晋虞喜不用天周岁终之术谓天度与岁日数殊天自为天岁自为歳始将天体为三百六十五度二十六分乃四分之一有余歳䇿为三百六十五日二十四分乃四分之一不足一年差二分五十年差一度宋何承天以为岁差太速改为百年差一度周天作三百六十五度二十五分半周岁作三百六十五日二十四分半隋刘焯又从而酌中以七十五年差一度唐一行以八十三年差一度自后诸厯各各不同宋厯多在七十五度左右统天厯谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒周歳三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半然又谓周歳渐渐不同上古歳䇿多后世歳䇿少如此则上古歳差少后世岁差多当今厯法倣之立加减歳䇿之法上考往古百年加一秒下验将来百歳减一秒至元辛巳行用至今秒数尚作二十五犹未减也三代以前未有歳差之术晋宋而后虽立岁差之术时或议论不定李淳风犹自执说无差谓冬至常躔斗十三度至一行作大衍厯而后论定以后必立歳差岁差之法虽立然差数岁岁如一于前加后减之法犹自未知今则知加减矣若欲测其加减亲切之数非岁久曷能知之(案岁差由于经星右旋此考冬至日躔某㝛几度几分之一事至授时法立加减谓之岁实消长与恒气)(冬至定气冬至为一事知定气之故则不必言消长矣二事各殊绝不相涉合而论之殊疎)授时厯以赤道分三百六十五度二十五分六十四秒周天分三百六十五度二十五分七十五秒相较一十一秒者葢黄道一周同于歳䇿止计三百六十五日二十四分二十五秒有似周天尚未足一分五十秒是谓岁差其一分五十秒不在瓜之腰围横距赤道二十四度敛而狭之止广一分三十九秒以此一分三十九秒并入歳周故云黄道三百六十五度二十四分六十四秒黄道虽是岁差冬夏二至日躔必然横距赤道二十四度黄道歳歳不由旧路差移一分有余斜络于二十八宿度之间歳久则遍满而无非行过之所矣今人斜卷麻苎之絘周遭往返非复故处丝渐移重复缠络而成团者名曰絘团以喻此理最切(案赤道为天之中𢃄如瓜之腰围黄道斜交于赤道半在)(赤道南半在赤道北最逺距赤道二十余度冬至最南夏至最北相距四十余度冬至后自南敛北夏至后自)(北发南日发敛于四十余度之间右旋适一周而成岁于黄道本无纎㣲之差使发敛未终则未成岁矣一岁)(之日躔起冬至复值其起处而列㝛部星则稍移而前积至六七十年差一度是星右旋离最南一度非日躔)(黄道未至最南一度也唐一行分天自为天岁自为岁其所谓天指列宿之天所谓歳指日躔黄道分而二之)(是也然立法乃减歳余益天周谓岁周不及天周非也此仍一行诸人之谬而言黄道岁岁不由旧路尤足滋)(惑)唐虞之时冬至日躔子夏至日躔午春分日躔卯秋分日躔酉至今未及四千年冬至日已躔寅夏至日已躔申春秋二分已躔巳亥计其岁差已退四五十度矣由是观之后万余年冬至日反躔午夏至日反躔子春卯秋酉亦各互易若周遭而复于旧躔当在二三万年间逆而推之帝尧以前亦必如是此决然之理也北斗有柄常指天盘卯辰间唐虞之际冬至太阳躔虚昬见时天盘卯辰间加于地盘子故十一月以斗柄指子为说天旋一昼夜而周酉末戌初则指丑矣斗牛女虚危室壁北天七㝛也三冬太阳躔之故曰日在北陆今则岁差太阳冬至已躔箕属寅冬至后日方躔斗如此则季冬日在北陆冬至已前尚在东陆也冬至昬见时太阳随天盘寅以加地盘申酉界畔其天盘卯辰之间却加地盘戌仰观斗柄指戌而不指子矣今人于十一月犹以斗柄指子为说是未知岁差者也然天体于一时转一位戌末亥初却仍指子但不可言初昬指耳夫日躔既已岁差则昬旦亦差唐虞初昬乃今戌亥之时在后仲冬日差在卯则斗柄夜半指子差在午则平旦指子差在酉则日中方指子谓闰月指两辰之间者可发一笑欤黄道损益子正𤣥枵中于虗七度赤道均分周天㝛度十二次各三十度四十三分七十五秒是将子中为的而分之黄道㝛度与赤道㝛度有多寡之不同各次之黄道㝛度亦不等所以然者冬夏二至之日黄道平近于两极其度敛狭每度约得十之九春秋二分斜行赤道之交赤道所在度既广而又斜行每度十有一矣四立之日度在酌中处其余渐广狭迆逦而推今之授时厯歩得冬至日躔箕㝛以此寅申度数最少巳亥度数最多其余则多寡稍近
## 卷二
钦定四库全书
革象新书卷二 元 赵友钦 撰积年日法 元㑹运世气朔灭没 日月盈缩月有九行 时分百刻昼夜短长 气积寒暑天地正中 地域逺近积年日法前代造厯者逆求往古冬至岁月曰上元乃履端于始也从上元而下至当时顺推以后求其余分普尽总㑹如初乃归余于终也一日百刻亦曰百分一分又为百秒求其积年总㑹虽以百分万秒重叠细作名项筹䇿亦不能齐是以必立日法古者以九百四十为日法即所谓一箭之分画也始于至朔同在甲子夜半复㑹如初名曰一元但积年四千五百六十而已后世推步知十九年七闰尚有余数兼欲七政皆齐是以履端归余之算非积年数千万不可诸厯更改其余数多寡不定各立日法有作八十一者有三千四十者有作九千七百四十者不必枚举之然有所谓截元厯但将推步定数为则顺算逆考不求其齐当今至元辛已改授时厯采旧厯截元之术凡积年日法皆所不取葢厯年未久已有先天后天之失况逺求数千万岁岂可必其总㑹邪且黄帝之时大桡始作甲子今欲求甲子于黄帝以前徒使筹䇿繁杂终不得天道之真也元㑹运世古者推步七政多求其总㑹于甲子顺算逆考上下数千万年然诸厯履端归余各有逺近多寡难见此是彼非李淳风在唐太宗时官为太史令能豫知武氏有天下可谓精于术数矣然所造麟徳厯乃为僧一行所非麟徳术疎他且未论但日行之道岁岁有差汉晋以来已有其说淳风乃谓冬至太阳常在斗十三度万古不移其说有所不通矣一行造大衍厯当时尝以为密俱用其法推至于今冬至已差二日如此则淳风一行之积年日法俱不可求厯元之终始岂非逺而难测邪近世康节先生作皇极经世书以十二万九千六百年为宇宙之终始世人多信其说以愚观之实不可准今当言其所以然康节之说盖谓小可观大遂以岁月日时比作元㑹运世一元有十二㑹比一年之十二月也一㑹有三十运比一月之三十日也一运有十二世比一日之十二时也其下则一时为三十分一分有十二秒三十年为一世三百六十年为一运一万八百年为一㑹十二万九千六百为一元天始于子㑹地始于丑㑹人生于寅㑹谓之开物至戌㑹则闭物矣夏禹八年甲子用为午㑹之初当今泰定甲子乃午㑹第十运之戌世初年也蔡氏曰康节何以知之以当时日月五星推而上之所以得之也其书郤不曽载逆推之法今以诸厯详酌而求其皇极之元非特七政无总㑹之事抑皆散乱无伦且古厯元纪蔀章年月日时各有其事所谓时者太阳所歴地盘十二方位也所谓日者太阳出没一周也所谓月者太阴盈亏始终也以十二节论之即是太阳歴遍十二辰也所谓年者寒暑荣枯之变也所谓章者至朔合于一时也所谓蔀者至朔合于子时也所谓纪者至朔㑹于甲子日夜半也所谓元者至朔于甲子夜半又是甲子岁首也康节立元㑹运世各无其事但以十二与三十相参甲子而为之其以三十年为一世者本非天道不过以人生壮有室人子相见为一世也厯家虽约三十日为一月气盈朔虚却多寡不齐葢一年计三百六十五日余四之一均为二十四气则每月之两气该三十日四十三分有竒两月相距只该二十九日五十三分有余康节乃例以三十为用是将整齐之数推不齐之运犹月皆大尽而无小尽亦不置闰矣造厯者不取其说良有以夫气朔灭没厯家算灭没二日唐一行以前其术不同今载于授时厯者乃放一行而为之也没用气盈而推灭用朔虗而求所谓没者朞三百六十五日二十四分二十五秒均为二十四气每气均为三候每候均为五段如此则一朞为三百六十段每段计一日一分四十五秒六十二毫半冬至便为第一段小寒次为第十六段其余可以类推所谓段者日日有之若或一日之段在于九十八刻五十四秒三十七毫半以后者则谓之没没之次日必无其段葢其二段跨三日先一日者九十九刻左右后一日者一刻左右而已此二段之闲虽止是一日一分四十余秒但一日整在中间余数跨在前后两日之首尾故曰跨三日若遇无段之日则其先一日必是没所谓灭者每朔二十九日五十三分五秒九十三毫均为三十段每段计九十八刻四十三秒五十三毫一十芒常朔之日辰便为第一段常望便为第十六段其他可以类推所谓段者亦日日有之若或其日之段在九十八刻四十三秒五十三毫一十芒以后者则谓之灭若是灭者百刻之内必有两段葢是两刻之间百刻不足止包一日内也凡刻分极少是半夜后刻分极多是夜半前夜半前是一日极终处没灭乃已极之义也故选日者或忌之日月盈缩古者推步得一昼夜之间月行十三度余十九之七然每夜观望其所躔或先期或后期有差至四五度者后汉刘洪始考究之由是知其疾行则十四度余约四之三迟行则止十二度有余中间渐疾渐迟大率二百四十八日盈缩九帀既知月有盈缩矣隋之刘焯始觉太阳亦有盈缩最多之时在于春秋二分约差两度有余葢是冬至日行一度五分迆逦渐减一二分三四分及乎赤道之交则正行一度从此又渐次减之极于夏至止行九十五分矣夏至后所行却増所増之数与所减相似及乎冬至则又如前矣一日行一度有余者名曰疾一日不及一度者名曰迟以増亏之数相补止是一日一度从冬至距春分以行疾而积盈从春分距夏至以行迟而消其积盈比之常度犹自差前故冬至距夏至皆曰盈段从夏至距秋分以行迟而积缩从秋分距冬至以行疾而消其积缩比之常度犹自差后故夏至距冬至皆曰缩段春分二日之前已行交于赤道葢盈二度有余也秋分二日之后才行交于赤道葢缩二度有余也授时厯谓太阳在赤道之南行疾赤道之北行迟往前诸厯则或以春分距秋分行迟秋分距春分行疾太阴迟疾盈缩之理亦然但日数度数不同耳授时厯谓每转二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半乃太阴盈缩之一币也其间迟疾之数相补遂以一十三度三十六分八十七秒半为一日平行度李淳风有推步月孛法谓六十二日行七度六十二年七周天所谓孛者乃彗星之一种光芒偏扫者则谓之彗光芒四出如圆晕者乃谓之孛然孛以月为名者葢有说焉孛之所在太阴所行最迟太阴在孛星对冲处则所行最疾孛星不常见止以太阴所行最迟处测之(案月行迟疾古以规法旋转顺逆明其故入转之初最疾至六日八十八刻竒)(而复于平谓之疾初限此后渐迟至十三日七十七刻竒而其迟乃极谓之疾末限从此迟渐减至二十日六)(十六刻竒以复于平谓之迟初限此后又渐疾至二十七日五十五刻竒而其疾乃极谓之迟末限是为转终)(月孛与入转相对孛者逆也疾由于顺迟由于逆故称月孛孛非星也以彗孛之孛附㑹尤谬)日躔十二次之久近者葢因各次黄道㝛度不等又且日有盈缩故或久或近各各不同将周岁分为二十四气名曰常气授时厯系一十五日二十一分八十四秒三十七毫半若以太阳之盈缩损益其常气日辰限以日行一十五度二十一分八十四秒三十七毫半名曰一气则是定气但授时厯止以常气为定不曽増减旧厯则或増减之太阴度缩而太阳度盈则定朔在常朔后名曰朒太阴度盈而太阳度缩则定朔在常朔前名曰朓若俱盈俱缩者则对消而止用余数定弦定望亦如之上古未曽推步日月盈缩止以常朔弦望就为定今朔与弦望既有常定之名矣然又有所谓进退其定朔在日没以后若无日食见其初亏者则进以次日为朔葢恐月见于晦之晨朝也定弦望在日出以前者则退一日定望在日出以后其望有食初亏在日出前者亦退一日葢仰观在当夜改日言之有所不便也定望在十七虽是日出后亦退一日为其太迟也或望在十四或上弦在初七或下弦在二十二仍不可退退则太早也或望在十三或上弦在初六或下弦在二十一非退而太早葢因进朔而然虽不皆早其朔不进或朔进而大月连四者为其过多朔亦不进今授时厯则不然常朔计二十九日五十三分五秒九十三毫常望半之常弦又半之实定则不进退矣但月食在夜半以后虽属次日止以当夜言望月有九行月行不由黄道亦不由赤道乃出入黄道之内外也北有紫㣲垣帝座居之故北曰内南曰外所谓九行者止是一道其道与黄道相交如赤道然黄赤道两环相逺处二十三度九十分月道之逺于黄道处止距六度二分而已月道与黄道相交处在二交之始强名曰罗㬋交之中强名曰计都自交初至于交中月在黄道外名曰阳厯乃背罗向计之处也自交中至于交初月在黄道内名曰阴厯乃背计向罗之处也月道比水路日道比旱路罗计比桥罗计渐移是犹桥道年年改异亦太阳岁差卷絘之理也所谓九行者当以画图比之四图各画黄道似一圆环俱于环南定为夏至日躔环北定为冬至日躔环西定为春分日躔环东定为秋分日躔将一图画为青道与黄道交于南北南交为罗北交为计其青道一边入在黄道西之东是内青道一边出在黄道东之东是外青道又将一图画白道亦与黄道交于南北南交为计北交为罗其白道一边入在黄道东之西是内白道一边出在黄道西之西是外白道又将一图画朱道与黄道交于东西东交为计西交为罗其朱道一边入在黄道北之南是内朱道一边出在黄道南之南是外朱道又将一图画黑道亦与黄道交于东西东交为罗西交为计其黑道一边入在黄道南之北是内黑道一边出在黄道北之北是外黑道此虽画四图然四图之八道止是一道观者当以意㑹为一可也图可畧章其象但画于纸上止是横平在天圆体却有髙低斜正终是难尽其理又当言之阳厯在夏至日躔之南夏为南乃南之南也名外朱道阴厯在冬至日躔之北北为内名内朱道在南曰朱则当矣在北而曰朱者葢冬至属子若冬至日躔伏在地盘子位则月道在黄道之上北地以下为北上为南故曰内朱道乃北之南也若冬至日躔反在午位则内朱道亦在黄道北矣此不论反止论伏黑道之理亦然阴厯在夏至日躔之北者名曰黑道夏为南乃南之北也阳厯在冬至日躔之南名外黑道外为南南而曰黑者葢其月道在黄道之下北地以上为南下为北故虽南而曰黑冬为北乃北之北也月行朱道则罗㬋在太阳春躔计都在太阳秋躔月行黑道则罗㬋在太阳秋躔计都在太阳春躔阳厯在秋分日躔之东者名外青道乃东之东也阴厯在春分日躔之东者名内青道乃西之东也阳厯在春分日躔之西者名外白道乃西之西也阴厯在秋分日躔之西者名内白道乃东之西也青白道不论反伏若天地卯酉互位者亦然月行青道则罗㬋在太阳夏躔计都在太阳冬躔月行白道则罗㬋在太阳冬躔计都在太阳夏躔以内外分别青白朱黑为八道本八道而曰九行者以八道之行交于黄道而穿度其间故通以九言也八道常变易不可置于浑仪上亦不可画于星图所可具者黄赤二道耳欲别于黄故涂以赤赤道近八道皆相交逺近朱道止十八度逺黑道至三十度逺青白二道约二十四度授时厯谓月从黄道之交出外一百八十一度八十九分六十七秒则中交于黄道从此入黄道内复至交初则该三百六十三度七十九分三十四秒乃月道之一周计二十七日二十一分二十二秒二十四毫古厯数各不同不及枚举时分百刻昼夜十二时均分为百刻一时有八大刻二小刻总大刻共九十六总小刻共二十四小刻六准大刻一即是共百刻也上半时之大刻四始初初次初一次初二次初三最后小刻名初四下半时之大刻亦四始曰正初次正一次正二次正三最后小刻名正四子时之上一半在夜半前属昨日下一半在夜半后属今日今夜以及他夜皆然是犹冬至得十一月中气一阳来复为天道之初也古厯又将二小刻为始后却各以四大刻继之者然不若今厯之便于筹䇿俗流不知此说却谓子午卯酉各九刻余皆八刻诚可笑欤昼夜短长冬至日躔距赤道二十四度立冬与立春所距亦近似之所较不甚多少所以然者此时黄道横而平近南极也从立夏及于立秋之黄道横平而近北极者亦然葢冬夏之日躔东西移差多南北移差少春秋则黄道斜移南北虽东西行而南北差速于冬夏故春秋壶箭六七日间増减昼夜一刻若二至前后验其昼夜短长其増减一刻相去二十余日矣由是观之冬夏増减之日迟春秋増减之日速数未始均平考于浑仪即可以知其理旧云日未出二刻半而天先明日已入二刻半而天方昬此五刻之内若以众星出没论之似乎在昼然不论星但太阳出始为昼入则为夜也气积寒暑夏至昼最长日最近北乃午中也冬至昼则最短日最近南乃子中也然大暑在六月却是未中大寒在十二月却是丑中若以昼夜论之未时热甚于午丑时寒过于子此葢甑灶之理也夫灶火甚炎可比午中矣然甑蒸之气犹未甚盛及其甑蒸气盛则灶火已稍衰矣在后灶火尽灭可比子中矣然甑蒸之气又良久而后始衰寒暑之理岂非积久而气盛乎天地正中逺视物则㣲近视物则大故当午之日似盘㿻出没之日如车轮岂非午日与人相逺邪然又疑东西与人相逺者葢为午日热而又似乎火之近人也殊不知太阳久照则热殆不可以逺近论星度髙升者则见其密低垂者则见其疎由是观之天顶逺而四傍近矣(案隋书姜岌言)(地有游气故参伐在傍则其间疎在上则其间数日晨夕近地故色赤而大无游气则色白大不甚矣宋沈括)(言在本局候景入浊出浊之节日日不同今西洋人本之为清䝉气及浊䝉气之说清蒙可立算加减此以大)(小疎密证天顶逺而四傍近殊谬)且夫天体圆如弹丸圆体中心六合之的也周围上下相距正等名曰天中直上至于天顶名曰嵩髙地平不当天半地上天多地下天少从地平之中直上自有天中之所古人却谓地平正当天半天中即是地中所在为此说者葢为周天三百六十五度余四之一仰视常有一半星宿可见故以地中就为天中今谓地中直上自有天中之所者葢见日月之近大逺小星度之髙密低疎所以知其然也地平既在天半之下仰观止见半周度者葢天逺则似乎较低地平得以相妨人目不可尽见昔人以五表求地中以今思之止须一表其表与人齐髙于午日中画其短景于地用为指北准绳却置窥筒于表首随准绳以望北极若窥见北极在筒心者此处得东西之正而不偏矣如窥见北极之东者则是其地偏东窥见北极之西者则是其地偏西已得东西之正然后于二分之前十余日内就此处置立壶漏准定十二时之端的须以两日午中短景求与时参合却于春分前二日或秋分后二日太阳正当赤道时分于卯酉中刻视其表景画地而定东西准绳若卯酉两景相直而不偏平衡成一字者是得南北正中矣若两景曲而向南者则是其地偏南向北者则是其地偏北古人测于二分之日定以出没半轮之景今恐地平或者髙低难求端的故纵拟于卯酉时中验之此术葢以午景与北极定东西之偏正却以东西之景定南北之偏正测验之最精者也(案此术徒据胷臆而未试者于)(天顶地平之义未得其实遂轻立说耳素问言地在大虗之中大气举之周髀言东方日中西方夜半皆以地)(亦浑圆人所居之方戴天为上履地为下古法天周三百六十五度四分度之一地与天相应亦三百六十五)(度四分度之一天顶随人所居而移自天顶四面至地平必皆九十一度竒若自天顶悬一直绳必贯地心自)(地心平引一绳与悬直之绳必纵横成十字此之谓地平其平乃割圆法自浑圆中心纵横相交之平非地体)(果平也人在地靣上至天顶近于四傍者有此地体之半径地心乃天之浑圆中心也不可谓地上天多地下)(天少地平横截天之浑圆为二上下各半圆必相等设如北极之下其天顶即北极其地平必适与赤道齐从)(此行二千余里于地靣十度不论四面所向皆以北极下为正北所向之方皆为南行其天顶则距北极十度)(其地平则正南下于赤道十度正北髙于赤道十度而北极出地八十一度竒故测北极出地髙下可以知地)(面南北度日之随天而左以成昼夜一准乎赤道而宗北极使其方北极出地髙下相等虽东西循环一周而)(北极定为正北日东出西没无差移安能以东西之景定南北之偏正茍试之于测验未有不穷者矣)地域逺近古者测得阳城为地中然非四海之中乃天顶之下故曰地中也若以四海之中言之黄河之源为昆仑乃是天下地平最髙处东则万水流东西则万水流西南北亦然彼处名闷母棃山(案唐书作闷摩黎山)葢西蕃语也其山距西海三万余里距东海不及二万里如此阳城距东海甚近天下之地多在地中以西地中之东必皆水矣髙丽三边尽海惟有北连辽东倭曲在髙丽之南虽越海而相去不逺舶商发于闽越多往南海之西西海遥遥罕有去者然西海虽逺水陆犹自皆通若夫正北之海则水陆皆恶而不可至今言北海者乃诸小国及辽海耳辽东多水海岛之国必多舶商亦罕去旧云蓬莱弱水三万里在于东南殆非虗语四海之内不中于阳城中于四海者天竺以北昆仑以西也若论天之所覆通地与海而言中却是中于阳城阳城仰观北极出地三十六度南极入地亦三十六度迆逦朔方而望之出入之度渐多遂见北极出地四十五度南极入地亦然钱塘望之出入之度三十一交广以南望之其度不及二十南极二十度已上其星犹多中国不可见迢今未有名由是观之地平不当天半地上天多愈无疑矣然地中止见天之半体者葢天逺则似乎较低地平得以相妨人目不能尽见(案北极出地之度乃浑圆之周所分天度出地四十五者其方之天顶距)(北极四十六度竒出地不及二十度者其方之天顶距北极七十一度竒两地天顶相距二十五六度而此两)(地之天顶四靣距地平皆九十一度竒也援以言地上天多殊谬周礼求地中乃验之阴阳风雨和㑹异于多)(暑多寒多风多阴之地而谓之中此言阳城为天顶之下由不知环地之周戴天皆上履地皆下随人所居各)(一天顶也)地域逺近非特仰观不同寒暑昼夜表景亦皆差别偏南者暑多寒少偏北者暑少寒多往前诸厯昼永极于六十刻昼短极于四十刻今之授时厯因为验于燕台而地稍偏北是故永者六十二刻短者三十八刻葢偏南则长短较少偏北则所较渐多朔方最逺之地或煮羊胛未熟而天晓或当午而才方见日出没止在须臾此又昼夜长短之甚所以然者夏之太阳出寅入戌其地近于朔方近日之处天先明今又测得地平在天半之下则愈知其太阳出早入迟矣彼虽晓而南国未晓彼未昬而南国已昬是以夏昼长而朔方尤长夏夜短而朔方尤短南国之昼夜长短则不较多冬之太阳出辰入申其地近于南国南国已晓而朔方未晓南国未昬而朔方已昬故冬夜长而朔方尤长冬昼短而朔方尤短南国之昼夜长短则不较多(案夏日永而地愈北愈増冬日)(短而地愈南愈损元史南自南海夏至昼五十四刻至北海昼八十二刻北自北海夏至夜十八刻至南海夜)(四十六刻昼夜永短相差二十八刻此言冬夏南国之昼夜长短不较多谬也)古者立八尺之表以验四时日景短长地中夏至午景在表北约一尺六寸地中冬至午景在表北约一丈三尺南至交广北至铁勒等处验之俱各不同葢午日偏南朔方之景四时皆长于地中南国则较短戴日之下直而无景迆逦南去景在表南启开北户以向日非特测于南北亦当测于东西帝尧之时分命羲和之官宅于四方是也古者测景欲求一寸所差里数终未为真葢道路迂廽难量直径是以一寸千里之说犹自难凭(案千里差寸本非实测不徒道)(路迂回难量直径也隋书天文志刘焯云周官夏至日景尺有五寸先儒以为景千里差一寸南戴日下万五)(千里今交爱之州表北无景计无万里南过戴日是千里一寸非其实差)表髙八尺似失之短葢表短则景短差难觉表长差数易明至元已来表髙四丈诚万古之定法也所谓土圭者自古有之然地平不在天半地上天多早晚太阳与人相近则景移必疾日午与人相逺则景移必迟世间土圭均画而已岂免午侵巳未而早晚时刻俱差阳城地中差已如是若以八方偏地表景验之土圭之不可准尤为显然偏东者早景疾而晚景迟午景先至偏西者早景迟而晚景疾午景后期偏北者少其画而景迟偏南者多其画而景疾(案周礼言日东景夕日西景朝周髀立昼夜异处加四时相及之算谓东西距地中四分圆周之一)(则地中景正日加午东方巳过午后而加酉为景夕西方尚在午前而加卯为景朝自卯至午自午至酉皆四)(时也环东西一周随其方而各有子午卯酉故月入暗虗天下尽同东西异地之时刻不同测月食时刻可以)(知东西地度此言偏东早景疾而晚景迟偏西早景迟而晚景疾殊谬凡时刻由赤道度而景移在地平乃早)(晚景移迟近午景移疾愈南则迟者愈迟疾者愈疾近夏至亦迟者愈迟疾者愈疾此反言之由未测验徒凭)(胷臆言也土圭尺有五寸乃地中夏至日午之景此云世间土圭均画则又非周礼之土圭矣)蛮越短景南指而子午反复则又讹逆甚矣
## 卷三
钦定四库全书
革象新书巻三 元 赵友钦 撰月体半明 日月薄食目轮分视 五纬距合月体半明以黑漆毬于簷下映日则其毬必有光可以转射暗壁太隂圆体即黒漆毬也得日映处则有光常是一边光而一边暗若遇望夜则日月躔度相对一边光处全向于地普照人间一边暗处全向于天人所不见以后渐相近而侧相映则向地之边光渐少矣至于晦朔则日月同经为其日与天相近月与天相逺故一边光处全向于天一边暗处却向于地以后渐相逺而侧相映则向地之边光渐多矣由是观之月体本无圆缺乃是月体之光暗半轮转旋人目不能尽察故言其圆缺耳至于日月对望为地所隔犹能受日之光者盖隂阳精气隔碍潜通如吸铁之石感霜之钟理不难晓(案月体较小于地体)(而皆小于日三者于太虚之间如三丸然月入暗虚而亏食暗虚当日之冲乃地景也故测此暗虚及北极髙)(下可以知地体周径里数必日月相望近黄道白道之交乃遇暗虚因测其交之浅深以知月食分数逺于交)(则虽日月相望而或南或北地不得而揜之此慿胷臆附㑹殊疎)日月不全莹而似瑕映于内者如明镜映水之处则莹照地之处则瑕以为山河所印之景者是也(案日中有黒子而月体中用大逺镜窥见其有髙下故月之向)(日有吐光处有不吐光处此据流俗所附㑹非也)日月薄食日体遶地一周虽然悬虚无迹而有必由之道谓之黄道世人仰观日轮似乎附著天体所印天体之一遭乃是在天之黄道在天之黄道比一大环日行之黄道比一小环小环在大环内相距逺近之数周遭不殊两环之度虽有少广皆曰一度亦犹近极经度狭赤道经度广皆以一度言之天周既以太阳比尺而量为度则日行之道黄道得度数之真矣日虽与人相逺天去人为尤逺近视则小犹大逺视则虽广犹窄故在天之黄道周围虽广以太阳度之亦止是三百六十五度四分度之一日之圆体大月之圆体小日道之周围亦大月道之周围亦小日道距天较近月道距天较逺月道在日道内亦似小环在大环之中周遭相距之数不殊日月之体与所行之道虽周径有少广之差然月与人相近日与人相逺故月体因近视而可比日体之大月道因近视而可比日道之广亦犹日道之可比天道日月之行今常数以二十九日五十三分五秒九十三毫相㑹一次相㑹则同一经度虽因日月或盈或缩而定朔或前或后所较亦不甚多若日食于朔月食于望当以天度经纬而推其同经不同纬止曰合朔或者月从八道穿度日之黄道而出入其时日亦在彼即是同经同纬合朔而有食矣世人观望其日体见为月之黑体所障故云日食然日体未尝有损所谓食者强名而已日道与月道相交处有二若正㑹于交则月体障尽日体人间暗甚谓之食既虽然月体小而日体大因视殊逺近两轮相若日月之行迟速不同须臾则两轮参差而生光矣若同经而交不正的但在交之前后而度相近者亦见其食两轮虽相犯所食却不既近于正交者食分多远于正交者食分少两朔之间日月对躔而望平分黄道之半黄道有二交若不当二交前后而望则不食望在二交前后者其月必食或既或不既食分之数当以距交逺近而推月之黑体映日而明但是经度相对则见其光满若相对于二交限内对经而对纬至甚的切所受日光伤于太盛阳极反亢以致月体黑暗如染红浓厚反成紫黑也(案月入暗虚而亏食不得云所受日光伤于太盛阳极反亢以致月体黑暗此)(等附㑹之虚辞岂可加于测验之实)以授时歴考之望在交之前后者距交一十三度五分方才不食若在此限之内则有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内月食必既余八度七十分虽是食限却不是食既之限食于此者所食不既食分则有多寡愚因思之测得日月之圆径相倍日径一度日道即广一度月径止得日径之半月道亦止得日道之半道之广狭随其体之大小也日体与日道虽广一度月体与月道虽狭一半然月体与月道在于近视亦准一度是犹省秤比于复秤斤两名数虽同其实则有轻重之异(案日月之实径日大于月近十九倍此云日月之圆径相倍非也日)(月在天距人绝逺以度计皆视径日约半度竒月较日稍大月近于日故也此云日径一度月亦准一度皆非)日体对冲之处往古名曰暗虚似乎日之像景月体因之而失明故云暗日非有像景强立其名故云虚言其非实有也其暗虚之圎径倍于月体之圆径暗虚縁日而有故其圆径与日相等日之圆径倍于月则暗虚之圆径亦倍于月月道之广既准一度则暗虚之道广二度矣(案日径大于地径五倍竒地径大于月径三倍半竒地障日光而为暗虚愈近地则愈大愈逺地则)(愈小而渐锐无有矣由日大于地故也日月在天皆非平行故月入暗虚之时测之其径大小不定不出一度)(半内外此云广二度非也)今拟画暗虚之黄道广二度又画月之本道色白而广一度两道相交假以一寸为一度交前四度三十五分并交后四度三十五分共八度七十分通作一段为既外后限将圆板一片涂黑比为暗虚之形其径二寸又将圆板一片涂粉比为月形其径止广一寸将此两板于画图相犯而比之若剪纸以代板亦可自暗虚之黄道初犯处至中段相距八度七十分月在其间望者折半处食五分其食五分之所距初犯处四度三十五分距既限亦四度三十五分以冲望处较距交逺近増近八十七分则食数増一分增逺八十七分则食数减一分后限比前限相同今以月体之先犯处名曰此边后犯处名曰彼边暗虗之黄道先犯处亦曰彼边后犯处却曰此边月犯黄道厯八度七十分而望所食十分止见月犯黄道一度之广其増近八度七十分经度以直数也其犯黄道一度之广纬度以横数也此际食既者月体在黄道之彼边止占黄道之半广盖月体止一度而暗虚之黄道广二度也若谓黄道止广一度则止是正交处食既不当有八度七十分既限矣此却不然更令厯尽八度七十分而望月之全体犹自尽在黄道偏于此边之半广既然前限以直移八度七十分而月体正横移一度此既限又以直移八度七十分而月体再横移一度即是月之此边横厯二度矣由此知暗虚之黄道横广二度黄道广二度故既限与前后两限数均若云暗虚之黄道止广一度则当如日食之不立既限安得前后两限与中间既限各八度七十分共二十六度一十分如许其长哉若云广一度半则中间既限当减其半矣日食至十分止十分即是食既月食乃至十五分止然十分已是食既食既则月尽黑以所食虽既才蚀既限故蚀十分以上之数为既内分月望正在交的而食则名曰既内五分乃十五分也所以然者月之食限交前后各十三度五分归限八度七十分而望则巳食十分矣更归八十七分而后望则食十一分葢十三度五分均为十五分每分计八十七分食十分计归限八度七十分又既内五分计四度三十五分共十三度五分乃前限之一半其出后限亦然月食分数止以距交逺近而论别无四时加减八方所见食分竝同日食则不然矣旧厯云假令中国食既戴日之下所亏才半化外反观则交而不食何以言之日月如大小二毬非若二饼之平圆也日食非体失明但因黑月障人所视所以云食也月虽障日与人相去较逺畧似片云掩翳非能尽障日体偏傍望之则不尽然若将赤毬比月大小相同共悬一索日上月下相去稍逺人在其下正望之则黑毬遮尽赤毬比若食既傍视而分逺近之差即食数有多寡也日行有四时早晚之异月行有九道之殊日行多南月在隂厯则中国见食分多月在阳厯则中国见食分少偏南之地开北户可以向日此处月在阳厯反食多隂厯反食少戴日之下则在酌中之间夏日近中国冬日近交广如此则戴日之下不定酌中之处亦移凡食在午前见食早食在午后见食迟地偏西者见食早地偏东者见食迟推歩厯之南北差乃为四时而加减又以地偏南北逺近而加减之南北不可以路里计但自考其表景更视北极出地度数而推之东西差则为早晚而加减又以地偏东西逺近而加减之东西亦不可以路里计但自考其表景更验中星而加减之今太史所报之数止言中国所见也虽然推步有法终是未密时或有失于多寡日月交朔于夜望食于昼者在所不论葢已没入地则不见其食也若带食分出入在于晨昬之际虽不见其食甚但见初亏或见复圆以前者则亦论之所谓食甚之时乃在初亏复圆酌中处非食既者亦于此际食分最多从此则转减少矣若月食既又云甚者葢以初既之时名食既却于食既之后生光之先取其酌中处名为食甚日食既者则不然食既食甚生光总不分别止作食甚时刻言之葢食既不久止在须臾也在望交者月道广一度暗虚之道广二度两度相犯处多故食限不少有一十三度五分在朔交者日月之道止广二度两道既皆不广相犯处不多故食限少约计八度左右日食限少故逐年罕见其食月食限多故频见其食月之圆径一度而暗虚圆径二度故两轮相犯之时刻久朔交而仰观日月则大小相若故相犯之时刻不多所谓起复方位是以月在隂阳厯论之月在阳厯者日食起于西南甚于正南复于东南月食起于东北甚于正北复于西北月在隂厯者日食起于西北甚于正北复于东北月食起于东南甚于正南复于西南凡日月食至八分已上者日食但云起于西复于东月食但云起于东复于西或曰天体之内大地在太虚之中亦为大月望而纬度不对者可以偏受日光之全大地不可傍障若望而经纬俱对则大地正当其间所以相障而月食食不尽者稍有参差也愚却以为不然推步暗虚者以比圆体而求月食今大地却非圆体大地边傍四围与夫地平之下不可见其圆与不圆夜半前后月食难以辨论矣倘食于晨昬出入之际则须大地之上如覆半瓜今阳城在地中非髙于四逺又且地平之北髙南下但见其平斜地形非似半瓜则暗虚不可言地景矣(案地体虽浑圆百里数十里不)(见其圆人目直注不能环曲试泛舟江湖但见舟所到之处隆起而水之来不见其首水之去不见其尾洞庭)(之广日月若出没其中逺山悉在环曲下不为障也测北极出地髙下及东西各方月食之时刻早晚皆地体)(浑圆地度上应天度之证张衡灵宪曰当日之冲光常不合者蔽于地也是谓暗虚月过则食使暗虚非地景)(何物适当日之冲随日旋转有径可测乎此昧于地体而疑之由测騐䟱耳)日阳月隂阳主徳隂主刑有国家者日食则惧徳之有失月食则惧刑之有失故日食修徳月食修刑所谓救之者非能救其食是乃观乎天文以察时变不得不儆戒耳夫子于迅雷风烈必变况有国家者于日月食乎要日月之食乃所行交道常数虽太平盛世有所不免故可以筹䇿先推非若三辰有反常之变也目轮分视物小而近蔽逺则多立步小移所障迥别夫日月之行道于列㝛虽似依躔相去悬逺测望之所不同见其少广亦异今以画图喻之画一车轮周围辐辏比三百六十余度轮围比天之㝛躔毂窍比六合之中以黄纸剪为日体以黒纸剪为月体所以黑者月体本黑受日之光耳日大月小其围径相倍于辐度内置日月同躔月近毂中日近轮围然近中䖏度狭近围䖏度广日月虽大小不同俱谓之占一度然后量日月距纬之数以黄色画日道黑色画月道不必广止画一线之周各取日月体心为距数不以匡廓为准别将透眀薄纸又画大轮圗与先画轮圗相似但大小不同周径相倍名薄纸之圗曰眼轮其毂窍以比测望眼目若将薄纸之毂加扵先画之毂即是眼瞳在六合之中矣若于此处遍望则月体所遮正在本度今地平不当天半地上天多地下天少须当移眼轮图放低比似眼在地平既已移低则望月体所遮之天度非本度矣此非特比望各㝛经度亦可比望去极纬度假若月在嵩髙则地中与天中所望相同月渐低近四傍地中仰望则所遮之度差髙矣近天顶则所差尚少近四傍则所差渐多天中与地中相逺其折半之所平展周围强名夹中于地中观望此处所遮差数最多夹中以下遮差却渐少矣假若于六合之中遍观太阳食既处常在正交的度为是天中在悬虚之所不可升彼测望止就地中望之则食既度未免移差矣非特地中与天中相殊偏方与地中视躔亦别偏东之地望太隂所躔差西偏西之地望太隂所躔差东其南北差互亦然欲得其下正数须当考验以立差法使地平之中及八方所覩如天中然此乃仰观之事(案此即前天地正中)(以下等篇昧于地体之谬说徒足滋惑)若地平少广之理亦当言之世间湖池于水滨平望则广登髙俯视则小人多不悟其理今以此图比之将筹策一条横平于轮辐之内平近于眼毂则所占辐多移低而亦横平比如眼瞳俯视则所占度少矣占辐度多虽小犹大少则虽大若小也五纬距合往古谓天道左旋七政右转如蚁旋磨磨顺蚁逆磨疾蚁迟故天引之而西后世考验乃知两曜悬虚运转本不附著于天各有所行之道恐五纬亦然今且以磨蚁比之月因日而有晦朔弦望其迟疾却不因日五星则因日而迟留伏逆近日则疾逺日则迟迟甚而留留久而退渐疾退退最疾而复迟退如初退止而留留久而顺行却从最迟以至于最疾最疾则与太阳同躔矣岁星最疾约四日行一度荧惑最疾约七日行五度塡星最疾约七日行一度此三星比之太阳行度较少故伏合以后太阳在前岁星距日十三度而晨见荧惑距日十九度而晨见塡星距日十八度半而晨见凡晨见者俱在东方大约近一逺二而留周天相半而退岁星初留约距日一百九度初退约距日一百三十一度荧惑初留约距日一百三十四度初退约距日一百四十四度塡星初留约距日九十四度初退约距日一百二十八度凡退行最疾之时必与太阳对冲退止而留则背距日如初退之度留久而顺行则背距日如初留之度日近于后躔渐近而行渐疾背近如晨见距日度则伏而光不著与日未对冲之先夜半后可望谓之晨段与日既对冲之后夜半前可望谓之夕段太白辰星则不然太白最疾约四日行至五度有余辰星最疾约一日行一度有余此两星疾而比之太阳行度较多伏合以后则行过太阳而前太白距日十度半而夕见辰星距日十六度而夕见凡夕见者俱在西方太白距日甚逺处不过四十五度辰星距日甚逺处不过二十四度既已甚逺则所行迟比太阳较少由是渐与日近太白距日三十度有余而初留辰星距日二十一度半而初留太白留后距日二十四度有余而初退辰星留后距日十九度半而初退凡退行之际与日相近如夕见之度伏而不著与日相逺如夕见之度晨见于东退行最疾之时必与太阳同度退止而留则距日如初退之度留久而顺行则距日如初留之度迟行渐疾而渐近太阳距日如退伏之度则又伏而不著矣与日未退合之先昬后可望谓之夕段与日既退合之后晓前可望谓之晨段金木形体大故伏见与日近水火土形体小故伏见与日逺岁星八十三年而七周天与太阳合度者七十六合期约三百九十九日荧惑七十九年而四十二周天与太阳合度者三十七合期约七百八十日填星五十九年而二周天与太阳合度者五十七合期约三百七十八日金水二星似乎近侍之臣常与太阳不相逺故随太阳而一年周天太白八年而五合于太阳退合者又五约五百八十四日而逆顺两合辰星四十六年之间合于太阳者一百四十五退合亦然约一百一十六日而顺逆两合此乃五纬之常数也古者止知五纬常度未知有变数之加减北齐张子信仰观岁久知五纬又有盈缩之变当加减常数以求其逐日之躔所以然者葢五纬不由黄道亦不由月之九道乃出入黄道内外五纬各自有其道视太阳逺近而迟疾者如足力之勤倦又有变数之加减者比如路里之径直斜曲岁星加减最多处约七度荧惑加减最多处二十五度有余塡星加减最多处八度有余太白加减最多处四度有余辰星加减最多处六度有余此乃五纬盈缩之变数也其他罗㬋计都月孛紫气每日所行均平竝无迟疾夫罗㬋计都者是从月交黄道而求月交之终始该三百六十三度七十九分三十四秒厯二十七日二十一分二十二秒二十四毫罗计于其间各逆行一度四十六分三十秒以此数并月行交终之度即黄道周天之度也罗计渐移十八年有余而周天交初复在旧躔夫月孛者是从月之盈缩而求盈缩一转该二十七日五十五分四十六秒月行三百六十八度三十七分四秒半孛行三度一十一分四十秒半以黄道周天之度并孛行数即月行数也大约六十二年而七周天太隂最迟之处与其同躔夫紫气者起于闰法约二十八年而周天授时厯以一十日八十七分五十三秒八十四毫为岁之闰紫气则一岁行一十三度五分四秒六十毫八十芒两数比之乃加二之算二十八年十闰紫气周行十二宫亦加二之算也旧云紫气是景星然亦罕闻其见史记注云景星状如半月生于晦朔助月为明见则人君有徳明圣之庆也五纬与月孛紫气此皆以左旋步之罗㬋计都逆行乃右旋也若谓十一曜不附天而空转则右转者亦皆是左旋留段者是一日绕地一周而与天同过一度行疾者反是迟行迟者反是疾退者反是疾之甚顺行而迟疾皆是一日绕地一周而以不及天行之数为所行度退行者却是一日遶地一周而多过天行之数退迟者先天不甚多退疾则愈多矣篇内推步之法系以左旋言之未作悬虚而论然以遇见观之鱼行江河虽不附著江河之地须是慿托江河之水水顺流而鱼则可逆可顺后先下上各任其情日月行于天虽悬空而不附著天体意其必须慿托天地之气天体左旋而气亦左旋日月之行以遶地而言之是见其左旋矣以经度考之亦可言其慿气而右旋倘五纬皆是悬虚运行其左右旋亦犹是也而日月五星独异于繁星自有行度者葢隂阳五行之精所以为造化之妙用在是非繁星之比也日月五星体性不齐故迟疾有异亦当以隂阳五行别之
## 卷四
钦定四库全书
革象新书卷四 元 赵友钦 撰葢天舛理 浑仪制度经星定躔 横度去极占景知交 偏逺准则葢天舛理浑天论谓天如鸡子地如中黄大地在天体之内天之两极如门枢轮辐天旋一昼夜而周两极不离元所是故日出地则晓日没地则昬葢天论则不然谓天形如葢北极如葢之顶正当天最髙处四海外则比葢之围簷其葢平旋一昼夜而周葢顶不离元所上天下地地下无天亦无南极日常在天未始出没但去此度逺则此夜而彼昼去彼度逺则此昼而彼夜为其天逺则似乎较低也南地日午则为北地夜半西地天初晓东地天初昬四方之更互皆然释典所谓日遶须弥山而昼夜互者助葢天之说也葢天之说以天愈低而愈逺今北斗近南则髙而小近北则低而大由是观之北极之北天虽愈低郤与中国相近如此则葢天之谬明矣夏昼长而夜短太阳在地下时少故井水冷冬昼短而夜长太阳在地下多故井水温是亦可一见浑天之有理又以葢天而论近日之星常隠逺日之星当常见隠见平分周天之半既然如是北斗之柄与夏至太阳相近缘何彻夜耿耿夏至太阳躔东井其娄胃张翼诸㝛既在半周天内缘何晨昬犹见于东西夫日出二刻半而天先晓日没后二刻半而天方昬夏至太阳近北极子时望北天自当如天之将晓否则岂非葢天谬邪然太阳出没各与地域相近逺晨昬之迟早想必不同假若日常在天恐众星亦距日远近而隠既止系乎地域之昼夜则未可以尽信也(案周髀云笠以写天又云天象葢笠地法覆槃又云天如倚葢皆就人所)(见浑圃之半言之故状如车葢如笠合下半则亦浑圆也浑天图星象于浑圆外面人如在天外观天葢天图)(星象于半圆内面人仍是在天内观天与仰瞻于天不殊既图之于内不得不剖浑圆为二也其云昼夜异处)(如四时相反东方日中西方夜半西方日中东方夜半是地之东西如循环也云北极左右物有朝生暮获赵)(君卿注云北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜是其地平与赤道适齐日过赤道而北其方日)(出地平日过赤道而南其方日入地平也葢天之学不特知天体浑圆并知地体亦浑圆可谓测验至精至密)(汉以来言浑天者不逮也此所引葢天之说乃后人附㑹之妄强加之葢天以便于攻之其亦诬矣)浑仪制度古者有浑天仪又有所谓葢天宣夜葢天不可凭信宣夜失其所传浑天之仪有三一曰六合仪二曰三辰仪三曰四游仪共为一器所谓六合仪者平置一黒环准为地平列十二辰及八干四隅于其上又置黒双环竝结于地平之子午半在地上半在地下比为天脊于其侧刻为周天去极之纬度从地平子位而上三十六度夹一小板于黒双环之间板中通一圆窍比为北极又从地平午位而下三十六度亦夹一小板作为圆窍比为南极则置赤单环比为赤道于上刻周天之经度结于地平卯酉其赤环最髙处结于北极之南九十一度初天顶之南三十六度也四环总六合仪此如天地之定位赤环虽刻周天之经度实非周天之经度乃周地之经三百六十余度也黒环虽刻周天去极之度亦止是周地之纬度三百六十有余也葢为六合仪不以运转天体郤左旋故云周地而不云周天也所谓三辰仪者亦置黒双环与六合仪之双环同但围径较小所刻才是周天去极之度不可言周地度矣所以然者此双环之北板窍与六合仪之北板窍相通共贯一圆轴南板亦然轴既圆则此双环可以运转转于六合仪内转非定体故云此是周天去极度亦置赤单环如六合仪者附结于双动环之上去极九十一度乃是卯酉两月太阳所过之躔赤环所刻周天赤道之度可以随双环而运转之别置黄单环附结于赤环之卯酉㝛度仍刻周天黄道度数恐黄赤两环动揺不穏又作白环佐辅之使无倾欹之患其白环于天郤无所比此五环总为三辰仪所谓四游仪者亦置黒双环与三辰仪之双环同但围径较小于上亦刻周天去极度其北极窍与在外二板窍通一轴南板亦然此双环之内各置一直干名曰直距似乎圆扇之脊与两极相比数均上下俱一外轴量两距之长去其当半处作一圆窍别置一圆板之心穿定八尺衡管圆板两傍聨为圆轴横距于直距之两窍轴圆可转则衡管可以南北低昂而窥天又随此双环而运转东西则无徃而不可窥望故曰四游仪窥管长八尺故四游之环径八尺在外者以次而畧寛若测望各宿星躔则于三辰环上知有几度中外天官亦知分𨽻在各宿几度分𨽻在去极几度又于南轴之外接连一长木以此长木贯定水轮引水运之则南轴因此而转使其一昼夜而周又可比天体之遶地一周也于三辰仪上布列珠玉比为星象即古者璇玑玉衡之遗制也(案璇玑本作璇机周髀有正北极及北极璇机之名有七衡六间冬至日在外衡夏至在)(内衡春秋分在中衡之规法正北极即赤道极为左旋之枢北极璇机即黄道极为右旋之枢中衡即赤道余)(六衡悉准之是为十二中气日随天而左之规法以七衡均分黄道界之为十二黄道斜而七衡与赤道平列)(此虞夏商周相传之旧至秦而失其传汉人草创浑天仪设窥管谓之衡后儒援汉制以当古璇机玉衡于其)(本法益莫之或考矣)经星定躔古者逐夜测騐中星遂知黄道各㝛度数又以浑仪比较而后定但所谓赤道分经之度郤是于浑仪上以黄道推之赤道度数已定复以赤道推变逐年黄道度数如是算之如恐反复不顺今当言之夫赤道距两极之数南北不殊且十二次度均必然万古不易黄道则半偏南而半偏北各次宿度多少不等又因日躔岁差逐年改异理宜先测赤道以分天体郤以赤道推变黄道之度古者虽以赤道推变黄道其赤道郤是先凭黄道而测今欲先测赤道但地平不当天半地上天多地下天少世人与天之髙处相逺四傍之低天则相近天髙处望度差于密天低处望度差于踈浑仪不可以测今别作一术测之于地中置立壶箭刻漏虽依旧制但用水迟速不同木箭之刻画亦异箭分一百四十六画半一昼夜之间其箭浮沉各五十次如是则一日不云百刻乃云百箭葢以一日分为百箭之久每日天体绕地一周则是运行三百六十六度余四之一天运一度则箭之浮沉移四十画百箭总计一万四千六百五十画乃天体遶地一周之数也此壶漏不常用但以推测经星度数然一昼夜之间换水五十次恐有参差则时刻与天先后当就一所置立壶漏四所制度相同庶几可以互相是正壶漏在于屋内别于簷外置一木架四柱而中空不拘大小髙低内容一人坐立架上平放长木两条其长与架相称髙五寸许濶二寸许各凿水沟试令平正两木之间留一长罅其阔不及半寸约三四分首尾广狭均停直指子午中向所谓中向者正午表景最短则凭其指南候昬见时人于架内窥测其眼须当低罅一尺有余否则所望不定若于长木之上以板加之令髙则不必低罅一尺矣然亦当用两人以两架测之庶几可以彼此㕘较观象者候视各㝛若距星来当罅中随即声说看箭者言其箭画数目秉笔者记之然箭画以五色间杂庶几便于夜观其余中外天官亦当如此推测须当再验三四夜以审订焉且测半周天其余候过半年而推测(案此及后篇皆泥于地上天多地下天少之谬说于测验极疎)横度去极浑仪不可测经度亦不可测横度今既别立测经度法亦当别立测横度法其法不拘四时不用壶漏亦不用经度之架别置一架以测之但须地中测验方得其正先于露地凿为方穴正向子午傍挟卯酉以四柱木架置于穴中髙出地平数寸许方广称穴架内可容人坐立尺寸不拘其穴口之南树一长木与架相逺丈余髙七尺许其架之作十字之交但十字之木不向子午卯酉乃斜指四维而各构于柱正交之心树立一表约髙六尺作窍于表首可通琴线不须寛广但令线无涩滞其窍向南之下二尺许别凿一方窍将平木一条于穴内毋令突露窍北其平木约厚二寸许阔四寸许长出窍南一丈稳附于架南所树之木平木正指子午之中上凿水沟以试平正于平木左边均画九十一度有竒乃周天四分之一以一寸准为一度又于平木之上一寸许再构平木一条与在下之平木不异但在上之画处作通窍可容铁箸在下者之画处止作浅窍以承铁箸铁箸长二尺许箸首大窍似乎大针之状插在平木最南之画窍箸窍系以琴线穿从表窍过北有窥筒约长五尺以上首尾各有一环下环在筒尾之上侧数寸许系于表根上环系于琴线窥筒直倚表北琴线长短称之葢线短则系筒不及线长则窥筒偏斜窥筒端直则筒下可以直窥嵩髙一人在架外地上而渐移铁箸箸移画窍而北窥筒之首渐移然恐东西揺曳不定当钉两木于表侧以夹之铁箸逐画北移则可以测众星所在之度测者声说屋下之人书记之若筒平至地筒孔低在表根十字交下则可测际地之度矣须先测北极不动处定在平木为准的之所其余中外天官须于筒内观其偏正逺近当从最南度测起渐移九十一度以至最北星象渐转复可如前测之测望至晓则最低之度升至最髙天髙处度差密天低处度差疎如此则平木之南画当密北画当疎平木左边先画均度不可移改当考南密北疎之数别于右边分画疎密之度亦是周天四分之一但地平不当天半地上天多嵩髙至北望地际恐不止九十一度而已当先测赤道经度考其地平上下隐显几何也东出西没之间不止半周度数则南地纬度亦当増矣増于测度之平木亦度其渐疎而画焉须当两人用两架测望庶几可以彼此参较仍作三四夜审订之审订已定移架指北而测南木亦移树于表北与测北不殊但不用均画之度止须以较定疎密之度测之南北俱已测定则其画数合得半周天度然恐有余数是地上天多也然止可测半周天当俟半年而再测此术系穴地置架若于平地置架亦可测之但穴地置架则架上之表低而似短平地置架则架上之表髙而似长架上之表既髙过所树之木不可不减则低而相称否则不然窥筒亦当减短所以平地亦可测者葢望逺之差不差于移步但差于改向且如夜行所戴之星移步于四郊以望所见并同皆因上仰而望向不改也虽不移步但转其目所见异矣故知异同在于改向不在于移步架上穴而就平地或迁置于东西南北似乎移步窥筒斜转横直是为改向兹欲明其移步改向之理故先言穴地而复不用之原夫地面髙低不齐岂能准则而一之穴于髙处无异于平地而低徒然穿凿何况目齐地平微有所障便难尽视不若置架于平地但移架而免移所树之木也占景知交于地中置立一表约髙四丈表首置圆物状如灯毬亦可竹篾为之而用纸糊但不可透明须令塞实亦不可小小则景淡大郤不妨表下四傍平地以石灰涂之令白以黒画方眼若棋枰然一眼方一寸其画纵横正向子午卯酉然必须广逺涂画之使早晚其景皆在其上或不用石灰但将白纸糊簟而画著地砌钉平妥以代之于是推测四时日景又测九道月景于棋枰上考究东西南北迟疾之差则可推日月两景相犯求其日食分数并求亏圆时刻起复方位八方偏地亦当如此测景比较地中之差但可推测日食葢日食关系仰望参差所以此景可测若夫月食止须歩日度相对不可以两景相犯而推之偏逺准则地中之子午卯酉四向既正则轮盘可正二十四向矣然八方之地各有偏向何以言之葢因测地中而知之春分前二日秋分后二日此两日之卯酉时太阳在地盘卯酉正位假若地偏南北者则卯酉表景不相直以正卯之景定轮盘则不对正酉以正酉之景定轮盘则不对正卯北极是地盘正子之位日中太阳是地盘正午之位假若地偏东西者则子午两向不相直以正午之景定轮盘则不对正子以正子之向定轮盘则不对正午若偏地而欲取正四向以分轮盘则二十四向疎密不均首尾不对矣要当各立偏向其偏卯偏酉虽不能端指正卯正酉然所移之数卯酉皆均不于正卯移多而正酉移少不于正卯移少而正酉移多子午之偏正亦然但地偏南北而不偏东西者子午二向无改异自然是卯酉均移地偏东西而不偏南北者卯酉二向无改异自然是子午均移若地在四隅不在四正而四向偏者必合均移未有准则葢午偏而傍又偏则四向皆偏矣何所取正而均移哉愚今思索因得偏定卯酉之方权置平木一条约长三尺阔五寸厚三寸东端之内五寸许树构短木髙二尺西端之内五寸许树构短木髙一尺短木之首俱作圆窍以窥筒贯于其中须令稳而不动名曰筒架别置一圆案如轮盘然径广约三尺不分二十四向周围三百六十辐辐辏于中不满周天全度者葢约数也置筒架于案上其长短相同使窥筒西窍齐于人目案足髙低称之当昬见时窥望东方之星于筒内将筒架于圆辐渐迁记各星所向圆辐绳墨亦记其在筒内髙低偏正与夫窥见之时漏刻画数俟已测之星晓落西方移转架筒亦于圆辐渐迁而窥望但有一星之两向相直其窥见之时刻又且昬晓两数距夜半皆均距午亦然以此星绳墨为东西之向假作偏卯偏酉准绳犹未得偏卯偏酉之真故曰假所以然者葢为天逺则似较低地东者西望偏酉差南地西者东望偏卯差南欲求其真且以假准绳为则置一木架如地中所测经度者其两木所开长罅直指偏卯酉之假准绳测望天脊之纬度所谓天脊者自地平子际上至北极自北极上至嵩髙自嵩髙南至地平午际比如一环之半周名曰天脊平分东西于正中皆是定体午位凡纬度北距于极者至天脊而最髙最南两傍低于天脊渐渐斜倚于北未至天脊而少偏于东尚自带北而低已过天脊而少偏于西又复指北而低此以一纬度论也若于卯酉长罅之内仰观则见纬度不一惟有天脊纬度与北极最近天脊两傍东西之纬度在罅内者距天脊愈偏则距北极愈逺倘若长罅得偏卯酉之真者脊傍所偏度均假若罅卯差北而罅酉差南其脊西之罅度相距北极较逺脊东之纬度相距北极却近罅卯差南而罅酉差北者反是其纬度距北极之数已测中外天官为准而定即制器所测横度是也若取其偏卯偏酉之真须移长罅而改准绳若移定而脊傍均偏者是得偏卯偏酉之真矣虽然若是不立假准绳而便约量测天脊亦可求之其偏卯偏酉移对于正辰正申者有之移对于正寅正戌者有之偏子偏午移对于正丑正巳者有之移对于正亥正未者有之其偏地二十四向既定若求地偏东西之数则置刻漏准取昬晓折中取为夜半置测经度之木架罅指偏午于此夜半仰望中星以较地中夜半中星则知地偏东西之度数又从罅内候视地中夜半之中星以其偏地此时漏刻比较地中夜半漏刻此又是以时刻求东西之偏数也若求地偏南北之数但论罅内所见天脊纬度取其距北极之数计之此术固可准矣求地中之术亦可用以相参先定所偏子午卯酉绳墨却就春分前二日或秋分后二日太阳正当赤道时分于辰申中刻视表景而画于地但不用偏地刻漏之辰申须当以偏地刻漏较取地中之辰申正时然后将其辰申表景与所偏绳墨相较若偏子午之绳墨近辰景而逺申景者其地偏东近申景而逺辰景者其地偏西若偏卯酉之绳墨近申景而逺辰景者其地偏东近辰景而逺申景者其地偏西量其所偏逺近则是地偏东西之数用辰申景而不用卯酉景者葢偏地而求地中卯酉两时恐太阳出没有迟早之不同或二景一有一无故用辰申也望北极而画定正子之向以较偏子绳墨逺近亦是地偏东西之数用偏地刻漏较取地中午时于偏地中候得地中午时之正画其表景于地以定正午之向较其偏午绳墨逺近亦是地偏东西之数将取向正子正午之画与所偏绳墨相较若偏卯酉之绳墨近正子之向画逺正午之向画者其地偏北近正午之向画逺正子之向画者其地偏南若偏子午之绳墨近正午之向画逺正子之向画者其地偏北近正子之向画逺正午之向画者其地偏南量其所偏逺近则是地偏南北之数地中所戴是嵩髙偏地各有偏戴之处于偏戴之下直望在上纬度则得所戴偏距北极之数(案天顶地平随人所居而异皆以北极为正北日之随天而左一准)(赤道而宗北极故随地可为规识景以正其东西南北葢不论偏南偏北及偏东偏西而皆有子午卯酉之正)(也环地之周上应天度本无定中惟以一方为中因名其南北东西为偏则南北相差测北极出地髙下知之)(东西相差较其月食之时刻早晚知之此篇徒凭胷臆附㑹于测验之理茫然无足取也)此术但凭天象推测然世间有所谓指南针若置偏地其所指者正午欤抑偏午欤若在偏地果指偏午则二十四向随偏午而定亦可用以测天若指正午则偏地难指正向午虽正午而子非正子首尾不对一向既差则二十四向皆差是不可以不辨也偏不向正之理已于篇首详说不复赘辞
## 卷五
钦定四库全书
革象新书卷五 元 赵友钦 撰小罅光景 句股测天乾象周髀小罅光景室有小罅虽不皆圆而罅景所射未有不圆及至日食则罅景亦如所食分数罅虽寛窄不同景郤周径相等但寛者浓而窄者淡若以物障其所射之处迎夺此景于所障物上则此景较狭而加浓予始未悟其理因熟思之凡大罅有景必随其罅之方圆长短尖斜而不别乃因罅大而可容日月之体也若罅小则不足容日月之体是以随日月之形而皆圆及其缺则皆缺罅渐窄则景渐淡景渐逺则周径渐广而愈加淡大罅之景渐逺亦渐广然不减其浓此则浓淡之别也假于两间楼下各穿圆穽于当中径皆四尺余右穽深四尺左穽深八尺置卓案于左穽内案髙四尺如此则虽深八尺只如右穽之浅作两圆板径广四尺俱以蜡烛千余枝密插于上放置穽内而燃之比其形于日月更作两圆板径广五尺覆于穽口地上板心各开方窍所以方其窍者表其窍小而景必圆也左窍方广寸许右窍方广寸半许所以一寛一窄者表其寛者浓而窄者淡也于是观其楼板之下有二圆景周径所较甚不多郤有一浓一淡之殊详察其理千烛自有千景其景皆随小窍㸃㸃而方烛在穽心者方景直射在楼板之中烛在南边者方景斜射在楼板之北烛在北边者方景斜射在楼板之南至若东西亦然其四旁之景斜射而不直者縁四旁直上之光障碍而不得出从旁达中之光惟有斜穿出窍而已穽内既已斜穿窍外止得偏射偏中之景千数交错周遍疉砌则总成一景而圆所以有浓淡之殊者葢两处皆千景疉砌圆径若无广狭之分但见其窍寛者所容之光较多乃千景皆广而疉砌稠厚所以浓窍窄者所容之光较少乃千景皆狭而疉砌稀薄所以淡于是向右穽东边减郤五百烛观其右间楼板之景缺其半于西乃小景随日月亏食之理也又灭左穽之烛但明二三十枝䟱密得所观其楼板之景虽是周圆布置各自㸃㸃为方不相黏附而愈淡矣又皆灭而但明一烛则只有一景而方缘为窍小而光形尤小窍内可以尽容其光郤为大景随空罅之象矣若依旧皆燃左穽之烛则左景复圆别将广大之板二片各悬于楼板之下较低数尺以障楼板而迎夺其景此景较于楼板者敛狭而加浓所以迎夺其景者表其景近则狭而浓逺则广而淡也烛光斜射愈逺则所至愈偏则距中之数愈多围旁皆斜射所以愈偏则周径愈广景之周径虽广烛之光熖不增如是则千景展开而重疉者薄所以愈广则愈淡亦如水多则味减也然其板不可侧髙偏低否则景不正圆而长于是去其所悬之板举其左穽连板之烛彻去穽内卓案复燃连板之烛置于穽㡳而揜之窍既逺于烛景则敛而狭所以歛狭者葢是窍与烛相逺则斜射之光敛而稍直光皆敛直则景不得不狭景狭则色当浓烛逺则光必薄是以难于加浓也先论景距窍之逺近此复论烛距窍之逺近景之逺近在窍外烛之逺近在窍内凡景近窍者狭景逺窍者广烛逺窍者景亦狭烛近窍者景亦广景广则淡景狭则浓烛虽近而光衰者景亦淡烛虽逺而光盛者景亦浓由是察之烛也光也窍也景也四者消长胜负皆所当论者也于是彻去所覆两穽之板别作圆板二片径广尺余右片开方窍方广四寸左片开尖窍三曲皆广五寸余各以索悬于楼板之下令其可以渐髙渐低所以渐髙渐低者表其景之逺广而近狭也仰观楼板之景左尖右方俯视烛光之形左全右半此则大景随空之象各自方尖不随烛光而圆缺也然穽大而板窍仍小今喻以为大罅者葢穽于板窍较逺逺则虽大犹小窍于楼板较近近则虽小犹大方尖窍内可以尽容烛光之形也原尖小窍之千景似乎鱼鳞相依周遍布置大罅之景千数比于沓纸重疉不散张张无参差由此观之大则总是一穽之景似无千烛之分小则不覩一穽之全碎砌千烛之景是故小景随光之形大景随空之象断乎无可疑者句股测天句股之术可以测天然髙深广逺难于推步筹䇿今姑以浅近喻之塔髙十丈未知其数于塔之正东立一木表于表东席地而卧以眼西望塔顶望见塔顶虽髙只与表末相齐于是自塔心量至表根为数五丈又自表根量至测望之眼为数一丈二尺五寸再立后表于前表正东从后表正东如前望之见塔顶亦与后表之末相齐量得两表相逺三丈自后表之根东至测望之眼为数二丈先量得两表皆髙二丈有余从表首下至与眼平只髙二丈亦可以算术求其塔髙两表相逺三丈名曰表间前目距前表一丈二尺五寸名曰前景后目距后表二丈名曰后景前后两景相多七尺五寸名曰景差所以名为景者葢是将灯置于塔顶假若两表有景长短必齐于眼望之处故以名其数也先以心度云移表三丈而景差七尺五寸即是其表每移一丈景差二尺五寸若移前表过西一丈景必减作一丈且移过西四丈景必减尽无余是犹表直于戴日之下则无景也如此则知塔心与前表相远五丈以后表名为小股后景名为小句句者矩之短处也股即木匠之曲尺以塔心距前表之五丈通并表间三丈则知塔心距后表八丈更加后景二丈共计十丈名为大句塔顶髙数名为大股以小勾股作大勾股之则例既然小句二丈而小股二丈则知大句十丈大股必十丈矣若不用后表后景为小勾股而求塔髙前表前景亦可用也以前表二丈为小股前景一丈二尺五寸为小句前景一丈二尺五寸通前表距塔心之数五丈共六丈二尺五寸为大勾塔髙之数为大股以小句股为大句股之则例计小句之数每一丈为小股一丈六尺今大句六丈二尺五寸大股必十丈矣若或显言塔逺之数五丈止立一表以测塔髙者如前名作小句股郤以大句求大股而为塔髙此一表之术乃先知塔逺而止求塔髙若前两表之术则皆未知所以先求塔逺而郤慿塔逺以求塔髙也既可将逺求髙亦可将髙求逺今以画图言之画一棋枰纵横各十寸每眼比一丈总为百眼如此则纵横各有十一画边西第一直画涂红喻为塔髙十丈边东第三直画偏低涂青喻为后表二丈当中直画偏低涂黄喻为前表二丈于后表之东横底涂青喻为后景二丈景末作一圏喻为后目于前表之东横底涂黄喻为前景一丈二尺五寸景末作一圏喻为前目从前目斜画一线向西而髙至塔顶名为前大弦后目亦如前画为后大弦此两条弦非实有物乃眼绳也谓之弦者葢矩曲畧似乎弓两端斜距之数则似弓弰安弦两表之末必与斜弦相凑可比两表之末俱与塔顶相齐以图视之眼绳两条合尖于塔顶渐低则渐开至地平而开广三丈七尺五寸表末只开广三丈如此则是敛窄七尺五寸计髙一表之数二丈以心度云眼绳于地平开广三丈七尺五寸若将敛窄尽绝则至塔顶而髙五表之数每表髙二丈则知塔髙十丈矣十丈为股用之求大句者则亦以小句股为则例而求之后表小股二丈而小句亦二丈如此则大股十丈可知大句必十丈矣大句即是塔逺后目之数前表小股二丈而小句一丈二尺五寸乃是每股一丈句至六尺二寸五分今大股十丈可知大句必六丈二尺五寸矣此大句即是塔逺前目之数先已知大股而止求大句者不须两表之小句股但用一表之小句股为则例而求之乃先知塔髙而止求塔逺也大句大股已得其数亦可求大弦乃眼绳之斜长即人目距塔顶之斜逺也欲求其数不可不明其乘除开方所谓乘者七其八得五十六名曰七乘八或八其七得五十六名曰八乘七若十二与三十相乘则得三百六十所谓自乘者三其三为九或十其十为百或百其百为万或十九自乘十九则为三百六十一凡自乘之数名曰幂幂是覆物之巾方而有眼数自乘之数必方故名为幂所谓除者七除其五十六各得八乃置五十六如七而一则为八也或八除其五十六各得七乃置五十六如八而一则为七也或十二除其三百六十而得三十谓之如十二而一或三十除其三百六十而得十二谓之如三十而一或三除其九而得三或十除其百而得十或百除其万而得百皆曰除也所谓开方者九而开方而得三或百而开方得十或万而开方得百或三百六十一而开方纵横皆得十九是谓开方也凡已乘之数除则复元已除之数乘则复元今求眼绳斜长之数当用句股求弦之术其术曰句自乘名句幂股自乘名股幂两幂相并为弦幂开为平方即得其弦凡以丈尺求者宜改为寸数以算之今以后表所测大句十丈准为大句一千寸其一千寸共乗得一百万寸名曰句幂大股数同名为股幂相并得二百万寸名为弦幂开为平方得后大弦乃一千四百一十四寸有竒是后表之眼绳长一十四丈一尺四寸有余也以前表求前弦者倣之后弦之幂二百万寸而开方譬似方砖二百万片砌于方台之上东西南北纵横数之皆广一千四百一十四片尚有方砖六百四片若欲用尽无余则碎之而砌作大方余数此术以塔心喻戴日之下以塔顶喻日之髙以灯影喻日景喻月景亦然众星无景则人以目就地望而准之测得三辰之髙则可知日月不附著于天而悬虚运转若五纬较逺于经星则是五纬亦悬虚而不附著设或五纬与经星之髙逺相齐则是五纬如磨蚁而右旋矣塔之为物髙数不多两表相距三丈亦可以测若夫三辰之髙必须两表相距数百里否则不觉其景差里之为数长三百步每步之长伸手一度也浙尺约六淮尺约五世间路里迢遥难取径直既然地上量之不直岂能推其三辰髙逺是以古人测表景千里一寸之差犹未亲切姑以其术言之然古者制表未精今别定表之制度并述元有算法就地中各去南北数百里仍不偏于东西俱立一表约髙四丈于表首之下数寸许作一方窍所以低数寸者恐其表首景淡也所以方其窍者葢小窍有景不随空罅之象必随日月之形可以测日月之周径也其窍外广而内狭当中薄如连邉两旁如侧置漏底之盌形圆而窍方所以然者葢日光斜射之际恐其窍枵相妨也窍空之大小当于地上试景而定之直立其表而后试稍有偏斜则不可准若试而光淡者窍差小也景不圆者窍差大也须得酌中为佳若表末细而不可开大窍者以木接之以薄板接之尤妙葢为作侧盌之状也自表根量至空窍下际其寸数名曰表髙两表制度须同不可差异少许同日测表景于正午之时自表根量地至于空窍下际之景其寸数名曰表景以南北表景之数相减余名景差两表相距路里变作寸数名曰表间各乗南北表景各如景差而一即得二表各与戴日之地相距寸数名曰平逺南北各以表景加之所得各以表髙乘之各如表景而一即得日轮顶与戴日地相距寸数名曰日髙乘表间如景差而一却加表髙亦得日髙也若求日轮底之髙者量表髙则至空窍上际量表景亦至空窍上际之景算法竝不殊若将日轮顶底之两髙数相减则知日圆之径以南北表景各加平逺所得自乗名句幂日髙自乗名股幂两幂相并名弦幂开为平方名曰日逺乃南北表窍之景距日斜逺也然南北各有两数葢日轮顶底各距表窍上下之景际其相逺寸数可于南北各作两次求之凡测早晚者倣此太隂亦然若谓表髙难直者当并树两表构横木以为髙架横木之中钉一方环如前表窍之制须当穏实不揺曵却悬一壮绳以代木表系于悬虚之中坠石去地寸许令其急而不缓则直可准矣若测众星者量表则至于窍心望亦须在窍心也此句股之法以横测逺以树测髙乃测髙逺也若测广逺者则以绳引于地而为句股句与股皆横测之若测深逺者髙立表木横构二平木于表前以横测逺以树测深此句股则又有横树之分矣夫测三辰之髙逺者必须逺量两表之间然难于地平直步要当节节测望地平之逺数却通并以为表间是又不可不知也乾象周髀日之圆径一度以算术求其周围计三度一十四分一十六秒月之周径比似之赤道周天三百六十五度二十五分七十五秒以算术求其中径计一百一十六度二十六分五十一秒径当周中似乎圆扇夹脊平分两旁即是南北二极相距之直数折半计五十八度一十三分二十五秒有奇乃是六合各距天中之均数天体圆如弹丸东西南北相距皆然凡相距平分之数皆圆中之径也古人谓圆径一尺周围三尺方广一尺边旁四尺圆象天而天数三方象地而地数四数分隂阳自然有理后世考究则不然方广一尺而边旁四尺无可言者若言圆径一尺而周围三尺则三尺尚有余围三尺而中径一尺则一尺为不足葢围三尺径一尺是六角之田也或谓圆径一尺周围三尺一寸四分(案此刘徽所推)或谓圆径七尺周围二十二尺(案此祖冲之所推约率)或谓圆径一百一十三周围三百五十五(案此祖冲之所推密率)径一尺而周三尺一寸四分犹自径多围少径七尺而周二十二尺却是径少周多径一百一十三而周围三百五十五最为精密今求日周天径是此法也既论其异同亦当言其考究之术画为百眼棋盘一眼广一寸横十寸名句在于东西相距方图之内画为圆图是去其方之四角也圆径十寸与外方之股数相同圆径名髀圆之髀比方之股其数同而字义不异但有方圆之别就圆图之内又画小方图其小方四角不指外方之四角而斜抵东西南北之四正葢其外大方四角在于乾坤艮巽其内小四角在于坎离震兊小方四角斜弦一十寸尚是圆中之髀为数不殊于外方之股以外方而比内方包容之积相半外方积一百寸内方积五十寸何以知其然葢将外方均作四隅而视之一半归于内一半出于外由是察之圆中之直髀即内方之斜弦内方既用为弦圆中难以名股句股与弦名不可紊故称为髀以别之内方之弦十寸自乗得一百寸名弦幂凡弦幂必兼得句股两幂之数今图方而纵横相同当以弦幂均为句股两幂各得五十寸而开方即知句股皆七寸有余考究圆围本起于此考究之术将薄纸剪圆而临于棋枰之上不须于纸上画为方眼但景映以为准则然后于此薄纸之上模下之小方以算术展为圆象充满所定之圆围自四角之方添为八角曲圆为第一次若第二次则求其为曲十六若第三次则求其为曲三十二若第四次则求其为曲六十四凡多一次其曲必倍若至十二次则求其为曲一万六千三百八十四其初之小方渐加渐展渐满渐实角数愈多而其为方者不复方而变为圆矣故自一二次求之以至一十二次可谓极其精密若节节求之虽至千万次其数终不穷须当逐节作为大小句大小股大小句幂大小股幂小弦小弦幂大弦大弦幂但大弦与大弦幂不于节次作之毕竟止用本数而已今先以第一次言之内方之弦十寸名大弦自乗淂一百寸名大弦幂内方之句幂五十寸名第一次大句幂以第一次大句幂减其大弦幂余五十寸名第一次大股幂开方得七寸七厘一毫有竒名第一次大股以第一次大股减其大弦余二寸九分二厘八毫有奇名第一较以此较折半得一寸四分六厘四毫有竒名第一次小句此小句之数乃是内方之四邉与圎围最相逺䖏也以第一次小句自乗得二寸一分四厘四毫有竒名第一次小句幂以第一次大句幂折半得二十五寸又折半得一十二寸五分名第一次小股幂以第一次小股幂并第一次小句幂得一十四寸六分四厘四毫有奇名第一次小弦幂以第一次小弦幂开方得三寸八分二厘六毫有竒名第一次小弦即是八曲之一八乗其第一次小弦得三十寸六分一厘有奇是即八曲之周围也此以小数求之不若改为大数所以然者盖求至十二次数之降者渐小愈小则不便于数名当将大弦改为一千寸大弦幂改为一百万寸第一次大句幂改为五十万寸大股亦如之然后依法而求若求至第二次者以第一次小弦幂就名第二次大句幂以第一次大股幂减其大弦幂余为第二次大股幂开方为第二次大股以减其大弦余为第二较折半名二次小句此小句之数即是八曲之边与圎围最相逺䖏也以第二次小句自乗名第二次小句幂以第二次大句幂两折名第二次小股幂以第二次小股幂并第二次小句幂名第二次小弦幂以第二次小弦幂开方为第二次小弦即是十六曲之一以十六乗其第二小弦即是十六曲之周围也以第二次倣第一次若至十二次亦递次相倣而已置第十二次之小弦以第十二次之曲数一万六千三百八十四乗之得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇即是千寸径之周围也置此周围之数降呼作三尺一寸四分一厘五毫九丝二忽有奇以一百一十三乗之果得三百五十五尺故言其法精密要之方为数之始圆为数之终圆始于方方终于圆周髀之术无出于此矣◆ 《七政推步-明-》（KR3f0006）
## 提要
钦定四库全书 子部六
七政推步 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨案七政推步七卷明南京钦天监监副贝琳修辑即焦竑国史经籍志所载玛沙伊赫(原作马沙亦黒今改正)之回囘厯也考明史厯志囘囘厯法乃西域黙徳讷(原作黙狄纳今改正)国王玛哈穆特(原作马哈麻今改正)所作元时入中国而未行洪武初得其书于元都十五年命翰林李翀吴伯宗同囘囘大师玛沙伊赫等译其书遂设回囘厯科𨽻钦天监而贝琳自跋又称洪武十八年逺夷归化献土盘法预推六曜干犯名曰经纬度时厯官元统去土盘译为汉算而书始行于中国与史所载颇不合按书中有西域岁前积年至洪武甲子岁积若干算之语甲子为洪武十七年其时书已译行则琳之说非也其书首释用数次日躔次月离次五星求法并太隂出入时刻凌化五星恒星度分末载日食月食算术余皆立成表其法以隋开皇己未岁为厯元不用闰月以白羊金牛等十二宫为不动之月以一至十二大小月为动月各有閠日所推交食之分寸晷刻虽亦时有出入而在西域术中视九执万年二厯实为精宻梅文鼎勿庵厯算书记曰囘囘厯刻于贝琳其布立成以太隂年而取距算以太阳年巧藏根数虽其子孙𨽻䑓官者弗能知然囘厯即西化之旧率㤗西本囘厯而加精耳亦公论也明一代皆与大统厯参用明史颇述其立法大畧然此为原书更称详晰惟其法本以土盘布算用本国之书明初译汉之后传习颇寡故无所校雠讹脱尤甚今以两本互校著之于录用存术家之一种而补明史所未备焉乾隆四十六年三月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书七政推步卷一明 贝琳 编释用数例周天计十二宫共三百六十度每一宫三十度 每一度六十分 每一分六十秒 每一秒六十微 每一微六十纤释囘囘厯法积年西域阿刺必年(开皇己未)为元至洪武甲子积七百八十六算释宫分日数白羊戌宫三十一日 金牛酉宫三十一日阴阳申宫三十一日 巨蟹未宫三十二日狮子午宫三十一日 双女巳宫三十一日天秤辰宫三十日 天蝎卯宫三十日人马寅宫二十九日 磨羯丑宫二十九日寳瓶子宫三十日 双鱼亥宫三十日已上十二宫即囘囘厯书所谓不动的月者是也共三百六十五日乃岁周之日也若遇宫分有闰之年于双鱼亥宫之三十日内又添一日其年周岁得三百六十六日也释月分大小及本音名号第一月大(名法而斡而丁) 第二月小(名阿而的必喜世)第三月大(名虎而达) 第四月小(名提而)第五月大(名木而达) 第六月小(名沙合列斡而)第七月大(名列黑而) 第八月小(名阿斑)第九月大(名阿咱而) 第十月小(名答亦)第十一月大(名八哈慢) 第十二月小(名亦思番达而麻的)已上十二月即囘囘厯书所谓动的月者是也大月三十日小月二十九日共三百五十四日乃十二月之日也若遇月分有闰之年于第十二月内又添一日为大月其十二月得三百五十五日也释七曜数及本音名号日一数(名也闪别) 月二数(名都闪别) 火三数(名写闪别)水四数(名察儿闪别) 木五数(名盘闪别) 金六数(名阿的那)土七数(名阙闪别)释闰法求宫分闰日(西域岁前积年即开皇己未为元)法曰置西域岁前积年(减一用之)以一百五十九乘之内加一十五以一百二十八除之余不满法之数若在九十六之上其年宫分有闰日若在九十六之下其年宫分无闰日所除满法之数内加五满七除之余数即所求年白羊宫一日七曜也求月分闰日法曰置西域岁前积年(减一用之)以一百三十一乘之内加一百九十四共得满三十除之余不满法之数若在十八已上其年月分有闰日若在十八已下其年月分无闰日将满法除得之数满七已上去之不尽之数即所求年第一月一日七曜也凡算闰日者有宫分内闰日有月分内闰日若算得宫分内有闰日者于双鱼亥宫内添一日为三十一日月分内不添若算得月分内有闰日者于第十二月内添一日为大月宫分内却不添如宫分月分内俱算得有闰日若宫分内月分内各添一日是也求中国闰月(至元甲子至洪武甲子计积一百二十一算)法曰距至元甲子岁为元至所求年内减一算却加一百三十七以一百二十三乘之又加一十以三百三十四除之得数寄左其除不尽之数若在二百一十一已上其年中国有闰月已下其年中国无闰月若在已上者与三百三十四相减余以四乘之又以四十一除之得数即为所求年中国闰月也假令除得一数是正月二数是二月余倣此当时测定太阳五星最高行度太阳二宫二十九度二十一分土星八宫十四度四十八分木星六宫初度八分火星四宫十五度四分金星二宫十七度六分水星七宫六度十七分七政经纬度法太阳行度求最高总度(西域岁前积年至洪武甲子岁积七百八十六算内减一算为)(全年)法曰置西域岁前积年(即系全年)入总年零年月日立成内各取最高行度并之假令零年是十年者去九年内取月分日数倣此共得即为所求最高总度也求最高行度法曰置求到最高总度内加测定太阳最高行度二宫二十九度二十一分共得为所求年白羊宫最高行度也如求次宫者累加五秒为各宫最高行度也求中心行度法曰置西域岁前积年(即系全年)入总年零年月日立成内各取日中心行度并之共得内减一分四秒即所求年白羊宫一日中心行度也内加九度五十一分二十三秒为各宫内第十一日中心行度也内加一十九度四十二分四十七秒为二十一日中心行度也求各宫中心行度法曰置求到白羊宫一日中心行度内加日躔十二宫立成各宫下日中行度即为各宫中心行度也求自行度法曰置其日中心行度内减其宫最高行度即为所求自行度也求加减差法曰视自行度宫度入太阳立成宫度内取加减分乘其自行度分已下小余得数满六十约之为加减定分却视本行加减差少如后行者以加减定分加之多如后行者以加减定分减之为加减定差如自行度在初宫至五宫为减差在六宫至十一宫为加差即为所求加减差也求经度法曰置其日中心行度以加减差加减之即为所求经度也(逐日细行度与土星木星细行度同法)太阴经度求七曜(如求太阳五星罗计七曜者并依此法求之即得各曜所求七曜也)法曰置西域岁前积年(即系全年)入立成内取总年零年月日下七曜数并之共得满七已上去之即为所求年白羊宫一日七曜也如求次宫者内加各宫七曜数如求逐日者累添一数满七已上去之即得所求也求中心行度(昼夜行十三度一十分三十五秒)法曰置西域岁前积年(即系全年)入立成内各取总年零年月日下中心行度并之共得内减一十四分即为所求年白羊宫一日中心行度也如求次日者累加中心行度十三度一十一分即得所求求加倍相离度(昼夜行二十四度二十二分五十三秒二十二微)法曰置西域岁前积年(即系全年)入立成内各取总年零年月日下加倍相离度并之共得内减二十六分即为所求年白羊宫一日加倍相离度也如求次日者累加加倍相离度二十四度二十三分即得所求求本轮行度(昼夜行十三度三分五十四秒)法曰置西域岁前积年(即系全年)入立成内各取总年零年月日下本轮行度并之共得内减一十四分即为所求年白羊宫一日本轮行度也如求次日者累加本轮心行度一十三度四分即得所求求第一加减差法曰视加倍相离度其宫度入太阴第一加减立成内宫内度下两取之得其度分为未定差其分已下小余以本行加减分乘之满六十约之为分视加减差少如后一行者加之多如后一行者减之用加减两取到未定差即为所求第一加减差也(视加倍相离度在初宫至五宫为加差六宫至十一宫为减差)求本轮行定度法曰置求到本轮行度以第一加减差加减之即为所求本轮行定度也(视加倍相离度在初宫至五宫为加差六宫至十一宫为)(减差)求第二加减差法曰视本轮行定度其宫度入太阴第二加减立成内宫内度下两取之得其度分为未定差其分已下小余以本行下加减分乘之满六十约之为分视加减差少如后行者加之多如后行者减之用加减两取到未定差即为所求第二加减差也视本轮行定度(初宫至五宫为减差六宫至十一宫为加差)求比敷分法曰视加倍相离度宫度入太阴第一加减立成内宫内度下两取之即为所求比敷分也(如加倍相离度零分)(在三十分已上者取后一行比敷分)求远近度法曰视本轮行定度其宫度入太阴第二加减立成内宫内度下两取之得数又本行与后行相减余以乘本轮行定度小余满六十约之为分用加减两取远近度视远近度少如后行者加之多如后行者减之得数即为所求远近度也求泛差法曰置比敷分以远近度通分乘之得数满六十约之为分即为所求泛差也求加减定差法曰置第二加减差内加泛差共得即为所求加减定差也(视本轮行定度初宫至五宫为减差六宫至十一宫为加差)求太阴经度法曰置其日太阴中心行度以加减定差加减之得数(言加者加之言减者减之)即为所求太阴经度也五星经度求最高总度法曰依太阳术求之即为所求最高总度也求最高行度法曰置求到各星最高总度内加测定各星最高行度共得即为所求年白羊宫最高行度也如求次宫者累加五秒即得各宫最高行度也求日中行度(亦名中心行度)法曰依太阳术求之即为所求日中行度(如求次宫者内加各)(宫日中行度求十日者加十日日中行度自然吻合也)求自行度法曰置西域岁前积年(即系全年)入立成内总年零年月日下各取自行度并之共得即为所求年白羊宫一日自行度也土木金三星减一分水星减三分火星不减(如求次宫者内加各宫自行度求十日者内加十日自行度自然吻合也)水星如自行度遇三宫初度作五日一叚算至九宫初度作十日一叚算纬度亦然求小轮心度法曰土木火三星置太阳中心行度内减其星自行度为土木火三星中心行度内又减最高行度为其星小轮心度也金水二星置太阳中心行度(即其)(星中心行度也)内减其星最高行度余为金水二星小轮心度也(如求次宫并十日二十日者并依前法求之也)求第一加减差法曰视其星小轮心度其宫度入各星第一加减立成内宫内度下两取之得其度分为未定差其分已下小余以本行下加减分乘之满六十约之为分视加减差少如后行者加之多如后行者减之用加减两取到未定差即为所求第一加减差也求自行定度及小轮心定度法曰视其星小轮心度在初宫至五宫以第一加减差加自行度减小轮心度为定度在六宫至十一宫以第一加减差减自行度加小轮心度为定度即各得所求求第二加减差法曰视其星自行定度其宫度入各星第二加减立成内宫内度下两取之得其度分为未定差其分已下小余以本行加减分乘之满六十约之为分视加减差少如后行者加之多如后行者减之用加减两取到未定差即为所求第二加减差也求比敷分法曰视小轮心定度其宫度入第一加减立成内宫内度下两取之即得为土木金水四星比敷分(如小)(轮心定度小余分在三十已上者取后行比敷分用之)火星以两取到比敷分与后行相减余以乘小轮心定度小余满六十约之为秒视比敷分少如后行者加之多如后行者减之用加减两取到比敷分即为所求比敷分也求远近度法曰视自行定度其宫度入第二加减立成内宫内度下两取远近度又本行与后行相减余以乘自行定度小余满六十约之为分视远近度少如后行者加之多如后行者减之用加减两取到远近度即为所求远近度也求泛差法曰置比敷分以远近度通分乘之得数满六十约之为度分即为所求泛差也求加减定差法曰置第二加减差内加泛差共得视自行定度在初宫至五宫为加差六宫至十一宫为减差即为所求加减定差也求五星经度法曰置小轮心定度以加减定差加减之内加各星最高行度共得即为所求五星经度也求五星留退叚(土星留七日其留日前三日后三日皆与留日数同木星)(留五日其留日前二日后二日皆与留日数同火金水三星不留退而即行行而即退)法曰视其留叚小轮心定度其宫度入五星顺退留立成内宫内度下两取各星下宫度分本行与前后二行相减(若取得在初宫至六宫本行与后行相减六宫至初宫本行与前行相减)余为法又置其日小轮心定度内减立成内小轮心定度余为实通分以法乘之用六度除之满六十约之为分视两取各星下宫度分顺行者加之退行者减之用加减两取到各星下宫度分得数与其日自行定度同者即本日留如自行定度多者已过留日少者未到留日以两取到各星下加减所得宫度分与自行定度相减余以立成内各星一日下自行度约之即得留日在本日前后日数也求留日自行度法曰置其日自行度如留在前者减留在后者加视前后几日以立成内各星自行度加减之即得所求求留日小轮心度法曰金水二星置其日小轮心度视留在前后几日以立成内日中行度分加减之(留在前者减留在后者加)即得所求土木火三星视留在前后几日以立成内三星自行度去减立成内日中行度分余加减其日小轮心度(留在前者减留在后者加)即得所求求五星细行法曰如土木火金四星以前后二叚经度相减以相距日除之为日行分却置前叚经度以日行分顺加退减之即得所求(水星白羊宫初日经度又算前一日经度二数相减余为)(初日行分)又如水星置本叚经度与前一日经度相减余为初日行分却置前后二叚经度相减余以相距日除之得数为平行分与初日行分相减得数倍之以前叚前一日与后叚相距日数除之为日差置初日行分以日差加减之如初日行分少如平行分者加多如平行分者减得数为日行分置前叚经度以逐日行分顺加退减之即为水星逐日经度也五星伏见求五星伏见法曰视各星自行定度在伏见立成内限度已上者即得五星晨夕伏见也太阴纬度求计都与月相离度法曰置太阴经度内减计都行度余即为计都与月相离度分也(如不及减者加十二宫减之也)求太阴黄道南北纬度法曰视计都与月相离度宫度分其宫度入太阴纬度立成内宫内度下两取之得其度分秒为未定纬度其小余分以本行加减分乘之得数满六十约之为分秒视两取未定纬度在前六宫加后六宫减用加减未定纬度即为所求太阴黄道南北纬度也视计都与月相离度在初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求计都中心行度法曰置西域岁前积年入立成内取总年零年月日下罗计中心行度并之假令零年是十年者去九年内取月分日数倣此即为所求年白羊宫一日罗计中心行度也如求次宫者以各宫罗计中心行度加之如求十日者以十日下罗计中心行度加之即得所求求计都行度法曰置十二宫内减其日计都中心行度即得所求求计都细行度法曰以前后二叚行度相减余以相距日数除之为日差却置前叚计都行度以日差累减之即得计都逐日细行度也求逐日罗㬋行度法曰置其日计都行度内加六宫即为逐日罗㬋行度也五星纬度求最高总度最高行度中心行度自行度小轮心度并依五星经度术求之即得求自行定度法曰置自行度宫度分其宫以一十乘之为度于上如一宫以十乘之得十度其度以二十乘之为分满六十约之为度其分亦以二十乘之满六十约之为分并入分内共得又满六十约之为度并入于上共得即为所求自行定度也求小轮心定度法曰置小轮心度宫度分其宫以五乘之为度于上如一宫以五乘之得五度其度以一十乘之为分满六十约之为度其分亦以一十乘之为秒满六十约之为分并入分内又满六十约之为度并入于上共得即为所求小轮心定度也求五星黄道南北纬度法曰视小轮心定度并自行定度入纬度立成内两取得数置小轮心定度内减立成上小轮心定度余通为分以两取数本行与后行相减(若遇交黄道者本行)(与后行相并)得数为法乘之以立成上小轮心度累加数除之满六十约之为分用加减两取数(多如后行减少)(如后行加)得数寄左(若遇交黄道者虽是后行数多只减之也)又置自行定度内减立成上自行度余以两取数本行与下行相减(若遇交黄道者本行与下行相并)得数为法乘之以立成上自行度累加数除之满六十约之为分与寄左加减如两取数多如下行者减少如下行者加(若遇交黄)(道者所得分多如寄左数置所得分内减寄左数余为交过黄道南北分也)得数即为所求五星黄道南北纬度也求五星纬度细行法曰置其星前叚纬度与后叚纬度相减余以相距日除之为日差置前叚纬度以日差顺加退减之即得逐日纬度也求前后叚遇中间交黄道者法曰置其星前后叚纬度并之共得以相距日除之为日差置前叚纬度以日差累减之至不及减者于日差内减之余以日差累加之即得所求太阴五星凌犯求太阴昼夜行度法曰置次日经度内减本日经度余即为本日昼夜行度也求昏刻度(朔后看)法曰置其日午正太阴经度内加立成内其日昏刻加差即为其日昏刻太阴经度也求月入度法曰置其日午正太阴经度内加立成内其日月入加差即为其日月入时太阴经度也求月出度(朢后看)法曰置其日午正太阴经度内加立成内其日月出加差即为其日月出时太阴经度也求晨刻度法曰置其次日午正太阴经度内减立成内其日晨刻减差余为其日晨刻太阴经度也求所犯星座法曰朔后视昏刻至月入度宫度望后视月出至晨刻度宫度各入黄道南北各像内外星立成内其星经纬度相近者取之即得所犯星座也求时刻法曰置其日午正太阴经度与取到各像内外星经度相减余通分以二十四乘之得数以太阴昼夜行度亦通分除之得西域时命起子午正减之(朔后)(命起午正望后去减十二时余命子正)得中国时(其小余以六十通之为分)以一千乘之以一百四十四除之得数以一百约之为刻即得所求时刻也又法曰置其日午正太阴经度与取到各像内外星经度相减余与太阴昼夜行度入时刻立成内两取之其上即得所求时刻也(若太阴经度多如所犯星经度取午前时)(刻若太阴经度少如所犯星经度取午后时刻)求上下相离分法曰置取到各像内外星经度内减其日计都度(如不)(及减者加十二宫减之)余为计都与月相离度依太阴纬度术入之得太阴纬度也(即太阴某时犯某星其时所行纬度也)与所犯星纬度相减余为上下相离分若月与星同在南者(月多为下离月少为上离)同在北者(月多为上离月少为下离)若月与星南北不同者(月在北为上离月在南为下离)即为所求上下相离分数也求五星凌犯杂座法曰视其日午正五星经纬度入黄道立成内寻各像内外星经纬度相近在一度已下者取之其五星纬度与各星纬度相减(上下同前)余即得上下相离分也求月犯五星法曰其用法次第并依太阴犯杂座星术入之即得所求求五星相犯法曰视其日五星经纬度相近在一度已下者取之即得所求交食辨日食限法曰若合朔在昼者视太阴纬度在黄道南四十五分已下为有食在黄道北九十分已下者为有食又合朔在日未出三时者系西域时视太阴纬度在黄道南四十五分已下黄道北九十分已下为有食又合朔在日入一十五分者(一时六十分一十五分即四分时之一也)视太阴纬度在黄道南四十五分已下黄道北九十分已下亦为有食辨月食限法曰视朢日太阴经度与罗㬋或计都度相离一十三度之内为有食又视朢日太阴纬度在一度八分之下为有食又法视朢日太阴未出二时或未入二时与太阳相朢者其限有带食用算在未出或未入二时已上者即在昼也不用算推日食法午正太阳度 午正太阴行过太阳度午正太阴经度 午正太阳中心行度午正太阴纬度黄道南北午正太阳自行度 午正计都度午正太阴本轮行度太阳日行度 太阴日行度求食甚泛时(视其日午前合朔用前一日诸数推之午后合朔用次日诸数)(推之)法曰置午正太阴行过太阳度通秒以二十四乘之得数为实又置太阴日行度内减太阳日行度余通秒得数为法置实满法除之为时其时下零数以六十通之为分分下零数以六十通之为秒满三十秒已上収为一分满六十分収为一时共得数即为所求食甚泛时也求合朔时太阳度法曰置食甚泛时通分得数以太阳日行度通秒乘之得数以二十四除之为㣲满六十约之为分秒用加减午正太阳度(午前合朔减之午后合朔加之)余即为所求合朔时太阳度即食甚日躔黄道宫度分求加减分法曰视合朔时太阳度其宫度入昼夜加减立成内横取加减分为未定加减分以本行加减分与后一行加减分相减余以乘其合朔时太阳度小余得数为纤满六十约之为㣲又约之为秒去加减横取到未定加减分(少如后行者加之多如后行者减之)得为所求加减分也求子正至合朔时分秒法曰置食甚泛时内加减前求到加减分(午前合朔减午后合)(朔加)余数加减一十二时得即为所求子正至合朔时分秒也(午前合朔用减十二时午后合朔用加十二时)求第一东西差法曰视合朔时太阳度在某宫若在右七宫取上行时若在左七宫取下行时横推太阳某宫视子正至合朔时某时内两取经差为未定差又取次一时经差与未定差相减余通秒寄左又置子正至合朔时小余亦通秒得数与寄左相乘得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定经差(如次一时经差少者减之)(如次一时经差多者加之)即为所求第一东西差也求第二东西差法曰视合朔时太阳度在某宫又推取次一宫又视子正至合朔时某时内两取经差为未定差又取次一时内经差与未定差相减余通秒寄左又置子正至合朔时小余亦通秒与寄左相乘得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定经差(如次一时经差少者)(减之如次一时经差多者加之)即为所求第二东西差也求第一南北差法曰视合朔时太阳度在某宫又视子正至合朔时在某时内两取纬差为未定差又取次一时内纬差与未定差相减余通秒寄左又置子正至合朔时小余亦通秒与寄左相乘得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定纬差(如次一时纬差少者减之如次一时纬差多者)(加之)即得所求第一南北差也求第二南北差法曰视合朔时太阳度在某宫又推取次一宫又视子正至合朔时某时内两取纬差为未定差又取次一时内纬差与未定差相减余通秒寄左又置子正至合朔时小余亦通秒与寄左相乘得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定纬差(如次一时纬差少者)(减之如次一时纬差多者加之)即为所求第二南北差也求第一时差法曰视合朔时太阳度在某宫又视子正至合朔时在某时内两取时差为未定差又取次一时内时差与未定差相减所余分寄左又置子正至合朔时小余分通秒与寄左相乘得数为㣲满六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定时差(如次一时时差少者减之如次一时时差多者加之)即为所求第一时差也求第二时差法曰视合朔时太阳度在某宫又推取次一宫又视子正至合朔时在某时内两取时差为未定差又取次一时内时差与未定差相减所余分寄左又置子正至合朔时小余分通秒与寄左相乘得数为㣲满六十约之为秒又以六十约之为分去加减两取到未定时差(如次一时时差少者减之如次一时时差多者加之)即为所求第二时差也求合朔时东西差法曰置第一东西差与第二东西差相减余通秒寄左又置合朔时太阳度分通秒与寄左相乘以三十度除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减第一东西差(视第一东西差多如第二东西差者减之少如第二东西差者加之)即为所求合朔时东西差也求合朔时南北差法曰置第二南北差与第一南北差相减余通秒寄左又置合朔时太阳度分通秒与寄左相乘以三十度除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减第一南北差(视第一南北差多如第二南北差者减之少如第二南北差者加之)即为所求合朔时南北差也求合朔时时差法曰置第一时差与第二时差相减余通秒寄左又置合朔时太阳度分通秒与寄左相乘以三十度除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分去加减第一时差视第一时差(多如第二时差者减之少如第二时差者加之)即为所求合朔时时差也求合朔时本轮行度法曰置太阴本轮行度一十三度四分(即立成内一日下本轮行)(度也)通分以食甚泛时亦通分乘之得数以二十四除之为秒满六十约之为分又以六十约之为度去加减其日午正本轮行度(午前合朔减之午后合朔加之)即为合朔时本轮行度也求比敷分法曰视合朔时本轮行度入立成宫度内横取其比敷分为未定分又与次一行比敷分相减余为法又置合朔时本轮行度(内减立成内横推宫度余通分)以法乘之得数为㣲以六度除之满六十约之为秒用加减横取到未定比敷分(视次行比敷分少者减之多者加之)即为所求比敷分也求东西定差法曰置求到合朔时东西差通秒为实以求到比敷分亦通秒为法乘之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分得数(此数)(常加之)加入合朔时东西差共得为东西定差也求南北定差法曰置前求到合朔时南北差通秒为实以求到比敷分亦通秒为法乘之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分得数(此数常加之)加入合朔时南北差共得为南北定差也求食甚定时法曰视其日合朔时太阳度在左七宫其时差黑字者减白字者加在右七宫白字者减黑字者加皆加减子正至合朔时得数命起子正减之(如午后合朔者)(内减十二时命其午正减之)得某时初正余数以六十通之为秒以一千乘之以一百四十四除之以六十约之满百为刻得若干刻几十几秒也即食甚定时求食甚时太阴经度法曰置合朔时太阳度内加减东西定差其加减依求食甚定时术视时差白黑字加减之即为食甚时太阴经度也求合朔时计都度法曰置前求到食甚泛时通分寄左以计都日行度三分一十一秒(系立成内一日下计都度)通秒得一百九十一秒以乘寄左得数以二十四除之得数为㣲满六十约之为秒又以六十约之为分用加减其日午时计都度(午时前合朔加午时后合朔减)共得为合朔时计度宫度分也求合朔时太阴纬度法曰置前求到食甚时太阴经度内减合朔时计都度余为计都与月相离度依术入太阴纬度立成内求之得黄道南北度分为合朔时太阴纬度也求食甚太阴纬度法曰置南北定差内加减合朔时太阴纬度视合朔时太阴纬度(在黄道南加在黄道北减)皆与南北定差相加减之得为食甚太阴纬度也求合朔时太阳自行度法曰置太阳中行度五十九分八秒(即立成内一日下太阳日中行)(度)通秒得三千五百四十八秒以食甚泛时通分乘之以二十四除之得数为㣲满六十约之为秒又以六十约之为分得数用加减其日午正自行度(午前合朔减午后合朔加)即为合朔时太阳自行度也求太阳径分法曰视合朔时太阳自行度其宫度入影径分立成内同宫近度者横取太阳径分为未定径分寄左又取次一行太阳径分与寄左相减为法又置合朔时太阳自行度内减立成内自行同宫近度余通秒为实以法乘之以六度除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒用加减横取到未定径分(如次一行太阳径分少者减之多者加之)即为太阳径分也求太阴径分法曰视合朔时本轮行度入影径分立成同宫近度者内横取太阴径分为未定径分寄左又取次一行太阴径分与寄左相减为法又置合朔时本轮行度内减立成内同宫近度本轮行度余通分得为实以法乘之以六度除之得数为㣲满六十约之为秒用加减横取到未定径分(如次一行径分多者加之少者)(减之)共得为太阴径分也求二径折半分法曰置太阳径分并入太阴径分共得数半之得为二径折半分也求太阳食限分法曰置二径折半分内减食甚太阴纬度(如不及减者不食)余为太阳食限分也求太阳食甚定分法曰置太阳食限分通秒以一千乘之为实以太阳径分通秒为法除实得数以百约之为分得为太阳食甚定分也求时差法曰置食甚太阴纬度通秒自乘之得数寄左又置二径折半分亦通秒自乘之得数内减寄左余数以平方开之得数以二十四乘之为实以其日太阴日行度内减太阳日行度余通分为法实如法而一得数为分如满六十分约为一时即为所求时差也求初亏时刻法曰置食甚定时内减时差余时命起子正减之得初正时余分(通秒)以一千乘之得以一百四十四除之以六十约之满百为刻即初亏时刻秒也求复圆时刻法曰置食甚定时内加时差命起子正减之得初正时余分(通秒)以一千乘之得以一百四十四除之以六十约之满百为刻得即复圆时刻也求初亏食甚复圆方位法曰视太阳若食既或食八分九分者初亏在正西食甚在正南复圆在正东若食八分已下者却视食甚太阴纬度在黄道北者初亏西北食甚正北复圆东北在黄道南初亏西南食甚正南复圆东南又曰置二径折半分内减食甚太阴纬度余视与太阳径分同者食十分若多如太阳径分者食十分已上即食既也食甚太阴无纬度太阴径分与太阳径分同者全食黑了若太阴径多如太阳径者食既也若太阴径分少如太阳径分者其食有金环推月食法推月食用数太阳日中行度 太阳自行度 太阳行度太阴经度 本轮行度 计都度太阳日行度 太阴日行度求食甚泛时(视其日午前望用前一日诸数推之午后望用次日诸数推之)法曰置其日太阴经度内减六宫如不及减者加十二宫减之得数减其日太阳度为午前望(如不及减者置)(其日太阳度加入六宫内减其日太阴经度为午后望)置相减余数通秒以二十四乘之为实置其日太阴经度内减前一日太阴经度(若在午后望者去减后一日太阴经度也)余为太阴日行度也又置其日午正太阳度内减前一日午正太阳度(若在午后望者去减后一日太阳度也)余为太阳日行度去减太阴日行度余通秒为法除实得数为时其时下余数以六十通之为分分下余数又以六十通之为秒即为所求食甚泛时也求食甚月离黄道宫度分法曰置食甚泛时通秒寄左又置求到太阳日行度通秒以乘寄左以二十四除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分得数为加减分去加减其日午正太阳度(午前望减)(午后望加)余为望时太阳度内加六宫得数即为所求食甚月离黄道宫度分也求昼夜加减差法曰视求到望时太阳度其宫度入昼夜加减立成内宫度下两取之得数为未定加减分又本行加减分与后行加减分相减以乘望时太阳度下小余通秒得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒去加减两取到未定加减分(如加减分多如后行者减)(之少如后行者加之)余为所求昼夜加减差也求食甚定时法曰置求到食甚泛时内加减昼夜加减差(午前望减午后)(望加)余数去加减一十二时即为食甚定时(如在午后望者)(内加一十二时命起子正减之如在午前望者去减十二时命起子正减之)得初正时其小余通秒以一千乘之如一百四十四而一得数满六十约之为秒得数以百约之为刻得几刻几十几秒即食甚定时也求望时计都度法曰置求到食甚泛时通秒为实以立成内一日下计都中心行度三分一十一秒通秒乘之以二十四除之得数为纤满六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分用加减其日午正计都度(午前望加午后望减)共得即为所求望时计都宫度也求望时太阴纬度法曰置求到食甚月离黄道宫度分内减望时计都度(如不及减者加十二宫减之)余为计都与月相离度依太阴纬度术求之得黄道南北初度分秒即为所求望时太阴纬度也求望时本轮行度法曰置立成内一日下太阴本轮行度一十三度四分通分以前求到食甚泛时通秒乘之以二十四除之得数为㣲满六十约之为秒又以六十约之为分又满六十约之为度得数用加减其日午正本轮行度(午前望减午后望加)余即为所求望时本轮行度也求太阴影径分法曰视求到望时本轮行度其宫度入影径分立成宫度下横取太阴影径分为未定影径分又置影径分本行与后行相减余寄左置望时本轮行度内减立成内同宫近度余通分与寄左相乘得数为㣲以六度除之满六十约之为秒用加减取到未定影径分(如影径分少如次行者加之多如次行者减之)即为所求太阴影径分也求太阴径分法曰视求到望时本轮行度其宫度入影径立成下横取太阴径分为未定径分又置径分本行与后行相减余寄左置望时本轮行度内减立成内同宫近度余通分与寄左相乘得数为㣲以六度除之满六十约之为秒用加减取到未定径分(如太阴径)(分少如次行者加之多如次行者减之)即为所求太阴径分也求望时太阳自行度法曰置立成内一日下太阳中心行度五十九分八秒通秒以食甚泛时通秒乘之以二十四除之得数为纤以六十约之为㣲又以六十约之为秒又以六十约之为分用加减其日午正太阳自行度(午前望减午后望加)余即为所求望时太阳自行度也求太阴影径减差法曰视求到望时太阳自行度其宫度入影径立成内宫度下横取太阴影径减差为未定差又置影径减差本行与次行相减余寄左置望时太阳自行度内减立成内同宫近度余通分与寄左相乘以六度除之得数为㣲以六十约之为秒用加减取到未定差(如影径减差少如次行者加之多如次行者减之)得为太阴影径减差也求太阴影径定分法曰置求到太阴影径分内减影径减差余即为影径定分也求二径折半分法曰置求到太阴径分内加影径定分得数半之得即为所求二径折半分也求太阴食限分法曰置求到二径折半分内减求到望时太阴纬度余即为所求太阴食限分也(如不及减者则不食)求食甚定分法曰置求到太阴食限分通秒以一千乘之得为实置太阴径分通秒为法除实得数以百约之得数即为所求太阴食甚定分也求太阴逐时行过太阳分法曰置太阴望日经度内减前一日太阴经度余数寄左置望日太阳度内减前一日太阳度余数用减寄左得为太阴昼夜行过太阳度通秒以二十四除之满六十约之得即为所求太阴逐时行过太阳分也求时差(即初亏至食甚也)法曰置求到望时太阴纬度通秒自乘之得寄左又置二径折半分亦通秒自乘之得数内减寄左余为积平方开之得为实以太阴逐时行过太阳分通秒为法除实得为时差其时下小余以六十通之为分分下小余以六十通之为秒即为所求时差也求初亏时刻(午后望者食甚定时内减十二时用初亏食既生光复圆同)法曰置求到食甚定时内减时差余命起子正减之(如午后望命起午正减之)得初正时其小余通秒以一千乘之得以一百四十四除之得满六十约之得数百约为刻得几刻几十几秒也求复圆时刻法曰置求到食甚定时内加时差得数命起子正减之(如午后望命起午正)得初正时依前求刻法约之即得刻秒也求食既食甚加减差法曰置二径折半分内减太阴径分余通秒自乘之得数寄左又置望时太阴纬度亦通秒自乘之去减寄左余以平方开之得数为实以太阴逐时行过太阳度通秒为法除实得数以六十通之为分其分下小余以六十通之为秒即为所求食既至食甚加减时差也求食既生光时刻法曰置食甚定时内减食既至食甚加减时差为食既时又置食甚定时内加食既至食甚加减时差为生光时其时之初正并刻秒并依初亏时刻法求之是也求初亏食甚复圆方位法曰视月食若食既者初亏正东复圆正西若不食既者视望时太阴纬度在黄道南者初亏东北食甚正北复圆西北如太阴纬度在黄道北者初亏东南食甚正南复圆西南相乘定数 (度乘分得分度乘㣲得㣲) (度乘秒得秒分乘分得秒)(分乘秒得㣲秒乘秒得纤) (分乘㣲得纤)相除定数 (度除分满法得分度除㣲满法得㣲) (度除秒满法得秒分除分满法得度)(秒除秒满法得度)推日月出入带食法求日出入时法曰视其日午正太阳经度入西域昼夜时立成内宫内度下两取之得数为未定分其未定分本行与后行相减余通分为法又置太阳经度分已下小余通秒为实以法乘之得数为㣲以六十约之为秒又以六十约之为分加入两取未定分得数寄左又视其日午正太阳经度相对宫度内两取之(如太阳在初宫三度却于六宫三度内取之他倣此)得数为后取未定分其后取未定分本行与后行相减余通分为法又置太阳经度分已下小余通秒为实以法乘之得数为㣲以六十约之为秒又以六十约之为分加入后取未定分得数内减寄左(如不及减者加三百六十度减之)余数通秒以十五除之满六十约之为分又满六十约之为时得其日昼时分秒折半之为其日半昼时分秒置十二时内减半昼时分秒余为日出时分秒又置十二时内加半昼时分秒共为日入时分秒即得所求求日月出入带食所见分秒法曰视其日日出时分秒并日入时分秒多如初亏时分秒少如食甚定时及复圆时分秒者即有带食也置其日日出时或日入时分秒与食甚定时分秒相减余为带食差置日月食甚定分以带食差通秒乘之以时差通秒除之得数为带食分置食甚定分内减带食分余为日月带食所见之分也求月食更㸃法曰置其日昼时内加七十二分为晨昏时折半之为半晨昏时置二十四时内减晨昏时余为月食之日夜时通秒以五约之为更法又五约更法为㸃法如食在子正以前者置各初亏食甚复圆等时分秒内减十二时又减半晨昏时分秒余通秒以更法除之为更数不满法者以㸃法除之为㸃数皆命起初更初㸃算外为各更㸃也如食在子正以后者置月食之日夜时分秒内减初亏食甚复圆等时分秒余通秒以更法除之为更数不满法者以㸃法除之为㸃数皆命初更初㸃算外为各更㸃也此书上古未尝有也洪武十八年远夷归化献土盘厯法预推六曜干犯名曰经纬度时厯官元统去土盘译为汉算而书始行乎中国岁久湮没予任监佐每虑废弛而失真传成化六年具奏修补钦蒙准理又八年矣而无成今成化十三年秋而书始备命工锓梓传之监台以报圣恩以益后学推厯君子宜敬谨焉七政推步卷一
## 卷二
钦定四库全书七政推步卷二明 贝琳 编日五星中行总年立成日五星中行零年立成日五星中行月分立成日躔交十二宫初日立成日五星中行日分立成(土星经度与天不合加一度三十○分方合)太阴经度总年立成太阴经度零年立成太阴经度月分立成太阴经度日躔交十二宫初日立成太阴经度日分立成太阳加减立成太阳加减立成太阳加减立成太阳加减立成太阴经度第一加减比敷立成太阴经度第一加减比敷立成七政推歩卷二
## 卷三
钦定四库全书七政推步卷三明 贝琳 编太阴经度第一加减比敷立成太阴经度第一加减比敷立成太阴经度第二加减远近立成太阴经度第二加减远近立成太阴经度第二加减远近立成太阴经度第二加减远近立成土星第一加减比敷立成土星第一加减比敷立成土星第一加减比敷立成土星第一加减比敷立成土星第二加减远近立成土星第二加减远近立成土星第二加减远近立成土星第二加减远近立成七政推步卷三
## 卷四
钦定四库全书七政推步卷四明 贝琳 编木星第一加减比敷立成木星第一加减比敷立成木星第一加减比敷立成木星第一加减比敷立成木星第二加减远近立成木星第二加减远近立成木星第二加减远近立成木星第二加减远近立成火星第一加减比敷立成火星第一加减比敷立成火星第一加减比敷立成火星第一加减比敷立成火星第二加减远近立成火星第二加减远近立成火星第二加减远近立成火星第二加减远近立成七政推歩卷四
## 卷五
钦定四库全书七政推步卷五明 贝琳 编金星第一加减比敷立成金星第一加减比敷立成金星第一加减比敷立成金星第一加减比敷立成金星第二加减远近立成金星第二加减远近立成金星第二加减远近立成金星第二加减远近立成水星第一加减比敷立成水星第一加减比敷立成水星第一加减比敷立成水星第一加减比敷立成水星第二加减远近立成水星第二加减远近立成水星第二加减远近立成水星第二加减远近立成太阴黄道南北纬度立成太阴黄道南北纬度立成七政推步卷五
## 卷六
钦定四库全书七政推步卷六明 贝琳 编土星黄道南北纬度立成木星黄道南北纬度立成火星黄道南北纬度立成火星黄道南北纬度立成金星黄道南北纬度立成金星黄道南北纬度立成 (黄道)(北) (黄道) (南)金星黄道南北纬度立成 (南) (黄道) (北)(南) (黄道) (北)水星黄道南北纬度立成水星黄道南北纬度立成(南黄道) (北)(南) (黄道)水星黄道南北纬度立成 (北) (黄道) (南)(北) (黄道) (南)太阴出入晨昏加减度立成五星伏见立成五星顺留立成五星退留立成黄道南北各像内外星经纬度立成七政推步巻六
## 卷七
钦定四库全书七政推步卷七明 贝琳 编太阴凌犯时刻立成凌犯入宿图推月与五星入宿法法曰置各宿初界宫度分其月入宿纬度并时刻并依太隂凌犯求纬度时刻法推之其五星入宿者视各宿初界宫度与五星午正经度相近者取之是也昼夜加减差立成(推算交食用)太阳太阴昼夜时行影径分立成(推算交食用)经纬时加减差立成(推算交食用)西域昼夜时立成七政推步巻七◆ 《圣寿万年历-明-朱载堉》（KR3f0007）
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钦定四库全书 子部六
圣寿万年厯 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案圣夀万年厯五巻附律厯融通四巻明朱载堉撰载堉有乐书已著录明史厯志曰明之大统厯实即元之授时承用二百七十余年未尝改宪成化以后交食往往不騐议改厯者纷纷如俞正已冷守中不知妄作者无论已而华湘周濂李之藻邢云路之伦颇有所见郑世子载堉撰律厯融通进圣夀万年厯其说本之南京都御史何瑭深得授时之意而能匡所不逮台官泥于旧闻当事惮于改作并格不行云云即指此二书也其书进于万厯二十三年疏称授时大统二厯考古则气差三日推今即时差九刻盖授时减分太峻失之先天大统不减失之后天因和㑹两家酌取中数立为新率编撰成书其步发敛步朔闰步晷漏步交道步五纬诸法及岁余日躔漏刻日食月食五纬诸议史皆详采之盖于所言颇有取也今观其书虽自行所见断断而争不免有主持太过之处其测騐亦未必过郭守敬等之精然史载崇祯二年以日食不验切责监官五官正戈丰年言郭守敬以至元十八年造厯越十八年为大徳三年已当食不食六年六月又食而失推是时守敬方知院事亦付之无可奈何况斤斤守法者哉今若循旧向后不能无差则当时司厯之人已自有公论无怪载堉等之攻击不已也况其书引据详明博通今古原原本本实有足资考证者又不得以后来实测之宻遂一切废置矣载堉数学史称本之何瑭瑭其舅氏也而载堉进疏乃称本之许衡盖恐瑭在同时不为徴信故托衡以重其书耳乾隆四十六年六月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
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钦定四库全书圣夀万年厯巻首明 朱载堉 撰郑世子臣载堉谨奏为恭进厯书上祝万夀敬陈愚见以仰禆盛典万一事先臣南京都察院右都御史何瑭乃臣外舅江西抚州府通判何咨之祖也臣父恭王壮年盖甞师友于瑭臣虽未获面觌而亦幸私淑焉瑭与元儒许衡同里慕其象数之学衡所撰授时厯备载元史瑭亦甞著隂阳律吕之说名曰管见臣性愚钝嗜好颇同忝居桑梓复与𤓰葛静居多暇读其书而恱之探索既乆偶有所得是故不揣狂谬敢以一得之愚敬为皇上陈之庶或刍荛之见葵藿之忱亦得少禆盛典于万一也伏望天恩曲垂鉴宥俯赐容纳臣下情不胜感戴不胜幸甚臣闻在昔圣人法天垂象拟宸极而运璇玑揆乾元而叙景曜分辰野辨躔厯敬农时兴物利皆以系顺五行纪纲万物以前民用而诏方来者也是故伏羲仰观俯察因厯作易分二以象两仪挂一以象三统揲四以象时归竒以象闰合乾坤之䇿三百六十当期之日凡此之类取法于厯者不一而足然则易以厯为本厯在易之先其来尚矣逮乎炎帝分八节以始农功轩辕纪三光而阐书契迎日推䇿旁罗日月星辰乃命容成综六术考气象建五行察发敛起消息正闰余述而著焉谓之调厯洎于少昊则鳯鸟司厯颛顼则南正司天帝喾序三辰厯日月而迎送之由是尧钦厯象敬授人时鸟火虚昴以殷四仲舜在玑衡以齐七政协时月正日同律度量衡禹行夏正为百王不易之法汤武革命改统易朔治厯明时箕子陈洪范协用五纪岁月日时无易百榖用成乂用明俊民用章家用平康自古圣帝明王莫不皆以此事为盛举至若仲尼丘明虽在匹夫下位每于朔闰发文矫正得失宣明厯数不自以为僭者葢谓既知斯理岂可不言以愚当世是不仁也以㒺其上是不忠也安避僭越之嫌而黙然以自欺哉故左传仲尼曰丘闻之火伏而后蛰者毕今火犹西流司厯过也孟轲氏曰天之髙也星辰之逺也茍求其故千岁之日至可坐而致也夫术士知数而未达其理故失之浅先儒明理而复善其数故得之深数在六艺之中乃学者常事耳仲尼之徒通六艺者七十余人未甞不以数学为儒者事数非律所禁也天运无端惟数可以测其机天道至𤣥因数可以见其妙理由数显数自理出理数可相倚而不可相违古之道也古者天子有日官诸侯有日御以和万国以协三辰至于寒暑晦明之征隂阳生杀之数启闭升降之纪消息盈虚之节皆应躔次以合天道故能该浃生灵调和元气以扶治化之本四方之政由斯而行凡为国家者履端立极必体其元布政考绩必因其岁礼动乐举必正其朔三农百工必依其时五刑九伐必顺其气庶务百为必从其期故五纪有常度庶征有常应正朔行之于天下巍巍乎君道之最尊此天地之大纪帝王之重事是以圣人寳之故虞书曰天之厯数在尔躬此之谓也是故厯者有常之数也不可一日而差差之毫厘则乱天人之序乖百事之时诚有国家者之所重而宋欧阳修曰后世厯学一出于隂阳之家其事则重其学则末孔子之徒亦未甞道夫修为此说者盖抑伤之云耳臣又考诸大戴礼曰圣人慎守日月之数以察星辰之行次序四时之顺逆谓之厯截十二管以定八音之上下清浊谓之律律居隂而治阳厯居阳而治隂律厯迭相治也其间不容发故先儒谓黄帝造律一事与伏羲画卦大禹叙畴孔子作春秋同功盖伏羲取诸河之龙图大禹取诸雒之龟书黄帝取诸解谷鸣鳯孔子取诸西狩获麟夫圣人为万物之灵而犹取诸四灵之物者盖亦神道设教之意也今八卦载于易九畴载于书与春秋竝传惟乐律则不传岂非缺典欤况王者制度轨则壹禀于律律为万事根本定四时兴六乐悉由是出学者讵可废而不讲哉臣惟帝王之治天下以律厯为先儒者之通天人至律厯而止厯以数始数自律生律厯既正寒暑以节岁功以成民事以序庶绩以凝万事根本由兹立焉古人自入小学知乐知数已晓其槩后世老师宿儒犹或弗习律厯而律厯之家未必知道各师其师岐而二之虽有巧思岂能究造化之统㑹以识天人之蕴奥哉三代而下治效之不古若亦此之由而世岂察及此是亦儒家所当讨论之大者诿曰星翁乐师之责可乎然而或者疑焉以为乐律之学原无所禁固在当学若乃天文之学律法禁之不宜编著成书以冒私习之禁意欲废弃往古遗文使之绝传而后已岂不殊为可惜乎兹又不可不辩盖闻天文之家其学有二曰推步者推其一定之气朔乃理之常者也曰占验者占其未来之休咎乃天之变者也天之变者不许术士妄谈祸福惑世诬民律法之所禁者此耳而怪力乱神亦儒者之所耻言也若夫气朔节候之早晏则国家颁厯于四海日月交食之秒刻则所司移文于天下此古圣人钦厯象授民时之意固皆理之常者何曽不欲人知而律法所禁岂在是乎昔汉武帝诏公孙卿壶遂司马迁射姓等造太初厯此数人皆国之太史也然姓等奏不能为筭愿募民间治厯者更造密度迺选邓平唐都落下闳等二十余人分部运筭依律起厯而厯始成若唐之戊寅大衍诸厯则又出于释老之徒所造其艺比诸太史所习者益精焉宋绍兴五年厯官言日食九分半亏在辰正常州布衣陈得一言当食八分半亏在巳初其言卒验遂诏得一与道士裴伯夀等更造新厯赐名统元厯宋自太宗以来往往征民间知厯者与之议厯故孝宗曰朝士鲜知星厯者不必专领迺诏有通天文厯筭者所在州军以闻以此观之可见厯数之学累代所不禁也设使当时民间果不敢私习则其学绝传乆矣安得今日复有厯法乎臣父及臣笃好数学弱冠之时读性理大全见宋儒邵雍皇极经世书朱熹易学启蒙蔡元定父子律吕新书洪范皇极内篇等而恱之口不绝诵手不停披硏穷既乆数学之㫖颇得其要壮年以来复观歴代诸史志中所谓厯者五十余家考其异同辨其疎密志之所好乐而忘倦但以未覩皇朝大统厯于是犹未慊耳后读丘祭酒所撰大学衍义补内载大统厯气闰转交四准分秒心窃喜曰大统厯经全文未见而其大畧已得之矣然大统与授时二厯相较考古则气差三日推今则时差九刻臣于此而疑焉以为二者必有一是茍非测景验气孰真孰误何由得知而洪仪巨表非外郡所有且冬夏二至大余未差差在数刻之间而以口舌争之实难凭信惟万厯辛巳岁十一月冬至大统在丁丑日而授时在丙子乙酉岁冬至大统在戊戌授时在丁酉丙申岁夏至大统在癸巳授时在壬辰庚子岁夏至大统在甲寅授时在癸丑甲辰岁夏至大统在乙亥授时在甲戌庚戌岁冬至大统在己酉授时在戊申甲寅岁冬至大统在庚午授时在己巳戊午岁冬至大统在辛夘授时在庚寅乙丑岁夏至大统在乙丑授时在甲子己巳岁夏至大统在丙戌授时在乙酉癸酉岁夏至大统在丁未授时在丙午丁丑岁夏至大统在戊辰授时在丁夘癸未岁冬至大统在壬寅授时在辛丑丁亥岁冬至大统在癸亥授时在壬戌辛夘岁冬至大统在甲申授时在癸未戊戌岁夏至大统在戊午授时在丁巳壬寅岁夏至大统在己夘授时在戊寅丙午岁夏至大统在庚子授时在己亥庚戌岁夏至大统在辛酉授时在庚申此皆相差一日而晷景最易辨假若授时厯差固不必较万一大统厯差则干系甚重也相差九刻虽不为多若在旦暮之间所差不过一辰若处夜半之际所差便隔一日夫节气差天一日则置闰差天一月闰差一月则时差一季时差一季则岁差一年其所差者岂小小而已哉自万厯九年已来七八十年之间所差如此过此已后其差可知夫冬夏二至乃厯法之纲领时刻微差已失其真况差一日乎若恒气既乖则置闰失当盈虚没灭建除满平之类吉凶宜忌一切皆错不可谓全厯矣此非厯官之失正由厯经当改而未改也盖厯者岁之积也岁者月之积也月者日之积也日者时之积也时者刻之积也刻者分之积也分者秒之积也凡有形之物铢铢称之至石必差寸寸量之至引必错况无形之数乎夫干枢斡运无停七政转动不齐而拘之以一定之法犹胶柱而调瑟是以既乆则不能不差既差则不可不改盖变法以从天随时而推数故法有疎密数有繁简虽条例稍殊而纲目一也臣又推得万厯一百年岁次壬子十一月冬至大统在甲戌日丑正三刻授时在甲戌日子正初刻相差十余刻万厯一千年岁次壬子十一月冬至大统在壬子日辰正三刻授时在庚戌日戌初二刻相差两日万厯一万年岁次壬子十一月冬至大统在授时之明年三月甲戌日戌正三刻授时在大统之去年八月己丑日亥初一刻相差一百余日当此之时大统之冬至近授时之清明授时之冬至近大统之白露不独相差一季又且相隔一年所差非不多也夫厯法茍得其理则千岁之日至犹今日耳千载之后有差安知今日未必无差假若差在授时则无足论万一大统少差又岂可坐视其弊而不论哉或疑以为授时减分大峻失之先天大统不减失之后天或曰授时近密大统为疎或曰授时未必全是二厯强弱之间宜有所折衷焉然士大夫明厯理者必有辨其是非者矣非筭术家所能知也夫厯数者总约于方册而中乎亿万里之辽漠推测于一时而凖乎千百世之前后审拟于近小之事物而深通乎幽𤣥至大之理茍非鸿儒穷天人之蕴而得于神㑹精融之间者其孰能与于此哉臣忝末学虽好筭术而实未臻其奥方之许衡王恂郭守敬辈相去逺矣然四海之广兆民之众若衡辈者未甞无也皇上好此事则此辈出不好此事则此辈无由以自显昔齐桓公时东野人有以九九见者桓公曰九九小数安用对曰不逆其小所以致大以今日言之愚臣之谓也皇上赦臣狂妄之罪而容之则衡恂守敬辈必相继而至矣臣谨按别录云洪武间监正元统造大统厯以洪武甲子岁为厯元上考下推无消长之法时监副李徳芳上疏驳之谓统甲子元厯不与经史相合宜用许衡辛巳元厯及消长之法方合天道上曰二统皆难凭只验七政交㑹行度无差者为是由是本监造厯用甲子元厯推筭夫大统厯验今交食虽密但考古之法未备徳芳言之当矣臣甞有志仰体太祖所谓二统难凭之意是故和㑹二家酌取中数立为新率编撰成书以伸野人芹暴之献以拟华封富夀之祝志虽如是而未敢勇为者缘大统厯亦系制典旧章非臣下所敢擅议然葵藿之忱惓惓不已乃心与口相咨诹曰律厯乃吾儒事非谶纬曲学比先儒往往从事于斯考诸前代有奉公修治者若司马迁之太初厯许衡之授时厯是也有私撰进献者若刘焯之皇极厯耶律楚材之庚午元厯是也公私虽异效忠则一我太祖髙皇帝革命之时元厯未乆气朔未差故仍旧贯不必改作但讨论润色而已今则积年既乆气朔渐差似应修治后汉志所谓三百年斗厯改宪者宜在此时仰惟祖宗列圣御极以来未甞以厯而为年号至我皇上始以万厯为元而九年辛巳岁距至元辛巳正三百年适当斗厯改宪之期又协乾元用九之义而厯元应在是矣夫孝者善继人之志善述人之事我太祖甞有意考七政之运行定二统之是否而未遂也继述之盛举宁不有待于今日乎前代人君或有新厯告成则改年号以厯为名以庆之以为福夀之征然此不过后天而奉天时者也圣上预以万厯为元此乃先天而天弗违固宜有厯以应之为圣夀万万岁之嘉征臣俟之乆而未见焉此愚臣日夜之所惓惓也于是采众说之所长辑为一书名曰律厯融通其学大㫖出于许衡而与衡厯不同后汉志曰隂阳和则景至律气应则灰除是故天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷景候钟律权土灰放隂阳冬至阳气应则乐均清景长极黄钟通土灰轻而衡仰夏至隂气应则乐均浊景短极蕤賔通土灰重而衡低进退于先后五日之中八能各以候状闻太史封上效则和否则占晋志曰日冬至音比林钟浸以浊日夏至音比黄钟浸以清十二律应二十四时之变其为音也一律而生五音十二律而为六十音因而六之六六三十六故三百六十音以当一岁之日故律厯之数天地之道也夫黄钟乃律厯之本原而旧厯罕言之新法则以步律吕爻象为首此与旧厯不同一也尧时冬至日躔所在宿次刘宋何承天以岁差及中星考之谓在须女十度左右唐一行大衍厯议曰刘炫推尧时日在虚女间则夏至心已过中虞〔？〕推尧时日在斗牛间则冬至昴尚未中盖尧时日在女虚间则春分昏张一度中秋分虚九度中冬至胃二度中昴距星直午正之东十二度夏至尾十一度中心后星直午正之西十二度四序进退不逾午正间轨漏使然也元人厯议亦云尧时冬至日在女虚之交而授时厯考之乃在牛宿二度是与虞〔？〕同大统厯考之乃在危宿一度是与刘炫同相差二十六度皆不与尧典合新法上考尧元年甲辰岁夏至午中日在栁宿十二度左右冬至午中日在女宿十度左右心昴昏中各去午正不逾半次与承天一行二家之说合而与旧厯不同二也春秋左传昭公二十年己丑日南至授时厯推之得戊子先左传一日大统厯推之得壬辰后左传三日新法推之与左传合此与旧厯不同三也授时厯以至元十八年为元大统厯以洪武十七年为元新法则以万厯九年为元其余各条不同者多详见厯议新法比诸授时庶几青生于蓝而青于蓝冰生于水而寒于水但臣未见大统厯经而与之较疎密耳然天道𤣥逺非愚臣所尽知况又未覩厯经不识仪表粗晓筭术㒺谙星象惟据史册成说实乏师傅口授是以新法或有差误宜令通此事者以订正之庶或少禆盛典于万一也乞将臣疏并所献厯书𠡠下该部㑹集大臣名儒从长计议其大统厯所未差者切不可便改傥有小差即便更正以成一代之制宜新其名恭拟之曰圣夀万年厯用符改宪之文以协天人之应此乃福庆嘉瑞之至大者尤不可忽也愚臣出位妄言极知僭越无所逃罪然而芹暴之诚犬马之効自不容已是故冒渎天威伏乞圣明原情矜宥臣下情无任战栗待罪恐惧之至为此具本将臣昔年所撰律厯融通肆卷音义壹卷并臣近年新撰圣夀万年厯贰巻万年厯备考叁卷共为拾册装潢成帙暨表文壹通专差右长史闗志拯随本赍捧上进谨具奏闻伏候𠡠㫖万厯二十三年六月十九日郑世子臣载堉(案此疏内自黄钟通以下原本讹脱计六十字今用史志考补)郑世子臣载堉谨以臣昔年所撰律厯融通四卷附音义一巻并臣近年新撰圣夀万年厯二卷万年厯备考三卷共为十册装潢成帙奉表进呈者伏以正日协时圣帝重法天之治和声同律明君隆经世之规职掌虽在于臣工指画实出于廊庙万邦作式四海承休臣载堉诚惶诚恐稽首顿首窃惟甲厯作于太昊肇开物成务之原钟律造于轩辕阐不息合同之化曰嘉量曰平衡曰审度非律不精曰履端曰举正曰归余非厯不备八节之序既顺而后得裁成辅相之宜八风之气已宣斯可臻位育中和之效盖律吕为万事之根本而厯数乃五纪之纲维虽辨异以立名然交资以为用迭相居而迭相理助显仁藏用之功互相配而互相成赞富有日新之业泥诸形器若不过象数之粗究夫渊微实可贯天人之奥逮唐虞世逺而推步之法始乖洎文武政衰而制作之意斯泯贤智者忽之以为易庸愚者畏之以为难调六律而协五音等为末务序三辰而齐七政竝饰虚文分律厯为两途岐理数于二致惟新书起于元定得古人已试之规盖时厯本于许衡诚太史不易之凖臣虽末学志切先猷俯拾糟粕之遗仰探精神之蕴总旋宫六十调著意推求辑名厯五十家倾心考证时刻分秒期脗合于玑衡羃积径围务融通于权量虽昭代之洪仪巨表尚未获覩其全而大统之气盈朔虚亦已与闻其畧取二统而较减分之法不无异同即二至而求节气之差遂有先后据今日而论秪爽一辰歴万年而推殆差一季迭相穷究互有精粗假如密系授时诚宜择善傥若疎由大统理合从长须察根源方显得失茍非测景以验厯凭何置闰以定时厯岂无因时应有待兹盖伏遇皇帝陛下天纵聪明日新问学朝干夕惕敬天法祖勤民旰食宵衣议礼考文制度身声同于夏禹何劳秬黍之求厯数在于唐尧岂待羲和之测第以厯虽名为大统法实本诸授时惟我万厯九年距彼至元十世诚乾象文明之㑹正斗厯改宪之期也愚臣沗列天潢乆陶圣化愧乏㳙尘之报用摅芹暴之忱逺宗丘濬之贻编近窃何瑭之管见撰为新率拟以嘉名谬成一书恭祝万夀匍匐而学邯郸之步捧心而效西施之颦井鼃奚敢以谈天韈线何堪以补衮知无裨于调燮聊以效其忠勤伏愿行夏之时则韶之舞乘六龙以御极正朔昭布于华夷合万象以同春太和洋溢于宇宙九功惟叙九叙惟歌日之升月之恒绵鳯厯于有永金之声玊之振熈鸿号于无疆臣干冒天威无任激切屏营之至谨奉表上进以闻万厯二十三年六月十九日郑世子臣载堉谨上表圣夀万年厯卷首
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钦定四库全书圣夀万年厯巻一明 朱载堉 撰步发敛第一嘉靖甲寅岁为厯元臣谨按甲寅者即所谓阏逢摄提格之岁也古人厯法多以此为距筭盖甲寅于五行为木于五常为仁木为五行之始仁为五常之首是故重之断取近距命为元也元纪四千五百六十后汉志注引先儒宋氏曰纪即元也四千五百六十者五行相代一终之大数也王者即位或遇其统或不值其数故一之以四千五百六十为甲寅之终也自尧元年甲辰岁推而上之六百五十年得此甲寅岁命为纪也朞实千四百六十一后汉志曰厯数之生也乃立仪表以校日景景长则日逺天度之端也日发其端周而为岁然其景不复初四周千四百六十一日而景复初是则日行之终以周除日得三百六十五余四分之一为岁之日数也岁差岁余后汉志注引杜预长厯曰天行不息日月星辰各运其舎皆动物也行度大量可得而限累日为月新故相序不得不有毫毛之差此自然之理也理既不得一而筭守恒数故厯无不有差失也始失于毫毛而尚未能觉积而成多以失弦朢晦朔则不得不改宪以从之朱熹曰日躔渐退故岁余渐缩今人只说天运有差天岂得差自是运行合当如此许衡曰古今厯法合于今必不能通于古密于古必不能验于今故授时厯考往则増岁余而损岁差推来则増岁差而损岁余上推春秋已来冬至皆合下求方来可以永乆无弊非止密于今日而已臣谨按厯家所谓岁差者有三曰日躔岁差曰五星岁差曰节气岁差前代诸厯但有日躔差五星差其节气差则自统天授时二家始焉新法因之而颇不同盖授时每年差二秒统天差二秒有竒新法不及二秒而岁周气䇿等率皆活法以其每年増损无定故不开列各随岁差求而用之与彼二家颇不同也大统厯缺此法故详论之律应五十五日六十刻八十九分律总旬周六十日宿周二十八日黄钟 冬至益卦初九 小寒益卦六二复卦 初九 六二 六三 六四 六五 上六頥卦 初九 六二 六三 六四 六五 上九屯卦 初九 六二 六三 六四 九五 上六既济 初九 六二 九三 六四 九五 上六家人 初九 六二 九三 六四 九五 上九大吕 大寒益卦六三 立春益卦六四临卦 初九 九二 六三 六四 六五 上六明夷 初九 六二 九三 六四 六五 上六贲卦 初九 六二 九三 六四 六五 上九损卦 初九 九二 六三 六四 六五 上九节卦 初九 九二 六三 六四 九五 上六太蔟 雨水益卦九五 惊蛰益卦上九泰卦 初九 九二 九三 六四 六五 上六大畜 初九 九二 九三 六四 六五 上九需卦 初九 九二 九三 六四 九五 上六小畜 初九 九二 九三 六四 九五 上九中孚 初九 九二 六三 六四 九五 上九夹钟 春分震卦初九 清明震卦六二大壮 初九 九二 九三 九四 六五 上六归妹 初九 九二 六三 九四 六五 上六丰卦 初九 六二 九三 九四 六五 上六离卦 初九 六二 九三 九四 六五 上九噬嗑 初九 六二 六三 九四 六五 上九姑洗 榖雨震卦六三 立夏震卦九四夬卦 初九 九二 九三 九四 九五 上六大有 初九 九二 九三 九四 六五 上九睽卦 初九 九二 六三 九四 六五 上九兊卦 初九 九二 六三 九四 九五 上六革卦 初九 六二 九三 九四 九五 上六仲吕 小满震卦六五 芒种震卦上六乾卦 初九 九二 九三 九四 九五 上九履卦 初九 九二 六三 九四 九五 上九同人 初九 六二 九三 九四 九五 上九无妄 初九 六二 六三 九四 九五 上九随卦 初九 六二 六三 九四 九五 上六蕤賔 夏至恒卦初六 小暑恒卦九二姤卦 初六 九二 九三 九四 九五 上九大过 初六 九二 九三 九四 九五 上六鼎卦 初六 九二 九三 九四 六五 上九未济 初六 九二 六三 九四 六五 上九解卦 初六 九二 六三 九四 六五 上六林钟 大暑恒卦九三 立秋恒卦九四遯卦 初六 六二 九三 九四 九五 上九讼卦 初六 九二 六三 九四 九五 上九困卦 初六 九二 六三 九四 九五 上六咸卦 初六 六二 九三 九四 九五 上六旅卦 初六 六二 九三 九四 六五 上九夷则 处暑恒卦六五 白露恒卦上六否卦 初六 六二 六三 九四 九五 上九萃卦 初六 六二 六三 九四 九五 上六晋卦 初六 六二 六三 九四 六五 上九豫卦 初六 六二 六三 九四 六五 上六小过 初六 六二 九三 九四 六五 上六南吕 秋分巽卦初六 寒露巽卦九二观卦 初六 六二 六三 六四 九五 上九渐卦 初六 六二 九三 六四 九五 上九涣卦 初六 九二 六三 六四 九五 上九坎卦 初六 九二 六三 六四 九五 上六井卦 初六 九二 九三 六四 九五 上六无射 霜降巽卦九三 立冬巽卦六四剥卦 初六 六二 六三 六四 六五 上九比卦 初六 六二 六三 六四 九五 上六蹇卦 初六 六二 九三 六四 九五 上六艮卦 初六 六二 九三 六四 六五 上九蒙卦 初六 九二 六三 六四 六五 上九应钟 小雪巽卦九五 大雪巽卦上九坤卦 初六 六二 六三 六四 六五 上六谦卦 初六 六二 九三 六四 六五 上六师卦 初六 九二 六三 六四 六五 上六升卦 初六 九二 九三 六四 六五 上六蛊卦 初六 九二 九三 六四 六五 上九建寅 立春正月节 雨水正月中东风解冻 蛰虫始振 鱼陟负冰獭祭鱼 候鴈北 草木萌动建夘 惊蛰二月节 春分二月中桃始华 仓庚鸣 鹰化为鸠𤣥鸟至 雷乃发声 始电建辰 清明三月节 谷雨三月中桐始华 田䑕化为𫛪 虹始见萍始生 鸣鸠拂其羽 戴胜降于桑建巳 立夏四月节 小满四月中蝼蝈鸣 蚯蚓出 王𤓰生苦菜秀 靡草死 麦秋至建午 芒种五月节 夏至五月中螳蜋生 鵙始鸣 反舌无声鹿角解 蜩始鸣 半夏生建未 小暑六月节 大暑六月中温风至 蟋蟀居壁 鹰始挚腐草为萤 土润溽暑 大雨时行建申 立秋七月节 处暑七月中凉风至 白露降 寒蝉鸣鹰乃祭鸟 天地始肃 禾乃登建酉 白露八月节 秋分八月中鸿鴈来 𤣥鸟归 群鸟养羞雷始收声 蛰虫坏户 水始涸建戌 寒露九月节 霜降九月中鸿鴈来賔 雀入大水为蛤 菊有黄华豺乃祭兽 草木黄落 蛰虫咸俯建亥 立冬十月节 小雪十月中水始冰 地始冻 雉入大水为蜃虹藏不见 天气上升地气下降 闭塞而成冬建子 大雪十一月节 冬至十一月中鹖鴠不鸣 虎始交 荔挺出蚯蚓结 麈角解 水泉动建丑 小寒十二月节 大寒十二月中鴈北乡 鹊始巢 雉雊鸡乳 征鸟厉疾 水泽腹坚求岁定积置厯元所距年积筭为泛距来加往减元纪为定距以朞实乘之四约为积日不满退除为刻是名泛积定距自相乘七之八而一所得满百万为日不满为刻及分秒(带半秒已上者收作一秒)是名节气岁差用减泛积余为定积求律䇿置所求定积与次年定积相减余如十二而一得律䇿求气策置所求律䇿二而一得气䇿求候策置所求气䇿三而一得候策求爻䇿置所求候策五而一得爻䇿求十二律吕置岁定积减去律应满律总去之不尽得岁首黄钟正律大小余大余命甲子筭外累加律䇿得次律大小余满律总去之求六十四卦置岁首黄钟正律大小余即是复卦初九爻象累加爻䇿得次爻大小余满旬周去之命法如前求二十四气并所求年律䇿气䇿加黄钟大小余满旬周去之即立春正月节累加气䇿得次气大小余满旬周去之命如上求七十二候置立春大小余即东风解冻之候累加候䇿得次候大小余满旬周去之命如上求五行用事各以四立之节为春木夏火秋金冬水始用事日爻䇿三之以减四季中气各得其季土始用事日求列宿当直置岁定积并律䇿气䇿以宿周折半加之律应减之满宿周去之不尽即所求立春日当直宿命起角宿筭外累加半律䇿满宿周去之各得次气日当直宿求时刻置日下小余以十二乘之刻满百为时命子正筭外若满五十刻亦进作一时命子初筭外余如十二而一为刻不满为初刻步朔闰第二寅月䇿五十九日六刻十一分八十六秒夘月䇿八十八日五十九刻十七分七十九秒辰月䇿百一十八日十二刻二十三分七十二秒巳月䇿百四十七日六十五刻二十九分六十五秒午月䇿百七十七日十八刻三十五分五十八秒未月䇿二百六日七十一刻四十一分五十一秒申月䇿二百三十六日二十四刻四十七分四十四秒酉月䇿二百六十五日七十七刻五十三分三十七秒戌月策二百九十五日三十刻五十九分三十秒亥月䇿三百二十四日八十三刻六十五分二十三秒子月策三百五十四日三十六刻七十一分十六秒丑月䇿三百八十三日八十九刻七十七分九秒朔䇿二十九日五十三刻五分九十三秒朢䇿十四日七十六刻五十二分九十六秒半弦䇿七日三十八刻二十六分四十八秒少闰应十九日三十六刻十九分求闰余置岁定积减去闰应满朔䇿去之不尽即所求闰余日及分秒求泛闰视闰余在十八日已上者其年有闰置所求闰余全分加九十刻六十三分却与朔䇿相减视余几日为闰几月不满日者有闰在年前子丑月又法左手亥位起十八日戌位十九酉位二十如是右旋视所至处亦得泛闰若至子丑位者闰在昨岁之冬求朔积置所求月䇿减去闰余即其月朔积若求闰月及闰后月者复加朔䇿方为其月朔积求经朔弦朢置所求月朔积加黄钟大小余满旬周去之各得其月经朔加以朢䇿即得经朢以弦䇿加经朔得上弦加经朢得下弦求盈虚置十六日减去气䇿余为没限恒气小余在没限已上为有没之气以十五乘之用减气䇿余如气䇿小余而一为日并恒气大余为没古厯谓之没今厯谓之盈置三十日减去朔䇿余为朔虚经朔小余在朔虚已下为有灭之朔以三十乘之如朔虚而一为日并经朔大余为灭古厯谓之灭今厯谓之虚步日躔第三日平行一度躔周三百六十五度二十五分躔中百八十二度六十二分半象䇿九十一度三十一分二十五秒半象䇿四十五度六十五分六十二秒半辰䇿三十度四十三分七十五秒半辰䇿十五度二十一分八十七秒半赤道岁差一分五十秒黄道岁差一分三十八秒盈初缩末限八十八日九十一刻缩初盈末限九十三日七十一刻周应二百三十八度二十二分三十九秒求经朔弦朢入厯置所求朔积即经朔入厯加以弦朢䇿得弦朢入厯冬至后为盈夏至后为缩满岁中(律䇿六因为岁中)去之即盈缩相代求盈缩初末限视入厯盈者在盈初缩末限已下缩者在缩初盈末限已下为初限已上反减岁中余为末限求盈缩差盈初缩末者立差三十一忽平差二分四十六秒定差五百一十三分三十二秒缩初盈末者立差二十七忽平差二分二十一秒定差四百八十七分六秒各置立差以所求限大余乘之加平差又乘之用减定差再乘之满万为度不满退除为分秒命为盈缩积与次限盈缩积相减余为盈缩分以乘入厯初末限下小余万约为分加入其限盈缩积为盈缩差赤道宿度汉太初所测唐开元所测宋皇祐所测元丰所测崇宁所测元至元所测列宿相距度数歴代所测不同非微有动移则前人所测或有未密汉唐宋用窥管止存大畧元人始用二线遂及分焉今厯因之用为常数校天为密若考往古仍依当时宿度命之其时无宿度者壹凖前人宿度故竝载之以备考古所须惟推密率日躔无论古今竝依今厯有分赤道宿度为凖求冬至加时赤道日度置岁定积命日为度余为度下分秒减去周应满厯率(赤道岁差折半加躔周为厯率)去之不尽即所求日躔赤道积度命起角宿初度筭外满今所测赤道宿度(考古仍依当时宿度)去之至不满者即所求岁前冬至加时赤道日度及分秒求四正加时赤道日度置所求岁前冬至加时赤道日度及分秒以象䇿累加之满赤道宿度去之各得四正定气加时赤道日度及分秒求四正后赤道宿积度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分秒减之余为距后度以赤道宿度累加之各得四正后赤道宿积度及分秒黄赤道率推变黄道宿度置四正后赤道宿积度及分秒以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度为二十八宿黄道积度以前宿黄道积度减之为其宿黄道度及分(其秒就近为分)黄道宿度唐志云日躔宿度如邮传之过宿度既差黄道随而变矣元志云黄道宿度据岁差每移一度依术推变嘉靖初乐頀掌监事上言厯经即岁差以推变黄道六十七年该推变一次本监失于推变頀又甞语人云往年在监未奉更正甚为遗憾頀有文集可考也万厯甲午岁差所推黄道危十六度十三分昴十度九十五分元授时厯危十五度九十五分昴十一度八分近年七政四余躔度危止于十五度昴尚有十一度仍同旧厯盖未甞推变頀言信矣按赤道六十七年差一度黄道七十二年差一度頀所谓六十七年该推变者误也当云七十二年推变可也今推万厯甲午已来七十二年是为见用复推未来七十二年备考云耳求冬至加时黄道日度置所求岁前冬至加时赤道日度及分秒以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度即所求岁前冬至加时黄道日度及分秒求四正加时黄道日度置所求岁定积与次年岁定积相减余命日为度及分秒以赤道岁差折半加之以黄道岁差减之名定率四约之为四正定象度置所求岁前冬至加时黄道日度及分秒以四正定象度累加之满黄道宿度去之各得四正定气加时黄道日度及分秒求四正晨前夜半黄道日度冬夏二至盈缩之端以恒为定春秋二分置恒气日及分秒以盈缩差命度为日盈减缩加之即四正定气日及分秒置日平行度万通之以盈缩分盈初缩末加之缩初盈末减之为其日行定度置四正小余以其日行定度乘之如平行度而一所得以减四正加时黄道日度各得四正晨前夜半黄道日度及分秒求每日晨前夜半黄道日度以四正定气日距后正定气日为相距日以四正晨前夜半日度距后正晨前夜半日度为相距度累计相距日之行定度与相距度相减余如相距日而一为日差相距度多为加相距度少为减加减四正每日行度率为每日行定度累加四正晨前夜半日度满黄道宿度去之为每日晨前夜半黄道日度及分秒求每日子午二正黄道日度置所求月经朔入厯以经朔小余减之余为经朔晨前子正入厯累加一日为每日晨前子正入厯又以五十刻加之为午正入厯命日为度各视其限求盈缩差盈加缩减之为所求黄道定积度以岁前冬至加时黄道日度加而命之满黄道宿度去之即每日子午黄道日度及分秒(或以其日行定度折半加晨前夜半黄道定积度亦得午中黄道定积度)求每日子午二正赤道日度视黄道定积度在象䇿已下为至后已上去之为分后再去之为至后复去之为分后内减黄道积度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道积度及所去象䇿以岁前冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即每日子午赤道日度及分秒赤道黄道十二次宿度赤道娵訾之次初起危十二度二十六分八十七秒半降娄之次初起奎一度六十分六十二秒半大梁之次初起胃三度六十四分三十七秒半实沈之次初起毕七度十八分十二秒半鹑首之次初起井九度六分八十七秒半鹑火之次初起栁四度空分六十二秒半鹑尾之次初起张十四度八十四分三十七秒半夀星之次初起轸九度二十八分十二秒半大火之次初起氐一度十一分八十七秒半析木之次初起尾三度十五分六十二秒半星纪之次初起斗四度九分三十七秒半𤣥枵之次初起女二度十三分十二秒半赤道有常黄道无定凡推辰次当以赤道为凖随日度岁差推变黄道右据万厯甲午年岁差所推已后临时推变推变十二次宿度置赤道入次宿度及分秒以前宿赤道距后积度加之满象䇿去之为四正后赤道入次积度以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度为四正后黄道入次积度以前宿黄道距后积度减之如不及减加象䇿以减之余即所求黄道入赤道十二次宿度及分秒求入十二次时刻各置黄道入次宿度及分秒以其日晨前夜半黄道日度及分秒减之余以日平行度乘之为实以其日行定度为法实如法而一所得依时刻法求之即入次时刻步晷漏第四京师北极出地四十度太冬至中晷恒数丈五尺九寸六分夏至中晷恒数二尺三寸四分冬至昼夏至夜三十八刻夏至昼冬至夜六十二刻(已上见元志)岳台北极出地三十五度冬至中晷恒数丈二尺八寸三分夏至中晷恒数尺五寸七分冬至昼夏至夜四十刻夏至昼冬至夜六十刻(已上见宋志)黄道出入赤道内外度及半昼夜分京师譬如北辰四方拱之昼夜漏刻宜为厯凖至如岳台乃前代测景之处谓之地中故畧载之以见随处晷漏不同求每日子正午正日躔黄道去极度置所求日晨前夜半黄道积度满躔中去之在象䇿已下为初限已上反减躔中余为末限满积度去之余以其段内外差乘之百约为分用减内外度为出入赤道内外度内减外加象䇿即所求日躔黄道子正去极度及分秒求午正去极度放此求每日午正随处日去地度置所求日午正日躔黄道去极度及分并其处北极出地度及分用减躔中余即其处日去地度为弧半背(若弧半背在象䇿已上反减躔中余为弧半背则知景在表南)约量矢数与限二十九度五分五十秒相减余以六十一分七十七秒乘之百约为加减差矢在限已上加已下减加减百八十七度九十分为定差以矢与五十八度十一分相减余以定差乘之满百度约为分不满退除为秒并入九度为法复以矢与百一十六度二十二分相减相乘及矢自乘相并为实开方所得进一位以法除之为弧半背即其处日去地度及分秒如不同更増损矢数筭之以同为矢定数求每日随处中晷泛数置五十八度十一分减去所求矢定数余用八因为实复以矢与百一十六度二十二分相减相乘平方开之为法除实命度为尺即其日其处中晷泛数求每日随处中晷定数各于其处立八尺表每日实测午晷真数而与筭术所求晷数相减余名为地形差所测晷数多则为加少则为减加减所筭晷数即其日其处中晷定数求二至加时真数取二至前后晷数近似者相减余以百刻乘之为实取其次日晷数相减余为法实如法而一为刻求冬至视其前晷多则为减差少则为加差夏至反之总计距日刻数以差加减折半加五十刻为前距定日以其日筭外命之即二至加时真数求每日半昼夜及日出入晨昏分置所求初末限满积度去之余以其段昼夜差乘之百约为分前多后少为减前少后多为加加减其段半昼夜分为所求半昼夜分以半夜分便为日出分用减百刻余为日入分于日出分减二刻半余为晨分于日入分加二刻半则为昏分求昼夜刻及日出入时刻置所求半夜分倍之百约为夜刻用减百刻余为昼刻以日出入分依时刻法求之即得所求时刻求更㸃所在时刻置其日晨分倍之五约为更率又五约为㸃率各以其率乘所求更㸃数用加其日昏分内减更㸃率满百刻去之不满依时刻法求之即得所求时刻求昏后夜半中星置躔中度及分以其次日晨前夜半赤道日度及分秒加而命之即所求日昏后夜半中星积度及分秒求逐日昏晓中星置其次日晨分以躔周加一度乘之万约为度昏减晓加所求日昏后夜半中星积度即昏晓中星积度及分秒求逐更逐㸃中星置昏后晓中星积度(不及则加躔周)以晓前昏中星积度减之余二十五而一所得为㸃差置昏中星积度命为一更一㸃以㸃差累加之满赤道宿度去之即逐更逐㸃中星宿度及分秒求九服所在漏刻各于所在以仪测验或下水漏以定其处冬至或夏至夜刻与五十刻相减余为至差刻以所求日黄道出入赤道内外度及分秒乘之二十三度九十分除之所得内减外加五十刻即所求夜刻以减百刻余为昼刻其九服所在逐段昼夜差半昼夜分及日出入晨昏分更㸃中星等率竝凖随处晷漏修短依术推之圣寿万年厯卷一
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钦定四库全书圣寿万年厯卷二明 朱载堉 撰步月离第五月平行十三度三十六分八十七秒半离周三百三十六限十六分六十秒离中百六十八限八分三十秒离象八十四限四分十五秒转周二十七日五十五刻四十六分转中十三日七十七刻七十三分转象六日八十八刻八十六分半转差一日九十七刻六十分转应七日五十刻三十四分疾迟度率及积度入转日 初末限 疾迟度 转度率 转积度初 初 疾初 十四(六七六四) 初求经朔弦朢入转置岁定积减去转应满转周去之不尽即所求入转大小余各加其月朔积及弦朢䇿满转周去之为所求经朔弦朢入转大小余若径求次朔入转以转差加之求疾迟初末限置入转大小余以十二限二十分乘之在离中已下为疾已上减去离中为迟在离象已下为初已上反减离中为末又法视入转大小余在转中已下为疾已上减去转中为迟在转象已下为初已上反减转中为末以十二限二十分乘之为疾迟初末限求疾迟差置立差三秒二十五忽以所求限大余乘之加平差二分八十一秒又以限乘之用减定差千一百一十一分余再以限乘之满万为度不满退除为分秒如是求次限积度相减余为疾迟分以乘所得初末限下小余万约为分加入其限积度为疾迟差求疾迟限下行度置平行度及分秒以转象乘之八十四除之所得为一限平行度不满退除为分秒以其限疾迟分疾初迟末益迟初疾末损损益一限平行度为所入疾迟限下行度求加减差置所求盈缩疾迟差各以八百二十乘之如所入疾迟限下行度而一为分不满退除为秒盈迟名为加差缩疾名为减差求定朔弦朢置经朔弦朢大小余各以其加减差加减之满或不足进退大余即定朔弦朢视前后定朔两千同者前月大尽不同者前月小尽无中气者为闰月若定弦朢小余在日出分已下者退一日求定朔弦朢加时及每日夜半晨昏入转置经朔弦朢入转大小余以定朔弦朢加减差加减之为定朔弦朢加时入转以定朔弦朢小余减之为定朔弦朢晨前夜半入转累加一日为每日晨前夜半入转各以其日晨分加之为晨入转昏分加之为昏入转满转周去之求定朔弦朢加时黄道日度置经朔弦朢入盈缩大小余以加减差加减之为定朔弦朢入厯在盈便为积日在缩加岁中为积日命日为度以盈缩差盈加缩减之为加时日行定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之各得定朔弦朢加时黄道日度及分秒求定朔弦朢加时黄道月度凡定朔加时日月同度以日行定积度即月行定积度弦朢则各置其加时日行定积度以象策上弦一加朢再加下弦三加之为加时月行定积度如前加而命之满躔周及黄道宿度去之不尽各得定朔弦朢加时黄道月度及分秒求定朔弦朢夜半晨昏黄道月度置所求入转日转度率与次日转度率相减余以所求入转小余乘之万约为分前多后少减前少后多加加减转度率为转定度以乘定朔弦朢小余万约为分用减加时定积度余为晨前夜半定积度以转定度乘其日晨昏分万约为分各加夜半定积度为晨昏定积度加命如前各得夜半晨昏黄道月度及分秒求每日夜半晨昏黄道月度累计相距日数转度率为转积度与定朔弦朢夜半相距度相减余如相距日数而一为日差距度多为加距度少为减加减每日转度率为行定度以累加定朔弦朢夜半定积度为每日夜半定积度累加定朔弦朢晨昏定积度为每日晨昏定积度加命如前即每日夜半晨昏黄道月度及分秒(注厯自朔至朢皆用昏度既朢已后则用晨度)求每日夜半晨昏赤道月度视所求夜半晨昏黄道月行定积度在象䇿已下为至后满象䇿去之为分后犹多再去之为至后复多仍去之为分后以其黄道积度减之余以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道积度及所去象䇿各为赤道定积度以岁首冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即每日夜半晨昏赤道月度及分秒步交道第六正交三百六十三度七十九分三十四秒中交百八十一度八十九分六十七秒距交十四度六十六分六十六秒交周二十七日二十一刻二十二分二十四秒交中十三日六十刻六十一分十二秒交差二日三十一刻八十三分六十九秒交应二十日四十七刻三十四分求经朔弦朢入交置岁定积减去交应满交周去之不尽即所求入交大小余各加其月朔积及弦朢策满交周去之为所求经朔弦朢入交大小余若径求次朔入交以交差加之求定朔弦朢加时及每日夜半入交置经朔弦朢入交大小余以定朔弦朢加减差加减之为定朔弦朢加时入交以定朔弦朢小余减之为定朔弦朢晨前夜半入交累加一日为每日晨前夜半入交满交周去之求朔后平交入转及加减差置经朔入交与交周相减余为朔后平交大小余以加经朔入转为朔后平交入转在转中已下为疾已上去之为迟依月离篇求疾迟之加减差命为正交日加减差求正交日辰置朔后平交与经朔相倂以正交日加减差迟加疾减之为正交大小余满旬周去之命甲子筭外即正交日辰及加时小余求正交加时黄道月度置朔后平交大小余以月平行度及分秒乘之为距后度以所求月朔积命日为度倂之为岁前冬至距正交定积度以冬至加时黄道日度加而命之满躔周及黄道宿度去之不尽为正交加时黄道月度及分秒求正交在二至后初末限置冬至距正交定积度及分秒在躔中已下为冬至后已上去之为夏至后在象策已下为初限已上反减躔中余为末限求泛差距差定限度置初末限度以距交乘之如象策而一为泛差反减距交余为距差以二十四乘泛差如距交而一所得交在冬至后减夏至后加皆加减九十八度为定限度及分秒求月离赤道正交宿度冬至后初限加末限减视春正夏至后初限减末限加视秋正以距差加减春秋二正赤道宿度为月离赤道正交宿度及分秒求正交后赤道宿积度入初末限各置春秋二正赤道所当宿全度及分以月离赤道正交宿度及分秒减之余为正交后积度以赤道宿度累加之满象策去之为半交后再去之为中交后又去之为半交后视各交积度在半象已下为初限已上反减象策余为末限求每交月离白道积度及宿次置定限度与初末限相减相乘退位为分为定差正交中交后为加半交后为减以差加减正交后赤道积度为月离白道定积度以前宿白道定积度减之各得月离白道宿次及分求定朔弦朢加时月离白道宿度各以月离赤道正交宿度距所求定朔弦朢加时月离赤道宿度为正交后积度满象策去之为半交后再去之为中交后又去之为半交后视交后积度在半象已下为初限已上用减象策为末限以初末限与定限度相减相乘退位为分分满百为度为定差正交中交后为加半交后为减以差加减月离赤道正交后积度为定积度以正交宿度加之以其所当月离白道宿度去之各得定朔弦朢加时月离白道宿度及分秒求每日月临午位黄道宿度置月离赤道定积度及中星所临宿积度上弦前后视昏度朢前后视夜半度下弦前后视晨度月在中星已下为前已上为后以月星积度相减(不及则加躔周而后减之)余以其日转定度乘之如躔周而一所得前减后加其日夜半晨昏月离黄道定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之满黄道宿度去之即月临午位黄道宿度及分秒求每日月临午位赤道宿度置月临午位黄道积度及分秒依前篇求赤道积度以岁首冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即月临午位赤道宿度及分秒求每日月临午位时刻更㸃置月临午位赤道积度及分秒以其日晨前夜半中星积度及分秒减之(不及则加躔周而后减之)余以百乘之如躔周而一为刻不满退除为分秒下弦已后上弦已前月中在昼依时刻法求之上弦已后下弦已前月中在夜依更㸃法求之求每日月离赤道交后初末限置月离赤道正交后积度以赤道宿度及分累加之至所求月临午位赤道宿度及分秒在躔中已下为正交后已上去之为中交后在象策已下为初限已上反减躔中余为末限求月离半交白道出入赤道内外度置各交泛差度及分秒以二十五乘之六十一除之所得视月离黄道正交在冬至后宿度为减夏至后宿度为加皆加减二十三度九十分为月离赤道后半交白道出入赤道内外度折半以辰策除之为定差求月离出入赤道内外白道去极度置每日月离赤道交后初末限度及分秒用减象策余为白道积用其积度减之余以其差率乘之百约之以加其下积差为毎日积差(月离白道积差差率旧附日躔篇黄赤道率下)倍辰策以积差减之余以定差乘之为毎日月离出入赤道内外度内减外加象策为每日月离白道六极度及分秒求随处月去地度及表景泛数定数置所求日月临午位白道去极度及分倂其处北极出地度及分用减躔中余即其处月去地度为弧半背(术与日同见晷漏篇)歩交食第七日食交外限六度定法六十一日食交内限八度定法八十一月食限十三度五分定法八十七求交食凡例凡日食必在朔月食必在朢余日虽交不食视朔朢泛交大小余近交周上下与交周相减余为距正交分近交中上下与交中相减余为距中交分倍之不满交差为入食限定朔加时在夜定朢加时在昼若无带食则不必推出入带食则须推之凡定朢加时在日出后而月食初亏于日出前者则退一日只以昨夜言望注厯时宜预推当退朢而不退是为错误求日食时差及距午分视定朔小余在五十刻已下用减五十刻余为中前分已上减去五十刻余为中后分以中前后分与五十刻相减相乘如九十六而一为刻不满退除为分秒中前名减中后名加命为时差以并中前或中后分为距午分求食甚入盈缩定度日食置定朔加时黄道日行定积度以时差加减之为食甚入盈缩定度月食不用时差直以定朢加时黄道日行定积度便为食甚入盈缩定度满躔中去之求日食南北差视食甚入盈缩定度在象策已下为初限已上用减躔中余为末限以初末限自相乘千八百七十除之为度不满退除为分秒用减四度四十六分余为南北泛差距午分乘之半昼分除之所得用减泛差(不及减反减之)为南北定差在缩初盈末正交加中交减在盈初缩末正交减中交加(系反减者应加却减之应减却加之)求日食东西差置食甚入盈缩定度与躔中相减相乘千八百七十除之为度不满退除为分秒为东西泛差距午分乘之二十五刻除之为东西定差(若在泛差已上则倍泛差相减余为定差)在缩中前盈中后正交加中交减在盈中前缩中后正交减中交加(虽系倍减者加减只如常)求交限度日食置正交中交度及分秒以六度十五分为损益差正交损之中交益之以南北东西定差加减之为交限度月食则不须损益加减直以正交中交度及分秒为交限度求交定度置朔朢泛交大小余以月平行度乘之以盈缩差盈加缩减之为交定度若在十五度半已下倂入正交度及分秒为交定度求食差视交定度在正交限已下中交限已上为交内在正交限已上中交限已下为交外各与限度相减余为食差求所食分秒各置食限以其食差减之余如定法而一为所食分秒不及减者不食食分少者日光赫盛或不见食求定限行度置定朔朢加时入转大小余依月离求所入疾迟限下行度减去八百二十分余为定限行度求定用分日食置二十分月食置二十分与所食分秒相减相乘平方开之所得日以七因月以六因各进二位皆以八百二十乘之如定限行度而一为定用分求三限时刻日食置定朔小余以时差加减之为食甚分月食不用时差但以定朢全分为食甚分各以定用分减食甚为初亏加食甚为复圆依时刻法求之即三限时刻求五限时刻月食十分已上者减去十分余为既内复与十分相减相乘如定用分求之为既内分以减食甚分为食既以加食甚分为生光余同前法共所求三限为五限求月食更㸃置其日晨分倍之五约为更法又五约为㸃法乃置五限诸分昏分已上减昏分晨外已下加晨分以更法加入如法而一为更数不满以㸃法加入如法而一为㸃数求帯食帯复视其日日出入分在初亏分已上食甚分已下为带食在食甚分已上复圆分已下为带复各与日出入分相减余名前后差在日出入分已下为前已上为后各以所食分秒乘之如定用分而一为日出入前后食复分日食日出已后日入已前为见日出已前日入已后为不见月食日出已前日入已后为见日出已后日入已前为不见此与旧法不同(详见古今交食考)旧厯无论出入前后日月一例求之是属错误求起复方所日食起于西复于东食分少者交外偏南交内偏北月食起于东复于西食分少者交外偏北交内偏南皆指北极所在为北日月所在为南不必据午地论旧厯日月食八分已上即言正东正西今惟月食十分已上者始言之求食甚宿度置食甚入盈缩定度(日食在盈无所加在缩加躔中月食在盈加躔中在缩无所加)为黄道定积置冬至距后赤道积度在定积已下者满象策去之余依黄道术求之用减定积满象策去之即食甚躔离黄道宿度及分秒步五纬第八合应土星二百六十二日三千二十六分木星三百一十日千八百三十七分火星三百四十三日五千一百七十六分金星二百三日八千三百四十七分水星九十一日七千六百二十八分周率土星三百七十八日九百一十六分木星三百九十八日八千八百分火星七百七十九日九千二百九十分金星五百八十三日九千二十六分水星百一十五日八千七百六十分厯应土星八千六百四日五千三百三十八分木星四千一十八日六千七十三分火星三百一十四日四十九分金星六十日千九百七十五分水星二百五十三日七千四百九十七分度率土星二十九日四千二百五十五分木星十一日八千五百八十二分火星一日八千八百七分半金星一日水星一日伏见土星十八度木星十三度火星十九度金星十度半水星夕伏晨见十九度晨伏夕见十六度半诸段积日积度求五星平合日置岁定积各加其星合应满其周率去之不尽反减周率余即所求岁首冬至后平合日及分杪求诸段积日积度副置平合日及分秒累加段日即诸段积日命日为度累加平度退则减之即诸段积度及分秒求诸段入厯置岁定积各以其星厯应倂所求平合日及分秒加之如其度率而一为度不满退除为分秒满日躔厯率去之不尽为所求平合入厯度累加限度各得其段入厯度及分秒求盈缩初末度置各段入厯度及分秒若在躔中已下为盈已上减去躔中为缩其土木金水四星诸段在象策已下为初限已上用减躔中余为末限其火星诸段盈者在二因辰策已下缩者在四因辰策已下为初限已上用减躔中余为末限求盈缩差土星盈者立差二秒八十三忽加平差四分十秒二十二忽减定差千五百一十四分六十一秒缩者立差三秒三十一忽加平差一分五十一秒二十六忽减定差千一百一分七十五秒木星盈缩立差二秒三十六忽加平差二分五十九秒十二忽减定差千八十九分七十秒金星盈缩立差一秒四十一忽加平差三忽减定差三百五十一分五十五秒水星盈缩立差一秒四十一忽加平差二十一秒六十五忽减定差三百八十七分七十秒火星盈初缩末立差十一秒三十五忽减平差八十三分十一秒八十九忽减定差八千八百四十七分八十四秒缩初盈末立差八秒五十一忽减平差三分二秒三十五忽减定差二千九百九十七分六十三秒(新改缩初盈末立差一秒二十四忽减平差二十分三十秒减定差四千三百九十二分)各置立差以所求初末限度及分秒乘之加减平差再乘之用减定差又乘之满万为度不满退除为分秒为盈缩差又法置所求初末限下小余以其限盈缩分乘之万约为分加入其限积度亦为盈缩差求诸段定积日及日辰各置其段积日以其盈缩差盈加缩减之即其段定积日及分秒以岁首黄钟正律大小余加之满旬周去之其大余命甲子筭外即得日辰及加时小余求诸段所在日月各置其段定积日及分秒加闰余减朔策余如朔策而一为月数不尽为入经朔已来日数其月数命正月若在朔策已下不及减者为入年前十一月已上去之为入十二月俱以日辰所在为定凡闰余在十六日以上则其年有闰依束泛闰术定之求诸段加时定积度各置其段积度以其盈缩差盈加缩减之(金星再之水星三之)即诸段加时定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之即其星其段加时所在宿度及分秒求诸段初日晨前夜半所在宿度各以其段初行率乘其段加时小余百约为分顺减退加其日加时定积度即其段初日晨前夜半定积度加命如前即得所在宿度及分秒求诸段日率度率及平行分各以其段日辰与后段日辰相距数为日率以其段夜半积度与后段夜半积度相减余为度率各置度率及分秒以其日率除之即其段平行分求诸段増减差及日差以本段前后平行分相减为其段泛差倍而退位为增减差前多后少者加为初减为末前少后多者减为初加为末以加减其段平行分为初末日行分又倍増减差为总差以日率减一除之为日差求前后伏迟退段増减差前伏者置后段初日行分加其日差之半为末日行分后伏者置前段末日行分加其日差之半为初日行分以减伏段平行分余为増减差前迟者置前段末日行分倍其日差减之为初日行分后迟者置后段初日行分倍其日差减之为末日行分以前后近留之迟段平行分减之余为増减差土木火三星退行者六因平行分退一位为増减差金星前后退伏者三因平行分半而退位为増减差前退者置后段初日行分以其日差减之为末日行分后退者置前段末日行分以其日差减之为初日行分以本段平行分减之余为増减差水星退行者半平行分为増减差皆以増减差加减平行分为初末日行分前多后少者加为初减为末前少后多者减为初加为末又倍増减差为总差以日率减一除之为日差求每日晨前夜半星行宿度各置其段初日行分以日差累损益之后少则损之后多则益之为每日行度及分秒乃置其段初日晨前夜半定积度顺加退减满宿度去之即每日晨前夜半星行宿度及分秒求平合见伏入太阳盈缩厯置其星其段定积日及分秒在岁中已下为盈已上去之为缩多则再去之复为盈各在初限已下为初限已上反减岁中余为末限即其星平合见伏入厯日及分秒求平合见伏星与太阳行差各以其星其段初日星行分与其段初日太阳行分相减余为行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分倂其段初日太阳行分为行差其水星夕伏晨见者直以其段初日太阳行分为行差求定合定见定伏泛积日土木火三星各以平合晨见夕伏定积日便为定合伏见泛积日及分秒金星置其段盈缩差水星倍置之各以其段行差除之为日不满退除为分秒在平合夕见晨伏者盈减缩加在退合夕伏晨见者盈加缩减各加减定积日为定合伏见泛积日及分秒求定合定积日定积度土木火三星各以平合行差除其段初日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒以太阳盈缩积减之为距合差度副置其星定合泛积以距合差日差度盈减缩加之为其星定合定积日定积度及分秒此与下条言盈缩者皆指太阳非谓木星金水二星顺合退合者各以平合退合行差除其日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒顺加退减太阳盈缩积为距合差度顺合者以距合差日差度盈加缩减其星定合泛积为其星定合定积日定积度及分秒退合者以距合差日盈减缩加以距合差度盈加缩减加减其星退定合泛积为其星退定合定积日定积度及分秒加命如前各得所求日辰及宿度分秒径求合伏定日者土木火三星以夜半黄道日度减其星夜半黄道度余在其日太阳行分已下者金水二星以其星夜半黄道度减夜半黄道日度余在其日本星行分已下者各为其日合伏系合退伏者视其日夜半黄道日度未行到本星度及视次日太阳行过本星度而本星退行过太阳宿度者为其日合退伏求定见定伏定积日土木火三星各置定见定伏泛积日及分秒以岁中折半晨加夕减之在岁中巳下自相乘已上倍岁中反减之余亦自相乘七十五而一为分不满退除为秒以其星见伏度乘之十五除之所得满行差而一为日不满退除为分秒见加伏减泛积为其星定见定伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日辰金水二星各以伏见日行差除其段初日太阳盈缩积为日不满退除为分秒夕见晨伏盈加缩减晨见夕伏盈减缩加加减其星定见定伏泛积日及分秒为常积若在岁中巳下为冬至后已上去之为夏至后在岁中折半已下自相乘已上反减岁中余亦自相乘冬至后晨夏至后夕十八而一为分冬至后夕夏至后晨七十五而一为分以其星见伏度乘之十五除之所得满行差而一为日不满退除为分秒晨见夕伏冬至后加夏至后减夕见晨伏冬至后减夏至后加皆加减常积为其星定见定伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日辰圣夀万年厯卷二
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钦定四库全书圣夀万年厯卷三明 朱载堉 撰诸厯冬至考治厯者以其新法与古人课疏密于千百世之上下则往往新法能上合于古旧法不能下合于今布筭考之愈前愈疏最后最密以理论之非前人拙后人工也盖前贤草创之初无所踵袭其法出于自心之精神其用力之勤百倍于后人也后人因前贤已有之法耽玩既久开发益明积习考验转为精密略加润色则青于蓝而寒于水其用力少而成功多是故后学之人当感前贤之徳补其所未尽则可也以为莫已若则诬也厯代诸厯可考者五十家今列叙其名目幷所造之人所距之年各以其术推当时及近岁之冬至复将新厯上考与相参校则疏密异同从可知已太初厯汉武帝时邓平等造三统厯汉平帝时刘歆重造二厯并以太初元年丁丑岁为距至万厯二十二年甲午岁千六百九十七年以其法推太初元年天正冬至得甲子及推万厯二十二年天正冬至得癸巳后天十四日唐一行以麟徳开元二厯上考太初元年天正冬至当在辛酉谓太初所测非是今以新法上考亦得辛酉与大衍所说同唐志大衍厯议曰太初元年三綂厯及周厯皆以十一月夜半合朔冬至日月俱起牵牛一度古厯与近代密率相较二百年气差一日三百年朔差一日推而上之乆益先天引而下之乆益后天太初元年周厯以甲子夜半合朔冬至麟徳厯以辛酉禺中冬至十二月癸亥晡时合朔气差三十二辰朔差四辰此疎密之大较也僖公五年周厯汉厯唐厯皆以辛亥南至后五百五十余岁至太初元年周厯汉厯皆得甲子夜半冬至唐厯皆以辛酉则汉厯后天三日矣祖冲之张胄𤣥促上章岁至太初元年冲之以癸亥鸡鸣冬至而胄𤣥以癸亥日出欲令合于甲子而适与鲁厯相㑹自此推僖公五年鲁厯以庚戌冬至而二家皆以甲寅且僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度乖丘明正时之意以就刘歆之失今考麟徳元年冬至唐厯皆以甲子而周厯汉厯皆以庚午然则自太初下至麟徳差四日自太初上及僖公差三日不足疑也四分厯汉章帝时编䜣等造灵帝时重修距熹平三年甲寅岁至万厯二十二年甲午岁千四百二十年以其法推熹平三年天正冬至得丁丑及推万厯二十二年天正冬至得壬辰后天十三日刘宋祖冲之以大明厯上考熹平三年天正冬至当在乙亥谓四分厯所推非是唐一行以大衍厯上考得甲戌今以新法上考亦得甲戌与大衍同宋志祖冲之议曰后汉书说四分厯法虽分章设蔀剏自元和而晷仪众数定于熹平三年四分厯立冬中景长一丈立春中景九尺六寸㝷冬至南极日晷最长二气去至日数既同则中景应等而前长后短顿差四寸此厯置冬至后天之验也二气中景日差九分半弱进退均调略无盈缩以率计之二气各退二日十二刻则晷景之数立冬更短立春更长并差二寸二气中景俱长九尺八寸矣即立冬立春之正日也以此推之厯置冬至后天亦二日十二刻也熹平三年时厯丁丑冬至加时正在日中以二日十二刻减之天定以乙亥冬至加时在夜半后三十八刻㝷古厯法并同四分四分之数久则后天经三百年朔差一日是以汉载四百食率在晦魏代已来遂革斯法世莫之非者诚有效于天也乾象厯汉献帝时刘洪造距建安十一年丙戌岁至万厯二十二年甲午岁千三百八十八年以其法推建安十一年天正冬至得乙丑及推万厯二十二年天正冬至得丙戌后天七日以大衍厯上考建安十一年天正冬至得壬戌新法考之与大衍同景初厯魏明帝时杨伟造距景初元年丁巳岁至万厯二十二年甲午岁千三百五十七年以其法推景初元年天正冬至得丁未及推万厯二十二年天正冬至得丁亥后天八日以大衍厯上考景初元年天正冬至得甲辰新法考之与大衍同泰始厯西晋武帝时刘智造距泰始十年甲午岁至万厯二十二年甲午岁千三百二十年以其法推泰始十年天正冬至得辛酉及推万厯二十二年天正冬至得丁亥后天八日以大衍厯上考泰始十年天正冬至得戊午新法考之与大衍同三纪厯东晋孝武帝时姜岌造距太元九年甲申岁至万厯二十二年甲午岁千二百一十年以其法推太元九年天正冬至得戊戌及推万厯二十二年天正冬至得丁亥后天八日以大衍厯上考太元九年天正冬至得乙未新法考之与大衍同按自前汉太初已后至于刘宋元嘉已前诸厯所置冬至率皆后天三日葢由踵三綂之讹承四分之谬不过为合以验天非顺天以求合故也一行所谓有效于古宜合于今此乃前人定论今以诸厯下推近岁冬至差多者至十三四日少亦不下七八日其当时亦未必与天合可知也自何承天造元嘉厯测验之后迄于授时则转为精密矣是故新法上考多与之合间有不合者其说放此云元嘉厯前宋文帝时何承天造距元嘉二十年癸未岁至万厯二十二年甲午岁千一百五十一年以其法推元嘉二十年天正冬至得乙巳及推万厯二十二年天正冬至得甲申后天五日以新法上考元嘉二十年天正冬至得乙巳与元嘉厯合大明厯前宋孝武帝时祖冲之造距大明七年癸卯岁至万厯二十二年甲午岁千一百三十一年以其法推大明七年天正冬至得庚寅及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考大明七年天正冬至得庚寅与大明厯合正光厯后魏孝明帝时李业兴等造距正光三年壬寅岁至万厯二十二年甲午岁千七十二年以其法推正光三年天正冬至得己亥及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考正光三年天正冬至得己亥与正光厯合兴和厯后魏孝静帝时李业兴等重造距兴和二年庚申岁至万厯二十二年甲午岁千五十四年以其法推兴和二年天正冬至得甲戌及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以大衍厯上考兴和二年天正冬至得癸酉新法与大衍同天保厯北齐文宣帝时宋景业造距天保元年庚午岁至万厯二十二年甲午岁千四十四年以其法推天保元年天正冬至得丁卯及推万厯二十二年天正冬至得壬午后天三日以大衍厯上考天保元年天正冬至得丙寅新法与大衍同天和厯周武帝时甄鸾造距天和元年丙戌岁至万厯二十二年甲午岁千二十八年以其法推天和元年天正冬至得己丑及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以大衍厯上考天和元年天正冬至得庚寅新法与大衍同大象厯周静帝时马显等造距大象元年己亥岁至万厯二十二年甲午岁千一十五年以其法推大象元年天正冬至得戊戌及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考大象元年天正冬至得戊戌与大象厯合开皇厯隋文帝时张宾等造距开皇四年甲辰岁至万厯二十二年甲午岁千一十年以其法推开皇四年天正冬至得甲子及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考开皇四年天正冬至得甲子与开皇厯合皇极厯隋文帝时刘焯造距仁夀四年甲子岁至万厯二十二年甲午岁九百九十年以其法推仁夀四年天正冬至得己酉及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考仁夀四年天正冬至得己酉与皇极厯合大业厯隋文帝时张胄𤣥造炀帝时重定距大业四年戊辰岁至万厯二十二年甲午岁九百八十六年以其法推大业四年天正冬至得辛未及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以大衍厯上考大业四年天正冬至得庚午新法与大衍同戊寅厯唐髙祖时傅仁均造距武徳九年丙戌岁至万厯二十二年甲午岁九百六十八年以其法推武徳九年天正冬至得乙巳及推万厯二十二年天正冬至得壬午后天三日以大衍厯上考武徳九年天正冬至得甲辰新法与大衍同麟徳厯唐髙宗时李淳风造距麟徳元年甲子岁至万厯二十二年甲午岁九百三十年以其法推麟徳元年天正冬至得甲子及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考麟徳元年天正冬至得甲子与麟徳厯合神龙厯唐中宗时南宫说等造距神龙元年乙巳岁至万厯二十二年甲午岁八百八十九年以其法推神龙元年天正冬至得己亥及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考神龙元年天正冬至得己亥与神龙厯合大衍厯唐𤣥宗时僧一行等造距开元十二年甲子岁至万厯二十二年甲午岁八百七十年以其法推开元十二年天正冬至得戊寅及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考开元十二年天正冬至得戊寅与大衍厯合五纪厯唐代宗时郭献之等造距寳应元年壬寅岁至万厯二十二年甲午岁八百三十二年以其法推寳应元年天正冬至得戊戌及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以授时厯上考寳应元年天正冬至得丁酉新法与授时同贞元厯唐徳宗时徐承嗣等造距建中五年甲子岁至万厯二十二年甲午岁八百一十年以其法推建中五年天正冬至得癸巳及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考建中五年即是兴元元年天正冬至得癸巳与贞元厯合宣明厯唐穆宗时徐昂等造距长庆二年壬寅岁至万厯二十二年甲午岁七百七十二年以其法推长庆二年天正冬至得壬子及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考长庆二年天正冬至得壬子与宣明厯合崇𤣥厯唐昭宗时边冈等造距景福元年壬子岁至万厯二十二年甲午岁七百二年以其法推景福元年天正冬至得己未及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考景福元年天正冬至得己未与崇𤣥厯合钦天厯后周世宗时王朴造距显徳三年丙辰岁至万厯二十二年甲午岁六百三十八年以其法推显徳三年天正冬至得乙未及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考显徳三年天正冬至得乙未与钦天厯合应天厯宋太祖时王处讷等造距建隆三年壬戌岁至万厯二十二年甲午岁六百三十二年以其法推建隆三年天正冬至得丙寅及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考建隆三年天正冬至得丙寅与应天厯合乾元厯宋太宗时吴昭素等造距太平兴国六年辛巳岁至万厯二十二年甲午岁六百一十三年以其法推太平兴国六年天正冬至得丙午及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考太平兴国六年天正冬至得丙午与乾元厯合仪天厯宋真宗时史序等造距咸平四年辛丑岁至万厯二十二年甲午岁五百九十三年以其法推咸平四年天正冬至得辛卯及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考咸平四年天正冬至得辛卯与仪天厯合干兴厯宋真宗时张奎造(命日起丁卯)距干兴元年壬戌岁至万厯二十二年甲午岁五百七十二年以其法推干兴元年天正冬至得辛巳及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以新法上考干兴元年天正冬至得辛巳与干兴厯合崇天厯宋仁宗时宋行古造距天圣二年甲子岁至万厯二十二年甲午岁五百七十年以其法推天圣二年天正冬至得壬辰及推万厯二十二年天正冬至得辛巳后天二日以授时厯上考天圣二年天正冬至得辛卯新法与授时同明天厯宋英宗时周琮等造距治平元年甲辰岁至万厯二十二年甲午岁五百三十年以其法推治平元年天正冬至得辛酉及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考治平元年天正冬至得辛酉与明天厯合奉元厯宋神宗时沈括等造距熙宁七年甲寅岁至万厯二十二年甲午岁五百二十年以其法推熙宁七年天正冬至得癸丑及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考熙宁七年天正冬至得癸丑与奉元厯合观天厯宋哲宗时皇居卿造距元祐七年壬申岁至万厯二十二年甲午岁五百二年以其法推元祐七年天正冬至得戊子及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考元祐七年天正冬至得戊子与观天厯合占天厯宋徽宗时姚舜辅造距崇宁二年癸未岁至万厯二十二年甲午岁四百九十一年以其法推崇宁二年天正冬至得乙酉及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考崇宁二年天正冬至得乙酉与占天厯合纪元厯宋徽宗时姚舜辅重造(命日起己卯)距崇宁五年丙戌岁至万厯二十二年甲午岁四百八十八年以其法推崇宁五年天正冬至得辛丑及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考崇宁五年天正冬至得辛丑与纪元厯合大明厯金熙宗时杨级造距天㑹五年丁未岁至万厯二十二年甲午岁四百六十七年以其法推天㑹五年天正冬至得辛卯及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考天㑹五年天正冬至得辛卯与大明厯合纪元厯宋髙宗时陈得一造距绍兴五年乙卯岁至万厯二十二年甲午岁四百五十九年以其法推绍兴五年天正冬至得癸酉及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考绍兴五年天正冬至得癸酉与纪元厯合乾道厯宋孝宗时刘孝荣造距乾道三年丁亥岁至万厯二十二年甲午岁四百二十七年以其法推乾道三年天正冬至得辛酉及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考乾道三年天正冬至得辛酉与乾道厯合淳熙厯宋孝宗时刘孝荣重造距淳熙三年丙申岁至万厯二十二年甲午岁四百一十八年以其法推淳熙三年天正冬至得戊申及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考淳熙三年天正冬至得戊申与淳熙厯合大明厯金世宗时赵知微重修乙未厯金世宗时耶律履造(命日起壬申)二厯并以大定二十年庚子岁为距至万厯二十二年甲午岁四百一十四年以其法推大定二十年天正冬至得己巳及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考大定二十年天正冬至得己巳与大明厯合㑹元厯宋光宗时刘孝荣重造距绍熙二年辛亥岁至万厯二十二年甲午岁四百三年以其法推绍熙二年天正冬至得丁卯及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考绍熙二年天正冬至得丁卯与㑹元厯合綂天厯宋宁宗时杨忠辅造距庆元五年己未岁至万厯二十二年甲午岁三百九十五年以其法推庆元五年天正冬至得己酉日十六刻及推万厯二十二年天正冬至得己卯日七十八刻先新法八刻以新法上考庆元五年天正冬至得己酉日十六刻与綂天厯合开禧厯宋宁宗时鲍澣之造距开禧三年丁卯岁至万厯二十二年甲午岁三百八十七年以其法推开禧三年天正冬至得辛卯及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考开禧三年天正冬至得辛卯与开禧厯合庚午厯元太祖时耶律楚材造(命日起壬戌)距元太祖十五年庚辰岁至万厯二十二年甲午岁三百七十四年以其法推元太祖十五年天正冬至得己亥及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考元太祖十五年天正冬至得己亥与庚午厯合按元太祖以宋宁宗开禧二年丙寅岁即位其十五年岁次庚辰乃宋宁宗嘉定十三年庚辰岁也元太宗在位通无庚辰年元志以为太宗误矣淳祐厯宋理宗时李徳卿造距淳祐十年庚戌岁至万厯二十二年甲午岁三百四十四年以其法推淳祐十年天正冬至得丙子及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考淳祐十年天正冬至得丙子与淳祐厯合㑹天厯宋理宗时谭玉造距寳祐元年癸丑岁至万厯二十二年甲午岁三百四十一年以其法推寳祐元年天正冬至得壬辰及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考寳祐元年天正冬至得壬辰与㑹天厯合成天厯宋度宗时陈鼎造距咸淳七年辛未岁至万厯二十二年甲午岁三百二十三年以其法推咸淳七年天正冬至得丙寅及推万厯二十二年天正冬至得庚辰后天一日以新法上考咸淳七年天正冬至得丙寅与成天厯合授时厯元世祖时许衡等造距至元十八年辛巳岁至万厯二十二年甲午岁三百一十三年以其法推至元十八年天正冬至得己未日夜半后六刻及推万厯二十二年天正冬至得己卯日八十六刻先新法四分刻之三以新法上考至元十八年天正冬至得己未日夜半后六刻与授时厯合古有黄帝颛顼夏殷周鲁六家之厯今皆不传而见于史志者自汉迄元凡五十家其积年日法虽殊然用以推古今冬至则一也万厯二十一年癸巳岁仲冬十一月二十九日己卯加时在夜半前冬至此冬至乃万厯二十二年甲午岁岁首黄钟建子之月一阳来复生物之始厯家所谓天正冬至是也今以古厯五十家之法下推甲午岁己卯日冬至其合者仅二乃其不合者四十有八此内后一日者二十三家后二日者十五家后五日七日十三日者各一家后二日十四日者各二家后八日者三家以新法上考五十家厯所距之年天正冬至则合者三十六不合者十四其不合者太初三綂四分乾象景初泰始三纪兴和天保天和大业戊寅此十二家在大衍已前者今以大衍厯考之皆与新法所推同则知新法非不合也葢彼造厯之时测验未密祖冲之及一行已有定论矣唐五纪宋崇天此二家者在大衍后葢写大衍旧率而失之后天也今以綂天厯授时厯考之亦与新法所推同以此观之古今诸厯相较新法为密庶㡬千岁之日至可坐而致云附录三条一自万厯二十二年甲午已后六十年中间春秋二分冬夏二至大统厯与新法不同者凡二十四条新法皆在大统前一日大统皆在新法后一日夫二至二分乃四郊大祀之期大统厯法或误故不可不辨也撮其略列于此冬至 庚戌年(戊申己酉) 甲寅年(己巳庚午) 戊午年(庚寅辛夘)癸未年(辛丑壬寅) 丁亥年(壬戌癸亥) 辛卯年(癸未甲申)夏至 丙申年(壬辰癸巳) 庚子年(癸丑甲寅)甲辰年(甲戌乙亥)乙丑年(甲子乙丑) 己巳年(乙酉丙戌)癸酉年(丙午丁未)春分 丁酉年(丙寅丁卯) 戊午年(丙辰丁巳)壬戌年(丁丑戊寅)丙寅年(戊戌己亥) 庚午年(己未庚申)辛卯年(己酉庚戌)秋分 癸卯年(庚子辛丑) 丁未年(辛酉壬戌)辛亥年(壬午癸未)丙子年(癸巳甲午) 庚辰年(甲寅乙夘)甲申年(乙亥丙子)右二分辨之稍难惟二至凭晷景以验之则真伪最易辨而厯法疎密可决矣一凡厯法之疎密当以天为验证是乃厯之本也何谓天之验证自古以来景长之极为真冬至长之不极虽名冬至实非真冬至也景短之极为真夏至短之不极虽名夏至实非真夏至也且如万厯二十四年五月夏至大统厯推得癸巳而新法推得壬辰此夏至之不相同也万厯三十八年十一月冬至大统厯推得己酉而新法推得戊申此冬至之不相同也夫癸巳壬辰己酉戊申此四日无题勒欵识孰知其真否可与众共辨者惟晷景是证耳若万厯二十四年夏至之日其景不短而前一日之景却短万厯三十八年冬至之日其景不长而前一日之景却长则知新法为密大统为疎亦昭然矣后汉志曰厯不差不改不验不用未差无以知其失未验无以知其是失然后改是然后用此前贤定论也今亦未敢自以新法为是恭候钦依清台测验可以决其是否耳余条冬夏至悉皆放此云一万厯三十八年庚戌岁依大綂厯丙子日子正二刻小满该闰三月依新法乙亥日亥正一刻小满该闰四月万厯四十年壬子岁依大綂厯庚寅日子正初刻大寒该闰十一月依新法己丑日亥初三刻大寒该闰十二月皆因时差一辰遂致气差一日而致闰差一月若庚戌岁者不独差一月又且差一季以夏为春矣传曰闰以正时时以作事事以厚生生民之道于是乎在可不慎欤此亦厯家之所当辨者也已上三条乃议厯之要务是故表而出之伏候圣明采择圣寿万年厯卷三
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钦定四库全书圣夀万年厯卷四明 朱载堉 撰二至晷景考说者皆云汉歴有四太初最密唐厯有八大衍最密宋歴十六纪元最密元厯有二授时最密今大统厯与囘囘厯相校大统最密然新率与之校所得尤多视太初等厯大不侔矣自鲁僖公五年丙寅岁正月至洪武十六年癸亥岁十一月二千三十八年之间传志所载二至晷景凡六十事用前代所谓密者四厯及大统厯并新法考之所得开列于后鲁僖公五年丙寅岁春王正月辛亥朔日南至(见春秋左传)汉太初厯辛亥二十五刻 唐大衍厯辛亥九十四刻宋纪元厯壬子八十四刻 元授时厯辛亥十四刻本朝大统厯甲寅八十二刻 新法推得辛亥五十五刻右纪元后天一日大统后天三日余与天合昭公二十年己卯岁春王二月己丑日南至(见春秋左传)太初己丑五十刻 大衍己丑四十五刻纪元庚寅二十五刻 授时戊子八十三刻大綂壬辰七刻 新法己丑二十三刻右纪元后天一日授时先天一日大綂后天三日余与天合按南至晷景见于经传者惟此二条而已余或见于谶纬等书若春秋命厯序之类即汉志隋志所引者今未敢以为据授时厯议据前汉志鲁献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至引用此条为首盖献公乃隠公五世祖其十五年戊寅岁下距隠公元年己未岁百六十一年其非春秋时明矣而元志乃云自春秋献公以来者许郭诸儒多闻博古岂不知献公在春秋前百余年哉第以所推昭公己丑冬至而得戊子既不能合偶与献公相合故援此以饰非而为之说云曲变厯法以従昭公则与献公不合遂谓春秋所书昭公冬至乃日度失行之验然则大衍宣明诸厯推之皆得己丑岂皆误耶夫献公甲寅冬至别无所据惟刘歆三綂厯是据也若左传不足信而歆独可信乎太初元年冬至在辛酉歆乃以为甲子差天三日尚不能知而能逆知上下数百载乎然则献公十五年冬至当在何日曰三统授时之甲寅失之先纪元大定之丁巳失之后大衍所推丙辰宣明所推乙卯庶或近之然别无所考据阙其疑可也以要言之凡春秋前后千载之间气朔交食长厯大衍所推近是刘歆班固所说全非杜预一行已有定论详载别巻矣刘宋元嘉十二年乙亥岁十一月十五日戊辰景长(见隋志)太初癸酉七十五刻 大衍戊辰三十五刻纪元戊辰三十九刻 授时戊辰四十七刻大綂己巳十四刻 新法戊辰五十二刻右太初后天五日大綂后天一日余与天合元嘉十三年丙子岁十一月二十六日甲戌景长(见隋志)太初己卯空刻 大衍癸酉五十九刻纪元癸酉六十三刻 授时癸酉七十一刻大綂甲戌三十九刻 新法癸酉七十六刻右太初后天五日大綂与天合余皆先天一日唐志大衍厯议曰较前代史官注记惟元嘉十三年十一月甲戌景长皇极麟德开元厯皆得癸酉盖日度变常尔元授时厯所议亦同今按前人考古景长之验或不相合则云日度失行窃谓此言过矣茍日度失行当如岁差渐渐而移今岁既已不合来岁岂能复合耶盖系前人所测或未密耳非日度变行也夫冬至之景一丈有余表髙晷长则景虚而淡欲就虚景之中考其真实或设望筒或置副表景符之类以求实景然望筒或一低昻副表景符或一前却兼以测景之人工拙不同用意详略亦异所据之表或稍有倾欹圭面或稍有斜侧二至前后数日之景进退只在毫厘之间僾俙之际要亦难辨若夫阳城岳台略分南北尚有不同况于四海九服之逺相去千有余里委托之人未知当否既非目击其实所报晷景宁足信乎元嘉十五年戊寅岁十一月十八日甲申景长(见隋志)太初己丑五十刻 大衍甲申八刻纪元甲申十二刻 授时甲申二十刻大綂甲申八十七刻 新法甲申二十五刻右太初后天五日余与天合元嘉十六年己卯岁十一月二十九日己丑景长(见隋志)太初甲午七十五刻 大衍己丑三十三刻纪元己丑二十七刻 授时己丑四十四刻大綂庚寅十一刻 新法己丑五十刻右太初后天五日大綂后天一日余与天合元嘉十七年庚辰岁十一月初十日甲午景长(见隋志)太初庚子空刻 大衍甲午五十七刻纪元甲午六十一刻 授时甲午六十八刻大綂乙未三十六刻 新法甲午七十四刻右太初后天六日大綂后天一日余与天合元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥景长(见隋志)太初乙巳二十五刻 大衍己亥八十二刻纪元己亥八十五刻 授时己亥九十三刻大綂庚子六十刻 新法己亥九十八刻右太初后天六日大綂后天一日余与天合元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳景长(见隋志)太初庚戌五十刻 大衍乙巳六刻纪元乙巳十刻 授时乙巳十七刻大綂乙巳八十四刻 新法乙巳二十三刻右太初后天五日余与天合大明五年辛丑岁十一月初三日乙酉冬至(见前宋志)太初庚寅二十五刻 大衍甲申七十刻纪元甲申七十三刻 授时甲申七十九刻大统乙酉四十五刻 新法甲申八十六刻右太初后天五日大綂与天合余皆先天一日宋书元嘉厯推是年冬至在甲申日八十刻祖冲之以为厯误乃上议曰臣测景厯纪躬辨分寸铜表坚刚暴润不动光晷明洁纤毫𢛯然据大明五年十月十日景一丈七寸七分半十一月二十五日一丈八寸一分太二十六日一丈七寸五分彊折取其中则中天冬至应在十一月三日求其蚤晚令后二日景相减则一日差率也倍之为法前二日相减百刻乗之为实以法除实得冬至加时在夜半后三十一刻在元嘉厯后一日天数之正也按元儒筭晷景其法不同今附载于此是年十月初十日壬戌景长一丈七寸七分五厘十一月二十五日丁未景长一丈八寸一分七厘五毫二十六日戊申景长一丈七寸五分依元儒法当置壬戌戊申二日之景相减余二分五厘以百刻乗之得二百五十刻为实却以丁未戊申二日之景相减余六分七厘五毫为法除之得三十七刻乃置壬戌戊申相距四十六日百刻乗之得四千六百刻凡冬至景前多后少为减减去三十七刻折半得二千二百八十一刻加日中五十刻为二十三日三十一刻命起前距壬戌筭外得十一月初三日乙酉三十一刻即所求冬至也欲使初学易晓故详载之唐志大衍厯议曰祖冲之既失元嘉十三年甲戌冬至以为加时太早增小余以附㑹之而十二年戊辰景长得己巳十七年甲午景长得乙未十八年己亥景长得庚子合一失三其失愈多刘孝孙张胄𤣥因之小余益彊又以十六年己丑景长为庚寅矣治厯者纠合众同以稽其所异茍独异焉则失行可知今曲就其一而少者失三多者失五是舎常数而从失行也夫以唐志此说证之则冲之所测景盖假托而非真虽其筭术有可取焉要之其说则是景则非也一行讥胄𤣥之谬所谓就一失五者即已上六条而元綂所造大綂厯其失乃与冲之胄𤣥相类推今虽密考古颇疎李德芳辈盖不无遗憾云周天和二年丁亥岁十一月初三日庚子景长(见隋志)太初丙午七十五刻 大衍庚子六十一刻纪元庚子五十五刻 授时庚子六十五刻大綂辛丑十五刻 新法庚子七十一刻右太初后天六日大綂后天一日余与天合天和三年戊子岁十一月十四日乙巳景长(见隋志)太初壬子空刻 大衍乙巳八十六刻纪元乙巳七十九刻 授时乙巳九十刻大綂丙午四十刻 新法乙巳九十五刻右太初后天七日大綂后天一日余与天合建德元年壬辰岁十一月二十九日丁卯景长(见隋志)太初癸酉空刻 大衍丙寅八十三刻纪元丙寅七十七刻 授时丙寅八十七刻大綂丁卯三十七刻 新法丙寅九十三刻右太初后天六日大綂与天合余皆先天一日建德二年癸巳岁五月初三日戊辰景短(见隋志)太初乙亥六十二刻 大衍己巳四十六刻纪元己巳三十九刻 授时己巳四十九刻大綂己巳九十九刻 新法己巳五十五刻右按厯法凡冬夏二至相距一百八十二日六十二刻有竒是岁岁前天正冬至在丁卯丁卯距戊辰不足一百八十二日必无戊辰夏至之理若就戊辰夏至则失丁卯冬至此盖隋志之误无疑诸厯推己巳者为是惟太初后天六日建德三年甲午岁十一月二十日丁丑景长(见隋志)太初癸未五十刻 大衍丁丑三十二刻纪元丁丑二十五刻 授时丁丑三十六刻大綂丁丑八十五刻 新法丁丑四十二刻右太初后天六日余与天合建德六年丁酉岁十一月二十三日壬辰景长(见隋志)太初己亥二十五刻 大衍癸巳五刻纪元壬辰九十九刻 授时癸巳九刻大綂癸巳五十八刻 新法癸巳十五刻右太初后天七日纪元与天合余皆后天一日唐志大衍厯议云建德六年以壬辰景长而麟德开元厯皆得癸巳开皇七年以癸未景短而麟德开元厯皆得壬午先后相戾不可叶也皆日行盈缩使然凡厯术在于常数而不在于变行既叶中行之率则可以两齐先后之变矣宣政元年戊戌岁十一月初五日戊戌景长(见隋志)太初甲辰五十刻 大衍戊戌三十刻纪元戊戌二十三刻 授时戊戌三十三刻大綂戊戌八十二刻 新法戊戌三十九刻右太初后天六日余与天合隋开皇四年甲辰岁十一月十一日己巳景长(见隋志)太初丙子空刻 大衍己巳七十七刻纪元己巳六十九刻 授时己巳八十六刻大綂庚午二十八刻 新法己巳八十五刻右太初后天七日大綂后天一日余与天合开皇五年乙巳岁十一月二十二日乙亥景长(见隋志)太初辛巳二十五刻 大衍乙亥一刻纪元甲戌九十三刻 授时乙亥十刻大綂乙亥五十二刻 新法乙亥十刻右太初后天六日纪元先天一日余与天合开皇六年丙午岁十一月初三日庚辰景长(见隋志)太初丙戌五十刻 大衍庚辰二十五刻纪元庚辰十八刻 授时庚辰三十四刻大綂庚辰七十六刻 新法庚辰三十四刻右太初后天六日余与天合开皇七年丁未岁五月初九日癸未景短(见隋志)太初己丑十二刻 大衍壬午八十八刻纪元壬午八十刻 授时壬午九十六刻大綂癸未三十八刻 新法壬午九十六刻右太初后天六日大綂与天合余皆先天一日是年十一月十四日乙酉景长(见隋志)太初辛卯七十五刻 太衍乙酉五十刻纪元乙酉四十二刻 授时乙酉五十九刻大綂丙戌初刻 新法乙酉五十八刻右太初后天六日大綂后天一日余与天合开皇十一年辛亥岁十一月二十八日丙午景长(见隋志)太初壬子七十五刻 大衍丙午四十八刻纪元丙午四十刻 授时丙午五十六刻大綂丙午九十七刻 新法丙午五十六刻右太初后天六日余与天合开皇十四年甲寅岁十一月辛酉朔旦冬至(见隋志)太初戊辰五十刻 大衍壬戌二十一刻纪元壬戌十三刻 授时壬戌二十九刻大綂壬戌七十刻 新法壬戌二十九刻右按隋书萧吉传云甲寅之年以辛酉冬至来年乙卯以甲子夏至冬至阳始郊天之日即是至尊本命夏至隂始祀地之辰即是皇后本命至尊德竝干之复育皇后仁同地之载养所以二仪元气竝㑹本辰此盖时厯傅㑹以媚其上非实测晷景所得也诸厯推壬戌者为是惟太初后天六日唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长(见元志)太初辛卯空刻 大衍甲申四十三刻纪元甲申三十一刻 授时甲申四十四刻大綂甲申八十三刻 新法甲申四十七刻右太初后天六日余皆先天一日贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长(见元志)太初丁巳二十五刻 大衍庚戌六十五刻纪元庚戌五十三刻 授时庚戌六十六刻大綂辛亥四刻 新法庚戌六十九刻右太初后天六日大綂与天合余皆先天一日元志授时厯议云唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长诸厯得甲申二十三年己酉岁十一月辛亥景长诸厯皆得庚戌大衍厯议以永淳开元冬至推之知前二冬至乃史官依时厯以书必非候景所得所以不合耳龙朔二年壬戌岁十一月戊午景长(见元志)太初乙丑五十刻 大衍戊午八十三刻纪元戊午六十九刻 授时戊午八十二刻大綂己未十九刻 新法戊午八十六刻右太初后天七日大綂后天一日余与天合仪凤元年丙子岁十一月壬申景长(见元志)太初己卯空刻 大衍壬申二十五刻纪元壬申十刻 授时壬申二十二刻大綂壬申五十九刻 新法壬申二十七刻右太初后天七日余与天合永淳元年壬午岁十一月癸卯景长(见元志)太初庚戌五十刻 大衍癸卯七十二刻纪元癸卯五十七刻 授时癸卯七十四刻大綂甲辰四刻 新法癸卯七十三刻右太初后天七日大綂后天一日余与天合开元十年壬戌岁十一月癸酉景长(见元志)太初庚辰五十刻 大衍癸酉四十九刻纪元癸酉三十一刻 授时癸酉四十六刻大綂癸酉七十四刻 新法癸酉四十七刻右太初后天七日余与天合开元十一年癸亥岁十一月戊寅景长(见元志)太初乙酉七十五刻 大衍戊寅七十四刻纪元戊寅五十五刻 授时戊寅七十刻大綂戊寅九十八刻 新法戊寅七十一刻右太初后天七日余与天合开元十二年甲子岁十一月癸未景长(见元志)太初辛卯空刻 大衍癸未九十八刻纪元癸未八十刻 授时癸未九十五刻大綂甲申二十三刻 新法癸未九十六刻右太初后天八日大綂后天一日余与天合宋景德四年丁未岁十一月戊辰日冬至(见元志)太初丙子七十五刻 大衍戊辰十五刻纪元丁卯七十四刻 授时丁卯八十刻大綂丁卯八十五刻 新法丁卯七十九刻右太初后天八日大衍与天合余皆先天一日元志授时厯议云自宋以来测景验气者凡十七事其景德丁未岁戊辰日南至綂天授时皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥岁甲戌日南至綂天授时皆得乙亥是后一日一失之先一失之后若曲变其率以従景德则其余十六事多后天若从嘉泰则其余十六事多先天以此理推之非厯不合也盖类其同则知其中辨其异则知其变已下二条放此皇祐元年己丑岁十一月十九日戊申景长(见宋志)太初丁巳二十五刻 大衍戊申四十二刻纪元丁未九十七刻 授时丁未九十九刻大綂戊申四刻 新法丁未九十九刻右太初后天九日大衍大綂与天合余皆先天一日皇祐二年庚寅岁五月二十五日辛亥景短(见宋志)太初乙未八十七刻 大衍辛亥四刻纪元庚戌六十刻 授时庚戌六十一刻大綂庚戌六十六刻 新法庚戌六十一刻右太初后天八日大衍与天合余皆先天一日是年十一月三十日癸丑景长(见宋志)太初壬戌五十刻 大衍癸丑六十六刻纪元癸丑二十二刻 授时癸丑二十三刻大綂癸丑二十八刻 新法癸丑二十三刻右太初后天九日余与天合皇祐四年壬辰岁五月十七日辛酉景短(见宋志)太初庚午三十七刻 大衍辛酉五十三刻纪元辛酉八刻 授时辛酉十刻大綂辛酉十四刻 新法辛酉十刻右太初后天九日余与天合元丰六年癸亥岁十一月丙午景长(见元志)太初乙卯七十五刻 大衍丙午七十三刻纪元丙午二十六刻 授时丙午二十六刻大綂丙午二十八刻 新法丙午二十五刻右太初后天九日余与天合元丰七年甲子岁十一月辛亥景长(见元志)太初辛酉空刻 大衍辛亥九十七刻纪元辛亥五十刻 授时辛亥五十一刻大綂辛亥五十三刻 新法辛亥四十九刻右太初后天十日余与天合元祐三年戊辰岁十一月壬申景长(见元志)太初壬午空刻 大衍壬申九十五刻纪元壬申四十八刻 授时壬申四十八刻大綂壬申五十刻 新法壬申四十六刻右太初后天十日余与天合元祐四年己巳岁十一月丁丑景长(见元志)太初丁亥二十五刻 太衍戊寅十九刻纪元丁丑七十二刻 授时丁丑七十二刻大綂丁丑七十四刻 新法丁丑七十一刻右太初后天十日大衍后天一日余与天合元祐五年庚午岁十一月壬午冬至太初壬辰五十刻 大衍癸未四十四刻纪元壬午九十六刻 授时壬午九十六刻大綂壬午九十八刻 新法壬午九十五刻右太初后天十日大衍后天一日余与天合元祐七年壬申岁十一月癸巳冬至(见元志)太初癸卯空刻 大衍癸巳九十二刻纪元癸巳四十五刻 授时癸巳四十五刻大綂癸巳四十七刻 新法癸巳四十三刻右太初后天十日余与天合元符元年戊寅岁十一月甲子冬至(见元志)太初甲戌五十刻 大衍乙丑三十九刻纪元甲子九十一刻 授时甲子九十刻大綂甲子九十二刻 新法甲子八十九刻右太初后天十日大衍后天一日余与天合崇宁三年甲申岁十一月丙申冬至(见元志)太初丙午空刻 大衍丙申八十六刻纪元丙申三十七刻 授时丙申三十六刻大綂丙申三十八刻 新法丙申三十五刻右太初后天十日余与天合崇宁四年乙酉岁十一月辛丑冬至(见元志)太初辛亥二十五刻 大衍壬寅十刻纪元辛丑六十二刻 授时辛丑六十刻大綂辛丑六十二刻 新法辛丑五十九刻右太初后天十日大衍后天一日余与天合绍熙二年辛亥岁十一月壬申冬至(见元志)太初壬午七十五刻 大衍癸酉十二刻纪元壬申五十七刻 授时壬申四十七刻大綂壬申四十七刻 新法壬申四十七刻右太初后天十日大衍后天一日余与天合绍熙四年癸丑岁十一月十九日壬午景长(见宋志)太初癸巳二十五刻 大衍癸未六十一刻纪元癸未六刻 授时壬午九十六刻大綂壬午九十六刻 新法壬午九十五刻右太初后天十一日大衍纪元后天一日余与天合庆元三年丁巳岁十一月癸卯日南至(见元志)太初甲寅二十五刻 大衍甲辰五十九刻纪元甲辰三刻 授时癸卯九十三刻大綂癸卯九十三刻 新法癸卯九十二刻右大初后天十一日大衍纪元后天一日余与天合嘉泰三年癸亥岁十一月甲戌日南至(见元志)太初乙酉七十五刻 大衍丙子五刻纪元乙亥四十九刻 授时乙亥三十八刻大綂乙亥三十八刻 新法乙亥三十八刻右太初后天十一日大衍后天二日余皆后天一日嘉定五年壬申岁十一月壬戌日南至(见元志)太初癸酉空刻 大衍癸亥二十五刻纪元壬戌六十八刻 授时壬戌五十七刻大綂壬戌五十七刻 新法壬戌五十六刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合绍定三年庚寅岁十一月丙申日南至(见元志)太初丁未五十刻 大衍丁酉六十五刻纪元丁酉七刻 授时丙申九十三刻大綂丙申九十三刻 新法丙申九十三刻右太初后天十一日大衍纪元后天一日余与天合淳祐十年庚戌岁十一月辛巳日南至(见元志)太初壬辰五十刻 大衍壬午五十四刻纪元辛巳九十四刻 授时辛巳七十八刻大綂辛巳七十八刻 新法辛巳七十八刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合元至元十四年丁丑岁十一月癸卯日辰初三刻冬至(见元志)太初甲寅二十五刻 大衍甲辰十四刻纪元癸卯五十二刻 授时癸卯三十三刻大綂癸卯三十三刻 新法癸卯三十三刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合至元十五年戊寅岁五月乙巳日亥正三刻夏至(见元志)太初丙辰八十七刻 大衍丙午七十六刻纪元丙午十四刻 授时乙巳九十五刻大綂乙巳九十五刻 新法乙巳九十五刻右太初后天十一日大衍纪元后天一日余与天合是年十一月戊申日未初三刻冬至(见元志)太初己未五十刻 大衍己酉三十八刻纪元戊申七十六刻 授时戊申五十七刻大綂戊申五十七刻 新法戊申五十七刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合至元十六年己卯岁五月辛亥日寅正二刻夏至(见元志)太初壬戌十二刻 大衍壬子一刻纪元辛亥三十九刻 授时辛亥十九刻大綂辛亥十九刻 新法辛亥十九刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合是年十一月癸丑日戌初二刻冬至(见元志)太初甲子七十五刻 大衍甲寅六十三刻纪元甲寅一刻 授时癸丑八十一刻大綂癸丑八十一刻 新法癸丑八十一刻右太初后天十一日大衍纪元后天一日余与天合至元十七年庚辰岁十一月己未日丑初一刻冬至(见元志)太初庚午空刻 大衍己未八十七刻纪元己未二十五刻 授时己未六刻大綂已未六刻 新法己未六刻右太初后天十一日余与天合圣朝洪武十六年癸亥岁十一月己未日冬至(见大学衍义补)太初庚午七十五刻 大衍庚申五刻纪元己未三十四刻 授时己未二刻大綂己未三刻 新法己未二刻右太初后天十一日大衍后天一日余与天合史官所记二至晷景凡六十条以太初等五厯及新法考之太初合者仅二后天五日至十一日者凡五十八大衍合者三十六先一日者六后一日者十七后二日者一纪元合者四十二先一日者十后一日者八授时合者四十八先一日者十后一日者二大綂合者四十二先一日者三后一日者十三后三日者二新法合者比授时多一事其不合者比授时少一事夫以此观之则太初最疎固无足取大衍纪元非见用者亦不必论其授时厯不合者十二而先者多至于十后者仅二盖减分太多未得其宜也将来气朔皆失之先矣大綂厯不合者十八而先一日者仅三后一日者多至十三后三日者二盖由岁余一定而无加减故也夫后者多而先者少今虽未觉其失恐将来气朔浸失之后矣新法不合者十一比授时时为少合者四十九视授时为多盖密于授时矣其不与天合者非不合也前人有云类其同则知其中辨其异则知其变先后相戾者不可得兼也若曲变其法以改先者则后者愈后以改后者则先者益先徒令合者皆不合矣今乃折取中数不执一偏则先后二者虽不尽合而其相去亦皆不远凡相合者各得中平之率矣附录二十条万厯二十四年丙申岁五月夏至大綂癸巳六刻 新法壬辰九十八刻授时壬辰九十七刻二十八年庚子岁五月夏至大綂甲寅三刻 新法癸丑九十四刻授时癸丑九十四刻三十二年甲辰岁五月夏至大綂乙亥初刻 新法甲戌九十一刻授时甲戌九十一刻三十八年庚戌岁十一月冬至大綂己酉八刻 新法戊申九十八刻授时戊申九十八刻四十二年甲寅岁十一月冬至大綂庚午五刻 新法己巳九十五刻授时己巳九十五刻四十六年戊午岁十一月冬至大綂辛卯二刻 新法庚寅九十二刻授时庚寅九十二刻五十三年乙丑岁五月夏至大綂乙丑十刻 新法甲子九十九刻授时甲子九十九刻五十七年己巳岁五月夏至大綂丙戌七刻 新法乙酉九十六刻授时乙酉九十六刻六十一年癸酉岁五月夏至大綂丁未四刻 新法丙午九十三刻授时丙午九十三刻六十五年丁丑岁五月夏至大綂戊辰一刻 新法丁卯八十九刻授时丁卯九十刻七十一年癸未岁十一月冬至大綂壬寅八刻 新法辛丑九十七刻授时辛丑九十七刻七十五年丁亥岁十一月冬至大綂癸亥五刻 新法壬戌九十三刻授时壬戌九十四刻七十九年辛卯岁十一月冬至大綂甲申二刻 新法癸未九十刻授时癸未九十一刻八十六年戊戌岁五月夏至大綂戊午十刻 新法丁巳九十七刻授时丁巳九十九刻九十年壬寅岁五月夏至大綂己卯七刻 新法戊寅九十四刻授时戊寅九十五刻九十四年丙午岁五月夏至大綂庚子四刻 新法己亥九十一刻授时己亥九十二刻九十八年庚戌岁五月夏至大綂辛酉一刻 新法庚申八十八刻授时庚申八十九刻百年壬子岁十一月冬至大綂甲戌十二刻 新法癸酉九十八刻授时甲戌初刻千年壬子岁十一月冬至大綂壬子三十七刻 新法庚戌九十刻授时庚戌八十一刻万年壬子岁十一月冬至大綂甲戌八十七刻 新法壬寅十六刻授时己丑八十九刻(先大綂百五日先新法十三日)已上预推未来二至新旧三家各有异同宜于其时测验晷景以证新旧厯孰为疎密也谨述大槩以发其端附于此卷之末自万厯元年已来百年之间大綂授时二厯相差不过十余刻及至千年则差二日万年则差百有余日所差非不多也新率恒处二厯强弱之间得中平之数云圣夀万年厯卷四
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钦定四库全书圣夀万年厯卷五明 朱载堉 撰古今交食考前代课厯故事取各家所造之厯各使推而上之于千百世之上以求交食与夫岁月日星辰之著见于经史者为合与否然后推而下之以定当来之气朔则知与往古相合者为密不合者为疎甚易辨也万厯九年辛巳岁距汉武帝元光元年丁未岁一千七百一十四年距陈宣帝太建八年丙申岁一千有五年二者之间史志原载日月食分加时起复方位各取数事而以元儒旧法并今新法考之自唐已下不必考者未及千年故略之也仍取万厯甲午已后日月交食亦各数事较其异同笔于此巻往则稽于史来则验于天而新旧二家疎密可见矣汉武帝元光元年七月癸未先晦一日日有食之在翼八度刘向云日中时食从东北过半晡时复(见前汉书五行志)谨按日食必起自西理无从东起者疑有脱文故也当作从西北向东北食过半过半谓六七分已上是岁有闰而汉厯失闰故以为七月晦晦闰之失辨见别卷兹不复赘依新法筭距嘉靖甲寅岁一千六百八十七年距万厯辛巳岁一千七百一十四年日食九分四十九秒初亏 午正一刻 西北食甚 未初三刻 正北复圆 申初初刻 东北食甚日躔黄道翼八度五十一分赤道翼八度三十九分依旧法筭距至元辛巳岁一千四百一十四年日食九分六十三秒初亏 午正三刻 正西食甚 未正初刻复圆 申初二刻 正东食甚日缠黄道翼六度五十二分赤道翼六度四十一分汉武帝征和四年八月辛酉晦日有食之不尽如钩在亢二度晡时食从西北日下晡时复(同上)依新法筭距嘉靖甲寅岁一千六百四十二年距万厯辛巳岁一千六百六十九年日食九分八十五秒初亏 未初二刻 西北食甚 未正三刻 正北复圆 申正初刻 东北食甚日躔黄道角十一度七十八分赤道角十度八十五分依旧法筭距至元辛巳岁一千三百六十九年日食九分四十三秒初亏 未正初刻 正西食甚 申初一刻复圆 申正二刻 正东食甚日躔黄道角九度八十五分赤道角九度七分谨按厯经云若当时有宿度仍依当时厯法命之依三綂厯冬至日在牵牛加而命之则与亢二度合汉明帝永平四年八月丙寅时加未日有食之(见后汉五行志注)谨按此不言朔者八月之晦也时加未者犹言加时在未依新法筭距嘉靖甲寅岁一千四百九十三年距万厯辛巳岁一千五百二十年日食二分七十一秒初亏 未初二刻 西北食甚 未正二刻 正北复圆 申初二刻 东北食甚日躔黄道亢初度十二分赤道亢初度十一分依旧法筭距至元辛巳岁一千二百二十年日食三分五十六秒初亏 未正二刻 西北食甚 申初三刻 正北复圆 申正三刻 东北食甚日躔黄道角十一度六十九分赤道角十度七十七分魏文帝黄初二年六月二十七日戊辰加时未日食(见晋书厯志)依新法筭距嘉靖甲寅岁一千三百三十三年距万厯辛巳岁一千三百六十年日食三分七十二秒初亏 午正三刻 西北食甚 未初三刻 正北复圆 未正三刻 东北食甚日躔黄道张九度七十四分赤道张九度八十九分依旧法筭距至元辛巳岁一千六十年日食四分二十四秒初亏 未初一刻 西北食甚 未正一刻 正北复圆 申初一刻 东北食甚日躔黄道张八度七十一分赤道张八度八十四分魏文帝黄初二年七月十五日癸未日加壬月加丙食(同上)谨按日加壬谓日在地中壬位月加丙谓月在天上丙位以漏刻言则亥末子初也丙字旧文作景为避唐讳今仍作丙庶读者易晓也依新法筭距嘉靖甲寅岁一千三百三十三年距万厯辛巳岁一千三百六十年月食八分七十秒初亏 子初初刻 三更一㸃 东南食甚 子正三刻 三更五㸃 正南复圆 丑正一刻 四更五㸃 西南食甚月离黄道室六度九十七分赤道室六度八十分依旧法筭距至元辛巳岁一千六十年月食八分七十一秒初亏 子初二刻 三更二㸃 正东食甚 丑初一刻 四更二㸃复圆 寅初一刻 五更二㸃 正西食甚月离黄道室五度九十分赤道室五度七十五分宋文帝元嘉十三年十二月十六日甲夜月食尽在鬼四度以冲计之日当在牛六(见宋书祖冲之歴议)谨按甲夜或作中夜者误甲夜一更也乙丙丁戊夜二三四五更也尽字疑衍今厯鬼无四度盖据当时赤道度耳元志云列舎相距度数厯代所测不同非微有动移则前人所测或有未密正谓此也已下三条放此依新法筭距嘉靖甲寅岁一千一百一十八年距万厯辛巳岁一千一百四十五年月食八分七十三秒初亏 申正三刻 昏刻 东北食甚 酉正一刻 一更二㸃 正北复圆 戊初三刻 一更五㸃 西北食甚月离黄道柳三度四十一分赤道柳三度六十二分依旧法筭距至元辛巳岁八百四十五年月食八分七十三秒初亏 申正三刻 昏刻 正东食甚 酉正二刻 一更三㸃复圆 戌正一刻 二更一㸃 正西食甚月离黄道柳二度七十九分赤道柳二度九十七分宋文帝元嘉十四年五月十五日丁夜月食尽在斗二十六度以冲计之日当在井三十(同上)谨按赤道斗无二十六度唐志大衍厯议云古以牵牛上星为距太初改用中星然则斗二十六度者汉太初厯所测也新法改斗二十六度为牛初度依近代所测也依新法筭距嘉靖甲寅岁一千一百一十七年距万厯辛巳岁一千一百四十四年月食十一分六十二秒初亏 子正初刻 三更三㸃 正东食既 丑初一刻 四更二㸃食甚 丑初三刻 四更四㸃生光 丑正初刻 四更五㸃复圆 寅初一刻 五更四㸃 正西食甚月离黄道牛初度五十一分赤道牛初度五十五分依旧法筭距至元辛巳岁八百四十四年月食十一分六十二秒初亏 子正初刻 三更四㸃 正东食既 丑初二刻 四更三㸃食甚 丑正初刻 四更四㸃生光 丑正二刻 五更一㸃复圆 寅初四刻 五更五㸃 正西食甚月离黄道斗二十三度十六分赤道斗二十五度八分宋文帝元嘉二十八年八月十五日丁夜月食在奎十一度以冲计之日当在角二(同上)谨按此条不言食尽者食不至既也依新法筭距嘉靖甲寅岁一千一百三年距万厯辛巳岁一千一百三十年月食七分三十秒初亏 子正初刻 三更三㸃 东南食甚 丑初二刻 四更二㸃 正南复圆 寅初初刻 四更五㸃 西南食甚月离黄道奎十四度二十六分赤道奎十三度十五分依旧法筭距至元辛巳岁八百三十年月食七分三十秒初亏 子正一刻 三更四㸃 东南食甚 丑初三刻 四更二㸃 正南复圆 寅初二刻 五更一㸃 西南食甚月离黄道奎十三度五十四分赤道奎十二度四十八分宋孝武帝大明三年九月十五日乙夜月食尽在胃宿之末以冲计之日当在氐十二(同上)依新法筭距嘉靖甲寅岁一千九十五年距万厯辛巳岁一千一百二十二年月食十四分四秒初亏 戌初初刻 一更三㸃 正东食既 戌正初刻 一更五㸃食甚 戌正二刻 二更一㸃生光 亥初初刻 二更二㸃复圆 亥正初刻 二更四㸃 正西食甚月离黄道胃十四度七十二分赤道胃十四度八分依旧法筭距至元辛巳岁八百二十二年月食十四分四秒初亏 酉正三刻 一更二㸃 正东食既 戌初四刻 一更五㸃食甚 戌正二刻 二更一㸃生光 亥初初刻 二更二㸃复圆 亥正一刻 二更五㸃 正西食甚月离黄道胃十四度一分赤道胃十三度四十一分陈宣帝太建八年丙申六月戊申朔食于卯甲间(见元史厯志)谨按二十四向寅末卯初是名曰甲然则卯甲间者谓卯初之后卯正之前也依新法筭距嘉靖甲寅岁九百七十八年距万厯辛巳岁一千五年日食七分九十六秒日未出已食一分六十一秒日已出见食六分三十五秒初亏 寅正一刻 西北食甚 卯初二刻 正北复圆 卯正三刻 东北食甚日躔黄道柳二度六十六分赤道柳二度八十二分依旧法筭距至元辛巳岁七百五年日食八分日未出已食六分七十三秒日已出见食一分二十七秒初亏 寅正二刻 正西食甚 卯初二刻复圆 卯正三刻 正东食甚日躔黄道柳二度十九分赤道柳二度三十二分谨按此条厯家所谓帯食者也旧以应见者为不见应不见者为见与新法不同知厯者当辨孰为近是已上往古日月食共十条距今甲午岁千余年矣自甲午以后未来日月食共十条开列于后万厯二十四年丙申岁三月壬午夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十二年距万厯辛巳岁一十五年月食三分七十秒月未入已复二分七秒月已入不见复一分六十三秒初亏 寅初三刻 五更三㸃 东北食甚 寅正三刻 晓刻 正北复圆 卯初三刻 在昼 西北食甚月离黄道角五度六分赤道角四度七十六分依旧法筭距至元辛巳岁三百一十五年月食三分七十一秒月未入巳复二分八十秒月已入不见复九十一秒初亏 寅初四刻 五更三㸃 东北食甚 卯初初刻 晓刻 正北复圆 卯正一刻 在昼 西北食甚月离黄道角四度九十六分赤道角四度六十七分万厯二十四年丙申岁闰八月乙丑朔日食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十二年距万厯辛巳岁一十五年日食九分七十五秒初亏 巳正三刻 西北食甚 午正初刻 正北复圆 未初一刻 东北食甚日躔黄道翼十九度赤道翼十七度六十二分依旧法筭距至元辛巳岁三百一十五年日食九分七十秒初亏 午初初刻 正西食甚 午正二刻复圆 未初三刻 正东食甚日躔黄道翼十八度九十分赤道翼十七度五十三分万厯二十六年戊戌岁七月戊戌夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十四年距万厯辛巳岁一十七年月食九分十八秒初亏 丑初初刻 四更一㸃 东北食甚 丑正二刻 四更五㸃 正北复圆 寅正初刻 五更四㸃 西北食甚月离黄道虚六度九十六分赤道虚六度八十六分依旧法筭距至元辛巳岁三百一十七年月食九分十八秒初亏 丑初初刻 四更一㸃 正东食甚 丑正二刻 四更五㸃复圆 寅正一刻 五更五㸃 正西食甚月离黄道虚六度八十六分赤道虚六度七十七分万厯二十七年己亥岁六月癸巳夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十五年距万厯辛巳岁一十八年月食十一分十六秒月未出已食七分五十九秒月已出见食三分五十七秒初亏 酉初三刻 在昼 正东食既 戌初初刻 昏刻食甚 戌初二刻 昏刻生光 戌初三刻 一更一㸃复圆 亥初初刻 一更五㸃 正西食甚月离黄道女七度九十二分赤道女八度三分依旧法筭距至元辛巳岁三百一十八年月食十一分十六秒月未出已食二分九十九秒月已出见食八分十七秒初亏 酉初二刻 在昼 正东食既 戌初初刻 昏刻食甚 戌初二刻 昏刻生光 戌初三刻 一更一㸃复圆 亥初一刻 一更五㸃 正西食甚月离黄道女七度八十三分赤道女七度九十三分谨按此与太建八年帯食其理相同旧法应见者为不见应不见者为见与新法异焉至期验天则知疎密万厯二十九年辛丑岁十一月己酉夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十七年距万厯辛巳岁二十年月食七分八十九秒初亏 丑初初刻 三更五㸃 东南食甚 丑正二刻 四更三㸃 正南复圆 寅初三刻 四更五㸃 西南食甚月离黄道毕十四度六分赤道毕十四度九十三分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十年月食七分八十九秒初亏 丑初初刻 三更五㸃 东南食甚 丑正二刻 四更三㸃 正南复圆 寅正一刻 五更一㸃 西南食甚月离黄道毕十三度九十六分赤道毕十四度八十二分万厯三十年壬寅岁四月丙午夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十八年距万厯辛巳岁二十一年月食十四分十秒初亏 子初二刻 三更一㸃 正东食既 子正三刻 三更五㸃食甚 丑初一刻 四更二㸃生光 丑正初刻 四更四㸃复圆 寅初一刻 五更三㸃 正西食甚月离黄道尾五度八十九分赤道尾六度二十五分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十一年月食十四分十秒初亏 子正初刻 三更三㸃 正东食既 丑初二刻 四更三㸃食甚 丑正一刻 四更五㸃生光 寅初初刻 五更二㸃复圆 寅正二刻 晓刻 正西食甚月离黄道尾五度八十三分赤道尾六度十九分万厯三十年壬寅岁十月甲辰夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十八年距万厯辛巳岁二十一年月食十三分二十九秒月未出已食十分三十四秒月已出见食二分九十五秒初亏 申初一刻 在昼 正东食既 申正二刻 在昼食甚 酉初初刻 昏刻生光 酉初二刻 一更一㸃复圆 酉正二刻 一更三㸃 正西食甚月离黄道毕二度九十四分赤道毕三度九分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十一年月食十三分二十九秒月未出已食二分五十九秒月已出见食十分七十秒初亏 申初初刻 在昼 正东食既 申正一刻 在昼食甚 酉初初刻 昏刻生光 酉初二刻 一更一㸃复圆 酉正四刻 一更四㸃 正西食甚月离黄道毕二度八十四分赤道毕二度九十八分谨按食既在昼则月出已既矣是知旧法所推帯食分误万厯三十一年癸卯岁四月丁亥朔日食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十九年距万厯辛巳岁二十二年日食八分六十六秒初亏 辰初初刻 西北食甚 辰正一刻 正北复圆 巳初三刻 东北食甚日躔黄道胃十二度二十一分赤道胃十二度十四分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十二年日食七分九十八秒初亏 辰初二刻 西北食甚 辰正四刻 正北复圆 巳正一刻 东北食甚日躔黄道胃十二度十三分赤道胃十二度六分万厯三十一年癸卯岁十月戊戌夜朢月食依新法筭距嘉靖甲寅岁四十九年距万厯辛巳岁二十二年月食四分四十秒初亏 子正四刻 三更五㸃 东北食甚 丑正一刻 四更二㸃 正北复圆 寅初二刻 四更五㸃 西北食甚月离黄道昴二度六十二分赤道昴二度六十七分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十二年月食四分四十秒初亏 丑初一刻 四更一㸃 东北食甚 丑正三刻 四更四㸃 正北复圆 寅正一刻 五更一㸃 西北食甚月离黄道昴二度五十四分赤道昴二度五十九分万厯三十二年甲辰岁四月辛巳朔日食依新法筭距嘉靖甲寅岁五十年距万厯辛巳岁二十三年日食三分九十秒初亏 未正三刻 西南食甚 申正初刻 正南复圆 酉初初刻 东南食甚日躔黄道胃一度五十五分赤道胃一度五十二分依旧法筭距至元辛巳岁三百二十三年日食四分二十二秒初亏 申初三刻 西南食甚 酉初初刻 正南复圆 酉正一刻 东南食甚日躔黄道胃一度四十八分赤道胃一度四十五分谨按日月食旧例惟推黄道度今附赤道度于下盖欲学者兼通黄赤道相求术庶不致失传也右古今日月食共二十条祗依元史旧法与臣新法相校而录其同异焉若夫大綂厯经全文实愚臣所未覩虽颇闻其略节然莫知其详也伏望钦依令该监推考而辨定疎密为后来修厯者张本臣下情不胜荣辛仰荷之至万年厯备考郑府长史司左长史臣谢廷训等谨启为恭进厯书上祝万夀敬陈愚见以仰禆盛典万一事万厯二十三年十月二十八日承奉河南等处承宣布政使司劄付承准礼部照㑹该本部题祠祭清吏司案呈奉本部送内府抄出郑世子载堉奏前事内称大綂厯倘有小差乞要更正以成一代之制宜新其名为圣夀万年厯及将所著新法十册恭进等因奉圣旨礼部知道钦此钦遵抄出到部送司案呈到部看得郑世子载堉恭进厯书上祝万夀欲要更新其名及将大綂厯所差即便改正各一节为照人君钦若天道敬授民时以成治功者莫大于厯是故自尧舜相传以来靡不重之所以大一綂也我太祖髙皇帝创有天下即治厯明时颁行中外命之曰大綂盖不惟昭王者无外之义而圣子神孙亿万年无疆之祚即在于是殆有不可以数限量者焉列圣相承毫无异议皇上绍天纉绪继治安民二十有三载夫既叶泰阶之符而际升平之盛矣迺者万寿届期四方来贺郑世子载堉恭献圣寿万年厯书并请因时改名原其用心无非俯竭一得之忱欲效万年之祝意甚善也但臣等查得㑹典凡造厯以洪武甲子为厯元仍依旧法推筭不用捷法夫厯元必用洪武甲子者所以重一代开创之本而推筭用旧法者诚以天有常度茍求其故千岁之日至可坐而致所谓故者言天运自然之常度有成法可求不必于凿也今大綂厯以我太祖之聪明睿智溯考前代推歩之法而用元郭守敬之术立表以测景考景以验气上符天运下顺民时以成之皆因其故也是以行之二百余年重熙累洽盖自畿甸以及要荒凡雕题椎结殊乡异俗一皆禀受正朔此万万世不可易者行之既乆习之已熟一旦而欲更新其名无论非祖宗创制立法至意且恐骇华夷之观聴也又考元厯志至元四年西域札马鲁丁撰进万年厯世祖稍颁行之十三年平宋遂诏前中书左丞许衡太子賛善王恂都少监郭守敬等改治新厯叅考累代厯法复测候日月星辰消息运行之变叅别异同酌取中数以为厯本至十七年冬至厯成名曰授时厯十八年颁行天下万年厯不复行则万年厯名元既有之虽行而未久亦不便于袭用矧今年号万厯业已该万年之义厯名改拟之说臣等未敢轻议至于岁差之法上古无闻盖一元肇启四序适调天有常运日月星辰行有常度自无差忒自唐虞以降暨于春秋时令不无愆其候矣讵非气渐浇漓运行乖舛而致然欤然而差法犹未立也逮汉雒下闳始知有差及晋虞喜始立差法自是宋何承天祖冲之梁虞〔？〕隋刘焯张胄𤣥唐僧一行宋王朴沈括辈各有差法之议讫无画一之规大都所约年限有逺近所置分度有疎密耳至元许衡郭守敬等乃测景于四表毫忽微眇皆有可考约以六十六年差一度考往则毎百年减一推来则毎百年加一其法号为精密我朝制厯实用其法则差法固在向遵用之宜无复异者近屡有言厯法差讹当为考正然于何而正之所以求之者大约有三曰考月令之中星移次应节曰测二至之日景长短应候曰验交食之分秒起复应时考以衡管测以臬表验以刻漏斯亦佹得之矣夫天体至广厯家以周天三百六十五度四分度之一而纪日月星辰之行次又析一度为百分一分为百秒可谓密矣然在天一度应地二千九百三十二里其在分秒又可推也譬之轮毂外广而中渐以狭至于辐辏之处间不容发矣夫浑仪之体径仅数尺外布三百六十五度四分度之一毎度不及指许安所置分秒哉至于臬表之树不过数尺刻漏之筹不越数寸以天之髙且广也而以径尺寸之物求之欲其纤微不爽不亦难乎故方其差在分秒之间无可验者至逾一度乃可以管窥耳此所以穷古今之智巧不能尽其变欤今之谈厯者或得其筭而无测验之具即有其具而置非其地髙下逈绝则亦无准宜非墨守者之所能自信也即如世子言以大綂与授时二厯相较考古则气差三日推今则时差九刻夫时差九刻在亥子之间则移一日在晦朔之交则移一月此可验之于近也设移而前则生明在初二之昏矣设移而后则生明在初四之夕矣弦朢亦宜各差一日今似未至此也此以厯家虽有成法犹以测验为准为今之计宜令星厯之官再加详推以求岁差之故亟为更正尝闻前礼官郑继之有言欲定岁差宜定岁法于二至余分丝忽之间定日法于气朔盈虚一画之际定日月交食于半秒难分之所斯其言似中厯家肯綮要在得精思善筭而又知厯理者以职其事诚博求之不可谓世无其人而其本又在我皇上秉钦若之诚以建中和之极光调玉烛黙运璇玑正厯数以永大綂之传是在今日诚千载一时也臣等窃观郑世子所著新法其原本进呈恭备御览未便繙阅恐致损汚合无行河南布政司转行该府长史司具启世子知㑹另将副本解部转发钦天监与世业各科厯官所传诸书互相参订细加磨筭务使分秒微纤随时测验蕲于不爽则厯数之奥既占而有孚天运之常亦筭无遗䇲矣若夫世子载堉不以崇髙富贵为逸豫之图乃能留心厯学博通今古志行既为可尚忠爱良有足嘉即东平河间何以称焉相应赐勅奖谕以示优褒取自圣裁恭候命下臣等遵奉施行等因万厯二十三年九月十九日本部尚书兼翰林院学士范(阙)等具题二十三日奉圣旨是郑世子著写勅奖谕钦此钦遵除将奖谕一节另行移文撰勅外所据新著律厯融通等书副本相应开取案呈到部拟合就行为此合就照㑹该布政司著落当该官吏照依照㑹内事理转行郑府长史司启世子知㑹即将所著律厯融通等书副本作速差人解部以凭转发钦天监磨筭施行等因承此拟合就行为此劄仰本司官吏照依劄付备承照㑹内事理即便具启郑世子知㑹即将所著律厯融通等书副本作速差人解部转发钦天监磨筭施行毋得迟违未便奉此拟合具启为此今将前项缘由理合具本谨具启闻伏候令㫖万厯二十三年十一月初一日左长史臣谢廷训右长史臣闗志拯郑府长史司为恭进厯书上祝万寿敬陈愚见以仰禆盛典万一事万厯二十三年十月二十八日承奉河南等处承宣布政使司劄付承准礼部照会该郑世子载堉奏前事劄仰本司官吏即便具启郑世子知㑹即将所著律厯融通等书副本作速差人解部转发钦天监磨筭施行等因奉此随具本启奉郑世子令旨厯书原藁十卷今誊录作二册批差小旗刘梯解送仍候勅到日专差官奏谢尔司给批与他敬此敬遵抄出到司拟合呈送为此今将前项缘由同厯书印封理合差人具呈伏乞照验施行万厯二十三年十一月二十日左长史谢廷训右长史闗志〔？〕圣夀万年厯巻五钦定四库全书圣夀万年厯附录明 朱载堉 撰河南等处提刑按察司分巡河北道佥事臣邢云路谨奏为议正厯元以成大典事臣惟稽古帝王必以治厯明时为首务盖其重也大哉帝尧其首命羲和氏曰钦若昊天厯象日月星辰敬授人时而即以咨帝舜曰天之厯数在尔躬其重如此嗣是夏后殷周绍明三正有自来矣下逮春秋始爽厥徳于是有曰至之愆不朔之食岂天路之殊常抑曰官之失职欤汉唐以降迄于宋元治厯家亡虑数十其表见者如邓平祖冲之李淳风僧一行郭守敬辈各殚心思求合天运或差而改改而差差而复改率皆由浅之深由踈之宻惟郭守敬乃臻其妙焉诚可谓冠绝古今矣然而守敬亦未尝自信为无差也观其谓积年距至元辛巳为元则可其诸应宜随时测验者用辛巳为元则不可今司天氏固祖述郭守敬太史者而胡不是之察也臣少习乾象长益笃嗜凡硏思二十余年乃有所得始觉古人有未尽而今时有不然者何也盖天日之交气之齐也日月之交朔之会也日忒而气不齐月愆而朔不㑹今之弊也夫窥天之器宜无逾于观象测景候时筹䇿四事矣臣今以四事窥天运胥日异而月不同焉孟子曰天之髙也星辰之逺也茍求其故千岁之日至可坐而致也然则日之至乃天之根气之始所闗大矣乃今之日至何如也大綂推今年冬至在申正二刻而臣测在未正一刻大綂实后天九刻余盖以癸巳甲午丙申丁酉之晷相加减实测二百五十九刻七十三分四十五秒得乙未日未正一刻冬至复取前后二十余日计二千余刻日日而量之秒秒而较之皆同未正一刻无殊科此日行所至昭昭在天可以数筹可以景测可与人人共知见者匪人力所私悬想所致也乃大綂差至后天九刻余计气应应损九百余分而不自觉岂其未尝筹测耶孟子所谓千岁可坐致者今甫以三百余年輙差九刻则何论千岁不宁惟是今年立春夏至立冬皆适值子半之交臣测立春乙亥而大綂推丙子臣测夏至壬辰而大綂推癸巳臣测立冬己酉而大綂推庚戌夫立春与冬乃王者行阳德隂德之令而夏至则其祀方泽之期也今皆相隔一日则理人事神之谓何是岂为细故况以立春隔日而生人之年月日时皆非矣此而不改后将何极且厯法疎密在交食自昔记之矣乃今年闰八月朔日有食之大綂推初亏巳正三刻食㡬既而臣候初亏巳正一刻食止七分余大綂实后天㡬二刻而计闰应及转应若交应则各宜如法増损之矣盖日食八分以下隂厯交前初亏西北固厯家所共知也今闰八月朔日食实在隂厯交前初亏西北其食七分余明甚则安得谓之初亏正西食甚九分八十六秒耶而大綂之不效亦明甚然此八月也若或值元日于子半则当退履端于月穷而朝贺大礼当在月正二日矣又可谓细故耶此而不改臣窃恐愈久愈差将不流而至春秋之食晦不止也臣故曰闰应转应交应之宜俱改也我朝圣神在御重熙累洽我皇上继天立极调元出治其厯数之传直追帝尧之綂则治厯明时正今日之急务也乃自国初迄今二百余年厯犹未正司天氏但知仅守元臣立成之法而一切诸应不随时以考验气朔竝乖天人弗协而犹然用至元辛巳为元夫有一代之兴必有一代之厯我朝制作越千古独奈何以厯数大典而犹然以胜国为元耶臣愚不肖蓄此于中久矣向欲陈献恐有越俎之嫌未敢也乃今年适逢上命儒臣纂修正史夫史也者大经大法咸正罔缺者也然而莫重于厯亦莫难于厯乃今尚未闻有一人欲起而更正之者及今不正何为信史及今不言岂非失时臣故自今年悉心详验之思以上献也野有一芹尚思自献况以厯数大典又当修史之会臣既实见其非是则安敢不亟陈于君父之前伏愿陛下俯纳臣言勅下礼部议复上请遴选海内之有真知厯数如郭守敬其人者俾之竭心殚力因数察理探赜索隠钩深致逺其于日月之消息气朔之差应平立新故之分弧矢分合之变黄道白道之一而不一天首天尾之齐以非齐一一测正之亡爽焉假以便宜迟以岁月然后改宪明时报之天子定昭代之厯元成熙朝之大典将见理隂叙阳各得其所时惠辰从职不相侵盖先后天而不违乃谓之钦若昊天天不违而况人乎乃可以敬授人时百工允厘庶绩咸熙圣德则天光于上下此帝尧相传之綂格天之致也由是东隅西极南交北狄胥晓然见天人之明正炯炯洞洞覩大圣人之作为出寻常万倍而国家亿万年厯数无疆之休端在是矣臣不胜悚栗待命之至为此具本专差书吏刘钦亲赍谨具奏闻伏候勅旨万歴二十四年十二月十九日奉圣旨礼部看了来说钦此万厯二十四年十二月二十三日抄刑科给事中李应䇿一本乞勅亟定岁差以答舆望事臣惟厯之闗于时岁差之闗于厯大矣该郑世子载堉曾献厯上夀蒙礼部覆准发钦天监磨对事闻乙未岁八九月中迄今无耗昨该河南按察司佥事邢云路复请议正厯元详议本年冬至云路测未正一刻大綂推申正二刻实后天九刻本年闰八月日食云路候初亏巳正一刻食止七分大綂推初亏巳正三刻食将㡬尽后天二刻其测候诸应参差较郑世子所奏简切便览独应时加减法尚未遽悉耳臣思国朝厯元圣祖尝谕二说难凭但验七政交会行度无差者为是惟时以至元辛巳揆之洪武甲子仅百四年所律以差法似不甚逺至正徳嘉靖已退当三度余奚俟今日哉春秋不食朔犹直书官失之今日食后天㡬二刻冬至后天逾九刻计气应应损九百余分乃云弗失乎厯理微秒日月五星运转交㑹咸取应于窥管测表欧阳修所谓事之最易差者虽古太初大衍诸书讵不深思𤣥解得羲和氏之厯象授时遗意然果以钟律为数无差则太初厯宜即定于汉而后之为三綂四分者若何又果以蓍策为术无差则大衍厯当亦即定于唐而后之为五纪贞元观象者又若何盖隂阳迭行随动而移移而错错而乖违日陷不止则躔离之谬分至之忒积此为穷谓移九刻于亥子之间则差一日惧后不啻焉前华湘奏尧时初昏昴中日行北陆躔于子属虚七度今冬至初昏室中日行东陆躔于寅属箕三度以相距四千年而隔余五十度验厯数愆期顾有言此日至之周遍于东西南运度岂泥若分秒而量积二万七千余年复归如初又天行舒移而渐西毎日过一度者为天道左旋之常日行缩移而渐西毎积岁亦过行一度者为天道右转之秘兹直存而不论耶人人知岁差易征考之退度若以五十年若百年若六十六年或八十三年殊无一经久确论故由春秋厯宋末元初愈稽愈失计无虑数十更矣夫亦何术何数无错大綂厯本之胜国郭太史守敬以彼减二十四分二十五秒于周岁加二十五分七十五秒于周天窥度精到有陋太初大衍等为不足言者然积六十六年有竒而退一度则推验之始已知有差何不即酌定画一俟其退一度逾六十六年而后更兹其故难于言矣无犹厘毫之除加之周天者微多减之周岁者微少纤悉难究姑置此为盈虚之验而探赜索𨼆不能不随时以待欤云路持观象测景候时筹策四事议诸应宜俱改想已洞烛款窍使得中秘星厯书一徧阅而校焉必自有得世子仅阅衍义补气闰转交四准分秒数字即悟大綂厯大义并所获律吕说冀正之臣尝谓律本居隂以治阳厯实居阳以治隂自非两本惟登台候日晷应否折忽于秒周岁周天微为増减务期晦朔弦望昏旦夜半中星分秒不爽尺寸与圣祖原谕元綂李得芳同一轨焉务称完制余不必更也而本监奉查律例久稽未复此又专门之裔本业虽长理或未谙精筭之士末技虽善经实弗明其奈何以国制巨任畀之岂邓平虞喜沈括辈各名家不能定一一寻常曲士易能哉譬之今鼎建大工操尺与运斤者缺一焉不可为矣矧履端节至万厯方新纂修国典诸法毕备失今不举后需何期伏乞勅下该部谕令佥事邢云路即以原官暂署钦天监俾相资订正仍选委在京各衙门素明厯法者二三员责之赞襄大务以共成一代之典而决千古之疑中外臣民实不胜愿望脱有袭故者目之为多事言未及而阻泥随之则不敢云克济也已(云云)右自邸报抄出内有脱文误字俟获原本校正万厯二十五年正月二十四日抄钦天监监正张应候等谨题为申明厯元乞赐宸断以杜妄议事臣等仰荷圣恩职司台监凡星象厯数选择堪舆数事莫不夙夜匪懈兢兢业业毫无敢忽此臣等上报国恩而下尽臣子之职分也臣等于万厯二十四年十二月内偶接得河南佥事邢云路揭帖开称大綂厯筭差讹悉宜改正臣等不胜骇异查得昔帝尧乃命羲和钦若昊天厯象日月星辰敬授人时迄于周秦汉晋唐宋以来不啻数十家更改损益以至于元而有郭守敬出焉是以上考往古下验将来斟酌损益以成一代之厯其岁差岁实诸应气䇿立法之密槩无出右者矣及至我太祖髙皇帝綂率华夷乃命监正元綂等分步推测考往验来皆依守敬之法节气交食分秒时刻毫无増损始更名曰大统厯而又取之西夷设监立官推步囘囘厯数较对大綂务求脗合以成一代之大典是遵祖宗之定制也今佥事邢云路陈言厯数之差前后相悬一日又不知是遵何家之法而轻信何人妄议者也且国朝立法律例备载有人私习天文厯数者罪之私传妄议者罪同况元郭守敬王恂等职司太史尚且奉其勅方敢更正诸厯我国朝监正元綂虽奉成命自知才不及守敬法不能易改是以遵奉明旨将授时厯改为大统歴名虽易而法术同虽经三百年来乞今雍熙太平相洽已久天道脗合交食凖验年愈逺而数愈真其后有乐頀华湘等勉强欲求斟酌改易竝未奉行考之今时贤才无守敬学业无元綂虽有毫末之聪未敢擅议于一时也当国初时茍可更之分秒错综一徧改易始成一代之名岂不可乎是知其必不可改也今我皇上圣神英武法令严明若聴云路之疏变易成法反复天道是知其不易为也今邢云路之请尚未奉行而都邸中外官民谣诵曰大綂歴数差错朔日相越一日惑世诬民变乱成法是谁之过欤且臣等本监造厯一载年前颁朔天下共知奈何邢云路复生异议今使中外臣民汹汹不安纷纷议起邢云路是诚何心矣伏望皇上大奋宸断礼部酌议如果臣等厯数有差愿选海内髙明之士有能精于厯数者公同考较如果臣等厯年交食脗合天道时节分秒不移或遵祖制业依古法仍勅下中外臣民勿生妄议行令厰衞五城衙门严加禁约如有妄议谣传厯数差讹者许缉挐究问如律庶止讹言厯数之非庶止中外臣民之议则天下幸甚臣等幸甚矣奉圣旨礼部知道钦此礼部尚书臣范(阙)等谨题为议正厯元以成大典事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出河南等处提刑按察司分巡河北道佥事邢云路奏前事奉圣旨礼部看了来说钦此又该钦天监监正张应候等题为申明厯元乞赐宸断以杜妄议事奉圣旨礼部知道钦此钦遵通抄到部送司案呈到部为照治厯明时国家首务序正五辰纲纪万事所系诚为巨重毫忽岂容少差顾其差与不差惟验之日月星辰而已先在万歴二十三年郑世子载堉疏进厯书内称旧法少差已经本部奉旨覆议以其书下钦天监推筭测验尚无实证未敢遽信为然近据万厯二十四年闰八月朔日食时刻分秒与钦天监所奏委觉参差臣等方议题请博访精通歴数之士亟为测验修正之图今适河南按察司佥事邢云路疏请改正厯元诸法良为有见乃钦天监监正张应候又此奏辩惟欲固守旧法夫使旧法无差诚宜世守而今既觉少差矣失今不修将岁愈久而差愈逺其何以齐七政而厘百工哉相应俯从邢云路所请即行考求磨筭渐次修改为是但厯数本极𤣥微修改非可易议盖更歴之初上考往古数千年布筭虽有一定之法而成厯之后下行将来数百年不无分秒之差前此不觉非其术之疎也以分秒布之百余年间其微不可纪盖亦无从测识之耳必积至数百年差至数分而始微见其端今欲验之亦必测候数年而始微得其槩即今该监人员不过因袭故常推衍成法而已若欲斟酌损益缘旧为新必得精谙厯理者为之总綂其事选集星家多方测候积筭累岁较析毫芒然后可为凖信裁定规制今据邢云路奏议详悉硏穷星厯之家考正旧法之差似得肯綮盖一时五官畴人未有能及之者相应专任责成合无咨行吏部即以佥事邢云路行取入京添注五品京衔提督钦天监事该监人员皆聴约束本部仍博访通晓歴法之士悉送本官委用务亲自督率各官测候二至太阳晷刻逐月中星躔度及验日月交食起复时刻分秒方位诸数随得随录逐一开呈御览积之数年酌定岁差修正旧法则万世之章程不易而一代之寳厯惟精其于国家敬天勤民之政亦诚大有禆补矣其见行二十六年厯日该监仍照旧法推筭不与相妨及查律例所禁乃指民间妄以管窥而测妖祥伪造厯书而紊气朔者言若天官书天文志厯书厯志载在厯代国史语云通天地人谓之儒学士大夫所宜通晓第患不能精耳非槩以例禁之也据大明㑹典明开天文地理艺术之人礼部务要备知以凭取用仍行天下访取考验收用在𢎞治十年令访取世业原籍子孙并山林隠逸之士及致仕退闲等项官吏生儒军民人等有能精通天文者试中取用在嘉靖元年工科给事中呉岩题请考选精术以备国用本部覆奉钦依保举精通天文厯法者不拘致仕官员监生生员山林隠逸之士何尝禁人习学歴法乎如欲执私习之条而绝星歴之学误矣该监各官局守成筭既不能测验以穷其变又不能虚心博访考订以复其常今既有其人务在同心共事协力推验不得妬功忌能自相矛盾悉聴本部叅究恭候命下容臣等遵奉施行缘系议正厯元以成大典等及节奉钦依礼部看了来说礼部知道事理未敢擅便谨题请旨留中总跋附录四疏宋人所撰梦溪笔谈有云熙宁中予领太史令卫朴造厯气朔巳正但五星未有候簿可验前世修厯多只増损旧厯而已未曾实考天度其法须测验每夜昏晓夜半月及五星所在度秒置簿录之满五年其间剔去云隂及昼见日数外可得三年实行然后以筭术缀之古所谓缀术者此也是时司天厯官皆承世族𨽻名食禄本无知厯者恶朴之术过已群沮之屡起大狱虽终不能揺朴而候簿至今不成奉元厯五星歩术但増损旧厯正其甚谬处十得五六而已朴之厯术古今未有为群厯人所沮不能尽其艺惜哉余读至此喟然叹曰古人有云后之视今亦犹今之视昔观台官之叅语则吾辈议厯者其罪不容诛矣恶之欲其死非大狱而何茍非部科卓见确论以维持之不亦殆乎虽然抱忠之臣犹怀卞和三献之志终不能已盖虽有时而屈或亦有时而伸道之不行也退其志可乎故录四疏全文示世之议厯者而感发惩创皆在其中矣圣夀万年厯附录
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钦定四库全书律厯融通巻一明 朱载堉 撰自落下闳造太初厯取法黄钟律数而后知创厯不可无所本自僧一行造大衍厯改从大易䇿数而后知修厯不可有所拘易大传曰河出图雒出书圣人则之所谓则之者非止画卦叙畴二事而已至若律厯礼乐莫不皆然葢天地万物无非阴阳而图书二者阴阳之妙尽矣夫六经之道同归礼乐之用为急然而厯者礼之本也律者乐之宗也何以言之夫厯之兴也测景于天景有消长因之以考分至以序四时而五礼本之律之始也候气于地气有深浅因之以辨清浊以正五音而六乐宗之圣人作乐以应天制礼以配地故曰律居阴而治阳厯居阳而治阴律厯迭相治也其间不容发而相错综也以河图雒书言之则河图者礼也雒书者乐也乐记曰天尊地卑君臣定矣卑高以陈贵贱位矣动静有常小大殊矣方以类聚物以群分则性命不同矣在天成象在地成形如此则礼者天地之别也其河图之谓欤地气上齐天气下降阴阳相摩天地相荡鼓之以雷霆奋之以风雨动之以四时煖之以日月而百化兴焉如此则乐者天地之和也其雒书之谓欤故河图圆而左旋其数则偶所谓居阳而治阴也十二辰次以之雒书方而右转其数则奇所谓居阴而治阳也七曜以之阳道常饶阴道常乏故河图之数五十五视大衍而有余雒书之数四十五视大衍而不足合河图与雒书共得百数若阴阳之交构牝牡之相衔均而分之得大衍之数者二此天地自然之至理故律厯倚之而起数语其经则厯有十二辰次律有十二宫调语其纬则厯有七曜律有七音河图厯也故有四时迭运之象雒书律也故有三分损益之象是以黄钟之管九寸则雒书而为律元黄钟之尺百分则河图而为度母从黍之律横黍之度长短分齐交相契合斯乃造化之妙故名之曰黄钟厯法葢言倚数取诸此也夫七八九六者天地之大数也七为少阳八为少阴九为老阳六为老阴阳属于天阴属于地天体圆其用方故七□为天之象而九□为天之数地体方其用圆故八□为地之象而六□为地之数夫数者混融乎太极之先昭晰乎有象之后方圆曲直天下之真象围径积实天下之真数即象以求数则数外无象因数以㑹象则象外无数二者相须而未尝相离也图书者方圆之至方圆者动静之机动静者阴阳之本阳竒而阴耦故天一而地二阳动而阴静故天圆而地方刓方以为圆则静者不能无动引圆以为方则动者不能无静静为之体则动为之用动为之体则静为之用用以体为基体以用为本此阴阳之所相根而造化之所不穷也河图者其天地对待之数乎以天一处于北则地二自然处于南以天三处于东则地四自然处于西四位既定则天五自然居乎中中也者四方所取正也六与一合六即一五也七与二合七即二五也为八为九者三五四五也四方既正则五五相比十复居于中矣此皆自然相合之数五行之所以生成也故孔子曰天数五地数五五位相得而各有合此之谓也雒书者其参天两地之数乎阳生于下而左旋阴生于上而右旋阳数则参天参者三也自一三如三三三如九三九二十七本文无十故去其二十而言七三其七为二十一去二十则一复处于下阴数则两地两者二也自二二如四二四如八二八十六本文无十故去其十而言六二其六为十二去十则二复处于上过此以往积数万亿皆不越乎此八位既定则五数自然居乎中中也者是亦八位所取正也以一加五则六在一后以六加五为十一去十则一在六先以三加五则八在三后以八加五为十三去十则三在八先以至四九二七亦莫不互相加益而为先后也此皆自然相比之数亦五行之所以生成也故孔子曰参天两地而倚数此之谓也是知河图之数五十五者天也合而用之者圣人也雒书之数四十五者天也倚而用之者圣人也河图之五行则以相生而顺行雒书之五行则以相制而逆运二者皆起于一推其生则土居未中推其制则土居丑中是又自然有相合之理刘歆谓河图雒书相为经纬岂微义哉邵雍曰圆者河图之数方者雒书之文当知方以为体则圆以为用圆以为体则方以为用圆者径一而围三方者径一而围四河图以十居中圆以推之三其十为三十故图外成数六七八九总三十方以推之四其十为四十故图内外生成之数总四十雒书以五居中圆以推之三其五为十五故书从横皆十五方以推之四其五为二十故书外阳数一三九七总二十阴数二四八六亦总二十体用相因莫匪自然至哉图书其象数之原乎夫物生而后有象象而后有滋滋而后有数象之与数若异用也而本则一若殊途也而归则同不明乎数不足与语象不明乎象不足与语数是故欲明律厯之学必以象数为先天道生于太一一变而为七七变而为九七与八乾坤之体坎离之象也九与六乾坤之用坎离之数也七九中实六八中虚竒偶阴阳之理也故天象多用七而天数多用九用七者若日月五星而为七政四方各七宿是也用九者三九二十七故二十七日有奇而月离一周焉四九三十六故三百六旬有余而日躔一周焉河图一六属水而为北方七宿二七属火而为南方七宿三八属木而为东方七宿四九属金而为西方七宿五十属土而为大衍之数故唐志云大衍为天之枢如环之无端葢律厯之大纪也十乃全数居中央而为宫九次之居西方而为商八次之居东方而为角七次之居南方而为征六次之居北方而为羽此五声之位清浊之序也然五声之相生由中而南故宫生征由南而西故征生商由西而北故商生羽由北而东故羽生角始于宫终于角左旋一周以象河图也六律之相生自子而亥故黄钟生仲吕自亥而戌故仲吕生无射自戌而酉故无射生夹钟自酉而申故夹钟生夷则乃至于丑而止故始于黄钟而终于林钟右旋一周以象雒书也日为太阳其数九居雒书之正南故蕤賔在午月为太阴其数六居雒书之西北故应钟在亥黄钟为填星太蔟为太白姑洗为岁星林钟为荧惑南吕为辰星蕤賔为日应钟为月厯有五纬七政律有五声七始故律厯同一道天之阴阳五行一气而已有气必有数有声厯以纪数而声寓律以宣声而数行律与厯同流行相生黄钟者声气之元者乎蕤賔应钟是名中和所以济五音和阴阳旋宫之律可定声气之元周流而不穷矣故周髀曰冬至夏至观律之数听钟之音知寒暑之极明代序之化是知律者厯之本也厯者律之宗也其数可相倚而不可相违故曰律厯融通此之谓也黄钟厯法上(凡五篇)步律吕第一律元九黄钟之管长九寸从黍为分之九寸也寸皆九分凡八十一分雒书之奇自相乘之数也是为厯本故以万厯九年为元义取诸此上考往古下推来今皆距律元为筭律母百黄钟之尺长十寸横黍为分之十寸也寸皆十分凡百分河图之偶自相乘之数也是为母法秒满法从分分满法从刻刻满法从日度下分秒放此不满秒者为忽律限三百纪之以三是也律母三之得律限夫三十为世三百为十世年逺数盈渐差天度古人所谓斗厯改宪之期律摠六十平之以六是也五声乘十二律得六十调是名律摠置律摠为实三而一所得是名律差律数十二国语曰纪之以三平之以六成于十二天之道也天之大数不过十二是故律厯宗之律率三十古法日余十六分之七今改日余千六百分之六百九十九大余纪之以三小余满法从日不满退除为刻及分黄钟 冬至益卦初九 小寒益卦六二复卦 初九 六二 六三 六四 六五 上六颐卦 初九 六二 六三 六四 六五 上九屯卦 初九 六二 六三 六四 九五 上六既济 初九 六二 九三 六四 九五 上六家人 初九 六二 九三 六四 九五 上九大吕 大寒益卦六二 立春益卦六四临卦 初九 九二 六三 六四 六五 上六明夷 初九 六二 九三 六四 六五 上六贲卦 初九 六二 九三 六四 六五 上九损卦 初九 九二 六三 六四 六五 上九节卦 初九 九二 六三 六四 九五 上六太蔟 雨水益卦九五 惊蛰益卦上九泰卦 初九 九二 九三 六四 六五 上六大畜 初九 九二 九三 六四 六五 上九需卦 初九 九二 九三 六四 九五 上六小畜 初九 九二 九三 六四 九五 上九中孚 初九 九二 六三 六四 九五 上九夹钟 春分震卦初九 清明震卦六二大壮 初九 九二 九三 九四 六五 上六归妹 初九 九二 六三 九四 六五 上六丰卦 初九 六二 九三 九四 六五 上六离卦 初九 六二 九三 九四 六五 上九噬嗑 初九 六二 六三 九四 六五 上九姑洗 谷雨震卦六三 立夏震卦九四夬卦 初九 九二 九三 九四 九五 上六大有 初九 九二 九三 九四 六五 上九睽卦 初九 九二 六三 九四 六五 上九兑卦 初九 九二 六三 九四 九五 上六革卦 初九 六二 九三 九四 九五 上六仲吕 小满震卦六五 芒种震卦上六乾卦 初九 九二 九三 九四 九五 上九履卦 初九 九二 六三 九四 九五 上九同人 初九 六二 九三 九四 九五 上九无妄 初九 六二 六三 九四 九五 上九随卦 初九 六二 六三 九四 九五 上六蕤賔 夏至恒卦初六 小暑恒卦九二姤卦 初六 九二 九三 九四 九五 上九大过 初六 九二 九三 九四 九五 上六鼎卦 初六 九二 九三 九四 六五 上九未济 初六 九二 六三 九四 六五 上九解卦 初六 九二 六三 九四 六五 上六林钟 大暑恒卦九三 立秋恒卦九四遯卦 初六 六二 九三 九四 九五 上九讼卦 初六 九二 六三 九四 九五 上九困卦 初六 九二 六三 九四 九五 上六咸卦 初六 六二 九三 九四 九五 上六旅卦 初六 六二 九三 九四 六五 上九夷则 处暑恒卦六五 白露恒卦上六否卦 初六 六二 六三 九四 九五 上九萃卦 初六 六二 六三 九四 九五 上六晋卦 初六 六二 六三 九四 六五 上九豫卦 初六 六二 六三 九四 六五 上六小过 初六 六二 九三 九四 六五 上六南吕 秋分巽卦初六 寒露巽卦九二观卦 初六 六二 六三 六四 九五 上九渐卦 初六 六二 九三 六四 九五 上九涣卦 初六 九二 六三 六四 九五 上九坎卦 初六 九二 六三 六四 九五 上六井卦 初六 九二 九三 六四 九五 上六无射 霜降巽卦九三 立冬巽卦六四剥卦 初六 六二 六三 六四 六五 上九比卦 初六 六二 六三 六四 九五 上六蹇卦 初六 六二 九三 六四 九五 上六艮卦 初六 六二 九三 六四 六五 上九蒙卦 初六 九二 六三 六四 六五 上九应钟 小雪巽卦九五 大雪巽卦上九坤卦 初六 六二 六三 六四 六五 上六谦卦 初六 六二 九三 六四 六五 上六师卦 初六 九二 六三 六四 六五 上六升卦 初六 九二 九三 六四 六五 上六蛊卦 初六 九二 九三 六四 六五 上九求泛距定距置律元所距积年为泛距来加往减律限为定距若泛距在律限已下不及减者反减律限为定距诸应加减亦反之求泛积定积置所求定距以律数乗之为积月以积月乘日率为积日以积月乘日余为积余积余满法并入积日为岁泛积置定距自相乘为实七之八而一所得满律母为分不满退除为秒忽是名所求岁差来减往加泛积为岁定积求正律䇿置所求定积与次年定积相减余如律数而一得正律策求半律策置所求正律策二而一得半律策求均策置所求半律策三而一得均策求声策置所求均策五得一而声策求黄钟正律大小余及时刻置所求岁定积来加往减大余五十五小余六大余满律摠去之不尽来即所求往反减律摠得黄钟正律大小余其大余命甲子筭外小余以律数乘之刻满律母为时命子正筭外若满半律母亦进作一时命子初筭外余如律数而一为刻不满为初刻求黄钟前段半律及次律置所求黄钟正律大小余减去半律策即得黄钟前段半律之数如不及减则加律摠减之若求次律者以半律策累加之满律摠去之各得次律正半之数命法如前求均及声置本月正律或半律大小余以均策累加之即得次均之大小余其正半律日即为初均加者为中均再加为末均求五声之日者以声策累加之即得次声之大小余其正半律日即命为宫次第加者为商为角为征为羽余同上求爻象置黄钟正律大小余命为益卦初九爻象以半律策累加之得益六二至巽上九而止是为二十四气爻象又置黄钟正律大小余即复卦初九爻象以声策累加之得复六二至蛊上九而止是为三百六十当期之日惟盈日无爻象余同上歩发歛第二建寅 立春正月节 雨水正月中东风解冻 蛰虫始振 鱼陟负冰獭祭鱼 候雁北 草木萌动建卯 惊蛰二月节 春分二月中桃始华 仓庚鸣 鹰化为鸠𤣥鸟至 雷乃发声 始电建辰 清明三月节 榖雨三月中桐始华 田鼠化为𫛪 虹始见萍始生 鸣鸠拂其羽 戴胜降于桑建巳 立夏四月节 小满四月中蝼蝈鸣 蚯蚓出 王瓜生苦菜秀 靡草死 麦秋至建午 芒种五月节 夏至五月中螳螂生 鵙始鸣 反舌无声鹿角解 蜩始鸣 半夏生建未 小暑六月节 大暑六月中温风至 蟋蟀居壁 鹰始挚腐草为萤 土润溽暑 大雨时行建申 立秋七月节 处暑七月中凉风至 白露降 寒蝉鸣鹰乃祭鸟 天地始肃 禾乃登建酉 白露八月节 秋分八月中鸿雁来 𤣥鸟归 群鸟养羞雷始収声 蛰虫坏户 水始涸建戌 寒露九月节 霜降九月中鸿雁来賔 雀入大水为蛤 菊有黄华豺乃祭兽 草木黄落 蛰虫咸俯建亥 立冬十月节 小雪十月中水始冰 地始冻 雉入大水为蜃虹藏不见 天气上升地气下降 闭塞而成冬建子 大雪十一月节 冬至十一月中鹖鴠不鸣 虎始交 荔挺出蚯蚓结 麈角解 水泉动建丑 小寒十二月节 大寒十二月中鴈北乡 鹊始巢 雉雊鸡乳 征鸟厉疾 水泽腹坚求二十四气倂所求正律半律䇿及黄钟大小余满律摠去之即立春正月节累加半律䇿得次气大小余满律摠去之命如上求七十二候置立春大小余即东风解冻之候累加均䇿得次候大小余满律摠去之命如上求五行用事各以四立之节为春木夏火秋金冬水始用事日声䇿三之以减四季中气各得其季土始用事日求列宿当直置岁定积倂入正半律䇿来加往减九日六刻满宿周二十八日去之不尽来即所求往反减宿周余为立春日当直宿命起角宿筭外累加半律䇿满宿周去之各得次气日当直宿求建除建除满平定执破危成收开闭终而复始交节之后各以同月之日为建故交节之始与上日重名求纳音子午丑未甲乙起宫寅申卯酉甲乙起商辰戌巳亥甲乙起角丙丁而下例知凡宫为土商金角木征火羽水迭为次第终而复始各以所生者为纳音步朔闰第三朔策二十九日五十三刻五分九十三秒朢策十四日七十六刻五十二分九十六秒半弦策七日三十八刻二十六分四十八秒少寅月策五十九日六刻十一分八十六秒卯月策八十八日五十九刻十七分七十九秒辰月策百一十八日十二刻二十三分七十二秒巳月策百四十七日六十五刻二十九分六十五秒午月策百七十七日十八刻三十五分五十八秒未月策二百六日七十一刻四十一分五十一秒申月策二百三十六日二十四刻四十七分四十四秒酉月策二百六十五日七十七刻五十三分三十七秒戌月䇿二百九十五日三十刻五十九分三十秒亥月策三百二十四日八十三刻六十五分二十三秒子月策三百五十四日三十六刻七十一分十六秒丑月策三百八十三日八十九刻七十七分九秒求闰余置岁定积来加往减二十日二十刻五十分朔策为法除之不尽来即所求往反减朔䇿得闰余求泛闰视闰余在十八日已上者其年有闰置所求闰余全分加九十刻六十三分却与朔策相减视余㡬日为闰㡬月起建寅月命之即泛闰月不满日者有闰在年前子丑月求朔积置所求月策减去闰余即其月朔积若求闰月及闰后月者复加朔策方为其月朔积求经朔弦望置所求朔积加黄钟正律大小余满律摠去之各得其月经朔加以望策即得经望以弦策加经朔得上弦加经望得下弦又法置正月经朔大小余累加弦策满律摠去之亦得弦望及次朔大小余若径求次朔以朔策加之凡考古系天正者以年前十一月为正月正月为三月系地正者以年前十二月为正月正月为二月各照常法推之求盈虚置十六日减所求半律策余为没限恒气小余在没限已上为有没之气以十五乘之用减半律策余如半律策小余而一为日并恒气大余为没古厯谓之没今厯谓之盈置三十日减去朔策余为朔虚经朔小余在朔虚已下为有灭之朔以三十乘之如朔虚而一为日并经朔大余为灭古厯谓之灭今厯谓之虚步日躔第四日平行一度躔周三百六十五度二十五分躔中百八十二度六十二分半象策九十一度三十一分二十五秒半象策四十五度六十五分六十二秒半辰策三十度四十三分七十五秒半辰策十五度二十一分八十七秒半赤道岁差一分五十秒黄道岁差一分三十八秒盈初缩末限八十八日九十一刻缩初盈末限九十三日七十一刻求经朔弦望入厯置岁定积与次年岁定积相减余为岁周半之为岁中凡所求月朔积即经朔入厯以弦望策加之得弦望入厯冬至后为盈夏至后为缩满岁中去之即盈缩相代求盈缩初末限视入厯盈者在盈初缩末限已下缩者在缩初盈末限已下为初限已上反减岁中余为末限求盈缩差盈初缩末者立差三十一忽平差二分四十六秒定差五百一十三分三十二秒缩初盈末者立差二十七忽平差二分二十一秒定差四百八十七分六秒各置立差以所求限大余乘之加平差又乘之用减定差再乘之满万为度不满退除为分秒命为盈缩积与次限盈缩积相减余为盈缩分以乘入厯初末限下小余万约为分加入其限盈缩积为盈缩差赤道宿度列宿相距度数歴代所测不同非微有动移则前人所测或有未密汉唐宋用管窥止存大略元人始用二线遂及分焉今厯因之用为常数校天为密若考往古仍依当时宿度命之其时无宿度者壹准前人宿度故竝载之以备考古所须惟推密率日躔无论古今竝依今厯有分赤道宿度为准求冬至加时赤道日度置岁定积命日为度来加往减七十八度八十分赤道岁差折半加躔周为厯率以除积度不尽来即所求往反减厯率命起角宿初度筭外满今赤道宿度去之至不满者即所求岁前冬至加时赤道日度及分秒求四正加时赤道日度置所求岁前冬至加时赤道日度及分秒以象䇿累加之满赤道宿度去之各得四正定气加时赤道日度及分秒求四正后赤道宿积度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分秒减之余为距后度以赤道宿度累加之各得四正后赤道宿积度及分秒黄赤道率积度 度率 积度 度率 积差 差率推变黄道宿度置四正后赤道宿积度以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度为二十八宿黄道积度以前宿黄道积度减之为其宿黄道度及分(其秒就近为分)黄道宿度右东方七宿七十七度四十一分右北方七宿九十四度八十六分右西方七宿八十三度十九分右南方七宿百九度七十九分右黄道宿度依万厯甲午年岁前冬至日躔所在筭定以慿推步若上考已往下验方来即据岁差毎移一度依术推变黄道各得当时宿度求冬至加时黄道日度置所求岁前冬至加时赤道日度及分秒以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度即所求岁前冬至加时黄道日度及分秒求四正加时黄道日度置所求岁定积与次年岁定积相减余命日为度及分秒以赤道岁差折半加之以黄道岁差减之为定率四约之为四正定象度置所求岁前冬至加时黄道日度及分秒以四正定象度累加之满黄道宿度去之各得四正定气加时黄道日度及分秒求四正晨前夜半黄道日度冬夏二至盈缩之端以恒为定春秋二分置恒气日及分秒以盈缩差命度为日盈减缩加之即四正定气日及分秒置日平行度万通之以盈缩分盈初缩末加之缩初盈末减之为其日行定度置四正小余以其日行定度乘之如平行度而一所得以减四正加时黄道日度各得四正晨前夜半黄道日度及分秒求每日晨前夜半黄道日度以四正定气日距后正定气日为相距日以四正晨前夜半日度距后正晨前夜半日度为相距度累计相距日之行定度与相距度相减余如相距日而一为日差相距度多为加相距度少为减加减四正毎日行度率为毎日行定度累加四正晨前夜半日度满黄道宿度去之为每日晨前夜半黄道日度及分秒求每日子午二正黄道日度置所求月经朔入厯以经朔小余减之余为经朔晨前子正入厯累加一日为每日晨前子正入厯又以五十刻加之为午正入厯命日为度各视其限求盈缩差盈加缩减之为所求黄道定积度以岁前冬至加时黄道日度加而命之满黄道宿度去之即每日子午黄道日度及分秒(或以其日行定度折半加积前夜半黄道定积度亦得午中黄道定积度)求每日子午二正赤道日度视黄道定积度在象策已下为至后已上去之为分后再去之为至后复去之为分后内减黄道积度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道积度及所去象䇿以岁前冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即毎日子午赤道日度及分秒赤道黄道十二次宿度赤道娵訾之次初起危十二度二十六分八十七秒半降娄之次初起奎一度六十分六十二秒半大梁之次初起胃三度六十四分三十七秒半实沈之次初起毕七度十八分十二秒半鹑首之次初起井九度六分八十七秒半鹑火之次初起柳四度空分六十二秒半鹑尾之次初起张十四度八十四分三十七秒半夀星之次初起轸九度二十八分十二秒半大火之次初起氐一度十一分八十七秒半析木之次初起尾三度十五分六十二秒半星纪之次初起斗四度九分三十七秒半𤣥枵之次初起女二度十三分十二秒半黄道娵訾之次初起危十二度八十分三十一秒降娄之次初起奎一度七十三分六十七秒大梁之次初起胃三度七十分四十五秒实沈之次初起毕六度八十一分三十三秒鹑首之次初起井八度三十六分十一秒鹑火之次初起柳三度九十一分六十七秒鹑尾之次初起张十五度四十四分二十三秒夀星之次初起轸十度六分四十二秒大火之次初起氐一度十三分三十九秒析木之次初起尾二度九十八分十八秒星纪之次初起斗三度七十七分九十六秒𤣥枵之次初起女二度八分八十四秒赤道有常黄道无定凡推辰次当以赤道为准随日度岁差推变黄道右据万厯甲午年岁差所推已后临时推变推变十二次宿度置赤道入次宿度及分秒以前宿赤道距后积度加之满象策去之为四正后赤道入次积度以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度为四正后黄道入次积度以前宿黄道距后积度减之如不及减加象策以减之余即所求黄道入赤道十二次宿度及分秒求入十二次时刻各置黄道入次宿度及分秒以其日晨前夜半黄道日度及分秒减之余以日平行度乘之为实以其日行定度为法实如法而一所得依时刻法求之即入次时刻歩晷漏第五京师北极出地四十度太冬至中晷恒数丈五尺九寸六分夏至中晷恒数二尺三寸四分冬至昼夏至夜三十八刻夏至昼冬至夜六十二刻(已上见元志)岳台北极出地三十五度冬至中晷恒数丈二尺八寸三分夏至中晷恒数尺五寸七分冬至昼夏至夜四十刻夏至昼冬至夜六十刻(已上见宋志)黄道出入赤道内外度及半昼夜分京师譬如北辰四方拱之昼夜漏刻宜为厯准至如岳台乃前代测景之处谓之地中故略载之以见随处晷漏不同求毎日子正午正日躔黄道去极度置所求日晨前夜半黄道积度满躔中去之在象策已下为初限已上反减躔中余为末限满积度去之余以其段内外差乗之如律母而一为分用减内外度为出入赤道内外度内减外加象策即所求日子正去极度及分秒求午正去极度放此求毎日午正随处日去地度置所求日午正日躔黄道去极度及分并其处北极出地度及分用减躔中余即其处日去地度为弧半背(若弧半背在象策已上反减躔中余为弧半背则知景在表南)约量矢数与限二十九度五分五十秒相减余以六十一分七十七秒乘之律母除之为加减差矢在限已上加已下减加减百八十七度九十分为定差以矢与五十八度十一分相减余以定差乘之度如律母而一为分不满退除为秒并入九度为法复以矢与百一十六度二十二分相减相乘及矢自乘相并为实开方所得进一位以法除之为弧半背即其处日去地度及分秒如不同更増损矢数筭之以同为矢定数求毎日随处中晷泛数置五十八度十一分减去所求矢定数余用八因为实复以矢与百一十六度二十二分相减相乘平方开之为法除实命度为尺即其日其处中晷泛数求每日随处中晷定数各于其处立八尺表毎日实测午晷真数而与筭术所求晷数相减余名为地形差所测晷数多则为加少则为减加减所筭晷数即其日其处中晷定数求二至加时真数取二至前后晷数近似者相减余以律母乗之为实取其次日晷数相减余为法实如法而一为刻求冬至视其前晷多则为减差少则为加差夏至反之摠计距日刻数以差加减折半加五十刻为前距定日以其日筭外命之即二至加时真数求毎日半昼夜及日出入晨昏分置所求初末限满积度去之余以其段昼夜差乘之如律母而一为分前多后少为减前少后多为加加减其段半昼夜分为所求半昼夜分以半夜分便为日出分用减百刻余为日入分于日出分减二刻半余为晨分于日入分加二刻半则为昏分求昼夜刻及日出入时刻置其日半夜分二因之如律母而一所得为夜刻用减百刻余为昼刻以日出入分依时刻法求之即得所求时刻求更㸃所在时刻置其日晨分二因五约之为更率又五约之为㸃率各以其率乘所求更㸃数用加其日昏分内减更㸃率满百刻去之不满依时刻法求之即得所求时刻求昏后夜半中星置躔中度及分以其次日晨前夜半赤道日度及分秒加而命之即所求日昏后夜半中星积度及分秒求逐日昏晓中星置其次日晨分以躔周加一度乘之万约为度昏减晓加所求日昏后夜半中星积度即昏晓中星积度及分秒求逐更逐㸃中星置昏后晓中星积度(不及则加躔周)以晓前昏中星积度减之余二十五而一所得为㸃差置昏中星积度命为一更一㸃以㸃差累加之满赤道宿度去之即逐更逐㸃中星宿度及分秒求九服所在漏刻各于所在以仪测验或下水漏以定其处冬至或夏至夜刻与五十刻相减余为至差刻以所求日黄道出入赤道内外度及分秒乘之二十三度九十分除之所得内减外加五十刻即所求夜刻以减百刻余为昼刻其九服所在逐段昼夜差半昼夜分及日出入晨昏分更㸃中星等率竝准随处晷漏修短依术推之律厯融通巻一
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钦定四库全书律厯融通巻二明 朱载堉 撰黄钟厯法下(凡四篇)步月离第六月平行十三度三十六分八十七秒半离周三百六十八度三十七分六秒离中百八十四度十八分五十三秒离象九十二度九分二十六秒半转周二十七日五十五刻四十六分转中十三日七十七刻七十三分转象六日八十八刻八十六分半转差一日九十七刻五十九分九十三秒疾迟度率及积度求经朔弦望入转置岁定积来加往减十三日二刻五分转周为法除之不尽来即所求往反减转周各加其月朔积及弦望策满转周去之为所求经朔弦望入转大小余若径求次朔入转以转差加之求疾迟初末限视入转大小余在转中已下为疾已上减去转中为迟置律数作限带律差为分以入转大小余乗之得入限大小余以律数乗七音为声数所得入限大小余在声数已下为初限已上则倍声数减去所得入限小大余为末限求疾迟差置立差三秒二十五忽以所求限大余乗之加平差二分八十一秒又以限乘之用减定差千一百一十一分余再以限乘之满万为度不满退除为分秒如是求次限积度相减余为疾迟分以乗所得初末限下小余万约为分加入其限积度为疾迟差求疾迟限下行度置平行度及分秒以转象乗之如声数而一所得为一限平行度不满退除为分秒以其限疾迟分疾初迟末益迟初疾末损损益一限平行度为所入疾迟限下行度求加减差置声数进一位减去律差各以所求盈缩疾迟差乘之各如所入疾迟限下行度而一为分不满退除为秒盈迟名为加差缩疾名为减差求定朔弦望置经朔弦望大小余各以其加减差加减之满或不足进退大余即定朔弦望视前后定朔两干同者前月大尽不同者前月小尽无中气者为闰月若定弦望小余在日出分已下者退一日求定朔弦望加时及毎日夜半晨昏入转置经朔弦望入转大小余以定朔弦望加减差加减之为定朔弦望加时入转以定朔弦望小余减之为定朔弦望晨前夜半入转累加一日为毎日晨前夜半入转各以其日晨分加之为晨入转昏分加之为昏入转满转周去之求定朔弦望加时黄道日度置经朔弦望入盈缩大小余以加减差加减之为定朔弦望入厯在盈便为积日在缩加岁中为积日命日为度以盈缩差盈加缩减之为加时日行定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之各得定朔弦望加时黄道日度及分秒求定朔弦望加时黄道月度凡定朔加时日月同度以日行定积度即月行定积度弦望则各置其加时日行定积度以象策上弦一加望再加下弦三加之为加时月行定积度如前加而命之满躔周及黄道宿度去之不尽各得定朔弦望加时黄道月度及分秒求定朔弦望夜半晨昏黄道月度置所求入转日转度率与次日转度率相减余以所求入转小余乘之万约为分前多后少减前少后多加加减转度率为转定度以乘定朔弦望小余万约为分用减加时定积度余为晨前夜半定积度以转定度乘其日晨昏分万约为分各加夜半定积度为晨昏定积度加命如前各得夜半晨昏黄道月度及分秒求毎日夜半晨昏黄道月度累计相距日数转度率为转积度与定朔弦朢夜半相距度相减余如相距日数而一为日差距度多为加距度少为减加减每日转度率为行定度以累加定朔弦朢夜半定积度为毎日夜半定积度累加定朔弦朢晨昏定积度为毎日晨昏定积度加命如前即每日夜半晨昏黄道月度及分秒(注厯自朔至朢皆用昏度既朢以后则用晨度)求每日夜半晨昏赤道月度视所求夜半晨昏黄道月行定积度在象策已下为至后满象策去之为分后犹多再去之为至后复多仍去之为分后以其黄道积度减之余以赤道率乗之如黄道率而一所得以加赤道积度及所去象策各为赤道定积度以岁首冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即每日夜半晨昏赤道月度及分秒歩交道第七正交三百六十三度七十九分三十四秒中交百八十一度八十九分六十七秒距交十四度六十六分六十六秒交周二十七日二十一刻二十二分二十四秒交中十三日六十刻六十一分十二秒交差二日三十一刻八十三分六十九秒求经朔弦朢入交置岁定积来加往减二十六日三刻八十八分交周为法除之不尽来即所求往反减交周各加其月朔积及弦朢策满交周去之为所求经朔弦朢入交大小余若径求次朔入交以交差加之求定朔弦朢加时及每日夜半入交置经朔弦朢入交大小余以定朔弦朢加减差加减之即定朔弦朢加时入交以定朔弦朢小余减之为定朔弦朢晨前夜半入交累加一日为每日晨前夜半入交满交周去之求朔后平交入转及加减差置经朔入交与交周相减余为朔后平交大小余以加经朔入转为朔后平交入转在转中已下为疾已上去之为迟依月离篇求疾迟之加减差命为正交日加减差求正交日辰置朔后平交与经朔相并以正交日加减差迟加疾减之为正交大小余满律摠去之命甲子筭外即正交日辰及加时小余求正交加时黄道月度置朔后平交大小余以月平行度及分秒乘之为距后度以所求月朔积命日为度并之为岁前冬至距正交定积度以冬至加时黄道日度加而命之满躔周及黄道宿度去之不尽为正交加时黄道月度及分秒求正交在二至后初末限置冬至距正交定积度及分秒在躔中已下为冬至后已上去之为夏至后在象策已下为初限已上反减躔中余为末限求泛差距差定限度置初末限度以距交乗之如象策而一为泛差反减距交余为距差倍律数以乘泛差如距交而一所得交在冬至后减夏至后加皆加减九十八度为定限度及分秒求月离赤道正交宿度冬至后初限加末限减视春正夏至后初限减末限加视秋正以距差加减春秋二正赤道宿度为月离赤道正交宿度及分秒求正交后赤道宿积度入初末限各置春秋二正赤道所当宿全度及分以月离赤道正交宿度及分秒减之余为正交后积度以赤道宿度累加之满象策去之为半交后再去之为中交后又去之为半交后视各交积度在半象已下为初限已上反减象策余为末限求每交月离白道积度及宿次置定限度与初末限相减相乘退位为分为定差正交中交后为加半交后为减以差加减正交后赤道积度为月离白道定积度以前宿白道定积度减之各得月离白道宿次及分求定朔弦望加时月离白道宿度各以月离赤道正交宿度距所求定朔弦望加时月离赤道宿度为正交后积度满象策去之为半交后再去之为中交后又去之为半交后视交后积度在半象已下为初限已上用减象策为末限以初末限与定限度相减相乘退位为分满律母为度为定差正交中交后为加半交后为减以差加减月离赤道正交后积度为定积度以正交宿度加之以其所当月离白道宿度去之各得定朔弦望加时月离白道宿度及分秒求每日月临午位黄道宿度置月离赤道定积度及中星所临宿积度上弦前后视昏度望前后视夜半度下弦前后视晨度月在中星已下为前已上为后以月星积度相减(不及则加躔周而后减之)余以其日转定度乘之如躔周而一所得前减后加其日夜半晨昏月离黄道定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之满黄道宿度去之即月临午位黄道宿度及分秒求每日月临午位赤道宿度置月临午位黄道积度及分秒依前篇求赤道积度以岁首冬至加时赤道日度加而命之满赤道宿度去之即月临午位赤道宿度及分秒求每日月临午位时刻更㸃置月临午位赤道积度及分秒以其日晨前夜半中星积度及分秒减之(不及则加躔周而后减之)余以律母乘之如躔周而一为刻不满退除为分秒下弦已后上弦已前月中在昼依时刻法求之上弦已后下弦以前月中在夜依更㸃法求之求毎日月离赤道交后初末限置月离赤道正交后积度以赤道宿度及分累加之至所求月临午位赤道宿度及分秒在躔中已下为正交后已上去之为中交后在象策已下为初限已上反减躔中余为末限求月离半交白道出入赤道内外度置各交泛差度及分秒倍律数加一乘之律摠加一除之所得视月离黄道正交在冬至后宿度为减夏至后宿度为加皆加减二十三度九十分为月离赤道后半交白道出入赤道内外度折半以辰策除之为定差求月离出入赤道内外白道去极度置每日月离赤道交后初末限度及分秒用减象策余为白道积用其积度减之余以其差率乗之如律母而一所得以加其下积差为每日积差(月离白道积差差率旧附日躔篇黄赤道率下)倍辰策以积差减之余以定差乗之为毎日月离出入赤道内外度内减外加象策为每日月离白道去极度及分秒求随处月去地度及表景泛数定数置所求日月临午位白道去极度及分并其处北极出地度及分用减躔中余即其处月去地度为弧半背(术与日同见晷漏篇)歩交食第八日食交外限六度定法六十一日食交内限八度定法八十一月食限十三度五分定法八十七求交食凡例凡日食必在朔月食必在望余日虽交不食视朔望泛交大小余近交周上下与交周相减余为距正交分近交中上下与交中相减余为距中交分倍之不满交差为入食限定朔加时在夜定望加时在昼若无带食则不必推𢃄食则须推之凡定望加时在日出后而月食初亏于日出前者则退一日只以昨夜言望注厯时宜预推当退望而不退是为错误求日食时差及距午分视定朔小余在五十刻已下用减丑十刻余为中前分已上减去五十刻余为中后分以中前后分与五十刻相减相乘如九十六而一为刻不满退除为分秒中前名减中后名加命为时差以并中前或中后分为距午分求食甚入盈缩定度日食置定朔加时黄道日行定积度以时差加减之为食甚入盈缩定度月食不用时差直以定望加时黄道日行定积度便为食甚入盈缩定度满躔中去之求日食南北差视食甚入盈缩定度在象策已下为初限已上用减躔中余为末限以初末限自相乘千八百七十除之为度不满退除为分秒用减四度四十六分余为南北泛差距午分乘之半昼分除之所得用减泛差(不及减反减之)为南北定差在缩初盈末正交加中交减在盈初缩末正交减中交加(系反减者应加却减之应减却加之)求日食东西差置食甚入盈缩定度与躔中相减相乘千八百七十除之为度不满退除为分秒为东西泛差距午分乗之二十五刻除之为东西定差(若在泛差已上则倍泛差相减余为定差)在缩中前盈中后正交加中交减在盈中前缩中后正交减中交加(虽系倍减者加减只如常)求交限度日食置正交中交度及分秒以六度十五分为损益差正交损之中交益之以南北东西定差加减之为交限度月食则不须损益加减直以正交中交度及分秒为交限度求交定度置朔望泛交大小余以月平行度乘之以盈缩差盈加缩减之为交定度若在十五度半已下并入正交度及分秒为交定度求食差视交定度在正交限已下中交限已上为交内在正交限已上中交限已下为交外各与限度相减余为食差求所食分秒各置食限以其食差减之余如定法而一为所食分秒不及减者不食食分少者日光赫盛或不见食求定限行度置定朔望加时入转大小余依月离求所入疾迟限下行度减去八百二十分余为定限行度求定用分日食置二十分月食置三十分与所食分秒相减相乘平方开之所得日以七因月以六因各进二位皆以八百二十乘之如定限行度而一为定用分求三限时刻日食置定朔小余以时差加减之为食甚分月食不用时差但以定望全分为食甚分各以定用分减食甚为初亏加食甚为复圆依时刻法求之即三限时刻求五限时刻月食十分已上者减去十分余为既内复与十分相减相乘如定用分求之为既内分以减食甚分为食既以加食甚分为生光余同前法共所求三限为五限求月食更㸃置其日晨分倍之五约为更法又五约为㸃法乃置五限诸分昏分已上减昏分晨分已下加晨分以更法加入如法而一为更数不满以㸃法加入如法而一为㸃数求带食带复视其日日出入分在初亏分已上食甚分已下为带食在食甚分已上复圆分已下为带复各与日出入分相减余名前后差在日出入分已下为前已上为后各以所食分秒乗之如定用分而一为日出入前后食复分日食日出已后日入已前为见日出已前日入已后为不见月食日出已前日入已后为见日出已后日入已前为不见此与旧不同(详见古今交食考)旧厯无论出入前后日月一例求之是属错误求起复方所日食起于西复于东食分少者交外偏南交内偏北月食起于东复于西食分少者交外偏北交内偏南皆指北极所在为北日月所在为南不必据午地论旧厯日月食八分已上即言正东正西今惟月食十分已上始言之求食甚宿度置食甚入盈缩定度(日食在盈月食在缩无所加日食在缩月食在盈加躔中)为黄道定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之满黄道宿度去之即日月食甚躔离黄道宿度及分秒步五纬第九合应宫土三百六十日五千二百七十三分角木二百八十日九千七十四分征火七百二十三日千七百四十五分商金十二日二千六百九十六分羽水四十五日八千三百二十三分周率宫土三百七十八日九百一十六分角木三百九十八日八千八百分征火七百七十九日九千二百九十分商金五百八十三日九千二十六分羽水百一十五日八千七百六十分厯应宫土五千二百二十四日五百六十一分角木千八百九十九日九千四百八十一分征火五百四十七日二千九百三十八分商金十一日九千六百三十九分羽水二百五日五千一百六十一分度率宫土二十九日四千二百五十五分角木十一日八千五百八十二分征火一日八千八百七分半商金一日羽水一日伏见宫土十八度角木十三度征火十九度商金十度半羽水夕伏晨见十九度晨伏夕见十六度半诸段积日积度求五星平合日置岁定积来减往加其星合应满其周率去之不尽往即所求来反减周率即岁首冬至后平合日及分秒求诸段积日积度复置平合日及分秒累加段日即诸段积日命日为度累加平度退则减之即诸段积度及分秒求诸段入厯置岁定积以其星厯应并所求平合日及分秒来加往减之如其度率而一为度不满退除为分秒满厯率去之来即所求往反减厯率即平合入厯度累加限度各得其段入厯度及分秒求盈缩初末限置各段入厯度及分秒若在躔中已下为盈已上减去躔中为缩其土木金水四星诸段在象策已下为初限已上用减躔中余为末限其火星诸段盈者在二因辰策已下缩者在四因辰策已下为初限已上用减躔中余为末限求盈缩差土星盈者立差二秒八十三忽加平差四分十秒二十二忽减定差千五百一十四分六十一秒缩者立差三秒三十一忽加平差一分五十一秒二十六忽减定差千一百一分七十五秒木星盈缩立差二秒三十六忽加平差二分五十九秒十二忽减定差千八十九分七十秒金星盈缩立差一秒四十一忽加平差三忽减定差三百五十一分五十五秒水星盈缩立差一秒四十一忽加平差二十一秒六十五忽减定差三百八十七分七十秒火星盈初缩末立差十一秒三十五忽减平差八十三分十一秒八十九忽减定差八千八百四十七分八十四秒缩初盈末立差八秒五十一忽减平差三分二秒三十五忽减定差二千九百九十七分六十三秒(新改缩初盈末立差一秒二十四忽减平差二十分三十秒减定差四千三百九十二分)各置立差以所求初末限度及分秒乘之加减平差再乘之用减定差又乘之满万为度不满退除为分秒为盈缩差又法置所求初末限下小余以其限盈缩分乘之万约为分加入其限积度亦为盈缩差求诸段定积日及日辰各置其段积日以其盈缩差盈加缩减之即其段定积日及分秒以岁首黄钟正律大小余加之满律摠去之其大余命甲子筭外即得日辰及加时小余求诸段所在日月各置其段定积日及分秒加闰余减朔策余如朔策而一为月数不尽为入经朔已来日数其月数命正月若在朔策已下不及减者为入年前十一月已上去之为入十二月俱以日辰所在为定凡闰余在十六日已上则其年有闰依求泛闰术定之求诸段加时定积度各置其段积度以其盈缩差盈加缩减之(金星再之水星三之)即诸段加时定积度以岁首冬至加时黄道日度加而命之即其星其段加时所在宿度及分秒求诸段初日晨前夜半所在宿度各以其段初行率乘其段加时小余如律母而一为分顺减退加其日加时定积度即其段初日晨前夜半定积度加命如前即得所在宿度及分秒求诸段日率度率及平行分各以其段日辰与后段日辰相距数为日率以其段夜半积度与后段夜半积度相减余为度率各置度率及分秒以其日率除之即其段平行分求诸段増减差及日差以本段前后平行分相减为其段泛差倍而退位为増减差前多后少者加为初减为末前少后多者减为初加为末以加减其段平行分为初末日行分又倍増减差为摠差以日率减一除之为日差求前后伏迟退段増减差前伏者置后段初日行分加其日差之半为末日行分后伏者置前段末日行分加其日差之半为初日行分以减伏段平行分余为増减差前迟者置前段末日行分倍其日差减之为初日行分后迟者置后段初日行分倍其日差减之为末日行分以前后近留之迟段平行分减之余为増减差土木火三星退行者六因平行分退一位为増减差金星前后退伏者三因平行分半而退位为増减差前退者置后段初日行分以其日差减之为末日行分后退者置前段末日行分以其日差减之为初日行分以本段平行分减之余为増减差水星退行者半平行分为増减差皆以増减差加减平行分为初末日行分前多后少者加为初减为末前少后多者减为初加为末又倍増减差为摠差以日率减一除之为日差求毎日晨前夜半星行宿度各置其段初日行分以日差累损益之后少则损之多则益之为毎日行度及分秒乃置其段初日晨前夜半定积度顺加退减满宿度去之即毎日晨前夜半星行宿度及分秒求平合见伏入太阳盈缩厯置其星其段定积日及分秒在岁中已下为盈已上去之为缩多则再去之复为盈各在初限已下为初限已上反减岁中余为末限即其星平合见伏入厯日及分秒求平合见伏与太阳行差各以其星其段初日星行分与其段初日太阳行分相减余为行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分并其段初日太阳行分为行差其水星夕伏晨见者直以其段初日太阳行分为行差求定合定见定伏泛积日土木火三星各以平合晨见夕伏定积日便为定合伏见泛积日及分秒金星置其段盈缩差水星倍置之各以其段行差除之为日不满退除为分秒在平合夕见晨伏者盈减缩加在退合夕伏晨见者盈加缩减各加减定积日为定合伏见泛积日及分秒求定合定积日定积度土木火三星各以平合行差除其段初日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒以太阳盈缩积减之为距合差度副置其星定合泛积以距合差日差度盈减缩加之为其星定合定积日定积度及分秒此与下条言盈缩者皆指太阳非谓本星金水二星顺合退合者各以平合退合行差除其日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒顺加退减太阳盈缩积为距合差度顺合者以距合差日差度盈加缩减其星定合泛积为其星定合定积日定积度及分秒退合者以距合差日盈减缩加以距合差度盈加缩减加减其星退定合泛积为其星退定合定积日定积度及分秒加命如前各得所求日辰及宿度分秒径求合伏定日者土木火三星以夜半黄道日度减其星夜半黄道度余在其日太阳行分已下者金水二星以其星夜半黄道度减夜半黄道日度余在其日本星行分已下者各为其日合伏系合退伏者视其日夜半黄道日度未行到本星度及视次日太阳行过本星度而本星退行过太阳宿度者为其日合退伏求定见定伏定积日土木火三星各置定见定伏泛积日及分秒以岁中折半晨加夕减之在岁中已下自相乗已上倍岁中反减之余亦自相乘七十五而一为分不满退除为秒以其星见伏度乘之十五除之所得满行差而一为日不满退除为分秒见加伏减泛积为其星定见定伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日辰金水二星各以伏见日行差除其段初日太阳盈缩积为日不满退除为分秒夕见晨伏盈加缩减晨见夕伏盈减缩加加减其星定见定伏泛积日及分秒为常积若在岁中已下为冬至后已上去之为夏至后在岁中折半已下自相乗已上反减岁中余亦自相乘冬至后晨夏至后夕十八而一为分冬至后夕夏至后晨七十五而一为分以其星见伏度乘之十五除之所得满行差而一为日不满退除为分秒晨见夕伏冬至后加夏至后减夕见晨伏冬至后减夏至后加皆加减常积为其星定见定伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日辰律厯融通巻二
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钦定四库全书律厯融通巻三眀 朱载堉 撰黄钟厯议上(凡十二篇)律元厯距曰元元者万物之始众善之长所以统三辰之㑹也天有三辰地有五行太极运三辰五星于上而元气转三统五行于下其于人皇极统三徳五事故三辰合于三统五星合于五行日合于天统月合于地统斗合于人统水合于辰星火合于荧惑木合于岁星金合于太白土合于填星三辰五行而相经纬也夫三五相包而生故三统合于一元因元一而九三之以为法十一三之以为实实如法而一得黄钟长九寸太极中央元气谓之黄钟其长九寸者阳气之全也故黄钟纪元气之谓律律者法也莫不取法焉是为万事根本天道运行循环无端术家推歩气朔盈虚日月躔离五星伏见上考已往下騐方来则必皆以厯元为距故厯元者所以因之起算者也后汉志曰黄帝造厯元起辛夘颛顼用乙夘夏用丙寅殷用甲寅周用丁巳鲁用庚子六家古厯立元各殊积算逺近今不可考后世治厯者或求诸遐邈或距诸目前厯代诸厯殆有百家无一同者三统厯以千四万年已上为元麟徳厯以二十六万年已上为元皇极厯以百万年已上为元大衍厯以九千六百九十六万年已上为元此皆取诸旷古者也太初厯就以太初元年丁丑岁为元戊寅厯初则以武徳元年戊寅岁为元授时厯以至元十八年辛巳岁为元大统厯以洪武十七年甲子岁为元此皆取诸当时者也或逺或近虽则相县要之顺天求合则密为合騐天则疏此前人定论也古法推歩七政多求其总㑹于甲子逆考顺推上下数千万年而诸厯履端归余逺近多寡为数不同窃尝论之唐李淳风僧一行盖精于厯数矣然淳风麟徳厯已为一行所非而一行大衍厯推今冬至凡差二日则其积年日法俱不可求厯元之始终岂非以岁逺故难测耶岂天地生数之始果如是纷糅耶抑好竒者为之故尔又有所谓元㑹运世命为厯法者初无其事但以十二与三十相参甲子为之夫气朔有盈虚故有大尽小尽因此以置闰古之道也例以三十为用是以一定之数推不齐之运犹月皆大尽亦不置闰也世儒虽惑之而厯家不取其说惟所谓截元厯者但以测騐真数为则不复逆考顺推以求其齐元大儒许衡等造授时厯实用其术而积年日法在所不取其见卓矣皇朝大统厯虽稍损益多因旧法故超胜诸厯而行之最久是知衡厯可以为百世之师范也今黄钟算术以万厯九年辛巳岁为距者其旨有三一者贵其名二者贵其义三者贵其时夫贵其名何也按玉海诸书皆云伏羲元年辛巳在位百二十年神农元年亦辛巳在位百二十年说者或以为黄帝命大挠始作甲子然辛巳之名已见于羲农之世其非大挠始作明矣六十甲子殆与天地俱生其来尚矣莫知谁所造也以为大挠始作非也干支纪年见于史者辛巳其为权舆乎夫羲农二圣适同辛巳之元皆跻上夀之域此尤可钦羡也是故表而出之伏愿当今体无为之化协万夀之征此所以贵其名也贵其时义何也易革卦之象君子以治厯明时而汤武以之所谓顺乎天而应乎人考诸三代而下创业之君顺天应人者则不无(案此下有脱误因无考姑仍其旧)若夫治厯明时或未及为则有待于后王是故汉髙祖革命之后袭秦正朔厯孝惠文景三君至武帝太初元年方议造汉厯汉兴至此百余岁矣后又三十余岁至元凤六年而是非坚定唐髙祖创业之时虽尝治厯而法未密厯太髙中睿四君至𤣥宗开元九年始命僧一行改造大衍厯唐兴至此亦百余岁而仪式方备是知厯代帝王草创之初固有未及为者全赖嗣君善继善述以成其志耳我太祖髙皇帝革元命奠华夏顺天应人莫大于此虽汤武有所不及而革命之际距胜国至元辛巳岁才八十七年授时厯积算未乆气朔不差故仍旧贯无所改作略加润色而已然彼辛巳至今万厯辛巳三百年矣年逺数盈渐差天度古人所谓三百年斗厯改宪治厯明时之期岂非在于斯乎恭惟祖宗列圣御极以来改元建号未尝以厯为名至我皇上始以万厯为年号而适当改宪之际此乃天运潜符为圣夀万年厯之元矣九者阳数大哉乾元位尊九五飞龙在天之象故以九年表之古之人论数也曰物生而后有象象而后有滋滋而后有数夫冲漠之间兆朕之先数之原也有仪有象判一而两数之分也日月星辰垂于上山岳川泽奠于下数之著也四时迭运而不穷五气以序而流通风雷不测雨露之泽万物形色数之化也圣人继世经天纬地立兹人极称物平施父子以亲君臣以义夫妇以别长幼以序朋友以信数之教也分天为九野别地为九州制人为九行九品任官九井均田九族睦俗九礼辨分九变成乐九刑禁奸九寸为律九分造厯九筮稽疑九章命算九职任万民九赋敛财贿九式节财用九府立圜法九服辨邦国九命位邦国九仪命邦国九法平邦国九伐正邦国九贡致邦国之用九两系邦国之民营国九里制城九雉九阶九室九经九纬数之度也律书曰王者制事立法物度轨则壹禀于六律六律为万事根本故取黄钟之律其长九寸以表万厯九年为厯之元盖托义倚数用为推歩之距而已或云汉落下闳倚数起于黄钟之龠其法一本于律至唐一行乃始専用大衍之䇿则厯术又本于易是皆傅㑹之说何必踵其故习哉不然盖厯起于数数者自然之用也其用无穷而无所不通以之于律于易皆可以合也要在顺天求合而已且夫取象之说于经有之归竒象闰再闰象扐之类初非揲卦本㫖特取象之说耳以为渉于傅㑹不亦过欤或云若以万厯元年为距何如曰易不云乎大衍之数五十其用四十有九一元太极妙不可言能以美利利天下而不言所利是故乾元惟用九耳故曰显诸仁藏诸用春秋传曰元年者人君之用也大哉乾元万物资始天之用也至哉坤元万物资生地之用也成位乎其中则与天地参故体元者人君之事而调元者宰相之职然推歩之家用以为距者特取斗厯改宪一节而已盖辛巳岁适当其际故用为距而以厯元命之亦犹大统厯不以洪武元年为元而以甲子岁为元也律母道生于一谓之太一太一者太极也由一生二是为两仪由二生三是为三才由三生四是为四象由四生五是为五行总而言之凡数皆生于一一者五行之本万物之元也是故二者一之与一也三者一之与二也四者一之与三也五者一之与四也其上之一数之母也其下之一二三四数之子也去母言之惟有一二三四而无五加母言之则有二三四五而无一一者先天也五者后天也后天不见其所生先天不见其所成盖自然之理也由五已往则一为之本由五已来则五为之元是故六者五之与一也七者五之与二也八者五之与三也九者五之与四也十者五之与五也此谓一为五数之本五为万数之元也传曰天地与我竝生万物与我为一一与一为二二与一为三自此以往巧厯不能得而况其凡乎推其本元而论之不过一二三四而已传曰古之所谓道术者无乎不在其数则一二三四是也此之谓欤数术之要妙在乎七之与九何也夫道化而为一一者太一也物之祖也数之根也一化而为七其象则圆七化而为九其象则方九者究也乃复化而为一则归于其根矣夫七生于坤坎与六为表里故其体圆而用方九生于干离与八为表里故其体方而用圆是故七中减一者□六也☷坤之象也六中加一者□七也☵坎之象也坤之与坎皆根于隂者也九中减一者□八也☲离之象也八中加一者□九也☰干之象也干之与离皆根于阳者也故雒书之位九居于上河图之位六居于下而乾坤定矣雒书之位七居于右河图之位八居于左而坎离交矣河圗雒书相为经纬八卦九畴相为表里故九为老阳而六为老隂七为少阳而八为少隂易之为书至理要道不过七八九六数言而已一二三四者六七八九之所以生六七八九者一二三四之所以成十者一之全数也五者十之半数也是故十半之则为五五倍之而为十十即一也百千万亿亦犹一也乃至沟涧正载不可说数亦不过乎一也此筭术之至妙者欤易曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十竒数究于九偶数甚于十十者天地之全体九者天地之大用此所以成变化而行鬼神也何瑭氏曰造化之道一隂一阳而已矣阳动隂静阳眀隂晦阳无体以隂为体隂无用待阳而用二者相合则生相离则灭微哉微哉通于其说则鬼神之幽人物之著天文地理一以贯之而无遗矣九为阳精主于施十为隂精主于化施者万物之父化者万物之母故九寸为律元十寸为度母算律之率以九为黄钟之经分以十为黄钟之约分就经分而言故曰黄钟之律其长九寸就约分而言故曰黄钟之度其长十寸九寸十寸名异实同而先儒未达也何氏曰汉志谓黄钟之律九寸加一寸为一尺夫度量权衡所以取法于黄钟者盖贵其与天地之气相应也若加一寸以为尺则又何取于黄钟殊不知黄钟之长固非人所能为至于九其寸而为律十其寸而为尺则人之所为也汉志不知出此乃欲加黄钟一寸为尺谬矣何氏此论发千载之秘破万世之惑有功于律学也大矣此则唐宋诸儒之所未发惟我圣朝文明之化所被始有斯论岂不伟哉今复广其说曰先儒有言一者九之祖也十百千万之宗也圆之而天方之而地行之而四时天所以覆物也地所以载物也四时所以成物也㪚之无外巻之无内体诸造化而不可遗者乎雒书天道也君道也父道也夫道也交道也应变之道也河圗地道也臣道也子道也妻道也生道也守常之道也阳之情莫切于交隂之情莫急于生交道右行相制生道左旋相代天地万物生民处世之道尽之矣是故河图非无竒也而用则存乎耦雒书非无耦也而用则存乎竒耦者隂阳之对待竒者五行之迭运对待者不能孤迭运者不可穷天地之形四时之成人物之生万化之凝其妙矣乎天地之位也四时之运也隂阳感而五行播矣五行隂阳也隂阳五行也天地𬘡缊万物化醇男女搆精万物化生无极之真二五之精妙合而凝化化生生莫测其神莫知其能而可以一言尽之黄钟是也故黄钟之长从黍八十一分而为九寸因而为律厯之元其长横黍十寸而为百分因而为律厯之母皆取法于河图雒书其义精矣故何氏之说虽与先儒异而实同也律义周景王问律于伶州鸠对曰律所以立均出度也古之神瞽考中声而量之以制度律均钟百官轨仪纪之以三平之以六成于十二天之道也夫六中之色也故名之曰黄钟所以宣养六气九徳也由是第之二曰太蔟所以金奏赞阳出滞也三曰姑洗所以修洁百物考神纳賔也四曰蕤賔所以安靖神人献酬交酢也五曰夷则所以咏歌九则平民无贰也六曰无射所以宣布哲人之令徳示民轨仪也为之六间以扬沈伏而黜散越也元间大吕助宣物也二间夹钟出四隙之细也三间中吕宣中气也四间林钟和展百事俾莫不任肃纯恪也五间南吕赞阳秀也六间应钟均利器用俾应复也律吕不易无奸物也大昭小鸣和之道也和平则久久固则纯纯明则终终复则乐所以成政也故先王贵之司马迁律书曰七正二十八舍律厯天所以通五行八正之气天所以成孰万物也舎者日月所舍舎者舒气也广莫风居北方广莫者言阳气在下隂莫阳广大也故曰广莫东至于虚虚者能实能虚言阳气冬则宛藏于虚日冬至则一隂下藏一阳上舒故曰虚东至于须女言万物变动其所隂阳气未相离尚相如胥也故曰须女十一月也律中黄钟黄钟者阳气踵黄泉而出也其于十二子为子子者滋也滋者言万物滋于下也其于十母为壬癸壬之为言任也言阳气任养万物于下也癸之为言揆也言万物可揆度故曰癸东至牵牛牵牛者言阳气牵引万物出之也牛者冒也言地虽冻能冒而生也牛者耕植种万物也东至于建星建星者建诸生也十二月也律中大吕大吕者其于十二子为丑丑者纽也言阳气在上未降万物厄纽未敢出条风居东北主出万物条之言条治万物而出之故曰条风南至于箕箕者言万物根棋故曰箕正月也律中太蔟太蔟者言万物蔟生也故曰太蔟其于十二子为寅寅言万物始生螾然也故曰寅南至于尾言万物始生如尾也南至于心言万物始生有华心也南至于房房者言万物门户也至于门则出矣眀庶风居东方眀庶者眀众物尽出也二月也律中夹钟夹钟者言隂阳相夹厕也其于十二子为夘夘之为言茂也言万物茂也其于十母为甲乙甲者言万物剖符甲而出也乙者言万物生轧轧也南至于氐氐者言万物皆至也南至于亢亢者言万物亢见也南至于角角者言万物皆有枝格如角也三月也律中姑洗姑洗者言万物洗生其于十二子为辰辰者言万物之蜄也清眀风居东南维主风吹万物而西之轸轸者言万物益大而轸轸然西至于翼翼者言万物皆有羽翼也四月也律中仲吕仲吕者言万物尽旅而西行也其于十二子为己巳者言阳气之已尽也西至七星七星者阳数成于七故曰七星西至于张张者言万物皆张也西至于注注者言万物之始衰阳气下注故曰注五月也律中蕤賔蕤賔者言隂气幼少故曰蕤痿阳不用事故曰賔景风居南方景者言阳气道竟故曰景风其于十二子为午午者隂阳交故曰午其于十母为丙丁丙者言阳道著眀故曰丙丁者言万物之丁壮也故曰丁西至于弧弧者言万物之吴落且就死也西至于狼狼者言万物可度量断万物故曰狼凉风居西南维主地地者沈夺万物气也六月也律中林钟林钟者言万物就死气林林然其于十二子为未未者言万物皆成有滋味也北至于罚罚者言万物气夺可伐也北至于参参言万物可参也故曰参七月也律中夷则夷则言隂气之贼万物也其于十二子为申申者言隂用事申贼万物故曰申北至于浊浊者触也言万物皆触死也故曰浊北至于留留者言阳气之稽留也故曰留八月也律中南吕南吕者言阳气之旅入藏也其于十二子为酉酉者万物之老也故曰酉阊阖风居西方阊者倡也阖者藏也言阳气道万物阖黄泉也其于十母为庚辛庚者言隂气庚万物故曰庚辛者言万物之辛生故曰辛北至于胃胃者言阳气就藏皆胃胃也北至于娄娄者呼万物且内之也北至于奎奎者主毒螫杀万物也奎而藏之九月也律中无射无射者隂气盛用事阳气无余也故曰无射其于十二子为戌戌者言万物尽灭故曰戌不周风居西北主杀生东壁居不周风东主辟生气而东之至于营室营室者主营胎阳气而产之东至于危危垝也言阳气之危垝故曰危十月也律中应钟应钟者阳气之应不用事也其于十二子为亥亥者该也言阳气藏于下故该也音始于宫穷于角数始于一终于十成于三气始于冬至周而复生神生于无形成于有形然后数形而成声故曰神使气气就形形理如类有可类或未形而未类或同形而同类类而可班类而可识圣人知天地识之别故从有以至末有以得细若气微若声然圣人因神而存之虽妙必効情核其华道者明矣非有圣心以乘聪明孰能存天地之神而成形之情哉神者物受之而不能知及其去来故圣人畏而欲存之唯欲存之神之亦存其欲存之者故莫贵焉故旋玑玉衡以齐七政即天地二十八宿十母十二子钟律调自上古建律运厯造日度可据而度也合符节通道徳即从斯之谓也蔡元定曰律者阳气之动阳声之始必声和气应然后可以见天地之心然非精于厯数则气节亦未易正也是知律与厯盖相须为用不知律不可与言厯不知厯亦不可与言律欲候气以验律必测景以正厯此先后之序也律数至治之世天地之气合以生风天地之风气正十二律定十二律者六律为阳六吕为隂律以綂气类物一曰黄钟二曰太蔟三曰姑洗四曰蕤賔五曰夷则六曰无射吕以旅阳宣气一曰大吕二曰夹钟三曰仲吕四曰林钟五曰南吕六曰应钟有三綂之义焉故黄钟为天綂林钟为地綂太蔟为人綂黄钟者阳气施种于黄泉孶萌万物为六气元也变动不居周流六虚始于子在十一月大吕吕旅也言隂大旅助黄钟宣气而芽物也位于丑在十二月太蔟蔟奏也言阳气大奏地而达物也位于寅在正月夹钟言隂夹助太蔟宣四方之气而出种物也位于夘在二月姑洗洗洁也言阳气洗物辜洁之也位于辰在三月仲吕言微隂始起未成著于其中旅助姑洗宣气齐物也位于巳在四月蕤賔蕤继也賔导也言阳始导隂气使继养物也位于午在五月林钟林君也言隂气受任助蕤賔君主种物使长大楙盛也位于未在六月夷则则法也言阳气正法度而使隂气夷当伤之物也位于申在七月南吕南任也言隂气旅助夷则任成万物也位于酉在八月无射射厌也言阳气究物而使隂气毕剥落之终而复始无厌巳也位于戌在九月应钟言隂气应无射该臧万物而杂阳阂种也位于亥在十月三统者天施地化人事之纪也故隂阳之施化万物之终始既类旅于律吕又经歴于日辰而变化之情可见矣玉衡杓建天之纲也日月初躔星之纪也纲纪之交以原始造设合乐用焉律吕唱和以育生成化歌奏用焉指顾取象然后隂阳万物靡不条鬯该成故曰制礼上物不过十二天之大数也按律厯二术皆生于黄钟古有是说推原是说之由盖谓天之大数不过十二是故度律均钟与夫百事轨仪纪之以三平之以六而成于十二也所谓纪之以三者若三十度为一辰三十日为一月三百六十为一期三十年为一世三百年为一限之类是也所谓平之以六者若六时为昼六时为夜六月为盈六月为缩六律配五声合为六十调六甲配五子合为六十日六十年赤道退天一度之类是也所谓成于十二者若黄钟之生十二律而循环无端以象天之十二方位日之十二躔次月之十二盈亏星辰之十二宫斗杓之十二建岁之十二月日之十二时如是之类皆与律吕之数相符是故测景候气而与脗合古之所谓歴法生于黄钟此之谓欤律象十二律吕以配卦象其法自复卦一阳生属子为冬至十一月中临卦二阳生属丑为大寒十二月中泰卦三阳生属寅为雨水正月中大壮四阳生属夘为春分二月中夬卦五阳生属辰为谷雨三月中乾卦六阳生属已为小满四月中为纯阳之卦阳极则隂生故姤卦一隂生属午为夏至五月中遯卦二隂生属未为大暑六月中否卦三隂生属申为处暑七月中观卦四隂生属酉为秋分八月中剥卦五隂生属戌为霜降九月中坤卦六隂生属亥为小雪十月中为纯隂之卦隂极则阳生又继以十一月之复焉隂阳消长如环无端不特见之卦画之生如此而卦气之运亦如此自然与律之隂阳消长相为配合大传所谓易与天地准故能弥纶天地之道于此亦可见其一端故十二卦顺四时之气配四方之位实与伏羲六十四卦圆圗之位次合卦气流行之接卦画对待之妙隂阳盛衰消长相为倚伏之机备于此十二月卦中矣谨按十二律配卦象其原出于易纬而诸家所主不一邵雍已前未闻有圗雍所传先天圗盖出于陈希夷朱熹谓此圗希夷已前原有但秘而不传惟方士辈相传授耳参同契所言是也今考参同契之文于复则曰黄钟建子临则曰丑之大吕泰则曰辐辏于寅辏指太蔟言也大壮则曰侠列夘门侠指夹钟言也他卦放此结之曰终坤始复如循连环此一节文义与六十四卦圆圗全合惟与方圗不合疑旧圗世逺或传写之误欤何瑭尝作一圗其卦次第自上而下曰以伏羲横圗竖起观之则造化在目中矣夫坤者地也故居最下地之上有山焉山之上有水焉水之上有风焉风之上有雷焉雷之上有火焉日电之属是也火之上有泽焉霄汉之类是也泽之上有天而已故干居最上焉皆自然之次序非有所穿凿也瑭又曰火阳也虽附于天而未尝不行于地水隂也虽附于地而未尝不行于天水火者天地之二用也雨雪霜露皆泽之类也此圗旧所未有实自瑭始今推究之然则八卦横图一数当从左起左阳右隂故也或疑非逆行乎曰非也自左而右是顺从右而左为逆凡四时五行干支方位皆由左而后右匪惟卦象尔耳至于书数亦然故苍颉造书𨽻首作数下笔布算先自左方后世巧者莫能易之此造化自然非人所为也故知横圗从右起者误矣从圗横圗方圗皆系新作与旧不同今列于后右按上文以横圗为内卦配从圗为外卦经纬错综成卦六十有四则西邉之下卦北邉之上卦皆坤西与北隂方也有坤而无干古云天倾西北此也东邉之下卦南邉之上卦皆干东与南阳方也有干而无坤古云地不满东南此也乾坤交与寅为泰塞于申为否古云寅申为隂阳祖此也子午夘酉四正之位也复姤大壮观四卦居之按四仲月以应分至焉寅申巳亥四隅之位也泰否乾坤四卦居之按四孟月以应启闭焉辰戌丑未中央土之位也夬剥临遯四卦居之按四季月以应寄旺焉十二月卦次序适与十二支方位相合亦自然之理而先儒所未发也然自汉已来歴家皆主六日七分之术以推卦气其说不经至于观隂阳之变则错乱而不明今依何氏改定自与先天圗合详见下巻爻象篇律音乐记曰宫为君商为臣角为民征为事羽为物五者不乱则无怗懘之音矣宫乱则荒其君骄商乱则陂其臣坏角乱则忧其民怨征乱则哀其事勤羽乱则危其财匮五者皆乱迭相陵谓之慢如此则国之灭亡无日矣纳音之说盖出于此凡五音其三为纲宫商角是也其二为纪征羽是也纲者声之根本故为君为臣为民纪者声之支末故为事为物此三天两地之义也黄钟为宫太蔟为商姑洗为角三律皆阳故为夫林钟为征南吕为羽应钟为和三吕皆隂故为妻此阳竒隂偶之义也以干支言之则甲乙者干之纲也丙丁而下干之纪也子丑者支之纲也寅夘而下支之纪也凡干支阳者为之夫而隂者为之妻甲乙而后丙丁丙丁而后戊巳戊巳而后庚辛庚辛而后壬癸此自然之序也宫而后商商而后角角而后征征而后羽羽而后宫终则复始循环无端此自然之理也黄钟居子其冲在午林钟居未其冲在丑子与未隔八相生午与丑隔八相生黄钟阳律为夫林钟隂吕为妻故丑未者乃子午之妻也是以子午丑未其甲乙起自宫而继之以商角徵羽故甲子乙丑甲午乙未为宫丙子丁丑丙午丁未为商戊子己丑戊午己未为角庚子辛丑庚午辛未为征壬子癸丑壬午癸未为羽此皆统于黄钟之宫者也太蔟居寅其冲在申南吕居酉其冲在夘寅与酉隔八相生申与夘隔八相生太蔟阳律为夫南吕隂吕为妻故夘酉者乃寅申之妻也是以寅申夘酉其甲乙起自商而继之以角征羽宫故甲寅乙夘甲申乙酉为商丙寅丁夘丙申丁酉为角戊寅己夘戊申己酉为征庚寅辛夘庚申辛酉为羽壬寅癸夘壬申癸酉为宫此皆统于太蔟之商者也姑洗居辰其冲在戌应钟居亥其冲在巳辰与亥隔八相生戌与巳隔八相生姑洗阳律为夫应钟隂吕为妻故巳亥者乃辰戌之妻也是以辰戌巳亥其甲乙起自角而继之以征羽宫商故甲辰乙巳甲戌乙亥为角丙辰丁巳丙戌丁亥为征戊辰己巳戊戌己亥为羽庚辰辛巳庚戌辛亥为宫壬辰癸巳壬戌癸亥为商此皆统于姑洗之角者也夫宫属土土生金商属金金生水角属木木生火征属火火生土羽属水水生木各以所生者而谓之纳音盖律娶妻而吕生子天地之情也若夫海中金炉中火之类斯乃术士俚语编成歌括便于记诵耳元无别义不必强解也律均律均读作韵与韵义同古无韵字以均为韵字言一韵声也旋宫之法自冬至始随月所建六律六吕迭相为均一均之音有七以一为主六为从其为从者律有三吕有三先儒谓之三男三女盖以阳律为父为男隂吕为母为女取象于大易也父为均主则男长女幼男为兄女为妹故先男而后女母为均主则女长男幼女为姊男为弟故先女而后男此其大凡也然十有二声中用者七不用者五故十有二均中用者八十有四不用者六十用与不用总而计之共百四十有四声也建子之月所用者七律谓黄钟为宫父也太蔟为商长男也姑洗为角中男也蕤賔为变徵少男也林钟为征长女也南吕为羽中女也应钟为变宫少女也不用者五律谓大吕夹钟仲吕夷则无射也建丑之月所用者七律谓大吕为宫母也夹钟为商长女也仲吕为角中女也林钟为变徵少女也夷则为征长男也无射为羽中男也黄钟为变宫少男也不用者五律谓太蔟姑洗蕤賔南吕应钟也建寅之月所用者七律谓太蔟为宫父也姑洗为商长男也蕤賔为角中男也夷则为变徵少男也南吕为征长女也应钟为羽中女也大吕为变宫少女也不用者五律谓夹钟仲吕林钟无射黄钟也建夘之月所用者七律谓夹钟为宫母也仲吕为商长女也林钟为角中女也南吕为变徵少女也无射为征长男也黄钟为羽中男也太蔟为变宫少男也不用者五律谓姑洗㽔賔夷则应钟大吕也建辰之月所用者七律谓姑洗为宫父也蕤賔为商长男也夷则为角中男也无射为变徵少男也应钟为征长女也大吕为羽中女也夹钟为变宫少女也不用者五律谓仲吕林钟南吕黄钟太蔟也建巳之月所用者七律谓仲吕为宫母也林钟为商长女也南吕为角中女也应钟为变徵少女也黄钟为征长男也太蔟为羽中男也姑洗为变宫少男也不用者五律谓蕤賔夷则无射大吕夹钟也建午之月所用者七律谓蕤賔为宫父也夷则为商长男也无射为角中男也黄钟为变徵少男也大吕为征长女也夹钟为羽中女也仲吕为变宫少女也不用者五律谓林钟南吕应钟太蔟姑洗也建未之月所用者七律谓林钟为宫母也南吕为商长女也应钟为角中女也大吕为变徵少女也太蔟为征长男也姑洗为羽中男也蕤賔为变宫少男也不用者五律谓夷则无射黄钟夹钟仲吕也建申之月所用者七律谓夷则为宫父也无射为商长男也黄钟为角中男也太蔟为变徵少男也夹钟为征长女也仲吕为羽中女也林钟为变宫少女也不用者五律谓南吕应钟大吕姑洗蕤賔也建酉之月所用者七律谓南吕为宫母也应钟为商长女也大吕为角中女也夹钟为变徵少女也姑洗为征长男也蕤賔为羽中男也夷则为变宫少男也不用者五律谓无射黄钟太蔟仲吕林钟也建戌之月所用者七律谓无射为宫父也黄钟为商长男也太蔟为角中男也姑洗为变徵少男也仲吕为征长女也林钟为羽中女也南吕为变宫少女也不用者五律谓应钟大吕夹钟蕤賔夷则也建亥之月所用者七律谓应钟为宫母也大吕为商长女也夹钟为角中女也仲吕为变徵少女也蕤賔为征长男也夷则为羽中男也无射为变宫少男也不用者五律谓黄钟太蔟姑洗林钟南吕也此之谓五声六律十二管旋相为宫生生不已转转无穷而与大易之理相合造化自然之妙用也按所用七律者有虞氏谓之七始见于尚书大传周人或谓之七音或谓之七律见于左传国语古惟五音有其名而二音之名则畧之不载也至前汉淮南子始以和缪二字名之后汉律歴志又以变宫变徵名之夫二变之名起自汉儒其名不雅遂使后世疑焉未若和缪二字雅而近古无可疑耳窃谓缪之一字理犹未尽宜改为中盖此七音为之始变宫为之终变徵之音独居于中故谓之中以十二律方位考之则宫必与变徵相冲正中相对故谓之中是故不曰变徵而曰中不曰变宫而曰和其名允协其理尽矣朱熹蔡元定言律吕最详未尝废黜二变皆谓律为均者十二每均各有七声凡八十四声其宫商角徵羽五声为正中和二声为变正者为调变者不为调故以五乘十二得六十调是为旋宫夫中和二音虽不为调而每调内有此中和二音七律备而成乐是乃乐学千古不刋之正法也何妥陈旸未谙此理専用五声而黜二变旋宫既废黄钟孤立冬夏声缺四时失序无以赞化机而育万物礼坏乐崩莫斯为甚遂使庙堂之上不复得闻治世之音此则何妥陈旸之大罪也按旋宫之法厯家多未晓故详载之十二律吕各有正半正律平调也半律清调也先半而后正从微至著也冬至已前黄钟半律为宫已后正律为宫大寒已前大吕半律为宫已后正律为宫余律放此雨水则太蔟也春分则夹钟也谷雨则姑洗也小满则仲吕也夏至则蕤賔也大暑则林钟也处暑则夷则也秋分则南吕也霜降则无射也小雪则应钟也凡黄钟为宫则太蔟为商姑洗为角蕤賔为中林钟为征南吕为羽应钟为和歌国风以黄钟之角姑洗起调姑洗毕曲歌小雅以黄钟之征用林钟起调林钟毕曲歌大雅以黄钟之宫用黄钟起调黄钟毕曲歌周颂以黄钟之羽用南吕起调南吕毕曲歌商颂以黄钟之商用太蔟起调太蔟毕曲凡大吕为宫则夹钟为商仲吕为角林钟为中夷则为征无射为羽黄钟为和歌国风以大吕之角用仲吕起调仲吕毕曲歌小雅以大吕之征用夷则起调夷则毕曲歌大雅以大吕之宫用大吕起调大吕毕曲歌周颂以大吕之羽用无射起调无射毕曲歌商颂以大吕之商用夹钟起调夹钟毕曲凡太蔟为宫则姑洗为商蕤賔为角夷则为中南吕为征应钟为羽大吕为和歌国风以太蔟之角用蕤宾起调蕤宾毕曲歌小雅以太蔟之征用南吕起调南吕毕曲歌大雅以太蔟之宫用太蔟起调太蔟毕曲歌周颂以太蔟之羽用应钟起调应钟毕曲歌商颂以太蔟之商用姑洗起调姑洗毕曲凡夹钟为宫则仲吕为商林钟为角南吕为中无射为征黄钟为羽太蔟为和歌国风以夹钟之角用林钟起调林钟毕曲歌小雅以夹钟之征用无射起调无射毕曲歌大雅以夹钟之宫用夹钟起调夹钟毕曲歌周颂以夹钟之羽用黄钟起调黄钟毕曲歌商颂以夹钟之商用仲吕起调仲吕毕曲凡姑洗为宫则蕤賔为商夷则为角无射为中应钟为征大吕为羽夹钟为和歌国风以姑洗之角用夷则起调夷则毕曲歌小雅以姑洗之征用应钟起调应钟毕曲歌大雅以姑洗之宫用姑洗起调姑洗毕曲歌周颂以姑洗之羽用大吕起调大吕毕曲歌商颂以姑洗之商用㽔賔起调蕤賔毕曲凡仲吕为宫则林钟为商南吕为角应钟为中黄钟为征太蔟为羽姑洗为和歌国风以仲吕之角用南吕起调南吕毕曲歌小雅以仲吕之征用黄钟起调黄钟毕曲歌大雅以仲吕之宫用仲吕起调仲吕毕曲歌周颂以仲吕之羽用太蔟起调太蔟毕曲歌商颂以仲吕之商用林钟起调林钟毕曲凡蕤賔为宫则夷则为商无射为角黄钟为中大吕为征夹钟为羽仲吕为和歌国风以蕤賔之角用无射起调无射毕曲歌小雅以蕤賔之征用大吕起调大吕毕曲歌大雅以蕤賔之宫用蕤賔起调蕤賔毕曲歌周颂以蕤賔之羽用夹钟起调夹钟毕曲歌商颂以蕤賔之商用夷则起调夷则毕曲凡林钟为宫则南吕为商应钟为角大吕为中太蔟为征姑洗为羽蕤賔为和歌国风以林钟之角用应钟起调应钟毕曲歌小雅以林钟之征用太蔟起调太蔟毕曲歌大雅以林钟之宫用林钟起调林钟毕曲歌周颂以林钟之羽用姑洗起调姑洗毕曲歌商颂以林钟之商用南吕起调南吕毕曲凡夷则为宫则无射为商黄钟为角太蔟为中夹钟为征仲吕为羽林钟为和歌国风以夷则之角用黄钟起调黄钟毕曲歌小雅以夷则之征用夹钟起调夹钟毕曲歌大雅以夷则之宫用夷则起调夷则毕曲歌周颂以夷则之羽仲吕起调仲吕毕曲歌商颂以夷则之商用无射起调无射毕曲凡南吕为宫则应钟为商大吕为角夹钟为中姑洗为征蕤賔为羽夷则为和歌国风以南吕之角用大吕起调大吕毕曲歌小雅以南吕之征用姑洗起调姑洗毕曲歌大雅以南吕之宫用南吕起调南吕毕曲歌周颂以南吕之羽用蕤賔起调蕤賔毕曲歌商颂以南吕之商用应钟起调应钟毕曲凡无射为宫则黄钟为商太蔟为角姑洗为中仲吕为征林钟为羽南吕为和歌国风以无射之角用太蔟起调太蔟毕曲歌小雅以无射之征用仲吕起调仲吕毕曲歌大雅以无射之宫用无射起调无射毕曲歌周颂以无射之羽用林钟起调林钟毕曲歌商颂以无射之商用黄钟起调黄钟毕曲凡应钟为宫则大吕为商夹钟为角仲吕为中蕤賔为征夷则为羽无射为和歌国风以应钟之角用夹钟起调夹钟毕曲歌小雅以应钟之征用蕤賔起调蕤賔毕曲歌大雅以应钟之宫用应钟起调应钟毕曲歌周颂以应钟之羽用夷则起调夷则毕曲歌商颂以应钟之商用大吕起调大吕毕曲冬至后夏至前阳生之月也律吕有半而无倍夏至后冬至前隂生之月也律吕有倍而无半阳一隂二之义也故自仲吕已上先半律而后正律自蕤賔已下先正律而后倍律盖以正律代彼半律而以倍律代彼正律正与倍半所用虽异皆先短而后长由清而至浊也汉志曰六律六吕而十二辰立矣五声清浊而十日行矣夫五六者天地之中合而民所受以生也故日有六甲辰有五子十一而天地之道毕言终而复始唐志曰天数始于一地数始于二合二始以位刚柔天数终于九地数终于十合二终以纪闰余天数中于五地数中于六合二中以通律厯天有五音所以司日也地有六律所以司辰也参伍相周究于六十圣人以此见天地之心也故六十日及六十年甲子一周皆名律总因而六之减去律总止余三百是名律限甲子五周黄道渐差天度古所谓斗厯改宪之期也以律母乘律总如律限而一得二十是名律差以律数为限带律差为分得十二限二十分是名月限以律数乘七音得八十四是为声数进一位以律差减之余八百二十即月限之刻分也律纪五音生于隂阳分为十二律吕所以纪斗气效物类也冬至之气斗杓建子子为天正一阳来复之初而群物感之于是乎始萌日度去极至逺昼漏至短晷景至长以此三至焉故曰冬至也是故律始黄钟厯始冬至月始建子时始夜半以此四始焉故曰岁始也夫一阳生于子节交冬至即属次年亦犹夜半已后即属次日然人事一日始于寅时一年始于寅月寅月为正子丑二月虽属次年而纪厯则犹在旧岁如月食于夜半后属晓犹以夜言之也故自去年冬至至今年冬至谓之一岁自今年正旦至明年正旦谓之一年冬至正旦一岁节令二者为首故制典重之也厯家推日躔命星度测景候气皆自天正冬至为首或谓之岁首冬至或谓之岁前冬至以别之者谓非今年仲冬冬至乃昨年仲冬冬至也凡欲正岁始则必騐以律厯当此之时天效之以景地效之以响后汉志曰隂阳和则景至律气应则灰除古者天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷景候钟律权土灰放隂阳冬至阳气应则乐均清景长极黄钟通土灰轻而衡仰夏至隂气应则乐均浊景短极蕤賔通土灰重而衡低水胜故夏至湿火胜故冬至燥燥故灰轻湿故灰重进退于先后五日之中八能各以候状闻太史封上效则和否则占夫厯有圣人之德六焉以本气者尚其体以综数者尚其文以考类者尚其象以作事者尚其时以占往者尚其源以知来者尚其流大业载之吉凶生焉是以君子将有兴焉咨焉而以从事受命而莫之违也若夫用天因地揆时施教颁诸明堂以为民极者莫大乎月令帝王之大司备矣天下之能事毕矣过此而往群忌拘禁非君子之所取也其术曰十二律吕共管一岁周而复始每律各管三十日四十三刻有竒是名一律其间分为前后二段前段为半律后段为正律正半各管初中末三小段每一小段各管五日七刻有竒是名为均每均各管宫商角徵羽五声每声各管一日零一刻有竒名为一音晋志曰一律而生五音十二律而为六十音因而六之六六三十六故三百六十音以当一岁之日故律厯之数天地之道也各于其日奏其调焉律均条中详载之矣律䇿律吕相距大率三十日十六分之七此古法也今以律母通母得千六百通子得七百而减其一分为日率三十带日余千六百分之六百九十九此新法也以积月乘日率为积日以积月乘日余为积余积余满法从日不满退除为刻及分夫策者算器之名以竹为之古人用以计数周易所谓二篇之策是也本起于黄钟之数始于子而每辰三之歴九辰至酉得万九千六百八十三而五数备焉以为律法又叅之终亥凡歴十二辰得十七万七千一百四十七而辰数该矣以为律积以法除积得九寸即黄钟宫律之长也此则数因律起律以数成故可历管万事综核气象其算用竹广二分长三寸正策三亷积二百一十六枚成六觚干之策也负䇿四亷积百四十四枚成四方坤之策也觚方皆经十二天地之大数也是故探赜索隠钩深致逺莫不用焉夫一十百千万所同用也律度量衡厯其别用也故体有长短检以度物有多少受以量量有轻重平以权衡声有清浊协以律吕三光运行纪以厯数然后幽隠之情精微之变可得而综也今黄钟厯法以三百六十五日二十四刻有竒为岁策半之为岁中以十二除岁策得三十日四十三刻有竒为正律策半之为半律三约半律为均策五约均策为声策已上诸策各随岁差增损故其分秒无定临时依术求而用之以二十九日五十三刻五分九十三秒为朔策半之为望策再半之为弦䇿以三百六十五度二十五分为躔周半之为躔中再半之为象䇿又半之为半象三约象策为辰策半之为半辰以三百六十八度三十七分为离周半之为离中以二十七日五十五刻四十六分为转周半之为转中以转周减朔策余为转差以三百六十三度七十九分三十四秒为正交半之为中交以二十七日二十一刻二十二分二十四秒为交周半之为交中以交周减朔䇿余为交差已上诸策皆有常数不随岁差而增损也故附于此律岁太岁在子为黄钟戊子黄钟之宫也庚子其为无射之商甲子其为夷则之角丙子其为仲吕之征壬子其为夹钟之羽太岁在丑为大吕己丑大吕之宫也辛丑其为应钟之商乙丑其为南吕之角丁丑其为蕤賔之征癸丑其为姑洗之羽太岁在寅为太蔟戊寅太蔟之宫也庚寅其为黄钟之商甲寅其为无射之角丙寅其为林钟之征壬寅其为仲吕之羽太岁在夘为夹钟己夘夹钟之宫也辛夘其为大吕之商乙夘其为应钟之角丁夘其为夷则之征癸夘其为蕤賔之羽太岁在辰为姑洗戊辰姑洗之宫也庚辰其为太蔟之商甲辰其为黄钟之角丙辰其为南吕之征壬辰其为林钟之羽太岁在巳为仲吕巳巳仲吕之宫也辛巳其为夹钟之商乙巳其为大吕之角丁巳其为无射之征癸巳其为夷则之羽太岁在午为蕤賔戊午蕤賔之宫也庚午其为姑洗之商甲午其为太蔟之角丙午其为应钟之征壬午其为南吕之羽太岁在未为林钟己未林钟之宫也辛未其为仲吕之商乙未其为夹钟之角丁未其为黄钟之征癸未其为无射之羽太岁在申为夷则戊申夷则之宫也庚申其为蕤賔之商甲申其为姑洗之角丙申其为大吕之征壬申其为应钟之羽太岁在酉为南吕己酉南吕之宫也辛酉其为林钟之商乙酉其为仲吕之角丁酉其为太蔟之征癸酉其为黄钟之羽太岁在戌为无射戊戌无射之宫也庚戌其为夷则之商甲戌其为蕤宾之角丙戌其为夹钟之征壬戌其为大吕之羽太岁在亥为应钟己亥应钟之宫也辛亥其为南吕之商乙亥其为林钟之角丁亥其为姑洗之征癸亥其为太蔟之羽旧说甲子仲吕之征也丙子夹钟之羽也戊子黄钟之宫也庚子无射之商也壬子夷则之角也本以丙壬戊庚甲为次序乃以甲丙戊庚壬为次序盖后世浅陋人不晓此理妄改本文耳本出淮南子而晋书宋书皆引之今考其来由则知承讹踵谬亦已乆矣律风冬至前后有风自子方来为主自午方来为客此宫音之风也有风自寅方来为主自申方来为客此商音之风也有风自辰方来为主自戌方来为客此角音之风也有风自未方来为主自丑方来为客此徵音之风也有风自酉方来为主自夘方来为客此羽音之风也有风自亥方来为主自巳方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也大寒前后有风自丑方来为主自未方来为客此宫音之风也有风自夘方来为主自酉方来为客此商音之风也有风自巳方来为主自亥方来为客此角音之风也有风自申方来为主自寅方来为客此徵音之风也有风自戌方来为主自辰方来为客此羽音之风也有风自子方来为主自午方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也雨水前后有风自寅方来为主自申方来为客此宫音之风也有风自辰方来为主自戌方来为客此商音之风也有风自午方来为主自子方来为客此角音之风也有风自酉方来为主自夘方来为客此徵音之风也有风自亥方来为主自巳方来为客此羽音之风也有风自丑方来为主自未方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也春分前后有风自夘方来为主自酉方来为客此宫音之风也有风自巳方来为主自亥方来为客此商音之风也有风自未方来为主自丑方来为客此角音之风也有风自戌方来为主自辰方来为客此徵音之风也有风自子方来为主自午方来为客此羽音之风也有风自寅方来为主自申方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也谷雨前后有风自辰方来为主自戌方来为客此宫音之风也有风自午方来为主自子方来为客此商音之风也有风自申方来为主自寅方来为客此角音之风也有风自亥方来为主自已方来为客此徵音之风也有风自丑方来为主自未方来为客此羽音之风也有风自夘方来为主自酉方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也小满前后有风自巳方来为主自亥方来为客此宫音之风也有风自未方来为主自丑方来为客此商音之风也有风自酉方来为主自夘方来为客此角音之风也有风自子方来为主自午方来为客此徵音之风也有风自寅方来为主自申方来为客此羽音之风也有风自辰方来为主自戌方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也夏至前后有风自午方来为主自子方来为客此宫音之风也有风自申方来为主自寅方来为客此商音之风也有风自戌方来为主自辰方来为客此角音之风也有风自丑方来为主自未方来为客此徵音之风也有风自夘方来为主自酉方来为客此羽音之风也有风自巳方来为主自亥方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也大暑前后有风自未方来为主自丑方来为客此宫音之风也有风自酉方来为主自夘方来为客此商音之风也有风自亥方来为主自巳方来为客此角音之风也有风自寅方来为主自申方来为客此徵音之风也有风自辰方来为主自戌方来为客此羽音之风也有风自午方来为主自子方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也处暑前后有风自申方来为主自寅方来为客此宫音之风也有风自戌方来为主自辰方来为客此商音之风也有风自子方来为主自午方来为客此角音之风也有风自夘方来为主自酉方来为客此徵音之风也有风自巳方来为主自亥方来为客此羽音之风也有风自未方来为主自丑方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也秋分前后有风自酉方来为主自夘方来为客此宫音之风也有风自亥方来为主自巳方来为客此商音之风也有风自丑方来为主自未方来为客此角音之风也有风自辰方来为主自戌方来为客此徵音之风也有风自午方来为主自子方来为客此羽音之风也有风自申方来为主自寅方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也霜降前后有风自戌方来为主自辰方来为客此宫音之风也有风自子方来为主自午方来为客此商音之风也有风自寅方来为主自申方来为客此角音之风也有风自巳方来为主自亥方来为客此徵音之风也有风自未方来为主自丑方来为客此羽音之风也有风自酉方来为主自夘方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也小雪前后有风自亥方来为主自巳方来为客此宫音之风也有风自丑方来为主自未方来为客此商音之风也有风自夘方来为主自酉方来为客此角音之风也有风自午方来为主自子方来为客此徵音之风也有风自申方来为主自寅方来为客此羽音之风也有风自戌方来为主自辰方来为客自下而上为主自上而下为客此变宫变徵之风也右十二律各随方位分别賔主占其顺逆之风而以五行生克辨定吉凶今风角家所谓子午为宫丑未为征寅申为商夘酉为羽辰戌为角巳亥为变宫子午互为变徵六律五声分为隂阳即其遗法也推本而论之盖以子为黄钟故曰阳宫其征则林钟也故未为阳征午为蕤賔故曰隂宫其征则大吕也故丑为隂征至变徵则互相为用故子为午之变徵午为子之变徵一终既毕则从大吕林钟为始却以丑为阳宫未为隂宫寅申为征夘酉为商辰戌为羽巳亥为角子午为变宫丑未互为变徵余律放此凡十二终而为八十四声监正元统所辑风角一览乃以子午为宫丑未寅申为征夘酉为羽辰戌为商巳亥为角不随月律所在迁移其相传之误欤然古人占风不特此耳如管子曰凡听征如负猪豕觉而骇凡听羽如鸣马在树凡听宫如牛鸣窌中凡听商如离群羊凡听角如雉登木以鸣音疾以清周官保章氏以十有二风察天地之和命乖别之妖祥郑注曰十有二辰皆有风吹其律以知和否春秋楚师伐郑师旷曰吾骤歌北风又歌南风南风不竞多死声楚必无功是时楚师多冻其命乖别审矣服䖍曰北风无射夹钟以北南风南吕姑洗以南律书所谓六律为万事根本其于兵械尤所重故云望敌知吉凶闻声效胜负百王不易之道也然考之传记阳立于五极于九五九四十五则变矣故八风各四十五日艮为条风震为明庶风巽为清明风离为景风坤为凉风兑为阊阖风干为不周风坎为广莫风卦不过八风亦八而已其言十二风者干之风渐九月坤之风渐六月艮之风渐十二月巽之风渐三月而四维之风皆主两月此其所以为十二风也十二风即十二律也故乐记曰八风从律而不奸此之谓也古人占风以知未来之事者亦多矣如周之尹喜占风以知神人汉之翼奉占风以知邪臣其为术亦不同或以六律五声或以六情五际或用干支或依卦象初无定法若夫验与不验则存乎其人耳律景天效以景地效以响景即晷也响即律也景有修短律有清浊景有消长律有损益其理一也故冬至景极长而配之以黄钟半律则极短夏至景极短而配之以黄钟正律则极长大雪小雪冬至之两邻也故皆配之以应钟所以佐黄钟半律也芒种小暑夏至之两邻也故皆配之以大吕所以辅黄钟正律也春秋二分晷景适平故皆配之以蕤賔以要言之景渐短则律渐长景极短则律极长所谓参伍以变错综其数者也淮南子曰子午夘酉为二绳丑寅辰巳未申戌亥为四钩东北为报德之维西南为背阳之维东南为常羊之维西北为号通之维日冬至则斗北中绳隂气极阳气萌故曰冬至为德日夏至则斗南中绳阳气极隂气萌故曰夏至为刑隂阳刑德有七舎何谓七舎室堂庭门巷术野十二月德居室三十日先日至十五日后日至十五日而徙所居各三十日德在室则刑在野德在堂则刑在术德在庭则刑在巷隂阳相德则刑德合门八月二月隂阳气均日夜分平故曰刑德合门德南则生刑南则杀故曰二月㑹而万物生八月㑹而草木死两维之间九十一度十六分度之五而升日行一度十五日为一节以生二十四时之变斗指子则冬至音比黄钟加十五日指癸则小寒音比应钟加十五日指丑则大寒音比无射加十五日指报德之维则越隂在地故曰距日冬至四十六日而立春阳气冻解音比南吕加十五日指寅则雨水音比夷则加十五日指甲则雷惊蛰音比林钟加十五日指夘中绳故曰春分则雷行音比蕤賔加十五日指乙则清眀风至音比仲吕加十五日指辰则榖雨音比姑洗加十五日指常羊之维则春分尽故曰有四十六日而立夏大风济音比夹钟加十五日指巳则小满音比太蔟加十五日指丙则芒种音比大吕加十五日指午则阳气极故曰有四十六日而夏至音比黄钟加十五日指丁则小暑音比大吕加十五日指未则大暑音比太蔟加十五日指背阳之维则夏分尽故曰有四十六日而立秋凉风至音比夹钟加十五日指申则处暑音比姑洗加十五日指庚则白露降音比仲吕加十五日指酉中绳故曰秋分雷戒蛰虫北乡音比蕤賔加十五日指辛则寒露音比林钟加十五日指戌则霜降音比夷则加十五日指号通之维则秋分尽故曰有四十六日而立冬草木毕死音比南吕加十五日指亥则小雪音比无射加十五日指壬则大雪音比应钟加十五日指子故曰阳生于子隂生于午此篇用律与常法异厯家罕有知者故备述焉或问候气之说岂传闻之误欤不然古人用律何故异耶曰此事大难言也非愚昧所知也虽然甞私淑诸何氏之徒窃闻其大槩焉瑭之言曰或问孟子何谓浩然之气曰难言也其为气也至大至刚以直养而无害则塞于天地之间其为气也配义与道无是馁也是集义所生者非义袭而取之也行有不慊于心则馁矣律候气之谓欤公孙𢎞曰心和则气和气和则形和形和则声和声和则天地之和应矣盖律者形而下者也气者形而上者也形而上谓之道形而下谓之器不求诸道而求诸器未之有也隋志曰灰飞半出为和气吹灰全出为猛气吹灰不能出为衰气和气应者其政平猛气应者其臣纵衰气应者其君暴由此观之古人以律占政事之得失今人以厯验律管之真伪失其㫖矣律厯融通卷三
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钦定四库全书律厯融通巻四明 朱载堉 撰黄钟厯议下(凡二十四篇)五纪洪范五纪一曰岁二曰月三曰日四曰星辰五曰厯数乾坤定位之后四时七政随天而运寒暑一匝为岁亏盈一匝为月旦暮一匝为日经纬错列为星辰步筭精审为厯数故有王省惟岁乃至庶民惟星之文省者犹言察也省察岁月日星厯五者之协否也王察岁卿士察月师尹察日庶民察星由上达下皆与闻焉以验时厯恐有乖误责非在于一人故总岁月日星四者言之则曰五纪其实厯数一事耳卿士以下不言省者綂于上文故也王省惟岁者察其寒暑之往来隂阳之消长以定四时也卿士惟月者察其弦望之亏盈交㑹之薄食以定四象也师尹惟日者察其晨昏之出没晷景之进退以定漏刻也庶民惟星者星有好风星有好雨察其中星之早晚以知时令以便农商以占风雨以慎出入也夫岁乃月之纲月乃日之纲日乃星之纲星乃厯之纲事体有轻重次序有先后不容紊也故曰岁月日时无易百谷用成乂用明俊民用章家用平康此一节本四五纪文而错简于八庶征条先儒因就庶征为说非箕子本㫖矣呜呼至哉天气煦物地形妪物日昱昼燥物月昱夜息物星辰以纲纪物岁时分至发敛启闭以行物圣人仰观俯察测以度计以数准以法象用能知其形状大小远近运行迟速分齐之详以教民者其来尚矣圜冠句屦之流斯岂可不知欤三正何休春秋注曰夏以斗建寅之月为正平旦为朔法物见色尚黑殷以斗建丑之月为正鸡鸣为朔法物牙色尚白周以斗建子之月为正夜半为朔法物萌色尚赤今按正朔两字世竝言之然非一义也一岁之中举一月而首之之谓正一日之间择一时而尚之之谓朔故周之天綂也更始履端则以子月祀享朝㑹亦以子时故其诗曰夜如何其夜未央庭燎之光君子至止鸾声将将又云鸡既鸣矣朝既盈矣此皆周人之诗纪其时事耳商之地綂夏之人綂异夫是也说者曰黄帝以来至于夏末并用人綂以寅月为元日以平旦为良辰自汤至秦迄于汉初迭用亥子丑而以为正朔武帝太初元年始乃复之至今行焉大抵有一代之君则必有一代之綂有一代之正则必有一代之朔岂可生其朝而悖其制从其月而戾其时哉虽然言天道者必先子何以知之阏逢困敦合璧连珠数由是起土圭测景律管候气理由是兴此天道必先乎子也行人事者必用寅何以知之寅賔出日平秩东作帝典斯存鸡鸣而起坐以待旦轲书足据此言人事必用于寅也夫天道长于子百世之上质诸圣人而不易故孔子曰复其见天地之心乎人事便于寅百世之下俟诸圣人而不疑故孔子曰行夏之时周易主于天道鲁论主于人事各主一理不可偏废然亦不可使相溷也考诸史志古之厯术立元有二夏厯以寅月平旦合朔立春为元则子丑月属昨岁而子丑时亦属昨日周歴以子月夜半合朔冬至为元则子丑月属来岁而子丑时亦属来日刘宋何承天造元嘉厯始以寅月甲子夜半合朔雨水为元进乖夏朔退非周正唐一行大衍厯议讥之当矣近世术家乖谬尤甚仍谓寅月为岁之首子时为日之元遂使在外臣工泥于习俗迷其归趣每遇朝贺祀享重典廼以三更五更为期淆乱正朔大违国制原其本心葢由恭敬使然遂致于失礼耳礼者无过无不及者也记曰君子表微况兹非细故乎是故不可不辨考诸制典所载一应重大礼仪并云清晨既无三更五更之说而累朝诏赦首条皆云自某日昧爽已前是亦以寅卯为昼夜之际而不以亥子为今昨之界以此推之则知术家岁首寅月日首子时天人二綂正朔二义葢相紊矣原诸古人朝贺祀享自黄帝至舜禹皆用平旦行礼象其有明徳也此百王不易之法非若庭燎鸡鸣之诗所陈乃汤武一时之权制也我朝得天下最正而明德昭然可谓度越黄帝舜禹矣彼汤武一时之权制无足取也今在外各衙门乃舍此而取彼岂不谬哉旧厯命气朔皆始自天正非也新法推恒气以立春为首步经朔以建寅为先计昼刻以日出为始如是之类钦遵圣制用夏正也惟命律吕仍首黄钟命宿度仍起夜半所谓并行而不相悖也二綂大綂厯乃洪武间钦天监监正元綂造其术以洪武十七年甲子岁为厯元上考下推无消长之法时监副李徳芳上疏驳之谓綂甲子元厯不与经史相合至差四日半宜用许衡辛巳元厯及消长之法方合天道上曰二綂皆难凭只验七政交㑹行度无差者为是由是本监造厯用綂甲子元厯推筭夫大綂厯验今交食虽密但考古之法未备德芳言之当矣今则仰体太祖圣谕二綂难凭之意和㑹二家当以大綂之密者刊正授时之失复以授时之所长者补大綂之所未备其视元志诸应惟气应测验最真是故无所増损其闰应等依大綂之法以増损之故闰増元志二刻交増元志二刻十四秒转减元志十六刻九十九分仍借授时所距之年以立岁差之法葢距年近则差法不可以立故也授时旧法岁实天周皆每百年顿差一分大綂虽无此法然当斟酌旧术但去其已甚者耳新法所求岁差每年増损一秒七十五忽二年秪积得三秒五十忽如是渐渐积之以至于分分而刻刻而日古人所谓天地之道浸其消长之法不可以峻也又推交食颇与旧法不同而比授时大綂皆密此乃合二綂之所长钦遵我太祖高皇帝圣谕也凡当润色者详见各条下岁余古之造厯者立表候景于其午晷短长之极以验隂阳消息之始是为厯本孟子曰天之高星辰之逺茍求其故千岁日至可坐而致此之谓也且如今日午中晷景极长则从今日为始日日验之凡歴三百六十五日而复长是为冬至今日午中晷景极短验亦如之凡歴三百六十五日而复短是为夏至是知三百六十五日为一岁之大率也然至四岁则厯三百六十六日而后复长及复短者葢每岁之末尚有余分是故积四岁而余一日则知一岁当余四分日之一也日有百刻均作四分每分为二十五刻将此所余一日派入四岁则每岁为三百六十五日二十五刻举其成数言之则三百六十六日也故尧典曰朞三百有六旬有六日以闰月定四时成岁此之谓也三代古法至春秋时葢已亡矣孔子数致意焉其说见于左传是巳秦汉以降言厯诸家惟知岁周三百六十五日二十五刻而不知实不及二十五刻但二十四刻有竒然竒零之数幽微之理未易窥测不能的知真数是故术家以意酌量定取分秒谓之岁余汉末有刘洪者宗室之子也善推歩之学其造乾象厯考验日月与术相较因见气朔后天精思二十年始悟厯与天不合者葢由岁余太强之所致也创意减之遂将岁余二十五刻命作二千五百而减为二千四百六十一分有竒由是以来治厯之家所见不同或损或益大率多在二千四百四十分左右至许衡等造授时厯复将岁余减至二千四百二十五分可谓减之之极自古所未有也然以之推步测验与天实为密近迄今厯家宗之无敢议者抑亦未有逐日验景测仪若彼之用心者彼虽积久或复渐差亦无人识之也尝详味之疑其一二似有未当故略辨之以俟知厯者择焉授时厯谓上考往古每百年于岁实加一分下求将来减亦如之窃以为此言过矣夫隂阳消长之理以渐而积者也先自一秒积至十秒复自十秒积至一分未有不从秒起便至分者授时厯于百年之际顿加一分考古冬至虽或偶中揆之于理实有未然假如春秋鲁隐公三年辛酉岁下距至元辛巳二千年以授时本法筭之于岁实当加二十分得庚午日六刻为其年天正冬至凡冬至距来年冬至该三百六十五日四分日之一今以授时之法考其次年壬戌岁下距至元辛巳千九百九十九年当加十九分得乙亥日五十刻四十四分为其年天正冬至置乙亥日五十刻四十四分减去庚午日六刻加所去旬周三百六十得三百六十五日四十四刻四十四分则是三百六十五日九分日之四非四分日之一也厯法之谬莫甚于此知厯之家所当订正者也新法以其差率不均稍订正之设若每年増损二秒推而上之则失昭公己丑假如每年増损一秒至一秒半则失僖公辛亥二秒为过一秒至一秒半为不及酌取中数每年増损一秒太则僖公辛亥昭公己丑皆得矣其法置定距自相乘七因八归所得律母约之为分命曰岁差七居雒书之西为坎八居河图之东为离坎离为日月门户歴家取法以制岁差然惟岁䇿有所増损若周天余分则不必増损授时厯有周天岁余増损相补之法今革去不用也朔余节气晷漏生于日阳道也朔望交㑹生于月隂道也阳道至尊而理微非庸夫所能察隂道平易而象著此俗子所共知故圣人顺世俗之情而纪时令以弦望指其圆缺以识之谓之某月此月名所由立朔闰所由出也然星命家直以节气推人吉㓙若断自朔日为某月推之则不验此则阳道至尊之明证矣凡推朔望交食差一二刻即觉其误而于二至晷景差一二日尚不能觉此又隂道平易之明证矣故曰推交食者厯家之易事也定晷漏者厯家之难事也是以圣人重气常人重朔虽有重轻未可偏废或者有谓宜废朔望之名直以节气纪之庶㡬尊阳抑隂之意殊不思朔望之名其来也逺书曰十有一月朔巡守至于北岳之类是也古人淳朴但见十九年终冬至与朔同日遂谓十九年为一章一章之月凡二百三十五内有七闰焉以章岁十九乘周岁三百六十五日二十五刻而以章月二百三十五除之得二十九日五十三刻八分五十一秒此古厯一月之率也故曰九百四十分日之四百九十九后世精于厯者察知岁朔余分率皆太强以致后天自汉刘洪始裁减之乃以千四百五十七分日之七百七十三为朔余以法除实得五十三刻五分四十二秒是后诸家増损不同所同者二十九日五十三刻耳夫古厯朔余固太强而洪削之则太弱故其厯行之未久朔輙先天惟大衍等厯朔余五分九十二秒者无过不及麟德厯以为五分九十七秒犹失之强纪元厯以为五分八十九秒亦失之弱授时厯并麟德纪元二厯朔余折半得五分九十三秒其庶几乎中平之率矣盈虚一岁十二月一月三十日摠之以六十甲子焉葢律厯之恒数如此传曰纪之以三平之以六成于十二天之道也以十二乗三十得三百六十为一朞之日易曰三百六十当期之日指恒数而言耳然十二律气每气所管实三十日四十三刻有竒与三十相减多四十三刻有竒谓之气盈十二月朔毎朔所管惟二十九日五十三刻有竒与三十相减少四十六刻有竒谓之朔虚各以十二乘之气盈得五日二十四刻有竒朔虚得五日六十三刻有竒相并共得十日八十七刻有竒谓之闰余大槩言之则一年而余十一日积至三年之内则余一月是故置闰月也书曰以闰月定四时成岁此之谓也假如今年正月元旦立春则知明年正月十二日立春自立春至立春隔三百六十五日自元旦至元旦隔三百五十四日相减恰余十一日也古语闰余成岁此之谓也夫一岁而余十一日此儒者及厯家所共知也若问此十一日分派在一岁内何月何日为多一日何月何日为少一日不独世儒不知虽精通厯学者而亦未易知也何以言之赵友钦曰唐一行已前没灭之术不同元授时厯葢倣一行法也没用气盈而推灭用朔虚而求所谓没者均一朞为三百六十段每段为一日有竒如以冬至为第一段则小寒为第十六段余以类推其段日日有之凡两段跨三日先一日九十九刻左右后一日一刻左右二段之间虽止一日有竒但一日整居其间而余数跨在前后二日首尾故曰跨三日若一日之段在九十八刻五十四分三十七秒半已后者为没没之次日必无其段无段之日其先一日必为没矣今按此说不以无段之日为没而以其先一日为没于理不通是故为之辨曰夫盈生于气者也虚生于朔者也皆以三十日为法者纪之以三故也置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒而以三十除之得一日一刻四十五分六十二秒半乃一日而有余名为盈䇿置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒亦以三十除之得九十八刻四十三分五十三秒十忽乃一日而不足名为虚䇿置恒气大小余以盈䇿累加之则日日有其段至盈日则一段跨三日葢此段其首在昨日其尾在明日而本日无全段故曰没日置经朔大小余以虚䇿累加之则日日有其段至虚日则一日跨三段葢此日上有前段尾下有后段首而本段无全日故曰灭日古厯谓之没灭今厯谓之盈虚其义一也置律率三十日四十三刻六十八分七十五秒为实以其小余四十三刻六十八分七十五秒为法实如法而一为日得六十九日六十六刻九十五分二十七秒是为前后两盈相距之数置朔率二十九日五十三刻五分九十三秒为实而以朔虚四十六刻九十四分七秒为法实如法而一为日得六十二日九十一刻四分二十三秒是为前后两虚相距之数置所求盈虚大小余以距数累加之即得次盈及次虚矣旧法推万厯九年辛巳岁气首冬至在辛未日八十一刻新法疑其稍强恐致后天乃减去七刻有竒以致盈日撙在后耳故旧法在正月甲午而新法在二月度子者葢盈生于气气之分秒少改多则盈移于前多改少则盈移于后亦自然之理也爻象爻象配日之说出自纬书通卦验綂轨图参同契等而汉儒孟喜京房郎𫖮及魏伯阳所见各有异同孟氏章句其说易本于气而后以人事明之京氏乃以卦爻配朞之日然分数有多寡参差不齐止于占灾眚验吉凶而已若夫观隂阳之变化则错乱而不明郎氏所传之卦皆六日八十分日之七葢置朞周三百六十五日二十五刻为实以六十卦为法除之得六日而余五百二十五刻以百刻乘六十得六千刻用约分法以七十五除其法得八十除其实得七故曰毎卦所管六日七分已上诸家皆于群卦之内摘出坎离震兑余六十卦以中孚为首一日配一爻至岁终为一周魏氏则于群卦之内摘出乾坤离坎余六十卦以屯蒙为首一时配一爻至月尽为一周夫月尽为一周者遇小尽则数不行岁终为一周者不以复卦阳生为气之始亦与天地自然之理不相契合要之各出臆见互有可疑者焉自刘洪乾象厯已来至于耶律楚材庚午元厯皆载卦象之术惟许衡授时厯黜之不用至今从之新法虽用卦爻配日然与旧术则大不同葢谓伏羲以木德王故其所画八卦每卦各有三爻三者木之生数八者木之成数因而重之不过倍其三以为爻八其八以为卦耳凡爻初自下起犹木之根而干干而枝也其横图自左而右者阳左而隂右也其从图自上而下者阳上而隂下也如是纵横错综以成六十四卦方图震巽恒益实居中央此四卦者贞悔皆属木伏羲所尚也故为群卦之宗摠綂四时而以阳刚隂柔分配春秋冬夏震春分巽秋分以风雷为验也益则雷在内风在外恒则风在内雷在外冬至夏至之象除此四卦其余六十以冬至日为复初九而次之以颐屯既济家人此五卦在子位以应黄钟后段及大吕前段也以大寒日为临初九而次之以明夷贲损节此五卦在丑位以应大吕后段及太蔟前段也以雨水日为泰初九而次之以大畜需小畜中孚此五卦在寅位以应太蔟后段及夹钟前段也以春分日为大壮初九而次之以归妹丰离噬嗑此五卦在卯位以应夹钟后段及姑洗前段也以谷雨日为夬初九而次之以大有睽兑革此五卦在辰位以应姑洗后段及仲吕前段也以小满日为干初九而次之以履同人元妄随此五卦在巳位以应仲吕后段及蕤宾前段也以夏至日为姤初六而次之以大过鼎未济解此五卦在午位以应蕤宾后段及林钟前段也以大暑日为遯初六而次之以讼困咸旅此五卦在未位以应林钟后段及夷则前段也以处暑日为否初六而次之以萃晋豫小过此五卦在申位以应夷则后段及南吕前段也以秋分日为观初六而次之以渐涣坎井此五卦在酉位以应南吕后段及无射前段也以霜降日为剥初六而次之以比蹇艮蒙此五卦在戌位以应无射后段及应钟前段也以小雪日为坤初六而次之以谦师升蛊此五卦在亥位以应应钟后段及黄钟前段也卦爻之䇿与声䇿同黄钟后段初均宫声即为复卦初九爻象累加声䇿得复六二至于上六而后继以颐卦初九如是六十卦三百六十爻当朞之日惟盈没为闰日无爻象者亦犹闰月无中气也以其术与律吕术同是故厯经附载日躔古厯绪余见于经典灼然可考莫如日躔及中星焉而推步家鲜有达者穿凿纷纭至今未定葢由不知夏时之与周正异也夫唐虞禅让正朔相沿故大戴礼记云虞夏之厯建正于孟春此之谓也夏小正篇即其遗法大抵夏厯纪中星察发敛皆以节气为主周厯则以中气为主厯术古有六家其颛顼等厯今虽不可考而一行之时尚及见之大衍厯议言之详矣颛顼厯上元甲寅岁正月甲寅晨初合朔立春七曜皆直艮维之首葢重黎受职于颛顼九黎乱徳二官咸废帝尧复其子孙命掌天地四时以及虞夏故本其所由生命曰颛顼其实夏厯也汤作殷厯更以十一月甲子夜半合朔冬至为上元周人因之距羲和千祀昏明中星率差半次夏厯章蔀纪首皆在立春故其课中星揆斗建与闰余所盈缩皆以十二节气为之损益而殷周汉厯章蔀纪首皆直冬至故其名察发敛亦以中气为主此其异也夏小正虽颇踈简失传乃羲和遗迹何承天循大戴之说复用夏时更以正月甲子夜半合朔雨水为上元进乖夏朔退非周正故近代推月令小正者皆不与古合尝以新法岁差上考尧典中星则所谓四仲月葢自节气之始至于中气之终三十日内之中星耳后世执著于二分二至中星是亦误矣礼记注䟽曰月令昏明中星皆大略而言不与厯正同但在一月之内有中者即得载之所以昏明之星不可正依厯法但举大略耳此说得之夫测中晷以定冬至冬至正则一岁节气从而正矣验中星以求日躔日躔真则七政行度无不真矣此二者葢治厯之本也岂可茍哉汉志曰元封七年十一月甲子朔旦冬至日月在建星又曰在牵牛之初宋祁曰建星在斗后十三度在牛前十一度日在斗牛间是太初所测止得其大略耳大衍厯议谓明帝永平十一年冬至当以戊午而四分厯以为辛酉章帝元和二年冬至当以丁亥而四分厯以为庚寅至既后天三日日必先天三度故当时测验者以为日在南斗二十一度以今密率考之实在南斗十七八度之间而已刘宋之世何承天以为日应在斗十三四度祖冲之以为在斗十一度是亦未有定说唐一行曰日之所在难知验以中星则漏刻不定汉世课昏明中星为法已浅今候夜半中星以求日冲近于得密而水有清浊壶有増减或积尘所拥故漏有迟疾臣等频夜候中星而前后相差或至三度大率冬至逺不过斗十四度近不出十度以此观之一行所测葢亦未为密也按东晋以前未有岁差之说故三綂厯以为冬至常躔牵牛之初四分厯以为冬至常在斗二十一刘洪蔡邕之流皆无异说自虞喜始觉其差谓每岁当渐差故创立岁差术其厯虽不传而其法可考也且如推尧元年冬至日躔宿度则诸家所见亦各不同虞喜以为岁差二分尧时日应在危何承天谓尧时日应在须女十度左右祖冲之讥承天之失复从虞喜之说岁差二分有竒日在营室初度刘孝孙以为在危一刘焯以为在虚六大衍厯岁差一分二十秒日在虚一纪元厯岁差一分三十六秒日在虚六授时厯本法上考往古每百年岁周长一分天周消一分尧距至元三千六百余年故岁周三百六十五万二千四百六十一分天周二百六十五万二千五百三十九分如是推之则尧时日在牛二大綂厯不用授时消长之术但以常数推之然则当在危一有竒二厯相差二十六度其推冬至之日及有闰无闰亦各不同四仲中星各随日躔而异诸贤所见互有异同窃以为承天一行二家之说葢近之矣天周古厯周天之度周岁之日皆三百六十有五全䇿之外皆有竒分所谓四分之一自今岁冬至距来岁冬至厯三百六十五日而日行一周凡四周厯千四百六十则余一日析而四之则四分之一也然天之分常有余岁之分常不足其数有不能齐者葢黄道虽去差冬夏二至日躔恒距赤道二十四度其躔每岁不同岁差移一分余斜络于二十八宿间岁久皆其经行之道如人缠丝为团丝丝缠络虽重复参差而周道则一譬犹月之出入黄道每交退移变动不居日出入于赤道大率亦然但月之退移也著而日之退移也微古人造厯初未之觉以为日有常度天周即岁周其说似是而非故久而益差晋虞喜始觉之谓天度与岁日数殊不用天周即岁周之术使天自为天岁自为岁因立岁差法其法损岁余益天周使岁余浸弱天周浸强强弱相减则得日躔岁退之差厯代治厯者咸宗之而有所损益焉初喜以天体为三百六十五度二十六分乃四分之一有余岁䇿为三百六十五日二十四分乃四分之一不足五十年差一度宋何承天以岁差太速改周天为三百六十五度二十五分半周岁为三百六十五日二十四分半百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度自后诸厯各各不同宋厯多在七十五年左右惟綂天厯取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年折取中数得六十六年三分年之二为日退移一度之限故谓周天三百六十五度二十五分七十五秒周岁三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半元授时厯从之至今守其说葢亦近密矣按汉代以前未有岁差之法晋宋而后虽立岁差而未有定论李淳风犹谓无差冬至日常躔斗十三度至一行而论始定王孝通难云如岁差自昴至壁则尧前七千余载冬至日应在东井井极北故暑斗极南故寒寒暑易位必不然矣一行辨之曰夫所谓岁差者日与黄道俱差也假令冬至日躔大火之中则春分黄道交于虚九而南至之轨更出房心外距赤道亦二十四度设在东井差亦如之若日在东井犹去极最近表景最短则是分至常居其所黄道不迁日行不退又安得谓之岁差乎此言当矣至若损岁余益天周之说今则以为未然葢岁余虽有所消而天周实无所长其强使之长者不过因求岁差而设此以胷臆之见而诬天也夫岁余之消验诸晷景可知天周之长则无所凭据非近诬矣乎今考诸厯周天余分以万约之则古六厯为三百六十五度二千五百分大衍厯为二千五百六十五分纪元厯为二千五百七十二分授时厯为二千五百七十五分皆以渐而増也岂天实有所増哉特人为傅㑹之耳古云善治厯者当顺天以求合非为合以验天此皆为合验天者也故今新法削去后人所増之分以复古厯之旧所谓周天三百六十五度四分度之一是也一为实四为法实如法而一以度母百约之则为二十五分上考下推无所増损此不易之法也岁差浑天家说天体正圆状如鞠毬内少半盛水中间浮一叶譬之地也元气运天左旋不已而地常平为水所载故也人处地上不当天半地上天多地下天少何以知之以日月之近大而逺小星度之高密而低疎知之也然地平既在天半之下而仰观止见周度之半者天逺似乎低地平与之相妨人目不可尽见也天有二枢虽旋不离其所是谓北极南极然北极升出地上而南极降入地下斜倚运转非平转也二极中腰一周谓之赤道亦随天形斜倚而不平矣言赤道者初非有形昔人木刻浑天之象而以五色庄严日月所行之路故以五色名之是谓九道于天则有其路而无其形也天体又似薫被香毬中有机者盛灰埋火之处即同地耳毬虽转而火常平也两畔相合之际正犹赤道其中机环则黄道白道也赤黄白道循环一周各为三百六十五度二十五分其度初亦非有昔人强名之以便推测耳天本无度地本无里地以人步为里天以日行为度故曰推歩度者尺寸之总名尺不可以量天故借太阳圆径作为一度黄道度之广狭随太阳高下而异惟赤道则不然葢赤道之度近极则狭而密逺极则阔而疎譬如伞葢半张视其橑也柑橘去皮观其瓣也或以圆瓜比焉天体既如圆瓜其十二辰次犹瓜有十二瓣周天三百六十五度二十五分均为十二瓣则一瓣为三十度四十三分七十五秒周度辐辏于南北二极则度之形敛尖于瓜之两端而开广于瓜之腰围瓜腰一围是名赤道其度在赤道者正得一度之广去赤道则渐逺而渐狭虽名一度实不及一度也既以天体比之圆毬则东西南北相距皆然故东西以二十八宿相距逺近为度南北以北极枢星相距逺近为度一周皆三百六十五度二十五分二极相距及赤道半周皆百八十二度六十二分五十秒赤道横分二极与二极相逺各九十一度三十一分二十五秒虽云赤道斜倚于南而其东西两旁则固在卯酉之位矣葢赤道宿度有常浑象倚之为凖然非日所行路日所行路则黄道是也其宿度多寡与赤道不同而累岁变更或増损无定葢由黄道斜跨赤道内外各半冬夏二至去赤道最逺其度既狭而日又横行故每度为有余春秋二分当赤道所交其度既广而日又斜行故每度为不足惟四立之日度在酌中之处余则以渐而广狭矣日行有余则度数少日行不足则度数多此黄道所以异也日道以赤道外为阳内为隂月道以黄道外为阳内为隂一出一入之间差法由兹而立故先儒谓黄道之差始自春分秋分赤道所交月道之差始自交初交中黄道所交黄道一周退前所交六十分度之一是谓岁差厯二万一千九百一十五年而岁差周又曰今人只说天运有差天岂得差自是运行合当如此诸家所拟岁差分秒率皆疎谬葢由未悟自然之数故也授时厯以筭术句股弧矢方圆斜直所容求到黄赤道度率为密新法因之取二至初日黄道一度当赤道一度八分六十五秒即黄赤道相差自然之数也推黄道岁差术据赤道百年退天一度半故置赤道岁差一分五十一秒以律母乘之得一度五十分为实以一度八分六十五秒为法除之得一分三十八秒命为黄道岁差置一度八分六十五秒以律母乘之得一百八度六十五分为实以一度五十分为法除之得七十二年不尽用约分法得三十分之十三是知七十二年有竒而黄道退一度折𠂻一行及傅仁均所拟岁差于彊弱之间适得中平之率先儒论黄道六十年差一度虽似有理用推尧典中星则过中矣未敢以为然也先儒又谓凡日月每日行度本无盈缩进退厯家欲求日月交㑹故以赤道为起筭之法以赤道度数而揆之日道月道则有盈缩及进退焉非真有盈缩进退此说于日似矣月则不然辨见月度条下命度汉刘歆三綂厯推歩往古上元开辟之始夜半合朔冬至日月如合璧五星如连珠皆躔牵牛之初故其纪星命度起自牵牛而名之曰星纪之次葢古有是名耳后汉魏晋以来日躔退在南斗故厯家以南斗纪周天之始终而谓之曰斗分刘宋何承天造元嘉厯改从夏正以为上元雨水中气日躔营室命度起自室二不曰斗分而曰室分祖冲之造大明厯以为上元冬至日躔北方子位命度始于虚一谓之虚分周隋之际厯法尤疎或斗或虚而无定见刘孝孙以为上元命度宜起虚中张孟宾以为日月五星并从斗十一起甄鸾造天和厯起斗十五马显造大象厯起斗十二张胄𤣥造大业厯先起虚五后稍觉疎改起虚七刘焯皇极厯命起黄道虚一唐傅仁均戊寅厯命起虚六李淳风麟徳厯以为定在南斗十二南宫说神龙厯七曜皆起黄道牵牛之初一行大衍厯改起赤道虚九五纪贞元二厯起赤道虚四宣明厯复从虚九崇元厯仍改虚四五代钦天厯起虚八宋朝诸厯应天乾元观天起虚四仪天起虚二明天起虚六崇天纪元綂天起虚七金大定厯起虚七元授时庚午二厯起虚六夫日躔岁差自有真度岂人为傅㑹可以増损而诸家命度进退不一葢系旧术之弊所谓演纪上元傅㑹为之故致如此自元人定议不用积年日法而犹用其命度起自虚六何哉今术则不然定以东方苍龙七宿为首命起赤道角宿初度较诸前代厯家傅㑹之失兹庶几得自然之理耳候极论语曰譬如北辰居其所而众星共之北辰北极天之枢也天运无穷而枢不动故曰居其所也其不动处无星故谓之辰傍有星名曰纽自汉至齐梁先儒谈天者皆谓纽星即不动处惟祖暅之以仪测知不动处犹去纽星一度有余自唐至宋又测纽星去不动处三度有余南宋在临安测纽星去极约有四度半元志但从三度之说葢纽星去极尚未有定说也唐开元间测浚仪岳台北极出地三十四度八分宋志元志皆云三十五度或云三十五度弱弱者谓在八九十分之间而不满一度也大都北极出地四十度太强太即七十五分太强八十分左右也太半少强弱约量为说耳唐志云北极去地虽秒分微有盈缩难以目校大率三百五十余里而差一度极之逺近既异则黄道晷景固随而变矣葢候极之法亦未有定也元志有正方案专为候极而设凡置仪象以为之准然纽星去极古今尚无定论况能测知极出地之度耶今拟新法宜于正方案上周天度内权以一度为北极自此度外右旋数至六十七度四十一分为夏至日躔所在复数至百一十五度二十一分为冬至日躔所在左旋数亦如之距二处经中心交贯界线并中心共五处各挿一针于二至日午中向东立案验景使三针景合而为一如不合则搘起一头务使相合然后悬绳界取中线而又取方十字界之横界上距极若干度即极出地度及分也此法简易惟以日景验极不必窥测纽星比诸前人目校庶无分秒盈缩之失其正方案制度详见元史兹不复载正方宋志云旧说谓今中国于地为东南当偏西北望极星置极不当正北又谓天常倾西北极星不得居中夫谓中国观之天常北倚可也谓极星偏西则不然所谓东西南北者何从而得之岂不以日之所出者为东日之所入者为西乎古人候天自安南至浚仪才六千里而北极差十五度稍北不已庸讵知极星之不直人上也今南北才五百里则北极輙差一度已上而东西南北数千里间日分之时候之日未尝不出于卯半而入于酉半则又知天枢既中则日之所出者定为东日之所入者定为西天枢则常为北无疑矣以衡窥之日分之时以浑仪抵极星以候日之出没则常在卯酉之半少北此殆放乎四海而同者何从而知中国之为东南也彼徒见中国东南皆际海而为是说也彼北极之出地六千里之间所差者已如是又安知其茫昧几千万里之外耶今直当据建邦之地人目之所及者裁以为法不足为法者宜置而勿议可也赵友钦曰地中有子午卯酉四向四向既正则轮盘二十四向皆正矣然而北方之地各有偏向若世所用指南针要亦可准试即偏地用之验其所指者正午欤偏午欤使偏地而指偏午则二十四向皆随偏午而定一向既差余向俱差矣此不可不辨也本草衍义曰磁石磨针锋则能指南然常偏东不全南也葢丙为大火庚金受其制故如此尝以正方案之一规均为百刻而此日景与指南针相校果指午正之东一刻零三分刻之一然世俗多不解考日景以正方向而惟凭指南针以为正南岂不误哉晷景县象著明尺表之验可推动气幽微寸管之候不忒推律候气立表测景葢治厯之本也自汉太初至于刘宋元嘉上下数百年间冬至皆后天三日而司马迁落下闳京房刘歆扬雄贾逵张衡蔡邕刘洪姜岌之徒素号精于律厯皆所未达何哉至何承天立表测景始知其误然则观天地之髙逺在隂阳之消长以正位辨方定时考闰莫近乎圭表而推步晷景乃其至要也元许衡等造授时厯亦凭晷景为本而于厯经不载推律步晷之术是为缺略晋志渐台四星主晷漏律吕事今以律吕晷漏名篇葢取诸此补大綂之缺也唐一行曰日行有南北晷漏有长短然二十四气晷差徐疾不同者句股使然也直规中则差迟与句股数齐则差急随辰极高下所遇不同如黄道漏刻此乃数之浅者近代且犹未晓按自大衍而后各家步晷之术虽异大槩不过以距二至日分自乘为实増损定率或乘或除加减二至恒晷为所求晷而已今用北极出地度数兼弧矢句股二术以求之庶尽其源又随地形高下立差以尽其变前此所未有也漏刻日月带食出入五星晨昏伏见厯家设法悉因晷漏为准而晷漏则随地势南北辰极高下为异焉元人都燕其授时厯七曜出没之早晏四时昼夜之永短皆准大都晷漏筭定国初都金陵故大綂厯日出入之时刻及昼夜之消长改从南京晷漏然当通改一番全殊元厯可也大綂夏至昼冬至夜皆五十九刻冬至昼夏至夜皆四十一刻授时夏至昼冬至夜皆六十二刻冬至昼夏至夜皆三十八刻相差三刻有竒今推交食分秒南北东西等差及五星定伏定见皆因元人旧法而独改其漏刻夫地势高下以燕为准漏刻消长则准金陵互相舛牾是以不合也且元綂改厯之时未能预知成祖迁都之事故不得不以南监观象台测验为准永乐以后颁正朔设仪表皆自京师则漏刻亦当宗法北监测验诚不为过所以大一綂而尊帝都也是故新法晷漏姑从元厯所推者为其与今京师晷漏相合也夫晷漏生于日躔与月无干交食则由乎月虽日食亦乃月之所为也宋纪元厯以晷漏继日躔以交㑹继月离是为得之元授时厯以月离继日躔以交㑹继中星则失其序矣今从宋厯以步晷漏术附日躔篇后编于上卷而以月离交食五星编载下卷葢寓尊阳抑隂之意更㸃日出谓之昼日入谓之夜日未出二刻半为晨日已入二刻半为昏晨昏皆属夜而不属昼也旧说天之昼夜以日出入为界人之昼夜以天昏明为限日出前二刻半而明日入后二刻半而昏损夜五刻以裨于昼则昼多于夜复校五刻春秋分昼夜五十刻据日见之漏耳若兼日未见及没后五刻则春秋分昼五十五刻夜四十五刻此说非是赵友钦曰旧云日未出二刻半天先明日已入二刻半天方昏然此五刻不可以众星出没论但日出始为昼入则为夜耳此说得之葢日入为昏初星出为昏末昏末即起一更一㸃故无初更初㸃非若宿有初度时有初刻也元厯乃以初更初㸃命之于率不通又五更五㸃者实为晨初其距日出惟二刻半耳而宋志云若依司晨星漏厯减去待旦十刻即同禁中更漏此毛诗所谓兴居无节号令不时故挈壶氏不能掌其职也今人或以一更三㸃为更初五更三㸃为更尽则一更一㸃及五更五㸃皆在更㸃外其法不知始自何时要之当以昏末晨初为更㸃之始终方是新法所推中星月食更㸃悉依古制但未知近日挈壶所掌更漏起末迟速何如耳月度洪范曰日月之行有冬有夏言日月行度冬夏各不同人徒知日行一度岁一周天曽不知盈缩损益四序有不同者北齐张子信及隋刘焯推究日行盈缩自冬至行一度五分渐减一二分至三四分以及赤道之交则正行一度从此复渐减之极于夏至止行九十五分自夏至后其行渐増所増与所减之数相似及冬至则复如前葢日行一度有余曰疾不及一度曰迟以増亏之数相补一日止为一度从冬至距春分以行疾而积盈从春分距夏至以行迟而消其积盈比之常度犹差前故冬至距夏至皆曰盈段从夏至距秋分以行迟而积缩从秋分距冬至以行疾而消其积缩比之常度犹差后故夏至距冬至皆曰缩段然春分前二日半已交赤道则盈二度有余秋分后二日半才交赤道则缩二度有余故二分之际盈缩最多授时厯谓盈初缩末限八十八日九十一刻缩初盈末限九十三日七十一刻盈缩极差皆二度四十分要之日在赤道之南行疾赤道之北行迟惟月行则不论赤道南北而为疾迟葢别有一理焉李淳风有推月孛法言孛星所在则月行最迟与孛星对冲则月行最疾孛不常见而月行最迟处可以测知今厯四余躔度所推月孛是也孛躔赤道南则月行迟于南孛躔赤道北则月行迟于北是月行之迟疾不系于赤道也先儒谓日月行度本无盈缩又谓月行近日则疾逺日则迟其说非也古法因十九年月圎二百三十五次故以十九除之得十二度十九分度之七并太阳行一度共得十三度十九分度之七为月一昼夜平行之定数然观其所离先后不同有差至五度半者后汉刘洪始推究之知月入转一周有疾有迟凡一昼夜疾行则至十四度余迟行则止十二度余二十七日强半之间疾迟各有等差古法疎略但谓行十三度十九分度之七而近代诸厯用十三度百六十分度之五十九以万平之得三千六百八十七分半为月平行率视古为密焉定朔古者平朔月朝见曰朒夕见曰朓刘向父子据洪范传以为人事缓急之应未达月行迟疾之理今以日所盈缩月所迟疾而损益之或进退其日以为定朔则舒亟之度乃数使然非由人事之应迟疾有衰其变者势也月逶迤驯屈行不中道进退缓速不率其常而损益之率生焉由是躔离相错偕以损益所谓日过平行则益之不及则损之从阳之义也月过平行则损之不及则益之御隂之道也虽尊卑之用睽而及中之志同葢月度缩而日度盈则定朔在经朔后名曰朒月度盈而日度缩则定朔在经朔前名曰朓若俱盈俱缩则有损有益定弦定朢亦如之今厯求盈缩疾迟之加减差即损益之谓也旧法若定朔加时在日入后则进一日有交见初亏则不进若弦朢加时在日出前则退一日虽在日出后有交见初亏则亦退葢加时不可见但见初亏即比加时故借初亏如加时例而进退之夫阳道主于进而隂道主于退朔之有进望之有退亦至理所在也自元人建议革去进朔法朔不复进而弦望犹退焉大綂厯因之凡月带食于日出时虽属次日只以其夜言望故退一日此定论也然嘉靖二十六年四月丁酉二十七年三月辛卯皆谓之晓朢食甚在日出后初亏在日出前当退朢而不退葢注厯之误云交道天左旋日月右转其所行各有道路月不由日之黄道亦犹日不由天之赤道也前汉治厯者惟有赤道术虽知黄道而无其术后汉已来始推黄道而未推月道厯家步月权以黄道命之葢日道与赤道差逺至二十四度弱月道与黄道差近不过六度耳以黄道步月取其易筭也若寻常注厯求其捷要者依月离术求之足矣欲究象数精微则宜推考月之本道即旧厯所谓九道也元人一之名为白道载在月离术中今以其名未当改名交道以其布筭既殊故别为篇宋书曰前世诸儒依图纬云月行有九道故画作九规更相交错检其行次迟疾换易不得顺度刘向论九道云青道二出黄道东白道二出黄道西黒道二出北赤道二出南又云立春春分东从青道立夏夏至南从赤道秋白冬黒各随其方按日行黄道阳路也月者隂精不由阳路故或出其外或入其内出入去黄道不得过六度入十三日有竒而出出亦十三日有竒而入凡二十七日而一入一出矣交于黄道之上与日相掩则食焉今书传官本有图为圆规者九而重叠相错先儒所传九道葢如此耳以理究之月行若今缠线于弹丸上线道虽重然止一缕往来未尝断绝果如九规则断而不相属此可以见九道之说非也故笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而已日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而为九日月之行有迟有速难以一术御也故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别筭位而已如筭法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也元志曰古人随方立名分为八行与黄道而为九究而言之其实一也惟其随交迁徙变动不居故强以方色名之月道出入日道两相交値当朔则日为月所掩当望则月为日所冲故皆有食然涉交有逺近食分有浅深皆可以数推之每一交之终退天一度余凡二百四十九交有竒退天一周终而复始正交在春正半交出黄道外六度在赤道内十八度正交在秋正半交出黄道外六度在赤道外三十度中交在春正半交入黄道内六度在赤道内三十度中交在秋正半交入黄道内六度在赤道外十八度月道与赤道正交距春秋二正黄赤道正交宿度东西不及十四度三分度之二自元以前厯家求月道者皆自黄道推之元人改从赤道求之其差数多者不过三度五十分少者不下一度三十分是为月道与赤道多少之差旧厯皆云月出黄道外曰阳厯入黄道内曰隂厯新法不用隂厯阳厯之名直曰内外而已葢以月行在黄道北为内在南则为外也交㑹易曰县象著明莫大乎日月日乃火之精其卦为离月乃水之精其卦为坎然离之象外阳而内隂外刚而内柔外明而内暗外实而内虚坎之象则反是是故太阳其质则虚若火之为燄也太隂其质则实若水之为冰也日自有光月本无光借日之光为光亦犹冰本无光以灯照之则有光矣夫物之性火能舒光水能函景故日能舒普天之光而月能函大地之景月中如有物者犹镜所照葢山河之景也月形不似镜而如圆毬者与浑天同类也日没地中月在天上犹能受其光者譬如磁石隔物犹能引针二气潜通自然相感非地所能隔也书曰哉生明又曰旁死魄皆指月而言葢日光所照则谓之明其所不照则谓之魄故定望加时与日相逺距天半周其路虽殊其度则冲径过对直与日相望故谓之望人居其间尽覩其明故月形圆既望则偏所不照者而渐生矣故曰哉生魄也定朔加时与日最近虽各在一路而其度正同日在于上月潜在下与日相㑹谓之合朔日照月表人覩其里日光赫盛不见月形谓魄亡矣故曰死魄旁死魄者朔后一日也其次日曰朏朏者月始出也故又曰哉生明至于朔望之间去日非近非逺当天半周之半日照其侧人观其傍故半明而半魄其形若弓张弦故谓之弦在上旬曰上弦在下旬曰下弦下弦月在日西故光在东上弦月在日东故光在西由去日有逺近故光景有圆缺而月之体本无盈亏也凡所谓朔望者日月同度相合对度相冲而其路则殊也若路同则食矣古云同经同纬则食同经不同纬则不食是也葢黄道与月道如香毬内二环相叠而小差定朔近交则月体蔽日而日食定望近交则日光冲月而月食因距交有逺近故食分有多寡然日月之体本无伤损也由是言之日月之食与否当观月行表里距交逺近皆可以筹䇿而推焉大约于黄道验之也尝造泥丸中穿一索外以粉涂之县于暗室中以灯照其侧则半明半暗照其前则全明照其后则全暗此弦望晦朔之象也方照其后时若少偏则虽不见粉丸之光而犹见灯光若不偏则灯光反为粉丸所掩此日食之象也方照其前时若少偏则背灯而视之全见粉丸之光若不偏则其光反为灯景所蔽此月食之象也夫有理而后有象有象而后有数理由象显数自理出理数可相倚而不可相违凡天地造化莫能逃其数故曰推筭交食厯家之易事也测景验律厯家之难事也日食旧说日体大其道周围亦大月体小其道周围亦小月道在日道内犹如小环在大环中日去人逺月去人近月体因近视而比日体之大月道因近视而比日道之广故皆为三百六十五度四分度之一月从交道穿过黄道适与日遇日体为月体所蔽故云食而日体非有损也日道与月道相交处有二若正㑹于交则月体障尽日体而日暗甚谓之食既若交不正但在交前后而度相近者亦食而不既月行交外食偏南月行交内食偏北近于交际食分多逺于交际食分少天之交限此大率也又有人之交限旧云假令中国食既戴日之下所亏才半化外反观则交而不食化外食既戴日之下所亏才半中国反观则交而不食何则日如大赤丸月如小黒丸共县一索日上而月下即其下正望之黒丸必掩赤丸似食之既及傍观有逺近之差则食数有多寡矣春分已后日行赤道北畔交外偏多交内偏少秋分已后日行赤道南畔交外偏少交内偏多是故有南北差冬至已后日行黄道东畔午前偏多午后偏少夏至已后日行黄道西畔午前偏少午后偏多是故有东西差日中仰视则高旦暮平视则低是故有距午差食于中前见早食于中后见迟是故有时差凡此诸差惟日食有之月食则无也正德九年八月辛卯朔日食大綂厯推之合食八分六十七秒而闽广之区遂至食既彼处言官以厯不效为言然京师所观止食八九分耳故推交食惟日颇难若月食分数但以距交逺近别无四时増损葢月小暗虚大月入暗虚即食故八方所见食分并同也日为月所掩而食则不然葢日大而月小日上而月下日行有四时之异人视有九服之殊故旁观者逺近自不同矣然宇宙之广未可以一术齐欲推九服之变则其时刻分秒各据其处考晷景之短长揆辰极之高下顺天求合与地偕变増损其法而后准也厯经推定之数徒以中国所见者言之耳旧云月行内道在黄道之北食多有验月行外道在黄道之南虽遇正交无由掩映食多不验又云天之交限虽系内道若在人之交限之外类同外道日亦不食此说似矣而未尽也假若夏至前后日食于寅卯酉戌之间人向东北西北而观之则外道食分反多于内道矣此前贤所未发而旧厯亦略不及此欲创新法以补其所未备揆之于理似密于前但未遇其期以亲验之耳姑发其端后人或因此说而必悟其理焉亦易修改也(案载堉所论日月交食之理多窃赵缘督革象新书如月含地影日正射月无光等语虽有误㑹未至大谬者俱仍其旧此篇自假若以下至易于修改一段误㑹过甚经纬溷淆矣)凡推日食不言既者葢日体大于月月不能尽掩之或遇食既则月居其中而日光四溢形如金环当此之时昼似初昏而星见也须㬰有光射出而天遂明故日无食十分之理虽既亦止九分有竒而已然此分数可推而月之居中与否难定假若日食九分八十秒是为极则之数月掩正中四边皆余十秒是为既也若少偏则惟一边余二十秒即非既矣故推日食止言食甚不言食既者幸其不至于既而不欲其既也大藏经中有文殊菩萨与诸仙论宿曜经以为日轮广五十一由旬月轮广五十由旬此葢西域天文其所谓由旬者姑不必论但置五十为实以五十一为法除之得九分八十秒是月轮当日轮百分之九十八于理或然耳授时厯谓日食阳厯限六度定法六十隂厯限八度定法八十试各置其限度如其定法而一皆得十分则以为日亦有食十分者以理究之恐未然也今于其定法下各加一数以除限度则得九分八十余秒而与西域天文所论相去不逺此其与旧异也修改之意后世或有未知故具述焉月食旧说日月与地三者形体大小相似地体亦圎而不方其大止可当天一度半而天周当地径二百四十余倍也日月相冲为地所蔽有景在天其大如日日光不照名曰暗虚月望行黄道则入暗虚矣値暗虚有表里深浅故月食有南北多少古人虽有暗虚之说指为地景殆未然也假如春秋二分食于卯酉之正日月相望其平如衡地犹在下乌能蔽之天虽大于地不应相去数百倍观诸晷景察诸寒暑可知矣窃尝思之日者火之精也火燄所冲必有黒烟四周皆明独此处暗然真火与凡火不同凡火止能炎上真火则从横斜直所冲皆然葢离卦之象外明而内暗外实而内虚暗而虚者离之中爻日之外景也故曰暗虚耳文献通考曰日火外明其对必有暗气大小与日体同是也以今观之日月大小相较所差不多暗虚与月相较则大于月何也譬犹灯烟以比其燄则燄小而烟多是故暗虚比日大一倍也授时厯望在交前后者距交十三度五分为交限限外则不食若当限内则有食矣望而距交未逺在四度三十五分之内其食必既余入度七十分虽甚而不既也食已既矣又云食甚何也所谓食甚之时则在初亏复圆中间假若食不至既亦于此际食分最多从此则转少矣日食不言既月食言既又言甚者葢月初既时名食既食既之后生光之前此际名为食甚若日则不然虽既不久而光即生既甚生光无所分别故止言甚不言既也夫日食至十分已下即为食既月食乃至十五分者葢十分已是食既月体尽黒然才隐在暗虚之内而未深入暗虚之中故食十分已上为既内分月望正在交际而食则满既内五分葢暗虚倍于月月入其内居于正中两旁各余五分并前既外十分共十五分若非正在交际虽入暗虚之中或近上或近下则不至十五分故月食有五限亏而后既既而后甚甚而后生光乃至复圆也夫暗虚者景也景之蔽月故无早晚高卑之异亦无四时九服之殊譬如县一黒丸于暗室中其左然一灯烛其右县一白丸若灯光为黒丸所蔽则白丸不受其光矣人在四旁视之所见无不同也故月食无时差之说宋志应天崇天诸厯其推月食直以定望小余便为食甚定分是也惟纪元厯昧于此理妄立时差金大定厯因之元儒格物穷理而亦为其所惑若授时厯月食求时差者误矣是故新法但从应天崇天旧说月食不用时差特以定望加时便为食甚时刻然非杜撰葢亦前人定论已有此说今特述之耳定数黄帝隂符经曰日月有数大小有定圣功生焉神明出焉是日月之行有一定之数过交则食理之常也而小雅云彼月而食则维其常此日而食于何不臧日君道也无朏魄之变月臣道也逺日益明近日益亏望与日轨相㑹则徙而浸逺逺极又徙而近交所以著人臣之象也望而正于黄道是谓臣干君明则阳斯食之矣朔而正于黄道是谓臣壅君明则阳为之食矣日月之食于筭可推而知则是数自当然而诗以为异者人君位贵居尊恐其志移心易圣人假之灵神作为鉴戒耳夫以昭昭太阳照临下土忽尔歼亡俾昼作夜其为怪异莫斯之甚故有伐鼔用币之仪贬膳去乐之说皆所以重天变而警人君者也天道深逺有时偶验或昔人之祸衅偶与相逄故圣人得因其变常假为劝戒使智达之士识先圣之深情中下之人信妖祥以自惧但神道可以助教而不可以为教神之则惑众去之则害宜故其言若有若无其事若信若不信期于大通而已矣经典之文不明言咎恶而公羊家董仲舒何休及刘歆等以为发无不应夫发无不应则修省何及祗知言征祥之义而未悟劝阻之方也要之日月交食固皆常理实非灾异赵友钦曰日月之食其所行交道有常数虽盛世所不免故可以筹䇿推非若五星有反常之变也此言得之矣杜预曰日月动物虽行度有大量不得不有小差故有虽交而不食者或有频交而食者一行曰十月之交于厯当食君子犹以为变诗人悼之然则古之太平日不食星不孛葢有之矣此皆谬说虽然日月者活曜也欲以死法筭定不失分刻是亦难矣故课厯者以差一分一刻为亲二分二刻为次亲三分三刻为疎四分四刻为疎逺未敢自以为百发百中也若谓食非定数则近诬矣或曰春秋二百四十二年惟有三十六食何也曰史官失记耳且如诗书上自仲康下至幽王千数百年之间惟载二食夏商末世祸乱极矣而并不闻日食何耶若夫频月而食葢亦史文之误先儒明厯理者已有定论不待辨而明矣五纬夫在天成象日月星辰皆象也而日月五纬独异于众星自有行度者此二五之精造化之妙非众星之比也日月五纬体性不齐故迟速有异当以隂阳五行别之葢律厯同一道天之隂阳五行一气而已有气必有数有声厯以纪数而声寓律以宣声而数行律与厯同流行相生故其配五声也不以体之大小论而以性之迟疾论宫居中央属土厥性尊重角居东方属木厥性柔和征居南方属火厥性轻躁商居西方属金厥性明敏羽居北方属水厥性涣散故其行度亦各随之凡五纬顺行曰进逆行曰退速行曰疾缓行曰迟不行曰留月虽因日而有晦朔弦朢其迟疾不因日若五纬则因日而有迟留退伏矣土木火三星属阳于日为臣其行度则土性尊重最迟火性轻躁最疾惟木得其中焉虽云火星最疾其视日犹迟耳自其与日同躔计之日行在前星随在后疾追不及去日渐逺其进渐迟迟甚而留留久而退初迟退渐疾退退最疾而后退渐迟迟甚则留留久则进初迟进渐疾进进最疾则与日同躔也与日同躔谓之合近日不见谓之伏伏见距日度数视其星之大小为异月有晦朔星有伏见月有弦望星有留退其归一也大抵近一逺三而留周天相半而退留退初末各随其性而度数亦异焉凡退行最疾时必与日对冲矣未与日对冲之先夜半后可望是名晨段既与日对冲之后夜半前可望是名夕段金水二星属隂于日为妾时常辅日而行故与彼三星异金星去日最逺仅逾半象水星去日最逺不及一辰终无对冲却有退合其近日最疾时则行度疾于日故与日初合毕趋进于前渐逺渐迟迟甚则留留而后退初迟退后疾退退最疾时与日再合合毕犹退初疾退渐迟退退逺而留留已复进由迟渐疾疾追及日相合如初故初合已后见于西方谓之夕段再合已后见于东方谓之晨段五纬各有迟疾而其行度多寡则皆不同乃常数如此古法惟知有常数未知有变数之加减北齐张子信仰观岁久知五纬有盈缩之变当加减常数以求其逐日之躔葢五纬不由黄道亦不由月所行道而出入黄道内外各自有其道视日逺近为迟疾如足力之有勤倦其变数之加减如里路之径直邪曲也前汉志曰天下太平五星循度无有逆行日不食朔月不食望此说非也不因日食何以知其为朔不因月食何以知其为望食不在朔望者葢厯术之弊欤五星于日犹臣妾也其配三天两地而分隂阳则土木火三星属阳为臣金水二星属隂为妾臣不敢与君敌故对冲则退行犹恭敬之礼也妾不敢与君离进而前驱稍逺则退退而后随稍逺则进进退逡巡不敢离日亦恭敬之道也而前志云荧惑去日逺而颛恣太白进在日前气盛则皆逆行谓非正行误矣旧说星入月中见为星食月不见为月食星若入日中则为黒子然则五纬于月高下无定惟下于日而已以物喻之日月五纬犹鱼也鱼行江河不著其底必凭江河之水以行或逆或顺各任其情七曜虽县虚不附于天意其必凭天之气以行然鱼之性好㴑上流流急鱼缓为水所漂喻随天左旋而实右行也或难曰古今厯家皆云七曜右行惟宋儒则云随天左旋信否答曰非始于宋儒也沈约宋书天文志已有是说其载刘向五纪辨论之详葢先得我心所同然者宋儒性理之学一出攘为已物以为前贤之所未发诬也曰左右二说孰是耶曰此千载不决之疑也人步舟中蚁行磨上缓速二船良驽二马之喻各主一理似则皆似矣茍非凌空御气飞到日月之旁亲覩其实孰能辨其左右哉然以正理论之日君道也月与五星臣道也厯家以为月近日而亏逺日而盈此易所谓二多誉四多惧也日行一度月行十三度日缓月速君逸臣劳骏奔走之象也五星近日而疾逺日而舒论语所谓君在踧踖如也与与如也过位色勃如也足躩如也出降一等逞颜色怡怡如也去日甚逺则留留久则退退后迁延复与日近此臣下念念不敢忘君之象皆有关于世教其说不可废也若依宋儒所见则皆反之而无义味不如厯家之说为长君子有所取焉而但以为布筭难易之别其说浅矣况我太祖高皇帝御制文集自有定论凡为臣子者允宜钦遵而固执之于彼宋儒偏见之陋何足据云虽然五星之理愚昧之所未达故不敢详言之今所述者不过因史志之旧文间或润色之耳欲求精密则须依凭象器测验天文积日累月务得其实而后缀以筭术立为定法方可以成一代之懿制传之万世而无弊也乃今仪表之具生来目所未覩况能知其距度之疎密辰次之广狭乎尝观宋人小说有曰古今厯法五星行度唯留退之际最多差自内而进者其退必向外自外而进者其退必由内其迹如循栁叶两末锐于中间往还之道相去甚逺故星行两末成度稍迟以其斜行故也中间成度稍速以其径绝故也厯家但知行道有迟速不知道径又有斜直之异前世修厯多只増损旧厯而已未曽实考天度其法须测验每夜昏晓夜半月及五星所在度秒置簿录之满五年其间剔去云隂及昼见日数外可得三年实行然后可以筭术缀之古之所谓缀术者此也已上一段言测验缀术甚详乃治厯之要㫖故附载于卷末昔蔡邕上书云愿匍匐于浑仪之下按度考数著于篇章以成一代盛典夫古人何不饱煖自逸而愿为此辛苦事者惧抱艺而长终惜绝传于来世欲伸葵藿之谌遑恤出位之罪哉诗云夙夜匪解以事一人此之谓也我太祖尝谓元厯与今厯二统皆难凭况黄钟乃律厯之本原而二綂罕言之是故钦遵圣谕撰此末议采众说之所长羽翼大綂广其未备以俟知厯者裁之云耳律厯融通巻四钦定四库全书律厯融通附录明 朱载堉 撰音义落下闳覆姓落下名闳巴郡人也见前汉志颜师古注落字原有草头别本或无草头者误僧一行俗姓张氏法名一行详见大藏经神僧传行字读作去声易大传十翼是也葢仲尼以三圣之文为经自己之文为传后儒尊之故称大传测景于天景有消长景即古影字洪武正韵云影本作景葛洪加彡长字上声治阳治隂治皆平声其间不容发间去声隙也又平声容也音义互通地气上齐齐读为跻竒偶竒音居宜切有竒之竒倣此偶耦通从黍从纵通并音即容切长短分齐分齐竝去声昭晣晣音浙明也刓方刓音五丸切与剜音不同五五相比比去声参天两地参读作三或读作㕘故去其二十去字皆上声十乃全数居中央而为宫以横黍度尺而言则黄钟长十寸居河图之中央九次之居西方而为商太蔟长八寸九分八毫有竒举成数而言则九寸八次之居东方而为角姑洗长七寸九分三厘七毫有竒举成数而言则八寸七次之居南方而为征林钟长六寸六分七厘四毫有竒举成数而言则七寸六次之居北方而为羽南吕长五寸九分四厘六毫有竒举成数而言则六寸先置黄钟长十寸在位下生者五亿乗之为实七亿四千九百一十五万三千五百三十八为法除之得林钟就置所得全数在位上生者十亿乗之为实仍以前法除之得太蔟余律放此乗除十二遍则返本还元此系新法与古不同自子而亥故黄钟生仲吕自亥而戌故仲吕生无射自戌而酉故无射生夹钟自酉而申故夹钟生夷则自子而亥女虚危室壁也自亥而戌室壁奎娄也自戌而酉奎娄胃昴毕也自酉而申胃昴毕觜参也在十二支虽则逆行在二十八宿却是顺行故筭术则之黄钟长十寸在位下生者五亿乗之为实六亿六千七百四十一万九千九百二十七为法除之得仲吕就置所得全数在位下生者五亿乗之为实仍以前法除之得无射余律放此乗除十二遍亦返本还元已上一节与前贤之说虽异而得律吕精微之理大抵不用三分损一而用勾股之术及开立方之法求之所得也是以隔八隔六循环无端上下相生首尾一贯以证往而不返之说为非是葢二千余年所未有实自我朝始耳恐后世儒者疑故略释之其详则见诸律吕精义云蕤賔为日应钟为月蕤賔在午午为阳火象日应钟在亥亥为隂水象月蕤賔应钟是名中和黄钟为始蕤賔为中应钟为终此乃律家三要亦犹履端举正归余为厯家三要也是知黄钟均内必具七音若无蕤賔应钟则非全律七音不全乃乐家所最忌宋陈旸辈反忌此而黜之真知音知乐者岂倒见如是乎周髀筭经之名也广韵音陛是律吕融通篇数黄钟厯法二卷上卷五篇步气候取阳竒之数也下卷四篇步月及星取隂偶之数也上下共九篇象律之九寸也黄钟厯议二卷上卷十二篇专论律而兼厯取十二律之数也下卷二十四篇专论厯而兼律取二十四气之数也上下共三十六篇象三百六十当期之日也步律吕篇内黄钟之管长九寸从黍为分之九寸也寸皆九分凡八十一分黄钟之尺长十寸横黍为分之十寸也寸皆十分凡百分旧云黄钟九寸乃九十分此刘歆之谬也歴代泥之造律不成葢从累则长而有余横累则短而不足也若依何氏说则从亦不长横亦不短二者不偏废而皆得之矣此一节亦二千余年所未有也详见律吕精义分秒忽微前汉书叙传曰产气黄钟造计秒忽律厯志曰其应和之律有空积忽微又曰物繇忽微始然则分下言秒而秒下言忽忽下言微也今时厯家或于秒下不言忽而言微非是律差律率厯书中凡言某差者犹筭书所言差分也谓数有等差耳非差错之差也凡言某率者率本当读作律洪武正韵云率约数又表的也引孟子曰变其彀率是也今人读作大率之率大率者大约之数也其义亦通是故率有二音千六百分今人文字则云一千六百古人文法不用一字只云千六百耳若云百一十日千一百日万一千日之类是也唐志八厯皆然惟元志则不然葢从俗耳今于十百千万上有一字者皆去之放古人文法也大余小余周率除积不尽所余㡬日谓之大余大余之下所余㡬刻㡬分㡬秒谓之小余葢大余乃率外之余日而小余乃日下之余分班固汉志解之详矣司马迁厯书云大余者日也小余者月也月字疑分字之误云卦爻初上初爻本当在下今乃列于上者以布筭先后为次序不得不与画卦初上之位异焉然彼象也此乃数也亦不同之同耳泛距定距按洪武正韵距字亦作歫郭璞曰法也书传云至也诸家厯法皆作距者葢亦至之谓也此年至某年谓之距年此度至某度谓之距度距者逺近相去若干数也泛亦作泛浮也犹物浮于水泛然未定也故厯家谓未定者曰泛已定者曰定均䇿均皆读作韵解见律均篇步发敛篇内列宿宿皆去声步朔闰篇内盈虚没灭解见厯议本篇步日躔篇内二线线线通校天校较通步晷漏篇内丈二尺八寸三分尺五寸七分丈字尺字之上不用一字放古人文法而非脱文也解见前篇千六百分条下弧半背矢定数弧矢者筭术之名也地形差用句股法筭日景则须地景平如掌乃与筭法合然地形高下难以句股术齐之耳须凭随处高下测定日景真数损益其常数始与天合也周髀筭经论之甚详九服葢华夷之总名其目则侯甸男采卫蛮夷镇藩也详见周礼步月离篇内离周日谓之躔月谓之离古有是名小雅所谓月离于毕是也月言离周犹日言躔周也大尽小尽月本无光借日之光逺日则光増以至于满近日则光减以至于尽三十日光尽者谓之大尽二十九日光尽者谓之小尽律元篇内虽则相县县平声读作悬为合验天则疏疏平声读作疎纷糅糅本女救切杂也洪武正韵作如又切大挠挠有平上去三音洪武正韵在铙字下律义篇内太蔟史记或作泰簇前汉志或作太族又以仲吕为中吕无射为亡射今但从众作太蔟仲吕无射也蔟依洪武正韵草头者是西之轸至于翼于七星于张于注于弧于狼北至于罚于参于浊于留此全段皆史记律书文也序列宿乃西行所谓随天左旋者也故自轸而后翼自翼而后张也然张当在星前可也星仍在张前者则未详也又无栁鬼井觜毕昴斗七宿而用注弧狼罚浊留及建星以代之疑出六家古厯葢多穿凿不可考也然尔雅浊谓之毕咮谓之栁洪武正韵咮鸟喙亦作注维参与昴参伐也昴留也说见毛传南方有弧狼无井鬼北方有建星无南斗说见唐志大衍厯议七曜西行说见宋书刘向五纪论葢自古有此说故全载以广异闻其间脱文误字存而不论阙其疑也原文应钟为首今移在后尊黄钟也律均篇内何妥陈旸何妥周隋间人仕周及隋立议废旋宫之法以迎合隋文帝宋儒致堂胡氏有论何妥为佞人陈旸宋徽宗时人著书放四清黜二变其见大抵与妥同耳此二人者葢古所谓知声而不知音知音而不知乐者也冬夏声缺冬指应钟而言夏指蕤賔而言乐无蕤賔应钟则冬夏二声缺而四时不备矣详见隋书唐书乐志律纪篇内权土灰前汉天文志县土炭后汉律厯志权土灰姑从后志以俟再考律风篇内鸣马在树或疑马当作鸟今从原文者古语谓处处绿杨堪系马也五纪篇内岁月日时无易百谷用成乂用明俊民用章家用平康此一节本四五纪文而错简于八庶征条元儒金履祥氏撰通鉴前编引东坡苏氏石林叶氏无垢张氏容斋洪氏诸儒之说皆云王省惟岁一节乃四五纪之传文也金氏从之详见本书第六卷圜冠句屦圜即圆字句即矩字解见庄子第七卷三正篇内制典所载一应重大礼仪并云清晨或问此一节何谓也荅曰谨按大明㑹典内载正旦冬至朝贺仪其日清晨(云云)万寿圣节朝贺仪与正旦冬至同中宫正旦冬至朝贺仪其日清晨(云云)中宫千秋节朝贺仪与正旦冬至同大明集礼内载圆丘大祀正祭日清晨(云云)方丘祭地正祭日清晨(云云)宗庙正祭享日清晨(云云)社稷正祭享日清晨(云云)存心录诸司职掌等书皆然也凡如是等重大礼仪并未有云三更五更行礼者何也葢我圣朝因用夏正而以平旦为朔不尚夜半及未明诸时其与周人庭燎鸡鸣诗意不侔信矣近时周祈氏编著名义考引记大传疏云周建子商建丑夏建寅是改正也周夜半商鸡鸣夏平旦是易朔也自汉武以来皆以寅为正而朔不复论矣今内廷岁首朝贺多在平旦王国有司多在鸡鸣是何不同欤与三正篇所议暗相合也晷景篇内扬雄姜岌扬杨两姓边旁不同解见洪武正韵岌鱼及切又读作及随辰极高下所遇不同如黄道漏刻随至遇七字为一句不至刻七字为一句言晷景之随处不同亦如黄道漏刻之随处不同也五纬篇内见为星食月不见为月食星见为星食月五字是一句不见为月食星六字是一句见字皆读作现㴑上流㴑音素洪武正韵云㴑亦作溯溯各篇内音义句读皆倣此推之其律名卦名气候宿次等名音义人多晓者故不载律厯融通附录◆ 《古今律历考-明-》（KR3f0008）
## 提要
钦定四库全书 子部六
古今律厯考 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨案古今律厯考明邢云路撰云路字士登安肃人万厯庚辰进士官至陜西按察司副使是书详于厯而畧于律七十二卷中言律者不过六卷亦罕所发明惟辨黄钟三寸九分之非颇为精当而编在厯代日食之后步气朔之前不知何意厯法六十六卷则自六经以下迄于明代大统厯一一考订其论周改正即改月大抵本于张以寜春王正月考惟于书惟元祀十有二月则指为建丑之月谓商虽以丑为正而纪数之月仍以寅为首与春王正月考之说不同然均之改正而于周则云改月于殷则云不改月究不若张以寜说之为允也六十五卷中有驳授时厯八条驳大统厯七条其驳大统厯谓斗指析木日躔娵訾非天星分野之次乃月辰所临之名而大统厯乃以天星次舎加为地盘月建殊袭赵縁督之误又谓授时厯至元辛巳黄道躔度十二交宫界郭守敬所测至今三百余年冬至日躔已退五度则宜新改日躔度数而大统厯乃用其十二宫界不合岁差又谓大统厯废授时消长之法以至中节相差九刻葢云路工于推算多创新术大统为当时见行之厯故辨之尤力又大统仅发授时消长一术其余多所承袭故因而并及授时也梅文鼎勿庵厯算书记曰从黄俞邰借读邢观察古今律厯考惊其卷帙乏多然细考之则于古法殊畧所疏授时法意亦多未得其㫖又曰邢氏书但知有授时而姑援经史以张其说古厯之源流得失未能明也无论西术矣是文鼎于云路此书葢有未满然推步之学太抵因已具之法而更推未尽之奥前人智力之所穷正后人心思之所起故其术愈阐愈精后来居上云路值厯学壊敝之时独能起而攻其误其识加人一等矣创始难工亦不必定以未宻议也乾隆四十六年四月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 原序
古今律厯考原序
史称帝王治天下以律厯为先儒者通天人至律厯而止大哉言乎何则律为大块之窍人一嘘噏繇是厯为斡维之运人一作息繇是天且不违而况于人是故圣人宝焉然而律生于厯则厯其尤重也自重黎道䘮马彪记误末流转乖全妙莫准丝棼辄骛如斯者众匪天度之差殊考察异意故也余不敏蚤躭𨽻首晚益笃嗜以詧环籥役智为劳盖尝挈坤复之符劵权子母之遇在窃心计䇲祘之有年矣因博访当世求我党类于山中得魏生焉生名文魁古之祖冲之陈得一其人也余乃相与校雠群籍营于至当于凡厯之宏纲细目溯古迄今靡不根究其蕴奥缕析其端倪壹切纰璺胥弥订之亡爽焉然后起而上之当宁上嘉悦下庭议佥曰可㑹中涓愳而格不行余退叹曰使天不欲斯术之行则无庸畀吾人以斯术天既以斯术畀吾人非余任之而谁也夫道术公器也公器在我而不以公诸人将鬼神恶之矣余故因金明诸君子之请而彚集成编命诸剞劂傥因是晤言知命以镜太清璧聨珠灿轨顺阶平庶㡬哉上律隂阳之变下存亭毒之功尧厯载光传之勿壊传曰四时行焉百物生焉则余与天复何憾邢云路序
## 卷一
钦定四库全书
古今律厯考卷一 明 邢云路 撰经一周易考象曰泽中有火革君子以治厯明时水火相息为革泽中有火二性相息势必变革夫不有克何以生不有革何以因君子观革之象知天地乃革之大者也所以治厯明时盖天地革斯四时成而其数最难明也自羲和以后二宫失次七元无纪春秋有食晦之讥汉世昧岁差之理唐宋以来其法渐宻至元授时乃益亲焉自元至今又三百余年消息之法顿亡厯理之原尽失斯时也正泽火当革之时也昔汉厯凡五变唐厯凡八改宋厯凡十六改使厯可仍旧何乐改作然而天运难齐人力未至不容不改也杜预云治厯者当顺天以求合非为合以验天正谓是耳且古厯甚疎汉时尚不知岁差至汉末刘洪始觉冬至后天乃减岁余并创月行迟疾法作乾象厯魏文帝时韩翊作黄初厯始课日食晋姜岌始以月蚀冲检日度宋何承天作元嘉厯始以日行盈缩推定小余祖冲之作大明厯始取至前后日测晷景北周时马显作丙寅元厯始推定交蚀之小余隋张胄𤣥作大业厯始立五星入气加减法刘焯作皇极厯始推黄道月道术立躔度凖四序升降唐僧一行作大衍厯歩日躔始宻近周世宗时王朴作钦天厯始变五星法使迟疾留行舒急有渐宋初用应天厯继改乾元等厯逮靖康间凡百六十余年而厯八改南渡后统元等厯凡百余年而厯又八改盖宋厯未精自相紊乱故愈改而愈不效也元承用金厯至至元郭守敬乃测验周至改作始精作授时厯然非谓授时之法遂一成不易可岁岁无改也观守敬之言曰以至元十八年岁次辛巳为立元上考往古下验将来周岁消长皆距立元为算其诸应等数随时推测不用为元曰诸应不用为元者正欲后人随时改革也岂惟后人即守敬自改之矣至元十七年守敬作授时厯定闰应二千万一千八百五十分转应一十三万一千九百四分交应二十六万一百八十七分八十六秒此载在元史可考也至至元三十一年甲午才十四年耳而守敬复测天道见其少差乃于闰应加二百分于转应减一千六百九十九分于交应加二百一十四秒逾十四年即改三应至今畴人用之独柰何后人一无所改乎随时变易乃谓之革及今不革谓泽火之义何隆庆间监官周相不云乎谓自至元辛巳为厯元至今己巳二百八十九年年远数盈天度渐差失今不考所差必甚夫相达者也其言良是而柰何今之司厯者不味其言耶即今月离经甲午更订犹称宻近至日躔遭元统销没遂差至逾时其若五星之度应则自累代来因革失真皆所当亟正也律厯配六十四卦干律中仲吕音征厯为小满四月中中卦辟干次候靡草死居震之六五坤律中应钟音羽厯为小雪十月中中卦辟坤次候天气上腾地气下降居兑之九五屯律中黄钟大吕音羽厯为冬至十一月中末卦侯屯内小寒十二月节始卦侯屯外冬至末候水泉动小寒初候鴈北乡居坎之初六九二蒙律中太蔟音角厯为立春正月节中卦大夫蒙次候蛰虫始振居坎之六四需律中太蔟夹钟音角厯为雨水正月中末卦侯需内惊蛰二月节始卦侯需外雨水末候草木萌动惊蛰初候桃始华居坎之九五上六讼律中姑洗音角厯为清明三月节中卦大夫讼次候田鼠化为𫛪居震之六二师律中仲吕音征厯为立夏四月节中卦大夫师次候蚯蚓出居震之九四比律中仲吕音征厯为立夏四月节末卦卿比末候王瓜生居震之九四小畜律中仲吕音征厯为小满四月中始卦公小畜初候苦菜秀居震之六五履律中林钟音征厯为大暑六月中始卦公履初候腐草化为萤居离之九三泰律中太蔟音角厯为雨水正月中中卦辟泰次候鸿鴈来居坎之九五否律中夷则音商厯为处暑七月中中卦辟否次候天地始肃居离之六五同人律中夷则音商厯为立秋七月节末卦卿同人末候寒蝉鸣居离之九四大有律中仲吕蕤賔音征厯为小满四月中末卦侯大有内芒种五月节始卦侯大有外小满末候麦秋至芒种初候螳螂生居震之六五上六谦律中大吕音羽厯为小寒十二月节中卦大夫谦次候鹊始巢居坎之九二豫律中夹钟姑洗音角厯为春分二月中末卦侯豫内清明三月节始卦侯豫外春分末候始电清明初候桐始华居震之初九六二随律中夹钟音角厯为惊蛰二月节中卦大夫随次候仓庚鸣居坎之上六蛊律中姑洗音角厯为清明三月节末卦卿蛊末候虹始见居震之六二临律中大吕音羽厯为大寒十二月中中卦辟临次候鸷鸟厉疾居坎之六三观律中南吕音商厯为秋分八月中中卦辟观次候蛰虫坏户居兑之初九噬嗑律中应钟音羽厯为立冬十月节末卦卿噬嗑末候雉入大水为蜃居兑之九四贲律中南吕音商厯为秋分八月中始卦公贲初候雷乃收声居兑之初九剥律中无射音商厯为霜降九月中中卦辟剥次候草木黄落居兑之六三复律中黄钟音羽厯为冬至十一月中中卦辟复次候麋角解居坎之初六无妄律中无射音商厯为寒露九月节中卦大夫无妄次候雀入大水为蛤居兑之九二大畜律中南吕音商厯为白露八月节末卦卿大畜末候群鸟养羞居离之上九頥律中黄钟音羽厯为大雪十一月节末卦卿頥末候荔挺出居兑之上六大过律中应钟音羽厯为小雪十月中始卦公大过初候虹藏不见居兑之九五坎律中黄钟大吕太蔟夹钟音羽角厯为冬至小寒大寒立春雨水惊蛰卦由冬至之中孚以至惊蛰之晋候由冬至之蚯蚓结以至惊蛰之鹰化为鸠盖坎为正四卦之北其六爻居月中节之在北方者也离律中蕤賔林钟夷则南吕音征商厯为夏至小暑大暑立秋处暑白露卦由夏至之咸以至白露之大畜候由夏至之鹿角解以至白露之群鸟养羞盖离为正四卦之南其六爻居月中节之在南方者也咸律中蕤賔音征厯为夏至五月中始卦公咸初候鹿角解居离之初九恒律中黄钟音宫厯为大暑六月中末卦侯恒内立秋七月节始卦侯恒外大暑末候大雨时行立秋初候凉风至居离之九三九四遯律中林钟音征厯为大暑六月中中卦辟遯次候土润溽暑居离之九三大壮律中夹钟音角厯为春分二月中中卦辟大壮次候雷乃发声居震之初九晋律中夹钟音角厯为惊蛰二月节末卦卿晋末候鹰化为鸠居坎之上六明夷律中无射音商厯为寒露九月节末卦卿明夷末候菊有黄华居兑之九二家人律中蕤賔音征厯为芒种五月节中卦大夫家人次候鵙始鸣居震之上六暌律中大吕音羽厯为小寒十二月节末卦卿暌末候雉雊居坎之九二蹇律中黄钟音羽厯为大雪十一月节中卦大夫蹇次候虎始交居兑之上六解律中夹钟音角厯为春分二月中始卦公解初候𤣥鸟至居震之初九损律中夷则音商厯为处暑七月中始卦公损初候鹰乃祭鸟居离之六五益律中太蔟音角厯为立春正月节末卦卿益末候鱼上冰居坎之六四夬律中姑洗音角厯为谷雨三月中中卦辟夬次候鸣鸠拂其羽居震之六三姤律中㽔賔音征厯为夏至五月中中卦辟姤次候蜩始鸣居离之初九萃律中南吕音商厯为白露八月节中卦大夫萃次候𤣥鸟归居离之上九升律中大吕音羽厯为大寒十二月中始卦公升初候鸡乳居坎之六三困律中无射音商厯为霜降九月中始卦公困初候豺乃祭兽居兑之六三井律中蕤賔音征厯为芒种五月节末卦卿井末候反舌无声居震之上六革律中姑洗音角厯为谷雨三月中始卦公革初候萍始生居震之六三鼎律中蕤賔林钟音征厯为夏至五月中末卦侯鼎内小暑六月节始卦侯鼎外夏至末候半夏生小暑初候温风至居离之初九六二震律中夹钟姑洗仲吕蕤賔音角徵厯为春分清明谷雨立夏小满芒种卦由春分之公解以至芒种之卿井候由春分之𤣥鸟至以至芒种之反舌无声盖震为正四卦之东其六爻居月中节之在东方者也艮律中无射应钟音商羽厯为霜降九月中末卦侯艮内立冬十月节始卦侯艮外霜降末候蛰虫咸俯立冬初候水始冰居兑之六三九四渐律中太蔟音角厯为雨水正月中始卦公渐初候獭祭鱼居坎之九五归妹律中南吕无射音商厯为秋分八月中末卦侯归妹内寒露九月节始卦侯归妹外秋分末候水始涸寒露初候鸿鴈来賔居兑之初九九二丰律中林钟音征厯为小暑六月节中卦大夫丰次候蟋蟀居壁居离之六二旅律中姑洗仲吕音角徵厯为谷雨三月中末卦侯旅内立夏四月节始卦侯旅外谷雨末候戴胜降于桑立夏初候蝼蝈鸣居震之六三九四巽律中夷则南吕音商厯为处暑七月中末卦侯巽内白露八月节始卦侯巽外处暑末候禾乃登白露初候鸿鴈来居离之六五上九兑律中南吕无射应钟黄钟音商羽厯为秋分寒露霜降立冬小雪大雪卦由秋分之公贲以至大雪之卿頥候由秋分之雷乃收声以至大雪之荔挺出盖兑为正四卦之西其六爻居月中节之在西方者也涣律中林钟音征厯为小暑六月节末卦卿涣末候鹰乃学习居离之六二节律中夷则音商厯为立秋七月节中卦大夫节次候白露降居离之九四中孚律中黄钟音羽厯为冬至十一月中始卦公中孚初候蚯蚓结居坎之初六小过律中大吕太蔟音羽角厯为大寒十二月中末卦侯小过内立春正月节始卦侯小过外大寒末候水泽腹坚立春初候东风解冻居坎之六三六四既济律中应钟音羽厯为立冬十月节中卦大夫既济次候地始冻居兑之九四未济律中应钟黄钟音羽厯为小雪十月中末卦侯未济内大雪十一月节始卦侯未济外小雪末候闭塞而成冬大雪初候鹖旦不鸣居兑之九五上六右六十四卦配五声十二律符合亡论已至其以卦配候起自中孚每卦六日七分及所配公辟侯大夫卿之数其原出于孟氏章句京房又以卦爻配直一朞之日以附易纬之文用占灾𤯝吉凶至于观隂阳之变则错乱而不明以后乾象天保各有因革亦皆不经其于厯数之差率则毫无关系自后魏来始载于厯经相沿厯唐宋至今不变至至元庚辰郭守敬造授时厯始删去删之诚是也其法大都自冬至初候起中孚而坎离震兑各主其一方其余六十卦以一年分之盖以一朞三百六十五日二十四刻有奇除离坎震兑各主一方外以六十卦分一朞之数每卦得六日八刻七分有奇为卦策半之得三日四刻三分半有奇为贞䇿置冬至大小余命之为公中孚卦以卦策六日八刻七分有奇加之为辟复卦又以贞策三日四刻三分半有奇加之得九日一十三刻有奇为侯屯内卦又加一贞䇿得一十二日一十七刻四分有奇为侯屯外卦又加一卦䇿得一十八日二十六刻一分有奇为大夫谦卦又加一卦䇿得二十四日三十四刻八分有奇为卿睽卦再加一卦䇿得三十日四十三刻五分有奇为公升卦是冬至一月三十日四十三刻半有奇交大寒十二月中每一月分五卦也一年十二月皆然然一月固分五卦而以冬至一阳生论之则一月总谓之复卦惟复之前原有中孚一卦居六日八刻七分有竒逾六日而后乃七日也七日方交复卦故曰七日来复此其术也于厯法何预焉焦延寿曰得我道以亡身者京生也京房以易卦杀身身且不保于道何居天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十此仲尼言天地隂阳自然奇偶之数即河图数也天也者隂阳对待之体一至十者隂阳流行之序然独阳不生独隂不成故生于天者成于地生于地者成于天天一生水地六成之地二生火天七成之天三生木地八成之地四生金天九成之天五生土地十成之其位一六居北二七居南三八居东四九居西五十居中为河图之数也以配律厯一六水为北方七宿其音羽二七火为南方七宿其音征三八木为东方七宿其音角四九金为西方七宿其音商五十土为中央大衍之数其音宫故唐厯志云大衍为天地之枢如环之无端盖律厯之大纪也天数五地数五五位相得而各有合天数二十有五地数三十凡天地之数五十有五此所以成变化而行鬼神也天数五一三五七九五奇也地数五二四六八十五偶也天地之数各五位五位相配以合五行天一与地六相得合为水地二与天七相得合为火天三与地八相得合为木地四与天九相得合为金天五与地十相得合为土天数二十有五五奇之积也地数三十五偶之积也天地之数合二十五三十凡五十有五干凿度所云天地合和数正谓此也隂阳五行八卦六爻皆变化也隂阳五行之屈伸往来八卦六爻之吉凶休咎皆鬼神也变化以数成鬼神以数行圣人衍易揲蓍使人知趋吉避凶以前民用此所以成变化而行鬼神也大衍之数五十其用四十有九分而为二以象两挂一以象三揲之以四以象四时归竒于扐以象闰五岁再闰故再扐而后挂大传云天生神物圣人则之神物谓蓍也五十者大衍之蓍数也衍演也天地之数五十有五而大衍之数五十者以五行五数为衍母以十数为衍子数备于五极于十故以五大衍之以母衍子而各极其数以至于十为五十也其用四十有九者虚其一以象太极也盖数始于一如辰不动如君无为故虚一不用而万变出焉王弼曰不用而用以之通非数而数以之成斯易之太极也太极生两仪故分而为二盖以两手中分四十九䇿左手分天右手分地以象两仪也五十除一者无一也四十有九挂一者有一也易变为一是也故以右手于左分天数之中取其一䇿悬挂于左手之小指间所以象人而配天地是象三才揲数也奇所揲四数之余也扐指间也以四数左手分天之䇿而归其余数或一或二或三或四于左手三四指间象四时者以四数也象闰者归余于终也又以四数右手分地之策而归其余数于左手二三指间是为一变筮法一揲不五则九得五者三所谓竒也得九者一所谓偶也再揲不四则八得四者二所谓奇也得八者二所谓偶也八九为多四五为少三少得老阳之数九三多得老隂之数六两多一少得少阳之数七两少一多得少隂之数八五岁再闰者五岁之间再积日而成月故蓍者凡有再扐然后别起一挂也毕中和言三揲皆挂正再闰后挂之义凡十九年七闰为一章五岁再闰略举其凡也衞元嵩元包论曰混茫既判天地辟矣天地既辟三统分矣三统既分四时序矣四时既序闰斯生矣正闰相生数无穷矣此之谓也干之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十当期之日二篇之策万有一千五百二十当万物之数也策者蓍之茎数曲礼所谓策为筮是也揲蓍之法通计三变之余去其初挂之一凡四为竒凡八为偶积而数之则为六七八九盖余三竒则九而其揲亦九策亦四九三十六谓其三揲挂扐通十三策而见存三十六策为老阳爻也余二奇一偶则八而其揲亦八策亦四八三十二谓其三揲挂扐通十七策而见存三十二策为少隂爻也余二偶一奇则七而其揲亦七策亦四七二十八谓其三揲挂扐通二十一策而见存二十八策为少阳爻也余三偶则六而其揲亦六策亦四六二十四谓其三揲挂扐通二十五策而见存二十四策为老隂爻也大传所谓乾坤二篇之䇿正以其挂扐之外见存蓍数而为言耳阳爻六干老阳一爻三十六策计六爻凡二百一十有六隂爻六坤老隂一爻二十四策计六爻凡百四十有四合二百一十有六一百四十有四凡三百有六十曰当期之日者每月三十日合十二月为三百六十也厯法以气言之则三百六十六日以朔言之则三百五十四日今举气盈朔虚之中数而言故曰三百有六十也盖挂扐之数象月之闰过揲之数象岁之周总过揲以成四时即一期也然少阳之策一爻二十八六爻则一百六十八少隂之策一爻三十二六爻则一百九十二二少之合亦三百六十此独以老阳老隂言者以易用九六不用七八也何也九六有象七八无象也以卦则六子之卦七八隐于其中而无象也以画则六子皆乾坤之画而六子无画也惟乾坤有用九用六之道诸卦得奇者皆用干之九得偶者皆用坤之六终无用七用八之道故曰九六有象七八无象也二篇者易上下经六十四卦也每卦六爻六十四卦共三百八十四爻隂阳各半阳爻一百九十二以阳爻三十六乗之得六千九百一十二隂爻一百九十二以隂爻二十四乗之得四千六百八合六千九百一十二四千六百八共得万有一千五百二十当万物之数也万物之数固不尽于此但取象于万若云自一而万当万物之数耳若少阳一百九十二以二十八乗之得五千三百七十六少隂一百九十二以三十二乗之得六千一百四十四合之亦万有一千五百二十也是故四营而成易十有八变而成卦八卦而小成引而伸之触类而长之天下之能事毕矣显道神德行是故可与酬酢可与祐神矣四营者四次经营也分二一营也挂一二营也揲四三营也归奇四营也易变易也尚未成爻成卦故止谓成一变易也如是者三变成一爻一爻得两仪之画二爻得四象之画三爻得八卦之画至于积七十二营凡十有八变则六爻见而得六十四卦之一矣然方其三十六营而九变也已得三画而天地山泽雷风水火八卦之名已立此内卦之贞八卦而小成也自是引进而往伸之又九变三十六营以成三画再得小成之卦一则外卦之悔亦备内外成卦是谓大成也如是然后观其爻之变与不变而触逢事类以增长之如干则推其为圜为君为父之类以定吉凶悔吝一卦变六十四卦六十四卦变四千九十六卦天下所能之事法象皆尽人之趋吉避凶向悔背吝者其道皆不越此故曰天下之能事毕矣惟易理备天下之能事故可以显明无为之道而神灵其德行之事是故可与酬酢应对万物之求盖筮受命如飨吉凶悔吝取决不爽也可与佑助神化之功盖神不自见待易道方见即谓以易助神可也道在天德行在人在天者幽显道阐幽也在人者显神德行微显也酬酢其在人者即祐助其在天者皆易之神也故关朗曰神也者易之灵也灵应冥契不思而得强名曰神故易之神在乎道而所神在人夫是易也显道祐神何物不有厯固在其中矣然谓之曰象四时象闰曰当期之日象者象其竒耦当者当其成数也至于气朔之分秒陟降消长一而不一则在人随时测验以更正之正其数即神乎易也汉史不知遂以大衍大率之数牵强凑合以步气朔而谓厯数诸率皆出于此则非矣古今律厯考巻一
## 卷二
钦定四库全书
古今律厯考卷二 明 邢云路 撰经二尚书考乃命羲和钦若昊天厯象日月星辰敬授人时古帝尧克明峻徳化致雍和其道曷繇尧以治厯明时政之首务也乃命重黎之后羲氏和氏敬顺昊天厯数以纪之象器以察之使日月星辰各得其所以此天时敬授于人焉昔少昊氏衰九黎乱徳神人杂扰颛顼命南正重司天以属神北正黎司地以属人其后三苗复九黎之恶尧乃复育重黎之后羲承重和承黎掌天地之事日中星鸟之类即天事平秩东作之类即地事而四时分职在焉日谓日之甲乙躔有盈缩月谓月之大小离有迟疾二十八宿众星丽天不动者为经金木水火土五星有迟速顺逆者为纬辰以日月所㑹分周天之度为十二次也日行迟月行疾每月朔月行及日而与之㑹其必在周天二十八宿分之辰集㑹有时故谓之辰正月㑹亥辰为娵訾二月戌为降娄三月酉为大梁四月申为实沈五月未为鹑首六月午为鹑火七月巳为鹑尾八月辰为夀星九月卯为大火十月寅为析木十一月丑为星纪十二月子为𤣥枵是也然非一定古正月㑹亥在初旬至今雨水后方㑹亥久之则以渐后移矣厯象既明节候悉均乃成一岁之厯敬授于人俾随天时早晚以为人事耕获之候焉其总为一岁之厯其分有四时之异分命羲仲宅嵎夷曰旸谷寅宾出日平秩东作日中星鸟以殷仲春厥民析鸟兽孳尾分者分其职也帝尧于羲和之内分命其羲氏而字仲者令居嵎夷之地掌春天之政曰旸谷者日出于谷也据日所出谓之旸谷指其地名即称嵎夷盖官在国都而测候之所则在嵎夷东表之地嵎夷即今山东登州府寅敬平均秩序作起也于仲春方出之日如敬賔客而𨗳引之识其景也圣人重农事春在东方故曰东作盖以节气之早晚均序之以劝民兴作也日中者春分之日漏以候之昼夜皆五十刻也举昼以见夜故曰日中星鸟南方朱雀七宿井鬼栁星张翼轸是也未曰鹑首午曰鹑火巳曰鹑尾春分之昏鸟星毕见于南方也在天成象星作鸟形曲礼言军陈象天之形前朱雀后𤣥武左青龙右白虎雀即鸟也武谓龟甲捍御故变文𤣥武焉是天星有龙虎鸟龟之形东方成龙形西方成虎形皆南首而北尾南方成鸟形北方成龟形皆西首而东尾天道左旋日体右行故星见之方与四时相逆尚书考灵曜云主春者张昏中可以种榖主夏者火昏中可以种黍主秋者虚昏中可以种麦主冬者昴昏中可以收歛故曰敬授人时然古厯若斯久之星渐右移一鸟宿四时皆可昏中种榖如今万厯年仲春昏中井初则将出鹑首而入实沈四时皆非一定在随时耳殷中也仲春阳之中也析分也先时冬寒民聚于隩至是则分析而作事矣乳化曰孳交接曰尾鸟兽皆以尾交即物之生育其气之和可验也申命羲叔宅南交平秩南讹敬致日永星火以正仲夏厥民因鸟兽希革申重也帝尧又于羲氏之内重命其羲氏而字叔者令居南交之地掌夏天之政蔡注云南交南方交趾之地又陈氏曰南交下当有曰明都三字考交趾在云南之南尧时未必属中国曰明都三字亦无考证阙之可也讹化也谓夏月时物长盛所当变化之事也夏在南方故曰南讹敬致周礼所谓冬夏致日盖以夏至之日中伺日而识其景如所谓日至之景尺有五寸谓之地中者也永长也日永昼六十刻也星火东方苍龙七宿角亢氐房心尾箕是也心宿三星中曰大火左传言火中火见诗称七月流火皆指心星言火乃苍龙之中星举中则七星见可知此夏至昏之中星也夏至阳之极午为正阳之位以此正仲夏之气也因析而又析也希革鸟兽毛羽希少而革易也分命和仲宅西曰昧谷寅饯纳日平秩西成宵中星虚以殷仲秋厥民夷鸟兽毛毨尧又分命其和氏而字仲者令居西方掌秋天之政徐广云西天水郡之西县也今属陜西巩昌府昧𡨕也日入于谷而天下㝠故曰昧谷饯送纳入也盖以秋分之暮夕方入之日而识其景也西成秋月物成之时所当成就之事也秋在西方故曰西成宵夜也秋分之日昼夜亦皆五十刻举夜以见日故曰宵中星虚北方𤣥武七宿斗牛女虚危室壁是也虚在𤣥武之中亦曰殷者秋分隂之中也夷平也暑退而人气平也毨理也毛更生整理也申命和叔宅朔方曰幽都平在朔易日短星昴以正仲冬厥民隩鸟兽氄毛尧又申命其和氏而字叔者令居朔方掌冬天之政唐孔氏曰朔尽也李巡曰万物尽于北方苏而复生故北称朔犹月之晦而有朔也幽暗都聚也北方幽暗故曰幽都今顺天府昌平州有幽都山在察也易改也北方终其隂而始其阳既成今岁之终又虑来岁之始故谓之朔易始而终终而始此天地生生不穷之道人于此时除旧更新作来岁改易之事犹由朔日而改易也日短昼四十刻也星昴西方白虎七宿奎娄胃昴毕觜参是也昴在白虎之中亦曰正者冬至隂之极子为正隂之位也隩室之内也气寒而民入于内也氄毛鸟兽皆生耎毳细毛以自温也夫四时之日与星曰出日纳日曰敬致曰日中日永宵中日短有地里之不同焉曰星鸟星火星虚星昴有古今之不同焉曰出日者即〔？〕家之测日出分也曰纳日者即〔？〕家之测日入分也曰敬致者即夏至之测午景也不言冬者测冬至亦以昼影也日有分至而昼夜之刻系焉然各有地理之不同如尧都平阳北极出地三十五度有余夏至晷长一尺五寸春秋分日出卯日入酉夏至日出寅日入戌冬至日出辰日入申其余二十气之日出入可类推焉春秋分昼夜各五十刻夏至昼六十刻冬至昼四十刻其余二十气之昼长短可类推焉此平阳也天地之中也岳台稍南去平阳不逺乃正值天地之中北极出地三十五度夏至以八尺表测晷景长一尺四寸八分日出寅正三刻日入戌初初刻昼六十刻冬至日出辰初初刻日入申正三刻昼四十刻与平阳同若南海在极南北极出地一十五度夏至日景在表南长一尺一寸六分夏至日出卯初二刻日入酉正二刻昼五十四刻冬至日出卯正二刻日入酉初二刻昼四十六刻北海在极北北极出地六十五度夏至晷景长六尺七寸八分夏至日出丑正初刻日入亥初三刻昼八十二刻冬至日出巳初三刻日入未正初刻昼一十八刻此极南极北也其余九州四海俱各不同即冬夏至皆可以推春秋分至于元京即今之顺天府也元世祖至元十七年太史郭守敬造授时厯测北极出地四十度太强冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒夏至去极六十七度四十一分一十三秒冬至昼夏至夜三千八百一十五分九十二秒夏至昼冬至夜六千一百八十四分○八秒夏至日出分一千九百○七分九十六秒冬至日出分三千○九十二分○四秒用四丈表测夏至晷景长一丈一尺七寸有竒在八尺表则二尺三寸四分日出寅正二刻日入戌初二刻昼六十二刻冬至晷景长七丈九尺八寸有竒在八尺表则一丈五尺九寸六分日出辰初二刻日入申正二刻昼三十八刻元史云地中以南夏至去日出入之所为逺其长有不及六十刻者冬至去日出入之所为近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所为近其长有不止六十刻者冬至去日出入之所为逺其短有不及四十刻者今京师夏至昼六十二夜三十八冬至昼三十八夜六十二盖地有南北极有高下所以日之出入早晚不同今授时〔？〕昼夜刻一以京师为正其各所实测北极高下又各不同此郭守敬之言何其示人以明悉也乃今之大统厯推夏至日出分二千六十八分三十秒推冬至日出分二千九百三十一分七十秒夏至日出寅正四刻日入戌初初刻昼五十九刻夜四十一刻冬至日出辰初初刻日入申正四刻昼四十一刻夜五十九刻夫今之京即元之京也授时夏至昼六十二而大统曰五十九授时冬至昼三十八而大统曰四十一各差至三刻矣想大统所测之景必非顺天府之景也盖偏北北极髙而夏昼长冬昼短偏南北极低而夏昼短冬昼长大统之刻或系国初洪武时南京所测之日出分未可知也昔郭太史作厯明示人以昼六十二刻夜三十八刻系京师晷刻与各处不同今大统不明言所测之景系何年系何人系何方海上所测系去极若干度亦不明言自国初至今厯年监官所测之日出分与授时合否而但抄写立成自北京以颁之天下徒令人闷闷耳其尧典之中星有古今之不同者何也尧仲春星昏中而今则井昏中尧仲夏火昏中而今则角昏中尧仲秋虚昏中而今则斗昏中尧仲冬昴昏中而今则室昏中盖天度有余岁度不足天度外运而微阔日度内转而稍狭天渐移而西岁渐移而东尧时日在女在子今在箕在寅日自子而移寅是天渐西而日渐东此所以不同也惟其所差至微前人未觉自尧时日躔女虚之交以后渐移至汉时犹未觉汉武帝时洛下闳作太初〔？〕谓八百年后当差一度当有圣人定之至今犹神洛下闳能前知真圣人也殊不知帝尧时不过八十余年差一度至今三千余年减至六十余年差一度八百年差一度之说何不情之甚耶迨汉末刘洪始觉冬至后天至晋虞喜乃以天为天岁为岁立差法以追其变约以五十年日退一度然失之过宋何承天倍増其数约以百年退一度又失之不及隋刘焯取二家中数以七十五年退一度唐僧一行推大衍〔？〕以八十三年差一度各亦相近至郭守敬推冬至在箕十度斯为宻近然守敬谓六十六年差一度亦非定法六十六年惟守敬之时为然而守敬之后则又在六十六年下矣试即今岁万厯二十七年冬己亥岁上距至元十八年辛巳又上距尧元年甲辰推之尧元年甲辰至至元辛巳积三千六百三十八年以授时法推得女宿八度余为尧元年天正日躔赤道度盖女八度近虚止二度今时以距星论虚尧时女末未必非虚郭守敬所云尧时日在女虚之交谓此也若以大统厯法推尧元年冬至赤道日躔危一度其女八度则加于商之沃甲相去八百余万而在天违十三度有奇矣帝尧冬至日在女虚之交则昏中昴可推冬至昏中昴则春分昏中星夏至昏中火秋分昏中虚皆可推也至元辛巳至今万厯二十七年己亥积三百一十九年授时推中积一十一万六千一百四十七日○一刻九十六分得箕宿五度一十三分四十六秒为天正赤道度箕宿四度七十二分八十二秒为天正黄道度是冬至日躔在箕也复以法推四仲昏之中星则冬至昏之中星在室宿一十三度春分昏之中星在井宿一十一度夏至昏之中星在角宿六度秋分昏之中星在斗宿四度若以大统推己亥岁前冬至赤道度得箕宿五度二十三分黄道度得四度八十一分则有不同矣授时推己亥岁前冬至余四十二万○七九得丙午日丑初三刻大统则四十二万一七五丙午日寅正初刻授时推春分一十三万三九得己亥春二月丁丑日巳初一刻大统则一十三万四八丁丑日午初二刻授时推夏至四十四万七得戊申日申正三刻大统则四十四万七九六戊申日戊初初刻授时推秋分一十六万○一得庚辰日子正一刻大统则一十六万一○六庚辰日丑正二刻此四仲皆差也以推雨水授时丙午亥正三大统丁未丑初初推小暑授时癸亥亥正初大统甲子子正一则皆当子半之交差一日矣摠之二十四气皆差也嗟嗟授时原多宻合何大统竟弃之不用耶又法推洪武元年冬至日躔箕八度六十八分仍是六十六年差一度乃元统上言七十年差一度非也李徳芳上言毎百年上推长一日下推消一日其言消长固是而言各一日则非也至嘉靖初光禄少卿华湘上言尧冬至日在虚七度今冬至日在箕三度计差五十度然以法推尧冬至日在女八度嘉靖初退至箕六度至今万厯年方退至箕五度自尧至嘉靖止退四十五度而湘云已退五十度今仍在箕五度而湘云嘉靖初已退至箕三度信如湘言自虚七度至箕三度以为退五十度也然以钤歩天虚七度至箕三度乃五十八度而亦非五十度岂不误哉帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以闰月定四时成岁允厘百工庶绩咸熙咨嗟暨与也匝四时曰朞王肃云朞四时是也十日为旬允信厘治工官庶众绩功咸皆熙广也一朞凡三百有六旬有六日然气朔不齐则置闰焉以定四时之气节成一岁之厯象以此告时授事则能信治百官而众功皆广此帝尧命羲和而叹其善也夫古时真厯遭战国及秦而亡汉存六厯虽详于五纪之论皆秦汉之际假托所为不得正要但以梗概言之六厯与周髀及考灵曜干凿度诸纬皆然汉传疏之蔡传宗之固非尧厯亦非宋厯也其云周天三百六十五度四分度之一日行一度则一朞三百六十五日四分日之一经言三百六十有六日者王肃云四分日之一入于六日之内举全数言故云三百六十六日也至解所以置闰之意亦据大率言之何则羲和厯法不传故也天体至圆绕地左旋乃自子而丑而寅即自北而东转而南为左旋日月右旋乃日月行不及天若右旋然盖经星皆丽天即天体而日月不丽天各有行度今以蔡传之所宗于汉传疏者一一剖析之传云天体三百六十五度四分度之一天行一日一周而过一度日行少迟一日亦一周而在天为不及一度积三百六十五日九百四十分日之二百三十五而与天㑹是一岁日行之数月行尤迟一日不及天十三度十九分度之七积二十九日九百四十分日之四百九十九而与日㑹十二㑹得全日三百四十八余分之积又五千九百八十八如日法九百四十而一得六不尽三百四十八通计得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一岁月行之数夫曰四分度之一者一度以四分之每分二十五分共三百六十五度二十五分也曰九百四十分日之二百三十五者九百四十分乃周髀等术之日法置二百三十五以日法九百四十而一得二千五百分即四分日之一为二十五刻一朞共三百六十五日二十五刻为岁周若以日法乘岁周得三十四万三千三百三十五筭为朞摠亦曰朞实也曰十三度十九分度之七者置一度七之以十九而一得三十六分八四二一不尽共十三度三十六分八四二一不尽为月不及天之平行度也曰二十九日九百四十分日之四百九十九与日㑹十二㑹得全日三百四十八余分五千九百八十八如日法九百四十而一得六不尽三百四十八通计三百五十四九百四十分日之三百四十八者置四百九十九以九百四十而一得五千三百○八五一不尽乃五十三刻有奇共前二十九日五十三刻○八五一不尽为一㑹之月即今月䇿一歳十二月凡十二㑹以十二㑹乘二十九日得全日三百四十八日余分四百九十九以十二㑹乘之得五千九百八十八以日法九百四十而一得六日不尽三百四十八通计得三百五十四日九百四十分日之三百四十八即置三百四十八以九百四十而一得三千七百○二不尽乃三十七刻有竒每岁三百五十四日三十七刻○二不尽也传云岁有十二月月有三十日三百六十者一岁之常数也故日与天㑹而多五日九百四十分日之二百三十五为气盈月与日㑹而少五日九百四十分日之五百九十二为朔虚合气盈朔虚而闰生焉故一岁闰率则十日九百四十分日之八百二十七三岁一闰则三十二日九百四十分日之六百单一五岁再闰则五十四日九百四十分日之三百七十五十有九岁七闰则气朔分齐是为一章夫曰多五日下九百四十分日之二百三十五者即四分日之一乃二十五刻为气盈也曰少五日下九百四十分日之五百九十二者置五百九十二以九百四十而一得六千二百九十七分不尽即六十二刻九十七分不尽为朔虚也合而言之多五日少五日共十日多二百三十五少五百九十二共为日之八百二十七置八百二十七以九百四十而一得八千七百九十七分八六不尽即八十七刻九七八六不尽共十日八十七刻九七八六不尽是为一岁之闰率即今之通闰也曰三岁一闰三十二日九百四十分日之六百单一者置六百单一以九百四十而一得六百三十九分有奇加入三十二日内共三十二日六百三十九分有奇若以一岁闰率三因之亦得也曰五岁再闰五十四日九百四十分日之三百七十五者置三百七十五以九百四十而一得三百九十八分有竒加入五十四日内共五十四日三百九十八分有奇若以一岁闰率五因之亦得也曰十有九岁七闰气朔分齐为一章者则二百六日七十一分有奇以十九年因一年之闰率所得也至是所积之二百六日七十一分有奇以月策二十九日五十三刻○八五一除之皆尽则气朔分齐是为一章矣月䇿者置岁实三百六十五日二十五刻以一章十九年乘之得六千九百三十九日七十五刻以十九年之二百二十八个月并闰之七个月共二百三十五数归除之得一月之策二十九日五十三刻○八五一不尽即前一㑹之月策也岁法者置月策二十九日五十三刻○八五一不尽以十二月乘之得三百五十四日三七○二一二即于日下之三七○二一二以九百四十乘之共得三百五十四日三百四十八分也月法者置月策以日法乘之得二万七千七百五十九分也岁余法者置朞实以十二月而一得二万八千六百一十一分二十五秒用减月法余八百五十二分二十五秒以十二月乘之得一万○二百二十七分为岁余法也通闰者置岁余法以日法而一亦得即前闰率也一岁余一万○二百二十七分二岁余二万○四百五十四分三岁余三万○六百八十一分四岁余四万○九百○八分五岁余五万一千一百三十五分六岁余六万一千三百六十二分七岁余七万一千五百八十九分八岁余八万一千八百一十六分九岁余九万二千○四十三分十岁余十万○二千二百七十分十一岁余十一万二千四百九十七分十二岁余十二万二千七百二十四分十三岁余十三万二千九百五十一分十四岁余十四万三千一百七十八分十五岁余十五万三千四百○五分十六岁余十六万三千六百三十二分十七岁余十七万三千八百五十九分十八岁余十八万四千○八十六分十九岁余十九万四千三百一十三分三岁一闰以三因岁余法一万○二百二十七分得三万○六百八十一分以月法二万七千七百五十九分减之复余二千九百二十二分五岁再闰以五因岁余法得五万一千一百三十五分以减两因月法五万五千五百一十八分少四千三百八十三分八岁三闰以八因岁余法得八万一千八百一十六分以减三因月法八万三千二百七十七分少一千四百六十一分十一岁四闰以十一乘岁余法得十一万二千四百九十七分以四因月法十一万一千○三十六分减之余一千四百六十一分十四岁五闰以十四乘岁余法得十四万三千一百七十八分以五因月法十三万八千七百九十五分减之余四千三百八十三分十七岁六闰以十七乘岁余法得十七万三千八百五十九分以六因月法十六万六千五百五十四分减之余七千三百○五分十九岁七闰以十九乘岁余法得十九万四千三百一十三分以七因月法十九万四千三百一十三分减之减尽是七闰之外无余分也十九年余一百九十日一万五千七百一十三分者是岁余一十日日之八百二十七分以十九年乘之得一万五千七百一十三分以加入十九年一百九十日内以日法归除前一万五千二位得十六日加入一百九十日内共得二百六日余六百七十三分也若置满法十九万四千三百一十三分以日法归之得二百○六日七百一十五分九五七以七闰月归之得月策亦无余矣然必以十九岁而无余分者十九年七闰为一章也积八十一章计一千五百三十九年内有五百六十七闰则盈虚之余尽而复始矣十九年为一章二十七章为一㑹凡五百一十三年三㑹为一綂乃八十一章凡一千五百三十九年三统为一元凡四千六百一十七年此古厯之大较也然古厯但云四分度之一四分日之一殊无天周歳周之差又无上下消长之法非的数也厯代以来至授时而始密授时厯天周三百六十五度二十五分七十五秒岁周三百六十五日二十四刻二十五分而日与天㑹月一日不及天一十三度三十六分八十七秒五十微积二十九日五十三刻五分九十三秒而与日㑹十二㑹通计得日三百五十四日三十六刻七十一分一十六秒是一岁月行之数日与天㑹而多五日二十四刻二十五分为气盈月与日㑹而少五日六十三刻二十八分八十四秒为朔虚合气盈朔虚共得十日八十七刻五十三分八十四秒为一岁闰率三岁一闰则三十二日六十二刻六十一分五十二秒五岁再闰则五十四日三十七刻六十九分二十秒十有九岁七闰则二百六日六十三刻二十二分九十六秒至今〔？〕家遵用之盖不用积年日法以实测得之也今去授时三百余年矣其朞实之数自应推测改正而朔实交转亦如之柰何犹然用胜国为元耶况消长法竟置之不用以推徃古一无所合岂理也哉正月上日受终于文祖上日朔日也正月朔故云上日言一岁日之上也受终于文祖谓舜受尧终帝位之事于尧文徳始祖之庙也尧舜皆以建寅为正月观日中星鸟以殷仲春为卯月则正月建寅可知夏后氏因之至商乃建丑周乃建子孔子曰行夏之时夏时固遵唐虞者也在璇玑玉衡以齐七政在察也璇美玉也玑机也运转者为玑持平者为衡以璇饰玑衡为横箫以望天象亦玉为之汉世以来谓之浑天仪者是也七政日月五星也舜初摄位首察玑衡以齐七政盖日月五星在天有常度其灾祥与政事相应舜仰察天文观七政之迟速顺逆各由其道与否以审政事之得失何如即钦若之意也蔡邕天文志云言天体者有三一曰周髀二曰宣夜三曰浑天宣夜绝无师说周髀术数具在考验天象多所违失惟浑天者近得其情今史所用候台铜仪即其法也宣夜者惟汉郗萌记先师所传云天本无质苍苍然也日月众星自然浮生空虚之中其行其止皆顺气焉晋虞喜因宣夜之说于是有安天之论虞昺亦祖宣夜之说有穹天之论吴姚信又有昕天之论虞喜曰宣明也夜幽也幽明之数其术兼之故曰宣夜安天论谓天髙无穷地深不测天常安于上地居静于下方则俱方圆则俱圆葛洪讥之曰茍辰宿不丽于天为无用便可言无何必复云有之而不动乎穹天论曰天形如笠而冐地之表浮而不没者气充其中也日遶辰极没西还东不入地中也昕天论曰天若裹地如卵地何所依若无四维天何以立天经地行于水中日月星辰将不得其性是以有两地之说下地上地之根也冬至天低近南故昼短夏至天起近北故昼长此皆不通之论也贺道养又谓宣夜为夏殷之法亦无所据周髀者即盖天之说也髀股也股者表也周人志之故曰周髀其言天似覆盆中高而四边下天左行日月旁转右行随天左转如蚁行磨上磨左旋蚁右旋日近而见之为昼日远而不见为夜又云天形如倚盖极在天之中而今在人北故见以为倚盖汉王仲任据盖夭之说以驳浑仪谓天转地下今掘地一丈辄有水天何得从中行乎是尤浅之乎论天者又传周髀本于庖牺黄帝为盖天者皆无凭也惟浑天为得之春秋文曜钩云唐尧即位羲和立浑仪则浑仪之设其来远矣舜之玑衡即浑仪也厯代相传史官禁宻学者不覩故宣盖沸腾后乃遵用之王蕃浑天说曰天形似鸟卵天包地外犹卵裹黄如弹丸故曰浑天言其形体浑浑然也其术以为天半覆地上半在地下天居地上一百入十二度半强地下亦然北极出地三十六度南极入地亦三十六度而嵩高正当天之中极南五十五度当嵩髙之上又其南十二度为夏至之日道又其南二十四度为春秋分之日道又其南二十四度为冬至之日道南下去地三十一度而已是夏至日北去极六十七度春秋分去极九十一度冬至去极一百一十五度此其大率也其南北极持其两端天与七政斜而回转此必古有其法遭秦而灭汉唐以来其法渐密故前汉则有洛下闳浑天仪东汉则有张衡在呉则有王蕃在晋则有陆绩在宋元嘉则有钱乐唐贞观则有李淳风在开元则有梁令瓉皆作浑天仪而其中之最善者则张衡李淳风也张衡之仪以八尺圆体具天地之象有内规外规南极北极黄道赤道而转之以漏水告之以灵台又作灵宪以说其状为可考也淳风之仪表里三重一曰六合仪二曰三辰仪三曰四游仪而其推验之法本于黄道为可考也汉自张衡之外而洛下闳之仪亦有取焉汉太初洛下闳等造圆仪考厯度扬子云论浑仪曰洛下闳营之鲜于妄人度之耿夀昌象之是也唐自李淳风之外而梁令瓉之仪亦有取焉唐志云梁令瓉以木为游仪僧一行是之乃共令瓉更铸为铜仪注水激轮立人击钟皷令其自转机械皆藏柜中是也宋太平兴国中张思训之浑仪则有地轴地轮地足之异横轮侧轮斜轮之别此又踵一行之遗象也大中祥符间韩显符之浑仪则有游规直规之分龙柱水臬之号此又本淳风之遗法也宋自靖康之乱仪象尽归于金元初袭用金旧岁乆渐疏世祖时郭守敬以司天仪本宋皇祐中汴京所造于大都测天规环不恊比量南北极差四度有竒于是别创简仪仰仪及方案闚几圭表景符诸仪各臻其妙谓以管窥天宿度余分未得其的乃用二线推测于余分纎微皆有可考盖古人所未及又遣使四方测景凢二十七所东极高丽西至滇池南逾朱崖北至铁勒以考验之酌取中数盖五年而厯成以察七政厯代以来其数不同郭守敬所定其日月行度已详于尧咨羲和简下木曰岁星周率三百九十八万八千八百分〔？〕率四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒五十微火曰荧惑周率七百七十九万九千二百九十分〔？〕率六百八十六万九千五百八十○分四十三秒土曰镇星周率三百七十八万○九百一十六分〔？〕率一亿○七百四十七万八千八百四十五分六十六秒二十五微金曰太白周率五百八十三万九千○二十六分〔？〕率三百六十五万二千五百七十五分水曰辰星周率一百一十五万八千七百六十分〔？〕率三百六十五万二千五百七十五分五星各以应加中积段日而合伏迟疾留退各得其位此郭太史之术也其简仪等仪与歩七政术至今钦天监遵用之夫宣夜之谬勿论已盖天不合以南方之度渐狭知浑非盖也然天下地里南北不同即守敬测大都较汴京极差四度可知晷度冬夏亦不同即古有谓日景于地若千里差一寸者然各不同湏测乃定王蕃谓嵩当天中然非天中乃中国地中从测影就昼夜五十刻得之也又考书传大全圗载水星春见奎娄夏见东井等语又曰木星四仲年行三宿四孟四季行二宿又云火星常以十月入太㣲夫五星何常之有古今不同何宿不丽何必水春奎娄夏东井火岂十月常入太微况井宿三十余度觜宿不及一度木安得分仲行三宿孟季二宿之异以此载之经典徒令人惑耳大都五星之行皆视日度以为之准日度正斯五纬正厯代以来测歩五星各有不同皆从日度推之也自元至元辛巳距今三百余年岁差不明日度未改则五纬之歩安所适从必也察玑衡测圭晷先正日度之失而后以距日距星课五纬之差庶乎其不失矣固待其人而后行也古今律厯考卷二
## 卷三
钦定四库全书
古今律厯考卷三 明 邢云路 撰经三尚书考岁二月东巡守至于岱宗柴望秩于山川肆觐东后协时月正日同律度量衡诸侯为天子守土故称守天子适诸侯曰巡守岁二月当巡守年之二月也舜既正月班瑞二月即行顺春东巡春位在东故顺春也人君顺天道以行人事四时顺令又各当其时之中故以仲月至岱宗夏五月至南岳秋八月至西岳冬十一月至北岳皆顺时之义舜时正月建寅此巡守四仲之月即二月卯五月午八月酉十一月子也岱始也宗长也万物之始隂阳交代故泰山为五岳之长舜以二月至于岱宗之岳郊特牲云天子适四方先柴盖祭时积柴加牲其上而燔之是燔柴为祭天告至也于东方境内名山大川则望而秩祭之秩者具牲币祝号之次第如五岳视三公四渎视诸侯其余视伯子男也盖视其祭祀祭五岳如祭三公之礼云觐见也柴望既毕遂以礼见东方诸国之君于此诸国协合其四时之气节十二月之大小正其日之甲乙使之齐一均同天子告朔于邦国恐侯国不齐故以巡守而合和之即在璇玑之意也时月详见咨羲和简中日之甲乙有干有支世编云天皇氏制干支干干也名曰母支枝也名曰子以定岁之所在十干曰阏逢为甲旃蒙为乙柔兆为丙彊圉为丁著雍为戊屠维为巳上章为庚重光为辛𤣥黓为壬昭阳为癸十二支曰困敦为子赤奋若为丑摄提格为寅单阏为卯执徐为辰大荒落为巳敦牂为午协洽为未涒滩为申作噩为酉阉茂为戌大渊献为亥邵子曰干阳也支隂也干十而支十二隂数中有阳阳数中有隂也律法制也律以截竹为管而度有丈尺量有斛斗衡有斤两三者皆取法于律故曰法制汉书律〔？〕志云度量衡出于黄钟之律也律谓十二律黄钟太蔟姑洗㽔賔夷则无射大吕夹钟仲吕林钟南吕应钟也六为律六为吕凡十二管皆径三分有奇空围九分而黄钟之长九寸大吕以下律吕相间以次而短至应钟而极焉长者声下而浊短者声髙而清此律吕之大较也度者分寸尺丈引所以度长短也本起于黄钟之管长容以子谷秬黍中者每寸容一百三十三黍三分黍之一九寸则容千二百黍十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起于黄钟之管容以子谷秬黍中者千二百实为一龠两龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣衡者铢两斤钧石所以权轻重也本起于黄钟之管容以子榖秬黍中者一龠容千二百黍百黍一铢一龠十二铢两龠二十四铢为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权审矣权衡一物衡平也权重也称谓之衡锤谓之权所从言之异耳此黄钟所以为万事根本诸侯之国其有不一者则审而同之也时月日正朔所自出律度量衡制度所自始然律之十二又生于〔？〕之十二律厯志云推〔？〕成律故同律度量衡必先协时月正日帝曰夔命汝典乐教胄子直而温寛而栗刚而无虐简而无傲诗言志歌永言声依永律和声八音克谐无相夺伦神人以和胄𦙍也继𦙍父世者长子故以胄为长自天子至卿大夫之适子也周礼大司乐以乐德教国子中和祗庸孝友则乐最能感人舜命䕫典乐以教胄子直者多严故令其正直而温和寛者多缓故令其寛𢎞而庄栗辅其偏也刚彊者必傲故令其刚而勿苛虐简易者必傲故令其简而勿傲慢防其失也心之所之谓之志心有所之必形于言故曰诗言志既形于言则必长言以歌之故曰歌永言既歌则必有高下清浊之殊故曰声依永声者宫商角徴羽也声之长而浊者为宫以渐而清且短则为商为角为徴为羽也有声必有律则以十二律和之阳六律隂六吕如黄钟为宫则太蔟为商姑洗为角林钟为徴南吕为羽盖以三分损益隔八相生十二律旋相为宫所谓律和声也周礼太师云播之以八音金石土革丝木匏竹金钟鏄石磬土埙革鼓鼗丝琴瑟木柷敔匏笙竹管箫也以其声律被之八音无不谐协各得伦理不相侵夺可以奏之朝廷荐之郊庙而神人以和矣大司乐云大合乐以致鬼神示以和邦国以谐万民以安賔客以说远人是神人和也律吕声音之数详见别简百工惟时抚于五辰庶绩其凝工官抚顺凝成也五辰四时也木火金水旺于四时而土则寄旺于四季也臯陶言百官抚顺五行之时则众功皆成所抚顺者即尧典敬授人时平秩东作之类是也礼运曰播五行于四时五行在地为物在天为时顺其时而抚之则五物皆成其材而为人用矣故仲春斩阳木仲夏斩隂木所以抚木辰也季春出火季秋纳火所以抚火辰也司空以时相阪隰所以抚土辰也秋为徒杠春逹沟渠所以抚水辰也书传大全圗谓木辰配于春自立春至立夏九十一日八十分之二十五火配夏金配秋水配冬其数皆同八十分日之二十五者二十五以八十分之得三十一分二十五秒加于九十一日下以四时之四因之得三百六十五日二十五刻为一朞之日土分旺于四时一时十八日有竒四时计七十三日○五刻亦皆自其大槩言之耳授时厯则一时九十一日三十一刻○六分二十五秒四时共三百六十五日二十四刻二十五分土王策三日○四刻三十六分八十七秒五十微加入气策一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微内共得一十八日二十六刻二十一分二十五秒为土寄旺于一时之数以四时之四因之共得七十三日○四刻八十五分至今厯家遵用之郭守敬曰厯年距立元为筭其诸应则随时推测不用为元今距元年乆正改宪时也若改而推测则岁实㣲有不同而诸数皆异矣惟时羲和颠覆厥徳沈乱于酒畔官离次俶扰天纪遐弃厥司乃季秋月朔辰弗集于房瞽奏鼓啬夫驰庶人走羲和尸厥官罔闻知昏迷于天象以干先王之诛政典曰先时者杀无赦不及时者杀无赦此夏仲康命𦙍侯掌六师以征羲和也惟时羲和颠倒反复其徳沈冥昏乱于酒官以职言次以位言羲和畔其所治之职离其所居之位俶始扰乱遐逺也天纪谓天时厯数司所主也自尧命羲和厯象授时之后为羲和者世守其职未尝紊乱至是始乱其天纪而逺弃其所主之事士文伯谓日月㑹次为辰集汉书作辑房宿名言日月㑹次不相和辑而掩蚀于房宿也日月㑹于月朔东西同度南北同道则月掩日而日为之食是时季秋月朔日食凡日食礼有救日之法天子伐鼓于社瞽目之乐官以祭天之雷鼓奏进而伐之瞽以其无目于音声审也啬夫主币之官驰取币以礼天神庶人在官者则奔走以供救日食之百役周礼庭氏云救日之弓矢盖救日以太阳之弓以枉矢是救日必有多役庻人走供之车马曰驰歩曰走日食之变群工促遽以助救日若此羲和为厯象之官尸居其位若无闻知昏迷于天象以干犯先王之诛其罪不可赦也故先王为政之典曰厯象授时气朔不忒若布筭一失气朔先天时者杀无赦不及而后天时者杀无赦先后之差尚罪死无赦况废官乎此仲康所以命𦙍侯征之也大都日月之食乃㑹于交道数有一定朱子注是章谓日月之行虽或当食而月常避日故其迟速高下必有参差而不正相对所以当食不食为王者修德所致又谓月食虽阳胜隂毕竟不好若隂有退避之意则不相敌而不成食皆非也盖日月有迟速高下不正相对乃未当交道史载当食不食者多厯筭之差纵日行失度间有当食不食乃几百年有一非其常也则月岂有退避日遂不相敌而不成食乎唐大衍厯载太康十二年戊子岁冬至日在女十一度仲康五年癸巳岁季秋九月庚戌朔日蚀在房二度授时称仲康五年癸巳距至元辛巳三千四百八年九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分入食限然以厯年考之太康元年癸巳至十二年甲辰非戊子也仲康元年壬戌五年丙寅非癸巳也其癸巳距至元辛巳积年九月庚戌朔交泛入食限之数歩之固是然癸巳乃帝相十九年去仲康五年丙寅后二十七年矣今以法推仲康元年至十三年之九月朔惟六年九月朔入食限仲康六年丁卯距至元辛巳三千四百三十四年天正中积一百二十五万四千二百五十四日四十二刻九月定朔一十七日四十二刻得辛巳日巳时合朔九月朔交泛一十四日七十五刻入食限其余一十二年之九月朔俱不入食限当时羲和失职之年或是六年未可知也法推太康仲康年间天正日躔女七度非女十一度帝相十九年天正日躔女六度仲康五年九月朔日丁亥非庚戌也九月朔日躔氐末近房初古厯与今不同仲康时以氐末为房初亦未可知若以大统推太康仲康帝相年间天正日躔俱在虚七度其女七度则加于南庚阳甲盘庚年间相差七百余年在天差十度余矣所以大统太谬惟元祀十有二月乙丑唐虞曰载夏曰岁商曰祀周曰年一也元祀者太甲即位之元年十二月者商以丑月为正朔也乙丑日也不系以朔者非朔日也商虽以十二月丑为正朔行事而纪数之月则仍以寅为首非若周之改子为正月也商惟以正朔行事故太甲三年亦以十二月朔奉嗣王归于亳惟十有三年春大㑹于孟津十三年者文王受命之十三年也春者孟春建子之月即夏之十一月也泰誓篇序云惟十有一年武王伐殷又云一月戊午师渡孟津说者疑十有一年误史记云九年观兵十一年伐纣说者疑人臣无观兵胁君之理九年十一年皆误夫时世既逺记年之误诚有之观兵不见经传其有无亦不足信苐考大戴礼云文王十五而生武王礼记文王世子云文王九十七而终武王九十三而终史称文王受命九年武王在位七年又无逸称文王享国五十年则文王为西伯至卒非止九年而已帝王世纪云文王即位四十二年文王更为受命之元年盖是年虞芮质成归周者四十余国三分天下有其二以为受命之元年观君奭篇云文王秉徳闻于上帝惟时受有殷命朱子解为受有殷之天命良是大学云文王为人君止于仁夫诸侯虽不敢称王然既受有殷之天命而为人君则自有年号初即位为元年至四十二年虞芮质成纣赐弓矢使西伯得专征伐乃改元又九年共在位五十年崩武成篇云我文考文王诞膺天命以抚方夏惟九年大统未集九年又四年为文王之十有三年即纣亡三十二年之终武王伐纣言十有三年者续文王受命之年明其卒父业故也是年春一月戊午是周改正建子之正月戊午日师渡孟津以伐纣也朱子不查而谓十三年为武王即位之十三年谓春为孟春建寅之月谓文王未改元武王非冒文王之元谓周不以建子之月为春又引诗周颂维暮之春以为建辰之三月皆非也朱子既谓武王即位十三年然武王未伐纣尚为臣也安得即位所即者王位乎侯位乎朱子许武王即位十三年而独不许文王即位九年乎武王亦岂有即位十三年而犹称我文考九年大统未集乎谓文王未改元不知古诸侯自于其国各有年号汲冡竹书魏惠王有后元年非改元乎且武王伐商徂征之时所过名山大川告于皇天辄曰惟有道曽孙周王发夫伐纣之前尚未胜纣即已自称周王矣况文王虞芮质成之年已受纣赐弓矢使为西伯得专征伐诸侯皆附岂不得称元年乎武王伐商之时业已称周王则必不肯用商年号尚未杀纣又难称武王元年其称惟十有三年安得谓冒文王之元谓周不以建子之月为春殊不知武王胜商之后即改正朔以十一月建子之月为春王正月丑为二月寅为三月周之史官追称记事即用当代正朔故书曰惟十有三年春一月师渡孟津夫复何疑诸儒纷纷之议徒令后人惑耳且如春秋称周(阙) 十五年正月朔旦冬至僖公五年正月朔旦冬至昭公二十年正月朔旦冬至夫世岂有正月冬至乎而犹谓周不以建子为正月耶汉律厯志称武王即位九年崩又云武王即位十一年盖以九年并周公摄政二年共为十一年是年正月朔旦冬至周公摄政且得称武王即位十一年况武王伐商岂不可称文王年号安得谓之冒周公之时称正月冬至则建子为正又何疑焉况以厯数上推春秋日食三十余次俱以建子为正月何诸儒不查也朱子谓毛诗维暮之春为建辰之三月又谓三月牟麦将熟何不查汉人原注汉注云周之季春于夏为孟春诸侯来朝遣之劝农治牟麦具田器久必多铚艾也汉注训奄为久朱子训奄为忽谓三月牟麦将熟乃以周三月为正月便是三月麦得熟乎朱子既称周建寅为正月又何以注孟子云周七八月夏五六月耶此厯象授时所系恐误后学故不得不详辩之也惟戊午王次于河朔时甲子昧爽王朝至于商郊牧野注释戊午是一月二十八日甲子二月四日也昧㝠爽明也昧爽将明未明之时也正月二十八日戊午师逾孟津二月三日癸亥入商郊夜布陈未毕而雨雨止毕陈俟天休命次日四日甲子昧爽王乃至于商郊牧野即朝歌南郊外将战于郊故至牧野也以授时推武王元年己卯岁建子之正月朔二十九日九十四刻癸巳日亥时合朔以歩至建丑二月朔五十九日五十七刻癸亥日未时合朔则二月一日癸亥二月二日甲子也戊午乃朔前五日之二十六日非二十八日也是武王一月一日癸巳朝步自周东行非三日癸巳其壬辰之死魄乃前月之晦魄耳至二十六日戊午次河朔二月一日癸亥入商郊二月二日甲子昧爽至商郊伐纣汉厯志则称二月朔日庚申四日癸亥五日甲子刘商王纣是与周厯又不同者何则古厯不正自六厯以来斗分皆四之一汉邓平厯亦然故宋书论六厯率皆六国及秦人所造差至三日或二日上不可检于春秋下不验于汉魏虽复假称帝王祗以惑人耳目至太初斗分太多过天一度又无盈缩迟疾故常以朔日月见西方晦日月见东方差亦至二三日以此歩厯则晦朔甲乙安得无愆魄明生死焉能不舛则知古厯为误授时为真也如其不然武王去春秋𨼆公才四百年耳授时去𨼆公二千年以歩日食三十六皆不爽而以歩四百年前即差不逾刻而奚至二三日之逺耶以此知授时为真周汉皆失之矣此论定则武成诸书所记旁死魄哉生明丙午朏等日皆四分之一之厯所歩差至二三日者先后不合故皆不必置辩惟十有三祀王访于箕子十有三年武王胜殷释箕子之囚即四月以箕子归镐京访问天道商曰祀箕子称祀不忘本也存商之旧也此篇箕子所作箕子商人故记传引此篇者皆云商书箕子尝言商其沦丧我罔为臣仆今称祀不称年称王访箕子而不称箕子见王称王乃言而后箕子乃言不臣周之意也武王知箕子贤不可得而臣而其道则当师于是访问天道箕子知天以是道畀之禹传至于我不可使自我而绝以武王而不传则天下无可传者矣不臣周所以正万世君臣之大法陈洪范所以传万世天人之大法洪范之五纪即七政厯也十有三祀即文王之十有三年盖武王胜殷初归尚未颁元年正朔商既亡箕子又难以称纣年号故称十有三祀也天道难明武王恐箕子不传故急访之洪范既陈武王即封箕子于朝鲜以遂其不臣之志或谓箕子走之朝鲜武王以朝鲜封之箕子既受封不得无臣礼故来朝因其朝而问洪范非也一五行一曰水二曰火三曰木四曰金五曰土五行志云圣人行其道而宝其真降及于殷箕子在父师之位而典之周既克殷以箕子归周武王亲虚已而问焉盖洛出书戴九履一一㸃居北为一禹第初一曰五行箕子对武王演此五行之数天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土五行之生序也唐孔氏曰万物成形以㣲著为渐五行先后亦以㣲著为次水最微为一火渐著为二木形实为三金体固为四土质大为五亦其序也九畴先于初一五行先于水五行九畴之一水五行之一耳然天一所生五材所始胡可汨焉鲧湮洪水汨其一行而五行遂皆汨一畴既汨而九畴遂皆斁帝乃震怒禹乃嗣兴然则有国者惕然思之凡土木之妄兴铸山煮海一切暴歛之虐政亦可以止矣其生成变化之数详见别简四五纪一曰岁二曰月三曰日四曰星辰五曰厯数纪者如纲之有纪天时所以相维者也此即帝尧命羲和所掌者详见咨羲和简中尧之〔？〕象舜之在璇玑禹之叙畴武王之访天道莫急于此也庻民惟星星有好风星有好雨日月之行则有冬有夏月之从星则以风雨星民象故众民若星箕星好风毕星好雨日月之行各有常度日行黄道极南则为冬至极北则为夏至南北中近赤道则为春秋分月行九道黒道二出黄道北朱道二出黄道南白道二出黄道西青道二出黄道东周厯四时出入黄道内外逺去六度并黄道为九行也然厯数歩分至之率则随地南北各有不同焉箕四星像簸箕为簸扬鼓风之器故月行东北宿之则多风春秋纬云月离于箕则风扬沙是也毕八星像义网漉鱼之器漉则水淋故月行西南宿之则多雨诗云月离于毕俾滂沱矣是也民情好恶犹夫星然上能同民好恶则风雨以时否则致异皆庻徴之事也秋大熟未获秋乃周季秋建申九月即夏孟秋七月七月正禾熟未获时朱子乃谓周未改正为酉戌月非戊辰王在新邑烝祭岁在十有二月春祠夏禴秋尝冬烝烝冬祭也周虽改正而祭祀则用夏时周十二月建亥之季冬即夏十月孟冬烝宜用仲冬子月而亦有孟冬烝者礼也古今律厯考卷三
## 卷四
钦定四库全书
古今律厯考卷四 明 邢云路 撰经四诗经考诗三百自孔子删之自天子以至于庶人莫不有诗古男年六十女年五十无子者官衣食之使采诗邑移于国国以闻于天子则诗之所系大矣诗被诸声乐协十二律配十二辰如黄钟为子之类是也故诗通于律厯定之方中作于楚宫揆之以日作于楚室尔雅云营室谓之定星北方宿也营室二星上一星为天子宫下一星为天庙有离宫六星两两相系为天子别宫故置羽林军四十五以卫之郄萌云将有土功占于营室明则国昌不明则鬼神不享定之方中羙卫文公也卫为狄所灭文公徙居楚邱始建城市而营宫室国人悦之故作此诗言十二月定星昏时在南方正中作此楚宫楚宫楚邱之宫也楚邱在济河间周十二月建亥即夏十月建亥小雪之中气也揆度也谓度其景也公刘传曰考于日景是也其术四角立柱而以水注地望其高下高下既定其位乃平于所平之地中央树八尺之臬以悬䋲正之又画地为圆䂓朝识日景其端指西暮识日景其端指东两端长短必与䂓齐测其端则东西正就其中屈之即为南北盖日中则景短又于昼漏午时叅日中之短景以正南方夜漏子时幷窥北极以正北方此揆日之法也揆正四方作于楚室室亦宫也然营室十月昏中惟卫武时为然厯代以来室渐东移中星各异至今万厯年以法推十一月中天正冬至日躔箕四度室星昏中以推至小雪十月中日躔房宿而女星昏中以较卫文时退天二十六度矣朱子谓十月可以营制宫室故谓之营室是若营室以十月得名者不知室乃宫室之星占营造则占室星非以十月名营室也若以十月名营室则今十月女昏中于室无预矣乆之天日渐移凢二十八宿十月皆可昏中一室星厯十二月皆可昏中此推歩之数万世可知者也绸缪束薪三星在天今夕何夕见此良人子兮子兮如此良人何绸缪犹纒绵也三星心星大火东方苍龙七宿之第五宿也晋国大乱婚姻失时诗人叙其妇语夫之词曰方绸缪以束薪也而仰见三星之在天今夕不知何夕也而忽见良人之在此又曰子兮子兮其柰此良人何哉盖喜幸之甚而不自胜之词也心宿之象三星鼎立中大心天王前星太子后星庶子心星以三月昏见东方春秋时婚姻之礼自季秋尽于仲春三星尚未出也今三月昏心见东方过时矣过时方得婚故作是诗说者谓心为父子夫妇之星为合星嫁者之候又谓三月昏时大火星见使民出火是若以心星主嫁主火矣不知天日渐移心星东转即如营室星自卫文公至今日躔退天二十六度久之则凡二十八宿皆可三月昏见东方一心星厯十二月皆可昏见东方也主嫁主火又何取焉七月流火九月授衣一之日觱发二之日栗烈无衣无褐何以卒岁三之日于耜四之日举趾同我妇子馌彼南畆田畯至喜七月陈王业也周公陈豳风之诗见先公后稷公刘风化之所由欲成王知王业之艰难也七月夏正七月建申之月也火大火心星也流下也六月昏火星犹见于南方至七月昏则火下而西流矣知是将寒之渐至九月霜降蚕绩功成故授人以冬衣使御寒也一之日谓十一月建子一阳之月二之日谓十二月建丑二阳之月变月言日言是月之日也下文凡言日者倣此觱发风寒也栗烈气寒也觱栗𦍑吹角九窍者栗至罅发将坠有战栗象故以比寒寒而无衣无褐何以终岁乎故九月豫授衣也三之日谓次年正月建寅三阳之月四之日谓二月建卯四阳之月耜田器趾足也馌馈也田畯田大夫劝农之官也正月则徃修田器二月则举足而耕其时少者在田老者率其妇子具食馈饷彼南畆中之耕作者田畯来至见其勤于农事则喜也月令季冬命农计耦耕事修耒耜孟春天子躬耕帝籍然则修治耒耜当以季冬举足而耕当以孟春今言豳人以正月修耒二月始耕者豳戎狄之地晚寒故先一月也夏七月即周九月夏九月即周十一月一之日夏十一月即周正月二之日夏十二月即周二月周公陈诗乃用夏正者公刘居豳在夏后氏时故用夏正此诗朱子以为周公所作疑者以为豳人所作逺无所考亦不必辩五月斯螽动股六月莎鸡振羽七月在野八月在宇九月在戸十月蟋蟀入我床下穹室熏鼠塞向墐戸嗟我妇子曰为改岁入此室处此皆夏正也斯螽蚣蝑也股似玳瑁五月中两股相切揺动作声闻数十歩是以股鸣也江东呼为蚱蜢莎鸡一名天鸡如蝗而斑色毛翅数重其翅正赤六月中飞而振迅其羽索索作声是以翅鸣也幽州人谓之蒲错自五月而隂生动股振羽气使之然也月令季夏云蟋蟀居壁蟋蟀之虫六月居壁中至七月从壁内出在野八月在宇下宇屋霤也九月在室户内至于十月则入我床下此皆将寒之渐故三虫应节而变虫且近人大寒将至穹穷室塞也向北出牖也墐涂也月令云孟冬之月命有司曰天气上腾地气下降闭塞而成冬则十月为闭塞之候故穷尽塞其室中之孔穴熏䑕令出其窟向牖属北则塞之不塞南窻而塞北者御北来寒风也庻人筚户乃荆竹织门以其荆竹通风故以泥涂之使寒气不入豳人又吿妻子言已备寒之意曰我所以为此者为岁将改天既寒而事可已过此十月觱发栗烈当避寒气入此室塞之室而居处之也吕东莱曰十月而曰改岁三正之通于民俗尚矣周特举而迭用之耳朱子亦谓周厯夏商其未有天下之时固用夏商之正朔然其国僻逺无纯臣之义又自有私记其时月者故三正皆曽用也故云十月改岁不知十月曰改岁者盖时至冬岁事将改犹尧典称冬为朔易之义盖十月入寒一岁之女功已止不日觱发栗烈即过明春又更新岁矣况孟冬隂气已极仲冬阳气始萌为一阳之日又以阳气肇始数也此改岁之说也若谓周先公改用子正私记其时月无纯臣之义恐未必然且果以十月改岁则又何以二之日为卒岁耶春日迟迟卉木萋萋仓庚喈喈此出车之诗汉注谓西伯受命于商王因命南仲为将徃伐𤞤狁成功而归述其所见春日之景也宋注周王命南仲非西伯说者遂谓周若以仲冬季冬为春何以见草木之荣仓庚之鸣因疑周不改夏正殊不知此文王时诗也书称西伯戡黎诗称伐崇伐宻则其伐𤞤狁又何疑焉汉去古未逺其说必有所据宋儒何故改之寅月草木萌动卯月仓庚鸣文王时尚未改周正建子则此景正是商之春月(六月出征章乃四月建巳亦非未月)正月繁霜我心忧伤正月夏之四月乃正阳之正非三正之正也此周大夫刺幽王也幽王用刑急酷以致伤害万物故天降寒气而使夏日多霜大夫有忧之曰我心忧伤也洪范曰急恒寒若正此咎征之谓也四月建巳乃正阳之月纯阳用事不宜有霜非正月建寅之正若正月建寅则固宜有霜不足忧矣昭公十七年夏六月甲戌朔日有食之左传云祝史请所用币平子御之曰止也唯正月朔慝未作日有食之于是乎有伐鼓用币其余则否太史曰在此月也经书六月传言正月太史谓之在此月是周之六月为正月也周之六月是夏之四月故知正月夏之四月也谓之正月者巳月以干用事正纯阳之月传称慝未作谓未有隂气故此笺云纯阳用事也建巳之正月建寅之正月皆去声之正字至秦始皇时讳始皇名政始改去声之正字为平声至今犹讹呼之(以厯推昭公十)(七年九月日食六月不应食则正月纯阳之义亦无取)十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之丑彼月而微此日而微今此下民亦孔之哀十月之交大夫刺幽王也周之十月夏之八月也交㑹而交也十月朔日辛卯日月交㑹而食日君象月臣象以月掩日是隂侵阳臣侵君之象故为亦甚恶也㣲不明也彼月臣象容有被食而不明此日君象今反被食而不明君臣失道灾害将起天下蒙毒故今此下民亦甚可哀矣厯法周天三百六十五度四分度之一日月皆右行于天日日行一度月日行十三度十九分度之七是月行疾日行迟二十七日有奇而月行天一周又二日追及与日㑹方㑹则月光都尽而为晦已㑹则月光复苏而为朔毎月皆㑹而月或在日道表或在日道里故不食日月之㑹东西同道南北同度则适当交道月掩日而日为之食日月相对则月光正满而为望望而日月之对同度同道则月亢日而月为之食此之谓交食也交与㑹不同㑹但言其同度交则同度当交道也朱子谓王者修徳则日月虽或当食而月常避日故髙下参差不正相对所以当食不食苏氏谓十月纯隂纯隂而食为隂壮之甚二说皆非也日月适当交道而食无当食避日之理古史载当食不食多推筭者之误间有当食不食者百余年或一见非月常避日也不正相对是不当交道所以不食耳周之十月乃夏之八月为建酉之月苏氏以为十月纯隂则建亥矣然非建亥也朱子亦谓十月以夏正言之为建亥之月不知以厯法推之十月之交是在周幽王六年乙丑正月建子至十月建酉为十月朔日辛卯日食周十月即夏建酉之八月朱子与苏氏俱作建亥盖未察厯数耳古之〔？〕书亡矣后有周厯鲁〔？〕皆汉初为之其文无迟疾盈缩考是以汉世通儒未有以厯考此辛卯日食者今以授时法上推周幽王六年乙丑岁距至元辛巳二千五十七年中积七十五万九百四十二日六十九刻冬至一十二日三十六刻丙子日辰时冬至以歩至十月建酉朔日定朔二十七日三十七刻辛卯日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限是日辰时日食梁太史令虞邝唐僧一行亦歩得是日日食至有谓辛卯日支干俱隂为变者尤谬厯阳月而日支干俱阳皆食与隂一也哆兮侈兮成是南箕彼譛人者谁适与谋此巷伯刺幽王也寺人孟子遭谗被刑故作是诗也哆说文云张口也因物益大为侈南箕即箕星二为踵二为舌其踵狭而舌广踵为足根适主也言箕星二踵哆然张口相去已若寛大因又侈之更益寛大而为舌故成是南箕其云踵狭而舌广者踵对舌为狭耳以比谗人因寺人初有小嫌因而搆之益成其刑罪之祸故云彼谗譛人者谁主与谋而令至此乎安成刘氏曰箕星常见于南方故谓之南箕不知天日渐移以厯法推之箕星有时昏见南方亦有时昏见东南或西南或在地中如前室星心星之更歴十二辰无定在也非常见于南方也其曰南箕者箕在南对斗在北而为言耳维天有汉监亦有光跂彼织女终日七襄此大东之诗刺乱也东国困于役而伤于财谭大夫作是诗以告病焉汉天河监视也跂隅貌襄驾也谓更其肆也东国财力俱困上人不恤无所赴愬愬之于天而已言天有云汉亦有其光而能监视我耶言有光不能照也织女虽终日七襄徒见其如是有何益耶言未见其织也织女三星鼎足在汉傍跂然如隅陈卓云织女乃天女主女功天有十二次经星一昼夜左旋一周而有余则终一昼自卯至酉凢七时更其肆凢七辰故云七襄其云自卯至酉之七襄亦东国人时偶见织女从卯东出而言耳以厯推织女亦犹室心诸星之出无定时非常以卯东出也虽则七襄不成报章睆彼牵牛不以服箱东有启明西有长庚有捄天毕载施之行睆明貌牵牛六星即牛宿也主牛车牺牲道路闗梁之事尔雅谓河鼔为牵牛非是盖河鼓三星在牵牛北非牵牛也服驾也箱车箱也金星一名太白东方先日而出名曰启明启开也先开日之明也西方后日而入名曰长庚庚续也长续日之明也捄长貌天毕毕星也毕八星状如掩兔之毕承上文言织女虽则七襄终日不能织成报我之文章不惟织女如睆彼牵牛不可以用于驾我之车箱启明长庚亦未见其助日之光天毕亦未见其掩兽摠无实用但施之行列而已至是则天亦无若我何矣金星太白启明长庚摠是一星郑渔仲妄云启明金星长庚水星金在日西故日将出则东见水在日东故日将没则西见殊不知水星或在日前或在日后亦犹夫金也但水星去日近耳金大而色白故曰太白日一年一周天金星附日而行亦一年一周天有迟疾留退合伏或在日前或在日后前后逺日各三十度盖太白隂星出西则当伏西出东则当伏东不得专行刘向曰太白少隂不得专行故以己未为界不得经天而行李淳风曰经天者谓太白昏旦当午而见也当午经天其殃为大昼见与经天不同者昼见谓当昼而见犹未过午也经天则旦时当午而见逆行至未而不复昏时当午而见顺行至巳而不复所以出东而入西出西而入东也至是则隂不附阳放恣甚矣故其殃大经天昼见乃金星失其常度非厯数自然之度是为变异乆之仍留退合伏附日而行合于厯数一年一周天百世不爽也维南有箕不可以簸扬维北有斗不可以挹酒浆维南有箕载翕其舌维北有斗西柄之掲箕斗二星名挹酌也翕引也舌下二星也箕即巷伯之南箕箕星好风有簸扬之义南斗六星东四星为魁西二星为柄主爵禄亦酒浆之义言南箕不可以簸扬糠粃北斗不可以挹酌酒浆箕徒翕引其舌斗徒西掲其柄何尝有所用乎盖谭人困于供亿取资于地者皆已竭矣欲取于天又一无所得也南箕对北斗而言箕之东北与斗最近以东西言箕之十度末即东接斗初度以南北言斗去极一百二十二度在赤道外三十一度箕去极一百二十三度在赤道外三十二度则南北止差一度故以南箕北斗对言之诗传注谓箕斗二星以夏秋之间见于南方安成刘氏曰六七月间见于南方者指当时昏见为言也刘氏之说为是盖箕斗二星亦犹室心诸星昏见不同古今各异以厯推之如今万厯年间夏至昏角中秋分昏斗中各有不同耳四月维夏六月徂暑先祖匪人胡宁忍予四月刺幽王也此大夫遭乱自伤之诗徂往也从此适彼之辞东山云我徂东山小明云我征徂西皆从此往彼也周之四月建卯夏之二月也周之六月建巳夏之四月也言四月建卯为孟夏六月建巳为季夏自巳月而往为午月暑将至矣我先祖岂非人乎何忍使我遭此祸也人穷则反本穷则告亲犹正月之篇怨父母之意毛注朱注皆以四月六月为夏正此刺周幽王之诗安得用夏正若以六月为建未未月正小暑大暑之时何言徃暑耶秋日凄凄百卉具腓乱离瘼矣奚其适归凄凄凉风也腓动也承上言由夏而秋秋日凄凄则百草俱发动矣世道乱离瘼病我将何所适归乎周七月建申为季秋月令七月凉风至天地始肃禾乃登正凄凄具腓之时也诗传训腓为病考易六二咸其腓正义曰腓足之腓肠也腓体动躁王廙云动于腓肠斯则行矣故言腓体动躁也并无训病之说则季秋禾乃登百草俱发动何疑冬日烈烈飘风发发民莫不榖我独何害烈烈寒也发发疾貌榖善也承上言由秋而冬冬日寒而且风人莫不善我独何故遭此乱离之害天下莫不被害乃云民莫不善者据作诗者怨恨之言也周十二月建亥为季冬夏之十月也月令十月水始冰地始冻天气上升地气下降闭塞而成冬正烈烈发发之时明明上天照临下土我征徂西至于艽野二月初吉载离寒暑心之忧矣其毒大苦念彼共人涕零如雨岂不懐归畏此罪罟小明幽王大夫悔仕于乱世厌于劳役也征行徂徃也艽野地名逺荒之地也周二月建丑之月即夏之十二月非夏正建卯之月也初吉朔日离厯也共人僚友也罟网也言明明之上天照临下土宜无幽不烛者而我今劳于行役我行往西方至于荒逺之地昔以二月朔日西行今则更歴寒暑矣尚未得归我心之忧有如毒药之苦念及靖共尔位之僚友至于涕零如雨我岂不思归畏此刑罪罗网不敢归尔昔我往矣日月方除曷云其还岁聿云莫念我独兮我事孔庶心之忧矣惮我不暇念彼共人睠睠懐顾岂不懐归畏此谴怒除除旧生新也孔甚庶众惮劳也睠睠勤厚之意谴怒罪责也言我初往艽野日月方除旧更新之时曷时其还望得早归也今乃岁已暮矣念我身独而事众心之忧愁勤劳不暇念彼共人眷眷懐顾我岂不思归畏此罪责不敢归尔日月方除如尧典平在朔易言丑月岁功将兴正除旧更新之时自二月丑至十二月亥是岁聿云暮载厯寒暑矣若以二月为建卯安得有除旧更新之事昔我徃矣日月方奥曷云其还政事愈蹙岁聿云莫采萧获菽心之忧矣自诒伊戚念彼共人兴言出宿岂不懐归畏此反复奥室之内也蹙急诒遗兴起也反复无常之意言昔我徃丑月寒时人方在奥室至今政事愈益蹙急岁聿云暮采萧获菽矣而尚不得归念彼共人不能安寝夜而起宿于外我岂不思归畏此反复不常恐得罪尔传注奥煖以为春温二月考韵奥隩同室之内也取藏之义尧典厥民隩言冬月气寒而民聚于室之内也故奥为丑月况云获菽菽豆也收豆正今之十月建亥周之十二月为岁暮也是知周正建子嗟嗟保介维莫之春亦又何求如何新畬于皇来牟将受厥明明昭上帝迄用康年命我众人庤乃钱镈奄观铚艾此诸侯来朝成王遣戒劝农之诗也保介农官之副也暮春晚春畬三岁田也于皇叹美之词来牟麦也明上帝之明赐也迄至也众人甸徒也庤具也钱铫镈鎒也钱以刬削镈锄属皆田器也奄久也铚获禾短镰也艾获也叹息言尔农官今维暮春何求于民新畬所种牟麦之美将受天之明赐上帝明赐瑞麦至用丰年宜命甸徒具田器治新畬终久必观铚获牟麦也维暮之春乃周之季春建寅之月于夏为孟春朱子以为夏正建辰之三月且曰麦将熟也不知月令季冬命民修耒耜具田器孟春天子载耒耜措之保介之间若待建辰之三月方始劝农则晚矣汉郑氏训奄为久谓久必观获朱子训奄为忽谓三月牟麦将熟乃以为建辰之三月然三月亦非麦熟时也周制诸侯朝用孟月三月亦非诸侯来朝之月则周正建子明矣古今律厯考卷四
## 卷五
钦定四库全书
古今律厯考卷五 明 邢云路 撰经五春秋考隐公元年春王正月周平王四十九年己未即鲁隐公元年也诸侯奉天子正朔必用天子之年其国史纪政则自用其年加周王于正月大一统也周以建子为岁首冬十一月建子即春正月盖并时与月俱改之矣以厯数上考周之春正月即夏之冬十一月春二月即冬十二月以推十二月皆然胡氏谓以夏时冠周月引孔子告颜渊行夏之时为证程伊川谓假天时以立义朱子谓天时不可改引尚书秋大熟未获为酉戌之月以证周未改月皆非也夫孔子之告颜渊乃斟酌四代之礼乐无不可者盖孔子之私言也春秋鲁国纪事之书也孔子之事莫大于春秋天子未改月而孔子假以夏时冠天子之月有是理乎尚书秋大熟乃周季秋九月建申即夏孟秋七月七月正禾熟未获之时又何疑焉近世周文安又谓鲁史纪年必始于冬十一月所以遵周正朔孔子春秋则始于春王正月所以垂法后世其于春秋以事繋日以日繋月以月繋时以时繋年之法舛错殊甚矣以厯法推春秋日食皆周正建子之数且如春秋屡书春正月日南至若用夏正岂有正月冬至乎经书二月无氷若用夏正正月东风解冻况二月惊蛰舟楫可通矣何以书无氷也经书秋大水无麦苗夏正之秋安得有麦苗经书十月雨雪十月殒霜杀菽夏正十月安得有菽夏正之冬正霜雪之候而何以为灾则岂非周十月夏八月乎三年春王二月己巳日有食之隐公三年春三月朔己巳日食此书二月日食杜预曰是二月朔不书朔史失之榖梁曰言日不言朔食晦日也公羊曰某月某日朔日有食之者食正朔也其或日或不日或失之前朔在前也或失之后朔在后也谓己巳为朔二日食也姜岌曰似失一闰朱子曰王者修德则日虽当食月常避日故髙下参差不正相合所以当食不食若国无政则当食必食为非常之变故春秋日食必书张氏洽曰于厯应食入限者不必尽食月或变行以避之或五星濳在日下御侮以救之或在阳厯阳盛隂微则不食或德之休明而有小𤯝焉则天为之隐虽交而不食皆非也盖隐公三年春二月朔日日不食己巳乃三月建寅月之朔日即夏之正月朔日也春秋时鲁厯不正三月朔日己巳误推为二月晦日见其晦日食也史官遂不敢书朔然亦非二月朔也姜岌校春秋日食谓是岁二月己亥朔无己巳三月己巳朔去交分入食限为是然闰在岁前冬十二月建亥之月其谓似失一闰则非唐大衍厯元授时厯推之皆是岁三月己巳朔日食既食在朔则谷梁食晦日公羊食朔二日之说皆非古厯载当食不食者多推筭之误即间有失行者八分才一乆之旋复其常也朱子谓髙下参差不正相合高下不合正是不当交道故不食则岂有日之行应食入限月却变行避日之事无德则食有德则不食固非至于张氏论五星濳在日下御侮以救之日在阳厯阳盛隂微则不食又云天为之隐无论不经之甚且并其五星行度并日在隂阳厯不知为何事也此亦笔之于经传中几何而不误后学耶以授时上推隐公三年辛酉岁距至元十八年辛巳积年二千年中积七十三万○四百八十九日天正冬至六日六刻闰余二十九日四十八刻经朔三十六日五十七刻岁前闰十二月是岁辛酉正月朔日庚午冬至即夏正建子之十一月也以推至二月朔己亥非己巳不入食限推至三月朔五日三十二刻合朔在春三月朔日己巳辰时周之春三月即夏之正月建寅也交泛二十六日六十六刻加时在昼去交分入食限是己巳日辰时日有食之春秋时误书三月己巳为二月遂因而误书三月庚戌天王崩四月辛邜尹氏卒八月庚辰宋公和卒以法推之四月庚戌三月无庚戌五月辛邜四月无辛卯九月庚辰八月无庚辰是年因一误书而遂三误其书皆疑以成讹也至次年隐公四年书春二月戊申卫州吁弑其君完则正矣法推四年春二月有戊申九年春三月癸酉大雨震电庚辰大雨雪震雷也电雷光也左传谓夏之正月微阳始出未可雷电为非时谷梁谓八日之间再有雨雪大变故谨而日之公羊谓月令二月雷乃发声正月雷电为不时刘向云雷未可以出电未可以见雷电既已出见则雪不当复降皆失节也雷电阳也雨雪隂也雷出非其时者是阳不能闭隂隂气纵逸而将为害也法推隐公九年春三月无癸酉庚辰癸酉乃二月十日庚辰乃二月十七日春秋时厯法不精日官筭失一闰故以二月作三月既为二月则是夏之十二月建丑之月非建寅之正月也十二月大寒东风尚未解冻去二月雷乃发声始电之时更逺此时震电失节益甚矣若大雨雪则是十二月之常非变异也非变异则经不必书盖由日官误推二月为三月故以雨雪为寅月之变异而不知是月之为丑月也甚至公羊遂信春秋志异而以雪为盛隂为桓将弑隐之象嗟嗟世岂有建丑月雪为灾异耶法推周桓王五年即鲁隐公八年丙寅距元至元辛巳一千九百九十五筭中积七十二万八千六百六十二日七十七刻三月朔六日五十三刻三月朔日庚午是月二十一日庚寅我入祊春秋书之是也闰五月朔三十五日一十二刻是闰五月朔日己亥蔡侯考父卒是月十三日辛亥宿男卒经书六月己亥蔡侯考父卒辛亥宿男卒是不知闰五月也以步至戊辰日四十六刻小满戊辰即次月六月之朔日也周之六月乃夏之四月故六月为小满六月朔四日六十五刻是戊辰日春秋筭失一闰则自此以徃皆差一月矣春秋失闰五月故以夏六月作秋七月经书秋七月庚午宋公齐侯衞侯盟于瓦屋不知庚午之盟推是夏六月三日也经书九月辛夘公及莒人盟于浮来是九月乃八月也八月朔三日七十一刻八月丁夘朔推至二十五日辛夘是公及莒盟之日隐公九年丁夘中积七十二万八千二百九十七日五十三刻三十分二月朔○日九十刻是二月甲子朔步至初十日癸酉十七日庚辰经书三月癸酉大雨震电庚辰大雨雪即此二月初十之癸酉十七之庚辰因失八年五月之一闰故以二月作三月法推三月朔三十○日四十三刻是甲午朔是月无癸酉庚辰以推周桓王七年戊辰即鲁隐公十年中积七十二万七千九百三十二日二十八刻六月朔五十三日三十九刻是朔日丁巳六日壬戌十五日辛未二十五日辛巳经书六月壬戌公败宋师于菅辛未取郜辛巳取防此六月六日之壬戌十五日之辛未二十五日之辛巳无不合者则是春秋时日官自八年失五月一闰以后俱差一月差至九年三月以后日官觉其不合方补一闰所以至十年六月仍合厯数复其常也经书十年冬十月壬午齐人郑人入郕法推十月朔五十一日五十一刻朔日乙夘二十八日壬午为齐郑入郕之日允合则以补足一闰之故耳春秋时厯官不惟无盈缩迟疾考并其步朔亦踈所以二百四十二年间多有失闰月日既差以推交食有在晦者朔后者夜食者皆非也举此一年之差余可知矣桓公三年秋七月壬辰朔日有食之既此周桓王十一年鲁桓公之三年也姜岌以为是岁七月癸亥朔无壬辰亦失闰其八月壬辰朔去交分入食限大衍与姜岌合元史谓以今厯推之是岁八月壬辰朔加时在昼日食六分有竒夫元史所谓今厯者授时法也以授时推周桓王十一年壬申岁距至元十八年辛巳岁积一千九百八十九筭中积七十二万六千四百七十一日一十一刻一十六分以步至七月癸亥朔不入食限八月定朔二十八日六十三刻是八月朔日壬辰申时合朔交泛二十七日○加时在昼去交分入食限日食六分有竒经书七月日食乃春秋时不应闰而先闰以致误八月为七月然八月朔日食六分有竒亦非食既则有不同耳四年春正月公狩于郎周之正月夏之十一月建子之月也取兽于田曰狩狩冬猎也周礼中春教振旅遂以搜中夏教茇舎遂以苗中秋教治兵遂以狝中冬教大阅遂以狩戎祀国之大事狩所以讲大事也用民以训军旅所以示武取物以祭宗庙所以教孝周虽改正然田狩则从夏时十一月正夏之仲冬当狩之时故以春狩盖用冬狩之礼书时礼也礼诸侯田狩不过郊郎非国内之狩书于郎讥逺也即春行冬狩是周正建子之证若庄四年书冬公及齐人狩于禚是周之冬十二月夏之冬十月僖二十八年冬天王狩于河阳亦然周文安乃疑庄僖之狩为秋非也哀十四年书春西狩获麟是子丑之月亦为冬狩五年秋大雩螽雩者旱请雨祭名雩之言吁也大旱则吁嗟以求雨凡祀启蛰而郊龙见而雩始杀而尝闭蛰而烝过则书龙见者周时建巳之月秋大雩书不时也成王尊周公赐鲁重祭得郊禘大雩为坛于南郊之旁雩五方上帝配以先帝盛乐皆作故曰鲁之郊禘非礼也雩得雨书雩不得雨则书旱昭二十五年再雩则曰旱甚经书雩二十一书秋者七书七月者二书八月者四书九月者七书冬者一秋不雨雩之是也成七年书冬大雩谷梁云冬无雩也非也然周之十月今之八月若久不雨可无雩乎螽蜙蝑之属蝗也长而青长角长股一生九十九子上书雩螽常因旱而生既旱又蝗故书以记灾礼月令曰仲冬行春令则蝗虫为败何氏曰烦扰之应刘歆曰贪虐取民则螽春秋书螽者十凡八皆应螽之时惟哀十二年十三年两书十二月螽十二月今之十月不宜螽而螽则以失闰之故误建戌月为建亥月也左氏论之详矣六年秋八月壬午大阅大阅简车马也外事用刚日兵外事故用壬午先王四时之田皆于农隙以讲武三时所教其法皆略惟仲冬农事皆毕乃教大阅大修战阵是周正建子之月夏之仲冬也今桓公秋之八月乃建未之月夏之六月盛夏烦暑而驱南亩之民大阅兵车祇以惧郑忽畏齐人故也厉农不时甚矣故书八年春正月己夘烝夏五月丁丑烝春曰祀夏曰禴秋曰尝冬曰烝烝冬祭也周虽改正而祭祀则用夏时周之正月夏之仲冬也左传杜氏曰此夏之仲冬非为过而书者为五月复烝见凟也榖梁则谓烝冬事而春兴之为志不时非矣周之仲夏五月建辰乃夏之季春三月也桓公以春行冬祭为非礼故追书正月烝以见其凟再书而一贬也若不书前一烝即似子月未烝辰月乃烝耳冬十月雨雪周之十月孟冬建酉夏之八月也建酉之月隂阳方中而寒气先至未霜而雪为隂侵阳之象若僖十年书冬大雨雪周之冬酉戌亥月也酉戌之月大雪非时虽建亥之月尚属小雪亦非大雨雪之时故书髙氏以申月为冬非也十有四年春正月无冰豳风曰二之日凿冰冲冲三之日纳于凌隂四之日其蚤献羔祭韭凌人之职丑月凿冰于山寅月藏于冰室夘月献羔开冰先荐寝庙今子月沍寒燠而无冰记异也五行传曰视之不明是谓不哲厥咎舒厥罚常燠是谓君不明政治舒缓纵夫人淫佚隂为阳行之所致此年正月书无冰成元年二月书无冰襄二十八年书春无冰皆周之春夏之冬也秋八月壬申御廪灾乙亥尝御廪公所亲耕以奉粢盛之仓也天火曰灾尝秋祭也公羊曰何以书记灾也讥尝也御廪灾不如勿尝而已矣谷梁曰未易灾之余而尝也志不敬也左传谓御廪虽灾不害嘉谷祭不应废则非矣周之八月建未夏之六月也秋尝以建酉之月隂气始杀嘉谷始熟取物成荐新为义今夏之六月物未西成未可尝也失其时也周官时享前期十日帅执事而卜日誓戒今壬申灾距乙亥相间止二日正遇灾而惧修省之时乃不改卜不誓戒灾尚未易用火灾之余以祭宗庙则不敬也不如勿尝而已矣十有七年冬十月朔日有食之左氏云不书日官失之谷梁曰言朔不言日食既朔也谓月二日食也大衍推在十一月朔交分入食限以授时推桓公十七年丙戌岁距元辛巳中积七十二万一千三百五十七日六十九刻以步至十月朔不入食限十一月定朔六日五十九刻是十一月朔日庚午未时合朔交二十六日八十五分加时在书去交分入食限经书十月者乃春秋时不应闰而先闰以致误十一月为十月史官见其不合也遂不书日榖梁谓食朔二日亦非庄公七年夏四月辛夘夜恒星不见夜中星陨如雨恒星列星即常见之经星也陨坠也言众星流坠如雨之众也经星没众星流其变大矣天星虽有时不见久之仍复其常虽陨乃气之散非坠而无也天星有数若真没而陨何以从右至今并未少一星耶厯法推日月躔离今在某星度古在某星度千岁可坐致也秋大水无麦苗周之孟秋七月夏之五月也髙下有水灾曰大水五月麦熟禾苗正发大水漂尽故书无记灾也苗者五稼之通称生曰苗秀曰禾至二十八年书冬大无麦禾酉戌亥月俱谓之冬冬正五谷通获之时是年麦与诸禾一无所获故冬书大无麦禾经㫖自明而传谓有司㑹计岁入之多寡虚实然后知仓廪之竭非也八年春正月甲午治兵周礼中秋教治兵酉月也此以建子之春正月教治兵非其时矣庄公与陈蔡有事于邻国师次于郎以俟陈人蔡人不至暴师露众役乆不用则有失伍溃散之虞故复申明军法以整齐之其志非善之也讥黩武也十有八年春王三月日有食之谷梁云不言日不言朔夜食也何以知其夜食也王者朝日盖天子𤣥冕而朝日于东门之外日始出而有亏伤之处是以知其夜食也大衍推是岁三月不应食五月朔交分入食限以授时推庄公十八年乙巳岁距至元辛巳中积七十一万四千四百一十八日四刻以步至三月朔不入食限既不入食限则夜亦不食春秋推三月食见其不食遂疑不书日谷梁以为夜食则凿矣法推是岁五月定朔四十八日六十五刻是五月朔壬子日申时合朔交一十三日五十一刻八十分加时在昼去交分入食限元史云盖误五为三也二十有三年夏公如齐观社诸侯非享觐不逾竟社者诸侯祭土示之常事未闻邻国之君徃观之者齐因祭社搜军实夸示威众聚人观之庄公乃越竟如齐观社谷梁以是行为尸女尸主也以观社为辞主为女徃尔盖盛其车华其服以炫惑妇人之聚观者而蛊其心要其从已也故书以讥之祭社在夏仲春建夘二月周之夏四月也二十有五年夏六月辛未朔日有食之鼓用牲于社鼔伐鼓也鼓有声救日伐鼓举阳事以鼓声压隂气也左氏云非常也唯正月之朔慝未作日有食之于是乎用币于社伐鼓于朝言夏之四月建巳纯阳为正阳之月其五月隂慝之气尚未作日食则鼔余则否此周之六月夏之四月也以长厯推之辛未实七月由置闰失所不应闰而闰误以七月为六月实非正阳常鼔之月故传云非常也夫谓置闰失所固是谓唯正阳伐鼓则非夏书记季秋月朔辰弗集于房瞽奏鼔岂必正阳之月哉盖礼诸侯用币于社伐鼓于朝退而自责社乃上公之神故用币以请救于上公牲则祭祀之事书鼔用牲于社讥其不鼓于朝而鼓于社又用牲皆非礼也若公羊谓用牲为责求乎隂之道社为土地之主月为土地之精上繋于天而犯日故鸣鼓而攻之以胁其本又谓社为日光所暗恐人犯之以朱丝营卫之则凿矣大衍推是岁辛未朔交分入食限以授时推庄公二十五年壬子岁距至元辛巳中积七十一万一千八百六十日八十九刻以步至六月朔不入食限七月定朔七日六十一刻是七月朔日辛未未时合朔加时在昼交二十七日四刻去交分入食限则左传注疏谓长厯推辛未为七月朔春秋时不应闰而先闰误书七月为六月是也二十有六年冬十有二月癸亥朔日有食之以授时推是岁癸丑十二月定朔五十九日三十八刻癸亥朔巳时合朔交一十四日三十五刻入食限合二十有九年冬十有二月城诸及防诸防皆邑名左传云书时也凡土功龙见而毕务戒事也火见而致用水昏正而栽日至而毕谓周十一月夏之九月龙星角亢晨见东方三务始毕戒民以土功事周十二月初夏之十月初大火心星次角亢之后而晨见东方则致筑作之物周十二月中夏之十月中北方水星七宿中之定星昏见于南方正中于是树板干而兴作日南至周之正月夏之十一月也冬至微阳始动故土功息今以十二月城邑故云书时也谷梁云可城也范氏注凡城皆讥今云可者谓冬可用耳不谓无讥吴氏曰年前冬筑郿大饥告籴今春新延廐又城诸防岂不为讥范吴之说为得之厯推星渐东移晨见昏中各异乆之龙火厯十二月皆可晨见东方定厯十二月皆可昏中非一定也若日至而毕则古今一致三十年秋九月庚午朔日有食之鼓用牲于社书鼔用牲于社讥失礼如二十五年也以授时推是岁丁巳九月朔不入食限十月朔六日五十七刻庚午朔日未时合朔交泛一十四日四十六刻入食限大衍同盖春秋不应闰而先闰一月误以十月为九月也僖公二年冬十月不雨三年春王正月不雨夏四月不雨六月雨左传注疏云一时不雨则书首月皆竟时不雨次月不雨不复书也故四月不雨五月不雨不复书六月得雨乃书之此由不雨日乆方始追叙其事每时一书也谷梁曰不雨者勤雨也一时言不雨闵雨也闵两者有志乎民者也雨云者喜雨也喜雨者有志乎民者也僖公贤君也因旱退辟正殿饬过求已循省百官放佞臣郭都等理寃狱四百余人精诚感天不雩而得㴻雨故冬不雨而书春不雨而书夏不雨而书以志勤六月雨而书以志喜若文公不知勤民则自十有二月不雨至于秋七月而书自正月不雨至于秋七月而书以著其慢也夫僖公之六月夏之四月建巳之月也巳月得雨犹可耕种若用夏正则六月乃建未之月厯三时不雨未月方雨则春不耕夏不种为灾大矣何杜氏云不曰旱不为灾也诸儒犹谓周正不建子耶五年春左传五年春王正月辛亥朔日南至公既视朔遂登观台以望而书礼也凡分至启闭必书云物为备故也注䟽谓辛亥朔月一日也南至冬至也不曰冬至而曰南至周改十一月为春也天子班朔诸侯受而藏之于太祖庙每月朔告庙受而行之天子有灵台诸侯有观台台上构屋可以逺观望也公既视朔遂以其日往登观台以望云物之气色书其所见是礼也周礼保章氏以五云之物辩吉㓙水旱降丰荒之祲象故观凡春秋分冬夏至立春立夏为启立秋立冬为闭用此八节之日必登台书云物察妖祥逆为之备也视朔者月朔之礼也登台者日至之礼也此朔即是至日故视朔而遂登台也步厯之始以朔旦冬至为首至十九年七闰复得朔旦冬至为一章是先闰十二月月半已得正月节故此正月朔日南至也然春秋厯法不精推筭误矣以授时推周惠王二十二年即鲁僖公五年丙寅岁距元至元辛巳一千九百三十五年中积七十万六千七百四十七日九十一刻四十分天正冬至辛亥一十四刻闰余二十七日九十七刻经朔一十九日一十七刻是岁正月壬午日合朔三十日辛亥日南至二月经朔四十八日七十刻壬子日合朔三月经朔一十八日二十三刻壬午日合朔闰三月经朔四十七日七十六刻辛亥日合朔是三月方闰也春秋时不宜闰而先闰十二月遂以正月为闰十二月以正月三十之辛亥日南至误推后天一日为闰月后正月朔之辛亥日南至乃以二月朔壬子推为正月二日且二月朔原是壬子春秋既以辛亥晦推为朔此朔幸不遇日食若遇日食则在朔二日故春秋时日食日官见其不合也遂不敢书朔而公羊亦疑其为朔二日或晦日然实非朔二日与晦日也盖春秋厯官不知僖公五年三月方置闰故以不闰作闰以后月作前月以晦作朔也元史谓僖公五年正月辛亥朔旦冬至授时得辛亥与天合谓辛亥与天合则可谓正月朔旦与天合则不可亦守敬忽而未察耳是岁九月日食何允合则以春秋十二月闰授时三月闰均之已闰所以合也夫朔旦南至为厯闰一章之首朔为告庙班令之期至日为书云物察妖祥之备所系匪轻此而俱差日官谓何叵柰后之畴人犹安于差且认为无差而泄泄然也秋九月戊申朔日有食之元史无是年日食春秋有之盖守敬遗之也以授时推僖公五年丙寅距元辛巳中积七十○万六千七百四十七日九十一刻四十分步至九月定朔四十四日五十七刻是戊申日未时合朔交泛二十六日八十九刻八十五分入食限允合冬晋人执虞公左传晋侯假道于虞以伐虢公问于卜偃曰吾其济乎对曰克之公曰何时对曰童谣云丙之晨龙尾伏辰均服振振取虢之旗鹑之贲贲天䇿焞焞火中成军虢公其奔其九月十月之交乎丙子旦日在尾月在䇿鹑火中必是时也冬十二月丙子朔晋灭虢遂袭虞灭之执虞公注疏谓徒歌无乐谓之谣乙亥日夜半合朔在尾十四度尾辰合朔故龙尾伏而不见至丙子晨旦日行四分度之一月行三度有余日在尾星月在天䇿傅说星栁星张之鹑火星在南方正中是时上下均同戎服振振而盛取虢国之旌旗鹑火星贲贲可见天䇿在日东近日焞焞无光此鹑火中之时军功成虢公奔在九月十月晦朔之交其云九月十月谓夏九月十月也云冬十二月则夏十月也以授时推僖公五年丙寅距元辛巳中积七十万六千七百四十七日九十一刻步至周十一月即夏九月丁未日合朔是月大月三十丙子步周十二月即夏十月定朔一十三日二刻丁丑日子时合朔日躔尾一十三度九十八分晓中星翼八度四十分在鹑尾左传谓丙子旦今推丁丑旦昔推鹑火中今推鹑尾中似微不同然鹑尾即近鹑火晋人用兵破敌自丙子破至丁丑皆可扬兵岂在一时固不害其为同也若夏九月十月之交即周十一月十二月之交卜偃周人何以言夏正想周虽改正而周人相沿或犹以夏时论事不然何以上文云童谣十月朔丙子旦奔虢公下文即继云冬十二月丙子朔晋灭虢是知十二月之丙子即十月之丙子也十有二年春王三月庚午日有食之杜氏云不书朔官失之姜氏云三月朔不应食五月庚午朔入食限大衍同以授时推是年癸酉距元辛巳中积七十万四千一百九十一日二十分步至三月不食五月定朔六日五十六刻是庚午日未时合朔交泛二十六日五十一刻入食限元史云盖五误为三也十有五年夏五月日有食之左氏云不书朔与日官失之范氏云夜食大衍推四月癸丑朔入食限以授时推是年丙子距元辛巳中积七十万三千九十五日四十七刻步至四月定朔四十九日九十三刻是癸丑日亥时合朔交泛一日一十三刻一十六分乃入月食限非日食也即入日食限而食于亥时夜食亦不救况两月皆不入交乎郭守敬筭入食限亦不明言加时在昼夜皆非也十有六年春王正月戊申朔陨石于宋五邵子云星在地则为石在天则为星宋襄公不德致有陨石之异闻其陨视之石数之五也以厯数推僖公十六年丁丑岁距元辛巳一千九百二十四年中积七十万二千七百三十日二十二刻天正冬至四十四日八十三刻天正闰余二十九日五十刻天正经朔一十五日三十三刻合朔戊寅日是岁岁前应闰十二月步至正月经朔四十四日八十六刻戊申日合朔即是日八十三刻天正冬至是春王正月戊申朔日南至三十有三年冬十有二月陨霜不杀草李梅实周之十二月夏之十月也十月霜宜杀草而不杀李梅宜剥落反花而再实皆冬煖之咎徴也以授时推僖公三十三年甲午距元辛巳一千九百七年中积六十九万六千五百二十一日七刻步至三月经朔五日三十四刻己巳日合朔是月十三日辛巳二十五日癸巳四月经朔三十四日八十八刻己亥日合朔是月无辛巳癸巳经书四月辛巳晋人及姜戎败秦师于殽癸巳葬晋文公乃三月之辛巳癸巳也盖由三十二年癸巳应置闰而失闰故差一月至十二月经朔三十一日一十二刻以缩疾减之甲午日合朔至十二日乙巳是月十九日得中气则乙巳正十二月公薨于小寝之日也长厯推为十一月十二日乙巳谓是月经书十二月公至自齐乙巳公薨于小寝陨霜不杀草李梅实晋人陈人郑人伐许以上四事皆差则非矣春秋忽然而四月差又忽然而十二月不差其矛盾类如此古今律厯考卷五
## 卷六
钦定四库全书
古今律厯考卷六 明 邢云路 撰经六春秋考文公元年春二月癸亥日有食之左传不书朔官失之公羊有朔字姜氏云二月甲午朔无癸亥三月癸亥朔入食限大衍亦以为然以授时推是年乙未距元辛巳中积六十九万六千一百五十五日八十二刻步至三月定朔五十九日四十八刻癸亥日午时合朔交泛二十六日五十九刻入食限春秋书二月错也若二月朔癸亥则三月癸巳四月癸亥至二十五无丁巳矣经何以曰四月丁巳葬僖公夏四月丁巳葬我君僖公左传云闰三月非礼也先王之正时也履端于始序则不愆举正于中民则不惑归余于终事则不悖谓先王履步厯之初始以为术厯之端四序则不愆过举中气以正月民则不疑惑归其余日于终以置闰则时事不悖乱是年春秋闰三月非礼也法推前闰月当在僖公三十二年至文公元年十二月方再闰元年四月经朔二十九日二十四刻癸巳日合朔至二十五日丁巳是葬僖公之日春秋于僖公三十二年失闰至文公元年三月方置闰故左传以为非礼惟三月补闰所以四月朔得癸巳之常而月内有丁巳也孔颖达谓春秋之世厯法错失所置闰月或先或后不与常同积而成多以失弦望朔晦则不得不改宪以顺之者以此十有五年六月辛丑朔日有食之鼓用牲于社左传云非礼也言犹庄公之非也以授时推是年己酉中积六十九万一千四十二日四十刻六月定朔三十七日三十二刻辛丑日辰时合朔交泛二十六日四十四刻入食限宣公八年秋七月甲子日有食之既杜氏云七月三十日食姜氏云十月甲子朔食大衍同授时推是年庚申中积六十八万七千二十四日五十二刻步至秋七月朔不入食限十月定朔五十六刻甲子日未时合朔交泛二十六日七十九刻日食九分有竒日食九分以上亦为食既经书七月元史云盖十误为七也十年夏四月丙辰日有食之左氏云不书朔官失之范氏云食晦以授时推是年壬戌中积六十八万六千二百九十四日三刻步至四月定朔五十二日三十五刻丙辰日辰时合朔交泛一十四日九刻入食限合范谓食晦非十有七年夏六月癸卯日有食之左氏云不书朔官失之姜氏云六月甲辰朔不应食大衍云是年五月在交限六月甲辰朔交分已过食限盖误以授时推是年己巳中积六十八万三千七百三十七日三十二刻步至五月定朔一十一日七十四刻乙亥日酉时合朔交泛四十刻入食限若六月甲辰朔交二日已过食限大衍为是盖春秋失一闰误以五月为六月也然郭守敬亦不明言加时在昼盖疑七十四刻酉时恐入夜故如僖公十五年夜月食不明言加时昼夜殊不知酉时合朔食甚则初亏在申可知是加时在昼合矣成公十有六年夏六月丙寅朔日有食之以授时推是年丙戌中积六十七万七千五百二十八日一十七刻六月定朔二日六十一刻丙寅日未时合朔交泛二十六日九十八刻入食限合是月日食乃为正阳之月慝未作隂侵阳伐鼓用币为宜十有七年冬十有二月丁巳朔日有食之姜氏云十二月戊午朔无丁巳似失闰大衍推十一月丁巳朔交分入食限授时推是年丁亥中积六十七万七千一百六十二日九十三刻步至十一月定朔五十三日四十八刻丁巳日午时合朔交泛一十四日二十八刻入食限与大衍同盖春秋时失一闰误以十一月为十二月也襄公十有四年春二月乙未朔日有食之授时推是年壬寅中积六十七万一千六百七十六日二十六刻二月定朔三十一日五十四刻乙未日未时合朔交泛一十四日一十三刻入食限合十有五年秋八月丁巳日有食之杜氏云八月无丁巳丁巳七月一日也姜氏云七月丁已朔食失闰也大衍同授时推是年癸卯中积六十七万一千三百一十一日二刻步至七月定朔五十三日三十一刻丁巳日辰时合朔交泛二十六日三十三刻入食限是七月朔食非八月二十年冬十月丙辰朔日有食之授时推是年戊申中积六十六万九千四百九十二日八十刻十月定朔五十二日六十三刻丙辰日申时合朔交泛一十三日七十六刻入食限合二十有一年秋九月庚戌朔日有食之冬十月庚辰朔日有食之榖梁释此年与二十四年皆频月日食据厯无频食之理但古或有之姜氏谓比月而食非大衍亦以为然授时推是年己酉中积六十六万九千一百二十七日五十五刻步至九月定朔四十六日六十五刻庚戌日申时合朔交泛一十四日三十六刻入食限是也步至冬十月庚辰朔已过交限不应频食姜说为是盖厯推日食凡一百七十三日一交一年止二交交在朢前朔则日食朢则月食交在朢后朢则月食后月朔则日食交正在朔则日食既前后朢不食交正在朢则月食既前后朔不食盖前后不出阳八度隂六度日月交有一定岂有比月频食之理刘炫云汉末以来八百余载都无频月日食之事盖多歴世代传冩失真先儒因循莫敢改易也入春秋惟是年九月十月又二十四年七月八月两书频食考二十一年闰在夏前二十四年闰在春初想当时日官筭失一闰误以二十一年之九月作十月朔日食以二十四年之七月作八月朔日食已书之史矣既而见其失闰不合也乃于二年各补足一闰书为二十一年九月朔日食二十四年七月朔日食此两册俱存而后之修史者遂并収录之然比食之说则千古所无不必辨者二十有三年春王二月癸酉朔日有食之授时推是年辛亥中积六十六万八千三百九十七日六刻二月定朔九日三十七刻癸酉日辰时合朔交泛二十六日五十六刻入食限合二十有四年秋七月甲子朔日有食之既八月癸巳朔日有食之大衍云不应频食在误条授时推是年中积六十六万八千三十一日八十二刻四十七分步至七月定朔五十七刻甲子日未时合朔交泛一十三日八十七刻入食限日食九分有竒为食既是也步至八月朔立分不叶不应食犹之二十一年无比食之理二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之左氏书经十二月乙卯朔日有食之传十一月乙亥朔日有食之辰在申司厯过也再失闰矣经十二月乙卯非传十一月乙亥是左云辰在申再失闰者谓从子至亥十二谓之辰斗柄在天指角亢之㝛在大角摄提谓之建星日昏时斗柄所指于十二辰在焉周十一月夏九月也九月斗当建戌而辰指在申申与戌差两月是司厯再失闰两月未闰也厯法十九年为一章章有七闰自文公十一年至襄公十三年凡五十七年已成三章当有二十一闰又从襄十四年至二十七年凡十四年又当有五闰通计七十一年应有二十六闰而长厯推得二十四闰计少两闰故云司厯过也姜氏云十一月乙亥朔交分入食限大衍同以授时推是年乙卯中积六十六万六千九百三十六日九刻十一月定朔一十一日二十四刻乙亥日夘时合朔交泛七刻入食限若推十二月朔无乙亥亦不入食限然斗柄所指九月宜戌昔时则然乆之十二辰皆可指非一定也二十有八年春无冰左传云梓愼曰今兹宋郑其饥乎岁在星纪而淫于𤣥枵以有时菑隂不堪阳蛇乘龙龙宋郑之星也宋郑必饥𤣥枵虚中也枵耗名也土虚而民耗不饥何为禆灶曰今兹周王及楚子皆将死岁弃其次而旅于明年之次以害鸟帑周楚恶之注疏谓梓愼鲁大夫岁岁星也星纪在丑斗牛之次孙炎曰星纪日月五星之所终始也故谓之星纪𤣥枵在子虚危之次虚在正北北方色𤣥故曰𤣥枵枵之言耗虚之意也九年传称晋侯问公生岁乃云十二年矣是谓一终一星终也言岁星十二年一周天也十八年晋董叔曰天道多在西北是言其年岁星在亥也岁星右行于天至此十一年行未及周当在星纪明年乃当在𤣥枵今年已在𤣥枵是淫行失次也时菑无冰也盛隂用事而温无冰是隂不胜阳地气发泄也虫兽在地而有象在天二十八㝛分在四方方有七㝛共成一象东方为青龙之象西方为白虎之象皆南首北尾也南方为朱鸟之象北方为𤣥武之象皆西首东尾也龟蛇二虫共为𤣥武故蛇是𤣥武之㝛虚危之星也龙岁星木也木为青龙乃天之贵神福德之星今失次出虚危下龙在下蛇在上为蛇所乘也岁星本位在东方东方夘为大火房心宋之分野辰为寿星角亢郑之分野龙为宋郑之星故饥𤣥枵虚星在中地气发泄而春温无冰是土虚不实而人民耗损不饥何为禆灶郑大夫言岁星弃其所居星纪之次乃客旅于明年𤣥枵之次岁星所在其国有福失次于北祸冲在南南为朱鸟帑者细弱之名于人则妻子为帑于鸟则鸟尾为帑天之分野鹑火周分鹑尾楚分歳星之冲当此周楚之分故周王楚子受其咎也岁星客在𤣥枵惟冲鹑火而鹑尾亦有咎者盖以岁星渐西冲则渐东故冲其鸟身而及其尾也是年天王崩楚子卒明年郑饥宋亦饥皆验夫一岁星淫也梓愼禆灶所占不同其事俱验丘明两载之以示占卜之验惟人所在耳以授时推春秋岁星皆先天一宫益疏逺盖授时步气朔近宻于五星则仍旧未改其数故疏须测验更正乃得其真余测法详见别简昭公七年夏四月甲辰朔日有食之授时推是年丙寅中积六十六万二千九百一十八日四十刻四月定朔四十日五十二刻甲辰日午时合朔交泛二十七日二刻入食限合考之左传云是日日食晋侯问于士文伯曰谁将当日食对曰鲁衞恶之衞大鲁小公曰何故对曰去衞地如鲁地于是有灾鲁实受之其大咎其衞君乎鲁将上卿注云亥娵訾衞地也戌降娄鲁地也娵訾之次一名豕韦日食于豕韦之末及降娄之始乃息故祸在衞大在鲁小言灾发于衞而鲁受其余祸也八月衞侯恶卒十一月鲁季孙宿卒验矣授时推是朔日躔由亥入戌十余度则已过其界似与春秋不恊但古今宫界之分或有不同不可考耳九年夏四月陈灾天火曰灾陈已灭矣此何以书公榖皆云存陈也不与楚灭也左传郑禆灶曰五年陈将复封封五十二年而遂亡子产问其故对曰陈水属也火水妃也而楚所相也今火出而火陈逐楚而建陈也妃以五成故曰五年岁五及鹑火而后陈卒亡楚克有之天之道也故曰五十二年注陈颛顼之后为水属火畏水为之妃以丁为壬妃也楚之先祝融为高辛氏火正主治火事火心星也火出于周为五月而以四月出者长厯推闰当在此年五月后而前年已闰八月故四月得火见火星见而天火适灾于陈陈水也水得妃而兴陈兴则楚衰故曰逐楚而建陈五行各相配合得五而成故五年陈复封天数以五为纪故五及鹑火也岁星天之贵神所在之国必昌岁在鹑火火得岁星之助火盛则水衰陈封四岁及鹑火后四周四十八岁凡五及鹑火楚复灭陈故曰五十二年授时推是年戊辰中积六十六万二千一百八十七日九十一刻步至三月朔日甲子二十九日壬午得中气闰三月朔日癸未无中气四月朔日壬子得中气是是年闰三月也既闰三月则四月朔日日躔娄三度戌宫之尽将退入酉昏后火出于东固其宜也长厯推前年闰八月此年闰五月皆非十有五年六月丁巳朔日有食之大衍推五月丁巳朔食失一闰授时推是岁甲戌中积六十五万九千九百九十六日四十五刻五月定朔五十三日五十五刻丁巳日未时合朔交泛一十三日九十五刻二十九分入食限经云六月非十有七年夏六月甲戌朔日有食之左传祝史请所用币昭子曰日有食之天子不举伐鼓于社诸侯用币于社伐鼓于朝平子御之曰止也唯正月朔慝未作日有食之于是乎有伐鼓用币礼也其余则否太史曰在此月也注疏谓此年六月日食是夏之四月正阳之月也礼正阳之月日食当用币故鲁之祝史请之昭子谓日食天子不举盛馔伐鼓于社以责群隂诸侯用币于社请上公以救日伐鼔于朝退而自责礼也平子禁御之曰止也惟四月纯阳用事为正阳之月五月一隂生之隂气未动隂为慝乃慝未作此朔日食隂侵阳重于是乎伐鼓用币礼也余月则否盖平子以六月非四月不知周之六月夏之四月也四月建巳正是纯阳五月一隂未生之月故太史曰在此月也姜氏云是年六月乙巳朔交分不叶不应食当误大衍云在九月朔六月不应食姜氏是也授时推是年丙子中积六十五万九千二百六十五日九十六刻歩至六月朔不入食限九月定朔一十日一十八刻甲戌日寅时合朔交泛二十六日七十六刻入食限夫日食既非六月则于慝未作正阳之月无取矣秋郯子来朝左传郯子来朝公与之宴昭子问焉曰少皥氏鸟名官何故也郯子对曰吾祖也我知之矣昔者黄帝氏以云纪故为云师而云名炎帝氏以火纪故为火师而火名共工氏以水纪故为水师而水名太昊氏以龙纪故为龙师而龙名我高祖少皥摰之立也鳯鸟适至故纪于鸟为鸟师而鸟名鳯鸟氏厯正也𤣥鸟氏司分者也伯赵氏司至者也靑鸟氏司启者也丹鸟氏司闭者也仲尼闻之见于郯子而学之考郯子少皥之后少皥金天氏黄帝之子也少昊受黄帝黄帝受炎帝炎帝受共工共工受太昊故先言黄帝上及太昊稽之于易炮牺神农黄帝相继之世可知鳯鸟知天时故以名厯正之官𤣥鸟燕也以春分来秋分去伯赵伯劳也以夏至鸣冬至止靑鸟鸧鷃也以立春鸣立夏止丹鸟𫜁雉也以立秋来立冬去故分至启闭以鸟名官以鳯凰氏为之长夫天时鸟且不违而况于人乎冬有星孛于大辰孛彗星也左传冬有星孛于大辰西及汉申湏曰彗所以除旧布新也今出于火必布焉诸侯其有火灾乎梓愼曰火出于夏为三月于商为四月于周为五月夏数得天若火作其四国当之在宋衞陈郑乎宋大辰之虚也陈大皥之虚也郑祝融之虚也皆火房也星孛及汉汉水祥也衞颛顼之虚也故为帝丘其星为大水水火之牡也其以丙子若壬午作乎水火所以合也若火入而伏必以壬午不过其见之月郑禆灶言于子产曰宋衞陈郑将同日火若我用瓘斝玉瓉郑必不火子产弗与注疏谓冬夏之八月也月令仲秋日在角昬牵牛中大辰房心尾也天汉在箕斗间于是时大辰见天汉之西今有孛于大辰之西而尾东指光芒厯辰星而东及于天汉也申须鲁大夫布布新也火出谓昬见也夏三月见商四月见周五月见夏数得天时之正也虚者旧居之处谓先王先公尝居此地也大辰大火宋分野大皥居陈木火所自出祝融髙辛氏之火正居郑火房火舍也衞地昔帝颛顼居之内有颛顼冢故为帝丘天汉为水衞营室星水也隂阳有五行嫁娶之法水畏火故以丁为壬妃是水为火之牡牡雄也丙是火日午是火位壬是水日子是水位丙子壬午水火合而相薄必行其意但慧在大辰为多及汉为少水少火多故水不胜火火行其意水必助之故此丙子壬午之日当有火灾火入而伏谓火灾毕而伏也壬午即明年四国火灾之日不过其见之月谓明年五月火见也瓘玉珪斝玉爵玉瓉于圭头为器可以挹鬯祼祭者禆灶欲用此三物以禳火而子产弗从以为天灾流行非禳所息故也次年夏五月壬午宋衞陈郑灾是五月心星昬始见壬午同日四国皆火禆灶曰不用吾言郑又将火子产不从亦不复火是又有验不验矣二十年春左传二十年春王二月己丑日南至注疏谓是正月己丑朔日南至当是年前闰月史官失闰故书为二月嗣后八月方补一闰传于八月书闰月戊辰杀宣姜是也夫二月为夏正建亥之月亥月固无冬至之理而是岁正月亦非己丑之朔授时推周景王二十三年即鲁昭公二十年己夘岁中积六十五万八千一百七十日二十二刻天正冬至戊子八十三刻闰余二十七日八十三刻经朔五十六日九十九刻是岁正月庚申日合朔越二十九日戊子日八十三刻日南至二月朔日己丑尚未宜闰故也春秋误矣夫戊子南至而梓愼以己丑望氛应验亦可取焉二十有一年秋七月壬午朔日有食之左传梓愼曰二至二分日有食之不为灾分同道也至相过也其他月则为灾阳不克也故常为水于是叔辄哭日食昭子曰子叔将死非所哭也八月叔辄卒注疏冬夏二至长短极则相过春秋二分昼夜等则同道以为日月之交理必相侵不为灾今秋七月夏五月为夏至不为灾也其他非分至之月则为灾日食是隂侵阳阳不胜也故日食常为水灾不知日月之行一百七十三日有竒而一交交数满则同道相过非分至之说也梓愼妄矣诗云十月之交朔日辛夘日有食之亦孔之丑周十月乃夏八月秋分之月也而甚可丑恶是不为灾乎庄二十五年七月日食秋大水是日食水灾固有之此二十四年五月日食梓愼曰将水昭子曰旱也其年八月大雩旱矣亦不常为水也日食之变所关至重恐亦与叔辄之哭不哭无涉授时推是年庚辰岁中积六十五万七千八百四日九十八刻七月定朔一十八日四十二刻壬午日巳时合朔交泛二十六日八十七刻入食限二十有二年冬十有二月癸酉朔日有食之杜预以长厯推十二月朔与明年正月朔中有一闰此十二月当为癸夘朔经书癸酉朔是误非也授时推是年辛巳岁中积六十五万七千四百三十九日七十四刻十二月定朔九日三十六刻癸酉日辰时合朔交泛一十四日一十八刻入食限与春秋合二十有四年夏五月乙未朔日有食之授时推是年癸未岁中积六十五万六千七百九日七刻五月定朔三十一日三十七刻乙未日巳时合朔交泛二十六日三十八刻入食限三十有一年十有二月辛亥朔日有食之左传是夜也赵简子梦童子臝而转以歌旦占诸史墨曰吾梦如是今而日食何也对曰六年及此月也呉其入郢乎终亦弗克入郢必以庚辰日月在辰尾庚午之日日始有谪火胜金故弗克注疏谓转宛转也史墨知梦非日食之应故释日食之咎而不释其梦是年至定公四年为六年定公四年十一月庚辰呉入郢是其言之验也孔疏云周十二月夏之十月日食在龙尾谓为尾宿谪变也谓日食虽在辛亥然变起于十月十九日庚午午南方楚位也午火庚金火胜金故呉虽入郢楚亦不亡以授时推是年庚寅岁中积六十五万四千一百五十二日三十六刻十二月定朔四十七日三十三刻辛亥日辰时合朔交泛二十六日六十二刻入食限推日躔是年天正冬至赤道斗二十三度有竒加时黄道斗二十一度有奇十二月朔辛亥黄道积度三百一十四度有奇是日日躔黄道亢四度九十一分盖东方七㝛角亢属辰为龙亢在辰宫将末故为龙尾孔氏谓尾㝛非也言十一月入郢则十二月尚在郢故曰及此月定公五年春王三月辛亥朔日有食之公羊作正月食非是授时推是年丙申岁中积六十五万一千五百六十日八十九刻三月定朔四十七日五十六刻辛亥日未时合朔交泛十四日三刻入食限十有二年十有一月丙寅朔日有食之授时推是年癸夘岁中积六十四万九千四百四日一十八刻十月定朔二日五十二刻丙寅日午时合朔交泛一十四日二十六刻入食限盖春秋时失一闰误以十月作十一月也十有五年八月庚辰朔日有食之授时推是年丙午岁中积六十四万八千三百八日四十五刻八月定朔一十六日五十刻庚辰日午时合朔交泛一十三日七十六刻入食限哀公十有二年冬十二月螽左传季孙问诸仲尼仲尼曰丘闻之火伏而后蛰者毕今火犹西流司厯过也注疏谓周十二月夏之十月火心星也九月昏火星见于西南渐而下流十月之昏则伏今十月火犹西流是厯官失一闰以九月为十月也长厯推是年失一闰十二月实夏之九月九月尚温故得有螽仲尼虽言季孙未改明年十二月复螽始悟十四年春乃置闰授时推哀公十一年丁夘岁中积六十四万四千二百九十日九十四刻冬至四十四日一十一刻闰余二十七日七十三刻步至二月朔日己酉大尽三十日戊寅为二月申闰二月己夘日合朔无中气哀公十三年己巳岁中积六十四万三千五百六十日四十五刻冬至五十四日六十刻闰余一十九日九十六刻步至十一月朔日甲午小尽二十九日壬戌为十一月中闰十一月癸亥日合朔无中气是哀公十一年闰二月十三年闰十一月春秋失之故十二月两书螽仲尼觉之以为司厯过也长厯谓十二年当有闰非是十有四年夏五月庚申朔日有食之授时推是年庚申岁中积六十四万三千一百九十五日三刻五月定朔五十六日五十五刻庚申日未时合朔交泛二十六日九十一刻入食限春秋隐三年二月桓三年七月十八年三月二十五年六月三十年九月僖十二年三月五月十五年五月文元年二月宣八年七月十七年六月成十七年十二月襄十五年八月二十一年十月二十四年八月二十七年十二月昭十七年六月定十二年十一月之朔食皆非其月也桓十七年十月二日二十六年十月二日皆非其日也而董仲舒刘向皆系之以事应夫既非其月日矣则事应复何关且举其一二商之如桓公十七年十月朔日食榖梁云言朔不言日食二日也董仲舒遂以为言朔不言日恶鲁桓公且有夫人之祸不终日也岂知是年实是十一月庚午朔未时日食既非十月亦非二日仲舒夫人祸不终日之说将置之何地属之谁何耶庄公十八年三月日食榖梁曰不言日不言朔夜食也刘向遂以为夜食隂因日明之衰而夺其光象周天子不明齐桓将夺其威权会诸侯而行霸道其后遂纠合诸侯天子使世子会之此其效也岂知是年三月不入食限夜亦不食实是五月壬子朔申时日食既非三月又非夜食刘向隂夺日光天子会齐之占曰此其效也果效耶非耶襄公二十四年七月甲子朔日食八月癸巳朔比食董仲舒以为比食又既象阳将绝夷狄主上国之象也后六君弑楚子果从诸侯灭舒鸠鲁往朝之卒主中国伐呉讨庆封遂灭赖又杀蔡侯灭陈蔡而县之岂知是年七月既食无八月比食之理既不比食又何与于簒弑之说而曰楚子果从战伐应占如响也吁嗟刘向亡论已以仲舒称汉醇儒乃无端说梦著为典籍使后世司天家从古及今视此占验无敢违越岂不诬哉余故谓仲舒之洪范灾异等传宜亟火其书也向子歆读父书治厯亦用其父四分之一斗分为法妄推隐三年二月桓二十五年六月二十六年十二月宣八年七月成十六年六月襄十五年八月二十三年二月昭十七年六月二十一年七月二十四年五月三十一年十二月定五年三月十二年十一月哀十四年五月之朔皆步为二日于桓十八年三月朔宣十七年六月朔皆步为晦朓则皆不知岁差与盈缩迟疾之故非其厯也考春秋二百四十二年间日食三十七事若僖十五僖二十五并无比食之理亡论已凡三十五事其合者十八庄二十六僖五文十五宣十成十六襄十四襄二十襄二十一襄二十三襄二十四昭七昭二十一昭二十二昭二十四昭三十一定五定十五哀十四是也庄十八僖十二误五为三丈元误三为二宣八误十为七昭十七误九为六此五事皆记载之误也隐三桓三桓十七庄二十五庄三十此六事皆以后月作前月不应闰而闰先时也宣十七成十七襄十五襄二十七昭十五定十二此六事皆以前月作后月应闰而不闰后时也或记载之误或置闰之差然正之则皆是盖其食限之入干支之合有足徴耳惟僖十五年五月之交宜在四月然乃亥时月食益误且何以曰朔日月食则交交则朔未有不交而朔不朔而食者春秋时周衰天子不颁朔鲁厯不正置闰不得其月月大小不得其度日食言朔而实非朔或不言朔而实朔或脱不书朔与日皆官失之也既差而觉觉而补闰所以有合有不合以授时推之春秋之食晦与朔二则皆朔无爽矣公羊榖梁不知而亦以为食晦食既朔京房等不知而言日食不以朔日曰薄食为变之大皆非也古今律厯考卷六
## 卷七
钦定四库全书
古今律厯考卷七 明 邢云路 撰经七礼记考(周礼附)月令孟春之月日在营室昏参中旦尾中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中大蔟其数八是月也东风解冻蛰虫始振鱼上冰獭祭鱼鸿雁来草木萌动是月也乃命太史守典奉法司天日月星辰之行宿离不贷毋失经纪以初为常此秦始皇时吕不韦集诸儒著十二月纪名曰吕氏春秋篇首皆有月令言每月政令所行也月用夏正夏正孟春建寅之月日月㑹于营室之辰营室即室宿在亥宫娵訾之次葢天有十二辰一岁周天十二㑹也汉三统厯推立春日在危十六度正月中日在室十四度昏时参星在南方之中旦则尾星在南方之中月令昏明中星皆大畧而言不与厯同但一月之内有中者即得载之记昏明中星者人君南面而聴天下视时候以授民事也其日为东方之甲阳乙隂木其帝大皥宓戯氏以木德王句芒乃少皥氏子曰重曾为木正之官此二人生时木王主春立德立功死后春祀则祀大皥句芒角音属木律谓候气之管以铜为之中犹应也大蔟者孟春之寅律大蔟林钟之所生三分益一长八寸律管入地气至而灰飞古为应也五音十二律详见别简天三生木地八成之但言八者举成数也通卦验云立春条风至氷解条风即东风也汉时以惊蛰为正月中雨水为二月节至前汉之末刘歆作三统始改雨水为正月中惊蛰为二月节葢蛰虫正月始振振动也二月乃惊耳夏小正鱼陟负氷谓鱼游升于水上近氷而负氷即上氷也此时鱼肥美獭将食之先以祭也来自南而北也是月天气下降地气上腾天地和同交泰故草木萌生发动于其时农事将兴之候也夫月令天所命也王者继天行事乃命太史守六典奉八法在人为六典八法在天为七政日循星以进退月应日以死生二十八宿众星为经金木水火土五星为纬周天十二辰次其行皆有一定之度所谓经纪也宿谓宿之于此离谓离之于彼贷忒同或宿或离进退迟速无有愆忒是在司天者推歩之毋失经纪以初为常初犹故初所谓茍求其故日至可坐致是也其日躔中星详见后篇仲春之月日在奎昏弧中旦建星中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中夹钟其数八是月也桃始华仓庚鸣鹰化为鸠𤣥鸟至雷乃发声始电是月也日夜分仲春建夘之月日在奎宿戌宫降娄之次弧在舆鬼南建星在斗上余月昏旦中星皆举二十八宿此云弧与建者以弧星近井建星近斗井斗度多星广不可的指故举弧建以定昏旦之中夹钟夘律夷则所生三分益一长七寸二千一百八十七分寸之千七十五仓庚骊黄也鸠布谷也惊蛰之日桃始华又五日仓庚鸣又五日鹰化为鸠葢五日为一候三候为一气六候成月六气成时故一歳二十四气有七十二候鹰好杀而撃以秋鼠好贪而出以夜皆隂类也鸠𫛪皆阳类也夘辰者阳之中故仲春则鹰化为鸠季春则田鼠化为𫛪葢隂为阳所化物理如此爵乳子而集以春雉求雌而雊以朝皆阳类也蛤蜃皆隂类也戌亥者隂之极也故季秋则爵入大水为蛤孟冬则雉入大水为蜃葢阳为隂所化物理如此草腐则幽之类也萤则明之类也季夏则腐草为萤葢离之明极于此故也是皆化而已于鹰鼠言化于腐草爵雉则直言为何哉葢因形移易曰化鹰之为鸠鼠之为𫛪皆因形移易而已故言化腐草则植物也萤则动物也爵雉飞物也蛤蜃濳物也植物为动飞物为潜则不特因形移易矣而化固不足以言之故皆直言为而已𤣥鸟燕也燕以施生来巢人堂宇而乳嫁娶之象也人以其至为祠禖之候季冬雷在地下则雉应而雊孟春动于地上则蛰应而振至此声乃动于天之下其声发扬也以雷出有渐故言乃电阳光也阳微则光不见是月阳气渐盛以撃于隂其光乃见故云始电阳生于子终于午至夘而中分隂生于午终于子至酉而中分故阳中春分隂中秋分昼夜各五十刻为日夜分季春之月日在胃昏七星中旦牵牛中其日甲乙其帝大皥其神句芒其音角律中姑洗其数八是月也桐始华田鼠化为𫛪虹始见萍始生鸣鸠拂其羽戴胜降于桑是月也命国难九门磔攘以毕春气季春建辰之月日在胃宿酉宫大梁之次七星星宿也姑洗辰律南吕所生三分益一长七寸九分寸之一𫛪鹑䳺之属䗖𬟽谓之虹雄曰虹雌曰蜺雄谓明盛者雌谓暗微者萍水上浮蓱也鸣鸠飞以羽拍其身戴胜织纴之鸟是时恒在桑言降者重之若自天而下也为蚕事之候难所以难隂慝而敺之也难之事方相氏帅百𨽻而时难聚众戏剧以盛其喜乐之气则足以胜隂慝九门路门应门雉门库门臯门城门近郊门逺郊门关门是也裂牲谓之磔除祸谓之攘天气左转故斗建左行为阳气日月右行日月比天为隂隂气右行也此月初日在胃月中从胃歴昴昴有大陵积尸之气主死尸气佚则厉鬼随之而行故命方相索室中敺疫鬼以逐之又磔牲以攘于四方之神所以毕止春之厉气也必于九门者欲隂慝之出尔孟夏之月日在毕昏翼中旦婺女中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中中吕其数七是月也蝼蝈鸣蚯蚓出王𤓰生苦菜秀靡草死麦秋至孟夏建巳之月日在毕宿申宫实沈之次婺女即女宿其日南方丙阳火丁隂火炎帝大庭氏即神农也以火徳王颛顼之子名黎为火官徴属火仲吕已律无射所生三分益一长六寸万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四地二生火天七成之故其数七蝼蝈蛙也隂而伏乘阳而鸣蚯蚓隂而屈乘阳而伸王𤓰萆挈本草作菝葜王𤓰色赤感火之色而生苦菜味苦感火之味而成靡草葶苈之属靡细也隂类阳盛则死秋百榖成熟之期此于时虽夏于麦则秋也仲夏之月日在东井昏亢中旦危中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中蕤宾其数七是月也螳螂生鵙始鸣反舌无声鹿角解蝉始鸣半夏生是月也日长至隂阳争死生分仲夏建午之月日在东井即井宿未宫鹑首之次蕤宾午律应钟所生三分益一长六寸八十一分寸之二十六螳螂一名不〔？〕鵙博劳也反舌百舌鸟解脱也半夏药名居夏之半而生故名半夏诸物皆感一隂生而然也至极也夏至日长之极昼六十刻阳尽午中一阴欲起此阴阳争辨之际也分半也阴气欲起故物半死半生季夏之月日在栁昏火中旦奎中其日丙丁其帝炎帝其神祝融其音徴律中林钟其数七是月也温风始至蟋蟀居壁鹰乃学习腐草为萤土润溽暑大雨时行季夏建未之月日在栁宿午宫鹑火之次火大火心宿也林钟未律黄钟所生三分去一长六寸温风暑热之风也蟋蟀生于土中此时羽翼稍成未能逺飞但居其壁至七月方在野也蟋蟀今之促织鹰感阴气乃有杀心学习搏击之事萤火夜飞腹下如火光曰即炤仲春鹰化为鸠仲秋鸠化为鹰故言化腐草为萤萤不复为腐草故不言化润溽涂湿也蔡传谓暑湿大雨为东井之所主也以仲夏日在东井乎而季夏则在栁矣况岁久以后日渐西星渐东仲夏亦不在东井则东井所主之说何为也中央土其日戊巳其帝黄帝其神后土其音宫律中黄钟之宫其数五土寄旺于四时各十八日共七十二日厯所谓土王用事是也则木火金水亦各七十二日土寄旺于辰戌丑未而未月在金火之间又居一歳之中故特揭一令于此以成五行之序焉其日戊阳土巳隂土居十干之中黄帝轩辕氏黄精之君也颛顼氏之子黎为土官句龙初为后土后祀以为社乃黎以火官兼后土焉宫属土最尊君象也故配之中央黄钟本十一月律而黄钟之宫于诸宫为长与中央土声相应土旺于四时宫亦冠于十二律非如他律以配气言也天五生土地十成之四时皆举成数此独举生数者四时无土不成而土以生为本也孟秋之月日在翼昏建星中旦毕中其日庚辛其帝少皥其神蓐收其音商律中夷则其数九是月也凉风至白露降寒蝉鸣鹰乃祭乌天地始肃农乃登榖孟秋建申之月日在翼宿已宫鹑尾之次其日庚阳金辛隂金少皡金天氏以金徳王少皥之子名该为金官商属金夷则申律大吕所生三分去一长五寸七百二十九分寸之四百五十一地四生金天九成之故其数九寒蝉寒蜩也似蝉而小鹰欲食鸟之时先杀鸟而不食似人之食不即食而祭先代为食之人也仲秋之月日在角昏牵牛中旦觜觽中其日庚辛其帝少皥其神蓐收其音商律中南吕其数九是月也鸿鴈来𤣥鸟归群鸟养羞雷始收声蛰虫坏户水始涸是月也日夜分天子乃难以逹秋气仲秋建酉之月日在角宿辰宫夀星之次觜觽即觜宿也南吕酉律太蔟所生三分去一长五寸三分寸之一鸿鴈来自北而来南也𤣥鸟归春来而秋去也羞食也养羞藏之以备冬月之食也蛰虫坏益其户使通明处稍小至寒乃墐塞之也秋气返故水涸秋分书夜各五十刻此难难阳气也阳暑至此不衰害亦及人葢阳气左行此月斗建在酉酉是昴毕本位毕亦得大陵积尸之气于是仲秋亦难明堂曰仲秋九门磔攘以发陈气御止疾疫是也季春命国难以毕春气此独言天子者此难阳气阳者君象故诸侯以下不得难也退暑气以逹凉气曰逹季秋之月日在房昏虚中旦栁中其日庚辛其帝少皡其神蓐收其音商律中无射其数九是月也鸿鴈来宾爵入大水为蛤鞠有黄华豺乃祭兽草木黄落蛰虫咸俯季秋建戌之月日在房宿夘宫大火之次无射戌律夹钟所生三分去一长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四鴈以仲秋先至者为主季秋后至者为宾爵为蛤飞物化为潜物也鞠即菊菊色不一而独言黄者秋令在金黄为正色也祭兽者禽兽初得则杀而祭之于天也孟冬之月日在尾昏危中旦七星中其日壬癸其帝颛顼其神𤣥㝠其音羽律中应钟其数六是月也水始冰地始冻雉入大水为蜃虹藏不见天气上腾地气下降闭塞而成冬孟冬建亥之月日在尾宿寅宫析木之次其日北方壬阳水癸隂水颛顼髙阳氏以水徳王少皥之子曰修曰熈相代为水官羽属水应钟亥律姑洗所生三分去一长四寸二十七分寸之二十天一生水地六成之故其数六蜃大蛤门户可闭闭之窻牖可塞塞之仲冬之月日在斗昏东壁中旦轸中其日壬癸其帝颛顼其神𤣥㝠其音羽律中黄钟其数六是月也鹖旦不鸣虎始交荔挺出蚯蚓结麋角解水泉动是月也日短至隂阳争诸生荡仲冬建子之月日在斗宿丑宫星纪之次东壁即壁宿黄钟子律律之始也长九寸鹖旦夜鸣求旦之鸟也夜鸣隂类也求旦以求阳阳生得所求矣故不鸣虎隂物则亦感阳生而交合荔挺香草结犹屈也蚯蚓出穴屈首下向阳气气动则宛而上首解脱也水者天一之所生阳生而动也冬至日短之极昼四十刻阳欲起故争诸生者万物之生机也荡动也季冬之月日在婺女昏娄中旦氐中其日壬癸其帝颛顼其神𤣥㝠其音羽律中大吕其数六是月也鴈北乡鹊始巢雉雊鸡乳征鸟厉疾水泽腹坚是月也命有司大难旁磔出土牛以送寒气是月也日穷于次月穷于纪星囘于天数将几终歳且更始季冬建丑之月日在女宿子宫𤣥枵之次大吕丑律蕤宾所生三分益一长八寸二百四十三分寸之百四鴈北乡有早有晚早则此月晚则二月雊鸣也征鸟鹰隼之属以其善撃故曰征厉猛疾迅也腹犹内也隂凝冰坚也季春惟国家之难仲秋惟天子之难此则下及庶人故云大难旁磔谓四方之门皆磔牲以攘隂气不但九门而已月建丑丑为牛土能克水故出土牛以毕送寒气牛善耕又劝民耕作之始此月难者隂气右行是月日厯虚危司命二星在虚北司禄二星在司命北司危二星在司禄北司中二星在司危北此四司者鬼官之长又坟四星在危东南是虚危有四司坟墓之气能为厉鬼将随强隂出而害人故大难次舍也纪㑹也去年季冬日次于𤣥枵每月移次他辰至此一周穷尽还次于𤣥枵故曰日穷于次去年季冬月与日㑹于𤣥枵每月移㑹他辰至此一周穷尽还㑹于𤣥枵故曰月穷于纪二十八宿随天而行每日虽周天一匝而早晚不同至于此月复其故处故曰星囘于天去年季冬至今年季冬三百五十四日未满三百六十五日不为正终故曰数将几于终终则复始则歳且更始而明春之事起矣厯法天日渐移歳久日躔之次不同而那穷之事各异亦百世可知也案秦始皇十二年吕不韦死则吕不韦作月令在始皇初年也其云日躔及昏旦中星依秦厯推之秦厯与汉初厯最疎则日躔与昏旦中星安必其无少差且古人之定宫分距星代各不同若古厯之参差无论已惟以授时上考之合月令十之七八其一二稍殊者亦不越几度内大都昏旦中俱在南或少偏少偏犹之南也始皇十年入甲子今以至元十八年辛巳歳上距始皇甲子歳推得积年一千五百一十七年中积五十五万四千○百七十五日一十四刻八十○分天正冬至癸未日九十一刻二十○分天正赤道斗二十○度○七分九十五秒天正加时黄道斗一十八度六十一分六十八秒黄赤道差一度四十六分二十六秒冬正定气一十九日九十一刻二十○分距春正八十九日春正定气四十八日八十二刻一十六分距夏正九十四日夏正定气二十二日五十三刻四十○分距秋正九十四日秋正定气五十六日二十四刻六十四分距冬正八十九日次年冬正定气二十五日一十五刻六十○分距春正八十九日次年春正定气五十四日○六分次年赤道斗二十○度○六分六十秒天正加时黄道斗十八度六十○分四十二秒黄赤道差一度四十六分一十七秒定象限度九十一度三十一分三十○秒春正加时黄道积度一百○九度九十二分九十九秒夏正加时黄道积度二百○一度二十四分二十九秒秋正加时黄道积度二百九十二度五十五分六十○秒冬正加时减分九十五分八十五秒春正加时减分八十二分八十六秒秋正加时减分二十四分六十四秒次年冬正加时减分一十六分三十九秒本年四正夜半日度黄道积度冬正夜半日度斗十七度六十五分八十三秒春正夜半日度积度一百○九度一十○分一十三秒夏正夜半日度积度二百○○度七十三分四十八秒秋正夜半日度积度二百九十二度三十○分九十六秒次年冬正夜半日度斗十八度四十四分○二秒始皇帝十年甲子岁天正冬至即冬正癸未日九十一刻夜半日度斗十七度午中黄道斗十八度午中赤道斗十九度距中度八十四度昏正中壁十度旦正中角四度小寒己亥日一十三刻夜半日度女四度午中黄道女四度午中赤道女五度距中八十五度昏正中胃一度旦正中氐十度大寒甲寅日三十四刻夜半日度虚八度午中黄道危初度午中赤道危一度距中八十七度昏正中昴四度旦正中心三度立春己巳日五十六刻夜半日度黄道危十五度午中黄道危十五度午中赤道室一度距中九十○度昏正中毕十一度旦正中尾九度雨水甲申日七十八刻夜半日度室十四度午中黄道室十四度午中赤道室十六度距中九十四度昏正中井一度旦正中箕一度惊蛰庚子日夜半日度奎二度午中黄道奎三度午中赤道奎五度距中九十六度昏正中井十八度旦正中斗四度春分乙夘日二十二刻夜半日度娄初度午中黄道娄初度午中赤道娄初度距中一百○二度昏正中栁初度旦正中斗二十○度清明庚午日四十四刻夜半日度胃二度午中黄道胃三度午中赤道胃三度距中一百○八度昏正中星五度旦正中牛七度榖雨乙酉日六十五刻夜半日度昴一度午中黄道昴二度午中赤道昴二度距中一百八度昏正中张十五度旦正中女十度立夏庚子日八十七刻夜半日度毕五度午中黄道毕五度午中赤道毕五度距中一百一十一度昏正中翼十六度旦正中危一度小满丙辰日○九刻夜半日度参四度午中黄道参四度午中赤道参三度距中一百一十四度昏正中轸十五度旦正中危十四度芒种辛未日三十一刻夜半日度井八度午中黄道井九度午中赤道井七度距中一百一十六度昏正中亢三度旦正中室十二度夏至丙戌日五十三刻夜半日度井二十二度午中黄道井二十三度午中赤道井二十三度距中一百一十六度昏正中氐十度旦正中奎十二度小暑辛丑日七十五刻夜半日度栁三度午中黄道栁四度午中赤道栁三度距中一百一十六度昏正中心三度旦正中娄五度大暑丙辰日九十七刻夜半日度星五度午中黄道星五度午中赤道星五度距中一百一十四度昏正中尾十度旦正中胃三度立秋壬申日一十八刻夜半日度张十三度午中黄道张十四度午中赤道张十五度距中一百一十一度昏正中斗四度旦正中昴九度处暑丁亥日四十○刻夜半日度翼十一度午中黄道翼十一度午中赤道翼十三度距中一百○八度昏正中斗十六度旦正中毕十六度白露壬寅日六十二刻夜半日度轸六度午中黄道轸六度午中赤道轸七度距中一百○四度昏正中牛一度旦正中井五度秋分丁巳日八十四刻夜半日度角二度午中黄道角二度午中赤道角三度距中一百○一度昏正中女三度旦正中井十一度寒露癸酉日○六刻夜半日度亢五度午中黄道亢五度午中赤道亢五度距中九十七度昏正中虚三度旦正中栁四度霜降戊子日二十八刻夜半日度氐十度午中黄道氐十一度午中赤道氐十一度距中九十三度昏正中危四度旦正中张三度立冬癸夘日五十○刻夜半日度心四度午中黄道心四度午中赤道心四度距中九十○度昏正中室初度旦正中翼四度小雪戊午日七十一刻夜半日度尾十三度午中黄道尾十四度午中赤道尾十三度距中八十七度昏正中室十三度旦正中轸四度大雪癸酉日九十三刻夜半日度斗一度午中黄道斗二度午中赤道斗初度距中八十五度昏正中壁初度旦正中轸十一度此以授时步秦月令间有一二相违数度者大都俱在南方午位正以古今宿分距星代各不同之故不害其为同也又以授时步今万厯己亥歳中积一十一万六千一百四十七日○一刻九十六分天正冬至四十二日○七刻九十六分夜半日度箕四度六十五分为正古今日躔不同其差在消长中详见别简乐记之论乐详矣兹不具释详见别简杂记孟献子曰正月日至可以有事于上帝七月日至可以有事于祖祭綂卫孔悝之铭曰六月丁亥释者云正月周正建子之月日至冬至也七月建午之月日至夏至也周六月夏四月也则周正建子明矣而说者犹谓周未改月何耶周礼一书马融传云始皇禁挟书𨼆藏百年汉武帝除挟书律乃出于山岩屋壁复入于秘府五家之儒莫得见焉至成帝时刘歆校理秘书始著于录畧然亡其冬官一篇以考工记足之时诸儒共排以为非惟歆独识其为周公致太平之迹是矣然林孝存以为末世凟乱不检之书作十论七难以排之何休以为六国隂谋之书胡致堂胡五峰皆以为是王莽令刘歆所撰司马温公苏颖滨晁说之洪容斋皆直谓作于刘歆或谓起于刘歆而成于郑𤣥之附离者或谓多汉儒附㑹者纷纷莫有定拟朱子则曰周礼广大精密乃周公制作之书程氏亦曰周公致治之大法在其中顾其有可疑者汉既除挟书入秘府胡不颁行乃使五家儒莫得见周公摄政制礼遵武王周正建子也胡乃俱用夏正建寅细阅其文信非周公不能作而古文之中间或有汉儒附㑹之者未可知也既有可疑则姑不致详而第举其有关于厯数者数事商之周礼冢宰掌邦治正月之吉始和布治于邦国都鄙郑𤣥注云周之正月建子王介甫亦以为然然其中则俱用夏正如内宰中春诏命妇蚕于北郊媒氏中春令㑹男女皆夘月也司裘季秋献功裘戌月也凌人十二月斩冰天府季冬陈玉贞来歳占梦季冬献吉梦于王皆丑月也司爟季春出火季秋内火辰戌月也山虞仲冬斩阳木仲夏斩隂木子午月也冯相氏冬夏致日春秋致月大司马中春教振旅中夏教茇舍中秋教治兵中冬教大阅子午夘酉月也皆夏正也春秋书春王正月日南至葢子月周以为春故不曰冬至而曰南至孟献子言正月日至七月日至而亦不繋之冬夏者正以子月春午月秋也周礼大司乐合乐以致鬼神示冬日至于地上之圜丘夏日至于泽中之方泽则于子月不言春而直言冬午月不言秋而直言夏矣岂武王初改正朔而周公即不用耶何郑康成王介甫又以正月训为建子月也此不能令人无疑或者周公制礼用周正而汉儒更易以夏正耶皆不可考矣古今律厯考卷七
## 卷八
钦定四库全书
古今律厯考卷八 明 邢云路 撰经八论语考子曰为政以徳譬如北辰居其所而众星共之北极五星其前一明者为太子其二最明者曰帝座三曰庶子四曰后宫其五差逺而不甚明者曰天枢即北极也然北极一星亦非北辰其不动处无星谓之辰就辰傍取一近星识以为极而北极一星尚就近环遶耳自汉至齐梁谈天者皆认北极星为纽星即不动处惟祖暅之以仪测知不动处犹去纽星一度有余自唐至宋又测纽星去不动处三度有余南宋在临安测纽星去极四度半元志则但从三度之说皆尚未定也夫定亦何难即以玑衡度数于纽星就近设管以目力圆转求之百刻一周围圆取中自得不动之处出地几十几度矣北辰出地之度随在不一顺天出地四十度半岳台出地三十五度以渐而南益少也北辰一定以测黄赤道内外勾股去极去地之度乃得其真其四面则经星随天左转日月五纬右转有似于环遶而归向之者故以此譬为政以德无为而天下归之也厯家述厯元之始北辰正位于虚宿𤣥枵之中日月五星皆㑹于子一左旋而七政之行迟速各异胥此一元分布而万代复元不爽矣子张问十世可知也子曰殷因于夏礼所损益可知也周因于殷礼所损益可知也其或继周者虽百世可知也所损益谓文质三统三统者王者受命必改正朔易服色明易姓受之于天示不相袭也正朔有三何本天有三綂谓三㣲之月也明王者受命各统一正敬始重本也朔者苏也革也言万物革更于是故统焉三綂者何谓也天统之正始于子半日萌色赤地统受之于丑初日肇化而黄至丑半日芽化而白人统受之于寅初日孽成而黒至寅半日生成而青故十一月阳气始养根株黄泉之下㣲阳稍动周以仲冬建子为天正色尚赤以夜半为朔为天统十二月地中含养物始萌芽殷以季冬建丑为地正色尚白以鸡鸣为朔为地统十三月万物始达出于地人得加功夏以孟春建寅为人正色尚黒以平旦为朔为人綂不以二月后为正者万物不齐莫适所统故必以三㣲之月也三正之相承若循环然孔子承周之弊行夏之时知继十一月正者当用十三月也暴秦继周乃以十月为岁首于三统之义何居汉武帝始改用夏正至今遵之时正令善此孔子行夏之时意也然四序之始固正于寅而厯数之原则肇于子所谓日月五星皆㑹于子以冬至子半为厯元者达诸千万世而不惑也子贡欲去告朔之饩羊子曰赐也尔爱其羊我爱其礼告朔之礼天子十二月明堂所居各有其所惟闰月乃居门中故字従王在门中诸侯告朔于太庙闰月则居庙门也周道既衰幽王既䘮天子不能班朔春秋书以讥之春秋文公六年经云闰月不告朔犹朝于庙其传曰非礼也不告朔弃时政也葢诸侯先以生羊告于庙谓之告朔后以礼祭宗庙谓之朝庙即以此日聴视此朔之政谓之视朔朝庙小于告朔文公废其大而行其小又不视朔故曰非礼也弃时政也告朔之礼稀绝而饩羊供为具文故子贡欲去之孔子曰我爱其礼谓礼废既久庶明王复兴绍明而稽用之令上无逆天而下不违人以臻于大顺其极使隂阳和平百榖丰成太平治而王瑞至则仲尼之心也汉书载鲁厯不正以闰余一之岁为蔀首故春秋刺十一月乙亥朔日有食之于是申在辰而司厯以为在建戌史书建亥哀公十二年亦以建申流火之月为建亥而怪蛰虫之不伏也自文公闰月不告朔至此百有余年莫能正厯故子贡欲去其饩羊孔子爱其礼而著其法于春秋经曰冬十月朔日有食之传曰不书日官失之也天子有日官诸侯有日御日官居卿以底日礼也日御不失日以授百官于朝言告朔也夫曰以闰余一为蔀首者谓当以闰尽岁为蔀首未尽一岁便为蔀首失正也考襄公二十七年左氏书经十二月乙夘朔日食传十一月乙亥朔日食辰在申司厯过也再失闰矣法推是年乙夘岁十一月交○日七刻入食限朔一十一日二十四刻乙亥日夘时合朔日食以推至十二月无乙亥亦不入食限乃传是而经非也哀公十二年经书冬十二月螽季孙问诸仲尼仲尼曰丘闻之伏而后蛰者毕今火犹西流司厯过也葢言厯官失闰以戌月为亥月故火星犹西流戌九月尚温故得有螽汉书谓以建申月为建亥又称十四年置闰若长厯谓十二年当闰皆非也法推哀公十一年闰二月己夘日合朔无中气十三年闰十一月癸亥日合朔无中气是哀公十一年闰二月十三年闰十一月春秋失之故十二月两书虫仲尼觉之以为司厯过也其讥冬十月朔日食左传以为官失之者桓公十七年之日食也法推桓公十七年丙戌歳十月朔不入交不应食十一月交二十六日八十五刻入食限十一月朔六日五十九刻庚午日未时日食经书十月者乃春秋时不应闰而先闰一月以致误十一月为十月史官见其不合遂不敢书日也故孔子以爱礼存羊之意著其法于春秋以为万世日官日御之戒於戏孔子正两闰之失严春秋之法非聪明圣智达天德者其孰能知之子曰吾自卫反鲁然后乐正雅颂各得其所坤凿度云孔子筮得旅请益于商瞿氏曰子有圣智而无位孔子泣而曰天也命也鳯鸟不来河无图至呜呼天命之也叹讫而后究易删诗正雅颂雅颂者乐之章诗得其所而后乐得其正也是哀公十一年冬孔子自卫反鲁时事夫乐也者圣人之所以感天地通神明安万民成性类者也春秋时陈公子完犇齐陈舜之后韶乐存焉孔子适齐闻韶三月不知肉味曰不图为乐之至于斯美之甚也周道始缺王泽既竭王官失业雅颂相错桑间濮上郑卫宋齐之声并出内则致疾损夀外则乱政伤民故秦穆遗戎而由余去齐人餽鲁而孔子行然乐本性情浃肌肤而臧骨髓虽经乎千载其遗风余烈尚犹不绝故孔子正之孔子删诗三百五篇曰风曰雅曰颂兹不及风者国风多不正之声庙朝所不奏即二南亦用之房中耳若不正之风特存以示鉴戒也故正乐止言雅颂夫乐昉于黄虞而备于成周雅颂之诗皆声依永律和声也厥后秦燔乐经声律几废至汉立为乐府而乐府犹诗之流也如鼔吹等为雅郊祀等为颂房中之乐等则繋之别声正声之余则有琴别声之余则有舞至于怨别仙梵等曲则逸诗之类耳此乐府继三百篇之作而其中溺音腾沸者不少也然古之诗曰歌行后之诗曰古近二体歌行主声二体主文文则工矣其如被之声乐何况其又趋而下者乎嗟乎三百篇邈矣即古乐府之声律亦失其传也悲夫子曰行夏之时颛帝以孟春正月为元其时正月朔旦立春五星㑹于天厯营室也冰冻始泮蛰虫始发鸡始三号天曰作时地曰作昌人曰作乐鸟兽万物莫不应和故颛帝圣人为厯宗也汤作殷厯不以正月朔旦立春为节更以十一月朔旦为元首下至周鲁皆従其节据正四时宜用夏时为正以承尧舜従颛帝故也孔子甞曰我欲观夏道是故之杞而不足徴也吾得夏时焉而说者以为谓夏小正之属葢取其时之正与其令之善也子思告县子曰夏数得天尧舜之所同也殷周征伐革命以应乎天因改正朔夫受禅于人者则袭其统受命于天者则革之以神其事如天道之变也至秦则以建亥为岁首于三统之义何居汉初因之至孝武改用夏时乃得其正然夫子取夏时时正令善可以作事故用之至厯数之推则必溯周正建子之天正为厯元也朱子谓夏时以斗柄初昏建寅之月为歳首若谓凡正月斗柄皆指寅而以斗柄所指为建矣不知建寅者乃寅月以寅日为建而夘则除辰则满二月以夘日为建而辰则除已则满云云非谓斗柄所指为建也斗柄初昏指寅为正月惟古为然而后不然也如今万厯年正月初昏斗柄指丑再千余年则指子久之指亥指戌日渐移而东天渐移而西一正月也斗柄厯十二辰皆可指不必寅也一寅也厯十二月斗柄皆可指此所谓歳差之数天道推迁万世可知者今之人不察厯数而犹拘故常率曰正月斗柄囘寅则胡不一仰观天象乎尧曰咨尔舜天之厯数在尔躬舜亦以命禹迁固史书皆曰尧复重黎之后立羲和之官厯象日月星辰其后以授舜云咨尔舜天之厯数在尔躬舜亦以命禹由是观之王者所重也然则治厯明时以续帝王之统后世不可视为缓图矣孟子考孟子曰七八月之间旱孙奭云周以子月为正夏以寅月为正是知周之七八月即夏之五六月朱子之注是也孟子对齐宣王曰景公召太师曰为我作君臣相说之乐葢徴招角招是也乐有五声宫土音其数八十一其声重而尊君之象也宫乱则荒其君骄商金音三分徴益一以生其数七十二以浊次宫犹臣次君臣之象也商乱则诐其官壊角木音三分羽益一以生其数六十四以其清浊中人之象也角乱则忧其人怨徴火音三分宫去一以生其数五十四以其清事之象也徴乱则哀其事隳羽水音三分商去一以生其数四十八以其最清物之象也羽乱则危其财匮宫数八十一宫弦最大即用八十一丝余以次而降徴招角招乐章之名也葢徴以为事角以为民皆以韶名者亦舜作歌以康庶事鼓琴以阜民财之意也韶乐在齐故以韶名天时不如地利天时谓时日支干五行孤虚王相之属也如春属木甲乙木生丙丁火是木王而火相王取旺义相辅义王之次也金至此则衰而孤无辅助之义即四废也水为母木为子子实则母虚水至此则虚矣余倣此昔周武王犯岁星以伐商魏太祖以甲子日破慕容皆天时也且天时亦多矣若布䇿灼龟迎日计月望云占风观星候气以察吉凶以明利害不一而足也然于厯象有闗焉七政之躔度失次将有以𤣥枵为星纪以甲子为乙丑者以占胜负不亦舛乎信厯之不可不及时正也师旷之聪不以六律不能正五音前汉律厯志云十二律黄帝之所作也黄帝使伶伦自大夏之西昆仑之隂取竹之嶰谷生其窍厚均者断两节间而吹之以为黄钟之宫制十二筩以聴鳯之鸣其雄鸣六䳄鸣亦六比黄钟之宫而皆可以生之是谓律本律十有二阳六为律阴六为吕律以统气类物曰黄钟大蔟姑洗蕤宾夷则无射吕以旅阳宣气曰大吕夹钟仲吕林钟南吕应钟以此律吕节五音之上下五音宫商角徴羽也声之长而浊者为宫以渐而清且短则为商为角为徴为羽葢以三分损益隔八相生十二律旋相为宫尚书所云律和声是也以律配厯则黄钟为子为冬至而大吕为丑为大寒以次推之耳详见别简岁十一月徒杠成十二月舆梁成周十一月夏九月建戌之月周十二月夏十月建亥之月也夏令曰九月除道十月成梁营室之中土功其始曰营室中若谓营室十月昏中宜兴土功者不知十月营室昏中古时则然而嗣后不然也如今万厯己亥岁法推天正冬至四十一日夜半日度箕四度是仲冬日在箕四度昏室十一度旦轸七度以步孟冬小雪十月中日在房昏虚中旦张中夫古十月室昏中而今则虚昏中久之天日渐移凡二十八宿十月皆可昏中一室星厯十二月皆可昏中此推步之术万世可知者也天之髙也星辰之逺也苟求其故千岁之日至可坐而致也众星二十八宿丽天不动者为经金木水火土有迟速顺逆者为纬皆星也辰以日月所㑹分周天之度为十二次子𤣥枵丑星纪寅析木夘大火辰夀星巳鹑尾午鹑火未鹑首申实沈酉大梁戌降娄亥娵訾是也上古天正甲子朔夜半冬至日月如合璧五星如连珠皆㑹于子为厯元乃甲子年甲子月甲子日甲子时正初刻无余分也若以今厯推之建寅为正月则甲子月乃年前癸亥岁十一月安得甲子年有甲子月葢古以年前十一月为歳首自天正推之也大都一朞之数三百六十五日四分日之一而其小余差法有消长之不同焉自昔歳差不明至授时始密其法以测景为寔而去积年日法于不用葢歳差随测随变日法摠数耳安能一之若积年乃汉唐以来由今溯古逆推而上至几亿万年见其七曜皆㑹于子也遂定曰厯元殊不知目前岁周之分秒且未必确而何以溯上古试演之将来不数载而即差矣何论章蔀纪元此积年之弊従古一辙也故惟测景观象以正厯元以古之日至考今之日至俾歳差分秒上下契合然后日至一定而月朔之増减五纬之伏见皆禀于日者各得其所而天下之能事毕矣故孟子论日至而以天之髙星辰之逺尽焉至哉言乎考日至之术详见别简孔子曰天无二日天无二日淮南子乃谓尧时十日并出使羿射之夫羿人耳安得射日此妄诞之言也然天有数日则有之史载晋愍帝建兴二年三日相承出于西方而东行五年正月庚子三日并照虹蜺弥天三四五六日俱出并争丁巳亦如其数梁元帝承圣元年十一月丙子有两日俱见唐太宗贞观初突厥有五日并照僖宗干符六年十一月丙辰朔有两日并出而鬭三日乃不见鬭者离而复合也后周显德七年正月癸夘日既出其下复有一日相掩黑光摩荡久之真宗景德元年十二月甲辰日有二影如三日状元顺帝至正十六年三月有两日相荡若然则天有二日矣然非真日也观其曰相承曰相掩曰摩荡曰影状曰离而复合则皆日光之映分而为三五顷之旋复其常仍一日耳何也即厯数之推千岁日躔俱有定度可知日之无两也故曰天无二日伊尹相汤以王于天下汤崩太丁未立外丙二年仲壬四年太甲颠覆汤之典刑史记曰汤在位十有三祀而崩太子太丁蚤卒次子外丙立二年仲壬立四年崩太丁之子太甲立大纪曰成汤生子太丁蚤卒太丁子曰太甲为世嫡孙以伊尹为太保汤崩伊尹奉太甲即位𦵏成汤于亳北程子曰古人谓岁为年汤崩时外丙方二岁仲壬方四岁惟太甲差长故立之也或又曰外丙仲壬亦太丁子也四说不同未知孰是今以意度之太丁之蚤卒与否外丙仲壬之曽立与否外丙仲壬之为太丁弟或子与否外丙之方二岁仲壬之方四岁与否皆不可考但夏商家天下以来皆立嫡以殷世考之自三宗及祖乙祖甲皆立子其立弟者沃丁耳必有所不得已也然遂生乱公仪仲子舍孙而立子言偃问曰礼欤孔子曰否立孙夫孔子殷人也宜知先王之故矣而不以立弟为是况大纪载太甲为汤世嫡孙汤立伊尹为太保以保嫡孙汤甫崩而伊尹即葬汤奉太甲即位若立外丙仲壬伊尹保嫡孙之义谓何何大纪并无一言及外丙仲壬也李淳风推帝王世数邵康节推皇极经世并无外丙仲壬名世従古推厯代纪年诸家不一而足相传至今司天氏亦并无外丙仲壬名世俱云成汤乙未年即位在位十三年丁未年崩太甲戊申年即位在位三十三年庚辰年崩下接沃丁辛巳年即位此以厯考之并无外丙仲壬二君纪年若于汤之下益以二君之六年则羡而不合矣又考之尚书太甲篇云先王顾𬤊天之明命惟尹躬克左右厥辟宅师肆嗣王丕承基绪王拜手稽首曰予既往背师保之训夫伊尹称太甲为嗣王承先王成汤之基绪并不言及二君而太甲称背伊尹师保之训则成汤之立伊尹为太保以保嫡孙而汤崩太甲即嗣位承绪也明矣大纪所载为是也然竹书纪年乃亦有外丙二年仲壬四年年号抑又何也刘贶谓竹书序诸侯皆举谥号录事皆按春秋经传而为乃后人追修非当时正史虽然终为疑窦尔雅考太岁在甲曰阏逢在乙曰旃蒙在丙曰柔兆在丁曰强圉在戊曰著雍在己曰屠维在庚曰上章在辛曰重光在壬曰𤣥黓在癸曰昭阳太岁在寅曰摄提格在夘曰单阏在辰曰执徐在巳曰大荒落在午曰敦牂在未曰协洽在申曰涒滩在酉曰作噩在戌曰阉茂在亥曰大渊献在子曰困敦在丑曰赤奋若月在甲曰毕在乙曰橘在丙曰修在丁曰圉在戊曰厉在己曰则在庚曰窒在辛曰塞在壬曰终在癸曰极正月为陬二月为如三月为寎四月为余五月为臯六月为且七月为相八月为壮九月为𤣥十月为阳十一月为辜十二月为涂夀星角亢也天根氐也天驷房也大辰房心尾也大火谓之大辰析木谓之津箕斗之间汉津也星纪斗牵牛也𤣥枵虚也颛顼之虚虚也北陆虚也营室谓之定娵訾之口营室东壁也降娄奎娄也大梁昴也西陆昴也浊谓之毕咮谓之栁栁鹑火也北极谓之北辰河鼔谓之牵牛明星谓之启明彗星为欃枪奔星为彴约性理附周子曰太极动而生阳静而生隂阳变隂合而生水火木金上五气顺布四时行焉夫曰水火木金土者洪范之序也曰五气顺四时行者厯数气朔之序也张子正蒙论恒星不动繋乎天运旋而不穷日月五星逆天而行并包乎地金水附日而行皆是若云镇星地类亦不纯繋乎地夫镇虽土乃在天之星与繋地不繋地何关张子论月受日光交则光为之食是也至集释所谓日月交㑹一在角亢一在奎娄日月常食于此仲康时辰弗集于房则又不在角亢之间则非矣日月行黄道内南北四十八度东西三百六十五度有竒天首天尾如丝之织何度不交何宿不食而乃谓常食于奎娄角亢且以一房宿之食而疑不在角亢之间何其谬也邵子皇极经世书一元十二㑹一㑹三十运一运十二世一世三十年摠计一元十二万九千六百年分十二限前六限为长后六限为消日一大运而进六日月一大运而退六日以为闰差故有三百六十六日又云一歳之中六隂六阳三年三十六日故三歳一闰五年六十日故五歳再闰葢言一岁之中于常数退六日为隂进六日为阳一年共十二日三年三十六日成一闰五年六十日成二闰此邵子就成数约言天地消息之大数未悉其分秒也夫一朞三百六十五日有竒而邵子但曰三百六十六日气盈朔虚各五日有竒共十日有竒而邵子但曰退六日进六日共十二日一闰再闰各有日下不及全数之分秒而邵子但曰三十六日六十日此俱就成数约言之如孔子之论易所谓揲四以象四时归竒以象闰三百六十当期之日云然而并未详及厯数之分秒也厯数之分秒随时各异须以测验得之古厯测验未精所以厯代皆疎至祖冲之与郭守敬以表测天乃得其数继此随时测验以合天道乃为真耳故易曰泽火革君子以治厯明时革之言改治厯革之大者也后人不知此义遂有谓以三百六十年差三六之数为消长者有谓以先天九十一年却一度中天九十年却一度后天八十一年却一度为消长者俱附为邵子之岁差不直于歴不协而且无当于尧夫之本文朱子易学启蒙一卦变六十四卦六十四卦变四千九十六卦方图圆图以干兑离震巽坎艮坤错综相演其数皆易知也而律厯之配合在焉其大衍揲筮之义则详见周易考蔡季通律吕新书详见律吕考朱子论合朔之时日月之东西虽同在一度而月道之南北或差逺于日则不蚀或南北虽亦相近而日在内月在外则不蚀正如一人秉烛一人执扇相交而过一人自内观之其两人相去差逺则虽扇在内烛在外而扇不能掩烛或秉烛者在内而执扇者在外则虽近而扇亦不能掩烛此论似是而非夫曰日月东西虽同度而月道南北差逺于日如秉烛执扇差逺则不能掩而不食是也其曰南北虽相近而日在内月在外则不蚀如秉烛在内执扇在外虽近扇不掩烛则非矣葢扇譬则月也烛譬则日也烛日在内扇月在外无论逺近自然不掩然而日无在内之理何则天在外日在天内月又在日内一定之体也则岂有日在内而月反在外者耶以此喻蚀不相蒙矣程子曰洛下闳作厯言数百年后当差一日何承天立差法以所差摊在所厯之年看岁差几分后亦不定独邵尧夫差法冠绝古今于日月交感之际以隂阳亏盈求之遂不差今以厯考之従古岁差多不过八九十年差一日未有数百年方差一日者洛下闳造太初厯曰造厯后八百岁当差一日必有圣人正之此妄言也何承天以百年差一日亦失之过后之作厯者渐次减之颇合天数然皆以圭晷寔测乃得其真也至于尧夫则但以成数约言消长之法未曽立岁差之分秒夫既无差法则冠绝之妙隐而未发耳蔡季通言天运行度其行之差处亦是常定其言是也朱子谓古厯法疎阔而差少今厯愈密而愈差譬之两手量卓界限濶则差少界限密则愈差又言康节厯十二万九千六百分今厯只是万分他如何肯用十二万分殊不知古厯疎阔其差逺甚以后渐密渐近愈密方亲此厯代以来厯数之可考者也考康节未尝以十二万九千六百分为岁差今厯亦未以万分为岁差其曰万分者乃以一日分为万分也一日万分十二万余年乃四千余万分分岂止十二万分耶濳室陈氏论厯数止是司天家所传大槩之数其分秒亦未详朱子曰月体常圆无阙但受日光为明晦日则月与日相叠初三方渐渐离去人在下侧看见其光阙至望则月日相对人在中间正看则其光圆是也朱子谓月中桂树蛙兎之传其惑久矣其中微黒之处乃山河大地之影足破千古之疑其言似乎有理但出佛家言未得其实縦属有理阙之可也朱子论望月与日正对月为暗虚所射故蚀虽是阳胜隂毕竟不好若隂有退避之意则不相敌而不食矣考従古日月交食有一定之行度无退避不食之说朱子论北极在紫㣲者为枢常居其所若太㣲之在翼天市之在尾摄提之在亢各与其宿同其运行是也张横渠言日月五星亦随天转如二十八宿随天而定皆有光芒五星逆行而动无光芒似是而非也葢二十八宿皆丽于天左旋随天转大星乃有芒七政皆逆行五星甚大乌得无芒朱子谓北辰傍一小星谓之极近辰也动其说是邵子曰厯不能无差今之学厯者但知厯法不知厯理能布筭者落下闳也能推步者丼公石公也落下闳但知厯法扬雄知厯法又知厯理朱子曰冬至起牵牛一度右行周十二次尽斗二十六度复还牵牛之一度而厯更矣牵牛火位星纪水位日月交㑹于此泽中有火之象也此上元太初起厯之元在卦气为三月太𤣥准之此言皆非也丼石之术不传亡论已落下闳以四分布厯疎阔太甚非知厯法者若扬雄则不知厯法亦不知厯理考扬雄太𤣥本于卦气卦气出于易纬图与周易乾坤凿度焦赣传之京房扬子云倣之以作太𤣥太𤣥之数皆厯数也太𤣥准易易始于太极𤣥始于浑仪易以一生二二生四四生八八八六十四极之三百八十四葢对待言之也𤣥以一生三三生九九九八十一极之七百二十九葢犄角言之也首准卦賛准爻测准象准其体𤣥冲准序卦𤣥错准杂卦𤣥数准说卦𤣥文准文言𤣥攡莹准系辞准其文阳萌黄宫信在其中卦起中孚律起黄钟度起牵牛周象复应七日来复以合太初厯十一月朔旦冬至无余分𤣥之首賛皆本五行自中而周以至于养中为一水周为二火礥为三木闲为四金少为五土戾又为六水上又为七火干又为八木〔？〕又为九金自羡而起又为一水以至于养凡八十一首𤣥始于十八终于五十四并始终策半之为泰中泰中之数三十有六以律七百二十九賛凡二万六千二百四十四策为太积七十二策为一日凡三百六十四日有半踦满焉以合岁之日而律厯行故自子至辰自辰至申自申至子冠之以甲而章㑹统元与月蚀俱没𤣥之道也故𤣥察龙虎之文观鸟龟之理巡乘六甲与斗相逢以莹方州部家一辟三公九卿二十七大夫八十一元士其以为律吕三分损益隔八相生子午之数九丑未八寅申七夘酉六辰戌五巳亥四律四十二吕三十六凡七十八甲己之数九乙庚八丙辛七丁壬六戊癸五声生于日律生于辰声律相协而八音生𤣥月遄而日湛五生不相殄乃相继不相逆乃相治日不南不北则无冬夏月不徃不来则望晦不成圣人察乎朓侧匿之变而律乎日月雄雌之序然后为鬼神神游乎六宗上连下连神明不穷故有宗祖者称乎孝序君臣者称乎忠寳告大训此太𤣥之㫖也於戏果若而言大哉𤣥也斯其至矣谁得而訾议之然而皆非也卦气出易纬即稽览图谓孔子所作至六国时始出然非孔子所作后人伪为之者周易乾坤凿度与先天乾坤凿度不同先天为上古先文周易凿度亦假孔子之言后人伪为之也焦京衍卦气以卦直日配公侯卿大夫而六日七分之说生焉易凿度称孔子曰太易者未见气也故曰浑沦易变而为一一变而为七七变而为九卦当岁爻当月策当日日辰生音律中孚为阳贞于十一月厯以三百六十五日四分日之一为一岁归于大周太𤣥曰驯乎𤣥浑行无穷正象天隂阳㘩叅浑浑天也㕘三三而为九也首名中阳气濳萌于黄宫信无不在乎中言土为宫位中央其色黄冬至生于子行属水水色𤣥立为天𤣥在黄中故卦气起中孚信在其中自一而三而九而八十一合公卿诸数皆凿度所谓浑沦中孚阳贞一变为九比象公卿之说也太𤣥冬至日起牛应中孚七日来复周象复应太初甲子朔旦冬至无余分以三百六十五日四分日之一积数以元除尽即凿度中孚贞于十一月斗分四分日之一归于大周律厯相得之说也不知太极生两仪隂阳对待其数乃成大易言之巳悉何必专用九九之竒数以为𤣥谓冬至牛一度应中孚六日七分为七日来复之数应周象复周时冬至在牛宿然冬至日起牛一度惟周时为然下而汉唐冬至日在斗至今冬至日在箕千万世皆不同岂周象复雄乃以牛为复卦为周象复为太𤣥起厯之秘妙可乎冬至起牵牛既非一定之数则朱子所谓至起牵牛周还牵牛而以牛火丑水为革之象无取矣𤣥厯应太初以元除尽此正太初四分法也颛顼厯用四分法乃汉儒伪为之落下闳以四分法作太初厯以天度为日度疎阔太甚一跬歩不可行太初天正朔旦无余分以法推太初元年丁丑岁十一月壬子气朔皆有余分定朔分二十九日七十二刻得癸巳日酉时合朔冬至分五十七日六十四刻得十一月二十九日辛酉申时冬至因非至朔同日亦非无余分扬子以此为太𤣥第一义其原即差矣𤣥有一一一二一三二一二二二三三一三二三三合为十八䇿有天𤣥地𤣥人𤣥天地人之数各十八合为五十四并始于十八终于五十四为七十二半之三十六为泰中以律法七百二十九賛乘之而生二万六千二百四十四策为太积七十二䇿为一日凡三百六十四日半即自中至养之数也以揆厯度不周颛顼太初二厯四分日之三故𤣥虚嬴分为二賛以满𤣥数三百六十五日四分日之一故𤣥之有踦满犹岁之有闰月满二賛以合岁之日而律厯行葢以厯之全数凡三百六十五日四分日之一今每首九賛二賛当一昼夜合八十一首之賛七百二十九仅足当三百六十四日半外增一踦賛属水以当半日又立一嬴賛属火以当四分日之一共足七十五刻强名曰闰以成三百六十五日余二十五刻为四分日之一之数为岁尽于亥及子复生故曰岁数足则年安寜不足为恙而年病以十九年七闰为天之偿其病也曰自子而辰而申而子冠之以甲章㑹统元与月蚀俱没者太初上元正月甲子朔旦冬至无余分后千五百三十九岁甲辰朔旦冬至无余分又千五百三十九岁甲申朔旦冬至无余分又千五百三十九岁复得甲子朔旦冬至无余分十九岁为一章二十七章五百一十三歳为一㑹㑹者日月交㑹一终也八十一章千五百三十九歳冠之以甲従甲子至甲辰甲辰至甲申甲申复至甲子凡四千六百一十七歳为一元元有三统统有三㑹㑹有二十七章九㑹二百四十三章置一元之数以章㑹三统凡九㑹统数除之没尽一章闰分尽一㑹月食尽一统朔分尽一元六甲尽𤣥之道乃原与太初相应亦有颛顼之厯焉雄推至此以为𤣥不知此数皆汉厯志所载太初四分厯累推之数也且二賛补数以为闰余夫四分原属乖舛而雄强名二賛以合闰数临川呉氏以为劳且拙诚然矣龙虎鸟龟四时四神也日行乘六甲厯四时周而复始以成歳事日右斗左日周而复逢斗分小则为一年大则为一元皆四分数也以莹三方九州二十七部八十一家而一辟三公九卿二十七大夫八十一元士寔象之皆一三九之数以治律吕亦一三九之数黄钟起于子天之一故参子之一于丑为三参丑之三于寅为九参寅之九于夘为二十七参夘之二十七于辰为八十一参辰之八十一于巳为二百四十三参巳之二百四十三于午为七百二十九由午以及未申酉戌亥则得十七万七千一百四十七三分损益隔八相生之数在焉皆汉律厯志之旧文也其论隂阳数也曰子午九丑未八寅申七夘酉六辰戌五巳亥四葢以黄钟起子为十一月干始初九午为五月子宫之冲也故数俱九以子丑寅夘辰巳月对午未申酉戌亥月分九八七六五四之数皆以对冲言也阳属律九七五而倍之故四十二隂属吕八六四而倍之故三十六并律吕之数得七十八子之数九甲为子干巳为甲妃甲与巳合故随子称九丑数八乙丑之干妃为庚随丑称八丙辛丁壬戊癸之数亦如之五声生于十日甲乙角也丙丁徴也戊己宫也庚辛商也壬癸羽也十二律生于十二辰子黄钟至亥仲吕也而金石丝竹匏土革木之八音生此声律之数人皆知之者月遄疾而日湛舒五行相生不相殄绝五行相克不相忤逆相继为父子相治为君臣日南北以运四时月徃来以成晦朔故圣人察朓侧匿之变而律日雄月雌徃来之序斯为神子之孝父臣之忠君大训在焉夫惟圣人能律斯为神为忠孝扬雄能律岂不圣神忠孝然而晦月见而朓朔月见而侧匿皆四分步厯之误朔非其朔晦非其晦非圣人所律之神也四分失气朔分秒之差无盈缩迟疾之序臣子之支派紊乱不明而何以事君父圣神忠孝无一可者而称曰𤣥𤣥之言渊也妙也渊则不滞妙则当可而四分亡是也昔人谓问扬雄竒字乃若竒字则有之如北冬东春南夏西秋仍复于北之义以罔直蒙酋㝠之字当之考古尧舜周孔诸大圣何尝作此竒字雄甚者幽摉艰字结撰澁文令人骇目视为𤣥竒而雄且解嘲谓非尚白然其实无他竒也况易道广大孔子末年学易始继三圣以卒大业雄何人斯而敢于抄冩太初更名太𤣥准易体准易文系籍圣贤侮弄造化岂非妄作愚故曰扬雄不知厯法亦不知厯理者也昌黎不知而尊为圣人之徒平子不知而拟为五经之书君山不知而叹以绝伦君实不知而为之诠释乃邵康节以明理之儒亦惑其说亟称落下闳改颛帝厯为太初扬子云准太初厯为太𤣥而曰太𤣥知天地之心殊不知颛帝太初太𤣥皆四分之误也邵子论闰亦曰十九年七闰无余分则即太初一章闰分尽以至一元六甲尽皆无余分之说然据四分筭则无余分而四分疎阔不可以为厯以密合法筭则推之万亿年犹有余分也十九年云乎哉善乎刘歆曰太𤣥用复酱瓿何承天曰扬雄采三统四分之疎阔为太𤣥不知而妄言程子曰太𤣥本要明易却晦于易真屋下架屋床上叠床亦赘矣杨龟山曰子云作太𤣥只据他立名便不是既定却三方九州二十七部八十一家不知如何相错的朱子曰圣人说天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十甚简易太𤣥以三数乘之皆筭不著便零星补凑的甚拙支离不成物事太𤣥准焦延夀卦气焦延夀也不成物事今时沈蛟门曰太𤣥以牵牛起冬至上施徃古则失之于𤣥枵下施今兹则失之于龙尾安在为考之混元而𤣥巳生穷之天地之委而𤣥不可亡耶又曰圣人所谓象时象闰当朞之日曰象曰当适相应㑹之词耳此乃观易于既画之妙而非谓易之所由作也如经言三百六十止举其槩岂一一宻合哉其言则皆是大都羲文周孔四圣之易与天为一而后之言易者如包元凖火珠林以三十六数拟易关朗凖易数以七百二十治厯蔡季通凖洪范以九九之数演皇极司马君实凖河图以七十蓍作濳虚非不亦合象数然以视四圣悉赘疣也则亦无庸为矣程子曰日月一也岂有日髙于月之理月不下日与日正相对故食斯言非也日髙于月月由下而过月体掩日掩几分则食几分掩尽则食既非日月正相对而食也朱子曰长庚水星启明金星金在日西日将出则东见水在日东日将没则西见斯言非也长庚启明皆金星也先日而东见为启明后日而西见为长庚皆一星也金水皆附日而行水亦有时而先日东见后日西见但其去日之度水近而金逺耳濳室陈氏曰上元太初四千六百十七歳巳尽都无丝髪余是十一月甲子夜半冬至汉元封七年适当其时故定厯元此太初太𤣥四分之说也而岂知其有余分乎古今律厯考卷八
## 卷九
钦定四库全书
古今律厯考巻九 明 邢云路 撰歴代一歴代考皇帝纪太昊伏羲氏继天而王为百王先首徳始于木故为帝太昊作罔罟以田渔取羲牲故号庖牺氏作五运二十四气以支干配十二辰六甲而天道周矣作荒乐歌扶徕咏罔罟以镇天下之人命曰立基斵桐为琴绳丝为弦弦二十有七命曰离徽以合天人之和𫄠桑为三十六弦之瑟以修身理性反其天真而乐音自是兴焉干凿度曰上古圣庖牺氏颐乾道浩大以天门为名干训健壮健不息日行一度凿者开也圣人凿开天路断气为二縁物成三天地之道不□轮薄不息以启三光变文为字变气为易画卦为象象成设位☰(古文天字)☷(古□)(地字)☴(风字)☶(山字)☵(水字)☲(火字)☳(雷字)☱(泽字)干为天门坤为人门巽为风门亦为地户艮为鬼㝠门庖牺氏画四象立四隅以定群物发生门而后立四正四正者定气(即分至四正气)一日月出没二隂阳交争三天地德四正月坎水日离火雷震木日月出入门日出震月入于震泽金兑日月徃来门月出泽日入于泽天数二十五地数三十天地合和数五十五所用法古四十九六而不用驱之六虚坤凿度曰制灵经曰天有九道(日月经厯之道)坤有四㝠(象化气成)乾坤在道日月相将山坟伏牺皇筞辞皇曰命子英居我潜龙之位主我隂阳甲厯咨于四方潜龙昊英氏进厯于君厯起甲寅皇乃鸠众升传教台咨告于民俾知甲厯日月岁时自兹始炎帝神农氏以火承木故为炎帝教民耕农故号神农氏分八节以始农功作乐名扶持亦名下谋气坟神农氏政典皇曰正天时时正惟四乱时不植气正惟和气乱作疠嗟尔有官咸若我辞黄帝有熊氏以土承火故为土德始垂衣裳有轩冕之服故号轩辕氏黄帝创受河图设灵台使羲和占日常仪占月鬼臾蓲占星伶伦造律吕大挠作甲子𨽻首作筭数容成综此六术以考气运定纳音天以六节地以五制司天气者六期为备终地纪者五岁为周五六合者三十岁七百二十气为一纪六十岁千四百四十为一周于是有天地神祗物类之官是谓五官各司其序作盖天以象天形起消息察发敛以作调厯岁纪甲寅日起甲子是岁己酉朔旦日南至而获神策宝鼎焉乃迎日推策造十六神厯置闰设蔀时惠而辰从律度量衡由是而成民以是能有信神以是能有明德民神异业敬而不凟故神降之嘉生民以物享灾祸不生所求不匮命伶伦自大夏之西昆仑之隂取竹于嶰谿之谷以生空窍厚匀者断两节间吹之以为黄钟之宫制十二筩以听鳯凰之鸣其雄鸣六雌鸣亦六生六律六吕半之为清声倍之为缓声三分损益还相为宫以配十二月以立宫商角徴羽之声作五钟青曰大音赤曰重心黄曰洒池黒曰𨼆常白曰景钟作咸池之乐以张于洞庭之野言其德象池水周遍也(唐至德二年洞庭侧有穿地得古钟有古篆文黄帝时乐器)形坟轩辕氏政典皇曰岐伯天师尔司日月星辰隂阳厯数尔正尔考无有差贷先时者杀不及时者杀尔惟戒哉少昊金天氏承土以金德王故号金天氏鳯鸟适至因以鸟纪官鳯鸟氏为厯正𤣥鸟氏司分伯赵氏司至青鸟氏司启丹鸟氏司闭作大渊之乐以谐神人和上下颛顼高阳氏承金以水德王以少昊之四子重为木正曰勾芒该为金正曰蓐收修熈皆代为水正曰𤣥㝠又以炎帝之子勾龙为土正而帝之孙黎为火正曰祝融分治五方是为五官因少昊氏衰九黎乱德家为巫史民凟于祀乃命南正重勾芒司天以属神北正黎祝融司地以属民使复旧常无相侵凟是谓绝地天通始为仪制验其盈虚升降制厯正以孟春是岁正月己丑朔旦立春五星会于营室是为厯宗命飞龙氏会八风之音作承灵之乐名曰六茎茎根也谓泽及根荄也帝喾高辛氏承水以木德王式序三辰命咸黒作六英之乐六英言天地四时之英华也厯日月而迎送之帝尧陶唐氏承木以火德王因三苖服九黎之德二官咸废厥职闰余乖次孟陬殄灭摄提无纪厯数失序乃复育重黎之后羲氏和氏命作浑仪厯象日月星辰置闰成岁敬授人时名朞曰载年耆禅舜曰天之厯数在尔躬舜摄政在璇玑玉衡以齐七政取北斗第二星名璇第三星名玑第五星名衡之义即尧浑仪王蕃云浑天仪者羲和之旧器也协时月正日同律度量衡俱详见尚书考中尧命䕫作大章之乐大章章之也谓帝德显暴也重黎欲益求人舜曰一䕫足矣舜造五弦琴歌南风之诗九叙惟歌作箾韶九成之乐韶之言绍谓继绍唐尧也是时十日并出尧使羿缴大风于青邱之泽上射十日此淮南子妄诞之言也羿人耳安能射日然天有数日则有之歴代日有二三或数者每书之史册皆其日光之映非真日也然旋复其常仍一日耳何也即厯数之推千岁日躔的有定度以斯知日之无二也帝舜有虞氏承尧以土德王让天下于禹三王纪伯禹夏后氏承舜以金德王改载曰岁颛顼以来尧舜皆用寅正禹因之故称夏后氏得人统孔子曰我欲观夏道吾得夏时焉郑康成云夏四时之书也其书存者有小正大戴礼有夏小正一篇盖戴德取以为正也其时正令善后世遵用之大禹声为律以五音听治作大夏乐夏大也言能大尧舜之德也仲康时辰弗集于房详见尚书考中成汤革夏命承夏以水德王号曰商亦曰殷以建丑之月为岁首得地统改岁为祀作殷厯然殷虽改正其编年纪事则仍用夏时祷于桑林而雨岁则大熟作桑林之乐名大护护之言救谓去虐救民也周武王承殷以木德王因纣作滛乐䘮其甲子诛之乃以建子之月为岁首得天统改祀为年作周厯周建子则以子月为正月不用夏时矣吹律听声作大武乐象武功也周公作鲁厯传曰火出于夏为三月于商为四月于周为五月盖夏建寅三月而火出于辰五月而火中于午七月而火流于申十月而火伏于亥商周以次推之是矣然火出之候昔时则然而后不然也天星渐移厯周岁火皆可居则岁差易之非一定矣六厯者黄帝调厯颛帝厯夏厯殷厯周厯鲁厯是为六厯后厯代十一更年五千加以太初三统厯为七厯汉末集七厯以考春秋夏周厯与汉艺文志所记不同故更名真夏厯真周厯夫既曰真则必有伪杜预作长厯谓周衰世乱学者莫得其真所传古厯未必是时王之术也预以长厯验春秋日食之数而知三统之最疎盖春秋日食三十六以三统推之止得一食之数姜岌又并夏厯真夏厯周厯真周厯得十三十四食之数其真夏厯真周厯止得一食之数与三统厯同岂其真者反不及非真者欤岌以七厯考古今交㑹信无其验皆由斗分疎之所致宋书议周汉之际畴人丧业曲技竞设图纬实繁或借帝王以崇其大或假名圣贤以神其说是以谶记多虚桓谭知其矫妄古厯舛杂杜预疑其非真按五纪论黄帝厯有四法颛顼夏周竝有二术诡异纷然孰识其正颛顼厯元在乙卯而命厯序云在甲寅夏厯七曜西行特违众法汉人以为后人所造殷厯日法九百四十而干凿度云殷厯以八十一为日法春秋书日食朔二十六其所据厯非周则鲁以周厯检之失二十五鲁厯检之失十三诸凡如此是尚可以为厯也乎大都六家之厯率皆六国及秦时汉初人所造六术斗分并同四分四分之法其分太多率皆后天以步朔日或差二日三日上不可检于春秋下不验于汉魏其非三代以前之厯明甚及考四分之法终汉之世皆同或者汉人欲实已四分之真故假作六厯以古附今未可知也不然岂有帝王制厯而一槩疎阔至此耶汉书称武王元年一月戊午师渡于孟津明日己未冬至至庚申二月朔日也四日癸亥夜陈五日甲子昧爽而合以授时推武王元年己卯岁距元至元辛巳二千四百二年中积八十七万七千三百一十八日二十四刻九十八分天正冬至五十六日八十一刻得庚申日戌初一刻冬至一月子月定朔二十九日九十四刻癸巳日亥时合朔以歩至二月丑月定朔五十九日五十七刻癸亥日未时合朔则二月一日癸亥二日甲子也以是知武王于一月二十六日戊午渡孟津二十七日己未二十八日庚申冬至大尽二月一日癸亥至商郊二日甲子伐商非己未冬至亦非二月庚申朔也盖汉厯斗分太多故推冬至差一日推朔差三日考太公六韬太公告武王曰律管十二其音有五宫商角徴羽也以天清浄无隂云风雨夜半遣轻骑徃至敌人之垒去九百歩外徧持律管当耳大呼惊之有声应管其来甚微角声应管当以白虎徴声应管当以𤣥武商声应管当以朱雀羽声应管当以勾陈五管声尽不应者宫也当以青龙此五行之符佐胜之徴也微妙之音皆有外候敌人惊动则听之闻枹鼓之音者角也见火光者徴也闻金铁矛㦸之音者商也闻人啸呼之音者羽也寂寞无闻者宫也此五音者声色之符也由是观之律音通于兵法周礼冯相氏掌十有二岁十有二月十有二辰十日二十有八星之位辨其叙事以㑹天位冬夏致日春秋致月以辨四时之叙保章氏掌天星以志星辰日月之变动以观天下之迁辨其吉凶以星土辨九州之地所封封域皆有分星以观妖祥以十有二岁之相观天下之妖祥以五云之物辨吉凶水旱降丰荒之祲象以十有二风察天地之和命乖别之妖祥凡此五物者以诏救政访序事大司乐掌成均之灋以治建国之学政而合国之子弟焉凡有道者有德者使教焉以乐德教国子中和祗庸孝友以乐语教国子兴道讽诵言语以乐舞教国子舞云门大巻大咸大㲈大夏大濩大武以六律六同五声八音六舞大合乐以致鬼神示以和邦国以谐万民以安宾客以悦逺人以作动物乃分乐而序之以祭以享以祀乃奏黄钟歌大吕舞云门以祀天神乃奏太蔟歌应钟舞咸池以祭地示乃奏姑洗歌南吕舞大㲈以祀四望乃奏蕤宾歌函钟舞大夏以祭山川乃奏夷则歌小吕舞大濩以享先妣乃奏无射歌夹钟舞大武以享先祖凡六乐者文之以五声播之以八音凡六乐者一变而致羽物及山川之示再变而致臝物及山林之示三变而致鳞物及邱陵之示四变而致毛物及坟衍之示五变而致介物及土示六变而致象物及天神凡乐圜钟为宫黄钟为角太蔟为征姑洗为羽雷鼔雷鼗孤竹之管云和之琴瑟云门之舞冬日至于地上之圜邱奏之若乐六变则天神皆降可得而礼矣凡乐函钟为宫太蔟为角姑洗为徴南吕为羽灵鼓灵鼗孙竹之管空桑之琴瑟咸池之舞夏日至于泽中之方邱奏之若乐八变则地示皆出可得而礼矣凡乐黄钟为宫大吕为角太蔟为徴应钟为羽路鼓路鼗隂竹之管龙门之琴瑟九德之歌九㲈之舞于宗庙中奏之若乐九变则人鬼可得而礼矣周公摄政四年以土圭之灋测土深正日景以求地中日南则景短多暑日北则景长多寒日东则景夕多风日西则景朝多隂日至之景尺有五寸谓之地中天地之所合也四时之所交也风雨之所会也隂阳之所和也然则百物阜安乃建王国焉制其畿方千里而封树之此就四方测景以求地中也南近日则景短而暑北逺日则景长而寒东近海故景夕多风西近山故景朝多隂故必求南北之中而复求东西之中然后当东西南北各九十一度之中春秋分昼夜各五十刻夏至日在嵩高之南十二度南戴日下表南表北皆无景在今之交广周公于洛阳天地之中立八尺之表以测夏至日景尺有五寸测冬至日景一丈三尺有竒乃建王国于中故曰南望三涂北望岳鄙顾瞻有河粤瞻洛伊是也后之测日景者取则焉汉书称武王即位十一年周公摄政五年正月丁巳朔旦冬至殷厯以为六年戊午以授时推周公摄政五年乃六年庚寅岁前天正距元至元辛巳二千三百九十一年中积八十七万三千三百日三十一刻六十八分天正冬至五十四日七十四刻四十三分得戊午日未初三刻冬至日躔牛宿四度为是殷厯谓六年前天正戊午冬至同汉厯推丁巳亦犹推武王元年冬至之先天一日也若以大统推是年甲子卯初三刻冬至日躔女三度则相差六其日在天违六度余失益逺矣按国语虢公告周宣王曰䢉祥晨正日月底于天庙注䢉祥房星晨正谓立春之日晨中于午位也䢉事之候故曰䢉祥底至也天庙营室谓孟春之月日月会于营室也考孟春䢉祥晨正日月会于营室周宣时则然久之天日渐移十二月皆可䢉祥辰正日月皆可会于营室非一定也如今万厯年间孟春日月会于尾昏毕中旦房中去周宣一千五百余年退天二十六度有竒矣周幽王六年十月之交日食详见诗经考中春秋日食三十六并厯数俱详见春秋考中单子过陈归告周定王曰辰角见而雨毕天根见而水涸本见而草木节解驷见而陨霜火见而清风戒寒故先王之教曰雨毕而除道水涸而成梁草木节解而备藏陨霜而冬裘具清风至而修城郭宫室故夏令曰九月除道十月成梁其时儆曰营室之中土功其始今陈国火朝觌矣而道路若塞是废先王之教也其能久乎九年楚子入陈注辰角角星建戌之初朝见东方寒露节雨气毕也天根氐亢之间也雨毕后五日天根朝见秋水始涸本氐也寒露后十日氐见草木之枝节皆理解也天驷房星建戌之中房见霜始降火心星火见霜降之后清风至所以戒人为寒备也故九月雨毕而除道十月水涸而成梁季秋节解农事备藏将冬陨霜冬裘具火见之后建亥之初修城郭宫室建亥小雪之中营室定星昏正于午土功乃兴今陈国十月心星辰见于晨而道茀不可行是废先王之教也考时至事起若单子所云诸令惟周宣时为然久之各异与上䢉祥晨正日月底于天庙同景王将铸无射问律于泠州鸠对曰律所以立均出度也(均均钟木长七尺有弦系之以均钟度钟大小清浊也)古之神瞽考中声而量之以制(神瞽古乐正知天道者死而为乐祖祭于瞽宗谓之神瞽)度律均钟百官轨仪(度律吕之长短以平其钟立百事之道法故律度量衡于是乎生)纪之以三(天地人)平之以六(六律)成于十二(十二律吕)天之道也(天之大数不过十二)夫六中之色也故名之曰黄钟(十一月曰黄钟干初九也六者天地之中天有六母地有)(五子十一而天地毕矣而六为中黄钟管长九寸九之为八十一故黄钟之数立焉黄中之色也钟之言阳气)(钟聚于下也)所以宣养六气九德也(六气隂阳风雨晦明九德水火金木土榖正德)(利用厚生十一月阳复于下物始萌于五声为宫含元处中所以徧养六气九德)由是第之(次也)二曰太蔟所以金奏赞阳岀滞也(正月曰太蔟干九二也管长八寸太蔟言)(阳气太蔟达于上也太蔟正声为商金奏佐阳发出滞伏也)三曰姑洗所以修洁百物考神纳宾也(三月曰姑洗干九三也管长七寸一分姑洁洗濯考合也于正声为角是月百)(物修洁故用之宗庙合致神人用之享宴可以纳宾)四曰蕤宾所以安靖神人献酬交酢也(五月曰蕤宾干九四也管长六寸三分蕤委蕤柔貌言隂气委蕤于下阳气盛长于上有)(似宾主故用宗庙宾客以安静神人行酬酢也酬劝酢报也)五曰夷则所以咏歌九则平民无贰也(七月曰夷则干九五也管长五寸六分夷平则法也言万物既成可法则也故)(可以咏歌九功之则成民之志使无疑贰)六曰无射所以宣布哲人之令德示民轨仪也(九月曰无射干上九也管长四寸八分宣徧轨道仪法也九月阳气收藏万物无射)(见者故可以徧布前哲之令德示民道法)为之六间以扬沈伏而黜散越也(六间六吕在阳律之间沈滞越扬也吕隂吕所以侣间阳律成其功𤼵扬滞伏之气而去散越者也)元间大吕助宣物也(十二月曰大吕坤六四也管长八寸四分隂系于阳以黄钟为主故曰元间以)(助阳宣物也天气始于黄钟萌而赤地受之于大吕牙而白成黄钟之功也)二间夹钟出四隙之细也(二月曰夹钟坤六五也管长七寸四分隙间也四隙四时之间气微细者春为阳中万物)(始生故夹钟出四时之微气)三间中吕宣中气也(四月曰中吕坤上六也管长六寸六)(分阳气起于中至四月宣散于外纯干用事故曰正月正月正阳之月也)四间林钟和展百事俾莫不任肃纯恪也(六月曰林钟坤初六也管长六寸林众钟聚也于正声为徴展)(审肃速纯大恪敬也言时务和审莫不任其职事速其功大敬其职也)五间南吕赞阳秀也(八月曰南吕坤六二也管长五寸三分于正声为羽南任也隂任阳事助阳秀发)六间应钟均利器用俾应复也(十月曰应钟坤六三也管长四寸七分应隂应阳用事万物钟聚均)(利百官器用皆应其礼复其常也)律吕不易无奸物也故先王贵之王曰七律者何(周有七音黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为徴南吕为羽应钟为变宫蕤宾为)(变徴)对曰昔武王伐殷岁在鹑火(鹑火周分野武王伐殷东行时殷之十一月戊)(子于夏为十月是时岁星在张张鹑火也)月在天驷(天驷房星也谓戊子日月宿房)日在析木之津(津天汉也析木其间为汉津谓戊子日日宿箕)辰在斗柄(辰日月之会斗柄斗前也)(谓戊子后五日得周正月癸巳朔于殷为十二月夏为十一月是日月合辰斗柄前)星在天鼋(星辰)(星也天鼋次名一曰𤣥枵为天鼋谓周正月朔辰星在须女伏天鼋之首武王发行二十六日戊午渡孟津距)(戊子三十一日二十八日庚申冬至二月一日癸亥二日甲子伐商)星与日辰之位皆在北维(星辰星辰星在须女日在析木辰在斗柄皆在北维北维北方水位也)颛顼之所建也帝喾受之(颛顼帝喾所代也帝喾周之先祖后稷所出也颛顼水德之王立于北方帝喾木德)(故受之于水今周亦木德当受殷之水犹帝喾之受颛顼也)我姬氏出自天鼋(姬氏周姓)(天鼋即𤣥枵齐之分野也周之皇妣王季之母大姜者逢伯陵之后齐女也故言出于天鼋又曰有星出于须)(女姜氏任氏实守其祀)及析木者有建星及牵牛焉(析木日辰所在建星在牵)(牛前谓从辰星所在须女天鼋之首至析木之分歴建星及牵牛皆水宿言得水类也)则我皇妣大姜之姪伯陵之后逢公之所冯神也(皇居也生曰母死曰妣大姜大)(王之妃王季之母姜女也女子谓昆弟之子男女皆曰姪伯陵大姜之祖有逢伯陵也逢公伯陵之后大姜之)(姪殷之诸侯封于齐地齐地属天鼋故祀天鼋死而配食为其神主故云冯冯依也言天鼋乃皇妣家之所冯)(依非但合于水木相承而已)岁之所在则我有周之分野也(岁星在鹑火鹑)(火周之分野岁星所在利以伐人)月之所在辰马䢉祥也(辰马谓房心星也心星所)(在大辰之次为天驷驷马也故曰辰马言月在房合于䢉神也祥犹象也房星晨正而䢉氏起故谓之䢉祥)我太祖后稷之所经纬也(稷播百榖故䢉祥后稷之所经纬也晋语曰辰以成善后)(稷是相)王欲合是五位三所而用之(五位岁月日星辰也三所逢公所冯神周)(分野所在后稷所经纬也)自鹑及驷七列也(鹑鹑火之分驷天驷在房岁月之所在从张至)(房七列合七宿谓张翼轸角亢氐房之位)南北之揆七同也(七同合七律也揆度也岁在鹑)(火午辰星在天鼋子鹑火周分野天鼋及辰水星周所出自午至子其度七同也)凡神人以数合之以声昭之(凡合神人之乐以数合之谓取其七以声昭之用律调音)数合声和然后可同也(同谓神人相应)故以七同其数而以律和其声于是乎有七律(七同其数谓七列七同七律也律和其声律有隂阳正变之声)王以二月癸亥夜陈未毕而雨(二月一日癸亥至牧野夜陈师未毕而雨)以夷则之上宫毕之(以夷则为宫声以听军声阳气在上故曰上宫)当辰辰在戍上故长夷则之上宫名之曰羽(长谓先用之也辰时也辰日月之会斗柄也当初陈之时周二月昏)(斗建丑而斗柄在戌上下临其时名其乐为羽羽翼其众也)所以藩屏民则也(羽之义取)(藩蔽民使中法则)王以黄钟之下宫布戎于牧之野(夜陈之晨旦甲子昧)(爽黄钟在下故曰下宫)故谓之厉所以厉六师也(名北乐为厉所以厉六军之众)(也)以大蔟之下宫布令于商昭显文德底纣之多辠(文文)(王也底致也既杀纣入商之都发号施令以昭明文王之德致纣之多辠太蔟所以赞阳出滞盖谓释箕子囚)(㪚鹿台之财发巨桥之粟也太蔟在下故曰下宫)故谓之宣所以宣三王之德也(三王大王王季文王)反及嬴内以无射之上宫布宪施舍于百姓(嬴内地名宪法也施施惠舍舍辠也无射所以宣布哲人之令德示民轨仪无射在上故曰上宫)故谓之嬴乱所以优柔容民也(乱治也)伐商之岁日月辰所在亦惟其时则然久亦各异与䢉祥晨正同晋文公在翟十二年行过五鹿乞食于野人野人举块以与之公怒将鞭之子犯曰天赐也民以土服又何求焉天事必象十有二年必获此土岁在寿星及鹑尾其有此土乎(岁在寿星谓得块之岁鲁僖十六年后十一年岁在鹑尾必有此五鹿地鲁僖二十七年)(岁在鹑尾二十八年岁复在寿星晋文公伐卫)天以命矣复于寿星必获诸侯(岁复在寿星谓鲁僖二十八年是岁四月文公败楚师合诸侯于践土五月献俘于王王策命为侯)天之道也(天之大数不过于二)董因迎晋文公于河公问焉曰吾其济乎对曰岁在大梁将集天行元年始受实沈之星也(岁在大梁谓鲁僖二十三年言公得)(成天道也公以辰出晋祖唐叔所以封也而以参入晋星也元年谓文公即位之年鲁僖二十四年岁星去大)(梁在实沈之次受受于大梁也)实沈之虚晋人是居所以兴也今君当之无不济矣君之行也岁在大火大火阏伯之星也是谓大辰(君行谓鲁僖五年重耳出奔时岁在大火大火大辰也晋唐叔封时岁在大火)且以辰出而以参入皆晋祥也(参在实沈)而天之大纪也济且秉成必霸诸侯关尹子七釜篇曰人之一呼一吸日行四十万里非也周天三百六十五度有竒每度千余里此厯代以表之勾股测天所得者乃谓一呼吸日行四十万里乎或谓关令尹喜所撰九篇为人所假托者诚然王充论衡言鲁襄公与韩战战酣日暮公援戈而挥之日为之反三舍又言燕太子丹朝于秦不得去从秦王求归秦王执留之与之誓曰使日再中乃得归当此之时天地祐之日为再中此言皆虚也日度运行数有一定虽圣神不能挽之鲁襄燕丹岂能挥挽或谓王充论衡八十五篇二十余万言鄙诞者多诚然列子曰共工氏与颛顼氏争为帝怒触不周山天柱折地维缺故天倾西北日月星辰就焉地不满东南百川水潦归焉女娲氏炼五色石以补天荒唐无稽之言不足辩也列子汤问篇云孔子东游见二小儿辩鬬问其故一小儿曰我以日始出时去人近而日中时远也一小儿曰我以日出时逺而日中时近一小儿曰日初出时大如车葢及日中时如盘盂此不为远者小而近者大乎一小儿曰日初出沧沧凉凉及其中如探汤此不为近者热而远者凉乎孔子不能决两小儿笑曰孰谓汝多知乎此列子寓言浅之乎其为见也岂以孔子而不能辩此耶夫日初出大海气之映也与日入同日中之小则精光四散若见其小也犹人之视烛远见大而近见小者然若日初出凉者日方自地出热未盛也日中气炽而热至日是更燠则热之积也何异之与有以浑仪测之日径一度周天三百六十五度有竒以四分之得九十一度有竒是日径一度无大小也以春秋分之中论日去地九十一度有竒日中午与出卯没酉皆同无远近也此玑衡可窥之数以歩气朔万世不易者列子不知天数而凿空妄言以诬宣圣其与叔孙武叔毁仲尼之日月何殊楚辞曰摄提贞于孟陬兮惟庚寅吾以降言斗柄指寅为正月也鹖冠子亦云斗柄东指天下皆春斗柄南指天下皆夏斗柄西指天下皆秋斗柄北指天下皆冬柄运于上事立于下此圣人究道之情究道之法也殊不知正月指寅周时则然而后亦各异矣前汉天文志谓古厯五星之推亡逆行者至甘氏石氏经以荧惑太白为有逆行夫厯者正行也古人有言天下太平五星循度亡有逆行日不食朔月不食望立八尺之表夏至景长尺五寸八分冬至景长丈三尺一寸四分春秋分景长七尺三寸六分若南北失节晷过而长为常寒退而短为常燠一曰晷长为旱奢为扶扶者邪臣进而正臣疎郑氏曰扶当为蟠影形奢大也皆非也五星俱有逆行何止荧惑太白岂有太平无逆行之理日食为朔月食为望岂有日月不食朔望之理如冬夏至适当午正初刻则晷无长短其余各有长短乃时差之数也与寒燠邪正何关春秋二百四十二年日食三十六前汉二百一十二年日食五十三其间二百九十三年史传止书日食者凡七盖战国扰攘秦兼天下史失其官不书于册也自贞定王二十六年至赧王十四年六书食而无月日秦庄襄三年书四月食而无日以法推之其食多不合置之可也秦始皇采齐人邹衍论终始五德之运以为周得火德秦代周从所不胜定为水德以十月为岁首朝贺皆自十月朔色尚黒数以六为纪法尚刻以为合五德之数仍用颛帝厯然每遇闰年则闰九月谓之后九月秦年虽用十月为首而时序则从夏令观史所书曰元年冬十月盖年前十月也夫曰岁首者取阳生之义也冬至建子一阳生得天统蔡邕曰冬至阳气起君道长故贺夏至隂气起君道衰故不贺若十二月建丑二阳生得地统正月建寅三阳生得人统皆阳月也故三代逓用之十月建亥乃纯隂之月而秦用为正其于三统之义奚取焉闰以归余何月不可闰而俱附之九月尤属悖谬秦王子婴初立即汉元年十月五星聚于东井孟康曰歳星先至四星从歳星也魏高允校汉厯谓太白辰星常附日而行十月日在尾箕昏没于申南而东井方出于寅北二里何得背日而行高允之言是也古今律厯考巻九
## 卷十
钦定四库全书
古今律厯考卷十 明 邢云路 撰厯代二厯代考史记律书史云六律为万事根本而于兵械尤所重卒归于汉文之无议军天下和乐言律本也又言律厯通五行八正之气不周风居西北东东壁又东营室至危十月也律中应钟其于十二子为亥广莫风居北方东至虚至须女十一月律中黄钟其于十二子为子十母为壬癸东至牵牛至建星(在斗)十二月律中大吕其于十二子为丑条风居东北南至箕为正月泰蔟为寅南至尾至心至房明庶风居东方二月夹钟为卯为甲乙南至氐至亢至角三月姑洗辰清明风居东南维西至轸至翼四月仲吕已西至七星西至张(星在张西史误)至注(咮也栁鸟咮西近鬼)五月蕤賔景风居南午丙丁西至弧狼(在井)凉风居西南维六月林钟未北至伐参(觜在参上)七月夷则申北至浊(浊谓之毕)至留(留即昴)八月南吕酉阊阖风居西方庚辛北至胃至娄至奎九月无射戌各有名义焉皆古法也数则黄钟既云八十一为宫又云八寸七分为宫既又云九寸为黄钟之宫何自相悖也不知黄钟之九寸乃九分之寸也九九八十一之九寸为是而八寸七分之说为非黄钟且然它可知矣其损益相生法数正变之实详见别简史记厯书按史记厯书云在古厯作于孟春鸡三号鸣(三号鸣寅时也谓黄)(帝调厯以前有上元太初厯等皆以寅为正及颛顼夏后氏亦然惟黄帝及殷周鲁厯并以子为正)秦用亥正汉兴张苍等虽明习厯论著不成今改夏正其更以元封七年为太初元年年名焉逢(甲)摄提格(寅)月名毕聚日得甲子十一月夜半朔旦冬至(谓以夜半为旦)正北十二无大余无小余无大余无小余焉逢摄提格太初元年十二大余五十四小余三百四十八大余五小余八何也太史公谓月名毕聚毕甲聚子甲子月也日得甲子十一月甲子日夜半甲子时冬至子日为冬至故云正北子位北也谓每岁行周天全度外余四分度之一以十二辰分之则子年在子丑年在卯寅年在午卯年在酉也十二者岁有十二月若有闰则云十三也无大余无小余者甲子朔旦冬至满甲子除尽朔旦以前无竒日分故无朔之大小余也又云无大余无小余者谓冬至与朔同日时亦无竒日分故无气之大小余也曰焉逢摄提格太初元年大余五十四者甲寅至乙卯十二月每月二十九日共三百四十八日日下余分每年盈六日共合三百五十四日故云大余五十四小余三百四十八者每月二十九日下余分四百九十九以岁十二乗之以日法九百四十而一盈六日余三百四十八故每岁加小余三百四十八为朔之余也曰大余五小余八者以三十二岁之积日一万一千六百八十八以日法三十二而一得三百六十五日○八满甲子去之余五故曰大余五余八故曰小余八为气之余也后倣此如端蒙单阏为太初二年乙卯岁大余四十八小余六百九十六者每岁大余五十四倍之为一百八满甲子去之余四十八每岁小余三百四十八倍之为六百九十六为朔之余也大余十小余十六者每岁大余五倍之为十每岁小余八倍之为十六为气之余也如游兆执徐为太初三年丙辰岁大余十二小余六百三者谓丙辰前乙卯岁月十三有闰大余于四十八内应加二十三共为七十一小余每年三百四十八因有闰加四百九十九为八百四十七以加于六百九十六内共为一千五百四十三满法九百四十收之盈一日加于大余七十一内为七十二日满甲子去之余十二日仍余六百三为小余故曰大余十二小余六百三为朔之余也大余十五小余二十四者大余十加五为十五小余十六加八为二十四为气之余也以歩气甲寅至丁巳凡四年小余每年二十五刻四年积百刻成一日故太初四年彊梧大荒落丁巳岁无小余甲寅至丙子凡二十三年置岁余五日二十五刻以积年二十三乗之得一百二十日七十五刻满甲子去之无大余仍余七十五刻以日法三十二因之得二十四为小余故昭帝始元五年距太初元年积二十三年游兆困敦丙子岁无大余小余二十四以斯歩至元帝建始四年祝犂大荒落之己巳岁莫不皆然此史记歩厯之大较也以授时推太初元年丁丑岁十一月壬子定朔分二十九日七十二刻得癸巳日酉时合朔冬至分五十七日六十四刻得十一月二十九日辛酉申时冬至史云甲寅年甲子月甲子日甲子时合朔冬至法推丁丑年壬子月癸巳日辛酉时合朔丁丑年壬子月辛酉日丙申时冬至固非至朔同日亦非其年月日时气既非子则非正北史云气朔俱无大小余法推是月朔大余二十九小余七十二二十九日气大余五十七小余六十四史云四年无大余二十三年无小余者以斗分之四分所累皆非也或解之曰史迁所谓以元封七年为太初元年者谓七年十一月朔旦冬至无余分如上古甲寅年甲子月朔旦冬至为起厯之元非谓七年即甲寅也其以太初天汉太始征和以至六十年后建始各年号分配年名之下乃后人以此厯谱附入太史公厯述内非太史公自注也不然太史出于武帝时安能预知六十年后年号而先书于厯述年名之下哉此必后人増益之无疑也斯言诚是矣然汉太初元年十一月朔非子时气非朔日非至朔同日无余分以此为得上元则何以解焉班固志太初元年岁在丙子天正后丁丑今以史汉厯年附注于后史记 汉书焉逢摄提格太初元年甲寅 丁丑端蒙单阏二年 乙卯 戊寅游兆执徐三年 丙辰 己卯彊梧大荒落四年 丁巳 庚辰徒维敦牂天汉元年 戊午 辛巳祝犂协洽二年 己未 壬午商横涒滩三年 庚申 癸未昭阳作噩四年 辛酉 甲申横艾淹茂太始元年 壬戌 乙酉尚章大渊献二年 癸亥 丙戌焉逢困敦三年 甲子 丁亥端蒙赤奋若四年 乙丑 戊子游兆摄提格征和元年丙寅 己丑彊梧单阏三年 丁卯 庚寅徒维执徐三年 戊辰 辛卯祝犂大荒落四年 己巳 壬辰商横敦牂后元元年 庚午 癸巳昭阳协洽二年 辛未 甲午横艾涒滩始元元年 壬申 乙未尚章作噩二年 癸酉 丙申焉逢淹茂三年 甲戌 丁酉端蒙大渊献四年 乙亥 戊戌游兆困敦五年 丙子 己亥彊梧赤奋若六年 丁丑 庚子徒维摄提格元鳯元年戊寅 辛丑祝犂单阏二年 己卯 壬寅商横执徐三年 庚辰 癸卯昭阳大荒落四年 辛巳 甲辰横艾敦牂五年 壬午 乙巳尚章协洽六年 癸未 丙午焉逢涒滩元平元年 甲申 丁未端蒙作噩本始元年 乙酉 戊申游兆阉茂二年 丙戌 己酉彊梧大渊献三年 丁亥 庚戌徒维困敦四年 戊子 辛亥祝犂赤奋若地节元年己丑 壬子商横摄提格二年 庚寅 癸丑昭阳单阏三年 辛卯 甲寅横艾执徐四年 壬辰 乙卯尚章大荒落元康元年癸巳 丙辰焉逢敦牂二年 甲午 丁巳端蒙协洽三年 乙未 戊午游兆涒滩四年 丙申 己未彊梧作噩神雀元年 丁酉 庚申徒维淹茂二年 戊戌 辛酉祝犂大渊献三年 己亥 壬戌商横困敦四年 庚子 癸亥昭阳赤奋若五鳯元年辛丑 甲子横艾摄提格二年 壬寅 乙丑尚章单阏三年 癸卯 丙寅焉逢执徐四年 甲辰 丁卯端蒙大荒落甘露元年乙巳 戊辰游兆敦牂二年 丙午 己巳彊梧协洽三年 丁未 庚午徒维涒滩四年 戊申 辛未祝犂作噩黄龙元年 己酉 壬申商横淹茂初元元年 庚戌 癸酉昭阳大渊献二年 辛亥 甲戌横艾困敦三年 壬子 乙亥尚章赤奋若四平 癸丑 丙子焉逢摄提格五年 甲寅 丁丑端蒙单阏永光元年 乙卯 戊寅游兆执徐二年 丙辰 己卯彊梧大荒落三年 丁巳 庚辰徒维敦牂四年 戊午 辛巳祝犂协洽五年 己未 壬午商横涒滩建昭元年 庚申 癸未昭阳作噩二年 辛酉 甲申横艾阉茂三年 壬戌 乙酉尚章大渊献四年 癸亥 丙戌焉逢困敦五年 甲子 丁亥端蒙赤奋若竟宁元年乙丑 戊子游兆摄提格建始元年丙寅 己丑彊梧单阏二年 丁卯 庚寅徒维执徐三年 戊辰 辛卯祝犂大荒落四年 己巳 壬辰史记天官书云杓携龙角衡殷南斗魁枕参首用昏建者杓夜半建者衡平旦建者魁斗为帝车运于中央临制四乡分隂阳建四时均五行移节度定诸纪皆系于斗大角者其両旁各有三星鼎足句之曰摄提摄提者直斗杓所指以建时节故曰摄提格注云龙角东方宿为天三门携连殷中也杓北斗之第七星衡第五星魁第一星言昏建用杓指寅夜半建用衡指寅平旦建用魁指寅也帝车乃大帝乗车无所不纪句曲提携也夫曰斗杓携龙角直摄提以建时节而寅月之昏杓指寅方若以为定焉者以故日官定为斗分斗厯歴代因之多失其真不知昏杓指寅汉世则然嗣后天星渐移十二辰昏之杓皆可指非一定也又云织女天女孙也察日月之行以揆岁星顺逆注谓晋灼云太岁在四仲则岁行三宿太岁在四孟四季则岁行二宿二八十六三四十二而行二十八宿十二岁而周天考周天宿井多至三十三度觜少不及一度岁星之岁行三度二度岂能尽合以故史记歩五纬之率竒零悉差史记封禅书云黄帝得宝鼎神策是岁己酉朔旦冬至得天之纪终而复始于是黄帝迎日推策后率二十岁复朔旦冬至凡二十推三百八十年黄帝僊登于天今上戊辰年得宝鼎其冬辛巳朔旦冬至与黄帝时等是日昧爽天子乃郊拜太乙坛其賛飨曰天始以宝鼎神策授皇帝朔而又朔终而复始皇帝敬拜见焉而衣上黄公卿言皇帝郊见是夜有美光及昼黄气上烛天太史公祠官寛舒等曰神灵之休福祐兆祥宜因此地光域立大畤坛三岁天子一郊见其秋伐南越告太乙画幡日月北斗登龙以象天一三星为大一锋命曰灵旗为兵祷则太史奉以指所伐国次年南越平审如是则气朔分齐莫神斯日兵家之胜筭协帝之灵䇲也然以法歩元鼎五年己巳岁十一月定朔分一十五日八十刻得己卯日戌时合朔冬至分一十五日五十五刻得己卯日未时冬至气朔同日乃己卯日其辛巳则月三日非冬至亦非朔也汉厯止用一斗分歩平朔而盈缩迟疾俱无所以晦朔常差二日此之类也汉厯云先藉半日名阳厯不藉名隂厯阳厯先朔月生隂厯朔后月生今以初三为朔是朔日月真可生矣彼昏不知则实并至与朔而同歩之三日也吁嗟歩厯之舛亡论已独柰何汉武以此事天感黄气之祥协平蛮之吉然则太乙之神非至朔同日亦可降祥而南旗之指即用月三日亦能效灵乎则不可得而解矣古今律厯考卷十
## 卷十一
钦定四库全书
古今律厯考卷十一 明 邢云路 撰歴代三歴代考前汉律厯志虞书云同律度量衡所以齐远近立民信也自伏戏画八卦卦由数起数纪于一协于十长于百大于千衍于万书曰先其祘命本起于黄钟之数始于一而三之三三积之厯十二辰之数十有七万七千一百四十七而五数备矣其数以大衍之数五十其用四十有九成阳六爻得周流六虚之象天之中数五为声地之中数六为律阳唱隂和始于子黄钟终于亥应钟黄钟子为天统林钟丑为地统太蔟寅为人统以黄钟九寸之数应八十一章为黄钟之实以林钟六寸之数当期之日为林钟之实以太蔟八寸之数应六十四卦为太蔟之实由是三统相通周流六虚列为十二而律吕和以审度嘉量权衡探赜索𨼆钩深致远莫不用焉此律厯之大较也然谓以律配厯则可而谓以律起厯厯数之分秒悉生于律则不可详见别简汉兴张苍用颛顼厯朔晦月见弦望满亏多非是至武帝元封七年汉兴百二岁矣太史令司马迁等言厯纪废坏宜改正朔诏曰黄帝合而不死上矣其以七年为元年复得前厯上元泰初四千六百一十七岁阏逢摄提格之岁中冬十一月甲子朔旦冬至日月在建星乃选治厯邓平等唐都落下闳与焉都分天部而闳运筭转厯其法以律起厯与邓平所治同法一月之日二十九日八十一分日之四十三先藉半日名曰阳厯不藉名曰隂厯所谓阳厯者先朔月生隂厯者朔而后月廼生平曰阳厯朔皆先旦月生以朝诸侯王群臣便宦者淳于陵渠覆太初厯晦朔弦望皆最宻日月如合璧五星如连珠遂用邓平厯后元鳯三年张寿王争之以元鳯三年十一月朔旦冬至起杂候课疏宻治太初第一是非坚定至孝成世刘向子歆作三统厯究其微𣺌以说春秋推法宻要故述焉传曰元善之长也共养三德为善三统合于一元故因元一而九三之以为法十一三之以为实实如法得一黄钟初九律之首阳之变也因而六之以九为法得林钟初六吕之首隂之变也皆参天两地之法也上生六而倍之下生六而损之皆以九为法九六隂阳夫妇子母之道也律娶妻而吕生子天地之情也夫五六者天地之中和而民所受以生也故日有六甲辰有五子十一而天地之道毕言终而复始太极中央为黄钟九九自乗八十一为日法为元元一也春秋二也三统三也四时四也合而为十成五体以五乗十大衍之数也而道据其一其余四十九所当用也故蓍以为数以象两两之又以象三三之又以象四四之又归竒象闰十九及所据一加之因以再扐两之是为月法之实如日法得一则一月之日数也三辰交会是以能生吉凶成变化而行鬼神也并终数为十九易穷则变故为闰法参天九两地十是为会数参天数二十五两地数三十是为朔望之会以会数乗之则周于朔旦冬至是为会月九会而复元此圣王之重闰也以五位乗会数而朔旦冬至是为章月四分月法以其一乗章月是为中法参闰法为周至以乗月法以减中法而约之则六扐之数为一月之闰月其余七分此中月相求之术也朔不得中是为闰月言隂阳虽交不得中不生故日法乗闰法是为统岁三统是为元岁元岁之闰隂阳灾三统闰法易九戹曰初入元百六阳九次三百七十四隂九次四百八十阳九次七百二十隂七次七百二十阳七次六百隂五次六百阳五次四百八十隂三次四百八十阳三凡四千六百一十七岁与一元终经岁四千五百六十灾岁五十七是以春秋曰举正于中又曰闰月不告朔非礼也闰以正时故鲁僖五年春王正月辛亥朔日南至公既视朔遂登观台以望而书礼也至昭二十年二月己丑日南至失闰至在非其月梓慎望氛气而弗正不履端于始也传曰天有三辰地有五行故三辰合于三统日合于天统月合于地统斗合于人统五星合于五行故厯数三统天以甲子地以甲辰人以甲申三微之统既著而五行自青始其序亦如之隂阳比类交错相成故九六之变登降于六体三微而成著三著而成象二象十有八变而成卦四营而成易为七十二参三统两四时相乗之数也参之则得干之策两之则得坤之策以阳九九之为六百四十八以隂六六之为四百三十二凡一千八十隂阳各一卦之微筭策也八之为八千六百四十而八卦小成引而信之又八之为六万九千一百二十天地再之为十三万八千二百四十然后大成五星会终触类而长之以乘章岁为二百六十二万六千五百六十而与日月㑹三会为七百八十七万九千六百八十而与三统会三统二千三百六十三万九千四十而复于太极上元九章岁而六之为法太极上元为实实如法得一一隂一阳各万一千五百二十当万物气体之数天下之能事毕矣此前汉厯之大较也详其说谓黄帝合而不死合作也作厯得仙故不死曰复得上元四千六百一十七岁阏逢摄提之甲寅者谓是年复如上古甲寅朔旦冬至如后所谓二十七章之月得朔旦冬至与岁复之说非谓太初元年即甲寅盖是年乃丁丑也上元至太初元年为一元凡四千六百一十七岁乃刘攽注云十七岁当作十一岁非是中冬十一月朔旦冬至日月在建星者建在斗太初冬至在斗故云法以律起厯者乃黄钟一龠长九寸寸九分以分乗寸积八十一数为日法也曰一月之日二十九日八十一分日之四十三者以日法八十一归四十三得五十三刻○八六四以加于大余下共二十九日五十三刻八分六十四秒为一月之日即今月策也先藉半日名阳厯先朔月生者未朔月先出西方也不藉名隂厯朔后月廼生者朔后月方出西方也邓平告君先朔月生以朝贺为便重阳为吉也元一而九三之以为法者自子一而后九辰至酉十以三统累乗之是谓九三之法得积万九千六百八十三也十一三之以为实者自一而后十一辰至寅十二每以三累乘之是谓十一三之法得积十七万七千一百四十七也实如法得一者以法除实为九寸之黄钟也黄钟六之以九为法者六九五十四得林钟五十四也参天两地者三三而九二三而六参两之义也上生六而倍之下生六而损之者三分损益其一也律娶妻黄钟阳娶林钟隂吕生子林钟隂生太蔟阳也日有六甲甲子甲寅甲辰甲午甲申甲戌也辰有五子甲子丙子戊子庚子壬子惟甲寅旬中无子故止五子也以五乗十得五十为大衍之数道据其一为太极虚一不用也止用四十有九以象两仪两之得九十八以象三才三之得二百九十四以象四时四之得一千一百七十六以归竒象闰十九及所据一之太极共二十加之得一千一百九十六又以五岁再闰再扐两之得二千三百九十二是为月法之实乃推大衍象得月法也如日法八十一得一为二十九日五十三刻八分六十四秒即前二十九日八十一分日之四十三所得之月策也并数终为十九盖天数终九地数终十并数十九为归竒之闰法又名章岁也参天九三九二十七两地十二十合四十七为会数参天数二十五得七十五两地数三十得六十合一百三十五为朔望之会以会数乘朔望之会得六千三百四十五是为会月乃二十七章之月数得朔旦冬至日与岁复也九㑹而复元者以九乗会月即三因统月得五万七千一百五为元月谓四千六百一十七岁之月数积一百六十八万六千三百六十日复得甲子朔旦冬至也以五位乗会数得二百三十五而朔旦冬至为章月四分月法得五百九十八为通法以通法乗章月得一十四万五百三十为中法以三乗闰法得五十七为周至即三章之岁也以周至三乗月法得一十三万六千三百四十四以减中法余四千一百八十六是为一象之闰以统法而一得二日七十一刻九十九分○七不尽是六气六扐三月之闰其余七分不尽再以三而一六扐之数得九十○刻六十六分为一月之闰也以章月乗月法得五十六万二千一百二十为周天即今岁实以三统乗四时得十二为岁中以章月加闰法得二百五十四为月周以三因会月得一万九千三十五为统月以闰法乗岁中得二百二十八为章中以日法乗章中得一万八千四百六十八为统中以三因统中得五万五千四百四为元中以十乗元中得五十五万四千四十以减周天余八千八十为策余以日法乗闰法得一千五百三十九为统法即统岁以三乗统法得四千六百一十七为元法即元岁也元岁之闰隂阳灾盖以三统乗闰法得五十七为灾岁初入元百六岁有戹者前元之余气也以隂九三百七十四减阳九四百八十为百六为阳九次以阳九百六减阳九四百八十为三百七十四为隂九次六八四百八为阳九次九八七百二为隂七次九八七百二为阳七次七八五百六八八六百四合一千二百易爻七八不变通其数各六百故曰次六百隂五次六百阳五次六八相乗为四百八为隂三又次阳三自百六次至四百八十凡四千六百一十七阳旱灾隂水灾经岁四千五百六十合灾岁五十七与一元终由丁丑溯元岁四千六百一十七岁谓为得辛巳岁也三统天以甲子地以甲辰人以甲申自甲子歩厯年得三统元旦之朔日也三微一爻三著三爻二象六爻揲筮之法也参三统得九两四时得八八九相乗得七十二为乾坤中数三之二百一十六得干之策两之一百四十四得坤之策以阳九爻九之为六百四十八以隂六爻六之得四百三十二并之凡一千八十以八卦八之为八千六百四十又八之为六万九千一百二十以天地倍数再之为十三万八千二百四十以乗章岁之十九为二百六十二万六千五百六十以三会三之为七百八十七万九千六百八十以三统三之为二千三百六十三万九千四十而复会于太极上元以九章之岁一百七十一而六因之得一千二十六以除上元余二万三千四十为隂阳合数半之各万一千五百二十为当万物之数若皆符合矣然率多大谬不然者何也汉以四分度之一为斗分天数与日数齐而日无盈缩月无迟疾止用一平朔歩厯其上推上古朔旦冬至皆逆推得数非其真也以下歩即疎上可知已黄钟之八十一自黄钟之数耳于厯何关盖汉以八十一乗诸数而仍以八十一归之诸数皆一辙也以歩晦朔常差一二日及见朔旦月出西方乃谬谓先藉半日名阳厯以为朝贺吉岂知是日为月三日也不直自欺且欺君矣张寿王虽不知厯然争之则是其推大衍谓以象厯则可谓厯之分秒出于大衍则不可率以大衍诸数碎砌其中以得月策二十九日五十三刻八分六十四秒使斯数果从大衍出也则易数通神可垂永久而柰何一亡效耶岂知月策之数是以交蚀取之非从大衍来也章月乃十九年二百二十八月及闰七月共二百三十五月岂五因会数所得通法即弦策中法即象限岁中即十二月会月是二十七章统月是八十一章之月元月是二百四十三章之月章中是十九章无闰之月统中是八十一章无闰之月元中是二百四十三章无闰之月统法是八十一章之年数元法是每岁十二月共五万七千一百五月加闰一千七百一月积一百六十八万六千三百五十九日二十五刻之数周天以测影取㑹数朔望之会与天地数不相蒙策余是五日四分日之一以朔除气为月闰何必用三章岁之周至乃汉厯不知皆以大衍数穿凿附会之亦徒劳矣若夫阳九百六之年三统之厯以至复会上元之策皆非的数何则厯家布上元各不同以此知非的也考僖公五年丙寅冬至辛亥一十四刻闰余二十七日九十七刻是月三十日辛亥日南至二月壬子日合朔非正月辛亥朔旦日南至盖春秋时误闰十二月遂以正月为闰十二月以正月三十之辛亥日南至误推后天一日为闰月后正月朔之辛亥日南至乃以二月朔壬子推为正月二日皆非也夫至既非朔矣僖公望云于礼何居昭公二十年己卯岁冬至戊子八十三刻闰余二十七日八十三刻经朔五十六日九十九刻是正月庚申日合朔越二十九日戊子日南至二月朔日己丑春秋误歩固以尚未置闰之故梓慎之言是也详见春秋考中大都汉厯天日同周气朔无盈缩迟疾但以日法归周天得六千九百三十九日七五三○八六四二为积日章岁而一得岁实章月而一得月策统月除周天亦得月策以歩交转日法乗月周得二万五百七十四以归周天得二十七日三二为交终转终疎略殊甚则何怪乎亡一之合计推上元岁起甲戌日起甲子积一十四万三千一百二十七筭以四千六百一十七为一元计三十一元以一千五百三十九分日之三百八十五为岁余以八十一分日之四十三为朔余推是岁丁丑十一月甲子朔夜半冬至详其法太初元年距上元十四万三千一百二十七筭积八百四亿五千四百五十四万九千二百四十以统法一千五百三十九而一得五千二百二十七万七千一百六十日以纪法去之无余分置前积数以月法二千三百九十二除之余三千三百六十三万四千八百四十五为月数以闰法十九而一得一百七十七万二百二十五月无余分故曰十一月甲子夜半冬至以授时法推太初元年距元辛巳积一千三百八十五年积日五十万五千四百九十七日四十一刻以减气应余以纪法去之余二日三十五刻九十三分以减纪法余五十七日六十四刻命甲子筭外得辛酉日六十四刻是十一月二十九日申时冬至太初后天二日有余授时闰余二十七日四十七刻经朔三十日一十六刻十一月朔甲午歩至次月朔甲子然非冬至也太初既非至朔同日又非其月日时一谬百谬则上以歩文王四十二年十二月朔旦冬至以来下至元帝初元二年十一月癸亥朔旦诸冬至无一之不差也又以太初校授时辛巳置周天五十六万二千一百二十以距积年乗之得七亿七千七百九十七万四千八十以统法一千五百三十九而一得五十万五千五百六日二十二刻四十八分以纪法去之余六日二十二刻四十八分命甲子筭外得庚午日二十二刻冬至太初校授时己未六刻后天一十一日一十六刻四十八分以太初校授时经朔闰余二十六日四十二刻五十七分以冬至六十六日二二四八减之余三十九日七十九刻九十分以授时经朔减之余四日九十四刻四十分乃太初后天四日九十四刻四十分夫气至差一十一日朔至差五日有数在焉邓平刘歆其何说之辞三统五星厯按太初元年推木星统母以木三金四相乗为十二是为岁星小周小周乗巛(坤字)策一百四十四为一千七百二十八是为岁星岁数以岁中十二(即一岁十二月)乗岁数得二万七百三十六为见中分以星行率一百四十五减岁数余一千五百八十三为见中法(即星见数)以见中法除见中分得十三为积中余一百五十七为中余以岁闰七(即十九年七闰)因岁数得一万二千九十六为见闰分以章岁十九乗中余得二千九百八十三并见闰分得一万五千七十九为月余以章岁十九乗见中法得三万七十七为见月法以元法四千六百一十七乗见中法得七百三十万八千七百一十一为见中日法以统法一千五百三十九乗见中法得二百四十三万六千二百三十七为见月日法积中即积月十三(如是月余满见月法收之并积)(月下)推金星以金四火二相乗为八又以火二乗之为十六而小复小复十六乗干策二百一十六为三千四百五十六是为太白岁数以岁中乗岁数得四万一千四百七十二为见中分以星行率一千二百九十五减岁数余二千一百六十一为见中法以见中法除见中分得十九为积中余四百一十三为中余以岁闰因岁数得二万四千一百九十二为见闰分以章岁乗中余得七千八百四十七并见闰分得三万二千三十九为月余以章岁乗见中法得四万一千五十九为见月法以晨为东数九乗岁数得三万一千一百四并东九西七十六为法而一得一千九百四十四为金星晨见岁数以岁中十二乗之得二万三千三百二十八为晨中分以见中法除晨中分得十为晨积中余一千七百一十八为晨中余以晨中分减见中分余一万八千一百四十四为夕中分以见中法除夕中分得八为夕积中余八百五十六为夕中余以岁周因晨见岁数得一万三千六百八为晨闰分以章岁乗晨中余得三万二千六百四十二并晨闰分得四万六千二百五十以见月法取之得一加前晨积中得十一为晨积月余五千一百九十一为晨月余以晨闰分减见闰分余一万三百八十四为夕闰分以章岁乗夕中余得一万六千二百六十四并夕闰分得二万六千八百四十八不满见月法为夕月余夕积中八即积月以元法乗见中法得九百九十七万七千三百三十七为见中日法以统法乗见中法得三百三十二万五千七百七十九为见月日法推土星以土五木三相乗为十五合经纬(即倍之)为三十是为镇星小周以小周乗坤策为四千三百二十是为镇星岁数以岁中乗岁数得五万一千八百四十为见中分以星行率一百四十五减岁数余四千一百七十五为见中法以见中法除见中分得十二为积中余一千七百四十为中余以岁闰因岁数得三万二百四十为见闰分以章岁乗见中法得七万九千三百二十五为见月法以章岁乗中余得三万三千六十并见闰分得六万三千三百不满见月法即为月余积月十二即积中以元法乗见中法得一千九百二十七万五千九百七十五为见中日法以统法乗见中法得六百四十二万五千三百二十五为见月日法推火星火经特成故二岁而过初过初者二岁一周天也自火二特成倍之至三十二倍六十四岁而小周以小周乗干策则太阳大周为一万三千八百二十四是为荧惑岁数以岁中乗岁数得一十六万五千八百八十八为见中分以星行率七千三百五十五减岁数余六千四百六十九为见中法以见中法取除见中分得一十五为积中余四千一百六十三为中余以岁闰因岁数得九万六千七百六十八为见闰分以章岁乗见中法得一十二万二千九百一十一为见月法以章岁乗中余得七万九千九十七并见闰分得一十七万五千八百六十五以见月法取之得一加前积中得二十六为积月余五万二千九百五十四为月余以元法乗见中法得二千九百八十六万七千三百七十三为见中日法以统法乗见中法得九百九十五万五千七百九十一为见月日法推水星水经特成故一岁而及初及初者岁一周天也自水一特成累加之至六十四而小复以小复乗坤策则太隂大周为九千二百一十六是为辰星岁数以岁中乗岁数得一十一万五百九十二为见中分以见中法二万九千四十一除见中分得三为积中余二万三千四百六十九为中余以岁闰乗岁数得六万四千五百一十二为见闰分以章岁乗见中法得五十五万一千七百七十九为见月法以章岁乗中余得四十四万五千九百一十一并见闰分得五十一万四百二十三为月余不盈见月法故积月三以东九乗岁数得八万二千九百四十四为实以东九西七并之得十六为法而一得五千一百八十四为晨岁数以岁中乗晨岁数得六万二千二百八为晨中分以见中法除晨中分得二为晨积中余四千一百二十六为晨中余以晨中分减见中分余四万八千二百八十四为夕中分以见中法除夕中分得一为夕积中余一万九千三百四十三为夕中余以闰法乗晨岁数得三万六千二百八十八为晨闰分以章岁乗中余得七万八千三百九十四并晨闰分得一十一万四千六百八十二不盈见月法为晨月余晨积中即晨积月二以晨闰分减见闰分余二万八千二百二十四为夕闰分以积月三月余五十一万四百二十三减晨积月二月余一十一万四千六百八十二余一为积月月余三十九万五千七百四十一为夕月余以元法乗见中法得一亿三千四百八万二千二百九十七为见中日法以统法乘见中法得四千四百六十九万四千九十九为见月日法(五胜相乘生小周以乗干)(坤之策为大周如金克木乘为木小周以乘坤策为大周也诸志并有小大周由入元之年不同也)五星行星率乃其日行之数如木星行星三十三度三百三十三万四千七百三十七分通其率故曰日行千七百二十八分度之百四十五故曰星行率一百四十五是也五星行星率其详见前汉志中五星俱以三统三因各五星岁数以周天乗之得积日以各星见中日法而一得各星周日如木星三因木星岁数一千七百二十八得五千一百八十四以周天五十六万二千一百二十乗之得二十九亿一千四百三万八十为木星积日以木星见中日法七百三十万八千七百一十一而一得木星壹见三百九十八日五百一十六万三千一百二分仍以见中日法再除日下五百一十六万三千一百二分得七十刻六十四分三一不尽是为木星周日三百九十八日七十刻六十四分三十一秒不尽也金土火水四星倣此木星周日三百九十八日七十刻六十四分三一金星周日五百八十四日一十二刻九十八分二九土星周日三百七十七日九十三刻五十四分九七火星周日七百八十日五十三刻八十分五三水星周日一百一十五日九十一刻一分右五星所得见中日法以歩星周而设若见月日法则以歩月也然歩月之法不若径以月策歩之为便见月日法不用可也以太初五星校授时木星每岁少授时一十七刻三十六分火星多授时六十刻九十分土星少授时一十五刻六十二分金星多授时二十二刻七十二分水星多授时三刻四十一分太初五星虽有伏见迟疾留逆而无盈缩则随歩随差何以上合天道大都前汉厯歩气朔歩五纬率以大衍五行三统之数零收碎砌强合天数比至随歩随差随差随摭厯自厯天自天失天愈逺而总于大衍五行三统之数无豫也及查大衍诸数出周易凿度四分之说乃后人伪为之汉人援以治厯以致气朔淆乱数百年不明古议云由汉以来厯太初为第一余议云从古以来厯最疎者太初为第一古今律厯考卷十一
## 卷十二
钦定四库全书
古今律厯考卷十二 眀 邢云路 撰厯代四厯代考后汉律厯志汉兴北平侯张苍首正律孝武置协律官元始中刘歆典领钟律班固取以为志然率多古法也至元帝时郎中京房字君眀对言受学故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四阳下生隂隂上生阳终于中吕而十二律毕矣中吕上生执始执始下生去灭上下相生终于南事而六十律毕矣房谓竹声不可调度乃作准定数以为六十律清浊之节无何京房坐弃市律与准皆废夫古律五音十二律自帝舜言之后泠州鸠传之管子发明之所由来旧矣京房乃于十二律之外自执始去灭至分鸟南事凡演为四十八律厥名厥义不知出何故实且每律统五统四统三不一亦有隔九相生者其三分损益不尽之算或弃或増乖戾无次抑又何也岂焦氏之法乎非耶焦延夀曰得我道以亡身者京生也焦氏𨼆身自保使道可亡身焦胡不亡乃焦氏逆知京必亡者知京所用非其道也房得焦氏之道而谬用其道观其歩天不眀晦朔误为朓昃妄附肃舒事应然则何诪不幻何假不作执始诸名准弦诸数皆京房凿空之为也焦氏前知知足以杀其身而已矣其论候气谓天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷景候钟律效则和否则占引易纬云冬至人主不出宫寝兵从乐五日击黄钟之磬公卿大夫列士之意得则隂阳之晷如度数夏至之日如冬至之礼冬至之日树八尺之表日中视其晷晷如度者其岁美人民和顺晷不如度者则岁恶人民多譌言政令为之不平晷进则水晷退则旱进一尺则日食退一尺则月食月食则正臣下之行日食则正人主之道斯言非也候气之法原出不经易纬乃后人所作伪书其说皆非是盖冬至之景午景也如其度者乃午正初刻冬至也若前少后多为减差则冬至在午前前多后少为加差则冬至在午后无论午前午后但非午正初刻冬至者午景俱退而短殊无进而长之理冬至八尺表日晷退不过寸许亦无退一尺者至进分厘亦无况进一尺乎易纬并不知测晷为何事而凿空妄言以欺人且附之以吉凶征应载在史册流传至今几何而不迷乱后人之耳目也太初三统厯行百余年厯称后天朔或在晦月见至元和失天益远冬至日在斗二十一度而厯以为牵牛中星差天五度晦朔弦望差天一日先立春一日以折狱断大刑于气已迕而望平和厯时之义盖亦远矣章帝知其谬故召治厯编䜣李梵改行四分以遵于尧以顺孔圣奉天之文䜣梵以十一月当先大诸臣谓当先小不知月之大小随月而定岂有十一月先大先小之说四分与三统皆用斗分二十五刻其失则均恶在其为遵尧顺孔奉天也贾逵论厯谓以太初厯考汉初尽太初元年日朔二十三事共十七得朔四得晦二得二日新厯七得朔十四得晦二得三日以太初厯考太初元年尽更始二年二十四事十四得朔十得晦新厯十六得朔七得二日一得晦以太初厯考建武元年尽永元元年二十三事五得朔十八得晦新厯十七得朔三得晦三得三日又以新厯考春秋二十四事失不中者二十三事天道参差不齐必有余又有长短不可以等齐故保干圗䜟云三百年斗厯改宪又谓黄道度日月弦望多近史官一以赤道度之不与日月同夫以三统四分治厯俱大半不得朔而以授时治春秋与汉厯则亡一之不朔则岂有天道长短不齐之理又何必三百年即一改耶黄赤道不同而系于一机以赤道变黄道百世可知者也永元霍融论厯谓漏刻率九日増减一刻不与天相应夫漏刻自今日午正初刻至明日午正初刻均分百刻定为的数而天日之行乃以刻定之均分十二时子午昏明随日而验则漏刻之中何必有增减之差与天不相应也延光论厯太初晦月见西方食不与天相应四分复谬不可施行谓三大二小皆疏远其言俱是汉安边韶论太初厯以干凿度八十一分日之四十三为日法四分厯以三百六十五度四分度之一为周天复得庚申著于图谶其元则上统开辟其数则复古四分宜诏举行不知乾坤凿度有真有赝庖牺先文轩辕演籕苍颉所修者真也周易附于后述孔子言者乃后人书之不得为先文赝也观其载孔子之言曰厯以三百六十五日四分度之一为一岁七十六为一纪日法二十九日与八十一分日四十三以歩至坼当日者而易一大周一岁之周以卦用事六爻六日一日天王诸侯二日大夫三日卿四日三公五日辟六日宗庙而又归于符录图谶之说详其术四分度之一四年积一日故云四分七十六乃四章岁为一纪名为蔀法积日二十九以八十一分除日之四十三得五十三刻八分六十四秒零以加于二十九日下共二十九日五十三刻八分六十四秒乃太初厯之朔实四章之月九百一十二及闰月二十八共九百四十为蔀积月以蔀法乘三百六十五日四分日之一得二万七千七百五十九为蔀积日为一纪以二十乘蔀法得积岁千五百二十以二十乘蔀月得积月万八千八百以二十乘蔀日得积日五十五万五千一百八十为一蔀首更置一纪之蔀日以六十四乘之得积日百七十七万六千五百七十六又以六十乘蔀首三十二得积蔀首百九十二以二十乘之得积纪三千八百四十纪又云纪数以七十六乘纪数得积岁二十九万一千八百四十以三十二除之得九千一百二十周谓卦当岁者积岁每岁十二月并章月七得三百六十万九千六百其中十万七千五百二十月者闰也以三百八十四爻除前积月之数得九千四百周谓爻当月者以四分朔实二十九日五十三刻八分五十一秒乘积月得积日万六百五十九万四千五百六十日以万一千五百二十坼除之得九千二百五十三周谓坼当日者而易一大周此其术皆四分厯之法也夫乾坤凿度谓为孔子发明伏羲文王之道也使果出于孔子之口定为厯本则宜毫髪无差古今不易者然而四分之法其术甚疎以之制厯十失其九一跬歩不可行岂以羲文而有是道岂以孔子而为是言其为赝书眀甚或者即治四分厯诸人假作圣言以实巳伪未可知也至于卦气圗䜟之说尤属悖谬一日诸侯二日大夫取何名义后之厯家不知亦收之厯数赘矣孔子立言眀白简易论语易传不啻详言何无一言及符录圗䜟自此伪书一行章帝遂深信其说谓上统开辟复古四分合赤九㑹昌之䜟奏可施行岂知演纪上元复得庚申开辟之岁乃自下逆推演至厯元各厯家俱有之非其真也尧咨羲和苐云朞三百有六旬有六日举成数而言何尝有四分度之一之说汉人遂定为二十五刻悖也甚矣熹平冯光陈晃论厯谓厯元不正故妖民叛冦益州盗贼相续为厯用甲寅为元而用庚申图纬无以庚为元者蔡邕议光晃所据殷厯元也孝武用丁丑孝章用庚申宻于太初是新元效也二说皆非厯元乃自下逆推之数非其真也于叛贼何豫丁丑庚申二者皆四分法新元亦不效汉人论本初元年天以十二月食厯以后年正月于是始差以法推质帝本初元年丙戌岁十二月不食次年桓帝建和元年丁亥岁正月辛亥朔卯时日食载在简册可考也以此例汉人论蚀之失日行北陆谓之冬西陆谓之春南陆谓之夏东陆谓之秋者盖汉冬至日躔在斗右转而牛而女以次周天今万厯年日躔在箕去古未远其行犹昔若久之则天日渐逺凡四陆皆可冬厯四时皆可北陆非一定也四分厯日发其端周而为岁然其景不复四周千四百六十一日而景复初是则日行之终以周除日得三百六十五日四分日之一为岁之日数日日行一度亦为天度日行十九周月行二百五十四周复㑹于端是则月行之终也以日周除月周得一岁周天之数以日一周减之余十二十九分之七则月行过周及日行之数也为一岁之月以除一岁日为一月之数月之余分积满其法得一月月成则其岁月大四时推移故置十二中以定月位有朔而无中者为闰月中之始日节与中为二十四气以除一岁日为一气之日数也其分积而成日为没并岁气之分如法为一岁没没分于终中中终于冬至冬至之分积如其法得一日四岁而终月分成闰闰七而尽其岁十九名之曰章章首分尽四之俱终名之曰蔀以一岁日乘之为蔀日之数也以甲子命之二十而复其初是以二十蔀为纪纪岁青龙未终三终岁后复青龙为元此其术也详其术谓四分者二十五刻也周岁其景不复四周成一日无余分则景复初仍子正初刻四为日法以四除千四百六十一得三百六十五日二十五刻为岁之日数亦为周天日日行一度与天度同日行十九周为一章名章法亦名章岁一章之月二百三十五加章岁共二百五十四乃月行二百五十四周亦云月㑹复㑹于端是为月行之终也以日周十九除月周二百五十四余十三日十九分日之七再以十九归其七共得十三度三十六分八十四秒二十分为月平行度以日一周减前十三余十二日十九分日之七为一岁之月十二月以十二月除一岁之日三百六十五日二十五刻得三十日四十三刻七十五分为一月惟三十日故其月大以十二月乘三十日四十三刻七十五分即三百六十五日二十五刻一岁周天之数也十二中者十二中气月无中气则闰十二节十二中并为二十四气以除一岁之日得一十五日二十一刻八十七分五十秒为一气䇿若以日法四乘二十四气得九十六以除周天一千四百六十一亦得气䇿若先除十五日余二十一为没数亦云没法倍没数得四十二为中法七因没法得一百四十七为章闰八因没法得一百六十八为日余一岁之没成日余二十五刻为一岁没四歳无余分以十九年七闰共二百三十五为章月以四因章月得一千一十六为月周以三归岁周三百六十五日二十五刻得一百二十一日七十五刻以四因之得四百八十七为通法以章月乘周天一千四百六十一得三十四万三千三百三十五为大周置十九年共六千九百三十九日七十五刻以章月而一得二十九日五十三刻八分五十一秒为月䇿再置一章之月以月㑹二百五十四而一得二十七日三十二刻一十八分为交终以二十三食而复既为食法二十三置三九二十七以五因之得一百三十五为月数以二食法四十六乘章月得一千八十一为食数以蔀法乘月数得一万二百六十为蔀㑹率以二十归蔀㑹率得五百一十三为蔀㑹即二十七章之岁数故又曰岁数以日法因蔀㑹率得四万一千四十为元㑹总计章法十九年章月二百三十五月章日六千九百三十九日七十五刻蔀法七十六年蔀月九百四十月蔀日二万七千七百五十九日纪法一千五百二十年纪月一万八千八百月纪日五十五万五千一百八十日元法四千五百六十年元月五万六千四百月元日一百六十六万五千五百四十日盖十九年为一章四章为一蔀二十蔀为一纪(即八十章太初八十一章今八十章)三纪为一元故曰岁首至也月首朔也至朔同日谓之章(闰七而尽)同在日首谓之蔀(章首分尽四之俱终)蔀终六旬谓之纪(以甲子命之二)(十而复其初)岁朔又复谓之元(纪青龙未终三终岁复青龙甲寅)其数详矣然总之皆四分法也天日同度其元已差天正月大其说悖理气朔交转各有差盈缩迟疾各有率而四分不知一概以二十五刻齐之至于日食之数禀于盈缩与迟疾者而四分以食法食数取则何怪乎亡一之合也其失悉与太初同四分厯演纪上元章帝元和二年乙酉岁距元积年九千三百六十五以岁实三百六十五日二十五刻乘之得三百四十二万五百六十六日二十五刻得庚寅卯正初刻冬至以授时上推是年冬至分二十三日五十九刻四十八分得丁亥未正一刻冬至四分厯较授时后天三日曰演纪云者以自立之法推求往古生数之始七政同度世代绵远驯积其数至逾亿万后人厌其布算繁多互相推考断截其数而增损日法以为得改宪之术此厯代积年日法所以不同也昔人谓建厯之本必先立元元正然后定日法法定然后度周天以定分至自黄帝立元用辛卯颛顼用乙卯虞用戊午夏用丙寅殷用甲寅周用丁巳鲁用庚子汉初承秦用乙卯武帝用丁丑章帝用乙酉以上得庚申后诸厯转相祖述共七十八家未有舍此而能成者使立元果真积年日法果确以推天歩谁曰不可而乃非其然也四分之误尤甚四分厯推木星周三百九十八日八十四刻五十九分火星周七百七十九日五十三刻二十三分土星周三百七十八日五刻九十四分金星周五百八十四日二刻四十一分水星周一百一十五日八十八刻一十三分以较授时木星少三刻四十一分火星少三十九刻六十七分土星少三刻二十二分金星多一十二刻一十五分水星多五十三分且四分厯与太初厯虽有迟疾无迟疾差度况无盈缩及盈缩差度止用一平朔歩筭所以五星伏见非失之先则失之后朔无盈缩迟疾则日食或失之先或失之后皆非也古今律厯考卷十二
## 卷十三
钦定四库全书
古今律厯考卷十三 明 邢云路 撰歴代五歴代考晋书晋书云传称黄帝使伶伦自大夏之西昆仑之隂取竹之嶰谷断两节间长三寸九分而吹之以为黄钟之宫又云黄帝作律以玉为管长尺周礼太师掌六律六吕以辩隂阳之声及景王问律于泠州鸠其对六律六间甚悉至吕不韦言黄钟之宫律之本也上下相生三分损益后代之言音律者多宗此说洎司马迁作律书九三之为黄钟之法参之十二辰为黄钟之实实如法得黄钟之律九寸上下相生隂阳得所班固律与马迁同元帝时京房则作六十律严嵩传之莫能为准盖古典及今音家所用六十律者无施于乐惟以五声十二律还相为宫之法制六孔十二笛有一定调故诸弦歌皆从笛为正于迁固所生分寸数皆倍焉余则竝同斯则泠州鸠所谓六间之道賛助之法也已上诸说其论乐详矣独其所云黄帝以三寸九分为黄钟则吕览之误文未可信也盖冬至一阳来复根株黄泉之下其管必长其气乃动故其音浑浑然浊泠州鸠于黄钟名之为一谓为宣养六气九德也曰宣养则初出尚微养之而已由是第之乃二曰太蔟谓为賛阳出滞然后次之姑洗至应钟而极以渐宣布散越和展秀利其释名各异焉若黄钟遽短而清则泠州鸠何以始名宣养次乃出滞卒方散利耶夫亦焉有宣养之初即轻清而散利之后反重浊耶故管子曰宫声如牛鸣窖中正状其浊也况黄钟九寸上下相生三分损益其数乃符若黄钟三寸九分则宜用何术歩算也泠州鸠管子去古未远相传必真而晋人误信三寸九分之说使后之疑者遂縁此生议其无谓甚矣晋书又云黄帝作律以玉为管长尺曰尺则与九寸相近与三寸九分悬绝既而魏晋制律则皆遵黄钟九寸之法无异术夫一人也忽然曰黄帝黄钟三寸九分又忽然曰黄帝黄钟长尺又忽然背黄帝仍用九寸为黄钟何言行之不相顾也晋书论刘歆造三统厯以说左传辩而非实班固惑之采以为志是编䜣改行四分七十余年仪式乃备非盖三统四分其失均也汉灵帝光和中命㑹稽东部尉刘洪同蔡邕共修律厯汉厯三统四分皆四分之一余分太强刘洪始觉冬至后天乃减岁余更以五百八十九为纪法百四十五为斗分考冬至日日在斗二十二度又创制日行迟速兼考月行隂阳交错于黄道表里日行黄道于赤道宿度复进有退作乾象厯郑𤣥受其法加以注释司马彪因之以继班史云详其术乾象演纪上元己丑以来至建安十一年积七千三百七十八年得丙戌岁以五百八十九年为纪法乃三十一章之年也计二百六十一年差一日一纪差二日二十五刻有奇以减一纪五百八十九年所积四分度之一之日一百四十七日二十五刻余一百四十五日为斗分以纪法乘三百六十五日得二十一万四千九百八十五日加斗分一百四十五日共得二十一万五千一百三十日为周天以纪法而一得三百六十五日二十四刻六十一分八十秒为岁实以纪月七千二百八十五归周天得二十九日五十三刻五分四十秒为朔实以周日法五千九百六十九除厯周天一十六万四千四百六十六得二十七日五十五刻三十三分五十九秒为转终以日周七千八百七十四归周天得二十七日三十二刻一十五分六十四秒为交终交终较授时多十刻九十分计十年多十四日距交□逺以课亏蚀不效矣乾象木星周三百九十八日八十八刻一分火星周七百七十九日四十八刻四十八分土星周三百七十八日八刻金星周五百八十四日二刻一十四分水星周一百一十五日八十八刻二十九分各有不同查五星歴代各不同总之皆未得其精即授时亦然所以至今五星多有乖失必也观象仪度另立差法乃得其真固有待而为也洪以五归周天为通法以五归纪月为日法以日法除通法得朔实则日法通法所宜用也然日法宜千四百五十七而厯四百五十七少千通法宜四万三千二十八而厯四万三千二十六少二又周天宜二十一万五千一百三十而厯二十一万五千一百四十多十章月宜二百三十五而厯二百四十五多十何也我知其故矣日法少千周天多十章月多十皆史书误刻也即后推五星日法千四百五十七周天二十一万五千一百三十章月二百三十五皆正知前误刻非洪之差也至于通法宜余八而却六者以纪月除周天数尚少以推月策之分秒为真至于五归其数多则月策之分秒积实而上不无稍多故洪去其二亦权宜之术耳不则以纪月归周天得二十九日五十三刻五分四十秒以五归之纪月归五归之周天得二十九日五十三刻一十九分一十四秒较前分多矣故减通法之二为是也大都三统四分皆不知斗分之太多洪觉而减之汉厯无日月盈缩迟疾洪仰观黄赤表里隂阳交错创立盈缩损益之数以合天歩虽其分数不无少差然以千古不明之窍自洪始发之使后人循此推测渐诣其精如晦始明如梦斯醒则洪之功大矣所惜者第于汉歴之先大余后小余满法上加岁月一换其𤨏屑之状仍旧贯未霍然厘去之为缺也魏文帝黄初中韩翊以为乾象减斗分太过造黄初厯以四千八百八十三为纪法千二百五十为斗分其所校厯更相是非无时而决徐岳议韩翊用洪法小益斗分至于日蚀有不尽效夫以黄初二年六月二十七日戊辰加时未日蚀乾象术加时申半强于消息就加未黄初以为加辛强乾象后天一辰半强为近黄初二辰半为远消息与天近今以授时考之是年七月戊辰朔未时日蚀非六月二十七日查晋志二年七月十五日癸未月食则初一己巳此之戊辰乃六月二十九晦或九字误为七也岳议三年正月丙寅朔加时申十一月二十九日庚寅晦加时申皆食黄初乾象各远近异授时则正月丙寅朔午十二月庚申朔未非正月丙寅之申亦非十一月庚寅晦也盖二厯交终疎所以课日不效其所歩五星尤疎魏尚书郎杨伟表称汉厯疏阔臣考验天路更建宻厯以大吕之月为岁首以建子之月为厯初汉武改元太初因名太初厯今改元景初宜曰景初厯臣之所建景初厯法数则约要施用则近宻治之则省功学之则易知虽复使研桑心算𨽻首运筹重黎司晷羲和察景以考天路歩验日月究极精微尽术数之极者皆未能并臣如此之妙也是以累代厯数皆疏而不宻自黄帝以来常改革不巳壬辰元以来至景初元年丁巳岁四千四十六算止此元以天正建子黄钟之月为厯初元首之岁夜半甲子朔旦冬至详其术演纪上元壬辰以来至景初元年积四千四十六年得丁巳岁以万一千五十八为一元乃六纪之年也以千八百四十三为一纪乃九十七章之年也计三百二十年有奇差一日一纪差五日七十五刻以减一纪千八百四十三年所积四分度之一之日四百六十七日七十五刻余四百五十五日为斗分以纪法乘三百六十五日得六十七万二千六百九十五日加斗分四百五十五日共得六十七万三千一百五十日为周天以纪法而一得三百六十五日二十四刻六十八分八十秒为岁实以一纪之月二万二千七百九十五月归周天得二十九日五十三刻五分九十八秒为朔实五归周天得十三万四千六百三十为通数五归纪月得四千五百五十九为日法若以日法归通数亦得朔实以纪法并一纪之月得二万四千六百三十八为月周以日法除通周十二万五千六百二十一得二十七日五十五刻四十五分五秒为转终以月周除周天得二十七日三十二刻一十六分一十七秒为交终以较授时亦计十年多十四日其课蚀不效同景初木星周三百九十八日八十四刻七十九分火星周七百八十日八十三刻三十三分土星周三百七十八日九刻六十三分金星周五百八十四日八刻八十六分水星周一百一十五日七十八刻六分是五星较各厯分数亦各不同以待更而后定者夫杨伟谓汉厯疏阔自称厯宻虽重黎羲和复出皆未能如己之妙则宜有奇筹宻布度越前人也乃其术尽皆刘洪之故法特别立一名耳漫改斗分反增岁余以布诸法亦何益也伟以日道表里交㑹迟疾添于纪首而不知洪之盈缩迟疾进退损益已有之矣其月食表里所在则即洪之黄道去极也至于以建丑为正改其年三月为孟夏四月尤属无谓三年帝崩乃复用夏正其刘氏在蜀仍汉四分厯吴常侍王蕃以洪术精妙制仪象故孙氏用乾象厯至吴亡晋武帝泰始元年因魏之景初厯改名泰始厯然即一厯也大都黄初已后改作厯术皆斟酌乾象所减斗分朔余月行隂阳迟疾以求折衷洪术为后代推歩之师表云晋刘智推三百年斗厯改宪以为四分法三百年减一日以百五十为度法三十七为斗分皆属浮说杜预著春秋长厯谓天行不一宜改宪以从乃作干度厯其术合日行四分数而微增月术用三百年改宪之意以较古厯日蚀微胜然而四分之法三百年改宪之说非通论也至穆帝永和八年王朔之造通厯以甲子为上元积九万七千年以四千八百八十三为纪法千三百五为斗分施行亦不协后秦姚兴时当孝武太元九年甲申岁天水姜岌造三纪甲子元厯其畧言春秋日蚀与殷厯鲁厯皆不应服䖍解传用太极上元太极上元乃汉三统厯难施于春秋襄公二十七年十一月朔日蚀应在此月非再失闰刘歆厯日蚀多在二日因附五行传著朓昃之说不曰厯失天而反寃天也杜预论所傅七厯非时王之术为是皆斗分疏也斗分殷四分一三统一千五百三十九分之三百八十五乾象五百八十九分之一百四十五景初一千八百四十三分之四百五十五殷斗分麤故不施于今乾象斗分细故不通于古景初斗分虽在麤细之中而日之所在乃差四度课蚀不效今治新厯以二千四百五十一分之六百五为斗分日在斗十七度以考春秋三十六蚀正朔者二十五蚀二日者二蚀改者二误者五春秋至今一千余岁蚀多在朔岂三百岁斗厯改宪者乎甲子上元以来至鲁隐元年己未岁凡八万二千七百三十六至晋孝武太元九年甲申岁凡八万三千八百四十一算乃作三纪厯斯岌所言皆是足破前古之疑独其所考春秋日蚀尚有蚀二日者二以授时考之则皆朔也盖岌已得其十之七八至授时则益精耳姜岌三纪厯以一百二十九章之岁二千四百五十一为纪法以三纪之岁七千三百五十三为元法三纪为元故曰三纪厯岌定以三百一十六年有奇差一日一纪差七日七十五刻以减一纪二千四百五十一年所积四分度之一之日六百一十二日七十五刻余六百五日为斗分以纪法乘三百六十五日得八十九万四千六百一十五日加斗分六百五日共得八十九万五千二百二十日为周天以纪法而一得三百六十五日二十四刻六十八分三十八秒为岁实以百二十九章乘章月二百三十五得三万三百一十五为纪月以纪月归周天得二十九日五十三刻五分九十五秒为朔实五归纪月得六千六十三为日法五归周天得一十七万九千四十四为通数以日法除通数亦得朔实以日法除通周十六万七千六十三得二十七日五十五刻四十五分一十秒为转终以月周三万二千七百六十六除周天得二十七日三十二刻一十六分一十三秒为交终且纪月周天自足用矣焉用五归相仍不易不知其何故也岌之厯较前为详而交终之多则与景初同于五星亦未见考正其最切者则以月蚀检日宿度所在为厯术者宗焉又著浑天论以歩日于黄道驳前儒之失竝得其中独柰何其厯未见之施行也(五归纪月)(周天之类有何取义不过乱其端绪使人莫测厯家専务此术后来者益多甚有千万其乘除者)古今律厯考巻十三
## 卷十四
钦定四库全书
古今律厯考巻十四 明 邢云路 撰歴代六歴代考宋书宋书论京房增律引伸中吕上生执始下生至于南事为六十律竟复不合弥益其疎刘歆三统厯疏阔扬雄心惑其说采为太𤣥班固谓之最密著于汉志为不知而妄言其说皆是宋髙祖颇好厯数太子率更令何承天私撰新法元嘉二十年上表云月盈则蚀必当其冲以月推日则躔次可知尧典仲夏星火今季夏火中尧仲秋星虚今季秋虚中尔来二千七百余年所差二十七八度则尧冬至日在须女十度左右也汉太初冬至在牵牛初汉四分及魏景初同在斗二十一臣以月蚀检之则景初之冬至应在斗十七又以土圭测景考校二至差三日有余然则今之冬至在斗干三四矣诏令以月蚀检土圭测悉如承天所上奏二十二年普用元嘉厯诏可元嘉厯以上元庚辰至元嘉二十年癸未五千七百三年算外以一百九十二章积三千六百四十八年为元法以三十二章积六百八年为纪法以纪月七千五百二十十得一七百五十二为日法以纪法除通数二万二千二百七得三百六十五日二十四刻六七一为岁实以日法除通数得二十九日五十三刻五分八五为朔实以日法除通周二万七百二十一得二十七日五十五刻四五二一为转终以月周四千六十四除周天十一万一千三十五得二十七日三十二刻一六○四为交终五星木周日三百九十八日八十七刻二五火周日七百七十九日七十五刻九二土周日三百七十八日七刻九七金周日五百八十三日九十五刻七三水周日一百一十五日八十六刻九八各有不同是厯较前颇宻其测晷漏刻绰有规则祖冲之字文远范阳遒人也稽古有机思始元嘉中用何承天所制厯比古十一家为宻冲之以为尚疎乃更造新法上表言之世祖孝武帝令朝士善厯者难之不能屈其术以旧章法十九岁七闰经二百年辄差一日乃改章法三百九十一年有一百四十四闰推上元甲子至宋大明七年癸卯五万一千九百三十九算外元法五十九万二千三百六十五乃十五纪之年也纪法三万九千四百九十一乃一百一章之年也章岁三百九十一章闰一百四十四盖三百九十一年有一百四十四闰故以是定章岁章闰章月四千八百三十六盖一章三百九十一年每年十二月凡四千六百九十二月加一百四十四闰月共四千八百三十六月故以是定章月周天一千四百四十二万三千八百四日是一纪之日也日法三千九百三十九者以一百一乘章月得四十八万八千四百三十六以一百二十四而一得三千九百三十九为日法也月法一十一万六千三百二十一者以一百二十四除周天得数为月法也以纪法除周天得三百六十五日二十四刻二八一四为岁实以日法除月法得二十九日五十三刻五分九一为朔实以通法二万六千三百七十七除通周七十二万六千八百一十得二十七日五十五刻四六八七为转终以通法除㑹周七十一万七千七百七十七得二十七日二十一刻二二三为交终五星木周日三百九十八日八十九刻二九火周日七百八十日三刻○七土周日三百七十八日六刻九四金周日五百八十三日九十三刻○八水周日一百一十五日八十七刻九六各有不同已前交终疎至冲之始宻已后诸厯虽立法各异率皆从大明厯出则冲之之长也柰何中郎将戴法兴反复数千言辩冲之非是悉属乖谬盖其时法兴佞幸为世祖所宠天下畏其权无敢异议论者皆附之唯中书舍人巢尚之是冲之之术执据宜用上欲用冲之新法时大明八年也故须明年改元因此改厯未及施行而宫车晏驾矣至梁天监初子暅之更修之于是始行焉宋何承天祖冲之立岁差法损岁余益天周以正日躔尤为卓绝魏书魏肃宗孝明帝神龟初集张龙祥等九家厯合为一厯以李业兴为主改元正光名正光厯正光三年冬十一月颁行之以壬子元至正光三年积十六万七千七百五十算外得壬寅岁以五百五年为章岁以十九章而一凡二十六章五七九以七闰因之应闰一百六十八月为章闰以加于岁中五百五年每年十二月凡六千六十月内共六千二百四十六月为章月十二章六千六十年为一蔀十蔀六万六百为一纪二纪十二万一千二百为一统三统三十六万三千六百为一元而大余尽斗分者四分度之一为二十五刻一蔀六千六十年计一千五百一十五日为古斗分业兴觉气不及天度以一百五十九年半差一日六千六十年当差三十八日以减古斗分余一千四百七十七日为斗分以加于六千六十年每年三百六十五日计二百二十一万一千九百日内共得二百二十一万三千三百七十七日为周天分以六千六十年而一得三百六十五日二十四刻三七二九为岁实一蔀六千六十年计十二章以乘章月得七万四千九百五十二即蔀月定为日法以月取日故曰日法以日法除周天得二十九日五十三刻五九二九为朔实以日法除通周得二十七日五十五刻四五一四为转终置蔀月加蔀法得周月八万一千一十二加一蔀三百一十九章共得八万一千三百三十一为交周以除周天得二十七日二十一刻四四三二魏史缺交终今补此五星木周日三百九十八日七十八刻八七火周日七百七十九日八十四刻二九土周日三百七十八日五刻六二金周日五百八十三日八十五刻水周日一百一十五日八十七刻一六魏厯大都踵宋厯为之亦近密东魏孝静帝兴和二年李业兴以壬子厯气朔稍违改造兴和厯以上元甲子以来积二十九万三千九百九十七算至兴和二年得庚申岁以一百一万一千六百为元法三统之数也三十三万七千二百为统法二纪之数也十六万八千六百为纪法十蔀之数也一万六千八百六十为蔀法又名度法三十章岁之数也五百六十二为章岁以十九归章岁凡二十九章五七八以七闰因之得二百七为章闰以每年十二月乘章岁得六千七百四十四为章中加章闰二百七共得六千九百五十一为章月以三十乘章月得二十万八千五百三十为日法即蔀月以四千一百一十七为斗分以度法乘岁日三百六十五得六百一十五万三千九百加斗分共得六百一十五万八千一十七为周天以度法除之得三百六十五日二十四刻四一八七为岁实以日法除周天得二十九日五十三刻○六○四为朔实以日法除通周五百七十四万五千九百四十一得二十七日五十五刻四五○五为转终置蔀月加蔀法得二十二万五千三百九十为月周加一蔀每十九年一章凡八百八十七章共得二十二万六千二百七十七为交周以除周天得二十七日二十一刻四五○六为交终以歩五星以蔀法除星率即五精数各得周日以蔀除木精数六百七十二万二千八百八十八得木周日三百九十八日七十四刻七八除火精数一千三百一十四万九千八十三得火周日七百七十九日八十九刻八一除土精数六百三十七万四千六十一得土周日三百七十八日五刻八一除金精数九百八十四万三千八百八十二得金周日五百八十三日八十六刻除水精数一百九十五万三千七百一十七得水周日一百一十五日八十七刻八八较正光厯稍异隋书北齐文宣帝天保元年散骑侍郎宋景业依握诚圗及元命包言齐受箓之期应六百七十六以为章作天保厯以上元甲子积十一万五百二十六年至天保元年得庚午章岁六百七十六度法二万三千六百六十斗分五千七百八十七以度法乘岁日得八百六十三万五千九百加斗分共八百六十四万一千六百八十七为周天以度法除之得三百六十五日二十四刻四五九为岁实以十九归章岁凡三十五章五七九以七因之凡二百四十九闰为章闰以十二月乘章岁得八千一百一十二加章闰共八千三百六十一为章月以三十五乘章月得二十九万二千六百三十五为纪月以纪月除周天得二十九日五十三刻○五九九为朔实以月周三十一万三千六百二十除周天得二十七日五十五刻四六四二为转终以交周三十一万七千五百六十六除周天得二十七日二十一刻二二五五为交终此其数也至后主武平七年董峻郑元伟立议非之乃上甲寅元厯以二万二千三百三十八为蔀五千四百六十一为斗分又刘孝孙以百一十九为章八千四十七为纪张孟賔以六百一十九为章四万八千九百为纪九百四十八为日法万四千九百四十五为斗分是年六月戊申朔太阳亏刘孝孙言食于卯时张孟賔言食于寅时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至日食乃于卯寅之间其言皆不能中争端未定遂属国亡此史论也以授时推是食在卯正合天时则孝孙孟賔为近郑董亦近景业为疎矣大都五代诸厯家俱踵元嘉大明故法改换章蔀斗分妄自各立门户争相妒竞以涂人耳目如是而已西魏入关尚兴李业兴正光厯后周明帝诏有司造周歴颇谬及武帝天和元年甄鸾造天和厯上元甲寅至天和元年景戌积八十七万五千七百九十二算外章岁三百九十一蔀法二万三千四百六十日法二十九万一百六十斗分五千七百三十一以蔀法乘之得周天以日法而一得月策周天八百五十六万八千六百三十一岁实三百六十五日二十四刻四二月策二十九日五十三刻○七一参用推歩终于宣徳元年而变周静帝大象元年太史上士冯显更造大象厯上元景寅至大象元年己亥积四万一千五百五十四算日法五万三千五百六十三亦名蔀㑹法章岁四百四十八斗分三千一百六十七蔀法一万二千九百九十二乃二十九章岁之数也歩得周天四百七十四万五千二百四十七蔀闰四千七百八十六蔀月一十六万六百九十岁实三百六十五日二十四刻三七朔实二十九日五十三刻四分四三冯显自以为参校精密而不知气多朔少所差逺矣隋髙祖初行禅代之事欲以符命曜于天下道士张賔揣知上意自云洞晓星厯盛言代谢之征由是大被知遇命造新厯賔乃依何承天法微加增损作开皇厯其要以上元甲子己巳已来至开皇四年甲辰四百一十二万九千一算上蔀法一十万二千九百六十乃二十四章歳也章歳四百二十九者盖每章十九以二十二章乘之得四百一十八再加十一共四百二十九年为章岁章月五千三百六者盖二十二章凡五千一百七十月又十一年一百三十六月共五千三百六月为章月通月五百三十七万二千二百九者盖周天三千七百六十万五千四百六十三以七归之得五百三十七万二千二百九为通月日法一十八万一千九百二十者盖以二十四乘章月得一十二万七千三百四十四以十因之得一百二十七万三千四百四十为蔀月以七而一得一十八万一千九百二十为日法置斗分二万五千六十三以蔀法而一得二十四刻三四二四为岁余以加于每年三百六十五内共得三百六十五日二十四刻三四二四为岁实以日法除通月得二十九日五十三刻○六一二为朔实賔厯既行刘孝孙与冀州秀才刘焯并称其失所駮有六条及以古交食并测景辩其是非互有短长如聚讼然殊不知张賔止依元嘉旧法微加增损安得无差即孝孙等议厯亦止就旧法辩论总之于盈缩迟疾之窍未得其真虽辩万言何益炀帝大业四年太史令张胄𤣥作大业厯自甲子元至大业四年戊辰百四十二万七千六百四十四年算外章岁四百一十乃二十一章并一十一年也章闰一百五十一章月五千七十一度法四万二千六百四十乃一百四章之岁度月五十二万七千三百八十四乃一百四章之月度月法四百六十一以除度月得一千一百四十四为日法岁分一千五百五十七万三千九百六十三以度月法除之得三万三千七百八十三为月法斗分一万三百六十三即岁余交周五十七万二千三百一十四周通七万二百九周法二千五百四十八以度法除岁分得三百六十五日二十四刻三○三四为岁实以日法除月法得二十九日五十三刻○五九四为朔实以周法除周通得二十七日五十五刻四五五二为转终以交周除岁分得二十七日二十一刻二二六九为交终以度法除五星周数各得周日度法除木数一千七百万八千三百三十四分得三百九十八日八十八刻二为木星周日除火数三千三百二十五万六千二十六得七百七十九日九十二刻五五为火星周日除土数一千六百一十二万一千七百六十七得三百七十八日九刻○一为土星周日除金数二千四百八十九万八千四百一十七得五百八十三日九十二刻一五为金星周日除水数四百九十四万一千九十八得一百一十八日八十七刻九四为水星周日大业厯大抵学祖冲之之法而小变其说耳开皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道升平行次道霸代行下道盖日去极近则景短而日长去极远则景长而日短今自隋兴昼日渐长开皇元年冬至之景长一丈二尺七十二分自尔渐短至十七年短于旧三寸七分矣上临朝谓百官曰日长之庆天之佑也今当改元宜取此意乃改明年为仁寿元年因以厯事付皇太子勇东宫刘焯以太子新立修增其书名曰皇极厯駮正胄𤣥之短太子颇嘉之至仁夀四年焯短胄𤣥于皇太子云胄𤣥时不从子半晨前别为后日七曜愆序凡五百三十六条𤣥前拟献但因人成事非其实录焯作于前𤣥献于后且孝孙因焯胄𤣥后附孝孙厯术之文又皆是孝孙所作则元本偷窃事甚分明焯又造厯家同异名曰稽极大业元年帝知焯下其书与胄𤣥参校𤣥駮焯厯歳率月率者平朔之章歳章月也以平朔之率而求定朔非是云云互相駮难是非不决焯罢归四年太史奏日食无效帝召焯欲行其厯胄𤣥排之又㑹焯死厯竟不行术士咸称其妙故录其术云甲子元距仁夀四年甲子积一百万八千八百四十算歳率六百七十六乃三十五章并一十一年也月率八千三百六十一乃歳率之月也周率二十四万六千九百○五三一一五朔日法一千二百四十二朔实三万六千六百七十七终法二千二百六十三终实六万二千三百六十五以朔日法乘二十七得三万三千五百三十四加交余二百六十三共得三万三千七百九十七为交实以岁率除周率得三百六十五日二十四刻四五四三为岁周以朔日法除朔实得二十九日五十三刻○五九五八为月策以终法除终实得二十七日五十五刻四五七三为转终以朔日法除交实得二十七日二十一刻一七五五为交终以度法四万六千六百四十四除周天数一千七百三万七千七十六得三百六十五度二十五分七十六秒为周天度以度法除各五星周数得各周日除木数千八百六十万五千四百六十八得木周日三百九十八日八十八刻二三除火数三千六百三十七万七千五百九十五得火周日七百七十九日八十九刻八七除土数千七百六十三万五千五百九十四得土周日三百七十八日八刻九二除金数二千七百二十三万六千二百八得金周日五百八十三日九十一刻六六除水数五百四十万五千六得水周日一百一十五日八十七刻七八大都焯与胄𤣥之厯皆踵旧法为之无甚奇异焯第因𤣥窃已成术反肆驳噬故不平而鸣也焯谓𤣥不从晨前子半别为后日夫子半为后日亘古所同胡𤣥之不察也𤣥谓焯不宜以平朔之章岁章月求定朔不知焯以章月歩平朔非定朔也至歩定朔别有消息耳若焯之差则坐气大朔小所以行之不久而气与天违此之故也至于袁充表奏文帝引京房言日行三道及景长景短之说甚为悖谬盖日行去极南北有定并无因世治乱改行上下之理地中以八尺立表冬至之景一丈三尺有奇纵是日冬至加时在子亥之远所差进退止在寸内分数即冬至前后一日之晷差亦止在寸分以内故也则又安得有后短于前至三寸七分之多耶噫嘻我知其故矣隋人歩厯不精气策未善冬至或差二三日则其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥称仁寿舛矣卒之歴年三十传国二世然则景长之效夀耶不耶古今律厯考巻十四
## 卷十五
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古今律厯考卷十五 明 邢云路 撰歴代七歴代考唐书唐厯志云唐始终二百九十余年而厯八改曰戊寅元厯麟徳甲子元厯开元大衍厯寳应五纪厯建中正元厯元和观象厯长庆宣明厯景福崇𤣥厯止矣髙祖受禅初东都道士傅仁均治新厯合受命岁名为戊寅元厯所可考騐者七曰唐以戊寅岁甲子日登极厯元戊寅日起甲子如汉太初一也冬至日短星昴合尧典二也周幽王六年十月辛夘朔入蚀限合于诗三也鲁僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大三小则日蚀常在朔月蚀常在望五也命辰起子半命度起虚六符隂阳之始六也立迟疾定朔则月行晦不东见朔不西朓七也髙祖诏司厯起二年用之擢仁均员外散骑侍郎三年正月望及二月八月朔当蚀比不效六年诏郎中祖孝孙博士王孝通考其得失未定九年复诏大理卿崔善为较定善为所改凡数十条初仁均以武徳元年为厯始七政皆有加减至是复用上元积算其周天度即古赤道也贞观初值太史李淳风又上疏论十有八事复诏善为课二家得失其七条改从淳风十四年太宗将祀南郊以十一月癸亥朔甲子冬至而淳风新衍以甲子合朔冬至乃上言古厯分日起于子半十一月当甲子合朔冬至太史令傅仁均以减余稍多子初为朔遂差三刻司厯南宫子明太史令薛頥等言子初及半日月未离淳风之法符合国子祭酒孔颖逹等谓平朔行之自古春秋传或失之前为晦日也虽癸亥日月相交明日甲子为朔可也从之仁均厯法祖述胄𤣥稍以刘孝孙旧议参之麟徳间仁均厯较淳风厯最疎然更相出入其有所中淳风亦不能逾之今所记者善为所较也戊寅厯上元戊寅至武徳九年丙戌积十六万四千三百四十八算外章歳六百七十六亦名行分法乃三十五章并十一年之歳章闰二百四十九乃三十五章凡二百四十五闰及十一年四闰共之之数章月八千三百六十七乃一章歳凡八千一百一十二月及闰二百四十九共之之数度法气法九千四百六十四乃十四章积度并歳度月法一十一万七千五十四乃十四章歳之积月日法一万三千六以九归度月而得歳分三百四十五万六千六百七十五者置三百六十五日四分度之一以气法乘之得三百四十五万六千七百二十六日以歳分减之减五十一日以气法而一得每年减五十三分八八八以减三百六十五日四分度之一得三百六十五日二十四刻四六一一为歳周即以气法除歳分得三百六十五日余歳余二千三百一十五再除得歳周也周分三百四十五万六千八百四十五半者以度法乘周天度三百六十五得三百四十五万四千三百六十加斗分二千四百八十五半得数为周分以度法归之得三百六十五度二十六分二十五秒为天周也月法三十八万四千七十五以九归岁分而得交㑹法一千二百七十四万一千二百五十八半之得六百三十七万六百二十九为交分法以三十六而一得三十五万三千九百二十三日八十三刻为交实以日法除月法得二十九日五十三刻○六○一为朔实以厯法二万八千九百六十八除厯周七十九万八千二百得二十七日五十五刻四五四三为转终以日法除交实得二十七日二十一刻二三五为交终以度法除五星率得各周日木率三百七十七万五千二十三火七百三十八万一千二百二十三土三百五十七万八千二百四十六金五百五十二万六千二百水百九万六千六百八十三木周日三百九十八日八十八刻二四火七百七十九日九十二刻六二土三百七十八日九刻○三金五百八十三日九十一刻一六水一百一十五日八十七刻九四厯志谓戊寅元厯冬至五十余年差一度是时约八十年差一度非五十年也谓僖公壬子冬至推乃辛亥冬至非壬子也谓月有三大三小固多是而亦有不尽然者非一定也其云幽王六年十月辛夘朔日食及辰起子半度起虚六则皆是谓淳风推癸亥夜次日甲子冬至以子初及半日月未离虽癸亥相交可为甲子不知夜子初刻属前日正刻属后日界限分明毫不容假难以子初作次日也则不若仁均辰起子半之为是耳仁均滑州白马人髙宗时戊寅厯渐差岐州雍人太史令李淳风作麟徳甲子元厯以古厯有章蔀元纪日分度分参差不齐乃为总法千三百四十以一之损益中晷术以考日至为浑仪表里三重以测黄道初隋末刘焯造皇极厯其道未行淳风约之为法改作麟徳厯时以为宻麟徳元年甲子距上元甲子积二十六万九千八百八十筭总法千三百四十乃七十章及十年之岁数期实四十八万九千四百二十八乃一总之日数常朔实三万九千五百七十一以总法除朞实得三百六十五日二十四刻四七为岁周以总法除常朔实得二十九日五十三刻○五九七为月䇿置变周四十四万三千七十七以十二除之得三万六千九百二三○八三三以总法而一得二十七日五十五刻四五四为转终置游交终率千九十三万九千三百一十三以三归之得三百六十四万六千四百三十七六六以总法而一得二十七日二十一刻二二二一为交终以总法除五星各总率得各星周日总率木五十三万四千四百八十三火百四万五千八十土五十万六千六百二十三金七十八万四千四百四十九水十五万五千二百七十八木周日三百九十八日八十六刻八火七百七十九日九十一刻○四土三百七十八日七刻六八金五百八十三日九十一刻七一水一百一十五日八十七刻九一大端皆约皇极厯而㣲加増损之其一以总法则校之诸厯似为省要耳开元九年麟徳厯署日蚀比不效诏僧一行作新厯推大衍数立术以应之十五年草成而一行卒诏特进张说与厯官陈𤣥景等次为厯术七篇略例一篇厯议十篇表上之十七年颁行其大要著于篇者十二其一厯本议曰易天数五地数五五位相得而各有合所以成变化而行鬼神也天数始于一地数始于二合二始以位刚柔天数终于九地数终于十合二终以纪闰余天数中于五地数中于六合二中以通律厯天有五音所以司日也地有六律所以司辰也参伍相周究于六十圣人以此见天地之心也自五以降为五行生数自六以徃为五材成数错而乘之以生数衍成数位一六而退极五十而増极一六为爻位之统五十为大衍之母成数乘生数其筭六百为天中之积生数乘成数其筭亦六百为地中之积合千有二百以五十约之则四象周六爻也二十四约之则太极包四十九用也综成数约中积皆五十综生数约中积皆四十兼而为天地之数以五位取之复得二中之合矣蓍数之变九六各一乾坤之象也七八各三六子之象也故爻数通乎六十䇿数行乎二百四十是以大衍为天地之枢如环之无端盖律厯之大纪也夫数象㣲于三四而章于七八卦有三㣲䇿有四象故二㣲之合在始中之际焉蓍以七备卦以八周故二章之合在中终之际焉中极居五六间由辟阖之交而在章㣲之际者人神之极也天地中积千有二百揲之以四为爻率三百以十位乘之为二章之积三千以五材乘八象为二㣲之积四十兼章㣲之积则气朔之分母也以三极参之倍六位除之凡七百六十是谓辰法而齐于代轨以十位乘之倍大衍除之凡三百四是谓刻法而齐于徳运半气朔之母千五百二十得天地出符之数因而三之凡四千五百六十当七精返初之㑹也易始于三㣲而生一象四象成而后八卦章三变皆刚太阳之象三变皆柔太隂之象一刚二柔少阳之象一柔二刚少隂之象少阳之刚有始有壮有究少隂之柔有始有壮有究兼三才而两之神明动乎其中故四十九象而大业之用周矣数之徳圆故纪之以三而变于七象之徳方故纪之以四而变于八人在天地中以阅盈虚之变则闰余之初而气朔所虚也以终合通大衍之母亏其地十凡九百四十为通数终合除之得中率四十九余十九分之九终岁之弦而斗分复初之朔也夫十九分之九盈九而虚十地于终极之际亏十而从天者所以逺疑阳之战也干盈九𨼆乎龙战之中故不见其首坤虚十以导潜龙之气故不见其成周日之朔分周岁之闰分与一章之弦一蔀之月皆合于九百四十盖取诸中率也一䇿之分十九而章法生一揲之分七十六而蔀法生一蔀之日二万七千七百五十九以通数约之凡二十九日余四百九十九而日月相及于朔此六爻之纪也以卦当岁以爻当月以䇿当日凡三十二岁而小终二百八十五小终而与卦运大终二百八十五则参伍二终之合也数象既合而遯行之变在乎其间矣所谓遯行者以爻率乘朔余为十四万九千七百以四十九用二十四象虚之复以爻率约之为四百九十八㣲分七十五太半则章㣲之中率也二十四象象有四十九蓍凡千一百七十六故虚遯之数七十三半气朔之母以三极乘参伍以两仪乘二十四变因而并之得千六百一十三为朔余四揲气朔之母以八气九精遯其十七得七百四十三为气余岁八万九千七百七十三而气朔㑹是谓章率岁二亿七千二百九十万九千九百二十而无小余合于夜半是谓蔀率岁百六十三亿七千四百五十九万五千二百而大余与岁建俱终是谓元率此不易之道也䇿以纪日象以纪月故乾坤之䇿三百六十为日度之准乾坤之用四十九象为月弦之检日之一度不盈全䇿月之一弦不盈全用故䇿余万五千九百四十三则十有二中所盈也用差万七千一百二十四则十有二朔所虚也综盈虚之数五歳而再闰中节相距皆当三五弦望相距皆当二七升降之应发敛之候皆纪之以䇿而从日者也表里之行朓朒之变皆纪之以用而从月者也积筭曰演纪日法曰通法月气曰中朔朔实曰揲法岁分曰䇿实周天曰干实余分曰虚分气䇿曰三元一元之䇿则天一遯行也月䇿曰四象一象之策则朔弦望相距也五行用事曰发敛候䇿曰天中卦䇿曰地中半卦曰贞悔旬周曰爻数小分母曰象统日行曰躔其差曰盈缩积盈缩曰先后古者平朔月朝见曰朒夕见曰朓今以日之所盈缩月之所迟疾损益之或进退其日以为定朔舒亟之度乃数使然躔离相错偕以损益故同谓之朓朒月行曰离迟疾曰转度母曰转法迟疾有衰其变者势也月逶迤驯屈行不中道进退迟速不率其常过中则为速不及中则为迟积迟谓之屈积速谓之伸阳执中以出令故曰先后隂含章以聼命故曰屈伸日不及中则损之过则益之月不及中则益之过则损之尊卑之用睽而及中之志同观晷景之进退知轨道之升降轨与晷名舛而义合其差则水漏之所从也摠名曰轨漏中晷长短谓之陟降景长则夜短景短则夜长积其陟降谓之消息游交曰交㑹交而周曰交终交终不及朔谓之朔差交中不及望谓之望差日道表曰阳厯其里曰隂厯五星见伏周谓之终率以分从日谓之终日其差为进退其二中气议三合朔四没灭五卦候六卦七日度八日躔盈缩九九道十晷漏中星十一日蚀十二五星诸议俱详十六卷中古今律厯考巻十五
## 卷十六
钦定四库全书
古今律厯考卷十六 明 邢云路 撰歴代八歴代考唐书僧一行者沙门夫慧禅师名一行也张姓初名遂魏州长乐人剡国公公谨之孙武功令檀之子少聪敏道士尹崇见而竒之曰此后生颜子也寻出家遍歴天下访求异术至天台山国济寺见寺前一院有流水一行立门屏闻院僧于庭中有布算声而谓其徒曰今日当有弟子自逺来求吾法已合到门即除一算又谓曰门前水当西流弟子至矣一行返顾水果西流遂趋入拜求其法僧尽授之遂洞厯象隂阳推歩之学囘入嵩山髙宗诏之不起遁入荆州当阳山开元九年麟徳厯晷纬渐差课蚀不效宰相张说言之𤣥宗召见令造新厯遂与星官梁今瓉等造黄道游仪圗考校七曜行度准周易大衍之数别成一法撰开元大衍厯十五年草成一行卒年四十五赐谥曰大慧襌师欧阳修曰自太初至麟徳有二十三家与天虽近而未宻也至一行宻矣一行造厯上考黄颛夏商周鲁五王一侯之遗式下集太初至于麟徳二十三家之众议比其同异课其疎宻然其数一本于大衍今以唐厯志一一剖析之俾人易晓焉一行议厯本引易系之文其意所主在乎五位相得而各有合之一言盖一行欲变诸家之法之名而一一附于大衍之数故取诸此曰天数始于一地数始于二合天地二始为三以位刚柔盖刚一柔二其数三也天数终于九地数终于十合天地二终为十九以纪闰余终穷也易穷则变言闰亦日之穷余故取以为义天数中于五地数中于六合天地二中为十一以通律厯天中五故有五音所以司日盖以宫商角徵羽之五音配于甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之十干后代干凿度云日十干者五音是也地中六故有六律所以司辰盖以阳律六隂律六配于子丑寅夘辰巳午未申酉戌亥之十二支后代干凿度云辰十二者六律是也此合二中以通律厯也然曰五六为二中九十为二终即班固志五六天地之中十九年为章岁合天地终数得闰法之说也曰五音司日六律司辰即杨子云声生于日律生于辰之说也此其于诸家之说同也参伍相周者参三也伍五也以二中之五与六互相因之五六因三十六五因三十共究于六十圣人以此见天地之心天地之心即天地之中也故刘羲叟曰一行以天地之中数作大衍厯最精宻正谓此也自五以降五四三二一为五行生数自六以徃六七八九十为五材成数错而乘之以生数衍成数者相衍相乘也位一六而退极五十而増极者盖中极位居五六间自六五退而四三二而退至生数之一自五六増而七八九而増至成数之十一退极一増极皆由中之五六两分之故以二中见天地之心一六为爻位之统者一生而六成之一与六合自一至六则二三四五在其中爻始于一终于六故以一六为爻位之统五十为大衍之母者五生而十成之五与十合自五至十则六七八九在其中六为太隂七为少阳八为少隂九为老阳乾坤六子皆自五十之数衍之中五衍母次十衍子故以五十为大衍之母六七八九十共积之得四十为成数一二三四五共积之得十五为生数以四十成数乘十五生数共得筭六百为天中之积以十五生数乘四十成数共得筭亦六百为地中之积即错而乘之也天中六百与地中六百合之得一千二百置一千二百以大衍之数五十约而归之得二十四则四象之四周于六爻盖四六二十四也仍置一千二百以四象周六爻之二十四约而归之得五十则太极之一虚而不用包乎其用四十有九之数也综成数之四十约归中积之六百天数地数皆十五综生数之十五约归中积之六百天数地数皆四十兼十五与四十合为五十五天数二十五地数三十共为天地之数五十有五置天地之数五十有五以中五衍母之五位取而归之得十一则复得二中之合矣盖天之中数五地之中数六为十一圣人合二中以见天地之心也蓍数之变九六各一者老阳之九一老隂之六一九与六为十五老阳干为父老隂坤为母乾坤之象也七八各三者少阳之七三三七二十一少隂之八三三八二十四二十一合二十四共得四十五乃三少阳震长男坎中男艮少男三少隂巽长女离中女兑少女六子之象也故爻数通乎六十盖合乾坤之象十五六子之象四十五共六十也䇿数行乎二百四十盖以四象乘六十得二百四十也是以大衍为天地之枢如环之无端一行取以为律厯之大纪也夫数象㣲于三四㣲者少而尚㣲也章于七八章者多而渐章也卦有三㣲谓三候成气䇿有四象谓隂阳老少三㣲四象合而为七揔之为二㣲之合所谓㣲于三四也天一在始地六在中三四在一与六间故二㣲之合在始中之际焉蓍以七备谓七七四十九䇿其数七卦以八周谓八八六十四卦其数八七备八周合而为十五总之为二章之合所谓章于七八也天五在中地十在终七八在五与十间故二章之合在中终之际焉中极居五六间谓天阳数奇一三五七九五在其中地隂数偶二四六八十六在其中天地之中数前乎㣲则阖后乎章则辟二㣲之合七二章之合十五五六合十一在㣲之七与章之十五间乃天地中和之数往来屈伸此为枢机以通神眀以前民用率由于此故曰由辟阖之交而在章㣲之际者人神之极也天中之积地中之积合之千有二百以四数揲而归之得三百为爻率三百以天地十位之数十乗爻率三百得三千为二章之积三千以五材之数五乘八象之数八得四十为二微之积四十兼二章之积三千与二㣲之积四十共三千四十是谓通法又为日法则日之气策与月之朔策之分母也置气朔之母三千四十以三极之数三叅之叅者三因也三因得九千一百二十以六位之数六倍而为十二除前九千一百二十得七百六十是谓辰法而齐于代轨仍置通法三千四十以十位之数十乘之得三万四百以大衍之数五十倍而为一百除前三万四百得三百有四是谓刻法而齐于徳运于气朔之母三千四十分五而半之得一千五百二十得天地出符之数于一千五百二十因而三因之得四千五百六十当七精返初之㑹考纬称入元三百四歳为徳运七百六十岁为代轨千五百二十岁为天地出符四千五百六十岁为七精返初是也易始于三㣲而生一象谓三㣲成著得一象也隂阳老少之四象成而后干兑离震巽坎艮坤之八卦章三变皆阳刚太阳之象三变皆隂柔太隂之象一阳刚二隂柔少阳之象一隂柔二阳刚少隂之象少阳之刚有始有壮有究少隂之柔有始有壮有究始壮究皆谓三画也自下而上始而壮而究也干凿度所谓物有始有壮有究故三画而成干是也兼三才而两之则成六画六爻既备神明动乎其中故大衍四十有九之用象数明备而大业之用周矣数之徳圎天圎圎一径三故纪之以三阳以七为用故三而变于七从竒也象之徳方地方方一函四故纪之以四隂以八为用故四而变于八从偶也人在天地中以阅象数竒偶气盈朔虚之变则有揲䇿归扐以成闰余而气朔所虚日月岁功所成也天数终于九地数终于十合而为十九谓之终合以终合之数十九通大衍之母通者乘也大衍之母五十也以十九乘五十得九百五十亏者减也地十者地数终于十也以九百五十之数减其一十凡得九百四十为通数以终合十九除通数得中率四十九余十九分之九盖四十九下隔位余九不尽故曰四十九余十九分之九是终岁之弦而斗分复初之朔乃推日月章蔀之法也夫十九分之九盈九而虚十者即前以十九除四十九下不尽之九数故曰盈九亏其地一十之数故曰虚十也地于终极之际亏十而从天所以逺疑阳之战者盖坤地终于十为极数隂盛之极与阳偕矣隂疑于阳必战故上六龙战于野其血𤣥黄言天地皆伤也今地于极数亏去其十以从天则疑阳之战可逺矣干盈九不用则所盈之九𨼆乎坤尽上六龙战爻中和而不战九为龙首故不见其首坤虚一不用则所虚之十从于干始初九潜龙爻中以导其气坤顺从天故不见其成周日之朔分周岁之闰分与一章之弦一蔀之月皆合于九百四十盖取诸中率者谓诸术即前所谓中岁之弦而斗分复初之朔者皆以九百四十为通数以终合除通数得中率四十九盖取诸此也一䇿之分十九而章法生者十九年七闰为一章也一揲之分七十六而蔀法生者一章十九年四章共七十六年故曰七十六而蔀法生四章为一蔀也一蔀之日二万七千七百五十九者一章十九年凡二百三十五月以朔实二十九日五十三刻五分九十二秒一十㣲不尽乗之得六千九百三十九日六八九一不尽为一章之日以四章因之得二万七千七百五十八不尽収而为五十九是为一蔀之日也以通数约之凡二十九日余四百九十九而日月相及于朔为六爻之纪者盖四章凡九百四十月一行呼为通数以通数约而归前一蔀之日得二十九日余数四百九十九其日下余数四百九十九仍以九百四十归之得五十三刻五分九十二杪一十㣲不尽为朔余共之即前朔实是日月相及于朔从揲策六爻所得之纪也以卦当岁者积蔀首一百九十二纪一纪一千五百二十岁得积岁二十九万一千八百四十以三十二卦除之得九千一百二十周盖三十二岁为一周此为卦当岁也以爻当月者一纪一万八千八百月得积月三百六十万九千六百以三百八十四爻除之得九千四百二十周盖三百八十四月为一周此谓爻当月也以䇿当日者一纪五十五万五千一百八十日得积日一万六百五十九万四千五百六十以一万一千五百二十坼除之得九千二百五十三周盖一万一千五百二十日为一周此谓䇿当日也凡三十二岁而小终二百八十五小终而与卦运大终二百八十五则参伍二终之合者终周也三十二岁为一小周即一小终置三十二以二百八十五乘之得九千一百二十周乃二百八十五小终即前以卦当岁一卦运大周之数也盖天地二数共终十九以参之三因十九得五十七以伍之五因五十七得二百八十五小终大终皆与二百三十五之数相合则参伍二终之合也数象既合而遯行之变在乎其间矣所谓遯行者以爻率三百乗朔余四百九十九得一十四万九千七百于一十四万九千七百之中以四十九用二十四象共七十三数虚而减之余一十四万九千六百二十七数复以爻率三百约而归之为四百九十八㣲以下分七十五六六不尽不尽即太半则章㣲之中率也二十四象象有四十九以二十四乘四十九为蓍一千一百七十六合二十四并四十九共七十三即前虚遯之数七十三也半其气朔之母三千四十得一千五百二十参伍者一十五也以三极之三乘十五得四十五以两仪乘二十四变得四十八因而并之者通前一千五百二十四十五四十八共得一千六百一十三为朔余以通法三千四十归之得五十三刻五分九十二秒一不尽即朔小余也以揲之四数归气朔之母三千四十得七百六十于内遯而减去八气之八九精之九共减十七得七百四十三为气余以通法三千四十归之得二十四刻四十四分不尽即岁小余也以通法乘朔大余二十九日得八万八千一百六十并朔余一千六百一十三共得岁八万九千七百七十三而气朔㑹是谓章率又名揲法以通法乘章率得岁二亿七千二百九十万九千九百二十而无小余合于夜半是谓蔀率以六十因蔀率得岁一百六十三亿七千四百五十九万五千二百以纪法除尽大余与岁建俱终是谓元率此不易之道也十九年为一章四章为一蔀二十蔀为一纪三纪为一元章法十九章月二百三十五蔀法七十六蔀月九百四十纪法一千五百二十纪月一万八千八百元法四千五百六十元月五万六千四百故至朔同日谓之章同在日首谓之蔀蔀终六旬谓之纪岁朔又复谓之元一元四千五百六十年当七精返初之㑹也䇿以纪日象以纪月故乾坤之䇿三百六十自卦得之为日度之准乾坤之用四十九象自揲得之为月弦之检日之一度不盈全䇿惟日度不盈全策故有中盈分置岁实三百六十五日二十四刻四十四分以通法三千四十乘之得一百一十一万三百四十三为䇿实另置岁实大余三百六十日以通法乘之得一百九万四千四百分为岁实大余于䇿实内减去岁实大余得一万五千九百四十三为䇿余置䇿余以十二月除之得一千三百二十八不尽为中盈分则十有二中所盈也月之一弦不尽全用惟月弦不盈全用故有用差置一月三十日以通法乘之得九万一千二百为灭法内减去揲法八万九千七百七十三得一千四百二十七为朔虚分置朔虚分以十二月乘之得一万七千一百二十四为用差则十有二朔所虚也综盈虚之数五岁则再闰矣中节相距皆当三五一十五日有竒弦望相距皆当二七一十四日有竒升降之应发敛之候皆纪之以卦䇿而从日气也表里之行朓朒之变皆纪之以揲用而从月朔也积筭曰演纪者开元大衍厯演纪上元甲子距开元十二年积九千六百九十六万一千七百四十筭也日法曰通法者即三千四十也月气曰中朔者月中也朔实曰揲法者月䇿也岁分曰策实者岁周也周天曰干实者置干实一百一十一万三百七十九七五以通法除之得周天三百六十五度二十五分六五为天周也余分曰虚分者周天之虚分也气䇿曰三元者置䇿实一百一十一万三百四十三以二十四气除之得四万六千二百六十四再置十五日以通法乘之得四万五千六百以减前数余六百六十四加入十五日内为三元之䇿十五余六百六十四若置岁实三百六十五日二十四刻四十四不尽以二十四除之得一十五万二一八五一六不尽为气䇿也一元之䇿乃三元之䇿分而为三即五日有余天中之候䇿遯甲以五十有余为一元故曰天一遯行也月䇿曰四象者即四象之䇿二十九余一千六百一十三也一象之䇿则二十九有余以四象分之毎象七日有余朔弦望相距也五行用事曰发敛者以发敛开阖法布五行也候䇿曰天中者置䇿实以七十二候除之得一万五千四百二十一再以五日因通法得一万五千二百以减前数余二百二十一不尽加入五日内得五余二百二十一秒为天中之䇿五余二百二十一若以七十二除岁周得数去大余以通法乘小余加入大余亦得此歩七十二候之䇿也卦䇿曰地中者置䇿实以卦法六十除之得一万八千五百○五不尽再以六日因通法得一万八千二百四以减前数余二百六十五不尽加入六日内为地中之䇿六余二百六十五若以六十除岁周得数去大余以通法乘小余加入大余亦得此歩六十卦之䇿也半卦曰贞悔者乃地中之䇿折半得三余一百三十二不尽为贞悔之䇿此筭内卦外卦之䇿也其各䇿之下有秒者乃不尽之数如天中之䇿五余二百二十一下有秒三十一秒法七十二即以秒法七十二筭之满法则进上一䇿余倣此旬周曰爻数者六十也小分毋曰象统者二十四也卦限者置䇿实以十二月除之得九万二千五百二十八五八以减揲法八万九千七百七十三余二千七百五五五八为月闰置揲法减去月闰余八万七千○一七不尽収而为八为卦限八万七千一十八若置二中气䇿三十日四三七○三二减去月䇿二十九日五十三刻五九二一余九十刻六四四以通法乘之得二千七百五五五八以减揲法八万九千七百七十三亦得卦限谓之卦限者是再一月及揲法也归余之卦者置每岁中积分累以揲法去之即今闰余也以减中积为朔积以求天正经朔之䇿也岁差三十六太者乃当时所测歳差每歳一分二十秒○九六七一以通法乘之得三十六七五不尽也置干实一百一十一万三百七十九太太者七十五分也以减策实一百一十一万三百四十三余三十六七五为歳差即以通法归干实得周天三百六十五度二十五分六十四秒九十六㣲七一以减歳周三百六十五日二十四刻四十四分所余一分二十秒○九六七一即前每歳歳差之数也日行曰躔其差盈缩其积先后为日躔之度古用平朔即经朔无盈缩迟疾加减者以故月朔朝见曰朒夕见曰朓今以日之所盈缩月之所迟疾损益之进退其日以为定朔舒亟相错偕以损益故同谓之朓朒也月行曰离其转迟疾为月行之度以七十六为转法满转法为度故曰度母列衰有变进加退减过中为速为伸不及中为迟为屈曰中者春秋分日行一度为中即其常也不率其常为过与不及则其南北逶迤屈行之数也阳曰先后以出令名隂曰屈伸以听命名而损益之变生焉日不及中则损月则益日过中则益月则损即盈迟为加缩疾为减之义也凡日以赤道内为隂外为阳月以黄道内为隂外为阳隂阳厯之同异春秋分之加减皆从损益率来而黄赤之变分秒之差定矣在天道曰轨在圭景曰晷观晷景之进退知轨道之升降而悉以水漏操其权盖漏以定辰分于昏明而晷景之陟降积晷之消息昼夜长短时刻属焉则勾股之数使然也游交即歩交㑹交终二十七余六百四十五其周数也不及朔二余九百六十七秒八千六百七十八为朔差日以通法归余得三十一刻八三七六加入二日即朔交差也不及望一余四百八十三秒九千三百三十九即朔交半之之数为望交差也日道表曰阳厯即赤道外里曰隂厯即赤道内也五星伏见周谓之终率即以歩终日之术以分从日谓之终日即终率所歩之日其差为进退则以损益率前后相减为进退积差以歩五星合伏之数也其二议中气谓厯气始于冬至稽其实取诸晷景也厯引春秋及累代南至并晦朔以殷周鲁厯及麟徳等厯上下相较先后所差分数不一加减多少合此失彼考殷厯盖哀平间治甲寅元厯者托之非古也灵曜命厯序皆有甲寅元其所起乃在四分厯庚申元之后以开元十二年十一月阳城测景癸未极长以检春秋及前代元嘉等冬至亦合此失彼先后天不一以为减闰余减斗分之未善且麟徳厯已前实录所记乃依时厯书之非候景所得又比年候景所得长短不均由加时有早晏行度有盈缩晷景不等进退不齐皆古人所未达也其三议合朔谓日月合度谓之朔无所取之取之蚀也以殷周鲁厯课春秋日蚀先后互失其伪可知春秋之蚀丘明即所闻以书仲尼因时史所记且列国赴告不一则厯术所书不齐长厯其日不在其月则改易闰余以求合故闰月相距近则十余月逺或七十余月此杜预所甚谬也昔人考天事多不知定朔假蚀在二日而常朔之晨月见东方食在晦日则常朔之夕月见西方或以为朓朒变行或以为厯术踈阔遇常朔朝见则増朔余夕见则减朔余此纪厯所以屡迁也或又为月频三大二小之说虞邝曰所谓朔在㑹合茍躔次既同何患于频大也日月相离何患于频小也春秋不书朔者刘孝孙俱推得朔日乃议定朔为有司所抑不得行傅仁均始为定朔而曰晦不东见朔不西朓得昏明之限与定朔故也故麟徳厯有总法开元厯有通法故积岁如月分之数而后闰余皆尽其四议没灭谓古以中气所盈之日为没没分偕尽为灭开元以中分所盈为没朔分所虚为灭终岁没分为䇿余终岁灭分为用差皆归于揲易再扐而后挂也其五议卦候谓七十二候原于周公时训月令自后魏始载于厯乃依易轨所传不合经义今改从古其六议卦谓十二月卦出于孟氏章句京氏又以卦爻配朞之日用六日七分以附㑹纬文七日来复之说止于占灾𤯝与吉凶善败之事至于观隂阳之变则错乱而不明其七议日度谓古厯以天周为岁终系星度于节气故乆而益差虞喜觉之使天为天岁为岁乃立差以追其变以五十年退一度何承天以为太过乃倍其年而反不及皇极取中数为七十五年盖近之然未尽合也厯考春秋以来七政以汉唐以来诸家厯较之各有不同惟姜岌以月蚀冲知日度躔次遂正为后代治厯者宗何承天作元嘉厯以月蚀检冬至在斗十七度又圭测差三日余则天之南至在斗十三四度以开元考元嘉十年冬至日在斗十四度与承天所测合若皇极厯岁差皆自黄道命之所差尤多是以开元厯皆自赤道推之乃以今有术从变黄道其八议日躔盈缩谓日躔盈缩当以二十四气晷景考之而宻于加时其九议九道谓洪范传云日有中道月有九行中道谓黄道也九行者青道二出黄道东朱道二出黄道南白道二出黄道西黒道二出黄道北日行西陆为春立春春分月东从青道日行南陆为夏立夏夏至月南从朱道日行东陆为秋立秋秋分月西从白道日行北陆为冬立冬冬至月北从黒道月行九道内为隂厯外为阳厯冬入隂厯夏入阳厯月行青道冬入阳厯夏入隂厯月行白道春入阳厯秋入隂厯月行朱道春入隂厯秋入阳厯月行黒道隂阳厯交在冬至夏至则月行青道白道所交则同而出入之行异故青道至春分之宿及其所冲皆在黄道正东白道至秋分之宿及其所冲皆在黄道正西若隂阳厯交在立春立秋则月循朱道黒道所交则同而出入之行异故朱道至立夏之宿及其所冲皆在黄道西南黒道至冬至之宿及其所冲皆在黄道东北若隂阳厯交在春分秋分之宿则月行朱道黒道所交则同而出入之行异故朱道至夏至之宿及其所冲皆在黄道正南黒道至冬至之宿及其所冲皆在黄道正北若隂阳厯交在立夏立冬则月循青道白道所交则同而出入之行异故青道至立春之宿及其所冲皆在黄道东南白道至立秋之宿及其所冲皆在黄道西北其大纪皆兼二道而实分主八节合于四正四维按隂阳厯中终之所交则月行正当黄道去交七日其行九十一度齐于一象之率而得八行之中八行与中道而九是谓九道凡八行正于春秋其去黄道六度则交在冬夏正于冬夏其去黄道六度则交在春秋日出入赤道二十四度月出入黄道六度相距则四分之一故于九道之变以四立为中交在二分増四分之一而与黄道度相半在二至减四分之一而与黄道度正均故推极其数引而伸之每气移一候七十二候而九道究矣以朔交为交初望交为交中若交初在冬至初候而入隂厯则行青道又十三日有竒至交中得所冲之宿变入阳厯亦行青道若交初入阳厯则白道也故考交初所入而周天之度可知若望交在冬至初候则减十三日有竒视大雪初候隂阳厯而正其行也其说详矣其十议晷漏中星谓日行有南北晷漏有长短二十四气晷差徐疾不同者勾股使然也今推黄道去极与晷景漏刻昏距中星返覆相求旋相为中以合九服之变其十一议日蚀谓小雅十月之交朔日辛夘虞邝推在幽王六年开元同且十月之交于厯当蚀诗人犹悼以为变然则古之太平日不蚀星不孛盖有之矣若过至其分月或变行而避之或五星潜在日下御侮而救之或渉交数浅或在阳厯阳盛隂㣲则不食或得之休明而有小𤯝焉则天为之𨼆虽交而不蚀若四时之中分同道至相过交而有食则天道之常也凡日食必在交限其入限者不必尽蚀如开元十二年七月戊午朔于厯当蚀半强自交趾至朔方候之不食十三年十二月庚戌朔于厯当蚀太半时东封泰山还次梁宋间皇帝彻膳不举乐不盖素服日亦不蚀时群臣与八荒君长之来助祭者降物以需不可胜数皆奉夀称庆肃然神服虽筭数乖舛不宜如此然后知徳之动天不俟终日矣若因开元二蚀曲变交限而从之则差者益多杜预云日月动物虽行度有大量不能不小有盈缩故虽有交㑹而不食者或有频交而食者是也故循度则合于厯失行则合于占使日食而不可以常数求则无以课厯数之疎宻使日食而皆可以常数求亦何以占政教之休咎哉今以圎仪度日月之径乃以月径之半减入交初限一度半余为暗虚半径二径相掩所减入限分数为斜射所差以得其数又日月交㑹自京师斜射而望之假中国食既则南方戴日之下所亏才半月外反观则交而不食故当歩九服日晷以定蚀分晨昏漏刻与地偕变则宇宙虽广可以一术齐之矣其十二议五星谓岁星自商周迄春秋之季率百二十余年而超一次战国后其行寖急至汉尚㣲差及哀平间余势乃尽更八十四年而超一次因以为常此其与余星异也岁星前后迟急率古今各有不同欲一术以求之则不可得大都五事感于下五纬变于上故王者失典刑之正则星辰为之乱行汨彛伦之序则天事为之无象当其乱行无象又可以厯纪齐乎故襄公二十八年岁在星纪滛于𤣥枵至三十年八月始及娵訾之口越次而前二年守之晋永宁元年正月至闰月五星经天纵横无常永兴二年四月丙子太白犯狼星失行在黄道南四十余度永嘉三年正月庚子荧惑犯紫㣲皆天变所未有也终以二帝蒙尘天下大乱后魏神瑞二年十二月荧惑在瓠𤓰星中一夕忽亡不知所在崔浩以日辰推之曰庚午之夕辛未之朝天有隂云荧惑之亡在此二日庚午未皆主秦辛为西夷今姚兴据咸阳是荧惑入秦矣其后荧惑果出东井魏永平四年八月癸未荧惑在氐夕伏西方亦先期五十余日虽时厯疎濶不宜若此夫日月所以著尊卑不易之象五星所以示政教从时之义故日月之失行也㣲而少五星之失行也著而多五星伏见之效皆系之于时而象之于政事㣲而象㣲事章而象章已示吉凶之象则又变行袭其常度不然皇天何以隂隲下民警悟人主哉近代筭者昧于象占者迷于数覩五星失行皆谓之厯舛虽七曜循轨犹或谓之天灾终以数象相蒙两丧其实故较厯必稽古今注记入气均而行度齐上下相距反复相求茍独异于常则失行可知矣天竺厯以九执之情皆有所好恶遇其所好之星则趋之行疾舍之行迟亦此义也大衍厯演纪上元阏逢困敦甲子之岁距开元十二年积九千六百九十六万一千七百四十筭得甲子岁通法三千四十乃一百六十章也䇿实百一十一万三百四十二揲法八万九千七百七十三转终法六百七十万一千二百七十九转终日二十七余千六百八十五秒七十九终数八亿二千七百二十五万一千三百二十二交终日二十七余六百四十五秒千三百二十二以通法除䇿实得三百六十五日二十四刻四十四分七秒为岁周以通法除揲法得二十九日五十三刻五分九十二秒为朔实以八十因通法得二十四万三千二百以除转终法得二十七日五十五刻四十六分一秒为转终以通法除转终日余得数以加大余亦得转终以一百因通法得三十万四千以除终数得二十七日二十一刻二二一一为交终以通法除交终日余得数以加大余亦得交终以歩五星岁星终率百二十一万二千五百七十九秒六荧惑终率二百三十七万一千三秒八十六镇星终率百一十四万九千三百九十九秒九十八太白终率百七十七万五千三十秒十二辰星终率三十五万二千二百七十九秒七十二各以通法而一得木终日三百九十八日八十七刻四八火终日七百七十九日九十三刻五四土终日三百七十八日九刻二金终日五百八十三日八十九刻一四水终日一百一十五日八十八刻一四此僧一行大衍厯之所由作也自汉唐以来厯家惟一行最宻但不必一一附大衍耳盖厯原取象于大衍而非一一从大衍出也自后代干坤凿度出而谓厯出于大衍其载孔子言大衍日辰生厯律厯法四分度之一以卦爻䇿当岁月日以歩章蔀纪元诸说皆非先天之文乃后人伪为之也何得援以为据使果可据则何至跬歩不可行夫厯莫疎于四分而犹以为孔子之言可乎则何可附也大都一行之厯原自测景观象而得观一行自言曰厯气始于冬至稽其实取诸晷景也又曰日月合度谓之朔无所取之取之蚀也如岁实乃测景所得者一行以通法乘岁实为䇿实归为气积与四揲气朔之母遯其八气九精何关月䇿乃交蚀所得者一行以通法乘月䇿为揲法归为朔积与半气朔之母以三极乘参伍两仪乘二十四变并之何预十九年七闰为一章一章二百三十五月四章为一蔀凡七十六年共计九百四十月以七十六年之九百四十月归一蔀之日得月䇿与终合通大衍之母亏其地十以导潜龙之气何渉二十五刻为半昼分至明也一行以通法乘二十五刻得七百六十为辰法且曰以三极参之倍六位除之其义何取满十为日至明也一行以十除通法得三百四为刻法且曰以十位乘之倍大衍除之其义何居又以辰法齐于代轨刻法齐于徳运得天地出符之数七精返初之㑹此纬文也纬乃汉儒伪作谓为孔子语非其真也自有纬而落下闳始造太初厯以闰统元㑹得日法以五气正余凖大统俱属乖谬汉厯皆依伪凿度伪易纬以治厯以致终汉之世厯数不明一行达者而亦为是言他何望焉且各数以三千四十乘之复以三千四十归之诸家日法胥同一辙则三千四十之数又何凭而出自章微之积耶故易曰大衍之数象四时象闰苐象之而已又曰干坤之䇿三百六十当期之日厯三百六十有竒而止以三百六十当之亦取其象耳厯法之难正在竒数之分秒实窥测所得而非大衍所推也谓厯数合大衍之象则可谓厯数之分秒皆出于大衍则不可一行尽一一之数皆附于大衍亦大劳矣故章俊卿论大衍云一行倚大衍之数立推歩之法是一行求合于大衍非大衍合一行之数也且一行之十有二议发千古所未发详且尽矣乃其中犹有一二可更订者如中气议一行厯引春秋以来南至以殷周厯并纬书及汉唐诸厯上下附合得此失彼然而不必然也春秋测验不精书诸南至未必真的纬书与殷周六厯皆四分法不可为据汉唐以来日官所测晷率多迁就为之如祖冲之既失甲戌冬至以为加时太早便欲増小余以附㑹之是也诸如此数何必一一与辩故授时厯云诸应随时测定不用元法是确论也一行于开元十二年十一月阳城测景癸未极长以授时歩开元十二年甲子岁冬至一十九日八十九刻六十四分得癸未亥初二刻冬至脗合以斯验授时之精逺考诸开元不〔？〕乃实测之效矣没灭议其数是苐不必归之揲扐卦议既谓京房卦爻错乱不明则公中孚之类削之可也而未削至授时始削之为当耳日度议一行厯引古今日度合此失彼然亦不必然也盖古今日度未必真的率有附㑹如中气然则何必一一与辩其歩仲康五年癸巳岁九月庚戌朔日蚀则非是辩在尚书简中是蚀一行以为五年虞邝以为元年授时歩乃六年考殷时又多外丙二年仲壬四年一以为有一以为无不同又有谓太史公歩帝王厯年多差讹者然则古厯年之某岁某甲子其真否未可知也授时歩仲康六年丁夘岁九月辛巳朔日食其余前后十余年之九月朔俱不入食限夫既歩入仲康年入食限矣则不必计其元年与五六年也九道议引洪范传言日有中道月有九行是矣上考干凿度先文曰日行一度坤凿度先文引制灵经曰天有九道斯凿度先文乃上古真书非若后文之假托者乃知洪范传文本于乾坤凿度之先文也日蚀议谓月或变行避日或五星濳在日下救日或有徳天为之𨼆虽交不食此皆无慿之论也谓在阳道阳盛不食然阳道自有歩阳八度法安得信为不食谓四时分至同道交食为常然分至言其行之中非其遇之中也遇而交则周天之辰无处不可岂有以分至为常者耶谓入交不食开元年二事则诚如其言法推开元十二年甲子岁七月朔五十四日三十刻交二十六日得戊午日辰时日食十三年乙丑岁十二月朔四十六日六十三刻交十四日得庚戌日申时日食是为当食不食日月失行之致然此㡬百年才一二见其变也而非其常也过此则仍复其常可以歩之千万年亾易者七政皆然不独日也若一行谓徳之动天不俟终日则逢君好谀之恶非所以为训也唐道士邢和璞尝谓尹愔曰一行其圣人乎汉时落下闳造厯云后八百岁当差一日必有圣人正之今年期毕矣而一行造大衍正其差谬则落下闳之言信矣非圣人而何然据一行岁差以三十六太布干实与䇿实得每岁岁差一分二十秒九㣲乃八十三年差一度而非八百年差一日也在开元八十三年差一日在授时六十六年差一日此黄赤冬至岁差也而岁差之外复有消长一机一行未及言之所以大衍厯不百年而即差以歩至今其差益逺然授时之所以精于大衍者则以消长之数得也今以大衍授时大统三厯试参考焉大衍厯演纪积九千六百九十六万一千七百四十筭以䇿实一百一十一万三百四十三乘积筭得一百七万六千六百七亿八千九百二十七万六千八百二十为中积分以通法除之得三百五十四亿一千四百七十三万三千三百一十四日七四三四为积日以爻数六十累除之余一十四日七十四刻三十四分为天正冬至分大余一十四得戊寅日小余七十四刻三十四分得酉初三刻冬至置中积分以揲法八万九千七百七十三累去之不尽之数余四万九千一百七为归余之卦以通法归之得一十六日一十五刻三十六分为闰余分以闰余减冬至不及减加六十日减之得五十八日壬戌日五十八刻九十八分为天正经朔分大衍岁实是测晷所得者一行以通法因之为䇿实以通法归之为岁实也大衍朔周三百五十四日三十六刻七一不尽是观象所得者一行以揲法去䇿实余三万三千六十七为归余之卦以减䇿实余一百七万七千二百七十六日以通法而一为朔周也大衍月䇿是朔周以十二月分之者一行以通法归揲法为月䇿也大衍岁实较授时岁实止多一十九分大衍月䇿较授时月䇿止少九十㣲然则一行厯气朔诚甚宻而所少者止消长一事耳以授时上推开元十二年甲子岁冬至至元辛巳五百五十七年推得二十万三千四百四十日三十五刻一十秒为中积分减气应得数为通积满旬周去之得数以减旬周得十四日戊寅日七十刻九十分较大衍差三刻四十四分以大统厯上推开元十二年冬至得十四日戊寅日九十八刻七十五分较大衍差二十四刻三十九分以大衍厯下推至元辛巳距元九千六百九十六万二千二百九十七筭得中积一百七万六千六百一十四亿七百七十三万七千八百七十一积日三百五十四亿一千四百九十三万六千七百五十五日八十七刻八十六分得冬至五十五日己未日八十七刻八十六分较授时差八十一刻八十八分夫大衍称亲宻矣何差至八十余刻则以消长之法未具也古今律厯考卷十六
## 卷十七
钦定四库全书
古今律厯考卷十七 明 邢云路 撰歴代九歴代考唐书肃宗时山人韩颕上言大衍厯或误帝令增益其术每节增二日作至徳厯代宗即位以至徳厯不与天合诏司天郭献之复用麟徳元纪増损迟疾交㑹诸差以写大衍旧术帝为制序题曰五纪厯演纪上元甲子距宝应元年壬寅积二十六万九千九百七十八算通法千三百四十策实四十八万九千四百二十八揲法三万九千五百七十一干实四十八万九千四百四十二秒七十转终分百三十六万六千一百五十六交终分三亿六千四百六十四万三千七百六十七以通法除策实得三百六十五日二十四刻四七七六为歳实以通法除揲法得二十九日五十三刻○五九七为朔实以通法除干实得三百六十五度二十五分五十三秒为周天以三十七乘通法得四万九千五百八十以除转终分得二十七日五十五刻四五七为转终以万因通法得一亿三千四百万以除交终分得二十七日二十一刻二二二一为交终以歩五星各以通法除终率得终日木终率五十三万四千四百八十二秒三十六火百四万五千八十八秒八十三土五十万六千六百二十三秒二十九金七十八万二千四百四十九秒九水十五万五千二百七十八秒六十六木终日三百九十八日八十六刻七四火七百七十九日九十一刻七土三百七十八日七刻七金五百八十三日九十一刻七二水一百一十五日八十七刻九五五纪通法即麟徳总法䇿实即麟徳朞实揲法即麟徳常朔实麟徳以十二乘总法得数以除变周得转终五纪则以三十七乘通法得数以除转终分得转终麟徳以三因摠法得数以除游交终率得交终五纪则以万因通法得数以除交终分得交终其实一也其中稍有增减者不过迁就畸零小异之数耳所以一时偶与天合而久之复差也徳宗时五纪厯加时稍后天诏司天徐承嗣与夏官杨景风等杂麟徳大衍之㫖治新厯建中四年厯成名曰正元五年施行㑹朱泚之乱改元兴元演纪上元甲子距建中五年甲子歳积四十万二千九百算以五十七章十二年为通法通法千九十五䇿实三十九万九千九百四十三揲法三万二千三百三十六干实三十九万九千九百五十五歳差十二转终分三亿一百七十二万一百三十二交终分二亿九千七百九十七万三千八百一十五以通法除䇿实得三百六十五日二十四刻四七五四为歳实以通法除揲法得二十九日五十三刻○五九三为朔实以通法除干实得三百六十五日二十五刻五十七分以周歳除周天得歳差十二以一万因通法除转终分得二十七日五十五刻四三五为转终以一万因通法除交终分得二十七日二十一刻二二二为交终以歩五星各以通法除终率得周日木终率四十三万六千七百六十秒四火八十五万四千七秒七十九土四十一万三千九百九十四秒六十三金六十三万九千三百八十九秒二十八水十二万六千八百八十八秒四半木周日三百九十八日八十六刻七六火七百七十九日九十一刻五七土三百七十八日七刻七二金五百八十三日九十一刻七一水一百一十五日八十七刻九四摠之皆五纪旧术也宪宗即位司天徐昂上新〔？〕名曰观象起元和二年用之测验不合故有司无传者至穆宗立以为累世纉绪必更〔？〕纪乃诏日官改撰〔？〕术名曰宣明其气朔发歛日躔月离皆因大衍旧术改易其名谓通法曰綂法策实曰章岁揲法曰章月起长庆二年敬宗至于僖宗皆遵用之讫景福元年长庆宣明〔？〕演纪上元甲子至长庆二年壬寅积七百七万一百三十八筭外统法八千四百章岁三百六万八千五十五章月二十四万八千五十七〔？〕周二十三万一千四百五十八秒十九交率二十二万八千五百八十二秒六千五百一十二以统法除章岁得三百六十五日二十四刻四六四二为岁实以统法除章月得二十九万五十三刻○五九五为朔实以通法除〔？〕周得二十七日五十五刻四五四六为转终以统法除交率得二十七日二十一刻二二二为交终以歩五星以统法除各周率得周日木周率三百三十五万五百四十秒八十三火六百五十五万一千二百九十五秒二十六土三百一十七万五千八百七十九秒七十九金四百九十万四千八百四十五秒八十五水九十七万三千三百九十秒二十五木周日三百九十八日八十七刻三八火七百七十九日九十一刻六一土三百七十八日八刻○九金五百八十三日九十一刻○二水一百一十五日八十七刻九七论者谓大衍后法制简易合望密近无能出其右者然摠之不出大衍法也穆宗以为累世缵绪必更〔？〕纪其言则非使〔？〕课不效宜更也则更之若果精宻旧贯岂不可仍何必改作易世更纪之说非通论也昭宗时宣明〔？〕渐差诏太子少詹事边冈治新〔？〕其法皆大衍之旧余虽不同亦殊涂而至者起景福二年颁用至唐终名崇𤣥〔？〕演纪上元甲子距景福元年壬子积五千三百九十四万七千三百八通法万三千五百乃七百一十章十年之岁也岁实四百九十三万八百一朔实三十九万八千六百六十三周天分四百九十三万九百六十一秒二十四转周分三十七万一千九百八十六秒九十七交终分三十六万七千三百六十四秒九十七以通法除岁实得三百六十五日二十四刻四五一八即岁实以通法除朔实得二十九日五十三刻○五九三即朔实以通法除周天分得三百六十五度二十五分六三即周天以通法除转周分得二十七日五十五刻四五九即转终以通法除交终分得二十七日二十一刻二二二即交终以歩五星以通法除各星终率得各星周日木终率五百三十八万四千九百六十二秒十一火千五十二万八千九百一十六秒九十一土五百一十万四千秒五十四金七百八十八万二千六百四十八秒七十六水百五十六万四千三百七十八秒九十七木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十一刻九七土三百七十八日八刻○四金五百八十三日九十刻水一百一十五日八十七刻九九冈用筭巧能立术简捷虽仍大衍而皆变其名如策实曰岁实揲法曰朔实干实曰周天分之类明白使人易晓较之闭藏闪铄者不同是可尚也其治晷度准阳城日晷前后消息加减得宜九服中晷各于其地立表候之在阳城之南之北者各有距差以加减阳城二至中晷九服所在各于其地置水漏以定漏率各以阳城二至晷漏母除之得加时黄道日躔交道有差其术甚善今大统〔？〕用北京之筭策布南京之晷度极差各异刻数不谐且不言九服晷漏之变为何如胥失之矣唐兴二百八十年间厯遂八改查其气朔转交四事皆不甚相逺则何至动輙差也乃其大而消长之术未立细而加时之分未精所以朝后天夕先天彼减此加非多则少如聚讼然而又偏争妬胜谬乱其术如一积年也忽变而度忽变而日又忽变而纪或以三因或十二乘或三十七乘或又变而万因或倍或归诸如此胥改头换面惟恐变之不幻暪之不严使人望如鬼魅不可测识后人寻绪不得便目司天为神圣厯数为绝学也而岂知其无他竒乎畴人推测多疵而又加以气朔间有失行出于筹祘之外则益难捉摸也惟授时加时入细消长近亲庶㡬效天其间畸零长短之数再一悉心测验及时更正之则完羙矣五代史五代初用唐厯后诸家晋有调元厯周有明元厯万分厯蜀有永昌厯正象厯南唐有齐政厯皆行之未久法故不传惟周世宗钦天〔？〕差胜乃端明殿学士王朴所造朴制律〔？〕作律准以宣其声其〔？〕以隂三阳二化成之数得诸法演纪上元甲子距周世宗显徳三年丙辰岁七千二十九万八千四百五十二筭以七千二百为统法即日法岁率二百六十二万九千七百六十轨率二百六十二万九千八百四十四朔率二十一万二千六百二十离率一十九万八千三百九十三交率一十九万五千九百二十七以统法除岁率得三百六十五日二十四刻四四四为岁周以统法除轨率得三百六十五度二十五分六十一秒为周天以统法除朔率得二十九日五十三刻○五五为朔实以统法除离率得二十七日五十五刻四五八为转终以统法除交率得二十七日二十一刻二二八为交终以歩五星各以统法除周率得周日木周率二百八十七万一千九百七十六火五百六十一万五千四百二十二土二百七十二万二千一百七十六金四百二十万四千一百四十三水八十三万四千三百三十五木周日三百九十八日八十八刻五五火七百七十九日九十一刻九七土三百七十八日八刻金五百八十三日九十刻八七水一百一十五日八十七刻九八大抵皆前人之术也而乃援闗朗易传以立言观其言曰立天之道曰隂与阳隂阳各有数合则化成阳之䇿三十六隂之䇿二十四奇偶相命两阳三隂同得七十二何则隂阳之数合七十二者化成之数也化成则谓之五行之数五因之得朞数过之者谓之气盈不及者谓之朔虚故以七十二为经法经者常用之法也百者数之节也随法进退不失旧位谓之通法故以通法进经法二位得七千二百为统法朴意谓隂二十四三之为七十二阳三十六二之为七十二又十之为七百二十百之为七千二百皆闗子明易传所出也夫黄钟曰八十一大衍曰三千四十已属牵附而朴陡出此数若曰自太极隂阳五行来也果尔以推天歩之分秒宜永乆勿壊胡乃行五年即先天耶空令阴阳无准太极负寃耳古今律厯考卷十七
## 卷十八
钦定四库全书
古今律厯考巻十八 明 邢云路 撰歴代十歴代考宋史宋初承五代王朴制律厯作律准以宣其声太祖以雅乐声髙诏有司考正太常寺和岘以西京铜望臬可校古法即司天台影表铜臬下石尺是也及以朴所定尺比校短于石尺四分则声乐之髙盖由于此乃造新尺又以上党羊头山秬黍累尺校律自此雅音和畅宋初用周显徳王朴钦天厯推验稍疎乃诏司天监王处讷别造新厯赐名应天继应天而作者曰乾元曰仪天曰崇天曰明天曰奉元曰观天曰纪元迨靖康丙午百六十余年而八改歴南渡后曰统元曰乾道曰淳熙曰㑹元曰统天曰开禧曰㑹天曰成天至徳祐丙子又百五十年复八改大率谓七十九年差一度测北极率以千里差三度有奇古今测验止于岳台而余杭则东南相距二千余里发歛晷刻岂能尽谐诸〔？〕法具在惟奉元㑹天二法不存旧史以乾元仪天附应天后以乾道淳熈会元附统元开禧成天附统天初应天渐差太平兴国六年太宗命冬官正吴昭素造乾元〔？〕后以朔望有差咸平四年真宗命司天监史序造仪天〔？〕宋史称法有疎宻数有烦简虽条例稍殊而纲目一也遂以应天乾元仪天三〔？〕合载于一册建隆应天〔？〕演纪上元甲子距建隆三年壬戌岁积四百八十二万五千五百五十八太平兴国乾元〔？〕上元甲子距太平兴国六年辛巳岁积三千五十四万三千九百七十七咸平仪天〔？〕上元甲子距咸平四年辛丑岁积七十一万六千四百九十七应天乾元二〔？〕史载法率缺少亦有有法率而推之不合者故不必推二〔？〕既因渐差改行仪天故推仪天〔？〕仪天宗法一万一百乃五百三十一章一十一年之数也岁周分三十六万八千八百九十七合率二十九万八千二百五十九乾元数三百六十八万九千八十八厯终分二十七万八千三百一秒一百六十五交终分二十七万四千八百四十三秒二千二百七十九以宗法除歳周分得三百六十五日二十四刻四五五四为歳实以宗法除合率得二十九日五十三刻○五九四为朔实以宗法除乾元数得三百六十五度二十五分六十二秒以宗法除厯周得二十七日五十五刻四五五六为转终以宗法除交终分得二十七日二十一刻二二歩五星三厯俱参差以考验不精之故不可为据亦不复推縁五纬不协所以至仁宗初星曜有差其云七十九年差一度非一定宜随时改云千里差三度有奇亦非一定宜随地改乃协干兴初仪天星曜有差厯官宋行古议改厯天圣元年成仁宗命曰崇天厯演纪上元甲子距天圣二年甲子积九千七百五十五万六千三百四十枢法一万五百九十歳周三百八十六万七千九百四十朔实三十一万二千七百二十九周天分三百八十六万八千六十五转周分二十九万一千八百三秒五百九十四交终分二十八万八千一百七十七秒四千二百七十七以枢法除岁周得三百六十五日二十四刻四五七为岁实以枢法除朔实得二十九日五十三刻○五九四为月䇿以枢法除周天分得三百六十五度二十五分六十三秒为周天以枢法除转周分得二十七日五十五刻四五八五为转终以枢法除交终分得二十七日二十一刻二二二一为交终以歩五星以枢法除星周率得周日木周率四百二十二万四千五十八火八百二十五万九千三百六十六土四百万三千八百七十二金六百一十八万三千五百九十九水一百二十二万七千一百七十木周日三百九十八日八十七刻二三火七百七十九日九十二刻一三土三百七十八日八刻○四金五百八十三日九十刻九二水一百一十五日八十八刻是〔？〕行四十年后天五十四刻英宗即位殿中丞判司天监周琮言旧〔？〕气节加时后天半日五星之行差半次日食之候差十刻乃作新〔？〕三年而成赐名明天厯演纪上元甲子距治平元年甲辰岁积七十一万一千七百六十筭元法三万九千是二千五十二章十二年之数即为日法以日法除岁周一千四百二十四万四千五百得三百六十五日二十四刻三五八九为岁实以日法除朔实一百一十五万一千六百九十三得二十九日五十三刻○五九为朔实周天三百六十五度二十五分六十四秒转终二十七日五十五刻四六以交周五十二万三千四百六十除岁周得二十七日二十一刻二二为交终以歩五星以元法除终率得终日木终率一千五百五十五万六千五百四火三千四十一万七千五百三十六土一千四百七十四万五千四百四十六金二千二百七十七万二千一百九十六水四百五十一万九千一百八十四木周日三百九十八日八十八刻四七火七百七十九日九十三刻六八土三百七十八日八刻三五金五百八十三日九十刻二四水一百一十五日八十七刻三九周琮论〔？〕谓气朔交食使三千年间若应准绳而有前有后有亲有疎者即为中平之数取数多而不以小得为亲宻乃至言也神宗熈宁七年甲寅岁衞朴造奉元〔？〕行十八年至元祐壬申有差其术不存哲宗元祐七年皇居卿改造观天〔？〕演纪上元甲子距元祐七年壬申积五百九十四万四千八百八筭统法一万二千三十乃六百三十三章三年之数也岁周四百三十九万三千八百八十朔实三十五万五千二百五十三转周分三十三万一千四百八十二秒三百八十九交终分三十二万七千三百六十一秒九千九百四十四以统法除岁周得三百六十五日二十四刻三五五七为岁实以统法除朔实得二十九日五十三刻○五九为月策以统法除转终分得二十七日五十五刻四六六一为转终以统法除交终分得二十七日二十一刻二一三五为交终以歩五星以统法除周率得周日木周率四百七十九万八千五百二十六秒九十二火九百三十八万二千五百六十秒七十六土四百五十四万八千四百三十一秒八十五金七百二万四千三百二十一秒三十四水一百三十九万四千二秒七木周日三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻○二土三百七十八日九刻○七金五百八十三日九十刻○三水一百一十五日八十七刻七一行至崇宁冬至差徽宗崇宁二年癸未岁姚舜辅造占天〔？〕行三年不效其术不存五年丙戌岁复令姚舜辅改造纪元〔？〕演纪上元庚辰至崇宁五年丙戌积二千八百六十一万三千四百六十六筭日法七千二百九十朞实二百六十六万二千六百二十六朔实二十一万五千二百七十八转周分二十万八百七十三秒九百九十交终分一十九万八千三百七十七秒八百八十以日法除朞实得三百六十五日二十四刻三六二为岁实以日法除朔实得二十九日五十三刻○五九为月策以日法除转周分得二十七日五十五刻四六○八为转终以日法除交终分得二十七日二十一刻二二二为交终以歩五星以日法除星周率得周日木周率二百九十万七千八百七十九秒六十四火五百六十八万五千六百八十七秒六十四土二百七十五万六千二百八十八秒七十八金四百二十五万六千六百五十一秒四十三半水八十四万四千七百三十八秒五木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十二刻九六土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二六水一百一十五日八十七刻六六崇宁元年方外之士自云王其姓面作玑衡之制七政运行曲尽其妙著为成书惜金人入冦仪象尽归于金可惜也髙宋建炎元年即金天会五年金司天杨级始造大明厯然其所本不能详究或曰因宋纪元厯而增损之也正隆间占候渐差乃命司天赵知㣲重修大明厯时孝宗淳熙七年金大定二十年也演纪上元甲子至大定二十年庚子八千八百六十三万九千六百五十六年日法五千二百三十歳实一百九十一万二百二十四分朔实一十五万四千四百四十五分转终分一十四万四千一百一十秒六千六十六交终分一十四万二千三百一十九秒九千三百六十八以日法归歳实得三百六十五日二十四刻三五九四以日法归朔实得二十九日五十三刻○五九二以日法归转终得二十七日五十五刻四六二以日法归交终得二十七日二十一刻二二二三木星周三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻一六土三百七十八日九刻○三金五百八十三日九十刻一四水一百一十五日八十七刻六终金之世止用知微厯元初犹用之至授时始改宋太史候台铜浑仪乃吏部勾当官韩公㢘所制公亷通九章勾股法以推天度撰九章勾股测验浑天书一卷贮之禁中后失其传故世无知者金既取汴以辇致铜浑仪于燕汴至燕相去千余里望筒取极星稍差移下四度才得之明昌六年龙击浑仪摧落旋营缉之贞祐南渡遂委而去吁嗟神物之成败数也自时厥后遂无制浑仪如公亷之精巧者勾股测验法郭守敬之割员是其术也今可倣而行之辽史大明厯即刘宋祖冲之大明厯古今律厯考卷十八
## 卷十九
钦定四库全书
古今律厯考巻十九 明 邢云路 撰歴代十一歴代考宋史(南渡)髙宗时中原既失星翁离散纪元厯亡绍兴二年髙宗重搆得之乃命常州布衣陈得一改造统元厯赐得一通微处士厯虽颁行有司不善用之暗用纪元法推歩推得乾道三年丁亥歳十一月甲子朔裴伯夀陈统元法当进作乙丑于是依纪元正之光州士人刘孝荣言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分既而精明不食是年孝宗命刘孝荣治厯孝荣言统元厯差采五代民间万分厯作三万分以为日法造乾道厯时谈天者各以技术相髙互相诋毁纷纷不已至淳熙三年因推太阳不合仍命孝荣改造新厯赐名淳熙淳熙末验合朔差光宗绍熙二年诏改新厯仍命孝荣为之赐名会元四年布衣王孝礼言今年十一月冬至日景表当在十九日壬午会元历注乃在二十日癸未系差一日崇天历癸未日冬至加时在酉初七十六分纪元历在丑初一刻六十七分统元历在丑初二刻二分会元历在丑初一刻三百四十分陈得一造统天历刘孝荣造乾道淳熈㑹元三历皆未尝测景茍弗立表测景莫识其差乞遣官以铜表同孝礼测验朝廷虽从未暇改作庆元四年会元历占候多差日官草泽互有异同旧历后天十一刻诏杨忠辅造新历五年历成赐名统天是年六月乙酉朔推日食不验嘉泰二年五月甲辰朔日食草泽赵大猷言午初三刻日食诏太史与草泽聚验于朝太阳午初一刻起亏未初刻复满大猷言然统天历先天一辰有半迺罢杨忠辅诏草泽有通历者应聘修治开禧三年大理评事鲍澣之言统天历气朔五星皆立虚加虚减之数气朔积分乃有泛积定积之繁其余差漏不可备言杨忠辅今见统天历舛私成新历容臣与太史草泽诸人所著历参攷之检讨曾渐亦言干道淳熈庆元三历皆出刘孝荣一人之手后为杨忠辅所胜乆之亦差愿以诸历下本省参攷以最近者颁用于是改定新历成历名开禧诏以戊辰年权附统天历颁之于是开禧附统天行于世四十五年嘉定十一年太史局推测七月朔日食一分验之不食淳祐十一年侍御史陈垓言淳祐十年冬颁十一年历称成永祥等依开禧新厯推筭辛亥岁十二月十七日立春在酉正一刻今所颁厯乃相师尧等依淳祐新厯推筭到壬子岁立春日在申三刻质诸前历乃差六刻以此颁行天下岂不贻笑四方且开禧旧历仅差一二刻而李徳卿造淳祐新历差六刻余与今前后两历俱差六刻十二年秘书省言李徳卿历与谭玉进会天历各有得失请商确推筭合众长而为一然后赐名颁行十二年历成赐名会天寳祐元年行之史阙其法咸淳六年十一月三十日冬至至后为闰十一月既已颁历浙江安抚司准备差遣臧元震言十九歳为一章至朔同日谓之章月今以十一月三十日为冬至又以冬至后为闰十一月自淳熙壬子至淳熙庚午凡十九年是为章歳以十九年七闰推之则闰月当在冬至前不当在冬至后以至朔同日论之则冬至当在十一月初一日不当在三十日震儒者岂欲与厯官较胜负既知其失安得黙而不言耶于是朝廷下之有司遣官偕元震与太史局辩正而太史之词穷元震转一官判太史局邓宗文谭玉等各降官有差因更造厯六年成七年颁行即成天厯也徳祐之后陆秀夫拥立益王走海上命邓光等作厯赐名本天厯今亡统元乾道淳熙㑹元四厯史合为一册统元厯陈得一造演纪上元甲子距髙宗绍兴五年乙卯积九千四百二十五万一千五百九十一元法六千九百三十歳周二百五十三万一千一百三十八朔实二十万四千六百四十七转周分一十九万九百五十三秒二千五百六十三交终分一十八万八千五百八十秒六千四百五十以元法除岁周得三百六十五日二十四刻三五七八为岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九一为月䇿除转周分得二十七日五十五刻四五八五为转终除交终分得二十七日二十一刻二二一四为交终以歩五星以元法除终率得周日木终率二百七十六万四千二百三十八秒三十二火五百四十万四千八百四十六秒三十九土二百六十二万九十四秒三十三金四百四万六千四百九十六秒三十三水八十万三千四十八秒八十三木周日三百九十八日八十八刻七九火七百七十九日九十二刻○一土三百七十八日七刻九九金五百八十三日九十一刻水一百一十五日八十八刻乾道历刘孝荣造演纪上元甲子距孝宗乾道三年丁亥积九千一百六十四万五千八百二十三元法三万朞实一千九十五万七千三百八朔实八十八万五千九百一十七秒七千六转周分八十二万六千六百三十七秒七千三百九十五交终分八十一万六千三百六十六秒六千三十四以元法除朞实得三百六十五日二十四刻三六为岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九二为月䇿除转周分得二十七日五十五刻四五九为转终除交终分得二十七日二十一刻二二二为交终以歩五星以元法除终率得周日木终率一千一百九十六万六千五百八十一火二千三百三十九万一千九百八土一千一百三十四万二千七百四十六金一千七百五十一万六千八百七十二水三百四十七万六千二百八十四木周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日七十三刻○二土三百七十八日九刻一五金五百八十三日八十九刻五七水一百一十五日八十七刻六一淳熈历刘孝荣造演纪上元甲子距孝宗淳熈三年丙申积五千二百四十二万一千九百七十二元法五千六百四十岁实二百五万九千九百七十四朔实一十六万六千五百五十二秒五十六转周分一十五万五千四百七秒九千七百四十交实一十五万三千四百七十六秒九千五百四十六以元法除岁实得三百六十五日二十四刻三六一七即岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九五为月䇿除转周分得二十七日五十五刻四六为转终除交实得二十七日二十一刻二二二六为交终以歩五星以元法除周实得周日木周实二百二十四万九千七百一十五秒六十五火四百三十九万八千八百一秒六千五土二百一十三万二千四百二十八秒六金三百二十九万三千二百七十秒五十水六十五万三千五百四十五秒五十三木周日三百九十八日八十八刻五六火七百七十九日九十二刻九三土三百七十八日九刻金五百八十三日九十一刻三一水一百一十五日八十七刻六七会元厯刘孝荣造演纪上元甲子距光宗绍熈二年辛亥积二千五百四十九万四千七百六十七统率三万八千七百气率一千四百一十三万四千九百三十二朔率一百一十四万二千八百三十四转率一百六万六千五百六十一秒七千三百一十交率一百五万三千一百一十二秒二千一百四十以统率除气率得三百六十五日二十四刻三七二为岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九四为月策除转率得二十七日五十五刻四五六六为转终除交率得二十七日二十一刻二二○二为交终以歩五星以元法除周率得周日木周率一千五百四十三万六千八百三十四秒九十八火三千一十八万三千二百六十八秒八十七土一千四百六十三万二千一百四十七秒七十一金二千二百五十九万七千三十九秒三十七水四百四十八万四千四百四秒四十三木周日三百九十八日八十八刻四六火七百七十九日九十二刻九四土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十一刻三三水一百一十五日八十七刻六统天开禧成天三厯史合为一册统天厯杨忠辅造演纪上元甲子距宁宗庆元五年己未积三千八百三十五䇿法一万二千岁分四百三十八万二千九百一十余六万二千九百一十朔实三十五万四千三百六十八转实三十三万六百五十五交实三十二万六千五百四十七以䇿法除岁分得三百六十五日二十四刻二五为岁实除朔实得二十九日五十三刻○六六六为月䇿除转实得二十七日五十五刻四五八三为转终除交实得二十七日二十一刻二二五为交终木星周日三百九十八日八十八刻四九火七百七十九日九十二刻九六土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二七水一百一十五日八十七刻六二开禧厯鲍澣之造演纪上元甲子距宁宗开禧三年丁卯积七百八十四万八千一百八十三日法一万六千九百岁率六百一十七万二千六百八朔率四十九万九千六十七转率四十六万五千六百七十一杪五千三百九十六交率四十五万九千八百八十六秒四千八百二十五以日法除岁率得三百六十五日二十四刻三○七六为岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九二为月策除转率得二十七日五十五刻四五八八为转终除交率得二十七日二十一刻二二一七为交终以歩五星木星周日三百九十八日八十八刻六火七百七十九日九十二刻九二土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二七水一百一十五日八十七刻六成天历臧元震造演纪上元甲子距度宗咸淳七年辛未积七千一百七十五万八千一百四十七日法七千四百二十岁率二百七十一万一百一朔率二十一万九千一百一十七转周分二十万四千四百五十五秒二千四百六十交终分二十万一千九百一十四秒七千五十一以日法除岁率得三百六十五日二十四刻三九三五为岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九三为月䇿除转周分得二十七日五十五刻四六三一为转终除交终分得二十七日二十一刻二二三为交终以歩五星木星周日三百九十八日八十八刻五七火七百七十九日九十二刻九土三百七十八日九刻一六金五百八十三日九十刻二六水一百一十五日八十七刻五九史称孝宗乾道三年丁亥岁有司不善用统元厯暗用纪元法推是年十一月甲子朔裴伯寿陈统元法进作乙丑朔于是依统元正之以授时推是年冬至二日六十四刻闰余二日三刻经朔○日六十一刻加差一十六刻定朔○日七十七刻是十一月朔甲子酉正一刻合朔冬至非乙丑朔也葢由陈得一所立岁实余分强转终余分弱以积九千余年用之遂加转刻数嬴长进作乙丑日矣有司用纪元为是即此见纪元愈于统元岂有司不善用耶刘孝荣言是年四月朔日食一分日官言食二分既而精明不食以授时推是年四月朔交泛十三日九十九刻入食限定朔四日六十七刻得戊辰日申时日食是年即金大定七年金史书是日日食金主避正殿减膳伐鼓应天门内百官各于本司庭立明复乃止夫曰庭立明复乃止则真见其食与复圆也然则宋何以不食葢宋临安偏南金偏北月食在隂厯故金见其食而宋不见也所推一分二分歩筭少差耳授时乃燕京治厯益偏东北故推当食职此故也亦何异之有诸人考校气朔晷刻交食分秒黄赤星躔多少参差连篇累牍甲乙不决互相诋毁不知皆由地里南北不一诸人所用历术不齐或偶中者溷正旋改者射覆竞取功名互相下石如是而已刘孝荣采五代民间万分历作三万分为日法乃三因万分小历作三万分以隐万分之名其实三万分历即万分历朝四暮三之说也缘朔余太强孝荣遂减其分乃增入秒曰秒七千六从古朔余有秒数乎绍熈四年布衣王孝礼言十一月日景表当在十九日壬午会元注在二十日癸未崇天在癸未酉初刻七十六分纪元在丑初一刻六十七分统元在丑初二刻二分会元在丑初一刻三百四十分以授时推是年冬至分一十八日九十五刻得壬午日亥时正三刻冬至夫以孝礼亲测晷景壬午日食非臆说也而授时适与之合崇天等历则皆以未尝测景之故未尝测景而谬定岁实所以皆失之后天皆加至次日此授时从测景来所以独优也史称庆元五年六月乙酉朔推日食不验以授时推是年正月朔交泛二十七日一十刻定朔二十九日六十四刻得癸巳朔申时日食以歩至六月经朔五十七日五十四刻得辛酉无乙酉六月交泛一十一日四十刻不入食限七月经朔二十七日七刻得辛卯无乙酉七月交泛一十四日八入食限六月七月俱无乙酉七月入限而又非其日无一可者何食之有杨忠辅之误推也史称嘉泰二年五月甲辰朔日食草泽赵大猷言午初三刻日食验之午初一刻起未初刻复满大猷言然统天先天一辰有半乃罢杨忠辅以授时推是年五月朔交泛一十三日三十刻入食限定朔四十日四十九刻得甲辰日午初三刻合朔日甚则起亏午初复满未初与大猷所言天行所至若合符节杨忠辅其何说之辞史称嘉定十一年七月朔日食一分验之不食以授时推是年七月朔交泛一十四日三十刻入食限定朔六日四十九刻得庚午朔午时日食然食止一分临安偏南不见其食亦不为差史言淳祐十一年十二月十七日立春开禧厯筭酉正一刻淳祐等历筭申三刻谓相差六刻有竒以授时筭是日立春分八日六十八刻得壬申日申正一刻立春则淳祐为近开禧为远也葢授时较宋时测验日晷无差则依授时为宻咸淳六年会天历推冬至至后为闰十一月既已颁历臧元震历辩以章月至朔同日论之应冬至前闰十月不应冬至后闰十一月应以十一月初一日为冬至不应以十一月三十日为冬至与太史局辩正而太史之词穷以授时推咸淳六年岁前天正闰余一十八日六十九刻应闰十月至十一月朔日闰月已过闰余止四刻余是日冬至分二日六十三刻得丙寅申初初刻冬至经朔二日五十九加差一十九刻五十分以加经朔为定朔二日七十八刻得丙寅日酉正三刻合朔乃是十一月丙寅朔申时冬至酉时合朔正为章月至朔同日臧元震之言是也㑹天误矣然后知宋厯之多差而授时为宻也元史元初承用金大明历庚辰岁太宗西征五月望月蚀不效二月五月朔微月见于西方南中书令耶律楚材以大明历后天乃更撰历推上元庚午七政同会虚宿六度以应太祖受命之符又以西域中原地里殊远创为里差遂题其名曰西征庚午元历表上之然不果颁用至元四年西域扎玛里迪音撰进万年历世祖稍颁行之万年法未传庚午元历演纪上元庚午距太宗庚辰积二千二十七万五千二百七十筭日法五千二百三十岁实一百九十一万二百二十四朔实一十五万四千四百四十五周天度三百六十五度二十五分六十七秒转终分一十四万四千一百一十秒六千二十交终分一十四万二千三百一十五秒九千三百以日法除岁实得三百六十五日二十四刻三五九四即岁实除朔实得二十九日五十三刻○五九二七为月策除转终分得二十七日五十五刻四六○八为转终除交终分得二十七日二十一刻二二二四为交终木星周日三百九十八日八十八刻火七百七十九日九十三刻一六土三百七十八日九刻○二金五百八十三日九十刻一四水一百一十五日八十七刻六史云楚材损节气之分然岁实仍旧未尝损也其余诸率虽微有增减其实皆大明历之旧亡异术耳至元十三年元世祖诏中书左丞许衡太子赞善王恂都水少监郭守敬改治新厯衡等以为金虽改厯止以宋纪元厯㣲加増益实未尝测验于天乃与南北日官参考累代厯法测候日月星辰消息运行之变叅别同异酌取中数以为厯本十七年冬至厯成赐名授时十八年颁行天下自古及今其推验之术独此为宻近者后元顺帝亡并其厯官厯术俱没入沙漠中我朝存其余法而失其本源洪武初遭元统改易溷乱其术遂使至今畴人布筭多所舛错余乃因元史之旧编稽前代之故实绎其端绪验诸象纬以详著于篇至其郭守敬之术所未备并所差失者余悉补葺订正厯乃完矣详见后古今律厯考卷十九
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钦定四库全书
古今律厯考卷二十 明 邢云路 撰歴代日食一歴代日食厯西汉汉史载汉髙帝三年丁酉岁十月甲戌晦日食在斗二十度十一月癸夘晦日食在虚三度置所求距筭以授时岁实乘之得五十四万二千○二十一日九十四刻七十六分为中积以气应减中积满旬周去之不尽以减旬周余一十三日一十一刻二十四分为冬至置中积减闰应余五十四日三千○一日七十四刻二十六分满朔实去之不尽以减朔实余二日七十六刻一十三分二十二秒为闰余(即缩厯)置冬至减闰余余一十○日三十五刻一十○日七十八秒为经朔置中积减转应加闰余满转终去之不尽以减转终余一十四日八十四刻八十一分七十八秒以转中去之余一日○七刻○八分七十八秒为迟厯以缩迟二厯推得加差一十一刻五十一分加入经朔得一十○日四十六刻为定朔是甲戌日午初刻合朔置中积减交应加闰余满交终去之不尽以减交终余一十四日四十刻为天正交泛分入食限置中积减周应满周天去之不尽以减周天余三百三十五度二八九九以虚六度筭外得斗二十二度为冬至赤道度查天正闰余二日有竒减回二度有竒则朔日在斗二十度汉史合(宿度既合以后不复推)是十一月甲戌朔午时日食非十月甲戌晦食亦无十一月癸卯晦之比食也盖汉初厯久失次未置厯官不知是年冬至之前应闰八月而未置闰故以十月为十一月及过此见天星渐移方补一闰始悟十月乃十一月也其原纪十月甲戌晦遂改为十一月甲戌晦然又恐未的也乃并十月晦两存之前月既系以戌则次之应癸酉者不得不系之卯并系之虚吁亦大劳矣实十月晦即十一月朔食为是而前后月皆不入交不应食也后修史者见汉厯两存其食遂目为比食不知六月一交万无比食之理而日食即朔亦无晦食之说也纲目书法云自癸丑书日食至是四十五年然后复书秦政代立以来至于国亡乃皆未尝日食岂秦之德有以胜妖欤日君象也秦闰位也其不足以当天审矣纲目书日食三百六十七而一岁再食者二十五其间连月而食者二而已是年汉文帝三年一岁三食者不与焉此言皆非也从古未有四十余年不日食者秦日官失之故不书或秦暴厌天灾而不书也一岁再食正六月一交之应食也连月之食厯官交载而两存之非其实也至又疑以一岁三食之说耶何不并其一岁四食五食而疑之高帝九年癸卯岁六月乙未晦日食置所求距筭以岁实乗之得二千一百九十一日四六三四为中积分加气应满旬周去之余四十四日五七五八为冬至置中积加闰应满朔实去之余八日九六○八为天正闰余置冬至减闰余余三十五日六一四九为天正经朔置中积加交应减闰余满交终去之余二十二日六九三四为天正交泛置中积加转应减闰余满转终去之以减转中余九日五二一三为天正迟厯置天正经朔加八朔实满纪法去之余三十一日八五九七为七月经朔置天正交泛加八朔实满交终去之余一十四日○二为七月交泛入食限置八朔实减闰余以减半岁周余四十四日六六为七月朔缩初厯置天正迟厯加八转差满转中去之余一十一日五五为七月朔疾厯以缩疾二厯法推得三十八刻七九为减差以减经朔余三十一日四七一八为定朔筭得七月乙未朔午初刻合朔(以后从此推得止具交朔二条)是七月乙未朔午时日食非六月乙未晦惠帝七年癸丑岁正月辛丑朔日食十二月交得一十三日一五入食限十二月朔得七日三九辛未巳时合朔推得是年十一月闰余分二十九日有竒是月二十九日冬至即闰十一月汉厯失一闰遂以十二月朔误作次年正月朔然实是惠帝六年壬子岁十二月辛未朔日食也以法推十二月初一辛未合朔非辛丑前而闰十一月朔辛丑交泛十日有竒后而正月朔庚子交泛一十五日有竒皆不入食限汉厯误推正月日食过此见天星渐移觉失一闰方补一闰既补矣若曰前所误之正月乃十二月也十二月朔宜辛未既移一月则宜改辛未为辛丑是已误而又误矣夫以六年季冬之朔日为七年春正之元旦三朝享献误行典礼履端序愆已属谬戾汉史载谷永占岁首正月朔日是为三朝尊者恶之纲目书法云日食三朝大变也书正月朔日食始此纲目书正月朔日食二十八有应者二十可畏哉是年食八月大䘮其他李淳风等所纂乾坤变异录观象玩占等书俱云是年正月日食八月帝崩之应至今司天家祖述之岂知是蚀之非正旦也则占者又何取焉惠帝七年癸丑岁汉史书五月丁卯先晦一日日食纲目书五月日食不言晦朔六月交二十七日○六入食限六月朔三日六四丁卯申时是六月丁卯朔申时日食汉厯误以六月朔作五月晦之先一日纲目见其先朔二日也遂不书日刘向以为五月微隂始起而犯至阳其占重至其八月宫车晏驾有吕氏诈置嗣君之害京房易传曰凢日食不以晦朔名曰薄人君诛将不以理或贼臣将暴起日月虽不同宿隂气盛薄日光也夫曰日食召变诚是而刘向以五月微隂为言则非盖既非五月则微隂何取耶凢日食必朔以法推之即食晦亦无则岂有先晦一日之理汉厯误推至隔二日已属差误乃京房遂以私意命名为薄食而断之以事应何太谬也又云日月不同宿为隂气盛薄日光岂知六月朔申刻日月同宿而食本自不忒何尝先二日而薄食也夫天道谈何容易尧曰钦若昊天敬授人时仲康征羲和不少贷京房等暗于厯数而妄谈祸福以惑人书之史册遵为蓍蔡若不校讐订正几何而不误万世也高后二年乙卯岁六月丙戌晦日食法推七月朔不入食限前后月朔亦不入食限不宜食也想当时误推在册至日见其未食且疑之故汉史但书丙戌食而不记其在何宿度其误可知矣高后七年庚申岁正月己丑晦日食二月交二十六日六八入食限二月朔二十五日○五己丑午时是二月己丑朔午时日食非正月己丑晦文帝二年癸亥岁十一月癸卯晦日食十二月交二十六日一九入食限十二月朔三十九日五五癸卯未时是十二月癸卯朔未时日食非十一月癸卯晦文帝三年甲子岁十月丁酉晦日食十一月丁卯晦又食十一月交二十六日八入食限十一月朔三十三日四四丁酉巳时是十一月丁酉朔巳时日食非十月丁酉晦亦无十一月丁卯晦之比食也盖冬至前应闰而汉厯失一闰故以十月为十一月及过此见天星渐移方补一闰始悟十一月乃十月也其原纪十一月丁酉晦遂改为十月丁酉晦然又恐未的也乃并十一月晦两存之十月既系以丁酉则十一月之应丁酉者不得不系之以卯此与高帝三年比食之误同(是年文帝下诏罪已求言称十一月晦岂知是朔非晦也)文帝后四年辛巳岁四月丙辰晦日食六月交一十二日八五入食限六月朔二十一日五乙酉午时是六月乙酉朔午时日食非四月丙辰晦盖六月前不应闰而汉书豫置一闰过此觉其差也减去一闰遂改五月为四月五既为四则并其丙戌而移之丙辰矣不知实丙戌前一日六月乙酉朔日食也文帝后七年甲申岁正月辛未朔日食法推是年正月朔交五日四十刻不入食限前后月皆不入食限日不应食汉史书七年正月辛未朔日食而不书其宿度此必厯官误推是食既而见其不食也遂删其宿度通鉴纲目不书是食亦因汉史删之故修史者不载景帝三年丁亥岁二月壬午晦日食三月交一十四日一八入食限三月朔一十八日二三壬午卯时是三月壬午朔卯时日食非二月壬午晦汉史书二月壬午晦盖误以三月朔为二月晦也纲目书正月壬午晦日食则非矣歩正月晦二月朔无壬午亦不入食限景帝四年戊子岁十月晦日食推戊子岁前丁亥岁十一月朔交泛五日五十一刻不入食限推戊子岁后十一月朔交泛八日四十四刻亦不入食限俱不应食是年汉史无日食而纲目书四年冬十月晦日食书于春夏之后且云太初以前皆以冬十月建亥为岁首此年及中四年皆先书春夏后书冬错简也班史同考汉史不书食而纲目书食夫事一本之史史无而纲目有从何处来也若以为岁首建亥天正在戊子前丁亥岁耶而丁亥不入食限若以为先书春夏后书冬天正在戊子冬耶而戊子冬亦不入食限无一可者纲目误矣景帝七年辛卯岁十一月庚寅晦日食十二月交一十四日二九入食限十二月朔二十六日三八庚寅巳时是年闰余二十九日二刻有竒即闰十一月歩至十二月初一得庚寅日巳时日食非十一月庚寅晦也汉史十一月上少一闰字景帝中元年壬辰岁十二月甲寅晦日食法推是年十二月晦并正月朔俱无甲寅亦不入食限汉厯不书宿度是误推暗削之故通鉴纲目亦不载是食景帝中二年癸巳岁九月甲戌晦日食法推是年九月晦并十月朔无甲戌推在夜食亦非应食之日故汉厯不书宿度误推暗削纲目不知亦误书景帝中三年甲午岁九月戊戌晦日食几尽十月交一十四日四一入食限十月朔三十四日六三戊戌申时是十月戊戌朔申时日食非九月戊戌晦也汉厯不载宿度者筭皆不食而此书食在尾且云食几尽是彼时真见其食矣今筭之则果食不爽可见不书宿度者厯官误推在册至期见其不食遂删其宿度而犹存其名交战于胷中无可柰何之故也景帝中四年乙未岁十月晦日食(见纲目史无)法推景帝中四年乙未岁天正前十月十一月皆不入食限天正后十月十一月皆不入食限是厯官误推暗削之故纲目不知书是年日食旧纲目书五年冬十月日食新纲目书四年冬十月日食且云夏蝗当在日食下又云五年当书夏蝗上夫事一本之史史无而纲目有从何来耶且两书异年自相紊乱且不标晦朔其无据可知矣景帝中六年丁酉岁七月辛亥晦日食八月交一十三日九二入食限八月朔四十七日三六辛亥辰时是八月辛亥朔辰时日食非七月辛亥晦景帝后元年戊戌岁七月乙巳先晦一日日食八月交一十四日五三入食限八月朔四十一日六三乙巳申时是八月朔乙巳申时日食非七月先晦一日武帝建元二年壬寅岁二月丙戌朔日食推壬寅正月二月三月朔皆无丙戌皆不入食限汉厯之误推也汉唐秘史载建元二年十月朔日食十月交二十六日二三入食限十月朔一十七日○七辛巳申时推是年十月初一辛巳申时合朔去交分入食限日应食是食汉史不载通鉴纲目亦不载查汉唐秘史载二年十月朔日食且史曰秘其所纪多出于史鉴之外者必内府秘藏之实录也所载日食断非无因必彼时仰见天象有食而秘纪之者汉厯误筭二月候之不食其十月之应食厯官失筭若辈诋日月为乱行未可知遂存其伪而去其真矣不然何以布法筭与秘史穏合不爽耶大都半载一交十月食则前此宜四月交又何惑乎二月之不交而食也汉厯二月朔食之误无疑矣建元三年癸卯岁九月丙子晦日食十月交二十六日八四入食限十月朔一十二日三四丙子辰时是十月朔丙子辰时日食非九月丙子晦建元五年乙巳岁正月己巳朔日食推是年正月朔不入食限汉史不书宿度暗削之故通鉴纲目亦不书是食元光元年丁未岁二月丙辰晦日食七月癸未先晦一日日食日中时食从东北过半晡时复推是年三月朔不入食限汉史不书宿度暗削之故通鉴纲目亦不书是食七月经朔二十○日○八刻九三减差五十三刻九三七月朔交二十六日九十五刻入食限七月定朔一十九日五十五刻癸未日未时推是年七月初一癸未日合朔日食非七月癸未先晦一日也盖是年闰三月汉厯失一闰故误以七月朔为七月晦且云先晦一日益谬矣盖汉厯止慿张苍等约以章蔀大槩歩厯一平朔且犹未定即有平朔而无加减多差至七十刻况无平朔乎且汉厯朔实过分每以朔加之次月一二日则无恠其晦食之多也即是食之经朔在甲申日丑时以缩疾之七度有竒减回五十余刻便食于癸未日未时矣此不彰明较著者乎纲目见其先晦一日遂不书晦朔岂知七月朔日月同度而食时刻不爽何尝先晦一日食也未时合朔则从日中时食过半晡时复良是其云从东北过则非盖月自西来从西而东过无从东过之理也即此七月朔食则前此连闰应二月朔交非二月尽之三月初也其二月晦食之误益见元朔二年甲寅岁二月乙巳晦日食三月交二十六日五七入食限三月朔四十一日五三乙巳午时是三月乙巳朔午时日食非二月乙巳晦汉史书二月晦盖误以三月朔为二月晦也纲目书三月晦则非矣元朔六年戊午岁十一月癸丑晦日食推是年十一月晦并十二月朔无癸丑亦不入食限汉史书食而不记其宿度亦误推暗删之故所以纲目不书是食元狩元年己未岁五月乙巳晦日食六月交一十三日九九入食限六月朔四十一日四四乙巳巳时是六月乙巳朔巳时日食非五月晦京房易传推以为是时日食从旁右法曰君失臣明年丞相公孙𢎞薨日食从旁左者亦君失臣不知凡日食俱从旁右无从旁左之理元鼎五年己巳岁冬十一月朔冬至亲郊见法推是年冬至一十五日五五经朔四十六日六三次月经朔一十六日一六疾度四度三八推得是年闰十月初一日庚戌十一月初一日己卯未时冬至戌时合朔盖是年冬至之次日经缩一十六日一十六刻在庚辰丑时而以疾度之四度三十八分减囘则在己卯日戌时合朔而冬至适与朔㑹矣然前月无中气宜闰十月也通鉴纲目书十一月朔冬至合元鼎五年己巳岁四月丁丑晦日食五月交二十七日三五入食限五月朔一十三日五七丁丑未时是五月丁丑朔未时日食非四月晦元封四年甲戌岁六月己酉朔日食法推是年六月朔无己酉亦不入食限汉史不书宿度误推暗削故纲目亦不书是食太初元年丁丑岁冬十一月甲子朔旦冬至祀明堂冬至五十七日五三闰余二十七日三六经朔三十○日一六减差四十三刻七定朔二十九日七二癸巳日酉时合朔十二月经朔五十九日六九减差三十八刻八定朔五十九日三○五癸亥日辰时合朔法推太初元年十一月甲午日寅时经朔以减差减之得癸巳日酉时合朔是十一月癸巳朔也以歩至二十九日辛酉午时冬至再推十二月癸亥日辰时合朔是十二月癸亥朔也次日则甲子矣汉太初邓平唐都落下闳等未经测验止慿章蔀大畧之术以求气朔且是年闰余二十七日三十六刻应闰二月天正之前不应闰而平等误置一闰遂以十二月为十一月而曰十一月甲子朔冬至无余分为厯元不知十一月癸巳朔非甲子也十一月二十九日辛酉冬至非朔旦也十二月癸亥朔非十一月朔甲子也十二月二日甲子非朔日也汉厯误以前月二十九之冬至而加于后月之朔以后月二日之甲子而加于天正之朔舛也甚矣盖汉厯推歩失之后天故气过二三日尚不觉所以日食多在晦也汉厯日食之晦余推皆朔明甚兹岂口说之滕胥乃实诣之数此可与司天氏持筹道之也纲目书法云元鼎五年书十一月朔冬至亲郊见矣不书某甲子于是祀明堂则书甲子朔旦何重厯纪也至朔同日常也甲子朔旦冬至非常也故特书之夫以非常之厯纪举非常之祀典且以气朔同日定千古厯元斯岂细事而岂知是朔之非甲子也以此明堂事天天神享之乎元鼎五年朔旦冬至实是己卯亲郊礼也去兹才八年邓平等首出治厯而反违至二三日则嗣是先时后时朔悉为晦无论钦天曷以授时厯元云乎哉太始元年乙酉岁正月乙巳晦日食二月交一十四日一九入食限二月朔四十二日三三丙午辰时推得是年二月丙午朔辰时日食非正月乙巳晦也汉厯误推正月乙巳晦日食至日候之见其不食至次日方食与巳所推宿度不合遂削其宿度不书故纲目通鉴亦不书是食而不知丙午之朔食为是也太始四年戊子岁十月甲寅晦日食十一月交一十四日三入食限十一月朔五十日四九甲寅午时是十一月甲寅朔午时日食非十月晦征和四年壬辰岁八月辛酉晦日食不尽如钩在亢二度晡时食从西北日下晡时复九月交一十四日四二入食限九月朔五十七日五八辛酉未时定用五刻五三初亏未初二刻正西食甚未正三刻复圆申正初刻正东推得是年九月辛酉朔日食九分九十余秒非八月辛酉晦是日食甚日躔黄道角十度夫汉史食亢二而法推角十盖角末去亢初不逺或古时距星稍异不害其为同也未初初亏申正复圆食九分九十秒正晡时食日下复不尽如钩也第云从西北则非葢汉人自东向西望日故目为西北而不知从北极望之则食从正西过正东也是年载日食云晡时至日下不尽如钩详矣盖目覩记之也余推不爽则其他又何疑昭帝始元三年丁酉岁十月壬辰朔日食十一月交二十六日七三入食限十一月朔二十八日四一壬辰巳时法推是年十一月壬辰朔巳时日食汉史合元鳯元年辛丑岁七月己亥晦日食八月交二十六日八四入食限八月朔三十五日五五己亥未时是八月己亥朔未时日食非七月晦地节元年壬子岁十二月癸亥晦日食正月交二十七日一九入食限正月朔五十九日六二癸亥申时是地节二年癸丑岁正月癸亥朔申时日食非元年壬子十二月晦食也夫正月元旦是为三朝况汉帝改元以正月为岁首则朝贺享献履端为庆是日日食诚大变也孔子吉月必朝服而朝矧曰元旦古人有元旦日食不受贺者正以吉期值大变耳谷永误占惠帝六年季冬之朔以为七年元旦而曰三朝尊者恶之者实是日也汉厯误推以元旦之日食加于年前之穷岁以正月之二日谬为元旦之三朝日食而不知为大变且除夕于履端行朝祭大典于朔二此之所关岂细欲神道人道能休鬯乎百工庻绩能厘熈乎政典曰先时者杀无赦不及时者杀无赦然则𦙍侯之征不少贷而邓平等当之矣五鳯元年甲子岁十二月乙酉朔日食十二月交一十四日二三入食限十二月朔二十一日二三乙酉卯时是十二月乙酉朔卯时日食汉厯合五鳯四年丁卯岁四月辛丑朔日食是为正月朔慝未作左氏以为重异四月交二十七日○四入食限四月朔三十七日五五辛丑未时是四月辛丑朔未时日食汉厯合夫四月纯阳用事为正阳之月隂为慝五月一隂生之隂气未动乃慝未作隂侵阳重左氏之说是也元帝永光二年乙卯岁三月壬戌朔日食三月交一十四日○八入食限三月朔五十八日三四壬戌辰时是三月壬戌朔辰时日食汉厯合元帝永光四年辛巳岁六月戊寅晦日食七月交二十六日八九入食限七月朔一十四日六五戊寅申时是七月戊寅朔申时日食非六月晦建昭五年丁亥岁六月壬申晦日食不尽如钩因入推是年六月晦七月朔无壬申亦不入食限日不应食汉史不书在某宿度却书因入二字想误推应食见其不食也遂删其宿度添因入二字若曰日入地矣文其过也建始三年辛卯岁十二月戊申朔日食十二月交二十六日六二入食限十二月朔四十四日五二戊申午时是十二月戊申朔午正二刻日食汉史合考杜钦对成帝曰日以戊申食时加未戊未土也宫中之部必此嫡妾将有争宠相害而为患者即此见是日之食在未时也法推午正二刻合朔午正二刻午将末矣其未正食甚复圆之时合河平元年癸巳岁四月己亥晦日食不尽如钩五月交一十三日九三入食限五月朔三十五日三六己亥辰时是五月己亥朔辰时日食非四月晦按刘向云日蚤食时从西南起此必当时厯官亲见其食从蚤食时西南起也法推辰正三刻合朔则初亏必辰初正蚤食时也其云从西南起则非何则日食不尽如钩是食既也食既则食起从正西复圆正东岂有起从西南之理盖视日以北极为凖辰时日食日在东北向西南斜上月在西南向东北斜下相掩而食汉人向东视之若从西南者然而不知是正西之向正东也夫以千三百余年之逺当时亲见天象日食辰初者而余所歩不爽则其地何有不合汉厯以朔为晦并不应食而误推为食者其差谬又奚疑河平三年乙未岁八月乙卯晦日食十月交二十六日七四入食限十月朔五十一日五一乙卯午时是十月乙卯朔午时日食非八月晦盖是年十月前不应闰而汉厯误置一闰遂以九月为八月而曰乙卯晦日食非也河平四年丙申岁三月癸丑朔日食三月交一十三日四三入食限三月朔四十九日六三癸丑申时是三月癸丑朔申时日食汉厯合阳朔元年丁酉岁二月丁未晦日食三月交一十四刻入食限三月朔四十三日六三丁未申时是三月丁未朔申时日食非二月晦永始元年乙巳岁九月丁酉晦日食法推是年九月晦十月朔无丁酉亦不入食限汉厯误推暗削己自知其差矣谷永不知而乃以京房易占对帝曰九月日蚀酒亡节之所致也独使京师知之四国不见者祸在内也夫曰京师知之何不曰京师见之曰四国不见则真不见也盖当时厯官误推先已传布谷永遂据以为言岂知厯官觉差业已削其宿度而况兼以四国皆未见乎既非日食则易占又何取焉永始二年丙午岁二月乙酉晦日食三月交二十六日四六入食限三月朔二十一日四二乙酉巳时是三月乙酉朔巳时日食非二月晦谷永以易占对帝曰二月日食赋重民愁之所致也所以使四方皆见京师隂蔽者祸在外也夫曰四方皆见则真见曰京师隂蔽则隂云掩之耳厯官因四方皆见而京师不见遂亦疑之而削其宿度殊不知是日日应食非差也从古有云掩而不目为日食乎民愁祸外之占奚取焉永始三年丁未岁正月己卯晦日食二月交二十七日○八入食限二月朔一十五日六一己卯未时是二月己卯朔未时日食非正月晦永始四年戊申岁七月辛未晦日食八月交一十四日三九入食限八月朔七日四辛未巳时是八月辛未朔巳时日食非七月晦郑兴上疏言日月交㑹数应在朔而顷年日食多在于晦先时而合皆月行疾也日君象月臣象君亢急则臣下促廹故行疾也以余考之日食何尝在晦何尝先时而合月何尝行疾汉厯误推而郑兴即以月行疾误日月且持以告君无知妄言将谁欺欺天乎欺君乎元延元年己酉岁正月己亥朔日食正月交二十五日九八入食限正月朔三十五日三一己亥辰时是正月己亥朔辰时日食汉厯合哀帝元寿元年己未岁正月辛丑朔日食与惠帝七年同日月正月交一十四日一四入食限正月朔三十七日三二辛丑辰时是正月辛丑朔辰时日食汉厯合然云与惠帝七年同月日则非盖是年实正月朔日食为三朝大变而惠帝七年之正月朔则六年十二月之朔也不可同年而语矣元寿二年庚申岁三月壬辰晦日食推是年三月晦四月朔无壬辰亦不入食限汉厯误推见其不食故不书宿度平帝元始元年辛酉岁五月丁巳朔日食五月交二十六日九三入食限五月朔五十三日五丁巳午时是五月丁巳朔午时日食汉史合元始二年壬戌岁九月戊申晦日食既推是年九月晦十月朔无戊申亦不入食限汉厯误推见其不食故不书宿度班固前汉书云凢汉著纪十二世二百一十二年日食五十三朔十四晦三十六先晦一日三京房易传曰晦而月见西方谓之晀朔而月见东方谓之仄慝仄慝则侯王其肃晀则侯王其舒孟康注晀者月行疾在日前故早见仄慝者行迟在日后当没而更见刘向以为晀者疾也君舒缓则臣骄慢故日行迟而月行疾也仄慝者不进之意君肃急则臣恐惧故日行疾而月行迟不敢廹近君也不舒不急以正失之者食朔日刘歆以为舒者侯王展意颛事臣下促急故月行疾也肃者侯王缩朒不任事臣下弛纵故月行迟也当春秋时侯王率多缩朒不任事故食二日仄慝者十八食晦日晀者一此其效也考之汉家食晦晀者三十六终亡二日仄慝者歆说信矣此皆谓日月乱行者也吁嗟有是哉晦日尚未合朔岂有月已疾行于日前而见西方之理朔日月方合朔岂有月反迟退于日后而见东方之理汉人布筭无术求天不得而遂以已意命名曰晀曰仄慝而系之以事应曰肃曰舒变异因之使果如其言岂不前知如神而抑知其非然也余以法推春秋暨西汉日凢九十余食内不应食而汉厯误推为食及置闰失所者亡论若其食晦与二日及晦先一日者则无一不食朔也且并其方位时刻分数若合符节不爽矣乃京房等妄名晀仄而犹驾言以欺人曰此其效也歆说信矣日月乱行者也夫从古以来月何尝有一晀仄日何尝有一非朔食以一无所有之事而加之日月诋为乱行诸君却自夸为效为信果孰信耶效耶乱行耶日月不乱行而若等乱道其何伤于日月乎多见其不知量也按文献通考载成帝元延元年刘向上疏言臣向前数年言日当食今连三年比食自建始以来二十岁间而八食率二岁六月而一食古今䍐有易曰观乎天文以察时变昔孔子对鲁哀公并言夏桀殷纣暴虐天下故歴失则摄提失方孟陬无纪此皆易姓之变也夫向言日食召变诚是而云前知日食则未也汉史纪成帝建始以来二十年间日凢十食以余推之建始三年十二月朔河平四年三月朔元延元年正月朔皆是而河平元年四月晦阳朔元年二月晦永始二年二月晦三年正月晦四年七月晦皆非则皆次月朔食也河平三年之八月晦则十月朔盖汉厯误置一闰之故永始元年之九月晦则不应食即彼时四国不见矣刘向上疏告君自谓臣前数年言日当食而今果然是前知如神也何乃食朔而以为晦误置闰而不知不应食而不改岂数年前知而后复昏耄耶一晦朔且未辩而尚敢言前知孔子曰知之为知之不知为不知是知也则向不免强不知以为知矣又考秘史汉宣帝甘露三年帝命刘向校书天禄阁夜有黄衣老人植青藜杖进吹杖端忽燃火曰我太乙之精也天帝闻下界有卯金之子博学能文令我下观老人见几上有化胡书曰书内䓗岭一字是其山出苁蓉故名以为䓗误矣岭北乃老子化胡成佛之所可改作苁复见几上有列仙传曰老子即老𣆀在尧时为务成子至今犹存太上老君乃太始之初人今人以为即老聃非也篯铿尧时人尧封为彭城君得不死药至今见存人谓彭年八百非也语毕老人乃出玉牒天文书授之刘向自是文学异常夫太乙之神道之祖也天文之书厯之源也老人知太始之老君记成佛之苁岭老聃彭铿皆识其人岂非至神且以上帝之天文授向则向也厯象之事宜精而庻徴之术宜验矣何乃课日不效以朔为晦晀仄不经事应无据夫以化胡书一䓗字且令亟改而况日月晦朔所关之大有所不知乎厯悬于昊天而天授无明效太乙真宰之谓何然则老人者无乃非真太乙而天文非真书耶抑刘向欲已天文五行之书传于天下而故假为天神以骇世耶且也刘向以如斯妄诞之徒歴代以来从祀孔子庙庭至国朝嘉靖间张璁引程敏政议刘向初以献赋进喜诵神仙方术尝上言黄金可成铸作不验下吏当死其兄阳城侯救之获免所著洪范五行传最为舛驳使箕子经世之微言流为隂阳术家之小技宜罢祀从之夫敏政所云仙丹隂阳之舛即青藜玉牒之诈也若非我国朝罢祀则宫墙美富之中㡬何而不乆为一伪学所玷古今律厯考卷二十
## 卷二十一
钦定四库全书
古今律厯考卷二十一 明 邢云路 撰歴代日食二歴代日食厯东汉光武建武二年丙戌岁正月甲子朔日食正月交二十六日五一正月朔初日五十八刻甲子未时赤道危八度九五推得汉光武建武二年丙戌岁正月甲子朔未正初刻合朔日食在危八度(宿度既合以后不复推)又考古今注载光武建武元年乙酉岁即更始三年正月庚午朔日食以法推元年正月初一己巳日亥时合朔日食在夜夜食不书无乃汉史误布应食及期见其不食也而遂削之耶建武三年丁亥岁五月乙卯晦日食六月交一十三日八二六月朔五十一日三六乙卯辰时是六月乙卯朔辰时日食非五月晦建武四年戊子岁五月乙卯晦日食(见古今注)推得是年六月庚戌朔入食限加时在夜丑无乙卯则古今注之载食非也厯推史无而古今注有者多不食其误可知建武六年庚寅岁三月晦日食(见汉秘史)四月交一十三日三三四月朔五日四六己巳午时考汉唐秘史载建武六年三月晦日食大雨连月昔稼更生鼠巢树上乃邪隂掩太阳之象夫汉唐秘史一书乃我太祖西宫命弟肃王等兄弟五王奉勅大索群典编集成书其间事实多内府秘书出于史鉴之外者汉史古今注文献通考通鉴纲目诸书俱不载是食而秘史有之余以法布筭四月初一己巳朔去交分入食限巳时食甚与秘史合盖四月朔即三月晦也縁汉史歩厯乖次多以朔为晦耳且以斯日食滛雨邪隂掩阳之大变必当时大庭之上众目所视载在秘册藏诸金匮歴代流传至今者也何当时厯官既不能推乃见其食也而又恐彰已过隠之不书于史册可恨也夫建武六年九月丙寅晦日食史官不见郡以闻十月交初日○二十月朔二日二四丙寅夘时初三刻推得十月丙寅朔夘初刻合朔食甚非九月丙寅晦是时日出夘正刻初刻食甚所以洛阳不见若郡之偏东者日出差早合朔亦早则食甚复圆之间正其所及见者然则郡以闻者其必偏东之郡乎建武七年辛卯岁三月癸亥晦日食四月交一十三日九四月朔五十九日四八癸亥午时是四月癸亥朔午时日食非三月晦建武十六年庚子岁三月辛丑晦日食四月交二十六日三六四月朔三十七日三辛丑辰时是四月辛丑朔辰时日食非三月晦建武十七年辛丑岁二月乙未晦日食三月交二十六日九七三月朔三十一日五七乙未未时是三月乙未未时日食非二月晦建武二十二年丙午岁五月乙未晦日食六月交一十四日三九六月朔三十一日四乙未巳时是六月乙未朔巳时日食非五月晦建武二十五年己酉岁三月戊申晦日食四月交一十三日九四月朔四十四日六九戊申申时是四月戊申朔申时日食非三月晦建武二十九年癸丑岁二月丁巳朔日食二月交一十四日○一二月朔五十三日四二丁巳巳时是二月丁巳朔巳时日食建武三十一年乙卯岁五月癸酉晦日食六月交二十六日八六六月朔九日四癸酉巳时是六月癸酉朔巳时日食非五月晦中元元年丙辰岁十一月甲子晦日食十二月交一十四日一三十二月朔○日四十一刻甲子巳时是十二月甲子朔巳时日食非十一月晦明帝永平三年庚申岁八月壬申晦日食九月交一十四日二四九月朔八日五八壬申申时是九月壬申朔申时日食非八月晦永平四年辛酉岁八月丙寅时加未日食(古今注载)八月交一十四日八不入食限推不应食古今注载食非永平五年壬戌岁二月乙未晦日食京师候之不觉汝南五郡国三十一上(古今注载史无)三月交二十六日三月朔三十一日二六乙未卯时推得三月乙未朔卯时日食非二月晦古今注载河南郡上食是也永平六年癸亥岁六月庚辰晦日食时雒阳候者不见(古今注载史无)七月交二十二日四一不入食限推不宜食古今注载食非永平八年乙丑岁十月壬寅晦日食(古今注云十二月)十一月交二十六日五六十一月朔三十八日四四壬寅巳时是十一月壬寅朔巳时日食非十一月晦古今注云十二月亦非永平十三年庚午岁十月甲辰晦日食(古今注云八月文献通考云十)(一月晦)十一月交四日一不入食限推不宜食盖原无是食所以汉史古今注文献通考各载不一永平十六年癸酉岁五月戊午晦日食闰六月交二十六日七九闰六月朔五十四日七二戊午酉时是闰六月戊午朔酉时日食非五月晦永平十八年乙亥岁十一月甲辰晦日食十二月交一十四日七十二月朔四十○日四甲辰巳时是十二月甲辰朔巳时日食非十一月晦章帝建初五年庚辰岁二月庚辰朔日食二月交二十六日四一二月朔一十六日六庚辰未时是二月庚辰朔未时日食建初六年辛巳岁六月辛未晦日食八月交一十三日七一八月朔七日三三辛未辰时是八月辛未朔辰时日食非六月晦盖是年应闰八月而汉厯误先置一闰故差元和元年甲申岁八月乙未晦日食史官不见佗官以闻推无是食查通鉴纲目亦无是食章和元年丁亥岁八月乙未晦日食十月交二十六日六四十月朔三十一日六六乙未申时是十月乙未朔申时日食非八月晦盖是年应闰正月而汉厯未闰故以九月晦为八月晦也查元和元年八九月之交无乙未亦不入食限而是年乙未之食适合汉史无章和元年食而通鉴纲目有之无乃章和之章字误记为元和耶和帝永元二年庚寅岁二月壬午日食史官不见涿郡以闻(汉史无晦朔秘史云晦)二月交一十四日五五二月朔一十八日三三壬午辰时是二月壬午朔辰时日食秘史云晦非永元四年壬辰岁六月戊戌朔日食闰六月交一十五刻闰六月朔三十四日五五戊戌未时是闰六月戊戌朔未时日食非六月朔盖是年闰六月而汉厯不知也永元七年乙未岁四月辛亥朔日食四月交二十六日八六四月朔四十七日四六辛亥午时是四月辛亥朔午时日食永元十二年庚子岁七月辛亥朔日食八月交一十四日二八八月朔四十七日三六辛亥辰时是八月辛亥朔辰时日食非七月朔盖是年八月方闰而汉史误先置一闰故以八月为七月差矣永元十五年癸卯岁四月甲子晦日食闰五月交一十三日七九闰五月朔五十六刻未时是闰五月甲子朔未时日食非四月晦盖是年应闰五月汉厯误先置一闰故以闰五月朔作四月甲子晦差矣与永元庚子同安帝永初元年丁未岁三月二日癸酉日食(秘史云三月晦通鉴)(纲目不书日古今注亦不书日)三月经朔八日七六加差五十六刻五三月交一十三日九三月定朔九日三十三刻二得癸酉日辰初四刻合朔推得是年三月癸酉朔辰初四刻合朔日食非三月二日亦非三月晦盖汉厯不知天日之差即以天度为日度于月止以章月歩朔一经朔且未定安论盈缩与迟疾且是年三月之厯以经朔歩之得八日壬申酉正一刻加以盈迟相并加差之五十余刻遂至九日癸酉辰初四刻合朔食甚矣盖经朔者论其泛行之度也盈缩迟疾者则日月由阔入狭由狭入阔南北运行平立积差参差不齐之数也汉人乌得而知之汉厯目为朔二日秘史目为晦古今注暨通鉴则不敢书日嗟嗟天道虽闻天眼未晣空令人左遮右掩迷乱而不敢定则何惑乎世遂视羲和为绝学噤不敢言畏不敢近而抑知日之食也人皆见之千岁之日可坐而致其如烛照数计示诸掌之易易也永初五年辛亥岁正月庚辰朔日食正月交一十四日○二正月朔一十六日五一午时是正月庚辰朔午时日食永初七年癸丑岁四月丙申晦日食五月交二十六日八三五月朔三十二日七七丙申酉时是五月丙申朔酉时日食非四月晦元初元年甲寅岁三月日食一云五月晦日食汉史则不书食闰余二十五日五闰三月四月交二十二刻四月朔二十七日三六辛卯辰时是四月辛卯朔辰时日食非三月日食亦非五月晦日食盖是年闰三月而汉史不知想推以为前又推以为后不知闰在何月及见其食也遂讹记之既而恐彰已过遂复削之所以史无是食通鉴纲目则载三月日食而不书朔秘史则载五月晦日食皆循汉史讹记之旧也岂知闰在三月而四月朔实有是食乎元初元年十月戊子朔日食十月交一十四日一三十月朔二十四日五四戊子未时是十月戊子朔未时日食元初二年乙卯岁九月壬午晦日食十月交一十四日七四十月朔一十八日五三壬午午时是十月壬午朔午时日食非九月晦元初三年丙辰岁三月二日辛亥日食史官不见辽东以闻三月经朔四十六日六六庚戌申初三刻盈迟相并七度七六加差五十八刻三月交二十六日三三三月朔四十七日二四辛亥卯初三刻是三月初一日辛亥卯时初三刻合朔日食非三月二日也汉厯止以章月歩朔罔知加减故朔失之前则晦失之后则二日矣岂知是月推经朔四十六日六十六刻得庚戌日申初三刻推定朔四十七日二十四刻则辛亥日卯初三刻也以盈迟相并之七度七十六分应加五十八刻加之则移庚戌之暮为辛亥之旦矣史官不见辽东以闻者天下日出分不同辽东偏东日出最早雒阳天中日出稍迟故是日夘初日出而食辽东仅及见之少顷复圆而雒阳日方出则不及见也此天运自然岂容假借者耶汉史书二日纲目不书日秘史书晦日胥失之即此一事足证汉厯之失元初四年丁巳岁二月乙亥朔日食史官不见七郡以闻二月交二十六日九四二月朔四十一日三八乙巳巳时是二月乙巳朔巳时日食非乙亥朔也盖是年应闰十二月汉厯未闰误以正月朔之乙亥作二月朔过此觉差方补一闰然乙亥之文则仍旧未改故也元初五年戊午岁八月丙申朔日食史官不见张掖以闻八月交一十四日二五八月朔三十二日六九丙申申正二刻是八月丙申朔申末合朔日食张掖闻之是也何乃史官不见乎想东京以申酉之时夕阳西下偶蔽于游气而不见张掖以极西见也元初六年己未岁十二月戊午朔日食㡬尽地如昏状十二月交二十六日四五十二月朔五十四日四五戊午巳时是十二月戊午朔巳时日食永宁元年庚申岁七月乙酉朔日食史官不见酒泉以闻六月交一十三日一五六月朔五十一日八乙卯戌初是六月乙卯朔戌时初刻合朔日食非七月乙酉朔也汉厯歩朔无次常乖一闰以卯为酉与元初丁巳二月朔之以巳作亥同然史官不见酒泉以闻者酒泉地偏极西寅饯纳日日入差迟以六月朔戌初刻食甚况在极西则日尚未入也由亏至甚岂不悉见若雒阳天中则日入差早或日暮重以游气无惑乎不见也此与元初三月朔辽东以闻之厯互相发明盖日之出入随地不同此二者极东极西早晚异焉明乎二厯千古之疑破矣延光三年甲子岁九月庚寅晦日食十月交二十七日一七十月朔五十六日三六庚申辰时是十月庚申朔辰时日食非九月庚寅晦延光四年乙丑岁三月戊午朔日食陇西酒泉朔方各以状上史官不觉三月交一十三日八七三月朔六十五刻戊午申时是三月戊午朔申时日食陇西酒泉朔方各以状上是也何史官不觉耶顺帝永建二年丁卯岁七月甲戌朔日食八月交二十六日六八八月朔一十○日六一甲戌未时是八月甲戌朔未时日食非七月甲戌朔汉厯误阳嘉四年乙亥岁闰月丁亥朔日食史官不见零陵以闻九月交一十三日六九月朔二十三日三五丁亥辰时是九月丁亥朔辰时日食非闰月丁亥朔也盖是年闰余不及闰限一十八日有竒不应闰至冬十二月方闰汉厯不知而预闰八月遂以九月丁亥朔为闰八月丁亥朔过此见其差也遂亦不敢书闰八月而但曰闰月茫无措矣是日食在辰刻非卯酉之难见也零陵以闻良是胡史官不见耶永和三年戊寅岁十二月戊戌朔日食史官不见㑹稽以闻十二月交二十七日○二十二月朔三十四日四九戊戌午时是十二月初一戊戌日午时合朔食甚夫午时天中食甚人皆见之㑹稽以闻是也何史官昏迷不见耶永和五年庚寅岁五月己丑晦日食六月交一十四日三三六月朔二十五日三九己丑巳时是六月己丑朔巳时日食非五月晦永和六年辛巳岁九月辛亥晦日食十月交二十六日五三十月朔四十七日六二辛亥申时是十月辛亥朔申时日食非九月晦也按通鉴纲目载永和六年春闰正月巩唐羌冦三辅烧园陵以法推是年闰余二十三日八十六刻以减朔实余五日六十六刻以月闰九十刻有竒去之应闰六月汉史不知而妄闰正月先天五其月矣闰且差至五月则何惑乎以十月冬为九月秋以朔日吉为晦日昧也传曰归余于终事则不悖政典曰先时者杀无赦然则不治先时之罪欲冬之不秋吉之不昧事之不悖得乎桓帝建和元年丁亥岁正月辛亥朔日食史官不见郡国以闻正月交一十三日九五正月朔四十七日二二辛亥卯初一刻是正月辛亥朔卯初刻日食史官不见郡国以闻者正月日出卯正而是食在卯初地之偏东者日出差早卯初及见其食洛阳天中食至卯正则将复圆不见其食也此之郡国以闻者其必偏东之郡国乎建和三年己丑岁四月丁卯晦日食六月交二十六日七六六月朔三日三五丁卯辰时是六月丁卯朔辰时日食非四月晦盖是年六月方闰而汉史先闰故以六月朔为四月晦非元嘉二年壬辰岁七月二日庚辰日食史官不见广陵以闻七月交八日二四不入食限七月朔一十五日五七己卯未时推是年七月一日己卯未时合朔二日庚辰朔交泛八日不入食限史官不见是广陵以闻非永兴二年甲午岁九月丁卯朔日食九月交一十四日一八九月朔三日三五丁卯辰时是九月丁卯朔辰时日食永寿三年丁酉岁闰四月庚辰晦日食史官不见郡国以闻七月交一十三日六八七月朔一十六日三七庚辰辰时是七月庚辰朔辰时日食非闰四月庚辰晦史官郡国皆非也何者盖是年闰八月非闰四月推四五月晦朔之间俱无庚辰不入食限故也永寿三年丁酉岁十二月壬戌月蚀非其月十一月望交一十二日八三十一月望五十八日八五推得是年十一月十五日壬戌戌时正一刻合望月食非十二月壬戌月食非其月盖汉厯于是年七月日食妄歩闰四月故于十一月壬戌之月食茫无著落而但曰月食非其月也嗟嗟在天月食是其月若等歩天非其月而反〔？〕〔？〕自是诋天曰非其月也可恨也夫延熹元年戊戌岁五月甲戌晦日食六月交一十四日二九六月朔一十○日六八甲戌申时是六月甲戌朔申时日食非五月晦延熹八年乙巳岁正月辛巳月食非其月正月望交二十六日三六正月望一十八日二八壬午卯正三刻推得是年正月十五日辛巳夜至晓壬午卯正三刻合望月食甚正月望日出卯正二刻食甚在卯正三则初亏在寅末卯初也其食无疑何汉史不知而目为月食非其月耶延熹八年乙巳岁正月丙申晦日食二月交一十三日九一二月朔三十二日五七丙申未时是二月丙申朔未时日食非正月晦延熹九年丙午岁正月辛卯朔日食史官不见郡国以闻正月交一十四日五二正月朔二十七日三四辛卯卯初三刻推得是年正月辛卯朔卯初三刻食甚则复圆在辰也然正月初日出卯正二刻若偏东之地则日出差早洛阳天中则日出差迟所以史官不见而其郡国以闻者必偏东之郡国乎永康元年丁未岁五月壬子晦日食六月交二十六日七二六月朔四十八日六三壬子申时是六月壬子朔申时日食非五月晦灵帝建宁元年戊申岁五月丁未朔日食六月交○日一十二刻六月朔四十三日四二丁未巳时是六月丁未朔巳时日食非五月朔盖是年七月方闰而汉史豫闰故以六月朔为五月朔非建宁元年十月甲辰晦日食十一月交一十四日○三十一月朔四十○日五五甲辰未时是十一月甲辰朔未时日食非十月晦建宁二年己酉岁十月戊戌晦日食右扶风以闻十一月交一十四日六三十一月朔三十四日五六戊戌未时是十一月戊戌朔未时日食非十月晦右扶风以闻是也建宁三年庚戌岁三月丙寅晦日食梁相以闻四月交二十六日二三四月朔三日一七丁夘寅初三刻推四月丁夘朔寅正初刻日食四月日出夘初一刻寅正食甚则卯初尚未复圆地之偏东者日出差早犹及少见其亏然则梁相以闻者毋乃居东乎建宁四年辛亥岁三月辛酉朔日食闰三月交二十六日八三闰三月朔五十七日三四辛酉辰时是闰三月辛酉朔辰时日食非三月辛酉朔盖汉史于未三月先置一闰故以闰三月为三月耳熹平二年癸丑岁十二月癸酉晦日食正月交二十六日三四正月朔一十○日五三甲戌午时是熹平三年正月甲戌朔午时日食非二年十二月癸酉晦所关元旦日食其误大熹平四年乙卯岁正月朔正月交二十六日九五正月朔五日二二己巳夘初一刻推得是年正月己巳朔卯时日食考汉史蔡邕上书曰熹平四年正月朔日体微伤群臣服赤帻赴宫门之中无救乃各罢归天有大异隠而不宣求御过是已事之甚者夫元旦日食变之最大者也伯喈亲见日体微伤同群臣服赤帻赴宫门以无救而罢归乃汉之羲和尸厥官罔闻知则焉用羲和为法推是年正月己巳朔卯初一刻合朔食甚正月日出卯正二刻则伯喈所见日体微伤正食甚已过尚未复圆时也伯喈同群臣欲救不得上书讥日官不报君臣泄泄其柰之何幸伯喈一疏昭在简册使余千载而下得以援此证据按策歩厯以正千古之谬则伯喈有功于厯大矣熹平六年丁巳岁十月癸丑朔日食赵相以闻十一月交二十六日四六十一月朔一十八日二九壬午辰时是十一月壬午朔辰时日食非十月癸丑朔必汉厯置闰迁就之过光和元年戊午岁二月辛亥朔日食推二月朔不入交无是食至五月朔方入交食在半夜汉史载二月朔日食不书宿度不言事应是必误歩是食及期候之不食遂削去宿度事应而犹存其名也光和元年十月丙子晦日食十一月交二十七日○六十一月朔一十二日三九巳初一刻是十一月丙子朔巳时日食非十月晦盖每岁六月一交即此十一月食而知前之交五月也其二月不食明矣考汉史本传载卢植上书是日丙子食自巳过午陈八事以谏蔡邕对诏问云云观此日食自巳过午当时群臣所目覩者余歩巳初一刻合朔食甚则复圆过午明矣以今考古千岁可致他又何疑光和二年己未岁四月甲戌朔日食五月交一十三日七六五月朔一十○日五五甲戌未时是五月甲戌朔未时日食非四月甲戌朔盖是年五月方闰汉史先闰误以五月朔为四月朔光和四年辛酉岁九月庚寅朔日食九月交二十六日五七九月朔二十六日六三庚寅申时是九月庚寅朔申时日食中平三年丙寅岁五月壬辰晦日食六月交○日○八六月朔二十八日六○九壬辰未时是六月壬辰朔未时日食非五月晦中平六年己巳岁四月丙午朔日食四月交二十六日八四月朔四十二日六三丙午申时是四月丙午朔申时日食献帝初平四年癸酉岁正月甲寅朔日食正月交二十六日九一正月朔五十○日五四五甲寅未正一刻推得是年正月甲寅朔未正一刻合朔日食考汉史载袁宏纪曰未蚀八刻太史令王立奏曰日晷过度无有变也于是朝臣皆贺帝宻令尚书候正未晡一刻而食尚书贾翊奏曰立伺候不明疑误上下大尉周忠职所典掌请皆治罪诏曰天道远事验难明且灾异应政而至虽探道知几焉能无失而欲归咎史官益重朕之不德也弗从于是避正殿寝兵不听事五日夫尚书候正未晡一刻而食是未初刻食起也余推未正初刻合朔则食甚在未正初之前复圆在未正刻之末正合袁宏所纪未蚀八刻与尚书所候之的期也以元旦日食大变而王立既不能推又奏云无变朝臣遂贺皆逢君之为也帝令尚书宻候得实贾翊正言劾奏帝即引为已过避殿寝兵克谨天戒而于厯官特优容之咄咄王立周忠典掌谓何纵免𦙍侯之诛能不内愧于心乎兴平元年甲戌岁六月乙巳晦日食七月交一十四日二二七月朔四十一日二八乙巳卯时是七月乙巳朔卯时日食非六月晦建安五年庚辰岁九月庚午朔日食九月交二十六日一四九月朔六日三四庚午辰时是九月庚午朔辰时日食建安六年辛巳岁十月癸未朔日食推是年无癸未朔三月十月皆不入食限闰二月八月入食限则皆夜食史载十月癸未朔食通鉴纲目载三月朔食皆非也建安十三年戊子岁十月癸未朔日食十月交一十四日○七十月朔一十九日四一巳时是十月癸未朔巳时日食建安十五年庚寅岁二月乙巳朔日食二月交二十六日二七二月朔四十一日三一乙巳辰时是二月乙巳朔辰时日食建安十七年壬辰岁六月庚寅晦日食七月交一十四日一八七月朔二十六日五九八庚寅未时是七月庚寅朔未时日食非六月晦建安二十一年丙申岁五月己亥朔日食五月交一十四日三二五月朔三十五日三四己亥辰时是五月己亥朔辰时日食建安二十四年己亥岁二月壬子晦日食三月交一十三日八三月朔四十八日五九壬子未时是三月壬子朔未时日食非二月晦建安二十五年庚子岁二月朔日食见通鉴纲目闰二月交一十四日四一闰二月朔四十三日二九三丁未辰时是闰二月丁未朔辰时日食非二月朔史漏凡汉中兴十二世百九十六年史书日蚀七十二朔三十二晦二十七月二日三以法算之其晦与二日皆朔也盖东汉日官歩气仍用四分度之一歩朔仍用章月并无盈缩迟疾加减故其差忒犹之乎西汉也且终东汉之世二百年间日官歩得两月蚀非其月以为在天月之乱行与已所算不合有此两异也故特记之而岂知两月俱应蚀乃若等寃天而乱道也即熹平四年正月朔蔡邕亲见日亏抗章上表而不报初平四年正月朔贾翊亲候日食奏请治罪而不理夫以三朝大变朝臣公议而犹泄泄然若此盖由汉室日官挟权太重且自知多漏难补故百计弥缝寃天以实已之短昧心拒众罔上行私牢不可破耳古今律歴考卷二十一
## 卷二十二
钦定四库全书
古今律厯考卷二十二 明 邢云路 撰歴代日食三歴代日食厯后汉晋昭烈帝章武元年辛丑岁(即魏黄初二年)六月戊辰晦日食七月交二十六日六一七月朔四日五五戊辰未时是七月戊辰朔未时日食非六月晦章武二年壬寅岁(即魏黄初三年)正月丙寅朔日食十一月庚申晦日食正月交一十三日三一正月朔二日四五丙寅巳时十二月交一十三日九二十二月朔五十六日五六庚申未时是年正月丙寅朔巳时日食是至十二月则庚申日未时合朔申时食甚非十一月晦后主建兴二年甲辰岁(即魏黄初五年)十一月戊寅晦日食十一月交一十二日八二十一月朔一十五日四一巳时是十一月己卯朔巳时日食非十一月戊寅晦建兴九年辛亥岁(即魏明帝太和五年)十一月戊戌晦日食十二月交二十六日三五十二月朔三十四日三二戊戌辰时是十二月戊戌朔辰时日食非十一月晦文献通考载次年正月戊辰朔日食见吴厯夫食限六月一交岂有十二月食正月复食之理吴误建兴十一年癸丑岁(即魏明帝青龙元年)闰五月庚寅朔日食六月交一十三日六五六月朔二十六日四四巳时是六月庚寅朔巳时日食非闰五月朔盖是年闰八月而厯官误闰五月先天三其月非也延熈三年庚申岁(即魏少帝正始元年)七月戊申朔日食七月交二十七日一八七月朔四十四日五一戊申午时是七月戊申朔午时日食延熙五年壬戌岁(即魏正始三年)四月戊戌朔日食五月交二十六日○八五月朔四日三三戊辰辰时是五月戊辰朔辰时日食非四月戊戌朔延熈六年癸亥岁(即魏正始四年)五月丁丑朔日食既五月交二十六日六九五月朔五十八日四三壬戌巳时是五月壬戌朔巳时日食非丁丑朔延熈七年甲子岁(即魏正始五年)四月丙辰朔日食五月交九刻五月朔五十二日四六丙辰午时是五月丙辰朔午时日食非四月朔盖是年闰七月而厯官误闰三月故以五月为四月也观纲目书闰三月帝遣费祎救汉中则知误闰三月矣延熈八年乙丑岁(即魏正始六年)四月壬子朔日食推四月朔辛亥过食限不应食延熈八年十月戊申朔日食十月交一十四日六一十月朔四十四日八戊申午时是十月戊申朔午时日食延熈十年丁夘岁(即魏正始八年)二月庚午朔日食纲目不言日三月交二十六日八三月朔六日六七庚午申时是三月庚午朔申时日食非二月朔葢是年闰三月而史官先置一闰故以三月为二月误延熈十一年戊辰岁(即魏正始九年)正月乙未朔日食二月交二十刻二月初日三十六刻甲子辰时推得是年正月朔不入交且以减差减至甲午日亥时合朔是不应食也以推二月甲子朔则交泛二十刻入食限经朔五十九刻以减差减至辰时日食乃是二月甲子朔日食非正月乙未朔也三国时干戈扰攘厯官失职任其妄步书之史册而及见天变反曰日失行也不然何正月之交不入限合朔在亥者反载之为食而二月之交入食限合朔在巳者反遗之耶延熈十二年己巳岁(即魏嘉平元年)二月己未朔日食推得二月朔不入交加时在戊午日亥时合朔与己未朔日食何闗厯官误景耀二年己夘岁(即魏甘露四年)七月戊子朔日食七月交五十四刻九六七月朔二十四日五八戊子未时是七月戊子朔未时日食景耀三年庚辰岁(即魏甘露五年)正月乙酉朔日食正月交一十四日四正月朔二十一日五八乙酉未时是正月乙酉朔未时日食是年魏主曹髦五月被弑六月曹奂立方改元帝景元元年此正月仍属髦甘露五年景耀四年辛巳岁(即魏景元二年)五月丁未朔日食五月交二十六日六五五月朔四十三日七三丁未酉时是五月丁未朔酉时日食景耀五年壬午岁(即魏景元三年)十一月己亥朔日食十一月交一十三日九六十一月朔三十五日四九己亥午时是十一月己亥朔午时日食晋武帝泰始二年丙戌岁(通鉴纲目六月晦十月朔文献通考七月丙午晦十月丙)(午朔)日食三月交一十七刻三月朔四十六日五四庚戌未时八月交一十四日○八八月朔四十二日四五丙午巳时推得是年三月庚戌朔未时日食八月丙午朔巳时日食余月俱不入食限纲目通考所载皆非也葢日食六月一交则岂有六七月晦食而十月朔即食之理泰始七年辛夘歳十月丁丑朔日食十月交二十六日三九十月朔一十三日三八丁丑巳时是十月丁丑朔巳时日食泰始八年壬辰歳十月辛未朔日食十月交二十七日十月朔七日六二辛未未时是十月辛未朔未时日食泰始九年癸巳岁四月戊辰朔日食纲目又载七月朔日食四月交一十三日七四月朔四日五七戊辰未时是四月戊辰朔未时日食七月不入交纲目非泰始十年甲午歳正月乙未朔日食三月癸亥朔日食四月交一十四日三四月朔五十九日二八癸亥夘时是四月癸亥朔夘时日食非三月朔若正月朔则交泛才七日有竒不入食限不应食晋厯误咸宁元年乙未岁七月甲申晦日食八月交二十六日五八月朔二十日五三甲申午时是八月甲申朔午时日食非七月晦咸宁三年丁酉岁正月丙子朔日食二月交一十三日八二月朔一十二日五三丙子午时是二月丙子朔午时日食非正月朔咸寜四年戊戌歳正月庚午朔日食正月交一十四日四二正月朔六日六四庚午申时是正月庚午朔申时日食太康四年癸夘岁三月辛丑朔日食三月交二十六日七三三月朔三十七日三四辛丑辰时是三月辛丑朔辰时日食太康六年乙巳歳八月朔日食见纲目八月交一十四日六五八月朔二十二日四八丙戌午时推得是年八月丙戌朔午时日食通鉴纲目载之是晋史漏太康七年丙午岁正月甲寅朔日食正月交二十六日二正月朔五十日三一甲寅辰时是正月甲寅朔辰时日食太康八年丁未岁正月戊申朔日食正月交二十六日八五正月朔四日四九戊申午时是正月戊申朔午时日食太康九年戊申岁正月壬申朔日食六月庚子朔日食闰十二月交二十六日八五闰十二月朔四十四日四七戊申午时六月交一十四日一五六月朔三十六日三四庚子辰时推得是年闰十二月戊申朔午时日食非正月壬申朔其六月庚子朔日食则是惠帝元康九年己未岁十一月甲子朔日食十一月交一十四日五○十一月朔○度五甲子午时是十一月甲子朔午时日食永康元年庚申岁正月己夘朔日食四月辛夘朔日食四月交二十六日○九四月朔二十七日五六辛夘未时推得是年正月朔无己夘不入食限不应食四月辛夘朔未时日食是永寜元年辛酉岁闰三月丙戌朔日食四月交二十六日七四月朔二十二日六七丙戌申时是四月丙戌朔申时日食非闰三月葢是年闰八月而晋厯误闰三月故以四月朔为闰三月光熈元年丙寅岁正月戊子朔日食七月乙酉朔日食十二月壬午朔日食正月交二十一刻正月朔二十四日三四戊子辰时七月交一十四日一二七月朔二十一日六六乙酉申时推得是年正月戊子朔辰时日食七月朔乙酉申时日食俱是推十二月朔无壬午不应食懐帝永嘉元年丁夘岁十一月戊申朔日食十一月交二十六日三二十一月朔四十四日一一戊申丑正二刻推得是年十一月初一戊申日丑时合朔夜食夜食不书晋厯误永嘉二年戊辰岁正月丙子朔日食推得是正月初一丙午非丙子朔交泛止三日七十余刻凡交必在十二三四日与二十六七日方入食限岂有三日交食之理况年前十一月既载食矣六月方一交今甫二月何以复交晋厯之矛盾如此永嘉六年壬戌岁二月壬子朔日食二月交一十三日一三二月朔四十九日一六癸丑寅初四刻推得是年二月初一癸丑寅时合朔夜食夜食不书晋厯误愍帝建兴四年丙子岁六月丁巳朔日食十二月甲申朔日食六月交二十七日一六六月朔五十三日五二丁巳午时十二月交一十三日八五十二月朔五十一日六乙夘未时推得是年六月丁巳朔午时日食十二月乙夘朔未时日食史载十二月甲申非建兴五年(即元帝建武元年)丁丑岁五月丙子日食十一月丙子日食纲目载十一月朔推是年五月十一月俱无丙子朔俱不入食限晋厯非然岂有五月朔丙子而十月朔犹丙子乎何不思之甚也元帝太兴元年戊寅岁四月丁丑朔日食四月交二十六日○五四月朔一十三日二三丁丑夘时是四月丁丑朔夘时日食晋史合即是年戊寅四月丁丑朔之食合而前丁丑年五月十一月朔之无丙子之不入交而不食也明矣然不食史何以书厯官求天不得遂増减其朔迁就其闰重叠其丙子以姑存之册后修史者不知遂兼取而收之耳明帝太宁三年乙酉岁十一月癸巳朔日食十二月交二十六日二八十二月朔二十九日四六癸巳午时是十二月癸巳朔午时日食非十一月朔葢是年闰十二月晋厯不知豫闰一月故以十二月朔作十一月朔误咸和二年丁亥岁五月甲申朔日食五月交一十三日五九五月朔二十○日五甲申午时是五月甲申朔午时日食咸和六年辛夘岁三月壬戌朔日食三月交一十三日七三月朔二十八日五五壬辰未时是三月壬辰朔未时日食非壬戌朔咸和九年甲午岁十月乙未朔日食纲目无推得是年十月朔无乙未亦不入食限史误纲目无是咸康元年乙未岁十月乙未朔推得是年十月朔不入交不应食咸康七年辛丑岁二月甲子朔日食二月交二十六日七二月朔○日五甲子午时是二月甲子朔午时日食咸康八年壬寅岁正月乙未朔日食京都大雨郡国以闻推得是年正月朔己丑无乙未亦不入食限郡国以闻非盖去年辛丑岁正月朔乙未则今年正月朔己丑为是安得又有乙未穆帝永和二年丙午岁四月己酉日食纲目载四月朔推得是年四月无己酉朔亦不入食限不惟四月无己酉朔一年并无己酉朔永和七年辛亥岁正月丁酉日食纲目亦不书朔推得是年正月丁酉寅时合朔不应食永和八年壬子岁正月辛夘日食纲目书朔正月交一十三日一七正月朔二十七日三辛夘辰时是正月辛夘朔辰时日食永和十二年丙辰岁十月癸巳朔日食十月交一十三日九十月朔二十九日二二癸巳夘时是十月癸巳朔夘时日食升平四年庚申岁八月辛丑朔日食既八月交一十四日○一八月朔三十七日五辛丑午时是八月辛丑朔午时日食哀帝隆和元年壬戌岁三月甲寅朔日食十二月戊午朔日食纲目无三月食六月交一十二日九一六月朔五十六日四庚申巳时十二月交二十六日八二十二月朔五十四三三戊午辰时推得是年三月壬辰朔无甲寅不入食限六月庚申朔巳时日食十二月戊午朔辰时日食纲目不载三月食是史载食非六月朔实食而晋史罔闻知尸厥官矣帝奕即废海西公太和三年戊辰岁三月丁巳朔日食三月交一十四日二四三月朔五十三日二六丁巳夘时是三月丁巳朔夘时日食太和五年庚午岁七月癸酉朔日食七月交二十七日○五七月朔九日三七癸酉巳时是七月癸酉朔巳时日食武帝宁康三年乙亥岁十月癸酉朔日食十月交一十四日四七十月朔九日二六六癸酉夘时是十月癸酉朔夘时日食大元元年丙子歳十一月朔日食纲目有史无推得是年十一月朔不入交不食纲目非大元四年己夘岁闰月己酉朔日食史有纲目无推得是年无闰月止十二月为己酉朔然不入交不应食大元六年辛巳岁六月庚子朔日食六月交一十三日四八六月朔三十六日四二庚子巳时是六月庚子朔巳时日食大元九年甲申岁十月辛亥朔日食十月交二十六日九○十月朔四十七日二六辛亥夘时是十月辛亥朔夘时日食大元十七年壬辰岁五月丁夘朔日食五月交二十六日一三五月朔三日六四丁夘申时是五月丁夘朔申时日食大元二十年乙未岁三月庚辰朔日食三月交二十六日六三三月朔一十六日五庚辰午时是三月庚辰朔午时日食安帝隆安四年庚子岁六月庚辰朔日食六月交一十四日○五六月朔一十六日五庚辰午时是六月庚辰朔午时日食元兴二年癸夘岁四月癸巳朔日食推得是年四月朔壬子合朔在夜亥时不应食史误义熈三年丁未岁七月戊戌朔日食七月交三十七刻六七月朔三十七日三四戊戌辰时是七月戊戌朔辰时日食义熈十年甲寅岁九月丁巳朔日食九月交一十四日○六九月朔五十三日三八丁巳巳时是九月丁巳朔巳时日食义熈十一年即后魏神瑞二年乙夘岁晋书七月辛亥晦日食魏书八月庚辰晦日食八月交一十四日五一八月朔四十七日四一辛亥巳时是八月辛亥朔巳时日食非七月辛亥晦亦非八月庚辰晦义熈十三年即魏太常二年丁巳岁晋书正月甲戌朔日食魏书太常元年七月辛亥晦二年正月甲戌朔俱日食正月交二十六日七一正月朔一十○日三甲戌辰时是正月甲戌朔辰时日食魏书二食皆非恭帝元熈元年即魏太常四年己未岁十一月丁亥朔日食十一月交二十六日二二十一月朔二十三日七二丁亥酉时是十一月丁亥朔酉时日食后汉魏晋间百五十年史载日蚀七十九朔六十五晦七不言朔晦七则较之东西汉食晦者少矣葢由汉末刘洪觉冬至后天减其斗分又创立日月盈缩迟疾法由是气朔渐得其正继此厯官得以因仍斟酌为之故日食朔多晦少渐愈于两汉也洪之有功于厯大矣古今律厯考卷二十二
## 卷二十三
钦定四库全书
古今律厯考卷二十三 明 邢云路 撰歴代日食四歴代日食厯五代宋少帝景平二年即文帝元嘉元年甲子岁二月己夘朔日食纲目无二月交一十三日○三二月朔二十九日一四癸巳寅时八月交二十六日九四八月朔二十五日二八己丑夘时推是年二月朔癸巳无己夘合朔在寅夜食不书纲目无是八月己丑朔卯时日食史却不书元嘉四年即魏始光四年丁卯岁宋书癸卯朔日食魏书六月朔六月交二十六日四五六月朔三十九日七八癸卯酉时是六月癸夘朔酉时日食元嘉五年即魏神䴥元年戊辰岁宋书五月壬辰朔日食十一月己丑朔日食魏书十一月乙未朔日食无五月推是年五月朔无壬辰十一月朔无己丑乙未皆不入交不应食元嘉六年己巳岁五月朔日食十一月朔日食星昼见见纲目史无五月交四十五刻四七五月朔二十八日三壬辰辰时十一月交一十四日三六十一月朔二十五日四二己丑巳时推是年五月壬辰朔辰时日食十一月己丑朔巳时日食皆合即元嘉五年史所载五月壬辰十一月己丑之日食也此必宋史误将六年之日食载之五年耳不然何日月皆合又何宋史五年之食皆不合而六年乃不载耶纲目载是年两日食诚是而于五年乃亦载十一月朔日食则误抄宋史之文也元嘉十二年即魏大延元年乙亥岁魏书正月己未朔日食宋无正月交二十六日六七正月朔五十五日六九己未申时是正月己未朔申时日食魏书是宋史遗元嘉十五年即魏大延四年戊寅岁魏书十一月乙夘朔日食宋无十一月交二十六日七九十一月朔三日三九丁夘午时是十一月丁夘朔午时日食魏书食是书乙夘非宋漏元嘉十七年即魏太平真君元年庚辰岁四月戊午朔日食四月交一十四日一四月朔五十四日四八戊午午时是四月戊午朔午时日食元嘉十九年即魏太平真君三年壬午岁宋书七月甲戌晦日食魏书八月甲戌晦日食九月交二十六日九○九月朔一十○日六一甲戌未时推是年九月甲戌朔日食非七月八月甲戌晦葢是年闰九月宋史不知而豫闰一月故以九月朔为七月晦非魏未闰是书八月晦则非元嘉二十二年即魏太平真君六年乙酉岁魏书六月戊子朔日食宋史无推是年闰六月己丑朔子时夜食不书无戊子魏非宋无是元嘉二十三年即魏太平真君七年丙戌岁六月癸未朔日食六月交二十七日○二六月朔一十九日四六癸未午时是六月癸未朔午时日食元嘉二十六年即魏太平真君十年己丑岁魏书四月丙申朔日食宋无四月交二十六日五二四月朔三十二日四三丙申巳时推是年四月丙申朔巳时日食魏是宋漏元嘉三十年即魏兴安二年癸巳岁七月辛丑朔日食闰七月交一十三日三四闰七月朔三十七日七一辛丑酉时是闰七月辛丑朔酉时日食非七月朔葢是年应闰七月而宋史于七月前先置一闰故以闰七月朔作七月朔非武帝孝建元年即魏兴光元年甲午岁七月丙申朔日食七月交一十三日九四七月朔三十二日四二丙申巳时是七月丙申朔巳时日食大明四年即魏和平元年庚子岁魏书九月庚申朔日食宋无推是年九月无庚申朔亦不入食限魏非大明五年即魏和平二年辛丑岁魏书二月壬子朔宋书九月甲寅朔日食九月交二十六刻九月朔五十日三二甲寅辰时推是年二月朔无壬子亦不入食限九月甲寅朔辰时日食宋是魏非明帝太始四年即魏献帝皇兴元年戊申岁十月癸酉朔日食魏载己亥朔纲目无十月交一十三日七九十月朔九日三二癸酉辰时是十月癸酉朔辰时日食魏载己亥非纲目漏太始五年即魏皇兴二年己酉岁宋书十月丁夘朔日食魏书四月丙子十月癸酉朔日食纲目无四月四月交四十九刻四月朔六日三一九庚午辰时十月交一十四日四十月朔三日三七丁夘辰时推是年四月庚午朔辰时日食十月丁夘朔辰时日食宋漏四月魏书食是书丙子癸酉非纲目亦漏四月后废帝元徽元年即魏延兴三年癸丑岁十二月癸夘朔日食十二月交二十六日一十二月朔三十九日四三癸夘巳时是十二月癸夘朔巳时日食魏书元年十二月癸夘非又书四年正月癸酉食夫三年十二月既食矣岂有次月复食之理顺帝升明元年即魏太和元年丁巳岁魏书十月辛亥朔日食宋无十月交二十六日二二十月朔四十七日○八九辛亥丑正一刻推是年十月辛亥朔丑正一刻合朔夜食不书宋无是魏非升明二年即魏太和二年戊午岁三月己酉朔日食九月乙巳朔日食魏载二月乙酉晦日食纲目无二三月三月交一十二日九二三月朔四十五日一九己酉寅时九月交二十六日八九月朔四十一日二乙巳夘时推得是年三月己酉日寅时夜食不书九月乙巳日夘时日食宋魏载二三月晦朔食俱非纲目正升明三年即魏太和三年己未岁三月癸夘朔日食三月交一十三日五三三月朔三十九日六四癸夘申时是三月癸夘朔申时日食齐髙帝建元二年庚申歳即魏太和四年九月甲午朔日食魏书七月庚申朔日食推七月九月俱不入交不应食建元三年辛酉岁即魏太和五年七月己未朔日食魏书庚申七月交二十六日三四七月朔五十五日六八己未申时是七月己未朔申时日食魏书非武帝永明元年即魏太和七年癸亥岁十二月乙巳朔日食十二月交一十四日二五十二月朔四十一日五六乙巳未时是十二月乙巳朔未时日食永明六年即魏太和十二年戊辰岁魏书二月辛亥朔日食齐无推是年二月辛亥朔不入交不应食魏非齐无是永明八年即魏太和十四年庚午岁魏书正月己巳朔日食齐与纲目无二月交二十七日一二月朔五日四己巳巳时推是年二月己巳朔巳时日食魏书不应闰而豫闰故以二月为正月齐与纲目漏永明九年即魏太和十五年辛未岁魏书正月癸亥晦日食齐无推是年二月癸未朔亥时夜食不书齐无是永明十一年即魏太和十七年癸酉岁魏书六月庚辰朔日食齐与纲目无六月交一十三日六月朔一十六日二九庚辰辰时是六月庚辰朔辰时日食齐与纲目漏废帝隆昌元年即明帝建武元年亦魏太和十八年甲戌岁五月甲戌朔日食五月交一十三日九九五月朔一十○日三四甲戌辰时推是年五月甲戌朔辰时日食其十一月不入交不应食魏无是东昏侯永元二年即魏景明元年庚辰岁魏书正月辛丑朔日食七月己亥朔日食齐与纲目无正月交一十三日正月朔三十七日六七辛丑申时七月交二十六日九七月朔三十五日二三己亥夘时是正月辛丑朔申时日食七月己亥朔夘时日食魏书是齐与纲目漏永元三年即魏景明二年辛巳岁正月丙申朔日食魏载七月癸巳朔纲目无正月交一十三日六一正月朔三十二日二三丙申夘时七月交三十一刻七月朔二十九日二五癸巳辰时是正月丙申朔夘时日食七月癸巳朔辰时日食齐漏七月魏漏正月纲目俱漏梁武帝天监元年即魏景明三年壬午岁七月丁巳朔日食纲目无六月交二十五日八六月朔五十三日八四丁巳戌时推得是年六月丁巳戌时合朔则酉末尚见其初亏也然非七月纲目漏天监五年即魏正始三年丙戌岁三月丙寅朔日食魏无推是年三月不入交不应食魏无是天监七年即魏永平元年戊子岁魏书八月壬子朔日食梁与纲目俱无八月交一十三日八八月朔四十八日三四九壬子辰时是八月壬子朔辰时日食梁与纲目漏天监八年即魏永平二年己丑岁魏书八月丙午朔日食梁与纲目俱无八月交一十四日四八月朔四十二日七三丙午酉时是八月丙午朔酉时日食梁与纲目漏天监十年即魏永平四年辛夘岁十二月壬戌朔日食十二月交四刻十二月朔五十九日四癸亥巳时是年十二月朔癸亥日巳时合朔日食非壬戌朔天监十一年即魏延长元年壬辰岁魏书五月己未晦日食梁与纲目无六月交一十三日九五六月朔五十五日七三己未酉时是六月己未朔酉时日食非五月晦梁与纲目漏天监十二年即魏延长二年癸巳岁魏书五月甲寅朔日食梁与纲目无五月交一十四日五六五月朔五十日三二甲寅辰时是五月甲寅朔辰时日食梁与纲目漏天监十五年即魏熈平元年丙申岁三月戊辰朔日食既三月交一十四日三月朔四日三七戊辰巳时是三月戊辰朔辰时日食天监十八年即魏神龟二年己亥岁魏书正月辛巳朔日食梁与纲目无正月交一十三日五六正月朔一十七日五九辛巳未时是正月辛巳朔未时日食梁与纲目漏普通元年即魏正光元年庚子岁正月乙亥朔丙子日食魏书乙亥正月交一十四日一八正月朔一十二日二六丙子夘时推得是年正月丙子朔夘时日食非乙亥史载乙亥朔丙子日食得非史官步为乙亥而候乃丙子无柰两存之耶魏亦非普通二年即魏正光二年辛丑岁魏书五月丁酉朔日食梁与纲目无六月交二十六日三八六月朔三十三日六四丁酉申时是六月丁酉朔申时日食非五月朔梁与纲目漏盖魏厯不应闰而豫闰一月故以六月朔为五月朔非普通三年即魏正光三年壬寅岁五月壬辰朔日食既魏书冬十一月己丑朔日食五月交二十六日九九五月朔二十八日三八壬辰辰时十一月交一十三日六九十一月朔二十五日二五己丑夘时是五月壬辰朔辰时日食十一月己丑朔夘时日食梁漏十一月普通四年癸夘岁即魏正光四年十一月癸未朔日食十一月交一十四日二九十一月朔一十九日四二癸未巳时是十一月癸未朔巳时日食梁中大通元年即魏庄帝永安二年己酉岁魏书十月己酉朔日食梁与纲目无推是年十月不入交不应食魏非中大通三年即魏节闵帝普泰元年辛亥歳魏书六月己亥朔日食梁与纲目无六月交一十四日五六月朔三十五日五己亥午时是六月己亥朔午时日食梁与纲目漏中大通四年即武帝永熈元年壬子岁魏书十月辛酉朔日食梁与纲目无十月交二十六日七二十月朔五十七日二九辛酉夘时是十月辛酉朔卯时日食梁与纲目漏中大通五年即魏永熈二年癸丑岁魏书四月己未朔日食梁与纲目无元史载有四月交一十三日四四月朔五十五日五己未午时是四月己未朔午时日食梁与纲目漏元授时厯载是日午时食与大明厯皆亲何梁史之是遗也中大通六年即魏永熈三年甲寅岁四月癸丑朔日食梁无纲目有四月交一十四日四月朔四十九日六五癸丑申时是四月癸丑朔申时日食梁漏大同四年即魏静帝元象元年戊午岁魏书正月辛酉朔日食梁书六月辛丑朔日食正月交一十四刻正月朔五十七日六二八辛酉申时推是年正月辛酉朔申时日食六月朔不入交不应食梁非大同六年即魏兴和二年庚申岁魏书闰五月丁丑朔日食纲目同梁无六月交二十六日九六月朔一十三日六五丁丑申时推是年六月丁丑朔申时日食非闰五月朔葢是年应闰六月而魏史预置一闰故以六月朔作闰五月朔梁漏纲目书闰五月亦非太清元年即魏武定五年丁夘岁正月己亥朔日食正月交二十六日七正月朔三十五日五八己亥未时是正月己亥朔未时日食太清二年即魏武定六年戊辰岁七月朔日食见纲目梁魏俱无七月交一十三日八七月朔二十六日三庚寅辰时是七月庚寅朔辰时日食纲目是梁魏漏陈武帝永定三年即周明帝武成元年己夘岁五月丙辰朔日食周无纲目载是年闰四月周更定厯六月交三十一刻六月朔五十三日六丁巳未时推是年六月丁巳朔未时日食非五月丙辰朔葢是年闰六月而史闰四月故以六月朔作五月朔非周漏文帝天嘉二年即周武帝保定元年辛巳岁周书四月丙子朔日食十月甲戌朔日食纲目同陈无四月交二十六日四四月朔一十二日七四丙子酉时十月交一十三日一十月朔九日七八癸酉酉时推是年四月丙子朔酉时日食十月癸酉朔酉时日食周载十月甲戌非陈漏天嘉三年即周保定二年壬午岁九月戊辰朔日食周载壬辰朔九月交一十三日七九月朔四日三五戊辰辰时是九月戊辰朔辰时日食周载壬辰非天嘉四年即周保定三年癸未岁周书三月乙丑朔日食陈无推是年三月乙丑朔丑时合朔夜食不书陈无是天嘉五年即周保定四年甲申岁周书二月庚寅朔日食八月丁亥朔日食陈无推是年二月朔不入交不应食八月朔子时合朔夜食不书陈无是天嘉六年即周保定五年乙酉歳周书七月辛巳朔日食陈无纲目有推是年七月朔寅时合朔夜食不书陈无是纲目亦录周书耳天康元年即周天和元年丙戌岁周书正月己夘朔日食陈无纲目有正月交二十七日一正月朔一十五日四三己夘巳时是正月己夘朔巳时日食陈漏陈主伯宗光大元年即周天和二年丁亥岁周书正月癸酉朔日食十一月戊戌朔日食陈无纲目有正月交五十四刻正月朔九日六二癸酉未时十一月交二十六日十一月朔三十三日七七丁酉酉时推是年正月癸酉朔未时日食合其十一月戊戌则以减差三十余刻减至丁酉日酉正刻合朔尚见其初亏也陈漏光大二年即周天和三年己丑岁周书十一月壬辰朔日食陈无纲目有推是年十一月壬辰朔子正刻合朔夜食不书周与纲目非陈宣帝太建二年即周天和五年庚寅岁周书十月辛巳朔日食陈无纲目有推是年十月辛巳朔巳过交合朔在寅正刻夜食不书载食非太建三年即周天和六年辛夘岁九月庚子朔日食周载四月戊寅朔日食纲目有四月无九月四月交一十四日五七四月朔一十四日二一戊寅夘时九月交二十六日一九月朔四十二日二七丙午夘时推是年四月戊寅朔夘时日食九月丙午朔夘时日食周载四月戊寅是陈载九月食是云庚子非陈阙四月周阙九月纲目阙九月太建四年即周建徳元年壬辰岁周书三月癸夘朔日食九月庚子朔日食纲目同陈无推是年三月癸夘朔子正刻合朔夜食九月经朔庚子则以减差五十刻减至己亥日亥初刻合朔夜食凡夜食不书周厯非陈无是纲目据周厯书亦非太建六年即周建徳三年甲午岁二月壬辰朔日食二月交一十四日二月朔二十八日三九壬辰巳时是二月壬辰朔巳时日食是年陈厯周厯俱载二月壬辰朔日食而步与之合则知陈厯之精周厯之粗也葢陈厯无而周厯有者多不应食是足征矣太建七年即周建徳四年乙未岁周书二月丙戌朔日食十二月辛亥朔日食纲目同陈无十二月交一十二日七九十二月朔四十七日三九辛亥巳时推是年二月丙戌朔夜子合朔夜食不书其十二月辛亥朔巳时日食则是周与纲目多二月陈漏十二月太建八年即周建徳五年齐后主武平七年丙申岁周书六月戊申朔日食隋志并元史及纲目载俱有陈无六月交二十六日八八六月朔四十四日二九戊申夘时推是年六月戊申朔夘时日食按隋志载齐后主武平七年六月戊申朔太阳亏刘孝孙言食于夘时张孟賔言食于寅时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至日食乃于夘寅之间今以授时推夘时日食则刘孝孙张孟賔为近而郑元伟董峻亦近宋景业逺矣陈厯漏太建九年即周建徳六年丁酉歳周书十一月己亥朔日食陈无纲目书晦十二月交一十四日一九十二月朔三十五日四九己亥午时推是年十二月己亥朔午时日食非十一月朔亦非十一月晦陈漏太建十二年即周静帝大象二年庚子歳周书十月甲寅朔日食陈无纲目不书日十月交一十三日六九十月朔四十九日七癸丑申时推是年十月癸丑朔申时日食非甲寅朔陈漏纲目不书日者想周日官步至甲寅食及候之乃癸丑食遂两存之故纲目不书日陈后主至徳元年即隋文帝开皇三年癸夘岁隋书二月己巳朔日食七月丁夘日食不书朔纲目书二月八月朔日食陈无二月交二十六日五二月朔六日二八庚午夘时八月交一十三日二八月朔二日四五丙寅巳时推是年二月庚午朔夘时日食非己巳朔八月丙寅朔巳时日食非七月丁夘朔纲目书是陈漏至徳二年即隋开皇四年甲辰岁隋书正月甲子朔日食纲目同陈无正月交二十七日一正月朔七十七刻甲子酉时是正月甲子朔酉时日食陈漏至徳三年即隋开皇五年乙巳岁陈书正月戊午朔日食隋无推是年正月戊午朔亥时合朔夜食不书陈误陈祯明元年即隋开皇七年丁未岁隋书五月乙亥朔日食纲目同陈无五月交一十三日三五月朔一十一日三五乙亥辰时是五月乙亥朔辰时日食陈漏隋文帝开皇十一年辛亥岁二月辛巳晦日食推是年三月初一壬午日夜子合朔夜食不书隋载二月辛巳晦日食非开皇十二年壬子岁七月壬申晦日食推是年七月朔甲辰八月朔甲戌无壬申俱不入食限不应食开皇十三年癸丑岁七月戊辰晦日食推是年七月戊戌朔亥时合朔夜食不书八月戊辰朔过交不应食隋误仁夀元年辛酉岁二月乙夘朔日食二月交二十六日四二月朔五十一日六三乙夘申时是二月乙夘朔申时日食炀帝大业十二年丙子岁五月丙戌朔日食既五月交二十六日九二五月朔二十二日六三丙戌申时是五月丙戌朔申时日食史称自李延夀南北史不作后之阅史者遂以隋书上接晋书然隋书诸志南止及梁陈而不及宋齐北止及齐周而不及元魏近就帝纪中刷出所书日食类而载之南宋齐梁陈北魏周齐隋上承晋下接唐所载始备然其间年月又多有不合者其说诚是葢南宋何承天祖冲之制厯颇精后南北乱离畴人失业诸国所书彼此互异如周厯尤益疎则何怪乎年月之不合也今以法推诸日食其差者夜食居多亦有应食而史不书者其失可知矣古今律厯考卷二十三
## 卷二十四
钦定四库全书
古今律厯考卷二十四 明 邢云路 撰歴代日食五歴代日食厯唐唐高祖武徳元年戊寅岁十月壬申朔日食推是年过交不应食武徳四年辛巳八月丙戌朔日食八月交一十四日三八月朔二十二日二丙戌卯时是八月丙戌朔卯时日食武徳六年癸未十二月壬寅朔日食纲目无十二月交二十七日一十二月朔三十八日六壬寅未时是十二月壬寅朔未时日食纲目漏武徳九年丙戌岁十月丙辰朔日食十月交二十六日六六十月朔五十二日四七丙辰午时是十月丙辰朔午时日食太宗贞观元年丁亥岁闰三月癸丑朔日食九月庚戌朔日食四月交一十三日三六四月朔四十九日六五癸丑申时九月交五刻九月朔四十六日四五庚戌巳时推是年四月癸丑朔申时日食九月庚戌朔巳时日食盖是年闰五月而唐厯闰三月非贞观二年戊子岁三月戊申朔日食三月交一十三日九三月朔四十四日四戊申巳时是三月戊申朔巳时日食贞观三年己丑岁八月己巳朔日食八月交二十六日一六八月朔五日五五己巳未时是八月己巳朔未时日食贞观四年庚寅岁闰正月丁卯朔日食七月甲子朔日食纲目书年前闰十二月正月无闰正月交一十二日八闰正月朔三日二四丁卯卯时七月交二十六日七七月朔二十五刻甲子卯时是闰正月丁夘朔夘时日食七月甲子朔夘时日食纲目非贞观六年壬辰岁正月乙夘朔日食正月交一十四日正月朔五十一日六乙夘未时是正月乙夘朔未时日食贞观八年甲午岁五月辛未朔日食推是年五月辛未朔亥时合朔夜食不书史误贞观九年乙未岁闰四月丙寅朔日食五月交二十八刻五月朔二日三丙寅辰时推是年五月丙寅朔辰时日食盖是年应闰六月五月丙寅日合朔甲子日小满四月中尚先朔二日则四月安得有闰贞观十一年丁酉岁三月丙戌朔日食三月交二十六日三三月朔二十二日二六丙戌夘时是三月丙戌朔夘时日食贞观十二年戊戌岁闰二月庚辰朔日食三月交二十七日三月朔一十六日七八庚辰酉时推是年三月庚辰酉时合朔日食非闰二月盖是年三月晦己酉谷雨闰三月庚戌合朔四月朔己夘小满则闰三月无中气应闰三月也二月晦己夘春分三月庚辰合朔则二月安得有闰史误贞观十三年己亥岁八月辛未朔日食八月交一十四日三八月朔七日六一辛未未时是八月辛未朔未时日食贞观十七年癸夘岁六月己夘朔日食六月交一十四日四二六月朔一十五日三一己夘辰时是六月己卯朔辰时日食贞观十八年甲辰岁十月辛丑朔日食十月交二十六日六二十月朔三十七日六四辛丑申时是十月辛丑朔申时日食贞观二十年丙午岁闰三月癸巳朔日食四月交一十三日九三四月朔二十九日六三癸巳申时推是年四月癸巳朔申时日食非闰三月朔盖是年三月辛夘日谷雨四月癸巳日合朔四月辛酉晦小满五月壬戌朔夏至则应闰四月也三月安得有闰史误贞观二十二年戊申岁八月己酉朔日食八月交二十六日七四八月朔四十五日五九己酉未时是八月己酉朔未时日食高宗显庆五年庚申岁六月庚午朔日食六月交一十三日七八六月朔六日五一庚午午时是六月庚午朔午时日食龙朔元年辛酉岁五月甲子晦日食纲目无六月交一十四日三九六月朔五十二刻甲子午时推是年六月甲子朔午时日食非五月晦纲目漏麟德二年乙丑岁闰三月癸酉日食史不书朔四月交一十四日五四月朔九日四七癸酉午时推是年四月癸酉朔午时日食非闰三月癸酉是年闰五月三月无闰史不书朔食二日也史误步闰三月又误步食二日干封二年丁夘岁八月己酉朔日食八月交一十刻八月朔二十五日五二己丑午时推是年八月己丑朔午时日食非己酉朔想修史者误书丑为酉耳总章二年己巳岁六月戊申朔日食六月交二十六日二六月朔四十四日三戊申辰时是六月戊申朔辰时日食咸亨元年庚午岁六月壬寅朔日食六月交二十六日八二六月朔三十八日四七壬寅午时是六月壬寅朔午时日食咸亨二年辛未岁十一月甲午朔日食十一月交一十四日一二十一月朔三十日六一甲午未时是十一月甲午朔未时日食咸亨三年壬申岁十一月戊子朔日食十一月交一十四日七三十一月朔二十四日六戊子未时是十一月戊子朔未时日食上元元年甲戌岁三月辛亥朔日食三月交二十六日九三三月朔四十七日二一辛亥卯时是三月辛亥朔夘时日食永隆元年庚辰岁十一月壬申朔日食十一月交二十六日五五十一月朔八日四二六壬申巳时是十一月壬申朔巳时日食开耀元年辛巳岁十月丙寅朔日食十月交二十七日一六十月朔二日三五丙寅辰时是十月丙寅朔辰时日食永淳元年壬午岁四月甲子朔日食十月庚申朔日食纲目无十月四月交一十三日八六四月朔二十六刻甲子夘时十月交五十五刻十月朔五十六日五庚申午时是四月甲子朔夘时日食十月庚申朔午时日食纲目漏十月中宗三年丙戌岁即武后垂拱二年二月辛未朔日食二月交一十三日九七二月朔七日五八辛未未时是二月辛未朔未时日食汉唐秘史载是食于垂拱元年非中宗五年戊子岁即武后垂拱四年六月丁亥朔日食六月交二十六日七八六月朔二十三日七七丁亥酉时是六月丁亥朔酉时日食中宗八年辛夘岁即武后天授二年四月壬寅朔日食四月交二十六日二八四月朔三十八日二五壬寅卯时是四月壬寅朔卯时日食中宗九年壬辰岁即武后如意又改长夀元年四月丙申朔日食纲目无四月交二十六日八九四月朔三十二日六九丙申申时是四月丙申朔申时日食纲目漏中宗十年癸巳岁即武后长夀二年九月丁亥朔日食九月交一十四日二九月朔二十三日六一丁亥未时是九月丁亥朔未时日食中宗十一年即武后延载元年九月壬午朔日食推是年九月朔过交不应食中宗十二年乙未岁即武后证圣又改万岁元年二月己酉朔日食二月交二十六日四二月朔四十五日五己酉午时是二月己酉朔午时日食中宗十七年庚子岁即武后圣厯三年又改久视元年五月己酉朔日食五月交一十三日八二五月朔四十五日六三己酉申时是五月己酉朔申时日食中宗十九年壬寅岁即武后长安二年九月乙丑朔日食不尽如钩九月交二十六日六三九月朔一日六三乙丑申时是九月乙丑朔申时日食中宗二十年癸夘岁即武后长安三年三月壬戌朔日食九月庚寅朔日食既三月交一十三日三三三月朔五十八日六一壬戌未时八月交二刻九八月朔五十六日一五庚申寅时推是年三月壬戌朔未时日食八月庚申朔寅时日食寅初刻食则卯初不见其亏矣然非九月亦非庚寅盖是年应闰五月而唐厯未闰故以八月作九月中宗复位神龙三年即景龙元年丁未岁六月丁卯朔日食十二月乙丑朔日食六月交二十六日三五六月朔三日五丁夘午时十二月交一十四日十二月朔一日三一乙丑辰时是六月丁夘朔午时日食十二月乙丑朔辰时日食𤣥宗先天元年壬子岁九月丁夘朔日食九月交一十四日七七九月朔三日五七丁夘未时推是年九月丁夘日未时日食然交过刻余虽食不多开元三年乙夘岁七月庚辰朔日食七月交一十四日二八七月朔一十六日四三庚辰巳时是七月庚辰朔巳时日食开元七年己未岁五月己丑朔日食五月交一十四日三九五月朔二十五日三三己丑辰时是五月己丑朔辰时日食开元九年辛酉岁九月乙巳朔日食九月交二十七日二九月朔四十一日四九乙巳午时是九月乙巳朔午时日食开元十二年甲子岁闰十二月丙辰朔日食十三年正月交一十三日四一十三年正月朔五十二日五三丙辰午时推开元十三年乙丑岁正月丙辰朔午时日食非十二年闰十二月朔食盖是年应闰正月而汉厯误闰十二月法推十二月晦前甲寅日大寒正月丙辰日合朔则十二月安得有闰正月晦甲申雨水闰正月朔乙酉二月朔乙夘春分其闰正月明矣开元十七年己巳岁十月戊午朔日食不尽如钩十月交一十四日一三十月朔五十四日二九戊午夘时是十月戊午朔夘时日食开元二十年壬申岁二月甲戌朔日食八月辛未朔日食二月交二十六日九四二月朔十日八甲戌戌时八月交一十三日六三八月朔七日六辛未未时推是年二月甲戌朔戌初刻合朔则酉末尚见其亏也八月辛未朔未时日食开元二十一年癸酉岁七月乙丑朔日食七月交一十四日二四七月朔一日七六乙丑酉时是七月乙丑朔酉时日食开元二十二年甲戌岁十二月戊子朔日食十二月交二十六日四四十二月朔二十四日四四八戊子巳时是十二月戊子朔巳时日食开元二十三年乙亥岁闰十一月壬午朔日食纲目载闰十月朔闰十一月交二十七日闰十一月朔一十八日三六壬午辰时推是年十一月晦辛巳冬至闰十一月朔壬午十二月朔壬子大寒是闰十一月朔壬午辰时日食纲目载闰十月朔非开元二十六年戊寅岁九月丙申朔日食九月交二十六日五六九月朔三十二日二六丙申卯时是九月丙申朔卯时日食开元二十八年庚辰岁三月丁亥朔日食三月交一十三日八六三月朔二十三日五六丁亥未时是三月丁亥朔未时日食天宝元年壬午岁七月癸夘朔日食七月交二十六日六七七月朔三十九日六二九癸夘申时是七月癸夘朔申时日食天宝五载丙戌岁五月壬子朔日食五月交二十六日七九五月朔四十八日五四壬子未时是五月壬子朔未时日食天宝十三载甲午岁六月乙丑朔日食不尽如钩六月交一十三日七一六月朔一日五乙丑午时是六月乙丑朔午时日食肃宗至徳元载丙申岁十月辛巳朔日食既十月交二十六日五二十月朔一十七日六七辛巳申时是十月辛巳朔申时日食乾元二年己亥岁二月月食既终纲目书月食止此二月交二十六日八八二月朢四十八日九五是二月十五日壬子亥正刻合朢月食上元二年辛丑岁七月癸未朔日食既大星皆见七月交三刻五七月朔一十九日七二癸未酉时是七月癸未朔酉时日食代宗大厯三年戊申岁三月乙巳朔日食三月交二十六日八七三月朔四十一日六一乙巳未时是三月乙巳朔未时日食大厯十年乙夘岁十月辛酉朔日食十月交二十七日十月朔五十七日五辛酉午时是十月辛酉朔午时日食大厯十四年己未岁七月戊辰朔日食十二月丙寅晦日食七月交○刻○二分七月朔四日八三二戊辰戌时十五年正月交一十三日九一十五年正月朔二日六一丙寅未时推大厯十四年七月戊辰朔戌初刻日食大厯十五年正月丙寅朔未时日食非十四年十二月晦德宗贞元二年丙寅岁八月辛巳朔日食纲目不载是年食九月交一十三日五三九月朔二十三日五九丁亥未时推是年九月丁亥朔未时日食八月戊午朔无辛巳亦不入交不应食纲目不载是年食亦非贞元三年丁夘岁八月朔日食见纲目史无八月交一十四日一二八月朔一十六日八七庚辰戌时推是年八月庚辰朔戌正刻合朔日入酉正刻不见其亏矣史无是贞元五年己巳岁正月甲辰朔日食纲目无正月交二十六日三三正月朔四十日四四甲辰巳时是正月甲辰朔巳时日食纲目漏贞元八年壬申岁十一月壬子朔日食十一月交二十六日四五十一月朔四十八日三五壬子辰时是十一月壬子朔辰时日食贞元十二年丙子岁八月己未朔日食八月交二十六日五六八月朔五十五日五五己未未时是八月己未朔未时日食贞元十七年辛巳岁五月壬戌朔日食五月交七刻八五月朔五十八日三六壬戌辰时是五月壬戌朔辰时日食宪宗元和三年戊子岁七月辛巳朔日食七月交一十三日六七月朔一十七日四辛巳巳时是七月辛巳朔巳时日食元和十年乙未岁八月己亥朔日食八月交二十六日一四八月朔三十五日四八己亥午时是八月己亥朔午时日食元和十三年戊戌岁六月癸丑朔日食六月交二十六日六四六月朔四十九日六二癸丑未时是六月癸丑朔未时日食穆宗长庆二年壬寅岁四月辛酉朔日食四月交二十六日七六四月朔五十七日五一辛酉午时是四月辛酉朔午时日食长庆三年癸夘岁九月壬子朔日食纲目无九月交一十四日九月朔四十八日三壬子辰时是九月壬子朔辰时日食纲目漏文宗太和八年甲寅岁二月壬午朔日食二月交一十三日八二月朔一十八日二二壬午夘时是二月壬午朔夘时日食开成元年丙辰岁正月辛丑朔日食正月交一十二日七正月朔三十七日二五辛丑夘时是正月辛丑朔夘时日食武宗会昌三年癸亥岁二月庚申朔日食二月交二十六日二三二月朔五十六日三九庚申巳时是二月庚申朔巳时日食会昌四年甲子岁二月甲寅朔日食纲目书三月朔二月交二十六日八三二月朔五十日四一甲寅巳时是二月甲寅朔巳时日食纲目载三月朔非会昌五年乙丑岁七月丙午朔日食七月交一十四日一四七月朔四十二日三三四丙午巳时是七月丙午朔巳时日食会昌六年丙寅岁十二月戊辰朔日食十二月交二十六日三四十二月朔四日四七戊辰午时是十二月戊辰朔午时日食宣宗大中二年戊辰岁五月己未朔日食五月交一十二日六五五月朔五十五日三九己未巳时是五月己未朔巳时日食大中八年甲戌岁正月丙戌朔日食正月交一十二日六六正月朔二十二日六六丙戌申时是正月丙戌朔申时日食懿宗咸通四年癸未岁七月辛卯朔日食七月交一十四日一七月朔二十七日六六辛夘申时是七月辛夘朔申时日食僖宗干符三年丙申岁九月乙亥朔日食推是年九月朔不入交不应食干符四年丁酉岁四月壬申朔日食推是年四月壬申日丑时合朔夜食不书史误干符六年己亥岁四月庚申朔日食推是年四月朔过交不应食文德元年戊申岁三月戊戌朔日食既三月交一十三日七三月朔三十四日四八戊戌午时是三月戊戌朔午时日食昭宣帝天祐元年甲子岁十月辛夘朔日食十月交二十六日三十月朔二十七日五六辛夘未时是十月辛夘朔未时日食天祐三年丙寅岁四月癸未朔日食四月交一十三日六五四月朔一十九日七九癸未酉时是四月癸未朔酉时日食开元间二当食不食见大衍日食议开元十二年甲子岁七月戊午朔日食七月交二十六日七一七月朔五十四日三戊午辰时是七月戊午朔辰时日食开元十三年乙丑岁十二月庚戌朔日食十二月交一十四日十二月朔四十六日六三庚戌申时是十二月庚戌朔申时日食唐厯较汉厯稍宻而有一晦食一二日食者推龙朔之五月晦实六月朔麟徳之闰三月二日实四月一日也日官误矣若开元十二年七月朔十三年十二月朔二日食僧一行日食议于厯当食候之不食授时推亦当食则日度之失行也五季梁太祖开平三年己巳岁二月朔日食见纲目二月交一十三日一六二月朔三十三日三一丁酉辰时是二月丁酉朔辰时日食史漏干化元年辛未岁正月丙戌朔日食正月交一十四日三八正月朔二十二日四四丙戌巳时是正月丙戌朔巳时日食少帝龙德元年辛巳岁六月朔日食见纲目六月交一十四日一六月朔五十一日四二乙夘巳时是六月乙夘朔巳时日食史漏龙德三年癸未岁十月辛未朔日食十月交二十六日九二十月朔七日五一辛未午时是十月辛未朔午时日食唐庄宗同光三年乙酉岁四月癸亥朔日食推是年四月癸亥朔丑时夜食不书明帝天成元年丙戌岁八月乙酉朔日食八月交二十六日四三八月朔二十一日三一乙酉辰时是八月乙酉朔辰时日食天成二年丁亥岁八月己夘朔日食八月交二十七日八月朔一十五日四九己夘午时是八月己夘朔午时日食天成三年戊子岁二月朔日食见纲目五月丁丑其日阴云不见百官称贺见史纲目无五月二月交一十三日七三二月朔一十三日三三戊寅辰时推是年二月戊寅朔辰时日食以推五月朔丁巳无丁丑交泛二十日不入食限史称五月丁丑非史漏二月纲目无五月是长兴元年庚寅岁六月癸巳朔日食六月交二十六日五四六月朔二十九日三二癸巳辰时是六月癸巳朔辰时日食长兴二年辛夘岁十一月甲申朔日食十一月交一十三日八五十一月朔二十日四甲申巳时是十一月甲申朔巳时日食晋高祖天福二年丁酉岁正月乙夘朔三日日食纲目不书朔正月交二十六日一六正月朔五十一日二五乙夘夘时推是年正月一日乙夘夘时合朔日食史书朔三日纲目不书朔皆非天福三年戊戌岁正月戊申朔日食纲目不书朔正月交二十六日七七正月朔四十五日八一己酉酉时推是年正月己酉朔酉时日食非戊申朔纲目不书朔亦非天福四年己亥岁七月庚子朔日食闰六月交一十四日闰六月朔三十六日六七庚子申时推是年六月晦己亥大暑闰六月朔庚子申时合朔七月朔己巳午时处暑夜子初刻合朔闰六月无中气乃闰六月庚子朔申时日食非七月朔天福七年壬寅岁四月甲寅朔日食纲目无闰四月交一十三日五八闰四月朔五十日二七甲寅夘时推是年四月晦癸丑亥时小满闰四月甲寅朔夘时合朔五月朔癸未亥时合朔五月二日甲申夏至则闰四月无中气是闰四月甲寅朔夘时日食非四月朔纲目漏天福八年癸夘岁四月戊申朔日食四月交一十四日一九四月朔四十四日三九戊申巳时是四月戊申朔巳时日食少帝开运元年甲辰岁九月庚午朔日食九月交二十六日三六九月朔六日六九庚午申时是九月庚午朔申时日食开运二年乙巳岁八月甲子朔日食八月交二十七日八月朔六十刻甲子未时是八月甲子朔未时日食开运三年丙午岁二月壬戌朔日食二月交一十三日七二月朔五十八日七一壬戌酉时是二月壬戌朔酉时日食汉隠帝干祐元年戊申岁六月戊寅朔日食六月交二十六日五六月朔一十四日七一戊寅酉时是六月戊寅朔酉时日食干祐二年己酉岁六月癸酉朔日食六月交二十七日一六月朔九日二九癸酉夘时是六月癸酉朔夘时日食干祐三年庚戌岁十一月甲子朔日食十一月交一十四日四二十一月朔二十八刻甲子夘时是十一月甲子朔夘时日食周太祖广顺二年壬子岁四月丙戌朔日食四月交二十六日六四月朔二十二日二三丙戌夘时是四月丙戌朔夘时日食广顺二年壬子岁冬十一月己夘日南至辽行拜日礼见纲目冬至一十五日三八是十一月二十七日己夘巳时初一刻冬至周世宗仍称显德二年乙夘岁二月朔日食见纲目二月交二十六日一三二月朔三十六日六六庚子申时是二月庚子朔申时日食史漏显德五年戊午岁五月朔日食见纲目七月交一十四日六七月朔一十六日六六庚辰申时推是年七月庚辰朔申时日食五月不入交不应食纲目非史漏五代史司天考论曰五代乱世文字不完史官所记亦有详略夫所记且略能保不误耶其交食有漏者非者失闰者无惑其然古今律厯考卷二十四
## 卷二十五
钦定四库全书
古今律厯考卷二十五 明 邢云路 撰歴代日食六歴代日食厯宋宋太祖建隆元年庚申岁五月己亥朔日食五月交一十三日五五五月朔三十五日五七己亥未时是五月己亥朔未时日食建隆二年辛酉岁四月癸巳朔日食四月交一十四日一五四月朔二十九日七癸巳申时是四月癸巳朔申时日食干徳三年乙丑岁二月壬寅朔日食验天不食二月交一十四日二七二月朔三十七日四六壬寅午时推是年二月壬寅朔午时日食(此当食不食之类议在总详)干徳五年丁夘岁六月戊午朔日食六月交二十七日六月朔五十四日六二戊午未时是六月戊午朔未时日食开寳元年戊辰岁十二月己酉朔日食纲目无十二月交一十四日三八十二月朔四十五日六九己酉申时是十二月己酉朔申时日食纲目漏开寳三年庚午岁四月辛未朔日食四月交二十六日五八四月朔七日五六辛未未时是四月辛未朔未时日食开寳四年辛未岁十月癸亥朔日食十月交一十三日八九十月朔五十九日四五癸亥巳时是十月癸亥朔巳时日食开寳五年壬申岁九月丁巳朔日食九月交一十四日五九月朔五十三日四二丁巳巳时是九月丁巳朔巳时日食开寳七年甲戌岁二月庚辰朔日食二月交二十六日七二月朔二十六日三一庚辰辰时是二月庚辰朔辰时日食开寳八年乙亥岁七月辛未朔日食七月交一十四日七月朔七日二八辛未夘时是七月辛未朔夘时日食太宗太平兴国二年丁丑岁十一月丁亥朔日食既十一月交二十六日八一十一月朔二十三日六七丁亥申时是十一月丁亥朔申时日食太平兴国六年辛巳岁九月乙未朔日食九月交二十六日九三九月朔三十一日二乙未寅时是九月乙未朔寅正刻日食则卯犹见其初亏太平兴国七年壬午岁三月癸巳朔日食十二月朔日食十二月见纲目史无三月交一十三日六二三月朔二十九日三二癸巳辰时推是年三月癸巳朔辰时日食十二月朔不入交不应食纲目非太平兴国八年癸未岁二月戊子朔日食推是年闰正月二月丁亥朔亥时夜食不书二月初二戊子日春分史载二月戊子朔日食非雍熙二年乙酉岁十二月庚子朔日食十二月交一十三日七四十二月朔三十六日四九庚子午时是十二月庚子朔午时日食雍熈三年丙戌岁六月戊戌朔日食六月交四十四刻六月朔三十四日二二戊戌寅时是六月戊戌朔寅正刻日食淳化二年辛夘岁闰二月辛未朔日食闰二月交二十六日闰二月朔七日二六辛未夘时是闰二月辛未朔夘时日食淳化三年壬辰岁二月乙丑朔日食二月交二十六日六六二月朔一日六七乙丑申时是二月乙丑朔申时日食淳化四年癸巳岁二月己未朔日食八月朔日食八月食见纲目史无二月交六刻二二月朔五十五日七五己未酉时八月交一十三日九七八月朔五十二日六六丙辰申时是二月己未朔酉时日食八月丙辰朔申时日食史无八月漏淳化五年甲午岁十二月戊寅朔日食是日阴雪不见与不食同群臣称贺十二月交二十六日一七十二月朔一十四日四戊寅巳时是十二月戊寅朔巳时日食阴雪不见在天未甞不食也乌得与不食同群臣称贺谄也真宗咸平元年戊戌岁五月戊午朔日食十月丙戌朔日食五月交一十四日六九五月朔五十四日六九戊午申时十月交二十六日二八十月朔二十二日五六丙戌未时是五月戊午朔申时日食十月丙戌朔未时日食咸平二年己亥岁九月庚辰朔日食九月交二十六日八九九月朔一十六日五三庚辰午时是九月庚辰朔午时日食咸平三年庚子岁三月戊寅朔日食三月交一十三日五九三月朔一十四日八二戊寅戌时是三月戊寅朔戌初刻日食则酉犹见其亏咸平五年壬寅岁七月甲午朔日食七月交二十六日四七月朔三十日六六甲午申时是七月甲午朔申时日食景德元年甲辰岁十二月庚辰朔日食十二月交一十四日三一十二月朔一十六日四二庚辰巳时是十二月庚辰朔巳时日食景德三年丙午岁五月壬寅朔日食云阴不见五月交二十六日五五月朔三十八日一一壬寅丑时推是年五月壬寅朔丑正刻合朔夜食不书宋误景德四年丁未岁五月丙申朔日食十月甲午朔日食云阴不见纲目无十月五月交二十七日一二五月朔三十二日六六丙申申时推是年五月丙申朔申时日食其十月甲午朔则寅初刻夜食不书纲目删之是也大中祥符二年己酉岁三月丙辰朔日食阴雨不见三月交二十六日三月朔五十二日六六丙辰申时是三月丙辰朔申时日食大中祥符五年壬子岁八月丙申朔日食八月交一十四日五四八月朔三十二日五五丙申未时是八月丙申朔未时日食大中祥符六年癸丑岁十二月戊午朔日食十二月交二十六日七四十二月朔五十四日三八戊午巳时是十二月戊午朔巳时日食大中祥符七年甲寅岁十二月癸丑朔日食验天不食纲目书司天监奏日食不应群臣表贺十二月交一十四刻十二月朔四十九日三刻癸丑子时推是年十二月癸丑朔子时夜食不书司天监误推在昼群臣表贺非大中祥符八年乙夘岁六月己酉朔日食六月交一十四日六月朔四十五日五己酉午时是六月己酉朔午时日食天禧三年己未岁三月戊午朔日食三月交一十四日一六三月朔五十四日二戊午巳时是三月戊午朔巳时日食天禧五年辛酉岁七月甲戌朔当食既测验及四分止七月交二十六日九七七月朔一十日五甲戌午时是七月甲戌朔午时日食干兴元年壬戌岁七月甲子朔日食几尽七月交四十六刻七月朔四日八戊辰戌时推是年七月戊辰朔戌初刻日食则酉犹见其亏天正经朔得壬辰以步至七月戊辰合朔是岁并无甲子朔史载七月甲子朔相差五日仁宗天圣二年甲子岁五月丁亥朔日当食候之不食司天监奏日食不应中书奉表称贺五月交二十六日四八五月朔二十三日四二丁亥巳时推是年五月丁亥朔巳时日食天圣四年丙寅岁十月甲戌朔日食十月交一十四日三九十月朔九日三九癸酉巳时推是年十月癸酉朔巳时日食非甲戌朔天圣六年戊辰岁三月丙申朔日食三月交二十六日五九三月朔三十二日二二丙申卯时是三月丙申朔夘时日食天圣七年己巳岁八月丁亥朔日食八月交一十三日九八月朔二十三日二七丁亥夘时是八月丁亥朔夘时日食明道二年癸酉岁六月甲午朔日食六月交一十四日六月朔三十日八二四甲午戌时是六月甲午朔戌时日食则酉时及见其亏景祐三年丙子岁四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半候之不食纲目无四月交一十三日五二四月朔四十五日二七己酉夘时推是年四月己酉朔夘时日食宋人候之不食然日食三分以下不救宝元元年戊寅岁正月丙辰朔日食六分申一刻复纲目无推是年正月经朔戊戌无丙辰交泛十日不入食限史载食六分申一刻复非也纲目删之是康定元年庚辰岁正月丙辰朔日食正月交一十三日六三正月朔五十二日五五丙辰未时推是年十二月晦丙戌大寒闰十二月朔丁亥正月丙辰朔雨水是日未时日食合戊寅年六月日官杨惟德等言来岁闰十二月则庚辰岁正月朔日当食请移闰于庚辰则日食在前正月之晦帝曰闰所以正天时而授民事其可曲避乎不许至是知谏院富弼请罢宴彻乐就馆赐北使酒食执政不可弼曰万一契丹行之岂不为朝廷羞既而闻契丹罢宴帝深悔之嗟乎日官所司何事而欲移腊于春易朔为晦谓钦天何执政之见亦犹之乎日官也庆厯二年壬午岁六月壬申朔日食五分至酉六刻带二分入浊不见六月交二十六日四四六月朔八日七六壬申酉时是六月壬申朔酉正刻日食带食入地合庆厯三年癸未岁五月丁夘朔日食五月交二十七日五月朔三日二一丁夘夘时是五月丁夘朔夘时日食庆厯四年甲申岁十一月戊申朔日当食不食纲目无十一月交一十四日三五十一月朔五十四日六九戊午申时推是年十一月戊午朔申时日食宋厯误推戊申朔夫戊午去戊申十日而以为日当食不食耶即此一事可证宋时当食不食有是与非之辨庆厯五年乙酉岁四月丁亥朔日应食而云晦不见四月交二十五日九五四月朔二十三日二一丁亥夘时是四月丁亥朔夘时日食庆厯六年丙戌岁三月辛巳朔日食四分半申三刻复三月交二十六日五五三月朔一十七日五七辛巳未时是三月辛巳朔未时日食则申时复合皇祐元年己丑岁正月甲午朔日食正月交二十六日正月朔三十日四八甲午午时是正月甲午朔午时日食皇祐四年壬辰岁十一月壬寅朔日食食二分弱未正一刻复十一月交二十六日一七十一月朔三十八日五四壬寅午时是十一月壬寅朔午时日食则未时复合皇祐五年癸巳岁十月丙申朔日食午正一刻食至四分半十月交二十六日七八十月朔三十二日五二丙申午时是十月丙申朔午时日食至和元年甲午岁四月甲午朔日食九分余缺于西南申正一刻甚四月交一十三日四八四月朔三十日七甲午申时是四月甲午朔未时日食则申时食甚合纲目书是日用牲于社按春秋庄公二十五年辛未朔日有食之鼓用牲于社传曰诸侯用币于社伐鼓于朝退而自省然则鼓用牲于社何以书讥不鼓于朝而鼓于社又用牲则非礼矣夫鲁以诸侯之国用牲于社春秋讥之宋以天子行诸侯之礼奚取焉纲目揭而书之所以深讥之也嘉祐元年丙申岁八月庚戌朔日食二分八月交二十六日二九八月朔四十六日六七庚戌申时是八月庚戌朔申时日食嘉祐三年戊戌岁八月己亥朔日食三分半八月交二十九刻八月朔三十五日三二己亥辰时是八月己亥朔辰时日食嘉祐四年己亥岁正月丙申朔日食食三分余未初三刻复占曰受岁而食王者恶之日官欲改戊戌年十二月闰以避之诏不许纲目书是日用牲于社正月交一十四日二正月朔三十二日五丙申午时是正月丙申朔午时日食则未时复合日官欲移闰以避之仁宗用牲于社下从诸侯之制君臣胥失之矣纲目书用牲于社讥之也嘉祐六年辛丑岁六月壬子朔日食未初刻司天言当食六分食四分入云而雨不见群臣欲贺司马光谏止之六月交二十七日六月朔四十八日五六壬子未时是六月壬子朔未时日食司天言当食六分及候之食四分入云而雨不见何可贺之有而群臣欲称贺耶司马光言京师不见四方必有见者且云食不满分乃厯官术数不精当治其罪皆至言也英宗治平三年丙午岁九月朔日食见纲目史无九月交一十四日四三九月朔四十八日五六壬子未时是九月壬子朔未时日食史漏神宗熈宁元年戊申岁正月甲戌朔日食正月交二十六日八二正月朔一十日四九甲戌午时是正月甲戌朔午时日食熈宁二年己酉岁七月乙丑朔日食太史言食八分阴云不见七月交一十三日九四七月朔一日三四乙丑辰时是七月乙丑朔辰时日食熈宁六年癸丑岁四月甲戌朔日食阴云不见群臣称贺从之四月交一十四日四月朔十日二七甲戌夘时是四月甲戌朔夘时日食史载先是司天奏四月朔日当食帝自三月即避殿减膳降天下罪囚一等至是云阴不见王安石等进贺以为盛德所感乞御殿复膳从之夫君方向善而引入于非安石之罪可胜诛哉熈宁八年乙夘岁八月庚寅朔日食阴云不见八月交二十六日八六八月朔二十六日四二庚寅巳时是八月庚寅朔巳时日食元丰元年戊午岁六月癸夘朔太史言当食验之不食纲目载食六月交二十六日三七六月朔三十九日二六癸夘夘时是六月癸夘朔夘时日食史云验之不食而纲目载食想当时原食也元丰三年庚申岁十一月己丑朔日食十一月交一十四日二八十一月朔二十五日三己丑辰时是十一月己丑朔辰时日食元丰四年辛酉岁十一月癸未朔太史言日当食验之不食十一月交一十四日八九推是年十一月朔交过食限不应食厯官误推当食騐之不食是元丰五年壬戌岁四月壬子朔日食阴云不见推是年四月壬子朔寅时夜食不书史误元丰六年癸亥岁九月癸夘朔日食九月交一十三日七九九月朔三十九日三一癸夘辰时是九月癸夘朔辰时日食哲宗元祐二年丁夘岁七月庚戌朔日食阴云不见七月交一十三日九七月朔四十六日六五庚戌申时是七月庚戌日申时日食元祐六年辛未岁五月己未朔日食五月交一十四日五月朔五十五日五八己未未时是五月己未朔未时日食绍圣元年甲戌岁三月壬申朔日食三月交一十三日五二三月朔八日五七壬申未时是三月壬申朔未时日食绍圣二年乙亥岁二月丁夘朔太史言日当食验之不食二月交一十四日一三二月朔三日一五推是年二月丁夘寅初刻夜食不书太史误推在昼验天不食是绍圣四年丁丑岁六月癸未朔日食云阴不见推是年六月癸未朔寅初刻合朔夜食不书史误元符三年庚辰岁四月丁酉朔日食四月交二十六日四四月朔三十三日四七丁酉巳时是四月丁酉朔巳时日食徽宗建中靖国元年辛巳岁四月辛夘朔日食阴云不见四月交一十五日四六四月朔二十七日四一辛夘巳时是四月辛夘朔巳时日食崇宁五年丙戌岁七月朔日当食不亏十二月朔日当食不亏群臣称贺见纲目七月交一十四日四七七月朔二十六日四九庚寅午时十二月交二十六日十二月朔五十四日五六戊午未时推是年七月庚寅朔午时日食十二月戊午朔未时日食纲目书不亏史俱不载大观元年丁亥岁十一月壬子朔日食纲目闰十月闰十一月交二十六日六七闰十一月朔四十八日五六壬子未时推是年闰十一月壬子朔未时日食盖是年闰十一月壬子日午时合朔是日冬至宋厯误闰十月大观二年戊子岁五月庚戌朔日食五月交一十三日三七五月朔四十六日五庚戌午时是五月庚戌朔午时日食大观四年庚寅岁九月丙寅朔日食九月交二十六日一八九月朔二日六六丙寅申时是九月丙寅朔申时日食政和三年癸巳岁三月壬子朔日食三月交一十四日一三月朔四十八日五五壬子未时是三月壬子朔未时日食政和五年乙未岁七月戊辰朔日食七月交二十六日九七月朔四日四八戊辰午时是七月戊辰朔午时日食重和元年戊戌岁五月壬午朔日食五月交二十六日四五月朔一十八日六七壬午申时是五月壬午朔申时日食宣和元年即金太祖天辅三年己亥岁四月丙子朔日食四月交二十七日四月朔一十二日七八丙子酉时是四月丙子朔酉时日食宣和二年即金天辅四年庚子岁金书十月戊辰朔日食宋无十月交一十四日三二十月朔四日五五戊辰未时是十月戊辰朔未时日食宋漏宣和四年即金天辅六年壬寅岁金书二月庚寅朔日食宋无二月交二十六日五二二月朔二十六日五五庚寅未时是二月庚寅朔未时日食宋漏宣和五年即金天辅七年癸夘岁八月辛巳朔日食云阴不见八月交一十三日八三八月朔一十七日二四辛巳夘时是八月辛巳朔夘时日食宋太祖至徽钦都汴京凡一百六十七年载诸日食其合者与误者无论乃其当食不食者有十干德三年二月大中祥符七年十二月天圣二年五月景祐三年四月庆厯四年十一月元丰元年六月四年十一月绍圣二年二月崇宁五年七月十二月皆当食验天不食者也夫自厯代以来凡载当食不食者以法布筭率皆原不当食何宋以百六十余年之间而遂有当食不食至十数之多也考僧一行日食议云开元十二年七月戊午朔十三年十二月庚戌朔俱推当食验天不食以法推果然然则日之在天原有当食不食日月失行之致也然间一失行百分之一则有之不应如宋之太数也者反复详推乃有是与非之辨焉法推大中祥符七年十二月朔夜食绍圣二年二月朔夜食元丰四年十一月朔过交皆原不当食者也景祐三年四月史书食二分余凡不及三分不救与不食同元丰元年六月朔史书未食而纲目载食想当时原食也崇宁五年七月朔十二月朔史俱不载而纲目有之想当时日官误推不食既而见其食则讳而削之未可知也若庆厯四年十一月则以戊午食误推戊申食相隔十日以为当食不食舛也甚矣惟干德三年二月朔天圣二年五月朔则真当食不食为日度失行矣是其当食不食才二非真十也当食不食止二乃宋厯槩书十数若谓天数常乖可饰已误布之短者然而日偶失行旋复其常以法布筭千载亡易也宋人步厯不精动称天行无定或是已寃天或援天从已躱闪盖藏载未必实当食不食动欲称贺日暂入云亦辄称贺如夜食如过交亦曰验天不食步干兴元年七月以戊辰推甲子相差五日步庆厯四年十月以戊午推戊申相差十日夫日且差而何有于时刻则其干德三年二月天圣二年五月之二事或亦误布未可知倘其误步在夘辰候已不食及至当食之时在己午乃为云雨掩蔽彼亦曰当食不食恐或有之耳何则宋日官工弥缝甚至于康定元年嘉祐四年两正月朔两露章以请欲移闰以避之是可为也孰不可为也古今律厯考卷二十五
## 卷二十六
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古今律厯考卷二十六 明 邢云路 撰厯代日食七厯代日食厯宋(南渡)髙宗建炎三年即金太宗天㑹七年己酉岁九月丙午朔日食九月交二十六日七五九月朔四十二日四一丙午巳时是九月丙午朔巳时日食绍兴五年即金天㑹十三年乙卯岁正月乙巳朔日食金书丙午朔正月交一十四日一七正月朔四十一日四五乙巳巳正四刻合朔是正月乙巳朔巳正四刻食甚金书丙午非宋日官言亏在辰正常州布衣陈得一言亏在巳初今推巳正四刻食甚则亏在巳初得一为是绍兴七年即金天㑹十五年丁巳岁二月癸巳朔日食金无推是年二月交泛二十日不应食金无是绍兴十三年即金皇统三年癸亥岁十二月癸未朔日食雾云不见秦桧率百官称贺十二月交二十六日六十二月朔一十九日二二癸未夘时推是年十二月癸未朔夘时日食夫既食矣秦奸之贺何为哉史称八年至十二年日食多在夜史官蒙蔽不书夫从古夜食不书安得谓史官蒙蔽此不知天之论也绍兴十五年即金皇统五年乙丑岁六月乙亥朔日食六月交一十三日九六月朔一十一日三八乙亥巳时是六月乙亥朔巳时日食绍兴十七年即金皇统七年丁夘岁十月辛夘朔日食金无十月交二十六日七十月朔二十七日七八辛夘酉正刻是十月辛夘朔酉正刻日食十月酉正刻日入矣虽见食不多绍兴十八年即金皇统八年戊辰岁四月戊子朔日食〔？〕云不见四月交一十三日四四月朔二十四日五三戊子午时是四月戊子朔午时日食绍兴十九年即金皇统九年己巳岁三月癸未朔日食隂云不见三月交一十四日三月朔一十九日二一癸未夘时是三月癸未朔夘时日食绍兴二十四年即金废主亮真元二年甲戌岁五月癸丑朔日食霒云不见五月交二十六日三四五月朔四十九日二一癸丑夘时是五月癸丑朔夘时日食绍兴二十五年即金真元三年乙亥岁五月丁未朔日食霒云不见五月交二十六日九五五月朔四十三日二二丁未夘时是五月丁未朔夘时日食绍兴二十八年即金正隆三年戊寅岁三月辛酉朔日食霒云不见始降诏免贺犹宣付史馆金候之不见三月交二十六日四五三月朔五十七日二二辛酉夘时是三月辛酉朔夘时日食云隂免贺宣付史馆是为得之绍兴三十年即金正隆五年庚辰岁八月丙午朔日食八月交一十四日三七八月朔四十二日四七丙午午时是八月丙午朔午时日食绍兴三十一年即金正隆六年辛巳岁正月甲戌朔日食太史言日当食而不食帝不受朝金无正月交二十五日九六正月朔一十日二一甲戌夘初三刻推是年正月甲戌朔夘初三刻合朔正月日出夘正三刻此犹未出也况交泛不及二十六日即食分数亦少则未明复圆矣金不书是太史上言日当食而不食占人君修徳罪已察奸礼贤寛恩布徳上动于天则有食而不食是说出何故典帝不受朝史官当知愧矣绍兴三十二年即金世宗大定二年壬午岁正月戊辰朔日食正月交二十六日五七正月朔四日五二戊辰午时是正月戊辰朔午时日食金伐鼓用币凡遇日月亏食禁酒乐屠宰一日夫伐鼓用币礼也宋用牲于社反不如金之有礼矣完颜世宗其亦贤乎孝宗隆兴元年即金大定三年癸未岁六月庚申朔日食六月交一十三日八七六月朔五十六日六九庚申申时是六月庚申朔申时日食隆兴二年即金大定四年甲申岁六月甲寅朔日食霒云不见六月交一十四日四八六月朔五十日七甲寅申时是六月甲寅朔申时日食乾道三年即金大定七年丁亥岁金书四月戊辰朔日食宋无金主避正殿减膳伐鼓应天门内百官各于本司庭立明复乃止四月交一十三日九九四月朔四日六七戊辰申时是四月戊辰朔申时日食宋漏金避殿减膳伐鼓于朝百官庭立礼也乾道五年即金大定九年己丑岁八月甲申朔日食霒云不见八月交二十六日八八月朔二十日四四甲申巳时是八月甲申朔巳时日食乾道九年即金大定十三年癸巳岁五月壬辰朔日食霒云不见五月交二十六日九五月朔二十八日五壬辰午时是五月壬辰朔午时日食淳熈元年即金大定十四年甲午岁十一月甲申朔日食霒云不见十一月交一十四日二二十一月朔二十日六二甲申未时是十一月甲申朔未时日食淳熈三年即金大定十六年丙申岁三月丙午朔日食霒云不见少选云退微缺时有自北庭回者见食三月交二十六日四二三月朔四十二日四九丙午午时是三月丙午朔午时日食淳熈四年即金大定十七年丁酉岁九月丁酉朔日食霒云不见九月交一十三日七二九月朔三十三日一一丁酉丑时推是年九月丁酉朔丑时夜食不书淳熈十年即金大定二十三年癸夘岁十一月壬戌朔日食十一月交二十六日六五十一月朔五十八日四二壬戌巳时是十一月壬戌朔巳时日食淳熈十五年即金大定二十八年戊申岁八月甲子朔日食八月交一十六日八月朔四十九日甲子午时是八月甲子朔午时日食淳熈十六年即金大定二十九年己酉岁二月辛酉朔日食霒云不见二月交一十四日二月朔五十七日四四辛酉巳时是二月辛酉朔巳时日食宁宗庆元元年即金章宗明昌六年乙夘岁三月丙戌朔日食三月交二十六日九九三月朔二十二日四九丙戌午时是三月丙戌朔午时日食庆元四年即金承安三年戊午岁正月己亥朔日食霒云不见纲目无正月交二十六日四九正月朔三十五日二五己亥夘时是正月己亥朔夘时日食纲目漏庆元五年即金承安四年己未岁正月癸巳朔日食霒云不见金与纲目无正月交二十七日一正月朔二十九日六四癸巳申时是正月癸巳朔申时日食金与纲目漏庆元六年即金承安五年庚申岁六月乙酉朔日当食太史言夜食不见是日霒云金史无金有十一月癸丑日食六月交一十四日四一六月朔二十一日一七乙酉寅时十一月交二十六日十一月朔四十九日四三癸丑巳时推是年六月乙酉朔寅正初刻合朔日食则日未出已复圆矣是日临安霒云不见金史不书食是其十一月癸丑朔巳时日食则金书是宋漏嘉泰二年即金太和二年壬戌岁五月甲辰朔日食五月交一十三日三五月朔四十日四九甲辰午时是五月甲辰朔午时日食嘉泰三年即金太和三年癸亥岁四月己亥朔日当食而太史局言日体圆明不见亏分凡言不见亏分者食不及一分也金史不书是食四月交一十三日九二四月朔三十五日一九己亥夘时推是年四月己亥朔寅正刻日食则日出将复圆少见其亏耳故宋史云不见亏分者不及一分也金史不书亦以亏少即今三分以下不救之意开禧二年即金泰和六年丙寅岁二月壬子朔日当食太史言不见亏分二月交一十三日四二月朔四十八日七三壬子酉时是二月壬子朔酉时日食太史云不见亏分然金史书食想原食也嘉定二年即金主永济大安元年己巳岁金书十二月辛酉朔日食宋无推是年十二月庚申朔亥时夜食不书金非嘉定三年即金大安二年庚午岁六月丁巳朔日食金无六月交二十三日六月朔五十三日二五丁巳夘时是六月丁巳朔夘时日食金漏嘉定四年即金大安三年辛未岁十一月己酉朔日当食太史言不见亏分十一月交一十四日七五十一月朔四十五日四一己酉巳时推是年十一月己酉朔巳时日食是日不见亏分是为日度失行嘉定七年即金宣宗真祐二年甲戌岁九月壬戌朔日食金书大星皆见九月交一十四日二九月朔五十八日四六壬戌午时是九月壬戌朔午时日食嘉定九年即金真祐四年丙子岁二月甲申朔日食金又书闰七月壬午朔日食二月交二十六日四二月朔二十日六二甲申未时闰七月交一十三日一七闰七月朔一十八日二九壬午夘时推是年二月甲申朔未时日食闰七月壬午朔夘时日食宋漏闰七月嘉定十年即金兴定元年丁丑岁七月丙子朔日食七月交一十三日七七月朔一十二日四九丙子午时是七月丙子朔午时日食嘉定十一年即金兴定二年戊寅岁七月庚午朔日食一分其日正午或见或不见太史局言是为阳盛隂微日体不亏纲目无七月交一十四日三七月朔六日四九四庚午午时是七月庚午朔午时日食宋史云食一分一分不救嘉定十四年即金兴定五年辛巳岁五月甲申朔日食五月交一十三日八五月朔二十日二七甲申夘时是五月甲申朔夘时日食嘉定十六年即金元光二年癸未岁九月庚子朔日食九月交二十六日六九月朔三十六日四七庚子午时是九月庚子朔午时日食理宗宝庆三年即金正大四年丁亥岁六月戊申朔日食金无六月交二十六日八六月朔四十四日二九戊申夘时是六月戊申朔夘时日食金漏绍定元年即金正大五年戊子岁六月壬寅朔日食金史无金有十二月庚子朔食六月交二十日六月朔三十八日五五壬寅未时十二月交一十四日一十二月朔三十六日六八庚子申时推是年六月壬寅朔未时日食十二月庚子朔申时日食金漏六月宋漏十二月绍定六年即金天兴二年癸巳岁九月壬寅朔日食霒云不见金无九月交一十四日八三推是年九月朔过交不应食金史无是端平二年乙未岁二月甲子朔日当食不亏二月交二十七日二月朔三十七日甲子辰时是二月甲子朔辰时日食嘉熈元年丁酉岁十二月戊寅朔日食十二月交二十六日五十二月朔一十四日四八戊寅午时是十二月戊寅朔午时日食淳祐二年壬寅岁九月庚辰朔日食九月交五刻九月朔一十六日五庚辰午时是九月庚辰朔午时日食淳祐三年癸夘岁三月丁丑朔日食三月交一十三日九三月朔一十三日三九丁丑巳时是三月丁丑朔巳时日食淳祐五年乙巳岁七月癸巳朔日食纲目无七月交二十六日七七月朔二十九日五九癸巳未时是七月癸巳朔未时日食纲目漏淳祐六年丙午岁正月辛夘朔日食正月交一十三日四正月朔二十七日六辛夘未时是正月辛夘朔未时日食淳祐九年己酉岁四月壬寅朔日食四月交二十六日八四月朔三十八日四二壬寅巳时是四月壬寅朔巳时日食淳祐十二年壬子岁二月乙夘朔日食二月交二十六日三二月朔五十一日二二乙夘夘时是二月乙夘朔夘时日食宝祐元年癸丑岁二月己酉朔日食二月交二十六日九九二月朔四十五日七五己酉酉时是二月己酉朔酉时日食景定元年庚申岁三月戊辰朔日食三月交一十三日三三月朔四日六八戊辰未时是三月戊辰朔未时日食景定二年辛酉岁即蒙古世祖中统二年三月壬戌朔日食元史同纲目载二月朔三月交一十三日九三月朔五十八日七三壬戌酉时是三月壬戌朔酉时日食纲目载二月朔误度宗咸淳元年乙丑岁即蒙古至元二年正月辛未朔日食正月交一十四日正月朔七日三三辛未辰时是正月辛未朔辰时日食咸淳三年丁夘岁即蒙古至元四年五月丁亥朔日食五月交二十六日八五月朔二十三日七四丁亥酉时是五月丁亥朔酉时日食咸淳四年戊辰岁即蒙古至元五年十月戊寅朔日食十月交一十四日一五十月朔一十四日五七戊寅未时是十月戊寅朔未时日食咸淳六年庚午岁即蒙古至元七年三月庚子朔日食纲目载二月朔三月交二十六日三五三月朔三十六日五九庚子未时是三月庚子朔未时日食纲目载二月朔非咸淳七年辛未岁即蒙古至元八年八月壬辰朔日食八月交一十三日六六八月朔二十八日三三壬辰辰时是八月壬辰朔辰时日食咸淳八年壬申岁即元至元九年八月丙戌朔日食八月交一十四日二七八月朔二十二日三一丙戌辰时是八月丙戌朔辰时日食帝㬎徳祐元年乙亥岁即元至元十二年六月庚子朔日食既星见鸡鹜皆归六月交一十三日七七六月朔三十六日三八庚子巳时是六月庚子朔巳时日食端宗景炎二年丁丑岁即元至元十四年十月丙辰朔日食十月交二十六日五八十月朔五十二日五四丙辰午时是十月丙辰朔午时日食髙宗时一月食绍兴二年壬子岁二月丙子月未当阙而阙体如食色黄白二月交二十七日一一二月望一十三日一三丙子夜寅时推是年二月十四日丙子夜寅时月食宋厯误步日出后丁丑加时在昼及寅时已见其食也乃曰月未当阙而阙体如食色黄白以为月之变也不知月掩日而日食即以体相掩则纯黒不见日冲月而月食但月行日道顿失其光不至纯黒虽推月与推日同以相掩布分数而其色则异也从来月食虽黒未甚犹带黄白其魄轮微显谁不见之知之而宋司天欲饰已非乃归咎于月不当阙而阙也可乎其曰体如食则可为误步断案宋南渡凡一百五十三年书日当食不食三绍兴三十一年正月甲戌朔嘉定四年十一月己酉朔端平二年二月甲子朔推绍兴夜食且不入交原不当食嘉定端平二事则当食不食也春秋以来千余年至开元始有当食不食者二宋以三百二十年日当食不食汴京二见南渡又二见何其数也若果有之则三百年日度失行四矣抑恐半系日官误步某时候已不食及期当食却为云蔽未可知也况靖康之变仪象𨽻首尽归于金宋畴人步厯不精有之且临安偏南人戴日近望日与中原不同或亏分少即不见其食也又况临安隂雨十九云蔽所不免乎古今律厯考卷二十六
## 卷二十七
钦定四库全书
古今律厯考卷二十七 明 邢云路 撰厯代日食八厯代日食厯元元世祖至元十九年壬午岁六月己丑朔日食七月戊午朔日食纲目同七月交九刻七月朔五十四日四五戊午巳时推是年六月朔无戊午交二十四日有竒不入食限不应食七月戊午朔交九刻入食限是日巳时日食合何元史重载六月朔食耶从古无比食之理郭守敬论之详矣岂以守敬十八年方定授时而不辩此此必修史者误书之也至元二十四年丁亥岁十月戊午朔日食十月交一十四日七二十月朔五十四日六戊午未时是十月戊午朔未时日食至元二十六年己丑岁三月庚辰朔日食三月交二十六日九二三月朔一十六日三九庚辰巳时是三月庚辰朔巳时日食至元二十七年庚寅岁八月辛未朔日食八月交一十四日二三八月朔七日六三辛未申时是八月辛未朔申时日食至元二十九年壬辰岁正月甲午朔日食正月交二十六日四三正月朔三十日五二甲午午时是正月甲午朔午时日食至元三十一年甲午岁六月庚辰朔日食六月交一十四日三四六月朔一十六日三五庚辰辰时是六月庚辰朔辰时日食成宗大徳元年丁酉岁四月朔日食见纲目史无四月交一十三日八五四月朔二十九日三癸巳辰时是四月癸巳朔辰时日食史漏大徳三年己亥岁八月己酉朔日食太史奏日食不应八月交二十六日六六八月朔四十五日七五己酉巳时推是年八月己酉朔巳时日食元太史言是日巳时当食二分有奇至期不食众惧保章正齐履谦曰当食不食在古有之矧巳时近午阳盛隂微故当食不食遂考唐开元以来当食不食凡十事以闻然三分以下不救大徳四年庚子岁二月丁未朔日食二月交一十三日三六二月朔四十三日六七丁未申时是二月丁未朔申时日食大徳六年壬寅岁六月癸亥朔日食太史院失于推算诏议其罪六月交二十六日一六六月朔五十九日七五癸亥酉时推是年六月癸亥朔酉时日食与天合元太史失于推算诏议其罪罪之宜也大徳七年癸夘岁闰五月戊午朔日食闰五月交二十六日七七闰五月朔五十四日二九戊午夘时是闰五月戊午朔夘时日食大徳八年甲辰岁五月癸未朔日食五月交一十七日五月朔四十八日五七壬子未时推是年五月朔壬子无癸未是日未时日食史误书癸未仁宗皇庆元年壬子岁六月乙丑朔日食六月交一十四日三一六月朔一日七一乙丑酉时是六月乙丑朔酉时日食延祐二年乙夘岁四月戊寅朔日食四月交一十三日八一四月朔一十四日六戊寅未时是四月戊寅朔未时日食延祐五年戊午岁二月癸巳朔日食二月交一十三日三二二月朔二十九日○一癸巳子时推是年二月癸巳朔子时夜食不书元史误夫以郭守敬方定授时厯称最密今以授时推差至夜子不合查守敬卒于元祐三年卒才二年耳乃畴人习厯不熟遂尔误布也延祐六年己未岁二月丁亥朔日食二月交一十三日九三二月朔二十三日三五丁亥辰时是二月丁亥朔辰时日食延祐七年庚申岁正月辛巳朔日食正月交一十四日五四正月朔一十七日四一辛巳巳时是正月辛巳朔巳时日食英宗至治元年辛酉岁六月癸夘朔日食六月交二十六日七四六月朔三十九日五八癸夘未时是六月癸夘朔未时日食至治二年壬戌岁十一月甲午朔日食十一月交一十四日十一月朔三十日六八甲午申时是十一月甲午朔申时日食泰定帝泰定四年丁夘岁九月丙申朔日食九月交一十四日七七九月朔三十二日四八丙申午时是九月丙申朔午时日食文宗天厯二年己巳岁七月丙辰朔日食七月交一十三日六六七月朔五十二日三七丙辰辰时是七月丙辰朔辰时日食至顺二年辛未岁八月甲辰朔日食十一月壬申朔日食八月交一十九日五十一月交二十六日四七十一月朔八日六四壬申申时推是年八月甲辰朔交泛一十九日有奇不入交不应食十一月壬申朔申时日食合夫日月凡六月一交无八月至十一月才隔三月两交之理郭太史论之详矣何史载之误耶无乃畴人乱布失其真也顺帝元统二年甲戌岁四月戊午朔日食四月交一十四日三九四月朔五十四日三八戊午巳时是四月戊午朔巳时日食至元二年丙子岁八月甲戌朔日食八月交二十七日一九八月朔一十日三九甲戌巳时是八月甲戌朔巳时日食至元三年丁丑岁二月壬申朔日食二月交一十三日八九二月朔八日六八壬申申时是二月壬申朔申时日食至元四年戊寅岁八月朔日食见纲目史无八月交一日二八月朔五十九日七一推是年八月朔过交不应食史不书食是纲目非至正二年壬午岁八月朔日食十月朔日食见纲目八月交八日二十月交一十二日九十月朔三十五日五二己亥午时推是年八月朔交泛八日不入食限不应食十月己亥朔午时日食八月史无是纲目非十月纲目是史漏夫日月六月一交是年十月食是矣八月仅隔二月安得有食此纲目之误载也至正三年癸未岁四月丙申朔日食四月交二十六日八二四月朔三十二日三丙申辰时是四月丙申朔辰时日食至正四年甲申岁九月丁亥朔日食九月交一十四日一二九月朔二十三日四五丁亥巳时是九月丁亥朔巳时日食至正五年乙酉岁九月朔日食见纲目史无九月交一十四日七三九月朔一十八日八一戌时推是年九月戌初刻合朔日食则酉犹见其初亏至正六年丙戌岁二月朔日食见纲目史无二月交二十六日三二二月朔四十六日六一庚戌午时是二月庚戌朔午时日食史漏至正七年丁亥岁正月朔日食是日大寒而风朝官仆者数人见纲目史无正月交二十六日九三正月朔四十日四九甲辰巳时是正月甲辰朔巳时日食即纲目载是日大风寒朝官仆可见是日救日群臣亲覩其食矣何元史漏而不书耶至正八年戊子岁七月朔日食见纲目史无七月交一十四日二四七月朔三十二日二四丙申夘时是七月丙申朔夘时日食史漏至正九年己丑岁十一月朔日食见纲目史无十一月交二十六日四四十一月朔五十四日○二戊午子时推是年十一月戊午朔子时夜食不书史无是纲目误至正十年庚寅岁十一月壬子朔日食十一月交二十七日十一月朔四十八日六三壬子申时是十一月壬子朔申时日食至正十一年辛夘岁五月朔日食见纲目史无五月交一十三日七四五月朔四十五日一九己酉寅时推是年五月己酉朔寅正刻合朔日食则日出犹见其亏至正十二年壬辰岁四月朔日食见纲目史无闰四月交一十四日五五闰四月朔三十九日七三癸夘酉时推是年闰四月癸夘朔酉初刻日食史漏纲目书四月亦非至正十三年癸巳岁九月乙丑朔日食九月交二十六日五五九月朔一日三八乙丑巳时是九月乙丑朔巳时日食至正十四年甲午岁三月癸亥朔日食三月交一十三日二五三月朔五十九日六四癸亥申时是三月癸亥朔申时日食至正十七年丁酉岁正月朔日食见纲目史无正月交一十二日七五正月朔一十二日三九丙子巳时是正月丙子朔巳时日食史漏至正十八年戊戌岁六月戊辰朔日食十二月乙丑朔日食六月交二十七日二七六月朔四日三六戊辰辰时十二月交一十三日九七十二月朔一日四三乙丑巳时是六月戊辰朔辰时日食十二月乙丑朔巳时日食至正二十年庚子岁五月朔日食见纲目史无五月交二十六日一七五月朔二十三日一一丁亥丑时推是年五月丁亥朔丑正刻合朔夜食不书史无是纲目非夫既不食矣胡氏断以为天完微弱陈友谅弑徐夀辉之应变不虚生义何取焉至正二十一年辛丑岁四月辛巳朔日食四月交二十六日七八四月朔一十七日六八辛巳申时是四月辛巳朔申时日食至正二十四年甲辰岁八月朔日食见纲目史无八月交一十二日九八八月朔二十八日三一壬辰辰时是八月壬辰朔辰时日食史漏至正二十六年丙午岁七月辛巳朔日食七月交一十四日二七月朔一十七日五一辛巳午时是七月辛巳朔午时日食至正二十七年丁未岁六月朔日食见纲目史无十二月癸夘朔日食见史纲目无六月交一十二日四九六月朔四十一日九七乙巳夜子初刻十二月交二十六日四十二月朔三十九日二五癸夘夘时推是年六月乙巳夜子合朔夜食不书史无是纲目非十二月癸夘朔夘时日食史书是纲目漏元初郭守敬造授时厯最近密传之日官终元之世日官布算日食多漏者有非其日者甚至延祐五年二月朔之夜食至顺二年八月朔之不入交亦误书食以授时推乃正则岂守敬之误皆畴人之不善用法也在昔且然况愈逺而愈失其真耶余自汉以来一一推厯代日食为考其果食与否以备证验耳故但推其合朔在书时则不复详其时差之分秒惟疑难者乃详推焉古今律厯考卷二十七
## 卷二十八
钦定四库全书
古今律厯考卷二十八 明 邢云路 撰藏经考佛藏佛说东南西北各八天中须弥山顶一天共三十三天自四大天王天至大梵天各有千天有千三十三天是名小千世界乃至二千三千百亿日月一佛有百亿四天下是名三千大千世界阎浮境十万八千须弥四面各广长三四十万里顶上忉利天上释提桓各广长二三百万里四天王居须弥四埵皆髙四万二千由旬以人间五十岁为天一日亦以三十日为月十二月为岁五百岁即人间九百万岁观世音菩萨现身长八十万亿那由他由旬以须弥之髙广纳芥子中无増减须弥山本相如故以四大海水入一毛孔不娆大海本相如故演七日以为一刼促一刼以为七日十方日月星宿见于一毛孔中此皆佛之寓言也说阎浮境界十万八千里比人有十万八千尘劳梦想其实本来面目一无所有故说须弥纳一芥旷刼入一息犹中国言诗大言小言之譬言道大无外小无内之意非谓真有百亿天百亿日月也风轮能持水轮水轮能持大地令不壊散是故说地轮依水轮水轮依风轮风轮依虚空虚空无所依虽无所依能令三千大千世界而得安住此亦佛之寓言也言地水火风乃人之四大风之所以鼓动即火故说火风水轮持大地非谓天地五行合如此也佛说四大洲所谓东胜身洲即弗婆提南赡部洲即阎浮提西俱耶尼洲即瞿陀尼北俱卢洲即郁单越四洲遶苏迷山即须弥山阎浮提日中时东方弗婆提便㝠西方瞿陀尼则初出北方郁单越则夜半瞿陀尼日中阎浮提即㝠郁单越初出弗婆提夜半也郁单越弗婆提日中余出没亦然是言须弥山高日明于此隠于彼比人原是一心积为三界乍明忽灭如为须弥四面遮蔽然须转轮无碍乃得解脱皆寓言也非谓天地之中真有须弥日之行度真在须弥四围环绕四方出没四视平等之致文始传云天去地四十万九千里日月直度各三千里周回去千里天地午子相去九千万万里济苦经云昆仑山高一万五千里文始传又云日月周围六千里径三千里夫文始云天去地四十万九千里则子午径宜八十一万八千里而乃云相去九千万万里多八千九百九十九万九千九百一十八万二千里矣云日月直度各三千里则周回宜九千里乃止云一千里少八千里矣又云日月周围六千里则径止宜二千里而乃云三千里多一千里矣均之文始传也一曰日周千里又曰日周六千里何自相背也化胡云昆仑山九重重相去九千里山有四面面有一天故四九三十六天第一重帝释居之今据济苦昆仑高一万五千里化胡昆仑九重重高九千则高八万一千而言万五千者少六万五千里矣亡论诸经所说之乖舛将使天地日月之高下宜何从焉佛道经假作者多此其假者也竺乾书说阿耨山即昆仑也一名须弥讹呼苏迷在于阗国西一千三百余里东南接西凉酒泉地逺山则香山雪山也佛生游履雪山中国在昆仑东南天竺诸国在正南黄河在昆仑东南即佛经无热地东有银牛口出殑伽河即恒河山顶有阿耨大池其水分流四面去入中国者为黄河入东海其三面各入南西北海如弱水黒水之类大抵地之形如馒头其撚尖则昆仑也此言是佛诸国篇云五印度之境周九万余里三垂大海北背雪山北广南狭形如半月划野区分七十余国时特暑热地多泉湿成光子曰中天竺国东至震旦五万八千里南至金地国西至阿拘遮国北至小香山阿耨达亦各五万八千里约天上一寸地下千里僧慧严入中国何承天问曰佛国用何厯答曰天竺夏至之日日正中时竖晷无影所谓天中于五行土徳色尚黄数尚五八寸为尺十两当此土十二两建辰之月为岁首及计核分至推效薄蚀顾步光影其法甚详宿度章纪咸有条例后婆利国人来果同严说夫云夏至竖晷无影中国衡岳竖晷无影则天竺与衡岳东西正相对也衡岳北极出地二十五度夏至昼五十六刻夜四十四刻岳台北极出地三十五度夏至晷景一尺四寸八分昼六十刻夜四十刻衡岳北岳台北极低十度晷景差一尺四寸八分而昼至短四刻是去极二度半短一刻晷影三寸七分短一刻也虽割圆高下分厘稍有不齐而大约分数则无差也天竺与衡岳对其晷刻亦犹是矣此说天竺四至各以几万里计而晷与中国畧同可较是可破诸经天日须弥亿万里之妄稻稗经言月去地四万二千由旬一由旬四十里共一百六十八万里文始言天去地四十万九千里则月不反髙于天一百一十九万里之多耶唐不空三藏翻译文殊菩萨及诸仙所说吉凶时日善恶宿曜经言天地初建寒暑之精化为日月分宿设宫管标群品日理阳位从星宿顺行取张翼轸角亢氐房心尾箕斗牛女等一十三宿迄至虚宿之家恰当子地之中分为六宫也但日月天子俱以五星臣佐而日光熖猛以阳兽狮子为宫神月光清凉以隂虫巨蟹为宫神日与月各以神宫均赐五星以速至迟即辰星太白荧惑岁镇排为次第缓急于斯彰焉凡十二宫即七曜之躔次各有神形一切庶类相感月广五十由旬日广五十一由旬太白广十由旬岁星广九由旬辰星广八由旬荧惑广七由旬土星广六由旬星最小者广一俱卢舎第一星四足张四足翼一足在午太阳位焉其神如狮子故名狮子宫第二翼三足轸四足角二足在己辰星位焉其神如女故名双女宫第三角二足亢四足氐三足在辰太白位焉其神如秤故名天秤宫第四氐一足房四足心四足在夘荧惑位焉其神如蝎故名天蝎宫第五尾四足箕四足斗一足在寅岁星位焉其神如弓故名人马宫第六斗三足女四足虚二足在丑镇星位焉其神如摩羯故名摩羯宫已上六位属太阳分已下六位属太隂分第七虚二足危四足室三足在子镇星位焉其神如瓶故名宝瓶宫第八室一足壁四足奎四足在亥岁星位焉其神如鱼故名双鱼宫第九娄四足胃四足昴一足在戌荧惑位焉其神如羊故名白羊宫第十昴三足毕四足觜二足在酉太白位焉其神如牛故名金牛宫第十一觜二足参四足井三足在申辰星位焉其神如夫妻故名隂阳宫第十二井一足鬼四足栁四足在未太隂位焉其神如蟹故曰巨蟹宫昴六星毕五星觜三星参一星井二星鬼三星栁六星星六星张二星翼二星轸五星角二星亢一星氐四星房四星心三星尾二星箕四星斗四星牛三星女三星虚四星危一星室二星壁二星奎三十二星娄三星胃三星二月为角月三月为氐月四月为心月五月为箕月六月为女月七月为室月八月为娄月九月为昴月十月为觜月十一月为鬼月十二月为星月正月为翼月此其十二宫分与中国皆同但其星数与中国有多少之异五星迟速与中国亦同二月为角月云云者以斗指夘位之辰亦与中国同至于所占星直月日与人命之吉凶则与中国异盖其方俗之殊也夫周天二十八宿既与中国皆同而又曰虚宿恰当子地之中则虚为正北也曰日广五十一由旬一由旬四十里则日广凡二千余里也中国视虚为正北量日约亦千余里皆合矣此佛说之经宛然一浑天仪即中国之厯也而乃谓有几千天百万亿日月高广几十万亿里东方日中西方初出诸说均之佛说也而自相背若是则千天万日等说非寓言而何大方等大集经雪山光味仙人白世尊佛言二十八宿日月随行一切众生日月年岁皆悉系属瞿昙东方七宿谓角亢氐房心尾箕若人生日属角宿者口阔额高多财多智多有妻子夀八十四长子不夀属亢星者聪明富贵乐欲出家夀六十四指有疮瘢其氐房心尾箕若南方井鬼栁星张翼轸西方奎娄胃昴毕觜参北方斗牛女虚危室壁各宿生人者其相貌夀夭吉凶各有不同若通达如是相书到于彼岸瞿昙佛言众生亦有同属一星生者而有富贵贫贱参差是故我知是不定法是世尊之言是而光味之言非也大乘大方等日藏经言星宿数与形状多与厯不合吉凶避忌亦无的据日午脚迹之影亦无圭表之数五纬所主之月亦不合厯行度虚胎所载宿曜亦差大方等大集月藏分中星宿摄受品四天王等白佛言诸宿曜各有所主一者角宿主于众鸟二者元宿主于出家求圣道者氐房至翼轸通二十八宿各有所主不同尒时佛吿梵王等言于摩国陁楼等国共十二国角宿摄护阿罗荼等共十国亢宿摄护氐房至翼轸通二十八宿所摄国数多少不一此佛国以彼中之天步彼中分野与中国不同佛国日月荧惑辰星岁星太白镇星是为七曜岁星者于十二岁始一周天镇星者二十八岁乃一周天太白岁半始一周天荧惑二岁始一周天辰星一岁乃一周天凡岁三百六十五日日一周天月三十日乃一周天此是七曜周天数法大畧与中国同惟太白亦岁一周天而佛以为岁半非大唐西域记三藏法师𤣥奘译言夫数量之称谓逾缮那古圣王一日军行也即一由旬四十里印度国俗乃三十里圣教所载唯十六里穷微之数分一逾缮那为八拘卢舎拘卢舎者谓大牛鸣声所极闻一拘卢舎为五百弓分二拘卢舎名一声为千弓分一弓为四肘分一肘为二十四指十二指名毗多悉提分一指节为七宿麦乃至一虱一虮一牛毛一羊毛一兔毫一尘一细尘次第七分以至一极细尘极细尘者不可复㭊㭊即归空故曰极微也若乃隂阳厯运日月次舎称谓虽殊时候无异随其星建以标月名时极短者谓刹那也百二十刹那为一呾刹那六十呾刹那为一腊缚三十腊缚为一牟呼栗多五牟呼栗多为一时六时合成一日一夜昼三夜三居俗日夜分为八时昼四夜四一时各有四分月初一盈至十五满谓之白月分月十六亏至月尽晦谓之黒月分或十四日十五日月有小大故也遇小月谓之减夜减一日也黒前白后合为一月六个月共合为一行日游在内北行也日游在外南行也摠此二行合为一岁又分一岁以为六时正月十六日至三月十五日渐热也三月十六日至五月十五日盛热也五月十六日至七月十五日雨时也七月十六日至九月十五日茂时也九月十六日至十一月十五日渐寒也十一月十六日至正月十五日盛寒也如来圣教岁为三时正月十六日至五月十五日热时也五月十六日至九月十五日雨时也九月十六日至正月十五日寒时也或为四时春夏秋冬也春三月谓制呾逻月吠舎佉月逝瑟咤月当此从正月十六日至四月十五日夏三月谓頞沙荼月室罗伐挐月婆达罗钵陀月当此从四月十六日至七月十五日秋三月谓頞湿缚庾阇月迦刺底迦月末伽始罗月当此从七月十六日至十月十五日冬三月谓报沙月磨袪月颇勒窭挐月当此从十月十六日至正月十五日故印度僧徒依佛圣教坐两安居或前三月或后三月前三月当此从五月十六日至八月十五日后三月当此从六月十六日至九月十五日中国节气与印度递争半月中国以二十九三十为大小尽即印度以十四十五为大小尽中国之十六日乃印度初一日也昔人尝记结夏之制宜如西域用四月十六日盖四月十六日乃印度之四月尽也其数皆明大智度论日月岁节者日名从旦至旦初分中分后分夜亦三分一日一夜有三十时春秋分时十五时属昼十五时属夜余时六増六减五月至昼十八时夜十二时十一月至夜十八时昼十二时一月或三十日或三十日半或二十九日或二十七日半有四种月一者日月二者世间月三者月月四者星宿月日月者三十日半世间月者三十日月月者二十九日加六十二分之三十星宿月者二十七日加六十七分之二十一闰月者从日月世间月二事中出是名十三月或十二月或十三月名一岁是岁三百六十六日周而复始菩萨知日中分时前分已过后分未至中分中无住处无相可取日分空无所有到三十日时二十九已灭和合成月和合而为岁故佛菩萨能知世间日月岁和能知破散无所有是名巧分别是名菩萨摩诃萨夫佛国每日三十时即中国十二时春秋分昼夜各十五时六月一増减五月十一月昼夜各长短三分之一即中国之二分二至也日月三十日半中国之正气也世间月三十日中国盈虚之中也月月二十九日加六十二分之三十中国之月䇿也星宿月二十七日加六十七分之二十一中国之交终也闰月从日月世间月出中国之气盈朔虚积而为闰也中分无住处和合成月中国之无中气为闰月也六十二分之三十为四十八刻三十八分七十秒以加于二十九日下共二十九日四十八刻三十八分七十秒为佛国月䇿较中国月䇿少四刻有奇六十七分之二十一为三十一刻三十四分三十二秒以加于二十七日下共二十七日三十一刻三十四分三十二秒为佛国交终较中国交终多十刻有奇中西地里不同而厯之小异者止在刻数其大约则皆同佛国之天犹中国之天也明矣九执厯出西域唐开元六年诏太史监瞿昙悉达译之断取近距以开元二年二月朔为岁首西域首夘取隂阳交之始也度法六十月有二十九日余七百三分日之三百七十三厯首有朔虚百二十六周天三百六十度无余分日去没分九百分度之十三三十度为相十二相而周天望前曰白博义望后曰黒博义其算皆以字书不用筹䇿九执朔虚没分与中国不同气朔不同故也九执月䇿余七百三分日之三百七十三为五十三刻五分八十三秒以加于二十九日下共二十九日五十三刻五分八十三秒与中国月䇿近宻以视大智度论月䇿二十九日四十八刻三十八分七十秒则大智度月䇿为疎西域星经月孛紫炁罗㬋计都星家谓之四余计生于天尾罗生于天首孛生于月炁生于闰盖日月行道如两环相交一处曰天首一处曰天尾天尾为计天首为罗月之行迟速有常度迟之处即孛也炁生于闰二十八年十闰而炁行一周炁孛皆有度数无光象故与计罗同谓之四余今中国皆用之泥洹经佛吿迦叶言人间六月一蚀众星昼日不见其实不没又言月天子欲瞰日天子佛说罗㬋罗疾放月云六月一蚀即天首至交中至天尾各六月之谓云星昼不见日光所射故也罗㬋瞰日即日食于天首佛云疾放即中国救日之义佛运统纪周昭王二十四年甲寅岁四月八日中天竺国净梵王妃摩耶氏生太子悉达多至年十九壬申岁二月八日夜半出家成释迦牟尼佛东晋沙门法显尝至天竺摩竭提国见城邑人民以建夘月八日华香供养请佛周以子月为正月四月是建夘之二月也二月则建丑之十二月今人以夏正四月为佛生日非宿曜经黒月白月皆以一日三日五日七日九日十一日十三日为吉祥日所向皆成就是知佛国之尚奇日也僧史畧佛法本传西域十二月三十日为正月望谓之大神变日汉明帝令是日烧灯表佛法大明无味佛国正五九月天帝释镜照南赡部洲故禁刑罚今中国官员于此三月内不到任无味国朝洪武初收元图籍命西域人海荅儿等择天文隂阳厯象译之译出回回厯以西域阿刺必年即开皇十九年己未岁为元至洪武甲子计积七百八十六算周天十二宫每宫三十度共三百六十度十二宫日数不同共三百六十五日为不动的月若遇宫分有闰之年于亥宫又添一日十二月单月大双月小共三百五十四日为动的月若遇月分有闰之年于十二月内又添一日凡三十年闰十有一月厯千九百四十二年而宫月甲子再㑹其术钦天监见存有回回科习之所步日食与中华厯分数不同夫以中西之逺而以法相校交蚀只是分数不同非大相径庭也而佛经乃言南方日中西方方日出东方则日没故以此可证其言之非白羊戌宫三十一日 金牛酉宫三十一日隂阳申宫三十一日 巨蟹未宫三十二日狮子午宫三十一日 双女巳宫三十一日天秤辰宫三十日 天蝎夘宫三十日人马寅宫二十九日 磨羯丑宫二十九日宝瓶子宫三十日 双鱼亥宫三十日第一月大(名法而干而丁) 第二月小(名阿而的必喜世)第三月大(名虎而达) 第四月小(名提而)第五月大(名木而达) 第六月小(名沙合列干而)第七月大(名列黒而) 第八月小(名阿班)第九月大(名阿咱而) 第十月小(名答亦)第十一月大(名八哈慢) 第十二月小(名亦思番达而麻的)佛家天乐等类乃化境也于律不协故不录道藏道经上列三清下分五太三清在三十六天之上玉清圣境元始所居上清真境太上道君所居太清仙境老君所居五太者太质界内有天地𤣥黄之色太质之外太空太空之外太无太无之外太虚并天地𤣥黄为五太岂天果有是三五之所皆寓言也盖三清以比人之三田上田心火中田脾土肺金肝木下田肾水五太亦以比人之五行云高上太霄琅书琼文帝章经云九天元始号第一天名郁单无量天去第二天二十四里第二天无量夀天去第三天四千六百万里第三梵监天去第四五六七八天以至第九大梵天各㡬千百万里不等去下共五百亿二十万里此九天是始气之精众真帝皇所治其天别置三天三天者皆是九天之别号三九二十七并九天共三十六天也此与佛经诸天大半相同皆荒唐之言道言太上灵宝先天地而生然后有天地数起于一立于三成于五盛于七极于九故天去地九万里昆仑为地柱气上通昆仑者地之中昆仑直东西南北各一亿万余里日月径止千里周三千里洞真放品经曰地有九垒第一地去天九十亿万里第九地去天五百三十亿万里洞真黄气阳精经日纵广二千四十里月纵广千九百里灵宝天尊云日围千里月围一千二百里夫既曰天去地九万里则东西南北亦皆九万里而昆仑四直则皆一亿万余里何以相容又谓第一地去天九十亿万里第九地去天五百三十亿万里不太悬绝乎既曰日径千里周三千里似矣而何以又曰日纵广二千四十里日围千里也既曰月纵广千九百里则围宜二千七百里而何以曰月围千二百里也夫均此天也此日月也均之天尊所说也忽然而多忽然而少此是则彼非乃天尊言天亦有非耶天尊不知天何以为天尊洞𤣥灵宝诸天世界造化经道言我在𤣥化之前故有太上号见彼昆仑山王以金银琉璃水精作之上髙三百三十六万里下有大海围之深亦三百三十六万里广亦三百三十六万里地深二十亿万里次下有地亦深二十亿万里次下有粟金二十亿万里次下有刚铁二十亿万里次下有水深八十亿万里次下有大风深厚五百二十亿万里以是大风持地不使有堕落地浮水上水浮风上其下大空此言非也天体周围不过数十万里此可以表测而得者非悬空之说也天周数十万而地与昆仑在天内乃上下有㡬百亿万里则何以相容无乃道君未尝到𤣥化前不曽见昆仑王耶若曽见不应有此说道言元始天尊召来天真时诸天日月星宿琁玑玉衡一时停轮岂有天行健也而乃停轮盖寓言也谓人心为琁衡两目为日月天尊说法则人心目俱定万化停闲耳天尊曰正北位居中一炁生水万物皆因水而生故北斗居中天第一贪狼星第三禄存星为东斗主算第二巨门星第四文曲星为西斗记名第六武曲星正居本位为北斗落死第五廉贞星为南斗上生第七破军星正居中位为中斗大魁总监众灵周回指十二辰又度人经言五斗东斗角亢氐房心尾箕北斗斗牛女虚危室壁西斗奎娄胃昴毕觜参南斗井鬼栁星张翼轸中斗贪巨禄文廉武破其言二十八宿即天四围经星云指十二辰则厯家斗柄指十二节之说也经言九统者初以始青之光炁开始青之天凝太霄之宫于东北次以太青之光炁开太青之天凝青霄之宫于东方次以始丹之光炁开始丹之天凝碧霄之宫于东南次以太丹之光炁开太丹之天凝绛霄之宫于南方次以始素之光炁开始素之天凝景霄之宫于西南次以太素之光炁开太素之天凝玉霄之宫于西方次以始𤣥之光炁开始𤣥之天凝琅霄之宫于西北次以太𤣥之光炁开太𤣥之天凝紫霄之宫于北方太梵之天神霄之宫则其居中也西北为天门东南为地戸西南为人门东北为鬼路是其四方之气东青南赤西白北黒按四方之色也天门地户人门鬼路之说则出先天干凿度文道藏载夜半换日出及晦朔换月符呪敕令皆持有法是乃佐军中变幻之用者则史载日夜出等变或系幻术所致未可知也厯世真僊体道通鉴载陶𢎞景推汉熹平二年丁丑冬至加时在日中而先天实以乙亥冬至加时在夜半凡差三十八刻是汉厯后天二日十二刻也以授时推熹平二年冬至分一十日三十九刻五十分得甲戌日巳初二刻冬至陶𢎞景推乙亥夜半三十八刻乃乙亥日巳初初刻冬至后天一日汉厯丁丑日日中冬至后天二日余矣所以是年汉厯推十二月癸酉晦日食而不知实是熹平三年正月朔日食也道经比佛经伪书尤多如张道陵等所撰诸经多属伪作且大半抄誊佛经改换头面以此言天宜乎不合道言龙汉元年为开天之始古来无年号至汉武帝始有年号然则龙汉元年是谁记之耶道经载律厯诸数多系抄录儒书者故不必议古今律厯考卷二十八
## 卷二十九
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古今律厯考卷二十九 明 邢云路 撰律吕一律吕黄钟黄钟长九寸空围九分积七百二十九分天数终于九为阳之成黄钟阳声之始也故其管长九寸其内空围容九分其积实十百二十九分是为律本而十二律由是损益度量衡于是受法焉算术置一分围容九分以九寸之每寸九分共八十一分乘之得共围积实七百二十九分依古圆田法三分益一盖以九分三分之每一分得三分益一得一十二分以开方除之得三分四厘六毫强为实径之数强者不尽二毫八丝四忽若仍求圆积之数以径三分四厘六毫自乘之得一十一分九厘七毫一丝六忽加以不尽之二毫八丝四忽得一十二分以管长八十一分乘之得九百七十二分为方积四分取三为圆积得七百二十九分□蔡季通以管长九十分乘一十二分得一千八十分为方积四分取三为圆积得八百一十分非也盖九分为寸厘毫丝皆用九无用十之理故长九寸以分九之得八十一分再以厘九之得七百二十九厘长八十一分以空容九分九之得积七百二十九分始终无八百一十分之数且空围与径之分皆九厘之分若以十厘之分十分之寸乘之则围之横分长而长之竖分短计短九之一也立方上下四旁皆均若上下短九之一则不方何以成数然则黄钟之积㫁乎为七百二十九分明矣然谓以十为尺者约九为十而为尺约十为九而律其实一也又径围之密律详见厯原黄钟之实子一 黄钟之律一而己丑三 为丝法寅九 为寸数卯二十七 为毫法辰八十一 为分数已二百四十三 为厘法午七百二十九 为厘数未二千一百八十七 为分法申六千五百六十一 为毫数酉一万九千六百八十三 为寸法戌五万九千○四十九 为丝数亥一十七万七千一百四十七 黄钟之实黄钟之律以三厯十三辰所得之数在子寅辰午申戌六阳辰为黄钟寸分厘毫丝之数子为黄钟之律寅为九寸辰为八十一分午为七百二十九厘申为六千五百六十一毫戌为五万九千四十九丝在亥酉未巳卯丑六隂辰为黄钟寸分厘毫丝之法亥为黄钟之实酉之一万九千六百八十三为寸未之二千一百八十七为分巳之二百四十三为厘卯之二十七为毫丑之三为丝其寸分厘毫丝之法皆用九数故九丝为毫九毫为厘九厘为分九分为寸为黄钟盖子一为黄钟之律三其一则丑为三三其三则寅为九三其九则夘为二十七三其二十七则辰为八十一三其八十一则巳为二百四十三三其二百四十三则午为七百二十九三其七百二十九则未为二千一百八十七三其二千一百八十七则申为六千五百六十一三其六千五百六十一则酉为一万九千六百八十三三其一万九千六百八十三则戌为五万九千四十九三其五万九千四十九则亥为一十七万七千一百四十七以是数为黄钟之实而定管之短长以三为丝故有五万九千四十九丝以二十七为毫故有六千五百六十一毫以二百四十三为厘故有七百二十九厘以二千一百八十七为分故有八十一分以一万九千六百八十三为寸故有九寸合而观之积丝毫厘分之长为寸皆九合丝毫厘分寸之数皆一十七万七千一百四十七在阳辰顺而左行为数在隂辰逆而右行为法也黄钟生十一律子一分一为九寸丑三分二一为三寸寅九分八一为一寸卯二十七分十六三为一寸 一为三分辰八十一分六十四九为一寸 一为一分巳二百四十三分一百二十八二十七为一寸 三为一分 一为三厘午七百二十九分五百一十二八十一为一寸 九为一分 一为一厘未二千一百八十七分一千二十四二百四十三为一寸 二十七为一分三为一厘 一为三毫申六千五百六十一分四千九十六七百二十九为一寸 八十一为一分九为一厘 一为一毫酉一万九千六百八十三分八千一百九十二二千一百八十七为一寸 二百四十三为一分二十七为一厘 三为一毫 一为三丝戌五万九千四十九分三万二千七百六十八六千五百六十一为一寸 七百二十九为一分八十一为一厘 九为一毫 一为一丝亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六一万九千六百八十三为一寸 二千一百八十七为一分 二百四十三为一厘 二十七为一毫 三为一丝 一为三忽按黄钟生十一律子寅辰午申戌六阳辰皆下生丑卯巳未酉亥六隂辰皆上生其上以三厯十二辰者皆黄钟之全数其下隂数以倍者倍其实三分本律而损其一也阳数以四者四其实三分本律而益其一也六阳辰当位自得六隂辰则居其冲其林钟南吕应钟三吕在隂无所増损其大吕夹钟仲吕三吕在阳则用倍数方与十二月之气相应盖隂之从阳自然之理也曰子一分者数起子得一也丑三分二者三其法为三分两其实为二也寅九分八者三其法为九分四其实为八也以下生者倍其实以上生者四其实也其法以子析为三分每分五万九千四十九丑于三分之中得其二为十一万八千九十八积六寸为林钟此黄钟之实三分损一下生林钟也以子一析为九分每分得一万九千六百八十三寅于九分之中得其八为十五万七千四百六十四积八寸为太蔟此林钟之实三分益一上生太蔟也自夘而下倣此其详子一分一为九寸为黄钟之律也三其一则丑为三分倍其一为二分一为三寸二为六寸为林钟之律也三其三则寅为九分四其二为八分一为一寸八为八寸为太蔟之律也三其九则卯为二十七分倍其八为十六分三为一寸以十五为五寸余一为三分共五寸三分为南吕之律也三其二十七则辰为八十一分四其十六为六十四分九为一寸以六十三为七寸余一为一分共七寸一分为姑洗之律也三其八十一则巳为二百四十三分倍其六十四为一百二十八分二十七为一寸以一百八为四寸余二十三为一分以十八为六分余二一为三厘二为六厘共四寸六分六厘为应钟之律也三其二百四十三则午为七百二十九分四其一百二十八为五百一十二分八十一为一寸以四百八十六为六寸余二十六九为一分以十八为二分余八一为一厘八为八厘共六寸二分八厘为蕤賔之律也三其七百二十九则未为二千一百八十七倍其五百一十二为一千二十四二百四十三为一寸以九百七十二为四寸余五十二以二十七为一分余二十五三为一厘以二十四为八厘余一一为三毫共四寸一分八厘三毫止得大吕半律之数因居丑在阳倍之以一千二十四倍为二千四十八计得八寸三分七厘六毫为大吕之律也三其二千一百八十七则申为六千五百六十一四其一千二十四为四千九十六七百二十九为一寸以三千六百四十五为五寸余四百五十一以八十一为一分以四百五为五分余四十六九为一厘以四十五为五厘余一为一毫共五寸五分五厘一毫为夷则之律也三其六千五百六十一则酉为一万九千六百八十三倍其四千九十六为八千一百九十二二千一百八十七为一寸以六千五百六十一为三寸余一千六百三十一二百四十三为一分以一千四百五十八为六分余一百七十三二十七为一厘以一百六十二为六厘余一十一三为一毫以九为三毫余二一为三丝二为六丝共三寸六分六厘三毫六丝止得夹钟半律之数因居夘在阳倍之以八千一百九十二倍为一万六千三百八十四计得七寸四分三厘七毫三丝为夹钟之律也三其一万九千六百八十三则戍为五万九千四十九四其八千一百九十二为三万二千七百六十八六千五百六十一为一寸以二万六千二百四十四为四寸余六千五百二十四七百二十九为一分以五千八百三十二为八分余六百九十二八十一为一厘以六百四十八为八厘余四十四九为一毫以三十六为四毫余八一为一丝八为八丝共四寸八分八厘四毫八丝为无射之律也三其五万九千四十九则亥为一十七万七千一百四十七倍其三万二千七百六十八为六万五千五百三十六一万九千六百八十三为一寸以五万九千四十九为三寸余六千四百八十七二千一百八十七为一分以四千三百七十四为二分余二千一百一十三二百四十三为一厘以一千九百四十四为八厘余一百六十九二十七为一毫以一百六十二为六毫余七三为一丝六为二丝余一一为三忽共三寸二分八厘六毫二丝三忽止得仲吕半律之数因居巳在阳倍之以六万五千五百三十六倍为十三万一千七十二计得六寸五分八厘三毫四丝六忽余二不尽为仲吕之律也其曰以三厯十二辰皆黄钟之全数者盖子一分则一为九寸是黄钟之全数丑三分二则一为三寸三为九寸亦是黄钟九寸之全数三分取其二故林钟得六寸寅九分八则一为一寸九为九寸亦是黄钟九寸之全数九分取其八故太蔟得八寸曰隂数以倍阳数以四者盖黄钟九寸下生则倍其实为一尺八寸以三分之每分六寸而得其一为林钟即三分黄钟九寸而损其一者也林钟六寸上生则四其实为二尺四寸以三分之每分八寸而得其一为太蔟即三分林钟六寸而益其一者也余放此其候气之法六阳辰当位自得子居子而寅居寅也六隂辰则居其冲丑则居未而夘则居酉也其林钟在未南吕在酉应钟在亥为隂原无半数故无所增损其大吕在丑夹钟在夘仲吕在巳为阳吹之则用半数方其声和也(候气之法乖舛详见后)十二律之实子黄钟十七万七千一百四十七全九寸 半无丑林钟十一万八千○九十八全六寸 半三寸不用寅太蔟十五万七千四百六十四全八寸 半四寸卯南吕十○万四千九百七十六全五寸三分 半二寸六分不用辰姑洗十三万九千九百六十八全七寸一分 半三寸五分巳应钟九万三千三百一十二全四寸六分六厘 半二寸三分三厘不用午蕤賔十二万四千四百一十六全六寸二分八厘 半三寸一分四厘未大吕十六万五千八百八十八全八寸三分七厘六毫 半四寸一分八厘三毫申夷则十一万○五百九十二全五寸五分五厘一毫 半二寸七分二厘五毫酉夹钟十四万七千四百五十六全七寸四分三厘七毫三丝 半三寸六分六厘三毫六丝戌无射九万八千三百○四全四寸八分八厘四毫八丝 半二寸四分四厘二毫四丝亥仲吕十三万一千○七十二全六寸五分八厘三毫四丝六忽(余二筭) 半三寸二分八厘六毫二丝三忽黄钟全九寸者以一万九千六百八十三为一寸积十七万七千一百四十七为九寸也半无者黄钟至尊不为他律所役损益不及故不用半也林钟于十七万七千一百四十七内三分损一损五万九千四十九则为十一万八千九十八太蔟于十一万八千九十八内三分益一益三万九千三百六十六则为十五万七千四百六十四南吕于十五万七千四百六十四内三分损一损五万二千四百八十八则为十万四千九百七十六姑洗于十万四千九百七十六内三分益一益三万四千九百九十二则为十三万九千九百六十八应钟于十三万九千九百六十八内三分损一损四万六千六百五十六则为九万三千三百一十二蕤賔于九万三千三百一十二内三分益一益三万一千一百四则为十二万四千四百一十六蕤賔而后大吕当未应三分损其一也若损一止得大吕之半数因在阳倍之故以大吕于十二万四千四百一十六内三分损一损四万一千四百七十二为八万二千九百四十四之数倍之则为十六为五千八百八十八夷则于十六万五千八百八十八内三分损一损五万五千二百九十六则为十一万五百九十二夹钟于十一万五百九十二内三分益一益三万六千八百六十四则为十四万七千四百五十六无射于十四万七千四百五十六内三分损一损四万九千一百五十二则为九万八千三百四仲吕于九万八千三百四内三分益一益三万二千七百六十八则为十三万一千七十二夫黄钟生十一律阳皆下生倍其实而损隂皆上生四其实而益蕤賔以后阳反四上生益而隂反倍下生损何也盖从子至亥黄钟太蔟姑洗阳之阳也林钟南吕应钟隂之隂也阳生隂退故律生吕言下生吕生律言上生蕤賔夷则无射隂之阳也大吕夹钟仲吕阳之隂也隂升阳退故律生吕言上生吕生律言下生故郑氏重上生法所以为不易之论而真西山失载其说不能不令人疑耳推前律半律法如姑洗十三万九千九百六十八以一万九千六百八十三为一寸二千一百八十七为一分除十三万七千七百八十一为七寸余二千一百八十七为一分故姑洗全七寸一分以十三万九千九百六十八半之为六万九千九百八十四除五万九千四十九为三寸余一万九百三十五为五分故姑洗半三寸五分余倣此凡律用半者以上律短而下律长故下律用半以成宫商角徵羽之五声林钟南吕应钟三律受役于阳律依序而下乃自为上律而上律更无短者故不用半以相生之不及也按十二律之实约以寸法则黄钟林钟太蔟得全寸约以分法则南吕姑洗得全分约以厘法则应钟蕤賔得全厘约以毫法则大吕夷则得全毫约以丝法则夹钟无射得全丝至仲吕之实十三万一千七十二以三分之不尽二筭其数不行此律之所以止于十二也变律六黄钟十七万四千七百六十二(小分四百八十六)全八寸七分八厘一毫六丝二忽不用半四寸三分八厘五毫三丝一忽前正律至仲吕之实十三万一千七十二以三分之不尽二筭其数既不可行当有以通之律当变者有六故置一而六三之盖自子之一而至午之六以三厯之得七百二十九以七百二十九乘仲吕之十三万一千七十二共九千五百五十五万一千四百八十八以三分之每分得三千一百八十五万四百九十六三分益一共一万二千七百四十万一千九百八十四复以七百二十九归之每黄钟之一当七百二十九为黄钟之十七万四千七百六十二不尽零小分四百八十六为三分一之二盖以七百二十九为一小分三分之每分得二百四十三则四百八十六为二百四十三者二乃三分一之二也以寸法计之十五万七千四百六十四得寸者八以分法计之一万五千三百九得分者七以厘法计之一千九百四十四得厘者八以毫法计之二十七得毫者一以丝法计之一十八得丝者六以忽法计之小分四百八十六一为三忽三分一之二为二忽得忽者二此全数也半数得八万七千三百八十一小分二百四十三以寸分厘毫丝忽法计之得四寸三分八厘五毫三丝一忽全数不用者黄钟君象也受役之律无长于此诸律不得而役之故虚其正而不用所用即再生之变者就再生之变又缺其半所谓缺其半者盖若大吕为宫黄钟为变宫时黄钟管最长所以只得用其半其余宫亦倣此林钟十一万六千五百八(小分三百二十四)全五寸八分二厘四毫一丝一忽三初半二寸八分五厘六毫五丝六初以黄钟之一万二千七百四十万一千九百八十四三分之每分四千二百四十六万七千三百二十八三分损一为八千四百九十三万四千六百五十六以七百二十九归之为下生林钟之十一万六千五百八零小分三百二十四以寸分厘毫丝法计之得全五寸八分二厘四毫一丝小分三百二十四以二百四十三为一忽余八十一以二十七为一初为三初半之为五万八千二百五十四小分一百六十二以法计之得半二寸八分五厘六毫五丝余一百六十二为六初太蔟十五万五千三百四十四(小分四百三十二)全七寸八分二毫四丝四忽七初不用半三寸八分四厘五毫六丝六忽八初以林钟之八千四百九十三万四千六百五十六三分之每分二千八百三十一万一千五百五十二三分益一为一万一千三百二十四万六千二百八以七百二十九归之为上生太蔟之十五万五千三百四十四零小分四百三十二以法计之得全七寸八分二毫四丝三忽余小分四百三十二除二百四十三为一忽共前为四忽余一百八十九为七初半之为七万七千六百七十二小分二百一十六以法计之得半三寸八分四厘五毫六丝六忽余二百一十六为八初南吕十万三千五百六十三(小分四十五)全五寸二分三厘一毫六丝一初六秒半二寸五分六厘七丝五忽一初三秒以太蔟之一万一千三百二十四万六千二百八三分之每分三千七百七十四万八千七百三十六三分损一为七千五百四十九万七千四百七十二以七百二十九归之为下生南吕之十万三千五百六十三零小分四十五以法计之得全五寸二分三厘一毫六丝余小分四十五除二十七为一初余十八三为一秒为六秒半之为五万一千七百八十一小分五百二十二零五以法计之得半二寸五分六厘七丝三忽余五百二十二零五除四百八十六为二忽共前五忽余三十六零五除二十七为一初余九零五除九为三秒不尽(旧本四忽五初三秒今多六初)姑洗十三万八千八十四(小分六十)全七寸一厘二毫二丝二初二秒不用半三寸四分五厘一毫一丝一初一秒以南吕之七千五百四十九万七千四百七十二三分之每分二千五百一十六万五千八百二十四三分益一为一万六十六万三千二百九十六以七百二十九归之为上生姑洗之十三万八千八十四零小分六十以法计之得全七寸一厘二毫二丝余小分六十除五十四为二初余六为二秒(旧本一初二秒今多一初)半之为六万九千四十二小分三十以法计之得半三寸四分五厘一毫一丝余小分三十除二十七为一初余三为一秒应钟九万二千五十六(小分四十)全四寸六分七毫四丝三忽一初四秒(余一筭)半二寸三分三毫六丝六忽六秒强不用以姑洗之一万六十六万三千二百九十六三分之每分三千三百五十五万四千四百三十二三分损一为六千七百一十万八千八百六十四以七百二十九归之为下生应钟之九万二千五十六零小分四十以法计之得全四寸六分七毫四丝三忽余小分四十除二十七为一初余十三除十二为四秒不尽半之为四万六千二十八小分二十以法计之得半二寸三分三毫六丝六忽余小分二十除十八为六秒不尽变律者在正律之位而非正律之声也律所以变者其故有三其一黄钟至尊为君不为他律所役其十二律各自为宫以生五声二变共七声黄钟林钟太蔟南吕姑洗应钟六律则能具足如黄钟为宫则林钟为徴太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫蕤賔为变徵林钟为宫则太蔟为征南吕为商姑洗为羽应钟为角蕤賔为变宫大吕为变徵十二律中自能具足五声二变各得其正矣至蕤賔大吕夷则夹钟无射仲吕六律则取黄钟林钟太蔟南吕姑洗应钟六律之声少下不和故有变律变律者其声近正而少高于正律也盖蕤賔为宫则未免反取黄钟为变徵大吕为宫则未免反取黄钟林钟为变宫变徵黄钟既变其次所生之律若仍本律则长不成曲亦当变焉如黄钟为商则林钟之羽太蔟之角南吕之变宫姑洗之变徵皆随而变黄钟为角则林钟之变宫太蔟之变徵皆随而变臣之从君理固然也其二黄钟林钟太蔟南吕姑洗应钟上六律长蕤賔大吕夷则夹钟无射仲吕下六律短以上律役下律则或正或半通而和以下律役上律则或正或半戾而不和故以上律役下律以下律役下律皆不必变惟以下律役上律则必变其上律使少短而与下律通也其三相生之法至仲吕而穷使不再生六律则上律不能遍七声之用下律亦无由而通故以六三之乘仲吕之实三分益一复变而再生黄钟之宫因再生故不及黄钟九寸之旧数止得八寸有竒其下相因而生五律亦各于旧为减皆数之自然也太蔟姑洗之全不用者其律长相生所不及也应钟之半不用者数之穷也故律止于六至应钟而穷也盖应钟之实六千七百一十万八千八百六十四以三分之每分二千二百三十六万九千六百二十一余一又不尽一算数又不可行此变律之所以止于六也古今律厯考巻二十九
## 卷三十
钦定四库全书
古今律厯考卷三十 明 邢云路 撰律吕二律吕律生五声宫声八十一(下生徴)商声七十二(下生羽)角声六十四(下生变宫)徴声五十四(上生商)羽声四十八(上生角)黄钟之数九九八十一以为宫是为五声之本以宫之八十一数三分之每分二十七三分损一于八十一数损其二十七余五十四下生徴故徴数五十四也徴三分益一七十二上生商商三分损一四十八下生羽羽三分益一六十四上生角是黄钟为均用五声之法以下十一辰辰各有五声其为宫商之法亦如之故辰各有五声是十二律之正声也详此是十一律皆可为宫盖置本律之实以九九因之三分损益以为五声再以本律之实约之则宫固八十一商亦七十二角亦六十四徴亦五十四羽亦四十八也如应钟为宫置本律应钟之实九万三千三百一十二以九九八十一乘之得七百五十五万八千二百七十二为宫以九万三千三百一十二约之为八十一三分宫损一得五百三万八千八百四十八为徴以九万三千三百一十二约之为五十四三分徴益一得六百七十一万八千四百六十四为商以九万三千三百一十二约之为七十二三分商损一得四百四十七万八千九百七十六为羽以九万三千三百一十二约之为四十八三分羽益一得五百九十七万一千九百六十八为角以九万三千三百一十二约之为六十四是也盖十二律生于黄钟虽各长短不齐及其旋相为宫以生五声二变皆约以八十一起数而五十四以后次之则八十四声各有所归矣然五声至角其数六十四以三分之每分二十一不尽一筭数不可行此正声所以止于五也通而变之角声乃生变宫变徴以足五声二变之数耳变声二变宫声四十二(余小分九分分之六羽后宫前上生变徵)变徵声五十六(余小)(分九分分之八角后征前不生)考国语周景王问于泠州鸠曰七律者何韦昭注曰周有七音黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫蕤賔为变徵然则五声二变有自来矣盖五声宫与商商与角徵与羽相去各一律至角与征羽与宫相去乃二律以隔八相生之序言之如黄钟为宫则相去一律而太蔟为商商相去一律而姑洗为角角相去二律始得林钟之征征相去一律而南吕为羽南吕之羽距黄钟之宫又相去二律焉相去一律则音节和相去二律则音节逺故角徵之间近征收一声比征少下谓之变徵羽宫之间近宫收一声少高于髙谓之变宫也五声相生至于角位其数六十有四以三分之每分二十有一不尽一筭五声之正至此而穷然既不可行当有以通之声之变者二故置一而两三之置子之一而两至寅以三厯之得九以九因角声之实六十四得五百七十六以三分之每分一百九十二三分损一为三百八十四以九归之为四十二下生变宫是姑洗生应钟也余六不用又以变宫之三百八十四三分之每分一百二十八三分益一为五百一十二以九归之为五十六上生变徵是应钟生蕤賔也余八不用至变徵之数五百一十二以三分之又不尽二筭其数又不行此变声所以止于二也变声者所以济五声之不及宫比于宫征比于征虽有七声其实五声而已淮南子曰姑洗生应钟比于正音故为和应钟生蕤賔不比于正音故为谬曰谬则已难比于正故变声非正不为调也旋宫八十四声图宫(下生)征(上生)商(下生)羽(上生)角(下生)变宫(上生)变徵(止)一宫十一月黄(正)林(正)太(正)南(正)姑(正)应(正)㽔(正)二宫六月林(正)太(正半)南(正)姑(正半)应(正)蕤(正半)大(正半)三宫正月太(正)南(正)姑(正)应(正)蕤(正)大(正半)夷(正)四宫八月南(正)姑(正半)应(正)蕤(正半)大(正半)夷(正半)夹(正半)五宫三月姑(正)应(正半)蕤(正)大(正半)夷(正)夹(正半)无(正)六宫十月应(正)蕤(正半)大(正半)夷(正半)夹(正半)无(正半)仲(正半)七宫五月蕤(正)大(正半)夷(正)夹(正半)无(正)仲(正半)黄(变半)八宫十二月大(正)夷(正)夹(正)无(正)仲(正)黄(变半)林(变)九宫七月夷(正)夹(正半)无(正)仲(正半)黄(变半)林(变半)太(变半)十宫二月夹(正)无(正)仲(正)黄(变半)林(变)太(变半)南(变)十一宫九月无(正)仲(正半)黄(变半)林(变半)太(变半)南(变半)姑(变半)十二宫四月仲(正)黄(变半)林(变)太(变半)南(变)姑(变半)应(变)此言十二律还相为宫以次生五声二变成八十四声也律吕之数徃而不返惟黄钟不为他律所役所用七声皆正律无空积忽微盖黄钟为宫则林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫蕤賔为变徵皆正无余分也自林钟而下则有半声如太蔟为宫则以大吕为变宫大吕为宫则以黄钟为变宫一半声也姑洗为宫则以大吕为羽夹钟为变宫夹钟为宫则以黄钟为羽太蔟为变宫二半声也林钟蕤賔四半声南吕夷则五半声应钟无射六半声自蕤賔而下则有变律如蕤賔为宫则以黄钟变为变徵一变律也大吕为宫则以黄钟变为变宫林钟变为变徵二变律也夷则三变律夹钟四变律无射五变律仲吕六变律半声变律皆有空积忽微不得其正故黄钟一均独为声气之元也其序每一律役六律已徃者退方来者进如黄钟为宫下生林钟征征上生太蔟商商下生南吕羽羽上生姑洗角角下生应钟变宫变宫上生蕤賔变徵一均既毕黄钟者退大吕者进林钟为宫上生太蔟征征下生南吕商商上生姑洗羽羽下生应钟角角上生蕤賔变宫变宫下生大吕变徵一均既毕林钟者退夷则者进自此以徃至于蕤賔则变黄钟为变徵大吕则变黄钟为变宫变林钟为变徵以次夷则三变夹钟四变无射五变至仲吕六变总之十二律各备七声七声各足十二律而后终焉然黄钟为元十一律皆受法于黄钟虽其管长短不齐及其用而为宫则一也宫数八十一则皆约以八十一起数三分损益以序生四声二变有条而不紊者也以正言之黄钟为宫置黄钟本律之实十七万七千一百四十七以宫八十一乘之得一千四百三十四万八千九百七为宫数以本律之实约之为八十一为宫三分宫数每分四百七十八万二千九百六十九三分损一得九百五十六万五千九百三十八以本律之实约之为五十四为征是为黄钟之宫下生林钟之征置林钟本律之实十一万八千九十八以征五十四乘之得六百三十七万七千二百九十二为征数三分征数每分二百一十二万五千七百六十四三分益一得八百五十万三千五十六以本律之实约之为七十二为商是为林钟之征上生太蔟之商置太蔟本律之实十五万七千四百六十四以商七十二乘之得一千一百三十三万七千四百八为商数三分商数每分三百七十七万九千一百三十六三分损一得七百五十五万八千二百七十二以本律之实约之为四十八为羽是为太蔟之商下生南吕之羽置南吕本律之实十万四千九百七十六以羽四十八乘之得五百三万八千八百四十八为羽数三分羽数每分一百六十七万九千六百一十六三分益一得六百七十一万八千四百六十四以本律之实约之为六十四为角是为南吕之羽上生姑洗之角置姑洗本律之实十三万九千九百六十八以角六十四乘之得八百九十五万七千九百五十二为角数三分角数每分二百九十八万五千九百八十四三分损一得五百九十七万一千九百六十八以本律之实约之为四十二余六不用为变宫是为姑洗之角下生应钟之变宫置应钟本律之实九万三千三百一十二以变宫四十二乘之得三百九十一万九千一百四为变宫数三分变宫数每分一百三十万六千三百六十八三分益一得五百二十二万五千四百七十二以本律之实约之为五十六为变徵是为应钟之变宫上生蕤賔之变徴此正律皆全数也以正与正半言之如林钟为宫置林钟全数之实十一万八千九十八以宫八十一乘之得九百五十六万五千九百三十八为宫数以本律全数约之为八十一为宫三分宫数每分三百一十八万八千六百四十六三分损一得六百三十七万七千二百九十二以本律全数约之为五十四为徴是为林钟全数之宫下生太蔟正半之徴置太蔟半数之实七万八千七百三十二以徴五十四乘之得四百二十五万一千五百二十八为徴数三分徴数每分一百四十一万七千一百七十六三分益一得五百六十六万八千七百四以本律半数约之为七十二为商是为太蔟正半之徴上生南吕全数之商置南吕全数之实十万四千九百七十六以商七十二乘之得七百五十五万八千二百七十二为商数三分商数每分二百五十一万九千四百二十四三分损一得五百三万八千八百四十八以本律全数约之为四十八为羽是为南吕全数之商下生姑洗正半之羽置姑洗半数之实六万九千九百八十四以羽四十八乘之得三百三十五万九千二百三十二为羽数三分羽数每分一百一十一万九千七百四十四三分益一得四百四十七万八千九百七十六以本律半数约之为六十四为角是姑洗半数之羽上生应钟全数之角置应钟全数之实九万三千三百一十二以角六十四乘之得五百九十七万一千九百六十八为角数三分角数每分一百九十九万六百五十六三分损一得三百九十八万一千三百一十二以本律全数约之为四十二为变宫是为应钟全数之角下生蕤賔正半之变宫置蕤賔半数之实六万二千二百八以变宫四十二乘之得二百六十一万二千七百三十六为变宫数三分变宫数每分八十七万九百一十二三分益一得三百四十八万三千六百四十八以本律半数约之为五十六为变徵是为蕤賔正半之变宫上生大吕正半之变徵此正与正半之律也余倣此以正与变与变半言之如夹钟为宫置夹钟全数之实十四万七千四百五十六以宫八十一乘之得一千一百九十四万三千九百三十六为宫数以本律全数约之为八十一为宫三分宫数每分三百九十八万一千三百一十二三分损一得七百九十六万二千六百二十四以本律全数约之为五十四为征是为夹钟全数之宫下生无射全数之征置无射全数之实九万八千三百四以征五十四乘之得五百三十万八千四百一十六为征数三分征数每分一百七十六万九千四百七十二三分益一得七百七万七千八百八十八以本律全数约之为七十二为商是为无射全数之征上生仲吕全数之商置仲吕全数之实十三万一千七十二以商七十二乘之得九百四十三万七千一百八十四为商数三分商数每分三百一十四万五千七百二十八三分损一得六百二十九万一千四百五十六以本律全数约之为四十八为羽是为仲吕全数之商下生黄钟变半之羽置黄钟变半之实八万七千三百八十一小分不用以羽四十八乘之得四百一十九万四千二百八十八为羽数三分羽数每分一百三十九万八千九十六三分益一得五百五十九万二千三百八十四以本律半数约之为六十四为角是为黄钟变半之羽上生林钟变数之角置林钟变数之实十一万六千五百八以角六十四乘之得七百四十五万六千五百一十二为角数三分角数每分二百四十八万五千五百四三分损一得四百九十七万一千八以本律全数约之为四十二为变宫是为林钟变数之角下生太蔟变半之变宫置太蔟变半之实七万七千六百七十二以变宫四十二乘之得三百二十六万二千二百二十四为变宫数三分变宫数每分一百八万七千四百八三分益一得四百三十四万九千六百三十二以本律半数约之为五十六为变徵是为太蔟变半之变宫上生南吕变数之变征此正与变与变半之律也余倣此一法如夹钟为宫置夹钟全数十四万七千四百五十六以法计之得全七寸四分三厘有奇三分全数每分四万九千一百五十二三分损一得九万八千三百四为无射计得全四寸八分八厘有奇是夹钟全数之宫下生无射全数之征置无射全数九万八千三百四三分之每分三万二千七百六十八三分益一得十三万一千七十二为仲吕计得全六寸五分八厘有竒是无射全数之征上生仲吕全数之商置仲吕全数十三万一千七十二以变吕六三数乘之得九千五百五十五万一千四百八十八三分损一所约之数八万七千三百八十一为黄钟变半计得半四寸三分八厘有竒是仲吕全数之商下生黄钟变半之羽置黄钟变半八万七千三百八十一三分益一得十一万六千五百八为林钟变数计得全五寸八分二厘有竒是黄钟变半之羽上生林钟变数之角置林钟变数十一万六千五百八三分损一得七万七千六百七十二为太蔟变半计得三寸八分四厘有竒是林钟变数之角下生太蔟变半之变宫置太蔟变半七万七千六百七十二三分益一得十万三千五百六十三为南吕变数计得全五寸二分三厘有竒是太蔟变半之变宫上生南吕变数之变徵余律倣此其数悉合夫十一律之皆可为宫也或有疑之者不知十一律之数各以八十一分之为宫而三分损益上下相生各得五声二变之数自然之妙非人力之为也如应钟四寸六分六厘律之最短者然既为宫则短中之君也由此三分损一下生蕤賔正半之征则三寸一分四厘益一上生大吕正半之商则四寸一分八厘损一下生夷则正半之羽则二寸七分二厘益一上生夹钟正半之角则三寸六分六厘损一下生无射正半之变宫则二寸四分四厘益一上生仲吕正半之变徵则三寸二分八厘凡所生四声二变其数更无长于四寸六分六厘者则应钟之为宫为君也何疑且其损益相生之数机括消息皆与黄钟之正律合符也六十调图宫 商 角 变徴征 羽 变宫黄钟宫黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)应(正)此黄钟为宫黄钟第一调也所谓黄钟一均之备者也无射商无(正)黄(变半)太(变半)姑(变半)仲(正半)林(变半)南(变半)此黄钟为商黄钟第二调也夷则角夷(正)无(正)黄(变半)太(变半)夹(正半)仲(正半)林(变半)此黄钟为角黄钟第三调也仲吕征仲(正)林(变)南(变)应(变)黄(变半)太(变半)姑(变半)此黄钟为征黄钟第四调也夹钟羽夹(正)仲(正)林(变)南(变)无(正)黄(变半)太(变半)此黄钟为羽黄钟第五调也上下宫商角徵羽者黄钟得五声所谓黄钟一均之备者也左右宫商角徵羽者五声尽黄钟所谓黄钟一调之备者也共五调此黄钟一大调也下十一律同大吕宫大(正)夹(正)仲(正)林(变)夷(正)无(正)黄(变半)应钟商应(正)大(正半)夹(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)无(正半)南吕角南(正)应(正)大(正半)夹(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)蕤賔征蕤(正)夷(正)无(正)黄(变半)大(正半)夹(正半)仲(正半)姑洗羽姑(正)蕤(正)夷(正)无(正)应(正)大(正半)夹(正半)此大吕一大调也太蔟宫太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)应(正)大(正半)黄钟商黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)应(正)无射角无(正)黄(变半)太(变半)姑(变半)仲(正半)林(变半)南(变半)林钟征林(正)南(正)应(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲吕羽仲(正)林(变)南(变)应(变)黄(变半)太(变半)姑(变半)此太蔟一大调也夹钟宫夹(正)仲(正)林(变)南(变)无(正)黄(变半)太(变半)大吕商大(正)夹(正)仲(正)林(变)夷(正)无(正)黄(变半)应钟角应(正)大(正半)夹(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)无(正半)夷则征夷(正)无(正)黄(变半)太(变半)夹(正半)仲(正半)林(变半)蕤賔羽蕤(正)夷(正)无(正)黄(变半)大(正半)夹(正半)仲(正半)此夹钟一大调也姑洗宫姑(正)蕤(正)夷(正)无(正)应(正)大(正半)夹(正半)太蔟商太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)应(正)大(正半)黄钟角黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)应(正)南吕征南(正)应(正)大(正半)夹(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林钟羽林(正)南(正)应(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)此姑洗一大调也仲吕宫仲(正)林(变)南(变)应(变)黄(变半)太(变半)姑(变半)夹钟商夹(正)仲(正)林(变)南(变)无(正)黄(变半)太(变半)大吕角大(正)夹(正)仲(正)林(变)夷(正)无(正)黄(变半)无射征无(正)黄(变半)太(变半)姑(变半)仲(正半)林(变半)南(变半)夷则羽夷(正)无(正)黄(变半)太(变半)夹(正半)仲(正半)林(变半)此仲吕一大调也蕤賔宫蕤(正)夷(正)无(正)黄(变半)大(正半)夹(正半)仲(正半)姑洗商姑(正)蕤(正)夷(正)无(正)应(正)大(正半)夹(正半)太蔟角太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)应(正)大(正半)应钟征应(正)大(正半)夹(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)无(正半)南吕羽南(正)应(正)大(正半)夹(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)此蕤賔一大调也林钟宫林(正)南(正)应(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲吕商仲(正)林(变)南(变)应(变)黄(变半)太(变半)姑(变半)夹钟角夹(正)仲(正)林(变)南(变)无(正)黄(变半)太(变半)黄钟征黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)应(正)无射羽无(正)黄(变半)太(变半)姑(变半)仲(正半)林(变半)南(变半)此林钟一大调也夷则宫夷(正)无(正)黄(变半)太(变半)夹(正半)仲(正半)林(变半)蕤賔商蕤(正)夷(正)无(正)黄(变半)大(正半)夹(正半)仲(正半)姑洗角姑(正)蕤(正)夷(正)无(正)应(正)太(正半)夹(正半)大吕征大(正)夹(正)仲(正)林(变)夷(正)无(正)黄(变半)应钟羽应(正)大(正半)夹(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)无(正半)此夷则一大调也南吕宫南(正)应(正)大(正半)夹(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林钟商林(正)南(正)应(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)仲吕角仲(正)林(变)南(变)应(变)黄(变半)太(变半)姑(变半)太蔟征太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)应(正)大(正半)黄钟羽黄(正)太(正)姑(正)蕤(正)林(正)南(正)应(正)此南吕一大调也无射宫无(正)黄(变半)太(变半)姑(变半)仲(正半)林(变半)南(变半)夷则商夷(正)无(正)黄(变半)太(变半)夹(正半)仲(正半)林(变半)蕤賔角蕤(正)夷(正)无(正)黄(变半)大(正半)夹(正半)仲(正半)夹钟征夹(正)仲(正)林(变)南(变)无(正)黄(变半)太(变半)大吕羽大(正)夹(正)仲(正)林(变)夷(正)无(正)黄(变半)此无射一大调也应钟宫应(正)大(正半)夹(正半)仲(正半)蕤(正半)夷(正半)无(正半)南吕商南(正)应(正)大(正半)夹(正半)姑(正半)蕤(正半)夷(正半)林钟角林(正)南(正)应(正)大(正半)太(正半)姑(正半)蕤(正半)姑洗征姑(正)蕤(正)夷(正)无(正)应(正)太(正半)夹(正半)太蔟羽太(正)姑(正)蕤(正)夷(正)南(正)应(正)大(正半)此应钟一大调也十二律旋相为宫五声二变各具七声共八十四声以相生之序言之则曰宫曰征曰商曰羽曰角曰变宫曰变徵以高下清浊言之则曰宫曰商曰角曰变征曰征曰羽曰变宫以律之长短为序也合七声为一调合五调为一曲宫声十二商声十二角声十二徵声十二羽声十二凡六十声为六十调共四百二十声其变宫十二在羽声之后宫声之前变徵十二在角声之后徵声之前宫不成宫征不成征凡二十四声不可为调黄钟宫至夹钟羽并用黄钟起调始于黄钟终于黄钟五调为一大调黄钟毕曲大吕宫至姑洗羽并用大吕起调大吕毕曲以至应钟皆然其正者以正律全声应也正半者以正律半声应也变者以变律全声应也变半者以变律半声应也旋相为宫若到应钟为宫其声最短而清则下四声皆当低去所以有半声亦谓之子声近时所谓清声是也盖乐律最忌下陵上应钟为宫如用大吕为之商则是商声高似宫声为臣陵君用夹钟为之角则是角声髙似宫声为民陵君征羽亦然皆不可用遂乃用半律之清声以应之也宫商角三十六调为阳征羽二十四调为隂大调五律除调首中声必有二阳二隂六十调皆同如阳律为宫而商角皆阳征羽为隂隂律为宫而商角皆隂征羽为隂故调成而隂阳备也候气候气之法为室三重户闭涂衅必周密布缇缦室中以木为按每律各一按内庳外高从其方位加律其上以葭灰实其端覆以缇素按厯而候之气至则吹灰动素小动为气和大动为君弱臣强専政之应不动为君严猛之应其升降之数阳候则阳律升多隂律升少隂候则隂律升多阳律升少在冬至则黄钟九寸升五分一厘三毫大寒则大吕八寸三分七厘六毫升三分七厘六毫雨水则太蔟八寸升四分五厘一毫六丝春分则夹钟七寸四分三厘七毫三丝升三分三厘七毫三丝谷雨则姑洗七寸一分升四分五毫四丝三忽小满则仲吕六寸五分八厘三毫四丝六忽升三分三毫四丝六忽夏至则蕤賔六寸二分八厘升二分八厘大暑则林钟六寸升三分三厘四毫处暑则夷则五寸五分五厘一毫升二分五厘五毫秋分则南吕五寸三分升三分四毫一丝霜降则无射四寸八分八厘四毫八丝升二分二厘四毫八丝小雪则应钟四寸六分六厘升三分一毫一丝审度度者分寸尺丈引所以度长短也生于黄钟之长以子谷秬黍中者九十枚度之一为一分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引嘉量量者龠合升斗斛所以量多少也生于黄钟之容以子谷秬黍中者一千二百实其龠以井水准其概以度数审其容合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛谨权衡权衡者铢两斤钧石所以权轻重也生于黄钟之重以子谷秬黍中者一千二百实其龠百黍一铢一龠十二铢二十四铢为一两十六两为斤三十斤为钧四钧为石自黄钟至此皆依古法布算其辨议在后古今律厯考卷三十
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钦定四库全书
古今律厯考卷三十一 明 邢云路 撰律吕三律吕(以后证辩)造律刘昭后汉志曰伏羲作易纪阳气之初以为律法建日冬至之声以黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫蕤宾为变徵此声气之元五音之正也班固前汉志曰黄帝使伶伦自大夏之西昆仑之隂取竹断两节间而吹之以为黄钟之宫制十二筩定十二律周官太师掌六律六同以合隂阳之声阳声黄钟太蔟姑洗蕤宾夷则无射隂声大吕应钟南吕函钟小吕夹钟皆文之以五声播之以八音国语泠州鸠对周景王曰周有七音黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫蕤宾为变徵礼记月令曰孟春之月律中太蔟仲春律中夹钟季春律中姑洗孟夏律中中吕仲夏律中蕤宾季夏律中林钟孟秋律中夷则仲秋律中南吕季秋律中无射孟冬律中应钟仲冬律中黄钟季冬律中大吕管子曰凡听征如负猪豕觉而骇凡听羽如鸣鸟在树凡听宫如牛鸣窌中凡听商如离群羊凡听角如雉登木凡将起五音凡首先主一而三之四开以合九九以是生黄钟小素之首以成宫三分而益之以一为百有八为征有三而去其乘适足以是生商有三分而复于其所以是成羽有三分而去乘适足以是成角曰主一而三之四开以合九九者三其一而为三一开也三其三而为九二开也三其九而为二十七三开也三其二十七而为八十一四开也是谓四开以合九九八十一之数黄钟为五音之本故云小素本八十一益以三分之一之二十七通前百有八是为征数乘亦三分之一也三分百有八而去其一之三十六余七十二是为商数三分七十二而益其一之二十四合为九十六谓之复于其所是为羽数三分九十六去其一之三十二余六十四是为角数此其法也后汉志注引礼运古注曰宫数八十一黄钟长九寸九九八十一也三分宫去一生征征数五十四林钟长六寸六九五十四也三分征益一生商商数七十二太蔟长八寸八九七十二也三分商去一生羽羽数四十八南吕长五寸三分寸之一五九四十五又三分寸之一为四十八也三分羽益一生角角数六十四姑洗长七寸九分寸之一七九六十三又九分寸之一为六十四也三分角去一生变宫三分变宫益一生变徵自此已后则随月而变所谓还相为宫尔雅曰管长尺围寸曰长尺者九寸为尺也淮南子曰规始于一一不生故分而为隂阳隂阳合和而万物生故曰一生二二生三三生万物天地三月而为一时故祭祀三饭以为礼丧纪三踊以为节兵重三罕以为制三叅物三三如九黄钟之九寸而宫音调因而九之九九八十一故黄钟之数立焉黄者土德之色钟者气所钟也日冬至徳气为土土色黄故曰黄钟律之数六分为雄雌故曰十二钟以副十二月十二各以三成故置一而十一三之为积分十七万七千一百四十七黄钟大数立焉合而考之周礼尔雅国语礼记诸书在周泠州鸠管子皆周人月令在秦初淮南子在汉初皆最古者也史记汉书所推律吕之数一一皆本于此然则黄钟起冬至为宫以生五声二变十二律六阳六隂配十二月三分损益上下隔八相生自三而九为黄钟九寸九九八十一分第而生之以至于亥之十七万七千一百四十七之数此其法皆成周以来古人相传之旧法也迁固但演其成数著为汉志竝未以己意增损其间后世不知而目为迁固之法议其失者则亦未稽诸故实耳律长短围径之说司马迁律书本文 改正黄钟八寸七分一宫 八寸十分一林钟五寸七分四角 五寸十分四太蔟七寸七分二商 七寸十分二南吕四寸七分八征 四寸十分八姑洗六寸七分四羽 六寸十分四应钟四寸二分三分二羽 四寸二分三分二蕤宾五寸六分三分一 五寸六分三分二(强四百八十六)大吕七寸四分三分一 七寸五分三分二(强四百○五)夷则五寸四分三分二商 五寸○三分二(弱二百一十六)夹钟六寸一分三分一 六寸七分三分一(强一百九十八)无射四寸四分三分二 四寸四分三分二(强六百○二)仲吕五寸九分三分二征 五寸九分三分二(强五百八十一)蔡季通曰律书此章所记分寸之法与他记不同以难晓故多误盖取黄钟之律九寸一寸九分凡八十一分而又以十约之为寸故云八寸十分一本作七分一者误也今以相生次序列而正之其应钟以下则有小分小分以三为法如厯家太少余分强弱耳其法未宻也今以二千一百八十七为全分七百二十九为三分一一千四百五十八为三分二余分之多者为强少者为弱列于逐律之下其误字悉正之隋志引此章中黄钟林钟太蔟应钟四律寸分以为与班固司马彪郑氏蔡邕杜夔荀朂所论虽尺有增减而十二律之寸数竝同则是时律书尚未误也及司马贞索隐始以旧本作七分一为误其误亦未久也沈括亦曰此章七字皆当作十字误屈中画耳大要律书用相生分数相生之法以黄钟为八十一分今以十为寸法故有八寸一分汉前后志及诸家用审度分数审度之法以黄钟之长为九十分亦以十为寸法故有九十分法虽不同其长短则一故隋志云寸数竝同也其黄钟下有宫太蔟下有商姑洗下有羽林钟下有角南吕下有征字晋志论律书五音相生而以宫生角角生商商生征征生羽羽生宫求其理用罔见通逹者是也仲吕下有征夷则下有商应钟下有羽字三者未详亦疑后人误增也下云上九商八羽七角六宫五征九者即是上文声律数太蔟八寸为商姑洗七寸为羽林钟六寸为角南吕五寸为征黄钟九寸为宫其曰宫五征九误字也以余考之黄钟为宫林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角应钟为变宫蕤宾为变徵此正法也马迁律书本文书黄钟宫太蔟商则是书林钟角南吕征姑洗羽应钟羽夷则商仲吕征则非或皆后人误书何则即史迁推律吕相生之数与此不同故知后人之误书也蔡氏正史文之误皆是而独于无射下小分云强六百○二以法推乃六百一十八较少一十六亦蔡氏之误布耳今以蔡氏改正之法详推之十二律皆置毎分二千一百八十七如求黄钟以八十一乘毎分之数二千一百八十七得十七万七千一百四十七为黄钟之实故曰八寸十分一即九分之寸变为十分之寸一百分中之八十一分也求林钟以五十四乗分数得十一万八千九十八为林钟之实故曰五寸十分四求太蔟以七十二乘分数得十五万七千四百六十四为太蔟之实故曰七寸十分二求南吕以四十八乘分数得十万四千九百七十六为南吕之实故曰四寸十分八求姑洗以六十四乘分数得十三万九千九百六十八为姑洗之实故曰六寸十分四求应钟以四十二乘分数得九万一千八百五十四加三分二之一千四百五十八共九万三千三百一十二为应钟之实故曰四寸二分三分二求蕤宾以五十六乗分数得十二万二千四百七十二加三分二之一千四百五十八得十二万三千九百三十以较㽔宾之实少四百八十六加以四百八十六得十二万四千四百一十六为㽔宾之实故曰五寸六分三分二强四百八十六求大吕以七十五乘分数得十六万四千二十五加三分二之一千四百五十八得十六万五千四百八十二以较大吕之实少四百五加以四百五得十六万五千八百八十八为大吕之实故曰七寸五分三分二强四百五求夷则以五十乘分数得十万九千三百五十加三分二之一千四百五十八得十一万八百八较夷则之实多二百一十六减去二百一十六得十一万五百九十二为夷则之实故曰五寸三分二弱二百一十六求夹钟以六十七乘分数得十四万六千五百二十九加三分一之七百二十九得十四万七千二百五十八以较夹钟之实少一百九十八加以一百九十八得十四万七千四百五十六为夹钟之实故曰六寸七分三分一强一百九十八求无射以四十四乘分数得九万六千二百二十八加三分二之一千四百五十八得九万七千六百八十六以较无射之实少六百一十八加以六百一十八得九万八千三百四为无射之实故曰四寸四分三分二强六百一十八求仲吕以五十九乗分数得十二万九千三十三加三分二之一千四百五十八得十三万四百九十一以较仲吕之实少五百八十一加以五百八十一得十三万一千七十二为仲吕之实故曰五寸九分三分二强五百八十一是其数也汉志曰易曰参天两地而倚数天之数始于一终于二十五其义纪之以三故置一得三又二十五分之六凡二十五置终天之数得八十一以天地五位之合终于十者乗之为八百一十分应厯一统千五百三十九岁之章数黄钟之实也繇此之义起十二律之周径地之数始于二终于三十其义纪之以两故置一得二凡三十置终地之数得六十以地中六数乗之为三百六十分当期之日林钟之实也人者继天顺地序气成物统八卦调八风理八政正八节谐八音舞八风监八方被八荒以终天地之功故八八六十四其义极天地之变以天地五位之合终于十者乗之为六百四十分以应六十四卦太蔟之实也孟康曰林钟长六寸围六分以乗长得三百六十分太蔟长八寸围八分为积六百四十分也汉志置一得三又六乃三其二十五为七十五又六为八十一以天地之合终于十者乘之为八百一十分即黄钟长九寸自乘九九八十一又以十因之为八百一十也厯十九岁为一章一统八十一章凡千五百三十九岁故曰应厯一统置一得二乃二其三十为六十以地中六数因之为三百六十分即林钟长六寸自乘六六三十六又以十因之为三百六十也一期三百六十故曰当期之日人终天地之功故八八六十四以天地之合终于十者乗之为六百四十分即太蔟长八寸自乘八八六十四又以十因之为六百四十也卦六十四故曰应六十四卦蔡氏谓繇此之义起十二律之周径葢黄钟十其广之分以为长十一其长之分以为广故长九寸空围九分积八百一十分其数相合则其周径可以数定其言似是而非葢班固以八百一十应律一统为天三百六十当期之日为地六百四十应六十四卦为人皆牵强凑数正蔡季通所谓倚数配合为说而已其与积实之数无干也其谓三百六十当期之日者则本于淮南子所言一律而生五音十二律而为六十音因而六之为三百六十音以当一岁之日之文然淮南子指十二律而言亦未尝指为林钟为地也孟康遂谓林钟长六寸围六分为六六三百六太蔟长八寸围八分为八八六十四以附会之果如所云则应钟长四寸六分围四分六厘径止得一分五厘矣一分五厘之管涉于太细何以施吹何以成声乎其乖舛亡论已至蔡季通所云十其广之分以为长者谓广九分以十分之寸因之每寸九十分九寸得长八百一十分云十一其长之分以为广者谓长八百一十分九因七百二十九再加八十一为八百一十乃十一其长以九而一得空围九分是其数似合而不知黄钟九寸九分之寸也每寸九九八十一分九寸积七百二十九分蔡谓八十一则是谓八百一十则非也蔡邕铜龠铭曰龠黄钟之宫长九寸空围九分容秬黍一千二百粒称重十二铢两之为一合三分损一转生十一律月令章句云黄钟之管长九寸径三分其余皆稍短虽大小围数无增减韦昭周语注曰黄钟之变也管长九寸径三分围九分因而九之九九八十一故黄钟之数立焉郑康成月令注曰凡律空围九分孔颖逹疏曰诸律虽短长有差其围皆以九分为限汉志曰一黍之广度之九十分黄钟之长累九十黍之广积八百一十分隋志牛宏辛彦之郑译何妥等叅攷古律度合依时代制律其黄钟之管俱长九寸径三分然围径长短与度而差故容黍不同晋前尺黄钟容黍八百八粒梁法尺黄钟容八百二十八梁表尺黄钟三其一容九百二十五其一容九百一十其一容一千一百二十汉官尺黄钟容九百三十九古银错题黄钟容一千二百宋氏尺即铁尺黄钟二其一容一千二百其一容一千四十七后魏前尺黄钟容一千一百一十五后周玉尺黄钟容一千二百六十七后魏中尺黄钟容一千五百五十五后魏后尺黄钟容一千八百一十九东魏尺黄钟容二千八百六十九万宝常水尺律母黄钟容一千三百二十隋志又云梁表尺三律宋铁尺二律黄钟副别其长短及口空之围径竝同而容黍或多或少皆是作者旁庣其腹使有盈虚蔡氏谓梁宋尺容受不同乃制作之疎晋前尺黄钟止容八百八黍者失在径三分古银错与玉尺玉斗合玉斗之容受与晋前尺三分四厘六毫不甚相逺但玉尺律径不及三分故其律遂长而尺长于晋前尺一寸五分八厘葢自汉魏而下造律竟不能成而度之长短量之容受权衡之轻重皆戾于古大率皆由径三分之说误之也蔡氏又云班志以黄钟八百一十分起十二律之周径审度章以一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章以千二百黍实其龠谨衡权章以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也毎一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫羃百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百二十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始著以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有奇终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成本朝胡安定谓管长九十黍之广内实十三黍三分黍之一其围容九分者乃九方分也云围九分者取空围圆长九分耳以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之法则管止容九百黍积止六百七分半矣此胡氏破径三分之说也以是定律皆与古不合又不知变律之法但见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟已下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫其数不同遂使十二律之声皆不当位反不如和岘旧乐之为得也鲁斋彭氏曰黄钟律管有周有径有面羃有空围内积有从长如史记论从长律厯志论从长及积东汉郑氏注月令论羃东汉蔡氏月令章句论从长皆不易之论独周径之说汉以前俱无明文汉律厯志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然攷之古方围周径羃积率皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以九章少广内祖氏宻率乗除止得空围内面羃七分七厘奇乃少一分九十二厘奇空围内积实止得六百三十六分奇乃少一百七十三分奇如此则黄钟之管无乃太狭葢黄钟空积忽㣲若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分又用径一围三之法虽是古率然古人大约以比圆田若以宻率推之径一则围三有奇假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径长三分四厘六毫围长十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围长十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围长之数则径止得三分三厘奇又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乘以管长乘之用三分益一四分退一之法求羃积今姑依其说以九方分平置□又三分益一以三方分割置于九方分之外如此□共积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽的如蔡氏之说但依此径以宻率相乘则空围内面羃不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽奇空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽奇如此则黄钟之管无乃太细乎考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以此知三分益一四分退一乃虚加实退算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能以尽合也今欲求黄钟律管从长周径羃积的实定数者须依蔡氏多截管候气之说又以祖氏冲之宻率乗除方可葢祖冲之乃古今算家之最而蔡氏多截管候气之说实得造律本原其说有前人未发者今宜依此说先多截竹以拟黄钟之管或短或长长短之内每差纎微各为一管悉以此诸管埋地中俟冬至时验之若诸管之中有气应者即以此管分作九寸寸作九分分作九厘厘作九毫毫作九秒秒作九忽以合八十一终天之数及元气运行自子至亥得十七万七千一百四十七之数凡用此管三分损益上下相生由此又取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分凡求度量衡由此乃以此管面空围中所容九分以平方羃法推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之一平方分通有面羃一万万忽九平方分通有面羃九万万忽乃以此九万万忽依算经少广章所载宋祖冲之宻率乘除得圆周长的计十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乗仍得九万万忽内一忽弱通得面羃九平方分也既以周径相乗复得面羃如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面羃计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九寸则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长各作八十一分以为十二律相生之法又依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则圆长面羃与空围内积自然无不谐㑹特径数自八毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳至司马光与范镇论律镇曰益州进士房庶尝得古本汉书云度起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之起积一千二百黍之广度之九十分黄钟之长一为一分今文脱去之起积一千二百黍八字故自前世累黍为乏纵置之则太长横置之则太短今新尺横置之不能容一千二百黍则大其空径四厘六毫是以乐音太髙皆由儒者误以一黍为一分其法非是且汉志云一为一分者葢九十分之一当以千二百黍实管中随其短长断之以为黄钟九寸之管得九十分其长一为一分取三分以度空径合其数黄钟之长九寸加一以为尺则律正矣是镇意谓制律之法必以千二百黍实黄钟九寸之管九十分其管之长一为一分是度由律起也光曰汉书正本之度起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广九十分黄钟之长一为一分本无之起积一千二百黍八字是光意谓制律之法必以一黍之广定为一分九十分则得黄钟之长是律由度起也光镇争论前后三十年不决程回著三器图议曰体有长短所以起度也受有多寡所以生量也物有轻重所以用权也是器也皆准之上党羊头山之秬黍焉古人以度定量以量定权必参相得然后黄钟之律可求八音五声从之而应也回谓以黍定三器三者尺为之本周尺也者先儒攷其制脗合者不一阮逸胡瑗累黍定尺既大于周姑欲合其量然于权不合宋祁取隋大业中厯代尺十五等独以周尺为本韩琦累黍尺二其一亦与周尺相近司马刻之于石光旧物也茍以是定尺合诸器矣夫自昔诸说之不同如此有是者有非者有似是而非者有是而未宻者以余论之古云黄钟管九寸围九分径三分长八十一分容千二百黍此皆古人大率言之未著为宻率也故朱子曰古只说空围九分不说径三分葢不啻三分犹有奇也正谓是耳然从古无九十分为黄钟并积八百一十分之说至刘歆典钟律乃有本起黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分一为一分十分为寸之说蔡季通信之谓为累九十枚黍度之广积八百一十分为一龠之数皆非也考史迁云黄钟长九寸长八寸十分一是以十分为寸以九约之为八寸十分一此其说最为近古可信也葢古法十其寸为尺九其寸为律观蔡邕铜龠铭曰黄钟之宫长九寸空围九分乃章句又曰管者形长尺围寸夫既曰九寸又曰一尺既曰九分又曰一寸则约十为尺约九为寸即如史迁所谓长九寸长八寸十分一之说也葢治律约十为九其数乃齐以为度则约为十其理一也古一为一分者去声之分非平声之分也刘歆误认为平声遂命黄钟为九十分蔡季通等又演为八百一十分是已误而益误也季通既曰全数即十取九相生约九为十是明知约九为十矣乃曰积八百一十分夫十则为百分千分九则为八十一分七百二十九分乃何有八百一十分哉胡氏云黍实于管中十三黍三分黍之一而满一分是一为一分也而以管之九寸九十枚黍度之得千二百黍为黄钟之管是乃十其广之分以为长十一其长之分以为广也然以此治律则管长而狭矣葢约九为十者就此黄钟九寸而约为十寸非有加也胡氏蔡氏则九十分真加九分矣夫围九分仍旧贯之九分也而长乃加其十之一以此长且狭之管吹之何怪其不成声耶胡安定谓径三分为误不知径三分之误不过毫忽间而八百一十分则实多八十一分其误大矣若彭氏谓以管作九寸寸作九分以合八十一终天之数以九作十寸寸作十分以合天地终于十之数似得相约之法而乃亦谓以十乘八十一得八百一十分则犹之乎胡氏蔡氏也至谓管埋地中以候气取其气应者用之不知候气之说皆属伪为不足凭耳若房庶増之起积一千二百黍八字乃为妄増其欲于黄钟之九寸加一以为尺则为赘疣温公论本无之起积一千二百黍八字良是而其以九寸为九十分则亦犹之乎房庶也所以晋梁以来诸尺制律各有容受不同皆坐此分寸不明之故非旁庣盈虚之致也惟程回议三器壹禀于黍而宋祁取厯代尺十五等独以周尺为本似为得之然则造律者必遵何术而可曰古乐亡矣所在者幸有此九寸九分之数千二百黍之文也舍此其奚之焉然而古尺不一莫辨真伪知何尺为九寸则舍黍又奚之焉必也定九寸为黄钟以九分为寸空围九分以实千二百黍算之葢以九寸归千二百黍得毎寸一百三十三黍三分黍之一以九分归一百三十三黍三分黍之一得毎分十四黍八一四八不尽置毎分一十四黍八一四八不尽以九九八十一分乘之得一千二百黍还黄钟之原此其数也其长围之数既定则径自在其中约九为十约十为九无不可者如以十分为寸则分亦十厘亦以十数量围径如以九分为寸则分亦九厘亦以九数量围径均齐得所于黄钟一无增损数既定矣考古称秬黍出上党羊头山可用或谓地有肥瘠种有不同者然秬之言大也似宜于地美种大者用之其实黍则勿论纵横但以容千二百黍为准葢长之分寸与围之分寸同则自无有余不足之弊而分寸径围一皆从此出也程回等论周尺为最想古代之玉尺铜尺或管今载在内府必有存者未之见耳倘见其器如前法约其分寸实以秬黍酌取其近千二百黍者为用以声音正之即此且可辨尺与管之真伪又何论异同哉得黄钟之管然后以勾股宻率布之而律即正矣(勾股宻率见律原)古今律厯考卷三十一
## 卷三十二
钦定四库全书
古今律厯考卷三十二 明 邢云路 撰律吕四律吕辨黄钟三寸九分之非古法黄钟九寸而吕氏春秋乃曰黄帝命伶伦取竹断两节间长三寸九分而吹之为黄钟之宫其后莆田李文利作律吕元声遂亦谓黄钟三寸九分最短其音清后人遂有信之者夫吕不韦在先秦若可信矣然考古黄钟起于冬至为阳阳为九故九寸为宫八十一分以渐而短至羽四十八分自然之数也律以和人声宫属喉喉音浊故国语云大不逾宫细不过羽夫宫音之主也第以及羽管子云聴宫如牛鸣窌中言其浊至羽则如鸣鸟在树言其清自然之声也国语管仲不在不韦之前乎盖黄钟律之九寸为宫九九八十一分宫之八十一三分去一下生徴徴数五十四徴三分益一上生啇商数七十二商三分去一下生羽羽数四十八羽三分益一上生角角数六十四角属木清浊中葢木之声清于土金之声浊于水火之声角声亦清于宫商浊于征羽故角声属木所以清浊中凡数多者浊少者清宫数八十一商数七十二征数五十四羽数四十八角数六十四少于宫商多于征羽故云清浊中尊者为浊卑者为清民则卑于君臣尊于事物则角乃民之象也声之尊卑取象五行者宫主土土声浊其数多故为君商主金金声稍重其数稍多故为臣角主木木声清浊中其数多少中故为民征主火火声稍轻其数稍少故为事羽主水水声极轻其数最少故为物其自然之序如此尔雅与蔡邕俱云管长尺晋志载黄帝玉管长尺六孔为十二月音周语注及月令章句俱云黄钟长九寸葢审度以一尺而推律以九寸是约十为九其数一也况吕不韦六月纪又曰黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕三分损益上下相生以至于仲吕淮南子以黄钟八十一分上下相生与吕氏同此其法即史记汉书黄钟起于九寸八十一相生至于应钟四寸六分四十二之数也夫吕氏既云三寸九分而又用九寸八十一之数以相生已自相抵牾矣若谓吕氏黄钟原非九寸之数而用三寸九分为管依吕氏相生之法布之吕氏以黄钟为上三分去一下生林钟葢以黄钟之三寸九分损其一分之一寸三分以下生林钟得二寸六分吕氏以林钟为下三分益一上生太蔟葢以林钟之二寸六分益其一分之八分六厘六毫六丝六忽不尽以上生太蔟得三寸四分六厘六毫六丝六忽不尽以此俱如法上下相生太蔟损一寸一分五厘五毫五丝不尽下生南吕得二寸三分一厘一毫一丝一忽不尽南吕益七分七厘三丝七忽不尽上生姑洗得三寸八厘一毫四丝八忽不尽姑洗损一寸二厘七毫一丝六忽不尽下生应钟得二寸五厘四毫三丝二忽不尽则自长至短之数也夫管所以吹也管而由三寸余递降至二寸余之短吹之何以成声以被之人声和乎人声之歌咏与金石丝竹诸音其髙下清浊有自然音调今槩以三寸二寸之管吹为尖亮急裂之声以奏之宗庙明堂必无幸矣葢不韦之书集门客为之其语多杂一面云三寸九分一面云损益相生则用古来九寸正法其用九寸正法则是而云三寸九分则非自言而自背之不自知其前后之相矛盾也晋书宋书以讹传讹亦载三寸九分之说皆吕氏启之矣故本朝何文定公读律吕元声议云李文利之法谓黄钟律三寸九分最短蕤宾律九寸最长宫音最清羽音最浊与古法大相反非也葢阳数九故黄钟九寸若谓三寸九分则何所取义乐声与人声各有五音而人声尤为自然喉为宫音舌为商音牙为角音齿为徵音唇为羽音此人声之自然也喉为宫音岂非以其来之深长而浊乎故古法以长律之音为宫以配之唇为羽音岂非以其来之短浅而清乎故古法以短律之音为羽以配之今李氏乃谓宫音最清羽音最浊则与人声之宫羽相反伦类之不通也李法谓数少者音清数多者音浊及论五音之数则谓宫音五十商音八十角音九十徵音七十羽音六十宫音五十最少谓数少音清可也商音次清数乃八十羽音最浊数乃六十又安在其少者清而多者浊乎若谓宫土音故数五十羽水音故数六十则商金音数何以反八十角木音数何以反九十乎土浊水清理不可易今乃谓土音清而水音浊何耶且既以宫为清而羽为浊矣及论乐调则又谓蕤宾为宫则夹钟为羽又安在其宫清而羽浊乎其辩皆是三分损益上下相生吕氏春秋季夏六月纪曰黄钟生林钟林钟生太蔟太蔟生南吕南吕生姑洗姑洗生应钟应钟生蕤宾蕤宾生大吕大吕生夷则夷则生夹钟夹钟生无射无射生仲吕三分所生益之一分以上生三分所生去其一分以下生黄钟大吕太蔟夹钟姑洗仲吕蕤宾为上林钟夷则南吕无射应钟为下淮南子曰黄钟位子其数八十一主十一月下生林钟林钟之数五十四主六月上生太蔟太蔟之数七十二主正月下生南吕南吕之数四十八主八月上生姑洗姑洗之数六十四主三月下生应钟应钟之数四十二主十月上生㽔宾㽔宾之数五十六主五月上生大吕大吕之数七十六主十二月下生夷则夷则之数五十一主七月上生夹钟夹钟之数六十八主二月下生无射无射之数四十五主九月上生仲吕仲吕之数六十主四月极不生之二说者应钟以前上下相生之数与迁固律志同而㽔宾以后与迁固不同蔡季通谓吕氏淮南上下相生虽大吕夹钟用倍数则一然不过以数之多寡为生之上下律吕隂阳皆错乱而无伦近郑世子以吕氏淮南为是而不用三分损益隔八相生谓长律下生短律左旋隔八短律上生长律右旋隔六以勾股算术布之周而复始以余论之皆殊涂而同归也夫三分损益自管子言之无以易矣吕氏淮南法由黄钟至应钟与迁固同勿论独蕤宾以后之各异者葢吕氏淮南以黄钟至仲吕皆属阳㽔宾至应钟皆属隂朱子亦主此说谓子黄钟复卦一阳丑大吕临卦二阳寅太蔟泰卦三阳卯夹钟大壮卦四阳辰姑洗夬卦五阳已仲吕乾卦六阳午㽔宾姤卦一隂未林钟遯卦二隂申夷则否卦三隂酉南吕观卦四隂戌无射剥卦五隂亥应钟坤卦六隂以此为隂阳故自蕤宾之数变下为上而上生大吕以隂生阳大吕变上为下而下生夷则以阳生隂相生以至于仲吕非错乱无伦也迁固则谓从子自亥黄钟太蔟姑洗阳之阳也林钟南吕应钟隂之隂也阳生隂退故律生吕言下生吕生律言上生蕤宾夷则无射隂之阳也大吕夹钟仲吕阳之隂也隂升阳退故律生吕言上生吕生律言下生㽔宾而后因在阳倍之于数既倍故阳反四上生益而隂反倍下生损相生以至于仲吕与吕氏淮南其究竟一也葢二说一以隂阳正位言一以隂阳易位言于理皆合总之于黄钟之位子其数八十一主十一月相生至于仲吕位已其数六十主四月一无所异耳迁固左旋八八为伍以自黄钟而下其相生固分上下而一以左旋顺数并本位为隔八以相生郑世子以下生左旋隔八上生右旋隔六以相生是其左旋之八仲吕可生黄钟犹夫右旋之六仲吕可生黄钟其数不同其归一也故曰殊涂而同归第郑之说较迁固为简约而其以勾股术布周而复始则独优于往昔矣和声汉前志曰黄钟为宫则太蔟姑洗林钟南吕皆以正声应无有忽微不复与他律为役非黄钟而他律虽当其月自宫者则其和应之律有空积忽微不得其正蔡氏谓黄钟正声其他变律半声虽欲役之而不可得惟杜佑通典再生黄钟之法为得之按杜佑通典曰十二律相生之法自黄钟始三分损益下生林钟林钟上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生㽔宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生仲吕此谓十二律长短相生一终于仲吕之法又制十二钟以准十二律之正声又凫氏为钟以律计自倍半以子声比正声则正声为倍以正声比子声则子声为半但先儒释用倍声有二义一义云半十二律正律为十二子声之钟二义云从于仲吕之管寸数以三分益一上生黄钟以所得管之寸数然后半之以为子声之钟其为变正声之法者以黄钟之管正声九寸子声则四寸半又上下相生之法者以仲吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四上生黄钟三分益一得八寸五万九千四十九分寸之五万一千八百九十六半之得四寸五万九千四十九分寸之二万五千九百四十八以为黄钟又上下相生以至仲吕皆以相生所得之律寸数半之以为子声之律故有正声十二子声十二以为二十四蔡氏云此说黄钟九寸生十一律有十二子声所谓正律正半律也又自仲吕上生黄钟黄钟八寸五万九千四十九分寸之五万一千八百九十六又生十一律亦有十二子声即所谓变律变半律也正变及半凡四十八声上下相生最得汉志所谓黄钟不复为他律役之意与律书五声大小次第之法但变律止于应钟虽设而无所用则其实三十六声而已其间阳律不用变声而黄钟又不用正半声隂吕不用正半声而应钟又不用变半声其实又二十八声而已以余论之古传十二律未闻有变律之说也杜佑云子声者即所变之半律而谓有正声十二子声十二共二十四蔡氏则谓变律至于应钟乃自仲吕上生黄钟林钟太蔟南吕姑洗应钟为六变律夫考古六律六吕已自成音谓仲吕二数之不行而强演诸律皆赘疣也汉志谓他律不得其正而蔡氏既以杜佑再生黄钟为得乃又云变律虽设而无所用六变且无所用十二子又焉用之既不得其正而又设之无用则亦觉多术为矣汉后志京房六十律黄钟(子) 黄钟生林钟(未) 林钟生太蔟(寅)太蔟生南吕(酉) 南吕生姑洗(辰) 姑洗生应钟(亥)应钟生蕤宾(午) 㽔宾生大吕(丑) 大吕生夷则(申)夷则生夹钟(卯) 夹钟生无射(戌) 无射生仲吕(已)仲吕生执始(子) 执始生去灭(未) 去灭生时息(寅)时息生结躬(酉) 结躬生变虞(辰) 变虞生迟内(亥)迟内生盛变(午) 盛变生分否(丑) 分否生解形(申)解形生开时(卯) 开时生闭掩(戌) 闭掩生南中(巳)南中生丙盛(子) 丙盛生安度(未) 安度生屈齐(寅)屈齐生归期(酉) 归期生路时(辰) 路时生未育(亥)未育生离宫(午) 离宫生凌隂(丑) 凌隂生去南(申)去南生族嘉(卯) 族嘉生邻齐(戌) 邻齐生内负(巳)内负生分动(子) 分动生归嘉(未) 归嘉生随时(寅)随时生未卯(酉) 未卯生形始(辰) 形始生迟时(亥)迟时生制时(午) 制时生少出(丑) 少出生分积(申)分积生争南(卯) 争南生期保(戌) 期保生物应(巳)物应生质未(子) 质未生否与(未) 否与生形晋(寅)形晋生惟汗(酉) 惟汗生依行(辰) 依行生包育(亥)包育生谦待(未) 谦待生未知(寅) 未知生白吕(酉)白吕生南授(辰) 南授生分乌(亥) 分乌生南事(午)蔡氏言京房觉仲吕不生黄钟故仲吕再生别名执始转生四十八律其三分损益不尽之算不容损益遂或弃之或增之以不盈寸者十之所得为分不盈分者十之所得为小分以其余为强弱虽泛以该之而不知为㡬何则其奇零无时而能尽又依行在辰上生包育编于黄钟之次乃是隔九其黄钟林钟太蔟南吕姑洗毎律统五律㽔宾应钟每律统四律大吕夹钟仲吕夷则无射每律统三律三五不同多寡不例宋何承天刘焯讥房之病葢得其一二然承天与焯增林钟已下十一律之分使至仲吕反生黄钟还得十七万七千一百四十七之数如此则是惟黄钟一律成律他十一律皆不应其数至于杜佑胡瑗范蜀公等皆以意强为之法故通典则自南吕而下各自为法胡范则止用八百一十分而其因乘之法亦用十数故其余筭亦皆弃而不录终亦不可得而齐此则蔡氏之言皆是也且京房演六十律己为悖谬而宋钱乐之至又广为三百六十祗欲附会三百六十当期之说而不知其愈失愈远矣葢三分损益演之无穷不特三百六十而已也而况京房之六十乎蔡季通律吕新书虽载黄钟以下六变律而一则曰变律不得其正一则曰变律虽设而无所用其谓不正无用则诚是也故论律吕宜止依古十二律吕为正杜佑通典曰陈仲儒云调声之体宫商宜浊征羽宜清若依公孙崇止以十二律而云还相为宫清浊悉足非惟未练五调调器之法至于五声次第自是不足何者黄钟为声气之元其管最长故以黄钟为宫太蔟为商林钟为征则一相顺若均之八音犹须错采众声配成其美若以应钟为宫大吕为商㽔宾为征则征浊而宫清虽有其韵不成音曲若以无射为宫则十二律中惟得取仲吕为征其商角羽竝无其韵若以仲吕为宫则十二律内全无所取何者仲吕为十二律之穷变律之首也依京房书仲吕为宫乃以去灭为商执始为征然后成韵而崇乃以仲吕为宫犹用林钟为商黄钟为征何由可谐蔡氏云仲儒所以攻公孙崇者当矣其论应钟为宫大吕为商㽔宾为征商征皆浊于宫虽有其韵不成音曲又谓仲吕为宫则十二律内全无所取尤为的切然仲儒所主是京氏六十律不知依行为宫包育为征果成音曲乎果有其韵乎葢仲儒知仲吕之反生不可为黄钟而不知变至于六则数穷不生虽或増或弃成就使然之数强生余律亦无所用也夫杜佑引仲儒之说谓应钟以下为宫不成音曲而蔡氏谓为京房不成音曲之律其言诚是而谓应钟以下不可为宫则非也葢律之所以名调者言其宫调羽调各自其宫羽起止而其实则一调皆备五音也但其调中之声抑扬髙下有条不紊之为得耳如今之鼓琴者鼓宫调则多雄洪之声而其中未必无清切者鼓羽调则多清切之声而其中未必无雄洪者是也人声之歌亦如之况十二律皆可为宫其曰宫音浊而余音清者特自黄钟之一调言之若旋相为宫则借清为宫清音即宫为本均之主而余音清浊不同不妨命之为商角徵羽以次抑扬髙下不失其伦各成一调也犹夫易地亦然之意则何应钟不可为宫之有此律之所以贵变通也周景王问七律泠州鸠对曰凡神人以数合之以声昭之数合声龢然后可同也故以七同其数而以律龢其声于是乎有七律韦氏注七律黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫㽔宾为变徵是也春秋晏子曰先王之济五味和五声也声亦如味五声六律七音以相和也乐记曰声相应故生变变成方谓之音比音而乐之谓之乐唐杨收谓二变亦曰比葢比即变也七音古人谓之七始伏生以为出于舜世其名义最古汉律厯因载七始之说杜佑通典注则云殷以前但有五音周以来加文武二声谓之七声五声为正二声为变变者和也史记刺客传髙渐离击筑荆轲和而歌为变徵之声士皆垂泪涕泣又前而歌曰风萧萧兮易水寒壮士一去兮不复还复为羽声忼慨士皆瞋目髪尽上指冠蔡氏曰二变可以济五音之所不及有五音而无二变亦不可以成乐也朱子曰律吕有十二然用时只使七斯则五声二变其来远其说详矣葢十二律各自为均而一均之中各备七音所谓宫商角徵羽及变宫变徵方成调也乃陈𤾉专用五声而黜二变则失之矣周礼春官大司乐凡乐圜钟为宫黄钟为角太蔟为征姑洗为羽雷鼓雷鼗孤竹之管云和之琴瑟云门之舞冬日至于地上之圜丘奏之若乐六变则天神皆降可得而礼矣凡乐函钟为宫太蔟为角姑洗为征南吕为羽灵鼓灵鼗孙竹之管空桑之琴瑟咸池之舞夏日至于泽中之方邱奏之若乐八变则地示皆出可得而礼矣凡乐黄钟为宫大吕为角太蔟为征应钟为羽路鼔路鼗隂竹之管龙门之琴瑟九德之歌九㲈之舞于宗庙之中奏之若乐九变则人鬼可得而礼矣夫圜钟乃夹钟也夹钟为宫则以仲吕为商林钟为角无射为征黄钟为羽黄钟为角则以夹钟为征仲吕为羽夷则为宫无射为商太蔟为征则以姑洗为羽林钟为宫南吕为商应钟为角姑洗为羽亦以林钟为宫南吕为商应钟为角太蔟为征函钟乃林钟也林钟为宫则以南吕为商应钟为角太蔟为征姑洗为羽太蔟为角则以仲吕为征林钟为羽无射为宫黄钟为商姑洗为征则以蕤宾为羽南吕为宫应钟为商大吕为角南吕为羽则以黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征黄钟为宫则以太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽大吕为角则以姑洗为征蕤宾为羽南吕为宫应钟为商太蔟为征则以姑洗为羽林钟为宫南吕为商应钟为角应钟为羽则以太蔟为宫姑洗为商㽔宾为角南吕为征圜钟在卯帝出乎震黄钟在子一阳来复太蔟姑洗夹列卯门故用以祀天从卯至申其数六故云六变也函钟在未致养乎坤太蔟南吕同位聚妻南吕姑洗隔八生子故用以祭地从未至寅其数八故云八变也黄钟大吕子与丑合太蔟应钟寅与亥合北方四律幽隂之义故用以享鬼从子至申其数九故云九变也蔡氏曰此祭祀之乐不用商声只有宫角徵羽四声无变宫变征葢古人变宫变徵不为调也左氏传曰中声以降五降之后不容弹矣夫五降之后更有变宫变徵而曰不容弹者以二变之不可为调也朱子曰此降神之乐如黄钟为宫大吕为角太蔟为征应钟为羽自是四乐各举其一者而言之以大吕为角则南吕为宫太蔟为征则林钟为宫应钟为羽则太蔟为宫以七声推之合如此注家之说非也又曰所谓黄钟宫大吕角这便是调如头一声是宫声尾一声亦是宫声便是宫调其中按拍处五音依旧都用不只是全用宫是朱子之言是也葢乐必具五音或谓周祭祀不用商调者避殷所尚也纵避殷所尚止不用商起调而非调中之无商声也凡乐章起调毕曲为一调犹今时曲仙吕调越调之类如宫调起调毕曲用宫声而中则五声二变七音皆备故宋史乐志云正律之外有黄钟大吕太蔟夹钟之四清声葢自夷则至应钟四律为均之时若尽用正声则宫轻而商重缘宫声以下不容更有浊声一均之中宫弱商彊是谓陵僣故须用子声乃得长短相叙自角而下亦循兹法故夷则为宫则黄钟为角南吕为宫则大吕为角无射为宫则黄钟为商太蔟为角应钟为宫则大吕为商夹钟为角葢黄钟大吕太蔟夹钟正律俱长竝当用清声如此则音律相谐而无所抗此四清之可用也夫四清且用则岂有调中不用商声之理耶李照陈𤾉不知而黜四清徒欲坏古旋宫之法所谓不知音而不可与言乐者也然调亦有变者如宋玉曰客有歌于郢中者为阳春白雪引商刻羽杂以流徵荆轲歌变徴之声又复为羽声夫郢歌阳春白雪忽然而杂以商征羽轲歌变徵复为羽声斯调且有变也而况于音然则乐何可以执一论古今律厯考巻三十二
## 卷三十三
钦定四库全书
古今律厯考卷三十三 明 邢云路 撰律吕五律吕候气后汉志载律可以相传者惟候气而已天效以景地效以响即律也隂阳和则景至律气应则灰除是故天子常以日冬夏至御前殿合八能之士陈八音听乐均度晷景候钟律权土灰放隂阳冬至阳气应则乐均清景长极黄钟通土灰轻而衡仰夏至隂气应则乐均浊景短极蕤賔通土灰重而衡低进退于先后五日之中八能各以候状闻太史封上效则和否则占其法闭室布缦使不通风案律加灰气至灰去其为气所动者其灰散人及风动者其灰聚殿中用玉律十二惟二至乃候灵台用竹律六十候如其厯隋志载后齐神武霸府田曹叅军信都芳深有巧思能以管候气仰观云色尝与人对语即指天曰孟春之气至矣人徃验管而飞灰已应每月所候言皆无爽又为轮扇二十四埋地中以测二十四气每一气感则一扇自动他扇自住与管灰相应若符契焉隋开皇九年平陈后髙祖遣毛爽及蔡子元于普明等以候节气依古于三重密室之内以木为按十有二具每取律吕之管随十二辰位置于按上而以土埋之上平于地中实葭莩之灰以轻缇素覆律口每其月气至与律冥符则灰飞冲素散出于外而气应有早晚灰飞有多少或初入月其气即应或至中下旬间气始应者或灰飞出三五夜而尽或终月才飞少许者髙祖异之以问牛𢎞牛𢎞对曰灰飞半出为和气吹灰全出为猛气吹灰不能出为衰气吹和气应者其政平猛气应者其臣纵衰气应者其君暴髙祖駮之曰臣纵君暴其政不平非日别而月异也今十二月于一岁之内应用不同安得暴君纵臣若斯之甚也𢎞不能对令爽等草定其法爽因稽诸故实以著于篇名曰律谱其畧谓汉世制律互有得失至魏代杜夔制律候气灰悉不飞晋光禄大夫荀朂得古铜管校夔所制长古四分方知不调事由其误乃依周礼更造古尺用之定管声韵始调左晋之后渐又讹谬至梁武帝时犹有汲冢玉律宋苍梧时鑚为横吹然其长短厚薄大体具存臣先人栖成学筭祖暅问律于何承天沈研三纪颇达其妙后为太常丞典司乐职乃取玉管及宋太史尺并以闻奏诏付大匠依様制管自斯以后律又飞灰侯景之乱臣兄喜于太乐得之后陈宣帝诣荆州为质俄遇梁元帝败喜没于周适欲上闻陈武帝立遂以十二管衍为六十律私候气序并有征应至太建乃与均钟器合考之淮南子曰水胜故夏至湿火胜故冬至燥燥故灰轻湿故灰重许鲁斋云蔡西山所述月令章句蔡邕说也如邕所云则是为十二月肆布室内十二辰若其月气至则辰之管灰飞而管空管斜埋地下入地处庳出地处髙故曰内庳外髙黄钟埋于子位上头向南蕤賔埋于午位上头向北夹钟埋于卯位上头向西南吕埋于酉位上头向东其余八律亦各依其辰位又律书云以宜阳金门山竹为管以河内葭莩为灰熊氏云灰实律管覆以罗縠气至则吹灰动縠又长乐陈氏曰候气之法造室三重各启门为门之位外之以子中之以午内复以子所谓九闭之中也盖布缇缦室中上圆下方依辰埋管使其端与地齐而以薄纱覆之中秋白露降采葭莩为灰加管端以候气为气所动者灰散为物所动者灰聚蔡元定律吕新书载其升降之数以十二律之分厘毫丝忽定升灰之分厘毫丝忽韩苑洛志乐亦主其说以上诸家之论详哉其言之矣以余论之后汉志载律制莫能辨其相传惟候气曰相传则必古法也古法不知传自何代考候气之法不见经典而纬书有之天子常以日冬夏至合八能之士听乐度晷权灰候占之说纬书之文也纬书乃后人伪为之未可尽信后汉志乃载闭室布缦案律飞灰之法使果如其法各律各从辰位皆应气而灰飞也岂不神妙抑如芳深观云动扇与灰合契毛爽气至灰符与其父兄管尺飞灰皆应及蔡氏所载升降之数如其分厘毫丝忽不爽也岂不如神然何乃开皇候气或初入月应或中下旬应或灰飞三五夜尽或终月才飞少许牛𢎞三说隋帝难之而无以应耶曰此正其候气之不足凭也盖冬至一阳生古人于此候气验其阳气上升则有之嗣是一阳既升气腾而上无日不飞岂有必待一气之变所埋管灰始升寸内数分之理又岂有一处按方并埋十二管而某气至止某管飞灰之理且均一室也子位埋九寸之管则黄钟飞余十一管皆不飞此室假北移数武则子不可为午乎然则黄钟之飞灰又变而为蕤賔不飞之灰乎则何以应焉即观开皇之应不一其日或三五夜尽或终月才飞少许者可知也终月才飞少许则灰且不飞矣况应律管之丝忽及升灰数之丝忽哉丝忽之数谁见之而谁量之耶纵曰应矣如冬至阳在下故用九寸大寒至小满阳渐升管渐短其说犹通若夏至后则阳气下降管宜渐长也乃大暑较夏至渐短至小雪寒极阳气深入地中而管却止四寸六分耶小雪用四寸六分短管即可接灰而上过此一节乃阳气又突然濳入深地须用九寸长管方得飞灰耶夫岂升降消息渐次之常也此不通之论不俟言之毕而明者况地有南北燥湿不同南方冬月地犹生物北方地寒正月地犹冻二三尺以寒冬子月加九寸之管岂能下通故曰候气之不足凭也若淮南子燥湿轻重之说亦无稽之谈耳然则芳深扇动灰飞及毛氏父子候气之验皆非欤嘻我知之矣扇之动灰之飞皆机也机通其窍人鼓其机扇动灰飞时刻不爽暗作假事以欺人主犹如巧术之制木人应期而捧时铜人如候而鸣钟从古有之其机犹是也歴代欺以传欺至今钦天监官诣顺天府用机械造假灰候气于立春等节以告人曰灰飞矣以入告曰灰飞矣将谁欺欺天乎审度周礼典瑞璧羡以起度玉人璧羡度尺好三寸以为度易纬通卦验以十马尾为一分淮南子曰秋分蔈定蔈定而禾熟律之数十二故十二蔈而当一粟十二粟而当一寸说苑曰度量权衡以粟生之一粟为一分十分为一寸孙子筭术曰蚕所吐丝为忽十忽为丝十丝为毫十毫为厘十厘为分十分为寸汉前志曰度本起黄钟之长以子榖秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣隋志有十五等尺一周尺乃王莽时刘歆铜斛尺后汉光武建武铜尺晋荀朂律尺为晋前尺祖冲之所传铜尺晋武帝泰始九年中书监荀朂校太乐八音不和始知为后汉至魏尺长于古尺四分有余朂乃依周礼制尺所谓古尺依古尺更铸铜律吕以调声韵以尺量古器与本铭尺寸无差又汲郡盗发魏襄王冢得古周时玉律及钟磬与新律声韵暗同于时郡国或得汉时故钟吹新律命之皆应梁武钟律纬云祖冲之所传铜尺其铭曰晋泰始十年中书考古器揆校今尺长四分半所校古法有七品一曰姑洗玉律二曰小吕玉律三曰西京铜望臬四曰金错望臬五曰铜斛六曰古钱七曰建武铜尺姑洗微强西京望臬微弱其余与此尺同此尺者朂新尺也今尺者杜夔尺也按此尺出于汲冢之律与刘歆之斛最为近古盖汉去古未远古之律度量权衡犹在也故班氏所志无诸家异同之论王莽之制作虽不足据然律度量衡当不敢变于古也自董卓之乱而乐律散亡故杜夔之律围径差小而尺因以长荀朂虽定此尺然其乐声髙急不知当时律之围径又果何如后周以玉斗生律玉斗之容受似为近古然当时以斗制律围径不及三分其尺遂长于此尺一寸五分八厘则皆由律围径之误也若司马公所传此尺出于王莽之法钱盖丁度所奏高若讷所定者虽其年代乆远轮郭不无消毁然其大约近之二晋田父玉尺即梁法尺实比晋前尺一尺七厘世说称有田父于野地中得周时玉尺便是天下正尺荀朂试以校已所造金石丝竹皆短校一米梁武帝有玉律一口箫余定七枚夹钟有昔题刻迺制为尺以相叅验以新尺制为四器名曰通此两尺近同三梁表尺实比晋前尺一尺二分二厘有竒萧吉云出于司马法梁朝刻其度于影表以测影此即祖暅所筭造铜圭影大业中用以调律四汉官尺始平掘地所得实比晋前尺一尺三分七毫萧吉云汉章帝时零陵文学史奚景于冷道县舜庙下得玉律度为尺傅畅晋诸公讃云荀朂新造钟律时人并称其精密惟陈留阮咸讥其声髙后始平掘地得古铜尺歳久欲腐以校荀朂今尺短校四分时人以咸为神觧此两尺长短近同五魏尺杜夔所用调律实比晋前尺一尺四分七厘按刘徽九章注云此尺长于王莽斛尺四分五厘然即其斛分以二千龠约之知其律止容七百二十分六厘有竒则其径为三分三厘弱其斛分数与王莽斛分虽不同而其容受多寡相去未悬远也六晋后尺实比晋前尺一尺六分二厘萧吉云晋氏江东所用七后魏前尺实比晋前尺一尺二寸七厘八中尺实比晋前尺一尺二寸一分一厘九后尺实比晋前尺一尺二寸八分一厘此后魏初及东西分国后周未用玉尺之前杂用此等尺十东后魏尺实比晋前尺一尺五寸八毫魏史律厯志云公孙崇永平中更造新尺以一黍之长累为寸法太常卿刘芳受诏修乐以秬黍中者一黍之广即为一分乆之不决十一蔡邕铜龠尺实比晋前尺一尺一寸五分八厘从上相承有铜龠一以银错题其铭祖孝孙云相承传是蔡邕铜龠后周武帝保定中诏遣卢景宣长孙绍远斛斯征等累黍造尺从横不定后因修仓掘地得古玉斗以为正器据斗造律度量衡因用此尺大赦改元天和百司行用终于大象之末其律与蔡邕古龠同按铜龠玉斗二者当是古之嘉量当时据斗造尺但以容受乘除求之然自魏而下论律者多惑于三分之径今以隋志所载玉斗容受析之为一十一万八百分有竒一斗计二百龠以二百约之得五百五十四分有竒为一龠之分以筭法攻之其径不及三分故其尺律遂长十二宋氏尺实比晋前尺一尺六分四厘开皇初调钟律尺及平陈后调钟律水尺此宋代人间所用尺传入齐梁陈以制乐制与晋后尺及梁时俗尺刘曜仪尺略相依近其后宣帝时达奚震及牛𢎞等议今之铁尺是太祖遣尚书故苏绰所造当时检勘用为前周之尺验其长短与宋尺符同即以调钟律并用均田度地十三开皇十年万寳常所造律吕水尺实比晋前尺一尺一寸八分六厘与祖孝孙相近然亦皆径三分法十四杂尺实比晋前尺一尺五分十五梁朝俗间尺实比晋前尺一尺七分一厘以上十五等尺诸代不同多由于累黍及围径之误也五代王朴尺比汉前尺一尺二分宋和岘用景表石尺比汉前尺一尺六分李照布帛尺比汉前尺一尺三寸五分阮逸胡瑗尺横累一百黍与景表尺同邓保信尺纵累百黍短于大府尺九分大晟乐尺徽宗指三节为三寸长于王朴尺二寸一分又考古物之有分寸明著史籍可以酬验者惟有法钱周之圜法半两重八铢汉初四铢其文亦曰半两孝武之世行五铢下洎隋朝多以五铢为号既厯代尺度屡改故小大轻重鲜有同者刘歆制铜斛之世所铸有错刀大泉五十王莽天凤间改铸货布货钱之类唐会要武徳间行开元通寳钱径八分以为得中六典大泉错刀货布货钱小大轻重不皆中度宋以景表尺较汉钱尺并大泉错刀等类厯代沿革不一固若斯也右审度诸说不同而各有辨焉昔夏禹以身为度通志曰夏禹十寸为尺成汤十二寸为尺武王八寸为尺又周家十寸八寸皆为尺以十寸之尺起度则十尺为丈十丈为引以八寸之尺起度则八尺为寻倍寻为常且古称丈夫谓人长丈也周礼则谓人长八尺夫厯代之尺既不同而周之十寸八寸皆为尺然则所谓以身为度者或长丈或长八尺八尺即丈代度不同故也故黄钟之数九其寸而为律十其寸而为尺即古云长九寸长八寸十分一之类尺异而律同也汉志不知乃欲加黄钟一寸为尺误矣典瑞璧羡度尺好三寸以为度郑司农云羡径也好璧孔也尔雅曰肉倍好谓之璧郑康成曰羡不圆之貎延其袤一尺而广狭焉疏言引尔雅欲见此璧好三寸好即孔也两畔肉各三寸两畔共六寸是肉倍好也六寸三寸共九寸为璧之径是乃九分之寸九九八十一分正合黄钟九其寸之律若十其寸为尺则为十寸之尺为径长尺故曰度尺所谓以为度也非谓以好之三寸为度也先郑释羡为径是后郑释羡为延非康成谓羡不圆延其袤一尺而广狭焉者盖以璧应圜九寸减广一寸以益上下之袤一寸则上下一尺广八寸狭为八寸此说非也淮南言蔈者禾之芒十二蔈当一粟十二粟当一寸说苑言一粟为一分夫五榖不同不知当时所指之粟为何粟易纬以十马尾为分与孙子论寸分厘毫丝忽皆近是汉志度黍之讹则余于议律长短围径数章辨之详矣若隋志十五等尺及五代王朴以后诸尺累代各殊或失之长或失之短间虽有合古者第其式多不存真伪何从而辨至于法钱等物其轻重大小且不同亦安得据此以辨尺耶余故云古尺不一莫辨真伪无已则惟以黍约之而已古称子榖秬黍中者子北方北方黑谓黑黍也秬之言大谓大黍也取上党之秬黍酌千二百黍之数实之而复以人声正之如余议律长短围径章术以得黄钟之管黄钟定则十二律皆定而度量衡一以贯之矣盖三物一禀于律度量衡有不同而律则无不同故虞书曰同律度量衡律先于度正谓此也论五度所起则十纎为㣲十㣲为忽十忽为丝十丝为毫十毫为厘五度正数则十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引是嘉量周礼冬官考工记㮚氏为量金有六齐六分其金而钖居一谓之钟鼎之齐㮚氏为量改煎金钖则不耗不耗然后权之权之然后准之准之然后量之量之以为鬴深尺内方尺而圜其外其实一鬴其臋一寸其实一豆其耳三寸其实一升重一钧其声中黄钟之宫其铭曰时文思索允臻其极嘉量既成以观四国永启厥后兹器惟则左传晏子曰齐旧四量豆区釡钟郑注云四升曰豆四豆曰区四区曰鬴各自其四以登于鬴鬴六斗四升也鬴十则钟六十四斗也鬴方尺积千寸比于今粟米法少二升八十一分升之二十二考工记曰庾实二鬴论语曰与之釜与之庾仪礼曰十斗曰斛十六斗曰䉤十䉤曰秉注云今文䉤为逾逾即庾也小尔雅曰钟二谓之秉秉十六斛陈氏三量五豆为区五区为釡十釡为钟管子曰釡鏂之数不得为侈弇孔子家语曰黄帝设五量曰区曰釡曰庾曰钟曰秉此五者量之大者也曰圭曰撮曰合曰升曰斗此五者量之小者也孙子筭术曰六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮为勺十勺为合应劭曰圭者自然之形隂阳之始四圭为撮孟康曰六十四黍为圭汉志曰量者龠合升斗斛所以量多少也本起于黄钟之龠用度数审其容以子榖秬黍中者千有二百实其龠以井水准其槩合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五嘉量矣其法用铜方尺而圆其外旁有庣焉其上为斛其下为斗左耳为升右耳为合龠其状似爵以縻爵禄上三下二参天两地圜而函方左一右二隂阳之象也其圜象规其重二钧备气物之数各万有一千五百二十声中黄钟之宫始于黄钟而反复焉其斛铭曰律嘉量斛方尺而圆其外庣旁九厘五毫羃百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗祖冲之以圆率考此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九抄二忽庣旁一分九毫有奇刘歆庣旁少一厘四毫有奇魏陈留景元四年刘徽注九章商功曰当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘深一尺积一千四百四十一寸十分之三王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘径一尺三寸六分八厘七毫以徽术计之于今斛为容九斗七升四合有奇此魏斛大而尺长王莽斛小而尺短也梁陈依古齐以古升五升为一斗后周武帝晋国造仓获古玉斗改制铜律累黍积龠与衡度无差惟为铜升径七寸一分深二寸八分重七斤八两今若以数计之玉升积玉尺一百一十寸八分有奇斛积一千一百八十五分七厘三毫九抄又甄鸾筭术云玉升一升得官斗一升三合四勺此玊升大而官斗小也以数计之甄鸾所据后周官斗积玉尺九十七寸有奇斛积九百七十七寸有奇后周玉斗并副金错铜斗及建徳六年金错题铜斗实铜以秬黍定量以玉秤权之一斗之实皆重六斤十三两隋开皇以古斗三升为一升大业初复依古斗唐六典量容千二百黍为龠二龠为合十合为升十升为斗三斗为大斗十斗为斛宋范镇论周鬴方尺者八寸之尺深尺者十寸之尺且创为圆分之说谓圆分一当方分四分之三陈旸乐书所载斛图盖范镇之斛也右嘉量之说详矣夷考周礼㮚氏之量正也嗣是代度不同量亦各异如一斛也而有容九斗七升者十斗者有魏斛大尺长王莽斛小尺短者有五升为斗者有玉升大官斗小者有积与重不同者诸如此类更相是非然不知代制不同岂能齐一况其式不存真伪莫辨无已亦惟以黍约管定尺即尺求斛守㮚氏之术而量正矣盖㮚氏嘉量鬴方尺深尺外圆函方以句股求弦术句十寸自之得百寸股十寸自之得百寸相并二百寸开方除之得弦一尺四寸一分四厘二毫一丝三忽五㣲六纎为鬴之内径以径取周秘法三一二六乘之得四尺四寸二分八毫三丝一忽五㣲六纎为鬴之内周周自之得一十九尺五寸四分三厘七毫五丝一忽六㣲七纎以周取围秘法十三而一得一百五十寸三分三厘六毫五丝五忽一㣲三纎为鬴之面幕以深十寸乘之得一千五百三寸三分六厘五毫五丝一忽三㣲为鬴之积实是也鬴重一钧三十斤叩之声中黄钟之宫考㮚氏言金者铜也铜加锡谓之齐煎至不耗权以眡其轻重之齐准以眡其髙下之平量以眡其多寡之均然后以之为鬴平正应准并无侈弇若陈氏图状如酒尊则有侈弇不端正矣非是范镇谓周鬴方尺者八寸之尺深尺者十寸之尺方八寸圆其外庣其旁则羃一百三寸六分八厘深十寸则积一千三十六寸八分与汉斛同蔡元定信之亦非是若所谓周家八寸十寸皆为尺者或别有所用而非一物两用也至镇圆分之说又以圆其外为唇陈𤾉所载图者蔡元定深非之以为自古筭法无圆分则诚当矣周公之鬴重三十斤声中黄钟之宫铭曰嘉量启后惟则至精也若王莽之斛重倍之而亦云中黄钟之宫岂理也哉且于尺外之庣添九厘五毫以容十斗至取法上三下二左一右二之象使一耳偏大一耳偏小皆属凿妄圣人制器方圆均齐岂有庣偏即管子云无侈弇并唐斛左右耳与臋之皆方可知其无庣偏大小之说也若郑𤣥方尺千寸之说则止就方内言而于圆容遗之矣歴代量之参差者勿论大都汉量其制小唐量其制大以秬黍考之古量当唐十分之三颇与六典合则其善也详论五量所起则六十黍为圭四圭为撮十撮为合十合为升十升为斗此孔子所云黄帝五量之小也五量正数则四豆为区五区为釡倍釡为庾五庾为钟倍钟为秉此孔子所云黄帝五量之大也前汉志曰量多少者不失圭撮则圭撮乃数之始也应劭曰四圭为撮许氏说文亦曰撮四圭也孟康曰六十四黍为圭若以六十四黍为圭一撮凡二百五十六黍以一龠千二百黍求之则一龠为四撮六十八分太之零则何以成数然则一龠宜五撮凡二百四十黍撮四圭圭六十黍为当孟康六十四黍之圭或用黍之稍小者未可知也五撮为龠得千二百黍即黄钟一龠之数龠必以井水准其槩者惟水为平也倍龠十撮为合容二千四百黍为两龠之实所谓合龠为合刘歆以龠斛为五量误矣十合为升二万四千黍为二十龠十升为斗二十四万黍为二百龠若孙子以六粟为圭以至十勺为合夫圭以六粟则太少勺以六万粟则太多无一可者摠不经之妄谈耳晏子以四升为豆各自其四以登于釡釡十则钟考管子云齐西之粟釡百泉则鏂二十也齐东之粟釡十泉则鏂二泉也夫釡粟百钱而区二十钱釡粟十钱而区二钱则五区为釡明甚非四区为鬴也以考工记庾实二鬴论语与之釡庾仪礼十斗为斛十六斗为䉤十䉤为秉注䉤即逾即庾小尔雅钟二为秉凡十六斛诸说合观之所谓二钟为秉秉十六斛则钟乃八斛也所谓十斗为斛十釡为钟则钟乃八十斗釡乃八斗也所谓十六斗为䉤即庾实二鬴则鬴亦八斗也五量所起圭撮合升斗五量正数区釡庾钟秉此皆自千二百黍黄钟之一龠上下衍之下至圭之六十黍上至秉之三万二千龠为数之切近精实无遁情者岂容私意于其间哉乃若晏子所谓各自其四以登于鬴者盖四升为豆四豆十六升为区固以四而登五区为釡釡乃八斗十釡为钟钟乃八斛二四为八亦以四而登晏子之言意或如此其陈氏三量则每量各加四分之一五豆为区区乃二十升五区为釡釡乃百升十釡为钟钟乃百斗比旧为多故晏子曰钟乃大矣郑注六斗四升为釡或康成时釡用六斗四升非周制也范镇则谓周以八寸尺为量八八六十四故容六斗四升直臆说耳论语注釡六斗四升乃袭郑氏之旧说亦误权衡虞书曰在璇玑玉衡夏书曰有典有则贻厥子孙闗石和钧王府则有周礼冬官考工记玉人之事驵琮七寸鼻寸有半寸天子以为权国语单穆公曰先王之制礼也大不出钧重不过石律度量衡于是乎生小大器用于是乎出故圣人慎之孔子曰谨权量四方之政行焉孟子曰权然后知轻重月令仲春仲秋日夜分则平权衡正均石小尔雅曰斤十谓之衡衡有半谓之秤秤二谓之均均四谓之石石四谓之鼓应劭曰十黍为絫十絫为铢说文曰锱六铢也又谓之分王肃云八两为锱淮南子曰十二粟而当一分十二分而当一铢十二铢而当半两衡有左右因倍之故二十四铢为一两天有四时以成一岁因而四之四四十六故十六两为一斤三月而为一时三十日为一月故三十斤为一钧四时而为岁故四钧为石汉前志曰衡权者衡平也权重也衡所以任权而均物平轻重也本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢两之为两二十四铢为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石五权谨矣五权之制圜而环之令肉倍好周旋无端终而复始无穷已也权与物均而生衡衡运生规规圜生矩矩方生绳绳直生凖凖正则衡平而钧衡矣是为五则备于钧器以为大范凡律度量衡用铜者名自名也所以同天下齐风俗也铜为物之至精不为燥湿寒暑变其节不为风雨暴露改其行介然有常有似于士君子之行是以用铜也赵书石勒得圆石状如水碓其铭曰律权石重四钧同律度量衡有辛氏造续咸议是王莽时物后魏并州人献古铜权一枚其铭曰律权石重四钧黄帝初祖徳市于虞虞帝始祖徳市于辛此亦王莽所制也隋开皇中以古斗三升为一升以古称三斤为一斤以一尺二寸为一尺大业中依复古法唐贞观时叶律郎张文收定乐铸铜律三百五十六铜斛二铜秤二铜瓯十四秤尺一斛左右耳与臋皆正方积十而登以至于斛乃累黍所定与古玉斗相符后以宋常用度量校之尺当六之五衡量皆三之一宋太宗诏刘承珪制法物取秬黍广十黍为寸从大乐黄钟之尺因度尺而求厘自积黍而取絫然后以分而推忽为定数之端忽万为分丝则千毫则百厘则十转以十倍自一万忽至十万忽倍之则为一钱十黍为絫百黍为铢一两合二十四铢为二千四百黍之重二铢四絫为钱二絫四黍为分一絫二黍重五厘六黍重二厘五毫三黍重一厘二毫五丝则黍絫之数成矣由黍絫而齐其斤石不可得而增损其则用铜而镂文以识其轻重新制既定奸弊无所措中外以为便右权衡之制其说详矣盖自有天圆地方即有规矩权衡之象权以生衡其为衡也在天为斗魁之柄助佐天枢璇玑近挹天权絜开阳揺光斟酌建指以齐七政故曰玉衡厯代以来帝王圣贤皆以权衡为重钧与石乃五权之最重者故夏后贻厥子孙以为典则周礼玉琮七寸鼻一寸五分以为权故有鼻也以组系之故曰驵琮月令春秋二仲昼夜各五十刻干度均平故于此二时平正权衡即舜察玉衡法天齐政之义也小尔雅应劭说文之数皆是锱铢小数未应悬逺王肃注八两非淮南子以十二粟当一分十二分当一铢十二铢当半两半两即一龠也龠凡千二百黍以淮南之粟计之一铢得一百四十四粟一龠得一千七百二十八粟多黍五百二十八矣想粟较黍小之故至铢两而上以至钧石则其数悉协矣权周用玉汉用铜其形如环体为肉孔为好外径九寸内径三寸重三十斤与嘉量同但王莽所造假帝王以欺后隋唐宋各有制有三为一者一之二为一者当六之五三之一者皆无的据可考然宋制纎悉之数则悉合符是为宻也论五权所起则权起于黍秬黍一粒也十黍为絫即累十累为铢六铢为锱又谓之分四锱为两量黄钟两龠二千四百黍之重五权正数则十六两为斤一两二千四百黍为一合一斤凡一升六合黍之重十斤为衡三衡为钧四钧为石四石为鼔量七石六斗八升黍之重是也郑世子考羊头山秬黍以时制等则秤之百粒得二分五厘积至两龠二千四百粒重六钱则今之六钱为古一两以约度量今之八寸即古一尺今之三斗即古一斛度以八为率量以三为率权以六为率故也古今律厯考卷三十三
## 卷三十四
钦定四库全书
古今律厯考卷三十四 明 邢云路 撰律吕六律吕歴代乐论古帝王之乐第有其名多不可考惟陈舜之后韶乐在焉陈公子完奔齐故孔子适齐闻韶三月不知肉味曰不图为乐之至于斯美之甚也于武王之大武则以为未尽善其告賔牟贾曰乐者象成者也总干而山立武王之事也发扬蹈厉太公之志也武乱皆坐周召之治也(总干持盾山立正立象武王威立以待诸侯太公志在鹰扬武乱武之治也皆坐以象人无事)周公作勺又有房中之乐以歌后妃之徳王出入则令奏王夏尸出入则令奏肆夏牲出入则令奏昭夏凡日月蚀四镇五岳崩大傀异灾诸侯薨令去乐大札大凶大灾大臣死凡国之大忧令弛悬凡建国禁其淫声过声凶声慢声(勺酌同勺祖道也傀怪也淫郑卫过失节凶亡国声慢桑间类)师旷曰吾歌北风又歌南风南风不竞多死声楚必无功北风者夹钟无射以北南风者姑洗南吕以南南律气不至故死声多也濮水之上地有桑间者亡国之音于此水出也当纣时使师延作靡靡之乐已而自沉于濮水后卫灵公将之晋舍濮水之上夜半闻鼓琴之声问左右皆对曰不闻乃召师㳙听而写之至晋见平公公享之灵公令师㳙坐师旷之旁援琴鼓未终师旷曰此亡国之声昔师延所作也与纣为靡靡之乐武王伐纣师延东走自投濮水之中故闻此声必于濮水之上闻之也魏文侯问于子夏曰吾端冕而听古乐则唯恐卧听郑卫之音则不知倦何也子夏对曰今夫古乐进旅退旅和正以广弦匏笙簧会守拊皷始奏以文复乱以武治乱以相讯疾以雅君子于是语于是道古修身及家平均天下此古乐之发也(旅犹俱也俱进俱退齐一也文鼔也武金也相即拊也雅亦乐)(器名)今夫新乐进俯退俯奸声以滥溺而不止及优侏儒獶杂子女不知父子乐终不可以语不可以道古此新乐之发也(俯犹曲也不齐一也獶狝猴言舞者如狝猴戯乱男女之尊卑)古者天地顺而四时当民有徳而五榖昌疾疢不作而无妖祥此之为大当然后圣人作为父子君臣以为纪纲纪纲既正天下大定天下大定然后正六律和五声弦歌诗颂此之谓徳音徳音之谓乐诗云莫其徳音其徳克明克明克类克长克君王此大邦克顺克俾比于文王其徳靡悔既受帝祉施于孙子此之谓也(徳正应和曰莫俾当为比)今君之所好者其溺音乎郑音好滥淫志宋音燕女溺志卫音趣数烦志齐音敖辟乔志此四者皆淫于色而害于徳是以祭祀弗用也(燕安也趣数读为促速烦劳也)圣人作为鞉鼓椌楬埙箎然后钟磬竽瑟以和之钟声铿铿以立号号以立武君子听钟声则思武臣石声磬磬以立辨辨以致死君子听磬声则思死封疆之臣丝声哀哀以立亷㢘以立志君子听琴瑟之声则思志义之臣竹声滥滥以立会会以聚众君子听竽笙箫管之声则思畜聚之臣鼓鼙之声讙讙以立动动以进众君子听鼔鼙之声则思将帅之臣君子之听音非听其铿锵而已也彼亦有所合之也秦始皇平天下六代庙乐唯韶武存焉二十六年改周大武曰五行房中曰夀人衣服同五行乐之色二世尤以郑卫之音为娱汉兴乐家有制氏(鲁人善乐)以雅乐声律世世在太乐官但能纪其铿锵鼓舞而不能言其义故髙祖时叔孙通因秦乐人制宗庙乐大祝迎神于庙门奏嘉至(嘉善也善神之至)犹古降神之乐也皇帝入庙门奏永至以为行歩之节犹古采荠肆夏也干豆上奏登歌(干豆脯羞之属)独上歌不以管弦乱人声欲在位者徧闻之犹古清庙之歌也登歌再终下奏休成之乐美神明既飨也(休成叔孙通作)皇帝就庙东厢坐定奏永安之乐美礼已成也又有房中祠乐髙祖唐山夫人所作也周有房中乐至秦名曰夀人凡乐乐其所生礼不忘本髙祖乐楚声故房中乐楚声也又作昭容乐礼容乐昭容者犹古之昭夏也主出武徳舞礼容者主出文始五行舞大抵皆因奏旧事孝惠二年使乐府令夏侯寛备其箫管更名曰安世乐孝景元年诏髙皇帝庙奏武徳文始五行之舞孝文庙奏昭武文始五行之舞孝武庙奏盛徳文始四时五行之舞武徳舞者髙祖四年作以象天下乐已行武以除乱也文始舞者曰本舜韶舞也髙祖六年更名曰文始以示不相袭也五行舞者本周舞也秦始皇二十六年更名曰五行也四时舞者孝文所作以示天下之安和也盖乐已所自作明有制也乐先王之乐明有法也孝景采武徳以为昭徳以尊太宗庙至孝宣采昭徳舞为盛徳以尊世宗庙武帝定郊祀之礼乃立乐府采诗夜诵有赵代秦楚之讴以李延年为协律都尉杂举司马相如等数十人造为诗赋畧论律吕以合八音之调作十九章之歌以正月上辛用事甘泉圜丘使童男女七十人俱歌以昏时祠至明或白黄帝使素女鼔五十弦琴瑟悲帝禁不止破其瑟为二十五弦益召歌儿作二十五弦及空侯瑟自此起是时河间献王有雅才以为治道非礼乐不成与毛生等共采周官及诸子言乐事者以著乐记因献所集雅乐天子下大乐官常存肄之岁时以备数然不常御常御及郊庙皆非雅声然诗乐施于后嗣犹得有所祖述元帝多材艺善鼓琴瑟吹洞箫自度曲被歌声穷极窈眇成帝时谒者常山王禹世受河间乐能说其义其弟子宋〔？〕等上书言之事下公卿议复寝是时郑声尤甚黄门名倡富显于世贵戚五侯外戚之家淫侈过度至与人主争女乐哀帝即位疾之乃下诏罢郑卫声然百姓渐渍日乆又不制雅乐以相变豪富吏民沉湎自若陵夷壊于王莽也光武平陇蜀得公孙述瞽师郊庙乐器法物始备乃增广郊祀乐奏青阳朱明西颢𤣥㝠及云翘育命舞其后登封泰山北郊及祀明堂用乐皆如南郊明帝永平间博士曹充上言汉再受命宜兴礼乐引尚书璇玑钤曰有帝汉出徳洽作乐名予乃诏改大乐官曰大予乐自是乐凡四品一曰大予乐郊庙上陵诸食举之二曰周颂雅乐辟雍飨射六宗社稷用之三曰黄门鼓吹乐天子宴乐群臣用之四曰短箫铙歌乐军中用之东平王苍议以为汉制旧典宗庙各奏其乐不皆相袭以明功徳髙皇武徳舞孝文昭徳舞孝武盛徳舞光武受命中兴拨乱反正乐名宜曰大武舞章帝于明帝庙用武徳舞建初五年始行十二月迎气乐立春之日迎春于东郊歌青阳八佾舞云翘之舞立夏迎南郊歌朱明八佾舞云翘之舞先立秋十八日迎黄灵于中兆歌朱明八佾舞云翘育命之舞立秋之日迎秋于西郊歌西皓八佾舞育命之舞立冬之日迎冬于北郊歌𤣥㝠八佾舞育命之舞魏武帝平荆州获杜䕫善八音常为汉雅乐郎创定雅乐复先代古乐时左延年等妙善郑声被宠惟䕫好古存正汉乐舞名各改易其名明帝太和初诏凡音乐以舞为主自黄帝云门至于周大武皆太庙舞名所司之官皆曰太乐后汉依谶改为大子乐宜改复旧晋武帝时荀朂以杜夔所制律吕乖错依古尺作新律吕以调声韵亦各改易舞名懐帝永嘉之末伶官乐器皆没于刘石至江左初立宗庙自造新声宋武帝时撰立新歌舞名至废帝乐残亡率用杂伎梁裴子野宋畧曰先王作乐崇徳以格神人通天下之至和节群生之流放故天子至于士庶未尝去其乐而无非僻之心以及周道衰㣲日失其序乱代先之以忿怒亡国从之以哀思獶杂子女荡目淫心充庭广奏则以鱼龙靡慢为环玮会同飨觐则以吴趋楚舞为妖妍纤罗雾縠侈其衣疏金镂玉砥其器在上班赐宠臣群下从风而靡王侯将相歌伎填室鸿商富贾舞女成群竞相夸大互有争夺如恐不及莫为禁令伤风败俗莫不在此梁武帝素善音律自制四器名之为通以定雅乐既而笃敬佛法又制善哉大乐大劝天道仙道神王龙王灭过恶除爱水㫁苦轮等十篇名为正乐皆述佛法又有法乐童子伎童子倚歌梵呗设无遮大会则为之其后䑓成沦没乐府不修风雅咸尽矣陈初用梁乐大建中改元嘉中所用齐乐尽以韶为名及后主嗣位沉荒于酒宫女习北方箫鼓谓之代北酒酣则奏之又于清乐中造黄鹂留及玉树后庭花金钗两臂垂等曲与幸臣制其歌词绮艶相髙极于轻荡男女唱和其音甚哀后魏宣武已后爱异方之乐洎于迁都屈茨琵琶五弦箜篌〔？〕鼓铜跋打沙罗铿锵镗𨱏洪心骇耳新靡绝丽全似吟哭听之者无不凄怆此音所由源出西域诸天诸佛韵调娄罗畨语直置难解况复被之土木是以感其声者莫不奢淫躁竞举止轻飚或踊或跃乍动乍息𫏋脚弹指撼头弄目情发于中不能自止论乐岂须钟鼔但问风化浅深虽此逺声足败华俗非唯人情感动衣服亦随之以变长衫戅帽阔带小𫖇自号惊𦂳争入时代妇女衣髻亦尚危侧盖惊危者势不乆安此兆先见何以能立形貎如此心亦随之亡国之音亦由浮竞岂唯哀细独表衰㣲操弦执籥虽出瞽师易俗移风实在时政隋文帝开皇二年沛国公郑译考寻乐府皆有宫商角征羽变宫变徵七声之名初周武帝时有龟兹人曰苏袛婆从突厥皇后入国善琵琶听其所奏一均之中间有七声因而问之答云父在西域称为知音代相传习调有七种以其七调勘校七声冥若符合一曰婆陁力华言平声即宫声也二曰鸡识华言长声即南吕声也三曰沙识华言质直声即角声也四曰沙侯加滥华言应声即变徵声也五曰沙腊华言应声即徵声也六曰般赡华言五声即羽声也七曰侯利〔？〕华言斛牛声即变宫声也译因习而弹之始得七声之正然其就此七调又有五旦之名旦作七调以华言译之旦者则谓之均也其声亦应黄钟太蔟南吕姑洗五均以外七律更无调声遂因其所捻琵琶弦柱相饮为均推演其声更立七均合成二以应十二律律有七音音立一调故成七调十二律合八十四旋转相交尽皆和合至是译以其书宣示朝廷并立议正之有万寳常者妙达钟律徧解六音常与人方食论及声调时无乐器因取前食器及杂物以箸扣之品其髙下宫商毕备谐于丝竹文帝后召见问郑译所定音乐可否对曰此亡国之音岂陛下之所宜闻遂极言乐声哀怨淫放非雅正之音请以水尺为律以调乐器上从之遂造诸乐器其声率下于译调二律并撰六乐谱十四卷论八音旋相为宫之法改丝移柱之变为八十四调百四十四律变化终于千八声时人以周礼有旋宫之义自汉魏以来知音者皆不能通见寳常时创其事皆哂之至是试令为之应手成曲无所凝滞见者莫不嗟异于是损益乐器不可胜纪其声雅淡不为时所好何妥旧以学问推为儒首帝素不悦学不知乐妥又耻已宿儒不逮译等欲沮壊其事乃立议非之是时竞为异议各立朋党是非之理纷然淆乱或欲各令修造待成择其善者而从之妥恐乐成善恶易见乃请张乐试之遂先说曰黄钟者以象人君之徳及奏黄钟之调帝曰洋洋和雅甚与我㑹妥因陈用黄钟一宫不假余律帝大悦班赐妥等修乐者自是译等议寝初万寳常听太常所奏乐泫然而泣人问其故对曰乐淫厉而哀天下不乆相杀当时四海全盛闻其言皆谓不然大业末其言卒验而寳常贫困无人赡遗饥馁将死取其所著书焚之曰何用此为见者于火中探得数卷见行于世炀帝奢滛太乐倡优猱杂哀管淫弦皆髙齐之旧曲也帝将幸江都有乐人王令言妙达音律令言之子常从于户外弹琵琶作翻安公子曲令言时卧室闻之大惊蹶然而起变色急呼其子歔欷流涕曰汝慎无从行帝必不返此曲宫声徃而不返宫君也吾所以知之帝竟被弑于江都唐太宗贞观初合考隋氏所传南北之乐梁陈尽吴楚之声周齐皆异域之音乃命太常卿祖孝孙正宫调起居郎吕才习音韵协律郎张文收考律吕平其散漫为之折𠂻周享诸神乐多以夏为名宋以永为名梁以雅为名后周亦以夏为名隋氏因之今国家以和为名旋宫之乐乆丧累代皆黄钟一均变极七音则五钟废而不撃谓之哑钟祖孝孙始为旋宫之法曰大乐与天地同和者也造十二和以法天之成数号大唐雅乐乐合四十八曲八十四调至开元中又造三和共十五和又制三大武辨其曲度分始终之序焉𤣥宗时河西节度使杨敬忠献霓裳羽衣曲十二遍凡曲终必遽唯霓裳羽衣曲将毕引声益缓帝浸喜神仙之事诏道士司马承祯制𤣥真道曲大罗天曲紫清上圣道曲初隋有法曲其音清而近雅其器有铙钹钟磬幢箫琵琶圆体修颈而小号曰秦汉子盖弦鼗之遗制出于塞北传为秦汉所作𤣥宗酷爱法曲选坐部伎子弟三百教于梨园声有误者帝必觉而正之号皇帝梨园弟子宫女数百亦为梨园弟子居宜春北院梨园法部更置小部音声三十余人帝幸骊山杨贵妃生日命小部张乐长生殿因奏新曲未有名㑹南方进荔枝因名曰荔枝香帝又好羯鼓而寜王善吹横笛达官大臣慕之皆善言音律帝常言羯鼓八音之领袖诸乐不可方也盖本北方之乐其音太簇一均其声焦杀特异众乐开元二十四年升北部于堂上而天寳乐曲皆以边地名若凉州伊州甘州之类后又诏道法曲与北部新声合作明年安禄山反凉州伊州甘州皆䧟吐蕃开元八年瀛州司法叅军赵慎言论郊庙用乐表曰祭天地宗庙乐合用商音又周礼三处大祭俱无商调郑𤣥云此无商调祭尚柔商坚刚也以臣愚知斯义不当但商音金也周徳木也金能克木作者去之今皇唐土王即殊周室五音损益须逐便宜岂可将木徳之仪施土徳之用其三祭并请加商调去角调宋太祖皇帝受命以窦俨兼太常俨奏改周乐文舞崇徳之舞为文徳之舞武舞象成之舞为武功之舞改乐章十二顺为十二安盖取治世之音安以乐之义建隆初用王朴乐上谓其声髙近于哀思诏和岘考两京表尺令下一律仁宗时以王朴所造律准命馆职李照考定照言王朴律准视古乐髙五律视禁坊北部乐髙二律昔轩辕氏命伶伦截竹为律复令神瞽协其中声然后声应鸣而管之参差亦如凤翅其乐传之夐古不刋之法也愿听臣依神瞽律法试铸编钟一簴可使度量权衡协和诏许之照又言十二律声已备余四清声乃郑卫之乐可去谏议韩琦等言照所造乐不依古法率以意为律诏下其议而晏殊等言李照新乐比旧乐下三律乃诏太常雅乐悉仍旧制照所造勿复施用神宗元丰三年诏刘几范镇杨杰详定大乐初杰言大乐之失一曰歌不永言声不依永律不和声盖金声舂容失之则重石声温润失之则轻土声函胡失之则下竹声清越失之则髙丝声纤㣲失之则细革声隆大失之则洪匏声丛杂失之则长木声无余失之则短惟人禀中和之气而有中和之声八音律吕皆以人声为度言虽永不可以逾其声今歌者或咏一言而滥及数律或章句已阕而乐音未终所谓歌不永言也请节其烦声以一声歌一言且诗言人志咏以为歌五声随歌是为依永律吕叶奏是谓和声先儒以为依人音而制乐托乐器以写音乐本效人非效乐者也今祭祀乐章并随月律声不依永以永依声律不和声以声和律非古制也二曰八音不谐钟磬缺四清声虞乐九成以箫为主商乐和平以磬为依周乐合奏以金为首钟磬箫者众乐之所宗则天子之乐用八钟磬箫众乐之本乃倍之为十六且十二者律之本声而四者应声也本声重大为君父应声轻清为臣子故其四声曰清声或曰子声也李照议乐始不用四清声是有本而无应也八音何从而谐哉帝乃下镇几叅定镇作笔尺等欲图上之而几之议律主于人声不以尺度求合其乐大抵即李照之旧而加四清声遂奏成第加恩赉而镇谢曰此刘几乐也臣何预焉镇又言八音无匏土二音笙竽以水斗攅竹而以匏褁之是无匏音也埙器以水为之是无土音也不报然是时乐参之以六壬遯甲亦无谓李太常周舞节论曰凡乐之音本于天凡舞之容本于音周乐之音云门起羽故一舞在羽属水其数一二舞在角属木其数三十舞在宫属土其数五咸池起征故一舞在征属火其数二二舞在商属金其数四是故羽之舞也其容水角之舞也其容木宫之舞也其容土征之舞也其容火商之舞也其容金一舞之足举右示欲用武也举左示欲兴文也云门初舞两手一横示一统也咸池初舞手足两冲合乎火之数也木舞之手有曲直从木之性也足有横直八从木之象也八分左右从木之类也宫舞两手对襟尊宫于中五仰取诸阳五俯取诸隂征舞手足冲天火性之炎上左冲右冲得火之生数商舞必归于日躔太白不宜逺于太阳作图圏以四指示不敢出乎四十度外过四十则为昼见过六十则为经天自古作乐忌商凌宫周人尤避之为是故耳至舞咸池隂调不得已而用之亦不敢不为之防圣人防㣲杜渐之意深矣六阳辰之舞由子而三进由午而三退六隂辰之舞由丑而三进由未而三退干进则戚退戚进则干退更番而迭出也翟进则籥退籥进则翟退因时而损益也是故武舞三进而三退取乎六伐止齐之义焉文舞三进而三退取乎六爻变动之理焉武舞有进而有退此节制之兵所以万全而取胜文舞有进而有退此文质之济所以时中而无敝戚顾右耳中原既平屯兵以守乎西闗也戚顾于胷天下既定入而辅卫乎王宫也翟顾左耳用文以达乎四聪也翟顾于目用文以明乎四目也夫乐以象成故凡以武功定天下后以文徳致太平者舞皆先武而后文中间餙以节奏所以发扬祖宗功徳合天欲后人世守之勿替又曰武舞在先文舞在后武舞左执干右执戚未开舞时戚内干外文舞左执籥右执翟未开舞时籥内翟外武舞遇阳辰则左其手足遇隂辰则右其手足文舞遇阳辰则右其手足遇隂辰则左其手足武徳隂阳之正文徳隂阳之济文以济武阳中有隂隂中有阳是物相杂武皆用右文皆用左商舞武皆以戚向日躔文皆以翟向日躔不论辰之隂阳而分左右如十一月日躔丑十二月日躔子之类各考其所躔之方以戚翟向而舞之其余非应五音之舞武皆以干同左足前向合阳辰之气而戚同右足后向应之如子一阳之辰也干近左足䕶左戚垂后股指右寅二阳之辰也干渐逺前足护左戚近后足指右辰三阳之辰也干极前开䕶左戚极后离足指右午四阳之辰也干极前䕶右戚小前近身开右指左申五阳之辰也干稍退近身䕶右戚又前开右顾耳戌六阳之辰也干又退开右至身戚又前向左顾胷以戚同右足前向合隂辰之气而干随身横向应之如丑一隂之辰也戚近右足伐左干近身䕶左巳三隂之辰也戚极逺右足伐左干极逺身䕶左未四隂之辰也戚极逺右足伐右干极逺身䕶右酉五隂之辰也戚渐近右足伐右干渐近身䕶右亥六隂之辰也戚近右足伐右干近身䕶右文舞则以右手之翟合阳隂之气而籥随之伹干言䕶翟言执其形竖以左手之籥合隂辰之气而翟随之但戚言伐籥言举其形平盖武舞其容勇文舞其容雅是之分耳金太宗取汴得宋乐器改宋大晟乐为太和取天地同和之义金亡入元改名大成然宋大晟乐即方士魏汉津之所造取徽宗指寸为律者朱子所谓崇宣之季奸谀之㑹黥湼之余不足以语天地之和指汉津而言也国朝斟酌乐制分祀合祀乐章乐四等曰九奏圜丘方泽祈榖大飨用之曰八奏神祗坛太岁坛先农髙媒用之曰七奏朝日夕月太社稷歴代帝王庙用之曰六奏宗庙时祭祫禘帝社稷用之乐有歌有舞歌堂上舞堂下舞皆八佾佾有文有武其乐曰中和韶乐曰堂下乐曰丹陛乐曰侑食乐曰大乐其雅乐备八音五声十二律九奏万舞之节俗乐有百戯队舞讴歌之承应祭祀用雅乐太常领之协律郎司乐考协之凡乐淫声过声凶声慢声若舞失节者皆有纠禁而朝㑹燕享兼俗乐祗应奉鸾司掌之其乐章有清海宇本太初等曲皆近质无尔雅之辞但其器章虽制而未尝累黍验律见今太常雅乐及天下学宫所谓大成乐者盖汉津之余也至其百戯队舞承应亦元声之遗耳右考古歴代乐论或兴或废淫雅不同大都古乐渐亡厥初犹未甚也暴秦虽燔乐经燔其文耳乃其乐之器数节奏犹存也曰五行曰夀人即周之大武房中即二世娱郑卫其声固淫乎其宫商律吕岂遽相逺以故汉兴世世在太乐者皆记其铿锵鼓舞时故述作文武犹古降神等乐而河间与毛生诸雅材类能采著存肄之奈何厯汉迄唐陵夷一壊于新莽獶杂再壊于刘宋梵呗番声大罗法曲与金钗梨园辈又相率而溷乱之轻荡吟哭惊紧焦杀靡所不至大都汉唐创业之初稍兴雅正而后遂凌弛亡当也其间龟兹之七声虽涉哀怨尚可为七均之证若何妥以黄钟一宫佞人主则余律几废其去乱正之音亦不能以寸耳宋兴制乐初亦可观嗣是诸儒持议纷如聚讼如去清声缺匏土等类皆舛也至李太常周舞论一出则有合于文武隂阳之节而古乐之仪頼之以存矣宋而金而元率用汉津之乐已不合古而元专尚杂剧队戏其乐章则尽易古诗歌为词曲盖古乐澌灭几无余矣我明兴制礼作乐卓越千古可谓极治而独古乐尚未尽复故崔铣之言曰今中原敝俗未之能革者俗乐其尤也然则及时反正固在今日也夫古今律厯考卷三十四
## 卷三十五
钦定四库全书
古今律厯考卷三十五 明 邢云路 撰律吕七律吕声音名义五声者一曰宫宫者中也取中和之义属土中央音其性圆而居中声出于脾合口通音重而尊雄雄洪洪然二曰商商者张也取开张之义属金七月音其性方而成器声出于肺开口吐声张而明锵锵仓仓然三曰角角者触也取触动之义属木正月音其性直而崇髙声出于肝张牙涌吻轻而易制喔喔确确然四曰征征者止也取止盛之义属火四月音其性明而辨物声出于心齿合吻开泛而不流倚倚巇巇然五曰羽羽者舒也取舒育之义属水十月音其性润而泽物声出于肾齿开吻聚涣散而抑诩诩吁吁然故宫动脾而和正圣商动肺而和正义角动肝而和正仁征动心而和正礼羽动肾而和正智宫为君调则政和国安乱则荒其国危商为臣调则刑法不作威令行乱则陂其官壊角为人调则四民安乱则忧其人怨征为事调则百事理乱则哀其绩隳羽为物调则庻物备乱则危其财匮八音者乐器曰金曰石曰土曰革曰丝曰木曰匏曰竹八音八卦之音各有风干之音石其风不周坎之音革其风广莫艮之音匏其风融震之音竹其风明庶巽之音木其风清明离之音丝其风景坤之音上其风凉兑之音金其风阊阖金之器钟也大钟曰镛其余镈𬭚钲铎之类石之器磬也以玉为之土之器埙也烧土为之缶类革之器鼔鞉之属以桴击之丝之器琴瑟筑筝琵琶空侯之类皆是木之器柷敔也以止乐之终舂杵为相及拍板亦其类也匏之器笙也竽也古以匏为之后易以木列管匏内施簧管端吹笙则簧鼓也竹之器箫管箎籥笛之类以和律吕笳角筚篥亦其属则其声悲此八音之大较也自昔唐虞教胄子依声和律以谐八音其来尚矣大都乐有五声被之八音竹与匏土其口吹丝其指弹皆与歌相为用也金石革木节乐而已然八音之数惟丝为自然其七音皆倚此而起数至于竹管则六律六吕用以和鸣度量权衡为万事之根本圣人所尤重也五声之清浊髙下不同然必用律以齐之如作黄钟宫调则众音之声皆用黄钟为节作太蔟商调则众音之声皆用太蔟为节然后清浊髙下自齐一而不乱是为律和声故谓之调八音中丝竹匏土声器相合固用金石革木以节乐而金与石又在成始成终之先后焉故曰金声而玊振之大成之条理备矣乐器乐悬与夫乐章歌舞杂歌舞曲清散部妓四方四夷之类载在杜氏通典及文献通考与大明集礼其雅俗不一繁简具备是在治律者简择而去取之耳兹不详录律原声乐自天作乐由阳来至和之发也其治心也徳成而后知乐其治人也功成而后作乐至和之极也盖优柔平中徳之盛也天下化中治之至也是谓道配天地古之极也故天地有自然之律人声有自然之和天籁气机相为动荡如五声八音清浊髙下出乎口入乎耳自有一定中和条贯惟圣人为能察之故曰既竭耳力焉继之以六律正五音不可胜用也昔黄帝命伶伦作律吕从有以至未有以得细若气㣲若声因神而存之以定黄钟为律本迨周衰乐废孔子反鲁正乐而得其所谓翕如纯如皦如绎如以至于成也则岂非以天聪之尽哉故古圣人之为钟律者率皆以耳齐其声以乐为和人声设也乐生于心斯发于声人心惨则声哀人心舒则声和然人心复因声之哀和亦感而舒惨则韩娥曼声哀哭一里愁悲曼声长歌众皆喜忭斯之谓矣是故喜怒哀乐四者随物感动播于形气叶律吕谐五声而谓之为乐声和乐作而喜怒哀乐皆中其节是为致中和天地位焉万物育焉天且不违而况人乎朱子亦曰音律气也人亦气也故相闗又曰天人无间正此之谓矣此审声知乐为治律大原圣人复起无以易也器夫审声为治律大原尚矣而人之声寄于器器即律也唐礼乐志曰声无形而乐有器古之作乐者知夫器之必有敝而声不可言传惧夫器失而声遂亡也乃多为之法以著之故始求声者以律而造律者以黍自一黍之广积而为分寸一黍之多积而为龠合一黍之重积而为铢两此造律之本也故为之长短之法而著之于度为之多少之法而著之于量为之轻重之法而著之于权衡是三物者亦必有时而敝则又总其法而著之于数使其分寸龠合铢两皆起于黄钟然后律度量衡相用为表里使得律者可以制度量衡因度量衡亦可以制律不幸而皆亡则推其法数而制之用其长短多少轻重以相叅考四者既同而声必至声至而后乐可作矣夫物用于有形而必敝声藏于无形而不竭以有数之法求无形之声其法具存无作则已茍有作者虽去圣人于千万岁后无不得焉此古之君子知物之终始而忧世之虑深其多为之法而丁宁纤悉可谓至矣宋司马光曰夫所谓律者果何如哉向使古之律存则吹其声而知声度其长而知度审其容而知量校其轻重而知权衡今古律已亡矣非黍无以见度非度无以见律律不生于度与黍将何从生耶夫度量衡所以佐律而存法也古人所为制四器者以相参校以为三者虽亡茍其一存则三者从可推也又谓后世器或壊亡故载之于书形之于物夫黍者自然之物有常不变者也故于此寓法焉今四器皆亡不取于黍将安取之凡物之度其长短则谓之度量其多少则谓之量称其轻重则谓之权衡然量有虚实衡有低昻皆易差而难精等之不若因度求律之为审也非谓太古以来律必生于度也特以近世古律不存故返从度法求之耳斯二者之言皆是也求声器古乐既亡欲求声器者宜何施而可亦惟依法以千二百黍求长九寸空围九分之管使其和也则已如有不和必其黍之颗与管之分未当也则惟本吾之平其心易其器徐听人声之髙下上下考之以求其中声盖人之声无古今一也以声考律以律定器九寸之管千二百黍之实乃可以意定而神解何则古尺之分寸与黍之大小不可考矣即今上党之黍有最大者次者不一想古初所用安知为最大次大者哉又安知其律之分寸视后代何尺为当哉但以人声察之以耳聪审之以九寸千二百约之且即斯可以度尺数与黍颗或宜用黍最大者次大者千二百可当长九寸空围九分之积恍然有得即可顷刻而决也夫古圣贤自无生有制为器数原从人声出之今有其器数而犹不能审声以还其本原也则吾不知其可矣故程子曰黄钟之声亦不难定世自有知音者将上下声考之既得正便将黍以实其管看管实得几粒然后推而定法可也张子曰律吕有可求之理徳性淳厚者必能知之朱子曰乐之为教今无师授当立一乐学使士大夫习之必有精通者出三说皆探本之论也三分损益围三径一之辩宋书云三分损益上下相生此其大略犹厯言斗分四之一耳斯言诚是也盖由三分损益分寸而下以布之厘毫丝忽微细其数至于不可行乃其管则何以量丝忽哉古人治律第约管之九寸以千二百黍实之与人声和为黄钟大率三分损益以生十二律如是而已即使后䕫周公师旷同时制律岂能必律尺之毫忽皆相似耶厯代尺度㣲有不同亦其常耳故三分损益犹厯言斗分四之一为大略若宻布厯分则斗分四之一犹有畸零多寡异数也古律言黄钟长九寸围九分径三分围三径一亦自其大率言之若布宻率则围三径一犹有奇也古人言其槩而后人发其详正以相成而不以相害诸儒乃辩如聚讼咸诋三分损益围三径一为非是不知由其大率布至毫厘摠之不出于三分损益围三径一之外乃所以发明其三分损益围三径一之精义也不观之易乎孔子系易但曰三百六十当期之日亦是大略言之若宻布则以气率期为三百六十五日有奇以朔率期为三百五十四日有奇无害其为三百六十也然则古人论律为三分损益围三径一庸何伤今学人一有所得而槩诋古人立论之非然则孔子之论易亦非耶是故拘古人大略之言而不推见至隐以致律厯之失所也固不可茍有所得正以发古人未发之实而乃诋古人为非是也亦不可厯为律原班固志律厯曰推厯生律是其言若谓律出于厯矣乃其论厯则又以律起厯谓诸厯法皆本于黄钟又若厯出于律者何也余曰律出于厯是而厯出于律非也盖黄钟之数与厯无闗汉人求厯不得欲神其事故援黄钟以附之其法以黄钟之管长九寸寸九分相乘得九九八十一数为日法以日法乘诸厯而仍以日法归之若诸厯数一乘于律者斯乃朝三暮四之术掩耳盗铃之计仅可涂时人耳目难以逃大目照也假第令黄钟果可以制厯则汉厯即宜宻合何乃疎阔太甚至一跬步不可行不将为黄钟寃耶然吾独谓律出于厯者则有说焉盖黄钟一阳之动也冬至阳生无所取之取之日耳日南至景极长一测之而即得即此为黄钟也从日至之分秒厯期实之始终十二而一律吕定位宁有晷刻之爽耶又何必望云候气以求杳冥不定之黄钟也此厯为律原非厯出于律也句股宻率顾应祥筭术载古法并刘徽祖冲之之术如问黄钟之管空容九分其围径各若干以古法围三径一术求之得几答曰围一十○分三厘九毫二丝径三分四厘六毫四丝术曰置九分三归四因得十二为圆法以圆法十二乘九得一百○八平方开之得围以三归围得径以魏刘徽术求之得几答曰围一十○分六厘三毫二丝径三分三厘八毫六丝术曰徽之周法一百五十七径法五十以周法一百五十七倍之得三百一十四为积法以因黄钟之九得二千八百二十六以径法五十折半为二十五除之得一百一十三○四平方开之得围以径法五十因之得五百三十一六以周法一百五十七除围得径以宋祖冲之术求之得几答曰围一十○分六厘三毫六丝径三分三厘八毫四丝术曰冲之之周法二十二径法七以周法二十二四之得八十八为积法以因黄钟之九得七百九十二以径法七归之得一百一十三一四二八平方开之得围以径法七因之得七十四四五以周法二十二除围得径以今真宻率求之得几答曰围一十○分八厘一毫六丝六忽有奇径三分四厘六毫○二忽有奇术曰以周取圆法十三乘黄钟之九得一百一十七平方开之得周以径取圆法三一二六除周得径按古法围三径一用三归四因法为疎盖筭术径一不止围三是矣徽冲之二术近宻然既变三归四因之法而乃暗用四因四归以加倍折半藏其术犹朝三暮四之说也盖亦以意约之未以实布之也今定宻布之法周取围不止用四四犹有奇径取围不止用三三犹有奇盖以周围之实数量之以句股之宻率筭之自大至细毫无一爽故围一十○分八厘一毫六丝六忽有奇径三分四厘六毫○二忽有奇为真的以径取圆法乘径得周周自之以周取圆法而一得九还原即容九分乃九立方分为黄钟之面幕以每寸之九分乘之得八十一分又以九寸乘之得七百二十九分为黄钟九寸之积实即是以容黍管九寸凡千二百黍以九寸除千二百黍得每寸一百三十三黍三分黍之一以九分除一百三十三黍三分黍之一得每分十四黍八一四八不尽即面幕每分容九立方分以九立方分除十四黍八一四八不尽得每一立方分容一黍六四六○九不尽即七百二十九分之一也由一黍之容累因之还得千二百黍此黄钟之原也古今律厯考卷三十五
## 卷三十六
钦定四库全书
古今律厯考卷三十六 明 邢云路 撰厯法一厯法 授时厯歩气朔(距至元辛巳为元其诸应等数随时推测不用为元)歳实三百六十五日二十四刻二十五分(百年上长一下消一)朔实二十九日五十三刻五分九十三秒气策一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十㣲弦策七日三十八刻二十六分四十八秒二十五㣲望策一十四日七十六刻五十二分九十六秒五十㣲通余五日二十四刻二十五分通闰十日八十七刻五十三分八十四秒月闰九十刻六十二分八十二秒气盈二十一刻八十四分三十七秒五十㣲朔虚四十六刻九十四分七秒没限七十八刻一十五分六十二秒五十㣲盈策九日六十六刻九十五分二十八秒虚策二日九十一刻四分二十二秒土王策一十二日一十七刻四十七分五十秒候策五日七刻二十八分一十二秒五十㣲宿策一日五十三刻五分九十三秒气应五十五日六刻闰应二十日二十刻五十分 旬周六十日(亦名纪法)推天正冬至置所求距筭以歳实乘之为中积加气应为通积满旬周去之不尽以日周约之为日不满为分其日命甲子筭外即所求天正冬至日辰及分如迳求次年者冬至加通余满旬周去之即得(如上考者以气应减中积满旬周去之不尽以减旬周余)(同上)求次气置天正冬至分以气策累加之其日满纪法去之命如前各得次气日及分秒推天正闰余置中积加闰应为闰积满朔实去之不尽为闰余视闰余分如在以通闰去朔实一十八日六十五刻五十二分九秒已上者其年有闰已下者无如迳求次年者闰余加通闰满朔实去之即得定闰者以月闰累去余分以次得闰某月推天正经朔置通积减闰余满旬周去之不尽以日周约之为日不满为分即所求天正经朔日及分秒又置冬至减闰余不及减者加纪法减之亦得(上考者以闰应减中积满朔实去之不尽以减朔实)(为闰余以日周约之为日不满为分以减冬至日及分不及减者加纪法减之命如上)求弦望及次朔置天正经朔日及分秒以弦策累加之其日满纪法去之各得弦望及次朔日及分秒气盈朔虚气策之余数为气盈三十日减朔实为朔虚没日置十六日减气策为没限视有没之恒气分秒(恒气小余如在)(没限以上为有没之气)以半月十五日乘之用减气策余满气盈而一为日并入恒气日命为没日即今盈日灭日视有灭之朔分秒(经朔小余如在朔虚以下为有灭之朔)以一月三十日乘之满朔虚而一为日并入经朔日命为灭日即今虚日土王用事日置歳实以五行而一得七十三日四刻八十五分是毎行所王之数土居四季以四而一得毎季土王十八日二十六刻二十一分二十五秒以减正气三十日四十三刻六十八分七十五秒余一十二日一十七刻四十七分五十秒为土王策以加四季节各大小余分秒内满纪去之得土王用事日辰(二气为正气一气为恒气)月闰通闰以一月二气盈加朔盈得月闰以十二月乘之得通闰候策置歳实以七十二候而一即得各分气候气候正月立春正月节 雨水正月中东风解冻 蛰虫始振 鱼陟负冰 獭祭鱼 候鴈北 草木萌动二月惊蛰二月节 春分二月中桃始华 仓鹒鸣 鹰化为鸠 𤣥鸟至 雷乃发声 始电三月清明三月节 榖雨三月中桐始华 田鼠化为𫛪 虹始见 萍始生 鸣鸠拂其羽 戴胜降于桑四月立夏四月节 小满四月中蝼蝈鸣 蚯蚓出 王𤓰生 苦菜秀 靡草死麦秋至五月芒种五月节夏至五月中螳螂生 鵙始鸣 反舌无声 鹿角解 蜩始鸣半夏生六月小暑六月节 大暑六月中温风至 蟋蟀居壁 鹰始摰 腐草为萤 土润溽暑 大雨时行七月立秋七月节 处暑七月中凉风至 白露降 寒蝉鸣 鹰乃祭鸟 天地始肃 禾乃登八月白露八月节 秋分八月中鸿鴈来 𤣥鸟归 群鸟养羞 雷始収声 蛰虫坯户 水始涸九月寒露九月节 霜降九月中鸿鴈来宾 雀入大水为蛤 菊有黄华 豺乃祭兽 草木黄落 蛰虫咸俯十月立冬十月节 小雪十月中水始冰 地始冻 雉入大水为蜃 虹藏不见(天气上升地气下降) 闭塞而成冬十一月大雪十一月节 冬至十一月中鹖鴠不鸣 虎始交 荔挺出 蚯蚓结 麋角解水泉动十二月小寒十二月节 大寒十二月中鴈北乡 鹊始巢 雉雊 鸡乳 征鸟厉疾 水泽腹坚中气去经朔置天正闰余命之得冬至去经朔以月闰累加之各得中气去经朔(满朔策去之乃全置闰然俟定朔无中气者裁之)发敛加时置所求分秒以十二乘之为时余以十二归之为刻此发敛法也一法以日下十数加二为时进五为初刻不进五为正刻进五者进子正刻初后之半时也不进者以正对正之整时也以十下刻数减二为刻缺千为子正缺百为正初与发敛法合直宿朔实减二十八日为宿策置通积减闰余以二十八日累去之命虚宿算外得直宿分以宿策累加之得各月直宿各以加减差加减之得各月定直宿建日建除满平定执破危成収开闭终而复始交节后各以月支为建故节日与上日同名纳音置先天甲己子午九乙庚丑未八丙辛寅申七丁壬卯酉六戊癸辰戌五己亥四之数以大衍用数四十有九减之余以五行生数水火木金土递数之至某行以所生为纳音如求甲子乙丑纳音金置甲与子各九乙与丑各八共三十四以减四十九余十五以五行递数得土土生金为纳音是也余倣此步日躔周天分三百六十五万二千五百七十五分周天三百六十五度二十五分七十五秒半周天一百八十二度六十二分八十七秒半天周象限九十一度三十一分四十三秒太 歳差一分五十秒黄道歳差一分三十八杪周应三百一十五万一千七十五分半歳周一百八十二日六十二刻一十二分半歳周象限九十一日三十一刻六分少盈初缩末限八十八日九十刻九十二分少缩初盈末限九十三日七十一刻二十分少盈缩度差二日四○一四推天正经朔弦望入盈缩厯置半岁周以闰余日及分减之即得天正经朔入缩厯(冬至后盈夏至后缩)以弦策累加之各得弦望及次朔入盈缩厯日及分秒(满半歳周去之即交盈缩)求盈缩差视入厯盈者在盈初缩末限已下为初限已上反减半歳周余为末限缩者在缩初盈末限已下为初限已上反减半歳周余为末限其盈初缩末者置立差三十一以初末限乘之加平差二万四千六百又以初末限乘之用减定差五百一十三万三千二百余再以初末限乘之满亿为度不满退除为分秒缩初盈末者置立差二十七以初末限乘之加平差二万二千一百又以初末限乘之用减定差四百八十七万六百余再以初末限乘之满亿为度不满退除为分秒即所求盈缩差又术置入限分以其日盈缩分乘之万约为分以加其下盈缩积万约为度不满为分秒亦得所求盈缩差赤道宿度角十二度一十分 亢九度二十分 氐十六度三十分 房五度六十分 心六度五十分 尾十九度一十分 箕十度四十分右东方七宿七十九度二十分斗二十五度二十分 牛七度二十分 女十一度三十五分 虚八度九十五分太 危十五度四十分室十七度一十分 壁八度六十分右北方七宿九十三度八十分太奎十六度六十分 娄十一度八十分 胃十五度六十分 昴十一度三十分 毕十七度四十分 觜初度五分 参十一度一十分右西方七宿八十三度八十五分井三十三度三十分 鬼二度二十分 栁十三度三十分 星六度三十分 张十七度二十五分 翼十八度七十五分 轸十七度三十分右南方七宿一百八度四十分推冬至赤道日度置中积以加周应为通积满周天分去之不尽以日周约之为度不满退约为分秒命起赤道虚宿六度外去之至不满宿即所求天正冬至加时日躔赤道宿度及分秒(上考者以周应减中积满周天去之不尽以减周天余以日周约之为度余同上如当时有宿度者)(止依当时宿度命之)求四正赤道日度置天正冬至加时赤道日度累加象限满赤道宿次去之各得春夏秋正日所在宿度及分秒求四正赤道宿积度置四正赤道宿全度以四正赤道日度及分减之余为距后度以赤道宿度累加之各得四正后赤道宿积度及分黄赤道率推黄道宿度置四正后赤道宿积度以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度为二十八宿黄道积度以前宿黄道积度减之为其宿黄道度及分(其秒就近为分)黄道宿度角十二度八十七分 亢九度五十六分 氐十六度四十分 房五度四十八分 心六度三十七分 尾十七度九十五分 箕九度五十九分右东方七宿七十八度二十二分斗二十三度四十七分 牛六度九十分 女十一度一十二分 虚九度○分太 危十五度九十五分室十八度三十二分 壁九度三十四分右北方七宿九十四度一十分太奎十七度八十七分 娄十二度三十六分 胃十五度八十一分 昴十一度○八分 毕十六度五十分觜初度○五分 参十度二十八分右西方七宿八十三度九十五分井三十一度○三分 鬼二度一十一分 栁十三度星六度三十一分 张十七度七十九分 翼二十度○九分 轸十八度七十五分右南方七宿一百九度八分右黄道宿度依今厯所测赤道准冬至歳差所在筭定以凭推步若上下考验据歳差毎移一度依术推变各得当时宿度推冬至加时黄道日度置天正冬至加时赤道日度以其赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一所得以加黄道积度即所求年天正冬至加时黄道日度及分秒求四正加时黄道日度置所求年冬至日躔黄赤道差与次年黄赤道差相减余四而一所得加象限为四正定象度置冬至加时黄道日度以四正定象度累加之满黄道宿次去之各得四正定气加时黄道宿度及分求四正晨前夜半日度置四正恒气日及分秒(冬夏二至盈缩之端以恒为定)以盈缩差命为日分盈减缩加之即为四正定气日及分置日下分以其日行度乘之如日周而一所得以减四正加时黄道日度各得四正定气晨前夜半日度及分秒求四正后毎日晨前夜半黄道日度以四正定气日距后正定气日为相距日以四正定气晨前夜半日度距后正定气晨前夜半日度为相距度累计相距日之行定度与相距度相减余如相距日而一为日差(相距度多为加相距度少为减)以加减四正毎日行度率为毎日行定度累加四正晨前夜半黄道日度满宿次去之为毎日晨前夜半黄道日度及分秒求毎日午中黄道日度置其日行定度半之以加其日晨前夜半黄道日度得午中黄道日度及分秒求毎日午中黄道积度以二至加时黄道日度距所求日午中黄道日度为二至后黄道积度及分秒求毎日午中赤道日度置所求日午中黄道积度满象限去之余为分后内减黄道积度以赤道率乘之如黄道率而一所得以加赤道积度及所去象限为所求赤道积度及分秒以二至赤道日度加而命之即毎日午中赤道日度及分秒黄道十二次宿度危十二度六十四分九十一秒 入娵訾之次辰在亥奎一度七十三分六十三秒 入降娄之次辰在戌胃三度七十四分五十六秒 入大梁之次辰在酉毕六度八十八分五秒 入实沈之次辰在申井八度三十四分九十四秒 入鹑首之次辰在未栁三度八十六分八十秒 入鹑火之次辰在午张十五度二十六分六秒 入鹑尾之次辰在巳轸十度七分九十七秒 入夀星之次辰在辰氐一度一十四分五十二秒 入大火之次辰在卯尾三度一分一十五秒 入析木之次辰在寅斗二度七十六分八十五秒 入星纪之次辰在丑女二度六分三十八秒 入𤣥枵之次辰在子求入十二次时刻各置入次宿度及分秒以其日晨前夜半日度减之余以日周乘之为实以其日行定度为法实如法而一所得依法敛加时求之即入次时刻古今律厯考卷三十六
## 卷三十七
钦定四库全书
古今律厯考卷三十七 明 邢云路 撰厯法二厯法歩月离(授时)转终分二十七万五千五百四十六分转终二十七日五千五百四十六分转中十三日七千七百七十三分初限八十四 中限一百六十八周限三百三十六月平行十三度三十六分八十七秒半转差一日九千七百五十九分九十三秒弦策七日三千八百二十六分四十八秒少上弦九十一度三十一分四十三秒太望一百八十二度六十二分八十七秒半下弦二百七十三度九十四分三十一秒少转应一十三万一千九百四分推天正经朔入转置中积加转应减闰余满转终分去之不尽以日周约之为日不满为分即天正经朔入转日及分(上考者中积内加所)(求闰余减转应满转终去之不尽以减转终余同上)求弦望及次朔入转置天正经朔入转日及分以弦策累加之满转终去之即弦望及次朔入转日及分秒(如径求次朔以转差加之)求经朔弦望入迟疾厯各视入转日及分秒在转中已下为疾厯已上减去转中为迟厯迟疾转定及积度求迟疾差置迟疾厯日及分以十二限二十分乘之在初限已下为初限已上覆减中限余为末限置立差三百二十五以初末限乘之加平差二万八千一百又以初末限乘之用减定差一千一百一十一万余再以初末限乘之满亿为度不满退除为分秒即迟疾差又术置迟疾厯日及分以迟疾厯日率减之余以其下损益分乘之如八百二十而一益加损减其下迟疾度亦为所求迟疾差求朔弦望定日以经朔弦望盈缩差与迟疾差同名相从异名相消(盈迟)(缩疾为同名盈疾缩迟为异名)以八百二十乘之以所入迟疾限下行度除之即为加减差(盈迟为加缩疾为减)以加减经朔弦望日及分即定朔弦望日及分若定弦望分在日出分已下者退一日其日命甲子筭外各得定朔弦望日辰定朔干名与后朔干同者其月大不同者其月小内无中气者为闰月推定朔弦望加时日月宿度置经朔弦望入盈缩厯日及分以加减差加减之为定朔弦望入厯在盈便为中积在缩加半歳周为中积命日为度以盈缩差盈加缩减之为加时定积度以冬至加时日躔黄道宿度加而命之各得定朔弦望加时日度凡合朔加时日月同度便为定朔加时月度其弦望各以弦望度加定积为定弦望月行定积度依上加而命之各得定弦望加时黄道月度推定朔弦望加时赤道月度各置定朔弦望加时黄道月行定积度满象限去之以其黄道积度减之余以赤道率乘之如黄道率而一用加其下赤道积度及所去象限各为赤道加时定积度以冬至加时赤道日度加而命之各为定朔弦望加时赤道月度及分秒(象限已下及半周去之为至后满象限及三象去之为分后)推朔后平交入转迟疾厯置交终日及分内减经朔入交日及分为朔后平交日以加经朔入转为朔后平交入转在转中已下为疾厯已上去之为迟厯求正交日辰置经朔加朔后平交日以迟疾厯依前求到迟疾差迟加疾减之为正交日及分其日命甲子筭外即正交日辰推正交加时黄道月度置朔后平交日以月平行度乘之为距后度以加经朔中积为冬至距正交定积度以冬至日躔黄道宿度加而命之为正交加时月离黄道宿度及分秒求正交在二至后初末限置冬至距正交积度及分在半歳周已下为冬至后已上去之为夏至后其二至后在象限已下为初限已上减去半歳周为末限求定差距差定限度置初末限度以十四度六十六分乘之如象限而一为定差反减十四度六十六分余为距差以二十四乘定差如十四度六十六分而一所得交在冬至后名减夏至后名加皆加减九十八度为定限度及分秒求四正赤道宿度置冬至加时赤道度命为冬至正度以象限累加之各得春分夏至秋分正积度各命赤道宿次去之为四正赤道宿度及分秒求月离赤道正交宿度以距差加减春秋二正赤道宿度为月离赤道正交宿度及分秒(冬至后初限加末限减视春正夏至后初限减末限加视秋正)求正交后赤道宿积度入初末限各置春秋二正赤道所当宿全度及分以月离赤道正交宿度及分减之余为正交后积度以赤道宿次累加之满象限去之为半交后又去之为中交后再去之为半交后视各交积度在半象已下为初限已上用减象限余为末限求月离赤道正交后半交白道(旧名九道)出入赤道内外度及定差置各交定差度及分以二十五乘之如六十一而一所得视月离黄道正交在冬至后宿度为减夏至后宿度为加皆加减二十三度九十分为月离赤道后半交白道出入赤道内外度及分以周天六之一六十度八十七分六十二秒半除之为定差(月离赤道正交后为外中交后为内)求月离出入赤道内外白道去极度置毎日月离赤道交后初末限用减象限余为白道积用其积度减之余以其差率乘之所得百约之以加其下积差为毎日积差用减周天六之一余以定差乘之为毎日月离赤道内外度内减外加象限为毎日月离白道去极度及分秒求毎交月离白道积度及宿次置定限度与初末限相减相乘退位为分为定差(正交中交)(后为加半交后为减)以差加减正交后赤道积度为月离白道定积度以前宿白道定积度减之各得月离白道宿次及分推定朔弦望加时月离白道宿度各以月离赤道正交宿度距所求定朔弦望加时月离赤道宿度为正交后积度满象限去之为半交后又去之为中交后再去之为半交后视交后积度在半象已下为初限已上用减象限为末限以初末限与定限度相减相乘退位为分分满百为度为定差(正交中交后为加半交后)(为减)以差加减月离赤道正交后积度为定积度以正交宿度加之以其所当月离白道宿次去之各得定朔弦望加时月离白道宿度及分秒求定朔弦望加时及夜半晨昏入转置经朔弦望入转日及分以定朔弦望加减差加减之为定朔弦望加时入转以定朔弦望日下分减之为夜半入转以晨分加之为晨转昏分加之为昏转求夜半月度置定朔弦望日下分以其入转日转定度乘之万约为加时转度以减加时定积度余为夜半定积度依前加而命之各得夜半月离宿度及分秒求晨昏月度置其日晨昏分以夜半入转日转定度乘之万约为晨昏转度各加夜半定积度为晨昏定积度加命如前各得晨昏月离宿度及分秒求毎日晨昏月离白道宿次累计相距日数转定度为转积度与定朔弦望晨昏宿次前后相距度相减余以相距日数除之为日差(距度多为)(加距度少为减)以加减毎日转定度为行定度以累加定朔弦望晨昏月度加命如前即毎日晨昏月离白道宿次(朔后)(用昏望后用晨朔望晨昏俱用)步中星大都北极出地四十度太强冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒夏至去极六十七度四十一分一十三秒冬至昼夏至夜三千八百一十五分九十二秒夏至昼冬至夜六千一百八十四分八秒昏明二百五十分黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分求毎日黄道出入赤道内外去极度置所求日晨前夜半黄道积度满半岁周去之在象限已下为初限已上复减半歳周余为入末限满积度去之余以其段内外差乘之百约之所得用减内外度为出入赤道内外度内减外加象限即所求去极度及分秒求毎日半昼夜及日出入晨昏分置所求入初末限满积度去之余以昼夜差乘之百约之所得加减其段半昼夜分为所求日半昼夜分(前多后少)(为减前少后多为加)以半夜分便为日出分用减日周余为日入分以昏明分减日出分余为晨分加日入分为昏分求昼夜刻及日出入辰刻置半夜分倍之百约为夜刻以减百刻余为昼刻以日出入分依发敛求之即得所求辰刻求更㸃率置晨分倍之五约为更率又五约更率为㸃率求更㸃所在辰刻置所求更㸃数以更㸃率乘之加其日昬分依发敛求之即得所求辰刻求距中度及更差度置半日周以其日晨分减之余为距中分以三百六十六度二十五分七十五秒乘之如日周而一所得为距中度用减一百八十三度一十二分八十七秒半倍之五除为更差度及分求昏明五更中星置距中度以其日午中赤道日度加而命之即昏中星所临宿次命为初更中星以更差度累加之满赤道宿次去之为逐更及晓中星宿度及分秒 其九服所在昼夜刻分及中星诸率并凖随处北极出地度数推之(已上诸率与晷漏所推自相符契)求九服所在漏刻各于所在以仪测验或下水漏以定其处冬至或夏至夜刻与五十刻相减余为至差刻置所求日黄道去赤道内外度及分以至差刻乘之进一位如二百三十九而一所得内减外加五十刻即所求夜刻以减百刻余为昼刻(其日出入辰刻及更㸃等率依术求之)步交㑹交终分二十七万二千一百二十二分二十四秒交终二十七日二千一百二十二分二十四秒交中十三日六千六十一分一十二秒交差二日三千一百八十三分六十九秒交望十四日七千六百五十二分九十六秒半交应二十六万一百八十七分八十六秒交终三百六十三度七十九分三十四秒交中一百八十一度八十九分六十七秒正交三百五十七度六十四分中交一百八十八度五分日食阳厯限六度 定法六十隂厯限八度 定法八十月食限十三度五分 定法八十七推天正经朔入交置中积加交应减闰余满交终分去之不尽以日周约之为日不满为分秒即天正经朔入交泛日及分秒(上考)(者中积内加所求闰余减交应满交终去之不尽以减交终余如上)求次朔望入交置天正经朔入交泛日及分秒以交望累加之满交终日去之即为次朔望入交泛日及分秒求定朔望及毎日夜半入交各置入交泛日及分秒减去经朔望小余即为定朔望夜半入交若定日有増损者亦如之否则因经为定大月加二日小月加一日余皆加七千八百七十七分七十六秒即次朔夜半入交累加一日满交终日去之即毎日夜半入交泛日及分秒求定朔望加时入交置经朔望入交泛日及分秒以定朔望加减差加减之即定朔望加时入交日及分秒求交常交定度置经朔望入交泛日及分秒以月平行度乘之为交常度以盈缩差盈加缩减之为交定度求日月食甚定分日食视定朔分在半日周已下去减半周为中前已上减去半周为中后与半周相减相乘退二位如九十六而一为时差中前以减中后以加皆加减定朔分为食甚定分以中前后分各加时差为距午定分月食视定望分在日周四分之一已下为卯前已上覆减半周为卯后在四分之三已下减去半周为酉前已上覆减日周为酉后以卯酉前后分自乘退二位如四百七十八而一为时差子前以减子后以加皆加减定望分为食甚定分以发敛求之各得辰刻求日月食甚入盈缩厯及日行定度置经朔望入盈缩厯日及分以食甚日及定分加之以经朔望日及分减之即为食甚入盈缩厯依日躔术求盈缩差盈加缩减之为食甚入盈缩厯定度求南北差视日食甚入盈缩厯定度在象限已下为初限已上用减半歳周为末限以初末限度自相乘如一千八百七十而一为度不满退除为分秒用减四度四十六分余为南北泛差以距午定分乘之以半昼分除之所得以减泛差为定差(泛差不及减者反减之为定差应加者减之应减者加之)在盈初缩末者正交减中交加在缩初盈末正交加中交减求东西差视日食甚入盈缩厯定度与半歳周相减相乘如一千八百七十而一为度不满退除为分秒为东西泛差以距午定分乘之以日周四分之一除之为定差(若在泛差已上)(者倍泛差减之余为定差依其加减)在盈厯者正交中前减中后加中交中前加中后减在缩厯者正交中前加中后减中交中前减中后加求日食正交中交限度置正交中交度以南北东西差加减之为正交中交限度及分秒求日食入隂阳厯去交前后度视交定度在中交限已下以减中交限为阳厯交前度已上减去中交限为隂厯交后度在正交限已下以减正交限为隂厯交前度已上减去正交限为阳厯交后度求月食入隂阳厯去交前后度视交定度在交中度已下为阳厯已上减去交中为隂厯视入隂阳厯在后凖十五度半已下为交后度前凖一百六十六度三十九分六十八秒已上覆减交中余为交前度及分求日食分秒视去交前后度各减隂阳厯食限(不及减者不食)余如定法而一各为日食之分秒求月食分秒视去交前后度(不用南北东西差者)用减食限(不及减者不食)余如定法而一为月食之分秒求日食定用及三限辰刻置日食分秒与二十分相减相乘平方开之所得以五千七百四十乘之如入定限行度而一为定用分以减食甚定分为初亏加食甚定分为复圆依发敛求之为日食三限辰刻求月食定用及三限五限辰刻置月食分秒与三十分相减相乘平方开之所得以四千九百二十乘之如入定限行度而一为定用分以减食甚定分为初亏加食甚定分为复圆依发敛求之即月食三限辰刻月食既者以既内分与一十分相减相乘平方开之所得以四千九百二十乘之如入定限行度而一为既内分用减定用分为既外分以定用分减食甚定分为初亏加既外为食既又加既内为食甚再加既内为生光复加既外为复圆依发敛求之即月食五限辰刻求月食入更㸃置食甚所入日晨分倍之五约为更法又五约更法为㸃法乃置初末诸分昏分已上减去昏分晨分已下加晨分以更法除之为更数不满以㸃法収之为㸃数其更㸃数命初更初㸃筭外各得所入更㸃求日食所起食在阳厯初起西南甚于正南复于东南食在隂厯初起西北甚于正北复于东北食八分已上初起正西复于正东(此据午地而论之)求月食所起食在阳厯初起东北甚于正北复于西北食在隂厯初起东南甚于正南复于西南食八分已上初起正东复于正西(此亦据午地而论之)求日月出入带食所见分数视其日月出入分在初亏已上食甚已下者为带食各以食甚分与日出入分相减余为带食差以乘所食之分满定用分而一(如月食既者以既内分减带食差余进一位如既外分而一所得以减既)(分即月带食出入所见之分不及减者为𢃄食既出入)以减所食分即日月出入带食所见之分(其食甚在昼晨为渐进昏为已退其食甚在夜晨为已退昏为渐进)求日月食甚宿次置日月食甚入盈缩厯定度在盈便为定积在缩加半歳周为定积(望即更加半周天度)以天正冬至加时黄道日度加而命之各得日月食甚宿次及分秒古今律厯考卷三十七
## 卷三十八
钦定四库全书
古今律厯考卷三十八 明 邢云路 撰厯法三厯法歩五星(授时)厯度三百六十五度二十五分七十五秒厯中一百八十二度六十二分八十七秒半厯策一十五度二十一分九十秒六十二㣲半木星周率三百九十八万八千八百分周日三百九十八日八十八分厯率四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半度率一十一万八千五百八十二分合应一百一十七万九千七百二十六分厯应一千八百九十九万九千四百八十一分盈缩立差二百三十六加平差二万五千九百一十二减定差一千八十九万七千伏见一十三度火星周率七百七十九万九千二百九十分周日七百七十九日九十二分九十秒厯率六百八十六万九千五百八十分四十三秒度率一万八千八百七分半合应五十六万七千五百四十五分厯应五百四十七万二千九百三十八分盈初缩末立差一千一百三十五减平差八十三万一千一百八十九减定差八千八百四十七万八千四百缩初盈末立差八百五十一减平差三万二百三十五减定差二千九百九十七万六千三百伏见一十九度土星周率三百七十八万九百一十六分周日三百七十八日九分一十六秒厯率一亿○七百四十七万八千八百四十五分六十六秒二五度率二十九万四千二百五十五分合应一十七万五千六百四十三分厯应五千二百二十四万五百六十一分盈立差二百八十三加平差四万一千二十二减定差一千五百一十四万六千一百缩立差三百三十一加平差一万五千一百二十六减定差一千一百一万七千五百伏见一十八度金星周率五百八十三万九千二十六分周日五百八十三日九十分二十六秒厯率三百六十五万二千五百七十五分度率一万合应五百七十一万六千三百三十分厯应一十一万九千六百三十九分盈缩立差一百四十一加平差三减定差三百五十一万五千五百伏见一十度半水星周率一百一十五万八千七百六十分周日一百一十五日八十七分六十秒厯率三百六十五万二千五百七十五分度率一万合应七十万四百三十七分厯应二百五万五千一百六十一分盈缩立差一百四十一加平差二千一百六十五减定差三百八十七万七千晨伏夕见一十六度半夕伏晨见一十九度推天正冬至后五星平合及诸段中积中星置中积加合应以其星周率去之不尽为前合复减周率余为后合以日周约之得其星天正冬至后平合中积中星(命为日日中积命为度日中星)以段日累加中积即诸段中积以度累加中星经退则减之即为诸段中星(上考者中积内减合)(应满周率去之不尽便为所求后合分)推五星平合及诸段入歴各置中积加厯应及所求后合分满厯率去之不尽如度率而一为度不满退除为分秒即其星平合入厯度及分秒以诸段限度累加之即诸段入厯(上考者中积内减厯应满)(厯率去之不尽反减厯率余加其年后合余同上)求盈缩差置入厯度及分秒在厯中已下为盈已上减去厯中余为缩视盈缩厯在九十一度三十一分四十三秒太已下为初限已上用减厯中余为末限其火星盈厯在六十度八十七分六十二秒半已下为初限已上用减厯中余为末限缩厯在一百二十一度七十五分二十五秒已下为初限已上用减厯中余为末限置各星立差以初末限乘之去加减平差得又以初末限乘之去加减定差再以初末限乘之满亿为度不满退除为分秒即所求盈缩差又术置盈缩厯以厯策除之为策数不尽为策余以其下损益率乘之厯策除之所得益加损减其下盈缩积亦为所求盈缩差求平合诸段定积各置其星其段中积以其盈缩差盈加缩减之即其段定积日及分秒以天正冬至日分加之满纪法去之不满命甲子筭外即得日辰求平合及诸段所在月日各置其段定积以天正闰日及分加之满朔策除之为月数不尽为入月已来日数及分秒其月数命天正十一月筭外即其段入月经朔日数及分秒以日辰相距为所在定月日求平合及诸段加时定星各置其段中星以盈缩差盈加缩减之(金星倍之水星三之)即诸段定星以天正冬至加时黄道日度加而命之即其星其段加时所在宿度及分秒求诸段初日晨前夜半定星各以其段初行率乘其段加时分百约之乃顺减退加其日加时定星即其段初日晨前夜半定星加命如前即得所求求诸段日率度率各以其段日辰距后段日辰为日率以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减余为度率求诸段平行分各置其段度率以其段日率除之即其段平行度及分秒求诸段増减差及日差以本段前后平行分相减为其段泛差倍而退位为増减差以加减其段平行分为初末日行分(前多后少者加为初减为)(末前少后多者减为初加为末)倍増减差为总差以日率减一除之为日差求前后伏迟退段増减差前伏者置后段初日行分加其日差之半为末日行分后伏者置前段末日行分加其日差之半为初日行分以减伏段平行分余为増减差前迟者置前段末日行分倍其日差减之为初日行分后迟者置后段初日行分倍其日差减之为末日行分以迟段平行分减之余为増减差(前后近留之迟段)木火上三星退行者六因平行分退一位为増减差金星前后退伏者三因平行分半而退位为増减差前退者置后段初日行分以其日差减之为末日行分后退者置前段末日行分以其日差减之为初日行分乃以本段平行分减之余为增减差水星退行者半平行分为増减差皆以増减差加减平行分为初末日行分(前多后少者加为初减为末前少后多者减为初加为末)又倍増减差为总差以日率减一除之为日差求毎日晨前夜半星行宿次各置其段初日行分以日差累损益之后少则损之后多则益之为毎日行度及分秒乃顺加退减满宿次去之即毎日晨前夜半星行宿次求五星平合见伏入盈缩厯置其星其段定积日及分秒(若满歳周日及分秒去之余在次年天正冬至后)如在半歳周已下为入盈厯满半歳周去之为入缩厯各在初限已下为初限已上反减半歳周余为末限即得五星平合见伏入盈缩厯日及分秒求五星平合见伏行差各以其星其段初日星行分与其段初日太阳行分相减余为行差若金水二星退行在退合者以其段初日星行分并其段初日太阳行分为行差内水星夕伏晨见者直以其段初日太阳行分为行差求五星定合定见定伏泛积木火土三星以平合晨见夕伏定积日便为定合伏见泛积日及分秒金水二星置其段盈缩差度及分秒(水星)(倍之)各以其段行差除之为日不满退除为分秒在平合夕见晨伏者盈减缩加在退合夕伏晨见者盈加缩减各以加减定积为定合伏见泛积日及分秒求五星定合定积定星木火土三星各以平合行差除其段初日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒以太阳盈缩积减之为距合差度各置其星定合泛积以距合差日盈减缩加之为其星定合定积日及分秒以距合差度盈减缩加之为其星定合定星度及分秒金水二星顺合退合者各以平合退合行差除其日太阳盈缩积为距合差日不满退除为分秒顺加退减太阳盈缩积为距合差度顺合者盈加缩减其星定合泛积为其星定合定积日及分秒退合者以距合差日盈加缩减距合差度盈加缩减其星退定合泛积为其星退定合定积日及分秒命之为退定合定星度及分秒以天正冬至日及分秒加其星定合定积日及分秒满旬周去之命甲子筭外即得定合日辰及分秒以天正冬至加时黄道日度及分秒加其星定合定星度及分秒满黄道宿次去之即得定合所躔黄道宿度及分秒(径求五星合伏定日木火土三星以夜半黄道日度减其)(星夜半黄道宿次余在其日太阳行分已下为其日伏合金水二星以其星夜半黄道宿次减夜半黄道日度)(余在其日金水二星行分已下者为其日伏合行金水二星伏退合者视其日太阳夜半黄道宿次未 到金)(水二星宿次又视次日太阳行过金水二星宿次金水二星退行过太阳宿次为其定合伏退定日)求木火土三星定见伏定积日各置其星定见定伏泛积日及分秒晨加夕减九十一日三十一分六秒如在半歳周已下自相乘已上反减歳周余亦自相乘满七十五除之为分满百为度不满退除为秒以其星见伏度乘之一十五除之所得以其段行差除之为日不满退除为分秒见加伏减泛积为其星定见伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日晨及分秒求金水二星定见伏定积日各以伏见日行差除其段初日太阳盈缩积为日不满退除为分秒若夕见晨伏盈加缩减如晨见夕伏盈减缩加以加减其星定见定伏泛积日及分秒为常积如在半歳周已下为冬至后已上去之余为夏至后各在九十一日三十一分六秒已下自相乘已上反减半歳周亦自相乘冬至后晨夏至后夕一十八而一为分冬至后夕夏至后晨七十五而一为分又以其星见伏度乘之一十五除之所得满行差除之为日不满退除为分秒加减常积为定积在晨见夕伏者冬至后加之夏至后减之夕见晨伏者冬至后减之夏至后加之为其星定见定伏定积日及分秒加命如前即得定见定伏日晨及分秒古今律厯考巻三十八
## 卷三十九
钦定四库全书
古今律厯考卷三十九 明 邢云路 撰厯法四厯法太阳躔度(详推) (授时)推各岁前冬至日躔赤道宿次分置各中积命为度以刻为分加周应起虚六度满周天钤去之得各岁前冬至日躔赤道宿次分赤道度虚八度九十五分 危十五度四十分 室十七度一十分壁八度六十分 奎十六度六十分 娄十一度八十分胃十五度六十分 昴十一度三十分 毕十七度四十分觜初度五分 参十一度一十分 井三十三度三十分鬼二度二十分 柳十三度三十分 星六度三十分张十七度二十五分 翼十八度七十五分 轸十七度三十分角十二度一十分 亢九度二十分 氐十六度三十分房五度六十分 心六度五十分 尾十九度一十分箕十度四十分 斗二十五度二十分 牛七度二十分女十一度三十五分推各岁前冬至日躔黄道宿次分置各岁前冬至赤道宿次度分以初日下赤道度率而一得各岁前冬至日躔黄道宿次分黄道度箕九度五十九分 斗二十三度四十七分 牛六度九十分女十一度十二分 虚九度○○七十五秒 危十五度九十五分室十八度三十二分 壁九度三十四分 奎十七度八十七分娄十二度三十六分 胃十五度八十一分 昴十一度八分毕十六度五十分 觜初度五分 参十度二十八分井三十一度三分 鬼二度十一分 柳十三度星六度三十一分 张十七度七十九分 翼二十度九分轸十八度七十五分 角十二度八十七分 亢九度五十六分氐十六度四十分 房五度八十四分 心六度二十七分尾十七度九十五分推黄赤道及定象限度分以推得天正赤道宿次减天正黄道宿次余为黄赤道差与次年黄赤道差相减余一十二秒以四而一得三秒加入周天象限内共得九十一度三一○九二五为定象限度分若黄赤道差相减余一十一秒以四而一得二秒七十五微加入岁周象限内共得九十一度三十一分○九亦为其年定象限度分以后累加不同即将二年之差三秒并入二秒七十五微得数半之为二秒八十七微半加入岁周象限共得九十一度三一○九一二五为定象限度分累加之自与各年原推加时黄道积度合推四正定气日以原推得冬夏二至日及刻分秒即冬夏二正定气冬至加盈初缩末限满纪法去之为春正定气夏至加缩初盈末限满纪法去之为秋正定气又法春分日及刻分秒减盈缩度差余为春正定气秋分日及刻分秒加盈缩度差得为秋正定气如求次年四正定气就与本年四正定气内各加岁余即次年四正定气(各以甲子筭外得四)(正日期)推相距日以本段定气大余减次段定气大余加六十日得相距日如次段日不及减者加六十日减之再加六十日为相距日相距多则九十三四日少则八十八九日推四正加时日躔黄道积度以天正冬至加时黄道全分累加定象限度分各得四正加时黄道积度加一次得春正二次夏正三次秋正再加即次年冬正推四正加时减分各以四正定气小余以四正初日行度乘之即得加时减分如天正冬至初日行度一度○五一○八五以乘冬至小余得冬正加时减分春正距夏正如是九十三日者行度○度九九九七○三九十四日者行度一度各以行度乘春正小余得春正加时减分如夏至初日行度○度九五一五一六以乘夏至小余得夏正加时减分秋正距次年冬正如是八十八日者行度一度○○○五○五八十九日者行度一度各以行度乘秋正小余得秋正加时减分次年冬正加时减分如本年冬正求之即得推夜半积度以四正加时黄道积度全分于内减去各正加时减分余为各正夜半日度推四正夜半宿次置夜半黄道度全分以黄道度去之不满黄道度者即入宿次推相距度以冬正夜半积度减春正夜半积度余为冬正距春正度以春正夜半积度减夏正夜半积度余为春正距夏正度以夏正夜半积度减秋正夜半积度余为夏正距秋正度以秋正夜半积度减次年冬正夜半积度余为秋正距次年冬正度如不及减加周天减之推日差以相距度与相距日下行定度减之余以相距日而一得日差如相距度内减去行定度者为加差行定度内减去相距度者为减差四正相距日及行定度分秋正距冬至 冬至距春正八十八日 行定度九十○度四○○九三五八十九日 行定度九十一度四○一四四一春正距夏至 夏至距秋正九十三日 行定度九十○度五九九○九十四日 行定度九十一度五九八七推每日晨前夜半日度以冬夏二至夜半日度宿次全分自二至初日下行度顺次加之即得每日夜半日度及分秒及加减日差如满黄道本宿度及分秒去之余入次宿度如是加行度一次则加减日差一次满黄道本宿度去之即得夜半日度如是春秋二正各以相距日下行度加之亦加减日差满黄道本宿度去之得每日夜半日度日躔黄道入十二次宫界度推日躔黄道入十二次时刻以入次宿度及分秒以其日晨前夜半日度宿次减之余为实以其日行定度而一得数以发敛法收之即入次时刻行定度者是原减入次得夜半日度与次日夜半日度相减余而得古今律厯考卷三十九
## 卷四十
钦定四库全书
古今律厯考卷四十 明 邢云路 撰厯法五厯法(授时)太阳冬至前后立成 盈初缩末其法以次増加自上而下若以术则各推缩初同太阳夏至前后立成 缩初盈末古今律厯考巻四十
## 卷四十一
钦定四库全书
古今律厯考卷四十一 明 邢云路 撰厯法六厯法(授时)太阳冬至后盈初厯积度 行度秋正距冬至冬至距春正通为一法太阳秋分后缩末厯积度 行度冬至距春正盈八十八九日秋正距冬至亦然故盈初缩末同法古今律厯考卷四十一
## 卷四十二
钦定四库全书
古今律厯考卷四十二 明 邢云路 撰厯法七厯法(授时)太阳夏至后缩初厯积度 行度春正距夏至夏至距秋正通为一法太阳春分后盈末厯积度 行度春正距夏至九十三四日夏至距秋正亦然故缩初盈末同法太阳春分后盈末厯积度 行度古今律厯考卷四十二
## 卷四十三
钦定四库全书
古今律厯考卷四十三 明 邢云路 撰厯法八厯法(授时)万厯己亥岁日躔厯 距元积年三百一十八中积一十一万六千一百四十七日一刻九十六分(有消长中命日曰度为 星度)冬至四十二日七刻九六(丙午丑初二刻)闰余二十三日四十刻二三三一经朔一十八日六十七刻六六六九推冬至赤道日度置中积加周应三百一十五度一十分七五得一十一万六千四百六十二度一十二分七十一秒满周天去之余三百一十度一十四分六十七秒命起赤道虚宿六度外去之得冬至日躔赤道箕五度三分九十二秒(虚宿六度外至尾末共三百五度一○七五)冬至黄道日度置冬至赤道度以初日下赤道率而一得日躔黄道箕四度六十三分八十秒黄赤道差置前赤道度减黄道度余四十分一十二秒为黄赤道差次年冬至赤道日度置前冬至余数三百一十度一四六七再加岁周以虚宿六度外去之得次年冬至日躔赤道箕五度二分三十六秒次年冬至黄道日度及黄赤道差命如前得次年冬至日躔赤道箕四度六二三六相减余四十分为次年黄赤道差定象限度置本年岁前黄赤道差减次年黄赤道差余一十二秒以四象而一得三秒加入周象限九十一度三一○五五内得九十一度三一○八五为定象限度分四正定气置本年岁前冬至四十二日七刻九十六分即为冬正定气加盈初缩末限八十八日九○九一五得一百三十日九八八七五满纪法去之余一十日九八八七五为春正定气加缩初盈末限九十三日七一一九五得一百四日七○○七去纪余四十四日七○○七为夏正定气加缩初盈末限得一百三十八日四一二六五去纪余一十八日四一二六五为秋正定气再加盈初缩末限得一百七日三二一八去纪余四十七日三二一八为次年冬正定气四正相距日置春正定气一百三十日减岁前冬正定气四十二日余八十八日是冬正距春正八十八日置夏正定气一百四日减春正定气一十日余九十四日是春正距夏正九十四日置秋正定气一百三十八日减夏正定气四十四日余九十四日是夏正距秋正九十四日置次年冬正定气一百七日减秋正定气一十八日余八十九日是本年秋正距次年冬正八十九日四正黄道日度置岁前黄道日度箕四度六三八加其年定象限度九十一度三一○八五得九十五度九四八八五为春正黄道日度累加定象限各命如钤得一百八十七度二五九七为夏正度得二百七十八度五七○五五为秋正度得三百六十九度八八一四为次年冬正度满周天三百六十五度二五七八去之余四度六二三六即前所推次年冬至日躔箕四度六十二分三十六秒四正加时减分置冬正定气小余七刻九十六分以冬至初日下行度一度○五一○八五乘之得八分三六六为冬至加时减分置春正定气小余九十八刻八七五以相距九十四日用九十三日下行度初度九九九十○三乘之得九十八分八四五六为春正加时减分置夏正定气小余七十○刻○七以夏至初日下行度初度九五一五一六乘之得六十六分六七三七为夏正加时减分置秋正定气小余四十一刻二六五以相距八十九日用八十八日下行度一度○○○五○五乘之得四十一分二八五八为秋正加时减分置次年冬正定气小余三十二刻一八以冬至初日下行度一度○五一○八五乘之得三十三分八二三九为次年冬至加时减分四正夜半日度置冬至加时黄道箕四度六十三分八十秒减去冬至加时减分八分三六六六余四度五五四三三四依黄道宿次去之即为冬至夜半日度置春正加时黄道日度九十五度九四八八五减去加时减分九十八分八四五六余九十四度九六○三九四为春正夜半日度置夏正加时黄道日度一百八十七度二五九七减去加时减分六十六分六七二七余一百八十六度五九二九七三为夏正夜半日度置秋正加时黄道日度二百七十八度五七○五五减去加时减分四十一分二八五八余二百七十八度一五七六为秋正夜半日度置次年冬至加时黄道箕四度六二三六减去加时减分三十三分八二三九余四度二八五三六一为次年冬至夜半日度二十八宿赤道变黄道度置箕宿十度四十分减去己亥岁前冬至箕五度三分九十二秒余五度三十六分八秒是至后赤道积度以减赤道四度下积度四度三四四五余一度○一六三以黄道率一度乘之以赤道率一度○八四九而一得数加黄道四度共得四度九十三分六十七秒是冬至后箕宿黄道积度赤道宿度 赤道积度 四正距后赤道积度斗二十五度(二) 二十五度(二) 三十度(五六○八)牛七度(二) 三十二度(四) 三十七度(七六○八)女十一度(三五) 四十三度(七五) 四十九度(一一○八)虚八度(九五七八)五十二度(七○七八) 五十八度(○六八六)危十五度(四) 六十八度(一○七八) 七十三度(四六八六)室十七度(一) 八十五度(二○七八) 九十度(五六八六)壁八度(六) 九十三度(八六七八) 九十九度(一六八六)(春正后减岁周象限九十一度三一○五五余七度八五八○五)奎十六度(六) 一百一十度(四○七八) 二十四度(四五八○五)娄十一度(八) 一百二十二度(二○七八)三十六度(二五八○五)胃十五度(六) 一百三十七度(八○七八)五十一度(八五八○五)昴十一度(三) 一百四十九度(一○七八)六十三度(一五八○五)毕十七度(四) 一百六十六度(五○七八)八十度(五五八○五)觜初度(○五) 一百六十六度(五五七八)八十度(六○八○五)参十一度(十) 一百七十七度(六五七八)九十一度(七○八○五)(夏至后减岁周象限九十一度三一○五五余三十九分七四五)井三十三度(三) 二百一十度(九五七八) 三十三度(六九七五)鬼二度(二) 二百一十三度(一五七八)三十五度(八九七五)桞十三度(三) 二百二十六度(四五七八) 四十九度(一九七五)星六度(三) 二百三十二度(七五七八) 五十五度(四九七五)张十七度(二五) 二百五十度(○○七八) 七十二度(七四七五)翼十八度(七五) 二百六十八度(七五七八) 九十一度(四九七五)(秋正后减岁周象限九十一度三一○五五余一十八分六八五)轸十七度(三) 二百八十六度(○五七八) 十七度(四八六九五)角十二度(一) 二百九十八度(一五七八) 二十九度(五八六九五)亢九度(二) 三百○七度(三五七八) 三十八度(七八六九五)氐十六度(三) 三百二十三度(六五七八) 五十五度(○八六九五)房五度(六) 三百二十九度(二五七八) 六十度(六八六九五)心六度(五) 三百三十五度(七五七八) 六十七度(一八六九五)尾十九度(一) 三百五十四度(八五七八) 八十六度(二八六九五)箕十度(四) 三百六十五度(二五七八) 九十六度(六八六九五)(次年冬至后减歳周象限九十一度三一○五五余五度三七六二五)置各得至后分后赤道距后积度内减去至后分后赤道积度余数以黄道率乘之如赤道率而一得数以加黄道积度下为黄道距后积度以右上距后黄道积度减左下距后黄道积度余为各宿度分如不及前右上减者加一周天象限减之即得黄道宿度及分近则就之各得本宿度分右斗二十八度五七四五者是至后赤道斗三十度积度三十○度五六○八以至后赤道二十八度下积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一以加黄道二十八度下所得二十八宿黄道度约分箕九度(五七) 斗二十三度(六四)牛六度(九八)女十一度(三六) 虚九度(○一七) 危十六度(一三)室十八度(四五) 壁九度(八四) 奎十七度(七三)娄十二度(三二) 胃十五度(五二) 昴十度(九五)毕十六度(三四) 觜初度(○五) 参十度(二四)井三十一度(二一)鬼二度(一四) 桞十三度(二五)星六度(二九) 张十八度(○○) 翼二十度(二三)轸十八度(六七) 角十二度(七四) 亢九度(四四)氐十六度(二○) 房五度(四二) 心六度(二○)尾十七度(八一)赤道宿总度东方七宿七十九度二十分北方七宿九十三度八十分太西方七宿八十三度八十五分南方七宿一百八度四十分以北方虚六度筭外尽北方四十四度○五七五至尽西方一百二十七度九○七五至尽南方二百三十六度三○七五至尽东方三百一十五度五十分七十五秒除授时箕五度三十六分八秒余三百一十度一十四分六十七秒得箕五度三分九十二秒为己亥冬至日躔宿度若以次步厯止用虚六度外至尽尾十九度一十分共三百五度一十分七十五秒余数入箕宿得各岁冬至日躔箕宿度赤道十二次宿度及四正后积次度置周天三百六十五度二十五分七十八秒以十二而一得三十度四三八一五为毎宫赤道次界度半之得十五度二一九○七五乃一宫之正中为半宫赤道次界度置子𤣥枵正中虚六度加前女十一度三十五分共十七度三十五分以减去半宫界次一十五度二一九○七五余女二度一十三分九秒二十五微是赤道子𤣥枵宫次初界度七政四余皆从此界入子宫置冬至后箕五度三十六分八秒加赤道斗二十五度二十分牛七度二十分又加赤道𤣥枵次初界女二度一十三分○九二五共得三十九度八九一七二五为冬至后赤道积度以累加毎宫次赤道三十度四三八一五为各宫初次赤道积度如满周岁象限九十一度三一○五五去之为春分后积度累满去为夏至为秋分为次年冬至后各积度以赤道变黄道法推之各得黄道十二次度黄道十二次宿度及四正后积次度置四正后所推赤道宿积度以四正后赤道积度减之余以黄道率乘之如赤道率而一得数以加黄道积度以前四正后黄道积度减之余各得十二次宿度分前后积度相减余为界次置冬至赤道后子𤣥枵积度三十九度八九一七二五以减冬至后赤道三十七度下积度三十九度二三七七余六十五分四○二五以黄道一度乘之以赤道度率一度○一七七而一得六十四分二七以加于三十七度下共得三十七度六四二七为子𤣥枵女三十七度六四二七置冬至后赤道后亥娵訾积度七十度三二九八七五以减冬至后赤道六十八度下积度六十九度六四八余六十八分一八七五以黄道一度乘之以赤道度率九分四五而一得七十二分一六以加于六十八度下共得六十八度七二一六为亥娵訾危六十八度七二一六以危六十八度七二一六减前女三十七度六四二七余三十一度○七八五为𤣥枵黄道界次余倣此置女三十七度六四二七以箕四度九三六五并斗二十三度六三八牛六度九七九一共三十五度五五三六为距后黄道度减之余二度○八九一乃入女二度○八九一为黄道入子宫界次余倣此置亥娵訾危六十八度七二一六减四正距后度虚五十五度九二○六余一十二度八○一○为黄道入亥宫界次如春分后降娄之次赤道积度奎九度四十九分七四七五以去赤道积度九度余四十九分七四七五以黄道率一度○八一二乘之得五十三分七八六九九七以赤道率一度而一加入黄道积度九度七六○五共得黄道奎十度二十九分八十七秒入戌宫界宿次积度加周天象限减前宫界积度余为黄道宫度与奎前一宿四正黄道积度减余为入宫界宿次以奎积度加周天象限共得一百一度六十一分三十一秒以减黄道积度壁九十九度八十四分余奎一度七十七分三十一秒是七政四余交宫之界如此出入故曰界顺则入戌退则入亥余倣此推黄道宿次积度钤(赤道积度即赤道钤度故不重录)置前宿累加次宿如是黄道箕九度五七加斗二十三度六四共三十三度二一余倣此黄道钤度箕九度五七 斗三十三度二一 牛四十度一九女五十一度五五 虚六十度五六七八 危七十六度六九七八室九十五度一四七八 壁一百四度四八七八 奎一百二十二度二一七八娄一百三十四度五三七八胃一百五十度○五七八 昴一百六十一度○○七八毕一百七十七度三四七八觜一百七十七度三九七八参一百八十七度六五七八井二百一十八度八六七八鬼二百二十一度○○七八桞二百三十四度二五七八星二百四十度五四七八张二百五十八度五四七八翼二百七十八度七九七八轸二百九十七度四四七八角三百一十度一八七八 亢三百一十九度六二七八氐三百三十五度八二七八房三百四十一度二四七八 心三百四十七度四四七八尾三百六十五度二五七八推相距度置春正夜半日度九十四度九六○三九四内减冬至夜半日度四度五五四三三四余九十○度四○六○六○为冬正距春正相距度置夏至夜半日度一百八十六度五九二九七三内减春正夜半日度余九十一度六三二五七九为春正距夏正相距度置秋正夜半日度二百七十八度一五七六九二内减夏正夜半日度余九十一度五六四七一九为夏正距秋正相距度置次年天正冬正夜半日度四度二八五三六一加周天全度共得三百六十九度五四三一六一内减秋正夜半日度余九十一度三八五四六九为秋正距次年冬至相距度推日差置冬正距春正相距度九十○度四○六○六○内减冬正距春正八十八日下行定度九十○度四○○九三五余五十一秒二五以相距八十八日而一得五十八微二一是冬正距春正日差是相距度多行定度少为加差置春正距夏正相距度九十一度六二二五七九内减春正距夏正九十四日下行定度九十一度五九八七五九余三分三八二相距九十四日而一得三秒五九七八是春正距夏正日差是相距度多行定度少为加差置夏正距秋正九十四日下行定度九十一度五九八七五九内减夏正距秋正相距度九十一度五六四七一九余三分四○四以相距九十四日而一得三秒五五七四是夏正距秋正日差是行定度多相距度少为减差置秋正距次年冬正八十九日下行定度九十一度四○一四四一内减秋正距次年冬正相距度九十一度三八五四六九余一分五七五一以相距八十九日而一得一秒七七九二一是秋正距次年冬正日差是行定度多相距度少为减差推宫界积度及交宫钤度置前宿度及分秒加入宫宿度及分秒共得数为宫界积度如到春正夏正秋正后皆以前宫宿加入宫宿度为宫界积度假如斗三度八○四三入丑加前箕宿九度五七共得一十三度三七四三是宫界积度如春分后奎一度七七三一入戌加前壁九度三四共得一十一度一一三一是宫界积度余倣此置前宿累加次宿所得为钤度各以四正后加之如冬正后箕九度五七加斗二十三度六四牛六度九八共得四十○度一九为钤虚六十○度五六七八是也春正又从壁九度三四起为钤度宫界积度(日躔入此交宫) 交宫钤度(满此钤减去余为入宫宿次)冬至后入丑星纪斗一十三度三六八三 箕九度五七大寒后入子𤣥枵女四十二度二八九一 牛四十○度一九雨水后入亥娵訾危七十三度三六二八 虚六十○度五六七五春分后入戌降娄奎一十一度一一三一 壁二十七度七九谷雨后入酉大梁胃四十三度○八七○ 娄五十七度八四小满后入申实沈毕七十二度六六四七 昴八十四度三一夏至后入未鹑首井一十八度五九七五 参一十○度二四大暑后入午鹑火桞四十七度五一七四 鬼四十三度六一处暑后入巳鹑尾张七十八度五八四八 星六十三度一五秋分后入辰夀星轸三十○度二八九九 翼二十○度二三霜降后入邜大火氐六十二度二○一四 亢六十一度○八小雪后入寅析木尾八十五度八六七九 心八十八度九○推太阳入丑宫星纪度及日时刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加冬至后八日下太阳盈初积度八度三九四七四九得一十二度九四九○八三又将冬至下日差五十八微二一以八日乘之得四秒六五六八为加差加入前数内共得一十二度九四九五四八六八为入丑宫定度内减去交宫钤箕九度五七余斗三度三七九五四八六八是斗三度下交入丑宫夜半日度置十二次中交宫界斗三度七九八五内减去斗三度三七九五四八六八余四十一分八七五一三二以日周乘之得四十一刻八七五一三二以八日下太阳行度一度○四七○八二而一得三十九刻九九二二以发敛求之得巳初二刻太阳入丑宫日以冬至大余四十二日加八日共五十日以甲子筭外得甲寅日是甲寅巳初二刻入丑宫星纪之次推太阳入子宫𤣥枵度及日时刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加至后三十六日下太阳盈初积度三十七度五一四六七二得四十二度○六九○○六又将日差五十八微二一以三十六日乘之得二十○秒九五五六加入前数共得四十二度○七一一○一为入子宫定度内减去交宫钤牛四十○度一九余女一度八八一一○一是女一度下交入子宫夜半日度置十二次中交宫界女二度○八九一内减去女一度八八一一○一余二十○分七九九九以日周乘之得数以三十六日下太阳行度一度○三二一三四而一得二十○刻一五二三以发敛求之得寅正三刻太阳入子宫日以冬至大余四十二日加三十六日共七十八日满纪去之余十八日以甲子算外得壬午日是壬午寅正三刻入子宫𤣥枵之次推太阳入亥宫娵訾度及日时刻置冬至夜半日度箕四度五五四三三四加冬至后六十六日下太阳盈初积度六十八度二二七二一二得六十七度七八一六四六又将日差五十八微二一以六十六日乘之得三十八秒四一八六加入前数共得七十二度七八五三八七八六内减去虚六十○度五六七五余危一十二度二一七八八七八六是危十二度下交入亥宫夜半日度置十二次中交宫界危十二度八○一内减去危一十二度二一七八八七八六余五十八分三一一二以日周乘之得数以六十六日下太阳行度一度○一四五○一而一得五十七刻四七七七以发敛求之得未初三刻太阳入亥宫日以冬至四十二日加六十六日共一百○八日满纪去之余四十八日以甲子算外得壬子日是壬子未初三刻入亥宫娵訾之次推太阳入戌宫降娄度及日时刻置春正夜半积度九十四度九六○三九四内减去黄道钤危七十六度六九七八余室一十八度二六二五九四为春正夜半日度以春正夜半日度加春正距夏正九十四日后盈末积度该加一十一日下盈末积度一十○度九六四四二得二十九度二二七○一四又将春正下日差三秒五九七八以春正后十一日乘之得三十九秒五七五八加入前数共得二十九度二三○九七一五八内减交宫钤壁二十七度六○二五九四余奎一度六二八三七七五八是奎一度下交入戌宫夜半日度置十二次中交宫界奎一度七七三一内减去奎一度六二八三七七五八余一十四分四七二二四二以日周乘之得数以春正后十一日下太阳行度初度九九三二七三而一得一十四刻五七○二以发敛求之得寅初二刻太阳入戌宫日以春正定气十日加春正后十一日共二十一日以甲子算外得乙酉日是乙酉寅初二刻入戌宫降娄之次推太阳入酉宫大梁度及日时刻置春正夜半日度室一十八度二六二五九四加春正后四十三日下盈末积度四十二度四七二○四一得六十○度七三四六三五又将日差三秒五九七八以四十三日乘之得一分五四七○五四加前数共得六十○度七五○一○五五四内减交宫钤娄五十七度八四余胃二度九一○一○五五四是胃二度下交入酉宫夜半日度置十二次中交宫界胃三度六九七内减去胃二度九一○一○五五四余七十八分六八九四四六以日周乘之得数以四十三日下太阳行度初度九七五六八一而一得八十○刻六五○七以发敛求之得戌初一刻太阳入酉宫日以春正定气十日加春正后四十三日共五十三日以甲子算外得丁巳日是丁巳戌初一刻入酉宫大梁之次推太阳入申宫实沈度及日时刻置春正夜半日度室一十八度二六二五九四加春正后七十四日下盈末积度七十二度四八二二四六得九十○度七四四八四又将日差三秒五九七八以七十四日乘之得二分六六二三七二加前数共得九十○度七七一四六三七二内减交宫钤昴八十四度三一余毕六度四六一四六三七二是毕六度下交入申宫夜半日度置十二次中交宫界毕六度八○四七内减去毕六度四六一四六三七二余三十四分三二三六二八以日周乘之得数以七十四日下太阳行度初度九六○二二二而一得三十五刻七四五五以发敛求之得辰正二刻太阳入申宫日以春正定气十日加春正后七十四日共八十四日满纪去之余二十四日以甲子算外得戊子日是戊子日辰正二刻入申宫实沈之次推太阳入未宫鹑首度及日时刻置夏至夜半积度一百八十六度五九二九七三内减去黄道钤觜一百七十七度三九七八余参九度一九五一七三为夏至夜半日度以夏至夜半日度加夏至后九日下缩初积度八度五七九七五八得一十七度七七四九三一又将日差三秒五五七四以夏至后九日因之得三十二秒○一六六是减差减前数余一十七度七七一七二九三四内减交宫钤参十○度二四余井七度五三一七二九三四是井七度下交入未宫夜半日度置十二次中交宫界井八度三五七五内减去井七度五三一七二九三四余八十二分五七七○六六以日周乘之得数以九日下太阳行度初度九五五一一而一得八十六刻四五八一以发敛求之得戌正三刻太阳入未宫日以夏至定气四十四日加夏至后九日共五十三日以甲子算外得丁巳日是丁巳日戌正三刻入未宫鹑首之次推太阳入午宫鹑火度及日时刻置夏至夜半日度参九度一九五一七三加夏至后三十九日下太阳缩初积度三十七度四五二六五三得四十六度六四七八二六又将日差三秒五五七四以三十九日乘之得一分三八七三八六减前数余四十六度六三三九五二一四内减交宫钤鬼四十三度六一余栁三度○二三九五二一四是桞三度下交入午宫夜半日度置十二次中交宫界桞三度九○九四内减去桞三度○二三九五二一四余八十八分五四四七八六以日周乘之得数以三十九日下太阳行度初度九七○○一七而一得九十一刻二八一六以发敛求之得亥初三刻太阳入午宫日以夏至定气四十四日加夏至后三十九日共八十三日满纪去之余二十三日以甲子算外得丁亥日是丁亥日亥初三刻入午宫鹑火之次推太阳入巳宫鹑尾度及日时刻置夏至夜半日度参九度一九五一七三加夏至后七十一日下缩初积度六十八度七五二六一六得七十七度九四七七八九又将日差三秒五五七四以七十一日乗之得二分五二五七五四减前数余七十七度九二二五三一四六内减交宫钤度星六十三度一五余张十四度七七二五三一四六是张十四度下交入巳宫夜半日度置十二次中交宫界张十五度四三四八内减去张十四度七七二五三一四六余六十六分二二六八五四以日周乘之得数以七十一日下太阳行度初度九八七○三八而一得六十七刻○九六五以发敛求之得申正初刻太阳入巳宫日以夏至四十四日加夏至后七十一日共一百一十五日满纪去之余五十五日以甲子算外得巳未日是巳未日申正初刻入巳宫鹑尾之次推太阳入辰宫夀星度及日时刻置秋正夜半积度二百七十八度一五七六九二内减去黄道钤张二百五十八度五四七八余翼十九度六○九八九二为秋正夜半日度以秋正夜半日度加秋正距次年冬正八十九日用八十三日为初日行度积度该加秋正后十日下积度一十○度○三四三三七得二十九度六四四二二九又将日差一秒七七九二一以秋正后十日因之得一十七秒七九二一减前数余二十九度六四二四四九七九内减交宫钤翼二十○度二三余轸九度四一二四四九七九是轸九度下交入辰宫夜半日度置十二次中交宫界轸十○度○五九九内减去轸九度四一二四四九七九余六十四分七四五○二一以日周乘之得数以秋正后十日下行度一度○○六九七九而一得六十四刻二九六二以发敛求之得申初一刻太阳入辰宫日以秋正定气十八日加秋正后十日共二十七日以甲子算外得壬辰日是壬辰申初一刻入辰宫夀星之次推太阳入夘宫大火度及日时刻置秋正夜半日度翼十九度六○九八九二加秋正后四十二日下缩积度四十二度五六四四一八得六十二度一七四三一又将日差一秒七七九二一以四十二日乗之得七十四秒七二六八二减前数余六十二度一六六八三七三一内减交宫钤度亢六十一度○八余氐一度○八六八三七三一是氐一度下交入邜宫夜半日度置十二次中交宫界氐一度一三一四内减去氐一度○八六八三七三一余四分四五六二六九以日周乘之得数以四十二日下行度一度○二六四四三而一得四刻三四一四以发敛求之得丑初初刻太阳入邜宫日以秋正十八日加秋正后四十二日共六十日以满纪去之命甲子日是甲子丑初初刻入邜宫大火之次推太阳入寅宫析木度及日时刻置秋正夜半日度翼十九度六○九八九二加秋正后七十日下缩积度七十一度五一七○三五得九十一度一二六九二七又将日差一秒七七九二一以七十日乘之得一分二四五四四七减前数余九十一度一一四四七二五三内减交宫钤心八十八度九余尾二度二一四四七二五三是尾二度下交入寅宫夜半日度置十二次中交宫界尾二度九七九一内减交尾一度二一四四七二五三余七十六分四六二七四七以日周乘之得数以七十日下行度一度○四一九一一而一得七十三刻三八七以发敛求之得酉初二刻太阳入寅宫日以秋正十八日加秋正后七十日共八十八日以满纪去之余二十八日以甲子算外得壬辰日是壬辰酉初二刻入寅宫析木之次十二宫日躔甲寅日斗三度巳初二刻入丑宫星纪之次壬午日女一度寅正三刻入子宫𤣥枵之次壬子日危十二度未初三刻入亥宫娵訾之次乙酉日奎一度寅初二刻入戌宫降娄之次丁巳日胃二度戌初一刻入酉宫大梁之次戊子日毕六度辰正二刻入申宫实沈之次丁巳日井七度戌正三刻入未宫鹑首之次丁亥日桞三度亥初三刻入午宫鹑火之次巳未日张十四度申正初刻入巳宫鹑尾之次壬辰日轸九度申初一刻入辰宫夀星之次甲子日氐一度丑初初刻入邜宫大火之次壬辰日尾二度酉初二刻入寅宫析木之次以大统推巳亥岁日躔(内冬至后加时黄赤道度率用初度下非大统四度下)中积一十一万六千一百四十七日一十一刻五十分天正冬至(即冬正定气)四十二日一十七刻五十○分(丙午日)距春正八十九日春正定气一十一日○八刻四二二五(乙亥日)距夏正九十三日春分日辰一十三日四十八刻五六二五(丁丑日午初二刻)前距春正二日夏至(即夏正定气)四十四日七十九刻六二五(戊申日)距秋正九十四日秋分日辰一十六日一十○刻六八七五(庚辰日丑正二刻)前距夏正九十二日秋正定气一十八日五十○刻八二二五(壬午日)距次年冬正八十九日次年冬正定气四十七日四十一刻七五(辛亥日)距春正八十九日天正冬至加时赤道度箕五度二十三分天正加时黄道箕四度八一六二○四 加时减分一十八分三九三九 夜半日度宿次箕四度六三二二六五春正加时黄道九十六度一二七一二二五 加时减分八分四一四九四五 夜半积度九十六度○四二九七三○五 夜半日度壁一度六八五四七三○五夏正加时黄道一百八十七度四三八○四一 加时减分七十五分七六四四六一五 夜半积度一百八十六度六八○三九七 夜半日度参九度三一二八九七秋正加时黄道二百七十八度七四八九五九五 加时减分五十○分八二七五 夜半积度二百七十八度二四○六八四五 夜半日度轸初度二六三一八四五次年天正冬至黄道三百七十○度○五九八七八加时箕四度八○二三七八 加时减分四十三分八八二七九八 夜半加时黄道三百六十九度六二一五九八二 夜半日度宿次箕宿四度三六三五五一次年春正加时黄道九十六度一一三二九五六 加时减分三十二分六七二五 夜半积度九十五度七八六五七一五 夜半日度壁一度四二九○七一五定象限九十一度三一○九一八五岁前天正距春正九十一度(四一○七○八○五)行定度九十一度(四○一四)日差一秒○四加春正距夏正九十○度(六三七四二三九五)行定度九十○度(五九)(九○四)日差四秒一三加夏正距秋正九十一度(五六○二八七五)行定度九十一度(五九)(八七○七)日差四秒○八减秋正距次年冬正九十一度(三八○九一三六)行定度九十一度(四○一四)日差二秒三减冬正距次年春正九十一度(四二三○二○五)行定度九十一度(四○一四)日差二秒四二加春分夜半黄道积度九十八度(○四一四二七○五)夜半日度壁三度六八三九二七○五秋分夜半黄道积度二百七十六度(二四二七五五)夜半日度翼十八度三五五二五五丙午日冬至夜半日度黄道宿次箕四度六十三分二十二秒丁丑日春分夜半日度黄道宿次壁三度六十八分三十九秒戊申日夏至夜半日度黄道宿次参九度三十二分八十九秒庚辰日秋分夜半日度黄道宿次翼十八度三十五分五十二秒冬至昏中室十三度五十○分四十五秒二更娄七度二六一五 三更毕七度二九九五四更井十九度七五六二 五更张六度五九四九晓轸七度○○二五春分昏中井十一度六十一分四十一秒二更桞十一度二三七一 三更翼六度九○○三四更角一度四二三三 五更氐十一度一五六四晓尾十五度三六九五夏至昏中角六度四十八分五十○秒二更氐八度四四一四 三更尾八度六七七八四更斗七度五二四二 五更女三度五四○六晓危九度七九九五秋分昏中斗三度一十三分一十八秒二更女五度三三三七 三更室一度八二八○四更奎六度七四九九 五更胃九度○八一七晓毕十四度七六二五日躔交宫冬至后六十五日辛亥戌正三刻入亥宫(先天九时)日差六十四秒六加 日率度一度○一五一一五夜半积度七十一度八五一○九一 夜半日度危十一度六三五九一春正后九日甲申巳正初刻入戌宫(先天九时)日差三十七秒一七加 日率度初度九九四四二七 夜半积度一十○度六六○○四○○五 夜半日度奎一度二一二○四春正后四十二日丁巳寅初一刻入酉宫(先天八时)日差一分七三四六加 日率度初度九七五六八一 夜半积度四十三度一七五○五七○五 夜半日度胃三度六○五○五七春正后七十三日戊子寅初二刻入申宫(先天二时)日差三分○一四九加 日率度初度九七○二二三○五 夜半积度七十三度一九八一六五○五夜半日度毕六度七三八一六五○五夏至后九日丁巳酉正二刻入未宫(先天一时)日差三十六秒七二减 日率度初度九五五五六七 夜半积度一十七度八八九九八三 夜半日度井七度六○九九八三夏至后三十九日丁亥未初一刻入午宫(先天四时)日差一分五九一二减 日率度初度九七○○一七 夜半积度四十六度七四九六二八 夜半日度桞三度三二九六二八夏至后七十日戊午亥正三刻入巳宫(先天九时)日差二分八五六减 日率度初度九八六四八一夜半积度七十七度○五○四七二 夜半日度张十四度三二○四七二秋正后九日辛邜酉正三刻入辰宫(先天十一时)日差二十○秒七减 日率度一度○○六三四夜半积度九度二八九六六五 夜半日度轸九度二八九六六五秋正后四十一日癸亥午正一刻入邜宫(先天七时)日差九十四秒三减 日率度一度○二五八六三夜半积度七十一度七八○七六九五 夜半日度氏初度六一八六九九五秋正后七十日壬辰未初一刻入寅宫(先天二时)日差一分六一减 日率度一度○四一九一一夜半积度七十一度七八○七六九五 夜半日度尾二度四五○七六九五冬至后八日巳未未初二刻入丑宫日差一十九秒三六加 日率度一度○四七○八二 夜半积度一十二度七六○二三六 夜半日度斗三度一七○三六冬至后三十六日丁亥寅初初刻入子宫日差八十七秒一二加 日率度○三二一三四夜半积度四十一度八八六九一七 夜半日度女一度九二六九一七右以授时法推日躔较大统法大统先天有至八九时甚至十一时者乃大统自谓余遵授时是遵何术也大统并授时且不知用安望其随时测改耶古今律厯考卷四十三
## 卷四十四
钦定四库全书
古今律厯考卷四十四 明 邢云路 撰厯法九厯(去)太阴躔度(详推) (授时)推朔后平交日置交终分内减天正经朔交泛全分为朔后平交日分如推次月于推得朔后平交日分内累减交差二日三一八三六九得各次月朔后平交日分如不及减加交终为月重交月朔后平交日分次复累减交差得各月朔后平交日分推平交距后度置朔后平交日全分以月平行分一十三度三六八七五乘之得数为平交距后度分如推次月者于平交距后度分内累减月平交差三十度九九三六九五五六八七五得各次月平交距后度分如不及减加入交终度三百六十三度七九三四一九六为重交月平交距后度分次复累减月平交差分得各月平交距后度分推平交入转迟疾厯置经朔下迟厯疾厯全分内加入朔后平交日分为平交入转迟疾厯日分如遇满转中已上者内减去转中分是迟厯为疾厯疾厯为迟厯推限数并平交入限迟疾厯置平交入转迟疾厯全分以一十二限二十分为法乘之得限数置平交入转迟疾厯限数下迟疾厯日率减之为实以损益捷法乘之得数加减迟疾度全分得平交入限迟疾度分推平交加减定差置平交入限迟疾度以限下迟疾捷法乘之迟为加差疾为减差推经朔加时中积日置经朔下盈缩厯全分盈厯者就为加时中积如是缩厯者加入半岁周为经朔加时中积遇重交月以本月经朔加时中积注于重交月下如推次月以加时中积累加朔䇿为各经朔加时分满岁周去之为加时中积分推正交距冬至加时黄道积度置经朔加时中积分内加平交距后度为正交距冬至加时黄道积度满岁周去之如推各次月者于正交距冬至加时黄道积度全分内累减月平交朔差一度四十六分三一○二如不及减者加岁周减之推至重交月本月减月平较差一度四十四分九○八为重交月次复累减月平交朔差如在半岁周已下者为冬至后半岁周已上者为夏至后推正交月离黄道宿次度分置各月正交距冬至加时黄道积度加岁前天正冬至加时黄道宿次全分满黄道宿次积度钤减之得各正交月离黄道宿次度分推各岁前冬至日躔赤道宿次置各中积加周应满周天钤去之得各岁前冬至日躔赤道宿次分赤道宿次相接积度钤推各岁前冬至日躔黄道宿次置各岁前冬至赤道宿次度分以初日下赤道度率而一得各岁前冬至日躔黄道宿次分黄道宿次相接积度钤推平交日辰置经朔全分加朔后平交日辰全分得平交日辰满六十日去之如推次月者置平交日辰全分累加交终二十七万二一二二二四满六十日去之余为次月平交日辰如遇重交与闰月一同加之推正交日辰置各平交日辰全分以平交加减定差加减之命甲子筭外得正交日辰依发敛求之得时刻推其年二至二分各四正赤道宿次度分置冬至赤道宿度分如推春分夏至秋分累加象限九十一度三一○六二五满赤道宿次积度钤减之各得四正赤道宿次推定限日视定朔日辰某甲子数至首太阴宿次正交日辰某甲子筭得各定限日期如定朔是丙寅正交是庚午者乃定限初五日也他倣此推黄道正交在二至后初末限度分置首太阴各正交距冬至加时黄道积度全分如在半岁周已下者就为冬至后如在半岁周已上者于内减去半岁周余为夏至后如夏至后限度分在象限已下者为初限已上者半岁周内减去夏至后全分为末限如推各次月初末限度分者视初限则累减月平交朔差一度四十六分三一○二余为次月初限如不及减者加半岁周减之末限则累加月平交朔差全分为次月末限遇闰月加减亦然惟重交月以重交月内加减月平交朔较差一度四十四分九○八得为重交月初末限度推定差度分置初末限度分以象极总差一分六十○秒五五乘之得定差度分如推次月定差度者如是初限则累减末限则累加极平差二十三分四九○二得次月定差度闰月亦然惟重交月及初末限交处只依首位推之得后仍用极平差分或加或减之推距差度分置极差一十四度六十六分内减去定差度分得各距差度分如推次月者以初加末减极平差分得次月也(其重交月仍置重交月差度依前首加减)推定限度分置各定差度全分为实以定极总差一分六十三秒七一乘之得数视黄道正交二至初末限度如在冬至后者以减九十八度为定限度如在夏至后者加入九十八度为定限度推月与赤道正交宿度视黄道正交二至后初末限度分如在冬至后者是初限置距差度分内加春分下四正赤道宿度是末限以距差度分减春分下四正赤道宿次全分余为月与赤道正交宿度如春分下四正赤道宿次度分少不及减者加春分四正赤道宿次前一宿本度分减之如在夏至后者是初限以距差度分减秋分下四正赤道宿次全分余为月与赤道正交宿度如不及减依前加而减之是末限置距差度分内加秋分下四正赤道宿次全分得月与赤道正交宿度又如冬至后初限春分内加其距差度夏至后末限秋分内加其距差度如满宿本度分去之余得月与赤道正交宿度若加后不满各宿本度分者其宿仍旧推定朔弦望日定甲子与相距日置各月定朔定弦定望各全分大余命甲子算外得某日辰为定甲子以定朔弦望日次段大余内减本段大余得相距日推定盈缩厯日并二至后初末限日置各月朔与弦望下盈缩厯全分各以加减差加减之得定盈缩厯分二至后初末限日 视定盈缩全分如是盈厯在八十八日九○九二二五已下为初限已上反减半岁周为末限如是缩厯在九十三日七一二○二五以下为初限已上反减半岁周为末限推定朔弦望加时中积度并盈缩定差度置盈缩厯全分如是盈厯在朔下为盈积度在上弦者加气象限在望下者加半岁周在下弦者加三象限共得定朔弦望加时中积度如是缩厯在朔下者加半岁周在上弦者加三象限在望下者就为积度在下弦者加象限共为定朔弦望加时中积度加后满周天去之置各盈缩初末限全分以大余积日下加分以初末日小余乘之得数加其下积度即得盈缩定差度分推黄道加时定积度置定朔弦望加时中积度全分以盈缩定差度全分盈加缩减之即得各黄道加时定积度分如满周天去之推赤道加时积度并赤道加时宿次置各黄道加时定积度全分如满周天象限去之为至后如满二象限去之为至后如满三象限去之为分后在至后者以赤道加时积度减之至后大余以元减乘之得数以至后积度全分加之又加入元减去或一二三象限全分得赤道加时积度分如在分后者置赤道加时积度以分后积度全分减之以元减乘之得数内加入分后积度及加元减去各象限全分共为推得赤道加时积度分求赤道加时宿次度者 置赤道加时积度全分内加入其年岁前冬至赤道宿次全分共得如满赤道宿次积度钤内各宿次及减积度全分去之余为次宿度分即得赤道加时宿次度分推赤道宿次积度钤推正半中交后积度并初末限度与月道赤道定差度正半中交后积度分者 置各赤道加时宿次全分内加入同月道内本宿前一宿月与赤道正交后宿积度全分共得正半中交后积度初末限度分者 视各正半中交后积度全分如在半象限四十五度六五五三以下者即为初限度分如在半象限以上者以减象限九十一度三一○六余为末限度分月道赤道定差度分者 置各月弦望朔下初末限全分以减正交定限度全分为实复用初末限全分为法乘之得数视正半中交后积度是正交中交者为加差是前后二段半交为减差推正半中交加时积度并定朔弦望月道宿次度正半中交加时积度分者 置各正半中交后积度全分以各月道赤道定差度全分加减之得各正半中交加时积度分其正半中交正者仍正半者仍半中者仍中定朔弦望月道宿次度分者 置各正半中交加时积度全分视正交如遇初末限度交换之年其月道宿次必超一十四宿不用如不在交换之年只以月道内视其各正半中交后宿次前一宿下月道积度全分减之余得定朔弦望月道宿次如遇当减宿次是首位重宿者减次位正交下宿度分宿前一宿者是各赤道加时宿次之前一宿也今推得宿次是角者仍为角亢仍为亢其推得度或多少不过一度惟井斗二宿有差三四度者如所减宿次是角者余为亢宿度分余同此例如遇重半为正交月用者乃中间欠一正交此为半半相接而不及减者加入其月活象限减之其重半交凡入正交后或半或中交而不及减者皆加气象限减之如中交接正交乃欠半交此中正相接而不及减者加活象限全分及前后段半交后宿次前一宿下月道积度全分然后减之余为正交凡正交不及减者加活象限减之太阴九道正半中交变化加减气活二象限之图或遇同月重半者次段半交数少不及减者加气象限全分减之若中间欠一正交者加活象限减之如遇同月重半次段半交数太多前段半交数太少不必加即减之或遇隔月半重者(气象活象)限皆不必加即减之余为相距度分推夜半入转日分及迟疾转定度与加时入转度夜半入转日分者 置各月经朔弦望下迟疾厯全分以加减差加减之以减其下定朔弦望小余全分余得夜半入转日分小余如是迟厯加入转中一十三日七七七三如遇定朔小余分多不及减者迟疾皆加转终减之迟疾转定度分者 视夜半入转日大余日下转定度全分为迟疾转定度分迟疾转定度立成钤入转转定度分加时入转度分者 置定朔弦望日小余全分以迟疾转定度乘之得加时入转度分推夜半入转积度分并夜半月道宿次度分夜半入转积度分者 置各正半中交加时积度全分内减去加时入转度全分余为夜半入转积度分其正半中交正者仍正半者仍半中者仍中如不及减或加气象限或加活象限然后减之是正者为半前半者为中中者为半后半者为正凡及减者皆不变夜半月道宿次度分者 置夜半入转度全分以定朔弦望月道宿次是某宿与各正半中交后某宿前之宿下挨及减之月道积度全分减之余为夜半月道宿次度分凡及减者即得本宿如角得角亢得亢也如不及减者加后减之得前宿也如是亢者得角是角者得轸若遇当减之宿是月道首位重宿者加入重宿首一位下全数是也凡加气或加活后减月道积度加后满气象限去之如夜半入转积度分少不及减月道积度分者其元加气加气减之元加活加活减之推晨入转日并晨分及晨入转度晨入转者 置各夜半入转日全分视定盈缩厯日大余下晨分加之共得晨入转日晨转度分者 置迟疾转定度全分以晨分乘之得晨转度分推晨入转积度并晨宿次度晨入转积度分者 置各夜半入转积度全分加入晨转度全分为晨入转积度分晨宿次度分者 置晨入转积度全分减去月道内正半中交后宿次视夜半月道宿次同宿下或前后宿下月道积度全分减之余为晨宿次度分推昏入转日并昏分及昏转度昏入转日者 置夜半入转日全分视定盈缩厯日大余下昏分加之为昏入转日昏转度分者 置迟疾转定度全分以昏分乘之为昏转度分推昏入转积度分并昏宿次度分昏入转积度分者 置夜半入转积度全分内加入昏转度分为昏入转积度分如后满气象限去之昏宿次度分者 置昏入转积度全分减去月道内正半中交后宿次视夜半月道宿次同宿下前后宿下月道积度全分减之余得昏宿次度分如遇当减宿次是月道首位重宿者只减次正交下月道积度分推晨昏宿次度分置各定朔弦望月道宿次度分依相距度各晨昏加减定差度分加减之即得各晨昏宿次度分如不及者即加月道前一宿次全分减之余为前宿也推相距度并转积度相距度分者 置各次段昏入转积度全分内加气象限减昏入转积度全分余为朔与上弦推得相距度分转积度分者 朔与上弦用昏望与下弦用晨置各晨昏若干日内减去前段晨与昏若干日余得相距日如不及减加入二十八日减之如相距日是六日者在前一行如七日者在中一行如八日在后一行如遇晨昏各相减余八日相距日七日乃多一日在后行转积度内减去转定度极差一十四度七一五四余为晨昏日下转积度分又加减定差法以各定朔弦望日下小余全分相减各晨昏分余以其各迟疾转定度乘之得定差视晨昏分多如定朔弦望日下小余分为加差少为减差又相距度分法视正半中交加时积度如是正交或半交变为正交者置月道下活象限全分内加入次段正半中交加时积度全分减去正半中交加时积度全分以次段定差加减之次视本段定差是加差者减之是减差者加之朔与上弦者用昏分加减定差望与下弦者用晨分加减定差晨昏相距日转积度分立成钤推加减差以相距度分相减转积度分余以相距日除之为加减差分如相距度多为加差转积度多为减差推赤道正交后积度置赤道十二宫次宿度内各辰下宿次全分内加本辰下宿次前一宿月与赤道正交后宿次积度分共得赤道正交后积度分次辰下者累加十二宫率三十○度四三八一共为各次辰下赤道正交后积度分如满气象去之变为前段半交十二宫界赤道宿次度分(此元至元辛巳宫界今推宫界见日躔下)推初末限度视赤道正交后积度全分如在半象限四十五度六五五三已下为初限度分如在半象限已上者用以去减气象限余得末限度分推定差度置定限度全分内减去末限全分余以初末限全分乘之得定差视在正交与中交已后者为加差在前后二段半交已后为减差推月道积度置赤道正交积度全分内加减定差分得月道积度分推宫界宿次度置各月道积度全分内减去太隂月道本宿次前一宿次月道积度全分余得各辰次下宫界宿次度分古今律厯考卷四十四
## 卷四十五
钦定四库全书
古今律厯考卷四十五 明 邢云路 撰厯法十厯法(授时立成)太隂限度迟疾日率分损益捷法损 益 分 迟 疾 度右迟疾积度相减为损益损益以日率而一为捷法右置八百二十以迟行度而一为捷法古今律厯考卷四十五
## 卷四十六
钦定四库全书
古今律厯考卷四十六 明 邢云路 撰厯法十一厯法(刻漏) (大统)(倍出分为夜分以百刻减晨分为昏分减出分为入分减夜分为昼分折半为半昼分冬夏同)夏至后缩晨 分日出分半昼分日入分昏分古今律厯考卷四十六
## 卷四十七
钦定四库全书
古今律厯考卷四十七 明 邢云路 撰厯法十二厯法刻漏(详推) (授时)元史论昼夜刻日出为昼日入为夜昼夜一周共为百刻以十二辰分之毎辰得八刻三分刻之一无间南北所在皆同昼短则夜长夜短则昼长此自然之理也春秋二分日当赤道出入昼夜正等各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去极浸近夜短而昼长自秋分以及冬至日出赤道外去极浸逺昼短而夜长以地中揆之长不过六十刻短不过四十刻地中以南夏至去日出入之所为逺其长有不及六十刻者冬至去日出入之所为近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所为近其长有不止六十刻者冬至去日出入之所为逺其短有不及四十刻者今京师冬至日出辰初二刻日入申正二刻故昼刻三十八夜刻六十二夏至日出寅正二刻日入戌初二刻故昼刻六十二夜刻三十八盖地有南北极有高下日出入有早晏所以不同耳今授时厯昼夜刻一以京师为正其各所实测高下俱各不同四海测验凡二十七所(东极髙丽西至滇地南逾朱崖北尽铁勒)南海北极出地一十五度夏至景在表南长一尺一寸六分昼五十四刻夜四十六刻衡岳北极出地二十五度夏至日在表端无景昼五十六刻夜四十四刻岳台北极出地三十五度夏至晷景长一尺四寸八分昼六十刻夜四十刻和林北极出地四十五度夏至晷景长三尺二寸四分昼六十四刻夜三十六刻铁勒北极出地五十五度夏至晷景长五尺一分书七十刻夜三十刻北海北极出地六十五度夏至晷景长六尺七寸八分昼八十二刻夜一十八刻大都北极出地四十度太强夏至晷景长一丈一尺七寸昼六十二刻夜三十八刻上都北极出地四十三度少北京北极出地四十二度强益都北极出地三十七度少登州北极出地三十八度少高丽北极出地三十八度少西京北极出地四十度少太原北极出地三十八度少安西府北极出地三十四度半强兴元北极出地三十三度半强成都北极出地三十一度半强西凉州北极出地四十度强东平北极出地三十五度太大名北极出地三十六度南京北极出地三十四度太强河南府阳城北极出地三十四度太弱扬州北极出地三十三度鄂州北极出地三十一度半吉州北极出地二十六度半雷州北极出地二十度太琼州北极出地一十九度太授时大都实测日出入并昼夜漏刻大都即今顺天观𧰼台厯家测晷准诸漏刻而晷漏则随地势南北辰极高下为异元人都燕其授时厯七曜出没之早晚四时昼夜之永短皆准大都为筭今我朝之顺天府即元大都也今钦天监所用推步厯术皆元大都测验之法也国初都金陵故大统厯日出入之时刻及昼夜之消长自南京测验改从南京晷漏夏至昼冬至夜皆五十九刻冬至昼夏至夜皆四十一刻若元大都授时晷漏则夏至昼冬至夜皆六十二刻冬至昼夏至夜皆三十八刻较之南京相差三刻有竒以此推步七政何以相符今钦天监推日月五星厯率诸术悉因元大都所测旧法而乃独用金陵晷漏则余不知其可也且元统改厯之时従南监观象台测验日晷则扵日晷改之其扵七政诸法率悉仍其旧两相抵牾又何惑乎后之人以北术步南漏贸贸焉莫知所适从也则昏迷扵天象统实俑之耳古今律厯考卷四十七
## 卷四十八
钦定四库全书
古今律厯考卷四十八 明 邢云路 撰厯法十三厯法交食(详推) (授时)周天三百六十五度二五七五半周天一百八十二度六二八七五周天象限九十一度三一四三七五半岁周一百八十二日六二一三五交终度三百六十三度七九三四一九交中度一百八十一度八九六七○九五正交三百五十七度六四中交一百八十八度○五前准一百六十六度三九六八后准一十五度五十分交差二日三一八三六九至限一十二限二十日周百刻 半日周五十刻月平行度一十三度三六八七五日行分八分二十秒日食分二十分月食分三十分 既食分一十五分阳厯限六度 定法六十分隂厯限八度 定法八十分月食限十三度五分 定法八十七度定日月食限阳食入交空日五十七刻九五九二(已下日月皆食食已上月食日不)二十六日○五刻三○四(已上日月皆食)一十三日○二刻六五(已上日月皆食)一十四日七十六刻五三(已下日月皆食)一十二日四十四刻六九二八(已下日月皆不食已上月食)隂食入交一日一十五刻九一八四(已上日月皆不食已下月食日不食)二十六日○五刻三○四(已上日月皆食)一十二日四十四刻(已上月食)一十四日七十六刻五三(已下日月皆食)又定朔小余一十二刻半日不食 八十七刻半日不食又定朔小余七十刻月不食 三十刻月不食各有食月之朔望日下数(诸小余止乎微惟交常度全收)经朔望全分 盈缩厯全分(不用反减数)盈缩差度全分 迟疾厯全分 限数迟疾差度全分 加减差全分定朔望全分 交泛全分(累加交差即得各月朔交泛)定入迟疾厯分(迟疾厯全分内以其加减差加减之得为定入迟疾厯分)定限(定入迟疾厯全分以一十二度二十分乘之得为定限也)定限行度(定限下迟疾行度迟用迟疾用疾内减去日行分八分二十秒余为定限行度)半昼分(元得盈缩初末厯大余若干日下半尽分是也如有带食者用其日之出入分若月食用晨昏分)岁前冬至加时黄道宿次度分日食厯交常度以月平行度乘交泛为交常度交定度以盈缩差度盈加缩减其交常度为交定度日食在正交中交限度视交定度如在七度已下三百四十二度已上为在正交如在一百七十五度已上二百○二度已下为在中交中前后分视定朔小余如在半日周五十刻已下者于半日周五十刻内减之余为午前分如在半日周五十刻已上者减去半日周五十刻余为午后分时差分置半日周内减午前午后分余以元推午前午后分乗之得数九十六而一为时差分食甚定分以时差分加减定朔小余午前减午后加为食甚定分距午定分午前午后分各加时差分为距午分食甚入盈缩厯以盈缩厯全分加定朔大余及加食甚定分却减经朔大小余分余为食甚入盈缩厯定度分如月食者加望策如在二限已下为初已上减半岁周为末盈缩差以食甚入盈缩初末厯乗立差加平差又以初末厯乗之以减定差余再以初末厯乗之为盈缩差盈加缩减食甚入盈缩行定度以盈缩差加减食甚入盈缩厯得食甚入盈缩行定度南北泛差以食甚入盈缩行定度如在周天象限已下为初厯已上用减半岁周为末厯或初或末自相乗以一千八百七十而一得数用减四度四十六分余为南北泛差南北定差以南北泛差乗距午定分以半昼分而一余减泛差为南北定差如泛差不及减者反减之应是加差作减差减差作加差盈初缩末正交为减差中交为加差缩初盈末正交为加差中交为减差东西泛差以半岁周减食甚入盈缩厯定度余以盈缩厯相乗以一千八百七十而一得为东西泛差东西定差以距午定分乗东西泛差以二千五百而一为南北定差如在东西泛差已下就为定差如在泛差已上倍泛差减之余为定差盈厯正交中前为减差中后为加差中交中前为加差中后为减差缩厯正交中前为加差中后为减差中交中前为减差中后为加差日食入正交中交定限度置正交中交度分以东西南北差加减之得正交中交定限度分去交前后度视交定度若在正交定限度已下者以减正交定限度为隂厯交前已上者减去正交定限度为阳厯交后若在中交定限度已下者以减中交定限度为阳厯交前已上者减去中交定限度为隂厯交后日食分秒是阳厯去交前交后度减阳食限六度余以定法六十分而一是隂厯去交前后度减隂食限八度余以定法八十分而一各得日食分秒定用分置日食分二十分内减去推得日食分秒余即以日食分秒乗之得数以平方开之又以五千七百四十乗之得数以定限行度而一得为定用分初亏食甚复圎分食甚定分即食甚分内减定用分为初亏分加定用分为复圎分各以发敛求之得三限辰刻日食起复方位食在阳厯起西南甚正南复东南在隂厯起西北甚正北复东北食八分以上起正西复正东日带食所见分数视盈缩厯大余下日出入分在初亏分已上食甚分已下是有带食分食在晨刻者日出分与食甚分相减在昏刻者日入分与食甚分相减余为带食差日出分多内减去食甚分余为已复光分食甚分多内减去日出分余为见食分食甚分内减日入分余为不见食甚分复圎分内减日入分余不见复圎分皆为带食差以日食分秒乗带食差以定用分而一得数与日食分秒相减如带食分是见食者余为不见食分如是不见食者余为见食分日入者不见食甚或不见复圎日未出者已食几分已复光几分食甚日躔黄道宿次置食甚入盈缩厯定度分加冬至黄道度分以黄道钤累减之如不及减者即为食甚日躔黄道宿次减箕余入斗减斗余入牛他倣此如是缩厯加半岁周减之月食厯交常交定度与日食同卯酉前后分视定望小余在二十五刻巳下为卯前分已上以减半日五十刻余为卯后分如在七十五已下减半日五十刻余为酉前分已上以减日周百刻余为酉后时差分以卯酉前后分以减日周百刻余为时差分食甚定分以时差加入定望小余为食甚定分望食甚入盈缩厯差行定度法与朔同月食入隂阳厯视交定度在交中一百八十一度八九六七○九五已下为入阳厯已上者减去中交度为入隂厯去交前后度视隂阳厯在后准巳下为交后度巳上月不食如在前准已上用以减交中一百八十一度八九六七○九五余为交前度已下月不食月食分秒置月食限十三度○五分内减去交前交后度分以定法八十七分而一为月食分秒如交前后度分多于月食限不及减者不食定用分置月食分三十分内减去推得月食分秒余即以月食分秒乗之得数以平方开之又以四千九百二十乗之得数以定限行度而一得为定用分初亏食甚复圎分与日食同月食起复方位阳厯起东北甚正北复西北隂厯起东南甚正南圎西南食八分以上起正东复正西带食与日食同既内既外分月食三十分半之为既食分视月食在十分已上去其十分余为既分用以减既食十五分余以既分乗之以平方开之以四千九百二十乗之以定限行度而一得为既内分以减定用分余为既外分食既生光分以既内分减食甚分为食既分加食甚分为生光分更㸃视食甚入盈缩厯大余下晨分倍之以五归之为更法率以五归更法为㸃法初亏食既食甚生光复圎分如在晨分已下有更㸃已上无更㸃昏分已上有更㸃已下无更㸃如是有更㸃若在夜半后者加晨分若在夜半前者减昏分以更率除之得更数如不满更率余以㸃率除之得㸃数命初更初㸃筭外各得更㸃食甚月离黄道宿次置食甚入盈缩厯分以黄道本宿度分累减之如不及减者即为食甚月离黄道宿次如是缩厯加半岁周然后减之古今律厯考卷四十八
## 卷四十九
钦定四库全书
古今律厯考卷四十九 明 邢云路 撰厯法十四厯法万厯二十四年丙申岁闰八月朔日食厯(大统)求中积置岁周三百六十五万二千四百二十五分以至元辛巳所距积年三百一十六年减一算乘之得一十一亿五千○百五十一万三千八百七十五分为中积分求通积置中积分加气应五十五万○六百分得一十一亿五千一百○六万四千四百七十五分为通积分求冬至置通积分以满纪法六十万累去之至不满之数余二十六万四千四百七十五分为冬至分命一万起乙丑得庚寅日千以下数以发敛法一分二十秒乘之得五千三百七十分命一千起丑得巳时百以下数以发敛法一分二十秒归除之得三百分因在五百以下为正刻得正三刻庚寅日巳时正三刻冬至求闰余置中积分加闰应二十○万二千○五十分得一十一亿五千○百七十一万五千九百二十五分以月策二十九万五千三百○五九三累去之得二十○万四千○百二十一分七十二秒为闰余分是年在一十八万六千五百五十二分○九秒之上有闰求经朔置冬至分减去闰余分余六万○四五三二八为经朔分求太阳盈缩置半岁周一百八十二万六二一二五减去闰余分得一百六十二万二一九○七八为缩末厯分求太隂迟疾置中积分加转应一十三万○二○五减去闰余分得一十一亿五千○百四十四万○○五八二八以满转二十七万五五四六累去之余三万五五○八二八为疾厯分求交泛置中积分一十一亿五千○百五十一万三千八百七十五分加交应二十六万○三八八共得一十一亿五千○百七十七万四二六三减去闰余分二十○万四千○百二十一分七十二秒余一十一亿五千○百五十七万○千二百四十一分二十八秒以满交终二十七万二千一百二二二四累去之得三万七四一○五六为交泛分求闰八月经朔置朔实二十九万五千三百○五九三以十二月至闰八月共十月因之得二百九十五万三○五九三加天正经朔六万○四五三二八共得三百○一万三千五百一二五八以满纪法六十万去之得一万三千五百一十二分五十八秒为闰八月经朔求盈缩厯置朔实以十月乘之得二百九十五万三○五九三减去天正闰余二十○万四千○百二十一分七十二秒余二百七十四万九千○三七五八减去半岁周一百八十二万六二一二五余九十二万二八二五○八为缩初厯求盈缩加分置本限九十二限减一折半得四十五限半仍以本限九十二乘之得四千一百八十六限与一百六十二乘之得六十七万八一三二另置四万四三六二以本限九十二乘之得四百○八分一三○四并前六十七分八一三二得四百七十五分九四三六另置初日四百八十四万八四七三减四百七十五分九四三六余八分九○三七为加分求缩积度置二十七分以九十二日因之得二千四百八十四分加二万二千一百分共得二万四五八四又以限九十二因之得二百二十六分一七二八却置四百八十七万○六分内减之余二百六十○万八八七二再以九十二因之得二万四○○一六二二四为缩积度求缩差置缩厯九十二日二八二五○八减去大余九十二日剰小余二千八百二十五分○八以前所求得缩加分八分九○三七乘之得二万五一五三六六乃二分五一五三六六加入积度内共得二度四○○四一三为缩差求迟疾厯置转终捷章一万九七五九九三以十月乘之得一十九万七五九九三内加天正十一月所得疾厯三万五五○八二八共得二十三万三一○七五八减去转中一十三万七七七三余九万五三三四五八为迟厯求迟厯限置迟厯九万五三三四五八以至限分一十二限二十○乘之得一百一十六限因过八十三为迟末限求日率置一百一十六限以八百二十○分○八秒乘之得九日五一二九为日率求损分置一百六十七限减去一百一十六限余五十一限为迟末限却以迟末限五十一限减一折半得二十五限又以五十一限乘之得一千二百七十五限以一十九微半因之得二分四八六二五另置五秒八十一微半以五十一限因之得二分九六五六五并前二分四八六二五内共得五分四五一九为损分定积却置一十一分○八秒一五七五内减去定积余五分六二九六七五为损分求迟末厯迟行度置一度二○七一减损分定积五分四五一九余一度一五二六为迟行度求迟积度置三秒二十五微积为实却另置一百六十八限内减所得一百一十六限余下五十二限为法乘实得一分六九内加二分八十一秒共得四分五十○秒再以五十二限乘之得二百三十四分为定积却置定差一千一百一十一分内减之余八百七十七分再以五十二限乘之得四度五十六分○四为迟积度求迟差置迟厯九万五三三四五八内减日率九日五一二九余二百○五分五八以损分五分六二九六七五乘之得一千一百五十七分三四八五八六五却以率法八百二十分归除之得一分四一一四○○七却在迟四度五十六分○四内减之得四度五十四分六十二秒八十五微为迟差求加减差置迟差四度五四六二八五内减去缩差二度四○○四一三余二度一四五八七二以率法八百二十分乘之得一千七百五十九分六一五○四以迟行度一度一五二六而一得一千五百二十六分六四为加差求定朔置经朔一万三五一二五八加加差一千五百二六六四得一万五千○三九二二为定朔求合朔时刻置定朔一万起乙丑余以发敛法一分二十秒乘之得六千○百四十七分○六四命一千起丑筭外得午千下缺百为正初刻即乙丑日午正初刻合朔求交泛置交终捷章二万三一八三六九以十月因之得二十三万一八三六九并入天正交泛三万七四一○五六共得二十六万九二四七四六为交泛求定入迟厯置迟厯九日五三三四五八并入加差一千五百二六六四共得九日六八六一二二为定入迟厯求定入迟限置定入迟厯以至限一十二限二十○分乘之得一百一十八限有余不用止用一百一十八限为定入迟限求迟行度并定限行度置末限一百六十七限内减一百一十八限余四十九限为迟末限减一折半得二十四限以本限四十九限因之得一千一百七十六限又以一十九微半乘之得二分二九三一另置五秒八十一半以末限四十九限乘之得二分八四九三五并前二分二九三一共得五分一四二四五为并积却用迟初度一度二十○分七十一秒内减去并积余一度一十五分五十七秒为迟行度内减去率法八分二十秒余一度○七三七为定限行度求日出分置缩初厯九十二日减一折半得四十五日半以九十二日乗之得四千一百八十六日为积日又置缩初厯九十二日减去五十三日余三十九日以消法六微○八乘之得二秒三七一二为消法却置定法一十二秒二九二八内减消法余九秒九二一六为定法分却置秒积六秒以缩初厯九十二日乗之得五分五十二秒为秒积又置所求定法九秒九二一六以积日四千一百八十六日乗之得四百一十五分三一八一七六为定积仍置定积分四百一十五分三十一秒内加秒积分五分五十二秒共得四百二十○分八十三秒为并积却置夏至初日二千○百六十八分三十○秒内加并积四百二十○分八十三秒共得二千四百八十九分一十三秒为日出分求日入分置一万分减日出分二千四百八十九分一十三秒余七千五百一十○分八十七秒为日入分求半昼分置日入分七千五百一十○分八十七秒减去半日五千分余二千五百一十○分八十七秒为半昼分求天正赤道度置赤道捷章一分五十秒以积年三百一十五年乘之得四度七十二分五十○秒却置十度内减四度七十二分五十○秒余五度二十七分五十○秒得天正箕宿赤道度求天正黄道度置赤道度箕五度二七五○内减去赤道积度四度三四四五余九十三分○五以度率一度乘之得九十三度○五以度率一度○八四九而一得八十五分七十六秒加入积度四度共得四度八五七六为天正黄道箕宿四度八十五分七十六秒(此大统误以五度为箕度用辨见厯议)求交常度置交泛分二十六日九二四七四六以月平行度一十三度三六八七五乘之得三百五十九度九五○一九八为交常度求交定度置交常度三百五十九度九五○一九八内减缩差二度四○○四一三余三百五十七度五四九七八五为交定度求日食在正中交视其交定度在三百四十二度以上为正交度求中前后分置定朔小余五千○百三十九分二二减半日周五千分余三十九分二二为中后分求时差分置半日周五千分减中后分三十九分二二余四千九百六十○分七八还以中后分三十九分二二乘之得一十九万四五六一七九一六以九千六百而一得二十○分二六六八为时差分求食甚定分置定朔小余五千○百三十九分二二加时差分二十○分二六六八共得五千○百五十九分四八六八为食甚定分求距午分置中后分三十九分二二加时差分二十○分二六六八共得五十九分四八六八为距午定分求食甚入缩厯置原得缩初厯九十二日二八二五○八加定朔大余一日及食甚定分五千○百五十九分四八六八共得九十三日七八八四五六六八内减经朔大小余全分一日三五一二五八余九十二日四三七一九八六八为食甚入缩厯求食甚入缩厯加分置九十二限减一折半得四十五日半以本限九十二日乘之得四千一百八十六日又以一百六十二分乘之得六十七分八一三二另置四万四三六二以本限缩厯九十二为法乘之得四百○八分一三○四并入前六十七分八一三二共得四百七十五分九四三六为并积另置四百八十四万八四七三内减并积余八分九○三七为食甚入缩厯加分求食甚入缩厯积度置立差二十七分以本限九十二日乘之得二千四百八十四分内加入二万二千一百分共得二万四五八四再以本限九十二乘之得二百二十六分一七二八却置四百八十七万○六分内减之余二百六十○万八八七二再以九十二乘之得二万四○○一六二二四为食甚入缩厯积度求食甚入缩厯差度置前食甚入缩厯九十二日四三七一九八去其大余止用小余四千三百七一九八以食甚入缩厯加分乗之得三分八九二六七九加入食甚入缩厯积度内得二度四○○五五一为食甚入缩厯差度求食甚入缩厯行定度置食甚入缩厯全分九十二日四三七一九八内减去食甚入缩差二度四○○五五一余九十○度○三六六四七为食甚入缩厯行定度求南北泛差置食甚入缩行定度九十○度○三六六四七自相乘之得八千一百○六度五九七八○三○○二六○九以定法一千八百七十除之得四度三三五○七九却置四度四六内减之余○度一二四九二一为南北泛差求南北定差置南北泛差○度一二四九二一以距午分五十九分四八六八乘之得七百四十三分一一五○五四二八以半昼分二千五百一○八七而一得二十九秒五九五九为定积另置泛差○度一二四九二一内减定积二十九秒五九五九余○度一二一九六二为南北定差求东西泛差置半岁周天一百八十二度六二一二五内减去食甚入缩厯行定度九十○度○三六六四七余九十二度五八四六○三以食甚入缩厯行定度乘之得八千三百三十六度○○七二一七九四六一四以一千八百七十除之得四度四五七七五七为东西泛差求东西定差置东西泛差四度四五七七五七以距午分五十九分四八六八乘之得二百六十五度一七七六九九一○七六以二千五百而一得○度一○六○七一为东西定差求正交定限度置三百五十七度六四内加南北定差○度一二一九六二共得三百五十七度七六一九六二减去东西定差○度一○六○七一余三百五十七度六五五八九一为正交定限度求日食入隂阳及交前后度置正交定限度三百五十七度六五五八九一内减交定三百五十七度五四九七八五余○度一○六一○六为食入隂厯交前求日食分秒置黄道北隂道八度内减隂厯交前度○度一○六一○六余七度八九三八九四以隂八千而一得九分八十六秒七十三微为日食分秒求定用分置日食度下二十分减日食分九分八六七三余一十○分一三二七又以日食分九分八六七三乘之得九十九分九八二三九○八一以平方开之得九分九九九一以五十七度四十分乘之得五百七十三分九四八三四以定限行度一度○七三七而一得五百三十四分五五一八为定用分求初亏分置食甚定分五千五十九分四八六八内减定用分五百三十四分五五一八余四千五百二十四分九三五为初亏分得巳正三刻初亏求食甚分即前推得食甚定分五千五十九分四八六八得午正初刻食甚求复圎分置食甚定分五千五十九分四八六八内加定用分五百三十四分五五一八共得五千五百九十四分○三八六为复圎分得未初一刻复圎求黄道定积度置食甚入缩厯行定度九十○度○三六六四七内加半岁周一百八十二度六二一二五得二百七十二度六五七八九七再加天正黄道度箕宿四度八五七六共得二百七十七度五一五四九七为黄道定度求日躔黄道宿次置黄道定度二百七十七度五一五四九七内减张宿二百五十七度八十八分七十五秒余一十九度六二七九九七为翼宿一十九度六十二分七十九秒求日食方位视日食八分以上隂厯初亏正西复圎正东推得万厯二十四年丙申岁闰八月初一日乙丑朔日食九分八十六秒初亏 巳正三刻 正西食甚 午正初刻复圎 未初一刻 正东食甚日躔黄道翼宿一十九度六十二分七十九秒右依大统法推若余改定诸术则日食之分数与此异古今律厯考卷四十九
## 卷五十
钦定四库全书
古今律厯考卷五十 明 邢云路 撰厯法十五厯法万厯三十三年乙巳岁二月望月食厯(授时)推冬至置所求乙巳距元至元辛巳积三百二十五年减一筭以岁实三百六十五日二十四刻二十五分乘之得一十一万八千三百三十八日五十七刻为中积加气应五十五日○六刻得一十一万八千三百九十三日六十三刻为通积满旬周去之余一十三日六十三刻为冬至推闰余置中积加闰应二十○日二○五得一十一万八千三百五十八日七十七刻五为闰积满朔实去之余一十五刻八二五六为天正闰余即缩末厯推经朔置冬至减闰余余一十三日四十七刻一七四四为天正经朔推迟疾厯置中积加转应一十三日○二○五得一十一万八千三百五十一日五十九刻○五减闰余余一十一万八千三百五十一日四十三刻二二四四满转终去之余四日四十二刻五二四四为天正入朔疾厯推交泛置中积加交应二十六日○三八八得一十一万八千三百六十四日六十○刻八八减闰余余一十一万八千三百六十四日四十五刻○五四四满交终去之余一十八日四十八刻八三六八为天正入朔交泛推天正赤道宿度置岁差一分五十秒以距元至元辛巳积三百二十五减一筭得四度八十六分以元授时测到箕十度内减之余得箕宿五度一十四分为天正加时赤道度推天正黄道宿度置天正赤道宿度及分以初日下赤道率一度○八六五而一得箕宿四度七十三分○七八六九三为天正加时黄道度推二月经朔置天正经朔加三朔实八十八日五十九刻一七七九得一百○二日○六刻三五二三满旬周去之余四十二日○六刻三五二三为二月经朔推二月盈厯置三朔实减闰余余八十八日四十三刻三五二三为二月入朔盈初厯推二月疾厯置天正疾厯加三朔转差五日九十二刻七九七九得一十○日三十五刻三二二三为二月入朔疾厯推二月朔交泛置三朔交差加天正朔交泛得二十五日四十四刻三四七五为二月朔交泛推二月望交泛置二月朔交泛加一望策一十四日七六五二九六五得四十○日二○八七七一五以减交终余一十二日九九六五四七五为二月望交泛推二月经望置二月经朔加望策得五十六日八十二刻八八一九五为二月经望推盈缩厯置二月入朔盈厯加望策得一百○三日一九八八一九五为二月入望盈厯以减半岁周余得七十九日四二二四三○五为二月入望盈末厯推盈差(此法较用加分积度为精)置立差二十七以盈末厯乘之得二千一百四四四○五六二三五加平差二万二千一百得二万四千二百四四四○五六二三五又以盈末厯乘之得一百九十二万五五四九六用减定差四百八十七万○六百余二百九十四万五○五○四再以盈末厯乘之得二度三十三分九○三○六为盈差推迟疾厯置二月入朔疾厯加望策减转中余一十一日三四一二一九五为二月入望迟厯推迟限置迟限以至限乘之得一百三十八限三六二八七七九为迟限推迟末限置总限减迟限余二十九限七二○一八二一为迟末限推迟差置立差三百二十五以迟末限乘之得九千六百五九○五九一加平差二万八千一百得三万七千七百五九○五九一又以迟末限乗之得一百一十二万二千二百○六一一四用减定差一千一百一十一万余九百九十八万七千七百九三八八六再以迟末限乘之得二度九十六分八三九○四八为迟差推加减差置迟差并盈差共得五度三十○分七四二一○八以八百二十乘之得四十三刻五二○八五二八五六以一百三十八限下迟行度一度一八二三而一得三十六刻八一○三二九为加差推定望置二月经望加加差得五十七日一十九刻六九二二七为定望推日出分视盈厯一百三日下日出分二十四刻○八二日晨分二十一刻五八二推定入迟厯置入望迟厯加加差得一百一十七日○九三二二七九为定入迟厯推定入迟限置定入迟厯以一十二限二十乗之得一百四十二限为定入迟限推定限行度置一百四十二限下迟行度一度一八六七减日行分八分二十秒余一度一○四七为定限行度推交常度置二月望交泛以月平行度一十三度三六八七五乘之得一百七十三度七四七五九四三九为交常度推交定度置交常度加二月入望盈差得一百七十六度○八六六二四九九为交定度推卯前后分置定望小余一十九刻六九二二七即为卯前分推时差分置日周百刻减卯前分余数以度约之得八十○分三○七七三为时差分推食甚定分置定望小余加时差分共得二十○刻四九五三四七三为食甚定分推食甚入盈厯置食甚定分加盈厯全分一百○三日一九八八一九五及加定望大余五十七日得数减经望大小余全分余得一百○三度五七四九五三四七为食甚入盈厯以半歳周减之余得七十九日○四六二九六五二为盈末厯推食甚入盈差置立差二十七以食甚入盈末厯乘之得二千一百三四二五加平差二万二千一百得二万四千二百三四二五又以盈末厯乘之得一百九十一万五六二七七一用减定差四百八十七万○六百余二百九十五万四千九百七二二九再以盈末厯乘之得二度三十三分五七九六一五为食甚入盈差推食甚入盈厯行定度置食甚入盈厯全分加食甚入盈差共得一百○五度九三○七四九六二为食甚入盈厯行定度推月食入隂阳厯视交定度在交中一百八十一度八九六七下为阳厯今止一百七十六度○八六六二四九九即为月食阳厯推交前后度置交中度全分减交定度余五度八一○○七五○一为阳厯交前度推月食分秒置一十三度○五分内减阳厯交前度余七度二三九九二四九九以定法八十七而一得八分三十二秒一七为月食分秒推定用分置月食分三十分以减月食分余二十一分六七八三以月食分乗之得一百八十○分四○三○九一一以平方开之得一十三分四三一三以四千九百二十乘之得六万六千○百八一九九六以定限行度而一得五刻九十八分一十九秒为定用分推初亏分置食甚定分减定用分余一十四刻五一四一为初亏分得寅初二刻推食甚分置食甚定分二十○刻四九五三即食甚分得寅正三刻推复圎分置食甚定分加定用分得二十六刻四七七二为复圎分得卯正一刻推食甚入盈日晨日出分视食甚入盈一百五日下日晨分二千一百四五一八日出分二千三百九五一八推更法置晨分倍之得四千二百九○三六以五千归之得八刻五八○七二为更法推㸃法置更法以五百归之得一刻七一六一四四为㸃法推初亏㸃法置初亏分加晨分得三十五刻九六五九以更法减之得五更以㸃法减之不及减为一㸃推食甚更㸃置食甚分加日晨分得四十一刻九四七一以更法减之得五更以㸃法减之得五㸃推复圎更㸃置复圎分加日晨分减在昼推食甚月离黄道宿度置食甚入盈厯行定度加半周天一百八十二度六二八七五又加冬至黄道度共得二百九十三度二十九分○二秒八十六微以翼宿二百七十七度九七七五减之余一十五度三一二七八六入轸宿推得万厯三十三年乙巳岁二月十六日庚申夜望月食八分三十二秒初亏寅初二刻 五更一㸃 正东食甚寅正三刻 五更五㸃复圎卯正一刻 在昼 正西食甚月离黄道轸宿一十五度三十一分二十七秒右乃依授时法推若余改定诸术则月食之分数与此异前厯法已备而又详此日月二食者叙为模范使学者循此便推筭也厯法虽改而步术则同依余改革诸术一是正之则定矣古今律厯考卷五十
## 卷五十一
钦定四库全书
古今律厯考卷五十一 明 邢云路 撰厯法十六厯法五星(万厯己亥一授时年减一筭积年三百 十九)中积一十一万六千一百四十七日○一刻九十六分中星度一十一万六千一百四十七度○一分九十六秒冬至四十二日○七刻九十六分闰余二十三日四十刻二十三分三十一秒天正经朔一十八日六十七刻七十二分六十九秒天正日躔赤道度箕五度一十三分四十六秒天正日躔加时黄道度箕四度七十二分五十八秒木星合伏前合伏一百九十○日九十一刻二十二分后合伏二百○七日九十六刻七十八分中星二百一十二度六十九分三十六秒盈厯一百一十○日四十六刻三十九分五十二秒盈末厯七十二日一十六刻四十七分九十七秒加分三分四十一秒八二七六积度五度六十二分一十六秒九六六四加差五度六十二分七十三秒二九定积二百一十三日五十九刻五十一分二十九秒定日一十五日六十七刻四十七分二十九秒加时定星二百一十八度三十二分○九秒二八入月数二百三十六日九十九刻七十四分○八秒月数八 入六月入月以来日初日七十五刻二十七分一十六秒六月经朔一十四日九十二刻二十○分一十三秒顺减差○度一十五分五十一秒八七晨前夜半定星二百一十八度一十六分五十○秒五一六月己卯日夜半木星度井三十○度五十一分八十二秒是日申正初刻木星合伏井三十○度六十七分五十四秒晨疾初中积二百二十四日八二七八中星二百一十一度八二七八盈厯一百一十三日三九三九五二盈末厯六十九日二三四七九八加分三分八七五三积度五度五○九九七八加差五度五一七九七七定积二百三十○日三四五七七七定日三十二日四二五三七七加时定星二百二十二度○七一五七六入月数二百五十三日七四八一月数八 入六月入月已来日一十七日五○三三六四顺减差九分三五八三晨前夜半定星二百二十一度九七七九九三六月丙申日夜半木星度柳一度一十九分○四秒是日已正初刻木星晨疾初柳一度二十八分八十秒晨疾末中积二百五十二日八二七八中星二百一十七度九三七八盈厯一百一十八日○三三九五二盈末厯六十四日五九四七九七加分四分六○八八积度五度二九四○六四加差五度三二一四七七定积二百五十八日一四九二七七定日初日二十二刻八八七七加时定星二百二十七度九八五○七七入月数二百八十一日五五一六○八月数九 入七月入月已来日一十五日七七六二七一七月经朔四十四日四五二六○六顺减差八分九三二九晨前夜半定星二百二十七度八九五七四八七月甲子日夜半木星度柳七度一○八二是日卯初二刻木星晨疾末柳七度一十九分九十五秒晨迟初中积二百八十○日八二七八中星二百二十三度四四七八盈厯一百二十二日二二三七五二盈末厯六十○日三九九二二一加分五分一七○一积度五度○九五六○八加差五度一一六二四八定积二百八十五日九四四○八八定日二十八日○二三六四八加时定星二百三十三度二八九四四八入月数三百○九日三四六三七九月数十 入八月入月已来日一十四日○四○四四九八月经朔一十三日九八三一九九顺减差四十四秒三六晨前夜半定星二百三十三度二八五四一二十六日壬辰夜半木星度柳十二度四九七九是日子正二刻木星晨迟初柳十二度五十○分二十三秒晨迟末中积三百○八日八二七八中星二百二十七度七五七八盈厯一百二十五日五二三九五二盈末厯五十七日一○四七九七加分五分五七六二积度四度九三二三五三加差四度九三八一九七定积三百一十三日七六五九九七定日五十五日八四五五九七加时定星二百三十七度四二一七九七入月数三百三十七日一六八三二八月数十一 入九月入月已来日一十二日三三一八○五九月经朔四十三日五十一刻三七九二顺减差一十○分一四七一晨前夜半定星二百三十七度三二○三二五九月已未日夜半木星度星三度五三二八是日戌正一刻木星晨迟末星三度六十三分四十二二秒晨留中积三百三十六日八二七八中星二百二十九度六六七八盈厯一百二十七日六一一四五二盈末厯五十五日○一七二九七加分五分八三九八积度四度八一六八六七加差四度八一七八七七定积三百四十一日六四五六七七定日二十三日七二五三七七加时定星二百三十九度二一一四七七入月数三百六十五日○四八○○八月数十二 入十月入月已来日一十○日六八○八九二十月经朔一十三日○四四三八五顺减差八分七○四五晨前夜半定星二百三十九度一二四四三二十月十一日丁亥夜半木星度星五度三三六九是日酉初一刻晨留星五度四十二分六十七秒晨退中积三百六十○日八二七八定积三百六十五日六四五六七七定日四十七日七二五二七七入月数三百八十九日○四八○○八月数十三 入十一月入月已来日五日一五○二九九十一月经朔四十二日五七四九七八十一月辛亥日酉初一刻木星晨退星五度四十二分六十七秒夕退定日三十四日三一七五五四加时定星二百三十四度三四三五○四入月数四百三十五日六四○二八五月数十四 入十二月入月已来日二十二日二一一九八三十二月经朔一十二日一○五五七一退加差五分○八○八晨前夜半定星二百三十四度三九四三一二十二月戊戌日夜半木星退入星初度六○六八是日辰初二刻木星夕退入星初度五十五分六十○秒夕留中积四百五十三日九八七八中星二百一十九度九○五三盈厯一百二十七日六一一四五二盈末厯五十五日○一七二九七加差四度八一七八七七定积四百五十八日八○五六七七定日二十○日八八五二七七加时定星二百二十九度四四八九七七入月数四百八十二日二○八○○八月数十六 入庚子年二月入月已来日九日七一八五二六二月经朔一十一日一六六七五七退加差一十四分一六四四晨前夜半定星二百二十九度五九○六二一二月甲申日夜半木星退入柳八度七五三一是日亥初一刻木星夕留柳八度六十一分一十四秒夕迟初中积四百七十七日九八七八定积四百八十二日八○五六七七定日四十四日八八五二七七入月数五百○六日三八八○○八月数十七 入三月入月已来日四日二八七九二七三月经朔四十○日六九七三五三月戊申亥初一刻木星夕迟初柳八度六十一分一十四秒夕迟末中积五百○五日九八七八中星二百二十一度八一五三盈厯一百二十九日○六一四五二盈末厯五十三日五六加分六分○九七八积度四度六九六一九二加差四度七三○七二五定积五百一十○日七一八五二五定日一十二日七九八一二五加时定星二百三十一度二七一八二五入月数五百三十四日一二○八五六月数十八 入四月入月已来日二日五七○一八二四月经朔一十○日二二七九四三顺减差九分三七五○晨前夜半定星二百三十一度一七八○七五四月丙子日夜半木星度柳十度三九○五七四是日戌初初刻木星夕迟末柳十○度四八四三二五夕疾初中积五百三十三日九八七八中星二百二十六日一二五三盈厯一百三十二日三四一五二七盈末厯五十○日二八七二九七加分六分四七四二积度四度五○五七加差四度五二四三定积五百三十八日五一二一定日四十○日五九一七加时定星二百三十五度三七五四入月数五百六十一日九一四四三月数十九 入五月入月已来日初日八十三刻三一六四五月经朔三十九日七五八五三六顺减差一十○分六五○六○五晨前夜半定星二百三十五度三七五四五月甲辰日夜半木星度柳一度四八一三九四是日未正初刻木星夕疾初柳一度五十八分七十九秒晨疾末中积五百六十一日九八七八中星二百三十一度六三五三盈厯一百三十六日五三一四五二盈末厯四十六日○九七二九七加分六分九五六二积度四度二三四六○九加差四度二四一三七六定积五百六十六日二二九一七六定日八日三○八七七六加时定星二百四十○度六○二四七二入月数五百八十九日六三一五○七月数十九 入五月 入六月朔日入月已来日二十八日五五○二四顺减差六分四八四三晨前夜半定星二百四十○日五三八六三一六月朔壬申日夜半木星度张初度四四○一是日辰初一刻木星夕疾末张度五十○分四十九秒夕伏中积五百八十九日九八七八中星二百三十七度七四五三盈厯一百四十一日一七一四五二盈末厯四十一日四五七二九七加分七分五二六八积度三度八六九五三五加差三度九○三九五五定积五百九十三日八九一七五五定日三十五日九七一三五五加时定星二百四十六度二七五○五五入月数六百一十七日二九四○八六月数二十 入六月入月已来日二十六日六八二二二六六月经朔九日二八九一二九顺减差二十一分七三三一晨前夜半定星二百四十六度一六一三二二六月己亥日夜半木星度张六度○六三八二六是日夜子初一刻木星夕伏张六度二十七分七十五秒古今律厯考卷五十一
## 卷五十二
钦定四库全书
古今律厯考卷五十二 明 邢云路 撰厯法十七厯法火星合伏前合伏七百七十四日二八二一后合伏五日六四六九中星一十○度三七二七缩厯一百三十八日四八七五八缩末厯四十四日一九九九一九加分二十七分六一一四二四积度一十三度○五○○○五七六减差一十三度一○五二○六定日三十四日六二一二九四加时定星三百六十二度四二四九九四入月数一十五日九四四○二五入月已来日一十五日九四四○二五顺减差四十五分三五四四晨前夜半定星三百六十一度九七一四五十一月十七日戊戌夜半火星度尾一十四度六六三九是日未正三刻火星合伏尾十五度一十一分七十四秒晨疾初中积七十四日六四六九中星六十○度三七二七盈厯二日三五八八三加分八十四分三四四○二积度一度七三六四一一二四加差二度○三九一五一定积七十六度六八六○五一定日五十八日七六五六五一加时定星六十二度四一一八五一入月数一百○○日○八八三八二月数三 入二月入月已来日一十一日四九六六○三二月经朔四十七日二六九○四八顺减差五十五分一二六八七二晨前夜半定星六十一度八六○五八二己亥年二月十二日壬戌夜半火星度危一度七七七是日酉正一刻火星晨疾初危二度三十二分四十三秒晨疾末中积一百三十三日六四六九中星一百○二度一七二七盈初厯四十一日二二八八三加分二十五分三五四二五八积度二十三度○八六一一加差二十三度一四三九九五定积一百五十六日七九○八九五定日一十八日八七○四九五加时定星一百二十五度三一六六九五入月数一百八十○日一九三二二六月数六 入闰四月入月已来日三日○○九六六八闰四月经朔一十五日八六○八二七入月定日一十八日八七○四九五顺减差六十○分九三三九五晨前夜半定星一百二十四度七○三五五八闰四月初四日壬午夜半火星度娄三度一三九八是日戌正二刻火星晨疾末娄三度七十四分九十一秒晨次疾初中积一百九十○日六四六九中星一百四十一度二五二七盈厯七十七日五六八八三盈末厯一百○五日○五九九一九加分七分九四○一四四积度二十四度九五七一三五加差二十四度九六一五八七定积二百一十五日六○八四八七定日一十七日六八八○八七加时定星一百六十六度二一四二八七入月数二百四十○度○一○八一八月数八 入六月入月已来日二日七六六○七四六月经朔一十四日九二二○一三入月定日一十七日六八八○八七顺减差四十六分一○一二二九晨前夜半定星一百六十五度七五三二七五六月初四日辛巳夜半火星度毕四度九三五七是日申初初刻火星晨疾初毕五度三十九分六十七秒晨次疾末中积二百四十三日六四六九中星一百七十五度四一二七盈厯一百○九日三三八三○六盈末厯七十三日二八九九一八加分二十○分六二八六八八积度二十○度一八三三八七加差二十○度二四三三○六定积二百六十三日八九○二○六定日五日九六九八○六加时定星一百九十五度六五六○六入月数二百八十七日二九二五三七月数九 入七月入月已来日二十一日五一七二七月经朔四十四日四五二六○六入月定日五日九六九八○六顺减差六十○分一七九七二晨前夜半定星一百九十五度○五四二六二七月二十二日己巳夜半火星度井七度四○六七是日夜子初一刻火星晨次疾末井八度○○八十五秒晨迟初中积二百九十○日六四六九中星二百○二度四五二七盈厯一百三十四日四八八八三盈末厯四十八日一三九九一九加分二十六分九○三五八八积度一十四度一四四一加差一十四度一八一五五定积三百○四日八三二四定日四十六日九一二加时定星二百一十六度六三八二入月数三百二十八日二三四七三一月数一十一 入九月入月已来日三日三九八二○八九月经朔四十三日五一三七九二入月定日四十六日九一二顺减差四十八分三三六晨前夜半定星二百一十六度一五四八四九月四日庚戌夜半火星度井宿二十八度五○七三四是日亥初三刻火星晨迟初井二十八度九十九分○七秒晨迟末中积三百二十九日六四六九中星二百二十○度一七二七盈厯一百五十○日九六八八三盈末厯三十一日六五九九一八加分三十○分六○四九二二积度九度二五五六一六加差九度四五七五八四定积三百三十九日一○四四八四定日二十一日一八四○八四加时定星二百二十九度六三○二八四入月数三百六十二日五○六八一五月数一十二 入十月入月已来日八日一三九六九九十月经朔一十三日○四四三八五入月定日二十一日一八四○八四顺减差七分二四二九晨前夜半定星二百二十九度五五七八五五十月九日乙酉夜半火星度栁八度七七○三是日丑正一刻火星晨迟末栁八度八十四分二十七秒晨留中积三百五十八日六四六九中星二百二十六度三七二七盈缩一百五十六日七三八八三盈末厯二十五日八八九九一九加分三十○分○九四六一六积度七度四三八○七五加差七度七○六五六八定积三百六十六日三五三四六八定日四十八日四三三○六八加时定星二百三十四度○七九二六八入月数三百八十九日七五五七九九月数一十三 入十一月入月已来日五日八五八○九十一月经朔四十二日五七四九七八入月定日四十八日四三三○六八顺减差一十六分四五六五晨前夜半定星二百三十三度九一四七○三十一月七日壬子夜半火星度星初度一十二分七二是日巳正一刻火星晨留星初度二十九分一十七秒晨退中积三百六十六日六四六九定积三百七十四日三五四六八定日五十六日四三三○六八入月数三百九十七日七五五七九九月数十三 入十一月入月已来日一十三日八五八○九入月定日五十六日四十三分三○六八晨前夜半定星二百三十四度○七九二六八十一月庚申日巳正一刻火星晨退星初度二十九分一十七秒夕退中积三百九十五日六一一四中星二百一十七度七一五九五盈厯一百六十三日二○二○八盈末厯一十九日四二六六六加分二十九分七六八一二六积度五度六四四七一八加差五度七七一七二九定积四百○一日三八三一二九定日二十三日四六二七二九加时定星二百二十三度四八七六七九入月数四百二十四日七八五四六月数一十四 入十二月入月已来日一十一日三五七一五八十二月经朔一十二日一○五五七一入月定日二十三日四六二七二九退加差二十○分三六晨前夜半定星二百二十三度六九一二七九十二月丁亥日夜半火星度栁二度九○三七是日午初初刻火星夕退栁二度七十○分○一秒夕留中积四百二十四日五七五九中星二百○九度○五九二盈厯一百六十九日六六五三三盈末厯一十二日九六三四一九加分二十九分六一九五四四积度三度五六八三二二加差三度八五三六七八定积四百二十八日四二九五七八定日五十○日五○九一七八加时定星二百一十二度九一二八七八入月数四百五十一日八三一九○九月数十五 入次年正月入月已来日八日八七三○一四庚子年正月经朔四十一日六三六一六四入月定日五十○日五○九一七八退加差二十二分四○三八晨前夜半定星二百一十三度一三六九一六正月甲寅日夜半火星度井二十五度四八九四一六是日午正初刻火星夕留井二十五度二十六分五十三秒夕迟初中积四百三十二日五七五九定积四百三十六日四二九五七五定日五十八日五○九一七八入月数四百五十九日八三一九○九月数十五 入正月入月已来日一十六日八七三入月定日五十八日五○九一七八庚子年正月壬戌日午正初刻火星夕迟初井二十五度二十六分五十三秒夕迟末中积四百六十一日五七五九中星二百一十五度二五九二盈厯一百七十五日四三五三三盈末厯七日一九三四一九加分二十九分六六六五九四积度二度○八六四四四加差二度一四三八二五定积四百六十三日七一九七二五定日二十五日七九九三二五加时定星二百一十七度四○三○二五入月数四百八十七日一二二○五六月数十六 入二月入月已来日一十四日六三二五六八二月经朔一十一日一六六七五七入月定日二十五日七九九三二五顺减差三十○分三七四三晨前夜半定星二百一十七度○九九二八二二月己丑日夜半火星度井二十九度四五一七是日亥初初刻火星夕迟末井二十九度七十五分五十五秒夕次疾初中积五百○○日五七五九中星二百三十二度九七九二缩初厯九日二八六五八加分二十九分六三二四五六积度二度六七九五八减差二度七六四五六八定积四百九十七日九三○二一九定日初日○十○刻九十八分一九加时定星二百三十○度二一四六三二入月数五百二十一日三三二五五月数十七 入三月入月已来日一十九日三一六四六九三月经朔四十○日六九七三五入月定日六十○日○○九八一九顺减差六十五秒一八七三晨前夜半定星二百三十○度○八四四三月甲子日夜半火星度栁九度四二○九是日子初正刻火星夕次疾初栁九度四二七一三二夕次疾末中积五百四十七日五七五九中星二百六十○度○一九二缩初厯三十四日四三六五八加分三十○分九二九○○六积度一十○度一七六九○二减差一十○度三一一七三二定积五百三十七日二六四一六七定日三十九日三四三七六七加时定星二百四十九度七○七四六七入月数五百六十○日六六六四九八月数十八 入四月入月已来日二十九日一一五八二四四月经朔一十○日二二七九四三入月定日三十九日三四三七六七顺减差二十一分三一三五五四晨前夜半定星二百四十九度四九四三三一五月癸卯朔夜半火星度张九度三九六八三一是日辰正一刻火星夕次疾末张九度六十○分九十九秒夕疾初中积六百○○日五七五九中星二百九十四度一七九二缩初厯六十六日二○六五八加分二十二分七○七三三八积度一十八度六五四八○三减差一十八度七○一七一二定积五百八十一日八七四一八八定日二十三日九五三七八八加时定星二百七十五度四七七四八七入月数六百○五日二七六五一八月数二十 入六月入月已来日一十四日六六四六五九六月经朔九日二八九一二九入月定日二十三日九五三七八八顺减差六十三分九○三七九六晨前夜半定星二百七十四度八三八四四九六月丁亥日夜半火星度翼一十六度九五○九是日亥正三刻火星夕疾初翼一十七度五八九九夕疾末中积六百五十七日五七五九中星三百三十三度二五九二缩初厯一百○二日五四六五八加分九分三五一八○六积度二十四度六九○五九五减差二十四度七四一七五四定积六百三十二日八三四一四二定日一十四日九一三七四二加时定星三百○八度五一七四四五入月数六百五十六日二三六四七三月数二十二 入八月入月已来日六日五六三四二七八月经朔八日三五○三一五入月定日一十四日九一三七四二顺减差六十三分九六一九晨前夜半定星三百○七度八七七八二六八月戊寅夜半火星度角一十一度一五○三二六是日亥初三刻火星夕疾末角一十一度七十八分九十九秒夕伏中积七百一十六日五七五九中星三百七十五度○五九二缩厯一百四十一日四一六五八缩末厯四十一日二一二一六九加分二十五分三五四二五八积度二十三度○八六一一减差二十三度一三九九○四定积六百九十三日四三五九九六定日一十五日五一五五九六加时定星三百五十一度九一九二九五入月数七百一十六度八三八三二七月数二十四 入十月入月已来日八日一○四○九五十月经朔七日四一一五○一入月定日一十五日五一五五九五顺减差四十七分二三二八四晨前夜半定星三百五十一度四四六九六七十月己卯夜半火星度尾四度三一九四六七是日午正一刻火星夕伏尾四度一十一分七十九秒火星夕次疾初三月入栁度授时推甲子日大统癸亥非夕疾初六月入翼度授时推丁亥日大统戊子非古今律厯考卷五十二
## 卷五十三
钦定四库全书
古今律厯考卷五十三 明 邢云路 撰厯法十八厯法土星合伏前合伏九十○日四六二七后合伏二百八十七日六二八九中星二百九十二度三五四七盈厯一百一十六日六三二六八六盈末厯六十五日九九六○六四加分六分一二九七二五积度七度三三四五九六七五加差七度三九五六五二定积二百九十五日○二四五五二定日三十七日一○四一五二加时定星二百九十九度七五○六五二入月数三百一十八日四二六八八三月数十 入八月入月已来日二十三日一二○九五三八月经朔一十三日九八三一九九顺减差一分二四九八晨前夜半定星二百九十九度七三八一五四八月辛丑日夜半土星度角三度○一○六五四是日丑正二刻土星合伏井三度○二三一五二晨疾中积三百○八日○二八九中星二百九十四度七五四七盈厯一百一十八日一二二六八六盈末厯六十四日五○六○六四加分六分三三二一三九积度七度二七一三七五三六加差七度三○三四二定积三百一十五日三三二三二定日五十七日四一一九二加时定星三百○二度○五八一二入月数三百三十八日七三四六五一月数十一 入九月入月已来日一十三日八九八一二八九月经朔四十三日五一三七九二顺减差四分五三一一二晨前夜半定星三百○二度○一二八○八九月辛酉日夜半土星度角五度二八五三是日巳初三刻土星晨疾角五度三十三分○六秒晨次疾中积三百三十九日○二八九中星二百九十八度一五四七盈厯一百二十○日二三二六八六盈末厯六十二日三九六○六四加分六分七○一八七三积度七度一三九二二八○八加差七度一六五七七一定积三百四十六日一九四六七一定日二十八日二七四二七一加时定星三百○五度三二○四七一入月数三百六十九日五九七○○二月数十二 入十月入月已来日一十五日二二九八八七十月经朔一十三日○四四三八五顺减差二分七四二七晨前夜半定星三百○五度二九三○四四十月壬辰日夜半土星度角八度五六五五四四是日卯正二刻土星晨次疾角八度五十九分二十九秒晨迟中积三百六十八日○二八九中星三百○○度九○四七盈厯一百二十一日九四二六八六盈末厯六十○日五八六○六四加分七分○七四八一五积度六度九九九五八八加差七度○四一○五定积三百七十五日○六九九五定日五十七日一四九五五加时定星三百○七度九四五七五入月数三百九十八日四七二二七一月数十三 入十一月入月已来日一十四日五七四五七二十一月经朔四十二日五七四九七八顺减差一分一九六四晨前夜半定星三百○七度九三三七八六十一月辛酉夜半土星度角十一度二十○分六二八六是日寅初四刻土星晨迟角十一度二十一分八十二秒晨留中积三百九十四日○二八九中星三百○二度四○四盈厯一百二十二日七七二六八六盈末厯五十九日八五六○六四加分七分二五八七三九积度六度九二七○○○六一加差六度九八九一四定积四百○一日○一八○四定日二十三日○九七六四加时定星三百○九度三九三一四入月数四百二十四日四二○三七一月数十四 入十二月入月已来日一十○日九九二○六九十二月经朔一十二日一○五五七一顺减差七十八秒一一晨前夜半定星三百○九度三八五三二九十二月丁亥日夜半土星度角十二度六五七八是日丑初一刻土星晨留角十二度六十六分五十六秒晨退中积四百二十四日○二八九定积四百三十一日○一八○四定日五十三日○九七六四入月数四百五十四日四二○三七一月数十五 入庚子年正月入月已来日一十一日四六一四七六庚子正月经朔四十一日六三六一六四正月丁巳日丑初一刻土星晨退角十二度六十六分五十六秒夕退中积四百七十六日六七四七中星二百九十八度七七九二五盈厯一百二十三日○五七二三六盈末厯五十九日五七一五一四加分七分二五八七三九积度六度九二七○○○六一加差六度九六八四八五定积四百八十三日六四三一八五定日四十五日七二二七八五加时定星三百○五度七四七七三五入月数五百○七日○四五五一六月数十七 入三月入月已来日五日○二五四三五三月经朔四十○日六九七三五退加差七分二二七七晨前夜半定星三百○五度一二○○一二三月己酉日夜半土星度角九度○九三五是日酉初一刻土星夕退角九度○二分一十二秒夕留中积五百二十九日三二○五中星二百九十五度一五三八盈厯一百二十三日三四一七八六盈末厯五十九日二八六九六四加分七分二五八七三九积度六度九二七○○○六一加差六度九四六五八三定积五百三十六日二六七○八三定日三十八日三四六六八三加时定星三百○二度一○○三八三入月数五百五十九日六六九四一四月数十八 入四月入月已来日二十八日一一八七四四月经朔一十○日二二七九四三退加差三分四六六八晨前夜半定星三百○二度一三五○五一四月壬寅日夜半土星度角五度四○七五是日辰正一刻土星夕留角五度三十七分二十八秒夕迟中积五百五十九日三二○五定积五百六十六日二六七○八三定日八日三四六六八三入月数五百八十九日六六九四一四月数十九 入五月入月已来日二十八日五八八一四七五月经朔三十九日七五八五三六六月壬申朔辰正一刻土星夕迟角五度三十七分二十八秒夕次疾中积五百八十五日三二○五中星二百九十六度六五三八盈厯一百二十四日一七一七八六盈末厯五十八日四五六九六四加分七分四四○九六五积度六度八五二五九○九六加差六度八八七五三六定积五百九十二日二○八○三六定日三十四日二八七六三六加时定星三百○三度五四一三三六入月数六百一十五日六一○三六七月数二十 入六月入月已来日二十四日九九八五○七六月经朔九日二八九一二九顺减差二十三秒○一晨前夜半定星三百○三度五三九○三五六月戊戌日夜半土星度角六度八一一五是日卯正三刻土星夕次疾角六度八十一分三十八秒夕疾中积六百一十四日三二○五中星二百九十九度四○三八盈厯一百二十五日八八一七八六盈末厯五十六日七四六九六四加分七分八○○○三二积度六度六九八三七二八加差六度七五六六三六定积六百二十一日○七七一三六定日三日一五六七三六加时定星三百○六度一六○四三六入月数六百四十四日四七九四六七月数二十一 入七月入月已来日二十四日三三七○一四七月经朔三十八日八一九七二二顺减差一分五六七三晨前夜半定星三百○六度一四四七六三七月丁卯日夜半土星度角九度四一七二是日寅初三刻土星夕疾角九度四十三分三十九秒夕伏中积六百四十五日三二○五中星三百○二度八○三八盈厯一百二十七日九九一七八六盈末厯五十四日六三六九六四加分八分一五二八八九积度六度二三七○六九三六加差六度二八九定积六百五十一日六○九五定日三十三日六八九一加时定星三百○九度○九二八入月数六百七十五日○一一八三一月数二十二 入八月入月已来日二十五日三三八七八五八月经朔八日三五○三一五顺减差七分五八○一晨前夜半定星三百○九度○一六九九九八月丁酉夜半土星度角十二度二八九四是日申正二刻土星夕伏角十二度三十六分五十三秒古今律厯考卷五十三
## 卷五十四
钦定四库全书
古今律厯考卷五十四 明 邢云路 撰厯法十九厯法金星合伏前合伏五百二十二日○三五二后合伏六十一日八一七四中星六十六度五四三二盈初厯六十八日九一五九加分一分五三○二三二积度一度九四七五二一六加差一度九六一○六七定积六十三日七七八四六七定日四十五日八五八○六七加时定星七十○度四五一三○四入月数八十七日一八○七九八月数二 入正月入月已来日二十八日一一九六一二正月经朔一十七日七三八四五五顺减差一度○九四○三五晨前夜半定星六十九度三五七二七正月己酉日夜半金星度危九度二六九七是日戌正二刻金星含伏危一十○度三十六分三十八秒夕疾初中积一百○○日八一七四中星一百一十六度○四三二盈厯一百一十六日五五五九盈末厯六十六日○七二八五加分一分六四四四五四积度一度九一四七二九九六加差一度九一五九二七定积一百○二日七三三三二七定日二十四日八一二九二七加时定星一百一十九度八七五○五四入月数一百二十六日一三五六五八月数四 入三月入月已来日八日○一三二八六三月经朔一十六日七九九六四一顺减差一度○二八三五二晨前夜半定星一百一十八度八四六七○二三月戊子日夜半金星度奎一十五度一四八二○二是日戌初三刻金星夕疾初奎一十六度一十六分五十五秒夕疾末中积一百五十二日八一七四中星一百八十一度五四三二盈厯一百七十九日五九五九盈末厯三日○三二八五加分三分五一○二六二积度一十○分五四二六六六加差○度一十○分六五七九定积一百五十二日九二三九七九定日一十五日○○三五七九加时定星一百八十一度七五六三五八入月数一百七十六日三二六三一月数五 入四月 入闰四月朔日入月已来日二十八日六七三三四五四月经朔四十六日三三○二三四顺减差四十四秒九一晨前夜半定星一百八十一度七五一八六七闰四月朔日己卯夜半金星度参四度三八四三是日子正初刻金星夕疾末参四度三十八分八十八秒夕次疾初中积二百○一日八一七四中星二百四十二度五四三二缩初厯五十五日六七七一五加分二分二一二二一八积度一度六九八八四五五减差一度七一三八二五定积二百○○日○七九一五定日二日一五八七五加时定星二百三十九度一一五五五入月数二百二十一日七九二○八一月数七 入五月入月已来日十六日七六七三三五月经朔四十五日三九一四二顺减差一十九分六○五六晨前夜半定星二百三十八度一九四九四五月丙寅日夜半金星度星五度一三一九是日寅初三刻金星次疾初星五度三十二分八十○秒夕次疾末中积二百四十三日八一七四中星二百九十二度七九二二缩厯一百○四日○三七一五缩末厯七十八日五九一六加分九十○秒八三六二积度二度○七二七八九一六减差二度○七八一六三定积二百四十一日七三九二三七定日四十三日八一八八三七加时定星二百八十八度六三六八七四入月数二百六十五日一四一五六八月数八 入六月入月已来日二十八日八九六八二四六月经朔一十四日九二二○一三顺减差九十四分九八五一晨前夜半定星二百八十七度六八七○二三六月丁未日夜半金星度轸九度七○九五是日戌初二刻金星夕次疾末轸十度六十五分九十三秒夕迟初中积二百八十二日八一七四中星三百三十五度二九三二缩厯一百四十四日九三七一五缩末厯三十七日六九一六加分二分九二○三九六积度一度二二九二七三二减差一度二五一三一九定积二百八十一日五六六○八一定日二十三日六四五六八一加时定星三百三十二度七九○五六二入月数三百○四日九六八四一二月数十 入八月入月已来日九日六六二四八二八月经朔一十三日九八三一九九顺减差六十五分八五九四六晨前夜半定星三百三十二度一三一九六七八月丁亥日夜半金星度氐一十二度九七四四六七是日申初二刻金星夕迟初氐一十三度六十二分八十九秒夕迟末中积三百一十五日八一七四中星三百六十二度二九三二缩厯一百七十○日九二七一五缩末厯一十一日七○一六加分三分四五九四五四积度三十八分四八二四六减差三十○分九○七九定积三百一十五日五○八三二一定日五十七日五八七九二一加时定星三百六十一度六七五○四二入月数三百三十八日九一○六五二月数十一 入九月入月已来日一十四日○七四一二九九月经朔四十三日五一三七九二顺减差三十六分四五一一晨前夜半定星三百六十一度三六五九七三九月辛酉日夜半金星度尾十四度○○三是日亥初初刻金星夕迟末尾十三度九十三分九十八秒夕留中积三百三十一日八一七四中星三百六十六度五四三二缩厯一百七十五日○一七一五缩末厯七日六一一六加分三分四九一六二六积度二十四分五五九九九减差二十六分六九五四定积三百三十一日五五○四四六定日一十三日六三○○四六加时定星箕宿○度七十六分一七八二入月数三百五十四日九五二七七七月数十二 入十月入月已来日五十八刻五六六一十月经朔一十三日○四四三八五顺减差三十九分○六二八晨前夜半定星三十七分一一五四十月朔丁丑日夜半金星度箕初度三十七分一一五四是日申初初刻金星夕留箕初度七十六分一十七秒夕退中积三百三十六日八一七四定积三百三十六日五五○四四六定日一十八日六三○○四六入月数三百五十九日九五二七七七月数十二 入十月入月已来日五日五八五六六一十月壬午日申初初刻金星夕退箕初度七十六分一十七秒夕退伏中积三百四十七日七六八七中星三百六十二度八四四五缩厯一百七十六日六○八四五缩末厯六日○二○三加分三分四九七五五四积度○度二十一分○六二四三二减差二十一分七六三定积三百四十七日五五一○七定日二十九日六三○六七加时定星三百六十二度四○九二四入月数三百七十○日九五三四○一月数十二 入十月入月已来日一十六日五八六二八五退加差三十八分四七○八晨前夜半定星三百六十二度七九三九四八十月癸巳日夜半金星退尾十五度四八六四是日申初初刻金星夕退伏尾十五度一十○分一十七秒合退伏中积三百五十三日七六八七中星三百五十八度四九四五缩厯一百七十八日二三八四五缩末厯四日三九○三加分三分五○六八七二积度○度一十四分○五二九二八减差一十五分四二一六定积三百五十三日六一四四八四定日三十五日六九四○八四加时定星三百五十八度一八六○六八入月数三百七十七日○一六八一五月数十二 入十月入月已来日二十二日六四九六九九退加差五十六分九三四八晨前夜半定星三百五十八度七五五四一六十月己亥日夜半金星退尾十一度四四七九一六是日申正二刻金星合退伏尾十三度○一分七十二秒晨退中积三百五十九日七六八七中星三百五十四度一四四五缩厯一百七十九日八六八四五缩末厯二日七六○三加分三分五一二八○六积度○度○七分○二九八六减差○度○九分七○○六定积三百五十九日六七一六八四定日四十一日七五一二八四加时定星三百五十三度九五○四八八入月数三百八十三日○七刻四○一五月数十二 入十月入月已来日二十八日七六八九九退加差四十五分八二八三晨前夜半定星三百五十四度四○八七七一十月乙巳日夜半金星退尾七度一○一二是日酉正初刻晨退尾六度六十四分二十九秒晨留中积三百七十○日七二中星三百五十○度四四五八缩厯一百八十一日四五九七五缩末厯一日一六九加分三分五一四五○四积度○度○三分五一五三五六减差○度○四分一○九三定积三百七十○日六七八九○七定日五十二日七五八五○七加时定星三百五十○度三六三六一四入月数三百九十四日○八一二三八月数十三 入十一月入月已来日一十○日一八三五二九十一月经朔四十二日五七四九七八退加差四十六分二六八九晨前夜半定星三百五十○度八二六三○三十一月丙辰日夜半金星退尾三度五一八八是日酉正初刻晨留尾三度○五分六十一秒晨迟初中积三百七十五日七二定积三百七十五日六七八九○七定日五十七日七五八五○七入月数三百九十九日○八一二三八月数十三 入十一月入月已来日一十五日一八三五二九十一月辛酉日酉正初刻金星晨迟初尾三度○五分六十一秒晨迟末中积三百九十一日七二中星三百五十四度六九五八盈初厯二度九二一加分三分五一二八○六积度○度○七分○二九八六加差○度一十○分二六五一定积三百九十一日八二二六五一定日一十三日九十○刻二十二分五一加时定星三百五十四度九○一一○二入月数四百一十五日二二四九八二月数十四 入十二月入月已来日一日七九六六八十二月经朔一十二日一○五五七一顺减差五十五分九三九五晨前夜半定星三百五十四度三四一七○七十二月丁丑日夜半金星度尾七度○三四二是日亥初二刻金星晨迟末尾七度五十九分三十六秒晨次疾初中积四百二十四日七二中星三百八十一度六九五八盈初厯二十八度九一一加分三分一七一二积度○度九十五分三三六四一六加差○度九十八分二二五八定积四百二十五日七○二二五八定日四十七日七八一八五八加时定星一十八度四○二八一六入月数四百四十九日一○四五八九月数十五 入庚子年正月入月已来日六日一四五六九四庚子正月经朔四十一日六三六一六四顺减差七十九分七四九五晨前夜半定星一十七度六○五三二一正月辛亥日夜半金星度斗八度○一五三是日酉正三刻金星晨次疾初斗八度八十五分二十八秒晨次疾末中积四百六十三日七二中星四百二十四度一九五八盈初厯六十九度八一一加分一分四七一八五二积度一度九六二三五四四八加差一度九七四二九一定积四百六十五日六九四二九一定日二十七日七七三八九一加时定星六十二度七八六八八二入月数四百八十九日○九六六二二月数十六 入二月入月已来日一十六日六○七一三四二月经朔一十一日一六六七五七顺减差八十九分七七一三晨前夜半定星六十一度八八九一六九二月辛卯日夜半金星度危一度八○一六是日酉正二刻金星晨次疾末危二度六十九分九十三秒晨疾初中积五百○五日七二中星四百七十四度四四五八盈厯一百一十八度一七一盈末厯六十四度四五七七五加分一分七五五一九二积度一度八八○一七四○八加差一度八八八二九七定积五百○七日六○八二九七定日九日六八七八九七加时定星一百一十二度九六四八九四入月数五百三十一度○一○六二八月数十七 入三月入月已来日二十八日九九○五四七三月经朔四十○日六九七三五顺减差八十四分三一六四晨前夜半定星一百一十二度一二一七三三月癸酉日夜半金星度奎八度四二四二是日申正二刻金星晨疾初奎九度二十六分七十三秒晨疾末中积五百五十四日七二中星五百三十五度四四五八盈厯一百七十六度八八一盈末厯五度七四七七五加分三分五○二六三六积度○度一十七分五五九加差○度二○一七九一定积五百五十四日九二一七九一定日五十七日○○一三九一加时定星一百七十○度五九一八八二入月数五百七十七日三二四一二二月数十九 入五月入月已来日一十六日二四二八五五五月经朔三十九日七五八五三六顺减差一秒七四晨前夜半定星一百七十○度五七一七○八五月辛酉夜半金星度毕九度七七四二是日子正初刻金星晨疾末毕九度七十七分三十三秒晨伏中积六百○六日七二中星六百○○度九四五八缩初厯五十七度二九二二五加分二分一一六五一一六积度一度七四二六一五四减差一度七四八八○一定积六百○四日九七一一九九定日四十七日○五○七九九加时定星二百三十九度一八五九○二入月数六百二十八度三七三五三月数二十一 入七月入月已来日八日二三一○七七七月经朔三十八日八一九七二二顺减差六十四秒二六晨前夜半定星二百三十九度一七九四七月辛亥夜半金星度星五度三九一九是日丑初初刻金星晨伏星五度三十九分八十四秒古今律厯考卷五十四
## 卷五十五
钦定四库全书
古今律厯考卷五十五 明 邢云路 撰厯法二十厯法水星合伏前合伏一百○九日三一一二后合伏六日五六四八中星一十一度二九○六缩初厯二十四日五八六七五加分三分五一六九七四积度○度八九八五一七七六减差一度○一九一五三定积五日五四五六四七定日四十七日六二五二四七加时定星八度二三三一四一入月数空月数空 入本月入月已来日二十八日九四七九七八十一月经朔一十八日六七七二六九顺减差一度三四七九○七晨前夜半定星六度八八五二三四十一月辛亥日夜半水星度箕六度八八五二是日申初初刻水星合伏箕八度二十三分三十一秒夕疾中积二十四日三一四八中星四十五度五四○六缩初厯五十三日六六六七五加分二分四三四五八积度一度七八四○七八五八减差一度八○○三一九定积二十二日五一四四八一定日四日五九四○八一加时定星四十○度一三九六四三入月数四十五日九一六一二月数一 入本年十二月入月已来日一十六日三八六二一九十二月经朔四十八日二○七八六二顺减差一度○一一二五七晨前夜半定星三十九度一二八三八六十二月戊辰日夜半水星度牛五度○六八三是日未正一刻水星夕疾牛六度○七分九十六秒夕迟中积三十九日三一四八中星六十六度九二○六缩初厯七十一日八二六七五加分一分四○八八八积度二度一三八八七七减差二度一五○四八一定积三十七日一六四三一九定日一十九日二四三九一九加时定星六十○度四六九一五七入月数六十○日五六六六五月数二 入己亥年正月入月已来日一日五○五四六四正月经朔一十七日七三八四五五顺减差○度二十七分九八二三晨前夜半定星六十○度一八九三三四正月癸未日夜半水星度危初度一○一八是日夘初三刻水星夕迟危初度三十八分一十六秒夕留中积五十一日三一四八中星七十七度○四○六缩初厯八十○日四一六七五加分七十八秒七二五四积度二度二四一一二减差二度二四四四○一定积四十九日○七○三九九定日三十一日一四九九九九加时定星七十○度三○七三九七入月数七十二日四七二七三月数二 入正月入月已来日一十三日四一一五四四顺减差○度一十七分二○六九晨前夜半定星七十○度一三五三二八正月乙未日夜半水星度危一十○度○四七八是日寅初二刻水星夕留危十度二十一分九十八秒夕退伏中积五十三日三一四八定积五十一日○七○三九九定日三十三日一四九九九九入月数七十四日四七二七三月数二 入正月入月已来日一十五日四一一五四四正月丁酉日寅初二刻水星夕退伏危十度二十一分九十八秒合退伏中积六十四日五○二八中星六十九日二二八六缩初厯八十二日五二四七五加分六十五秒○六九六积度二度二五六一三六五二减差二度二五九五五一定积六十二日二四三二四九定日四十四日三二二八四九加时定星六十二度四四九九四七入月数八十五日六四五五八月数二 入正月入月已来日二十六日五八四三九四退加差○度三十三分四○一九晨前夜半定星六十二度七八三九六六正月戊申日夜半水星退危二度六九六四是日辰初三刻水星合退伏危二度三十六分二十四秒(大统悮作己酉)晨留中积七十五日六九○八中星六十一日四一六六缩初厯八十四日六三二七五加分四十九秒○七五四积度二度二六八二○四九六减差二度二七一三五四定积七十三日四一九四四六定日五十五日四九九○四六加时定星五十四度六○二五三八入月数九十六日八二一七七七月数三 入二月入月已来日八日二二九九九八二月经朔四十七日二六九○四八退加差○度五十一分六三一四晨前夜半定星五十五度一一八八五二二月己未日夜半水星退虚四度○三八八是日午初四刻水星晨留虚三度五十二分二十五秒晨迟中积七十七日六九○八定积七十五日四一九四四六定日五十七日四九九○四六入月数九十八日八二一七七七月数三 入二月入月已来日一十○日二二九九九八二月辛酉日午初四刻水星晨迟虚三度五十二分二十五秒晨疾中积八十九日六九○八中星七十一度五三六六缩厯九十三日二二二七五缩末厯八十九日四○六加分一十○秒一○九四积度二度二八五○三四○六减差二度二八五四四五定积八十七日四○五三五五定日九日四八四九五五加时定星六十四度六八○二六五入月数一百一十○日八○七六八六月数三 入二月入月已来日二十二日二一五九○七顺减差○度五十五分六二四晨前夜半定星六十四度一二四○二五二月癸酉日夜半水星度危四度○三六五是日未初二刻水星晨疾危四度五十九分二十七秒晨伏中积一百○四日六九○八中星九十二度九一六六缩厯一百一十一日三八二七五缩末厯七十一日二四六加分一分四○四八八八积度二度一三八八七七八四减差二度一四二三三四定积一百○二日五四八四六六定日二十四日六二八○六六加时定星八十六度四八八五九八入月数一百二十五日九五○七九七月数四 入三月入月已来日七日八二八四二五三月经朔一十六日七九九六四一顺减差一度○六九八四七晨前夜半定星八十五度四一八七五一三月戊子日夜半水星度危九度三八一二是日申初初刻水星晨伏危十度四十五分一十秒右五星依授时筭有误应改者见厯原古今律厯考卷五十五
## 卷五十六
钦定四库全书
古今律厯考卷五十六 明 邢云路 撰厯法二十一厯法 五星立成木星盈缩一理火星盈初即缩末缩初即盈末古今律厯考卷五十六
## 卷五十七
钦定四库全书
古今律厯考卷五十七 明 邢云路 撰厯法二十二厯法 五星立成土星盈度无初末之别缩度亦无初末金星盈缩一理水(盈缩积日) 加分 积度水星盈缩一理古今律厯考卷五十七
## 卷五十八
钦定四库全书
古今律厯考卷五十八 明 邢云路 撰厯法二十三厯法四余躔度(万厯乙亥岁) (授时)积年三百一十八年中积一十一万六千一百四十七日○一刻九十六分(有消长) 冬至四十二日○七刻九十六分闰余二十三日四十○刻二十三分三十一秒紫气(顺行入各宿初度)以元至元辛巳至后䇿加中积得一十一万七千四百○三日五四二○以周日一万○二百二十七日一七九二累除之余为本年至后䇿以减毕积日分四千九百六十四日八五九二余为周后䇿至后策四千九百○四日五七○八(毕)周后策六十○日二八八四(觜初度)初度积日四十二日三六八 丙午入月数八十三日六九○七三一月数二 入正月入月已来日二十四日六二九五四五正月经朔一十七日七三八四五五正月丙午日辰正三刻紫气度觜初度觜初度 四十二日三六八 正月二十五日丙午(辰正三刻)参初度 四十三日七六八 二十六日丁未(酉正一刻)九度 四十三日六○八 七月六日丁未月孛(顺行入各宿初度)以元至元辛巳至后策加中积得一十一万八千五百三十一日一二八八以周日三千二百三十一日九六八四累除之余为本年至后策以减张积日分二千二百八十一日九○五八余为周后策至后策二千一百八十○日二六六四(张)周后策一百○一日六三九四(翼初度)初度积日二十三日七一九 丁亥入月数一百二十五日○四一七三一月数四 入三月入月已来日六日九一九三五九三月经朔一十六日七九九六四一三月丁亥日酉初一刻月孛度翼初度翼初度 二十三日七一九 三月八日丁亥(酉初一刻)一度 三十二日五六七四九二 十七日丙申一度 十六日二七○二一八 二月六日庚辰罗㬋(逆行入各宿末度)以元至元辛巳至后䇿加中积得一十一万七千八百二十七日八七九八以周日六千七百九十三日四四三二累除之余为本年至后策以减星积日分二千四百四十五日二二四七余为周后策至后策二千三百三十九日三四五四(星)周后策一百○五日八七九三(柳末度)末度积日二十七日九五八九 辛卯入月数一百二十九日二八一六三一月数四 入三月入月已来日一十一日一五九二五九三月经朔一十六日七九九六四一三月辛卯日夜子初初刻罗㬋度栁十三度栁十三度 二十七日九五八九 三月十二日辛卯(夜子初初刻)十二度 同日计都(逆行入各宿末度)以罗㬋策二千三百三十九日三四五四加半周积得为本年计都至后策以减虚积日分余为周后策至后策五千七百三十六日○六七○(虚)周后策一百○七日三三三七(女末度)末度积日二十九日四一三三 癸巳入月数一百三十○日七三六○三一月数四 入三月入月已来日一十二日六一三六五九三月经朔同罗㬋三月癸巳日巳初三刻计都度女十一度女十一度 二十九日四一三三 三月十四日癸巳(巳初三刻)推四余至后策置推得中积分加各余气立成内距元至后策就用其各余气周积累去之余为推得各余至后策推四余周后策置推得各余至后策用以挨至仅及减各余立成内初末度积日分余为推得各余周后策又以视上年躔于各何宿次挨减之如遇推得各至后策余一日者用以减各宿次度之零分下日及分余为推得周后策又如至后策去挨仅及减之初末积日分如是紫孛所减之宿是尾者得箕如是罗㬋计都所减之宿是心得房也推四余入各宿次初末度积日及分置推得周后策加冬至分满纪法去之余为推得入各宿次初末度积日分如是紫气与月孛顺行入各宿次之初度元挨及减之宿是尾者余入箕宿初度积日及分如是罗㬋与计都逆行入各宿次之末度元挨及减之宿是心者余入房宿末度积日及分就其各大余命甲子筭外得日辰也就将各余气度率全分累加之得为各宿逐度初末及分如紫孛得各宿之初度者加至其宿末度位上视其宿之第二格零分下若干日及分加之方交入次宿初度分秒也如罗计得各宿之末度者先加其本宿第二格零分下若干日及分为次度下分秒也然后用各度率累加之得为各宿逐度下初末度积日及分也加至方交次宿末度位上视其宿之零分下若干日及分加之次复以其度率累加之也(若遇空分)(只加度率)推四余入初末度积日在何月并入月已来日数置推得周后策加闰余分用其月数钤内挨及减之数减就视原减之数是一号者其月数得一为十二月也其减余之若干日就为推得入月已来日数又视其大余日若干日得某月中某日月数钤右即月策累加之数四余立成钤紫气(入箕宿初度) 二十八年有奇一周天辛巳为元至后策一千二百五十六日五二二四周积一万○千二百二十七日一十七刻九十二分度率二十八日 日行三分五七一四二九紫气取入宫定积数(凡取入宫置各气定积数内减冬至后策余交入次日时刻余倣此)斗三○千三百七十四日一五○一入丑女二一千一百七十六日六八三二入子月孛(入箕宿初度) 八年十月有竒一周天辛巳为元至后策二千三百八十四日一○九二周积三千二百三十一日九十六刻八十四分度率八日八四八四九二 日行一十一分三○一三六月孛取入宫定积数罗㬋(入尾宿末度) 十八年七月有竒一周天入辛巳为元至后策一千六百八十○日八六○二计都(入尾宿末度) 十八年七月有竒一周天入辛巳为元至后策五千○百七十七日五八一八周积六千七百九十三日四十四刻三十二分(巳下罗计用同)半周积三千三百九十六日七十二刻一十六分度率一十八日五九九一○七七六 日行五分三七六六○二黄道宿次宿度零分并日巳下全日分 各宿入末度积日分罗㬋计都取入宫定积数计都取入宫于罗㬋定积日上加入半周积三千三百九十六日七二一六共得数内减去周后策余为入某辰宫积日及分黄道交入十二次宫界宿次度分钤推四余入各宿次逐度积日及分视推得各余交入某黄道宿次初末度若干日法如太阳交宫取之即得交宫时刻如紫气月孛推得是箕宿者书箕初度若干日及分次一度二度顺排至九度也如罗㬋计都推得是尾宿者书尾十七度若干日及分次十六度十五度逆排至初度也然后依元推得初末度相接处若干日及分以各度率累加之即得入逐度积日逐分加至各宿之初末相接处逆顺皆以其宿零分下若干日及分加之方交入次宿度分又如遇相接处顺行者置前宿末度加末度零分得次宿初度次加度率顺行逆行者置其前宿初度加度率合次宿末度分就加末度全分为次度分推各余交十二宫月日时刻视其各余气推得黄道宿次与其交宫十二次宫界宿名同度下入各宫定积全分内减去推得至后策余为入某辰宫积日及分寄位加闰余分以月数钤挨及之数减之命为某月既定是何月于寄位加冬至分满纪去之命甲子筭外得日辰刻如紫孛推得所入黄道宿次遇有氐宿者即置氐宿一度下入宫定积全分依上推得某甲子日辰时刻交入夘宫如罗计遇氐宿者却置前宫轸宿十度下入宫定积全分依前推得某甲子日辰某时刻退入辰宫是也推各余周天置各余周积以岁周除年数以月策除月以下数得几年几月日零一周天右四余依大统法如推紫气乃是用度率二十八日行一度法以二十八日除一度得三分五十七秒一十四微二十九纎为每日日行分以推宿度置宿度分以日行分而一得积日分累加至周天得周积分如紫气推箕宿置箕宿九度五十九分以日行分三分五七一四二九而一得二百六十八日五十二分为箕积日分入牛初度自此以后以次累加步至尾十七度五十九分得一万○二百二十七日一十七刻九十二分为周天积日分却置积日以二十八年一周天而一得三百六十五度二十五分六十四秒即此以合周天三百六十五度二十五分七十五秒之数则少一十一秒矣若以度率二十八乗周天度三百六十五度二十五分七十五秒得周积一万○二百二十七日二十一刻方为正法盖大统以日行分末二十八纎五七有竒之数收而为九故日行分数积多以致天周之数少也计大统周积少三刻○八非正法矣月孛罗㬋计都俱倣此古今律厯考卷五十八
## 卷五十九
钦定四库全书
古今律厯考卷五十九 明 邢云路 撰厯法二十四厯法五星聚秦王子婴初立即汉元年汉纪髙帝元年十月五星聚东井孟康曰岁星先至四星从岁星也后魏崔浩集诸厯家攷校汉元以来日月薄食五星行度并讥前史之失别为魏厯以示髙允允曰汉元年十月五星聚东井此乃厯术之浅事今讥汉史而不觉此谬恐后人之讥今犹今之讥古也浩曰所谬云何允曰按星传太白辰星常附日而行十月日在尾箕昏没于申南而东井方出于寅北二星何得背日而行是史官欲神其事不复推之于理也浩曰天文欲为变者何所不可邪允曰此不可以空言争也宜更审之坐者咸恠之唯东宫少傅游雅曰髙君精于厯数当不虚也后岁余浩谓允曰先论本不经心及更考究果如君言五星乃以前三月聚东井非十月也众乃叹服至赵宋纪太祖干德五年三月五星聚于奎初窦俨善推歩星厯逆知吉凶与卢多逊杨徽之同在谏官俨甞谓之曰丁卯歳五星聚奎自此天下太平二拾遗见之俨不与也后卒如其言我朝洪武间五星并见于奎占者谓亦如宋建隆三年为文明之象有考者曰宋五星聚奎在干德五年非建隆三年也古记载与论辩不同如此以余考之秦二世三年甲午八月子婴立十月沛公至霸上子婴降至正月改为汉髙帝元年秦以十月为歳首汉因之则是年甲午之十月巳属为乙未之歳首十月初子婴尚在位则虽秦王子婴立之年即汉之元年亦可也五星聚井则实在乙未歳前天正以后之年以授时推乙未歳前天正中积五十四万二千七百五十二日有竒天正冬至赤道日躔斗二十度以步至五月中旬木星入井见至次年丙申三月方出步乙未天正后之十月日在尾箕昏没于申南而东井方出于西北金水二星不得背而行是月木火土三星俱在东井金水不在东井及推前三月乃八月也八月日躔在井而土金水三星俱㑹在井惟火星在申酉间夫井居未而申酉间亦近未虽相去不逺然尚未至井也史载是年五星聚井必目覩之者崔浩又歩为八月聚井今以授时推八月乃火星犹隔一辰尚未至井则此必授时火星之周率少强之所致也周率少强则歩不及数以积筭上至汉初千有余年之逺火星甫及申酉间而不能至未无惑其然耳然则髙允崔浩之言皆是也若及时测验减火周之率以合天道则有待而为耳宋太祖时五星聚奎窦俨逆知其数在干徳五年之丁卯为是洪武间占者谓为建隆三年非也以授时推是干徳五年丁卯歳三月中旬五星皆聚在奎合夫授时歩汉聚井有火隔一宿之少差而于宋聚奎乃脗合不爽何以故以元至宋年数近而迄汉则厯年逺也今以详布干徳聚奎之厯具于左宋太祖干徳四年丙寅歳(距元至元辛巳三百一十五筭)中积一十一万五千○五十一日四八二冬至二十三日五七八闰余一十九日九一三三二八经朔三十六日六四六七二天正加时赤道斗四度二三○五天正加时黄道斗三度八九三六金星后合三十四日九三八四盈厯五十一日四三八三火星后合三百四十五日一六四五盈厯三百○○日三九五五二三干徳五年丁卯中积一十一万四千六百八十六日二三九二冬至二十八日八二○八闰余一日二五八四二迟厯四日七五○八经朔二十七日五六二三八天正加时赤道斗四度二一五八天正加时黄道斗三度八八○一木星后合八十九日七○六六盈厯三百五十七日八四九九七五缩末厯七日三五七七五减差○度七八六九六八月数三 入二月入月已来日一日五八六二七三二月经朔五十六日一五四一五九加时定日五十七日七四○四三二加时定度一百○二度三八九七三二二月二日辛酉酉初三刻木合伏壁八度○三二二三推木星晨疾末中积一百三十四日五九二六中星一百一十三度一四六七盈厯○日一六二七七五加差○度○一七六九五月数四 入三月入月已来日一十七日七四六三四三加时定星奎九度四六七三九五三月经朔二十五日六八四七五二加时定日四十三日四三一○九五顺减差一十○分三七一一十八日丙午与金星同度丁未日夜半奎九度三六三九八四三月十九日丁未木星晨疾末奎九度是日与火星同度推火星晨疾末中积四百七十三日一六四五中星八十五度二九○六盈初厯二十○日五○八○二加差十四度七四五三五六月数四 入三月入月已来日五日八○三一○三加时定星壁五度六七八四五六加时定日三十一日四八七八五五顺减差三十三分四四九八乙未日夜半壁五度三四四○○二三月七日乙未火星晨疾末壁五度十一日己亥奎初度九十四分六三二十八日丙辰火星与土星同度奎十五度土星后合一百○六日九二○一盈厯三百○五日五○五七○五推土星晨疾中积一百二十七日三二○一中星一百二十二度七九○二缩末厯五十六日一六减差五度一二三九八月数四 入三月入月已来日五日三三二一六五加时定星奎十三度九六八七二加时定日三十一日○一六九一七顺减差三分六六四八乙未日夜半奎十三度九三二四三月七日乙未土星晨疾十三度三月八日土星顺行见奎十四度二十三日辛亥与金星同度二十八日丙辰与火星同度推金星晨疾初中积四百七十八日八四一中星九十一度○六七四盈末厯八十一日九三五三五加差二度一○四六二三月数三 入二月入月已来日二十八日三六九四六三加时定星室十五度○二九九加时定日二十四日五二三六二二顺减差六十三分○○八六戊子日夜半室十四度三九九八四二月二十九日戊子金星晨疾初室十六度三月十一日己亥金星顺行见奎初度二一四八三月十八日与木星同度三月二十三日辛亥金星与土星同度奎十五度水星后合一十四度六三一五盈厯二百二十四日六六九二推水星晨伏中积一百一十二日七五七五中星九十五度○九六一缩末厯五十三日七三五五五减差一度六七○一六月数三 入二月入月已来日二十三日七五三九八一加时定星室十四度○四八一二加时定日一十九日九○八一四顺减差一度五二九八九一二月二十四日癸未夜半室十二度五一九二一三月五日癸巳水星晨伏不见奎一度三二九一右水星按元史推误推水星晨疾 此以改应法推是中积一百一十七日七五七五中星一百○八度三四七六缩末厯七十三日九四二减差二度一七八三二月数三 入二月入月已来日二十七日二四五九二二加时定度一百○一日八一二六四加时定星壁七度四五五一四加时定日二十三日三九○○八一顺减差四十四分八五二月二十八日丁亥夜半壁七度○○六六四三月一日己丑顺行见奎初度四八九八四三月十日顺行见奎十四度与土星同度右步五星授时推水星合应差谬今依法改正用推乃得其真古今律厯考卷五十九
## 卷六十
钦定四库全书
古今律厯考卷六十 明 邢云路 撰厯议一厯议天体天体至圆天包地外地在天中地平当天之半天体半见地上半隠地下东西转运自东而徂西南北斜倚北髙而南下自天地之中言之北极出地三十六度南极入地三十六度二极持其两端犹门之枢车之轴也中分为赤道斜倚于南横络天腹天周三百六十五度有竒赤道去极九十一度有竒周天之星二十八宿而星之辰均分十二次辰之度三十有竒十二辰之度合三百六十五度有竒辐辏于腰围名曰赤道其度在赤道者正得一度之广去赤道则渐逺而渐狭天体圆故也各度以二十八宿之距星纪数谓之经度东西分经则南北分纬各四分之皆相距九十一度有竒然东西虽曰斜倚而其中道两傍则固在卯酉之位矣星辰循天左旋日月五星溯天右转日月五星亦随天行而曰右者七曜实东而天牵之以西若蚁行磨上之譬云尔日日行一度一岁一周天所行之路谓之黄道与赤道相交半出赤道外半入赤道内冬至之日黄道出赤道外二十四度去极逺日出辰入申昼短而夜长故时寒夏至之日黄道入赤道内二十四度去极近日出寅入戌昼长而夜短故时暑春秋二分黄道与赤道平去极中日出卯入酉昼夜均月日行十三度有竒行有迟疾二十七日有竒一周天所行之路谓之白道循黄道内外而东与黄道相交出入不过六度黄道内曰隂厯其外曰阳厯分而言之日行黄道月行九道青道二出黄道东朱道二出黄道南白道二出黄道西黑道二出黄道北并黄道为九行其实一道也日阳精火为君象月隂精水为臣象火则发光于外水则含影于内君令乎臣臣承乎君故月光生于日之所照魄生于日之所不照当日则光明就日则光尽日之行也舒月之行也速与日同度而合谓之朔舒先速后近一逺三谓之弦相与为冲分天之中谓之望以速及舒光尽体魄谓之晦黄白道相结谓之交日月体相遇为之㑹当交㑹而相荡者食也日食于朔月体掩日光也月食于望月体侵入暗虚不受日光也日月之行气朔生焉日月之蚀吉凶生焉夫星有经有纬经星者三垣二十八舍也三垣者紫微垣太微垣天市垣二十八舍者东方七宿角亢氐房心尾箕为苍龙之体北方七宿斗牛女虚危室壁为𤣥武之体西方七宿奎娄胃昴毕觜参为白虎之体南方七宿井鬼栁星张翼轸为朱雀之体中外官星总计二百八十三座常明者百有二十可明者三百二十为星二千五百微星之数万有一千五百二十其星在朝象官如左辅右弼上次将相三台九卿执法骑官幸臣従官之类是也在野象物如螣蛇鸡豕狗狼鱼龙龟鼈之类是也在人象事如天庙离宫阁道华盖五车天船大陵之类是也经星附天转运各有常位譬如百官万民各守其职业而聴命于七政七政所至或失度或愆期下照分野则其应验可占而知矣纬星者五行之精也木曰岁星火曰荧惑土曰填星金曰太白水曰辰星并日月为七政五星有盈缩迟疾岁星行四千三百三十一日有竒凡十二岁一周天荧惑行六百八十七日弱凡二岁一周天填星行一万七百四十八日弱凡二十八岁一周天太白行三百六十五日有竒凡岁一周天辰星与太白同此其率也五纬之外又有四余四余者天之隠曜也行无迟疾紫气木之余气也隐而不见见为有道谓之景星其行一万二百二十七日有竒凡二十八岁一周天月孛水之余气也隐而不见见则妖孽谓之彗孛其行三千二百三十二日弱凡八岁十月一周天罗㬋火之余气计都土之余气常隠不见是为天首天尾従交㑹之蚀限计之其行六千七百九十三日有竒凡十八岁七月一周天但紫气月孛以顺行左旋布罗㬋计都以逆行右旋布耳若夫天汉乃气之英水之精也气发而升精华上浮宛转若流名曰天河起于尾箕经龟鱼傅说天江糠星天籥斜行上连箕斗天弁河鼓左右旗倒分一𣲖西映天市之吴越自坤抵艮至宗星宗人而止其大势上络天津而至车府造父螣蛇王良附路阁道大陵天船渐下而东南行厯卷舌五车诸王天关司怪水府而入东井过四渎阙丘天狗弧矢之墟在社稷七星南而没此天汉有光之脉络天所以为东西南北襟带之限而天下河汉之源出于此也其上北斗七星在紫微宫自一至四为魁自五至七为杓第一星名天枢第五星名天衡第七星名揺光此三星谓之斗纲乃七政之枢机四时之斟酌随所指以运元化者也如今寅月雨水后日躔入亥宫则斗杓昏刻指寅斗衡夜半指寅斗魁平旦指寅以次卯月春分后日躔入戌宫则斗杓昏刻指卯斗衡夜半指卯斗魁平旦指卯以推余月皆然是其随所指以运元化如此至于天运渐移至卯月日躔入亥宫则斗杓昏刻又转而指丑矣独不见今之立春至雨水后六日巳皆入丑乎久之斗杓厯十二月皆可指寅一寅月斗杓皆可指十二辰葢约二千年转一宫二万余年转十二宫一周天而复始此推歩之术万世可知者也若人不察而见今之寅月斗适指寅遂认为一定不易之辰则惑矣星经星官之书自黄帝始重黎羲和之后夏有昆吾殷有巫咸周有史佚魏有石氏齐有甘公皆能言天文察微变至三国时陈卓始列甘徳石申巫咸三家星官著于图录二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿及辅官附坐二百八十二星总二百八十三官一千五百六十五星宋元嘉太史令钱乐之所铸浑天铜仪以朱黑白三色用殊三家出于石者赤出于甘者黑出于巫者黄其大凡也按甘氏星经曰日一星在房之西氐之东日阳精为鸡三足鸡在日中而其精为星以司太阳之行度日生于东故于是在焉月一星在昴毕间故昴毕之间为天街黄道之所经也月隂精为兔四足兔在月中而其精为星以司太隂之行度月生于西故于是在焉日精在氐房月精在毕昴自司其行度而氐房昴毕乃黄道之所经不得而司之范育曰日出于卯卯之属为兔而兔之宅乃在月中月出于酉酉之属为鸡而鸡之宅乃在日中是谓隂阳之精互藏其宅石氏星经曰东宫青帝其精苍龙为七宿其象有角有亢有氐有房有心有尾有箕氐胷房腹箕所粪也司春司木司东岳司东方司鳞虫三百六十北方黑帝其精𤣥武为七宿斗有龙蛇蟠结之象牛蛇象女龟象虚危壁室龟蛇蟠蚪之象司冬司水司北岳司北方司介虫三百六十西方白帝其精白虎为七宿奎象白虎娄胃昴虎三子也毕象虎觜参象麟觜首参身也司秋司金司西岳司西海司西方司毛虫三百六十南方赤帝其精朱鸟为七宿井首鬼目栁喙星颈张嗉翼翮轸尾司夏司火司南岳司南海司南方司羽虫三百六十中宫黄帝其精黄龙为轩辕首枕星张尾挂栁井体映三台司四季司中岳司中土司河江汉淮济之水司黄帝之子孙司倮虫三百六十夫世之言星者惟知四兽而不知黄龙亦犹民俗惟知四时而不知夏之后有土位素问所谓长夏月令所谓中央五时取火季夏取槐檀之火也轩辕本天市垣之星在张宿之分野分为土徳寄王鹑火焉斯又天星之精义也仪象玑衡之来尚矣史谓起于帝喾或谓作于宓牺又谓羲和旧器非舜创为也汉落下闳造太初厯用浑仪马融谓即古璇玑玉衡之制吴王蕃之论亦云浑仪之制置天梁地平以定天体为四游仪以缀赤道者玑也置望筩横箫于游仪中以窥七曜之行而知其躔离之次者衡也若六合仪三辰仪与四游仪竝列为三重者唐李淳风所作而黄道仪者一行所增也如张衡祖落下闳耿夀昌之法别为浑象寘诸密室用漏水转之以合璇玑所加星度则浑仪之外又有浑象唐李淳风梁令瓒祖之始与浑仪竝用太平兴国中张思训造于禁中诏置文明殿下其制起楼髙丈余机隠于内规天矩地下设地轮地足又为横轮侧轮斜轮定身闗中关小关天柱七直神左揺铃右扣钟中击鼔以定刻数每一昼夜周而复始又以木为十二神各直一时至其时则自执辰牌循环而出随刻数以定昼夜短长上有天顶天牙天关天指天抱天束天条布三百六十五度为日月五星紫㣲宫列宿斗建黄赤道以日行度定寒暑进退开元遗法运转以水冬则凝冻至是代以水银则无差失又旧法日月昼夜行度皆人所运新制成于自然尤为精妙真宗时司天冬官正韩显符造铜候仪其制九曰双规曰游规曰直规曰窥管曰平准曰黄道曰赤道曰龙柱曰水臬俱本淳风遗法嗣后沈括苏颂等造仪象浮漏亦臻竒巧自靖康之乱仪象之器尽归于金元都燕其初袭用金旧而规环不协难复施行乃命左丞许衡领其事与太史令邢台郭守敬唐县王恂率南北日官分掌测验守敬首言厯之本在于测验而测验之器莫先仪表今司天浑仪宋皇祐中汴京所造不与大都尺度相符比量南北二极约差四度表石年深亦复欹侧守敬乃尽考其失而移置之既又别圗髙爽地以木为重棚创作简仪髙表用相比覆又以为天枢附极而动昔人尝展管望之未得其的作候极仪极辰既位天体斯正作浑天象象虽形似莫适所用作玲珑仪以表之矩方测天之正圜莫若以圜求圜作仰仪古有经纬结而不动守敬易之作立运仪日有中道月有九行守敬一之作证理仪表髙景虚㒺象非真作景符月虽有明察景则难作闚几以测月并星厯法之验在于交㑹作日月食仪天有赤道轮以当之两极低昂标以指之作星晷定时仪以识漏刻作大明灯漏又作正方案九表悬正仪座正仪为四方行测者所用又作仰规覆矩图异方浑盖图日出入永短圗与上诸仪互相参攷谓昔人以管窥天宿度余分约为太半少未得其的乃用二线推测于余分纤微皆有可考以测日二线与日相对其下值时刻则昼刻也夜则以星定之测日月五星出没俱有成法以上诸仪之制详见元史中又以九服日月交食分数时刻不同昼夜长短不同日月星辰去天髙下不同乃遣监候官一十四员分道而出东至髙丽西极滇池南逾朱崖北尽铁勒四海测验凡二十七所越五年而厯成従古仪象测验之精无能出其右者至今简仪仰仪圭表影符等器在观象台犹存第岁久仪有欹涩器有残缺兼之旧法失传畴人胶柱至并其察玑测晷不知作何状也则夫及时修改变而通之神而明之者存乎其人耳古今律厯考卷六十
## 卷六十一
钦定四库全书
古今律厯考卷六十一 明 邢云路 撰厯议二厯议周天宿度在天二十八宿为度三百六十五度有竒非日躔无以校其度非列舍无以纪其度盖天本无度因日行一度厯以纪之度从生焉此日月五星所由以出入于二十八舍者也然列舍相距度数厯代所测不同汉唐宋止用闚管或有未密元郭守敬测用二线遂及分焉今厯因之校天为密若考往古则仍依当时宿度命之其时无宿度者壹准前人宿度惟推密率日躔无论古今并依今厯有分宿度为准前代宿度并至元所测今用之者并列于左度里之差考灵耀云周天三百六十五度四分度之一每度二千九百三十二里千四百六十一分里之三百四十八圆周一百七万一千里以围三径一言之直径三十五万七千里此为二十八宿周围直径之数又二十八宿以外上下东西各有万五千里是为四游之极谓之四表据四表之内并星宿内总有三十八万七千里天径中央正半之处则一十九万三千五百里地在于中厚三万里春分之时地正当中自此地渐渐而下至夏至地下游万五千里地之上畔与天中平夏至之后地渐渐向上至秋分地正当天之中自此地渐渐而上至冬至上游万五千里地之下畔与天中平自冬至后地渐渐而下地常升降于三万里之中日中立竿测景以句股量之夏至立八尺表景一尺六寸表景千里而差一寸是则天上一寸地下千里是言本于周髀之文髀者股也以表为股相传本伏羲氏立法自周公受之于大夫商髙周人志之故曰周髀考周礼日至之景尺有五寸谓之地中郑众说土圭之长尺有五寸以夏至之日立八尺之表其景与土圭等谓之地中今颍川阳城地也郑𤣥云凡日景于地千里而差一寸景尺有五寸者南戴日下万五千里也以此推之日当去其下地八万里日邪射阳城则天径之半也以句股法言之旁万五千里句也立八极万里股也従日邪射阳城弦也以句股求弦法入之得八万一千三百九十四里天径之半而地上去天之数也倍之得十六万二千七百八十八里天径之数也以周率乘之径率约之得五十一万三千六百八十七里周天之数也案宋元嘉十九年壬午使使往交州测影夏至之日影出表南三寸二分何承天遥取阳城夏至一尺五寸计阳城去交州路当万里而影实差一尺八寸二分是六百里而差一寸也又梁大同中二至所测以八尺表率取之夏至当一尺一寸七分后魏信都芳注周髀四术称永平元年戊子当梁天监之七年见洛阳测景又见公孙崇集诸朝士共观秘书影同是夏至日其中影皆长一尺五寸八分以此推之金陵去洛南北略当千里而影差四寸则二百五十里而影差一寸也唐开元间命僧一行更造新厯遣太史监南宫说等于河南北平地测日晷及极星夏至日中立八尺之表同时候之阳城晷长一尺四寸八分弱夜视北极出地髙三十四度十分度之四浚仪岳台晷长一尺五寸微强极髙三十四度八分南至朗州晷长一尺七寸七分极髙二十九度半北至蔚州晷长二尺二寸九分极髙四十度南北相距三千六百八十八里九十歩晷差一尺五寸三分极差十度半又南至交州晷出表南三寸三分八月海中南望老人星下众星粲然皆古所未见大率去南极二十度以上皆见夫三千六百余里晷差一尺五寸三分是约二百四十里差一寸以南北地里计南戴日下去嵩髙仅五千里在天则为十二度以此较之一度之广四百余里郑𤣥等所谓千里而差一寸南戴日下万五千里者非也又自汉至齐梁先儒谈天者皆谓纽星即不动䖏惟祖暅之以仪测知不动䖏犹去纽星一度有余自唐至宋又测纽星去不动处三度有余南宋在临安测纽星去极约有四度半元志但従三度之说葢纽星去极尚未有定说也唐开元间测浚仪岳台北极出地三十四度八分宋志元志皆云三十五度或云三十五度弱大都北极出地四十度太强唐志云北极去地虽秒分微有盈缩难以目校大率三百五十余里而差一度极之逺近既异则黄道轨景亦随而变宋志沈括议云旧说谓今中国于地为东南当偏西北望极星置极不当正北又谓天常倾西北极星不得居中夫谓中国观之天常北倚可也谓极星偏西则不然所谓东西南北者何从而得之岂不以日之所出者为东日之所入者为西乎古人候天自安南至浚仪才六千里而北极差十五度稍北不巳庸讵知极星之不直人上也今南北才五百里则北极辄差一度已上而东西南北数千里间日分之时候之日未尝不出于卯半而入于酉半则又知天枢既中则日之所出者定为东日之所入者定为西天枢则常为北无疑矣以衡窥之日分之时以浑仪抵极星以候日之出没则常在卯酉之半少北此殆放乎四海而同者何従而知中国之为东南也彼徒见中国东南皆际海而为是说也彼北极之出地六千里之间所差者已如是又安知其茫昧几千万里之外耶今直当据建邦之地人目之所及者裁以为法不足为法者宜置而勿议可也赵友钦曰地中有子午卯酉四向四向既正则轮盘二十四向皆正矣然而八方之地各有偏向若世所用指南针要亦可准试即偏地用之验其所指者正午欤偏午欤使偏地而指偏午则二十四向皆随偏午而定一向既差则余向俱差矣曾三异因话录地螺或用子午正针或用子午丙壬间缝针天地南北之正当用子午或谓今江南地偏难用子午之正故以丙壬参之古者测日景于洛阳以其天地之中然外阳城之地少偏则难以正用矣至于广雅则云天周六百一十万余里天去地一百一万五千余里淮南子论天去地五亿万里禹使大章竖亥歩自东极至西极南极至北极各二亿三万余里又丘处机论北斗斡旋与星河在天皆不入地日亦不入地若日入地则与箕斗坼破人强称星日入地者非是而杨升庵深信之夫自昔之论星度里差方向出入各有不同如此余据授时所测天度以句股密率较之得冬至日下去地二万六千二百余里夏至日下去地五万九千二百余里约千里差一度约天径十二万余里天周三十七万余里是其数也纵授时所测或少有不的不过里数中小差于大约固不逺也如求其真则惟执句股之密率再于南北二三千里以准绳一量之即定矣然总不出千里上下差一度而诸论之异同可勿疑也若以测北辰则惟取玑衡正其北面即于纽星近处设管以目力圆转求之昼夜一周于圆转中自得不动之䖏出地度若干乃以正方案各于九服所在以景规之凡出入一规之交识以墨度以线屈其半以为中即所识与臬相当且其景最短则日南定矣极星正其北日景正其南将随䖏各有子午卯酉之中而七政之出入因之指南针可勿用也至如沈括所疑人至偏北安知北极不直入人上不知人縦偏北北极直入人上然浑天斜倚之体自若日行之斜络天腰与极星去赤黄道之数自若不见极南之夏至日景转而之南乎景虽转南而其日之自东北出西北没自若耳此又不待辨而明者也大约地形原不过数万里无数十万里之说即元时北海测景夏至夜止二十刻不见地形之有涯耶人动称西域去中国几十万里然印度寳瓶等十二宫与中华大略相同彼土人视正北亦在虚宿其歩厯月策止少四刻余交终止多十刻余以此见中西之逺不过万余里在天不过差十余度非太悬绝也其云若逺者山川迂曲之故耳闻宣徳中有邓老下西洋回为人言厯数国至极逺处仰视三光大小次第一切与中国不异是其证也夫天体至圆可以浑仪而测以此知其半覆地上半覆地下不出句股之率自得度里之周乃实际而非象㒺者若广雅淮南所论天度皆荒逺不经之谈而丘处机所论星日不入地则尚不识天浑日度为何状而浅言梦言者也古今律厯考卷六十一
## 卷六十二
钦定四库全书
古今律厯考卷六十二 明 邢云路 撰厯议三厯议治厯沿革甚矣厯之难言也治厯明时自黄帝尧舜与三代之盛王皆首重之周秦之间闰余乖次嗣是以后遂失其传汉刘歆造三统厯始立积年日法为推歩之准汉末刘洪造乾象厯始悟月行有迟速极差有五度余晋姜岌造三纪厯始悟以月食冲检日宿度所在宋何承天造元嘉厯始悟朔望弦皆定大小余及测景定气祖冲之造大明厯始悟太阳有岁差之数极星去不动处一度余北齐张子信始悟日月交道有表里五星有迟疾留逆盈缩入气加减隋刘焯造皇极厯始悟日非皆平行一度二至后有盈缩唐傅仁均造戊寅元厯颇采旧仪始用定制李淳风造麟徳厯以古厯章蔀元首分度不齐始为总法用进朔以避晦晨月见僧一行造大衍厯始以朔有四大三小定九服交食之异徐昻造宣明厯始悟日食有气刻时三差宋周琮造明天厯始悟日月㑹合为朔并朔余虚分为日法姚舜辅造纪元厯始悟食甚泛余差数元至元庚辰郭守敬王恂创造简仪髙表凭其所测实数考正者凡七事一曰冬至自丙子年立冬后依每日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为准得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定丁丑夏至在庚子日夜半后七十刻又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻逺近相符前后应准二曰岁余自大明厯以来凡测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁余考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分其二十五分为今厯岁余合用之数三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道箕宿九度有竒仍凭每日测到太阳躔度或凭星测月或凭月测日或凭金木二星度测日及月食冲验冬至日躔立术推筭起自丁丑正月至己卯十二月凡三年共得一百二十四事皆躔于箕与日食相符四曰月离自丁丑以来至今凭每日测到逐时太隂行度推筭变从黄道求入转极迟疾并平行得大明厯入转后天又因考验交食加大明厯三十刻与天道合五曰入交自丁丑五月以来凭每日测得太隂去极度比拟黄道去极度得月道交于黄道仍依日食法度推求皆有食分得入交时刻与大明厯所差不多六曰二十八宿距度自汉太初厯以来距度不同互有损益大明厯则于度下余分附以太半少皆私意牵就未尝实测其数今新仪皆细刻周天度分每度为三十六分以距线代管窥宿度余分并依实测不以私意牵就七曰日出入昼夜刻大明厯日出入昼夜刻皆据汴京为准其刻数与大都不同今更以本方北极出地髙下黄道出入内外度立术推求每日日出入昼夜刻得夏至极长日出寅正二刻日入戌初二刻昼六十二刻夜三十八刻冬至极短日出辰初二刻日入申正二刻昼三十八刻夜六十二刻永为定式所创法凡五事一曰太阳盈缩用四正定气立为升降限依立招差求得每日行分初末极差积度比古为密二曰月行迟疾古厯皆用二十八限今以万分日之八百二十分为一限凡析为三百三十六限依垜叠招差求得转分进退其迟疾度数逐时不同盖前所未有三曰黄赤道差旧法以一百一度相减相乘今依筭术句股弧矢方圜斜直所容求到度率积差差率与天道实脗合四曰黄赤道内外度据累年实测内外极度二十三度九十分以圜容方直矢接句股为法求每日去极与所测相符五曰白道交周旧法黄道变推白道以斜求斜今用立浑比量得月与赤道正交距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分拟以为法推逐月每交二十八宿度分于理为尽总以日月实合时刻定晦而不用虚进法以躔离朓朒定交食其法视古皆宻而又悉去诸厯积年月日法之傅㑹者一本天道自然之数可以施之永久而无弊厯成上之赐名授时至今钦天监用之不敢更易焉然其中间有未善并缺焉者宜修改见后厯年甲子授时于古积年之法不用为是而厯代甲子积年之数所距至元庚辰为筭者则有可纪也立成如左第一甲子黄帝元年积三千九百七十七年第二甲子黄帝六十一年积三千九百一十七年第三甲子少昊二十一年积三千八百五十七年第四甲子少昊八十一年积三千七百九十七年第五甲子颛顼五十七年积三千七百三十七年第六甲子帝喾三十九年积三千六百七十七年第七甲子帝尧二十一年积三千六百一十七年第八甲子帝舜九年积三千五百五十七年第九甲子夏禹八年积三千四百九十七年第十甲子仲康三年积三千四百三十七年第十一甲子寒浞十五年积三千三百七十七年第十二甲子帝槐四年积三千三百一十七年第十三甲子帝不降四年积三千二百五十七年第十四甲子帝扃五年积三千一百九十七年第十五甲子孔甲二十三年积三千一百三十七年第十六甲子桀二十二年积三千○百七十七年第十七甲子太甲十七年积三千○百一十七年第十八甲子太庚十五年积二千九百五十七年第十九甲子太戊二十一年积二千八百九十七年第二十甲子仲丁六年积二千八百三十七年第二十一甲子祖辛十年积二千七百七十七年第二十二甲子祖丁二十九年积二千七百一十七年第二十三甲子盘庚二十五年积二千六百五十七年第二十四甲子武丁八年积二千五百九十七年第二十五甲子祖甲二年积二千五百三十七年第二十六甲子武乙二年积二千四百七十七年第二十七甲子纣十八年积二千四百一十七年第二十八甲子康王二年积二千三百五十七年第二十九甲子昭王三十六年积二千二百九十七年第三十甲子穆王四十五年积二千二百三十七年第三十一甲子孝王十三年积二千一百七十七年第三十二甲子共王五年积二千一百一十七年第三十三甲子幽王五年积二千○百五十七年第三十四甲子桓王三年积一千九百九十七年第三十五甲子惠王二十年积一千九百三十七年第三十六甲子定王十年积一千八百七十七年第三十七甲子景王八年积一千八百一十七年第三十八甲子敬王四十三年积一千七百五十七年第三十九甲子威烈王九年积一千六百九十七年第四十甲子显王十二年积一千六百三十七年第四十一甲子赧王十八年积一千五百七十七年第四十二甲子秦始皇十年积一千五百一十七年第四十三甲子汉文帝三年积一千四百五十七年第四十四甲子武帝元狩六年积一千三百九十七年第四十五甲子宣帝五鳯元年积一千三百三十七年第四十六甲子平帝元始四年积一千二百七十七年第四十七甲子明帝永平七年积一千二百一十七年第四十八甲子安帝延光三年积一千一百五十七年第四十九甲子灵帝中平元年积一千○百九十七年第五十甲子蜀后主延熈七年积一千○百三十七年第五十一甲子晋惠帝永兴元年积九百七十七年第五十二甲子哀帝兴寜二年积九百一十七年第五十三甲子宋文帝元嘉元年积八百五十七年第五十四甲子齐武帝永明二年积七百九十七年第五十五甲子梁武帝大同十年积七百三十七年第五十六甲子隋文帝仁夀四年积六百七十七年第五十七甲子唐髙宗麟徳元年积六百一十七年第五十八甲子𤣥宗开元十二年积五百五十七年第五十九甲子徳宗兴元元年积四百九十七年第六十甲子武帝㑹昌四年积四百三十七年第六十一甲子昭宗天祐元年积三百七十七年第六十二甲子宋太祖干徳二年积三百一十七年第六十三甲子仁宗天圣二年积二百五十七年第六十四甲子神宗元丰七年积一百九十七年第六十五甲子髙宗绍兴十四年积一百三十七年第六十六甲子寜宗嘉太四年积七十七年第六十七甲子(宋理宗景定五年元世祖至元元年)积一十七年至元十七年庚辰岁冬至上下距筭为积第六十八甲子元泰定元年积四十四年第六十九甲子大明洪武十七年积一百○四年第七十甲子正统九年积一百六十四年第七十一甲子𢎞治十七年积二百二十四年第七十二甲子嘉靖四十三年积二百八十四年右积年以至元十七年庚辰为距上推下推歩之自至元庚辰至万厯己亥积三百一十八年以后每岁增一筭古今律厯考卷六十二
## 卷六十三
钦定四库全书
古今律厯考卷六十三 明 邢云路 撰厯议四厯议验气程子曰厯法主于日日一事正则其余可推此格言也故古之造厯者惟候日晷进退以验隂阳消息之机是为厯本旧法择地平衍设水准绳墨植表其中以度中晷然表短促尺寸之下所为分秒太少之数未易分别表长则分寸稍长所不便者景虚而淡难得实景前人欲就虚景之中攷求真实或设望筩或置小表或以木为规皆取表端日光下彻圭面元郭守敬以铜为表髙三十六尺端挟以二龙举一横梁下至圭面共四十尺是为八尺之表五圭表刻为尺寸旧寸一至是申而为五厘毫差易分别创为景符以取实景其制以铜叶博二寸长加博之二中穿一窍若针芥然以方〔？〕为趺一端设为机轴令可开阖榰其一端使其势斜倚北髙南下往来迁就于虚景之中窍达日光仅如米许隠然见横梁于其中旧法以表端测晷所得者日体上边之景兹以横梁取之实得中景不容有毫末之差地中八尺表景冬至长一丈三尺有竒夏至尺有五寸元京师长表冬至之景七丈九尺八寸有竒在八尺表则一丈五尺九寸六分夏至之景一丈一尺七寸有竒在八尺表则二尺三寸四分虽晷景长短所在不同而其景长为冬至景短为夏至则一也惟是气至时刻攷求不易盖至日气正则一岁气节从而正矣刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景折取其中定为冬至且以日差比课推定时刻宋皇祐间周琮则取立冬立春二日之景以为去至既逺日差颇多易为推攷纪元以后诸厯为法加详大抵不出冲之之法守敬积日絫月实测中晷自逺日以及近日取前后日率相埒者叅攷同异以取数多者日差分寸定拟二至时刻最为详密岁余岁差天周之度岁周之日皆三百六十有五而又有余分自今岁冬至距来岁冬至厯三百六十五日而日行一周凡四周积千四百六十则余一日析而四之则四分之一也然天之分常有余岁之分常不足其数有不能齐者惟其所差至微前人初未觉知迨汉末刘洪始觉冬至后天谓岁周余分太强乃作乾象厯以岁余二十五刻命为二千五百分而减为二千四百六十一分有竒至晋虞喜宋何承天祖冲之谓岁当有差因立岁差之法其法损岁余益天周其损益大率在二千四百四十分上下强弱相减因得日躔岁退之差授时自刘宋大明壬寅以来凡测景验气得冬至时刻真数者有六取相距积日时刻以相距之年除之各得其时所用岁余复自大明壬寅距至元戊寅积日时刻以相距之年除之得每岁三百六十五日二十四分二十五秒比大明厯减去一十一秒定为方今所用岁余余七十五秒用益所谓四分之一共为三百六十五度二十五分七十五秒定为天周余分强弱相减余一分五十秒用除全度得六十六年有竒日却一度以六十六年除全度适得一分五十秒定为岁差复以尧典中星攷之其时冬至日在女虚之交及攷之前史汉元和二年冬至日在斗二十一度晋太元九年退在斗十七度宋元嘉十年在斗十四度末梁大同十年在斗十二度隋开皇十八年犹在斗十二度唐开元十二年在斗九度半今退在箕十度取其距今之年距今之度较之多者七十余年少者不下五十年辄差一度宋庆元间改统天厯取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年折取其中得六十七年为日却行一度之差然古今厯法合于今则不能通于古密于古又不能验于今惟授时厯以之攷古则增岁余而损岁差以之推来则增岁差而损岁余上推春秋以来冬至往往皆合仍以大衍宣明纪元统天大明并授时六厯攷验春秋以来冬至疎密凡四十九事独授时合十之七八其中有不合者或前代史官依时厯以书者多非候景所得并间有日度失行之故也我国初洪武十七年钦天监博士元统上言一代之兴必有一代之厯今厯虽以大统为名而积分犹踵授时之数非所以重始敬正也况授时厯法以至元辛巳为厯元至洪武甲子积一百四年以厯法推之得三亿七千六百一十九万九千七百七十五分经云大约七十年而差一度每岁差一分五十秒辛巳至今年逺数盈渐差天度拟合修改臣今以洪武甲子岁前冬至为大统厯厯元推演得授时厯辛巳闰准分二十四万二千五十分洪武甲子闰准分一十八万二千七十分一十八秒授时厯辛巳气准分五十五万六百分洪武甲子气准分五十五万三百七十五分授时厯辛巳转准分一十三万二百五分洪武甲子转准分二十万九千六百九十分授时厯辛巳交准分二十六万二百八十八分洪武甲子交准分一十一万五千一百五分八秒上考下推不用消长之法以合天道盖天道无端惟数可以推其机天道至妙因数可以明其理是理因数显数从理出故理数可相倚而不可相违也书奏擢统为监正而监副李徳芳上疏驳之言至元辛巳为厯元上推往古毎百年长一日下验将来每百年消一日永久不可易也今监正元统改作洪武甲子厯元不用消长之法考得春秋鲁献公十五年戊寅岁距至元辛巳二千一百六十三年以辛巳为厯元依授时法推得天正冬至在甲寅日夜子初三刻与当时实测数相合若以洪武甲子元上距献公戊寅岁二千二百六十一年依大统法推得天正冬至在丁巳日午正三刻比辛巳为元差四日六时五刻当用至元辛巳为元及消长之法方合天道疏奏元统复上疏争言臣所推甲子厯元实与旧法相合略无差谬上曰二统皆难凭只验七政交㑹行度无差者为是自是钦天监造厯以元统洪武甲子为厯元仍依旧法推筭不用捷法夫二统之论不同如此以余推之献公在春秋之前非春秋时也其十五年戊寅岁正月朔甲寅日冬至以授时法推冬至分五十日九十九刻得甲寅日夜子初三刻冬至以大统法推冬至分五十五日五十三刻得己未日午正三刻冬至计甲寅时刻与己未时刻相较大统后天四日五十四刻是差四日六时李徳芳之言为是但查记载李徳芳言上下每百年消长一日又言大统推献公丁巳日冬至夫以余推献公己未冬至非丁巳百年消长一分非一日何徳芳之异也曰徳芳以消长法推二统时刻皆合岂不辩丁巳与日字之误此必修史者误书己未为丁巳并分字为日字也夫元统上言昭代之厯不宜袭旧宜修改敬正明理推数以合天道且上疏复争自谓略无差谬乃其所改之厯所推之数闰气转交四准则皆授时之数接年续之一无所改者也但去其消长之法而一无所改乃谓随时修改以合天道将谁欺乎甚矣元统之谬妄也考古厯代岁差之数晋虞喜以天体为三百六十五度二十六分乃四分之一有余岁策为三百六十五日二十四分乃四分之一不足五十年差一度宋何承天以岁差太速改周天为三百六十五度二十五分半周岁为三百六十五日二十四分半百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十三年差一度自后诸厯各不同宋厯多在七十五年上下元授时以周天三百六十五度二十五分七十五秒周岁三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半然则授时之法乃六十六年三分年之二差一度元统谓授时七十年差一度亦非日躔日一丽天列宿俱熄古人欲测躔度所在必以昏旦夜半中星衡考其所距从考其所当然昏旦夜半时刻未易得真晋姜岌首以月食衡检知日度所在纪元厯复以太白志其相距逺近于昏后明前验定星度因得日躔授时用至元丁丑四月癸酉望月食既推求得冬至日躔赤道箕宿十度黄道九度有竒仍自其年正月至己卯岁终三年之间日测太隂及岁星太白相距度定验参考皆躔箕宿适与月食所冲允合以金赵知微所修大明厯法推之冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒比新测实差七十六分六十四秒葢箕本度十度四十分箕末接斗初分数日躔乃自斗而退于箕者在大明犹躔斗初度三十六分六十四秒在至元丁丑则退在箕十度巳过箕之所零四十分矣以箕四十分合斗初度三十六分六十四秒共七十六分六十四秒是大明厯较至元丁丑新测实差之数也日行盈缩天本无度以日行一度为天一度然日虽日行一度而往来于黄道狭阔之间损益有不同者则盈缩生焉冬至日行一度强出赤道二十四度弱自此日轨渐北积八十八日九十一分当春分前三日交在赤道实行九十一度三十一分而适平自后其盈日损复行九十三日七十一分当夏至之日入赤道内二十四度弱实行九十一度三十一分日行一度弱向之盈分尽损而无余自此日轨渐南积九十三日七十一分当秋分后三日交在赤道实行九十一度三十一分而复平自后其缩日损行八十八日九十一分出赤道外二十四度弱实行九十一度三十一分复当冬至向之缩分尽损而无余盈缩均有损益初为益末为损自冬至以及春分春分以及夏至日躔自北陆转而西西而南于盈为益益极而损损至于无余而缩自夏至以及秋分秋分以及冬至日躔自南陆转而东东而北于缩为益益极而损损至于无余而复盈盈初缩末俱八十八日九十一分而行一象缩初盈末俱九十三日七十一分而行一象盈缩极差皆二度四十分斯乃大都测晷所得之数也若在天中则无极差矣昼夜刻日昼夜百刻以十二辰分之每辰得八刻三分刻之一无间南北所在皆同春秋二分日当赤道出入之中昼夜各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去极近夜短而昼长自秋分以及冬至日出赤道外去极逺昼短而夜长以地中揆之长不过六十刻短不过四十刻地中以南夏至去日出入之所为逺其长有不及六十刻者冬至去日出入之所为近其短有不止四十刻者地中以北夏至去日出入之所为近其长有不止六十刻者冬至去日出入之所为逺其短有不及四十刻者授时大都偏北冬至日出辰初二刻日入申正二刻故昼刻三十八夜刻六十二夏至日出寅正二刻日入戌初二刻故昼刻六十二夜刻三十八葢地有南北极有髙下日出入有早晏所以九服皆不同耳漏刻之法挈壶氏掌之其法以百刻分于昼夜置箭壶内刻以为节而浮之水水漏而刻下以纪昼夜昏明之数日未出二刻半天先明为晨分日巳入二刻半天方暗为昏分昼有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊昏旦有星中每箭各有其数所以分时代守各随其时而易其箭刻乃定焉若子半之交则前四刻三分刻之一属前日后四刻三分刻之一属当日旧每时以初刻三分刻之一为初初刻而初一初二初三初四之四整刻继之以正刻三分刻之一为正初初刻而正一正二正三正四之整刻继之至授时则百刻总分为九十六刻凡八刻为一时而初初正初虽有其名乃在空界有无间亦觉简便月行迟疾日大月小日上月下而以下小掩上大圆径适相同故日大月小皆一度日日行一度月日行十三度有竒然月之行道有逺近出入之异于此得疾徐之理则迟疾生焉厯法以入转一周之日为迟疾二厯各立初末二限初为益末为损在疾初迟末其行度率过于平行迟初疾末率不及于平行自入转初日行十四度半强从是渐杀厯七日适及平行度谓之疾初限其积度比平行余五度四十二分自是其疾日损又厯七日行十二度微强向之益者尽损而无余谓之疾末限自是复行迟度又厯七日适及平行度谓之迟初限其积度比平行不及五度四十二分自此其迟日损行度渐增又厯七日复行十四度半强向之益者亦损而无余谓之迟末限入转一周实二十七日五十五刻四十六分迟疾极差皆五度四十二分旧厯日为一限皆用二十八限授时定验得转分进退时各不同分日为十二共三百三十六限半之为半周限析而四之为象限亦大都实测之数也考尔雅邢昺疏引厯象之说则月一日至于四日行最疾日行十四度余自五日至八日行次疾日行十三度余自九日至十九日行则迟日行十二度余自二十日至二十三日又小疾日行十三度余自二十四日至于晦行又最疾日行十四度余此谓近日而疾逺日而迟之说然而非也葢月道不系于朔其入朔之初非月之初一乃转之初日也月二十七日有竒一周天无日不可入转者与月策二十九日有竒何相闗故初日至三日疾行十四度余四日至七日疾行十三度余八日至十八日疾而又迟皆行十二度余十九日至二十二日迟行十三度余二十三日至二十七日迟行十四度余为一周此其数也邢疏所论近日疾逺日迟之数而且谓为月一日至晦日谬也甚矣定朔日平行一度月平行十三度十九分度之七一昼夜之间月先日十二度有竒厯二十九日五十三刻有竒复追及日与之同度是谓经朔经朔云者谓经行泛常之数也日有盈缩月有迟疾以盈缩迟疾之数损益之始为定朔古人立法未密初用平朔一大一小故日食有在晦及朔二月食有在望前后者汉张衡以月行迟疾分为九道宋何承天以日行盈缩推定小余故月有三大二小隋刘孝孙刘焯欲遵用其法时议排抵以为迂怪卒不能行唐傅仁均始采用之至贞观十九年九月后四月频大复用平朔李淳风麟徳甲子元厯方行定朔之法淳风又以晦月频见故立进朔之法谓朔日小余在日法四分之三已上者虚进一日后代皆循用之然虞〔？〕尝曰朔在㑹同茍躔次既合何疑于频大日月相离何拘于间小一行亦曰天事诚密但取辰集时刻所在之日以为定朔朔虽小余在进限亦不可进其言皆是也葢盈加而定朔在经朔后名曰朒缩减而定朔在经朔前名曰朓定弦定望亦如之即今厯求盈缩迟疾加减差之谓也然朔不复进而弦望犹退凡月带食于日出时虽属次日只以其夜言望故日出分之前应退一日以其便于推歩耳古今律厯考卷六十三
## 卷六十四
钦定四库全书
古今律厯考卷六十四 明 邢云路 撰厯议五厯议白道交周赤道当二极南北之中黄道出入赤道内外而白道则又出入黄道内外者也古人随方立名分为八行于日道独谓之黄而月谓之青朱白黑各二月之行也以四序离为八节立春春分行东陆青道二出黄道东立夏夏至行南陆朱道二出黄道南不曰赤而曰朱者别天中赤道之名也立秋秋分行西陆白道二出黄道西立冬冬至行北陆黑道二出黄道北并黄道为九道究而言之实一道也故元人一之名为白道出入黄道内外两相交值而为一周其为数也日道距赤道之逺为度二十有四月道出入日道不距六度其距赤道也逺不过三十度近不下十八度由天首正交出黄道外为阳厯由天尾中交入黄道内为隂厯出入各十三日有竒隂阳一周分为四象月当黄道为正交出黄道外六度为半交复当黄道为中交入黄道内六度为半交是为四象象别七日各行九十一度四象周厯是为一交之终以日计之得二十七日二十一刻二十二分二十四秒计罗计毎一交退天一度百六十分度之五十九凡二百四十九交退天一周终而复始正交在春正半交出黄道外六度在赤道内十八度正交在秋正半交出黄道外六度在赤道外三十度中交在春正半交入黄道内六度在赤道内三十度中交在秋正半交入黄道内六度在赤道外十八度月道与赤道正交距春秋二正黄赤道正交宿度东西不及十四度三分度之二夏至在隂厯内冬至在阳厯外月道与赤道所差者多夏至在阳厯外冬至在隂厯内月道与赤道所差者少盖白道二交有斜有直隂阳二厯有内有外直者密而狭斜者踈而阔其差亦从而异元以前厯家求月道者皆自黄道推之元人改从赤道立象置法求之差数多者不过三度五十分少者不下一度三十分是为月道与赤道多少之差其平行也以白道一周退天一度四六四一之数以减周天余三百六十三度七九三四以白道周即交终而一得十三度三六八七五为月平行度即十三度十九分度之七○○六二五为十九年中闰生之数也古法十三度十九分度之七所得十三度三六八四二一有竒为踈后易为十三度百六十分度之五十九即十三度十九分度之七○○六二五乃得十三度三六八七五至今司天氏遵而用之视古似密然用之岁乆微觉有差㑹须另测以定交食交食者日月同度相合对度相冲而其交道适相值焉则食矣古云同经同纬则食同经不同纬则不食是也然厯法疏密验在交食其加时有早晚食分有浅深推演加时必本于躔离朓朒考求食分必本于距交逺近茍入气盈缩入转迟疾未得其正则合朔或失之先或失之后亏食时刻不得其真盖日月俱东行而日迟月疾以月追日其交值之道有出阳入隂交㑹之期有中前中后此食分多寡之所以难定也必也合朔密合使加时无早晚之差气刻适中使食分无强弱之失乃为得之古今论交食惟汉时最疎前汉志五行谓虙羲画八卦大禹陈洪范箕子叙九畴初一曰五行文王演周易孔子述春秋汉董仲舒治公羊春秋始推隂阳为儒者宗刘向治榖梁春秋数其祸福传以洪范子歆治左氏传以傅春秋著于篇详诸子所论五行咎徴某行某事某徴某应不啻说之详矣使果一一如响也岂不上接群圣之统然而非也诸子论灾罚立见为日月五行之显应而尤著于交食〔？〕奈何食非其筭筭失其食诸子俱一一以事应当之岂不谬戾孔子作春秋不言事应殆有深意诸子专言事应而事应皆非如桓公十七年十月朔日食榖梁曰言朔不言日食二日也董仲舒以为言朔不言日恶鲁桓且有夫人之祸将不终日也厥后鲁夫人淫失于齐杀桓公以法布筭是年十月不食乃十一月庚午朔未时日食夫既非十月亦非二日又非言朔不言日与鲁夫人淫杀桓公之应何关庄公十八年三月日食榖梁曰夜食也公羊曰食晦也刘向以为夜食者隂因日明之衰而夺其光象周天子不明齐桓将夺其威其后九合诸侯此其效也董仲舒刘歆皆以为宿在东壁鲁分后公子庆父叔牙果通于夫人以弑公以法布筭是年三月不入食限夜亦不食乃五月壬子朔申时日食夫既非三月亦非夜食又非宿在东壁鲁分与齐桓公夺周天子威并公子庆父通夫人弑公之应何预诸如此类皆望风捉影无端说梦也占日若此则其占五行五事可知然则董仲舒刘向春秋五行之传可尽信乎至今司天家遵为筮蔡其亦不思也矣积年日法厯代以来造厯者必推求徃古七政同㑹于子位之始谓之演纪上元立元正然后步积年定日法而厯数生焉第其世代绵逺驯积其数至逾亿万后人厌其布筭繁多互相推考断截其数而増损日法以为得改宪之术此歴代积年日法所以不同也然行之未逺浸复差失至授时则以至元辛巳为厯元所用之数一本诸天秒而分分而刻刻而日皆以百为率不用积年日法一以测验实数为准为得自然至今从之是矣但积年日法固不必用而法乆数更则宜修改如气闰转交与五纬诸应俱有舛错而司天氏株守故常一无所改以致隂阳愆伏玑衡抵牾则吾不知其可也五星二五之精各有行度日由黄道月由白道五纬则不由黄道亦不由白道而出入黄道内外各自有其道月不因日为迟疾五纬则因日而有迟疾顺逆也近日而疾逺日而迟伏后而疾而迟而留皆顺行留而退而又留皆逆行留而复顺行而迟而疾而伏而为一周合后见于东方曰晨段合后见于西方曰夕段北齐张子信悟五纬有盈缩之变而加减常数以求其逐日之躔始为亲密也若七曜之髙下则星入月中月体自若而星居月上为星食月入之而星隠不见为月食星星入日中则为黑子然则五纬于月髙下无定惟下于日而已如测五星髙下之数则各以勾股测天之术求而得四余七政之外又有四隠曜紫气月孛罗㬋计都星家以之占命谓之四余共七政为十一曜是也相传出于西域天竺梵盖西域康居城都赖聿斯经即波罗门术也罗㬋计都皆梵语自李淳风有推月孛法至唐贞元初李弼干乃婆罗门俊士始推十一星行厯鲍该曹士荐皆业之士荐又作罗计二隠曜立成厯起元和元年五代王朴作钦天厯以罗计为蚀神首尾行之民间小厯又考炁生于闰孛生于月罗生于天首计生于天尾炁孛皆有度数无光象与罗计同四余其行皆均平无迟疾但炁孛以顺行入罗计以逆行入耳紫炁者旧说即景星亦曰徳星史记注状如半月生于晦朔助月为明王者徳至于天则见李淳风曰景星生于晦朔或出于西北天门之上或入月二三日或出月二十七八日状如星大而中空如鱼星而不明或青赤白三气聚如星如半月状出而不行必于四时旺相日见星家谓之天乙之贵步紫炁起于闰法二十八年十闰而炁行一周天月孛者彗星之属光芒偏扫为彗光芒四出为孛孛星数见于春秋或见大辰或入北斗见则必凶星家谓之淫气孛之所在其行最迟月行迟处与之同躔淳风步月孛六十二日行七度六十二年而七周天罗㬋计都者即交道所退之余处也盖日月交蚀处如两环相交首一处曰天首中一处曰天尾首为罗尾为计星家号为蚀神步罗计从交周每退一度四十六分有竒求之十八年一周天今躔度载在大统厯中古今律厯考卷六十四
## 卷六十五
钦定四库全书
古今律厯考卷六十五 明 邢云路 撰厯议六厯议辩授时厯之失元史载郭守敬取刘宋祖冲之所测大明厯冬至前后晷景折取其中定为冬至以授时新厯所测冬至日减大明厯一十九刻二十分又云自大明壬寅距至元戊寅积日时以相距之年除之得每歳三百六十五度二十四分二十五秒比大明厯减去一十一秒定为授时歳余今余以法推之殆非然也法推刘宋孝武帝大明五年辛丑冬祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较余二分二厘半为实以丁未戊申景相较余六分五厘为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻余四千五百六十五刻四十分折取其中加半日刻得二千三百三十二刻七十分命壬戌筭外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至就以冲之纪法以除冲之周天得一岁之实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒以大明壬寅距至元戊寅并测至庚辰共积八百一十九年乗之得二十九万九千一百三十三日八十六刻四十六分六十六秒加乙酉三十二刻七十分共得二十九万九千一百五十五日一十九刻余满纪去之余五十五日一十九刻为至元辛巳岁前己未夜半后一十九刻以郭守敬所测夜半后六刻较之止差一十三刻以冲之岁周与守敬岁周相较差三分及取大明壬寅距至元辛巳八百一十九年积二十九万九千一百三十四日以减冲之所测夜半后三十二刻七十分加太史所测夜半后六刻得二十九万九千一百三十三日七十三刻三十分以相距积年八百一十九年而一得三百六十五日二十四刻二十六分五十三秒非二十四刻二十五分较之差一分五十三秒乃守敬云自刘宋祖冲之大明五年壬寅实测接算至今得歳实今算不合复查金大定时赵知㣲重修大明厯以金日法除歳实得一歳之策三百六十五日二十四分三十六秒实先授时一十一秒就以金大定二十年庚子歳距元至元十八年辛巳一百○一年乘之积三万六千八百八十九日六十○刻三六加知㣲所测五日六十四刻六十四分共得三万六千八百九十五日二十五刻满纪去之余五十五日二十五刻以较郭太史所测夜半后六刻先天一十九刻夫守敬用大定庚子距积一百一年之数推为歳实乃纪之史册云予自大明壬寅距积八百余年之数所定者以为接祖冲之之法则是自相矛盾不惟欺人且自欺矣况诸事皆命于歳实歳实既改则月䇿转终交终与五星周俱宜随日而改可也守敬乃诸事俱仍旧贯一无所改遂使后之畴人寻源不得而愈逺愈差以至于今也授时求盈缩迟疾差立二术一术不拘整日半日畸零时刻以平立差三乗之为密一术则用加分损益积度乃以二日对减之余乗时刻之零数则分秒有不合为疎也既有前三乗密术何故又立后术若以后术推加减差之分秒差以推合朔差以推日月食食甚定之分秒亦差而于食甚入盈缩行定度亦差则何以步日躔月离将使隂厯反阳阳厯反隂而交前后亦相反起复方位皆不效矣兹岂细故而何故重立后术遂使今之司天者不能筭三乗方之难而但从加分损益积度之易以致步厯不明则后术俑之耳元史载授时求南北东西定差先言隂阳二厯于南北定差云在盈初缩末者交前隂厯减阳厯加交后隂厯加阳厯减在缩初盈末者交前隂厯加阳厯减交后隂厯减阳厯加于东西定差云在盈中前者交前隂厯减阳厯加交后隂厯加阳厯减中后者交前隂厯加阳厯减交后隂厯减阳厯加在缩中前者交前隂厯加阳厯减交后隂厯减阳厯加中后者交前隂厯减阳厯加交后隂厯加阳厯减皆非也夫方求定差尚未有正交中交限度则隂阳厯去中前度从何而出则于何处加减之正法曰南北差盈初缩末正交减中交加缩初盈末正交加中交减东西差盈厯正交中前减中后加中交中前加中后减缩厯正交中前加中后减中交中前减中后加为是授时引李梵苏统皆以月行当有迟疾不必在牵牛东井娄角之间乃由行道有逺近出入所生其言似是而非也盖月行髙低处在牵牛东井至娄角始平行者古时则然而乆之则渐移他宿如日躔汉时在斗而今退至箕所谓不必在牵牛东井娄角之间者此也若谓为月行当有迟疾由行道有逺近出入所生则非盖月行迟疾逺近出入所生乃月行一周天出入黄道内外寛狭所离之数在古时每周髙低处俱在牵牛东井间平行俱在娄角至年乆方渐移他宿耳故守敬引李苏之言以证月行迟疾之理其说似是而非不可不辩日食为月所掩人以目视九服不同故有时差分月食行入暗虚异地所见皆同宜无时差故宋志应天等厯直以定望小余为食甚定分而纪元厯则立时差金重修大明厯亦用之授时厯因而未革其谓月食视定望分在日周四分之一已下为卯前已上覆减半周为卯后在四分之三已下减去半周为酉前已上覆减日周为酉后以卯酉前后分自乗退二位如四百七十八而一为时差子前以减子后以加皆加减定望分此元史之文其说非也然授时时差之说固非而揆以密率则月亦有时差焉其时差者乃人处其偏日出入分早晚不一则人目所视去日月对冲之中心少顷方至微有差殊也故以日周减卯酉前后分余数止在刻下分秒间为时差以加于定望为食甚定分然而有加无减者以日月相对相迎之故耳若异地则反是此月食无时差中之时差也元史载授时求月食既法以既内分与一十分相减相乗平方开之所得以五千七百四十乗之如定限行度而一为既内分非也盖日大月之半故日食定法二十分月食定法三十分三十分半之为十五分乃月食既分如月食十分已上者去其十分余为既单分是月西边与日西边齐至日东边所食之数为既单分也以既单分用减月食既分十五分余复以单分乗之平方开之所得以四千九百二十乗之如定限行度而一为既内分用减定用为既外分为是若如授时云以既内分与一十分相减相乗夫未得数先安得有既内分一十分已过之数又与既分无预何以相减相乗为也且四十九刻二十分者乃以昏至晓夜六时因每时八刻二十分所得之数为夜定法也若五十七刻四十分者乃以晓至昏七时因毎时八刻二十分所得之数为昼定法也昼定法乃推日食所用者而守敬误用以推月食定用分并食既分非其类矣今钦天监所用四十九刻二十分却是授时求五星盈缩差亦立三乗方及加分损益积度二术与日月同其加分损益积之失亦如之授时五星之数止录旧章并未测验多所舛错木星应稍亲而余四星俱差于火星缩初盈末立差以减作加土星应则差颇逺然行迟尚未觉至于水星合应止五十万余而误用七十万余以致水星差至二十余日当伏而见当见而伏显然目覩其谁掩之钦天畴人相讶曰吾遵祖师法布算而何天之不我亲也则吾不知之矣辩大统厯之失革象新书载十二月建斗纲所指正月指寅二月指卯以至十二月指丑谓之月建凡日月一岁十二㑹故有十二次建子之月次名𤣥枵建丑之月次名星纪以至建亥之月次名娵訾十二分野即十二辰次所临之地此赵縁督之言其说非也盖在天之星十二宫次舍子位𤣥枵丑位星纪与时令之月建无关论天星与月令如正月雨水后日躔娵訾斗指析木非天星分野之次为月辰所临之名也况正月昏时斗杓指寅惟雨水后六日则然雨水后六日以前斗杓不指丑乎雨水后六日指寅惟今时则然乆之天星渐移计六十余年差一度后五百余年不转而二月指丑乎然则五百年后谓二月建丑可乎不可乎夫曰月建者寅月寅日为建卯日为除之谓非正月斗柄建寅并寅月次名析木之谓也一寅厯十二月皆可指凡十二支每月皆可指此岁差之数运行不已者赵縁督不知而悮以天星之次舎加为地盘之月建钦天监不知而刻于天文星图考略中世人遵钦天监者也覩斯图而信之几何而不眯乱人之耳目四正者岁周之四分也冬至即冬正夏至即夏正春分前三日为春正秋分后三日为秋正每正初日则黄赤道同度冬至初自下而上阔行渐狭至平交狭行渐阔至夏正夏至初自上而下阔行渐狭至平交狭行渐阔复至冬正而一周此其率也然春秋分前后三日为春秋正在顺天偏北则然若阳城在天地之中则春秋分即春秋正矣元授时冬正初日在箕宿十度至今万厯年退至箕宿五度以推天正赤道变黄道则惟宜以冬至初日下赤道率度一度○八六五而一即得黄道度正以是日赤黄道同度为四正之一正也今大统推冬至初日认箕五度作至后五度遂乃用至后五度下率不及减以四度下率一度○八四九减之若曰今日躔箕五度亦宜用五度率也则大谬不然矣夫日躔箕五度者乃三百余年自箕十度退至箕五度也与冬至初度行至至后之五度何关如乆而日退于尾十九度亦将以尾十九度下之度率减之乎何悖戾不通如此之甚也夫以斯明白易晓者尚昧不知他何望焉授时厯至元辛巳黄道躔度十二交宫界守敬所测也至今三百余年冬至日躔已退五度则宜另步日躔宫界另以赤道变黄道以合今时在天宫界从古厯家未有以三百年后仍用三百年前黄道者而何钦天监之茫然莫觉也考唐志云日躔宿度如邮传之过宿度既差黄道随而变矣元志云黄道宿度据岁差毎移一度依术推变嘉靖初乐頀掌监事上言厯经即岁差以推变黄道六十七年该推变一次本监失于推变頀又尝语人云徃年在监未奉更正甚为遗憾頀有文集可考也胡大统不是之察也余以法推授时交宫界在赤道斗四度○九二八一二五加至后箕宿四十分得四度四九二八一二五以减至后赤道率四度三四四五余一十四分八三一二五以黄道率乗之以赤道率一度○八四九而一得一十三分六十七秒加至后黄道四度共得四度一三六七为至后黄道交宫界度另置至后箕四十分以黄道率乗之以至后黄道初度下赤道一度○八六五而一得三十六分八一以减至后黄道交宫界度余三度七六八六为黄道斗宿交入丑宫星纪界度由此法推女二度○六三八入子宫𤣥枵以次推至尾三度○一一五入寅宫析木此授时十二宫界也复以前法推万厯己亥歳交宫界度斗三度七九八五入丑宫星纪以次推女二度○八九一入子𤣥枵以至尾二度九七九一入寅析木此己亥十二宫界也以己亥较授时入丑宫界差三百分矣今大统步今时之厯仍用授时日躔以致差谬如己亥一岁十二宫有先天四五十刻者六七十刻者甚至秋正后太阳入辰宫授时步秋正后十日壬辰申初一刻入辰宫大统则步秋正后九日辛卯酉正三刻入辰宫先天八十余刻隔一日矣然此犹就本率推之也如加消长所差尤多夫日躔乃厯家第一义今若此尚可以为厯乎元大都即今顺天府授时大都测影夏至昼六十二刻夜三十八刻冬至昼夜刻反是我朝洪武初南京测影夏至昼五十九刻夜四十一刻冬至反是今钦天监以授时大都之厯法布洪武南京之刻漏冬夏二至各差三刻以故正统十四年厯冬夏至六十一刻想监官以漏记之觉其差而改者人骇以为异而不知为顺天测影宜然之数也夫冬夏二至盈缩之始二至既差则分至以次皆差然则一朞之中盈缩损益有一日一时一刻之不参差者乎以是而颁行天下为民授时空使人梦中度日骨董□□也元史载至元十八年岁次辛巳为元上考徃古下验将来皆距立元为算周岁消长百年各一其诸应等数随时推测不用为元至明也辛巳至今三百余年而大统止遵旧法一无测改元统且并其消长削去之以至中节相差九刻有竒兼以闰转交三应虽经元甲午一改而犹未亲密所当再正夫应一差则诸事俱差而以之步厯无一可者若差在旦暮间犹在本日若处夜当子半之交所差便隔一日如节气差天一日则置闰差天一月闰差一月则时差一季时差一季则岁差一年其所系岂秒小哉且也恒气既乖置闰失当将盈虚没灭建除满平之类吉凶宜忌一切皆错不可以为厯矣故守敬曰天有不齐之运而厯为一定之法所以既乆而不能不差既差则不可不改隆庆间监官周相亦曰今年逺数盈岁差天度失今不考所差必甚皆探本之论也大统厯气朔差而年月日时分数俱差交宫差而七政四余躔度俱差此其天人抵牾所关于三式之重二物之微者请得而备言之夫论太乙莫难于日计而日计壹禀于南至昔李淳风以积年日法演纪上元七政同㑹于子太乙诸神同在干一宫自此而后散行于天七政各丽躔度太乙各入元局吉凶在焉考梁武帝天监三年甲申岁六月八日甲申帝召虞履乐茂言曰今日在太乙在八宫和徳为天目将外迫宫灾轻无所畏也履茂退谓人曰外宫迫为外人迫也淳风步距积七亿七百五十万一千六十一日以纪除之入第五纪二十一日以授时推距积入纪二十二日乃六月朔丙子九日甲申非八日也是日太乙在八宫天目文昌在和徳主算三十二主大将在二宫主参将在六宫客目始击在太蔟客算七客大将在七宫客参将在一宫计神在午乃文昌在太乙前外迫其祸大为是其推八日则日躔合朔之误入局误以推阳九百六十精等事皆误此太乙之系于日至者也论遁甲亦禀于日至如万厯己亥岁前冬至四十二日八刻求遁甲甲午符头入局下元甲辰后二日丙午如用辛卯时求竒门以下元巽四宫步至甲申六宫干以天心为直符开门为直使六宫起甲四宫见辛开门加巽离南得休坤西南得生为反吟六仪首戊加四宫蓬为丁竒芮为丙竒冲为乙竒以直符加兑顺布艮东北乙竒会死门离正南丙竒㑹休门干西北丁竒会杜门以直符加午顺布太隂住坎六合住艮九地住离九天住坤掦兵于坤立营于离伏兵于坎退行于艮是也遁甲之起原于入局人不悟超神接气之说而率以芒种大雪置闰则非矣盖九日之上有闰竒是冬至日去其元法十五日或一二三次或不及十五日无论上中下元余九日以上至十五日其年有闰竒至闰竒之月必漏一局乃超神接气自然之闰此竒门遁甲之系于日至者也论六壬亦禀于日至日至正然后日躔入宫正如万厯己亥歳秋正后十日壬辰申初一刻日躔夀星之次入辰宫是日午时命占则宜仍用已将以巳加午顺歩得戌壬酉戍卯辰寅卯为四课戌酉申为三传初传白虎中传太常末传𤣥武课名知一退茹斩关及取大统日躔先一日辛卯酉正三刻已入辰宫宜用辰时以辰加午顺步得酉壬未酉寅辰子寅为四课寅子戌为三传初传六合中传青龙末传白虎课名元首间隔已将占乃疾病与武事九月应应而即没辰将占则求财与文事起自正月没至九月其占原凶今反为吉占者见其不验乃归咎于术之不精不知为日躔之故此六壬之系于日至者也三式之外其要者又有星家占命堪舆家占隂阳气朔差若立春值子半之交则子平人命年月日时四柱皆非矣日躔交宫差则太阳照命非太阳五星交宫差如大统之水星当伏而见当见而伏则五行生尅皆错乱不准矣中节差则堪舆家所视择年神方位及太阳到宫用以建都郡修城隍度陵寝开山放水一切天盘地盘之事皆不准矣又其要者译天文书当今大法也盖以日躔之宫加所用之时视东方何宫何度出地平环上为主即用此宫安命定日以步田宅奴仆官禄相貌迁移福徳于上付之于七政四余以视出地平环之宫何星为主又落何星及视各宫所落何星各主祸福如万厯己亥岁秋正后十日壬辰午时用事是日申初一刻日躔夀星午时仍用巳将以巳加午顺布地平环上是寅即以寅宫为主木星为命若以大统步之以辛卯日酉正三刻太阳已入辰宫以辰加午顺布地平环上是丑以丑宫为主土星为命而六亲俱差祸福无准矣不宁惟是即大统厯所载一切吉凶诸曜何者不准诸气朔大统以气朔后择日日躔后定时今而气朔失次干支易位也则吉凶其何适焉如立春隔日则年神方位俱差入气九宫亦易躔离一乖则月中之角亢建除弦望没灭土王月忌离绝长短星四大良时之类皆非矣如隂尽之日兵家所忌谓晦也大统月晦暨月忌截诸吉日惟留祭祀破屋三五事至于没灭则大凶诸事不可用以类推之余可知也且四大良时灵台所重者如己亥岁秋正后十日壬申申初一刻后日躔寿星之次宜用艮巽坤干时申时已前仍属鹑尾宜用甲丙庚壬时而台厯则误造辛卯酉正三刻后日已入辰宫用艮巽坤干时则令人宜何从也诸如此类其应验与否我不敢知然既载厯经则治术宜密矣昔鲧汨陈其五行以致彛伦攸斁天乃锡禹洪范九畴以叙彛伦一五行四五纪七稽疑稽用卜筮以决从违盖其慎也今国朝不用卜筮而朝贺之大典军国之重事一切吉凶军宾嘉之礼咸取决于灵台灵台每二月朔进上位厯七政厯月令厯壬遯厯又上吉日十二纸每月粘一纸于御屏是其任何专责何巨也而今差谬若此则何以定天下之大业成天下之亹亹俾五行不汨五纪顺轨彛伦攸叙耶夫葵心向日至子夜犹北拱知时莫如葵矣物固有之人亦宜然余向有一得献之当宁欲正厯元以救其失而监官张应候等争之谓已为无差且诋余为私习也曰私习者为庸人妄言天数者发而厯象授时之学正吾儒本业帝王不禁也五代万分厯出于民间宋草泽布衣王学礼陈得一赵大猷等造厯上言厯官乃抵罪佥议召山林布衣造新厯从之草泽且然况有位乎且应候等争言已与天道脗合交食准验年愈逺而数愈真也使果如其说余曷乐于有言若等试一一如余所指以法布算果尔合否仰观乾象果无愆否此可以口舌争乎嗟嗟余悯重黎之道丧千岁之故失不得已而竭心力之穷补天人之阙非为私已也知我罪我吾何知亦付之天而已古今律厯考卷六十五
## 卷六十六
钦定四库全书
古今律厯考卷六十六 明 邢云路 撰厯理一厯理二曜测一年之日得岁实测一月之日得月䇿以二十四气除岁实得一气之䇿以四除月䇿得弦策倍弦策为望策三因弦策为下弦策三归气策为候策三十日内减月䇿十六日内减气䇿为盈虚策月策除岁实十二次余为通闰四除岁实为气象限四除周天度为天周象除岁实半之为半岁周象限加减极差二日四○一四为盈缩初末度以四时因五行得二十除岁周得土王用事策以四季正气加之得土王用事日月策减二十八宿为宿䇿置所测岁实以距元乗之为中积加所测气应为通积满纪法去之为冬至中积加闰应满月策去之为闰余通积减闰余满纪法去之为经朔累加月策得各月经朔中积加所测转应减闰余满转终去之为疾厯如过转中去转中为迟厯累加月策累去转终及转中得各朔入转半岁周减闰余为盈缩厯减后即为缩厯累加月策为各月盈缩厯如满半岁周减半岁周是盈交缩缩交盈如盈缩厯满盈缩初末限以减半岁周为盈缩末限累加月策得各盈缩厯中积加所测交应减闰余满交终去之为交泛累加月策累减交终得各月交泛以交终与月策相减余半之为交后限以后限减交终为交前限半交终为交中即中限交中减后限为中前限加后限为中后限如交泛逢限则日月食视有食之月置经朔以盈缩迟疾二厯定加减二差以加减经朔为定朔以加减差加减迟疾厯为定入迟疾厯以至限一十二限二十乗之为定入迟疾限以法推之得行度内减八分二十秒为定限行度以月行平度乗交泛得交常度以盈缩差加减之为交定度如在七度已下三百四十二度已上日食在正交一百七十五度已上二百二度已下日食在中交半日五十刻内减定朔小余分为午前分定朔小余分内减半日五十刻余为午后分以午前午后较半日五十刻余以午前午后乗之以九十六刻而一得时差分午前减午后加加减定朔小余分为食甚分午前午后加时差分为距午分以盈缩厯加定朔日及食甚分秒以减经朔日及分秒余为食甚入盈缩厯以法推得盈缩行定度在象限已下为初限已上反减半岁周为末限或初或末自乗之以一千八百七十而一以减四度四十六分为南北泛差以距午分乗之以半昼分而一以减泛差为定差如泛差不及减者反减之应加作减差应减作加差在盈初缩末者正交为减差中交为加差缩初盈末反是定度无论初末限俱减半岁周余还以初末限乗之以千八百七十而一为东西泛差以距午分乗之以日周四之一而一如在泛差已下就为定差已上较泛差为东西定差盈厯午前缩厯午后正交为减差中交为加差缩厯午前盈厯午后正交为加差中交为减差正交三百五十七度六十四分或中交一百八十八度五分加减南北东西定差为定限度视交定度在正交已下者对减之为隂厯交前度已上者对减为阳厯交后度在中交已下者对减之为阳厯交前度已上者对减为隂厯交后度置隂八度阳六度内减交前或交后度余以隂八十阳六十而一得日食分秒以日食既初亏至复圆定为二十分以减日食分秒余以日食分秒乗之以平方开之以定法五十七刻七十分乗之以定限行度而一为定用分于食甚分减定用为初亏分加定用为复圆分月离阳道初亏西南食甚正南复圆东南月离隂道初亏西北食甚正北复圆东北日食八分已上初亏正西复圆正东日未出先亏未食甚复圆已入地谓之带食如在昏刻者日入分与食甚分相减在晨刻者日出分与食甚分相减为带食差以日食分秒乗之以定用分而一以减日食分秒在晨者为见食分在昏者为不见食甚或不见复圆分以盈缩行定度为黄道定度盈就为定度缩加半岁周加天正黄道以黄道钤去之余为食甚日躔黄道宿次以入朔交泛加望策即入望交泛经朔加望策即经望盈缩迟疾各加望策盈缩满盈缩二限减半岁周迟疾满转中去之各以法推之得加减差以加减经望为定望以加减差加减迟疾厯为定入迟疾厯以法推得行度以减八分二十秒为定限行度交常交定度如日食法视日出日入晨分昏分之数又视卯酉前后定望小余刻分在二十五刻已下为卯前已上减半日五十刻为卯后七十五刻已下减半日五十刻为酉前已上减日周百刻为酉后以百刻减卯酉前后分余以百刻而一定为时差定望分加时差分为食甚定分交定度与中交度一百八十一度八十九分六十七秒较中交余为阳厯交定余为隂厯隂阳厯在后准十五度五十分已下为交后度在前准一百六十六度三十九分六十七秒已上为交前度置月食定度十三度五分减交前后度以八十七刻而一得月食分秒以月食既甚初亏至复圆定为三十分以减月食分秒余以月食分秒乗之以平方开之以定法四十九刻二十分乗之以定限行度而一为定用分食甚减定用为初亏加定用为复圆此月食十分已下之率也如食十分已上者去十分以单分乗十五分余以月食分秒乗之以平方开之以四十九刻二十分乗之以定限行度而一为既内分定用分减既内分为既外分食甚分减既内分为食既分加既内分为生光分食甚离阳道者初亏东北食甚正北复圆西北隂道者初亏东南食甚正南复圆西南食八分已上初亏正东复圆正西月未出地日未入地先亏或食既以食甚分与日入分相较余为带食差见食分月未食甚日已出地月已入地以食甚分与日出分相较余为带食差不见食分食既生光复圆亦然以月食分乗带食差以定用分而一在晨为不见食分在昏为见食分以减月食分秒余在晨为见食分在昏为不见食分食既生光亦然晨未食既先入地日已出不见食既未食甚先入地日已出不见食甚未生光先入地日已出不见生光未复圆先入地日已出不见复圆日未入地月未出已食若干分以盈缩定度为黄道定度缩厯就为定度盈厯加半岁周加天正黄道以黄道钤去之余为月离黄道宿次此其数也求其理岁周者今岁日冬至所在之宿来岁复于端也月策者日月所㑹之期同宿同度谓之朔盖月行二十七日五十五刻有竒一周天又行二日弱凡二十九日五十三刻有竒追及于日也日自卑而渐髙曰盈盈过半曰末末至最髙自髙而渐卑曰缩缩过半曰末末至最卑缩而复盈也盈缩皆有平立差平者东西经行立者上下斜徃月亦如是也月行平分者迟疾之初髙卑者迟疾之末与日异也日有刻分十二时时有八刻二十分有竒故月以八百二十分为定率也日食时有差如食在午位其差少是人以目正视之也食在午前日在东月追及先期掩尽未合朔即食甚是人之目力自西视之故见其先时非日果先也食在午后日在东月后追虽对尚露合朔后方食甚是人之目力自东视之故见其后时非日果后也用九十六收者一时八刻十二时九十六刻也食甚加时差为距午者自食时至午时之数也南北东西泛差者泛然差也定差者得定数也正交者所起之端中交者居其冲也隂阳二厯黄道内外也黄道内为隂外为阳也在交道前食曰交前交道后食曰交后也隂阳二厯言月不言日也黄道内狭而长外阔而短故有隂八阳六之论也日食十分就日体也其六曜各有行分皆就日也隂八度阳六度隂定法八十阳定法六十皆谓十分之说也定用二十分者日食初亏至食甚十分食甚至复圆十分也二十分内减日食分秒仍以日食分秒乗之者就食体也平方开之得食体之方面也五十七刻四十分乗之者晨昏相距之数也定限行度而一者月度之数减者至初加者至复中分也月在阳道自西南追日故初亏西南复圆东南月在隂道自西北追日故初亏西北复圆东北食八分已上则当交道之中故亏正西复正东也月食言卯酉前后者昏距晓也止言中交不言正交者日所冲也不及中交者月在黄道外故曰阳过中交者月在黄道内故曰隂也后准者过交后之余数前准者月未至交在交之前也月食十五分者自初亏至食甚也定三十分者自食甚至复圆也皆就日体之说也减而乗之平方开之复以四十九刻二十分乗之者昏距晓之数也月食十分已上谓之既去其十分以单分减十五分以食分乗之平方开之带纵之术也食甚月当心值日当心食既月西轮齐日西轮生光月东轮齐日东轮忽焉光露而月复生也晨分倍者即昏距晨之夜刻也五归更又五归㸃盖以亏既甚生复之数在昏刻者于中减此五事余以率去之即更㸃也此五夜中星各以时定也五星四余之数前厯法说之详矣其理则五星周率即周日也自前合距后合之日也中星度即平度也各以合伏迟疾留退之平度累加减之各得中星度也限度即入盈缩厯度也各以合伏迟疾留退限度累加之至后合得周日入厯度也是一周之日所积之度也以所积之日归周日得度率度率者是一度平辖日数也以度率乗天周为厯率厯率者是天周之度辖天周之日也故以度率取厯率入盈缩厯也盈缩之数与日行一也合应者以前伏后见于其所积之日折取其中即星日周度合伏之期也以此定为合应也厯应者是合伏之日去冬至分之数也平立之差虽加减不同与日行亦一也四余则大统以度率除一度为日行分累归宿度为周积紫气积一万○二百二十七日一十七刻九十二分月孛三千二百三十一日九十六刻八十四分罗㬋计都六千七百九十三日四十四刻三十二分以合天周不协若以度率乗周天度得紫气积一万○二百二十七日二十一刻月孛三千二百三十一日九十七刻八十分罗㬋计都六千七百九十三日四十六刻三十六分方为正法是其理也古今律厯考卷六十六
## 卷六十七
钦定四库全书
古今律厯考卷六十七 明 邢云路 撰厯原一厯原句股测天北京立四丈表冬至日测得正午景长七丈九尺八寸五分以凖绳于正南二千里立四丈表同时测得景长七丈九尺二寸四分问日下去地若干里答曰二万六千二百二十九里一百八十二歩北京立四丈表夏至日测得景长一丈一尺七寸一分正南二千里景长一丈一尺四寸四分问日下去地若干里答曰五万九千二百五十九里九十三步术置表长四丈以步法五尺而一得八步二表相距二千里以里法三百六十步通之得七十二万步以表长八步因之得五百七十六万步以步法五尺因之得二千八百八十万为积实以冬至南北二表景相较得六寸一分为法除积实得四千七百二十一万三千一百一十三尺一寸一分为出地尺寸以步法五尺而一得九百四十四万二千六百二十二步为日下去地步以里法三百六十步而一得二万六千二百二十九里一百八十二步合问以简仪测到冬至日南至地平二十六度四十六分五十秒为半弧背以立天元一求得矢度五度九十一分半置周天半径截矢余五十四度九十六分为股乃地心去戴日下之股以弦股别句术求得句二十六度一十七分六十六秒为日下至地度为半弧弦即冬至日出地度以夏至南北二表景相较得二寸七分为法除前积实得一亿○六百六十六万六千六百六十六尺六寸六分以步法而一得二千一百三十三万三千三百三十三步以里法而一得五万九千二百五十九里九十三步合问以简仪测到夏至日南至地平七十四度二十六分半为半弧背以立天元一求得矢度四十三度七十四分少置周天半径截矢余一十七度一十三分二十五秒为句乃地心去戴日下之句以句弦别股术求得股五十八度五十四分半为日下至地度为半弧弦即夏至日出地度此北京距南二千里所测之数也然九服所在天有低昂地有髙下时有四序须随地随时各以句股测算为凖测日置冬夏二至前后距所相对之日以圭表所测正午晷景日日识之计取甲子日期以相连或前或后二日之景相减为法仍以前后日之相对者各一日之景相减为实实如法而一冬至景前多后少为减差后多前少为加差夏至景前少后多为减差后少前多为加差皆加减相距日得数半之加半日刻命起日算外满百刻为日余以发敛收之为时刻及分假如元世祖至元十四年丁丑岁冬至其年十一月十四日己亥景长七丈九尺四寸八分五厘五毫至二十一日丙午景长七丈九尺五寸四分一厘二十二日丁未景长七丈九尺四寸五分五厘以己亥丁未二日之景相较余三分五毫为晷差进二位为实再以丙午丁未二日景相较余八分六厘为法除实得三十五刻用减己亥距丁未八日是八十刻余七百六十五刻折取其中加半日五十刻共得四百三十二刻半百约为日得四日余以发敛收之得辰初三刻日命初起己亥日算外得癸夘日辰初三刻为丁丑岁冬至若以甲子计之是三十九日三十二刻半就为此岁气应此取至前后四日景他倣此周琮论至前后日景差少不若取立冬立春二日之景以为去至日逺日差颇多易于推考为是然而古今所测冬夏至景分秒有不同者则各代尺分不同非景之故也测月其法大都与测日同然日测正午月则测月到天中自某日起至某日止以漏水记之以月行或最髙或最低前后距所相对之日圭表所测月到天中之晷以相连二日景相减为法仍以前后相对日景相减为实实如法而一最髙前少后多为减差前多后少为加差最低前多后少为减差前少后多为加差漏记积日起日至本日积若干刻加本日夜半后月到天心若干刻减起日夜半后月到天心若干刻实得若干刻各以加减差加减之得数半之命起日算外满百刻为日以发敛收之为时刻及分为月到最髙或最低处以法布至月之迟疾毫无爽矣测岁实取前人所测实景所得冬至日时刻分秒计甲子算外得几十几日几十几刻分秒距今见测到天正冬至日时刻分秒共计几十几万几千几百几十几日几十几刻分秒为实以相距积年为法而一得岁实假如元至元十七年庚辰岁冬十一月所测日景推得己未日夜半后六刻上取前刘宋大明五年辛丑冬十一月祖冲之所测日景推得十一月三日乙酉夜半后三十二刻六十九分为准以距至元庚辰积八百一十九年间共得二十九万九千一百三十四日内加庚辰岁测到夜半后六刻内减去大明五年测到夜半后三十二刻六十九分余二十九万九千一百三十三日七十三刻三十一分为实以相距积年八百一十九而一得三百六十五日二十四刻二十六分五十三秒有竒为授时岁周测月策取古厯所测冬至日时刻真者距今日所测冬至日时刻为实另以相距积年若干乗每岁之闰法三分六十八秒二十八微得数定以十分为月得闰月若干月及分秒寄位以积年乗每岁十二月得若干月加寄位之闰月分共得数为法除前实得数为月策闰法者是一章十九年不及七闰祖冲之以二十章及十一年中该闰一百四十四月故曰章闰二十章及十一年共三百九十一年故曰章岁以章岁除章闰得一岁之闰分故曰闰法至今厯家遵用之测转终及转应视月在天以大星距而测之识在某宿某度分秒日时刻数待二十六七日又测月在某宿某度分秒日时刻数一岁之中十三周有竒十岁之中一百三十二周有竒百岁之中一千三百二十五周有竒千岁之中约一万三千二百五十五周取前人史载月凌犯某宿某星真者几事累计之以前人所测月到日时刻分距今所测月到日时刻分共积几十几万几千几百几十几日时刻分为实另置万章之月周二百五十一万八千四百七十二以十九万除之得每岁月周一十三周二五五一一七以相距积年若干年乗之得月周若干周为法以除前实得转终以转终初起之半处即转应测交终置古厯所测冬至距今所测冬至积日为实另置万章之中月与日道交二百五十五万○一百八十一交以十九万除之得每岁月交十三交四二二○○五二六以相距积年若干年乗之得月交若千交为法以除前实得交终测交泛及交应或日食或月食验在某宿某度分秒距交道几度分秒以月平行度而一得几十几刻分秒如交道在前为交后分加交道在后为交前分减皆加减交终或交中为交道所食之处得数即交泛分看是何月如求本年十一月朔交泛以距月月数因朔交差有闰加一得数以加本月朔交泛得十一月朔交泛就加此月闰余为交应测经朔及闰应或日食或月食以漏计之至食甚刻分为实如是盈迟作减差以减实是缩疾作加差以加实如午前加时差午后减时差就为经朔分看是何月以距月月数因朔实有闰加一得数以加本月经朔满纪去之得十一月经朔以减月中气余为闰余即闰应古今律厯考卷六十七
## 卷六十八
钦定四库全书
古今律厯考卷六十八 明 邢云路 撰厯原二厯原纪日躔月离平立差之原纪日躔太阳冬至前后盈初缩末平立差六段所测积日盈初缩末八十八日九十一刻计六段测以六除之得每段积日一十四日八十二刻就整(就整者以零少不能上也)第一段积日一十四日八十二分(分即刻)第二段积日二十九日六十四分第三段积日四十四日四十六分第四段积日五十九日二十八分第五段积日七十四日一十分第六段积日八十八日九十二分六段所测积差分盈初缩末八十八日九十一刻以六段测每段下实测晷差若干为各段积差分如第一段积差七千○五十八分○二五乃是测晷至十四日八十二比初日所差之数余倣此第一段积差七千○五十八分○二五第二段积差一万二千九百七十六分三九二第三段积差一万七千六百九十三分七四六二第四段积差二万一千一百四十八分七三二八第五段积差二万三千二百七十九分九九七第六段积差二万四千○二十六分一八四六段平差分(乃平积差)置第一段下积分七千○五十八分○二五(七千为七十刻)即以第一段积日一十四日八十二除之得四百七十六分二十五秒为第一段平差分(四百为四刻)是毎日平差置第二段下积分一万二千九百七十六分三九二即以第二段积日二十九日六十四除之得四百三十七分八十秒为第二段平差分置第三段下积分一万七千六百九十三分七四六二即以第三段积日四十四日四十六除之得三百九十七分九十七秒为第三段平差分置第四段下积分二万一千一百四十八分七三二八即以第四段积日五十九日二十八除之得三百五十六分七十六秒为第四段平差分置第五段下积分二万三千二百七十九分九九七即以第五段积日七十四日一十除之得三百一十四分一十七秒为第五段平差分置第六段下积分二万四千○二十六分一八四即以第六段积日八十八日九十二除之得二百七十○分二十秒为第六段平差分各段一差置第一段平差分四百七十六分二十五秒与第二段平差分四百三十七分八十秒前后相减余三十八分四十五秒为第一段一差(乃初日至一十四日八十二刻共差之数)置第二段平差分四百三十七分八十秒与第三段平差分三百九十七分九十七秒前后相减余三十九分八十三秒为第二段一差(乃第十四日八十二刻至第二十九日六十四刻共差之)(数)置第三段平差分三百九十七分九十七秒与第四段平差分三百五十六分七十六秒前后相减余四十一分二十一秒为第三段一差(乃第二十九日六十四刻至第四十四日四十六刻)(共差之数)置第四段平差分三百五十六分七十六秒与第五段平差分三百一十四分一十七秒前后相减余四十二分五十九秒为第四段一差(乃第四十四日四十六刻至第五十九日二十八刻)(共差之数)置第五段平差分三百一十四分一十七秒与第六段平差分二百七十分二十秒前后相减余四十三分九十七秒为第五段一差(乃第五十九日二十八刻至第七十四日一十刻共差之数)各段二差置第一段一差三十八分四十五秒与第二段一差三十九分八十三秒前后相减余一分三十八秒为第一段二差置第二段一差与第三段一差四十一分二十一秒相减第三段一差与第四段一差四十二分五十九秒相减第四段一差与第五段一差四十三分九十七秒相减俱余一分三十八秒为各段二差(此乃是每日所差之)(数)各段平差一差二差立成于后置第一段平差四百七十六分二十五秒为泛平积以第一段一差三十八分四十五秒加减第一段二差一分三十八秒(前多后少加后多前少减)今前少应于三十八分四十五秒内减一分三十八秒余三十七分○七秒为泛平积差另以二除第一段二差一分三十八秒(即折半)得六十九秒为泛立积差置泛平积四百七十六分二十五秒加减泛平差三十七分○七秒(前多后少加后多前少减)今前多应于四百七十六分二十五秒内加三十七分○七秒共积五百一十三分三十二秒为定平积(即定差五百一十三万三千二百数)置泛平差三十七分○七秒加减泛立差六十九秒(前多)(后少加后多前少减)今前少应于三十七分○七秒内减六十九秒余三十六分三十八秒为定平差置泛立差六十九秒以段日一十四日八十二除二次得三十一分(有零不用)为日立差(分即微)置定平差三十六分三十八秒以段日一十四日八十二除一次得二分四十六秒(有零不用)为日定平差(万定分)置立差三十一分以六因之得一百八十六分为加分立差(百定秒)置平差二分四十六秒倍之得四分九十二秒再加加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微为平立合差置定平积差五百一十三分三十二秒内减平差二分四十六秒再减立差三十一微余五百一十○分八十五秒六十九微为加分定差得盈初缩末平立差之原太阳夏至前后缩初盈末平立差六段所测积日缩初盈末九十三日七十一刻计六段测以六除之得每段积日一十五日六十二刻就整第一段积日一十五日六十二分第二段积日三十一日二十四分第三段积日四十六日八十六分第四段积日六十二日四十八分第五段积日七十八日一十分第六段积日九十三日七十二分六段所测积差分缩初盈末九十三日七十一刻以六段测每段下实测晷差各若干第一段积差七千○百五十八分九九○四第二段积差一万二千九百七十八分六五八第三段积差一万七千六九六六七九第四段积差二万一千一百五○七二九六第五段积差二万三千二七八四八六第六段积差二万四千○一七六二四四六段平差分置第一段下积分七千○百五十八分九九○四即以第一段积日一十五日六十二除之得四百五十一分九十二秒为第一段平差分(后倣此)第二段平差得四百一十五分四十五秒第三段平差得三百七十七分六十五秒第四段平差得三百三十八分五十二秒第五段平差得二百九十八分○六秒第六段平差得二百五十六分二十七秒各段一差置第一段平差分四百五十一分九十二秒与第二段平差分四百一十五分四十五秒前后相减余三十六分四十七秒为第一段一差(后倣此)第二段一差得三十七分八十秒第三段一差得三十九分一十三秒第四段一差得四十分四十六秒第五段一差得四十一分七十九秒各段二差置第一段一差三十六分四十七秒与第二段一差三十七分八十秒前后相减余一分三十三秒为第一段二差余倣此取数俱同为各段二差置第一段平差四百五十一分九十二秒为泛平积以第一段一差三十六分四十七秒加减第一段二差一分三十三秒(前多后少加后多前少减)今前少于三十六分四十七秒内减一分三十三秒余三十五分一十四秒为泛平积差另以二除第一段二差一分三十三秒得六十六秒五十微为泛立积差置泛平积四百五十一分九十二秒加减泛平差三十五分一十四秒(前多后少加后多前少减)今前多应于四百五十一分九十二秒内加三十五分一十四秒共积四百八十七分○六秒为定平积置泛平差三十五分一十四秒加减泛立差六十六秒五十微(前多后少加后多前少减)今前少应于三十五分一十四秒内减六十六秒五十微余三十四分四十七秒五十微为定平差置泛立差六十六秒五十微以段日一十五日六十二除二次得二十七分为日立差置定平差三十四分四十七秒五十微以段日一十五日六十二除一次得二分二十一秒为日定平差置立差二十七分以六因之得一百六十二分为加分立差置平差二分二十一秒倍之得四分四十二秒加入加分立差一秒六十二微共得四分四十三秒六十二微为平立合差置定平积差四百八十七分○六秒内减平差二分二十一秒再减立差二十七微余四百八十四分八十四秒七十三微为加分定差得缩初盈末平立差之源纪月离太隂迟疾平立差七段所测积限转周日二十七日五十五刻四十六分计七段测分四象四七该二十八段每段十二限每一象八十四限共一周四象该三百三十六限置转周日二十七日五十五刻四十六分以四象除之得每象六日八八八六五就整为七日即七段也每段十二限即每日积十二限(月与日立法同但太阳盈缩异数太阴则无迟疾之殊)第一段积限一十二限第二段积限二十四限第三段积限三十六限第四段积限四十八限第五段积限六十限第六段积限七十二限第七段积限八十四限七段所测迟疾度每象八十四限以七段测每段十二限各段下实测晷差若干为各段迟疾度差分如第一段迟疾差一度二十八分七一二乃是测晷至十二限比初限所差之数余倣此第一段积差一度二十八分七一二第二段积差二度四十五分九六一六第三段积差三度四十八分三七九二第四段积差四度三十二分五九五二第五段积差四度九十五分二四第六段积差五度三十二分九四四第七段积差五度四十二分三三七六七段平差分置第一段下迟疾度一度二十八分七一二即以第一段积限一十二限除之得一十○分七十二秒六十微为第一段平差分置第二段下积差二度四十五分九六一六即以第二段积限二十四限除之得一十○分二十四秒八十四微为第二段平差分置第三段下积差三度四十八分三七九二即以第三段积限三十六限除之得九分六十七秒七十二微为第三段平差分置第四段下积差四度三十二分五九五二即以第四段积限四十八限除之得九分○一秒二十四微为第四段平差分置第五段下积差四度九十五分二四即以第五段积限六十限除之得八分二十五秒四十微为第五段平差分置第六段下积差五度三十二分九四四即以第六段积限七十二限除之得七分四十○秒二十微为第六段平差分置第七段下积差五度四十二分三三七六即以第七段积限八十四限除之得六分四十五秒六十四微为第七段平差分各段一差置第一段平差分一十○分七十二秒六十微与第二段平差分一十○分二十四秒八十四㣲前后相减余四十七秒七十六㣲为第一段一差置第二段平差分一十○分二十四秒八十四㣲与第三段平差分九分六十七秒七十二微相减余五十七秒一十二㣲为第二段一差置第三段平差分九分六十七秒七十二微与第四段平差分九分○一秒二十四微相减余六十六秒四十八㣲为第三段一差置第四段平差分九分○一秒二十四㣲与第五段平差分八分二十五秒四十㣲相减余七十五秒八十四微为第四段一差置第五段平差分八分二十五秒四十微与第六段平差分七分四十○秒二十微相减余八十五秒二十微为第五段一差置第六段平差分七分四十○秒二十微与第七段平差分六分四十五秒六十四微相减余九十四秒五十六微为第六段一差各段二差置第一段一差四十七秒七十六微与第二段一差五十七秒一十二微前后相减余九秒三十六微为第一段二差置第二段一差与第三段一差六十六秒四十八微相减第三段一差与第四段一差七十五秒八十四微相减第四段一差与第五段一差八十五秒二十微相减第五段一差与第六段一差九十四秒五十六微相减俱余九秒三十六微为各段二差各段平差一差二差立成于后置第一段平差一十○分七十二秒六十微为泛平积以第一段一差四十七秒七十六微加减第一段二差(前多后少加后多前少减)今前少应于四十七秒七十六微内减九秒三十六微余三十八秒四十微为泛平积差另以二除第一段二差九秒三十六微(即折半)得四秒六十八微为泛立积差置泛平积一十○分七十二秒六十微加减泛平差三十八秒四十微(前多后少加后多前少减)今前多应于一十○分七十二秒六十微内加入三十八秒四十微共积一十一分一十一秒为定平积置泛平差三十八秒四十微加减泛立差四秒六十八微(前多后少加后多前少减)今前少应于三十八秒四十微内减四秒六十八微余三十三秒七十二微为定平差置泛立差四秒六十八微以段限一十二限除二次得三微二十五纤为限立差置定平差三十三秒七十二微以段限一十二限除一次得二秒八十一微为限定平差置立差三微二十五纤以六因之得一十九微五十纤为损益立差置平差二秒八十一微倍之得五秒六十二微再加损益立差一十九微五十纤共得五秒八十一微五十纤为平立合差置定平积差一十一分一十一秒内减平差二秒八十一微再减立差三微二十五纤余一十一分○八秒一十五微七十五秒为加分定差得迟疾平立差之原(以上)(授时旧法)又法(新立)推盈初缩末定差平差立差以所测就整之数盈初缩末八十八日九十二刻分为六段毎段得一十四日八十二刻二因为二段积日三因为三段积日四因为四段积日五因为五段积日术置段日下积差以多减少得一差置一差以多减少得二差置二差以多减少得三差则数皆同矣以四因三差得二刻四二一六八四四四以减一段二差余九刻五九五○七一八六折半得四刻七九七五三五九三寄位以六归三差得一十○分○九○二八五一七加前寄位数再加一段二差及一差共得七十六刻○七四○二四以一段积日一十四日八十二刻而一得五刻一十三分三十二秒为定差倍三差得一刻二一○八四二二二以减一段二差余一十○刻八○五九一四一以一段积日一十四日八十二刻归除二次得四分九十二秒为平差置三差以一段积日一十四日八十二刻归除三次得一秒八十六微为立差推缩初盈末定差平差立差以所测就整之数缩初盈末九十三日七十二刻分为六段每段一十五日六十二刻二至五因同以四因三差得二刻四六九五五一五三二以减一段二差余九刻五四九三三四七一九折半得四刻七七四六六七三五九五寄位以六归三差得一十○分二八九七九八○五加前寄位数再加一段二差及一差共得七十六刻○七八七七二○○五以一段积日一十五日六十二刻而一得四刻八十七分○六秒为定差倍三差得一刻二三四七七五七六六以减一段二差余一十○刻七八四一一○四八五以一段积日一十五日六十二刻归除二次得四分四十二秒为平差置三差以一段积日一十五日六十二刻归除三次得一秒六十二微为立差推盈缩差置立差以盈缩厯乗之三而一加平差再以盈缩厯乗之折半用减定差再以盈缩厯乘之为盈缩差又法置立差六而一以盈缩厯乘之以平差折半加内再以盈缩厯乘之用减定差再以盈缩厯乘之为盈缩差推迟疾定差平差立差置八十四限以七日而一得一十二限以二因至六因得各段下限数积限 积差一段 一十二限 一度二八七一二二段 二十四限 二度四五九六一六三段 三十六限 三度四八三七九二四段 四十八限 四度三二五九五二五段 六十○限 四度九五二四六段 七十二限 五度三二九四四七段 八十四限 五度四二三三七六一差 二差 三差一段 一度一七二四九六 一十四分八三二 三分三六九六二段 一度○二四一七六 一十八分二○一六 三分三六九六三段 八十四分二一六 二十一分五七一二 三分三六九六四段 六十二分六四四八 二十四分九四○八 三分三六九六五段 三十七分七○四 二十八分三一○四六段 九分三九三六以四因三差得一十三分四七八四减一段二差余一分三五三六折半得六十七秒六十八微寄位以六归三差得五十六秒一十六微加前寄位再加一段二差及一差共得一度三十三分三十二秒以段积限一十二限而一得一十一分一十一秒为定差以倍三差得六分七十三秒九十二微以减一段二差余八分○九二八以一段积限一十二限归除二次得五秒六十二微为平差置三差以一段积限一十二限归除三次得一十九微半为立差推迟疾差置立差以迟疾限乘之得数以三而一加平差再以迟疾限乘之得数折半以减定差余数再以迟疾限乘之得数为迟疾差又法置立差以六而一得三微二五以迟疾限乘之得数加半平差二秒八十一微再以迟疾限乘之得数减定差余数再以迟疾限乘之得数为迟疾差推盈缩迟疾定差平差立差各置第一段三差四之以减第一段二差半之寄位以六归第一段三差加前寄位再加第一段二差及一差以第一段积日而一为定差各置第一段三差倍之以减第二段二差以第一段积日归除二次为平差各置第一段三差以第一段积日归除三次为立差右测晷厯原授时旧法先分后减似觉烦琐而新立之法不分径减为便故两存之古今律厯考卷六十八
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钦定四库全书
古今律厯考卷六十九 明 邢云路 撰厯原三厯原求黄赤道弧矢勾股割圆差率度周天径一百二十一度七十五分少(少不用)半径六十○度八十七分半(又黄赤道大弦又立勾股弦)黄赤道内外半弧背二十四度(所测就整)黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒黄赤道大勾二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度二分六十八秒(又为立股)如问半弧背一度下黄赤道矢度若干答曰八十二秒(微以下不用)术曰置半弧背一度自之得一度为半弧背幂置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度六分二十五秒为径幂(又为上廉)置二幂相乘得一万四千八百二十三度○六二五为正实置径幂一万四千八百二十三度○六二五以周径一百二十一度太乘之得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方置半弧背一度倍之得二度以周径乘之得二百四十三度五十分为下廉初商八十秒置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万四千五百八十九度二七四八七五为从方置初商八十秒自之得六十四微以减下廉余二百四十三度四九九九三六以八十秒乘之得一度九四七九九九四八八为从廉并从方共得一百八十○万四千五百九十一度二二二八七四四八八为下法除正实余实三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六(置秒自之得微者葢八十秒自之原得六十四分以万定分定万秒为分)(筭得微也余同)次商二秒置初商八十秒倍之得一分六十秒加次商二秒得一分六十二秒乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一三三六一二五以减益从方余一百八十○万四千四百六十七度七二五七六二五为从方置初次商八十二秒自之得六十七微加初商八十秒自之之数得一秒三十一微以减下亷二百四十三度五十分余二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乘之得三度九十四分四六九七八七七八为从亷并从方共得一百八十○万四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八为下法除余实又余实二十五度四三八三(不足一秒不用下同)是求得矢度八十二秒即授时厯元所谓立天元一也问黄道半弧背一度下赤道积度若干答曰一度○八分六十五秒术曰置半径六十○度八十七分五十秒(又为黄赤道大弦)内减矢度八十二秒余六十○度八六六八为黄赤道小弦置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六十八秒乘之得三千四百一十○度一七二○三○二四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得五十六度○一分九十二秒为黄赤道小股(又为赤道小勾)置矢度八十二秒自之得六十七微以周天径一百二十一度太而一得五十五纤为黄道半背弦差(微以下不)(用下同)置黄道半弧背一度内减黄道半背弦差余为黄道半弧弦(今黄道半背弦差在微以下所以不减)即为黄道半弧弦置黄道半弧弦一度自之得一度为弦幂置黄赤道小股五十六度○一分九二自之得三千一百三十八度一十五分○七六八六四为股幂置二幂相并得三千一百三十九度一五○七六八六四以平方法开之得五十六度○二分八一为赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦一度以黄赤道大弦乘之得六十○度八七五以赤道小弦五十六度○二八一而一得一度○八分六十五秒为赤道半弧弦置黄赤道小股五十六度○一九二(又为赤道横小勾)以乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百一十○度一六八八以赤道小弦五十六度○二分八一而一得六十○度八十六分五十三秒为赤道横大勾置半径六十○度八七五内减赤道横大勾六十○度八六五三余九十七秒为赤道横弧矢置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四微○九以周天径而一得七十七纤为赤道背弦差置赤道半弧弦一度○八分六十五秒内加赤道背弦差为赤道积度(今赤道背弦差在微以下不加)即为赤道积度是求得赤道积度一度○八分六十五秒问半弧背二度下黄赤道矢度若干答曰三分二十八秒术曰置半弧背二度自之得四度为半弧背幂置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度○六二五为径幂(又为上廉)置二幂相乘得五万九千二百九十二度二五为正实置径幂一万四千八百二十三度○六二五以周天径一百二十一度太乘之得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五为益从方置半弧背倍之得四度以周天径一百二十一度太乘之得四百八十七度为下廉初商三分置初商三分乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得四百四十四度六九一八七五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万四千二百六十三度一六七五为从方置初商三分自之得九秒以减下廉四百八十七度余四百八十六度九九九一以初商三分乘之得一十四度六○九九七三为从廉并从方共得一百八十○万四千二百七十七度七十七分七四七三为下法除正实余实五千一百六十三度九一六六七五八一次商二十秒置初商三分倍之加次商二十秒得六分二十秒乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得九百一十九度○二九八七五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万三千七百八十八度八十二分九十五秒为从方置初次商三分二十秒自之得一十○秒二四加初商三分自之之数得一十九秒二四以减下廉四百八十七度余四百八十六度九九八○七六以前所得六分二十秒乘之得三十○度一九三八八○七一二为从廉并从方共得一百八十○万三千八百一十九度○二三三八○七一二为下法除余实又余实一千五百五十六度二七八六二九○五又商八秒置初次商三分二十秒倍之得六分四十秒加三商八秒共得六分四十八秒乘上廉一万四千八百二十三度○六二五得九百六十○度五三四四五以减益从方余一百八十○万三千七百四十七度三二四九二五为从方置初次三商三分二十八秒自之得一十○秒七五八四加初次商三分二十秒自之得一十○秒二四内共得二十○秒九九八四以减下廉四百八十七度余四百八十六度九九七九○○一六以六分四十八秒乘之得三十一度五五七四六三九三为从廉并从方得一百八十○万三千七百七十八度八八二三八八九三为下法除余实又余实一百一十三度二五五五是求得矢度三分二十八秒问半弧背二度下赤道积度若干答曰二度一十七分二十八秒术曰置半径六十○度八七五(又为黄赤道大弦)内减矢度三分二十八秒余六十○度八十四分二十二秒为黄赤道小弦置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二分六八乘之得三千四百○八度七九三七七○九六以黄赤道大弦而一得五十五度九九六六一二为黄赤道小股(又为赤道小勾)置矢度三分二十八秒自之得一十○秒七五八四以周天径一百二十一度太而一得八微八为黄道半背弦差置黄道半背二度内减黄道半背弦差余为黄道半弧弦(今黄道半背弦差在微以下不减)即为黄道半弧弦置黄道半弧弦二度自之得四度为弦幂置黄赤道小股五十五度九九六六一二自之得三千一百三十五度六二○五五五四七为股幂置二幂相并得三千一百三十九度六二○五五五四七以平方法开之得五十六度○三二三一六为赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦二度以黄赤道大弦乘之得一百二十一度七五以赤道小弦五十六度○三二三一六而一得二度一十七分二十八秒为赤道半弧弦置黄赤道小股五十五度九九六六一二(又为赤道横小勾)以乘黄赤道大弦六十○度八七五得三千四百○八度七九三七五五五以赤道小弦五十六度○三二三一六而一得六十○度八三六二为赤道横大勾置半径六十○度八七五内减赤道横大勾六十○度八三六二余三分八十八秒为赤道横弧矢置赤道横弧矢自之得一十五秒○四六六四以周天径而一得一十二微为赤道背弦差置赤道半弧弦二度一十七分二十八秒内加赤道背弦差为赤道积度(今赤道背弦差在微以下不加)即为赤道积度是求得赤道积度二度一十七分二十八秒置一度下积度一度○八分六十五秒与二度下积度二度一十七分二十八秒相减余一度○八分六十三秒为黄道一度下赤道度率后皆倣此置一度下矢度八十二秒与二度下矢度三分二十八秒相减余二分四十六秒为黄道一度下差率后皆倣此问半弧背二十四度下黄赤道矢度若干答曰四度八十四分八十二秒术曰置半弧背二十四度自之得五百七十六度为半弧幂置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度○六二五为径幂(又为上廉)置二幂相乘得八百五十三万八千○百八十四度为正实置径幂以周天径乘之得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五为益从方置半弧背倍之得四十八度乘周径一百二十一度太得五千八百四十四度为下廉初商四度置初商四度乘上廉得五万九千二百九十二度二十五分以减益从方余一百七十四万五千四百一十五度六○九三七五为从方置初商四度自之得一十六度以减下廉余五千八百二十八度以四度乘之得二万三千三百一十二度为从廉并从方共得一百七十六万八千七百二十七度六○九三七五为下法除正实余实一百四十六万三千一百七十三度五十六分二十五秒次商八十分置初商四度倍之得八度加次商八十分共得八度八十分乘上廉得一十三万○四百四十二度九五以减益从方余一百六十七万四千二百六十四度九○九三七五为从方置初次商四度八十分自之得二十三度○四加初商四度自之之数得三十九度○四以减下廉余五千八百○四度九六以乘八度八十分得五万一千○八十三度六四八为从廉并从方共得一百七十二万五千三百四十八度五五七三七五为下法除余实又余实八万二千八百九十四度七一六六又商四分置初次商四度八十分倍之加又商四分得九度六四乘上廉得一十四万二千八百九十四度三二二五减益从方余一百六十六万一千八百一十三度五三六八七五为从方置初次三商四度八十四分自之得二十三度四二五六加初次商自之之数共得四十六度四六五六以减下廉余五千七百九十七度五三四四以乘九度六十四分得五万五千八百八十八度二三一六一六为从廉并从方共得一百七十一万七千七百○一度七六八四九一为下法除余实又余实一万四千一百八十六度六四五八六○三六又商八十秒置初次三商四度八十四分倍之加又商八十秒共得九度六十八分八十秒乘上廉得一十四万三千六百○五度八二九五以减益从方余一百六十六万一千一百○二度○二九八七五为从方置初次三四商四度八十四分八十秒自之得二十三度五○三一○四加初次三商自之之数共得四十六度九二八七○四以减下廉余五千七百九十七度○七一二九六以乘九度六八八得五万六千一百六十二度○二六七一五六四八为从廉并从方共得一百七十一万七千二百六十四度○五六五九○六四八为下法除余实又余实四百四十八度五三三四○七六三四八一六又商二秒置初次三四商四度八四八倍之加又商二秒共得九度六十九分六二以乘上廉得一十四万三千七百二十七度三七八六一二五以减益从方余一百六十六万○九百八十○度四八○七六二五为从方置初次三四五商得四度八四八二自之得二十三度五○五○四三二四加初次三四商自之之数共得四十七度○○八一四七二四以减下廉余五千七百九十六度九九一八五二七六以乘九度六九六二得五万六千二百○八度七九二四○二七三一五一二为从廉并从方共得一百七十一万七千一百八十九度二七三一六五二三一五一二为下法除余实又余实一百○五度○九五五五三是求得矢度四度八十四分八十二秒问半弧背二十四度下赤道积度若干答曰二十五度七十七分五十二秒术曰置周天半径内减矢四度八四八二余五十六度○二六八为黄赤道小弦(即黄赤道大股)置黄赤道小弦与黄赤道大股相乘(今同即自之)得三千一百三十九度○○二三一八以半径而一得五十一度五六四七为黄赤道小股置矢度四度八四八二自之得二十三度五○五以周天径而一得一十九分三为黄赤道背弦差在半弧背二十四度内减之余二十三度八○七为黄道半弧弦(又为黄赤道大勾)自之得五百六十六度七七三二四九为弦幂置黄赤道小股自之得二千六百五十八度九一八二八六○九为股幂并弦幂共得三千二百二十五度六九一五三五○九以平方法开之得五十六度七十九分五十一秒为赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦以半径乘之得一千四百四十九度二五一一二五以赤道小弦而一得二十五度五一七一为赤道半弧弦置黄赤道小股五十一度五六四七以乘半径得三千一百三十九度以赤道小弦而一得五十五度二六八八为赤道横大勾在半径内减之余五度六○六二为赤道横弧矢自之得三十一度四二九四七八四四以周天径而一得二十五分八十一秒为赤道背弦差加入赤道半弧弦内共得二十五度七十七分五十二秒为赤道积度是求得赤道积度二十五度七十七分五十二秒问半弧背四十四度下矢度若干答曰一十六度五十六分八十二秒术曰置周天径自之得一万四千八百二十三度○六二五为径幂(又为上廉)置半背四十四度自之得一千九百三十六度为半弧背幂以乘径幂得二千八百六十九万七千四百四十九度为正实置径幂以乘周天径得一百八十○万四千七百○七度八五九三七五为益从方置半弧背倍之得八十八度以乘周径得一万○七百一十四度为下廉初商一十度置初商乘上廉以减益从方余一百六十五万六千四百七十七度二三四三七五为从方置初商自之得一百度以减下廉余一万○六百一十四度以初商一十度乘之得一十○万六千一百四十度为从廉并从方共得一百七十六万二千六百一十七度二三四三七五为下法除正实余实一千一百○七万一千二百七十六度六五六二五次商六度置初商倍之得二十度加次商六度共得二十六度以乘上廉得三十八万五千三百九十九度六二五以减益从方余一百四十一万九千三百○八度二三四三七五为从方置初次商得一十六度自之得二百五十六度加初商自之之数共得三百五十六度以减下廉余一万○三百五十八度以乘二十六度得二十六万九千三百○八度为从廉并从方共得一百六十八万八千六百一十六度二三四三七五为下法除余实又余实九十三万九千五百七十九度二五又商五十分置初次商倍之加三商五十分共得三十二度五乘上廉得四十八万一千七百四十九度五三一二五以减益从方余一百三十二万二千九百五十八度三二八一二五为从方置初次三商得一十六度五自之得二百七十二度二五加初次商自之之数共得五百二十八度二五以减下廉余一万○一百八十五度七五以乘三十二度五得三十三万一千○三十六度八七五为从廉并从方共得一百六十五万三千九百九十五度二○三一二五为下法除余实又余实一十一万二千五百八十一度六四八四三七五又商六分置初次三商倍之加又商六分共得三十三度○六乘上廉得四十九万○○五○四四六二五以减益从方余一百三十一万四千六百五十七度四一三一二五为从方置初次三四商得一十六度五六自之得二百七十四度二三三六加初次三商得一十六度五自之之数共得五百四十六度四八三六以减下廉余一万○一百六十七度五一六四以乘三十三度○六得三十三万六千一百三十八度○九二一八四为从廉并从方共得一百六十五万○七百九十五度五○五三○九为下法除余实又余实一万三千五百三十三度九一八一一八九六又商八十秒置初次三四商得一十六度五六倍之加又商八十秒共得三十三度一二八乘上廉得四十九万一千○五十八度四一四五以减益从方余一百三十一万三千六百四十九度四四四八七五为从方置初次三四五商得一十六度五六八自之得二百七十四度四九八六二四加初次三四商得一十六度五六自之之数共得五百四十八度七三二二二四以减下廉余一万○一百六十五度二六七七七六以乘三十三度一二八得三十三万六千七百五十四度九九○八八三三二八为从廉并从方共得一百六十五万○四百○四度四三五七五八三二八为下法除余实又余实三百三十○度六八二六三二八九三三七六又商二秒置初次三四五商倍之加又商二秒共得三十三度一三六二乘上廉得四十九万一千一百七十九度九六三六一二五以减益从方余一百三十一万三千五百二十七度八九五七六二五为从方置初次三四五六商得一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四加初次三四五商得一十六度五六八自之之数共得五百四十九度○○三八七五二四以减下廉余一万○一百六十四度九九六一二四七六以乘三十三度一三六二得三十三万六千八百二十九度二四四五八九二六为从廉并从方共得一百六十五万○三百五十七度二四○三五一七六为下法除余实又余实六十一分是求得矢度一十六度五十六分八十二秒问半弧背四十四度下赤道积度若干答曰四十六度三十分八十五秒术曰置周天半径内减矢度一十六度五六八二余四十四度三○六八为黄赤道小弦置黄赤道小弦以乘黄赤道大股得二千四百八十二度三六八二二二二四以黄赤道大弦而一得四十○度七七八一为黄赤道小股置矢度一十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四以圆径而一得二度二五四六为黄赤道背弦差以减半弧背四十四度余四十一度七四五四为黄道半弧弦(又为赤道小股)自之得一千七百四十二度六七八四二一一六为弦幂置黄赤道小股四十○度七七八一自之得一千六百六十二度八五三四三九六一为股幂并弦幂共得三千四百○五度五三一八六○七七以平方法开之得五十八度三五六九为赤道小弦(弧中以至黄道小勾股隅)置黄道半弧弦四十一度七四五四以乘半径得二千五百四十一度二五一二二五以赤道小弦而一得四十三度五十四分六十七秒为赤道半弧弦置黄赤道小股四十○度七七八一(又为赤道小勾)乘半径得二千四百八十二度三六六八三七五以赤道小弦而一得四十二度五十三分七六为赤道横大勾以减半径余一十八度三三七四为赤道弧矢自之得三百三十六度二六○二三八七六以圆径而一得二度七六一八为赤道背弦差加入赤道半弧弦内共得四十六度三○八五为赤道积度是求得赤道积度四十六度三○八五以新法密率推周天径一百一十六度八十四分五十秒(就整)黄道内外半弧背二十四度(所测就整)黄赤道大弦五十八度四十二分二十五秒(即半径又名勾股弦)黄赤道弧矢五度○五分八十秒黄赤道大句二十三度七十七分八十五秒(即半弧弦)黄赤道大股五十三度三十六分四十五秒(以矢减大弦得)问黄赤道内外二十四度为半弧背为矢若干答曰五度○五分八十秒术曰置半弧背自之得五百七十六度为半弧幂置周天径一百一十六度八十四分五十秒自之得一万三千六百五十二度七五四○二五为径幂(又为上廉)置径幂以半背弧幂乘之得七百八十六万三千九百八十六度三一八四为正实置径幂以周天径乘之得一百五十九万五千二百五十六度○四四○五一一二五为益从方置周天径以倍半弧背得四十八度为全弧背乘之得五千六百八十八度五六为下廉置初商五度以因上廉得六万八千二百六十三度七七○一二五以减益从方余一百五十二万六千九百九十二度二七三九二六一二五为从方置初商五度自之得二十五度以减下廉余五千六百六十三度五六以初商五度因之得二万八千三百一十七度八为从廉并从方共得一百五十五万五千三百一十○度○七三九二一二五为下法以除正实得五度余实八万七千四百三十五度九四八七六八九三七五置初商五度倍之得十度加次商五分共得一十○度○五分以乘上廉得一十三万七千二百一十○度一七七七八六五以减益从方余一百四十四万八千○四十五度八六六二六四六二五为从方置初次商五度○五分自之得二十五度五○二五以加初商自之之数二十五度共得五十○度五○二五以减下廉余五千六百三十八度○五七五以倍初商加次商一十○度○五分乘之得五万六千六百六十二度四七七八七五为从廉以并从方得一百五十○万四千七百○八度三四四一九六二五为下法以除余实得五分余次余实一万二千二百○○度五三一五六一九五六二五置初次商倍之得一十○度一十○分再加再商八十秒共得一十○度一十○分八十秒以乘上廉得一十三万八千七百二十二度○三七六八四七以减益从方余一百四十五万六千五百三十四度○○六三六六四二五为从方置初次再三商五度○五八自之得二十五度五八三三六六四再加初次商自之之数二十五度五○二五共得五十一度○八五八六四以减下廉余五千六百三十七度四七一三六以初次商倍之再加再商之数共一十○度一十○分八十秒乘之得五万六千九百八十三度五八八七九四○四为从廉以并从方共得一百五十一万三千五百一十七度五九五六○四六五以除次余实得八十秒余再次余实九十七度一七四八五八二七五三置黄赤道大股自之得二千八百四十七度七六九八六○二五为股幂置黄赤道大弦自之得三千四百一十三度一八八五○二五为弦幂置二幂相减余五百六十五度四一八六四六以平方法开之得二十三度七十七分八十五秒为大句(又为)(立句)右二法前乃授时旧法后乃新推密率且如黄钟之率推者非一古率围三径一魏刘徽以一百五十七之五十为密率宋祖冲之以二十二之七为密率皆未善也须以圆取实量圆中求径乃得真率圆径相取皆三一二六为率虚实积取率皆十三为准以此步筭周天三百六十五度二十五分七十五秒得周天径一百一十六度八十四分五十秒弱较授时所用围三径一之古法差四度九十分有奇径差则矢句股弦皆差矣虽曰围三径一与新推密率以步割圆分至于碎数亦相符然围三径一非正法也须密率所求方为正法古今律厯考卷六十九
## 卷七十
钦定四库全书
古今律厯考卷七十 明 邢云路 撰厯原四厯原求黄赤道度及率总数周天径一百二十一度七十五分(系围三径一)半径六十度八十七分半(又黄赤道大弦又立勾股弦)黄赤道内半弧背二十四度(是日出入赤道内外度)黄赤道矢四度八十四分八十二秒(自弧矢割圆来又为勾股较)黄赤道大句二十三度八十分七十秒(是弦股求勾得)黄赤道大股五十六度二分六十八秒(又为立股是矢减大弦得又为)(勾股合)问黄道去赤道内外二十四度似半弧背之状得矢若干答曰四度八十四分八十二秒术用割圆法以半弧背自之为半弧背幂以周天径自之为径幂又为上廉以二幂相乘为正实径幂乗径为益从方半弧背倍之以径乘之为下廉以初商四数乗上㢘以减益从方余为从方以初商四自之以减下㢘余以初商乗之为从㢘并从方为下法以除正实得初商四度余实寄位又次商八十分加于初商四倍得八度之下为并法以乗上亷以减益从方余为从方置初次商四八自之加初商四自之之数减下㢘余乗并法为从亷并从方为下法以除余实余为次余实又次商四分置初次商四度八十倍之加又次商四分为并法乗上㢘减益从方余为从方置初次又次三商四八四自之加初次商自之之数以减下亷余乗并法为从亷并从方为下法以除次余实余为再次余实再次商八十秒加初次又次三商倍之之数为并法以乗上亷以减益从方余为从方置初次又次再次三商四度八十四分八十秒自之加初次又次三商自之之数减下亷余乗四商并法为从㢘并从方为下法除再次余实再又次商二秒如前法取之得数合问他倣此此为三乘方法割圆式问半背二十四度矢四度八十四分八十二秒得半弧弦若干答曰二十三度八十分七十秒术以半径为大弦自之得三千七百○五度七六五六二五为弦幂以大股自之得三千一百三十九度○○二三一八二四为股幂二幂相较余五百六十六度一○九三七五平方开之合问又法以矢四度八四八二自之得二十三度五○五○四三二四为矢幂以周天径一百二十一度太而一得半背弦差减半背余为半弧弦合问他倣此推黄赤道立成积度度率等法术以黄道矢减周天半径余为黄赤道小弦以黄赤道大股乗之以黄赤道大弦而一为黄赤道小股以黄道背弦差减黄道度余为黄道半弧弦(黄道度即半弧背)置黄道半弧弦自之黄赤道小股自之相并以平方开之得赤道小弦置半黄道半弧弦(亦为赤道小股)以半径乗之(半径亦即赤道)(大弦)以赤道小弦而一为赤道大股又为赤道半弧弦置黄道小股(亦为赤道横勾)以赤道大弦乗之以赤道小弦而一为赤道大句以减半径余为赤道横矢自之以周天径而一得半背弦差减半弧背余为半弧弦如冬至后半弧背四十四度问赤道半弧背若干答曰赤道半弧背四十六度三十○分八十五秒(即今所用黄赤道积度)黄赤道差二度三十○分八十五秒术曰先以立天元一求矢以前三乗方法求黄道半弧背四十四度下矢一十六度五六八二以减周天半径余四十四度三○六八为黄赤道小弦又为股置赤道股(即小弦)四十四度三○六八自之得一千九百六十三度○九二五二六二四为股幂周天半径自之得三千七百○五度七六五六二五为弦幂二幂相较余一千七百四十二度三○九八七六以平方开之得四十一度七十四分五十三秒为黄道半弧弦以减半弧背四十四度余二度二十五分四十七秒为背弦差又法矢十六度五六八二自之得二百七十四度五○五二五一二四以周天径而一得二度二十五分四十六秒半为背弦差置黄赤道大股五十六度○二六八以黄赤道小弦四十四度三十○分六八乗之得二千四百八十二度三十六分八二二二二四以黄赤道大弦六十○度八七五而一得四十○度七七八一为黄道小股置黄道半弧弦四十一度七四五四自之得一千七百四十二度六七八四○七五六一一六为弦幂以黄道小股四十○度七七八一自之得一千六百六十二度八五七五七四三九六一为股幂二幂相并得三千四百○五度五三五八四七一七二六以平方开之得五十八度三十五分六十九秒为赤道小弦又法置黄道半弧弦即赤道小股四十一度七四五四以半周径即赤道大弦六十○度八七五乗之得二千五百四十一度二五一二二五为实以赤道小弦五十八度三五六九而一得四十三度五四六七为赤道半弧弦置大弦六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五为弦幂以小股四十三度五四六七自之得一千八百九十六度三一八二三○八九为股幂二幂相较余一千八百○九度四四七三九四一一以平方开之得四十二度五三十七为赤道立股又名横句(即弦股别勾法)又法置赤道小股四十○度七七八一以大弦六十○度八七五乗之得二千四百八十二度三六六八三七五以小弦五十八度三五六九而一得四十二度五三七七为赤道立股置大弦减赤道立股余十八度三三七三为矢置矢十八度三三十三自之得三百三十六度二五六一七一二九以周天径一百二十一度十五而一得二度七六一八为半背弦差置半弧弦四十三度五四六七加半背弦差得四十六度三○八五为赤道半背解曰黄道赤道半背若在冬夏二至后赤道即春秋二分黄道如分后四十四度是黄道半背四十六度三○八五是赤道半背冬夏二至反是周天圆周半之是全弧背如是四分之一是半弧背即周天象限九十一度有竒自半背一度至九十一度皆用前推弧矢弦背法为句股接弧矢三乘㢘法割圆术北极出地四十度九十五分(系所测)二至黄赤道内外度二十三度九十分(系所测)二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分(为黄赤道九勾)(三斜)二至出入差股十五度二十九分(为三斜中股)二至出入差半弧弦十九度八十七分(即小弦)二至出入差半弧背十九度九十六分一十四秒度差八十四分一十九秒冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒夏至去极六十七度四十一分一十三秒求二至差股及出入差置所测北极出地四十度九十五分为半弧背以前割圆弧矢求弦法推得出地半弧弦三十九度二十六分为三大斜中股置测到二至黄赤道内外度二十三度九十分为半弧背以前法推内外半弧弦二十三度七十一分为黄赤道大句小斜以大句与周天半径以句弦别股术得股较径余四度八十一分为二至出入矢夏至日南至地平七十四度二十六分五十秒为半弧背以前术求得日至地平五十八度四十五分为半弧弦以半径六十○度八十七分五十秒为大三斜置大三斜中段三十九度二十六分以二至内外半弧弦二十三度七十一分乘之得九百三十度八五四六以周天半径六十度八七五而一得一十五度二十九分为小三斜中股置小三斜中股一十五度二九较日至地平半弧弦五十八度四十五分余四十三度一十六分为大股置半径六十度八七五减出入矢度四度八一余五十六度六分半为大股弦以小股一十五度二九乗之得八百五十七度二三三八五以大股四十三度一六而一得一十九度八十七分为出入差半弧弦又为小弦是二至出入差半弧弦置二至出入差半弧弦以前法求之得出入半弧背一十九度九十六分一十四秒置二至出入差半弧背一十九度九六一四以黄赤道内外半弧弦二十三度七一而一得八十四分一十九秒为度差分去极距地日下之图二至前后黄道距赤道内外度置半径以减赤道小弦余为赤道二弦差一云赤道矢置半径减黄道矢余为黄赤道弦一为立股若相近曰句以二至内外黄赤道半弧弦乗之以半径六十度八七五而一得为黄赤道小弧弦即黄赤道内外半弧弦一云黄道小句置黄赤道小弧矢自之以周天圆径而一为半背弦差以加黄赤道半背弧弦即为黄赤道内外半弧背推每日去极度分视其黄道赤道内外度在盈初缩末为加缩初盈末为减皆加减周天象限度各得日去极度及分秒如冬至后四十四日问日去极几何(日即度)答曰去极一百八度六十二分三十二秒术置周天半径六十度八七五以减赤道小弦五十八度三五六九余二度五一八一为黄赤道弧之矢即内外矢置半径六十度八七五以减半弧背四十四度下矢一十六度五六八二余四十四度三○六八为黄赤道小弦以二至出入内外半弧弦二十三度七一乗之以黄赤道大弦六十度八七五而一得一十七度二五六九为黄赤道小弧弦即黄赤道内外小弧弦如短者为立句或为卧弦置黄赤道小弧矢二度五一八一自之以周天径一百二十一度七五而一得五分二十秒为弦差加小弧弦得一十七度三十○分八九为内外度即黄赤道半弧背置周天象限九十一度三一四三如是在盈初缩末为加缩初盈末为减皆加减黄赤道内外度如冬至后四十四日是盈初应加内外度十七度三十分八十九秒共得一百○八度六十二分五十二秒合前问前后每日皆倣此求每日太阳出入赤道去极度置所推每日晨前夜半太阳黄道积度如满岁周象已下为初限已上以减半岁周为末限如积满度率去之余以内外差乗之百约之所得之数以减内外弧背率为内外度分内减渐近外加渐逺是加减象限即为所推得去极度及分秒冬至昼刻即夏至夜刻三十八刻一十六分夏至昼刻即冬至夜刻六十一刻八十四分昏明二十五刻推黄道每日昼夜刻术置黄赤道半弧弦以二至出入半弧背乗之得数以二至出入内外半弧弦而一为所求出入差半弧背又术置黄赤道内外半弧弦以度差八十四分一十九秒乗之为出入差半弧背置圆径内减所求得内外二矢即赤道小弦差余以三因加每日行度为日行百刻度置出入半弧背以百刻乘之得数以日行百刻度而一得数为出入差刻置昏明二十五刻加黄道在赤道内为加外为减皆加减出入差刻为半昼刻倍之为昼刻以日百刻较之余为夜刻如冬至后四十四日问昼夜各几刻答曰昼四十一刻七十二分半夜五十八刻二十七分半术置冬至后四十四日(即度)黄赤道内外半弧弦一十七度二五六九即黄赤道小弦以二至出入差半弧背一十九度九六一四乗之以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七一而一得一十四度五十二分八十五秒为所求得出入差半弧背又术置黄赤道内外半弧弦以每日度差八十四分一九乘之为出入差半弧背置周天圆径一百二十一度七五内减所求得黄赤道内外二矢五度○三六四余一百一十六度七一三八三因之加每日度一度得三百五十一刻一十四分一十四秒为日行百刻度置出入半弧背一十四度五二八五以日行百刻乘之得数以日行百刻度三百五十一刻一四一四而一得四刻一十三分七十五秒为日出入差刻置昏明二十五刻为准黄道在赤道外减内加皆加减出入差刻今应减出入差刻四刻一十三分七十五秒余二十○刻八十六分二十五秒为半昼刻分倍之得四十一刻七十二分半为昼刻置日之百刻减昼刻余五十八刻二十七分五十秒为夜刻合前问推毎日昼夜刻日出入晨昏更㸃率更㸃所在时刻昏明五更中星见厯法古今律厯考卷七十
## 卷七十一
钦定四库全书
古今律厯考卷七十一 明 邢云路 撰厯原五厯原纪五星丽天平立差之原(各八段测)纪木星木星盈缩平立差测星以积晷为度置各段日下所测积差度分各以段日而一得泛平差各以次段泛平差较之为泛平较各以次段泛平较较之为泛立较盖以较之较较较较故也置一段泛平较内减一段泛立较为平立较平立较较较余三十二秒九十一微九十九纤为初段泛平较以加初段泛平差得一十○分八十九秒七十○微为定差(元史秒定万)置初段泛平较三十二秒九十一微九十九纤内减泛立较之半三秒一十二微一十一纤余二十九秒七十九微八十八纤以一段日一十一日五十刻而一得二秒五十九微一十二纤为平差置泛立差之半三秒一十二微一十一纤以一段日而一再而一得二微三十六纤为立差得木星盈缩平立差之原纪火星火星盈初缩末平立差积日积差泛平差泛平较泛立较泛平较前多后少应加泛立较取一段下泛平较六分一三九八四七二九六八七五加泛立较一十三秒一九七九二一八七五得六分二七一八二六五一五六二五为初日下泛平较置一段泛平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五加初日下泛平较六分二七一八二六五一五六二五得八十八分四十七秒八十四微为盈初缩末定差置初日下泛平较六分二七一八二六五一五六二五加泛立较之半六秒五九八九六○九三七五得六分三三七八一六一二五为实以一段下积日而一得八十三秒一十一微八十九纤为盈初缩末平差置泛立较之半六秒五九八九六○九三七五以一段日七日六十二刻五十分而一再而一得一十一微三十五纤为盈初缩末立差火星缩初盈末平立差积日积差泛平差泛平较泛立较取泛立较均停者三十九秒五八二一三七五以较一段下泛平较一十三秒二六四六八三一二五余二十六秒三一七三○六二五为较较较较较较加一段下泛平差二十九分七一三一二六九三七五得二十九分九十七秒六十三微为缩初盈末定差置较较较二十六秒三一七三○六二五以一段日一十五日二十五刻而一得一秒七二五七二五为较较较魄再置泛立较之半一十九秒七九一○六八七五以一段日而一得一秒二九七七七五为较较较体魄体合而为一得三秒○二微三十五纤为缩初盈末平差置泛立较之半一十九秒七九一○六八七五以一段日而一再而一得八微五十一纤为缩初盈末立差得火星盈缩平立差之原纪土星盈缩平立差土星盈缩平立差积日积差泛平较置一段泛平较五十八秒四○三三二五较泛立较七秒四八五三五余五十○秒九一七九七五为平立较以加一段泛平差一十四分六三六九二○二五得一十五分一十四秒六十一微为盈定差置平立较五十○秒九一七九七五内减泛立较之半三秒七四二六七五余四十七秒一七五三以一段日一十一日五十刻而一得四秒一十○微二十二纤为盈平差置泛立较之半三秒七四二六七五以一段日而一再而一得二微八十三纤为盈立差土星缩平立差(积日同盈)积差泛平差泛平较泛立较置一段泛平较三十○秒五二七三二五较泛立较八秒七五四九五余二十一秒七七二三七五为平立较以加一段泛平差一十○分七九九七七六二五得一十一分○一秒七十五微为缩定差置平立较二十一秒七七二三七五内减泛立较之半四秒三七七四七五余一十七秒三九四九以一段日一十一日五十刻而一得一秒五十一微二十六纤为缩平差置泛立较之半四秒三七七四七五以一段日而一再而一得三微三十一纤为缩立差得土星盈缩平立差之原纪金星金星盈缩平立差(积日同土)积差泛平差泛平较泛立较以一段下泛平较泛立较较之所余一秒八六八一七五为平立较以加一段泛平差三分四九六八一八二五得三分五十一秒五十五微为定差置平立较一秒八六八一七五以泛立较之半一秒八六四七二五较之余三十四纤半以一段日一十一日五十刻而一得三纤为平差置泛立较之半一秒八六四七二五以一段日而一再而一得一微四十一纤为立差得金星盈缩平立差之原纪水星水星盈缩平立差(积日同金)积差泛平差泛平较泛立较术同金星求得定差三分八十七秒七十微平差二十一微六十五纤立差一微四十一纤得水星盈缩平立差之原右木星秒二十七微一十四纤本二秒五十九微一十二纤总一十分八十九秒七十微火星盈初秒八十六微五四三七五本八十三秒一一八九总八十八分四七八四缩初秒一秒二九七七五本三秒○二三五总二十九分九七六二土星盈秒三十二微五四五本四秒一○二二总一十五分一四六一缩秒三十八微○六五本一秒五一二六总一十一分○一七五金星秒一十六微二一五本三纤总三分五一五五水星秒一十六微二一五本二十一微六五总三分八七七三者即平立定三差秒者标本者根总者干也五星各以段次因秒木土金水四星并本惟火星较本各以积日而积五星皆较总又各以积日乗之得各实测之度分秒其五星积日者是周日各以度率而一得每岁三百六十五度二十五分太各以四分而一得一象限木土金水四星就此为象限惟火星半象限减象限为盈初缩末限加象限为缩初盈末限故度命为日者为各取盈缩厯之便而设其实几日之日乃几度也古今律厯考卷七十一
## 卷七十二
钦定四库全书
古今律厯考卷七十二 明 邢云路 撰厯原六厯原日月食限以半交差一日一十五刻九一八四五加减交终及交中并二交为六限隂阳各三限加为后限减为前限阳后限月食日不食隂前限月食日不食以交差之半半之得五十七刻九五九二二五加减交终及交中为日食界限逢此界限日月俱食天首五限前限二十六日○五刻三○三九五(已上日月俱食食已下日月俱不)二十六日六十三刻二六三一七五(日月俱食)中限二十七日二十一刻二二二四(日月俱食)后限五十七刻九五九二二五(已下日月俱食食已上月食日不)一日一十五刻九一八四五(已下月食日不食已上日月俱不食)天尾五限前限一十二日四十四刻六九二七五(已上月食日不食已下日月俱不食)一十三日○二刻六五一九七五(已上日月俱食食已下月食日不)中限一十三日六十○刻六一一二(日月俱食)后限一十四日一十五刻七○四二五(已下日月俱食食已上月食日不)一十四日七十六刻五二九六五(已下月食日不食已上日月俱不食)交终度三百六十三度七十九分三十四秒者以月平行度乘交终也正交三百五十七度六十四分者以月平行度乘正交限二十六日七五一九也中交一百八十八度○五分者以月半行度乘中交限十四日○六六四也南北泛差四度四十六分者周天象限自之以定法一千八百七十度而一也月食限者以隂八度阳六度并之得十四度半之得七度为腹寛之数为法除周天象限得十三度○五分弱所推就整为月食限度日食定法九十六者一时八刻也二十五刻者一百刻四分之一也不及为卯前过为卯后七十五刻者四分之三也不及为酉前过为酉后月食定法八十七者以十五分归月食限十三度五分也后准十五度五十分者以月平行度乘天首后限一日一十五刻九一八四五所得已下为交后度已上月不食前准一百六十六度三十九分六十八秒者以月平行度乗天尾前限一十二日四十四刻六九二七五所得已上月食已下月不食日体大月体小月小于日三分之一日髙月下故日食十分月食则入暗虚行一度又半故月食十五分计日去天月去日以几千里计而地去月则以几万里计日大月以千百里计而地大月则以几万里计此何以知之以勾股测天及日出入分知之乃南齐书曰日月当子午正隔于地犹为暗气所食以天体大而地形小故也此言一倡人遂议日月与地三者形体大小相似地体止当天一度半而天周当地径二百四十余倍日月相冲为地所蔽有景在天其大如日日光不照名曰暗虚月望行黄道则入暗虚值暗虚有表里深浅故月食有南北多少其说非也盖古人虽有暗虚之说乃月行日度自隠其光与月掩日同非指为地景也且如春秋二分食于卯酉之正日月相望其平如衡地犹在下乌能蔽之况以法布筭地大于月数十倍乎宋濂不知作楚客对亦言月食为地景所隔皆南齐之说〔？〕之也日食九服视之分数各不同者在地南北东西之故在天交前后隂阳厯之故也日食在隂厯月北日南自人视之北方见食多南方见食少在阳厯月南日北自人视之南方见食多北方见食少日食在交前西方见食少东方见食多在交后东方见食少西方见食多日食当交之中无论隂阳厯东西俱见食既隂厯北方见食既阳厯南方见食既月道交日道出入于六度而信不爽五星去而复留留而又退而伏而期无失何也太阳为万象之宗居君父之位掌发歛之权星月借其光辰宿宣其炁故诸数壹禀于太阳而星月之往来皆太阳一气之牵系也故日至一正而月之闰交转五星之率皆由是出焉此日为月与五星之原也同异乘除测七政术术七政各以测到晷至圭面丈尺寸分或前或后相连日以二日相减余为法以最髙前丈尺寸分与最髙后丈尺寸分近同者相减余为实如法而一得加减差最髙前丈尺寸分多为加差少为减差以加减最髙前距后日命为刻半之加半日刻月五星减最髙前夜半后漏刻加最髙后夜半后漏刻半之七政皆以最髙前日筭外各得七政最髙日余以发歛収之得时刻如测七政最低亦然惟加减差反是应加作减应减作加或问日月固有景可测矣而五星无景且测星之法无传奈何余曰有二术焉以简仪距其四正而至午有度去极有度漏下有刻以法歩之其术一以圭表据午位人目以小表望大表以上射五星下识圭刻以漏记之以法歩之其术二或又曰金水当天暗于离照日沉西见何以施测余曰是无难可一言蔽之以纬距经正于午位十字之准两望相牵则凡星皆可代金水也乃自金水所留之舍以次日日歩之易知简能于测金水乎何有或又曰测四余如之何余曰罗计禀于交食测月交即测罗计前术有之矣若炁生于十闰月生于月迟古有此说然二皆隐曜孛星间见于史乘则宜取古一孛见宿度日时刻距今一孛见宿度日时刻用距积年月日时刻以月孛周天之数而一或可得也至于紫炁则古来所见者少亦须候其前后两见依求月孛术步之亦得然所见既少俟见而测知何时姑立法可也大都炁孛二隐曜星命家言之于歴数无关所关厯数者七政也七政之数原本于测验而七政之差则由于测验之法失其传不见今司天氏之所为测騐者乎今司天亦测日晷每节气阖监官向圭表测日景毕各画一押既而上疏入告曰测矣试问其晷长若干作何布筭皆曰不知也既不知则不如不测测日景且不知又安望其测月与五星夫人病无法耳今余法既立且纤悉备至有法可循即无难可致若畴人于此而犹泄泄然诿之曰我不能也则吾不知之矣於戏余累累千万言于厯数不啻详矣而有难者未易言也葢天动物也消息至微安必其永久而不变如今之日躔六十六年差一度及百年消长各一之说其间畸零多少乃在冥蒙间畴其觉之可执为定乎以推之七政皆然况天道间有失行虽则旋复其常而既有失行是即天运之难定也故僧一行云干度盈虚与时消息告谴于经数之表变常於潜遯之中则圣人且犹不质非筹厯之所能及矣曰然则如之何无已则郭太史所谓随时推测是已世病无推测之法余法既立即不妨随时观象依法推测合则从变则改亡论消长暗移失行旋复之故壹是皆以泽火之革旋正之即用之亿万斯年与天地无彊可也此又原之原也古今律厯考卷七十二◆ 《乾坤体义-明-》（KR3f0009）
## 提要
钦定四库全书 子部六
乾坤体义 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案乾坤体义三卷明利玛窦撰利玛窦西洋人万厯中航海至广东是为西法入中国之始利玛窦兼通中西之文故凡所著书皆华字华语不烦再译是书上中卷皆言天象以人居寒煖为五带日月星天为九重以水火土气为四大元行以日月地影三者定薄蚀至于恒星七曜与地各有倍数日月出入各有映蒙多发前人所未发其多方罕譬亦皆委曲详明下卷皆言算术以边线面积平圜撱圜互相容较补古方田之所未及为今线面体之造端虽篇帙无多而其言皆騐诸实测其法皆具得变通所谓词简而义赅者我朝御制数理精蕴多因其说而推阐之当明季厯法乖舛之余郑世子载堉邢云路诸人皆力斥其非而所学未足以相胜自徐光启等改用新法乃渐由䟽入宻至本朝而益为研究始尽精㣲则是书固亦大辂之椎轮矣乾隆四十六年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷上
钦定四库全书乾坤体义卷上明 利玛窦 撰天地浑仪说地与海本是圆形而合为一球居天球之中诚如鸡子黄在青内有谓地为方者语其徳静而不移之性非语其形体也天既包地则彼此相应故天有南北二极地亦有之天分三百六十度地亦同之天中有赤道自赤道而南二十三度半为南道赤道而北二十三度半为北道据中国在北道之北日行赤道则昼夜平行南道则昼短行北道则昼长故天球有昼夜平圏列于中昼短昼长二圏列于南北以著日行之界地球亦有三圏对于下焉但天包地外为甚大其度广地处天中为甚小其度狭此其差异者耳查得直行北方者每路二百五十里觉北极出高一度南极入低一度直行南方者每路二百五十里觉北极入低一度南极出高一度则不特审地形果圆而并徴地之每一度广二百五十里则地之东西南北各一周有九万里实数也是南北与东西数相等而不容异也夫地厚二万八千六百三十六里零三十六丈上下四旁皆生齿所居浑沦一球原无上下盖在天之内何瞻非天总六合内凡足所伫即为下凡首所向即为上其専以身之所居分上下者未然也且予自太西浮海入中国至昼夜平线已见南北二极皆在平地畧无髙低道转而南过大浪峰已见南极出地三十六度则大浪峰与中国上下相为对待矣而吾彼时只仰天在上未视之在下也故谓地形圆而周围皆生齿者信然矣以天势分山海自北而南为五带一在昼长昼短二圏之间其地甚热则谓热带近日轮故也二在北极圏之内三在南极圏之内此二处地俱甚冷则谓寒带逺日轮故也四在北极昼长二圏之间五在南极昼短二圏之间此二地皆谓之正带不甚冷热日轮不逺不近故也又以地势分舆地为五大州曰欧逻巴曰利未亚曰亚细亚曰南北亚墨利加曰墨瓦蜡泥加其各州之界当以五色别之令其便览各国繁伙难悉大约各州共有百余国原宜作圆球惟其入图不便不得不易圆为平反圏为线耳欲知其形必须相合连东西二海为一方可也其经纬线本宜每度画之今且惟每十度为一方以免杂乱依是可分置各国于其所东西纬线数天下之长自昼夜平线为中而起上数至北极下数至南极南北经线数天下之寛自福岛起为十度至三百六十度复相接焉试如察得南京离中线以上三十二度离福岛以东一百二十八度则安之于其所也凡地在中线以上至北极则实为北方凡在中线以下则实为南方焉释氏谓中国在南赡部洲并计须弥山出入地数其缪可知也又用纬线以著各极出地几何盖地离昼夜平线度数与极出地度数相等但在南方则著南极出地之数在北方则著北极出地之数也故视京师隔中线以北四十度则知京师北极髙四十度也视大浪峰隔中线以南三十六度则知大浪峰南极髙三十六度也凡同纬之地其极出地数同则四季寒暑同态焉若两处离中线度数相同但一离于南一离于北其四季并昼夜刻数均同惟时相反焉盖此之夏为彼之冬焉耳且长昼夜愈离中线愈长也余以式之推计于图濵每五度其昼夜长何如则西东上下隔中线数一则皆可通用也用经线以定两处相离几何辰也盖日轮一日作一周则每辰行三十度而两处相违三十度并谓差一辰故视女直离福岛一百四十度而缅国离一百一十度则明女直于缅国差一辰而凡女直为夘时缅方为寅时也其余倣是焉设差六辰则两处昼夜相反焉如又离中线度数同而差南北则两地人对足氐反行故南京离中线以北三十二度离福岛一百二十八度而南亚墨利加之玛八作离中线以南三十二度离福岛三百零有八度则南京于玛八作人相对反足氐行矣从此可晓同经线处并同辰而同时见日月蚀矣此其大畧也其详则备于图并其后书云地球比九重天之星逺且大几何余尝留心于量天地法且従太西庠天文诸士讨论已久兹述其各数以便览焉夫地球既每度二百五十里则知三百六十度为地一周九万里又可以计地面至其中心隔一万四千三百一十八里零十八丈地心至第一重谓月天四十八万二千五百二十二余里至第二重谓辰星即水星天九十一万八千七百五十余里至第三重谓太白即金星天二百四十万零六百八十一余里至第四重谓日轮天一千六百零五万五千六百九十余里至第五重谓荧惑即火星天二千七百四十一万二千一百余里至第六重谓歳星即木星天一万二千六百七十六万九千五百八十四余里至第七重谓填星即土星天二万五百七十七万零五百六十四余里至第八重谓列宿天三万二千二百七十六万九千八百四十五余里至第九重谓宗动天六万四千七百三十三万八千六百九十余里此九层相包如葱头皮焉皆硬坚而日月星辰定在其体内如木节在板而只因本天而动第天体明而无色则能通透光如琉璃水晶之类无所碍也若二十八宿星其上等每各大于地球一百零六倍又六分之一其二等之各星大于地球八十九倍又八分之一其三等之各星大于地球七十一倍又三分之一其四等之各星大于地球五十三倍又十二分之十一其五等之各星大于地球三十五倍又八分之一其六等之各星大于地球十七倍又十分之一夫此六等皆在第八重天也土星大于地球九十倍又八分之一木星大于地球九十四倍又一半分火星大于地球半倍日轮大于地球一百六十五倍又八分之三地球大于金星三十六倍又二十七分之一大于水星二万一千九百五十一倍大于月轮三十八倍又三分之一则日大于月(下阙)浑象图说浑象图以见日月运行寒暑大意精铜为之外一环名子午环取凖南北三向两头各用一枢在南者借作南极在北者借作北极匀分三百六十度随地而移如北极出地一度则南极入地一度也中横环名曰赤道日行至此则昼夜平矣稍南北二十三度半各一环为日行离赤道南北最逺之极此三环当用一闗捩贯于南北二极之中俾其运转者最中一小球乃地海全形也自赤道下北方诸国观之日行北道则昼长夜短至夏至而极极则返而南日行南道则夜长昼短至冬至而极极则返而北其赤道以南诸国则反是焉四元行论或问于余曰中国类重五行而贵国重四行何也余荅之曰窃谓中国论五行古与今不同矣所谓行者乃万象之所出则行为元行乃至纯也宜无相杂无相有矣故谓水火土为行则可如以金木为元行则不知何义矣试观万物之成多不以金木焉如人虫鸟兽诸类是也则金木不得为万物之达行也又谁不知金木者实有水火土之杂乎杂则不得为元行矣设杂者可为行则草石等皆可置之于行之列不独五行也何独取金木耶吾观古唐虞开物大禹陈谟特以与谷列之为六府只云其切于民生者未尝谓水火金木土为元行质万物之本也后儒言水而木木而火火而土土而金夫乃曰木由水生火由木生土由火生金由土生水由金生耳此说诚难顺之夫木兼有火土何独由水生而火土未生时木安得自成乎如生木时土未生先原树于何地植乎夫物相生宜今无异于昔也然今水无土无太阳之火莫能生木木乃先有种入土后以水淋以太阳和下生根上萌芽而长成树则古并如是何无据考而殊之乎又木如生火则木性至热水以吾常视凝冻则氷本至冷以至冷生至热是理不通矣水既生木而木生火水乃祖火乃孙何祖如此不像何其祖之如此不仁恒欲灭孙也耶初未有土木金则独水用何器藏之乎金由土生则于木何异金生土内木生土上本皆自土发矣且易注天一生水地二生火天三生木地四生金天五生土则五者之生若有先后一定之数矣今曰金生水则金四当先于水一矣曰木生火则木三当先于火二矣曰土生金则土五当先于金四矣火二虽居土五之前然隔三四何以生土木三虽居水一之后然隔火二何以承生于水一乎是其序均非义矣或问贵邦必有元行之真论敢问其指余曰元行之论事甚烦而理甚广不可以片论悉之且约为子言之吾西庠儒谓自不相生不相有而结万像质乃为行也天下凡有形者俱从四行成其质曰火气水土是也其数不可阙增也夫行之本情并为四也曰热干冷湿是也四元行每二元情配合为性而成焉若冷与热干与湿直相背而不可同居以为二行矣惟热干相合为火火性甚热次干也湿热相合为气气性甚湿次热也冷湿相合为水水性甚冷次湿也干冷相合为土土性甚干次冷也此四行之性也于下图可便览当初造物者欲创作万物于寰宇先混沌造四行然后因其情势布之于本处矣火情至轻则跻于九重天之下而止土情至重则下凝而安天地之当中水情比土而轻则浮土之上而息气情不轻不重则乗水土而负火焉所谓土为四行之浊渣火为四行之净精也火在其本处近天则随而环动每日偕作一周此系元火故极净甚炎而无光焉无光者何无薪炭等体以傅其光故尔若遇一外物冲照则著而发矣比而窑既久烧而方除薪炭虽内弗现火光而热气甚盛可速㸃𦶟物矣天下万象之初皆以四行结行之每偶相背则常胥敌而终一胜胜则四行皆解散而归本焉是以物之形自函壊已之縁岂我以𤣥门虚术强能免之乎哉若天星形异性于下者而亦有所属四行焉其七政之太阳荧惑属火太隂太白属水辰星镇星属土维歳星属气也二十八宿各有其性而难辨矣若十二房者白羊狮子人马禀火性金牛磨羯室女禀土性双兄天秤寳瓶禀气性巨蟹天蝎双鱼禀水性(双兄室女厯家错为隂阳双女今正之)若四季者春乃湿暑则属气焉秋乃旱寒则属土焉夏乃暑旱则属火焉冬乃寒湿则属水焉其歳二十四节亦以四季分类矣若四方之气却不可以天下四时为一槩定焉此乃随地势及岁季移也变异也若中国之中大抵北风有土情南风有火情西风有水情东风有气情若人内四液者血属气黄痰属火白痰属水黒痰属土也四液者下民皆所备有之以养生而人人得一二盛以名其性也斯可因外行动明騐之黙暗寥寂少言者必盛于黑液矣性速反复易怒者必盛于黄液矣愉容寛恕和气者必盛于红液矣愁色多忧过虑者必盛于白液矣此生而所禀性吾不能㧞脱惟能遏掩之耳人发病疾盖四液不调耳已故医家以四者分课则先访审所伤者后以相背药治之也释氏小西域人也若已闻太西儒所论四行而欲𫝊之于中国谓地水火风乃四大也然吾太西庠儒惟名之四大体焉葢天下海内海底通为土一体也天下江河连四海并为水一体自水地至火处其中所谓空者共为气一体夫气以上其余空届月天皆为火一体也夫以形言之宇内大者无大乎四行体也但日轮宿星及各天重愈大又天也星也四行也以事人类为职则人尤大矣其谓风者固不可以当气也动而始有风耳静则无焉如是讵世界无风便少一大乎人及鸟兽非吹呵啑际便缺一大乎释氏何不知风者虽盛于气而杂有水火为不纯之类则不宜例乎四纯体矣其谓地又非所论也地乃对天抱山水万森之总名孰为纯体而列之于四元行哉不若以中国之理译之为火气水土乃四元行四纯体也按其各情定其所居指其所属截然不混矣或曰自地至天其中常人谓空然吾知其为气者所实焉试观鸟之动翅而飞如舟之摇撑而行则气当水矣且水聊有色而气竟无之气体态尤幽是故不克以目见焉观之于人同与飞走之物并处宇内其呼吸非息使然乃出入其气耳又以声亦的然可徴之夫声者惟二有形物相撞为所发耳倘有以长薄棍击空必闻响岂非棍形撞气形之效乎勉斋黄氏曰天下无些空缺处愚人见天在上地在下则说中间有缺处也不知天地间逼实无空吾身之外皆是气如既脱衣即觉寒气袭体又如寓一间屋两头垂帘右手掲帘左亦掣动此皆觇气实处矣则中国儒者亦识有气在左右独不为之行且今所谓气者于孟子对志之气不同故先生传元行之数及情性果为可从吾意贵邦所谈四元行是乃五行六府之体焉我古唐虞谓五行六府是乃四体之用焉世儒欲混之而不分体用真不可矣但先生定气之性为热吾未明其理也吾见汤水虽无寒风吹自能去热致冷则本性谓冷宜矣视彼土和水成泥虽无烈日薰炙自克去湿致干则其本性为干效矣火性之本为热孰疑之焉然气者窃意其性非热而反为凉故虽夏日炎亢便或摇扇必出凉风脱衣遂觉寒气侵身斯气本性似非热矣又气之广大无物不有无所不在故火有火气水有水气土有土气是以气似不可以别设行焉余曰吾前定气性甚湿次热则其性独非热者执益热之物不觉已热而反觉凉如焉如吾以已热手揣摩他人愈热之手必觉已手为凉非我手诚凉也乃他手之热有甚故也故或摇扇而挹清风或脱衣而侵寒冷此因吾身甚热遂觉夏气似凉焉非气之不自热矣又曰气之本性自热因近著水土之冷而变已本情偶成凉耳比温泉下生硫黄则所发水滚热者水之本性乎天亦于是处备凉气以资民之呼吸而调冷心内火矣故每息更气以出热而致凉焉故鱼类恒潜水中而水本性甚冷自外能透凉内心多无呼吸资也夫气处所又有上中下三域上之因迩火则常太热下之因迩水土而水土恒为太阳所射以光辉有所发煖则气并煖中之上下遐离热者则常太寒冷以生霜雪之类也其三般气又广窄弗等若南北二极之下因违逺太阳者隂气盛则上下热煖处窄而中寒冷处广若赤道之下因近太阳者隂气微则反然二热煖处广而寒冷处窄其三处及余行之处所便可于后图览之视此则知气行有本处而有界何曰无所不在乎然人常以物切情为气焉故以热干为火气以湿冷为水气以干冷为土气吾今谓气者惟言一行本湿热不轻重居水土之上天火之下也不言各物情气物之情气于物不殊也或问曰先生谓火聚在天九重下此乃新说吾中国前未闻焉愿闻贵邦据何理而言之盖彼处悬逺乎壤则人足不得而踵人目不得而覩也况火具于彼若闲然无所益于世界者余曰夫火在上其体视气更幽渺而无些光故人难得覩之以目也惟有不可违之理为徴焉其一曰气水土三行各获其本处以归聚曰空曰海曰地是也何独火者散居而无所会处哉既有本处而非水土间必在气上矣轻者浮重之上常理焉其二曰凡物在本处外自就其处故水在空中自落下而流至于海始止也石在水上自沉溺而至底方休也气在水下自沤而上浮也吾观火恒性轻而自发土水气上则騐其本处非下而在气上矣又若设有在空中寓而见水土恒性欲下则可证水土本处在气下也其三曰夜间数见空中火似星陨横直飞流其诚非星乃烟气从地冲腾而至火处著㸃耳盖天星自古迄今原有定数而成数宿象不能减亏焉如夜夜果落几星何以计其数乎何像之成乎天星不几于尽亡乎况天上事不克壊岂落之有乎逹此理者先须识其由也日轮广大乎山海地总球一百六十余倍(日轮大乎地后有一篇明论证)(之请视之以免诞笑我也)而昼夜围照之必常发烟气跻上如火煑锅焉其气或乃厚而冷湿少热则重而无力以出山顶外且内变水以合沙土干石所致水而生江河源泉也或薄而清则上不高夏时化为露冬时化为霜或乃湿热则登髙至半空值寒气即凝而为云云随时为雨雪者也若兹气余滓无汁便为雾矣常有干热气自旱地发如肥烟则或横飞而为风或直升也升际如或值云云本冷湿则围迫之而欲灭之彼被逼则奋力生光火发声响而爆烈出上下此乃霹雳雷电之縁耳有曰自地而升吾不知所据也如彼气无逢阻者则逾气域臻火疆便㸃著若微者速走而消落似星若厚者久悬于是而为孛星焉人在下而逺望之如其在天而为真星不亦谬乎夫火齐居彼者大有利乎宇内一以盈满天下四大体而相调和焉使缺火之大体其水土之冷可悉泯气之微热而止罢生生矣盖气本弱维借火之力方能敌彼二行以存本体而保万森者也一以销化从下沛然恒上秽烟也否则朽壊气以生煴病于世也一以㸃彗星属而设百象于智者占卜将来㓙岁灾祸而免之也一以煖天所降生气而使之和民体者也既有此等大益于世之物诚不可谓徒在彼也或问曰如云大火近天天岂不烧壊乎余荅曰天也自不能壊也于天之下诸物大异矣然天下有金刚石不受火之累岂惟石耶西土产有火木以为屯寨有火草以织火布竟不惧火而天者犹惧之乎噫理本无穷言各有当自伏羲画易以后文王图位已错综互异矣兹行也溯其原则四之以立体别其流则五之以达用何害其心之一理之同耶中庸谓及其至也虽圣人有所不知焉上国名儒何尝自是其见也如信不及姑存而不论可矣乾坤体义卷上
## 卷中
钦定四库全书乾坤体义卷中明 利玛窦 撰日球大于地球地球大于月球夫测量法借方矩植表视物以句股推其逺近高低固实无疑也惟高逺甚目力杀混矩表度纎淆则法不效故三四百里之外纵假高台崇山庸法皆无利矣古者不知是法之病即用器以量天曰违地八万里测日球广阔曰一千里岂不悮乎或问曰天文氏有量天尺有平仪有浑天仪以测七政星辰岂皆虚具乎曰量天尺以察日至之景平仪浑天仪以审日月诸星高之分及其方位固无谬也借使之以量天逺近髙低星之大小尺分里数此乃大悮耳夫天以辰星测之有九重以恒旋推之有十一重以速迟进退见伏言之共有三十八端(在天地仪书)夫欲量天先量地地为量天之堦也欲量地球先测其径以径推其周围便知其大矣(下卷四题圏书首卷三十)(二题)欲量日月辰星球之大(日月辰星视之如轮而实为球是故以后通谓曰球)先推天各重逺近厚薄(在多罗谋氏大造书)而度各球径也假如甲乙丙丁为地球戊为其心甲戊为地球半径己为月戊庚真地平甲辛地面地平也从甲地面欲测己戊线乃月离地心之里数几何矣先以法测此时刻月出真地平线几度则知己戊庚角几大夫甲戊庚为直角故除己戊庚则甲戊己角之大审矣(推甲戊己角大几何多罗谋氏)(别有方)次自甲以平仪等噐视月则得己甲戊角大几何此己甲戊三角形之己戊甲己甲戊两角既明则其第三角甲己戊亦明矣(一卷三十一题)辛地半径己测为一万四千三百一十八里零十八丈(地仪书载二三法以测地球径)则若别作三角形于己甲戊相似而体势等(六卷十八题)既两三角形相当角比例等(六卷四题何为比例及比例之类在几何原本五卷界说第十)用勾股三数法可测自戊地心至己月体有四十八万二千五百二十二余里夫日月星体违地心几何既审则以法推其径之长也两球之比例有其径三加之比例(十二卷十八题)则既知地球大何如因而日月诸星比地之几何大亦审矣多罗谋氏又有恪法因日月之蚀测二球之大也人所最疑上卷之论惟其曰日球大于地球一百六十倍地球大于月球三十九倍盖曰吾视日月大不逾大瓮之底而俱等何以知其异而相大几倍乎今余不设量几倍之法惟明徴日球大于地球地球大于月球借视照法六题易晓者以破其疑故先解六题而后可指三球之大小相比何如云第一题物形愈离吾目愈觉小解曰吾视物如作一三角形焉形以物径线为底邉以底邉两端至目两线而结一角为二腰邉则夫内角益大吾觉物益大益小吾觉物益小也等则吾觉之等矣论曰首图目在甲视乙丙一球则如作甲乙丙三角形其乙丙即球之径线为底邉乙甲丙甲二条视线为两旁腰邉乙甲丙角为目内角也又视逺球丁戊甲三角形虽乙丙丁戊二球大等而吾觉近者大于逺者无他惟乙甲丙角大于丁甲戊角故耳又视第二图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大吾觉两球者等无他惟乙甲丙角于丁甲戊角等故耳又视第三图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大更逺则吾觉乙丙小球大于丁戊大球无他迺为乙甲丙角大于丁甲戊角故耳第二题光者照目者视惟以直线巳解曰光之所能及无碍者即照之目之力所能迄无隔之者则视之便自目自光可以射直线至于物体便无有隔碍之而可以照视之论曰如以上图或光或目在甲而照视乙丙体之前者乙丙自甲至乙丙之间无所不可作直线则无不可照视之而乙丙之外无乙丙体乙丁丙戊之内竟不可照视无他惟自甲至丁乙丙戊间不可作直线耳茍以曲线可以照视物非但物之前者其后者并能现明焉而无所碍也后论曰如以上图自甲可通以曲线至己而设并可照视之则乙丙之后乙丁丙戊之内犹可照视而乙丙之体隔不能为之碍也然物之背不移光不选目不可著照视则以曲线竟不能照视也第三题圆尖体之底必为环使真切之数节其俱乃环而环弥离底者弥小而皆小乎底环者解曰试观上图有甲乙丙圆尖体若犀若牛直角然而切之丁戊己庚辛壬三处题云其底甲乙为环丁戊己庚辛壬并为环又云丁戊环大于己庚己庚大于辛壬而各小于甲乙环也论曰设甲乙底非环其体也非圆也又圆体之节于其底平离则甲乙既环丁戊己庚辛壬并为环也又甲丙二线愈就丙愈相近则其环之径愈短而环愈小也其底之犹甚大可知也第四题圆光体者照一般大圆体必明其半而所为影广于体者等而无尽解曰试观后图题云甲乙光体者照丙丁前半体竟受光而后影一般广而无尽也论者照者以直线照(在第二题)甲乙体于丙丁体者等则甲乙径于丙丁径亦等而可自甲乙丙丁间射光之直线则其前者毕明其后者毕隂也又甲丙乙丁二线平行一般近则其直出丙丁之外不克相近而相遇(几何原本解说三十四)丙丁之后既竟为𡨕则丙丁之影无尽而于丙丁之原体广并等焉第五题光体大者照一小圆体必其大半明而其影有尽益近原体益大解曰试观后图大光体甲乙照小圆体丙丁题云戊己以前大半有明而其影戊庚己尽于庚而益近原体丙丁益大矣论曰光体所照体者等惟能照其半(在第四题)则今既光体大于所照者必照大半也又照惟以直线为(在第二题)则自甲乙体之界可射二直线于戊己受光之界今令二线出戊己之外必相遇于庚何者大光体之径甲乙大于小体之径丙丁而平行则甲丙乙己二线不为平行线使二线上加戊己纵线向大体甲戊己乙己戊两角大于两直角其外角庚戊己庚己戊小于两直角则甲戊乙己两线愈长愈相近必有相遇之处(几何原本公论十一)相遇于庚则影有尽夫戊庚己之内惟有影其外竟光则丙丁体之影渐尖而卒有尽也第六题光体小者照圆体者大惟照明其小半而其影益离原体益大而无尽解曰试观后图甲乙光体小者照丙丁圆体大者题云惟其小半戊己受明而后大半冥其影愈离原体愈大而无尽焉论曰光体所照体者等惟能照其半(在第四题)今光体小则不及照其半也又甲乙体既小于丙丁体则甲乙径小于丙丁径而自甲乙界射线于丙丁界直出此二线益离甲乙益大则不克相值而其内影益逺益大而并无尽也(用第五题论而反之)夫月球离地四十八万二千五百二十二余里日球离地一千五百九十一万二千三百八十二里则虽吾视觉二形一般大不可谓之等焉(在第一题)徴日球大于地球地球大于月球皆由日月之蚀故先须明二蚀之所以然日蚀非他惟朔时月或至黄道日所恒在也则既在日之下便掩其光而吾不能见日谓日蚀也且日球者了无失光故其蚀非天下各国共有之而或一处日蚀而别处光焉或一处全蚀而他处惟蚀其半焉所见正斜异故也月蚀天下皆同盖月球并诸辰星之体本无光皆借太阳之光也地球悬九重之当中如鸡子黄在青中然惟望时月或至黄道于太阳正相对则地球障隔其光而不得照之故月失光矣且月蚀乃地影蒙之也月已出地影即复光或以为抗日非其理矣其日月蚀图设于后以便览或问曰有夘酉时月蚀者而日月俱现地平上以为地形中隔似不如是曰春分至秋分日出地恒在夘正前故月朢对酉正后秋分至春分日出恒在夘正后故月朢对酉正前夫月蚀特于朢朢时日月何得而同现地平上乎盖其半沉半吐之际人见双形实非并现倘月蚀时日月全见地平上必月或在西始入地或在东将出地而海水影映并水土之气发浮地上现出月影此时月体实在地下为地所隔此理可试于空盂若盂底内置一钱逺视之不见试令斟水满之钱不上移而宛可见焉盂邉既隔吾目则吾所见非钱体乃其影耳兹岂非月在地下而景现地上之喻乎或又谓月影映水可见日影映水亦可见地上何独言月不言日曰日体极大违地极逺此理喻日于义不合图设于上以便览观论日球大于地球夫日球于地球或大或等或小焉如云大则无用辨等并小不可不辨论曰日球或小或等于地球地球之影宜无尽(在第四第六题)则必能及火木土星并二十八宿而蚀之矣然未见火木土星并二十八宿之蚀或曚之则地球影不臻其体而有尽焉既有尽则日球不可谓或小或等于地球者而必大也况地影克至三星二十八宿之体必每夜宜见蚀曚星之大半而竟不见之也此理设图于后以细玩焉又地球之影益逺地益小则日球大于地球者也(在第四题)若非益逺地益小或益大或等焉则影至星而非见星之蚀必见其甚曚焉又如月在龙头其离地逺如在龙尾其离地近也然月在龙头其蚀时短在龙尾其蚀时长则地影益逺益小著矣论地球大于月球然地球大于月球何騐之耶论曰地影依前论为一尖圆体而地之半球为底之环也月球蚀时全在其尖体之内而久行其中(乃其全黒之时)则月球之径甚小于地球径也(在第三题)此以日月蚀论之若量法又可以测二形之大而较之焉今畧举是姑明其意云尔附徐太史地圜三论西泰子之言天地圆体也犹二五之为十也(地形之圜乃欧罗巴)(诸儒千年定论非窦创为是说)或疑焉作正戏别三论解之正论曰古法北极出地三十六度此自中州言耳唐人云南北相去每三百五十一里八十步而差一度宋人云自交南至于岳台六千里而差十五度此定说也夫地果平者即南北相去百亿万里其北极出地之度宜恒为三十六不能差毫末也犹山髙千尺以周髀量之自此山之下稍移之平地数十里外宜恒为千尺不能差毫末也以郭若思之精辨南北测騐二万里北极之差至五十度而不悟地为平体移量北极之不能差毫末何也又因而抑札马鲁丁使其术不显何也戏论曰嵩髙之下北极出地三十六度自此以北每三百五十一里八十步而差一度则嵩髙之北一万八千九百六十六里正当北极之下矣近世浑天之说明即天为圆体无疑也夫天为圆体地能为平体北极又能为逓差则以周髀计之北极之下自天至地才一万三千八百二十九里而已次以弧矢截圆法计之则北极之下更北行四千四百七十六里有竒而地与天俱尽也合计之即自嵩髙以北二万三千四百四十里有竒而地与天俱尽也倍之则东西广南北袤各四万六千八百八十五里有竒而地与天俱尽也此三者以为可不可也别论曰扬子云主盖天桓君山诎之是也然盖天能知地平则北极不能为差故云北极之下高于中国六万里但知其说者又不能为圆天为圆天则髙于中国六万里之处既与天相及矣故曰天之北极髙于四周亦六万里斜倚之令天与地不相及也若言圆天而不言圆地政不足以服周髀乾坤体义卷中
## 卷下
钦定四库全书乾坤体义卷下明 利玛窦 撰容较图义万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界显界从线结总曰边线邉线之最少者为三邉形多者四邉五邉乃至千万亿邉不可数尽也三邉形等度者其容积固大于三邉形不等度者四邉以上亦然而四边形容积恒大于三邉形多邉形容积恒大于少邉形恒以周线相等者騐之邉之多者莫如浑圜之体浑圜者多邉等邉试以周天度剖之则三百六十邉等也又剖度为分则二万一千六百邉等也乃至秒忽毫厘不可胜算万形愈多邉则愈大故造物者天也造天者圜也圜故无不容无不容故为天试论其槩凡两形外周等则多邉形容积恒大于少邉形容积假如有甲乙丙三角形其邉最少就底线乙丙两平分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂线(几何原本一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者(一卷四又三十六)既甲丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等(一卷三十四)则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆与乙丁相等甲丙邉为弦其线稍长试引丙戊至己引丁甲至庚皆与甲丙甲乙线等而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四邉形与三邉形等周者四邉形容积必大于三邉形凡同周四直角形其等邉者所容大于不等邉者假有直角形等邉者每邉六共二十四其中积三十六另有直角形不等邉者两邉数十两邉数二其周亦二十四与前形等周而其邉不等故中积只二十又设直角形其两邉各九其两邉各三亦与前形同周而中积二十七又设一形两邉各八两邉各四亦与前同周而中积三十二或设以两邉为七以两邉为五亦与前同周而中积三十五是知邉度渐相等则容积固渐多也试作直角长方形令中积三十六同前形之积然周得三十与前周二十四者迥异今以此周作四邉等形则中积必大于前形凡同周四角形其等邉等角者所容大于不等邉等角者设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三十五)与不等角形同底原相等(一卷十九又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形因显四等角形大于不等角形以上四则见方形大于长形而多邉形更大于少邉形则圜形更大于多邉形此其大畧若详论之则另立五界说及诸形十八论于左第一界等周形谓两形之周大小等第二界有法形谓不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即为有法其攲邪不就规矩者为无法形第三界求各形心但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即系圜与形同心第四界求形面谓周线内所容人目所见乃形之一面第五界求形体如立方立圜三乗四乗诸形乃形之全体第一题凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐髙以中分线及髙线作矩内直角方形必与三角形所容等解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂线至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角题言直角与三角形等先论曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁线次从甲作戊己线与乙丙平行又作己丙戊乙二线成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形(一卷四一)故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等(一卷二十)次论曰作甲丁垂线而第二图丁非甲乙之平分第三图甲在方形之外皆从甲作戊己线引长之与乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂线视甲丁为平行亦相等(一卷三十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己即倍大于三角形何者以辛庚丙己长方形分三角形底线半故(一卷三十六)第二题凡有法六角等形自中心到其一邉之半径线作直角形线其半径线及以形之半周线舒作直线为矩内直角长方形亦与有法形所容等解曰有甲乙丙丁戊己法形其心庚自庚至甲乙作直角线为庚辛另作壬癸线与庚辛等作癸子与甲乙丙丁线等即半周线也题言壬癸子丑直角形与甲乙丙丁戊己形之所容等论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等(一卷八)其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等(以甲辛分甲乙之半故见本篇一题)若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等盖此半邉三个三角形照甲乙庚形作分中垂线其矩线内直角形俱倍本三角形故第三题凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短其短线与有法形半径线等其长线与有法形周线等则有法形与三邉形正等解曰甲乙丙有法形其心丁从丁望甲乙作垂线又有丁戊己直角形其邉丁戊与法形丁戊等其戊己线又与甲乙丙之周线等题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等论曰试作丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等(本篇二题)何者戊辛线得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊己三角形与甲乙丙全形亦等第四题凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等解曰有甲乙丙圜其半径为丁乙又有丁乙戊己直角形两丁乙等半圜线与戊乙等题言甲乙丙所容与丁乙戊己直角形所容等论曰试以乙戊引长到庚令庚戊与乙戊等则乙庚与圜周全等次从丁望庚作直线既丁乙庚三角形之地与全圜地相等(在圜书一题)而丁乙戊己又与丁乙庚三角形等(本篇四又一卷四十注)则丁乙戊己自与全圜体等第五题凡直角三邉形任将一锐角于对邉作一直线分之其对邉线之全与近直角之分之比例大于全锐角与所分内锐角之比例解曰有甲乙丙直角三邉形丙为直角从甲锐角望所对丙乙邉任作甲丁线题言丙乙线与丙丁线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例论曰甲丁线大于甲丙而小于甲乙(一卷十九)若以甲为心以丁为界作半规必分甲己线于乙之内而透甲戊线于丙之外其甲乙丁三角形与甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例何者一为甲乙丁大形与甲己丁小形比一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也则更之乙甲丁形与丁甲丙形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例(五卷二十)(七)合之则乙甲丙形与丁甲丙形即是乙丁线与丁丙线之比例(形之比例与底线之比例相等在六卷一)固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角与丁甲戊角之比例(六卷三十三系)则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也第六题凡直线有法形数端但周相等者多邉形必大于少邉形解曰设直线有法形二为甲乙丙为丁戊己其圜周等而甲乙丙形之邉多于丁戊己(不拘四邉六邉虽十邉与十一二邉)(皆同此论)题言甲乙丙之体大于丁戊己之体论曰试于两形外各作一圜而从心望一邉作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬分戊己于癸(三卷三)其甲乙丙形多邉者与丁戊己形少邉者外周既等而以乙丙求周六而遍以戊己求周四而徧则乙丙邉固小于戊己邉而乙壬半线亦小于戊癸半线矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各邉俱等而全形邉所倍于戊己一邉数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全邉所倍于乙丙一邉与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角(六卷三十三题之系)则以平理推之移戊己邉于甲乙丙全邉亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一邉犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也(六卷三十三之二系)则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也(五卷六五)夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例(本篇五)则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例(五卷十三)而癸辛子角大于壬庚乙角(五卷十)其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角(一卷三十二)令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬邉亦等于子癸邉则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸(一卷二十六)今以庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也(本篇二)然则多邉直线形之所容岂不大于等周少邉直线形之所容乎第七题有三角形其邉不等于一邉之上另作两邉等三角形与先形等周解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两邉不等欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两邉又等其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲乙乙丙两邉并既大于甲丙邉(一卷十)则丁己己戊两邉并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣(一卷三十二)以作甲庚丙得所求盖庚甲庚丙自相等而甲丙同邉则二形之周等而甲庚丙与甲乙丙为两邉等之三角形(此庚㸃必在甲乙线外若在甲乙邉上遇辛则辛丙线小于辛乙乙丙合)(线即不得同周)第八题有三角形二等周等底其一两邉等其一两邉不等其等邉所容必多于不等邉所容解曰有甲乙丙形其甲乙邉大于乙丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形与甲乙丙等周(本篇七)而丁甲丁丙两腰等亦与甲乙乙丙合线等题言甲丁丙角形大于甲乙丙论曰试引甲丁至戊令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两邉与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两邉等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半(一卷三十二)令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行(一卷二十八)又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线聨之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也(六卷一)因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙丙矣(问戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙与丁丙甲两角等而戊丁丙为其外角凡外角必兼两内角故也)第九题相似直角三邉形并对直角之两弦线为一直线以作直角方形又以两相当之直线四并二直线各作直角方形其容等解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊两角为直角而甲与丁丙与己角各相等甲丙与丁己相当甲乙与丁戊相当题言并甲丙丁己为一直线于上作直角方形与并甲乙丁戊作直线及并乙丙戊己作直线各于其上作直形方形两并等论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度次从庚作线与戊己平行又引丁己长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行(一卷二十九)则己壬辛之角形与丁戊己相似而丁戊己与甲乙丙相似矣(一卷三十二)何者己壬辛角与庚角等庚角与丁戊己角等己角又与乙角等而辛角与丁己戊角及丙角俱等壬己辛角与甲角亦等(一卷三十四)又己壬邉与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙己辛与甲丙俱相等(一卷二十)(六)故丁辛线兼丁己甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也(一卷)(三十四)然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣第十题有三角形二其底不等而腰等求于两底上另作相似三角形二而等周其两腰各自相等解曰甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰与己丙己丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于己角(一卷二十五)而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等法曰作庚辛线与甲戊戊乙丙己己丁四线等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁(六卷十)甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣(五卷)夫庚辛并既大于甲乙丙丁并(两邉必大于一邉在一卷二十)则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也(五卷十四)甲乙庚癸癸壬三线每二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊甲戊乙得庚辛之半而庚)(壬之度过之故)于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之)(度不及故俱一卷二十二)论曰并甲戊戊乙丙己己丁四线之度既与并甲丑丑乙丙己己丁四线之度相等则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周而其两腰亦自相同至于两形相似何也甲乙与丙丁若庚壬与辛壬而减半之庚壬与壬子(五卷十五)又若丑甲与寅丙丑乙与寅丁也则更之而甲乙与甲丑若丙丁与丙寅而甲丑与丑乙若丙寅与寅丁是两形为同邉之比例自相似(六卷五)第十一题有大小两底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之两三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并解曰甲丙丙戊两底上设有甲乙丙及丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令于两底上依前题别作甲己丙及丙庚戊两形相似而与前两三角形相并者等周题言甲己丙丙庚戊并大于甲乙丙丙丁戊并论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从巳过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两邉与乙己丙三角形之己丙己乙两邉等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等(一卷八)又甲己壬三角形之甲己己壬两邉与丙己壬三角形之丙己己壬两邉等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等(一卷四)壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两邉与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两邉等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等(一卷四)丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等(一卷五)而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬(一卷)(十五)是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线(一卷二十)则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就线上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等(九题)而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁(即辛癸)上之直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等(九题辛从子上分两对角其角等而壬与 俱为直角相似之形令移置)(辛癸与乙壬之下移置壬辛为癸垂线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为弦矣)此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者每减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛(以甲丙原大于丙戊故)则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作垂线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丁形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉第十二题同周形其邉数相等而等角等邉者大于不等角等邉者先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形与他形同周同角者较必邉邉相等乃为最大之形论曰若谓不然先设甲乙乙丙不等邉如第一图又作甲丙线于上作等邉三角为甲庚丙形与甲乙丙等周(本篇七)则甲庚丙丁戊己形亦与甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形(本篇)(八)令每加丙丁戊己角形则甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不为最大其他如丙丁邉之类或不等者亦如此推次解曰又设甲乙丙丁戊己等邉形与他形同周同邉者较必角角相等乃为最大之形论曰依上论各邉俱等则甲乙丙丙丁戊为等邉三角形(邉角俱等)而甲乙乙丙与丙丁丁戊相等若谓不然而乙角可大于丁角则甲丙线必大于丙戊线(一卷四二十)试于甲丙丙戊两底上别作三角形为甲庚丙为丙辛戊如第十题相似形令与甲乙丙丙丁戊并者等周则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊(本篇)(十一)而每加丙戊己角形则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者为最大乎第十三题凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等题言甲乙丙大于丁戊己论曰庚为甲乙丙之心辛为丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形与丁戊己相似(四卷十六注)而从壬癸切圜于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸垂线而分壬癸之半(三卷十八)又从辛作子丑垂线则辛丁亦分子丑之半(三卷三此设于两多邉形外作切形圜而以壬癸子丑为切圜线向心作)(垂线则垂线必分切线之中故说在四卷十二)两形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等(一卷三十二)然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周与丁戊己形相同则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣夫两形相似而壬癸邉大于子丑邉则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例(六卷四)而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛(五卷十四)是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形其与圜地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也(本篇四)系曰推此见圜形大于各等周直线形(第五题证有法形同周者)(多邉为大又十二题证等周及邉数之等者有法为大又本题证等周之有法形惟圜为大则圜为凡形)(等周者之最大)第十四题锐觚全形所容与锐顶至邉垂线及三分底之一矩内直角立形等解曰有觚形不拘几面如甲乙丙丁戊底其顶巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子与觚等髙题言此寅庚形与觚形所容等论曰从立形底诸角与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与寅庚形同底同髙又同己甲锐觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三(十二卷六注言两觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍)寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三(以同底同髙故在十二卷七系)则寅庚全方与己甲觚等第十五题平面不拘几邉其全体可容浑圜切形者设直角立形其底得本形三之一其髙得圜半径即相等(可容浑圜切形者必)(圜形与诸面相切若长广不切诸面者不在此论)解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊(十一卷三题)试从戊壬割圜之半作戊己庚辛圜(圜形书一卷一题)从壬心望各切圜之㸃作壬戊为甲乙垂线(三卷十八)壬己为乙丙垂线壬庚为丙丁垂线壬辛为甲丁垂线别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁体三之一而其髙辰子与圜半径等题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形皆与觚所容等(本篇十四)又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半径也第十六题圜半径及圜面三之一作直角立方形以较圜之所容等解曰有甲乙丙浑圜其心为丁又有直角立形之戊在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内题言戊形所容与甲乙丙浑圜等论曰若言不等谓戊大于浑圜形其较有巳者合以丁为心外作庚辛壬浑圜大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以騐之而于庚辛壬内试作有法形勿切甲乙丙圜(十二卷十七)自丁心至形邉各作垂线则垂线必长于甲丁又自丁心至形各角作直线以分此形为几觚其庚辛壬法形诸直线为觚底而垂线至丁心为觚锐顶试取各觚底三之一及丁垂线之髙以作直角立形与觚等(本篇十四)则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等(本篇十五)如云以甲乙为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体而谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬之内形尚大于戊形也又论曰戊形小于甲乙丙浑圜体者其较为己试从丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以验之于甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑(十二卷十七)而従丁至甲乙丙各面为垂线此垂线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底庚辛为觚锐顶而取觚底三之一及底至丁之垂线以作直角立形与觚等若使以甲丁为髙而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊体矣愈大于甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全欤则戊体不小于甲乙丙矣从后论不可为小从前论不可为大故曰等也第十七题圜形与平面他形之容圜者其周同其容积圜为大解曰有甲圜其心甲其半径甲乙又丙形与甲等周其周内可作诸切邉圜形而从心至邉为丙丁题言甲圜大于丙形论曰甲圜外试作与丙相似形(十二卷)而从甲心至各邉切处作半径垂线皆等(本篇十五有解)其一为甲乙甲圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂线亦大于丁丙垂线以甲半径为髙乃以三分圜体之一作直角立方形即与甲圜形等(本篇十六)以丙丁线为髙而以三分丙形之一作直角立方形亦与丙形等而甲之立方固大于丙之立方(本篇十五)则甲圜与丙形虽同周而甲圜所容为大矣第十八题凡浑圜形与圜外圜角形等周者浑圜形必大于圜角形解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四数相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之类等邉等角近于圜形者又作戊壬过心线为枢以转甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋为立圜之体则其形为圜外圜角之形而角与邉周遭皆等(圜书一卷二十二及二十七)又有浑圜形寅与圜角形等周题言寅圜大于圜角形论曰圜角外形既大于内之甲乙丙圜形则寅圜亦大于甲乙丙圜寅圜之半径亦大于甲乙丙圜之半径也夫浑圜中剖是为过心最大之圜此过心大圜之面恒得浑体四分之一(圜书一卷三十一题)令倍寅径以作夘辰径其圜面四倍大于寅之圜面(此専以圜面相较也夘辰径既)(倍寅径则夘辰圜固四倍于寅圜以圜与圜为径与径再加之比例故也在六卷附一増题)则夘辰圜与寅浑圜等(此夘辰圜为欲见角故画作扁圜实正圜也)次作未申圜与夘辰等作未酉申圜角形而取寅半径为酉戌之髙又于夘辰上亦作夘巳辰圜角形而取甲乙丙圜半径为巳午之髙两圜体等而未酉申圜角形髙于夘巳辰圜角形则亦大于夘巳辰圜角形(圜角形同底之比例)(若其髙之比例在十二卷十四题)夫割寅浑圜之中半以为底(即过心大)(圜也)而以其半径之髙为圜角形恒得寅浑圜四分之一(此旋转所成尖顶半圜形非只论其一面也在圜书一卷三十二十)则是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大于寅圜则未酉申圜角形固与寅之浑圜形等矣(圜角形同髙之比例若其底之比例)(故也在十二卷十一题)其夘巳辰圜角形底原等戊己庚形之面(戊己庚之面与寅圜之面等故)而巳午之髙亦等于甲圜半径即戊己庚辛角形自与夘巳辰圜角形等(圜书一卷二十九题论凡)(圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜体过心大圜为底而以圜半径为髙旋作圜角形即与)(圜外诸圜各等)夘巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形宁大于同周之寅乎乾坤体义卷下◆ 《表度说-明-》（KR3f0010）
## 提要
钦定四库全书 子部六提要表度说 天文算法类一(推歩之属)(臣)等谨案表度说一卷明万厯甲寅西洋人熊三拔撰三拔有泰西水法已著录是书大㫖言表度起自土圭今更创为㨗法可以随意立表凡欲明表景之义者先须论日轮周行之理及日轮大于地球比例彼法别有全书此复举其要略分为五体一谓日轮周天上向天顶下向地平其转于地面俱平行故地体之景亦平行一谓地球在天之中若令地球不在天中则在地之景必不能随日周转且迟速不等矣今春秋二分日轮六时在地平上为昼六时在地平下为夜非在正中而何一谓地小于日轮从日轮视地球止于一㸃若令地非一㸃则随在地面不得见天体之半必上半恒小下半恒大而为半地之厚所碍矣一谓地本圆体故一日十二辰更叠互见如正向日之处得午时其正背日之处得子时处其东三十度得未时处其西三十度得巳时若以地为方体则惟对日之下者其时正处左处右者必长短不均矣一谓表端为地心凡立表取景必于两平面之上求得两种景其一立表平面上与地平成直角其所得景直景也如山岳楼台树木等景在地平者是也其一横表之景倒景也如向日有墙于其平面横立一表于地平为平者是也末言表式表度并节气时刻推算之法绘画日晷术皆具有图说指证确实夫立表取影以知时刻节气厯法中之至易至明者然非明于天地之运行习于三角之算术则不能得其确准是时地圆地小之说初入中土骤闻而骇之者甚众故先举其至易至明者以示其可信焉简平仪说 天文算法类一(推歩之属)(臣)等谨案简平仪说一卷明西洋人熊三拔撰据卷首徐光启序盖常㕘证于利玛窦者也大㫖以视法取浑圆为平圆而以圆测量浑圆之数凡名数十二则用法十三则其法用上下两盘天盘在下以取赤道经纬故有两极线赤道线节气线时刻线地盘在上以取地平经纬故有天顶有地平有髙度线有地平分度线皆设人目自浑体外逺视其正对大圆为平圆斜倚于内者为撱圆当圆心者为直线其与大圏平行之距等小圏亦皆为直线地盘空其平圆使可合视二盘中挟枢纽使可旋转用时依其地北极髙度安定二盘则赤道地平两经纬交错分明凡节气时刻髙度偏度皆可互取其数天盘用方板上设两耳表以目测影地盘中心系坠线以视度分立用之可以得太阳髙弧度既得太阳髙弧则本时诸数皆可取焉盖是仪写浑于平如取影于烛虽云借象而实数可推弧三角以量代算之法实本于此今复推于测量法简而用㨗亦可云数学之利器矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 表度说
钦定四库全书表度说(熊三抜口译)明 周子愚 撰表度说五题厯家有浑天仪有平仪有圭表有正方案以测七政星辰髙下之分以察日至之景以审日月方位因而随时随地可用测验日轮髙下度分及午正初刻也有法于此任意立表取景以表景度分得日髙度分甚为简便第欲明表景之义先须论日轮周行之理及日轮大于地球之比例二论为说甚长俱有全书今特举要畧作五题焉第一题日轮周天上向天顶下向地平其转于地面俱平行故地体之景亦平行解曰周天三百六十度分为四圏分毎分九十度所谓周天象限也试如上图午酉子邜周天也午酉象限九十度也日轮自夘向午毎刻行三度四十五分(八刻为一时)毎时平行三十度至午得三时自午向酉亦如之故一周得十二时终古如此因知其终古平行也其所照物景周行地面亦平行也令日轮在甲照乙地球其景必至丙日在甲向午上行一度景在丙亦向子下行一度故景与日轮恒平行相等也第二题地球在天之中解曰令地球不在天中在其一隅如上图丁为天中设地球在乙日轮在甲照乙地球其景必至丙则地之景必不能随日轮而平行转周盖日行从甲过戊至丙景必从丙过己至甲是日轮行大半圏分而景行小半圏分迟速不等甚矣依第一题日轮与景不得不平行相等故不得言地球不在天中也又春秋二分日躔赤道昼夜平是因地在天中故日轮六时在地平上为昼六时在地平下为夜非在正中而何第三题地球小于日轮从日轮视地球止于一㸃此题全说见天地仪解今约畧论说以明表景之理焉依第二题地在天中而分日天为两平分欲分圏界为两平分其径线必过圏心如上甲乙丙线分圏于甲丙必过乙心而为两平分令不过心而过心之上或下如丁戊己线过戊在圏心之上而两分圏界于丁己则非两平分也今地球分日天为两平分随人所至地面恒得见天体之半又春秋二分昼夜平故其大比日天当止一㸃令非一㸃而为大如戊庚即人在戊地面不得见天体之半其地平线平行至丁己亦不能分日天为两平分也从日轮视地既小如一㸃今从地视日乃大如小车轮者日轮本大于地球一百六十倍故也此论见乾坤体义第四题地本圜体解曰凡物有本像焉地之本像圜体也世有云天圜地方动静之义方圆之理耳今先论东西后论南北合证地圜之㫖日月诸星虽毎日出入地平一遍第天下国土非同时出入盖东方先见西方后见渐东渐早渐西渐迟如有人居东又一人居西东西直相去试七千五百里则东人见日为午正初刻此际西人乃见日在禺中为己正初刻也周天三百六十度毎度为地二百五十里若相去百八十度则东方之午为西方之子相去九十度则东方之午为西方之夘矣余度俱依此推如上图午酉子邜为日天甲乙丙丁为地球令日轮在午而人居甲即日正在其天顶得午时人居丙即得子时日在其天顶冲也东去甲九十度居丁得酉时日既过其天顶将没于地则午甲丙子为其地平也西去九十度居乙即得邜时日向其天顶方出于地亦午甲丙子为其地平也依此推筭令日轮出地平在邜人居丁得午时居乙得子时矣此何以故地为圜体故日出于邜因甲髙与乙障隔日光不照故丁之日中乙之半夜也若地为方体者如上甲乙丙丁则日出邜凡甲乙丁地面人宜俱得邜日入酉宜俱得酉不应东西相去二百五十里而差一度又七千五百里而差一时也故明有时差者不能不信地圜也又丁乙与甲异地即异天顶即异日中而又与甲同邜酉即丁之午前短午后长矣乙之午前长午后短矣独甲得午前后平耳而今之半昼分天下皆同何也则明有半昼分者不能不信地圜也或问曰此理甚明矣然于言两地相逺一得午一得子昼夜时刻天下各异何自验之乎曰敝国诸儒多习厯象之学推验大地经纬度数皆与天应以为推筭七政测量地海之用其推验纬度稍易大抵用午正日晷或星髙及南北二极取之其推验经度稍难必于月食取之夫月食与日食异日或食或不食或食而分数多寡时刻先后随地各异月之食限分数时刻天下皆同但入限有昼夜人有见不见耳今以之推显地度毎测得一处月食甚于子即他处在其东者必食甚于丑矣在其西者必食甚于亥矣可见此一方之子时乃东方之丑时西方之亥时也若两地相去九十度则东方见食于子者西方见食于酉矣若相去百八十度则此方见食于子者彼方必于午不见食矣盖月食有定而天下之见食各异又毎去九百三十七里半而差一刻可见时刻天下各异各以日到本天顶为午正初刻也又月平行自西而东一日大约十三度强毎一时约一度五分度之一其所离列宿次舍毎时各异故西土厯家欲知两地东西相去道里之数即两地相约于同夜测月轮与某星同经度分为何时刻分如东方与此星同度分为子而西方与同度分为丑相隔一时即东西相去远七千五百里也以此推之知天下时刻各因日轮所至不可疑也即地为圜体又何疑焉自南而北地为圜体亦可推也试如有人居广东测北极出地得二十二度北行二百五十里见北极稍髙测得二十三度次毎行二百五十里皆如之至京都测北极出地得四十度矣亦见北界星广东不见者其在广东亦见南界星京师所未见者此由地为圜球人乃循球而行故南北二极及附近诸星随而渐次隐见也若地为平体随人所至恒见天星髙于地平若干度矣如上图西南东北为周天甲乙丙为地之圜球丁戊己为地之方面若人在圜球之乙即见在南诸星从乙渐向丙即南诸星渐隐矣渐向甲者反是若人在平面之丁即得俱见南北二极之星其在戊在巳亦如南非极诸星何由得渐次隐见乎则地为圜体亦可证也又地周三百六十度毎度二百五十里其周围实独有九万里令地为方四面其一面应得二万二千五百里人居一面地平之上其二万二千五百里之内并宜见之乃今目力所及极大畧能见三百里即于最髙山上未有能见四五百里者则地之圜体突起于中能遮两界故也不惟髙山即空际之云亦然试令两方相去四五百里其一宻云甚雨其一日色晴霁此宻云处不见日彼晴霁处不见云矣人闻雷声而不见宻云者恒有之盖雷声所极可至三百里以外故耳可得闻而雷起处必有宻云而三百里以外空际之云人遂不能见之夫向所云平地不见四五百里犹云目力有限乃空际之云物在三百里以外者遂不能见之则岂非地为圜体人所及见之面至于三百里而止乎以此地圜故若有二国东西相去四万五千里得一百八十度半地之周居西二人约往东国一向西一向东令同时发行而以发行之第六日相遇于东国其同发时为月之朔日则向东者遇之日为月之六日向西者遇之日为月之五日此两人行同至同所更厯时刻同而一为六日一为五日何也盖东行者溯日而驰渐就于日故此人恒先得见日出地而日先得至其天顶西行者与日俱驰渐远于日故此人恒后见日出地而日后至其天顶也今大西洋估舶至小西洋岁岁有之若二船同日解维其一东行其一西行后相遇于小西洋东行者若筭得月之六日甲子即西行者必筭得月之五日癸亥试如后图甲乙二船俱从大西洋往小西洋同以三月初一日午时解维甲船望西行至申即申为其天顶乙船望东行至戍即戌为其天顶因日轮自东而西当先至戌后至申戌在申东即日轮第一周先至戌乙船以戌为天顶是得午时从昨开洋至此得一日足甲船以申为天顶日未至自戌至申须二时则乙船之午是甲船之辰扣至一日足实少二时次乙船至亥甲船必至未各以亥未为其天顶日轮第二周先至亥后至未自亥至未隔四时则东船先四时而得午正从开洋扣得二日足西船更须四时乃得午为二日足也次乙船至子甲船必至午而子午为其天顶日轮第三周先至子后至午东船在子先得午时为三日足自子至午隔六时西船在午须六时乃得午为三日足次至丑至己亦如之及东船至寅西船宜至辰日轮自寅遶东至辰隔十时故十时之初东船先得五日足而西船尚须十时乃适足故甲乙二船自开洋至此际一得五日一得四日零二时既抵小西洋而夘为其天顶日轮至邜即向东者实满六日向西者实满五日是故虽同发俱至而先后差一日也此何以故地为圜体人居东先得见日轮出地平居西后见故也五日六日假说之实行者不论一年二年皆差一日其理同也或问地果圜体则上下四旁皆生人所居不知在下者安所伫其足哉曰地球之说其理甚广西庠有专书备论今独举一二端明征此理其一曰天下万物各有本所最上本所为天之上最下本所则为地之中心也其二曰物之体质有轻有重最轻玅者就最上所如火是也最重滞者就最下所如土是也其三曰物重者各有体之重心此重心者在重体之中试观于衡均重则不欹物重之重心得在其中故也其四曰既地中之心为诸重物各重心之本所物之重心悉欲就之欲就之势其下必为垂线也如人上山山之陡面不能正伫人足如伫地平与其直角造室立柱于山之陡面亦不能与为直角也何故乎人体之重心所欲就者为地之心下就之势作一地之心而垂线欲垂线立柱亦然山之斜面与地中心非相对待如地平之面故人体柱体与其峻面悉不能为直角也如上图甲山欲立柱作直角于山之陡面如乙必倾矣其体之重心所愿就者为丁地心非甲山之心也虽陡面必与地平为直角如丙乃安何故其体之重心与丁相直耳故凡重物居地面之上各以地心为下以天为上因其重心愿就地心遂得安于地面能伫其足矣因是可知上下之分凡谓下者逺于天而就地心也谓上者就天而逺于地心也是故地之圜球悬于空际居中无著常得安然盖四方土物皆愿降就于地心之本所东降欲就其心而遇西就者南降欲就其心而遇北就者悉悉如此相遇之际皆能相冲相逆故凝结于地之中心即不相及者以欲就故附离不脱得令大地悬居空际也如上图丙为中心甲乙两分各为地之半球甲东降就其心乙西降就其心其两半球又各有本体之重心如丁如戊甲东降其本性必欲令本体之重心丁至于丙然后止而不可得何者乙西降亦欲其体之重心戊至丙中心然后止也故两半球相遇于丙中心甲不令乙得西乙不令甲得东一冲一逆力势均平遂两不进亦两不能退而悬居空际安然永奠矣试于一门二人出入其一在内其一在外在外者冲欲开之在内者逆欲闭之若同冲同逆为力均平门必不动甲乙半球其理同也推至四方八面一尘一土莫不皆然𬯎然下凝职由于此矣第五题表端为地心解曰地球之大比日天只止一㸃(本篇三题解)况地上山岳楼台树木及所立之表何足筭乎亦与大地共为一㸃而已故虽人所立表表景随日轮若在地面苐以一㸃论之则表端之景与地心之景一也故表端不得不为地也欲征其实试作一赤道晷其法于平面作圏圏界平分三百六十度每三度四十五分(毎一度变四分)为一刻毎三十度为一时立表于圏心候之即见表景平行毎刻三度四十五分(每八)(刻为一时)毎时三十度与日轮旋转地心度数相等设非表端为地心安能日景平行且用此平行日景作日晷数十百种一一合辙乎既明表端为地心因可随地随时立表取景以得日行周天定度也凡立表取景必于两平面之上求得两种景其一立表平面上与地平为直角其所得景直景也如山岳楼台树木等景在平地者是如上图甲乙为表丙乙丁为地平面戊为日轮立甲乙表任意长短与丙乙丁地平面为直角令日轮在戊为表东其光必过甲表端表端景必在表西丁则乙丁为直景其一倒景者横表之景也如向日有墙于其平面横立一表与地平为平行者是如上图甲乙为墙丙丁为表戊为日轮立丙丁表于甲乙墙之平面为横表与地平平行令日轮在戊其光过表端表端景必在已而丁己为倒景立表取景以表之度分量此二种景可得其短长以短长之度数可得日轨离地平分秒又量得一种景推筭可得别种但须先得二景之比例及表与二景相求之法乃悉其立法所由今引说数条推明指义如左其一曰日轨出地平从一度至九十度渐升上就天顶既过一象限从九十度渐入地平下离天顶故表景因日上下而得消长日上直景消倒景长日下倒景消直景长皆至午正而复其二曰直景与倒景之比例表与二景之比例皆在日轮出入上下度分也令立二表相等取两种景日出地平则倒景表无景其端正对日光故也而直景之表有无穷景无数可量其景与地平平行故也如上二图甲为表乙为日轨出地平于直景见甲表为无穷景与地平为平行线故不能交于地平(其故见几何原本卷之一)次见倒景之表甲正对日轨出地平之乙故无景其三曰日轨既出地平渐向天顶而上至髙四十五度此半象分内二景一消一长直景渐消顾大于表倒景渐长顾小于表日过四十五度而上直景亦消而小于表倒景亦长而亦大于表试如上图甲为日轨在四十五度以下到丙而丙戊大于戊己表其到丁而丁戊小于戊己表也若乙为日轨在乙四十五度以上其直景到丁而丁戊小于戊己表倒景到丙而丙戊大于戊己表矣又日向天顶而上非独所立表之直景渐消而山岳楼台树木之景亦然其四曰日轨髙四十五度为半象限即二景得相遇其长皆与表等如上甲为日轨髙四十五度即丙丁二景之表等因知二景与表皆等盖日轨在甲表景必在乙即显乙丙直景倒景皆与丙丁两表等矣诸物之景亦然故测得日髙四十五度此际量得山岳楼台树木之景度分即得物髙度分也其五曰日轨至天顶髙九十度(缺)即直景表无景而倒景之表有无穷景试如日轨在甲天顶乙直景之表端正对于甲日轨故无景乙表之倒景必与丙丁墙面平行故为无穷景此与第二论同义也盖如直景因与地平为平行线故不能交于地平倒景乃与墙面亦为平行线却不能交于墙面也其六曰日出地与日髙九十度二景之理既同即一度至其间相反相对者理并同也试如日髙二度直景得长倒景得短日髙八十九度倒景得长直景得短则日髙二度之直景八十八度之倒景其长同也其短反是以至日髙三四五度二景短长与日髙八十七八十六八十五度并同也假如立二表相等各十二平分之日髙五度直景之长为表之一百三十七度即日髙八十五度倒景之长亦为表之一百三十七度日髙五度倒景之短为表之一度日髙八十五度直景之短亦为表之一度二景一消一长相反相对无有不合故用日髙度分表景短长立法布筭得一推二至为简便也表得分十二平分用日髙度分表景短长立筭用日髙度分直景倒景短长立筭右各图皆以直景倒景长短立筭而得日髙度分最上最下各横书一行日髙之度也上行顺筭自一度至九十度用之因直景度分而得日髙之度下行逆筭自九十度起筭至一度用之因倒景度分而得日髙之度尽左尽右直书各一行日髙之分也右行从上起筭自一分至六十分用之因直景而得日髙之分左行从下起筭自一分至六十分用之因倒景而得日髙之分假如立竖表取直景若量其长得表之五十五度四十分欲知此时日轨髙几何度分检取图中表景度分下五十五度四十分所在即直视本行最上得十二度横视右行相对得一十分是为日轨髙一十二度一十(缺)分也若立横表取倒景而得表之长五十五度四十分即下行日髙得七十七度左行相对得五十分是为日髙七十七度五十分也分表之法凢立表取景先定表长以表之长任意平分为若干度右图表度十有二故今以十二为法分表为十二平分以十二平分之一为度毎度更六十平分之共得七百二十分表长无定度愈长景则愈凖立表之法凢立表必作垂线于平面而与为直角表偏其端则下而景短立法若表长一尺法以内则以表之位为心从心作一圏任意大小次三平分圏界作三立表于圏心用规从界之一㸃量至表端为度用此度量第二三㸃皆至表端则表正矣一不至表端者改之若表长数尺至数丈者或四面八面各悬垂线正之如周礼八绳附臬之法试如上图甲为表位以甲为心作丙丁戊三平分圏界作丙丁戊三㸃用规从丙界㸃量向表端得度用元度从丁从戊量至表端皆等则表正也用法第一随地随时测日轨髙几何度分凢测候者欲定时成岁也定岁之最急者为随地随时测日轨髙度分以知二至之日时刻分西儒多习厯造器以测日髙其法甚众立表是其一法特为简便焉欲以直景测日髙依法立表承日取景视表景于平面所至依表之度分量其长既得景长为表之几何度分检上图得所求假如立表取景以表之度分量景长得四十三度十六分检上图表景度分下四十三度十六分所在此为直景视上行日髙度得十五视右行日髙分得三十是日轨髙于地平一十五度三十(缺)分也(缺)倒景测騐亦如之但检图当视下行日髙度左行日髙分耳第二随地随时测午正初刻测本日日轨最髙度分及定方面正法日轮自出地平至午正时渐近子午线而上过午正渐近地平而下故日轮出地最髙之度为午正初刻欲得午正初刻测本日何时太阳至子午线上及日行所至最髙之度即是也依上法立表取景若直景者日轨渐上直景渐消日轨渐下直景渐长故表景甚消之时即日轨最髙之度视表景消极长初即得午正初刻立表取景测午正初刻先于午前数刻视表景之末㸃识之次用日晷或任意视景毎过一刻或半刻许俱如前累识之若累短者法所谓景消为日升为午前也复依前法累识之至表景得累长法所谓景长为日降为午后也次检表景识识中最短者得本日午正初刻依法量其长即得本日日轨最髙度分又自表位至景末作线即得本地子午线依子午作垂线得天元邜酉为定方面之正法第三随地随日测南北极出入地几何度分南北极出入随地不同厯家测騐先须得此不然即昼夜长短日月出入躔度髙下交食分数悉不可考悉不可论故元太史郭守敬分道测騐以为厯凖然周行四极𬨎轩错出而所得止二十七处意其为术亦大艰难矣今用此法但是人迹所至都会郡邑一测便得不劳余力矣依第二法立表测得本地午正初刻日轨髙几何度分次求本日日躔距赤道几何度分次视日躔赤道南北筭之若日躔赤道南则以距度加髙度得赤道至地平之髙以赤道髙减周天象限度即得赤道离天顶度亦即本极出地度日躔赤道北则以距度减髙度如法筭之亦得本极出地度分假如顺天府于天正春分日依第二法立表测午正初刻测得日轨髙五十度又依距度得本日日躔黄赤道之交无距度即赤道髙于地平五十度减周天象限九十度得四十度即赤道离天顶度也南北极出入地其度分与赤道离天顶同故北极出地亦四十度又霜降日日躔赤道南是日午正初刻测得日轨髙三十八度三十分次依距度得十一度三十分以加日轨髙三十八度三十分亦得赤道髙于地平五十度如上法筭得北极出地四十度又立夏日日躔赤道北是日午正初刻测得日轨髙六十六度四十分次依距度得十六度四十分以减日轨髙六十六度四十分亦得赤道髙五十度如上法筭得北极出地四十度第四随地测节气定日二十四节气者黄道二十四平分也日循黄道自西而东毎日约行一度岁行一周行至黄赤二道之交为天元春秋分离南离北去赤道各二十三度半强是二道相距甚逺之处为冬夏至厯家分黄道作四大限曰春秋冬夏日自春分东陆至夏至北陆为九十日有竒六平分为六节气毎节气得十五日有竒曰春分清明谷雨立夏小满芒种自夏至北陆至秋分西陆亦九十日有竒六平分为六节气曰夏至小暑大暑立秋处暑白露自秋分西陆至冬至南陆亦如之为六节气曰秋分寒露霜降立冬小雪大雪自冬至南陆至春分东陆亦如之为六节气曰冬至小寒大寒立春雨水惊蛰共二十四节气为黄道二十四平分故曰节气者黄道平分也诸节气距赤道南北逺近毎相反相对者度分皆同故得六距度即得二十四距度第其髙下距地平不同故诸节气各有测騐本法焉欲用此法又先用各距赤道几何度分及本地北极度分故具列二图如左假如顺天府北极出地四十度欲知夏至髙于地平度分当以本日日距赤道二十三度半强求之凢北极出地度分与赤道离天顶度分等即顺天府赤道南离天顶四十度又自地平至天顶恒为九十度今赤道离天顶南四十度其至地平必五十度即赤道髙于地平五十度而夏至日躔赤道北上二十三度半强以加五十度得七十三度半强为夏至日午正日髙于地平度分也日髙七十三度半强即表景长得表之三度三十三分故夏至前后各二三日毎日立表取景视某日午正表景长得表之三度三十三分为夏至冬至日在南距赤道二十三度半强以减五十度为赤道髙于地平二十六度半弱即冬至日午正日轨髙于地平也依法得是日表景长得表之二十四度○四分若冬至前后各二三日立表取景视某日午正表景长得表之二十四度○四分为冬至春秋分为黄赤二道之交无距度正得赤道髙于地平五十度无加减日轨髙亦五十度表景长得表之十度○四分春秋分前后各几日立表取景视其日午正表景得表之十度○四分为春秋分也凢黄道南北诸节气相反相对者筭法并同节气在北即自春至秋分加其距度分于赤道髙度分得各节气髙于地平度分节气在南即自秋至春分减其距度分于赤道髙度分亦得各节气髙于地平度分以其髙于地平度分依法测表景长短得各节气本日毎节气本所及离赤道度分图春分日轨出赤道南入赤道北当二道之交无距度分本地赤道髙于地平度分即日髙度分其宫为白羊之初无加减清明距赤道北六度十九分其宫为白羊之中加谷雨距赤道北十一度三十分其宫为金牛之初加立夏距赤道北十六度四十分其宫为金牛之中加小满距赤道北二十度十二分其宫为双昆之初加芒种距赤道北二十二度四十六分其宫为双昆之中加夏至距赤道北二十三度半强其宫为巨蟹之初加小暑距赤道北二十二度四十六分其宫为巨蟹之中加大暑距赤道北二十度十二分其宫为狮子之初加立秋距赤道北十六度四十分其宫为狮子之中加处暑距赤道北十一度三十分其宫为室女之初加白露距赤道北六度十九分其宫为室女之中加秋分日轨出赤道北入赤道南当二道之交无距度分本地赤道髙于地平度分即日髙度分其宫为天称之初无加减寒露距赤道南六度十九分其宫为天称之中减霜降距赤道南十一度三十分其宫为天蝎之初减立冬距赤道南十六度四十分其宫为天蝎之中减小雪距赤道南二十度十二分其宫为人马之初减大雪距赤道南二十二度四十六分其宫为人马之中减冬至距赤道南二十三度半强其宫为磨羯之初减小寒距赤道南二十二度四十六分其宫为磨羯之中减大寒距赤道南二十度十二分其宫为寳瓶之初减立春距赤道南十六度四十分其宫为寳瓶之中减雨水距赤道南十一度三十分其宫为双鱼之初减惊蛰距赤道南六度十九分其宫为双鱼之中减北极出地度数及春秋分冬夏至表景度分北京四十强南京三十二半山东三十七山西三十八陜西三十六河南三十五浙江三十右北极出地度数止南北二京及江西广东已尝测騐无疑其余据地图约量之其确与否未能明也又北极出地毎二百五十里差一度一省之中各郡邑各有本地度数故诸方测騐者须先定本地北极出地度分方能行测凢用右二图当先知测騐法测騐之理畧有数端其一曰自地平至天顶为九十度其二曰南北极不出入地者其赤道正为天顶若北极出地南极入地其度分与赤道南离天顶同也北极入地南极出地其度分亦与赤道北离天顶同也其三曰北极出地度分以减地平至天顶九十度即赤道髙于地平度分其四曰欲以表景测节气本日先考节气髙于地平度分其五曰节气在赤道北为在赤道上而逺于地平欲得几何度分当加其距赤道度分于赤道离地平度分节气在赤道南为在赤道下而近于地平欲得几何度分当减其距赤道度分于赤道离地平度分第五依表之度分物景之长得物之髙日轨在四十五度直景倒景皆与表等故物在地平之景与物之髙亦等在四十五度以下直景大于表则物之景必大于物之髙在四十五度以上直景小于表则物之景亦小于物之髙故量其景长即得其物髙试如依第一法测得日髙度分以表之景度分便得物在地平之景度分所据物景之度分及表度分推算便得物髙度分假如依第一法量得日髙四十五度此际量物景之长或山岳之景或楼台之景或树木之景其景或长三丈据上法日髙四十五度物在地平之景与其物之髙等是物之髙亦三丈不可疑矣次若日髙三十度物景之长五丈据上法日在四十五度以下物景多于物之髙减其多必得其物之髙也次检前图日髙三十度之景系二十度四十七分内减表度十二余八度四十七分为余景今取五丈之景亦分作二十度四十七分截去余髙八度四十七分而其余即物之髙也若日髙五十度物景长二丈者据上法日在四十五度以上景短于物当用加法查前图景得十度四分较表度十二不足一度五十六分即以二丈之景分作十度四分外补一度五十六分得物之髙余倣此第六日晷日晷者定时之器也凡定时刻皆凭表景故造晷者先明表景之法日晷定时凡数百种其理甚广别有成书今因表景及之止就用景而造者畧说一二器耳先论其理畧有数端其一曰表景与日躔平行日出地而上或过午时而下毎行三度四十五分得一刻行三十度得一时表景亦然一长一消具有定度因其定度则可定时毎日行三度四十五分而检其表长定刻也毎日行三十度而检其表长则定时也午前则检其直景之消倒景之长午后则检其直景之长倒景之消也其二曰日愈髙直景愈短倒景愈长日之升于地平随地各异表景之长在地面亦随地各异也所以然者日之髙下于本地平随南北极出入髙下也南北极之出入于本地平其髙下也亦随地各异也其三曰赤道离天顶各与其极出地度分等如北极出地三十度赤道离天顶亦三十度而髙于地平六十度盖地平于天顶恒为九十度故北极出地四十度赤道离天顶亦四十度而髙于地平五十度是故二分之日日躔赤道而测午正初刻若本地所得北极出地三十度测即日躔髙六十度本地所得北极出地四十度即日躔髙五十度是知午正初刻日髙于地平随地各异也其四曰日躔赤道髙于地平既随地各异即过此而躔赤道北或南其髙其下亦随地各异也故夏至测午正初刻本地所得北极出地三十度即日髙八十三度半强若所得北极出地四十度即日髙七十三度半强也冬至亦然诸节气亦然其五曰午正初刻之日轨髙既随地随节气各异即诸时诸刻之日轨髙亦随地各异也假如二分日日躔赤道或南或北测量己未二时其本处为北极出地三十度即日轨髙于地平六十二度若北极出地四十度即日轨髙五十九度诸时诸刻亦然是其表景亦随日轨髙下而得长消故日轨髙下随地随节气随时刻各异表景长短亦随地随节气随时刻各异也故以表景测时刻当先得本地及本节气毎时毎刻日轨髙几何度分也其六曰既得每时毎刻日轨髙度分即可用表景定时刻也假如顺天府北极出地四十度夏至初日己未二时日轨髙于地平五十九度即直景长得表之七度十三分倒景长得表之十九度五十八分立表取直景候至景长七度十三分即己未时也若取倒景候至景长十九度五十八分亦己未时也其余时刻推此类焉求各处各节气毎时毎刻日轨髙度分具见简平仪说今举一二处为例如左造柱晷造圆柱晷法用坚木或铜作圜体如柱任意大小长短其圜必中规而上下等次于两端之圏界各十三平分之依所分各界两两相对作直线俱平行各线与柱体亦平行柱体之周为十三直线皆平行相等毎线直二节气惟夏冬二至各得一线名为二十四节气线即任取一线为冬至次右二曰小寒大雪右三曰大寒小雪右四曰立春立冬右五曰雨水霜降右六曰惊蛰寒露右七曰春分秋分右八曰清明白露右九曰谷雨处暑右十曰立夏立秋右十一曰小满大暑右十二曰芒种小暑右十三曰夏至次作表表长短无定度约柱之长短而定其度既得其长依前分表法十二平分之为表度毎度六十平分之凡十二度七百二十分若表体小者毎度六平分之次依上图视毎节气毎时刻表景长短几何度分而移之柱晷之节气本线即得各时刻假如甲乙丙丁为圜柱其甲乙等附柱十三直线则二十四节气线也戊己表度十二平分也若于夏至线欲定午正检上图夏至倒景于午正得表之四十度三十一分即规取戊己表之四十度三十一分于柱之夏至线上自乙向丙移量之得午正初刻也午初未初倒景得三十度二十八分亦如之诸时诸节气俱如之安表之法晷之上端为枢表体之长信其度长为空于余表而入之枢令表之度皆在晷体之外也表之末与枢之心为一直线用时以晷与表各展转就日而测之用法视本日为某节气第几日转表加于晷端界第几日上次转晷承日景令表景与节气线平行视表末所至得时刻造方晷以倒景其法同也其节气线以分黄道法为疎宻度畧见简平仪说用直景造圜晷及方晷其法并同但表为立体晷体则横安之表度说◆ 《简平仪说-明-》（KR3f0011）
## 序
简平仪说序
扬子云未谙厯理而依觕法言理理于何傅邵尧夫未〔？〕厯法而撰私理立法法于何生不知吾儒学宗传有一字厯能尽天地之道穷宇极宙言厯者莫能舍旃孔子曰泽火革孟子曰茍求其故是已革者东西南北岁月日时靡所弗革言法不言革似法非法也故者二仪七政参差徃复各有所以然之故言理不言故似理非理也唐虞邈矣钦若授时学士大夫罕言之刘洪姜岌何承天祖冲之之流越百载一人焉或二三百载一人焉无有如羲和仲叔极议一堂之上者故此事三千年以还忞忞也郭守敬推为精妙然于革之义庶几焉而能言其所为故者则断自西泰子之入中国始先生尝为余言西士之精于厯无他谬巧也千百为辈传习讲求者三千年其青于蓝而寒于水者时时有之以故言理弥㣲亦弥著立法弥详亦弥简余闻其言而喟然以彼千百为辈传习讲求者三千年吾且越百载一人焉或二三百载一人焉此其间何工拙可较论哉先生没赐𦵏燕中仍诏聼其同学二三君子依止焚修诸君子感恩图报将欲续成利氏之书尽阐发其所为知天知地穷理格物之学而㑹中朝方修正厯法特简宿学名儒莅正其事于时司天氏习闻诸君子之言者争推举以上大宗伯欲依洪武壬戌故事尽译其书用备典章大宗伯以闻报可自是一时畴人世业亡不贾勇摩厉以劝厥成盛哉尧舜在上下有羲和庶其将极议一堂之上乎余以为诸君子之书成其禆益世道未易悉数若星厯一事究竟其学必胜郭守敬数倍其最小者是仪为有纲熊先生所手创以呈利先生利所嘉叹偶为余解其凡因手受之草次成章未及详其所谓故也若其言革也抑亦文豹之一斑矣熊子以为少未肯传予固请行之为言厯嚆矢焉第欲究竟其学为书且千百是固非予所能终也若必博求道艺之士虚心扬㩁令彼三千年増修渐进之业我岁月间拱受其成以光昭我圣明来逺之盛且传之史册曰厯理大明厯法至当自今伊始夐越前古亦极快巳万厯辛亥秋月吴淞徐光启序
## 简平仪说
钦定四库全书简平仪说明 熊三拔 撰名数(十二则)简平仪用二盘下层方面名为下盘亦名天盘上层圆面半虚半实者名为上盘亦名地盘下盘安轴处为地心其过心横线名为极线极线之左界为北极右界为南极其过心直线与极线作十字交罗者名为赤道线盘周之最内一圏名为周天圏赤道线左右各六直线渐次疎密者名为二十四节气线即以赤道线为春分为秋分次左一曰清明曰白露次左二曰谷雨曰处暑次左三曰立夏曰立秋次左四曰小满曰大暑次左五曰芒种曰小暑次左六曰夏至此为日行赤道北诸节气线也次右一曰惊蛰曰寒露次右二曰雨水曰霜降次右三曰立春曰立冬次右四曰大寒曰小雪次右五曰小寒曰大雪次右六曰冬至此为日行赤道南诸节气线也若仪体小者左右各三线则以一宫为一线仪体大者左右各十八线则以一候为一线也从赤道线上取心以冬夏二至线为界上下各作半圏者名为黄道圏用半圏周平分十二者是黄道半周天度十五度为一分若仪体大者分三十六则五度为一分也以上下盘诸线共作一图本名范天图为测騐根本别有备论极线之上下并周天圏分各十二曲线渐次疎密者名为十二时刻线即以极线为卯正初刻为酉正初刻次上一为卯正二为酉初二每线二刻依时列之次上十二即周天圏分为午正初刻也次下一为酉正二为卯初二每线二刻依时列之至次下十二即周天圏分为子正初刻也若仪体小者上下各六线则以四刻为一线仪体大者上下各二十四线则以一刻为一线更大者上下各七十二线则以五分为一线也周天圏以赤道线极线分为四圏分每圏分分九十度为周天象限四象限共三百六十为周天度数上盘中央安轴处为盘心盘中过心横线在半虚半实之界名为地平线其过心直线与地平线作十字交罗者名为天顶线上盘之圏周亦以地平天顶线分为四圏分每圏分分九十度为周天象限四象限共三百六十为周天度数上盘半虚处左右相望作针孔贯以丝䋲与地平线平行不论多寡皆名为日晷线上盘地平线下横布疎密度数是依天顶线作平行直线上应周天度分者名为直应度分上盘轴心施一线下埀线未繋坠令旋转加于上盘周天度分者名为埀线若以铜为权下重末锐令其末旋转加周者名为埀权与埀线同用下盘之上方横作一直线与极线平行者名为日景线线之两端截去线之上方寸许不尽线半寸许又截去线之下方半寸许令版之左右上角各为方柱柱端与日景线平行者名为表用法(十三首)第一随时随地测日轨高几何度分 测验之最急者为随时随地求日轨高度分厯家必须登台转象未能简便今用此仪应手可得以上盘地平线加于下盘南北极线次任用下盘一表以承日令表端景加于日景线次视埀线所加上盘圏周度分即目下日轨高于地平度分假如以表承日表端景加于日景线而垂线去天顶线地平线各四十五度即日轨高于地平四十五度也若垂线渐近天顶线即日轨渐低渐近地平线即日轨渐高各以垂线度分为日轨度分第二随节气求日躔黄道距赤道几何度分 黄赤二道之交为天元春秋分二道相去最逺处二十三度半强为冬夏至自天正春秋分日日躔二道之交过此日躔黄道距赤道渐逺至冬夏至而极过此渐近至春秋分复躔二道之交其日躔黄道毎日约平行一度若其距之逺近及逺近之差却各节各日多寡不同大都近交差多近至差少厯家多用弧矢勾股法推算其间别有大论今用此仪可随节测量以需后用日日约行一度视本日去春秋分几何日即循两黄道圏各检取去赤道线几何度为两界用直线隠两界上循直线视所当周天圏度分即所求假如清明日欲得黄赤道距度视本日距春分约十五日日日约行一度得十五度即循两黄道圏各左方检取去赤道线各第十五度是本日日躔黄道距交度为两界次用一线或界尺隠取两界循直线视所当周天圏度分得六度是本日日躔黄道距赤道度又如小满日距春分约六十日即检取黄道圏上去赤道线六十度为日躔黄道距交度次依法视周天圏得二十度少是本日黄赤道相距度第三随地随日测午正初刻及日轨高几何度分凡测正午时正方案为初法用日晷为后法今用此仪测得以需后用亦系初法约日将中时用第一法测日轨高几何度分少顷复依法累测之日昃而止次检日轨最高度分为本也本日午正初刻日轨高若立表随所测作线即得子午线假如顺天府寒露日午前用第一法测得日轨高四十度次用刻漏或度日景每过半刻或一刻许复依法累测得四十一度四十二度乃至四十四度又测得四十三度即四十四度为本日午正初刻日轨最高度依累测各作表线得四十四度所作线为正子午线第四随地测南北极出入地几何度分 南北极出入随地不同按唐志言三百五十余里差一度西国则二百五十里差一度当由尺度异也乃其实皆为平差厯家测验先须得此不然即昼夜长短日月出入躔度高下交食分数悉不可考悉不可论故元太史郭守敬分道测验以为厯准然周行四极𬨎轩错出而所得止二十七处意其为术亦太艰难矣今用此仪但是人迹所至都㑹郡邑一测便得不劳余力矣依第三法测得本地午正初刻日轨高几何度分次依第二法求本日日躔距赤道几何度分次视日躔赤道南北算之若日躔赤道南则以距度加高度得赤道至地平之高以赤道高减周天象限度即得赤道离天顶度亦即本极出地度对极入地度日躔赤道北则以距度减高度得赤道至地平之高如法算之若春秋分日正躔赤道即无距度其日轨高即赤道至地平之高如法算之地在赤道南北并同其有日轨距赤道天顶居中日中有倒景者即倒测日轨高以高度并距度减去周天象度即得赤道离天顶度地在赤道南北并同假如顺天府恒见日躔在南即知天顶在赤道北当得北极出地南极入地今于天正春分日午正初刻依第三法测得日轨高五十度又依第二法得本日日躔黄赤道之交无距度即赤道高于地平五十度以减周天象限九十度得四十度即赤道离天顶度南北极离赤道与地平离天顶俱九十度即顺天府天顶离北极五十度而北极出地南极入地各四十度若顺天府霜降日日躔赤道南是日午正初刻测得日轨高三十八度次依第二法得日躔距赤道十二度以加日轨高三十八度亦得赤道高于地平五十度如上法算得北极出地四十度若顺天府立夏日日躔赤道北是日午正初刻测得日轨高六十六度次依第二法得日躔距赤道十六度以减日轨高六十六度亦得赤道高五十度如上法算得北极出地四十度又如应天府清明日日躔赤道北是日午正初刻测得日轨高六十四度次得日躔距赤道六度以减日轨高得五十八度为赤道高以减周天象度得北极出地三十二度如地在赤道南者则躔南加高躔北减高算法并同其有天顶居日轨赤道之中者天顶距赤道在二十三度半强以内日中有倒景之地皆是也如高州府夏至日午正初刻日中有倒景即倒测日轨高于北地平八十八度半弱以并距度二十三度半强得一百一十二度减去周天象限九十度即得赤道离天顶北极出地南极入地各二十二度地在赤道南则以表北为倒景算法同第五随地随节气求昼夜刻各几何 凡昼夜时刻随地各有长短皆以极出地多寡为准极出地度分少则二至昼夜刻所差亦少度分多所差亦多如顺天府北极出地四十度则夏至昼长五十九刻零七分夜长三十六刻零八分高州府北极出地二十二度则夏至昼长五十四刻夜长四十二刻矣(毎时八刻毎日九十六刻)今厯注夏至昼长五十九刻夜四十一刻此是洪武闻所定应天府昼夜刻分也正统己巳厯夏至昼六十一刻夜三十九刻此青州府诸地北极出地三十七度之昼夜刻也(大统)(厯日百刻)岳文肃以为从古所无亦未是此法惟郭守敬得之但须随地用仪表测騐今作此仪似足小补郭氏之阙以上盘地平线加于下盘本地南北极出入地度数视地平线加本日节气线上得地平线以上几何刻即昼刻以下所余刻即夜刻假如顺天府北极出地四十度以上盘地平线加于下盘南极以上第四十度则地平以上是顺天府所见浑天半体即见北极出地四十度南极入地四十度即见顺天府天顶线在北极以上五十度即见赤道离天顶线亦四十度即见地平线斜络诸节气线上所加得夏至为极长冬至为极短今欲知夏至日昼夜刻几何则视地平线与夏至线相加处向上数得二十九刻十一分是从日出至午正初刻数加一倍得五十九刻零七分为本日昼刻所余三十六刻零八分为本日夜刻也又欲知冬至昼夜刻则视地平线与冬至线相加处向上数之所得与夏至昼夜数正相反则夏至昼刻即冬至夜刻夏至夜刻即冬至昼刻也又欲知立夏立秋昼夜刻各几何依前法数得二十八为半日刻加倍得五十六为昼刻所余四十刻为夜刻也又欲知立春立冬昼夜刻依前法数得与立夏立秋昼夜正相反即昼夜刻数亦相反也又欲知春秋分昼夜刻几何依前法数得二十四刻倍之得四十八为昼刻所余四十八为夜刻昼夜平也第六随地随节气求日出入时刻 凡日出日入时刻亦随地不同大统厯夏至日出寅正四刻日入戌初初刻亦洪武间应天府所测日出入时刻顺天府夏至日出寅正二刻日入戌正二刻若用此仪亦随地可指掌得也依第五法上下盘相加视地平线加某时刻分即得日出入时刻假如顺天府北极出地四十度依法相加即盘中所见地平线以上皆日出后时刻地平线以下皆日入后时刻今欲知夏至日出时刻视地平线与夏至线相加处为寅正二即夏至日出时刻是日日轨依夏至线上行至午复囘至本处为戌初二即日入时刻又欲知谷雨处暑日出入时刻依前法得卯初一刻少日出得酉正二刻太日入也又欲知春分秋分日出入时刻依前法得卯正初刻日出酉正初刻日入为昼夜平第七论三殊域昼夜寒暑之变 三殊域者一极北谓北极之下一极南谓南极之下一南北之中谓赤道之下凡迤南迤北渐近二极之下有一日全为昼一日全为夜者有一月二月为昼夜者正当二极之下即半年为昼半年为夜独赤道之下终古昼夜常平此昼夜之变也其寒暑则二极下皆极寒赤道下极热又普天之下皆一年而冬夏一周独赤道之下一年而冬夏再周此寒暑之变今用此仪悉可究陈也依第五法上下盘相加视地平线以上时刻即昼以下即夜赤道之下日行天顶皆夏日行南北皆冬假如地平线加于北极出地六十七度盘中地平线以上全见夏至线上十二全时全不见冬至线上十二全时即彼处夏至日昼长九十六刻无夜夏至日以后节线渐入地平线下渐有夜至秋分而平夜渐长至冬至夜长九十六刻无昼冬至日以后节线渐出地平线上渐有昼至春分而平也又如地平线加于北极出地七十度盘中地平线以上全见小满芒种夏至小暑大暑五节线上十二全时全不见小雪大雪冬至小寒大寒五节线上十二全时即彼处小满以后至夏至全见日轮斜行地上三十日夏至至大暑亦全见日轮斜行地上三十日凡六十日全为昼至大暑以后节线渐入地平线下渐有夜至秋分而平夜渐长小雪以后至冬至日轮斜行地下三十日冬至至大寒亦斜行地下三十日凡六十日全为夜至大寒以后节线渐出地平线上渐有昼至春分而平也又凡日出入地十八度内皆为朦胧时刻故此地虽大暑以后渐有夜小满以前尚有夜其实大暑至处暑榖雨至小满此两月中夜亦常明其时夜极短皆为黄昏昧爽时刻故也又如地平线加北极出地九十度盘中北极在天顶线上以赤道为地平地平线以上全见春分至秋分日行赤道北半年中十二全时全不见秋分至春分日行赤道南半年中十二全时即此地当春分日便见日半轮周行地平之上以后渐髙至夏至周行于地平之上二十三度半强以后渐下至秋分日亦见半日轮周行地平之上此半年全为一昼秋分以后渐下入地至冬至周行于地平之下二十三度半强以后渐髙至春分复见半日轮周行地平之上此半年全为一夜其自春分以前一月为昧爽秋分以后一月为黄昏也若赤道之下南北二极平出地上以极线为地平赤道为天顶盘中地平线以上全见各节线及时刻线之半不论是何节气恒得日出后四十八刻日入后四十八刻终古昼夜常平也其寒暑则普天之下恒由天顶近日而得暑天顶逺日而得寒今以天顶线加于二极线日躔恒在下最近亦六十六度半弱故二极下极寒以天顶线加于赤道线日躔恒在上最逺亦二十三度半强故赤道下极热也又赤道之下以赤道为天顶故春分日行赤道正居天顶为夏日行渐北迄夏至而极为冬却回至秋分行赤道正居天顶复为夏日行渐南迄冬至而极复为冬矣亦縁天下寒暑视日逺近彼中日逺近岁二周故寒暑亦岁二周不以一岁为二岁者日复于次而成岁不在寒暑也或闻一年为一昼夜不信也愚闻之西国人彼亲所经歴无足疑者近检元史郭守敬四海测騐二十七所内云北海北极出地六十五度夏至昼八十二刻夜一十八刻又检唐书载贞观中骨利斡国献马使云其国在京师西北二万余里夜短昼长从天色暝时煮羊足才熟而东方已曙即此二端亦足徴北土有极长极短昼夜矣第元人所至止于北海未至六十五度以北故夜尚有十八刻骨利斡所居亦未至六十六度半弱故夜尚有一两刻可煮羊髀若更北渐短必至无夜又更北北极在天顶必至一年为一昼夜试就此仪论之其理不得不然若骨利斡国夜短昼长是彼中夏至暨冬至必反而昼短夜长如其刻数而史书不言则传说未尽也世间耳目未经而理之所是不得不信否者彼北极下人又肯信吾以百刻为昼夜哉即骨利斡使者归说唐朝昼夜刻数彼国人必有不信者所谓彼我易观更相笑也或问元人测得北海北极出地六十五度夏至昼八十二刻夜一十八刻今用此仪测得六十五度夏至昼独八十四刻夜止一十二刻何也曰授时厯周天三百六十五度四分度之一西厯三百六十度则北海地分止六十四度授时日百刻西厯九十六刻今此仪测得北海六十四度夏至昼得八十刻少弱夜得十五刻太强两测互算正相合矣第八随地随节气求日出入之广几何 春分秋分日日行赤道一线之上其出入处是赤道与地平线之交谓之天元卯酉春分以后日出入渐北至夏至而极复南秋分以后日出入渐南至冬至而极复北其南北之广随地不同独赤道之下广至二十三度半强其自赤道南北渐逺渐广故随地有各节气日出入之广其欲用此法何也凡营度必正方面正方面之法今时多用罗经罗经针锋所止非子午正线罗经自有正针处身尝经厯在大浪山去中国西南五万里过此以西针锋渐向西过此以东针锋渐向东各随道里具有分数至中国则泊于丙午之间矣其所以然自有别论今欲得正子午线亦有转用之法但针体㣲细难得真确不如周礼土圭及钦天监简仪正方案所得方面为准若用此仪先知本地本日日出入去天元卯酉几何度候日出量取即天元卯酉依卯酉作垂线得子午依第五法上下盘相加视地平线下直应度分值本日节气线得几何度即所求假如顺天府北极出地四十度欲知冬至夏至日出入之广依前法视地平线上直应度分加于夏至节气线得三十一度即夏至日出入处离天元卯酉以北度分也即以南三十一度是冬至日出入离天元卯酉度分也总南北为六十二度是冬夏二至日出入之广乂欲知谷雨处暑雨水霜降四日日出入之广依前法得十五度即知谷雨雨水两日日出入在天元卯酉南十五度处著霜降两日日出入在天元卯酉北十五度也又如北极出地六十七度依法测冬至夏至日出入之广得九十度也第九随地随节气用极出入度求午正初刻日轨高几何度分依第五法上下盘相加从地平线所加起算厯周天度分数至本节线上得几何度分即所求假如顺天府北极出地四十度欲知冬至夏至春分日各午正初刻日轨高几何度分依前法以地平线加南极入地四十度上从四十一度起算数至冬至节线得二十六度半即是日午正初刻日高度也至春分节线得五十度至夏至节线得七十三度半即各日午正初刻日高度也又如广东肇庆府北极出地二十三度半强依法测得冬至日午正初刻日高四十三度夏至日午正初刻日高九十度即是日日中无影又如高州府北极出地二十二度依法测得夏至日午正日轨过天顶而北其行度反低于小暑芒种则午正初刻从北地平线上起算数得八十八度半为日高度即是日日中有倒景在表南而小暑芒种两日俱日中无景第十日晷 日晷候时凡二大支数十百种别有成书备论今用此仪径可随地随时取景得目下时刻亦有用此候时而旁藉他法者自具他法中依第一法测得目下日轨高几何度分次依第五法上下盘相加次依日晷线所值日高度分平行视本日节气线所值刻线即目下时刻若日晷线不值日高度分即别用一直线依日高度分与日晷线为平行取之若不用日晷线即以日高度分之半弦为度与天顶线平行以一界抵地平一界抵日高度分依地平线平行取之假如顺天府冬至日测得午前日高二十度次以地平线加于北极出地四十度依日晷线平行或日晷平行线平行或用他度与地平平行从日高二十度平行至冬至节线上值已正初刻少即所求又如应天府清明后五日测得午后日高十八度次以地平线加于北极出地三十二度依法平行至本日节线上值申正一刻即所求第十一随地随节气求日交天顶线在何时刻天顶线者从天元卯酉上至天中当人之顶为本地平分天体南北之界限也大约北极出地地面春分以后日出入于天元卯酉北日中仍在天顶南故春分以后秋分以前日轨行度日两交于天顶线但东交渐迟西交渐早各至夏至而极耳用此可逐日测得天元卯酉以正方面亦可随地于向北墙上造作日晷令画日景线止于日景所至依第五法上下盘相加视天顶线加某时刻即所求假如顺天府北极出地四十度欲知清明白露两日日交天顶线在何时刻依法视天顶线与本节线相交于卯正二刻酉初二刻即是日早晚日交天顶线刻也又欲知夏至日日交天顶时刻依法测得辰正初刻申正初刻也因是可知顺天府面北墙上清明白露两日卯正二刻以前酉初二刻以后日光照及也夏至日则辰正初刻以前申正初刻以后日光照及也又欲知广东肇庆府北极出地二十三度半强夏至日日交天顶线时刻依法测得在午正初刻则是日日光尽日皆照北墙其向南墙上直至日中微有日光也又依法测得满剌伽国在赤道下北极南极皆与地平则春分以后秋分以前半年日照北墙秋分以后春分以前半年日照南墙也第十二论地为圜体用地平线天顶线加于下盘周天度数辗转推论可证地圜之义地本圜体其居天中不过一㸃一㸃者无分数可论也今仪中乃作半虚半实者縁平面辽濶人居地上目力所及止得天体之半故以半虚半实为隠见之象凭之测验非地体实能掩天体之半也论其实理则盘心轴畧可指为地体今欲证地圜之义试如有人居满剌伽国正当赤道之下此人当见南北二极俱与地平即以上盘地平线加于下盘极线其天顶线上当赤道下抵轴心是此人屹立满剌伽地面之象次令此人北行二百五十里当见北极出地一度南极入地一度即以地平线南卬北低令两极出入地各一度其地平线北转一度天顶线亦北转一度是人北行二百五十里之象若行二千五百里即转十度二万二千五百里即转九十度随其所至人恒如天顶线立恒以足抵轴心故地如轴心当为圜体乃得每行二百五十里而更一度为平差也其天顶线依轴心环转一周即人环行地球一周之象若地是平体居于天半即如此仪将地平线实黏下盘极线不令旋转即满剌伽国人行至北地尽处亦宜常见南极行至南地尽处亦宜常见北极今顺天府既见北极出地四十度将地平线实黏下盘四十度上顺天府人虽行至南地尽处亦宜常见北极出地四十度奈何南行二百五十里而少一度北行二百五十里而多一度耶若言地体本平因去极有逺近故见有差殊则天体之大难作是说即如其说亦应作长短差不宜作平差既为平差必由地球本圜人循球而行故南北二极随而渐次隠见今用此仪地平线辗转象之于义无爽也第十三论各地分表景不同 两仪𤣥览图刻所云某一带天下有几般景图中未究其说今畧用此仪解之用上盘地平线天顶线辗转加于下盘周天度数可推立表取景随地不同若赤道之下南北极各与地平其地有三种景若南北极各出地初度以上至未及二十三度半强者其地有四种景正当二十三度半强者亦有三种景若二十三度半强以上至九十度者其地有二种景若在九十度左右者则有无穷景凡立表取景必卓立地平线之上与地平为直角若天顶线也日在东则表景西日在南则表景北今如法推满剌伽国正当赤道之下立表取景即以地平线加于极线以天顶线准表即春分以后秋分以前各节气日出入俱在天顶线北知此地日景俱在表南为第一种景秋分以后春分以前各节气日出入俱在天顶线南知此地日景俱在表北为第二种景春分秋分日日出入正当天顶线上知此地日出景在表西日入景在表东日中无景为第三种景也又如法推南北极各出地初度以上至未及二十三度半强者假如广州府北极出地二十三度立表取景即以地平线加于本度以天顶线准表即春分以前秋分以后各节气日出入俱在天顶线南知此地日景俱在表北为第一种景芒种以后小暑以前日出入俱在天顶线北知此地日景俱在表南为第二种景春分以后芒种以前小暑以后秋分以前日出入交于天顶线依前第十一法推求时刻即此地早交以前晚交以后日景在表北早交以后晚交以前日景在表南为第三种景芒种小暑日日出入在天顶线北日中正当天顶线上知此地日中以前以后景皆在表南日正中则无景为第四种影也又如法推南北极各出地二十三度半强者假如肇庆府北极出地二十三度半强立表取景即以地平线加于本度以天顶线准表即春分以前秋分以后亦同广州府景在表北为第一种景春分以后夏至以前夏至以后秋分以前亦同广州府论日交天顶线早晚景在表北早交后晚交前景在表南为第二种景夏至日日出入在天顶线北日中正当天顶线上知此地日中以前以后景在表南日正中则无景为第三种影也又如法推二十三度半以上至九十度者假如顺天府北极出地四十度立表取景即以地平线加于本度以天顶线准表即春分以前秋分以后亦同广州府景在表北为第一种景春分以后秋分以后亦同广州府论日交天顶线早晚景在表北早交后晚交前景在表南为第二种景也其在九十度左右日周行地面则表末之景当在日躔对冲天上为无穷景简平仪说◆ 《天问畧-明-》（KR3f0012）
## 提要
钦定四库全书 子部六
天问畧 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案天问畧一卷明万厯乙夘西洋人阳玛诺撰是书于诸天重数七政部位太阳节气昼夜永短交食本原地影麤细䝉气映漾蒙影留光皆设为问答反复以明其义末载蒙影刻分表并详解晦朔弦望交食浅深之故亦皆具有度说指证详明与熊三拔所著表度说次第相承浅深相系盖互为表里之书前有阳玛诺自序其说乃舍其本术而盛称所谓天主者且谓第十二重不动之天为诸圣之所居天堂之所在信奉天主者乃得升之以歆动下愚盖欲借推测之有騐以证天主天堂之诬其用意极为诡谲然其考騐天象则实较古法为善今置其荒诞售欺之说而但取其精宻有据之术削去原序以免荧聴其书中间涉妄谬者刋之则文义或不相续姑存其旧而辟其邪说如右焉乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆钖熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 天问畧
钦定四库全书天问畧明 阳玛诺 撰天有几重及七政本位问贵邦多习歴法敢问太阳太隂之说何居且天有几重太阳太隂位置安属曰敝国歴家详论此理设十二重焉最髙者即第十二重为天主上帝诸神圣处永静不动广大无比即天堂也其内第十一重为宗动天其第十第九动绝微仅可推算而甚微妙故先论九重未及十二也十二重天其形皆圆各安本所各层相包如裹葱头日月五星列宿在其体内如木节在板一定不移各因本天之动而动焉问人居地上依其目力所及独见一重自东而西一日一周耳今设十二重何征曰万物或静或动静者独有一静是静无动动者独有一动是动无静终古以来未有一息之内能动静互现者也未有二动并出能此动东去彼动西行者也于其运动相反可知其体有同异矣今恒见日月五星列宿其运动各各相反便知所丽之天原非一重日月相反运动于朔望见之朔日月共躔一度望日月相逺半周月毎日自西而东行十三度有竒日每日约行一度五星所离日月列宿毎日各异其相近相逺亦各时刻不同因知各有其本重所丽之天可证五星之有五重天也列宿诸星相近相逺终古恒同因知其所丽天终古恒同而可证其有第八重天也夫日月诸星本动之天皆自西而东也天左旋日月五星右行贵国先儒亦已晰之矣今举目而视之日生于东没于西月与诸星随之以旋其自东而西者又昭昭然此必有一天焉为之主宰为之牵属而日月诸星之天因之则九重天是也故自东而西者宗动天也自西而东者日月诸星之天也自西而东者日月诸星之本动也自东而西者日月诸星之带动也明乎二动得天体也第九第十重天其说甚长宜有专书备论问自东而西自西而东二动既相反矣今宗动天自东而西日月诸星之天自西而东何不为相反运动哉曰所谓相反运动是一物自发二动非有自外转动如一人在船中船顺风自东而西人逆行自西而东则自西而东人之动也自东而西人之因船带动也虽有二动非相反动又如车轮上有蚁行自南而北其轮之转自北而南实见此蚁行有二动而非相反何也一从自动一从外带故也日月诸星之动何不其然问今观有异运动从星而出星行于天如鸟于空中如鱼于水内矣天何所沓九重焉分曰鱼鸟一时独有一动诸星之动则非一也盖星行一时之际自西而东亦自东而西焉所谓相反运动也特有九重天以斡之故非一物自发二动耳且天体甚坚非水可比胡能穿之两天之连不容一物又焉分哉问既有十二重天敢问太阳何位曰自下往上在第四位七政之中也日得其中为其本所光及余政暄及下地故也为其本所者七政之中日最贵尊贵尊之物得其中位一定之势也光及余政者星月无光恒借日之光以为光试观月之于日合则魄逺则弦对则望随其近逺以为明暗焉五星列宿亦复如是盖日居其中适得上下照映也暄及下地者日光在中下济万物气以暄之乃得调和若居最上则温煖不及诸物难以滋生若居最下则燥热太甚诸物受其暵损故日得中正中和之理万物之宜也诸天本位可视右图日天本动及日距赤道度分赤道则第十一重宗动天之分中也周天三百六十度去南极九十度去北极亦九十度为赤道所谓天之中而其南北二极天之极也黄道则第四重日天之分中也周天三百六十度南北亦各距九十度为黄道所谓日天之中也日天本动自西而东其南北二极离宗动天赤道之极二十三度半黄道以南以北离赤道二十三度半为冬夏至黄道以东以西与赤道相交为春秋分如上图甲乙为赤道宗动天之中丙丁为赤道南北二极己戊为黄道日天之中庚辛为黄道南北二极日天庚辛二极离宗动天丙丁二极各二十三度半日天己戊黄道离宗动天甲乙赤道二十三度半而为冬夏至黄道赤道相交于壬癸而为春秋分宗动天自东而西一日一周因而带动其下十重诸天亦自东而西一日一周日一日约行一度一岁一周故自戊冬至至壬春分为九十度九十日自壬春分至己夏至自己夏至至癸秋分自癸秋分至戊冬至亦然畧论三百六十五日有竒一周天也宗动天自东而西一日一周即此周日之间日之自西而东自行一度人只见其自东而西左旋而已初不见其右行者何也以其外动之自东而西者甚疾内动之自西而东者甚迟故也然而因其近逺天顶可以证之春分以后日过赤道北而上秋分以后日过赤道南而下其上其下非日有偏行縁与宗动天不同极耳试看上图庚辛为日天之极若日轮在戊冬至以至壬春分渐上以至己夏至亦上过己夏至至癸秋分即下至戊冬至亦下上下由于本天之极原离赤道之极二十三度半故日轮居本天之中亦离赤道南北二十三度半而春秋分必相交乃知气不参差无以成化时不寒暑无以合序物不错杂无以生文傥日天二极与宗动天同则日动恒在赤道下绝无距度安得有东西运行之异以行变化而称贞观贞明之体哉日轮正居日天之中日天动而日轮亦动日天运行之一周如于宗动天画一道焉所谓黄道也终古如是故日轮恒躔黄道一道不出入于南北界非如月五星之出入于十二度内也其上下四时各有定度不稍前后也黄道周天三百六十度分为四分毎分九十度为四象限又一象限分六分毎分十五度为一节气共二十四节气如上图自冬至至春分则周天象限也分得九十度每节气十五度则六节气也自春分至夏至自夏至至秋分自秋分至冬至亦然日轮躔冬至初度至九十度在赤道外而最逺于天顶故自立冬至立春皆寒而冬至在其九十度之中故其寒尤甚自立春至立夏因日渐近赤道而稍近于天顶故其时暖于冬至凉于夏至正交赤道谓春分也自立夏至立秋因日在赤道上而夏至则最近于天顶故其时甚热自立秋至立冬日渐下而离天顶其时稍冷于夏至甚煖于春分亦交赤道所谓秋分也夫春秋分皆躔二道之交其离天顶同则其成寒暑宜亦同縁春日隂气塞满大地日光虽照难成温热秋日阳气焦灼无所不暴日轮虽下难成寒气故春秋二季日离天顶并同而寒暑不同也日自春分至夏至行九十度为六节气自夏至至秋分亦然四象限虽各行九十度而其距赤道之纬度则非九十度游移不出二十三度半也故九十度为黄道自东而西之度数而二十三度半为黄道距赤道南北之度数也盖春秋分日日躔二道之交过春分日离赤道向夏至而渐逺赤道过此则又渐近赤道矣自秋分至冬至自冬至至春分亦然如左图甲乙为赤道丙丁为冬夏二至距赤道二十三度半假如日轮在春分则于赤道无距度自春分至清明则日行十五度而其距度非十五度乃六度十九分也自立夏至小满此十五日之间其逺非六度而为四度也自芒种至夏至亦非四度而为一度弱也故近交差多近至差少而其差非同也欲知每节气及毎日日躔黄道距赤道几何度分依上图可得焉假如清明初日日距赤道度分上是清明初度下是白露初度两界相对次用一线或界尺隐取两界循直线视所当丙丁线度分得六度因知清明白露初日日距赤道六度也又清明五日处暑十日其离甲乙赤道亦同故检取清明五度处暑十度为两界次依法视于丙丁得七度强即其距度也余倣此问太阳平行一日一度一岁三百六十五度自春分至秋分半岁宜行一百八十二度半半周天自秋分至春分亦然今不其然大綂厯太阳自春分至秋分有空度自秋分至春分有隔度即今甲寅年春分至秋分四月二十二日空一度五月二十日六月十四日亦有空度秋分至春分十月十一日二十二日皆隔一度十一月十二日十二月十五日亦隔一度其非平行何也曰此理甚广非可易罄凡求日距赤道度分测北极出地多寡定诸节气真日算二食之真时刻皆以此理为最急也今姑举其略依上论七政各有本天所丽各有异动然其本天之中心不与地之中心同一心也故其行转于地体之面一周自非可谓平行也宗动天之黄道心与地球心一也则其行于地面一周恒为平行矣则七政之天虽不平行转于地体之面然于其本天之中心平行转也如上图甲为宗动天之黄道乙为太阳之天丙为太阳天之中心丁为地及宗动天之中心则视宗动天与地球同心其上半天于其下半天实为平分故其行转于地面必亦平行也日天中心乃与地中心不同一处其上半天与其下半天亦非平分故其转行于地面必非平行盖日行从戊过乙至己在地球止行其半周分在太阳本天则己行大半周矣此以上之黄道亦然故自春分至秋分太阳之天大分在上自秋分至春分其在下之分不及半也自春分至秋分行十二节气半周天而多八度自秋分至春分以黄道论亦行十二节气而于本天则其行不及半周也因知日行半黄道自春分至秋分必迟而自秋分至春分必速此非日天不平行以与宗动天黄道非同心故也问日天此理何以征乎曰其所以然自有别论今独征定节气之日也西国厯家测騐节气测得太阳自春分至秋分必须一百八十七日自秋分至春分止须一百七十八日大綂厯半周共有一百八十二度故太阳行夏至节气以其本天毎日一度一百八十七日则行一百八十七度而黄道半周原当行一百八十二度以毎日一度算之为有余故于夏至节气有空度日行冬至节气黄道自秋分至春分亦当行一百八十二度而本天止行一百七十八日乃依毎日一度之算而不足故有隔日乃知春分至秋分黄道一百八十二度本天行一百八十七日日多度寡必须空日可以合之秋分至春分黄道一百八十二度本天一百七十八日度多日寡必须隔日可以合之因此冬夏节气于周天度数亦不平分盖节气太阳行黄道之十五度也日行夏节气其所行十五日而于黄道非行十五度故不可以十五日定其一节也冬节气亦然欲得其真确须依上法而定其限焉故于夏有以十六日日行黄道之十五度而一节气足于冬有以十四日日行黄道之十五度而一节气足问大綂厯自春分至秋分恒算得一百八十二日非一百八十七日也如甲寅年春分日为二月十四日秋分日为八月十八日乃扣至一百八十二日足者自秋分至春分亦然其皆为平分何也曰定节气法有二其一以太阳所行于本天度分其一以所行黄道度分大綂厯定节气非依黄道度分乃以日行本天度分定之若论黄道度则所谓春秋分必在日躔二道之交今大綂厯恒前三日而得春分后三日而得秋分日轮于本天已行至一百八十二日然实未躔二道之交故诸节气俱因此有前后西洋厯家则依太阳所行黄道度分而定诸节气矣此法以得真确本日甚便盖测騐以得日轮髙下为急而日轮髙下由于其所躔黄道度分也日蚀问日蚀所以曰日蚀非日失其光乃月掩其光也月之天在日天之下朔时月轮正过日轮之下南北同经东西同纬故揜其光若有失之耳如上图甲为日乙为月丙为人居地面月轮隔在其中使日光不能照地面而人目不能见日轮也因知日食非各处共有之或一处见食别处见光或一处全食别处半食皆目随地异也闻贵国先时一年日食司天言当几分草泽言当几分后卒如草泽言说者以为筭法疎宻使然实不尔也如右图丙地面乙月轮甲日轮居丁者正见月于日故见全食居戊者斜见月于日故见半日食居己者不见月于日故全不见食如欲得日食时刻最凖先须得七政经纬度及正斜视法不然即交食分数测騐躔度悉不可算悉不可定故吾国厯家穷究此理以为厯凖别有备论今特畧言食理也试观居房内者房中有烛以照四方若于东方有揜光者必坐东者不见其光而坐南北西方者得光也各方如是如灭其光则居诸房内者四方见烛无光矣与食同理也若月食则所食全缺分秒万人万目共作是观别无同异与日不同问日蚀由于月揜其光凡毎朔时日月同度又正过其下宜皆得食今不尽然何也曰日躔惟一黄道终古无出其外也月于黄道有时在南在北故月道半出黄道北半出黄道南而为南北二交吾国所谓龙头龙尾是也朔时若月在二交之外或南或北与日非经纬同度不能揜日光也南北为经东西为纬凡是朔日经度必同如更同纬度适在二交之上乃能揜其光而食耳如左图月道交黄道于龙头龙尾甲为月道在黄道南丙在北试使月朔时在龙头则经纬同度月正过日轮之下揜其光而食焉如朔时月在甲黄道之南日乃在乙黄道之上而纬不同度则日在北月在南矣故不食也问日食若因月天在日天之下则水星金星天亦在日天之下而不见揜其光且月天在金水二星之下月亦宜揜其光而金水有食如日矣今其食不显何也曰水星金星虽正过日轮之下而有与日同度时然金星大于水星而日大于金星一百倍二星之体比日体甚小岂能揜其光而使人不见日也吾国厯家遇金水二星与日同度恒见日轮中有黒㸃以星体不能全揜日体故也月轮正过二星之下亦宜揜其星光使人不见今不显其食如日者非月不能揜之乃二星之光甚微其体甚小故不明显也问天地浑仪说曰地球大于金星三十六倍又二十七分之一大于月轮三十八倍又三分之一是金星大于月轮也夫月球能揜日光则金星更大亦何不揜日光乎曰凡物以形相揜非惟论其大小又当计其逺近盖人目视物之时自目至物之体射两直线为直角形故愈近于目其物虽小而径愈大愈逺于目其物虽大而径愈小如上图甲为人目庚为物体甲乙甲巳为人目所射两直线则径愈近愈小愈逺愈大故戊大于丁而丁大于丙也试以人手隔目手愈近于目则愈揜物体矣是故金星虽大于月乃在月天之上去人目甚逺故不能揜日光也月虽小于金星乃在金星天之下去人目最近故能揜日光也此其理也问日大于月固矣日轮较地球不知其大有几曰吾国厯家著明此理有论甚广测七政髙下及大小之度分有器甚凖日大于地一百六十五倍又八分之三欲征之宜知圆光照圆体之影也圆光若照圆体同大其影广恒等而无穷若照圆体更大其影渐大而亦无穷若照圆体更小其影渐小而有尽试观上图甲为圆光乙为圆体丙为体影第一图甲圆与乙圆体相等丙影亦等无穷尽矣第二图甲圆光大于乙圆体丙影渐小而有尽矣第三图甲圆光小于乙圆体丙影渐寛大而亦无穷矣太阳照地之时地影非恒等亦非渐大譬之物影盖为渐小而有尽如第二图也则以日轮圆光大于地形照地之影渐锐而小至有尽焉甚明也凡星月无光借日之光太阳照及其体则光生焉不然则否傥日与地等地或更大焉则其影为无穷之影宜射䕃直过诸星之天必见诸星有食焉者矣今惟地体甚小锐影有尽不到诸星之天故日光无碍照及木火土以及列宿诸天而诸星恒明光无朦也其地影之尽可过第一第二重天至第三重天而不及第四重天所以月因地影得食而诸星不食也地球一周三百六十度每度二百五十里日天一周亦三百六十度其每一度有数万余里焉吾国厯家有器量得日天之度毎半度为日一全径因知其圆形亦得数万余里而非地形可比譬如山髙二十余里上有人焉居下者视之如小鸟也日天之髙自地面至太阳中心相隔一千六百万余里今视日轮如小车轮犹之二十里髙山视人如鸟矣问太阳早晚出入时近于地平见大午时近于天顶见小何也曰地球悬于空际居中无著其四际离天诸方同一无近逺也以理论之其在东西出入方也太阳离地凡一千六百万余里矣而人立地面或自东视西或自西视东半径几一万五千里焉以一千六百万余里又加以一万五千里人之视日宜小也日在午方从下视上止一千六百万余里人之视日宜大也今宜小而反大宜大而反小者此非由于地之逺近也湿气使然也盖夜中水气恒上腾气行空中悉成湿性湿以太阳自下而上映带而来晃漾焉蓬勃焉人望之以为如是其大耳若太阳当空浮翳尽扫无所映隔真体明净较之旦暮为小凡月与诸星见于地平必有湿气障隔尔时所见亦必大于午时试观水中所见或石或木必大于水外者皆湿性之势也问人在地面视东视西者半径各得一万五千里岂以人之所立恰在地中乎曰地是圆体人之所立无论逺近中邉从其所立分之各得一半昼夜时刻随北极出地各有长短问昼夜长短不一时刻亦异何也曰昼夜长短由于太阳及南北极出入地平也北极出地即夏至昼长夜短冬至昼短夜长南极出地反是其时势异也为此夏至为彼冬至故昼短夜长为此冬至为彼夏至故昼长夜短南北二极与地平则其地昼夜恒平故昼夜长短由于太阳及极出入地也南北为纬度东西为经度各一周三百六十度人在地面凡居经度一带之内者其昼夜长短恒同其日出入及昼夜时刻则异盖经度之自东而西者人之所居或东或西虽各不同而纬度之三十度者皆为三十度四十度者皆为四十度也此同纬度者也若纬度之异者自赤道以至极下其昼夜长短各异矣如左图地为圆体悬于空际上下四旁皆有人居四方之人各以所居子午线为午时太阳在东方甲居东方者为午时日轮在其天顶故也乙居西方者即为夘时日轮至天顶须三时故也丙亦居西方者即为子时日轮以至天顶须六时故也诸地相去自东而西莫不皆然地球自南而北三百六十度一周毎一度二百五十里日轮毎刻平行天度三度四十五分如两地相去九百三十七里半则相隔为一刻相去七千五百里则相隔为一时因知居东方者若得午时自此逐渐往西即为巳为辰为夘为寅为丑为子天下自东而西时刻各异各以日轮到本处子午线为午正初刻昼夜长短恒同者盖以北极出地多寡定为时刻多少所以自东而西一带但经度相同地方其离北极皆同则昼夜长短亦同南北纬度自赤道至极下昼夜时刻随地各有长短盖居赤道下者以赤道为天顶而其南北二极正与地面相平地平之交于诸节气线皆当正中故其昼夜长短恒平也北极出地则地平之交节气非其正中矣故所分上下亦非平分夏至则其线大分在上而昼长夜短冬至则其线小分在上而昼短夜长今欲知赤道之下昼夜常平如右图即见人居此地以赤道为天顶又南北极不出入地次见地平线相交于诸节气之线正当中而六时在地平上六时在下故太阳或行夏至或冬至或春秋分线上必六时在地面上而为昼六时在下而为夜其诸节气日出必夘正初刻日入必酉正初刻即昼夜常平可知也但其曚昽影稍异冬夏二至略长于春秋分之时此有别论今不详之自赤道北行二百五十里见北极出地一度赤道离天顶南亦一度若行二千五百里即北极出地南极入地赤道离天顶南俱差十度自赤道下至北极下毎行二百五十里皆差一度其赤道线偏在天顶南即诸节气线亦偏于南不与地平线相交于正中以为平分故昼夜时刻各有长短焉昼夜长短皆从北极出地而生今以北极出地四十度作法余可推焉如上图北极出地南极入地四十度赤道在天顶南亦四十度地平线交于诸节气线非其正中其交夏至线也于寅正二刻四分故昼长五十九刻七分毎日九十六刻其余三十六刻八分为夜甚短因其线大半在地平上故自春分经夏至至秋分皆为昼长而夜短地平线交冬至在辰初一刻十一分故夜长五十九刻七分其余三十六刻八分为昼甚短因其线大半在地平下故自秋分厯冬至至春分皆为夜长而昼短可知昼夜长短由于南北二极出入地也如右图欲知顺天府毎节气昼夜刻各几何则视本日节气在地平线上时刻即书在下时刻即夜也假如于夏至线视地平线交于寅正二刻以上得二十九刻十一分是从日出至午正初刻数加一倍即从午正初至日入得五十九刻七分为昼刻分所余刻分即夜刻分也诸节气亦然又欲知日出入时刻即视地平线于本节气相交某时刻即得欲知随节气朦胧影刻各几何亦视本节气自朦胧线以上至地平线皆黄昏昧爽刻分也凡昼夜长短时刻由于南北极出入地与所居纬度之不同也天顶近于赤道则北极出地度数少即昼夜长短亦少天顶逺于赤道则北极出地度分多即昼夜长短亦多故应天府北极出地三十二度半顺天府四十度强即多七度半其昼夜长短亦自不同欲知所差几何试观北极出地四十度强图地平线交夏至线于寅正二刻四分故顺天府夏至昼长五十九刻七分观北极出地三十二度半图地平线交夏至线于寅正三刻十二分故应天府夏至昼长五十六刻六分计差三刻其余节气以法对之亦然又欲知日出入及曚昽影时刻各异如上法可求因上三图即知昼夜时刻随北极出地各有长短北极不出地因赤道为天顶左右节气半在地上半在地下故昼夜必恒平也北极出地或二十度其赤道在天顶南二十度左右节气皆偏于南二十度故昼夜必有长短也盖人居赤道下者恒见半天若北极出地二十度南极必入地二十度人居赤道北二十度者其所见天北方必多二十度而能见赤道下者之所不见南方必少二十度而不见赤道下者之所得见人恒得见半天故也夏至节气在赤道北其二十度之分现在地面上故得昼长冬至在赤道南其二十度之分隐在地面下故得昼短其北极出地三十四十五十度者其理并同独至出地六十七度半则不同也试观浑仪若北极出地十度夏至昼长二刻若出二十度长五刻出三十度长八刻出四十度长十二刻出五十度长十八刻出六十度长二十六刻出六十七度长四十八刻其长四十八刻者夏至线不交地平而全见在地平上冬至全在地平下故夏至日太阳行地面上不入地平昼长九十六刻无夜冬至日太阳行地面下不出地平夜长九十六刻无昼北极出地七十度五夏节气线小满芒种夏至小暑大暑皆在地平上五冬节气线小雪大雪冬至小寒大寒皆在地平下其北极出地七十度者从小满厯夏至夏至厯大暑凡六十日太阳斜行地上不入地下即六十日全为昼无夜小雪以后厯冬至冬至歴大寒凡六十日太阳斜行地下不出地上即六十日全为夜无昼若北极出地八十度则夏十节气皆在地平上冬在下昼夜长短全为百二十余日若北极出地九十度则此地以北极为天顶以赤道为地平赤道北诸节气全在地平上赤道南诸节气全在地平下而半年为昼半年为夜矣试观上图北极在天顶赤道为地平从春分厯夏至迄秋分诸节气在地平上从秋分歴冬至迄春分诸节气在地平下即见此地日躔赤道春分以后出地日轮渐髙至夏至二十三度半以后渐下至秋分故半年恒周行于地平之上而全为一昼秋分以后入地日轮渐下至冬至二十三度半以后渐髙至春分故半年恒周行于地平之下而全为一夜日出入地平十八度内皆为䑃胧影时刻故此地春分以前月半为昧爽秋分以后月半为黄昏也或曰一年半为昼半为夜何以证之曰吾西国人亲所经厯其愈近北极者夏至日昼愈长夜愈短夏至日有全十二时为昼有全三十日为昼全六十日为昼全六月为昼厯厯身涉不可疑也依浑天仪论之其理不得不然也试于中国亦可见焉中国本境自南十八度起至北四十二度止人从最南北行毎二百五十里必更一度渐北渐移夏至日昼长夜短而京师北土之夏至日长于广东南土之夏至广州北极出地二十三度半夏至日五十三刻十一分为昼余四十二刻四分为夜又以江西较之南昌府北极出地二十九度夏至日五十五刻七分为昼余四十刻八分为夜视广东昼夜长短差二刻南京北极出地三十二度半夏至日五十六刻六分为昼余三十九刻九分为夜视广东昼夜长短差三刻视江西差一刻山东济南府北极出地三十七度昼长五十八刻四分余为夜即昼长于广东五刻于江西三刻于南京二刻京师北极出地四十度其昼夜长短所差愈多从此可推自十八度以至四十二度各处不同又推知自四十二度至九十度昼夜渐长渐短以至半年为昼半年为夜足征矣昼夜长短日出入时刻朦胧影刻分皆以北极出地多寡及所交节气之日为凖宜随地随气立算不可执一处以槩他方也故为列图如左图中最上横书一行为诸节气本日从冬至至夏至次第一直行为各省所宜用本图及其地北极出地多寡次得日出一行此行横书作二行一为日出刻数一为日出分数次日入一行及昼夜长短朦胧影其行各横书作二行一为刻数一为分数假如欲知顺天府立冬或立春日日出入时刻昼夜长短朦胧影刻分则视左各图而例得第一图为其本图次检取图中立冬本行及右日出行相对得夘正三刻十三分其余相对如是而得日入申正四刻二分昼长短四十刻四分夜长短五十五刻十一分朦胧影六刻七分其余节气亦然余图视法亦然依西厯毎日九十六刻毎时八刻算北京及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分南京及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分山东省城及邻近地方昼夜长短日出日入蒙昽影刻分山西省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分陜西省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分河南省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分浙江省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分江西省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分湖广省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分四川省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分福建省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分广东省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分广西省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分云南省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分贵州省城及邻近地方昼夜长短日出日入曚昽影刻分月天为第一重天及月本动问太隂在何重天曰第一重天最近于地者是也吾征之日食由于月掩其光且恒见月体能揜水与金星则月天必居其下矣依表影之理亦可征也立表取影光体逺于地面得景短光体近于地面得景长今西国厯家以表景测騐日月髙下日轮髙于地平五十度月轮亦髙于地平五十度然而所得日光表景则短月光表景则长也如左图甲乙为地平丙为表视日轮髙于地平五十度月轮亦髙五十度即日光从表端至丁月光从表端至戊戊影长于丁影明也是知月天必在其下而近于地面也月天南北二极各离宗动天之极二十三度半与日天同故月行亦交黄道而其躔黄道非如日轮也日轮恒行黄道一路月轮之路非一乃出入黄道南北五度故中国厯家曰月有九道其出入相交处谓之龙头龙尾详见前日食图月本动自西而东毎日约行十三度有竒朔时日月同度至第三日及第四日即见月轮在日轮之东至上弦离太阳九十度望日正相对百八十度半周天非月行最疾何能离日如是乎然其自东而西日月诸星其动并同无有疾迟以其皆为宗动天所带故也问月光每日不同何故曰月体及诸星之体与本天之体一也第天体透光如玻瓈而月与星之体坚凝不能透光耳故日光全照月天天体直透不能发光月星坚凝(阙)无光月在丁虽日光皆照其半然大半居天内目力独见其小分也月在戊在已亦然月在庚乃正相对于日轮日光全照其向下之半目力得见而其向上者无光人目俱所不及焉故望日月光满全也过望日后目力渐不能及月光渐消以至无光焉问月借日光光有消长乃诸星之光恒见满圆而无消长何也曰诸星与月其借日光不同也月天在日天之下月受其光近远一异消长不同诸星之天居日天之上日光照星恒照其下面虽或近或远于日而其下面恒有光故居地上者视星恒有光也如左图甲为日轮乙为诸星之天居日天之上丁为地形丙为地影即见日光恒照诸星下面而居地上者恒见其下面有光且月食由于地影地影之锐有尽不及诸星之天故诸星之光不朦也月食问望日月与日正对则月光当满圆矣然而或全无光或一分有光一分无光其故何也曰地球悬于十二重天之中央如鸡卵黄在青之中央故日由西照地地必有影射东照东必有影射西夫日轮恒在黄道上若遇望日而月轮亦在黄道上与日正对望则地球障隔日月之间月轮必入地景之内太阳不能照之故失光而食矣渐出地景之外太阳能照之乃渐复得原光也若浑然相对全失光若一分对一分不对对者失光不对者否矣因知月轮失光而食悉由于地景也如上图甲为日轮乙为地球丙为地影丁为月轮即见日月正对故月轮全居地影之内而居地上者视月无光月无光则食也问日轮值望必与月正相对相对月必过地影过影必当毎望食矣今月之遇食不过什一焉地影之说毋乃碍乎曰日轮恒行黄道上不出入内外地体之影正对于日亦恒在黄道上不出入内外焉月轮惟行龙头龙尾之上乃行黄道故望时月轮适当龙头龙尾适过地影之内则食若出黄道内外或南或北地影不便不能食即食亦分秒不同此望日日月虽对而亦不能常食也问日月正对则相逺必百八十度半周天也故月在地平上日必居其下日在地平上月必居其下然有月食而日月皆在地平上则月食非由地影矣何也曰从古至今凡月食皆以望日为限其相逺必半周天不然不食也月食时日月俱在地平上者或日在西以将入月在东以始出或月入而日出也夫月将出而日将入其视月在地平者非月全出也则海水或湿气所影映也盖地平傍近恒有湿气清微如烟或空中对月轮偶有轻薄白云或値当海水皆能令月影映于其内而目力所成宛一月焉此视法之理也固有别论今试于空盘若盘底内置一钱人渐逺于盘或八步或十余步盘内之钱已不见矣令斟水满盘即仍八步或十余步而钱忽见之何也所视非钱体也钱影也然则地平之见月非月体也月影也问月食时刻不同或所食时长或时短何也曰月食长短由于地体之影及月轮之行也月天之内别有小轮以带月为带月轮此小轮之动与月天之本动非同一也乃月天行自西而东小轮其上半周行自东而西其下半周行自西而东故月轮近逺于地心恒异也月轮若居小轮之下必近于地若居小轮之上必逺于地也地景渐锐而有尽其愈近于地愈寛愈至于锐愈狭若月行小轮之下所经影界寛故食久若行小轮之上所经影界狭故食暂也小轮之说及其上半周何得行自东而西其下半周自西而东别有正论如左图甲为日轮乙为地形丙为小轮丁为地影渐锐故影寛于戊而狭于巳月行地影之内在戊小轮之下必久于在巳在巳小轮之上必速于在戊故其时刻长短异也因知二食之时刻长短由于地影及月轮之行也朔日既过月光渐长望日以后其光渐消则月行地平上其光非同也盖月轮毎日自西而东约行十三度朔日以后毎日离日轮亦十三度故朔日日轮入地平而月在日东十三度为三刻未入地也次日又离十三度次日亦然以至于望月与日正相对故日入地下而月出地上也望日以后月渐近于日以至合璧焉因知居地面者其有月光朔日以后毎日多三刻望日以后毎日少三刻欲知毎日多寡试观左图第一上圏月日自初一日至第三十日也第二中圏月在地上毎日有光几刻也第三内圏一刻之分也假如初六日欲知日入以后月光照地几何刻分视上圏第六日即得第二圏六日正下十九刻与三圏三分问既朔日以后月光渐长又毎日离日轮十三度则第二日日入地平月在日东十三度远则月髙于地平亦十三度逺自第二日以后宜无不见月光者乃今之见光或在朔后二日或在三日或在四日其不同何也曰其故由于地平及黄道也人居地面而以见月光者必月轮在地平上髙十二度方可得见不然则否盖月之度数有离日轮之度有离地平之度月光之见否由于离地平之髙低不由于离日轮之逺近也故黄道交于地平不同有斜相交有正相交朔时日月同度若其同度在于斜交之宫则居地面者迟见月光也若在于正交之宫则速见其光也视上二图甲乙为地平丙丁为黄道戊为月轮在地平上巳为日轮将入地平第一图乃甲乙地平斜相交于丙丁黄道戊月轮虽离巳日轮十三度或十五度乃其髙于地平非十二度故合朔之次日其月虽离日轮十三余度因未至地平十二度髙故居地面者第二日不能见其光或在第三第四日之间也第二图甲乙地平乃正相交于黄道戊月轮之离日轮及地平并同也故均为行十三度而其第二日已髙于地平十二度故得即见月光云又月因有逆顺行亦有离太阳迟速逆行时必迟离太阳顺行时必速离太阳此其故也天问畧◆ 《新法算书-明-》（KR3f0013）
## 提要
钦定四库全书 子部六
新法算书 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨案新法算书一百卷明大学士徐光启太仆寺少卿李之藻光禄寺卿李天经及西洋人龙华民邓玉函罗雅谷汤若望等所修西洋新厯也明自成化以后歴法愈谬而台官墨守旧闻朝廷亦惮于改作建议者俱格不行万厯中大西洋人龙华民邓玉函等先后至京俱精究律法五官正周子愚请令叅订修改礼部因举光启之藻任其事而庶务因循未暇开局至崇祯二年推日食不騐礼部乃始奏请开局修改以光启领之时满城布衣魏文魁著厯元歴测二书令其子献诸朝光启作学厯小辨以斥其谬文魁之说遂绌于是光启督成厯书数十卷次第奏进而光启病卒李天经代董其事又续以所作厯书及仪器上进其书凡十一部曰法原曰法数曰法算曰法器曰㑹通谓之基本五目曰日躔曰恒星曰月离曰日月交㑹曰五纬星曰五星交㑹谓之节次六目书首为修厯縁起皆当时奏疏及考测辨论之事书末厯法西𫝊新法表异二种则汤若望入本朝后所作而附刻以行者其中有解有术有图有考有表有论皆钩深索𨼆宻合天行足以尽欧罗巴厯学之蕴然其时牵制于廷臣之门户虽诏立两局累年测騐明知新法之宻竟不能行迨圣代龙兴乃因其成帙用备畴人之掌岂非天之所祐有开必先莫知其然而然者耶越我圣祖仁皇帝天亶聪明乾坤合契御制数理精蕴厯象考成诸编益复推阐㣲茫穷究正变如月离二三均数分为二表交食改黄平象限用白平象限方位以髙弧定上下左右又増借根方法解对数法解于㸃线面体部之末皆是书所未能及者八线表旧以半径数为十万各线数逐分列之今改半径数为千万各线数逐十秒列之用以步算尤为径捷至钦定厯象考成后编日月以本天为撱圆交食以日月两经斜距为白道以视行取视距推步之宻垂范万年又非光启等所能企及然授时改宪之所自其源流实本于是编故具录存之庶论西法之权舆者有考于斯焉乾隆四十六年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书
新法算书卷一 明 徐光启等 撰縁起一皇帝勅谕太子宾客礼部左侍郎兼翰林院侍读学士徐光启朕惟授时钦若王者所以格天观运画图羲和所以底日夷考大衍系卦九畴五纪之书冯相保章之职辨三辰而察九野至详且备然造厯者多门而乩疑者互证甘石莫究禆梓难通及至眎䘲考详言盈转缩天保迷于申卯孔氏示于辰房代有成规谁𠂻聚讼自太祖辟干大统验七政之交会为行度无差迨神宗出震延禧握三生之命苞而屡议修举诞及朕躬膺兹帝命顷因日食不合会议宜请更修特允廷推命尔督领改修厯法事务尔宜广集众长虚心采听因数察理探赜推𤣥据尔所陈四欵之三十三条按之歳功五行之二十四气凡歳差歳实之异测日测月之岐三大三小为定朔定望之枢一大一小为平朔平望之凖法宜稽于四应气宜印于二分黄道赤道之逺近悬殊度多度寡之増减靡泥算天行而置闰定中极以握衡合与犯之互乘经与纬之相错漏壶窥昼夜之长短圭表转左右之交旋总之迟速之天象可摹而积久则进退多爽异同之师法可质而守株则踈密胥乖析之则天时人事阳徳隂功须究厘于分秒约之则观象测景候时筹策凭仪器以推求西法不妨于兼収诸家务取而参合用人必求其当制象必核其精较正差讹増补阙略庶宿离之不忒璇籥环玑而工绩之咸熙璧轮应琯和协八风之律职符二正之司阐千古之厯元成一朝之巨典朕则尔庸倘玩忽㒺功因仍乖次责有攸归尔其慎之故谕崇祯二年九月十三日五月初三日题顷该文书官杨泽恭捧到勅谕钦天监推算日食前后刻数俱不对天文重事这等错误卿等传与他姑恕一次以后还要细心推算如再错误重治不饶钦此臣等是日赴礼部与尚书何如宠侍郎徐光启候期救䕶据光启推算本日食止二分有余不及五刻已验之果合亦以监推为有误乃蒙皇上蚤已鉴及仰见我皇上克谨天戒无一时一刻稍敢怠遑臣等谨即传示礼部转行该监申饬外原奉勅谕尊藏阁中又同时发下宣大督师王象干马折改票一本适枢臣王洽来见臣等于东阁臣等业将㫖意反复与商其中利弊原委非部奏不能详悉谨拟令枢臣详议具覆并掲囘奏以闻礼部掲为日食事今将豫算本年五月初一日乙酉朔日食厯三种开列于后据大统厯推算日食三分二十四秒初亏巳正三刻 西南食甚午初三刻 正南复圆午正三刻 东南 共八刻食甚日躔黄道参宿九度一十分三十三秒据囘囘厯推算日食五分五十二秒初亏午初三刻 西南食甚午正三刻 正南复圆未初三刻 东南 共八刻食甚日躔黄道申宫二十九度四十六分九秒用新法推算顺天府二分有竒初亏巳正三刻二分算外下同 西南食甚午初二刻六分 正南复圆午初四刻六分 东南共五刻四分应天府六分有竒杭州府六分三十秒有竒广州府九分有竒琼州府食既大宁开平等处不食食甚日躔黄道申宫二十九度四十五分零五秒崇祯二年四月二十九日礼部题为日食事祠祭司案呈奉本部送本月初三日奉㫖传谕内阁钦天监推算日食前后刻数俱不对天文重事这等错误卿等传与他姑恕一次以后还要细心推算如再错误重治不饶钦此钦遵传出到部送司随行该监查取推算官员职名据该监五官夏官正等官戈丰年等囘称备陈日食时刻少差切照本监所用大统厯乃国初监正元统所定其实即元太史郭守敬等所造授时厯也二百六十年来厯官按法推步一毫未尝增损非惟不敢亦不能若妄有窜易则失之益逺矣切详厯始于唐尧至今四千年其法从粗入细从踈入宻汉唐以来有差至二日一日者后有差一二时者至于守敬授时之法古今称为极宻然中间刻数依其本法尚不能无差故向来遵用推算每有一二刻不合若在早晚又不止一二刻矣此其立法固然非职自能更改亦非敢卤莽失误也岂惟职等即守敬以至元十八年成厯越十八年为大徳三年八月已推当食而不食大徳六年六月又食而失推载在律厯志可查也是时守敬方以昭文殿大学士知太史院事亦付之无可奈何盖一时心思技术已尽于此不能复有进步矣夫彼立法者尚然况职等斤斤守法者哉切闻创始难工増修易善自古以来每觉差讹即令专门宿学之臣为之修改故汉厯改五次魏至隋改十三次唐至五代改十六次宋改十八次金元改三次独我朝二百六十年未经修改中间又有年逺数盈及岁差增损诸事致差之因非一端也今欲循守旧法向后不能无差欲行修改更非浅陋所及遵奉圣谕严切措躬无地为此备陈情愫等因到部送司案呈先该钦天监题称推算到崇祯二年五月初一日乙酉朔日食三分二十四秒初亏巳正三刻西南食甚午初三刻正南复圆午正三刻东南至期劄委本司主事黄鸣俊公同测验囘呈据该监五官灵台郎孔文进等手本囘称先该厯科夏官正戈丰年等推算到崇祯二年五月初一日乙酉朔日食候至午初一刻观见日食初亏西南午正一刻食甚正南约食三分余测参宿度分午正三刻复圆东南等因到司与先题互异例应罚治案呈到部臣等看得本月初一日日食原题初亏巳正三刻而今在午初一刻则已差二刻矣乃原推复圆在午正三刻而实在午正一刻则又差二刻矣据推算官戈丰年等称此所用大统厯乃国初监正元统所定实元郭守敬授时厯之成法也厯官按书推步一毫不敢擅自増减今验日食时刻俱不合以为原法固然臣等查考近来交食果有先后一二刻至三四刻者其分秒之数亦有多寡不对者必求符合须将今厯大加修改测验布算务求万分精宻十倍胜于守敬乃可定今日之所以差又期他日之可以不差耳且厯法大典唐虞以来咸所隆重故无百年不改之厯我高皇帝神圣自天深明象纬而一时厯官如元统李徳芳辈才力有限不能出郭守敬之上因循至今后来专官修正则有童轩乐頀华湘等著书考定则有郑世子载堉副使邢云路等建议改正则有俞正已周濂周相等是皆明知守敬旧法本未尽善抑亦年逺数赢即守敬而在亦须重改故也况厯法一志歴代以来载之国史若史记汉书晋唐书宋元史尤为精备后之作者凛为成式因以増修我国家事事度越前代而独此一事略无更定如万厯间纂修国史拟将元史旧志誊录成书岂所以昭盛朝之令典哉万厯四十年十一月朔日食先天四刻有兵部员外郎范守已具疏叅驳臣部曾经复请修改至四十一年正月十五日月食不合又经覆请未奉谕㫖是以迄今尚用旧法今本监厯官既荷圣思寛宥又复具呈前来意亦谓元初至今相沿三百五十年无能改正而一旦于彼责成非其识力所及且崇祯三年应月食者一四年应日食者一月食者二临时必不能无差又诸臣所惴惴焉不宁者如蒙圣鉴垂念制作大事伏乞勅下臣部照依万厯四十年原议修改庶国典有光而世业畴人亦借手以免于罪戾矣崇祯二年五月初十日具题本月十三日奉圣㫖厯法皇祖曽议重修今日食刻数复差允宜更正依卿等所请修改一应事宜再著另行具奏礼部为钦奉明㫖修改厯法谨开列事宜请乞圣裁事祠祭清吏司案呈照得本年五月初一日日食先该钦天监推算刻数不对初三日奉㫖传钦天监推算日食前后刻数俱不对天文重事这等错误卿等传与他姑恕一次以后还要细心推算如再错误重治不饶钦此随该本部具题查得厯法久未经修推算难免错误请乞查例修改等因奉圣㫖厯法皇祖朝曽议重修今日食刻数复差允宜更正依卿等所请修改一应事宜再著另行具奏钦此钦遵抄出到部送司案呈到部臣等查得万厯四十年十一月朔日食钦天监推算得未正一刻初亏而兵部员外郎范守已候得申初一刻则是先天四刻以此累疏驳正该监亦称候得初亏在未正三刻则是先天二刻以此具疏争辩臣部看得四刻二刻总非宻合所以然者授时厯本元初郭守敬诸人所造而大统厯因之比于汉唐宋诸家诚为宻近尚未能确与天合加以年逺数盈至今三百五十年未经修改故也以此具疏覆请乞博选知厯之人讲求考验务期悉合天度超越前古以垂永久未果施行今两奉谕㫖仰见我皇上钦若敬授之至意稽古垂宪之鸿猷臣等虽才识驽下敢忘竭蹶以副隆指谨依四十年十二月又四十一年正月部议二疏事理斟酌増损开列欵目具疏上请伏候命下遵奉施行计开一议选人员窃惟治厯明时古人以为重事臣等不敢繁称止据元史所载以宰相王文谦枢密张易主领裁奏于上仍命左丞许衡参预其事王恂郭守敬并领太史院事分掌测验推步于下而又博征杨恭懿诸人助之然犹五年而成六年而颁行十年而进书五种二十六卷后三十年续进书九种七十九卷则成之綦难已髙皇帝倡兴大业元朝所有典章散失止存授时成法数卷元统等因之为大统厯仅能依法布算而不能言其所以然之故后来有志之士亦止将前史厯志揣摩推度并未有守敬等数年实测之功力又无前代灼然可据之遗书所以言之而未可行用之而不必验也夫莫难于造厯莫易于辨厯天之髙星辰之逺而先期布算使时刻分秒毫髪不差非积久测验累经修改其势不能是故难也若欲辨术业之巧拙课立法之亲疎则以日月交食五星凌犯豫令推算临时候验时刻分秒合即是不合即非若数一二安可欺乎是故易也今日用人务求其能合者而已即法未遽成务精择其言其书可以必合者而已臣部四十等年原疏推举五人为史臣徐光启臬臣邢云路部臣范守已崔孺秀李之藻今三臣俱故独臣光启见在本部似可督领其事恭候圣明任使施行至臣之藻以南京太仆寺少卿丁忧服满在籍如蒙圣明录用伏乞勅下吏部查明履厯酌量相应员缺起补前来协同任事臣部仍劄委祠祭司官一员职司分理但以元史及国初旧事考之又似非一二臣工所能独就所能速成者尚须博访遍求选择共事庶集众思以底成绩则又俟督领之臣另行斟酌题请伏惟圣裁一议博访取按大明会典凡天文地理等艺术之人行天下访取考验収用𢎞治十一年令访取精通天文者试中取用嘉靖三年科臣建议部覆保举于是以户科给事中乐頀工部主事华湘俱升光禄寺少卿提督钦天监事然二臣终不能改守敬之旧所以至今寝阁今亦不敢遽谓海内无人但私习天文律有明禁而监官不知律意往往以此沮人是以世多不习或习之而不肯自言耳臣等考之周礼则冯相与保章异职稽之职掌则天文与厯法异科盖天文占候之宜禁者惧妄言祸福惑世诬人也若厯法则止于敬授人时而已岂律例所禁哉今议臣部访求及通行各省直不拘官吏生儒草泽布衣但有通晓厯法者具文前来其言天文者一槩不取即明厯者亦不必遽行起送先取其著述文字并令豫算交食凌犯数条或制造仪器式様并申到部查核果有禆益方行取用庶真材得以自见而赝鼎滥竽无能杂进矣但据臣等所见闻近世言厯诸家大都宗郭守敬旧法比于见在监官艺犹鲁卫无能翘然出于其上也至若岁差环转岁实参差天有纬度地有经度列宿有本行月五星有本轮日月有真会似会皆古来所未闻惟西国之厯有之而舍此数法则交食凌犯终无宻合之理髙皇帝尝命史臣呉伯宗与西域马沙亦黒翻译厯法盖以此也万歴四十年监正周子愚建议欲得参用务令会通归一今亦宜倣其说参用西法果得会通归一即本朝之厯可以逺迈前代矣伏乞圣裁一议用钱粮修厯事重且繁用人既多经费亦巨如元史所说郑重若斯即当时用度可想见已今时诎不能举赢则取人必求实干造器必求实益供亿必不可虚冒时日必不可虚度庶事成而费亦可省也如官俸除见任外其余择职事稍简衙门见缺补用钦天监亦考取见任厯官三四员听用则官俸省矣若访取草泽知厯人等必须心精手巧确当一臂之用者不得过十人钦天监天文生考取其心手精敏能书善算者不得过十五人则饩廪省矣又如观象台见在浑仪简仪正方案等体大费巨目今垫平修整即可施用就有新式未敢议造若必须制用量造小様或兼用铜木材料以为凖则所费不多其台上下旧议造房数间今亦止须修旧以便测验人员更畨歇息其开局之处查得宣武门内有旧剏首善书院系在空闲堪以整理暂住则造作省矣以上诸费除见任见役官生俸给照常支领外其余应添给本色者量行户部添给应估计修整者量行工部修整其纸劄笔墨等费及零星合用查得臣部所属太医院及训科训术僧道录司等项有上纳事例银两収贮户工二部者旧议于中咨取应用合无暂准前议臣等酌量减省择其必不可已者量行取用仍造四柱文册按季奏闻达部事竣之日仍造总册奏报伏乞圣裁一议考成绩按唐书载僧一行造大衍厯七年而仅成草藁元郭守敬等造授时厯十年而始进书籍今古书尽亡测验推步必须星廻岁转著述讲究动经年月若更优游时日未免积久躭延不止失时亦且多费臣等议得开局之后宜倣周礼日考日成月考月要之法每月终将日逐测验推算簿类报臣部季终将三月内所成簿籍书册或所造仪器法式总报臣部进呈御览事竣之日将己未进呈者一并具奏至若成造重大仪器及刋刻全书以章一代之鸿谟以垂万世之法式及効劳官生人等计功议叙诸事至期容臣部酌量议拟请㫖施行伏乞圣裁崇祯二年七月十一日具题本月十四日奉圣㫖这修改厯法四欵俱依议徐光启见在本部著一切督领李之藻速与起补蚤来供事该部知道礼部题为钦奉明㫖修改厯法谨开列事宜请乞圣裁事照得修改厯法已经本部具题于七月十四日奉圣㫖这修改厯法事宜四欵俱依议徐光启见在本部著一切督领李之藻即与起补蚤来供事该部知道钦此钦遵到部臣等奉㫖改修厯法钦命见在本部左侍郎徐光启一切督领所有各衙门应行事宜必须勅书关防以慎重大典相应题请合候命下行移翰林院撰文本部铸给关防施行縁系(云云)事理未敢擅便谨题请㫖崇祯二年七月二十一日具题本月二十四日奉圣㫖是与做督修歴法关防书总目臣窃惟星厯之学兴于邃古如伏羲作干支神农分八节黄帝综六术颛顼命二正是已六经可考者则虞书之在玑齐政厯象授时周礼之土圭致日月冯相氏会天位辨时叙也而黄帝以下六厯皆不传其传者自西汉太初厯始太初以后迄于胜国千四百年改厯者七十余次创法者十有三家约略计之二十余年而一修改百余年而一创法其间学士畴人布衣草泽流传衍绎曽无绝绪即有守株之陋时呈秀林之材矣元郭守敬兼综前术时剏新意授时既就以为终古绝伦后来学者谓守此为足无复措意三百五十年来并守敬之书亦皆湮没即有志之士殚力研求无能出守敬之藩更一旧法立一新义确有原本确有左验者则是厯象一学至元而盛亦自元而衰也我高皇帝神圣首出深明象纬元统李徳芳争言岁实消长圣谕云但以七政行度交会无差者为是然而二臣亦各不能自为无差是后特命儒臣呉伯宗等翻译西域厯书三卷载在掌故又面谕词臣李翀等曰迩来西域阴阳家推测天象至为精宻有验其纬度之法又中国书之所未备此其有关于天人甚大宜译其书随时披阅庶几观象可以省躬修徳顺天心立民命焉又称其测天之道甚是精详岂非礼失而求之野乎所惜者翻译既少又绝无论说是以一时词臣厯师无能用彼之法参入大统会通归一者又其本法系阿剌必年所造是隋开皇己未去今一千三十二年其地复迤西数万里千年以来天象宻移事事迁革无从更定数万里外地度经纬亦各参差牵彼就此自多乖迕今本科所推交食与大统互异五星凌犯亦未能悉合天行盖为此也迩来星厯诸臣颇有不安旧学志求改正者故万歴四十年有修厯译书分曹治事之议夫使分曹各治事毕而止大统既不能自异于前西法又未能必为我用亦犹二百年来分科推步而已臣等愚心以为欲求超胜必须㑹通会通之前先须翻译盖大统书籍绝少而西法至为详备且又近今数十年间所定其青于蓝寒于水者十倍前人又皆随地异测随时异用故可为目前必验之法又可为二三百年不易之法又可为二三百年后测审差数因而更改之法又可令后之人循习晓畅因而求进当复更胜于今也翻译既有端绪然后令甄明大统深知法意者参详考定镕彼方之材质入大统之型模譬如作室者规范尺寸一一如前而木石瓦甓悉皆精好百千万年必无敝壊即尊制同文合之双美盛朝之巨典可以逺迈百王垂贻永世且于髙皇帝之遗意为后先合辙善作善承矣臣惟兹事义理奥赜法数殷繁述叙既多宜循节次事绪尤纷宜先基本今拟分节次六目基本五目一切翻译譔著区分类别以次属焉谨条列如左节次六目一曰日躔厯二曰恒星厯三曰月离厯四曰日月交会厯五曰五纬星厯六曰五星交会厯基本五目一曰法原二曰法数三曰法算四曰法器五曰会通右六节次循序渐作以前开后以后承前不能兼并亦难凌越五基本则梓匠之规矩渔猎之筌蹄虽则浩繁亦须随时并作以周事用然而臣更有说者大事必须众力疾行当无善步郭守敬时厯学未坠集合大僚数辈及南北厯官然犹五年而成厯七年而颁行二十余年而典籍始备今人数既乏功绪倍繁恐旁观者议其旷日迟久则臣有三议于此其一苟求速就则豫算日月交食三四十年次用旧法略加损益附会其间数月可竣夫厯家疎宻惟交食为易见余皆隐㣲难见者也交食不误亦当信为成厯然三四十年之后乖违如故矣此则昧心罔上臣等所不敢出也其二依循节次辨理立法基本五事分任经营今日躔一节大叚完讫恒星半已就绪太隂方当经始次及交食次及五星此功既竟即有法有数畴人世业悉可通知二三百年必无乖舛然其书已多于曩昔其术亦易于前人矣其三事竣厯成更求大备一义一法必深言所以然之故从流溯源因枝达干不止集星厯之大成兼能为万务之根本此其书必逾数倍其事必阅岁年既而法意既明明之者自能立法传之其人数百年后见有违离推明其故因而测天改宪此所谓今之法可更于后后之人必胜于今者也两端胪列事在徐图先其易简次其繁重惟是功非朝夕人必旁求藉非多助为时愈久此必然之势也若臣弱植衰年庸才末学即第二议必非臣所能竟何况其三特如精卫填海有求成之望愚叟移山论可为之理而已伏惟圣明矜詧崇祯四年正月某日礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事奉勅督领修正厯法事务(臣)徐光启谨撰第一次进呈书目计开书五卷内日躔厯指一卷 属法原测天约说二卷 属法原大测二卷 属法原表一十八卷内日躔表二卷 属法数属日躔割圆八线表六卷 属法数黄道升度表七卷 属法数黄赤距度表一卷 属法数通率表二卷 属会通太子宾客礼部左侍郎兼翰林院侍读学士臣徐光启谨奏为恭承恩命自揣无能谨陈愚见以祈圣明采择事臣以庸愚备员佐礼旷官素食每抱兢慙顷因日食不合伏蒙俞允臣部所请修改厯法臣以昔年旧议厕名其间钦奉谕㫖这修改厯法事宜四欵俱依议徐光启见在本部著一切督领李之藻速与起补蚤来供事该部知道钦此钦遵臣闻命自天有如蚉负虽知才识短浅而君父之命所不敢辞除报名廷谢外切念厯数一家今为绝学而臣滨海𥪡儒无从师授万厯四十等年礼臣谬相推举者亦为臣能虚心采听庶或因人成事以襄大典非谓臣能创立矩矱自胜前人也十八年来益加衰老旧学遗忘勉肩重任亦率循素志广集众长冀幸得当以报恩命而已臣惟古来言歴者有二误其一则元史厯议言考古证今日度失行者十事夫已则不合而归咎于天谬之甚也其一则宋儒言天必有一定之数今失传耳夫古之厯法当时则合者多矣非不自谓已定久而又复不合则岂有一定可拘哉臣所闻者天行有恒数而无齐数也有恒者如夏至日长冬至日短终古不易不齐者如长极渐短短极渐长终岁之间无一相似岁法如此他法皆然以至百千万年了无相似而用法商求仍归辏合迟速永短悉依期限此天地之所以为大也今所求者每遇一差必寻其所以差之故每用一法必论其所以不差之故上推逺古下騐将来必期一一无爽日月交食五星凌犯必期事事宻合又须穷原极本著为明白简易之说使一览了然百世之后人人可以从事遇有少差因可随时随事依法修改且度数既明又可旁通众务济时适用此则臣之所志而非臣之所能故不无望于众思群力之助也谨陈急要事宜四欵分三十三条上尘御览伏惟圣明裁择施行事绪繁多有逾限制恳祈圣鉴臣不胜激切惶悚待命之至为此具本谨具奏闻计开一厯法修正十事其一议岁差每岁东行渐长渐短之数以正古来百年五十年六十六年等多寡互异之说其二议岁实小余昔多今少渐次改易及日景长短岁岁不同之因以定冬至以正气朔其三每日测验日行经度以定盈缩加减真率东西南北髙下之差以步日躔其四夜测月行经纬度数以定交转迟疾真率东西南北髙下之差以步月离其五宻测列宿经纬行度以定七政盈缩迟疾顺逆违离逺近之数其六宻测五星经纬行度以定小轮行度迟疾留逆伏见之数东西南北髙下之差以推步凌犯其七推变黄赤道广狭度数宻测二道距度及月五星各道与黄道相距之度以定交转其八议日月去交逺近及真会似会之因以定距午时差之真率以正交食其九测日行考知二极出入地度数以定周天纬度以齐七政因月食考知东西相距地轮经度以定交食时刻其十依唐元法随地测验二极出入地度数地轮经纬以定昼夜晨昏永短以正交食有无多寡先后之数右十事俱目前切要其余备细条目未敢凟陈伏乞圣裁一修厯用人三事其一中外臣僚臣部所举南冏臣李之藻已蒙录用仍令蚤来其余果有专门名家亦宜兼収容臣等随时访求有立法超卓陈义精当者具实奏闻以待简用其二用西法髙皇帝尝得囘囘厯法称为干方先圣之书令词臣呉伯宗等与马沙亦黒同事翻译至今传用惜亦年逺渐差万厯间西洋天学逺臣利玛窦等尤精其术四十等年曽经部覆推举今其同伴龙华民邓玉函二臣见居赐宇必得其书其法方可以较正讹谬増补阙略盖其术业既精积验复久若以大统旧法与之会通归一则事半而功倍矣其三修厯合用人员如测验推步制造仪器及能书善算者臣部已经条列但目前未能齐集姑就见在堪任者著令効用再俟访求招致有实用者半年之后听臣部类齐考试各取所长不敢滥収以滋糜费考后在事诸人若著述论议推算簿籍造作仪象凡系进呈及见用存贮者俱册记本人姓名使各见所长且在今可以上下其食他日可以差次其功至诸人所用廪粮本折容臣部分理司官酌量案呈另行具奏伏乞圣裁一急用仪象十事其一造七政象限大仪六座俱方八尺木匡铜边木架其二造列宿纪限大仪三座俱方八尺木匡铜边木架其三造平浑悬仪三架用铜圆径八寸厚四分其四造交食仪一具用铜木料方二尺以上其五造列宿经纬天球仪一架用木料油漆大小不拘其六造万国经纬地球仪一架用木料油漆大小不拘其七造节气时刻平面日晷三具用石长五尺以上广三尺以上其八造节气时刻转盘星晷三具用铜径一尺厚二分其九造候时钟三架用铁大小不拘其十装修测候七政交食逺镜三架用铜铁木料右诸事俱目前急用余可接续制造者未敢备开其旧法须用铜者为费不赀今兼以铜铁木料成造小者全用铜铁总计所费数亦不多恳祈勅下工部随时应用臣部依前覆议按季类奏但木料止堪暂用事完仍须精铜铸式以垂永久伏乞圣裁一度数旁通十事其一厯象既正除天文一家言灾祥祸福律例所禁外若考求七政行度情性下合地宜则一切晴雨水旱可以约略豫知修救修备于民生财计大有利益其二度数既明可以测量水地一切䟽濬河渠筑治堤岸灌溉田畆动无失策有益民事其三度数与乐律相通明于度数即能考正音律制造器具于修定雅乐可以相资其四兵家营阵器械及筑治城台池隍等皆须度数为用精于其法有裨边计其五算学久废官司计会多委任胥吏钱榖之司关系尤大度数既明凡九章诸术皆有简当㨗要之法习业甚易理财之臣尤所亟须其六营建屋宇桥梁等明于度数者力省功倍且经度坚固千万年不圮不壊其七精于度数者能造作机器力小任重及风水轮盘诸事以治水用水与凡一切器具皆有利便之法以前民用以利民生其八天下舆地其南北东西纵横相距纡直广袤及山海原隰髙深广逺皆可用法测量道里尺寸悉无谬误其九医药之家宜审运气厯数既明可以察知日月五星躔次与病体相视乖和顺逆因而药石针砭不致差误大为生民利益其十造作钟漏以知时刻分秒若日月星晷不论公私处所南北东西欹斜坳突皆可安置施用使人人能分更分漏以率作兴事屡省考成右十条于民事似为关切臣闻之周髀算经云禹之所以治天下者句股之所繇生也盖凡物有形有质莫不资于度数故耳此须接续讲求若得同事多人亦可分曹速就伏乞圣裁崇祯二年七月二十六日本年八月初一日奉圣㫖这条议厯法立论简确列欵明备修正岁差等事测验推步叅合诸家西法自宜兼収用人精择毋滥李之藻著速催前来仪象急用工部委官督造度数旁通有关庶缋一并分曹料理该衙门知道太子宾客礼部左侍郎兼翰林院侍读学士督修厯法臣徐光启谨题为钦奉明㫖修改厯法谨开列事宜请乞圣裁事照得臣于本年七月十四日奉圣㫖督领修厯事务即于次日选用知厯人并匠役等制造仪器原题大仪九座今因工料未敷先完三座畧可给用已移置本局安顿讫今月十五日祗领𠡠书并本部铸给钦降关防随行钦天监择日具题奉㫖已于本月二十二日开局讫所有合用官生人等支给并仪器工料谨酌量中数列欵具题请㫖伏惟圣明裁定𠡠下各该衙门钦遵施行一支给一协理分理官各一员光禄寺日给酒食等项似应同纂修官照品支给一钦天监官原题选取官三员今据称厯官七员艺能相等而局中又不必七员俱到合无日轮二员供事其二员似应照纂修馆署丞等官事例支给一后有取用官员俱斟酌前例一体给与一西洋天学逺臣二名万厯间原有光禄寺下程廪给似应该寺酌量照旧给与一选取徴用知厯人不拘吏监生儒原题准选用十名今欲分别三等艺能其一能明度数本原讲解意义传教官生者其一测验推步精宻不差者其一制造大小仪器工巧合法者三项皆属上等每名每月给米一石银一两八钱其有兼长特出三艺俱全一人当数人之用者酌量加给但今三月以来访取仅得三人其艺能不及者不敢滥収后有续取者照例支给一厯科天文生考取能书善算者原题准选用十五人今局中不必多人止轮三名常用供事每名除月粮外加给米五斗盐菜银九钱其余但有成书并工誊录者计日支给每名每日给银五分诸人中有术业进益能及上等者照前加给已上二欵一时人数或缺逐名扣给有挂名旷废者计日除减一督修协理各用书办一名每名月给银九钱看管仪器局夫一名厨夫一名每名月给银六钱一每月用呈文纸一千张冈连纸一篓一厯局观象台二处每月用煤六十斤一寒月四个月每日用木炭四十斤一工料一七政列宿大仪九座每座约工料银三十两若㑹有铜铁木植约用工价银二十两一平浑悬仪三架一交食仪一具一天球地球仪二架一平面日晷三具一星晷三具一自鸣钟三架中様者每架价银五十两大者及小而精工者价值甚多今不必用一望逺镜架三副每架约工料银六两镜不在数前器止目前急用他可续造者不在此数至于分画界限工力精细有小器一具应费百日之功者俱知厯人干办另有前项本身廪给不在工料之数又诸器未经成造难以定估人数亦有多寡不齐通俟按季造成四柱支销文册具奏达部一该局房屋合应工部量行修理当加添者量行加添并量备棹椅器物数事崇祯二年九月二十三日具题二十六日奉圣㫖这修厯官生人等支给并仪器工料等项俱著依议办给该衙门知道太子宾客礼部左侍郎兼翰林院侍读学士督修厯法臣徐光启等谨题为修改厯法事崇祯二年七月十一日该本部题为日食事十四日奉圣㫖这修改厯法四欵俱依议徐光启见在本部著一切督领李之藻速与起补蚤来供事该部知道钦此钦遵随行一面制造仪器续于九月十五日祗领𠡠书关防二十二日开局行据钦天监开送选取官生戈丰年周𦙍等到局分畨测验晷景臣之藻祗奉简命亦于去冬十一月自原籍杭州府起程前来行至杨州沧州两处为因血疾再发医疗躭延今幸获痊已于本月初六日陛见讫旋即到局协同臣光启恪遵原议规则督率该监官生在局供事推求测验改正诸法先是臣光启自受命以来与同西洋逺臣龙华民邓玉函等日逐讲究翻译至十月二十七日计一月余所著述翻译厯说厯表稿草七卷忽因警患臣光启屡奉明㫖拮据兵事因之辍业独两逺臣与知厯人等自行翻译复得诸色歴表稿草八卷日稽月省臣等凛凛职业不敢怠荒独念天道幽逺厯学精奥自古圣喆皆不能为一定之法独郭守敬称为绝论今复与天不合则其法亦未精宻臣等占俾老儒所诵习者不过汉唐宋元史册之所纪载资性愚蒙亦岂能自出聪明髙睨往古苐今改厯一事因差故改必须究其所以差之故而改正之前史改厯之人皆不其然不过截前至后通计所差度分立一加减乘除均𣲖各岁之下谓之改矣实未究其所以然也臣等昔年曽遇西洋利玛窦与之讲论天地原始七政运行并及其形体之大小逺近与夫度数之顺逆迟疾一一从其所以然处指示确然不易之理较我中国往籍多所未闻臣等自后每闻交食即以其法騐之与该监所推算不无异同而大率与天相合故臣等窃以为今兹修改必须叅西法而用之以彼条欵就我名义从厯法之大本大原阐发明晰而后可以言改耳臣等藉诸臣之理与数诸臣又藉臣等之言与笔功力相倚不可相无然而布算既宻事绪亦繁汗牛充栋之书臣等方愁精力有限岁月易销不意本年四月初二日臣邓玉函患病身故此臣厯学专门精深博洽臣等深所倚仗忽兹倾逝向后绪业甚长止藉华民一臣又有本等道业深惧无以早完报命臣等访得诸臣同学尚有汤若望罗雅谷二臣者其术业与玉函相埒而年力正强堪以效用及今西洋掌教逺臣陆若汉南行即令访求速来共襄盛典事理亦便伏乞𠡠下臣部就便行文敦谕二臣并行所在官司资给前来庶令人出所长早奏厥绩臣等竭其愚昧咨访商量一则通晓厯法之人悉宜収集京师一则此二臣者皆系外国宾旅请乞皇上明㫖徴求重其事亦重其人故不免以一事之㣲仰凟天听至于各省直地方有学术能窥原本推步确见左验者臣等再勤博访取用未敢一一凟陈也谨题请㫖崇祯三年五月十六日具题本月十九日奉圣㫖厯法方在改修汤若望等既可访用著地方官资给前来该衙门知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法臣徐光启等题为修改厯法事先该臣等于本年五月十六日题为前事十九日奉圣㫖厯法方在改修汤若望等既可访用著地方官资给前来该衙门知道钦此钦遵通行咨访去后访得逺臣罗雅谷见寓河南开封府随经该府知府袁楷具文起送资给前来于今月初二日到京理合具题伏候命下令赴鸿胪寺报名习仪见朝随令到局与逺臣龙华民一体供事其汤若望另俟访取到日具题请㫖施行崇祯三年七月初六日具题奉圣㫖罗雅谷准朝见到局供事该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法臣徐光启谨题为奉㫖囘奏事臣于十月十七日登台测候月食具本囘奏奉圣㫖考验厯法全在交食览奏台官用器不同测时互异还著较勘画一具奏钦此钦遵随行督率该监堂属官并知厯人等到台前后较勘三次设立表臬及用合式罗经于本台日晷简仪立运仪正方案上较定本地子午真线以为定时根本据法当制造如式日晷以定昼时造星晷以定夜时造正线罗经以定子午若晨昏隂雨当造如式行漏与该监所有铜漏比验画一以济二晷所不及但备办界画工力甚细今工尚未竣而较勘略定理合先行奏闻臣等窃照定时之法当议者五事一曰壶漏二曰指南针三曰表臬四曰仪五曰晷其一壶漏等器规制甚多今所用者水漏也然水有新旧滑濇则迟疾异漏管有时而塞有时而磷则缓急异定漏之初必于午正初刻此刻一误无所不误虽调品如法终无益也故壶漏者特以济晨昏隂雨晷仪表臬所不及而非定时之本所谓本者必准于天行则用表用仪用晷昼测日夜测星是已其二指南针者今术人恒用以定南北凡辨方正位皆取则焉然所得子午非真子午向来言隂阳者多云泊于丙午之间今以法考之实各处不同在京师则偏东五度四十分若凭以造晷则冬至午正先天一刻四十四分有竒夏至午正先天五十一分有竒然此偏东之度必造针用磁悉皆合法其数如此若今术人所用短针双针磁石同居之针杂乱无法所差度分或多或少无定数也今观象台有赤道日晷一座及正方案臣等以法考之其正方案偏东二度日晷先天半刻计在当时亦用罗经与表臬㕘定故差数为少若专用罗经者恐所差刻分多少亦无定数而大抵皆失于先天据此以候交食时刻即其失不尽在推步也今但用表臬或仪器以求子午真线或依偏针加减别造正线罗经以与旧晷较勘差数立见矣三曰表臬者即周礼匠人置𣙗之法识日出入之景参诸日中之景以正方位今法置小表于地平午正前后累测日景以求相等之两长景即为东西因得中间最短之景即为真子午其术更为简便也四曰仪者本台原有立运仪用以测验七政髙度臣等即用以较定子午于午前累测日髙度分至于长极而消则因最髙之度即得最短之景此午正时南北真线也五曰晷者造成平面晷体依前仪器表臬南针三法参互考合务得子午夘酉真线因以法分布时刻加入节气诸线即成平面日晷若今时所用圆石欹晷是为赤道晷亦用所得子午线较定此二晷者皆可得天正时刻所谓昼测日也若测星之晷亦即周礼夜考极星之法然周时北极一星正与真北极同壤今时久宻移此星去极三度有竒周官旧法不复可用故用重盘星晷上盘书时刻下盘书节气展转相加依近极二星用时指垂权测知天正时刻所谓夜测星也总五事而论之壶漏用物用其分数南针用物用其性情然皆非天不因非人不成惟表惟仪惟晷悉本天行私智谬巧无容其间故可为候时造厯之准式也今若于准表准仪准针任用一事因之以造日星二晷又因二晷以较定壶漏用加减轻重之法令迟疾如意则天正时刻人人通知在在画一矣如是而交食时刻尚有后先则失在推步也然而推步之学其中事理有须申明奏闻者盖厯自汉迄元一千三百五十年凡六十八改而后有授时之法是皆从粗入精先迷后得谓古法良是后来失传误改者皆谬论也自元至今又三百五十年略无修正并郭守敬之遗书一百余卷悉皆散逸徒取其仅存之粗迹为熙朝之大典讵是事宜而昔日台官阻挠特甚此则前代厯家义所不敢出也近蒙圣明加意厘正诸臣专已成心悉已捐除而见臣等著述稍繁似有畏难之意不知其中有理有义有法有数理不明不能立法义不辨不能著数明理辨义推究颇难法立数著遵循甚易即所谓明理辨义者在今日则能者从之在他日则传之其人令可据为修改地耳非必在台诸臣悉皆晓畅也若立成诸表皆先为一定之法一成之数如旧用测圆术求距度一率即须展转乘除穷日之力而臣等翻译原文二万一千六百率又改从大统加减演算为三万六千率用之推步展卷即得其他诸法亦多类此此则今之愈繁乃后之愈简以臣等之甚难开诸臣之甚易何足畏哉此臣等所尝面谕而今以入告庶诸臣知臣言之不欺旁观者知厯法歴理一成俱成逺寻前绪下启来兹实未易也縁系奉㫖囘奏事理除赤道晷恒是先天半刻可用原晷修改或临时扣减定算平面晷可于正方案界画其星晷行漏罗经待工完之日付该监台官施用并指授造法用法外合应先行囘奏为此具本谨具题知崇祯三年十一月二十四日具题二十八日奉圣㫖厯学甚㣲其理数法象必须悉心互叅不可偏执览奏制器测晷及指传台官等事具见详审知道了该部知道新法算书卷一
## 卷二
钦定四库全书
新法算书卷二 明 徐光启等 撰縁起二礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法臣徐光启奏为因病再申前请恳祈圣鉴以完大典事臣等近推本年十一月十八日冬至时刻用仪器三事累测日躔如法布算与该监原推不合而该监原推与近来议厯者所言又不合欲求画一使人人晓畅确然无疑当于臬表二器酌就一巧便之法因于二十八日前往观象台再行备细考验计划不意偶然失足颠坠台下致伤腰膝不能动履见今延医调治据例止应注籍未宜輙以上闻而在臣特不得不言者为修厯事务势难阙人故也案查去年七月十一日礼部为日食事条陈四欵内一欵言治厯重事须博访遍求选择共事庶集众思以底成绩则又俟督领之臣另行斟酌题请等因本月十四日奉圣㫖这修改厯法四欵俱依议徐光启见在本部著一切督领李之藻速与起补蚤来供事该部知道钦此续于本年七月二十六日臣复具奏为恭承明命自揣无能谨陈愚见以祈圣明采择事内开专门名家亦宜兼収容臣等随时访求有立法超卓陈义精当者具实奏闻以待简用等因八月初一日奉圣㫖这条议厯法立论简确列欵明备修正岁差等事测验推步叅合诸家西法自宜兼収用人精择毋滥李之藻著速催前来仪象急用工部委官督造度数旁通有关庶绩一并分曹料理该衙门知道钦此臣自兹奉命以后料理未几旋遭报警辍业逾时今秋才欲续成而寺臣李之藻物故目下算数测候誊写员役虽不乏人而释义演文讲究润色较勘试验独臣一身即使强健逾人尚苦茫无究竟况今疾困支离卧病一日则误一日之事以此再申前请伏乞𠡠下吏礼二部商求堪用人员更简数辈前来供事若使臣医药遂效可速于告成如或痊可未期亦便于承接矣臣昨具疏以较勘时刻回奏伏奉圣㫖厯学甚㣲其厯数法象必须悉心互叅不可偏执览奏制器测晷及指传台官等事具见详审知道了该部知道钦此仰见我皇上通㣲之睿虑无穷之教思臣自今以往敢不夙夜佩服无论一已原无特见不敢偏执即载籍有异同众论有彼此亦不敢偏狥而惟以七政运行为本昔元统李徳芳争言厯事髙皇帝曰二统皆难凭只验七政行度交㑹无差者为是洋洋圣谟垂训至矣臣亲承此意故一切立法定数务求与天相合又求与众共见但其理义甚奥而赜法数甚曲而繁自非集思广益何能速就况臣既衰且病展转回惶不得不凟陈于圣明之前也外访取西洋逺臣汤若望向寓陜西西安府今经该府咨给前来理合奏闻并候命下令赴鸿胪寺报名见朝随令到局一体供事伏候𠡠㫖臣无任激切惶悚待命之至崇祯三年十二月初二日奏本月初六日奉圣㫖审厯非比他艺果有精晓堪任的著吏礼二部择用不得偏狥取到人员知道了该衙门知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法徐光启谨题为钦奉明㫖恭进厯书事案照崇祯三年九月二十日该臣题为奉㫖修厯因事暂辍谨略陈事绪以明职守事内开先后共成厯书并立成表一十九卷竢办厯毕日纠集官生次第缮写进呈御览等因二十三日奉圣㫖这奏修厯事绪知道了原议案季考成既因事暂停译成书表著缮写完日进览该部知道钦此钦遵随将翻译撰述过书表等二十三卷并总目一卷共二十四卷行钦天监官生缮写完备其间卷数有多于前题者系近日续成有前经开载今未完者因本书卷数尚多合待通完并进为此谨将见在厯书厯表二十四册二套进呈御览伏祈睿鉴縁系钦奉明㫖恭进厯书事理理合具本谨具题知计开厯书一套六卷内厯书总目一卷日躔厯指一卷测天约说二卷大测二卷厯表一套一十八卷内日躔表二卷割圆八线表六卷黄道升度表七卷黄赤道距度表一卷通率表二卷崇祯四年正月二十八日题二月初一日奉圣㫖厯书留览未完的缮冩续进该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法徐光启题为钦奉明㫖恭进厯书事案照本年正月二十八日该臣题为前事恭进第一次厯书二十四卷二月初一日奉圣㫖厯书留览未完的缮写续进礼部知道钦此钦遵一面撰述修润一面测算缮写依礼部原题三月一考成则四月终宜有续进但讨论润色原拟多用人员今止臣一人每卷必须七八易稿且测量全义十卷恒星厯八卷两逺臣分曹著述于时尚未全完难以截数先进而恒星图表务求分秒无差两臣与在局人员日算夜测最难就绪近今缮写齐备凡书表图像三种共二十卷一折谨具本进呈御览臣于本年正月有进呈厯书总目一卷内开基本五目其法原法器今测量全义并前测天约说大测等书已陈其大约矣法数即立成表各依七政本厯附载会通止二卷已经进讫法算即系算术暂用旧法亦足供事更有超㨗深奥者宜待异日是则基本五目略已足用今未敢多端旁骛以致稽延若节次六目前已完过日躔书表三卷今续完恒星书表图像八卷一折其月离厯则稿草半就交食厯五星厯方当经始容臣等陆续完进伏祈圣鉴縁系钦奉明㫖恭进厯书事理未敢擅便谨具题知计开第二次进呈书目测量全义十卷恒星厯指三卷恒星厯表四卷恒星总图一折恒星图像一卷揆日解订讹一卷比例规解一卷崇祯四年八月初一日具题初四日奉圣㫖览奏进第二次厯书著述详悉知道了该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启谨题为日食分数非多厯法藉为明证谨具数上闻略陈义据以祈圣鉴以待候騐事案照本年六月十一日该臣题为月食事本年十月十五日夜望月食十三日奉圣㫖览奏并图象知道了该部知道钦此其本月辛丑朔仍该日食为是二分以上未及三分例不救䕶止应具本题知然臣窃思之论救䕶可以例免通行论厯法正宜详加测验盖厯不差不改不验不用如日月交食皆天验之大者而月食在夜加时早晚苦无定据壶漏迟速自昔以为难凭星算切凖台官业已传习又独谙者知之不能共见也惟日食明白易晓按晷定时无可迁就无容𨼆匿故厯疎宻独此最为的证况臣等翻译纂辑渐次就绪而向后交食为期尚逺此时不一指实与该监诸臣明白共见即厯成之后臣等之术无凭取验诸臣在事何从强其必信而安意习之谚曰千闻不如一见未经目击而以口舌争以书数传虽唇焦笔秃无益也非独此也是日之必当测候臣等于此有四说焉按日食有时差旧法用距午为限中前宜减中后宜加以定加时早晚若食在正中则无时差不用加减故台官相传谓日食加时有差多在早晚日中必合独今此食既在日中而加时则旧术在后新术在前当差三刻以上所以然者七政运行皆依黄道不繇赤道旧法所谓中乃赤道之午中而不知所谓中者黄道之正中也黄赤二道之中独冬夏二至乃得同度余日渐次相离今十月朔去冬至度数尚逺两中之差二十三度有竒岂可仍因食限近午不加不减乎若食在二至又正午相值果可无差即食于他时而不在日中即差之原尚多亦复难办适际此日又值此时足为显证是可验时差之正术一也交食之法既无差误及至临期实候其加时又或少有后先此则不因天度而因地度地度者地之经度也本方之地经度未得真率则加时难定其法必从交食时测验数次乃可较勘画一今此食依新术测候其加时刻分或先后未合当取从前所记地经度分斟酌改定此可以求里差之真率二也台官见臣等述譔颇多推算甚繁疑为不可几及之事若云差违几刻宜当改正即葸然惧矣繇未能根极要领故也即如时差一法溺于所闻但知中无加减而不知中分黄赤今一经目见一经口授人人知加时之因黄道人人知黄道极之岁一周天奈何以赤道之午正为黄道之中限乎一时发复蹊径了然何足为难而臣等又取黄道中限随时随地算就立成监官已经誊录临时用之最为简便其他诸术亦多类此足以明学习之甚易三也该监诸生所最苦者惟从来议厯之人诋为擅改不知其斤斤墨守者郭守敬之法即欲改不能也守敬之法加胜于前多矣而谓其至竟无差亦不能也如时差等术盖非一人一世之聪明所能揣测必因千百年之积候而后智者㑹通立法若前无绪业即守敬不能骤得之况诸臣乎人虽上智于未传之法岂能自知有而后尽心焉可矣此足以明疎失之非辜四也有此四者即分数甚少亦宜详加测候以求显验故敢冒昧上闻伏乞勅下该监量拨厯科官生到局该监到台各豫定晷景临时依法瞻测则分数毕呈疎宻具见宻合则向来述作不为空言有差则向后各法因之裁定其于厯事深为裨益所以当诣局者观象台日晷甚小仪器稍粗臣局有石晷木仪似为详宻又难移动故须分投实候以相印证也为此谨将本日日食分秒时刻起复方位九服异同并具图象一并上进伏祈圣明裁度施行縁系日食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯四年十月初一日辛丑朔日食分秒时刻并起复方位日食二分一十二秒依大统厯日体十分推算初亏午正一刻内九十四分四十一秒 西北食甚未初二刻内一十三分三十三秒 正北复圆未初四刻内五十一分三十三秒 东北计食限内凡七刻八十三分二十四秒食甚日躔黄道经度大火一度二十五分二十八秒食甚月离白道经度未至中交二度一十五分二十一秒月纬度距黄道北实行七十五分二十二秒不应见食用三差法算得本地视行距黄道北二十七分应见食又用二径折半法算得月入日体二分一十二秒各省直食分京师顺天府见食二分一十二秒河南陜西山东三省俱见食一分内外人目难见与不见食略同南京应天府以南全不见食向北食分渐多至大漠以北食既崇祯四年九月初八日具题本月十一日奉圣㫖这日食分数著该监局各预定晷景临期分投测验以相印证述㫖内览字误鉴辛丑误辛亥改正行该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启谨奏为日食事本年九月初八日该臣题为前事本月十一日奉圣㫖这日食分数著该监局各预定晷景临期分投测验以相印证述㫖内览字误鉴辛丑误辛亥改正行该部知道钦此钦遵于今月初一日到局督领钦天监秋官正周𦙍五官司厯刘有庆漏刻博士刘承志天文生周士昌薛文灿同两逺臣罗雅谷汤若望率在局知厯人等预将原推时刻㸃定日晷调定壶漏又将测髙仪器推定食甚刻分应得此时日轨髙于地平三十五度四十分又于宻室中斜开一隙置窥筩眼镜以测亏复画日体分数图板以定食分各安顿讫候至午正二刻内方见初亏则臣等所推实先天半刻有竒至正四刻食甚仪上得日髙三十五度四十分系司厯刘有庆守测实为宻合至未初三刻内已见复圆则臣等所推又后天一刻有竒而食甚分数以窥筩映照实未及二分比原推亦少半分以下此诸官生人等众目所共见也臣于本月初八日疏中开列四欵其第二言本方之里差经度未得真率则加时难定故欲因此一食斟酌改正今食甚之度分宻合则经度里差似己的确无烦更改盖交食经度以食甚为主故也独食分加时未及原推者盖因太阳光大昔人言日食须至一分以上乃得见之而臣前疏亦言今食在河南山东陜西等处食止一分内外人目难见与不见食略同今因此推究知日光闪灿惟食及四五分以上者乃得与原推相合若分数原少者其见食更少故一分内外者与不见食略同则二分有竒者所见宜不及二分也食分既少则食限时刻因之亦少矣然惟宻室窥筩形象分明故得此分数时刻与该监官生明白共见不能不信若不用此法止凭目力则眩耀不真或用水盆映照亦荡揺难定恐所见者仅可一分以上加时或止三四刻也今交食书表半已就绪候完成之日教习官生令已后推算日食合应先用本法算定再查食分多寡酌量加减仍将本法当食若干今当见食若干明白开载其观象台上原有板房一间至日食时亦宜如法障蔽仍置备窥筩眼镜一架与该监应用以便据实奏闻其月食目所易见止时刻难定除漏壶外再用星晷测量及用恒星髙几度分为初亏某星髙几度分为食甚至期用仪器测验以定真正时刻此法诸官生已谙依法用之必可得其实率矣臣无任激切惶恐待命之至谨具奏闻崇祯四年十月初二日奏初七日奉圣㫖览奏知卿测候详审以后推验事宜即如议行该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启谨题为月食事窃照崇祯五年三月十六日癸丑夜望月食其食限分秒并起复位例应先期上闻除大统囘囘二厯近经钦天监具题外臣等新修交食厯渐次就绪谨依法推步将所得诸数逐一开坐并具图像进星圣览再照臣等于今年十月十六日囘奏月食疏内开月食之难苦于游气纷侵往往先见而后食且暗虚之实体与外周之㳺气界限难分非目力可辨今用窥筩逺镜已得边际分明但初亏前约半刻许㳺气已见复圆后约半刻许㳺气方绝此㳺气者似食非食在所推食限分秒之外其分数系是本法所无今次测候尚当详细推算附载本法至前推食既未合天者半刻今更制造小仪二具以便宻测详较亦欲先造急用大仪一座业已制就木模但须用铜千余斤工价百余两若此费无出则未敢必也伏乞𠡠下该部至期令监督等官如前测候奏闻施行縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯五年三月十六日癸丑夜望月食分秒时刻并起复方位月食五分八十秒依日食例月体为一十分初亏酉正四刻内五十一分五十秒月将出地平 东北食甚戍正一刻内二十三分一十四秒月在地平上十度三十分 正北复圆亥初二刻内一十分八十三秒月在地平上二十度四十三分 西北计食限内凡九大刻三小刻又五十九分三十三秒共一十刻九分三十三秒食甚日躔黄道在大梁宫一十四度二十五分五十四秒食甚月离黄道在大火宫一十四度二十五分五十四秒月离纬度初亏月距黄道南四十分三十二秒食甚月距黄道南四十四分四十七秒复圆月距黄道南四十九分二秒各省直初亏时刻京师顺天府酉正四刻内五十一分五十秒南京应天府福建福州府酉正四刻内七十九分二十五秒山东济南府酉正四刻内八十六分二十二秒山西太原府酉正二刻内八十四分八十四秒湖广武昌府河南开封府酉正三刻内四十六分八十四秒陜西西安府广西桂林府酉正二刻内一十五分三十九秒浙江杭州府酉正四刻内九十三分一十六秒江西南昌府酉正三刻内八十二分四十六秒广东广州府酉正三刻内一十二分六十九秒四川成都府酉正初刻内七分五秒贵州贵阳府酉正一刻内八十七分六十九秒云南云南府酉初三刻内九十五分九十五秒崇祯四年闰十一月初六日具题本月初九日奉圣㫖该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启题为月食事臣于崇祯四年闰十一月初六日具题前事本月初九日奉圣㫖该部知道钦此钦遵于今年三月十六日督领该监秋官正周𦙍五官司厯刘有庆博士薛文灿天文生朱国夀周士昌朱光灿同两逺臣罗雅谷汤若望率访取知厯人等于本局登台测验看得臣等原推初亏在酉正四刻内五十一分本日日入酉正四刻内八十三分月应带食而出因云阴不见食甚在戍正一刻内二十三分应食五分八十秒候至本刻云气朦胧约食大半似与原推相合复圆在亥初二刻内一十分候至本刻虽云气未尽约见复圆亦与原推相合其时刻本以测星为正法诸官生悉皆通晓今设有测髙仪器亦因云隂难用止用新式壶漏预先㸃定三限时刻除初亏食甚云阴难定外其复圆时刻亦为脗合官生人等所共见也再照臣等译譔厯书除前二次进呈过四十四卷外今年正月间续完月离交食等书三十卷已誊讫二十八卷余因冬月纸张用尽旋于市中鬻买誊完觉未合式未敢輙进如蒙圣鉴不妨纸色稍异当即日装潢进呈或容臣等少待南贩到日并续完数卷一并誊写上进伏候𠡠㫖崇祯五年三月十七日具题本月二十日奉圣㫖知道了书著进览该部知道礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启谨题为钦奉明㫖恭进第三次厯书事臣于本年三月十七日题为月食事奉圣㫖知道了书著进览该部知道钦此钦遵谨将月离厯指并本表十卷交食厯指并本表六巻南北髙弧表十二卷诸方半昼分表一卷诸方晨昏分表一卷共三十卷装潢成帙谨具本进呈圣览窃照臣初次恭进厯书开具节次六目一曰日躔二曰恒星三曰月离四曰交食五曰五纬星六曰五星凌犯除前二次共书四十四卷内完过日躔厯指并表三卷恒星厯指并表图九卷一折今次完过月离厯指并表十卷外其交食厯六卷系是总论总表日食月食所宜共用而月食一法附载其中若日食一法理数甚繁尚须译譔厯指约三卷立成表约二十卷今属草将半又须于星度里差等事精加叅订乃敢著为定论五星一节比于日月倍为繁曲汉以来治厯者七十余家而今所传通轨等书其五星法不过一卷以之推步多有乖失所以然者日月有交食可证作者尽心焉五星无有故自古及今此理未晰也囘囘厯则有纬度有凌犯稍为详宻然千年以前之书未经更定而两书皆无片言只字言其立法之故使后来者入室无因更张无术凡以此耳今诸逺臣所传独为详备而译譔颇艰书成亦须二十余卷不能不少费时日也再惟该监官生向来在局供事止令与访取诸人一同推算立成诸表继以誊写进呈书册因书籍未备尚未能专功习学今交食总法及月食本法既以就绪容臣等督令到局渐次演习月食既通后来书籍亦当续完次及日食次及气朔躔离次及五星诸法可以节次成就矣但人情安于故习不有劝惩无繇䇿励容臣等时加督课其有怠惰顽梗者轻则量惩重则叅罚其勤学有成者容臣依前节次移送礼部考试术业如果精谙恳乞圣明量加叙录以示鼓舞其现在诸人而外该监官生有志上进者容臣从优立格招徕选取一体训习冀其中有襃然特出悉通大义者庶几羲和世业复见于圣代也计开第三次进呈书目月离厯指四卷月离厯表六卷已上系逺臣罗雅谷译譔交食厯指四卷交食厯表二卷已上系逺臣汤若望译譔南北髙弧表一十二卷诸方半昼分表一卷诸方晨昏分表一卷已上系二臣指授监局官生推算崇祯五年四月初四日具题本月初十日奉圣㫖卿所进厯书已留览具见用心详宻未完的陆续譔进其督教劝惩等事依议行礼部知道礼部尚书兼翰林院学士恊理詹事府事加俸一级督修厯法臣徐光启题为月食事窃照本年九月十四日己酉夜望月食其食限分秒时刻并起复方位例应先期上闻除大统囘囘二厯已经钦天监具题外臣等用新法推步谨将所得数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞勅下该部至期令监督等官如前测验奏闻施行縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯五年九月十四日己酉夜望月食分秒时刻并起复方位月食四分四十二秒依日食例月体为十分月未入见食三分五十秒月已入不见食九十二秒是日日出夘正三刻内八十一分九十二秒初亏夘初三刻内六十一分七十四秒月在地平上十度六分一十一秒 东南食甚辰初一刻内三十七分四十五秒月在地平下五度七分二十八秒 正南复圆辰正三刻内二十二分七十七秒月在地平下二十一度六十四分三十九秒 西南共食限内凡一十一大刻三小刻又二十四分三秒共一十一大刻九十四分三秒食甚日躔黄道大火宫四度五十六分三十秒月离黄道大梁宫四度五十六分三十秒月离纬度初亏距黄道北六十七分三十三秒食甚距黄道北七十三分四十八秒复圆距黄道北七十九分五十七秒各省直初亏时刻京师顺天府夘初三刻内八十八分七十四秒南京应天府福建福州府夘初四刻内一十六分四十九秒山东济南府夘初四刻内二十三分四十六秒山西太原府夘初二刻内二十三分八秒湖广武昌府河南开封府夘初二刻内八十四分八秒陜西西安府广西桂林府夘初一刻内五十二分六十三秒浙江杭州府卯初四刻内三十分四十秒江西南昌府卯初三刻内一十九分七十秒广东广州府卯初二刻内四十九分九十三秒四川成都府寅正四刻内一十九分九十七秒贵州贵阳府卯初一刻内二十四分九十三秒云南云南府寅正三刻内三十八分八十九秒崇祯五年四月二十九日题五月初二日奉圣㫖礼部知道大学士徐题本月十四日夜望月食臣已于本年五月初二日题奉圣㫖礼部知道钦此窃惟交食之法臣等所译譔新法与旧法不无参差若在早晚其验尤著盖郭守敬之术视古为宻其差最多不过四五刻惟是四五刻之差在日出入之交未免以夜刻为昼以昼刻为夜故前世有推而不食有食而失推者以此之故非星官厯人敢有改易也如今次一食大统法日出卯正二刻新法日出卯正三刻所差约一刻其食时囘囘厯推初亏在辰初初刻则昼食矣大统推初亏卯初一刻依本法见食者五刻依新法见食者六刻新法初亏卯初三刻在旧法后二刻依本法见食者四刻依旧法见食者五刻此外若定时有先后升降有正斜地气有厚薄亦皆参差之縁也故每交食时臣曽题请身往测候必得其真时刻真分数少有参错又因而究其所以然然后目前辨难可据以剖晰异时推步可用以寻求矣今臣仰荷圣恩备员揆地例当于中府衙门随班救䕶如此则本局督视无人虽有逺臣台官等依法测验不至乖舛然非臣目所亲见而即凭以上闻且勒以垂后实臣心所未安也且是日见食者仅四刻月又当斜入于地初亏时月在地上仅十余度若在中府则墙屋𨼆蔽恐不可得见候验爰以此请乞容臣于是日照前登台实测次日具本奏闻庶于钦若大典不无禆益伏候勅㫖谨题崇祯五年九月十二日具题本月十四日奉圣㫖览卿奏以月食诣局候验具徴恪慎朕知道了大学士徐题臣于本月十四日钦奉明㫖至今十五日丑时前往厯局督同逺臣及该监官生在局知厯人等测候月食依法用仪器二具测量星度推算时候叅以星晷壶漏务求四事脗合逐时逐刻测至卯初一刻忽有云气隐蔽月体至天明云尚未开凡食分时刻皆无凭测验理合奏闻谨题崇祯五年九月十五日具题十八日奉圣㫖朕知道了礼部尚书兼东阁大学士臣徐光启谨奏为月食事本年九月十五日臣奉㫖前往厯局测候月食自卯初至日出时俱云隂不见随于本日具掲囘奏十八日奉圣㫖朕知道了钦此又本日该钦天监一本为观候事二十一日奉圣㫖月食据灵台官奏卯初一刻初亏忽遇薄云渐布该监竟称云隂不见何故异同其食时先后各法不一也著奏明礼部知道钦此案照先时推歩本食据钦天监灵台官俱依郭守敬授时厯法初亏在卯初一刻臣等译譔新法初亏在卯初三刻囘囘厯初亏在辰初初刻三法之不同如此至期测候正欲借以辨其离合合则据为凖式离则尚费推求不意候至卯初一刻遂有隂云迄于天明未见开朗诸法是非无从徴验该灵台官言先有薄云后见浓云该监言云隂不见灵台语意稍详而云隂不见亦厯书成语略有异同其实一也迨奉明㫖该监已经呈部覆奏但三法不同之因则厯科官生专谙旧法其习学新法时日未久未能一一究明臣不得不代陈之盖闻交食之法先求平朔望平朔望之算起于厯元今厯法本用元授时厯以至元辛巳为厯元当时所立四应稍有未合臣等新法以崇祯元年戊辰为厯元两者相提已推得旧法后天六十五分为半刻有竒矣既得平朔望以求定朔望定朔望即日月之食甚定分也法以日躔盈缩月转迟疾推其各差又以两差之较为加减时差用以加减于平数得定数焉昨九月十四日夜望则太阳在缩厯而授时法缩厯起夏至不知日有最髙有夏至两行异法缩厯宜从最髙起算也惟宋绍兴年间两行同度郭守敬后此百年去离仅一度有竒故未及觉今最髙一行已在夏至后六日有竒以推缩差则旧法后天一十八分有竒也是日太隂在疾厯迟疾之法授时止论一转周新法谓之自行轮月自行之外又有两次轮以次宻推则旧法疾厯先天二度有竒以推疾差又后天四十分也次以缩疾两差相较变为时而求定望宜用减法旧法则一推而得四十八刻九十分新法再推先得四十一刻一十三分有竒次得四十四刻八分两得相较又差三刻弱故旧法之食甚定分得二十八刻弱新法得三十刻弱以推初亏则旧法得在子正后二十二刻二十二分为夘初一刻新法得在子正后二十三刻五十九分为夘初三刻此旧法与新法异同之因也若囘囘厯又异二法者臣等实未能尽晓其故仅知彼厯元为阿剌必年与隋开皇相值去今一千三十余载矣年逺数殊意其平朔望亦未合也即以减分论则是日太阳缩厯在四宫一度依彼法得缩差一度四十一分新法得一度四十三分其差二分太隂疾厯在十宫十七度依彼法得疾差二度一十九分半新法得三度六分其差一十三分半两差相并得十五分半变为时约彼法在新法后四刻今差五刻者意其縁正在厯元四应否则创法之处距西一万余里或里差又未合也总之三家所报各依其本法展转推求乃始得之不能立异以相畸亦不能中变以相就必欲辨其疎宻则在临食之时实测实验而已今已往之事无复可论将来准法似须商求所宜求者盖有二端其一曰食分多寡按交食法中不惟推步为难并较验亦复未易臣前疏尝言日食时阳晶晃耀每先食而后见月食时㳺气纷侵每先见而后食盖食者二体相交之谓也日食既交因其大光人目未见必至一分以上乃得见之月食未交暗虚之旁先有黒影侵入于月及其体交反无界限故推步纵无舛谬而较验多任目任意揣摹影响不能灼见分数以证原推得失亦无繇知如宋臣周琮所定差天一分以下为亲二分以下为近三分以下为逺非苟自恕盖其术止此而已今欲灼见实分有近造窥筩新法日食时用于宻室中取其光影映照尺素之上自初亏至复圆所见分数界限真确画然不爽月食不能定其分秒之限然二体离合之际鄞鄂著明中间色象亦与目测逈异此定分法也其一曰加时早晚定时之术相传有壶漏为古法近有轮钟为简法然而调品皆繇人力迁就可凭人意故不如求端于日星昼则用日夜则任用一星皆以仪器测取经纬度数推算得之是为本法其验之则测日有平晷新法测星有立晷新法皆砻石范铜镵画数度节气时刻一一分明以之较论交食皆于本晷之上某时某刻先期注定至时徴验是合是离灼然易见此定时法也二法既立一遇交食凡古今诸术得失疎宻如明镜髙悬妍〔？〕莫遁矣然而台官之情甚以此为苦何者彼之本法有时先后天一二刻或四五刻自以为差天至此不免于罪戾故耳以臣论之台官之厯郭守敬之厯也守敬之法今日之所谓差当时之所谓宻也臣尝厯考古今疎宻之致矣月食诸史不载所载日食自汉至隋凡二百九十三而食于晦日者七十七晦前一日者三初二日者三其疎如此唐至五代凡一百一十而食于晦日者一初二日者一初三日者一稍宻矣宋凡一百四十八则无晦食更宻矣犹有推食而不食者十三元凡四十五亦无晦食犹有推食而不食者一食而失推者一夜食而书昼者一至加时先后至四五刻者当其时已然至今遵用安能免此乃守敬之法三百年来世共归推以为度越前代何也髙逺无穷之事必积时累世乃稍见其端倪故汉至今千五百岁立法者仅十有三家盖于数十百年间一较工拙非一人之心思智力所能黾勉者也守敬集前古之大成加以精思广测故所差仅四五刻比于前代洵为宻矣若使守敬复生今世欲更求精宻计非苦心竭力假以数年恐未易得何可责于沿袭旧法如诸台臣者乎今食分加时并如臣等新法较勘则差殊毕露倘遂以此为诸臣罪能无惶怖能无畏葸然而实非彼罪即加之谴责亦付之无可奈何而已事有非力所及者亦古法所必寛也岂惟诸臣即臣等新法遂成似可悉无前代之误乃食限或差半分上下加时或差半刻上下虑所不免惟是臣等不敢以差自安亦不敢以差自废正须縁此㣲差溯厥因起别求新意据理改定臣所惧者诸臣以惶恐畏咎之心坚其安习溺闻之陋臣等书虽告成而愿学者少有倡无和有传无习恐他日终成废阁耳伏望圣明察其从前之失实非由已开其向往之路嘉与图新即有疎逺且勿遽加罪谴但令陈说所以然之故有能精习透晓者量加优异久而不谙罚亦随之将必有翘然杰出明羲和之大业应唐虞之景运者矣若日晷星晷窥筩三器者局中所用体制甚小工作尤粗倘须上呈御览则模式应加广长赋列应加精赡其费亦不过数十金耳如蒙赐俞容臣等仰遵前㫖仍于户工二部事例银内咨取令在局诸臣募工备料造成恭进伏候勅㫖臣无任悚惕待命之至为此具本谨具奏闻崇祯五年十月十一日具奏十五日奉圣㫖览卿奏月食先后各法不同縁由及测验二法考据详悉朕知道了即著传示监局官生依法占测务求至当以称朕钦若授时之意日晷等器如议制成进览该部知道礼部尚书兼东阁大学士臣徐光启谨奏为修厯缺员谨申前请以竣大典事臣于崇祯二年七月十四日钦奉明㫖督领修正厯法事务中因兵事辍业至三年八月续理前绪四年正月二十八日以后三次进过厯法书表共七十二卷一折于日躔月离恒星经纬日月交食各种法义并立成数目略已具备所少者止日食一卷及五星经纬交㑹以较全功则未完者约四分之一也猥以疎庸仰蒙特简入阁办事控辞未遂迄今五月竟不能复寻旧业止令在局逺臣该监官生并知厯人等推算得各色立成表二十余卷译譔得日躔交食及土木火星厯指藁草六卷内立成表则诸臣自能详加磨覆陆续缮写惟厯指谭述法意义多奥赜臣不在局尚未能修润成书也臣曽于崇祯三年十二月初二日以协修缺员具表请补奉㫖下部至今未得其人今者日多草创而莫为成全恐稽大典则用人一事似属难缓但治厯明时古昔视为鸿巨故前汉首用丞相张苍而近代著作有以宰相枢宻主领裁奏于上太史令丞等测验推步于下者诚重之也方今在任大臣既各有本等职掌外臣之中臣所知者如山东巡抚朱大典陜西按察使李天经又有封疆方面之责不得不于庶僚草泽中求之是以广咨博访徘徊数月今看得原任监察御史告病在籍金声思致沈潜文辞尔雅博涉多通兼综理数堪以委用使居讨论修饰之任其遣文析义当复胜臣若已成诸书方令该监官生渐次学习中间会通二法亦须甄明大意者为之董率臣又看得原任诰𠡠房办事大理寺评事今听降王应遴学亦通综且数请修厯屡疏奉㫖在部可据用之率领官生可以集事且此二臣者不烦徴求不増资费在金声病已痊愈乞𠡠下都察院催取赴补便可前来在王应遴现在候缺亦乞𠡠下吏部量与相应职级使之供事倘得此两臣在局而臣亦时加稽核即前项未完书表可计期告竣矣若草泽中未必无人臣所求惟取好学深思心知其意试有徴验者方敢上闻今未敢滥及也臣不胜惶悚待命之至为此具本谨具奏闻崇祯五年十月十一日具奏十五日奉圣㫖该部知道钦天监监正张守登谨奏为遵㫖囘奏事本年九月十四夜望月食云隂掩覆未见亏形仰遵明㫖责令囘奏臣等随将云隂异同之故具呈礼部代题奏闻随于本月十二日奉圣㫖据该监称月食云隂不见有无别法考求著他确议来说以后凡遇交食该部先将各法异同一并开写来看临期如法测候证定疎宻分别具奏钦此该礼部移文到臣捧读严纶不胜惶惧随行观候官详查当日月食云隂不见有无别法考求据实呈报以凭囘奏随据该在台直日官王烨等呈称职等推步交食惟遵厯元成法此外无敢臆测其本年月食届期委属云隂掩蔽无从测验本科株守沿袭旧法并无别法可以考求亦不敢妄为拟议惟是四方云隂不覆之处尚有能见食者或可徧询而得之也等因到臣该臣等看得交食之分数多寡惟以人目为据而人目所见之亲切必以天气之清朗为真是夜月食初亏在臣监依郭守敬旧法算在夘初一刻辅臣徐光启依西洋新法算在夘初三刻及临测验臣监在城东隅星台辅臣在城西隅星台相距约十里而两处并为云隂掩蔽不见初亏原推虽差二刻所见实出一揆盖授时固有岁差里差之异而臣监实不能通融其法西法以真会似㑹为算于此事似颇搜探其根今臣已遣所属官生诣局学习新法以详究异同之源庶自今以后之推算或可订其疎宻也若于无别法中而臆度为法无可确议中而妄揣为议此则臣所不敢出矣但云隂因地气上蒸普天之下尚有云所不蔽之处故宋司马光言京师不见他处必有见者伏乞𠡠下礼部行文近畿数百里内各府各将前九月望卯初一刻月食有无云隂曽否见食据实囘奏纵时刻未得的确其食与不食必可知也若数百里内悉皆隐蔽更移文逺方亦必可考而知也若臣才识浅劣伏望圣慈赦宥优容臣不胜惶悚待命之至崇祯五年十月二十七日具奏十一月初八日奉圣㫖该局既有新法著行习学叅验有无脗合仍行查前时月食晷刻分数详报礼部知道新法算书巻二
## 卷三
钦定四库全书
新法算书卷三 明 徐光启等 撰縁起三太子太保礼部尚书兼文渊阁大学士臣徐光启谨奏为治厯已有成摹课功㑹应严核谨将在事臣工分别上请恳祈恩叙以光大典事臣才识疎庸滥膺重任钦承明㫖修正厯法夙夜殚竭四载于兹业与该局逺臣及知厯官儒等修改测候译书造器如从前进过厯书及昨报完厯书并前后所造仪器已经上闻用尘御览特以微臣卧病私室药石罔效日致尫羸恐难终事故请补缺员蒙皇上俞允下部议覆矣苐见在臣工勤敏有加劳瘁堪录惟臣察之最审考之允当苟不及臣目覩身承之日陈其万一设朝露忽溘后事之臣谁有为皇上请者敢分别叙之如逺臣罗雅谷汤若望等譔译书表制造仪器算测交食躔度讲教监局官生数年呕心沥血几于颕秃唇焦功应首叙但逺臣辈守素学道不愿官职劳无可酬惟有量给无碍田房以为安身养赡之地不惟后学攸资而异域归忠亦可假此为劝知厯生员邬明著访举儒士陈于阶等思精推测巧擅绘制书器方藉前劳讲解正需后効所当照纂修办事例优叙者也知厯人如生员程廷瑞孙嗣烈孟履吉监生李次霦访举儒士杨之华祝懋元张采臣黄宏宪董思定李遇春赵承恩等同心续学殚术承天十狐之腋堪裘众集之思成益所当照纂修効劳例量叙者也原任大理寺评事今带衔光禄寺录事王应遴武英殿办事中书陈应登督率官生叅订讹正武举魏邦纶测算明晓堪备策使三臣著声勤慎所当同行优叙者也其该监官生如右监副戈承科秋官正周𦙍原任五官保章今降充天文生朱国夀五官保章正刘有庆中官正贾良栋候缺保章正贾良琦博士朱光显天文生朱光灿朱光大等勤学可嘉俟学习完日另叙伏念奏绩课成论功行赏从来尚矣况敬天勤民攸系更重如唐厯大衍一行造之七年而稿成元厯授时守敬造之十年而书进未有子来遹成如今日者测騐推歩上合天行讲求著述下穷人巧日成月要不敢悠忽而隳庶工费省工良共効精勤而襄巨典诚举局之光一时之选也伏乞圣明俯赐鉴裁𠡠下该部分别纪录事完议叙以彰激劝臣无任惶悚待命之至崇祯六年十月初六日奏十二日奉圣㫖该部知道太子太保礼部尚书兼文渊阁大学士臣徐光启谨奏为进缴𠡠印开报钱粮以清厯务以完臣局事臣叨受皇恩兢兢拮据不意劳惫之余交加疾痛髙厚未効涓埃犬马将填沟壑言念及此惟有涕零如厯法重务虽幸吿成而未了规摹尚湏善后荷蒙皇上俞臣所请将李天经下部议覆其督领厯局印信一颗及谕臣𠡠谕一道臣应先期奏缴俟接任官到日叧行奏请改给至于钱粮一项自崇祯三年正月至崇祯六年三年共领户礼工三部咨到银八百七十余两臣逐项自行料理纎悉明备已开细数封贮公所因进内仪器正在鸠工难以遽行销算俟接官逐件查对奏缴臣敢先以总数报闻恐溘露不免乎朝夕漏巵或误于将来则臣从来矢公节省之意钦天报主之诚两失之矣伏祈皇上勅下该衙门验収在案谨将𠡠谕印信差钦天监博士朱光显赉送到阁候㫖施行臣不胜惶悚待命之至崇祯六年十月初七日奏本月十二日奉圣㫖𠡠印着该衙门验収其钱粮用完接管官奏销该部知道山东布政使司右叅政李天经谨奏为微臣遵㫖任事谨陈题荐始末以祈圣鉴事臣燕赵鄙儒自癸丑登籍以来受皇上豢养者二十余年繇学博部郎以至郡守监司縁丁艰适值魏珰熖炽即服阕未敢补官者凡五年幸遇皇上龙飞始出铨补洊厯河南陜西藩臬当时事孔棘之㑹惟知斤斤自守恪供职业敢有非分之想哉祇縁昔任国学闲曹多暇得与先臣邢云路讲究厯理颇闻其槩要未离书生呫哔聊从所好已耳自是浮沉中外者十七载素所管窥半就荒落不意前岁壬申臣任陜西按察使于邸报见已故辅臣徐光启先奏为修厯缺员谨申前请以竣大典事疏内叙述海内知厯谬列臣名臣心窃媿迂阔无当之学尚挂人齿颊间也去岁九月内辅臣复有厯法修正吿成书器缮治有待一疏则竟欲更置臣来责以任事奉㫖下部议覆而辅臣随以讣闻维时臣滥竽山左粮道无根抵之容不知辅臣何以一旦推毂及臣意者辅臣于病革之际忽念前绪未终急求代者一时乏人故以相及耶闻报之日且疑且惧惟静聴部覆至本年二月内礼臣题为督理久缺事奉圣㫖李天经着速催到任督理礼部移咨吏部题覆奉圣㫖李天经着以见衔修厯俟有功再议该部曷得辄以添注徇题着该司官回将话来钦此又该礼部题为日食事奉圣㫖日食初亏复圆时刻方向皆与大统厯合其食甚时刻及分数魏文魁所推为合既互有合处端绪可寻速着催李天经到京㑹同悉心讲究仍临期详加测騐务求画一以裨厯法魏文魁即着详叩具奏钦此臣闻命自天不胜陨越窃念臣小臣也有何学问仰佐司天乃屡邀速催之㫖且臣外臣也见衔受事乃其职分敢萌跃冶之心况钦奉明纶不敢不竭蹶前来瞻天咫尺矢报髙深益殚所学悉心讲究是臣之所有事也惟是目前所督写者辅臣已证订而未上之书所缮治者辅臣已题闻而待进之器所督率者灵台诸臣所讲解而未通之法乃恭绎明㫖又不但责臣以纉前绪而在悉心以求画一者窃思天道𤣥微以术歩之宻合岂为易事故从古及今治厯者岂止七十余家虽繇疎渐宻然国朝此日兢鸣者不无二三其见何妨化异为同盖万国同戴一天而七政总惟此理草泽之士或有秘传海外之人原精理数使忘畛域而互相参究于不一之中以求至一乃真画一但期上合天行襄国家之大典臣愿毕矣至于犬马私情当于厯事吿成再为陈请而今固未敢言也臣谨即推用始末及微臣受事愚悃具奏上闻伏祈睿鉴臣无任战悚之至奉圣㫖李天经既到任受事着与该监局及魏文魁悉心攷騐叅究异同务期画一以正厯法本内小日未填姑不究该部知道太子少保礼部尚书兼翰林院学士加俸一级臣李康先等谨题为代请闗防以便俯循职掌事祠祭清吏司案呈奉本部送据山东布政使司右叅政李天经呈称职于本年内接准礼部照㑹为日食事奉圣㫖日食初亏复圆时刻方向皆与大统厯合其食甚时刻及分数魏文魁所推为合既互有合处端绪可寻着速催李天经到京㑹同悉心讲究仍临期详加测騐务求画一以裨厯法魏文魁即着详叩具奏钦此备行照㑹到职奉㫖遵限前来于四月二十二日见朝外但厯局尚有书器进呈钱粮销算若非用一闗防曷以奏进申缴职是不能已于冐请也伏按原任大学士徐先启原给督修厯法闗防一颗及𠡠谕一道先期奏缴候接管官到日另行奏请改给等因奉圣㫖𠡠印着该衙门騐収其钱粮用完接管官奏销该衙门知道钦此所有闗防呈乞代题请给等因到部送司案呈到部照得山东布政司右叅政李天经奉命前来督理厯法其进呈书器销算钱粮并各衙门应行事宜必须闗防钤记辑成大典但辅臣徐光启原给闗防已经奏缴相应题请伏候命下移文印绶监闗领即付李天经収掌庶事归画一文有凭稽而天经亦将黾勉受事不致泛然而无所责成矣縁系代请闗防以便俯循职掌事理未敢擅便谨题请㫖崇祯七年五月二十九日具题六月初二日奉圣㫖闗防着该衙门查发督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为月食事窃照本年八月十六日己巳夜望月食其食限分秒时刻并起复方位例应先期上闻除大统回回二厯及布衣魏文魁所测分数已经钦天监及文魁具题外但新法推算者因管局员缺久稽未上临期测騐何凭臣业奉命受事谨将新法所推诸数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞勅下该部至期令监督等官如前一并测騐奏闻再照修厯一事法务求夫画一者所以齐其异同而数必依之各测者正以考其疎宻盖天运虽髙逺而难窥乃交食则昭著而易见临时宻测所闗诚匪细矣除测騐诸法如测星壶漏等法固无不备但恐临期隂晴难料或片云掩翳便难测度以定准则厯之成也何日之有伏祈勅下礼部移文于山海闗臣及登州抚臣令其临时细测太隂出地见食分数具印信申文报部以凭稽考且令监局各一人㩦测器以往公同测騐速报庶于近海广漠之区得见出地时食甚分秒即隂晴不一而此𨼆彼见方不虚此一畨考騐耳伏乞圣裁縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯七年八月十六日己巳夜望月食分秒时刻并起复方位月食九分三十五秒月出地平见食九分三十五秒是日日入酉正二刻内三十四分七十二秒初亏申正三刻内八十二分三十九秒在昼 东北食甚酉正二刻内五十三分五十九秒昏刻 正北复圆戌正一刻内一十分五十三秒月在地平上髙一十七度五十六分 西北共食限内凡一十三刻二十八分一十四秒食甚日躔黄道鹑尾宫一十四度三十三分五十七秒月离黄道娵訾宫一十四度三十三分五十七秒离黄道危宿一十六度一十一分离赤道室宿四度一十一分月离纬度初亏距黄道南三十五分三十秒食甚距黄道南三十分五十四秒复圆距黄道南二十六分各省直食甚时刻京师顺天府酉正二刻内五十三分五十九秒南京应天府福建福州府酉正二刻内八十分二十五秒山东济南府酉正二刻内八十六分九十二秒山西太原府酉初四刻内九十三分六十秒湖广武昌府河南开封府酉正一刻内五十三分五十九秒陜西西安府广西桂林府酉初四刻内二十六分九十三秒浙江杭州府酉正三刻内三十三分五十八秒江西南昌府酉正一刻内八十六分九十三秒广东广州府酉正一刻内二十分二十六秒四川成都府酉正三刻内六分九十三秒贵州贵阳府酉初四刻内二十六秒云南云南府酉初二刻内二十六秒崇祯七年六月二十八日具题本月三十日奉圣㫖这所奏月食事情着监局各官临期公同测验山海闗登州遣人騐报依议礼部知道太子少保礼部尚书兼翰林院学士加俸一级臣李康先等题为月食事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出督修厯法山东布政使司右叅政李天经题称本年八月十六日己巳夜望月食但恐临期隂晴难料移文山海闗登州抚臣及令监局各一人携测器以往公同测验速报等因本年六月三十日奉圣㫖这所奏月食事情着监局各官临期公同测验山海闗登州遣人验报依议礼部知道钦此钦遵抄出到部送司除临期劄行监局官生叅验外所有应差监局生儒前往山海登州测验月食行据钦天监手本开送在局供事天文生朱国夀朱光大相应差遣又据该局开送访举知厯生贠邬明著儒士陈于阶奉㫖纪录堪以任使各携测器前去验报各等因通查案呈到部既经监局开送前来合无将邬明著朱光大差往山海关陈于阶朱国夀差往登州公同测验相应题请恭候命下移咨兵部应付往回各给廪粮马匹随带仪器赍文前诣山海登州公同各抚臣至期测验据实回报以凭具奏施行崇祯七年七月十四日具题十七日奉圣㫖是督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为钦奉明㫖恭进第四次厯书事先该故辅臣徐光启于崇祯六年九月二十九日题为厯法修正告成书器缮治有待一疏内开新成厯书共六十卷内三十卷业已誊缮三十卷尚属草藁奉圣㫖览奏具觇勤恪书成次第进览李天经著吏部议覆卿还慎加调摄痊可即出佐理以慰延伫该部知道钦此随该臣于本年五月内遵㫖到任管事除每日与在局官生昼测太阳夜测太隂列宿细心讲求画一外即将已写诸书逐一详加攷核间有字义冗长辞未达意者臣亦逐卷稍为更订是以逡廵月余止了前三十卷内有辅臣所报恒星总图八幅系该局依经纬表㸃定刋刻成图者臣复督在局逺臣等易之以绢制为屏障八面可以展转开合上尘御览其未写三十卷臣亦取稿翻阅就中不无疑义尚须再三磨勘刻期录完叧疏续进谨将见完厯书厯表二十九卷计三套并星屏一架共完三十卷数进呈御览尚有日晷星晷闚筩逺镜三器俱系奉㫖造进者臣亦于到任后督率该局官生夙夜制造亦将次第告成其安置之法与运进夫力容臣叧疏奏请统祈睿览施行縁系钦奉明㫖恭进第四次厯书事理未敢擅便谨题请㫖计开第四次进呈书目五纬总论一卷日躔増一卷五星图一卷日躔表一卷火木土二百恒年表并周岁时刻表共三卷已上系逺臣罗雅谷译譔交食厯指共三卷交食诸表用法共二卷交食表共四卷已上系逺臣汤若望译譔黄平象限表共七卷木土加减表共二卷交食简法表共二卷方根表二卷已上系二臣指授监局官生推算恒星屏障一架系逺臣汤若望制崇祯七年七月十九日具题二十二日奉圣㫖厯书及星屏留览未完的还着详加考核以正厯法该部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为月食事该臣于崇祯七年六月二十八日具题前事本月三十日奉圣㫖这所奏月食事情着监局各官临期公同测验山海闗登州遣人验报依议礼部知道钦此钦遵除业奉㫖遣人携器前往登州山海测候聴彼处抚臣咨部回报外今月十六日己巳夜望月食臣谨依公同测验明㫖至期亲诣钦天监观象台协同礼部监督祠祭司员外郎张师度钦天监监正张守登并监局官生人等安顿测器叅调壶漏登台静俟间不意候至酉初及戌正一刻乃各法食甚复圆之㑹值天隂微雨无从考验踈宻又是日礼部劄委祠祭司主事吕一经李焨同西洋二逺臣及监局官生人等在于本局设器测验赤复相同理合次日据实回奏而臣所以不敢草率径凟者盖有说焉恭绎明纶于崇祯五年九月十四日夜望月食该监奏称云隂不见奉有有无别法考求之㫖臣仰体皇上钦若昊天于别法二字再四深求忆昔元统李徳芳争议岁实消长时太祖髙皇帝圣谕云但以七政行度交㑹无差者为是此真圣明首出深明象纬之言也盖交食特厯数之一斑而七政乃玑衡之统务矧交食动阅岁月而日躔月离五星经纬行度则逐日可求此辅臣原题亦匪苐言交食而以昼测日行夜测月行五星凌犯必期事事宻合为言钦奉俞㫖熟思别法无逾此者倘登州山海二处有一见食则诸法疎宻庶可立分万一俱属隂云何以资为考证则七政诸行皆可公同测騐未必非讲求画一以底成绩之要法也伏乞圣明鉴裁勅下施行縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖崇祯七年八月十八日具题本月二十一日奉㫖已有㫖了七政诸行须昼夜考测李天经即协同各官生精心讲求期底成绩礼部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为钦奉圣谕据实奏明事臣于本月二十五日准礼部照㑹二十四日接得圣谕谕礼部昨李天经所进厯书星屏果否与魏文魁叅合商订着李天经奏明钦此钦遵该臣查得臣所进厯书二十九卷星屏一架俱系故辅臣徐光启先年亲手订证奏闻奉圣㫖书成次第进览臣奉命接管不过为之督写代进完辅臣未竟之绪耳况辅臣积学深思呕心此道数十年其所撰述恐非他人所能増减即文魁亦曽经辅臣逐款驳正有学厯小辨见存则辅臣之书与屏皆依新法测定精心纂辑足阐前人所未发而补中原所未备实未尝与文魁叅合商订也若夫叅合商订实臣之心亦臣之职臣初有微臣遵㫖任事一疏奉有李天经既到任受事着与该监局及魏文魁悉心攷验叅究异同之㫖煌煌明纶谁敢屑越况臣受兹委任方思博采群议广罗夙学以襄大典得文魁而朝夕讲究以収同心之益岂非臣之至愿哉乃六月初六日蒙皇上赐给修厯闗防随于十二日到任次日即移文礼部催取魏文魁到局公同监局官生叅究异同以仰副皇上讲求画一之㫖乃久之未至也臣又托彼相知开谕以勿执已见为是当思道理无穷还宜虚心叅证共完巨典而亦久之未至也但托人传语若衔厯局夙昔辩驳之隙必不欲见局中一人亦不欲向局中一歩仅与臣一相面于往复私邸中又何闗于考騐叅究之事哉臣于是乎无术相强虽欲与之叅合商订势无繇也总之厯数一家今为绝学辅臣读文魁之书而不敢轻用夫岂无见臣必试文魁之法验之而后敢用前此冀其来与之互相订证不得已姑俟验之月食今俱不可问矣惟有遵奉明纶昼夜考测七政诸行庶可定其疎宻伏乞勅下礼部移送魏文魁到局与诸官生各捐成见预将一月诸曜行度先期依法算定以本月秋分为始容臣开坐奏闻仍照原题劄委司官一员临局公同测验孰合孰不合据实奏报则各法是非自见而万年宝厯亦不致聚讼一堂矣如谓文魁之法与学不必试验而即奉为主盟此则非臣所敢任也谨将故辅原咨录呈御览统乞鉴裁縁系钦奉圣谕据实奏明事为此具本谨题请㫖崇祯七年八月二十七日具题本月三十日奉圣㫖厯书星屏原属前辅臣手订知道了魏文魁厯法着另局修定备考礼部知道(原咨见学厯小辨)督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为预报诸曜㑹合凌犯行度并陈节气始末以资考核以正厯法事该臣于崇祯七年八月十八日回奏月食奉圣㫖已有㫖了七政诸行须昼夜考测李天经即恊同各官生精心讲求期底成绩礼部知道钦此钦遵臣恭承明命夙夜干惕毎毎督率监局官生逐时测算乃于考求七政之余依新法算得土火金三星本年九月初旬㑹于尾宿之天江左右木星亦于是月前犯鬼宿之积尸气一时五纬已有其四未必非以数合天即天騐法之一据也从来治厯名家大都于列宿诸星有经度无纬度虽回回厯近之犹然千百年前古法用之未必合天故臣等所推经纬度数时刻分秒若数一二与监推所得者各各不同又如本年八月秋分大统算在八月三十日未正一刻而新法算在闰八月初二日未初一刻一十分相距约差二日臣于闰八月初二日同监局官生用仪器测得太阳午正髙五十度零六分尚差一分入交推变时刻应在未初一刻一十分与新法脗合随取辅臣徐光启从前测景簿查对数年俱如一日然此非臆说也臣谨按春秋传曰分同道也至相过也是二语者可为今日节气差讹之一证盖太阳行黄道中线迄二分而黄道与赤道相交此昼夜之所以平而分之名所由起也迄二至则过赤道内外各二十三度有奇矣夫过赤道二十三度有奇者为真至则两道相交于一线者不为真分乎即旧法亦知分前分后之有昼夜平但拘泥一定之法平分岁实计日立算其于盈缩加减之理多所未晓无怪其认平与分为二也何也太阳有平行有实行平则每日约行若干而实则有多有寡日日不等从最髙起算用法加减之始得真度分真节气故新法之与旧法惟冬夏二至止差时刻余则有差至一日二日者不独秋分为然秋分其一端也谨将诸曜㑹合凌犯行度开具图象表说一册进呈御览伏乞勅下礼部劄委司官一员仍知㑹钦天监堂官至期公同监局官生在局详加测验据实奏闻则一时讲求画一以仰副皇上钦若敬授之至意端在此矣统惟鉴裁崇祯七年闰八月十八日具题二十一日奉圣㫖奏内诸曜㑹合凌犯行度及分至节气新法旧法异同著礼部该司官与钦天监堂上官率监局官生详加测验虚心考核以正厯法书册留览督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖测验事先该臣考测七政预报诸曜㑹合凌犯行度内开九月初四日昏初火星与土星同度初七日卯正二刻金星与土星同度十一日昏初金星与火星同度奉圣㫖奏内诸曜㑹合凌犯行度及分至节气新法旧法异同著礼部该司官与钦天监堂上官率监局官生详加测验虚心考核以正厯法书册留览钦此钦遵除木星另经测验奏明外所有本月初四日火土二星同度例当用臣局黄赤经纬等仪考测但灵䑓官生未谙其用故臣于是日偕两逺臣罗雅谷汤若望率该局官生㑹同祠祭司郎中陈六韐主事李焨钦天监监正张守登监副戈承科周𦙍灵䑓官刘承惪徐源李之贵等诣观象䑓候至昏初令该监䑓官用简仪测之虽简仪中星古法宿度未与时合而臣所亟欲考测者惟在度之同与不同耳葢两星俱在一度内曰同一星在此度而一星又在彼度曰不同今测得火星在尾四度五十分土星亦在尾四度七十分测毕臣与部臣再三较勘无异乃陈六韐进诸䑓官一一询之俱同声输服而李焨复秉笔登记所测度分并各官姓名令自书押以昭同然此初四日验得土火二星同度之始末也至初七日因卯正二刻金土二星同度在昼应于是日昏初灭半日行测之即可得其同度与否至期臣与部臣张师度俱到而该监堂属官亦到忽遇薄云西掩两星难见候至更䦨天虽开霁而木星已西坠矣至十一日则金火星同度臣㑹同诸臣如故诸臣之来㑹也则有部臣张师度监正张守登灵䑓徐源章必选李之贵章必传王烨等其齐集观象䑓如故该䑓之用器自测也亦如故乃详加考订之余实测得金星在尾十五度一十分火星在尾十五度二十分其为同度也又已较较不爽矣臣切思之火土之同度也旧法推在初七而臣报初四者合是旧法后天三日而新法密金火之同度也旧法推在初三而臣报十一者合是旧法先天八日而新法又密葢五星一道千古蒙蒙即守敬诸人不能别创一解别䜿一义如今日之测与算合絫黍不差者又安敢望于勦袭旧说者乎然臣法虽密但䑓官墨守成法恐经人道破便是自已罪案故以惴惴畏咎之心坚其党习锢闻之陋而不肯为皇上实告耳伏乞圣明普赐寛政嘉与维新虽有踈逺勿遽加谴责俾臣得以展布手足与之昼夜考求有不待臣辞之毕而诸臣自有欣欣向往终不能狃是为非矣缘系遵㫖测验事理未敢擅便谨题请㫖崇祯七年九月十二日具题本月十六日奉圣㫖据称星度即用简仪测验俱合何故推算先后不同还著该监官奏明厯法精㣲李天经宜虚心详究公同考正岂得独执已见輙称千古蒙蒙殊属夸餙礼部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖奏明事本月初十日接邸报见内臣王魁遵㫖回奏一䟽奉圣㫖测验例用仪器李天经独用管窥此管有无分度作何窥测著李天经奏明仍据魏文魁奏木星未犯积尸著礼部遵㫖互质详确奏夺钦此钦遵除聴礼部详奏外该臣看得测验之法非止一端测验之仪亦非一器如观象䑓旧制有浑仪简仪新局亦有黄赤经纬象限弧矢等仪要皆各适其用而窥管创自逺西乃新法中仪器之一所以佐诸仪之所不及为用最大此辅臣原题工制一具待日晷星晷造完并进御前者也今奉明㫖敢不详言其用并臣是日所以独用之故乎夫此窥管之制论其圆径不过寸许而上透星光注于人目凡两星密聮人目难别其界者此管能别之凡星体细㣲人目难见其体者此管能见之凡两星距半度以内新法所谓三十分穷仪器与目力不能测见分明者此管能两纳其星于中而明晰之是其容半度强者即此管之度分是也惟两星相距半度以外则不能同见臣请畧举一二如觜宿三星相距三十七分不能同见五车西柱下二星相距四十四分愈不能同见则此管之度分为半度强不其彰明较著乎故臣于闰八月二十五夜及九月初一夜同部监诸臣在局仰见木星在鬼宿之中距积尸仅半度因木星光大气体不显舍窥管别无可测臣以是独用此管令人人各自窥视使明见积尸为数十小星团聚又能见木星与积尸共纳于一管则其相犯为不悮礼臣陈六韐所谓恍见木星之侧有数小星结聚云系鬼宿中积气者是也而魏文魁指为未犯但据臆算未经实测据称初二木星已在柳初则前此越鬼宿而东度分愈近岂得不犯而能飞渡乎且臣报闰八月二十四日而魁所算在九月初二相距九日度分已移乃执为不犯之证据殊属舛谬矣然木星之于积气匪直此日之犯已也后此出鬼宿退行时尚一犯焉既退而顺行时又一犯焉臣在厯言厯屡奉明纶昼夜讲求知而不言是臣之罪也但䑓官泥于成法以众目共见之象指为原不必有之事虽有巧器直瓦砾视之宜乎以测为未测颠倒是非必欲实己之言而后已耳至内臣王魁原未目击竝不知有此测法实无恠其有是言也且此器鸠工已毕旦暮进呈皇上可亲试中外可谛观又何烦臣之强为辨说哉縁系遵㫖奏明事理未敢擅便谨题请㫖崇祯七年九月十三日具题本月十六日奉圣㫖窥管仅仪器之一佐诸仪所不及知道了俟制完进览礼部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖奏明事先该礼部遵㫖据实回奏一䟽奉圣㫖五星躔度奉㫖互质详查何得各执己见徒滋叅驳据称木星退行顺行当两经鬼宿依议著李天经魏文魁先将行度尺寸晷刻奏明临期公同测验务求至当以定厯法仍著司礼监官卢维寜魏国徴监看具奏钦此钦遵随该臣查得厯法一事取验在交食即臣等亦兢兢以测验交食为急务祗因交食每不多遇虽遇之而或为云隂所掩无从考核故请并测经纬诸星以试其踈宻则昼夜讲求非但谓七政所闗不得偏废亦以诸星之行度定而二曜之交食斯可考诚非厯法中不急之务耳今奉明㫖臣等依法算得木星顺逆两行其出入鬼宿俱有时日经纬度分可慿与积尸气相犯亦有分数可据即临期隂晴不一而木星行迟前后一日俱可互騐且八年六七两月金火木轩辕四星彼此相掩相犯者不下五六次容臣另䟽奏报谨将木星行鬼诸数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞勅下该部至期㑹同监看等官详加测騐据实奏明统候圣裁縁系遵㫖奏明事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯七年木星退行鬼宿日时度分俱依赤道算其度分则用百分度之度分取其便测本年十月二十三日丙午木星退行从柳初入鬼一日细行七分本年十一月初五日丁巳夜木星退入鬼宿一度五十五分与积尸气同度同分南北相距五十七分即占书所谓五寸七分也一日细行一十一分是日应测本年十一月二十日壬申木星退行入井一日细行一十四分崇祯八年木星顺行鬼宿日时度分俱依赤道算其度分亦用百分度之度分本年四月十四日癸巳木星顺行入鬼初度一日细行一十八分本年四月二十三日壬寅夜木星顺行入鬼宿一度五十五分与积尸气同度同分南北相距四十三分即占书所谓四寸三分也一日细行一十九分是日应测本年四月二十八日丁未木行顺行入柳一日细行二十分崇祯七年十月十三日具题十六日奉圣㫖知道了俟临期㑹同详加测验该部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖制器告成恳𠡠验明用法并议安置恭进御览事案照崇祯五年十月十一日辅臣徐光启一䟽为月食事内言定时之法古有壶漏近有轮钟二者皆由人力迁就不如求端于日星以天合天乃为本法特请制日晷星晷窥筩三器本月十五日奉圣㫖览卿奏月食先后各法不同縁繇及测验二法考据详悉朕知道了即著传示监局官生依法占测务求至当以称朕钦若授时之意日晷等器如议制成进览该部知道钦此钦遵因取石运重冶铸刻镂动经岁月辅臣未臻厥成臣奉命接管以来遂督监局供事官生鸠工依新法制造今当告成除支用工价另行奏缴外臣切惟制器所以明时而详法乃能利用诸仪虽已就绪待进然用法颇为㣲细稍有分毫之差即不便御览将以有用疑为无用臣兹惧焉敢祈皇上𠡠令近侍内臣一二员到局騐看容臣等面与详论所以用之之法并议所以安置之宜然后人器相习方适于用兹敢先言其畧一为日晷砻石为平面内界线以按节气冬夏二至各一线春秋二分同一线其余日行相等之节气皆同一线平靣之边周列时刻线从各气节太阳出入为限时分八刻刻列十分若春秋分平分昼夜各四十八刻者凖交食所用以九十六刻为日行之限也又取凖京师北极出地范为三角铜表置其中表体之全景以指时刻表中之锐景以指节气虽旧法圆晷亦环列时刻然非地平靣亦无节气出入之限似未若新法之兼偹且凖此日晷之大畧也一为星晷冶铜为柱上安重盘内盘镌周天度数列十二宫以分节气外盘镌列时刻中横刻一缝用以窥星法将内盘本节气运合于外盘子正初刻次从背靣转移对照见得帝星与勾陈大星共在一线之内即从盘靣视锐表所指即本夜之真时刻此则古法所未偹而新法独得其传乃星晷之大畧也若夫窥筩亦名望逺镜前奉明问业已约畧陈之但其制两端俱用玻璃而其中层叠虚管随视物逺近以为短长亦有引伸之法不但可以仰窥天象且能映数里外物如在目前可以望敌施砲有大用焉此则逺西诸臣罗雅谷汤若望等从其本国携来而葺餙之以呈御览者也至于日晷宜向南以取日景星晷宜向北以窥星光皆须安置得宜尤必偹石预筑䑓基以便安顿又二晷皆重器也其舆运必须多用人夫宜从何衙门拨发统祈皇上𠡠下内臣騐看奏闻先定安置之所以便择吉恭进或临期令臣等率知厯官生审定子午方向如法安置则庶于皇上治厯明时之徳意不无小补矣谨具本预先奏闻崇祯七年十月二十九日具题十一月初三日奉圣㫖据奏日晷星晷二器制造已成即著卢维寜魏国徴到局验看详试用法其安置处所及筑䑓基事宜著该监㑹同工部酌议速奏仍择吉拨给人夫恭进窥筩著先进览该衙门知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖㳟进仪器事先该臣于本年十月二十九日制器告成一䟽奉圣㫖据奏日晷星晷二器制造已成即著卢维寜魏国徴到局验看详试用法其安置处所及筑䑓基事宜著该监㑹同工部酌议速奏仍择吉拨给人夫恭进窥筩著先进览该门知道钦此钦遵除日晷星晷聴监部㑹议速奏外臣随于本月初五日㑹同内臣卢维寜魏国徴到局验看窥筩逺镜其间引伸之法窥视之宜臣已与二臣详言之矣谨将窥筩逺镜一具遵㫖先进御览伏乞圣鉴计开窥筩逺镜一具 托镜铜器二件锦袱一件 黄绫镜箓一具木架一座崇祯七年十一月初九日具题恭进十二日奉圣㫖知道了该衙门知道新法算书巻三
## 卷四
钦定四库全书
新法算书卷四 明 徐光启等 撰縁起四督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖恭进厯书并奏缴钱粮事该臣于十一月二十四日具有谨陈仪器始末等事一疏接奉圣㫖李天经以叅证厯法任用正宜详稽互质以求脗合何得因所见不符輙思引退着照旧供职该部知道钦此钦遵臣捧读明纶不胜感激涕零臣何人斯叨此异数且责以叅证互质之后効也使臣非外感隂阳之患内惕忧危之情病势日深岂敢假托以诳君父然恭承明命曷敢不勉结前局更图新効以尽臣子报称之万一而后遂私请乎除稍痊即朝见任事外顾臣所谓前局者辅臣徐光启未竟之绪也所有原报厯书三十卷辅臣手订及半臣受事以来详加较阅今缮写已完外加二卷悉照原题恭呈御览前后五次所进共计成书一百三十七卷其间著定交食七政各有二百恒年表可为二百年内推算之法又有太阳太隂永年表可为千百年后再算之根又各有厯指以晰诸行之理并究旧法所以差谬之原颇明且尽如甲戌乙亥日躔细行二册其节气先后晨昏出入异于大统旧法可见一端此书进呈而前局结矣乃臣以新効自期者兹蒙圣恩任以叅证厯法又命臣详稽互质以求脗合是臣未竟之业也大槩新法与旧法之不同所当叅证者约有二十余欵容臣条列奏夺外辅臣前后支取过户礼工三部钱粮银八百七十三两五钱皆辅臣取给各项之用比因疾剧故疏请待臣销算臣受事之日止收册二本钱粮毫未经手今书器俱完合据原册开报若日星二晷辅臣止请发银一百两及制完所费不啻倍之皆臣自捐凑造而不敢琐屑以仰凟圣聪也至于局中供事知厯生儒因事例停止自六年三月至今未支升斗廪饩而朝夕拮据多有勤劳臣蒙皇上允辅臣题叙纪录容臣另疏请㫖縁系遵㫖恭进厯书并奏缴钱粮事理未敢擅便谨题请㫖计开第五次进呈书目共三套五纬厯指共八卷五纬用法一卷日躔考二卷夜中测时一卷已上系逺臣罗雅谷译譔交食蒙求一卷古今交食考一卷恒星出没表共二卷已上系逺臣汤若望译譔髙弧表共五卷五纬诸表共九卷甲戌乙亥日躔细行共二卷已上系二臣指授监局生儒推算奏缴钱粮数目据太子太保礼部尚书兼文渊阁大学士徐光启册开修政厯法用过钱粮逐一开造于后崇祯三年正月收户部事例银一百两本年九月初九日收工部银三百两崇祯四年六月十三日收户部银二百两本年闰十一月十七日收礼部写厯银七十九两五钱崇祯五年七月十五日收工部银九十四两崇祯六年三月初三等日收户工二部造进呈仪器银各五十两以上共收过银八百七十三两五钱一造仪器钱粮象限大仪二架纪限大仪一架除取用工部楠木标皮外用过工料银七十八两三钱八分八厘石晷一座料价工食刻字共银一两八钱二分五厘壶漏一具工料银五两五钱九分四厘铜弧矢仪一具工料银十两零二分铁弧矢仪一具工料银五两三钱星晷一座工料银七钱罗经一副工料银三钱象限铜仪一架铜鐡煤炭等工料银三十六两一钱三分地平仪一座铜鐡煤炭等工料银一十三两六钱九分五厘修整仪器用银三两四钱六分以上共用过银一百五十五两四钱一分二厘一誊写进呈书册纸张工食崇祯三年十月起陆续给过秋官周𦙍等买泾县呈文连四等纸共银二十二两四钱写稿太史连纸五十五刀共银二两七钱五分刚连纸二十七刀共银四两五钱六分崇祯三年十一月起陆续给过秋官周𦙍等誊写进呈书册工食银三十九两四钱八分五厘以上共用过银六十九两一钱九分五厘一访取生儒廪给儒士陈于阶二年八月九月三年八月至四年八月止共计十五个月每月银三两共给过银四十五两儒士张宷臣二年九月起至四年八月止共计二十四个月每月银三两共给过银七十二两儒士祝懋元三年七月起至六年四月中止共计三十三个半月每月银二两四钱共给过银八十一两二钱儒士董思定三年八月起至四年十月止计十五个月每月银二两四钱共给过银三十六两生员邬明著三年十二月二十五日入局供事以来系自备廪给未受钱粮儒士杨之华四年正月十六日入局供事未受廪给儒士李遇春四年二月起至九月止计七个月每月银三两共给过银二十一两访举黄国㤗四年七月起至五年十月止共计十七个月每月银二两四钱共给过银四十两零八钱生员程廷瑞四年十一月起至六年三月止共计十八个月每月银二两四钱共给过银四十三两二钱原任保章朱国夀四年十二月起至六年四月中止计十六个月每月银二两四钱共给过银三十九两二钱儒士黄宏宪五年八月起至六年四月中止计八个半月每月银二两四钱共给过银二十一两二钱武举魏邦纶造百分表在局一年未领工食量给银十两生员孟履吉五年九月内入局供事以来自备廪给未受钱粮以上共银四百零九两六钱一书办写本局夫厨夫等役工食礼部书办邵化鳞每月工食银九钱自二年八九十月三年八月至五年六月止共计二十七个月给过银二十四两三钱常川书办胡纯良每月工食银一两五钱自三年八月起至四年十二月止计十七个月共给过银二十六两写本书办写过本三十四个给过工食银十两零二钱看局夫杨桂每月工食银六钱自二年九月起至六年三月止计四十四个月共给过银二十六两四钱厨夫张逹每月工食银六钱自二年九月十月三年八月至六年三月止共计三十四个月给过银二十两零四钱以上共银一百零七两三钱一装钉刻印等工食第一次装书工银一两五钱绫料等银三两三钱三分第二次装书工银一两五钱绫料等银三两五钱四分第三次装书工银一两五钱绫料等银五两六钱七分刻板八版工银一两二钱二分印书工银一两零七分五厘画格心红胶矾共银二钱八分以上共银一十九两六钱一分五厘一厯局添葢西顺山房二间工匠瓦砖物料共用过银一十二两一钱三分一自三年十月起共经日月食六次测候饭食银共八两四钱一崇祯六年五六等月铸造星晷龙柱并下盘铜料工食等项总用银七十五两五钱三分八厘一日晷平靣石并座及星晷座石工价运价共用银二十四两四钱三分以上通共用过银八百八十一两五钱三分除收过户礼工三部八百七十三两五钱外多用过银八两零三分俱系辅臣经手收放一逺臣罗雅谷汤若望每月供给银十两自二年八月起至六年六月止共四十七个月共银四百七十两俱系辅臣自备一制造进呈星屏一架共用银四十三两五钱系逺臣汤若望自备一崇祯七年六七等月打磨日晷等石及镌字等项共用银一十三两三钱一铸造日晷铜表星晷上盘并铜料打磨工食等项共用银五十四两零五分一日晷铜表并星晷铜盘镀金共用银六十一两二钱三分一缮写进呈厯书并装钉绫壳纸张工食等项共用银二十五两五钱一自本年八月以来给过生员程廷瑞儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪原任保章朱国夀等廪给银共七十五两六钱而生员邬明著孟履吉儒士陈于阶仍系自备廪给书办胡纯良工食银共一十两零五钱局外雷鸣工食银共四两八钱已上共用过银二百四十一两三钱八分系臣天经自备崇祯七年十二月初三日具题本月初六日奉圣㫖厯书着留览造过钱粮着该衙门核销督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨奏为书器告成叙录宜加谨照原题查叙在事诸臣以示激劝事崇祯六年十月初六日该已故辅臣徐光启题为治厯已有成模课功㑹应严核谨将在事臣工分别上请恳祈恩叙以光大典事奉圣㫖该部知道葢因辅臣于病革时恐未能身终其事且念在局修厯官儒勤敏有加劳瘁堪录及其存日预为陈请若待书器告成以绩题期之后人者臣实接管其事今书器进矣若不代为题叙无论诸臣之勤劳未可冺即恐辅臣之前绪亦未终耳谨查照原疏所叙除钦天监左监副戈承科右监副周𦙍辅臣原以勤学可嘉俟习学完日另叙今为该监堂上官臣方与叅订异同待有成绩取自圣裁臣未敢例叙外谨分别为皇上陈之如逺臣罗雅谷汤若望等译书譔表殚其夙学制仪缮器摅以心法融通度分时刻于数万里外讲解躔度交食于四五载中可谓劳苦功髙矣说者动以异域视之不知皇上君临万邦覆载之下莫非王臣法取合天何分中外臣谓当如原题查给田宅以为逺人劝者也知厯生员邬明著访举儒士陈于阶贯通象纬精究理度缮制已有成效推测可任方来所当照纂修办事例优叙者也又知厯生员程廷瑞孙嗣烈孟履吉监生李次霦访举儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪原任五官保章今降天文生朱国夀或翻译著劳或缮写効力昼夜之测騐靡宁寒暑之修葺可纪所当照纂修効劳例并叙者也原任大理寺评事今带衔光禄寺录事王应遴武英殿中书陈应登督率官生叅订讹正协赞已乆叙录应加在应遴或开其原俸应登量加其职级以示优者也若秋官正刘有庆中官正贾良栋保章正贾良琦春官正潘国祥灵台监候官章必传博士朱光显天文生朱光灿朱光大周士昌皆勤力学习虚心讲究日躔月离既窥大㫖恒星月食亦晓推测尚有日食五纬正在讲究当俟其学习通彻另疏题叙者也内除钦天监堂属各官正在叅订学习者尚可待之异日其厯局生儒办事已阅五年两载未沾半菽总縁户工事例已停即题准之特恩俱成虚愿茹苦纂缉臣窃怜之今书器告成臣若不复申前请又何以录旧绩而励新功也伏乞皇上念此成劳将生员邬明著程廷瑞等各量加以钦天监职衘使与学习诸臣研究推测以共维新法于不堕可矣臣非汲汲为此也之数人者若无㣲职以系其身必且奔走衣食于四方书虽存而人不备亦将终归废灭不甚可惜耶臣所叙述诸人与辅臣之疏有减无増以防冐滥其原䟽现在御前可覆而按也伏乞皇上𠡠下该部覆议施行冐昧控陈臣无任惶悚待命之至崇祯七年十二月初八日具题本月十二日奉圣㫖礼部酌议具奏督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为厯法告成恭进乙亥丙子七政行度并叅订条议仰祈圣明采择以昭熈朝大典事先该辅臣徐光启逺臣汤若望等奉㫖修正厯法朝夕讲求详加测騐勒为成书一百三十余卷已经辅臣与臣先后进览大抵皆发明七政所以然之理并所以求七政之用而尚未推歩成厯也迨臣奉命接管于崇祯七年九月内该钦天监遵㫖据实回奏一疏奉圣㫖据奏歳差増损成法自宜变通著张守登等督率监局各官与李天经测騐叅订务求推算画一以正厯法礼部知道钦此钦遵臣即一靣移文㑹同钦天监监正张守登监副戈承科周𦙍带衔录事王应遴五官正贾良栋刘有庆潘国祥保章正贾良琦博士朱光显天文生朱光灿朱光大学习蔡孚一刘化行等到局叅订备将新旧异同逐欵考核间有疑义可商者令其人人各自陈说徃覆辨难必期共相阐明众论攸同而后已展转月余三四易稿择可信今传后者约得二十六则然臣等非臆说而诸臣亦不肯以耳为目也除火土等星奉㫖测騐俱合外如金星之在崇祯七年十二月也旧法载是月二十日夕伏新法推当见至次年正月初三日始与太阳合及本月二十一日臣等公同该监诸臣测之果西髙十八度矣水星之在本年二月也旧法是月十八日夕伏新法推当见至次月初三日始伏及本月二十三日臣等公同该监诸臣测之果西髙八度余矣又觜参二距星从古至今度分渐减旧法谓觜在参前新法谓觜在参后及三月初六日臣等公同该监诸臣测之果参居前觜居后有器可考有目共见此则黄赤相交古今宻移难仍其故尚可以常法拘乎内二十六则惟天行无紫炁一叚臣等再四考求茫无义据而诸臣谓传来已乆未便删削则或去或存无闗于理而亦无害于法可否应听圣裁臣等不必争论此则臣奉㫖测騐叅订事也臣又一靣偕该局逺臣罗雅谷汤若望率知厯生儒等依法布算乙亥丙子两年七政经纬度分并㑹合伏见迟留日时种种与旧法逈异内乙亥年诸曜躔度旧法用墨书新法用朱书两法并列以备皇上叅考其丙子年诸曜因监推未完止依新法录进而五星迟疾诸行不用初末等字者縁旧法以叚目平分日数无所取义而新法则时时不等故置不用且顺天行以定序次故土先木火之上其四余躔度因紫炁无确论故未录而月孛罗计绪行已附载经纬度中因思明㫖所谓务求推算画一以正厯法者意必如是推算而后不一者能一不正者可正耳谨将乙亥丙子七政行度四册并叅订条议开坐恭进御览伏乞勅下阁部大臣并科道等官公同㑹议再加详核如果立法无差或依法改正或待屡騐始行此又在阁部大臣另行请㫖定夺縁系厯法告成恭进乙亥丙子七政行度并叅订条议仰祈圣明采择以昭熈朝大典事理未敢擅便谨题请㫖计开乙亥丙子七政行度四册叅订厯法条议二十六则七政公说(诸曜之应宜改)日月五星各有本行其行有平有视而平行起算之根则为应应者乃某曜某日某时躔某宫次之数今新法改定诸应悉从崇祯元年戊辰年前冬至后己卯日第一子正为始测诸曜行度用赤道仪尚不足应用黄道仪太阳繇黄道中线行月五星各有本道亦皆出入黄道内外而不行赤道若用赤道仪测之则所得经纬度分须通以黄赤通率表乃可否则所测经度宿次非本曜天上所在之宫次葢器与天行不类也诸方七政行度随地推算不等日月东西见食其时各有先后既无庸疑矣则太阳之躔二十四节气与月五星之掩食凌犯安得不与交食同一理乎故新法立成诸表虽以顺天府为主而推算诸方行度亦皆各有本法诸曜损益加减分用平立定三差法尚不足加减一法乃厯家之要务葢以其数加减于平行得视行第天实圆体与平异类旧所用三差法俱从句股平形定者似于天未合即各盈缩损益之数未得其真今新法加减诸表乃以圆齐圆差可合天又各曜盈缩损益大差累经测騐俱与旧法不同今悉改定随时随地可求诸曜之经度旧法欲得某日某曜经度必先推各曜冬至日所行宫度宿次后乃以各段日度比算乃得今法不拘时日方所只简本表一推歩即是径一围三非弧矢真法古厯家以直线测圆形名曰弧矢法而算用径一围三谬也今立割圆八线表其用简而大弧矢等线但乘除一次便能得之非若向之展转商求累时方成一率者可比球上三角三弧形非句股可尽古法测天以句股为本然句股弦乃三腰之形句与股交必为直角句斜角则句股穷矣且天为圆球其靣上与诸道相割生多三弧形因以测诸星经纬度分二者一句股不足以尽之恒星本行即所谓歳差从黄道极起算各星距赤极度分古今不同其距赤道内外也亦古今不同而距黄极或距黄道内外则皆终古如一所以日月五星俱依黄道行其恒星本行应从黄极起算以为歳差之率古今各宿度不同恒星以黄道极为极故各宿距星行度与赤道极时近时逺葢行渐近极即赤极所出过距星线渐宻其本宿赤道弧则较小渐逺极即过距星线渐疏其本宿赤道弧则较大此縁二道二极不同故非距星有异行亦非距星有易位也如觜宿距星古测距参二度或一度半度又或五分今测之不啻无分且侵入参宿二十四分此非可证之一端乎夜中测星定时太阳依赤道左行毎十五度为一小时三度四十五分为一刻今任指一星测之必较其本星经行与太阳经行得相距若干度分又得其距子午圏前后若干度分则以加减推太阳距本圏若干因以变为真时刻宋时所定十二宫次在某宿度今不能定于某宿度此因恒星有本行宿度已右移故太阳盈缩之限非冬夏二至此限亦㣲有行动旧法以冬夏二至为太阳盈缩初末之限即新法所谓最髙及最髙冲也葢因测冬至至春分又测春分至夏至中间日数不等觉冬至太阳行疾而盈夏至行迟而缩焉今新法亦测得自冬而夏自夏而冬或自春而夏自夏而秋两测中积非一算得此限不在二至已过六度有竒且年年行动初无一定之数以圭表测冬夏二至非法之善二至前后太阳南北之行甚㣲则表景长短之差亦㣲如冬夏至前后三日太阳一日南北行为天度六十分之一设表长一丈冬至两日之景约差一分三十秒夫一分三十秒为一日之差则测差一秒计刻当为六刻零七分圭上一秒之差人目能保不悮乎且景符之光线濶亦不止数秒一秒得六刻有竒若测差二三秒算几差二十刻又安所得凖乎今法独用春秋二分葢以此时太阳一日南北行二十四分计一日景差一寸二分即测差一二秒算不满一刻其差甚㣲较二至为最宻日出入分应从顺天府起算旧法仍依应天府诸方北极出地不同晨昏时刻亦因以异大统仍依应天府推算是以昼夜长短未能合天甚至日月东西带食所推未如所算多縁于此今悉依顺天府改定平节气非天上真节气旧法气䇿为一十五万二一八四三七五此乃歳周二十四分之一然太阳之行有盈有缩不得平分如以平数定春秋分则春分后天二日秋分先天二日矣今悉改定庶几测算脗与天合太隂朔望之外别有损益分一加减不足以尽之旧法定太隂平行一日为十三度有竒算朔望别有加法减法大数为五度有竒然两弦时多寡不一此加减法不足以齐之即授时亦言月朔望时一日平行十三度有竒朔望外平行数不足似明其理未著其法今于加减外再用一加减名为二三均数理明而数亦尽纬度不能定于五度时多时寡纬度难定五度古今厯家俱言之以交食分数及交泛等测定黄白二道相距约五度然朔望外两道距度有损有益大距计五度三分度之一若一月有两食其弦时用仪求距黄道度五度未能合天交行有损益分罗㬋计都即正交中交行度古定交行一日逆行三分千百年俱为平行今细测之月有时在交上以平求之必不合算因设一加减为交行均数天行无紫炁旧谓紫炁生于闰余又曰紫炁为木之余气今细考诸曜此种行度无从而得无象可明欲推算无数可定欲论述又无理可据展转商求则知作者为妄増后来为傅㑹鄙俚不经无庸置辨交食日月景径分恒不一日月有时行最髙有时行最卑因髙卑遂相距有逺近葢近则见大逺则见小又因逺近得太隂过景有时厚或有时薄所以径分不能为一日食午正非中限乃以黄道九十度限为中限南北东西差皆以视度与实度相较而得则日月之实度俱依黄道而视度安得不从黄道论其初末以求中限乎且黄道出地平上两象限自有其髙也亦自有其中也此理未明则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加者凡日食加时不得合天皆縁于此日食初亏复圆时刻多寡恒不一非二时折半之说视差能变实行为视行则以视差较食甚前后鲜有不叅差者夫视差既食甚前后不一又安能令视行前后一乎今以视行推变时刻则初亏复圆其不能恒为一也明矣诸方各依地经推算时刻及日食分地靣上见日月出没与在中各有前后不同即所得时刻亦不同故见食虽一而时刻异此日月食皆一理若日食则因视差随地不一即太隂视距不一所以见食分数亦因之异焉五星应用太阳视行以段目定之不得五星皆以太阳为主其与太阳合伏也则疾行其与太阳冲也则退行且太阳之行有迟有疾而五星亦各有本行外之太阳迟疾则合伏日数时多时寡自不可以段目定其度分五星应加纬行月有白道半在黄道内半在黄道外而五星亦然则各于黄道有定距度又土木火三星冲太阳纬大合伏太阳纬小金水二星顺伏纬小逆伏纬大不可不详考之测五星宜用恒星为凖则测星用黄道仪外或用弧矢等仪将所测纬星视距二恒星若干度分依法布算得本星真经纬度分又绘图亦可免算崇祯八年四月初四日具题初六日奉圣㫖这推乙亥丙子七政行度并叅订条议着该部遴委晓厯司官同监局各官生儒随时测騐果否差合核议奏夺该部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨奏为厯法业有成局㣲臣敬申前请伏乞转委大臣以终巨典事窃照臣之奉命入都门也縁皇上特允辅臣礼臣之请两下速催到任之明㫖臣是以袛遵明命竭蹷前来任事乃屡遭谤忌相驳相扼无肯秉虚公以从事者令臣法难明臣心兹苦矣乃尚隠忍逾时未即引退者以书器虽完仅毕治厯之成模而叅订未详犹非修正之实着恐虚皇上责成之盛心且堕旧辅将完之前绪耳今于数月间公同钦天监监正张守登监副戈承科周𦙍等皆虚心察理不执成见遵㫖叅订颇韪臣言且监官厯科之学习新法如刘有庆贾良栋等皆精心理解知新法合天而津津愿学皆非有所强也故臣等得与结叅订一局而彚欵细推恭进以尘御览或𠡠下阁部大臣㑹议之后如即𠡠赐改正颁行固成一代之大典臣敢必其无所差忒倘犹欲与异术较疏宻待屡测屡騐人心大同以成信厯则圣主慎重钦若之𢎞谟亦臣所大愿此则非歳月之可计也臣请以在局生儒尽收之钦天监以便随时推测将臣等所成新法暂附于大统以便公同考騐使乆之而屡测不爽以天纵圣明如皇上亦岂容承舛者尚沿乎陋习而合天者终以故纸置之耶此事正有待也然而本局之厯则已告成矣臣之一身可以言去矣葢臣自去歳四月到京已及一年藩司薪俸乆不沾濡仕籍姓名向已刋落论臣子敬事后食之义皆不敢言但奉命而来竣事而退㣲臣出处之宜明不当如是耶伏乞皇上放臣归里以苏病骨以避众忌则所全于臣之身名更大矣即尚有未完如监官之学习新法者才得一半讲解通彻尚须年余新法之度数旁通尚有多欵经辅臣之已题者徐待制造然皆余事也伏乞转委阁部大臣一员兼摄之则不烦更置可以镇群嚣而凝庶绩贤于孤踪之臣万万矣伏祈圣鉴下部议覆施行臣无任惶悚之至崇祯八年四月初四日具题初六日奉圣㫖新法书器虽完然推测疎宻未经考验且据称度数旁通尚有多欵徐待制造岂得遽云局厯告成李天经还同该监官虚心详究务期画一以禆厯法俸薪久不支给是何縁故著即与查补该部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵奉明㫖敬申旁通事宜以便翻译制造事先该前辅臣徐光启条上旁通十事奉圣㫖度数旁通有闗庶绩一并分曹料理钦此盖因前此厯事未完工力有限是以至今未遑措办也顷该臣奏为厯法业有成局一疏奉圣㫖新法书器虽完然推测疎宻未经考验且据称度数旁通尚有多欵徐待制造岂得遽云局厯告成李天经还同该监官虚心详究务期画一以禆厯法俸薪久不支给是何縁故著即与查补该部知道钦此钦遵除臣一面遵㫖任事㑹同该监诸臣将新旧七政行度朝夕考验听礼部类奏外所有旁通诸务臣一一与逺臣罗雅谷汤若望等逐欵商确然皆目前切要之事济时适用有禆急需苐非旦夕可竟之功讲解著述尚须时日谨照辅臣原题稍加更正再行胪列于皇上之前亦见臣等于考测之暇非敢玩日愒月而所接续考求者乃歴法修正后推广度数之妙用以仰佐明时急务而非止言厯已也然之数事者头绪颇多形质甚广释义演文与夫较勘制造翳惟人是赖似非臣与一二逺臣所能卒业故不无望于众思群力之助也如在局知厯生儒等臣会请以量加职衔少酬前劳业蒙皇上下部酌议具奏但得速为叙录臣亦可借手责成不独日后交食并七政诸厯皆须为之推算即旁通一役必先示以勉励之意使诸臣薪水无虑得以一意随分尽职如明㫖所为分曹料理可也统候圣裁计开度数旁通十事其一考求七政行度性情下合地宜一切水旱䖝蝗疾疠兵戎可以约略预知则凡先事修救如农家因之勤稼穑兵家因之备边储其于民生国计大有利益其二度数既明精通水法一切疏濬河渠灌溉田畆置闸河以利运艘造水铳以捄火灾与夫风水轮盘诸器治水用水各利实用其三度数与乐律相通明于度数即能考正音律制造器具于修定雅乐可以相资其四兵家营阵器械及筑治城台池隍等皆须度数为用精于其法有禆边计其五算学久废官司计㑹多委任胥吏钱榖之司闗系尤重度数既明凡九章诸术皆有简当㨗要之法习业甚易理财之臣尤所急需其六营建屋宇桥梁等明于度数者力省功倍且经度坚固千万年不圮不壊其七明于度数能造作机器可以任重致逺一切举重引重诸器皆有利便之法以前民用以省民力其八天下舆地其南北东西纵横相距纡直广袤与夫山海原隰髙深广逺皆可用法测量洞其隠㣲其九医药之家宜审运气厯数既明可以察知日月五星躔次与病体相视乖和顺逆因而药石针砭不致差悮大为生民利益其十造作沙水等漏以知时刻分秒若日月星晷依视学制造不论公私处所南北东西欹斜㘭突皆可安置施用使人人能分更分漏以率作兴事屡省考成崇祯八年四月二十七日具题五月初一日奉圣㫖据奏旁通十事亦属利用要务知道了生儒量加职衔该部遵㫖议奏督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖恭进仪器事先该臣接得司礼监传奉手本开称该御用监把总官周福奏称奉㫖造进窥逺镜等因崇祯八年七月十二日奉圣㫖司礼监𫝊与李天经将窥逺镜造二具来进钦此钦遵臣即督同本局逺臣汤若望罗雅谷等将本国携来玻璃星夜如法制造今已造完谨将窥逺镜二具恭进御览伏乞圣鉴縁系遵㫖恭进仪器事理未敢擅便谨题请㫖计开窥逺镜二具 托镜铜器各二件黄绫镜箓二具 木架二座崇祯八年八月初九日具题本月十一日奉圣㫖这窥逺镜著进览该衙门知道督修厯法山东布政使司右㕘政臣李天经谨题为月食事窃照崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食其食限分秒时刻并起复方位例应先期上闻除大统囘囘二厯俟钦天监具题外所有本局月食臣等用新法推步谨将诸数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞𠡠下该部至期令监督等官并臣监局官生如法测验奏闻其遣人验报奉有再行详騐具奏之㫖仍移文河南山西抚按务令公同亲测详加考验速报不得他委以虚皇上钦若至意再照臣局厯法已完尚有各省直北极出地髙下并各舆地见食早晏不同必须多遣员役躬至其地用器测量如尧命羲和分方考验蔡注所谓厯既成而分职以颁布且考验之恐其推步之或差元郭守敬亦倣而行之遣官一十四员测验二十七所总厯成以后事臣厯书虽成矣縁方从事旁通尚未遑及姑俟稍有次第另疏请㫖臣于此尤有说焉考验交食全在定时而定时之法昼固无如测日夜则无如测星盖星自东而西其为先后时刻与日同理必取凖乎此方可合天或将臣前所进星日贰晷移置殿陛之前以备皇上临期省览则各法疏宻难逃圣鉴外庭虽欲偏执意见以混时刻不能矣其安置之宜但略奠基址取星晷得见帝星勾陈日晷能取分至日景足矣原无事于髙置层台致逺宸居如同弃物也此则臣旦夕属望之之至情未审能当圣意否仍乞严𠡠该监堂官是日务令该台整肃从事听臣与部臣约束虚公详测如有仍前怠玩任意迁就者许臣据实奏闻其于考验厯法未必无小补矣统候圣裁縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食分秒时刻并起复方位月食三分八秒月未入见复光六十五秒月已入不见复光二分四十三秒是日日出夘正三刻内五十六分初亏夘初一刻内五十六分月在地平上髙一十七度三十三分 东北食甚卯正二刻内一十三分月在地平上髙四度二十分 晓刻 正北复圆辰初二刻内六十六分 在昼 西北计食限内凡九刻一十分食甚日躔黄道娵訾宫二度二分五十二秒为危宿三度四十五分月离黄道鹑尾宫二度二分五十二秒为张宿一度二十五分月离纬度初亏距黄道南四十六分五十五秒食甚距黄道南五十分九秒复圆距黄道南五十三分二十二秒各省直初亏时刻京师顺天府卯初一刻内五十六分南京应天府福建福州府卯初一刻内八十三分三十二秒山东济南府卯初一刻内八十九分九十九秒山西太原府寅正三刻内九十六分湖广武昌府河南开封府寅正四刻内五十六分陜西西安府广西桂林府寅正三刻内三十分浙江杭州府卯初二刻内三十六分六十五秒江西南昌府寅正四刻内九十分广东广州府寅正四刻内二十三分三十三秒四川成都府寅正二刻内一十分贵州贵阳府寅正三刻内三分三十三秒云南云南府寅正一刻内三分三十三秒右凡言某刻内者尚未及本刻实数而已厯过前刻才交本刻若干分秒如食甚卯正二刻内一十三分谓其过卯正一刻后又交二刻内之一十三分非谓食甚时即卯正二刻也初亏复圆俱倣此崇祯八年八月二十日具题二十三日奉圣㫖这所奏月食分秒至期著监督等官并该监局官生如法测验奏闻前所进星日二晷还俟临期省览各谕整肃从事毋得少有玩泄礼部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为恭恳圣恩破格柔逺以励勤劳以光大典事先该前辅臣徐光启叙录一疏内开逺臣罗雅谷汤若望等译譔书表制造仪器算测交食躔度讲教监局官生数年来呕心沥血几于颕秃唇焦功应首叙但逺臣辈守素学道不愿官职劳无可酬惟有量给无碍田房以为安身养赡之地不惟后学攸资而异域归忠亦可假此为劝等因奉圣㫖该部知道钦此随该臣再申前请首为逺臣查给田宅奉圣㫖礼部酌议具奏钦此钦遵已经该部劄行顺天府行查去后续据该府报称查得替僧法宝已故遗有御赐绝产万夀寺下院香火地二十顷隆长下院并相连住房共一叚久属游僧隠占无人承顶堪以量给咨呈该部移会到臣该臣看得修歴一役仰邀皇上不次之典已非一端如臣以一介外吏而业照京官例关领俸薪矣在局生儒邬明著等所请职衔蒙准下部议覆似亦得叨升斗矣但臣等所翻译成书推测合度者实叅用西法而即两逺臣之法也臣等猥蒙异数而陪臣辈殚其所学拮据六载厯务甫竣继以旁通乃戮力尽瘁以愿效忠于本朝者顾使之肄业无所恒产无资非所以广圣恩风逺人也纵大官少有所给乃月仅两余未供饔飧而万里孤踪仕进弗甘生产又绝何以为劳臣劝乎臣闻繇余西戎之裔秦用以霸金日䃅西域之世子为汉名卿即马沙亦黒等本囘囘族类我太祖设专科以待之且世其官而存其业盖苟有利于国逺近何论焉臣又按万厯三十八年西洋逺臣利玛窦航海归化皇祖怜其慕义逺来死之日给以塟地并其友伴厐迪我等亦居以赐宇令其依止焚修此成例具在则一㕓之受数椽之栖谅非浩荡之恩所靳也伏乞𠡠下礼部遵前㫖议覆一以収录其成劳一以勉励其新绩且使绝域沾被共仰圣化于无方伫见宝厯昭垂式贻神谟于万䙫矣统候鉴裁崇祯八年八月二十八日具题九月初一日奉圣㫖该部核议具覆奏内繇金日䃅引用不伦本朝字作庙字改正行督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖测验据实奏报恭候圣明裁夺事先该臣崇祯八年四月初四日恭进乙亥丙子七政行度并叅订条议一疏奉圣㫖这推乙亥丙子七政行度并叅订条议著该部遴委晓厯司官同监局各官生儒随时测验果否差合核议奏夺该部知道钦此钦遵除臣督率官生昼夜在局考验外所有晓厯司官该部徘徊日久实难其人而祠司一载以来仅有主事李焨一人又自言不敢以晓厯自任臣不得已止公同钦天监堂属等官测过火木金水等星理合奏报如本年水星大统载三月十八日晨见至四月二十一日晨伏则前此皆见时矣新法载三四五六等月俱晨不见臣订于四月十四日会同该监监正张守登监副戈承科周𦙍灵台郎刘承惪徐源章必选李之贵春官正潘国祥秋官正刘有庆保章正贾良琦博士臧㣲坎王烨张国镕朱光显等是日五鼓在局登台测验良久直至日出委无水星出见乃监正张守登犹未敢遽信以为然也仍订于十七日赴观象台再测至期臣率逺臣罗雅谷汤若望录事王应遴中书陈应登及本局生儒邬明著等齐集该台测验而该监堂属等官俱到再三详测其不见也如故则是新法所算水星晨不见宻合矣至四月二十三日则臣所报木星与积尸气同度同分之期已经移会该监堂属等官因是日隂雨未测又大统载本年水星八月初七日晨伏不见至九月二十一日夕见则前此皆不见时矣新法载七月二十五日水星晨见至八月二十三日晨不见又八月十三日大统载木星在张一度新法算得在张四度是日子正初刻与轩辕大星同度同分臣因订八月十三日子时会同监正张守登监副戈承科灵台刘承惪徐源章必选李之贵秋官刘有庆博士髙攀桂黄子贤等到局先用黄赤经纬仪登台测得木星果与轩辕大星同在一线少顷委见水星晨见东方则是新法所算水星晨见又宻合而木星与轩辕同度亦皆较较不爽矣本年八月二十七日新法算得木火月是日寅正二刻俱同在张六度三十三分大统载是日木在张四度火月在张三度至期移会该监堂属等官因二十六日隂雨未到臣等在局候至寅正二刻天气清朗随用黄赤经纬仪测得木火月果在同度一线上则是木火月同度又与新法脗合矣又如金星大统载九月初九日晨伏则此后皆不见时矣新法载八九等月俱晨见至十月初三日始晨不见因订于九月十七日会同该监监副周𦙍博士朱光显及在局逺臣生儒等登台测验良久直至天晓委见金星东出约髙八度余则是新法所算金晨见宻合而旧法已先天二十余日水星大统载九月二十一日夕见至十月二十四日夕伏不见则前此皆见时矣新法载八月二十六日晨不见至十月初六日始夕见臣因订九月二十八日会同该监监副周𦙍春官正潘国祥夏官正左允化秋官正刘有庆灵台章必选及在局生儒等是日昏刻登台测验委无水星出见则是新法所算水星不见又宻合而旧法后天一十五日总之五星之有伏见犹日月之有交食交食苦不多遇而五星则夜夜可测时时可测者且本局毎测置有印信文簿令监官随测随书以昭同然俱经申呈在部孰宻孰疎谅难逃于圣鉴谨一一详报伏乞𠡠下该部将臣前后数测行令钦天监堂属等官曽否测验果否差合据实囘奏静听圣明裁夺施行崇祯八年十二月十四日具题十七日奉圣㫖这新法所测火木金水等星见伏行度是否宻合钦天监堂属各官曽否公同测验著该部查明据实具奏礼部题为测验月食事祠祭淸吏司案呈到部案查先该臣部回奏崇祯五年九月十四日夜望月食云隂不见等因五年十月十二日奉圣㫖据该监称月食云隂不见有无别法考求著他确议来说今后毎遇交食该部先将各法异同一并开写来看临期如法测候证定疎宻分别具奏钦此又该督修厯法李天经题称(云云)崇祯八年八月二十三日奉圣㫖这所奏月食分秒至期著监督等官并该监局官生如法测验奏闻前所进星日二晷还俟临期省览各谕整肃从事毋得少有玩泄礼部知道钦此今照本年五月十五日辛酉晓望月食该臣先将新旧各法开坐具题御览外又该臣部题差监局官儒潘国祥黄宏宪前往河南测验厯局供事官陈应登天文生朱光大前往山西公同抚按亲测验报等因八年十二月十二日奉圣㫖是钦此查得祠祭司今只主事李焨一人据本官称一人见闻有限应选委别司一官同往随委主客司员外郭之竒同本官率同监局官生届期先诣观象台㕘验去后今据主客司员外郭之竒祠祭司署司印主事李焨呈称职等先据钦天监官张守登督修厯法㕘政李天经另局修厯布衣魏文魁各报本月十五日卯时月食时刻分秒具奏奉㫖测验随奉堂批委职等同往观象台一同钦天监官张守登叅政李天经布衣魏文魁测验本日子时职等同到观象台随委监官黄子贤刘有庆贾良琦专守调仪器两局生儒邬明著孟履吉张宷臣林䕃世徐克孝蒋所乐专候测验职等站立台上专觑月轮至夘时初一刻零四十三分有竒月初亏去极七十九度七十分至卯正一刻月食甚约有四分至夘正二刻雾气澹霭月轮隠现但觉㣲露光气即随不见盖食体尚存而渐复㣲光入地者等因到部该臣等看得天文𤣥㣲髙逺算法甚难据两家测验所差亦仅争分秒再加考究厯法可得其大概矣除河南山西二处抚按咨报到部另行具奏外既经该司详测开报理合具本谨具题知奉圣㫖据奏测验月食分秒初亏食甚及月未入见复光新法为近但以十三为雨水是何说还著奏明其魏文魁所推食甚时刻与灵台测验相符还候河南山西二处奏报至日再加考究以正厯法崇祯九年正月十六日新法算书卷四
## 卷五
钦定四库全书
新法算书卷五 明 徐光启等 撰缘起五督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为月食事该臣于崇祯八年八月二十日将本局新法所推崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食分秒时刻起复方位开坐奏闻奉圣㫖这所奏月食分秒至期着监督等官并该监局官生如法测验奏闻前所进星日二晷还俟临期省览各谕整肃从事毋得少有玩泄礼部知道钦此钦遵至本月十四日夜臣督率逺臣罗雅谷汤若望大理寺评事王应遴及本局知厯生儒邬明著孟履吉李次虨张宷臣祝懋元等公同礼部祠祭司主事李焨主客司员外郭之竒钦天监监正张守登并厯科灵台等官齐赴观象台测候而布衣魏文魁亦在焉先是臣恭绎明纶无任惶悚随经移文与诸臣约此畨月食各法参差最易辩别而在事各官政宜虚公恪慎仰副隆指其间时刻之先后分数之多寡臣悉备为申说且刋刻图式与众共见而诸臣已了了意中矣候至初亏台官徐源等用简仪测月依法得在卯初一刻四十三分与臣等所推卯初一刻内五十六分者合又同时用立运仪测得去极度七十九度七十分较魏文魁所推七十五度七十六分者似差四度至食甚别无测法大统推食三分一十五秒月未入见食一分五十四秒回回推食一分九十三秒月未入见食三十五秒魏文魁推食四分三十一秒在天见食三分八十二秒是皆未至食甚月已西入地平而臣局独推食甚月在地平上高四度二十分见食三分八秒月未入见复光六十五秒维时用立运仪测得月果西高四度余政臣局所推食甚时也复用简仪测月依法得在卯正一刻与臣等所推卯正二刻内一十三分者又合乃审视良久至卯正二刻月光渐复先多而后少万目共见即各法亦不得仍执带食之说为是矣其食分多寡据臣目力所见约食三分余据部臣郭之竒目力所见约食四分总之无器可凭难以悬断且月体西下稍有云气大槩约畧计之独复光少许始入地平臣法却为密合耳此当夜测验之情形如此谨据实奏闻恭候圣明裁夺崇祯九年正月十六日具题二十日奉圣㫖已有㫖了该部知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖奏明节气事崇祯九年正月二十九日准礼部照㑹内开该本部回奏月食奉圣㫖据奏测验月食分秒初亏食甚及月未入见复光新法为近但以十三日为雨水是何说还着奏明其魏文魁所推食甚时刻与灵台测验相符还俟河南山西二处奏报至日再加考究以正厯法钦此钦遵照㑹到臣令臣自行奏明臣谨撮其大要并具图象为皇上陈之案照丙子年新旧七政大统推本年正月十五日辛酉子正二刻雨水新法推本年正月十三日己未卯初二刻零八分雨水两法相较先后几差二日矣但所以不同之故与所以立法之因臣岂无说而敢臆为创改乎盖论节气有二法一为平节气一为定节气平节气者以三百六十五日二四二五为岁实而以二十四平分之计日定率每得一十五日二千一百八十四分三十七秒五十㣲为一节气故从岁前冬至起算必越六十日八十七刻有竒而始厯雨水旧法所推十五日子正二刻者此也日度之节气也定节气者以三百六十为周天度而亦以二十四平分之因天立差每得一十五度为一节气故从岁前冬至起算考定太阳所躔宿次止须五十九日二十刻有竒而已满六十度新法所推十三日卯初二刻零八分雨水者此也天度之节气也何也太阳之行有盈有缩日日不等大扺冬至后行盈盈则其行疾一日行天一度有竒夏至后行缩缩则其行迟一日所行不及一度此非用法加减之必不合天顾可拘泥气䇿以平分岁实乎请以春秋分证之旧法推本年二月十六日已正四刻春分新法则推十四日卯正二刻零五分而旧法亦于本月十四日下注昼五十刻夜五十刻矣旧法又推本年八月二十三日丑初三刻秋分新法则推二十五日丑初初刻十分而旧法随于本月二十五日下注昼五十刻夜五十刻矣顾名思义分者黄赤二道相交之㸃太阳行至此㸃昼夜之时刻各等过此则分内外而昼夜遂有长短也乃昼夜平分在二月十四日与八月二十五日而春秋分顾推十六日与二十三日乎请又以仪器验之京师北极髙三十九度五十五分赤道应高五十度零五分试用仪器于本节前后日午正累测必至二月十四日八月二十五日太阳高度始与此数密合至十六日与二十三日而太阳各高一度弱矣此经辅臣徐光启与臣先后督率监局官生考验多年而预信其有必然者矣故知春秋分则知各节气知各节气则知雨水臣前疏所谓冬夏二至止差时刻余则有差至一日二日者而条议中一欵谓平节气非天上真节气政指是也再照本年七月日食有京师见多他处见少者有同一见少而各省直分数不等者亦有全不见食者假令以京师见食之数槩天下以救䕶必且骇耳目而乱听闻朝廷敬授钦若之谓何而可若此乎伏乞𠡠下该部行令两局备将各省直见食分数时刻上闻仍附大统后通行天下以备遣官验报未必非治厯之一徴也敢因奏明雨水而并及之恭候圣明裁夺施行计开节气图说各一幅崇祯九年二月初六日具题初八日奉圣㫖奏内称论节气有日度天度之异即以春秋分为证着该部择晓厯司官同监局各官细心讲求确核具奏其七月日食各省直所见分数时刻并着详开进览以备测验礼部尚书加俸一级兼翰林院学士臣黄士俊等谨题为书器告成叙录宜加谨照原题查叙在事诸臣以示激劝事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出督修厯法山东布政使司右叅政李天经题前事内称知厯生员邬明著访举儒士陈于阶贯通象纬精究理度缮制已有成效推测可任方来所当照纂修办事例优叙又知厯生员程廷瑞孙嗣烈孟履吉监生李次虨访举儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪原任五官保章今降天文生朱国寿或翻绎著劳或缮冩効力昼夜之测騐靡寜而寒暑之修辑可纪所当照纂修効劳例并叙又称厯局生儒办事已阅五年两载未沾半菽总縁户工事例已停伏乞皇上念此成劳将生员邬明著程廷瑞等各量加以钦天益职衔使与学习诸臣研究推测共维新法于不堕等因崇祯七年十二月十二日奉圣㫖礼部酌议具奏钦此又该叅政李天经题为遵奉明㫖敬申旁通事宜以便翻绎制造事内称在局知厯生儒等臣曾请以量加职衔少酬前劳业蒙皇上下部酌议具奏但得速为叙录臣亦可借手责成等因崇祯八年五月初一日奉圣㫖据奏旁通十事亦属利用要务知道了生儒量加职衔该部遵㫖议奏钦此查得崇祯六年十月内原任太子太保礼部尚书兼文渊阁大学士徐光启有治厯已有成摹一疏内称知厯生员邬明著访举儒士陈于阶思精推测巧擅绘制书噐方籍前劳讲解正需后效知厯生员程廷瑞孙嗣烈孟履吉监生李次虨访举儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪等同心绩学殚术承天而天文生朱国寿勤学可嘉俟学习完日另叙等因通抄到部送司行据修厯叅政李天经手本回称案查本局生儒叙录一节业经大学士徐光启与本司先后两疏分别上请俨然等第其中且本司再三斟酌有减无增安敢冐开知厯生员邬明著儒士陈于阶应如原题照纂修办事例优叙生员程廷瑞孙嗣烈孟履吉监生李次虨儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪原五官保章今降天文生朱国寿应如原题照纂修効劳例并叙内陈于阶八年四月内差往广浙搬取旁通书籍中途抱病暂回原籍调理然劳次具在非空𨽻名者比实无碍于叙录也惟孙嗣烈呈称见系顺天府学附生有志进取不愿受职合无于学政中量示优异等因前来八年六月内正在遵㫖议叙间有武英殿中书房办事今厯局効劳儒士蔡孚一赴司屡投禀帖求叙随查天经题叙二疏并未列名岂敢溷入八年六月十二日忽呈为简举欺君蔑㫖指官嚼民豪奸大弊事随经本部将蔡孚一据实题叅于崇祯八年六月十八日奉圣㫖蔡孚一邬明著等着刑部题质从公据实具奏钦此今正月二十二日又据厯局访举知厯生儒邬明著程廷瑞等呈为覆盆之寃已雪加衔之㫖宜遵恳简成疏开恩上请蚤沾圣德以光大典事内称著等叙录两奉谕㫖突遭枭恶蔡孚一求叙不得诬蔑无端以致题叅法司株连对质七阅月矣孚一正法拟徒已经回奏奉㫖呈乞速赐题叙得沾升斗等情又准刑部河南清吏司手本内称看得邬明著等十人之应题职衔非骤起也効劳日久前辅臣徐光启已列名上闻今日孚一寜得增入增入之不得而妄噬无辜以含沙之术为逆取功名之计孚一不亦愚而拙于计哉三尺具在寜容假借既至屡经对质孟履吉三百两之贿绝无影响李次虨陈于阶千金之賍俱属乌有即孚一俛首无辞惟云新进无知并不晓十人为旧辅之原叙盖欲借汚蔑一著为要求叙录之地耳总之其变幻闪烁皆市井无赖之情态而监督李天经一疏尤称详尽也夫监局何地治厯明时何典而可容此匪类恭于其间哉所应照诬告人賍私律拟徒以惩仍当亟为革斥以清局署者也随审邬明著孟履吉杨之华各发落肄业等因崇祯九年正月二十日奉钦依依拟钦此备行到司案呈到部看得厯局供事生员邬明著供事六载勤敏可嘉合无量授钦天监正九品五官司厯职衔生员程廷瑞孟履吉监生李次虨儒士杨之华祝懋元张宷臣黄宏宪天文生朱国寿等昼夜推测七政躔度书冩进呈御览劳绩久著以上八名合无量授钦天监从九品漏刻博士职䘖其儒士陈于阶既以差往广浙搬取旁通书籍中途患病回籍合俟进京之日另行再叙生员孙嗣烈呈称见系顺天府学附生有志进取不愿受职合行学院奖励庶厯局生儒知所鼓舞而治厯大典亦早借以告成矣相应题请恭候命下移咨吏部铨覆施行縁系云云事理未敢擅便谨题请㫖崇祯九年二月十九日具题二十二日奉圣㫖是邬明著及程廷瑞等八名准各授职䘖督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为遵㫖奏明事崇祯八年十二月二十六日准礼部照㑹内开该本部恭报乙亥七政行度测验縁由等事奉圣㫖这新法星度李天经如何不知会该部遴委司官公同测验昨疏又称该司官不任晓厯是何不侔还著奏明其丙子年七政行度着先送部临期知㑹测验以凭核奏钦此钦遵除丙子年七政行度已经缮冩送部仍临期知㑹测验外案查崇祯八年四月初四日该臣厯法告成恭进乙亥丙子七政行度一疏奉圣㫖这推乙亥丙子七政行度并叅订条议着该部遴委晓厯司官同监局各官生儒随时测验果否差合核议奏夺该部知道钦此随该臣向署部事侍郎陈子壮谆谆以委官测验为请而子壮语臣云皇上留意象纬恭绎晓厯二字须当慎择其人未便草率迨今礼臣黄士俊受事而臣亦每以为言乃其慎重之意亦如子壮维时臣知两臣皆以皇上之心为心凡所斟酌详审者意得一当以仰副圣懐臣如是不敢强矣但奉有随时测验之明㫖又不敢因是少懈遂订该监堂属各官在局公同测验此四月以来不知㑹之縁故也未几臣又向署事主事李焻言之以祠司无别官测验之责似不容以他委乃焻则谦让未遑之意情见乎词臣又曷能强之寻又𫝊语臣云晓厯一官必须具题请㫖祠司不得当于四司中求之四司不得当于各部中求之言犹在耳至五月二十五日移取七政行度复谓晓厯司官具题简委与前传语臣者合此后不闻祠司别有所示也臣如是以遴委之权听之该部以考验之责归之该监虽诸臣之与臣同测者无不服其密合而臣心终以不得部委为歉也故昨申呈中有晓厯司官职实望为同心之助迄今杳不可得等语正此意也此八九月以来不知㑹之縁故也向使部臣不如是其难其慎司臣不如是逊志未遑则臣与该监诸臣期㑹于霜露之余征逐于星月之下者已不啻六七次矣独何乐而不为该部告也是则臣区区不获已之苦𠂻也伏乞皇上矜察勅下该部专委司官一员公同该监堂属各官将丙子年星度与臣一一考验奏闻庶真法不致格于情势而赝鼎亦可无容滥收则所闗于治厯明时不小矣崇祯九年二月二十四日具题二十七日奉圣㫖厯学原有专门该部还访有晓厯的以便公同测验督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为月食事窃照崇祯九年七月十六日戊午夜望月食其食限分秒时刻并起复方位例应先期上闻除大统回回二厯俟钦天监具题外所有本局月食臣等用逺臣新法推歩才食一分余与旧法推食三分有竒者不同谨将诸数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞𠡠下该部至期令监督等官并臣监局各官公同测验奏闻仍令应天湖广二处抚按并前日食一体验报施行计开崇祯九年七月十六日戊午夜望月食分秒时刻并起复方位月食一分二十九秒初亏亥正二刻零四十分 东南食甚子初一刻零一十三分 正南复圆子初三刻零八十六分 西南计食限内凡五刻四十六分食甚月离黄道元枵宫二十三度五十九分为虚宿五度三十八分离赤道虚宿八度一十○分食甚月离纬度距黄道北五十六分三十八秒在地平上高三十四度各省直食甚时刻南京应天府福建福州府子初一刻零六十六分湖广武昌府河南开封府子初初刻零一十三分浙江杭州府子初二刻零一十三分山东济南府子初一刻零四十分江西南昌府子初初刻零四十六分广东广州府亥正三刻零八十分山西太原府亥正三刻零五十三分陜西西安府广西桂林府亥正二刻零八十六分四川成都府亥正一刻零六十六分云南云南府亥正初刻零六十分贵州贵阳府亥正二刻零一十三分右应天府初亏亥正二刻零六十六分复圆子正初刻零一十二分湖广初亏亥正一刻零四十分复圆子初二刻零八十六分相应详开以备测騐崇祯九年二月二十六日具题二十九日奉圣㫖已有㫖了礼部知道督修厯法山东布政使司右恭政臣李天经谨题为遵㫖回奏仰乞圣鍳事崇祯九年三月初五日准礼部照㑹内开该本部奏前事等因奉圣㫖据称各管俱有分属地方岂无占验又冬至葭管飞灰载在册籍何云专取立春还着同李天经魏文魁再加详考讲求明白具奏钦此钦遵照会到臣该臣看得臣所职掌乃推歩日月交食测算五星凌犯是皆有理可据有数可凭者耳即旁通首欵曾言事应亦苐谓其考求七政性情约略预知初未尝敢以𤨏屑不经之事牵合傅㑹今该监候气一法其散见于经典者悉后儒引以注疏律吕者也故史记以前言律厯者未之或及至后汉志则云律可相传惟有候气始纪其法而谓气所动者其灰散人及风所动者其灰聚盖按辰以候每月之中气以定十二律之应与否也汉臣马防云圣人作乐所以宣气致和故于岁首𤼵太簇之律然古谓律首黄钟其位在子而宋儒朱子一主其说云冬至气至黄钟之管灰飞大寒以下随月应焉是知候非止于一月明㫖所谓何云专取立春盖已洞其底里矣臣厯考前代魏时杜䕫制律候气灰悉不飞隋开皇间毛爽等依古法候气有节至即应有终月不应之异而牛宏创为衰气和气猛气之说一经隋帝所驳遂无复置对宋景祐间李照请下河内取葭莩制玉律候气以定乐率不能合惟北齐信都芳能以管灰候气每月应律不爽时刻而先臣邢云路谓其用机鼓动致然且自古相传有谓当以纱縠蒙管端者有谓葭灰升降有毫忽者有谓灰用懐州河内县竹用宜阳金门山者郑康成有玉管铜管之别熊安有大动小动之徴其说互有异同法亦不能尽騐然皆止于候气已耳至若主何占騐作何徴应臣于史册未覩惟按大明㑹典一欵内云凡每岁立春前期五日本监面奏差官二员往顺天府候气至日回监具呈依书占奏则是明有一书存贮本监以待占奏乃该监主占官徐源直日官章必选俱称玩占一书未经登载何敢臆说若然则㑹典所载依书占奏者岂无所据而云然该监所藏又岂止玩占一书而已耶盖书为该监所收掌占则灵台之本业而乃茫无以对其于职掌何居耶臣谨详史册所载之大略若此如诩诩然谬为不经之说以炫视听则断断非臣所敢出也统祈圣明裁夺施行崇祯九年三月十七日具题二十日奉圣㫖奏内依书占奏载在㑹典该监所贮是否止玩占一书还着详查具奏礼部知道礼部题为测騐月食事祠祭清吏司案呈案查崇祯九年正月十五日晓望月食先该本部差委主客司员外郭之竒祠祭司主事李焻公同督修厯法叅政李天经布衣魏文魁钦天监监正张守登随委监官黄子贤刘有庆贾良琦及两局生儒邬明著林䕃世等是日在观象台公同测验回奏月食縁因正月二十一日奉圣㫖据奏测騐月食分秒初亏食甚及月未入见复光新法为近但以十三日为雨水是何说还著奏明其魏文魁所推食甚时刻与灵台测騐相符还俟河南山西二处奏报至日再加考究以正厯法钦此钦遵除十三日为雨水縁由李天经自行奏明外案查先该督修厯法山东布政使司右恭政李天经手本开送厯局供事官陈应登差往山西知厯儒士黄宏宪差往河南仍同钦天监春官正潘国祥天文生朱光大擕带测噐以往随该本部具题将陈应登朱光大差往山西潘国祥黄宏宪差往河南公同测验縁因崇祯八年十二月十二日奉圣㫖是钦此钦遵随给咨文即令官生陈应登等四员名赍文分投山西河南测验去后今三月初八日接准提督鴈门等闗兼廵抚山西地方都察院右佥都御史今降五级戴罪管事吴甡咨称据山西布政使司呈准钦差厯局供事官陈应登等手本开称职等奉㫖前来山西测验自正月初六日抵省奉有公同抚按测验然抚院在平陆堵勦流冦地之相去千有余里测騐地方题定太原欲㑹抚院往回必须半月有悮在府测騐于是蒙本司遣役赍咨投院而职等在省连日测得北极高三十七度四十四分至本月十五日辛酉晓望蒙本司㑹率司道府㕔县卫文武多官于十四日夜先诣本府鼓楼高阔处所安顿测量仪噐三更时星月尚明候至寅正二刻内山烟层叠云雾弥漫星月被遮观测不见自初亏以至复圆分秒时刻无从考验此皆蒙本司同司道府㕔县卫共目同见者也伏乞据实转文抚按两院请给咨文以凴回奏縁繇到司准此拟合呈报缘繇到院据此案查先据该司呈送礼部咨前事正值本院驻镇河津于正月十五日晓望行救䕶礼时际天隂黑云密布无由测騐该本院遵照部咨㑹同廵按余御史备行布按二司公同道府卫县文武各官㑹同该监官生陈应登等细加测騐从实呈报去后今据藩司呈详前来拟合咨覆同日又准廵抚河南等处地方提督军务都察院右副都御史陈必谦咨称据河南布政使司呈蒙本院宪牌准礼部咨前事等因蒙此本司于正月十五日辛酉晓蒙廵按河南监察金御史率属亲诣西南城角楼高濶处所安顿测星仪噐先以星晷测至句陈帝星视垂针所指寅正四刻内果见初亏又用象限仪测得角宿南星西高三十七度二十七分依法推算得在寅正四刻内五十六分候至卯正一刻内瞻见食甚仍测得河鼓中星东高四十度弱算得在卯正一刻内一十三分见食三分有竒其复圆时刻因复光未几旋入地平而太阳东出无从考騐则自初亏以至食甚分秒时刻起复方位一一皆与新法脗合此城头万目所共覩者准此拟合转报等因到院㑹同廵按金御史拟合回复各等因到部送司通查案呈到部看得本年正月十五日月食除京师交食分数已经奏报今据山西既称时值隂云无从测验又据河南所报自初亏以至食甚分秒时刻起复方位一一皆与新法脗合从此再加虚心考究而厯法渐次可有成绩矣既经二处抚臣咨覆前来相应据实回奏为此具本谨具题知崇祯九年三月二十二日具题奉圣㫖知道了督修厯法山东布政使司右恭政臣李天经谨题为星度方位昭然推算踈密立辨恭恳圣明亲垂睿览以破游移以襄大典事先该礼部回奏臣局测验一疏奉圣㫖新法成法虽有不同星度伏见仰观可据徐源等既称指示多合又云不敢扶同殊属游移该部还遵㫖遴委司官同监局各官生随时测騐仍取凖交食以期脗合钦此臣恭绎纶音不胜感戴以为我皇上如此其慎密斯典而源等犹敢如此其淆乱含糊而不以实覆也总之若辈牢不可破之成心惟欲承舛袭讹嫉修改为多事止知䕶短固位忌测验为摘发遂不难支离巧饰其辞如此耳独不思测验一事屡奉明㫖命臣率领监局官儒详加考验则相与㑹同之际孰疎孰密臣自不能以一手掩其目一人箝其口然于入告之时合与不合监官自当据共见之确情绝浮游之呓语岂非虚公叅订而忠于简畀之职分哉今该监与臣屡测皆合即此曹岂无虚心叹服者乃源等敢于回奏之日故为游移是臣虽与之时时测而事事合则彼辈仍不难于面是背非欲其出一真实之语不可得也则亦何取于若而人之追随仰观哉兹该监之情形既若此而晓厯之访求又未骤得臣于此时复何望哉惟有仰望之我皇上而已目今火星躔度据大统算从三月二十七日起至五月初八日止夕退迟留尝在轸宿十六十七等度内而臣等用新法推步此等日时火星尝在角宿二三等度内逆行不入轸宿见有本局进呈七政可查是则二法所推三十九日之中恒差二三度不等且旧法谓在轸宿则当恒在角宿大星西新法推在角宿则当恒在角宿大星东彰明较著莫此为甚诚如皇上明㫖所谓星度伏见仰观可据者也敢恳圣明于万几之暇每于戌时不需仪噐窥筩一仰观间自可了若指掌臣非敢冐昧以此𤨏事上凟圣聪窃念与其屡测屡覆而屡费圣心不若以乾象之昭著者一质于君父之前则新旧二法疎密了然从前所测皆可类推匪惟可以折该监沿习之故智而亦可以杜旁挠憎兹之多口则由此渐底于成绩而厯法亦可借手告襄矣崇祯九年四月初六日具题初十日奉圣㫖这推算火星躔度知道了还著礼部遴委司官同监局各官生公同验明具奏吏部题为书噐告成录叙宜加谨照原题查叙在事诸臣以示激劝事文选清吏司案呈崇祯九年三月初三日准礼部咨开该本部题前事内开看得厯局供事生员邬明著供事六载勤敏可嘉合无量授钦天监正九品五官司厯职衔生员程廷瑞孟履吉监生李次虨儒士杨之华祝懋元张采臣黄宏宪天文生朱国寿等昼夜推测七政躔度书写进呈御览劳绩久著及程廷瑞等八名合无量授钦天监从九品漏刻博士职衔等因奉圣㫖是邬明著及程廷瑞等八名准各授职衔钦此钦遵备咨到部送司候覆在案续据督修厯法山东布政使司右恭政李天经呈称生员程廷瑞陡于三月初二日物故不敢开叙外以上八名相应照覆案呈到部看到前项任事各生儒既经该部题奉钦依咨送前来又经该司查呈相应覆请恭候命下臣部行令该衙门一体钦遵照旧供事施行縁系书噐告成录叙宜加谨照原题查叙在事诸臣以示激劝事理未敢擅便谨题请㫖崇祯九年四月初八日具题十一日奉㫖是督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为钦奉明㫖恭进旁通书噐事先该臣崇祯八年四月二十七日敬申旁通事宜一疏奉圣㫖据奏旁通拾事亦属利用要务知道了生儒量加职衔该部遵㫖议奏钦此钦遵臣一面督率办事各官昼夜在局推测一面督率两逺臣将旁通诸务逐一讲求稍有次第可举但其中有政在翻译尚未脱藁者有翻译已竟犹未缮冩誊真者亦有鸠工将及其半庀材苦于无资者年来并力已完得浑仪书四卷计一套浑天仪一具星球一具此依逺臣汤若望法用以考求七政性情之始基而占法犹俟再加推衍者也是第一欵中之一端也又完得运重一具附有图说此依逺臣罗雅谷法用以升高致逺或挽木石或利粮艘力省功多而大有裨于兴作河渠者也又第七欵中之一端也至若日月星牙晷一具体质狭小便于移置仰备皇上不时清玩而制之则逺臣汤若望也谨将已完书噐数种进呈御览再照臣于崇祯七年十二月初三日具疏奏缴钱粮册开除前辅臣徐光启收过户礼工三部银八百七十三两五钱外前后复赔垫过银七百六十二两九钱一分奉有造过钱粮着该衙门核销之㫖似应照原题分𣲖户工二部如数核补即以充旁通诸费仍有不足者事例已开容臣遵照题准明㫖陆续移取充用完日奏缴庶进呈诸噐不致久稽而旁通亦可刻期告竣矣统候圣裁縁系钦奉明㫖恭进旁通书噐事理未敢擅便谨题请㫖计开浑仪书四卷一套 运重图说一册浑天仪一具并盝 星球一具并盝牙晷二具各有盝 运重一具崇祯九年四月二十八日具题五月初二日奉圣㫖这所进书噐知道了其垫过银两着户工二部照数核补如有不足另行奏夺该衙门知道督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为月食事该臣于崇祯九年二月二十六日将本局新法所推崇祯九年七月十六日戊午夜望月食分秒时刻起复方位开坐奏闻奉圣㫖已有㫖了礼部知道钦此又同日疏报崇祯九年七月初一日癸卯朔日食奉圣㫖这日食月食分秒时刻并起复方位至期着监督等官并监局各官公同测验具奏其省直分数时刻行各该抚按选委晓厯官员详加考验奏报礼部知道钦此钦遵除前日食已经验明奏闻外所有本月十六日夜臣督同逺臣罗雅谷汤若望司厯邬明著博士孟履吉祝懋元黄宏宪朱国寿访举儒士陈士兰朱廷枢等公同礼部劄委仪制司主事李青钦天监监正张守登及厯科灵台等官齐赴观象台测验又委博士李次虨张宷臣天文生朱光大等擕带星晷赴中府测时满拟此番月食各法大差政可借此以定疎密而不意自十六日夜至十七日早隂雨淋漓从无开霁其见食分数时刻无凴测验理合据实奏闻縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖崇祯九年七月十八日具题二十日奉圣㫖知道了督修厯法山东布政使司右叅政臣李天经谨题为日食事窃照崇祯十年正月初一日辛丑朔日食其食限分秒时刻并起复方位例应先期上闻除大统回回二厯已经钦天监具题外所有本局日食臣等用逺臣新法推歩谨将诸数逐一开坐并具图象进呈御览伏乞𠡠下该部至期令晓厯司官并臣监局各官如法测验据实奏闻其各省直分秒时刻仍照例移行该抚按验报统候圣裁縁系日食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯十年正月初一日辛丑朔日食分秒时刻并起复方位京师见食一分一十秒初亏午正二刻零五十六分 西南食甚未初一刻零八十三分 正南复圆未正初刻零六十二分 东南计食限内凡六刻零六分食甚日躔黄道女宿初度一十分 依赤道为女宿二度一十六分南京应天府见食一分二十二秒初亏午正初刻零八十三分食甚未初二刻零七十六分复圆申初初刻零四十二分山东济南府见食二分三十三秒初亏午正二刻零七十六分食甚未初二刻零五十六分复圆未正二刻零七分山西太原府不见食河南开封府见食一分四十八秒初亏午正初刻零五十五分食甚未初初刻零五十六分复圆未正初刻零二十一分湖广武昌府见食一分八十九秒初亏午初三刻零三十五分食甚未初初刻零六十九分复圆未正一刻零六十九分陜西西安府见食二十五秒与不见食等浙江杭州府见食四分四十秒初亏午正二刻零七分食甚未正初刻零三分复圆申初一刻零六十九分福建福州府见食四分一十二秒初亏午正初刻零六十二分食甚未初二刻零六十九分复圆申初初刻零三十五分江西南昌府见食二分二十七秒初亏午初三刻零四十二分食甚未初初刻零八十三分复圆未正一刻零九十分广东广州府见食三分九十三秒初亏午正初刻零六十九分食甚未初一刻零六十九分复圆未正二刻零三十五分广西桂林府见食一分八十九秒初亏午初一刻零四十九分食甚午正二刻零七分复圆未初二刻零四十二分四川成都府见食九十二秒初亏午初一刻零六十九分食甚午正一刻零二十一分复圆未初初刻零五十五分贵州贵阳府见食九十五秒初亏已正三刻零七十六分食甚午初一刻零八十三分复圆午正三刻零二分云南云南府见食一十六秒与不见食等朝鲜城都见食三分八十六秒初亏未初初刻零九十分食甚未正二刻零二分复圆申初二刻零八十三分崇祯九年九月十六日具题十八日奉圣㫖礼部知道太子少保礼部尚书兼翰林院学士臣姜逢元等谨题为遵㫖奏明节气事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出督修厯法山东布政使司右叅政李天经题前事等具崇祯九年二月初八日奉圣㫖奏内称论节气有日度天度之异即以春秋分为证着该部择晓厯司官同监局各官细心讲求确核具奏其七月日食各省直所见分数时刻并着详开进览以备测验钦此钦遵抄出到部送司除七月日食各省直所见分数时刻已经叅政李天经详报御览备验外所有本年春秋二分节气随经呈堂遴委司官届期前去公同监局官生测验去后今准修厯叅政李天经手本开称春分届期本司督同逺臣罗雅谷汤若望评事王应遴及在局官生公同礼部所委司务徐肇律钦天监监副周𦙍夏官正左允化保章正贾良琦灵台徐源章必传博士朱光显等于二月十四日午正用象限仪测得太阳高五十度零八分十五日测得太阳高五十度三十三分十六日测得太阳高五十度五十七分迨至秋分之日本司复督同逺臣罗雅谷汤若望及在局各官邬明著等㑹同祠祭司郎中胡敬辰钦天监监正张守登春官正潘国祥秋官正刘有庆夏官正左允化保章正贾良琦灵台徐源博士朱光显等于八月二十三日午正亦用象限仪测得太阳高五十度三十八分强二十四日测得太阳高五十度十五分二十五日测得太阳高四十九度五十二分先是本司㑹集多官于堂及复商之曰春秋分者乃黄赤二道相交之㸃太阳行至此间平分天中昼夜之时刻各等过此则为内外夫自南往北者高度渐多于赤道高度自北往南者高度渐少于赤道高度如京师北极出地三十九度五十五分则赤道应高五十度零五分以春分论惟二月十四日太阳高度始与此数合其本日午正测得五十度零八分依法加地半径差二分较赤道多五分者盖原推春分卯正二刻零五分至是日午正已过春分为二十一刻零五分矣是时太阳每日纬行二十四分弱时越二十一刻零五分则纬行应加五分强所谓自南往北高度渐多是也至十五日并地半径差已多至三十分况十六日乎以秋分论亦惟八月二十五日始与此数合其本日午正测得太阳高四十九度五十二分依法加地半径差二分较赤道少十一分者盖原推秋分丑初初刻零十分至是日午正已过秋分为四十三刻零五分矣是时太阳亦每日纬行二十四分弱时越四十三刻零五分则纬行应减一十一分所谓自北往南高度渐少是也至二十四日并地半经尚多一十二分况二十三日乎又复将前所进节气图示之曰内圏分三百六十五度四分度之一者此日度也外圏分三百六十度者此天度也旧法计日定率每得十五日二千一百八十四分有竒为一节气而新法止取天度十五度焉故自冬至起算越九十一日三十一刻零六分而始厯春分者日度为之限也乃天度则已逾限二度余矣又越二百七十三日九十三刻一十九分而即交秋分者亦日度为之限也乃天度所不及者尚有二度是以春分旧法每后天二日而秋分旧法每先天二日也此当日测验讲求之情形如此即该监堂属各官初不闻别拈一语相商亦不闻复出一语相驳谅亦输服于理与数之确有证据而自知其不得不然者等因通查案呈到部看得节气之凖以春秋二分为程而二分之验以黄赤二道所交为则盖惟宵中星虚之辰日夕行乎同道而四阴二阳之月昼夜于此平分过此则有内外之殊高下之辨矣然大抵由南而北者高度渐多于赤道度由北而南者高度渐寡于赤道度两言尽之廼为之订正其岁差厘考其袭舛总之新法独遵天度者近是而合之纬行之强弱黄赤道之逺近气候之迟速太阳之行留无不灿若列眉而洞如观火矣故夫以迹揆之若新法更精祥于旧而于理核之即日度自合符于天今据李天经以噐穷象广众集思细心讲研按图测验因以圭表窥日歩之高限仪稽三日之序而谨候之所恭合其所称天度于春分已逾二度于秋分不及二度者自确乎其不可易矣宜有以帖挈壶之心而息保章之讼也既经核议占验前来相应奏闻伏乞皇上勅令本官秋分中气瞻测既已毕呈此后歩推节候须求印证俟臣部晓厯司官毕拱辰到任之后公同详加测算务期悉合天仪不忒时叙以仰副圣明授时钦若之至意则崇天万年之宝厯自齐政于平衡而协用五纪之神思必成化于观象矣为此具本谨具奏闻督修厯法山东布政使司右恭政臣李天经谨题为恭进丁丑七政经纬诸厯仰祈圣鉴并勅晓厯司官騐明戊寅厯様以便奏请颁行事窃照崇祯十年丁丑岁臣依逺臣罗雅谷汤若望新法督令在局司厯邬明著博士孟履吉李次虨杨之华祝懋元张采臣黄宏宪朱国寿生儒朱光大陈士兰等推算得七政经纬各一册装潢成帙进呈御览其崇祯十一年戊寅诸厯例应次年二月初一日进様四月初一日通行天下刋刻伏乞勅下该部晓厯司官毕拱辰与臣等一面测验一面将戊寅年七政经纬再加详核推歩成厯恭请圣㫖颁行以成昭代大典盖臣非敢以不确不核之说上荧天听也先该臣于崇祯八年四月初四日恭进乙亥丙子七政经纬行度并恭订条议二十六则奉有该部遴委晓厯司官同监局各官生儒随时测验果否差合核议奏夺之㫖臣即公同部监诸臣细将所报七政行度逐一考验迄今两载所测无不密合此非臣之臆说也即该部奏明节气一疏亦亟称其新法之用天度自确乎其不可易宜有以帖挈壶之心而息保章之讼虽该监素善游移者据其回奏测验一疏一则谓其大统法久渐疎自然之理一则谓其测验俱与新法相合而新法用纬度推算更为详密尚须口授心印等语是明以臣等之法为善而和盘托出必欲尽得其传之为快向使立法稍有未当则畴人子弟恨不力诋其瑕安肯以相传之世业而反奉他人为主盟乎总之法取合天事久论定考騐至此情面不得不破旧法不得不更即守敬诸人而在恐亦不能胶已成之见而舍徴信之从也然臣所职掌止此有数可求有理可论者耳至若神煞之宜忌干支之生尅上厯所注三十事民厯所注三十二事复加删改是在部监诸臣恭酌非臣等所得与闻也再照臣于崇祯九年五月初六日准内灵台王魁等送到五月初五日奉上传着臣局制造星球臣当移文工部闗领应用钱粮于六月二十九日止领过银二百两臣已督率在局各官星夜儧造统俟完日进览伏候圣裁崇祯九年十一月十五日具题十八日奉圣㫖知道了其十一年诸厯并著毕拱辰公同详核星球著儧造进览礼部知道新法算书卷五
## 卷六
钦定四库全书
新法算书卷六 明 徐光启等 撰缘起六太子少保礼部尚书兼翰林院学士臣姜逢元题为遵㫖酌议叅请圣裁事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出兵部左侍郎加从二品服俸暂署部事王业浩等题覆崇祯九年十一月初二日奉有罗雅谷汤若望礼部酌议之㫖钦此钦遵抄出到部送司奉此查得戎政衙门疏荐罗雅谷汤若望等又前领发神噐奉有罗雅谷汤若望等着随营指授有功从优叙赉之㫖迨城守有功一体列名叙录内称罗雅谷汤若望心逰方外制入彀中既无服官之荣思宜从以成髙尚或查赡养之原疏酌给以示懐柔及兵部题覆奉㫖着臣部酌议案查崇祯六年十月内该太子太保礼部尚书兼文渊阁大学士徐光启治厯已有成摹一疏内开罗雅谷汤若望等譔译书表制造仪噐测算交食躔度讲教监局官生数年来呕心沥血几于颕秃唇焦功应首叙但逺臣辈守素学道不愿官职劳无可酬惟有量给田房以为安身赡养之资不惟后学攸资而异域归忠亦可假此为劝等因奉圣㫖礼部知道钦此又崇祯七年十二月十二日该督修厯法山东布政使司右恭政李天经题书噐告成叙录宜加一疏内开罗雅谷汤若望等译书譔表殚其夙学制仪缮噐摅以心法可谓劳苦功高矣当如原题查给田房等因奉圣㫖礼部酌议具奏钦此崇祯八年八月二十日又该天经题恭恳圣恩破格柔逺一疏称其修厯一役仰邀皇上不次之典已非一端如臣以一介外吏而业照京官例闗领俸薪矣在局生儒邬明著等所请职衔蒙准下部议覆似亦得叨升斗矣但臣等所翻译成书推测合度实叅西法而即两逺臣之法也臣等猥蒙异数而逺臣辈殚其所学拮据六载厯务甫竣继以旁通乃戮力尽瘁以愿効忠于本朝者顾使之肄业无所恒产无资非所以广圣恩风逺人也纵大官稍有所给乃月仅两余未供饔飡而万里孤踪仕进弗甘生产又绝何以为劳臣劝乎则一㕓之受数椽之栖谅非浩荡之所靳也等因奉圣㫖该部核议具覆钦此钦遵前因通查案呈到部看得兵部题叙领发神噐逺臣罗雅谷汤若望奉㫖酌议一节为照修厯逺臣罗雅谷汤若望学究天人思精理数推测不遗余力考验具有明徴且撰书制噐不一而足劳苦功多故辅臣徐光启已经首叙疏开两臣守素学道不愿官职劳无可酬惟有量给田房以为赡养之资即厯臣李天经亦如前请近縁城守叙劳复有或查赡养之原题案查两臣九万里来賔七载于兹矣饔飧未继大官之养日止共领下程银三分米四合似亦不堪清苦故诸臣以赡养之资再三控请且修厯生儒同叙者已邀一命城守诸臣共事者亦各膺秩级在两臣固无服官之荣想然既奉有有功从优叙赉之明㫖相应如诸臣前请将罗雅谷汤若望各量给房一所田数顷以资安养俾得于厯事完日仍毕力旁通仰佐国家钦若要务是亦劝功柔逺之一道然非臣部所敢擅拟也既经兵部具题前来相应议覆恭候命下臣部劄行顺天府查给田房资其朝夕伏乞圣明裁度施行崇祯九年十二月十八日具题二十一日奉圣㫖罗雅谷等修厯演器著有勤劳自当从优叙赉这量给房田果否妥便还著确议具奏督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为日食各法不一亏复分秒可騐乞勅灵台如法安置仪器以便临期证定踈密事窃照崇祯十年正月初一日辛丑朔日食本局分秒时刻已经上闻但臣等所推京师见食一分一十秒而大统则推一分六十三秒回回推三分七十秒蒋所乐及边大顺等推得止有㳺气侵光三十余秒似此各法参差倘不详加考验踈密何分但临期日光闪烁止凴目力眩耀不真或用水盆亦荡摇难定惟有臣前所进窥逺镜用以映照尺素之上自初亏至复圆所见分数界限真确画然不爽随于亏复之际验以地平日晷时刻自定其法以逺镜与日光正对将圆纸壳中开圆孔安于镜尾以掩其光复将别纸界一圆圏大小任意内分十分置对镜下其距镜逺近以光满圏界为度将亏时务移所界分数就之而边际了了分明矣但在天之正南实为纸上之正北方向乃相反焉伏乞勅下内灵台临期如法安置恭请皇上省览各法疎密自见其于考验不无少有俾益矣崇祯九年十二月十九日具题二十二日奉圣㫖知道了着临期如法安置考騐该衙门知道钦天监监正张守登等谨奏为遵㫖据实回奏仰乞圣监事先该礼部题为遵㫖测騐星度据实奏报事奉圣㫖知道了其推测异同疎合縁由还着该监明白具奏钦此抄出到部行令臣监明白具奏臣等钦遵即行该科详叩推测縁由据天文科五官灵台郎徐源章必选呈称臣等于本年四月初十日恭奉明㫖随同部监前至厯局用黄赤经纬仪测得火星在角宿一度内先是二月初三日昏刻公同礼部司务张𦙍佳偕监局官生测得水星夕见西方司务张𦙍佳未敢遽信复订初四日再测与前脗合此新法当日公同推测之原也又据厯科春官正等官潘国祥等呈称臣等于本年四月初十日恭奉明㫖前至厯局公同测验火水二星俱与新法相合其推算异同之故縁立法各有所依伏查臣等遵依大统厯法家传世习不敢妄行增损按法推算乃用黄道距度而新法用黄道纬度则是纬度推算较距度更为详密此用法疎合之故也臣等识短才庸不能臆揣尚须口授心印经手推算再行测候酌为定式方敢遵守于将来等因到监该臣㸔得推测各有所司按法不无新旧臣监推算各官世守其业所遵者大统旧法也法久渐疎自然之理非敢诿托良以智不及前人恐失愈逺是以有异同疎合之分恭逢皇上设局修改监官方在讲求尚未授法经手异日较正既确以仰副圣明敬勤之至意未必无小补矣既经各官具呈前来相应据实回奏仰祈圣明俯鉴奉圣㫖据奏测验星度新法为密着督率监属官加意考正以副敬慎授时至意该部知道崇祯九年太子少保礼部尚书兼翰林院学士臣姜逢元题为遵㫖酌议恭请圣裁事祠祭清吏司案查先该本部题覆兵部左侍郎加从二品服俸暂署部事王业浩题覆等事内开西洋逺臣罗雅谷汤若望奉㫖酌议等因崇祯九年十二月二十一日奉圣㫖罗雅谷等修厯演器著有勤劳自当从优叙赉这量给田房果否妥便还着确议具奏钦此钦遵抄出到部送司案呈到部看得逺臣罗雅谷汤若望等自应召修厯以来著述独探理窟制造咸晰天行功次犁然诚有如圣明所谓修厯演器著有勤劳者也但查两臣婚娶既绝无心仕进朝廷论功核赏纵不可縻以好爵而受㕓为氓未必非彼所欲则量给田房以资朝夕是亦爵赏之外别示优异臣部再四斟酌似为妥便合无仍将罗雅谷汤若望等各给房一所田数顷俾其饔飧无匮用以酬前劳而勉后效端在是矣伏乞勅下臣部劄行顺天府或查给入官田房或另设法措给施行縁系云云事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十年二月初二日具题初五日奉圣㫖是督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为遵㫖制噐告竣请乞圣裁以便恭进事案照崇祯九年五月初六日准内灵台掌印王魁等送到本月初五日奉钦传着新局造星球一座来进径过要二尺大一切星象不可遗漏应用钱粮于工部支领钦此钦遵臣当移文该部闗领应用钱粮督令在局官儒星夜鸠工如法制造随一面将故辅原进两逺臣译譔恒星经纬表二卷与臣所进御前屏式再加考测就中经纬度分务期合天稍有未妥者无妨更置之盖此系数百年来创举臣何敢溺于旧闻偏执己见而不仰体皇上钦若之至意乎迨崇祯九年十一月内复奉有星球着儧造进览之㫖臣敢不兢业从事毕力勉图早竣厥事无奈球体广濶工致细密而制圆一法犹巧匠所难是以冶铸镂刻动经岁月有非一人一手所能猝办者今幸业已就绪旦晚进呈御览伏乞勅下该衙门拨给人夫舆运仍乞指定安置何所以便择吉恭进臣于此尤有请焉我皇上事事求真处处务实则此勒之金石登之大内者其欲传信不欲传疑也必矣乃等所列星座俱皆有噐可测有象可凴一一依经纬㸃定与旧图原自不同如旧所载天庙称其在张宿下十有四星所载噐府亦称其在轸宿下三十二星等类今按之寔测㣲渺难窥匪噐可测臣何敢以漫无可测之星而轻图之也又如团圆十三之天垒城今测之仅见其三团圆十三之军市今测之亦仅见其五甚且人星本三也而旧绘以五天廐本三也而旧绘以十诸如此类难以枚举臣又何敢依様葫芦而狥此耳食之见乎且有昭然显著之星旧图原未尽载者兹且悉为测定增入但縁旧未有名今亦第以增等别之然而恭绎明纶一切星象不可遗漏臣等再四思维星球之制但取合天何嫌同异且从古及今天文各家代有更易何独拘泥成说而疑于今日乎益以见我皇上大圣人之作用超出前代万万矣所有用过钱粮容臣另疏奏销统候圣裁崇祯十年闰四月初一日具题初四日奉圣㫖是著于中正殿安余知道了该衙门知道内官监启奏奉圣㫖进西安门走元武门赴中正殿安制噐督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为遵㫖恭进仪噐事先该臣于崇祯九年五月初五日奉钦传着臣局造星球一座来进臣当督率在局官儒星夜鸠工庀材如法造完随于崇祯十年闰四月初一日题为遵㫖制噐告竣等事一疏本月初四日奉圣㫖是着于中正殿安余知道了该衙门知道钦此钦遵行据钦天监择于闰四月二十四日壬戌宜用辰时安置吉臣即移㑹内灵台如期启奏仍移行工部营缮清吏司㑹同内官监拨给人夫舆进臣谨于是日同两逺臣督率各官儒恭诣中正殿相度方向如法安置臣窃以此星球也非同前者星日二晷仅取审定时刻未免借资星日固当置于殿陛之前兹球则列宿森罗一转移之顷或昼或夜而一时之天象灿于目前自是御用重噐宜安置殿中庶便皇上之御览亦免风日之剥蚀而不宜与二晷并列者也又谨将前所进浑天仪说摘其与本噐相闗者彚为一册名曰星球用法按法运仪以求七政之经纬群星之出没于推歩占验有大用焉外此尚有黄赤经纬全仪为用甚大需费无多容臣等如法制造恭进以与日星二晷并列东西庶测量诸噐尽置内廷而钦若大典我皇上手握玑衡非若前代徒托之空文者比也统候圣裁崇祯十年闰四月二十一日具题二十五日奉圣㫖知道了其黄赤经纬全仪着制造进览该部知道钦天监监副周𦙍谨奏为圣主留神钦若㣲臣敬循职掌敢献一得之愚以仰佐早襄厯法之明㫖事臣世叨国恩备员监末其职之所司惟知厯法一事独念年逺数盈积久渐差自宜随时修改无奈才识短浅成法是遵虽知有差不敢妄自损益延至我皇上龙飞之二年五月朔日食时刻稍差颁谕切责臣等措躬无地随经具呈礼部恭请修改伏蒙谕允勅命故辅臣徐光启督修叅用西法广集众长博访知厯人等臣随奉文送局令与访举诸臣一体讲究立成诸表缮冩进呈此时因书籍未备新法意㫖尚未窥其籓篱祇见仪式精详推测简㨗复蒙辅臣徐光启疏请传习业奉有督教劝惩等事依议行之㫖臣即协同臣监厯官贾良栋等在局供事官邬明著等天文生朱光大等专候学习嗣因臣监为遵㫖回奏一疏复奉有该局既有新法着行习学之㫖臣等敢不勉励以期速成但縁督修厯法李天经本意以为厯法之失传由于习其法而失其所以然之理必先讲明其理方授其法是以年来止讲完日躔月离两法果为精密其五星交食犹为修证要着虽騐之伏见皆合臣等尚未经手自行推算若仍照前讲究再假岁月尚不能完何以仰副我皇上早襄厯法之㫖据臣愚见不若容臣公同督修厯法臣李天经率所属官生先从逺臣罗雅谷汤若望学习其法使推算应手然后课其勤惰具疏上闻勤者量示优异惰者即为戒惩诸法学完之日即当申报礼部恭请颁行庶大典得以刻期早襄而皇上钦若至意可以仰副矣臣等职司厯法且因奉㫖习学固不敢溺于旧闻而偏执己见亦不敢遽以未达而妄意担承以负我皇上敬慎上天至意伏乞勅下该局遵奉速为尽法传习报完令臣等推算合天颁布天下成千秋之旷典作一代之宏谟臣等曷胜庆幸奉圣㫖该部知道崇祯十年九月督修厯法山东按察使司照京官例正三品支俸臣李天经谨题为交食届期测騐宜明伏乞圣明勅令各法同日报进临期仍冀内廷亲騐以一是非以定疎密事臣以一介外吏荷蒙皇上特简钦给闗防命臣督修厯法事务其一切厯法事宜臣该得而直陈之一切言厯诸人臣该得而覆騐之但縁臣以孤孑之身膺兹千秋巨任故操异议者遂分门角技借势倾排无所不至窥其立意不但欲挠臣局已成之法并欲驱臣局任事之人而后可结彼欺诳之局以塞修完备考之责至于屡疏诋诬而臣寜以缄黙自守不屑与较者非惟自爱其鼎恃有圣明在上公论在人天象昭垂事久论定何屑与之角口舌哉且明知若辈于厯法实无所学终难结局故尔藉势影射横行无忌冀人一有指摘遂加人以嫉忌之名而彼得巧缷其欺㒺之罪故臣自任事以来惟知埋首著述推测考騐以图报称前后共译算过厯书一百四十余卷制过新式仪噐十数种并恭进乙亥丙子丁丑叁年七政经纬凌犯诸新厯见在御前是臣局厯法已于乙亥年告成矣其颁行事宜惟俟圣明裁夺目今正在奉㫖制造黄赤经纬全仪并推译有书数种可以刻期报竣其戊寅年七政经纬等新厯已在缮写不日恭进昨又于本月二十日准内灵台亲送出本日传奉圣㫖西洋逺臣进到星球有蛇鸟小斗等星有无占騐着灵台官去问钦此除蛇鸟等星性情占騐已经移㑹灵台官囘奏讫臣一面督同逺臣罗雅谷汤若望等细将各星有闗徴应者著为天文实用一书次第进览以仰副我皇上精心象纬厘正钦若敬授德意所有本年十一十二等月阴阳两食例应先期上闻第因另局之蒋所乐等借今岁元旦日食荐边大顺率领其另局至期不騐而边大顺遂安分引退今又借夏至日景荐郭凝之率领其另局奉有郭凝之果否淹通厯学并着核騐奏夺之㫖续因部覆复奉有仍俟交食公同部司监局等官测騐据实奏夺之㫖恭绎明纶是欲于交食之际令各官公同以测騐凝之之法抑令凝之公同各官以为测騐之人乎凝之乃执公同两字疏中每脱缷其推算之责自许以测騐之任矣此无论于核騐果否淹通之明㫖大不相侔且既为另局引荐之人安望有虚中无着之见是不任算固无以显其所学而徒任测又何以服臣等之心耶且臣所惴惴惧者不但此也今岁元旦日食另局谓于法实为不食臣局报食一分有竒至期臣法果騐百官救䕶众目难掩且续奉有边大顺等所推日光㣲侵秒数测騐未符之㫖而所乐等尚妄奏为云掩日体大道未明以滋欺溷而此畨交食臣又不得不为鳃鳃过虑焉伏乞圣明勅令另局门人并郭凝之将日月两食各出已法与臣局同日报部一齐封进以防其依傍那移之弊临期仍冀皇上将内庭日星二晷依法测騐以定疎密傥有不行推算而支吾推诿致覊测騐者即律以欺诳之罪庶大典不为群议所淆而真法亦不为影射所挠矣縁系云云崇祯十年十月二十五日具题本月三十日奉圣㫖该部看议具奏督修厯法山东按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为遵㫖测騐日食敬陈完厯实着伏乞圣明勅令该监诸臣据实奏明以仰副早襄厯法之明㫖事该臣于本年十一月初四日具有恭报日月交食一疏本月十三日奉圣㫖这交食分秒亏复时刻临期按晷考测知道了该部知道钦此钦遵除月食已经騐明回奏奉有这月食时刻新法为近分秒囘囘厯为近余俱疎逺该部通看议具奏之㫖外臣于本月初一日督率逺臣罗雅谷汤若望大理寺副王应遴钦天监博士杨之华黄宏宪祝懋元张宷臣朱国寿孟履吉生儒朱廷枢王观晓宋发王观明陈正谏李昌本等随带臣局窥逺镜等噐公同礼部祠祭清吏司主事巩焴右监副周𦙍厯科灵台等官徐源黄道化李之贵章必传王煜张三才贾良栋周晓陈亮采吴邦㤗刘有庆戈舜年贾良琦朱光显等天文生周士昌李景和张其淳周士泰朱光灿周士萃朱南星等及管理另局山西代州知州郭正中另局生儒蒋所乐林䕃世魏象干杨国荣任选监官安崇吉章必选等齐赴观象台又委天文生朱光大擕带逺镜前赴礼部公同监官潘国祥薛永明左允化等测候臣等登台之后主事巩焴即向在事诸臣申明测騐大意云治厯系国家大典修改数载亦当结局诸人宜虚公纪騐运仪测候两局及该监各用一人庶无偏倚之嫌且云测騐止凴于天象断不敢欺君父以欺天下万世复细阅诸仪详询测法臣等公騐简仪外盘周分十二时每时分为八刻凡初正四刻之下并列初刻者因四刻已尽未及一刻故名为初刻及测至午初四刻之末即午正初刻据台官徐源等报称未几而逺臣罗雅谷汤若望等用逺镜炤看随见初亏众目共覩巩主事执笔亲纪是与臣局所推为合候至未初二刻半逺镜映照见食六分有余随见食分秒退众目皆同礼臣亦亲笔书纪是与臣局时刻分秒俱合候至申初初刻众报复圆随亦亲纪是与臣局所推申初一刻弱者又合然此畨日食各家所报俱各参差不一其中亦有甚相逺者而臣局今岁日月三食俱合于众论不一之日画一于天庶几仰副我皇上钦若之至意矣且臣局七政经纬诸厯已于乙亥年告成屡騐之伏见皆合惟俟测騐今岁交食今交食前月十六夜月食既騐明岁又无交食已蒙圣明乾断疎密倘不于此请乞勅令改定维新则治厯大典终无结局之日即监局诸臣各法疎密本心自明第不肯明以入告者祇因崇祯二年五月朔日食不合初三日奉圣谕钦天监推算日食前后刻数俱不对天文重事这等错悮卿等传与他姑恕一次以后还要细心推算如再错误重治不饶且另局复因八年正月十五夜望月食奉有魏文魁所算初亏复圆俱谬着他自行囘奏之㫖随于囘奏疏内自认一时失算又云丙子丁丑二年尚有六食或明騐不符甘蹈妄言之咎奉有魏文魁既认推算失误姑俟再騐以定疎密之㫖今又屡测疎逺而诸臣未免以惶恐畏咎之心转而生其更端文罪之想然而测騐疎逺亦非诸臣之罪如钦天监因其差讹方请修改疎逺故非其罪而另局诸臣原奉有修定备考之㫖非不欲殚思竭力以期足堪备考及至测騐多至疎逺者盖由于术业技俩仅止于此大抵屡次推算断不能出大统范围又安望其自出聪明以备考测乎故疎逺亦非诸臣之罪总之各家修改皆为国家大典至修正完日无非传付监官令其遵守以尽厥职耳与其听测騐于两局不若专责成于监官臣思该监诸臣世守术业一有差讹輙自修改不敢自文其短想断不肯作左右袒以自取罪戾当今完厯实着惟乞圣明勅令钦天监看详具奏如果谁法为密即当遵守谁法则万年宝厯遂可计日告成矣崇祯十年十二月初二日具题礼部题为囘奏测騐日食事云云主事巩焴呈为叅騐日食事照得本月初一日乙未朔日食本职先蒙堂委前诣观象台云云职仰睇日光初亏于午时初刻食甚未初二刻半复圆未末申初约食将及五分随据灵台各官报称及西洋玻璃逺镜所騐分秒初亏于午初四刻食甚未初二刻五十分复圆未末申初约食六分余理合开报等因到部该臣等看得本月初一日日食时刻分秒已经臣部先期题准御览恭候内廷测騐矣各家离合亲疎圣鉴昭然今据该司及灵台官呈报前来臣部复按以四分有竒为率众议佥同者也既经该司叅验开报相应据实具本云云崇祯十年十二月初三日具题初七日奉圣㫖这日食分秒时刻新局为近其余虽于时刻有一二稍近又于分秒疎逺着即看议画一奏夺钦天监监副周𦙍谨奏为奉㫖据实奏明事臣本年十二月十三日准礼部祠祭清吏司手本内开另局纂修厯法魏文魁男生员魏象干奏为感激天恩剖陈秘法等事本月初八日奉圣㫖魏象干曾否送掲着巩焴及钦天监官据实奏明廪薪不准辞该部知道钦此钦遵除部臣自行囘奏外该臣恭述当日在台始末仰乞圣明垂鉴本年十二月初一日日食臣于是日同部臣巩焴及两局官生公同诣台测騐候至日食将及复圆突见魏象干袖出一掲向部臣投递问其所以则曰日食分秒时刻部臣同臣粗畧一看大扺摹拟新法即对象干言曰凡交食分秒时刻该监俱于半年前预先题奏即两局推算本年日月两食亦于前月先期彚齐投部封进庶便临期考测疎密以服公道今已将近复圆方行投递不亦晚乎象干自觉理屈遂拂然袖去此当日在台送掲先后情事㣲臣不敢隐饰据实囘奏臣不胜悚息待命之至崇祯十年十二月十五日本月十九日奉圣㫖已有㫖了该部知道督修厯法山东按察使司按察使臣李天经谨题为恭进戊寅年七政经纬新厯仰祈圣明独断画一以定厯法事窃照臣于考测缮制之余督同在局诸臣依新法推算得崇祯十一年戊寅岁七政经纬新厯各一册装潢成帙进呈御览伏查臣局新法久已告成未蒙画一通行者盖縁我皇上敬慎钦若至意必欲于推算精详之后尚须取验于天行臣即与部监诸臣随时测騐迄今三载无不密合此非臣之臆说也即该部曾于奏明节气疏内亟称其新法之用天度自确乎其不可易宜有以贴挈壶之心而息保章之讼也然该监亦曾于囘奏测验疏内自谓其测验俱与新法相合而新法用纬度推算更为详密等语且目今日月两食幸蒙圣明洞鉴其臣局新法为近余俱疎逺见在勅部看议画一奏夺诚仰见我皇上神圣天纵手握玑衡于众议纷纭之日而独判疎密于宸𠂻是数百年未有之典原自我皇上肇其始而亿万载永垂之法亦必我皇上考其成伏乞圣明英断则阐千古之厯元成一朝之巨典宝厯维新普天共庆臣惟日望画一于钦定矣縁系云云崇祯十年十二月十八日具题奉圣㫖画一厯法已屡有㫖了所进书册留览该部知道礼部祠祭清吏司主事臣巩焴谨奏为遵㫖据实奏明事本月初九日奉本部送礼科抄出另局纂修厯法魏文魁男生员魏象干奏为感激天恩剖陈秘法愿掲愚𠂻仰佐圣明敬授之大典事等因崇祯十年十二月初八日奉圣㫖魏象干曾否进掲着巩焴及钦天监官据实奏明廪薪不准辤该部知道钦此钦遵臣焴蒙堂劄委于本年十二月初一日同两局及钦天监官前赴观象台测騐日食四家之印图较若列眉各局之开单灿若指掌尔时魏象干亦厕身班行中闻其家传厯学讲求有素似当先期拟定分秒时刻缮进御览次投掲臣部堂官次投掲臣等上台之初待其测騐有凖时方可持为左劵以箝盈庭聚讼之口也乃迟至日亏已完始袖出一掲臣同钦天监官公看大抵掲内开载与新法稍觉符合其为素定猝办俱不可悬揣况臣未奉明㫖未蒙堂批又日食事已告竣不敢擅収事后私掲以附㑹于新法此本日实情实事也至于象干果识精象纬淹贯厯法与否钦天监官知之必稔臣不敢悬揣蒙奏也今奉有着巩焴及钦天监官据实奏明之㫖臣即据实奏明仰祈圣明裁夺施行崇祯十年十二月十九日奉圣㫖该部一并看议具奏督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为各法疎密已蒙睿判画一屡㫖未见钦遵再恳圣明独断早定厯法事窃照治厯明时乃国家之首务而法取合天亦千古之定论今臣局厯法自奉勅修改以来逐年推测交食五星无不合天且书噐久已告成惟候昼一遵行耳去冬日月两食荷蒙圣明内廷亲騐两奉有新法为近余俱疎逺之㫖屡经勅部画一而该部诸臣明知新法合天尚欲曲全另局欲臣局与之叅合㑹通移㑹到臣业经逐欵驳明所云厯法原自浑成迁就割裂不得倘一那移一差尽差而部臣犹以甲可乙否终归纷纭等语模棱具覆以缷怨尤随奉有厯法务求画一前已有㫖该部作速看议具奏之㫖是圣明已洞烛其疎逺者无容与合天者相㑹通明矣又于部臣覆疏内续奉有厯议纷纭尔部须折𠂻画一还着遵㫖确议速奏毋再游移之㫖是圣明亦洞鉴其另局三法自不能一且又悉皆疎逺曾无寸长而于备考奚补似又不待姑俟再騐而决者更明矣煌煌明纶炳若星日想部臣自宜仰体若欲再踵㑹通之故套不惟真伪不分是非倒置有悮大典抑且仰遵圣㫖之谓何闻部臣已于去冬十二月内具覆矣但未审所奏云何诚恐一时之情面难破画一之明㫖未能钦遵且闻伪法者乘机凟奏图逭疎逺之愆百计挠成㒺顾圣明画一之切㫖所幸我皇上离照当空谅宵小终难荧听惟是十二月朔之日食臣局所报食甚在未初二刻半者图疏昭然郭正中见臣法合天疏内揑改臣报未初三刻半而诳陈之又巩主事于分秒亲测六分余书纪见存部疏又改为四分而诳覆之种种欺㒺难以殚述若非我皇上亲騐则臣局新法又几为若辈所朦蔽矣但新法既经屡测皆符画一屡厪睿判其阻挠而欺㒺者尚若是游移而不决者又若是后即再测不过总此机局臣于此时倘不请乞圣明大奋乾断钦定画一则厯法终鲜结局之日不几有负我皇上屡颁画一之严㫖乎伏查钦天监旧例如十二年民厯应于十一年二月初一日进様四月初一日颁布刋刻且今稍一蹉跎其期遂悮将必以我皇上亲测有不足凴而画一终无底止臣所以亟亟叩阍者此也总之画一之法惟取合天者而遵用之今新法既已合天惟乞圣明勅令该监诸臣以后照依新法推算通行庶嫉忌消而元黄息则敬授大典不致久承讹舛而万年宝厯亦为之焕然一新矣崇祯十一年正月十二日具题十九日奉圣㫖已有㫖了督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸臣李天经谨题为逺臣尽瘁身殒优赉屡㫖久虚恳乞勅部速覆以酬前劳以慰忠魂事切照修厯逺臣罗雅谷者系原任督修厯法故辅臣徐光启于崇祯三年五月内因逺臣邓玉函病故修厯乏人具疏上请内称访得诸臣同学尚有汤若望罗雅谷二臣者其术业与玉函相埒而年力正强堪以効用伏乞勅下就便移文敦谕二臣并行所在官司资给前来庶令人出所长早奏厥绩等因本月十九日奉圣㫖厯法方在改修汤若望等既可访用着地方官资给前来该衙门知道钦此钦遵随于本年七月内据河南开封府知府袁楷具文资给罗雅谷前来本月初六日故辅臣徐光启题奉圣㫖罗雅谷准朝见供事该部知道当经朝见赴局供事九载于兹公同逺臣汤若望等譔成厯法书表一百四十余卷缮制新式仪噐十数种见在御前且于数年以来指教䑓官呕心沥血其日躔月离虽已传授习熟几于颖秃唇焦臣与辅臣曾已屡疏列名首叙叠奉有纪录酌议之㫖在部未经议覆复于九年七月内奉有罗雅谷等即着随营指授有功从优叙赉之㫖两臣即登陴指授嗣因城守叙劳复奉有罗雅谷等修厯演噐著有勤劳自当从优叙赉之㫖兹无论一时同叙之大小文武臣工俱膺擢升秩级即捐助如吴守义者亦荷勅赐建坊奖励祇因两臣守素学道不愿官职已经礼部题准各给房一所田数顷谕允在案而两臣又苦于书役之谿欲难餍豪强之覇占可虞为是具疏控辤复荷圣明不忍冺其前劳仍勅礼部另议两臣翘首望恩已成隔岁有本局博士等官不忍坐视向隅乃于今春二月间具呈礼部堂司已批即题随经祠祭司郎中何三省循例具稿每人每月各给汤饭桌半张廪米一石并纂修酒食等项以见朝供事之日为始照例补给向后仍令闗支等因呈堂批行臣等伏念两臣自任事以来每日止共领光禄寺下程银三分米四合清苦奚堪且以造厯未成如魏文魁者生叨汤饭殁邀秩级之外尚蒙照前补其俸廪父子沾恩而谷等造厯有成守城著绩两奉有优赉之㫖较之自应加优况若各给田房价值奚啻数千金今每人补给汤饭为数不多即每月各补一张在圣恩或弗靳予岂意复逾一月尚未题覆至厯法名仍大统新局推测屡近明㫖昭然其所以旁求更正一节曾未见该监虚心商及于臣仅见其通同妬嫉仍蹈游移之故辙而不遵画一之屡㫖尚尔侈言再测狃旧惮新正嗟颁布无期河清难俟而逺臣罗雅谷又以积劳成疾忽于三月十三日一旦溘然长逝矣然此臣之忠懐素蕴学术渊㣲推测不惮于燠寒著作奚分乎昼夜以致年未艾而须髪早白甘贫淡而面鹄形鸠气息奄奄既已致身于盛世而遗骸之埋瘗不无有望于深仁伏乞圣明勅下该部即如所议速为题覆俾汤若望之生者得以资其朝夕而罗雅谷之死者得以充其殡埋庶我国家泽枯之德与柔逺之仁足以逺播于遐陬而两臣修厯与城守之㣲劳亦不致终归冺灭矣臣于此又有请焉伏查臣局厯法书噐久已告成业蒙圣明判断画一将疎逺者散遣囘籍差悮者准令更正独留新法之推测屡近者存监学习今罗雅谷虽已物故而交食七政经纬与夫气节晦朔弦望等项臣局各官俱素娴推算然教习台官不无赖于逺臣汤若望也此臣厯学专门精深博洽足以办此但苦一人之精力有限又有本等道业诚恐指授与旁通两事难以独肩自称若望同学见有汪尔斐者推测素谙年力正壮堪以访用伏乞圣明勅下容臣移文所在官司资给前来共襄大典其于治厯明时不无小补矣至若逺臣罗雅谷殁于王事万里孤魂不堪归榇见有例玛窦之利可援其㑹典亦有成例可考优䘏特典出自圣裁非臣之所敢擅议也崇祯十一年三月十八日具题二十四日奉圣㫖该部看议速覆礼部题为遵㫖酌议恭请圣裁事祠祭清吏司案呈案查先该本部题覆修政厯法逺臣罗雅谷等奏为圣明柔逺过渥㣲臣图报未遑谨预辞谕允田房以表忠荩事等因崇祯十年九月十七日奉圣㫖罗雅谷等奏辤田房不必再行查给该部还另议具奏钦此钦遵抄部送司随准督修厯法山东按察使李天经手本开称城守叙录谷等幸叨优叙但縁两臣不愿官秩题准查给田房具疏控辤既蒙勅部另议可不亟为另行措处给与两臣自行搆置仍一面比照乡民吴守义等见行事例题请建坊奖励等因在案又经移文厯局备查两臣来京修厯日期去后续据李天经手本内开逺臣罗雅谷自崇祯三年七月初六日见朝供事逺臣汤若望自崇祯三年十二月初二日见朝供事迄今已及八载每日止领光禄寺下程银三分米四合似未足供日用清苦堪念既奉另议之㫖相应题请囘覆前来正在查议题覆间又该督修厯法山东按察使司按察使照京官例正三品支俸李天经为逺臣尽瘁身殒等事云云非臣之所敢擅议也等因崇祯十一年三月二十四日奉圣㫖该部看议速覆钦此钦遵抄出到部送司所据逺臣罗雅谷已经物故请乞优䘏一节即已行查主客司今据手本内称备查卷案无凴稽考囘覆前来随经移文厯局确查前疏所引逺臣利玛窦等䘏典成例系于何年月日题覆备录过司以凴议覆去后续据修厯按察使李天经手本开称该本司备查利玛窦优䘏原疏系万厯三十八年四月二十三日本部署部事左侍郎吴道南主客司郎中林茂槐等题给葬地奉圣㫖是随经署府事府丞黄吉士查给阜城门外二里沟籍没私剙佛寺三十八间地基二十畆付窦茔葬此前疏所引之成例也复查大明㑹典内一欵凡外使病故如系逺臣未到京者本部题请翰林院撰祭文所在布政司备祭品遣本司堂上官致祭仍置地茔葬立石封识到京病故者行顺天府给棺祠祭司谕祭今罗雅谷正与典例相符且系奉召来京又兼修厯演噐屡著勤劳两奉有优赉之㫖未及叨恩而身先物故例应破格优䘏但据逺臣汤若望呈称望等俱系守素学道之人生既不敢萌服官之荣想死亦不敢邀逾分之荣施惟乞题补汤饭酒食银两俾生者得以资其朝夕殁者得以充其塟埋令彼自行茔搆仍冀比照吴守义见行事例勅赐扁坊听其自行置办则见我国家一字之褒荣逾华衮庶于劳勚酬而泽枯柔逺之仁渥矣等因通查案呈到部看到西洋逺臣罗雅谷汤若望城守効劳部院题叙奉有罗雅谷等修厯演噐著有勤劳自当从优叙赉之㫖随经本部议给无碍田房又经两臣具疏控辤奉有田房不必再给另议具奏之㫖臣等再四思维各部寺钱粮闗正额者无容议惟隂阳事例银虽交兑在户部与臣部相表里然支给之间殊有未便所未敢轻议酌无可酌随据博士杨之华等呈称逺臣罗雅谷汤若望修厯在局供事迄今两 每日止领光禄寺下程银三分米四合不足资其朝夕覆看得光禄寺汤饭一节在朝廷于逺人既有大官饩赡之典而来賔者祇受有名比照魏文魁例查补以优异之随经移查朝见供事日期去后在魏文魁修厯未成业蒙恩赐两臣以万里梯航殚精歩算测騐多合用襄钦若大典且其归忠尽瘁功尤足纪按数补给诚不为过此臣等之初议也随经督修厯法李天经开载罗雅谷汤若望朝见供事俱在崇祯三年间臣等更屈指扣算未免岁计有余积少成多若得按数补给则浩荡出于皇仁使之仰戴中国圣人之高厚而慕义颂德于无穷矣利玛窦优䘏一节万厯三十八年曾经赐给坟地据若望等自称不敢邀逾分之荣其学道守素相应允从不必另议䘏也旁求恭考更正在督修与钦天监俱当遵奉明㫖无滋诿缷可耳汪尔斐协同推测李天经既身任督修厯法之责所举应不谬妄合无听李天经行文所在官司支给前来供事统候圣明裁定勅下臣部遵奉施行縁系云云谨题请㫖崇祯十一年四月二十二日具题二十六日奉圣㫖是汤饭着按数补给不许再延考正学习前㫖已明该监如何不遵汪尔斐不必行取新法算书卷六
## 卷七
钦定四库全书
新法算书卷七 明 徐光启等 撰缘起七督修厯法山东按察使司按察使炤京官例正三品支俸臣李天经谨题为厯法既经画一更正似难久覊再乞圣明严勅该监钦遵明㫖以新万年宝厯事崇祯十年十二月二十七日该礼部一夲为遵㫖看议具奏等事十一年正月十九日奉圣㫖钦天授时大典奉㫖画一该部何得一味游移这厯法著遵㑹典仍旧行大统厯如交食经纬晦朔弦望因年逺有差误者准张守登等傍求参考更正新局推测屡近着炤囘囘科例存监学习李天经等议叙郭正中速赴州任仍赏银二十両纻丝二表里蒋所乐魏象干各赏银二十両纻丝一表里其余的各赏银十両俱散遣囘籍魏文魁厯过俸廪作速查给该衙门知道钦此钦遵臣既奉命督修即宜有所条奏以图速正舛讹上合天道盖缘明㫖原以更正责成该监想该监诸臣自能仰遵屡㫖尽捐成心将数年测騐之实征多人学习之新业依新法与臣等商求更正庶可仰副我皇上蚤襄厯法之盛心尽臣子修政之职分讵意奉㫖四月有余该监并无一语商及于臣祗见帖下臣局各官其中语意与明㫖大相违悖而狃旧惮新之故智与夫妬贤嫉能之情形尽皆显露于笔端各官未敢擅拟具呈到臣随经移文部监囘覆去后复从邸报中见该监一本为传奉等事借端保留踈远散遣之郭正中欲与商究厯法漫图更正等因奉有张守登等何又借端擅请改授显属通同姑不究之㫖煌煌圣语洞烛奸欺其党邪通同之情弊不待指发而自彰明较著于天下矣臣惟静听该监之速图更正以自赎不意复延至四月二十六日续奉有攷正学习前㫖已明该监如何不遵之㫖犹然未见钦遵臣虽识微才短不足以充该监商求之末但谬叨纂督之任一切厯务自宜与闻乃今一则帖下各官一则疏荐踈逺目中已无督修乆矣臣又安能坐视其抗玩游移而不一请圣明之干㫁耶臣查修厯一役缘崇祯二年五月朔日食监推差误特颁圣谕钦天监推算日食前后刻数俱不对天文重事这等错误卿等传与他姑恕一次以后还要细心推算如再错误重治不饶钦遵在监随据该监夏官正戈丰年等呈请修改礼臣特举故辅臣徐光启专𠡠开局该臣相继督修缮制考騐十载于兹逐年推测交食五星节气经纬一一合天无论部监之奏疏可据且钦奉之明㫖昭然即如去冬日月两食各法俱又差至五六刻不等食分亦差至一二分不等幸䝉圣明亲騐两奉有新法为近余俱踈远之㫖复蒙天语独断画一勅令更正是各法踈宻业䝉睿判而考正学习盖已有年该监又何难遵奉明㫖而一更正之如曰未经学习何繇更正且数年以来多官就讲者非一朝习熟日躔月离者非一事岂前此功力尽为无用乎如曰尚须再騐且无论前此之公测可为确据而圣明之亲騐与夫圣㫁之赫严反为不足凭乎总之监官亦知新法推测屡近急宜更正而遵用之乃一段隠情诚恐一更新法并其人俱更故未免以懐禄顾位之私而致悮国家钦若敬授之典殊不知臣局各官数载勤劬仅叨一秩且以一人而兼数科之事以博士而办五官正等官之职屡苦于事烦禄薄不能移亲就养虽奉有纪录议叙之㫖乃或以乞归田里为辞或以请改外任控诉而臣之未准其控诉者盖谓此数臣精通理数洞彻本源可为该监他山之一助且该监诸臣之中仅知推算者不过二三人然不能明其厯理即令精心学习新法恐未能如臣局各官之通透谙练也今各官久奉有议叙之㫖尚未题覆是敢吁恳圣恩伏乞勅下该部查炤去年纪录原题俱迁以推算应得职级公同该监旧官共推新法以襄大典则该监之疑根自释矣伏乞圣明再勅该监诸臣如交食经纬晦朔弦望与夫节候凌犯等项已后俱依新法之推测屡近者推算遵用臣等亦一面尽法传授庶大典得以克期维新而臣等亦不致有负厥职惟在圣明之干㫁诸臣之遵奉已耳原系(云)(云)崇祯十一年五月初三日具题光禄寺卿臣王一中等谨题为遵㫖补给银米事五月二十六日奉礼部劄付内开该本部题修厯远臣罗雅谷汤若望补给汤饭等因奉圣㫖是汤饭著按数补给不许再延考正学习前㫖已明该监如何不遵汪尔斐不必行取钦此钦遵备劄到寺随行典簿㕔查筭据该㕔册报汤饭半卓每月该折银五両五钱又饭食每月该折银二両六钱一分五厘汤若望自崇祯三年十二月初二日供事起至十一年六月终止除折素扣荤外净共该银七百五十二两九钱零八厘二毫饭米一百五十三石二斗九升六合九勺酒米一十三石八斗二升六合八勺以后仍按月闗支罗雅谷自崇祯三年七月初六日供事起至十一年三月十三日身故止除折素扣荤净共该银七百六十三两八钱八分九厘八毫饭米一百五十五石三斗九升三合酒米一十四石一升一合五勺各开报到臣该臣等㸔得汤若望等补给汤饭八载特恩一朝总计积少成多遂有此数业经该部具题奉有按数补给不许再延之㫖臣等敢不祗承但念臣等迩年以来各部借欠频仍库存无几月之经费既不可缺外之解纳更复愆迟不无匮乏可虑臣等夙夜兢兢不敢不务为樽节者也但奉㫖补给出自圣恩臣等又当仰体而恪遵者谨据数上闻恭候命下臣等钦遵给发施行缘系遵㫖补给银米事理臣等未敢擅便谨题请㫖崇祯十一年七月初九日奉圣㫖著遵㫖补给该部知道修政厯法远臣汤若望等奉召入都陛见任事厯年著书阐理创法制仪悉已恭进内庭幸䝉皇上亲测新法屡騐愈审旧法差讹望等每奉议叙特恩每思辞免嗣因丙子岁奉命登陴指授城守叙功部题各给田房以供朝夕复又具疏控辞更䝉圣明不忍冺其前劳勅部另议部覆炤例请补纂修酒饭银米以资赡养仍请钦给匾额旌奖悉荷钦依而酬劳之特典优且渥矣谨从疏稿中撮述其槩以纪一时之隆遇云崇祯十一年吏部覆礼部升授新旧官职疏为遵㫖议叙事文选清吏司案呈崇祯十一年七月二十五日奉本部送吏部抄出礼部署部事左侍郎兼翰林院侍读学士顾锡畴等题前事内开祠祭清吏司案呈到部㸔得修政厯法一事凡数百年一举典至重也厯臣李天经在局任事业已数载宣力成绩班班可纪昨蒙圣明睿照新法为近即奉有李天经等议叙之㫖随经臣部将李天经移咨吏部听其议叙外其修厯官生杨之华等臣部正在察照厯臣原题分别议覆间今复奉新纶即与议叙臣等恪遵屡奉明㫖相应覆核胪列上请如按察司李天经功賛羲和劳勚懋著允宜优叙伏乞勅下吏部察照故辅原题改授京秩速为议覆以励劳臣者也如逺臣汤若望创法立器妙合天行今推步前劳已著讲解后効方新功宜首叙乃道气冲然力辞田房之给祇愿给扁褒异相应允从俟厯成之日另议酬庸之典其次则博士杨之华黄宏宪据督修厯法臣李天经原题推测技艺兼长绘制悉符天度所当优叙今杨之华黄宏宪拟加二级带光禄寺录事职衔仍管博士事又次则博士朱国寿祝懋元据原题称鸠制殊为勤敏任事不避劳怨当并优叙拟加一级量带鸿胪寺署丞职衔仍管博士事又次则大理寺寺副王应遴司厯邬明著博士李次虨等云云至于厯成之日合局诸臣另行优叙在圣明自有浩荡特恩在诸臣倍当黾勉拮据仰副授时大典而非臣等所敢预拟者也伏候命下臣部移咨吏部铨覆施行等因具题崇祯十一年七月二十二日奉圣㫖是吏部知道钦此钦遵抄出到部送司随该本部将山东按察司李天经加光禄寺卿职衔仍支正三品俸管理厯局事俟事竣之日缺补等因具覆十一年八月十九日奉圣㫖李天经修厯著劳加衔支俸仍管局务俱依议钦此钦遵抄出到部送司案呈到部㸔得授时明政国家第一大典厯臣李天经奉㫖议叙改授京秩奉有允㫖则共事诸臣亦应酌量其劳勚而并叙者今礼部将各官议叙前来相应具覆察得杨之华等既经礼部具题该司察呈前来相应伏请合无将杨之华黄宏宪各量带光禄寺录事职衔仍管钦天监博士事朱国寿祝懋元各量带鸿胪寺署丞职衔仍管钦天监博士事王应遴量加大理寺右寺正职衔仍在局供事张采臣量加升钦天监五官司厯仍在局供事朱光大朱光灿周士昌朱廷枢王观晓量授钦天监博士仍在局办事汤若望听礼部给扁破格优异恭候命下臣部行令各官钦遵供事俟厯成之日听礼部另行优叙施行縁系遵㫖议叙及奉明㫖事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十一年十月二十八日具题十一月初四日奉㫖是督修厯法加光禄寺卿支正三品俸管厯局事臣李天经谨题为报完传习新法并恭进己卯年七政经纬新厯以竣大典事切照治厯明时系国家之首务自不宜久袭舛譌向因日食不合特奉圣㫖专敕修改今开局已厯十载书器久已告竣去冬荷蒙皇上内庭亲验奉有新法为近余俱疎逺之㫖钦定画一敕部议覆于今岁正月十九日奉有如交食经纬晦朔弦望因年逺有差误者准张守登等旁求叅攷更正新法推测屡近著照回回科例存监学习之㫖该臣随移文㑹同钦天监堂属各官于六月初三日开讲学习即率同逺臣汤若望等将新法交食七政推测法数一一尽法传授已完其监局学习堂属官生勤敏可嘉积劳已久者容臣听该监遵㫖自为更正后另疏分别题叙以示激劝所有己卯年新法七政经纬行度该臣局官生于学习之余推算缮写恭进御览但查该监推算七政皆厯科五官正等官职业而臣局官生原系奉㫖照例存监者今犹然以司厯博士而办五官正等官之事未免有事繁禄薄之苦及查回回科例于该监内另立一科设有秋官灵台挈壶等官臣以为各官既已见在厯科开俸办事似不必另立一科惟乞勅令该部将臣局推算官生各加推算应得职级公同厯科各官共推新法以襄巨典庶治厯得人而臣工知所勉矣事闗厯法敢因报完传习进呈七政而并及之臣不胜惶悚待命之至崇祯十一年十二月二十六日具题督修厯法加光禄寺卿李天经谨题为代献刍荛以裕国储事微臣蒿目时艰措饷为急每欲于生财一节仰佐司计一筹乃一切屯田鼓铸与夫盐法水利在廷诸臣言之详矣乌容复赘惟于修政厯法之余同修厯逺臣汤若望等遵㫖料理旁通诸务以图报称简有西庠坤舆格致一书窥其大㫖亦属度数之学于凡大地孕毓之精英无不洞悉本源阐发奥义即矿脉有无利益亦且探厥𤣥微果能开采得宜煎炼合法则凡金银铜锡铅铁等类可以取充国用亦或生财措饷之一端乎苐开采一事向者费巨而利微且建议者别有肺肠以致明主所厌闻乃言利者事不典雅又为士人所羞道使此书而为一人之臆说或空言而无据臣曷敢冒昧以荧圣听耶诚闻西国厯年开采皆有实效而为图为说刻有成书故逺臣携之数万里而来非臆说也且书中所载皆窥山察脉试验五金与夫采煅有药物冶器有图式亦各井井有条而为向来所未闻亦是或一道矣去冬臣与逺臣汤若望及办事厯局加衔光禄寺录事杨之华黄宏宪等正在商议翻译恭进比值臣奉㫖坐守朝阳门弗获躬任其事而逺臣汤若望等感恩图报芹曝急公之义正不在臣后故曽于敬献微尘疏内业已题明随因奉㫖再为该监官生传授新法遂不能专意绘制迩者传习已完燃膏继晷谨先撰译缮绘得坤舆格致三卷彚成四册敬尘御览尚有煎炼炉冶等诸法一卷工倍于前匪能一朝猝办如蒙圣明俯采一面容臣督同逺臣汤若望及局官杨之华黄宏宪等昼夜纂辑续进一面勅发各镇所在开采之处一一依法采取自可大裕国储其于措饷不无小补再按逺臣原系守素学道之人不过据理研穷依经纂辑用摅忠悃于万一已崇祯十二年七月初二日具题本月初六日奉圣㫖这坤舆格致书留览余书著纂辑续进该部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为遵㫖制器告竣乞勅择吉舆运以便恭进事该臣于前岁恭进传制星球之时题明本局尚有黄赤全仪为用甚大需费无多容臣等如法制造以与日星二晷并列东西庶测量诸器尽置内庭而钦若大典我皇上亦且手握玑衡非若徒托之空言者比也等因具题奉圣㫖知道了其黄赤全仪著制造进览该部知道钦此钦遵臣即督同修厯逺臣汤若望等及令在局官儒庀材鸠冶但此仪设有南北二极极用龙柱髙擎枢从颔珠而出中载子午一圏圏中络以黄赤二道下施窥测上合天行或昼或夜可以随时运旋而不息也其详悉载本仪用法中綂俟同日恭进御览惟是仪体重大冶铸固难猝成𫔔度动经岁月又兼奉㫖传授该监官生学习新法与夫纂辑利用旁通逺臣等在局指授拮据未免因而作辍兹幸新法传习已完听其遵㫖更正此仪业已就绪旦晚可以进呈伏乞勅下该衙门择吉拨给人夫舆运恭进縁系云云事理臣等未敢擅便谨题请㫖崇祯十二年八月二十三日具题二十九日奉圣㫖是该衙门知道黄赤全仪大龙柱髙四尺九寸五分小龙柱髙二尺子午圏及黄道赤道二圏全径俱广三尺四寸五分其经圏紧居黄赤道圏内全径广三尺二寸三分时盘径广一尺石座南北长六尺九寸濶三尺二寸厚七寸督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为月食事窃照本年十一月十六日己巳夜望月食其食限分秒并起复方位例应先期上闻除大綂回回二厯已经钦天监具题外谨依新法推步诸数逐一开坐并具图像进呈御览临期惟听该衙门照前自行观候奏闻縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯十二年十一月十六日己巳夜望月食食限分秒时刻并起复方位月食三分四十八秒初亏酉初二刻强 东北食甚酉正三刻弱 正北复圆戌初三刻半 西北计食限内凡九刻食甚月离黄道实沈宫一十八度一十八分为参宿初度九十分食甚月离赤道实沈宫一十六度五十七分为毕宿一十五度三分食甚月离纬度距黄道南八十一分各省直食甚时刻南京应天府福建福州府酉正三刻山东济南府酉正三刻山西太原府酉正一刻强湖广武昌府河南开封府酉正二刻弱陜西西安府广西桂林府酉正初刻半浙江杭州府酉正三刻半江西南昌府酉正二刻广东广州府酉正一刻半四川成都府酉初三刻强贵州贵阳府酉正初刻强云南云南府酉初二刻强崇祯十二年九月二十三日具题二十六日奉圣㫖这月食推步法即著该衙门临期照详观候具奏崇祯十二年十一月十六日月食图督修厯法加光禄寺卿支正三品俸李天经谨题为月食事该臣于本年九月二十三日恭报本月十六日己巳夜望月食分秒时刻依新法推算月食三分四十八秒初亏酉初二刻强食甚酉正三刻弱复圆戌初三刻半等因具题随奉有这月食推步法即著该衙门临期照详观候具奏之㫖钦此臣谨遵前此题明自行观候例于是日㑹同修厯逺臣汤若望督率钦天监学习官生刘有庆等赴局登台观候至酉初二刻有竒觇见初亏因星体尚在隠见之间当用新法黄赤全仪以测月体得酉初二刻强初亏少顷星体灿然复用本仪以测毕宿火星亦与前推步相合嗣测娄宿距星及月体俱得酉正三刻弱食甚见食三分余仍如前窥测至戌初三刻余觇见复圆其时刻分秒与臣局推步之法一一相符此当夜测验情形相应据实奏闻再照钦天监推算及观候各官凡遇交食必先期开列职名移送内灵台听其至期奏请酒饭今新法已蒙圣明钦定画一其本局推算观候各官亦应照例奏请除已将各官职名移送内灵台一体启奏外理合一并题知縁系月食事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十二年十一月十七日具题二十三日奉圣㫖礼部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为遵㫖恭进仪器事先该臣于前岁恭进传制星球时题明本局尚有黄赤全仪为用甚大容臣等如法制造以与日星二晷并列东西庶测验诸器尽置内庭而钦若大典我皇上亦且手握玑衡非若徒托之空言者比也等因具题奉有黄赤全仪著制造进览该部知道之㫖钦此臣即㑹修厯逺臣督率在局官儒如法制造已完随于崇祯十二年六月内为遵㫖制器告竣等事题奉圣㫖是该衙门知道钦此钦遵臣惟仪体重大兼之晷短途遥必须先期舆运相度另日安置庶不致有悮吉时行据钦天监择于本年十一月初八日辛酉卯时舆运暂贮内官监本日随赴中正殿相度方向预砌台基十一日甲子宜用午时安置吉除臣抄录用法㑹知内灵台并移行工部营缮清吏司至期拨给人夫舆进外仍即移行内官监预为启奏臣于初八日㑹同内官监及修厯逺臣督率在局官儒恭诣中正殿相度方向至十一日仍如前㑹同安置敬将黄赤全仪用法录成一册附尘御览则于交食时刻与夫七政躔度及列宿相距度分俱可按仪窥测上合天行庶克仰副我皇上留神钦若敬天勤民之至意矣縁系云云事理未敢擅便谨具题知计开黄赤全仪用法一册(并套)崇祯十二年十一月二十八日具题督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为恭进庚辰年七政经纬新厯仰祈圣明鉴詧勅部一并议覆以定厯法事窃照臣于攷测缮制并传习新法之余督同在局诸臣依新法推算得崇祯十三年庚辰岁七政经纬新厯各一册装潢成帙进呈御览但其中躔度经纬气朔置闰一一皆依天度推步故种种与旧法迥殊今书器俱已告竣亦可以仰副圣明留神钦若之至意矣该臣正在督率推步之际于十月内准礼部手本开称诰勅房加衔大理寺右寺正王应遴条陈厯议八欵奉有奏内事情著该部查议具奏之㫖随经礼科叅看得钦若昊天帝王盛轨我皇上惓惓治厯明时亦既先后同揆矣今据王中书厯议八欵其所言譌舛有至一日二日者及以数十刻计者即一欵而余欵可知向来钦天监所司何事且考之厯法亦从无至数年而可执不变通者抄出速之等因移㑹到臣该臣查得修厯一事縁因旧法差譌勅谕修改幸蒙我皇上内庭亲验新法为近余俱疎逺钦定画一勅令学习更正臣亦不过修订成书尽法传授以结臣局至于更正一节原奉有如交食经纬晦朔弦望因年逺有差误者准张守登等旁求㕘攷更正之㫖已两载矣应否更正该监自当仰遵非臣所得而强也且经科臣抄㕘到部更正自难再延今厯局书器已完传习复经报毕奉㫖精通又逾半载倘不于此时再请圣明独断勅部据实查覆则厯法无更正之期修厯无结局之日而蹉跎岁月虚糜廪禄尤非臣谊之所安也所有本局已完事宜容臣另疏奏缴縁系云云事理未敢擅便谨题请㫖计开七政经纬新厯一套崇祯十二年十二月二十八日具题十三年正月二十一日奉圣㫖这新厯即著该部据实查奏督修厯法加光禄寺卿李天经为恭进庚辰年七政经纬新厯等事据本局办事官儒等呈称职等于正月三十日奉礼部提督杨行令职等即将庚辰年正月四月备查某月有中气无中气各自推算某月当闰具文前来以凭呈堂回奏施行等因行查到局该职等逐一详查新旧推步原有日度天度之异如旧法之用日度者以太阳自今岁冬至起至来年冬至止行三百六十五日二千四百二十五分而满一周天则名为岁实以此岁实用二十四平分之得一十五日二千一百八十四分三十七秒五十微为一气策以本年冬至为主累加气策即得一年二十四节气殊不知日行有盈缩一岁之中盈缩递换岂可刻舟而求如冬至行盈太阳一日行一度有竒故自冬至迄夏至旧节气恒后天一二日不等夏至行缩则一日不及一度故自夏至以迄冬至旧法节气恒先天一二日不等则旧法之用日度者自不合于天也明矣如新法则用天度逐日推步太阳细行视满十五度方交一节实为在天之真节气其厯日之多寡均不论也故盈缩始平而时叙不舛且崇祯九年间曽经本局回奏雨水一疏奉有奏内称论节气有日度天度之异即以春秋分为证之㫖复经本部于九年内为回奏测验节气一疏亦云其所称天度于春分已逾二度于秋分不及二度者自确乎其不可易宜有以贴挈壶之心而息保章之讼也等因具题随奉有节候公测既明之㫖是旧法节气之差递年公测题疏厯厯在案且屡奉之明㫖炳若日星天语煌煌谁敢蒙溷此亦理之确有的据者也至若置闰之法新旧俱以无中气者为闰月葢所为中气者一岁有十二月每月各有一节各有一气如立春正月节雨水正月中惊蛰二月节春分二月中清明三月节榖雨三月中立夏四月节小满四月中是也如一月之中止有一节而无中气即为闰月按今岁庚辰年旧法推正月后一月止有惊蛰一节而无春分中气故为闰正月也即以彼法考之旧法原有四正定气论四正定气该在正月后一月之二十八日交春天而不肯明言者恐一认差譌而罪罚随之又奚暇保其爵禄哉故未免以惶惧畏咎之心而坚其嫉忌挠阻之志殊不知旧法之差在法原不在人倘不差譌何烦专勅修改为哉然差而不修积差日逺修而不改修之何益今本寺书器俱已告竣修订业已成厯至于用与不用惟在贵部之据实回复以结此局耳既经本局官生具呈前来相应具文回复为此合用手本前去礼部提督杨处烦为查照来文并屡奉明㫖内事理呈堂速覆施行崇祯十三年闰正月初二日督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸加俸一级臣李天经谨题为遵㫖续进坤舆格致以裕国储事臣报国有心㸃金无术因于旁通十事内采择西庠坤舆格致一端成书三卷于去岁七月内恭尘御览随奉圣㫖这坤舆格致书留览余书著纂辑续进该部知道钦此钦遵窃思今天下之言开采者比比而卒无一效者其法未详也葢开采不惟察寻地脉有法试验有法采取有法即煎炼炉冶其事较难其法较密前所进书虽备他法而煎炼炉冶之法书尚未成既奉明㫖纂辑续进微臣曷敢少缓因即督同逺臣汤若望及在局办事等官次第纂辑务求详明昼夜图维于今月始获卒业为书四卷装潢成帙敬尘御览倘蒙鉴察勅发开采之臣果能一一按图求式依文㑹理尽行其法必可大裕国储所有逺臣汤若望于此格致等书译授局官既费精心覔工图绘亦捐资斧葢感沐圣恩沥诚报效此亦其一也伏祈圣明采纳施行再按臣局供事官生杨之华等向因递年推算交食七政著劳题奉明㫖下部业经礼部于去年三月内将杨之华等六员名比照钦天监五官正品级对品改加外衔覆请纪录随奉有杨之华等俟学习完日果系术精劳著准照例加衔之㫖嗣于去年五月内部监公同试验脗合不差题明在案学习亦于八月内部疏报竣且供事十载积有成劳缮制书器列名御前正与术精劳著之明㫖相符恳乞圣明将杨之华等勅下吏部遵奉照例加衔之㫖察照礼部原题俯赐加衔庶明㫖不致久虚而诸臣之劳绩亦加劝勉矣念系臣局缮书制器人员翘首望恩已逾一载故于进书而并及之谨题请㫖计开坤舆格致四卷(共一套)崇祯十三年六月初二日具题初六日奉圣㫖这续进坤舆格致书留览余著该部议覆督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为遵奉圣㫖造进日晷事本年三月二十八日内灵台传奉圣㫖著厯局李天经等照先进的小牙日晷样造一铜的来进做细制著钦此钦遵臣遂督同逺臣汤若望等鸠工〔？〕铜分线镂刻镀以金液载以檀架造完日晷二具星晷一具恭进御览外窃照先进牙晷形质稍小因限于物料今稍加长濶者庶便于各节气下详载昼夜时刻且前晷中列止可以定节气时刻今则添曲线以定本时太阳距地平之几许髙虽制式稍増而绘法则无异也兹又外添一具者亦名地平日晷则界分二至用实线定本日时刻虚线以定本时距日出之几许刻且各将用法䥴之后面皆测验之器所急须也又将星晷即附在日晷后面兹因铜质稍重倘仍附载于后似难擎仪仰观特又另造一具后䥴用法以便分测日星各有专用也但仪式虽小而成制必藉多人法贵精密而较验必厯时日矧巧匠无几未免躭延惟冀我皇上鉴察之臣更有请者厯法一事久奉有著该部督令监局各官虚心详加考正务求至当以成一代良法之㫖臣局业于三月二十五日㑹同钦天监堂属并礼部提督司官虚心据理已有成议又各具㕘考情形手本送司以凭具覆今已数月矣部覆杳然屡催如故诚知典礼殷繁无暇及此然治厯明时亦似非末务况转盼当进七政之期倘及今仍不速请御定而徒咎臣以言之不早臣宁任受乎是以仰望天语之一申饬之也臣万不得已之情谨因恭进日晷而并及之伏乞圣明勅部速覆以早定千秋大典施行縁系遵奉圣㫖造进日晷事理未敢擅便谨题请㫖计开地平日晷二具紫檀架二具黄绫糊饰套盝二个星晷一具紫檀套盝一具崇祯十三年七月十三日具题十四日奉圣㫖这造进日晷星晷著留览厯法㕘考既有成说礼部作速看议具奏督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为恭进辛巳年七政经纬新厯仰恳圣明钦定以成一代良法事该臣督同在局诸臣依新法推算得崇祯十四年辛巳岁七政经纬新厯各一册装潢成帙进呈御览伏察臣局新法修定成厯业已六载递年公同部监诸臣随时测验无不密合如测验节气礼部疏称新法之用天度者自确乎其不可易宜有以贴挈壶之心而息保章之讼随奉有节候公测既明之㫖如测验五星该监回奏疏内自谓俱与新法相合而新法用纬度推算更为详密随奉有据奏测验星度新法为密之㫖如日月交食荷蒙圣明内庭亲验钦定画一奉有新法推测屡近余俱疎逺之㫖是臣所董修之厯不但修订已完亦且一一符天也明矣惟俟该监遵㫖一更正之但縁该监诸臣既不能修又焉能改故尔蹉跎复逾三载即部臣又且升迁不常又安望其洞悉本源深明厯数者一折衷之故每于回奏疏中屡请两法并存夫岂圣明肇举修改之本㫖乎假令旧法不甚差譌该监宁肯呈请修改又何烦专敕督修为哉差而不修积差日逺修而不改修之何益倘旧法未可尽弃就中更易数端便可速结其局乃躭延日久徒贻旷时之愆者葢臣局修正为该监耳故测验数载徒较彼疎而此密乃更正繇彼未肯舍已以从人况就中若茹若吐情形未敢遽凟天听耳昨又奉有务求至当以成一代良法之㫖该臣详考两法疎密判然实不能迁合傅㑹以结局但既不能迁此以就彼惟有舍疎以用密如交食经纬晦朔弦望及节气七政当遵㫖以更新如神煞宜忌月令诸欵宜仍用旧庶可备一代之良法立万世之章程惟祈圣明钦定遵守是数百年未有之典原自我皇上肇其始而亿万载永垂之法亦必我皇上考其成则阐千古之厯元成一朝之巨典宝厯维新普天共庆臣惟日望干断于圣明矣崇祯十三年十二月二十六日具题十四年正月初四日奉圣㫖这所进十四年经纬新厯知道了李天经还著细心测验不得速求结局本内交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧务求折衷画一以归至当即著礼部详确看议来说督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为月食事窃照本年三月十六日辛卯夜望月食其食限分秒并起复方位例应先期奏闻除大綂回回二厯已经钦天监具题外谨依新法推得诸数逐一开坐并具图像进呈御览再照新旧交食已蒙圣明亲验新法为近余俱疎逺钦定画一是各法疎密圣鉴洞然可勿再验但此畨月食时差四刻且新法所推月出地平业已亏食一分有竒仍祈内庭详验则疎密愈见矣至若更正一事该臣题奉有交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧务求折衷画一以归至当即著礼部详确看议来说之㫖臣惟静听部议不敢有所越陈葢臣曽奉有还著细心测验之㫖所有测过节气理宜奏闻伏察去岁十一月初九日冬至旧推在辰新推在午该臣至期公同礼臣黄家瑞逺臣汤若望及监局官生各用本法测验旧法用圭表测得本日午景长一丈六尺七寸五分依旧法详考本日午景应长一丈五尺九寸余今推测悉乖又安问其辰刻之不差乎新法用象限仪测得午正日髙二十六度三十三分因京师北极髙三十九度五十五分则赤道髙五十度五分冬至日距赤道南二十三度三十二分减于赤道髙应得本日午正髙二十六度三十三分若在辰刻则午正应不止于三十三分是推在午初二刻者悉合也又十四年二月春分旧推十二新推初十至期仍前公同部监测得初十日午正日髙果五十度五分准交赤道实为天正春分当日部臣黄家瑞面询监臣俱称果是初十春分测算既合法自宜更新夫一天岂有两春分之理臣思敬授民时闗系匪轻节气一差闰余乖次则耕耘种植俱失其时倘不大加厘正则舛譌将何极也綂乞圣明鉴定施行縁系月食事理一并奏闻谨题请㫖计开崇祯十四年三月十六日辛卯夜望月食分秒时刻并起复方位月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出见食六分五十秒初亏酉正一刻强食甚戌初三刻半复圆亥初二刻强计食限内凡十三刻食甚月离黄道大火宫五度三十三分为亢宿六度十三分食甚月离赤道大火宫三度四十分为亢宿五度三十一分食甚月离纬度距黄道南六十分各省直食甚时刻南京应天府福建福州府戌初四刻弱山东济南府戌正初刻山西太原府戌初二刻湖广武昌府河南开封府戌初二刻半陜西西安府广西桂林府戌初一刻强浙江杭州府戌初二刻半江西南昌府戌初三刻广东广州府戌初二刻强四川成都府酉正四刻强贵州贵阳府戌初一刻强云南云南府酉正三刻强崇祯十四年二月二十六日具题三月初五日奉圣㫖据奏月食冬至春分等项新旧法种种不合若复承譌袭舛何以治厯授时著便㑹同监局等官虚心推测大加厘正不许仍前彼此争执致悮协时正日之典这本即著礼部从长一并确议具奏不得瞻延新法算书卷七
## 卷八
钦定四库全书
新法算书卷八 明 徐光启等 撰缘起八督修厯法加光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为月食事该臣于二月二十六日恭报本月十六日辛夘夜望月食分秒时刻依新法推算月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出见食六分五十秒初亏酉正一刻强食甚戌初三刻半复圆亥初二刻强三月初五日奉圣㫖据奏月食冬至春分等项新旧法种种不合若复承讹袭舛何以治厯授时着便会同监局等官虚公推测大加厘正不许仍前彼此争执致悮协时正日之典这本即着礼部从长一并确议具奏不得瞻延钦此钦遵该礼部尚书林欲楫左右侍郎王锡衮蒋徳璟郎中黄闰中员外黄景明主事黄家瑞于十四日亲赴观象台十五日赴局详询各法审定仪器以俟临期测验该臣于十六日㑹同礼臣王锡衮蒋徳璟黄景明黄家瑞逺臣汤若望监正张守登监副贾良栋率领监局官生刘有庆等赴观象台测候但察新法所推本日日入在酉正三刻初亏在酉正一刻故月出地平已见亏食当用黄赤经纬简仪等器测得酉正四刻余果见食四分有竒月已髙四度矣仍用本仪候至戌初三刻余见食八分有竒候至亥初二刻觇见复圆时刻分秒及带食诸数一一悉与新法相符此礼臣台官之所目击亲验者旧法时差四刻食少二分且门尚未合业已亏食则所推一更一㸃者更大差谬倘不遵㫖大加厘正其舛错将何极耶盖礼臣之亲验详测正所以仰体我皇上治厯授时之徳意伏乞勅部一并议覆以成一代良法以完协时正日之典缘系月食事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十四年三月十七日具题五月日奉圣㫖礼部覆议具奏督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为日月交食事窃炤本年九月十四日丁亥夜望月食其食限分秒并起复方位十月初一日癸夘朔日食其食限分秒并起复方位例应先期上闻除大统回回二厯已经钦天监具题外谨依新法推步所得诸数逐一开坐并具图像进呈御覧再照臣于本年二月内题为月食一疏内报公同测过节气情形据实上闻三月初五日奉圣㫖据奏月食冬至春分等项新旧法种种不合若复承讹袭舛何以治厯授时著便会同监局等官虚公推测大加厘正不许仍前彼此争执致悮协时正日之典这本即著礼部从长一并确议具奏不得瞻延钦此钦遵随该礼部侍郎王锡衮蒋徳璟员外黄景明主事黄家瑞遵㫖公同监局诸臣亲测过本年三月月食今八月十七日复委司务范方公测秋分是一岁日月交食并四正定气俱以公测而各法疎宻礼臣业已目击亲验矣所是所非理宜据实入告大加厘正庶不悮协时正日之典若复承讹袭舛瞻延不决何以治厯授时不几有负我皇上敬慎钦若之徳意乎伏乞皇上勅令礼臣于此番交食公测后将从前测过交食节气各法疎宻胪列上闻用疎用宻以听圣裁庶千秋大典永定于一朝矣缘系日月交食事理未敢擅便谨题请㫖计开崇祯十四年九月十四日丁亥夜望月食分秒时刻并起复方位月食六分九十六秒初亏丑初二刻弱 东南食甚寅初初刻强 正南复圆寅正二刻强 西南计食限内凡一十二刻强食甚月离黄道降娄宫二十五度三十五分为奎宿八度一十一分食甚月离赤道降娄宫二十四度六分为娄宿初度三十八分食甚月离纬度距黄道北六十三分各省直食甚时刻南京应天府福建福州府寅初初刻强山东济南府寅初初刻半山西太原府丑正二刻半湖广武昌府河南开封府丑正三刻强陜西西安府广西桂林府丑正二刻强浙江杭州府寅初一刻弱江西南昌府丑正三刻强广东广州府丑正三刻弱四川成都府丑正一刻弱贵州贵阳府丑正一刻半云南云南府丑初四刻弱崇祯十四年十月初一日癸夘朔日食分秒时刻并起复方位日食八分五十五秒初亏未初初刻强 正西食甚未正一刻半复圆申初三刻弱 正东计食限内凡一十刻半食甚日躔黄道大火宫一十一度六分为氐宿一度一分食甚日躔赤道大火宫八度三十三分为氐宿初度八十八分各省直食甚分秒时刻南京应天府九分八十一秒 未正三刻弱河南开封府九分一十八秒 未正一刻弱福建福州府八分八十六秒 未正三刻弱山东济南府九分三十秒 未正一刻半山西太原府八分二十三秒 未初三刻强湖广武昌府九分五十秒 未正一刻弱陜西西安府八分九十一秒 未初二刻半广东广州府八分六十六秒 未正初刻半广西桂林府九分三十秒 未初三刻强浙江杭州府九分八十一秒 未正二刻弱江西南昌府九分 未正二刻弱四川成都府九分六十六秒 未初一刻强贵州贵阳府八分八十六秒 未初二刻云南云南府八分六十六秒 午正四刻弱崇祯十四年八月二十日具题二十三日奉圣㫖礼部察议具奏督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为日食事该臣于本月十六日恭报十四日同礼臣监局诸官测得月食时刻分数奏闻于本月二十三日奉圣㫖御前新测即用新法黄赤仪器极凖刻数著礼部覆议来行钦此钦遵臣不胜额手称庆钦仰我皇上留神钦若御前亲测且用臣所进新法之黄赤仪测定极准时刻即古先帝王尧舜之命羲和察璇玑敬授民时者无过于是诚度越百王而〔？〕只千古矣圣㫖所谓极凖时刻诚为极凖而非外庭测验敢望其万一惟有静听部议以凭圣断施行但数日内即遇十月之朔复有日食则臣新法之黄赤仪当必再尘御览矣臣忆进黄赤仪之次日臣局逺臣汤若望并官生人等偕内灵台诸臣俱进大内以罗经小器不足得天上之真子午而别悬挂浑仪定方铜仪等器细加测定方合子午真度用以测时方凖若经稍有动移必仍如法审度而后可否则毫厘或差刻数难定矣今距日食止有数日乞勅内台诸臣传逺臣汤若望等仍擕原器将黄赤仪并地平日晷等再一审定安妥临期兼用新法望逺镜以窥太阳亏甚复圆分秒当复有一极凖时刻以仰副皇上睿览矣臣无任惶悚待命之至崇祯十四年九月二十五日具题二十七日奉圣㫖是著即𫝊在事诸臣仍擕原器如法安妥以候测验该衙门知道吏部题为恳乞遵㫖速覆以便责成以光大典事文选清吏司案呈崇祯十四年二月十五日奉本部送准督修厯法光禄寺卿李天经呈前事内开窃炤治厯明时乃国家之首务从古迄今不但重其事亦且兼重其人其往代成例不暇枚举即如我朝之元统与李徳芳争言岁实消长而元綂遂以博士擢升监正近如修茸效劳之左允和因数月之工亦以博士而升通政司经厯本局官生推测十载成绩昭然递年列名御览七政经纬书册业经礼部比炤钦天监五官正品级对品改加外衔题请纪录随奉有准炤例加衔之㫖昨该本寺题催复奉有该部议覆之㫖目今奉㫖测验伏乞察准炤列加衘之㫖改加五官正对品外衙门职级速赐题覆庶圣泽不致乆悬而大典亦得藉众手告成等因到部奉堂批司察原疏速覆奉此案察崇祯十三年六月十二日奉本部送吏科抄出礼科外抄督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸加俸一级李天经题为遵㫖续进坤舆格致以裕国储事内开臣报国有心㸃金无术因于旁通十事内采择西庠坤舆格致一端成书三卷于去岁七月内恭尘御览随奉圣㫖这坤舆格致书留览余书著纂辑续进该部知道钦此钦遵窃思今天下之言开采者比比而卒无一效者其法未详也盖开采不惟察寻地脉有法试验有法采取有法即煎炼炉冶其事较难其法较宻前所进书虽备他法而煎炼炉冶之法书尚未成既奉明㫖纂辑续进微臣曷敢少缓因即督同逺臣汤若望及在局办事等官次第纂辑务求详明昼夜图维今月始获卒业为书四卷装潢成帙敬尘御览倘蒙鉴察勅发开采之臣果能一一按图求式依文会理尽行其法必可大裕国储所有逺臣汤若望于此格致等书译授局官既费精心覔工图绘亦捐资斧盖感沐圣恩沥诚报效此亦其一也伏祈圣明采纳施行再按臣局供事官生杨之华等向因递年推算交食七政著劳题奉明㫖下部业经礼部于去年三月内将杨之华等六员名比炤钦天监五官正品级对品级改加外衔覆请纪录随奉有杨之华等俟学习完日果系术精劳著准炤例加衘之㫖嗣于去年五月内部监公同试验脗合不差题明在案学习亦于八月内部疏报竣且供事十载积有成劳缮制书器列名御前正与术精劳著之明㫖相符恳乞圣明将杨之华等勅下吏部遵奉炤例加衘之㫖察礼部原题俯赐加衘庶明㫖不致乆虚而诸臣之劳绩亦加劝勉矣念系臣局缮书制器人员翘首望恩已逾一载故于进书而并及之等因崇祯十三年六月初二日具题初六日奉圣㫖这续进坤舆格致书留览余著该部议覆钦此钦遵抄出到部送司又准督修厯法加光禄寺卿李天经手本为移送职名以慿题覆事内开如原疏开载则有光禄寺录事杨之华黄宏宪鸿胪寺署丞祝懋元朱国寿博士朱光大儒士宋发李昌本七员名内杨之华朱国寿俱已物故应听除名希将各官儒对品即改加各衙门职级仍管厯法事务速为题覆施行等因到司案呈到部看得典莫大于治厯法莫妙于推算在局官儒术精劳著优加职衘或亦朝廷鼔舞小吏之微权也该寺疏称厯局供事光禄寺录事黄宏宪鸿胪寺署丞祝懋元博士朱大儒士宋发李昌本以录事等官而办五官正等官事且递年推算交食七政著劳业经礼部题准加衘则炤五官品级改加外衘正与往例相符所请似当允从者及察礼部题准首次叙黄宏宪等炤钦天监五官正等官职级对品改加外衘察五官正系正六品但各官原加职衘与供事年月悬殊今加品级应分差等合无将首叙黄宏宪祝懋元量改加光禄寺大官署署正职衔次叙朱光大量改加通政使司经厯职衔宋发李昌本应加钦天监博士职衔俱仍管厯法事既经礼部光禄寺卿具题该司察呈前来相应覆请恭候命下臣部行令遵奉各供事施行缘系恳乞遵㫖速覆以便责成以光大典及奉明㫖事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十四年十一月初八日具题本月十六日奉圣㫖是礼部题为谨遵屡㫖查议具覆恭请圣裁事祠祭清吏司案呈案察崇祯十三年九月内该本部题为遵㫖考正厯法据实恭报一疏业奉圣㫖厯法原期画一何至今尚无成议这所奏置闰旧法不差大阳躔度旧法于春秋二分各差二日及冬至所推同日时刻互异通著监局诸臣恪遵明㫖各虚心再加考正并律吕候气依法测验具奏钦此随经行文监局钦遵外节准礼科抄出督修厯法加光禄寺卿李天经题为恭进辛巳年七政经纬新厯仰恳圣明钦定以成一代良法事等因崇祯十四年正月初二日奉圣㫖这所进十四年经纬新厯知道了李天经还著细心测验不得速求结局本内交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧务期折衷画一以归至当即着礼部详确看议来说钦此又该李天经奏为恭绎责成之明㫖敬陈部监之情形恳乞圣眀申饬以便折衷并及微臣职业以图报称事内称勅令与臣细心攷究以便折衷等因十四年正月十二日奉圣㫖该部看议具奏钦此又该李天经题为月食事内称伏察去岁十一月初九日冬至旧推在辰新推在午该臣至期公同礼臣黄家瑞逺臣汤若望及监局官生各用本法测騐旧法用圭表测得本日午景长一丈六尺七寸五分依旧法详攷本日午景长一丈五尺九寸余今推测悉乖又安问其辰刻之不差乎新法用象限仪测得午正日髙二十六度三十三分因京师北极髙三十九度五十五分则赤道髙五十度五分冬至日距赤道南二十三度三十二分减于赤道髙应得本日午正髙二十六度三十三分若在辰刻则午正应不止于三十三分是推在午初二刻者悉合也又十四年二月春分旧推十二新推初十至期仍前公同局监测得初十日午正日髙果五十度五分准交赤道实为天正春分当日部臣黄家瑞面询监臣俱称果是初十春分测算既合法自宜更新夫一天岂有两春分之理臣思敬授民时闗系匪轻节气一差闰余乖次则耕耘种植俱失其时倘不大加厘正则舛讹将何极也等因十四年三月初六日奉圣㫖据奏月食冬至春分等项新旧法种种不合若复承讹袭舛何以治厯授时著便会同监局等官虚心推测大加厘正不许仍前彼此争执致误协时正日之典这本即著礼部从长一并确议具奏不得瞻延钦此又该钦天监监正张守登等题为仰遵明㫖据实回奏节气恭候圣鍳事内据厯科夏官正等官左允化等呈称职等不敢不虚心攷正谨按郭守敬之法所推太阳行度春分亦开在本年二月初十日正值昼夜平分之日职等公随礼部提督黄家瑞并在局官生测得赤道平分亦与新法相同厯法所注可攷也惟于十二日为春分者按大綂立法冬至日行盈积八十八日有竒当春分前三日交在赤道实行一象限而适平夏至日行缩积九十三日有竒当秋分后三日交在赤道实行一象限而复平正气盈朔虚积余生闰之法所以与新法不同若以太阳十五度为一气则无积余之数无积余凭何生闰新法所谓庚辰岁闰四月正坐此也臣等再四虚心攷正不敢偏执犹不敢不求至当以仰副圣明钦若至意等因十四年五月十五日奉圣㫖礼部核议具奏钦此又该李天经题本年三月十六日辛夘夜望月食依新法推算月食八分二十一秒月未出已食一分七十一秒月已出现食六分五十秒初亏酉正一刻强食甚戌初三刻半复圆亥初二刻强该臣于十六日会同礼臣王锡衮蒋徳璟黄景明黄家瑞逺臣汤若望监正张守登监副贾良栋率领监局官生刘有庆等赴观象台测候但察新法所推本日日入在酉正三刻初亏在酉正一刻故月出地平已见亏食当用黄赤经纬简仪等器测得酉正四刻余果见食四分有竒月已髙四度矣仍用本仪候至戌初三刻余见食八分有竒候至亥初二刻觇见复圆时刻分秒及带食诸数一一悉与新法相符此礼臣台官之所目击亲验者旧法时差四刻食少二分且门尚未合业已亏食则所推一更一㸃者更大差谬倘不遵㫖大加厘正其舛错将何极耶等因十四年五月十六日奉圣㫖礼部覆议具奏钦此又该李天经题为日月交食事内称随该礼部遵㫖公同监局诸臣亲测过本年三月月食今八月十七日复委司务范方公测秋分是一岁日月交食并四正定气俱以公测而各法疎宻礼臣业已目击亲验矣所是所非理宜据实入告大加厘正庶不悮协时正日之典若复承讹袭舛瞻延不决何以治厯授时不几有负我皇上敬授钦若之徳意乎伏乞圣眀勅令礼臣于此畨交食公测后将从前测过交食节气各法疎宻胪列上闻用疎用宻以听圣裁等因十四年八月二十三日奉圣㫖礼部察议具奏钦此又该李天经题报九月十四日丁亥夜望月食分秒时刻该臣于本日会同礼部主事李含乙逺臣汤若望署钦天监事左监副贾良栋右监副周𦙍率领监局官生刘有庆等齐赴观象台测候用简仪测至丒初二刻果见东南上初亏台官随测随报礼臣登记在案又测至寅初初刻强见食有七分弱候至寅正二刻余觇见复圆随用立运仪测见月体髙有二十四度余此番亏食时刻分秒与新法推算一一脗合若大綂所推每先天二刻而回回则后天不啻五六刻矣是夜天宇清彻人役严肃台官调器部臣秉笔所测厯厯分明有如斯者是可以审疎宻而定厯法矣等因十四年九月二十三日奉圣㫖御前亲测即用新法黄赤仪器极凖刻数著礼部覆议来行钦此又该李天经题十月初一日癸夘朔日食臣于本日会同礼臣李含乙监副贾良栋周𦙍并监局官生刘有庆朱光大等测得是日隂云蔽天日体于薄云中时见日晷等器难以取影帷台上简仪可以线对日体针指时刻为可定焉候至未初二刻日于云薄处果见初亏不待初三矣于未正二刻已见退动则食甚在未正可知食约八分有余又去申初逺矣及至申初二刻五十分已见复圆正所谓三刻弱于新法又合矣本日逺臣蒙礼部𫝊赴本部同测即同本局官生祝懋元等监官贾良琦等测至未初二刻时仰见初亏即报救䕶又用悬挂浑仪于未正一刻半测看日食八分有余又用原仪逺镜测看复圆乃申初三刻也此时凡在礼部救䕶朝臣所共见者若皇上于大内亲测用黄赤仪之影圏以上对日体其所测时刻必有更凖于外庭者想在睿鍳中矣等因十四年十月初八日奉圣㫖御前测验这次日食时刻分秒西法近宻礼部知道钦此又该李天经奏为交食屡测可验明㫖乆稽未覆等因同日奉圣㫖新法已有㫖了著作速覆议来行该部知道钦此钦遵各抄到部送司卷查崇祯十二年十二月内该诰勅房办事大理寺右寺正王应遴奏为欣逢颁厯之恩洊加惊媿修厯之局未了直陈钦天监未遵制㫖阻挠厯事縁由恳乞圣明乾断容造新法厯様仰候鉴裁立完厯局事并歴议八欵定气候正日躔核太阳酌朔朢规年辰删月令削冗尾附交食等因奉圣㫖本内事情该部查议具奏钦此钦遵在案相应察议具覆案呈到部看得古今治厯之家多矣其最精者汉雒下闳太初厯以钟律唐一行大衍厯以耆䇿元郭守敬授时厯以晷景皆称推验之精而晷景为近然用之既乆皆不能无差葢天与日月星辰其体皆动而其最不可测者尝在于秒忽之间推移盈缩圣智不能尽穷故虽以时分刻刻分秒非不致细而差之半秒积以岁月则躔离朓朒皆不合原算此治厯之所以难言也我皇上因监法小差特置西法一局令旧阁臣徐光启领其事随允寺臣李天经逺臣汤若望等与钦天监张守登诸臣觌面讲求逐年推较十余年来如日月交食五星伏见之类臣等厯经会同观测又恭遇御前亦用黄赤仪器亲自临验奉有西法近宻之㫖则新法视监为善固昭然不待辩者守敬成厯时尝言天体难测须每岁测验修改庶几可使如三代日官世专其职髙皇帝精于观天虽用守敬厯而特令刘基召集天下律厯名家者赴京详议复自置观星盘天文分野诸书且革囘囘监而别为一科葢其慎也当时博士元綂成化中邱濬正德中郑善夫嘉靖中华湘万厯中邢云鹭诸臣皆以差讹疏请更正今得西厯与之较验而旧厯之不能不差则守敬固已自言之矣臣部尚书林欲楫向与臣等详察经纬新厯诚如所言交食节气用新神煞月令诸欵用旧未为不可而再四商确有不得不郑重者旧法用日度计日定率西法用天度因天立差旧法用黄道距度西法用黄道纬度虽微有不同然其黄赤仪与守敬简仪仰仪候极景符玲珑立运等仪亦皆相似特守敬而后其徒沿习不察耳自古厯法辄数十年一改逺不具论如汉凡三改厯唐七改厯宋则十八改厯本朝自洪武至今沿守敬厯行之殆三百余年矣小差者惟日月交食时同刻异无大悬绝至置闰之差起于春秋分所差二日而西厯定分之日即旧厯所注昼夜各五十刻之日也在今日西法较宻在异日亦未能保其不差则一番更改良不易言据天经原疏曽请将在局生儒尽收之钦天监以便随时测验将新法暂附大綂以便公同攷证钦奉前㫖亦令监官张守登等于交食经纬晦朔弦望年逺有差误者旁求参攷又以新法推测屡近著照囘囘科例收监学习实为得之似宜请㫖敕下另立新法一科令之专门𫝊习遇交食节气经纬同异据法直陈以俟测验大定而后徐商更改庶有当乎其寺臣李天经及逺臣汤若望中书王应遴新局官生光禄寺署正黄宏宪等累年所进厯书一百四十余卷日晷星晷星球星屏窥筒诸器多厯学所未发专门劳绩积有岁年似宜量加叙录而该监官生学习则有会典按月按季课试严行赏罚之例所当重加申饬者也乃臣等区区之愚犹有进焉厯为敬天授民设也敬天者顺时布令观变警心其所重莫如刑赏授民者东作西成南讹朔易其所重莫如桑农故尧舜之厯以厘工庶绩为钦天而成周之厯以无逸豳风为月令非徒如保章挈壶之流斤斤于时刻分秒之末而已凡厯数始于河图五十有五以十乘之为五百五十以五乘之为二百七十有五自洪武元年戊申距今壬午二百七十五年实为河图中候宜修明礼乐先徳后刑劝民农桑敦崇仁厚以昌扶国脉肇万年有道之长其斯为治厯之本务乎汉儒言明王谨于尊天慎于养人故立羲和之官以节授民事奉顺隂阳则日月光明风雨时节灾害不生我皇上敬天勤民同符二帝知自有敬授精义非臣等迂陋所能测识万一也伏乞圣明裁察施行所有原奉御前发下七政经纬新厯一套相应进缴崇祯十四年十二月具题十五年十二月奉圣㫖另立新法一科专门教习严加申饬俟测验大定徐商更改亦是一议李天经等着量加叙录本内遵天养民为治厯本务知道了该衙门知道督修厯法光禄寺卿支正三品俸臣李天经谨题为恭进壬午年七政经纬新厯事该臣督同在局诸臣依新法推算得崇祯十五年壬午岁七政经纬新厯各一册装潢成帙进呈御览臣谨按本局所推新法诸厯悉依天度起算其节气交宫与夫伏见行度等项皆在天真正之实行度也所有置闰之法首论合朔后先次论月无中气除十三年臣局依天度所推本年四月有闰已蒙圣明洞鉴新法合天众心允服矣兹臣恭进十五年新厯而十月与十二月中气适交次月合朔时刻之前所以两月间虽无中气而又不该有闰葢新法置闰专以合朔为主若中气适在合朔时刻前者是中气尚属前月之晦则无闰若在合朔日时后者则前月当有闰而无疑也今臣等预察得崇祯十六年正月后有闰因正月后止有惊蛰一节而春分中气在次月合朔之后是十六年当闰正月而无疑矣臣惟一代之兴必有一代之厯臣自奉命修改数载已来诸曜皆蒙圣明内庭亲测新法脗合似难枚举即如本年日月两食该臣具有交食屡测可验一疏奉有新法已有㫖了著作速覆议来行之㫖又为日食事随奉有御前测验这次日食时刻分秒西法近宻之㫖至于旧岁十三年恭进新厯一疏更奉有本内交食节气等项用新神煞月令诸欵用旧务求折衷画一以归至当之㫖矣伏察从来督令礼部看议画一及准该监旁求更正明命炳若日星想该部自能一一钦遵以副我皇上钦若敬授之徳意臣等犹冀我皇上详察而乾断焉缘系(云云)事理未敢擅便谨题请㫖计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十四年十二月二十八日具题十五年正月初八日奉圣㫖礼部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为恭进癸未年七政经纬新厯再恳敕部速覆原疏以𢎞大典事该臣督同在局诸臣依新法推算得崇祯十六年癸未岁七政经纬新厯各一册装潢成帙进呈御览臣谨按本局所推新法诸厯悉依天度起算其节气交宫与夫伏见行度皆在天真正实行之度也厯蒙圣明洞鉴内庭亲测屡验新法合天众心允服矣其新法置闰来厯前疏已悉不敢赘陈所有礼部于前岁题为谨遵屡㫖等事一疏专门传习严加申饬之㫖并臣条议一疏俱奉㫖下部已乆尚未题覆伏祈敕部速覆俾各官生得以专意在局𫝊习共推新法以勷巨典以鼔舞在局官生任事之心焉臣复察大綂所推金星于本月十七日在虚八度夕伏不见新法则推至月二十五日始伏二十八日始与太阳合伏臣坐守广宁门时同诸臣于十七以后见日落时金星明明在上去地平甚髙可谓伏否时科臣光时亨素留心象纬者亦同讶金星之未伏而许新法之宻合也敢存此一段以为测验大定之一据云敬因进呈而并及之臣不胜惶悚待命之至计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十五年十二月二十五日具题十六年二月二十二日奉圣㫖这进厯准留览原疏著与速覆其金星合伏日期察该监官何故推测互异著更用心讲习务求至当该部知道督修厯法加光禄寺卿仍支正三品俸臣李天经谨题为日食事该臣于正月十三日具本题知本年二月初一日乙丑朔日食分秒时刻依本局新法推歩日食五分三十秒初亏辰初四刻弱食甚已初初刻强复圆已正初刻半弱并具图像及各省直食甚分秒时刻不同诸数俱已逐一开坐进呈御览矣臣因坐守广宁门预先移会修政厯法逺臣汤若望暨本局供事等官黄宏宪等至日前赴观象台公同测验本月初一日据本局供事加光禄寺署正黄宏宪等回呈到臣开称是日随逺臣汤若望公同礼部主客司员外刘大巩钦天监监副周𦙍及该监厯科天文科五官灵台保章监候博士等官与本局供事加通政司经厯朱光大等在台用本简仪并所携新法赤道日晷测至辰初四刻弱用逺镜映照果见初亏测至已初初刻强果见食甚五分二十余秒测至已正初刻半弱瞻见复圆其日食分秒时刻并起复方位皆与本局新法所推宻合此系公同瞻测较验无异等因偹呈前来即臣同坐门科臣光时亨台臣郑楚勋戚臣李国柱等等官亦用逺镜及新法仪器映照测验一一悉与新法脗合据实具题再祈皇上勅令礼部速覆另立新法科一疏庶便专门传习更正无稽而盛世之大典亦得刻期告襄至于先后治厯诸臣前蒙俞㫖量加叙录日乆未覆更乞勅部一并题覆庶圣恩不致有虚矣敬因题覆日食而请及之缘系日食事理未敢擅便谨题请㫖崇祯十六年二月初二日具题六月二十九日奉圣㫖这日食分数时刻各有异同御前亲测西法多合还与该监细加攷正以求画一前有㫖立新法科量与叙录何未见复行著礼部即行议奏又揭帖日食图进览事奉圣㫖宫中亲测光禄寺卿管厯局事李天经谨题为月食事照得本年八月十五日丙子夜望月食其食限分秒并起复方位例应先期上闻除大綂囘囘二厯已经钦天监具题外所有厯局依新法推步诸数逐一开坐并具图像进呈御览临期惟听该衙门炤前自行观候奏闻缘系月食事理未敢擅便谨具题知计开崇祯十六年八月十五日丙子夜望月食分秒时刻并起复方位月食五分一十秒初亏丑初一刻强 东北食甚丑初二刻半强 正北复圆寅初四刻弱 西北计食限内凡一十一刻弱食甚月离黄道降娄宫四度三十分为壁宿初度七分食甚月离赤道降娄宫三度六十六分壁宿四度八十八分食甚月离纬度距黄道南七十六分各省直食甚时刻南京应天府福建福州府丑正三刻弱山东济南府丑正三刻弱山西太原府丑正二刻弱湖广武昌府河南开封府丑正一刻半陜西西安府广西桂林府丑正初刻强浙江杭州府丑正三刻强江西南昌府丑正二刻弱广东广州府丑正一刻强四川成都府丑初三刻贵州贵阳府丑初四刻弱云南云南府丑初二刻弱崇祯十六年七月二十六日具题光禄寺卿管厯局事臣李天经谨题为测验月食事该厯局新法推步得本月十五日丙子夜望月食五分一十秒初亏丑初一刻强食甚丑正二刻半强复圆寅初四刻弱臣已于七月二十六日将诸数逐一开坐绘图具题是夜督同逺臣汤若望及本局供事官黄宏宪朱光大王观晓宋发朱光显朱廷枢生儒掌乘宋可成李祖白焦应旭前赴观象台公同礼部尚书林欲楫祠祭司主事汤有庆及该监堂属官生贾良栋等用本台简仪测至丑初一刻强已见月体东北初亏甚确嗣后隂云渐布而月体虽为忽掩忽现然食分隠约可窥伹于食甚之际又因隂云宻厚而难于凖测也候至寅初四刻之内云忽开朗月体已见复圆且新法所推土星于食甚时在璧宿初度有竒观之约与月体同度因察大统旧法所推土星则在璧宿七度其与初度相去甚逺在圣明御前亲测自有洞鉴臣等钦遵临期详加测验具奏之㫖理合据实奏闻缘系测验月食事理臣等未敢擅便谨题请㫖崇祯十六年八月十七日具题礼部题为遵㫖具覆事祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出督修厯法加光禄寺卿李天经题为日食事内称本年二月初一日乙丑朔日食奏报所食时刻分秒并请覆叙录在局效劳官生缘繇崇祯十六年六月二十九日奉圣㫖这日食分数时刻各有异同御前亲测西法多合还与该监细加攷正以求画一前有㫖立新法科量与叙录何未见复行著礼部即行议奏钦此钦遵抄出到部送司除日食分数时刻异同之故应听厯局与该监细加考正以求画一其立新法一科业于本年五月初五日已经本部条议具覆奉㫖遵行在案察崇祯十四年十二月该本部题为谨遵屡㫖察议具覆等事钦奉圣㫖李天经等著量加叙录钦遵在案又准李天经呈称本寺自慙占毕谬任董修数载艰辛虽有微绩则叙录何敢仰徼本局累年所进厯书一百四十余卷日晷星晷星球星屏窥筩诸器多厯学所未发专门劳绩积有岁年似应量加叙录悉奉俞㫖在案如修厯逺臣汤若望等譔书制器剏法超伦惟是殚精推测心血为枯不意邓玉函罗雅谷二逺臣遂尔溘先朝露前功难冺理合请予祭葬汤若望首先剏法劳勚年深则酬庸之典似宜破格优赉所有逺臣焚修处所恳请勅建重修扁额字様以便朝夕焚修祝延圣寿仍恳补加光禄寺酒饭卓面半张以资朝夕此亦酧前劳而鼔后效之一议也所有本局供事中书王应遴加光禄寺大官署正黄宏宪加通政司经厯朱光大博士朱廷枢王观晓周士昌宋发朱光显劳绩乆著五官正刘有庆贾良琦劳深绩著所当一体加衘优叙等因通察案呈到部看得督修厯法光禄寺卿李天经创一代之新法正千古之𫝊讹步算既有成劳推测尤多应验心血为枯功绩难冺相应加秩优升合听吏部议叙如逺臣汤若望邓玉函罗雅谷等剏法制器劳勚独先似应优叙汤若望焚修处所应如厯臣所议勅赐重修扁额再加光禄寺酒饭卓面半张以资朝夕然邓玉函罗雅谷既已物故相应优䘏其加衔大理寺右寺正王应遴率领讲求积有岁年新旧异同尤多㕘订钦天监秋官正刘有庆中官正贾良琦谙习新法厯局供事光禄寺署正黄宏宪上林苑监右监丞陈亮采经厯朱光大博士朱廷枢王观晓周士昌宋发朱光显供事年深勤劳颇著各以原官量加一级以鼔后効及察钦天监监正戈承科监副贾良栋周𦙍等率领官生人等在局学习新法俟有成效綂容臣部另行议叙者也相应题请綂候圣裁𠡠下臣部遵奉施行崇祯十六年十月二十七日具题十一月初九日奉圣㫖李天经著吏部议叙汤若望准加给酒饭卓半张邓玉函等优䘏王应遴等依议本内扁额是何字面竟未说明不必行若望仍另行议叙崇祯十六年十二月初二日内阁𫝊奉上谕逺臣汤若望还与他扁额著礼部拟字来看钦此𫝊奉到部随蒙礼部拟字様二副一曰旌忠一曰崇义等因于崇祯十六年十二月十一日具题崇祯十七年正月初四日奉圣㫖着赐名旌忠以示朝廷柔逺优劳至意光禄寺卿仍管厯局事臣李天经谨题为恭进甲申年七政经纬新厯事臣谨按本局所推新法诸厯悉依天度起算其节气交宫与夫伏见行度等项亦皆在天真正实行度分今督同在局官儒推算已完恭尘御览伏乞睿鉴施行窃炤厯局供事官儒効力已乆兹仅聊聊数员崇祯十五年间礼部鉴其辛勤于谨遵屡㫖察议具覆疏内开称十余来如日月交食五星伏见之类臣等厯经会同观测又恭遇御前亦用黄赤仪器亲自临验奉有西法近宻之㫖则新法视该监为善固昭然不待辨者等因具题奉有俞㫖第察本年八月中礼部具题立科事宜又奉有本内朔望日月食如新法得再宻合著即改为大綂厯法通行天下之㫖臣等仰承圣眀钦若至意未敢凟陈原系(云云)事理未敢擅便谨题请㫖计开七政新厯一册经纬新厯一册崇祯十七年正月初二日具题 日奉圣㫖新厯二册著留览李天经督修著劳知道了其供事官生著与量叙该部知道新法算书卷八
## 大测序
大测序
大测者测三角形法也凡测算皆以此测彼而此一彼一不可得测九章算多以三测一独句股章以二测一则皆三角形也其不言句股者句与股交必为直角直角者正方角也遇斜角则句股穷矣分斜角为两直角亦句股也遇或不可得分又穷矣三角形之理非句股可尽故不名句股也句股之易测者直线也平面也测天则圜面曲线非句股所能得也故有弧矢弦割圜之法弧者曲线弦矢者直线也以弧求弧无法可得必以直线曲弧相当相准乃可得之相当相准者围径之法也而围与径终古无相准之率古云径一围三实围以内二径之六弦非围也祖冲之宻率云径七围二十二则其外切线也非围也刘徽宻率云径五十围百五十七则又其内弦也非围也或推至万万亿以上然而小损即内弦小益即外切线也终非围也厯家以句股开方展转商求累时方成一率然不能离径一围三之法即祖率已繁不复能用况徽率乎况万万亿以上乎是以甚难而实谬今西法以周天一象限分为半弧而各取其正半弦其术从二径六弦始以次求得六宗率皆度数之正义无可疑者次求三要法相分相准以求各率而得各弧之正半弦又以其余弧之正弦为余弦以余弦减半径为矢弧之外与正弦平行而交于割线者为切线以他半径截弧之一端而交于切线者为割线其与余弦平行者则余切线也即正割一线交于余切线而止者余割线也以正弦减半径者余矢也总之为八线其弧度分为五千四百每一度分有八线焉合之为四万三千二百率也其用之则一形中有三边三角任有其三可得其余三也凡测候所得者皆弧度分也以此二三弧求彼一弧先简此弧之某直线与彼弧之某直线推算得数简表即得彼弧之度分不劳余力不费晷刻为之者劳用之者逸方之句股开方以测圆者甚易而实是也然则必无差乎曰有之或在其末位如半径设十万则所差者十万分之一也设千万则所差者千万分之一也厯家推演至㣲纎以下率皆弃去即谓之无差亦可故论此法者谓于推步术中为农夫之剡耜工匠之利噐矣测天者所必湏大于他测故名大测其解义六篇分为二卷八线表九十度分为六卷如左
## 卷九
钦定四库全书
新法算书卷九 明 徐光启等 撰大测卷一因明篇第一总论三十二条三角形者一形而三边容有三角也如上图甲乙丙为平面三角形丁戊己为球面三角形三角形各以两边容一角此两边为角形之两腰第三边为角形之底如前甲乙丙形若以甲乙甲丙为两腰则容乙甲丙角(第二字为所指角)乙丙其底也余二同丁戊己亦同各边向一角者名为对角如前甲乙线向丙角者名为对丙角甲丙向乙名为对乙角角以何为尺度一弧之心在交㸃从心引出线为两腰而弧在两腰之间此弧即此角之尺度如上乙甲丙角其尺度则丁丙或戊己皆是其法甲为心其界或近如丁丙或逺如戊巳大测法分圏三百六十为度度析百分(中厯)或六十分(逺西)分或百析为秒递析为百至纎而止(中厯)或析为六十秒递析为六十至十位而止(逺西)圏愈大其度分亦愈大两弧之分数等其圏等则弧亦等其圏不等弧亦不等其不等之两弧名相似弧如上丁丙虽小于戊己而同对甲角即同为若干度分之弧也圏四分之一为九十度有弧不足九十度则其外至九十者名余弧亦曰较弧亦曰差弧如甲丁弧四十度则丁至丙五十度为余弧有弧大于象限(在九十以上)名为过弧如甲乙弧大于甲丁过九十度则丁乙为过弧半圏界一百八十度有弧小于半圏则其外至百八十度者名为半圏之较弧如甲乙弧小于甲乙丙半圏则乙丙为其较弧凡交角俱相等如甲与乙丙与丁皆交角相等(见㡬何第一卷)(十五题)如戊与己亦交角相等角有二类一直角一斜角凡直角其度皆九十斜角有二类一锐角一钝角钝角者其度大于象限锐角者其度小于象限角之余与弧同理(或曰较角或曰差角)有两角并在一线上为同方角并之等于两直角如上甲与乙丙与丁皆是同方两角等于两直角故彼角为此角之较如前乙角即甲之较甲亦乙之较三角形或三边等或两边等或三不等三角形两腰等其底线上两角亦等底上两角等则两腰亦等(见㡬何一卷第五)三边形之三角等则三边亦等三角形之角有二类一为直角三边形一为斜角三边形直角三边形形内止有一直角直角三边形之对直角边名弦两腰名句股(逺西句股俱名垂线互用)(之)斜角形其角皆斜斜角形有二类一曰锐角一曰钝角钝角形止有一钝角锐角形三皆锐角三角形有二类一曰平面上形一曰球上形论平面上三角形 十一条平面上三角形有三种一直线一曲线一杂线大测所论皆直线也凡等角两三边形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似边(㡬何六卷第四题)凡两三角形其角两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等(㡬何六卷第五方此二题为大测之根本不用开 直以比例得之)(法至简用至大也)如上图甲乙丙丁戊己两形甲与丁乙与戊丙与己皆等角其旁各两腰之比例等者十与六若五与三也更之则十与五若六与三也反之则六与十若三与五也凡两形中各对相当等角之边皆相似之边如甲丙对乙丁己对戊而乙戊为等角者即甲丙丁己为相似之边也三角形之外角与相对之内两角并等(㡬何一卷之三十二)如上甲乙丙形之乙甲两角并与甲丙丁角等三角形之三角并等于两直角如上图丁己庚直角与乙角等其甲丙二角并与丁己戊角等平面上三角形止有一直角或一钝角其余二必皆锐角三边形内之第三角为前两角之余角何者为前两角不满二直角故直角旁之两腰其能与弦等能等者谓两腰上两方形并与弦上方形等也(㡬何一卷之四七)此理之用为先得二边以求第三边如甲乙丙形先得甲乙乙丙两边而求第三边法以甲乙三自之为九乙丙四自之为十六并得二十五与甲丙之实等开方得甲丙弦五若先得直角旁之一腰如甲乙三又得甲丙弦五而求乙丙则以甲丙自之得二十五乙甲自之得九相减之较十六开方得乙丙四直角形之两等边有数则其弦无数可推若弦有数则两等边无数可推如上甲乙甲丙各三自之各九并之得十八乙丙上实十八开方得四余实二分之或为八分之二或为九分之二八分之二则大于其真率九分之二则小于真率其乙丙真率无数可得更细分之亦复不尽直角三边形之两锐角彼锐为此锐之余如乙丙二锐角丙为余角为三角并等二直角此二锐应等一直角乙一角不足一直角故丙角为乙角与直角相减之较平边三角形在圏内其各角之度数皆为其对弧度数之半如上甲乙丙形三边等分圏为三各弧俱一百二十度本形之三角等二直角并得一百八十则对弧百二十度倍于对角六十也平面两三角形在圏内同底两形之顶相连成一四边形此形内有两对角线则此形相对之各两边各相偕为两直角形并与两对角线相偕为直角形等如上甲乙丙甲丁丙两三角形在甲乙丁丙圏内甲丙同底其顶乙丁相连成甲乙丁丙四边形形内有甲丁乙丙两对角线以此两线相偕为直角形次以乙丁甲丙两相对边以甲乙丁丙两相对边各相偕为直角形题言后两形并与前一形等其用为先得五线以求第六线(多罗某之法)论球上三角形 二十条凡球上三角形皆用大圏相交之角大测所用三角形之各弧必小于大圏之半球大圏分球为两平分离于两极各九十度彼大圏过此大圏之极此两圏必相交为直角两大圏相交为直角必彼大圏过此大圏之极如甲丙大圏其极乙丁有乙戊丁己大圏过两极其交处如戊如己各成四直角球上角之处必从交引出为两弧各九十度而遇一象限之弧两遇处相去之度即此角之大如甲乙丙球上三角形欲知甲角之大为㡬何度分不得用己庚弧为其尺度必从甲引出至乙至丙各为一象限之弧而戊丁亦大圏之一象限弧也丁戊弧与甲乙甲丙相遇即乙丙弧之大为甲角之大球上角之两边引出之至相遇即两弧俱成半圏而两对角必等如甲乙丙三角形从两腰各引出之至丁则甲丙丁甲乙丁两弧皆成半圏而甲与丁两角等球上三角形有相对彼三角形与同底而对角等即彼形之两腰为此形两腰之余腰(初腰不足一百八十度故后腰为半圏之余)其彼此之同方两角亦等两直角而彼角为此角之余角如上甲乙丙三角形与相对之乙丙丁同乙丙底而甲丁两角等即乙丁为甲乙之余弧丙丁为甲丙之余弧丁乙丙角为甲乙丙之余角(为甲乙丙不足两直角故)乙丙丁角为甲丙乙之余角球上直角三边形或有一直角或二直角或三俱直角球上三边形有一直角者或有两锐角或有两钝角或一钝一锐角如上甲乙丙形甲为直角其乙丙为两锐角乙丁丙形丁为直角其乙丙为两钝角若丁戊己形则其戊为锐角其己为钝角甲戊己形则其戊为钝角其己为锐角球上直角三边形有两锐角则其对直角之直角三边形有两钝角如前图甲乙丙之甲直角与乙丁丙之丁直角相对者是球上直角三边形有两锐角其三弧皆小于象限如前甲乙丙是球上直角三边形有两钝角其两腰皆大于象限而第三弧必小于象限如前乙丁丙是球上直角三边形有一锐一钝角其锐角之相对三角形亦有一直角两锐角如上图丁乙丙三边形丙为直角丁为锐角乙为钝角即丁锐角之相对乙丙戊形其丙为直角(与乙丙丁并等两直角)其乙与戊为两锐角球上三边形有多直角其对直角之各弧皆为一象限如甲为直角乙丙弧对之为一象限余二同(此图为三直角题言多者以该二直角也)球上三边形有二直角若第三为锐角即对角之弧小于象限若钝角即对角之弧大于象限如上丁戊己形丁戊皆直角己为锐角即对己之丁戊弧小于象限甲乙丙形甲丙皆直角乙为钝角则对乙之甲丙弧大于象限球上斜三角形有三类或俱锐角或俱钝角或杂锐钝角球上斜三角形俱锐角者其相对三角形有两钝角一锐角如上甲乙丙形三皆锐角即相对丁乙丙形其乙丙为两钝角丁为锐角球上三边形俱钝角者其相对三角形有两锐角一钝角如上甲乙丙形三皆钝角即相对乙丙丁形其乙丙为锐锐角丁为钝角球上三角形之三角并大于两直角有二直角即大何况一直一钝以上割圆篇第二总论二十六条三角形有六率三角三边是也测三角形者于六率中先得其三而测其余三也(测三角形者止测其线非测其容测或作推或作解下文通用)测三角形必籍同比例法(亦曰三率法)同比例者四率同比例先有三而求第四也故三角形之六率其比例欲定其分数欲明三角形六率之比例其中用弧者最为难定何者圆线与直线之比例从古至今未有其法故三角形何以有弧曰球上三角形其三边皆弧也其三角皆弧角也即平面三角形其可以直线测者三边耳欲测其角非弧不得而弧为圆线无数可测故测弧者必求其与弧相当之直线与弧相当之直线者割圆界而求其直线之分与弧分相当者是也割圆之直线有四一曰弦一名通弦二曰半弦皆在圆界内三曰切线在圆界外四曰割线在圆界之内外弦者直线在圏内从此㸃至彼㸃分圏为两分凡弦皆对两弧一上一下如上图甲乙为弦分甲丙乙丁圏为两分甲丁乙为大分甲丙乙为小分则甲乙弦上当甲丙乙小弧下当甲丁乙大弧正弧者从弧作垂线至全径上如上图从丁作甲乙之垂线若从丁直至戊则为通弦故丁丙为半弦半弦又有二种有正弦有倒弦正半弦是直线在半圏内从弧作垂线至径上分半圏为不等之两分一大弧一小弧此半弦当小弧亦当当大弧(当者为小弧之半弦亦为大弧之半弦)如上图从己弧下至甲乙全径上作己庚垂线分甲丙乙半圏为不等两分乙己弧为小分己丙甲弧为大分则己庚为己乙小弧之半弦又为己丙甲大弧之半弦正半弦从一㸃作两半弦第一为前半弦第二为从半弦又为余弧弦又为较弦又为差弦如前图先论己庚即为前半弦其己戊即为后半弦又为余为较者乙己丙弧九十度乙己不足九十度则己丙为余弧亦为较弧故己戊为其余弦较弦也前后两半弦其能等于半径如上图庚己为前弦当乙己弧己戊为后弦当己丙余弧戊己弦等于丁庚(㡬何一卷三十)(四)则丁己半径上方与庚己己戊上两方并等故云两半弦之能等于半径论曰两半弦互为垂线则己庚丁为直角而对直角之弦己丁上方与勾股上两方并等(㡬何一卷四十七)系直角三边形内有半径亦有一半弦即可求后半弦法曰半径上方形实减半弦上方形实其较即后半弦上方形之实开方得后半弦如丙乙半径十甲乙前半弦六而有丙甲乙直角今求丙甲后半弦其法丙乙自之为百甲乙自之为三十六相减余六十四即甲丙方之实平方开之得八两正弦之较与纪限左右距等弧之半弦等(六十度为纪限)解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其两半弦一为己辛一为丁庚两半弦之较为丁癸题言丁癸较与己壬半弦壬丁半弦各等论曰试作一己子线则丁己子成三边等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子戊同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度其乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与己与全子三角既等两直角(一卷)(三十二)则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等系题两弧各有其正半弦两半弦至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等其前两正半弦之较即后两半弦如前图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半弦己辛简表先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚两半弦相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半弦(此设数半径一万)倒弦者余弦与全数之较本名为矢如上图甲丙径以乙丁正半弦分径为二分一为甲丁一为丁丙其丁丙即乙丁正半弦之倒弦也矢有二有大有小如上图甲丁为大矢与甲乙弧相当丁丙为小矢与乙丙弧相当矢加于余半弦即半径如上图乙己为乙丁正弦之余弦以加丁丙即半径为乙己与丁戊等故切线者弧之外有线为径一端之垂线半径为底线而交于截弧之弦线(弦线者勾股之弦非弧矢之弦也)如上图戊丙弧乙丙为半径从丙出垂线至丁又从乙出线截戊丙弧于戊而与丁丙线交于丁即丁丙为切线与戊丙弧相当也割线者从心过弧之一端而交于切线如上图乙戊丁线为割线与戊丙弧相当也故戊丙弧在三角形内其句为半径其股为切线其弦为割线皆与戊丙弧相当之直线又戊丙一弧其相当之直线有四一丁丙切线一乙丁割线一戊己正半弦一己丙矢定割圆之数当作割圆线之立成表(一名三角形表一名度数表今名大测表)大测表不过一象限古用弦则须半周如上图用弦则乙丙弧必得乙丙弦乃至乙庚弧必得乙庚弦故百八十度之弧必得百八十度之弦也因此术既繁且难后从简便则以半弦当之为各半弦可当上下两弧故不过一象限而足也如上图辛壬半弦当乙壬小弧亦当壬己甲大弧庚己半弦当乙己小弧亦当己甲大弧且一象限之外无切线亦无割线故用半圏之全不如象限之半也大测表不止有各弧之各度数亦有其各分数(欲极详亦可析分为)(十为六也但少用耳)作大测表先定半径为若干分愈多愈细凡割圆四线大抵皆不尽之数无论全数不尽即以畸零法命其分亦不能尽故大测表不得谓其不差但所差甚少不至半径全数中之一耳假如半径为千万表中诸线中不至差千万分之一分自一以内或半或大或少不能无差而微乎微矣故作表中半径必用极大之数最少者一万以上或至百万千万或至万万可也(七位即千万八位即万万)定半径之全数即可求一象限内各弧各度分之半弦以此半弦可求得其切线割线凡半径用数少即差多(如用千则差千之一用万则差万之一)用极大之数即难推(如用万万以上数极繁矣)今定为㡬何则可曰凡半径之数其中之小分与半弧度分之小分大约相等而上之即是中数假如欲测有分之弧问半径应定㡬何分曰一象限九十度毎度六十分则一象限五千四百分又古率圆与径之比例大畧为二十二与七则象限弧与半径之比例若十一与七如上图周二十二四分之则一象限为五又半径七二分之则三又半此二比例有畸零之数故各倍之为十一与七也今用同比例法(即三率法)以象限十一为第一数以半径七为第二数以象限五千四百分为第三数而求得第四数为三千四百三十六故半径分为三千四百三十六则半径之各分略象等于一象限之各分五千四百也故用大数最少一万为与五千相近用此乃可推有分之弧也欲推弧分之秒亦用此法其象限为三十二万四千秒依三率法十一与七若三十二万四千与二十○万六千一百八十二其半径细分与象限之分秒相等而上之必用百万表原篇第三表原者作表之原本也测圆无法必以直线直线与圆相准不差又极易见者独有六边一率而已古云径一围三是也然此六弧之弦非六弧之本数自此以外虽分至百千万亿皆弦耳故测弧必以弦弦愈细数愈宻其法仍由六边之一准率始自此又推得五率此六率皆相准不差但后五率其理难见推求乃得是名为六宗率其法先定半径为若干数(今用一千万)则作圏内六种多边形(俱见㡬何第四卷)推此六形各等边之数得此六数即为六通弦各当其本弧因以为作表原本宗率一 圏内六边等切形求边数㡬何原本四卷十五题言六边等形在圏内者其各边俱与半径等半径既定为千万即边亦千万凡边皆弦也圏分三百六十度此各弦相当之弧各六十度各与千万相当矣相当者千万即六十度弧之弦也如上乙丙圏内有六边等形其半径甲乙既定为千万即乙丙弦为六边形之一边亦千万而相当之乙丙弧六十度宗率二 内切圏直角方形求边数㡬何四卷第六言一线在圏内对一象限为方形边其上方形等于两半径上方形并(㡬何一卷四七)此句股法也故用两半径之实并而开方而得本形边如上乙丙圏内方形甲乙为半径句股法甲乙甲丙上两方并与乙丙上方等即以之开方而得乙丙边今两半径上方形并为二○○○○○○○○○○○○○○(此数为二百万万万)(旁作㸃者万也末○为单数)以开方得其边一千四百一十四万二千一百九十六此为乙丙弧之弦也乙丙弧为四分圏之一九十度则乙丙弦数为乙丙九十度弧相当之数宗率三 圏内三边等切形求边数㡬何十三卷十二题言三边等形内切圏其各边上方形三倍于半径上方形(丁乙方与丙丁丙乙两方等而四倍于于丙丁丙丁形则丙乙为丁乙四之三而三倍)如上乙丙圏甲乙为半径乙丙上方三倍大于甲乙上方即三因半径上方为三○○○○○○○○○○○○○○(此数为二百万)(万万有奇)开方得一千七百三十二万○五○八弱宗率四圏内十边等切形求边数㡬何十三卷九题言以比例分半径为自分连比例线其大分则十边等形之一边如上图甲乙半径与戊己等用自分连比例法(㡬何六卷三十)(称理分中末线)分为大小分其大为丁己与十边形之乙丙边等盖戊己线与己癸等己癸线既两平分于庚则戊己己庚线上两方并与庚戊上方等(㡬何一卷四十七)今以庚戊上方开得庚戊线为一千一百一十八万○四百三十○次减去己庚五百万余六百一十八万○四百三十○即丁己线亦即乙丙弦而乙丙弧为全圏十分之一得三十六度是乙丙为三十六度弧之弦也宗率五 圏内五边等切形求边数㡬何十三卷第十题言圏内五边等切形其一边上方形与六边等形十边等形之各一边上方形并等如上圏内甲乙戊为五边等形甲丙己为六边等形甲丁乙为十边等形题言甲丁甲丙上两方并与甲乙上方等者前言甲丙半径为万万甲丁线为六百一十八万○四百三十○各自之并得数开方得甲乙线为一千一百七十五万五千七百○四弱其弧五分全圏得七十二即甲乙为七十二度弧之度宗率六 圏内十五边等切形求边数㡬何四卷十六题言圏内从一㸃作一三边等形又作一五边等形同以此㸃为其一角从此角求两形相近之第一差弧即十五边形之一边如上图从甲㸃作甲乙丙三边形甲丁戊五边形求得两形相近之第一差为乙戊即十五边等形之一边乃丁乙全差之半其数先有三边形之乙丙一百二十度之弦为一千七百三十二万○五百○八弱又有五边形之戊子七十二度之弦为一千一百七十五万五千七百○四弱则乙庚六十度之正弦为乙丙之半得八百六十六万○二百五十四弱戊辛三十六度之正弦为戊子之半得五百八十七万七千八百五十二两相减余为乙癸得二百七十八万二千四百○二夫乙己半径上方减壬乙六十度之正弦乙庚上方余己庚依开方法为五百万己子半径上方与己辛三十六度之正弦辛子上两方并等依前法亦得己辛八百○九万○一百七十○己辛己庚两相减余为庚辛得三百○九万○一百七十○庚辛即戊癸也既得乙癸二百七十八万二千四百○二今得戊癸三百○九万○一百七十○用句股术求得乙戊弦为四百一十五万八千二百三十四为十五边等形之一边其乙戊弧为全圏十五分之一得二十四则乙戊为二十四度弧之相当弦六题总表边 弧度 弦数三 一百二十 一七三二○五○八四 九十 一四一四二一九六五 七十二 一一七五五七○四六 六十十 三十六 六一八○三四○十五 二十四 四一五八二三四既得全数今推半弧(即半角)半弦弧度 半弦六十 八六六○二五四四十五 七○七一○九八三十六 五八七七八五二三十 五○○○○○○十八 三○九○一七○十二 二○七九一一七新法算书卷九
## 卷十
钦定四库全书
新法算书卷十 明 徐光启等 撰大测卷二表法篇第四既得前六宗率更用三要法作表要法一 前后两弦其能等于半径(图说系法俱见本篇总论第十二条)要法二 有各弧之前后两弦求倍本弧之正弦如上甲戊弧三十五度其正弦为戊己得五七三五七六四其余弦即乙己得八一九一五二○今以此二弦求倍甲戊而为甲丁弧之正弦其法以乙戊半径千万为第一率以戊己正弦为第二率以乙壬余弦为第三率即得壬庚第四率与辛癸等为四六九八四六二倍之得丁癸为九三九六九二四其弧甲丁七十度论曰乙戊己与乙壬甲两三角形比例等则乙己与乙壬等而戊己与甲壬亦等乙己与乙壬等故乙壬为余弦也而乙壬庚乙戊己两形之比例等故第四率为壬庚壬庚与辛癸同为直角形之邉故等又丁壬戊戊壬甲同为直角则甲戊戊丁两弧等甲壬壬丁两弦亦等而丁辛与壬庚亦等故倍辛癸得丁癸也又丁辛壬壬庚甲两形之三邉俱等依句股法得甲庚邉倍之为甲癸以减半径得癸乙为余弦要法三各弧之全弦上方与其正半弦上偕其矢上两方幷等句股术也如上甲丁弧之正弦为丁辛其矢为甲辛此两线上方幷与甲丁上方等系法有一弧之正弦及其余弦而求其半弧之正弦如上甲丁弧其正弦为丁辛余弦为乙辛而求甲戊弧之甲己半弦其法于甲乙半径减乙辛余弦得甲辛矢其上方偕丁辛半弦上方并与甲丁通弦上方等开方得甲丁线半之得甲己为甲戊弧之正弦其数如上甲丁弧三十度其半弦丁辛为五○○○○○○乙辛余弦为八六六○二五四以减全半径得甲辛矢一三三九七四六丁辛上方为二五○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六并之得二六七九四九一九三四四五一六开方得甲丁线五一七六三六○即甲丁弧三十度之弦也半之为甲己半弦得二五八八一九○其弧十五度用前三要法即大测表大畧可作又有简法二题其用甚便但非恒有简法一 两正弦之较与六十度左右距等弧之正弦等(见本卷第二篇)解曰甲乙丙象限内有丙己小弧丙己戊丁大弧丙戊弧为六十度而戊己戊丁两弧等其前两正弦一为己辛一为丁庚其较丁癸题言丁癸较与己壬壬丁两正弦各等论曰试作一己子线则丁己子成三邉等角形何也此形中有子丁壬壬己子两三角形此两角形等又何也子壬同腰而丁壬壬己两腰等则丁壬己壬两直角亦等而丁子子己两底亦等子丁己子己丁两角亦等又丙戊弧既六十度其余戊乙弧必三十度而乙甲戊角为三十度角甲乙庚丁既平行甲戊线截二线于子即内外角等而丁子戊角亦三十度戊子己角亦三十度是丁子己为六十度角也丁与全己全子三角既等两直角(一之三十二)则共为一百八十度于中减全子角六十度则丁己两全角百二十度而此两角既等即各得六十度则此形之三角三边俱等夫丁己己子两线等则己癸垂线所分之丁癸子癸两直角亦等而己癸同腰则丁癸与癸子必等丁癸为丁子之半丁壬为丁己之半全线等则所分必等是丁癸与丁壬等与壬己亦等系题两弧各有其正半弦两半弦至弧之㸃在六十度之左右而距度㸃等则前两正半弦之较即后两半弦如图丙己戊弧六十度丙己弧五十度己戊弧十度丙己之正半弦己辛先得七千六百六十丙丁弧七十度丁戊弧亦十度丙丁弧之正半弦为丁庚先得九千三百九十六今求丁戊弧之半弦其法以己辛丁庚两半弦相减得丁癸较一千七百三十六即丁戊弧十度之丁壬半弦(此数半径设一万)次系有六十度左右相离弧之正弦一率又有其原正弦一率而求其相对之彼正弦其法有二一以大求小一以小求大以大求小者用大弧之正弦与相离弧之正弦相减其较为小弧之正弦(余则称余倒则称倒)以小求大者用相离弧之半弦加小弧之半弦即大弧之半弦如上丁壬离弧之正弦即己壬与丁癸较等为一千七百三十六丁庚大弦为九千三百九十六相减得癸庚七千六六○即己丙弧之己辛小弦反之丁癸较为一千七百三十六(即丁壬离弦)以加于癸庚(即辛己小弦)七千六百六十得丁庚大弦九千三百九十六用此法于象限内先得半弦六十率用加减法即得其余三十率简法二 有两弧不等之各正弦又有其各余弦而求两弧相加相减弧之各正弦其法有二一相加一相减相加者以前弧之正弦乘后弧之余弦以后弧之正弦乘前弧之余弦各得数并之为实以半径为法而一得两弧相加为总弧之正弦相减者亦如前法互乘得各数相减余为实以半径为法而一为两弧相减弧之正弦如上甲乙前弧二十度乙丙后弧十五度总三十五度其差五度甲乙弧之半弦为三四二○二○一其余弧甲丁之半弦为九三九六九二六乙丙弧之半弦为二五八八一九○其余弧乙丁之半弦为九六五九二五八以甲乙半弦与丙丁余弦之半乘得三三○三六六○三八七○八五八以乙丙半弦与甲丁余弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○以相加得五七三五七六三(以下满半收为一不满去之)三七七六五九八以半径为法而一得五七三五七六三即三十五度弧之半弦若以相减则余八七一五五七三九六五一一八以半径为法而一得八七一五五七即○五度弧之半弦此题多罗某所用全弦故说中云半弦而图与数皆全弦然全与全半与半比例等则亦未有异也有前六宗率为资有后三要法为具(资为材料具如器械)即可作大测全表如用前法求得十二度弧之正半弦率而求其相通之他率弧 度 分 用法得半弦数正弧 一二 二○七九一一七(半之) ○六 一○四五二八五(又半之) ○三 五二三三六○(又半之) ○一三○ 二六一七六九(又半之) ○○四五 一三○八九六其余弧 八四 (六度之余)第一九九四五二一九八七 (三度之余) 九九八六二九五八八三○(一度半之余) 九九九六五七三八九一五(○度四十五分之余) 九九九九一四三弧 度 分 用法得正弦数(半其余八十四度)四二 六六九一三○六(半之) 二一 三五八三六七九(又半之) 十○三○ 一八二二三五五(又半之) ○五一五 九一五○一六(半其余八十七度)四三三○ 六八八三五四六(又半之) 二一四五 三七○五五七四(半其余八八三○)四十四 十五 六九七七九○五又用前七率之余弧而求其正弦四八 (四十二之余)第一七四三一四四八六九 (二十一之余) 九三三五八○四七九三○(十度半之余) 九八二二五四九八四四五(五度十五分之余) 九九五八○四九四六三○(四十三度半之余) 七二五三七四四六八一五(二十一四十五分余) 九二八八○九六四五四五(四十四十五分之余) 七一六三○一九又半前七率而求其正弦二四 (四十八之半) 四○六七三六六弧 度 分 用法得正弦数三四三○(六十九之半) 五六六四○六二一七一五(三十四三十分之半) 二九六五四一六三九四五(七十九三十分之半) 六三九四三九○二三一五(四十六三十分之半) 三九四七四三九又用前五率之余弧而求其半弦六六 (二十四之余)第一九一三五四五五五五三○(三十四三十分之余) 八二四一二六二七二四五(十七度十五分之余) 九五五○一九九五○一五(三十九四十五分余) 七六八八四一八六六四五(二十三度十五分余) 九一八七九一二又半前五率而求其正弦三三 (六十六之半) 五四四六三九○一六三○(三十三之半) 二八四○一五三○八一五(一十六三十分之半) 一四三四九二六二七四五(五十五三十分之半) 四六五六一四五又用前四率之余弧而求其正弦五七 (三十三之余)第一八三八六七○六弧 度 分 用法得正弦数七三三○(十六度三十分之余)第一九五八八一九七八一四五(八度十五分之余) 九八九六五一四六二一五(二十七四十五分余) 八八四九八七六又半前四率而求其正弦二八三○(五十七度之半) 四七七一五八八一四一五(二十八三十分之半) 二四六一五三三三六四五(七十三三十分之半) 五九八三二四六又用前三率之余而求其正弦六一三○(二十八度三十分余)第一八七八八一一一七五四五(十四度十五分之余) 九六九二三○九五三一五(三十六四十五分余) 八○一二五三八又半前六十一度三十分而求其正弦三○四五 五一一二九三一又用前三十○度四十五分之余而求其正弦五九一五 第一八五九四○六四已上皆十二度所生之率再用其余弧七十八度推之亦如前法又十二度之弧为前六宗率之十五邉形也其余五形如三边四邉五邉六边十邉形亦如前法作此既毕即大测表之大段全具矣何者首得者四十五分其次为一度三十分又次为二度一十五分如此常越四十五分而得一率乃至九十度皆然所少者其中之各第一以至四十四分也今欲求初度一分以至四十五分如何其法以四十五分弧之半弦一三○八九六用第二第三法半之得二十二分三十秒之弧其半弦为六五四四九又半前弧得一十一分一十五秒之弧其半弦为三二七二四半夫二十二分三十秒之前弧倍于一十一分十五秒之后弧而前半弦亦倍于后半弦盖繇初度之弦与弧切近畧似相合为一线故也则用同比例法(即三率法)以二十二分三十秒之弧为第一率以其半弦六五四四九为第二率设十分之弧为第三率而得第四率为二九○八八再用此法得一分之弧为二九○九弱既得一分即用前法推之可至一十五分此外更用前三要法推之以至九十度其求切线皆用三率法以余半弦为第一率以半弦为第二率以半径为第三率而得第四切线如三十度之弧其余半弦八六六○二五四为第一率其半弦五○○○○○○为第二率半径一○○○○○○○为第三率则得第四率五七七三五○二其求割线亦用三率法以余半弦为第一率半径为第二率又为第三率而得割线第四率如前戊乙为三十度之弧其余半弦甲丙八六六○二五四为一率半径甲戊一○○○○○○○为二率又以半径甲乙为第三率而得甲丁一一五四七○○五为三十度弧之割线其求割线之约法不用三率而用加减法如上乙己弧二十度其切线为乙戊余弧为己丙七十度半之得己丁三十五度即截乙庚弧与己丁等次作乙辛切线得数以加乙戊切线即两切线并为戊乙辛切线与甲戊割线等其求矢法以余半弦减半径得小矢如丙丁弧五十度余弧甲丁四十度其余半弦丁戊即己乙为六四二七八七六以减乙丙千万得己丙矢已上所述皆逺西法也彼自度以下逓析为六十今中厯递用百析为便故须会通前表为百分之表其会通法如西六十分即中之百分半之三十分即五十分又半之十五分即二十五分以五为法西三分即中五分次用倍法六分即十分九分即十五分十二分即二十分如是以至六十(三五) (六十) (九五十) (十二二十) (十五五十八十二十一五二十四二十 三 三十 四十) (二十七四十五) (三十五十)(三三五五) (三六六十) (三九六五) (四二七十) (四五七五) (四八八十) (五一八五) (五四九十) (五七九五) (六十百)通表法书各度之四种割圆线中西法皆同所不同者分也其分数书五分用其三分之率书十分用其六分之率如是逓至于百所阙者每二率相距少其间四率耳则用加减法求之如二十四度○三分即中五分也其小弦数(小弦者十万为半径)(也)四○七五三又二十四度○六分即中十分也其小半弦四○八三三其差八十五分之得十六为一差以加于前小半弦即得四○七六九为中厯二十四度六分之半弦再加一差得四○七八五为七分之半弦三加得四○八○一为八分之半弦四加得四○八一七为九分之半弦五加得四○八三三为十分之半弦合前率矣如是逓加之得六十与百分相通之全表西法每二率各有差其差大抵半度而一更也若差数有畸零不尽者如西表二十四度二十七分之半弦为四一三九○又二十四度三十分之半弦为四一四六九其差得七十九五分之得十五又五分之四为一差通之则从中表二十四度四十五分首加一差二十四度四十五分 四一三九○(差法)一五 五之四四十六分 (加一差) 四一四○五 五之四四十七分 (加二差) 四一四二一 五之三四十八分 (加三差) 四一四三七 五之二四十九分 (加四差) 四一四五三 五之一五十○分 (加五差) 四一四六九如上有畸零者满半收为一不满去之考表法 作表未必无误其考之之法如表书七十七度一十八分其切线为四四三七三四九九此率如属可疑则以前后各二率考之表用篇第五表用一 有弧数求其正弦如三十七度五十四分之弧求其正弦查本度本分表得六一四二八五三又如三十七度五十四分四十六秒求其半弦查本度本分之半弦为六一四二八五三又取次率五十五分之半弦为六一四五一四八相减得差二二九五(若表上有)(差率即取本差)此差以当六十秒用三率法以六十秒为第一率以二二九五差为二率以四十六秒为三率而求四率得一七五九以加所取之前半弦六一四二八五三共得六一四四六一二即所求系凡求切线割线同上法次系有正弧求余弦视本弧同位之余度分向正弧表上取其正弦如求三十度之余弦视正弧表上与同位者为余弦六十度即向正弧六十度取其弦八六六○二五四即三十度之余弦(表上逆列同位者为五十九度六十分而此言六十度盖并其六十分为六十度其)(逆列六十度者则是六十一度何者凡所书弧分皆所书弧度之算外分故也)又如求五十度○分之余弦本表逆列同位者为三十九度六十分即于正弦表上简三十九度六十分之弦得六四二七八七六即所求三系测三角形欲得见弧(见弧者有己得之弧而求其弦也隠弧者有己得之弦而)(求其弧也凡己得者称见未得称隠诸线诸角之属皆倣此)之各线查表之本度分直取之则各线咸在也如弧三十度求其割圆各线即查表之三十度初分又查其同位之六十度所得如左三十度(初分)正弦 五○○○○○○切线 五七七三五○三割线 一一五四七○○五余(五十九度六十分)弦 八六六○三五四切线 一七三二○五○八割线 二○○○○○○○四系有钝角求其各线如钝角一百四十二度六分其正弦则以一百四十二度六分减半周余三十七度五十四分查表求其正弦得六一四三八五三如上丙丁正弦当丙乙小弧亦当丙戊大弧故当丙甲丁锐角亦当丙甲戊钝角何者甲上锐钝二角原当两直角而表上无钝角之弧与其正弦故减钝角于百八十度得锐角三十七度五十四分其半弦丙丁以当丙戊大弧即以当大弧之钝角也表用二 有正弦求其弧与前题相反如有正弦八八八八八三九欲求其弧查表上正弦格得此数即得本度为六十二本分为四十四也又如正弦五七六五八三四求弧查表无此数即取其近而畧小者得三十五度十二分之弦为五七六四三二三与见弦相减余一五一一又取其近而畧大者得五七六六七○○与前小弦相减余二三七七以此大差当六十秒用三率法以二三七七大差为第一率以六十秒为第二率以一五一一小差为第三率而得第四率为三十五度十二分三十秒即所求他各线求弦俱倣此表用三 有弧求其通弦如七十五度四十八分之弧求通弦其法半之得三十七度五十四分求其正弦得六一四二八五二倍之得一二二八五七○四即所求如甲乙弧七十五度四十八分半之为乙戊弧求得乙丁正弦倍之即乙丁甲通弦也因通弦无表故用半弧正弦倍之即是他准此表用四 有弧求其大小矢如乙丁弧三十七度五十四分求两矢查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九以减全径二○○○○○○○得大矢一七八九○八四一如表无小矢即求见弧之余弦得七八九○八四一以减半径得小矢测平篇第六测平者测平面上三角形也凡此形皆有六率曰三边曰三角角无测法必以割圆线测之其比例甚多今用四法以为根本依此四根法可用大测表测一切平面三角形亦执简御繁之术也凡测三角形皆用三率法(即同)(比例)三率法又以相似两三角形(几何六卷四)为宗下文详之根法一 各三角形之两边与其各对角两正弦比例等一云右边与左边若左角之弦与右角之弦如上甲乙丙平面三角形其甲丙两为锐角即以甲为心甲乙为半径作乙戊弧次作乙己垂线即乙戊弧之正弦亦即甲角之正弦也又以甲乙为度从丙截取丙庚从丙心庚界作庚辛弧又作垂线庚丁即庚辛弧与丙角之正弦也题言乙角之甲乙右边与乙丙左邉若左角丙之庚丁正弦与右角甲之乙己正弦论曰乙丙己三角形有乙己庚丁两平行线即乙丙与乙己若庚丙与庚丁而丙庚原与甲乙等即乙丙与乙己若甲乙与庚丁更之即甲乙与乙丙若庚丁与乙己如上甲乙丙形乙为直角有丙乙丁戊两平行线即甲丙与丙乙若甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等即甲丙与丙乙若丙乙与丁戊反之则丙角之丙乙右边与丙甲左边若左角甲之丁戊弦与右角乙之丙乙弦如上甲乙丙形乙为钝角其正弦丙壬而甲戊线与乙丙等甲角之正弦为戊己题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若左角乙之丙壬弦与右角甲之戊己弦何也试于形外引甲乙至丁作丙丁线与丙乙等即丁角与乙锐角等依首条甲丙与丙丁若丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若丙壬与戊己总论之各三角形各两边之比例与两对角之两正弦比例等者何也试于形外作切圏则三边为三弦而本形之各边皆为各对角之通弦即乙丙邉与甲乙邉若甲角之弦与丙角之弦也当已即是岂止同比例而已乎夫全与全半与半比例等则各半弦与各通弦之比例亦等此题为用对角根本根法二 各三角形以大角为心小边为半径作圏而截两边各为圏内外两线即底线与两腰并若腰之外分与底之外分如上甲乙丙形其小邉甲丙其底乙丙以甲为心甲丙为半径作圏截底于戊截大腰于庚题言乙丙底与乙甲甲丙两腰并若腰外分乙庚与底外分乙戊论曰试作乙己引出线即甲己与甲丙等而乙己与两腰并等乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等(几何三卷三五)即两形邉为互相视之边而乙己与乙丙若乙戊与乙庚既得乙戊底外分以减全底得戊丙半之得垂线所至为丁丙此题为用垂线根本根法三 有两角并之数又有其各正弦之比例求两分角之数如上乙甲丙角有其弧乙辛丙之数其两分之大角为乙甲壬小角为壬甲丙未得数但知大角正弦乙丁小角正弦丙戊之比例亦未得数而求两分角之数其法以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线乙甲辛辛甲丙两角等而辛甲壬角为半弧与小弧之差又为大弧与小弧之半差次截辛庚弧与辛戊等作甲庚线即庚甲壬角为大小两弧之差夫乙丙者总角之弦乙丑平分弧之正弦而己辛为乙辛半弧之切线辛癸为辛丙半弧之切线此二线等而辛壬辛庚各为半差弧之切线亦等又乙丁子子丙戊两形为两正弦上三角形此两形之丁与戊皆直角又同底即两正弦之对角为子上两交角亦等(几何一卷十题)而丁乙子子丙戊两角亦等(几何一卷三二)则两形为相似形而乙丁正弦与丙戊正弦若乙子与子丙(几何六卷四)先既有乙丁丙戊两正弦之比例即得乙子与子丙之比例而又得乙子与子丙之较为子寅夫乙丙己癸两线同为甲辛半径上之垂线即平行甲乙丙甲己癸两形之各角等即为相似之形(六卷四)而两形内所分之各两三角形如甲庚癸甲寅丙之类俱相似即以两线之并数乙丙为第一率以两线之差数子寅为第二率以两半弧之两切线己癸为第三率则得两差弧之切线庚壬为第四率矣而此比例稍繁别有简者则半之曰丙丑与子丑若癸辛与壬辛也有更简者则曰乙丙与子寅若辛癸与辛壬也今用第三法云乙丙为两邉之并数子寅其较数辛癸为两角总数内半弧之切线而辛壬为大小两角较弧之切线既得辛壬切线即得辛甲壬角以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角以数明之乙甲丙角为四十度所包大小两隠角为乙甲壬壬甲丙其两正弦乙丁丙戊之比例为七与四即乙子子丙之比例亦七与四而乙丙之总数如十一平分之于丑即乙丑丑丙各得五有半而乙辛辛丙两弧各二十度又以大线七与半线相减余一有半以半线五有半与小线四相减亦余一有半又甲辛为半径即辛丙二十度弧之切线辛癸为三六三九七○二即以丑丙五有半为第一率以辛癸切线三六三九七○二为第二率以子丑一有半为第三率而得辛壬切线九九二六四六为第四率既得第四率即得辛壬所当辛甲壬角为五度四十○分八秒以减辛丙二十度余壬甲小角一十四度一十九分五十二秒以加半弧乙辛得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒此题为用切线根本根法四 凡直角三边形之各邉皆能为半径其一以弦线为半径作弧即余两腰包直角者各为其对角之正弦如上甲乙丙形其乙丙为对直角之弦线以为半径作丁丙弧即甲丙小腰为对角乙之正弦甲乙大腰为对角丙之正弦其二以大腰为半径即小腰为小角之切线而弦线为小角之割线如上甲乙大腰为半径即甲丙小腰为乙小角之切线而乙丙为乙角之割线其三以小腰为半径即大腰为大角之切线而弦线为大角之割线如上甲丙小腰为半径即甲乙大腰为丙大角之切线而乙丙弦线为其割线此题为用割圆各线根本新法算书卷十
## 测天约说叙目
测天约说叙目
测天者修厯之首务约说者议厯之初言也不从测候无縁推筭故测量亟矣即测候推筭亦非甚难不可几及之事所难者其数曲而繁其情密而隠耳欲御其繁曲宜自简者始欲穷其密隠宜自显者始约说之义则总厯家之大指先为简显之说大指既明即后来所作易言易知渐次加详如车向康庄此为发轫已又古之造厯者不欲求明抑将晦之诸凡名义故为隠语诸凡作法多未及究论其所从来与其所以然之故墙宇既峻经途斯狭后来学者多不得其门而入矣此篇虽云率略皆从根源起义向后因象立法因法论义亦复称之务期人人可明人人可能人人可改而止是其与古昔异也或云诸天之说无从考证以为疑义不知厯家立此诸名皆为度数言之也一切逺近内外迟速合离皆测候所得舍此即推步之法无从可用非能妄作安所置其疑信乎若夫位置形模实然实不然则天载幽𤣥人灵浅尠谁能定之姑论而不议可矣都为二卷共八篇如左
## 卷十一
钦定四库全书
新法筭书卷十一 明 徐光启等 撰测天约说卷上首篇度数之学凡有七种共相连缀初为二本曰数曰度数者论物几何众其用之则筭法也度者论物几何大其用之则测法量法也(测法与量法不异但近小之物寻尺可度者谓之量法逺而山岳又逺而天象非寻尺可度以仪象测知之谓之测)(法其量法如筭家之专术其测法如算家之缀术也)既有二本因生三干一曰视人目所见一曰听人耳所闻一曰轻重人手所揣耳所闻者因生乐器乐音手所揣者因生举运之器举运之法惟目视一干又生二枝一曰测天一曰测地七者在西土庠士俱有专书今翻译未广仅有几何原本一种或多未见未习然欲略举测天之理与法而不言此理此法即说者无所措其辞听者无所施其悟矣七者之中音乐与轻重别为二家故兹所陈特举其四曰数曰测量曰视曰测地四学之中又每举其一二为卷中所必需其余未及缕悉者俟他日续成之也为他篇所共赖故列于篇次之外曰首篇欲知他篇须知此篇故又名须知篇数学一题比例者以两数相比论其几何比例有二一曰相等之比例一曰不等之比例若二数相等以此较彼无余分名曰等比例也若二数不等又有二一曰以大不等一曰以小不等如以四与二相比四之中凡为二者二是为以大即命曰二倍大之比例也如以二与四相比倍其身乃得为四是为以小即命曰二分之一之比例或命曰半比例也测量学十八题第一题至十四题论测量之理第十五题至第十八题论测量之法几何原本书中论线论面论体今第一至第五论线也第六至十四论体也此书中不及面故不论面几何原本中多言直线圜线其理易明今不及论论其稍异者五题前二题言独线后三题言两线第一题(独线一)长圆形者一线作圏而首至尾之径大于腰间径亦名曰瘦圈界亦名撱圏如甲乙丙丁圏形甲丙与乙丁两径等即成圏今甲首至丙尾之径大于己至庚之腰间径是名长圆或问此形何从生荅曰如一长圆柱横断之其㫁处为两面皆圆形若㫁处稍斜其两面必稍长愈斜愈长或称卵形亦近似然卵两端大小不等非其类也(指其面曰平长圆若成体曰立长圆)第二题(独线三)蛇蟠线者于平面上作一线自内至外恒平行恒为圏线而不遇不尽如上图自甲至乙者是旋风线者于平圆柱上作一线亦如蛇蟠但蜿蜓腾凌而上如旋风也如上图自甲至乙者是螺旋线者于球上从腰至顶作一线如蛇蟠而渐髙如旋风而渐小如上图自甲至乙者是此书独用螺旋线欲解其形势故备言之第三题(下三题言二线者或直或不直或相遇或相离)二线相遇者有三但相遇而止名曰至线因至线在所至线之上故又曰在上其割截而过者名曰交线亦曰割线亦曰截线其至而不过又不止者名曰切线其至线而有所分截者亦称割线或曰截线或曰分线如上图甲乙线与丙乙丁线丙乙丁圈相遇至乙而止则甲乙为至线又曰丙乙丁上线如上图甲乙线截丙丁于戊己庚线截辛壬癸圏于辛子丑寅圏截丑卯寅圏于丑于寅皆名交线又如上图甲乙线遇丙丁圏于丙戊己庚圏遇戊辛壬圈于戊皆名切线如上图甲丙线分甲乙丙圈者曰分圈线亦曰割圏线亦曰截圏第四题两线不相遇而相离之度恒等名曰距等线(或称平行线侣线俱通用)如上三图甲至己乙至戊丙至丁其相离之度俱等第五题两线相遇即作角本是一面为两线所限限以内即成角也如上图甲乙与乙丙两线相遇于乙即包一甲乙丙角(第二字即所指角)其球上两圏线相交亦作角如上图甲丙乙丁两线交而相分于戊即成甲戊丁丁戊丙丙戊乙乙戊甲四球上角也第六题自此至第十四题皆论体诸体中球为第一此书所用独有球体故未他及(凡物之圆者皆名球诸题中名义凡立圆物皆有之非独天也)第六至第八言球内之理第九至十四言球外之理球之内有心心者从此引出线至球面俱相等如上图甲乙丙球丁为心从丁引出线至甲至乙至丙各等即作百千万线皆等第七题(球内)径者一直线过球心两端各至面半径者从心至面如上图甲乙球丙为心一直线过丙两端至甲至乙即甲乙为径线其丙乙丙甲皆为半径线第八题(球内)球不离于本所而能旋转则其一径之不动者名为轴轴之两端名为两极也凡一球止有一心凡球之转止有一轴其径甚多无数可尽如上图甲乙丙丁球戊为心乙丁过心此球从甲向丙丙又向甲旋转而不离其处则乙戊丁直线为不动之处是名轴也乙与丁则为两极球心若离于戊㸃如己则从心所出两半径线如庚己己辛必不等故曰止有此心凡轴皆利转若有二轴二俱转即相碍一不转即非轴故曰止有一轴从心出直线茍至面皆径也故曰无数第九题(球外)球之面可作多圏圏有大有小大圏者其心即球心若从圏剖球为二则其圏之径过球心也各大圏从圏面作垂线各有其本圏之轴与其两极如图甲乙丙丁球上作甲戊丙己大圏其垂线乙丁即乙丁为本圈之轴乙丁两㸃即其两极故大圏在两极间离两极俱等第十题(球外)小圏者不分球为两平分不与球同心其去两极一近一逺愈近所向极愈小愈近心愈大如上图甲乙为大圏丙丁戊己庚皆小圈也故一大圏之上之下可作无数小圏众小圈之间止可作一大圏第十一题(球外)圏不论大小其分之有三等三等者一曰大分一曰小分一曰细分如两平分之为半圏四平分之为象限此大分也每象限分为九十度此小分也每度又析为百分每分为百秒递析为百至纎而止西厯则每度析为六十分每分为六十秒递析为六十至十位而止此细分也第十二题(球外)两大圈交而相分为角欲测其角之大从交数两弧各九十度而遇过极之圏两弧所容过极圏之弧度分即命为本角之度分如上图戊丁乙为过极圏有甲乙丙甲丁丙两大圏交而相分于甲于丙问丁甲乙角为几何度分之角法从甲交数各九十度而遇过极之戊丁乙圈为甲丁甲乙此两弧间所容过极圏之分为丁乙弧如丁乙六十度即命丁甲乙角为六十度角第十三题(球外)凡大圏俱相等两大圏交而相分其所分之圏分两俱相等凡大圈必于本球之腰腰者最大之线也凡最大之线止有一不得有二故辰转作无数大圈俱相等圈既相等则以大圏分大圏其两交线必在球之腰此交至彼交必居球之半故无数大圏各相分所分之两圏分各相等有不等者即小圏也第十四题(球外)大圈俱相等故所分之度分秒各所容皆相等小圏各不相等故度分秒之名数等其所容各不等如上图甲乙己为大圈丙丁戊为小圈大圈既相等即多作大圈皆与甲乙己圈等而各圏之甲至乙其度皆等若丙丁戊小圏既与甲乙己大圏不等则甲至乙与丙至丁同名为若干度而所容之广狭不等第十五题(以下四题言测量之法)长方面其中任设一㸃欲定其所在为何度分作经纬度求之法曰先平分其长为若干度分名经线次平分其广为若干度分名纬线经与纬每度分之小大俱等次视经纬之线其过㸃各若干度分即命为㸃所在之度分如上图甲乙丙丁长方形欲知戊㸃所在先从乙向丙作距等经线次从乙向甲作距等纬线次视戊㸃在经纬线之交为是何度即命曰在经度之四纬度之八也(乙至丙丙㸃得命为第六乙㸃)(不得命为第一而命为初厯家言算外者俱准此)第十六题其在球也亦如之球之中任设一㸃欲定其所在为何度分亦先作球之经度法曰先于两极之间作一大圈为腰圏平分腰圏为三百六十度从各度各作一过极大圏即半圈平分为一百八十度是为腰圏上之经度如上图甲乙丙丁球乙丁为两极于其间作甲戊丙己腰圈从戊向丙丙向己各作过极大圏即乙庚丁乙辛丁等线皆腰圏上之经度第十七题次作球之纬度即定所设㸃在何度分腰圏之两旁有两极从腰圏向极分为九十度每度各作一距等小圏渐逺腰渐小至极而为一㸃即第九十小圏也次视经纬两线之交命所设㸃在何度分如图甲乙丙丁球上依前题既作甲庚丙甲辛丙各经线次于乙戊丁腰圏上向甲极分为九十度每度各作一距等小圏如壬子癸丑之类皆纬圈也次视经纬各遇㸃之交从腰圈线考其经度从过极线考其纬度即命所设己㸃在从戊向丁之第四经圏从戊向甲之第三纬圏凡言度者各有二义其一一度之广能包一度之地是其容也其一自此度至彼度各以一㸃为界是其限也腰圏度之容以各过极度之线限之过极度之容以各距等线限之凡圏互相为经亦互相为纬如以过极为经则距等为纬若以距等为经则过极为纬如几何原本之论线互相为直线互相为垂线也第十八题论纬圏以大圏为宗过极经圏皆大圏也皆等距等线限之诸度分之容亦等距等纬圏皆小圏也各不等过极圏限之诸度分之容愈近极愈狭至极而尽矣故纬度之容等于经度者独有腰圏一线独有初度初分初秒之一率过此以上无不狭也故当以大圏为宗大圏左右诸纬圏之上凡言经度之容者皆从此推减之圏愈小度愈狭即差愈多也视学一题凡物必有影影有等大小有尽不尽不透光之物体前对光体后必有影焉若光体大于物体其影渐逺渐杀锐极而尽若光体小于物体其影渐逺渐大以至无穷若光物相等其影亦相等亦无穷测地学四题第一题地为圆体与海合为一球何以征之凡人任于一处向北行二日半则北方之星在子午线上者必髙一度次后二日半复髙一度恒如是为相等之差向南行亦如之知从南至北为圆体也如上图甲为北星丁为南星乙辛丙圏为地球人在乙则见甲正在其顶至戊则少一度矣从戊至己与乙至戊道里等又少一度矣迨至辛则不见甲至壬则反见丁安得非圆体乎若云地为平体则见星当如癸从丑向寅至辰宜常见不隠又丑至寅寅至卯若见子之髙下所差等则道里宜不等(别有算数)安得有时不见又恒为相等之差也若人东行渐逺则诸星出地者渐先见西行渐逺渐后见故东西人见日月食迟速先后各异是知东西必圆体也第二题地在大圜天之最中何以征之人任于所在见天星半恒在上半恒在下故知地在最中也如上图丙为地东见甲西见乙甲乙以上恒为天星之半知丙在中也若云非中当在丁则东望戊西望己当见天之小半而不见者大半第三题地之体恒不动一不去本所二亦不旋转云不去本所者去即不在天之最中也云在本所又不旋转者若旋转人当觉之且不转则已转须一日一周其行至速一切云行鸟飞顺行则迟逆行则速人或从地掷物空中复归于地不宜在其初所今皆不然足明地之不转第四题地球在天中止于一㸃何以徴之人在地面不论所在仰视填星歳星荧惑彼此所见恒是同度故知地体较于天体则为极小若地大者两人相去绝逺其视三星彼此所见不宜同躔如上图丙己戊乙为天甲为地丁为星地体若大能为天分数者则人在庚宜见丁在己度人在辛宜见丁在戊度今不然者是地与天其小大无分数可论也名义篇第一测天本义 一条问测天者何事所论者何义也曰此度数之学度数学有七支此为第六也所论者一言三曜(日月星)形像大小之比例一言其各去离地心地面各几何一言其运动自相去离几何一言其躔离逆顺晦明朓朒一言其五相视五相视者一曰会聚(会聚或同一宿或同一宫或相掩或凌犯)二曰六合照(每隔一宫)三曰隅照(三方相望)四曰方照(四方相望)五曰对照(即衘)一因其行度次舍以定歳月日时此为大端也大圜名数厯十条大圜者上天下地之总名也(亦称宇宙亦称天下亦称六合之内下文通用)天实浑圆其中毫无空隙譬如葱本重重包裹其分数几何则自下数之(地居天中为最下亦曰最内)第一为地水补其阙(地有卑洼)(水则就之若据地面则水土相半跖实论之水之视地仅当千分之一)共为一球地外为气气之外为七政之天七政之外为恒星(亦曰经星下文通用)之天恒星之外为宗动之天宗动之外为常静之天问地水与气相次之序其理易明今何以知七政在下恒星在上曰有二騐焉其一六曜有时能掩恒星(六曜者日)(五星也不言日者日大光星不可见也唐肃宗上元元年五月癸丑月掩昴代宗大厯三年正月壬子月掩毕)(八月己未月复掩毕是月掩恒星也唐髙宗永徽三年正月丁亥歳星掩太微上将五月戊子荧惑掩右执法)(元武宗至大元年十二月戊寅太白掩建星是五纬掩恒星也)掩之者在下所掩者在上也其二七政循黄道行皆速恒星最迟也问七政中复有上下逺近否曰有之月最近也何以知之亦有二验其一能掩日五星也(月掩日而日为食不待论也唐文宗泰和)(五年二月甲甲月掩荧惑六年四月辛未月掩填星于端门九年六月庚寅月掩歳星于太微武宗㑹昌二年)(正月壬戌月掩太白于羽林是月掩五星也)其二循黄道行二十七日有竒而周天余皆一年以上是七政中为最速也问行度迟速以别逺近是则然矣太白辰星与日同一歳而周为无逺近乎曰旧说或云日内月外相去辽绝不应空然无物则当在日天之下或云在日天之上二说皆疑了无确据若以相掩正之则大光中无复可见论其行度则三曜运旋终古若一两说既穷故知从前所论皆为臆说也独西方之国近歳有度数名家造为望逺之镜以测太白则有时晦有时光满有时为上下弦计太白附日而行逺时仅得象限之半与月异理因悟时在日上故光满而体微(若地日星恭直则不可见稍逺而犹在上则若几望)(之月也)时在日下则晦(三叅直故晦稍逺而犹在下若复苏之月体微而光燿煜然)在旁故为上下弦也辰星体小去日更近难见其晦明因其运行不异太白度亦与之同理问荧惑歳星填星孰逺近乎曰荧惑在歳填星之内在日之外何者一为其行黄道速于二星迟于日也歳星在其次外其行黄道速于填星迟于荧惑也填星在于最外其行黄道最迟也又恒星皆无视差七政皆有之以此明其逺近又最确之证无可疑者问何为视差曰如一人在极西一人在极东同一时仰观七政则其躔度各不同也七政愈近人者差愈大愈逺者差愈小月最大日次之荧惑次之歳星又次之填星最小几于无有故知月最近填星最逺也如上图丙为地甲为东目乙为西目甲望戊月在己度乙则在庚度甲望丁星在辛度乙则在壬度己庚差大则月去人近辛壬差小则星去人逺也问东西相去既是极逺何以得同在一时仰观七政曰此在一时一地亦可测之特縁算数所得难可遽明故以东西权说若月食则亦东西同时两地并测亦足谂知也问何以知七政之上复有恒星之天曰恒星布列终古常然而一体东行行度最迟殆如不动既与七政异行知其不得共居一天也故当别有一恒星之天众星皆丽其上矣问恒星天之上何以知有宗动无星之天曰七政恒星其运行皆有两种其一自西而东各有本行如月二十七日而周日则一歳此类是也其一自东而西一日一周者是也非有二天何能作此二动故知七政恒星之上复有宗动一天牵掣诸天一日一周而诸天更在其中各行其本行也又七政恒星既随宗动西行一日而周其为戚速殆非思议所及而诸天又欲各遂其本行一东一西势相违悖故近于宗动东行极难逺于宗动东行最易此又七政恒星迟速所因矣问宗动天之上又有常静大天何以知之曰今所论者度数也姑以度数之理明之凡测量动物皆以一不动之物为凖譬如舟行水中迟速逺近若干道里何从知之以离地知之地本不动故也若以此舟度彼舟何从可得诸天自宗动以下随时展转八极不同二行各异若以动论动杂糅无纪将何慿藉用资考算故当有不动之天其上有不动之道不动之极然后诸天运行依此立算凡所云某曜若干时行天若干度分若干时一周天之类所言天者皆此天也厯家谓之天元道天元极天元分至此皆系于静天终古不动矣常静篇第三总论一条 常静天者有三理一为此下各动天之一切诸㸃(七政恒星彗孛及诸道诸圏之交之分但须测算者总名为㸃不言星者交与分非星也日月大矣)(亦言㸃凡测皆测其心心则㸃也)借此天以测知其所在也二为测各动天运行之时之度与夫各㸃之出入隠见以定歳月日时也三为测诸动天之各㸃相去离㡬何也凡常静天上诸名皆系之天元因其不动以验他动也其最尊者有三圏一曰天元赤道圏(或称中圏或称腰圏下文通用)以定诸㸃二曰天元地平圏(或称四方圏或称八风圏或称分光圏下文通用)以验运行三曰天元距圏(或称去离圏下文通用)以辨去离论三圏共七章论天元赤道圏一条 天元赤道者系于宗动之天平分天体者也(各圏各有心天元赤道之心即大寰之心也即地心也各圏各有极各有轴天元赤道之)(极之轴即大寰之极之轴也即地之极之轴也)天元赤道之左右各有距等圏以度论则九十为天元纬圏其前后各有过极圏以度论则一百八十为天元经圏过极圏者所以定经度容纬度也如上图甲乙为中圏其上五经圏为甲丙有两过极圏以限之丁甲戊限其首丁丙戊限其尾甲丙在其中是大圏上所容之六经度也又如丙己为过极圏上四纬圏则首尾两㸃有两距等圏以限之甲丙乙限其首庚己辛限其尾丙己在其中是过极圏上所容之五纬度也论天元地平圏三条 常静天下诸所测候欲知各㸃所在与各㸃之道各道之交之分则一中圏足矣为地在中心不能透明明为地隔人在各所所见止有半天其分明分暗处有一大圏即地平圏也地球之大人居各所明暗所分处处各异故随在有一地平圏地平圏分四象限定天下之东西南北故可曰方道亦可名风道所谓不周广莫八风所来也四象限分为三百六十是地平之经度地平之两端一在人顶为顶极一在人对足之下为底极地平之左右各有距等小圏从大圏至极各九十为地平之纬度(亦名髙度亦名上度下文通用)其算以大圏为初度次小圏为一度其最髙为九十度即顶极下亦如之(亦名低度亦名下度下文通用)其最下为九十度即底极也从地平经度每度出一过顶大圏凡一百八十以定方维之分数其最尊而用大者有二一曰地平东西圏一曰地平南北圈如天元赤道上之有极至极分二圏也(极至极分见后篇)如上图甲乙为地平丙为顶极丁为底极丙戊丁南北圏也甲丙乙丁东西圏也丙子丁丙丑丁皆经圏庚寅辛壬卯癸皆纬圏算地平之经度或从东西圏起或从南北圏起其纬度或从地平起或从顶极起各任用地为圆体故球之上每一㸃各有一地平圏从人所居目所四望者即是其多无数如上图戊己为地甲乙丙丁为天人在戊即甲丙是其地平而庚为顶极人在己即乙丁是其地平而辛为顶极赤道地平二圏比论四条 常静天上有天元赤道天元南北极恒定不动就人目所视又有天元地平圏今以二圏合论则六合之内共有三球一为正球二为欹球三为平球正有一平有一离此即欹欹者无数正球者天元赤道之二极在地平则天元赤道与地平为直角而其左右纬圏各半在地平上半在地平下如上图甲戊丙己为天甲乙丙丁为地平甲丙即天元赤道之两极戊乙丁己为地平之东西圏亦即天元赤道庚辛壬癸等则地平之经圏是正球也欹球者天元赤道之二极一在地平上一在地平下赤道与地平为斜角(斜角者一锐一钝之总名)而天元赤道与地平之各经纬圏伏见多寡各不等其极出地之度为用甚大测候者所必须也赤道纬圏之中随地各有一纬圏为用甚大名为常见纬圏凡极出地若干度即有一去极若干度之纬圏其底㸃常切地平者是也如上图甲丙乙丁为地平戊己为赤道极若己乙为极出地四十度则壬癸乙常见纬圏亦去极四十度而纬圏之乙㸃即地平之乙㸃平球者一极在顶天元赤道与地平为一线各距等圏皆与地平平行也如图甲乙丙丁为地平即为天元赤道而戊极在顶庚辛等纬圏皆与地平平行论地平南北圏一条 地平大圏上之过顶圏一百八十名顶圏皆地平圏之伴侣故又名侣圏其中大者二曰东西曰南北其又最尊者南北也其两极在地平与东西侣圏之交此圏平分球为东西二方不但过顶极亦过天元赤道极与天元赤道相交为直角亦不动与地平圏等但其游移也人于地面上南北迁此圏止有一不得有二东西迁则随在不同与地平俱无数如上图甲乙丙为南北圏人在戊在己在庚俱南北一线则恒以甲乙丙圏为顶移极不移圏故云有一无二也若从己东西迁丁为其顶即以甲丁丙为南北圏矣地平南北圏与天元赤道比论一条 此圏交于天元赤道即为天元赤道之极髙从天元赤道至顶极之度即北极出地之度如图甲己为赤道丙为顶极乙为赤道极戊丁为地平今言甲丙与乙丁等者甲乙弧丙丁弧各相去九十度各减一丙乙弧则甲丙与乙丁等若赤道极髙之甲戊弧亦与丙乙弧等其理同也论地平东西圏二条 东西亦地平之侣圏也其两极在地平与南北侣圏之交过此两极者有六大圏亦分天元球为十二舍地平以上常见者六舍最尊者地平与南北圏也其次序从东地平起算为初舍入东一舍为第一入东二舍为第二至南北圏之底起第四西地平上起第七南北之顶起第十此法为用甚大医家农家及行海者所必须也如上图丙丁壬为东西侣圏甲乙为两极甲丁乙为地平圏甲戊乙甲庚乙等皆过极大圏也其用之则以此图甲乙丙丁为地平甲为东地平起一舍己为底极起四丙为西地平起七戊为顶极起十也东西圏平分球为南北二方造日晷必用之论天元去离圏二条 天元三大圏其一赤道其二地平若欲知两㸃相距几何则二圏为未足也故有去离大圏过所设二㸃自此㸃至彼㸃其间之容则相去离之度分也若此二㸃俱在天元赤道或俱在其过极圏或俱在地平圏即所在圏为去离圏不用百游去离圏(游者)(游移不一百言其多)如上图甲乙丙丁为地平戊己为南北极庚辛为黄道设壬癸㸃则子癸壬丑大圏上之癸壬是其度分或问二㸃或俱在纬圏则即以纬圏为去离圏不可乎曰凡测量必用准分之尺度准度者止有一不得有二静天上之大圏分则准度也各纬圏之小大与其度分之广狭一一不等若多寡不齐之尺度岂能得物之准分乎故测去离必用大圏不得用纬圏也新法算书卷十一
## 卷十二
钦定四库全书
新法算书卷十二 明 徐光启等 撰测天约说卷下宗动篇第三总论二条 论宗动有二端一言本天之㸃与线二言本天之运动三曜皆有两种运动宜以两物测之犹布帛之用尺度也七政恒星皆一日一周自东而西则以赤道为其尺度又各有迟速本行自西而东则以黄道为其尺度凢动天皆宗于宗动天故黄赤二道皆系焉(三曜者日月星也)论本天之㸃与线 凢三章论赤道七条 赤道于诸大圏为最尊其义有三不知赤道则诸大圏无从可解一也赤道之理特为易明二也一日一周乃七政恒星之公运动赤道主之三也其两极即大圜之两极何者为本道与天元赤道相合为一线动静虽异终古不离也大圜之心中圏之心赤道之心地之心同是一㸃为赤道与大圏中圏同为大圈故也赤道既为大圏其分数亦有半圏有象限有三百六十度及分秒其算数则从一至三百六十与黄道地平异黄道分十二宫各以三十为限地平分四象各以九十为限故赤道亦有过极经圏一百八十为用甚大其左右旁各有距等侣圏(即纬圏)毎至极各九十不甚为用为与天元纬度一一同线故其用则以赤道之经纬度测各㸃之所在命为各㸃赤道经纬度如上图赤道上任设甲㸃从赤道初㸃乙数至甲为几度分即甲㸃之赤道经度分也为在赤道上故无纬度若所设甲㸃在赤道外则于过极大圏数甲㸃至赤道交即定赤道初㸃至设㸃之经度为六甲㸃至赤道即所容之纬度为五凢分南北大分独六合之内(即大圜也)及日以赤道分之他则否论黄道十条 黄道亦大圈也两交于赤道两交之间最逺于赤道者二十三度有竒黄道之两极去赤道两极亦二十三度有竒与二道相离最逺之数同也如上图甲至丙为黄赤二道相离最逺之二十三度有竒则庚至戊亦黄赤二极相离之二十三度有竒黄道分数其四象限三百六十度与赤道同又十二分之为宫二十四分之为节气七十二分之为候与赤道异十二宫曰𤣥枵娵訾降娄大梁实沈鹑首鹑火鹑尾夀星大火析木星纪后厯家从便命之曰子亥戌酉申未午巳辰卯寅丑节气曰冬至小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满芒种夏至小暑大暑立秋处暑白露秋分寒露霜降立冬小雪大雪毎一节分为三候节气中以二至二分为主黄赤道交处为春秋分相离最逺为冬夏至黄道左右各八度以定月五星出入之道名为月五星道(又名六曜道下文通用)诸曜出入于黄道度多寡不同最逺者八度也又总名为黄道带(古法左右各六度)如上图平分二十四气者为黄道带甲至乙广八度丁戊巳庚为赤道圈辛壬癸为夏至圏子丑寅为冬至圏丙则地心也周天分十二宫非独宗动天之面也凢六合之内(即大圜)一切所有从宗动之面下至地心皆以十二分之故凢言宫者有四义其一黄道带上有一长方面为甲乙丙丁甲乙长三十度乙丙广十六度凢七政彗孛等从地心作直线过本㸃至此面之某度分即命为本㸃在本宫之某度分也其二以甲乙丙丁为面从地心戊出四线上至方面之甲乙丙丁各角成锐角体凢六合之内一切所有但入此锐体中即命为在本宫之某度分其三为宗动天之内规面十二分之一以黄道两大经圈各至极之巳庚为首尾中相去三十度之辛壬为腰其中容即此分面也则凢诸㸃之在其面或在其下者皆命为在本宫之某度分其四巳辛庚壬为面从面分至地心癸为橘房体则入此体中者皆命为本宫之某度分黄道有经度(一名长度)有纬度(一名广度)从黄道作过极圏以定其经度法与赤道同但本道本极异耳若起筭从春分始其义有二一为是黄赤道二大圏之交也二为其为大圜之中中者二极之间也黄道之过极圏容其各纬度限各经度其左右侣圏限其各纬度容各经度黄道比论八条 比论者一与赤道比一与地平圏比一与地平南北圏比与赤道比论 黄赤道之交为春秋分从此作过极大圏名为极分交圏从二道最逺处作过极大圏为极至交圏此二大圏分黄赤道各为四分毎分各为九十度如上图甲乙为赤道极丙丁为赤道戊己为黄道庚为二道之交则甲庚乙为极分交圏甲丙己丁为极至交圏黄赤道相距不用黄道之纬度(经纬线交为直角一名广度)而用赤道之纬度(从黄道出线与黄道为斜角至赤道作直角名偏度)如降娄宫三十度若用广度则相距十三度今用偏度则十二度半所以然者为黄道斜迤若用广度则分及一象限无法可分矣不若用赤道之平直四象皆通也(本以黄道之三十度立筭而用赤道)(之侣圏且与赤道为直角与黄道为斜角故名为赤道上之黄道偏度非从赤道目为偏度也其在赤道自名)(旁度侣度)黄道一象限九十度各有其偏度最逺者二十三度有竒不言三百六十者余三象限与一同理故也如上图甲丙为黄道弧若广度则値丙乙偏度则値丙丁即作庚丙丁辛去离圏丙丁在其上为距度测黄道弧之经度亦不用黄道之经度而用赤道之经度如降娄宫本三十度以赤道测之则二十七度为此宫之黄道斜而长赤道直而狭故不命降娄一次黄道上之长度曰三十而命赤道上之黄道升度曰二十七也(本以黄道之三十度立筭而用赤道之经度二十七其去离圏亦与赤道为直角名为赤道上之黄道升)(度非从赤道目为升度也在赤道自名上度)如上图甲乙为黄道弧若长度则値甲丁升度则値甲丙于赤道上命甲丙曰黄道之升度从黄赤交至北最逺黄道圏上有九十度毎度作一圈与赤道之距等圈平行其初圈则赤道也其第九十即为夏至圈南迄冬至亦然是名日辙圈亦曰日距圈如上图甲乙为赤道丙丁为黄道辛丁为冬至圏丙庚为夏至圏己戊等皆其日距圈也赤道纬圏去极二十三度有竒者过黄道极名为极圏南北同如上图甲乙为黄道丙丁为黄道极过此二极之赤道纬圏为丙己为戊丁名南北极圏与地平圏比论 黄道与地平相遇作角其角随时随地大小不同正偏球皆然平球则否与地平南北圏比论 两圏交而作角自六十六度有竒而至九十九十为二至则直角六十六为二分则锐角论本天之运动 凢四章总论一条 宗动天常平行终古无迟疾赤道系焉故其行亦终古无迟疾诸㸃与地平比论十八条 凢先在地平下不见后见在地平上为出反是为入凢平球各㸃见地平上者皆与地平平行无出入七政则否如上图甲乙为地平与赤道同线丙丁等为距等圏凢戊巳等㸃皆与地平平行独七政循黄道行则否若黄道极在天顶则黄道毎日一次与地平为一线一瞬则六宫在地平上六宫在地平下矣此非图像可明视浑球则得之离黄道极圈而外则出入皆有法一宫先出一宫继之入亦然若黄道极圈之内赤道极之外则反是欲测各㸃运行视其出入于地平测法必以赤道之升度为其尺度也何者赤道恒平行是名有法是为有准分之尺度故平球而外凢各宫出地平上在黄道俱三十度赤道则有长短测法俱不用黄道之长度而用赤道上之黄道升度如北极出地十度为丙乙其黄道初宫出地为丁戊三十度则截取赤道先与黄道初度同出今与黄道第三十度同在地平线上者为己戊得二十四度弱是为黄道初宫之地升度凢论时刻及各㸃出入皆用之不用丁戊也凢测升度有二或连或㫁连者俱初宫初度起至本㸃依前法视赤道同出度即得若有别设二㸃在黄道上欲测二㸃之升度是为㫁也法以前㸃视初宫相距之升度几何是为前升度以后㸃距初宫之升度几何是为总升度于总升度中减去前升度即得后升度如上图乙甲为别设㸃求其升度则丙乙为戊丁之升度是前升度戊甲为丙甲之升度是总升度次于戊甲减戊丁所存丁甲是乙甲之后升度问黄道弧而用赤道之升度为其不等故也亦有等者乎曰有之论正球则黄赤道从二分二至起筭各出地九十度其黄道弧与升度等周天之中其相等者四而已问正球黄赤道之四象限其升度与弧俱等者何故曰黄赤道俱为二大圈相等则所分之相似圈分俱等一也又极至极分二大圈定黄赤道为四象限此二大圈出入地时即地平与四象限之交相合为一线故黄道之象限交必与赤道之象限交偕出偕入二也若欹球则黄道之半圏从分起从分止与赤道升降度等而周天之中其相等者二何者黄赤道二分之交同时至地平即二大半圏必相等故欹球二相等之外其他升度与黄道弧皆不等问二象限同升常自不等何以至九十度则等曰黄道弧与升度从初宫初度始毎度之升度各有差初差渐多后差渐少渐近渐少至极逺而平故也过二至则反是若正球则四象限之黄道弧与升度常相似其差甚少不过三度欹球则所差绝多如上正球甲乙赤道轴即地平故丁丙弧与丁戊升度相似欹球北极面则辛壬弧与辛癸升度所差多升降有二有正升降有斜升降各弧与升度同出入若赤道上升度大于黄道弧谓之正升降小者谓之斜升降愈大愈正为黄道与地平为角近于直角愈小愈斜为逺于直角正球但有四宫为正升冬夏至前后各二宫是也冬至先后者析木星纪夏至前后者实沈鹑首余八宫有斜者有半斜者若欹球则恒有六宫为正升正升谓之迟升斜升谓之疾升欹球有六宫焉正球有八宫焉问欹球之正升者六为何宫曰若北极出地一度至六十六度则鹑首鹑火鹑尾夀星大火析木是也此六宫则正升正升则斜降南极出地者反是球愈欹则黄道与地平为角亦愈斜以升降比论四条 论正球黄道上两㸃去离二至二分(亦名为四大㸃)各等则其升度亦等其相对之宫升度亦等如降娄夀星各二十七之类是也若欹球则相对宫之升度各不等有两㸃去春秋分大㸃等则其升度亦等以正欹球比论二条 从降娄至鹑尾六宫欹球之升度小而正球大从夀星至娵訾六宫反是有两弧在黄道上相对相等其正球之两升度并为一率欹球之两升度并为一率此两率等以黄道之出入比论(即升降度之合也)五条 各宫各弧各㸃之出度必等于入度(不论正偏球)各宫之出入度并与相对宫之出入度并等欹球各宫之出入度虽等而正斜不等此正升则彼斜降此斜升则彼正降一宫一弧在正球有升度在欹球有升度此两升度相减之较名升差如上图降娄一宫在正球之地升度二十六为甲乙北极出地四十度之欹球地升度十六为丁己以二率相减得十度是为两球升度之差(省曰升差)正球之升降度从地平起筭可从地平南北圏起筭亦可为赤道与地平圏与南北圏相遇俱为直角故等欹球则否必用地平也太阳篇第四(不称日者篇中有时日之日故别言之月称太隂同)总论 宗动天之下则有列宿又下则塡星则岁星则荧惑何以序先太阳其义有三一列宿与六曜之理皆系太阳不先论此不得论彼二理较易明先明其易难者并易三万光之原诸曜皆从受光焉月若其配星其从也从本体论 凡三章论太阳之形象本是圆体 圆有面有体太阳之为圆面举目即是不待言矣其为圆体何从知之曰凡物未有有面无体者太阳之为物大矣知其必有体也凢自然生者初生者无物不圆太阳之生亦本自然曽无雕琢初生则然曽无迁变又诸体中圆为最尊以太阳较天下有形之物亦是最尊知其必为圆体也论太阳之大 欲知物大先知其径径有二一为视径视径者人目所视也旧云太阳之径一度近来测騐实止半度如上图甲乙乙丁丁戊为宗动天内规面之三度人从辛视太阳之己庚径于天度仅得乙丙不满乙丁之一度约如乙丙者七百二十则满黄道周故知视径为半度也一为本径欲知本径先论其去地之逺太阳去地有时近有时逺折取中数则以地全径为度(里数太多难计故以地径之里)(数为其尺度也地之周约九万里其全径约三万里)二十四其地径自之得五百七十六是太阳去地之中数也(其比例云地之径与太阳去地之半径若一与)(五百七十六也)既知其视径又得其去地之逺因以割圆术求其本径得太阳之容大于地之容一百余倍也(割圆术有专书)(二径相比见几何原本第十二卷第十八题容者体之容筭术谓之立圆积非径线亦非面也其筭法后篇详)论太阳之光 日为大光六合之内无微不照有不透明之物隔之则生影地在天中体小于日故影渐逺渐杀以至于尽其影之长不至太阳之冲如上图甲乙为日丙丁为地其影至戊而止不至己太阳面上有黒子或一或二或三四而止或大或小恒于太阳东西径上行其道止一线行十四日而尽前者尽则后者继之其大者能减太阳之光先时或疑为金水二星考其躔度则又不合近有望逺镜乃知其体不与日体为一又不若云霞之去日极逺特在其面而不审为何物从运动论 凢五章太阳之动有二其一与黄道赤道比论其一与地平比论与黄赤道比论 如从冬至一㸃起筭行天一日一周明日不在冬至即此一圏作螺旋一周次日复然迄夏至㸃行一百八十余周而通作一螺旋线也苐冬至线与次日一周线相离甚近以次渐逺迄春分而甚逺过此渐近迄夏至而甚近过此又渐逺如是循环无穷耳详见后篇又冬至初日之线其螺圏甚小次日渐大至春分甚大过此渐小迄夏至而甚小如是小大循环者何也为纬圏中冬夏至皆小圏赤道为大圏故也从冬至迄夏至此为成岁之半矣若从夏至迄冬至亦作螺旋行毎日一周百八十余日通作一螺旋线但此线非复前线而别作一线毎日与前线作一交耳此为成岁之全也如图作螺旋圏不能为三百六十作二十四以明其意已上所说螺旋线是太阳之体理实作如是运动无可疑者但螺旋则无法之线也以此测候亦复无法可立故天官家别用他术如下文测候之术 如用春分起筭初日从初㸃循赤道行迄一周是为一日明日即不在赤道而在其第二圏又不直距于初㸃而东西相去为黄道之一长度其南北距度即不及一度也此一周即为赤道之一距等圈矣太阳恒在黄道下行故无黄道之广度至第三日复作第三距等圏与次日同凢九十日行黄道九十度即于赤道旁作九十距等圏其第九十则夏至圏夏至圏去春分圏止二十三度半故太阳之行亦如是而止此九十距等线以当全螺线之半也用此术则从夏至迄秋分亦有九十距等线其线即春夏距等之原线矣至秋分即复行赤道一日无距度距圏与前春分日所行同线相对其两对处则有极分交圏以为之限也自春迄秋二分之间行一百八十度黄道长度与赤道之距度其数皆等从秋分而后毎日作一距等圏其第九十则冬至圏也凢诸距度圏皆交于黄道独二至之两圏切于黄道为其行至是尽矣其两尽处则极至交圏为之限也秋分迄冬至亦二十三度半与其迄夏至等故其间距等圏与其迄夏至之距等圏亦等从冬至以后亦依前所行距等原线以迄春分而岁成矣太阳之行恒在黄道下无广度亦恒在两至之内故两至之内皆为太阳所行之道而太阳毎日行一度弱故两至间之距等圏凢一百八十二有竒毎一圏岁两经焉如此术即分太阳所行为二路其一分计毎日所行各行于赤道侣圏皆在两赤道极之间其二总计毎岁所行皆行于黄道在两黄道极之间其一日一周于黄道为一长度于赤道上不及一上度此一上度弱者名为黄道一日之升度黄道之升度毎宫与赤道不等故毎日黄道之升度一一不等(见本设表)螺旋合术与黄赤分术比论 论合术则自东而西毎日不及一度故云日迟论分术则自西而东毎日循黄道行一度故云日疾其实一也但螺旋于理甚合而无法可推分术则分数易明其间即有参差不能及一微一纎非仪象可测故厯家专用分术(加减法也)以便推步与地平比论 太阳至地平上为出为明从东而西没于地平下为入为晦论正球春分日太阳出于东方行赤道赤道即东西圏渐升至顶极即至南北圏为极髙之弧此地平以上之半昼分也亦谓之东半昼弧午正后渐降至地平谓之西半昼弧东西合则为全弧行尽全弧为一昼其一日之中地平上凢有表即得影日出则为无穷之西影渐短至顶仅得一㸃(或云是为无影安得一㸃不知无表即无影若令表离于)(地平即有与表等大之影)午正后影渐长至地平复为无穷之东影日既入地平下则有朦胧分(一名昏度一名黄昏)行地平之低度十八(低度者非黄道赤道之度乃地平之纬度也在下故名低度在上名髙度)后此为夜如上图甲乙为赤道即东西圏丙甲丁为南北圏甲髙九十度满一象限己戊为表日出辛表端影在庚至壬影在癸至庚则在辛也至甲止一㸃丙丁即地平低度十八至子丑而止日至于南北圏下为半夜迨近地平下十八低度复为朦胧分(一名晨度一名昧旦一名黎明一名昧爽)凢黎明将尽日将出地平上有云则为朝霞黄昏之始日初入地平上有云则为晚霞所以赤色者为日光返照如火出烟本是黒色与火并见即黒见烟不见火即为红烟矣问日出入则大日中则小何故曰地居天中日周其外因于太阳如受燔炙恒出热气是名清蒙之气此气之厚去地不能甚逺日出入时人目衡视积气甚多如物在水中其体大于本体故出入时日形似大非果大也至日中时以垂线照地人直视之积气甚少日不受蒙则似小矣若出入时或深紫或微红或似长圆亦皆是气之厚薄疎宻所为也其春分次日太阳离赤道即不出于东西圏之初度而在其稍北之濶度(即地平之经度不言广者以别于黄道纬度也)其相去也与其日之距度等(为正球则赤道与地平为直角故也欹球则否)太阳既稍北则其表影亦稍南其昼分与初日等其南北圏下之极髙弧则稍减于九十度又次日则濶度愈大极髙弧愈小以迄夏至其濶为二十三度有竒其髙弧为六十三度有竒从赤道南迄冬至亦如之其方之昼与夜恒等何者赤道与地平为直角即一切经纬圏其隐见恒相半故如上图甲乙为赤道即东西圈春分日日从此道行次日以后渐向丁戊行甲至丁乙至戊各二十三度有竒庚至丁其髙弧六十三度有竒论欹球一岁中独春秋分两日得昼夜平何者是其日太阳在赤道下赤道与地平皆大圏交而相分即所分之圏分相等若赤道距等圏大小不等以地平分之其圏分上下皆不等如上图甲乙为南北极丙丁为赤道丑寅为地平春秋分两日日在戊为黄赤道之交则地平上下圏分等过春分日渐北如至辛壬距等圏则丑寅地平分昼夜于子过秋分日渐南如至己庚距等圏则地平分昼夜于癸上下皆不等又一岁之中凢两昼之距两至等则其昼分之长短亦等凢两昼之距两分等即一在赤道南一在赤道北其距度等而此日之昼与彼日之夜等凢球愈欹极愈髙即髙至(不曰冬夏至而曰髙至通南北言之)之日愈长凢正球之南北濶度等欹球则否凢正球之二至日中时其髙下恒相等欹球则否日中时其二至一甚髙一甚低论平球则以半年为一昼以半年为一夜何者北极与顶极合即赤道与地平亦合故九十距等圏从赤道迄一至皆在地平上其在下亦如之也其表恒作无穷及最长影不作短影毎日为一周亦作十二时或二十四但百八十周恒在昼耳论䑃胧(早为晨分暮为昏分或并曰晨昏或省曰朦曰朦影朦度)太阳在二㸃二㸃之距一至等其朦亦等何者去至等则同在一距等圏上故若二㸃之距一分等其朦不等孰大孰小近于上极者则大逺则小北极出地处则北六宫之朦大于南六宫南极出地处反是北极出地处太阳在北六宫愈近夏至朦愈大迄夏至极大过夏至渐小南方近冬至愈大迄冬至则极大过冬至渐小北极出地处迄冬至不极小极小者在赤道冬至之间南方迄夏至不极小极小者在赤道夏至之间太阳在北六宫愈北朦愈大平球之处其太阳入地低度不过二十三去朦度之十八未逺也故其晨昏最长一年之中明多于晦几乎不夜正球上两㸃在赤道南北其距赤道等其朦亦等其距赤道不等其朦亦不等孰大愈逺赤道者愈大故二至之朦甚大二分之朦甚小问欹球北极出地处之朦夏至极大而冬至不极小极小者在赤道冬至之间然则安在曰此在秋分之后特随地不同皆在分后至前不在其日也如北极出地四十度春分则六刻三十三分夏至八刻六十分秋分六刻三十三分冬至则七刻最小者六刻二十六分有竒在寒露之中候五日也(有本表)太隂篇第五五纬在二曜之上今先太隂者何故一凢论年月日时皆以二曜定之二其理较五纬特为易明三太隂体大昼时亦见四太隂之能力亚于太阳五纬无能及之从本体论论太隂之形象 本是圆体与太阳同虽有晦朔弦望不害为圆详见后论论太隂之大 太隂去人时近时逺折取中数八其地半径自之得六十四半径为三十二全径是太隂去地之中数也其视径去人愈近愈大愈逺愈小折取中数亦得半度与太阳等其本径则小于地球地之容大于月约三十倍也论太隂之光 本自无光受光于太阳故本球之光恒得半以上因太阳之体大于其体故如上图甲乙为日丙丁为月径因日大故受光至于戊己太隂面上黒象有二种其一今人人所见黒白异色者是其二小者则日日不同非逺镜不能见也详见后论从运动论太隂之运动有二其一一日一周随宗动天行与六曜同公动也其二循白道(白道月之本道一名月道下文通用)日行十三度有竒迄二十七日有竒而一周本动也因太阳同行二十七日有竒则过周二十七度有竒故又二日有竒乃及于日而与之会白道不与黄道同线而两交于黄道(两交名正交中交亦名天首天尾亦)(名龙头龙尾亦名罗计)两半交去黄道五度有竒故毎行一周在黄道下者二交初交中是也他详后论时篇第六 十三条既明二曜之体又明二曜之运次因其运动以得时时者何物凢诸有形之物必有变革变革多端中有迁运一端因其迁运先后从而测量剖分之则为时也问草木鸟兽人事皆有变革迁运亦可用以为时何必二曜曰凢立术有三法一须公共一须分明一须永久惟二曜则然他无有足比者故也时之准分尺度一日是也一日者何太阳行一周而过赤道上之一升度弱(当黄道一度)者是也日之起筭有四法或以早或以晚或以昼之中或以夜之中日有大小分大者为昼夜小者为时辰时辰者十二分日之一也(西厯为二十四分之一)常静天之上有二大圏皆过两极而分赤道为四平分其一过顶即子午圏其一过东西㸃(东西㸃者赤道交于地平是东西之)(最中)即邜酉圏从邜至午其间又有二圏为辰为巳从午至酉其间又有二圏为未为申此六圏者终古不动凢三曜至某圏上即为某时也(十二时辰不止日也月所至即为月之十二时星所)(至即为星之十二时)其起筭亦有四法或用子或用午或用邜或用酉时又有刻毎时八刻一日则九十六刻东西所同用星官家用百刻取整数易筭也刻又析为百分分析为百秒逓为百以至微西法毎刻为十五分分析为六十秒逓分之皆以六十也其积日者以日加之初加为一旬一旬者甲至癸十日再加为一月一月者太隂行一周而与日会也(称一月者有二)(义一为二十七日有竒而周于天一为二十九日有竒而及于日因交会之理分明故不用月周而用朔实也)月之分也两分之为朔望四分之为晦朔弦望太阳行一周三百六十五日四分日之一弱为一岁谓之太阳年其起筭亦有四法一从冬至一从春分(测天用之)一从秋分(论二十八宿起于角亢在秋分后)一从夏至(古时或用之)用太阳年者四年而闰一日为四分之一也四百年而减一闰为弱也凢论岁以太阳为法太隂行十二周为一岁者为其近于太阳年也是谓之太隂年用太隂年者岁积气盈朔虚十日有竒三年一闰为十日故五年再闰十九年七闰为有竒故太阳年之分也二分之为半岁周四分之为四季八分之为分至启闭(立春立夏为启立秋立冬为闭)十二分之为节二十四分之为节气中气七十二分之为候其积年者以年加之十二年为一纪三十年为一世六十年亦为一纪恒星篇第七向己说常静宗动二天二天之下则恒星天也畧论其凢有四其一为几何其二为貌状其三为能力其四为迁变几何 六条万物中形天为最大大有二义一在上所最逺故最大二能力最大故其体亦大其形象为圆球何以知之天体最为精纯无襍最为单独无二圆之为象亦无襍亦无二体性如此故其形象亦当如此又运行最疾者莫如圆体他体则滞碍也其去地最逺逺之数以地之半径为度最近处得一万四千度自此以上非人思力所及知也此端似为难信证见后篇其所在万物之最上其质最细何以徴之常在上不𫕥坠知为轻虚细宻也其质又极精纯为无他夹襍故貌状 一条天下之物皆以颜色为其美餙颜色之外别有二美餙一为透彻一为光耀也颜色之美美之下分明光之美美之上分何者其形妙好异于他色一也人之见之无不喜悦二也他物不能自见其美惟光能自见三也他物有色惟光能发扬其美妙四也有此四者故为天下真寳天最尊于万物故一切颜色不足为其文〔？〕惟光为其〔？〕矣或云天望之苍苍然苍非色耶何谓无色曰苍苍非色也太空之中气盈其处气亦无色气积极厚则成苍苍之色譬之玻瓈本自透明畧无他色积之数重则成苍色太空中色亦犹此耳能力 四条天之下济其于下土有大能力何以徴之运行一周成为四季凉燠寒暑万物藉为生长收藏一也世间微物无不各有能力稍大则能力称之天如彼其大也知其能力与之等大二也天之能力下及毎用二器其一光也其一施也光不独能照天下亦能作热如用洼镜对日而成返照则能生火又用玻瓈圆球对日而成折照亦能出火其故为何光于天下为最尊热于四大物情中(四大情者一热二冷三燥四湿)亦为最尊以尊生尊是其理也其次亦能生冷亦能生燥亦能生湿为光本非热非冷非燥非湿而其中有精足当四情故能生热生冷生燥生湿也(如仁中无芽叶花实而其精足当四)(物故能生四物也)夫光之为体若其发而及物何为施之不尽若其不发则一切所受为从何来故其体其用总非人间意量所及光之外别有施者不属光也此有二证其一海潮大小不因于光亦不因于冷热燥湿譬如磁石吸铁别有相摄相受者则受者为所施摄者为能施也又如懐胎生子七月生则长八月生则殀无不验者此亦非因于光亦非因于四情亦如磁铁有别相摄受者故也从上二能知天于下土盖有四徳一曰覆冐一曰包函一曰生育一曰保存也假令不动亦有此徳而又加之运动于此若此于彼若彼变化无端真非思议所及矣迁变 四条凢物迁变首运动天之运动皆环行何者天体单独无二故共运动亦应单独无二环行者单独无二之行也何谓单行曰凢动如人如鸟兽如风皆襍乱无法之行也单行有二一曰垂线一曰圆线石在空中下坠于地此为垂线一切循环无端者皆为圆线垂线之动势尽而止惟圆线独为无穷天以覆函生存下土者也故不能不为无穷不能不为环行矣天之运动恒不去其本所论其各分无一不动而其全体无一分动天之运动有四异其一甚疾一刻分中行几万里如鸟如矢如礟如霹厯皆非所及其二恒平行(其中迟速别有故实无一)(不平行者详见后论)若非一一平行即测候之术无从可用其三恒久不已其四万物之动此为首何者天下之动于此焉系故也若无此动即无四季即无生物问运动而外更有迁变乎曰论其体则无变何者为在最上物无及其际者故不能受变于物论其情则有变如月星无光因于日光变而有光一也又如日月有光因于交食而若无光二也新法算书卷十二
## 卷十三
钦定四库全书
新法算书卷十三 明 徐光启等 撰测食畧卷上似食实食说(第一)人恒言日食月食矣輙概混焉不知月实食日则似食而寔非食也何者日为诸光之宗永无亏损月星皆借光焉朔则月与日为一线月正㑹于线上而在地与日之间月本厚体厚体能隔日光于下于是日若无光而光实未尝失也恶得而谓之食望则日月相对而日光正照之月体正受之人目正视之月光满矣此时若日月正相对如一线而地体适当线上则在日与月之间而地亦厚体厚体隔日光于此靣而射影于彼靣月在影中实失其所借之光是为食也然其食特地与月之失日光耳而其光之失因光在地面与月体之上地与月互相遮掩耳日固自若也总之日也月也地也使三体并不居一直线则更无食矣若食则日体恒居一直线之界末而彼界则月体地体叠居焉月体居界末则月面之日光食于地影矣地影居界末则地之日光食于月影矣实㑹中㑹似㑹说(第二)夫日月星宿之㑹总名也第有实㑹有中㑹有似㑹实㑹者以地心所出直线上至黄道者为主而日月五星政当此线则是实相㑹也如后图日在甲月在乙地心在丙甲乙丙线直至黄道圜之丁是也即南北相距不同在一㸃而总在此线正对之过枢圜亦为实㑹盖过枢圜者过黄道之两极而交㑹于黄道分黄道为四直角者也则从北而视南虽不在地心所出之一线却与地心所出之一线东西不偏而正相对犹一线矣故为实㑹也然月与五星居小轮之邉地心所出线上至黄道而小轮之心正当此线者则为月与五星之中㑹也但日无小轮而日天本圜与地不同心两心所出必有两线此两线若为平行而月轮之心正当居地心线者则是日月中㑹也夫实㑹既以地心线射七政之体为主今此地心线过于小轮之心则谓之中㑹矣如地心为丙日天之圜心为戊月小轮之心为己日在甲甲日与戊心之戊甲径线而从地心丙出线至黄道辛平行乃是中㑹矣然实㑹中㑹俱凖于地心而吾人所居乃在地面而从心所对一线从面所对又一线惟正当天顶之圜则两线同在一线与实㑹无异过此而偏左偏右即分两线矣今人所见日食皆地面上人目所对之线也日月在地心所对之线为实㑹则在人目所对之线不得为实㑹而特为似㑹矣如第二图地心为丙地面为壬天顶为癸癸壬丙定为一直线也若甲日乙月即在癸丙线上则实㑹并是似㑹矣若日在子月在丑与地面壬为一线则似㑹也必月至寅与地心丙为一线方为实㑹耳则是实㑹在午前必先于似㑹实㑹在午后必后于似㑹也惟日食全以似㑹故地有不同而食之分数时候因之所以随地所见亦不同也第合朔论实会交食论似会实会似㑹之线在日月本天无度分而全依宗动天上黄道圜十二宫之度分则必当极论㑹线至黄道之处实㑹线所至谓之实处似㑹线所至谓之似处矣以实㑹线上之日月为据而目视日至黄道有日似处目视月至黄道有月似处得其似处可以较实处之距度矣如第二图子寅丙为实㑹线至黄道卯则卯为实处若壬目视子日至黄道辰视寅月至黄道午则辰为日似处午为月似处也然所用既皆实㑹似㑹而并论中㑹者凢地与日圜不同心而与列宿天则同心心同则径同而日圜之心在列宿天心与地心之上则日圜之径亦在列宿天径与地径之上列宿天之径割日圜为大小两分两分虽有大小而各应黄道之一百八十度此空度隔度之所出故不得不辩夫必用地中㑹线者求凖对日与黄道迟速不均不平之本动又因而求实㑹之准则焉食之征(第三)凡日月相㑹未必皆食惟因㑹之有似有实而悉其差之逺近几何此必须测騐而后得凡人居赤道北者月之似处比实处恒若偏南若偏低者然夫月在日与目之一直线上不偏斜不低昻乃能掩日而为食若精察之较月食更难焉第观日月似会之时其距度比日月之半径或大或等者必无食也小则必食矣愈小则食愈大矣考之在龙头龙尾若正当头尾或与头尾不甚逺则当测其食否若与龙头龙尾相逺而月似㑹之距度过三十四分则无食矣可不必测矣月食则于望日求之月之距望若小于月半径与地半影者必食也其食之处定在龙头龙尾之两傍十三度三分度之一过此则月之行道不相涉而不相掩矣如甲子年八月望日月经龙尾不远则应测其食而考其所经之躔度乃在黄道白羊宫三度五十六分四十一秒其躔道距度则五分三十六秒矣夫月半径得十六分四十三秒而地影之半径则四十五分十三秒二数并之即为六十一分五十六秒距度止五分三十六秒是最小于月径及地影之半而全体必尽食地影必且有余矣若乙丑年八月望日其月在龙尾双鱼宫二十三度半夫月半径十七分十五秒而地影之半径则四十六分三十七秒二数并之得六十三分五十二秒月距躔道四十八分二秒则小过于地影之半径而月体必半入地影而不得全食也食之处(第四)龙头龙尾者何是日躔之两界月食所经之处也昔人测日月之食必在躔之二处而月之距此益逺则距度益广广者象腹则其所起所止象头尾矣十二宫右旋从头至尾则左旋而此头尾二处非定于二宫但设为多圜嫌于繁混故止取龙之头尾以略征之也如上图甲丁乙为日躔圜甲丙乙为月行圜两圜交于甲于乙而从甲上升左旋至丙至乙故甲为头乙为尾丙丁相距最广为腹也但甲在白羊宫则乙在天称宫而腹在磨羯宫若甲在双鱼宫则乙在室女宫而腹在人马宫凡十九年乃复原处故日月之食不十九年不能在本躔同宫同度也日月地影之径说(第五)日月之径原自平分今因日在本圜月在小轮有逺有近近则见其径大逺则见其径小又地影者是日与地所生故日之逺近亦能为影之大小也然无有食而月不居本圜之高处第就月居小轮日居本圜则每食自不同而其径之大小与小轮与日本圜无一定之规则惟用日月之本动方可考定今考月体本动之法每四刻若行半度则知其径亦半度矣日体每四刻若行二分三十秒湏以十三乘之则知其径十三倍于二分三十秒矣此系一定之常法但日月之行时刻不均故以是法测其体之大小未免少差盖日愈髙其体愈觉小其动亦愈觉迟日愈下其体愈觉大其行亦愈觉速月在小轮其高下迟速亦然其考地影之法须先定日之最逺处月径假有三十三分即以三率法求月体于影如五与十三之比例即等于三十三与八十五零五分之四之比例也若日不在最逺先当考日之居所离最逺处几何度次考日行比最逺处几何疾以疾行之度减去地影则得所求矣食大小迟速辩(第六)夫距度广狭实为月食大小迟速之分故望日之月视其进地影厚处则其食迟进地影浅处则其食速朔日之月视其似㑹少偏日躔或似㑹大偏日躔而其故总由日月逺乎龙之头尾也望日之月在头尾正躔则月食至大至深若少偏而躔影之半径与月体之半径等则虽全食而即复若距躔影又远则食不全也若日虽全食亦不能乆因月径之似处小仅能遮日体而须臾便过故但能全掩不能乆掩也今欲知食分大几何必须定其分数几何葢西洋取日月本体为十二平分移此分寸量月所经之处若日月食十二分有余者是谓至全至大之食也但欲精察不谬月食则究食甚时月道距躔道几何日食则究食甚时月似处距实会几何经候几何(第七)欲知食之经候几何须知日月之本动设若日月本动相同则月必不能进影进亦必不复出矣今月行黄道比日甚速能逐及于日而又过日前故但较月过速日过迟之两候即知日月食经候得几何也此有筭就立成凡某时刻日月当食其本动之度几何则以日过迟之少数减去月过速之多数次取立成视月多行之度几何则得盖以过速之多数除初食至食甚之度数即系初食至食甚经候之度分也食甚至复圆亦如之顾日食之中前中后与月食有异盖日食惟在躔道九十度正天中者中前中后均平无异若其食偏在东西即有异矣偏东则初食至食甚短于食甚至复圆偏西则食甚至复圆短于初食至食甚故求日食毫厘不差必须较看日月行动先后两时刻度分其一在未食前其一挨复圆后而初食至食甚度分用以除食前一时刻度分食甚至复圆度分用以除复圆后一时刻度分即是日食中前中后之经候度分也日食月食辨(第八)夫日食与月食固自有异盖月食天下皆同而日食则否日食此地速彼地迟此地见多彼地见少此地见偏南彼地见偏北无有相同者也而月食则凡地面见之者大小同焉迟速同焉经候同焉唯所居不同子午线者则时刻不同矣盖月一入影失其借光更无处可见其光也右所举不过略言食之固然与夫所以然耳若精求合朔之时刻日月之真方位及月离躔道之距度考南北东西差每处不同日月每时行几何度分与夫月进地影食甚时以较太阳行度几何迟速及他种种议论种种见解是书皆未及言俱各有本论及立成井井胪列俟翻译后开卷一目便已了然新法算书巻十三
## 卷十四
钦定四库全书
新法算书卷十四 明 徐光启等 撰测食畧卷下月食为地影所隔第一问月食必在于望因日月相对之故其说明矣至谓地影隔之而食窃有疑焉曰月对日而受其光苟日月之间非有不通光之实体为之障蔽则必不能阻日光之照月体无论空中之火空中之气与夫天体不能掩月即金水二星虽居日月之间其影俱不及地况能过地而及月乎则知能掩日者惟有地体一面受光一靣射影而月体为借光之物入此影中安得不食而半进则半食全进则全食矣月体当食尚有光色第二问无光之月一入地影遂全失其借光也然食时尚有依稀可见之光天文家毎视食月之色预言食之徴验若人以目切墙屋掩其未食之光体而独视其既食之乌体其光尚明于星也葢物之可见必借外光不独能见物体且更能发越物色也月既在地影即失借光安得尚有色乎曰月体虽食尚有㣲光今直以影为明者误也以影为暗者亦误也称影为明暗之中者庶为近之葢日所正照为最光明有物隔之而四傍之气映射或对面之光反照虽无最光明亦有次光明也如一室之外为最光明一室之内为次光明也云之上为最光明云之下为次光明也直至所隔愈深去光愈逺并次光明亦渐㣲㣲而又㣲以至丝毫无光乃为暗耳夫人与地近日与地逺人居地此面日在地彼面至夜子初人在地影至浓之中近物尚能别识何况月在地影至锐之处次光明正盛其有光色又何疑乎且人在极暗则月光虽㣲视之反觉明也日食在朔月体掩之第三问前言月在日前能掩日光是已金水二星亦皆在日前又皆实体且水星虽小而金星则大于月也何独以食属月乎曰二星于人甚逺不能掩日百分之一二而日光甚盛即亏百分之一二人亦不觉且二星去日甚近去地甚逺所出锐角之影亦甚短决不能及地面也若夫月体虽不及太白之大然去地近去日逺一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一实体之能全掩日又从西而东过之甚疾唯月为能葢月之右旋比诸天更速且必至合朔方有食则日食于月决然之理也因食知月体不通光第四问月体受光而返照之必不通光如铜鉄镜葢通光则不能受日光而反照他物亦不能掩日而生影也曰镜之设譬似矣而尚未尽夫镜之照物而反生之象其大小逺近必与物体相当然后可以镜喻月今观镜之面有突如球有平如案有□如釡惟平者所生之象乃与物体相当若如釡者所生物象必倍于物体如球者所生物象必小于物体矣试以球镜照逺物而人又从逺视之则物象必倍小甞持球镜照太阳之体其小如星倘月体如球镜欲其反生太阳之象乌可得乎又问合朔后月之下半未受日光而月体㣲光比诸星更显若不通明则此光又从何生且观其掩日而日全食时月之边际觉稍明于月之中心似中间厚处难通而薄处稍可通透乎曰前既言月在地影最中处乃天光映照之明若合朔时则有光之天与月体最为切近而日光上照月体约有大半四边岂得无光或言月既非极通光如玻瓈或半通光如玉石特因在后之物其体质不明故不能映见在后之物乎曰试观日食甚之时天光尽黒星体亦现尔时太阳在后体质最为明显何以不能映见丝毫可知月体绝不通光也或言在月后之物必更坚密于月者然后能照见若较月更通彻即不能见乎曰若然日体在月后坚密不亚于月而亦不能见可言日体为通彻乎又凡目所注必须有色及所照之光此二者必不通彻之体乃能受之则月体从可推矣月食时人目不及见月受光之靣第五上言日光照月体大半则知日比月体至大然日食甚之时人目所见之靣何故绝无丝毫之光曰凡人视圆球止见小半葢球有大圜有小圜若以两线切大圜其线必为平行今目所注视之线既不能平行则不切至大圜可知而目亦仅能及小圜矣(详见几何一卷)(二十八题)又望后三日虽月毎日行十三度有竒而月边尚似圆圜可见人目正及其小圜也或曰望日所见月体之靣即月所受光之靣其光为大半则二三日其光尚在大半之内则晦后月轮稍移便宜见光而光今竟不即见何也曰月掩日之时一则人所注之圜与日光照月之圜为平行一则日食时不过一两刻则两线亦不能相切至望则不同矣又望时日光照月少于他时葢晦日日与月止隔金水二星天而甚近故所照亦多于望日望日与月隔金水二天及月本天之体而甚逺故所照亦少于他日然晦日所照虽多于望日而人目所及止见小圜而月光不即见职由此矣日月毎月不食第六夫月不恒食之故有二一则日体常丽躔道则地影亦常对躔道一则月行常出入躔道故他影不及葢凡光照物必直射而作直线今日在躔道其光自平靣而直通至地则反影亦反射至天如日光之射地其日光绕地一周则影亦绕天一周其地影至月天濶不过一度半躔道平分地影毎边有四分之三又望日月轮不在龙头龙尾近处故月体与地影不得相遇故不食此前篇言毎月食三体必在一直线也或曰日食应有多次为其不论月之寔所但论月之似所若论似所则南北所差甚多如此则人住两极近处者视月逺于躔道亦能食日矣曰人居在北极下而似所与寔所相距不过一度譬如月在地平东西差亦不过一度可见日欲食时月不能离躔道一度强故日食亦少也但论一处则日月之食不等槩论天下日食应多于月食也因月食徴地圆如球第七格物家悉言地圆如球验之洵不得不然也葢凡物之性重者势必就下若一无所阻必径就天心天心者最下处也故大地四旁皆欲就下其势不得不结为圆然则虽山岳之髙湖海之深亦无损于地体之圆也今以地靣论之日月星之出入东西异则时刻亦异试观同此月食欧逻巴见于丑正亚细亚见于寅正是可见日之没也先没于亚细亚之东后没于欧逻巴之西也非圆于球者必不然矣大率从西而东七千五百里则应天三十度而先八刻见食设地体如案则天下见食共在一时无有彼此后先矣若地势如盌则逺于月之处先得见食近于月之处反后得见食矣至若地体如觚而四方或八棱则凡在一靣者见食皆同矣何故有时刻先后之异乎非圆而何也又问地固圆矣但日月初出半露地上圜体切之宜若弧状今但如弦何也曰地球掩日月之半寔自如弧今见如弦者因地形掩日月处较全圜甚短人目视之如直而寔圆也今设一圜线其长寻丈若截取分寸之长则不见其曲矣问地既为圆球吾措足之地在球靣则所见四旁之地宜皆低也今见近处觉低逺处反觉髙何也曰凡人视物之逺近皆从一直线来入吾目而人之内司从外司忆之故视逺物出线似过髙于近物出线如上图甲为人目乙为逺处丙丁为近处俱属一平线乙逺出线来甲目似髙于丙丁近出者也如人立长廊中或长瓮道廊道两头平正如一而自此视彼只见其髙矣夫视近尚尔况地靣之逺乎惟据寔理察得之则知外司之似误矣因食徴地海并为圆球第八航海者逺望他舟之来未见其舟先见桅端须臾渐两相近则㠶樯头尾全舟毕见矣设海靣为平则此舟全体可见何乃有先后见不见之殊乎几何家正之云从一㸃出线至一界若其线长短若一则所至界必为圜界之形今从地心出线至海靣如此则海靣果成肖圜界明矣若弗允其说而谓线有长短长者其界更逺而逺于心㸃短者其界更近而近于心㸃如此则地心出线有长有短长处之水独能居髙而不下也岂不逆水之性乎如图甲为地心乙丙丁为水平靣丙近地心而为水低靣丁乙逺地心而为水髙靣则乙丁之水逆其性而居髙若居己庚处则更髙乎乙丁水边也观此可知地与海为圆之证而其明白显现者无过于月食敝国有人自依西巴尼亚国至墨是谷国验月食之时刻则先于依西巴尼亚国然两地时刻俱一一较凖故知食有后先而地与海为圆球又食时月内乌影不拘何地其影必作圆形而光体未受食处若半规然以接其乌影若影为方为扁则月之乌影安能如圆形哉若言影圆而其生影之体为四方八角种种异形此犹不通之甚矣说更详于视法诸书其言乌影悉随其生影之体而肖之也问谓影之圆应地体之圆是已若夫水乃通明之物不能并地而生影亦不能并地而为圆形如何曰水离地之重浊能有几何即不同体寕非连体乎既水与地为连体则重浊搅混岂得通明而况加以深厚孰谓水之通明全体而不能生影乎葢月之食影惟系地影则海中有岛如爪哇老冷苏门之等星罗碁布在在有之有则皆能生种种之影则射于月体何处分别是水乎是地乎因食知大山不损地圆第九问客从欧逻巴航海来于西海首见分子午之福岛其隣地有山说者云从千五十里之逺以见其山脊或言天下髙山此其首矣又利未亚中一山名亚兰得其髙视之若际天故名天柱又额勒济亚中一山名百峦说者云其髙出于云表此数处有山之髙如此则天下各国岂无有类是者然大地有此种种髙山则未免有凹凸之状今言其形若球不易信也曰地海并为圆体其形如球者非实圆如天球通光滑泽不□不突者也特谓其类天之球而少异焉尔额罗斯德逆甞云地形如球者大都肖球之圆非如工匠车旋器物之浑圆而毫无凹凸处也否则山之髙谷之深将安所置顿哉然山谷在地靣圆球之上不过为球靣之一㸃尘埃耳今视山谷在地靣虽不齐而视月食乌影未甞不圆若谓山谷与月相望之一靣不能生影则地球与月相切之一边岂不能生山谷之影而灭地球圆尖之影哉今俱不见其圆可知矣几何家用通光测量等器测亚兰得百峦二山垂线之髙只得千二百五十歩况雨雪时天下诸髙山顶处处皆有积雪则较之彼所称天柱者所差又多矣曽何足损地之圆乎今测大地之围九万里矣则其径应三万里也以二山之髙歩化为里数而以较地之全径仅为五千七百二十七之一耳今三倍其髙亦仅为一千七百零八之一是山谷之髙深较地全体之大直九牛一毛耳球上些须之㸃乌能损大地之圆乎因食徴地球在天心第十前论地球居天中心者理势不得不然也葢四行之重浊下坠者惟地重浊之反而轻清上凝者惟天性之两相反而两相去去之至逺者其惟天心乎故地之上下四傍靣靣皆生民所居首俱戴天足俱履地其首上足下攅聚皆不离斯是知地靣上之屋宇楼䑓地靣中之江河湖海千古安于就下之性初未甞见其起离地靣而超越于天也问天之四傍恐未必皆是九十度之髙人视四傍之天似下垂而近乎地又似相接而比乎地矣且朝暮日月之出没若出没于地平之近处则近地平之天未必九十度如天顶也曰欲释此疑盍验诸月食夫日月不相望于一直长线之末则终古不能食也设地不居天中而偏近于黄道之上下东西则食不居半圜黄道之一百八十度矣如上图甲乙丙丁为黄道若地不居中心戊而居己则日居甲而月至庚即食然此日月非正居直长线之末相对相望处其甲丁庚之长未足半圜与古来测验之凖的不易之常法大相背戾矣若言地居黄道极但去极不必相等是又迂濶之甚葢地影近黄道极则地影不能与月相对而掩其光而月体亦终古不能离黄道而受地影其能服天下髙明之耳目乎夫人视地之四边若与天近与天相接者尚自有说葢人从此处以目视彼逺物之界悉慿乎中间有寔体与否如于地靣视天所见只有天有地以中间浑无实体以间之也则地靣之四边与天若近若比此其故矣今试观林中竹木或城上旗竿鱼贯而列若侧而视之在逺者若相近在近者反似相逺而逺近恍惚之不定也又河之两岸各有人立倘在逺处视此二人似觉竝立而无逺近亦不能料二人中间尚有河隔足徴从逺视物易于淆乱而视天何独不然因食而知黄道六宫恒在上六宫恒在下第十一凡习浑仪之说者即当知黄道之居仪上随宗动天以运旋第就黄道之随动而言固有正斜迟速之不等所以然者因其随宗动天之极而极与黄道之十二宫逺近不同故也又当知黄道之在仪不拘何度次何节气其黄道宫从地靣而升则其所相对之宫由地靣而没焉夫地平与黄道两圜在仪为大圜凡圜交错分为十字者寔为半圜而举黄道全圜则半在地靣上半在地靣下也右所言不必胶执一定即据浑仪审验亦可窥见月食之大凡而其故了如指掌矣但食居东西两靣方为相当又见地海全球半居地平上半居地平下葢食在东则日居西食在西则日居东而日月实相对望于至长至平线之末则见日月出线正当穿过地心又见日月至地平上则地球之靣居地平之上矣又见日居东月居西正当半乌影设当此时以通光耳测器平对日月则日光正射月体如此岂不昭然见日月实居地平线之末而贯地球于平线之中乎又见日月及地心竝贯于一平直线如此则自通光耳窍测影处以去地心非如一小㸃乎且凡有月食无拘冬夏天文家正测以日月相去黄道六宫则明见六宫居上六宫居下是又不待食而然四时恒若此也第其宫当从地平游移上下而至于原处地平也据月食即知其实本位所第十二据子午髙处欲求星宿之偏居原不属地心距度者即因其偏居处求之而知其居于黄道之处所甚易易也故天文家欲求其凖的详制若干仪象以测验焉然仪象之巧妙全在通光之窍使其射光处有凖的不移动不更改则是器之用不惟能测地靣足迹所不能至之处即山岳楼台之髙江湖之阔地里之逺井谷之深凡诸种种悉能测之极而能测量天之星宿与天之彗孛也第今用是器以求月之髙度因而知其在黄道之实本位所惟除地方二十三度内如广东广西等处不特难之难且无凖的可据更难于推算也葢月之始出其髙度少则差度多髙度多则差度少由是则时刻之所在其差度恒不一葢凡以仪象测月要当取地心之所方为不谬今势不能得不为虚器乎但器虽有短心灵无尽故多罗某及诸天文各家言细测月食在于月行本道进影时不居似处而居实处则在食甚时不得不凖对乎日既知其的确处所则知其本动之行本行之异知其顺往则知其逆来而食之时刻食之大小食之方所毕知之矣因食而知月有小轮第十三问月有小轮何所据乎抑因其食而证其有乎曰天文家究心殚思屡经测验月食悉见夫食屡居本圜之极逺其日屡居本圜一处则生影不得不尽一也然食时之分数有多有寡多则月居影厚处寡则月居影薄处必有小轮焉月体居之因其极而动时居轮上则去地靣逺时居轮下则去地靣近如后图所载云问月既有小轮如五星者则其停居顺行退行亦宜若五星然今独未见何也曰夫月行随其本圜之疾故不言其停居退行只言其行速行迟也速者因其居小轮下随本圜之动自西而东迟者因其居小轮上随其自动自东而西逆本圜之自西而东故也问月体既居小轮随轮而动则无本动若论其体之圆则宜自能动何如曰有谓月中影象是地体厚处所映者谓月体通光处日光射而逹之不得返照者又谓月体中自有髙卑如山谷者种种异说然此影象恒俯对地靣而人恒仰见之不侧不移则月体有本动明矣其动因乎本极而逆乎小轮行之迅速与小轮竝速也影象之明恒下垂之安得谓月轮无本动乎因食而知日有不同心圜第十四问日食有或全食经候多而见食多处者或全食而经候不多而食不在多方者其故何也日天文家正据此以验日有不同心圜不然何其食同而经候不同掩地靣之广狭不同也可见日月俱有不同心圜而居不同心圜之上下则为去地之逺近生影之大小也今有一光明之体照一不通光之小物两体相近则明体照物体之大分而生影小两体相逺则明体照寔体之小分而生影大此见日食全而大者则日体必逺乎月体日食全而小者日体必近乎月体明矣倘日月无不同心圜之极而以地心为心则其东西行动必规随夫地心何有逺近之殊耶丁先生者太西髙明之士尤长于天学亲见两日食之异其一于耶稣降生一千五百六十年在哥应巴府见月掩日白昼如夜星宿昭然其一于一千五百六十七年居罗玛都时见月居日前当中掩之而未全蔽月边四围皆有日光即此二食知日月去地靣有逺近而日必有不同心圜也因食而知日月地大小之别第十五问日体甚大于月与地何徴曰昔有人叹世人止慿肉目不求物理甞设喻曰日出地时设有骏马疾驰从日始露至全现亦可驰四里纵令日行与马等速则四里而仅见其全则全体之径亦必四里矣今骏马一昼夜所驰于地几何最速不过全围百分之一也而太阳日一周焉则其行之疾莫拟也是则马之四里日之行几千万里矣日体之大即此㣲可知也且日月体之大小即食可辩葢凡物之有形象者若空中无所障碍则其体之全体之分无不出其本象于一直线而至乎界之一㸃此凡物皆然不拘方圆棱角等形如有物体于此其基址即物体也其界㸃则线之锐角所至而入人目者也凡寔体出锐角影者照体必大乎实体否则其光不能照寔体之全靣而使对靣锐影之尽处仍聚合而有光也今欲验日大乎月可视日食月居日前而掩其光是时月边尚有光是日体在外而其象之入人目非近来自月体乃逺来自日体也其线既为角形则从月体至日体更为广大是其角形之锐从日来目为一㸃而中间能包月体有余则日体之大于月体复奚疑哉今欲知日体大乎地者观诸月食可知月之食地居日前而生角影掩月体也当月食时月体近乎地则入濶影逺乎地则入锐影愈逺愈锐以聚于一㸃若此者孰不信日体之大于地体也设谓日体与地体均则地影大小均为无穷尽之等影若言地体大乎日体则地影必益逺益大为无穷尽之大影其影既逺不独食诸天之星必且食诸星之天矣则每遇望时月体讵能逸于大影之外乎由此益信月体之小乎地球也葢地影益逺益锐而月食居此影或有全而乆者则月径更小于影而影小于地故月体地球之大小从可知矣因食而知各地之子午第十六多罗某者天文家之宗匠也其所定子午法诸子皆宗之当时欲定各国各府之子午以便测验乃先定福岛以为西极而此外因海弗论也职方氏谓心忆不如足至多罗某生平足履虽未徧地而垂法之妙足逾百家矣厥后诸天文家身渉多方目测多食益精其遗法之妙而职方图志益广其传焉今欲求经度之准的东西之远近法莫善乎考两地之月食以此方之时刻与彼方之时刻相较视所差几何即知两地相去几何度矣假如癸亥年九月望应月食京师及隣近地初食在酉初二十七分食甚在戌初五分复圆在戌正四十三分此中国之食候也若在西洋则初食在巳正四十二分食甚在午正十五分复圆在未初四十八分其差得三时零二刻半则知中国去西洋之度东西相距一百一度十五分可见凡两处月食之先后即能测两处道里之远近矣然既确识东西之经度即以西洋所定测算立成举而按之用力省而获便多矣前癸亥九月望月食望承命以西洋法测算是岁望初来都中未尝测本地之食莫得其经度不敢轻任嗣后复蒙严督因以先寓广东时所测一次月食之经度又用诸仪较量知京师更东凡三度强于时刻应先十二分离西洋中心勿尼济亚国东西一百一度十五分据法推算分秒时刻幸不少爽甲子二月望及本年八月望两度月食承命推算幸亦无爽今乙丑岁又当月食复䝉命推算敢不祗承谨据西法测验一一条列于左倘有讹谬则拙算之未至非成法之有讹也诸食图具后初食月距躔道四十分强食甚距躔道三十六分复圆距躔道三十一分半初食酉初二十七分食甚戌初五分复圆戌正四十三分初食至复圆共一时五刻食甚入影四十分八秒初食月距躔道六分强食甚距躔道十二分弱复圆距躔道十七分半初食子初三刻六分食尽子正三刻十三分食甚丑初三刻三分初复丑正二刻九分复圆寅初三刻食全不见月光共六刻十分初食至复圆共一时七刻九分食甚入影十八分初食月距躔道北十六秒食甚距躔道南五分二十六秒复圆距躔道九分二十八秒初食丑初二刻六分二十七秒食尽丑正二刻十分二十七秒食甚寅初二刻四分三十九秒初复寅正一刻十三分五十一秒复圆卯初二刻二分五十一秒初食至复圆共一时七刻十一分二十四秒食甚入影二十分二十秒初食月距躔道四十五分五十五秒食甚距躔道四十八分二十二秒复圆距躔道五十三分三十一秒初食酉初四分三十六秒食甚酉正二十分二十秒复圆戌初三十六分四秒初食至复圆共十刻一分二十八秒食甚入影五分二十二秒此图黒圜靣是地影圜靣东西过心一直线是躔道甲乙线是月行道甲圜是月初食丙圜是月食甚乙圜是月复圆然当知天体浑圆而图为平靣画图终不能得天之似故玩图必须仰观而以南北字靣一一对如其方向则甲月自西来入地影肖厥天象矣食不言徴应第十七前数则不过粗言其要而已毎有叩(望)以徴应者因喻之曰星宿各有情好也若性情之干热者相聚地必暑寒湿者相聚地必冷彗星彩霞火属也而相值荧惑之星则地之干燥也亦必矣若此之类理势必然推验不谬者岂有日月之食宫次不一而毫无所徴验乎第人过信其必然之理遂泥其已然之迹不事探求其所谓自然者又不精求其所以使之自然者其道未易言也故先师多罗某精于斯业尝曰斯业之言非一定之法可永守而不变者望晚学也法师以不言为言而妄言徴应能无骇乎新法算书卷十四
## 卷十五
钦定四库全书
新法筭书卷十五 明 徐光启等 撰学筭小辨咨礼部文为恭进厯元以正厯数等事准礼部咨准通政司咨据保定府满城县玉山布衣魏文魁为前事具疏令伊男魏象干赍捧厯元一部到司看得魏文魁虽云考正厯法然未经试騐不敢轻进御览合咨考騐等因到部相应转咨查照考騐等因准此看得满城县耆儒魏文魁知其名二十余年矣颇闻邢观察律厯考多出其手近刻厯测厯元二书则功力识见加胜于前葢苦心力学之士无论一时草泽即百年来治厯名家翘然自负藉甚有声者所不逮也但事干进奏银台谓未经考騐不敢轻进良为有见而本儒身在原籍无凭咨核姑就近刻二书及送到交食一单略举一二令再为商求务期画一徴前騐后确与天合因而推歩成厯不惟生平绩学可以自见本部亦得取资藉力以襄大典矣百年绝绪非不欲速其成潜隠硕儒非不乐与其善但与其奉㫖之后考究异同致稽题覆不若计定于前应时报命之为愈也辞句颇繁粘连别幅为此合咨贵部希为查照转逹施行须至咨者崇祯四年六月初一日计开一议交食据单开崇祯四年四月十五日夜望月食今考验食分则为宻合加时后天一刻亦为亲近独二年五月朔日食监推三分二十四秒初亏已正三刻囘囘科推五分五十二秒初亏午初三刻临期实候得食止二分初亏已正四刻与本部所据新法宻合此改修之议所从起也今厯测称三分九秒初亏已初三刻则食多一分时先五刻厯元称日食一分二十一秒初亏午初初刻则食少一分加时宻合而两书自相违异食差将及二分加时不啻五刻此宜再加研察并将两术筭草备细开报以凭查核务须追合天行方可议定成法以垂永久至今年十月朔监推日食二分六十四秒初亏未初一刻本局新法推食二分有竒初亏午正一刻而单开食止九十七秒初亏未初二刻则食少一分有竒加时后天五刻此法异同不须争论宜待临时候验疎宻自见耳一议冬至据厯测不用授时厯加减岁实亦不用大统定用岁实而用金重修大明厯小余二十四刻三十六分则各年冬至宜逓加二十四刻三十六分方合古来成法今查厯元称崇祯元年戊辰测己巳岁天正冬至得癸未日午正二刻崇祯三年庚午测辛未岁天正冬至得甲午日子正初刻两年之间实差四十九刻平分之得二十四刻五十分亦为宻近但天启七年丁卯测戊辰岁天正冬至得戊寅日卯初二刻而前推己巳岁天正冬至得午正二刻则差二十九刻与小余不合者四刻六十四分两测两推必居一误矣所宜再加研究以求必合者也右二则略举目前易见之事欲须审定画一但山居既无仪器推测得此已属苦心今欲必求确合当于候台测验本部新局亦粗备一二可以审详或本儒年至未得辄便前来亦可令嗣子门生测量分数细加较筭纵未能即合天行于自立之法自譔之书不宜参商矛盾以启驳正之端若临期果有疑义不妨实吿本部共图剖析事闗国典不至如往代厯师珍其敝帚也再查二书中复有当极论者今略举数事如左计好学深思者必能豁然领悟不至厌其繁细也此事岂不繁不细可卤莽而得者哉其一岁实自汉以来代有减差至授时减为二十四分二十五秒依郭分百年消一今当为二十一分有竒而厯元用杨级赵知微之三十六秒翻复骤加与郭法悬殊矣今详郭法寝次减率考古验今实非妄作决宜遵用而厯元所用又似实测得之是以确然自信仍非臆说二义叅差将何决定根寻究竟则皆是也又皆非也其中义据巧厯茫然所宜极论者一其一句股弧矢厯学之斧斤绳尺也每测皆寻弧背每筭皆求弦矢而今厯测中犹用围三径一开方求矢之法此之半径则六十度八十七分五十秒之通弦耳此而可用则六十度八十七分五十秒之弧与其通弦等乎半之则三十度四十三分七十五秒之弧又与其正弦等乎是术一误何所不悮所宜极论者二其一冬夏二至不为盈缩之定限今考日躔春分迄夏至夏至迄秋分此两限中日时刻不等又立春迄立夏立秋迄立冬此两限中日时刻亦不等此皆测量易见推筭易明之事则太阳盈缩之实限宜在夏冬二至之后而各有时日刻分代有长消加减所宜极论者三其一旧厯言太隂最髙得疾最低得迟且以圭表测而得之非也太隂迟疾是入转内事表测髙下是入交内事若云交即是转縁何交终转终两率互异既是二法岂容混推以交道之髙下为转率之迟疾也交转既是二行而月行转周之上又复左旋所以最髙向西行则极迟最低向东行乃极疾正与旧法相反五星髙下迟疾亦皆准此所宜极论者四其一日食法谓在正午则无时差非也时差言距非距赤道之午中乃距黄道限东西各九十度之正中也而黄道限之正中在午中前后有差至二十余度者若依正午加减乌能必合所宜极论者五其一交食限定为隂厯距交八度阳厯距交六度亦非也本局考定隂厯当十七度阳厯当八度月食则定限南北各十二度所宜极论者六其一厯测云宋文帝元嘉六年十一月己丑朔日食不尽如钩昼星见今以郭氏授时厯推之止食六分九十六秒郭厯舛矣不知所谓舛者何也若郭厯果推得不尽如钩昼星见则真舛耳今云六分九十六秒乃是宻合非舛也夫月食天下皆同日食九服皆异前史类能言之南宋都于金陵郭厯造于燕中相去三千里北极出地差八度日食分数宜有异同矣其云不尽如钩当在九分左右而极差八度时在十一月则食差当得二分弱郭厯当得七分弱非宻合而何本局今定日食分数首言交次言地次言时一不可阙所宜极论者七右七则因本书所有略引其端事颇赜隠更仆未罄此外有当论定者不止百数必欲集成大业固当一一讲究勒为全书令𫝊习者洞晓其法可以随试辄效后来者通知其意可以因时改革或复墨守其说则各就本法自成一家之言以待天验以质公评斯亦前朝之恒事无足为嫌者也贵局二议七论其中有是非二字谨领教略答一二满城玉山布衣魏文魁一议交食据崇祯四年四月十五日月食魁以第二男魏星干第二孙魏理漕候漏测验本县县尹葛允升县学生员张尔翥同测验蠡县人甲午举人贾讷己未进士王行健测验三处测得食既生光刻分魁以法推得分秒以著厯元乞贵局大方家更正咨云独崇祯二年五月乙酉朔日食厯测称三分九秒初亏已初三刻是刋书者误也魁之原稿所存日食一分三十九秒复圆午初三刻将日食分秒作成定用倍而减之初亏自见临时测验数处报来及礼部有闻各著厯元乞贵局更正一议冬至据厯测不用加减岁实亦不用大统岁实而用金重修大明厯岁实非余用也原是授时厯大统厯四余用也贵局不查疑余用之余之所用岁实者不假思索皆从天得厯元著明千载合天不谬真而不伪谅之谅之咨单中又云或本儒未得輙便前来斯言过也魁疏潜隠未上厯元未进不知下落何处未奉㫖议并无召命私自来京惹人哂耻而来何为耶其一岁实自汉以来代有减差至授时厯减为二十四刻二十五分是郭守敬自言自大明壬寅岁距至元辛巳岁八百一十九年以积年而一积日得岁实非减而得之也守敬只有这一长处其月䇿转终交终交泛等并皆仍旧矣百年消长各一决不可用厯元不从用杨级赵知微之三十六分厯元妙而神术人何得知耶郭守敬法考古验今真是妄作决不可遵用如是遵用贵局遵用在魁不然何谓也守敬云自大明壬寅岁来壬寅岁天正冬至乙酉日夜半后三十二刻祖冲之立表所测守敬用百年消长推之得甲午日八十刻失一日二十四刻守敬云天道有失行是天失行邪是人之法失行邪而百年消长遵是乎非乎魁用众君子所测今年崇祯四年辛未岁天正冬至甲午日夜半后五十分为应上距大明壬寅岁一千一百六十九年乗岁实三百六十五日二十四刻二十七分得中积减气应以甲子去之余以减甲子得乙酉日二十九刻天正冬至与天合又以授时至元辛巳三百五十年乗岁实得中积减气应以甲子去之余以减甲子得己未日夜半后六刻冬至与天合其一句股弧矢厯学之斧斤绳尺也犹用围三径一是术一误何所不误贵局责误者不责其源清而责流浊余厯测厯元所著句股弧矢三乘之术以误三百五十余年误起于元翰林学士知制诰同修国史栾城李冶其后太史令郭守敬遵而用之既然围三径一之误必也用太一之文三而一二一三之数也弧矢割圆三乗之误贵局定有良见著为书何如使魏收入厯元以𫝊后世其一冬夏二至不为盈缩之定限殊不知冬至盈初夏至缩初春分前二日四十刻秋分后二日四十刻盈缩逓换即为末限二日四十刻者自平立定三差而来曰极差其一太隂而用圭表所测是真迟疾者何云非非也夫测太阳二至前后晷景年年有之矣若测太隂髙低晷刻有年有月非测太阳之比也非是年是月不得测验四年半测髙四年半测低九年一率迟疾一更自刘洪粗知而不知平立有差今以尖圆法得平立定三差盈缩迟疾咸备在厯元卷之三天启癸亥岁日低月髙之㑹测法细录报贵局查之其一日食法谓在正午则无时差是也非非也所谓时差者言旦夕也不言距度也食在夕者酉初一刻时差多定朔小余必是七十二刻时差六刻有竒日食在晨刻者卯正三刻定朔小余必是二十八刻时差六刻有竒日食在午正初刻者定朔小余必是五十刻不知时差自何而来在厯元卷之二交食元中讲之甚明贵局非也是孰非邪以定朔小余五十刻问司厯氏时差几何渠止㑹推数不明厯理待报自知也其一日食限定为隂厯距交八度阳厯距交六度亦是也非非也隂阳过此限不食且如宋仁宗天圣二年甲子岁五月丁亥朔厯官报当午日食五分有竒候之不食以诸厯推筭皆食五分有竒授时厯推之亦然郭守敬云天道失行以魁之术推之是日得隂厯八度三分果然不食嗟嗟厯代无一人知厯数湮没至今不亦伤乎今贵局定隂厯当十七度阳厯当八度月食则定限南北各十二度此夷外之厯学非中国之有也魁不可得而知之也何谓也言隂厯定限八度阳厯定限六度者是距交前后二度相并也自隂阳八度六度之前后渐渐而寛寛至六度弱渐渐而窄窄至距交隂八阳六二度相并乃㑹食之所也弧矢三乘尖圆之法正谓此云其一厯测云刘宋文帝元嘉六年己巳岁十一月己丑朔日食不尽如钩昼星见河北地尽暗黑如夜秦中地震贵局言南宋都金陵三千里郭厯造于燕去河北止千里非三千里不可辩论何谓也贵局报今年四月十五日夜望月食朝鲜亏时与山西太原府同则可知矣夫北极出地南北异东西同求日出日入则可而南北日出入异异者北极出地髙下之故也东西虽同者谓日出卯日入酉也若交食时刻相同则不然交食者或当交或交之前后移刻则交过之而日躔月离去交逺矣如陕西临洮兰州河州等处西去上谷才五千余里日在酉时带食此处在天复圆朝鲜王京东去上谷五千余里上谷西距太原又四百余里北极出地虽同是言日之出入与交不干假如西域巳时即中国未时也如是日月有食定巳时邪定未时邪欲修厯数必也数理明逹方任其事余观贵局多厯理明逹者乎谚云水深丈探人深语激是也是也与王廷评答客难昨𫝊来魏处士答问语已悉当须更一辨正否古云有争气者勿与言也又曰不直则道不见酌于言不言之间采该局所论次者略节数语开其未悟望致之若更有辨论能依名理虽十往返可也一崇祯二年五月朔日食据云刻书者误也然原稿未误者云食一分三十九秒亦恐未确葢日食之难苦于阳精晃耀每先食而后见月食之难苦于游景纷侵每先见而后食故日食一分以下非人目所能见台官类能言之是日果食一分三十九秒则所见者极微矣而通都共覩实不止一分三十九秒也今年十月朔宻室所候将及二分而外间所见止一分以上此足下所目覩非其明效也一岁实小余三十六分据云此赵知微重修大明厯四余所用授时大统皆仍之处士亦仍之则三十六分特用之四余不用之气朔邪岂四余气朔当有两岁实耶不知五星之岁实又与气朔四余同耶异耶处士自云所用岁实不假思索皆从天得此疑实测所定果亦近之然何不少费思索并定一五星四余画一不爽之岁实乃犹仍金元诸人之旧也咨单中言或本儒年至未得輙便前来者谓其髙年傥未得来当遣子弟代之此正欲其来不得已命其子弟耳若曰拒之来不来曷不并拒其子弟耶文理自明再绎之一岁实加减小余自汉四分厯定为二十五分乾象厯减为二四六一八○南宋大明厯又减为二四二八一四宋统天厯元授时厯又减为二四二五其间七十余家互有加损总计之则自汉至今皆以渐减也彼皆实测实算以为当然乌得谓元以后遂不应复减耶郭云百年减一分三百五十年来应减三分五十秒当为二十一分五十秒而该局所考正今之定用岁实乃是二十分四十八秒六十微即又不及百年而减一分明理著数亦犹行古之道也此则不知者闻之将大笑且骇以为该局所推冬至时刻必且先天若干亦先大统若干而又不然如今岁推壬申年天正冬至大统得在十一月三十日己亥寅正一刻而局推在本年月日辰初一刻一十八分乃后于大统一十二刻用仪器数具前后测验确与天合并无乖爽此为何故平岁实非本年冬至可定真冬至时刻非岁实可推也此说甚长更仆未罄姑就所明通之处士亦知冬至时刻终古无定率乎果有定率则处士所定二十七分岁岁加増足矣何为每测必差即厯元所测定二三年间便成叅错此其间得无诿之仪表未精测候未确不知果精果确乃真见其无定率矣葢正岁年与步月离相似冬至无定率与定朔定望无定率一也朔望无定率宜以平朔望加减之冬至无定率宜以平年加减之若郭太史所増减之岁实者平年也故新法之平冬至或在大统前或在后其定冬至恒在大统后也此法一经道破逹者自能豁然但欲穷究其理非虚心定意经厯岁时难可遽通耳一句股三乘术非误也特径一围三不合耳既称作者宜自为清源以𫝊后世柰何沿前人之浊流耶弧与弦终古无相等之率无论古率徽率宻率太一率即多分之至万万亿犹是弦也否则周外之切线也且弧弦之术举手即须每推一法当数四用之即依古率推演已觉大繁况徽宻以上乎必若此者厯将卒世而不就矣该局既已言之安得无见又安得无书第所𫝊之书有论说有立成有通率都为一十六卷八十余万言以入厯元得无本末不相称耶此书为用甚大故名大测自当孤行于世待知者用之譬如崇台九成延袤百丈而不混者或未可寄人庑下也老而好学诚往昔之美谈然求人之术乃当以排抵为羔鴈耶一旧法冬夏二至为盈缩之定限今云否者古名厯家精详测候见春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其度分等而中间所厯时日不等又时日多寡世世不等因知日行最髙度上古在夏至前今世在夏至后六度则夏至后六日乃真盈缩之限此即真冬至所自出矣第其说颇奥且赜非好学深思未易与之言也一论太隂迟疾用圭表得之夫太阳用二至前后表景推算在一二日内或亦近之若逺则所得者定非真率何况太隂但太隂之迟疾不在去地髙庳去地髙庳者交道也九年再测者亦非测太隂测月孛也月交东骛月转西驰两道违行是生月孛孛者悖也月转至是则违天行故最迟也九年以内孛实行天一周四年半在髙四年半在庳其测髙测庳之月日太隂必与孛同度既得同度必是最迟岂因圭表所测去地髙下为其迟疾耶且孛则九年而一周月则二十七日有竒而一转若洞悉交转之义精探违顺之理深明平自之率确审经纬之度即月月自有其迟疾日日可得其髙下何必九年哉必九年乃得者则岁星须十二年填星须二十九年岁差须二万五千余年谁能待之一日食距午时差旧法以为论时则定朔小余五十刻是也本局以为论度则黄道九十度限是也时与度有时而合有时而离有食在午中或近午左右而推筭时刻乃不合天者其度限去午左右稍逺故也如今年十月朔日食午正而监推乃在未初囘囘厯在未正亦一证已一日食距交限定为隂厯八度阳厯六度旧法也该局定为隂厯十七度阳厯八度而云不然何不考今年十月朔日食甚距交㡬度耶按是日食甚在未初一刻内五十一分本月十五日夜望月食甚在辰初一刻内一十三分两食中积为十四日七十三刻月食甚时过正交入隂厯一度依法推得日食甚时月未至中交十四度强而食及一分则初入食限岂非十七度乎何得定为隂厯八度耶至宋仁宗天圣二年甲子岁五月丁亥朔厯官推当食不食司天奏日食不应中书奉表称贺乃诸厯推算皆云当食以授时推之亦然夫于法则实当食而于时则实不食苟如宋臣之称贺是罔上也如元人言日度失行是诬天也此事遂为千古不决之疑今当何以解之按西厯日食有变差一法是日在隂厯距交十度强于法当食而独此日此地之南北差变为东西差故论天行则地心与日月两心俱叅直实不失食而从人目所见则日月相距近变为逺实不得食顾独汴京为然若从汴以东数千里渐见食至东北一万数千里则全见食也此术于日食法中最为深赜推厯之难全在此等其说甚长已著该局所譔交食厯中未经进呈不敢轻出然论厯至此果所谓得未曽有也古来当食而不食者或推入限不真或夜食而误为晨夕皆不足论独是年于法不误而实不见食乃是百中一二变差法亦厯中𤣥指借此一驳得为阐明正如洪钟在悬非因扣击何从发其音声哉处士一言谓之有功厯学可矣若隂厯八度三分已入限大半无縁得不食也一据答未后一条语意难明如云河北千里朝鲜亏时等不知何物若本部原咨则有二说一谓南北里差元史称四海测验二十七所大都北极出地四十度太强扬州三十三度今测得金陵三十二度半较差八度少加唐书毎度三百五十里则二千九百余里谬也如近法每度二百五十里则二千余里为其南北径线加行路纡曲岂非三千里乎有里差则有食分差安可谓日食时南北之分秒等耶试问之南来人今年十月朔曽见日食与否当自知之一谓东西里差尽大地人皆以日出处为东日入处为西皆以日出时为卯日入时为酉有定东西无定卯酉也南北里差论北极出地若千里而髙下差一度东西里差论七政出入亦若千里而迟速差一度不易之定论验诸交食最易见矣今反抹去此差而欲议交食乎按汉安帝元和三年三月二日日食史官不见辽东以闻五年八月朔日食史官不见张掖以闻岂非食在早独见于辽东食在晚独见于张掖耶据称西域之巳时即中国之未时则日月有食西域之见时为巳中国之见时为未极易晓何者地有两时天无二食也推之西域以西中国以东何独不然安得谓南北异东西同哉今年四月望月食蜀中移文言厯事本部囘咨称顺天府初亏丑初一刻成都府则子正一刻近该省囘文云果在子正是可据为明证若来说中言陕西临洮等处见日在酉时带食而上谷乃见在天复圆则必无之理亦宜再查原稿似倒说矣且不论倒否但云一见带食一见复圆即是东西异见也欲明南北异东西同而所引西域加时及带食复圆二事又皆东西各异得无以子之矛䧟子之盾乎欲修厯数必也数理明逹方任其事是也是也然论理论数各一是非谁使正之此则古来有法追天而已明年三月九月俱有月食试各预推分秒时刻公诸耳目至期验定疎宻目见也傥不可待则太隂去离经星经纬度分五星躔度去离经星及凌犯时刻经纬度分皆日日可推夜夜可验亦各先推后验公诸耳目孰妙不妙孰神不神孰明不明孰逹不逹如出手见指立表见景将谁欺乎即亦何烦诤论何劳翰墨哉附载前论中二法论食限一法 崇祯四年十月朔日食甚在未初一刻内五十一分本月十五日夜望月食甚在辰初三刻内一十三分两食中积为十四日七十三刻(分秒不论)月食甚时过正交入隂厯一度论时则过交在食甚前七刻半也以减中积得十四日六十五刻半为月从日食时行至正交之积时在大统法半交周为十三日六十一刻今月食在后当作逆行从正交至日食甚为过中交一日四刻半(或言食甚在中交前一日四刻半)又月行一日距交十三度二十分今一日四刻半则日食甚时月未至中交一十四度强为巳入食限三度弱故食止二分也论变差一法宋仁宗天圣二年甲子五月朔厯官于汴京推得午时日食五分至期不食今考此地此月日在午正前十刻(即已初二刻)合朔非午时也于时日躔实沈二十三度月未至中交十度半入隂厯黄道纬距度五十三分(五十三分者日)(月两心相距之数也减二径折半三十分得二十三分是为日月两周切近之距数)其在本地太阳出地平髙五十二度四十分太隂南北差三十四分因入隂厯去减二十三分得十一分为月应食日之数故诸家成法皆推为当食然是三分之一非五分也再考合朔在午前十刻而太隂距黄道象限三十三度用法求三差得南北一差大半变为东西差(欲明此理此数为书万言)(未能备述该局譔交食厯指三十卷具载其术)其南北差止一十七分而两周相距二十三分不能相及遂不复见食矣又东西差十七分变为四刻则视朔亦移前四刻(巳初二刻为天元合朔今云视朔者)(人所见合朔也)为辰正二刻也此在汴京则然若去汴以东七八千里则见食三分又北七八千里亦见食更东北行万里则见全食右法独在黄道中限乃无变差虽食午正而在中限左右则亦有之故曰东西时差不以午正为限以黄道九十度之正中为限也变则时时不同或多变为少或少变为多或有变为无或无变为有其多变为少少变为多者人但以为推步未工竟不知未工者安在也无变为有人多不觉然古史所载亦有食而失推者职此之故星厯家虽䝉失占之罚亦竟不知其所繇矣惟有变为无则推步在先至期弗验不得不𫝊耳故三代以来一切交食皆宜论定为古今交食考以俟虚心学习者考焉今诸大论大表未能得竣无暇及此当以异日礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法徐为钦奉明㫖修改厯法谨开列事宜请乞裁事准礼部咨准都察院咨据巡按四川监督御史马如蛟呈奉本院勘劄先该本部咨题前事内开博访得资县儒学生员冷守中执有成书言论娓娓谨令抄录原书先行呈览如果堪用行文起取等因到院移咨过部转咨查览等因准此看得厯法一家本于周礼冯相氏㑹天位辨四时之叙于他学无与也从古用大衍用乐律牵合傅㑹尽属赘疣今用皇极经世亦犹二家之意也此则无闗工拙可置勿论惟是厯之始事先定气朔厯之终事必验交食今崇祯四年辛未岁前冬至大统厯推在庚午十一月十八日亥正一刻本部从前推步临期测验定在十九日丑初一刻五分四十一秒则于大统厯已是先天一十二刻有竒而于来术所推在酉初四刻又先于大统一十六刻则比于本部新法共先二十八刻有竒燕越苍素不啻逺矣然而此事奥赜难宜逝驹莫挽彼此是非孰从定之亦姑未论独辛未年日月交食此可豫推尤难掩覆合离疏宻毫髪毕呈此不必以口舌争也考是年四月十五日戊午夜望月食钦天监推到食限一十四分九十九秒初亏于正东为丑初三刻食既为丑正三刻食甚为寅初二刻生光为寅正一刻复光于正西为卯初初刻本部新法所推则食限二十六分六十秒其在顺天府则初亏在丑初一刻内第二十五分三十秒食既在丑正一刻内第五十一分二十三秒食甚在寅初一刻内第六分四十三秒生光在寅初四刻内第五十九分零二秒复圆在卯初初刻内第二分二十三秒又依各省直道理约畧推得先后时刻不暇徧举今止论四川成都府则初亏在子正初刻九十一分一十三秒食既在丑初一刻二十六分六十七秒食甚在丑正初刻七十零分六十三秒生光在寅初初刻二十六分四十零秒复圆在寅正初刻五十分七十三秒葢顺天府复圆之时月轮准在地平上未入四川复圆之时月轮尚在地平上二十五度有竒来术云加时在昼则此相左之甚而明白易见本部原疏尝云莫难于造厯莫易于辨厯葢为此也今时日既在指顾事理又若列睂合无听令本生同该地方隂阳人等至期诣公府一同候验如果加时在昼即其法夐绝千古本部当盱衡俟之如或在夜则尚宜虚心习学以成先志葢三百年来此道寥寥苟有志焉乐与其进也再照月食分数寰宇皆同不比日食多寡随处各异特縁地有经度东西易地则先后时刻亦随处不一如前所推蜀省时刻乃依广舆图计里画方之法揣摩推筭未委果否相合如必欲得真数又须以本地交食之数验之至期得本地方官令本生同隂阳人等测定初亏真正时刻分秒备细具申转咨前来使本部得借手以告成事是所甚愿也为此合咨贵部烦为查照转咨施行崇祯三年十一月礼部为钦奉明㫖修改厯法谨开列事宜请乞裁事祠祭清吏司案呈奉本部送八月十六日准都察院咨七月二十八日据四川巡按监察御史刘光沛呈称本年五月初五日据四川布政司经厯司呈奉本司劄付本年三月二十日䝉职案验前事奉本院勘劄准礼部咨祠祭清吏司案呈奉本部送准礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法徐咨称内准礼部咨准本院咨据巡按四川监察御史马呈奉本院勘劄先该本部咨题前事内开博访得资县生员冷守中执有成书言论娓娓谨令抄录原书先行呈览如果堪用行文起取等因到院移咨过部转咨查览等因仰司呈堂查照劄案内事理转行资县唤令生员冷守中到司至期地方官督令本生公同隂阳人等㕘验交食真正时刻分秒备录具报以凭转报施行䝉此同日又䝉本院案验为月食事奉本院勘劄准礼部咨祠祭清吏司案呈奉本部送礼科抄出礼部尚书兼翰林院学士协理詹事府事督修厯法徐题奉㫖览奏月食方隅晷刻互有同异便着监督官测候及各省直奏报叅验自见所陈四事务讲求详确以资修改该部知道钦此仰司呈堂查照劄案内备奉明㫖内事理即便转行合属府州县至期叅验备录时刻的确开报以凭转报囘销施行䝉此俱经通行合属遵照行令成都府转行资县申送生员冷守中到司谕令本生先将月食分秒开报至期互相叅验据本生具呈手本开报崇祯四年四月十五日交十六日月食寅正二刻初亏卯初二刻食甚卯正二刻复圆月食一十三分二十八秒至崇祯四年四月十五日戊午夜该本司署印分守川西道叅政贺自镜㑹同按察司署印军驿屯盐茶水道布政司叅政曾栋都司军政掌印都指挥佥事髙铭佥书林天庚团练叅将王国臣督率合属文武官吏师生隂阳医学僧纲道纪人等前诣都司陈设自十五日戊午夜候至巳未子时据成都府隂阳官生郑良等报初亏子正初刻三更三㸃正东食既丑初三刻四更三㸃食甚丑正初刻四更三㸃生光寅初三刻五更二㸃复圆寅正二刻五更五㸃正西呈报在卷查得生员冷守中预报初亏时刻叅验交食差错二时厯法未得不必言矣即隂阳官所报时刻更㸃亦未必一一按接也第据众目所共见者初亏在东南食甚在正南月光尽掩无余良久光始东生复圆则在西南月将西沈天色欲曙日尚未出也想治厯家始能推筭分刻的确非草泽所能测度也除冷守中遵奉部文谕令虚心再加习学外等因縁繇前来合行呈报为此具繇呈乞照验请礼部原奉勘合字号并赐注销施行等因到院据此拟合就行为此合咨贵部烦为注销施行咨部送司准此相应转咨案呈到部拟合就行为此合咨前去烦为查照知㑹施行须至咨者崇祯四年八月二十六日钦天监在局学习官生周𦙍贾良栋刘有庆贾良琦朱国夀潘国祥朱光显朱光大朱光灿等议访举庠生邬明著叅订客有𫝊魏处士岁余气至攷専排本局新法吾辈以为议论异同岂无一二可相印正者宜并存之可也既而详核其说不过冬至交食两事则前学厯小辩论之悉矣彼于辩中㫖义茫然不解遂不能节节置对但为模棱笼统之说曰某法合天某法不合天某法先天某法后天至天之所以先与后法之所以合与不合只字不及也傥然无说彼便诧为已胜不将使实理为强词所晦耶共议条答应之或曰是者心口如铁石无隙可通岂箴砭所能至乎余辈曰不然向者己巳之岁部议兼用西法余辈亦心疑之追成书数百万言读之井井各有条理然犹疑信半也久之与测日食者一月食者再见其方位时刻分秒无不〔？〕合乃始中心折服至迩来奉命习学日与西先生探讨不直谱之以书且试以器不直承之以耳且习以手语语皆真诠事事有实证即使尽起古之作者共聚一堂度无以难也然后相悦以解相劝以努力譬如行路者既得津梁从之求进而已若未入其门何繇能信其室中之藏吾辈非昔日之魏子耶请以所闻于先生者就来语问说一二聊当耳提处士学久功深傥得幡然觉悟即吾辈之朝斯夕斯上可不负简书者此非其一班乎即不其然而以公诸人人使夫有志斯道者共论定之政如引流饮渇酌者必䝉其润岂必魏子众以为然因共劄记凡得若干则如左一治厯者先立厯元定四应分各䇿皆平行数耳欲求定数必因积测用法筭立术以加减其平行乃始宻合于天行焉有不合者更测更筭必合乃已此非一人一世之功也今处士自云一测即得甚易已第未知处士之厯先有法而后测乎抑先测而后有法乎若先法后测是为合以验天非顺天以求合矣若先测后法恐管闚蠡勺数十年未或闯其藩篱也试为之当自知之跬步未涉者乌能知泰山之颠非一蹴可致耶古来造厯者七十余家立法者十有三家是皆觉有乖违随即因而改宪其所更定撰次无不释囘増美多于前功且皆生有竒抱兼饶学力故能为时主所信用后世所𫝊称顾未闻其専诩已长恣弹先阙良以创始难工谊不忘其所自耳今处士所用立成悉皆古来旧法何尝自设一术自布一筹而乃排斥名贤遽谓前无作者此葢未能尽羿之道遂关射羿之弓又何怪同时嫌忌如西国先生者见诋以戴法兴乎法兴实不胜祖冲之故有当时之诎今试根极理要推寻事验孰戴就祖尚未知所定抑何言之易耶法兴所说持之有故不遇正术固自斐然恐亦未便可轻也一盈缩迟疾加减等三差表为筭交食之根本旧𫝊立成表悉不合天今细查厯元厯测所载太阳盈缩三差从冬至起至第六段巳差三十二刻而测冬至之差不与焉其各段所差又复多寡不一是皆因仍旧法以为己有不一改正则每日所推太阳细行悉无合者至交食加时所差更多矣曷不反复䌷绎从实际探讨以求万一之是而纷纷尚口当复何益一测景以求冬至从来作者用为造厯权舆然三景所得实与天行不合近罗先生撰揆日订讹一卷论之晰矣傥前后二景不甚相逺即所差无㡬聊可用之其他正法甚多未易殚述总之不论何法惟揆日景不得为求冬至之法葢定冬至必为最长之景而最长之景每岁无定率也是故从古厯学每论求冬至刻分以取岁实俱言难定即处士厯元中所测二三年已成叅错小辩核之有得有失亦一一可考大明厯合者一郭太史授时厯邢观察律厯考各有合者惟处士所测遂无一合殆是任意揣摩非繇实测或因村落草剏圭表未精故也试以句股割圆二术面相筹筭是非立见矣又漫言某先某后惟已为独得岂好髙使气者能使日再中乎一处士言日食分数止论京师不论各省直异哉自黄帝以来至于今四千余年矣正闰殊统南北东西殊地而皆有厯将悉从燕冀授术乎将各就其国都立术乎抑一方所立可槩普天之下乎史书所载有食在晨见于东食在夕见于西者有南北所见多寡不同者不数考诸方之异同何繇得此方之必合也呜呼九州万国周环大地一一知其入限有无食分多寡加时早晚先言后验若合符契则目之为小技拘虚局见寳为家珍且复论而不推推而不效则以为大经大法此可谓明于大小之辩者乎若处士者亦幸而生当今之世近圣人之居居故得凭籍金元旧法自为满足耳试令生洪武之时将用何术从留都推筭又或居滇粤之地将用何术从本乡测候也古云南北不同分东西不同时又云月食天下皆同日食九服各异是皆厯书之言处士自云何处搜寻不到乃独遗此数语耶律厯考篇袠稍繁搜括亦备竟未见剏一新法说一大义造一用器有可为革故鼎新之助者是故不知者河汉其言以为自成一家其知者以为皆古人之糟粕也而欲守此以裁成大典沮抑方来吾见其穷己一崇祯四年十月朔日食先报后验通都共见乃处士先推九十七秒后来直云不食何也是日百司奏鼓兆人属目果不食言食厯官安所逃罪圣明在上谁为揜䕶而获免耶若夫宻室测量葢因阳精炫耀非人目可当初亏时率多未见或用水盘映照则免于闪烁又苦动揺故善巧者设为此法用素板作圜界画分秒以承日光则亏复初终分数多寡灼然不爽所取于宻室者窥光自暗倍蓰分明即眢井茂林日中见星之义僧寮中或为幽房通隙以受塔影亦此理也于时寓目者有周农部名天祚李仪部名长徳及王光禄应遴陈中翰应登本监在局学习官生佥共赏叹以为见所未见此外邻近来观者未易缕数又同日于本台依法测之所见同礼部及观象台官生以水盘照之所见亦同何独处士一人未见耶所以然者似因原推本无定据中心惶惶幸其不食年髙目眩临时未获谛见而旁人见者惧于逢怒谀言迎合遂信以为真强词附㑹耳然而遽形笔劄指通国所见者悉云非是斯误甚矣凡处士之䕶前自用强人从已皆此类也自欺欺人竟谁属乎一万厯四十年壬子五月朔日食处士称测候不食是也第未知本时候得耶抑先时推得耶若本时候得则人人能言之又何足论若先时推得曷不明言其所以然也依本局新法是日定朔为筭外酉初二刻于时太阳躔实沈宫九度八分未至地平十九度有竒日入戌初一十九分距定朔得一小时四十九分而太隂亦未至地平十九度此实食也论视食尚有髙庳差约一度于时太隂日行十二度约二小时行一度今差一度变为二小时以加定朔并得戌初初刻三十分则太阳已入地故不可得见也又此时太隂在隂厯离黄道四十分而实沈宫当正降故在顺天府即日未入亦不能相掩若西国则罗先生亲候得午正刻食甚六分有竒葢东西不同时此其一徴已一黄赤二道广狭不可距升降不可分旧传距度等表殊多舛谬处士以为无庸改乎奈何因仍用之夫造表之法无论术不能强立义不能妄言即黄赤道以一弧求一矢如处士所抄集古术必用四十余法而得一率则造一小表亦将抑首终岁其难甚矣若局中新法一弧一矢特用乘法一次便能得之终岁之功一日可了此其繁简巧拙相去㡬何如处士是已非人必欲舍而从彼则局中所撰新法立成其种以百计一种之率大者以万计傥用其旧术当聚数十人推筭二三百年乃可竣事将何以应诏称任使乎一闻处士以占候自命未知果否果尔则七政之学尤宜虚心究之何者日月五星经纬度数及其次舍冲㑹合照凌犯与人物为徴应实占候家之准的若言㑹而实未㑹言合而实未合则一切吉凶祸福孰从论之设遇夫晓逹象纬者又孰肯信之今者徐察其语言文字恐分宫赋度或未能尽合天行也何者元监正未能为五星即郭太史亦然今所𫝊九曜法犹是古来相仍旧贯两家特𫝊录其书耳处士之书亦复如是观其所争四余岁实尚作小余二四三六则是五百年前之术也而欲以推今之星躔经纬其能合乎今本局所造皆崇祯元年之数厯兹六载已有微差特未及岁岁更定耳而漫录五百年前之术用强求胜吾弗知之矣如必自以为是请先指一星推定某日时刻与某星㑹于某宫某宿若干度分内外去离若干度分至期与众共验之不亦可乎果其屡试不差乃可得言禨祥矣更据理论之禨祥者周礼保章氏之职也其言不𫝊于今则为天文科所𫝊之书绝不雅驯仍无义据葢辽金以来星翁卜师之妄作耳此律法所正禁逹识者羞称也无已则有二焉其一推人生命知其禀受刚柔善恶可用以矫偏克已其二推岁月时令知其水旱丰凶可用以豫备修救此于身修国治不为无补儒者亦或用心焉顾非精研熟究分秒不失未免喜畏殽杂凶吉倒置矣即使悉无乖舛其所诠说尚多有不验者焉是以智者讳言之一东西差变为南北差学厯小辩中无是语也第云南北一差大半变为东西差耳此理精微葢必千百年积候千万里互证方能推究若骤语之虽聪明绝世未易悬晓其然不然也敢以过望于处士乎脱欲知之则宜用浑仪等器耳提面命以彼积学当能了然若以黄道九十度为时差中限理亦如是但恐满志盛气已所未知便是必无之理则所谓山中人不信有鱼大如木耳老而好学如灯烛之光吾辈甚为处士望之其如不就何巳则不就又欲使人舍而信彼去昭昭入㝠㝠谁能听之哉一日食距交限学厯小辩中用崇祯四年十月两食之数剖晰极明处士何惜一览耶尚执阳六隂八之旧法以为必然不易也夫隂厯十七度阳厯八度不自西法始大统厯亦然处士所抄纂者皆大统法也而于日食第三推亦未之见尤异矣今采录如左大统厯推日食在正交中交限度法曰视其推得交定度全分如在七度以下或三百四十二度以上者皆为食在正交依此则正交前七度正交后二十二度为食限何者置三百四十二度以减全周三百六十四度余二十二度则将满全周二十二度入食限也又曰如在一百七十五度以上或二百零二度以下皆为食在中交以上两数相减得二十七度即中交前后两食限并也又置一百七十五度以减半周一百八十二度余七度与正交等又置半周一百八十二度以减二百二度余二十度则中交前后两食限为七为二十也一古称义礼之家有如聚讼惟厯亦然顾惟厯家是非特为易辨何者讼必决于证佐他证佐未足可信也厯以七政为证佐无不可信者矣今欲追天以求决定乎小辨固云日日可推夜夜可验但恐处士于恒星五星之学未能深入不应傲之以其所不知独交食法其所侈言而来年甲戌岁适有三食处士亦推得复圆时刻特未详耳傥必以巳法为是请与本局各细推诸草宻封送礼部礼科以待临期测候疎宻自辨矣他诸论撰亦各悉心努力作为成书𫝊之其人自多识者何烦口说也呜呼茫茫区宇才不绝世人人各有耳目岂其一手可能掩蔽人人各有心思岂其一怒可能降伏耶新法筭书卷十五
## 浑天仪总论
钦定四库全书浑天仪总论日月诸星之行俱属厯家専务因前累测之规即可定后应行若干度分或以算得或以仪器简得此非一时一人之事已也盖遍考古今前后所纪天行之度一一推入算中必至累黍不差然后绘图制器以发明其所繇来因而设有多圏大小正斜各依本行自然之理逼真现前则但查本圏合成之仪而诸曜之或前或后或左或右视若指掌举向之测与算或可不烦诚度数家至简至妙之法也诸曜行有二等一昼夜一周此公行也即属宗动迟速各行不等此自行也即属诸曜之本行制仪者欲尽倣诸行非多设其制以尽其用不可乃有设一宗动以为诸曜之归而多种行度俱可并存其上则浑天仪是也仪之靣本类宗动用之而经纬诸曜如在本天即黄赤二圏初未异于在下诸天所设之圏可槩见也
## 卷十六
钦定四库全书
新法算书卷十六 明 徐光启等 撰浑天仪说卷一浑天仪图古今仪有多种其间最公而易明者无如浑天仪盖不独以圆形象天且其所载诸象及诸圏悉存天上之象与圏凢大小逺近之比例但一设圏必与天上之圏应故同一浑形而分虚实两等其实者以仪靣当圆体图列星或地于靣上并显黄赤两道乃所借名曰天球地球者是其虚者特有其圈以联络黄赤二道等实圏为法而中无实体外无球靣犹存以公名曰浑天仪者是近或独取其圏或圏与球合成一仪其分圏尚有大小有多寡然彼此约等故总图之如左凢仪上诸圏因以显诸曜之行者必分为三百六十平度或尽书或止以一象限(九十度)为度其圏之大小则以所分平与不平有别大者必平分其仪体有六焉如两道两过极圏子午及地平圏而地平子午恒定不移小者即在大圏之左右与大圏为平行原无定数任意多寡之惟以利用取规焉凢旋转之圏俱贯入子午南北二处而承子午圏者地平也地平圏平置架上不动而子午圏则可上可下以应各方北极出地之度承架短柱任用几端苐须长短必等总期上为极平以负地平耳架下设一罗针以审方位子午圏内安一时盘取本圏能切时刻详见后制法中浑天仪之原一天为大圆地实居其中心 天在最外能范围乎万物则必有最寛之界以容物于内其为独圆形也必矣且又旋转不停动无滞碍恒如是而未尝出乎其界犹得不谓之圆乎论其体之精微超越有形之美宜乎有形之物美好完全自与天体应总之以容以动以体俱足为圆形之徴如此故分天体而为日为月为星亦莫非圆形焉何也以到处所现之象无不具有圆体耳就其本行论之各曜在小轮上去离左右曽未变弧靣而太隂太白俱有上下弦岂非圆形在中渐显借日之光以为完缺乎地在天之中心故天体旋转恒半出地平上半在其下因知地未尝偏左右也其昼夜长短无他原可徴独见其夏之日冬之夜相较皆等或距春秋分前后两日此所加必彼所减则距赤道内外必等因知地正居赤道圏下又未尝偏内外矣试使地果不居天中何以太隂对日而望必相距半天而始食于地景乎何以四大原行中轻重诸物以去天逺近为趋避之规乎(轻者求在上与天近)(愈轻愈就近矣重者求在下与天逺愈重愈逺而趋至中心矣今之重物惟以倚地为恒规而地岂不居天之)(中乎)或曰人视日月出没似在其近处则在地平左右之天未必与天顶等曰人从此处视彼远物之界必中有实体可以约畧其远不然则远近无从可得今自地平至日月出没之界浑无实体以间之故若与天近且若与天接矣试令一人立河之东一人立河之西使从远处视之祗觉两人并立不复知两人中尚有河焉因知人目视逺易乱而视天亦然故见恒星在地平与在天顶小大等其测之也则在地靣如在地心此其故何哉盖天之大地实无与之比且若不能分之一㸃焉虽距目逺近其差为地半径(约一万五千里)而毕竟见与测了无异耳一天之旋行不一故设有多圏 天地共一心在万有形物之中以过心之径线为枢以两界至天上为两㸃乃其极之旋动无终始界夫距两极愈逺势愈寛而行愈速在上者能带下以旋此宗动所原矣既为宗动一切在下诸天随之以行故以赤道之两极为共极而日月星所繇以出没昼夜所繇以攸分也又在下诸天各有旋转各有枢有极总依黄道南北极为极因以见恒星及诸曜各有本行各行有迟速不等故上下设有多重次苐布列而最上者为宗动天经星天次之纬星天又次之太阳居其中土木火居其上金水月居其下若层叠包褁之也或不以右旋论本行而止设七政俱随宗动左旋微有迟速不同焉则即以各行度不及满一周天者以当本行其理一也或曰经纬诸星各有本行各行又自有异何从而知之曰以人目共足证也如日月五星彼此相离相近或在赤道内外随时不一或距恒星与极远近无定人虽至愚谁不见之则从此累测前后所得渐有其数反复推求大槩恒星七十年行一度与恒星稍近者为土星三十年一周天次木星行十二年次火星二年次日次金水星俱一年下此则月也为二十七日有竒而一周天盖距地愈逺去宗动愈近得本行较迟而随宗动反行速矣一天之旋动共归二等惟宗动与本行而已 凢移物使动必以所至之限别之远近迟速皆倚頼者也今天之旋行虽各迟速不同尚不至为异类无可止限又天左右并行若相反而不害其为异盖縁黄赤二极不一故今依赤极左旋此在下诸天所同必二十四小时一周乃下以从上者正如舟行水靣并渡所载之人使之与岸逺耳又依黄极右旋各天迟速不等故曰本行乃因下以逆上者正如舟本顺流而行而所载之人则自舟首至尾为退行耳试以玻璃瓶注水其中令在内之水右旋而却转瓶左旋则必见水随瓶转而实已右旋矣是瓶其宗动之西行而水本向东者乃亦随而西耳一地与海并浑得圆形 论东西圆即以诸曜出没徴向使形非圆而或方或平靣或多平靣则凢居同靣者宜同时见诸曜之东出而今不然也又或为中凹形则在西先见者宜在东反后见乂或其靣长圆如柱或三角等形靣向东西底向南北则宜近两极恒见与不恒见之星必到处皆同北方见北斗未入南方亦因之乂或本形靣向南北底向东西则亦宜诸星出没尽靣必同时而今俱不然也是除浑圆一形无能合诸曜东西行之景也论南北圆即以两极出入徴设地为平靣或四平靣方形或角平靣等形则凢居同靣者宜见此极出地之度与彼极入地之度逺近总如一设地南北中凹则宜距极近反见之低距极逺反见之高又设靣为长形即无异于前论而今亦不然也且于两极高庳之度较于地靣进退之广有定比例而知地体必为圆形无疑矣至若海附地以为圆与地同理漂海者毎见岛从逺望之有若山巅渐近之而后知其为岛也是亦圆形之一徴也或曰地与海之圆亦各自为圆形未必并为一球曰合地与海为一圆形即因月食之暗虚恒为圆而知射景之体原不离乎圆也盖大地与水共有向万物中心之性必以其体相趋而就矣(地与水皆重物地中之空水即实之故)今见平原之中突出一山或疑地不就圆球而不知此无异于蚁游麦塲无从损地之形且地特以其大体肖球靣耳岂真如车轮器物之浑圆毫无低昂处乎况其畧不就圆形者亦因其体之坚硬故耳随天圆形地居中心之验天以圆形包地在中心其验有二其一为诸星随宗动绕地一周或在东西或正过天顶或偏南北其距地逺近恒如一人目视之时有大小踈宻不同乃地之蒙气使然非星之有远近也即在天顶每较在地平更小者亦䜿视横视之间气之多寡已耳其二天毎半出地上半入地下盖地居天之中正如一㸃而人目依地靣周视之故无不得见其半乃所得之界即所谓地平是也地平之大圏以天顶为极平分目所能视之天与不能视之天使正对南北二极以直角交赤道圏此名为正浑仪依此体势可当正球设使二极一在上一在下不以直角交赤道即名为斜浑仪因之亦可当斜球也地平有二等一属目人在地平靣或海靣周无所阻之物而目之见界及之即人可当中心周界为圏约得半径为六十余里此外不及见地而天已半出其上矣一属心人在地与海之上虽四周无物以碍之而目力不能尽见天体止以诸曜之可见者显其半出半入之理已耳盖本圏定诸星出没能见与否必分为四象限而各象限得九十度则自正东及正西起至正南及正北止此子午圏之定位所繇分矣子午圏为大圏必过天顶及赤道南北二极因而平分赤道等为平行之小圏以之定正子午焉盖以直道交地平本圏可当高弧亦可当纬度圏随处以诸曜至中之高定赤道高与极出地高及诸星之纬度亦自较较不爽者又地平子午二圏当天外圏故不随天行转而随地每见地平各处不同子午除正南北外其余方亦自不同且实无算今厯家祗记一度一圏其不同者共一百八十取其足用耳而本仪仅一地平一子午盖亦约畧诸圏而为之用也随宗动之验浑仪倚南北极如枢一昼夜旋一周令诸星并行各为圏大小不等各圏以极为心自距极逺近又不等譬之车轮然其毂外之广较辐中之狭逺近迟速皆异而其复于元处也则同试令去极最远之处有星随天行为圏则较两极左右之圏必大此即赤道圏也赤道平分天体相交于地平恒得半在上半在下自有其枢极亦皆与天地共一公枢极故有距天顶与本极出地等者则总得昼夜平矣其所以名宗动带者亦因其正居两极之中令浑天平分南北故也依赤道测宗动可定时刻盖每一小时行十五度每二十四小时行天一周此终古不易之定法也虽太阳等曜顺黄道行而黄道斜络天上升降亦不一又安所得诸曜出没之限而齐之以定则哉故曰舎赤道别无可以测宗动也较诸星出没之时于出没之限亦惟距赤道北者在地平上之时多而在下少盖距赤道愈远则出愈早而没愈迟其距赤道南者在地平上之时少而在下反多盖在赤道之极南则出愈迟而没愈早设一星距南一距北皆等则在北居地平上之时较在南居地平下之时必等反之而北居下南居上其时亦等惟在赤道上者则得见与不见之时等即得东西出入之处亦等总之星距赤道北或与极高之余度等必不入地平距赤道南或亦与极高之余度等亦必不出地平虽绕极而上下然相去卒不远也此北斗之宿常见而老人星常隐者顺天府极高使然也甚至数百年后恒星之本行已移南北之距度非故则前之不见者见前之不隐者隐或亦理势之所必有也随本行之验有谓诸曜依宗动毎日西行其所不及满一周天之度者即其本行(即蔡注谓日行绕地一周不及一度月不及十三度是也亦曰右行或东行)此解诸曜无两种行度相反之理其说亦是但未详本行之所以然盖诸曜本行原不以正东正西与赤道平相距其斜迤赤道之上者时在内时在外而内与外又等则必更有一极以为诸行之枢所谓黄道之极是也既极与道异于赤极赤道则东西二行自不相悖而诸曜右旋之名所繇来矣黄道为大圈恒斜交赤道圏上而两圈相交约得直角四之一虽古今相距较二道畧有变易而今实得二十三度三十一分三十秒因斜交名为斜圈故以黄道为七政本行之道太阳繇中道行以心随线名曰躔道乃依之每日行一度月五星常出入内外各距之不等各行迟速不等而相距最逺者为金火二星约八度设南北共一十六度之广者即全黄道也或有限其寛于十二度者则从三百六十度起见即一宫得一度之比例也又曰经周得十二宫应纬度寛十二度其理同也黄道交赤道正相对之㸃为春秋二分其距赤道最逺亦正相对之㸃为冬夏二至以四季分四象限各象限得九十度(或三宫)黄极距赤道极亦如两道最相距之极七政依此以行皆以距太阳为㑹望远近之序而其本行归黄道与宗动归赤道无异也古有以周天分十二宫一宫分三十度算在列宿天者盖不知恒星有本行而今已东移如许矣因设一次宫曰从宗动天算或问分黄道十二宫何故曰太隂行黄道每岁十三转其与太阳㑹合者惟十二次又各㑹合之处不同故分黄道为十二宫也即如太隂行天一周约得二十八日其命为二十八宿者大率繇此每宫分三十度者因太阳一日约行一度越三十日已过一宫是以总分三百六十度而大小诸圈悉依之也今诸星距黄道逺近命为入某宫次者何曰厯家设黄极出圈线其过各宫初度自此极至彼极总为十二半圈凢黄道上之星在彼此极中居圏内者曰入某宫如上图设甲为北极乙为黄道自极过黄道半圏为甲丙甲丁则星在丙与丁线之间任距黄道南北逺近必共入一宫矣十二宫或分南北即以赤道为初末之限自降娄而大梁而实沈而鹑首而鹑火鹑尾为北六宫自夀星而大火而析木而星纪而𤣥枵娵訾为南六宫或以左右较分即冬夏二至为初末之限自冬至迄春分为行盈自夏至迄秋分为行缩又或以正对宫度相较则北初宫与南初宫北末宫与南末宫得彼此距度加减之数必等太阳及太隂本行合宗动之验太阳为时日之原一日约东行一度于黄道为正而于赤道恒为斜或在两道之交或北上或南下绝无定居故无一定之时此四季所繇以变易也迨加以宗动即见其出没之广不一昼夜之长短有变如日在降娄初度为春分则出正东没正西昼与夜皆等自此以往渐斜去赤道北出没较前为广矣昼长而夜短至夏至为最矣乃从夏至而退行一度其出其没其昼其夜与前所得等渐退行渐与前等惟过秋分而太阳行赤道南则于前后相对宫度有定比例彼之所广此之所狭彼之所长此之所短若相背而驰者然黄道上四㸃得太阳躔之为春夏秋冬而即可当各时之极此过极圏所繇也乃过极圈有二一过两极以并过春秋分为极分交圈一过两极以并过冬夏至为极至交圏因而共当浑仪之脊骨盖各与赤道以直角交即渐去内外至两赤极之中亦自以直角相交则总得八三角形而各形之弧各成一象限各皆九十度因可以定太阳及诸曜距两道内外之纬度又名纬度圏即两道及两道之极亦可以得相距度分太隂依本行随黄道约二十九日有竒而与太阳㑹故并论宗动则出没之广在地平上下之时皆从赤道纬倣太阳为则且无本光借光于日因体厚不能透所借之光故依本行距日逺近不等有时显全光有时少显其光只至正相望而食于地景正相㑹而能自以其体掩日原光又依宗动使下地视之时有先后方位各异兹有本论聊述一二如此随地圆形之验厯家论地与海并为圆形以应天上之经纬者何盖每见日月交食东西时刻各先后不等此即地东西圆之验夫时之先后取规于度在天十五度为一小时在地亦然而大地彼此相距约二百五十里为一度如西安府较顺天府恒早二刻余而见食其见诸曜出地平反迟二刻(东西相距八度半故)因知地以圆体自掩诸曜之光使在东者先得之而徐及在西者耳非天旋之有异也又见各北极出地不同诸曜之在子午线上者距地逺近因之有异此即南北圆之验夫极与诸星之高渐消或长必与里数相应如极高四十度南去一千里必下四度距天顶之南星反高起四度矣因知地以圆体或自低昂其南北各度之弧亦非极与星有异也论天总分三容浑仪亦倣之天有正有斜有平行设使南北极等赤道为过顶圏则以直角交地平即为正球得昼夜恒等诸曜之出没或上或下恒如一盖惟此天之容距赤道左右圈各自为平分故诸星随宗动之旋转自等又使北极正居天顶以赤道合地平即为平行球此则无昼夜之逓换亦无诸曜每日出没之行惟太阳半年在地平上恒见不隐半年在地平下恒隐不见盖以黄道斜交地平春秋二节令距北半圏者在上距南半圏者在下而距赤道南北平圏皆与地平为平行故诸星居之亦平行又天下总属南北二极或正居赤道下者少而在赤道左右两极之间者多此不拘相距多寡即为斜球盖凢平行圏皆与地平为斜切或多半在地平上少半在下或少半在上多半在下或去赤道向上极之圏以大半出向下极之圈以大半入盖极愈高而上下之弧愈不平此即昼夜之所以异而诸曜自有其出没之时近两极处亦有恒见与恒不见之星所繇也浑天仪赤道平行圏前六圏者皆浑仪之大圈也乃更加小圈于赤道南北各二十三度有竒为冬至昼短夜长圈夏至昼长夜短圈或再于二至圏之南北距赤道最逺而小以赤极为心黄极为界为南北两极圈此四圈并赤道圏分天与地共为五带中一带乃赤道下也地甚热在末之两带距赤道逺地反甚寒惟中末之间得煖气四时不变万物利于长飬何者冬夏二至之圏限太阳绕地之界令其在圏内过顶恒分昼夜畧等太阳正照下地生热南北两极之圏限黄赤二极之距为昼长出十二时之初界(在十二时内昼长之恒法惟南北极圈以往或太阳渐不入得昼为一二)(日渐长至数月或渐不出得夜长如前故两极圏为昼长出十二时之初)(界)太阳斜照下地生寒惟中末带二界之间日光不减不増斜正照不甚偏得气势平故也如图中为赤道左右各二十二度三十余分并得四十七度此中带之界也又自二至线起南北各寛四十三度为南北煖带之界又南北各余二十三度至两极下即末带之界也古𫝊中末带内寒暑过当悮谓人迹罕到而不知迩来大西人周行天下实见中带人民甚众风景不亚于他国虽昼夜平等而日之热常消于夜之凉若末带因未尽游不得其详然北带内有青土在北诸国极高七十度外冬虽寒夏日之久足以补之其本仪不置此四圏者以黄极能限二赤极圈界而本道最距赤道之边又能指二至圏即可当五带云浑天仪増圏本仪内外増设者亦共四圈但在外者不必全圈一为象限用当高弧上自天顶下至地平一为半圏用当立象在子午圈之左右竖合子午倒合地平共当六圈古设此六圈皆在黄极中相交因名十二宫圈今设于子午交地平处平分赤道十二弧总黄道及浑天为十二舍故名天容圈亦名立象圈本圈随极出地各处不等全与地平同或起或伏顺地平而东西地平乃一与七舍之初界子午圈当四与十焉其象限之高弧以直角交地平任游移安置过日月诸星之度故于本弧可求诸曜出地高度并黄平象限等用以螺旋安㳺表于天顶依各地平为规仪内又置太阳本圈安黄道线下度分合黄道上内又一圈为太隂本圏较太阳圏少斜依本行取则焉或南或北时时不一故有正交为太隂往北之界有中交为太隂往南之界而本圏依黄道旋其两交之自行约十九年一周诸圏俱负本曜安黄枢上以显二曜㑹望及互相照之理焉天球天球为实靣仪得大圏与前同惟极至极分两圏可免以子午圈当之足矣仪靣布列经星依本黄赤二道经纬度㸃定其不置纬星者因纬星迟速无定行且南北不一临用以他色识之度分上可也论经星在七政上距地极逺彼此相距有定度终古如一故西㦄名为恒星而七政则游行如奕遂称曰游星焉凢星行度距黄赤内外显体质大小天下皆同其在天顶逺近分合座位立像命名或正照斜照纪数多寡天下皆异西厯依恒星本行以黄道为天之中内外诸象总有六十经黄道者十二宫在内者二十一象余皆在南或依本然模彷人物取其名或因性情类某人物而借名各象星数不等各星以所居体势得称古未详南极之星止四十八象即尽西国之见界今本国人多逰赤道以南往往见南极下诸星因以两极为界増象得满六十焉大统依见界纪星凢逺南极三十六度者(从中)(州为见界)俱不入图总分为三垣二十八宿二百八十余座乃象与名天球因之其所占宫度则依经纬取则就中微渺难测从未定度分者悉去之而以近南极者补之得浑天之全图焉学者欲识星当从七政始七政别于恒星约有三縁恒星多闪烁七政否恒星彼此有定距未尝自为那移七政总无定距亦无合辙之行恒星一仰视间恍若深䆳七政目之如近且各易为辨别如金星随太阳前后出没最逺为四十八度体大而光异他星昼或可见木星次之色虽同体与光少杀距日逺近无限火星小而暗红烨烨颤动与金木体色各别土星体与火等色青而光滞行动最迟水星光耀似金星色稍红体质独小更近太阳前后焉恒星大小凢六等积气易识以色论有黄如北河白如狼星红如心宿大星青如老人星以光论有盛如五车㣲如虚宿中等如毕宿大星或以芒角闪烁论有闪多如南河闪少如轩辕大星中等如左肩如玉井大星以形象论如南北斗其象似斗贯索得圆形天津似弓勾陈大星(今当北极)体虽小周无他星可比总之各依本象本度图之球上与天体脗合焉地球地球倣地之原形必为圆靣仪其得大圏与天球同惟黄道地上无定处故可不用夫天球因二十八宿而以南北引圏线过各宿距星则地球亦因子午线有先后以引其圏乃东西任距十度或十五度而南北各作小圈与赤道为平行以显南北之距焉古西士纪东西地经一百八十度极西为福岛极东为日本纪南北地纬约八十度极南为利未亚月山极北为都力乃谓大地总当一岛在北氷海南印度海及大东与大西洋之中此外似无地矣今则不然三百年以来漂海者恒绕利未亚之浑洲至过其赤道极南之地为大浪山距赤道外三十五度复绕北至新増辣距赤道内七十八度又径过日本东西绕地一周寻得新洲南北各大块中以小峡接连总较古所识东西地约等虽南极下未及登岸不详其内境然顺滨而行似亦无所不经矣天设圈有大小每圏俱分为三百六十度则凢数等而圏之大小度之广狭因之乃地亦依此为则故地上依六圏行则凢度相应之里数等依小圏亦有广狭如距赤道四十度平行圏下之里数较赤道正下之里数必少若距六十七十等之平行圏尤少则求地周里数若干以大圏为凖而左右小圏惟以距中远近推相当之比例焉里之长短各国所用虽异其实终同西国有十五里一度者有十七里半又二十二里又六十里者古谓五百里应一度波斯国算十六里阿辣比五十里莫卧尔三十五里印度以大牛鸣声所至为一里不知一度应几许牛鸣矣至大明则约二百五十里为一度周地总得九万余里乃量里有定则古今所同如论古小里一百弓为一里四肘为一弓二十四横指为一肘四横麦粒为一指欲以歩求里则应一百二十步为一里歩依几何法毎得五脚一脚约十六横指西国人步行或漂海者累考南北直路上一度下所应里数当如前外以日景查对如日轮占本圜若干其地靣正应之下立竖晷必无景今使日在夏至全径为三十分占本圜七百二十分之一地靣亦应大圏七百二十分之一立表无景古查定同时无表景之地径寛二百五十余小里故以二百五十乘七百二十得十八万即地周行之里数也大明舆地图以方格限里数查自顺天府至应天府二千二百里至杭州府二千七百里至南昌府三千里至广州府四千八百里因前后北极出地差度乃求毎度应里数若干如应天府较京师差八度南昌差十一度以二百七十二里推一度杭州差十度则用二百七十里广州差十七度则用二百八十二里所推里数畧不合者或测极高未必确而查竖晷无景亦未必定故止以二百五十小里约计之可也若折中多寡以二百七十里论当得九万七千二百为地球一周之里数置零数不用尚有九万余里浑天仪不置五带内中末之四圏而地球则异是盖居地不同处多以其四圏为时变天势地境异同之界先以日景分别之在中带内者得两日景时射景正北时射正南在中末界间者得单日景必恒射北或射南在末界内者得转景恒旋绕无定向是也其居中带赤道下者因得正天必见诸星出没昼夜皆平太阳去囘两过其天顶毎年有两夏两冬(一去一来故有两冬夏)虽至冬不寒树不脱叶居本带边如夏至下者以北极圏为恒见反以南极为不见之界此二界间之星(除在赤道下者)得见与不见之异昼夜为不平太阳惟在夏至则过天顶余皆偏南总得一冬一夏居中末带间者最得斜天经星恒多不没昼夜愈不平太阳恒偏南其二至一冬一夏为定然居本带之北者得自北极至夏至圈之星恒不没日躔夏至乃得昼长十二大时躔冬至反得夜长十二大时昼夜甚不平太阳多偏南止躔夏至之时近地平即如偏北也居北极正下者得竖天以赤道为地平故以赤道为见星之界在北者恒见在南者恒不得见六越月为一昼六越月为一夜无夏天止太阳行北时得寒气少退耳凢此皆居赤道以北之境也居南者亦然惟得正相反之序如此为冬彼为夏此昼长彼夜长此景在北彼景在南故耳以赤道距平行之圈取方向之异同大约分二等或并得子午与平行圈同居赤道南北亦同惟相距之界在赤道正相反之处此太西与大明则然必得四季皆同昼夜长短如一惟日月诸星出没先后之时不同耳或独得子午圈同而平行圈之南北相距等其距界以赤道为限此大明与马力肚(南极地国)则然得午正与子正皆同出没之时为异四季昼夜长短恒相反此冬彼为夏此昼长彼夜 又或独得子午圏同而平行距圏与赤道之距界正相反此即大明与大东银河之较也得地平同但因天顶相反故四季与昼夜出没等时恒互异如图甲乙皆在赤道之北属第一等甲丙一在北一在南属第二等甲丁在正相对之处故属第三等 外有距赤道平行圏以昼渐长之刻定界如夏日长二刻即设一圏长四刻设第二圏以此逓设之必皆以太阳距春秋分内外渐远之度取则故其距赤道近者彼此相距逺距赤道逺者反宻所以然者因昼长之序初得度多而时少后得时多而度少如上图外圈为子午圈中引直线者皆赤道平行圈也毎以昼长二刻相距虽距时等度数必多寡不等盖极无高度以赤道当天顶则昼凖得六大时设令极渐高至赤道去天顶八度三十四分乃昼长二刻极又高赤道更去顶八度九分(并得一十六度四十三分)乃昼长四刻若再去顶六度二十七分即得昼长六刻至极高六十六度半昼正得十二大时以至极六十七度一十五分即昼长一月复加二度一十五分得昼长二月渐长至六月此皆地球子午圈背靣所见时刻之度也新法算书卷十六
## 卷十七
钦定四库全书
新法算书卷十七 明 徐光启等 撰浑天仪说卷二前以天行之效显仪之理此复依天行之法晰仪之用大端以求三曜(日月星)为要领矣至分论之或依本行与黄赤二道相较彼此得经纬度或依宗动之行与地平天顶及子午等圈相较求诸曜出没之时又或依方位地平高度彼此相较求星距太阳远近与出没之先后伏见之期限总于夲仪得全用焉但恒星距黄道内外甚逺不能尽载圈上又或光色微渺未足测景(以景定度测时)则自有天球之实仪在借之以资本用虽虚实两仪大意相同而推之亦畧有异此所以并论天球也即本卷诸用尚多缺畧然欲求其难当自其易者始欲求其烦当自其简者始则从兹而详及之姑以俟之他篇安仪凢测天诸仪有黄赤道等圈必以本圈正合天上所有之圈为凖如在天有过顶者仪中相当圈宜竖立以应之有距顶向南北东西者仪中相当之圏亦宜向南北或东西地平皆与天上之圏合则日月诸星行度为仪圈所得者即天上诸曜实行之度分也今浑仪虽未尽乎测天然能以日景考查时刻并求各方北极出地之度及太阳高弧距地平等用则必一切方位与天脗合先以两极依出地度安定徐以罗针所得正其南北又以垂线取凖地平任置䑓几之上以聴次苐用焉求北极出地度北极高庳随地东西同南北不一此乃昼夜长短寒暑异同日月诸曜距天顶逺近之所繇也法先将本仪取凖地平考正南北随以㳺表于黄道上定住太阳本日躔度转仪切子午圏正靣候太阳当正午之时视表周无景即本北极高度已定而极高之度必为子午圈自地平至极中之弧也若表尚射景渐运子午圈于架内或上或下展转那移至表无景乃止而因以得北极出地之度或先设象限等器于正午时测定太阳出地平髙度次于本仪黄道上查取本日太阳躔度置子午圈正靣下随运仪令自地平至躔度间子午圈之弧与前所测之度等则自北极至地平度分即本北极出地度分或不候午正即将游表置太阳本躔度与时盘午正初刻正对子午圈后用日晷等器测定时刻以所得时转仪令居子午圈下后视表无景(如射景将子午圏上下那移无景乃止)则子午圏自地平至极中之弧亦准可得本北极高度或以星求之即近极诸星中(因恒不没)任测一星先于最庳处识所测高度待旋至最高处复测之所得高度加前测之度总而半之为本北极高度此常法也今不拘出没或距极逺近之星一测其至天中之高(另用一器)即转球(天球)令本星居子午圏下较仪上地平与前所测等则本仪北极亦自距地平为弧因得本方北极高度或依所测天中星高度即球上查其本星之赤道纬以加(距南用加)减(距北用减)于至中之高度得本赤道高因得本北极高度如测大角高七十一度球上查纬得距北二十一度宜高度内减之(因距北故)存五十度为赤道高应四十度为顺天府北极出地高度求太阳躔度太阳依黄道右旋每日约行一度谓之躔度法先依本北极出地高令地平与子午圈如法安置候午正初刻将游表以直角切子午圏上下试之遇表无射景乃止转仪视黄道正居表下之度即太阳本日所躔度又一法用象限等仪测太阳距赤道度因得其距南或北随于本仪子午圏上㸃定作识乃令全仪运转视黄道度正交其㸃即本日太阳躔度但距赤道等度与子午圏相交之㸃黄道可有二处必依昼渐长或短求之即得其度在冬夏至之前或后也假如崇祯七年七月初八日壬申厯局午正测得太阳高六十八度一十五分因得距赤道北一十八度一十分(北极高三十九度五十五分即赤道)(高五十度○五分)依之作识得大梁宫二十一度或鹑火宫九度俱与所识㸃相交苐此时夏至已过昼渐短即知所得必为鹑火宫度求恒星黄道经纬度恒星较黄道有经有纬而共以黄极为主必依黄道右行任从冬至或春分起算为之经本道南北为纬法以高弧切球上使从黄极过星所至经度即本星之黄经度所居黄道上及星间之弧即黄纬度但星距北必高弧安之黄北极星距南高弧亦安黄南极如贯索大星距黄道北以高弧从黄北极过本星视至大火宫六度有竒即贯索大星之黄经度又自黄道北至本星处约得四十四度三十分即其黄纬度也若先得星黄经纬度欲查球上星所当在之处亦用高弧依球上本星黄经度因之安高弧初度令末度至黄极中(黄极南北依星距南或北)任黄道内外顺高弧数星纬度所止之㸃即星居球上之处假如崇祯元年测定心宿中星在黄道析木宫四度三十六分距南四度二十七分依此度分安高弧至南黄极从球上黄道数起得本距度之限即心宿中星所居之处求太阳赤经纬太阳依黄道行近考定冬夏二至距赤道南北最远之处为二十三度三十一分三十秒迨二至前后每日相距不等而二道又以斜交惟分至之㸃彼此得同经余俱不得合一也今求纬度法令本仪转任取黄道若干度正合子午圏下即于本子午圏视两道间所容之弧得数即黄赤相距之纬也求经度亦任取春分或冬至起算视黄道度在子午圈为限顺数其赤道圏之度即黄道上之赤经度若依地平求之必先安仪使两极与本地平齐即用地平当子午圏则赤经弧必过赤极与赤道以直角相交而东西所限赤纬弧亦为本圏南北所量虽子午圏本当过极诸圈与赤道正球相交而地平与正球亦不异是故所指度分即得赤道经纬度分求恒星赤经纬法以赤极为凖必顺十二宫为经赤道南北为纬先转其球以所求星切子午圈下后视赤道是何度分此即本星赤经度又视赤道与星在子午圏上所开之弧容何度分乃其星之赤纬度如设狼星居子午圏得本圏下赤道度自夏至起算约七度三十分即狼星赤经度分又赤道南距狼星一十六度乃即本星之赤纬度求五星赤经纬法与同但先以黄经纬㸃星于球上如法使高弧自黄极中至黄道本经度过星处即依高弧之黄纬㸃球作识后转球令其㸃合子午圈亦可得赤经纬也若先算定恒星赤经纬于球上考其处即从春分依赤道顺查星经度移至子午圈下乃本圈上南或北(依星)(距)查其纬度用㸃作识即其星所居之处也如崇祯元年心宿中星得赤经二百四十一度四十三分以本度分转球至子午圏因星纬度距南二十五度三十分随以此度正对子午圏下作㸃必指其本星之实处求黄道毎度赤道纬法任取黄道何度移置子午圈正靣即从黄道中线至赤道上视本圏所得若干度为黄道度之赤道纬(南或北依所求)(㸃得所距)若从北极起算亦于子午圈从极数至所求之㸃亦是如求清明初度纬得其距赤道北约五度距北极八十五度寒露初度距赤道南约五度距北极九十五度余俱倣此求黄道各弧出没之时黄道上出没较赤道圈之出没恒异盖赤道等弧或正球斜球(南北两极并在地平为正球一极出地平上一极入地平下为斜球)所应出入之时恒如一黄道不然遇正出或迟斜出反速每日早晚先后不等随地有变试以最长之昼其见出止六宫最短之昼亦为六宫如太阳在鹑首初度(昼长时)任北极高若干使本度切仪东地平渐转至正午必见寿星初度东出矣复转至西地平即星纪初度东出縂得黄道半圈为其所出没也又如太阳躔星纪初度(昼短时)在本仪东地平转至正午为降娄初度东出至本躔度西入则东出者必鹑首初度本等自早至晚亦得半圈是黄道与地平皆大圈相交必各平分故耳法用赤道圈之度或十五三十四十五多寡等弧以限定时刻为黄道所同出入则黄道不拘大小弧縂在其时内行者为是假如北极高四十度依本地求降娄全宫之升度应时若干先以其初度在东地平因并得赤道初升度(二道相交为春分即)(各升度之初界)转仪使出至本宫末度即见东地平指赤道上一十八度强化为时约得四刻一十二分即降娄宫全升之时也又求其入地平时亦以本初度切西地平试令本宫之度尽入得赤道同入之弧为三十七度四十余分化为时得十刻有竒即本宫全入之时与先所升之时大相悬逺欲用时盘求之即其初度之或出或入视子午圏所指何时转仪至全宫之出入已尽复视时盘与子午圏正切者得时刻前后差若干即黄道出入之总时矣因以度数变为时而即以时变度数法总度分秒各数以四相乘所得为次行时之小数如乘度得时之分乘分得时之秒试以一十六度二十分化为时以度乘四得六十四分以二十分乘四得八十秒总为一时○五分二十秒又总时分秒各数以四相除所存为次行度之大数故以时之微得度之秒以秒得分以分得度以时得六十度之弧因之推表或度在初行可当分亦可当秒则时分秒在次行以度数变为时数或时在初行度次之则以分秒微在初行度分秒俱在后行以时数反变为度数若查表总数初行不尽即取其近小者以余数再查之故列表如左求两星出没之距时凢两星在赤经度上同出没者此正球也斜球不然盖距赤道北其较赤道同度之星必先出后没距南者反是故求星出没之距时惟以定其斜升度为先法依本北极高安球任取一星居东地平并识赤道同居之度即本星斜升度(或从春分或从冬至起算其法一)复取一星亦如前查其斜升度乃以后得数受减前得之数若不足减则借全周减之余赤道弧为二星东出其间相距之弧化为时即二星前后之距时也求星之西入亦然假如北极高四十度移毕宿大星于东地平得赤道同出为四十九度三十分即本星依本地斜升度与井宿距星相较亦令其居东地平得赤道同出为七十度以减前度余二十度三十分为二星相较之弧化时得五刻半为二星东出之距时若星入时求法同所得距时异如毕宿大星至西地平得赤道同入为七十八度三十分其井宿距星同入之赤道度为一百一十一度三十分相减余三十三度乃得八刻一十二分为二星西入之距时求星出没与在地平上之时论恒星之出没难以定时者繇太阳与之逺近逐日不一而在地平上之总时则百余年后其本行渐变其赤纬而时亦与之不同矣若五星出没随太阳本行亦无定而在地平上之时则因本行恒出赤道内外亦因之有异法依本北极高安球将太阳本躔度与时盘午正初刻正切子午圏下次转球任取一星居东地平即于时盘得其星出之时刻复转球令其星至西地平亦如前得其星入之时刻通计前后因得其在地平之总时或欲宻求应依赤道度法以本日躔度切子午圏下并识同居圈下之赤道度次转球令星至各地平(东或西)复视此时赤道交子午圏之度为何度两赤道度以后得数受减前数不足借全周减之余为星出没之度变之即得若干时刻假如北极高四十度夏至日求毕宿大星出没之时依法鹑首初度在子午圏并得赤道度为九十度移本星至东地平即赤道三百二十度居子午圏以减前九十度余二百三十度化得一十五时(小时)二十分即寅初一刻○五分(午正起算)为夏至日毕宿大星之东出也又移本星于西地平得赤道在子午圏为一百六十九度减前九十度余七十九度化得五时一十六分即酉初一刻○一分为本日毕宿大星之西入苐此法亦就恒星近日之本行为然也若执此以求前后数十年或数百年则因其本行有变与太阳相较必不能合其出没亦必自异大率百年中依黄道行约差一度三十五分毎年差五十一秒恒依此数前减后加则得其正矣论五星其在地平上之时必先依本经纬度识之球上而后可以如法查取与前同求黄道升降度黄道每度分出入所得赤道在地平度分同出入者谓之升降度法转仪任黄道某度在东地平得同居东地平之赤道度即其升度又本黄道度在西地平得同居西地平之赤道度即其降度然惟正球不异于赤经度而斜球则异愈斜则二道之度其差愈逺如实沈初度距春分六十度试令正球在东地平得赤道同居约五十八度如以斜球使北极高三十度得赤道同居约四十七度北极高四十度赤道止居地平四十一度此皆斜球中实沈初度之升度也是赤道较黄道恒少如北极高三十度得赤道与实沈初度之同入约七十度北极高四十度则赤道同入约七十五度此其斜球之降度是赤道较黄道反多也至欲以赤道升降度反查黄道同出入之度法同此求黄道见与不见之弧依北极出地异同故黄道随处有先后全见或恒见与恒不见之弧因太阳左行遂以出入分昼夜此常法也然亦有出而不入入而不出之时何也北极高度较二道相距最逺之余弧(二道相距二十三度半余弧为六十六度有竒)或小或大或等不同小则黄道诸度每日尽为出入无恒见与恒不见之弧而昼夜并得满二十四小时若极高与二道相距之余弧等即天顶距极与二道相距亦等必其天旋行能令冬夏二至与地平齐故太阳在夏至之日常不入得昼长二十四小时而无夜太阳在冬至之日常不出必夜长二十四小时而无昼设北极高弧大于二道相距之余弧即极与天顶近夏至左右之弧黄道常随天旋不入冬至左右之弧黄道常随天旋不出则得恒见与恒不见之弧而本地昼夜长短毎至数月试令本仪北极高七十五度则见黄道自大梁宫一十度至鹑火宫二十度为恒见不入之弧太阳此间依宗动行虽数十次周天恒昼无夜又自大火宫一十度至𤣥枵宫二十度为恒不见之弧太阳此间行数十次周天长夜无昼但太阳近地平时毎为蒙气中暎之使起入得地迟出反得速宜以加减均之乃可(见日躔厯指)求星当见之时依北极出地高各方有恒见恒不见之星盖近北极星常在地平上而近南极星则又在地平下此定理也惟往往出没诸星毎较太阳远近以为隐见之限今欲求其见在何时并其时刻若干则如法安球(依本极高)任取一星至东地平并识其黄道同居地平度复查太阳本躔度因其距之远近定本星之出见假如毕宿大星在东地平因得黄道之实沈十度同出其西没必为析木十度矣设使日躔在实沈十度即本星晓出昏入通不可见设析木十度为躔度则本星反昏出晓入终夜恒见矣故求其当见之时必先以躔度与时盘午正相对随查星之大小等第(凢六等)以定其距日光若干为见不见之限乃凖如毕宿大星为第一等距日光(距日光与距日不同)十度其见限也设太阳躔鹑首初度北极高四十度令本度正对时盘午正得本星出地平为寅初初刻渐转球至太阳将近地平其未出约差十度(以正对星纪初度未入前尚高十度可考)得寅初一刻此后不复见星矣则本日得见毕宿大星者仅一刻又设日躔在鹑首十五度距本星更逺依法转球得本星东出为丑正初刻至太阳近地平其不见星之时为寅初二刻总计见时约六刻或太阳去之愈逺其见时愈多渐可一夜恒见也求日月诸曜出没之广赤道交地平之处为正东正西而从此左右之地平则限诸曜出没之广者也法依极高安仪以太阳诸曜至地平相交之处为号限弧即在东或西可得出没之广假如太阳躔实沈十五度北极高四十度转仪令十五度至地平得偏北二十九度强东西皆同此即本度依本地太阳出没之广也盖广弧大小不一其縁有二一縁黄道斜交赤道因相交之㸃前后愈远必得本弧愈大一縁地平所得有正球斜球(正斜球解见前)因正即广弧小因斜即广弧大而愈斜愈大如北极高二十度得鹑首初度出没广二十四度极高四十度得鹑首初度出没广三十一度使极高五十度即本度广三十七度此皆斜球也若正球则本度出没之广大槩不外二道相距之弧以出没之广求本黄道度及北极高度夫出没之广或以测得或任设若干度而以之求本黄道度法先定度于地平圏依其在正东西之距南或北令本仪以黄道之中线正交其度乃识黄道何度即本黄道出没之广之度也欲求北极高度亦先于地平圏查本出没之广所得度用㸃作识遂令仪转使本太阳躔度正交本地平度盖必相交然后仪上之极高正合天上之极高否则将子午圏低昂试之必躔度与地平所识度脗合乃止求太阳地平经度凢圏有经纬者必以纵距为经横距为纬若诸曜不正行于圏下即随其距等之圏可当经行今诸曜较地平以高度相距得纬而最距之极即天顶以南北距得经而初界在正东正西末界在正南正北虽诸曜出离地平而经度仍归之法如黄道上太阳本躔度未有高度必令之至地平因求地平经度与求出没之广同设太阳距地平有高度则依前法求高度若干以高弧过其度下至地平即限其地平经度或在东西之南若北如北极高四十度日躔在实沈初度设本度在西地平高五十度以高弧过之得其至地平距正西南约二十三度即实沈初度依本高度及极高之西地平经度也若依时刻考之先以本躔度正对午正随转仪令所得时切子午圏下乃以高弧过其躔度如前查地平经度假令前得二十三度今以申初初刻求之所得复同求太阳出地平高度日月诸曜东升渐至天中所得高度不独前后时有异即前后等逐日相较亦皆异者乃其依黄道行去赤道内外逺近恒不一故也法以本仪黄道上本躔度正切子午圏下其正切之处至地平圏即得太阳午正初刻之高因视赤道此时交东地平度依所得度东入十五度随将高弧过本躔度下至地平圏而高弧所载度分即太阳午初初刻之高度若以前度出十五度必高弧过本躔度至西地平显太阳未初初刻之高余时俱倣此欲逐刻求之即以三度四十五分出入赤道为凖盖躔度之交地平距午前后等得高度亦等假如北极高四十度日躔为鹑首初度移居子午圏得其距地平约高七十三度半此时则秋分初度交东地平使依赤道入三十度即已正而高弧过躔度至地平为五十七度三十余分乃太阳在已正之高度或出三十度即未正而躔度西距地平所得高度亦五十七度三十余分设太阳躔度纪初度以本度居子午圏得其地平高二十六度三十分乃春分初度在东地平使入三十度为巳正测得高度二十三度四十分转仪往西如前出三十度得未正高度相等若用时盘求之免查赤道度必先以盘上午正及躔度如法居子午圏任仪左右转至本时交子午圏亦如前得高度矣或更以日景求高度与求时刻无异(见后叚)但遇表无景处即过高弧以定日高焉用浑仪成高弧表凢制长圆地平象限等日晷界时刻及节气线必依高弧得所以然法依本北极高正仪随将黄道上本节气躔度使之从子午圏或左或右任取一刻或四刻为限而毎限必与高弧相交因得太阳在某节气某日某时刻高度若干其时刻在午正前后等者得高度亦等故求其左不必复求其右试以夏至初度北极高四十度得其午正高七十三度三十分未初高六十九度一十二分未正五十九度五十一分戌初高四度一十五分午前及他节气俱倣此但距两至等得同时高度亦等如芒种与小暑小满与大暑甚至大雪与小寒之类是也因极高四十度列表如左求恒星地平经纬度恒星较地平经纬与太阳地平经纬不异俱以南北得经高度得纬法先依极高安球随以太阳躔度移居子午圏并与时盘午正脗合任取某时刻于盘上以之正对子午圏后令高弧与所求星相交即得球上本星本时所向方位及所距地平远近之度如北极高四十度太阳躔星纪初度如法正对时盘设寅初求角宿南星之地平经纬乃以盘上寅初初刻对子午圏以高弧过其星得交度一十七度为本星当时之高度即本地平纬也因而高弧偏东南二十七度为本星方位即本地平经也复依此视球上方位得氐宿东出五车偏西轩辕距午畧东俱一一与天上相应即更以象限等器测星之高用高弧试于球上鲜有不合者则虽大象森罗而此器殆最为彰著者矣求星前后合伏之时诸星会合太阳前后伏见必依其体之大小而本行迟速则又须时多寡不一盖体大易显虽近太阳亦得见体小必距太阳远始见稍近即伏矣远近约有定限如土星限一十一度木星十度火与水十一度有半金星五度至恒星则依六度定限约为十度十二度十四十五十六及十七度此外最小者惟暗乃见而最大者即更近亦得见矣论迟疾因五纬右旋各有顺行退行之异伏见难以时限而恒星则共一本行独以形体分别其见伏之时耳若依黄道以星与太阳相距定合伏则悮也盖黄道升降有斜正能变其星见之时虽设距度同其见时必异故正球出没之星自不等于斜球出没之星也法先于球上任取一星使之交西地平后以高弧为定则必在东地平上量星距日之限令本限交黄道度所得之数即星在西夕伏之度也如使星交东地平安高弧于西量星距日限至黄道上所得交度即星在东晨见度也总以太阳日行分依前后度为限遂得各星合伏不见之时如设毕星大星距太阳十度应伏试令北极高四十度以黄道度相距因本星黄经约在实沈五度宜太阳躔大梁二十五度即星夕伏而今不然也必太阳在大梁十四度星即不见何也使本星交西地平高弧在东以十度交黄道得正对大梁者为大火宫十四度是大梁十四度星㐲黄道上毕宿大星已距太阳二十余度盖斜入故也复依黄道距论晨见宜太阳躔实沈十五度其星即见而今又不然也直至太阳在本宫二十七度星乃见盖移星于东地平安高弧于西则高弧十度已交析木二十七度乃与实沈二十七度为正相对之处是本星已距太阳二十二度亦繇斜出故也大都躔度前后相距约四十三度因得毕宿大星前后合伏不见应四十三日有半矣若五纬则宜先定其经纬度于球靣余法同前如崇祯七年十二月二十日大统载金星夕伏至次年正月初三日晨见临期实测不伏试以天球考之(北极高四十度)此时因金星退行大统所载夕伏之时距太阳甚逺测时尚高十八度固不足论惟次年正月初二日太阳躔𤣥枵二十九度金星在娵訾一度○二分纬距北约九度乃移星至西地平而日躔对度(在东)尚高出五度余故夕可见(依前定限)其正月初一日太阳躔𤣥枵二十八度金星在娵訾一度三十九分纬距北约八度半复转星至东地平其西对度较太阳亦高五度余故次日夕见者前一日反晨见又水星大统载崇祯八年三月十八日晨见至四月二十四日晨伏不见依新法推本星自三月初二日夕伏不见直至六月初六日始夕见前此俱伏何也三月十八日太阳躔大梁一十三度水星在本宫初度距南二十六分依黄道虽出距限之外(十一度半)然使之交东地平而与太阳相对之处止高五度尚在距限内其不得见也宜矣至四月初三日距太阳最远乃太阳躔大梁二十六度半星仍在本宫初度但距南二度半较日躔之对度亦止高九度故亦不得见凢此者繇于黄道斜升斜降也求昼夜长短太阳左旋因之以分昼夜必依赤道上取同出弧为昼长同入弧为夜长法仪上查太阳本日躔度移至东地平因识赤道同在地平之度后转仪令本躔度至西地平仍视赤道在东为何度则总前后相距之弧如法化时即得昼长若干因得夜长亦若干假如顺天府北极高四十度求最长之昼设夏至太阳躔鹑首初度即令本躔度交东地平并得赤道对黄道之度约七十度(自春分起)(算)随转仪令本躔度至西地平即得赤道东出为二百九十三度与前七十度相减余二百二十三度化时得一十四小时三刻半即顺天府最长之昼余日长短法俱同求夜长本法以前夏至本躔度安西地平得赤道同居为一百一十一度复令本躔度东出则西地平得赤道为二百四十八度相减余一百三十七度变得九小时○七分余为当日昼所余也欲用时盘则以午正与本躔度凖对即昼夜各时俱为子午圏所限而并得太阳出没之时如前夏至日出子午圏切寅正二刻余日入切戌初二刻是也以昼长时复求北极出地高法取最长之昼查黄道上太阳本躔度令居子午圏下并与时盘午正脗合后转仪以本太阳出地平之时正对子午圏为度架内起仪或稍下㳺移试之务使本躔度得交东地平即得本方北极高度假如顺天府最长昼(夏至日)约十五小时半之为七时○二刻算得寅正二刻乃太阳自东出至午正之时刻也先以鹑首初度(夏至日)与时盘午正并居子午圏随将寅正二刻代居其下惟㳺移本圏令鹑首初度至东地平即得仪上极高四十度为顺天府北极出地度也求昼时刻太阳西行每三度四十五分为一刻十五度为一小时(四刻)冬夏朝夕皆如此法先依本北极安仪随置逰表于本躔度移居子午圏与时盘午正相对后令仪转(东或西)至表无射景则子午圏所切盘上时刻即真时刻或不用逰表止取本躔度与时盘午正居子午圏下随用他器测日轮高度以所得度识之高弧上如法安弧令高弧与躔度合为一处则视子午圏所指即其时刻求朦胧时刻太阳在地平下体虽不见而光实射于空中则此昏明之际政所谓朦胧时刻是也定限为一十八度如距太阳在限外者固宜地靣周暗合无照光然即在限之内因所行不同为时亦各有多寡或躔度在黄道为正出入则太阳径离地平其行速为朦胧短或躔度在黄道为斜出入则太阳畧遶地平其行较迟得朦胧长试令如法安仪将高弧上十八度与日躔正对之度(在束用西互易之)从地平数起依限于赤道圏作识随去高弧视本躔度之对度在赤道上交地平为何度则依赤道相距之弧变时即得朦胧长短时刻欲用时盘则以午正与本躔度正对子午圏余法同前如北极高四十度太阳在星纪初度若查晨刻必安高弧于西地平令弧上十八度与鹑首初度等即时盘约得卯正(躔度东入十八度故)则是本日朦胧之初刻计至太阳出约差六刻或安高弧于东地平令本仪以鹑首初度与弧上十八度等得酉正为昏刻之末界此时太阳巳西入六刻又如太阳在鹑首初度宜以星纪初度与高弧十八度等东西俱同前法得本日晨初在丑正二刻昏末在亥初二刻总朦胧各得八刻因知朝夕所得同而冬夏所得异也求距太阳出入前后时刻以太阳出没之时较前得时即于昼夜长短中推取此亦一法也然又有从升入之度求得者如法安仪竖表于本躔度转仪令表无射景因识赤道交东地平度(赤道升降)(是)复转仪使东至躔度交本地平亦并识其赤道同居之度(日升度是)两升度相较必前减后余为日出距本时之弧化时即所求前距时刻或于表无射景时识赤道交西地平度(赤道入度是)又复定赤道与本躔度在西同居之度(日入度是)两入度相较必后减前得赤道弧为后距时刻如北极高四十度日躔鹑首初度设巳正初刻表无射景必东地平得赤道一百四十九度西地平三百二十九度令躔度至东复得赤道六十九度与前度相减余八十度化为五小时○二刻即本日巳正之前距时刻若令躔度至西复得赤道一百一十一度借全周减前三百二十九度余一百四十二度化得九小时○二刻乃本日巳正之后距时刻也欲用时盘必先以午正与本躔度上之游表居子午圏至表无景处得本时刻随将躔度交东西地平则本圏两次所指时刻即距本时之前后时刻求七曜时分七曜轮转各主一时名为不等时盖昼夜虽共分二十四时然此则昼自昼夜自夜各平分必得十二时而昼夜之长短所不论也所以赤道上弧亦不得定以十五度为一小时(七曜轮转之时一太阳二金三水四太隂五土六木七火因推每曜当得一时必自日出)(起算所得第一时之曜即为本日之主如遇昴日其苐一时应太阳本日遂属太阳依次轮转次日苐一时属)(太隂太隂亦为次日之主余倣此)法先查昼长总时(依前法)化为分以十二除之所得数为本昼不等之一时次于黄道圏查本昼躔度令与时盘午正依法相对复移躔度至东地平以定日出时(依常法)从此依先得七政不等时平分盘周自日出至日没之处后用表依常法测日依新分盘得时如北极高四十度最长昼为一十五小时化得九百分以十二除之得七十五分为本日一不等时(正五刻)或依前设已正表对太阳无景时盘得新分四时三十分为自日出至巳正之不等时也与十二相减余七时四十五分为巳正至日没之不等时也求夜时刻太阳依左行分昼夜故此独为时刻之原乃欲以星曜定时者必先求其赤道上经度距太阳若干随以相应之距弧加于午正变为时即所当测之时刻法依极安球令本躔度及时盘午正相对后用象限等器测星出地高度并识其方位(东或西)依之安高弧转球以星对高弧于前所测度视子午圏所切时刻即本时刻或不测星高度(先以本躔度合时盘午正)止将本仪取正南北视至天中之星(或出没之星亦可)即于球上移居子午圏而圏下所指时刻是其时刻假如太阳躔降娄初度即将本度正合盘上午正设角宿南星至天中乃移球上本星居子午圏下得时为丑初初刻○六分凢星及各节气躔度俱凖此若依赤道度求时如前法以本躔度及时盘午正居子午圏并识圏下同居之赤道度转球以星所测得度正对高弧复识其居子午圏之赤道度将前后相距之赤道弧化为时乃星居午正之时刻必加于午正时得所求时刻如前角宿南星至天之中得赤道同居为一百九十六度(从春分起算顺数因躔度在降娄初度故止用星赤度化时)查表应十三小时○四分加于午正为丑初初刻○四分(日躔不正在春分后得度)(减去前度不足借全周减之)求太阳等曜距午正之弧法先以本曜所行度与时盘午正居子午圈因识其同居之赤道度后转仪任所设时居子午圏复识其同居之赤经度两经度相减所余必本曜距正午之弧如太阳躔寿星十五度赤经为一百九十四度转仪令辰正初刻居子午圏则同居赤经为一百三十三度前后度相减余六十一度即太阳距午正之弧也他曜倣此求日月食之原日月地三体必并居一直线上始有食盖日体恒居一直线之初界而彼界则月体地体叠居焉如月体居界末则月靣之日光食于地景地体居界末则地上之日光食于月景(月体厚不能透光故)但太阳本行恒依黄道中线而地居天之中心一为日光所照则此靣受光彼靣必生景虽所射景与日正对亦不能越黄道之中线以为规也乃太隂本行多在黄道内外大端距日与地所居之直线逺则朔望无食惟出入黄道之处与日与地相参直在一线上则朔望必食试于本仪考之设太隂在隂(黄道)(北)阳厯(黄道南)距两交甚远任太阳在何宫度使转太隂本圏与日体㑹为朔或正对为望从而视之必日月不能与地并居一直线无縁得食若移太隂至正交或中交不拘得何宫度与日相会或相望必日月地之体并居一直线本朔望时虽欲不食不可得也求交食方位日月相食之轮或从失光之处求之或从存光之处求之其起复方位恒自不同此中繇于多縁如黄道斜月在南北二曜居正午前后俱能变易方位一一细推其故甚难惟于仪上视之了如指掌法论日食依先所算黄道上二曜视度中心图一小圏当日轮并依太隂视距或南或北复图一圏与前约等即当月轮(求初亏俱依二曜初亏各)(视度求食甚复圆必依食甚复圆时之视度)随令时盘午正与躔度相对转仪令子午圏切初亏等时后以高弧正居二曜之心所至地平即其所食方位也若月食法同惟与太阳正对之处图地景圏径约一度半其左右或前后依月距及各宫度绘圏畧小即得月食之象假如崇祯九年正月月食三分余因太阳躔娵訾约二度以本度对时盘午正乃于太阳正对处(实沈约二度)图景并月体圏转仪令卯初(初亏时)正居子午圏即因月轮距南约五十分(以木行未至景)(心论)以高弧试之尚距正东十余度得其向东北至食甚时月轮又低东行又多约与景心南北相对故此时得其向正北也若欲查二曜初亏等时距地平高即依时转仪令高弧从天顶过二曜之中心至地平数之即得二曜高度如前月食初亏依卯初定仪而以高弧过太隂圏心则地平上约得十九度即月初亏高度也求彗星逰星经纬度先任测一恒星之高度如法安球必使高弧依所测星高度与球上本星脗合随测彗星或五纬地平经纬度而以本经度查于球之地平随将高弧过所测之星高于球上用㸃作识因较黄赤道所距度皆依前法即得其星之经纬度又一法先测彗星高度并测一恒星与本星相距之度随依彗星方向将高度于高弧上用㸃作识乃复用规器于赤道上量其二星相距度而以一锐指恒星一锐指高弧所识㸃(高弧进或退必以规锐至其㸃为定)即得彗星经纬度或不必测彗星高度而惟测与一恒星相距之度复以界尺量之更求一恒星与此二星同在一直线而球上任将高弧纵横安之必依二恒星引对则高弧所得恒星距彗星度㸃之球上又可得彗星实度游星俱倣此若彗星有尾欲图全容即依前法先测得其首后测其浑体之长短并量一恒星同居直线上随于球上使高弧从首至本恒星依先所测之长识之球靣即得星尾之所止或正引高弧向太阳躔度以数其长短于球上为号亦得盖因彗尾多向太阳对度故也新法算书卷十七
## 卷十八
钦定四库全书
新法算书卷十八 明 徐光启等 撰浑天仪说卷三立象立象者何任所得时刻应何宫度依之以推定十二舍也而各舍所当居之度分并经纬诸曜皆从本度起算则此因时之变得天之容乃占验所繇以生苐此中𦂳要在定每舍之初界(即初度)举所应得分数绘以方图或圆形随㸃入星曜即浑天之象成矣法依本北极高安球以本日躔度与时盘午正较对始转球与盘将先所得时刻居子午圏下而本球宛然一当时之天象次于西地平识同居之赤道度并得相应之黄道度即苐七舍初界次起半圏至赤道上距三十度之限所得黄道度乃苐八舍初界递起递加尽得地平上各舍初界而地平下诸舍则以黄道相对处可定如一与七二与八三与九四与十五与十一六与十二之类是也假如崇祯九年正月十五日辛酉晓望月食顺天府食甚在卯正一刻二分日躔在娵訾宫一度五十三分因此时求各舍躔度先以日躔对时盘午正依法转仪得西地平交赤道一百五十度交黄道鹑火宫一十三度此即七舍初界正对东地平得𤣥枵宫一十三度为苐一舍初界(即命宫是)上居天中得析木宫二度为苐十舍初界正下得实沈宫二度为苐四舍初界半圏交赤道一百八十度(距前数三十度)得黄道寿星宫初度为苐八舍初界正对之降娄初度起苐二舍又以半圏交赤道二百一十度得大火宫九度为苐九舍正对之大梁九度即苐三舍后移半圏至子午圏之东得析木宫二十度为苐十一舍星纪一十度为苐十二舍而正对处即实沈鹑首相等之处为苐五及苐六舍因而上下左右四角(四角占验最得力处)定矣复求纬星所居之舍或依表预算或径用推定七政细行则以本北极高及本时刻取各曜相应度分入其舍若星近舍初界有距度或可入前舍中必先以黄经纬安球上随以本曜所居之处求于本舍而以前所立象定球渐移半圏如法起舍乃星入前后界内者即得本舍是也若地平下各舍之星法起南极于架上与北极等高移前苐一舍之初界至西地平而天容在地平下者反居地平上即得诸曜本舍之界如以鹑火十三度交西地平至寿星初度总弧内得前月食惟木星与太隂畧近查丙子年七政细行食甚时木星躔鹑火二十九度五十七分而火星则躔大火三度三十分应入八舍土星躔星纪一十一度三十分纬北三十四分必在十二舍之初界太阳金水二星皆在娵訾宫因同入命舍其土星依本经度惟纬北三十四分故得在十二舍之初界若距黄道北或一度半或二度试以舍圏限之必其已入十一舍因近顶纬多故也求恒星法同此盖此象一立则凡各曜性情势力强弱可考而知穷理之家借以观变于未然鲜有不騐者(其法详天文卷中)求两星于立象圏上相合之时凡两星本各无力一合即増力此实足为所立象损益之原也故以初得某星某宫度主人生命等事者安东地平(依本地北极高)即应查其与某星相合否盖转立象圏于球面上下得二星在通径上即命星在地平时其星必合否则令球与立象圏各自那转后求其当合时法必得二星能如此合遂识赤道交子午圏度次移本日躔度合子午圏并识其同居赤道度乃以前赤道交度减后赤道交度余度化为时刻即得二星应合之时如极高四十度一星在鹑尾宫二度距纬南三度又一星在本宫四度距纬北一度本日躔鹑首宫七度试转仪并半圏见子午圏西未合必过东近地平方可得合而合时赤道则以七十五度交子午圏便移日躔至子午圏下得同居赤道九十七度为前度所减(先借全周后减)余三百三十八度化为时得二十二时二刻四分即二星去午时后合圏下之限求经纬星相照度凡两星相照増力或阻力多以向黄道为凖大约有五等如㑹合即同度同分为宻而同度不同分者则谓之疎六照以六十度为界四照止于一象限三照以四宫相距而云然望照则以正相对而得半圏之距乃此数照又各有亲或逺者盖星体居正照之界即亲而力强若体未正居其界而苐以光居之即逺而力弱至若光之前后虽同而各星所定之限有异如土得十度(前十后十)木十二度火八度太阳十七度金水皆七度太隂复十二度经星凡苐一等有七度三十分二等五度三十分三等三度三十分四等一度三十分五六等最微力弱不入其数总之除㑹望二照余皆以顺十二宫为左照逆十二宫为右照试于仪上考之法用规器量黄道上任取一照之界(六十九十等度)以星为心于黄道左右分顺与逆照之限假如求大角四照以九十度为限将规一锐居本星体一锐指左界九十度必至星纪十七度为顺照指右界九十度必至鹑首十七度为逆照若七政必先依各经纬度安其本位余法同前又一法用立象半圏先依北极出地安球任取本时升度居地平乃移半圏径过其星依之于赤道上作识后转球从前所识赤道度相距三四等照界仍移半圏其上所指黄道度即星照所至界也假如升度在夀星十六度求轩辕大星六照限必移升度于东地平立象圏过星指赤道一百三十八度复加六十度应一百九十八度居立象圏即并得寿星宫十六度居本圏为轩辕大星六照之左限其右限则以反减六十度为法求岁旋凡从前所取时刻至太阳复躔元度分其中相去总数谓之岁旋盖依后时所立象较前象所得七政等星居舍内应増或阻前星之力即效验所繇变也法令球依前立象之时定住视赤道交子午圏若干度为前象天中升度今越若干年复求后象天中之升度必每去一岁加八十八度四十九分满全周则去之余数即后象赤道交子午圏度使之于本圏正合可得天容依岁旋之时因以定各舍宫度而各星安舍法亦同前假如崇祯元年正月酉正时立前象因太阳躔𤣥枵一十六度一十九分依法转球令时盘酉正交子午圏得赤道交本圏之升度为五十度设相去八年复立象为崇祯八年十二月二十九日(太阳躔元度是)则以八乗八十八度四十九分去全周余四十度三十三分为后象之升度移居子午圏得本圏指酉初二刻为岁旋之时如用立成表细求即后岁中先查太阳躔元度分之日为岁旋终之日次以后象升度减太阳是日之升度(不足减借全周减之)余数化为时刻分即得当日立象之时刻焉假如因十二月二十九日太阳躔元度为岁旋终之日其升度三百一十八度四十八分后象升度四十度三十三分不足减借全周共得四百度三十三分减去前数余八十一度四十五分化为五小时一刻一十二分(从午正起算)加升度表引照元与増力元相合凡初得某星某宫居某舍因之以占所效是谓照元设更有一星或一宫所居舍能増力或阻前效即谓为増力元二元必各依定时著力乃就中求以前者至后之位或反以后者至前之位俱依赤道弧相应二元之距为限转球查其弧之大小为引则一度应一年度数既定应在何时亦可限矣故引后至前以顺宗动为正而引前至后则因五纬逆行时用之遂名曰反引皆于球上可得正引者何转球先依天象安定令黄道应苐一舍初界之度正居东地平次查照元移象圏径过其上并识赤道合子午圏度又转球右行以増力元至半圏复识赤道交子午圏度则先后所识之间弧乃指正引限而总数可推年时也欲反引安球令之转同前惟立象圏宜先径过増力元复识转球时赤道过子午圏弧因以定其中相去之年假如北极髙四十度设大梁十度在苐一舍初界太隂离黄道娵訾二十度距北二度为照元火星近东地平躔大梁六度距南三度为増力元必先依各经纬度带二曜于球上然后令象圏过太隂处所交赤道㸃约为三百五十二度(用本圏与用子午圏同)次定住象圏移火星与本圏正对约得赤道交圏㸃为二十八度以所得前后度相减余中弧为三十六度即正引之限求反引法亦同但引限在地平下必先起南极依北极出地度令黄道苐一舍初界之度正居西地平余法同前(见前苐二卷)求引二元应止黄道何度因照元渐离初得之象圏乃更有黄道相应故任至某年亦可求其相应度法先安球依本象令象圏与照元合随查赤道交子午圏度因之顺或逆取本度与年数所止限移至子午圏必此时交象圏黄道度即其年所引照元止限也如北极髙四十度设寿星十六度东出太阳躔𤣥枵六度为照元依去四十二年之数复求躔度因安寿星十六度于本地平安象圏于鹑火六度(与𤣥枵对)(度因后在地平下故)得子午圏交赤道一百一十度以加四十二度依之应一百五十二度交子午圏得象圏交鹑尾一十六度即娵訾一十六度(正对宫度是)为照元去四十二年所至限若照元自居四角不必用象圈依所取年数转球复居本角黄道度即照元所止度设寿星十六度为照元而出地平者亦即此度则得地平交赤道二百零一度令球右转以赤道四十三度至地平则所并居之大火十九度即为照元任取之年后止限又设増力元亦居地平等角即以同居赤道度减年数之度所止限复移至地平等角亦即得黄道交地平等角为其当年所至之限或増力元不正居角仍用象圏与之交并识其所过赤道度减总年数余度限移至本象圏复得并交黄道度为増力元当年之限也依浑仪解圆线三角形圆线三角形者何乃过球心大圏相交三弧之形而各弧不及圏之半周所成也盖形内每两弧共抱一角在间者谓之腰弧而与角相对之弧即底弧或又谓直角三角形内以所抱直角弧为底弧及垂弧即与勾股不异而以所正对直角者为弦弧论角其大小以对弧之大小为则盖用规器以本角为心以九十度为界则两腰间之弧(腰先引长)必量其角得本弧为一象限即对角为直角过象限为钝角不及象限乃为锐角凡弧或角不及满象限之度名之为余又凡两腰引长至合一㸃则得抱角之对三角形以底弧为公底以对角为等角而余弧余角皆前三角形所不及满一百八十度之余弧余角者也因止一直角三角形得余皆钝角者则与直角正对之形内腰间角必直余反皆锐也如止一直角三角形得余一钝一锐者则与锐角正对之形内惟前形直角相连之角为直角余皆锐角也如图乙戊丙形内设戊为直角乙丙皆钝角即其对形乙甲丙内得甲为直角乙丙皆锐角也又丁丙戊形内设丙为锐角戊直角丁钝角即其对形为丁巳戊而戊角独直丁巳皆锐角论斜角形如三角总为锐角必对形独存一锐角余皆钝角也设乙甲丙形内甲为锐角即得对形乙戊丙内戊亦为锐角乙丙皆钝角如三角总为钝角乃对形反存一钝角余皆锐角也设乙戊丙形内戊为钝角即乙甲丙内甲亦钝角今解三角形法多论不及一象限之弧即锐角之底是也因以斜钝角形先变为锐角形以直角形有一或二钝角者亦先改为对形则就中推求之法与解原形不异即余弧余角之理所繇出也今用浑天仪解之亦倣此但先解直角形尽之于三比法有以先得一锐角并与各弧者又余锐角复并与各弧者又以其底同各腰或并得二腰者各列法如左任取一弧一锐角求余弧及余角设甲乙丙三角形内甲为直角其底乙丙余弧即腰则乙与丙皆锐角也先设得乙丙直角之底弧及乙角欲求余尽解本三角形法架内北起子午圏令赤道前髙依本角之度然后或东或西自赤道交地平处与本地平查底多寡之度以为限移过极圏至此限上即三角形仪上定矣如乙角为二十三度半以前子午圏弧为则使赤道依之其左右交地平角即得对弧以定大小今甲为直角必于赤道交过极圏处求之则地平上得底若设乙丙底弧为六十度而移过极圏至本度(从乙角算起)因大腰在赤道弧约为五十八度小腰在过极圏弧为二十度有半自过极圏交地平查各圏满一象限即以其限安髙弧得二圏间之弧为丙锐角之对弧约七十八度又设以小腰及本角求余弧及余角即先定角等法同前而以所先得甲丙弧(如二十度半)与过极圏上为㸃移之至交地平必自得腰与底弧合前度即丙角亦在髙弧同矣或以大腰查求其余亦先定乙角而转仪以渐进赤道弧入地平令自其二圏相交之处独余五十八度至过极圏交赤道之角必余法余度亦合前也今试以三弧各与丙角为先得如底为六十度求余弧余角法移过极圏至地平距子午东或西三十度(六十度余是)定住球使髙弧距二圏相交之处各满一象限得间弧为七十八度即所设之形凖否则宜前或后起子午圏必令髙弧对丙角如其度为止即子午圏自地平以上得对乙角之弧而直角两腰皆明矣或设先得大腰与丙角必进或退赤道圏定其腰之大小(如五十八度)即安髙弧而起子午圏依前法求余弧及余角也或以小腰及丙角求余即先于过极圏查腰弧大小之度使之交地平以试髙弧得全形盖对角弧不及其度即球宜北起过极圏宜南下若对弧已过其度则球反宜南起随移过极圏东西得正然后余角余弧皆依前法凖得矣任取一腰一底或二腰求余弧及诸角先设得小腰与底弧皆依前度法令球转东或西以过极圏限底弧之度(如六十度)视本过极圏自赤道至交地平弧若正合其度(如二十度半)即三角形已定否则前后起仪求小腰务合于地平乃所对大腰亦复得五十八度而查乙角丙角必同前又设得大腰与底弧亦先定底弧度渐起球或下令之左右转以并对大腰度即小腰亦自合而求角必依前法也或复设得二腰求底与角即先定大腰令球下或起即得余腰与底而求角亦不异前也解斜角三角形总为六题其一曰以二腰及间角求底弧及余角如甲乙丙三角形内丙为钝角甲乙皆锐角设先知甲角(即间角)则乙丙为底余弧皆腰也如甲角为三十度大腰六十度小腰止五十度法于子午圏查距极(南北不拘)六十度之弧移其限于天顶次用过极圏令距子午圏左或右而以赤道三十度为限末安髙弧东西必依极圏所居方位令之交极圏距极限五十度即三角全形定矣大都子午圏为大腰极圏为小腰髙弧为底因而如前图得乙丙底为二十六度有半乙角以地平为对弧在子午圏及髙弧之间得五十九度有半所余丙钝角欲求其对弧未免再移球故先依髙弧于球面上界线后转极圏令交髙弧之㸃正居子午圏下而并其子午圏起之以当天顶乃复依先界之线安髙弧而以至地平为限则此限及子午圏之中弧即丙余角之对弧为一百八十度所减存得丙角一百零三度若用浑仪求之线宜界于黄道上或髙弧本位不与黄道遇即于未转极圏之先移髙弧于正对地平度所遇多寡度界线其上余法同前而所得弧即正丙钝角之对弧也其二曰以二弧及先所得一弧之对角求余弧余角如前图设先得甲乙弧六十度乙丙二十六度半及丙角一百零三度法起子午圏以二十六度半为距极之限令之居天顶则自极至顶得乙丙弧将秋分经圏西距子午圏十三度(依赤道为则)或将春分经圏东距十三度则自二至经圏至子午圏其中得赤道弧为一百零三度乃丙角之对弧也又安髙弧使之以六十度(自顶下数)交过至经圏即以髙弧得甲乙以经圏得甲丙而甲乙丙形全矣今查甲丙必为五十度乙角则自髙弧至子午圏在地平上必五十九度半所余甲角因依髙弧于黄道上界线然后移经圏交髙弧之㸃以正居天顶而依界线复安髙弧得交地平至子午圏之中弧为三十度或不移球止安髙弧于地平正对之处用规器于前交经圏及髙弧一象限之界量二圏所距亦必得三十度为甲角之度也设反得甲丙五十度乙丙二十六度半及甲角三十度以求余弧余角法起子午圏令距极五十度之限在天顶次转仪使过极圏距子午圏之东或西依赤道上三十度为则即于髙弧自顶而下数至二十六度半以之交经圏即得余弧于本圏为六十度而髙弧在地平上其距子午圏一百零三度乃为丙角之对弧仍依髙弧在黄道上作线令前交之经圏六十度居顶用髙弧顺线下至地平必得五十九度半即形内乙角也其三曰以二角及先所得一角之对弧求余角余弧设甲乙丙形先得乙角为十度半丙角为一百五十四度半又得甲丙弧对乙角为二十三度半宜求甲角与甲乙及乙丙弧但既先得甲丙对乙角之弧亦应知甲乙对丙角之弧过象限否今使过象限法查经圏左右赤道上之十度半令之正居子午圏随于地平上从北去南查一百五十四度半以之安髙弧因而起或下子午圏必视其所交经圏之㸃距北极出象限外乃并视经圏所交髙弧之㸃必距天顶二十三度半一得距度凖即本形定矣盖乙角在极中经圏及子午圏之间与正对赤道得其若干(十度半)丙角于地平(一百五十四度半)甲乙弧于经圏上约得一百零六度乙丙于子午圏上得八十四度半止余甲角必起髙弧与经圏所交之㸃至顶而求其角于地平依前法得其为二十七度其四曰以二角及角间之弧求余角余弧如前形内设甲角为三十度丙角一百零三度甲丙弧为五十度法自极中查子午圏上五十度令之居天顶为甲丙弧查地平去子午圏北一百零三度以安髙弧为丙角末以赤道上距经圏三十度之限移居子午圏乃得甲角而余弧自明矣因而髙弧上得乙丙为三十六度半经圏上得甲乙为六十度若求余角必起髙弧所交经圏之㸃至天顶依前法查之乃得其五曰以三弧求诸角设甲乙弧为六十度乙丙为五十度甲丙为二十六度半法使甲乙弧在子午圈出极中至天顶即以之安髙弧令以二十六度半(从顶算)交经圏距极五十度之限必得乙角于赤道圏甲角于地平而丙角则起经圏五十度至顶依前法求也或使乙丙五十度在子午圏而以髙弧安经圏之六十度即乙角可在赤道上得丙角则反在地平甲角则起球求之法同前其六曰以三角求诸弧设甲角为五十九度半乙角为三十度丙角为一百零三度法转经圏于子午圏之东或西任取相距三十度或五十九度半或一百零三度皆以赤道弧为则必得相应之角在经圏过极之处安髙弧亦同法盖其交地平距北或三十度或五十九度半或一百零三度必皆在地平上算而相应之角则在天顶但安髙弧必先于地平取凖乃于天顶未定之时渐起或下仪试二弧逺近相交之处以对余角其法或识髙弧交经圏之㸃于顶而地平上试所求角正对之弧或用规器从髙弧与经圏相交之各㸃距一象限量其二弧所距(必先转髙弧于地平正对度)得合余角即初起之球必凖否即更移之总以试定三角后而其弧自明矣依比例原法复解圆线三角形圆线三角形中之比例总归四原因生四公论以尽解或直或斜三角形之理一论曰凢多直角三角形得锐角同近底线者以较其弦及埀线之正弦必皆互得比例设后图于仪上甲乙丙丁为地平戊为天顶从戊过甲戊丙与庚戊巳皆以直角交地平彼为子午圏此为髙弧乙辛丁当赤道圏以直角交子午于辛以斜角交地平于乙于丁盖多三角形中取二形即丁辛丙及丁壬巳乃二形中有丁辛与丁壬为弦线辛丙与壬巳为埀线丁丙丁巳皆底线锐角在丁依常法以辛癸及壬寅两弦线之正弦与辛子及壬丑两埀线之正弦互相较先得三线其余线俱可得矣今用浑仪显之试以二弦线及大形中之垂线求小形中之垂线因而设丁辛得九十度为赤道一象限丁壬为赤道四十二度之弧辛丙则其地平髙得四十八度二十五分法移髙弧在壬下至地平得壬巳弧为三十度二分或安髙弧以三十余度交赤道圏即自限小形之弦可并得两弦线欲求大形中之垂线则辛丙必为子午圏上之弧自地平至赤道髙四十八度二十分或以二垂线及大形中之弦线求小形中之弦线各依前所定度则自壬髙弧交赤道处至本赤道交地平丁必得四十二度二论曰凢多直角三角形得锐角同近底线者以较其底线之正弦与弦弧之切线必皆互得比例如前图三角形同而大形底弧之正弦癸丙其切线即卯丙小形底弧之正弦己巳其切线为辰巳皆可反复相解或求垂线或底线必以算乃得今于浑仪上查之设赤道髙同前髙弧交处亦同前度必所得垂线亦不异前若求丁巳底线即自赤道交地平至髙弧切地平之处得其弧为三十度五十余分因依常法凡弦弧之正弦与垂线之正弦得比例可互求而底线之正弦较垂线之正弦则否何也盖垂底两弧之正弦各圆线形内不能合成一直线三角形故(见前苐一图)用浑仪可免直线形止须以圏相交处即得各弧之长短大小焉三论曰凡圆线三角形其线之正弦必与对角之正弦得正比例如后图设甲乙丙为直角三角形直角在丙余皆锐角各边引长为一象限至壬至戊至丁自丁复引象限至子至庚因得乙丁巳斜角三角形今依常法直角形内求甲丙边即因先比之丙角与甲乙或甲角与乙丙推乙角与甲丙之比例求乙角即因甲乙反比之丙角或乙丙与甲角亦算得甲丙与乙角又求乙丙应以甲角较推如丙比甲乙同而反求甲角应以乙丙边推如甲乙比丙同此反复用八线表推求法也若用浑仪即本图内子甲壬自当地平必得天顶在丁而子丁壬为子午圏设辛乙戊为赤道丁乙丙为黄道或当髙弧则直角形中之三边各显于本图各有定度可取盖论角则丙角自显为直角以丁子弧可徴余角皆以对弧得则甲角以戊壬乙角以辛癸是也试于斜角三角形内先求乙巳边必以丁对角推之用乙与丁巳或巳与丁乙之比例求乙巳等角亦以对边求之法必同前但查表或疑其所求角应锐与否(如查正弦九二七一八应六十八度并应一百一十二度)必以取凖图形为正或用天球尤易明盖设丁庚为髙弧得丁角于丙庚地平弧乙角在两道相交之处必对则在过二至之圏弧巳角既为钝角乃左右之边无以定其象限必球上自顶顺髙弧界线而线交乙巳弧之㸃移至顶则球一面依先界线安髙弧必尽于地平一面赤道亦自至地平彼此间地平弧即能量定巳角矣四论曰凡圆线三角形两边各小于象限先以两边弧自并后又以小边并大边之余弧而即以此后总弧之正弦或减先并总弧之余弦或加其过象限弧之正弦所得线半而用之乃以求第三边即前两边间角之矢与他线如全数与前半线所复得线为后并弧之正弦所减必余第三边之余弦或为后并弧之正弦所加亦余第三边过象限弧之正弦若反求角则他线与角之矢如前半线与全数而他线亦为后并弧之正弦以内减第三边之余弦或加其过象限弧之正弦所生因此三角形中之两边并较象限或等或小或大而各依之以推第三边设角时直时斜皆同但推角设边反异盖两边并较象限相等或小则设第三边必小于象限独两边并大于象限所设第三边亦能大于象限故法虽同临推种种畧异此等三角形歴家无所不用虽加减法若省然亦未免于烦欲查浑仪则捷若指掌何也以二边及间角求余边先设两边并与象限等其一为四十七度其一为四十三度间角为五十度试于仪上极髙四十度即安髙弧令地平上依间角自南去东距子午圏五十度自顶于髙弧上查四十三度亦自顶于子午圏余四十七度得其中黄道弧从娵訾宫一十四度至降娄宫一十七度共为三十三度即形内余边也复设两边并小于象限如各为三十五度间角与极髙同前得三边在中黄道弧则自降娄宫九度至大梁宫六度共为二十七度又设两边并大于象限如各为六十度余皆同前得第三边在黄道弧自𤣥枵宫二度至娵訾宫十五度共为四十三度若求角即以先所得三边反查髙弧及子午圏之间角则所得三弧必生五十度之角苐原法凡得三边小于象限者用其余弦与后并弧之正弦相减大即以其大弧之正弦相加乃仪上亦无二法如黄道自𤣥枵宫一十八度至实沈宫初度共一百零二度为苐三边其对角当在髙弧及子午圏相距之地平上得一百一十度此则抱角之二弧并必大于象限也今试以公论用仪解日食内所算三角形则凡直角形归一种斜角形又归一种其列二等如左求时圏与地平交角时圏与赤道经圏及过赤极圏皆一而独以其所用有分别焉设太阳居正午其过时圏至地平正交必为直角若午前后因斜交地平得角亦斜且大小不一复设太阳在正东距正子午圏共六小时则过时圏至北极得九十度其交角大小与极髙度同使交角在正午及正东西间即以髙弧求其大小法从交㸃各圏上正去九十度安髙弧(地平上算)必本弧上从地平至交时圏间度为时圏交地平角也假如太阳躔降娄宫初度设时为辰正二刻先将午正与本躔度并居子午圏下后转仪令辰正二刻正切子午圏乃本时圏交地平从正东起南去四十度以之安髙弧又距本度满一象限则又在正北之四十度以此度复安髙弧从地平上数起得交时圏五十三度为时圏交地平角也求地平与黄道交角法用髙弧过黄平象限下至地平即因髙弧为大圏以所正对交角之弧能量其大小则必自地平至其交黄道㸃乃得黄道交地平角也假如北极髙四十度设实沈宫初度居地平东出得平象限偏子午圏之东以髙弧从此㸃过至地平约得三十四度一十分为地平及黄道二圏之交角盖黄道因半周恒在地平上而平分左右各得九十度独冬夏二至此限正合子午圏外此则限每偏东或西所以查交角用髙弧不能用子午圏也求黄平象限距子午圏为三形之弧黄道随宗动左旋其交子午圏也时髙时庳因而两象限之中㸃距天顶亦时近时逺且以斜升斜入故则九十度限大半偏东或西乃从冬至迄夏至限常在东从夏至迄冬至限常在西即从而得限及子午圏中之弧也今依法加髙弧使之过其限必以直角相交其角左右之弧一在髙弧一在黄道而相对之底弧在子午圏则三弧共为直角三角形也明矣本形内各弧亦能自显度分乃限距天顶又距子午圏等度皆见于弧若更求髙弧距子午圏中黄道之对角必应查于地平即以髙弧距子午圏之中弧量之乃得且本弧大小正与黄道出没之广弧等如北极髙四十度设大梁宫初度为平象限因偏东十四度以安髙弧得其至地平切子午圏东二十七度即象限偏子午圏对角之弧与黄道自正东去北之出正西去南之人等而髙弧自顶至交限㸃则三十度也求子午圏及黄道交角凡黄道以冬夏二至交子午圏成角者必为四直角因子午圏当过黄极并二至圏此间必正相交故也使以春秋二分交即为斜角得对弧正与两道最相距之余弧等从此距分渐逺交角亦渐易必自冬至至夏至交得锐角向东北或西南自夏至至冬至亦交得锐角向西北或东南法以黄道度正合子午圏定住移交㸃至天顶从此至地平两圏各成象限则其间地平弧能量交角之度如大梁宫初度交合子午圏七十九度(从北极算)必移其七十九度在顶与本宫初度相交其二弧至地平间必抱七十度东北与西南皆等又设鹑火宫以十五度相交因在子午圏七十四度移本度居顶得二圏至地平中弧必为七十二度西北与东南皆等求髙弧与黄道各度之交角先依黄道距午正前后度以赤经圏交黄道角或加或减于高弧交经圏之角乃得高弧与黄道或正或余(形内外是)之交角此原法也今用浑仪可免加减径安高弧交黄道于其距正午度即依前法界线随移本度至顶复依线安高弧必得角于对地平弧矣如北极高四十度设大梁宫初度距午正六十四度(东西无异)使髙弧交其躔度因得界线后起大梁初度居顶依线复安高弧即得所指地平五十八度为髙弧交黄道角也或不必转仪而独移髙弧于地平对度用规噐于髙弧及黄道弧距前交㸃九十度之界量其二弧相距则地平上亦得五十八度如后图甲为天顶丙戊黄道弧甲丁为子午圏平象限距其东设在乙日食在戊或丙依前第三及第四题公论以二曜躔度丙及定朔时先得丙丁黄道弧必使丁居正午以髙弧过丙为甲丙丁斜角三角形内求甲丙弧(二曜地平)(髙之余弧)及丙交角盖以甲丙查得太隂高庳差(丙巳是)丙角与小形内交角等因并得所余巳角(壬自为直角)而以之推丙壬时差及壬已气差故也或依第一及第二题公论以先得黄道交子午圏丁㸃于仪上并得平象限相距之乙丁弧即安髙弧过乙限先得甲丁乙直角三角形内查甲乙本限距顶之弧而更使髙弧过丙躔度乃复得甲乙丙直角三角形内求甲丙弧及丙角皆依前法因解丙巳壬小形以求视差其法尤省新法算书巻十八
## 卷十九
钦定四库全书
新法算书卷十九 明 徐光启等 撰浑天仪说卷四依浑仪制日晷法太阳左旋以定昼夜十二时(二十四小时)则常依赤道三度四十五分为一刻每十五度为一小时故诸圏以二十四平分之而每分又以四平分之乃得时盘必周分各与赤道皆等之度相应令之竖立与赤道高下等而中依直角安表则表景所射即能定时而赤道晷所繇起也今不必恒以竖立合赤道圏或正立面向南北为立晷或正倒面向天顶为地平晷或复正立面东西正向为子午晷或又正立面偏正南左右或不正立面偏地平各以所向天上之圏得名而各以其面承接日光故立表或正或斜不一即表射景逺近与面分时刻广狭亦不得一虽太阳左旋同诸时刻平行同而线则实繇景得射景既异相距之线安得不异此诸晷公有日平行之原而私则各有所异总于本仪可得而明矣求诸晷方位法日晷之制原以度数考求而度数必有相应之定处则又在取凖方位焉故凡平面日晷所向方位多变大约相较有二原或较地平即与之为平行有正立有曲立种种不同皆应度数不等或较子午圏亦与之为平行乃有偏左偏右而多寡复以间度为则者又或有偏于地平偏于子午兼地平子午而别为一种总不外此二原乃复得一方位者必先置木或铜取四方直角平面形为甲乙丙丁依其长边面内作戊己线与甲乙为平行线应平分于壬即以壬为心以辛为界作己辛戊半圏乃平分一百八十度也从中线壬辛左右各一象限而另设垂线于壬则定方位之器全矣临用时如求地平方位即令此器以丙丁边倚晷面正立得垂线合壬辛中线者即得其面正与地平同若垂线偏距中线左右则必查象限得晷面前后离地平若干度以垂线依象限辛㸃之前后度为法或令甲丙边依直角倚晷面得垂线正合壬辛线者即其面正立在地平若得垂线距辛㸃内外则依其距度于象限上亦可得晷面偏前后之广欲求距子午圏方位即令甲乙边以直角倚晷面从此器中心壬出尺能旋转于半圏诸度尺末设指南针其上随尺同转乃先安器后转尺而以罗针对下顺尺线者为凖随以尺距中线之度定晷面距子午圏之广但罗针未免畧差故又一法晷面上界线自上一直下于线上立表表末另悬垂线候日光射垂线之景必合晷面上线乃凖且将浑仪依法测得日轮高度而以太阳躔度对高弧则高弧所指地平度或正东西或偏左右因偏若干亦可定晷面离正南北之广也其求重复方位各依所向可得乃向地平如前向子午别有法于晷面立二表任意相距表锐各设垂线距面皆等候日轮出视其二线凖对即于仪上测其地平高以与高弧正合而地平经度可得子午圏方位亦定矣制正球日晷凡日晷之表等虽北极出地不等得各时线相距等者谓之正球晷此其制原易可不须球然舍球又无以明其理也如赤道晷因诸时圏与赤道交其相距皆于球心相切设以本仪之枢当表其射景必顺时圏行赤道使各依极安仪而表之长短同则时圏在赤道上相距之度亦同或论赤极晷因其面正合卯酉时圏设本面距仪心任表长短等而诸时圏与中心相切从心过晷面相距不等则正午线合仪枢可当仪面中线而余线左右相距渐逺皆平行如上图以长方形为晷面其丙丁横线者即赤道与之相切线其甲午正南北线者即合仪枢从赤道顶过时圏所为线也立圏者乃赤道周平分以指诸时圏相交之㸃者也盖时圏必皆切表顶(当地心是)而复开之使过至丙丁线上为时线所居之界故本晷诸线交心在面外而以表顶为心彼此相距皆平行今设表长短同虽极高多寡不同其线则二晷相距无异又设甲午线依天枢斜竖令晷面偏东或西则午时线不能定在面之中必依面所偏多寡而晷面亦移左右不等至其面向正东正西乃以中线为卯正酉正余线渐逺惟午时线不入晷面而丙丁线则尚为赤道所切虽时线皆平行乃晷则应以一面斜起庶合赤道高度而得中所横线其高低度与之等也制斜球正日晷凡日晷之表等因北极出地不等得各时线相距亦不等者谓之斜球晷其制法原不一今用浑仪列简法如左如制地平晷先起仪依本北极高乃令过极圏正合子午圈而子午圏之左或右毎扵赤道上查十五度移居子午圏下即识过极圏交地平正南北度复于赤道上查十五度如前移居子午圏下又得过极圏交地平度以此逓查逓移必至尽过极圏交地平度之界而止则诸时线在晷面相距之广全得焉盖晷面上先作两直线以直角相交其一为子午线其一为卯酉线而以交㸃为心任意大小作虚圏或用比例尺或依本圏预分度取仪上地平所识度为法(自夘酉线至子午线或反之以应仪上所识度为凖)从心出线过此者皆平晷时线也如北极高四十度以过春分经圏居子午圏下必在地平之正南北初度为午正移之去东十五度(依赤道度)得经圏东交地平十度(距子)(午圏算)为午初移之去西十五度得经圏西交地平亦十度为未初(距午前后等时恒得距度等)巳正及未正约得二十度半己初及申初约得三十三度辰正申正得四十八度辰初酉初得六十七度半至夘正酉正则各满九十度而夘酉外与前距时等必皆得度等若求刻线亦依赤道上三度四十五分为一刻如前法逓查之安表使之出晷心向午正距晷面渐逺以北极出地度为则必悬子午线上以正合本地天枢是也若正南北立晷亦用仪上赤道求距度渐移至子午圏法同前其所异惟在交度盖髙弧与过极圏相遇处为交度而高弧则定居东西或夘正酉正茍不用高弧惟以极高所余度求之如北极高四十度依其地制立晷必使仪北极出地平上五十度如前法定时线盖五十度即极高四十度之余度其安表渐距晷面正下以至本地赤道高为止此晷自卯正至酉正独十二小时向南而夘前酉后之时面皆向北其表渐距晷面与前同从上反求得正矣制斜球单偏日晷若不正立面向南北制法略与正立同但用高弧必依其偏容有异盖向南面偏北者必查偏度于子午圈从仪顶去北即此安高弧面向南者则偏度宜求于顶之南以此界出高弧其向北晷面偏南者即依偏度于顶南求界或面反偏北尤宜于顶北求界总之偏度多寡及所向方位皆应查于子午圏距顶南或北之处以安高弧而高弧下至地平恒在正东正西之㸃表位必在正午时线从晷心渐距其面与高弧上距北极等若不正立面偏正东正西法用立象半圏先于高弧上取偏度如设面向东而偏西三十度令髙弧自顶下至正西量三十度为限即安半圏于其限以当地平必识其与极圈相交之㸃为各时线之距如北极高四十度安高弧及半圏如前将时盘与夏至圏对试于太阳出时必得春分经圏北交半圏十六度夘初交十二度渐过以南交二十六度后七十等度至未正一刻余太阳过半圏西晷面无景其本晷表位偏午正线左右距晷面较地平面高不等求其位法使经圏与立象半圏以直角相交即因经圏自交㸃至极中弧得表之高半圏自交㸃至交北地平得表位与午正线相距之逺如依前极高等数则表距三十八度高二十二度若正立面偏东或西制法亦与正向南北立晷同独高弧下至地平不得定在正东正西之处必依晷面偏度因之距东西等如面向南偏西三十度即高弧距正西亦北去三十度面偏东必高弧距正西之南向北面偏东西皆倣此但偏晷所得高弧度午前后必异时刻多寡不等试令北极高四十度晷面向南偏西三十度先以高弧北距正西三十度转经圏西十五度(赤道上取或用时盘亦同)得其交高弧㸃距顶十二度为未初乃自正午相距线也又渐转仪每十五度为限得午后时刻各依交度不同之广未正交二十三度申初交三十三度半申正交四十四度酉初交五十五度酉正交六十九度戌初交八十七度复移高弧在东距正东之南亦三十度随转过极圏东十五度得午初交高弧九度巳正交二十九度巳初交四十八度辰正交七十度辰初则交地平虽夏日最长亦不能全见午前半昼景安表必先查其偏东西若干距晷面多寡法令高弧至地平居本晷偏度限(晷面偏东用高弧于东地)(平偏西用高弧于西)乃转仪使过极圏距子午圏与偏度等必得以直角交高弧则自顶至交㸃于高弧上得表在晷面上垂线之度自极至交㸃于经圏上得表距晷面之度假如前设偏西三十度之晷将高弧下至西地平北距正西三十度过极圏亦应于北地平距子午圏三十度得其与高弧以直角相交则自交㸃至北极中约四十二度为表出心渐距晷面之高复自交㸃至顶约三十度为表渐距中垂线之广此立晷之面南偏西用高弧及经圏之法与面北偏东而面南偏东与面北偏西者亦同但表末于面南晷以向南极为正而面北晷反应向北极也制斜球重偏日晷若不正立面向南北复偏东西则较本晷面与地平面或偏向或偏离为交角时锐时钝之异故依偏容分别其晷为二种先论锐角向地平者法查本晷所偏东西度于其本向地平或晷向西南东南必从子午圏南交地平起其所止限为高弧当至之处则自顶依高弧求晷面偏地平度即以合度处于球上作识复自高弧交地平处去北九十度为限因之以安高弧移居顶而过前所识处即于高弧上得诸时线相距之度则因交前所识及子午圏间弧为晷面中垂线距正午线之广也次转球过极圏以十五度为交高弧之界与前法同得午前或后依面向东或西各时线之距而余方则移高弧于正对地平度转球使极圏渐交高弧各时俱可定矣若以钝角向地平法反查偏东西度于本晷所向正对地平或晷向西南东南则从子午圏北交地平起所止限亦为高弧当至之处乃于球上作识依之求时线相距皆与前同独高弧宜去南九十度以定复安之限虽高弧不能过球上所识并至子午圏惟令立象半圏过正相对地平而左右转球则午前后时线度半圏上可得假如北极高四十度晷面偏西距正南三十度向地平偏二十度必使高弧在子午圏西与地平三十度合令夏至圏正居子午圏下乃自顶依高弧量二十度得近黄道处为实沈宫二十一度与高弧二十度合为㸃作识后复安高弧或立象半圏在地平正西之北三十度从前㸃过(球尚不动)与正相对之度至地平则所交子午圏处距顶约二十三度距㸃一十二度则一十二度为晷中垂线距午正线之度便转球西一十五度(用时盘亦可)夏至圏必交高弧八十七度为未初次交七十二度为未正次五十八度次四十五度次三十三度次一十八度末五度为申初申正等时以至戌初始尽复转球令夏至圏距子午东一十五度得交对度高弧六十四度为午初次四十六度次二十六度次一十一度次即入地平盖辰初不载晷面因其偏西故也欲安表必先查其应距晷面若干偏午正线左右若干因而从晷心出依偏距度起射景与各时正合求距面度法使高弧在晷正面地平(末求余方时之前)渐转球以过夏至圏得北极及高弧中最小之弧即因本弧量表距面之广或于本方使过至圏与高弧以直角交则自交处至极中弧亦为表距面度查表偏午正法用高弧交过至圏与前同独偏度当于高弧上从交㸃至子午圏上求之必中弧为相应之距度假如前晷求表安高弧在西地平北去正西三十度使之上距顶南二十三度转球令过至圈以直角交高弧即从交㸃至北极中约得六十度为表距晷面度复从交㸃至高弧切子午圈约得五十五度为表距午正时线之度余倣此畧节气线于正球日晷凡节气在黄道上正相对者以较赤道其距内外天上必等盖随宗动左旋必为平行圏故乃平晷节气线则不然虽赤道线为直线而内外节气线其形甚曲多縁彼此相距渐逺或不以赤道为中界故较赤道平有异向焉惟赤道晷之节气线亦自为平行圏亦内外相距等其形正与天合试就浑仪先论之设仪上赤道为实圏天枢上任取其表之长作识切赤道面向外并取过极圏上与表相等弧识之从所识处量各节气之距而每界出直线过表顶得凡线至晷面所止之处因以定节气当居之位焉法用规器以赤道心为心以线止位为界作平行图如左外圏限赤道晷面周平分为时刻其中心出表为甲戊设庚己辛为过极圏即从庚外取庚己与甲戊等而己为诸节气距内外之中界盖以戊为心作辛己壬弧从己至辛至壬取二十三度三十一分得夏至及冬至界取二十度一十三分得大暑小满及大寒小雪其余节气皆倣此乃从其各界引辛戊乙等直线得乙丙丁等圏于向北晷为赤道北节气向南晷为赤道南节气也凡正球晷之节气线以赤道为中线余线凡相对者左右距必等而各渐开距必不等法设仪心为表顶其面任距逺近必依表长短为则与前制晷法同即将过极圏于赤道内外识各节气之距度随以各度出直线从仪心过使至本时线上必得赤道在中左右诸㸃为节气应过之处此即界线之所以然临制时以表顶为心时线交赤道㸃为界作圏即得切割等线依八线表取用盖赤道为全数时线左右为切线从圏心出线与时线相交得割线故将全数载比例尺余线依之取载晷面是也如后图上下为时线设制赤极晷即午正居中卯酉居边制东西正向晷午正居边卯酉居中而赤道横交诸时线彼此必同甲丙为表长依之为圏而左右定节气之距如丙己丙丁等弧即得甲丙全数丙己丙丁直线为切线甲己甲丁其割线以定夏至及冬至于午时或卯酉时线而定两至中节气亦不异此试于申巳时线必以乙为心(表顶之距)作壬丁辛圏左右取丁壬丁辛各至之距弧余节气线弧皆与前同即乙丁为全数丁壬丁辛直线为切线甲壬甲辛为割线而节气宜过其㸃位亦依之定矣又试于午初酉初即丙为心以作圏求子庚子癸两至距赤道中界而求他节气皆同一法也界节气线于斜球日晷凡斜球晷之节气线虽以赤道分内外然各节气正相对者距赤道逺近不等而自为曲形则其曲必等故设过极圏以定各节气初度之距令出直线过仪心至各时线上皆与前同法先依本地北极高求各节依各时应出地平高(见前二卷)随以高弧考对即仪心当表末依所行直线各至时线为㸃而毎时识㸃处连之必为曲线以指本节气也假如仪心在乙以辛庚为晷面得甲乙表癸巳为过极圏设北极高四十度欲制地平晷节气线即辛庚为午时线辛壬为天枢距面四十度入地于辛以定出时线之心任安表于甲即因表锐当地心亦并为过极圏之心得癸丁弧为赤道出地平高而余节气初度则必距赤道内外皆在戊己二至之中设从各距度引直线至乙㸃复引过晷面午正线而赤道止于丙夏至在子冬至过赤道下在庚又设过极圏在表顶周转以对未申等时(午前后同)而赤道二至等节气初度皆合高弧上本时所对高度令出直线过表顶必至本时线为㸃以引节气于此过矣凡制立晷节气线即辛壬距晷面宜依赤道高癸丁弧依北极出地高(癸为天顶)(癸丁弧即赤道距顶弧必与北极出地等故)余节气度俱依之出直线至午未等时线上以赤道上者为冬赤道下者为夏则各节气自明矣如图以乙为心甲为界作甲丑弧即乙子乙丙乙庚等线皆为割线甲子甲丙甲庚皆为切线以表为全数查节气依各时高度于八线表用比例尺或平分直线如法简取盖依本北极出地地平晷用余切线立晷反用正切线何也地平晷算高度于癸巳弧而用甲丑弧之切线立晷则于癸巳算节气距面之弧其余即正高度亦应甲丑上取切线也偏晷同一法以各节气依各时高度出直线过表顶下至晷面定其曲线宜引之㸃则除正向南北偏晷外其余安表必于午正线外求位盖因天枢斜过晷面故乃枢正下别为直线从晷心出与赤道线以直角相交则线上交表线中节气线相距最近左右复开展相距必等依前图论表既不竖在午正线而在天枢线上则癸乙过极圏径不以本线平行且以直角与甲乙表相交虽转以对各时线交表法必不变矣界地平经纬等线于日晷凡日晷有面与表为公而载线其私也一切定时分节气列方位种种各异种种能互为用而总入诸晷之面与表矣即地平一晷时刻节气线外尚有可界于其上者如地平经线(太阳方位线)相交于表位自为直线其相距必等地平纬线(太阳高度)以表位为心周皆为平行圏线相距不等十二舍线为南北平行乃相距逺近不等之直线太阳出没后时线皆偏左或右皆斜交赤道线亦自为直线七政时线左右向其中线亦皆为直线昼夜长短线复倣节气线之曲形而疎宻复异东西诸方相距线与时线同任用多寡乃所以异何也地平经线即高弧自顶至地平所为者仪上移高弧任取十度或多或少距限恒等而依之视正对地平度必为直线故恒得仪心居间此本线所以合于表位也其地平纬线必安高弧于定处从下渐上以相等之距限视仪心则以目光线所射之面为界初寛而后狭若移高弧他处亦依此为法此以表位为心而图平行圏之所以然也其制法惟量表大小依之开比例尺于上取各距度之切线从表位带入面上为圏即地平纬度限则表景所至必指太阳出地平高度随将地平纬度平分或五或十等距度(从午正线起)则表位所出直线皆过其分弧界即地平经度已定而表景所至必指太阳所向方位论十二舍线即立象半圏所为本圏仪上皆合子午圏交地平为一㸃者但若左右倒耳故正东西从仪上视之至面必为平行直线其制法亦不异正向东西之偏晷也论太阳出没已距时线即过极圏依各赤纬度所为起仪依本极高将时盘午正与过极圏合令之转东或西以太阳本方春秋分出没为止则即地平分赤道及二至圏皆不等而赤道恒得六时至午正夏至若过冬至反不及今设去夷地平圏上一时或二时至满半昼时皆并过横线至第六时其线赤道上必交子午圏夏至上未及冬至上已过即因其横线指太阳出没相离时若干依之从浑仪心视晷面必皆斜交赤道而愈离愈斜法必先于晷面界赤道线就内或外加一节气得昼时双数者因以太阳至本节气出没之时定为初时而余时渐依之列也如北极高四十度太阳至立夏昼长约十四时而立冬止得十时皆双数则因立冬日出辰初必得辰正为距日出第一时而余时次之立夏日没戌初而戌正即日没后第一时余时亦随次之今赤道上辰初恒为日出后第一时戌初为日没后之初时即前所识节气线上诸时㸃与赤道上相应之时㸃以直线连引之得太阳出没后诸时线也论七政时线其向中线繇赤道等圏则自午前及午后以至地平皆平分各六时盖夏至午前后弧大于冬至午前后之各弧而赤道得居中必与诸时线斜相交是以其线自向中也法先依最长之昼平分时盘或六或十二分遂于地平求各时相距度(皆依前二卷)带入夏至节气必得其平分午正左右各六时也然后将赤道与夏至相应之时以直线连之得左右皆同皆与斜球斜交赤道其昼长短线总繇赤道纬度任用疎或宻故其理不异节气线制法亦同若诸方相距东西线皆子午圏所为与时圏同必以过两极圏取凖与制地平晷线同法以上晷面所得诸线依本容因之有异必从其仪上所得圏视仪心至面止俱依前法如试于立晷即地平与赤道为平行故地平纬似节气线形地平经皆上下平行逺疎而近午时则宻全倣赤极晷线十二舍线皆出地平与子午线相交太阳出没距时线如前地平面同七政线亦出地平交子午线之㸃昼夜长短亦如节气线诸方相距东西线亦与正时线同制法各随本类全载日晷本欵此不复详地球用法地球以圆形倣地之本体又以旋动反其性情者总欲因各处向顶之自然也盖地居万物之中心随处向天即如圆圏中心出直线无一线不正向其界者然乃制之为球反若偏居(在地面故)距天此近彼远(俱以子午圏求天顶故)必宜活动以随处能移至顶与天相近而从之向顶可也故安球必先取平以合于地平使子午圏南北得正而因以诸方向得本所焉后令球前后起或左右转务以本处至中顶乃得向天之势有以二处相提而论或经纬皆异者或经同而纬异者或求二处相距之里及所向之位纬同而经异者总于本球得明矣先论其经纬皆异者法任令一处居顶而从此下高弧至地平使之南北游移以正交其彼处为度乃识交度与顶之中弧化为里则得二处直相距之里数又复识本高弧交地平度因以得彼处较前处所居之方位假如顺天府北极出地四十度令球极起四十度随转球使顺天府至子午圈即以之居顶乃依之安高弧过云南则自顶至交㸃约二十二度即算得六千里(依二百七十里一度算)而高弧至地平则从正南去西五十二度即西南第四向位也(各向)(详下文)又使高弧过星宿海得自顶至本海之中弧为一十八度化得四千八百余里而高弧至地平乃距正南六十二度则因本海较顺天府在西南第三向位矣若经同而纬异即先移其处同居子午圏下以本圏上度识二处各距赤道若干度以之相减乃得其相距度因以化为里如顺天府与南昌府约在同经试于子午圏上得南昌北距赤道二十八度顺天距四十度相差十二度化得三千六百余里设一处在赤道内一处在赤道外各以所得数相加即其相距度乃因以化为里若纬同而经异即先各以其处移至子午圏下从莺岛圏线起至子午圏下止赤道上算各经度以之相减即得二处经度差但距赤道内外逺近者依赤道平行小圈似不能如前法求里数盖小圏所应一度之里较本赤道度相应者不等因而度小里数亦应少今惟于球上用高弧乃有一简即得者何也以一处居顶安高弧使从地处过则止视高弧上交㸃与顶之间弧即其相距度因复算得里数如前假如大西之极西地得北极高四十度与顺天府同纬因属距赤道四十度之平行小圏论其本经度应差一百三十度依度求里亦应距三万五千一百有奇今止以高弧为主则二处直相距约九十度算得为二万四千三百里而相应之向位且亦不在正东西焉使以顺天府居顶极西地必北去正西五十余里入从西第五方位使以极西地居顶顺天府亦必北去正东五十余度以入东第五方位凡此皆地为圆形而更得斜容故也任以一处依经纬度安于球地球以东西为经南北为纬与天球不异但求纬甚易惟一测其极出地高即得其顶距赤道度而纬定矣若经度必以其所先定处为界依之东去加度至某处止乃较前所得距度是其本经度也如测纬依测北极诸法即以所得极高度于子午圏上从赤道徃极数至本度随识之球上乃得纬圏应过之界焉测经一法以月食为凖因先知某处月食初亏食甚等时分秒今复得他处所测分秒以之相较必得二处相距之时乃化为度盖前处居西所得差度加前经度前处居东所得差度减于前经度乃因得本处之经度次于本球赤道上从前处查得其度而于本度左或右即以距弧所至之处复移至子午圏则本圏交前纬圏之㸃即某处在地面方位也第月食不常遇更有一法止须测太隂在黄道度并识其临测之时刻而复考他处所载太隂细行(务求)(极凖者)应于何时至所测度分则较二时所距化为度如前加减乃复得二处距经度然太隂每多视差必候其在冬夏至之时于正过子午线上测之乃可免视差也又或以其角依上下垂线取凖盖两角居一线上则月体正在黄平象限全无时差否则上角偏东即未及上角偏西即已过也因之求时与度法同前又一法可于行程中求之于起程时以自鸣钟凖合天任去一二日复以他器测日考时得之与钟正合则较前处必南北相距东西犹同若不合即以所差时加减之乃得二处东西相距之时而钟必求其分毫之不爽者始克有济求海中舟道漂海者依指南针行此定法也总分针盘为三十二向如正南北东西乃四正向如东南东北西南西北乃四角向又有在正与角之中各三向各相距一十一度一十五分而各向线乃其过顶及交地平之大圏也临行时其道有三等皆依盘上向线引舟而实有与盘所载直线异同者盖正南北行则依针线所引之道与所指子午圏同正东西在赤道下行则以东西线所引之道与所指过顶之赤道圏同若正东西在赤道内外行者虽依东西线引舟而其实所行之道与赤道为平行与线所指之圏则不同(线指过顶交地平大圏因至地平并交赤道与之斜行乃舟离去二界皆)(距赤道等而路以直角交中子午圏必与赤道平行)若西南西北东南东北行虽依针盘所分正角中诸线引舟而其实所引之舟与所行之道异盖所行之道非大圏亦非平行圏且亦非圆圏线何者大圏因过天顶斜交子午圏则所交子午圏之角不等必渐逺得角渐大而平行圏皆以直角交乃舟道之交子午者为等角随处方向同故自与大小等圏不同也今舟行正南北或正东西赤道下即未尝离子午或赤道因而皆为大圏则须以度加减之乃可得其路程即正东西与赤道为平行亦不离此小圏而以所去度化为赤道度(平行圏度大小不等)复以加减求之亦可得惟斜行推路甚烦故或以经纬推距度及方向或以经及方向推距与纬又或以纬与距度推经及方位或以方向及距推经纬必先知总方所引(西南西北东南东北全圏四分之一)及原界之纬度所开乃依本球求得此简法也以经纬推距度及方向法于子午圏上识开舟时二界(繇此界以至彼界故名二界)相距之纬随于球上任用一方向线以交子午圏于前纬为度因以得二界相距之经乃转球令之东或西(依引舟总方是)视本方向线能复交前纬㸃则其线必为舟所应随之线否则另试一方向线务以得交如前法假如利未亚洲之西狮山距莺岛东一十五度二十分距赤道北七度三十分设于此处开舟引之至依勒纳岛乃更距东九度一十分距赤道南一十五度三十分试转球以东南之偏南中线交子午圏距北七度三十分复转球西(因去界在)(东故)过赤道九度一十分(二界经度差是)则得本线距赤道南一十五度三十分交子午圏乃依针盘本线引舟至依勒纳岛也又一法用规器于球上量二界之距必本则正合方向线在二界纬圏上即本线必为引舟之线矣假如取琼州府与小琉球之距因琼州府距赤道北一十八度小琉球距赤道北二十二度必求方向线于十八及二十二度各纬圏线上得在东南之偏东中线依之从琼州府去小琉球必正道也向线定矣因求二处相距之至法用规器于里表上取相应半度之数(为一百三十五)(里愈少取愈凖)依二处纬圏中之向线量之得数与一百三十五相乗因得总里数或用后表更凖初行指一总方向线之数次三行指大向度分秒所应各向线之纬度如自琼州府至小琉球其路为东北之偏东中者应从正八百二十一里为此二处之总路余倣此以经及方向求距与纬法将球本向线至子午圏与开舟处之纬相交复转球令其经度差过子午圏(东西必繇彼界之距)亦视其向线在何度复交子午圏即是舟所至界之纬设从依勒纳岛舟行西北之偏西中向相距经约二十四度因使本向线交子午圏得距赤道南一十五度三十分(本岛纬是)随转之东行至二十四度止得原向线交子午圏为距赤道南五度三十分即舟所至界之纬而其距前界之里数亦可依前法推定矣以纬与距度推经及方向法依前小表自显于球如从利未亚洲白山(最西边)徃西北行其所应止之纬为距赤道北三十度三十分相去四千八百六十余里乃白山在赤道北二十度三十分则纬差十度以所应里总数推一度应里四百八十六以二百七十除之余一度四十八分为应一纬度之距查表得第五向线即西北偏西左向线为舟行之道耳方向已定随查球上本向线交所至界纬圏㸃乃自本㸃至前界中赤道弧即得二处经度差以距及方向推经纬法畧同前假如从大浪山开舟繇西北之偏北中向行二千九百二十五里乃先求所止界之纬因本向为去正北第二线则此纬一度之距应平度一度零五分得里数二百九十二有半故总行之里数得十度为三十五度所减(大浪山在赤道南三十五度故)余二十五度即舟行所止之纬因求经度如前大小圏度相应表大小圏皆以三百六十平分为度但各圏不等必随其圏之大小为则又小圏距中大圏愈逺得度愈狭故必依南北纬算表乃可初行载诸纬度次二行载诸纬过小圏所应一度之分秒因而纬逺得分秒渐少其所量小度亦更小以至近极之一小度得对大圏度之一分耳用表法或以里数推经度或以经度反求里数如从顺天府一直东去至鸭绿江为二千二百里或一直西去至宁夏其里等盖东西路皆与赤道平行相距俱四十度因表中查四十度之纬得小圏一度为大圏之四十五分五十八秒应里数二百零七里为二千二百所除得二处各距顺天府十度三十七分以之较顺天府总经度东加西减即得二处各经度若以经度求里数法于球上子午圏对二处之纬得同度即转球识二处赤道上距即经度也经已定随用表中相应之纬分秒以推彼此相距之里如成都府与杭州府皆距赤道北三十度试以杭州居子午圏渐转球使成都亦居子午圏得赤道中弧约一十五度今二纬各三十度应五十一分五十七秒乃以此数与十五度相乗得十五小度之分秒而以一平度相应之里求比得二处直相距之里为三千五百六里有竒凡南北小圏俱倣此新法算书卷十九
## 卷二十
钦定四库全书
新法算书卷二十 明 徐光启等 撰浑天仪说卷五浑天仪制度仪中诸圏宜合天上相应之圏而相合必有定处大小皆如法乃始成一浑仪也但前以所分之仪平与不平定图大小之异今则不然而以能合一器各不失乎应天之理者为则因有三圏内外相等为赤道及两过极圈又有二圈内等而外异为子午及地平圏又二圏外等而内异为太隂本圈及过罗计以从黄极之小圏余则各不等各依本仪大小定度焉制内外等圈论过极圏为浑仪之脊骨须先从此圈制起而诸圏依之可定任用银或铜制二圈为匾形各厚约半分(此就)(径过六七寸者论耳其余以仪大小为度后倣此)阔约二分(以其上能刻度与字为则)大小任意两面磨之使光复如法圏之安于铜板上(小銲)(銲住)以求中心随用规器齐其内外之周边并于面上作圈线以别度与字之间处必于刻度处缩之刻字处寛之乃度居外而字居内也其度数每面为三百六十至五线稍引长至十其线径过圏面而字乃识度之数者从正对之二处起至九十度于正对之二处止乃初界为赤道交二圏之限末界其二圏自相交之㸃因以定南北极焉须各圏以两面度及字彼此准对而两圏尤以诸面皆等为务(诸圈当磨之使光乃复齐之使)(平刻度等皆倣此)圏制矣必以十字直角交之使合法于止数正对之界圏各开小方孔其孔较圏面有半一内一外若公母笋者然乃用铜成二圆条厚分半余长五六分一大端开十字方孔以受二圏之交㸃一小端不令开孔少锐之便入子午圏以当仪枢复于二圏各起数正对之界与赤道圏如前法各开半孔直角相交以为总合之处如图甲乙为二圏相交之地加丙丁各条利其坚且当天枢故向内开孔以受仪枢向外小锐以入子午圏中为南北极戊己庚辛皆圏腰之孔皆距极等乃所以受赤道圏者盖二圏既交必少制之使不紧便于入赤道圏矣随从二圏相交之㸃任于一圏上数二十三度半其正相对处皆等复用二铜条一端开小孔少许入其处一端向内任意长短又开一小孔偹以受月本圏者(如前图壬癸皆指铜条小孔自)(显于壬)即月圏本极可当黄道极乃其圏必为过冬夏二至之圏赤道圏周分三百六十度二面俱等顺书其数亦二面同乃初度与九十度及一百八十度与二百七十度皆应开孔则初度与一百八十度所交之圏必为定春秋二分过极圏九十度与二百七十度为限冬夏二至过极圏之交界葢春分得初度右行九十度为夏至逓而秋分而冬至至三百六十度止渐又至春分矣即此可以查升度其制法与制二圏同内外周边以规器齐之各面以圏线分度与字度居外字居内皆如前圏图可不赘制内等外不等圏论子午及地平圏内周边之齐同较前三圏约寛一分葢安髙弧与时盘必使诸圏利于旋转势不得不少处其盈也且分四象限以九十度正对之合处为止而度反居内字反居外其子午圏之两面度数同地平独用一面惟度数外更増以时与刻故较子午必倍其体也今详各圏之所异子午为诸圏所倚较他圏独厚乃取其坚而濶与之等或微过焉其一面于度数初起处各加一铜耳以便于受天枢因枢左右有钉或螺旋转安于圏面故如图甲乙为各数初起之界并为南北二极而丙丁正对处则各满一象限乃正戊己及壬辛为铜耳长尽于安钉濶止于圏面之半厚以与圏能开孔容天枢为则故本面当仪之正中临用时或安髙弧或就时盘定时皆以此面为界前卷所谓子午圏正面是也地平或安于木架上厚薄不拘独下面用三四铜钉透入木中使之固且令不随子午圏起动焉或不用木架而用铜架止令数处倚于铜柱亦可自立其子午正对处各开一口深与子午圏及铜耳之濶等寛如其圏与铜耳之厚取其便于髙下出入已耳如图内层分三百六十度为四象限毎象限各九十度外层周分刻数并十二大时乃午在南子在北甲乙其口也寛窄之势以𦂳容子午圏及铜耳为度而子午圏之面则又平分地平居浑仪之中焉制外等内不等圏因太隂本圏用以显交食者故体势稍小居仪之中距日约逺应随浑仪旋转又能依左右那动乃代月轮从黄道并出黄道内外者必更借一轮与之等以支之法本轮两面皆无度数独以十字平分为四界即于正相对二界上各安铜条外出少许各条于末端少锐用以入黄极所出二铜条中即安于前所云过冬夏二至之圏者复于彼二界向内斜开小孔深入圏面之半以其能受月轮圏且得出入黄道内外其太隂圏外周与前圏等齐内周畧濶为其另加竖圏为月轮所附以旋转者亦无度数独一面分四界为正中二交隂阳二厯之限故于交处外开小孔与前圏斜孔相交加以铜结入圏其中以固之从交处向左因其圏偏内即以所交为正交内半圏皆隂厯从此而圏复偏外即以所交为中交外半圏皆阳厯如图甲乙丙丁为所借圏于正对处载铜条为乙丁乙处少锐应入南黄极丁之锐入北黄极即月本轮随之转因以得隂阳厯黄道内外者是其甲丙相交处(一正一中)必居黄道正下使月可得南北纬度其加戊己二结者以总合二圏故也庚辛为太隂本圏载前四限于其上(二交左右可识日月食限多寡须依法)其内周加竖圏为壬癸周约等濶半分余即月轮所倚以旋转者其南黄极于甲乙丙丁圏内出小表为子表末正向隂厯限为太隂本圏之中心乃开小圆孔内载一铜弧如弓形以此弧之一末安其心一末带月转如上图甲为入心之钩乙即附于竖圏之背使月轮自倚其正面以旋动然未安赤道之前不可不预偹此免后安置之烦耳制内外不等圏全不等圏者即黄道髙弧及时圏是小大形势各不一葢黄道有二一在外围仪周为匾圏任寛十二或十六度虽总分三百六十度然复依十二宫为界其横线毎三十度为一宫限引长之为全线毎十五度为一节亦引半线以别之度分细界于中一边书节气一边书二十八宿各以本度得节气而宫名可免矣一在内制与赤道及余圏等独一面书度数各以三十度为限大小较他圏不等外边周与赤道及过极圏之内周等齐任于三十度正对之界开小口用以合乎过冬夏二至极圏所留之口内边周开一深圏即从南黄极中出铜弧如弓形其一末入枢心一末带日轮于深圏中转俱不异于月轮焉如图上圆形为黄道圏之正面甲乙为口丙为带日轮之弓形开小圆眼于丁加钩于戊乃戊钩在本圏之背日轮在前能对度数旋转其下长方形为黄道带之一方(举一以槩其余)中线为太阳躔道左右刻度春秋二分迭易之以便观也先将内黄道圏如法安住(以其缝入内合之或钉或銲令刻度分者向北)其外圏(黄道匾圏)务令春秋分准合过极圏之中以与赤道交夏至则过赤道北(在内)而冬至则又过赤道南(在外)其㸃亦与极圏合乃圏所应合之四界微开小孔以钉固之复依黄道外圏之濶更制小表为测景表如图甲乙合黄道之濶如法扣之使𦂳丙为弯形铜以冷制之得硬体安放进退如意髙弧为匾圏四分之一以地平或子午圏之内边为长短之则寛取其能容度数及所刻字一端中开小孔以能抱合天顶不脱一端加一小足度数外复余少许能入地平初度之下如笋之有所受者然其书度分从下而上如图甲为上口度末齐子午面乙为小足初度倚地平余入其下但天顶与髙弧全依北极出地度安置故更有天顶为丙中开一长方口以入子午圏下留小钉为戊安住髙弧其丁为螺旋宜入丙孔定住子午圏可任游移用也时盘以铜为实圆形其势少拱取其与仪圆体相合中心𦂳抱北极之枢能随诸圏转亦能自转其时刻自右而左书之盘周以之安于子午圏内而子午圏正面可当切时之表或时盘在子午圏外定住不移盘之上必须加一铜尺以指时刻其尺𦂳与枢抱能随诸圏转必能自转与前盘同苐盘周所分时刻从左而右与前盘异焉如图甲乙为时盘在子午圏内即丙丁为子午圏能自切时刻戊己为时盘在子午圈外枢端出中心为庚辛为时尺乃随仪周转以指南刻者以上诸圏如法合成随安置于架中必使子午圏半在地平上半在下而负仪之柱长短务如法必先试之而后乃定住所开之孔亦与地平之孔等以其能凾子午圏及两耳可游行不碍也架之下安指南针必线与子午圏正合或与之为平行临用时一与针对而本仪之南北得即东西可定矣制天地球十二长圆形法凡造浑球可任意大小界黄赤道等圏其上又依度数带入诸星此元法也但其功甚难故别为简法先制星图及地图刋于平板以楮印之糊于球面必合因其图形为长圆设长直线以三十平分之从苐一分为心十一分为界作弧渐次以往止于十二弧后复从下对前弧亦如前作十二弧得十二长圆形如前图其中横线应球上黄赤等道两末至极中诸弧并其中顺直线者皆应经圏令弧自得圆自能应其圏形独中之直线较弧反短倘不伸之使长便不能至二极又或伸之使长必令球畧大中腰必寛即长圆形腰线亦应长矣故楮虽宜坚且耐终末得全合欲免楮阙更有捷法求小圏与大圏之比例以限长圆形之旁线大约线稍曲畧就中线而中线无伸长之患可易合法曰全数与小圏相距之余弦如三百六十度与小圏全周或如九十度与小圏一象限或如一度与小圏一度之分秒得弧后余数复以六十相乘以全数减得分数再乘再减即得秒数如求黄道一宫三十度应如距四十度小圏之弧乃距度之余弦为七六六○四与三十相乘总数二二九八一二○与全数相减得二十二度余数与六十相乘总数五八八七二○○复与全数相减得五十八分今将球上三十度带于比例尺百平分线上为长圆形之腰线又使之与长直线以直角平分相交遂于比例尺约取二十三度带腰线形左右于直线四十度之距界而各等圏弧依距度推求取于比例尺得直线两旁曲线应过之界以成其长圆形或不必算即设直线得大圏与球径之比例(一百五十七与五十)(或三百一十四与一百皆约为准)为甲乙十二平分之为横线以直角交大线之界乃于中线以丙为心以最近左右横线为界作圆圏宜从丁戊平分毎边十二分而毎正对㸃以直线相连使线过毎止于本横线如图葢从甲丁乙甲戊乙依其交㸃两旁过曲线必为长圆形凖与球面合即得之矣随以楮壳或铜木等板依之裁制一长圆形皆以中横线正对为黄赤道线临㸃星画地图时分黄赤道三百六十度以定经长圆形任一边分一百八十度以定纬(球制已以)(于子午圏定纬因以㸃星尽地图用虚纬度亦足)其十二星图等圆形皆以中横线为黄道以两末为南北各黄极因诸星依黄经纬度㸃入故横线内外各引赤道及冬夏至等线而赤道独分为度余皆依本纬相距总于球上合为圆圏也地图亦分十二形但中横线指赤道分为度余内外线即冬夏二至南北两极圏各于本纬取定也其毎距十度横过线者乃与赤道平行线而过赤道线毎距十度至二极中㸃复合者为经度线其中能量各处东西之距且可较赤道上度因得各处实度化之为里又于十二㸃(赤道上四㸃赤道内外相距等各又为四㸃)出弯线各三十二以定方向者乃用以分舟行海上之道耳今总天地各球十二等形如左天地各球十二长圆形图因前图未尽圆形至二极中尚差十度故复以此圆圏补之各以十二平分而中心当极可合前图成圆球也临糊时先从此圏始次将长图各于相应之界连接之(法详之后篇)球制已完必地平子午圈髙弧及时盘指南针等与浑仪同乃可以全球之用但前图大小有定则而子午地平必依其则以为径今定其式如左与圏内周之边等即球与圏相问之空俱在算内而天地球圏同一式矣制球法球之制全取其准与便准则必贵极圆以能合天载诸圏与度数相对便则以轻为最体虽大尤宜易为迁动设以铜为之欲其薄且圆固不易制即用木体质浑实亦不便于移置莫若以木板数块渐合成球绘天地等图于其上或糊前长圆形亦可葢球未合时内凿之使空而已合后外得旋圆使之与图符或用楮须预偹一木模涂膏于上并用坚楮依前所偹长圆形裁十二圆外有二小圏心宜通以抱模枢易于进乃自涂以膏余十二圆必先渍以水两末微糊圏上使其周尽围模面次用楮裁圆形渐次合之以满其体之厚为度(厚一分余)乃更造一半圏任用铜或鐡与应制之球面等以为騐圆之圏(以长圆图之径取正一面宜合枢之中心)安枢上而枢又自安于本架二竖柱上乃令球转髙者去之低者补之必渐得圆乃止也取球法先备其枢随用两木较球径长数寸制为方形其中起槽以藏铜丝为球之极两木已合自中左右量球内空之径(以除球体之一倍得之)于各界留结两结间木以旋转为圆任厚若干于球未合之先安本枢即从外入小钉至两结中定住球如图甲乙为枢之结相距与楮球内面等丙丁皆出球外之锐中凾铜丝乃球合后亦去之与面为平欲取球即于架转依騐圏之中线界球腰线以十二平分从第一至第七分界依騐圏面至两极引线得正中分球次本线之左右各加平行线各距等依之切楮二三层复界中线又横加数短线必于中线开球依横线得合为法球取矣遂于中安枢复合二半圆用胶封固之缝宜合之坚后转球试枢居其中否乃随窒之绾于内结务令球得均匀若少有偏即详其轻处钻小孔制一木螺丝转如下图 以甲为柄乙入球内有数小孔实铅其中得平乃止其出球之柄亦去之与球面等焉上长圆图于球面法欲上图先于球面加以白楮安球于架依騐圏之中线复界腰线于上以为赤道又分赤道为四象限使于各界依騐圏面过线至两极中以为二分二至之极圏次下球于铜枢上贯以楮板如尺状从枢心出直线使之顺球至赤道上为㸃乃自㸃至枢心分九十度裁其半依长圆形图以赤或黄道为腰线用楮尺先于球面为线令与图上之线相应如设赤道为天中即依楮尺距各极二十三度半为㸃以界两极圏又距六十六度半为㸃以界冬夏二至圏更分赤道为十二界各界过线至两极中合即得经圏并为长圆形所依而上界如法黏合矣若设黄道为天中即先依楮尺于二至经圏正对处㸃二十三度半为黄道极后必用曲腰规器以黄极为心以二分经圏交赤道为界作圏得黄道又合规器任意多寡从各黄极为圏得与黄道为平行乃总应平分以为十二长圆图之界而皆取准于经圏也诸圏已分用楮尺依分界至黄极中引线两线间得长圆形之界故将图于周线中截之先将一半黏上后复合其余半皆以其线合球上线者为准而种种俱得法矣然天球或依前騐圏或依新安子午圏各宜界二十八宿线过本宿距星与前界经圏同但线不必至二极中正于恒见与恒不见之界圏可总之依本北极出地度取则而地球则无线可加也矣附黄赤全仪说全仪共有四圏一赤道圏一黄道圏其赤道圏正居天中一面分二十八宿各距宿度分一面分三百六十平度当天上经度而黄道则斜交赤道圏上两相交处即春秋二分两相距最逺界即冬夏二至圏上一面依本道分十二宫一面仍分二十八宿其各宿大小则依本黄极测定故异于赤道宿度矣次子午圏以直角交黄赤两圏乃从赤道内外各分九十平度其距赤道最逺之界则为南北两极而极之两端各出一鐡轴令全仪悬安其上以利旋转焉三圏内又一圏为定经度圈亦名测景圏或安赤极下依赤道旋或安黄极下依黄道旋乃任两道公用者于赤极上另置一盘周分时刻曰时盘随全仪运转亦有时能自转令正午与太阳躔度相对因以定时者复有一小表任游移两道上一面开一长孔深入景圏而以螺旋定住一面所开孔较短而中有一锐尖以指度分仪架前后竖两木柱而以全仪悬置其上其前柱之端出一铜弧分度数者乃约畧中华南北之广依各北极出地数以上下其南极者如 京师北极出地四十度则南极度入地四十度广东极南之地北极出地二十度则南极应入地二十度是以上至二十下至四十度也后柱端一铜表如手形者乃用以指时刻葢随全仪之逺近以为进退者架之下有三螺旋则因前后或左右以起全架令与地平相准而复设一垂线以考之又设以罗针以定子午大槩为测时计也安仪法凡测天之仪必以诸圏正对天上所设之圏令其似直者应直似横者应横乃可葢日月经纬诸星本圏上所得度分乃天上实行度分也今本仪或测诸曜实行度分或测昼夜相当时刻必先以其圏与天上所设之圏取正而后徐议测法焉依本北极出地数起仪而以地平取凖复以罗针取定子午向次用垂线于后柱之左右相较务令线与柱上下为平行则全仪之东西正矣否则以后螺旋进退之盖垂线逺于东者则架宜东起或西下逺于西者反是末以前螺旋于地平取正南北葢悬垂线于子午圏本极出地度上令线下过正相对之度亦与上同如上在四十度下亦过四十度则地平之南北正矣否则又以前螺旋或出或入便可如法定子午线法用黄道正面上查本日太阳躔度移测景圏正居其下以表如法定住令全仪渐转若得黄道圏与测景圏内并无日光则子午正矣如两圏内不能并得景必稍那其架之前或后至两圏内无光乃止用仪法测五纬宿度法从北极中出三线一线直过仪心以穿南极谓之内线余二线俱从赤道上复合于南极谓之外线而逺近可任意游移者临测时将外一线界定某宿初度令与内线并天上本宿距星相叅直复移一线与所欲测之本纬星正对亦令其与内线共在一线上测两星同见其间度即相距之实度而纬星所在之宫度即本星赤道上宿度若欲依黄道测之则移景圏与线于黄极下法与赤道同所得度即黄道宿度测恒星相距度法用二十八宿距星以外一线安本宿初度以一线正对当测之星俱取与内线相叅直或另测仪所未载之恒星须先查恒星经纬表依本经度识之本圏上测时移线于所识处即因以同测他星必两线中得两星依本道相距之经度(黄赤同一法)测星黄经度依常法以恒星求经纬诸星经度即可得其恒星所居今恒星有本行较黄道终古如一而较赤道不能为一欲求其实处必从太阳躔度可定法安景圏于黄极下对定太阳本日躔度于日未出之先任取一恒星(测五星不异)测其与太隂或太白相距若千度候太阳出地平上转仪正对令黄道圏与景圏内无日光乃止而复测太白得其距太阳度与前所测两星之距度相加即本星距太阳黄经度或日未入之先依此法先与太白同测太阳后以太白并测恒星终亦得恒星距太阳度则其本黄道经度也测星赤经度法移景圏安本赤极下或晨测夕测俱与前同第景圏既正交赤道即于黄道为斜络不能实指两道相当之度须先查升度表以黄道度取赤道上相应度依之安表于本赤道上如前法测之即得本赤道经度如测星赤纬度从春分㸃中出二线一线直过仪心以穿秋分㸃可当内线一线从子午圏上过复合于内线之元㸃可当外线逺近任意游移临测时亦如测赤经度法将外一线那对所欲测之星亦令其与内线相叅直从子午圏上视其距赤道南北度即得星纬南北若干度测太阳定时法先查太阳本日赤道度(用升度表求之)约为景圏对黄道本度所指转时盘午正与景圏相对后转全仪至黄景二圏内无光则后指所指即本时刻如未安景圏先以外线在赤道太阳本度对时盘午正即午正线后以目窥之必得线过赤道南者或在北者及午正者皆合一线则准而时刻亦依前法求之乃得测恒星定时法先对时盘于太阳相应赤道本度皆与前同后任用二十八宿距星即以外线定本宿初度或别用大星须先查本星赤经度识之本圏以定线临测转全仪令内外两线与本星及人目相叅直则后指所指时刻即本时刻测交食凡交食有三端可测一为食之时其法与昼夜测时无异苐月食时或夜有微云星体不显乃以测月为法必先安景圏于太阳实度并对时盘午正临测时以太阳所正冲景圏用以窥月体令内线与外线叅直则后指所指时刻即食甚时刻可合天若初亏复圆因太隂先未正对太阳或后已过彼此约差半度(东行之度)化为时得二三分则先减后加于见测之时亦可合天一为食之分别有本仪此不论一为方位因人目不能正对太阳故止于测月食以黄道圏及景圏取法葢太隂当食时恒在黄道或黄道内外相近处今仪器既与天合则诸圏亦合天上之圏惟顺黄道及景圏窥太隂缺光之边则以二圏所向与月亏之边相较即可得其方位矣测北极出地髙法用罗经或别求定子午线以正本仪之南北次安景圏与太阳依赤道所算度分正对而前渐起仪令黄道圏与景圏皆无日光随以螺旋定住则即前极髙弧上得本地北极髙度或以垂线于子午圏上下所得相应之度即本方极髙度若以本仪制日晷先如法安仪令子午圏竖立合天(以垂线考)(正是)时盘上之午正与本圏对准后将白纸一幅依当制之晷或立或倒或在仪左右安之使从赤道上毎三度四十五分出线至本纸上所得㸃引长之为时刻线假如欲制地平晷必安纸在仪下与地平面平行即顺赤道侧以目下视引线至纸上作识或用二三㸃连之得直线乃赤道线依本线从子午圏交赤道角上下正视之得㸃为午正处次转仪任时盘所行一刻二刻以至于尽亦如前作识(依时盘刻数与依赤道度同觉此更简便)得午前或午后一边之时刻线则他边之刻数等其相距亦与之等次求晷之心以引其时刻线立表法当于时之距午逺者任指一刻作识随于赤道往南较逺者顺切子午圏视下纸作识从本刻引线过此又从午正引与赤道以直角交之线至此其两线交处即晷之心也若制立晷宜竖纸在仪后法与前同独出线立表心当向北极后求之若制东西晷宜竖纸于正东或西法亦同但时刻线皆为平行线而表则正居赤道卯酉线上其长短以四十五度之切线取规故恒自心至上或下十二刻量之为止若诸偏晷即依偏度多寡安纸与前同一法其求心立表惟以目随内线至极为安表之地必斜出于晷面以当天枢是也总之偏地平晷倣正地平晷表作式偏立晷倣正立晷表作式各依或以北极或以赤道髙取之若欲以直角立表即用仪心为表位其长短俱依切线即本仪半径矣黄赤全仪之用约不外此新法算书卷二十
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钦定四库全书
新法算书卷二十一 明 徐光启等 撰比例规解论度数者其纲领有二一曰量法一曰算法所量所算其节目有四曰㸃曰线曰面曰体总命之曰几何之学而其法不出于比例比例法又不出于句股第句股为正方角而别有等角斜角句股不足尽其理故总名之曰三角形此䂓名比例者用比例法也器不越咫尺而量法算法若线若面若体若弧矢方圆诸法凡度数所须该括欲尽斯亦竒矣所分诸线篇中称引之说特其指要各有本法本论未及详焉若所从出与其致用则三角形之比例而已按几何原本六卷四题云凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之边为相似之边六题云两三角形之一角等而对等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等作者因此二题创为此器今依上图解之如甲乙丙与丁乙戊大小两三角形同用乙角即为等角则甲乙与乙丙之比例若丁乙与乙戊而对等角之边如甲丙与丁戊为相似之边也又显两形为等角形而对各相似边之角各等也今此规之枢心即乙角两股即乙甲乙丙两腰甲丙为底即与乙丁戊为等角形而各相当之各角各边其比例悉等矣任张翕之但取大小两腰其两底必相似也或取两底其两腰必相似也或取此腰此底其与彼腰彼底必相似也以数明之如甲乙大腰一百乙丁小腰六十而设甲丙大底八十以求小底丁戊即定尺用规器量取丁戊为度向平分线取数必四十八不烦乘除矣又如平方积一万其根一百求作别方为大方四之三即以一百为腰分面线之四㸃为大底次以三㸃为小腰取小底为度向平分线得八十六半强为小方根自之约得七千五百为小方积不烦开平方矣又如立方积八千其根二十求作大方倍元方即以二十为小底分体线之一㸃为小腰次以二㸃为大腰取大底为度于平分线得二十五半自之再自之约得一万六千为大方积不烦开立方矣篇中言某为腰某为底设某数得某数皆此类也䂓凡二靣靣五线共十线其目如左目第一平分线第二分面线第三更面线第四分体线第五更体线第六分弦线第七节气线第八时刻线第九表心线第十五金线右比例十类之外依几何原本其法甚多因一器难容多线故止设十线其不为恒用者姑置之稍广焉更具四法如左一平面形之边与其积二有形五体之边与其积与其面三有法五体与球或内或外两相容四随地造日晷求其节气比例䂓造法(一名度数尺其式有二)一以薄铜板或厚纸作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股之面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半䂓余地以固枢也用时张翕游移一以铜或坚木作两股如图厚一分以上长任意股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令密无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也用则张翕游移之张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两半直角相就成一直角可作矩尺比例䂓之类别有二种一为四锐定心规一为四锐百游规不解之其造法颇难为用未广姑置之第一平分线分法 此线平分为一百或二百乃至一千量尺之大小也分法如取一百先平分之为二又平分为四又各五分之为二十自此以上不容分矣则用更分法以元分四复五分之或以元分六复五分之如上图甲乙线分丙丁戊为元分之四今更五分之得己庚辛壬元分与次分之较为壬丙为戊己皆甲乙二十分之一为元分五之一(毎数至十至百各书字识之)论曰甲乙(四)与甲丙(一)若甲己(四)与甲壬(一)更之甲乙(四)与甲己(四)若甲丙(一)与甲壬(一)甲己为甲乙五之四即甲壬为甲丙五之四壬丙为甲丙五之一又甲丁为十甲辛为八辛丁为甲丁十之二或丙丁五之二戊庚为丁戊五之三又壬丙为甲丙五之一必为甲壬四之一(几何五卷)用法一 凡设一直线任欲作几分假如四分即以设线为度数两尺之各一百以为腰张尺以就度令设线度为两腰之底置尺数两尺之各二十五以为腰敛规取二十五两㸃间之度以为底向线上简得若干数即所求分数 凡言线者皆直线依几何原本大小两三角形之比例则二十五与得线若一百与设线也更之二十五与一百得线与设线皆若一与四也 若求极微分如一百之一如上以一百为腰设线为底置尺次以九十九为腰取底比设线其较为百之一 若欲设线内取零数如七之三即以七十为腰设线为底置尺次以三十为腰敛规取底即设线七之三(置尺者置不复动下倣此)用法二 凡有线求几倍之以十为腰设线为底置尺如求七倍以七十为腰取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之用法三 有两直线欲定其比例以大线为尺末之数(尺百即百千即千)置尺敛规取小线度于尺上进退就其等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之(约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为)(十与三)用法四 乘法与倍法相通(乘者求设数之几倍也)如以七乘十三于腰线取十三为度七倍之即所求数也用法五 设两线或两数(凡言数者腰上取其分或以数变为线或以线变为数)欲求一直线而与元设两线为连比例 若设大求小则以大设为两腰中设为底次以中设为两腰得小底即所求如甲乙甲丙尺之两腰所设两数为三十为十八欲求其小比例从心向两腰取三十如甲辛甲己识之敛规取十八为度以为底如辛己次从心取十八如甲丁甲戊即丁戊为连比例之小率得十一有竒 若设小求大则反之以中设为两腰小设为底置尺以中设为度进求其等数以为底从底向心得数即所求如甲丁甲戊为两腰丁戊为底次以甲丁为度引之至辛至己而等从辛从己向心得三十即大率论见几何六卷十一题(凡言等数者皆两腰上纵心取两数等下同)用法六 凡有四率连比例既有三率而求第四或以前求后则丁戊为第一率辛己甲丁甲戊为第二又为第三而得辛甲为第四 若以后求前则甲辛甲己为第一辛己甲戊甲丁为第二又为第三而得丁戊为第四(甲辛与辛己若甲丁与丁戊故也)用法七 有断比例之三率求第四如一星行九日得一十一度今行二十五度日几何即用三率法以元得一十一度为两腰元行九日为底置尺以二十五度为两腰取大底腰上数之得二十日(十一之五)为所求日(此正三率法九章中名异乘同除也)用法八 句股形有二边而求第三法于一尺取三十为内句一尺取四十为内股更取五十为底以为内弦即腰间角为直角置尺若求弦则以各相当之句股进退取数各作识于所得㸃两㸃相望得外弦线以弦向尺上取数为外弦数(言内外者以先定之句股成式为内甲乙丙是)(以所设所得之他句股形为外甲戊己是) 若求句于内股上取外股作识以设弦为度从识向句尺取外弦得㸃作识从次识向心数之得句求股亦如之(下有开方术为勾股本法可用)用法九 若杂角形有一角及各傍两腰求余边先以弦线法依设角作尺之腰间角次用前法取之(见下二十一用四法)用法十 有小图欲更画大几倍之图则尺上取元图之各线加几倍如前作之用法十一 此线上宜定两数其比例若径与周为七与二十二或七十一与二百二十三即二十八数上书径八十六上书周 有圈求周径法以元周为腰设周为底次于元两径取小底得所求径 反之以径求周径为腰如前用法十二 此线上定两数求为理分中末之比例则七十二与四十二又三之一不尽为大分其小分为二十四又三之二弱 有一直线欲分中末分则以设线为度依前数取之(几何六卷三十题)第二分面线今为一百不平分分法有二一以算一以量以算分 筭法者以枢心为心任定一度为甲乙十平分之自之得积一百 今求加倍则倍元积得二百其方根为十四又十四之九即于甲乙十分线加四分半强而得甲丙为倍面之边求三倍则开三百之根得十七有半为甲丁求五六七倍以上边法同(用方根表甚简易)以量分 任取甲乙度为直角方形之一边求倍则于甲乙引至丁截乙丁倍于甲乙次平分甲丁于戊戊心甲界作半圈从乙作乙己垂线截圏于己即己乙线为二百容形之一边(六卷二十六増)求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上法同于尺上从心取甲乙又从心取乙己等线成分面线试法 元线为一正方(直角方形省曰正方)之边倍之得四倍容方之边否即不合三倍之得九倍容方之边四倍得十六五倍二十五又取三倍之边倍之得十二再加倍得二十七倍之边再加倍得四十八倍之边再加倍得七十五倍之边若五倍容形之边倍之得二十倍容形之边再加倍得四十五倍容形之边再加倍得八十倍容形之边(本边之论见几何六卷十三)用法一 有同类之几形(方圆三边多边等形)(容与容之比例若边与边其理具几何诸题) 欲并而成一同类之形其容与元几形并之容等如正方大小四形求作一大方其容与四形并等第一形之容为二二形之容为三三形之容为四有半四形之容为六又四之三其法从心至第二㸃为两腰以第一小形之边为底置尺次并四形之容得十六又四之一以为两腰取其底为大形边其容与四形之容并等 若无容积之比例但设边如甲乙丙丁四方形其法从心至尺之第一㸃为两腰小形甲边为底置尺次以乙形边为度进退取等数得第二㸃外又四分之三即书二又四之三次丙形边为度得三又五之一丁形边得四又六之五并诸数及甲形一得十又二十之十九向元定尺上进退取等数为底即所设四形同类等容之一大形边(此加形之法)用法二 设一形求作他形大于元形几倍法曰元形边为底从心至第一㸃为腰引至所求倍数㸃为大腰取大底即大形之边(此乘)(形之法)用法三 若于元形求几分之几以元形边为底命分数为腰退至所求数为腰取小底即得 如正方一形求别作一正方其容为元形四之三以大形边为底第四㸃为腰(即命分数)次以第三㸃为腰(即得分数)得小底即小形边(此除形之)(法若设一形之积大而求其若干倍小而求其若干分则以原积当单数用第一线求之)用法四 有同类两形求其较或求其多寡或求其比例若干法曰小形边为底为一㸃为腰置尺以大形之边为度进退就两等数以为腰得两形比例之数次于得数减一所余为同类他形之一边此他形为两元形之较 如前图小形边为一大形边为六其比例为一与六则从一至六为较形边(此减形之法)用法五 有一形求作同类之他形但云两形之容积若所设之比例法曰设形边为底比例之相当率为腰次他率为腰取其底为他形之边用法六 有两数求其中比例之数法曰先以大数变为线变线者于分度线上取其分与数等为度也以为底以本线上之本数为腰置尺次于小数上取其底线变为数变数者于分度线上查得若干分也此数为两元数中比例之数 如前图二与八为两元数先变八为线以为底以本线之第八㸃为腰置尺次于第二㸃上取其底线变为四数则二与四若四与八也 若设两线不知其分先于分度数线上查几分法如前用法七 有长方求作正方其积于元形等法曰长方两边变两数求其中比例之数变作线即正方之一边与元形等积用法八 有数求其方根设数或大或小若大如一千三百二十五先于度数上取十分为度以为底以本线一㸃为腰即一正方之边其积一百次求一百与设数之比例得十三倍又四之一以本线十三㸃强为腰取其底于度线上查分得三十五强为设数之根第三更面线分法 如有正方形欲作圆形与元形之积等置公类之容积四三二九六四以开方得六五八正方边也以开三边形之根得一千为三边等形之一边开五边之根得五○二六边形之根为四○八七边形之根为三四五八边形之根为二九九九边形之根为二六○十边形之根为二三七十一边形之根为二一四十二边形之根为一九七圆形之径为七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号(言平形者冇法之形各边各角俱等)用法一 有异类之形欲相并先以本线各形之边为度以为底以本类之号为腰置尺取正方号之底线别书之末以各正方之边于分面线上取数合之而得总边 假如甲乙丙三异类形欲相并先以三边号为腰甲一边为底置尺取正方号四㸃内之底向分面线上用十数为腰正方底为底于甲形内作方底线书十次五边号为腰乙一边为底如前取正方底向分面线得二十一半即于乙形内作方底线书之次圆号为腰径为底如前得十六弱并得四十七半弱 若欲相减则先通类如前法次于分面线上相减(用上图)用法二 有一类之形求变为他类之形同积以元形边为度以为底从心至本号㸃为腰置尺次以所求变形之号为腰得底即变形边用法三 凡设数求开各类之根先于分面线求正方之根次以方根度为底本线正方号为腰置尺则所求形之号之底线即元数某类之根(有法之平形其边可名为根与方根相似)用法四 若异类形欲得其比例与其较则先变成正方依分面线求之第四分体线线不平分分法有二一以算一以量以筭分 从尺心任定一度为甲乙十平分自之又自之得积一千即定其线为一千即体之根今求加一倍积体之根倍元积得二千开立方根得十二又三之一即于甲乙加二又三之一为甲丙乃倍体之边求三倍开三千数之立方根以上同又捷法取甲乙元体之边四分之一加于甲乙元边得甲丙即倍体边又取甲丙七分之一加于甲丙得甲丁乃三倍体之边取甲丁十分之一加于甲丁得甲戊乃四倍体之边再分再加如图试置元体之边二十八四之一得七以加之得三十五法曰两根之实数即用再自之数为一与二不逺葢二十八之立实为二一九五二倍之为四三九○四比于三十五倍体边之实四二八七五其差才○一○二九约之为一千四百五十二分之一不足为差若用三十六之四六六五六其差为逺 又加倍体七之一得再倍体之边三十五又七之一七之一者五也以加之得四十其实为六四○○○元积再倍之数为六五八五六较差才○一八五六或三十五之一可不入算也若用四十一根之实六八九二一其差为逺又试倍边上之体为体之八倍即依图计零数至第八位为五之四八之七十一之十十四之十三十七之十六二十之十九二十三之二十二用合分法合之得一二○四二八○之六○八六○八约之为一○七五○之五四三四与二之一不逺则法亦不逺 右两则皆用开立方之法不尽数难为定法以量分 先如图求四率连比例线之第二葢元体之边与倍体之边为三加之比例也今求第二几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例线之第四与第一假如丙乙元体之边求倍体之边则倍丙乙得甲丁以甲丁乙丙作壬己辛庚矩形于壬角之两腰引长之以形心为心如戊作圏分截引长线于子于午渐试之必令子午直线切矩形之辛角乃止即乙丙(即辛庚)午庚子己甲丁(即壬庚)为四率连比例线用第二率午庚为次体之一边其体倍大于元体(详双中率论)若甲丁为乙丙之三倍四倍即午庚边上之体大于元体亦三四倍以上倣此 用前法则元体之边倍之得八倍体之边若三之得二十七倍体之边四之得六十四倍体之边五之得一百二十五倍体之边又取二倍体边倍之得十六再倍得一二八倍体之边本线上量体任用其边其根其面其对角线其轴皆可用法一 设一体求作同类体大于元体几倍法以元体边为底从心至第一㸃为腰置尺次以所求倍数为腰得大底即所求大体边 若设零数如元体设三求作七以三㸃为初腰七㸃为次腰如上法(此乘体之法)用法二 有体求作小体得元体之几分如四分之一四分之三等法以元体之边为底命分数之㸃为腰置尺退至得分数为小腰得小底是所求分体边(此分体之法)用法三 有两体求其比例以小体边为底第一㸃为腰置尺次以大体边为底就等数得比例之数也不尽则引小体边于二㸃以下以大边就等数两得数乃上可得比例之全数而省零数用法四 有几同类之体求并作一总体 若有各体之比例则以比例之数合为总数以小体边为底一㸃以上为腰置尺于总数㸃内得大底即总体边 若不知其比例先求之次用前法(此加体之法)如图甲乙丙三立方体求并作一大立方体其甲根一乙三又四之三丙六并得十又四之三以甲边为底本线一㸃以上为腰置尺向外求十又四之三为腰取底为度即所求总体之根用法五 大内咸小所存求成一同类之体 先求其比例次以小体边为底比例之小率㸃以上为腰置尺次以比例两率较数㸃上为腰得较底即较体之边(此减)(体之法)用法六 有同质同类之两体得一体之重知他体之重葢重与重若容与容先求两体之比例次用三率法某容得某重若千求某容得某重若干(同质者金铅银铜等同体者方)(圆长立等)用法七 有积数欲开立方之根 置积与一千数求其比例次于平分线上取十分为底本线一㸃以上为腰置尺次比例之大率以上为腰得大底于平分线上取其分为所设数之立方根如设四万则四万与一千之比例为四十与一如法于四十㸃内得大底线变为分得三十四强 若所设积小不及千则以一分为底一㸃或半㸃或四之一等数为腰置尺设数内求底而定其分若用半㸃用所设数之一半用四之一亦用设数四之一葢筭法通变或倍或分不变比例之理用法八 有两线求其双中率(线数同理)如三为第一率二十四为第四率求其比例之中两率 法求两率之约数得一与八以小线为底一㸃以上为腰置尺次八㸃以上为腰取大底即第二率有第二第四依平分线求第三第五变体线变体者如有一球体求别作立方其容与之等分法 置公积百万依筭法开各类之根则立方之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五十二十等面体之根为七六 圆球之径为一二六 因诸体中独四等面体之变最大故本线用二百○四分平分之从心数各类之根至本数加字(开根法见测量全义六卷)用法一 有异类之体求相加以各体之边为度以为底本线本类之㸃以上为腰置尺次从立方㸃内取底别书之各书讫依分体线法合之用法二 有异类之几体求其容之比例先以各体变而求同容之立方边次于分体线求其比例乃所设体之比例若知一体之容数因三率法求他体之容数第六分弦线亦曰分圏线 分法有二一法 别作象限圏分令半径与本线等长分弧为九十度名作识从一角向各识取度移入尺线从尺心起度各依所取度作识加字 若尺身大加半度之㸃可作一百八十○度若身小可六十度或九十度止乂法 用正弦数表取度分数半之求其正弦倍之本线上从心数之识之(如求三十度弦即其半十五度之正弦为二五九倍之得千分之五)(一九为三十度之弦从心识之)用法一 有圏径设若干之弧求其弦以半径为底六十度为腰置尺次以设度为腰取底即其弦移试元圏上合其弧 反之有定度之弦求元圏径以设弧之弦为底设度为腰置尺次取六十度为腰取底即圏之半径用法二 有全圏求作若干分法以半径为底六十度(其弦即半径也)为腰置尺命分数为法全圏为实而一得数为腰取底试元圏上合所求分(此分圏之法) 约法本线上先定各分之㸃如百二十为三之一九十为四之一七十二为五之一六十为六之一五十一又七之三为七之一四十五为八之一四十为九之一三十六为十之一三十二又十一之八为十一之一三十为十二之一各加字用法三 凡作有法之平形先作圏以半径为底六十度为腰置尺次本形之号为腰取底移圏上得分用法四 有直线角求其度以角为心任作圏两腰间之弧度即其对角之度(有半径有弧求度如左)用法五 有半径设弧不知其度法以半径为底六十度为腰置尺次以弧为度就等数作底其等数即弧度反之设角度不知其径及弧求作图其法先作直线一界为心任作圏分以截线为底六十度之弦线为腰置尺次于本线取设度之弦线为腰得底以为度从截圏㸃取圏分即设度之弧再作线到心即半径成直线角如所求因此有两法可解三角形省布数详测量全义首卷第七节气线一名正弦线分法 全数为一百平分尺大可作一千用正弦表从心数各度之数毎十度加字 如三十度之正弦五十则五十数傍书三十二度之正弦五则五数傍书三简法 第一平分线可当此线为各有百平分则一线两旁一书分数字一书度数字用法一 半径内有设弧求其正弦以半径为底百为腰置尺次以设度为腰取底即其正弦用法二 凡造简平仪平浑日晷等器用此线甚简易如简平仪之干盘周天圈其赤道线左右求作各节气线先定赤道线为春秋分次于弧上取赤道左右各二十三度半之弧两弧相向作弦以其半弦为底本线百数为腰置尺次数各节气离春秋分两节之数寻本线之相等数为腰取底为度移赤道线左右两旁作直线与相对之节气相连为各节气线(或于赤道线上及二至线上定时刻线之)(相距若干亦可) 如欲定立春立冬立夏立秋(因四节离赤道之度等故为公)(度)法曰立春至春分四十五度则取本线四十五度内之㡳线移于仪上春分线左右 若欲定小暑小寒之线离秋分春分各七十五度则取七十五度内之底线为度移二分线左右得小暑小寒之线第八时刻线一名切线线分法 切线之数无限为九十度之切割两线皆平行无界故今止用八十度于本线立成表上查八十度得五六七即本线作五六七平分次因各度数加字(一度)(至十五切线正弦微差尺上不显可即用正弦)第九表心线一名割线线分法 此线亦止八十度依表查得五七五平分之其初㸃与四十五度之切线等(初㸃即全数故等)次依本表加之用法一 有正弧或角欲求其切线或割线法以元圏之半径为底切线线四十五度之本数为腰割线线则以○度○分为腰置尺次以设度为腰取底为某度之切线割线 反之有直线又有本弧之径欲求设线之弧若干度以半径为度以为底设弧之度数为腰置尺又设线为底求本线上等数即设线之弧用法二 表度说以表景长短求日轨髙度分今作简法用切线线凡地平上立物皆可当表以表长为底本线四十五度上数为腰置尺次取景长为底求两腰之等数即日轨髙度分 若用横表法如前但所得度分乃日离天顶之度分也安表法见本说用法三 地平面上作日晷法先作子午直线卯酉横线令直角相交从交至横线端为底就切线线上之八十二度半为腰置尺次于本线七度半㸃内取底为度向卯酉线交处左左各作识为第一时分次逓加七度半取底为度如前逓作识为各时分(毎七度半者加七度半十五度二十二度半三十度三十七度半四十五)(度五十二度半六十度六十七度半七十五度八十二度半)若求刻线则逓隔三度四十五分而取底为度也次于元切线上取四十五度线(四十五度之切线即全数)为底割线初㸃为腰置尺次以本地北极髙度数为腰于本线上取底为表长于子午卯酉两线之交正立之又取北极髙之余度线为度于子午线上从交㸃起向南得日晷心从心向卯酉线上各时分㸃作线为时线在子午线西者加午前字如己辰卯在子午线东者加午后字如未申酉日晷图说 子午夘酉两线相交于甲甲酉为度以为底以切线之八十二度半为腰置尺逓取七度半之底向甲左右作识如甲乙甲丙次取十五度线之底作第二识如甲丁甲戊毎识逓加七度半毎识得二刻则丁㸃为午初戊为未初余㸃如图 次取甲己线上四十五度之切线为底割线之初㸃为腰置尺取北极髙余度(顺天府约五十)之割线为度从甲向南取辛辛为心从心过乙丁等㸃为线为时刻线又割线上取北极髙度之线(顺天府约四十)为表长即甲庚也表与面为垂线(立表法以表位甲为心任作一圏次立表表末为心又作圏若两圏相合或平行则表直矣)用法四 先有表度求作日晷则以表长为底割线上之北极髙度为腰置尺次以极髙余度为腰取底为度定日晷之心次用元尺于切线上取毎七半度之线如前(凡言表长以垂表为主或垂线)用法五 有立面向正南作日晷法如前但以北极髙度求晷心以北极髙之余度为表长(又平晷之子午线为此之垂线书时)(创以平晷之夘为此之酉各反之)用法六 若立面向正东正西先用权线作垂线定表处即晷心从心作横线与垂线为直角 若面正东于横线下向北作象限弧若面正西于横线下向南作弧弧上从下数北极髙之余度为界从心过界作线为赤道线又以表长为底切线线上之四十五度为腰置尺逓取七度半之线从心向外于赤道上各作识从各识作线与赤道为直角则时刻线也其过心之线向东晷为夘正线向西晷为酉正线 若欲加入节气线法以表长为度从表位甲上取乙㸃为表心从心取赤道上各时刻㸃为度以为底以切线线之四十五度为腰置尺又以二十三度半为小腰取小底为度于各时刻线上从赤道向左向右各作识为冬夏至日景所至之界 如上图甲乙为夘酉正线以表长为度从甲取乙为表心以切线上之四十五度为腰甲乙为底置尺又以二十三度半为小腰取小底于本线上从赤道甲向左向右各作识即夘酉正时冬夏至之景界 次从表心向卯酉初刻线取赤道之交丙㸃为底切线之四十五度为腰置尺以二十三度半为小腰取小底于丙左右各作识为本时冬夏至之景界次于各时线如上法各作二至景界讫聨之为本晷上冬夏二至之景线 次作二至前后各节气线以节气线之两至㸃为腰(即鹑首之次西歴为巨蟹宫)以各时线上赤道至两至界为底置尺次以各节气为小腰取小底为度从各线之赤道左右作识如前法第十五金线分法用下文各分率及分体线置金一度(下方所列者先造诸色体大小同度权之得其轻重之差以为比例)水银一度又七十五分度之三十八铅一度又二十三分度之一十五银一度又三十一分度之二十六铜二度又九分度之一鐡二度又八分度之三锡二度又三十七分度之一先定金之立方体其重一觔为一度本线上从心向外任取一㸃为一度即是金度次以分体线第十㸃为腰此度为底置尺依各色之本率于分体线上取若干度分之线为底从心取两等腰合于次底作㸃即某色之度㸃又法 取各率之分子用通分法乘之得金四五九五九二五水银六九二四五二七铅八六二七四○○银八四三一二一二一七铜九○○一四○○鐡一○九一四○七五钖一一七九九○○○次以各率开(立方)求各色之根得金一六六弱水银一九一弱铅二○二银二○四铜二一三鐡二二二锡二二八若金立方重一斤其根一百六十六弱用各色之根率为边成立方即与金为同类(皆为立方)同重(皆为一斤)之体今本线用此以二二八为末㸃如各率分各色之根数加号(石体轻重不等故不记其比例)用法一 有某色某体之重欲以他色作同类之体而等重求其大小法以所设某色某体之一边为度以为底以本线本色㸃为腰置尺次以他色号㸃为腰取底即所求他体之边用法二 若等体等大求其重法以所设体之相似一边为度以为底置尺于他色号㸃取其底两底并识之次于分体线上先以设体之重数为腰以先设体之底为底置尺以次得他体之底为底进退求相等数为腰即他体之重用法三 有异类之体求其比例先依更体线通为同类次如前法新法算书卷二十一
## 卷二十二
钦定四库全书
新法算书卷二十二 明 徐光启等 撰筹算算数之学大者画野经天小者米盐凌杂凡有形质有度数之物与事靡不藉为用焉且从事此道者步步跖实非如谈空说𤣥可欺人以口舌明明布列非如握槊夺标可欺人以强力层层积累非如繇旬刹那可欺人以荒诞也而为术最繁不有简法济之即当年不能殚恶暇更工他学哉敝国以书算其来逺矣乃人之记函弱而心力柔厌与昏每乘之多有畏难而中辍者后贤别立巧法易之以筹余为译之简便数倍以似好学者皆喜以为此术之津梁也遂梓行之传不云不有博奕者乎为之犹贤乎已是书稍贤于博奕然旅人入来未及他有论著以此先之不亦末乎行复自哂曰小道可观聊为之佐一筹而已崇祯戊辰暮春廿日罗雅谷识造法一造筹或牙或骨或木或合楮俱可其形长方广为长六之一厚约广五之一诸筹相准不得有短长广狭厚薄须平正光洁便于画方书字凡筹数任意多寡总之五筹两面可当一单数说见定数条十筹当十数十五筹当百数二十筹当千数二十五筹当万数三十筹当十万数约以众筹之厚为一筹之长便于作开方筹入匣也详造匣条二分方每筹横平分为九作九方筹筹相等横列之线线相直方方相对三分角每方自左上至右下斜作一对角线则每方成直角三边形二横列之则两筹对角线又成一斜直线其两直角三边形又合成一平行线方形四定数数自一至九并○共十位筹有二面五筹可满十数其数以方数与筹上方数相乘每方之中既以对角线分而为二即每方各成二位右位即零数左位即十数至第九筹第九方九九相承得八十一而止第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圏一面作一数九方对角线之上顺书一二三四五六七八九数第二筹一面作二数第一方线右书二第二方线右书四二筹二方二二如四也第三方线右书六二筹三方二三得六也后推此则第四方线右书八第五方线右书○线左书一二筹五方二五得十故左位一右位○以当零数也后推此则第六方线右书二线左书一第七方线右书四线左书一第八方线右书六线左书一第九方线右书八线左书一一面作三数第一方线右书三第二方线右书六第三方线右书九第四方线右书二线左书一第五方线右书五线左书一第六方线右书八线左书一第七方线右书一线左书二第八方线右书四线左书二第九方线右书七线左书二第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书八第三方线右书二线左书一第四方线右书六线左书一第五方线右书○线左书二第六方线右书四线左书二第七方线右书八线左书二第八方线右书二线左书三第九方线右书六线左书三一面作五数第一方线右书五第二方线右书○线左书一第三方线右书五线左书一第四方线右书○线左书二第五方线右书五线左书二第六方线右书○线左书三第七方线右书五线左书三第八方线右书○线左书四第九方线右书五线左书四第四筹一面作六数第一方线右书六第二方线右书二线左书一第三方线右书八线左书一第四方线右书四线左书二第五方线右书○线左书三第六方线右书六线左书三第七方线右书二线左书四第八方线右书八线左书四第九方线右书四线左书五一面作七数第一方线右书七第二方线右书四线左书一第三方线右书一线左书二第四方线右书八线左书二第五方线右书五线左书三第六方线右书二线左书四第七方线右书九线左书四第八方线右书六线左书五第九方线右书三线左书六第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书六线左书一第三方线右书四线左书二第四方线右书二线左书三第五方线右书○线左书四第六方线右书八线左书四第七方线右书六线左书五第八方线右书四线左书六第九方线右书二线左书七一面作九数第一方线右书九第二方线右书八线左书一第三方线右书七线左书二第四方线右书六线左书三第五方线右书五线左书四第六方线右书四线左书五第七方线右书三线左书六第八方线右书二线左书七第九方线右书一线左书八五定号号者应于面之左右两旁厚处露出匣外者记本面数目○至九共十号其旁狭难书一二三四等字姑作横线如○则无线一则一横线也至五则结为一纵线以该之如五则一纵六则一纵一横七则一纵二横也各书本面之右用时视其旁即可得之六平立方筹诸小筹之外别作一大筹长与诸筹等广约长六分之二两面横分九方亦与诸筹等其一面平方筹纵作二行其右行九方书一至九之数为平方根其左行九方亦如小筹作对角线以平方根数自乘之各书根数之左第一方线右书一第二方线右书四第三方线右书九第四方线右书六线左书一第五方线右书五线左书二第六方线右书六线左书三第七方线右书九线左书四第八方线右书四线左书六第九方线右书一线左书八其一面立方筹纵作六分右一分作一行九方书一至九之数为立方根中二分作一行九方书一至九各自乘之数与平方筹同左三分作一行九方每方止截左边三分之二亦如小筹作对角线是每方分为直角三边形无法四边形各一也而无法四边形之中暗具一直角方形在右一直角三边形在左今止以左中右分之以中行自乘之数再乘之各书方数之左名立方数第一方右书一第二方右书八第三方右书七中书二第四方右书四中书六第五方右书五中书二左书一第六方右书六中书一左书二第七方右书三中书四左书三第八方右书二中书一左书五第九方右书九中书二左书七七造匣匣合纸或木为之其形短方其空广如筹之长空厚如筹之广匣有盖以筹长五分之三为匣之深其二为葢之深使筹入匣而旁号露于匣口之上以便抽取也小筹比立匣中方根筹侧于小筹之旁下切匣口上切盖顶正相容也若盖之外径等于匣之外径则匣口必出笋以入盖夫方根筹之广与匣之深并尚不及小筹之长以其不及为笋之高则匣与盖外切筹与盖匣内切矣若匣之外径等于盖之内径则匣自为笋盖冒之可无庸笋也赖用算法(凡三条)算家加减二法并命分法亦用筹所赖故各具一则一加法加者多小几何并为一大几何也亦谓之计先以第一小数从左向右横列于上次以第二小数如前横列于下从视之则零对零十对十百对百也分钱两及寸尺丈俱依此推次视零位若成十成十则进一位又视十位若干百则进一位千万以上俱依此推假如有银九万一千七百六十一两又八万二千○七十八两又四千五百二十两又九万○六百五十四两俱横列则视末位有一八○四并得十三本位书三进位加一与六七二五并得二十一本位书一进位加二与七五六并得二十本位作○进位加二与一二四并得九本位书九首位九八九并得二十六本位书六进位书二得二十六万九千○一十三两如物数是斤两则十六两成一斤进位尺步亩之类俱依此推二减法减者一大几何减去一小几何余几何也亦谓之除以大数书于上应减数书于下亦零对零十对十百对百也次于每位对除之若除数多于原数则借前位一以除之盖前位之一即本位之十也除完则得余数假如有银三十○万○一百七十六两三钱四分内除去二十九万八千六百四十三两八钱五分从左首位起上数三下数二三除二存一次位上数○下数九借前一成一○除九存一三位上数○下数八借前一成一○除八存二四位上数一下数六借前一成一一除六存五五位上数七下数四七除四存三六位上数六下数三六除三存三七位上数三下数八借前一成一三除八存五八位上数四下数五借前一成一四除五存九该存一千五百三十二两四钱九分三命分二法命分者一大几何已分几何尚余几何今应命此余者为几何分之几何也又所余之小几何再分得几何今应命此得者为几何分之几何也前解曰法数为母余数为子如法数一六八余数四九即命为一百六十八分之四十九后解曰得数为子得数前位为母如得数一位则前位为十得数六即命为十分之六得数二位则前位为百得数三四即命为百分之三十四得数三位则前位为千得数二八三即命为千分之二百八十三得数四五位以上推此第前位定于一数十则一十百则一百千则一千万则一万(前一法即九章之命分法亦即几何原本之命)(比例法后一法即九章之小数如衡有钱分厘毫量有尺寸分厘厯有分秒微纤也)用法(凡四条)一乘法乘数有实有法先将实数依号查筹从左向右齐列其两筹相并所成平行线斜方形合成一位方形内之数并为一数矣次以筹之方位为法数如法数是五则视两筹第五方是九则视两筹第九方即得数矣若法有二数则先查法尾所得数横列之次查法首所得数进一位横列之末用加法并之得数法有三数以上依此推显解曰乘者升也九九升积之义也数有二一为实一为法可互用大畧以位数多者为实可也用筹则如实数列筹自左而右次视法数依筹之同数格上横取之并得啇数列书之更视次法如前得次啇数进一位书初啇之下三以上倣此啇毕并诸啇数即乘得之数假如八十三为实以四乘之先列八三两筹视其第四格八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二一并作三三号筹下右半斜方有二并为三百三十二也又如毎银一钱籴米九升五合今有银三两五钱问该米若干则以三五为实九五为法先查实数二筹齐列次视法尾五查二筹第五横行内数是一七五另列再视法首九查二筹第九横行内数有三一五进一位列于前得数之下并之得三三二五该米三石三斗二升五合又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八石三斗问该钱若干则以一八三为实一二五为法先查实数三筹齐列次视法尾五查三筹第五横行内数是九一五另列次视法次二查三筹第二横行内数是三六六进一位列于前得数之下次视法首一查三筹第一横行内数是一八三又进一位列于前得二数之下并之得二二八七五该钱二万二千八百七十五文如法数有○则径作一○以当其位再查法数如前如六八三为实三○○为法则作二○乃查三筹之第三横行内数从二○左进书之余放此二除法除法有实有法有啇先将法数依号查筹从左向右齐列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或畧少于实数者在第几行即是初啇数如在第一行即得数是一在第九行即得数是九也次以查得之数减其实数如已尽则止知有初啇未尽则知宜有再啇也有再啇者即再查横行内数之等于存实或畧少于存实者在第几行即是再啇数又以查得之数减其存数如前又未尽则更有三啇亦如上法三以上倣此若初得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有○位即作一○以当次啇或三位俱无则知得有二○即又作一○以当三啇乃从后数查之若虽有余数而其数小于法数是为不尽法法之数用命分法解曰除法者分率之法也有实有法先列实次以法数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而一也除法有二一归除一啇除啇除者古法归除则后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用啇除也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹之某格与实数相合者或畧少于实数者以减实即初啇数也若未尽即如前再啇三啇以上皆如之又未尽则以法命之假如列实一百○八以三十六为法除之简三六两筹列之视其第三格六号筹下右半斜方有八中各斜方有一九共十进一位成百即一百○八除实尽也又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二升五合问该银若干以三三二五为实九五为法先以法数二筹齐列次于各行横数内求三三二有则径减实数无则取其田 者二八五以二八五减三三二余四七五为实而此二八五数乃在第三行即三为初啇数次视第五行有四七五正与余实相等减尽即五为次啇数是三五为得数也该银三两五钱又如每钱三百七十四文买米一斗今有钱八万七千一百四十二文问该米若干以八七一四二为实三七四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内求八七一无则取其畧少者七四八以七四八减八七一余一二三四二为实而此七四八乃在第二行即二为初啇数次视各行中无一二三四及畧少者惟第三行有一一二二以一一二二减一二三四余一一二二为实即三为次啇数次视第三行有一一二二正与余实相等除尽即三为三啇数该米二十三石三斗若积数为八七二四八尚有一○六为余实再欲细分即用命分第一法以余数一○六为子法数三七四为母即命为三百七十四分之一百○六或用命分第二法于余实一○六后加一○依上法再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百八十三三开平方法开平方有积数有啇数啇有方法有廉法隅法置积为实从末位下作一㸃向前隔一位作一㸃每一㸃当作一啇次视平方筹内自乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其相近之畧少者除之但实首以左第一㸃为主若㸃前无位则自乘止于零数如一四九是也若㸃前有一位则自乘应有十数如十六至八十一是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是九九为三之自乘在第三格即三为啇数也若有二㸃者即以初啇数倍之如一倍为二三倍为六也即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行内数之与存实相等者除之而此数在第几格则第几数即次啇数如在第五格即五为次啇数也不尽以法命之三㸃以上倣此解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置算故以积求形必用方廉隅三法啇除之如有积一百啇其根(根者一边之数四边皆同)十即尽实此独用方法无用廉隅矣若一百二十一初啇十除实百余二十一则倍初啇方根为廉法(任加于初啇实一角之旁两边故曰廉两廉故倍初啇根)次啇一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一之积开其根得十一也在筹则右行自一至九者即方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于二位故隔一位作㸃查实下作几㸃知方根当几位也法先于左第一㸃上一位或二位为乘数平行求得其根适足则已不合则用其少者余实以待次啇也左㸃或一位或二位者㸃在实首则乘数为单数㸃在实首之次位则乘数为十数也如上图先以第一㸃求初啇根为方法乙为方积也不尽为二㸃之实以初啇根倍之为廉法甲丙之长边也次啇若干即以为隅法丁方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁平方也不尽三啇之啇而不尽者以法命之其筹法先列本筹得初啇次啇则列廉法筹于本筹之左本筹之自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何格中平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根以除实即得设实下有二㸃则左一㸃之根为十数右一㸃之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单数也三㸃以上倣此假如有积六百二十五别列为实从末位五向前隔一位各作一㸃即知啇二位也㸃在实首六为单数视方筹内自乘之数无六其下九过实用其上四实之近少数也平行向右取二为方法(即方)(根)另列之为初啇即以四百减六(百)存二(百)以并次㸃之实得二二五为余实次倍初啇根得四为廉法(廉有二故)(倍方根)取四号筹列方筹左于列筹内并数取其合余实或近少于余实者至五格适合即五为廉次率为隅法为次啇而本方之根得二十五又如积四千四百八十九别列为实从末位九向前作二㸃知啇二位㸃在次位则实首四为十数也视筹内自乘无四四近少为三六平方取六为方法为初啇即以三六减四四存八以并次㸃之实得八八九为余实次倍初根得十二为廉法取一二号两筹列方筹左于列筹并数得八八九在第七格除实尽即七为廉次率为隅法为次啇而本方之根得六十七又如有积三万二千○四十一列为实从末向前隔一位作一㸃得三㸃知啇三位㸃在实首三为单数视筹自乘无三近少为一平行取一为方法为初啇即以一减三存二以并次㸃实得二二○为余实次倍初根得廉法二取二号筹列左筹方于列筹并数得近少者一八九在第七格即七为隅法为次啇列初啇之右以一八九减余实得三一以并三㸃之实得三一四一为次余实次倍前根十七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末位九向前隔一位作一㸃得三㸃知啇三位㸃在次位则实首六为实数也视筹自乘无六五近少为六四平行取八为方法为初啇以六四减六五存一以并次㸃实得一一二为余实次倍初根得廉法一六取一六两筹列方筹左于列筹并数查无一一二亦无近小数即知次啇为○也则于八下加○以当次啇而以一一二并三㸃之实得一一二四九为次余实次倍前根八得一六进一位得一六○为次廉法取○筹列一六两筹之右于列筹并数得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法列前二啇之下而本方之根得八○七其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一六十六万二千七百四十九如前三啇得根八百一十四余积一百五十三更啇一当倍廉加隅得一千六百二十八今不足则命为未尽者一千六百二十八之一百五十三也法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数(二廉也)加一(立隅)为母(续啇之)余实为子依法命之然终不能尽如设积六十求开方初啇七余十一倍七加一得十五为母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得六十○又一九六之一四一过元积而盈其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之当于余积之右加两圏(是原积之一化为百也)如法开之得根数当命为一十分之几分也或加四圏(是原积之化为万也)得根数命为一百分之几分也或加六圏(一化为百万)得根命数为一千分之几分或加十圏(一化为百万万) 得根命为十万分之几分也如图原积六六二七四九已啇得八一四不尽者一五三欲得其细分加六圏(是一百五十三化为一万五千三百○十○万○千)(○百○十○也)更开得数为○九三因空位六则命为一千分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何故六十者本无根之方也四开立方法开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法隅法置积为实从末位向前隔二位作㸃每一㸃有一啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之若无相等则取其近少者除之但实首以左第一㸃为主若㸃前无位则再乘止于零数如一如八是也若㸃前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若㸃前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二㸃者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横行内数啇其少于余实者平行取数为约数即以此数为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方根不尽者以法命之三㸃以上倣此解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线之一为方根也三乘方以上亦皆十二线有等有不等而皆求其最初第一面之一界线为方根也今解立方廉隅法姑作分合图论之若截木或镕蜡作八体分合解之尤易晓矣 其一作六方面形一事诸面线角皆相等此名方法体即上图甲乙丙丁立方体是也 其二作六面扁方体三事其上下面各与方法等旁四面之高少于方法之高(任意多寡开讫乃得)而四棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体即上图壬癸是也 其四作六面小立方体一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体即上图子丑是也右度数家以度理解数学(度者㸃线面体量法也数者一十百千等算法也)亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依此借数以明立方之体如初方体之边各四则一面之积为一六其容积六四平廉之两大面亦一六其高设五相乘得容积八○长廉之长亦四其两端之高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三长廉之阙即成一总立方也 又算法单数乘单数生单数(如四乘六为二四是为六者四积为二十四而其根四乃单数也)单数乘十数生十数(如四乘三十为一二是为三十者四积为一百二十而其根二乃十数也)十数乘十数生百数(如三十乘八十为二四是为八十者三十积为二千四百而其根四乃四)(百也)推之则十乘百生千百乘百生万也 今依此推前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十其面则为四十者四十是一千六百也是十乘十生百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是十乘百生千也 其平廉之两大面与初方之面等亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四千也 长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十生十也长廉三三倍之得三千也 立隅体与平廉之高等为五是单数自乘得二五亦单数也再乘得一二五亦单数也是单乘单生单数也 已上共得九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔二位作㸃查实下几㸃知立方根当几位也法先于第一㸃以上查实简筹或适足或畧少者即初啇之立方体平行求得其根也 次初啇根自乘得平廉面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左行共为几百也 次平廉之面积三偕初啇之根三并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求余实之近少数(不欲太少为尚有长廉之容故也)约可用者平行取根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之数得长廉之容长廉之号为十数以列于约数之下进一位作十数 次求七体之总积初体之外有平廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百数通并之以除余实未尽而原实有三㸃者以先两啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一总体不及啇为一者依法命之同文算指曰先得之根(初啇也)乘于三十今曰三之(长廉)(法也)所得之号为十数也又曰先根之方(初体之面)乘于三百今曰三之(平廉法也)所得之号为百数也一也假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向前隔二位各作一㸃即知啇二位也㸃在实首四为单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上一实之近少数也平行向右取一为方法(即方根)另列之为初啇即以一(千)减四(千)存三(千)以并次㸃之实得三九一三为余实次用初啇一自乘(为平廉面)而三倍之(三平廉故)得三百为平廉法(亦名倍方数)取三号筹列立方筹左又以初啇一十三倍之(一者长廉边三长廉故三倍)得三为长廉法(亦名倍根数)取三号筹列立方筹右于列筹(立方筹与平廉筹也)内并数取其少于余实者为约数第其中有长廉之实不得过少又不得多多者如第九格遇三四二九以为约数近少矣另列之向右平筹自乘数内平行取八十一乘于长廉法三得二百四十三列近少数(三四二九)下进一位并得五八五九则多于余实也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四十九列近少数(二四四三)下进一位并得三九一三除实尽(平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面)(也以乘长廉法三十得一四七长廉积也诸筹之上一一分明)平行求其根得七即七为次啇也得总立方之根一十七又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实从末位九向前隔二位作一㸃凡三㸃当啇三位也㸃在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二为方法另列为初啇即以八减九存一以并下位得一一五九为余实次用初啇二自乘而三倍之得一十二为平廉法取一号二号两筹列立方筹左又以初啇二三倍之得六为长廉法取六号筹列立方筹右于列筹(立方与平廉共三筹)内并数取其少于余实者为约数试之而无有(最少者为第一格之)(一二○一)则知啇有空位于初啇下作圏以当次啇复开第三㸃之余实为一一五九八九九前二啇二○(百十也)自乘之得四○○(四万也)三倍之为一二○○(一千二百)依数取四筹为平廉法列立方筹左前啇二○三倍之得六○取二筹为长廉法列立方筹右于列筹(立方与平廉共五筹)内并数取其少于余实者为约数至第九格方得一○八○七二九另列之向右平筹自乘数平行取八十一以乘长廉法六○得四八六○列近少数(一○八○七二九)下进一位并得一一二九三二九除实不尽三○五七○其三啇平行取根得九并初二啇得立方根二○九不尽者更欲细分之则用命分第二法于余实后加三圏得三○五七○○○○为余实依上法再开之以前啇二○九自乘为四三六八一又三倍之为一三一○四三取此六筹列方筹左为平廉法又以前啇二○九三倍之为六二七取此三筹列方筹右为长廉法于列筹(左筹七)内并数取其近少为约数试之至第二格遇二六二○八六○八为近少于余实(三○五七○○○○)另列之向右平筹自乘数内平行取四乘于长廉法六二七得二五○八列近少数(二六二○八六)(○八)下进一位并得二六二三三六八八以除实不尽四三三六三一二即取右根二为啇数依法命为一十分之二分也若欲再开则余实后又加三圏得四三三六三一二○○○为余实依上法以前啇二○九二自乘为四三七六四六四又三倍之得一三一二九三九二取此八筹列方筹左为平廉法又以前啇二○九二三倍之为六二七六取此四筹列方筹右为长廉法于列筹(左九筹)内并数取其近少至第三格遇三九三八八一七六二七为近少于余实(四三三六三一二○○○)另列之向右平筹自乘数平行取九乘于长廉法六二七六得五六四八四列近少数(三九三八八一七六)(二七)下进一位并得三九三九三八二四六七以除实不尽三九六九二九五三三即取右根三为啇数依法命为二百○九又一百分之二十三分也若再开则余实后又加三圏得三九六九二九五三三○○○为余实依上法以前啇二○九二三自乘为四三七七七一九二九又三倍之得一三一三三一五七八七取此十筹列方筹左为平廉法又以前啇二○九二三三倍之得六二七六九取此五筹列方筹右为长廉法于列筹(左十一筹)并数取约至第三格遇三九三九九四七三六一二七为近少于余实(三九六九)(二九五三三○○○)另列之向右平筹自乘数平行取九乘于长廉法六二七六九得五六四九二一列近少数(三九三九九四)(七三六一二七)下进一位并得三九四○○○三八五三三七以除实不尽为二九二九一四七六六三即取右根三为啇数依法命为二百○九又一千分之二百三十三也余实任开之终不尽何者无立方数不得有立方根也算子钱法(増)以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也用筹则比他算特为简易故附载此法 按九章算衰分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法必用开方故为难耳假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息银若干如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干法两数(本银一总银一)相减余二十是百两一年之息也又满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以母银数(一百)乘总还数(一百四十四)得数为积开方得根数为实以母银为法减之所余者为原银一年之息也若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又满四年以上皆息转为本纷莫可寻则依图法求之图说图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无总银数者则上年之次法或又次法任用之(白字为法墨字)(为数)第一横行为满年数(借日至还日积年之数)第二横行为所还之总银(母银并息银之总数)第三横行为母银所用之法(或母银自乘或再乘三乘等以求积而开方)第四横行为母银用法所乘出数与总银相乘得数第五横行为各年所用开积之本法(如开方或开立方等)第六横行为所求之数(即满一年之总数本息俱见者也)减原银得息例用法假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每年若干起息(母银三两满一年总还若干即转为次年之母依前例起息总应若干又转为)(母如是岁岁递加母数渐増息例如旧)法依图试查满四年直行其第一格为年数(即四)第二格为总还(四十八两)之银(原银若干息例若干各依本例积成总数)第三格母银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七第四格以二十七(母所乘出之数)乘四十八(总银)得一二九六为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次(积为一二九六)初开得三十六再开得六六者满一年之总银减原银三余三为满一年之息又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十五两三钱问一年息若干法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一○五六以总银乘之得四四九二七六一六八第五格法曰开立方用法开得七十六两五钱(不尽实加三位开零根得)八分九厘八毫不尽减原银余十八两一钱八分九厘八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何用三率法原银为一率息例为二率今银(一百)为三率依法得四率三十一两一钱四分六厘九毫不尽为百两一年之息此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十卷新法算书卷二十二
## 卷二十三
逺镜说
人身五司耳目为贵无疑也耳与目又孰为贵乎昔亚利斯多穪耳司为百学之母谓凡授受以耳学问所以弥精弥广也若目司则巴拉多称为理学之师何者盖当其陡与物遇见其然即索其所以然由粗入细由有形入无形理学始终总目为牖矣而不宁惟是明光色光较形声臭味独居上分不既属于目乎观夫亚尼玛以目为居止孟子谓存乎人者莫良于眸子则凡情开意动之微必达于目善恶莫掩有如执左契然者且耳之于声也有待目之于形也无待闻每后见每先闻每似见每真闻仅有轻重清浊见岂特𤣥黄采素而已哉物体有大小方圆邪正动静数有多寡位有逺近畴非于目辨者乎诚若是则目之贵于耳也明矣虽然耳目皆不可废者也则佐耳佐目之法亦皆不可废者也第佐耳者用力省以管则逺以螺则清利物出于天成其巧妙自无可得而言佐目者用力烦管以为眶镜以为睛利物出于人力其巧妙诚有可得而言者无可得而言者言之则诞有可得而言者秘之则欺此逺镜说之所由述也天启六年岁次丙寅仲秋月大西洋汤若望题利用(计二端)夫逺镜何昉乎昉于大西洋天文士也其用之利可胜言哉盖凡人视近与大易视逺与小难逺镜则无逺近无大小者也约畧言之天象地形不出其照而至若山海之间尤为备盗之先资补益人世亦大矣奈何忽为悦目快心之具也今试姑举一(二)以概其用一利用于仰观(计六条)用以观太隂则见本体有凸而明者有凹而暗者盖如山之高处先得日光而明也又观月时试一目用镜一目不用镜则大小迥别焉用以观金星则见有消长有上弦下弦如月焉其消长上下弦变易于一年之间亦如月之消长上下弦变易于一月之内又见本体间或大小不一则验其行动周围随太阳者居太阳之上其光则满居太阳之下其光则虚本体之大小以其居太阳右之上下而别焉用以观太阳之出没则见本体非至圆乃似鸡鸟卵盖因尘气腾空遮蒙恍惚使之然也(即此可知)(尘气腾空高逺几许)若卯酉二时并见太阳边体龃龉如锯齿日面有浮游黑㸃㸃大小多寡不一相为隠显随从必十四日方周径日面而出前㸃出后㸃入迄无定期竟不解其何故也用以观木星则见有四小星左右随从䕶卫木君者四星随木有规则有定期又有蚀时则非宿天之星明矣欲知其与木近逺几何宜先究其经道圏处合下即騐矣用以观土星则见两傍有两小星经久渐益近土竟合而为一如卵两头有两耳焉用以观宿天诸星较之平时不啻多数十倍而且界限甚明也即如昴宿数不止于七而有三十多鬼宿中积尸气觜宿中北星天河中诸小星皆难见者用镜则了然矣又如尾宿中距星及神宫北斗中开阳及辅星皆难分者用镜则见相去甚逺焉是宿天诸星借镜騐之算之相去几何丝毫不爽因之而观察星宿本相星宿所好星宿正度偏度于修厯法尤为切要以上六条是聊述观天之槩也一利用于直视(计三条)楼台高处用之则逺见山川江河树林村落虽人物行动如在目前若陡遇兵革之变无论白日即深夜借彼火光用之则逺见敌处营帐人马器械辎重便知其备不备而我得预为防宜战宜守或宜安放铳砲功莫大焉海上用之则数十里外之行舟人但见为块然如山石者我能别其船舟何等帆旗何色或为友伴或为强徒与夫人数之多寡悉无谬焉居室中用之则照见诸逺物其体其色活泼泼地各现本相大西洋有一画士秘用此法画种种物像俨然如生举国竒之以上三条是聊述地海人间之槩也附分用之利(计三端)夫逺镜者二镜合之以成器者也其利用既如斯矣乃分之而制造如法则又各利于用焉即中国所谓眼镜也试言之一利于苦近视者用之(一条)世有自少好逺游喜逺望者年老目衰则不苦视逺物而苦视近物不耐三角形射线而耐平行射线习性使然耳若用逺镜之中高镜则物象一㸃之小散射镜面从镜平行入目巧合其习性视近不劳而自明也然又有未尝好逺游逺望而平日专务平直是视者亦必老至力衰则视物不能敛聚其象象形直射恍惚不真若用中高镜则物形虽小而暗视之自大而显矣一利于苦逺视者用之(一条)有书生目不去书史视不逾几席习惯成性喜三角形视近不耐平行视逺者亦有非繇习惯但眸子精力不开广视物象不得员而满者是二人者用逺镜之中洼镜则物象从镜角形入目乃合其习性视物自明矣一分用不如合用之无不利(一条)人有目精全衰视物全暗者则与无目同天日不能照固非镜之所能与力也乃有目精至强视物至明者用镜亦反加翳焉何也吾人睛中有眸张闭自宜睛底有□屈伸如性高洼二镜自备目中何以镜为若二镜合用之于逺镜则不然逺镜者目明益明象显益显实备非常之用者也原繇(计三端)一易象不同而逺镜独妙于斜透以为利用之原(计)(三条)是镜之妙妙乎能易物象也何谓易象盖凡物之有形者必发越本象于空明中以射人目若象目交接之间无所阻碍则象从径线直射入目矣茍如为他物形所间则本象或斜透其照而易者有之或反映其照而易者有之乃是镜易象之妙则妙乎有斜透而无反映此其所以利用也何谓斜透而易反映而易盖象与目交而为物所间槩有二焉一曰不通光之体一曰通光之体不通光之体可借喻镜面夫镜有突如球平如案洼如釜之类其面皆能受物象而其体之不通彻皆不能不反映物象反映之象自不能如本象之光明也所谓反映者此也通光之体又分二体一谓物象遇大光明易通彻者比发象元处更光明而形似广而散焉一谓物象遇次光明难通彻者比发象元处少昏暗而形似敛而聚焉今试以象遇大光明易通彻者言之即如前图甲象居盂底直射乙目乙目可视乙目偏东则象不现而目不见碍于盂边也若充水齐边则象上映于水遇空明气之大光明即邪射而象更显焉甲象更广散于丙丁边东目视丙边即视丙象而象体似居戊处矣即东目更移东尚可见象而象体若更浮戊上矣是又因象映而然也又如舟用篙橹其半在水视之若曲焉张㫁取鱼多半在水视之若短焉乂鱼者见鱼象浮游水面而投乂刺之必欲稍下于鱼乃能得鱼盖水气两隔恍惚使然渔夫习之熟知其必然而不知其所以然耳试以象遇次光明难通彻者言之即如上图甲象在空明气盂底无水直射盂底乙处乙处可视甲象若戊处则象不射戊不见碍于盂边也盂内充水至于丙丁则空明甲象入水稍暗敛聚于丙丁边戊视丁边则明见甲象而象体似居己处矣凡此皆所谓斜透者也夫所云间隔物体大光明能广散物象次光明能敛聚物象盖必大与次不同体者也若前后二镜亦既同体矣而亦有广散敛聚之别则以同体而不同形耳前镜形中高类球镜而通彻焉是即次光明意也所以照日光能渐聚大光于一㸃而且照日生火照第一等星光能透明于纸上夜借灯光亦能逺照后镜形中洼类釜镜而通彻焉是即大光明意也所以照日光则渐散大光至于无光而且照日不能生火不能照星不能逺照正与前镜相反然照象则甚鲜明也一射线不一而逺镜兼摄乎屈曲以为斜透之繇(一)(条)光明之体间隔物象者有正有邪而物象之来有直有偏以故象直矣而体有未正则象来之线尚多屈曲况象偏乎体正矣而象有未直则象来之线亦多屈曲况体邪乎若二镜照物之时则必皆正者也但物象射线不能皆直盖必射线直入镜之中央方无斜透不然射线去中或近或逺皆不免屈曲所以皆不能无斜透也一视象明而大者繇乎二镜之合用(计二条)二镜之性乃相反以相制者也独用则偏并用则得中而成器焉夫逺物发象从平行线入目则目视逺物亦必须从平行线视象假若二镜独用其一则前镜中高而聚象聚象之至则偏偏则不能平行后镜中洼而散象散象之至则亦偏偏亦不能平行故二镜合用则前镜赖有后镜自能分而散之得乎平行线之中而视物自明后镜赖有前镜自能合而聚之得乎平行线之中而视物明且大也前镜视逺去目如法物象每见其大焉盖以全镜之体照物体之分分则见其大矣若镜目相近则虽镜体得照全象分分不遗而象则小矣后镜视逺近目如法视物每见其大焉盖以全象视物之体若镜目相逺则以象之一分视物之体而已总之分二镜而用之则不免昏暗套筒而合用之则彼此相济视物至大而且明也造法用法(计九端)造镜至巧也用镜至变也取不定之法于一定之中必须面授方得了然若但凭书不无差谬今亦撮其大畧而已一镜(一条)造法曰用玻璃制一似平非平之圆镜曰筒口镜即前所谓中高镜所谓前镜也制一小洼镜曰靠眼镜即前所谓中洼镜所谓后镜也须察二镜之力若何相合若何长短若何比例若何茍既知其力矣知其合矣长短宜而比例审矣方能聚一物像虽逺而小者形形色色不失本来也一筒(一条)镜止于两筒不止于两筒筒相套欲长欲短可伸可缩一逺近各得其宜(一条)用法曰镜筒相宜以视二百步为定则因之而视数十里视天象视地形无不同之若视二百步以内物形弥近筒镜弥长逐分伸长物相明亮即为限止大要伸缩宜缓而不宜急一避眩便观(计三条)用以视太阳金星则二者光射明烈故须于近镜上再加一青绿镜少御其烈镜筒再伸分寸许则光相不眩目力乃精视乃不幻也视太阳又有两法一加青绿镜如上所云一不必加青绿镜只以筒镜两相合宜以前镜直对太阳以白净纸一张置眼镜下逺近如法撮其光射则太阳本体在天在纸丝毫不异若用硬纸尺许中翦空圆形冒靠后镜上则日光团聚下射纸面四暗中光黑白更显体相更真矣若遇依稀云雾天太阳本体居明暗中不用绿镜不用硬纸只以平常格式用目视更快也用以视地形物色前镜勿对日光以日光照镜则镜光与相反昏也一安放调停(计二条)将镜置诸本架或倚著实落处使不摇动视镜止用一目目力乃专光益聚而象益显也视欲开广将镜床少少那动欲左而左欲右而右欲上而上欲下而下架无不随者只用螺丝钉宁住宜坚定不移一衰目短视用诀(一条)清目人用此镜逺视物体更明且大无惑也乃衰目人短视人亦可用盖筒内后镜伸长能使易象于前镜者仍平行线入目缩短能使易象于前镜者反以广行线入目一伸一缩能称衰目短视人则巧妙又在伸缩得宜焉又短视人寻常用眼镜者今用逺镜仍用本眼镜照之亦可一借照作画(一条)室中照镜画像全闭门窓务极幽暗或门或窓开一孔大小与前镜称取出前镜置诸孔眼以白净纸如法对置内室则镜照诸外像入纸上丝毫不爽摸而画之西土所谓物像像物者此也一习用诀欲知镜之能照逺及小与夫昼夜无异则必于平常试验置书数十步内昼借日光夜借灯光用镜照之字字可诵比诸几案上更显而大焉平常习熟临大用时庶可无疑谬也一去垢诀(一条)两镜或受尘垢勿用手揩摸只以新净绢帛轻轻拂拭即复光明用镜测星法前后二镜各加一积楮圏圏心开圆孔露镜而以其周掩镜边盖惟边掩而心孔摄聚星象益加显著故也孔之大小视镜光力前圏孔之大以尽见月径为率月径约三十分依此为孔以求两星相距或相凌犯逺近分数举目可得其法先以镜向月心目向镜心一窥而尽得月左右边际是可凖而用也乃即用以窥星倘亦一窥之中两星并见则知彼此相距必在三十分内矣于是移筒使一星切居镜边以求此星与彼居中星相距之逺近或当月径之半而赢或当月径之半而缩其为几何分数岂不了然可辨乎然所谓一窥尽月径者逺镜之短者也若其长者所见转狭一窥不尽必数移窥乃尽焉其法先用镜定向月心目则左右任移以尽见月边为率次以镜切月边平行径内某影(月有多影)止记之又以此影切分为边平行某影止记之如是数窥必尽月径即可得每窥满圏所容之分数几何于是用以测星或亦再三移窥则并移窥所得分数总计之即是两星相距之分数矣用镜测交食法安器于本架筒伸缩令得宜用以直对太阳或太隂焉余法与视太阳前二法同外所用净纸预画一线成圏圏中画径线一平分之径线上画短线十平分之圏线之大约以二寸为率过大与过小皆足碍光临测时务使纸与镜直对平行毋少欹侧其相去逺近以光满圏为率镜一面向纸一面向日或月当其初亏止见光劣有似游气后乃黒影渐侵边内明缺此时务使圏之径线正与缺当乃视短线即得交食分数新法算书卷二十三
## 卷二十四
钦定四库全书
新法算书卷二十四 明 徐光启等 撰日躔厯指厯象以齐七政今首日躔者何也曰七政运行各有一道二极各有三百六十经纬度其度分又各有寔经纬视经纬其会合有寔会视会寔望视望樊然不齐首日躔者乃所以齐之也日躔之能齐七政奈何曰凡测量之法必自其根始如度树之短长地其根也度舟行之逺近水次其根也度天行之根有二其一在天行之内歳首是也古法以今歳之十一月冬至为来年之天正歳首冬至者则日轨高度分之极少日躔赤道纬之极南也其一在天行之外歴元是也自昔推厯元者必求上古之积年后来歳寔稍宻即无数可论故至授时而废不用矣授时以至元辛巳为厯年以其气应为根而求通积以歳寔而一得冬至然此所得者皆平年之冬至非定冬至也今法以崇祯元年戊辰冬至日子正初刻为厯元依恒年表求其根数为平冬至因以法加减之为定冬至定冬至者歳歳加减初无通积可求盖日轨度之真极少日躔纬之真极南也是则天行之两根舎日躔皆无从取之矣曰此两根者六曜皆有行度皆可用以为歳首为厯元何独日躔乃可乎曰此其故有二其一七曜之中独日躔之行甚顺也其一以他曜测不若以日躔测甚便也何谓甚顺太阳之行与本天之本行相合为一繇黄道帯之最中无出入歳月日时各平行有恒度分无永短如是者皆终古不易他曜之行于本天本行之外各有小轮各有纬距度各有迟疾留逆时时不等虽有定法而似无法何能为他行之法譬如畸零不齐之布帛宜以十寸之尺度之若以畸零度畸零无乃欲齐而棼之乎故六曜者畸零之布帛日躔者十寸之尺也若恒星之东行与日相似亦可谓顺矣乃行度最迟必六十余年而一度二万五千二百余年而一周推歩者欲求其变动之数卒世而不一得也且考恒星之经度必用太阳之经度自非二分二至为其凖则何从定之星之古测今测更多不合或曰顺行或曰否人自为说又何从定之岂若日躔之歳月日时俱可测验俱可推算哉何谓甚便日光甚大用闚筩诸器即分秒可得诸星体微光眇测候颇难月体大矣而去地甚近其视差甚大已亦不能为主古今法考月离经度者必因其食甚时刻考太阳之经度加半天周得太阴之经度故自昔名厯家先测太阳定其行度经度次及月五星恒星之行度经纬度以为定法是知日行者诸行之本也然厯法首步气朔兹有气而未及朔何也曰朔望者日与月比论乃得之也未论月离未可论朔望也其不及歳差何也曰歳差者日与恒星比论乃得之也未论恒星未可论歳差也今以本法诸义著于篇缀之立成表二卷以资推算焉定南北线第一一法天正春秋分日或前一日或后一日亦可午正前后植表臬视表末景所至輙作㸃为识次作直线聨诸㸃即夘酉线其垂线即子午南北线何故为两分日行赤道下表景自朝至暮止作一直线前后各一日尚未觉有曲线也二法不拘日月于午前用象限仪测得日轨高即于表末景作识午后用本仪测得日轨与午前所取同高亦于表末景作识以直线聨两㸃即夘酉线何故为东西等高则同经两经间平分其所容之经即子午经圏右二法不论何物但其体势可当表臬者即用之三法不拘日月以植表根一㸃为心多作平行圈视午前景末切某圏作㸃午后待景再切原圏作㸃聨两㸃作直线为夘酉如上图甲为表根㸃以为心多作丙乙等圈甲乙为午前景甲丙为午后景乙丙平分于丁作甲丁垂线至乙丙线为子午右第一法必待春秋分第二第三法恒日可用但论其理俱未能定夘酉之真线何故为太阳本行去离赤道以前以后终岁终古皆不作周圈而作螺旋圈也欲得真线别有本法本法用地平经纬仪取最近北极一星测其东西行所至两经度中分之即正北方也用句陈大星西名小熊尾第一夏至子时在极东冬至子时在极西用句陈第五星西名小熊尾第三冬至酉时在极西夘时在极东(用此即定线一夕得可)若无本噐用两表之法两表者一定表其体与地平为垂线一游表其直邉亦与地平为垂线先以二表与星相望参直成一线若星渐移而东则迁游表随东至不复东而止移西亦如之末从定表望两游表各以直线聨之成三角形平分其角作南北正线或以权系垂线可当表但须权末极锐与垂线相应以切地平定㸃已上诸法必以夜及午正时若或早或晚随时求之则有别法先定一表景之直线以此线当地平上之太阳经圏即于此时用测器取日轨高以得南北正线如后图作甲乙丙丁圈其心戊甲丙为地平丙上数本地赤道出地之度如顺天府五十度即至己从己作径线径线之或北或南取本日日躔离赤道距等度为己壬作壬癸线为赤道距等圏次从丙甲上数日轨高度分如高三十度得子作子丑线即本时地平上之太阳纬圏也此线交壬癸距圏于夘从夘向甲丙地平引作酉夘辰垂线取子丑纬圏上子午半弦为度从戊心抵酉夘辰线上作斜线得未戊引至圏界成未戊辰线也乙戊丁为东西线未戊申为景线即或左或右如本时刻与夘酉逺近之数成未戊乙角则得申戊丁对角从景线上依法作角得角傍东西正线其本日太阳宫度及北极出地之数或暮夜用星说见本论(有一百法)定北极出地度分第二凡歩日躔月离五星行度等一切测验推算皆以北极出地之正度分若仪器未精测候末确如春秋分所测午正日轨高差至一分则以算太阳之经度必差二分半推太阳之最高必差一度有奇即日躔行度不能得其真率也以此定冬夏至时刻等无不忒矣故此法最宜详宻不容率尔以致谬误凡得日躔经度或某星经度以午正日轨高或出入地平之经度等率可定北极出地度分见本论约有五十法今先具一本法用象限仪取北极附近一星极高极低之数平分之为北极出地度分如用句陈大星(西歴为小熊尾第一)冬至日酉时测得极低三十七度强夘时测之得四十三度强其差六度半之三度与三十七并得四十度强是顺天府北极出地之数古法用表景或仪器测冬夏至两日轨高之差折半以减夏至高得赤道高以减象限即北极高也然人目不在地心在地面故得数未确如上图甲为地心丁为地面人目在丁用仪器如丁辛戊庚测得冬至日轨高辛戊然寔高乙戊视高辛戊其差为丁戊甲角夏至日轨高为壬其差则丁壬甲角小于丁戊甲角两视之差不等其所得之数必非真率且用表即景末难定又有日轮半径之差(寔表非中景故)清蒙之差致差之道多端岂容略率推歩遽定高下之数哉问日躔列宿渐次西移古来名为歳差西厯以为列宿东行度分非日果差西也是既然矣又日躔有最高不惟旋转东行即两心又无定距则近星去极亦有时逺近随时变易安能遽定为一定之法终古不易曰恒星及最高皆一二万年而一周数十年而一度近星去极虽则游移为动甚微为时甚缓数年之间目力器数固难验其变易矣既具测候之法待其积时积数灼见违离然后依法更定未为失也论清蒙气之差第三西厯第谷欲究极日躔行度之理造测器十具体式各异宫度分秒丝毫不错以定本地北极出地度分讫次用古法(郎二至之高折中取之)测之不合者四分莫知所繇乃造大浑仪一具于黄道上加极细闚筩夏至午正测之又时时测诸经纬度分则二法往往不合毎浑仪所测之纬度高于所算太阳之纬度乃知真高在视高之下因悟差高之縁盖清蒙之气所为也清蒙之气者地中游气时时上腾入夜为多水上更多其质轻微略似澄清之水其于物体不能隔碍人目使之隐蔽却能映少为大升卑为高故日月出入人从地平上望之比于中天则大星座出入人从地平上望之比于中天则广此映小为大也定望日时地在日月之间人在地平无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西或高山之上见日月出入以较歴家算定时刻每先升后坠此升卑为高也(试以钱一文寘空盏底人)(立稍逺令盏之邉掩钱体人目不见钱则止更以水注之水半则钱体半见水沟则全见升卑为高其理明矣)清蒙之气有厚薄有高下气盛则厚而高气减则薄而下厚且高则映像愈大升像愈高薄且下则映像不甚大升像亦不甚高其所繇厚且高者若海若江湖水气多也或水少而土浮虗此气能令轻尘上升亦厚且高也地势不等气势亦不等故受蒙者其势亦不等欲定日躔月离五星列宿等之纬度宜先定本地之清蒙差万歴二十五年丁酉西洋之迤北人泛海至诺瓦生八纳之地北极出地七十六度强日躔大寒四度论宗动之法应日出在冬至后五十二日却前出十三日所差二十九度于时太阳寔在平地下五度因本地在大海中蒙气甚盛太阳久躔地平之下不能消除其湿势故发见折象尤多令前出十三日也又早晚蒙气亦不等盖昼则太阳能消湿气至暮而尽夜则复生渐生渐盛及晨而多故蒙气又有昼夜早晚之差清蒙之本性能升物象令高于寔在之所不能偏左偏右故其差恒在纬度不在经度今先论测纬法借宗动天本论内一则曰凡测高以恒求纬圏量之盖恒天之内经纬之度皆相连有一自有二若得本地北极出地之数及或东或西恒球上日躔经度可得本时恒天内真纬如上图甲乙丙为南北圏甲戊丙为地平圏之一弧乙为天顶乙辛己戊为恒球一经圏过太阳之视高辛亦过太阳之寔高已从北极丁作丁己弧成丁乙己曲线三角形此形有丁乙邉为北极高之余度有丁己邉为日轨距北极之度有丁乙戊角为丙乙戊之余角(丙乙戊角为乙戊经圈距正午丙之度其弧为丙戊)求乙己即日轨之寔高离天顶度其法己角(即恒球经圈乙己偕北极)(出圏丁己两线所作角)在本圏恒为锐角若丁乙己为同类锐角即如上图从丁向乙己作丁庚垂弧分元形为两直角形若丁乙己为异类即于乙己邉引长之从丁作丁庚垂弧必在形外其前图丁乙庚直角形有丁乙邉乙角求乙庚则全数与乙角之余弦若丁乙弧之切线与庚乙弧之切线又法全数与丁乙之正弧若乙角之正弦与丁庚之正弦次丁庚己形有丁己邉又有丁庚邉求己庚则全与丁庚之余弦若丁己弧之割线与己庚弧之割线末乙庚庚己并得己乙为日轨之寔高离天顶度其后图丁庚乙形有丁乙邉乙角求乙庚法如前但庚乙内减庚己余乙己即所求假如太阳躔鹑首初度地平经度任置为(从午正或东或西算)九十四度求太阳地平上之正高(太阳距极为六分十六度二十九)丁己为六十六度二十九分(见前全图)丁乙戊角为八十六度丁乙为五十度(北京赤道高)法全数与丁乙戊角之余弦(六九七六)若丁乙邉之切线(一一九一七五)与庚乙邉之切线(二三率相乗以全除之)得(八三)(一二)查表得四度四十五分又全与丁乙邉之正弦(七六六○)(四)若乙角之正弦(九九七五六)与丁庚之正弦算得(七六四一○)查表得四十九度五十分又全与丁庚之余弦(六四五○一)若丁己割线(二五○六一七)与己庚之割线算得(一六一六五○)查表得(五十一度四十七分)己庚庚乙并之得(五十六度三十二分)减九十得(三十)(三度二十八分)乃太阳地平之纬度也(正高也)此四数极出地太阳距极太阳地平经太阳地平纬皆相连相乗右系测纬度之正法若先用器测得经度以此法推得纬度而别测得纬度与所推不合则别测者必高于所推(其差必丝清蒙之气也减若论测器不在地心而在地面则以地半径之差数 所测纬度下方详之)(崇祯三四五年毎年测冬至即用元仪元筩规然所得数非一前后有差一二分或是蒙气尘灰等故耳)求黄道与赤道之距度世世不等第四(亦名太阳之纬)法曰夏至前后一日用测器数具各依法求午正日轨高若俱合即真率否则择其相合者用之第二第三日再测如前于所得真率内减去地半径之差又减去赤道高余为两道距度即夏至日躔赤道以上纬度 何以不用冬至以夏至太阳近天顶蒙气甚㣲不入算冬至近地平蒙气多则差多何以用前后一二日曰至前后一日日躔去离赤道止一十三秒次日止五十五秒测器之上无从分别与初日不异也若用冬夏两至之较差不为真率见前论古今各测周显王二十五年丁丑迄崇祯元年戊辰为一千九百七十二年西古史亚理大各秦二世三年甲午迄崇祯元年戊辰为一千八百四十七年西史阨腊多汉景帝中元元年壬辰迄崇祯元年戊辰为一千七百七十七年西史意罢阁汉光武建武十七年辛丑迄崇祯元年为一千四百八十八年西史多勒某其书为厯家之宗 已上四家测定黄赤相距为二十三度五十一分二十○秒于中分为二十三度八十五分唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年为七百四十八年西史亚耳罢徳测定二十三度三十五分于中分为二十三度五十八分三十三秒宋神宗熈宁三年庚戌迄崇祯元年为五百五十八年西史西杂刻测定二十三度三十四分于中分为二十三度五十六分六十七秒宋高宗绍兴十年庚申迄崇祯元年为四百八十八年西史亚尔满测定二十三度三十三分于中分为二十三度五十五分元成宗大徳四年庚子迄崇祯元年为三百二十八年西史波禄法测定二十三度三十二分于中分为二十三度五十三分三十三秒天顺四年庚辰迄崇祯元年为一百六十八年西史褒尔罢测定二十三度二十八分于大统厯为二十三度四十六分六十七秒正徳十年乙亥迄崇祯元年为一百一十三年西史歌白尼测定二十三度二十八分二十四秒于大统厯为二十三度四十八分一十二秒万厯二十四年丙申迄崇祯元年为三十二年西史苐谷造铜铁测器十具甚大甚准又算地之半径差及清蒙差歳歳测候定为二十三度三十一分三十○秒西土今宗用之于大统厯为二十三度五十二分三十○秒苐谷覃精四十年察古史测法知从来未觉有清蒙之气及地之半径两差又旧用仪器体制小分度粗窥筩孔大所得余分不过四分度或六分度之几而已且古来测北极出地之法未真未确故相传旧测俱不足依赖以定太阳躔度今欲定黄道各经度分之纬度分若干借宗动一题曰凡得两道极相距度分及黄道其经度分可推本度分之纬度分如上图甲乙为赤道一象限甲丙为黄道一象限两道遇于甲为春秋分乙丙为过两至两极之经圏有两道距度(即二十三度三十一分三十秒之弧)为甲角之度而测他距度 其法如日躔立夏即为丁即从丁向赤道作丁戊垂弧而成甲丁戊曲线直角形此形有甲角二十三度半强又有甲丁弧立夏之经度四十五求丁戊弧纬度则全数十万与甲丁弧之正弦七○七一一若甲角之正弦三九九一五与丁戊弦之正弦二八二二二查得一十六度二十三分三十九秒为立夏之黄赤距度与立春立秋立冬之距度皆等盖从两分之交数经度皆四十五也他各节去离二分或左或右经度等则距度亦等以此法推黄道各经度分之纬度分作表如后反之有太阳之纬求其经如上图甲丁戊形有甲角丁戊弧纬而求甲丁弧其法全数与甲角之正弦三九九一五若戊丁弧之余割线三五四三八一与甲丁弧之余割线一四一四二一查得四十五度其法见宗动天本书凡过极圏截黄赤二道有黄道所截之经度分求截赤道之经度分此即约说所名赤道上之黄道升度也过极圏者在正球为地平攲球为子午圏时圏等如上图乙甲丙如前若正球(赤道过天顶)则己戊丁弧为地平己丁庚其子午圏己为北极庚为南极甲戊丁形之丁戊为其地平东西或左或右之一分若攲球则丁戊为过极圏(子午时圏等)夫甲戊丁角形有日躔经度之甲丁(四十五度)有甲角而求赤道之弧戊甲其法全数与甲角(二十三度半强)之割线一○九○六四若甲丁弧之余切线一○○○○○与戊甲弧之余切线一○九○六七查得四十二度三十一分强春秋两分时太阳之本度第五厯法家古来有公论二端其一日凡动而有法者三一自上而下如土石等重物以地心为界(为界者欲至地心而正)二自下而上如气火等轻物以月天为界此二动自行必成直线名为直动三循还行一周至元界如天行一周成全圏名为周动也三者而外皆名无法之动(详见本论)其二曰凡天体及七政恒星等必平行不平行则推歩之术无从可立无从可用矣然而入目所见各有迟疾顺逆时时迁革百千万年无一平行者又何也厯家因此推求悟有不同心之圏及诸小轮等虽有彼此前后多互异之说总之若得其不平行之故而又不失其乎行之恒理不得不然耳(详见七政性理之论)太阳之公动其理不一其属宗动天而定昼夜之时之类后篇详之今略论其本行曰太阳既为周动又必平行则人目所见经厯歳月日时悉宜平等则从天正春分至秋分又从秋分至春分平分一歳其日亦宜平等乃从春分昼夜平至秋分厯一百八十六日有竒而平从秋分昼夜平至春分厯一百七十八日有奇而平所差八日有竒安得谓之平行又人目所见太阳之体冬至则大夏至则小见大去人必近见小去人必逺又冬至月食小于夏至之食盖大光之体愈逺其景愈长愈大月过地景之时愈多故知时多者景大景大则光体必逺既两有冬夏逺近又安得谓之周动且渐迟渐速渐大渐小非骤然迁变即又日日刻刻皆非平行也今欲明迟速之故而又不失为平行欲明大小之故而又不失为周动将何说以处于此如图甲为地心乙丙丁为宗动天庚己辛戊为日轮本天庚辛为春秋两分戊己为冬夏两至若两圏为同心者即庚戊辛半周辛己庚半周所得圏分必等今不等必縁不同心(其差)(数详见下方)故人目不在太阳本天之心壬而在宗动天之心甲则日行本轮天恒平行而人目所见者庚戊辛所经之日多于辛己庚所以冬缩而夏嬴也日在戊去甲逺在己去甲近故冬大而夏小也但在本天既平行则推算者必先得平行数为根而后可论其迟疾多寡故须先作平行表其术以歳周为法天周为寔平分之见下文其求天正春秋分日躔本度之法有二其一或春分或秋分前后三四月内于午正初刻测得日轨高与本地赤道离地平度数两数相减得数为本日日躔纬度以纬度求经度(法见本篇四若赤道度多于日轨高即太阳在南六宫若小于日轨高即在北六宫)既得经度可歩日躔经度得若干时刻而入于交㸃(交㸃即春)(秋分也交者赤黄道之交㸃者无分)其法以歳周三百六十五日二十三刻○四分为法以天周三百六十度为寔而一得毎日太阳平行五十九分○八秒一十九㣲为第一率以日法九十六刻为二率以所得日躔经度为三率依法求得若干时刻为四率次用此时刻于本日午正初刻或加或减得太阳入交㸃时刻(春分赤道多于日轨高为未及交以所得时刻加于)(本日午正时刻若少于日轨高为过交以所得时刻减于本日午正时刻)秋分则加减相反(赤道多于日轨为过交减之少于日轨高为未及交加之)次法测得日轨高与赤道之差以相减每差一分为四刻(春秋加减如前法)何者太阳日平行约一度而春秋分前后第一经度其纬为二十三分五十六秒约为二十四日九十六刻则太阳毎四刻行纬一分故赤道日轨之差一分当得四刻也(此法可用于分前后一二日若过此纬度渐缩矣故第一则为公法)如上图两道两弧遇于甲人在乙测赤道乙丁乙戊日日不异太阳则渐向交渐近赤道如春分太阳在己少于乙戊则未过甲交己戊为太阳之纬己甲为太阳之经若以未及甲一度则后一日而入于交㸃若太阳在丙多于乙丁是己过甲交丙丁为纬丙甲为经若丙过甲一度则前一日己入交㸃秋分反是是为加减之元本假如崇祯三年二月初八日在局午正时测得日轨高五十度一十三分加入地平半径差一分五十二秒若有清蒙差即应减率今在午日轨之高度多故蒙差极微即不减寔得地心以上日轨之真高五十度一十四分正十二秒若本地极出地三十九度五十○分(顺天府北极出地之度有三说未知)(孰是尚须测候归一今试一一推之)即赤道高五十度一十○分以与日真高相减余四分五十二秒为本地本日赤道以上太阳之纬度次简黄赤距度表求其经度得去离降娄初一十二分二十二秒次以太阳日平行五十九分○八秒为一率日法九十六刻为二率今行一十二分二十二秒为三率而求四率得二十○刻弱而日真高多于赤道高则入交㸃在本日午正前二十○刻为辰初初刻若北极出地三十九度五十三分即赤道高五十度○七分与日真高相减余七分五十二秒为太阳纬依法得经度二十○分用三率法求得三十二刻○七分则入交㸃在本日寅初初刻○八分(毎刻十五分)若北极出地四十度即赤道高五十度减差为一十四分五十二秒求经得三十七分一十五秒用三率法求得五十九刻○七分则入交㸃在初七日戌初三刻○八分若北极出地四十度○一分则入交㸃在初八日午正前六十四刻○七分为是初七日酉正三刻○八分前此诸说未能遽得真率今用西术成数立一较法縁此展转推求庶几近之欲得真确须铜铸仪象亦大亦精累年测候以立万年不昜之法按逺西之国有厯学名家于万厯十二年甲申在大尼亚国其地居顺天府西以法推其地经度得东西相去一百○四度因推其东西时差得二十七刻一十一分彼国北极出地五十五度五十四分四十五秒连测五年而得太阳入春秋两分之真率今以时差加率为顺天府各年之真率如左万厯十二年甲申二月初九日西春分在午正后八十六刻正加时差二十七刻一十一分得次日子正后六十五刻一十一分为中春分(午正后八十六刻者中厯日法以子正起算西歴以)(午正起算八十六并二十七得一一三减日周九十六刻存一十七刻又以正起加四十八刻得六十五刻为次日数后傲此)本年距元测一百八十七日西秋分在午正后六十四刻正加时差得次日子正后四十三刻一十一分为中秋分十三年乙酉距元测三百六十六日西春分在午正后一十三刻○四分加时差得本日子正后八十九刻正为中春分本年距元测一百五十二日西秋分在午正后八十七刻四分加时差得次日子正后六十六刻一十四分为中秋分十四年丙戌距元测七百三十○日西春分在午正后三十六刻○八分加时差得次日子正后一十六刻○四分为中春分本年距元测九百一十七日西秋分在午正后一十四刻○八分加时差得本日子正后九十○刻○四分为中秋分十五年丁亥距元测一千○九十五日西春分在午正后五十九刻一十一分加时差得次日子正后三十九刻○七分为中春分本年距元测一千二百八十二日西秋分在午正后三十七刻一十一分加时差得次日子正后一十七刻○七分为中秋分十六年戊子距元测一千四百六十一日西春分在午正后八十三刻正加时差得次日子正后六十二刻一十一分为中春分本年距元测一千六百四十七日西秋分在午正后六十一刻加时差得次日子正后四十刻十一分为中秋分右法用之可得岁周率及冬至夏至等时刻上论详测春秋两分太阳躔度然须以日躔表所算太阳经度考之若测相合则凖不合则不凖也随日午正测太阳所躔经度宫分置赤道高若干又置午正太阳正高(所测日地平高数内减蒙气差又加地半)(经差得正高)两数相减其较为太阳距纬度(距赤道数)以此数查黄赤距度表中横行内求度分上或下得宫度分乃太阳本日午正所躔之度分(若表中无元数即用中比例法)凡赤道数大测数小宜用冬至傍半周宫度分若赤道数小测数大用夏至傍半周宫度分宫在上用上度在下用下度如测日高得六十度四十三分(因高过蒙气不用差)加地半径差一分十三秒得六十度四十四分强减赤道高(五十度○五分)余十度三十九分查黄赤距度表得降娄宫二十七度三十五分(因测大赤小用上行宫度)乃日躔度分或鹑尾二度二十五分又测午正高得三十七度十三分减蒙气半分加地半径差二分二十五秒得三十七度十五分赤高内减之得较为十二度五十一分乃太阳距度也查表得大梁三度五十二分或鹑火二十六度○八分太阳平行及寔行第六歳寔者太阳行天一周之月日时刻也太阳之歳有二其一从某节某㸃(二分二至之类皆名节亦皆名㸃)行天一周而复于元节元㸃是名太阳之节气歳若太阳会于某星行天一周而复与元星会是名太阳之恒星歳恒星有本行自西而东假如今年春分太阳㑹某恒星至来年春分此星已行过春分若干分矣太阳至春分则已满节气歳之寔而上未及元星若干分即又须若干时刻逐及于元星而与之会乃满恒星歳之寔故恒星歳寔必多于节气歳寔此外又有太阴之歳以日月十二会定为十二月此歳为三百五十四日有奇少于太阳之歳寔十一日有奇也但太阴之视行绝不平(视行者月周天本平行而其小轮有自行度即入转也自)(行有顺逆因其行速故人目视之不见顺逆而但见迟疾既有迟疾故晦朔弦望绝不能为平等)故用此纪元者又以太阳之歳寔为本如前篇万歴甲申春分在午正后一十七刻一十一分越三百六十五日为乙酉在午正后四十一刻相减得小余二十三刻○四分(毎刻十五分)则歳寔为三百六十五日二十三刻○四分 又用前世寔测前后相较如𢎞治元年戊申西国至家白耳那瓦测得春分为西厯三月二十四日子正后六十四刻○六分越一百年为万厯十六年戊子名厯第谷测得春分为西厯三月十九日子正后四十(三刻六分)西法歳三百六十五日四分日之一毎四歳之小余成一日因而置闰则百年中为整年七十五闰年二十五共为三万六千五百二十五日用两测中积数(戊申三月二十四日子后六十四刻○六分戊子三月十九日午后四十三刻六分)相减其较七十五刻○五分百而一得毎一年少○刻一十一分一十五秒以减整年实三百六十五日二十四刻得三百六十五日二十三刻○三分四十五秒为今定用歳寔此法与甲申乙酉寔测所得不合其差为二十七秒若用前古数百数千年所传寔测之数其差更多何者太阳之歳行不等其原有三其一太阳不同心圏之心(不同心之)(天太阳所丽名日轮本天其心非地心也故又名不同心天亦名最高天此岁差所因也亦可名岁差天)顺节气自西而东每歳有自行度故取一㸃今歳与节㸃合百年后便觉去离若干其二太阳不同圏之心去离地心其逺近又复不等其三恒星亦不平行此三差为数甚微故百年之内难于计算数百千年以上乃可得之(因大统歴故百年歳寔减一分)算毎日太阳平行分法置先算定歳寔为三百六十五日二十三刻○三分四十五秒乃太阳行天一周三百六十度也今欲定一日之行而成表法以周天为寔以岁寔为法除之(欲得细数故以前两)(数因本类化之如左)置周天三百六十度以六十因七次得一○○七七六九六○○○○○○○○为实置歳实三百六十五日二十三刻(大刻)○三分四十五秒先将三百六十五日以二十四时乗之俱化为时得八七六○时再以三十三刻化为时得五时(毎时四刻二十刻故得五时)加于先得数共为八七六五时尚余三刻再化为分得四十五分(毎刻十五分)加小余○三分共为四十八分仍置八七六五时以六十乗之化为分末加四十八分共得五二五九四八分再以六十乗之化为秒末加小余四十五秒共得三一五五六九二五秒为法与前周天寔数而一得三一九三四九七四尘因先所置寔数俱化为尘(周天度七次化之得第七位数为尘)法数为时之一秒(先化时为分化分为秒)则时之一秒得周天三一九三四九七四尘若取时之一分因进一位周天数亦进一位为末若取一时则周天数亦宜上二位为芒则一时太阳行周天三一九三九七四芒以二十四时乗之得一日行为七六六四三九三七六芒依约法以六十除之得一二七七三九入九俱为纎尚余三十六芒再以六十除之为微得二一二八九九余四十九纎又再以六十除之为秒得三五四八秒余十九微再以六十除之为分得五十九分余八秒将先各类所余数并之得太阳一日平行为五十九分○八秒一十九微四十九纎三十六芒前法既得一日之行今再求一时以及各时之行法以前推得一日或二十四小时行五十九分○八秒二十微(前数四十九纎己过大半宜进作二十微)各半之得十二时之行为二十九分三十四秒一十○微再半之得六时之行为一十四分四十七秒○五微又半之得三时之行为七分二十三秒三十二微以三除之得一时之行二分二十七秒五十一微仍以一时之行递加至二十四时则为一日所行也再逓加至六十分为表次用加法二日至十日又至百日二百日三百日乃至一岁作表求太阳最高之处及两心相距之差第七最高与夏至异古多罗某(在今一千四百年前)测得最髙去离降娄初为经度六十五度三十五分两心(地心与日轮本天心)之差为十万分(半径全数)之四千一百五十一今在经九十五度四十分两心之差为十万分之三千五百六十七(差五百八十四)系曰太阳公动(一随宗动西行一随列宿东行)及本行之外别有二种行度一从最髙恒自西而东歳行若干一地心与太阳本论(即不同心之圏)之心相距分歳歳减少意数千年后当相合为一㸃(想当然耳或别有行动不可知也亦有为之说者未能定其然否)问最高何物何繇能知有此曰若不同心最高之㸃恒在夏至如甲则太阳从春分辛至戊行四十五经度之弧与从己至秋分壬亦行四十五经度之弧其时日必等盖两心在甲乙线内与丁丙为直角而丁甲丙与辛甲壬两弧俱两平分于甲(几何三卷三十题)则所分各两弧(丙甲与甲丁辛甲与甲壬)之行度等其所须时日必等乃春分后行四十五度至立夏立秋前四十五度至秋分其行度等而时日恒不等则丙庚丑丁两弧度必不等而不同圏之心必不在甲乙线上其推歩最高法于春分后四十余日即每日测午正日轨高求其四十五度以定天正立夏(春分至立夏当行四十五经度其纬当得)(十六度二十三分三十九秒加赤道高约五十度得六十六度二十三分三十九秒若日轨高适满其数即正)(得四十五度为立夏若过或不及用前篇求春分法得本时刻)溯春分迄立夏总计中间积日时刻以日率五十九分○八秒一十九微五十○纎而一得太阳平行之总度分乃非四十五度而得余分如后论如图甲为地心作丙戊丁圈任取甲乙小线(欲求此数故任作之)乙为心作未己庚辛为太阳平行之本圈次作己甲辛为春秋分线过甲地心次于戊上取戊壬为四十五度从壬过甲作直线至未而截己夘弧于庚得己甲庚为四十五度之角次从小圈心乙向庚作直线次作未己线次从未向己辛作子未垂线末从乙向庚未作乙午垂线即庚未线必两平分于午(庚未为本圈之弦从心出垂线至其上必平分之)则丙甲庚角为从戊壬四十五度以上至最高㸃之角春分后日行戊壬弧为天元经度四十五其视行四十六日一十○刻一十○分以日率准之得平行四十五度二十七分三十四秒则庚己弧也己未庚乗圈角半之得二十二度四十三分四十七秒庚甲己角既四十五度即己甲未角得一百三十五度以加庚未己角共一百五十七度四十三分四十七秒未甲己三角形内得甲未己角即得己角为二十二度一十六分一十五秒倍之为辛未弧四十四度三十二分三十○秒又日行己夘辛弧为春分至秋分时刻得一百八十六日七十四刻其平行为一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧当得一百七十五度五十四分三十六秒辛未己弧内减己角之倍数(即辛)(未弧)四十四度三十二分三十○秒余未己弧得一百三十一度二十二分一十○秒求得未己弦一八二二五八六八又于未己弧加己庚共得一百七十六度四十九分四十四秒求得未甲庚弦一九九九二三四二既戊壬为经度四十五今欲求壬至丙太阳最高之㸃(或夘)(甲庚角)及乙甲两心之差各几何依下文论之己子未三邉直角形既得己角及己未邉求未子线其法全数(万万内)与己角(二十二度有奇内)之正弦(一三八九○○○)若未己弦(一八二二五八六八外)与未子邉得六九○七一六八(外)甲子未直角形既有子甲未角(四十五度为庚甲己之交角故)及未子邉求未甲其法全数(内)与未子(外)若子未甲角(四十五度为未甲两)(角平分子直角故)之割线(一四一四二一○○内)与未甲邉(外)得九七六八二一○庚未弦(一九九九二三四二)平分之得九九九六一七一午未也内减未甲余二二七九六一午甲也又庚己未弧与半圈其较三度一十○分一十六秒平分之得一度三十五分○八秒乙庚午角也(若庚乙引之至癸癸未弧为较半之为癸庚未)(角)求正弦得二七六五四○乙午线也乙午甲直角形既得甲午午乙两邉求甲乙用句股法得三五八四一六即两心之差其全数乙夘为太阳本圈之半径约之得百分之三分半有奇又求乙甲午角其法午甲邉(外)与全数(内)若午乙邉(外)与甲角之切线得一二一三四一三八(内)其弧五十○度三十分为壬丙即日躔从立夏(天元经度四十五)至最高丙得五十○度三十分以加四十五得最高之处为经度九十五度三十○分在夏至后五度三十○分其最高冲在冬至后五度三十分若用秋分前溯立秋四十五度即用前法但依前图更右为左论之立秋后至秋分日行戊壬弧为天元经度四十五其视行得四十六日三十八刻一十○分其平行四十五度四十四分一十三秒己庚弧也己未庚乗圈角半其弧得角为二十二度五十二分○六秒其己夘辛弧一百八十四度○五分二十四秒即辛未己弧一百七十五度五十四分三十六秒二率俱如前次求未己弦甲未己三角形既得未角以减庚甲己角四十五度得己角二十二度○七分五十四秒(庚甲己角为甲己未)(形之外角必与未己两角并等故减未角得己角几何一卷三十二题)倍之为辛未弧得四十四度一十五分四十八秒以减辛未己弧余一百三十一度为未己弧求得未己弦一八二四五七三六又于未己弧加己庚共得一百七十七度二十三分○一秒求得未甲庚弦一九九九四七八四又己子未形求未子线其法全数(内)与己未弦(外)若己角(内)之正弦与未子邉(外)得六八七三八三三又甲子未形求未甲邉其法全数(内)与子未邉(外)若未角之割线(内)与未甲邉(外)得九七二一○六八庚未弦(一九九九四七八四)平分之得九九九七三九二午未也内减未甲余二七六三二四午甲也庚己未弧与半圈之较二度三十六分五十九秒癸未也平分之得一度一十六分二十九秒乙庚午角也求正弦得二二八二四四乙午线也乙午甲形求甲乙用句股法得三五八三八八即两心之相距又求乙甲午角其法午甲边(外)与全数(内)若午乙边(外)与午乙之切线(内)得八二六○三七四其弧三十九度三十三分为壬丙以加壬戊四十五得八十四度三十三分以减天正象限九十度余五度二十七分为最髙过夏至之数此秋分前数与春分后数较差三分然可不论盖测午正太阳之髙或多或寡所差一分即此算内当差一度今算内差三分则两测中有差三秒者三秒居一度中为三千六百分之三安从觉之若两心之差因此三分之差亦复不合然其较为一千万分中之二十八至微矣右二法皆用天元四十五经度若用天元六十经度则一经度之纬度十二分五十六秒每纬度一分当八刻若用七十经度则纬度一分当十四刻若春分前四十五度秋分后四十五度亦可用但蒙气多难定其确数耳古今测候最髙所得前后各异今录取三家以备参考意罢阁于汉景帝七年壬辰迄崇祯元年戊辰为一千七百七十七年多禄某于晋永和七年庚辰迄崇祯元年为一千五百八十八年所测太阳最髙其法先求夏至之日从天正春分迄夏至其视行得九十四日四十八刻(日九十六)(刻)夏至迄秋分得九十二日四十八刻共一百八十七日以日率求平行则九十四日四十八刻行九十三度○九分九十二日四十八刻行九十一度一十一分如上图甲为太阳本圏心乙为地心丙为春分丁为秋分戊为夏至己为冬至两至线与两分线遇于乙为直角次作乙甲辛过两心线辛为最髙之㸃其戊丙戊丁两弧并之多于半周天则最髙在丙戊丁弧内又丙戊弧大于戊丁则最髙心在丙乙乙戊两线以内亦在春分后夏至前如甲次从甲作庚甲壬癸甲午两直线相遇于甲为直角与丙乙乙戊各平行夫丙戊弧九十三度○九分戊丁弧九十一度一十一分并得一百八十四度二十○分平分之各得九十二度○十分为丙庚丁庚丁庚内减丁戊平行一象限余○度五十九分为戊庚弧其正弦一七一六为乙子句丁庚内减癸庚天正一象限余二度○十分为癸丙弧其正弦三七八○为甲子股用句股法得四一五一为甲乙弦即两心之相距又求甲乙子角其法子乙边(外)与子甲边(外)若全数(内)与甲乙子角之切线(内)得二二○二七其弧六十五度三十五分日躔春分后至最髙之㸃为实沈五度三十五分两心相距为十万之四千一百五十一约之为百分之四以较前第一法所得之数不无互异其较为十万之五百八十一两得数不等其元测必不等然此古法以日躔天正夏至之时刻为根夏至之定时最为难得何者夏至后天元一经度得纬仅一十三秒若北极出地四十度之处用一丈之表测午正日轨髙得二十六度半强其景为千万之四百九十八万五千八百一十六若加十三秒之景应加千万之六十五分约之为十万之六分强通之为六微虽复巧手明目何从觉之又本地本时蒙气之映髙亦得二分四十○秒又天正夏至未确若先后一日即最髙之处及两心相距必前后若干度分以此论之纤芥参差谅无足恠乃愈见斯人之不为牵合斯术之最为密亲矣亚耳罢徳后多禄某七百四十年于唐僖宗广明元年庚子迄崇祯元年七百四十八年测算得最髙在实沈二十二度一十七分(即夏至前七度四十三分)不同心之差得十万之三千四百六十五白耳那瓦于𢎞治元年戊申迄崇祯元年一百四十年测得日躔从春分迄秋分行一百八十六日九十○刻○十分从春分至立夏行四十六日一十四刻○五分从立秋至秋分行四十六日三十五刻○五分因而推算庚己弧此为四十五度二十九分一十三秒(前法为四十五度二十七分三十四秒)行四十六日一十四刻○五分(前法为四)(十六日一十○刻一十○分)己夘辛弧此为一百八十四度○三分二十一秒(前法为一百八十四度○五分二十四秒)行一百八十六日九十○刻一十○分(前法为一百八十六日七十二)(刻三十○分)己未辛弧此为一百七十五度五十六分三十九秒(前法)(为一百七十五度五十四分三十六秒)己甲庚为四十五度角其余己甲未角一百三十五度同前未甲庚线为一九九九二七六八己甲未形有己未边有角求甲未边得九七六四八○三未午为未甲庚之半得九九九六三八四内减甲未得甲午二三一五八一癸未弧三度○四分五十四秒乙庚午角一度三十二分二十七秒其正弦午乙二六九七乙午甲直角形有两边求甲角甲乙边得午甲乙角四度一十五分一十○秒为立夏最髙之度分甲乙边三五四八○七为两心之差其全数则太阳本圏之半径乙夘最髙在夏至后四度一十五分一十○秒(前法为五度三十○分差)(○度一十四分五十○秒)两心差三四四八○七(前法为三五八四一六其较三四一一则一千万分中之三千)(四百一十一分一万分中之三分有竒也)推太阳之视差及日地去离逺近之算加减之算第八按天问畧等书皆言地体居天中止一㸃是也然各重天髙下大小不等各天与地球比例之大小亦不等惟恒星一重天比于向下诸天甚逺甚大以地球较之极微无数可论故测候之家以恒星为求视差之本如上图甲为地心甲乙为地半径丁辛为日躔最髙圏丙为髙冲圏日行在最髙丁人在乙见日躔于外天(恒星)(宗动常静皆是)己壬己弧为其地平上之视髙然从地心测之则壬戊为其地平上之实髙两髙之差为戊丁己角或乙丁甲角若日行髙冲丙从地心测其实髙仍在戊与在最髙丁等则从地面乙视之见日躔于外天庚从乙丙庚线定视髙为壬庚较前视髙壬己为小故大阳之实髙等随时所见视髙不等其视差之数亦不等凡有日轨髙若干度欲定其视差若干先求本时太阳去地逺近之数其法借三大论(论日月地相去逺近及大小之比例)中一则曰以日月食推地径与日轮本天径之比例歌白泥定地半径与日天半径之比例若一与一千一百四十二如上前图甲戊丁为太阳本圏甲为最髙乙为其心丙为地心乙丙为两心之差日在戊甲戊为日距最髙度之弧乙戊为本圏之半径今欲求日地相离之线曰戊乙丙直线三角形有乙戊半径全数又有两心之差乙丙(三五八四一六)又有甲乙戊角之余角为戊乙丙而求丙戊边其法如増图全数(乙丙内)与乙丙边(外)若戊乙丙角余角之正弦(丁丙内)与某数(増图之丁丙边外)又全数(乙丙内)与乙丙边(外)若戊乙丙角余角之余弦(若戊乙丙为钝角其余角为丁乙丙)(此角之正弦为丁丙余弦为乙丁)与某数(増图之乙丁边外)以所得第二数加乙戊半径(増图之戊丁全边)为股第一数为句各自之并而开方得丙戊既得丙戊次以半径乙戊全数为第一率以所倍于地半径之一千一百四十二为第二率以丙戊若干为第三率而求四率为丙戊所倍于地半径之数(见本表)若戊乙丙为锐角其法全数(内即乙丙)与乙丙边(外)若乙角之正弦(外即丙丁)与丙丁(外)亦若乙角之余正弦(内)与丁乙边(外)次于乙戊内减乙丁余丁戊用句股法丙丁丁戊各自之并而开方得丙戊加减差者太阳本圏中平行与视行之差也如上论从天正春分至立夏日行经度四十五其在本圏行四十五度二十七分三十四秒此两行之较为加减差太阳从最髙下行至最髙冲此半周内应减算从最髙冲上行至最髙此半周内应加算如上图外圏为宗动天之黄道与地同心为丙内圏为太阳之本天其心丁有最髙最髙冲之线过丁心若太阳在𤣥枵娵訾降娄大梁实沈春分前后半周平行在实沈初度而视行己至甲即平行算外应加实至甲之弧或丁乙丙角得太阳实躔若在鹑尾夀星大火析木秋分前后半周平行在鹑尾初度而视行才至戊即平行算内减尾至戊之弧或丁乙丙角得实躔凡最髙左右距弧等其加减之算亦等求一即得二丙乙丁角形有丁丙两心差有丙乙日地相离数有乙丁丙角(上图为钝角)而求丁乙丙角为减差其法全数(内)与丁丙边(外)若丙丁乙角余角(即丙丁午)之正弦(即丙午内)与某数(外)又丙乙边(外)与全数(内)若某数(即丙午外)与乙角之正弦(即丙)(午内)若丁为锐角(最髙前后九十度必钝最髙冲前后九十度必锐)其法全数(内丁丙)与丁丙边(外)若丁角之正弦(内丙)(子)与某数(外丙子)又丙乙边(外)与全数(内)若某数(外丙子)与乙角之正弦(内丙子)用前法推各度分之差列表如后求地半径差法同如上丁丙边为地半径丙乙为太阳距地心之数乙甲为日躔距天顶之数丁乙丙为视差角而求乙角为视差之数其法全数(内)与丁丙边(外)若甲丁乙角之正弦(内)与某数又丙乙边(外)与全数(内)若某数(外)与乙角之正弦(内)简表得其度分以加所测之数加者视髙小于日髙也论日差第九称日者日行一昼夜循宗动一周而复于元界也其界为子午圏或地平圏用子午者以子正或午正时起算用地平者以夘正或酉正时起算也日分十二时九十六刻然其实行度分日日不等如太阳甲日午正在天正春分一㸃乙日午正春分㸃行天一周满经度三百六十而太阳尚不及者一度既至则春分㸃已去离一度太阳更东行一度而后成为一日此一度者有赢有缩日日不等绝非平行故步日躔月离经纬诸星凡称日者皆不用赢缩之日而用平日平日者行赤道一周并太阳一日之平行为三百六十度五十九分○八秒一十九微也(见本表)新法算书巻而十四
## 卷二十五
钦定四库全书
新法算书卷二十五 明 徐光启等 撰日躔表厯元后二百恒年表说厯之有元也其可考者自汉四分厯始也四分之岁实小余为二十五刻故上推前古之甲子朔旦冬至仅积一万余年止耳后世小余之分愈细积年之数愈多或至三亿八千万有竒宏濶迂逺大而无当矣厯之不用积年也自郭守敬始也其法随时推测以至元辛巳为厯元其气应为五十五日六百分气应者从本年冬至时刻上溯至甲子日子正初刻以为厯本至今宗用之不可复易有欲仍用积年者谬也岁实之有上长下消也亦自守敬始也彼见四分之小余为二十五刻后来积渐后天修厯者七十余家因之积渐减率无骤减者亦无减而复加者是皆随时测算所得不可谓千余年间悉皆妄作也故因宋之统天厯减为二十四刻二十五分是亦当时测候推算以为宜然又自汉至元一千二百余年而减七十五分以前凖后故曰上推则百年长一分下推则百年消一分也元统修大统厯悉用守敬之旧而独弃消长一法岂以有消无长消于何止耶且或实见当时用郭之法未免先天是以坚持其说李徳芳争之而不得也然徳芳误以一分为一日则亦安能与统争乎自是以来二百五十余年悉不用减分而所推各年冬至未见后天使元统而在得无自诧以为去之诚是耶然而非也厯自四分以后代有改修亦代减岁实何独此三百年中不应复减恐天行之数非长则消决无中立之理且自元统以来未尝实行测验安见其不应复减而前此七十余家渐次减率者皆妄作也是则守敬消长之说必不可易而近世有尊用其法者减岁实小余二十四刻又二十二分以之推算谓大统冬至实后天十刻许似可为定法矣然而又非也今推算冬至定时验以实测则大统冬至实先天十刻许比之减实推步者共差二十刻许反不若大统之不用消长犹为近之奈何可为定法耶于是有谓岁实不宜消减更宜加增因用金赵知微重修大明厯所定岁实小余为二十四刻三十六分推算冬至以为䑓厯气差九刻夫岁实既加则节气必在大统之后不惟断弃守敬之法并近年尊用郭法者亦遽尔背驰计非本于测验何从得此然而又非也天之道浸既已浸差浸减减至于今消极而长绝无端倪安得改消为长又骤长至十分以上则千五百年间独知微为是而前后减率者七十余家又皆妄作也无是理也展转皆非则何道之从而可曰论岁实实应渐减则守敬为是而二四三六墨守其故者为非论正节䑓厯实未后天则改用大明者近是而十刻二十刻失在先天者为非然一前一后既相去若干刻燕越苍素何从得合而有定法也夫天行之数不能为僣差又不能无叅差僣差者如元史所称日度失行必不然也无叅差者如测定岁实即千百年永永如是亦必不然也葢正岁年有二法一为平岁一为定岁如月之有平朔定朔平望定望者然非惟岁月日亦有之向之气应起算积岁平分所得前若干刻者平冬至也消实之说近之更以加减差分并入平数乃得后若干刻者定冬至也加实之说近之平冬至者测定春秋二分总计平行度分折取中数然日轨尚髙纬度犹北晷景亦短故称平不称定也定冬至则日轨最下纬度极南晷景甚长然多寡之数岁岁不同有加减可推无恒率可据故称定不称平也有此二者即气应通积之法于正节之理殊为未尽惟以有恒率之平岁为根以加减差定之然后差而不差非齐而齐矣向之言消言长各见其一不消不长者又执子莫之中皆未闻加减之术故也夫月以朔䇿为平朔用迟疾视差等加减之年以岁实为平年用宿行最髙等加减之日以一度弱为平日用嬴缩升度等加减之其一理也乃汉刘洪造乾象厯已知定朔而定年定日至今未喻者月无定朔有日食可验定年定日无事证可明也然如前三说展转俱非安得不有此术一为之剖析㢤后此数百年岁实愈消加减愈多此术愈不可少苐消者必有时而长减者又有时而加则非今日所能豫知故当究极理数以为千数百年后来作者增修之地耳新法(依百分算)定用平行岁实为三百六十五日二十四刻二十一分八十八秒六十四微以崇祯元年戊辰岁为厯元作二百恒年表表中书纪年度分者平冬至之根数葢是本日夜子正四刻以前上溯至平冬至时刻之日躔度分与气应同理者也其最髙冲度分者是加减差所用合于加减差表依法推算则得定冬至也其宿纪日者是年之冬至次日若加差满一日则为本日也今先列求天正冬至法四气时刻约法及日躔经度法次列其立成表如左求天正冬至时刻欲求来年天正冬至于来年太阳平行根表内取根数以减日平行(五十九分○八秒二十○微)所余为太阳之经数以此经数加于本年之最髙冲数为引数以此引数于加减表内求均数以此均数与经数并变为时刻分得今年根日之前一日某时刻加日差八分为太阳躔冬至一㸃之时刻(若所得时满一日二十四时之数则不用根之前一日而用本日如后苐二假如)如崇祯戊辰年求来年己巳之天正冬至其平行根三十九分一十六秒一十七微以减日平行五十九分○八秒二十○微余一十九分五十二秒○三微为太阳之经数也经数从冬至前子正初刻起算加本年之最髙冲六度○○分四十四秒得六度二十○分三十六秒○三微为引数以此引数于加减表内求其均数得一十三分五十二秒二十○微以加经数一十九分五十二秒○三微共得三十三分四十四秒廿三微于度分变时刻表内求得为一十三时十二分○九秒根前一日为井癸未命是日子正后未初初刻十二分○九秒加日差八分为未初一刻○五分二十九秒为己巳年天正冬至又如崇祯庚午求来年辛未冬至其平行根一十分三十七秒三十三微以减日平行余四十八分三十○秒四十七微为太阳经数以加最髙冲六度○二分一十四秒得六度五十分四十五秒为引数以求均数得一十四分五十七秒以加经数共得六十三分二十七秒四十七微变为时九十六刻外余三刻○五分○秒加日差八分共为三刻一十三分二十秒根数本日为星甲午命是日子正后三刻一十三分二十秒为辛未年天正冬至(乙最髙冲)如上图甲乙线为黄道之一弧查日平行最髙冲表有平冬至与相距之数丁乙线也有(甲初日子正) 子正甲丙线也(五十九分○八秒二十○微)今所求者为初日子正至本日或次日定冬至之甲戊线其法查表取根数丁丙以减日平行甲丙所余为太阳经数甲丁以加于本年之最髙冲丁乙得甲乙为引数次于加减表内查甲乙之均数得丁戊次于本表查号或加或减此求系加号则以丁戊加于经数甲丁得甲戊以变时刻加日差为定冬至若根数少或均数多则定冬至或在次日子正后如次戊求二十四节气日率(节气日率有平有实如太阳行有平有实平者为天周二十四分之一实者太阳行某宫节之日率也今用实)天周分为三百六十平度以分四正宜四平分之各正得九十度四正者天上四㸃太阳在此其行有变如冬至极南之处太阳一底其界即囘北故名曰至又为昼极短夜极长之限夏至为其冲其底北界亦如是又为昼极长夜极短之限春秋二分太阳过赤道分天平分处也故昼夜平四正各分为六节毎节有十五度共二十四节气若从冬至加十五度得第二节气冄加十五度得第三递加递得俱依此法一节气各相等数皆为十五平度其日数则各不同(所以然者)(见日躔厯指)又毎节气之日数年年亦自不同(为最髙行与两心差等故)然二三十年之差总计不过一时故所算节气日率多年亦自可用法曰先定某节气距冬至度数次查周岁平行表中(日躔表一)(卷)度分横行求本节气小近度分内减本年最髙冲度分为引数查加减表得均数以本号于节小近数或加或减得数为某度乃某日数太阳所行之度(查表中行有度上行)(有日数凡取度须识为某日之度)若合于节气度数者所得日数为某节气之日数若盈或缩则相减以较数变时(以本日太阳距冬至)(日数查细行变时表见本表说)若实行过节气度即以所得时分减日数若实行不及即以所得时分于日数并加之又查日差表本节气下或加或减日差分而得从冬至到某节气日数若干以算节气皆从冬至起若节气日率相减得各节气之日数又以冬至时刻加于节气日率得某年某节气在某日某时假如崇祯五年癸酉问从冬至到小寒日率若干周岁平行表中求小寒小近度数本数为十五度于十五日下得十四度四十七分○五秒减去本年最髙冲行六度四分余八度四十三分为引数查表得均数为十九分○一秒号为加加之得十五度六分六秒乃太阳冬至后十五日所行之度分也因过节气度数当相减其较为六分六秒于变时本表中(此时太阳一日行为六十一分十秒)(即表中本行求六分小近数)求时(先遇五分六秒得二时又少一分或作六十秒求之遇五十八秒三)(十八微得二十三分又少一秒二十二微因表数无一秒或作八十二微求之遇七十六微尚少于原数以第)(一数递加之得三十二秒并之得二时二十三分三十二秒)得二时二十三分三十二秒以十五日内减之得十四日二十一时三十六分二十八秒乃太阳从冬至到小寒日率也二假如本年求大寒于周岁平行表三十日下得二十九度三十四分十秒减最髙冲六度四分余二十三度三十分十秒为引数查表得均数为四十九分五十六秒并加于经度得三十度二十四分○六秒以节气三十度盈其较为二十四分○六秒变时(大寒距冬至三十日则一日视行为)(六十一分本表中求二十四分元遇二十二分五十七秒得九时又少一分十九秒或六十九秒入表遇六十)(八秒三十六微得二十七分强)得九时二十七分强三十日内减之得二十九日十四时三十三分弱乃太阳从冬至到大寒日时率也以小寒节气日减大寒日率余十四日十六时五十六分三十二秒乃太阳从小寒到大寒日时之率也三假如求本年立冬距冬至日时若干周岁平行表求立冬度数三百一十五度即三百一十九日下遇三百一十四度二十五分十七秒二十六微减去最髙冲六度四分余三百○八度二十一分为引数查表(十一宫八度度数在)(下行)得一度三十七分四十三秒号为减减之得三百一十二度四十七分三十五秒即太阳三百十九日未到立冬少(以满三百十五度)二度一十二分二十五秒即冄试加二日即三百二十一日下得三十六度二十三分三十四秒减六度四分得三百一十○度十九分查表得一度三十五分二秒减之得三百一十四度四十八分三十二秒以满节气度数少十一分二十八秒变时得四时三十三分强即于日数加之(因得数不满节气数宜加)得立冬节气距冬至(顺天等处)为三百二十一日四时三十三分四假如未来甲子年(距厯元为五十六年)求小寒日时法如上十五日下得数内减去甲子年最髙冲行六度四十二分余八度○五分五秒引数也求均数得十七分三十八秒其号为加加之得十五度四分四十三秒所余变时得一时五十一分减之得十四日二十二时九分比先算癸酉年差三十○分有竒若算厯元后一百五十年戊戌得最髙冲行为七度五十二分半减去于十五度余七度七分半为引数查表得均数为十五分三十三秒加之得十五度○二分三十八秒变时得○时五十八分十五日内减之得十四日二十三时二分乃当时太阳从冬至到小寒之日率也求太阳交节时刻法以某年平冬至纪日及时刻加节气日率得节气纪日及时如第一假如崇祯癸酉年平冬至在甲辰日子正后七时○三分(根数为四十一分十七秒○十九微以日平行减去得十八分一秒变时为七时○)(三分乃平冬至也用前一日纪字及宿)加小寒日率即十四日二十一时三十六分二十八秒得己未日子正后四时三十九分太阳到小寒之日时刻也他倣此厯元戊辰年二十四定节气日率(凡时系小时所得日时刻乃从平冬至起算)推小寒气策十四日二十一时三十三分(加日差一分半)推大寒气䇿二十九日十四时三十二分(减日差五分)推立春气䇿四十四日○九时○五分(减日差八分)推雨水气策五十九日○四时五十二分(减日差七分)推惊蛰气䇿七十四日○三时四十四分(减日差五分)推春分气策八十九日○五时四十六分(日差○○)推清明气䇿一百○四日十一时○八分(加日差四分半)推榖雨气䇿一百一十九日十九时五十五分(加日差八分半)推立夏气策一百三十五日○七时四十八分(加日差十一分)推小满气策一百五十日二十二时三十五分(加日差十二分)推芒种气策一百六十六日十五时二十七分(加日差十分)推夏至气䇿一百八十二日○九时三十三分(加日差六分半)推小暑气䇿一百九十八日○四时○八分(加日差四分)推大暑气䇿二百十三日二十二时十五分(加日差二分)推立秋气䇿二百二十九日十四时三十五分(加日差三分)推处暑气䇿二百四十五日○四时五十五分(加日差六分)推白露气䇿二百六十日十六时○八分(加日差十分半)推秋分气䇿二百七十六日○时○七分(加日差十六分)推寒露气䇿二百九十一日○四时四十九分(加日分差二十 半)推霜降气䇿三百○六日○六时○八分(加日差二十四分)推立冬气䇿三百二十一日○四时三十一分(加日差分二十四)推小雪气䇿三百三十六日○时二十九分(加日差二十一分)推大雪气䇿三百五十日十八时十二分(加日差十五分半)推冬至气策三百六十五日一十时五十九分(加日差八分)求各处节气时刻及日躔度分右上法所算躔官度分皆顺天府或南北同经度等方也若在东或西不得相同法于左依法算节气时刻若徃东一千里(广舆图总图毎方五百里南北同行谓同)(经度东西同行谓同纬度若某地距顺天府一方即五百里差二度若距二方即千里差四度三方四方如此)(在南在北则不拘)或二度变时得八分(变时法一度为四分十五度一小时度之一分)(为时之四分有表见测夜时卷中)即以所得节气时加八分若往东距二方则加十六分毎方八分又若某方在顺天府西一方宜减八分距二方宜减十六分若舆图细分即宜细算如图上登州在京师东为二方半宜加二十分置癸酉年冬至为甲辰日午正外三十八分(崇祯五年算)加二十分得登州为午正外五十八分又按图西安府在京师西三方半得二十八分减之得冬至在午正刻外六分他处倣此若欲某处某时算日躔则以设时刻又设某处距顺天若干分在东者两数相减之在西者两数相加之得时依法求日躔之度分随时求太阳所躔经度分于本年从冬至起表内取平行经度及最髙冲度两数又于太阳周岁各日平行表内以所设日距根之日数又于前取其两数若设时又于时刻细行表内取数以所得三数各就本类并为两总数以两总相减得较为引数次于加减表内求其均数依本号或加或减于经总数所得即为太阳本日本时之度分如崇祯四年辛未正月初一日子正初刻求日躔度分查正月初一日为女乙亥距根四十一日于各日平行表内求其本行得四十度二十四分四十一秒三十三微其最髙冲五秒又夲年辛未之根数一十○分三十七秒三十三微其最髙冲六度○二分一十四秒因子正初无时数各数并得经总四十度三十五分一十九秒得最髙冲总数六度○二分一十九秒两得数相减存三十四度三十三分○秒为引数次查表取其均数一度一十○分五十三秒以加于经总数得四十一度四十六分一十二秒得𤣥枵一十一度四十六分一十二秒即太阳本日本时之躔度也求太阳躔宿度分算太阳躔黄道宿度(日躔黄道即宿度宜用黄道上之度分若欲赤道亦用赤道距星度各有解)法置太阳所躔官度分查距宿表本宫(日躔之宫)小近宿数相减其较数即太阳所躔某宿度分若夲宫小近宿度比所躔为大而不能减者即用前宫小近宿数以其宫度分减三十度内所余与太阳所躔经度并之得某宿度分乃太阳所躔之度也如置太阳躔鹑火宫二十八度三十七分查鹑火宫小近数得星宿二十二度○九分相减得较为六度二十八分即得太阳所躔在星宿六度二十八分也又如太阳躔𤣥枵一度三十八分查𤣥枵宫小近数即无小近(葢女宿有八度比日所躔为大)用前宫小近宿得牛二十八度五十四分以满三十度(一宫度数)少一度○六分并加日所躔𤣥枵一度三十八分得二度四十四分为太阳在牛宿二度有竒十二宫距宿表乃崇祯元年所算者因星行厯元以后毎年加五十一秒十年加八分三十秒二十年加十七分○○秒若欲求赤道上宿度分先将恒星厯指所算本年各星赤道上距度立成表又以日经度求同升赤道度数为度查表(如上)算二百恒年表根法置崇祯元年平冬至分秒(测数见日躔考中)又置岁实三百六十五日五时四十八分四十五秒因厯元恒在冬至后第一子正时即不满一岁但用三百六十五日之年岁则以一日太阳平行五十九分八秒一十九微四十九纎乘三百六十五日得三百五十九度四十五分四十秒三十八微即与前年根数加之减全周三百六十度所余为次年厯元根若总数不满天周宜加三百六十六日之行而减全周如崇祯元年戊辰厯元根宿次为井纪日为己卯本日子正顺天府太阳平行在星纪宫初度五十三分三十五秒三十九微加三百六十五日太阳行即三百五十九度四十五分四十秒三十八微得三百六十度三十九分十六秒十七微减全周得某日子正太阳过冬至到星纪初宫三十九分有竒又与井宿字加一得鬼又以己卯纪日字加五字得甲申则鬼甲申日子正太阳在星纪宫三十九分有竒己巳年岁厯元也又如崇祯四年辛未宿为星纪日为甲午根数为十分三十七秒三十三微若加三百六十五日所行度分得三百五十九度五十六分一十八秒一十一微而不满天一周则用三百六十六日之行加之得三百六十度五十五分二十六秒三十一微减去全周余者为第五年壬申之根又以宿星加二字得翼又以纪日甲午加六字得庚子乃壬申年翼庚子日子正太阳过冬至五十五分有竒宿字为二十八若以二十八除三百六十五(日数)得十三余一故凡用三百六十五日法曰加宿一字得来年根日之宿若用三百六十六日法曰加宿二字葢三百六十六以二十八除之余二纪日字六十即以六因之得三百六十以满年日数少五故法曰纪日字加五若用三百六十六日宜加六凡用三百六十五日谓之平年用六十六日谓之闰年葢多一日而闰之表厯元以后算二百年若欲往前反算之约法先以三百六十五日行减全周三百六十度余十四分十九秒二十二微即以元根减之葢或加三百五十九度四十五分减全周或减三百五十九度四十五分所不满天周之差所得无二若减不足借六十分而减十五分十一秒二微乃三百六十六日行以满三百六十一度之较也凡不足减而加一日为之闰年太阳细行简法算表置天正冬至在子正初刻用周岁表求一年之细行乃简便㨗要之法本表有四直行是四类数一为日数从冬至起二为太阳平行积数三为细行积数四为一日之行乃此表之本数也用法以某年冬至子正太阳所躔之分数另列而以冬至后子正毎日经行度分递加之乃得一年细行推月离及土木火三星用太阳毎日实行表即第三行金水及太阳以算其细行皆用平行即第二行推节气入宫之时用日行分即第四行新法算书卷二十五
## 卷二十六
钦定四库全书
新法算书卷二十六 明 徐光启等 撰日躔表卷二日躔表加减算算加减表说假如太阳距最高三十度求加减度法(全图见日躔厯指今用半图)如图日距最高甲为三十度至乙丙戊两心差为三五八四折半于辛为一七九二作丙乙辛辛乙戊线 乙丙辛形有丙辛一七九二有乙丙全数十万有丙辛乙角三十度从丙作丙丁垂线于辛乙分元形为二 一为丙丁辛 一为丙丁乙两三角形丙丁辛直角形有丙辛边一七九二有辛角三十度辛为心丙为界作弧以辛丙为全丙丁为辛角之正弦辛丁为余弦法全数十万(内)与丙辛一七九二外若辛角正弦五○○○○(内)与丙丁八九六外全与丙辛若辛角余弦八六六○三与辛丁一五五一次以乙为心丙为界作弧乙丙为全丙丁为乙角之正弦丁乙为乙角之余弦查表得乙角三十分四十六秒乙丁边九九九九六乙丁丁辛并之得一○一五四七为乙辛边 乙辛戊形有辛戊一七九二有乙辛边一○一五四七又有乙辛戊角三十度之余为一百五十度乙辛引长作戊丁垂线成辛丁戊直角形夫形有辛戊边一七九二有戊辛丁角为钝角之余三十度辛为心戊为界作弧定戊丁八九六为辛角之正弦辛丁一五五一为余弦法全与辛戊若辛角之正弦与丁戊或余弦与丁辛次以乙辛辛丁并之得一○三○九八乙丁戊三角形有乙丁边一○三○九八有丁戊边八九六求乙角与乙戊边 乙为心丁为界作弧定丁戊为乙角之切线 法乙丁一○三○九八与全若丁戊八九六与乙角之切线八六九查表得二十九分五十三秒两角并之共得一度○分三十九秒为甲乙距最髙三十度之加减均数如表假如太阳距髙冲三十度求加减度法乙丙辛形有丙辛一七九二有乙丙全数乙辛引长作丙丁垂线成丙丁辛直角形夫形有丁辛丙角三十度为丙辛乙之余有丙辛边求丙丁丁辛辛为心丙为界作弧定丙丁为辛角之正弦辛丁为其余法全与丙辛若辛角之正弦与丙丁八九六余弦与丁辛一五五一丙丁乙大形有丙乙为全数十万丙丁八九六求丁乙边及乙角乙为心丙为界作弧定丙丁为乙角之正弦因丙乙为全数以丙丁查正弦表得三十分四十六秒为辛乙丙角又取其余弦为九九九九六乙丁丁乙内减丁辛一五五一余九八四四五为辛乙辛戊乙形有辛戊一七九二有辛乙九八四四五及戊辛乙角三十度求辛乙戊角从戊作戊丁垂线分元形为两直角形辛戊丁形有辛戊及辛角以辛为心戊为界作弧定戊丁为辛角之正弦辛丁为其余法全与辛戊若辛角之正弦与戊丁八九六余弦与辛丁一五五一辛乙内减丁辛得九六八九四为丁乙丁戊乙形有戊丁八九六有丁乙九六八九四求乙角乙为心丁为界作弧定戊丁为乙角之切线 法丁乙与全若丁戊与乙角之切线算得九二五查切线表得三十一分四十四秒为戊乙辛角戊乙辛辛乙丙两角并之得一度二十分三十秒为太阳距髙冲三十度之加减均数如表太阳周岁细行变时表说太阳之行度有二一曰平行即一日为五十九分○八秒有奇一曰自行(自行亦名视行又名实行细行)自行有大有小极大者为六十一分二十秒极小者为五十七分六秒(见周日细行表)置太阳细行表法取自行之极大者六十一分二十秒逓减半分迄五十七分六秒而止共十类成表(如六十一分六十分)(三十秒等)算法以二十四时化微为实以细行分秒化微为法而一得日行六十分对时之数各半之再半又以约法收之微收为秒秒收为分分收为时故设表有日行分其对又有时分秒微也查表法凡有太阳所行之分数命变时则以本日细行分数取本表又以所行之分数向右行日行分下求其相当数之对即得其时分也若元数尚有秒则命右行分为秒其所得亦为分秒微亦如之假如崇祯戊辰年算冬至得距子正为三十三分四十四秒二十微命变时查冬至表右行求三十三其时为十二时五十四分四十六秒五十七微又查四十四秒得十七分一十三秒三微再查二十微得七秒四十九微并之共得十三时十二分○七秒四十九微若所设日细行与表上方日行不合则用其相近数若欲得细数则取其多寡两数用中比例法然所差不能过秒其数极微故不细录又如戊辰年算立夏得距子正三十八分五十六秒五十七微命变时因立夏日距冬至为一百三十五日用一百三十一日表向右行查三十八分得十五时四十三分二十六秒五十三微又查五十六秒得二十三分十秒二十一微再查五十七微得二十三秒三十五微并之共得十六时○七分○秒四十九微反之以时求分则于本日细行表中行求所设之时得右行之相对数为分若中行无设时用近小数取其分又以设时及近小两数较之再查中行数右行得秒又用近小数再求之得微并之得行之分秒微假如有时积一十四时二十九分○五秒一十二微而求太阳之平行分则于本表(无本表则相近表为五十九分可用)中行取近小数即十四时十四分十四秒十四微其右行有三十五分又以设数与近小数较之为十四分五十秒五十八微以十四分查中行之相近数右行有三十六秒又有时之十二秒查得三十微并之得三十五分三十六秒三十微日差表说测太阳行度以春分为本因春分时无分平日用日(太阳两行)(略同)故从春分起算立日差表日差所以然者其故有二一太阳平视两行差一两道正球升度差然求四正日差其故仅一盖四正时两道正球升度无差故免日差之一根夏至求日差则两行差为一度五十分(夏至在最髙前约六度则从春分至)(夏至为八十四度除分秒不算求均数得十三分以二度三分全均数或春分均数内减之余一度五十分)乃黄道上从春分至夏至两行之差因时刻用赤道度则求春分左右黄道一度五十分得赤道同升一度三十八分(均数大差在春分故用春分左右升度)变时(赤道一度为时之四分度之一分为时之)(四秒)得六分三十六秒约半分如表平行小视行大故表用加号加于平时得视时秋分则从春分起算两行差为四度六分变时得十六分二十四秒(不及三十秒故不算)如表平行小视行大故亦用加号冬至未到最高冲(两行无差之限)相距亦约六度均数为十三分宜与二度三分全差加之得二度十六分查赤道升度得二度○五分变时得八分二十秒(不满三十秒故不算若欲微数秒亦)(可用)号曰加立夏均数(从最髙起算)为三十六分赤道上为三十三分减去春分两道升度差十三分余二十○分(两行之日差第一根也)又黄道四十五度(立夏㸃)得赤道同升为四十二度二十九分其较为二度三十一秒(赤道升度小则用日为大平日为小宜加又平行大)(则用日小亦宜加)以两故之两数并之得二度五十分变时为十一分十六秒其号为加立春均数其两行差为三十五分(从最低起算)赤道上为三十三分(平春分两道差为十三分今不算盖春秋分两数相均)又立春赤道上得四十七度二十九分(从冬至起算)其盈黄道数为二度二十九分而与升度日差两数相减(平行大视行小其差宜加于平日赤道数)(大黄道小宜减则两数为异类也因均法相减当从实数之号)得一度五十六分变时为七分四十四秒约算八分其号为减各节气算表如上若用古世两行大差或黄赤两道各大距度(从古各法距度不同)或最髙距夏至多寡直再算作立成首直行为十二宫次行为节气首横行为宫度用法置所算太阳经宫度及节气(所算经度皆平日度)视所置首直行宫节与首横行度数横直相遇得差数查本号与平时加减之得用日时如癸酉年冬至算得十二时三十一分半查本表冬至得八分号为加加之得三十九分为用时若以某用日时刻求太阳经度先约得日躔宫度入表得数反用其号加减之得平时可算太阳之平经度(其假如见)(日躔厯指)清蒙地半径表用法清蒙气说见日躔厯指第三其用表法先测得日轨高若干度查表得本度下之清蒙分秒以减日轨高得日躔地平上之实高如日轨高十六度查表十六度下得清蒙七分以减十六度余十五度五十三分为日躔地平上之实高地半径说见日躔厯指第八其用表法先测得日轨高若干度次视本日最高三距如夏至左右三宫属最高春秋分各左右三宫属中距冬至左右三宫属最高冲于日高度下查本距日之地半径分秒以加日轨高得日躔地平上之视高如夏至测得日轨高十六度属最高查表十六度下得地半径差二分四十七秒以加日轨高得十六度二分四十七秒内减清蒙差七分余十五度五十五分四十七秒为日躔地平上之视高其法以此差率减所测视高度分得实髙度分新法算书卷二十六
## 卷二十七
钦定四库全书
新法算书巻二十七 明 徐光启等 撰黄赤正球巻一之二黄赤道距度表用法黄赤二道各有二极亦各平分天体日躔黄道于春秋二分则二道之交也于冬夏二至则去二道最逺故名南北至焉二道相去南北度分是为距度即赤道之纬度二至之距二十三度三十一分三十○秒二分之日则无距度二分以后日日加多迄至而极二至以后日日加少迄分而极厯家计日立差作距度表今述其用法一二如左一用太阳午正髙之经度求极出地之度如太阳躔大梁初度午正髙六十度查表得大梁初度之纬一十一度三十○分四十三秒因在北六宫应减则以纬度减日髙余四十八度二十九分一十七秒为本地之赤道髙度以减象限余四十一度三十○分四十三秒为极出地之度若太阳在南六宫应加则以纬度并日髙为赤道度二有极出地之度求太阳之经度如顺天府极出地三十九度五十五分其余五十度○○五分为赤道髙测得午正日轨髙三十度以减赤道髙其余为本日太阳之纬度于表中查其纬度之相当数得某宫度分为本日太阳之经数(见厯指一卷)三以赤道经纬度推五星恒星之经纬度(见恒星厯)四以纬度推日月食之分数多寡(见交食厯)五以造简仪日晷等诸图诸器(有本论)大梁宫大火同 鹑火宫𤣥枵同实沈宫析木同 鹑首宫星纪同实沈宫析木同 鹑首宫星纪同黄道经度 距纬度 (差) 黄道经度十度十分 十度十分十秒 (分十秒) 十度十分三十初○ 二三三一三○ (○○一) 初初○升度表用法升度者黄道与赤道同升之度也七政皆依黄道行然赤道平分天体一定不易黄道则出入其内外迤斜交络故两道之升降南北相望其度分参差不齐不齐之中又分有无多寡测验之法于一岁周计各日二道同升参差之数为升度立成表推歩者所必须也升度有二一曰正同升一曰斜同升正同升者推各日天体中两道参差之数而以赤道为主故又名赤道上之黄道升度此则二分二至皆为平等其余日不等也斜升度者天体则一而两极出入地平诸方各异故两道之升降于地平亦诸方各异极出地度数愈多其升度愈斜此则春秋二分独为平等余日皆不等也正升止有一不得有二故设表一岁周而止斜升则毎极出地一度当为一岁周表今自一十六度至四十五度止则南包海外北逾绝漠矣都为七卷仍畧举其用法一二如左用正升一定平日定日之差平日者子正至子正凡百刻也定日者太阳一日东行一度弱又有加减差日日不同故名定日其二率之差亦日日不同也二定黄赤二道相望同升之度分三测两曜相距之度分四测星以定时刻用斜升一定诸方昼夜长短时刻二定逐时黄道出入地平之宫度分三随时求某星或见或隐或东或西所躔宫度分黄道交极圏角表说极圏者乃出赤道两极球上大圏也此圏交赤道必作直角葢出其极故也若交球上他圏或作直或作斜如交黄道则亦作直角如两至两极圏交黄道皆作直角两至外皆为斜角如子午圏时圏等观浑球可见今借用测量全义八卷四题之图及法甲乙丙球上形甲乙为赤道一弧乙丙为黄道一弧两道相交于乙乃春或秋分一㸃甲丙为极圏一弧定甲乙相距若干丙角为黄道与过极圈交角夫角或钝或锐所用者为锐如丙推算角之度分而成表见七卷四设表上下有天宫次其旁有度上宫用右度下宫用左度凡有黄道宫度入表本行上右相遇之数为交角之度分其用见交食厯指六卷中新法算书卷二十七
## 卷二十八
钦定四库全书
新法算书卷二十八 明 徐光启等 撰月离厯指卷一步七政次月离者何也曰其故有六月与日视体相若虽偕恒星五纬同借日光而独能继照古今以之配日称为二曜则尊于诸星一也太阳以定春夏秋冬而成岁太阴以定晦朔弦望而成月岁与月错综损益厯法兴焉以知天时以授民事二也日食于定朔月食于定望恒用日躔月离诸行以求食分加时日食之繁倍于月食其三视差皆从月生三也太阳五纬恒星渐次髙逺差数渐微大小髙下难可遽得惟月去人最近差数为大易见易测故测候诸曜皆用月差较量繇显入微悉能推见四也日与星不并见欲测太阳躔度距某星几何无法可得古法于昼时测日月之距至夜测月星之距并之得日星之距五也大圜之中百昌庶物生长之縁有二日以暄之月以润之诸风云雨露霜雪等皆系于月其在物也各有盈虚消息亦系月之亏复进退其与太阳经纬诸星或㑹或冲或三合四合六合各有顺逆承制之理测候推算之法医家借此以工治疗农家借此以爰稼穑商贾借此以行舟泛海六也(上五则有关厯学者书中略已论述)(后一则各有本学兹不备著)有此诸端故推步之法宜求宻合而欲求宻合政复未易如日躔之行止有三种月离则有七种参错之中欲求齐一非明理无以立法非立法无以致用其曲折繁细十倍日躔矣乃胜国至今此学湮废星官家徒𫝊旧法若求其立法之原与乖违之故即无片言只字可资考证好学者偶一测验偶一致思便欲轻言改作不复究本来之条贯求目前之徴实计后世之变迁譬如勺水于河曷甞溯源于星海穷委于归墟者哉今据西法译该厯指四卷阐理著数似觉井然厯表四卷条画分明以步月离经纬度比于旧法可省工力三分之二以步交食可省四分之三其为宻近似复胜之且令数百年后据兹义指得以改宪求合焉谨论列如左月离各种行度第一月离行度与日躔异日躔恒依黄道其行度三而已随宗动天西行一也自行二也最髙行三也若月离则有七种行度如左一曰随行随行者自东而西依宗动天一日一周七政恒星共繇之其起算之界为子正初㸃或午正初㸃与太阳同二曰平行(一名本行)平行者月之本天自西而东日平行一十三度有竒二十七日有竒而行天一周其界有二一以太阳为界从合朔起算每日去离太阳若干度分以命太隂之本行度分累积之一以宫次节气为界(宫次如降娄大)(梁等节气如春分秋分等)从各初㸃起算每日去离若干以命太隂之本行度分累积之此行谓之交周满一周为交终其初交曰正交其次交曰中交其行各及半曰正半交曰中半交 其两界命两种行度分异名同理详下方三曰自行(一名本轮旧名小轮也因小轮非一故改名之)自行者太隂之行不平不顺有时疾有时迟既尔纷纭无凭布度古厯因想近月四周有一本轮太隂既随本天循交道(即白道)东行(右旋)又依此轮自东而西(左旋)一日行十三度有竒二十七日有竒而行轮一周此亦平行也而与交道平行参错不一所以下土视之时疾时迟矣因其疾迟以别于交道之行故彼名平行此名自行也既曰周行本轮则疾时与交行相合迟时与交行相背亦宜如五纬之法有逆行度分此独言迟不言逆者月行甚疾但见其迟不见其逆也此周谓之转周满一周为转终分四象限首限曰正转二限曰正半转亦曰本轮之最髙三限曰中转四限曰中半转亦曰本轮之最庳曰最髙冲(或省日髙冲)行最髙极迟行最庳极疾也(最髙最庳之一周又名不同心圏其与本轮异名同理详)(见下方)四曰次轮次轮者太隂之最髙既依白道行则月离最髙时其距地心之逺近宜等迨测之则时时不等古厯又想本轮之周复有一次轮循本轮左旋月在次轮之上循周右旋也此法古厯所未有以意命之其行次轮一周名为次转终也四分之则为小四象第一名正初象第二名正半象第三名中初象第四名中半象也五曰交行交行者从测候见太隂行白道(古法月有九行殊谬元授时厯)(废不用独言白道交周是也一名月道)出入黄道约五度有竒不行黄道中线(何名黄道中线七政恒星皆循黄道行而六曜皆有出入如太白最逺出入约六度故黄道左右广)(十二度名为黄道带而太阳独行其最中故名中线也黄道一名躔道)而两交于中线两交之㸃一名正交(亦曰罗㬋)一名中交(亦曰计都)两交之行自东而西与他行异亦名罗计行度也六曰又次轮古来无有也万厯间西史第谷测候极宻得太隂行两小轮(其一本轮其一次轮)其各两半时(两小轮各有正半中半)之两均数与实测之度分往往未合故知次轮而外当有又次一轮此之为数微眇难分其于厯法未关损益故无暇及也七曰面轮面轮者太隂既依本轮又依次轮各周行即月面宜恒向次轮心下土所见时时旋转须当不一若之何终古恒如是故当复有本行使面恒下向也此亦未关疎密不复备著测月平行度第二测月之法于七政为最难其故有六其一月天最小距地甚近即地球与其本天有小大之比例乃测器之心不居地心而居地面则所得月轨髙乃地面之视髙非地心之实髙也(此在日躔厯指谓之地半径差)其二有地球与月天之比例乃可推地半径差既得地半径差乃以加所测之髙定其实髙不先得此无縁得彼其三凡得各曜之髙必减清蒙之髙以定实髙各曜之蒙差髙下不等测月者未知距地若干即无差数可减所测髙则非实髙其四月体恒亏缺不全若用太阳法令其光过窥表即虚淡难见光体不圆亦无从得其中心之光若目察窥表见月体不全无从测其心其五若测以地平经纬仪或黄赤道经纬仪纵得其经纬度分又以三视差故测得之数无一合者(三视差见交食厯指)其六依测日星法以恒星测验推算而得其经纬度似可用亦因三视差故无一合者然则何如按西厯古今法则月离度分必于月食时简知之晋史姜岌亦以月食冲简知太阳所在不知考太阳之躔度易考太隂之离度难而姜倒用之两率皆疎矣今法于月食时推太阳之经度其对冲即太隂之经度(考大阳经度法见日躔表一卷)若日食则不可用何故日食时因于视差是生中食实食视食(中食者两平行所得平朔也实食者加减平朔而得地月日三)(心㕘直定朔也视食者加减定朔而得其加时先后此地此时人目所见也)随地随时都无定率故右法任用一月食皆足简知行度若求月平行率则用前后两㑹食取中积平分之其法与日平行相似而难易迥别何者月或全食或不全食或食于南或食于北或于迟限食或于疾限食各各不等顾须求其相等一不等即所得非真率也然两食犹为未足宜精择所宜用之四㑹食㕘互稽求以定月厯今详论其法如左夫月不平行古今治厯者之公言也欲求平行之率必用择食之法欲明择食之理先解不平行之理其征有二其一初日测太隂过子午圏注定时刻(定时法测星第一水漏自鸣钟等器)(次之)次日测过子午定时刻如之第三第四日复测皆如之次取各日所注时刻较之必一一不等知其非平行若平行者宜一一等也如一周三百六十平度初日行一百刻次日亦行一周而得一百刻有竒或九十九刻有竒多寡不等其厯时多者必行迟也厯时寡者必行疾也其二取月食三事各以其中积时相减必有多寡知其非平行 如西测食略所记天启三年癸亥九月望月食食甚在戌初初刻○五分(日九十六刻刻十五分下倣此)日躔夀星宫一十四度四十一分月离降娄宫度分同 又记天启四年甲子二月望月食食甚在丑初三刻○三分日躔降娄宫一十四度二十九分月离夀星同 又记本年八月望月食食甚在寅初二刻○四分三十九秒日躔夀星宫三度五十五分五十三秒月离降娄同 推得先两食中积时为一百七十八日二十六刻十三分太阳行一百八十度一十二分一十一秒太隂行满六交㑹置中积(一百七十八日二十七刻○一分)六为法而一得二十九日六十八刻○七分四十三秒五十○微为一㑹望策后两食中积时为一百七十六日○七刻一十二分三十九秒太阳行一百六十九度二十七分○四秒太隂行满六交㑹置中积六而一得二十九日三十一刻○二分一十三秒三十○微为一㑹望䇿 右前后两㑹望策不等差三十七刻余前六㑹积分多必行迟后六㑹积分少必行疾又前两食间太阳行经度与后两食间不等其较一十度四十六分○七秒而积分之较仅二百二十○刻八十七分八十○秒经度积时多寡不等足征非平行也右二则皆不平行之征也所以然者其縁又有三三縁者其二在月其一不在月不在月者日躔经度是也前论以月食简知月离经度谓食甚时二曜经度正相对也然日躔自有赢缩自非恒平何能定月离之平何者日躔有最髙最庳其去地也时近时逺是生地景(一名暗虚)时大时小时长时短若日躔最髙其景则长则大月之过景加时则多日躔最庳其景则短则小月之过景加时则少此第一差之縁也二在月者一为月转迟疾也月行迟限则过景时多月行疾限则过景时少此第二差之縁也一为月转最髙最庳也在最髙月体小又入于小景则过时少在最庳月体大又入于大景则过时多此第三差之縁也是故厯家设择食之法择者导择也去其不齐之绿以求其齐也不齐之縁第一在日躔经度或在赢或在缩则择食之第一法宜择两食之日躔经度所在等既免此縁则余二縁在月之本行本轮日无与也如图甲为地球乙日体在最庳从乙发光地景则短丙日体在最髙从丙发光地景则长月循戊丁本轮行如在丁近地过丁小景又在戊逺地过戊小景而此二小景等则何从知月在其最髙戊乎或者其最庳丁乎惟先知日躔所在在其最庳景宜短或不至戊或至戊宜更小所见小景者丁也而月离在其最庳也日在其最髙景宜长过月之最庳宜作己庚大景而所见小景者戊也则月离在其最髙也故两食之太阳髙庳等则景大小等可免第一差之縁也夫景之末地之心太阳之心三者恒相对也地景之行度分即太阳之行度分太阳之髙庳两食不等即行度之迟疾不等而景之行度迟疾亦不等若髙庳等则两行之迟疾皆等是故前后两㑹望皆全食又两食之黄道同度(差自分秒以上)(至一二度无害)即两景之大小等两过景之加时等又得其月离之距地心等即其本轮之转分所至亦等(转分之所至等者距)(地之逺近等也然月在本轮之最髙庳则其逺其近一而已若在正转中转则距地之逺近虽等而在左在右)(未定也法见下文理本论或用不同心圏其 则一)其择食之第二法即两食之月距地心等也若同在本轮之最髙或最庳不论左右若欲定其左右则以恒星经度测之若两食之经度等加时等即其或在左或在右亦等 既得月转分之所在等即可测食前月体之径若径等即其距地必等(测月体有本法本论见后篇)可免第二三差之縁也如上言欲求月平行率必用各率均齐之前后两食欲得此前后食必考于古之𫝊记今考二十一史各天文志大都有年月日而无时刻分秒经纬度数将于何取之不得已借西厯㑹通用之又考古至百千年以上若用朝代年号纷纶不齐若用甲子细碎无纪故近古有虚立积年略如章蔀纪元法以十九年为一章二十八章为一袠十五袠为一总一总者四百二十○章七千九百八十○年也每年为三百六十五日四分日之一每四年加一日为三百六十六日(说见厯指一卷)今用此推算通以厯代纪年则为法超简仍不妨符合矣崇祯元年为总期六千三百四十一年总期之四千二百八十六年为周考王十四年癸丑西史黙冬推定十九年而太隂满自行本轮之周复与太阳同度(每年三百六十五日四分日之一为月二百三十五)是为章岁汉史所谓月行之终复㑹于端也西厯谓之金数用以求月之日(求月)(之日者于太阳月之某日求太隂之日数法以十九数及通闰数测之别有本论)崇祯元年为章岁之第十四通闰得二十四日也(西数)虽然尚未能确见分齐如汉人以章月平分推太隂各日平行为十三度十九分度之七后世讥其疎漏因而代代改率然不于千数百年间详考天行得其决定均齐之数未免揣摩影响西史依巴谷用实法考验定为三百四十五平年又八十二日四刻(平年者古法三百六十五日无余分)或一十二万六千○○七日四刻实两交食各率齐同之距也于时交㑹转终皆复其始(交㑹者太隂距太阳之行或太隂距节气之行满一周为定望也转终者)(太隂之本轮自行度亦满周而复其故处也)计其中积凡为交㑹者四千二百六十七为转终者四千五百七十三以中积分(一十二万六千○○七日四刻)为实交㑹数(四千二百六十七)为法而一得㑹望䇿二十九日三十一分五十○秒○八微二十○纎(古西法以六十分为一日)或二十九日五十○刻一十四分○三秒(今西法)通率为二十九日六时(日十二时)三刻(毎时八刻)○五分九十○秒二十七微求日平行分以天周(三百六十度)为实㑹望䇿为法而一得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十○纎一十八芒为太隂一日平行距太阳之度也(日有平日有用日见日躔厯指)倍之得二日三倍之得三日可列表(如别卷以距太阳平行分 合太阳)(日平行分当加以合罗计日行分当减)求通闰以平年日为实日行平分为法而一得四千四百四十九度三十七分二十一秒二十八微二十九纎除满十二交㑹(一年十二月)外余一百二十九度三十七分有竒为一平年(三百六十五日)之通闰约得为十日有竒也中通闰是岁实与十二朔之较西通闰是平年与十二朔之较(年无小余)以平年通闰加小余得中通闰求刻平行分以日平行为实九十六刻为法而一得一刻平行分秒(见本表)求交分(即太隂黄道上之日行度满一周)置太隂日平行分加太阳日平行五十九分○八秒一十七微一十三纎一十三芒三十一末(古测之数)得一十三度一十○分三十四秒五十八微三十三纎三十○芒三十一末用乘法得十日百日乃至一年得四千八百○九度二十三分○三秒一十九微用除法得一刻一分秒之平行率以满天周得二十七日三十○刻一十二分○五秒是为交中分求转分(即太隂本圏之最髙行满一周)置前中积(一十二万六千○○七日四刻)为实以转数(四千五百七十三)为法而一得二十七日五十二刻一十一分五十○秒为转终分又以天周(三百六十度)为实转终分为法而一得一日之转分一十三度○三分五十三秒五十六微一十七纎五十一芒五十九末用乘法得十日百日乃至一年得四千七百六十八度或约十三转外余八十八度四十三分○七秒四十五微用除法得一刻一分秒之转率可立表测月平行次论第三法用太隂四㑹食其择法欲前两㑹之中积平行度中积日其比例与后两㑹之比例等又第一与第二月行本轮同势(势者迟疾最髙庳等同者俱在小轮一象限内)第三与第四亦然又第一与第二之中积实行度等第三与第四亦然若是则前两㑹后两㑹两中积间月在本轮必各满自行之周(如是均齐乃得实平行度分)解曰如图已为地心丙丁乙戊为小轮乙为最髙丙为最髙冲(即最庳)己丁己戊为两切线(凡月在戊在丁其变行之势亦借名为留)(段葢月行甚速留时绝少仅一瞬耳)(然迟疾之间度分难测故借名为留)(段也)从乙丙分小轮为四象限各象有变形之势(如在最髙乙为极迟)(最庳丙为极疾丁戊为留详见下方)假令简得第一㑹时月在辛第二㑹在同象限(同在乙丁象限内如同类之行)如庚第三㑹在他象限如壬第四在同象限(同在乙戊象限内为同类之行)如癸即不可用何者上法言所求同行同类同时者必庚所至亦在辛癸所至亦在壬若如图庚与辛癸与壬各去离若干虽以同时故同行辛庚弧(前两㑹之差)与壬癸弧(后两㑹之差)必等然一弧之均数用加一弧之均数用减其时(平行)与行(视行)不得相等(两弧等者其自行虽等而视行不等)故法言庚㑹必仍在辛癸㑹必仍在壬而后为月满自行之全周系凡简㑹食不当在戊与丁两切线之上葢目在己巳丁巳戊两视线切圏其所切之处难辨其髙下之准分也(视法曰凡斜望圆圏圏作一直线又曰视线切圆圏之两旁人目谬见曲线为直线其谬直线中间有上)(行下行者虽动而目视之若不动)此古法依巴谷等所共用其书不全所用四㑹食之行度时日等各率皆无𫝊故略举其正法如右方测正中交行度第四正中交者黄白二道之两交也正交亦曰罗㬋亦曰天首亦曰隂厯初阳厯末西厯谓之龙头中交亦曰计都亦曰天尾亦曰阳厯初隂厯末西厯谓之龙尾月行及于黄道曰交月本圏之自行度曰转而转终分多于交终分故转满一周交终未及恒居其后交不及转之度即两交退行之度故谓两交为逆行也(自东而西)测法亦用交食而考古无𫝊不能得其真率西史依巴谷如前法用两月食择其前后各率均齐如太隂或同在隂厯同在阳厯太阳之自行同度去两交之两㸃或前或后同限食分等加时等即太隂之转分所至等因以定两交行天若干周而复于故处其原测之中积为交会五千四百五十八两交行天周为五千九百二十三置中积㑹数(五千四百五十八)以㑹望䇿(二十九日五十○刻一十四分○三秒)乘之得一十六万一千一百七十七日五十八分(西古六十分为)(一日)五十八秒○三微二十五纎为中积日次以中积㑹数乘天周(三百六十度)得二百一十三万二千二百八十○度为实以中积日为法而一得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十八纎五十六芒三十七末是太隂距交一日行度次于两交日行度去减太隂黄道上行度(即平行分日十三度一十分三)(十四秒五十九微)得两交逆行日三分一十一秒毎年行一十九度○一十九秒四十三微用乘法得积年度用除法得时刻度列表(如别卷)以上诸率皆依巴谷古测所定后多禄某歌白尼及第谷各加宻测仍用试法数端推得合㑹之数每年不足为一十四分一十八秒一十○微一十九纎应加转终分毎年盈为五十四微一十二纎应减交行每年盈为一秒二微四十二纎应减今新厯表所用率朔实二十九日五十○刻一十四分○三秒○九微通得二十九日五十三刻○六分九十二秒转终二十七日五十三刻○五分二十五秒一十四微通得二十七日五十五刻五十八分四十七秒四十九微交终二十七日二十○刻○五分三十三秒四十八微通得二十七日二十一刻二十一分九十六秒七十四微依上三数本法可得大统所用别率及其异同之数通论七政本轮异名同理第五日躔厯指论太阳赢缩疾迟之理设太阳所行之道与地为不同心圏今论月行亦用不同心圏亦用小轮此二者异名同理葢借以分布度数指记运行随人所立期于不爽而止若大象森罗其孰然孰不然或皆不然则非智计所能测也今略解如左不同心者一圏之内别函一圏两各异心也若圏周之上任用一㸃为心别作小圏则为小轮如图甲乙圏内别有丙丁圏戊巳不同心又庚辛壬圏周以辛为心作癸子圏是谓小轮解曰日躔厯既言不同心(赢缩今古共知言不同心近而易明)月离厯又言小轮(回回厯已著小轮之目因仍用之)且诸厯中或复错出故宜诠释同异以绝疑端此法七政所同今借太阳为解他可类推也按日行夏迟冬疾春分过夏至迄秋分厯时日多秋分过冬至迄春分厯时日少何故若以不同心圏解之作甲乙丙丁外圏戊为心分黄道十二宫为天元宫次又以已为心作庚壬辛癸圏次从降娄夀星各初度相对作直线必过地心戊而任分庚辛壬癸圏为二必上为大半下为小半己心在戊心之上故也日平行一岁尽庚壬辛癸圏即夏半周(夏至左右春分迄秋分)庚壬辛为大分冬半周(冬至左右秋分迄春分)辛癸庚为小分大分厯时多小分厯时少日自恒平行人从地心戊视之则为赢缩迟疾矣若用小轮则如左图戊为地心甲乙丙丁大圏名负小轮圏(或日带小轮)其周上乙㸃为心作小轮如丁为心己庚为周也小轮从丁向甲乙丙行一年而复日体亦行小轮周一年而复(复者复于故处)置日体在最庳巳小轮心丁循大圏行四十五度至壬日从己行小轮四十五度至庚次丁心行大圏九十度至甲日行小周亦九十度至寅丁心至癸日至子心至乙日至丑心至午日至夘心至丙日至辰心至申日至未心回丁日回己日在小轮周上行成己庚寅子丑夘辰未圏即是不同心之圏其心为酉而酉戊两心相距之度即小圏之半径又如上一图用不同心圏午为日从地心戊本圏心酉各作线至午成戊酉午三角形如二图用小轮子为日子癸为小轮半径从地心戊作戊子线成戊子癸三角形其戊酉午形与戊癸子等戊酉与子癸等子丑弧与午乙等(圈大小不等而)(度分等)即子癸丑角与乙酉午角等其余角午酉戊与子癸戊亦等戊午戊子两边等(日距地心之度等故)则戊酉午与子癸戊两形等形等则所求之日距地心若干太阳平行自行之差日体大小之类或用不同心圏或用小轮其得数同也测定本轮之大小逺近及其加减差第六(借西古史多禄某及近世歌白泥之论)法用三㑹食测算(此多禄某所用)第一食总期之四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉五月(西厯之月今三月)初六日子正后(顺天府时刻)一十八刻○十分月全食日躔大梁宫一十三分一十四分其平行一十二度二十一分第二食四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌十月(建戌之月)二十四日子正后(顺天府)一十七刻○十分月食十二分之十在黄道南日躔夀星宫二十五度○十分其平行二十六度四十三分第三食四千八百四十九年为永和元年丙子三月(建寅之月)(或建夘)初六日子正后三十七刻○五分(顺天府为在昼不见)月食十二分之六在黄道南日躔娵訾宫一十四度一十二分其平行为一十一度一十四分前二㑹中积太阳太隂两视行皆为一百六十一度五十五分(各减全周)是为黄道上两㑹相距之度积日为五百三十一日九十三刻若平日为九十三刻○七分于时月平行距日为一百六十九度三十七分月自行为一百一十○度二十一分(本轮行度)视平两行之较得七度四十二分以为加减率(平行大视行小用减)(法为月自行过小轮或不同心圏之最髙 在最髙逆行故)后二㑹中积太阳太隂两视行皆为一百三十八度五十五分是为黄道上两㑹相距之度积日为五百○二日二十○刻若平日为二十二刻于时月平行距日为一百三十七度三十三分月自行为八十一度三十六分视平两行之较得一度二十一分以为加减率(平行小视行大用加)(法为月未至最髙)大图说 外大圏白道也小圈为太隂之本轮第一㑹月之视行在子平行(小轮心在丁庚丑线)在丑(视行大必在前)第二㑹月之视行在午平行在丑(平行大必在前)第三㑹月视行在未(小轮上㑹)(一㑹月在甲第二㑹在乙第三在丙 甲乙丙三㸃以后所用)小图说(即前大图中之小轮分图)此借古史成法用二小轮(一为本轮一为次轮)以齐月行似为足矣别有诸家异同之说更仆难罄未能悉举如图以地心丁为心作午未丑子黄道弧(大图言白道者度分相若互言之)庚为小轮心依黄道自西而东(右旋)二十七日有竒而一周天此为交周日行十三度一十分有竒太隂日平行度也月体在小轮(即本轮)之上从甲向乙(左旋)二十七日有竒而一周本轮此转周也日行十三度三分有竒太隂日转自行度也(小轮亦分三百六十度与周天等说)(见本篇第五时所谓月体在小轮之上者乃朔望之 也其外非在此见下文)依上法列平行立成表取小轮心行度推某日太隂在某宫某度分即丁庚丑线所指黄道度分也又用测法或㑹食时推算求太隂所躔宫度得丁乙午丁戊甲子等线定丑丁午丑丁子等角即两行之差也以为加减之率如大图三㑹食第一食月在甲去甲一百一十度(两㑹)(自行相距之度)而至乙乙者第二㑹食之月离度也(甲乙之间平行多视)(行少则乙在小轮之右又乙行迟段故月在小轮之上弧)推得两㑹中积视行平行之差为七度四十二分即黄道上子午也又去乙八十一度二十一分而至丙(乙丙之间视行与平行差少故)(丙亦在小轮之右又丙行疾段则在小轮之下)推得两㑹两行之差为一度二十一分即黄道上午未也次得丙甲弧一百六十八度○三分(丙甲之间自行大平行小丙行疾段在小轮下)月行丙甲弧两行之差为六度二十一分(以前午子午未二差相减得未子较为此两行之较)又如上图乙丙丙甲两弧并即平行少视行多必在最庳之两旁(行疾段故)甲乙反之即平行多视行少必在最髙之两旁(行迟段故)次定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线甲丁割小轮圏于戊次作乙丙丙戊戊乙三线成乙戊丙形乙戊丁等形乙戊丁形有乙戊丁角(甲戊乙角之余甲戊乙者甲乙弧之在界乘圏角也半甲乙弧)(得五十五度一十分半为甲戊乙角后凡言乘圏角即所乘弧折半推算全圏分一百八十度)一百二十四度四十九分半又有戊丁乙角(其对弧为黄道弧之子午七度四十)(二分)即戊乙丁角(以满一百八十度)必四十七度二十八分半依三角形用法以角求边之比例(三角形外作切)(圏即乙角对戊丁弧其弦为戊丁线丁角对乙戊弧其弦为乙戊线戊角对乙丁弧)(其弦为乙丁线)十万为全数(全周之半径)查表(八线表中有法)得乙戊为二六七九八戊丁为一四七三九六(半弧度查表求正弦倍正弦得通弦)戊丙丁形有戊角(甲戊丙角之余也甲乙乙丙二弧并为一百九十一度五十七分因乘圏)(半之为甲戊丙角度其余为丙戊丁角度)八十四度一分半有戊丁丙角(戊丁)(丙角之弧为两行之差未子)六度二十一分自得戊丙丁角依三角求边之比例得戊丁一九九九九六戊丙二二一二○先得乙戊戊丁之比例次得戊丁戊丙之比例用变率法通之(变率者变两戊丁为同数他率从之也用三率法次戊丁为第一率次戊丙为二率先戊丁为三率)(求四率得先戊丙即两比例之数俱同类)得两戊丁俱一四七三九六戊丙一六三○二戊乙二六七九八又乙戊丙形有乙戊戊丙两边有乙戊丙角(乙丙弧之半)求乙丙得一七九六○乙丙线者乙丙弧之弦也乙丙弧为八十一度三十六分若设小轮全径为二十万分即乙丙弦为一二○六八四用变率法(见前)乙丙之先数得丙戊丙丁为某数(云某数者先乙丙为一率先戊丙为二率相偕为比例也)乙丙之次数得某数算得戊丙一一八六三七戊丁一○七二六八四既得戊丙弦求其弧得七十二度四十六分一十秒为戊壬丙有戊壬丙弧并入丙乙乙甲以减全周余九十五度一十六分五十○秒为甲戊弧其弦一四七七八六为甲戊线甲戊弧于全周为小分则圏之心必在甲戊外置庚心作己庚壬丁线定己为最髙壬为最庳次依几何原本(三卷三十六题)甲丁戊丁两线内矩形与己丁壬丁两线内矩形等又己丁壬丁矩形及庚壬上方形并与庚丁上方形等则甲丁丁戊相乘加全数庚壬上方积以开方得庚丁为一一四八五五六次设庚丁全数为十万用变率法得庚己八七○六是为月天半径与小轮半径之比例次从庚心作甲戊之垂线平分甲戊线于辛截甲戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有辛丁(先得丁戊戊甲今庚辛线平分甲戊以辛)(戊加戊丁得)一一四六五七七又有庚丁一四八五五六求辛庚丁角得八十六度三十八分半是在心之庚角所乘癸戊壬弧也以减半周余九十三度二十一分半为癸己弧先得甲戊弧为九十五度一十六分五十○秒甲癸半之为四十七度三十八分三十○秒以减癸己余四十五度四十三分为甲己是第一㑹食太隂未至最髙之度也以减甲乙余六十四度三十八分为己乙是第二㑹食太隂过最髙之度以己乙并乙丙得一百四十六度一十四分是第三㑹食太隂距最髙之度依上算得辛丁庚角三度二十六分黄道子丑弧也为第一食两行之差(小轮心指黄道上之丑㸃本行从丑向子则月在子居前平行在丑居后)应于平行加丑子度分为视行又甲丁乙角七度四十二分减去甲丁丑角余己丁乙角四度二十一分于黄道弧为午丑是第二食两行之差(乙在最髙之后)(月视行未至丑)应于平行减午丑度分为视行又丙丁乙角先为一度二十一分以减午丁丑角余丙丁丑角二度四十九分于黄道弧为未丑是第三食两行之差(丙未至最髙冲)应于平行减未丑度分为视行末第一食月视行离大火宫一十三度一十五分于黄道弧为子(太阳躔其冲大梁宫度分同)今得两行之差丑子三度二十二分减视行率得平行小轮心度丑为在大火宫九度五十三分第二食视行离降娄宫二十五度○六分于黄道为午两行差四度二十一分以加视行率得丑为在降娄宫二十九度三十分第三食视行离鹑尾宫一十四度一十二分于黄道为未两行差三度二十二分以加视行率得丑为在鹑尾宫一十七度○四分一系因上论可得小轮半径(庚壬)与月天半径(庚丁)之比例二系可得两行之极大差法从地心丁作丁夘线切小轮于夘因几何(三卷三十六题)丁夘切线上方形与己丁壬丁两线矩内形等今先有己丁壬丁两数以相乘开方得夘丁既夘丁庚形有三边以求夘丁庚角是为两行之极大差(此差古今测法同得数小异别有图表见后卷)五度一分上法用不同心圏得数无异测本轮大小逺近及加减差后法第七法同上用三㑹食(此近世歌白尼法今时通用)第一食总期之六千二百二十四年为正徳六年辛未十月(西厯之月今九月)初七日子正后二十八刻(顺天府时刻下同)月全食太阳躔夀星宫二十二度二十五分平行为二十四度一十三分第二食六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月初六日子正后三十一刻月全食太阳躔鹑尾宫二十二度一十二分平行为二十三度四十九分(今作八月)第三食六千二百三十六年为嘉靖二年癸未八月二十六日子正后四十二刻一十分月食太阳躔鹑尾一十一度二十一分平行一十三度○二分(今作八月)前两㑹食黄道上相距之中积视行度(减全周)为三百二十九度四十七分中积日为三千九百八十七日平时三刻一十分于时交周上中积平行度(减全周)为三百三十四度四十七分本轮自行(减全周)为二百五十○度三十六分因自行度是生平行视行之差五度以为加减率(中积之视行大平行小故月在小轮之右)后两㑹食黄道上相距之中积视行度为三百四十九度○九分中积日为三百五十四日平时十二刻○九分于时交周上中积平行度为三百四十六度一十分本轮自行为三百一十六度四十三分因自行度是生两行之差二度五十九分以为加减率(中积之平行大视行小因差少月仍)(在小轮之右)第一食月在甲从甲数前二㑹之自行中积二百五十度三十六分至乙即乙为小轮周上第二食月离所在而乙甲余弧必一百○九度二十四分甲丁乙角之弧为午子五度是人目所见黄道上两行之差又从乙(第二㑹月离所在)过戊申数三百一十六度四十三分至丙即第三㑹月离所在而丙乙弧必五十三度三十七分丙丁乙角之弧为午未二度五十九分是黄道上两行之差又乙丁甲角去减丙丁乙角余甲丁丙角为子未二度○一分为黄道上两行之差次并甲乙乙丙弧得一百六十二度四十一分以减全周余一百九十七度一十九分为丙己甲弧是周之大半即周之心在其弦内次作丁庚丑线定己为最髙从甲从乙从丙作甲丁乙丁丙丁各线丙丁线割小轮圏于戊次作乙甲甲戊戊乙三线成甲乙戊形乙戊丁形有戊丁乙角(二度五十九分)又有乙戊丁角(丙戊乙角乘丙乙弧)(二十六度三十八分半其余以满一百八十度为乙戊丁角一百五十三度二十一分半)即戊乙丁角(第三为二)十三度三十九分三十○秒以求各腰(倍角之数求其弦即对边之数)得乙戊边为一○四二戊丁为八○二四次甲戊丁形有甲丁戊角(未子二度一分)有甲戊丁角(甲戊丙角乗甲己丙)(弧一百九十七度一十九分半之得八十八度三十九分半甲戊丙角也其余为甲戊丁角九十一度二十○)(分半)即有戊甲丁角有三角求其边若戊丁为八○二四则甲戊为七○二次甲戊乙形有戊乙(一○四二)戊甲(七○二)两边有乙戊甲角(乗甲)(己乙弧二百五十○度三十六分半之为一百二十五度一十八分)求甲乙得一二二七若小轮之半径庚壬为全数即因甲己乙弧之度推得甲乙弦又用变率法推乙戊戊甲戊丁各线与庚壬全数为同比例之数算得甲乙为一六三二三戊丁为一○六七五一戊乙为一三八五三有戊乙弦即得戊乙弧为八十七度四十一分以并乙丙弧得一百四十○度五十八分求其弦得一八八五○为丙戊以并戊丁得一二五六○二次依几何原本(三卷三十六题)丙丁丁戊两线内矩形与己丁丁壬两线内矩形等又己丁丁壬矩形及庚壬方并与庚丁方等则以丙丁丁戊矩形一三四○八一三九一○二庚壬方(庚壬全数为一万)一万万并为积开方得庚丁方之边为一一六二二六次设庚丁全数为十万变庚壬为八六○四是为月天半径与小轮半径之比例与前古法所得小异次从庚心作丙戊之垂线平分丙戊线于辛截丙戊弧于癸成庚辛丁直角形此形有庚丁(一一六二二六)有辛丁(先得戊丁)(一○六七五一又有丙戊一八八五二半之为辛戊九四二六以并戊丁为一一六一七七)求庚丁辛角得一度三十九分为未丑又求辛庚丁角得八十八度二十一分为癸壬弧并丙癸(先得戊乙丙弧一百四十度五十八分其)(半为丙癸七十度二十九分)得一百五十八度五十○分其余(以满半周)为丙己二十一度一十分是第三食月距小轮最髙之自行度第二食月在乙乙己弧七十四度二十七分为其距最髙之自行第一食月在甲甲乙己一百八十三度五十一分为其距最髙之自行又己丁丙角为未丑一度三十九分月在平行之后则第三食平行内应减未丑丙丁乙角为午未二度五十九分月在平行之后则第二食平行内应减午未两角并得午丑四度三十八分为第一食应减之数而甲丁乙角先得五度因月在小轮下弧则为应减之数一加一减相准余壬丁甲角为丑子弧○度二十二分则第一食平行内应加丑子末第一食月视行经度离降娄宫二十二度二十五分减丑子弧二十五分(视行内应减平行内应加)得平行为在降娄宫二十二度○三分第二食月视行离娵訾宫二十二度一十二分加午丑弧四度三十八分得平行为在娵訾二十六度五十○分第三食日视行离娵訾宫一十一度二十一分加己丁丙角一度三十九分得平行为在娵訾宫一十三度皆食时之经度也因上二论以推加减立成表如后卷试旧推平行率各术疎宻第八依前法用太隂加减差表定前后两㑹食之中积时可得太隂之平行率又用上论求两食之本轮自行度若此两率之距本轮最髙或最庳等则所定平行率为确合如前本篇第六所用第二㑹食为总积之四千八百四十七年系汉顺帝阳嘉二年(多禄某所用)其各率见本章 又第七所用第二㑹食为总积之六千二百三十五年系正徳六年(歌白尼所用)其各率见本章其中积率为平年(三百)(六十五日)一千三百八十八年三百○二日一十四刻○四分其间交㑹满一万七千一百六十六周其自行本轮亦满全周则为确合今依上古法推(依巴谷在周显王时)减全周外余三百五十九度四十八分○七秒(转周不及交㑹一十一分五十)(三秒)依中古法推(多禄某在阳嘉年)减周外余三百五十九度三十七分四十九秒(转不及㑹二十二分一十一秒)依近世法推(歌白尼在正徳)(年)减周外余四分则知近世之法视古为宻葢测验推步一二千年积功力积智巧所定诸法渐次加精故也定太隂平行自行之厯元第九厯元者于某地之某年月日时刻定某曜躔本天之某度分为推步之根本上溯既往下迄将来靡不准此或加或减以得随时所躔各度分也今拟定崇祯元年戊辰天正冬至后子正初刻为厯元其地则京师顺天府定为厯元之本所厯元则上下推步略同古法论地则自唐至元有测验北极出地之法是为地之纬度若其东西经度从古未有也今立法以本府为根其南北北极出地三十九度五十五分有竒九服皆随地测验东西则以本府为初度初分九服依此为准或加或减推算各地本时本曜之各所求度分别有本法本论(如后卷)右北极出地度通为四十○度四十九分有竒中西二率悉与古法不合葢前人未悟地半径差蒙气差于两至所测之髙应加应减故也说见日躔厯指用厯元前一月食之岁月日时及厯元之岁月日时取其中积日求太隂之平行若干度分减朔䇿(一交㑹之全周)余度分为厯元之平行度分则朔应也又考月食时得自行若干度分亦算中积时之自行若干度分两数并得为厯元之自行度分则转应也新法算书卷二十八
## 卷二十九
钦定四库全书
新法算书卷二十九 明 徐光启等 撰月离厯指卷二解第二均数第十如上论因月有本轮自行度以致不平不顺定朔定望多寡不一今用其自行度分加减其平行视行以定均数则于定朔定望及交食之法始无遗漏乃厯家详测宻推以为未足尽月行之理故又立次轮一法以定均数与本轮第一均数并用之今解其义如左古今测月行审有自行度与平行不合立为本轮法(或不同心)与自行加减以定朔望以正交食然其朔望之极大差不过五度此本轮之半径也是知定朔定望时太隂恒在本轮之周矣其在上下弦之差则不然古厯于上下弦日推太隂自行本轮之二限四限(左右两傍之尽处所谓留际也如此)(则为去最髙之极大差)又在黄道之九十度限(一名黄平象限如此则无东西视差)以定本日之经度若如本轮法则此差止应得为五度及用圆浑仪测候或以距太阳求月之视行经度或以恒星求其黄道上之视经度得数乃与先推殊不合论推算宜得五度论测度则得七度四十分从古至今累测皆如之又测弦前后若干日亦与推算不合每日逺近所差不等知月行止定朔定望日在小轮周余日去离逺近多寡各有本行度分因从其差数以立差法仍定本轮周上复有次小一轮循本轮右旋(与七政行同与自行异)半月一周因其行度作加减差以定第二均数列表(如后)(卷)求次轮之比例第十一既论有次小轮今论其大小以定加减率如图丁为地心庚为本轮心甲乙丙为本轮周作庚丁过心线作本轮之丁甲切线即庚丁甲为五度角(视行平行之极大差)朔望时次作庚甲戊线作丁戊线成庚丁戊角为七度四十○分视平两行上弦下弦之大差次庚为心戊为界作戊巳圈太隂在定朔定望时必循甲乙丙本轮周左行在两弦时必循戊巳周左行両弦前后半月间则自甲向戊戊向甲右旋为次轮之自行若庚丁线为一万全数即庚甲为八百七十二(五度之正弦)庚戊为一千三百三十四(七度四十分之正弦)相减得甲戊四百六十三甲戊线平分于辛庚为心辛为界作辛壬为负次轮圏(一曰带次轮)即甲辛为二百三十一以并庚甲得庚辛一千一百○三为负次轮辛癸圏之半径则本轮次轮两半径为一一○三与二三一也系有二小轮之比例可解前一推一测异同之极大差又可推朔望前后之视行疑于无法而实有法(朔望前后三十)(八度其视行绝异故云疑于无法详后论)如图两圏为本次二轮丁为地心甲为本轮之最髙丙为其心乙为次轮心作丙乙线为一一○三从乙心作次轮圏其半径二三一(如上两轮之比例)次从丙作丙戊丙子线切次轮于戊于子成戊子两直角设月体在戊今论之凡月行本轮周左旋(依宗动天自东而西)如图庚为本轮心甲乙为白道丁为最髙己为最庳其平行则自甲向丙庚至乙其自行则自丁而丙而己而戊而复于丁从丁(即正半转即最髙)入转行极迟向丙(即中转亦留际)其迟日损至丙而及平行度谓之迟初限从丙向己(即中半转即最庳)迟损疾益至己而极疾谓之迟末限从己向戊(即正转亦留际)其疾日损至戊而及平行度谓之疾初限从戊而复向丁疾损迟益至丁而极迟谓之疾末限最髙左右二限谓之迟厯逆经度行(逆七政经度也后省曰逆)(行)最庳左右二限谓之疾厯顺经度行(后省曰顺行)二十七日有竒而周(即转周)若次轮则如图乙为其心甲巳为本轮周壬戊癸子为次轮周壬为最近癸为其最逺(本轮可言髙庳次轮不得言髙庳故言逺近谓逺近于本轮心)其顺本轮左旋则自甲向巳其自行右旋(如七)(政自西而东)则自壬而戊而癸而子而复于壬从壬入转至戊为迟初限从戊至癸为迟末限从癸至子为疾初限从子至壬为疾末限最近左右二限为迟厯逆行最逺左右二限为疾厯顺行十五日弱而周谓之次转周夫甲巳弧者约太隂距太阳之半周也(朔与望相距之一百八十度)次轮心行甲巳半周则月循次轮行满一周是月体循本轮周行一度即循次轮周行二度次轮心从甲至乙月从壬至戊比本轮上之两行皆在迟厯皆逆行一至戊切㸃则为逆行之末顺行之始顺行则始疾故戊切㸃为月行次轮顺逆两行之大差今以数明之作乙戊线为切线之垂线成乙戊丙形戊为直角此形有乙戊二三一有乙丙一一○二求丙角得一十二度二十八分为次轮上月行之最大差是本轮心行度(甲乙)外应加应减之数乙丙戊角既一十二度二十八分戊乙丙角必七十七度三十二分壬戊弧也半之得二十八度四十六分为甲乙弧(甲乙为壬戊之半)系凡次轮心距本轮最髙三十八度为大差之限朔望前后各等论太隂次轮异名同理第十二前卷推月不平行之縁为有本轮次轮因立两均数以定其实行(此歌白泥术)而首卷又有异名同理一章(第五)言用不同心圏立法得数不异是则止论本轮未及次轮也今并论两小轮与两不同心圏亦复异名同理得数无二(比马日诺术)如左如图是月本天之大圏平面也本天中函有诸球体有厚薄行有顺逆迟速此图平面亦函有诸圏譬犹剖球为面其中所有一一具见矣内外凡六圏甲为地心亦为月本天之心外第一圏为黄道平分十二宫次圏为交道(黄白经度畧等)己见前解第二第六总名为负太隂中距之天其第二之外规面第六之内规面则与地同心(甲也)其第二之内规面第六之外规面则与地不同心而以中距之心为心两天各有厚薄不等其厚薄处恒相反相对(此二)(天同一色绘之)此天平面之外圏斜交于黄道内函月行诸圏为一体顺经度行(右旋)每日六分四十○秒五十五㣲○六纤八平年三百一十二日有竒而行天一周周行无首尾其起算之界用外规之最薄即本天之最髙第三第五总名为太隂中距天又名为正不同心天(上有)(二面同心此四面不同心)其心为乙距地心甲以最外规(丁也)之半径(丁甲也)为度十分之约得一有半为乙甲求其厚得丁甲十五分之四为丁戊此天内函月行之轨道为一体顺经度行(右旋)其外虽为负距天所挈一体顺行又自有其行度毎日二十四度二十二分五十三秒有竒凡一十四日七十三刻○七分有竒而行天一周(在歌白泥法为次轮上月行之)(周)其起算之界为最近地心之处(已也如上次轮法)本表目其本行度为日月相距之倍度是为次引数凡月朔望间必行一周故朔望时月恒在于最近即无此圈行度亦不用次均数皆与前法所论次轮同理此圏又名为引数之圏以其函负月轨圏为定均数之根第四名为月轨圏葢太隂自行之轨道也与第三第五正不同心之天又不同心其心丙故又名次不同心之天乙丙两心相距以中距天(即第三第五)之全径(外规过心相距)为度六十平分之得其一分半弱次不同心之心丙旋遶正不同心之心乙作一小圏月体循第四天行虽最外为负距天所挈一体顺行又为中距天所挈一体顺行其自行则又逆经度左旋譬之负距天如流水中距天如舟月体如人水自顺地势东行有水之行度舟亦顺水势东行又自有舟之行度人却从船首向船尾西行又自有人之行度也其起算以自天之最髙为界日逆行一十一度一十八分五十九秒有竒三十一日七十八刻有竒而行天一周其在前解则自行本轮也前解定次轮上(或正不同心圏理同)太隂一日顺行二十四度有竒今减本轮上(或次不同心圏理同)逆行一十一度一十八分有竒余一十三度○三分有竒因两行相背故相减所得较数为前引数两不同心圏各有最髙最庳(前解在次轮者为最逺最近此解亦名最髙最庳)则太隂所至有逺近四限与前解同其数以中距天之半径丁乙为度半径六十则极逺距地心为六十八次逺为六十五分○九秒次近为五十四分五十一秒极近为五十二分(皆歌白泥所测也)第二图次不同心之心在丙其最髙在丁正不同心之最髙在戊(中名月孛西名平最髙)甲乙戊线定黄道上月孛之经度甲丙巳线定已为正最髙之经度(甲丙巳线过甲丙两心则己为月轨距地之极逺)乙丙丁线定月轨道最髙之经度从巳至月前解名为月自行古史各有本表今用前两轮解已作表不复备著右二法外第谷及其门人又有别解更细更宻特为竒玅以步月离倍胜前法特㣲眇难见以步交食精粗判然今并论如左第谷宻测月离觉月自行在朔望时遇初宫或六宫及左右平距(最髙庳之左右其距地等)即自行四限(髙庳左右)但依古法用一均数一本轮自行足以齐太隂之不平行矣自非然者即用古法多见参差因依古步五星法于月离法中亦加一均轮均轮者古推步五星自行用两不用心圏一为负本轮心之圏一为均行之圏(均行圈者与本轮心圏又不同心而出入)(其内外古推五星但依本轮心圏未能悉合别依此圏推步然后度分不谬故名均行之圈或用均轮也歌白)(泥谓月离法中可省此第谷觉有未合复用之乃合)其解于五星厯中详之今月离亦用之是为新法依此作五轮月行全图如左方如图甲为地心取甲乙线为半径(前法为次轮之半径)乙为心甲为界作甲丁丙圏(前法为次轮)从圏周任取丁为心作戊己癸圏其半径丁戊是为月与地之平距(平距者最髙庳之间)即五十六地半径也(前法为月本天半径)(或负本轮圈之半径)若丁戊为全数十万即甲乙为二千一百七十分右为二三一又于戊巳癸周任取癸㸃为心取癸辛线五千八百分为半径作午辛辰本轮又取辛庚线二千九百分为半径作庚壬子均轮得癸庚线(两小轮之两半径并)八千七百此八千七百者于前法为本轮之半径但前用一本轮以齐太隂朔望之行此析为二析为二者以前法之本轮半径三平分之二为新本轮之半径一为均轮之半径新本轮之半径者月朔望时近逺之实半较也凡月之定朔定望时丁心与地心甲合为一㸃丁心右旋(顺经度行)循甲丙丁圈(从甲向丙而丁而复于甲)半月而周(此圏以当前法之次)(轮故如前月体循次轮周半月而复)则甲丙丁周上之弧为月距太阳之倍数本轮之癸心循戊癸未圏(从戊向癸而未而复于戊)右旋(顺经度行)二十七日有竒而周均轮庚子之心辛循本轮周左旋(违经度行从辰向辛而壬而午而复于辰)亦二十七日有竒而周即辰辛戊癸两弧之行恒为等度分而此两圏皆当前法之一本轮其行周皆转终分也月体则循均轮周右旋(顺经度行从子)(向壬向庚而复于子)十三日有竒而周(是转终之倍数)凡朔望时丁心必在甲若自行为初宫初度则如一图癸心在戊辛心在辰月体在子无均数自行为六宫则如后图癸心在未辛心在午月体亦在子亦无均数朔望图见交食厯朔望之外依图用三角形法推算则得月离之宫度分可无用表依新法则戊为月孛葢最髙也甲丁巳所指为平最髙今以二法较论同异则月与地之中距(五十六地半径)两家㣲异(前后为本轮心距地新法亦然皆丁戊也)若自行初宫初度则月距地比于中距前法盈十万之八千五百分新法盈二千九百分是损三分之二也(此第谷所定也以视差及宻测月髙庳法得之)若自行三宫则两家所定最大差为小异其以次小轮(前为次轮)(今为均轮)为自行之倍数新旧一也今用合图明之合图说(实线为前论歌白泥法半虚线为第谷新法)不论次轮前法次轮在上新法次轮在下其理不二故也(五纬厯中见其论)前法丁地心亦为戊寅庚夘圏心戊丁其半径戊本轮心以平行右旋厯丑寅庚夘等㸃月从丙自行左旋向乙设戊平行三十度至丑月左旋从丙至乙自行二十九度一十三分(每平行一度自行五十九分四十六秒故)平行六十度至寅即自行五十八度二十六分亦从丙至乙(丙乙恒为自行弧)又至庚至夘等皆同此推若依丁戊线从丁向戊取丁申线与戊丙等申为心丙为界作圏必遇各乙㸃是名过乙圏亦为髙庳圏(不同心圏)新法丁戊半径戊寅庚夘圏同前别取戊午线为戊丙三分之二戊为心午为界作本轮(较旧本轮之径减三分之一)次平分戊午于己午为心巳为界作均轮(得旧本轮径三分之一)月体在己设戊心平行至丑即戊乙戊丙两线开展(午心循子午本)(轮左旋为各子午弧)如张箑之势(丁戊丙直线戊午乙过两小轮心线若自行初宫初度即两线)(合为一线后渐展开至三宫九十度成直角至六宫复合为一)己月从最近酉(最近本轮心也)右旋(顺经度行)至己为自行之倍数如戊行至丑两心线为丑酉午乙月在己则酉巳弧倍于丙乙弧或午子弧(丙乙)(午子与戊丑等而乙丑乙寅等线恒与戊丁平行)余悉同此(酉巳弧行倍于丙乙)次依丁戊线从丁取十万分之二千九百为未未为心已为界作圏过各己㸃是为均行之圏两法至〔？〕㸃即相近依前法推加减表则用丁丑乙一三角形求丁角新法用午己丑及丑己丁两形求丑丁巳角两得数之差自行十五度为四分三十三秒自行三十度为八分○九秒自行四十五度为九分五十六秒自行六十度为九分三十二秒自行七十五度为七分○三秒自行九十度为三分○六秒前法以自行九十五度为大差之限则四度五十六分一十九秒新法以自行九十一度为大差之限则四度五十八分二十七秒两得数之差随在皆乙丁巳角而最髙左右均数新法比前法为大最髙冲左右新法比旧法为小凡月离诸表今皆依新法推算推太隂之实经度第十三前论因本轮之自行度加减立第一均数以得定朔定望朔周转周又因两弦之自行差与朔望异用次轮之自行加减立第二均数于理为尽从是可得太隂之视行实经度今论次如左查平行表简得太隂太阳之相距度分及月距本轮最髙度分用平面三角形法可得其实经度(用古法解之)第一法西古史依巴谷在罗徳岛(地中海岛北极出地三十六度)于总积之四千五百八十七年为汉武帝元朔二年甲寅三月(建寅之月)初七日子正后八十四刻一十四分(顺天府时刻)用浑仪测得月距太阳为四十八度○六分于时日视行躔鹑首一十○度四十○分即月视行度必在鹑火二十八度三十七分此时此地为午正后一十二刻依正升斜升表算得月凖在黄平象限无东西差今用月离表试之依表是时太阳之平行为鹑首一十二度○三分均数为一度二十三分当时太阳最髙在实沈宫初以减四十八度○六分得四十六度四十三分为太隂距太阳之平行度(此于实距内减均数而得平行葢太阳在最髙后平大视)(小用减法若在最髙冲平小视大用加法)查表于时太隂自行为三百三十三度又平行距太阳为四十五度○五分视平两行之较为一度三十八分更用两小轮图试之从自行之最髙甲左旋过己至乙得三百三十三度乙为心作次轮圏作乙丙聨两心线割次轮于壬从壬至戊为日月相距之倍数九十○度一十分次作乙戊戊丁戊丙三线成戊乙丙三角形形有丙乙一一○三有乙戊二三一有乙角(壬戊弧九十○度一十分)求丙戊边及戊丙乙角(乙为钝角宜引长丙乙边作戊子垂线成戊乙子直角形有乙戊边二三)(一有戊乙子角一十分戊乙子角者戊乙丙过九十之余也先求戊子得二五七弱)(次求乙子得○○一以并)(丙乙得一一○四戊子子)(丙各自之并而开方得一)(一二五不尽为戊丙又子丙与全数若戊子与丙角之切线得一十二度一十○分为乙辛弧)次以甲巳乙弧并乙辛得三百四十五度一十一分其余弧一十四度四十九分为甲辛或甲丙辛角次戊丙丁形有戊丙一一二五有戊丙丁角(戊丙甲角之余)一百六十五度一十一分丙丁为全数求戊丁丙角(引长丁丙边从)(戊作戊子垂线戊子丙直角形有角有边求戊子为二八七子丙为一○八五)(子戊丁直角形有两边求第三丁戊得一○一八五为月距地心次求丁角为)(子丁边数与全若戊子边数与丁角之切线二八四查表)得一度三十八分如上所测数为确合第二法太阳经二百六十九度○四分太隂经二百五十七度四十三分太隂自行为一百二十二度四十九分日月相距为一十一度二十一分倍之为二十四度四十二分如图甲乙为太隂自行度壬戊为倍数丙乙戊形有丙乙乙戊两边有乙角壬戊弧之角求丙角得五度五十二分为辛乙弧求丙戊边得五十六分以乙辛减乙甲(自行不过半周故应减)余一百一十六度五十三分为甲辛弧其余六十三度○七分即辛丙丁角次丙戊丁形有丙戊丙丁两边有丙角求丁角得四度四十二分为白道上之庚癸弧因在自行前半周以减平行得二百五十三度五十七分是太隂本时之实经度(从春分起算)篇中屡言黄平象限者是黄道在地平以上之九十度限也两道在地平上下皆半周赤道恒定不易其半周上之九十度限恒在午正线黄道斜迤时时不一其九十度限时东时西又随地多寡若极出地四十度则差多者至距午二十五度惟南北二至乃与午线同度分耳其法其表详载交食厯今略举如左 法欲求本地本时之黄平象限于本月日时简本地本宫之黄平限表其第一直行本日之月离宫度也第二第三四行为其时分秒第五第六为其月离象限度分先约得月离经度若干极四十度表有时之秒他极减之而少一行查表取其横相对时分(子正起算)得某时月在黄平象限更以本时简月表求月离经度得某宫某度分又对取其时分为月在象限之正时 假如崇祯四年八月十四日求本日何时月在黄平象限先约月在娵訾宫六度本表求时得二十一时○一分五十三秒以此时查月表求月经度得本宫七度一十分查时得二十一时三分五十三秒为月在黄平限之时可测其髙欲宻合更以此时求经度更求时系凡月生明或生魄作直线聨两角此线若过天顶为地平上之垂线即太隂必在黄平限㸃上而此直线亦与白道为直角引长之必过黄道之极(黄白二道在太隂厯中每作一)(道论其差甚㣲故)此线直过天顶及黄道极必分地平上之黄道弧为两平分(此两圏相交有细解其本论见球圏原本)月望时无从得角从月驳定月体之南北两极如前直线用之知其过黄道极及在黄平象限之上二十八宿距度第十四中西古今厯法理同数异大同小异理大同者共戴一天同资七政也数小异者如周天有平度日度度法有用六用十之类会而通之罔或弗合亦无害其大同也独恒星宫次中厯依赤道为二十八宿北为三垣南方无垣则附见于诸宿西厯依黄道为十二象通计南北为五十二象此即大不相侔矣以故回回厯翻译并存今恒星厯各注黄赤经纬度分星名位次皆按中厯更定免致凌杂而间考西古太隂厯则亦有二十八舍译谓月所宿留之处即又与宿次同义且二十八距星亦皆脗合其不合者独觜宿距星不用觜用天闗耳竟不知其何繇而同若疑上古相通则此法之外又何以毕无一合亦一竒也其诸法义图表俱见恒星厯指今欲推太隂宫宿度仍用本表先定黄道所离经度依表求得本时刻太隂所离某宿某度法曰表中求月所离之宫度数内减去近小宿数所余者为本宿之度分假如月离鹑火二十八度三十七分本宫近小数为星宿二十二度○九分相减之得六度二十八分乃月在星宿六度有竒宿距星在宫次 度 分 宿 宫次 度 分择月食以定交周第十五如上论定朔望转周实经度讫次当定交周度分其法亦用两月食两食者须太阳之距最髙等须太隂自行度等须食分等须食在阳厯或在隂厯亦等乃可推月行交道满若干周而复还于故处第旧史不载食分亦不载隂阳厯无凭推步即西古多禄某(汉顺帝时)亦未觉太阳之最髙随天运行(顺七政右旋每百年约行一度)故所择两月食见黄道上之经度等即谓太阳之距最髙亦等而实则不等兵法亦不可用至近世歌白泥(正徳间)择用两食于法为合但所用两食一在阳厯一在隂厯虽内外不等而度分之对待相等如日月之在朔望皆名交会不害为可用也第一食总积之四千五百四十年为汉文帝六年日躔大梁宫六度四分五月(酉月也实建申之月)初二日子正后三十一刻(顺天府时刻不见食甚)月食十二分之七在阳厯中交即月在南初亏东北于时月自行为一百六十三度三十三分(多禄某歌白泥两算同)均数为一度二十三分(未满半周一百八十度故用减法)第二食(歌白泥所记)六千二百二十二年为正徳四年己巳日躔实沈宫二十一度六月(实建酉之月)初二日子正后二十四刻一分(顺天府时刻不见食甚)月食十二分之八在隂厯正交即月在北初亏东南于时月自行为一百五十九度五十五分两食时月自行差止三度半可勿论其日躔前后相距不等然多禄某所测太阳最髙为实沈六度所用食时日躔在最髙前三十度弱歌白泥时最髙在鹑首五度所用食时日躔在最髙前十四度两距之较虽十六度以最髙旁近度距地心之数为差㣲即地景大小无二亦可勿论今论两食时之月自行畧等太隂距地心之度分畧等则所差者在食分也为十二分之一计两食之中积为平年(三百六十五日)一千六百八十三年八十八日九十刻○五分或六十一万四千三百八十三日九十刻○五分得交会(即朔望)二万○八百○五会交终则二万二千五百七十二周外余一百七十九度二十四分(后食大于前食为十二分之一月体之径于天度畧为三十分则食差为二分三十秒交前后之纬)(距二分三十秒其经度为三十分次食既大于前食即近交其较半度则未满丰周之较为三十分查表求两)(食之两均数一加一减其较二十一分以减三十分得九分为不及半周之数实余一百七十九度五十一分)上文推定(依巴谷及多禄某先后推定见本篇第四)月交会五千四百五十八则交终五千九百二十三依此用三率法以交会率(二十)(九日有竒)为法中积日为实而一得二万○八百○五会再用三率法以交终为法而一得二万二千五百七十七交半置交数(二二五七七半)以三百六十乘之以会数(二○八○五)而一得一会时(二十九日有竒)交行之度分又以会数(五四五八)为一率交数(五丸二三)为二率一日之太隂平行(一十二度一十一分二十七秒)为三率求得一十三度一十三分四十六秒为一日交行之度以日求月求年凖此法论交行第十六交行有二一顺经度行一逆经度行顺行者月平行一日一十三度一十三分四十六秒是为月行距交之度则以交为界又如前定月平行一日一十三度一十分三十五秒○五㣲是为月行距宫次或节气之度则以宫次或节气为界两数之较得三分一十一秒是则两交一日逆行之数所谓罗计行度也顺行者如七政右旋自西而东逆行者如宗动左旋自东而西右旋者先降娄次大梁左旋者先𤣥枵次星纪故月行两界一为定界一为不定界定者宫次如娵訾等节气如冬至等不定者谓正中二交也两界则两数其较则为不定界之行分不定界之数大于定界之数故累积其较则与月行相背矣交有平行又有自行与日月相似自行有迟有疾黄白二道之相距亦时多时少古来未觉有此第谷累年宻测得交行惟朔望时无加减(与日在最髙最髙冲同理)恒得五度弱过此渐加至两弦而极而此自行恒半月满一周(与太隂次轮行)(度同理)如图甲为月天球上之黄道一极人目在他极外斜看黄道面戊庚己为黄道圏去甲五度○八分得乙乙为心作戊癸己球上大圏为平白道两圏相遇各平分于己于戊为两交庚癸相距之限五度○八分是为两交相距之中数(两相距之小数为四度五十八分三十秒)(大数为五度一十七分三十秒相减得较半之以并小数得五度○八分相距之中数也)而己戊为两交平行之处次乙为心作丁丙小圏其径为大小两数之较一十九分小圏之周恒负正白道之心(如黄极遶赤极作一圏名极圏又白极遶黄极)(作一圏名白极圏此小圏与之同理正白道之心如丙丑丁寅皆是也)半月(十四日有竒半朔策也)行一周若正白道之心在丑(最近黄道极惟朔望则然)以丑为心作球上大圏如辰辛子辛为正白道(若球上作大圏过白黄两极宜为乙丑庚弧今依视法作)(直线)其距黄道为辛庚(本大圏之一弧)辛癸为中白道正白道之差而正白道两交黄道于辰于子则辰子为两道(朔望时)之正交是交食所用之两交也若正白道之心在寅(两弦时)以寅为心作夘壬未大圏定癸壬为中白道正白道之差而庚壬得五度一十七分三十○秒是为黄白二道相距之极逺(寅心距甲心为极逺故)则夘未为两逺交距戊巳两平交为戊夘未巳距夘未两近交为夘辰未子(逺近者两弦之交近交者朔望)(之交平交者半弦策之交)凡正白道心在寅之上(两弦前后)丑之下(朔望前后)若干度分则中正两白道之大距(相距之最逺)在壬之上辛之下亦若干度分而两交在夘未之上辰子之下亦若干度分若正白道心或在丙或在丁则正中两道之大距相合于癸弧之上而丁甲癸或丙甲癸为两象限两交则在辰夘子未之间戊巳之左右本厯表中有正交之加减有正白道与黄道相距之度分其原葢出于此如图正白道为辰辛子即有辛辰庚角可推正白道之各度分距黄道若干(与黄赤二道距度同法)若在癸在壬俱倣此若正白道在辛癸壬之外(在辛壬限内而不在三㸃之上)则先求丁之上下距甲若干以得癸之上下距〔？〕若干葢丁甲癸为一象限甲癸庚亦一象限甲丁大癸庚亦大若小亦小其加减率及用法见本厯表定交行之厯元第十七上文言择两月食以定交周因其经时若干而满周以知交终及歳月日时交行之数然止用两食相对较勘多寡不知其距交几何度分今欲审某时距交若干以定交应亦须两月食其距太阳之逺近等两食分等两食之在隂厯阳厯正交中交等既诸率各等则距交必等因而析取中数则得本时正交所躔度分(此歌白泥法)第一食(多禄某所记即前第六章定本轮所用第二食)总积之四千八百四十七年为汉顺帝阳嘉三年甲戌十月(建戌之月)二十四日子正后一十七刻(顺天府时刻)一十分月食十二分之十在黄道南初亏东北于时太阳躔夀星宫二十五度一十分月自行为六十四度三十○分用减法得均数为四度二十○分第二食(歌白泥所测)总期之六千二百一十三年为𢎞治十三年庚申十一月某日子正后三十一刻正(顺天府时刻)月食十二分之十在黄道南初亏东北日躔大火宫二十三度一十一分(两食之中积时为一千三百六十六年其间太阳行最髙一十六度有竒以减日躔)(两度差二十八度得一十二度为前后日距最髙之差日在最髙旁近其距地之差甚㣲地景无二与无差同)月自行为二百九十一度三十五分用加法得均数为四度二十八分两食时月本轮最髙前后等距(前过最髙六十四度后未至最髙六十九度其较五)(度距地之差甚㣲与无差同)食分大小等初亏方位等则两食之月距交等度(中积为一千三百六十六平年三百五十八日一十七刻九分)此时自行满交周外其距交为一百五十九度五十五分如图甲乙丙丁为白道乙丁为正中二交甲为北为内为上为隂厯丙为南为外为下为阳厯乙戊己丁为距交等之两弧是两食时月体一过交一不及交之度戊在乙交之前已在丁交之后前食用减法得均数四度二十○分(减者月在)(自行之前半周依表平交行为甲乙庚减庚戊得甲乙戊戊为月所至之实处)取戊庚后食用加法得均数四度二十八分(加者月在自行之后半周依表平交行为甲丙辛加)(辛巳得甲丙己巳为月所至之实处)取己辛庚辛为两食中积月距交之平行一百五十九度并戊庚辛巳得戊丙巳两距之实行一百六十八度四十三分其余一十一度一十七分为乙戊丁巳两弧并半之得五度三十九分为两食时月距交之度乙庚得九度五十九分若半交甲为界则甲乙庚得九十九度五十九分是第一食时之交行根所谓交应也若他时他处求交应依此加减之今拟崇祯元年戊辰天正冬至为厯元顺天府为厯元本所如日躔表推算本曜恒年表(如后卷)交行两界任用但月体行度多端差数繁曲既成加减均齐则或用定界从宫次节气起算或用不定界从罗计起算所得正等测黄道白道相距度分第十八西史多禄某(汉光武时)其地为北极髙三十○度五十八分用三直仪(测髙仪皆可用)测得月轨极北距天顶二度○七分以减北极出地度得二十八度五十一分为月距赤道度分于时黄赤距度为二十三度五十一分(黄赤距古逺今近说见日)(躔厯指)以减太隂距赤度余五度正为黄白相距之度此测因月近天顶地半径差极㣲可以勿论又轨度最髙在清蒙限外亦无差分若在近浊测月轨髙不先定地半径差清蒙差以为加减即所得者非实度分西古史多言黄白距五度正上古则云四度五十八分回囘厯则五度○二分皆不逺近世第谷(万厯间)宻测详推功倍古人其言曰朔望时古测仅少一分半若上下两弦则五度一十七分本书有测法有算数今略举如左总积四千八百○○年为汉章帝章和元年丁亥八月(建未)(之月)十八日(本地)午正后二十九刻一十分月在正午时为上弦依本表算得距交八十六度一十七分于时测得月距黄道(地半径蒙气二差俱加减讫外)为五度一十三分 (右二则所言度)(分通为日度则五度一分半者当为五度九分八十二秒五度一十七分者当为五度三十六分五度一十三)(分者当为五度二十九分)大统以前诸厯黄白相距俱六度正通为平度则是五度五十五分距度恒大于西术以推算月食往往小于天验殆縁于此西术定黄白距度求月轨极髙得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此古今通法但多禄某当汉光武时去今一千四百余年于时黄赤距为二十三度五十一分所减大所余必小今时则二十三度三十一分半所减小所余必大故今之黄白距较古为大(是黄赤渐近而黄白不移)(其所以然难可窥度)又恒星厯言近至之恒星古今纬度不一在冬至则南纬度小北纬度大在夏至反是亦黄赤渐近之徴也今推黄白距度列表略同黄赤距度法(见日躔厯指及测量八卷)其用法见月离表论月视差第十九日躔厯指论地球半径与月天半径为比例若本天视地为逺为髙则比例为小若为近为庳则比例为大(两数相近)(其比例名谓大相逺名为小)凡视差有三(清蒙不与)一曰地平纬差二曰黄道经差三曰去极纬差其根则一地球之半径是也葢推算之地平纬恒与地心为对人目所见之地平纬恒与地面为对故因地之半径而生视差若日月星在天顶即实行与视行为一线即测騐与推算为一率自此而外七政皆有视差但以去地逺近出地髙庳分别大小耳今所论者地平纬差也(余二差详见交食厯指)前史谓之南北差因曜实在北所见在南故立此名今通称之求月视差法依表算得月在极南(即冬至但此论经度非时也故称南至以别之)近冬至十度以内又在两交之中(正半交中半交黄白相距极逺之际)又在黄平象限之上测其地平以上之髙是为视髙次用赤道出地度南至距赤纬度太隂距黄纬度推得月在地平以上之髙是为实髙次以视髙减实髙其较为地半径之视差 若不用南至任以恒日依表推月过子午线或黄平象限上求其黄道上经度及其距交经度距黄纬度得地平以上之实髙亦测其视髙两数之较为地半径之视差此法古今累测所得数无异略举如左总积四千八百四十八年为汉顺帝阳嘉四年乙亥十月(建酉之月)初三日西史多禄某在本地极髙三十○度五十八分太阳躔夀星宫五度二十八分月在子午线亦为黄平象限(凡两至在黄平象限与子午线同度)推其经度为星纪宫三度○九分月距交为七十四度四十○分其距黄纬度为四度五十九分计本地赤道髙五十九度○二分星纪三度九分之距赤纬于时为二十三度四十八分以减赤道髙得纬度髙为三十五度一十四分(黄道某度地平上髙)加月距黄纬度(在黄道北故加)得四十○度一十三分为太隂之实髙次测得三十九度○五分为视髙一推一测其较一度八分为地半径视差又总积六千二百三十五年为嘉靖元年壬午九月(建申之月)二十七日午正后二十二刻一十分西史歌白泥测得月轨视髙七度一十分于时日躔夀星一十三度二十九分月自行得三百五十八度为本轮之最髙推黄道经为在星纪一十二度三十二分距交七十二度五十二分距黄纬为四度四十七分因推得月距赤道二十七度四十一分本地赤道髙三十五度三十八分减去月距赤道度余七度五十七分为月在地平上之实髙一测一推之较为四十四分即月在最髙地半径视差右两术所推太隂之地半径差各依本法论定太隂出入地平时若在本轮之最髙则多禄某为○度五十三分歌白泥为五十分若在最髙冲则多禄某为一度一十九分歌白泥为六十六分异同若此将何适从所以然者縁两史测月时未悟月近地平有清蒙一差故也(说见)(日躔厯指)清蒙映物能升卑为髙凡测月之地平髙所得数乃所见之视髙(与人目平行)非月行之实髙(与地心平行)以地半径差减实髙则为视髙又以清蒙差加视髙则为真视髙近世第谷依此法推得太隂出入地平时在最髙为五十六分二十一秒在最庳为六十六分○六秒其各逺近之差在多禄某为二十六分歌白泥为一十六分第谷为一十分三家皆有地半径差表今以第谷(新术为正)以地半径大差求月距地心第二十如图甲为地心乙丙为视地平乙甲为地半径丙角为视差(用第谷之大数)六十六分○六秒乙为直角乙甲半径为度(为度者恒呼为一以上累加之)求月距地心之甲丙法为全数(内)与乙甲(外)若丙角之余割线(内)与甲丙得五十二又十万之二万一千○二十五是月极近地为五十二地半径有竒若用小数五十六分二十一秒推得六十一又十万之二千七百八十二系既定甲乙乙丙之比例若有月距天顶之戊丁弧或称戊乙丁角或称丁乙甲之余角任髙任下皆用甲乙丁形有乙甲甲丁有丁乙甲角求乙丁甲角恒为地半径之角如前论月本天本轮次轮各半径之比例为十万为一一○二为二二一并之得地心至太隂极逺(最髙)之线一一三三三次用变率法一一三三三得六十一地半径又十万之二千七百八十二则本轮之半径一一○二得若干次轮之半径二三一得若干依此推之系如图得丁戊(月距地心十万分之)(几)若干数亦可得月距地心若干地半径数有表(图说见前)二系地半径差月距地心恒互推三系若定地半径若干里亦可得月近逺若干里(有本解)论太隂清蒙气第二十一日躔厯指有论有法以测清蒙差度分因之列表凡测太隂得其视髙则求地半径差加之得数又以清蒙气差减之为其实髙凡推太隂得其实髙则以地半径差减之得数又以清蒙气差加之为其视髙但清蒙之差因地因时所在各异今表其折衷通用之率也必求本地本时之确数宜随处所积歳月累测以定之测月径地景径第二十二测日月径度西古史有本用仪器今以月食立法则厯家之正术也总积四千○九十三年为周襄王三十一年〔？〕子月日子正后(顺天府时刻下同)四十一刻○五分月食十二分之三约为四之一于时日躔降娄宫二十七度○五分月离夀星二十七度○五分月自行为三百四十○度○五分月距交九度二十分距黄道北四十八分半(依表算)又总积四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅月日子正后一十四刻○五分月食十二分之六约为半径于时日躔星纪一十八度一十二分月离鹑首一十八度一十二分月自行二十八度五十四分(前食月距本轮最髙)(二十度弱两食之较八度有竒俱在本轮上弧不能变逺近之数)月距交七度四十八分距黄道南四十分四十秒如图日光照地面即地背生景形如角体渐小以趋尽月过交入地景(一名)(暗虚)有髙庳食分为之大小今两食时同在最髙之左右其距地等食分一为半径一为四之一其较为四之一距黄道一为四十分四十秒一为四十八分三十秒其较七分五十秒依法算月径四之一得七分五十秒依法四之得三十一分二十秒是月距最髙二十度之似径也测月径度法详见三圜比例说系凡食分为月之半径即月距黄道为景之半径因上数当食时地影半径为四十分四十秒二系若食时能测定食分又推算得躔离自行距交距黄等诸率可得月径及景径不必用古两食法日月距地率日月实径率地景长率总论第二十三如图乙甲丙为日已丁戊为地日光照地以两光线从乙过己从丙过戊而遇于丑是生已戊丑角体之景次从乙从丙至地心作乙丁丙丁二线又作甲丁丑线过日地两心次从地心丁上下取月距地心之数(地半径为度如上文)(所定)为丁庚为丁寅两距等作庚辛壬巳戊寅子线皆平行其太阳似径之度为三十一分二十○秒(欲解其义先定太阳)(之似径此在三圜说有各种法今用者古多禄某所定也又太阳行最髙最庳不等似径亦不等本章所用者)(日在最髙之似径也论月亦在小轮之最髙如下文)庚辛丁直角形有庚丁(月距地)六十四又六之一有丁角(甲丙)(庚)一十五分四十○秒求庚辛法为全(内)与丁庚六十四又六之一(外)若丁角之切线四五五(内)与某数(外)得地半径十万分之二万九千一百九十六次求寅子(〔？〕壬)(丑三角形内有庚壬丁戊寅子三线相距等用递加法三率之第一第三井为第二率之倍数)庚辛为月最髙半径度依多禄某说约与日半径度等又寅子为地景之半径四十分四十秒即两数之比例(庚辛十五分四)(十秒寅子四十分四十秒)为若五与十三先得庚辛二九一九六用三率法得寅子为地半径十万分之七万五千九百○九以并〔？〕辛得一十○万五千一百○五以满丁戊之倍数二十万为不足地半径十万分之九万四千八百九十五为辛壬(丁戊倍之为二十万与〔？〕壬寅子并等于倍数内减〔？〕辛寅子井所余为辛壬)次丙戊戊丁两线所作戊角拟为直角(实非直角其差极㣲非算所及)丙戊甲丁两线亦拟为平行(实非平行以差㣲故)用几何法(第六卷第二题)为戊丙与壬丙若丁丙与辛丙又丁甲与庚甲若戊丁(地半径十万)与壬辛(九四八九五)既丁甲与庚甲若戊丁与壬辛则甲丁为十万(若戊丁)庚甲为九四八九五(若壬辛)所余之庚丁必为○○五千一百○五先定〔？〕丁为六十四地半径又六之一依变率法求甲丁得一二一○是日距地心如地之半径者一千二百一十也以上系古法后世累代宻推有亚巴徳于总积五千六百○四年为唐昭宗大顺二年辛亥推得一千一百四十六倍歌白泥于正徳间推得一千一百七十九倍第谷于万厯间推得一千一百八十二倍此差列数至微推算极难或日径月径加减以分计则其差以数百倍计故名厯家于此殚思竭虑焉今时所用大都歌白泥之率也一系依上论丁戊地半径为一万分庚辛月半径为一万分之二千九百二十六是为地月之两实径用此比例可推两体之比例二系甲丙丁庚辛丁两形相似则庚丁与庚辛若丁甲与甲丙推得日实径与月实径之比例三系可得甲丙与丁戊日地两实径之比例 以上三系详见三圜说四系置日距地度及日与地之比例又距月行本轮距地度(于上图为丁寅)可得月所过地景之径列表其引数为月本轮自行之数然图说所设者日在最髙若去最髙即复异此故表有本行名地景差其引数为太阳之引数以所得之分与引数相减即得(无加法)葢日在髙景大在庳景小故也月距地视差视径三家异率第二十四汉章帝时西史多禄某术月距诸率为地半径 地半径视差 月视径十单又十分(六十为半径)度十分(天度) 十分十秒正徳间西史歌白泥术万厯间西史第谷术第谷及其门人刻尔白改之法今所用又测太阳视径为冬至三十一分半夏至三十分新法算书卷二十九
## 卷三十
钦定四库全书
新法算书卷三十 明 徐光启等 撰月离厯指卷三三圜比例说第二十五三圜者日一月二地三皆为圜体厯家先求其比例大小逺近之数为测騐推算之基本此诸数者骤言之似出恒闻习见之外故是信情所不能及如太阳之体目视之不过数寸耳曰大于地球之体一百五十倍谁即信之月与日人目不能别其大小曰月之体小于日㡬千倍谁即信之然从古至今诸厯名家测騐推算以理以数反复论定咸宗斯指迨用以求七政行度交食合㑹一切诸法非此不合即又无能不信也先臣邓玉函定著一书甄明此术引入月厯疑于过繁今择其要切者著于萹凡为题十借题一共十一题借题(借题者不属本论借外论以为义据下文所必须也)一地体为圆球(见表度说及地球图说)二地球在大圜之中心(见测天约说及表度)三目见物仅能定其似大小 目接于物物之诸分皆发本象来至于目目则全收其象云收象者非在目之外郛也睛本圎球有同鸟卵重重抱裹收象之处在其最中谓之瞳心若目视物之两端则四和线发来至瞳心合而成角为角体之形若视物之两端则两腰线发来至瞳心合成三角面之形凡角之末锐必在瞳心名为视角角之大小称物之大小若视角极㣲目不见物乃不能定其大小若视角过大则目眶所限不能尽角之广必移目两视乃得全见四同是一物在近见大在逺见小 以三角形之理明之如图甲乙同底若腰长则底之对角必小(甲乙线以近逺生目中视角大小)五未定物之近逺目不能定其实大小 近逺大小视法皆有比例六近逺两物大小不等若小者在近大者在逺而视角等则目定其大小亦等(如日月之视径等不知者疑其大小亦等不能辨其逺近不能)(分似大实大故也)七有光之体体之各分能发光八光景之限难分凡有光之体体之四周皆有切气借光于体亦可当有光之体而发浮光故表景之末渐至虚淡其浓实者是正光之景其虚淡者则浮光之景第一题测太阳太隂之视径 凡八法月去人近日去人逺先得月之视径及其视差乃可求日之大小逺近故先求月之视径 视大小之度在瞳心之视角角之度分即对弧之度分 人目在大圜之心(或在地心或在地面今此无分不烦别论)则天上度分为目所定视大小之度分故论日月视径皆用周天度如曰半度曰三十分则周天七百二十之一也第一法 古用壶漏法(西土厄日多国人所剏)从午正初启霤至明日午正止权其废水得重若干次候月初升启霤(用原)(壶原水)升竟则止权其废水得重若干次用三率法先水若干得九十六刻后水若干得几何刻分为月径全升之时再用三率法得为全周之几何古亚利谷以此定为七百二十一分之一约为二十九分五十九秒 古依巴谷定为三十三分一十四秒 加白蜡定为三十六分 以上三术未定太隂最高庳自行近逺数多不合又水漏法参差之縁甚多难于切准或用沙漏自鸣钟其定太隂升降与此同法 以下诸法测日多通用第二法 后此厯家谓太隂出入升降舒亟无恒或经时不行(太白升降有时迟至一刻不见运动)或俄然陨坠凡此皆清蒙之气所为也则蒙气之中未可以行定时以时定径更立法植物为表或版或墙在目之南表之西际以当午线目在表北依不动之处候月之西周至于午线便须启霤(或水或沙或自鸣钟)候体全过午止霤考之得时得度与前法同第三法上法测用月午可免清蒙之差然月行自有迟疾以时定径亦未能得其实经度也第谷别立一法两人用两象限仪候月正午同时并测一测其上弧距地平若干一测其下弧距地平若干两数之较为月半径如总积六千三百○○年为万厯十五年丁亥在其本地测得上弧距地一十五度二十分下弧距地一十四度四十分其较三十四分为目之似径度分第四法或用横直二表及景符直表平圭定上弧之高横表立圭定下弧之高相减得径(用表求高)(法见测量十卷)第五法两人同时同测一以表景求高一以象限求高两高之较日月之半径也表景得上弧之高象限得心之高第六法 第谷及其门人刻白尔借古依巴谷多禄某法为木候仪先作木架立柱高与人等柱端为两运之轴(一周)(转一上下)木为长衡三分之一在前二在后而入之轴上下左右无所不可至也衡之两端各立一表上表中心为圆孔径二三分下表与上表同心从心作圏与上孔等圏之外更作数平行圏两表之间为景箫(法见测量全义十卷新仪觧)以束上景而致之下表也箫之下端剡寸许缺之令旁见下表之景圏或不用景箫则设之幽室独直上表其外以受日光达于下表室须黝黒绝无次光(日月火所照皆为正光所照之外而能见物皆其次光也)乃得实景用时以上表承日光在下表则成圆形必合一圏(不合更作合者)如甲为下表之心甲乙圏与上孔等光之半径为甲丁取丙丁与甲乙等作丙圏即甲丙与乙丁亦等乙为日周其光至丁甲为日心其光至丙是两表相距若干因生大甲丙之光若干用三角形法求甲丙于两表之距度得几分即见日视角之度分法表相距之几丈尺与全若甲丙与视角之切线(查八线表取数)刻白尔用此候得冬至日径为三十一分半夏至减一分有竒为是三十分则半度也第谷之表间一丈四尺冬至得三十一分(较刻白尔为少半分)系日视径有大小则为日之近逺既有近逺安得无最高最庳大不恒在冬至小不恒在夏至而有运移安得谓最高最庳不有运移假令不信日有自行则视径大小无义可说 若无本仪则于宻室中穴墙壁以版如上表法承日别用平表凖下表以受光诸法同前作孔或方或撱无所不可若测月径光淡难分则上表之孔特宜加大刻白尔所测为月平(两留际也)距地少至二十九分半强多至三十一分一十二秒弱(光淡难定故)极近距地少至三十二分强多至三十四分一十八秒弱第七法 以逺镜求冬夏二至两径之差法木为架以逺镜一具入于定管量取两镜间之度后镜之后有景圭欹置之管与圭皆因冬夏以为𫖯仰其管圭之相距则等至时从景圭取两视径以其较较全径为二至日径之差第八法 测月求附近两恒星一左一右与月叅直以月之两弧当两星用纪限仪或弧矢仪测其两相距度分得径分系月高庳有四限一在本轮次轮之两最高为极逺二在两轮之两最庳为极近三在本轮之高次轮之庳为中逺四在本轮之庳次轮之高为中近各限之径诸家所测多不等极近或曰三十三分或曰三十四乃至三十五分三十秒中逺中近或曰三十一分或曰三十二分三十五秒极逺曰二十九分三十杪问古今一月也古今一仪也诸名家所测乃尔参差何以故曰其故多矣或人目有利钝不等或夜有幽明不等或太空氤氲之气有清浊厚薄不等是皆能变易视径为大小其正法以月食为本(见本篇第)本卷求日月径多从歌白泥所测葢取诸天騐月厯中大都宗本其说第二题日月视径大小古史记日食既者或言昼晦恒星皆见鸟栖兽宿或言月不尽掩日有金环系如图中月全掩日即其似径与日似径等此则食既于东生光于西既与甚同时不移晷也如右图月体不足掩日则有金环月之似径为小如三图则食既以后更有食甚久而生光月之似径为大所以然者日在最高月在本轮最庳日高故视径小月庳故视径大则掩日有余也日在最庳月在最高日之视径大月小则掩日不足也俱在最高俱在最庳故两视径等则掩日适足也第三题日食时月视径之小大随地不等旧法于日全食时测定月之视径随时不等曰日在最庳月在最高则两视径约皆三十一分是以月掩日为适足若日高月庳是日小月大以月掩日则赢矣而或谓全食时有金环是有时月小而日大或曰无之此两说者古来通士疑弗能明也至近今二十年间名厯蔚兴世济其美辨义既晰测候加精因而南北恭订然后乃知两视径随地各异究极根缘又知日食时绝难定视径之大小遂使千年疑障豁尔蠲除繇是观之理弥析而愈有智日出而靡涯数甚赜而难穷岂可见限自封谓循古为己足哉按总积之六千三百一十四年为万厯二十九年辛丑十二月(建丑之月)朔西士某者第谷之高第弟子也于诺物亚国北极高六十四度有竒本日未初刻测候得日全食月掩日不足四周都有金环广寸许约两视径为日大与月小若六与五于时推得日躔星纪宫二度二十二分是近最高冲其视径当为三十一分月自行四度三十八分是近最高其视径亦当为三十一分依恒法即两曜之视径宜畧等以相揜宜适足今实测为大小不等若六与五同日其同门刻白耳于玻厄米亚国北极出地五十○度有竒则得月之视径为三十分半其相揜乃至尽又总积之六千三百二十一年为万厯三十六年戊申八月(建酉之月)朔于某地北极高约五十一度依法推得日食六分之一至期实测适合是为两视径相等同日于某地北极高五十七度推得日食十二分之一有竒至期实候悉不见食是为日大月小两视径不等从上两食两名士功力悉敌秒分不爽人所共信宻推宻测无从得言作用有差而易地相方乖违乃尔盖逾近北日体逾大月逾小逾向南日体逾小月逾大以此见两视径不止随时大小亦随地大小又见日食时未能得两视径之真率又见日食分数未合不必尽因推步然其故何也因之推本其故有二一曰蒙气差一曰光体差一者清蒙之性能令有光之体展小为大如日月星出入地时本体皆见为大其相距间亦见大又如平面玻璃镜以鉴物则景较形为大如轻云薄雾笼罩日体亦见为大皆是也今二史者一在诺物亚于时日轨高仅三度又冬月地寒在海中皆积气厚蒙之縁也故日体得展小为大月无光则小于日一在玻厄米亚极出地减前一十四度又居平原不迩江河湖海于时日轨高一十六度蒙气已消日体无繇得大则两视径等也是一差也二者月在日下人目视之叅直是生角体之形其底月体其末锐入于人之瞳心其周面则有光无光之界也两界间蒙气愈厚生光愈多其照耀之势侵入于角体则月之魄体能为小如图目与月与日相恭直依推步法两视径等然自目至月其间有气气映日生光必越本界而侵入于角体之限人目遂不能全见月魄故魄本非小视之若小系日食时因气清浊为人见大小二系日食之视分多寡因去极逺近若本地去北极近则日轨庳则气多则分数少去极逺则日轨高则气少则分数多(推步得数等窥视即不等)何者蒙气多日轨庳熯湿之力未获全成即光大魄小故也日高者反是因上论日之光体人视之有时能为大月之魄体人视之有时能为小近岁名厯家既明其义(第谷之遗书多所未竣门人刻)(白耳辈增修其业日就精㣲)因用视法(依日轨高庳论蒙气厚薄)用测量法(推步定法)立为均数列表以定日食时太隂太阳之视径从极出地二十度至七十四度或于太阳用加差或于太隂用减差其理一也表入交食厯中第四题日月之视径与食径大小绝异是其征有七凡视径(与似径同)时见大时见小必非其实也视也一征也即有时等而日在上去人逺月在下去人近则日之实径必大月必小二征也月掩日下土所见九服各异如此方此时日全食南北相去四五度(二百五十)(里而一度)即不见全食东西同时亦不见全食是则月入地球为小地视日亦小月视日更小三征也地景短不能食荧惑何况岁星以上则地小于日月过地景则食食时见月小于地景则更小于日四征也七政各有性情能力施暨下土其势畧等乃其视行有疾有迟行迟者其天周大人见为迟本行自疾所以然者逺故也近者行疾其天周小如舟行大水逺见行迟近见行疾因是能方所施近而疾者其见功亟逺而迟者其见功缓五征也月距日九十度其光过半圏则发光之体大受光之体小六征也因上推月距地为地全径者三十日距地为地全径者六百○五则日天比月天其大(算周)约二十倍日本天半度月本天半度则其比例为一与二十七征也第五题月视地为小义见全题三征四征第六题月天视七政天为小去人最近曷知之以交食知之凡言食者物在于彼有他物隔焉或亏或蔽则谓之食所食者必逺能食者必近也所食者必在外能食者必在内也以球论则内近心者必小外逺心者必大也试观月掩日日为之食日外月内不待言矣月掩恒星星为之食星外月内不待言矣独月与五星厯家言有时星食月有时月食星亦未然也夫星固未始有在月下者也厯稽古史多言月食五星而不言五星食月斯著明已今录略如左月食辰星一总积五千四百六十八年为唐𤣥宗天寳十四年乙未十二月月食太白一总积五千五百五十○年为唐文宗开成二年丁巳二月己亥日二本年七月丁亥日三五千五百五十五年为唐武宗㑹昌二年壬戌正月四本年三月五六千○五十五年为元顺帝至正二年壬午七月乙未日月食荧惑一五千五百二十五年为唐宪宗元和七年壬辰正月辛未日二五千五百四十四年为唐文宗㤗和五年辛亥二月甲申日三六千○百二十七年为元仁宗延祐元年甲寅三月壬申日月食岁星一五千四百七十五年为唐肃宗寳应元年壬寅正月癸未日二五千五百一十九年为唐宪宗元和元年丙戌二月壬申日三五千五百四十八年为唐文宗㤗和九年乙夘六月庚寅日四本年十月庚申日五五千五百五十二年为唐文宗开成四年己未二月丁夘日月食塡星一五千五百四十一年为唐文宗泰和二年戊申正月庚午日二五千五百四十五年为唐文宗泰和六年壬子四月辛未日三六千○○七年为元世祖至元二十一年甲午九月丙寅日第七题求月之实径测月之实径用地径古法也今依歌白泥术月平(两留际)距地度为三十地全径又四之一其视径三十二分二十八秒推算如左如图丁为地心乙甲丙为月径三十二分丁甲为月距地三十地全径成甲丁丙三角形有角有邉求乙丙得千分地全径之二百七十六弱为月全径约之得月一地三倍有半强若以周径法求之则七(径也)与二十一(周也)若六十○半地径(月天之半径)与月天之周依法算得一百九十地径又七之一以三百六十(天周平度)而一得一度为三十六分地径之一十九次以六十分而一率(六十分一度也)三十六之一十九为二率三十二分为三率求得二千一百六十分地径之六百三十六约得二十四之七或三有半之一同上率(若用月五限数所得大数同上零数小异)(不足算)若用古多禄某数平距为四十九地半径视径为三十六分算得月实径为千分地径之二百七十或二百六十七不合天騐今不用若用第谷数得千分之二百七十九比歌白泥嬴千分之三不足算第八题求日之实径如图日距地为地全径者五百八十九有半日视径三十一分四十秒(歌白泥术)即甲乙丁三角形有乙直角有甲丁乙视角有丁乙句求甲乙股法为全与五八九半若一十五分五十秒之切线与股(日半径也)算得二又千万之七百一十五万一千一百九十一半径也倍之得五又千万之四百三十○万二千三百八十二约得日全径为地全径者五又百分之四十三或五又半 或又周径法求之所得数同第九题定日月实径各里数天度里差古今不一今约定南北二百五十里而差一度以天周三百六十乗之得九万里求径得二万八千六百四十八里以日径数(地一日五又百之四十三)乗地径之里数得日之实径为一十五万五千五百六十五里月之实径为地径千分之二百七十六以乗地径之里数得七千九百○七里第十题求日体之容用测量全义第六卷法有径求周(法以二十二乘径七而一)得日体周为四十八万八千九百一十九里求周之圜面积(法以)(径乗周)得七百五十六亿(数万至万曰亿)五千八百六十八万四千一百三十五里求正面积(大平圏之积也法以周之圜面积四而一)得一百八十九亿一千四百六十七万一千○三十四里求其容(法以径三之二乗大平圜之积生球容之数)得一千九百五十○万一千二百六十五亿三千三百四十六万九千五百三十里为日体之容积也(测体之里度者乃实也六面之体各面一里见测量六卷)若以日体较地球之容用上比例数(地径一日径五又百之四十三)其法置五有竒再自之得一百五十一为日体容地球之数若用第谷术(日距地为一千一百五十地半径日视径为三十一分)地球径与日体径为一与五又六之一置五又六之一再自之得一百三十九有竒为日体容地球之数较前术差一十二若用古多禄某术得七十六不合天今不用第十一题求月体之容月之实径与地求径若二与七(或六十分之一十七分九秒或千分之二百八)(十六)置两数各再自之得三百四十三与八置三四三八而一得四十三为月一地四十三以求里数同上法依第谷术为四十二日地月三容积之比例 月一地四十二地一日一百五十一以四十二乗一百五十一得六千三百四十二为日体容月体之数因上法能推日本天月本天可容地球之数测月距地之高第二十六用此法可测日月五星去人逺近度分及自相距各度分第一法两地并测一人在北如顺天府北极出地三十九度五十五分(平度)测时月在午正得其距天顶设四十三度一十三分又一人在南与顺天府之地经度等数(地球有南北度如云北极出地若干)(度南行二百五十里而减一度北行加一度是也名曰地纬度若两地同时刻而见月食是两地同在一子午)(圏下是东西经度也赤道下两地亦相去二百五十里而差一度是名地经度)如广州府(顺天府经)(度约在广州之东为五分刻之三或赤道三度高数甚大不因此差以为乖爽)北极出地二十二度一十二分测时月在午正得其距天顶二十五度一十九分如图丙为地心卯丑甲为地面辛巳丁为子午圏戊丙为赤道线(截球如简平仪法)距赤道戊二十二度一十二分为已是广州之天顶作己丙线截地面于乙乙即广州也又距赤道戊三十九度五十五分为丁是顺天之天顶作丁丙线截地面于甲甲即顺天也次从甲从乙作甲丑乙夘切地球之两线为两府之各地平线两人在甲在乙各测月作视线为甲辛为乙辛作辛丙为月距地心线又作甲乙底线今所求者辛丙也法甲乙丙角形有甲丙乙丙两等腰(俱地球之半径俱为全数)又有乙丙甲角(两地相距之度)一十七度三十八分求甲乙线(法有二一用三)(角形法一用通弦甲乙线者甲午乙弧之通弦也)算得乙丙为十万即甲乙为三○六五四次辛乙甲角形有甲乙邉又有甲乙两角何者甲丙乙形丙角为一十七度三十八分以减两直角一百八十度余甲乙两角并为一百六十二度二十四分平分之得八十一度一十二分为乙甲丙角又先测定己甲庚角四十三度一十三分即两角并得一百二十四度二十五分以减两直角余五十五度三十五分为乙甲庚角也 次以甲乙丙角八十一度一十二分减两直角余九十二度四十八分为甲乙壬角又先测定壬乙癸角二十五度一十九分即两角并为一百一十八度○七分为癸乙甲角也 以求辛乙边法引长辛乙边作甲酉垂线成甲酉乙直角形形有乙角为辛乙甲(即癸乙甲)角之余有甲乙求得甲酉边又求得乙甲酉角以并辛甲乙(即庚甲乙)角得辛甲酉角又求得乙酉边 次甲辛酉直角形有甲酉边有甲角求得辛酉边去减乙酉余为所求辛乙边得五四三四五○约为五十四地半径次辛乙丙角形有乙丙地半径(即全数)有辛乙边又有辛乙丙角何者先得甲乙丙角八十一度一十二分又得甲乙辛角一百二十四度○八分并得二百○五度二十分以减全周得一百五十四度四十分以求丙辛边法引长辛乙边从丙角作丙子垂线成乙子丙直角形形有丙乙边又有丙乙子角(即丙乙辛角之余)二十五度一十九分先求丙子及子乙次辛丙子直角形有丙子句辛乙子股求辛丙弦法丙子辛子各自之并而开方得五五四一约五十五地半径又十分之四强为月距地心之度也第二法本地自测用月全食于食甚时测月轨高又推太阳经度以定太隂经度查高弧表或用测量(全义八卷)法求月在本时本经度之地平实高与所测视高相减为视差角则成三角形其一边为地半径一角为月视高角之加角(本角外加一象)(限)一为视差角法求视余角之对边得月距地若干如西士玉山玉干(厯学名家)于总积六千一百七十四年为天顺五年辛巳六月(建巳之月)某日亥正初刻(本地时刻)月食太阳躔鹑首宫九度三十四分三十四秒月离星纪同食甚测月轨视高十七度半又因本法推日下度月实高度俱一十八度三十一分视实两高之较六十一分为视角之度分如图已为日甲为地壬为月叅直乙丙为实地平癸寅为视地平测日在癸视线为癸辰夘视差角为癸壬甲癸壬甲形有癸甲(地半径全数)有壬癸甲角(午癸辰为视高角更加一象限为壬癸甲角)一百○七度三十○分有癸壬甲(视差)角六十一分又有癸甲壬角(实高角丙甲戊之余角)七十一度二十九分求甲壬边法曰对角之正弦与对角之正弦若角与角置甲癸全数为一算得五十四有半是本时月距地为五十四地半径又半弱第三法本地自测用日食西儒丁氏于总积六千二百八十○年为隆庆元年丁夘四月(建夘之月)初九日午正(本他罗玛府时刻)时日食测候得日轨高五十九度一十分食既有金环于时日躔降娄宫二十八度三十八分赤道北距一十一度○一分四十一秒本地极高四十一度五十○分二十○秒因食既必地月日相叅直为一视线随用月厯表及三视差法推得月实距太阳二十九分以加测高度(五十九度)(一十分)得五十九度四十二分四十四秒为月之实高度分如图甲为地心乙为地面为测目所在己为月丙为日甲辛为实地平庚为天顶从地心过日心作甲丙壬线过月心作甲巳戊线定日月两实高度(或称辛壬弧辛戊弧或称其余)(庚甲壬角庚甲戊角)又从目过日月心作乙巳丙丁线定日月并距天顶度为庚丁弧或庚乙丁角因成甲乙巳三角形形有甲乙边为地半径有己甲乙角为月实高之余度(实高五十九度四十二分四十四秒其余三十○度一十三分一十六秒)又有甲乙巳加角(所测之月视高度加一象限共为一百四十九度一十分)求甲巳边(有二角自有第三角其法两角)(之正弦与两角各对边比例等)筭得五十六地半径弱为月距地心之度第四法本地自测用月食恒星时如上以日食时推月之实高测月之视高立法今以恒星立法如总积六千一百九十九年为成化二十二年丙午太阳躔大火宫六度三十分西史玉山玉干晨见月周下切轩辕大星随时测得本星高四十五度本地极出地四十九度二十六分于时为夘正初刻月离鹑火二十二度四十○分在黄道北距二十六分 有时有极高度有日躔有星高有月下周之视高(恒星之实高与视高为差极㣲)有月之经度纬度可得月之实高(若以月心)(为实高减月半径一十六分得用下周为实高)两高之差以求月距地心如上法第五法推月在黄平象限时或推在南至时或候午线时测其高随时推其实纬度两高加减得视差之角见前卷测日距地之高(附)第一法用测月第一第二法午正时测得日轨之视高随推其本时经度纬度得其实高两高相减得数为视差(名地半径差)或用日躔厯指图有地心人目在地面日在视地平成三边直角形有目心边(地半径)有目心日角(目见日出入时其半在地平上半在地平下疑为初度分非初度分也为所见者视)(地平非实地平也其在中距为差三分最高二五四最庳三○七见日躔表)求心日线法全数(内)与目心边(外)若日角之余割线(内)与日心线(外)算得一千一百四十五地半径为日距地心之度 若日在地平上亦如在午法一测一推求视差第三法用月食正法也(见上章)总论月天象数及表原第二十七依上论分别太隂象数凡为球体者四第一与第二为表里皆与地同心第一球之太圏(一名中圏一名腰圏)为白道白道与黄道两交而分为斜角两交之处一曰正交一曰中交第二球者复球也复球以外大球以内函两小轮焉小轮之大者为第三球名曰本轮亦曰自行轮轮之径为两大球之距小轮之小者为第四球名曰次轮如图外大圏白道也又名月天大圏(〔？〕他轮其中)又名斜圏(斜交)(于黄道)亦名交周亦名龙头龙尾之圏(正交为龙头中交为龙尾本圏两交黄道)(其两交㸃时时迁运)亦名九道(一白道也在黄)(道之四方皆有内外并黄道为九焉元以来不用此术)表里二天中容小轮一体左旋(如宗动天行与七政违行)小轮从之一日行三分一十秒四十七㣲一平年(三百六十五日)行一十九度一十九分四十三秒凡六千八百九十三日有竒而一周四球合体总名曰月本天其南北二极距黄道二极各五度有竒(上论黄白道相距或内或外最逺者五度有竒)夫黄道行天不以黄道极为枢而以赤道极为枢故黄道极去赤道极二十三度有竒而环行名曰黄道极圏月道行天不以白道极为枢而以黄道极为枢故白道极去黄道极五度有竒而环行名曰白道极圏(如上图或图有两黄其外则外天黄道 日天或宗动任意之)月本天中自有三行一曰交行二曰本轮自行三曰次轮自行三行各有轨辙其辙迹安在在其大圜平面也何谓大圜平面如本天白道为大圏(球之腰圏最大)从白道判本球为二即所判之处为两大平面交行在其周本轮次轮行皆在其面也两交一名正交一名中交月在正交向黄道内行九十度谓之正半交此半周谓之隂厯过半周为中交向黄道外行九十度谓之中半交此半周谓之阳厯过半周而复于正交为交终西厯谓之龙头龙尾盖两道间成蟠曲之形腹粗末细有若虫蛇非谓有龙食月如俚俗之说也又谓之登降之交月行黄道内自南之北渐高于地平则言升行黄道外自北之南渐向地平则言降或称外内或称上下其义一也若罗㬋计都之名非古厯所有疑出于九执唐人再用九执厯僧一行写之而未尽陈𤣥景争之而不得独两交犹仍其译言耳本厯恒年表横分四节其第三节为正交行度(即罗计行度)因其左旋(与七政违行)故岁减岁行之率(太阳恒年表纪年有平年闰年序减忽加)(者闰年也忽缺一宿者闰年也太隂纪年与之同法)每平年减一十九度一十九分四十三秒(三百六十五日行度)每闰年减一十九度二十二分三十三秒(三百六十六日行度)若用加法则平年每加一十一宫一十度四十○分一十七秒闰年加一十一宫一十度三十七分○七秒其得数同也恒年表以冬至为界每年从天正冬至子正后起算是为实根若每日每时刻之细行交分不以冬至为界则为虚根但随日随时计其度分累积之(日行三分一十一秒)凡累积皆用减法平行圏者太隂全天表里二球之中圏也与地同心为本轮心平行之轨道故名负小轮圏其行顺七政右旋(自星)(纪至𤣥枵也)其界有三 第一以节气为界如冬至春分等(或以宫次)一日行一十三度一十分三十五秒○一微为月之距节平行分(止右旋一行)满一周得二十七日三十○刻一十三分○五秒为交终 第二以太阳经度为界太阳平行经度日五十九分○八秒二十○微月之日行多太阳之日行少以少减多得一日之相距一十二度一十一分二十三秒四十九微满一周又逐及于日为朔策(或㑹望策阳太隂距太阳行二十七日有竒而一周其间太 亦行二十七度有竒则太隂行一周)(外又二十七度有竒而逐及于日与之㑹共为二十九日有竒也)其日率西厯前后四家大同小异 一多禄某为二十九日五十○刻○九分○三秒二十○微正 豊所王(大余同上)小余二微五十八纎五十一〔？〕二十二末 歌白泥一十微三十八纎○九〔？〕二十○末 今世第谷八微三十九纎四十六〔？〕四十八末第谷之测筭极密今新厯用之 第三以正交为界正交逆行(左旋)太隂顺行(右旋)一向左一向右两相违背故距交一行谓之杂行两行相并(正交行三分一十一秒太隂行一十三度十分三十)(五秒)得一十三度一十三分四十六秒 此第三行度即太隂恒年表第三节之交行度用均数讫为月距黄纬之引数 如图从冬至至月经线为月平行经度之弧自行轮周者次轮心平行之轨道也(即本轮)次轮行于本轮周左旋(与七政违行)以本轮之最高为界初逆行(向左)约九十度(至留际即转初)顺行(向右)至半周(过最庳至留际)(即转中)复逆行如图月在次轮周从地心作两线切本轮周即月在两切线外(本轮之上半周)逆行在两切线内(本轮之下半周)顺行 若月在心线(从地心过本轮心)是为本轮之最庳即两行(一平行一自行)度分等若在心线前或后即其视经度与平行度必不等 次轮心从最高起算日行一十三度○三分五十三秒五十六微(是为转度分)二十七日五十二刻一十一分五十四秒而一周(次轮心从最高行一周而复于故处)是为转终度分次轮者月体所行之轨道也其界向本轮心为最近界之冲为最逺试以一线聨两心线即其界矣(如图甲丙乙丁线是也)月体在次轮近地心之半周即月体逆经度行而顺本轮行若在其逺地心之半周即月体顺经度行而逆本轮行从本轮心出两线切次轮之两旁即定本轮心第二均加减之界如上测月行诸论以定朔望则用一自行之均数足矣为朔望时月体必在本轮之内甲乙丙丁圏上故也去离朔望即宜用两均数自朔至望望至朔必行次轮一周而复故月实行距太阳一百八十度则行次轮一周三百六十度而次轮周之日行度必倍于距太阳之日行度每日得二十四度二十二分四十七秒三十○㣲行一周为一十四日七十三刻○七分有竒半月之率也(天上周圏不论大小皆平分三百六十度)系凡月行距日九十度(两弦是也)次圏周行一百八十度则在次轮之最逺而距平行经度为极逺如上图小轮上之月体所丽为视行平行之极大差因上两小轮行度在本轮有最高最庳在次轮有最近最逺定为自行之四限凡月在次轮之最逺(逺近以去离本轮心论)次轮心又在本轮之最高则月距地心为极逺图为甲月在次轮之最逺次轮心在本轮之最庳则月距地心为极近为乙若在次轮最近本轮最高则为次逺为丙在次轮最近本轮最庳则为次近为丁因此四限屡变视行之势也惟朔望时月恒在次轮之最近月表原 太隂立成表横分为四节第一节为月平行度分(冬至为界从之起算)则本轮心循白道右行所得黄道上平行度分也第二节为自行度分则次轮之最近一㸃所行轨道是为本轮之内圏(中圏为负次轮心之轨道外圏为最逺㸃之轨道)其界则本轮之最高㸃其行逆经度左旋也此行所至名曰前引数其所当有距地心之角角所对为黄道上之弧弧之数名曰月之行初均数夫月之行若止循本轮之周则或加或减藉一引一均而足矣乃古今积测惟定朔定望则月体在本轮内之如丙如丁周其距本轮心之度恒等朔望以外则月体去次轮之最近线渐逺乃至极逺又渐近而复其于前引数初均线(从地心过次轮之最近以)(至黄道)或时在前或时在后是生次均数以较初均数或加或减以得月离黄道之实经度(所谓朔望一均数为足不论此数有二根)(第谷所用不同心圏及均数并生初均表中所排)是故厯家先置月在次轮之最近(即本轮之内圏)算初均加减表与太阳加减差表同(诸率定数)(见上卷)若月在最近之左右上下则去离本轮心必逺于最近自地视之迟疾顺逆皆非本轮之本率也因以月距两心线(从心过最近至次轮)之度求第二均数(月从最近循次轮周右行得数)(从月体向次轮心作线截本轮之内圏得数以加减前均数为第二均数)夫从本轮之心以视月体之次自行有此次均数亦了然矣然人目所见不在本轮心而在地面又安能令次均数合于黄道而以之加减为实经度也故又用三角形法以次均次引求得第三均数以加减于第一为实均数以实均数加减黄道平行为实经度分如图丙戊圏为次轮最近之轨道论月向乙心行或用夘心酉圏之弧或用丙戊圏之弧其理一也 若向丁地心因朔望时月在次轮之最近戊故推前均数用丙戊弧推月表同图觧丁为地心甲乙丁为太隂平行线以定黄道上经度(表称月平行经度分)如甲为降娄宫某度某分是也夘心酉为本轮自行之中圏(次轮心之轨道)戊巳癸为次轮心为其心乙戊过心线定次轮距本轮最高之度即丙戊弧也前引数即丙丁戊角之甲辛黄道上之弧初均数即其黄道上之甲辛弧因引数丙戊未过半周于法应减即于平行经度减甲辛得月在黄道辛㸃之某度分也但得月恒在戊即于丁辛初均线用此加减足矣然特朔望为然离朔望即月不在戊而丁辛均线不足定月之经度试如在己即作乙申巳线定戊乙巳角或戊申弧(本轮之弧)为本轮上月距心之度是名第二均数以此次均数或加或减于丙戊得丙申为实引数今欲得次均次引合于黄道即因实引数及戊巳弧作丁巳庚过月体线成戊丁巳角得庚辛弧是为第三均数而以之或加或减于甲辛得庚甲是名实均数 加减法如月从戊至己上下两次轮其行度等在上图则以第三均数加于第二在下图则以第三均数加于第一若月在癸则两图俱加第三均之根有二故表中列两数一丙申弧为月在本轮自行之度分一戊巳弧为月在次轮距日(距朔望日)之倍数查表求得辛庚辛壬辛午等度分依本号加减之(表名)(为太隂二三均表表前有用法)推太隂日差 日躔厯有日差表以推太阳经度若推太隂经度其日差不得与太阳同法盖太隂不行黄道中线其相距或南或北各五度有竒即其正升度与黄道不等又太隂行度又从太阳行推算(次轮上太隂自行度倍于距太阳之)(度)故别立太隂日差表法有二其一设时求太隂经度先均时(均时者以均数变用时为平时)以求时太阳所躔宫度分为引数表上下横行各一书宫次者是也(冬至星纪起算)左右两直行书度(宫次在上顺数至下宫次在下)(逆数至上)从太阳躔宫直行从躔度横行相遇得均数用均数依本号或加或减于用时(与太阳表同法)得平时以推太隂经度一法先用所设用时以推太隂经度次求日差均数半之依本号或加或减于先得之经度(半之者时变为度月行一分即时约)(为经度之半分故于所得均数二分取一以加以减)例见本表用法新法算书卷三十
## 卷三十一
钦定四库全书
新法算书卷三十一 明 徐光启等 撰月离厯指卷四太隂小论第二十八第一论太隂晦朔伏见 太隂晦朔伏见古今立论踈宻逈殊汉儒洪范传曰晦而月见西方谓之朏(亦曰朓)朏者政缓所致朔而月见东方谓之侧匿侧匿者政急所致夫晦在朔后晦失也朔在晦前朔失也厯则失之而归咎于政诬甚矣唐厯家以晦日之晨月见东方因立进朔之法使月隐晦晨明藏朔夕此则钩索未能而妄生迁变使月有两朔食乃在晦将谁欺乎宋元史皆非之颇为辨晰然未能缕形其所以然也夫月距晦朔见有疾迟因乎天度因乎地度即此方近处合朔于亥子之交而甲日之晨乙日之夕两见㣲明亦时有之此之进退将安徃焉况海以南数千里则有甲晨乙夕终岁恒见者漠以北数千里则有朔在午中朝暮皆见者亦将使晨隠夕藏其可得乎今法若时若地应速应迟皆从筹算可宻推用仪器可指数先事可豫言临时可确按又何庸转移避就为也以此备述所繇征之度数如下论问太隂合朔以后恒以三日见于西方亦有二日者其在晦以前亦如之何故曰是其因有三 一因赤道上之黄道升降度有正有斜正升则斜降斜升则正降正升斜降者秋半周六宫(秋分左右各三宫)是也斜升正降者春半周六宫(春分左右各三宫)是也(皆论斜球非正平球)正升者赤道之升度多黄道之升度少正降者赤道之降数多黄道之降数少斜升斜降则反是(凡南极出地者与上论悉相反)若太隂离正降六宫则朔后疾见若离斜降六宫则朔后迟见其在晦前亦如之离正升六宫则迟隠离斜升六宫则疾隠也如二图各有子午圏有地平有极出地等有黄道宫次二圗上圗月离大梁为正降宫次距太阳十五度日入月在地平上为十三度半即能见下圗月离大火为斜降宫次距太阳十五度日入月在地平上为十度即不能见一也 一因白道南北如圗设月距黄道五度距太阳皆十五度而纬分南北(日月各有一日所行之轨道即赤道距等圏也今如)(图设黄道左右五度各一圜交于距等月在焉两月各至地平)(其弧有大小则入地有先后人见有迟速)若在北即入地后黄道疾见若在南即入地先黄道迟见二也 一因月视行度若视行为迟叚则朔后见月迟为疾叚则朔后见月疾三也 右第一因月之见界以十五度为限其疾者朔后一日又四分日之一而见也若三因并合又不待此如合朔在亥子间则甲日太阳未出亦见东方乙日太阳已入亦见西方何以征之设月在黄道北五度太阳躔实沈一十五度本地北极高四十度即昼长(甲之日也)五十九刻(日九十六刻)加一日刻(甲之夜乙之日)共一百五十五刻(甲晨至乙夕)于时月行约得二十三度平分之(合朔前后)得一十一度半以加实沈十五度(日躔也)得实沈二十六度半是乙日日入时月之距日经度也以减十五度得实沈三度半是甲日日未出月之距日经度也日躔实沈十五度其斜升五十三度一十三分月离实沈三度半又北距五度其斜升三十六度半日月两升度相减得一十六度四十三分为甲日之晨日月赤道上出地平之差(月先日后)变时为月出四刻半而日出得见月东方也乙日太阳正降为九十五度月离实沈二十六度半其正降为一百一十三度两降度相减得一十八度为乙日之夕日月赤道上入地平之差(日先月后)变时为日入五刻而月入得见月西方也 若日躔冬至月离黄道南推日月出入之差不过八度变时为二刻则不见一系凡极出地愈高愈疾见因斜升度之差为多否则迟见二系极甚高朔后数日不见三系月距黄道南五度若极出地六十二度月尽夜不见四系极甚高合朔在午正则一日之间晨见东方夕见西方如极高五十二度躔离度同上推得日月升降差一十二度时为三刻皆在月见界之内五系既定月之见界为距日十二升度亦可推迟见之日数如极出地四十度日躔降娄月南距五度推得两斜升差为一十二度即得月距日之经度为四十度月行当三日有竒则朔后三日有竒而见月西方晦前亦如之三因之外又有两因一曰朦胧分(即晨昏度一名昧爽黄昏)日入地平下一十八度为朦胧之未分因升降有正斜斜又有大小则月距日十二度有时得见有时不得见一曰气清浊差如同是子正时有时见极㣲之星有时不得见四五等之星气则使之其在月也亦然第二论月体 月体为圆球何以知之凡圆体于诸体中为最尊如天如日月星如地亦于万象中为最尊故应圆凡物之初体皆圆(如核如卵如胎)诸大象皆始造时之初体故应圆又月之体半为明半为魄其明魄之界时为弦直线时为弧曲线若果平体何从得生弧线且既为平面日照之宜全体发光如平面之镜一向日即全面发光也月为不然则非平面 试以人目居中置一烛东方稍逺置一球西方稍近相恭直即见球全受光次不动目烛独移球西南隅即见球大半为明小半为魄更移球正南必明魄各半其界为直线更移得魄大明小更移正东必见全魄烛为太阳目为地为人球为太隂以近逺日为光大小其明魄界半周之间为直线者一而已余皆弧线也论其体质非清非纯虚实杂也故能映光不能透光能发光不能廻光何谓透光如水如玻璃水晶金刚石皆纯清故能透光不止映光非惟不能㢠廻光亦且不能发光何谓廻光如明镜为全实故能廻光不止发光非惟不能透光亦且不能映光月皆不然而虚实疎宻介在其间故能映能发也 然则何似稍似于云云掩日月皆能映光质薄则光显质厚则光㣲早日未出夕日已入照云成霞霞照下土虹霓之属本因云气而成光采是为发光体实则光大体虚则光小月实似之独云之映光多发光少月之映光少发光多此为异耳第三论月驳 月面不纯一色如斑驳然昔人以为山河大地之景不然也山河大地之体东西不等云何月中之景时时不变乎然则如何此有二说一曰月本圆体特其体中疎宻虚实不得纯一不能如镜光合体㢠廻返所受之光第因其本质所至自为发光宻实处发光大虚疎处发光㣲(如金刚石胜玻瓈玻瓈胜水其质疎宻虚实不等故)凡大光明中间有弱光可指则曰大光中之驳㸃也如大赤霞中间有淡红可指则曰大赤中之驳㸃也是故名为月驳也一曰月体如地球实处如山谷土田虚处如江海日出先照高山光甚显次及田谷江海渐㣲如人登大高山视下土崇卑其明昧互相容也试用逺镜窥月生明以后初日见光界外别有光明㣲㸃若海中岛屿然次日光长魄消(日渐逺明渐生如人上山渐逺渐见所未见)则见初日之㸃或合于大光或较昨加大或魄中更生他㸃(如日出地先照山颠次照平畴)(等)以光先后知月面高庳此其征已第四论月光 太阳为万光之原本其体至实(光大小如体虚实如)(炼铁之光大于炼炭之光铁体实于炭也)其质极地(质不纯者光亦不纯则不能大)其体为全球曲面(凡发光者不论曲面直面必须顺平若凹凸之面不能发大光稍有偏欹光则相夺亦不)(能大)故在大圜中为大光之独体月及经纬诸星之光皆从禀受焉(月借日光古语则然)何以明之如月食甚时地球隔太阳之光露光极微目所难见一也日食甚时月在日与人目之间月之下魄不受日光人目见之则为黑色二也问月既无光乃两食甚时亦有淡光此为何故曰体实无光而能受光而能发光两食之时不受日光而经纬诸星亦能映照相受相发因生微光矣月光有二一为对日而发光名曰正光一为日光不至而从所受之处相映发为微光名曰次光问月近日人见光小逺日人见光大何故曰月合朔时外大半受光(日体大月体小则日必照月之大半)人自下土止视其内小半则无光既而生明所见渐大至一象限则己见其受光之大半故渐逺渐大也何谓日照月之大半如图甲为日乙为月戊丁巳丙两光线切月体从丙从丁向乙作两垂线成戊丁乙巳丙乙两直角则丁乙乙丙两线不成一直线何者凡一直线截平行两线其内两角并与两直角等反之若两直线不平行即一端渐近一端渐逺其渐近内两角必大于两直角今设丁丙两直角则丁乙乙丙不能以一直线与乙为角若从乙心作径线必在丁丙两㸃之上则丁庚丙必月周之大半矣系月近日受光之分大逺日受光之分小月体自无运动曷知之人所恒见斑驳之象终古不易月朔时上大半为明下小半为魄月望时上小半为魄下大半为明两弦各明魄半也如图甲为日乙丙丁戊为月本天人在地为己月或上或下恒半为明半为魄从人目作视线自见月距日近光小距日逺光大(从生明以后渐长生魄以)(后渐消)人止见月体之小半人目一㸃也从㸃作两线切一圏两切线之内弧必圏之小半(如图)系如上言日照月得大半人见月得小半则定望前后各数刻月犹能发全光满大半之限然后魄生而光减非若晦朔之间一瞬即生明也问日照月人见月各几何数曰日月去地去人各有高庳近逺不等古法分月体周为三百六十度折中推得日照月为一百八十一度六分度之一人目见月为一百七十八度四分度之一日照地为一百八十○度二十五分半(月体地球其周分为三百六十度与天等)如图甲为日乙为月己为地日月之视径约等(月在最高日在)(最高冲)人目在戊则戊丙戊丁两视线定见月之丙庚丁弧从月心乙向丙向丁作乙丙乙丁两垂线成乙丁戊丙斜方形从乙戊平分之作乙丁戊直角形形有丁戊乙角一十五分四十○秒(日月视径并约为三十一分二十秒)即丁乙戊角必八十九度四十四分二十○秒其丁庚为见月之半弧倍之得一百七十九度二十八分四十○秒若月径为二十八分则所见弧之小余三十二分若月径为三十三分则小余二十七分因上图推合朔时日照丙辛丁弧丙辛丁者丙庚丁之余也是为一百八十○度三十一分二十秒用日距地之数及其比例推得日照地为一百八十○度二十五分三十六秒问月生明后其光曲抱月体至上弦下弦明魄之界则为直线望前望后明魄之界又为弧曲之线何故曰月本球体人目所见似为平面其理正如平仪然仪之子午圏可当月周皆大圏也仪之极分交圏可当上下弦明魄之界皆直线也仪之时圏可当太隂每日距太阳渐长渐消明魄之界皆弧曲线也凡仪上大圏皆分球为两平分其全见者独子午圏耳他诸圏皆半见半在仪之彼面彼面者在月则为上半球也(人所不见)平仪曲线(即时线)本是大圏斜络于球止见其半故为不等撱圏(人视之为撱圏渐消渐长故不等)之半月面中明魄界之弧曲线本亦大圏因其斜络止见为半亦不等撱圏之半也其与平仪本理未能全合者仪上圏皆分球为两平分此依上言月受光者大半不受者小半则明魄之照界别成一小圏为大圏之距等而非月球之中圏(中圏必大圏也)(分球为两平分)人目所见之界其直线则距等圏之似直线(本是)(圏也人视为直)其弧曲线则亦距等撱圏之半也以此之故朔后三四日新月之两端能过半周之界问月行每日去离太阳约十二度等也然朔前后光魄消长之分数少两弦前后消长之分数多望前后复少人于定望前后一二日见月光如不易何故曰月体本圆圆面之上必有两圏皆为明魄之界一为日所照之界一为人所见之界两圏于定朔时相合为一(照与见相反)定望时亦合为一(照与见相同)过朔望渐相离(如两交圏结于两极渐展)(渐离相离之处若黄赤二道之距逺度也)两界圏之距间则人所见月体有光之分也以此推之人目所见为球之正面如平仪之极分交圏也两界合圏在球之侧面如平仪之子午圏也初日相离距度若干人侧视之则见少如时圏之近子午度分等人侧视之则见狭两弦时距度亦若干人平视之则见多如时圏之近极分圏度分等人平视之则见广也故朔望之消长非少而见少两弦之消长非多而见多也如图甲为日乙为地丙为月丁丙戊庚为人所见月之半己丙庚丁为日所照月之半丁庚为两界之距间即本时人见月体有光之面也(从目日及月心作甲乙丙三角平面平分月体则己丁庚戊为图面)甲乙丙角形有甲乙(日距地心)约一千二百地半径有乙丙(月距地心)约六十地半径又有甲乙丙角为月距日之度(试作癸子弧即得乙角之度)求丙甲乙角设月距日之乙角为四十度算得一度五十五分以并四十度得四十一度五十五分又引长乙丙成甲丙辛外角即与丁丙庚角等(庚丁壬丁壬辛皆四分之一各减共用之丁壬)(其两余等)甲丙辛外角与相对之两内角等即丁庚弧亦与两内角等则月距日四十度人所见月体有光之分约得四十二度(言约者未定之辞也如上论月体明魄两界圏似大圏而实距等圏则有差又约月)(距地为六十地半径然时多时少日距地为一千二百地半径亦时多时少又月经度距日四十度或在南或)(在北亦有差是故约言之)系若测得月体明魄两界之比例可推月距日之度即上图说反用之二系若欲图某日之月光界先求月距太阳若干度分次依上法求月面半径上明魄界若干度分从两极(月面上两极定为过白道两极)(之大圏线或与白道为直角)作撱圏之半乃本日所见月面有光之界也若未至九十度光作角形若过九十度作未成圆形如图甲丙为月之两极丁戊为明魄之界甲戊丙线为本日之月光界甲戊丙丁为两角之形甲戊丙乙为未成圆形用上法推凡月光界为全径十分之一距日二十六度十分之二距日四十度半十分之三距日六十度十分之四距日七十二度半十分之五距日九十度弦也十分之六距日一百○七度半十分之七距日一百二十度十分之八距日一百三十五度半十分之九距日一百五十四度满十分距日一百八十度望也以上数依目测为定若推算当求月高庳求白道纬度当有㣲差问月望时中心光色稍浅四周光色特深何故曰月体圆中心体一分发光一分四周体三分发光一分一分者所受日光少故发光浅三分者所受日光多故发光深如图甲为月体乙为目见月之角从角分为十分中一分见月周一十一度有竒旁一分见月周二十(五度有竒)问日月出地平之高度等同用一表其景长短不等何故曰上文言月距地视日为甚近又曰地面与月天有比例则表末不在地心者简二论按圗甚易明论四余辨天行无紫炁第二十九旧厯七政之外别有四余谓之四隐曜一曰罗㬋为火之余气二曰计都为土之余气三曰紫炁为木之余气四曰月孛为水之余气罗计之名梵语也其说后出隂阳家以此推人禄命颇不经至于紫炁一曜即又天行所无有而作者妄增之后来者妄信之更千余岁未悟也今欲测候既无象可明欲推算复无数可定欲论述又无理可据所以未从断弃者或不能考定三之实有故不能灼见一之实无耳兹各论如左罗计者黄道与白道相遇之两交也旧法谓之正交中交亦名天首天尾西法谓之龙首龙尾若求月距罗计宫度法先推月离宫度以加交行宫度即得其行度体势详本篇第四第二十五月孛者月行之最迟也本篇本法用两小轮则为次轮行本轮之最高为月离次轮之最逺于距地为极逺以视平行为极迟然依本法本论则无从得其周天行度欲得周天行度依次法用不同心圏鲜之则月孛者其负中距圏之最高也前本觧定其本行为每日六分四十○秒五十五微○六纎每年行四十○度三十八分○九秒三十二微凡三千二百三十二日三十七刻一十二分而行天一周或称八平年三百一十二日有竒而行天一周推月孛距度法依太隂恒年表有平日太隂距节气若干有太隂距自行轮最高若干(是名引数)两数相减得太隂距孛㸃若干又于月离某宫度去减距孛度分得孛㸃所在宫度分孛者悖也是为月行之最迟一悖也又逆经度行二悖也又违天左旋三悖也厯家遂以当彗孛谬甚矣彗孛非时之变象岂有行度可指可推乎又因其在最高故极迟若在最庳则极疾旧说谓最高极疾最庳极迟即迟疾顺逆一一相背繇不知月转左旋故耳谓天行无紫炁者何也曰旧说谓紫炁生于闰余闰余者朔周不及气盈之数也是不属太阳不属五纬则为太隂厯中之行度率无疑矣考太隂厯之行度展转相生凡有十种此外无有今先述如左第一太隂每日距节气行一十三度一十○分三十五秒第二太隂每日距本轮最高行(名前引数)一十三度○三分五十三秒五十六微第三距交日行一十三度一十三分四十五秒三十九微(距节行并入交行分)诸厯上三行为月厯之根本篇一二卷测定讫因此三行更生七行第四于第一行内去减太阳日平行五十九分○八杪二十○微为每日太隂距太阳得一十二度一十一分三十六秒四十一微第五以一二行相减得六分四十一秒○五微为自行本轮之最高行分即月孛第六以一三相减得交行每日三分一十一杪因月平行顺经度右旋交行逆经度左旋积日相违故是名正交中交即罗㬋计都第七太阳日平行交行两并得六十二分一十九秒二十○微为太阳每日距交分第八置太阳平行分去减太隂最高行(月孛行分)得五十二分二十七秒一十五微为太阳每日距太隂最高之行分第九太隂最高行交行两并得九分五十二秒○五微为太隂最高之距交分第十太隂行次轮日二十四度二十二分五十三秒强以减太隂自行一十三度○三分五十三秒五十六○㣲余一十一度一十九分弱为两自行之较差分右十行皆用太阳太隂诸行反复加减而得所以然者六曜各有平行自行次自行匪平匪顺必依太阳为凖以得其实行故也又六曜之行不相连逮月厯诸行止此十端无縁得有闰余一行糅杂其间矣凡天行之数其初也必发于端其究也必复于端发端者起算之界复端者满周而还于故处也从此论其合违齐其多寡大至万亿细极纎芒始于纷纶终于画一矣若紫炁以闰余为纪竟不知何所起何所止据云二十八年而行天一周谓此十闰之数闰何以终于十乎十闰者不足二十七年非二十八也其初根又始于二十二十者何物乎意者十九年而一章从兹托始乎依彼法乗除正得二十七年而十九年之七闰又非定率也又何以从七闰始十闰终也或又以二十为土木相㑹之年是则诚然然气朔盈虚于二星曷与焉此为牵合傅㑹不伦尢甚特遁辞矣三率乗除之法必縁比例等也通闰之与二十气策之与紫炁周积是何比例而得聨为四率履端无始归余无终举正无中妄作焉耳周天诸道诸行诸㸃皆天之所设也因而测量揆度立为诸率以便推算皆人之所设也闰余之法既有气盈朔虚为天设之㸃因而以少减多得其通闰每岁十日有竒则人之所为足济于事矣柰何复以加减之一率妄设一周行于天上乎即如向者太隂十率皆从加减得之以为推步之用亦可各设一周行于天上乎五纬诸星略似太隂若皆然者周天各道不亦纷纭(而无所至极哉)四余厯自汉太初以至元授时诸名家皆不著即西国之厯屡行于前代矣唐人再用九执厯一为太史令瞿昙罗一为太史监瞿昙悉逹传其法者为厯官陈𤣥景写其术而未尽者为大慧禅师僧一行元人尝行万年厯其人为扎马鲁丁隂用其法者为王恂郭守敬国初译回回厯其人为灵䑓郎海达儿回回大师马沙亦黒马哈木传译则简讨吴伯宗亦皆无所谓四余者何故罗计二行则己为正中二交月孛一行则己为最迟行度不烦更借他名紫炁一术则亦皆知其无当矣故无论唐以前未闻其说即唐以后传其说矣而中西两家凡为正术者皆弃弗录也葢其法名为西厯而实西国之旁门如所称西域星经都頼聿斯经及婆罗门李弼干作十一曜星行厯皆诐辞耳鲍该曹士荐尝业之然士荐所为书止罗计二隠曜立成厯而先是李淳风亦止作月孛法五代王朴作钦天厯以罗计为蚀神首尾行之民间小厯可见紫炁一术即用彼法者犹弃弗录也今世传金重修大明厯四余法或以讥元时造厯者为失传夫金元相去未逺元初本承用金厯何遽失传则是赵知㣲之猥滥如此术及转神厯皆俚鄙不经殆耶律楚材王恂郭守敬诸人所讳也何足述哉古今交食考第三十崇祯元年戊辰为总积六千三百四十一年今上考总积三千九百九十三年为周平王四十九年己未西三月十九日曜三日(言三日者火星之日为翼尾室觜宿)太阳躔娵訾宫二十四度半子正后八刻○五分(顺天府时刻下同)月全食三千九百九十四年为周平王五十年庚申西三月初八日曜七日(十日者填星之日为氐女胃栁宿)太阳躔娵訾宫一十三度四十五分子正后一十八刻○五分月食四分之一在南本年西九月初一日曜二日(二日者太隂之日为心危毕张宿)太阳躔鹑尾宫三度一十五分子正后四刻○五分月食大半在北四千○九十三年为周襄王三十一年庚子西四月二十二日曜一日(一日者太阳之日为房虚昴星宿)太阳躔降娄宫二十七度○五分西子正后四十一刻○五分(言西时刻者中厯食在画不见)(下同)月食四分之一在南四千一百九十一年为周景王二十二年戊寅西七月丁六日曜五日(五日者木星之日为角斗奎井宿)太阳躔鹑首一十八度一十二分子正后一十四刻○五分月食二分之一在北四千二百一十二年为周敬王十九年庚子西十一月十九日曜三日太阳躔析木(度分阙)子正后一十六刻一十分月食四分之一在南四千二百二十三年为周敬王二十九年庚戌西四月二十五日曜五日太阳躔大梁(度分阙)子正后一十六刻○五分月食六分之一在南四千三百三十一年为周安王十九年戊戌西十二月二十三日太阳躔析木十八度一十九分西子正后四十七刻月食小半(食限内六刻)四千三百三十二年为周安王二十年己亥西六月十八日曜六日(六日者太白之日为元牛娄鬼宿)太阳躔大梁二十一度四十九分子正后六刻○五分月全食(食限内十二刻)本年西十二月十二日曜一日太阳躔析木十七度半子正后十四刻○五分月全食(食十二刻)四千五百一十三年为汉高祖六年庚子西九月二十二日曜七日太阳躔鹑尾二十六度○六分子正后一刻○五分月全食四千五百一十四年为汉高祖七年辛丑西二月二十日曜三日太阳躔娵訾二十六度一十七分子正后二十七刻月全食(食十二刻)本年西九月十二日曜四日(四日者水星之日为轸箕壁参宿)太阳躔鹑尾十一度一十二分 子正后四十五刻月全食四千五百四十○年为汉文帝六年丁卯西五月初一日曜七日太阳躔大梁六度○四分 子正后三十一刻月食十二分之七在北四千五百七十三年为汉景帝后元三年庚子西正月二十七日曜四日太阳躔𤣥枵五度○八分子正后十四刻○五分月食四分之一在南四千八百三十八年为汉安帝延光四年乙丑西四月初五日曜五日太阳躔降娄约一十五度子正后七刻○四分月食六分之一在南右十七食上古依巴谷墨端等所测四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉西五月初六日曜四日太阳躔实沈十三度一十四分子正后八刻○一十分月全食四千八百四十七年为汉顺帝阳嘉三年甲戌西十月二十日曜四日太阳躔夀星二十五度○六分子正后十七刻一十分月食六分之五在北四千八百四十九年为汉顺帝永和元年丙子西二月初六日曜二日太阳躔娵訾十四度一十二分 子正后三十七刻一十分月食二分之一在北右三食多禄某所测五千五百九十六年为唐僖宗中和三年癸卯西七月二十三日太阳躔鹑火四度○二分子正后三刻○九分月食六分之五五千六百○四年为唐昭宗大顺二年辛亥西八月初八日亚刺得国北极出地三十○度一十五分在顺天府西里差一十九刻本方午正后四刻○五分太阳躔鹑火一十九度一十四分日食三分之二五千六百○五年为唐昭宗景福元年壬子西正月二十三日本国午正后五刻太阳躔析木八度三十七分日食二分之一五千六百一十四年为唐昭宗天复元年辛酉西八月初三日太阳躔鹑火十四度三十六分本国子正后三十三刻○五分月食不尽右四食亚巴徳所测嘉靖二十四年乙巳总积六千二百五十八年西十月二十六日禄法府北极出地五十○度五十○分在顺天府西里差三十○刻四十○秒本地午正后十六刻日将入(极高近冬至故日短)顺天府为午正后四十六刻○五分(不见)(食)日食三十一分之一十二分嘉靖二十五年丙午总积六千二百五十九年西正月二十四日本地子正后三十五刻○八分顺天府为午正后五刻○七分一十六秒日食六分之五在南右二食日玛用弧矢仪测正徳六年辛未总积六千二百二十四年西十月(望日阙)太阳平行躔夀星二十四度一十三分视行躔二十二度二十五分子正后二十八刻○五分(顺天府时刻下同)月全食嘉靖元年壬午总积六千二百三十五年西九月望日太阳平行躔鹑尾二十三度四十九分视行躔二十二度一十二分子正后三十一刻月全食嘉靖二年癸未总积六千二百三十六年西八月望日太阳平行躔鹑尾十三度○二分视行一十一度二十一分子正后六十三刻○五分月食(分数阙)正徳四年己巳总积六千二百二十二年西七月月在正交前太阳躔实沈二十一度子正后二十四刻一十分月食四分之三在南𢎞治十三年庚申总积六千二百一十三年西十一月太阳躔大火二十三度一十一分子正后三十五刻一十分月食六分之五天顺元年丁丑总积六千一百七十○年西九月望日子正后二十四刻一十一分月全食食既至生光为时五刻一十分(若翰王山所测用星之高定时)天顺四年庚辰总积六千一百七十三年西七月望日子正后一十三刻○三分月食三分之一强本年西十二月望日子正后三十三刻一十一分月全食食既至生光为时四刻○八分初亏时北河大星月南河大星叅相直复圎时北河次星月南河大星叅相直此于瞻测时用恒星推算定原推之疎宻也天顺五年辛巳总积六千一百七十四年西十二月望日月食六分之五隂云不见初亏复圆以星测得食甚为子正后一刻○九分成化十七年辛丑总积六千一百九十四年西三月望日入尔玛你亚国北极出地四十九度二十六分在顺天府西里差二十八刻○二分日食十二分之十一用日轨高测得本地初亏午正后一十三刻一十一分复圆二十一刻一十三分右十食歌白泥所测近岁西史第谷细测月食为今譔月离表新法之原万厯元年癸酉总积六千二百八十六年西十二月望日子正后十二刻○三分月全食(时刻为食甚下同)原推太阳躔析木二十六度五十分临时实候得月离与太阳冲在五十一分月离表与天验差一分于时月自行为二百三十四度二十四分万厯四年丙子总积六千二百八十九年西十月望日子正后二十五刻一十分月食先推太阳躔夀星二十四度三十○分二十○秒实测月离三十三分表验差二分二十○秒万厯五年丁丑总积六千二百九十○年西四月望日子正后十五刻○五分月全食先推太阳在降娄二十二度四十七分一十秒实测月离五十二分表验差四分五十○秒本年西九月望日子正后三十二刻○三分月全食先推太阳在夀星十三度二十三分二十○秒实测月离二十四分四十秒表验差一分二十○秒万厯六年戊寅总积六千二百九十一年西九月望日子后三十三刻○九分月食二十四分之五先推太阳躔夀星二度一十九分实测月离二十一分一十五杪表验差二分一十五杪万厯八年庚辰总积六千二百九十三年西正月望日子正后二十○刻○十分月全食先推太阳躔𤣥枵二十一度二十八分一十秒实测月离二十五分四十五杪表验差二分三十五秒万厯九年辛已总积六千二百九十四年西正月望日子正后二十○刻月全食先推太阳躔𤣥枵十度○四分五十○秒实测月离二分表騐差二分五十○秒本年西七月望日子正后四十八刻月全食先推太阳躔鹑火三度四十○分五十○秒实测月离三十七分三十○秒表验差三分二十○秒万厯十二年甲申总积六千二百九十七年西十一月望日子正后三十二刻○九分月全食先推太阳躔大火二十五度四十九分一十五杪实测月离五十○分三十六秒表验差一分二十○秒万厯十五年丁亥总积六千三百○○年西九月望日子正后十八刻月食四十八分之三十九(约十六分之十三)先推太阳躔鹑尾二十三度○八分三十六秒实测月离十分四十○秒表騐差二分万厯十六年戊子总积六千三百○一年西三月望日子正后四十○刻○二分月全食先推太阳躔娵訾二十二度四十九分实测月离四十八分表验差一分万厯十八年庚寅总积六千三百○三年西十二月望日子正后八刻月食(分数阙)先推太阳躔星纪十九度○一分二十○秒实测月离三分四十○秒表验差三分二十○秒万厯二十年壬辰总积六千三百○五年西六月望日子正后二十一刻○五分月食三分之二先推太阳躔鹑首三度一十五分实测月离一十六分表验差一分本年西十一月望日子正后十刻一十一分月食先推太阳躔析木二十七度一十五分二十○秒实测月离十六分一十五秒表验差五十五杪万厯二十二年甲午总积六千三百○七年西十月望日子正后五十刻○一分月食先推太阳躔大火五度二十九分三十○秒实测月离三十一分三十○秒表騐差二分万厯二十三年乙未总积六千三百○八年西四月望日子正后四十六刻月全食先推日躔大梁三度二十四分三十○秒实测月离二十九分表騐差四分三十秒本年西十月望日子正后六十二刻月全食先推太阳躔夀星二十四度一十五分四十五秒实测月离十八分二十○秒表验差二分三十六秒万厯二十四年丙申总积六千三百○九年西四月望日子正后一十七刻一十分月食先推日躔降娄二十三度○九分三十六秒实测月离十三分一十五秒表騐差三分四十○秒万厯二十六年戊戌总积六千三百一十一年西二月望日子正后五十二刻○七分月食二十五分之二十三先推太阳躔𤣥枵二度二十二分实测月离三十○分二十四秒表验差一分二十六秒本年西八月望日子正后十刻○七分月全食先推太阳躔鹑火二十三度一十二分一十五秒实测月离八分二十○秒表验差四分万厯二十七年己亥总积六千三百一十二年西正月望日子正后五十一刻一十一分月全食先推太阳躔𤣥枵二十一度一十一分实测月离一十分三十秒表验差一分右二十一食第谷所自测万厯三十七年己酉总积六千三百二十二年西七月望日子正后二十八刻○十分月食先推太阳躔鹑首二十四度一十分实测月离十二分一十二秒表騐差二分○十二秒万厯四十一年癸丑总积六千三百二十六年西十月望日子正后九十一刻一十二分月食先推太阳躔大火五度一十三分一十五秒实测月离十三分五十○秒表騐差三十五秒右二食第谷门人所测新法算书巻三十一
## 卷三十二
钦定四库全书
新法算书卷三十二 明 徐光启等 撰月离表卷一月离表用法诸表皆用以求月离宫度分也凡步月离有二法皆先求月平行度分次一法用三角形法推求均度以加以减又一法用加减立成表查均数以加以减但正朔望时止用一均数一加减表余日皆用二均数二加减表今列用表十法如左一设某日时刻求月经度先以所设之用时变为平时(日躔)(厯有论分时为平时为用时平者平行用者定时也凡日月五星诸立成表皆以平时求经纬度而设时必是)(用时故当先变为平时此以步日躔经度为用未大葢时差仅以分计每一刻太阳行仅大半分而太隂行疾)(乃至四分度之一有竒也交食法中为用尤大)法先约算太阳所躔宫度于太阳日差表求其分求其号或加或减反用之(日差表以平时变用时今以用时变平时故查其加减之号反用之)而均用时为平时太隂亦有日差表亦用以均其时其加减则用本号(补见月表二卷数)二求太阳本时所躔宫度分法(见日躔表一卷第九)先于恒年表取平行经度及最髙冲两数又于日细行及时刻各表各取其两数各就本数并为两总数两总相减得较为引数查加减表依本号或加或减于经总数得太阳本时正躔经度分三求月平行法于太隂恒年日时三表求各行数就本数并之以求引数均数略与太阳同法(月诸表有初宫宜穪算外)四求前均数法以太隂自行为引数于前均表(即自行加减表)求均数查表宫直行度分横行縦横相遇为均数(宫数有二顺数従○下至五则其度)(分数在首横行逆数従六上至十一则其度分数在末横行上下各有加减字号)依本号加减于太隂平行及自行得太隂实平行及实自行(实自行于月离)(厯指第二卷为次轮最近㸃所当白道上之度即地心所出线遇近㸃至白道上之度朔望之时实平行为正)(经度)五求太隂距太阳度法先求得太阳所躔宫度分以减太隂实平行不足益全周而减半周余为相距之度即次引数若无余分即日月同度是为定朔若所余为六宫正即日月正相对是为定望也因上论朔望时太隂止用一均数故白道上所得实平行度即为视经度六求次均数法以次引数(日月相距之宫度分)及实自行(即实引数)查二三均表(本表)(右两直行有顺逆两数有宫有度即日月相距数即次引数上下两横行有宫度数上顺数下逆数皆太隂实)(自行数)得两引数縦横相遇为次均数依本号或加或减得设时之太隂所离度分七求正交行度(正交即罗㬋亦称龙头是太隂入隂厯之初度分従南向北之交也)法于本恒年表查本年正交行度去减本日时正交行度(正交逆行故用减法)得本时正交距冬至之平行经度次查本加减表以日月相距为引数求交行均数(查表左右两直行为太阳)(太隂相距宫分上下有其度分及其加减号)以加或减得正交距冬至若干度分若推交食不用此法八求两道之大距本表交行均数下别有度分秒是两道之大距度也(朔望)(时两距度为一故不用此法)九求月距黄道之纬度法以月视行(即正经度)减正交距冬至度分得引数又先得两道之大距亦作引数于两道相距表查数(右直行有宫数上下)(有度数是月距正交宫度又次直行冇黄白大距)得太隂或南或北距黄道纬度若干十求太隂黄道经度月离厯指诸论皆于白道取太隂经度不于黄道者其差甚微故也今细推黄道上正经度有本法其本表曰黄白道同升表十一求月孛法于恒年表日平行表求月孛所在度分其行极迟九年而周故不用时刻表十二求罗㬋如前法求得正交距冬至度分即罗㬋所在也其对冲为计都十三求月离宿如前法求得月离经度查宿表得某宿之经度少于月经度即于月经度内减宿经度得月离某宿之若干度分十四求月到某星法于未会前约用一时推月经度与某星经度各得数以月经减星经得余度分于日时表中横行求时分以加设时得月到某星之时如上法皆用表求加减均数以得实数设假如三则如左若不用表则用三角形法推算说见月离厯指二卷交食厯指三卷第一假如崇祯四年十月十五日乙夘夜望(乙夘夜望月食甚在昼实)(丙辰日)辰初一刻内一十六分六十六秒月食求日月经度 上加时为日百刻若以九十六刻为一日通之得食甚加时为子正后六时(小时)五十一分(时六十分)今求太阳经度宜先均时约太阳在大火宫一十六度(或十宫一十五度従冬至最庳起算)为引数查日差表(在日躔表第二卷中)得二十四分其号为加反用之以减设时得丙辰日子正后六时二十六分(平时也)次查本年辛未恒年表取其数列书之其根日为甲午至本日丙辰积三百二十二日(甲午至丙辰得二十二中积满五旬周得三百)次查日平行表得数查时刻平行表得数各类列恒年数下并之得平行经度次求太隂经度用本法均时查表得九分五十六秒(作十)(分)其号为减以减设时得六时四十○分(查月离表)(度分总数内若过三百六十度天一周宜减之而用其余)凡月距交不过半周在黄道北为入隂歴南为入阳歴交行度于年根减日时并者交本逆行故也月朔望交行无均数用月距近交为引数查本表罗㬋即正交在大火宫一十四度五十七分计都即中交在大梁宫同度分推月离宿度分用宫宿度通表于黄道宫度查月经度因本法得胃宿四度八十七分第二假如崇祯五年三月癸丑夜望子正后二十○时一十四分月食求日月经度(从根至本日为一百三十三日)以太阳行均时查表得十一分其号为加反减为二十○时○三分以太隂行均时查表得十分其号为减减之得二十时四分月距交过半周即在黄道南入阳厯推月离宿度分月经为大火十四度二十七分去减氐宿入本宫九度五十四分得月食氐四度三十三分右二法皆朔望日故止用第一均数若在朔望之外则用次均数如下法(朔望时差一二分不论交食厯有细法)第三假如崇祯四年十月十二日壬子夜(或癸丑日)子正后六时○三分旧法云月食犯木星今求太隂经纬度正之依旧表于时木星在降娄宫十度三十二分逆行(或作距冬)(至一百○○度三十二分)其纬黄道南二度(经纬度俱未合)求日经度均时得十四分减之得五时四十九分求月经度均时得六分减之得五时五十七分年根日为甲午至癸丑中积三百一十九日月实经去减日经不足益一周为实减之黄白距四度五十八分三十五秒月已过中交入阳厯用月距中交表黄白相距数求纬度得二度四十七分四十六秒为月在黄道南纬度前得木星距冬至一百○度三十二分月距冬至一百○度七分是经度未合者二十四分又纬度未合者四十七分故月不掩木星月在南月孛入宿法同前二则厯元后二百恒年表二百恒年表亦崇祯元年戊辰以后二百年太隂诸行表也表首书纪年次月距冬至者月平行之根数以求平经度次月自行者月行次轮度分以合于加减差表而求定经度也次正交行者正交逆行之度分又次月孛行者月自行最髙最迟顺行之度分也最下为宿为纪日者本年冬至后首日之星宿干支也用法与日躔恒年表略同详见月离厯指各卷中周岁各日平行表二百恒年表为各年之各行此为一年三百六十六日各日之各行右首直行为日数次为月距冬至次月自行次为龙头即正交行也各横行为各行之度分秒恒年表既得一岁之总度分有零日依此表查数并入推算周日时刻平行表恒年各日既各有其各行此为周日时刻之各细行也时分六十则二日有半上横行列六十数各相当之直行列各行之度分秒数若首横行为设时则得度分秒为设分则得分秒微为设秒则得秒微纎依上年日表得总度分有零时分依此表查数并入推算新法算书卷三十二
## 卷三十三
钦定四库全书
新法算书卷三十三 明 徐光启等 撰月离表卷二自行加减表自行加减者太隂之第一均数也右首直行有宫数(算外)(有初宫无十二宫)顺数者自○至五逆数者自六至十一顺数之宫度在上横行逆数之宫度在下横行各直行每十分为一率各率之数即右首行各宫之相当度分也有自行之宫数有自行之分数简表縦横相遇为均数顺数之宫其号为减(书于上行)逆数之官其号为加(书于下行)若十分上下设有零分则用中比例法黄白距度表两道相距表右直行有宫(有初宫穪算外)次直行有两道之大距度(或穪两道之交角)上下有度数上宫用上度下宫用下度皆月距正交宫度也縦横相遇得纬度分交均距限表此表每宫有二种行度交均者以日月相距(月距日或距日之冲)为引数查表求交行均数依本号以加以减求正交距冬至度分也距限者黄白二道最逺之大距以为引数求太隂南北纬度也左右直行有宫(宫三十度有初宫宜穪算外)上下横行有度分右宫用上横行度分左宫用下横行度分直行六十分为一率有零分用中比例法黄白二道同升表二道同升表者用以密推黄道上之月离经度也测量全义第八卷论黄赤二道同升度白黄二道同升度推步皆同一法皆用两道之大距度今表中白黄两道之大距有多率然其差极微用推升度不以异也表上下横行有宫右直行有顺逆行度上行宫用顺数之度下行宫用逆数之度其宫其度(有初宫穪算外)则月距正交宫度以为引数縦横相遇得分秒依本号以加以减于白道所得经度得黄道所求经度月离日差表说月离日差表上下横行有宫右直行有度其宫其度则太阳所躔宫度也以为引数縦横相遇得分秒依本号以加以减于用时得平时新法算书卷三十三
## 卷三十四
钦定四库全书
新法算书卷三十四 明 徐光启等 撰月离表卷三二三均数加减表说二三均数者月有本轮有次轮第一均数者以均本轮之自行二三均数者以均次轮之自行也表右两直行上下两横行各有宫有度各有顺数有逆数凡用右行顺数之宫度则以当上横行顺数之宫度用右行逆数之宫度则以当下横行逆数之宫度直行宫度者月距日或距日之冲也上下横行宫度者月之实自行也(初自行以初均加减讫故名实自行亦名实引数)推月离既以第一均数均其平行自行为实平行实自行又以实自行为本表之引数简表于右直行有月距日之引数于上下行有实自行之引数两引数纵横相遇为次均数或上或下各有加减之号其中面有曲折线相隔者为变号之界新法算书卷三十四
## 卷三十五
钦定四库全书
新法算书卷三十五 明 徐光启等 撰月离表卷四太隂二三均数总数加减表下新法算书卷三十五
## 卷三十六
钦定四库全书
新法算书卷三十六 明 徐光启等 撰五纬厯指卷一(总论)周天各曜序次周天诸曜位置有髙庳包函有内外去人有逺近何繇知之以其相食相掩知之凢相食相掩必叅相直叅相直必分三界人目为此界所食所掩为彼界则食之掩之者必在其中界也第一最近为太隂太隂能食日能掩他星他星不能掩太隂(月掩他星见月离厯四卷) 第二为水星(此古法多禄某及其门人所定也下六同)第三为金星 第四为太阳 第五为火星第六为木星 第七为土星 第八为恒星第九为宗动天 中世于恒星天上又增东西岁差一天南北岁差一天共为十一重天(此歌白泥所定也近第谷以来不复用之)恒星本天在七曜天之上古今诸家之公论也试法有三其一纬星能掩恒星恒星不能掩纬星(如唐髙宗永徽三年正月丁亥岁星)(掩太㣲上将正月戊子荧惑掩右执法元武宗至大元年十一月戊寅太白掩建星之类)其二纬星有地半径之差各去地有逺近而差有多寡恒星古今宻测绝无地半径差则以较纬星必为极逺极髙其视地球正为一㸃(日躔厯月离厯皆以此地半径差求日月逺近)其三为恒星天之本行极迟则当为极髙极逺解曰诸星行天之能力必等(或以自力行或依他力行见本篇)行力既等而各所见之本行有迟有疾必所行之轨道有大有小故也月天甚近于地甚小故二十七日有竒而行一周恒星必六十余年而行一度甚迟必甚大甚逺矣三者相因之势也(因此论亦得诸星相距之髙庳)太阳在诸曜适中之处亦古今无疑试法有四其一诸星受光于太阳若在甚髙或甚庳即不能平分其光又太阳为万光之原其在众星之中若君主在众臣之中其二日躔月离各厯指测算太阳距地之逺为地半径者一千一百个有竒太隂距地之逺六十个有竒则月天与日天相距当一千个有竒其间不应空然无物㑹当有星则金水两星之天在其中矣若此外土木火三星其行甚迟其所行本天甚大故非日月两天之间所能容受也其三诸星之视差与地半径差各各不等太阳之两差不能多于太隂太白不能少于木星土星则当在其中处(各星之视差见五星后论)其四中西厯家所立法数种种不同其同者有二一周天分二十八宿其距星合者二十七不合者独觜宿耳二以七政𨽻于各日初日为太阳日次为太隂日三为水星日四为火星日五为木星日六为金星日七为土星日也夫七政自上而下当首日次金水月土木火今云然者日分二十四时七政分属焉周而复始今所指直日者各日之首时也如初日之首时为太阳时次金星时三水星时四太隂时五土星时六木星时七火星时满二十四时为水星则次日之首时为太隂矣故太阳之次日即为太隂之日可见上古厯宗初立此法者知太阳在众星之中处也上三论古今无疑其不同者古曰五星之行皆以地心为本天之心今曰五星以太阳之体为心古曰各星自有本天重重包裹不能相通而天体皆为实体今曰诸圏能相入即能相通不得为实体古曰土木火星恒居太阳之外今曰火星有时在太阳之内解曰用逺镜见金星如月(见本篇)有晦朔弦望必有时在太阳之上有时在下又火星独对冲太阳时其体大其视差较太阳为大则此时庳于太阳水星木星土星不能以正论定其髙庳但以迟行疾行聊可证之古圗中心为诸天及地球之心第一小圏内函容地球水附焉次气次火是为四元行月圏以上各有本名各星本天中又有不同心圏有小轮因论天为实体不相通而相切新圗则地球居中其心为日月恒星三天之心又日为心作两小圏为金星水星两天又一大圏稍截太阳本天之圏为火星天其外又作两大圏为木星之天土星之天此圗圏数与古圗天数等第论五星行度其法不一(见各星本厯及下总论)依新圗可见金星以太阳为本天之心在上则得全光在下则无光也又可见火星对冲太阳时则庳于太阳皆与所见所测合 又金水二星以太阳之平行为本天之平行古今不异则三天之行(日月太白)皆繇一能动之力此能力在太阳之体中也问金水二星既在日下何不能食日曰太阳之光大于金水之光甚逺其在日体不过一㸃是岂目力所及如用逺镜如法映照乃得见之 依本测法太阳之面大于太白之面一百余倍辰星尤㣲问古者诸家曰天体为坚为实为彻照今法火星圏割太阳之圏得非明背昔贤之成法乎曰自古以来测候所急追天为本必所造之法与宻测所得畧无乖爽乃为正法茍为不然安得泥古而违天乎以事理论之大抵古测稍粗又以目所见为凖则更粗今测较古其精十倍又用逺镜为凖其精百倍是以舎古从今良非自作聪明妄违廸哲问金水二星其孰上孰下何从知之曰水星之天小于金星之天知水星必在其内(水星左右距日二十余度金星左右距日四十余度)又曰太白行迟于水星之行则其轨道必大(金星次行约二十月而一)(周水星次行约四月而一周)问金星居两留叚时即与弦月不异辰星岂不当尔乎曰论理宜然特因体小出没必于晨昏难见故未觉其盈亏消息耳问土木火三星孰上孰下曰火星在日之冲其视差大于日之视差其体亦大宻测宻推知其庳于太阳过此以徃其视差小于日之视差其体亦小推算所得又髙于太阳若土木二星视差恒小于日必在日上无疑也又土木火三星行度不等迟行者必在上土星是也疾行者必在下火星是也行在迟疾之间则木星位置宜在火土之间矣此三星上下古今同论(土星三十年一周天木星十二年一)(周天火星二年一周天)问宗动天之行若何曰其说有二或曰宗动天非日一周天左旋于地内挈诸天与俱西也今在地面以上见诸星左行亦非星之本行葢星无昼夜一周之行而地及气火通为一球自西徂东日一周耳如人行船见岸树等不觉已行而觉岸行地以上人见诸星之西行理亦如此是则以地之一行免天上之多行以地之小周免天上之大周也然古今诸士又以为实非正解葢地为诸天之心心如枢轴定是不动且在船如见岸行曷不许在岸者得见船行乎其所取譬仍非确证正解曰地体不动宗动天为诸星最上大球自有本极自有本行而向内诸天其各两极皆函于宗动天中不得不与偕行如人行船中蚁行磨上自有本行又不得不随船磨行也求宗动天之厚薄及其体其色等及诸天之体色等自为物理之学不闗厯学他书详之(如寰有诠等)厯家言有诸动天诸小轮诸不同心圏等皆以齐诸曜之行度而已匪能实见其然故有异同之说今但以测算为本孰是孰非未湏深论(阙)中又记孝武宁康二年十一月癸酉金星掩火星太阳上水星下又记总积五万五千二百一十年为元和三年戊子西厯五月初一日见水星在日轮之下如黒㸃而过日轮之面又曰水星出入日轮时为隂云掩之木上金下中史记唐肃宗至徳二年八月金星掩木星于鹑火木上火下中史记世宗大定十年八月(即孝宗庚寅六年)木星掩火在参毕间金水相掩中史记宣帝大建十二年十二月癸酉水在金上甲戌金水交相掩夫金水互相掩用新法之圗则明若用古圗则必不能得之矣测五星原上古生人之初见天上列星相近相逺年年世世了无变易因命之曰恒星谓其不动也其有恒也恒星而外别有纬星时相近时相逺时顺行(顺天自西而东)时逆行(自东而西)时留不行因之测其经纬度分以推定其相冲相合测算既成遂列为立成表以垂法式此治厯之始也纬星有五曰土星(亦名填星)木星(亦名岁星)火星(亦名荧惑星)金星(亦名太白)(少隂启明长庚)水星(亦名辰星)五星之公名可谓游奕之星正与恒星相反古称经纬亦此意也初时测五纬星先于某年某月日时距某恒星若干度分积若干年月日时行天一周而复于故处因约得土星之率为三十年木星为十二年火星为二年金水二星一年乂觉其所行者非太阳太隂之轨道时在黄道南时在北各星之各轨道不同又觉前世所行之轨道与后世所行之轨道又各不同因之多立法仪务求齐一先定各星之天几何时而行天一周又一岁一日一时各行天若干度分命之曰平行以为度量之凖式焉平行而外又见五星在日之冲恒逆行迟行其体则大其与日合也恒疾行顺行其体则小自冲合而外或进或退或留或疾绝无画一因知其有多种行度又宜先从太阳近逺取之葢惟星在日之对冲行度稍有定则其冲也约每年一次其合也亦约每年一次似此岁岁测之得其每岁之中积度分此所谓岁行也又以岁行多寡不等因而觉有本行之法如今年测得星在日冲次年如之又次年以迄多年皆如之通计各年所得中积日时悉皆不等(此所得中积不论太阳之平度实度其用畧等向后乃宻推之)则以各年之视行较各年之平行或大或小推其盈缩不齐之故焉如某星在日之冲其左右各一宫之行度差数相等偕为视行小平行大此则赢缩不齐之界限也(如日月之最髙)(最庳)次查某宫以后视行小于平行既行半周至某宫视行大于平行即知某星非平行其依太阳行度而外别有本行之法时疾时迟时与平行等欲齐此行宜用不同心圏或小轮(见次篇)此行名谓本行以别于次行次行者依太阳逺近行即向所谓岁行也平行本行而外又有或南或北纬度之行其根有二一为本圏平面切黄道之平面两道相距相近如黄赤两道相距相近同理一为岁轮亦切本道而于黄道恒为平行面此小轮或能加能减于本轮之纬度然不能变其势如北纬变而为南或南变而为北也(见本厯指第七卷)测五星经度平行五星凡㑹日或在其冲用一均数足矣然在冲之正度分殊未易定其法如左凡星之距太阳度分等(累年所测择其前后各一测星皆在日之左或皆在日之右其距度)(分等)其在黄道经度亦等则其行必满周而复于故处其中积之年日数必等(年日数等者任用若干测其前两测与后两测中积之年日数必等)一解曰测五星之黄道经度必以恒星为本用法(测量)(全义九卷)求之有本星之经度可得其距太阳若干度(今不)(言纬度置星圏于黄道下论之)所以欲得距太阳等度者星之次行(即岁行也)以太阳为行动之原距有近逺则行有迟疾髙庳若距度等者即星之前后两测其迟疾等其髙庳亦等其行必满周也所以或左或右必求同方者星距太阳一左一右虽度等其时不等亦不能满一周而复于故处也所以求黄道之经度等者谓太阳亦在元经度(先测次测)(皆在一度)则太阳无髙庳迟疾之差又日同经度则星在本圏之故处(距本圏之最髙或最庳既等即两测之时星为同类之行又满其周率)二解曰或用两留之中积星既再留而复于故处则其行亦满周矣然不可用者逆行之率有大有小前留与后留不能满率又当留时星无视动尤难定其进退之界也或用星之初伏初见然难定其气之清浊则所得伏见或非伏见之实初也且正升斜升宫数不等即距日之时不等亦不可用三解曰若后测时星未至其故处尚有若干分秒法约计先得之平行一日一时应分秒若干用以补之如少一度于本时加一度相当之时若差多次日测之又次日测之下得一时之星行度分用以补之定五星之平行率古史依上法测算各星平行得数如左(今未论各星之最髙行)土星以五十九年(节气或天周年)又一日四分日之一弱(古多禄某推算)(与今时大同小异见本表)行次行圏(即岁行)五十七周(㑹日五十七次对冲亦五十七)(次)行天周(节气周)二周又一度四十三分木星以七十一年不及四日又六十分日之五十四行次行圏六十五周此积时间星行本圏(天周或节气或经度)六周不及四度又五十○分火星以七十九年又三日六十分日之一十六行次行圏三十七周经周行四十二周又三度○十分上三星之中积年数(太阳行全天之周数)去减本星次行之周数其较为星本行周天之数如土星五十九年减次行五十七周较二为土星行全天二周(上三星者火木土也下二星者水金也)金星以八年不及二日又六十分日之一十八行次行圏五周其平行与太阳同水星以四十六年又一日六十分日之三行次行圏一百四十五周平行与太阳同以积年变日以天周化度得数如左土星二万一千五百五十一日一十八分(日六十分下同)行二万○五百二十○度木星二万五千九百二十七日又三十七分行二万三千四百○○度火星二万八千八百五十七日又五十三分行一万三千三百二十○度金星二千九百一十九日又四十分行一千八百○○度水星一万六千八百○二日又二十四分行五万二千二百○○度若以度为实日数为法而一得各星一日之细行土星一日行(距太阳之行)○度五十七分四十三秒四十一㣲四十三纎四十○芒木星一日行(距日)五十七分○九秒○二㣲四十六纎二十六芒火星一日行二十七分四十一秒四十○㣲一十九纎二十○芒五十八末金星一日行三十六分五十九秒二十五㣲五十三纎一十一芒二十八末水星一日行三度○六分二十四秒○六㣲五十九纎三十五芒五十○末若太阳一日之平行去减各星一日之细行其较为各星之平行得上三星之平行(下二星金水之平行与太阳等)土星一日平行○二分○三秒一十三㣲三十一纎二十八芒五十一末木星一日平行○四分五十九秒一十四㣲二十六纎四十六芒三十一末火星一日平行三十一分二十六秒三十六㣲五十三纎五十一芒三十三末有一日之平行可细推一时一分又推得一年之平行土星一平年(三百六十五日)行三百四十七度三十三分○○四十六㣲有竒木星一平年行三百二十九度二十五分二十一秒有竒火星一平年行一百六十八度二十分半有竒金星一平年行二百二十五度○一分三十二秒有竒水星一平年行全周外又五十三度五十六分四十二秒有竒又以太阳行一年之全周去减各星之平行其较为各星一年之经度土星一平年经行十二度一十三分二十三秒五十六㣲有竒木星一平年经行三十○度二十○分二十二秒五十一㣲有竒火星一平年经行一百九十一度一十六分五十四秒二十二㣲有竒依上行数先置厯元一数可列向后各年及日时之立成表定五星之本行五星既定平行之后积候多年亦觉有最髙之行然当先求其处(如前测在某宫度后测在某宫度)次求其行之法以定各星之轨道以觧其各种行度(诸行皆与平行为异类)日躔厯有两公论曰动类有三其一自上而下其二自下而上二者自然之行必成直线名曰直动其三循环行一周至元界成全圏名为周动若不成全圏即无法之行也星行皆环周行(人目所见不烦觧说)必成全圏否者为无法之行与夫目见器测理则相反 又曰天体及七政恒星必于本圏内平行不平行则推歩之术无从可立无从可用矣然而人目所见各有迟疾顺逆时时迁革百千万年无一平行者又何也厯家因此推求悟有不同心之圏及诸小轮等立法推歩然后得其不平行之故而又不失其平行之常耳日躔月离皆有法以齐其异类之行若齐五星之行其法尤多今择取一二觧之五星次行圏及本行圏古法(本行即本天也次行即本轮亦名岁轮古名小轮)先论上三星如图甲为地心丙乙为太阳本行天辛庚壬为某星本行天辛巳庚为某星之本轮丁为心丁心行自西而东(自丁而辛星之本行也)星则循本轮周亦顺天行如已行经辛戊庚而复于已凡太阳在乙星在戊太阳在丙星在已(太阳在乙星在其冲太阳在丙星与之㑹)太阳自丙向癸乙而复于丙满本天一周星自已向辛戊庚而复于已满本轮亦一周则平行之较数(如土星十二度有竒)为星(或次轮心)从丁右行之数 又从地心甲至辛至庚作两线切本轮于辛于庚分本轮为上下两弧凡星在上弧(庚巳辛)其行从庚向辛则顺天行而星之本轮心丁行于本天周星之行于本轮周皆自西而东星行则疾若星至辛至庚两切线上因目在甲不觉其行则星为留若在辛戊庚弧则违天行亦违丁心行目见从辛过戊至庚星行则迟(丁心之行必迟于本轮周行葢)(太阳一年行一周星行本轮亦一年一周丁心之行不过几度速者几宫不满一周故两行不得相补而本轮)(周之逆行灼然易见非如太隂之平行自疾足以相补但见其迟不见其逆也)次论下二星甲为地心丙癸乙为太阳本行天丁壬为某星本行天已辛戊庚为本轮(或称次行轮)甲丁丙为太阳及某星之平行线星循本轮周顺行从已向辛戊庚而复于已作甲辛甲庚两切线凡星在上弧庚巳辛目在甲见顺行疾行星在下弧辛戊庚目在甲见逆行迟行在辛在庚为留叚同上因本行圏与地不同心有最髙有最庳凡本轮在本行圏之髙弧逆行之时为多在本行圏之庳弧逆行之时为论(下有本论)又图髙庳各作本轮作切线则戊甲丁视角大于庚甲巳视角(因近故大)戊乙丁视角小于庚丙巳视角(此两三角形之各三角并必等丁巳既为直角则甲大者乙必小甲小者丙必大)角小则所乘之弧亦小(视学详之)弧有大小行弧之时刻亦有多寡又各星之本轮大小不等则其疾行逆行亦不等均圏解七政之本行圏皆与地为不同心圏(日躔月离厯指觧日月之本圏不与地同)(心五纬厯后各有本论)然独太阳恒顺行此外六曜皆有他行其齐之之法有三其一本圏之外别作一圏名均圏(畧见月离二卷今详解之)即小轮心所行之圏(先求本行均数止用小轮心行度葢星在日之对冲未有次均恒在小轮之最近如无随)(日之行则与无次行轮等但以本行髙庳去地逺近为异耳今推经度亦止用此无二法)如图甲为地丙为某星之戊巳本圏心丙甲为两心相距若干(各星自推)凡星距本圏之最髙戊约一象限为癸作丙癸甲癸线成丙癸甲角此角为均数角(丙心上有戊丙癸钝角甲为直)(角两角之较为癸角是丙心上平行甲心上视行之差)或先依各星本法测得角亦推丙甲距若干皆因戊癸为某星之本圏弧用三角形法置星距戊(最髙)若干又有丙甲丙癸(丙子同)两边求子角为均数此古法也然所推与所测多不合星在戊或癸乃合去此则差因立他法平分丙甲线于乙乙为心作丁壬癸均圏为小轮心所行之圏然不平行平行度在戊癸己圏如下文设星(或次轮心)在壬作丙壬乙壬甲壬成丙壬甲三角形形有壬丙甲角(丁丙壬之余)为平行之余角(从戊最髙至壬为平行之弧或言角)(一也)而丙壬乙形有乙壬边(均圏之半径)有丙乙边(两心差之半)有丙角求壬乙丙角及乙壬丙角次乙甲壬形有乙角(先得)(之余)乙甲边(两心差之半)及乙壬边求乙壬甲角两壬角并为平行(丙心上算)视行(甲心上算)两行之差此法则以戊癸圏量星之平行而星却令行丁壬圏若但用丁壬圏即星在癸非大均角矣葢乙甲线非丙癸甲形之底故也古者以此法齐星本行之异行若星在子成丙子甲形算得子为均角恒与所测不合(各星厯有本算)上法以算立成表其数不谬必究其理则星行乙心之均圏而测用丙心之戊圏终非正论其二歌白泥法星之行亦成一均圏而不失为正论如第二图甲为地心丙为不同心戊癸圏之心两心相距为前图甲丙四分之三戊(最髙之处)为心作戊丁小轮(是名小均轮)其半径为前图丙甲四分之一为本图丙甲三分之一(丙甲数如前法为四分此法用三分外一分为小均轮之半径)星行小均轮周上(曰星实非)(星体也是为次行轮之心星体居次行之周今通用之理)(亦不谬)戊心东行一周星依小均轮亦顺行一周(在最近处如丁逆行)(在庚顺行至癸即星在壬壬癸与丙癸为直角)凡戊心在最髙(本轮之髙)星在丁为小均轮之最近距甲地心为半径(不同心之半径丙戊)又两心相距二之一(如前法丙甲四故乙甲为二之一)与前法等若在最庳如庚距甲地心为半径去减两心相距二之一上下之较为两心相距之全数(丙甲初数四分)若不用前法(丙甲为三不用四)星在中距(距最髙一象限为中距)以求均角亦仍用甲丙八分(多禄某上星法用八分余四曜不同然其比例皆如八与六与四与二)假如第一图甲丙(两心相距数)为八乙甲其半为四甲丁为半径(均圈乙丁半径)又四分即星在丁距甲为半径又四分又星在庚甲庚比乙庚半径少乙甲四分上多下少其较为八分如第二图甲丙为六分(前图八之六)小轮半径为二(甲丙三之一)星在丁距地之甲丁线得半径(戊丙也)又四分(乙甲也丙甲六分减)(戊丁二余乙甲为四即二)若星在庚距地之甲庚为半径弱四分(丙巳)(半径减丙甲六又加已庚二余为半径少四)上半径外余四下半径内弱四并之得八为髙庳之较如前 此八六等数非公法也各星有本数然其比例略相似或戊丁小均轮置丙上其周为星本圏心所行之轨道所见所测俱同前第一法大均角为甲癸丙角丙癸边为半径丙甲八分第二法分均角为二丙癸甲形有丙癸半径有丙甲六分得丙癸甲六分之角又壬甲癸形壬癸为二分即壬甲癸角为二分之角甲癸两角并得八分如前而星小轮上之轨迹实作一均圏如前法其算法不同得数无二其三第谷之均圏新法不用不同心圏及均圏即用两小轮推初均数(星本行之均数)为便(月离厯略觧今详之)甲为地心丙戊癸为星本天其周上取丙㸃为心作乙子小轮是名本行轮(即当不同心圏)丙乙其半径为六分(为前两法八分之六)其周上取乙㸃为心作丁年次小轮乙丁其半径为二分是名均圏(当前法之均圏)丙心右行向戊癸复于丙为星之平行乙心在上左行向丑子复于乙与丙心同时满一周星(或次轮心)在均轮周丁为在下右行向午较之乙心其形倍疾丙心乙心行满一周丁星行满二周也本轮心在丙星在丁距甲地为甲丙半径又丙丁四(丙乙为六减乙丁二余丁丙甲)丙心行至戊均轮心至丑星至庚庚戊成一直线并为八分甲戊庚形直角在戊有甲戊半径有戊庚八分求庚甲戊均角若本轮心至癸(丙之冲)星在壬距甲地为半径弱壬癸四分则星在丁为最髙在壬为最庳其较八与前二法同土木二星之岁年轮如三家图可解为何朝夕两留行界非一或时逆行度多或时度少其根有二其一因各法各星有均圏负载年岁轮之心夫均圏与地非一心有最髙及其冲岁轮在最髙目因逺见小在其冲目因近见大如图甲为地心乙为某星天之心为心作丁丙巳戊圏(但用两弧省图)庚为最髙辛为其冲庚辛为心同径作两小轮又从甲(人目)作切线定已甲戊丁甲丙两角各角为逆行之度(从子过内癸丁)(归子丁子丙顺行丙癸丁)(逆行下图亦如此巳午戊)(为顺戊壬巳为逆)题言丁甲丙角比戊甲巳角为小又曰丁癸丙弧比戊壬巳(各在两切线中)为大作戊辛巳辛丙庚丁庚各半径线而切戊甲等线为直角论取庚丁甲戊辛甲两直角形相比庚丁戊辛两边为等庚甲丁甲比辛甲戊甲各为长则庚甲丁角比戊甲辛为小(直角形之理见几何)一系两心差数多者见小轮大小之较为大(大小乃次均数多寡)二小轮逺者本轮上逆行之弧更大若近者为少(庚甲丁等○角)(为小即庚角为大或丁癸弧大丁癸戊壬两弧各倍之得丙癸丁戊壬巳逆行之两弧丙癸丁比戊壬巳大依)(图见之)三凡小轮在逺处本周上逆行之日时数为多在其冲为少(盖小轮上星行为平)其二根为太阳两心之差凡用歌白泥及第谷二新法因太阳体为五星或本行之心若太阳近逺必小轮亦近亦逺亦大亦小此根之差土木二星因与地甚逺以测不觉大差火星因近太阳时在其上时在其下差数见大本厯详之金水下二星因以太阳平行为本行又为小轮之心亦从其髙庳以为髙庳然金星本天最髙不逺于太阳最髙(差不过十度)其小轮大小亦以本天髙庳为本或本天及太阳幷为其大小差之根无所考水星或亦从本天最髙及太阳最髙亦无所考上三星岁行说共四图 第一乃古多禄某用不同心圏均圏得壬岁圏之心依各星本测作庚辛年岁圏人在甲见星从辛徃庚逆行从庚到辛顺行在子㑹太阳在午冲太阳第二图歌白泥不用大均圏祗取小均圏而齐岁圏心壬之行(见上)壬为心作小岁圏如前但甲丙为前图甲丙两心差四之三又小均轮半径为四之一顺逆两行界如上第三图第谷亦不用不同心及均两大圏祗用两小轮其一当不同心圏其二当均圏(字号四图中皆有定指如乙常指均圈心上下同)以二小轮齐年岁心之行年岁圏心在壬同前第四图乃第谷及歌白泥总法以太阳为五纬行之心甲为地已庚辛为太阳本轮置太阳在巳巳为心在星本天又取两心差四之三(依本图)到丙作乙戊弧得心在壬如前二图置太阳行已辛弧壬㸃亦行而成壬丑弧太阳到庚壬㸃亦到寅又复囘于已壬㸃又复到元处而成壬丑寅圏如已辛庚圏等(壬巳丙角不变)(改又丙巳最髙线于已甲常行平行依几何法可论之)凡太阳在午星到子因在甲午子一直线谓之相㑹凡日在未星在申谓之相冲在子于地极逺在申极近太阳顺天行巳午辛未庚然星从寅壬子到丑顺天行从丑申到寅于甲人目似逆行寅丑为两行之界此法乃第谷本法以太阳本圏一轮免上二星之岁圏因各星近逺解各星之大小又曰太阳于诸星如磁石于铁不得不顺其行故此法算三星因用太阳正躔度别法用平行所算之度分上四图各觧顺逆疾迟留等岁行之验下总图合四法以明之理一而已总图有实线叠线虚线三类实线法古用黒字叠线第谷法元用红字虚线歌白泥及第谷总法古法引数取于丁角第谷取午癸弧之已角及角庚弧乃其倍歌白泥取酉角又取寅戌辰(小轮上)角各用三十度算均数古法得甲庚丁角第谷得己甲庚角歌白泥得寅酉戌及酉寅巳两角成一均数又置星距太阳一百一十度前两法从卯起到寅寅为其星之体(卯㸃在庚甲线上即人目辛圏心庚之中)歌白泥取其余申未弧太阳在未亦得星体在寅如前二法(申未圈与卯寅圏等)新星解按古今厯学皆以在察玑衡齐政授时为本齐之之术推其运行合㑹交食凌犯之属在之之法则目见器测而已然而目力有限器理无穷近年西土有度数名家造为窥筩逺镜能视逺如近视小如大其理甚㣲其用甚大具有本论今述其所测有闗七政者一二如左其一用逺镜见周天列宿为向来所未见者不可数计说见恒星厯指三卷其二土星向来止见一星今用逺镜见三星中一大星是土星之体两边各一小星系新星如图两新星环行于土星之上下左右有时不见葢与土星体相食或曰土星非浑圆体两旁有附体如鼻以本轴运旋故时见圆时见长此土星之两异行未定其率葢本周极迟初见时至今年尚未满一周天故也或曰时见三星相距有近有逺安得谓之合体二说不同未知孰是湏乆测乃知之其三木星目见一星今用逺镜见五星木星为心别有四小星常环行其上下左右时相近时相逺时四星皆在一方时一或二或三在一方余在他方时一或二不见皆用逺镜可测之初测者作此直线图共九测一为万厯壬子年太阳在𤣥枵初度辰时二为癸丑年太阳在𤣥枵二十六度子正时三为本年次日寅初三刻四为本年太阳在娵訾二十三度亥初刻五为次日丑正刻六为甲寅年太阳在大梁八度亥初一刻七为本日子初刻八为次日子正二刻九为本日寅初刻 依上测得其相距极近之圏半径为木星三径(用木星半径为法葢无他物可与为比)次小星圏半径为木星四径第三为五径第四为十径其行右旋在上顺行在下逆行(顺者自西而东逆者自东而西)近本星疾行距逺迟行顺行与木星㑹则不见葢木星食之逆行不食可知其环行也又木星为其环行之心又环行之大圏平面不与木星之本道同面而四小星之各圏平面又不作一大圏平面葢其髙下不一在髙者距南在下者距北次圏线图木星甲为心作乙丙丁戊圏距心见上毎圏为一小星之轨道外圏从戊向丁巳庚行余倣此乙星行满本周为一日七十四刻丙星行一周为三日五十三刻有竒丁星行一周为七日十六刻戊星行一周为十六日七十二刻弱皆从木星㑹合时起算不用距木星之极逺葢众星依本小轮行至左右为留叚不见其行无从得真率也又小星在甲巳左右两线内即隐不见木星掩之故也在甲壬左右两线内亦隐不见葢入木星之景故也(设日)(所在如图照木星生甲壬景因木星距日几何得甲壬景所在)今日恒见四时见三所不见者必在已或壬两暗处系木星全为暗体小星之体亦自无光光借于日故入木星景如壬目所不见四小星去木星逺见大近则木星光大能夺小星之光问晨昏时比中夜见小星之光为大何故曰晨昏之光朦胧之光也其光不大故能助目之光又问逺镜中若少离木星之体即不得见小星何故曰本星光助目以能分小星之体已上两言聊以荅问未知其正理安在俟详求之测四小星当于其较著时一为木星与日冲照(此时木星距地)(甚近)一在本轮之最庳一晨昏时一月明时其四为金星旁无新星特其本体如月有朔望有上弦下弦(见本厯第五卷)其五太阳四周有多小星用逺镜隐映受之每见黒子其数其形其质体皆难证论目以时多时寡时有时无体亦有大有小行从日径徃过来续明不在日体之内又不甚逺又非空中物此须多处多年多人宻测之乃可不闗人目之谬用器之缺详见性理书中又以逺镜窥太阳体中见明㸃其光甚大又日出入时用逺镜见日体偏圆非全圆也其周如锯齿状然因其行无定率非厯家所宜详亦解见性理新法算书卷三十六
## 土木二星厯指叙目
土木二星厯指叙目
土木二星之行有经有纬又有迟速诸行测其平行之率已见本部首卷厯家茍欲推明其行必用小轮及均圏等然此二星之测法则同其于他星则异矣法以星正冲太阳三测之盖在此无岁行之差故也若测在昼法曰求太阳与二星冲照之日于其先后几日累测之算用二星日时刻细行数如测月离亦用三食方免他行之差焉其右今三测列之如左
## 卷三十七
钦定四库全书
新法算书卷三十七 明 徐光启等 撰五纬厯指卷二测土星最高及两心之差先法(第一章)右多禄某择取土星在日之冲前后三测第一测总积四千八百四十年为汉顺帝永建二年丁卯西厯三月廿六日酉正本地测得土星经度为夀星一度十三分于时太阳平行躔其冲得降娄一度十三分第二测总积四千八百四十六年为汉顺帝阳嘉二年癸酉西厯六月初三日申正本地测得土星经度在析木宫九度四十分太阳平行对冲在实沈宫九度四十分第三测总积四千八百四十九年为汉顺帝永和元年丙子西厯七月初八午正本地测得土星经度在星纪十四度十四分太阳平行对冲在鹑首十四度十四分前二测中积为二千二百六十○日又二十二日(二十四时为一)(日)此时依前所定平行数得土星行七十五度四十三分又两所测土星之视经度差(从寿星一度十三分至析木九度四十分)得六十八度二十七分平行视行相减得七度十六分为均数又平行大视行小(用小轮法)可知星在自轮之上(自轮当不)(同心圏也星在其上即逆行必减平行为视行而视行为小)后二测中积为一千一百三十○日又二十○时此时土星之平行三十七度五十二分又两测视经度相减(析木宫九度四十分至星纪宫十四度十四分)得三十四度三十四分又平行视行两数相减得三度一十八分为均数平行大视行小星亦在自轮之上依上三测可见平行与视行不一又视行时大时小前二测以减均数得视经后二测以加均数得视经可见视行时疾时迟用右测亦用古图则不同心圏及大均圏如图甲乙丙圏为土星本天(亦名本圏亦名不同心圏)取甲㸃为第一测土星所躔本圏上度(未定最髙左右故任取之)从甲至乙为前两测之中积平行七十五度四十三分乙为第二测土星所躔本圏上度从乙至丙为后两测之中积平行三十七度五十二分丙为第三测时土星所躔本圏度也又本圏心外任取一㸃为丁以当黄道心作甲乙甲丁乙丁三线又从第三测丙过丁作丙丁戊线(此先用甲乙两测或用乙丙或用甲)(丙皆可)至周上又作甲戊乙戊二线成多三角形丁㸃为黄道心则视行之度用黄道上所测之弧或用其辏心之角一也(丁㸃为黄道心其周上各分之弧与其辏心之各角各幷之皆得三百六十度各弧与各角相)(当弧角两名亦互用)一乙戊丁形有乙戊丁角(戊角在界乘乙丙弧则为乙丙弧度之半)为一十八度五十六分又有乙丁戊角(乙丁丙丁为后两测黄道上土星之度则乙丁丙为两测)(中积视行度之角得三十四度三十四分乙丁戊为其满)(半周之余角)为一百四十五度二十六分乙角必为一十五度二十八分(三角形之三角当两直角或当一百)(八十度)有三角求三边(侧量全义首卷九题日边与边若各边对角之正弦则以各角之度)(查正弦表得数为各对边之数)乙丁边得三二四四七(戊角之正弦)戊丁边得二六九四八(乙角之正弦)戊乙边得五六七三六(丁角之正弦)(言三测之弧言在界所乗之弧皆本圏上之平行弧言辏丁心各角相当之弧皆黄道上之视行弧故弧同数)(异也)二甲戊丁形有甲戊丁角(甲戊丁角在界乘甲乙丙弧用半数甲乙七十五度四十三分)(乙丙三十七度五十二分并之得一百一十三度三十五分半之得五十六度四十七分半)为五十六度四十七分半有甲丁戊角(甲丁乙乙丁丙两角并为一百○三度○一分)(以满一百八十度为甲丁戊角)为七十六度五十九分第三角即戊申丁必为四十六度一十三分半有三角求三边(法如前)得甲丁边为八三六六八(戊角之正弦)甲戊边为九七四三○(丁角之正弦)戊丁边为七二二○六(甲角之正弦)三乙戊丁甲戊丁两形同用戊丁边是戊丁边有二数以此两戊丁依通率法通为同类之数(两形数相通元法置一虚数依各边之比)(例求各两虚数之几何也)用三率法(法日乙戊)(丁形之戊丁为先数二六九四八为一率甲戊丁形之戊)(丁为次数七二二○六为二率乙戊丁形之乙戊为先数)(五六七三六为三率如法得甲戊丁形之乙戊为次数)求乙戊边次数(次数与戊丁边次数同类)得一五二○二一即与甲戊丁形数同类四甲乙戊形有甲戊乙角(戊角在界乘甲乙弧弧为平行七十五度四十三分用其半)为三十七度五十一分半有甲戊戊乙两边(甲戊边第二算所得也乙戊边则第一算所得而用通法为与丁戊或甲戊同)(类)求甲乙边(法从甲角作甲午垂线分元形为两句股形用甲午戊形)(求甲午为全与甲戊邉若戊角之正弦与甲午得五九七八三又求午戊为全与甲)(戊边若戊角之余弦与午戊得七六九三三又以午戊减戊乙得七五○八八次甲)(午乙形有甲午股午乙句求乙甲弦两数各自乘并而开方得甲乙边)得九五九八○五甲乙线有两数一为甲乙弧之弦(甲乙弧先两测之平行七十五度四十三)(分)一二二七四三一为前推甲乙戊之边九五九八○以此两甲乙线通之求甲戊弦与甲乙弦同类(法甲乙边为外数为一率)(甲乙弦为内数为二率甲戊边外数为三率如法得甲戊)(弦内数)得一二四五二六有甲戊通弦之数查表求甲戊通弧之度(法用半弦为六二二八九查表得半)(弧三十八度三十一分半倍之为甲戊弧)得七十七度四十三分六甲戊甲乙乙丙三弧之度数并得一百九十度三十八分丙乙甲戊弧也求其弦得一九九一四四丙戊线也七丙乙甲戊弧为圏之大半即圏之心在其内(弧弦形之内)置心在已作庚巳丁壬过巳丁两心之径线(甲丙弧大于甲戊即已心)(又在丙丁甲形内)截丙戊弦于丁求戊丁丁丙两弦分(丁戊线有两数)(乙戊丁形内一甲戊丁形内一此甲戊丁形之甲戊边有本形边之外数又有内弦数以三率法求戊丁弦内)(数若干甲戊边本数九七四三○甲戊弦数一二四五二六戊丁边次外数七二二○六依法得戊丁弦次内)(数九二二八○以减戊丙全弦得丁丙弦数)算得戊丁为九二二八○丁丙为一○六八六四八求己丁两心之差(几何三卷三十五题丙丁丁戊两线内矩形与庚丁丁壬两线内矩形等)(又二卷五题庚丁丁壬矩形及己丁方形并与庚巳方形等)置庚已半径全数上方(庚巳为十万其)(方积为一百万万)以戊丁丁丙矩形积(九八六一四○九九二○)减之余(一三八五九○○八)(○)其方根为己丁线得一一七七二丙心之差也(土星天心距地心之数也)九丙戊弧平分之于辛作己辛线截戊丙线于癸成己丁癸句股形形有己丁一一七七二(两心差)有丁癸(先有丙戊半之)(为癸戊以戊丁减之余丁癸)七三六六求癸巳丁角算得三十七度三十五分已为心即壬辛弧为已角相当之弧壬辛辛丙(辛丙弧为丙戊弧之半得八十四度三十二分)并得一百二十二度○七分为第三测土星(或次轮心)距最髙之冲壬或距最髙庚为五十七度四十三分丙度弧也(庚为最髙壬为其冲庚壬线过两心故也)丙庚弧去减乙丙得乙庚十九度五十一分为土星第二测距最髙又甲乙弧去减庚乙得五十五度五十二分为土星第一测距最髙之弧十置两心差及星自行(距最髙之度)求上三测之均数用上图不同心圏甲乙丙作甲巳甲丁诸线成各三边形如甲巳丁形有甲巳半径有甲巳丁角(第一测甲距最髙之余)一百二十四度八分有己丁(一一七七二)求丁甲巳均角得五度二十五分为均数(因星近最髙均数用减)以减庚甲得五十○度二十七分甲丁庚角也次星在乙求己乙丁角(形有己丁己乙两边及乙己丁角为乙巳庚之余)算得二度○六分以减庚乙(在最髙之近故)得十七度四十五分乙丁庚角也又星在丙求己丙丁均角算得五度二十四分半甲乙两均角并得七度二十二分半为前两测中积之均数然先所测均数为七度一十六分今所算均数较前测盈六分半后两测今所算中积均数(丙丁庚角去减乙丁庚角)(余为二三测均数差)三度十八分半较前所测均数盈半分已上十条求土星距本圈之最髙及两心之差古今两数相近然止用不同心圏算加减均数则与实测之数不能悉合(星在最髙或其冲则无加减均数又星在髙庳之中则依两心之差均数为合四限外不)(合)古多禄某曰星(或次轮之心)所行非不同心之庚乙壬也其轨道盖有他圏试作丑寅卯圏(是名均圏)子为心居两心之间(己丁)(两心线平分之于子子为心子丑与己庚两半径等)星体(或次轮心)行丑寅卯圈其自行之度数乃在庚巳壬圏设星在寅(在均)(圏周)距最髙为丑寅弧或丑子寅角依彼测算是不用寅丑弧为自行度而借庚乙弧或庚巳寅角为自行度得己寅子角为本均(本均所从出者本圏丑寅上之本行也)度数用此求本均数可以合天(古数小差于法为正新数依此别解之)然非正法大违厯算测量二家之公论(公论日诸星行本圏上必顺行必以本心为心)(而成全圏今日星行丑寅卯圏其自行之度却于庚乙圏上测之不以本圏心为心故曰非正论今试别解之)(如左)十一本均正法已为心作甲乙丙戊圏(名载均轮之圏)取已于两心相距四分之三(前卷)(初法己丁四今取其三为己丁一为小均半径)丁为地心甲乙周上取四㸃(最髙最庳左右两平)(距)甲乙丙戊以为心用己丁三之一为度以为界作四小轮(名小均轮)星(或天轮心)依此均轮周上行若均轮心在最髙如戊星在均轮之最近为庚均轮心顺行至甲(中距之处)星逆行(在下半周故日逆行非违天上也)至癸至均轮心行满大圏一周星亦行满均轮一周同时复于故处星所行之轨迹必成庚甲壬丙一大均圏与前法等在甲在丙为两极大均数两法所得无二(见本厯第一卷)十二依古法用三测求本均正数 置大均圏之心子于己丁两心之间星行本圏至甲(第一测)即大均圏上在酉距最髙庚为庚巳甲角五十五度五十二分(上算所得)又作己甲酉子甲丁丁酉四线成已子酉子酉丁丁酉甲三形求丁酉巳均角(己酉子形有已子为两心)(之半距有子酉为均圏半径有酉已子为自行度甲庚之)(余角求酉角自得已子酉角又酉子丁形有子丁有子酉有酉子丁为已子酉之余角求酉角两酉角并)得五度二十五分半以较巳甲丁角盈九分第二测如上法算得均数二度一十二分第三测得均数五度三十九分半先两测两均数相并得七度三十七分半较所测(七度一十六分)盈二十一分半后两测相减得三度二十七分半较所测(三度一十八分)盈九分半理虽允正数不合天十三多禄某因上所推数不合天别定两心之差为一一二七七又最髙顺天进移一度一十三分即第一测距最髙为五十七度○五分(先算为五十五度五十二分)第二测距最髙为十八度三十八分(先算为十九度五十一分)第三测距最髙为五十六度三十分(先算为五十七度四十三分)十四用上数依本图再算第一测得己酉丁均角为五度一十八分以减星自行距最髙得星视行距最髙为五十一度四十七分第二测算均角得一度五十八分以减自行距最髙得一十六度四十○分为星视行距最髙第三测算均角得五度一十六分以减自行得五十一度一十四分为星视行距最髙十五先二测相距为六十度二十七分(两测距最髙度数并)与所测等后二测相距为三十四度三十四分(两测距最髙度之较)与所测等又先测两均数并为七度一十六分后两测均数并为三度一十八分各与所测等多禄某因推数与测数密合遂借所设数为正数十六第一测土星在寿星宫一度一十三分又得视行距最髙五十一度四十七分两数并(第一测土星在最髙前故相加)得在大火宫二十三度土星天最髙之经度也十七多禄某步土星术于两不同心圏外更用一小轮(名岁)(轮一岁行一周)星依此轮周行如第三测岁轮心在丙(圏号如前)依丙心作午未卯岁轮(今不论其径后推之)作己丙自行线(出自圏心)作丁丙视行线(出地心)凢星在最近未(近地)为太阳之视行冲在卯即以视行㑹太阳然午或甲为岁轮平行之界则第三测时星在未距午平视行之差五度十六分岁轮行一周者非三百六十五日也五星皆以行一周天而与日㑹为岁行其率土星一年十二日有竒木星一年三十三日有竒火星二年四十九日有竒金星一年二百一十九日有竒水星一百一十五日有竒皆谓之岁行周十八约上论列各类之数以便简览今论定数测 宫 度十分 千百十日十时测 十度十分 十度十分 度十分先用两心差一一七七二算得数不合测 度 分 度 分(十秒) 度 分(十秒)测 度 分 秒 度 分 秒后用两心差一二二七七算得数密合测 度 分 度 分测 度 分 度 分 度 分测土星最髙及两心之差后法(第二章)多禄某于汉顺帝时定土星天之最髙及两心差测算如前此时无上古所传旧测何从知取髙复有运行度数正德间歌白泥因千年积候再测再算得此时最髙距多禄某时积岁运行度分近万厯间第谷及其门人再测再算复定最髙岁行若干度分今具一法如左第一测总积六千二百二十七年为正德九年甲戌西厯五月初五日子正前一时一十二分本地测得土星距娄宿距星(西名白羊角大星)二百○五度二十四分为太阳之冲(于时娄星经度为降娄宫二十七度一十五分五十三秒算土星宫得鹑尾一十九度二十六分太阳平)(行在娵訾宫十九度二十六分)第二测总积六千二百三十三年为正德十五年庚辰西厯七月十三日午正时本地测得土星距娄宿距星二百七十三度二十五分为太阳冲(于时娄星经度为降娄宫二十七度二十)(一分算得土星在𤣥枵宫初度四十六分太阳躔鹑火宫初度四十六分)第三测总积六千二百四十○年为嘉靖六年丁亥西厯十月初十日子正后六时二十四分本地测得土星距娄宿初度七分为太阳冲(于时娄星经度二十七度二十七分算得土星在降娄宫)(二十七度三十四分太阳躔寿星度分同)前二测中积为二千二百六十○日又六十分日之三十三此时土星视行为六十八度○一分平行为七十五度三十八分两行之较为均数七度三十八分后二测中积二千六百四十四日又六十分日之四十六此时土星平行为八十八度二十九分视行为八十六度四十二分两行之较为均数一度四十七分图与前同其号其算法皆同一算乙丁戊形求各边二算甲丁戊形求各边三戊丁有两数通乙戊令与甲丁戊形同类四甲戊乙形求甲乙边五甲乙线有外数(先得甲乙丁之边)有内数(为甲乙弧之弦)用两数依通法求甲戊弦数以求甲戊弧六甲戊甲乙乙丙三弧并求其弦丙丁戊弧大圏心必在其内如已以甲乙两数求戊丁弦数因得丁丙弦数七戊丁丁丙相乗得数以减半径上方积其余开方求根为两心之差得一二八戊丙弧平分之作己癸辛垂线巳癸丁三角形求癸己丁角得三十二度四十二分即辛壬弧九有辛壬弧求丙庚为第三测之土星距最髙得一百二十八度三十二分求乙庚为第二测距最髙得四十○度○三分求甲庚为第一测距最髙得三十五度三十六分(此算数不合测数若用小均轮算各测之均数亦不合天歌白泥用别数试之乃得合天以为正法)(其己丁相距八五四以其三之一为甲未半径又进移最髙二度十四分如庚甲先得三十五度三十六分今)(为三十七度五十○分庚乙庚丙各减之)用上别定数求各测之均数如歌白泥图用小均轮大圏为载小均轮之圏(即不同心圏)其心已作庚巳丁壬径线取己丁四分之三为两心差地心丁为甲乙丙三测之心又取两心差四之一为度以为半径作各小均轮又作甲巳乙巳丙巳三线各割小均轮于丑凢小均轮心距庚最髙若干即土星体(或岁轮之心)距丑亦若干如一测则丑未与甲庚大小两弧等二三测亦如之次各作甲未未丁诸线(二为乙未三为丙未)成甲未丁诸形又成甲巳丁诸形因星之平行在甲距最髙为庚巳甲角视行距最髙为庚丁未角两角之较为均数第一测己甲丁形有己丁(两心差四之三即九○○)有己甲(全数)有甲巳丁角(庚巳甲之余一百四十四度二十四分)求甲丁两角及甲丁边得己甲丁角为二度二十二分丁角为三十五度五十八分甲丁边为一○六七九第二测已乙丁角为二度四十二分乙丁己角为三十四度○四分丁乙边为一○六九七第三测己丙丁角为四度一十三分己丁丙角为一百二十一度○五分丙丁边为九五三二又各测甲未丁诸形有甲丁(前筭)诸边甲未丁诸角(先得己甲丁诸)(角又未甲丑诸角与甲庚诸弧等各两角并得未甲丁诸角)及甲未诸边(小轮半径)求未丁甲诸角第一测为一度三分第二测为○度五十九分第三测为一度十六分如上图己丁甲等角皆为小均轮心距庚最髙之视行度又未丁甲诸角皆小均轮上之星行均数以减甲丁庚诸角得未丁庚诸角为星正距最髙之度 一测为三十四度五十五分 二测为三十三度○五分 三测为一百一十九度四十七分前二测之数并得六十八度为两测相距之视度较所测差一分后二测相减得八十六度四十二分为两测相距之视度与所测等又庚巳甲诸角庚丁未角之较第一测得三度五十五分二测得三度四十四分三测得五度五十三分为各测平视两行之差均数也前两均并得七度三十八分与所测等后两均相减得一度四十七分与所测亦等得数皆合天知其根数必合无疑第一测得土星距娄宿距星为二百○五度二十四分今得星未到最髙为三十四度五十五分两数并得二百四十○度一十九分是为总期六千二百二十七年即正德九年甲戌土星天最髙距娄宿之经度分加娄宿经度共得二百六十七度三十五分或称析木宫二十七度三十五分多禄某元定最髙在大火二十三度相减得二十四度三十五分其中积一千三百八十年有奇以最髙行度为实年数为法而一得一年最髙行分(率数见下文)近万厯间第谷及其门人再测再算所得之数不远试以土星表较古今两测(第三章)用古多禄某第三测及近世歌白泥第三测相比计两测中积为一千三百九十二平年又七十五日六十分日之四十八依本表歌白泥时土星自行(全周外)为三百五十九度四十七分四十二秒是多禄某测自行(从最髙起)为一百七十四度四十四分今歌白泥测自行为一百七十四度二十九分相减较十五分为今测未及古测之度分依表算以满全周不足一十二分则千四百年间算测之差仅三分极㣲矣此中积内土星行岁轮为一千三百四十四周不足四分度之一又太阳全周外平行八十二度三十分内减土星行度(三百五十九度四十五分)得八十二度四十五分(乃土星四十七周外平行之度数也)定土星表厯元(第四章)或用古测或新测同法以所测年月时与所定厯元年日时相减得较为中积于土星零年日表求中积时之行度分以加所测之土星行度分(凢测在前厯元在后用加法若测在后厯元在)(前用减法)得厯元时土星之平行经度又测星之地非厯元所定之地则以东西里差时刻用日细行表以加减法均之(测地在西用减法测地在东用加法)本厯所用土星表以新测十五条推算考验(第五章)一总积六千二百九十五年为万厯十年壬午西厯八月二十一日八刻(子正起算)太阳躔鹑尾七度二十六分(视行也)测土星经度得娵訾宫七度二十六分为太阳冲用表查得平行三百○九度二十三分四十秒(春分降娄宫起算)自行为七十七度三十四分四秒用加减表得土星视经度为娵訾七度二十二分○四秒以较测数缩三分有竒二总积六千二百九十六年为万厯十一年癸未西厯九月初三日一时太阳躔鹑尾十九度五十○分测土星经度得娵訾十九度五十分为太阳冲用表查平行得三百二十八度二十六分二十一秒自行为九十度一十七分一十五秒用均数得土星视经度为娵訾十九度四十八分以较测数缩二分三总积六千二百九十七年为万厯十二年甲申西厯九月十五日六时半测土星正对太阳经度为降娄宫二度三十四分以算较测盈一分四总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉西厯九月二十八日十九时半测土星正对太阳经度为降娄十五度三十九分半以算较测缩十五秒五总积六千二百九十九年为万厯十四年丙戌西厯十月(阙日时)测土星经度为降娄二十九度○二分以算较测盈二分六总积六千三百○○年为万厯十五年丁亥西厯十日二十六日九时测土星经度为大梁十二度四十六分算与测密合七总积六千三百○一年为万厯十六年戊子西厯十一月初八日十时午分测土星经度为大梁二十六度四十四分以算较测盈二十秒八总积六千三百○二年为万厯十七年己丑西厯十一月二十二日十四时半测土星经度为实沈十度五十三分以算较测盈三十六秒九总积六干三百○三年为万厯十八年庚寅西厯十二月初六日二十时半测土星经度为实沈二十五度十分以算较测缩一分有竒十总积六千三百○四年为万厯十九年辛卯西厯十二月二十一日一时测土星经度为鹑首九度二十四分半以算较测缩一分有竒十一总积六千三百○八年为万厯二十三年乙未西厯正月三十日二十一时测土星经度为鹑火二十一度一十五分半以算较测盈三分十二总积六千三百二十年为万厯三十五年丁未西厯七月初九日三时测土星经度为星纪二十六度五十三分以算较测盈四分有竒十三总积六千三百二十二年为万厯三十七年己酉西厯七月二十一日十三时测得土星经度为𤣥枵八度三十一分以算较测盈一十二秒十四总积六千三百二十三年为万厯三十八年庚戌西厯八月初二日二十二时半测土星经度为𤣥枵二十度十分以算较测盈四分有竒十五总积六千三百二十四年为万厯三十九年辛亥西厯八月十五日十六时测土星经度为娵訾二度一十二分以算较测盈一分半测土星次行先法(次行一名岁行一名他行)上论用不同心圏及均圏(大小一理)以齐土星之自行(或称本行)二十九年有竒而一周天今论其次行(一日岁行毎一㑹日称一周)有二说盖古今厯家皆言土星在日之冲则逆行则迟行其正冲之㸃为逆行迟行两限之界若土星与日㑹则顺行则疾行其正㑹之㸃为顺行疾行两限之界也然日有平行有视行未知定两限之界者为日平行之冲与㑹耶抑日视行之冲与㑹耶故有二说上世每用日平行之冲为逆行之限今世则自宜用日视行之冲为逆行之限(即岁轮极髙极庳之㸃)两法皆可推定次均表其差甚微似不妨任用之今以法齐岁行依古测用古图依新测用新图古法多禄某于总期四千八百五十一年为汉顺帝永和三年西厯十二月二十二日子正前四时(即戌正)本地测土星经度为𤣥枵宫九度○四分(测土星经度以大浑仪用月用毕宿大星)(本书详记其冲)于时太阳平行躔析木九度一十五分较前所用第二测则此测在后八百九十七日又八时其时土星最髙在大火二十三度土星在𤣥枵九度 四分则视行距最髙为七十六度○四分又第三测时平行(岁轮)(心之行)距最髙五十六度三十○分两测之中积平行为三十○度○三分以并第三测其得八十六度三十三分为此测时土星平行距最髙之度分也(古不知有最髙行故平行)(自行异名同理)又第三测时土星体居岁轮周一百七十四度四十四分(从最逺起算)二测中积星间行岁轮周一百三十四度二十四分并之得三百○九度○八分为土星从岁轮极远所行之度今有星之视经度自平行及岁行各若干又有其均数两行较为十度二十九分及两心之差求岁轮径大小若干如图已子丁庚四号同前岁轮心为未庚未弧八十二度三十三分作己未甲线甲为岁行极逺之界从甲过丑取三百○六度八分至丙为土星之体又作子未丁未丁丙未丙四线成诸三角形己未子形有已角(自行弧庚未八十六度三十三分之余为九十三度二十七分)有已子边(两心差之半)有未子(全数)求己未边又己未丁形有己丁己未两边有丁巳未角求岁轮心距地丁未若干得一○○八○○又求先均数之己未丁角得六度二十九分即己丁未角为八十度○四分是岁轮心未正距最髙庚之度分而所测土星本体丙距最髙为七十六度○四分其较四度则岁轮均数也丙丁未角也丙丁未形有丁未边有未丁丙角有丙未丁角(岁行为甲丑丙)(弧减半周甲卯余卯丙又有卯丑为己未丁角之弧即丙卯卯丑两弧并得丙丑弧或丙未丁角)求丙未边得一○八三三为岁轮半径之数(子未截未心圏之半径为全数)(十万也)多禄某所定己丁丙未两线依以推算凢有土星自行(庚巳未角)及岁行(丙未丁角)皆可得土星全均数(庚丁丙庚巳未两角之较)本书有例今用新法新数不烦备述测土星次行后法(第七章)近年第谷门人用多禄某法作别图稍订定前数丁地心为心作庚未壬黄道圏(或土星本圈如白道为月本圏)庚为最髙取庚未弧(顺天取之)为土星自行度未为心作甲丑圏其半径八七二一(古图为两心差四之三数小异)作丁未甲线甲为不同心轮极逺之界从界左行取甲丑弧与庚未弧等丑为心作己丙圏其半径为二九○七(古图为两心差四之一此两小轮第一当不同心圏第二)(当小均圏)又作未丑线恒与最髙庳线平行割己丙圏于己巳为最近未心之㸃亦为丙巳圏右行之界从已右行取己丙弧倍庚未弧(未心行庚未圏一周丙㸃行丙巳图二周)又以丙为心作戊乙辛寅圏名岁圏(古图名小轮)其半径一○四二六(较古数少增)土星体循此圏一㑹岁(日与土星相㑹名一㑹岁)行满一周(作丁丙辛线辛)(为岁行极远之界)凢未心在庚(自行初度分)丑又在甲丙又在巳星若在辛即土星之各行皆为初度初分土星在最髙土星体从戊右行过乙辛寅而复于戊为一周用此图可推土星均数有例如左此新图法仍用新测即测算俱合今具两测一为减均一为加均第一测总积六千三百○三年为万厯十八年庚寅西厯二月初八日午正后三十四刻第谷于本地亲测土星经度为实沈宫七度三十二分纬度为黄道南一度五十二分于时太阳视行躔娵訾宫初度初分四十秒依表得土星平行距春分为七十五度一十○分○五秒平经度也自行为一百六十八度五十一分四十秒本圏上之行引数也(岁行丁定)如图丁为地心庚壬为土星本圏与地同心壬为最髙冲从壬逆取十一度○九分(自行从最髙庚起至最庳壬不足若干或从最髙计)(自行本数或从最庳逆数其余)得未未为心作甲丑当不同心圏作丁未甲线从甲左行取自行度数之甲丑弧一百六十八度五十一分丑为心作己丙卯均圏作未己丑线从已过卯取自行之倍弧三百三十七度四十二分至丙作丑丙丙未二线又丙为心作戊乙辛岁圏作丁戊丙辛线从戊右行取土星距太阳若干至乙乙为土星体用三角形算求乙丁未全均数之角如左丑丙未形有丑丙丑未两边(其数见上)有丙丑未角(巳丙弧也巳卯)(丙倍自行即巳丙倍壬未为二十二度一十八分)求未丙边得六一二○又求丑未丙角得十度二十二分二十四秒此角与甲未丑过半周之大角(甲卯丑弧之角)并去减半周得丙未卯或丙未丁角为二十一度三十○分四十四秒丁未丙形有未丙(前得)丁未(半径)两边有丙未丁角求未丁丙角(土星自行前均数)得一度二十一分四十八秒以此角减土星经度余七十三度四十八分一十七秒实经度也以减太阳视经度余二百五十六度十一分二十三秒为土星距太阳岁行度分又求丁丙边得九四三三○丁乙丙形有戊丙乙角(土星实经度距日视行减半周之数)为七十六度一十二分二十三秒有乙丙丙丁两边求乙丁丙角(岁均)(数)得六度一十六分一十七秒因太阳未到土星为减则于平行经度内减自行均及岁行均两数余六十七度三十二分或实沈宫七度三十二分与所测等(凢自行或)(引数少于半周者其均数宜减又土星顺天距太阳大半周则于实经亦宜减按图见之)第二测为本年西厯九月初七日子正时本地测土星经度得实沈二十八度○六分其纬为黄道南一度一十一分在伏后留段(日在鹑尾为合伏土留在实沈故为伏后)为岁均最大之处于时太阳躔鹑尾宫二十四度二十六分三十五秒土星平行为八十二度十四分四十秒自行(不同心上度最髙起)(算)为一百七十五度五十五分一十七秒(引数也)图略如前壬未为四度○四分四十三秒(自行之余)甲丑为一百七十五度五十五分一十七秒(自行度)己卯丙为三百五十一度五十○分三十四秒(倍自行)先求己未丙角得四度○十二分一十六秒又求未丙边行五八五二次求未丁丙自均角得○度三十○分○三秒为减均则减之(自行未满半周)余八十一度四十四分○三秒乃均经度也(从春分起)又求丙丁边得九四二三四均经度以减太阳经度得九十二度四十四分土星距太阳岁行数从辛过甲取九十二度至乙 末求丙丁乙角得六度二十一分二十三秒以加均经度得八十八度六分与所测密合(因土星距太阳小半周故减之)依上二测可知所定诸数悉为正法合天故也若有平行有均数而求正经度或视行度用图如上或有均数有平行数而求各圏之半径大小亦用上图土星表所用诸率(第八章)最髙行 一年为一分二十○秒一十二微一千年行二十二度一十六分四十五秒一万六千一百六十○年满一周平行 一平年为一十二度一十三分三十五秒二十○微一日为二分○秒三十二微一时为五秒○一微一万○七百四十七日一十八时○七分满一周(二十)(九平年又一百四十二日一十八时○七分)自行 一年为一十二度一十二分一十五秒又用前法定厯元之根推筭土星加减表土星新测式(厯局访举及钦天监官生同测)崇祯七年甲戌岁八月初七庚申日戌时用线测土星见在房宿第三星及建星第一星之中成一直线又见土星在宋星与天江第二星之中亦成直线(土星略向西一线未全掩)(其体)测量全义九卷载有测法设四恒星之经纬度求纬星经纬度今绘星图各两星以直线联之两直线相割乃某星所躔度分也今以恒星表取四星经纬度房宿第三星经为大火宫二十八度六分(因距根七年加六分)纬为北○一度○五分建星第一星经为星纪宫八度二十七分纬北○一度四十五分宋星经为析木宫十二度五十三分纬北七度十八分天江第二星为析木宫十六度十一分纬南一度三十二分测星图说中线黄道也有经度(从大火宫二十七度至星纪宫十度为足盖所用星经度皆在其中)有南北纬度(北至八南至五所用星亦不过此)因上各星之经纬安本度分相对以直线联之两线相遇之处即是土星求其经度得析木宫十四度五十八分纬北一度二十五分天圆形与平形为异类直线曲线未可相比但所用星皆于黄道不逺用平面形以测圆形之度未免差有秒数细测考之或在一分之内得土星真经度分依土星表设年日数推算经纬度 (算置初八辛酉日子正距根二)(百五十一日)土星视经度为析木宫十五度○一分测得十四宫五十八分差三分 星果未到宋星天江中线新法算书卷三十七
## 卷三十八
钦定四库全书
新法算书卷三十八 明 徐光启等 撰五纬厯指卷三测木星最髙处及两心差古多禄某择本星在太阳之冲三测如左一测为总积四千八百四十六年阳嘉二年癸酉西厯五月十七十八日内夜(本地)亥正测木星在大火二十三度十一分太阳平行躔大梁同度(不分平时用时葢土木两心之行极迟分刻之)(时不到行之半分故)二测为总积四千八百四十九年永和元年丙子西法八月三十一日九月初一夜亥初测木星经度得娵訾宫七度五十四分当时正对太阳之平行则以筭太阳躔鹑尾宫七度五十四分三测总积四千八百五十年永和二年丁丑西法十月初八夘初测木星经度得星在降娄宫十四度二十三分行因算得太阳躔寿星宫同度前第二测中积为一百二十一日及二十三时此时木星视行行一百○四度四十三分(从大火二十三度到娵訾宫七度中积数也即)(两视行之较也)又以中积日数查平行经度之表得木星自行为九十九度五十五分两行(视行平行)之较为四度四十八分乃均数也后二测之中积为四百○二日七时此时木星视行为三十六度二十九分(从娵訾宫七度到降娄宫十四度)又以平行表求两测中积日之平行得三十三度二十八分两行(视行平行)之较为三度三分均数也作图如土星解中等甲乙丙为三测丁为黄道心作丙丁戊戊甲甲丁丁乙乙甲乙戊各直线成多三角之形(其论甚长分为二十端)一戊乙丁形有乙戊丁角为十六度四十三分(乙戊丁角负圆即为)(丙乙弧度数之半数丙乙弧为后二测中积木星之平行)(三十三度二十八分折半用之为戊角之度)又有戊丁乙角为一百四十三度三十一分(丁㸃为黄道心乙丁丙角为后二测中积木星视行之度数以满一百八十度)(天半周或以满戊丁丙线丁㸃上两直角所少者为乙丁戊角)乙角自为十九度四十六分(三角形三角并一百八十度先有两角并之以一百八十减之所余为苐三角之数)有三角求各边之数(虚数但以得三边之比例)查正弦之表(边之比例若对边角之正弦等)(见测量一卷)得丁乙边为二八七六四戊乙边为五九四五九戊丁边为三三八一九上三虚之比例为三边之比例二甲戊丁形有戊角为六十六度四十一分三十秒(戊角在圆)(负甲乙丙弧第一第三测中木星平行折其半为甲戊丁角之度数)有甲丁戊角为三十八度四十八分(甲丁戊角在黄道心上为第一第三测中积木星视行之度天半周内减之所)(余为戊丁甲角之度也或丁㸃上满两直角)甲角自为三十四度三十分半(三角并一百八十度)形有三角求各边之比例(亦用虚数如上法等)查表得甲丁边为九一八四○甲戊边为六三六三○戊丁边为九六三六八乃各对角之正弦数也三因戊丁线两形同用即有各形之数以其两数求戊乙线比甲戊为若干用三率法(其论在土星觧中)得一六九四二九即甲丁甲戊戊丁戊乙四线为同类之数四甲乙戊形有戊角为四十九度五十七分半(甲戊乙角在圜负甲)(乙弧甲乙为前二测中积木星平行折其半为甲戊乙角之度数也)又有甲戊甲乙两边用法求甲乙边(测量一卷中)得为一三七七四一(亦是虚数也)五甲乙弧为九十九度五十五分查其弦(弧之度数折半求其正弦即倍)(正弦之数得全弧之弦)得一五三一一六甲乙线也六甲乙线为某三角形之边又为某弧之弦即有两数(弦数)(名内边数名外下同)即以其两数求甲戊线内数若干(甲乙甲戊各有同类之数)(见上)用通法(土星解中见之)得六九六五四甲戊线内数也或甲戊弧之弦查表求度(弦数折半为正)(弦求弧倍之得全弧)得四十○度四十六分七戊甲甲乙乙丙三弧并之得一百七十四度○七分查表求其弦(求之法见上)得一九九七三四即戊丁丙线内数八以甲戊线两数(内外二数)求戊丁线内数(甲戊戊丁上算有同类之数)推算得一○七一二四(用通法如前)即丁丙内数也九戊丙内数(上得之)减去戊丁线内数存九二六一○即丁丙线内数也十因戊甲丙弧不满天半周即圏之心在戊丙其弦外(几何)(言之)试置在已作庚巳丁壬过两心之线(黄道心下及本星道心已)定本星道最髙为庚壬为其冲己丁为两心相距之度十一求己丁(论见土星厯)法以丙丁线之内数乗丁戊线内数又全数自之(十万为全数)两数相减(全之方及丙丁丁戊两线内矩形)其余为方积开方得八九○二即己丁线也两心之矩度也十二戊丙线内数平分之于癸作癸巳辛线分戊庚丙弧为两平分(凡圏中一线过心亦名平分圏内他线者必亦平分其弧几何言之)又成癸巳丁句股形(因过心而平分戊丙线癸角为直角)十三癸巳丁直角形有丁癸边(以戊丁数减去戊丙之半数或戊丁丙两线之半较)为一三五七又有己丁边(前推得之)八九○二求癸巳丁角依法算之(法见测量首卷)得五十四度十二分乃癸巳丁角或庚巳辛角之度或庚辛弧之度数也十四先得戊甲丙弧以全天周减之其余折半为九十二度五十六分半即戊庚辛弧也以戊庚辛弧减庚辛弧余三十八度四十四分半即庚戊弧也庚戊戊甲(戊甲弧上)(推得之)两弧并之得七十九度三十分半甲庚也十五第一测木星在甲则距最髙为甲庚弧或七十九度有半加甲乙弧(一二两测相距平行)得一百七十九度二十五分半庚甲乙弧也第二测木星距最髙也又(口力)乙丙(二三则相)(距平行)得二百一十二度五十一分半即第三测(距最髙之数也)十六置所得两心相距之数及各测木星以平行距最高度数依法求各测之均数(图及法见土星中今畧说)图号如上作己甲丁甲等线成己甲丁形依法求甲角又求乙角及丙角皆测三均数也甲角为四度五十六分半第一测均数也乙角为○度三分半(用巳乙丁形算之)前二测距最高度数不过天半周则在缩边为同类两均数之较为两经较之均数算得四度五十三分(前两测中积行平行之差)视然先测之得四度四十八分算不合天为五分 又丙角为二度五十九分(用己丁丙形算之)第三测均数也此第三测距最髙过天半周(一百八十度以上)在盈边则于第二测为异类故第二三均数相加得三度三分而于所测之均数为等而不差(不差葢两均数为异类相平又二测距最低小数)十七因测及算不合多禄某用均圏再算(均圏用故见土星厯)图如土星等庚甲壬不同心圏也其心为己丁为地心(于黄道心等)己丁平分于子子为均圏之心星在午均圏上先算星在甲则甲午两处之差为甲丁午角依法求之(土星中见)得三分因距最髙数在缩边宜先得均数减得午丁均角为四度五十三分 第二测亦再算得乙丁午角一分亦减之余二分半两均数减之得四度五十分半又不合所测之数差二分半故均圏不足十八多禄某见均圏不能全合木星之行则试而再试移最髙㸃顺天二度十五分则两心之差又长为九一七定数如此用上图再算得第一测木星以视行距最高为七十二度十一分(庚丁午角也)均数为五度○四分(丁午)(巳角也)第二测木星距最髙为一百七十七度十分均数为十六分两均数(一二测两均数)较为四度四十八分木星两经度相距为一○四度四十三分 第三测木星距髙冲为三十三度二十三分均数为二度四十七分第二三测均数相加并得三度三分又两经度相减得三十六度二十九分各数合天故多禄某以为法十九第一测测木星在大火宫二十三度十一分又因上算距最高为七十二度十一分即以大火宫度内减之得鹑尾宫十一度分为木星道最高处若加六宫得其冲为娵訾宫同度二十置两心差及均圏之理因三角形之算可细算木星逓加减表或本行之加减表夫表如他星等表非平分或八段等葢非勾股法(见日躔考)多禄某因无已前所记木星之测不知本星道最髙世世那移而顺天行故依上法定之后士再测觉之今再译其测二十一多禄某得丁甲乙均角甲为岁轮心作亥丑圏凡星在亥依本法为太阳之冲然未到极近处丑差亥丑弧乃均角之弧 第谷曰星真在丑极近者为太阳真冲葢太阳为星之心故用直行非平行上古测木星法(谷白泥亲测所记) (第二)第一测为总积六千二百三十三年正徳庚辰十五年(西法)四月三十日(本方)子初测木星得距娄宿距星为二百度二十八分或测木星在大火宫十七度四十八分(当时娄宿)(距星距春分为二十七度二十分)太阳平行躔其冲即大梁同度第二测为总积六千二百三十六年嘉靖六年癸未(西法)十一月二十九日寅初测木星得距娄宿距星为四十八度三十四分或在实沈十五度五十四分太阳平行躔其冲即析木宫同度第三测为总积六千二百四十二年嘉靖八年己丑(西法)二月初一日戌初测木星距娄宿距星为一百一十三度四十四分或鹑火二十一度四分太阳在其冲躔娵訾宫同度前二测中积为一千四百○二日又六十四刻其视行度为二百○八度○六分其平行为一百九十九度四十分两行之差为八度二十六分此为加减数或均数也后二测中积为七百九十六日六十刻十一分其视行为六十五度十分平行为六十六度十分其较为一度分均数也前用三测之图求两心差得万分之一一九三又求木星道最高距娄宿得一百八十度十三分或寿星二十七度三十三分(第一测距最髙为二十八度十五分第二测距二百二十七度五十五分第三)(测距二百九十四度○五分)置上两星测及各测木星距最髙若干推算均数第一测得二度五十五分第二测得七度二十五分前二均数为异类(一测木星距最髙不过一百八十度二测过故也)相加得前二测中积均数为十度二十分比所测甚多第三测均数为九度三十三分二三测为同类(皆木星距最髙各过一百八十度故)相减其较为二度○八分乃后两测中积均数与所测更多若用均圏而算其均数亦不能对天则如谷白泥所云宜移木星道之最髙顺天一十六度四十七分又两心差减之为万分之九一七分用本图为六八九均圏为二二九图乃谷白泥法所用小均圏(见土星解)及不同心圏庚为木星道之最高甲第一测庚巳甲角(本道心上角)为四十五度二分则甲巳丁形有甲巳(全数)己丁六八九两边及已钝角一百三十四度五十八分求甲丁(均轮心距地)得万分之一○四九六分又求巳甲丁角得二度三十九分又丑未弧或己丁未角与庚甲弧为等加巳甲丁角并得丁甲未角为四十七度三十四分甲未丁形有甲角甲未边(小轮)(半径)甲丁边先推之求甲丁未角得○度五七分因庚巳甲为锐角均数并减之得四十一度二十六分即未丁庚角也木星本身视距庚最髙之数也第二测己乙丁形有丁巳乙角为六十四度四十二分有己丁边求丁乙得万分之九七二五求巳乙丁角得三度四十分又未乙丁形有未乙乙丁两边及丁乙未角(庚己乙大角之余加巳乙丁角并得丁乙未角得六十八度二十二分)求未丁乙角得一度十分以庚巳乙为一百一十五度十八分减巳乙丁角(二度四十分)又减未丁乙角(因庚丁乙为钝宜减)存一百一十度二十八分木星身第二测未到最髙之度数也一二测距最高数并之得一百五十一度五十四分乃相测相近之度其余(以满天半周)为二百○八度六分与所测度分等又两测之两均数相加得八度二十六分亦合天第三测亦与未丁庚角推算得四十五度十七分全均数为三度五十一分后二测相距度为六十五度十一分及两均数较同类相减余一度五十九分亦合天谷白泥定木星天之最髙及两心差均圏度如第三测木星在鹑火宫二十一度四分加第三测距最髙(四十五度)(十七分)得木星道最髙在寿星宫六度二十一分谷白泥法如此因图凡有木星平行得其均数而又常常合天时多及门从之者今世第谷及其门人细细再测依本图定数如左测定数图因三测先算两心差乃各测距最髙次算次算均数各合天其根必准古今中积一千三百九十三年有竒以中积为法行度为实除之得最髙行之率木星新图(测) (第三)上古二法以木星冲太阳之平行度分为根而求本星道最高又本行均数等然今世第谷细细再测云宜用木星冲太阳正所躔之度又以之再试得诸圏半径之数比古所定略异木星新测共八条如左是为新法之本一测为万厯癸未年(本方在西二十八平刻)九月初六日辰正十分(西法)太阳实躔鹑尾宫二十三度三十三分此时测木星在娵訾同度(度因少不害经度之测)二测为万厯甲申年十月十三日戌初一刻五分太阳躔大火宫二十二度木星正对太阳在大梁同度三测为万厯辛夘年四月二十三日辰刻太阳躔大梁十三度十分木星正冲太阳即大火宫同度四测为乙未年九月十二日酉正初十分太阳躔鹑尾二十八度五十六分木星在日之冲即娵訾宫同度五测丙申年十月十八日子正太阳躔大火宫五度四十分木星冲日在大梁宫同度六测为丁未年九月十七日子初十分太阳躔寿星宫四度十分木星为太阳之冲即降娄宫同度七测为辛亥年正月初一丑正四十分太阳躔星纪宫十九度三十六分木星对日即鹑首同度八测为癸丑年三月初一日已正太阳躔娵訾宫二十一度四十五分木星冲日即在鹑尾宫同度第谷及其门人用本图及用右八测而试今畧亦课之丁为地心庚甲壬木星道甲丁半径为十万甲为第一小轮之心当不同心圏甲乙其半径一十万分之七一五五乙丙均圏半径为二三八五以本法见土星厯中置木星距庚最髙若干(平行表上)(取之) 戊乙弧为与庚甲同度己丙均圏上取其倍乃丙己弧为庚甲弧之倍作线成丙甲乙形夫形有乙角乙丙乙甲两圏各半径求丙甲边又求甲角次戊甲乙乙甲丙两角并之以半周减之得丙甲丁角即丙甲丁形有甲丁全数有甲角甲丙边可推丁角乃本星本圏均角也又推丙丁边乃星距地若干(凡求第一均数诸法非为星之体在丙即为岁行圏之心葢星在年行之初恒在丙丁线中或上或下人)(目在丁常见丁丙线如一㸃)依上八测第谷门人于总积六千三百十三年为万厯庚子得木星最高处在辰宫七度三十二分再筭多禄某古所测总积四千八百四十九年为永和丙子得最高在己宫十四度○分两测中积为一千四百六十四年两处之差为二十三度三十二分乃最髙所行经度依法求一年之行以所行度数为实年数为法而一得五十七秒五十二微又从万歴庚子至本厯元中积为二十八年以所测处加二十八年之行得如表木星年岁圏大小及其次加减(第五)年岁圏者(古二法名小轮或次小轮)为木星㑹太阳两次中积所行之轮也一年为二会之中积日率然非太阳之年岁而为三百九十余日依此圏之行可觧木星之进退迟疾多类之行其全觧见本厯指一卷今求其大小多禄某用本图测本星太阳冲之外总积四千八百五十二年永和四年己卯太阳平行躔鹑首十六度十一分(本方)为卯初(月日不记有日行为是)用浑仪移得降娄二度在午圏上木星当时比月及毕宿大星测得视行在实沈十五度四十一分下图为丁辛线图号如上上木星冲太阳三测第三以前距此测为六百四十一日(时刻不等其差甚微)依表求中积各行得木星平行为五十三度十七分丙己午角次轮行为二百一十八度三十一分(全周外)第三测视距最髙冲为三十三度二十三分壬丁内也减第三测均数二度四十七分己丙丁角余三十度三十六分壬己午角加中积行丙己午得八十三度五十三分(壬己午角也)用法求第一均数己午丁角得五度十五分丁午己壬加之得午丁壬乃岁轮心视距最髙冲之度又求丁午线得九九七七七(己午全为十万)第三测时最髙冲测定在娵訾十一度木星今测实沈某度则距髙冲为九十四度四十五分较小轮心距度为五度三十七分(午丁)(丑角)第三测时起算界申不到小轮极近(起数之界)少申未弧(己丙丁均角)为二度四十七分加于中积行得二百二十一度十八分未酉子也(未为极近)(甲未弧在黄道上则本天外故申平行前未视在后算从下未起虚界用平行若干必宜加申未弧得从未到)(子今测之弧)减半周(未酉戊)余四十一度十八分戊子弧也丁午子形有午丁边有午丁子角先推及子午丁钝角(子午)(戍之余)求午子边乃小轮之半径也多禄某得一九一九四(比巳午半径全数十万)木星天测置巳午半径十万己丁两心差为九一七○小轮半径为一九一九四多禄某如此又试其法用上古测木星而算又得其所定之数为准古测为总记四四八五年秦王政十八年壬申太阳平行躔鹑尾九度五十六分木星初晨初见见星体食鬼宿苐四星当时经度为鹑首七度三十三分纬度不拘然因今测为细不译其古谷白泥再测再算得木星道最髙在寿星宫六度二十分又两心差为万分之六八七均圏半径二二九并为九一六分年圏半径为一九一六此圏年之数如多禄某同第谷及门人色物利诺再细测得第小轮(当不同心圏)为十万分之七一五五均圏为二三八五年圏半径为百万分之一九二九四八又移进最高比谷白泥所算为四十分及平行亦进四分而依此算上记木星八测而测与筭大差不过五分可取为法测木星视经度依三角形算年岁圏半径 (苐六)用第谷门人所测总计六三○六年万厯二十一年癸巳年(西法)九月二十八日(本方)戌正测木星在星纪一十三度五十六分(先测木星距天垒城第十星为三十三度五十九分又距宋星三 二度三十三分)(又测地平上髙得九度又测赤道之纬为南二十三度七分因测量九卷中法求木星经度得如上求黄道纬)(得在南○度二十五分两视差先算)此时依平行本表从冬至起得三十度二十分半又最髙在寿星宫七度三十二分二十秒即木星前均轮之心距最高为一百一十二度四十八分十秒(亦谓引数)求苐一均图说甲为心丙乙戊木星之道丙为最髙冲从丙取丙乙辛丁各如引数之弧(余六十七度十二分)庚戊其倍作戊甲线先用戊丁乙形有乙丁丁戊两边(小轮两半径)及戊丁乙角(引数)(丙乙弧之倍)求戊乙边得一一五九二又求戊乙丁角得十度五十五分五十秒 次戊甲乙形有戊乙边(上推)有戊乙甲角(戊乙丁角加与丁乙辛角之余)为七十八度七分四十秒甲乙为全数求戊甲边得九八五四六二(全数为百万)先以表算木星距冬至为三十度二十分减去均数引数未满半周故得星纪宫二十五度十三分二十秒乃均圏心之经度 所测度较为十一度十七分二十秒即次均数也时太阳视行躔寿星宫十五度十七分以到均圏心少九十九度五十六分五十秒次引数乃木星未完年圏之度数也此次引数生次均数十一度有余可求年圏半径若干上图戊为心作壬癸圏截甲戊线于癸从癸最逺处止壬取星距日(九十九度有余)壬为木星之体(凡星㑹太阳在癸后徃庚顺行为疾)(到酉为太阳冲逆行或用太阳距星之度从癸徃庚酉壬算之或用太阳以到星少若干度即从癸逆行徃壬)(算之各用)作壬戊壬甲二线成壬戊甲形夫形有壬甲戊角(次均数即十一度余)有戊甲边(上得即九八五)(四六二全数为百万)又有甲戊壬角(癸壬)(弧之角余)求壬戊边推之得一九二九四八(全为百万)乃岁圏之半径也若设有各圏半径之数及平行年行数依上图及法可算木星之经度木星新测一用图算式崇祯六年癸酉岁十月十七日丁丑夜望监局同测木星见在井宿苐一星及钺星两星之中钺星井宿作一线木星向北约二十分而畧近于井则三分线之一三分线之二距钺(井宿)(第一星表上经度为鹑首宫○度六分加厯元后六年之行五分得○度十一分钺)(星经度为实沈宫二十八度十五分加五分得二十八度二十○分两经度之较为)(一度五十一分三分之得三十七分减于井宿经度得实沈宫二十九度三十四分)(乃木星之处也)依上得木星在实沈廿九度三十四分纬南三十六分本日测夜望推算用子正时为便日干丁丑距年根乙巳为三百三十二日以本表求平行得距冬行为五宫十八度十四分二十四秒自行为八宫九度十一分四十一秒如图新法用各圏半径即甲乙七一五五(全数十万)丙一二三八五丙庚一九二九四从戊最髙逆行取自行宫度数至乙(约轮心)从己极近逆行亦取自行数至丙丙心作岁圏作线如法所用三角形诸法见测量全义首卷一甲乙丙形有甲乙乙丙两腰(先定两圏半径)有丙乙甲角(己丙大弧)(为自行度数丙己小弧为其余此弧为丙乙甲角之度分也)为一百三十八度二十三分二十八秒求丙甲乙角法两腰相并得总相减得较角之余数以满半周半之其切线以较数乗之以总除之得数查切线求度分以角余数之半减之得丙甲乙角次丙乙边数乗丙乙甲角正弦以甲角正弦除之得丙甲边二甲丙丁形有甲丙(前推)有甲丁全数(十万)及有丙甲丁角(以自行数戊乙弧减)(半周又于存者加乙甲丙角得丁甲丙角)求甲丁丙角 法甲丙丁角正弦余弦二数各乗甲丙边之数以全除之余弦所得以全数减之得数自之又正弦所得自之二方数并之开方得丙丁边又正弦所生全数为实所得方根为法除之查切线表得度乃甲丁丙角也二丙庚丁形有丙丁边(前推)丙庚边(岁圏半径)一九二九四又有丁丙庚角(置太阳本时距度得十宫二十六分三十八秒又以木星实行减之得木星距太阳其余)(以半周为)庚丙丁角求庚丁丙角法两腰相加得总相减得较 角数之余(以满半周)半之以其切线乗较以总除之得数查切线得度以余之半减之得丙丁庚角之度于实行算法列后存数乃丙丁庚角也岁圏均数也加于实行得视行则木星在五宫二十九度三十二分十六秒比所测差三分极㣲差也此测用表法中再以表算所得比三角形算差不到一分大概歩星测算所差二三分内法亦合天木星新测二用表算式崇祯癸酉岁十一月十六日甲辰夜望见木星食司怪第二星或曰两星之体实未合一细看果然及用逺镜分二星相距分数忽天有云不见其时为戌末亥初算置十七日乙己子正大统厯载木星十六日夕退即冲对太阳又载十三日木星在参宿四度十九日在参三度(逆行也)若然则木星十六日当在参宿三度半新法以赤道算司怪第二星赤道经度为八十六度八分减去参宿距星赤道上经度七十八度二十四分余八度四十四分乃十一月十七日子正木星躔赤道宿次也较大统盈五度十五分司怪第二星黄道上在实沈宫二十五度五十分纬南○度一十三分测星时算太阳躔度癸酉年根日为乙巳本年十一月十七日亦为乙巳相距计十二个月满六纪法为三百六十日乃距年根之日数也逺镜见木星图小星乃本星所随之星目力不能见算木星与司怪苐二星两星之差六分系木星实未食恒星然木星照光并恒星光相交如一体又依逺镜所窥两星实未合木星见东恒星见西皆在六分之内中分(三八五)髙庳○分 此法差不及半分较分三十三秒系木星经度未及太阳之冲为二十六分因逆行为越过二十六分变时(太阳一日之行为六十一分木星一日之行七分因逆行并之得六十八分以)(三率求二十六分之行得九时十分)以乙己子正减之得甲辰日未正三刻五分乃木星实对冲太阳新法算书巻三十八
## 卷三十九
钦定四库全书
新法算书卷三十九 明 徐光启等 撰五纬厯指卷四(火星)按古天图火星属第四重天在太阳之上土木之下今因新测及新图又博考前贤遗论凡会合伏太阳则在其上凡夕退冲太阳则在其下而于地更近也火星视行絜他星之行更竒或行逾二百余日不及天周一宫或越四旬日而行过一宫不达其道者曰无法之行也古比利尼阿(西大士)曰火星之行不能测度言甚难也勒爵(亦西精厯之士)测火星之曲路欲求作图永为世法厯年乆而无成功自怼虚费功力闷而几毙后世之士益敏学如第谷二十年中心恒不倦每夜密密测算谋作图法未竟而毙其门人格白尔续之著为火星行图一部分五卷七十二章而定其经纬髙低之行然但穷其理未有成表测法虽明未解其用阙然未备后马日诺及色物利诺二人相继作表而用法始全兹本指以古今讲测诸法择其最要者译之如土木二星等法测火星本天两心差及其最髙必用火星冲太阳测盖以是时无岁行之差而但有本天之盈缩差也凡十有五章如左测火星最高及两心差先法(第一章)用古三测与测土木二星法同第一测总积四千八百四十三年为汉顺帝永建五年庚午十二月十一日丑初(西厯本地)测火星经度为实沈宫二十一度○分于时太阳平行躔其对冲宫度为析木宫同度(测星算曰二者并重彼此测算相比可得其相对之时不谬)第二测总积四千八百四十八年为汉顺帝阳嘉四年乙亥二月二十一日亥初(西厯)本地测火星经度在鹑火宫二十八度二十分于时太阳平行躔其冲𤣥枵宫度分同(以算得之)第三测总积四千八百五十二年为汉顺帝永和四年己卯五月二十七日亥正(西厯)本地测火星经度在析木宫二度三十四分于时太阳平行躔其冲实沈宫同度分前二测中积为一千五百二十九日二十二时(小时)此时依前所定平行数得火星行八十一度四十四分全周外又两所测火星之视经度差(从实沈宫某度至鹑火某度)为六十七度五十分平行视行相减得十三度五十四分为均数也平行大视行小(用不同心圏)可知二测在最髙之左右后二测中积一千五百五十六日四刻此时依平行率火星平行全周外为九十五度二十八分视行(两测两经度之较)九十三度四十四分两行相减得较为一度四十四分乃均数也均数小因知两测并在最髙同方或左或右以三测中积两行数及其较用不同心圏作图如土木二星等此三测置火星在本道下如本圜平面内测之不求其纬盖火星纬南北比土木二星更多又凡冲太阳其纬益大即测其经度者亦不得指为黄道度又不得为本道度然测法或用黄道度或本道度因其差有限不碍于算也故用如在一平面上甲乙丙戊为火星本行之圏于黄道不同而于相交处任取甲为第一测火星所在从天顺数右行本圏上取前二测中积平行之度分即八十一度有竒至乙乙为第二测火星所在之处又顺天再数得后二测中积平行之度即九十五度有竒至丙丙为第三测火星所布之处也此本圏之心非地心乃火星平行圏之心又因上论甲乙二测在最髙左右则地心在本圏心下任取一㸃如丁为黄道之心(不知两心差故任取)从甲乙丙三测到丁作甲丁乙丁丙丁三线又丙丁引长到圏周如戊作戊申戊乙甲乙三线六线成各三角形如左一乙丁戊形有戊角四十七度四十四分(乙丙弧之半数)有乙丁戊角八十六度十六分(丁为地心)(见乙丙两测视行相距为九十三度四十四分乃乙丁丙)(角也乙丁戊为以满两直角之余)乙角自为四十六度无分乙丁戊形中有三角求三边之比例(用各角之)(正弦得其比例或置丁戊邉为全数求乙戊边)多禄某先定丁戊为全数求乙戊得一三八七二○二甲丁戊形有甲戊丁角八十八度三十六分(甲乙丙弧之半数即)(一三测中积平行之半数)又有甲丁戊角十八度二十六分(一三测中积视)(行为甲丁丙角取其余)自有戊甲丁角甲戊丁形有三角再置戊丁为全数求甲戊边得三三○六九三甲乙戊形有甲戊乙角四十度五十二分(一二测中积平行之半数)(或甲乙之半弧)又先推算甲戊戊乙两边求甲乙得一一五七三六(全数十万)四算得甲乙甲戊戊乙三线为同类(丁戊常为全数十万)今甲乙线因为甲乙弧之弦可得甲戊及戊丁两线弦内之数若干及得甲戊弧若干法以甲乙弧八十一度之余求其弦为一三○八六○又先得甲戊为三七三八八(用三率法甲乙)(外数得弦内数甲戊外数得若干弦内数又丁戊若干内)(数)戊丁为一一三○六六用甲戊弦求其弧得二十一度五戊甲甲乙乙丙三弧并之得一百九十八度五十三分为周天之大半也则甲乙丙圈之心在于弧弦之中置在己又作己丁两心线上至庚为火星道最髙下至辛为最低也六因几何二卷五题庚巳(半径)方形与庚丁丁辛内矩形及己丁上方形并等又因三卷三十六题辛丁丁庚内矩形与戊丁丁丙内形亦为等今知戊丁丁丙若干(戊丙线即)(戊甲乙丙弧之通弦为一九七二九六减去戊丁余八四二○三○)法两数相乘所得数内减去全数之方所余方根为二一八六一则己丁也乃地心与火星道之心相距之数(庚己半径为全数十万)七从己与戊丙作垂线到圏周为己癸壬成己癸丁勾股形夫直角形有己丁边(上推)又有癸丁边(先得丙丁戊为一九七二九三)(六其半为戊癸又先得戊丁线即两线之较为癸丁一四)用法(测量首卷)求癸己丁角得四十一度十五分乃壬辛弧也(辛圈为最低之㸃)八先有戊乙丙弧则其余(以满全周三百六十度)为一百六十一度○七分折半为壬丙弧也以壬丙减去壬辛弧之度数所余辛丙为三十九度一十九分则第三测火星在丙距辛最低之度数也或以半周天内减之得丙庚弧为一百四十度四十一分则第三测火星距庚最髙之度数也夫数内减去二三两测中平行之度(九十五度二十八分)余四十五度一十三分则庚乙弧也乃第二测火星在乙距最髙之数也又一二两测中平行数八十一度四十四分内减去庚乙弧余三十六度三十一分乃甲庚也则第一测火星距过最髙之数也九试推各测有平行距最髙若干有两心差求其均数又用均圏如土木星等依图第一测推算得丁甲己(不同心圏)(上)角为六度十八分丁午巳(均圏上)为六度五十分第二测推算得丁乙己为七度五十分(不同心圏)丁申巳(均圏上)为八度十三分第三测推算得丁丙己(不同心圏)为九度二十七分丁未己(均圏上)为八度三十七分十前二测均数为异类故加(不同心圏上)得十四度八分或(均圏)(上)得十五度○三分此二测推两均数比所测(十三度五十三)(分)数皆为多又二三测均数相减(同方故)得四十七分(不同)(心)或二十四分(均圏上)比所测(一度四十四分)皆少所得两心差或最髙处未真不足为准十一多禄某见所算与测两数不合因更置别数厯厯试验而得其准始定火星最髙宜顺天移前五度二分又两心差为二○○○○分(全数为十万)用此数推算斯与所测相符而真合天矣今宗其法十二巳午子形有己子(两心差半数)有子午(均圏半径全数十万)有午巳子角(甲庚弧或庚巳午角以满半周之余)求己午子角依法得三度四十八分次子丁午角形有午子丁角(先有戊己庚角次得巳午子角两数相减)(得午子巳角其余为午子丁角)有子丁及子午(半径)两边求丁午子角为三度十三分两均角数并之得七度三分减于甲己庚角余三十四度三十分乃人目见火星第一测距最髙庚之度数也十三第二测星在乙用三角形法如上一测求巳申丁角(均圏上)得六度五十一分减于乙己庚角余三十三度二十分乃人目见星距最髙之度数第三测星在丙推算己未丁角得八度三十四分加于丙巳辛角得五十二度五十五分乃人目见星距最髙之冲十四前两测各均数相并(凡星在最髙同方均数为同类宜相减星在异方均数为异类)(宜相并同类者乃平行比视行或大或小盖从最髙起算至其冲平行为大视行为小均数为减若从最低起)(算则平行为小视行为大均数应加两均数同类以得中积均宜相减异则宜加)得十三度五十四分必与所测合又两测距最髙数并得六十九度四十三分亦与测合十五后二测两均数相减存一度四十三分又距最髙两数相减余九十三度四十五分咸合于天此多禄某法得其准定为其率之本也十六第三测星视行测在析木宫二度三十四分又距最髙冲一百二十七度○五分即逆数之得最髙在鹑首二十五度二十九分古者未觉最髙之行近世始明其理得真最髙越年多而行稍移宜借用谷白泥法古今两法相比乃为全也谷白泥亦用三测如后测火星最高及两心差后法(第二章)谷白泥测算必用其图第一测总积六千二百二十九年为正徳十一年丙子(西厯)六月初五日丑初(本方)测火星在太阳平行之冲距娄宿第二星(谷白泥法以此恒星为界)为二百三十五度三十三分算宫得火星在析木宫二十二度四十六分第二测总积六千二百三十一年为正徳十三年戊寅(西厯)十二月十二日戌正测火星冲太阳平行得距娄宿第二星为六十三度○二分算宫得鹑首宫初度十八分第三测总积六千二百三十六年为嘉靖二年癸未(西厯)二月二十二日卯初测火星冲太阳平行得距娄宿第二星为一百三十三度二十分算宫得鹑尾宫十度四十一分前二测中积为二千三百八十一日有七十二刻依平行率得火星平行行一百六十八度○七分视行行一百八十七度二十九分两数相减得均数为十九度二十二分后二测中积为一千五百三十二日有四十九刻火星平行行八十三度○分视行行七十度一十八分两行之较为十二度四十二分均数也先用一不同心圏及小均圏如谷白泥本法作图图如土木星等丁为地心己本圏心己丁相距本圏半径(设万分)为一千四百六十甲为第一测顺天数一百六十八度余止乙乙为第二测之处又加八十三度余止丙丙为第三测之处一二测中均数大则两测之各均必为异类两测必在两心线之左右二三测均数亦大必亦为异类两测亦在两心线之左右二三测平行小视行大指在最髙旁置小均圏半径为五百分(全数)(如上)第一测距最髙为一百二十五度二十九分(庚己甲角)第二测距最髙为六十六度十八分(庚巳乙角)第三测距最髙为十六分三十六分(庚己丙角)此数屡测屡算谷白泥所定因其恰于天脗合今借其数试之己丁甲形有己甲半径有己丁边及丁己甲角(庚己甲之余)求己甲丁角得七度二十四分减于庚己甲角内得庚丁甲角又求丁甲边得九二二九(谷白泥法先以均数或加或减于先引数得次)(引数今因其数宜减减之)丁甲午形有甲角及午甲甲丁两边求午丁甲角得二度十二分次均数也两均并得九度三十六分全均数也己丁乙形如前求各均数并之得九度四十七分第一第二测两均数为异类则相加得十九度二十三分测符所算指各数合天己丁丙形如上算得总均数为二度五十六分第二第三测之两均亦为异类相加得十二度四十三分亦合于天又第一测平行距最髙一百二十五度有竒减均数(凡星在最)(髙后半周内宜减在最髙前半周内宜加)得一百一十五度十三分第二测(顺天数)距最髙为二百九十三度四十二分加均数得三百○三度二十二分第三测距最髙十六度三十六分减均数得十三度四十分第三测时火星距娄宿第二星为一百三十三度二十分减三测距最髙得一百一十九度四十分乃最髙距娄宿二星之度又加二十七度二十一分(当时娄宿二星距降娄宫初度)得一百四十七度○一分或鹑火宫二十七度一分又火星最髙之处也多禄某第三测为总积四千八百五十二年谷白泥第三测总积为六千二百二十六年两测差一千三百八十四年此时火星最髙行三十一度余比恒星之行多十度余可识火星天之最髙有本行与恒星迥异大统厯及回回厯俱未之觉也其细率条析于左用古今两测试平行之率(第三章)古多禄某第三测距谷白泥第三测为一千三百八十四平年有二百五十一日三十二刻因本厯第一卷所定率得此时火星冲太阳平行为六百四十八次又五度三十八分二十四秒两测有同类之加减均数乃减类也两测两均数(古者为二)(度五十六分今者为八度三十四分)之较为五度三十八分与所算等(冲太)(阳之圴数为当时火星未到小轮相近之处今均数为大言今测比古者过五度)用两测中积火星冲太阳之数以全周数乘之加五度三十八分为实以中积日数为法除之得火星小轮上一日之行为二十七分四十一秒四十微一年为一百六十八度三十分三十六秒火星天最高行(第四章)古多禄某总积四千八百五十二年(本算第三测)用火星冲太阳平行得火星天之最髙在鹑首二十五度半此时太阳躔星纪宫某度距最低为三十五度当时太阳最髙在实沈宫十度(其冲析木同度)均数为一度半号为加又日细行为六十分火星为二十五分(冲日为逆行)两行并之得一日太阳与火星相近为一度二十五分用三率法一日相近行若干以行太阳均数一度半用时若干得廿五时廿四分乃火星预先冲太阳之实经度依此法补前第一第二测再算得当时最髙在鹑首廿八度十五分今第谷近测总积六千三百十三年为万厯二十八年庚子测得火星在鹑火二十八度五十五分中积为一千四百六十一年行度为(古今两经度较为中积之行)三十度二十七分以年数除之入法得一年之行为一分十四秒五十二微百年行二度四分四十七秒三十九微万厯庚子至崇祯戊辰厯元距廿八年以鹑火廿八度五十五分加廿八年之行得廿九度三十分表上有七宫(从冬至起)廿九度三十分加一年之行则得第二第三年等记今测火星冲太阳实行十四测(第五章)(此第谷及其门人所测更密更细今为本厯厯测)先具第谷所用之率平行如上两心差(用第谷图两小轮下冇图)为百万分之一四八四○小均轮半径为三七一○(两数并之为一八五五○比多禄某及谷白泥小一百分或今用太阳实)(行古用太阳平行而取火星之冲然细测密合如此当依为法)一测总积六千二百九十三年为万厯八年庚辰十一月十八日未初二刻(本方距顺天府为二十八刻又西厯月号于大统厯异然有太阳所躔之)(度可考因得知为大统厯之某月日余傚此)测算得火星视行在实沈宫六度二十七分半大正冲太阳之视行太阳躔析木宫同度右测用表算得火星平行距最髙为二百六十七度十一分十一秒加均数十度三十三分又算最髙末得实沈宫六度二十七分半与测正合(算法见本厯诸表用法)二测总积六千二百九十五年为万厯十年壬午十二月二十八日申正测得火星冲太阳在鹑首宫十六度五十四分半因表算得五十五分半差一分太阳躔其冲星纪宫同度三测总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉二月初一日辰初一刻测得火星在鹑火宫二十一度三十五分算得三十七分差二分太阳躔其冲𤣥枵宫同度四测总积六千三百年为万厯十五年丁亥三月初六日戌初刻半测得火星在鹑尾宫二十五度四十二分依法算亦得四十二分不差太阳躔娵訾宫同度五测总积六千三百二年为万厯十七年己丑四月十四日酉正一刻半测得火星在大火宫四度二十三分算得二十六分差三分太阳躔大梁宫同度六测总积六千三百四年为万厯十九年辛卯六月初八日戌初三刻测得火星在析木宫二十六度四十二分算得四十五分二十秒差三分二十秒太阳躔实沈宫同度七测总积六千三百六年为万厯二十一年癸巳八月二十六日卯初二刻测得火星在娵訾宫十二度十五分算得十四分强不差太阳躔鹑尾宫同度八测总积六千三百八年为万厯二十三年乙未十月二十一日午正二刻十分测得火星在大梁宫十七度三十分强算得二十九分强差一分太阳躔大火宫同度九测总积六千三百一十年为万厯二十五年丁酉十二月十四日寅正测得火星在鹑首宫二度二十七分算得二十六分差一分太阳躔星纪宫同度十测总积六千三百一十三年为万厯二十八年庚子正月十九日丑正测得火星在鹑火宫八度三十七分算为三十七分强不差太阳躔𤣥枵宫同度十一测总积六千三百一十五年为万厯三十年壬寅二月二十一日丑正一刻测得火星在鹑尾宫一十二度二十六分强算得二十四分差二分太阳在娵訾宫同度十二测总积六千三百一十七年为万厯三十二年甲辰三月二十九日寅正一刻五分测得火星在寿星宫十八度三十六分算亦如之正合太阳躔降娄宫同度十三测总积六千三百二十一年为万厯三十六年戊申七月二十四日未正测得火星在娵訾宫十一度十分算得十三分差三分太阳在鹑尾宫同度十四测总积六千三百二十三年为万厯三十八年庚戌十月初九日寅正三刻五分测得火星在降娄宫二十五度以上十四测大槩与算相合最差不过三分盖因测器或人目有不到又或其圏之半径畧差难定其准然算之差在三分内谓之极微其合于测亦谓之亲切矣火星岁圏大小古法(第六章)岁圏解见总论及土木二星厯指不重著古多禄某因本图(丁地心子均圏心巳本圏心癸申均圏弧午未引数圏等)曰申丙岁圏之半径比子申均圏半径为六十分之三十九分有半(古以六十为申子半径今用全数)或十万分之六五八○○凡有先引数癸巳申角可算丁申己角先均数之度分又凡有星距冲太阳之处若干度分置戊壬(戊为火星冲太阳之处置)(火星逆行初将留在壬)用申壬丁三角形可算申丁壬角乃次均之数于癸丁申实行之角并加得癸丁壬角乃火星视行距最髙度分谷白泥再测因本图法算所得于多禄某大同小异二法各有表用太阳平行然后人细测于所算对有不合天因以今时测算定为本厯之元火星岁圏大小新测(第七章)第谷及其门人密测密算厯年滋久不厌精详末得火星天之心非地心乃太阳体轮为火星自行之心系凡太阳躔本轮最髙近处而火星在其冲第一加减之数视为大若太阳在最髙冲而火星在其冲则第一加减之数视为小髙低前后相冲之均数亦有损益何者太阳逺火星心近则视差大(置二测置引数为等所得之均数大小不繇本轮别)(有他故因从太阳)反是则太阳近地火星处逺故均数小如图丁地心乙甲为太阳近逺两处各为心同径作己戊庚己丙庚两弧火星圏弧也日在乙逺火星行之心在丙为近于地日在甲近于地火星在戊逺处均数大小从太阳逺近而生理也(见本厯首卷)又曰凡测火星在本天最髙其岁圏半径比测火星在最髙冲所得更大与土木二星及视学之法相反论在最髙极逺处宜见之小在最髙冲极近处宜见之大乃依所测不然盖在最髙最庳之中其大小有比例数具下文从上二论试之格白尔曾著有书备详测算诸论颇繁今姑译其法之一二如测火星岁圏之半径先择火星在本天最髙低之中而免其差之一根第一测总积六千三百七年为万厯二十二年甲午(西厯)正月初三日戌初第谷测得火星在降娄宫十八度三十八分此时因平行表算得火星平行(从冬至起算)为一百三十八度二十三分三十秒引数为二百五十九度四十二分二十秒用两心差算先均数(法见用法)得十度三十三分三十秒其号为加加之得一百四十八度五十七分乃实经度也时太阳视行躔星纪宫二十三度三十分四十秒于火星经度相减得一百二十五度二十六分二十秒以减半周得五十七度三十三分四十秒乃岁圏上从极逺处之引数也又测火星得(从冬)(至起)一百○八度三十八分以先算实经度减之得四十度十九分乃岁圏之均数也设数求火星岁圏半径图说设乙以太阳之体轮为心作丙丁壬火星本行之圏作丙丁线丙为火星最髙丁为其冲从丙过丁右行取引数之度止壬于壬心作乙壬线子丑癸圏从子极逺处右行取子癸丑引数之度以丑为心作卯寅辰均轮又作壬丑两心之线从辰极近处左行过寅卯数引数之倍必满一周余辰寅弧一百五十九度二十四分四十秒火星体在寅又作乙寅线成寅乙壬均角十度有竒又作乙寅甲角四十度有竒乃年岁行均角又取甲为地心作乙戊己圏乃太阳所行之圏也又作戊甲己线与乙寅线平行星之行从丙过丁到壬右行乙乃日轮亦右行则乙辛己回于乙之行也小均轮心丑行从子午癸到丑星体寅行从辰向寅卯回辰今置到寅以便于算分图先用引数求前均数乃壬乙寅角也壬丑寅形有寅丑线乃均圏之半径即三七一○分有丑壬线乃不同心圏之半径即一四八四○又有壬丑寅角为一百五十九度二十四分四十秒(引数之倍内减全周余者乃辰寅弧)(也)求壬寅边依法算得一八三五九又求寅壬丑角得四度○五分二十秒 此丑壬寅角为丑巳弧之数加于子癸丑引数之弧共得二百六十三度四十七分四十秒减子午癸半周余癸巳弧八十三度四十七分四十秒乃己壬癸角也次壬乙寅形有乙壬全数(本天半径)先亦得寅壬边寅壬乙角(癸丑己弧)求寅乙壬角得十度三十三分三十秒乃先均数也又求寅乙边得九九六九七又甲乙寅角形先得乙寅边有甲乙寅角(年岁行引数太阳经行距火星实经)五十四度三十五分四十秒又有甲寅乙角(岁行均数先测后算得四十度十九分)求甲乙线乃岁圏之半径得六四七三八乃太阳在最髙冲近处火星在中距之处岁圏半径之数也(乙壬恒为全数)依上图算法之序反复测算以求岁圏半径之数其法不一今约译四测于左第一测总积六千三百十三年为万厯二十八年庚子(西厯)三月初六日(本地)戌正二刻测得火星在鹑首宫二十九度十八分此时依算得实行为鹑火二十九度三十二分距过本天最髙为五十分太阳躔娵訾宫二十六度三十七分相减得火星实经度距太阳为二百○七度四分(从火星顺天到太阳实居)或取其余得一百五十二度五十六分如上图为甲乙寅角又求甲寅线得一一一二九七以实经与视测相减得较为三十度十四分○五秒乃甲寅乙角也依法求甲乙线得六六五八六第二测总积六千三百年为万厯十五年丁亥(西厯)正月初一日辰初初刻八分测得火星在寿星宫一度四分三十六秒此时依表得实行在鹑火宫二十七度十七分二十秒未到本天最髙为一度六分太阳细行躔星纪宫二十度三十九分三十六秒两数相减得一百四十三度四十七分十五秒即寅乙甲角也又以先法求甲寅为一一一二九五又以火星实经减其视测之经度得三十三度四十七分十五秒甲寅乙角也依法求甲乙得六五六九一以上二测火星实经度皆近于本天之最髙(先定最髙在鹑尾初度二)(测距几度未到因视法最髙左右几度不辨髙低近逺)而免本天髙低之差根其所得岁圏半径两数之差为十万分之八百九十五分若问其故则格白尔有曰太阳于地近逺不同第一测太阳在中距之处为二分之时第二测太阳在极近之处为冬至时也太阳近斯火星岁圏半径更小与他星逈别再以二测徴之第三测总积六千三百四年为万厯十九年辛卯七月二十六日戌初初刻十二分测得火星在星纪宫十八度三十六分此时实行在娵訾宫四度二十四分求寅甲线得八八九一四九分也太阳躔寿星宫十二度四十五分四十秒以火星实经减之得二百一十八度二十一分四十秒(从火星顺天数至大阳)其余为一百四十一度三十八分二十秒乃寅乙甲角也又以实经视测两数相减得较为四十五度四十八分乃甲寅乙角也以求甲乙得六四○七七第四测总积六千三百二年为万厯十七年己丑十一月初一日酉正十分测得火星在星纪宫二十度五十九分十五秒此时火星实经在𤣥枵宫十度二十九分五十五秒太阳躔大火宫十九度十四分两数相减得一百度四十一分为寅乙甲角也寅乙线为八八八八○○又以实经减视测得较为三十八度五十五分四十秒乃甲寅乙角也用法求甲乙得六三三九四以上二测火星在本最髙冲之近按常法宜比前二测岁圏半径视更大然视更小又后二测之差为十万分之六八三盖二测太阳于地更近火星小轮更小右格白尔于此时始觉火星岁圏之大小与他星有异不可一例推算因细细测算乆而不倦其心得备著于书今不尽译但取其大小两界为千万分之二千二百二十五(本天半径为全数千万)算岁圏大小两界(第八章)上测太阳未到髙庳之两极则火星岁圏半径大小未定用以成表宜先定大小两极之较如图乙丙丁戊为太阳小轮(日躔厯指用不同心圏以齐太阳盈缩之行然亦可用小)(轮之图盖所得之均数无二今借用以详火星之行)乙为其最髙丁为最髙冲丙戊为中距之两处○上第一测火星在本天最髙免本天之差太阳在中距用上数算得太阳距最髙冲丁为八十度五十八分丁巳弧也其正弦己庚其余弦庚甲第二测火星亦在本天最髙近太阳距最低丁为十五度十一分丁辛弧也作辛癸辛壬两正余弦线庚癸线为太阳距最低两处两余弦之较(用表查丁辛丁己两弧之余弦相减为庚)(癸数)为八○八○八三六○(全数为千万)用三率法庚癸某数得八九五(上一二测岁圏半径之差)乙丁全径(太阳髙低两较之界)若干算得二二一五乃火星岁圏大小繇太阳行之较数也(火星本天)(半径为十万)若用第三四两测火星在最髙之冲因右法得二四一五两数差二百分平分之以加于小减于大得二三一五然须再用别测末得二三五方可作准用以为算火星在本天髙低受太阳之变今置太阳距地等处而免其差火星因本圏亦有岁圏半径大小之变试举一二徴之上第一测太阳在中距地之处(娵訾二十七度约为髙低之中)岁圏半径得六六五八六第三测太阳亦在中距之处(寿星宫十二度距最)(髙九十六度第一测未到九十九度其差㣲)岁圏半径为六四○七七两数相减差二五○九乃第一测火星在本天最髙处之近当时最髙在鹑尾宫初星在鹑火第三测为逺星在星纪宫十八度此于最髙近逺乃为大小差之根因前法求大差(用多测相比算定末所得)为千万分之二五八五○(乙壬)(全数也)若并太阳与火星两差相比约其子母数得十一与十则繇本天者为大从太阳者为小算火星岁圏半径盈缩表(第九章)用前图乙丁(全径)得大差(从太阳为二三五○○从本天为二五八五○)乙戊丁丙为引数之圏设乙戊己某弧求其余线乙庚曰乙甲丁全径得大差某数今乙庚某数得若干从乙最髙㸃隔一度求其余弦用三率法排表如左表用省文但书从太阳之差其从本天者用比例法乃十与十一初列先得数又下一位再列并之得本天之差查表时若有单度有分者则用中比例用法设太阳实引数(距最髙度分)入本宫本度分对行得数(先以比例)(法取双度外单度分秒之数)列书次以火星引数亦入表得数以十一乘以十而一所得两数并于岁圏极小半径之数即六三○二七五加之得火星当时岁圏半径之数火星诸行率(第十章)火星最髙行一年行一分十四秒五十二㣲以百年计之行二度四分四十七秒三十二㣲约千年行二十度四十七分五十六秒三十㣲火星平行一日行三十一分二十七秒以百日计之行五十二度二十四分二十六秒以一年三百六十五日计之为一百九十一度十七分○八秒火星满周天之行以前二行计之为六百八十六日十九时(小时)四十二分十三秒推算火星经度式(第十一章)其一用三角形及前平行率算火星经度全假如第谷门人于总积六千三百二十六年为万厯四十一年癸丑三月(西厯)二十五日寅正测得火星体会合于井宿第五星(在距星东北新表为第五)当时此星经度为鹑首宫四度三十一分二十秒(在厯元前十五年恒星之行六年为五分则十五年计行十四分于新表减之)(得数)黄纬度为二度十一分北(本夜用多仪屡测无可疑)此时因平行表得火星平行距冬至二百一十七度三十四分(顺天数在鹑火宫七度)又距本天最髙为三百三十八度二十七分四十秒引数也又求太阳实行得降娄宫十四度三十一分二十秒又求其实距最髙得二百七十八度四十二分如上图甲为地心作辛乙己太阳所行之圏任作甲庚线定庚为太阳最髙顺天数太阳实引数沿庚己乙弧到乙乙为太阳之体又以乙为心作壬丙丁圏即火星本轮也又作丙乙线乃火星髙低之线(先置庚为太阳最髙在鹑首约六度火星髙在鹑尾)(初如辛则丙乙宜为辛甲之平行丙当鹑尾初度)从丙取丙丁壬弧(火星引数)又以壬为心作子癸圏及壬乙线又取子癸丑引数之弧作壬丑卯线又丑为心作卯寅圏从辰过卯取引数之倍(减全)(周)如卯寅弧寅乃火星体之处作图如上一丑寅壬形有丑寅丑壬两边(数见前)有壬丑寅角(引数以满周少二十一度三十二分二十秒倍之得四十三度四分)(四十秒)求丑壬寅角得十一度四十八分又求壬寅边得百万分之一二三八八○(乙壬全数)于子壬丑引数角加丑壬寅角并之得子壬寅角为三十三度二十分二乙壬寅形有乙壬壬寅两边及寅壬乙角(子壬寅之角以满半周之)(余)为一百四十六度三十九分四十秒求寅乙壬先均角算得三度三十一分三十秒其号为加(引数过半周故也)于平行加之得火星实行为二百廿一度五分三十秒或鹑火宫十一度又求寅乙边得一一○五三○五(百万全数)三甲乙寅形有乙寅边又有寅乙甲角(或寅乙未角火星实经寅㸃未到太)(阳冲之差太阳躔降娄宫其冲为寿星宫火星在鹑火宫未至日冲所少为六十三度二十五分寅乙未角也)又有甲乙岁圏半径之数(因上论以太阳实引九宫八度入表得一三五二七先差)(又以火星实行引数十一宫十一度入表得二二九二四此数)(以十一乘十而一得二五二一六此数先差及岁圏极小半径)(六三○二七五上三数并之得六六九○一八乃当时岁圈半)(径之数甲乙也)为六六九○一八分因法求甲寅乙角得三十六度三十五分十五秒乃岁圏次均数也此时火星过日之会而将冲故此次均数之号为减(于实经内减之)得鹑首宫四度三十分十五秒所算比所测少一分极㣲之差也其二用表算崇祯四年闰十一月十七日戌初于顺天府亲测火星见轩辕大星与火星及本座第十三星并在一直线(用界尺定)(之)又见火星在本座第十三星南为四十分(用月体比之)查恒星表求第十三星黄经度得鹑火宫二十二度四十七分加五年之行(距新厯元之行)为四分得五十一分又因两心直线向东则置二十三度强又恒星之纬为四度五十二分火星纬四度十二分然火星光大炫目测以界尺或移几分故难定二三分内也以设时查火星平行表(因过冬至宜用壬申年之根又测日属丙寅距根庚子为二十六日)(又从子正至戌初算得一十九小时以各数查本表排算如图)以引数查表得均数为四度○五分四十秒其号为加以得岁均用三角形求之如上图一先用壬丑寅形夫形有丑寅丑壬两腰(如前等)有壬丑寅角(引数以满全周所余之倍数)二十五度有竒求寅壬边得一二七九○(乙壬为全数百万)又求丑壬寅角得十一度五十四分又以丑壬寅角并加于子壬丑角(引数之余)得三十八度有竒乃子壬寅角也二壬乙寅形有壬寅壬乙两腰及寅壬乙角(子壬寅之余)求壬乙寅角得四度○五分先均数也查表之号为加则以加于平行得七宫八度三十二分又求寅乙边得一一○三五八○三用诸表求甲乙岁圏半径之数以本时太阳实引数(用日)(躔表算得六宫二十二度○一分从最髙起)入表得八五七又以火星引数入表得三四九八八以两数及半径小数六三○二七五并之得六五五二六三甲乙边也太阳实躔○宫二十八度四分减火星实经数得五宫十九度三十分(顺天)(算)即乙甲寅角也四甲乙寅形有甲乙乙寅两腰及甲角求甲寅乙角得十四度三十四分因火星未冲太阳法宜加则于实经加之得七宫二十二分四十九秒或鹑火宫二十三度七分算与测合右测亲切可用为徴火星表之厯元新法算书卷三十九
## 卷四十
钦定四库全书
新法算书卷四十 明 徐光启等 撰五纬厯指卷五(金星经度)上土木火三星各以自行能冲太阳亦各有本行不随太阳是以其平行或本天之行与太阳不同外亦有岁行凡冲太阳为年岁之界即于此起算然或会太阳必无均数即在太阳之冲亦无年岁之均数古以三测冲太阳时刻度分可得本天两心之差及极大之均数等金水二星不然其行不冲太阳而且恒随太阳虽亦有离太阳之时或左或右其距度东西不一在东距度时多时寡会日之时或顺或逆二次人目不见古人以为难测莫定其行之道今依多禄某所著为法古者以太阳平行度为土木火上三星岁行之本若星或会或冲太阳平行者则为在岁行之界今则不然乃以太阳实行为岁行之本凡上三星或会或冲太阳实行者始为岁行之界而金水二星又不然乃以太阳平行即为本天之平行本天非太阳之天另有一圏载次轮上三星因能冲对太阳约一年再相会所用圏以齐其顺逆等行名谓之岁圏金水二星虽行亦有顺逆然此圏不能称岁圏葢以一周有二伏有二见之时故厯指中亦名为伏见圏或名次轮古因用二不同心圏此伏见圏名曰小轮今新法绘二小均轮可免伏见圏之称也各法详著于后金星天以太阳为心(第一章)本厯总论有七政新图以太阳为五纬之心然土木火三星在太阳上难征今以金星测定无可疑后详之试测金星于西将伏东初见时用逺镜窥之必见其体其光皆如新月之象或西或东光恒向日又于西初见东将伏时如前法窥之则见其光体全圆若于其留际观之见其体又非全圆而有光有魄葢因金星不旋地球如月体乃得齐见其光之盈缩故曰金星以太阳为心如图月在太阳人目之间为丙则无光金星在太阳人目之间为乙亦无光若地在戊日丁月之间则月光满若太阳戊在金星甲地球之间则金星光满若在左右则月及金星各有半光光之大小如按古图不析其理虽千百世不能透其根也古者言太白在本轮上体小光盛在本轮下体大光淡在左右体不甚大而光甚盛今如图解之在髙于时为望其体逺则见小全透其光故盛也在庳于时为晦不可得见晦朔左右去地为近则体见大哉生明故稍淡也在左右为上下弦所见半体故不甚大逺近之间又见半光故甚盛也又金星因岁轮于地时近时逺逺时显其体小而光全若以逺镜窥之难分别其或圆或缺之体在极逺左右数十度亦然若在中距者其光稍淡则逺镜可略测其体之形然光芒锐利亦难明别为真体或为虚暎之光惟在极近数十度则光更淡又于地近其体显大可明见之系凡金星为迟行或逆行用逺镜窥之可测其形体若更近见其体缺更大测金星之最髙(第二章)测金星距太阳两次其距度分为等者则太阳两平行中度分为金星本天之最髙或髙冲之处解曰用不同心一圏及小轮一圏作图如古丁为地心己本天心庚辛为两心线置庚为最髙辛为其冲最髙庚左右等度分取甲乙两㸃各为心作等径之两小轮从己从丁到甲到乙作线又从人目丁作丁丙丁壬切小轮两线置夕一测金星在丙晨一测在壬甲乙小轮两心为太阳及金星同用平行之经度庚己甲为距最髙度之角(平行数又引数)庚丁丙角为金星体距最髙视角(视角视行正经一同)从丁作丁未丁酉与己甲己乙平行两线而成未丁丙酉丁壬两角乃平行庚己甲视行庚丁丙两角之较题言凡星在丙在壬而丙丁未壬丁酉两角之度分为等者庚最髙㸃必在甲乙两㸃之中欲试之更置其一测乙移在亥星亦在壬则亥丁壬为距太阳之视角比甲丁丙角更大(观图自明不须赘论葢亥㸃比乙更近)则反先所定而命取二测皆有距太阳平行之角而为同度必丁乙于丁甲丁壬于丁丙各两线相等因几何(三卷七题)若非等者其距庚辛两心线必不能为等其距视角必亦不等若所测之得为等则两测两平行之中有最髙距太阳极大数者为等则其近逺(与地)亦等本天均数亦等葢皆相连之图也古测金星最髙及其冲(第三章)多禄某记古得剜总积四千八百四十五年为阳嘉元年壬申(西厯)三月初八日夕测金星得大梁宫一度半(用昴宿星)(比测)当时太阳及金星之平行为娵訾宫十四度十五分两行之差为四十七度十五分乃金星距平行大数也亦名均数又总积四千八百五十三年为永和五年庚辰(西厯)七月三十日金星见东方多禄某亲测得在实沈宫十八度半(用井宿第七星比测定之)当时太阳及金星之平行为鹑火宫五度四十五分两行之较为四十七度十五分用两测两平行相减(从娵訾宫十四度十五分顺天数到鹑火宫五度四十五分)得中积为一百四十一度三十分折半得七十度四十五分并加于娵訾十四度十五分以减全周得大梁宫二十五度其冲大火同度乃金星两心之线也孰为最髙尚未之定再用次测次测乃得剜总积四千八百四十年为永建二年丁卯(西〔？〕)十月十二日晨测得金星在鹑尾宫初度二十分太阳平行为寿星宫十七度五十二分星距太阳为四十七度三十二分乃两行之较也(用右执法星比测金星得数)又多禄某于总积四千八百四十九年为永和元年丙子(西厯)十二月二十五日昏亲测见金星近垒壁阵第八星在东如月其小径为二十四分时金星光大因用恒星比测得在𤣥枵宫十九度三十六分时太阳平行为星纪宫二度四分星距太阳为四十七度三十二分用前后两测太阳平行相减折半亦得大梁宫二十五度或大火等度乃两心之线也(亦未定最髙之宫分)多禄某记前人二测并亲测定金星两心线如上然未知最髙或在大梁或大火乃因前论互用取金星平行之近大梁或近大火而测其大距度曰依不同心圏均数极微则大距度全从小轮而生若距度小指平行小轮心于地极逺若距度大指小轮心于地极近逺近之分即最髙及其冲也定论如此用得剜测一用亲测一(见本厯首卷总说)总积四千八百四十二年为永建四年己巳(西厯)五月二十日晨比金星于娄宿第二星及天囷座第四星测算得金星在降娄宫十度三十六分其纬度在南一度半当时太阳平行得二十五度二十四分大距度(两行之差)为四十四度四十八分多禄某自测总积四千八百四十九年为永和元年丙子(西厯)十一月十八日昏以牛宿第二星比测得金星在星纪宫十二度五十分当时太阳平行为大火二十○度半大距度为四十七度二十分大距指最髙冲则小距指最髙也系金星天最髙多禄某于总积四千八百五十三年庚辰为永和五年测定在大梁宫二十五度其冲在大火宫同度又曰在大火时金星距日度极多日在大梁时星距日度极少他处大距度在两限之中(近逺各有比例见下文)金星最髙行(第四章)前章记古测定金星最髙在大梁宫二十五度又依后所记第谷九测在总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉测得金星天最髙在实沈宫二十九度十五分(其行极微先后数年不碍算)两测比算则以中积一千四百四十五年为法以两测最髙行之较三十三度十五分为实法入实而一得一年之行为一分三十二秒五十七微有竒约百年行二度一十八分十六秒十二微今厯元总积六千三百四十一年距第谷测四十三年则于所测约如五十分得最髙厯元见本表求金星伏见轮半径及两心之差(第五章)如图丁地心己金星本天心作庚丙辛圏及己丁两心线又于庚辛髙低二处各为心作甲乙两小圏相等而当小轮亦名次轮伏见轮互用又从丁地心作丁甲丁乙二线切于小轮指庚丁甲辛丁乙乃人目所见金星视行距太阳平行度之角也如前所测定上下成两直角三角形甲丁庚形有甲丁庚角四十七度二十分(前测)依法置庚丁边全数十万求丁角之正弦得七三五三一乃甲庚边之数即小轮半径之数也又丁乙辛直角形有乙丁辛角四十四度四十八分置辛乙边为七三五三一(甲庚)(乙辛相等)求丁辛边以法推算(查四十四度四十八分正弦加五位为实以辛乙七三五)(三一之数为法而一)得九五八二七夫庚丁全数十万甲庚七三五三一辛丁九五八二七皆同类之数也庚丁丁辛相减得数半之为二○八六乃己丁线之数即两心之差也(或庚丁丁辛两数并之得庚辛全线折半为己庚以庚丁减之得己丁两心之差如上)若置己庚本天半径为十万全数(与他星同理)用通法求同类己丁为二一二九求甲庚或辛乙为七五○九八丁辛为九七八七一乃所求各线之数也求金星均圏(第六章)凡金星小轮心在最髙及其冲距太阳之限或见大见小而算不同心圏之差先置两心差从最髙各度算距限(距限乃不同心圏及小轮两均数或相并或相减所得之数)所得若不合天则亦如他星宜用均圏此二圏相割处乃本天大均数也必距最髙为九十度若以前得两心差求小轮在此之大距度为九十度又以星视距平行大距度测之因先有不同心圏及其心之差算小轮视距所得以所测相减之较为本天大均数若本天半径为全数此较度分数为切线之角查表得均圏心距地心或得两小均轮各径之总数图设庚辛最髙庳也甲癸各距庚九十度在癸用一均圏(古图用不同心圏)星在戊戊丁癸角为大距平行癸之度因前得癸壬线(上图为丁己两心差)及壬戊线上图为庚甲或辛乙推算戊丁癸角以壬癸丁壬丁戊二句股形可推算癸丁戊角见表比所测为小用右图加乙丙次均小圏如新图所用二均圏为足法曰用壬癸线求戊丁壬岁轮所生之视角以己丁甲角于大距所测之角减之余丙丁甲角乃本天之均角也其切线为丙甲先得甲乙(或癸壬或前图丁己各等)减之余乙丙乃次均圏之半径也多禄某务求得真数乃用二测一于总积四千八百四十七年为阳嘉三年甲戌(西厯)二月十七日晨(择心宿大星用浑仪对测)测金星距太阳大数得金星在星纪宫十一度五十五分时太阳平行为𤣥枵宫二十五度半两数相减得大距度为四十三度三十五分第二测总积四千八百五十三年为永和五年庚辰(西厯)二月十八日昏(择毕宿大星比测)得金星在降娄宫十三度十五分太阳平行在𤣥枵宫二十五度半两行之较为四十八度二十分乃金星距太阳大度数也用古测亦用古元图求均圏心距地心若干作图庚丁辛为本天髙庳之线丁为地心置均圏心于乙丁乙两心相距未知其数即所求乙上立垂线乙甲(命曰垂线葢置平行)(距最髙为三宫则庚乙甲角必为直故)任取甲为心作丙戊小轮圏又从人目丁作丁丙丁戊两均线丙指星辰见所在戊指昬见所在又作丁甲甲丙甲戊丁戊各直线丙丁戊角为晨昬两大距总度即九十一度五十五分折半得四十五度五十七分丙丁甲角也甲丙丁形有甲丙边(先定七五○九八)及丁角求甲丁边得一○四五○一丙戊弧两大距度之总半之得丙己内减丙壬第一晨测星在丙距壬平行之度余壬己为二十二度二分半即壬甲己角也甲乙丁直角形有甲丁边(先算)及甲角(壬巳弧)求乙丁得四三三○即均圏距地心之差也若比于先得不同心圏之心距地心二○八六约为倍数则如上三星等图第谷及其门人再测以古今诸测相比得均圏心距地心为十万分(甲乙全数)之三千二百○八分折半得不同心圏心距地心或用本图第一均圏半径为二四○六第二均圏半径为八○二是乃从后所记九测之数而出也求金星小轮行率束(第七章)置古所得两心差用古一测求金星小轮上距极近处(小轮)(近处者从平行心到小轮心作线必割小轮周所载之㸃谓之近处)又用今时一测以法求金星小轮上距近处以金星行满小轮周几转化度为实以两测年日中积数为法除之则得一年一日小轮上之平行可成表(见下文)古厯士弟末加于总积四千四百二十年为周赧王四十三年己丑(西厯)十月十二日晨见金星蚀左执法星(多禄某记)当时执法星(依新厯法)在鹑尾宫三度十分纬北为一度十六分即此为金星经纬度也又此时算太阳平行得在寿星宫十六度六分半则星距日平行为四十二度五十六分半越三日再测得金星与日更近一度则因本图法知金星必过大距之处而在小轮之上半弧(从地人目)(出两线切小轮在两切线中之弧谓之下于目近在两线外谓之外又凡在下弧逆行会日之前每日更近于)(日距度更少过会每日更逺至上下两弧之界以后顺行每日更与日近今见金星东边顺行又更近日因知)(必在小轮上弧)又因古今多测相比得当时金星本天最髙在大梁宫十六度十分以日平行减之得小轮心距最髙为一百四十九度五十六分半其余为三十度三分半乃距最髙之冲如图(古测用新图理同)丙地心人目作丙丁线丁为最髙冲丙以上取甲㸃为本天心作丁乙弧(甲丙新法为二四○六)从丁取三十度有竒至乙(左边取葢引数未到半周)乙为心作午戊均圏(乙戊为八○二甲丙)(乙戊两数并为三二○八比古所定少九百五十二然古者所测因无先遗之测无可比证今再攷算而得其)(谬葢屡用日星测验而得其准始各改定如此)作各线(法见上三星厯因省文)从午均轮最逺左行取午戊弧于乙丁弧等度至戊戊为心作小轮癸己辛戊心上作癸戊辛线与甲乙平行定癸极近辛极逺两处乃岁轮上起算之界也又辛己癸岁轮上取己㸃为金星所居即在东上半弧依三角形法求辛癸己弧乃古测金星距小轮极逺之处此乃次引数也一甲丙乙形有甲丙(先定二四○六)甲乙全数(半径)两边及丙甲乙角三十度有竒求甲乙丙角得○度四十二分二十秒又求丙乙边得九七九四○(三角形诸法备测量全义后不赘述)二丙乙戊形有戊乙八○二及丙乙(前得)两边之两数与戊乙丙角(戊乙午为引数之余三十度有竒则戊乙丙为正引数)一百四十九度有竒加先所得甲乙丙角四十分二十秒有半并之得一百五十度三十八分五十秒求乙丙戊角得○度十三分三十四秒又求丙戊边得九八六五五三以甲乙丙乙丙戊两角并之得○度五十六分三秒乃癸戊丙角先均数也四丙己戊形有戊己(小轮半径依新法为七二二四八)丙戊两边及己丙戊角(以先测星距平行数内减去均数从最髙冲起于丁乙宜加于乙己宜减)为四十二度○分半求丙戊己角得七十一度五十五分甲乙线定平行线也乃小轮上子巳弧次均数也(从最近算对日之处)五因辛极逺处为算之界则于己子内减癸子先均数又以所余加辛癸半周并得二百五十度五十九分乃当时金星小轮上之引数也今再译近世一测以比于古测可征平行之率第谷于总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉(西厯)九月十五日晨测金星得在鹑火宫十五度五十八分(先均蒙气及地半径差)当时太阳平行躔寿星宫三度四十八分二十秒金星最髙为实沈宫二十九度十四分五十秒则金星平行距最髙为九十四度三十三分三十秒引数也又平视两行之较为四十七度四十九分四十秒依上法求金星岁圏上去极逺处若干如图号名如上丁最髙丁乙午戊两弧各为引数星在己晨测也一甲乙丙形有甲丙甲乙两边(法如上)有丙甲乙角引数之余求甲乙丙角得一度二十二分二十六秒又求丙乙边得九九八三七二丙戊乙形有丙乙乙戊两边及戊乙丙角(戊午弧为引数加午申弧或甲乙丙角并得丙)(乙戊角)为九十五度五十六分六秒求戊丙乙角得○度二十七分二十六秒又求丙戊边得九九九二五三前两均数(甲乙丙乙丙戊两角之数)并为一度五十分因从最髙起而引数不过半周宜于子己减之其余四十六度○分乃戊丙己角也四己丙戊形有丙戊戊己两边及戊丙己角求丙戊己角得三十九度○分子己弧也内减去子癸先均数得三十七度十分如半周得二百十七度十分乃星体从辛极逺小轮上所行之度数也两测中积为一千八百五十六年不及二十七日(化日)或六十七万七千八百七十七日为法(以三百六十五日又四分日之一为年也)时刻不算葢两测在晨其差不及刻数中积甚大无所比此中积时金星行满伏见轮全周为一千一百六十转又三百二十六度二十分(第一测星在小轮上距最髙二百五十度五十九分)(第二测得二百一十七度十分相减得三十三度四十九分乃第二测未到第一之处以全周减之得三百二)(十六度一十九分)为实以法入实而一得星一日平行为三十六分五十九秒二十九微有竒以乗法求一平年之行为二百二十五度一分五十秒以此数作立成表又以某日所测得金星小轮上之度以加以减得本厯金星引数成二百年表或用新测金星一度亦可为引数之根新法所用测金星以定其行之率及厯应(第八章)一测总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉(西厯)九月十四日十七小时一刻(从午正起)中厯为九月初二日午正一刻测得金星经度为鹑火宫十五度五十三分纬南二度八分(此测皆先均定蒙气及地半径差下同)以表算得平行距冬至九宫三度四十八分二十秒此时最髙距冬至五宫二十九度十四分五十秒则引数为三宫四度三十三分三十秒小轮上为七宫七度十分(从极逺起)以三角形算得金星体该在鹑火宫十五度五十八分十秒比所测少四分强二测万厯十五年丁亥(西厯)正月十五日四时四十分中厯为丙戌年十二月初七日午初三刻测得金星经度为娵訾宫十六度五十五分纬北二度三十九分当时算表得平行距冬至为一宫十四度十七分十五秒引数为七宫五度○分四十五秒小轮上为三百○七度四十三分十七秒以法算得娵訾宫十六度五十一分比所测少四分三测万厯十六年戊子(西厯)二月十五日酉正五分(中厯为春正月)(二十六日丑正五分)测得金星经度为娵訾宫十六度一分纬北为八度五十六分当时平行距冬至二宫十度四十八分四十八秒引数为八宫十一度三十二分十五秒小轮为六宫○度三十三分七秒以加减算之得娵訾宫十五度四十九分比测少十二分因小轮度为六宫○度必星在极近处其近于日平行均度为五度(本天及实引数生)则距平行西五度又太阳同平行均数二度为加以五度内减之得三度乃金星顺距太阳之体也当时纬度北不及九度四分若置如直线用开方法得金星距日体约十度葢本方北极髙为五十六度又娵訾宫为斜升(于地)(平如平行)太阳将出地平金星在地平上十度可得见又四测小轮引数亦为六度亦可见之(说见月离厯指四卷并本部八卷)四测为本年三月初二日卯初二刻(距第三测十七日)中厯为二月初五日午正二刻测星经度得娵訾宫十度七分纬北八度二十六分当时平行距冬至为二宫二十度九分二十秒引数为八宫二十度五十二分三十秒小轮之行为六宫六度二十三分三十八秒以法算得视行为娵訾宫十度十四分比所测多七分五测万厯十七年己丑十二月十四日辰初三刻中厯为十一月初八日未正三刻测得经度为大火宫十七度十分纬北三度十分当时平行为初宫三度五十二分十四秒引数为六宫四度三十三分十五秒小轮行七宫十九度二分十秒以法算得视行为大火宫十七度六分比测少四分六测万厯十九年辛卯(西厯)十二月十七日辰正测星经度得析木宫二十度纬北○度二十分当时平行为初宫六度二十一分十五秒引数为六宫六度五十九分二十五秒小轮行十宫二十度五十七分九秒算得视行为析木宫二十度四分半比测多四分半七测万厯二十一年癸巳十二月十五日酉初十分中厯为十一月十四日子正十分测得经度在𤣥枵宫二十一度纬南一度十六分当时平行为初宫三度四十八分五秒引数为六宫四度二十一分四十五秒小轮行为四宫二十度四分二十秒以法算得𤣥枵宫二十一度六分比测盈六分八测万厯三十八年庚戌十二月十二日申正四十分中厯为十一月初八日子初二刻测得星经度为𤣥枵宫十七度五十八分纬南一度二十九分当时平行为初宫初度五十七分四十八秒引数为六宫一度九分半小轮行为四宫二十一度八分三十三秒以法算得𤣥枵宫十八度四分比测多六分九测万厯四十四年丙辰三月初九日卯初中厯为二月初三日午正测星经度为𤣥枵宫十五度二十四分当时平行为二宫二十八度○分五十三秒引数为八宫二十八度六分十五秒小轮行为八宫一度二十八分四十秒推算细行得𤣥枵宫十五度二十四分符所测以上九测因密测详审可为金星诸行之元金星诸行率(第九章)本天最髙行每年一分二十二秒五十七微百年行二度十八分十六秒十二微约一万六千余年而满一周本天上平行如太阳三百六十五日二十三刻有竒而行满一周小轮上之行每日三十六分五十九秒有竒一平年(三百六十五日)行七宫十五度一分五十秒计六百六十二日十四小时(不及四分)而满一周若平行减最髙行得引数一日为五十九分八秒一平年为十一宫二十九度四十四分十七秒又算加减二表置两心差为三二○八(全数本天半径为十万)用新图分二小圏其一为二四○六其一为八○二小轮半径为七二二四八有半(全数如上)本天大均数为一度五十分十六秒在引数三宫一度小轮在最髙时大均数为四十五度十九分二十秒最髙最庳之差为二度四十六分四十九秒以上诸数用以起算定表不外乎此金星新测(十一率)崇祯七年十月十五日戊戌酉时在局用弧矢仪比测金星于垒壁阵第四星得相距十七度五十分弱此时金星纬向南二度余恒星亦向南二星相距之度如黄道上之度其差微恒星厯元经度为𤣥枵宫十八度二十三分加八年之行为七分得十八度三十分因金星在西减相距之度得本宫初度四十分强乃本时太白之经度也今用表推算得金星经度为一宫○度四十七分比所测盈七分或测时过酉正而在戌初一小时差二分半又金星光大难测差分已得其准用表算式新法算书卷四十
## 卷四十一
钦定四库全书
新法算书卷四十一 明 徐光启等 撰五纬厯指卷六(水星经度)水星乃五纬之一其行与金星相似而异于木火土其形亦小于四星故光不甚大不越晨昏二时且不尝见而尝伏是以测其行与定其率及其应古今皆以为难昔西士多录某(厄日多国人)其本国地气清朗得测水星之经纬最彻惜其时所用仪器小所分度数未为精细至近世谷白尼及第谷两家留心厯学但其所居在北极高五十度有竒为欹球之地夏月不辨晨昏冬月雨雪多而蒙气盛又甚寒冷难于测歩谷白尼因借他人之测以详其理多未经目说虽明而犹难确据后来第谷及其门人深研此道随在推测不惮勤劳既竭心思又殚目力而厯学始全今新厯译其书以为法详列于后水星本天象(第一章)水星以太阳平行处为本行之心即以太阳之平行为自行之平行如金星无二然其两行之差非太阳两行之差则必有自行本圏而载其次轮又此圈或圏上之行非平有高有低与他星等何以知其然耶曰见其距太阳之大距度时有大小因知其次轮必有逺近也今以图略解其所测于左后详释之(次轮亦名伏见轮)古图设甲为地心任取甲乙某线分为五平行又以乙为心取甲乙线五分之一为半径作辛丙壬小圏名曰均圏又于小圏周上取丙㸃为心作己丁庚戊大圈又作甲乙丁线为两心线取丁㸃作己癸庚圈是名水星次轮(木火土三星名曰岁轮金水不然盖以其率非满一年而所差复逺故名次轮又名伏见轮)行法甲丁线顺天平行每年一周如太阳平行无二其自载乙㸃均轮心及丁次轮或伏见轮之心如丁心行丁庚戊本天圈一年一周其心在辛壬丙均轮上而行此本天之心有行之理独水星如是而他星不然葢他星有定两心差之数不加不减故其岁轮心(如丁)所行之迹亦为浑圆圈(见本厯首卷)惟水星小轮心丁所行之迹有如卵形上寛下窄故曰己丁庚本圈之心于甲㸃时近时逺又时在乙甲线内或时在外如置丁心在两心线上其行之心在辛极逺处丁心行本天一周必行辛壬丙小圈三次丁心在戊最低其行心在丙系凡丁心在本轮上平行一周即于小均轮上之行有三周本轮上行一度均轮上行三度(以一周与三次论之则知一度三度)伏见轮心运行图说(第二章)丁乙甲戊各号如前甲为心任作午未申等图(用半图简法也)分为六平分于未于申等又作甲未甲申等线人在甲所见伏见轮心丁距本天最高之度又均圏往在辛㸃为心作丁弧(本天一弧)又因丁甲未角为三十度(先分午丑半周为六分)均轮上从极逺处辛顺天向壬取其三倍即九十度止壬壬为心用辛丁元半径亦作寅一弧截甲未线于寅又以丙均圏极近处为心(丙辛半周乃午申六十度之三倍)作卯弧以巳为心作辰弧以辛为心作巳弧以壬为心作子弧末以丙为心作戌弧共为七㸃即以曲线聨之得形如图(又于午丑半周细细分画作三十分各有六度)(又辛壬丙圈分二十分各分有十八度作甲寅等线又小圈各㸃为心作多弧必可定丁心运行之迹)右依前图可解水星之诸行并可齐其所行之异新法亦有水星天本象略引之新图用二小均圏如他星但辛壬丙载伏见圏心小轮之行为三倍于丁㸃大圏上之行皆自行数如古图无二其乙心留行之迹亦与古图之卵形相似算法亦同丁心往癸乙心往戊辛心往壬比乙及丁疾行为三倍水星体在子往午未各满其周择测水星以定其最高(第三章)金星厯曰凡朝夕测得金星距太阳平行两大距度为等者则于两测之两平行中度抄半得为金星两心线之处然其最高低之分尚未定也今水星或有两大距度等者乃若折半不得为两心线之处觉测此星为难古今厯家测得本天一周内伏见轮有多度不见前后多测大距度之差如距地无逺近等故法曰取用朝夕两大距等及前后多日各测之行相反并平视两行有差可知两测两平行中折半为两心之线所在曰相反者何一测之行为盈一测为缩必知在两心线左右曰两行有差言一测星在此无近逺处或测十日前后之行为等因可知其引数为等如图(字号如前)戊为最低依各圏之行若伏见轮心到子到巳甲子甲巳距地心两视线略等不见近逺故亦不见星距太阳大距度之有大小也试作甲壬线先求甲戊线若干分置丙戊本天半径为十万甲乙置为五六八五(后以测得算)乙丙为乙甲五分之一数之得一一三七以减丙乙得四五四八丙甲也又以丙戊全数内减之得九五四五二乃甲戊线也为星最低距地心之数又置伏见轮心丁在子其心在壬(丁甲子角一百五度从心往壬数其三倍)(得一周外有九十度即在壬)先用甲乙壬直角形夫形有乙甲乙壬(与乙丙等)两边之数依法求甲壬边得五七九八(用句股法)又求乙甲壬角得十一度十九分次用甲壬子形夫形有壬子全数有壬甲边及壬甲子角(先得乙甲壬又先设丁甲子为一百五十度内)(减乙甲壬角十度有竒余壬甲己为)一百三十八度四十一分依法求甲子得九五六○六比甲戊多为一四四约为千分之一半若置星在己其心在辛用辛甲己形夫形有辛甲(于甲)(乙并加五之一得六八二二)辛己两边及辛甲己角(先设戊甲亦六十度用其余以)(满半周)一百二十度求甲巳得九六四○九比甲戊多一○五七约为百分之一比在子差更大系凡水星次轮心在戊最低左右(理同)三十度或四十度内其距地不见大差伏见轮视径亦无小大其大距度亦如之故星在此或左或右不足以定最低之经度分湏候星在辰或在卯及其对㸃始可定也古测算水星最高(第四章)多禄某总积四千八百五十一年为汉永和三年戊寅(西厯)六月初四夕测得水星经度为鹑首宫七度(用轩辕大星北)当时太阳平行为实沈宫十度半即水星距太阳为二十六度半次测为总积四千八百五十四年为永和六年辛巳(西厯)二月初二日辰测水星在星纪宫十三度半(用心宿大)(星比)当时太阳平行为𤣥枵宫十度大距度为二十六度半如上测以前后两测两平行折半得寿星宫十度十五分或降娄宫十度十五分乃两心线之处也右多禄某所测姑举其二以证所定之处其所多记亲测每以古测相比因谓水星天最高行一百年一度与恒星等及后来再加细测积年既乆觉当时所谓犹非也谷白尼记总积六千二百○四年为大明𢎞治三年庚戌(西厯)九月初九日瓦而得(厯学名士)晨测水星经度在鹑尾宫十三度半纬北一度五十分当时太阳平行在鹑尾宫二十六度四十七分(用谷白尼表算)得星距太阳平行十三度十七分此非大距之测故又记曰此时水星将伏前此数日测见顺行于日更近可知水星当时在次轮之上弧次测总积六千二百一十七年𢎞治十七年甲子(西厯)正月初九(本方)卯正二刻大火宫十度在天顶测得水星经在星纪宫三度二十分时太阳平行在星纪宫二十七度七分算得星距太阳二十三度四十七分又记本年三月十八日夕测得星经度在降娄宫二十六度六分太阳平行在本宫五度三十九分星距太阳二十七度一十七分依上二测谷白尼算得水星最高线本世(总积六千二百十七年前后㡬)(年不碍算)在大火宫二十八度半最低在其冲即大梁宫同度记今测十端以定厯元(第五章)此地谷及其门人所记比古测精细因用为新厯之本第一测总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉中厯十月初四日未初(西厯)为十一月十四日卯正四刻测得水星视经在大火宫十三度四分纬北二度十八分时太阳平行为析木宫四度○分十五秒(新法算)星距日为二十度五十六分一十五秒依多测再算得本年最髙行在析木宫初度三十分以平行减之得引数为三度半次轮行为八宫十六度二十二分二十秒推算星视经度得大火宫十二度五十七分比所测少七分二测比前测后九日辰初二十分测得星经度在大火宫二十五度三分纬北一度二十五分时太阳平行在析木宫十二度五十三分二十秒引数为○宫十二度二十三分小轮行为九宫十四度二十二分半算得大火宫二十四度五十八分比测少五分三测总积六千二百九十九年为万厯十四年丙戌十月二十四日辰初十分(中为九月二十日未正十分)测得星经度在寿星宫二十二度三十二分纬未记太阳平行为大火宫十三度四分半引数为十一宫十二度三十四分次轮行八宫五度六分半以算视行比测少七分四测比三测后四日见星在寿星宫二十六度三十二分纬北二度十七分平行为大火宫十六度四十九分半引数为十一宫十六度二十九分次轮行八宫十七度二十七分用算比测少五分五测总积六千三百年为万厯十五年丁亥正月初九日申正五十分(中厯为十四年十二月十一日)测得星在𤣥枵宫十七度四十八分纬北○度一分太阳平行为星纪宫二十八度二十二分五十秒引数一宫十六度五十二分次轮行四宫二度二十八分二十秒用算比测少一分六测总积六千三百三年为万厯十八年庚寅三月初六日酉正五十分(中厯二月十二日丑时)测星在降娄宫十三度四十四分纬北一度四十二分太阳平行为娵訾宫二十三度引数为三宫二十三度二十分次轮行三宫十一度四十一分十秒用算少测数八分七测总积六千三百五年为万厯二十年壬辰二月初三日酉初四十分(中厯正月初一日子正四十分)测星得娵訾宫十二度二十分纬北○度四十七分太阳平行为𤣥枵宫二十二度五十分四十五秒引数二宫二十二度十五分次轮行三宫二十三度八分三十秒用算比测盈九分八测总积六千三百六年为万厯二十一年癸巳五月十一日亥初二刻(中厯四月二十二日寅正二刻)测星在实沈宫二十三度十六分纬北二度○分太阳平行在娵訾宫二十九度二十三分引数五宫二十八度五十一分次轮行三宫二十二度四分依算少测十二分九测总积六千三百二十年为万厯三十五年丁未四月十五日亥初(中厯四月初一日寅正)测星在大梁宫二十一度五分纬北一度四十分平行为大梁宫三度二十分五十秒引数五宫二度十八分次轮行二宫十五度五十分六秒推算盈所测七分十测总积六千三百二十三年为万厯三十八年庚戌十二月初五日戌初(中厯十一月初一日未正)测星在析木宫二度四十二分纬未纪太阳平行在析木宫二十四度四十分引数初宫二十三度三十四分次轮行八宫十度十一分推算少测七分右十测如法推算盈缩大较不过十二分其差甚㣲非若右表未经亲测者真可用为水星厯元之测又本方向北凡星纬在南难见难测故上不测皆纬北焉定最高处及其行(第六章)总积六千二百九十八年为万厯十三年乙酉第谷测算精宻定本年最髙在析木宫初度三十分以古测总积四千四百四十九年(多禄某所记)为周赧王五十年丙申(西厯)十一月十五日晨见水星在大火宫二度三十五分太阳平行大火宫十九度五十六分半(用古表)纬南为二度二十分依此测及后屡测(多禄某所记本世距周赧王四百年后有多测多算今不详译)(省文也)得水星当时最高在寿星宫六度五分两测中积为一千八百四十九年计两测中积最高之行为五十四度二十五分(析木宫初度半内减去寿星宫六度五分得数)以中积最高度分化秒为实以积年数为法除之得一年最高行为一分四十五秒有竒有一年则百年千年俱有成表如以万厯十三年之行加之得崇祯元年最高行之应以平行内减去最高得引数说见后水星伏见轮半径大小(第七章)古多禄某用二测其一为总积四千八百四十七年十月初三日晨测得水星伏见轮心在本天最高算求距太阳大距度为十九度○三分太阳平行在寿星宫九度十五分多禄某时最高在大火宫二度此测未到最高少二十三度因水星天之象最高及其冲前后一宫于地不见逺近大差见上文其二夕测(为次年四月初五)水星次轮心在最高冲大距度为二十三度十五分平行为降娄宫十一度五分此测亦未到高冲少二十一度与上测相对系凡大距度为小者其次轮心必在载圏之高若距度为大者其心必低先定两心线如上测星在降娄距大在寿星距小如图甲地心壬本天心戊为最高丙为其冲次轮心在戊最高星在巳为戊甲巳距平行极大角(人在甲见星在巳视)(星距戊平行之度数)上测得十九度○三分又次轮心在丙最高冲视距太阳平行大距度为庚甲丙角依上测得二十三度十五分作戊己丙庚各线于甲己甲庚成直角依三角形法甲戊己为直角形有己直角有甲角大距度自亦有戊角己甲戊之余即为七十度五十七分有三角求戊己戊甲之比例设戊甲十万戊己即为十万分之三二六二九(正弦数也)又甲丙庚形有三角(因直角形之理有甲乙角自有丙角)求甲丙丙庚两腰之比例设甲丙十万丙庚为十万分之三九四七四(甲角之正弦)先定丙庚戊己两圏半径为等者(以上下两次轮无二)今以三率法通之设甲戊十万戊己或丙庚为二三六二九丙甲为八二六二五戊甲甲丙并之折半得九一三四二即戊壬线也今有戊壬戊甲戊己同类之三线又设戊壬本天半径为十万全数求他线之数以法得戊甲为一○九四七九减戊壬全数余九四七九乃壬甲两心差之数也又壬甲数以六除之得一五八○乃载本天心小轮之半径说见水星本天象论戊己为三五七二乃伏见轮半径也多禄某依亲测得水星各圏比例如此然所记载测数中有可疑(恒星及太阳之行各不精细)第谷及其门人因加宻测宻算依上记十测设戊壬全数戊己为三八五○○(丁庚同数)壬甲为六八二二取壬甲六之一即一一三七为壬心所行圏之半周系水星近于地为本天十万分之五四六七二极逺为一四五三二一算水星经度用三角形试法(第八章)用上所记第五测时刻以三角形及上定各圏之数求水星经度(用新图)当时查表得太阳平行在星纪宫二十八度二十二分半水星最髙在析木宫初度二十九分半两数相减得引数为五十七度五十三分图上为庚乙己丙两弧之度(绘图及其行之数见上二章)此引数三倍之得一百七十三度三十九分为戊丁弧丁乃伏见轮心作壬次轮圏从壬极逺顺算得一百二十二度二十八分至辛丁丙乙形有丁丙乙角(戊丁弧以满半周去之余)六度二十一分有丙乙(上定两心差六分之五即五六八五)及丙丁(两心差六分之一即一一三七)两邉求丙乙丁角得一度三十五分又求丁乙邉得四五五一二甲乙丁形有甲乙丁角(己丙弧或己乙丙角内减去丙丁乙角余丁乙己其余为)一百二十三度四十二分(凡引)(数为六十度以下用减六十度至一百二十度用加一百)(二十度至一百八十度用减一百八十度至二百四十度)(用加又自二百四十至三百度用减三百至三百六十度)(用加)又有甲乙全数(半径)及丁乙(上得数)两邉求乙甲丁角为二度七分又求甲丁邉得一○二六○○三丁辛甲形有丁辛次轮半径(前所定三八五○○)有甲丁丙邉及辛丁甲角(次轮为癸辛弧加壬癸弧或壬丁癸角或丁甲乙角皆为同得壬辛弧其余辛午)五十五度二十五分求乙甲辛角得二十一度二十九分乃次均数次轮之视差也因次轮行在前半周法宜用加得𤣥枵宫十七度四十五分比所测缩三分若以测法求丁辛次轮半径亦可得之则于丁辛甲形中设丁甲邉丁甲辛角(以表得乙甲庚引数角内减丁甲乙本天均数得丁甲庚角以测得)(辛甲庚角相减得丁甲辛视差之角)及壬辛弧或辛丁甲角依法求之若以引数及各圏半径从小轮上水星本行处用下图各三角形之法亦得算癸丁辛角有假如(见十章)水星平行率(用古今二测) (第九章)以测求伏见轮上之行宜择星近太阳非留行或大距度之处葢留时伏见轮上之行人自觉其大距度多日不变然星更行故测以得近太阳者为确古多禄某所记总积四千四百四十九年为周赧王五十年丙申(西厯)十一月十五日卯初在本方测得水星经度为大火宫二度三十五分纬南为二度二十分当时太阳平行在大火宫十九度五十六分半时水星最髙在寿星宫六度五分两数相减得四十三度五十一分半乃水星之引数也又平行视行相减得十七度二十一分半设引数及各圏之半径与星视行距太阳之平行求水星体在伏见圏之度分(星体距伏见轮极逺之处若干)用新图诸号如上一庚乙己丙两弧各为引数之度戊丁弧为引数之三倍一百三十一度四十九分三十秒二丙丁乙形有丙丁丙乙两边各圏半径及丁丙乙角(戊丁)(弧以满半周之余)四十八度十分求丁乙边得十万分之(全数)五○○二又求丙乙丁角得九度四十五分三己丙弧或己乙丙角内减去丁乙丙角余丁乙己为三十四度五十六分半其余以满半周为丁乙甲角是为一百四十五度四十八分半四丁乙甲形有甲乙(全数)乙丁(前所)(算)两腰及丁乙甲角求丁甲边为一○三九○二又求丁甲乙角得一度三十三分乃均数之度分也其号为减(引数未过半周)减之得丁甲庚角为四十二度二十四分又以最髙之宫度加之得丁㸃(次轮心)在大火宫十八度二十四分先测水星在本宫二度三十五分相减得较为十五度四十九分乃次轮之视差也均数也图上为丁甲辛角测为晨刻则水星在太阳后次轮右边五丁辛甲形有丁甲(先所算)丁辛(先所设)两边及辛甲丁角(次轮)(视角)求辛丁甲角得三十一度三十三分乃辛丁午角或辛午弧水星体距小轮极近处午㸃之度分又加半周(一百八十度)得二百一十一度有竒即壬午辛弧然所定次轮极逺非逺于地心乃比平行为逺(故图中命作癸午线与巳甲平行而)(壬丁癸角恒于乙甲丁均角为等)则因先均数类亦均之若加加之若减减之今减得癸午辛弧为二百一十度○分乃当时水星次轮上之行本章多禄某所记及前第五章所记第谷十测中第五测两测相比中积为一千八百五十一年又五十五日十一小时依法化年为日(总积平年为三百六十五日第四年闰一日为三百六十六日)得六十七万六千一百三十二日为法两测次轮之行相减得较为八十三度二十五分因今测小则以溯到古测或满全周少八十三度有竒或满全周外多二百七十六度三十五分中积时水星行满次轮全周为五千八百三十六转外二百七十六度有竒化作秒得七五六四四九七○○○为实以前法入实而一得一日之行为一一一八四秒为竒约之得水星次轮上一日之行为三度六分二十四秒有竒(欲穷其数)(各再化作忽算之)有一日可得一年百年之行又以分法可算一时一分之行水星一小时行七分四十六秒一日行三度六分二十四秒一平年行三全周外有五十三度五十三分三十二秒一闰年三全周外行五十七度三分五十六秒一百一十五日二十一小时三分二十二秒行小轮一周新法算书巻四十一
## 卷四十二
钦定四库全书
新法算书卷四十二 明 徐光启等 撰五纬厯指卷七(五纬纬度)太阳乃万曜之君其所行之道为直道凡天上诸星悉繇以定其行左右距太阳之道谓之纬而土木火金水五星尝在太阳之左右不能直行故名曰五纬太隂之行亦斜交太阳之道竝可名纬古测未觉月亦有纬南北二行直谓之离然其南北之离比五星更纯无多纬之杂其差甚㣲故仍其名也厯家非以定日月之行为足又湏兼齐五纬而七政始全其五星经行业详著各厯指然以明理适用则某星随时所在躔次及某时应㑹某星并同某星出入与凌犯近逺见伏诸类必明晰详尽始全其学若不知纬行南北多寡无从得其凖故第谷名士深心攷究制为多仪宻测宻算定其进退之两限南北之距度立为成表皆务得各星之真路本道之行限详解纬图盖以止晰经行不能全定其处也新厯按古今厯家两测之论以明五星纬行之理各有数端其一为本天轮其一为岁圈轮此二根五星皆同若夫金水别有纬行之根异于土木共著论八条古测纬行(第一章)王寳翰(距今百五十年)曰五星纬行前古未有识者迄多禄某始觉其理而明其法测騐功深乃得立成而布算(前人但以经度)(为本未觉纬行之所以然多禄某宻测精求因㡬何元本等书以定星行之率始得纬道立成诸法)一觉五星之纬各有天半周恒纬黄道南有半周恒纬黄道北一觉此南北之交处非一时六宫在南六宫在北或时七宫南五宫北盖此南北之行非繇视行以所测视行求实行末得各星黄道某宫度以实行到此或南变北或北变南三测各星极大纬而得其距交度约三宫曰星所行非黄道乃各星有本道而斜交于黄道再测得土木二星凢近寿星宫火星近鹑火宫者皆距黄道北极大纬度若三星在其冲之处(土木为降娄宫火星为𤣥枵宫)则距黄道更南四用本图不同心圈及小轮择各星在南北大纬或在极近合伏太阳之处(凡星在岁轮极逺者其心㑹合太阳不能窥测惟越前后多日方得其凖)或在极近冲日之处或在中距迟留之近处各有异相比测未得星在极近加本纬之度数(本纬乃从本道加加纬度繇于岁轮)(下平加纬上半减纬)在极逺减本纬之度数若在中距者无大差所云加纬度者如在近处星道向南则加南纬向北则加北纬详见下文细究纬形之故古者借图形解之曰日月五星之本行更顺更平各有全圈各圈置一平靣盖圈者乃圆形之外周而面者乃圆形外周内所容之积也不曰积而曰面者以积有厚之形靣乃无厚之形也(见㡬何界说)凡曰黄道白道相交宜想两圆形相容相割如东西两堵墙相遇不止而过此两靣相割之处为一直线如黄赤两道以春秋两分之一线上割之两分谓之两道之交即两面相割之限五星本道及小轮相交各圈之靣相割若以楮为圈之像可明其理一系置多禄某所言各星有本道之靣及小轮之靣曰凡年岁小轮之径线(从人目过小轮之心则近逺两处之线)全在黄道之外而不相割相交凡负小轮圈在黄道或南或北则小轮全体亦在或南或北二系见星纬黄道或南或北则知星之本道交于黄道今见小轮或加或减本道之纬必小轮交于本轮两靣相割不则在一平靣何能置其加减乎又五星之纬古来未有名界即借太隂用之凡各星本道纬向北者谓之隂厯向南者谓之阳厯从南徃北之交谓正交从北徃南谓中交凡小轮在其近半周者谓之外盖恒向黄道本道之外而加凡在其逺半周者谓之内盖恒在黄道本道之中而减又择小轮心(即算时所得实行)在黄道本道两交之上及星距日天周四之一(如其时星在小轮近逺之中)测得星在黄道下则无纬度分又凡小轮心在黄道下各星在小轮上不拘度分(于太阳或近或逺)星恒不见纬度三系小轮心在交上无纬度者其平靣与黄道平靣相合为一多禄某曰土木火三星本天(即不同心圈)之靣斜割黄道靣可定其斜交之角(如赤黄二道斜相割其交角为二十三度半)又曰割小轮靣而交本天为不定之角其小轮近逺两限中有一直线于近逺线在两交之中为直角与在交上相合为一乃于两交线恒为平行分小轮上下两平分此线当小轮之枢因之转动其上半极逺之㸃若在黄道北则在本道南若在黄道南则在本道北盖小轮恒于黄道为平行面故也黄道本道交角(第二章)黄道星道两平靣相割一直线上(靣割交靣生一线如线交线生一㸃名曰交㸃)(㸃之两端生四角相对相等而两靣亦生相交割一直线亦生四角等)曰同交线此线通黄道之心即地心也系交线割星道靣不平分盖星道不过黄道之心不同心圈故也其大半(六宫以上)向北其小半(六宫以下)向南大半在北则北纬比南纬更大如图丁地心作丙乙戊甲黄道圈(圈或靣互用)又任取己为某星天之心作庚甲壬乙圈又作甲丁乙同交线分黄道为平分分星道则任分多禄某曰此交线以异角交各天两心之线今如法土星两心线(即最髙)在析木宫二十七度六分(甲子年所算为厯元)(之本见本表)其正交在鹑首宫二十度三十九分相距一百六十五度二十七分中交在其冲木星最髙在寿星宫八度五十四分其正交在鹑首七度八分相距为八十九度十四分中交在其冲火星最髙在鹑火宫二十九度二十六分其正交在大梁宫一十七度相距一百○二度二十六分中交在其冲金星正交在本天最髙前十六度此时在实沈宫十四度(金水二星差数㣲免绘图)水星正交于最髙为一此时在析木宫一度系因图可见各星交线之异任分本天凡两心线及交线之交角近于直角者其两任分之较更大若交角甚锐者两任分之较更小如木星本天交线上之弧比土星交线上之弧更大观图可见二系各星本行(即平行)时行周天向北之弧比行南弧更多弧之多寡与行时多寡相应故也问南北两弧若干曰用上各星之图从己至正交中交两处作线成己丁正己丁中两形夫形为加减均数之形以视行角己丁中求平行角丁己中之余即髙中弧之度用加减表求之相并得土星北弧胜南弧为五度二十分木星北弧胜南弧为五度五十四分火星北弧胜南弧为二十一度五十六分依上多禄某所定黄道本道正交中交之角上见星在此恒无纬度又纬类从此变或以南徃北或自北徃南取星在两交之中测其纬得上三星凡在小轮极逺者纬度少在小轮近者纬度多以多寡之较求小轮之心或本道距黄道若干得数如左土星本道交黄道角(或一圆球上两大圈相交之角或两道之平靣相割各用之)为二度二十六分小轮平靣割本天面交角小轮在两交之中为四度半凡在正交或中交之上者交角为二度二十六分乃两道之角也星木道交黄道角为一度二十四分小轮交本道为二度三十分火星本天交黄道角为一度○分小轮交本天为二度十一分依上论小轮髙庳则视纬有多寡如加减表凡引数在髙者均数少在低者均数多如图(依视法凡对周㸔一平面或圜形者所见之形)(为一直线如简平仪诸线为直线即当圜形曲线今两道及小轮各对周㸔成直线两线交角当两靣之交角)丁地心戊丁亥线当黄道己为某星天之心作庚己壬线当某星本道置庚丁戊角为两道交角(数见上)又从己心取己庚己壬等线壬庚为小轮心作午庚未乙壬甲两线于黄道平行亦两线相等未庚己为小轮及本天之交角上下无二从丁(人目所在)作丁甲丁未视线定髙庳两处未丁戊甲丁亥两纬角题言在最髙未丁戊角为小在髙冲甲丁亥角为大甲壬丁庚丁未两形各有等底甲壬庚未又有壬庚两角等庚丁邉比壬丁邉更大则其对角未比甲角亦大又其余各反之则庚丁未角小甲丁壬角大大角恒于大腰相照几何之言也若作丁午丁乙两线定星在极逺午乙两处必壬丁乙为大午丁庚为小今述多禄某定各星所在大纬于左土星小轮心在两交之北星若在小轮上如庚线者纬度为二度三分若在下如未线者纬度为三度二分小轮在两交之南若星在上如乙处纬度为二度二分在下如甲纬度为三度五分木星小轮若在北星在上者纬度为一度六分在下者为二度四分小轮若在南星在上者纬度为一度五分在下者得二度七分火星小轮若在北星在上者纬度为○度五分在下者为四度三十分小轮若在南星在上者为○度四分在下者为六度五十分金水二星下有本解上三星诸轮图说(第三章)星之所行为全圆圈人目或在其心或近其心时见如直线又时见扁圈线以视学论之设上诸图如人目在天外对黄道之周而㸔则圈形如直线若人目在南北二极而㸔则见如全圆形然某平靣于某平靣或平或相切或相距不能分别故视学因置人目在黄道及其极之中若可见各圈相距近逺如左二图一目在极正视一目在黄道及本极之中而斜视图上外圈为黄道第一第四同心函中不同心圈此一四两圈于黄道平靣二三两圈为不同心又于黄道非平靣如第二图其中有均圈指小轮图画如一平靣然非一平靣者亦如下图上三星本道切割黄道图外大圈为两至两极圈指黄道黄道圈上列有宫次其内有同靣同色之圈于前图为一四其轴为甲乙其斜切宻作㸃虚靣为星圈即不同心圈中有均圈为白圈轴为丙丁此间有小轮亦斜切异心圈然平行于黄道如前上图可见本轮或行或留之迹皆为圆形其黄道本道两轴相切及小轮轴于黄道轴为平行其本轮为直线者视法也真圆靣也三图指各星各㸃所行留之迹各圈有本名但真一直线有名曰本轮靣因对周天而㸔法以圆平靣变为一直线乃视法 若觧此诸圈之理须用浑天仪此仪有赤黄二道有冬夏二至及二极乃为明畅四图说甲乙丁线为黄道本道相交之线(因相近相逺必有相交之一线)甲丙乙戊为本圈(今用不同心圈及小轮觧说更易)丙戊二处极距两交为九十度乃两道大相距之两处也甲为正交(本天向黄)(道北隂厯初)乙为中交(本天向黄道南阳厯初)置小轮甲在乙等处从人目丁作丁庚丁戊等线名近逺线又作子午诸线皆过小轮心而于甲乙交线为平行此子午己庚二线相交之角非一小轮在两交上二线合而为一小轮在大距处丙戊两线相交成直角 午子线当小轮之枢上半下半繇枢而运盖以本天从南徃北从北徃南尝尝活动须得黄道之平距为本故斜交本天之角于本天斜交黄道之角尝为等如小轮在甲或乙两交上即一体合于黄道若在丙隂厯本天距黄道北大距处则小轮下半子巳午向本道北在两道外上半向本道南在两道内若在戊阳厯本天距黄道南大距处则小轮下半午巳子向本道北在两道内上半向本道南在两道外从丙到乙有九十度在丙在戊两线为直角在己近处为本道大距即大纬度徐行徃乙则己丙子甲更小己距黄道之度亦更小至乙而尽系小轮在丙在戊或合伏太阳如庚或冲太阳如巳时星有大纬度盖星距太阳九十度则庚子弧在枢线及本道上但有本道之纬若小轮到辛距交四十五度两线交角亦为四十五度或合伏如庚或冲如己非大纬度盖庚己比壬癸二处为小(距子午枢线为象限故大距度在此不在己)上图金水二星亦可用其详见下新测上三星纬(第四章)本厯总论曰以齐五星诸行或用两心法及小轮以地为诸行之心又或以太阳为星行之心理可通用新法乃以太阳为心为近于正因上译古多禄某纬行之论以地为心今依本法举各星之纬再详觧之第谷依本法测得各星黄道纬大数(古法曰星任小轮下)土星北纬二度四十八分南纬二度四十九分木星北纬一度三十八分南纬一度四十九分火星北纬四度三十三分纬南六度四十二分土木二星其不同心差为少又更髙逺小轮(见小)故南北差亦少火星近小轮大故其差亦多金水益多下详之各星两交中有南北两㸃及距最髙度分用三角形法可推小轮心及星体距各天之心亦可得各星年岁图半径依法(见各星厯指南北两㸃距最髙乃引数求距心若干法用三角形算)得土星南㸃为降娄宫二十度三十八分距心为(全数十万)九七五九三年岁圈半径为一○四二六木星南㸃在降娄宫七度八分距心为九五二三○年岁圈半径为一九三四九火星南㸃在𤣥枵宫十八度七分距星为八九○九○年岁圈半径为六五○九五置前推得数求各星天距交黄道若干如图甲地心丁甲卯为黄道庚甲丑为本道辛巳为小轮前测有己甲戊大南纬角求庚甲乙本天距黄道(省文绘图与前一致)用庚己甲形夫形有庚甲邉(星距心各数见上)有庚巳邉(小轮半径)及庚己甲角(辛巳线引长到壬作甲己壬直角辛巳小轮面与黄道平行则)(己甲戊角大纬度与甲乙壬等庚己甲为其余)用法则邉与邉若角正弦与角正弦以庚己乗己角正弦以庚甲除之得己甲庚角以减于己甲戊数得庚甲乙角乃两道之交角也又辛庚甲形夫形有庚甲庚辛两邉及辛庚甲角(即庚甲乙)(之余或庚己甲己庚甲两角之总)求庚甲辛角乃星在上之纬角下图倣此若用太阳为五星之心置甲为地心丁戊为太阳之天日在丁星在辛日在戊星在己若日在丁者则日在人目甲及星辛之中谓之星㑹日若日在戊则人目甲在日戊星己之中谓之星冲日两法以乙甲己角为黄道纬之大角推算各角之法与前法同(丁戊圈乃太阳之圈但用)(丁戊线如辛己小轮亦但用一直线视法也)算各星纬度用三角形法(第五章)如总积六千三百六年为万厯二十一年癸巳西厯八月初十日丑初三刻时第谷推算太阳及火星诸数于左太阳实引数(距最髙实行)为五十二度视行在鹑火宫二十七度三十八分火星实引数为二百度二十分视行在娵訾宫二度四十二分距心为八八九○○年岁圈半径为六四九二八距太阳为一百七十四度(逆算其余为顺天算)五十六分火星体距本天正交(正交在实沈宫十八度○分)为七十五度十八分图说乙地心甲太阳天乙甲为太阳天半之径即火星年岁图平径也丁己为黄道一弧戊丁为火星本道一弧与黄道相交于丁则丁为正交戊丁为星距正交若干(上有数)作甲己火星距心之线作甲戊戊己又作乙己火星距地线作乙戊线成戊乙己角乃视纬角也所求之度分也一戊丁己三角曲线形有丁角(先定本天交黄道为一度五十分)有丁戊己直角(己戊弧因测纬度必为直角于戊)求戊己弧(置全数甲己本天半径为百万)得三○四九五(若用度为一度四十六分余今用分数可比于别直线故戊己为如直线非如弧弧)(小圈大于直线其差甚㣲)二先推星在己距甲心为八八九○○○用法通戊己(则二)(线为一全数之分法日百万得八八九○○○今三○四九五应得若干用乗除算之)得二七五一○(甲己己戊两数之比例也)三戊己甲直线三角形有己甲己戊两邉又有戊甲己角(戊己弧一度四十六分四十三秒)求戊甲邉得八八五七三四戊乙甲形有戊甲(先得数)及甲乙(岁圈半径)戊甲乙角(火星黄道上未)(冲日之数即距太阳以满半周之余)五度四分求乙戊得四八五一七五戊乙己直角形有戊乙戊己求戊乙己角得六度十九分乃人目在乙见己火星距戊黄道纬之度分也系凡有某星距交及距太阳两数可推其纬度若用图亦可算图说乙人目也乙戊为黄道靣之线乙庚为星本天靣之线戊庚上图为戊己弧乃小轮心庚距黄道丁丙小轮靣线丁己丙为小轮圈夫图有丁己弧为星距太阳之度数作己辛垂线于丁丙小轮径线(辛径上当己周上曲线球上之理也)又作辛乙丙乙庚乙等线一以前图戊丁己形求戊己弧本图为庚乙戊角二以夲法求庚乙星距地(各星本厯有均角形可求距地之分数)三庚丙乙形有庚乙庚丙两邉又有丙庚乙角(小轮交本天)求庚丙乙角又求丙乙邉以此庚乙丙角亦有其数(丙庚两角)(所并余数)四辛丙乙形有丙辛(丁己乃辛距日己丙其余庚辛为己丙弧之余弦说见八线表)有丙乙边及辛丙乙角求丙乙辛角五先有戊乙庚又有庚乙丙两角并之减辛乙丙角其余为辛乙戊乃星在己视距黄道之角也(丁己丙圈立春以庚丙戊面为)(直角其轴线为丁丙星在己或在辛无二)定五星本天交行(第六章)月离有白道交行乃逆行也(右行)先降娄次娵訾次𤣥枵星之交行不然首降娄次大梁次实沈顺天而左行故五星纬行引数比本行数少太隂纬离行之引数比自行数多古多禄某所测定五星正交之宫度比今所测非一有行有冲(测各星正交处见上文)如多禄某于汉顺帝永建时测得火星大距处及其最髙同度正交在降娄宫二十五度五十一分(用夲数以日躔细行及恒星真行相较所差不逺)今第谷于万厯年间测得火星正交在大梁宫一十六度五十三分两测中积为一千四百六十四年其差为二十一度○二分则以差数为实以中积为法除之得一年之行为五十二秒五十七㣲比恒星多一秒五十七㣲(名岁差)古者有作同行木星正交行古测得鹑首宫一度二十一分今测在本宫六度五十三分两数之较为五度三十二分为实如前中积数为法得一年之行为十三秒三十六㣲(其行甚㣲)古有曰不行土星交行古测得鹑首宫三度二十一分今测在本宫二十度二十三分两数之较为十七度二分为实以前中积为法得一年之行为四十一秒五十三㣲于太阳最髙约为同行而少三秒金星交行于最髙约为同行但恒在最髙前逆行为十六度水星交行于最髙为同行同处无异古今测乃万厯二十八年所定也以法求之得新法厯元之数以定其应及年交行率作立成表(见各星二百恒年表)土星厯元正交为六宫二十度三十九分四十秒(从冬至起算)木星正交为六宫七度八分一十三秒火星正交为四宫十七度二十分二十九秒金星正交为五宫十四度十六分○六秒水星正交为十一宫○一度二十五分四十二秒一年行成前后之表(平年閠年不论)金水二星前纬说(第七章)上三星之纬其故有二本天斜交黄道一也小轮亦斜交本道二也金水二星不然其本道于黄道皆在一平靣(如大小多环在一平靣上旋转各有本行不相撞遇)无纬南纬北其纬全从小轮而生(曰小轮伏见轮异名同理详见下文)二星本天有相冲二处小轮心到此星纬恒变或以南徃北或以北徃南而交黄道古者此二㸃亦名为正交中交金星正交在本道最髙前十六度即实沈宫十四度中交在其冲析木宫水星二交即与最髙最庳为一最髙在实沈宫初度最庳在其冲金星过正交在最髙后五宫余行缩厯时纬即向北以满半周其半周行盈厯时纬恒在南水星反是其在缩厯时纬向南盈厯时纬向北右论乃古今从天宻测所得上三星小轮交本道有一线名曰枢线恒于两道交线为平行小轮上半如向南则下半向北金水二星小轮亦有枢线亦于两交线为平行分小轮上下二半又有近逺线若金星小轮心在两交之中星在近逺线之上其黄道距纬为一度二分若星在近逺线之下其纬更多至九度二分若小轮心在交线上星在枢线上则无前纬之数若水星小轮心在两交之中星在小轮之上其黄道纬为一度三十四分如星在小轮之下其纬为三度三十三分若心在两交上及近逺二处无前纬数金水二星后纬说(第八章)上言此二星有二纬皆从小轮生前纬业已觧之今借第三章四图以明后纬之理图上小轮子午线恒于交线平行为上三星小轮纬行之枢此线上三星从本天与黄道为近为逺又凡星在两交之中子午枢线之极皆在本道甲小轮心距大距处子午枢线两极不能在本道上盖先所定小轮靣恒于黄道平行则本轮于黄道两交中处之外二㸃不能为平行故子午线因以得小轮靣恒为黄道平行必不能在本天之上如甲心在本天上子向如南午向如北上三星本道离黄道不多则子午枢线两极离本道亦不多故其差可不算乃金水二星本道与黄道为一靣而子午两枢离黄道有大纬数若星在两交中之处子午两极不离黄道金星若在交上或南或北则离黄道为二度三分若星距最逺即为一百三十七度则大离数为二度三十三分水星在交上而小轮在枢线上九十度距极逺处得为一度三十分其大离数在一百一十二度从极逺起则为一度四十八分系五星小轮或岁轮伏见轮之心钉于本天靣上小轮上下二半繇枢线活动如下半向南则上半向北为纬之原又以枢线之直角线(庚己线也三星图上为壬癸线)为轴若子徃本天左而北则午徃本天右而南彼此相反二系如甲心在两交外及在交中处之外或星在庚子之中如酉则星有二纬之类置庚在本道南置子在本道北星在酉因子庚午上半向南星亦有南纬因庚子巳下半向北星亦有北纬法曰以两纬异类数相减所余存为实数上所定数皆从实测乃第谷及其门人所说以便算则于表上用中分及纬限其法与经度加减表中有中分较分同类不再译新法算书卷四十二
## 卷四十三
钦定四库全书
新法算书卷四十三 明 徐光启等 撰五纬厯指卷八(诸曜凌犯论)按大綂及古厯皆粗定五星见伏之限而已其纬行不见于书意亦未讲明及此又凡于两星相会著为灾祥之说于理更谬葢天上诸星纷布自古迄今其行不忒合所不得不合会所不得不会皆理之常初无犯戾縁厯家未明合朔凌犯之故庶民因不知会合之宜骇为变异耳夫星曾何变异之可言哉然亦有足征者如农家以之占歳医家以之疗疾及人身之羸壮天时之雨𤾉皆日月五纬所属故必得其所同居度分及相对等度分亦为切要也因著凌犯论共十七章如左界说(第一章)七政凌犯厯家恒言顾有所以然之理未明其理未透其根则测与算难相符合惟明其所以然则先推后测无弗合者葢七政之行有迟疾不等是以后先参错其所呈象约有五种作界说一会聚界会聚者是彼此两曜在黄道上同经度若月于太阳曰朔星于太阳曰合伏星于星曰凌曰犯(古占法二星相距七寸内曰犯)(二星光相切曰凌)若经纬度俱同在日月曰食星于星或月于星曰掩(同经度有二或同黄道或同赤道在赤道同度谓之同升此谓同度苐指黄道言也)二对照界对照者乃相距天周之半为经度一百八十度月对日曰望经纬俱对曰月食星对日曰夕退统名曰冲照(月与)(土木火三星皆能于日对照亦能各相对照金水二星不然葢其不离日之左右故于日不对照亦不相对照)三方照界方照者相距天周四之一即九十度也月距日曰上下弦(其象如弓中明晦之界如弦)他曜相距綂名曰方照四隅照界隅照者相距天周三之一乃一百二十度也亦名三角形照五六合照界六合照者乃相距天周六之一即六十度也以上诸照视诸曜之性情或相益或相损或相胜或相和象悬于天而宇下征验因之厯家所算尤不可爽也五照图说周圏为黄道各分其照之界以相距之度著其名而照有先后先者顺天数后者逆天数诸曜伏见说(第二章)凡星会太阳时太阳光大胜于星光人目不能见星故曰伏夕伏者星比太阳行迟合后太阳故夕初伏不见亦名西伏如土木火三星及金水二星逆行之时晨伏者星比太阳行疾合先太阳故晨初伏不见亦名东伏(惟金水二星及月名晨伏上三星非晨伏)夕见者星比太阳行疾过合而先行故夕见亦曰西见(惟金)(水二星及月名夕见上三星非夕见)晨见者星比太阳行迟合后太阳故晨见亦名东见如土木火三星及金水逆行合太阳之后或初见或初不见之限有本篇同升者是二星同过子午线或同出地平或同入地平七政迟疾二行论(第三章)日月有迟有疾五星有迟疾兼有顺逆星之逆行有限迟行无限葢迟则不行而留今须求疾迟逆一日之行若干始可攷其凌犯之自也疾者何视行胜平行谓之疾平行胜视行谓之迟逆行实不能言疾葢退未进之行也或依旧法言谓之疾迟葢(阙)名如意耳大綂厯所记有疾初末迟初末等皆从疾迟二行之限而生无他解太阳及诸政之行在本天最髙极迟在其冲极疾何者凡物逺见小近见大如太阳一日平行一度此一度近于人目则见大逺则小大小之分在人目之视角或天上所掩之分弧大则近小则逺太阳近则视行多逺则视行少逺者最髙也近者最卑也各星加减表俱平与实一度之差置太阳一日平行度为五十九分八秒廿㣲求最髙卑五十九分得均数若干或加或减于平行在迟疾二行之度太阳无歳轮无次均则以本天均数若足太隂与五星迟疾之行其根有三本天最髙卑一也小轮二也太阳之行三也合此三根乃得迟疾或逆行之限(曰根于太阳葢以太阳视行亦有迟疾则所生之行从之金水因用太阳平行免此三根)法曰置小轮心在本天最髙求一日平行之均数又置星体在小轮极逺处亦求一日所行分之次均亦置太阳在最髙卑之中两均并之于平行减之得极迟行五星凡在小轮极近处逆行若逆行大顺行小相减得大逆之限太阳疾行为六十一分二十秒迟行为五十七分太隂疾行为十五度十七分九秒迟行为十一度一十九分四十九秒二十三㣲土星顺疾为八分九秒逆疾五分十三秒木星顺疾为十四分二十四秒逆疾七分四十四秒火星顺疾四十七分二秒逆迟三十五分十一秒金星顺疾一度十六分逆迟三十八分水星顺疾一度五十四分逆疾一度○五分系观下太隂细行之图可见迟疾二行较平行之数非一迟行以平行减一度四十七分疾行加二度○三分诸星同此算太隂迟疾限式设太隂在本天最髙又小轮极逺即弦时距太阳三宫亦一日太隂距太阳迟行之均数他星皆用此法得之五星留说(第四章)五星厯指用歳轮伏见轮(亦名小轮)以明各星进退迟留诸理如诸星在小轮上半顺天疾行合伏太阳在小轮下半逆行或土木火三星冲太阳金水二星再合伏太阳其顺逆两行之界谓之留后有图有说凡星在小轮上半顺天行即于星本天上亦顺行兼并小轮之行在人目益见为疾行凡星在小轮二切线上人目不得见小轮上之行而但见本天之顺行凡星在小轮极逺处之左右人目见其逆行葢小轮极逺处其逆行多胜本天之顺行若略逺则逆行少亦不见其逆如图丁为地心乃人目所见测星之所己戊为黄道一弧画有分度以定本行又作丙子一弧亦画分度以定小轮视行甲为小轮心己庚乙为小轮分度丁甲己为平行线星体行小轮周置星在己极逺处左行往庚一日行一度又丁己线顺天亦行一度人目在丁见己弧行一度己小轮上亦行一度共视行为二度(凡星行其见界亦行二行并为一行)故为疾若星到庚从人目于庚各度作线到黄道两线之中弧则渐少以至于无然丁丙线之本行则尚行也若星从庚渐向乙小轮上度分掩黄道弧为㣲为小到未则掩弧为大凡平行弧(下圏)小轮度掩弧为等者星在此为留其将到未所掩弧大比平行弧逆胜于顺人见之曰逆行凡星在小轮下得一日逆行多寡与本天顺行等谓之留今欲定此顺逆之限所谓留限于次均表上(小轮之均)得一日逆行是与顺行等(上三星以太阳一日之行减星一日之本行下二星即以太阳之行为本行)如土星本行一日为二分以太阳一日行减之得五十七分即于次均表求五十七分之行生二分之逆行(表上均数从○度渐长到某度后又)(渐少少则为逆乃小轮下半)查第一宫逓至二宫三宫均数俱渐长至三宫六度以后渐少又次均行查三宫二十四度求五十七分行之均数得二分即与本行等相均是小轮上行从极逺一百一十四度有竒左右人目实不见星之行是为留之二限上论用土星平行得距本天最髙为九十三度中距之数也若在本天最髙或最卑其一日之行有多寡以逆行补之不能定小轮上一度而为恒限因各星有本行定其留行之限用前法求之土星在最髙一日行一分四十七秒在中距行二分在最卑行二分十三秒他星倣此得各星三限如左土星一限(最髙)一百十二度三十八分 二限(中距)一百十四度 三限(最卑)一百十五度二十一分算日得第二平限为一百一十九日十三时一十八分木星一限(最髙)一百二十四度八分 二限一百二十五度四十五分 三限一百二十七度十九分算日得第二平限为一百五十一日八时五十六分火星(火星亦繇太阳之行不能全定其限略得其近数)一限为一百五十七度三十七分 二限一百六十三度二十分 三限一百六十八度五十六分算日得第二平限三百五十三日二十时五十四分金星一限(从顺合伏)一百六十六度一分 二限一百六十七度十分 三限一百六十八度十五分算日得平限为二百七十一日三时三十分水星一限一百四十六度五十分 二限一百四十三度五十五分 三限一百四十六度算日得平限为四十九日十时五十三秒以上皆平行之限也若实限则不能一定葢以太阳平视二行亦非一也法曰推算星之经度二三日相比得其不行为留若尚行则前后再相比之凡以太阳平行为五曜行之规可得五曜留之定限然本法以太阳实行为规故不立留限之表以前法算之会聚说(第五章)会聚者是二曜同度也同度有二或经纬皆同或同经而不同纬有曰翔曰食曰合伏曰犯曰凌曰掩诸义详著篇首但各类有平会实会视会平会者是二曜因平行得同度未用均数加减(月于日名经朔)实会者因各曜加减诸法得天上真会然人目未见会故第三曰视会第一第二以天上平实二行相分二三以天上之行及地平上之行亦相分在月与日便得其交食之数说见本厯而诸曜亦同此理下文略举其法言之推算诸曜会合时刻其法有二其一以本表求平会之时刻而以均时得实会视会之真时其一至各曜细行在某日子正同度者为实合若此时细行未同度则以相近度分变为时刻加于子正时刻亦得会合之实时但先法是本法更密更细次乃捷法(先置有一年各曜之细行)虽便于算然不能得其细(在日月会朔或差几刻若他星亦不甚差)二法各有说算诸曜合会表说(第六章)月会日而再会其中积谓之朔实求朔实法以太阳一日平行减太隂一日平行得十二度有竒为法以周天三百六十度为实除之得二十九日有竒设以平朔日时刻如朔实得次平朔他星如日月其互相会合法亦无二如土星一日平行二分木星一日平行五分相减得较为法周天三百六十度为实除之得十九年有竒乃土木二星再相会之中积也他星倣此又此中积时求各星之平行得本天各在同度分乃疾行者已满天周而外有迟行之度分则又以先测二星之本处求测时之平行以加减求合应推算土木会合中积之率土木二星七千二百五十三日有竒相会合时以表求平行得土星本天上行八宫○二度四十二分三秒木星此时满一周天又行八宫有竒各曜会策土木再会中积为七千二百五十三日十三时弱土火中积得七百三十三日十二时四十分土日金水得三百八十七日六时强土月二十七日八时五十分木火八百一十六日十时三十五分强木日金水三百九十六日十一时三十分木月二十七日九时五十六分火日金水七百二十六日十一时四十六分火月二十八日十时三十六分日月二十九日十二时四十四分二星会合图说 设土木二星如上为式(第七章)如图外圏为黄道内第一圏为土星天第二圈为木星天第三圈为太阳天置土木日俱会合于甲木星一年约行一宫十二年满天一周而回元处甲(如置甲于降娄宫初度等)土星一年约行十二度十二年方行四宫二十六度到乙木星加四年之行亦到乙而土星此时又行四十八度至丙木星追上会合如前所云俱在八宫○二度有竒此时太阳之行已满天周十九次外又行十宫八度十分矣内减土木二星相会宫度余二宫五度二十八分是土木二星各距歳轮极逺之处也(余倣此)上论用太阳平行定歳轮之行本厯用太阳视行其差或有二度又二星加减虽为同类然均数不得一其歳轮同度之均数亦不得一故所定乃平行之会合非人目所见之会合二星再会之中积数见前然非于元处再会今欲得会于元处之中积问该若干法曰以再会宫度倍之又倍以所得数减去十二宫而尽如上八宫三倍之得二十四减去十二宫无余数即会合中积以三乗之得二一七六○日有半(约三十九年半)又以三乗八宫二度四十二分三秒减去全周余七度六分九秒俱化为秒而除全周得一百三十三次又三二四一分之九四七则以一百三十三乗前日数二一七六○所得数以歳实除之得七千九百九十九平年又六十四日乃土木二星再会合于元处度分也诸星皆可依此法推之然无闗大用举其一为则尔求太隂一年会合诸照法(第八章)先以本年首朔日数加纪日之数并得冬至后第一平朔日时刻随以日月引数查表求均数两数如本号或相加或相减即以所得度分变时或加或减于首朔之时则当实朔之时(若交食再算葢所算未细或有盈缩时之一刻但算会朔可不必细)若于首朔加一平月之诸行(表中名朔实)则得冬至后第二朔会一年中如之若加半月之行(表中名望策)得冬至后第一朔后月望之时用均法得实望第二第三法亦如之若以首朔加一象限之策得首朔后弦日时刻又举朔实以三以六分之则得隅照六合照之诸策以加于首朔乃得平隅照平六照之时若求其定时亦用均数然依月离诸论月朔望时以一均数能得其实朔望外则有他均数故交食表不能全定日与月诸照之日时分也次法用日躔月离两表取某年日月各表厯元用加减各表得某年冬至后日月之两经度相减得月距日若干若距度为五照数之一必某日太隂于太阳有某照若较数未合照数则于近数相减以所得数于月距日平行表内变时而加于厯元日置日再算日月经度相减或得五照数之一若近则于太隂时刻表中求时以加以减乃得真视照之时若某年首得日月一照之日时以加各照之平行再查表求各照之时刻如崇祯六年冬至后子正(表上为甲戌年根)日平行距冬至二十六分四十七秒四十七㣲以均数求实行得十四分半即星纪宫初度十四分半本年月表依法算得距冬至平行为八宫十一度十九分五十秒即二百五十一度有竒未合照数因取近为隅照以后数二百四十度加一日行之度分内减隅照数得十一度五分二十秒乃因平行月已过隅照之界或以下弦数二百七十度比之得月平行未到下弦为十八度五十四分四十秒查月行表约得一日又十时则于厯元日月平行各加一日十时之行而均之斯得月未到下弦之界以此再试之末于厯元日加二日之行算得太阳躔星纪宫二度十七分太隂在九宫一度四十分减去日行数余八宫二十九度三十七分乃月距日之数到下弦其数尚少二十三分变时刻四十二分约三刻即甲戌年根后二日为壬子日子正后三刻月距日顺天为九宫乃下弦之数也若加月平行三十度之日时刻再算日月各经度求月于太阳若照时刻则逓加逓算乃得一年诸照日时刻若设某日命算某照法如前先于所设某日求日月经度相比或盈或缩于某照之度数如上加时减时再试但所得为平时刻宜用日月均时表或加或减乃得本照之定时(法见交食)上言以每日七曜细行求合朔诸照法见五纬表用法今略释其根法曰以相连两日二曜细行互减为法次二曜未相合所少数若干以二十四乗之以法数除之得时数(分秒)(先细化之方合算)加于子正得合朔诸照之时此三率法也如图置甲乙为二曜如甲一日行甲丁弧乙行乙丙弧两行之较为丙丁乙丙丙丁各作四平分置半日行乙行到戊甲行到戊外有较之一半丙庚(甲丁线任分之全线之半等几其各半与)(何法也)若用四分日之一亦宜分甲丙丙丁作四分各取四分之一今不用甲丙乙丙分数而用丙丁分数得疾行者比迟行者所盈之度时全较数为一率一日时刻分为二率未相合之分数即交行之分数为三率入法得某时刻七曜互会合之数(第九章)古多禄某乃天文家所祖其所定七曜会合有一百二十如土星会木火日金水月则土星有六会合木星有五火星四太阳三金二水一共为二十一若取二星并而合于他星得三十五若取三星并而合于他星亦得三十五若取四星并合于他星得二十一若取六曜并合他曜得七又七并合一处得合之六类共为一百二十是七曜互会合之数若求其各会之中积则太繁赜未能罄书也诸曜细行表说(第十章)细行者是人目所见各曜一日西东运旋进退之行皆谓细行以两曜一日之细行可推其会照之时刻又查一各曜之细行皆可推其躔度此厯家切要之法所宜详也求细行法有二其一以算得某曜相连二日之行相减则得某日之视行然有一日之行又有一时之行如日躔有表曰细行变时乃设太阳一日之视行因以所行某分数可求其时刻若干又以某节候定太阳之行若干其用以求太阳入宫及交节之时今以求各曜入宫宿之时刻并求相会合及凌犯恒星之时刻则于日躔变时同类之表为吃𦂳也(其算法见本表名七政凌犯表)五星极㣲之行是○度○分○秒乃留而不行也其极大之行数有多寡不一如一度五十五分乃水星一日极疾之行若作变时表即设此一日一度五十五分之行析作二十四分得每一时应行若干(用度分俱化作秒以二十四除之次欲得刻数如法以九十六除之成表)二法以加减表从最髙一日之行均数加歳轮从极逺起一日所行度分之均数是得一日之细行如土星一日平行二分其均数为六秒三十微又歳轮一日约行五十七分求均数得五分三秒先均号为减则于一日平行减之次均号为加则加之末得六分五十八秒三十㣲是土星在两轮最髙一日之细行因其行极㣲可隔五度一算成土细行表此大约法诸行如之右法因用歳轮一日平行其㣲毫之数不能悉葢歳轮上行繇太阳视行而生则又非平行而有多寡然于五星细行所差不过㣲数亦得作表问火金二星之行其极疾退时或但见纬行不见经行比土木更顺其所以异者何也曰火金二星其小轮比土木更大与他近逺甚差其小轮一度行黄道上所掩之度分亦大差如火星在本天最髙小轮极逺一度掩黄道二十二分极近一度掩黄道一度三十分上下相比得一与四又置火星在本天最卑小轮一度上掩黄道二十六分下掩黄道二度三十五分二数之比得一与六金星亦同此理故在上或下见其细行如无法者二星纬限大于土木约火星有七度弱金星得九度强其留时前后一宫经度亦行迟星在此处依视法其纬行见大比经行一日分数更多故见如往南往北之行若不见往东往西之行土木二星行迟小轮不失纬限亦少故不见有异行之类算留逆顺诸行式 以木星立算(第十一章)崇祯七年十月内木星当晨留今求其晨留及退行并夕留顺行之时与二留之中积法先于九月推算木星之经度隔十日一算得十日中经度若小则知此十日内其行为留又每日再算其经度得相连二日不加不减乃名为留(时刻不算葢此一日之行在一分下一时)(不过数秒可略之)其冲太阳并夕留亦隔十日一算与上法等九月初七日庚申距根三百一十日以法求木星经纬度得在鹑火宫三度九分三十秒(表中为七宫)纬北为十九分三十秒越十日庚午算经度得在本宫三度四十分再十日庚辰得四度五分又十日庚寅得四度二分二十八秒此数比前为少则知此十日内有留因取其中乙酉日算得四度六分三十六秒此数比庚辰为多则取前后相近㡬日再算得甲申日四度五分三十秒丙戌日得四度六分七秒丁亥日得四度五分三十六秒则定乙酉日为木星进退之界是为晨留乃十月初二日也(大统在前十二日)又本年九月三十日癸未在局用天弧矢仪测得木星距轩辕大星(表上为第十四星)相距为二十度四十分轩辕星经度为七宫二十四度四十六分内减相距之度得四度六分是为木星之经度测算合又两星之纬皆向北轩辕纬为二十七分木星纬为十九分不大差二者如在一圏上可用为法求木星冲太阳依法算得十一月初二日乙酉太阳在一宫○度三十六分五十六秒木星在六宫二十八度四十分五十秒以正冲差一度五十六分乃太阳已过冲以太阳一日距木星行一度九分四十七秒(木星逆行故两细行)(并之为相距行)求冲之时得一日又五时三刻以乙酉减之得壬午日酉正一刻乃木星实冲太阳之日时刻也又求夕留依法算得八年乙亥正月乙亥日(距根为八十日)太阳躔二宫木星在六宫二十四度五十四分二十九秒次日丙子得在本度五十三分二十七秒仍为逆行再算得壬午日得本度四十九分二十九秒癸未日得四十九分二十秒甲申日得四十九分四十三秒比癸未日数多二十三秒则甲申日顺行癸未为夕留二留中积为一百一十八日系二留中积折半非冲太阳之日葢从晨留乙酉日到冲太阳日壬午相距五十七日又从冲日壬午至夕留癸未相距六十一日二留之限差四日五星过宿(附日月过宿) (第十二章)宿者是从某距星到他距星之度分也此度数非二星体相距之度乃黄赤两道上相距之度如从黄道极过二星作二弧割黄道相距若干则得某宿黄道上之距度若从赤道极过二星作二弧割赤道相距若干则得某宿赤道上之距度各宿黄赤二道上积度(从冬至或春分起算)及距度不一厯书中有其故又古今各数见恒星厯如角宿黄道积度为一百九十八度三十九分赤道为一百九十六度二十六分本距度黄道为十度三十五分赤道上为十一度四十四分他宿各有多寡不等如此凡问某星入宿先宜定黄赤之辨不可紊也论黄道宿五星与日月及交食用法无二五星有纬无纬所差有限(有纬时非真在黄道惟土木二星不逺火唫大纬或有六度但二星在本天二交之中与黄道如同升其)(差极㣲如两至左右升度之差为细不算)故或用起宿宫度或用宿积度皆可论赤道宿则有纬无纬之异若无纬者(七曜同论)以黄道经度求赤道同升度即为某曜赤道上之经度以近小赤道经度宿减之即得某曜躔赤道上某宿之度如图星距春分三十度在黄道丙从赤极作丙甲弧定乙甲弧为星赤道上距春分以升度表求之得二十七度五十三分黄赤差二度七分以三十度求黄道宿得娄宿一度十四分(用厯元表)以二十七度五十三分求赤道宿得四度二十一分黄赤二类差三度弱若有纬之星(月亦同论太阳非是)上法不足如图置某星黄经为乙丙三十度纬北五度星体在丁从赤极过丙作丙甲弧此弧不过星体又从极作过星体之弧为丁戊是戊乙弧为赤道上星之实经度此两道差有表可求戊乙弧测量及恒星厯俱详其法如设某星黄道上经纬度求赤道经度今略举一法如后图图有黄赤二道有二极某星在乙黄道北若干度从黄极丙作丙乙己弧又从赤极丁作丁乙甲成丙丁乙三弧形夫形有丙乙弧是星从己黄道经至乙某度之余数有丙丁是二极相距之度分又有丁丙乙角是某星黄道上距某至之经度(图减)(从夏至算则右从冬至星在冬至右算亦然)或用己(黄道上星之经处)壬弧或用丁丙乙角(角与其对弧同度)皆可求丙丁乙角法曰从乙到丙丁弧作乙庚弧庚为直角先用丙乙庚形夫形有丙乙边有丙角求庚乙丙庚两边次用丁庚乙形夫形有庚乙有庚丁(庚丙内减丙丁)二弧求庚丁乙角夫角负辛甲赤道上之弧从夏至起算则曰某星体在乙其黄道经在己距至为己壬弧其赤道经在甲赤道经为辛甲壬己辛甲二弧定两道上各相异之宿度分算五纬犯恒星式(以木星犯鬼宿积尸气为式第十三章)崇祯七年闰八月报木星犯积尸气又曰十一月再犯又曰越五月又犯今列其法一本年闰八月二十七日庚戌求木星经纬度得在鹑火宫(七宫)二度十二分五十九秒(图式见下)纬北二十分十一秒依算未到积尸气为三分又在积尸气南五十六分然气体非一㸃有二十分余径又木星有二分余径各折半并之得十二分减于纬距得四十四分乃木星气体相距之分数为相犯之限也如交食非心与心乃周与周相交谓之食欲得同度之真时则求木星一日之细行得四分四十二秒经距之三分变时得十五时则庚戌日申初为木星真与气体同度(黄道上算)系木星日行迟或前或后二日皆可言犯葢在其限内故曰二十四日初犯二本年十一月初六日戊午求木星经纬度得七宫二度十分十九秒因逆行过积尸气为六分退算减一日细行四分半得丁巳日经距星为一分五十秒(星经为十六分四十秒)变时得十时以丁巳日减之得丙辰日未正为木星与气体黄道上同度求木星纬得向北三十二分弱积尸气在北为一度十四分各因在北相减得四十二分是木星积尸气両心相距减各半径得体相距为三十分在犯限内三崇祯八年四月二十三日壬寅求木星经纬度得七宫二度七分五秒未到积尸气少九分(一日细行为十一分)得戌正为同度求纬得向北三十九分距气为三十五分其体相距为二十三分算式图列后崇祯七年甲戌闰八月二十七日庚戌(木星犯积尸三百日)崇祯七年十一月初五日丁巳木星逆行犯积尸气崇祯八年四月二十三日壬寅(木星顺行再犯积尸气距根一百六十七日)诸曜凌犯恒星(第十四章)先于恒星表内取在黄道南北八度内诸星而录其顺天之经数(从冬至起每年距限分数若干如数加之)次以某曜某日之细行入恒星表求本宫同度近大经度星相减若较数比某曜一日细行为多则本日非犯若少者必到同度查纬向亦是同度必为食为掩若纬度相距算在四十二分内谓之犯(中法用七十分通之得四十二分)若两相切则为凌欲得凌犯时刻则以恒星经度分减本曜经度分所得较数查本曜细行表求时以加于子正时则得某曜凌犯恒星之某时刻若二纬南北相距一度以外不算又恒星五等以下亦不算因其光㣲五星凌犯时不得见故可略也五星见不见之界(第十五章)大隂西初见东初伏之故详见月离厯指五星略相似第星体小在太阳之光内比月难见今借古论略解其要多禄某曰先宜求太阳在地平某星相距若干人目能初见否次求星黄赤两道上距太阳若干三求各宫近逺太阳若干亦依人目可见四立成表以便算初见不见之界共五题图说置星在黄道上无纬度又置星出地平初见在乙置日未出地平在丙星距日经度为乙丙距日光为甲丙葢日在丙地平下其朦光未胜星光而人目得以见星也(图见后)古测土星初见曰凡土星在鹑首宫可测其与日相距之度葢本天正交在此宫内其左右数度无大纬差又合伏前后数日小轮之行纬度亦无大差凡星无纬度即在黄道上木星之正交亦在此宫若火星在大梁宫金水亦在鹑首宫测之又测因定得土星出太阳光即太阳在地平下十一度得见木星约十度火星十一度半皆得见但人目有利钝此乃略法非人见共见之公法金水二星有夕初见夕初伏有晨初见晨初伏大槩金星距日五度水星距日十度人目能见(金星或亦有昼见葢其光大不)(在此限内)设五星无纬度者在本地某宫求五星经度距日若干如图(多禄某曰日星之行皆弧线宜用曲线形然无大用且算繁难用直线行简易亦无大差今用之)甲乙丙直角形有甲丙是星距日光或太阳在地平下各星有本数有甲乙丙角(是星黄道上某宫度于地平之角见交食黄平象限表用)(法或用太阳经度以求甲乙丙角所得非定数然差㣲不算)求乙丙边之度分乃某星经天距太阳若干如土星在鹑首宫太阳躔鹑火宫初度土星晨时初见如极出地四十度(顺天府)求乙角得五十八度五十分甲丙为十一度用法得丙乙为十二度五十二分是土星晨初见距太阳经度若求夕初不得见求在西乙角得三十四度三十分求乙丙得十九度三十六分是昏时土星距日经度之数而为见之末伏之初若极出地有多寡假如极出地二十度则末见为十一度初见为十度有竒若极出地六十度则初见为十九度末见为六十余度他星倣此依法可推各星见伏各宫度之表若星有纬或南或北某度亦可求距日若干及初见或末见如图丁为星戊为星黄道上经度纬北戊丁弧求戊丙是星经距日若干戊丁乙甲丙乙二直角形皆为同比例(各有直角各用乙角见㡬何六卷四题)先得甲丙丙乙乙甲三腰之比例(先设甲丙以法求丙乙又以句股法可求甲乙)今置丁戊若干求戊乙(丁戊当甲丙戊乙当甲乙丁乙当丙乙)或丁戊丙形依本法有乙角及丁戊边求戊乙若干以丁乙减乙丙得戊丙是星初见或末见距日若干若纬南星在辛其经度在庚亦先庚辛乙形而似甲乙丙形如前求庚乙弧而加于乙丙得丙庚是星初见末见距太阳之经度假如崇祯七年冬至前七日土星合伏太阳(距一二日不碍算)约合伏前十日太阳距析木宫十四度土星在析木宫二十四度纬北一度二分先求丙乙得十七度二十二分又求戊乙(丁戊一度二分用乙角余切线)得一度十九分减之得戊丙为十六度三分为土星本年距太阳不见之限若求初见置星合伏后十日太阳躔星纪宫四度土星在析木宫二十四度求乙角得四十四度求乙丙得十五度四十四分求乙戊(如上所差㣲)一度十九分减之得土星晨初见距太阳为一十四度二十四分(太阳前后一度乙角或差)(二十分以求乙戊或差一二分)推每歳月大月小之原(第十六章)天厯纪月有大有小从太隂太阳合朔始葢首合朔再合朔其中积曰经朔或曰平朔此朔策为二十九日有半若真合朔则于二十九日半或盈或缩其中积年久不得相同如置甲为首朔用转终或引数为○宫度分或月在最髙次月以平行必相距二十五度四十九分查加减表得二度七分又太阳一平策约行二十九度查均数(置在最髙)得一度以此二均数并之得三度七分变时得二十六刻为六小时半(用月距日行一十二度算此大数非细算详见本论)若月在引数三宫左右求朔䇿均得○度三十七分以太阳均减之得三十三分变时得一时系三正合朔中二积大差约六时半小差为一时或二月相连大小之较大为六时半(二十六刻)小为一时(四刻)以上月大小之论乃厯家从天测算真原今民厯所云月大月小非本于此月大者是两合朔内中积有三十个子正或二朔日干字相同如首朔在乙夘日亥时加朔䇿并其均得次朔在乙酉某时此月谓之大盖二朔日午字皆同乙或其中积有三十个子正月小者是两合朔内中积无三十个子正或二朔日干字为异如首朔在乙丑次朔在甲午其中但有二十九日谓之小系月大月小之根非由于时之长短一月有长时反谓之小如首朔在甲子日丑时加二十九日七十八刻(两朔中积约之为大)得次朔在癸巳日戌时而谓之月小盖以次朔非同甲日也一月有短时反谓之大如首朔在甲子日亥时加二十九日二十二刻(两朔中积为小)得次朔在甲午日丑时而谓之月大葢以次朔于同甲故也一所定月大小之法非公法因非从天测乃繇方所而定如顺天府首朔在甲子日子正一刻到次朔西安府在癸巳日子初三刻顺天府前月为大西安府为小(朔之时刻)(往西为少往东为多)一大綂法月之大小皆从顺天府定今新法亦然葢以顺天府为推算厯元之地定每月节气及闰法(第十七章)大统有各月中节具见民厯然节气有二类有平节气有实节气平节气者为十五日有竒乃平分歳周二十四分之一分也实节气者乃天上太阳所行之节以天周三百六十度作二十四平分各得十五度(平节气谓之地节气实节)(气谓之天节气)然太阳行此十五度冬夏日数不同冬月约十四日十六时夏月十五日又十九时是歳周二十四分有盈有缩此测太阳在天之行实节气日不得平分也问闰月如何曰无宫次之月是闰月天上十二宫为一年十二月各月有定宫次如冬至在星纪宫为十一月之中节大寒在𤣥枵宫为十二月之中节若一月之中积内太阳无入宫次谓之闰系若用实节气以定闰月则夏时多冬时少葢冬至二十九日三十二刻太阳行一宫此数于二朔之小中积相近夏至太阳约三十一日行一宫比二朔之大中积更多其中有二朔葢合朔大数不过二十九日八十余刻也新法算书巻四十三
## 卷四十四
钦定四库全书
新法算书卷四十四 明 徐光启等 撰五纬厯指卷九(五纬后论)五纬之理最奥且赜故各有本指以分解之又复有总论以合明之然犹有所未备也因著为后论以补其遗而于奥赜终难穷尽凡十二章五纬天各距地(第一章)月离厯指第二十六章求月距地之髙其法有五又求太阳距地其法有三皆以地半径为度又各法因髙差(亦名)(视差地半径差等)或日月交食为本恒星厯指三卷中亦测恒星之逺借用五星之测略定土星之髙并亦得恒星在上之髙今因五纬无视差(土木二星)(甚逺其视差不过数秒如无差难测水星常在蒙气中亦不能测火星或有视差然不足为测其髙之本说见)(下)欲测其髙法有二算或用古图或新图各有本论如左左右图以地为日月五星恒星诸天之心设诸曜各居一层天其厚内函有小轮(亦名歳轮)各层相切而无空又各层上下有两面下内为凹上外为凸各天之厚因函小轮其小轮于地有近有逺如两心差之理则各天之厚为小轮全径及两心差之倍分数(谓分数者)(葢各有均圏于最髙减距髙去两心差之㡬分)图上各天小轮比本天许小以指外有两心差数本厯测各星小轮及两心差定本天半径皆为十万分若加小轮半径及两心差数必得其最髙距地若干若减之则得最卑距地若干如图系凡设一层天上面距地若干度(以地半径为一度)必得次层下面距地之若干度葢两面中无空隙又设内面所距若干度及次层上下两面距本心比例以三率法求之并可得其厚距地之度法曰依内面距本心多寡分数得度多寡则上距分之某数必亦可知其度月离设三家之数以测定其距地之度今所为第谷法曰太隂大距地为六十地半径有六十分之三十六或百分之六十水星天两心差为六八二二(十万分为全本天半径下同)小轮半径为三八五○○两数并之(水星均圏法凡在最髙不减其距地见本厯指)又加半径(全数)得一四五三二二乃水星最大距之数又前两数相并于全数内减之得五四六七八乃极近之数也置极近数为六十度有六十分之三十六乃月天极髙数也以此度数或约为五分之三乗极髙之数以小距数除之得一六一乃水星天上面距地之度也金星在水星上则其下面距地为一六一(竒零不算)设金星两心差为三二○八用其半因有均圈用其半他星倣此为一六○四小轮半径为七二二四八两数并加于全数得大距数为一七三八五二又两数相并减于全数得二六一四八为近距之数法以内面距度之数乗大距数以近距数除之得一○七一乃金星外面距地之度数也太阳有本法求其中距地得一一四十二地半径诸家小异以求大距或用均圏(见日躔厯有表)或不用均圏两法略差今不用只因太阳两心差求之得近距为一一○一逺距为一一八二问太阳天内面切金星外面是也今因太阳本算其内面盈金星外面三十度两算不合何也曰此测难求其密其较虽盈三十度以全数计之不及百分之三数则小矣又曰所测定各天之数皆以日月星诸体之心为测其体之厚未尝入数必月及水星金星各数略大而后算始无差又曰所用之数乃新图之数不谓各曜各丽一天而相切故其数于此论不合或曰星体到本天最髙在此其天或仍厚㡬许要未可知所定之数亦其大略而已火星两心差为一九六○取五分之三(均圏心距地心为三分不同心圏心)(距地心五分)为一一七六○小轮极大半径(有盈有缩故用大数)为六五八○○两数并之加于全数得逺大距为一七七五六○两数并之减于全数得近小距为二二四四○用法以太阳大距数一一八二乗火星逺大距数以近距除之得九三五二乃火星外面距地之度数或木星天内面距地之数也木星两心差为九一六○用其半得四五八○小轮半径为一九二九四两数并加全数得一二三八七四乃木星逺大距数两数并减于全数得小距数为七六一二六依前法以内面乗大距以小距数除之得一五二一七乃木星上面距地之数或土星下面距地之度数也土星两心差为一一六二八用其半得五八一四小轮心半径为一○四二六两数并加于全数得一一六二四○乃土星大距数也若以前两数并减于全数得小距数为八三七六○依前法乗除得二一一一七乃土星上面距地之数或恒星天距地之数也右算皆用古图以明今测之数然亚耳罢德于唐僖宗广明右算得水星本天中距地为一百一十五度金星中距为六百一十八度火星中距为四千五百八十四度木星中距一万○千四百二十三度土星中距为一万五千八百度恒星中距为一万九千度因各星距地及其体之视径亦并可推其大小下有本篇用新图算各星距地(第二章)新图以地为太阳太隂恒星所行之心别五纬以太阳为本行之心又土木火三星以太阳所行之圏为古法所谓年歳圏即上所用法今非其真因用本法又新图不言各星各有一天而强星在本重之内但各所行之轮或相切或相割耳土木火三星以太阳为本行之心又因其心从太阳即以太阳所行之轮为人目所见每年各星之行(见本厯指)欲知小轮于本天及两心差各数比例则设太阳距地若干可得各星距地若干如图设甲乙(日距地或小轮半径)乙丙(星本天半径为全数)及丙丁(两心之差)又设甲乙为若干度依法可得乙丙丙丁各线之度并之得甲丁乃星距地之度也上三星之法无二今置土星各圏之数如上用三率法甲乙(小轮半径)为一○四二六得距地为一千一百四十二度(太阳中距度)今乙丙全数(本天半径)得若干算得一○九五三有竒又丙丁五八一四(两心半差)得六三六以甲乙乙丙丙丁三线之数并之得一二九三二度或地半径乃土星大距地之数也若于乙丙全数或乙戊半径数内减去甲乙及戊己(与丙)(丁等)一七七八得九一七五乃土星近距数若求其中距地(引数为三宫九宫)得一○五五○木星用法如上求得大距度数为六一九○中距为三九九○近距为五九一九火星用法求得大距为二九九八中距为一七四五近距为二二二下金水二星因不围地球其算法与上三星略不等如图甲乙为日距之线或小轮心距地之线乙丙为小轮之半径以乙甲加减得大小两距之数金星两心差半之得一六○四并加小轮半径得一七三八五二用法乙甲全数(本天半径)得距地二四二度今算乙丙分数得度为八四三以加于甲丙得一九八五乃金星距地之度数也若减之得三百度乃近距之度也水星以法求之得大距度为一六五九小距为六二五度以上因其度数可推各距地之里数葢以地半径为度有一度之里数因可得各距之里数置地半径为二万八千六百六十二里以各星距地之度乗之先用古图数月距地小数为六十万七千六百四十六里有竒大距数为八十六万七千里有竒此古今小异水星小距数与太隂大距数等其大距数为四百六十一万二千三百二十八里金星大距数为三千○六十七万二千○○八里太阳中距为三千二百七十一万六千○一十六里大距为三千三百八十六万一千九百三十六里火星大距数为二万六千七百九十一万六千○九十六里木星大距数为四万三千五百八十五万六千六百一十六里土星大距数为六万○四百九十五万九千八百一十六里恒星依法切土星上面则得其距地之数若用新图推算亦可得各星之里数五星视差(地半径差第三章)各星既有距地之度数则可知视差之分数借日躔视差图以明之甲地心乙人目丙为某星甲乙为一度若知甲丙边之度则可得乙丙甲角乃视差角也(甲丙当全数甲乙为)(切线)依古图得各星视差如左(设星在地平求其视差地平以上若星更髙其差更小在)(顶无)月近地视差水星距逺视差为二十一分金星距逺视差与太阳距近差数等为三分七秒太阳中距为三分大距为二分五十四秒火木土三星其视差皆不满一分故不算若用新图日月各视差无二金水二星中距与太阳为近金星距逺视差为二分弱极近距为十一分水星大距亦为二分小距为六分上三星之差亦㣲但火星在极近之距即太阳之冲其差为十五分葢其道切割太阳之道而于地更近以上视差之数日月以外难测难定是以各家不合且不常用故不设表五星体视实两径(第四章)测日月视径实径见月离及交食诸书皆有本论但日月体大可用仪器测定五纬体小测之为难惟以人目所见或于日月相比以定其视径后以近逺之数求其实径大小相比等数亚耳巴得其学本多禄某有曰水星中距地之时(本算得一)(百一十五度)其视径比太阳视径如十五分之一即天度(周天)(三百六十度之度也)之二分金星中距时(本算为六百一十八度)其视径为太阳视径十分之一即天度之三分火星中距(本算为四千五)(百八十四度)其视径为太阳视径二十分之一即天度之分半木星中距(本算为一万○四百二十三度)其视径为太阳视径十二分之一即天度之二分半土星中距(本算为一万五千八百○○度)其视径为太阳视径十八分之一即天度之一分四十三秒又星髙有视径以法求实径如图甲人目(地心无异)乙庚太阳半视径乙己某星半视径其比例如乙己于乙庚若星在太阳如丙丁则其比例为丙丁与丙戊(丙戊当太阳视径)用法得丙丁天上度之㡬分有丙丁分数则有本天周之分数因周与径之比例(见测量全仪五卷中)甲丙半径得地半径若干则其周得若干以周之某分若干得各星比例半径大小又以各星同类之分数求其容(见月离三大比例)依法算得水星体比地球小为一万一千分之一分金星体小于地球为三十六分之一分火星体大为一地球又三分之一木星体比地球大为八十一倍又曰九十五倍土星体大于地球为七十九倍又曰九十一倍恒星六等之大小见本厯指用新图求各星大小新图以太阳为五星之心金水二星或在日上或在日下与古法大异第谷曰水星视径中距时(一一五○度)为二分○十秒其实径与地径为三与八则其体小于地球为十九分之一于古法甚逺金星视径中距时(一一五○度)为三十三分十五秒其实径为地球径十一分之六则其容为地球六分之一火星中距(一七四五度)视径为二分弱则其实径为地径六十分之二十五强其体小于地球为十三分之一弱木星中距(三九九○度)视径为二分四十五秒其实径于地为十二与五则其体大于地球为十四倍土星中距(一○五五○度)视径为一分五十秒其实径为二地球径又十分之一则其体大于地球为二十二倍若欲以里数求各星之大则先求地球之容得里数次依各比例数求之(见月离三大比例)问古今两数相悬何者为确曰各有本论然以金星证之见其绕太阳亦有弦望之异觉新法为凖(见五纬总论)五星光色(第五章)月以光以魄知其光非本体之光乃所借于太阳之光金星亦然葢以逺镜窥之见其体亦如月有光有魄故也他星觉无所倚然以相似之理论之亦可谓其光非自光乃如月与金星竝借光于太阳者也问五纬之光既皆为日光之分乃其色各不同者何也曰如镜如水如金诸能发光之物咸受太阳之光而所发之光皆非一色葢亦繇本体之色所染故也然则五星之色亦各为本体之色从日光而发见耳五星本体之色从其各类本质及其面之平与不平或其体之虚实坚脆等势所发加利娄曰凡大光照某体能发光之类其所发之次光非全受本体之色而变为他色如大光照黒体(若炼铁)其所发之光为红色如火星(以此西名火星亦谓之铁星)若照淡红体其所发光色如木星(红铜色为淡红故木星亦名为铜星)若白体其发光色如土星若黄体其发光色如金星若青体其发光色如水星试以黑铁等类炼之细阅其光色必如上又曰星色非纯从目审视可见乃知各星亦非纯质也(见格)(物诸书)五星时有颤动其理与恒星无异或空中浮气之游移或自体闪烁如烛光之揺又或人目之缺五星中厯考(第六章)按中厯旧法自古迄今修订诸家皆以测定太阳太隂之行为本而五纬次之今新法亦然但求真切不差之理须辟从来舛谬之根故著为日躔考及古今交食考以备叅证而五纬行度之差旧法之因循更甚尤宜讲求今订其谬于左一日测晨夕二留日时折半得合伏之日时非也解曰所测之留乃视行之行也星有视行有平行及均数先于视行以均数或加或减得平行乃恒定之行也星在留际有损分益分其中积大小原自不等此根有二其一从本天行所谓盈缩法此盈缩之数或繇小渐大或繇大渐小逓有加减其行非顺如盈初十度与盈末十度损益差分非一从留初到合伏又从合伏到次留若度数等其均数必不等其二为二留中积时太阳之行亦非一如置首合伏在冬至太阳行疾次合伏在春分太阳行平第三合伏在夏至太阳行迟则星各合伏太阳其行亦各有多寡之异又如留初在盈厯次留在缩厯以视行得平行或先留宜减均数或次留宜加均数或二留均数皆宜加皆宜减难胶于一如图置太阳在中其左右为二留际凡二留损益分为同类者太阳非在其中界若异类乃在其中界系二留之中积非一又太阳不在二留平行之中间则折半之说必不能得合伏太阳之真时刻故曰非也又按五星损益表前后度同而盈缩差非一如设星合伏前后五十度前五十度得某差后五十度又得某差差数非一则时刻亦非一又留际之日时刻最难测其真葢星繇渐而迟如先一日行㡬度次行㡬分以至㡬秒此时星在进退二行之中谁能别之若留际不测其日时刻而测天上别宿度分与之相比折半则得合伏之度分此因盈缩差段目非均非顺则合伏前后视行果不如一前行疾后行迟欲得其真难矣二曰用表晷或简仪以测五星非正当之法其一表晷非公法如水星晨夕距太阳极多为二十三度见时太阳下地平十五度(或多或少兹取其中)水星在地平上不过十度设表一尺圭应长五尺五寸若用表八尺圭应设四丈四尺如不便设是法非公也其二若用简仪及赤道仪测五星亦不足葢五星所行非赤道亦非黄道其所测得五星在某宿度是赤道宿度非真黄道及本道度又星在南在北某宿与某宿相距之度非星之经度测时欲得其真有数度之差测五星正法(第七章)新法测定五星为本法厯元皆以恒星为本设五星与某恒星相距若干依法得其经纬度测星之仪为黄道浑仪及弧矢六合等仪(见恒星厯指)法曰先定恒星二星与某纬星相近用仪测其相距若干度分以法求纬星之黄道经纬度(见测量全仪九卷及恒星厯指)首宜密测者乃纬星冲太阳之时刻法曰如本日测得其星经度随推太阳经度相距为天半周即为相冲之时若有多寡则测之又测务得其冲歳歳如此求之以两测中积日所行之度相比则可得其盈缩差也(见各星厯)(指)次测晨夕二留留时推算太阳经度必得前后二留距太阳之日度多寡非一若太阳在某宫宿次星在某宫宿次相比得距太阳度数多寡取其大距数而以本法推之可成加减表(详见五纬厯指)测星纬行古来无法新法用黄道浑仪比测恒星又求某星而变其纬或从南往北或从北往南得各星黄道上有二相冲之处定六宫为南六宫为北又测各星冲对合伏太阳及二留时之经度多测亦可得其纬(有本论)五星盈缩厯考(第八章)太阳有盈缩之限或疾迟两行之界古法定在冬夏二至新法曰不然葢以今世最髙卑在两至后六度为盈缩之限太阳于限近逺得均数大小而视行有差太隂最髙乃月孛也太阳太隂二最髙俱有本行而非恒星之行五星亦有盈缩之行有盈缩限及迟疾损益之界古法未认其本行而恒定于恒星某宿某度则非也此不合天之一根也又曰所定于某宿之度分亦非真盈缩初末等界如古法定木星在虚约四度或𤣥枵宫二十二度新法定木星二行之界在降娄宫十度他星各有前后(见本厯指)五星盈缩立成考(第九章)大綂厯分天周为二十二段以十一段为盈十一段为缩各段十五度有竒以三差法置各星盈缩大积度求得各段之均数今有可疑葢各星大均数多寡各有真数如云木星有六度半实不过五度弱土星有八度又四分度之一实不过六度半弱他星类此若中段所立之均数因三差法尤不足以得真数(见日躔考)此又不合天之一根也厯局新推土火金木四星会合凌犯行度(第十章)一九月初四日丁巳昏初新法推得火星与土星同度南北相距差一度五十四分大綂推在初七日同度 二法约差三日一九月初七日庚申夘正二刻新法推得金星与土星同度南北相距差三度三十分大綂推在初六日同度 二法约差一日一九月十一日甲子昏初新法推得金火二星同度南北相距差一度三十分大綂推在初三日同度 二法约差八日一闰八月二十四日丁未新法推得木星犯鬼宿内积尸气一九月初一日甲寅新法推得木星在鬼宿二度有竒先于闰八月十五日巳入鬼宿初度大綂推在鬼宿初度先于闰八月二十四日始交鬼宿初度 二法约差九日新法四星经纬图式列后已上五测本年八月十八日疏奏奉㫖临期登台公同测騐与本局所推悉合覆奏因命再测又皆相符今所绘木星犯积尸气图算悉照曩日进呈者其先后相犯时日及已经测騐过各星行度与大綂相去悬逺者约录于后以征二法之孰疎孰密云崇祯七年十一月初三日木星以赤道于积尸气为同度同分依黄道则于初五日为同度同分此日木星细行为百分度之十一迨十月二十日木星自鬼宿东南东北两星中而入于本宿座至十一月二十日乃繇西南西北两星中线而出鬼宿其木星体距积尸气体为百分度之五十四而为犯八年四月二十三日木星以赤道于积尸气为同度同分依黄道则于二十四日为同度同分此日木星细行为百分度之十九自二十三日午时繇鬼宿西南西北二星之中而入本宿座至本月三十日酉时繇东南东北二星之中而出鬼座其木星体距积尸气体为百分度之三十八而为犯(云五十四三十八者即古书所谓五寸四分及三寸八分也)本年新法推水星三四五六等月俱晨不见而大綂载三月十八日晨见至四月二十一日晨伏迨本月会同监局屡测委无水星出见又新法推水星于七月二十五日晨见至八月二十三日晨不见大綂载八月初七日晨伏不见至九月二十一日夕见及公同测騐果于八月二十三日以前皆晨见本年八月十二日巳丑夜新法推木星会合轩辕大星依黄道算本月十二日夜即十三日子正初刻木星在鹑火宫二十四度三十九分纬北五十分轩辕大星本年在鹑火宫二十四度四十七分纬北二十七分本时木星在出极一直线上未及轩辕八分而南北相距约二十三分依赤道算本时木星在张宿四度○分是日与轩辕大星俱在出极大綂载在张一度与新法约差三度因于本日公同登台测騐果测得水星与轩辕大星同度同分本年八月二十七日测木火二星同度以黄道算本日未时二星会同于鹑火宫二十七度二十六分火在北三十分依赤道算二星在张宿六度三十三分至子正时二星皆在出极一直线下距夏至为五十九度五十分大綂推此日木星在张宿四度火星在张宿三度相会合在二十九日则木星差二度半火星差三度半会合差二日○又是日夘正初刻月与木同度月在南三十六分然因视差算得寅正二刻月木火约同度(用直线过月之)(中心)至本日子丑时隂云监官未到迨至寅时天巳开霁本局官生亲测得月木火皆为一直线本年新法推金星八九等月俱晨见至十月初三日始晨不见大綂载九月初九日晨伏则此后皆不见时矣及九月十七等日会同公测委见金星晓出又新法推水星八月二十六日晨不见至十月初六日始夕见大綂推九月二十一日夕见至十月二十四日夕伏不见则前此皆见时矣及九月二十八等日会同公测委无水星出见九年二月十二十三十四等日大綂推木星在张宿二度旧法谓轩辕大星在张宿三度又五分度之一则此时木星该见于轩辕大星之西一度弱新法推此日木星逆行将留在张六度又六分度之一新法谓轩辕大星在张四度则木星在东轩辕大星在西相距二度强至测时木星果在轩辕大星之东本年新法推水星自二月十二日至二十六日尝见大綂推本日夕伏后此皆不见共差十四日迨部监同测委见水星未伏本年大綂推火星从三月二十七日起至五月初八日止夕退夕留夕迟共三十九日尝在轸宿十六十七度内新法推此时火星尝在角宿一二三度内逆行不入轸宿是旧法差四十日而宿度亦差三度矣且据旧法推在轸宿则火星当在角宿大星之西新法推在角宿则火星当居角宿大星之东及疏请亲览每至戌时火星果在角宿大星之东相距不过一度本年新法推木星七月十四日夕不见大綂推七月二十三日始夕不见据旧法推则前九日皆为见期也迨会同公测委无木星出见此上所录皆系会同部监公同测騐过者其未经测者每年相差甚多兹不备录古测五星相掩或掩他星摘推目(十一章)新厯列有日月五星永表者或用以稽上古五星之凌厯犯掩或用以推未来千百年各星之行故逆推而能上騐往古因知其亦必下合将来矣按史传所纪某星之行每有仅录年月日而未有时刻夫星有一日行度分者今既无时刻何能正合于表乎故于不纪时者竝不援以为证又纪各星聚于某宿不言相距度分及不言本宿某度者亦不借证又如凌犯古纪甚多迨考其时刻距度仍皆挂漏亦莫能用即若言相掩者则惟土木可得其凖縁其行迟耳至于火金水则每日或行一度或行半度葢行疾则苐可仅得之而已然其纬度数日但移数分又可以得其凖也古史恒谓或金或水失行当见而不见不当见而见此则新厯备阐伏见正法故亦援一二以征之表首横行为甲子数自帝尧八十一年为第一甲子至天启四年则綂纪甲子者六十六下为本甲子内之年古测五星记(甲子)年(数数)(二一二四)周将伐殷时 五星聚房(三二八九) 河平二年十月下旬土在井近轩辕大星尺余木在西北尺所火在西北二尺所皆从西来后皆贯鬼十一月上旬木火西去土亦西北逆行(四二○九)汉和帝永元五年四月癸巳 金火水俱在东井七年八月甲寅 火土金俱在轸十二月丙辰 火金水俱在斗(四一一九)汉安二年六月乙丑 火犯土光芒相及(四四一三) 永康元年火留太㣲中百日(四五一六) 灵帝元和三年十月 木火金三合于虚相去各五六寸(四二二九) 孝献建安十八年秋 土木火俱入太微逆行留守帝座百余日(四三三四)晋武帝咸宁四年九月 太白当见不见(四四三九) 惠帝元康三年 土木金三星聚于毕昴(四○四二) 光熙元年四月 金失行自翼入尾箕 (然翼至尾相越)(七十度岂失行至此)(四○四四) 懐帝永嘉二年正月庚午 太白伏不见二月庚子始晨见东方三十日(四四)八 怀帝永嘉六年七月 火木土金聚于牛女之间孝武十七年九月丁丑 木土火同在亢氐十九年十月 金土火合于氐(四三四四) 咸康四年四月己巳月掩金七月乙巳月又掩金(四四四一) 穆帝一年正月癸酉土掩钺星(四一) 永和元年闰九月辛未 火在左执法光芒相接(四三) 三年七月甲寅 木入鬼四年正月丙戌 木留鬼中五十日(五○) 穆帝永和十年正月癸酉 土星掩钺星(四五)四 海西公太和三年六月甲寅 金星掩火星在太㣲端门中一 哀帝兴宁三年七月 木犯鬼四 天赐二年十一月丙戌(即晋安帝元兴甲辰三年) 金掩钩钤(一○) 孝武宁康二年十一月癸酉 金星掩火星在营室(四一五二) 太元元年四月丙子 火掩南斗第四星(四一五一) 孝武宁康三年九月戊申 火星掩左执法(四二五二)唐明宗丙戌元年十二月乙巳 月掩庶子(四一)晋安帝义熙元年十月 火星掩土星在营室三年丁未二月癸亥 火土金水聚于奎娄三年闰八月已夘 金星掩火星(四九) 九年三月壬辰 木火土金聚于东井(五一) 十一年八月 金星掩左执法(四二六二)宋文帝元嘉二十三年二月 金火水合于东井(三二)南齐更元孝建三年二月一日 土火水合于南斗(四七) 泰始七年六月十七日 金木土合于东井(四五六二) 承明元年五月己亥(即宋苍梧王元徽四年丙辰)金火皆入轩辕庚子相逼同光(五八) 建元四年九月戊申 火犯木己酉火犯木芒角相接(五九) 五年九月乙未 火逆行在哭泣星东相距半寸隆昌元年三月乙丑 火入鬼西北东一寸癸酉在积尸东北七寸(四七)五 节闵普泰三年五月己亥(中大通六年甲寅)火逆行掩南斗魁第二星(一七) 世宗景明二年正月己未(即齐和帝中兴元年辛巳)金火俱在奎光芒相掩(一八) 景明三年正月(即梁髙祖天监元年壬午)火犯房北星光芒相接(二三) 永平二年十二月乙酉(即梁武帝天监八年己丑)木逆行入太微掩左执法(二四) 三年闰 月壬申 木又顺行犯之相去一寸(二八) 延昌元年三月丙午(即天监十一年壬辰) 木掩房上相(五三)梁武帝大同三年三月 木星掩建星武帝天和四年二月 木星逆行掩太㣲上将建德二年二月癸亥 火星掩鬼西北星四月己亥 金星掩鬼西北星壬寅又掩东北星天和六年齐宜阳四月 先时火入太微二百日犯东蕃上相西蕃上将句已往还至此月甲子出端门宣帝大象元年七月壬辰 火星掩房北头第一星静帝大定元年正月乙酉 火星掩房北第一星(四三八五) 宣帝大建十一年四月己丑 木金水合于东井(三六) 十二年十二月癸酉 水在金上甲戌水金交相掩后主天綂五年二月戊辰 木逆行掩太㣲上将(四九) 唐大业十九年七月壬午 金犯左执法光芒相及(四八) 永徽三年正月丁亥 木掩太㣲上将又五月戊子 火掩右执法(五四○一)唐中宗神龙元年乙巳七月(辛巳) 火星掩氐西南星(四二) 二年闰正月丁夘 月掩轩辕后星(五三一○) 代宗宝应八年四月癸丑 木星掩房(三三)唐肃宗至德二年丁酉四月壬寅 木火金水聚于鹑首(三五) 本年八月 金星掩木星于鹑火(五三一五) 肃宗乾元二年癸丑 木蚀月星(三六) 肃宗上元元年十二月癸未 木星掩房(四九) 大厯八年四月癸丑 木星掩房八年内不能再掩或为大厯七年(五六) 建中元年十一月 木食鬼天尸(此木星食鬼尸有疑葢木星纬)(在北不过一度鬼尸有一度十四又四分度之一何得食之)(五二)四 德宗真元四年五月乙亥 木土火聚于营室(二九)唐宪宗元和八年癸巳十二月 火星掩左执法(三一) 十年六月辛未 木火金水合于东井(三二) 十一年十二月 土金水聚于危(三五) 十四年八月丁丑 木金水聚于轸(四一) 敬宗宝厯元年己巳四月壬寅 火星入鬼宿掩积尸(四四) 文宗太和二年戊申七月甲辰 火星掩鬼质星(四五) 三年己酉二月壬申 火星掩右执法(四八) 六年十月 金火土聚于轸(五二) 开成元年正月甲辰 金星掩建星(五五) 四年正月丁巳 水金火聚于南斗(五一)○ 武宗会昌四年二月 木星守房掩上相一 五年二月壬午 金星掩昴(二○)唐懿宗咸通五年 月 火土金水聚于毕昴(四四) 僖宗文德元年八月 木土金聚于张(五三) 会昌四年十月癸未 金火合于南斗火土金水聚于毕昴(五四)七梁太祖乾元元年四月 火土金聚于营室(四八)后周太祖广顺二年壬子九月(庚辰) 金星掩右执法(五六)宋太祖建隆五年三月 五星如连珠聚于奎(五二五三) 太宗雍熙四年十二月丁巳 金土木合于南斗(四二) 真宗景德三年七月己酉 水木金合栁(五六)○ 天圣七年八月 木犯鬼八年四月 木犯鬼九月 木犯轩辕(五一七三) 哲宗绍圣四年七月丁巳 火星掩犯积尸气(四七) 章宗明昌三年四月己未(即宋光宗绍兴壬子三年)火掩右执法色怒而稍赤大元元年四月甲申 火掩南斗第四星(五三) 熙宗天会十五年正月(戊辰即宋髙宗丁巳七年)木犯积尸气(五八)八宋仁宗明道元年八月 金星掩轩辕左角(二四) 孝宗乾道四年八月己亥 水金火木土又俱见(二六) 世宗大定十年八月戊申朔(即孝宗庚寅六年)木掩火在参毕间十二年八月辛亥(即孝宗壬辰八年)火掩井东扇北第二星十月己酉 火掩鬼西北星(三○) 十四年八月庚辰(即孝宗甲午十年)火犯积尸气(三四) 十八年十二月甲戌(即淳熙戊戌五年)土掩井西扇北第一星(三五) 十九年八月辛亥(即淳熈己亥六年)火掩南斗杓第二星十一月辛未 火掩木(三七) 二十一年四月(即孝宗淳熙辛丑八年)火掩斗魁第二星(四二) 淳熙十三年闰七月戊午夜五星皆夕伏至戊辰五星伏聚在轸又至八月乙亥日月五星俱聚轸(五三) 宁宗庆元三年八月甲戌 金火木合于翼(五一) 宁宗庆元丙辰二年(即七年九月)夘初木在舆鬼中(五九)二 开禧二年二月壬申 金木土合于昴(一五) 嘉定己夘十二年(即定兴三年八月丁夘)木犯鬼东南星四年三月木犯鬼积尸(一九) 癸未十六年(即元光二年八月乙亥)火入鬼掩积尸(二七) 理宗绍定壬辰五年(即天兴元年七月乙巳)金木火太阳俱会于轸翼(六一○四) 大德九年十一月庚戌 木金土聚于亢(一二)元世祖中綂十三年丙子十二月辛酉 火掩钩钤(四一) 大德九年五月癸亥 木掩左执法(一九) 二十年三月癸酉 木掩房第三(四四) 武宗至大元年十二月戊寅 金掩建星泰定二十五年十二月庚午 木掩房北第一星(四八)元仁宗皇庆元年十二月甲申 火土水聚于井(五七) 英宗至治 年正月甲辰 水金火土聚于奎(六一)一 泰定二年二月庚寅 火木土聚于毕二 三年三月庚午 土金木聚于井二十五年闰十月戊辰 金水火聚于斗测五星经纬度(十二章)一用黄赤全仪此仪制有黄赤二道上繋移线二一用测经一用测纬最为尽善之器善用之者则各星所行宫度分秒靡不可得其作法见浑仪说中一凡见某纬星掩某恒星之一即稽恒星表之经纬度分亦为某纬星所际之经纬度分也一凡某星近犯恒星则经度可得其真而纬度则仅可得之葢经度乃从黄极过二星之心必定于黄道一度分上若纬度者不能用仪惟以目测其相距若干故莫能得其真也一凡某星介于四恒星之或中或外在一直线之交即取恒星图界二直线聨而算之亦能得其经纬或不用图但用算亦可其法见测量全仪九卷中一凡某星在午线上或有恒星亦在午则苐测恒星髙弧即可得某赤道经纬一凡某星在地平而得其出没㸃之地平经度即可得其纬葢地经度乃正夘酉距南北之若干也或此时有一恒星在午亦略可得某星经纬(用星球浑仪可算)一用弧矢仪测某星距二恒星若干用法推算可得其经其纬法见测量全仪九卷以上槩言其测法也大抵测星得其赤道经纬度分似易而最要者则在于以法变黄道之经纬云驳古测之舛一以赤道仪测其行而莫能变黄道经纬是其度分非从本枢所出也安得无舛一测月掩某星者甚谬葢月有气时二差恒失其经纬之真度也一纪掩犯等会不详时刻乃星恒有其行时刻既略胡可细算其经度乎一用移线人目迫近于线则目瞳子较线为大焉得视而不失测五星仪目黄赤全仪(即浑仪之类也其制不用他圈惟具黄赤二道及子午规而已测星繋移线以用之)简仪(以一盘当赤道其移线则代活赤道云)天环(亦浑仪之类也)弧矢仪(以全规六分之一为弧用半径为矢)枢仪(以细绹繋极用代夫枢然当定准北极出地及对正子午庶㡬不差若二星以赤道在同度者此可测之)直线或界尺(用量二星成一直线)经纬象限(测地平髙及经度)过极圏(用之可得赤道纬度)新法算书卷四十四
## 卷四十五
钦定四库全书
新法算书卷四十五 明 徐光启等 撰五纬表卷首日躔月离二书皆有厯指及表厯指以明其理表以著其数五纬如之然不明其用则算者无从下手故著为诸说且列诸式以详论夫诸表之元及其用法之异土木二星表为一法金水二星同一法火星独为一法条分缕析庶各用之不迷而推求之不舛也其次如左二百恒年表说(第一章)新法日躔厯指以崇祯元年戊辰平冬至后子正为厯元即天启七年十一月十六纪日己卯宿在井之日也太隂交食诸表悉因此厯元日起算而五纬亦因之故二百恒年各表直行上纪年下纪宿并日中积有各本年本日之数(宿纪字皆从先冬至起)定五星诸行厯元之应用西法古今两测及厯局新测参订成表按廿一史多言某纬星会某恒星可得其经纬之度用此法以查新表似为切要然廿一史未载时刻或晨或夕无从知之则多半度或少半度不得其中新法以为犹粗也欲知本年是平是闰先置某年各行之应查表中次年所载日宿及纪字便可得也加首年诸行之率得次年诸行之应与推太阳无二见日躔表一卷纪字隔五为平年隔六为闰年宿字隔一为平年隔二为闰年平为三百六十五日闰为三百六十六日其原皆本太阳所躔一年之度分故诸星之年即借太阳所定无以异也崇祯元年测定五星厯元诸行之应详列于左土星厯元诸行应平行距冬至为十一宫十八度五十一分五十一秒本年最髙行距冬至为九宫八度五十七分五十九秒平行距最髙即引数为二宫九度五十三分五十二秒正交行距冬至为六宫七度九分八秒一平年(三百六十五日无余)平行为十二度十三分三十一秒最髙行一分二十秒十二㣲以最髙行减平行得十二度十二分十五秒乃一年之引数也闰年(三百六十六日无余)平行为十二度十五分三十五秒引数为十二度十四分十五秒正交行一年为四十二秒(其行甚㣲平年闰年不差二秒)木星诸行应平行距冬至为八宫二十八度○八分三十一秒本天最髙行为十一宫廿七度十一分十五秒平行距最髙即引数为九宫○度五十七分十六秒正交行为六宫二十度四十一分五十二秒一平年距冬至平行为一宫○度廿分三十二秒最髙行为五十七秒五十二㣲两数相减得一宫○○度十九分三十四秒乃一平年之引数一闰年距冬至平行为一宫○度廿五分三十一秒引数为一宫二十四分三十三秒正交行一年为一十四秒(平年闰年同)火星诸行应平行距冬至为五宫○四度五十四分三十秒本天最髙在七宫二十九度三十分四十秒平行距最髙即引数为九宫○五度廿三分五十秒正交行为三宫十七度○二分二十九秒一平年距冬至平行为六宫十一度十七分一十秒最髙行一分十四秒两数相减得六宫十一度十五分五十五秒一闰年距冬至平行为六宫十一度(一百九十一度)四十八分三十六秒引数为六宫十一度四十七分二十一秒正交行一年为五十三秒(平闰同)金星诸行应平行距冬至(与太阳同度)为○宫○度五十三分三十五秒三十九㣲平行距最髙即引数为六宫○度五十六分五十五秒伏见行从极逺处起为○宫九度十一分○七秒最髙行在六宫○度十六分○六秒(鹑首初)一平年距冬至为十一宫廿九度四十五分四十秒三十八㣲自行引数为十一宫廿九度四十四分十七秒伏见行为七宫十五度○一分五十秒最髙行为○宫○度○一分二十一秒一闰年距冬至及自行加五十九分○八秒伏见行加三度○六分二十四秒乃一日之行也金星正交在最髙前十六度即五宫十四度十六分其行极㣲故未定其率然于最髙行不大差水星诸行应平行距冬至与太阳同度平行距最髙即引数为○宫廿九度二十分○二秒伏见行(从极逺处起)为三宫廿九度五十四分一十六秒最髙在十一宫○度五十二分四十二秒一平年距冬至与太阳同度自行或引数为十一宫二十九度四十三分五十一秒伏见行满三周外有一宫廿三度五十七分廿六秒一闰年引数为十二宫○○度四十二分五十九秒伏见行全周外为一宫廿七度三分五十二秒正交行或曰于最髙同度难测故不敢定然或非与最髙同亦必不逺永年表者逓以六十甲子为法从帝尧八十一年起计至天启四年算得其为第六十六甲子兹表列有各星行度之根又有宿数及纪日以定厯元本日然从帝尧迄今则作六十五甲子自今溯后又推算得六十六甲子计表中通共列甲子者一百三十二云甲子表逓以六十年为率故立六十年表亦列宿数纪日二数以得本年厯元日根夫六十年及永年表皆成于三百六十五日四分日之一故每毕四年而闰一日也其用法设某年欲求厯元则先视本年在某甲子表中查定其数别识之次简距甲子为若干歳再于六十年表中求其数然后以二数并之即可得某年某日各星平行矣周歳平行表说(第二章)以一平年诸行之率为实一年之日数为法(三百六十五日)除之则得一日之行累加之而成周歳之表此表中不录正交及最髙细行葢其行极微一年之内不出分外则以求视行所差止于几纎非大数故不用金水二星因其本行于太阳之行一年内止差一二分如欲算时即取日之平行表而亦可用故兹不再录云周日时刻表说以一日诸行之率为实以二十四小时为法除之则得一时之行然表不止二十四而止六十者葢以一时有六十分如以时入表则所得为分秒㣲以时之分入表则所得为秒㣲纎与日躔月离同一用法也或用简法周日表以六十日为止倍之得一百二十日再倍之得一百八十日以至三百六十日如设日求表或所设距根为四十四日于本日表求之即得其日行之数若所设为一百四十四日则先查一百二十日表得数再查二十四日表得数并之即为一百四十四日之行也前加减表总说(第三章)算各星加减大均数若干或两心差数置某星距最髙若干为引数又置各星两心之差用图推算(有假如见各星厯指)得自行均数凡星会太阳或在其冲者则次引为初宫度或为六宫以平行或加或减为足此自行均数得星之视行葢星体在两心(一地心一小轮心)线上如图己丁乃两心之差庚乙引数之弧己丁乙算均数之形己乙丁角为均数乃庚己乙自行角庚丁乙视行角之差凡星在丁乙实行线上即两心线如子如午以一均数得庚丁午角乃视行角也星所距本天最髙从地心看亦名实行此先均数五星不一葢各星有本天不同心圏若均轮其理同也算前加减表用新图(第四章)丁地心庚火星天最髙设引数度分若干即庚甲弧(最髙左右)(同法但在左以平行减均数在右于平行加均数)作丁甲线置丁甲十万取一四八四○分为度于甲心上作丙乙圏从乙(乙丙圏极逺之处亦)(可名谓最逺)取乙丙弧乃引数之度止丙丙为均轮心即丙己半径为甲丁十万分之三七一○又从己极近处倍引数数止戊戊乃年歳圏心之处凡星冲太阳时人目在丁见星于丁戊线中(近逺不拘)而求甲丁戊均角设庚甲引数为三十度先算甲丙戊形夫形有丙戊丙甲两边(两圏之半径)又有丙角六十度(引数之倍)依法作戊午垂线先求戊午边得三二一三次求丙午边得一八五五以丙甲全线减之得午甲为一二九八五次求午甲戊角得十三度五十四分又求戊甲边得一三三七二次甲戊丁形有甲丁十万甲戊(先得)有戊甲丁角(先置乙甲丙引数三)(十度次得丙甲戊十三度有竒并之得四十三度五十四分其余乃戊甲丁角也)一百二十六度○六分依法作戊午垂线先求戊午线得九二七二又求午甲线得九六三五并加甲丁全数得一○九六三五午丁也午戊丁形有午戊午丁两边求丁角得四度五十分乃三十度引数之均数也又求丁戊得一○九九○三乃火星年歳圏心距地心之数也右因图并法可知丙甲戊角比乙甲丙角或相加或相减则凡引数(距最髙度)不过九十度者宜相加若过九十度者宜相减又两圏半径并之因甲丁全数即为戊丁甲极大角之正线查表得十度三十四分二秒(凡戊甲丁角为直角者丁)(角更大)土木金水四星次均表说(第五章)五星次均之理土木金水为同而火星为异故别论之今先论四星之同者凡星与太阳不会不冲之时必不在丁乙实行线上而在或左或右多寡之间则前所得丁乙巳角之均数犹不足以定星之视行如后图置星在小轮左如夘作夘丁乙角则宜减于先所得庚丁乙实行角而得夘丁庚视行角若星在小轮右如丑则作乙丁丑角宜加于先乙丁庚角而得视角此角名谓之次均数乃星会太阳之时在子故次均表自子起从子丑午夘回子满三百六十度先半周子丑午为加后半周午夘子为减算夘丁乙等角先置设乙夘线若干(小轮半径数见各星厯指)又设午乙夘角(或左或右无二法从子到夘弧)(度之余)又设丁乙边(即前算加)(减所得数)可推夘丁乙等角然乙丁线之数非一若乙心近于庚最髙则乙丁大若乙心近辛最低则丁乙小若乙心在髙庳之中有多寡则丁乙线亦有大小乙丁线有大小则夘丁乙均角亦有大小欲算全表宜先设庚乙若干度从庚至辛为一百八十度则一百八十度算夘丁乙等角一百八十次又夘乙丁角非一则从子极逺至午极近亦一百八十度则庚辛各度及子午各度皆宜算一百八十次当有三万二千四百角不亦烦且难而表且赜乎故约为中分法如曰最髙及其冲之中先定小轮在庚最髙因法设夘乙丁角自一度至一百八十推算所得数于表中子夘弧度下即次均数书之又置小轮在辛最髙冲推算夘丁乙角一百八十所得数与在最髙本弧各数相比其较于表中子夘弧度次均度下亦书之各谓之较分有极髙极卑两数则可推其中数今试举土星为法如左己乙两心差为十万分之二七○八因均圏用其半得五八五四加于己庚半径全数得丁庚线又减之得丁辛线小轮半径乙丑为一○四二八用夘丁乙直角试法(置直角于夘便算)求夘丁庚角为五度三十九分十五秒(法以小轮)(半径加五位为实以庚丁线一二五八五四为法而一查切线表)即夘丁乙角也其余八十四度二十八分四十五秒为夘乙丁角或夘午弧则其余子夘弧为九十五度三十九分入表九十五度有竒次均数下书五度有竒又置乙心在辛最卑依法推算(丁辛线为九四一四六)夘丁乙角得六度二十一分三秒两数之较为四十一分四十八秒于九十五度有竒较分行内书之中分较分说(第六章)凡有大小之较兼有距两限若干因法亦可得较数之比数或减于大或加于小则得中处之本数如置小轮平行距庚最髙为五十度求己乙丁前均角得四度五十四分二十七秒减之得四十五度○五分三十三秒乃己丁乙角也用法以己丁乙形求丁乙线得一○七八○五(己乙半径十万全数)减全数以所余除两心之差得三之一法曰乙丁丑角比庚丁夘角(最髙角)为大则大小两数差分三之一解曰小轮近逺为次均数大小之根置在近逺之中则其均数在大小之中古定逺近之差为六十分法曰六十分得全差若属㡬分应得若干又从最髙庚起则所得若干加于在庚之均数以近逺之分数用己丁乙形定庚乙弧若干而求丁乙线之数此以六十乗以己丁倍除之得数为分为秒于本表庚乙弧即自行引数本宫度下书之名谓之中分(用三率比例法庚丁)(丁辛两线全差得六十分今庚丁丁乙两线应差若干)又法庚丁丁辛两线之交以六十除之取一分而于庚丁线减之得某数用己乙丁形此形有己丁两心差有己乙全数又有丁乙线比庚丁为少于大差六十分之一形有三腰依法求乙己丁角其余为庚己乙或庚乙弧为中分一分之弧则小轮在此逺近差为六十分之一若以庚丁再减六十分之二三四再算得二三四分之数亦于本弧表中自行引数宫度下书中分之数画六十中分图以己为心庚为界作本圈又以丁地心为心最髙及其冲为界作圈又两圏中积作六分或六十分以丁心作六圈各切本行之圈从庚最髙左右本圈上至交同心圏数度分则得一中分十中分之度分数若亦画小轮而作丁夘丁丑线上下亦可见乙丁夘各角之差此中分表上以自行(即庚乙弧)为引数乃从本天所生之数也中分较分用法(第七章)以自行引数求第一加减均数又求中分数另记次以日实行内减去星实行得相距为次引求二均即小轮如在最髙之均数又求较分乃某星在小轮某度髙卑之较差用三率法髙卑大差内数六十分为中分得小轮某度之某数为较分今从最髙所得中分即六十分中之几分欲得较分若干入法以乗除得之其所得数名谓三均恒加于二均数得实次均数并或加或减于实行得视行曰恒加者葢所得次均为在最髙极小在最髙外恒大故命恒加见假如火星加减表说(第八章)表设宫度分及自行均数与诸星无二但其行独异他星故其加减理非一致其引数每度下有三类一名距日二名日差三名半径火星以太阳为本行之心如太阳以地为心亦非本行之心因有不同心圈火星从之近逺各不等此火星与日近逺之数书于本表宫度之下曰火星距日数即距心数其算法载本星厯指第七章内测设引数为二百五十九度四十二分二十秒用本法算得自行均数为十度三十二分半又求本图上乙寅线乃火星体寅距太阳乙若干得九九六九七乃表上引数下所列火星距日之数也(因分秒表上之中约取其中分)本厯指有论曰火星歳轮半径大小所以有二其一从太阳髙卑近逺之行有本表今以简法于本表各度下记之所名日差(用太阳引数即从最髙起算)又论火星歳轮半径大小繇本天髙低其数约为太阳之算十之十一即以十一乗太阳差数以十除之或减尾后一字此二数恒宜加于小轮极小半径即六三○二七五今本表已加过本轮差两书于宫度下即以火星平引数行歳轮半径但宜加太阳之差耳引数以每十分为逓加而有均数与上三数不同者葢每度逓加因二度中所差有限可用中比例此则不然是以详而不略表旁有引数各十分各数之较以加得某度分之本数加减表用法(第九章)表上下有宫度分皆从最髙起算名引数上横行从○宫○度○分起顺列止六宫下横行从六宫起自后逆列往前至满天周而止上下相对二引数第有一均数与诸加减表法同若用第一加减则上者曰减下者曰加葢前六宫为减后六宫为加也引数属上行则从顺查引数属下行则从逆查所得均数以加以减于平行则得视行若欲宻推亦用中比例法第二均凡前六宫即顺算曰加后六宫即逆算曰减今以图明其理上下二引数于最髙左右距弧之度为等如图庚最髙左右取庚乙庚丙相等二弧各得己乙丁己丙丁二均角(因㡬何法)亦相等然庚己乙平行角比庚丁乙丁视行角为大故法曰先六宫即庚乙辛以均数减于平行得视行而庚己丙平行外角比庚丁丙视行外角为小故法曰从六宫即辛丙庚以均数加于平行得视行(系一均数有二引又有二号在乙曰减在丙曰加)五星各均数限(第十章)土星本天上歳轮(又名年歳圏小轮下同)心距最髙九十三度得其均数为六度三十八分十七秒乃首引数之极大均数歳轮心在本天最髙从其极逺处九十六度得次均数五度三十九分一十五秒若在本天最髙冲从极逺处一百○二度得次均数六度二十一分二十秒乃次均之极大数也二大均数并得一十二度五十九分三十七秒乃平视二行之大差也木星本天上歳轮心距最髙九十三度有竒得五度二十七分乃首引数之大均数歳轮心在最髙者从极逺处九十九度得十度三十八分三十三秒在最髙冲距极逺处一百一十度得十一度四十三分○二秒乃次均大数也二大数并之得十七度一十分乃木星平视二行大差也火星本天歳轮心距最髙九十六度得十度三十四分二十秒乃首引数之大均数论歳均差则有四限如火星歳轮心及太阳各在本天最髙从极逺处一百二十六度五十六分得三十六度五十六分二十六秒若火星歳轮心在最髙太阳在本天最卑得三十七度四十二分若太阳在最髙星在最卑得四十六度十五分若两各在最卑得四十七度二十一分四十五秒大小之差为十度二十五分两大均数并之得五十七度四十六分乃火星平视二行之大差也金星伏见轮心距本天最髙九十一度得一度五十分十六秒乃自行之大均数也 伏见轮在最髙从极逺处为一百三十五度得四十五度十九分二十秒若在最卑得四十七度十二分两数并之得四十九度○一分一十六秒乃金星平视二行大差也水星伏见轮心距本天最髙一百○八度得三度三十四分乃自行之大均数也 伏见轮心在最髙星距极逺处一百二十一度得二十一度七分三十三秒乃伏见轮大均数也若在最卑得二十三度四十四分三十三秒二数并之得二十七度十九分三十三秒乃水星平视二行大差也金水二星以太阳平行为自平行若前大差为加号而太阳有减号之均二均并之金星得五十余度水星得二十六度乃各引距太阳之视行五星纬行表说(第十一章)纬行有二根其一为本天斜交黄道半在北半在南交有逺近则纬度有多寡其一为歳圏亦斜交本道而恒为黄道之平行欲得纬度之真宜用二引数歳轮心距正交若干所谓实行(本天之纬)又星距日或歳轮上星距极逺之处表中以第一引数求中分以距日之引数求纬限数即本天从交九十度以二道同升度分六十分次设歳轮在距交九十度推小轮各度之纬名为纬限排表用三率法(如加减表中有中分较分之数)如星距交九十度或六十分得纬度若干今距交四十五度或三十分应得纬度若干向南向北各有本数表有宫有度先以距交求中分次以距日求纬限度分凡距交在六宫下者纬在北用向北之数在六宫上者纬在南用向南之数以中分乗纬限度分则得正纬度分(先六宫向北该正交为隂厯之初)金水二星纬行表说二星纬行根亦有二皆繇伏见轮亦斜交本天其类有二故分前后二表前者与上三星同后者二星之本纬也(见五纬厯指)二表各有中分以星距正交为引数(金星正交恒在最髙后十六度故以实引)(加十六度数得纬行中分之引数水星正交于最髙所差不逺即以自行引数为纬行中分之引数)伏见轮行数作纬度分之引数各表引数皆有应用之号纬有南北若所得二纬数同类则宜加异类则宜减或加或减乃得真视纬数五星纬及伏见等表目土木二星纬表 五星黄赤二道升度表火星纬表金星纬前表金星纬后表水星纬前表水星纬后表五星伏见表恒星受凌犯表五星纬表查法土木二星合为一表每半页左右贴边两行为距正交宫度其中逓隔五度次乃中分诸数亦为二星同用各星有向南度分其对引数宫度可查之若星向北者或加或减若干故各星别有一行曰北加分火星纬表宫度如上度数每以二度逓隔其他数皆同金水二星二表查法各有前表后表每隔二度前表一面金见中分之宫上下二行各行直对有其纬之向又列有各该用之引数以入表可得之后表亦有其纬向及引数等类南加北减五星晨夕伏见表查法以某星(五星及恒星同用)黄道经宫度入表视首直行晨夕本号求其宫度之横行(凡星经宫度比太阳宫度顺算在前即用夕宫若在其后则用晨宫云)又视本星直行下与宫度横行相遇格数是乃星距日光见不见之限界凡星有南北纬行再入次表视星经宫度如上简本纬度下直行相遇之数以此数于先得度数每在北减而在南加即得某星在某官之某纬该距太阳经度若干而即可知或晨得出而见得伏而不见焉恒星受凌犯表说五星及月因有纬行故得掩多恒星以成凌犯然欲便算其凌犯时刻故于恒星表内取黄道左右每至八度内四等之星别为此表表分七行列有宫次度分星名及本座之数并其纬向纬度以至大小等第云设五星或月宫度至某年月日于本表上某星宫度或为同经同纬即为凌厯或二纬数相近四十三分以内者谓之相犯(古曰七十分通之得四十三分)月因视差多变其纬于南故测算不合然用本法求其视差均其纬度庶乎可得五星无甚视差日在二三(分之内即成凌犯也)五星黄赤升度表查法置星纬之向视表左右向南向北宫度本行取本星或南或北号下黄道所算经宫度分及识其加减之号次以星之纬度视上横行至经纬直横二行相遇度分是即该加该减于星之黄道经度乃可以得星赤道之经度矣新法算书卷四十五
## 卷四十六
钦定四库全书
新法算书卷四十六 明 徐光启等 撰五纬表卷一(土星上)土星表目上卷二百年表 永年表 六十年表周岁表 时分表下卷加减表土星二百恒年平行表新法算书卷四十六
## 卷四十七
钦定四库全书
新法算书卷四十七 明 徐光启等 撰五纬表卷二(土星下)加减表查法此表上下各面中分每以十二横格为限各有二宫一顺一逆顺者自空宫起至六宫止用上行之度分逆者自六宫起至十一宫止用下行之度分也每上下十二横格内各分四度数顺逆二宫皆用之二均数二行各有其加减之号然而相反凡第一均以顺为减以逆为加第二均则以顺为加以逆为减其所以然见本厯指云初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算书卷四十七
## 卷四十八
钦定四库全书
新法算书卷四十八 明 徐光启等 撰五纬表卷三(木星上)新法算书卷四十八
## 卷四十九
钦定四库全书
新法筭书巻四十九 明 徐光启等 撰五纬表卷四(木星下)以星距本天最高为引数而于本宫度分查自行均数及其中分另记又以星实行距太阳实数宫度分为引数于本宫度之下查其次均及较分初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一官 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法筭书卷四十九
## 卷五十
钦定四库全书
新法筭书卷五十 明 徐光启等 撰五纬表卷五(火星上)新法筭书卷五十
## 卷五十一
钦定四库全书
新法算书卷五十一 明 徐光启等 撰五纬表卷六(火星下)表以求火星第一均数与他星无异外各度下注有本星天之数三种其每种侧各注差分是乃引数各十分该加该减于本数若干也然前数更大其差分宜加若少则减其差分云新法算书卷五十一
## 卷五十二
钦定四库全书
新法算书卷五十二 明 徐光启等 撰五纬表卷七(金星上)金星表日上卷二百恒年表 永年 六十零年 周岁时分表下卷加减表金星周岁平行表金星周岁平行表新法算书卷五十二
## 卷五十三
钦定四库全书
新法算书卷五十三 明 徐光启等 撰五纬表卷八(金星下)查金星加减如他星无异距髙低较分或有度分秒即度分皆写一行内用时核觉之金星 初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算书卷五十三
## 卷五十四
钦定四库全书
新法算书卷五十四 明 徐光启等 撰五纬表卷九(水星上)水星表目上卷二百恒年表 永年表 六十年表 周岁表时分表下卷加减表水星二百恒年平行表新法算书卷五十四
## 卷五十五
钦定四库全书
新法算书卷五十五 明 徐光启等 撰五纬表卷十(水星下)初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫初宫 十一宫 一宫 十宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫二宫 九宫 三宫 八宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫四宫 七宫 五宫 六宫新法算书卷五十五
## 卷五十六
钦定四库全书
新法算书卷五十六 明 徐光启等 撰恒星厯指卷一测恒星法第一 一章凢治厯以七政经纬度分为本欲知七政经纬度分以恒星度分为本欲察恒星得其所居定处必用测星之法测星之法有三其一用太隂用太隂者令太隂居太阳恒星之间早测则太阳未出先测星与太隂之距度既出即测太隂与太阳之距度晚测则太阳未入先测隂阳之距度既入即测太隂与星之距度各以两测合推之得恒星度分也其二用器器者水漏自鸣钟等一切定时之器细考恒星过子午线时刻并测其高又别求太阳所躔本度因得恒星经纬度也其三用太白用太白者略同前太隂法早则先测恒星太白之距次测太白太阳之距晚则反是亦各以二距推得恒星度分也问此三法孰愈曰太白为愈用太隂者古法也而未尽善者有三太隂之体大欲测其中㸃甚难欲测其边亦复未易一也本行疾速先与太阳同测次与恒星同测两测之间所过时刻又自有经行度分二也太阴有视差早晚间高度愈寡差度愈多三也用器者近世之法若人器俱精多能巧合顾其用法繁细而又多风尘寒热之变亦难保其必合也若用太白则近岁之法较前二为胜者其体小测以窥筩则全见之行度迟缓两测之间迁变甚少又视差绝㣲通无乖悮之缘也测法曰午后太阳未入得并见太白时即测其两相距度分器用纪限大仪一人从通光定耳中窥太白之体一人从通光㳺耳上取太阳之景次数仪邉两距即日星之距又同时用浑仪求其出地平上之两高弧及其距赤道之两纬度次于日入后既见恒星更依前法求太白与恒星之距度及其两高弧两距赤纬度仍并识两测相距之时刻推两测间太白经行分秒加减之即得三曜之各定度分即得太白左右太阳与恒星相距之定度分也既得此星所纒赤道经度又先已测得距赤纬度因推得其黄道经纬度又用此一星徧测余星其经纬度分悉可得矣西土士第谷七八年精习此法度越伦軰每连日比测又早晚并测必求太阳与太白晚测所居高所居纬度及离地逺近比次日早测所得一一符合乃已何者高度同则视差亦同以东补西即不必计视差故也独测恒星法第二 五章以太白居中左右测恒星太阳之距度必用两测一求太白距太阳一求太白距恒星也然湏连日比测湏早晚并测者欲以相等之两视差相补可不论视差此简法也今不用比测并测或早或晚一测即得故名独测此则必论视差本法也求太阳经度万厯十年壬午西二月二十六日申初二刻苐谷用纪限大仪测太白太阳之距得四十六度一十○分三十○秒又用浑仪得太白在赤道北一十五度二十一分四十○秒于时太阳在地平上一十五度一十分太白高四十八度三十分(二测亦用浑仪或象限仪)因考太阳经度查本表得娵訾一十七度四十九分四十二秒是其实躔而今求视躔于法减太阳之东西差二分一十一秒为在本宫一十七度四十七分三十一秒其视经总度得三百四十八度四十七分三十秒(总度皆从春分起筭)次查本表得其纬度分依法以视差相加得视纬偏南四度五十二分一十五秒更有太白前见测视纬度及与太阳相离经度则得所求二总经度差如下文求太白高下视差(从地半径所得故为高下视差)欲推太阳与太白之经度差必先求太白之东西视差然太白之视差有二一为高下差一为东西差又先从高下差以得东西差如图太白居本天为甲地心为丙地靣为乙成甲乙丙三角形次引长甲乙至丁从丙作丁丙垂线成乙丙丁三角形此形有乙丙为地半径全数丁为直角乙内与乙外两角等(乙内者丁乙丙角也乙外者甲乙戊角也)(乙外角为太白高之余弧角)依三角形法得丙丁线为六六二六二(全数)(十万)又甲丙丁三角形内之甲丙线为太白离地心其相距以地半径为度得八百一十五为半径全数又先有丁直角及丙丁线即推得甲小角二分四十八秒为太白之高下视差求太白东西视差(即经度视差)既得高下差因以之求东西差(亦名经度视差)如图甲为天顶亦为地平辛壬之极已庚为赤道其极乙太白在戊其高下视差为丙戊弧即有甲乙戊三角形其甲乙为地平赤道两极之差于本地为三十四度○五分一十五秒是其北极出地度之余弧也戊甲为太白出地平高度之余弧四十一度三十○分乙戊为太白在赤道北纬度之余弧七十四度三十八分二十○秒以曲线三角形之法因其三边求其角得本三角形之戊角为九度四十八分又于视差丙向丁作垂线成丙丁戊小三角形有丁直角有戊锐角又有先所得丙戊视差弧二分四十八秒依此用曲线三角形法得其两角与对角之一线可推其余边余角得所求丙丁线三十二秒为太白之经度视差(丙丁线小圏弧也与黄道平行)求太白与太阳经度差视差既定次求经度差如图甲为赤道极甲乙甲戊俱过北极之大圏弧乙为太阳丁为太白乙丁为两视处之距弧丙乙丁戊为各距赤道之度即成甲乙丁曲线三角形也今欲求甲角以得赤道之经度差丙戊依前法用三边求角三边者甲丁为太白距赤道之余度甲乙为太阳距赤道之纬度带一象限乙丁为二测之距度即三边具而因以求得甲角知太白离太阳之赤道经四十一度五十四分五十八秒更加入太阳之视经总度(从春分起算为三百四十八度四十)(七分三十○秒)及太白之视经重差(重差者一为黄道径差三十二秒一为赤道差三十秒)则自春分起数减周得太白所在为实经三十○度四十三分三十○秒(加减视差讫乃得实经)求毕宿大星赤道经纬度本日戍初初刻测毕宿大星其西距太白三十○度五十九分其赤道纬一十五度三十六分太白高二十七度三十○分在赤道北一十五度二十五分一十○秒今求两距之赤道经度差如图丁戊为赤道甲为赤道极乙为太白丙为毕大星甲乙为太白纬度之余弧甲丙为毕大星纬度之余弧乙丙其两测之距弧依上法得甲角三十二度一十一分○六秒两星之经度差也又依此时刻定太白之本行为是日合行五十七分先后两测间得八分一十八秒以加太白之实经度又以后测之高下视差再用前高下差图求得三分四十五秒以求东西视差亦再用前东西差图求得二分○七秒以减太白之实经度共得春分至太白之视经三十○度四十九分四十一秒以加太白距毕大星之视经三十二度一十一分○六秒得此星离春分六十三度○○四十七秒重测恒星法第三 四章前法因视差之烦恐有悮不如早晚左右测之两得数相除相补简而易就所谓重测也求娄宿北星赤道经纬度万厯十四年丙戌西十二月二十六日申初二刻第谷测得太白距太阳四十六度三十○分太白在赤道南一十一度一十五分三十○秒高二十三度正太阳高三度其距赤道查本表得在南二十二度四十一分三十○秒躔星纪一十四度五十一分五十三秒总经得二百八十六度○八分四十二秒(春分起算)如图甲为赤道南极乙为太白丙为太阳甲乙为太白距南之余弧七十八度四十四分三十○秒甲丙为太阳距南之余弧六十七度一十八分三十○秒乙丙为两测之度差依三角形法推得甲角四十七度二十一分○五秒为太白距太阳之经度差其总经为三百三十三度二十九分四十七秒再于本日申正三刻求娄宿北星距太白经度差得五十二度二十一分太白高二十○度三十○分两测间太白之本行四分五十四秒以加经度差总得太白经度三百三十三度三十四分四十一秒以加二星经度差减周约存娄宿北星赤道视经二十五度五十五分四十一秒求角宿距星赤道经纬度又戊子年西十二月十五日巳初初刻测得太白距太阳四十六度三十六分出地平高二十度居赤道之南十四度○四分太阳高三度躔星纪三度五十三分四十一秒在赤道南二十三度二十八分○二秒其总经二百七十四度一十四分四十九秒如图甲为南极乙为太白丙为太阳丙甲为太阳纬度之余六十六度三十二分乙甲为太白纬度之余七十五度五十六分乙丙为两测之距四十六度三十六分依法推得乙丙距之经度差为丁戊四十八度二十六分一十八秒以减太阳经度余二百二十五度四十八分三十一秒为太白之总经度本日辰初三刻先测太白距角宿距星二十九度三十三分三十秒居赤道南一十四度○二分出地平上一十九度今依前图乙为角距星丙为太白余同上乙甲为角距星纬度之余弧八十一度○二分四十五秒丙甲为太白纬度之余弧七十五度五十八分乙丙为两星相距二十九度三十三分三十秒依法推得甲角二十九度四十四分二十一秒为两星之经度差又两测间太白赤道度三分四十七秒以减前太白之总经度得二百二十五度四十四分四十四秒再减角距星与太白经度之差得总经一百九十六度○分二十三秒更求角宿距星赤道经度前借西土所测三星之度仍用三角形证之百简其二三以明法之宻合其法再取角距星以较两年所测而定其凖数如前丙戌年测娄北星得二十五经度五十五分四十一秒若加娄角二星元经度之差一百六十九度五十一分五十一秒即丙戌年角距星之经度共得一百九十五度四十七分三十二秒此比戊子年所得之一百九十六度○分二十三秒差一十一分一十一秒论赤道经度之星差两年间不得有此所以然者因当日所测之星及太阳皆居赤道南与地平相近其视差为多繇有清蒙之差地半径之差其视差愈多故也虽然其东西两测之高度既同距度又同若以前差分秒平分之减多益少即得平矣故于戊子年减恒星差五十秒以进一周丙戌年反加之以退一周折中为丁亥年冬至之后角距星之经度有一百九十五度五十三分五十八秒与前独测毕大星之经度正相合何者彼所得六十三度○分五十三秒而本星距角距之元经为一百三十二度四十八分一十○秒两测之相距六年更加经五分(恒星东行每年五十一秒六年得五分○六秒)(赤经略同)并之得角宿距星丙戌年两测为俱在同度同分仅隔五秒矣证独测不如重测之便测恒星之经度向所云独测为本法重测为简法其大端矣重测之为简法者独测之求视差甚难重测则不论视差也所以不论视差者先于西边测太阳之高度后于东边测太阳之高度两高度既同即其距赤道两率不甚相逺而太白之两高度与其两距度亦然即有偏斜微细难推可勿论也此两测所得数若有赢缩则两视差所为矣而两测之高同纬同则视差必同若依本法推论视差所得数于两测一宜减一宜加今以赢缩之总率平分之加一于此减一于彼损有余补不足适得其平与两推视差何异焉故曰重测则不论视差苐谷之新法甚为简㨗者也以赤道之周度察恒星之经度第四 二章近黄赤两道有大星任定若干为距星用前测法或自西而东或自东而西求其两测之距度及其距赤道之纬度即用三角形法推得其经度差如是相连缀求之以迄一周所得各赤道经度总之合于赤道周即如所测各距星之经度俱为宻合用此距星为众星之界测量推算鲜不合也先右旋求四大距星之经度今借用万厯十三年乙酉苐谷所测之星以为法如图甲乙丙为极分交圏乙丙为赤道甲为赤道极庚为角宿距星距河鼓中星已九十七度五十○分在赤道南八度五十六分二十○秒河鼓已距娄宿北星丁九十○度一十五分在赤道北七度五十一分三十○秒娄北丁距北河东星戊七十四度四十五分三十○秒在赤道北二十一度二十八分三十○秒北河东戊又距角距星九十○度四十六分二十○秒距赤道二十八度五十七分左旋一周连缀测得各星之经度总之合于赤道周即各测俱不谬而可用为距星以测众星矣依前法先推甲巳庚三角形其第一边甲巳为河鼓中星纬度之余八十二度○八分三十○秒第二邉甲庚为北极至赤道南之角大星共九十八度五十六分二十○秒第三边庚巳为两星之距度依上测为九十七度五十○分用三角形法推得九十六度四十五分○九秒为甲角之弧即两星相距之赤道经度也次推甲巳丁三角形有第一甲巳边有第二甲丁为北极至娄北得六十八度三十一分三十秒第三巳丁河鼓中娄北之距依上测为九十○度○十五分依法推得甲角之赤道弧九十三度二十二分五十八秒又转推甲丁戊在左甲戊庚在右两三角形其甲戊六十一度○三分为同用边余边皆见上文依法推甲角左对弧八十三度五十七分三十三秒右对弧八十五度五十四分一十八秒此四星相距之各经度差并之得三百五十九度五十九分五十八秒以较赤道全周止差二秒若以秋分为界则于半周减一十五度五十二分一十八秒为秋分与角太星之距度次加各星之经度差以合于全周后左旋求六大距星之经度上文随恒星之本行自西而东测得其经度此自东还西反测之以证其宻合亦用角宿距星为首依万厯乙酉所测赤道与前解不异所得诸星距度及赤道经纬度若数一二于眉睫之下也六大星 距赤道 度 分 秒 相距度 分 秒乙角宿距星 南 八 五十六 二十 五十四 二 ○丙轩辕大星 北 十三 五十八 ○ 五十四 三十三 四十五丁井宿距星 北 二十二 三十八 三十 五十八 二十二 ○戊娄宿大星 北 二十一 二十八 三十 三十四 三十七 十五已室宿大星 北 十三 ○ 四十 四十七 四十九 二十庚河鼓中星 北 七 五十一 二十 九十七 五十 ○六距星用大三角形辏甲者六角其第一乙甲丙形从甲过赤道至乙共九十八度五十六分二十○秒甲丙为轩辕大星距赤道之余七十六度○二分乙丙为二星之距五十四度○二分推得甲角对二星之经度差四十九度一十九分二十○秒第二丙甲丁形先有甲丙其甲丁为井宿距星距赤道之余六十七度二十一分三十秒丙丁为二星之距五十四度三十三分四十五秒推得甲角弧五十七度○四分一十○秒第三丁甲戊形先有甲丁其甲戊为娄宿北星距赤道之余六十八度三十一分三十秒丁戊为二星之距五十八度二十二分推得甲角弧六十三度二十八分三十秒第四戊甲巳形先有甲戊其甲巳为室宿距星距赤道之余七十六度五十九分二十○秒戊巳为二星之距三十四度三十七分一十五秒推得甲角弧四十四度五十八分第五巳甲庚形光有甲巳其甲庚为河皷中星纬度之余八十二度○八分四十○秒巳庚为二星之距四十七度四十九分得甲角弧四十八度二十五分第六庚甲乙形先有两腰其庚乙为二星之距九十七度五十○分得甲角弧九十六度四十五分一十○秒已上所得六经度差并之得三百六十度即赤道周若从二分起算则先定近分第一星近分之度以加减前测所得不异今依上述万厯乙酉所测春分以后总经度如左星名 赤道经度 分 秒 赤道纬度 分 秒娄宿大星 二十六 ○ 三十 二十一 二十八 三十毕宿大星 六十三 三 四十五 十五 三十六 十五井宿距星 八十九 二十九 一十 二十二 三十八 三十北河东星 一百九 五十八 ○ 二十八 五十七 四十五轩辕大星 一百四十六 三十二 四十五 一十三 五十七 四十五角宿距星 一百九十五 五十二 一十八 八 五十六 二十河鼔中星 二百九十二 三十七 二十 七 五十一 二十室宿距星 三百四十一 二 三十 一十三 ○ 二十以恒星赤道经纬度求其黄道经纬度第五 六章前定赤道上之恒星经纬度可用以推考七政矣欲求备法湏更求黄道上经纬度也盖黄道上恒星之纬度终古不易其经度虽随时变易而每星相距之经度差亦终古如一无相离无相就也所以然者恒星本行之极即是黄道之极故用赤道者为其与天元宻合用黄道者为其与本行宻合二道二极两经两纬兼而用之七政逺近灼然不爽矣欲推其理非三角形无繇得之今更依前所测诸星申明此法如左星居两道之北如图外周为极至交圏丁巳为赤道戊庚为黄道乙为赤道极丙为黄道极甲为娄宿北星之本位今设赤道距度甲丁经度辛丁以求黄道经度辛戊纬度甲戊其法用甲乙丙三角形有乙丙边(两极相距)有甲乙(赤道纬度之余)有乙角(对边丁辛)(巳丁辛为赤道经度辛为春分辛巳为象限)依三角形法先求得甲丙八十度○三分为黄道纬度之余次求得丙角其弧戊壬得五十八度○六分五十○秒为黄道经度之余壬夏至也辛春分也以戊壬减壬辛象限得戊辛三十一度五十三分一十○秒为黄道经度又以甲丙减丙戊象限得甲戊九度五十七分为黄道纬度求余星倣此其居黄赤道南北左右位置不同别用三角形求之今畧举如左星居两道之中如甲为毕宿大星有赤道纬度甲丁依前用甲乙丙三角形求得丙极出弧过黄道戊至甲共九十五度三十○分五十一秒即象限外五度三十○分五十一秒为黄道之南距纬度而丙角之弧戊壬二十六度○二分以减象限得戊辛六十三度五十八分为毕大星之黄道经度又如甲㸃为井宿距星其甲乙丙三角形求甲丙法以乙丙乙甲两边及乙角推得甲丙九十度五十二分五十七秒为南距纬度其在黄道南者止五十二分五十七秒其丙角亦止二十八分四十○秒其余辛甲即本星之黄道经度也星居两道之南如角宿距星居黄赤二道之南图中甲乙丙三角形与上相似即推法亦同但乙丙则南极耳形之甲丙弧八十八度○一分即甲星在黄道南一度五十九分是其纬度而丙角之对弧庚戊七十一度五十六分五十○秒即黄道经度自戊至秋分辛得一十八度○三分一十○秒星居两道相交之左此图则辛为春分辛巳为黄道辛庚为赤道冬至移左夏至移右而经度亦从左起算故甲乙丙三角形与上第一图正相反上求甲丙此则甲乙上求丙角此乙角也如甲为河鼓中星依法求得乙极至甲六十○度三十八分三十秒即甲丁二十九度二十一分三十秒为黄道纬度而乙角之弧丁巳一百五十四度○四分减象限巳辛得辛丁六十四度○四分为距春分之黄道经度若甲为室宿距星依法求得乙极至甲七十○度三十四分即甲丁一十九度二十六分为黄道纬度而乙角丁巳一百○七度有竒可推其距春分之经度星居两道相交之右此图则辛又为秋分余皆如前一二图而甲星在秋分辛夏至癸之间即其经度必过一象限如甲为北河东星依法求得甲丙八十三度○二分○八秒即纬度在黄道北六度五十七分五十二秒而丙角于一象限外加一十七度三十○分二十六秒为其黄道经度若甲为轩辕大星即甲丙之余甲戊在黄道北止二十六分三十○秒为其纬度而丙角之弧于夏至癸一象限外加五十四度○四分四十○秒为其黄道经度星名 黄道经度 分 秒 黄道纬度 分 秒娄宿北星 三十一 五十三 ○ 北 九 五十七 ○毕宿大星 六十四 ○ ○ 南 五 三十一 ○井宿距星 八十九 三十一 二十 南 ○ 五十三 ○北河东星 一百七 三十 三十 南 五 五十八 ○轩辕大星 一百四四 四 四十 北 ○ 二十六 三十角宿距星 一百九八 三 ○ 南 一 五十九 ○河鼓中星 二百九五 五十六 ○ 北 二十九 二十一 三十室宿距星 三百四七 四十四 ○ 北 十九 二十九 ○以恒星测恒星第六 二章前以太白求恒星简知太阳所在因是推定各星度数其理著明矣今既得恒星为界即不必以太阳与距星比测直以星相比可得其实躔度数也测近赤道之恒星凡恒星近赤道四十度以下藉仪噐测之聊可省功太逺即不可葢浑仪中圏正合天元赤道乃至地平过极等圏皆切对其所当度分所以近赤道诸星不论在何方向即可指本星之赤道经度差及其距度也但湏用二星左右同见先得其逺近度差依法求得第三星之真经度(真经度者)(从降娄起算至本星)若彼此分秒相符即为宻合若有微差则平分其较以多益寡假如测井宿南第二星得赤道北纬一十六度四十○分左有轩辕大星其北纬一十三度五十七分四十五秒相距五十一度一十一分即所求经度差为五十三度○八分三十秒此应减于先得之轩辕经度而存九十三度二十四分一十五秒为是井二星之经度也(春分起算)右有毕宿大星其北纬一十五度三十六分一十五秒相距二十九度○九分即所求经度差三十度二十一分一十五秒应加于毕宿大星之本经度乃得井二星之经九十三度二十五分也两测相比则右方所得数较余四十五秒减半以益左得九十三度二十四分三十六秒为井二星赤道上真经度矣今更求黄道经纬度即以所得赤道经纬度依前第五题法即得井二星甲之经度在鹑首三度一十八分五十○秒其南纬六度四十八分三十○秒居黄赤二道之间其余星各依本方本向或南或北各依三角形法推算俱倣此测近两极之恒星隆庆六年壬申有客星甚大在䇿星东北甚近苐谷详究其经纬度先测定四周诸星然后与本星两两相比即得其实所今先用所测王良西星以明其法按王良西星距娄北星四十一度二十○分四十五秒距北河南星七十七度二十五分如上图甲为娄北星乙为北河丙为王良西星从黄道极丁出弧过各星至戊至已至庚成甲乙丁甲乙丙乙丙丁三三角形今所求者为王良西星距黄道之余弧丁丙及丁角以得黄道上之戊庚弧定其经度也先论甲乙丁三角形其两腰弧为二星距极之弧即其距黄道之余弧也一为八十○度○三分一为八十三度二十二分其乙丁甲角之弧戊巳则二星之黄道经度差为七十五度三十七分如前法得甲乙底七十四度四十五分○八秒又得乙角八十一度二十七分一十五秒次论甲乙丙三角形其腰线即王良西星与二星之距而底线即上甲乙因推甲乙丙角四十二度三十四分一十八秒而存丙乙丁外角三十八度五十二分五十七秒(下文)(用此)末论乙丙丁三角形前已得乙丙乙丁丙弧及乙角因推得丙丁弧三十八度四十五分二十二秒其余弧丙庚为王良西星距黄道之纬度又推得丁角七十八度○八分三十○秒是王良西星与北河南星之黄道经度差真经度所出也若更求其赤道经纬度即因所得度分如上图之甲丙线及丙角依前第五题法即得本星之赤道经三百五十六度四十三分二十○秒其北纬五十六度四十八分三十○秒余星皆依此法测恒星之资第七 一章测恒星测七政躔度公理也而有四资一曰测噐二曰子午线三曰北极出地度分四曰视差四资既具非其时又不可测焉测噐者何也凡测星有三求一求其出地平上度分二求其互相距度分三求其距黄赤二道之何方何度分所用噐亦有三一为过天顶之圈如𧰼限仪立运仪等此为测地平高度之噐一为纪限仪此为测两距度之噐一为浑天仪南北观𧰼台所有即是是为兼测二道经纬之噐今所用测星者则纪限浑天二仪而非大不得凖非坚固不得凖非界画均平安置停穏垂线与闚筩景尺一一如法亦不得凖也子午线者七政行度升之极而降之始也北极出地者凡用仪必以仪之极与本地之高极(高极者出地上之极也)相当而后各经纬皆相当乃始展转测候焉若无子午以正东西升降无高极以正南北高下即一切缀算之法无从得用故二者测天之本也视差者何也凡七政之视差有二一为地半径差一为清䝉气差地半径差月最大日金水次之火木土则渐逺渐消恒星天最逺地居其中止于一㸃故绝无地半径差而独有清䝉之差清䝉地气去人甚近故不论天体近逺但以高卑为限星去地平未逺人目望之星为此气所䝉不能直射人目必成折照乃能见之一经转折人之见星必不在其实所即星体在地平之下人所目见乃在其上矣(说见日纒厯指)迨升度既高䝉气已绝则直射人目是为正照虽星月之间微有湿气不能为差也试用一星于地平近处测其去北极之度迨至子午圈上又测之即两测必不合或用两星于地平近处测其距度迨至子午圈上又测之即两测亦必不合此其证也此气晴明时有之人目所不见而能曲折相照升卑为高故名清䝉若云雾等浊䝉直是难测不论视差矣苐谷累年测候妙悟此理剙立差分恒星视差比日躔视差更弱止近地平二十度以下乃能觉之表如下方作此表者其本方极出地之度与此方不等且视差亦随天气各有多寡厚薄但数既宻微测得其时则此表可共用之所谓时者如云霞雾霿无论已即使晴明时日而二十度以下䝉气乃所必有若所测两星俱在二十度以上即可不论视差若一在二十度上与䝉气相绝一在二十度下居䝉气之中则近地平之星必升卑为高而成视差两星之经度非真率矣至若日躔𤣥枵于时为立春于候为东风解冻湿气尤盛此际测星其视差必多于他时更宜消息加减之也此四资者为测星所须举其大畧若全理全用具载本论测恒星之噐第八 二章测量全义之末篇论诸测噐畧备矣此所系独测候恒星二噐者因上文每言测法必先明噐理然后能通其言意也测恒星相距之噐如前图甲乙丙为全圏六分之一名纪限仪者厯家以六十为纪法以别于四分一之象限也甲为全圏之心乙丙为纪限之弧分六十度度分六分十二或三十任仪大小作之仪愈大分愈细即愈善耳甲丁尺为度尺树圆表于甲以为尺枢其末丁游移弧上以定度分切度分之处剡其半为中线以直当甲心之一㸃丁上立一通光耳耳上于中线两旁各作一罅各与中线平行两罅之间与甲表之径等是耳随尺游移故名通光游耳又于乙上立一耳常定不移是名通光定耳又别作一耳用则加之否则去之是名通光设耳三耳之用不同其制一也又于已上立一小表弧之上去乙二十度为戊去乙丙各三十度为庚巳戊线与甲庚平行使从戊闚已从庚闚甲其度分等而通光设耳之本所则戊也全噐以架承之或为圆球架或为三枢架令上下左右偏正无所不可以便展转测诸曜之距度分测法先定所测之二星顺其正斜之势以仪靣承之以搘杖支之次令一人从定耳之一罅窥甲表同方之一边令目与表与第一星相叅直又一人从游耳窥第二星亦如之次视两耳下两中线之间弧上距度分即两星之距度分也若两距度分绝少难容两人并测即加设耳于戊以戊巳当乙甲向已表窥第一星而丁甲度尺对第二星如前从庚右数之即所测之距度因戊巳与庚甲为平行线故也凡测日与月月与星星与日皆倣此但日光照耀表景多虚淡不明宜用展缩木筩一具加度尺之上以束光聚影则灼然易见矣测恒星赤道经纬度之噐如前图乙为子午圏周分三百六十度游移架上以就本方北极出地之高平分其周而设之轴平分其轴而设之表当天顶而设之垂线下置垂权至于壬而止以取平也架之下设螺转之𣙗四以为足展转视垂权而高下之以取平也轴之两端入于乙圏之凿欲其利转也其交于己圏也己圏之交于丙丁圏也持之欲其固也丙丁圏者赤道也平分两极而居于己圏之中界故又名中圏也已与丙丁两圏为一体旋转相从而两圏之内又设为戊辛之圏戊辛与外圏同轴自为旋运不交于外圏而丙丁戊辛两圏之上各设两游耳游耳者可离可合百游无定之通光耳也两圏之各两靣皆平分为三百六十以定度分其测星也用赤道圏求经度法以两通光耳一定焉一游焉一人从定耳窥轴心之甲表与第一星叅直一人移游耳展转迁就窥甲表与第二星叅直两耳间之度分即两星之真经度差也用戊辛圏求纬度亦以通光耳迁就焉若测向北纬度即设耳于赤道南测向南纬度即设耳于赤道北皆凖诸轴心之甲表令目与表与所测星叅直乃止次简游耳下本圏之度分在赤道圏或南或北凡若干即本星之距赤道南北度分新法算书巻五十六
## 卷五十七
钦定四库全书
新法算书卷五十七 明 徐光启等 撰恒星歴指卷二恒星本行第一 五章前卷所借西史测星之法为恒星厯之基本此卷应凖前法仍借旧测诸星经纬度立表以待推算然旧测在万歴十三四年今相去四十余载不复可用宜作新表又须先明新旧所以异同之故不得不论其本行次乃定时下各星之经纬度表恒星本行之征七政之运行也时相㑹时相对其与恒星也时相近时相远其本曜之光时消时长(月有晦朔弦望近论大白辰星荧惑皆有之)其东西出没于卯酉也时南时北其过子午圏也时高时下人目所见变动不居故从古迄今人人知其自有运动因生各曜推步之法无可疑者若恒星则无先相㑹后相望无先相近后相远其光不消不长其东西出没其过子午圏虽百数十年无从觉其有差安知其有本运动乎夫恒星移运非一世之事前古厯家既已测其定度欲更得其转移之数必百年数十年谁能待之是故一人之身绝无能觉之缘也后来学者传受先贤所测度数复身试测之往往见其不合先人所见与四节相近者后人测之渐远又后之人测之又渐远从是推知恒星有本行之实度分及其移易之所以然也如角宿大星古地未恰于周赧王二十年丙寅测得其经度在秋分前鹑尾宫二十二度后多禄某于汉顺帝永和三年戊寅测在鹑尾宫二十七度后尼谷老于嘉靖四年乙酉测得过秋分在寿星宫一十七度后第谷于万厯十三年乙酉测在寿星宫一十八度轩辕星亦如之周赧王丙寅在鹑首宫二十七度汉永和戊寅在鹑火宫三度三十分今测在鹑火宫二十四度四十分余星皆如之是以帝尧之世日中星鸟谓春分则初昏时鹑火中也而周末在井今在参矣尧时冬至日在虚汉唐在斗今在箕矣非其自有本行安得冬至离虚宿而西鸟离子午而东乎恒星本行之极十政本行以黄道为道以黄道极为极终古恒然何繇知之葢人目所见出没于地平之卯酉南北不一过午之高度多寡不一又有时离赤道而南有时复还于赤道之北以此知其行必非循赤道行以此知其极必非宗赤道极也然七政之循黄道或浃旬可得或周岁可得恒星之循黄道必上下古今然后可得何者上古有测中古有测今时有测乃恒星出没地平之处今非中古之处中古非上古之处其过午之轨高亦然而恒移不定者赤道之距度恒定不移者黄道之距度也以此推知其循黄道行宗黄道极与七政同理灼然无疑矣更征实论之凡恒星距赤道之度从星纪迄鹑首则在赤道之南者必古多而今渐少在赤道之北者必古少而今渐多不似七政之行从冬至逾春分而夏至自南趋北乎从鹑首迄星纪则在赤道之南者必古少而今渐多在赤道之北者必古多而今渐少不似七政之行从夏至逾秋分而冬至自北趋南乎如外屏第二星尧时在赤道南十二度强因此时入娵訾宫故距度渐减至多禄某尚在南二度四十九分后渐过赤道以北今北距五度矣井宿距星尧时在赤道北一十四度弱因入实沈宫故距度渐加至多禄某得二十度正今北距二十三度与夏至圏相近也又轩辕大星尧时距赤道北二十四度因入鹑火宫故距度渐减至多禄某得一十九度三十分今止一十三度三十分角宿大星尧时距赤道北十度因入鹑尾宫故距度渐减以至于尽尽而复加至多禄某过赤道距南三十分而今渐远距南得九度一十分以此三四星为征余者尽然知其不随赤道而循黄道行宗黄道极也且七政皆右行而恒星亦右行以此推之尤著明矣恒星本行古测多禄某见恒星距赤游移不一先以上古所测星之赤道距度黄道距度及其两道相距度依三角形法测得其黄道经度后以自测之赤道距度如前求所当之黄道经度以两距时之经度差得中积之本行假如地末恰在其前四百三十二年所测角宿大星距赤道北一度二十四分距黄道南二度正此时之两道相距为二十三度五十一分因推其黄道经度在鹑尾宫二十二度二十分后自测其黄道距度已过赤道而南三十分其黄道距度及两道相距如前因得本星黄道经度在鹑尾宫二十六度三十八分以较地末恰所测差四度一十八分以四百三十二年分之约得一百余年而行一度此多禄某所定为恒星本行也泥谷老后多禄某一千三百八十六年又以时史所记恒星距赤道度及所自测以推其本行渐次戚速葢从多禄某至巴徳倪七百四十一年共得本行一十一度二十六分为六十五年而一度又六百四十五年至见测时行九度一十一分是为六十一年而一度以是论恒星之本行有迟速初无恒度可为常定不易之法也因立为迟疾加减法今畧解之云凡恒星去离四节有两说或云恒星离四节(二分二至)而右行毎六七十年进一度或四节离恒星而左行毎六七十年退一度其理则同此所用者左行而退度也如图甲戊子大圏为黄道甲为天元春分古时合于娄宿南星后来春分去离天元甲而积渐西移以至于戊乃其行迟疾不一故推步之法以从甲至戊之本行为春分去天元之平行以戊为心作午子巳小平面圏帖合于圆球面上以子未全径指量平行与视行(视行即实行也)之差度其癸己辛边上为自行度立加减法若在巳未午半圏则减于甲戊之平行以得其实行若在午子巳半圏即加于甲戊之平行以得实行也依此所求有三一求春分节戊随时去离天元甲若干为平行二求小圏之最远巳随时向辛未行若干为自行三求子未小圏半径内加减度所当小圏边之自行度即显恒星实本行之度也恒星本行今测从古厯家既知恒星自有本行后相去二千余年其所行度尚未及周天十二分之一(三十○度)其迟如此乃欲借此推测全周欲定其运行体势厯岁多寡譬如隙中窥豹所见一斑而遽欲槩其全体何从取证乎故古来诸家所定或六十年或七八十年或百年而行一度各不相合若于诸家所定长短不齐之中立为别法又甚繁而未必是也第谷精思累年用前贤之成法展转㕘订始信恒星运动常是平行虽从前诸测不无差殊究所从来各有因起穷极理势终归一致其说先以泥谷老所测角宿距星试之于正徳九年甲戌测得赤道南距八度三十六分第谷疑前测地面其北极出地高度尚非真率使人用大器密测实得彼所用高度尚差二分四十五秒因辨角距星距度中宜减二分四十五秒为北极不及之度又以所自测本星之黄道南距一度五十九分及此时之两道相距二十三度三十一分三十秒依前卷三角形法改泥谷老时所测黄道经应得过秋分一十七度○三分三十○秒又自于万厯甲申年测算得十八度○三分两测时相距七十年而角南星行五十九分三十秒即一年得五十一秒为恒星本行之恒数也又疑七十年时日太少不足以推验全周再引系巴科于汉武帝元朔六年戊午所测轩辕大星在鹑首宫二十九度五十分至自测时逾一千七百一十三年乃在鹑火宫二十四度○五分即所行二十四度一十五分以距年而一亦得五十一秒为一年之本行凡七十年又七阅月而行一度可为定率矣又因此距太远复引巴徳倪在系巴科后一千○六年为唐僖宗中和四年甲辰所测轩辕大星得其黄道经度在鹑火宫一十四度○五分比元朔戊午嬴一十四度一十五分迄第谷时越七百○五年而差一十度正䆒其比例又得五十一秒为一年之本行且无迟速若兹㕘伍知千年数百年此率犹当未变也或问前言古名厯若地末恰若多禄某各有测验第谷时曷不用此二家之说并加㕘伍乎曰依地末恰多禄某测法即二家所得本行先自不合用之㕘伍将何从而可乎试简彼两测角距星地末恰测在鹑尾宫二十二度二十○分越一千八百七十九年而第谷测得经度东行二十五度四十三分即一年平行仅得四十九秒一十五微多禄某测在鹑尾宫二十六度四十○分越一千四百四十六年而第谷测得东行二十一度二十三分即一年平行五十三秒一十五微何从而可乎若损有余补不足亦宜以五十一秒为正何况有系巴科巴徳倪第谷三测并较并无乖舛安得舎此之密合而从彼之纷纭哉又问古者测验何故多有不合而今所当用全属第谷之新法乎曰第谷测星非得其分秒不用非三四器三四人同时并测而所并得在一分以内不用故其法为独密也古法寛疎或仪器未善或未觉知天行变易之详所测度数差在数分之内自谓足矣安得如新法之精乎又第谷于恒星一一测候皆躬亲为之又苦心数十年乃得就此若古测不能遍及诸星又皆远借系巴科所遗之经纬度表加以后来行度率尔立法未如第谷之实测实见确有据依可以信今传后也若泥谷老所立恒星测法设平行自行以迟疾加减求得实行当其时诚为密合今以测星法细考之已觉稍远将来愈久愈远后有作者当自得之不待繁称也恒星本行表因列宿本行恒平分无迟速可用加减法于厯元以前厯元以后时时推得黄道经度所在也若因黄道距度稍有变易恒星本行亦当小差此在数百载之后随时测定若经度分即数百年后亦当未变况第谷所测近在四十年间今借用之岂非濵河汲水甚易而实是乎崇贞元年戊辰为厯元下推应加上推应减(分秒法俱六十)加(毎年五十一秒)减(同上) 加(同上) 减(同上) 加(同上) 减(同上)戊辰(分○○秒○○)戊辰 丁丑(○七三九)已未 丙戌(一五一八)庚戌已已(分○○秒五一)丁卯 戊寅(○八三○)戊午 丁亥(一六○九)已酉庚午(分○一秒四二)丙寅 巳卯(○九二一)丁巳 戊子(一七○○)戊申辛未(分○二秒三三)乙丑 庚辰(一○一二)丙辰 已丑(一七五一)丁未壬申(分○三秒二四)甲子 辛巳(一一○三)乙卯 庚寅(一八四二)丙午癸酉(分○四秒一五)癸亥 壬午(一一五四)甲寅 辛卯(一九三三)乙巳甲戌(分○五秒○六)壬戌 癸未(一二四五)癸丑 壬辰(二○二四)甲辰乙亥(分○五秒五七)辛酉 甲申(一三三六)壬子 癸巳(二一一五)癸卯丙子(分○六秒四八)庚申 乙酉(一四二七)辛亥 甲午(二二○六)壬寅加(毎年五十一秒)减(同上) 加(同上) 减(同上) 加(同上) 减(同上)乙未(分二二秒五七)辛丑 庚戌(三五四二)丙戌 乙丑(四八二七)辛未丙申(分二三秒四八)庚子 辛亥(三六三三)乙酉 丙寅(四九一八)庚午丁酉(分二四秒三九)已亥 壬子(三七二四)甲申 丁卯(五○○九)已已戊戌(分二五秒三○)戊戌 癸丑(三八一五)癸未 戊辰(五一○○)戊辰巳亥(分二六秒二一)丁酉 甲寅(三九○六)壬午 已已(五一五一)丁卯庚子(分二七秒一二)丙申 乙卯(三九五七)辛巳 庚午(五二四二)丙寅辛丑(分二八秒○三)乙未 丙辰(四○四八)庚辰 辛未(五三三三)乙丑壬寅(分二八秒五四)甲午 丁巳(四一三九)巳卯 壬申(五四二四)甲子癸卯(分二九秒四五)癸已 戊午(四二三○)戊寅 癸酉(五五一五)癸亥甲辰(分三○秒三六)壬辰 已未(四三二一)丁丑 甲戌(五六○六)壬戌乙巳(分三一秒二七)辛卯 庚申(四四一二)丙子 乙亥(五六五七)辛酉丙午(分三二秒一八)庚寅 辛酉(四五○三)乙亥 丙子(五七四八)庚申丁未(分三三秒○九)已丑 壬戌(四五五四)甲戌 丁丑(五八三九)巳未戊申(分三四秒○○)戊子 癸亥(四六四五)癸酉 戊寅(五九三○)戊午已酉(分三四秒五一)丁亥 甲子(四七三六)壬申 巳卯 丁巳岁差第二岁之有差亦多故矣一因太阳最高行度一因太阳本圈心去离地心渐次不等此二者为自差之根或因测验未合或因北极出地之高度未真此二者为偶差之根若无北四缘即太阳所成岁周终古若一何难之有哉然而太阳最高地心去离皆缘古今测候灼然无爽故当依彼自差剙意立法若恒星行度叅错短长既未能确见其所繇而平行一法又千数百年来的有可据则短长之因亦宜断归于偶差而巳何必强定为自差揣摩臆度定为㕘差之法并向下诸天亦与之为㕘差牵率天行憗从彼管窥未定之说耶今依实测实理则恒星经岁之间其东行实得三百六十五日二十四刻○九分二十六秒四十三微常有定率绝无多寡以较日躔定用岁实实赢一刻○五分四十二秒以变经度得五十一秒为恒星周岁离四节而东行之经度恒星岁实古今定岁实之法有二一为星岁恒星行周岁而复于故处是也一为节岁日行周岁而复于故处是也近古厯家专用节岁者多矣尼谷老于正徳年间欲复用星岁其说引恒星之岁实三一上古之实为三百六十五日二十四刻一十一分其一中古之实为三百六十五日二十四刻○九分一十二秒又自行测验约畧改定为三百六十五日二十四刻○九分四十秒以先后三率较之所差仅一分四十八秒以为密亲又用古今所测节岁相较二千年以来有差至八九分者以为疎远此其复用星岁之本意也然第谷更密考之并恒星岁实所得日数亦复小异其法取多禄某所测太阳及恒星度分以较所自测度分又除去最高差不同心差专求太阳从娄西星平行之度(上古春分节密合于娄西星后节渐违星而西星渐违节)(而东推步者从天元春分以迄娄西定为若干度分是名岁差根也)自多禄某以迄自测得两距之中积度分用中积岁而一为毎年之岁实也按多禄某于汉顺帝永和三年戊寅测得天正秋分第谷于万厯十六年戊子亦如之次加两测地之东西差(两测地有东西差即中积岁之率有多有寡加之者令两测之中积岁等)得中积距一千四百五十五年三百五十三日五十九刻一十○分依此查太阳平行得若干周如左多禄某测太阳在秋分节其最高在实沈宫五度三十分其本圏心距地心之度为六十分本圏半径之二分二十九秒三十微如图甲为㝡高丙为最高心戊为地心甲乙为太阳离最高之弧弧之对甲戊乙与丙戊乙同角则乙丙戊三角形内有乙丙为本圏之半径有丙戊为本圏心离地心之远有丙戊乙角对太阳去最高之远可推得丙乙戊角为中处(日平行所至)与实数(以见测视行依法加减讫即实行)之差因在夏后冬前宜以中实差加于实处(若冬后夏前则以减于实处)即太阳实处改为中处而离春分得六宫二度一十分当时岁差根止六度三十六分(因此时测得角距星距赤道三十○分推得其)(黄道经度距春分为一百七十六度三十六分内减角距娄西之本距一百七十度正余六度三十六分为此)(时之岁差根)以减太阳距节平行度六宫二度一十分得太阳距娄西星平行度五宫二十五度三十四分为阳嘉元年壬申之太阳平行根后第谷亦测太阳在秋分此时最高移至鹑首宫五度三十○分如图甲为最高丙为太阳本圏心戊为地心二心之距丙戊为六十分本圏半径之二分○九秒乙为太阳之实处(见测之数已经加减讫)距最高八十四度三十○分所对甲戊乙与丙戊乙同角即乙丙戊三角形内有乙丙丙戊两边有戊角可推丙乙戊角为中处与实处之差得二度二分三十○秒以加实处得中处六宫○二度○二分三十○秒为太阳距春分之平行度也内减此时之岁差根二十八度○五分三十○秒得太阳去离娄西星平行五宫○三度五十七分以较前多禄某所测五宫二十五度三十四分所差二十一度三十七分为太阳中积年间之平行以恒星之中积度分推太阳之右旋得一千四百五十五周三百三十八度二十三分以四率比例推得日行度五十九分○八秒一十一微二十七纎一十四芒二十六末五十四尘一年行一十一宫二十九度四十四分四十九秒四十○微四十二纎五十三芒三十八末三十○尘为恒星岁实较尼谷老所定实少一十三秒一十六微三十○纎变时得三百六十五日二十四刻九分二十六秒四十三微三十○纎自多禄某以来至于今恒如是问星岁无差而有定算如此何近古厯家不复用之曰欲立岁限以定处为主节岁于纒道有定处于四节有定处于天气寒暑有定处若星岁虽有定算而无定限随恒星右旋若随火木土而已以此较彼将孰愈也其余尚有他故厯指详之恒星变易度 第三向言恒星有本行足明其黄道经度日日变迁且有定率矣若用此以推赤道经纬度及黄道纬度可否移易及其经度差互相近互相远俱未及详也今论次如左恒星赤道经纬度变易定恒星向赤道之度必从赤道起算右行则为经度而去离南北则距度也若从赤道两极出大圏过春分名极分交圏乃为界首经度所始而星居其上者不论在赤道之或南或北皆无经度分因在初度初分故也一离此圏不论左右远近皆名正升度之圏(是从)(黄道上行而与赤道同出地平同入地平者名升度圏其在正球处名正升在欹球处名斜升然止论赤)(道度则皆用正升)乃以限赤道之经度容赤道之纬度也又赤道大圏为南北距度所始星居其上则无纬度一离此圏不论南北远近乃至两极皆名距等圏(或云赤道)(纬圏)乃以限赤道之纬度容赤道之经度也但赤道既斜交于黄道而恒星依黄道有本行必与赤道纬圈皆以斜角相交相过即星虽在赤道纬圏上得限距度而以迤行故即黄赤两距圏毎相违远矣故星之升度圏能得黄赤经度合一不离者独有二一为同在极至交圏一为同在两道交之两㸃自此而外更不可得虽行黄道经度均平如一其行赤道经度时时变动所以然者赤道之升度圏与黄道极所出圏相遇有疎有密随在不等故也如图赤道极乙所出升度圏乙午乙子乙癸等黄道极甲所出圏甲庚未甲丑未等若星在黄道纬之丙己圏行近于黄道即黄赤两极所出两圏相去畧等其经度或赤道或黄道东行亦畧等若星距黄道远在戊丁圏从戊至庚设一十五度即星厯黄道经圏若干时得戊庚十五度而厯赤道升度圏亦若干时所过乙壬乙癸(各十五度)将及乙甲几四十度矣所以然者甲庚未弧限黄道经度至戊庚己稍寛而乙壬乙癸等弧限赤道经度至此尚密所以星行厯黄道经度少厯赤道经度多也又使有星在黄道纬之辛丁圏上行即乙午乙子等弧限赤道经度者反寛而甲辛未等弧限黄道者反密则星行时所厯黄道经度反多厯赤道经度反寡矣总言之为星行二道之经度恒自不等再论星厯赤道纬度亦常不等如图甲为星在赤道南二十三度三十○分若行一周必至分节乙即无距度然随黄道行必过赤道而北极远处又在北二十三度三十○分矣又丙为星行一周即离赤道圏丙渐至己行愈远去赤道亦愈远至丁必离四十七度若更在戊距赤道丙己向北二十度过庚行愈远距亦愈远至壬为本圏距赤㝡远之界更加二十度总为六十七度矣余皆倣此葢左边距赤之度毎多于右边距赤之度如庚之距乙多于戊之距丙也至北极癸即左满九十度若过极即周行皆在癸丙九十度间戊辛之间加一度即癸辛之间减一度(减者减癸丙九十度也)若至黄道极辛即其距度终古不易矣二十八宿各宿度变易或问二十八宿有次第葢日月五星各以本行先厯角宿至亢至氐房心等古昔如此今世不然所见先入参度而后过觜度自余不觉者宿度寛也其实皆有之何故曰二十八宿不以赤道极为本行之极而以黄道极为极故其行度时近时远于赤道极行渐近极即北极所出赤道经圏渐密七政过之其行则疾渐远极即赤道经圏渐疎七政过之其行则迟七政行度疾于恒星远甚其逐及于近极之恒星在古觉速在今觉迟其逐及于远极之恒星在古觉迟在今觉速皆缘二道二极能使其然非七政有异行亦非恒星有易位也如图赤道南北极甲上所出各圏相去皆设一十度黄道两极乙上所出各圏亦如之有星为丁即限其赤道经度者为甲丁癸圏而星却不依赤道行乃依黄道自丁向戊行约毎七百年行一十度也又一星为己原设在丁前一十度其限赤度者为甲己子圏而所行亦依黄道自己向庚七百年十度因是己星依黄道至壬时丁星亦依黄道至辛己壬以黄道算得十经度而丁辛亦正对寅卯为黄道之十经度也然以赤道算之则黄己壬所对赤子丑一十度之弧而黄丁辛所对不止赤癸子一十度之弧更过赤道子而近丑将及二十度即丁星先在己星之后十度而渐向前行至逐及于甲丑圏上即两星同经度矣过丑则丁反在前矣假令日循黄道亦于丁戊线上行何得不于七百载之先至卯入丁宿度前距己未及数度而七百载之后乃至壬并入丁己二宿同经之度乎此非行有疾迟皆因度有广狭故也度之所以广狭者分宿度以赤道所出经圏为限而步七政以黄道所出经圏为限也但此设丁己二星一近北极一近黄道相去稍远者欲令此理灼然易见若设两星距度不远即不必七百年能超逾十度或进一二度亦此理耳若古时七政所歴先后不相越者正当黄赤二度广狭相等故也考赤道宿度差中厯古分宿度以相并或不成一周天今用之不合天度因自授时以来如上所说宿度变易故也法宜先求今之实宿度以究极古今异同之故仍立法以求古之实宿度如尧时冬至相传日在虚七度或在初分或在末分皆不可知今折中设在六度三十○分即所用虚宿距星定在析木宫二十三度三十○分为其赤道经度则其距黄道之纬度必八度四十二分以此经纬度依三角形法推其黄道经度所得与赤道经度不远亦在本宫二十三度三十八分所以然者两星之黄经度差终古不易依诸距星今相离黄道经度可以定古黄道各宿度而更以黄经纬度覆求各距星之赤道经度及各宿本度也其术俱用三角形法古赤道积宿度(今算定) 今赤道积宿度角一百四十六度三十一分(春分起算) 一百九十六度二十六分亢一百五十九度○五分 二百○八度一十分氐一百六十八度四十四分 二百一十七度二十九分房一百八十一度四十五分 二百三十四度一十分心一百八十七度二十五分 二百三十九度三十八分尾一百八十九度二十○分 二百四十五度四十七分箕二百○七十度○五分 二百六十五度○五分斗二百一十七度二十七分 二百七十五度三十九分牛二百四十二度四十六分 三百○ ○ 度○三分女二百五十○度○十○分 三百○六度五十三分虚二百六十三度三十○分 三百一十八度○○分危二百七十二度三十七分 三百二十六度四十一分室二百九十一度二十四分 三百四十一度三十四分壁三百○七度二十四分 三百五十八度三十四分奎三百一十九度五十三分 六 度五十七分娄三百三十三度四十六分 二十三 度三十二分胃三百四十四度二十分 三十五 度三十六分昴三百五十九度二十二分 五十○度十 六 分毕一十○度二十二分 六十一度四十五分觜二十八度二十五分 参七十八度二十九分参二十○度五十五分 觜七十八度四十三分井三十五度一十七分 九十○度○ 七 分鬼六十五度○八 分 一百二十二度二十一分柳七十二度三十三分 一百二十四度三十○分星八十八度五十四分 一百三十七度二十一分张九十六度二十四分 一百四十三度○九分翼一百一十三度○三分 一百六十度二十八分轸一百三十度○二分 一百七十九度○六分亦道古各宿度 今各宿度 依三百六十五度四分度之算角十二度三十四分 十一度四十四分 十一度九十分四十四秒亢九度三十九分 九度十九分 九度四十五分二十六秒氐十三度○一分 十六度四十一分 十六度九十二分六十六秒房五度四十分 五度二十八分 五度五十四分六十四秒心一度五十五分 六度九分 六度二十三分九十七秒尾十七度四十五分 一十九度一十八分 十九度三十分○秒箕十度二十二分 十度三十四分 十度五十六分六十六秒斗二十五度十九分 二十四度二十四分 二十四度七十五分五十八秒牛七度二十四分 六度五十分 六度九十三分六十一秒女十三度二十二分 十一度○七分 十一度二十七分五十七秒虚九度七分 八度四十一分 八度八十一分○秒危十八度四十七分 十四度五十三分 十五度十分四秒室十六度○○ 十七度○○ 十七度二十四分七十九秒壁十二度二十九分 八度二十三分 八度四十四分五十六秒奎十三度五十三分 十六度三十五分 十六度八十一分六十三秒娄十度三十四分 十二度四分 十二度二十四分二十六秒胃十五度○二分 十四度三十分 十四度七十分五十八秒昴十一度○○ 十一度二十九分 十一度八十一分○二秒毕十八度○三分 十六度三十四分 十六度八十分八十二秒觜二度三十分参○度二十四分 ○度四十分○秒参四度二十二分觜十一度二十四分 十一度五十六分○二秒井二十九度五十一分 三十二度四十九分 三十三度二十九分五十三秒鬼七度二十五分 二度○九分 二度一十五分○秒柳十六度二十一分 十二度五十一分 十二度八十五分○秒星○七度三十分 五度四十八分 五度八十八分四十六秒张十六度三十九分 十七度一十九分 十七度五十六分九十二秒翼十六度五十九分 一十八度三十八分 十八度六十三分三十三秒轸十六度二十九分 十七度二十分 十七度三十三分三十三秒恒星黄道经纬度变易第四前论赤道星度设大圏过南北两极及赤道上以定诸星赤道经度又赤道左右设不等小圏至两极横割子午圏以定赤道纬度今论黄道以定其经纬度亦如之但不从赤道南北极论而以黄道南北极论一切行度及行度之有变易皆主此今论其纬度变易与否及其经度差与诸星相近相远以尽黄道星度之理恒星黄道纬度变易第谷测星数十年得其黄纬度以较多禄某所记微不合且极至交圏侧近之星比于极分交圏侧近之星其纬度所差尤多反复研究以古黄经度及赤纬度究其所当黄纬度明其实然又欲定诸星之古时经度宜得一起算之界故先求角宿距星经度(此为近于极分交圈者其黄赤距当不易)依前三角形法求其纬度按地末恰所测角距星距赤道北一度二十四分系巴科所测止距三十六分后多禄某测得其距度在赤道南三十○分其黄道南距度因此时离秋节不远故恒为二度不变因推得黄经度于地末恰时在鹑尾二十一度五十三分后系巴科时在本宫二十三度五十三分多禄某时至二十六度三十八分繇是以角南为距星先测近二至之星试之然后以测分至两间之星各得其纬度分知诸星之距黄纬度渐近二至渐有变易焉非星位之有变易也而黄道之时远时近于赤道也北河西星距角距星之黄经差九十三度三十五分而在左(此为近于极至交圏可验黄赤距度变易之数)地末恰时其经度在实沈宫一十八度一十八分与夏至近其赤道距度三十三度正后系巴科时稍前在本宫二十○度一十八分赤距度三十三度一十○分又多禄某时更前在二十三度○三分而赤纬度三十三度二十四分因是可求其黄纬度各时所当焉如图外圈为极至交圈甲丙为赤道甲乙为黄道丁为北河西星甲己为黄经度庚己为过黄道极及本星之弧其赤道纬度三史所测皆设为丁戊今所求为丁己黄道距度也丁辛庚三角形内有丁辛边为本星距赤道戊丁之余弧(在地)(末恰时为五十七度盖三十三度之余也)有庚辛边(黄赤二道最远之距于时为二十三度五十一)(分二十○秒)有辛庚丁角(甲己黄经七十八度一十八分余己乙一十一度四十二分为辛庚)(丁角之弧)以求庚丁第三边得其余弧即本星之黄纬度丁己法从辛至壬下垂线成两直角形一为壬辛庚一为壬辛丁先壬辛庚内有庚辛边有庚角有壬直角以求壬辛边得四度四十二分一十五秒又求壬庚得二十三度二十五分次壬辛丁内有壬直角有壬辛辛丁二边以求壬丁边得五十六度五十二分十五秒以并先得之壬庚边共八十○度一十七分一十五秒为丁庚边是黄道纬度丁己之余弧即当时北河西星离黄道极庚之度而其余九度四十二分四十五秒为本星距黄道之度依系巴科所测赤纬度如前其丁辛边则五十六度五十○分(三十三度一十○分之余)两极相距辛庚仍前二十三度五十一分二十秒辛庚丁角九度四十二分(黄经甲己八十○度一十八分)(之余)推壬辛边三度五十四分三十○秒壬庚二十三度三十三分壬丁五十六度四十四分四十五秒并得丁庚八十度一十八分即北河西星黄道之北距丁己九度四十二分依多禄某所测其两极距如前本星赤道纬三十三度二十四分即丁辛边为五十六度三十六分黄道经八十三度○三分即辛庚丁角六度五十七分以推壬辛边得二度四十八分二十秒壬庚二十三度四十二分以加壬丁五十六度三十三分一十五秒并得黄纬之余弧庚丁八十度一十五分一十五秒其纬度稍强于前两测为九度四十四分四十五秒总三史所推折中为九度四十三分以较今测北河西星之距黄道一十○度○二分实差一十九分为三史时至今黄赤相距之度渐次改易自远而近也又河鼓中星角距星之经差九十七度五十二分在右边(亦近于极至交圈可验黄赤距变易)地末恰时在析木宫二十九度五十○分距赤道北五度四十八分后稍前至星纪宫一度五十分其距赤纬亦五度四十八分及多禄某时更前至本宫四度三十五分其距赤纬五度五十分此时此星在冬至左右不远故以黄赤二道相距最远之度加三测之本星赤纬度即得黄纬度二十九度四十○分为其切近于极至交圏与其在圏也畧等故不用三角形法乃今河鼓中星距黄道二十九度二十一分三十○秒以此证近至之黄赤距度昔远今近极著明矣前用二星者为其一近冬至一近夏至皆在黄道北必一増一减其黄纬度随黄道所两至之处测其违离南北几何得其渐近于赤道也若考星居分至之间者则其差亦在多寡之间矣如昴宿东第二星地未恰以太阴测之得其北距黄道三度四十○分在降娄三十度后在大梁三度亚仁诺所测未移纬度而今测在本宫二十四度四十五分恒得距黄道三度五十五分较古测强一十五分为此处变易黄道之度也又房宿北星与昴宿为对照地末恰所测在大火宫二度距北一度二十○分后在本宫六度黙聂老所测未移度而今测乃前至二十三度二十分距黄道止一度○五分较古测差一十五分即此时黄道近就于赤道亦一十五分矣或疑黄赤二道之距既能自远而近则邃古之时必更远远于何止乎曰邃古之距无从取证何可妄为之说但近古三史皆以二十三度五十一分为二至距赤之限且测非一人人非一测又皆以太阳二至之高下得之岂有悮乎今世之测验更细更详比昔就近实为三分度之一尤无可疑者但自今以后当复更近近何时已近极或当复远复在何时此则人灵微𦕈无能穷天载之无穷耳或问前所求虚宿等距星上古之经度也而用今之黄纬度能无谬乎曰用今世之纬度微不同千古之纬度但以之推南北度亦微差以求东西经度即无缘致误矣恒星黄道经度不变易前以恒星之有本行征其赤道经纬度随时变易者为诸星循黄道行斜交于赤道故也今论诸星循黄道行互相视有迟速乎曰否藉有迟有速者必有违有就位置有违就者形象必有改革乃自上古以来氐恒似斗尾恒如钩天津如弓箕宿向冬至行四千年得五十四度虚宿之过冬至也四千年亦五十四度余皆若此歴数千年形像如故运行如故迟速如故知黄道经度决无变易矣系巴科于二千年前述古记以遗后世论黄道周绕数星或居一直线上或别成形象多禄某在后更测之仍如是迄今不改如当时娄宿自西一二星与天大将军南二星作一直线天关星偕毕大星天廪南二星同在大梁宫亦如之北河二大星与五诸侯中星为三等边三角形鹑火宫内御女与轩辕向北第二第四第六星皆相距等远次相星与角宿北星亢宿北二星在鹑尾宫皆作一直线虚宿二星相距之广同危宿南北二星相距之广也此皆古系巴科所传与今所见一一不爽试用尺度向地平二十度以上既离蒙气之处一一量度甚易见也此以知恒星各相距或远或近穷古今恒如是矣考黄道宿度差星自循黄道上行而分别宿度之过极经圏乃从赤道极上出故以黄道之星厯赤道之度迤行斜过疎密疾迟变迁不一出黄极者诸星依之运动相距远近行度迟速终古如一也故当有诸恒星之黄道经度法先以尧时冬至日躔虚六度三十○分用三角形法推得其正丽黄经度二百六十三度三十八分而以经度差定率厯推古今之黄道各宿积度各宿本度并列于左黄道宿古积度 黄道宿今积度(平度)角一百四十四度○三分 一百九十八度三十九分亢一百五十四度三十八分 二百○九度一十四分氐一百六十五度一十八分 二百一十九度五十四分房一百八十三度一十二分 二百三十七度四十八分心一百八十七度五十八分 二百四十二度三十四分尾一百九十五度三十一分 二百五十○度○七分箕二百一十一度○七分 二百六十五度四十三分斗二百二十○度二十七分 二百七十五度○三分牛二百四十四度一十八分 二百九十八度五十四分女二百五十一度五十九分 三百○六度三十五分虚二百六十三度三十八分 三百一十八度一十四分危二百七十三度三十七分 三百二十八度一十三分室二百九十三度四十四分 三百四十八度二十分壁三百○九度二十五分 ○ 四度○一分奎三百二十○度五十六分 ○一十五度三十二分娄三百三十四度一十分 ○二十八度四十六分胃三百四十七度一十分 ○四十一度四十六分昴三百五十九度○一分 ○五十三度三十七分毕○ 八度四十分 ○六十三度一十六分参○二十二度三十八分 ○七十七度一十四分觜○二十三度五十九分 ○七十八度三十五分井○三十五度三十二分 ○九十度○八分鬼○六十五度五十七分 一百二十度三十三分柳○七十○度三十三分 一百二十五度○九分星○八十七度三十三分 一百四十二度○九分张○九十五度五十六分 一百五十度三十二分翼一百一十四度○○分 一百六十八度三十六分轸一百三十一度○○分 一百八十五度三十六分右黄道积度是各宿离春分东行之度其十二次度分表见后方各宿黄道本度 依三百六十五度四分度之一分各宿度角一十度三十五分 一十度七十三分七十六秒亢一十度四十○分 一十度八十二分二十二秒氐一十七度五十四分 一十八度一十六分一十秒房四度四十六分 四度八十三分六十二秒心七度三十三分 七度六十六分○一秒尾一十五度三十六分 一十五度八十二分七十六秒箕九度二十○分 九度四十六分九十五秒斗二十三度五十一分 二十四度一十九分七十八秒牛七度四十一分 七度六十三分五十四秒女一十一度三十九分 一十度九十七分九十九秒虚九度五十九分 一十度一十二分九十秒危二十度○七分 二十度四十一分○一秒室一十五度四十一分 一十五度九十一分二十一秒壁一十一度三十一分 一十一度六十七分六十七秒奎一十三度一十四分 一十三度四十二分二十六秒娄一十三度○○分 一十三度一十八分九十六秒胃一十一度五十一分 一十一度九十六分一十六秒昴九度三十九分 九度七十八分一十一秒毕一十三度五十八分 一十四度一十七分○四秒参一度一十一分 ○一度三十五分○秒觜一十一度三十三分 一十一度七十一分○二秒井三十度二十五分 三十度八十六分○二秒鬼四度三十六分 四度六十五分八十二秒柳一十七度○○分 一十七度二十四分七十五秒星八度二十三分 八度五十分五十六秒张一十八度○四分 一十八度三十三分○一秒翼一十七度○○分 一十七度二十四分七十九秒轸一十三度○三分 一十三度二十四分○三秒新法算书卷五十七
## 卷五十八
钦定四库全书
新法算书卷五十八 明 徐光启等 撰恒星厯指三以恒星之黄道经纬度求其赤道经纬度第一 三章前论恒星以本行依黄道渐移而东既有平行经度而纬度南北移就为数甚少非歴岁久远不可得见以此互相推较其经度差无时不同纬度相距远近又无从可改必至数百年后测騐差数乃得依法推变也若论赤道经纬度则否星行既依黄道其向赤道时时迁改欲从赤道求之无法可得故求赤道经纬必用黄道经纬盖星之去离赤道无恒而去离黄道有恒黄道赤道之相去离也又有恒以两有恒求一无恒无患不得矣其推步则有多法或用曲线三角形依乘除三率推算为第一此初法也或用曲线三角形加减推算为第二此约法也或用简平仪量度加减推算为第三此简法也或造立成表简阅得数并免临时推算之烦为第四此因法也第一法前第一卷已备论之今所论者每具二则为第二第三法如左方若立成表作者甚难用者甚佚但恐狥末忘本则繇而不知者多矣今附载之求恒星赤道纬度前法(即第二法)前法用曲线三角形加减推算如图有星在甲甲辛为黄道纬度其余弧甲乙为甲乙丙三角形之一边辛戊为黄道经度以加戊己象限得甲乙丙角又乙丙为两极距度则是甲乙丙角形有甲乙乙丙两边有乙角可求甲丙边甲丙之余弧甲丁则本星距赤道之纬度也其法以三角形内之小弧加于大弧之余弧得总弧求其正弦(求纬恒用正弦求经恒用切线)为先得数其总弧或正得九十度或较多或较寡若正得九十度即半先得之弦为次得之弦又以大小两弧所包之见角求其倒弦(为角)(之弧过象限故用倒弦倒弦者对本角过弧之正弦)则后得之弦也今用三率法为全数与次得之弦若后得之倒弦与他弦既得他弦以减先得之弦所存为三角形内第三弧之余弦即所求赤道纬之正弦也假如参宿腰星之西有五等小星其黄道经度于崇祯元年推得七十四度二十二分其纬度距黄道南二十三度三十二分使黄道在南距赤道二十三度三十二分(云使者假设之数不用实分秒)则三角形内甲乙大弧得六十六度二十八分乙丙小弧二十三度三十二分甲乙丙角对辛戊经度弧及戊己象限弧共得一百六十四度二十二分甲辛为甲乙大弧之余弧得二十三度三十二分依法加于乙丙小弧二十三度三十二分得四十七度○四分其正弦七三二一五为先得之弦即半之(适足一象限故)得三六六○七为次得之弦次求甲乙丙角之倒弦(即己辛弧之弦)一九六三○一(首一者己戊全弦也)为后得之弦依三率法以乘次得之三六六○七得七一八五九为他弦以减先得之七三二一五余一三五六为甲丙弧之余弦即甲丁弧之正弦为本星距赤道圏纬度四十六分三十五秒若三角形内之总弧过一象限即次得之弦非折半可得法以大弧之余弧减小弧所存求其弦以加于先得之总弦半之为次得之弦其后得者甲乙丙角之倒弦依前用三率法但所求得之他弦若小于先得之弦其法同前若等则所求三角形内第三弧之弦正为九十度之弦而星必在赤道上无距度若他弦大于先得之弦则以小弦减大弦(不论何弦但以小减大)余为本星距赤道之弦假如毕宿大星于崇祯元年距黄道南五度三十一分在甲其黄道经度为辛戊六十四度三十五分三十秒即甲乙为大弧八十四度二十九分乙丙为小弧二十三度三十一分三十秒(两极之距度)两弧所包甲乙丙角一百五十四度三十五分三十秒依法以大弧甲乙之余弧甲戊五度三十一分加于小弧乙丙二十三度三十一分三十秒共得二十九度○二分三十秒求其弦四八五四四为先得之总弦又以余弧甲戊减小弧乙丙存一十八度○分三十秒其弦三○九一五以加先得之总弦四八五四四得七九四五九然后半之得三九七二九为次得之弦其后得者甲乙丙角之倒弦一九○三二八依三率法以乘次得之三九七二九得他弦七五六一四因他弦大于先得之弦故于他弦内减先得之四八五四四存二七○七○查得十五度四十二分为甲庚弧是本星距赤道之度若总弧不及一象限则如前求先得之总弦次以小弧减大弧之余弧所存查其正弦又以减先得之弦所存半之为次得之弦其余同前第一法假如崇祯元年大角星距黄道北三十一度○二分三十○秒其经度过秋分一十九度○二分三十○秒其两弧间之角甲乙丙得一百○九度○二分三十秒而甲乙大弧五十八度五十七分三十秒乙丙小弧二十三度三十一分三十秒今大弧之余弧甲己三十一度○二分三十秒以加乙丙二十三度三十一分三十秒得五十四度三十四分其弦八一四七九为先得数又甲己内减乙丙小弧存七度三十一分其弦一三○八一以减先得之弦存六八三九八半之得三四一九九为次得之弦次依三率法以乘甲乙丙角之倒弦一三二六一二得四五三五一为他弦以减先得之八一四七九存三六一二八为本星距赤道之弦查得甲己弧二十一度一十○分五十四秒求赤道纬度后法(即第三法)后法用简平仪或量度或加减推算(简平仪者以圆平面当浑仪也圆平面者)(以极至交圈为界作过心平面也以面当球与平浑仪同意论球则半在面前可见今以直线当弧半在面后)(不可见其直线当弧与前半同理下文言某线为某弧或言前弧后弧等俱本此)量度者用规器量度所有之见度分即于分度等圈上量取所求之隐度分也加减者亦于本仪取数其算法即前法也量度则省算然每星当作一图亦不能得细分秒加减则一图能算多星可省图可得细分秒特未免乘除之烦总之先得各星之黄道经纬度即从星作直线与赤道平行至外周从线尾起算至赤道为本星之赤道纬度弧可量亦可算也今并具二法用者择焉试先解仪上诸线如丙壬寅子大圈为极至交圏壬丑线为赤道大圏辛寅线为黄道大圏春秋二分俱在癸若星距黄道北则辛为夏至寅为冬至星距黄道南则寅为夏至辛为冬至今所测星为乙癸甲线为星之黄道纬度对丙辛弧甲乙线为星之黄道经度对辰卯弧丙乙子线为过星之距等小圏与黄道平行丙卯辰子即过星距等圏之半在仪上为立面与仪面为直角在弧为丙卯辰子在仪面为丙乙甲子自人视之卯㸃即乙㸃辰㸃即甲㸃也卯辰为星之黄道经度弧夫卯即乙乙即星若有乙丁线与赤道平行截极至交圏于午即从午至赤道壬为所求本星之赤道纬度弧矣今用规器量度则先定黄道纬度之丙辛弧经度之辰卯弧从经纬线相交之乙星上出乙午线则壬午弧必所指赤道距度也以加减推算则用直线三角形先从丙出垂线至己半之得己戊从戊作线与丁乙平行必至甲(丙甲为丙子之半故丙戊为丙己之半)又从子出子己底线偕丙己垂线作丙己子直角即成三角形者三而求丙丁弦以减丙庚正弦存丁庚弦为星之赤道纬度假如乙为句陈大星其黄道经于崇祯元年为八十三度二十五分二十七秒黄道纬六十六度○二分当用第二图推本星距赤道之纬度法以星距黄道之丙辛(六十六度○二分)加于黄道距赤之壬辛(二十)(三度二十一分三十○秒)得丙壬弧八十九度二十三分三十秒其正弦丙庚九九九九七今欲推己庚线(己庚者子丑弧之正弦子丑者星距等圏)(近赤之弧)法以黄道距赤之丑寅(二十三度三十一分三十○秒)减星距黄道之子寅(六十六度○二分)得丑子弧四十二度三十分三十秒其正弦己庚六七五六九以减丙庚余丙己三二四二八半之得丙戊弦一六二一四又勾陈黄道经度甲乙八十三度二十五分二十七秒以减全数十万(一率)存乙丙六五八(二率)以乘丙戊弦(三率)得一○六为丙丁弦(四率)也次以一○六减丙庚正弦得丁庚九九八九一其弧八十七度一十九分为勾陈大星距赤道之度其比例甲丙与乙丙若戊丙与丙丁也更之甲丙与戊丙若乙丙与丙丁(几何六卷四)算恒星赤道纬度以右法为例若各星纒度不同即加减法亦异今为六图畧率论次如左凡星距黄道北其纬在二十三度三十一分三十○秒以内其黄道经度自春分起至秋分止用第一图推算或星距黄道南亦在二十三度三十一分三十秒以内而经度过秋分至春分止者同凡星距黄道北过二十三度三十一分三十○秒而不过六十六度二十八分三十○秒(在本象限之内)其黄道经度自春分至秋分用第二图推算若星距黄道南过二十三度三十一分三十○秒又不过六十六度二十八分三十○秒而过秋分至春分者同凡星在黄道北其纬过六十六度二十八分三十秒经度自春分至秋分用第三图推算若在黄道南纬度同前而经度自秋分至春分亦用三图为两至距赤度星距黄度并之(壬丙弧也)过九十度而丙庚正弦亦不在癸辛象限之内故凡星距黄道南二十三度三十一分三十○秒以内而经度自春分至秋分用第四图若星距黄道北亦二十三度三十一分三十○秒以内而经度自秋分至春分者同凡星距黄道南过二十三度三十一分三十○秒而不过六十六度二十八分三十○秒其经度自春分至秋分用第五图若星距黄道北纬度同上而经度反过秋分至春分亦用五图凡星距黄道南过六十六度二十八分三十○秒其经度自春分至秋分用第六图若星距黄道北纬度同前而经度自秋分至春分即壬丙总弧过九十度亦用六图总之星距黄道之弧任在南在北其与黄赤距弧于图右推算即相加于图左推算即相减为恒法也凡星黄距度大于黄赤距度则以其较弧之正弦减先得总弧之正弦若小则以较弧之弦加先得总弧之正弦如第三图子寅(星黄距)大于丑寅(黄赤距)则以其较弧(子丑)之正弦(子未或己庚)减丙壬总弧之正弦丙庚而得丙己若小如第一图子丑(星赤距)为寅丑(黄赤距)之较弧则以较弧之正弦庚己加丙壬总弧之正弦丙庚而得丙己凡星黄距黄赤距之总弧大于一象限用其通余弧之正弦如第三图壬丙过九十度壬丙丑为通弧丙丑为通余弧则用其正弦丙庚凡星之经度弧少不及二至圏则取其正弦加减于全数以得其余矢若大而过二至之圏则取其通余弧之正弦求其余矢求法在前三图用减在后三图用加如各图从甲辰分节起算至卯乙辰卯为经度弧其正弦甲乙(俱在前半圏)若过至节之界或子或丙至卯乙则卯辰为经度之加弧(在后半圏)又前三图内甲乙减甲丙得乙丙后三图内加之得乙丙皆为余矢也(以正弦减半径为余矢大弧过九十)(度其限外弧为加弧并九十度为过弧)各图皆以丙丁弦减丙庚正弦惟星在两道间如第四图丙丁大于丙庚则以丙庚减丙丁而得丁庚(赤道纬)其余法简各图自明求恒星赤道经度前法(第二法)前法求纬度用曲线三角形并两腰分盈缩适足三等加减得之此为黄经纬求赤经纬以二求二故也既得赤纬则以三求一故不拘大小皆归一法止用两纬度之余弧及见角之余角以推他角所对赤道经度之余弧如图甲丙为星赤道纬之余弧甲乙为黄道纬之余弧甲乙丙为对黄经度之见角丁乙庚其余角是甲乙丙三角形内有三边有乙角今求甲丙乙他角以推戊己是为赤道经度之余弧假如甲为大角星其赤道纬于崇祯元年得二十一度一十分五十一秒为甲戊其余弧甲丙六十八度四十九分得正弦九三二四四为第一率黄道纬三十一度○二分三十秒为庚甲其余弧甲乙五十八度五十七分三十秒得正弦八五六七九为第二率其黄道经度过秋分辛一十九度○二分三十秒为辛庚即甲乙丙角之余弧庚丁必七十度五十七分三十秒得正弦九四五二八为第三率求得八六八五六为戊己弧之正弦查得戊己弧六十度一十七分三十○秒以减象限存二十九度四十二分三十○秒为大角星秋分后之赤道经度求赤道经度后法(第三法)用简平仪与前求纬法同今所求者为辰卯弧而先得者赤黄二纬度故三角形之底线与黄道平行星纬弧与两道距弧在图之左即相加在图之右即相减如图乙为勾陈大星其黄道纬六十六度○二分其先得之赤道纬甲癸八十七度一十九分辛壬为黄赤距弧(二十三度三十一分三十秒)以加赤道纬度弧壬丙(八十七度一十九分)得辛丙(一百一十度五十分三十秒)总弧其通余弧丙寅之正弦(九三四五七)为丙庚也又因星在图之右应以星纬弧两道距弧相减得(六十三度四十七分三十秒)为寅子弧其正弦(八九七二○)为子未或己庚以减丙庚正弦余(三七三七)为丙己半之存(一八六八)为丙戊今本星黄道纬弧(六十六度○二分)为辛午其弦(九一三七八)为丁庚以减丙庚正弦得丙丁(二○七九)因以丙戊为第一率丙甲全数为第二丙丁为第三得丙乙弦(一一一二九六)去其首位(丙甲全数)存(一一二九六)为甲乙弦所对辰卯弧(六度二十九分一十秒)即本星之赤道经度并求恒星赤道经纬度(第四法)依前法用立成表可并求经纬度且省算如图星在甲其黄道纬甲丁经丁庚而求赤道纬甲乙经乙庚即用此两曲线三角形取之其法于甲乙丙三角形内因三表可得甲乙弧为赤纬及丙乙弧以得乙庚赤经先用赤道升度表查取相当之黄道经度如图戊庚为赤道弧辛庚为黄道弧今反之以辛庚为赤道即原黄道之丁庚升度今以当赤道之弧即可得相当之庚丙上度也次以黄赤距度表用其经弧查其纬弧既得经弧之度丙庚即知两道相距之纬度丙丁也更用过极圏截黄交角表因辛庚当赤道即星上过极之壬丙弧截见当黄道之戊庚弧于丙则得甲丙乙交角次以黄纬甲丁加两道距丁丙得甲丙为第一三角形之弧夫甲乙丙既为直角又有后得之甲丙乙角即先推甲乙弧为星之赤道纬后得乙丙以减先得之丙庚存乙庚为星距分节之经弧假如娄宿东星于崇祯元年距黄道北(九度五十七分)距春分节(三十二度二十九分四十八秒)为见当赤道上之黄道升度丁庚也而在大梁宫查升度表于大梁宫得其度分其相当者为见当黄道上之度(三十)(四度四十八分)庚丙也又用两道距度表以庚丙弧四度四十八分于大梁宫查其相当之距纬得(一十三度一十○分)为黄赤距度丙丁又以庚丙弧之度分于交角表查大梁宫之四度四十八分得(七十度二十○分二十四秒)为甲丙乙角今以甲丁(九度五十七分)加于丁丙(十三度一十分)得(二十三度○七分)为三角形之弧甲丙其正弦(三九二六○)为第二率甲丙乙角之正弦(九四)(一六七)为第三率甲乙丙直角全数为第一率求得(三六九九)(九)为四率即甲乙弧之正弦查得(二十一度四十二分五十三秒)为本星距赤道之纬弧又以甲乙丙角全数为一率甲丙乙余角(一十九度三十九分三十六秒)之弦(三三六四四)为二率甲丙弧之切线(四二六八八)为三率而求乙丙底弧之切线得(一四三六四)为四率查得(八度一十分二十六秒)以减庚丙弧(三十四度四十八分)存(二十六度)(三十七分三十四秒)为本星赤道之经弧乙庚若经少纬多星越赤道极之轴线戊丁而近黄道极法当先用升度表次用黄赤距表又次用交角表以三率求乙丙则甲丙乙角之余弦与甲丙弧之切线相乘得数为乙丙弧之切线内减先升度表所取之丙丁弧余丁乙以减三百六十度所余环周之大丁乙即赤道经也再以丙角甲丙正弦相乘得数即赤道纬甲乙若黄纬过九十度之外诸法同前但去九十度而用零数法以零数之余弧取其正弦乘丙角之正弦得甲乙纬又以零余弧之切线乘两角之余弦得丙乙之余切线又以所去九十度加丙乙内减升度丙丁所存以减全周所存通弧为本星之赤道经度假如紫微垣新増少弼外南星其黄经五十○度○九分黄纬八十○度三十八分查升度表得五十二度三十五分为丙丁查距度表得一十八度二十九分为丙己查交角表得七十五度一十二分为丙角今以距度丙己加黄纬甲己得甲丙九十九度○七分为过象限则去九十度独用其零数九度○七分以其余弧八十○度五十三分查八线表得九八七三七为正弦以乘丙角之正弦九六六八二得九五四五○一为赤纬甲乙之正弦查得七十二度三十九分又查零余弧八十○度五十三分其切线六二三一六○以乘丙角之余弦二五五四五得一五九一○六为丙乙之余切线查得三十二度○九分以加前所去九十度得一百二十二度○九分内减升度丙丁五十二度三十五分存六十九度三十四分以减全周三百六十存二百九十○度二十六分为本星之赤道经度若星在黄赤道之间法以黄纬减黄赤距度其余同前用相乘之数减丙丁所得数为赤经数若星在两道南丙丁为赤经法当以乘出之乙丙数加乙丁为赤道经度是黄经短赤经长也前所求在降娄大梁实沈三宫则可若在鹑首鹑火鹑尾其法异是何也此星方位出象限之外经度已转过至节故前减者此宜加前加者此宜减又前黄纬过九十度即越北极轴线故减于三百六十度内方得所求今从春分转至秋分虽过九十度而无轴线可越(不得至黄南极故也)故不必减于全周自秋分以往对待六宫如寿星至娵訾俱同前法但星在南左用北右法星在南右用北左法此为异耳以度数图星象第二 三章平浑仪义古之作者造浑天仪以准天体以拟天行其来尚矣后世増修递进乃有平面作图为平浑仪者形体不甚合而理数甚合为其地平圏地平距等圏及过天顶横截之弧与天夫黄赤二道黄赤距等圏及过两极横截之弧皆确应天象故以此言天特为著明能毕显诸星之经纬度数也厯家称为至公至便超绝众器今详其应用多端不后于浑仪其要约简易则胜浑仪且浑仪所用大环欲其纤毫不爽势不可得未若平面之直线当一环圆界当一环直者必直圆者必圆无可疑也然论其本原即又从浑仪出何者凡于平面图物体若依体之一面绘之定不合于全体必依视学以物影图物体或圆或方或长短各用其远近明暗斜直之比例则像在平面俨然物之元体矣但光体变迁出光之处无数则所作影亦无数而受影之半面有正有偏则影之变态又无数故视学家分为二品一为有法物像一为无法物像(以可用为有法不则无法)今论浑仪之影能生平仪仪本于此必求平面之上能为实用可显诸曜之度数以资推算者则为有法而于诸无法像中择其有法者特有三一设光于最远处照浑仪正对春分或秋分则极至交圏为平面之圏界以面受影即显赤道及其距等圏皆如直线而各过极经圏皆为曲线之弧此有法之第一仪也次设光切南极则赤道为平面之圏界诸赤道距等皆作平面上圆形而极至交圏又如直线此为有法之第二仪也又次设光切春分或秋分在极分圏与赤道之交则亦以极至交圏为平面之圆界以面受影即赤道与极分交圏为直线而其余皆为曲线之弧此有法之第三仪也今绘星图惟用第二仪次则第三以其正对恒星之度其第一仪不用也为是平浑所须并论之总星图义设浑仪以北极抵立平面其轴线为平面之垂线有光或目切南极正照之仪上设㸃其影或像必径射于平面即北极居中设㸃之影去北极渐远者其在平面之两距亦渐远乃至南极则为无穷影终不及于平面矣又平面之上北极所居㸃为过两极轴线之影为浑仪众圏之心平面上诸赤道距等圏离此愈远即其影愈寛大至近南极者则平面无可容之地也假有浑仪为甲丙乙丁甲为南极乙为北极以乙极抵丑乙子平面有光或目在甲极先照近北极之圏辰己即其影自己迄辰为本圏之全径因以乙为心己辰为界即平面作圏准浑仪之实环也又照夏至圏癸壬之圆界其影至卯寅即以卯寅为径次照赤道圈丙丁之圆界影至己戊以己戊为径各如前作圏各得准其本环次有冬至圏辛庚虽近甲南极小于赤道之丙丁圏而影在平面为丑子反大于赤道影己戊盖乙甲丑角大于乙甲己角故也若至午未南极圏其影在平面更远而终竟可至惟甲南极为左右直影与子丑平行终不至于平面也今作星图不用两至两极圏独用赤道之左右度分度分近乙北极即平面上影相距亦愈近远亦愈远经度既尔纬度亦然盖经度从心向外出线其左右各侣线愈远心相距亦愈广纬度从心向外作圏其内外各侣圏愈远心相距亦愈寛也问经度远心即愈广易见矣何以知星之纬度在平仪之上愈远心相距愈寛乎曰以几何徴之设有甲乙丙丁圏以全径甲丙抵戊己平面为垂线若平分圏界如一十二从甲出直线各过所分圏界至戊己庚辛平面上各㸃得戊庚寛于庚辛面庚辛又寛于辛壬余线尽然盖从甲出各侣线至平面以各㡳线连之其各腰与各底为比例则甲庚与庚辛若甲壬与壬辛也今甲庚大于甲壬则庚辛必大于辛壬(见几何第六卷第三题)试以丙为心作壬辛庚三侣圏其在仪各所分圏界则为距等而壬辛之相距与辛庚之相距广狭大异矣依此作图则去心远者各所限经纬度渐展渐大与近心者不等而经纬度之比例恒等即所绘星之体势与天象恒等不然者经度渐展纬度平分依经纬即失体势依体势即失经纬乖违甚也斜圏图圆义浑仪诸圏有正有斜正者如赤道圏赤道距等圏及诸过极经圏也斜者如黄道圏地平圏及其各距等圏也以视法作为平面图设照本(或光或人目)在南极则正受照之圏影至平面必成圏形或直线如前说矣若斜受照之圏其影在平面当作何形像乎此当用角体之理明之按量体法(测量全义六卷)中论角体有正角有斜角两者皆以平圆面为底皆以从顶至底心之直线为轴线其为正与斜则以垂线分之若自角下垂线至底与轴线为一如第一图甲乙垂线即甲丙丁戊角形之轴线则甲丙丁戊为正角体若两线相离如第二图甲己为轴线甲乙为垂线则甲丙戊庚丁为斜角体也更以斜角体上下反截之为甲辛壬小角体(既斜截为上下)(两体更若从轴线自上而下纵截之为两平分其截面三角形大小比例)(相似则名反截之角体若不合比例则为无法)依斜角体之本理则小体之底与大体之底相似不得不成圆形今欲推黄道等斜圏不能正受照本之光则于平仪面所显何像法依第二斜角图以甲当南极照本之㸃壬辛为浑仪上斜圏丙戊庚为平面上斜圏之影次用三图徴为圆影焉假如甲乙丙为极至交圏甲当南极为照本之㸃斜受光之圏为乙丁从甲照之过乙丁边直射至己戊平面为甲己甲戊两线即得甲己戊及甲乙丁皆直线三角形此为浑仪平面形影之体势以角体法论之己戊为乙丁圆圏之影即甲己戊为全角体而甲乙丁其反截之小角体矣又甲丙垂线非甲庚枢线即甲己戊为斜角体而己戊其底自与甲乙丁小角体其底乙丁各相似也问反截之角体与平面所得三角形何云两相似乎凡相似两三角形必三角各等三边之比例各等此有诸乎曰有之甲为共角从乙作直线至辛与己戊为平行即甲丙之垂线而甲乙辛角与甲己戊角俱在平行线上必等又甲乙辛甲丁乙俱在界乘圏之角而所乘之甲乙甲辛两弧等即两角必等而甲丁乙与甲己戊两角亦等其余角甲乙丁及甲戊己亦等则乙丁小角体之底与其所照平面上之己戊必相似也凡斜圏之弧近于照本其影必长距远则短如从南极照黄道斜圏其半弧乙在赤道南近甲即甲己必长于甲戊然分较之虽南影长于北影合较之则平面上圆影不失黄道之圆影矣问以视法图黄道既为圆形从何知其心乎曰从照本之㸃出直线为斜圏径之垂线引至平面则黄道之心也盖本图大小三角形既相似而甲丙与甲庚两线又相离即各分为两三角形各相似其甲丙戊与甲丙己一偶也甲辛乙与甲辛丁一偶也是以甲己庚角与己甲庚角等而甲庚线与庚己线亦等又甲戊庚角与戊甲庚角等何者因前图得己角与丁角等此图得丁角与乙甲辛角等即己角与乙甲辛角亦等因得乙戊两角等又得乙角与庚甲戊角等即戊角与庚甲戊角亦等而戊庚与甲庚两线亦等因得戊庚与庚己两线等而庚为己戊径之心绘总星图第三古法绘星图以恒见圏为紫微垣以恒隐圏界为总图之界过此南偏之星不复有图矣西歴因恒见圏南北随地不同又渐次不同故以两极为心以赤道为界平分为南北二图以全括浑天可见之星此两法所繇异也赤道平分南北二总星图以规器作赤道圏即本图之外界也纵横作十字二径平分为四象限限各九十又三分之分各三十又五分之分各六又六分之分各一此为全周三百六十度矣次从心至界上依度数引直线为各经度其作纬度有二法一用几何则依界上经度于横径之左定尺于横径之右上下游移之每得一界限度(界限度者或一度二度为一限或五度十)(度为一限以至九十)即于直径上作识则直径上下所得度与界限度各相应而疎密不等经纬相称矣用数则依切线表求界限度之相当数以规器取之(用比例规甚便无规)(先作半径百平分之用以取数)若表中求一十度即径上下得二十度表中求二十径上下得四十所得比所求恒多一倍也假如欲依界限度以分径如第一图甲乙丙丁为赤道所分径为甲丙于乙上定尺从右径末丁向上移尺至一十二十等限于甲丙径上作戊己等一十二十诸识各识愈离心其侣距愈远矣若以数分之依第二图如求四十度癸庚则表中查二十度之切线相当数为三十六用规器向庚辛直线取庚子三十六移至甲乙径上自中心乙至己为三十六即得四十度矣盖以丁为心作乙丙象弧其半弧乙壬之切线为平面之半径甲乙即乙己为二十度弧乙戊之切线若引丁戊割线至庚则癸庚得四十度与前法合也见界总星图见界总星图者以北极为心以恒隐圏为界此巫咸甘石以来相传旧法也然两极出入地平随地各异而旧图恒见恒隐各三十六度三十六者嵩高之北极出地度耳自是而南江淮间可见之星本图无有也更南闽粤黔滇可见之星本图更无有也则此为嵩高之见界总图而非各省直之见界总图也又赤道为天之大圏其左右距等侣圏以渐加小至两极各一㸃耳于平面作图而平分纬度自极至于赤道纬度恒平分而经度渐广广袤不合即与天象不合向所谓得之经纬失之形势得之形势失之经纬者也况过赤道以南其距等纬圏宜小而愈大其经度宜翕而愈张若复平分纬度即不称愈甚其相失亦愈甚矣今依此作图宜用滇南北极出地二十度为恒隐圏之半径以其圏为隐见之界则各省直所得见之星无不备载可名为总星图矣又依前法为不等纬距度向外渐寛则经纬度广袤相称而星形度数两不相失矣但前以赤道为界设照本在南极所求者止九十纬度则所用切线半之止四十五度至赤道止矣用为平图之半径经纬度犹未甚广足可相配若此图则否其半径过赤道而外尚七十度并得一百六十度半之为八十度从南极㸃出直线必割圆八十度乃合于百六十度之切线也此其长比赤道内之半径不啻五倍经纬皆愈出愈寛以比近北极之度分大小殊绝矣如图甲为平图之心乙为南极甲丙为半径亦即为四十五度甲戊弧之切线若从乙出直线割八十度之弧甲丁然后与甲丙引长百六十度之线遇于己其长于甲丙几及六倍也如是而依本法作图若图幅少狭即北度难分若北度加寛即图广难用矣今改立一法设照本稍出南极之外去极二十度起一直线以代乙己其与甲丙之引线不交于己而稍近丙以歛所求之度定平图之半径则广狭大小皆适中矣但照本所居宜有定处去极远则切线太促不能分七十度之限太近则半径过长畧同前说也今法如上图甲为平图之心欲其外界出丙己壬赤道之外远至七十度先求照本随所照光图之作甲丙直线去赤道径甲癸七十度正次作乙丙垂线为二十度之正弦次作丙丁线为二十度之切线令丁㸃在南极之外为照本则甲丙与乙丙若丙丁与乙丁何者甲乙丙乙丙丁两三角形相似故也次引丁丙切线与甲癸之引长线遇于辛则辛㸃定百六十度之限为平图之半径矣次以纬度分甲辛线恒令丁戊与戊己若丁甲与甲庚则赤道内庚分向北之纬度赤道外庚分向南之纬度也欲得各丁戊线以加减取之向南距度之正弦以减甲丁割线得小丁戊因得大甲庚向北距度之正弦以加甲丁割线得大丁戊因得小甲庚也盖正弦虽在癸己左右因甲戊其平行线即与正弦等故(左边为北右边为南)问赤道纬度其内外广狭既尔不齐则欲作黄道圏用何法乎曰此因照本不切南极以照黄道斜圏之边不能为直角即不能为轴边之心而有二心故其影不能为正圆而微成撱圆与前南北平分总图稍异法也当于甲辛径上从赤道向内数黄赤距二十三度三十一分三十○秒若所得为子午即作午壬直线平分之于未从未出垂线向甲辛径上得黄道向北半圏之心为下庚而其边依纬度之狭则小次于赤道外自癸至辛数得二道距度如前求得黄道向南半圏之心为上庚其边因纬度之寛则大也极至交圏平分左右二总星图前分有法物象三仪其第一照本在最远者星图所不用其用者第二第三也第二法照本在南极以赤道圏为平面界则前说赤道平分二图是己第三法照本在二分以极至交圏为平面界今解之设照本切春分即用所照平面之心以准秋分以极至交圏为界赤道圏极分交圏则为直线诸赤道距等圏诸过极经圏则为曲线之弧以此定经纬度及半天恒星之方位也又设照本切秋分则以春分为心其余圏影皆同上可定余半天恒星之方位矣图法先作极至交圏为图界假设甲乙丙丁圏为赤道(本极至交圏假为赤道借用第一图)平分三百六十度借丙㸃为赤道与极分圏之交从丙向己庚等边界引直线过乙丁径作辛壬等识即各过极圏之经度限也次即用甲乙丙丁圏为极至交圏(即第一图)则甲辛丙甲壬丙等过极经圏之弧可定恒星之赤道经度矣次欲作赤道距等圈先假设甲乙丙丁为极分交圏(本极至交圈假)(为极分借用第二图)借乙㸃为赤道与极分圈之交从乙向己庚等边界引直线过甲丙径上作辛壬等识即各赤道距等圏之纬度限也次即用甲乙丙丁为极至交圏(即第二图)则己辛庚壬等皆赤道距等之弧而丁戊乙为赤道可定恒星之赤道纬度也若欲以黄道为心作图则以乙丁线当黄道甲丙为黄道之两极而乙丁上下距等之弧皆可定恒星之黄道纬度平面界圏亦为过黄道极之经度圏如前所作赤道平分二图皆改赤道极为黄道极赤道面为黄道面皆可定恒星之黄道经纬度也恒星有等无数第四 三章恒星以芒色分气势以大小分等第所载者有数不能载者无数可尽也今畧论其体等及其大数别定黄赤二道之经纬度作图作表如后卷恒星分六等古多禄某推太阳太阴本体之容积先测其视径及月食时之地影及地球之径容展转相较乃能得之(详见三大论)后巴徳倪借用其法以考五星及恒星离地之远又测诸大星之视径如图甲辛为太阳离地之远其视径甲乙为太阳居最高及最高冲折中之半径也今设丙为镇星其离地为辛丙即太阳之半径至此见如丙戊而镇星居此所见大仅得太阳视半径一十八分之一为丙丁用三率法辛丙与丙戊若辛甲与甲乙次以地径推得丙戊总线数即可得丙丁分线数古法推七政及恒星之体大畧如此盖因其视径及距地之远可得浑体之容积也但恒星已知离地最远而无视差可考止依其视径以较五星即其体之大小十得七八矣第谷则以镇星较之因测镇星得其视径一分五十秒亦微有视差为一十五秒弱推其离地以地半径为度得一万○五百五十因得其全径大于地之全径二倍又一十一分之九是镇星之浑体容地之浑体二十有二矣此测为镇星居最高最高冲折中之数也若在最高测其距地为地半径一万二千九百(后论五星更详此理)而恒星更远居其上设加一千即约为一万四千因以所测之视径分其等差○先测明星如心宿中星大角参宿右肩等其视径二分即得大地四径有奇何也因设星离地一万四千依圏界与圏径之比例(径七围二十二)即星所居之圏界得八万八千三百六十分之每度得二百四十四○九分之四又六十分之每分得四视径二分得八有奇是恒星之全径二分当浑地之八半径也即四全径也又以立圆法推之即此星浑体之容大于浑地之容六十有八倍此为第一等星也此一等内尚有狼星织女等又见大一十五秒其体更加二十余倍若见小一十五秒如角宿距星等即反之其体减二十余倍次测北斗上相北河等其视径一分三十秒设其距地与前等推其实径大于地径三倍有奇而其浑体大于地之浑体二十八倍有奇此为第二等又次测娄箕尾三宿等星其视径一分○五秒依前距地之远其实径大于地径二倍又五分之一其体大于地体近一十一倍为第三等又次测参旗柳宿玉井等星其视径四十五秒其实径与地径若三与二其体大于地体四倍有半为第四等又次测内平东咸从官等小星得视径三十秒其实径与地径若五十与四十九其体比于地体得一又一十八分之一为第五等又次测最小星如昴宿左更等得视径二十秒其实径与地径若一十五与二十二即其体比于地体得三分之一为第六等右恒星相比约分六等若各等之中更有微过或不及其差无尽则匪目能测匪数可算矣问前言恒星居镇星之上离地皆等故依其视径以推其体之大小则不等若设其远近不等即其实径不随其视径从何推知其体乎曰假令诸恒星之体实等因其中更有远近不等故见有大小不等即以六等星比第一等所见小大乃尔必更远于前率十余倍矣盖测此大小星比其视径如天田西星与大角星差一分五十五秒即其远近距当得一十四万一千大地之半径与镇星最高及大角之距地畧等此中空界安所用之且小大彬彬杂以成文物之理也若何舍此而强言等体乎七政恒星远近大小皆从视径视差展转推测理数实然无庸不信然而宏濶已甚犹有未经测算难于遽信者焉况此远近等体之说非理非数则是虚想戏论而已又谁信之哉恒星无数自古掌天星者大都以可见可测之星求其形似联合而为象因象而命之名以为识别是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星焉世所传巫咸石申甘徳之书是也西厯依黄道分十二宫其南北又三十七像亦以能见能测之星联合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五盖有名者一千二百六十六余皆无名矣然而可图者止此若依法仰观所见实无数也何谓依法今使未谙星厯者漫视之漫数之樊然淆乱未足实证其无数也更使谙晓者按图索象则依法矣如是令图以内之星悉皆习熟若数一二然而各座之外各座之中所不能图不能测者尚多有之可见恒星实无数也更于晴明之夜比蒙昧之夜又多矣于晦朔之夜比弦朢之夜又多矣以秋冬比春夏又多矣以利眼比钝眼又多矣至若用远镜以窥众星较多于平时不啻数十倍而且光耀粲然界限井然也即如昴宿传云七星或云止见六星而实则三十七星鬼宿四星其中积尸气相传为白气如云耳今如图甲为距星乙为本宿东北大星其间小星三十六了然分明可数也他如牛宿中南星尾宿东鱼星传说星觜宿南星皆在六等之外所称微茫难见者用镜则各见多星列次甚远假如觜宿南一星数得二十一星相距如图大小不等可徴周天诸星实无数也天汉浑天众圏有大有小如黄赤二道过极经圏极至极分交圏地平圏等凡与地同心者皆大圏也如冬夏二至圏常见常隐圏各距等圏凡与地不同心者皆小圏也若天汉者论其界不可谓圏凡圏以圆线为界此以广面为界故也论其心实与黄赤二道相等不可谓非大圏盖其心必同地心且两交黄道两交赤道旁过二极皆一一相对正与黄道相反斜络天体平分为二故也欲测其广无定数大约两至之外广于两至之中从天津又分为二至尾宿复合为一过夏至圏以井宿距星为限正切鹑首初度过北极西距二十三度半前过冬至圏则星纪初度约居其中又转至南极东距亦二十三度半而复就夏至总为过两至与黄道相反之斜圏也古多禄某测其两涯所过星宿与近世不异在赤道北则从四凟始南三星当其中北一星不与焉次水府次井西四星切其左边天关一星五车口切其右更前积水在左大陵从北第二星在右王良所居在其中若洲渚然次天津横截之两端平出其左右河鼓中星在右其对边为天市垣齐星此赤道北两涯所经诸星也在赤道南者以天弁东星为界次斗第三星次箕南二星其对边则天市垣宋星尾宿第一星而入于常隐之界迨过南极以来复起于天稷过弧矢天狼以至赤道此为赤道南所经诸星也问天汉何物也曰古人以天汉非星不置诸列宿天之上也意其光与映日之轻云相类谓在空中月天之下为恒清气而已今则不然远镜既出用以仰窥明见为无数小星盖因天体通明映彻受诸星之光并合为一直似清白之气与鬼宿同理不借此器其谁知之然后思天汉果为气类与星天异体者安能亘古恒存且所当星宿又安得古今寰宇觏若画一哉甚矣天载之𤣥而人智之浅也温故知新可为惕然矣新法算书卷五十八
## 卷五十九
钦定四库全书
新法算书卷五十九 明 徐光启等 撰恒星表卷一降娄宫(共计二等三三等十六四等三十五等二十九六等十八)降娄宫降娄宫降娄宫新法算书卷五十九
## 卷六十
钦定四库全书
新法算书卷六十 明 徐光启等 撰恒星表卷二新法算书卷六十
## 卷六十一
钦定四库全书
新法筭书卷六十一 明 徐光启等 撰恒星图说第一见界总星图见界总星图者以赤道之北极为心以赤道为中圏以见界为界见界者取北极出地三十度为限则闽粤以北可见诸星无不具在矣自此以南难以复加者为是浑天圆体赤道以南天度渐狭而在图则渐广形势相违是故无法可以入图也必用赤道为界分作二图以二极为心然后体理相应故作赤道南北二总图次焉本图外界分三百六十五度四分度之一者赤道经度也正南北直线名子午线线上分极以南极以北各一百六十度者赤道纬度也从心至界分二十八直线者依二十八宿各距星分二十八宿各所占度分也此各宿度分元史载古今前后六测如汉落下闳唐僧一行宋皇祐元丰崇宁元郭守敬等或前多后寡或前寡后多或寡而复多多而复寡种种不一元世造厯者推究至此茫然不解但揣摩臆度以为非微有动移则前人所测或有未密而已夫谓前人未密他术有之此则千四百年如彼其久二十八宿如彼其多诸名家所测如彼其详而悉无一合安得悖谬至是且其他诸法又何以不甚参商谓繇误测必不然也若曰微有动移庶㡬近之而又不能推明其所以然之故今以西厯详考黄赤经纬变易盖二十八宿分经者从赤道极出线至赤道乃止而诸星自依黄道行是以岁月不同积久斯见若精言之则日日刻刻皆有叅差特此差经二万五千四百余年而行天一周正所谓微有动移非久不觉故后此数十年百年依法推变正是事宜而前代各测不同者皆天行自然非术有未密也此说已具恒星厯次卷中今略举一二如北极天枢一星古测去离北极二度后行过北极今更逾三度有奇矣觜宿距星汉落下闳测得二度唐一行宋皇祐元丰皆一度崇宁半度元测五分今测之不啻无分且侵入参宿二十四分今之各宿距星所当宫度所得多寡悉与前史前图不合盖缘于此此图皆崇祯元年戊辰实躔赤道度分其量度法如求某星之经纬度分若干用平边界尺从图心引线切本星视图边得所指某宫某度分即本年本星之赤道经度分次用规器依元定界尺从赤道量至本星以为度用元度依南北分度线上量得度分即本年本星之赤道纬度分次视本图本星所躔宫分查本宫表所注度分即知绘图立表测天三事悉皆符合若黄道在本图中止画一规及经度其查考经纬度分别具黄道分合各图中第二赤道南北两总星图赤道南北两总星图一以北极为心一以南极为心皆以赤道为界从心出直线抵界凡十二者为十二时线又细分为三百六十则赤道经度也与总图所分经度不同者彼分三百六十五度四分度之一准一岁日行周天之数名为日度此平分三百六十名为平度也凡造器测天推歩演算先用平度特为径捷测算既就以日度通之所省功力数倍故两用之也其正南北直线为子午线平分十二宫左右各六线上细分南北各九十为赤道纬度亦平度也去极二十三度半有奇复作一心者黄道极也从黄极出曲线抵界亦十二者黄道经度也分十二宫三百六十度其黄赤同度同分者独二分二至四线其余各有叅差欲考黄赤异同于此得其大意矣南总图自见界诸星而外尚有南极旁隠界诸星旧图未载此虽各省直未见从海道至满剌加国悉见之满剌加者属国也考一统志舆地图凡属国越在万里之外皆得附载何独略于天文如海南诸国近在襟带间所见星辰厯厯指掌而图籍之中可阙诸乎惟是向来无象无名故以原名翻译附焉查考赤道经纬度法畧同见界总图不具论若赤道左右星座为赤道所截分载两图求其全像亦在见界总图矣第三黄道南北两总星图黄道南北两总星图一以黄道北极为心一以黄道南极为心皆以黄道为界从心出直线十二抵界者分黄道十二宫次又细分为三百六十平度为黄道经度南北直线从心上下各细分九十平度则黄道纬度也凡恒星七政皆循黄道行与赤道途径不同故行赤道经纬时时变易其行黄道经纬则终古如一矣前赤道三总图后黄道二十分图皆书各星座名数与立成表相符足备简阅此不烦赘述故加七政字号分别某恒星之〔？〕色气势与某政相若因七政情性可得本星情性考其㑹聚冲照三合四合六合中有下济敷施之理焉南极旁新译诸星倣此其近界星座为黄道所截分属两图亦查前见界总图或后黄道分图皆可得其全像量度法畧同见界总图后此二十分图从此图出其分截之处位座未全者于此二图考之第四黄道二十分星图分星图独依黄道者恒星与七政皆循黄道行依此为分其正术也必用分图者总图尺幅既狭如星座如宫次如度分如等第未能明晳用以证合天象颇觉为难分之则一览了然世传丹元子歩天歌分三垣二十八宿为三十一图台官亦有为圆方二图者皆本此意但歩天歌悉不载宫度方图稍分宿次亦系旧率其经纬度分悉未开载星形等第与天象不能尽合则两图等耳今分为二十图首一图即紫薇垣而与旧图畧异者彼以赤道之北极为极此以黄道之北极为极也彼以恒见星为界故从心至界为三十六度是嵩髙之恒见星界他方不然今取三径均平止二十二度半盖以黄极为极则恒见诸星不复可论也外周分黄道三百六十平经度全径四十五则此图之黄道平纬度是名北极分图也次六图上狭下广上狭者各以本宫本度与北极分图相接下广者亦以本宫度各与黄道中界六图相接也以十二宫次分六图毎图得二宫毎宫得三十为黄道经度也北不至黄北极二十二度半南不至黄道二十二度半中间四十五度为此图中之黄道平纬度是名黄道北界六分图也又次六图各上下平分中间最广为黄道上下界皆稍狭上狭者以本宫度与北界分图相接下狭者以本宫度与南界分图相接毎图二宫毎宫三十度为黄道经度黄道以北近夏至圏黄道以南近冬至圏各二十二度半并得四十五度为此图之黄道纬度是名黄道中界六分图也又次六图上广下狭上与中界图相接下与南极图相接分宫分度分经分纬与北界分图同法是名黄道南界六分图也又次一图与第一图畧等所有诸星皆在恒隠界中旧传所无今译名増入是为南极分图也诸图中星名位次皆巫咸甘石旧传各依旧图聨合大小分为六等各以本等印记分别识之中虚者旧疑非星因称为气今用逺镜窥测则皆星也因恒时不见分异姑为散圏以象之其有位座如恒而星实未见用青圏为识与苍同色明其无有之间也凡若干星合为一座各以数识之本座之外复有余数又不相聨则其附近之有测新星表中各注经纬度分星名之下称为増入者也其不书数目者无测之星表中所未载也诸图总以黄道为中界复有曲线斜络于黄道之上下者赤道也又有斜络于赤道之上下者冬夏至线也其与天体异色斜络天体广狭不等者自昔称为云汉疑与白气同类其实亦皆星也若星座同名而叅观两在觉其体势不同者因天本浑圜所分宿度当为弧线今居平面不免变易是黄赤同图则线分曲直两次并列则线分斜正而安星本法皆依各线布置遇曲直与为曲直遇斜正与为斜正宁使形模小异尚可证以根繇傥令经纬微迁惧无辞于爽谬矣且一星一表毫髪难移㸃缀既毕自然肖象非若画绘之家先想成形而追形定位虽欲更移秒末以就成体势固不可得也量度则两圎图与总图同法十八方图则上下求经左右求纬各以直线求其相等度分星居两线之交则各两相等度分为星之经纬度分新法算书卷六十一
## 卷六十二
钦定四库全书
新法算书卷六十二 明 徐光启等 撰恒星出没表卷上算近黄道四十五大星斜升斜入并在中各节气时刻原法先查本地各节气太阳斜升斜入度及半昼弧并赤道经度(各有本表)次查各星经纬表中所载赤道经纬度分依三角形算各星所得各节气斜升斜入并在中度如图设辛癸壬圏线为子午圏己庚为赤道辛壬为地平各半圏二赤极在癸今设一星在乙距赤道北以甲乙弧当求甲丙为斜正差度(乙星于正球必与赤道甲㸃同出没今于斜球不然乃同丙㸃出没)或星在戊距赤道南以丁戊弧应求丁丙为斜正之差度(因星正与丁今斜与丙同出故)法依甲乙丙或依丁戊丙三角形推算葢形内有甲与丁皆直角其丙角为本地赤道髙度左右必等甲乙与丁戊皆为本星赤道纬度乃求甲丙或丁丙为斜正差度法全数与甲乙丁戊(星赤纬度)之切线若丙角(赤道髙度如顺天府五十度○五分是)之余切线与甲丙丁丙(斜正差度)之正弦查八线表所得度纬北于本星赤经内减之得斜升(不及减星经内加全周减之后倣此)加于赤经得斜入纬南加得升减得入假如角宿南星赤经为一百九十六度二十六分在纬南九度○九分求甲丙斜正之差法全数与甲乙之切线一六一○七若丙角之余切线八三六六二与甲丙之正弦一三四七五查八线表得七度四十五分为甲丙因星纬在南以本星赤经一百九十六度二十六分加甲丙七度四十五分共得二百○四度一十一分为斜升度复于星经内减甲丙余一百八十八度四十一分为斜入度以此斜升斜入度为各节气所用之公度任指太阳在某节气依法可求本星出入及在中时刻设太阳躔鹑首初度为夏至依京师北极出地度查太阳本表鹑首初度得太阳斜升六十八度三十四分斜入一百一十一度二十六分其半昼弧为一百一十一度二十六分赤经为九十度○分(如无太阳斜升入等表即依前图推算法)(与前同但定半画弧其斜正差度应加或减于一象限后乃得于甲己或丁庚弧是若正升度即设己庚为赤)(道辛壬为黄道则全数与二道最相距之余攷若太阳躔㸃距二道交处之切线与正升度之切线或三角形)(内甲或丁直角与丙角之余若丙乙与丙甲或丙戊与丙丁得丙甲丙丁皆正升度弧是也)则以此公数求本星斜出时法以本星斜升度二百○四度一十一分内减太阳斜升度六十八度三十四分余一百三十五度三十七分所余度再减半昼弧一百一十一度二十六分实余二十四度一十一分查赤道变时表应一时(小时)三十七分从午正起算得未正二刻○七分(每十五分为一刻)为角宿夏至出地之时刻若求本星在中时法以太阳赤经九十度内减本星赤经一百九十六度二十分因不及减于太阳赤经内加全周共得四百五十度内减星经度余二百五十三度三十四分变时得一十六时五十四分从午正前逆数应戌初初刻○六分为角宿夏至在中之时刻若求本星斜入时法以本星斜入度一百八十八度四十一分内减太阳斜入一百一十一度二十六分余七十七度一十五分再加半昼弧共得一百八十八度四十一分变时得一十二时三十五分从午正起算应子正二刻○五分为角宿夏至入地之时刻余倣此查表求二十四节气昏旦中星法欲考各节气昏旦中星必先定太阳各节气昏旦时刻(有本)(表)次简恒星出没表内本节气各星之在中时刻有与太阳之昏旦时刻相合者即为本节气昏旦中星时刻推之任何时刻可知某星在子午之中反之若某星在中亦可定为某时某刻例如左假如京师春分节昏刻为戌初二刻五分查本恒星出没表春分之在中者得戌初一刻八分为北河第三星即春分昏刻之中星旦刻为寅正一刻十分查表得寅正一刻八分为尾宿距星即春分旦刻之中星也余倣此北京各节气昏旦时刻表(北极髙四十度)春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入处 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入处 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入雨 水 惊 蛰星 出 中 入 出 中 入雨 水 惊 蛰星 出 中 入 出 中 入新法算书卷六十二
## 卷六十三
钦定四库全书
新法算书卷六十三 明 徐光启等 撰恒星出没表卷下列表不及他省者因逐处推求别有简法(如星球等器可考)而依原法算止就一二可槩其余故首举京师次考南都彼此互证用法俱同南京各节气昏旦时刻表(北极髙三十二度)春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入春 分 清 明星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入糓 雨 立 夏星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入小 满 芒 种星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入夏 至 小 暑星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入大 暑 立 秋星 出 中 入 出 中 入处 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入处 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入处 暑 白 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入秋 分 寒 露星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入霜 降 立 冬星 出 中 入 出 中 入小雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入小 雪 大 雪星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入冬 至 小 寒星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入大 寒 立 春星 出 中 入 出 中 入雨 水 惊 蛰星 出 中 入 出 中 入雨 水 惊 蛰星 出 中 入 出 中 入雨 水 惊 蛰星 出 中 入 出 中 入新法算书卷六十三
## 卷六十四
钦定四库全书
新法算书卷六十四 明 徐光启等 撰交食厯指卷一或问日月薄蚀是灾变乎非灾变乎若言是者则躔度有常上下百千万年如视掌耳岂人世之吉凶亦可以筹算穷也若言否者则古圣贤戒惧修省又复何说曰灾与变不同灾与灾变与变又各不同如水旱虫蝗之属伤害民物者灾也日月薄蚀无患害可指然以理揆之日为万光之原是生暄燠月为夜光之首是生湿润大圜之中惟是二曜相资相济以生万有若能施之体受其蔽亏即所施之物成其阙陷矣况一朔一望两光盛长受损之势将愈甚焉是谓无形之灾不可谓非灾也夫晕珥彗孛之属非凡所有者异也交食虽躔度有常推步可致然光明下济忽焉掩抑如月食入景深者乃至倍于月体日食既者乃至昼晦星见嘻其甚矣是则常中之变不可谓非变也既属灾变即宜视为谴告侧身修省是以有修德正事之训有无敢驰驱之戒兢业日慎犹惧不塈矣曰既称灾变凡厥事应可豫占乎可豫备乎曰从古厯家不言事应言事应者天文也天文之学牵合傅㑹傥过信其说非惟无益害乃滋大欲辨真伪总之能言其所以然者近是如日月薄蚀宜论其时论其地论时则正照者灾深论地则食少者灾减然月食天下皆同宜专计时日食九服各异宜并记地矣迨于五纬恒星其与二曜各有顺逆乖违之性亢害承制之理方隅冲合之势为其术者一一持之有故然以为必然不爽终不可得也惟豫备一法则所谓灾害者不过水旱虫蝗疾疠兵戎数事而已诚以钦若昭事之衷修勤恤顾畏之实过求夙戒时至而救之者裕如则所谓天不能使之灾又何必征休咎于梓禆问祲祥于京翼乎然则星厯之家概求精密尤勤于交食者何也曰太隂去人最近饶有视差凡人目所见人器所测则视度而已其实行度分非人可见非器可测必以食甚时知为定望与日正相对从是知其实度从是知其本行自余行度渐可推算也又因月食知地景为角体之形月体过之其距地同而入景之浅深不同可推日在其本天行与地为不同心也又因日食推月距地时时不等知其有本轮有次轮也又兼以日月食推日月体之小大及日月距地之逺近也别有度地之学因月食可推地在天之最中其四周皆以天为上人则环居地面也又因月食知地景为圆体而居东者渐逺渐后见食即非月食以地为先后特因各所见之时刻为先后也因以推地为圆体而水附于地合为一球也又以月食与子午线相距逺近知诸方之地经度也若泯薄蚀于二曜即造厯者虽神明黙成无所措其意矣是则交食者密术之所繇生故作者述者咸于此尽心焉今譔厯指有合论有分论月食术稍简以附合论之末日食颇繁厘为别卷诸立成表以类从之谨列条目如左界说 七章凡物体能隔他物之象使不至目则为暗体若以体之一面受光而光复透射出于彼面则为彻体(如玻瓈水精是也)目所司存惟光惟色而色又随光发见故解彻体必以通光解暗体必以其能隔他象如月掩日而日全食昼为之晦恒星皆见尔时太阳在外体质明显又坚密无比光力甚厚乃为月体所隔不能映见微光可证月乃全非彻体而全为暗体 彻体有二通明之极全无隔碍者为甚彻虽则透光而微杂昏蒙者为次彻光在本体为原光其出而显他物之象为照光 日有原光地与月皆借之为光者照光也谓显他物之象者因他物之势随施随受有原先后无时先后也非如寒热燥湿之类渐及于物力尽而止原光以直径发照为最光因而旁及者为次光 日光正照以直线至于物体则为最光有物隔之旁周映射则生次光如云之上日体所照最光也云之下不复见日而犹有光是次光也满光者原光之全体所发少光者原光之半体所发 日未全出地平上所生光为少光全升在上则生满光日食时未全食则存少光既以复圆即得满光景之四周有最光遶之即景为次光 以景为明者误也以影为暗者亦误也称景为明暗之中庶几近之葢全无光乃为暗今至夜子初人在地景至深之中去最光极逺而近目之物尚能别识即见景中犹存微光不失为次光也最光所不及为初景次光所不及则为次景 景与光并行光渐微景渐厚故次景与最光相反若初景即次光也最光全不及之处则为满景若受正照之微光即为缺景满景与光正相反无景之极则为满光无光之极则为满景假如甲乙为施光之物丙为暗球从甲出正照之光过丙球左右其切丙之界者得甲戊及甲己从乙出光又得乙戊及乙丁其庚戊辛为最光全不及之处则满景也若庚戊辛戊以外则甲乙光体之多分渐照之至乙丁甲己乃全光之界即自戊至丁至己丙球之景渐薄以趋于尽矣太阳光照月及地第一日月地三球体大小不等地为静体日月则有诸种行度则有髙庳内外其去地去人逺近不等法当以大小之比例及其相逺相近之比例推其施光受光之体势乃得景之体势因而得交食之体势葢交食者生于景景生于光不寻其本而求其末无法可得其说五章一曰有两球于此一为暗体一为明体而小大等即明者以半面施光暗者以半面受光 如图甲为明球乙为暗球小大等即其径丙丁及戊己各与甲乙线为直角而丙丁与戊己等即甲丙甲丁乙戊乙己与甲庚乙辛皆以半径相等而丙庚丁半球与戊辛己半球亦相等今于明球之旁从丙从丁出两切线至暗球之旁戊己戊己与丙丁为平行线即丙戊与丁己亦平行线也(见几何一卷三十三题) 又因丙戊乙及丁己乙俱为直角即戊丙甲及己丁甲亦俱直角(见几何一卷二十九题)即丙戊丁己线不能割两球而止切两周于丙于戊于丁于己其所抱为丙庚丁为戊辛己是甲乙两球之各半也若日月地三球相等而月与地皆以半面受太阳之光如上所说则定朔日食半地面宜皆见之安得复有南北不等食分望日太隂全食时才食既即生光安得复有食甚时刻及既内分今皆不然可见三球无相等之球二曰明体大暗体小则施光以小半受光以大半 如图甲为明球乙为暗球作两切线为丙己为戊庚从四切㸃作横线为丙戊为己庚甲既大球即己丙戊为锐角丙己庚角为钝角如曰不然或皆为直角即庚戊丙戊庚己亦皆直角两切线必平行而乙球与甲球等(见几何一卷二十八题)必不然也或己丙戊反为钝角而丙己庚反为锐角即两切线不能相交于癸又不然也今以两切线相交于癸明己丙戊为锐角丙己庚为钝角即于丙丁戊弧内作负圏角必钝角矣于己壬庚内作负圏角必锐角矣(见几何三卷三十一三十二题)故丙丁戊施光者不及半圏己壬庚受光者又不止半圏也因此推知太阳照地及太隂必各照其大半而暗体所隔之日光渐逺又渐歛渐进以趋于一处即景居暗球之背不得不为角体之形矣又因此推求望日先后人目所见太隂受日之光不长不消者久之而后生魄此为何故葢亦因月体以大半受光以小半入于人目光不辄转而魄未遽见故未望时已见全光已望后犹未失全光矣三曰明体小暗体大则施光以大半受光以小半 如前图反论之可明太隂何以照地而地何反隔日之光也四曰大施小受愈相近则施者之小半愈小受者之大半愈大 如图丙为小暗球甲与乙皆大明球作庚未直线过三球心以交于左右切线其乙球之两切线交于午甲球之两切线交于未即庚未长于乙午而庚丁未与乙辛午两角庚丁与乙辛两线皆相等则庚未线与庚丁线之比例大于乙午与乙辛而丁庚未角大于辛乙午角也(见几何五)(卷八题)又庚未线过三球之心必截丁己辛癸两线为两平分而庚甲丁乙子辛两形内之甲与子皆为直角则其余庚丁两角并乙辛两角并皆等一直角即两并率等(几何一卷三十二题)两并率之甲庚丁角大于子乙辛角各减之所存庚丁甲角必小于乙辛子角矣次以庚丁甲及乙辛子不等之两角各减庚丁未及乙辛午相等之两直角所存甲丁未角更大于子辛午角又丁戊己弧内作负圏角必等于甲丁未角辛壬癸弧内作负圏角必等于子辛午角辛壬癸弧之负圏角既小于丁戊己弧之负圏角则辛壬癸弧必大于丁戊己弧(几何三卷三十一三十二)(题)夫辰寅已与辛壬癸相似之弧也丑寅卯与丁戊已亦相似之弧也(大小圈左右各有切线其切㸃过分圈之线其所分大小圈分各相似其大小)(两弧亦相似)即辰寅已弧亦大于丑寅卯弧可见明球在近比在逺者尤能照小暗球之多分也 因此推知日全食而视为大者日体去月体逺故也日全食而视为小者日体去月体近故也何以分逺近日与月俱有自行圈与地不同心其行于自行圈之上下为最髙最庳则为距地之逺近因生景之大小也日既全食矣又何以分大小月掩日至既有时昼晦恒星皆见虫飞鸟栖此为全食而大月在日内从中掩蔽虽至食既而其四周日光皆见厯家谓之金环此为全食而小矣若然者日与月与地相去或逺或近之所繇生也五曰小施大受愈相逺则施者之大半加小受者之小半渐大 如图甲乙皆为小明球丙为大暗球乙去丙逺于甲作各切线过三球心之直线皆如前次从暗球心丙至各切㸃作丙丁丙已丙庚丙辛各半径得丙丁为丁壬之垂线丙庚为庚癸之垂线而丁与庚皆为直角丙丁与丙庚两线又等则丙癸线与丙庚半径之比例大于丙壬与丙丁而丙庚癸角又大于丙丁壬角也(几何五卷八题)依显丙辛癸角亦大于丙巳壬角以并前率为庚丙辛合角亦大于丁丙巳合角而其弧庚戊辛必大于丁戊已可见小明球照大暗球愈远愈照其多分也今依本图设丙为地外切线(癸辛也)以内为地景(日光)(过丙大球所出景)甲乙两小球为月体其两小球之小大既等则同以外切线为外光之界或为内景之界惟因月体循本轮行时居上周如乙则去地逺时居下周如甲则去地近以是月食之分数有多有寡月居影厚处如甲左右则食多月居影薄处如乙左右则食寡故曰月食有多寡者亦相距或逺或近之所繇生也景之处所第二凡光以直线照物体其无光之处则有景之处也欲于交食时求影所在理不异此葢月与地能出景者不在其受光之面或其左右必于受光反对之面日光不照之地在日食则为月景之处在月食则为地景之处矣说二章一曰景与光所居正相反 暗体得光于此面射影于彼面是景之中心与原光之心暗体之心㕘相对如一直线则暗体隔光于景使原光之心恒居一线之末界其正相反之彼界其景之心在焉如曰不然设原光在甲其照及乙乙为暗体隔光生景据云景不射丙(丙者与甲正相)(对之处)为甲乙丙直线而斜射丁则乙甲丁者角也有角则有几何凡几何皆分之无穷能出直线至于无数而皆至乙丁边夫甲既为原光之体其所照必以直线出之(试诸仪器足以为证)即乙丁皆在受光之地何自能为乙暗体之景乎因此明景与光正在相反之两界论暗体者其受光之面必向光所出之原界其生景之面必向景所射之彼界亦正相反也论日与月独至两交之处而有食亦依此理二曰明暗两体任一运动景随之移 试以暗体移动其所借之光随处不一即所生之景亦随处不一盖景与光既如一直线即暗体所居定为景之末界如直线之首首移而线尚不移则是曲线非直线也又试以明体移动设甲为明体乙为暗体乙丙为影则甲乙丙如一直线如曰明体甲移至丁丁仍照乙而乙尚射景至丙则丁乙丙犹直线也有是理乎问太阳照室仅通隙光光照墙壁奕奕颤动太阳既自顺行墙隙仍无迁变则此颤动为从何来或者光与景未必定为直线而能微作曲势乎曰西古博物者亚利斯多言空中尝有浮埃轻而不坠微而不显庄周氏谓之野马或亦称为白驹幽室之内原光既微次光反厚即显此物在于光中纷入沓出能乱光景之界使目视景𬘡缊浮动而寔非景动乃景之界线为浮埃所乱致使其然也更以气为证今观太阳出地地面以上多生蒙气气在日体与人目之间即见日之光界亦如颤动非独日也日中晴朗切视地面光耀闪烁如波浪然炽炭在罏炭之四周火光烨烨亦如颤动凡若此者一皆繇气而生在日在地在炭固无颤动之理是以景必系于暗体如轮必系于枢轴光上景即下光东景即西必相对也无相就也故太阳照地其光绕地一周则景在其相冲之界亦绕天一周葢日光从其本天直射至于地面而景在地之彼面亦直射至于月天苐日体常依黄道中线则地景亦常依黄道中线而月行常出入黄道中线之内外是以月体与地景不得恒相遇合大都不合时多合时少故日月不食时多食时少以此景之形势第三求食分之几何必先求景之几何景几何者以日月地之大得景之形势以日月地相距之逺近分数得景之变易大小分数也此所论则景之形势后考其变易之势得景分以定食分焉凡二章一曰二体相等其影平行而无穷明小暗大其景渐展而无穷 论相等者证以平行之切线也如图甲乙两球等丙己丁戊为两球之切线与两球之径丙丁己戊遇于切㸃皆为直角则互为平行线又球等即径之长短亦等以遇丙己及丁戊无不为平行线也(几何一卷三十三题)若两球之周遭切线无数皆同此论则引之至庚辛以迨无穷终平行终不能相遇而其形为长圆柱之无穷体论明球小于暗球则推以三角形相似之比例也如图乙丙为小明球丁戊为大暗球两球之切线丁乙及戊丙引长之过小球必相遇于甲成甲丁戊三角形又从丁戊底作己庚平行线在大球之外成庚甲己三角形与甲丁戊相似则甲己庚角与甲丁戊角相等其各边各角皆相似而甲丁与丁戊若甲己与己庚也反而更之己庚与丁戊若甲己与甲丁也甲己长与甲丁则己庚亦长与丁戊愈逺愈长可见大球之影渐逺渐拓矣(几何六卷四题)更论丁戊线之内外角则在内者为锐角在外者为钝角故引切线向内过小球必相遇引之向外愈逺愈拓终不相遇而其形为无限长无限广之角体又因两球所居逺近不同景之张翕随而变易故两球相近即乙丙底线为小其景愈狭而乙甲丙角形愈短两球相逺即底线为大其景愈拓而角形愈长也今验诸日食有食分同而所厯时刻不同者月景之在地面广狭不同也月与日㑹月在日与地之间或月近地而日在逺则目之见界过月周至日体其界广日过迟其见食时刻多或月逺地而日反近则目之见界过月周至日体其界狭日过速其见食时刻少也姑以前图明之目在甲乙丙为月体丁戊为日体切线甲丁及甲戊为目所见之界若日在近为丁戊即从丁过戊道近行速其食时寡若在逺为己庚从己过庚道逺行迟其食时多皆太阳有不同心圏而太隂又有小轮所繇生也二曰日月地三体大小不同 凡暗体出角景者施光之体必大于暗体否者其光不能照暗体之大半而使其景渐小以趋于尽也试观月食时月体近地则入大景逺地则入小景愈逺愈小必至于尽安得不信日体大于地体乎设谓日体与地体或等则景宜亦等或小则宜渐大又当皆为无穷之景遇望时月体必不能出大影之外不应有不食之望矣有不食者是地景之益逺益锐也月食于地景之中又有全而且久者是月径更小于景而景小于地也地景之逺而益锐者是日大于地也此以景理推论三体之小大畧可明矣若又以日体之大推月地之景则更有法可考其大小之比例也昔人因太阳照地所生之景及其逺近其视径时时不同又以较于他体得其实体之大说见月离厯指中此独用视径定食时刻分之数其论实体为景与食之原畧举一二如左几何原本论三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所作角必大于相对角如图甲乙为太阳之径丙为目从逺视之丁亦为目从近视之此所谓内外两三角形也今先以线论因内形之甲丁乙丁两腰小于相对之甲丙乙丙两腰则所作丁角比相对之两角亦近于共用之甲乙底近则见大故丁目视甲乙日径必见大于丙目所视之甲乙径也次以角论因内两线所作丁角大于相对丙角则此内角所对线亦似大于外角所对线而丁目所见之甲乙大于丙目所见之甲乙也此太阳视径不同之縁也求太阳实体之大第谷设最髙最庳之中处得其距地一千一百五十地半径全数十万其半径一十五分三十秒得正弦四百五十一以三率算法推其全径得地之全径五又七十五之一十四如三百八十九与七十五也又以其径与其周之比例得太阳体之立方五千八百八十六万三千八百六十九地球之立方四十二万一千八百七十五其终数得一百四十弱为太阳大于地之倍数也此其照月照地生角体锐景之原也景之作用第四月与地若各以其景相酧报然如月望则地景隔日光令月不受照有时失满光有时全失光也至月朔则月体隔日光令地不受照有处射满影有处留少光而已说三章一曰月食于地景 月食在望縁日月相对其理明矣独谓暗虚为地景者或致疑焉今解之月对日受光藉非日月之间有不通光之实体为其映蔽则何繇阻日光之直照若天体及空中之火空中之气皆通明透彻不能作障使月失光也即金水二星亦是实体有时居日月之间然其景俱不及地况能过地及月乎则知能掩月者惟有地体一面受光一面射景而月体为借光之物入此景中无能不食半进而半食矣全进而全食矣二曰日食者月掩之 恒言月在内去人近日在外去人逺故定朔时月体能掩日光是已苐金水二星亦皆时在日内又皆不通光之实体水星虽小金星则大于月也何独月能食日乎曰二星虽有时在日内则去人甚逺逺则视径见小不能掩日百分之一二而日光甚盛所亏百之一二非目力所及且二星比月去日更近所出锐角之景更短不能及地面也若月体之大虽不及太白而去地甚近去日甚逺一指足蔽泰山又何疑乎由此言之求一实不通光之体全掩日体者惟月为能又自西而东不及三十日而周其行度较于诸天最为疾速故每望定朔皆同经度皆能有食其不食者繇距度不及交耳三曰因景之径生多变易 月以距度广狭为食分多寡一因去交有逺有近去黄道中线有正有偏一因入地景有浅有深故也今论其全食者而大小迟疾犹多变易曽非一定葢日在自行本天月在小轮相距逺近往往不等日距月近较距逺时更照月体之多分从月体出景更短其景至地更小则日虽全食月体见小厯时亦速也日与地亦然以两体相距之逺近为地景之大小使月食时入于地景在其近末之锐分则暗虚之体见小食分少厯时速皆因三体之相距逺近以生大小迟疾地景月景皆无一定之径致令随时变易如此若月景地景二径之小大又自不等故日食尽于食既而月则食既以后尚有既内余分葢地景大于月景故两食皆全其亏复迟疾无能不异矣又月食天下皆同日食则否日食则此地速彼地迟此地见多彼地见少此地见偏南彼地见偏北无不异也月食则凡居地面者目所共见其食分大小同亏复迟疾同经厯时刻同唯所居不同子午线者则见食之时刻先后不同耳葢月一入景失去借光更无处可见其光也又槩论天下日食应多于月食为二径折半其近交时加以南北视差易相逮及故论一方则日食应少于月食为月食共见日食因地故(见后卷详之)月在景之光色第五月既暗体当全食时一入地景遂应失其借光非复人目可见也葢可见之物悉无原光必借外光以显其象无外光即无从见有此物安从更显物色乎今月居厚影尚有微光可见更发色象或赤色或青黑色或襍色此何从生今畧解之凡三章一曰月不独食于地影 论通光者有二体一谓物象遇甚彻之体易于通射比于发象元处更加透明则形若开而散焉一谓物象遇次澈之体难于通射比于发象元处少襍昏暗则形若歛而聚焉其遇甚彻者如舟用篙𫇛半在水中发象上出出于水面所遇空明气之光甚澈之体也则其象散而斜射视之若曲焉其遇次澈者如太阳入地平下其光照地旁本宜直上乃所遇清蒙之气次澈之体也则其象合聚而射于地面凡地平以上皆得其次光为朦胧焉(即昧爽黄昏亦曰晨昏)此两者皆以一物经繇两体其势曲折皆谓之折照(若一物在一体之中以一直线)(入目谓之直照)夫同是日光也在地面之上能折入于地景之根际则自地面而上何独不能折入于景之中际至月体经行之处乎如图甲为太阳乙为地球藉非清蒙气能迎太阳之光而成折照则宜从子出光至丙从丑出光至丁切地面径过而复合于庚为地景锐角也今不其然因清蒙气周遶地球日光至丙至丁遇其次澈之体难于透射则曲而内聚止于戊己地面矣而大圜中大气无不受日之照光光在壬癸者遇于蒙气即内歛至于卯辰此为初折从卯辰切地而过若遂以直线引之即复合于辛成卯辰辛襍线三角形为地之满影自此以外全景之中皆得太阳折照之光与朦胧次光相类而实为初景能食望月之满光也欲求满景之长姑先依初折之光引直线复出于蒙气之外(姑先云者不宜遽引直线)(也葢初折之光至于卯辰既抵地面又复内歛谓之次折则两线之交尚在辛㸃之内今云然者姑先明初折)(之理约定乙辛之数如太隂之言交泛言平朔言本轮也其次折之理次二章详言之求辛㸃以内之定距率)(矣)而借第谷所测清蒙差与多禄某所定地景角之大得辛辰庚角三十四分(近地平之气差大率如此)得卯庚辰全角二十五分三十六秒半之为辛庚辰角一十二分四十八秒其相对之外角乙辛辰为四十六分四十八秒(辛庚辰辛)(辰庚相对之两内角并)次乙辛辰三角形其乙辛辰角既得四十六分四十八秒乙辰辛为切线与垂线所作角必直角此直角与乙辛边如乙辛辰角与乙辰地半径即得乙辛短线长于地半径七十三倍若论地之全景乙庚线尚长三四倍也夫月食于地景必依其景之体势显其食之貌象今全景之中既以地景兼蒙气之景则并有初景有满景月入于中随其所至变易光色无足异矣或曰从古论食月者全属地景今云不止地景而更加之气景此为全景方之地景不亦愈长愈广乎则从上古以来以地径度月体过景之数以地径定日月之视径以地径较日月之两髙以地径求日月之去地逺近悉皆乖舛而当更定新率然乎抑否乎曰不然所论蒙气之景谓太阳之光因于此气能令全景之中分别厚薄变易景中之色象非谓地之径因景而加大也譬如眼镜本无厚之体徒以变易物象显其用耳且气景之于地景亦何能加长加大乎计清蒙出地之髙不能过极髙之山极髙之山测其垂线不能过千四百步大地之径则三万里以髙山之步数化为里数而较地径则五千分之一耳此气之厚何能加于地径而云设此论者有妨于地径测量之法乎二曰月体当食而成赤色是气景所生 月全食时其光色往往更迭变易其初食既与未生光当此二际则成赤色夫月入地景果必失光宜为纯黒不应复显他色今赤色者得无是其本光乎曰次光之物惟无光之处能显其光一遇大光之体则次者之光泯矣今以地景言之月居其甚厚之际即甚逺于大光果有自体之光于此尤宜显著乃今测之则在浅见盛在深见微可证食时所见非月体自有之光也故应论定月能食于气景如上所说矣然食时亦能变易诸色何以独言赤色试观太阳下照地面受之论其本然皜明无色日地之间或发昬蒙之气即地面所见时转为黄时转为赤皆因所遇之气如玻瓈映目色青见青色绿见绿也今日照地旁照光所过清蒙之气因于斜穿而成厚体月体所显光色尤深成为赤色矣试论其所以视学家有公论凡象斜射次澈之体以垂线为主曲折通之初入则聚折而向于垂线既出则散折而离于垂线也何谓垂线葢于澈体之面过受形之㸃作线下垂则是折照所向所离之线如图圆体甲戊乙方体甲丁戊皆次澈也当其面有斜照之光在丙至甲㸃而入至乙㸃而出则甲丁与丁乙皆为垂线照光至甲㸃而入必聚而折向于甲丁垂线至乙㸃而出必又散而折离于乙丁或乙壬垂线若言光至乙㸃出或不照庚而更照己则是返照之光非折照之光也依此申言上章所推地球满影之长如图太阳之光遇于蒙气从壬癸折入作壬卯癸辰线为初折又从卯辰折出作卯午辰未线为次折以复合于己别生午己未杂线角形乃因乙己未角生己未辛及己辛未为外两角并之得乙己未内角一度二十○分四十八秒今设从满景之角己出切线至地球辰得乙己辰直三角形则因乙己辰角一度二十○分(乙己辰角比乙己未角差数甚微畧得四十八秒故)(以算景之长不论为数)如前比例得地满景之心长于地半径四十三倍比月最庳之入景处近地一十一地半径也(月最)(庳入景五十四最髙入景五十八)今图月在景之形势地球为甲乙内圏其四周有气为丙乙圏气外切边之光复合于卯是为全景透气之光自丙至戊因戊以上所照必聚而止于地面无从透达也则光至丙为太阳之外边所照光至戊乃其近中体所照以丙较戊更斜从庚而来入气处更曲从辛来之光己透气而复出更直故令丙丁线割戊己线于壬为丁己壬角形是为次光又为初景其角形周遭为环体抱满景而居全景之中也丁己壬角形既尽于壬而又展开至癸左右相交至丑寅愈逺愈拓复出乎影矣则丁己壬以内壬丑寅以内皆初景之所居也因此设月体为子入景正初景展拓之处月食既正在其中将复光亦如之是故两时皆显赤色食甚离于次景入于满景乃变青黒矣三曰月体当食而成青黑色是借光所生 月居食甚之中时显襍色时但青黒皆须因光而见若并无光当纯黑色也前已言既入此界即无太阳入气折照之光则所繇见色者意或月体自有微光乎曰凡襍色之映见皆不繇于纯光纯光自当无色也杂色所从著见者必因湿气居其中间如虹霓是己若虹霓是湿云所映无从可证试以玻瓈瓶满贮清水别为宻室止穿一隙以达日光瓶水承隙则光透墙壁亦成虹霓大气之体本是热湿因于地气时重时轻若太阳之光从地旁过而地景在湿气之中则月体所至生种种色亦此理矣若青黑色月在满景多见之则因去光最逺所得希微之光不足显其本体故光色近于纯黑果绝无光又不能显此色矣苐所谓希微之光者实非本光如前言人在地景最厚处天光尚映照之近日之物畧能别识若月食时则受光之天去月体最为切近而诸星环遶四周皆有借光可照月体较人在地面尚为景之薄处岂得无微光可借聊显色象乎何必假此疑为自有之本光问合朔以后月之下半未受日光而月体微光亦显青黑之色若无本光此光又何从而生曰生明以后魄显微光然能去离月体足知其非本光去离者未至上弦此光渐消渐不可见也若寔为本光则上下弦前后深夜视之比朔后之月尚近太阳者尤为窈黑其本光愈宜显著今为不然深夜即无初昏即有其为此时地面反照之光甚易明矣(此论月为暗体绝无本光与月离厯指四卷第二十六所论不同葢)(西土原有此二说不妨互存之)日月食有定时第六日月交食皆有定时者在月则因地景在日则因月景景之推移既随日躔所至终古不爽又月行本道所距黄道度分亦有定法是以一在定朔一在定望当食必食多寡先后上下千百世可知也说二章一曰日食恒在定朔月食恒在定望者何也地球在天心故也验诸日食必两曜同居一线而月在地与日之间正隔日光于地又验诸月食令日月不相望于一直线两界之末则终古无食也设地不居天中或偏近于黄道之上下左右则食不在半周而月食之冲非太阳所在矣(古法以月食冲简知太阳所在) 如图甲为地从甲心作乙丁丙戊圏为宗动天之地平则甲必为天之心也何者从乙出直线至丙丁至戊亦如之乙为东并为鹑首初度丙为西亦为星纪初度丁为鹑火戊为𤣥〔？〕皆初度也则有视学之公论三其一曰目所视物必从直线乃见之使目在甲能徧见乙丁丙戊即甲乙甲丁甲丙甲戊皆直线也其二曰若光从一窥表出能射黄道正相对之两㸃必为径线此乙丙及丁戊能过甲亦如光过窥表甲能至黄道鹑首星纪等宫正相对之初度则乙丙及丁戊必为本圏之径更试测日月定望时得并在地平此出彼没若距度同即日月畧居其一径之两末则乙丙及丁戊为圏径无疑也其三曰凡圏中有多径线交而相分其两分线必等此两径乙丙及丁戊交而相分于甲即甲乙甲丙甲丁甲戊线皆相等又几何一卷第十七三卷第三界说皆言圏中一㸃所出多直线至其界皆相等即此㸃定为圏之心今甲㸃出甲乙甲丙等直线至乙丁丙戊各界诸线皆相等即甲必为本圏之心因此推之地球在天之心甚易明矣二曰食之大小疏宻因月距度昔人测日月食必在正中二交月体去交渐逺则食分渐少以至无食何也月以本体掩日而日为之食又以本体入于地景而自为食故恒言日月地居一直线之上则食偏则否三球之所以偏者有二一则日体恒行黄道中线地景恒在其正冲度分一则月行常出入黄道中线是故有时不入地景则食与不食皆因月行本道与日与景之距度多寡而已若其距度较日月景之二径折半或大或等者必不食也小则必食也愈小则食愈大也但月与景之二径折半大不大过一度日与月之二径折半止三十余分耳故两交左右之距度或在阳厯或在隂厯各有食限不入食限者虽遇朔望无縁相及故一岁之中不能多有食矣即入于食限而去两交有逺有近则其距度有广有狭即食分有寡有多相因致然不能齐一也日月食合论第七日食与月食不同势食日谓之障食食月谓之藏食何谓障食日为诸光之宗月与星皆从受光焉月之食日非真食日也定朔则地与月与日自下而上为一线相㕘直月本暗体今在日与地之间以暗体之上半受光于日以下半射景于地如屏蔽然特能下揜人目而不能上侵日体日之原光自若也是故人见为食而实非食也何谓藏食定望则日月相对日光正照之月体正受之人目正视之若于此际经度相及适及两交日与地与月亦为一线相㕘直而地在日与月之间地既暗体以其半体受光于日以其半体射景于月若月体全入于景中则纯为晦魄必待出于景际然后苏而生明如没而复出者然是则可谓真食也总之日月两曜若同行一道之上则每朔每望无不食矣日月地三体若并不居一直线则永无食矣惟各行于一道时及于两交故日与月皆隔五月而一食或六月而一食岁岁大率有之不食者半食于夜日食则此方所见他方所不见耳其食也日体恒居一直线之此界其彼界则月体地体叠居焉月居末界即月面之日光食于地景矣地居末界即地面之日光食于月景矣如上图甲为地己为日卯辰圏为黄道乙丙为白道其大距(两距之最逺)五度弱(二分)丁戊为两交(即龙头龙尾亦名罗㬋计都)论月食日照地球其光自庚辛至地切两旁过之而复合于壬自甲至壬角体之形为地景地景之心恒随太阳而行黄道中线若躔处去两交逺二径折半小于两道之距度分月行本道从旁相过不能建及则不食矣若正遇于两交或交之左右二径折半大于二道之距度分则两相涉入月为之食其食分多寡在距度广狭距度广狭在去交逺近也论日食则人目所见恒在地面推得实㑹仍须推其视㑹若仅据实㑹则是地心之见食非地面之见食凡有无多寡加时先后悉皆乖失矣如图丁为月或正居于两交或在交之左右日月二径之各半合之小于距度分则月能掩日日为之食不然则不食也所谓实㑹视㑹兼推则合者地面所见推食于地平以上至天顶之正中则独推实㑹便为视㑹自此以外地面所见先后大小迟疾渐次不同如图人在地面癸依丁月之径适满太阳之庚辛径则见为全食若人在地面子依丁月之径乃见两切线所至为己寅则月掩太阳止于己庚半径见为半食矣大凡日欲食时月不能离躔道一度强自此以上无縁相涉故定朔之日有食时少无食时多也新法算书卷六十四
## 卷六十五
钦定四库全书
新法算书卷六十五 明 徐光启等 撰交食厯指二日月本行图第一日居本圏月居本轮行度参差因而有交食因而毎食不同此略图二曜本行以明交食之原月离图独言朔望者交食时必在其本轮内圏之周也太阳本行图甲为地球在天心其大小之比例难可计算略言之则地之与天若尺土之与大地也如图外大圈为黄道与地同心内圏为太阳本天其心在乙乙之离地心依第谷算为全数十万分之三千五百八十四约之为百分之三有半也其最高今时在鹑首宫六度为丙太阳右行从辛过丙一周天而复于辛为三百六十五日二十三刻三分四十八秒是谓岁实任躔某宫某度分皆以地心甲为主而地心所出直线至戊黄道指为太阳之实行其平行则又以本圜之乙心为主故人在地所测之实行时速时迟而太阳因最高在北任分本圏则北为大半故北六宫之日数多于南六宫几八日有竒也依此见求太阳之躔度必用两法一者定其平行如随乙丁己直线窥之从乙心见黄道上之己㸃二者定其实行如随甲丁戊窥之乃从地心见黄道上之戊㸃先得其平行又以加减求实行而平实之差为戊己弧以甲丁乙三角形求之即得也其自丙过秋分至庚两行之差必减平行而得实行自庚过辛春分至丙则加于平行而得实行若用表则从丙最高起算或从庚最庳起算至日体之本度为引数以求加减之度太隂朔望本行图月离之术依歌白泥论有本圜有本轮有次轮本轮之心依本圏之边满一转即次轮之心依本轮之边得两转故朔望时月体皆在次轮之最近最近者近于本轮之心也因是不用次轮但以最近处为界得圆圏月离厯指谓为本轮之内圏此可名朔望之小轮也假如丙丁戊为太隂朔望时之本圏则与地同心(因无差故设为同心)本轮为乙丙丁其心在本圜之边甲右距日得每日十二度一十一分其最高在乙最庳在己月体则又居次之边左行自乙至丙而己而丁谓之引数最外有黄道为辛庚若从地心出直线上至黄道而次轮心正居此线之上则所指者为太隂之平行度分也又从地心出直线上至黄道而月体正居此线之上则所指者为太隂实行度分也凡月转或在高或在庳正当一宫初度(乙也)或七宫初度(己也)则平行即是实行过此必有两行之差则以差数加减于平行度分得其实行度分又月在乙丙己半转则以减得之若在己丁乙半转则以加得之以在朔望故平实行相距之极大差不过四度五十八分二十七秒(甲丙甲丁是也)过此为两弦之差则更少与交食无与月离厯详之若用不同心圏论则并不用此本轮其加减平行度分而得实行度分理则一也因日月以平实分本行故平朔平望时两体未必正相合正相对凡实㑹之或先或后日月各以其平行直线相遇而合为一直线则是中㑹实㑹中㑹视㑹第二测天约说言日月之行有隅照(相距三之一)有方照(相距四之一)有六合照(相距六之一)然悉无交食而独相㑹(朔也亦名合㑹)相对(望也亦名照㑹)则能有食故本篇所论者止于相㑹相对也抑㑹者总名也细言之有实㑹有中㑹有视㑹三者皆为推歩之原故言交食之术必先言相㑹相对言相㑹相对之理必从实㑹中㑹始实㑹中㑹以地心为主实㑹者以地心所出直线上至黄道者为主而日月五星两居此线之上则实㑹也即南北相距非同一㸃而总在此线正对之过黄极圏亦为实㑹葢过黄极圏者过黄道之两极而交㑹于黄道分黄道为四直角者也则从旁视之虽地心各出一线南北异纬从黄极视之即见地心所出二线东西同经是南北正对如一线也是故谓之实㑹若月与五星各居其本轮之周地心所出线上至黄道而两本轮之心俱当此线之上则为月与五星之中㑹日无本轮本行圏与地为不同心两心所出则有两线此两线者若为平行线而月本轮之心正居地心线上则是日与月之中㑹也葢实㑹既以地心线射太隂之体为主则此地心线过小轮之心谓之中㑹矣若以不同心圏之平行线论之因日月各有本圏即本圏心皆与地心(即黄道心)有相距之度分即日月循各本圈之周右行所过黄道经度必时时有差(与地不同心故)(也)其从地心出直线过日月之体上至黄道此所指者为日月之实行度分也设从地心更出一平行直线与本圏心所出直线偕平行而上至黄道此所指者为日月之平行度分也葢太阳心线与地心一线平行太隂心线亦与地心一线平行恒时多不相遇至相遇时两地心线合为一线则是日月之中相㑹若太阳实行之直线与太隂实行之直线合为一线则是日月之实相㑹合㑹望㑹皆有中有实其理不异先依小轮法作图甲为地心亦为黄道心亦为太隂本圏心(太隂与地同心者为用本轮故葢本轮周即太隂圏心绕地心之周其理一也)乙为太阳本圏心(与地不同心)太阳在丁太隂在戊甲戊丁线直至黄道圏得辛指日月实相㑹之度如太阳在丁太隂亦在甲辛直线上为庚而此线至黄道圏得丙即指日月实相望之度若太隂在癸与太阳不同一线之上乃过月本轮之心己而至黄道壬此直线所指则日月中相㑹之度也如月在庚从地心出平行线甲子与甲壬太阳平行为一线而至黄道子亦指日月中相望之度矣次依不同心圏法如后图黄道与太阳之本圏皆同前独太隂无本轮而易为本圏其心与地心不同在甲乃在丙此亦以日月并居一直线为实㑹如太阳在丁太隂在本圏之边戊地心所出甲戊丁线至辛则所指为实㑹而正对月体至黄道寅则所指为实望若中㑹中望则以平行线为主葢甲壬为地心所出直线既偕太阳本圏心所出过日体之直线乙丁为平行线又偕太隂本圏心所出过月体之直线丙庚为平行线则是两偕行之直线合为一甲壬而至黄道故所指者为日月中相㑹之度也其至相对之黄道上为癸则所指者为日月中相望之度设过此交㑹之时太隂在丑则月圏心出者为丙丑线地心出者为甲己线两线自偕为平行而甲壬与乙丁自偕为平行甲壬甲己不得合为一线矣故地心所出之两偕行线能合为一甲壬者必指中交之度为日月相㑹之共界也实㑹中㑹相距无定度日月本圏各与地不同心故两圏心所出直线各与地心所出直线虽恒为平行线而又与地心所出直线其相距广狭恒无定数设日在本圏之最高月在本圏之最庳其实行所至即平行所至则中㑹即实㑹矣或太阳在最庳太隂在最高或两最高两最庳在黄道上同度则中㑹实㑹亦皆无距度也惟日月去本圏之最高及最庳右行渐逺则地心所出平行直线渐相去至半圏周则甚相逺而为实中两㑹之相距最大差假如甲为太阳之最高乙为太隂之最庳若太阳在甲太隂在乙即两本圏心及地心所出直线上至黄道皆合于甲乙线则实㑹无分于中㑹也若太阳至丙太隂至丁去最高各不甚逺则地心所出辛平行线距本圏心所出直线亦左右稍逺即中㑹亦稍远于实㑹矣又使太阳在戊太隂在己则三直线相距更逺而实㑹中㑹相距亦更逺此则以太阳之引数九宫二度得戊辛弧二度三分一十五秒应减以太隂之引数八宫二十八度得辛庚弧四度五十八分二十七秒应加依法合之得戊庚弧七度○一分四十二秒为太阳太隂实㑹相距数实㑹中㑹互相随因有变易实㑹与中㑹多不同时或中㑹在先实㑹在后或实㑹在先中㑹在后惟日月各居其本圏之最高或最庳或一居最高一居最庳则中㑹不分于实㑹(因平行度乃正是寔行度)即不用加减度分若彼此俱加于平行度或俱减于平行度而所加减之度分等则中㑹亦不分于实㑹也(两均)(数相减若俱等无所减故)又依黄道右行论之使中㑹之时太阳之实行在前太隂之实行在后则实㑹在前中㑹必随而在后(月行速过中而得实㑹)若中㑹时太隂在前太阳在后则实㑹必后于中㑹也(实㑹之后月乃过中)若太阳与太隂或皆在本轮中转之半周(从最高至最庳)则两曜所得加减度其一较狭者必在前也或皆在本轮正转之半周(从过庳至最高)则两加减度其一较广者必在前也若其不同在最高庳之间而各居一半周则过最高者在前过最庳者反在后矣如图太阳在本圏太隂在次轮外圏为黄道从地心出直线至黄道而过本轮心所指者为日月两平行度之中㑹葢地心所出日月两平行线合为一线也若地心线从中㑹线之左右过日月两体而至黄道所指者为日月之实行度而两线相距之广即日月相距之度法应化为时刻分以加以减于中㑹乃得实㑹也又日月平行同在甲或在乙加减度不同类(一寔在前一寔在后)则两率并之得日月相距之度若日月同在丙丁戊己加减度同类(或都在前或都在后)则两率相减之余为日月相距之度也依本图论日月在甲则以太阳之加减度加于平行而得实行(在前故也)太隂则减之而得实行(在后故)其所差时刻则以加于中㑹得实㑹也(月过中而逐及于日故)日月在乙其加减度则太阳用减(在后)太隂用加(在前)其时刻则相减以得实㑹也(既㑹之后月乃过中)若在丙太隂之加减度大太阳小皆减之其时刻则加之以得实㑹(月欲)(及日故)若在丁太阳之加减度大太隂小亦皆减之其时刻亦减之而得实㑹(月己过日故)若在戊太隂之加减度大太阳小皆加之(皆过中故)其时刻则减之得实㑹(月己)(过日故)若在己太隂之加减度小太阳大皆加之其时亦加之得实㑹也(月欲及日故)总论之行度在中㑹前即当加(甲日乙月戊己之日月)在中㑹后即当减(甲月乙日丙丁之日月)时刻月实行在日后则当加(甲丙己是)月实行在日前则当减也(乙丁戊是)推中㑹实㑹元法第三日月同居黄道经度分秒不异是为正相㑹正相㑹者实朔也日月相距正得黄道半周分秒不异是为正相对正相对者实望也其推歩之法因二曜之实行度不同其实行之变易又时时不同故先以平行求得其中相㑹中相对而后渐得其实相㑹实相对焉苐中㑹之法以纪首(甲子为纪首)以每年每日每时之平行度分推歩易得耳实㑹法必用几何术中三角形弧弦切割诸线非是则无从可得故今交食厯中所列诸表不过求中求实两法而求实甚难不得不繁曲不得不详密也求中㑹月行黄道视日行甚速其在后也能逐及于日其既及也又超于日前其在朔也有时隔日光于在下其在望也有时失光于地景求朔望法先定太阳之平行度分以求太隂距日之度分若同居黄道经无距度分秒则为朔若相距正得半周则为望外此则中㑹在先必减其己过之时刻而得中㑹若中㑹在后则加以不及之时刻而得中㑹假如壬申年二月十六日癸丑日月相望求太阳平行其纪首为天启四年甲子天正冬至后第一日子正时太阳在九宫○度五十一分四十五秒至本日癸丑午正时得中积时为八年一百三十五日六时用太阳平行度每年一十一宫二十九度四十五分四十一秒每日五十九分八秒二十微每小时二分二十七秒五十一微并得中积度为三千○一十一度三十八分四十七秒加纪首前宫度得总数满平周(三百六十度)去之余四十二度三十○分三十一秒为本日午正时太阳躔大梁宫之平行度分次如前法求同时太隂中积度分一百二十九度三十七分二十二秒四十微每日一十二度一十一分二十六秒四十一微为太隂自太阳平行度分加纪首前十度一十七分三十六秒五十三微并得二千六百九十九度七分二十四秒满平周去之余五宫二十九度七分二十四秒为本日午正时月距太阳之经度分以减半用为不及者五十二分三十六秒未得正望求其时用不及度三十分二十八秒三十七微为一小时其余得时四十三分三十三秒为正中望算外得未初二刻一十三分三十三秒求引数凡日月在最高或最庳其实行与平行无异外此则不同行而两行相距又无定数故从最高右行指其平行所至黄道之弧为引数因之以求太阳太隂两处所差加减度若太隂则从其本轮之最高起算左行为引数之弧也苐须先定日月在中㑹时之平行度如前太阳正午在大梁十二度三十分三十一秒一小时又行二分二十七秒五十一微尚未至中㑹须行四分一十五秒(并小时)得中㑹时刻以加前得数其中㑹平行度在本宫一十二度三十四分四十六秒其正相对为太隂平行度分则在大火宫矣若太阳平行度正合于最高则无引数亦无加减过之即相减不及则于平行度外加一平周(三百六十度也)而减最高余为引数假如最高每年行四十五秒从甲子至壬申年三月得六分一十七秒以加于纪首之最高得三宫○五度五十六分五十八秒并得三宫○六度○三分一十五秒为太阳最高行度因太阳平行度在二宫不及加平周减之得十宫○六度三十一分三十一秒为太阳中㑹时引数同时依太隂每年之本行二宫二十八度四十三分八秒每日行一十三度三分五十四秒其中积得二千四百八十度五十九分五十三秒加入纪首前六宫一十七度四十六分二十三秒满平周去之得五宫八度四十六分一十六秒为太隂壬申年三月中㑹时之引数也求实㑹法先求太阳加减度依前所得最高及平行作图外圏为黄道从春分向左计其平行度从地心出直线指之次从心又出一直线至最高度线上任取一㸃为太阳本圈心从太阳圏心又出直线与平行度之指线为平行线至黄道更从黄道心(即地心)出直线过太阳体之心至黄道指其实行度也如图外圏为黄道其心甲出直线至丁即前所推太阳平行在大梁十二度又出直线至三宫六度为当㑹时之最高行度内圏为太阳本圏其心乙出直线过太阳至己更作甲丙直线引至戊指太阳之实行度即戊己弧为加减度应推丙角用甲乙丙三角形如法求之如图引数之余弧为丁辛或己辛五十三度二十八分二十九秒(止论角故异弧同度)即丙乙辛外角也甲乙两心之差为全数十万分之三五八四今以弦线求加减度先依甲乙线作甲乙庚直角三边形用句股开方求弦线其比例为甲丙线与甲庚丙角之正弦若甲庚线与甲丙庚角之正弦得一度三十六分五十五秒为太阳加减度若用切线则更省以全数加两心之差数得一○三五八四恒为第一率又相减得九六四一六为第二率引数之角随时不一半之而求切线为第三率如法求得第四率为切线查其本度分以减半引数余为加减度若本图则引数余弧之角半之为二十六度四十四分一十四秒其切线五○三九○为三率如法得第四率四六九○三为二十五度九分四十一秒之切线以减半引数得一度三十六分三十三秒为太阳加减度也次求太隂加减度按西厯近世名家先有歌白泥后有第谷从前所论㑹法两家之说略同至论太隂则第谷之术更为精宻今先言旧法次言宻法旧法曰如图黄道内作同心圏从太阳平行度越半周而定太隂平行度之一从心出直线至此㸃必为本圏之过心线而指本轮之心次从本轮最高左旋查其引数又从黄道心作一直线过太隂体两线所至黄道间得一弧此弧为太隂之加减度也(加减度即名均数)假如太隂平行度在大火宫正对太阳其引数自戊左行至丙未及半周月体在丙两直线并出甲甲乙戊指平行度甲丙己指实行度戊己弧为所求加减度其求之者甲乙丙三角形也若用句股法则自丙至丁下垂线开方求得甲丙弦则甲丙线与甲丁丙角若丙丁线与丁甲丙角也如用切线则甲乙全数十万本轮之半径乙丙八六○○相加得一○八六○○相减得九一四○○又半引数求其切线如恒法即得均度之切线矣以此推歩交食未免微差第谷新法更为详宻鲜不合者今诸列表悉用此术故应说其义指如下文宻求实㑹(第谷法)月离厯指论太隂之本行故备晦朔弦望此说交㑹故图说止于朔望也太隂交㑹仅用三圏一为本天一为本轮一为次轮本天即本圏也与地同心负本轮之心其半径当十万则本轮之半径得五千八百从最高左旋负次轮之心如次轮心从最高丁行至己其自行度即表中所名引数用以求加减度加减度即均数也若本轮在子或寅则月体在庚自行在初宫初度或五宫末度则无引数可计亦无均度可求矣若本轮在丑则月体在丙自行得三宫初度为交㑹时之极大差欲得此数用甲乙丙三角形求之甲乙线为全数乙己与己丙相加得乙丙为八千七百甲乙丙角系自行之象限必为直角依前法以切线求乙甲丙均度角必得四度五十八分有竒若自轮在卯为十宫月体在辛必用两三角形乃得均度其一为甲卯辛形所求均度为卯甲辛角形中特有全数无从得角宜先推卯己辛三角形形有本轮之半径卯己有次轮之半径己辛有引数余弧之倍角卯己辛如法推得卯辛线及己卯辛角以减于引数得其余弧之数为甲卯辛角因此可求卯甲辛角为均度也更论次轮之周月体循而右旋其半径仅得本轮半径之半以较全数得十万之二千九百两半径并得八千七百为㑹时所用之数以推最大均度太隂在次轮从最近庚起算恒倍本(轮行)如丁己为本轮之一象限而太隂行小轮从庚至丙得半周是自行得半周太隂行全周故前言本轮在子在寅月体至庚悉无加减数也今依图求太隂均度如前设得其自行五宫八度四十六分一十六秒距太阳半周其经度在大火宫一十二度则本轮在乙从地心引直线为甲乙全数从乙出直线至自行之限丙必与中最高线甲戊为平行线而定引数为庚丙倍引数从最近右旋得太隂在次轮丁从乙至丁引乙丁直线则得乙丙丁三角形其乙丙丙丁两线为两小轮之半径乙丙丁角为倍引数(辛壬丁是)之余角(丁辛弧是)即可求丙乙丁角与乙丁直线也又甲乙丁三角形欲求乙甲丁均度之角以切线算之宜先得己乙丁角以偕全数及乙丁线乃得其所包角矣法见下文如图求丙乙丁角倍引数(辛壬丁也)得三百一十七度三十二分三十二秒余(丁辛)四十二度二十七分二十八秒为乙丙丁角其余角(乙丁两角也)总而半之得六十八度四十六分一十六秒其切线得二五七四三○为三率两轮之半径相加得八七○○为一率相减余二九○○为二率算得第四率切线八五八一○其弧四十度三十八分以减前总余角之半数得二十八度○八分一十六秒为丙乙丁角也次求乙丁线则丙乙丁角之正弦(四七一六○)与丙丁(二九○○)若乙丙丁角之正弦(六七五○五)与乙丁线算得四一二九次以甲乙丁大三角形求均度先得己乙丙角(引数之余未满半周)以加丙乙丁角得己乙丁角四十九度二十二分其余角(甲丁两角)总而半之得六十五度一十九分查切线二一七五八二为三率以乙丁线加全数共一○四一二九为一率相减得九五八七一为二率算得第四率切线二○○三二○其弧六十三度二十八分一十七秒以减前六十五度一十九分余一度五十分四十三秒为所求太隂均度与列表合今以两所得均度求实㑹时查图视均度或以加于平行度或以减于平行度即见太隂距对处若干或过之或不及则以其相距之度分化为时刻依前法或加或减于中㑹时刻必近于实㑹时刻如前推壬申三月月食其㑹时太阳之平行在实行后则以均度加于平行得实行太隂之平行在实行前则以均度减实行又以二实行相较见太隂视正相对不及者三度二十七分三十八秒化为二十七刻三分四十五秒以加前中㑹算外得实㑹在戌正二刻二分一十八秒复求实㑹时日月之两实行变动不居非一圆形能尽其理几何家欲径测径推无法可得故须先用平行以渐推其实行顾又非一推可遽合也盖初用之引数其所指者中㑹之引数非实㑹之引数则其加减度所推实时特近于实时非正实时也法宜更求中实㑹之间日月自行度分依加减时法或加或减于前之平自行乃得次引数求其均度复查二曜实相距度化为时刻或加或减于中㑹时刻乃得正实时刻若三推之终所得时刻分秒不异于次得即合天无疑矣假如前得差二十七刻三分四十五秒其间太阳复平行一十六分四十七秒以加初平行得一宫一十二度五十一分三十三秒减其最高(最高不动即用前数)得自行一十宫六度四十八分一十七秒余弧(至满周)五十三度一十一分四十二秒半之而求切线得五○○七○为三率以全数加不同心差为一率相减为二率算得四率四六六○五其弧一度三十六分三十四秒为太阳次均度也太隂中实㑹之距时间(即前二十七刻有竒)复平行三度二十七分二十八秒以加前经度总得经度七宫一十六度二分二十四秒为本轮居本圏之处而本轮此时间亦向右自行三度四十二分三十一秒以加前自行得次自行五宫一十二度二十八分四十七秒即次引数也为次轮心居本轮周之处倍之得太隂居次轮周之度也借前图则乙丙丁角今为三十五度二分二十六秒余角(乙丁两角)总而半之得七十二度二十八分四十七秒其切线三一六七六八为三率一二率如前算得一○五五八八其弧四十六度三十三分以减前半弧七十二度二十八分四十七秒得二十五度五十五分二十二秒为丙乙丁角次求乙丁线则此角之正弦四三七一六为一率丙丁半径为二率乙丙丁角之正弦五七四一六为三率算得三八○八为乙丁直线也 今求均度以自行余之甲乙丙角并丙乙丁角为己乙丁角四十三度二十六分三十五秒余者(甲丁)(两角)总而半之得六十八度一十六分四十二秒为三率第一及二为乙丁线一加一减于全数(甲乙也)算得二三二五九六求应减之度而得次均度一度三十二分三十三秒又以太隂次均度加于太阳次均度见太隂视正相对不及者三度○九分○七秒化为时刻得二十四刻一十二分一十七秒以加于中㑹算外得实㑹在戌初三刻一十分五十秒推㑹时简法第四前依几何法用日月行度推㑹时者论其所以然也若恒时推歩别用诸表诸表虽从图出其用之甚易不烦故名简法然以此便初学耳明理之家正须从难处入不宜恃此为足也列表法交㑹表从前图出者止均度二表(即加减度表)一为太阳均度一为太隂均度论太阳如图甲丙乙丙两直线至黄道之相距弧为均度用三角形法求甲丙乙角则与求丁戊弧不异葢丁戊能代丁己繇甲丙乙角能代丁甲己角(见几何一卷二十九题)但丁甲己非三角形无从可得均度故用甲乙丙则恒有乙丙全数有甲乙两心之相距(三五)(八四)又有自行之正或余角如庚乙戊角即周圈之上任所至可以三角形推得均度也论太隂如上图独交㑹时其本轮与地同心则有本轮之加减度最大者为次轮之最逺在最高最庳之间因月体至此去本轮心最逺故其二轮之半径必合为乙丙直线而指月体其数八七○○又有甲乙全数有本轮上自行度丁戊成甲乙丙三角形依前法可推乙甲丙角之均度外此则月居次轮最近或最逺之左右从地心出直线指实行即月体所居无两半径合并之数故所求均度非一三角形可得须用两形求之如图月居丙因在次轮之左必得乙丙直线乃生乙丙丁及甲乙丙两三角形矣求中㑹时厯元后推首朔至二百年每年可当厯元法先定崇祯元年戊辰天正冬至后第一日子正时为根而恒减通闰一十日六十○刻一十一分一十二秒遇闰年多减一日不满数加朔䇿二十九日一十二时四十四分三秒减之得次首朔若用加法则以太隂年(十二朔䇿)三百五十四日八时四十八分三十八秒加所得之数而减太阳年三百六十五日遇闰年则三百六十六日不满亦加朔䇿减之厯元前总甲子亦于每甲子年定首朔表自六十六甲子(天启四年)逆溯而上每加六十太隂年满朔䇿去之余为三日七时一十三分○六秒依此递加共为若干甲子而得若干总数满朔䇿去之余为本甲子年首朔也更有每年零用表与厯元后二百恒年同法亦歳减通闰每四年加闰一日则先一年减之为一十一日一十五时一十一分一十二秒得次上首朔又有太阳引数太隂引数二表有交行度表有太阳经度表太阳引数者是太隂年本行减最高行即一十一宫一十九度一十六分八秒(亦即三百五十四日八时四十八分三十八秒)加朔䇿得一十八度二十二分二十九秒太阳经度者从最庳起算太隂年所行得一十一宫一十九度一十六分五十二秒加朔䇿得一十八度二十三分一十六秒太隂引数者太隂之自行也从本轮最高起算太隂年所行除正周外得十宫九度四十八分○一秒加朔䇿得十一宫五度三十七分○一秒交行度者太隂年所行除全周外得八度○二分四十七秒加朔䇿得一宫八度四十三分一秒四表皆同一法恒加太隂年行度若首朔表加朔䇿诸表亦加朔䇿但首朔表论闰日后四表不论闰日耳其通闰在零年顺推则首朔用减下四表用加在甲子年逆推则首朔用加下四表用减用表求中㑹中㑹法若下推将来用厯元后五种行度表第一格简得冬至后首朔次用朔实十三月表加之即得若上推既往用厯元前总甲子表得甲子年首朔而所求交㑹即在本年则于十三月表查朔䇿或望䇿加之即得所求交㑹不在本年先查六十零年表加相距之年后加相距之朔䇿或加望䇿即得假如壬申年九月庚戌夜望有食用本年下首朔○日一十六时二十五分二十一秒纪日三十七从冬至至本月望相距十月又半故朔实十三月表内对十月得二百九十五日七时二十○分三十一秒加望䇿一十四日一十八时二十二分二秒总得三百四十七日一十八时七分五十四秒满旬周(六十日)去之余得中㑹在庚戌日时刻从子正起算得在酉初七分五十四秒又试用厯元前总甲子表于六十六甲子下得○日○三时四十四分○八秒纪日五十五至壬申积八年查零年表八年下得○日一十二时四十一分一十三秒纪日四十二朔䇿望䇿皆如前总得四百有三日满旬周去之余亦得庚戌日时分秒悉如前推㑹朔则不加望䇿余法同若尽求一年之中㑹则于首朔或首望加朔䇿于总数以后累加之至十二次然后从首㑹加太隂年三百五十四日八时四十八秒得合于终㑹即所推十二㑹悉合矣用表求实㑹两中㑹之间朔䇿也定为二十九日十二时四十四分○三秒○九微实㑹则二曜之自行所至有时过朔䇿有时不及朔䇿过不及之大差多禄某定为一十四时三十○分第谷去减二十分法用引数依均度表加减求之故推中㑹并列太阳太隂两引数以求加减度又列太阳平行经度后来亦用太阳均度加减为实行度而以两均度所推得之近实时约略改为目见器测之视时如下文表中太阳自行从最庳起算其经度从冬至起算前图所说或从最高或从春分其理不异假如求崇祯五年壬申三月癸丑夜望时先定中时如图总数一百七十○日去二旬周余五十○乃所用为㑹(时一 六) (○一一二八三)隂(度一一一○ 二三二八)相合次以太阳引数时(分二 五) (五二四六二三)引(分三一五四 五六四六)对四宫六度查均度秒(二一) (一○三三二六)数(秒三○三○ 八○○八)得一度三十七分三太(宫一 一)一(○○○三○四)太(宫○○○○ ○三○四)十六秒差度一分一阳(度二 五) (二一○六四六)阳(度○二一一 一六四二)十六秒偕引数之小引(分三 二) (二三三五三○)经(分三二三三 五五三四)余用三率法(六十分为一率)数(秒一 五) (二一四三○八)度(秒一三一○一分一十六秒为二 三七二二率小余三十分四十)(八秒为三率)求得本差三十九秒又因向后之均度渐少故以本差三十九秒减本均度止一度三十六分五十七秒次从表首行查号为加即书加又以太隂引数对五宫八度得一度五十五分○七秒差度四分五十八秒向后均度亦渐少亦以差度偕引数小余所求本差分秒减本均度止得一度五十一分二十○秒其号为减即书减依前法两均度一加一减宜相加即得日月实相望差度如上图次用四行时表查月距日时得其差时分秒或加或减于中㑹则不逺于实㑹若均度皆号为加而太隂所得小于太阳所得或均度皆号为减而太隂所得反大于太阳所得或太隂为减太阳为加则所化时刻恒加于中㑹时刻否则恒减于中㑹时刻以得实时刻今三度二分五十二秒得六时又度余二十五分二十五秒查得时余五十分○二秒加于前一十三时四十三分三十六秒得实㑹在二十○时三十三分三十八秒为戌正也密求实㑹前以中㑹之引数求实㑹今云密者以前经加减故得次引数与实㑹相近复如前求得时刻复加或减于中㑹乃得正实㑹法依前所用四行时表以时刻反查度分因太阳自行一日不异其平行仍用其平行表以六时五十分得一十六分五十秒加于前引数得太阳总引数四宫六度四十七分三十七秒此距间于本表查得太隂行三度四十三分一十一秒以加于前引数总为五宫一十二度二十九分一十七秒又以此两引数求得均度如上图亦以一加一减故当相加而两均度(太阳太隂月距均度均度日度) 之差较前更少变为时亦少即依本表三度二分五十二秒得六时又度余六分六秒得时余十二分度余二十八秒得时余五十五秒总加于中㑹复得十九时五十六分三十秒为正实㑹在戌初三刻一十一分三十○秒更欲宻推则用次得之实时又求苐三引数以复求均度以较次得之太阳均度其二曜相距之弧亦变为时刻若同前即前得无疑若异者用后得为正实㑹也依表算㑹时依图算㑹时新法算书巻六十五
## 卷六十六
钦定四库全书
新法算书卷六十六 明 徐光启等 撰交食厯指三求视会实会第一前所得实会时刻虽则合天于人目所见仪器所测未尽合也所以然者太阳行度赤道交子午圏有升度差随时变易日日不均(详见日躔厯指)而今依厯元推步或用表查算无能不均须用加减时表以求本地可见可测之实时又推步者但依本地所定子午线其在地方不同子午线者难可通用故又用里差加减以求诸方所见所测之实时也实时改视时如前求太阳实度得中实两会相距时刻查太阳平行时表得分数依前加减时刻亦加亦减于前得太阳经度乃得实度 假如前推壬申三月望会太阳平经度为四宫(冬至起算)一十二度三十四分○一秒中实两会之差得六时一十二分五十五秒其距间又得太阳平行一十五分一十八秒以加于中会时之太阳平经度得其实会时平经度四宫一十二度四十九分一十九秒更加其次均度一度三十六分三十六秒则太阳实度四宫一十四度二十五分五十五秒今查加减时表得○九分五十五秒其号为加则以加于实会共得二十时○五分四十四秒算外得癸丑日戌正五分为顺天府所见所测之食甚时见食随地异时月食分数天下皆同第见食时刻随地各异何也人各就所居之地目力所及者则见月食而各所居地皆以子午正线为主若其地同居一子午线者(南北地纬虽异东西地经则同)则所见月食之分数迟速皆同也若地易子午线易则时刻并易矣所以然者时刻早晚因太阳行度随人所居各以见日出入为东西为卯酉即以日中为南为子午而平分时刻故月食时必本地之日未东升或己西沉乃得见之若在其昼时刻不可得见也天启三年九月十五夜望月食顺天府及南北同经之地则初亏在酉初一刻一十二分食甚在戌初初刻复圆在戌正二刻一十三分各算外高丽及其同经之地即初亏在酉末戌初而西洋意大里亚诸国日尚在天顶为午正则不见月食以里差推之西洋之初亏在己正三刻四分食甚在午正一刻○七分复圆在未初三刻一十分各算外虽月入景七分五十六秒所居宫度彼此逺近皆同而以里差故彼地彼时太阳在午正二十二分太隂反在子正二十二分食甚正在日中何从见之今壬申年九月十五日夜望月食初亏在卯初三刻则陜西四川等处得见南京山东等近海东境不可得见也秦蜀之子午异于东方之子午故今以顺天府推算本食因定各省直之食时宜先定各省直视顺天子午线之里差几何后以其所差度数化为所差时刻每一度应得时四分向东以加于顺天推定时刻向西则减乃可得各省直见食时刻也若日食则其食分多寡加时早晚皆系视差东西南北悉无同者必须随地考北极高下差其距度随地测子午正线差其经度乃可定其目见器测之视时定子午术见西测食略中法于当身所居目见器测考定一月食之时刻与先所定他方之月食时刻较算或两地两人同测一月食彼此较算乃以所差时刻得所差度分也前顺天府所推月食时刻并具各省直先后差数因未得诸方见食确数无从遽定地之经度但依广舆图计里画方之法略率开载耳既而咨报多相合者然非甄明之辈躬至其地测极高下见食早晚终未敢以耳闻臆断勒为成书也左方所记政所谓略率开载者欲求决定当竢异日故称约加约减焉南京应天府及福建福州府约加四分(凡一十五分为一刻)山东济南府约加五分山西太原府约减一刻○九分湖广武昌府河南开封府约减一刻陜西西安府广西桂林府约减二刻○四分浙江杭州府约加十二分江西南昌府约减一十分广东广州府约减一刻○五分四川成都府约减三刻○七分贵州贵阳府约减二刻○八分云南云南府约减四刻○八分证子午差变易见时万厯元年癸酉十一月望依大统厯推月食初亏丑正一刻食甚寅初三刻本夜第谷在西国测得食甚在戌正○三分于时太阳近冬至所测时即定望时无加减大统所推稍踈大略东西差时三十余刻为顺天府所见后于西国也万厯五年丁丑三月十五日夜望依大统厯月食甚寅正一刻第谷测戌正三刻○五分先后差七小时一刻一十分为一彼一此子午异线变易加时也万厯二十年壬辰十一月望大统厯记食甚寅初二刻第谷测在戌初二刻○七分加时差二分总得差七小时三刻○二分则西国之夜望为顺天府之晓望西国半夜后所测在顺天为次昼不可得见也万厯四十年壬子四月十五日夜望厯官报月食初亏寅正一刻既实测得寅正四刻当时西国把沕辣有测戌正三刻○八分者更西多勒都测得戌正○三方同测不必加减时得顺天府较极西差九小时正较中西差八小时○七分(阙)天启四年甲子八月十四日夜望厯官报月食一十三分六十五秒初亏丑正初刻既测得一十六分六十三秒初亏丑初二刻○六分小西洋北国测得子初三刻○八分泰西教主京都测得酉正三刻一十三分较得北印度视顺天府偏西差七刻一十三分视泰西差六小时二刻○八分天启七年丁卯十二月望月食厯官报初亏寅正三刻复圆辰初三刻既实测得初亏寅初初刻○一分复圆卯正三刻○六分与西法合于时太阳在𤣥枵宫一度顺天府出地平上为辰初一十一分依大统厯推复圆在辰初三刻则在日出后二刻不可得见而同时陜西西安府则见复圆在天测得大角星高四十七度其北极出地三十四度一十九分得月食初亏丑正二刻○三分将复圆测角南星高四十一度五十分得卯正一刻○二分视京师偏西差二刻○四分为八度半也崇祯四年辛未四月十五日戊午夜望依大统厯月初亏丑初三刻依新厯初亏丑初○六分三十八秒实测得丑初○五分大角星髙四十九度四十分距午正三十九度加其距太阳一百五十七度二十七分得太阳过正午一十三小时○五分二十八秒去半日刻余一时○五分为丑初○五分新厯初报各省较顺天差数在四川成都府初亏子正一十四分三十八秒彼中实测正合是成都府视京师偏西差三刻○六分得一十二度四十五分为两子午线之度差较各处实测食之时如此凡有两处东西相距则所得时刻必差若相距愈逺则所得食之时刻差必愈多葢因子午不同证见食时故不同推步交食本论第二步交食之术有二一曰加时早晚一曰食分浅深加时者日食于朔月食于望当豫定其食甚在某时刻分秒也食分者月所借之日光食于地景地所受之日光食于月景当豫定其失光几何分秒也加时早晚非在日月正相会相望之实时而在人目所见仪器所测之视时乃视时无均度可推故日月两食皆先求其实时既得实时然后从视处密求日食之定时(详见后篇)惟月食则实时即近视时也然日与月实相会之度分未定即欲求其实时无从可得故须先推中会时计其平行及自行而得均数然后以均数加减求得其实会因得其实时矣古法所谓躔离朓朒即自行均数之谓兹特深求原委以故倍加详密耳若食甚之前为初亏食甚之后为复圆此两限间亦应推定时刻分秒其法于前后数刻间推步日躔月离求其实行视行(月有迟疾经时则生变易故宜近取)以得起复之间时刻乆近也食分多寡谓日食时月体掩日体若干月食时月体入地景若干也其法以日月两半径较太阴距黄道度分得其大小次求二曜距交逺近与古法不异苐日月各有最高庳景径因之小大黄白距度有广狭食限为之多少至于日食三差尤多曲折此为异矣前论交食原及推交会时太阳太隂皆同一理次后论两食之征亦然更后即不复能为合论故先论太阴入景浅深与其食时乆近次以三视差论太阳之食分加时难易逈殊详略亦异也推月食有无欲征月之有食一论交之左右一论交之前后论左右者视太隂距黄道之纬度以方于月半径地景半径并而纬度为小则食若大者过而不相涉若等者过而相切皆不得食也论前后则食之处必在正交中交之或前或后而不甚逺甚逺则距度广月与景亦过而不相渉也近则距度狭狭则必小于两半径并而无能不食矣是故征食有两法一略一详略法者未定月食之实时先求中会时亦聊可测其距度也试用表查平望之宫度并注其同格相当之交周度若正得六宫或○宫初度则太隂在正交中交之二㸃(即罗计即龙首龙尾)无距度必食若过交或不及交而度分相近不出食限之外亦食也假如考壬申年三月会望用厯元后表查首朔相当之交周度得七宫一十八度四十二分一十一秒为当时正合经朔之平交度次用十三月交周度表查第四月又得四宫○二度四十○分五十六秒加望策六宫一十五度二十分○七秒得总数满平周去之余六宫○六度四十三分一十四秒是太隂过中交六度有奇入食限内己六七度即月体必半入地景而定为有食也(时一一一一○ ○○四八七) 周度并列之次查其零年亦如(分五一一二四 七二二二三) 之次加朔策或望策亦如之总(秒一二○○五 四九九二四) 之即得中望及其相当之交周(宫一○○○○ 一八三六六) 度万厯五年丁丑三月壬寅夜(度二一○一○ 四七二五○) 望大统厯纪月食一十二分五(分四五○二○ 七七○○五) 十秒本年在六十五甲子第十(秒二二四○三 三一二七三) 三年列数如上得癸卯为本食(时○一一一○ 三五二八一) 当时过交中止○五分三十三(分一二四二五 六七四二○) 秒深入食限之内宜得全食不(秒三三○○一 五○三二○) 止十二分五十秒也(宫一○○○○ ○○一六六) 纲目纪唐肃宗乾元二年己亥(度一二○一○ 八七○五一) 春二月月食今上推其食分加(分四○四二四 一三○○五) 时法查本表五十一甲子及零(秒二二三○三 六八二七三) 年朔策等依前列数如上依总数得太隂过中交止一度四十五分有奇宜全食食甚时在丁未日丑初三刻也其详法则更推太隂实望时之距黄纬度以较二径折半若距纬度小者即月不能不入于地景因而有食如下文求太隂实望时距度中望时表中己得相当之交周度今更以加减之时更求交周度复加或复减于前所得即实望时之平交度也次又以均度或加或减乃得实望时之实交度矣假如壬申年三月中望时交周度过中交六度四十三分一十四秒时差(实会与中㑹相距)得六时一十二分五十五秒交周时表中查得三度二十五分三十四秒因时加度数亦加(若减亦减)总得一十度○八分四十八秒犹是平交度也更减前均度一度三十二分五十秒得实交度八度三十五分五十八秒今以交周度求距度用太阴距度表于六宫八度得四十一分二十九秒表中次度多五分○九秒故以交周度之余三十六分得差三分五秒相加得太隂距黄道南四十四分三十四秒因交周度为太阴之右旋度相加于左旋之交行度(即两)(交行一名罗计行度)故所用均度不异于自行之均度其平行一年得四宫二十八度四十二分四十五秒一日得一十三度一十三分四十六秒一时得三十三分○五秒以此求距度用甲子年为纪首于时太隂去正交八十三度二十九分二十四秒依法算得总平行数六宫一十度○九分○五秒次减前均度所得数六宫○八度三十六分一十五秒为实交度也次依三角形之比例则全数与(黄白)全距度之正弦若交周度之正弦与距度之正弦葢黄白道之全距算交食无过五度交周度之弧又从近交所始也如图甲丁为白道甲戊为黄道己丙乙为过黄极及交周度之弧各一象限丁戊为黄白之全距(相去最逺)太阴在丙近于中交甲求其距度丙乙则甲丁与丁戊若甲丙与丙乙算得四十四分三十三秒今依距度四十四分三十三秒考壬申年三月会望有食与否简半径表中用太阴引数○五宫一十二度得月半径地半景并为一度四分三十五秒而距度止四十四分三十四秒距少径多太隂之行无能不入景即无能不食矣推日食有无欲考会朔有食与否须定会朔时太隂之视距度以较于日月两半径并若视距度大于二径折半或等者不食也小则食矣视距度者生于视差而本于高度故当先求高度法于会朔时以太阳本日距赤道度加于本方之赤道高度得本方之子午最高度又于赤道高度去减距赤道度得本方之子午最庳度次求两数之正弦并而半之为三率以太阳距午正弧之正矢为二率全数为一率依法算得第四率以减子午最高或最庳余者为二曜高弧之弦大约太阳距赤道北则所得之数与子午最高相减若太阳距赤道南则与最庳相减假如崇祯七年甲戌二月朔日顺天府定朔在己正一十四分日月距午正线七刻○一分于赤道得二十六度半用其余弧求正矢得一○五○七为二率因太阳在降娄宫八度三十分四十秒得其距度在赤道北三度二十二分以加赤道高得五十三度二十七分为子午最高相减余四十六度四十三分为子午最庳次求其二正弦并而半之得七六五六五为三率算得四率为八○四四以减五十三度二十七分之正弦余七二二九○查得四十六度一十八分太阳在地平上之正弦也今查日月高庳差表(即地半径差在日食表中)于转周度得太阴距地之逺其下依高度取其相当之视差得四十三分去减太阳之视差二分(于高度左方取之)余四十一分以减太隂之距北实度四十八分五十五秒余○七分五十五秒为太隂视距度以较二径折半为甚小知月之掩日分数为多矣凡人目所见太阴在天顶南则月之视所较其实所恒偏南偏庳故其距度多能变易太阳之食分又月在黄道南则当以视差加于距度人所居愈向北所得视差愈大其视月愈偏南而所见日食愈小若月在黄道北所得视差或小或等于距度当以减于距度则视处反近于黄道而北方所见日食大于南方矣苐视差之大若过于距度之大而去减距度即北方视月又偏居黄道之南比南方所见更逺而得日食又小试如崇祯二年己巳五月己酉朔日食四年辛未十月辛丑朔日食今以相较己巳年太阴实所距南八分四十九秒(阳厯)顺天府本时之地平高得七十三度一十八分其二曜高庳差一十七分四十秒以加距度八分四十九秒总得视距度二十六分二十九秒以减于二径折半三十二分○四秒余止五分三十五秒以推日食所见宜少矣若浙江杭州府高度八十三度一十四分推二曜高庳差得七分○九秒以加距度八分四十九秒得一十五分五十八秒视二径折半为一倍小即月掩日宜得大半也辛未歳不然太隂距度在黄道北一度一十五分二十二秒顺天府合朔时得日月高止三十五度四十一分二十○秒二曜高庳差四十八分以减距度余二十七分二十二秒视二径折半不及者五分一十六秒即见日食若杭州府高度四十三度四十八分得高庳差四十四分以减距度尚余三十一分二十二秒是其视距度略等于二径折半则月不能掩日也大约太隂实距度在黄道南(论中国相等同纬之地)其六十度以下之高庳差必大或等于二径折半即使无距度犹未得食也若距在北则太隂之视差能偏南一度强(最大)(者六十三分减日视差二分得六十一分)必距度之大倍视差之大乃不食否则有食详见后篇累推厯元前后交食交食之法上推往古下验将来百千万年当如指掌若悉用古法推步穷年累月不能得竟矣此交食诸表所为作也用表则远溯唐虞下㳂万䙫开卷了然不费功力如读先秦古书见春秋前后一切日食皆不记月日今欲一一考定是何月日又如目前推得见食而欲累求向后若干年应得若干食是皆不用交食全法依交周(世纪四纪四总五总一日十日月数月数)度表便可得之法先求某年第(甲子) (二年) (一) (一) 一中㑹(即首朔也)用表取相当之交(日二一一四一三四五 七○四○八○七七)周度若入食限即第一食也求(时○ 二) (二一) (○○一一二二五八)次食加五月或六月亦必入食(分一 ○) (四七) (五五四三六三○三)限矣若初所求交周度未入食(宫○ 四) (○三) (○○○○四○五五)限则查交周度十三月表求某(度二 六) (一八) (○一○二二八三一)数相加而入食限者用之(分四 四) (四一) (四○二二一五一六)假如周考王六年乙巳史记年表但云日月食不言某朔望今求其月日则是年八月一日食三月九月两月食也依表本年在三十一甲子首朔为二十七日○二时一十○分二十九秒其相当之交周在四宫二十六度四十四分一十八秒纪日一十零年乙巳在表为第四十二年首朔得一十四日二十一时四十七分二十四秒相当之交周度为三宫一十八度四十分三十八秒纪日四十并两交周度未入食限更加四月(是春三月癸巳朔)所得距正交不逺然定朔在二时五十四分则是丑正三刻有奇非此方所见古未有记夜食者亦非也更加五月得其交平行列数如上以一十八时三十三分知中会在酉正三刻此时用太阳引数得均度一度四十一分太隂引数得均度三度五十四分并之得日月相距五度三十五分化为时得一十一以减平朔得定朔在辰初三刻是为周考王六年八月辛酉朔本地所见地平上之日食矣求本年月食则于前总甲子及零年乙巳数外总加望䇿得第一平望其交周度在两交之间无食更加三月则丁丑夜望月过交中分数甚少必全食然定望在昼但见其初亏不见其食甚更加六月得交周度○宫○甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯六度四十七分太(宿一二○一二○一二○一一二 四三四二一二二一二一九八)隂入食限又时在纪(日二二一四四四三三三二五五 四一八六三○八五二九七四)九月乙亥日用均时(时一一二一一二○○一一○一 二七一三七二二七一五七一)度得定望为戌初(分五二四二五一四○二五三五 九三七八二六一五九三四八)三刻但见其复圆交(宫○○○○一○○○○○一○ ○六○五一五○六○六一五)不见其初亏也是周(度○一一一二二○○○一一二 七一五八二六○四八三六○)两皆带食故史官度(分二二三五五五五五五○二二 九九○二三四六七九○一二)纪焉又日一食月再食故统言之曰日月食也甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯欲下推累年之交(宿二○一二○一二○一二○一 七八八七八七五六五四六五)食先如前求第一纪(日○○○○五五二二一一一○ 九六四一八五三○七四二九)食自此以后或越时(时一二○○一一○一一二○○ 八三三七二六八二七一一六)五月而一食或越(分三○二五一三一四○三五二 七一五○四八九三七二六○)六月而一食日月交(宫○一○○○○○一○一○○ 五一六○六○五一五一六○)皆然此其大凡也周(度二二○○○一一一二二○○ 二六○四八二五九三七一五)法查交周度十三度(分○一一一一一三三三四四四 九○一三九五七八九一二四)月表用片楮别书五月六月之数向本表之各月下递并而试之但合于食限以内者即有食之月也如崇祯七年甲戌第一日食在三月朔算本年及向后各年有食之朔如前图每两平朔皆入食限惟乙亥之两朔间戊寅后己卯前之两朔间各越五月余皆越六月其食也太隂有昼有夜太阳有昼夜又分南北故非一方所见惟用此考其可见者推之求平望法同此如后图图中独丙子后越五月余皆越六月凡交食得某月入食限即次后一二三四月皆无食必至五至六或十一十二月则食欲更求本方所见则推实朔望以时刻定之食分多寡之原第三推日食分数则以太隂距黄道之视度日月两视径之半以及三视差此并有其本论后篇详之此求月食分数则用太阴之实距黄道度及其视半径地景半径即可得之今先论日月景之各半径次乃定食限及食分也视半径所繇变易凡圆球之去人逺则目视之为平面欲测其大小者不依其形依其径也目之视径虽以平行线受其像然相距有逺近即所测得之大小随而变易近则见大逺则见小矣暗球生景其理准此故受光之体小于施光之体即其景亦随相距逺近而有变易距逺者景巨而长距近者景细而短也如上日月食合作一图甲为地球太阳在最高为丁在最庳为戊太隂日食时在其最高为己在其最庳为庚月食时在其最高为壬在其最庳为辛若从最逺之太阳周癸丑引直线切地周乙丙必相遇于卯从最近之太阳周子寅切地周者必遇于辰子寅辰在癸卯丑限内在内者细且短在外者巨且长因太阳距地逺近不同故也论太隂其在最高己目依甲未甲午两线视之若在最庳庚又依甲申甲酉两线视之故两所之小大不同若在壬在辛其理准此上言日月地景三视径能为变易则日月最高最庳相距之逺近为其缘也自此而外更有二缘一为地所出之蒙气随地不一一为人所禀之目力随人不一蒙气居日月与目之间气厚能散日月之光使易其本象如玻瓈水晶等体厚光彻以照他物之象能改易之是以人所见日食时太隂掩日之视径实大于太阳之视径或相等一遇厚蒙之气(蒙之厚薄或本地固然或因时増减)即太阳之光体因而展拓比于依法推步之视径每多不合故全食时四周亦显有金环也若蒙色微薄则月之视径能掩日之视径全食时昼晦星见矣其在月也遇蒙气亦饶有余光其初亏复圆光曜展拓亦能侵入地景使食时先后稍损于推步之加时也欲明其理姑以数事征之试用一平边尺切目窥月体则白月之光能侵入于尺尺之暗体当月之处似有阙焉此其一也生明之月其有光之半周大于无光之半周光之两端芒角犀锐似欲包其魄体至日食时魄体入日日之光体不收光以让月反舒光以拒月故其两端不作锐角而作钝角也此在晴明时蒙气微薄犹不免尔况浓且厚乎此又其一也日轮西没将及地平适遇云气全轮若为停轨累测不移少迁则忽焉而入又其一也况日食时月之魄体月食时地景之角体全居蒙气之中蒙气所受日光尤盛四周皆能消景则日食时太隂居日目之间其视径岂能大于日之视径而全掩日体月食时地景之角体岂不能稍杀于推步之实景而损其初末之加时乎若论目力亦能变日月景之各视径者目力既衰大光损之每每易于见暗难于见明故月食时较少壮之目能先见月食侵周之景若日食时太阳光耀初亏不能遽见其阙也西史苐谷测月每夕用五六人皆利眼能手悉用大仪种种合法所测月径趋求画一乃经二十二测得其径为三十一分者二三十二分者六三十三分者七三十四分者六三十六分者一何故大光射目当之者利钝不齐径之小大随异也葢人目之难凭如此(月无大光不能入于窥表通光之窍须人日测有此不齐若日光透表其有不齐繇器䟽密矣)定视径分秒之数古多禄某限日月地景三径之数定太阳为三十一分二十○秒不论最高最庳恒如是太阴最大者定为三十五分二十○秒最小者亦三十一分二十○秒地景小者四十○分四十○秒大者不过四十六分也然多禄某所当之时乃尔迨其后太阳本天之心与地之心渐次相就至于今最高之去地近于多禄某时其最庳乃去地稍逺而太阳视径遂不得过三十一分太阳稍缩则地景稍赢亦不若曩时之细且短也以故第谷所立新法定太阳之视径在最高为三十○分在最庳为三十二分若太隂则虽距地同所限朔望二时之视径犹不同也葢合朔时月会太阳四周环受其光则此时全魄小于望日之全光几及四分之一是以月在最高即望时得径三十二分朔时止二十五分三十六秒在最庳望时得三十六分朔时二十八分四十八秒也又第谷测候之地其北极出地五十六度清蒙之气甚厚故推步交食必依此径乃可得合何者月望时明光甚盛蒙以厚气光乃加显径即似大月朔时遇日之大光自已失光而受光之蒙气环围照映若或消减其魄径即似小也然此第谷所当之地乃尔用之他方未能必合何者此所限大小之径以步日食虽则食既犹显金环月不能全掩日体若他方食既则有昼晦星见虫飞鸟栖者故知一方所定未可槩诸㝢内以为公法也假如崇祯二年己巳五月朔日食依新厯先推食甚二分有竒至日实测得二分若以第谷所限径用之此日即见食分数仅得一分一十○秒谬于实测逺矣崇祯四年辛未十月朔日食新厯先推食甚二分一十二秒至日实测不及二分若用小月径推算即所得更少不及一分也视径因乎蒙气而为小大如此岂可强执一率以槩诸方乎故欲定本地之日食分必先定本地之蒙气差以限本地之视径又宜累验本地之食分加时然后酌量消息蒙差视径可得而定也今所考求酌定者太阳最高得径三十○分在最庳径三十一分太阴不分朔望(蒙气稍薄故也)在最高视径三十○分三十○秒在最庳视径三十四分四十○秒地景最小者四十三分最大者四十七分日月行最高最庳处之间视径亦渐次不一故列表左右并纪太阳及太隂自行宫度以考日月地景各相当之分数是为视半径表太阴视径差视半径表计太阴从其最高至最庳渐次加大也若论蒙气则南北二方亦有差别西国之北地滨大海其气更厚故月朔应减月望应加以改表中之半径如北极高三十度其加减于半径一十○秒高四十度其加减三十○秒过五十至七十极高度即所加减更多至六分以上也中国北极出地虽止四十二度半亦近海故用加减数如前所列然亦须测验数食审其果否乃可执为恒法耳地景视差地景半径之最小者为四十三分今本表中太隂自行○宫○度与相当者是也继此渐大至太隂自行六宫初度其相当四十七分则为最大其求之有二法一以测候一以推步苐两法所得却又不同则气能变景故也以推步者用太阳在其最高时下照地球所生景长以为定率若太隂过景之处则依其逺近随时算之如第谷当太阳在最高时测其距地之逺得一千一百八十二地半径此所推全景之长得二百五十二地半径又六十分之二十三恒如是若太隂在其最高距地之逺得五十八地半径又八分欲求其所当地景者先于全景内减太隂距地之径数余者为过太隂以外之景角(景角者景为角体也)得一百九十四地半径又一十五分如上图甲乙地半径定为六十万甲丙为全景亦通为一五一四三分(临算末加五位)丁丙为过月以外之景角一一六五五分(临算末加)(五位)而求月食相当之处丁戊几何广则甲丙与甲乙若丁丙与丁戊也算得四五五一九三九又甲丁戊直角三角形内求丁甲戊角为所限目窥丁戊之大则甲丁为太隂距地逺通为分得三四八八分甲丁戊为直角丁戊依前算得四五五一九三九而甲丁与丁戊若全数与丁甲戊角之切线得一三○五查表得四十四分五十○秒为太隂在最高时所过地景之半径也若太隂在最庳求其食时过景之半径用全景长如前内减五十四地半径五十二分余一百九十七地半径又三十一分为丁丙直线依前法算得四六四二八○四为丁戊线求角以太隂距地之分三二九二为一率丁戊线为二率直角为三率算切线为一四一○查得四十八分二十八秒为太隂在最庳时所过地景之半径也今表中列地景半径小者四十三大者四十七皆少于推得者为月过地景不论高庳皆受外光围迫侵销其景故也论其实则推歩所得为真然不可得见耳若太隂在高庳之间求其过景者依此法随时求丁丙线推算也以测候者用前后两月食择食之法欲太阴去其最高最庳距度同则其入于地景之小大亦同但月距黄道不必同又不必全食因以两距度及两食分求得其所过之景径也多禄某引周襄王三十一年庚子三月其地距顺天府西八十一度卯初时得见食于是太隂交周得九度二十○分距黄道北四十八分三十○秒食全径一十二分之三又引周景王二十二年戊寅六月里差同上顺天府寅初时得见食于时太阴交周得○七度四十二分距黄道南四十○分四十○秒食十二分之六如图己乙戊丙圏为地景两食为太隂所过乙甲丙线为黄道如前图第一食太阴在丁次食在戊各依食分入景为己辛为戊庚其太阴之距度为甲丁四十八分三十○秒甲戊四十○分四十○秒而甲戊与甲己必相等(地景之两半径)则甲丁减甲戊余己丁七分五十○秒(两距度之较)又己丁为月径四分之一而先得月径三十一分二十○秒四分之为己丁今去减己丁所余为甲己半景四十○分四十○秒或以距度与食分相较则食差三分与距度之差七分五十○秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒亦以距度之差推得其景也若后图两距度一大于半景一小于半景亦用此比例以求景假如初食三分得距度四十七分五十四秒次食十分距度二十九分三十七秒食分之差七分距度之差一十八分一十七秒则七分与一十八分一十七秒若全食一十二分与全月径三十一分二十○秒今既食三分即全月径四分之一为七分五十○秒以减距度余四十○分○四秒为地半景又次食得一十分即月心至地景之周得四分亦全食三分之一也全以月全径三分之其一为一十分二十七秒以加距度二十九分三十七秒亦得半景四十○分○四秒地景实差表中记地景差不及半分恒减于地景葢前所论之景实无差或因蒙气有差耳其有差者太隂以其自行高庳有距地之逺近入于最中时时不同也又太阳居其最高所生之景最大过此渐向最庳去地渐近即从地出景渐小渐短也故月食时先以太隂自行定地景之半径又以太阳自行求此实景差而减之乃正得太隂过景之处矣推算之法设太阳先在最高推所生景又设在最庳推所生景得二景之最长最短又设太阳先后距地同而以先过景之径比于后过景之径其二径差即表中之地景差假如丁己为太阳半径第谷所测为甲庚地半径五又四十一分依戊庚平行线减丁戊地半径余戊己得地半径四又四十一分设戊庚为太阳在最高距地之逺一千一百八十二地半径则戊己与戊庚若甲庚与甲辛得甲辛地景于太阳在最高时其长二百五十二地半径又二十三分太隂在其最高最庳之间距地之逺得五十六地半径又四十三分为甲乙以减甲辛余乙辛一百九十五地半径四十○分以推月食之半景乙丙则乙辛与乙丙若甲辛与甲庚得乙丙四六五一六五四(算法以原数通为分又于每率后加五位乗除之)又求乙甲丙角所限目窥乙丙之大以太隂距地之逺依前法算得切线一三六四查八线表得四十六分五十二秒又依此法以太阳在最庳距地之逺一一四一地半径推算地景为二百四十三地半径又三十八分去减太隂在高庳之间距地之径余一百八十六地半径又四十五分依前算得四五九九一二四为乙丙线次以太隂距地之逺三四○三推得切线一三五一查得乙丙半景四十六分二十六秒比前所得差二十六秒为地景之最大实差其余者以太阳自行距最高逺近依法次第求之新法算书卷六十六
## 卷六十七
钦定四库全书
新法算书巻六十七 明 徐光启等 撰交食厯指巻四食限第一食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也而日与月不同月食则太隂与地景相遇两周相切以其两视半径较白道距黄道度人以距度推交周度定食限若日食则太阳与太隂相遇虽两周相切其两视半径未可定两道之距度为有视差必以之相加而得距度故特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限反大于月食之限以视差也太隂食限表中地景半径最大者先定四十七分太隂半径最大者一十七分二十○秒并得一度○四分二十○秒日月两道之距在此数以内可有月食(可食者可不食也)以此距度推其相值之交常得一十二度二十八分为月食限推法最大距度(四度五十八分半)与象限九十度若距度与交常之弧也其最小者地半径定四十三分月半径一十五分一十五秒并得五十八分一十五秒若距度与之等者依前法推交常度得一十一度一十六分此限以内月过景必有食(必食者无不食也)也抑此两者皆论实望时之食限耳若论平望其限尤寛如圗甲乙为黄道甲丙当白道乙为地景心丙为太阴心月切景在丁其最大两半径为乙丙得一度○四分二十○秒则相值之甲丙得一十二度二十八分为定望食限设平望尚在前为戊则戊平望距丙定望最逺者二度三十八分有奇为丙戊弧以加甲丙弧得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时以其心距两交之度西古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分中望之食限一十五度一十二分其所定视半径最小之食限一十○度五十○分何谓平望距定望最逺得二度三十八分曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒太隂均度最大者四度五十八分二十七秒并得七度○一分四十二秒为两交时日月以实度相距极逺之弧也从此太阴逐及于日行讫七度○二分此时间太阳又自行三十二分二十八秒太隂又须逐及更行三十二分此时间太阳又行三分弱共为三十五分以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距其中望也如圗甲乙为地心所出过本轮心直线至黄道乙指中会太隂实行在丙太阳实行在丁总丙丁弧七度○二分太隂行至丁太阳己过丁而前又逐及之终合于己故丁己弧三十五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分太阳食限表中太阳之最大半径一十五分三十○秒太隂之最大半径一十七分二十○秒并得三十二分五十○秒所谓二径折半也以此推相值之交常为六度四十○分是太阳不论视差不分南北正居实会之食限也苐日食不在天顶即有髙庳视差太隂每偏而在下交会时以此差故或就近于太阳或移逺随地随时各各不同安得以实度遽定日食之限乎测太隂交食时最大髙庳差得一度○四分(因距逺五十四地半径故)减太阳之最大髙庳差三分余一度○一分(此为太隂偏南之极多者凡日食时必有一方能见其然是为)(大地公共之最大差)以加二径折半得总视距度一度三十三分五十○秒外此即无日食在其内则可食依前法求食限得两交前后各一十八度五十○分为两大视径折半之限也若以小半径求食限与前差度并得一度三十一分有竒推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限若日月㑹入此限内者日必食但非总大地能见必有地能见耳若以中㑹论食限又须加入实㑹距中㑹之度其最大弧三度则中会有食之限二十余度如圗甲乙为黄道甲戊为白道太隂以实度在己以视度在丙太阳乙与太隂丙视相切于丁则己丙为髙庳差己戊为东西差而丙戊为南北差南北差之最大者一度○一分以加乙丙为总距度乙戊若乙丙为大折半(二径折半省曰折半)推得甲戊食限一十八度五十○分或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分设中会更在前为辛得食限甲辛更多于甲戊求北中界日食限北中界者地居赤道之北南不至赤道北不至北极也今依南方极出地十八度北方极出地四十二度定日食之限则最广者太隂距南其交常度七度三十一分太隂距北其交常度一十七度三十五分为可食之限最狭者太隂距南交常七度距北交常一十六度五十三分为必食之限其所繇广狭者因二径折半有大有小即相会时所当距度不同故所限交周度亦异也太隂分南北而定最大日食之限有二义其一论地总本界中有一方焉距北之最大者以十七度为限又有一方焉距南之最大者以七度为限非谓一方所见距北可得十七距南又可得七也其一论黄道度谓本界中有地有时太隂或南或北距天顶最逺则其视距度最大以加于太隂实距度得其最大限在北可至十七度在南可得七度亦非谓诸宫交㑹皆可得七度十七度之限也今试于本界中论地先论其极髙四十度者又于本地论时先论其不甚逺于天顶者如日月交㑹在夏至鹑首宫初度设当时不㑹于正午其髙庳差变为南北差者必少而所增视距度亦少即所得者不为其最大限必设实㑹正午月距黄道北得其髙弧七十三度二十八分以推髙庳差一十八分○八秒全变为太隂南北差依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度则所值交周度得一十○度为顺天府北极同髙地黄道本度月距北日食之最大限可食也设月距南则二径折半共三十二分五十○秒反减太隂南北差一十八分○八秒得两道视距一十四分四十二秒所值交周止二度五十○分为本地本度月距南日食之大限可食也次论其甚逺于天顶者设日月在冬至星纪宫初度㑹亦正午其髙弧二十六度三十○分推得髙庳差即南北差五十六分二十四秒加二径折半得黄北两道总距一度二十九分一十四秒为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分所以然者人目所见日月以两心合会必在太隂所离视道交黄道之处距其两道实交尚一十一度又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒相当者得四度三十二分为太隂尚不及实交未过黄道南而以视差故人目所见则已过交出日食限之外矣如圗丙为太隂丁为太阳甲为黄白两道之实交论实距度则日月至甲宜相掩而食今冬至南北差甚大太隂之视行循丙乙视道尚在己距甲逺即己切太阳周入日食之限后太阳丁行黄道至乙与太隂视道相遇是为视交即二曜以两心合㑹能全食若更前至辛日月亦未及实交甲太隂实未过黄道南而视行则己过太阳之南即丙不能掩日亦不能切日不食矣可见太隂实距北在己为顺天府同纬地最大食限得一十七度有竒至辛遂出食限之外况过甲而后实距南其视度距太阳甚逺安得尚有食乎再于本界中论地论其极髙一十八度者先设日月在冬至星纪宫初度实㑹在正午得髙弧四十八度三十○分髙庳差全变为南北差四十一分五十八秒加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒外此无日食在其内可食相值之食限一十四度三十二分其食甚亦未至实交也若行至实交则太隂以视度过交而南四十一分五十八秒矣以较二径折半则视距为大不已出两食限之外乎安得有食设日月会于夏至鹑首宫初度此在天顶北五度三十○分得髙弧八十四度三十○分推南北差得六分○八秒以加二径折半得三十八分五十八秒为太隂入阳厯两道相距度二曜至此即以周相切推得日食限七度三十一分若月距北则两半径减南北差余二十六分五十二秒仅得五度一十○分为日食限也如圗地居夏至之南目视丙月则偏北故太隂之实度在黄道南为本道上之乙与太阳之实度丁甚相逺却以南北视差移而就近及以甲乙为食限二曜相掩必未至甲也若其过实交甲至己在黄道北则因南北差见月更在北与太阳相距更逺不复能相掩矣太阳太隂越六月皆能再食越六月者如寅月食申月得再食也如圗甲丙乙丁为太隂离道交黄道于甲于乙甲丙乙为其距北半圏余乙丁甲为距南半圈己庚戊辛皆为食限依多禄某随迤北诸方所定中会时甲己及乙戊入隂厯为日食限二十○度四十一分(地愈向北食限愈大故也)甲庚及乙辛入阳厯得一十一度二十二分则限外弧己丙戊得一百三十九度庚丁辛得一百五十七度一十六分越六月之中积交周一百八十四度有奇(先去全周)则大于己丙戊及庚丁辛两弧故初月在食限内与正交相近者六月后则近中交亦在食限内而日能再食若月食不论隂阳厯其限皆一十五度一十二分则己丙戊弧庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分皆小于中积交周度故初月交周度入己甲庚食限内后六月又在戊乙辛食限内而月能再食太隂越五月能再食越七月不再食以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比若度赢者则此食限内能起彼食限内能止即两皆有食若度缩者则一起一止或在两食限之外不再食矣如五平月交周得一百五十三度二十一分(去全周己)月食于髙庳中处其实限一十一度三十○分南北同得限外无食之弧一百五十七度亦南北同是皆大于交周弧则五平月中不可得两食矣亦有可两食者则大月也太阳躔赤道南在其最庳左右必速行同时太隂去全周在其最髙迟行必得定朔策少月大交周弧亦大夫五月之平朔策去太隂全周得一百四十五度三十二分中分之左右并得太阳均度四度三十八分又太隂五月自行一百二十九度○五分中分之以最大加减得其并均度八度四十○分太阳均度应加(实度距最庳左右比平度逺故)太隂均度应减(设月逐日实未追及故)得日月以实行相距总弧一十三度一十八分为月逐日未及之弧如圗太阳从秋向春行本天小半周以当黄道正半周必速行以甲乙直线中分其平行左右各得丙丁均度太隂在本轮自戊过最髙辛至己迟行以甲辛平分其迟行弧左右得壬辛及庚辛均度日月两均度不同类一加一减并之得一十三度一十八分为太阳以实行在前太隂以实行在后之弧而太隂逐太阳行一十三度此时间太阳更行一度○六分以并于太阳均度总得五度四十四分为五大月过五平月之度亦为实交周过平交周之度以加平交周一百五十三度二十一分得一百五十九度○五分较食限外之弧羸二度○五分则月食于甲乙限内为壬距乙甚近而限外交周度壬庚越五月复可食于庚然食之分数少矣又证太隂越七月不能复食者则小月也月大或平即交周弧大于食限外之弧不可得食今太阳在其最髙左右迟行太隂在其本轮最庳左右速行因而成小月夫七月之平朔策得二百○三度四十五分同时太隂自行一百八十○度四十三分如圗甲乙分日月平行甲辛分太隂自行太阳左右各得最大均度丙丁并为四度四十二分应减(实度距最)(高左右此平度近故)太隂均度壬辛及庚辛并为九度五十八分应加(设月以实行过太阳故)一加一减并两均度得一十四度四十○分为太隂过太阳之弧此时间太阳亦行一度一十分以加其均度得五度五十五分是为七小月间实行不及其平行之度又为七月间交周平行之弧所减以成七小月实行之度今以平行二百一十四度四十二分去减五度五十五分得二百○八度四十七分以加于食限外之弧(此第论太隂在其髙庳中处甲丙左右四食限)为戊乙壬或己庚丁仅得二百○三度小于七小月之实交周二百○八度有奇则月初食在戊丁限内后七月不能于己壬限内再食也太阳越五月或七月皆能再食此越五月能再食者必大月也其间交周实行可得一百五十九度○五分设日月在髙庳中处得二径折半三十二分二十○秒设太隂距度亦正得三十二分二十○秒则以前法求得距交六度一十二分当在乙或在丁而乙丙丁弧乃得一百六十七度三十六分若太隂绝无视差者即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分日月合会先在甲乙弧内有食越五大月复㑹必不能及丁戊为再食矣然太隂既有南北视差则以交周度不及食限内之弧八度三十一分平分之两加于食限得甲己及戊辛各一十○度二十八分而太隂在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒减二径折半余视差二十二分三十○秒倍之得己及辛两视差共四十五分则诸方能得南北差及此分者所见太隂必偏南下掩太阳得有食也今所论五大月太阳速行先于太隂一十三度一十八分又于太隂逐及时间行一度○六分总得一十四度二十四分太隂行尽此度乃及日须一日○九刻是为五大月过五平月时刻则五大月得一百四十八日一十八小时故先定朔在酉正后必在午正若先在午则后在卯又太阳五大月行一百五十一度以最庳平分左右得先定朔在寿星宫二十一度次定朔在娵訾宫二十一度诸方地面得极髙二十余度见太隂离是二壤值是二时南北视差并得四十五分则越五月得再食此外极出地愈髙南北差愈大食限愈寛凡交周在黄道北入甲己食限越五大月必入辛戊食限人居赤道北者可见两食或交周在黄道南入戊壬食限越五大月必入庚甲食限入居赤道南者可见两食谓太阳越七月而再食则小月也否则交周度大于正交及中交之总食限而先在内后必在外不食矣若七小月间交周行依前得二百○八度四十七分而设无南北差者则以日月两半径为食限得甲乙及戊丁各六度一十二分而总乙己丁弧一百九十二度二十四分小于交周一十六度二十三分即太阳先食于丁戊限内越七月后必己出甲乙限外亦不食也既常有南北视差则以较余交周弧一十六度二十三分平分之以加于甲乙及戊丁得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分而壬己癸与交周弧相等又甲壬及戊癸一十四度二十三分得相值之距度一度一十三分三十八秒减二径折半得四十一分一十八秒为各视差倍之得一度二十三分则诸方有此视差者得有食也今所论七小月太阳迟行后于太隂共一十四度四十○分为太隂一日五小时所行之弧是一日五小时者七小月不及七平月之时刻也总七小月得二百○五日一十二小时故越七月得再㑹先会在卯后㑹必在酉又太阳行七小月实得一百九十八度(前已证)从最髙平分之得先㑹太隂在陬訾宫二十七度后㑹在寿星宫一十五度则凡离是二壤值是二时所见太隂南北视差并得一度二十三分者必越七月得再见日食也此为极出地三十四度以上盖距赤道愈逺视差愈大所见食分愈多矣食分第二欲知此月内有无交食则以食限求之(见上文)欲知此食食分几何则以距度求之距度者在月食为太隂心实距地景之心两心愈相近月食分愈多在日食为日月两心以视度相距其近其逺皆以目视为凖不依实推盖定朔为实交㑹天下所同而人见日食东西南北各异所以然者皆视度所为也日食详说见后篇此先解月食分则论定望实㑹人所见者东西九服各异南北天下不殊也如左太隂食甚分数太隂在食限内过地景其两心最相近时为食甚而食分必多欲知食甚之处用距度求之盖距度与地半景及月半径相减得月入景之分(此言分者天周度数之分非平分月径之分也称分)(有二类见下二文)如两半径得一度距度四十○分相减余二十分为所求月入景之分也但距度与半景或等或不等若过不及之分小于月半径则月不全入景而止食其半或太半或少半而己若距度小于半景者为太隂之正半径则虽全食随复生光其食分即太隂之全径以月自行推之若绝无距度即太隂遇景正在两交则并其两半径可推月食之分也假如甲乙为地景(定望时月)(入此则失光亦名暗虚)之半径乙丙为太隂半径总得甲丙为月食限限者乙㸃为二周相切之处食从乙㸃起渐入渐大若两周相分于乙㸃则不食也食有三等一曰不全食二曰全食三曰正食不全食者如一圗甲丁为黄道丁辛当白道月心在辛即入景者半是为半食或月心在庚则如二图入景者大半是为大半食或在戊则入景者少半为少半食皆不全食也求食分法以距度减二径折半如图甲己与甲丙等为二径折半甲戊为距度以甲戊减甲己余戊己戊己与戊庚恒相等故于二半径减距度即得其入景辛庚为此食之分也全食者如三圗月心在戊距度甲戊两道如前而距度入于半景者为太隂之半径戊己则己庚入景之分为全径但全入以后太隂或向交行欲至丁或离交行欲至辛其周旋出景外则无既内分矣以上二者皆有距度则皆不食于交㸃皆偏食也若如第四圗太隂食甚时绝无距度则月心与景心皆㑹于甲甲乙为半景径甲戊为平月径两半径并为甲丙设甲乙丙为黄道甲丁为白道太隂从丁行以戊边至甲己全入于丁甲半景之内矣又行至边及戊乃食甚故更得甲戊为既内分总得丁戊两半径并为此食之分此月食之最大食于交㸃者也正食也食分二类求食分之大几何有二类其一为天周度数之分如上文所论者皆是也月食之最大者可得一度○四分有奇其一为太隂本径之分则惟厯家所命如命月体之全径为十二平分则最大食得二十二分五十四秒也如命为十平分则最大食得一十九分○五秒也又此二类者皆系太隂及地景之视径虽距度同分而大小多寡犹多变易设距度恒为二十五分因太隂自行在最髙得月食度数之分为三十三分一十五秒太隂在最庳得食度数分为三十九分二十○秒其自行在一宫或在一十一宫(俱近最髙)得三十三分三十八秒在二或十宫得三十四分三十六秒在三或九宫得三十六分在四或八宫得三十七分三十○秒在五或七宫(俱近最庳)得三十八分四十五秒如前法以太隂半径半景并每去减二十五分即得此食分之数他距度依此推之其所繇渐渐有差者则因太隂距其最髙愈逺则视径愈大故也又平分本径亦有多寡有大小盖太隂在最庳其全体之天度分为三十四分四十○秒得平径一十○分设食甚正在交㸃无距度则二径折半得天度一度○四分二十○秒推总食之平径分得一十八分三十四秒而一平径分当天度三分二十八秒又设太隂在髙庳之中食甚距度如前其平径亦一十○分以两半径推总食得一十八分四十四秒而一平径分当天度三分一十五秒与前不同则以视径故更设太隂在最髙其视径更小仅得天度三十○分三十○秒食甚在交皆如前亦得平径一十○分而所推总食分更多于前为一十九分○五秒则一平径分当天度三分○三秒可见距度同平分径同而食分不同者月自行有髙庳其去地之逺近异视径亦异故也求月食径分太隂入景以本径分明暗之限为人目所见之分若全食更加入景之余分(即既内分)推得总食分则距度能翕张其二径为食分多寡之缘也今或依第三巻所定太隂及地景视径表用引数求之并而去减其距度则太隂视径与十平分若其二半径减距度之余分与食分或依第二巻前所设求太隂均度之圗用甲乙丁三角形求之盖乙甲丁太隂均度角之正弦与乙丁直线若甲乙丁总自行余弧角之正弦与甲丁直线既得甲丁为太隂距地逺次求太隂视径则其距地逺甲丙与太隂实径之正弦丁乙若全数与丁丙乙角之切线次以太隂半径与地半景大小之比例为一五○与四○三推地景视半径盖一五○与四○三若太隂视半径之正弦与景视半径之正弦也既得视半径用三率法如前推算食分欲用表则于引数查视半径而以月视径及两半径减距度之余数查食分然表中列数从引数出其理一也求月食面积分前论月食分皆目可见器可测之视径分也若求其不全食之面入景之分则有别法设甲为地景之心乙为太隂之心以距度得其两心相距为甲乙直线又先得甲丙为地景视半径得乙丙为太隂视半径则甲乙丙三角形内有其三直线可求三角又甲乙丁三角形与甲乙丙三角形等则以丙甲丁总角得丙戊丁弧亦以丙乙丁总角得丙乙丁弧今欲以径与圏之比例推丙戊丁及丙己丁两弧与其本圏半径同类之分若干(弧曲线与直线异类以周径法变曲线分为直线分故曰同类)其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形(两半径弧)(形者两半径为两腰弧为底求得其容积也说见测量全义第三卷)亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形又丙丁直线为等腰两三角形之公底线求其半得丙辛以乘甲辛得甲丙丁三角形之积以乘乙辛得乙丙丁三角形之积次以两三角形之积各减其两半径弧形之积所余丙戊丁己长圆形为太隂入景之面可得其余不入景之面也假如崇祯五年壬申九月十四日夜望月食四分四十二秒食甚太隂距度四十四分其视半径一十六分二十五秒地半景四十三分二十三秒设甲乙为距度乙丙为月半径甲丙为景半径则最大线甲乙与余两腰线甲丙丙乙若两腰线相减之余线甲丁与大线之分也即算得大线之分甲戊以其余平分之为戊辛辛乙次从丙作丙辛必为甲乙之垂线矣既得各线如圗皆通为秒以求甲角及乙角则甲辛与全数十万若甲丙与丙甲辛角之割线算得甲角二十一度四十○分倍之得四十三度二十○分为丙戊丁地景之弧又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线算得乙角七十七度○六分倍之得一百五十四度一十二分为丁己丙太隂周之弧次求其各与本圏半径同类之分则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也推得地景周一六三六一月周六一九一因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圏径同类之分则全周一六三六一与所截丙戊丁弧之分若全周三百六十度与本截弧四十三度二十○分算得一九六九为丙戊丁弧其半九八四为丙戊半弧也又太隂全周之分六一九一与丙己丁弧之分亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分算得二六五一为丁己丙弧半之得一三二五为丙己半弧也次以甲戊乘丙戊得丙甲丁地景两半径弧形之积二五六一三五二以乙己乘丙己得丙乙丁太隂两半径弧形之积又丙甲辛角之切线(乙丙也)与丙辛若全数(甲丙也)与甲辛得丙辛九六○则彼此求两等边直线三角形之积与求两半径弧形之积通为一法得甲丙丁三角形之积二三二二二四○乙丙丁三角形之积二一一二○○各减其两半径弧形之积得丙辛丁戊分圏形之积二三九一一二丙己丁辛一○九三九二五并之得总数一三三三○三七即丙己丁戊全形之积也又以太隂半径九八五乘其半周三○九得三○四八五七五与总数比得太隂入景之面与其未食之面若一十三分与三十○分也食甚前后时刻第三食甚前初亏也食甚后复圎也两限间之时刻多寡其缘有三一在太隂本时距度因距度或多或寡每食不同即太隂入景浅深不同浅则时刻必少深则时刻必多其二在月及景两视半径半径小太隂过之所须时刻少半径大太隂过之所须时刻多其三在太隂自行自行有时速有时迟虽则距度同视径同而自行迟疾不同即所须时刻不同矣推距度及视径皆依前所设法此专求太隂实行以定食时刻分月食起复行度太隂入景自初亏至食甚之弧与其出景自食甚至复圆之弧两者畧相等故求其一倍之得在景之总弧如圗甲为景心躔甲乙黄道乙丙为白道太隂心至丁为初亏在丙为食甚复圎在戊丁戊者周天之弧也而所截弧极小故作直线用之人甲乙丙三角形也而乙角极小乙丙与乙甲畧等故作平行线用之因而甲丙可为垂线因而丁丙与丙戊亦可为等今自甲出两直线为甲丁为甲戊皆当太隂地景之两半径而甲丙为太隂距度故甲丁戊三角形以甲丁方减甲丙方得甲丁方其根为太隂初亏至食甚行过太阳之弧若不用开方则有别法以角求对边线如甲丁线与丙直角若甲丙线与甲丁丙角既得丁角余为丁甲丙角则丙直角与甲丁线若甲角与月行景之半线丙丁也虽食分不同或半月入景或全体在景求初亏至食甚之弧恒倣此次求食既至食甚亦倣此倍之得太隂全入景至生光及复圎之总弧如圗甲乙为黄道乙丙为白道太隂心行至丁则全入景既至戊即生光得丙丁及丙戊略相等故先得丙丁倍之即丁戊也此则以甲丙为距度甲丁为地半景减月半径之余于甲丙丁三角形用此两线及甲丙丁直角推丙丁线与前同法若欲精求之不听甲乙乙丙为平行仍作两线斜交于乙太隂初亏在丁食甚在丙复圎在戊丙丁是太隂在景之半为距交一十二分之一即作丁庚线与甲乙平行取丙庚亦丙甲距度一十二分之一以减甲丙得甲庚是太隂初亏之距度以加甲丙得甲己是太隂复圎之距度次以甲丁甲庚两线及庚直角求得庚丁线以庚丁庚丙两线及庚直角求得丙丁线为初亏至食甚行度后以甲己甲戊两线及己直角求得戊己线以戊己己丙两线及己直角求得丙戊线为食甚至复圎行度也食甚距度线与白道当为垂线求食时刻设太隂食甚前行度与食甚后行度等即距度线必当为白道之垂线不然者必行度前后不等而时刻亦不等如圗甲乙为白道甲丙为黄道太隂在丁自庚黄极出线过丁月为庚丁弧至戊黄道指太隂实度在戊因太隂在丁得交常分甲丁而庚丁与庚乙若甲丁与甲戊(皆用正弦算)若得甲丁四十五度与甲戊最差之限得六分(甲戊少于甲丁在圗为己丁)若甲丁在食限内其与甲戊差又不及三分矣因两道之最大距不过五度故也设甲丁弧得二十○度而以甲乙与乙丙之比例推甲丁与丁戊得丁戊距度一度四十二分今作戊己与甲乙为垂线又以甲丙与丙乙之比例推甲戊与戊己亦得戊己相距一度二十四分可见丁与己见有差戊己与戊丁有微差不足见也今不用戊丁开方而用戊己又以戊己平分太隂入景与出景之弧其不得有差甚眀矣太隂食在景时刻前第二巻论月食以食甚时为主于食甚前之初亏至食甚后之复圆总推定时刻分秒其法以太隂在景中行度变为时刻如先得食甚前行度求所当初亏至食甚时刻倍之得其余行度亦变时刻皆依先所定行度用比例法推算也如崇祯五年壬申三月望太隂初亏至食甚行四十○分一十六秒欲变时用三率法太隂行三十三分一十一秒得一小时今四十○分一十六秒应得一时一十二分四十三秒但太隂自行恒异平行食时间恒不居本轮之一处故所用一小时之行分以定食间行之时不得用平行必须考将食之实行查太隂实行时表法恒以自行宫度得一小时之实行每度所值各各不同如太隂平行一时得三十○分二十九秒以本时自行求均度或加或减于平行得实行若加减度表对自行初宫三十二分四十○秒得均度二分四十六秒以减三十○分二十九秒得二十七分四十三秒为表中相当引数初宫初度之率也加减度表对自行一宫三十二分四十○秒得均度二分二十五秒以减一小时之平行余二十八分○四秒为相当引数一宫及一十一宫之率也其余皆倣此第自行在本轮最髙左右必减均度得一时之实行在最庳左右必加均度得一时之实行耳既以实行推定总时刻则以食既至食甚之时减先定食甚时刻分秒得食既时刻分秒以相加得生光时刻分秒又以减食甚前总时得初亏以相加得复圎又以初亏减复圎得总食之时刻分秒若初亏在子时前复圎在子时后则即以丑初为十三时(午正起算用小时)丑正为十四时如是接续减之交食圗义第四求日月失光之面向何方位则有两缘其一从太隂距黄道度作大圏令过太隂太阳两心(此日食也)或太隂与地景两心(此月食也)下至地平周遭移指交食所向之方也其二黄道斜交于地平日月随之行遇食必有时向东南西北有时向东北西南也欲绘交食圗必先察日月所向起复方位苐旧法祗以隂阳二厯分别南北殊粗率今法必可得其度分颇为繁细耳距度变日月食所向方位太隂食起复之间以本行屡迁其度分即作过两心(月心地景)(心也)大圏至地平时刻各异所向方位亦时刻各异欲尽推之其多无数故当求其初亏食既食甚生光复圎五向而止如图甲为地景心甲乙为黄道戊丙为白道两道之大距不逺故作平行线论初亏太隂在丙食既在丁食甚在戊即甲丙甲丁甲戊皆过月地景两心之弧因太隂渐近于地景心甲其距度逺近渐次不同而乙甲丙角乙甲丁角乙甲戊角之小大亦不同则太隂所向地平之方位度分亦不同故恒以本距度推本角如甲丙初亏之距为半景月半径并之甲丁食既之距为半景减半月径之甲戊食甚则为太隂之正距度也甲戊丁角可当直角不论其甲戊线与甲丙戊对角若甲丙线与丁戊甲直角得甲丙戊角与乙甲丙角相等(乙甲丙为)(所求)又甲丁戊三角形依此法推甲丁戊角与乙角丁角(此为所求)相等而食甚乙甲戊为直角故在甲诸角其线不等即所向方位不等论日食则甲丙为日月两半径甲戊为太隂距太阳食甚之视度以求甲丙戊角向下皆同前法今更作圗甲为景心乙丙为黄道若太隂初亏在乙其入景之面必正向东若复圎在丙(初亏在乙复圎必不在丙故曰若指他食也)其出景之面必正向西皆无距度故若其距北在丁或在戊即入景之面向东南或西南若其距南或在己或在庚即入景之面向东北或西北也论日食设甲为太阳心其理同此但出入之面所向与月食所向正相反此为异耳黄道出没变日月食所向方位黄赤两道之两交切地平若一在正卯一在正酉不偏南北即诸方俱无濶度矣外此或黄道距南或距北其距渐多其出没之濶度去离卯酉亦渐多又南北极愈髙其相离更逺如北极出地三十六度黄道度去离春秋分或南或北一宫其濶度左右各一十四度一十五分若去离二宫则更逺其濶度各二十五度一十三分最逺者得二十九度二十九分若北极出地四十度即一宫得濶度一十五度○四分二宫得二十六度四十五分最逺则三十一度一十九分也太隂既随黄道行其食也亦必依其濶度则起复之所向方位太隂亦必依濶度之左右也今欲定其多寡如圗南西北东为地平圏丁甲戊为黄道食时得濶度戊距正东若干太隂心在丙景心在甲过两心之庚甲己大圈指己因戊黄道度距正东逺己随之距正东亦逺而丙月之初入景所向为己也今求东己弧先设辛为天顶出髙庳弧过甲至壬为顶极圏又作一癸午弧与甲庚为直角次甲乙丙小三角形有乙丙距度有甲丙两半径有甲乙丙直角依比例推得甲角次以食时及甲景所躔黄道度得戊甲辛角即得其余辛甲乙角又得辛甲乙所分之辛甲午角(减乙甲丙小角)次甲辛午三角形有甲角有午直角又以北极髙及黄道距赤度得甲辛弧可推得辛午线以加辛癸象限得午癸总弧为午己癸角其余角为甲己壬也而己甲壬为辛甲午之对角甲壬为辛甲之余弧因可推壬己弧又戊甲壬三角形有原推之甲戊有甲壬戊直角有乙甲辛相对之壬甲戊角因可推壬戊弧去减先得之壬己余己戊为所求太隂初入景所向东南维之地平经度以加初所得东戊弧则得东己总弧月食圗西厯恒推日月食所向方位以其所亏及复圎距度作图求距度食甚前与食甚后为一法以太隂自初亏至食甚之实行加入太阳同时所行分秒得太隂初亏至食甚在景之总分以加前所定食甚交常度得复圎交常度以减得初亏交常度次求初亏距度则全数与其交常度若黄白之大距度与其距度求复圎距度倣此假如崇祯五年壬申三月望太隂初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒为时四刻一十二分四十三秒同时太阳行二分五十七秒以加前行得四十三分一十三秒为太隂在景之总行其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒以加太隂总行四十三分一十三秒得复圎交常度一十○度一十九分一十一秒其正弦一七九一四以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒其正弦一三七一○算得太隂初亏距度四十一分复圆四十九分三十○秒若用表以时分查太阳本行以交常度查太隂距度更易得矣欲依本食作圗其外大圈之半径为月半径地半景并得一度○四分三十二秒(量用比例规或先平分一直线)内取食时所得地半景(此为四十六分三十五秒)作内圈以当景次查距度此食在南初亏四十一分复圆四十九分得太隂初在乙后在丁食甚亦依其距度在丙为食之定分圗上下左右书四方其起复所向方位必与天合也新法算书巻六十七
## 卷六十八
钦定四库全书
新法算书卷六十八 明 徐光启等 撰交食厯指巻五视差以人目为主第一 四章前言实㑹中㑹视时食限等皆日月食之公法也是皆凖于地心今再论月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡加时之早晚先后各各不同推步日食难于太隂者以此其推算视食则依人目与地面为凖视㑹凡交㑹者必参相直不参直不相掩也日之有实食也地心与月与日参居一线之上也其有视食也人目与月与日参居一线之上也人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见日食与实食恒偏左偏右分为两直线各至于宗动天其所指不得同度分是生视差而人目所参对之线不得为实㑹而特为视㑹如图甲为地心乙为地面丙为天顶若丁为日戊为月即在甲丙一直线上则实㑹即为视㑹因地心与人目无分线故也若日在辛必月在壬方与地面乙作一线为视㑹矣若月至己与地心甲作一线则实㑹也今言交食惟以目见为慿故日食全论视㑹若所居地面不同即食分多寡加时早晏亦随之异也又视㑹实㑹在日月本天皆无度分可指而全依宗动天之黄道圏度分则此实㑹线所指谓之实度视㑹线所指谓之视度如图甲辛线所指为黄道之庚则庚为太阳之实度若乙目视辛日至黄道癸视己月至黄道午则癸为太阳之视度午为太隂之视度也日月目见之度非实度譬之画图者作平圆形则一举手一运规即得矣若欲为螺旋线先须依法作识又依法作线乃成形焉测天之法亦犹是耳今欲知日月纒离东西南北亦转仪闚表一览可知若欲定其本行所在则非聊一寓目遽能得之必先后累测度分展转较勘乃可定也假令目居地之中心(地之心即宗动天之心)极目所见则有恒星以当彼界两界中间有日月五星是名七曜七曜相视有逺有近无有同者即论一曜亦各时逺时近无时同者是则目所能见也然因目所见得其视度于彼界因以视度测其与某恒星相距若干度分因以是度推其实与地相距若干逺近则可谓即目所见遂得其实行能分别其去地逺近则不可何者七政诸本天虽居恒星天之内乃不见火木土等内天之星以本体能掩最外之恒星则何从辩其内外逺近乎又目所见者太隂太阳二体相若何从知其内外之相距绝远二体之小大绝不相等乎内天之两星参对于外天之两经星目见之能知外者之两相距甚逺内者之两相距不甚逺乎是三者皆目力难慿之效也或曰是则然矣测量之法皆慿目所见也则可废乎曰何可废也惟测内天之星得彼界所指之㸃以为即在恒星之天聊可得之矣何者凡用在界之弧以测其辏心之角无弗真者目测恒星之天其在地面与其在地心也无以异(地居恒星天中止当一㸃)若测内天诸曜目虽不在地心相距亦不甚逺故测日月五星于彼界上得㸃即与实度相近(曰聊可得之曰距不甚逺曰近其实度皆因有地半)(径视差故)但恒星有时不见或与内天诸曜不相值故厯家以地平代恒星更用逺视之噐以助目力得日月五星之视度分依法推步乃正得其实度分矣人目差两目赅存不惟相助以为明相代以备患亦能彼此互用以察物之逺近葢各以其心(目睛最中之一㸃为心)受外物之象其过心之两直线至物体则相遇为两腰两睛心自相距为底成三角形因以其比例之大小别物距目之逺近是谓目差縁此可推天上之视差以小喻大其理一也若物大逺于人目则底线极小两腰极长是过睛心之两径线与平行无异正如地球比恒星天之高特以一㸃为底视差无所繇生矣如图两目之心为甲为乙目所视之物为丙若甲乙线可比于甲丙线(可比者不甚逺则有比例)则两戊己径线渐相就如己而相遇于丙若物更相近为丁则两径速相就为辛庚(甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边又同一底线则丁角)(大于丙角而丁甲乙角必小于丙甲乙角)而两目之光线皆从己歛向于庚自觉所视之物变逺为近矣若物与目相去甚逺则无比例者因两径绝难相就绝难相遇故也今借此理明视差之公理如本图设丁物之前有横堵为壬癸令甲目独视丁物则所见若在壬令乙目独视丁则所见反在癸而丁前丁后两交角形必相似即丁物亦不逺于壬不逺于癸葢视之目分两线为交角即能分本物之逺近也若不能分两线即不能分逺近地半径差目视星欲辨六曜(月五星也)在恒星之内势不能也则当借地体之大补目力之不及法用地半径为底以推测量所指之界即可得七政逺近上下各居本天之实处如图甲乙两目相距为底则二寸耳今以两地相距数千里或数里当之以为底如甲为顺天府乙为广州府丁为太隂两人同测之一在甲一在乙因此大底之逺近比于各距太隂之两腰得大小之比例则甲丁及乙丁两直线必觉彼此相就以趋于丁矣再使壬癸为列宿天之两恒星(或壬癸为太阳之全体壬当其南周癸当其北周)测者一从甲见太隂丁若在壬以夲体合于一星之体(或太)(隂之南周齐太阳之南周)一从乙测太隂反在癸转就北以合于他星(或太阳之北周)若甲乙两测之距愈相逺即所见丁月两指之极高亦愈相逺(一偏南一偏北东西亦同)而人在甲能见太隂掩日为日食人在乙即不可得见矣以此壬癸当宗动天上之弧正所谓视差与前言目见之小视差其理一也第两人相距千里万里同时并测太隂其势甚难故立别法代之(详见本书第六卷下文畧言之)假令人正居地心推其所得太隂距天顶应若干度分又同时居地面者实测太隂距天顶得若干度分两度之差即所谓视差也如图甲乙丙为地球丁为天顶甲戊丁直线所至也若太隂在此线左右为己从甲地心测月见之当在庚自地面乙测之乃在辛则先推定丁甲庚角或所当之丁庚弧后推丁乙辛角或所当之丁辛弧(乙距甲与乙距丁无比例甲乙至小故)以两角或两弧相减得视差之弧庚辛问一星距天顶测其宗动天上所指度分在地心测之则距近在地面测之则距逺若论角则地面之乙角大于地心之甲角何以证之其故何也曰因其一逺一近如图太隂在本天其距顶之弧为己戊己戊之距地心甲与其距地面乙逺近之差则目所能识也所能分也(因地之半径与月本天之半径有比例故)则目之在甲与在乙所受己戊弧之象实不能无大小为己戊弧等而两角之大小不等(目受物象皆以角形见交食第一卷)相近者必大逺者必小也角既有大有小所相当之弧不得不有大小则辛之距天顶视庚之距天顶不得不逺矣又论辛庚视差实为辛甲庚角所定何用辛己庚或甲己乙角乎曰甲乙线与甲庚线无比例(小大绝逺故)而甲乙与甲己则有比例即甲己与甲庚亦无比例也既甲乙与甲己同为微末不以入算则用辛己庚角代辛甲庚角无以异矣若论角则丁乙辛角与丁辛弧相当(因甲乙与)(乙丁无大小之比例)又丁乙己角与乙甲己及甲己乙两角并等(见几何第一卷十六题)则两角并亦与丁辛弧相当矣今丁庚弧既与丁甲庚角相当则余弧庚辛必与余角甲己乙或辛己庚相当也视差以天顶为限第二 六章人目在地面或在地心仰视天所得日月道相参直者止有一不同者无数过两目之垂线止一至顶之线此外分离处处各异三视差视㑹与实㑹无异者惟有正当天顶之一㸃过此以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三等视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之逺为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高庳差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变纬度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂㑹有先后迟速之变二曜之㑹在黄平象限度东即未得实㑹而先得视㑹若在黄平象限西则先得实㑹而后得视㑹所谓中前宜减中后宜加者也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差即以加于太隂实距南度以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主葢正当九十度限绝无东西差而反得最大南北差距九十度渐逺南北差渐小东西差渐大至最逺乃全与高庳差为一也(三差恒合为句股形高庳其弦南北其股东西其句至极南则弦与)(股合至极东极西则弦与句合也)论日月视高差太阳出地平上渐升至天顶得九十度在夏至则离赤道北二十三度半为丁辛如北极出地四十度即赤道离地平五十度加丁辛二十三度半得七十三度半此日在午正之高也今太阳未至子午圏别作一高弧从甲过太阳垂至地平上为甲乙丙弧其乙丙既太阳未及午正之圏即其高不至七十三度也两曜去天顶有高庳与恒星有逺近时时处处不同故其视差大小亦各不同惟曜在天顶则无差若下几度则少差愈庳愈差庳至于地平则得其极大差矣今先论太隂如图甲为地心乙为地面丙为天顶丁己为太隂本天丙戊为恒星天若人在地心甲视太隂正在地平己直至戊在参宿第三星下人在地面乙视太隂己直至壬在参宿第一星下是壬戊不同度至一度○六分为太隂之极大视高差若太隂高至庚至辛视差渐减如在丁直视至丙人在甲与在乙悉无交角无差分矣太隂距地心最近者为乙地面至其本体得为地半径者五十六个(后言一个者皆一地半径省文也)若太阳甚逺于地自地面至日轮得一千余个其差更小日出地平之最大差止三分渐高渐小矣凡推日食恒以太阳之视差减太隂之视差得两曜之视差假如甲乙为地球丙丁为日月本天皆如前于最上之天(或指宗动或指)(恒星其理同也)得戊庚为太隂视差得己庚为太阳视差相减得戊己为两曜之高庳视差求太阳高庳差凡地半径与星距地心之逺此两直线若能为大小之比例者即人在地面所测与星所在之实度分不一是为视差若星距地甚逺其距逺之线极大地半径极小两线绝不能为比例即人所测与地心所出两直线所指之度不能分即不能为视差故求星之距地逺近恒以视差为证以视差之多寡不等推其距地逺近亦不等如测恒星无视差可证其距地最逺测填星㣲有之仅得数秒而测太隂所得过一度因知七政之最逺者为填星最近者为太隂而太阳得视差三分当在其中央矣太阳太隂之距地逺近如前以月食求之其法更易今以其逺近及地半径反推其视差定为高庳差表如图甲乙为地半径甲戊为太阳距地心之逺任在本天最高或最庳或高庳之间皆有小异今设在高庳之间者如日初出在丙则甲乙丙三角形内乙甲丙为直角甲角直线为甲乙者一千一百四十二个(此中数也)推得甲丙乙角三分为太阳之最大高庳差若太阳在丁其丙丁高弧三十度则以余弧之乙甲丁角推得高庳差二分三十六秒为甲丁乙角若丙丁高弧六十度则甲丁乙为一分三十秒依高度推高差皆凖此至天顶戊即无差求太隂高庳差太隂之距地既近视差既大即其在本轮之最高最庳次轮之最逺最近视差大小亦皆变易其在本轮最高次轮最逺(一限)则距地依歌白泥算六十八个二十一分以六十度高弧推之得视差二十五分二十八秒若在本轮最高次轮最近(二限)距地六十五个三十○分以同前高度推视差二十六分三十八秒若在本轮最庳次轮最近(三限)其距地五十五个○八分以同高弧推得视差三十一分四十二秒若本轮最庳次轮最逺(四限)距地五十二个一十七分以同高度推得三十三分二十八秒是为同六十度弧之最大视差若他高度其法同此所推视差各异矣又太隂在小轮高庳逺近时时变易视差随之无能不变欲考其几何如图甲为太隂本轮之心从地心壬出直线过甲至辛指最高于乙最庳于丙是为次轮心一在最高一在最庳而己丁及庚戊两弧皆设六十度引乙丁及丙戊直线得甲乙丁及甲丙戊两三角形今先求次轮在本轮最高逺近之间各度生何视差借太隂厯指所定以地半径量诸轮之半径得甲己为五个一十一分甲壬为六十个一十八分而己辛止得二个五十一分则甲乙丁三角形内得乙丁为一个二十五分(地半径为个个六十分)甲乙为六个三十六分丁乙甲角六十度推得甲丁线六个○七分以并壬甲总得六十六个二十五分大于壬己线五十五径分有竒是名剰分今更设比例分论之如壬己为六十比分即己辛得二比分三十七秒而剰径分五十五当化为四十六比秒又己辛当六十比分依法推得一十八分正(六十与一十八若二分三十七)(秒与四十六秒)为次轮上六十度己丁所求高差应减于最近己高差也次论甲丙戊三角形其两线甲丙戊角及剰分同前但壬庚线得五十五个○八分亦以当六十比分即庚癸得三比分○七秒而剰径为五十五比秒又庚癸当六十比分亦推得一十八分(六十与一十八若三分○七秒与五)(十五秒)是为次轮上六十度庚戊所求高差应加于最近庚高差也葢依前所定四限丁六十度在一辛二己逺近之间高于己得视差少于己故剰分推视差以减于己得太隂在己正高庳差戊六十度在三庚四癸逺近之间庳于庚得视差多于庚故剰分所推视差以加于庚得太隂在戊正高庳差也其余次轮之逺近度求视差皆凖此太隂在朔高庳视差本书二卷论太隂交㑹时恒居次轮之最近所谓第二第三限在前图为己为庚也因太隂食日加时恒不在本轮之最高最庳而月行次轮周恒倍于本轮周故朔望时太隂恒在次轮之最近最近所行之周名本轮之内圏是大于次轮小于本轮以己庚相距之线为径今欲求内圏之上下左右各度得何高庳视差如图己丙庚内圏己为高最逺庚为庳最近乙距地心甲为地半径六十个一十八分(设歌白泥之数以为)(法)己丙弧六十度乙丙得五个一十一分与甲乙六十个十八分同类之径分也以甲乙丙三角形推太隂在丙距二限已六十度得甲丙线六十三个○四分因得甲己六十五个三十○分剰得二个二十八分今设己庚为六十○比分即推得一十四比分(六十与一十四若己庚十个二十二)(分与剰径二个二十八分)为剰分以推太隂在丙之视差加于在己之视差得太隂之真视差假如太隂距天顶四十二度在本轮七十二度在次轮六十○度总论其变视差以距顶倍之度查本表得太隂在逺近之第二限有高庳差三十五分三十一秒以较第一限赢一分二十九秒今距第二限六十○度依前法推得一十八分而六十分与一分二十九秒若一十八分与二十七秒则于二限高庳差减二十七秒余三十五分○四秒是一二限间次轮行六十度之高庳差也又第三限较第四限之视差不及者二分一十九秒而六十与二分一十九秒若一十八分与四十二秒以四十二秒加于第三限之四十二分一十九秒为四十三分○一秒是三四限间六十度之高庳视差今太隂行本轮七十二度又在二三限之间法以丁戊上两视差相减余七分五十七秒于时太隂自行得二十比例分则六十与七分五十七秒若二十与二分三十九秒以二分三十九秒加于前推一二限间次轮六十度之视差三十五分○四秒得太隂居高庳逺近之间本轮七十二度距天顶四十二度次轮六十○度之真视差三十七分四十三秒凡以距天顶余度求四限间之视差法皆凖此其在二三限日食所用有立成视差表依诸高度及距地逺近简之测日月求高庳视差借月食推太阳太隂距地心逺近而求视差以三角形推算为常法欲从天行求之则测日月高度以比其实纬度两度之较为高庳差也隆庆六年壬申有客星见王良北西史第谷以视差求其距地之逺立数法试之其一候其至子午圏同恒星在极高度测其相距逺俟行半周在极庳度复测之得逺近之差以推定其高庳差其一用北极出地度考之从极上极下测一恒星得其高庳差度半之以加于下测之度或减于上测之度若未得北极出地之高度即有视差其一南北相距两地同测一星以较于北极或于恒星彼此得度有差则有视差其一测星之高度依法以加以减不正得其赤道上之本纬度则视差所移易也今测日月其距极甚逺又有出有入非如北极恒星常见不隠二曜亦不能同时并测即诸法不可尽用备述此者明测候之理且以需他用耳假如万厯十一年秋八月太隂黄经度从冬至起得一十五度四十○分黄道纬距北二度四十二分第谷测其子午高得上周一十三度三十八分其半径一十五分蒙气八分皆以减于高度余实高度一十三度一十五分因太隂在赤道南以减本地赤道高度得太隂赤道纬度二十○度五十○分第以前黄道经纬推本方之实赤道纬仅一十九度五十七分则以相减得五十四分为太隂一十三度一十五分之高庳视差也又万厯十五年六月太隂黄经度从冬至起得七度五十○分黄纬五度有竒推其赤道实纬度一十八度○五分测其上周高一十五度二十○分下周一十四度四十六分得径三十四分太隂心高一十五度○三分内减蒙气六分余与赤道高相减得一十九度○八分为太隂赤道距度较实推赢一度○三分是为本方之高庳视差也从两视径观之可见径大者近于最庳小者近于最高故所测高度畧同所推视差大相逺矣又万厯十四年九月测太隂高四十五度其视径三十四分于时离鹑火宫十一度一十○分而本度距地平正当黄道九十度限不必用赤道纬度以求视差祗以黄道实纬度四度四十五分减视纬度距南五度三十○分得四十五分为太隂高四十五度之高庳视差也以四方分视差第三 五章视高差无定方惟日躔月离所在从天顶下垂线过曜至地平为直角其过曜处分视实之高庳而已至黄道经纬度亦依视高而有变易则因日月视度从黄道偏南北或偏东西或正或斜随所在得其横直视差为南北东西差三视差总图前论视高差为过天顶大圏之弧止向地平随方取之今论南北差是过黄极大圏之弧为黄道两平行圏所限也其一过实度其一过视度东西差则黄道之弧为过黄极两大圏所限也亦一过实度一过视度三视差弧独黄道正南北或正东西则合为一弧外此必成三角形以法推每边之度分也如图甲乙为地半径丙为太隂丙丁为月本天戊己庚为黄道壬己癸为过天顶象限从地心出直线过太隂为甲丙至宗动天指其实度为辛若从地面出乙丙线指其视度为午则辛午弧为太隂高庳视差午申弧与黄道平行过太隂视度于午未辛酉弧亦与黄道平行过太隂实度于辛则两平行弧间午未或辛亥为太隂南北视差又亥辛及午未为过黄道极大圏之弧则亥午在其中为太隂东西视差合三视差得午未辛或亥辛午三角形今依本图设日食在黄平象限西太隂以实行在子正对太阳在己人在乙尚未见食必太隂过东至丙乙丙己参相直则见食是为视㑹是实㑹在先视㑹在后也若食在黄平象限东即反是如次图更易见设乙甲丁为地平戊为天顶甲辛己为黄道丙为其极太阳或太隂在己为实度但人不在地心在地面如庚视太隂在壬则己壬为高差从丙至己至壬作丙己丙壬两弧线即得甲己线交黄道于辛而辛己为东西差辛壬为南北差高弧正交黄道南北东西差以高弧与黄道相交之角分南北东西差可得其㡬何葢两弧相交以直角则高弧正为距度弧不偏东西即绝无东西差而高庳差径为南北差若黄道自为高弧而太隂在交处无距度则高差径为东西差而绝无南北差若太隂有距度则黄道不同于高弧太隂不免有东西差亦并有南北差如图甲戊为黄道即为高弧与地平为直角甲为天顶太隂在丁则其高差丁戊即为东西差若太隂距南或北作大圏过黄道之两极为乙丙其距度为丁乙丁丙得甲乙甲丙弧与甲丁弧必不等又不交于乙丙弧之极故甲乙丁甲丙丁不能为直角而并得南北东西差且太隂愈近天顶乙丙两角愈锐南北差愈多太隂愈逺于天顶两角渐大殆如直角而南北差渐少高弧斜交黄道南北东西差太隂有距度求视差甚难其理甚繁其在交无距度者稍易稍简故先之设黄道为甲乙丙其斜交之高弧为丁乙戊太隂无距度在乙其视高差为乙戊得南北差为丙戊东西差为乙丙成乙丙戊三角形其形有丙戊为过黄道两极之弧则乙丙戊为直角有丙乙戊角其相当弧甲丁过高下圏及黄道极之弧也有乙戊视高差法以曲线三角形之理推乙丙丙戊两视差之弧但此三角形小其三边皆为大圏之弧可用直线法推之再设太隂不正在交有距度或南或北如图丁乙为过地平两极之高弧甲乙丙为黄道太隂距南在戊距北在己其黄经度在乙从天顶得丁戊为太隂距南高弧丁己为太隂距北髙弧因实度在戊在己视度在庚在壬得戊庚及己壬为太隂视高差又得庚癸壬辛弧其至癸至辛指太隂视经度与黄道为直角今以实经纬及北极出地度算南北东西差假如以北极高得乙丁过顶弧又有乙戊为太隂距度弧有甲乙丁为高弧交黄道之角加甲乙戊直角得丁乙戊角可推丁戊弧及丁戊乙角若太隂距北有丁乙己为高弧交黄道角之余角亦可推丁己弧及丁己乙角又查丁戊丁己视高差表得戊庚及己壬而太隂距南乙子戊三角形内有子乙戊直角有乙子戊高弧交黄道之角有戊乙距度弧可推子乙及子戊弧则子癸庚三角形内有子庚弧有庚子癸角有子癸庚为直角可推庚癸视距度去减乙戊实距度得南北差亦可推子癸黄道弧减子乙得乙癸东西差其太隂距北则乙癸己三角形内有距度乙己有乙己癸角有乙直角可推乙癸及己癸弧及乙癸己角去减己壬视高差得壬癸弧又壬辛癸为直角可推辛癸及壬辛于乙己距度去减壬辛视距度余为南北差乙癸减辛癸余乙辛为东西差如上说细论视差于理为尽若恒时推步别有㨗法力省大半盖丁乙己角可当丁戊乙角甲乙丁角可当乙癸己角丁乙弧亦可当丁戊及丁己弧故也若本地距黄道逺依此算即不得有差惟黄道在天顶太隂之大距五度又在本天最庳则差至六分不得用此若太阳将食即太隂居食限之内距度不过一度半依省法算所差者不过一分四十五秒欲并无差仍用原法太隂无距度以视高差求南北东西差依图乙壬戊为子午圏乙甲丙为地平壬为天顶丁甲戊为黄道壬己为高弧太隂在辛则辛己为视高差自黄极癸出癸辛癸己两大圏弧限辛庚为东西差庚己为南北差此三角形有己庚辛为直角辛己为高差更得高弧交黄道之角庚辛己则视高差辛己之正弦与南北差庚己之正弦若全数与庚辛己角之正弦假如高弧交黄道之角庚辛己得六十四度三十五分一十五秒其正弦九○三二四视高差弦辛己得五十八分三十六秒正弦一七○四算得正弦一五三九查其弧得五十二分五十四秒为太隂南北差庚己此用正弦法也或用加减算求南北差则以辛己高差减庚辛己角余六十三度三十六分三十九秒得余弦四四四四六又相加得六十五度三十三分五十一秒其余弦四一三六八两余弦相减余三○七八半之得一五三九为南北差之正弦也或用线求东西差则全数与庚己南北差之割线若辛己高差之余弦与庚辛东西差之余弦或用角求东西差则庚辛己曲线三角形甚小可用直线三角形法其高差之正弦与东西差之正弦若全数与高弧交黄道角之余弦假如用线推南北差五十二分五十四秒得割线一○○○一一八五视高差五十八分三十六秒其余弦九九九八五四七推得九九九九七三一为余弦得二十五分一十秒为庚辛东西差再以角求东西差则庚辛己角之余弦四二九一三高差之正弦一七○四算得七三一为正弧亦查得二十五分○八秒为东西差或用加减算则高弧交黄道角之余二十五度二十四分四十五秒减高差余二十四度二十六分○九秒其余弦九二○四二加高差得二十六度二十三分二十一秒其余弦八九五八○两余弦相减余二四六二半之得正弦七三一查得二十五分○八秒为庚辛东西差太隂有距度以高差求南北东西差前题算有距视差法简矣又有简于此者但依太隂时距南时距北分两图解之如图甲己丙为子午圏甲乙丙为地平乙丁为黄道天顶在己太隂在子则己癸为高弧子癸为高差又辛当北极北极圏为戊庚负黄道极戊自戊出大圏之弧戊壬过丑指太隂实经度而丑子为实距度又出一大圏弧戊癸至太隂视度癸从癸作垂线至壬得壬子癸三角形而子壬为南北差壬癸为东西差(丑壬寅癸两弧小故)(壬癸可当丑寅)欲求其几何先依第一法从天顶己连赤道极黄道极为己戊辛三角形形有两极相距之弧辛戊有北极出地之余弧己辛有极至交圏交于子午圏之己辛戊角可推黄极距天顶之线己戊次己戊子三角形有黄极距天顶之弧己戊有太隂出地高之余弧己子又有戊子在第一图为象限戊丑加太隂实距度丑子之总弧在第二图为太隂实距度丑子之余弧可推己子戊角次子癸壬三角形有高差弧子癸有壬子癸角有子壬癸直角可推子壬弧是为太隂南北视差又本三角形以子癸高差子壬南此差推壬癸东西差假如第谷测太隂在𤣥枵宫初度五十六分距南四度三十八分日在申正五十○分得太隂高弧九度二十○分得高差五十四分二十○秒其夲方北极出地五十五度五十四分三十○秒即升度为三百一十二度四十三分去减鹑首初之升度余为极至圏交于子午圏之己辛戊角而己辛及辛戊两弧皆不及九十度则己辛戊为锐角法全数与第一弧之正弦若第二弧之正弦与他数(名先得之数)又全数与先得之数若两弧所包角之正矢与他数(名后得之数)而后得之数恒加于两弧较差之正矢得第三弧之正矢如前图依第谷测己辛戊三角形求己戊弧则两道大距弧辛戊(第一弧)之正弦三九九一五其夲方极高余己辛弧(第二)(弧)之正弦五六○五二求先得之数为二二三七三又己辛戊角(两弧所包角)四十二度四十三分得正矢二六五二八求后得之数为五九三五以加两弧较差之正矢一六九六得七六三一为己戊弧(第三)(弧)之正矢查得二十二度三十一分四十一秒以求己子戊角则己戊子三角形内全数与第一旁线之余割线若夲角旁次线之余割线与他数(名先得之数)又两旁线较差之正矢与对夲角线之正矢相减余为他数(名后得之)(数)而全数与先得之数若后得之数与本角之正矢如前图己子(角旁次线)为太隂距天顶弧八十○度四十○分余割线一○一三四二戊子(第一旁线)为太隂距南加象限共九十四度三十八分余割线一○○三二八算得一○一六七四为先得之数其较弧较差一十三度五十八分得正矢二九五六减己戊弧之正矢七六三一得四六七四为后得之数依法算得四七五四为己子戊角之正矢查得一十七度四十四分一十五秒以求子壬弧则全数与子癸高差弧之切线若壬子癸角之余弦(壬子癸与己子戊两交角等)与子壬弧之切线而子癸弧之切线一五九四壬子癸角之余弦九五二四八算得壬子弧之切线一五一八查得五十二分一十○秒为太隂南北差之子壬弧以求东西差则全数与子癸弧之余弦九九九八七五一若子壬弧之正割线一○○○一一五一与壬癸弧之正割线算得九九九九九○二为壬癸弧之正切线查得一十五分一十○秒为太隂东西视差壬癸或寅丑又次法甲乙地平甲丙黄道戊癸高弧丁黄道极皆同前此图加戊辛为太隂实经度出地平高之余弧而戊辛己三角形内又有太隂实高度之余弧戊己有太隂实距度己辛以此三边径推戊己辛角为高弧交太隂纬弧之角其余角(前图)或交角(后图)为壬己庚角假如依前算戊己八十○度四十○分得余割线一○一三四二太隂距南辛己四度三十八分余割线一二三七九四七算得一二五四五六○为先得之数以本两弧之较差七十六度○二分得正矢七五八六四戊辛弧七十六度一十五分三十○秒得正矢七六二四五以相减得二八一为后得之数又算得四七六○为戊己辛角之正矢查得一十七度四十五分日食掩地面几何太阳有全食或周边无光而昼晦星见者有全食而周显金环者又有食不全而此地见食之分多彼地见食之分寡者今欲求见全食之地几何广见金环几何逺自见全食之地至尽不见食之地几何更求相距几何地即见食渐差一分此四者大概依视差推算种种具有法焉全食不见光之地面依第谷测定蒙气之高距地面上约有九里欲求全食时得人所共见里数若干即以蒙气高与太隂视径及太阳光气内曲之角定之葢交㑹时太隂当日目之中掩太阳光其视径必大于太阳视径而人目所周之地平自无光矣但日光从最通明处射地而来一遇次通明之蒙气即曲而斜照(见本厯指第一卷)必依气之高低渐渐聚合广狭不等如气太高则光不至地面而聚合可无满景气太低则光一曲即至地月景反觉开展不止恒测之界今设气高九里以绝日光必月景近地占千余里必太隂视径大于太阳视径四分有余乃可论食在天顶也若食在下度则月径可小景或反大图中蒙气高为甲丁求甲乙丙以定甲丙不受光气之拓界乙丁乙丙皆地半径约一万二千里则乙丁与全数若甲乙与甲乙丙角之割线算得一○○○六○查本表得一度五十九分为甲乙丙角又全数与本角之切线若丙乙线与甲丙线得里数为五百一十九即太隂在顶满景之半径也而全径则一千○三十八里葢食距地平高三十度即太隂视径大于太阳视径止一分必满景径得千余里视径加大里数亦多然䝉气差表未译故止以地半径差别求之法日月两半径相减以差数加太阳视差即于表中本高度前后查太隂高下视差与得数等即以高度差前后各得满景半径若视差与得数不等即以中比例法求相应之高弧加于高度差如太阳行最高得视半径一十五分太隂行最庳得视半径一十七分二十○秒差数为二分二十○秒试以食在天顶(广东广西等处夏至时是)下二度为八十八以本度查太阳视差表得六秒加两半径差数得二分二十六秒于太隂视差表中以八十八度查二分一十四秒所不及者为一十二秒依比例算得一十一分宜加于二度即更下去顶愈逺也故天顶正下为满景之心前下二度一十一分景缺即初见光其界限约五百四十六里后下高弧等得里数亦等共得一千○九十二即同食甚时同见食掩地面之广也欲论先后时刻自初见满景至复见生光则日月并随宗动天行之度化为里数所得见满景必不止数千里矣若太阳行最高太隂在高庳之正中其差数加太阳视差共一分二十○秒算食甚时得满景二度二十八分为里数六百一十七又太阳及太隂皆在最庳得总差数一分五十三秒算食甚时得八百四十二里为满景至于两径相等或太隂不甚大于太阳即无满景因蒙气曲光内射故也试食甚在下度距地平七十○度太隂在最庳得视差二十一分四十六秒更下二度得视差二十三分四十九秒差二分○三秒至两半径差数余一十七秒加太阳在最高从七十至下二度强所变视差度○七秒总得二十四秒即以比例算应高弧二十四分总得二度二十四分化为里得六百即地平上自中往后见满景之地也若往前设地平高七十二太隂视差一十九分四十○秒较于太隂高七十度之视差差二分○六秒至两半径差余一十四秒加太阳变视差七秒(上下加求太隂)(从太阳视差故)总得二十一秒因以比例算得二十分加于七十二度化为里得五百八十三即往前之满景前后相加总得一千一百八十三里乃食甚同见满景之地也依本法推算食甚距天顶愈逺得满景愈大而自其中心论前后两半径必随高下度不等如食甚距地平高四十○度在前得三度二十三分为八百四十六里(景之)(前应高度多查表求后景之后应高度少查表求前)在后得三度三十八分为九百○八里总七度○一分为一千七百五十四里若食高二十○度必前行一千四百八十三里即五度五十六分后行二千二百○八里即八度五十○分总三千六百九十一里为满景因视差近地平变少必度多即得变数与两径差数等径差少(或太阳在最庳或太隂距最庳畧逺)即高度进退亦少里数亦减矣见金环之地面太阳在最高其视径较太隂在最高之视径畧小较在中或最庳愈小无比故全食之食甚不显余光而周无金环明矣其在中距与太隂在最高之视径等虽因蒙气可显金环然以大小之故不能毕露且蒙气所生大小随时随处不一则亦无从可定耳自中距以下太阳视径渐大较太隂在最高至最庳即大三十○秒矣设食甚在天顶因周大一十五秒得四围去中心逺四分度之一而可见金环者约有六十二里乃全径则一百二十五里为此时所同见至先后可见之地者又不止此若食甚距天顶愈逺得金环愈大假如距四十度(高弧五十)(度)依前一十五秒应得二十分全径则四十余分以三十度高弧应得全径一度二十度高弧应得一度半一十○度应得四度化为里约一千里何也因视差近地平变少得度多故也若论蒙气愈加得金环愈大因此第谷居北方设月朔半径大于望半径亦此意也总见食之地面求满景及金环俱以日月视径为主如太隂大于太阳则生满景太阳反大即为金环此一定之理也今欲得满与缺之景㡬何或从见满景地面(食既是)至渐不见景地面(复圎是)即以两曜最高最庳之行求之葢日月皆在最高见食地面少皆在最庳见食地面反多(因正在高庳故倘相距渐)(逺其食景大小亦渐变易)一在高一在庳则见食多寡均矣论天顶全食法加日月两半径以总数查表所得数或等或小加此两数之差更加太阳视差复得总数复查表其旁所得高度即自景中心至不见食之界也(总数不正合髙度用中比)(例法求之)假如日月皆在最高加其半径总得三十○分一十五秒查表太隂距地最逺之方所对六十高度得三十○分○六秒较两半径总数差九秒太阳视差○一分二十七秒三数并加共得三十一分四十二秒在高度五十九及五十八间(自顶往下故)以中比例推得四十六分乃自天顶至周界得三十一度四十六分为总见食地面之半径而全径则六十三度三十二分化为里共得一万五千八百八十三使日月皆在最库两半径数并得三十二分五十○秒查表本方内得相对高度五十九依前法推得不止五十八度即见食之界距顶三十二度五十○分共六十五度四十分为里一万六千四百一十七若太阳在最高太隂在最庳总得六十四度一十八分即一万六千零七十五里使太隂在最高太阳在最庳算得六十四度五十二分为里一万六千二百一十七若论全食在下度食愈低其景愈大但地面不全受景则人目在地面同见食之广不全依高低度何云食愈低其景愈大视日月两轮大小约等以中心与目正对皆居一直线上虽相距实逺目视之若同为一轮同在一度今欲见其两心相离不正在一线则自此地至彼地势若横行然葢高度全食前后左右皆于日月为横行愈高愈横得景亦少若全食在下度或前或后(以髙弧及)(同见为主前后非东西南北可定必随日月所居方并过目圏为是)多为对行而非横行愈下愈对必行之多始得其体之离惟多行故迟出景外所以食在下度愈低得景愈广矣何云不全受景见日食即因日月目并居一直线上(此论以体相对虽心不正在一直线㑹合)(亦无妨)今全食在高度或前或后行凡日月目直线可对者自正以心相对惟去离渐逺至以边相对则以见食至复圆为止若全食在下度目少进即见食渐高至两曜以边居直线上亦能尽见其复圆使目退行少许见食渐低两曜先至地平不及以边居线上因而体虽尚对而所余食分为目所不见矣纵使更退亦不得见复圆故地面所受之景乃地景(日巳没故)非日食之景耳推下度全食之景法日月两半径并与食甚高度太隂之视差顺表相减余数加太阳视差总数复查表得数等其旁所遇高度即为前行见食之界若不等以中比例求相应之高度与表两半径并加太隂视差更加太阳自食甚高度至夲总数相应高度所变视差而末所得总数必应高度即后行见食之界如日月皆在最高两半径并得三十○分一十五秒设食甚高八十○度太隂视差在此为一十○分二十九秒两分数相减余一十九分四十六秒约应高度七十一得太阳视差五十六秒以加总得二十○分四十二秒乃又应高弧六十九度五十五分即前行至日月过顶二十○度○五分而见食地面共为三十○度○五分若后行两分数宜加得四十○分四十四秒约应高弧四十七度太阳视差自八十至此变一分二十九秒以加总得四十二分一十三秒应四十五度一十六分即日月高相离之界共为三十四度四十四分乃后行见食地面之径也设食甚高为六十○度依本法算得前行见界距三十○度○九分过天顶较前径畧长后行则景长无比必行六十度始见下地平其未见复圎者八十余秒而前后地面见景为九十余度设食甚高四十度必前行三十四度一十四分后行四十度乃下地平尚见食五分八十余秒总见景者七十四度设高二十度往前得四十三度二十分往后行二十度止得见复光约一分总度六十三度有余愈下愈见少即此可知同见食之广不全依高低度因地面不全受景故也若日月皆在最庳得半径并最大数为三十二分五十○秒设高八十度必前行三十一度后行三十六度共六十七度所同见食较前畧广设高六十○度即前行三十一度后行六十度未可见复圆葢所少为一分二十秒耳大概依余日月半径及余高度求同见食之地面皆倣此算而以度数更求里数论先后见食则以总食之时及时气两视差细求之可也见食进退一分应地面几何太阳任在本轮高庳距天顶逺近及在四方偏正俱分一十平分而见食地面则依高弧取前后以定其径葢径之大小依高度前后不能为同即前所云较食在下度与食在高度自得更大乃论满景之公公论也今又设为全食如前行即太阳从下生光渐至上复圆若后行即从上生光至下复圆总进退间止在一十分内欲算法于度数之分所应任取之径分加太阳视差及日月各半径不等之分秒总数查表其旁所对高度即本径分之景界化为里得见本食之地面矣假如日月皆在最高食甚在天顶设生光为一径分(食退是)求所应之度即十径分与三十○分(太阳全径度数之分)若一径分与三度数之分以本三分入表查太阳视差九秒更有日月两半径不等之一十五秒总得三分二十四秒应三度一十三分即去顶生光之界共八百零四里若生光得太阳半径即五径分当一十五度数之分加太阳视差四十五秒及两半径不等之一十五秒共得一十六分应一十五度二十四分距顶之界试以复圆即三十○分查太阳视差一分二十七秒加半径不等之秒总得三十一分四十二秒应三十一度四十六分乃与前求总景之数正合若食若在下度如高六十○度求一径分相应之高弧即以三度数之分如本六十高度太隂视差得三十三分○六秒约对五十七高度因至此太阳变视差八秒宜加且更加两半径不等之秒总得三十三分二十九秒应五十六度一十○分即自食甚至一径分生光得三度五十分较前算自顶退一径分多得三十七分为一百五十余里若求五径分应几何即于六十度太隂视差加一十五分得四十五分○六秒对四十一度查太阳变视差四十四秒加两半径不等之秒总得四十六分○五秒应四十○度四十五秒自食甚至半径生光得一十九度一十五分较前多三度五十一分若日月在本圏别度得视径大小较最高不同必先求径分所应度数之分几何然后依本法算而进食之分与生光之分亦同一理也日食掩地面总图甲为太阳乙为太隂丙为目三者于食甚时皆居一直线上以心相正对也设太阳视径小于太隂视径为丁戊即地面得满景为壬辛必自中心丙至壬至辛乃可见丁戊日轮之边耳设太阳视径大于太隂视径为庚癸而目在中心丙以丙巳丙子直线见太阳庚癸边必周得金环倘退至壬或进至辛即不见之矣论满景总为丑卯自中心丙进前至卯即以卯丁直线见日轮复圆退后至丑即以丑戊直线亦见复圆径之大小在高度低度其理一也新法算书卷六十八
## 卷六十九
钦定四库全书
新法算书卷六十九 明 徐光启等 撰交食厯指卷六外三差前论交食法有东西南北髙庳三差皆生于地径盖以地为太圜之心为此界以宗动天为彼界日月在两界之间因地径之小于日大于月生彼界之视三差也今言外三差者于三差之外复有三差不生于日月地之三径而生于气气有轻重有厚薄各因地因时而三光之视度为之变易三者一曰清蒙髙差是近于地平为地面所出清蒙之气变易髙下也二曰清蒙径差亦因地上清蒙之气而人目所见太阳本径之大小为所变易也三曰本气径差本气者四行之一即内经素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比于地上清蒙更为精微无形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也外三差之义振古不闻西史第谷于万厯年间殚精推测钩深索隐厯家推重以为冠绝古今而此秘未睹至其暮年方行万里乃始洞彻原委尚未及著书其门人述遵遗指撰集论次然后交食之法于理为尽则近今十余年事耳盖厯学之难言如此清蒙髙差厯家测騐日月及经纬诸星积累所得其光入人目徃徃不依直线而至夫太隂太阳有地径视差无怪其然也恒星无地径差人测之在地面与在地心不异宜所见者必依直线若之何不然且两星相距近于地平与其相距近于天顶绝不同其各体之大小亦不同又太阳太隂固有地径差其视体偏下视髙度宜少而所得者忽复多定望时二曜正居天地径之两端以理论见一不得见二或并见则半体而已今有时全见之何也古度数家见直物入水中折成曲象空水之交则有钝角以此钝角喻诸星射目之折线于理为允则近地面之气可比于水天体至清可比水晶光在有气无气之交必成折角而能令诸曜之象升卑为髙也若星距顶愈远所射光之折线角愈减其钝而视髙之去实髙也愈多盖近地则湿气愈厚故受蒙为甚而又实非云雾等有质之物且在地浊之上(厯言入浊言浊中近浊入则不见视此为异也)谓之清蒙也因此凡测候两星若距度线与地平平行者其气所升视之巳在赤道上迨太阳近午出蒙气之外复测之始以实行交于赤道为真春分秋分反是先以近午之实行在赤道上为真秋分迨昬测之日巳入过赤道而北矣视度乃复在赤道上自朝至中不能有两春分自中至夕不能有两秋分则朝夕所见皆视度非实度也则皆清蒙之高差也问清蒙之气能变易太阳太隂之实度是已其言随地随时又各不同者何谓也曰第谷测定清蒙诸差太阳与太隂大约相等而与诸星则不等其五星所得之差又与恒星不等因此推知致差之因不在距地远近其差大小皆气之所为也气厚薄时之所为也距地远近地之所为也凡考七曜之蒙差皆候其高弧至于无蒙之处得其实度而以较于有蒙之处得其视差几何如第谷所居北极髙五十五度冬至日夏至夜皆甚短其测候太阳之蒙差必于夏月太阳出蒙气之上乃可得之测恒星之蒙差又于冬月若夏测星冬测日则尽日尽夜皆在蒙气中无法可得而气之厚薄冬与夏必有分矣故所定气差随之异也若论地则山阜之上蒙气为在髙之距与在庳之距必小有异若不与地平平行而两高弧各异者不论或正(与地平为直角)或斜(与地平为斜角)其在髙之距与在庳之距亦小有异总之星愈近于地两距之实度愈少远则愈多矣第谷之本地北极高五十五度有竒测定太阳太隂之蒙气差大约相等自地平以上至四十余度髙差渐少更高则无有而近地之最大差得三十四分故太阳极近地平以地径视差之偏庳三分蒙气差之视髙三十四分相减得太阳高弧之视差三十一分则目视太阳将入以下周至地平见谓在上而其实体已全入于地太隂以最大之地径视差六十三分蒙气差之视高三十三分相减余三十○分目视之见谓全没而其实体犹全在地平上也多禄某以浑天仪测太阳行春秋分积年所得皆以本日两交于赤道遂为千古不决之疑不知者意其差在仪器仪器果差安得百无一合又安得悉在地平之上竟无差而在下者乎至近世而后知为清蒙之差也第谷用器甚多甚精诸器毕合不可谓有器差而其所得亦复如是所以然者太阳临春分论实度尚在赤道南晨测之为蒙少平地乃多泽国尤多海滨更多葢此气周生于大地之靣外规之界距地心悉等而地靣有高庳其距气界各各不等此为浅深厚薄之缘正如海底有坳突之势因有浅深若海水之靣恒平而已然论其恒势浅气所生之视差少深气为多论其变浅气或忽然増加少易而多深气乃鲜有变时也万厯十八年庚寅夏六月西厯记月食太阳以半体出地其太隂正相对尚高二度入景中已多分及太隂半没而太阳已高二度出地平之上若以恒理论之则太阳心方出地平景心宜同时而入太隂之西周实入于地又当在景心入地之前今太阳心出矣而景心尚高二度非蒙气所为安得此乎然此视高差可谓甚大则以本地近于大山之下大河之滨其蒙气为厚遇夜清气上腾凌晨更甚故也若他地他时未必尽同此数故治厯者当先定本地之诸曜蒙差叅以时令乃能立表推歩其法须累测交食之多寡早晏斟酌定之勿谓精于本法便可随地随时必无舛戾也若立差既定而临食时气候忽更此则难可豫料然所失无几矣此髙差惟月食累遇之若日食则二曜之蒙气差大畧相等髙弧既同鲜有变易径可勿论也清蒙径差太阳全食昼晦星见恒事耳中史及西史皆数记之若太隂全在日与人目之间而不能尽掩日体四周皆有余光厯家谓之金环或有阙如钩或云依日月周径本法则不应有此何者凡此一视径或大或等于彼一视径则以此体寘之人目与彼体之间无不全受掩蔽者今止论太阳在其最庳全视径为大得三十一分太隂在其最高全视径为小得三十○分三十○秒其较三十○秒为全径六十分之一耳即定朔果在此时日月以两心正㑹何因四周能见太阳之边乎(或有时可见详下文)此说是也然而古今所记实见实测乃复多有之如隆庆元年丁夘三月朔日太阳近于最高得全径三十分太隂在高庳之正中得全径三十二分三十四秒则全掩太阳之外尚余二分三十四秒乃西土实侯至食甚时二曜以心正㑹见有金环又万厯二十六年戊戌二月朔日太隂在最庳掩太阳复如是论地则此测在西国之内地前测在海滨论北极则此测髙五十度前测正髙四十二度论临食时此测有云前测无云也(云气虽不掩日月亦)(能变易光曜损益分秒)而第谷专精候騐多在北海之滨北极高五十六度累年宻测终不见太隂尽掩太阳昼晦星见是则日光恒赢月魄恒缩又将疑掩之不尽为恒事矣迨万厯二十八年庚子六月朔于内地北极高五十度测得日食五分有半依本地原推正应四分较多一分有半则又日光缩月魄赢也又万厯二十九年辛丑十一月朔日全食第谷门人于本地北极高六十余度测得食甚时见金环四周皆广一分有半(太阳径十二分)万厯三十六年戊申七月朔日食西土内地北极高五十一度测食甚时得二分正同时向北更四度论高视差宜减一分犹宜见食一分而第谷门人宻测乃不见食此两测者皆日先居赢且赢甚也而皆无云综其大都极出地甚髙近海或大泽食时多云气则日光赢测数少于推数极出地迤庳居地平髙去水泽远食时无云气则月魄赢推数少于测数展转推求即清蒙之气随地随时有无厚薄不等能浅深受光于日而变易其照耀之势使人目所见或增或减迄无定限也再騐之海中有小岛其视体甚小于太阳之视径日初出时正当其中平分太阳之体则石之两旁皆显大光若不当其中而石居太阳之左右则不能映蔽日光如两相退让而露太阳之全体此为何故石之蔽日隐显之间虽以一线为界乃海中蒙气极厚日之施光蒙气受之故人目所见日光能侵轶于本界之外也喻月魄于石体其理正同故蒙气盛者全食时如石当日之正中少食时如石当日之左右即髙弧至于午正人目见日无横斜之线不能升卑为高乃地以上之蒙气犹能承受日光使溢界外而展小为大月不蔽日职是故矣如图地心为甲日心为丙太隂正当日目之中为乙月景之最中人目所在为己设太阳之边实为丁为戊其光下照所限月景之界宜为丁甲戊甲两线此限外之气皆得最光也然因乙太隂隔太阳原光于已目目所能正见者非丁戊乃是庚辛而作己辛直线则目宜全不见日周之微光矣苐太阳正照之最光下及于月景四周之外而外气之近地者为次彻之体则太阳之光借此体以侵入于月景本界之内别作一界线曲而向内即人目所正见为癸而癸既切景较远景之处加有光焉(光愈正照愈明切景之光甚似垂线若正照然故比距远之处加明)(焉)故景之四周从癸至壬目所见皆成日光是为癸壬金环癸壬所在实于空中非太阳之光果外溢至辛也从下视之若在月之四周与太阳同天而太阳之原光若丁戊以外更余辛庚一环矣但癸壬之广狭依气厚薄随地随时一一不同耳曽有人试以铜薄规为小圆形依直角线寘长竿之末退后一丈又寘一规正对前规与为平行后规之心开细孔以目切孔正觑前规之心其前规之全径较两规相距之远得一千分之十以掩天上之弧得三十四分二十○秒与本时太隂光满近最庳之全径等则目视两规与目视二曜大小远近之比例亦等次从后规视前规理宜全掩太隂之体乃所见者四周皆显大光更移后规向前二尺有竒以远近之比例论则前规可掩弧度四十一分然而尚有微光也可见日月近地平固因蒙气有视度之高庳差即去地平远犹有视径之大小差矣本气径差金环又有二种一为虚环人目所见其内规(如上图之癸)为最光向外渐微至外规(如上图之壬)则似次光此为地上清蒙之气所生上文所说是也一为实环若内若外悉是最光此所见者必为太阳原光矣所以然者太隂在最高太阳在最卑则太隂之视径畧小于太阳之视径上文所云六十分之一者是也但实环既为原光在太阳之周非复向之虚环从蒙气中隐映而得者则人居月景之中何自得见之即在景之偏际亦宜见左失右何自得全见之曰此亦因太阳出光折照至于人目虽正在景中犹得见之折照之繇即非地上清蒙之气而在空中之本气前交食第一卷论月体当食显赤色是气景所生此论地靣当食而见光色是空中本气所射其理一也设甲为太阳其实边乙丙太隂在癸其实边丁戊人居地靣在己辛之间不能以直线见太阳所以得见者太阳全轮既受掩于月体为壬庚所余庚乙实环皆为原光而以庚壬内规之光正照丁戊月边过丁戊则折而内向以至于地面己辛其所繇内折者欲就于甲癸垂线也(详本篇一)(卷第五)己辛以内皆为月景得界丁辛及戊己成三角形(戊丁为底图未尽景末)又太阳乙丙外规之光正照太隂近处为子丑过子丑又折入景中而相遇于寅(此折甚于前折者愈远于垂线)(愈欲急就之也)得寅己辛角形形以内为折入景中之重光人目在重光之中从卯辰两交得见光环意疑在丁丑旋遶月轮其实则太阳之原光庚己也问本篇首卷言凡象射次澈之体则成折线故本章言日光过地靣则折入于景为蒙气故也空中本气则甚澈之体何能受光而折入于人目乎曰空中本气为甚澈之体此恒理也然亦有时而变如彗孛搀抢乃及客星等皆在列宿天中非理所宜有难究其所生之縁而实则恒有之今言日食有金环者大抵皆虚环也其实环甚为希有万一有之不得不究所从来故作此论盖虚环既蒙气所为无可疑者则实环之缘不得不在蒙气之上既在其上不得不归之空中本气舍是别无可推之理耳兹有蒙气以上变易之征聊足解此万厯三十三年乙己八月西国北极高四十度测太隂在最庳日全食亦全掩原光而其四方尚余赤光如火广数度依此地论必言蒙气所生不足疑亦无待辩矣从此向西北一国北极高五十余度同时测日不全食未尽一分三十余秒日周以外太隂余分甚多而此地尚见是大光岂两地相远如此尚当言蒙气相同之故乎纵使相同而蒙气距地靣极髙无过二百里此不全食之地其交景之顶尚在二百里以上全出蒙气本界之外则安得有本地靣之蒙气受照为光且四周皆见乎彼所见满景四周之光既不为蒙气所生必为空气所生矣假如甲为太阳乙为太隂丙为地丁戊为蒙气界若全食则所生金环在丁戊之四周也今不全食之地在己其交景之顶为子亦见光(此光非金环因在日周故其理)(不二)而光中甚黒则非丁戊气所能生矣盖目从己视太隂之下周庚必以己子庚线视其上周必从己壬至太阳辛则太阳之辛癸原光正照己目及蒙气之界面丁壬丁壬之中绝无月景而丁壬等高之景全在己子庚直线之下安所得生光之原乎可见日四周之光必生于蒙气以上必为空气所生或近于月轮在庚子两线之中或在月轮之下不远矣日食昼晦星见凡前史记日食昼晦必因全食若星则不全食而见者有之如晨昏分中日己出己入矣明昧之交正似太阳未全食之光也而大星已见也又或不全食而见者有之故厯家下推将来虽得全食其见星与否未可豫定盖见星不见星之縁不尽在于食分多因蒙气与隂晴耳若食时遇气甚清人目先见最光而习之忽尔失光虽日不全食亦似向晦星乃可见如从大光中暂焉入室见为甚暗也若食时遇气甚厚或多云雾则目先习是次光后见失光不以为异又𬪩厚之气受返照之光光亦不能甚失日虽全食未及甚晦正如浮云在天虽太阳已没曚昽宜尽而尚有余明星不可见矣自此之外更有太阳正照斜照之缘如太阳当晨昬时斜照于地上气得其正照之光则能返照地面若此时以日食绝正照于气中则地无返照之光又本无正照之光安得不为甚晦乎故午前日食初亏至食甚时加晦生光至复圆时稍明午后食则反是盖太阳愈庳愈能正照气中而地得其返照之光太阳愈高愈正照于地靣而以有食绝其正光惟四外反有从旁斜入之次光耳又或太隂近最高其视径不甚大于日之视径则太阳四周光曜散溢虽则全食地面之次光乃大于少食者亦多有之又使日食切近地平太隂㣲高于日则地靣所见日下周之原光虽不尽如钩而上气乃与日月叅相对绝其正照即地面绝无返照之光此时亦变为甚晦也推视㑹交食第三卷求定望改实时为视时所以然者为有升度差也今日食以地心之实㑹改为地面之视㑹所以然者为有地半径差也以地半径差论实㑹视㑹不同上章已详之矣此求视㑹则依视差推算法先求日月高弧以得高差又求高弧与黄道之交角因以得南北东西差次求视㑹与实㑹之时差以加以减于实㑹之时刻而得日月正视㑹之时刻其加减则以黄道九十度为限(即黄平象限)日月距地平高弧视差有多有寡必依太阳出地平所得高度多寡(日月㑹合若同)(高度或差一度以下其视差甚㣲故得太阳高度不必复求太隂高度必求细率则以太阳高度查太隂高差)(先加于太阳高弧得太隂高真度也)欲求高度几何则用定㑹(即定朔也)之实时及本时之太阳躔度先以躔度推太阳距赤道之纬度次以定㑹实时推其距子午圏若干(详见下文用法中)得二角形形有北极出地之余弧有太阳距赤道之余弧有两弧间角为太阳距子午圏弧之相当角算得本形之第三弧为太阳出地高弧之余弧也如图甲乙丙为子午圏甲丁丙为地平丁戊为黄道太阳在庚则乙庚己为高弧壬庚为太阳距赤道之余弧因得乙壬(本地极高之余弧)及壬庚(太阳距赤)(道之余弧)两弧及乙壬庚角(太阳距子午之相当角)以推第三乙庚弧得其余弧庚己太阳出地平上之弧也次推高弧交黄道之角先以升度求庚丁弧次以庚己髙弧以庚丁黄道弧以庚己丁直角推得庚丁己交角因以对角求南北东西差法如次图设庚癸为高差辛为黄道极则辛癸大圏之弧以直角交黄道于壬为庚壬癸三角形先己得壬庚癸角而庚癸壬为余角则全数与高差若壬庚癸角与壬癸南北差又全数与高差若壬癸庚角与壬庚东西差或用简平仪求高弧可免算第其图愈大所取太阳高度分愈真乃足推算视差如图己戊辛为子午圏甲乙为赤道北极在丙太阳距赤道北依丁戊线行与行壬戊弧其理一也至戊为正午至丁如复至壬午前与午后同所以然者戊丁直线不可得度分数必用戊壬弧量度为凖(戊壬与戊丁皆距等小圏两弧皆小圏之弧即等试想戊壬圏置戊丁线上与戊丙圏纵横为直角)(则得其理)如彼面之丁为己时至戊为午行至此面之丁为未与壬为己至戊为午复转至壬为未其理一也次作丁庚直线与地平甲己线平行则得己庚弧为太阳在己时或在未时出地平上之高弧也别有表以日食之实时及太阳距赤道纬度查其出地平度而推两曜高差又有髙弧交黄道角表以此三角形(前图之己庚丁)推算法用太阳髙度于太阳距黄道九十度限表中查角(即庚角)详本表又有南北东西差表以太隂高差及髙弧交黄道角依直线三角形推算(因三差线小虽在天实为大圏之弧亦可以直线句股法)(求之与三角形圎线法所求不异)黄道九十度为东西差之中限地半径三差恒垂向下但高庳差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太隂距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则髙庳差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南北差恒为股东西差恒为句高庳差恒为弦至中限则股弦为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也(黄平象限省曰度限)旧法以子午圏为中限新厯以黄道出地之最髙度为中限(东西各九十度则是最高)两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多縁于此此限在正球之地距午不远若北极渐高即有时去午渐远时在午东时在午西大都北极高二十三度三十一分以上者(若高二十三度三十一分以下者则日月有时在天顶南有时在北三视差随之今)(未及论此)独冬夏二至度限与子午圏相合为一从冬至迄夏至半周恒在东居午前从夏至迄冬至半周恒在西居午后问日月诸星东出渐高至午为极髙乃西下渐卑而没则午前午后之视差岂不分左分右渐次高庳以正午为中限乎曰南北差东西差皆以视度与实度相较得之而日月之实度皆依黄道视度因焉安得不并在黄道从黄道论其初末以求中限乎推太隂之食分以其实距黄道度为主推太阳之食分则以太隂之实距度先改为视距度所改者亦黄道之距度也论实望实㑹欲求其实时以黄道经度为主今求视㑹其所差度必不离黄道经度而因度差多寡求其相当之时差以得正视㑹理甚明矣若子午圏者赤道之中限也度限为东西差有无多寡之限犹冬夏至为昼夜永短之限午正时为日轨高庳之限也惟岁惟时自宗赤极不借黄道之度中为限东西视差自宗黄极何乃借赤道之午中为限耶昔之治厯者未能悉究三差之所从生徒见午前食恒失于后天午后食恒失于先天故后者欲移而前前者欲移而后又见所移者渐向日中渐以加少遂疑极高至午中则无差不知黄道两象限之自有其髙也亦自有其中也必如彼说以午正为东西差之中限设太阳实食午正遂以为无时差遂以为定朔为食甚倘此时之度限尚在西愈西则愈有西向之差法曰中以东则宜减安得不见食于午前乎傥此时之度限尚在东愈东则愈有东向之差法曰中以西则宜加安得不见食于午后乎如万厯二十四年丙申八月朔日食依大綂法推得初亏己正三刻食甚与定朔无异皆在午正初刻至期测得初亏己正一刻后天二刻此所谓中东宜减见食于前者也今试依新法减时则推定朔在午正初刻内四分四十九秒于时日月躔度在鹑尾宫二十九度八分四十七秒黄道中限在本宫一十三度○一分距正午西一十八度五十九分距太阳躔度一十六度○八分太阳定朔之高尚有五十○度查得太隂髙差三十八分先求髙弧交黄道角为日距度限弧之切线与本角若全数与髙弧之切线得视差小三角形内正对东西差边之角二十○度一十一分再推本角之正弦与东西差若全数与髙庳差得一十三分○四秒为此时之东西差因此求时差得太隂行一十三分应为时二十四分二十六秒于法宜减故得食甚在午初二刻一十○分三十七秒在定朔之前也更求初亏约用前四刻依法复求视差其时黄道度限在鹑尾宫初度二十○分即午后一十四度四十○分距太阳二十八度四十六分太阳高四十八度得太隂高差四十○分东西差二十四分求其视行度得四刻行二十一分又以开方法得太阳自初亏至食甚行三十一分今视行二十一分得四刻则三十一分应得五刻一十三分五十四秒以减食甚时得初亏在己正一刻内一十一分四十三秒与实测时刻宻合凡九十度限去子午圏不远新旧两厯所推之定朔不远则两所得之时差亦不远若相距远而度限在东则食在午前或在午后新厯所得时刻皆多于旧厯度限在西食在午前午后新厯所得时刻皆少于旧厯如万厯三十八年庚戌十一月朔大綂厯推食甚在申初一刻至期实测得申初四刻先天三刻于时度限距子午圏二十一度○四分在东距太阳五十九度四十七分日月并高一十六度得太隂高差五十四分一十五秒从是算得东西差二十八分三十一秒应时差四刻○一分三十五秒依法与实时相加而实时与大统厯算小异在未正三刻○四分得视时乃大异是繇度限在东加数宜多而午正为限者加数则少安得不先天也又万厯三十一年癸卯四月朔日食九分二十○秒大綂厯推食甚在辰正初刻新厯推得在辰正三刻内此时度限亦在东距午正一十五度四十二分较太阳距正午为更近所得东西差止一十九分二十四秒应时差四十七分四十六秒依法宜减则实时己初一刻○六分改视时为辰正二刻○三分此两食者皆所谓度限在东则食在午前午后新厯所得时刻皆多于旧厯者也又其甚者若日食在正午及度限之间则宜加者反减之宜减者反加之所失更多如崇祯四年辛未十月朔日食大綂推初亏未初一刻较新厯迟三刻有竒食甚未正初刻新厯推未初一刻内至期实测果在本刻内所以然者新厯以黄道九十度限为中所得时差与实时相减则食甚后退故合大綂以午正为中所得时差反加而前进去之逾远矣盖本日食甚实时日月并已过午正一十七度二十九分○一秒未至黄平象限六度二十二分三十九秒则度限在午西二十三度五十一分○四秒算得东西差三分三十四秒应时差○五分为减而先推实㑹在未初八分四十○秒因时差退减为未初一刻内三分四十○秒如是止矣若以子午圏为中限则本时日月过午己十七度有竒在西东西差既宜少而多时差又反减为加即多得时刻若此者就用西法算两曜髙三十五度四十八分及其距午正之度能生东西差一十一分一十三秒应得差二十二分定朔在未初二刻○五分相加亦不得不为未正可见中限异同实为加时离合之根也算视㑹必求黄道九十度限交食以黄道出地之最高度为中限固矣但限内所应加减者则有时差(日食在九十度西时差宜加在东宜减)此实食视食之所繇以先后(详见上篇)故算视㑹者必先求九十度限所向何方乃可然求之之方不一或依常法定其宫度分或依简法止推两曜当食之时居九十度东西何方而不必问其宫度先以常法论设甲乙丁斜三角形甲为天顶乙为黄道交子午圏日月俱在丁以升度得乙丁弧以太阳距度得甲乙弧查本表得其两弧间之角以甲乙丙三角形内因九十度限在丙必求甲丙为垂线指九十度距甲顶若干更求乙丙为九十度限与子午相距若干则丁丙乃日月距九十度○所自有者而以先得甲乙弧与乙丁弧及两弧间之角因求得时差此本九十度限表所繇起乃常法也第以此求之必先算日月高弧及高弧交黄道角等未免太烦乃简法则惟算黄道何度分当九十度即此斜角三角形内径求甲丁弧为日月高弧之余弧又求甲丁乙角即高弧交黄道之角则视差小三角形内(见前五卷三题)以高弧得高差以本角得交角及余角而推所对之弧为南北东西差固已㨗若指掌矣再欲察日食在九十度限东若西亦得两法一以黄道在正午度推九十度距午左右何若则以定朔所得太阳躔度较先所得在正午黄道度即得太阳在九十度限东西何方如依甲乙丁斜三角形以升度求乙丁弧必得何度在乙(子午圏交黄道之处)使星纪宫初度或鹑首初度在乙乃为正九十度此外则以食时按极出地度求之盖北极髙过二十三度三十一分凡自星纪初度至鹑首初度黄道度在午者必九十度偏东自鹑首至星纪黄道度在午者反为九十度偏西而距午最远者则在大火宫或𤣥枵宫随极髙低不一亦随宫度各处不一也试以极髙二十四度则九十度限距午最远特一十五度耳极髙四十度则九十度限能距午二十四度余宫度在九十度限亦距午渐近因而推日食在九十度之或东或西较较不爽也又一法以黄道交髙弧角求之更凖盖本角向子午圏者在午前为锐角午后为钝角则食必在九十度之东若本角午前为钝角午后为锐角则食必在九十度之西如此可免再求矣求视㑹复算视差之故第三日食与九十度相近则太隂之偏东西不多所得时差于本食之实时不甚相远可免复求东西差倘所食远距九十度之限则太隂偏左偏右(左右即东西)者必多而能变其实行以为视行使不再三考求何从而知故必先算太隂之视差化之为时差次求其视行与太阳实相距若干则用以推东西差可得食甚至若初亏复圆总不外太隂之视行而得之此推歩日食者所以复算视差求太隂视行定太隂东西差须得其与太阳相㑹之实度应先(如在九十度东)应后(在九十度西)乃使太隂实行即从自行可得则或二十八分一小时或三十○分或三十三分有竒(因最髙最庳中距不)(等故)以三率法推其度差则相应几何时刻因与定朔加减之其所得时亦可于真视㑹不远但先后㑹之度差必以太隂实行为主然因视差故每每移其本实行故以实行求时差多谬而以视行求之乃凖矣法曰日食在九十度东则较定朔前一小时食在九十度西则较定朔后一小时复求东西差以两差不等之分秒或加或减于太隂一小时因以实行得其视行若次得之东西差大于先得之东西差其两差不等之数为减若次得之差数小于先得数则两差不等之数为加乃得太隂一小时视行也或不用一小时先于定朔算东西差而以实行化为时差或加或减于本时得视㑹又以视㑹与定朔相去不拘若干惟于此时再求东西差两差不等之数依前法加减之必得太隂视行时差因以复算真时差假如崇祯四年辛未十月定朔在辛丑日未初八分四十○秒此时顺天府得东西差三分五十○秒太隂一小时实行为三十三分二十○秒以此算得六分五十四秒为时差因食在九十度东故减得未初○一分四十六秒即相近视㑹时也次升度先在正午自春分起为二百二十六度二十五分四十○秒因时差宜减一度四十三分则以余升度查本表得躔度在正午者为大火宫一十七度一十二分算得九十度在午西离二十三度三十五分比日月距午更远七度四十四分三十八秒又以太阳髙三十六度一十四分算得髙弧交黄道角八十四度一十七分则以余角复得东西差四分五十○秒两差不等之数为○一分因后得之差大故先得差内减一分实得○二分五十○秒为太隂过太阳之视行也前时差○六分五十四秒今以三率法依本视行得前东西差○三分五十○秒应九分一十九秒为真时差因减故算得视㑹在午正三刻一十四分二十一秒(一十五分为一刻)考真时差真时差者为太隂视行反复推求再三加减脗与视㑹相合者也欲更考其实须算太隂实距太阳几何若所得分数与太隂所当视㑹之东西差等则所得视㑹亦凖若㣲有不等则以不等之分数化为时依两曜实相距之分数较之视差或大或小依法加减于前视㑹如距度大日食在九十度东则时差为加食在九十度西则时差为减如距度小则九十度东宜减九十度西宜加分秒内可得其凖也因此再求东西差而以本视㑹时复求九十度限与其距天顶及距太阳度因以本高弧及高弧交黄道角复算视差如前假如得真时差九分一十九秒何以知其然也因减时九十度略在前即夀星宫二十三度○六分距天顶五十三度四十○分距午二十三度三十一分较太阳复西去○八度二十一分算得高弧三十六度三十四分交角八十三度四十五分推东西差○五分一十三秒故以三率法用太隂实行三十三分二十○秒一小时以真时差得五分一十○秒为太隂实距太阳分数见其与才得之东西差相等则前时之时差亦凖若未等则求所差分数如前东西差三分五十○秒得九分一十九秒为时差此不等之三秒亦得七秒依前法视㑹内应减实得午正三刻一十四分一十四秒乃真视㑹也求初亏复圆俱依视差算凡算月食推初亏复圆先以开方求其自初亏至食甚所行之度分若干又自食甚至复圆所行之度分亦若干故所推食甚前后时刻大约相等算日食则不然虽太隂在食甚前后所行度数相等而所应之时刻鲜有不参差者盖视差能变实行为视行有前得之时较后得为多亦有后得之时较前得为多此中种种不一如图甲为太阳乙丙丁皆为太隂甲乙或甲丙为两曜视半径甲丁为太隂食甚视距度则甲乙线之方数减甲丁线之方数其余数开方得乙丁线为太隂自初亏至食甚所行之度与丁丙至复圆数畧相等但太隂行过乙丙线时(除食甚正在九十度)前后未尝相等故求之之法必于前时以东西差求其视行则得初亏距食甚之时又于后时复以东西差求其视行乃得复圆与食甚相距之时然初亏与食甚或皆在九十度东则因初时之东西差大于后时之东西差其两差不等之数减于太隂实行则得视行若初时之东西差反小于后时之东西差其两差不等之数则加于太隂实行而得其视行或初亏与食甚皆在九十度西而初时之东西差大后时之东西差小其两差不等之数用加如初时之东西差小后时之东西差大其两差不等之数用减与前法相反此较初亏与食甚若较食甚与复圆皆为一理第其两相比量俱以先东西差与次东西为主故求初亏则食甚为后时而求复圆则食甚又为前时也或前后两时不同在九十度之一边如初亏在东食甚在西则求东西差必不止食甚前后之两次因九十度而中分之则一视行求其时之多半又一视行求其时之余乃合之为初时至后时太隂视㑹所行度分矣假如视㑹在鹑首宫初度午后正二刻距九十度西得东西差○五分设得视行二十二分则太隂自九十度至本视㑹之度两刻间视东行一十一分如前图乙丁线为二十八分减一十一分所余一十七分为太隂在九十度东自初亏至食甚时所行即因九十度前一小时以东西差得太隂视行二十一分故其行一十七分必须时三刻○四分乃自初食至正午(此正午与九十度同故)为太隂所行之时并午前后时总得五刻○四分为太隂自初亏至食甚过乙丁线所行时也算日食复求太隂视距度之故第四前以实㑹而不得其视㑹则所求者在东西差乃今视㑹真矣然何以知其所食大小之分数及以月掩日所向之方位乎曰此皆由于太隂视距度也故推歩者必先于食甚求视距度则得日应食几何分又于初亏复圆求视距度则得月掩日之光在何方日食分数凡推月食以太隂实距度较其半径及地景半径即得月食之分今算日食法虽同然因视度为主则必以太隂视距度与日月两轮之半径相较乃得日食分矣依法于视径本表查日月半径并之减视距度为太隂掩日之分(天度数之分)次以三率法求食之分(日径分十分之分)因先于食甚求太隂实距度则太隂视㑹及实㑹间之本行或加或减于其交周度依时差加减得视㑹时太隂交周度用算或查表即得距度假如时差为三十五分二十一秒宜加此间太隂过太阳行一十七分五十六秒太阳本行○一分二十七秒相加共得一十九分二十三秒为太隂本行今设交周实度为五宫二十九度因时差应加则交周多得一十九分二十三秒终得太隂食甚时实距北○一分四十一秒次以南北视差本实距度改为视距度故凡于三差小三角形内考时差并求南北差乃所得为正视㑹若太隂距黄道北人居夏至北则实距度恒减视差为视距度若太阳距黄道南则视差反加于实距度为视距度假如万厯二十四年丙申岁八月朔日食厯官报应食九分八十六秒实测得八分强弱之间依新法算当食甚时太阳高五十○度○五分得太隂高差三十八分因九十度距太阳西一十六度○八分算得高弧交黄道角六十八度四十八分为南北差线其对角为南北差得三十五分因当时太隂近交中在黄道北二十八分五十○秒与南北差相减得○六分一十○秒乃太隂视距在黄道南矣又日月两轮半径并得三十二分○五秒减视距度得二十五分五十五秒以此求食分数得○八分二十九秒乃与所测适合也日食图说新法以图显本食所向之方故上下书南北左右书东西其绘图则以太隂距度为主但食时先后太隂距度常有变易或初亏距度多而复圆距度少或初亏距度少而复圆距度多此其故盖因食在交处前后之不一也若前后离交相等则虽距度同而所向南北未免有不同矣故日食前后求太隂视距度必以交周所应食甚视距度减其自初亏至食甚所行径度则得太隂初亏视距度又以加于自食甚至复圆所行径度则得其复圆视距度也复求交周所应太隂食甚视距度惟查距度表内上下左右则得交周度及其在交前后分数○假如前万厯二十四年食甚得视距度○六分一十○秒即交中后查本表右得○一度一十二分其本表上则得六宫乃所应视距度交周也又当时自初亏至食甚太隂所行径度三十一分○七秒与交周相减得六宫○度四十一分五十一秒相加得六宫○一度四十三分○五秒即初亏及复圆交周也依此交周复查表得初亏视距度○三分三十三秒而复圆得八分五十三秒因此画本食图如乙丁及丙戊两直线以直角在甲相交指南北东西方乙丁为黄道甲心为太阳居其中依前食论其太阳半径得一十五分一十五秒较太隂半径畧小甲戊线则并两轮半径为三十二分○五秒因太隂食甚在辛甲辛乃当时视距度○六分一十○秒初亏在壬即乙壬与甲己相等只三分三十三秒复圆在庚得丁庚与甲癸相等共八分五十三秒而壬辛庚皆视距南也新法算书卷六十九
## 卷七十
钦定四库全书
新法算书卷七十 明 徐光启等 撰交食歴指卷七测食分算食而不测食将何以攷其法非强天即自欺故必随测随算了了于目了了于手则视差视径时分俱凖而法乃得矣测太隂食分常法全頼目力因分太阳径为一十分太隂径亦如之食甚时则以所见不食之径约略不能见之余分设并见失光之体庶㡬所食有半者依此以测犹可此外则多有谬焉何也太隂未食以前欲用器测全径食甚时又测光所存之余径此际甚难(其光微又无从定中线故)且不正合于法今补此阙用太隂地景两径之比例及太隂见缺之边如图地景心在丙得乙戊辛弧为边太隂心在甲以其乙丁辛边弧入景中为所缺自乙至辛作直线更一直线联其两心及两边交切之界于乙或辛为甲乙乙丙及甲丙而甲丙及乙辛以直角相交于己使太隂入景之边乙丁辛为六十度因半之于丁得乙丁对乙甲己角为三十度必余角甲乙己为六十度(甲己乙直角故)甲乙割线二万乙己止一万则以甲乙与乙丙之比例(一与三是)乙丙得六万为丙乙己角之割线查八十度二十四分本角之切线五九一二三六为丙己而甲己为甲乙己角之切线一七三二○五两切线为甲丁及丙戊所减(甲丁与甲乙丙戊与丙乙自相等)余丁己二六七九五戊己八七六四并之得三五五五九为甲乙二万分比例之分因以推太隂之食分盖设太隂半径得一十六分与之相乘用二万除得食二分五十一秒(度数之分)即径分止有五十三秒以此测虽微有差所推径分终近矣测太阳食分宻室中对太阳开小圆孔以受其光因孔小出光之体大则所正照之光必为角形其底在太阳其角在孔之中夫光一入内又复展开为角形以致底所对之墙转其原形以上为下以左为右使墙与光直角相遇则底为圆形不则为圆长形使孔不圆且小则光底在墙或彷佛孔形而所像太阳之形大都不真何也太阳孔墙三者皆有逺近大小之比例盖孔距墙得其本径数与太阳所距本径数等则光底在墙必像太阳圆形及孔之多边形各等为杂形若两径数不等而太阳距墙得径数多则光底失去原形转随孔形得径数少则光底必因之愈少故测食者恒设孔小而圆乃可逺近无差因以墙上所缺之形征太阳所食之分法以规器于纸上先画大小不等数圆圏各以径分之其径以十或更宻平分之临测室中以圏受光不拘逺近任用大小圏全以脗合于光为凖既合便转纸使其圏径横过余光形中平分两角则光缺之界即所食分数方光与圏合时遂以笔于光景间微识三四小㸃求心因之作圏略得太隂掩太阳大小之比例如图甲乙丙丁为太阳食外之余光正与甲乙丙圏界相合其心在戊其径与丁以直角交景而平分甲及丙两光角则得太阳食七分有竒更取三㸃为甲丁丙以己为心(㡬何三卷二十四题)以甲丁丙辛为太隂乃以己丁较戊乙亦得日月两径大小之比例日食射光之容测日食以最微之孔对照之西土用绿色玻瓈仅见日周俱掩去余耀反照则用水盘欲细则以平面镜所接之光反射墙上可略得分明苐对照水中反照皆非实测之法惟射光于墙略近然因尚容次光乱其景犹未足故前以宻室测食之分为本法今再全觧之欲光从外入室内以其形正彷原形尽乎大小之比例倘孔非最小(㡬何称无分㸃之小)而圆则太阳食照必畧变其余光之角形为不彷原之一又太隂掩太阳其径略小即失天上视径之比例为不彷原之二因径小所食之分较天上之真分亦少为不彷原之三三者皆归一缘盖接光之孔稍广则从中心摄太阳之形全显于墙或纸亦并周孔边之每㸃全进焉乃每㸃所进射之形虽圆其出外与孔之圆不平行而每㸃射形之公界复与之平行且内抱中心所射之形亦与之平行如图乙丙丁界内为光即太阳总形也其内圏壬庚癸为孔之广因圆故其受光至平面亦圆苐太阳大不可比其光一入复寛为戊己辛形与内圏平行以其中心甲与太阳正对故以逺近之比例可推本形甲戊半径与太阳视半径大小之比例然庚内圏之㸃射太阳形为丙己辛较于中圏更以戊丙径线出外(戊丙与甲庚孔之半径等)而壬癸及余㸃皆射圆形则外得乙丙丁总圏其甲丙与太阳半径无大小之比例以逺近可推也又因原形入室内必借孔形以两形合别为杂形今测太阳设圆孔原形无从可变(除上为下左为右)而食之时其自变形露角射于宻室内又与孔之圆形不合因而损其角似圆矣如图太阳食之余光实为甲乙丙丁乃从甲孔之心射入以丙丁乙弧不异于孔形而丁甲乙角形则异矣故本界四周以孔半径展开(甲戊丙己乙辛丁壬皆半径)外得戊辛己壬为总界与前图所觧同则以辛己壬弧元合于孔形而壬戊辛亦必彷之其彷之之规必依孔半径故丁乙各为心得壬癸及辛庚弧皆变为圆角耳室中测食日月两径有定差依本食图丁甲乙弧为太隂掩太阳之边其心在癸从癸心出直线至丁至甲至乙又乙丙丁中原形使之过庚为圏而从其甲心引直线至壬至辛至己因甲乙丙丁为日食余光之真形实合于原则癸甲与甲丙或癸乙与甲乙癸丁与甲丁(甲丙甲乙甲丁皆太阳半径癸甲癸乙癸丁皆太隂半径)得真大小之比例亦与原视半径全合今宻室之中辛己壬戊光形实以甲戊孔之半径周展其界则太阳亦展半径自甲致之于壬于辛于己而甲辛与甲癸太阳半径之比例必过甲乙与本甲癸之比例太隂半径亦然移癸甲为癸戊其癸丁癸乙皆曲而小故甲乙与癸戊之比例又大于甲乙与癸甲之比例而甲辛愈大(因甲辛大于甲乙故)可徴两径在光形宻室之中比于两径实在食时必依孔之广狭变其大小未尝正合焉室内测食食之分有定差依前图总光界辛己壬弧以加壬丁辛弧作全圏则甲乙元为食分与丙乙太阳全径实得比例今总光形之径己丁较之丙乙长两孔之半径(即己丙及乙丁)故本径与食分变比例因而甲乙比于己丁线不如比于丙乙线得大小之理若丁戊(光形食之分)则既乙丁与甲戊等亦自与甲乙相等可徴其大小之比例在光形有失矣或问测食与算食分数不合而每每所测分数恒不及必因食形假耳今欲改为真形从何法得曰以太隂半径加孔半径于太阳余光之内反减之各依本心光形内作弧得甲庚丙癸原正形即从甲太阳形心及丁太隂形心推定也定食分及两径比例必系真光形推算食分以定多寡法以两曜视径较于距度求之今欲于所测对騐亦以日月两径以其两心相距㡬何即可得矣但测时因太阳行速依前法于形中㸃号以求径并距孔时逺时近就景于先所画圏亦不易故纸距孔须定度(用窥管前开小孔后置白牌彼此以平行相照)可免多圏多量之烦受景之底大小依逺近如图外有己壬辛大圏为定周分度数共作四象限(用以取食方向见下文)中有乙戊丙丁小圈以甲为轴能转动此乃受光形之圈故以丁戊指太阳全径以甲心及孔之中心与太阳中心正对本圏上安量尺即戊丁中空以两旁与圏径平行其尖锐直至大圏以能指度为用量尺上仍有方尺为乙丙中开一小陷道以合于下前后可任进退将用浑器对太阳时便转中圏令其径平分余光之角随以方尺就之其交径之㸃必用号以识之有光无光之边交径㸃亦然即以此定乙甲丙弧分食与不食之形不须别㸃如二图设乙丙丁戊为太阳食形得心在甲丙戊为径以方尺(乙己丁)切光之钝角(乙丁)交径于己景边交于戊今依孔半径得己庚作壬庚辛直线与方尺平行而更作辛癸壬子即日食之真形何也使壬丁辛乙各于方尺为垂线必自为平行线因而庚己亦于方尺为垂线(因作法盖庚己为丙己径之分)则庚己壬丁辛乙三线皆等既等而庚己为孔之半径则余两线亦各半径可知壬辛两㸃当孔中心为真形之锐角则日月两边实于此㸃相交而壬癸辛为太阳壬子辛即太隂两弧中必食分外则为所存光之真形也或问真原形既定何以依之推两径之比例及太阳食之分数曰孔与形相距之度与甲癸真形之半径若全数与原视半径之切线查表得太阳视半径试以全形为一百分孔径一十分相距万分一百减一十余癸丑为九十半之得甲癸四十五以算终得一十五分二十八秒(度数之分)论太隂半径此以庚辛中比例线求之盖先以庚癸太阳径分求庚辛(见㡬何三卷三十五题)次以庚子与庚辛若庚辛复与庚寅得全子寅论食分则癸丑与一十平分若子丑与食之分或若癸子与未食之分于十分相减余则为所食之测日食细法用方尺量食之形或景淡而景符无处可用欲以所测推太隂视径未免微差今更用一器愈凖愈易前所云受光形之表中有轴能令小轮转动轮上定量尺随以同转则因以载方尺而外指度数矣此则两尺俱不用本小轮改为方形如图甲为表中之轴亦为太阳景心(先依太阳在本圏某宫度取视径作圏)乙丙丁戊则大方形也转以甲轴以辛为表锐用锐以指外圏之度左右(大方形)开两小陷道能受小方形为己庚癸壬此中亦有小圏即掩太阳之太隂也周圏先去孔半径形(得圏大小不等预以引数取定或备数面)(以待临期更换亦可)其四围(小方形)开空止存六小条与方相连以支圏将测用大方置衡上(长方尺为衡其图在下前所言窥管亦可)与孔以定度相距小方贯入其前令中圏以边合于景食甚时见本圏上方余光先至而左右尚未及必圏小宜换大若左右先与光齐而上方未及则圏大宜换小总以正合为凖万厯二十九年辛丑冬至后两日苐谷门人在西土测日食用本器大方中圏设一百一十分小方圏七十五分两数总而半之得九十二分三十秒即初亏时太隂与太阳以中心相距之分(任取无度数之分)故至食甚时所见食之分(略得八分)此中必减去余分乃两心相距之分苐先定太隂视径因小方圏正食于景而设径有七十五分二十八秒以加孔径一十六分三十○秒总得九十二分以此求度数之分得太隂在最髙本径三十分三十秒若求食之分因当时形中得食八分(径平一二分之)(十分)以比例法算得七十四分(任取分之分)与两心初亏相距之分相减余一十八分三十秒化为度数之分得六分○八秒(光形一百一十分减孔全径一十六分三十秒余分为法数太阳在最痺径三十一分为实数)(算得六分○八秒)如图甲丙太隂半径减甲乙两心之距余乙丙为九分○七秒加乙丁太阳半径(一十五分三十秒)得丙丁为二十四分三十七秒(度数之分)即月体掩日之分故以三十一(全径)为法以十二平分为实算得九分三十二秒即太阳实食之分较于形中所见食多一分三十二秒矣或问测食常法因难分食与未食之径不待言矣今室中测食虽能明分之而所见食分非真食分所测径非真径则古测又奚足用曰因分得日月两径大小之比例及明暗之界即推真食分及真径之根盖古之定日月两径多依此测不能无差今从而改之此外尚有测其径之多法(见月离厯指)以真视径比例推食之实分测食者于室中任用器之长短孔之大小不必拘逺近之比例而惟以先列视径表定食分为止法以所测之光形作圏以光景之界弧求心(㡬何三卷二十五题)即太隂心亦作圏必量两圏径(用比例尺或预分定数百平分之线)得各分数若干总而半之即于两曜视半径并分数等何为分数等也日食形内光与景各失其本然止以边论则犹是若两心相距则非矣盖两心相距与原形恒有比例因彼所张此反损各半径与原半径不合而两并与原并数则有合焉故以此总(两半径量之分)与彼总(两半径度数之分)之比例各本分(或日或月)推相应之半径(形中非真半径)与真半径比较得差数因以复推食分加于测食分即得所食之实分矣假如万厯十八年庚寅七月朔苐谷门人在西土测日食见食六分正(依十二径分大统亦能见推食五分有竒依十径分)光景各半径并得四十七分太阳近最髙得半径一十五分○二秒太隂距最髙四十余度得半径一十五分二十五秒两半径并为三十○分二十七秒即与前四十七分等故一为法一为实求二十三分(太隂或景任取之分)相应度数之分若干算得一十四分五十四秒比太隂视半径差三十一秒而差数或加或减于太阳半径则以真半径为法(当差)(数加也)推得六分一十三秒(孔小故受景正而测之分比推算之分略近)为真食之分又一法用逺镜或于宻室或在室外但在外者必以纸壳围窥筩以掩余耀若绝无次光者然而形始显矣葢玻瓈原体厚能聚光使明分于周次光又以本形能易光以小为大可用以细测(以小为大非前所云光形周散也因镜后玻瓈得缺形光以斜)(透其元形无不易之使大见逺镜本论)然距镜逺近无论止以平面与镜面平行开阖长短俱取乎正(光中现昏白若云气则长边有蓝色则短进管时须)(开阖得正)余法与前同崇祯四年辛未十月朔在于厯局测日食用镜二具一在室中一在露台两处所测食分俱得一分半(径分十分)先依顺天府算以太阳引数三宫二十七度取视半径一十五分四十二秒以太隂引数五宫一十九度取半径一十七分五十八秒半径俱悮用大故并而减太隂当时视距度二十七分二十二秒余六分一十八秒因算得食二分试依新列表改之则太阳得一十五分二十一秒太隂得一十七分一十七秒并而复减视距度余五分一十六秒算得一分四十三秒为真食分必如镜所测也夫镜所测形为丁乙丙戊即太阳食边之下映者与实在天所食之形相反(大光过小孔之)(故)依丁乙丙弧求己心即太隂心设其半径己乙为五十分甲戊四十八分两半径并得九十八分(皆比例之分)为法数两半径又并作三十二分三十八秒(度数之分)为实数则以太隂五十分推得一十六分三十九秒为己乙度数之分必较于己壬真视半径得差三十八秒为乙壬今论径分(以十分分)(之)以三十八秒算得一十二秒宜加所测之辛乙一分三十秒总得辛壬为一分四十二秒正合于所算食分矣或问逺镜前后有玻瓈在前者聚光渐小至一㸃乃在后者受其光而复散于外则后玻瓈可当一㸃之孔何所射之光形不真乎曰后玻瓈不正居聚光之㸃必略进焉以接未全聚之光乃复开展可耳(见逺镜本论)故谓此当甚微之孔则可谓当无分㸃之孔则不可所以用镜测者纵或不真然较之不用镜者不但能使所测之形大而显亦庶㡬于真形不逺矣测食方位古多禄某以交食占验欲定何州郡则以本食方位求法近世以本方位立法因推太隂距太阳视经纬而以所测定其视行也测日食方位太阳本食或正向南北东西则目力所及一见能决惟不尽出于正而偏有所距则因以分别所偏若干定分数多寡此必实见之测乃可得耳前论食分设两轮盘并在一平面上与太阳正对亦与外耳进光者平行其下大盘不动分以过圈径从径左右边分全度数用以测食方向上小盘则能运转载量尺与下轮边以对度数为主将测全器对太阳下盘之径线对髙弧以光形之角较本线或正或偏因推所向方位设两轮底方以直角安表衡上为甲乙与外耳戊正对太阳毫不偏于左右则乙戊衡正居过天顶及太阳圈之平面(前所云髙弧也)而甲乙直线自上至下亦当天上本圏径之分外有木矩架为丙丁己(全形见月离三卷)以丁己柱正立取地平柱端作运轴使衡能上下转以入架腰定丙乙太阳出地平髙度而全架则又周转如辘轳也用法日食时表衡对太阳以甲乙方之面正受其景则上下轮环转而方尺与余光两角或积或平行其量尺所指轮边度分即太阳本食所偏向髙弧度分也又本衡末于架腰自指太阳髙度则得时分因得太阳及髙弧距正东西以加或减于日食之角偏去髙弧度分终得食景偏去正东西度分设衡下无架可分太阳髙度则以别法求时刻而于衡之末以直角加横平方其甲乙直线及浑衡亦合于髙弧圏之面若不用量方两尺依前第二法用两方形有圏者以上方进入下方之中圏直至形前掩景周围与光齐而左右小条当方尺与两余光之角或相积或平行其外锐亦指本景所向之方与前同如太阳初亏测方向得偏髙弧距三十度太阳出东地平髙四十一度三十四分躔降娄宫初度因得己时髙弧距正东四十八度○四分(或查表或以三角形算)减食方向距髙弧度余一十八度○四分即初亏向西北度若太阳复圆其方向髙度时分皆如前则一十八度○四分为复圆向东南度又设方向距髙弧过象限三十度(角上左旋)髙度时刻俱同前则与髙弧距正东相加得七十八度○四分即初亏向东南复圆向西北度(初亏向东南复圆必不在西北此盖指前)(后两食论也)或问所测方向距髙弧线之度何以知其宜加与减于本髙弧距正东以得其自距正东之度曰日食时设有大圏径过日月两曜中心左右至地平此即太阳失光及未失光之面所向度分今本圏以直角交髙弧则向位距正东或正西之度与髙弧距子午圏之度等(地平圏上算)本圏合于髙弧通为一圏则髙弧至地平所指度亦为本食所向度若夲圏斜交髙弧则以下轮盘外圏因知两距度宜加与否(两距度者过心圏距髙弧髙弧距子午圏者)盖午前过日月两心之线测得在右上象限或左下象限宜加余象限冝减午后则反是(不拘初亏复圆)或见日食余光之上角在髙弧及子午圏线中则过心线之距加于髙弧子午两线之距此在午前后共法设甲乙丙丁为下轮盘之外圏分四象限各象限分九十度甲为天顶甲丙线当髙弧甲己甲戊皆子午线中小圏即太隂掩太阳者或食甚或初亏复圆时在其东西南北及中央皆一类(天上向位在西图中反在东诸方皆如此)设庚为太阳过两心之线为庚乙因以直角交甲丙线其至地平必两相距正九十度故丙距己(地平上算)乙距正东之度皆等又设辛为太阳则过两心线与甲丙同为一线故甲丙所至地平度亦为太阳辛食所向之度也又设壬为太阳则以壬癸过两心线者得壬癸乙角加于丙甲己角减于丙甲戊角(因太)(阳壬之上角在丙甲己内即午前在丙甲戊外即午后故)得总或余角以定日食向盖过两心之圏恒指向位又恒随髙弧设髙弧与子午圏全合为一必过心圏以直角交者所指向位在正东(食复圆时)或正西(食初亏时)若斜交则因角大小不等食形所向度距东西逺近亦不等其髙弧不正与子午圏合而相距在其左右则过两心圏虽以直角交犹随髙弧距正东西左右若斜交则本圏更距东西不等盖以此两故求其距度直至与髙弧合则惟髙弧定距度也以长圆形求日食方位前论宻室测日食分法以平靣之方受景盖孔小而方又正对太阳其景必圆今以斜对之平面亦在宻室中受景孔仍如前小则所得形必长圆(凡地平距黄道内者对太阳宜斜)其长径线可当髙弧法用白纸置地平上(任置何处宜与地平等)令受日景必自为长圆形次于本形两端各识数㸃又于两光缺角亦各识一㸃以便用规器取食偏距髙弧度设乙丙为长圆形之大径当髙弧线求丁戊景缺偏距乙丙线若干则平分径于甲以甲为心丙为界作圏次与甲丙作垂线过丁戊两角至己至壬此己壬弧半之于辛作甲辛直线则得丙甲辛角即日食偏距甲丙髙弧之角设丙辛乙半圏分一百八十度以规取丙辛弧定度分若干试依先测之横径(若未测以太阳髙度求之)以甲为心作中小圏从两光缺角引直线与长径平行至本圏之边得庚癸弧其出中心至外大圏甲辛直线者交于小圏之弧为两平分则知先所取丙辛食方向距髙弧之度无谬也因长圆形之心不正居光角形之枢线而横径较光角形之正底亦微过焉故欲求其正设角形中线至子以太阳髙度之余推子乙子丙则于本髙余度加一十五分(太阳半径依引数取)又减一十五分得三不等度查各度切线以相较得乙丙长径之正度也如甲乙丙为光角形至地平乙戊因斜遇为长圆形其长径为乙丙太阳在甲当髙三十七度余五十三度角形枢线甲子则戊子为五十三度之切线减一十五分余五十二度四十五分其切线戊丙反加一十五分得五十三度一十五分切线为戊乙今戊乙减戊丙余二四○九为丙乙即形中长径也求横小径则全数与太阳距天顶之割线若太阳半径之切线与横小径算得一四八六(两径自较得一十与一十七之比例)(欲各较于全数设全数为十万)因此依前图算设乙丙为大圏之径则以本比例得小圏作长圆形引丁己及戊壬垂线如法半之终得辛甲丙角为二十二度三十分宜加或减于髙弧距子午圏以求其自距子午圏与前法同测月食方位治铜为一匾圏约寛二三寸许周分三百六十度其圏内俱开空止留四线如十字交罗中心交罗处安量尺方尺其尺径较圏径略长皆能旋动与前测食分器同将测时从初度取上下正对太隂以垂线取凖地平转其方尺令对两余光角则量尺抵边所指度分即本食向方距髙弧度也盖宻室月景不显必室外测乃可若用地平经纬仪上置前圏以象限载之转中线对髙弧须凖与地平合可免算髙弧距正午度又简法以界尺对两角令其或取恒星或五星同居一直线上加太隂髙差(以髙度于本表取)得其向恒星若干免以髙弧复求别距度何也因切两角之线其过景边交月边处必俱以直角交过月景两心之线故得角与星居一直线则从此相距九十度逺者必为本食所向之方矣太阳初亏能向东复圆能向西否太隂初亏能向西复圆亦能向东否从来论日食者俱以初亏向正西或西南或西北复圆即向正东或东南或东北月食初亏向东复圆即向西或偏东偏西此定法也今细考之殊多不然盖初亏复圆两向相反者此非一食可有之事必两食而日月体不全食或有之先以月食论如图以甲为心即地景之中心以其半径为界作圏从上至下引乙丙直线可当髙弧横作丁戊当黄道斜入西地平下得乙甲丁为其两圏之交角又作己辛直线与黄道线以直角交于甲心设太隂本心在己或在辛此为定望故甲己甲辛各为月景各半径并与距度等又己为隂厯渐小必己庚(白道)距黄道渐近辛为阳厯渐大必辛壬(白道)距黄道渐逺此太隂未及辛先与甲近彼太隂过己后渐与甲近两者未免微有食(距度比甲)(己甲辛两半径并较少故)其所食大则从甲心出直线至白道以直角所交之㸃下为癸上为子是也试以甲癸或甲子当五十八分较甲辛甲己略少(两半径并共六十分)则五度(最大距度)之割线与全数若五十八分与两心之距(月心地景心)得五十七分四十七秒余二分一十三秒变为食分即四十四秒故依图一食之初亏在己他食之复圆在辛而复圆向东初亏向西者此耳可遂守为一定不易之成说哉若东地平黄道斜升其上亦与前同设癸子为黄道乙甲子为黄道交髙弧之角则丁戊线以直角交黄道者上有丁为隂厯渐小而壬丁白道与黄道渐近下有戊为阳厯渐大而戊庚白道距黄道渐逺必辛一食之初亏向西丙他食之复圆向东万厯四十一年癸卯十月十六夜大统厯官报月食四分四十八秒初亏子正三刻复圆丑正三刻西土第谷门人测三分强总时得八刻弱与大统略合但先后两处不能不异盖此(中土)太隂初亏略过子午圈彼(西土)出东地平髙未及二十度因行阳厯而距正东去北其初亏向正西复圆偏西南论日食其方向之变不但以黄道斜升故即视差亦有之盖降娄东出必黄道交地平角渐大至鹑首出则愈大故太隂在地平上不论何宫度其随宗动徃北甚多以本行去南反少气差亦少而太阳夲食距赤道南午后其初亏可向东距赤道北午前复圆可向西又寿星出则至降娄为半周本角渐小太隂去南较其本行回北己多必气差更大而太阳距赤道北午前初亏可向东距赤道南复圆反可向西今试以黄道斜升之故设太阳在降娄一十五度出东地平髙一十○度北极髙四十度当此有食则太隂在阳厯距南二十○分(视距度分)虽不全食约有三分之一如图丁壬为地平丁庚为黄道两圏斜交于丁则戊为正东壬为正午庚癸过九十度限之弧髙有三十度太阳在甲髙一十○度太隂在乙初亏距黄道二十分得甲乙丙直角三角形甲乙两心之距当三十一分(日月各半径并)求甲角以定甲乙过两心之线至地平何度即本食之向位盖甲乙线与乙丙线若全数与甲角之正弦得甲角为四十一度四十八分余对角乙甲丁一百三十八度一十一分今甲戊丁三角形内戊为直角庚丁癸角三十度必余丁甲戊角六十度而戊甲乙七十八度一十二分故甲戊己三角形内求戊己地平限定本食向何度则全数与甲戊髙弧之正弦若甲角之切线与戊己弧之切线(图中设为直线天上实为弧)得戊己为三十九度四十四分因髙弧于此至正东则戊壬为九十度减戊己弧余五十度一十六分即所向偏东南过子午圏东之度若设隂厯太阳复圆皆同度则太隂在辛而己辛弧又北过子午圏向西北亦距北之西五十余度若气差变向之故则如万厯二十七年己亥七月朔苐谷测太阳东北出地平(日躔鹑火初度故)其本体之顶有缺则必西南为所食向方又太隂虽行中交因黄道交地平角甚大本行已近北必得气差少则复圆尚居太阳西而本食方位已不可转而东矣又万厯十六年戊子正月朔太阳躔娵訾七度有食初亏在午后六刻第谷测其过日月两心之圏距髙弧偏西七十二度有竒复圆在未正三刻半又测得本交角尚有一十二度(两弧相距)可征尚未向东而初亏食甚复圆皆以西为方向矣如图甲乙当髙弧丙丁为黄道太阳在己太隂在戊过两心之弧己戊求其距甲己若干以太阳食时躔度及北极髙度(五十五度五十五分)先定甲己丙髙弧交黄道角为五十四度二十四分则余对角一百二十五度因太阳半径一十五分二十秒太隂半径一十五分五十八秒并得三十一分一十八秒为己戊线太隂距北一度○八分减气差四十三分○五秒余二十四分五十五秒为丁戊线因而丁为直角故丁己戊三角形内求己角得五十二度四十五分与甲己丁角相减余七十二度五十一分为初亏距髙弧向西北度论复圆则甲己丙交角有四十四度四十四分太隂距度一度○五分减气差三十八分四十四秒余二十六分一十六秒为丁戊线其己戊同前推得丁己戊角五十七度○三分减甲己丁角余一十二度一十九分为戊己距甲己髙弧即复圆向西之度当时太阳初亏鹑火宫二度复圆本宫一十五度出东地平故黄道髙太阳近北气差渐少令太隂距太阳不能复过东矣假使北极更低必得黄道愈髙太隂徃北减气差愈多因知复圆距东更逺万厯二十三年乙未八月朔第谷门人在东西两处测验或得食二分半或得食三分盖在西者测太阳初亏微过正午故髙弧与子午圏略同而向位距本圏偏东尚有九度在东者测太阳后一刻有竒得其初亏正向天顶则地平北子午圏之东是其向位也从是知初亏向西即复圆向东非定论也且初亏不尽向西复圆不尽向东又已彰明较著有如是也成法悮人可胜浩叹以方位算太隂视经纬万厯二十六年戊戌二月朔西土己正二十七分初亏后测食约有一分(十五分一刻十二分一径)太阳径线三十○分三十五秒太隂三十二分四十四秒各依本引数所定其本食所向过两心线交髙弧者测得九十度正为直角如图甲乙丙为子午圏丁为赤极髙依本地四十七度○二分丙为天顶太阳在己以丙己为髙弧丁己定距度弧太隂在壬因日月各半径并得三十一分四十○秒减二分三十三秒(即所食一分化为度数分)余二十九分○七秒为己壬日月两心相距之分又丙己壬角测九十度因推壬辛即太隂距甲辛黄道视纬度辛己即太隂距太阳视经度先求九十度限距天顶即甲丙庚三角形内丙庚边也盖太阳躔娵訾一十六度四十三分得升度三百四十七度四十七分减测时距午所应升二十三度一十五分余升度三百二十四度三十二分应黄道居天之中𤣥枵宫二十二度一十○分乃距赤道一十四度一十一分为甲乙弧加乙丙赤道距天顶与北极依本地出地平髙等得甲丙为六十一度一十三分此时出地平黄道度为实沈宫二十二度三十一分则娵訾宫二十二度三十一分当九十度限为庚而甲庚弧三十○度二十一分因而甲庚丙角恒为直角则本三角形内以甲庚及甲丙两边求庚丙第三边(于甲丙弧割线加五)(空位以甲庚弧割线除之)得五十六度○四分即九十度限距天顶之弧欲免算则以太阳躔度及测时刻依法查本表即得九十度距天顶也以己庚丙直角三角形因得庚丙边(五十)(六度○四分)庚己边(太阳在己即娵訾宫一十六度四十三分九十度限在庚即本宫二十二度三十)(一分相减余五度四十八分为庚己也)于庚丙弧切线加五空位以庚己正弦除之余庚己丙交角为八十六度○七分对甲己丙角必为九十三度五十三分(此太隂初亏在太阳之西比子)(午圏略近所居)第测壬己丙角正为九十度余壬己辛角止三度五十三分因求太隂视经纬度则于壬己辛小三角形内(因小可当直线三角形)以壬己边(日月两心之距)及先所得诸角(辛为直角因算己角得三度五十三分壬即余角)算得壬辛视纬度距北一分五十七秒己辛视经度距太阳前二十九分○二秒即此可见测食方位之用有如此测交食变形之时交食形者乃日月食起复之间光为景所损而变迁其态以相示者也但受损之光初少渐多多而复少今欲逐时逐刻以宻求之其形无数且可不必大都初亏食甚复圆为太阳太隂所共而食既生光则太隂所独此五限测法须先求时对食分及食所向方位与距恒星度分乃可一一得矣测太隂食之时常法测恒星髙度若未见星先测太隂自髙度乃以升度求时(见髙弧用法)苐谷用自鸣钟或刻漏将浑天纪限等仪屡测太隂余光边距恒星若干或太隂恒星至正午俱以刻漏识之若太隂正在黄道九十度限则从恒星之近者起算为易得其本心及地景心升度可知恒星距太阳度因以取凖时刻有用界尺测太隂两角或对地平圏平行或对恒星居一直线上或尺线过两角之中对月景两心皆以求太隂视处定其经纬以推时刻万厯三十一年癸卯四月西土月食苐谷门人测之预备刻漏取其能细指时至分秒者试以数日令迟速脗与天合于太隂未食之前测大角星在正午考时得亥初三刻八分三十秒刻漏指亥初一十二分三十秒亥正一十○分(即亥正三刻四分)木星居正午髙二十四度三十二分(极髙五十度)亥正一十八分(亥正三刻一十四分)初亏向位在东南距髙弧自径线下起算四十五度三十分亥正二十三分(子初○四分)向位距四十二度前此太隂未食约四刻时与心宿大星同髙弧此已离去距西盖因视差故亥正二十九分半(子初一十○分)向位距三十九度三十分从土星对月景两心得一直线过亥正四十二分(子初一刻)(九分)周星(天市垣者)至正午向位三十三度三十分食四分一十○秒先所过土星今反距其下矣亥正五十一分(子初二刻二分)向位距二十八度稍迟得食五分子初二分半(子初二刻○七分)土星在正午髙二十一度四十七分子初九分(子初三刻○四分)缺太隂圏之半周子初一十九分(子正○一分)太隂心至正午其余光边髙一十九度○七分子初二十四分(子正○六分)向位距一十五度子初四十三分(子正一刻一十分)余光两角正垂下距地平等食六分三十秒子正二分(子正二刻一十四分)两角与木星皆居一直线其一角略髙向西因知食甚已过子正二十三分(丑初○五分)向位偏西距髙弧下一十八度三十分子正四十七分(丑初二刻)向位距三十度丑初三分(丑初三刻)距西三十二度丑初一十四分(丑初三刻一十一分)尚距三十二度将复圆其边有次景因用土星测向位然必定土星之经纬乃无遗漏当测时其本星距氐宿北星一十七度二十二分距天江北第六星一十三度二十○分因是知其过子午髙得躔柝木宫初度四十五分三十秒距北二度一十○分三十秒万厯四十四年丙辰八月去顺天西一百○度四十五分(西逻玛京都)亲测月食以星髙度及自鸣钟推得时刻初亏河鼓中星过西髙二十一度得一十三时四十四分三十秒(时为小时从午正起算即丑初三刻)(十五分作一刻后倣此)左肩在东髙一十一度得一十三时四十四分二十秒毕宿大星髙三十一度得一十三时四十一分一十二秒当时钟有一时○九分(从子正起算后同此)盖钟所指时分每后太阳三十四分先后两日试验俱如一即一十三时四十三分食既织女大星距子午圏西髙一十五度得时一十五时○三分一十二秒右肩二十六度推得一十五时○五分乃钟指二时三十七分即一十五时一十一分生光织女髙一十一度得一十五时三十一分四十五秒右肩髙三十一度推得一十五时三十三分四十五秒钟得三时三十五分复圆测天津第四星西髙一十九度得一十七时○四分一十二秒乃钟有四时二十二分即一十六时五十六分又同都一人另居一地测有四十六次所得时刻初亏复圆与前测同惟食既少得五分生光少二分耳今以新法推算复圆全与此合其余限虽微有参差然亦不逺三四分矣测太阳食之时太阳出东地平左旋渐髙至午正则最髙过午复渐低至西则没此太阳自行一昼之时刻也故得其髙度即可求时其初亏食甚复圆等限惟以此为常测法苐非宻室中不可故又仍用前器架上之衡及矩架俱如前而方架之式之用见月离三卷各细分度数下方为地平从正东正西至子午圏诸弧之切线衡为太阳距天顶之割线矩架之股又为太阳距顶之切线此三度所以全本器之用也测时将方架置几上以中线对南北一手转矩架随太阳行并动其衡使之上下以受光一手对轮盘上之尺才一对景即于衡矩架下方架各识以号(号宜同如一二等数是)而以号所对各器之度加轮盘所测之景因推太阳食时及向位食分诸用万厯庚子岁六月朔刻白尔距顺天府西九十九度一十五分用本器在宻室中测本食共测一十五次作号一二等如左号 一二 三四五六 七八九(一一一一○一二三) (一一四五)其下方架东西边所分各当二千分自后至中左右各当一千二百分先安置与子午圏对(以太阳距正午左右相等之髙度或)(先一日或测后攷对得架偏必差度或加或减于推测之度得地平正弧)然后测得地平弧以推时刻今依一十五号列所测分及相应之地平弧号一二三四五六七八九十(一一一一一一二三四五)如左测(七一一一一一一八八七六六五四四 一八六三○○)首一及二号所分(五七三一七七○七二四七三二七三一一○三四五三四八五八七四四一)对测分在方架度(二三三三四四五五五五六六六六七○○三六一八○三五八○二六八○)北自中起数至分(三二一三○○○五二一三○二二一五一五九八九七六四○二二五七五)东余转东北角徃南其度分则架上平分所推即目正午渐去西太阳所对地平弧也以测分推度分法二千与测分若全数与地平弧之切线假如甲乙丙丁为下方甲丁乙丙每边分二千戊丁戊丙各一千二百分戊壬正对子午圏亦二千当测得戊己即七五一平分求戊辛弧则壬戊与戊己线若壬辛全数与戊辛弧之切线算得三七五五○查表得二十○度三十五分若景过丁角在甲丁边上遇庚则甲庚为戊庚弧之余切线故壬甲与甲庚线若全数与戊庚弧之余切线(壬甲与戊丁等)刻白尔转矩架时下架悮随之动使地平弧略有差故以矩架求髙弧以髙弧攷正地号一二三四五六七八九十(一一一一一一二三四五)平弧因推时(五五五五五五六六六六六六六六六六六七七八九○一一二三四六八九)刻如左弦(○七○四一五一一六六六四九五六四九六○三七二六○六九四二○四)矩架之立柱(二二二二二三三三三三三四四四四四六六七八一二四五七八○三六七)当句其数宜股(五一七五九七六六三二九一九三九○五七○六三五八七三三四三五七)作五○四○句(五五五五五五五五五五五五五五五○○○○○○○○○○○○○○○)今则少异欲依之算亦无谬而矩架之底为股上衡为弦其长短随太阳髙低时时不等故数亦不等此求太阳距天顶或以股或以弦皆同法而句与弦与股若全数与太阳距天顶之切线次以髙度(日距天顶之余)求地平弧则全数与极出地髙之割线若太阳髙度之割线与先得之数(为)(待用之数)次北极太阳两髙差度之余弦与太阳距赤道度之正弦相减余次得数则两数(先得与次得)为实全数又为法算得地平余弧之矢依测本食之地极髙四十七度○二分其割线一四六七一九太阳距天顶之余六七四度○四分其割线二二八六六三算得三三五四九一为先得数两髙度差一十七度○二分查余弦九五六一三为减太阳当时距度(二十二度一十六分)之正弦三七八九二余五七七二一即次得数算得一九三六四八为矢故减首位以所余查八线表得六十九度二十八分即从正西起地平弧余二十度三十二分即对太阳过正午地平之弧以此求时则乙丙丁斜角三角形内得乙丁为极髙之余得乙丙为太阳距赤道之余得乙丁丙角为对地平(此二十度一十八分)至半周余弧之角求丁乙丙即对赤道弧之角以定相应之时欲依直角三角形必丙丁引至甲得甲直角则先求甲乙丁角(可用十设算见测量全义七卷本角得七十四)(度五十一分一十八秒)次求甲乙线甲乙丙三角形内因得甲乙乙丙两线以甲直角推甲乙丙角(此八十四度一十九分一十八秒)则乙总角减甲乙丁角余丁乙丙角为所求(此余九度二十七分四十)(六秒化为时得三十七分五十○秒过正午)测本食之复圆上衡微有阻碍不及受太阳全景故以髙弧推时较地平所推差四分宜半之借此补彼则得二时五十七分三十○秒为正时新法算书卷七十
## 卷七十一
钦定四库全书
新法算书卷七十一 明 徐光启等 撰古今交食考日食书经𦙍征 惟仲康肇位四海乃季秋月朔辰弗集于房按唐大衍厯作仲康五年癸巳岁九月庚戌朔日食在房二度元授时厯亦称仲康五年癸巳九月庚戌朔交泛二十六日五千四百二十一分依此得太隂尚距交前约九度新法亦推得九度二十三分然皆中㑹时平行若视㑹时实行则交常度为五宫一十八度一十七分因得实距一度余在阴厯本食距加减时限(即黄平象限东)甚逺必得时差多气差反少因气差止一十六分为实距分所减余视距四十四分乃并日月两半径得三十一分三十三秒以较视距分尚不及则月不能掩日而癸巳年九月庚戌朔绝无食又以厯年考之仲康五年无癸巳乃丙寅也癸巳去丙寅后二十七年就使九月朔日有食亦非书所载之食况本不食乎新法推得仲康时仅四年与五年正交与秋分近两曜已入食限其余年交距秋远虽两曜㑹合入食限内应食者有之不在季秋月朔与书所载无与惟四年乙丑九月壬辰朔太阳躔寿星一十度三十分实交周一十一宫二十七度二十分得太阳实距黄道南一十七分二十秒即入食限与秋分近但加气差五十分三十余秒较两半径并距度太大必不食况此乃定朔之距度而定朔在酉正一刻外(依今加减表算)日入巳二刻矣若视㑹必须加时即二曜绝无视距因得食甚尚在酉正后六刻余并无带食试更西去四刻或少加时(不依今加减表)存定朔于地平上且依北极出地一十八度算(云南交趾等处因与二曜益近故)其定朔则在酉初一刻得视㑹与日入不甚逺应见带食苐气差为三十八分以加实距总得四十六分与二曜半径并相较亦无食盖繇气差加以实距使太隂偏南不能掩日非独加减时故也若五年丙寅季秋月丙戌朔太阳平行躔寿星初度五十一分与书所载之房宿合寔交周为○宫五度二十四分查表得实距北二十八分而以气差一十三分相减余一十五分为二曜半径并所减余一十六分三十八秒推得见食五分三十余秒但依古安邑及北极出地三十六度用今加减表算定朔应在次日丁亥太阳出之前时差应减因得食甚不可见试东去一二时必能见食何也盖太阴实距北得气差使之掩日九州内有处可见如以二十八分查太隂视差表中行得上横行髙度应六十三度余二十七度为二曜距天顶度因以太阳实躔查黄道九十度表所得侧对二十七度者乃北极出地二十五度即全见食地也(因设二曜在正九十度上绝无时差而气差全变为髙下差即所减去前二十八分故)距此南北内外亦应见食惟分数多寡不一耳设东来一时依北极出地二十五度算得气差二分四十五秒为寔距所减余二十五分四十秒即视距分与二曜半径并相较余六分应推见食二分论定朔此时二曜髙尚有一十七度在辰初二刻(日出卯正前约二分)虽时差复有所减能使视㑹在卯前不见食甚然可多见𢃄食至复圆而曚气差亦畧补地半径差使日月可早出总之论中土之西不能见食非太隂不甚掩太阳乃时差无从得算盖时差必先求定朔定朔即依加减所得而加减复归太阳本圜心去离地心故但二心相距古今不等(见日躔厯指)即加减亦异新法为求均度止立二百恒年表者亦以见此后数未免畧变至求所变几何止可及中古未能及上古乃书仅云仲康五年辰弗集于房此外不纪食于何时测于何方见食若干分傥因之退求二心之距依法立表自可得其食之必然况与年月宿度俱符者乎再帝尧时大槩春在昴秋在房仲康去尧未逺俱依此为定故得日在季秋月朔遂谓辰弗集于房其寔房渐移东是日尚居氐宿末度非真至于房也或因不凖得时刻误以他年且晦朔不明及谓太隂距逺不能掩日之光亦滋惑矣诗小雅 十月之交朔日辛卯日有食之亦孔之丑(大夫刺幽王也)案周正建子十月乃夏之八月是在周幽王六年乙丑岁十月辛卯朔授时推是日辰正四刻合朔交泛一十四日五十七刻入食限梁太史令虞邝唐僧一行亦步得是日日食今以法依本地去顺天府西约减二刻考之是日定朔己初三刻内一十分太阳寔躔鹑尾宫○四度三十九分算以时差得减一时三十六分乃得食甚在辰正初刻○四分授时得辰正四刻未推地经加减故于视㑹时得实交周○宫八度五十九分查表得实距四十六分三十六秒减气差一十五分一十六秒余太阴视距在黄道北三十一分二十秒与两曜半径并相减余三十一秒则得食分止三十秒耳授时推交泛一十四日等数欲以正交起算则与日月不合若从中交起算则得平交周与新法所得去正交北畧逺虽能入食限亦不过此食分矣春秋襄公 二十有四年秋七月甲子朔日有食之既案鲁春秋仍用周正七月乃夏正建寅之五月也今以法考之是月甲子日未正二刻定朔申初初刻○八分食甚实交周○宫○三度二十二分二十秒实距度一十七分三十二秒因在黄道北减气差一十六分一十二秒得视距一分二十秒应见全食且本月径大于日径掩太阳邉周有竒经称日既政与法宻合襄公 二十有七年冬十有二月乙亥朔日有食之传曰十有一月乙亥朔日有食之案周十二月即夏十月依法推步本月不入食限且无乙亥朔惟十一月则夏之九月也是月新法推得定朔在巳初一刻一十分食甚在辰初四刻内一十二分实交周度五宫二十八度二十三分在隂厯实距分八分三十四秒与气差一十六分五十三秒相减余视距八分一十九秒减两半径并数查表得食分七分六十三秒月朔则以传所载为是汉景帝中三年甲午岁九月戊戌晦日食几尽今以法考之是日定朔依本地算在午初一刻○分四十六秒日实引一十一宫○一度三十七分三十八秒月实引四宫一十四度四十九分四十八秒太阳寔躔大火宫一十四度二十四分二十一秒黄平限在寿星宫一十三度○七分初东西差二十二分四十二秒次东西差三十○分四十八秒应减一时○五分一十四秒为巳正初刻一十○分三十二秒食甚因得实交周○宫○九度○八分五十八秒太隂实距黄道北四十七分二十四秒改视距九分二十四秒应食七分四十余秒则是十月戊戌日日食而汉厯误推为晦何也汉成帝河平元年癸巳岁四月己亥晦日食不尽如钩刘向云日蚤食时从西北亏起今以法考之是日乃五月己亥朔非四月晦也日实引六宫○九度一十九分二十一秒月实引六宫二十二度一十七分三十八秒本地定朔在巳正二刻○九分四十四秒太阳实躔实沈宫二十四度一十八分四十七秒因得初东西差一十六分五十四秒次东西差二十二分四十三秒为巳初三刻○四分二十一秒食甚太阴实距黄道北一十六分四十七秒内减气差一十四分二十六秒为视距二分二十一秒应九分半有竒所云日食不尽如钩脗与法合及先一时查表得东西差三十五分二十一秒月行分三十二分一十六秒视行一十九分三十八秒应辰正初刻一十一分初亏正刘向所谓蚤食时也夫上下千百年而分数时刻一一不爽如此则此日之推步为何如哉汉安帝延光四年乙丑岁三月戊午朔日食陇西酒泉朔方各以状上史官不觉今以法考之是日定朔依本地算未正二刻○三分日实引四宫一十度三十六分月实引三宫○五度二十七分太阳实躔降娄宫二十九度○九分初东西差五十二分一十二秒次东西差五十六分四十一秒因得加时一时五十三分食甚在申正一刻一十分此时实交周○宫○六度二十三分即太阴实距北三十二分五十秒气差一十二分五十二秒因实距改为视距度一十九分五十八秒应得食分三分八十四秒夫时在申正已非夜食可比食及三分亦不得借口不救三方各以状上而史官不觉汉之厯法可知矣毎读两汉前后史误朔为晦至差一二日当食失推郡县以闻者屡屡汉人又安得为知厯哉陈宣帝太建八年即周建徳五年齐后主武平七年丙申岁周书六月戊申朔日食齐载六月戊申朔太阳初亏刘孝孙言食于卯时张孟賔言食于申时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至日食乃于卯申之间陈无今以法考之是日日实引六宫二十九度一十二分三十三秒月实引五宫二十一度二十二分二十四秒太阳实躔鹑首宫二十一度○五分案陈都金陵(今应天府)定朔在辰初二刻○八分三十三秒次黄平象限在大梁宫三度○九分次东西差五十四分二十七秒应减一时三十六分○九秒为卯正初刻○二分二十四秒食甚实交周五宫二十三度五十三分一十八秒太隂实距三十一分四十四秒内减南北差二十一分一十二秒为视距分十分三十二秒应食七分一十六秒夫食及七分而不载食陈厯之踈可知甚于卯正应亏于卯初之先齐人之言卯者为近而言辰者逺言巳者则愈逺矣隋文帝开皇十四年甲寅岁七月朔日食案刘晖驳张胄𤣥大业厯曰是日依厯时加巳上食食十五分之十二半强候至未后三刻日乃食亏起西北食半许入云不见食顷暂见犹未复生因即云障今以法依西安府考之是日癸巳朔申初二刻一十二分食甚未正三刻内一十三分初亏查实交周五宫二十四度四十五分实距分二十七分四十五秒与气差三十二分○六秒相减余视距四分二十一秒得并径减距余数二十八分应见食九分三十五秒与刘晖未后三刻日乃食少顷犹未复生之语最相符合唐开元十三年乙丑岁天正南至东封礼毕(是年封㤗山)还次梁宋史官言十二月庚戌朔日当食帝乃彻膳素服以俟卒不食大衍推是月入交二度弱当食十五分之十三而阳光自若纎毫无变虽术乖谬当不至此今以法考之是日定朔申正初刻○三分太阳在星纪宫二十一度三十八分二十八秒宻求食甚时刻距黄平限九十八度则太阳已西入地平下矣虽实交周度约在○宫○七度二十九分应得有食但求初亏度限又与升度相距八十六度地平已近且日光闪烁毎毎先食而后见谓之纎毫无变宜也惜当日厯官见不及此徒留彻膳素服一案以来后世之指〔？〕耳宋太祖干德三年乙丑岁二月壬寅朔日食騐天不食议者俱指为当食不食日度失行今以法考之是日定朔巳正三刻一十二分二十九秒本地真时差五分五十四秒视距分二十二分四十二秒并径减距得八分四十秒食止二分五十四秒想当日厯官或推时太蚤至期不騐遂谓不食一当食时又或片云掩蔽而所食无几倐忽已过误而不觉耳且食不及三分不救与不食同是未可知特一拈破宋真宗大中祥符七年甲寅岁十二月癸丑朔日食验天不食纲目书司天监奏日食不应群臣表贺是日壬子推得平望一十七时四十一分二十六秒月实距日三度三十九分四十九秒其时为加应加七时一十二分四十五秒因太阳躔星纪宫八度三十八分一十九秒复减三分○五秒共得二十四时五十一分○六秒进一日为癸丑定朔在子正三刻○六分○六秒则食在夜误推在昼司天氏之过也乃不罪推步者而輙纷纷称贺宋人之欺罔也甚矣宋仁宗景佑三年丙子岁四月己酉朔日食殿中丞王立言是日日食二分半候之不食纲目无依法推得是日定朔辰初一刻○三分三十八秒太阳实躔大梁宫一十四度○四分一十二秒宻求九十度限在娵訾五度五十三分距天顶四十七度○三分交角余度四十度五十一分得南北差四十二分一十二秒虽实交周在○宫一度五分三十八秒太阴实距五分四十二秒但气差数大改视距分为三十六分三十秒两半径并实无此数又安得有食分可见乎日食二分半之说误矣候之不食是宋庆厯四年甲申岁十一月戊申朔日当食不食纲目无依法推得是月戊午朔误推戊申朔其日定朔酉正一刻○三分三十七秒太阳实躔析木六度二十三分四十七秒九十度限在娵訾二十五度五十五分相距一百○九度三十一分其为夜食无疑矣纲目删之是也又安所得当食不食哉宋神宗元丰元年戊午岁六月癸卯朔太史言日当食验之不食议者云是日卯时日食史云验之不食而纲目载食想当时原食也今以法考之是日在辰初初刻一十一分四十一秒太阳实躔鹑首二十四度三十一分五十秒因宻求视㑹黄平限在大梁二度二十六分相距八十二度○六分得气差二十二分○六秒虽食甚应卯初三刻一十二分二十五秒而实交周五宫一十六度四十九分二十七秒距分减去气差尚余视距四十四分五十二秒其验之不食宜矣又安所谓当时原食哉宋哲宗绍圣二年乙亥岁二月丁卯朔太史言日当食验之不食今以法考之是日定朔寅正二刻一十二分○六秒太阳实躔娵訾二十四度○一分二十七秒查黄平限在大火宫二十三度一十六分与太阳相距甚逺其为夜食无疑矣误推在昼司厯过也宋徽宗崇宁五年丙戌岁七月朔日当食不亏今以法考之是日定朔在午正初刻○三分二十秒太阳实躔度在鹑火宫一十四度○四分四十六秒次度限在本宫七度五十一分距天顶一十六度一十五分交角余度一十九度二十七分气差一十六分五十一秒实交周○宫○九度三十三分五十一秒距分四十九分三十一秒减气差一十六分五十一秒余视距三十一分四十秒减两半径并数实余二十八秒应不见食其不亏宜也有谓是日史不载而纲目有之想当时日官误推不食既而见其食则讳而削之未可知也亦独何哉至本年十二月戊午朔原不入食限应不食南宋髙宗绍兴三十一年即金正隆六年辛巳岁正月甲戌朔日食太史言日当食而不食帝不受朝金无以法考之是日定朔辰初一刻○一分五十秒太阳躔娵訾一十五度一十二分三十六秒黄平限在析木一十三度五十五分地平上无髙弧已非在昼且实交周六宫一十九度不入食限不应食金人无之是也帝不受朝厯官当受过矣宋孝宗乾道三年即金大定七年丁亥岁金书四月戊辰朔日食宋无金主避正殿减膳伐皷应天门内百官各于本司庭立明复乃止依法推得是日定朔未初一刻○五分太阳实躔大梁○七度○四分四十一秒交角余度三十九度三十分气差二十分三十秒求得时差四十四分三十八秒为未正初刻○四分三十九秒食甚实交周○宫○七度三十分五十七秒太阴实距三十八分五十八秒因在黄道北改为视距一十八分二十八秒得食分四分四十秒夫食在日中已非夜食不书者比见食四分四十秒又非三分以下不救之类而乃当食失推致令河北独专其美何哉富弼曰万一契丹行之岂不为朝廷羞其即此日之谓也宋宁宗嘉泰二年即金太和二年壬戌岁五月甲辰朔日食太史言午正食甚草泽赵大猷言午初三刻日食三分验之午初一刻起未初刻复如大猷言今以法考之是日定朔午初二刻○七分三十五秒太阳躔度在实沈宫八度○二分东西差四分一十五秒气差八分应午初二刻食甚实交周一十一宫二十六度四十九分共得视距二十四分四十八秒应见食二分三十秒与大猷所推较亲明隆庆六年六月乙卯朔日食䑓官候得初亏卯正三刻复圆巳初三刻约食有八分大统推得见食八分二十一秒初亏卯初二刻食甚辰初初刻复圎辰正二刻今以法考之是日定朔巳初一刻一十四分太阳实躔鹑首二十七度○四分三十九秒黄平限在实沈九度二十一分距天顶一十八度一十九分太阳髙差四十五分五十三秒交角余度六十五度○八分得东西差三十九分二十一秒食在东应减时差一时二十七分为辰正初刻○一分五十八秒食甚实交周○宫○四度一十一秒太隂实距二十分四十七秒内减气差一十八分一十八秒余视距度二分二十九秒减两半径并数得二十八分约食九分余复求得太阳距黄平限六十三度一十二分日食月行分三十分四十一秒视行二十三分○八秒应减一时一十九分三十三秒为卯正三刻内初亏脗与测合再求九十度限在实沈一十七度三十八分视行二十三分二十○秒应加一时一十七分四十四秒为巳初二刻内复圎与所测较亲若大统则初亏先天五刻复圎亦先天五刻矣万厯三年乙亥岁四月初一日己巳朔日食䑓官候得初亏未初二刻复圎申初三刻约食有六分余大统报初亏未初一刻食甚未正一刻复圎申初二刻见食六分六十秒今以法考之是日太阳实引四宫二十一度四十九分一十八秒太隂实引五宫○四度五十四分三十二秒定朔未初一刻○四分四十三秒太阳实躔大梁二十八度二十二分一十四秒黄平限在实沈二十五度五十一分距天顶一十六度三十三分髙下差三十一分五十三秒东西差二十六分四十八秒气差一十七分二十四秒应未正一刻○一分二十四秒食甚实交周○宫○一度二十七分一十一秒视距分九分五十秒应食七分二十八秒减一时得黄平限在实沈一十八度一十六分东西差一十九分一十八秒应未初一刻一十分一十九秒初亏实与测合惟复圎则在申初一刻○分二十五秒乃台官谓候得申初三刻恐食甚既在未正一刻而亏复间当不悬逺至此万厯十一年癸未岁十一月初一日己卯朔日食䑓官候得初亏午初三刻食甚未初二刻复圎未正二刻约食九分余大统推得初亏午初二刻食甚未初初刻复圆未正二刻食九分六十七秒今以法考之是日太阳实引一十一宫一十六度四十四分二十七秒太隂实引○宫○七度三十八分一十七秒定朔午正二刻○九分四十秒太阳寔躔析木二十一度四十二分○七秒度限在星纪四度四十分距天顶六十三度二十八分髙差五十三分五十五秒东西差六分○一秒气差五十三分三十四秒食在限西应加二十一分三十五秒为未初初刻○一分一十五秒食甚实交周○宫一十度○九分四十五秒得视距度一分应食九分三十一秒脗与测合其初亏则在午初二刻○七分○七秒与测较亲复圎为未正三刻○一分似与测逺矣万厯二十二年甲午岁四月初一日己酉朔日食台官候得初亏巳初四刻食甚巳正四刻复圎午初四刻约食三分余大统推得初亏巳初三刻食甚巳正三刻复圎午初三刻食三分九十一秒今以法考之是日太阳实引四宫二十一度五十二分一十五秒太隂实引三宫一十四度二十八分○八秒定朔午初初刻○八分三十七秒太阳实躔大梁二十八度四十分二十四秒次度限在本宫二十一度○八分距天顶二十二度五十二分得髙差二十三分四十七秒东西差七分气差二十二分三十四秒应巳正四刻内食甚与所测合实交周○宫○八度三十六分○一秒太隂视距度二十一分四十秒应食三分一十八秒与测宻合再减一时度限在大梁八度一十二分髙差三十三分二十四秒东西差一十九分三十秒应巳初三刻内初亏加一时度限在寔沈一度四十三分髙差二十分一十九秒东西差二分四十二秒其复圎时刻似与所测较远万厯二十四年丙申岁閠八月初一日乙丑朔日食台官候得初亏巳正二刻食甚午初四刻复圆午正四刻约食八分余大统推得初亏巳正三刻食甚午正初刻复圎未初一刻食九分八十六秒今以法考之是日太阳实引八宫二十五度三十六分○四秒太隂实引四宫○八度四十一分五十四秒定朔午正初刻○四分三十三秒太阳实躔鹑尾二十九度○九分三十三秒次黄平限在本宫六度二十六分距天顶三十三度四十四分高差三十八分二十六秒交角余度二十九度二十分东西差一十八分一十八秒气差三十三分一十二秒应午初二刻内食甚实交周五宫二十四度○八分○三秒改视距度二分四十四秒应食九分四十六秒与大统算合减一时得度限在鹑尾七度○分东西差一十六分三十九秒应午正三刻内初亏加之度限在寿星二度五十五分东西差二分四十九秒求得视行一十分四十七秒应午正四刻复圎与测宻合万厯三十一年癸卯岁四月初一日丁亥朔日食台官候得见食八分余初亏辰初二刻食甚辰正三刻复圎巳初三刻依大统算初亏食甚皆先天三刻复圎先天一刻余今以法考之是日太阳实引四宫一十二度三十七分太隂实引二宫二十五度二十四分定朔巳初一刻外○六分实日躔大梁宫九度四十七分以次时差得减时四十七分应辰正三刻内○四分食甚查表得日食月行分三十一分二十五秒以食甚前视行推得一时一刻○二分应辰初二刻内○二分初亏又以食甚后视行推得一时一十分应巳初三刻内一十四分复圎俱与测合再查实交周五宫二十二度五十五分实距分三十六分五十秒内减气差三十四分二十八秒余二分二十二秒为两半径所减余数查表得食八分八十秒大统推九分六十二秒似未合天万厯三十五年丁未岁二月初一日甲午朔日食厯官推得初亏酉初三刻候至日入未见亏食今以法考之是日太阳实躔娵訾宫七度三十二分顺天府昼长四十四刻日入酉初二刻末虽定朔应申正二刻○七分然时差近地平最大以加时得食甚酉正一刻○九分初亏酉初一刻一十分此时日虽未入相去无几而阳光闪烁微秒难窥谓之不见亏食宜也万厯三十八年庚戌岁十一月初一日壬寅朔日食大统推得初亏未正一刻食甚申初三刻复圎酉初初刻台官实测得初亏未正三刻食甚申正初刻至申正四刻日巳入未见复圎今以法考之是日太阳实引一十一宫一十七度五十六分太隂实引一十一宫一十九度四十一分定朔在未正三刻○四分实日躔析木宫二十三度一十六分求时差得一时二十分应加在申正初刻○九分食甚因以太隂一时视行求得一时一十三分应未正三刻一十一分初亏俱与所测亲其复圎距分与初亏同应酉初一刻○九分查应天府是日日入申正四刻若顺天则在申正二刻○五分是复圎时日巳入三刻有竒不见复圎是也万厯四十五年七月初一日癸亥朔日食大统推酉正二刻日未入见食八十九秒候至其时日体全明不亏今以法考之是日太阳实引七宫○四度一十六分太隂实引一十宫○五度四十分定朔在戌初初刻○四分即日入后○一分矣实日躔鹑火宫○九度○分半昼为二十八刻○三分求时差得太阳距黄平限九十度三十分则最大时差二十九分四十一秒气差至满一度依时差得加一时○二分应戌正初刻○六分日入盖已久矣求初亏则先一时算得时差三十二分一十二秒以太隂视行三十一分二十三秒推得五十分与食甚相减应戌初一刻○一分则日入巳一十三分何能见食八十余秒哉天启元年辛酉岁四月初一日壬申朔日食大统推得见食四分初亏申正三刻食甚酉正初刻复圎戌初初刻日已入未见复八十秒台官实测得初亏酉初一刻复圆在天钦天监罚俸三月今以法考之是日太阳实引四宫二十三度一十一分太隂实引二宫二十二度一十三分定朔在申正一刻一十四分实日躔实沈宫○度一十七分算得次加时一时二刻○九分应酉正初刻○八分食甚酉初初刻○八分有竒初亏俱宻与天合复于食甚后一时求得太阳距黄平限八十九度一十八分近于地平推得时差一时○二分应戌初初刻一十分复圎查表得是日日入戌初初刻一十二分即复圎后已二分因无帯食分月食宋仁宗嘉祐八年癸卯岁十月癸未望月食候得卯七刻食甚授时推辰初刻食甚大明亦然今以法考之是日太阳实引一十宫二十四度二十一分四十五秒太隂实引二宫二十五度三十四分四十九秒实交周六宫○一度一十九分四十五秒实望六时四十九分○五秒加视分九分四十三秒汴京距顺天西一千里应减一刻在卯正三刻食甚谓卯七刻者政与法宻合若授时大明所推则又后天二刻矣至是日得食一十七分二十五秒寅正二刻一十二分初亏卯初三刻○二分四十一秒食既辰初二刻○九分五十五秒生光辰正三刻○分三十四秒复圎俱可不论明天顺四年庚辰岁闰十一月戊午望月食卯正二刻见食四分强弱之间厯官不报食今依新法考之是日太阳实引○宫一十一度三十二分一十二秒太隂实引五宫二十四度一十九分○三秒实交周一十一宫二十六度二十二分五十五秒月食一十二分四十五秒实望七时四十九分四十八秒内减视分五分二十五秒应辰初二刻一十四分二十三秒食甚得初亏距分一时五十二分四十秒应卯初三刻○六分四十三秒初亏查髙弧表得本日日出辰初一刻○七分则日未出月已入地平下其见食仅四分强弱之间是也若大统谓是日初亏辰初一刻日出卯正四刻误推在昼故不报厯法踈宻于此可见一斑矣万厯五年丁丑岁闰八月十六日庚子晓望月食厯官推得卯初四刻初亏候至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引九宫一十度○四分三十八秒太隂实引○宫一十一度二十七分一十一秒实交周○宫○三度五十四分五十六秒应食一十二分四十○秒实望八时○一分四十二秒加视分四分一十九秒应辰正初刻○六分○一秒食甚得初亏距分一时五十七分四十六秒应卯正初刻○八分一十五秒初亏查髙弧表是日日出卯正一刻则初亏时政日将出时安有分秒可见哉其报见食一分三十三秒者误矣万厯十七年己丑岁十二月十五日戊子夜望月食厯官报子初二刻食甚候至其时月体全明未见亏食今以法考之是日太阳实引○宫二十四度○七分四十三秒太隂实引一十一宫○五度三十分一十六秒实交周一十一宫一十六度四十八分三十三秒距黄道南一度○八分○三秒太阴地景两半径并五十八分○三秒其不及距分者尚有十分又安所得食分哉谓之月体全明政与法宻合万厯二十六年戊戌岁七月戊戌夜望月食厯官报食九分一十二秒至期台官实测得十分余为食既今以法考之是日得实交周一十一宫二十五度二十一分查表实距南二十四分并两半径减之余四十分三十二秒此时太隂自行过最庳一十一度其全径为三十四分四十秒入景最深应食一十一分五十秒大统以两半径恒如一不知其变大是以不推食既也万厯二十九年辛丑岁五月壬子夜望月食台官实测得见食四分余食甚丑初一刻复圎丑正三刻而初亏止前食甚三刻今以法考之是夜得平望亥初一刻○二分加时一十五刻○二分为实望太阳躔实沈宫二十四度更加升度时差四分应丑初一刻内○八分食甚脗与测合此时太隂与最髙相近实交周一十一宫二十一度○六分实距南四十六分与两半径并相减余一十三分查表得食四分○七秒凖与天合其初亏距分推得五刻○六分与食甚相减应子初四刻内○二分初亏加之应丑正三刻内○九分复圎总计食分食甚复圎新法俱与测合惟初亏不合者此乃漏刻科误报之罪何也盖月食太隂入景自初亏至食甚与出景自食甚至复圎两时俱相等未有后距六刻而前仅三刻之理考右明前后月食不下数百条而时刻自相矛盾者居多甚矣台官之溺职也万厯二十九年辛丑岁十一月己酉夜望月食厯官报食七分八十一秒至期实测得八分余今以法考之是日太隂自行五宫二十一度○三分得其半径为一十七分一十八秒地景半径四十六分一十九秒并之减距度三十二分三十三秒余数查表得食八分八十三秒与所测合其报七分余者盖此日太隂近最庳入景深分数应多而大统依恒定之景径推算故分数少耳至测初亏为食甚前六刻复圎为食甚后九刻者讵台官政在醉梦中耶万厯三十年壬寅岁四月丙午夜望月食台官测得初亏子正一刻食既丑初一刻大统俱先天二刻测食甚丑正一刻大统先天三刻其余俱测不精以前食甚者为八刻后食甚者为十二刻非也又识复圎为卯初一刻计总食共二十刻亦非也今以法考之是日太阳实躔实沈宫一十三度四十分算得顺天府日出寅正三刻内○九分旧法依南京日出分故见复圎在日将出时遂误为卯初一刻而不知实后三刻也此时平望在卯正初刻○六分减时一十六刻○四分余数复加升度之时差六分得食甚丑正一刻内○八分以太隂实引一十一宫实距分四分查表得初亏子正一刻内○二分食既丑初一刻内一十分皆与测数合因而生光复圎可知矣又何得若是悬绝哉万厯三十年壬寅岁十月甲辰夜望月食寔测得月已出见食十分余生光酉初三刻复圎酉正二刻大统后天二刻识月出时为酉初二刻此乃应天府日入分非顺天府日入分也且依之算食既前宜见月今以法考之是日太阳实躔析木宫六度五十八分顺天见入地平为申正二刻一十二分大统推食既申正三刻不合天也依法算得平望在本日巳正二刻加时六时一十四分更加升度时差八分应申正三刻○七分食甚日入后已十余分矣以太隂实引四宫实距分一十分查表得加五十九分为生光应酉初三刻○六分总加一时五十五分得复圎应酉正三刻○二分皆亲于测数万厯三十四年丙午岁二月乙卯夜望月食台官实测得酉正一刻月已出见食一十余分戌初一刻生光戌正一刻复圎今以法考之是日太阳实躔降娄宫四度入酉正初刻○五分南北地畧同谓酉正一刻日出是但大统推食甚后天二刻依法算得平望寅正二刻○七分加时一十三时○一刻一十三分更加升度时差二分应酉正一刻内○七分食甚以太隂实引三宫实距一十五分查表得食甚时加五十五分为生光应戌初一刻内○二分总加一时五十七分为复圎应戌正一刻内○四分俱与天宻合天启六年丙寅岁十二月十五日癸丑望月食厯官报一更一㸃初亏测候初亏在昼今以法考之是日太阳实引一宫○四度二十分四十秒太隂实引九宫○六度四十五分五十一秒实交周一十一宫二十四度○分四十一秒月食九分一十一秒实望一十八时三十九分五十秒内减视分九分四十八秒应酉正二刻○分○二秒食甚求得初亏距分一时四十三分○五秒应申正三刻○一分五十七分初亏查表得本日日入申正三刻一十三分是初亏在日未入之前已一十一分○三秒测得在昼是也一更一㸃之说误矣天启七年丁卯岁十二月十四日丁未望月食厯官报复圎辰初三刻不见复光八分四十六秒测候复圎在天今以法考之是日太阳实引○宫二十三度三十九分四十四秒太隂实引七宫一十七度一十二分五十二秒实交周○宫○一度四十七分二十○秒月食一十六分一十二秒实望得五时一十分二十五秒内减视分八分三十五秒应卯初初刻○一分五十秒食甚初亏寅初初刻○七分五十四秒食既寅正初刻○一分一十九秒生光卯正初刻○二分二十一秒其复圎应在卯正三刻一十分四十六秒查髙弧表得本日日出辰初初刻一十四分则见复圎巳一刻有竒又安有所为不见复光八分四十六秒哉凡十五分为一刻四刻为一小时二十四小时为一日新法算书卷七十一
## 卷七十二
钦定四库全书
新法算书卷七十二 徐光启等 撰交食表卷一算交食诸表法交食有本表有借用表大都算交㑹交食分数及视径视差食既复圆诸用者为本表葢原为㑹食设数列表则止以算食鲜及他用也若算日躔月离及浑天仪等项诸表亦可用以算交食此为借用之表也今所论列表独交食所用余通用者各见本厯指无不详明其法厯元后二百恒年五行表(算法)二百恒年五行表者太阳及太隂当此时或为自相较所行或与定处较所行宫度分也何谓自相较乃首朔为每年厯元后第一平朔而余行皆以随合之为准(厯元为冬)(至后第一子时昔朔即本时之后第一朔)何谓与定处较乃日月引数彼为太阳当时从最庳自行此为太隂当时从最髙亦自行及太阳经度乃其从冬至平行而交周度即太隂当时所过罗㬋宫度也欲算首朔则恒于原根或加太隂年或减通闰法(见交食厯指二卷新厯平歳三百六十五日减十二朔实余数为通闰因与大统畧)(异)假如崇祯元年戊辰首朔为一十四日加太隂年即十二朔实得日数三百六十九于太阳平歳相减只余四日若复加太隂年日数少太阳平歳无可减故与己巳之根四日等数加一十三朔实而总数乃能减之至壬申年为闰则总数三百六十六日皆全减去是以其根无日止得十六时等数也用减法则戊辰年通闰可减而次己巳年不可复减因根数少故必先加一朔实而后减也至壬申年因闰一日故前数宜减一十一日而无余日也算太阳太隂引数及交周与太阳经度表法皆相同或以加则用其十二朔实之行(见交食厯指二卷)或以减则全周三百六十度减太阳十二朔实之自行余数(一十○度)(四十三分五十二秒)为本年之根所减得次年之根但首朔有加朔实之处此必用全周减十三朔实自行之余数(为一十一宫一十一度三十七分三十一秒)与前根相减乃得次年之根耳假如戊辰年有根为九度二十一分二十二秒因首朔加太隂年十二朔实此依加法亦加是年间太阳及太隂之自行交周及太阳之平行其太阳自行总数为一十一宫二十八度三十七分三十○秒即己巳次年之根也又本年首朔因加十三月此亦加十三月间太阳自行得一十六度五十九分五十九秒为庚午之根至壬申宜闰虽首朔多减一日此不须论也依减法戊辰年论太阳引数减一十○度等数而次年减一十一宫等数是因本己巳年首朔根借一朔实故余皆倣此用法表首行书首朔者天正冬至后第一子正后之首平朔也以求日月平㑹次太阳太隂引数者平朔日所当日月之自行度也以求均度而推定朔次交周度者以求距度次太阳经度者以求视时此四行皆平行皆与首平朔日时相当列表每年最上书纪年向下五行所列时日宫度分秒皆从本年天正冬至后第一子正起算最下书宿书纪日皆用数为本年天正冬至后第一日所得宿及干支也推交食上得年中得首平朔及同时四种平行下得宿满二十八去之余为所用又得日满六十去之余为所用厯元前总甲子表(算法)前表纪首朔即厯元后第一经朔此则不然乃用以冬至相近者为首朔不拘在先与后也试以太阳经度对六十六甲子首朔得在冬至及厯元之中盖太阳经行只○一分○五秒化为时得其过冬至止二十六分首朔减二十六分余三时一十八分为冬至在本戊午日之时与首朔先后差二十六分矣算表先求六十年五行之总数葢首朔以通闰为第一年之根恒以加通闰得次年及后年之诸根满朔实减之每四年闰一日余四行用太隂年间本行为首根而复加之恒如此得诸年之根遇首朔减一朔实之处此加一朔实间之行而不论闰日六十年总行已有定法(两甲子相随之数相减余数即六十年之行数表中查之以此为恒法)则上推首朔恒用加推余行恒用减满一朔实彼此共去之(俱交食厯指二卷)用法总甲子者第一甲子为唐尧八十一年第六十六甲子则天启四年也凡欲上推往古则用此表先查所求年在第几甲子次查本年为本纪中第几零年余法与厯元后二百恒年表同六十零年散用五行表 (算法)朔实减通闰余数(一十八日二十一时三十二分四十一秒)为太隂一太阳平歳所欠以满十三朔实者或十三朔实减太阳平歳所余与上同故本数能定次年之首朔即表中起首之数也第太阳平歳必余有数时渐满一日为闰日乃朔实内所先减去得一十七日等时为首数以后凡隔四年多减一日若余数少于通闰无可减必借加一朔实然后可减矣太阳引数等行恒以加十二朔实之行为表其首数必应合与日数即十三朔实先除全周之行也日数凡加朔实而减者亦加当时之行以更加十二朔实之行满周恒除之故不用闰日也用法与厯元后二百恒年表同十三月表用法十三月表不论首朔以朔实为主每以一朔实加首朔即得次朔如是逓加可求本年诸平朔也凡五表第一上纪日时分秒右首行纪月数次各行为朔实每加一朔实则加一月如三月则朔实八十八日有奇也后四表上纪宫度分秒右首行皆纪月次各行皆本行之宫度分与所求各月相当之数下纪望策以加首朔则得首平望次依本月数先加朔实次加一望策得本年诸平望余四表下皆列本望策加法同加减度表 (算法)加减度表有太阳均度从最庳起为初宫初度有太隂均度从其本轮最高而起最高或最庳左右之数虽皆同(盈初与缩末盈末与缩初)上下相对之数反异(缩初与盈初缩末与盈末)故表中以两曜本轮之初度对末度从初宫起顺数从六宫起逆数则表中于上下所应数无不合矣欲算表先求自行为引数则太阳以本圏半径及两心之差(夫本圏心与地中心)太隂以两轮(小轮及次轮)及本轮之半径皆依三角形可得第本表及次四行时表皆为借用之表必查本厯指乃得其详法而算之用法加减度表以太阳太隂之引数查均度以均度或相加或相减于平行得二曜实经度其首行所书太阳太隂各加减者顺加逆则减顺减逆则加故各项下俱有加减而上则总以顺逆各贯下也次行是其各度分秒上下各一横行上为顺数下为逆数所记宫度者乃太阳太隂公用之引数湏照各宫顺逆字号顺逆查也各直行所当太阳太隂或加或减者均度也两引数相较有分秒两均度相较则有较分以其较分依中比例法可得细引数之细均度也四行时表用法平朔望或在定朔望之前或在其后若在前则以所差不及时刻加于平而得定若在后则以所差过时刻减于平而得定也四行表者皆所用以加减前后时刻也上书时自一至六十亦可当分亦可当秒其法先查时次查分查秒依表得数总计之为所求若无时止有分秒其法同也四行第一数为月距日度分秒第二为太隂引数第三为交周度第四数为太阳平行亦为其自行一日之间二行所差甚少故也表右行度数亦当分亦当秒以时查得度以分得分以秒得秒惟太阳行迟数时间无过分秒故不列度数加减时表 (算法)算加减时表必较太阳所躔宫度与赤道升度(可以用升度表)两度惟在二分二至则相同此外渐有差数自二分右行黄道度多升度少自二至亦右行升度反多躔度为少其最差之数在分至折中略得二度二十九分法以两道升度之差化为时分所得最差逺之处止九分假如降娄一十度对赤道升有九度一十一分○二秒差四十八分五十八秒化为时得三分一十六秒因在春分后夏至前躔度大过升度故用加若在夏至后躔度不及升度时分则用减如鹑首宫三十度对升度一百二十二度一十一分五十三秒所过躔度得二度等零数化时为八分四十七秒表中号为减以平时求定时必依表上下所书加减之号若以定时反求平时则易加为减易减为加如测太阳在降娄宫十度为正午时乃躔升两度差五时三分一十六秒应减得太阳在本宫度之平时用法求视时以太阳之实度本表查分秒得太阳所躔宫在上顺数用所求分秒依号加于实时得视时若太阳所躔宫在下逆数用所求分秒依号减于实时得视时左右书太阳所躔实度横入表至太阳所躔宫下相值者即所求数加减时表上半加减时表下半十二宫距宿钤此出恒星厯指定各宿距星躔度皆于崇祯元年应合故去数年相逺求食在何宿何度以得其在分秒之内必先或加或减是中积年恒星之本行则可得也(每年五十一秒)(以后推算宜加以前反减)用法以太隂当食时所躔之度减前少宿度者余度为日月食在本宿黄经度如太隂在大火宫二十四度三十三分二十四秒因氐宿距星躔本宫九度五十四分此乃前少数为太隂躔度所减余一十四度三十九分二十四秒即氐宿太隂食时所躔之度再设太隂食时在大火宫正二度则前少数为寿星宫二十九度一十四分亢宿距星所居故大火宫二度借前一宫而减二十九度一十四分余二度四十六分乃本亢宿太隂食时所躔之度也十二宫距宿钤(依黄道)宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分星纪斗 ○五○三 鹑首井 ○○○八牛 二八五四 鹑火鬼 ○○三三𤣥枵女 ○六三五 柳 ○五○九虚 一八一四 星 二二○九危 二八一三 鹑尾张 ○○三二娵訾室 一八二○ 翼 一八三六降娄壁 ○四○一 寿星轸 ○五三六宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分降娄奎 一七一七 寿星角 一八三九娄 二八四六 亢 二九一四大梁胃 一一四六 大火氐 ○九五四昴 二四四七 房 二七四八实沈毕 ○三一六 析木心 ○二三四参 一七一四 尾 一○○七觜 一八三五 箕 二五四三十二宫距宿钤(依赤道)宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分星纪斗 ○五三九 鹑首井 ○○○七𤣥枵牛 ○○○三 鹑火鬼 ○二五六女 ○六五三 柳 ○五一七虚 一八○○ 星 一七二一危 二六四一 张 二三○九娵訾室 一一三四 鹑尾翼 一○二八壁 二八三四 轸 二九○六宫次宿距星在其度 分 宫次宿距星在其度 分降娄奎 ○九二五 寿星角 一六二六娄 二三三二 亢 二八一○大梁胃 ○五三六 大火氐 ○七二九昴 二一二一 房 二四一○实沈毕 ○一四五 心 二九三八参 一八一九 析木尾 ○五四七觜 一八四三 箕 二五○五升度表用法日月皆依黄道行故止以当食所躔度径求相应宿黄经度依前表用法则可若欲以日月黄道度求相应宿赤经度必先定黄赤二道相望同升之度分令日月与星皆同归一道后依前表用法以日月赤经求宿赤经则可矣用表必日食时以太阳实度月食时以太隂实度查初行本宫下方内所对度分乃为日月当食时赤经度分即以之查前表距宿赤道度焉推算表法具在测量全义中新法算书卷七十二
## 卷七十三
按右系太阴距度表底本前阙一页视半径表 (算法)太阳及太隂距地最逺或最近得何视径生何地景前已详之厯指无庸赘兹特就逺近中依各引数求所当视径以列表法本轮全径与其髙庳差(髙庳谓远近)若每度之矢与相当之差所得数半之加于小减于大乃所得即其视半径也假如太阳行最髙距地逺其视径为三十分行最庳距地近得视径有三十一分差止一分细算一分当化为六十秒欲求太阳距最髙或最庳各六十度应作何视径因六十度之矢为五○○○○以乗六十秒得三○○○○○○除二万(全径也)余一十五秒半之得七秒以加七秒于太阳最小视半径作一十五分○七秒查表中所列引数得二宫○度(此距最髙六十度)以减于太阳最大视半径余一十五分二十一秒查表得八宫○度(此距最庳六十度)余算皆如是至若太隂距地不用表则惟推其均数时本三角形多设一三率法算第三邉即太隂距地线也用法求交食分必以日月地景之各半径而太阳行最髙最庳其距地逺近不等故地景之大小亦不等表中先得地景向下查差数为地景所减月距地数则推步日食求视差所用也表上下书日月引数上顺数下逆数以日引数查太阳半径及地景差数以月引数查太隂地景各半径及月距地数太隂实行表 (算法)太隂一小时有自行有均度有距日行必以自行之均度或加或减于距日行乃始得太隂自最髙起在某宫某度一小时实行也盖太隂自行一小时得三十二分四十○秒而均度则因所距髙庳逺近恒不一故以三十二分四十○秒随引数求而加减之何也自最髙均度渐长至髙庳折中又渐消必以自行分所得数于均度长处与距日行相减消处相加即得太隂某宫某度实行矣假如以○宫初度表得太隂均度○五分○四秒以比例算三十二分四十秒得○二分四十六秒于太隂距日一小时行度相减余二十七分四十三秒即太隂在○宫初度实行自一宫初度得○二分二十五秒犹减余二十八分○四秒至二宫只四秒亦减余三十分二十五秒过此至四宫均度渐少故所得○一分二十四秒应加于太隂距日行得三十一分五十二秒余宫度算法俱同此用法求太隂初食至食甚各时刻必以其本时行度变为时刻但太隂自行或疾或迟时时不同故表中查与食甚相近一小时之实行用三率法推总行时左右书宫上下书度皆太隂自行宫度以宫横行以度直行得相遇分数为当时一小时之实行太隂实行表食分表 (算法)查前表得太隂及地景各视半径并之总数减太隂距度余为实数以一十相乗(一十太隂全径平分也)而太隂视径即法数也故依本表设最大视径为三十四分四十○秒最小者为三十○分自大至小(表中每隔一十秒)各为法数余数自○一至六十四(两半径并最大数也)各为实数亦以一十乗以径数除乃列表苐日食则以日月两半径并减太隂视距度余数为实而太阳本视径为法算亦与前同用法表上横行自三十四分四十○秒渐减至三十○分者乃太隂全径最大最小之限直下入表第二右行者乃太隂地景两半径内减距度所余数也横至两数相值即为所求之月食分秒若日食则上横行分秒者当太阳全径而右行则太阳太隂两半径内减距度所余之数查表法同前两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数两半径并减距度余数月食时分表 (算法)月食时分者自初亏至食甚又自食既至食甚总之以食甚为主各以倍得先后时分法于太隂距度每分之方数减太隂引数所应得月景各半径并之之方数开方得根为太隂自初亏至食甚行度依本引数用其实行求相当之时刻即初亏至食甚时也求食既之时分亦然盖月景各半径相减所余数之方数减太隂距度毎分之方数求其根即太隂自甚既所行度而以本实行所化为时假如设太隂距度一十三分(凡大数化为秒)其方数六○八四○○依引数○宫初度其半径及景之半径并为五十八分一十五秒(查径有本视径表)得方数一二二一五○二五以两方数相减所余数开方得其根三四○六即五十六分四十六秒乃太隂自初亏至食甚行度又以本引数初度查本表得其实行二十七分四十三秒因推得八刻○二分五十三秒乃其入景至食甚之时今求食既以后之时则仍以前引数用两半径相减余二十七分四十五秒其方数为二七七二二二五减前十三距度分之方数以求根得一四七一为太隂所行度复以太隂亦于前实行推应得时数为五十三分○四秒此止以十三分距度推第一行对引数初宫食甚及食既时若余宫尚有六行皆以十三分距度算须用每宫视半径及太隂一时实行因不能相同故所推食甚食既时亦有异至以余距度分推算食时俱同此法第此特设太阳行最髙引数所显地半景者若太阳去最髙则地景略有变必先考定差数然后如前法算又太阳离最髙其景之变不过数十秒弃之无甚大谬可不必逐宫度宻求故本表止用太阳三处所生地景之异一为最髙法具前一为最庳乃于每行对太隂引数所得景半径宜减二十八秒一为中距则地半景宜减一十七秒后亦如前法算所以分为上中下三表或问算食既时须地半景求余方数与距度之方数相减而算今至何距度分可无食既与否曰太隂视半径加距度分得总数大于地半景则无食既时分若小则太隂全体入景必应食既矣假如本表以上二十七分加于太隂半径一十五分一十五秒(应第一行引数半径也)总数四十二分一十五秒尚未及此处地半景四十三分则太隂全体仍入景中又试以二十八分得总数四十三分一十五秒则知月不全入景乃如第一行无食既若第三行太隂半径一十五分四十七秒地半景四十三分四十九秒月半径加距度分二十八分总数亦四十三分四十七秒则此数以上虽无食既以下微有之又未可执一论也用法查表必须太阳太隂各引数及太隂距黄道度(此三行前表已取定)以太阳引数知其距最髙或最庳若干因而用上中下表若引数不正合于表首所书三限可取相近者用以太隂引数查表侧十二宫亦取相近者乃横进则知所用时分之在何行(欲细算必依比例法求两引数中之时差)复以太隂距度上下差表遇本食之横行即食甚食既时分太阳最髙限太阳在中距太阳最髙限新法算书卷七十三
## 卷七十四
钦定四库全书
新法筭书卷七十四 明 徐光启等 撰交食表卷五黄道九十度表(筭法)总分表为五方其第一方从白羊宫起顺书十二宫二方书时分即以十二宫度之升度取时分盖距春分渐远时数渐多不必论北极出地度至第三方则为九十度限第四方为距子午圏第五方为距天顶各项因北极出地逐处不同欲以定度齐之必不可得故极之髙度异其数亦异今算以黄赤距度及黄道与子午圏交角因三角形内得一角一邉(见本厯指六卷)则全数与交角之余弦若黄道度距天顶之切线与九十度距正午之切线盖以黄经于本表查交角又于本表查其距度若经度在赤道内则以北极出地度减距度得黄经距天顶度若黄经在赤道外则其距度反加于北极出地度得其距天顶度始推得九十度限距正午即表中第四方所列数次于本九十度距子午度加第一方所对宫度得九十度限在某宫某度分即第三方所列数又全数与黄道度距天顶之正弦若交角正弦与九十度距天顶之正弦算得表中第五方所列数假如北极髙三十四度求白羊宫五度得九十度在何方(设五度当天之中在正午诸如此类)夫白羊五度距赤道北有二度与极髙度相减余三十二度其正弦五二九九二切线六二四八七以本五度查交角表得六十六度三十四分其正弦九一七五二余弦三九七六八先求距子午度则依法算得切线二四八四八查八线表得十三度五十七分为第四方应白羊五度数以加本五度作十八度五十七分为第三方相应数又以正弦依法算得正弦四八五二○查表得二十九度○三分即五方所应得数也若简法则冬夏两至各左右九十度距子午圏距天顶皆等故表中数亦等如金牛初度与狮子末度春分与秋分赤道内外皆如此然论九十度限则以距至节前后等两数并得三十度如双兄二十七度对限二十七度一十三分在夏至前正三度夏至后亦三度(巨蟹三度)得对限二度四十七分前后两数相加得三十度故于两至前之数减三十即得两至后之数可省算全周之半交用法以太阳实行查表第一方所列横对时分加于原得时分(论日食此为定朔)次查总时数其横对则有九十度限有距子午圏距天顶等度分皆应本时所得数如太阳在金牛宫一十○度其时为二时三十○分设原时为卯正即一十八时(从正午起皆小时也)因加前时总得二十小时三十○秒复查表即得卯正九十度诸度分新法算书卷七十四
## 卷七十五
钦定四库全书
新法算书卷七十五 明 徐光启等 撰交食表卷四算黄道九十度表所以然设浑天仪为甲丙丁戊其戊庚丁已圏当地平以丙为极即天顶甲庚已圏为黄道交地平于庚于巳半圏在地平上半在下戊丙丁圏过黄极及天顶而交黄道于甲为九十度限则甲庚甲己各为象限也乙丙辛为子午圏交黄道于乙而黄道又交赤道于壬赤道亦交子午圏于癸则依本仪论九十度限所距何度皆于甲乙丙三角形内求算本形为直角三角形以甲为直角(黄道过天顶圏此处交故)而甲乙丙角因黄道在此交子午圏于本表以黄经宜查乙丙边因赤道距天顶依极髙恒有定故查距度表得交子午圏之黄道度距赤道若干本距度以加或减于赤道距天顶度必得黄道交度距天顶之弧即三角形内乙丙边也(依本仪黄道交度距赤道之弧为乙癸在丙赤道内故丙癸赤道距天顶减乙癸余乙)宜求甲乙边即九十度限距正午弧(表中第四方)及甲丙边即本限距天顶(表中第五方)又设壬黄赤两道相交之节为春分则壬乙为降屡初度过子午圏之弧即表中第一方以加于甲乙得甲壬总弧即九十度限距春分弧故法云于九十度距子午度加第一方所对宫度作第三方即本九十度宫度分也 用法云原时加于太阳躔度所对时分然后以总时分查表得所求九十度限设太阳至子午圏为正午时依前图乙为太阳因在午无时可加而表中所对时即乙丁弧以升度求得者(乙丁弧之升度)(在赤道上算为癸丁三度四十分得一刻三十○度得一时)余所对数径为甲㸃及甲乙甲丙弧也设太阳过正午至丁为未时或不及午止巳为巳时则或加(过者加)或减(不及者减)一时于表中升度先定之时何也当躔度为金牛初度在乙得乙丁弧为三十度以癸丁升度得时为七刻○七分此更无时可加躔度在丁则丁壬为三十度其升度得时为八刻加躔度之时分总得一十五刻○七分若躔度在巳以戊乙得八刻减七刻七分余八分至午则黄赤两道未及午相交而在正午者必为双鱼二十八度夫九十度限依此或进或退距午逺近不一故距顶多寡皆不等也新法算书卷七十五
## 卷七十六
钦定四库全书
新法算书卷七十六 明 徐光启等 撰交食表卷五南北髙弧表说南北髙弧表者太阳于某地入某宫度加某时刻各地平上之髙弧度分也云某地者诸方之极出地髙下不等即同日同时而太阳出地平上之髙下不等故列表用表皆于本地先定极出地之髙次依法推之云某宫度者太阳距赤道逺近日日不等故求赤道南北纬度当先定其经度次查南北距度表得南北各纬度云时刻者太阳东升渐髙至午正而极髙后乃渐降以至西入中间各时各刻分一一不等也有极髙有纬度有时刻设此三率而得第四则太阳地平上之髙弧度分今算表随地推之难可通用其可通用者相距一度以下日髙差甚微故间度作表亦可 太阳南北纬度日行多寡不同其在春秋分时日行二十四分在冬夏二至时日行止一二分故表中不用黄道经度而用纬度(距赤道之)(纬)即每方首行所列赤道纬若干度是也纬度又分南北北在上南在下每方上列时刻上下各列度分则本方本时太阳出地平上之髙弧也又午正前后其距午之刻等则地平上之髙必等故一行中并列午前午后时刻算法推算髙弧详见测量全义兹更立一便法以列表葢午正太阳在赤道上无距度则赤道髙即太阳髙而午前午后相距之时刻必等其全数与赤道髙之正弦若太阳距午正之余弦与其在本时髙度之正弦设太阳去赤道内外有距度在午正距北度宜加距南度宜减此外则须另算法以太阳距赤道度于本地髙度一加一减得总数及余数两数之正弦并而半之将本半数于前总数或余数之正弦相减余为卯酉之正弦以查太阳距北至卯酉之髙度也次以半数之正弦乗太阳距午正之余弦(时刻化为度)总数以全数除所余数加于卯酉之正弦得太阳距北某时髙弧之正弦减于卯酉之正弦即得太阳距南某时髙弧之正弦如卯酉正弦大于余数则余数不能减而太阳距南某时无髙度必入地平矣若卯前酉后其正弦足以减除余数得其正弦查所值时刻即为太阳之髙弧使卯酉正弦较余数小无可减则太阳卯前酉后之某刻亦未有髙度也假如赤道髙五十二度(北极髙三十八度)设距二十度以加于赤道髙得七十二度减于赤道髙得三十二度则两度正弦并而半之得七四○四九以减于前正弦得卯酉之正弦为二一○五七试以辰或申时距午度因本时正得六十以余弦五○○○○乘七四○四九而以全数除之余三七○二四加卯酉正弦二一○五七得五八○八一查三十五度三十○分为太阳本时距北二十度地平髙弧减卯酉正弦二一○五七余一五九六七查九度一十一分即太阳距南二十度地平髙弧又试于辰初酉初因太阳距午七十五度余弦二五八八二与七四○四九(前两正弦并半数)相乗以全数除余一九一六四较卯酉为少因不能减且反为正弦所减余一八九三查一度○五分是其所得髙弧凡极髙三十八度太阳距南二十度则日未出日巳入两时绝无髙度如距北二十度不但辰酉初太阳在地平上即卯初戌初亦在地平上有一度○五分矣算时须先简本时刻求太阳距午度(东与西等)查其余弦为表(待用之表)更依赤道髙以黄道在其内外之距度先求正弦葢于每一距度求每刻之髙弧又于每刻太阳距午之度求凡距赤道之髙度一一得其正弦则巳了若指掌矣用法一以时求太阳出地平髙因推地半径差及太隂之三视差法先于黄赤距表查太阳所躔宫度或南或北距赤道若干得本时太阳纬度于本地本纬度表中求本时刻(若刻前后有若干分则用中比例法)因纬度南北得其同行中或上或下度分即太阳地平上髙弧度分假如考宋仁宗天圣二年甲子五月朔日食所得实食时为巳初二刻其地则汴京北极出地三十五度有竒其时则太阳距北纬度二十三度二十○分(日躔实沈二十三度)查表得髙弧五十二度四十分二以髙求时(测对食时必用此法日恒星皆同所得时皆为距子午圏时)法于本方本纬度表依南北号或上或下求测髙度分(如无同数用中比例法求)(差以加于近小之率)即中行中所得午前后时刻(一大时三十度一刻三度四十)(五分)假如崇祯四年十月辛丑朔日食初亏测日午正髙三十八度比时日躔大火宫一度二十分得距南一十二度用本度表中(北极出地四十度)查三十八度于本行中得时为午正一刻是本食日初亏时刻 论月食如天启七年丁卯岁十二月丁未望夜西安府(极髙三十四度二十分)月初亏测得大角星出东地平髙四十七度其纬在北二十一度一十三分查表因无极出地数欲细算宜用中比例法则依极出地三十六度以本星髙度查表得距午一十一刻一十三分依极髙三十四度正得星距午十二刻○七分所差九分即两极髙度之时差因极髙多二十分(依西安府算)得一分三十秒为十二刻○七分所减则于本极出地三十四度二十分以大角髙得其距午一十二刻○五分三十秒(依此算太烦终得小差当取近数免比例或求两髙)(度差可免复求两极髙差总以数相近者为主)今求实时(实时即太阳本行度)则太阳升度三百○二度四十二分(因在𤣥枵宫初度三十二分従春分起算)减大角升度二百○九度三十二分余九十三度一十○分化为时得六小时一十二分四十秒加星距午三时○五分三十秒得太阳距午九时一十八分一十○秒即本夜丑正三刻初亏脗与时合太阳距赤道表黄赤二道相距南北度分是为距度即赤道之纬度也春秋二分则为二道之交太阳行此无距度冬夏二至乃二道相去最逺者得二十三度三十一分三十秒日躔二分以后渐距多二至以后渐距少故表上六宫始于二分止于二至下六宫反是查表用上宫度必求于右下宫度则求于左而中方所对度分即本宫本度距赤道度分也新法算书卷七十六
## 卷七十七
钦定四库全书
新法算书卷七十七 明 徐光启等 撰交食表卷六算髙弧所以然算髙弧有法法有原必出于天上所设圏非可意为揣度也如图以甲为心作乙丙丁为子午圏乙丁为地平甲壬为赤道从地平取北极髙(设为四十度)得丁戊则余戊丙(为五十度)与壬乙赤道髙等今太阳在赤道行必从甲出地平上为卯正渐髙距甲三十度为辰距六十度为已距九十度至壬为午又渐低距壬三十度六十度为未为申至九十度复在甲为酉正此春秋两分昼夜所以等也此时求太阳每时刻得何髙度法以甲壬为全数较于壬庚即壬乙弧之正弦若较甲巳即壬巳赤道弧之余弦(设壬巳戊圈竖立与壬已甲赤道同)与巳辛即乙癸弧之正弦得太阳在已时髙若干为乙癸弧所量也如太阳不在春秋二分距赤道或内或外多寡恒不等则其髙度较赤道髙亦不等故距内离赤道渐逺亦渐髙若距外愈逺愈不及其髙以此时求髙几何更有一法如次图赤道左右有平行线太阳距度在内者为乙丙在外者为戊巳内则交地平于丁得昼线丁乙大夜线丁丙小外则交地平于壬得壬戊为昼线小壬巳为夜线反大而丁乙与巳壬丙丁与戊壬即夏昼与冬夜冬昼与夏夜葢太阳南北距同度则皆等法于癸庚赤道髙加庚乙太阳距内度得癸乙弧其正弦乙壬线又与癸庚赤道髙减等太阳距外度为庚戊余癸戊弧其正弦戊子线与丙丑线等(因冬昼夏夜同距度)(故算恒设内外距度等圏中替戊子恒用相等之丙丑)又法云两正弦并而半之即丙丑加于乙壬作乙寅半之于卯得乙卯或卯寅各半正弦又云本半正弦于总或余数之正弦相减余卯酉时之正弦即乙壬减乙卯余卯壬或卯寅减壬寅亦余卯壬而卯壬与甲辰等甲辰即太阳在卯正或酉正出地平髙故卯壬为本时髙弧之正弦以查其度分若太阳在午正则以其距南北度或加或减于夲赤道髙得太阳午时正髙若午前或后则如第三图以甲为心作乙辛丙半圏当竖立分十二时(小时)乙为午辛为卯为酉与在乙甲丙线等以此算髙弧无论太阳在午前后及南北距俱不异法祗取时刻为准法以半数之弦乘太阳距午之余弦以全数除得余数为南北通用数也设太阳距午三十度(已及未时)则圗中在赤道内得乙戊正弧余弧戊辛而余弦甲巳在赤道外得丙癸为正癸辛为余而甲庚即余弦与甲巳等又全数甲乙与甲丙亦等乙丁半数之弦与丙丑线等所算得己壬与卯庚亦等故在北一得巳壬在南不必算求卯庚葢巳壬线者彼此通用何也法以加卯酉之正弦得太阳距北在本时髙弧正弦反减之即得太阳距南亦本时髙弧正弦如图壬子及卯寅各与甲辰等则巳壬加壬子得巳子即太阳在己(巳即戊距午三十度)距赤道北出地平髙度也卯庚减卯寅余寅庚即太阳在庚(庚即癸距午亦三十度)距赤道南出地平髙度也求食在昼否简本表日食必先以太阳经度查其距赤道表得在南或北若干次以本距度及食之时依本地查表遇空行则以无髙度知太阳在地平下虽食本地不得见矣论月食亦以太隂经度查赤道距度表与前同苐其不正在两交则自未免有距度以之或加或减于赤道距终得正距葢太隂距内入两道间则以距赤道度减其距黄度若太隂距外出黄道更距赤道逺则以加其距黄度得正距赤道度而查本表亦依极出地以距度以食时查与日食同新法算书卷七十七
## 卷七十八
钦定四库全书
新法算书卷七十八 明 徐光启等 撰交食表卷七天顶黄道两圏交角表(算法)以太阳地平高及其距黄平象限度求交角法全数与太阳距天顶之余切线(即太阳交角㸃所居)若太阳距黄平象限之切线与交角之余弦查八线表得交角若干度(见本厯指五卷)即以每高度与太阳距黄平象限度依法推算列全表(中外共用谓之全表)上横行书一至八十九为太阳距黄平象限度右直行书二十七至八十九为地平高度此表处处可用第中土九十度最低止二十六度而太阳之距限与地平高亦相近于二十六度故表中祗取相近之二十七度起算而此数以下不与焉今算表以地平高度为法则全数与太阳距黄平象限之正弦若地平高度之切线与本角之余切线以太阳距限之度自一至八十九与地平高自二十七至八十九逐度如法推之即得黄道与高弧相交之各角㸃假如地平高三十度查切线为五七七三五与太阳距黄平象限一度之正弦一七四五相乗以全数除之得一○○六为余切线查八线表得八十九度二十五分为交角余角为三十五分又设地平高四十度其切线八三九一○太阳距黄平象限一十○度得正弦一七三六五算得余切线一四五七○查交角得八十一度四十二分余角八度一十分而所得之正角为气差余角即为时差今表中所载皆余角也若求正角即以余角之余简本表之相当数即得正角余俱倣此用法表右直行从二十七起至八十九止分三段为地平高度(地平高度即距天顶之余)上横行从一至八十九为太阳距黄平象限之度算日食必以黄平象限表求太阳距本限若干又求本限距天顶若干度查本表横直两数所值之数即得所求交角余度天顶黄道两圏交角表新法算书卷七十八
## 卷七十九
钦定四库全书
新法算书卷七十九 明 徐光启等 撰交食表卷八太阳太隂视差表(算法)视差者乃太阳太隂髙下视差皆以距天顶度及距地心地半径数所求得者盖太阳距地逺近以最髙最庳为限两限中逺近之数依中比例法可算但差数甚微止用髙庳折中于诸距顶度较定视差即自无谬而太隂则不然太隂有小轮有次轮其次轮之心在小轮之最髙而月居次轮之边最逺此为太隂距地心初限使居次轮边之近处即其次限又次轮心在小轮最庳月居其边与小轮心近即三限逺即四限诸限俱以互相距之逺近与其距地心之逺近各有比例因各推视差所得自不同矣如太隂从次轮近处行或至逺处必减次限之视差(设心在小轮最髙因距地渐逺故)或加三限之视差(设心在小轮最)(庳因距地渐近故)此求在中视差多寡比例之一縁又太隂次轮心不恒在小轮髙庳两处而每环转于左右上下时时不一亦为视差多寡不同之一縁故以本心在髙庳中比例复加逺近度于前算定以太隂体旋次轮边之逺近度得正距地度与距天顶度因推得太隂髙下正视差以此列表对地平髙度书两中限(次限及三限)之视差左右书两末限之差数(初限及四限)更纪月体逺近次轮心上下比例差成太隂视差公表(月食外亦可用故谓之公表见本厯指五卷)今因太隂朔望时无次轮且于次轮最近处旋绕亦别为小轮(见本厯指二卷)而其体卒不能出两中限之外(次限三限)以距地故算表可免求比例之烦特就其在次限三限间距地逺近(约为五十四至五十八地半径)每隔一地半经与其距顶每一度较算列本表假如太隂在朔望小轮最髙距地心五十八半径○八分总化为分数得三四八八则本数与一地半径(六十分也)若全数(十万)与太隂在地平之正弦得一七二三查表(八线表)得五十九分一十六秒为太隂距地五十八半径○八分极大之视差也设使髙有数度(多寡俱一法)则地半径一加一减于其距地之逺得总数及余数各化为分数又太隂髙度加一象限总而半之查切线则前总数与余数若本切线与他切线得度于前半者宜减余度即本太隂髙度视差如地半径为一太隂距地五十八半径○八分总得五十九半径○八分减之余五十七半径○八分髙度加象限一一○半之五五查切线得一四二八一五算得一三七九五八查弧五十四度○四分于五十五相减余五十六分即太隂髙二十度距地逺之视差若距地五十四半径依二十髙度算得他切线一三七六二二查五十三度五十九分四十八秒于五十五相减余一度○分一十二秒即本表所书数余算法同此用法表上书髙弧度即太阳太隂所共用度得太阳髙度随查度下视差大者不过三分论太隂则以视径表中太隂引数查其距地逺于本表旁数相对取近者横查本髙度下数即为太隂视差分秒如表无本髙度则以中比例法算太阳太阴视差表距地半径数距地半径数距地半径数距地半径数距地半径数距地半径数距地半径数时气差表(算法)时气差非髙差及交角度无从可列(见本厯指本卷)葢三差并以三小弧为直角三角形其中髙差对直角交角对气差而余角则对时差因弧小能当直线故全数与髙差若交角正弦与气差或余角正弦与时差交角大则余角小而气差多者时差反少若两角等两差亦等彼所加必此所减所以右书顺左书逆亦此故也用法表上先查髙差既对即以交角横查表左右(因交角有在顺数者有在)(逆数者)如交角四十五度以下得时差在右行气差在左行四十五度以上者反是故上有时差下必书气差或上气差下必书时差恒与交角互相随时气差表日食月行表(算法)日食月行者为日食自初亏至食甚而太阴此时所行度分也葢日食毎以视行求时分乃视行食甚先后不等未若月食能以倍数即得其复圆必须再以太阴视行推算其此时所行度分乃可法太阳及太阴各半径并化分为秒以所化数求其方数随以太阴视距度方数相减求其根即得太阴自日初亏至食甚所行度分第距度逐分求其方数而两半径则隔一宫以求之其列表如前月食时分将最高中距最庳三处分上中下用法亦与之同日在最髙日在中距日在最低新法算书卷七十九
## 卷八十
钦定四库全书
新法算书卷八十 明 徐光启等 撰交食表卷九算时气差简法治厯一书交食为最乃交食中诸法所难者尤在视差西史从天仪图以三角形算此常法也间有用表者亦云简矣然就中所列非一表所求非一端终不得为简也刻白尔(第谷友也)反复三差之原总其理而撮其要依之作表力省功倍故名曰简法太阴距目等得极出地髙黄道交地平限则气差周亦皆等云太阴则太阳五星同一理云极出地髙因极髙低不等则天顶之距黄道人目之距日月五星本体逺近不一视差无不因之有变云黄道交地平因黄道未定随天左旋时距顶逺时距顶近而日月五星从之虽距地心同距目微有异亦得视差之变故以定黄道定极髙求七曜逺近则视差可得而论矣如图甲为地心以乙丙丁为地靣以丙为人目所居故甲丙线上至戊为天顶设丁正居黄极下则乙丁为黄轴与己壬作垂线而己壬乃黄道也今使太阴距天顶最近视度在己为丙目以丙己直线所望者则因戊己为髙弧而庚己髙下视差以丙己辛角或己丙庚角量之(两角为平行线内相对角故等)故凡从丙出直线居己戊癸过顶圏之平靣与丙己相等者至己壬黄道周边所作角周亦等何也丙辛既为己壬之垂线则己壬黄道于过顶圈相交之公界两圈以直角交必丙辛线与诸黄道平靣上之线等为垂线其得丙辛己丙辛壬及诸黄道靣上线凡为丙辛所至之角安得不等为直角夫使丙己周至黄道皆等(因太阴距目等故)则丙辛底同余丙己辛角之所周必等(几何一卷八题)盖本角原以戊己当髙弧能量髙下视差今复以之当出黄极经圏于黄道上定气差则同一角也同一量也角周等得气差无不等太阴距地心等虽距目不等其气差周略等人目正居黄道下则月随黄道圏行绝无气差可求惟目或居黄极下则以黄轴去地心太阴周距地心等必距目亦等而气差自等故目在黄圏黄极之中周视太阴之行虽时近时逺而逺近之最差在正中处其距黄圏黄极皆等彼此约有四十五度如图太阴距地心以甲己线一周等则距目以己乙线正前所谓居黄道下绝无气差者也然或以己丁线则目在黄极下矣得丁己丁壬周距太阴线者皆等而其不等之距必在丁乙两限之间最不等者在丙即丁乙限之正中气差之有变易者此也今目在丙欲求太阴将出地平与其至正午两处差异同若干设太阴距地心最近得地半径五十四在黄道己或壬则甲己较甲丁有五十四与一之比例(细算甲己作五四○○○○○甲丁)(即一○○○○) 故丙乙四十五度查正弦七○七一一为丙辛必与丙癸等因而甲辛亦等甲己减甲辛余五三二九二八九为辛己甲壬加甲辛得五四七○七一一为辛壬先求丙己辛角(气差角也)则辛己与辛丙若全数与本角之切线算得四十五分三十八秒次求丙壬辛角则辛壬与辛丙若全数与本角之切线算得四十四分二十六秒两角差止一分一十二秒第前设己角在正午而壬实与之对则壬角必在子矣此不须论差惟以丙辛为底其上立辛戊与甲丙辛平靣为垂线自甲出甲戊与甲己等以定其短长自丙出丙戊与甲戊等得丙戊辛甲戊辛两角亦等(甲辛与辛丙等甲辛戊及丙辛戊皆直角而辛戊又同故见几何一卷八题)葢因己辛戊为直角设太阴在戊必去己正九十度出地平上而丙戊辛角则能量气差矣欲算之与前同丙戊与丙辛若全数与本角得四十五分○一秒较己角差三十七秒可见太阴距地心等虽距目差地半径所得气差亦庶几等太阴距地心等虽距目不等而目视之若在视黄道下得气差实等何云视黄道如图甲丙为地半径较真黄道天之逺绝无比例故目在丙与在己壬线同而戊乙平行线亦可当己壬线则己壬为真黄道而戊乙其视黄道也今以丙目设太阴居戊居乙其目必以丙戊丙乙不等之线始能视之则因此在视黄道距地心以甲戊甲乙两直线皆等即本线至视黄道周所作角亦等何也甲乙戊三角形因得两腰等则戊乙底线两端之两角亦无不等(几何一卷五题)而周两腰所作角自等则本角因丙在黄极所出圏之平靣皆当气差可见气差周等时差变必以太阴距九十度限为主如前图甲乙丁过天顶圏之平靣上立戊丙垂线得戊丙甲戊丙己皆为直角又本靣上于癸立戊癸直线则因戊在己戊壬圏而己戊壬圏与本平靣以直角相交(当竖)(立之圏)必甲癸戊角为直角与甲癸己甲等太阴居戊甲戊甲己相等而甲癸同则两三角形内余相当之腰及余角皆等必全甲癸戊三角形能当全甲癸己三角形因以本形显气差为甲癸线所对而甲癸丙亦直角则丙戊癸三角形内亦显气差为戊角所量丙癸线所对也(甲癸以直角横黄道行丙癸顺黄道)(行故)苐前设戊丙甲为直角则戊庚相距九十度(此庚戊当髙弧)太阴居戊正在地平以丙戊癸形所显即其最大时差(癸丙为黄极距顶之正弦使其距度不变则其弧不异而时差亦同又使黄极距天顶或逺或近时差亦必依)(之为大为小而大小皆太阴在地平是其最大时差也)今太阴或去地平逺所得时差渐变又无髙弧可测则不必以戊丙庚角而惟以戊丙己角量其多寡可也葢己癸壬视黄道圏以直角交丁乙出黄极经圏(与庚己戊外圏同靣此当倒圏)得九十度限在己故太阴在戊就己愈近得戊丙己角愈小因而戊丙癸三角形中余丙角大则对角亦小虽丙癸线不异其时差为戊角所量无不异矣(丙戊癸三角形以丙癸底线合己壬黄经上又以两腰在)(黄道圏同靣上)至太阴正居限中则丙戊丙己及癸戊三线者皆归一直线绝无戊角亦绝无时差也或问丙戊癸三角形全在视黄道平靣上代辛戊甲在实黄道靣上三角形故甲戊线较之癸戊线微长未免癸戊丙角较之甲戊辛角略异即时差何能真乎曰试以丙丁弧得半象弦为四十五度此即差之极逺处(若丙目在乙则两底线及两角形全合为一若丙目在丁则两腰归一全)(无时差可论)欲求两差同异设太阴距地五十四地半径为甲己算(法同前)得甲己癸角为四十五分○一秒因而癸己线(与癸戊线同)五三九九五三二与丙癸底线(四十五度之正弦)合算得丙戊癸角为四十五分若甲戊合甲辛同算得甲戊辛角亦四十五分弱半秒又不待言矣合论三差列表因太阴距顶九十度在戊以戊丙甲为直角以甲戊丙得其最大髙下视差为甲丙则太阴距地与地半径若全数与本髙视差又因甲癸戊为直角而甲戊癸当气差必癸戊丙为时差欲求戊气差则太阴距地与九十度限距顶之正弦若全数与本角之正弦欲求戊时差则先求癸戊腰线全数与甲角之正弦若太阴距地与本线乃癸戊线与丙余角若丙癸底线与本戊角苐最大时差为太阴近地平所得者则以甲丙癸三角形求之全数与黄极距顶之正弦若最大髙差与最大时差今列表其上横两行一地半径数即从诸曜至太阴止为七政距地数也一最大髙下视差即诸曜近地平为本图甲戊丙角所推得也表右行书九十度即黄道九十度限距天顶以查气差者或本限距地平(限距地平与黄)(极距天顶同)以查时差者故算表任用何距度大端都归于一假如九十度限距天顶五十度或限髙五十度所推分秒皆同试以太阴距地五十四地半径得髙下视差六十三分则全数与六十三分若五十度之正弦与四十八分一十六秒此分秒时当气差时当时差因度限距顶为五十度或反距地平亦五十度故也或问本表既别求九十度限定其髙度及距天顶若干然后查求视差较诸法不甚大异今独别之曰简法此简之玅可得言乎曰常法或依三角形算或依表查若三角形除九十度限及髙度外须更算距子午圏日月髙弧黄道过髙弧交角诸法乃敢求髙气时三视差查表则须太阳距赤道表髙弧表交角表又须各视差本表种种推求亦綦繁𤨏顾有一开卷而三差俱备如是尚不谓简乎虽然算交食者因其当然求其所以然必多方磨勘而其故始明其理始得尤不当以简为定法用法未算视差先求定朔以两曜实经及本食实时查黄道九十度限表求本限距天顶若干余度即为距地平髙也次求气差则以限距天顶本度查右行以太阴距地心查上第一横行(用视径表内太阴距地数)其下得本距地太阴所应最大髙视差减太阳最大髙视差(大阳行最髙或近应一分行最庳应三分)(在髙庳之中应二分俱因此改)以余数入表两数相遇即得气差次求时差必两次查表亦以限距顶之余度从右以本髙视差从上至中得最大为本太阴距地之时差(近地平所生为最大)又以太阴实经较限所躔宫度得其相距度则以最大时差从上以限曜两相距度从右查表至中格得所正应时差若成数有竒零先以度查表得分秒又以分查表得秒微或求气差或求时差俱如此假如崇祯七年甲戌岁三月朔日食定朔在巳正○七分四十九秒日月实㑹在降娄宫八度三十分以本度查九十度限表得应时三十一分加巳正八分总得二十二时三十九分(俱小时从午正起算)以此时复查九十度限表得限距顶四十四度○四分余四十五度五十六分即限距地平髙度以太阴引数(七宫一十四度)查表得太阴距地五十五地半径又查本表得最大髙视差六十二分减太阳在中距最大髙差二分余六十○分求气差上以六十○分右以四十四度入表中得四十一分四十一秒即食时所应得太阴气差也(较以三角形所得止差一十七秒)上行又以六十分右以四十五度查表得四十二分二十五秒因而限距地平髙度外尚有五十六分故又上行以六十○分右以五十六分查表得四十九秒四十四微与前相加总最大时差四十三分一十五秒今太阴在降娄宫八度三十○分九十度限在降娄宫初度五十九分(查本表得)相距七度三十一分则复查表以四十三分(最大)(时差)从上以七度从右得五分一十五秒又以三十一分(相距之零数)从右本四十三分以下得二十二秒次一十五秒从上(最大时差之零数)七度从右得一秒五十○微总为时差五分三十九秒较三角形所算止差一十五秒他算俱凖此列表之法上两横行一以地半径从多数逓至少数一以髙下差从一逓至六十六每数各列五次旁以黄道九十度距天顶及距地平数从九十逆书至一分五段焉因上每一数通关旁之九十等数一二行不能尽书故分为五段旁数既分五段上方自不得不各列五次而中方之时气差亦以五段列出用表时须㑹此意查之新法算书卷八十
## 卷八十一
钦定四库全书
新法算书卷八十一 明 徐光启等 撰八线表卷上割圆八线表用法割圆八线表即大测表也其数之多其用之广于测量百法中皆为第一故名大测分言之则有正弦数切线数割线数矢数余弦数余切线数余割线数余矢数皆于割圆之一分以其相当之直线与其曲线相求而为测量推算之用故名割圆八线也其义与法畧见大测二卷中今此刻与他本小异故先述其列表法次述用法一二如左列表法二条一既称八线刻中何以无矢矢者弦之互余相减即得也(法见后条)今所列者以一弧之正弦切线割线彚为一方又以其相反相对弧(如初度之相反相对则八十九)之三线彚为一方两方平列并为同面一览可得故于初右方为弧初度顺列至四十四度皆在右方也于初左方为弧之八十九度逆列至四十五度皆在左方也初右方之上下各一横行上行顺书正弧某度下行逆书余弧(正弧反对)某度其中直列第一格为本弧之分自上而下书初(作○)至三十第二格为本弧之正弦三十率各与其本分横相直也第二格书切线第三格书割线亦如之初左方之上下亦各一横行上行顺书余弧某度(度与右方之上行同)下行逆书正弧某度(度与右方之下行同)其中直列之末一格为本弧之分自下而上书三○至六○其顺列三线与右方同也次右方中第一直行为本弧之分顺书三一至六○次左方中末行逆书○至三○余同前合二面为正余各一度其六十分之各三线咸在目矣次三左右方书次度俱如前法二大表之全数或八位或九位十位今小表止全数六位以便推算表中用线相求法九条一设弧背上圆线之度分秒求其相当之各正线法先查取所设度于本度各直行查所设正分于本行中横查所求某号(正弦切线之数是也)其相对数即所求正数若度分外有设秒表中所无也而求各正线则用中比例法取设秒上下之两正分相减余为差以差数乘设秒数为实以全秒六十为法而一得数以加于设分下所得数并为所设度分秒数假设三五度四十分之弧求其正弦如法求本度分本号得五八三○七即是又假设二十三度三十一分三十秒求其割线用中比例法则所设秒在三十一分三十二分之间也查本度分本号得三十一分之割线为一○九○五八三十二分之割线为一○九○七二相减余一四以三十秒乘之得四二九为实以六十为法而一得七以加三十一分之割线为一○九○六五所为求数(其比例则六十与一四若三十与七也)二设弧之度分秒求其相当之各余线假设二十三度三十一分之正弧求其余弦查二十三度三十一分之他方同行本号下取数得九一六九四若设秒用中比列如前三设正弦等直线数求其弧之度分秒法于本号横取所设数相合者即其相当之本度分也不合则取表中一数与设数相近而较少者以相减得差以乘六十得数为实以表中较多一近数与初近数相减得差为法而一得数以加初近数之弧度分为设数之弧度分假设八八六八八为正弦求其弧查得六十二度二十九分正为适足又假设七六五四二为正弦求弧查近且少者遇四十九度五十六分之正弦七六五二九相减余一三以六十乘之得七八○为实以多少两近数相减之较一八为法而一得四十三并得四十九度五十六分四十三秒二十㣲(其比例则一八与六十若一三与四三三也)四设某直线数为某弧之余某线求其弧于设数本方本号求得本线数查他方本横行得弧度分五若圏半径为不全数(满十为全数余皆为不全数)而求某弧之各直线法以设弧先求本表本线之数(第二率)乘不全之半径(第三率)以全数(第一率)而一得所求设弧之某直线(第四率其比例则第一与二若第三与四也)如测天句股说谓用天径一百二十一度七十五分今设二十三度三十一分之弧求其正弦先于本表查本弧之正弦得三九九○一(第二率)以周天半径(第三)(率)乘之减末五位得二四二九○○○(第四率不用而一者第一)(率为全数故乘讫即是也)六求矢法求设弧之余弦以减全数得正矢如设二十三度三十一分求正矢查其余弦得九一六九四以减全数得○八三○六为二十三度三十一分之正矢若求余矢则以正弦减全数得余矢七有不全径之数设矢求其弧法以全数(第三率)乘设矢以不全径(第率)一而一得数(第四)(率)以减全数为余弦求其弧如半径六十万(古法)为不全数设四四一为正矢求其弧法以全数乘设数得四四一○○○○○以不全径六十万而一得七三五查得七十四度三十九分为设矢之弧八有弧求其通弦以设弧之半求其正弦倍之即设弧之通弦九求通弦之弧以设弦之半为正弦查度倍之得通弦之弧表外用法八条一有天度(三百六十五度四分之一)弧求其各直线先以天度通为平度(三百六十度用通率表)次依前法求之如旧法问半弧背二十四度黄道矢若干先以二十四度通为平度得二十三度二十九分一十秒求矢得八四○一(第三率)以不全半径六○八七五(第三率)乘之得数减后位得五度一十一分四十一秒二造简平仪定时线节气线用正弦数倍省工力三造平浑仪等器定经纬度圏之心用切线数甚便甚凖四造日晷用切线割线可减多圏多线倍省工力五测天量地俱以割圆八线为本(见本说)六圆线与直线异类也亘古迄今未有相通之比例此割圆八种本是直线其原出于圆线其用之也可令异类之线相比相似所差极㣲故厯家推算以为津梁无能舍置也七球面上大小圏最难得其比例因此诸线可相比相凖不失分秒八地平上用此诸线可定诸方相距之里差可定太阳出入时刻可定昼夜长短时刻可定日月交食真㑹视㑹相距时刻(各有本论)右用法畧举一二他用甚广各见本法中(其造法见大测诸篇)新法算书卷八十一
## 卷八十二
钦定四库全书
新法算书卷八十二 明 徐光启等 撰八线表卷下增 凡所设之弧过象限而求其正弦等线者即以半周内减之用其较查表即得所求如设一百三十度之弧求其正弦即以一百八十度减之余五十度查五十度之正弦切割等线图说见前论乙丁为一百三十度之弧其正弦为丁己其余丁庚则丁己线为乙丙丁弧及丁戊两弧之正弦他线类如此则查表用五十度之弧亦得一百三十度之弦等线数八线表代句股开方法一设股弦求句 用正余弦代 (直角傍两腰各能当句股两名互用之同理)法以弦(外数)为一率 全数(十万)为二率股(外数)为三率 如法求得第四率(即正弦内数)查八线表正弦相近而略少者取(其余弦以设)弦乗之得数右减五位即所求勾数如弦为五十八股为二十五以全乗股得二五○○○○○以五十八除之得正弦四三一○三查表正弦与此数相近而略少之余弦九○二三三以设弦五十八乗之得五二又三三五一四为所求句外数一 五十八(弦外数设数) 一 十万(弦内数) (即全)二 十万(全数) 二 五十八(弦外数)三 二五○○○○○(股外数) 三 九○二三三(勾内数即余弦)四 四三一○三(正弦内数) 四 五二又三三五一四(勾外数)二设勾弦求股(亦用正余弦代)法以弦外数为一率 全数十万为二率勾外数为三率 如法求得第四率(即勾内数正弦)查八线表正弦相近而略少者取其余弦以设弦乗之得数即所求股数如弦为一万二千九百四十五勾为七千七百六十七以全乗勾得七七六七○○○○○以弦一万二千九百五十四除之得正弦六○○○○查表正弦与此数相近而略少之余弦八○○○三(去三作○)以设弦一万二千九百四十五乗之得一○三五六为所求股外数一 一二九四五(弦外数) 一 十万(全数数弦外)二 十万(全数) 二 一二九四五(弦外数)三 七七六七○○○○○ 三 八○○○○四 六○○○○ 四 一○三五六三设勾股求弦用割切线代法以勾外数为一率全数为二率股外数为三率如法求得第四率(即切线内数)查八线表切线与此数相近者取其割线以句外数乗之得数右减五位即所求弦数如句设一百五十六股设四十七以全乗股得四七○○○○○以句一百五十六而一得三○一二八(即切线内数)查表切线与此数相近者之割线得一○四四四○以句一百五十六乗之得一六二九二六四(即所求弦○)一 一百五十六(句外数) 一 十万(全数)二 十万(全数) 二 一百五十六(设句)三 四七○○○○○ 三 一○四四四○(割线内数)四 三○一二八 四 一六二九二六四○新法算书卷八十二
## 卷八十三
钦定四库全书
新法算书卷八十三 明 徐光启等 撰㡬何要法㡬何总论㡬何家者脱物体而空穷度数数其截者度其完者度有三曰线曰面曰体线以度长短面以度广狭体以度厚薄线自㸃始㸃引为线线展为面面运为体㸃者无长线者无广面者无厚㸃为线之界线为面之界面为体之界体不可为界㸃线面体㡬何之论起焉界说章第一(十六则)界者一物之始终解篇中所用名目作界说第一界㡬何者度与数之府也第二界㸃者无分无长短广狭厚薄故无分如上图甲㸃真圆□一真平相遇处止一㸃毕世积㸃不能结线(凡图十干为识)(干尽用十二支等字)第三界线止有长无广厚如一平面光照之有光无光之间不容一物是线也如上甲乙图毕世积线不能结面第四界面者有长有广无厚一体所见为面凡体之影极似于面无厚之极也如上甲乙丙丁图毕世积面不能结体第五界体有长有广有厚如上甲乙丙丁戊己庚图第六界分者㡬何之㡬何也小能度大而尽之无赢不足者以小为大之分若小不能尽度大当称㡬分㡬何之㡬如上甲乙四与丙丁八戊己十二等数皆能尽分者则甲乙四为丙丁八戊己十二之分若庚辛四与壬癸六一即赢二即不足不能尽度者不得正名为分则称之为三分六之二(他数倣此)第七界㸃者非㡬何故不能为线及诸㡬何之分第八界线非广狭之㡬何故不能为面之分第九界面非厚薄之㡬何故不能为体之分第十界线有曲直线之一㸃能遮两界是直线如上图甲乙不遮则不直如下图丙丁第十一界面之中间线能遮两界不碍不空是平面如上图甲乙丙丁不遮则不平如下图戊己庚第十二界直线垂于横线之上为横线之垂线如上图丁乙为甲丙之垂线第十三界两直线于同面行至无穷不相离亦不相逺终不得相遇者为平行线如上甲乙丙丁两线第十四界两㡬何以㡬何相比之理为比例两㡬何者或两数或两线或两面或两体各以同类大小相比谓之比例若线与面或数与线此异类不为比例若同类相比而不以㡬何亦不为比例也如白线与黑线或有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例有穷之线毕世倍之不能及无穷之线故也凡比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本卷论量法之比例第十五界比例相续不断为连比例其中率与前后两率递相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如上图甲二与乙四比乙四又与丙八比是也第十六界中率一取不再用为断比例如上图甲四自与乙八比丙六自与丁十二比是也备噐章第二㡬何在厯家则多用图画图必先备噐噐有三曰尺曰规曰矩尺以画线而贵直规以画圜而贵调矩以画方而贵凖噐凖矣不识用法则茫无措手今以用法著于篇审尺章第三画图首画线线贵直线界于尺故先求尺直如甲乙为尺面丙丁为尺侧一棱先以丙丁画一戊己线丙合戊丁合己次转丙丁棱画一己戊线丙合己丁合戊不出不入则尺直矣不直再当琢削画线章第四尺既直矣线可无曲然画时又有法须以鐡或铜铸笔上长其柄令可把手下截濶出复渐窄而下其正面削极平背令稍圆去末寸许作一小窝窝下渐细至末用时以墨汁入小窝以平面𦂳倚尺作线则墨汁自就下或恐墨污其地将尺削去丙丁侧一棱则墨线莹细如丝即作于规末亦得审平面章第五平面者诸方皆作直线法曰如甲乙丙丁为面欲审其平即用直尺施于甲角绕面运转不碍不空全合直尺是平面也引线章第六有一短直线求平引长之法曰如有甲乙线欲平引长之先以甲为心以乙为界画小半圜以乙为心任取一度于小半圜上下各作规界线为丙为丁次以丙丁为心任取一度向前作短界线相交为戊末引甲乙线至戊则得所求若欲更引长仍依此法平分直线章第七(法有二)有有界之线求两平分之第一法如有甲乙线求两平分先以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半愈长愈凖向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末用尺作丙丁直线即甲乙有界之线两平分于戊矣第二法若所分之线下面无地可作短界线即于甲乙线上先画两短界线于丙次或开或收规度仍前从甲从乙向上又作两短界线于丁规度愈相逺画线愈凖末以丙丁二交用尺如前画线则得所求作垂线章第八(法有四)有一直线任于一㸃上求作垂线第一法甲乙直线任指一㸃于丙求丙上作垂线先于丙㸃左右任用一度愈逺愈凖各截一界为丁为戊次以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处为己从己至丙以尺画线则得所求第二法于丙左右如上法截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙㸃即得所求若丙㸃在甲乙端上则当暗引长甲乙线后如前作亦得第三法若直线甲端上求立垂线又甲㸃外无地可暗引线则先以甲乙原线上方任取一㸃为丙以丙为心甲为界作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙依前法作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求第四法若甲乙线所欲立垂线之㸃乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一㸃为丙如前一二法于丙上立丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之(分法在后三卷第四章)为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线又用元度以戊为心向己作短界线为庚末自庚至甲作直线得所求立垂线章第九(法有四)有无界直线线外有一㸃求自彼㸃作垂线至直线上第一法如有甲乙无界直线直线外有丙㸃求自丙㸃作垂线至甲乙线先以丙为心向直线两处各作小半圜或两短界线为甲为乙次仍用一度以甲为心向丙㸃相望处作短界线又以乙为心亦如之两线相交处为丁末自丙至丁作直线截甲乙线于戊则丙戊为垂线第二法于甲乙线上近甲或乙任取一㸃为心以丙为界作一圜界于丙㸃及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一㸃为心以丙为界作一圜界与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得丙戊垂线第三法若丙㸃垂于甲乙线之界不能于丙㸃左右画圜如前二图又或不能暗引长甲乙线则当以甲为心于丙㸃及相望处各作短界线于丙于丁又进以乙为心以丙为界仍相望作两短界线末从丙丁二交处作直线则得所求第四法若甲乙线在面之邉且下无地可措规如前四图则当用前章第三法或以丙为心任指甲乙线上两㸃为丁为戊次任取一度以丁为心向丙上作短界线次用元度以戊为心仍向丙上作短界线交于己末自己至丙作直线引长之至庚得所求又有便法在后平行线中作平行线章第十(法有三)一㸃求作直线与原设直线平行第一法于甲㸃求作直线与乙丙线平行先任作甲丁线与乙丙斜交次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜线为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线即所求第二法先以甲㸃为心于乙丙线近乙处任指一㸃作短界线为丁次任用一度以丁为心向丙截取一分作短界线为戊又用丁戊元度以甲为心对甲平行作短界线为己次用甲丁元度以戊为心对甲平行作短界线于己末自甲至己作直线即所求注曰凡有不等度须一度用一规始元度不爽如一规而数易其度则元度永不复矣此丁先生秘法注曰以上二法以甲㸃定逺近若无甲㸃任指所欲逺近为界可当甲㸃第三法此法比前法更简易即西本㡬何亦未载乃敝师伯先生所授如有甲乙线任逺近求作平行线近甲取心向上以所求逺近为度作小半圜次用元度近乙取心向上复作小半圜末以尺依半圜为界作直线即所求注曰以上平行数法可推用作沿邉直线之垂线如有甲乙线求乙线界上作一垂线先以乙为心向甲任取一㸃为丙又用元度以丙为心向甲指一㸃为丁又以乙为心任取一度向上方作一短界线愈逺愈凖又以丁为心用元度仍向上方作一短界线与前界线相交于戊次自戊至丙作垂线末以前作平行线法随用一法以丙乙为度作平行线正垂在乙㸃上即得所求求分一直线任为若干平分章第十一(法有四)凡造厯象数欲分直线为不等分不谙其法大费手力抑且不凖宜熟后法以便用第一法如甲乙线求五平分先从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平度为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线末用平行线法作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑与甲乙为五平分第二法如甲乙线求五平分即从乙任作乙丙线为丙乙甲角次于乙丙任取一㸃为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于卯于辰为五平分第三法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于卯于寅为五平分第四法此法极简极神可分百千不等之线与百千不等之分先作一噐如丙丁戊己为平行线任平分为若干格噐愈大格愈宻其用愈广格毎分作平行线相聨今欲分甲乙为五平分即规取甲乙之度以一规髀任抵戊丙线上一规髀抵第五庚辛线上如不在庚辛者即渐移之至线界而止既至壬即戊壬之分为甲乙之分又如有甲乙线求十七平分先以规取甲乙之度以一规髀抵戊丙线一处以一规髀抵此噐庚辛第十七格为壬次从戊至壬画一直线次取所过两格相距之度以此为凖分甲乙直线则得十七分矣或图小而所分者大欲广其用则逓倍之如图一尺欲分一丈为十九分须取一丈十分之一为一尺用前法为十九分后以尺逓十倍之则一丈己分为一百九十分矣毎十分作识如所求余以此推之一直线求截所取之分章第十二(法有二)第一法如有甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命三分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作乙己直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一也第二法如甲乙直线求截取七分之三先以前章法分甲乙线为七分后取其三于庚则得所求如欲截取十分之七十四分之九等不均之数亦如之有一直线求截各分如所设之分章第十三(一法)法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聨于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聨末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙分于丁戊焉有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例章第十四(一法)法曰如甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲庚线为庚甲乙角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁有两直线求别作一线相与为连比例章第十五(法有)第一法有甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者任合两甲乙甲丙为甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与所求他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作乙丙线相聨次从丁作丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线(若以甲丙为前率倣此)第二法以甲乙乙丙两线聨作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线三直线求别作一线相与为断比例章第十六法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引长之遇丙戊于戊即丁戊为所求线两直线求别作一线为连比例之中率章第十七法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率新法筭书卷八十三
## 卷八十四
钦定四库全书
新法筭书卷八十四 明 徐光启等 撰㡬何要法总说圜成于线线有二种为曲为直直线或单或众前卷已详之众线或三而成三角形或四而成方形或多而成诸不等形曲线或半或全半线有不等之用全线或成圜形或成卯形等角形及方形卯形详见后卷今先论圜形界说章第一(十二则)第一界圆形于平地居一界之间为圜第二界外圆线为圜之界第三界圜之中处为圜心第四界自圜之界作一直线过中心至他界为圜径如上图甲丁乙戊为圜界丙为心甲乙为径第五界凡直线切圜界过之而不与界交者为切线如上图甲乙丙线是也若先切圜界而引之入圜内则谓之交线如丁戊是也第六界凡两圜相切而不相交者为切圜相切而相入者为交圜加上图第七界凡直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形如上图丁戊己为甲乙丙形内切形第八界凡直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如前图甲乙丙为丁戊己形外切形其余各形倣此二例第九界直线形之各角切圜之界为圜内切形如上图甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也圜之界切直线形之各角为形外切圜同上图第十界直线形之各邉切圜之界为圜外切形如上甲乙丙形之三邉切圜于丁于己于戊是也第十一界一圜之界切直线形之各邉为形内切圜如前图第十二界一直线之两界各抵圜界为合圜线如上图之甲乙线造规章第二(法有四)圜形以至圆为凖至圆必出于规规必欲极凖极顺其用甚活乃堪造厯凡造规之法有四详列于后第一法先以铜或鐡范成二股上濶下窄至末而锐近头小半截作凹凸状令可相合次以钉钉其圆头贵寛𦂳得宜任意可开收规下半截为规髀一规髀作墨池如首卷第三章法以适用凡欲造厯象必须备规其造式见后规图第二法凡规有三用一画虚线则须铅条当先以铜叶为管虚其中横开小路上套小铜圜可上下松𦂳以出入铅条末畧奓出以留小圜如下甲图一画墨线则当作墨路如前章法如下乙图一画铜板线须以纯钢为末如下丙图右三髀俱另作不相连本规其本规如前法造但截去一髀临截处长半寸许作一小箱状虚其中亦令方可受规髀柄如下图丁处箱面作旋螺用时任入一规髀以铜消息如旋螺者贯定之如下戊图则任意可画线而一规可具三用矣此为第二法如下图第三法造厯恒用规依比例法分线分圜或以大形移变小形或以小度移变大度其分法稍难今作一四髀规或铜或鐡畧如剪形上下作四规髀上短下长令上凖下度或半或三之一或十之一及种种不等则作线圜时或欲以大变小先以下髀取度次以上髀移度或欲以小变大先以上髀取度次以下髀移度则得所求其或半或三之一或十之一俱从髀之长短而分下愈长则度愈大上愈短则度愈促第四法前三种规长不逾尺止堪小用如欲造玑衡大噐则当更变其式如下图其规以铜范为极方条上下如一任作㡬尺于条左末作锥垂下二三寸以纯钢为之更造一锥与前锥等上方寸许仍凿方孔令透可受方条任逺近可推移方孔旁更凿圆孔仍前法作旋螺贯定方条使两锥坚定不爽分毫可画大圜如下图有圜求两平分之章第三(一法)如有甲乙丙圜求两平分用尺任以圜一处为界正过心画一直线则圜体两平分矣有圜之分求两平分之章第四(一法)如有甲乙丙圜分求两平分之先于圜分两界作甲乙线次两平分之于丁从丁作丙丁为甲乙之垂线(一卷第八章)即丙丁分甲乙圜分为两平分若有圜不露其心又求两平分之亦如此法有圜求四平分之章第五(一法)凡立天象多用四分圜为周天四象限故造法不可不凖如有甲乙丙圜求四平分先以前法作甲乙线过戊心两平分之次依作垂线法于戊心上自丙至丁作垂线得所求有圜求六平分之章第六(一法)凡厯家分周天度多用六数或十二或二十四今详其法如有一圜求作六分不用他法惟以画圜之元规周圜界六歩则自然分为甲乙丙丁戊己六平分矣有圜求十二平分之章第七(一法)先以本卷五章法四平分于甲乙丙丁次以画圜元规从甲从乙上下各指一㸃又从丙从丁左右各指一㸃则得所求若欲二十四分毎分为两则得所求矣有圜求三百六十平分之章第八(一法)凡厯家所用细分周天度以三百六十为率今详其法如有甲乙丙圜先依前法四平分之为四象限次以规元度依前法十二平分为十二宫就以所分十二宫各三分之各包十度次毎十两平分之各包五次毎宫又五平分之各包六今用六度之规至终不改从子宫初一度歩起完一周又次从初五度初十度十五度二十度二十五度各歩完一周则平分三百六十分矣有圜之分任截㡬度章第九(一法)如有甲乙圜之一分欲取三十五度如用常法必须先求圜分之心依后十一章法成圜后均分三百六十乃取三百六十之三十五分其法颇繁今有简妙法先备一铜板分一子丑寅象限为九十分合极凖设有甲乙圜之界自甲起欲取三十五度之分先从甲至圜心作甲丙半径线如与子丑寅象限半径合则移彼度子卯至甲乙线上至庚即得所求如大小不合则以规取子丑寅半径以丙为心或甲乙内或外作一圜分若丁戊圜在外则当引长甲丙线至丁取子丑寅限三十五度以丁为始移于丁戊圜上至己从丙心过己作一直线截甲乙于庚则甲庚为甲乙圜上三百六十分之三十五也若所范铜板欲其用广当从寅心重重作圜与子丑平行又自子丑外圜逐度引直线至寅心后所欲取圜分之度若其半径与子寅不等或同于他子丑内圜之半径则可径移其度于所分圜上不尔仍用前法有圜求㝷其心章第十(一法)如有甲乙丙丁圜欲求其心先于圜之两界任作一戊己直线次以平分线法作丙丁垂线两平分之于庚则庚为圜心有圜之分求成圜章第十一(一法)如有甲乙丙圜分求成圜先于圜分任取三㸃于甲于乙于丙从甲至丙丙至乙各作一直线各两平分于丁于戊次于丁戊上各作垂线相交处为己末以己为心以圜为界旋转即得所求任设三㸃不在一直线求作一过三㸃之圜章第十二(法有二)第一法如有甲乙丙三㸃求作一圜贯之先以甲为心任取一度向乙上下各作小圜分又以乙为心向甲仍用元度上下各作小圜分相交处为丁为戊次又以甲为心向丙上下作小圜分如前次以丙为心亦如之相交处为己为庚次从丁至戊从己至庚各作直线相交处为辛末以辛为心任取一㸃为界旋规成圜即得所求第二法先以三㸃作三直线相聨成甲乙丙三角形次平分两线于丁于戊次于丁戊上各作垂线合相遇于己末以己为心甲为界作圜即得所求有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线章第十三(一法)如有甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线径为圜内之最大线更大不可合先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等三角形求作形外切圜章第十四(一法)甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己末以己为心甲为界作圜必切甲乙丙而为三角形之形外切圜三角形求作形内切圜章第十五(一法)甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊末以丁为心戊为界作圜即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚此为形内切圜有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角章第十六甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角章第十七甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己邉各引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙而相遇于子于丑于癸(若作甲丙)(线即癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余倣此)此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等有圜求作内切圜直角方形章第十八有甲乙丙丁圜求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形有圜求作外切圜直角方形章第十九(法有二)第一法甲乙丙丁圜其心戊求外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径末界之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛为外形第二法以戊甲为度依平行线法作己庚辛壬上下两线与乙丁平行次用元度作己辛庚壬左右两线与甲丙平行即得所求同前图有直角方形求作形内切圜章第二十甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线相交于壬末以壬为心戊为界作圜必过戊己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉是为形内切圜有直角方形求作形外切圜章第二十一甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊末以戊为心甲为界作圜必过乙丙丁甲而为形外切圜有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角章第二十二如有甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聨即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等有一圜求作内切圜五邉及十邉形章二十三如有甲乙丙圜心为丁先作甲丙过心线次作乙丁垂线次平分丁丙线于戊作乙戊线次取戊乙度移于径线为戊己次作乙己直线盖乙己为甲乙丙圜五分之一以此为度可作内切圜五邉形丁己度可作内切圜十邉形有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角章第二十四甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先依前章法作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形次乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子五垂线既切圜即成外切圜五邉形而等邉等角五邉等邉等角形求作形内切圜章第二十五甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己自己作己丙己丁己戊三线次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五垂线末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子庚而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜五邉等邉等角形求作形外切圜章第二十六甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己次从己作己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末以己为心甲为界作圜必过乙丙丁戊甲即得所求求作圜内六邉切形其形等邉等角章二十七如有甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六邉内切圜形等邉等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相联即得所求求作圜内十五邉切形其形等邉等角章第二十八如有甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形即各邉当圜十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角各邉当圜十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分取乙己度两平分于壬则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线即得所求(以此为例推用逓分可作无量数形)圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等章第二十九如有甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多边切形不至戊丁小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊也次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也次以甲丙两平分于乙乙丙两平分于壬以壬丙两平分于癸则丙癸圜分必小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次以癸丙为度递分一圜各作合圜线得所求形新法算书卷八十四
## 卷八十五
钦定四库全书
新法算书卷八十五 明 徐光启等 撰几何要法界说章第一(凡十则)第一界角者两线纵横相遇所作线有曲直两直相遇为直线角两曲相遇为曲线角一直一曲相遇为杂线角曲杂两线角更有别论今先明直线角第二界凡直线正垂于横直线之上必成两直角相等如上图甲乙为垂线丙丁为横线而乙之左右两角相等为两直角若反以甲乙为横线则丙丁为甲乙垂线也(如今用短尺一纵一横互相为)(直线互相为垂线)第三界垂线斜交于横直线之上必成两不等角两不等角一大于直角一小于直角大为钝角小为锐角如上图戊己庚为钝角戊己辛为锐角故直角惟一而锐钝两角其大小不等乃至无数第四界凡二直线不能为有界之形故直线之形有界者至少有三角有三直线为边名曰三边形亦曰三角形如上图三边形止有三种第五界三边线相等为等边三角形亦为平边三角形如上甲乙丙图第六界两边线相等为一不等三角形如上丁戊己图第七界三边线俱不等为不等边三角形如上庚辛壬图第八界三边形有一直角为三边直角形有一钝角为三边钝角形有三锐角为三边各锐角形如上三图第九界凡三边形恒以在下者为底在上边为腰如上图甲乙甲丙为腰乙丙为底第十界凡言角者俱用三字为识其第二字即所指角也如甲乙丙角其乙字指角三髀规章第二规以二髀为常法或倍之于两端为四髀前卷己详之矣兹有三髀规新式造法两髀如常如前二卷中所设是也旁一髀即附于二髀之枢稍引长之出头其头端上有眼衔旁一髀令其圆活可上下左右如下图用法见后于有界直线上求立等边三角形章第三如甲乙直线上求立等边三角形先以甲为心乙为界或上或下作一短界线次以乙为心甲为界亦如之两短界线交处为丙末自甲至丙丙至乙各作直线即所求于有界直线上求立一不等三角形章第四如甲乙直线以甲为心任取一度或长或短于甲乙线上用前法作一短界线次以乙为心用前度亦如之两短界线交处为丙从丙至甲至乙各作直线即所求于有界直线上求立三不等角形章第五如甲乙直线以甲为心或长或短用一度如前作短界线次以乙为心甲度长今用短度甲度短今用长度于甲乙不等作短界线交处为丙从丙至甲至乙作两直线即所求有直线角求两平分之章第六如乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁次于甲丙线截甲戊与甲丁等次或用元度或任取一度以丁为心向乙丙间作一短界线次以戊为心亦如之两线交处为己从甲至己作直线即所求若向乙丙无地可作短界线则宜仍以丁以戊为心向甲上作短界线为己从己至甲作直线即所求(如上图)有直角求三平分之章第七如甲乙丙直角求三平分之先任于一边立平边角形为甲乙丁次分对直角一边为两平分丁戊从此边对角作垂线至乙即所求有角任分为若干分章第八如乙甲丙角欲分为四为八为十六等分则先分两分又各两分之得四又各两分之得八又各两分之得十六愈分愈倍如任欲分为几分如三五七九之类则先以甲为心向乙作一圜分次以规分圜分任作几何分末从所分度至甲作直线即所求如上图有三直线求作三角形其三边如所设三直线等章第九如甲乙丙三线毎两线并大于一线任以一线为底以底之甲为心第(二三)线为度向上作短界线两界线交处为丙次向下作丙甲丙乙两腰即所求设一三角形求别作一形与之等章第十以所设三角形之三边当甲乙丙三线以前法作之即所求或又用前所备三髀规以规形所设三角形度移于别处即所求一直线任于一㸃上求作一角如所设角等章第十一如甲乙线上有丙㸃求作一角如所设丁戊己角等先于戊丁线任取一㸃为庚于戊己线任取一㸃为辛自庚至辛作直线次以前法于甲乙线上作丙壬癸角形与戊庚辛角等即所求有三角形求两平分之章第十二如有甲乙丙三角形求两平分之任于一边两平分之于丁向角作直线即所求凡角形任于一边任作一㸃求从㸃分两形为两平分章第十三有甲乙丙角形从丁㸃求两平分之先自丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分有三边直角形以两边求第三边长短之数章第十四如甲乙丙三角形甲边直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与乙丙上所作直角方形等(原本卷四十七)则甲乙之羃(自乗之数)(曰羃)得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙倣此新法算书卷八十五
## 卷八十六
钦定四库全书
新法算书卷八十六 明 徐光启等 撰几何要法界说章第一(凡八则)第一界方形者四直线两纵两横相遇所成亦谓之四边形如上甲图第二界四边形之四线等而四直角者为直角方形如上甲图第三界四边两两相等而俱直角者为长直方形如上乙图第四界四边等但非直角者为斜方形如上丙图第五界四边两两相等但非直角者为长斜方形如上丁图第六界已上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形如上戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也第七界凡形毎两边有平行线为平行线方形如上已图第八界凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊巳线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形审矩章第二凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之法矩以两尺纵横而成然必成直角方准若稍出入必为锐钝两角而不成矩今欲审直角先审两尺之棱如首卷第一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽则至准矣一直线上求立直角方形章第三如甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等次作丁丙线相联即得所求有直线形求作直角方形与之等章第四甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等(本卷第五第六章)而直角次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚㸃或在丙㸃或在丙㸃之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛壬癸有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设角等章第五设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊次作丙戊己角与丁角等次自甲作直线与乙丙平行而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等而有丁角有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又与所设角等章第六设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三(三角)形次依前章法作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无竆俱倣此法有多直角方形求并作一直角方形与之等章第七如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线上所作直角方形即所求有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设角等章第八如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等而有戊角即所求一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角又与所设角等章第九设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次于庚己线引长之作己辛线次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作对角线引出之又自丁庚引长之与对角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即得所求设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等章第十先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁两腰相遇于己而等即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形等两直线形不等求相等之较几何章第十一甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊己为相减之较矣有圜求作一直角方形与之等章第十二方圆圆方之法自古名贤究折而未准吾师丁先生几何六卷之末设此神法其法之用甚广今撮其要以推作方圆圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次以乙为心以甲为界作甲丁限象任分为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁两线对望作平行线其与限象线交处俱作㸃次从甲作曲线贯诸㸃贯诸㸃之线则甲戊线为方圆圆方之根线而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有子丑圜或大或小其半径与乙辛等先作一寅卯直线立一辰己垂线次从己起取己午午未各与乙壬等次取己申与乙辛等次两平分申未于酉以酉为心以申或未为界作半圜切垂线于辰末取己辰作直角方形之一边则此方形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等有直角方形求作一圜与之等章第十三如有甲线为方之边先取一圜依前法求其作方之线如前度得申己次作辰申直线次截戊己如所设甲线等次自戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为半径之度作一圜即得所求推用一法依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等新法算书卷八十六
## 卷八十七
钦定四库全书
新法算书卷八十七 明 徐光启等 撰测量全义叙目测量全义十卷前九卷属法原后一卷属法器法原者法之所以然也凡事不明于所以然则其已然者茫茫不知所来其当然者昧昧不知所徃即使沿其流齐其末穷智极虑求法之确然不易弗可得已况天之髙星辰之逺厯数之赜且隠也而不究其原可乎旋观徃代如二十一史所载汉以后诸家之厯详矣大都专求法数罕言名理即才士间出亦各窥一二莫覩大全杂以易卦乐律益增迷瞀何恠乎千八百年而未有定法也夫厯法之原有二其一则象纬之原也天事也其一则推测之原也人事也象纬之原如测天约说所论百中之一二耳其他散见于七政本论㑹而通之聊足著明矣此书所论则推测之原也古今言推测者又有二其可以形察可以度审者谓之叀术不可以形察不可以度审者谓之缀术此所论者又缀术也缀术之用又有二其一总物以为度论其几何大曰量法也其一截物以为数论其几何众曰算法也厯象之家兼用二法如鸟之傅两翼也则无所不可之矣凡几何之属有四曰㸃曰线曰靣曰体㸃引为线线展为靣靣积为体究此四者诸有形有质之物细若纎芥巨若大圜悉可极其数而尽其变所以能范围不过曲成不遗也㸃不可为度线不可为形必三线交始成三角形焉凡度与数不用此形即巧厯无从布算故三角者虽形体之始基实测量之纲要诸卷中当首论者此也凡言度数必通大小通近逺者也三角形繇两视线一径线径线者所测物之广也径之两端出两直线入交于目睛之最中而成形如分寸咫尺为近小之形乃至大圜七政为逺大之形形绝不等然其为三角等则比例必等因而用小推大用近推逺亡不合者故曰通大小通逺近也夫学难者必自近也学微者必自显也最难且微莫如天之三光最易且显莫如地之百物次卷所测测地与物以此故也然而测一物之髙一山之髙与测日月星辰去地之髙也无以异则亦通大小通逺近者也其次进而测靣靣者平方平圆之类其变不可胜穷也然而测物之靣与测地景之靣测日月星之靣其理一也又进而测体体者立方立圆之类其变不可胜穷也然而测物之容与测地之容日月星之容其理一也是皆逺近大小通焉者也既曰通焉而不言逺大先言近小者则所以习之也习之奈何习手与目以求其贯也习心与意以求其信也不习不贯未有能信者也习且贯未有不信者也故习小习近言逺大者之所求也夫论度数至于测体深矣微矣然而皆平靣直线也天则圆体其靣圆靣其线曲线也测圆靣之难十倍平靣测曲线之难十倍直线盖圆与曲谓之弧而测弧无法于无法中求有法其势不得不难世有传弧矢算术测圆术者皆非术也其本术稍见于大测其为数则割圆八线表而此书第七至第九则言其理与法也盖以弧背求弦矢用测曲线三角形展转推求展转变易凡周天众规相交相距所以经纬七政运行四时推迁运㑹者上下百千万年可知也诸天诸曜种种运行悉无一定之法其为纷赜莫可胜原此弧弦诸法则何以能追求至尽乎盖所论者非诸曜自行之度数而宗动天之度数也宗动者不依七政而能为七政之凖则厯家谓之天元道天元极天元分至终古无变易也因此推歩是以有恒御无恒厯家之立法最难在此其用法最易亦在此矣终之以法器何也曰器之用大矣智者非器不作明者非器不述差者非器不改合者非器不验教者非器无以措其辞学者非器莫能领其意巧者非器未繇见其长拙者非器有所匿其短是以唐虞钦若首在玑衡厯代以还屡更其制据今所有则浑天仪简仪立运仪浑天象四器也而年逾数百久阙缮治地址倾垫枢轴锈蚀浑天一仪不复运动简仪立运犹似堪用复少黄道规环且测候多端止慿一器架柱森列多成映蔽均赋辰度尚未精宻刻定宿度则又元时所测非今测也此卷中分列诸器择其最急畧有五种曰测髙仪曰距度仪曰地平经纬仪曰赤道经纬仪曰黄道经纬仪有此诸仪相袭并用彼碍则此通可以无求不得矣更求宻测责以分秒无差则一式又湏三器三器俱列用相参较三测并合则制器精工安置如式测验得法灼然具见矣有不合者可以推究病源更求厘正厘正之后测复参差则择其同者用之若止据一器有得即真乌从知其然不然可不可乎且旧仪大环径止五尺二寸度止十分今拟新式用半径者六尺则三倍大也度得百分则十倍细也用全径亦六尺度可六十分亦六倍细也夫今之改宪欲求倍胜于古非倍胜之器谅无从得之矣或疑法器重大取数复多即用物必奢是又不然今之旧仪不能揣知轻重大都唐宋以来考诸史志约畧相等宋史言东都浑仪四座每座约铜二万余斤今拟诸式槩从轻省若得宋元一仪之费足以尽造诸器有余矣且每式三器诚不可少若宛转相就则经纬仪可以得距地平仪可以得髙一倍本数亦能通用或五大既全稍从狭小以为副贰兼用精铁以省铜材固无不可则所计一仪之费尚可损其半也惟是旧仪欲将修改则一器止堪一用其修改之费恐过于造作计不当为之耳惟浑天象止以测到度分量度经纬在于施用未为闗切今体制完美无烦再造矣界说二十三则第一界正弧全圏四分之一或大焉或小焉如图甲乙丁为全圈之半乙丙丁为四分之一是名一象限九十度正弧之大无过于此若甲乙丙则大于象限丙丁则小于象限但小者皆名正弧而大者则名过弧第二界余弧正弧之剰分如庚己正弧庚乙为余弧是正小于己乙也如庚丁过弧则大于丁乙而庚乙为过弧之余弧也第三界通弦者通弧之相当线分圏为两分(相当线亦名对线)如庚丙线与庚乙丙弧相当又与庚己子丙弧相当第四界圏内线极大过心者为圏径如己戊丁是第五界正弦弦之半如丙甲庚弦半之为丙甲正弦当丙乙弧又丙辛子弦半之为丙辛正弦当丙丁弧或曰正弦者从圏上一㸃作垂线至己丁径上则丙辛为丙丁弧相当之正弦第六界余弦余弧之正弦如丁丙正弧则丙乙其余弧丙甲为丙乙之正弦丙丁之余弦第七界倒弦者余弦与半径之较亦名矢如丙甲余弦与辛戊线等以辛戊减丁戊半径存辛丁为丙丁弧之倒弦亦为丙丁弧之矢第八界全弦径之半象限弧之正弦第九界直线角在圏心或大或小皆居对弧两腰间(相当弧亦曰对弧)如丙戊丁角在戊心向丙丁正弧则角生于丙戊丁戊两腰间第十界余角者余弧之正角(对角亦名正角亦名相当角)如丙戊乙角为丙丁正弧之余角即丙乙余弧之正角第十一界切线者圏径界之垂线亦名切圈线在圏外(如下界之丙甲线)第十二界割线者直角之对线亦名交线亦名截线在圏之内外如甲戊丙形甲直角(凡言甲角当九十度弧之直角)戊为心丙戊交圏于乙割线也此线限心上角限甲乙弧则角与弧胥生于甲戊戊丙两腰间又曰正割线者正弧之割线如甲乙正弧则戊丙正割线也第十三界余切线者余弧之切线第十四界余割线者余弧之割线如戊丁余弧乙己为割线是甲戊弧之余割线第十五界全圏三百六十度半径之全数十万平分(或用一万或用百万千万皆可)第十六界设弧者任取全圏之一分(凡言设者先有定数也或称有或称得)如甲戊丙角形戊为心甲乙丁其象限弧也取甲乙一分四十度则甲乙为设弧也第十七界设角者设弧之角如戊心甲戊戊乙两腰弧甲乙则因弧而称甲戊乙角言角之度分即对弧之度分第十八界设正弦如丁戊半径十万分先言丙辛若干分则所设丙丁弧之正弦第十九界设切线如甲乙全数先言甲丙若干数则所设切线第二十界设割线如甲乙全数先言乙丙若干数则所设割线第二十一界设邉线如甲乙丙角形先言甲乙四丈或乙丙五丈或甲丙三丈俱所设邉线第二十二界方数者方形邉自乗之数如正方邉四自之得一十六方之各邉俱等方形根者开方所得方形一邉之数第二十三界平形有方有矩(方者直角方形矩者矩内直角形)矩形邉两两自相等有一邉有实用算得所求他邉开方法有本论本书今别撮为图欲求根一简即得省布算焉简法见筹算测量全义卷一第一题通弦与通弧正弦与正弧比例等(比例等后省曰若)解曰有己庚乙丙丁圏其通径己戊丁戊上作乙戊垂线别作庚甲丙线与己丁平行则庚甲丙为庚乙丙通弧之对弦题言庚甲丙通弦与庚乙丙通弧之比例若丙甲正弦与乙丙正弧论曰戊心上垂线作直角平分庚乙丙弧则庚甲戊丙甲戊两角形等何者庚戊丙戊从心至界等甲两旁直角等甲戊同邉则两形必等两角之对弧亦等(几何三卷二十)(六)故庚甲丙偕庚乙丙两全与丙甲偕丙乙两半比例等第二题圏内正弧等正弦亦等反之正弦等正弧亦等解曰有全圏丁丙乙寅己丁寅为径设丁丙乙寅两正弧等从丙从乙作丙戊乙己两垂线截径于辛于壬作直角平分两弦(三卷第三)亦平分丙丁戊乙寅己两弧(三卷三十)是丙丁丁戊偕乙寅寅己之各两半与丙丁戊偕乙寅己之两全比例等则其弦丙辛戊乙壬己之两全与丙辛辛戊偕乙壬壬己之各两半比例亦等题言丁丙乙寅两正弧既等则丙辛乙壬两正弦必等论曰丙丁与乙寅两弧既等则作丙庚乙庚自心至界之两等线得丙庚丁角与乙庚寅角等(三卷二十七)丙辛庚与乙壬庚两直角亦等而丙辛庚乙壬庚两三角形必等故丙辛乙壬两正弦必等反之丙辛与乙壬丙庚与乙庚各等丙辛庚乙壬庚两直角等则丙庚辛乙庚壬两角亦等(一卷第八)而丙丁乙寅两对弧必等(三卷第二十六)第三题圏之内大弧大弦小弧小弦反之大弦大弧小弦小弧各相对解曰甲乙丙丁圏甲己大弧丙庚小弧题言己卯弦大于庚寅弦论曰试取甲辛弧与丙庚弧等从庚乙己辛各作垂线过甲丙径至于丑于丁于癸于子其庚寅辛壬两半等(本卷二)即庚丑辛子两全亦等(三卷第三)己癸近心大于辛子(三卷)(十五)是全大于其全也(五卷十五)己卯视辛壬半不大于其半乎次论曰试截卯己于午与庚寅等午上作垂线至辛与丙甲径平行午卯庚寅既等自与辛壬等(皆在两平行线内)甲辛丙庚两弧亦等己甲全弧大于辛甲分弧己卯大弦必大于辛壬小弦是大弦对大弧小弦对小弧也第四题圏径截弦亦截弧任分弦之两分与两弧之正弦各相似解曰有圏径乙辛截丙丁通弦于己截丙乙丁通弧于乙其丙乙乙丁两分弧之各正弦为丙甲戊丁题言丙己己丁两分弦与甲丙戊丁两正弦比例等论曰丙甲己丁戊己两角形相似何者两形有相等之己交角有相等之两直角即丁角与丙角必等(一卷三十二)是形与形邉与邉俱相似而丙己己丁两分弦之比例与丙甲丁戊两正弦自相似第五题(三支)三不等角形作垂线任分底为二其大分依大邉大邉上方大于小邉上方其较为底全线偕分余线矩内形先解曰丁乙丙角形三邉不等丁乙小丁丙次之乙丙大为底(凡邉大者为底)从丁角作垂线至底题言分底为二者谓垂线之甲㸃在形内盖乙丙邉大即对角之乙丁丙角亦大乙丙两角必小如谓㸃在形外即以乙丙邉引长于己而令己作直角将丁己乙三角形内有丁乙己钝角(甲乙丁为锐角故也)又有己直角是两角大于两直角也可乎次解曰丁甲垂线任分乙丙底题言甲丙大分依丁丙大邉论曰丁丙邉既大于丁乙邉即其上方形亦大而丁丙上方与甲丁甲丙上两方幷等(一卷四十七)则甲丁甲丙两邉幷亦大于甲丁甲乙两邉幷试减同用之甲丁则所存甲丙亦大于甲乙是甲丙大分依丁丙大邉也三解曰丁丙方大于丁乙方其较乙丙偕戊丙矩内形论曰试截甲戊与甲乙等其乙戊线平分于甲有引增戊丙线则乙丙偕戊丙矩内形及甲戊上方形幷与甲丙上方形等(二卷第六)次各加一甲丁上方形则乙丙偕戊丙矩内形及乙甲(即甲戊也)甲丁上两方形或丁乙上方形(乙甲甲丁两方幷与丁乙方等一卷四七)与甲丙甲丁上两方幷或丁丙上方形俱等夫丁乙上方形内有甲乙甲丁上两方形独少乙丙偕戊丙矩内形则丁丙上方大于丁乙上方形之较为乙丙偕戊丙矩内形第六题(四支)三不等角形从角作垂线任分底为二知其邉数即知各分数解曰同前图乙甲甲戊等戊丙为任分之较法曰丁乙丁丙上两方之实相减余者以底数而一得戊丙以减底数余者半之得乙甲小分如丁丙十五丁乙十乙丙底十八丁丙自之得二百二十五丁乙自之得一百相减存一百二十五以底十八为法而一得六又十八之十七戊丙也以减十八存十一又十八之一乙戊也半之得五又三十六之十九乙甲也次解曰依二卷十三题乙丙为两锐角则丁丙上方小于丁乙乙丙上两方其较为乙丙偕乙甲矩内形二法曰用前数乙丁一百乙丙三百二十四两方形幷为四百二十四减去丁丙方形之数二百二十五存一百九十九为实底数一十八为法而一得乙甲之数约之为五又三十六之十九者二三解曰以丁大角为心丁乙小邉为界作全圏截丁丙于己乙丙于戊丁丙引长于辛丁乙丁辛两半径等则辛丙偕己丙与乙丙偕戊丙两矩内形等(三卷三十六)乙甲甲戊又等(三卷三)丙乙大邉有戊丙分在圏外法曰用前数丁丙十五加丁乙十或丁辛得辛丙二十五丁己与丁乙等则辛己径为二十以己丙五乗辛丙得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六又十八之十七为戊丙有戊丙得乙戊平分乙戊得乙甲四解曰以丁大角为心丁丙大邉为界作全圈乙丙底引长于戊丁乙邉引长于庚于己即庚乙乙己矩内形与丙乙乙戊矩内形等(三卷三十五)丙甲甲戊既等庚丁丁丙亦等庚乙邉二十五丁丙丁乙两邉幷亦二十五丁己丁丙各十五减丁乙十存乙己五与庚乙相乗得一百二十五为实乙丙十八为法而一得六有竒为戊乙以加乙丙十八得戊丙平分得丙甲第七题断比例之四率以三推一名三率法解曰四几何为两比例等先有三推得第四或同类或异类其前其后不得更易用反理亦用转理列第一第二第三率即可推第四率依七卷十九题中率相乗与首尾两率相乗得数等故二三相乗为实第一为法而一得四率也昔人因其用大算家必需称为全法焉(同类)(异类反理转理俱见几何四卷)第八题三邉直角形锐角为心底为界作象限圏半径为全数在心角对邉为其弧之正弦其旁为正弧之余余弧之正解曰如前图甲乙丙直角形乙锐角为心乙丙底为界作丁己象限圏引乙甲邉于丁从心作乙己垂线题言甲直角乙丙为对邉作全数(本界说八)丙甲邉为在心角之对邉即丁丙弧之正弦(本界说五)而甲乙邉为丁丙正弧之余弦为丙己余弧之正弦所以然者试从丙作丙戊与甲乙平行甲直角丙戊乙亦直角则丙戊甲乙两线等(一卷三十四)丙己弧为丁丙正弧之余弧丙戊为丙己余弧之正弦为丁丙正弧之余弦(甲乙同)又如后图用锐角丙为心乙为界则乙甲为丙角之对邉为乙丁正弧之正弦甲丙其余弦(乙戊同)第九题三角形邉与邉之比例若各对角之正弦解曰题一言直角形依前论各邉为对角之正弦在心角与正弧与正弦俱同理则弧与弧弦与弦角与角其比例俱等二言三邉等即三角俱等(一卷五)角之正弦亦等则邉与邉皆若角与角三言己乙丙杂角形三邉形不等则以己乙小邉引长于丁为乙丁与己丙等丙为心己为界作己庚弧又乙为心丁为界作丁戊弧末作丁辛甲己两垂线至乙丙底论曰丁辛乙甲己乙两直角形之丁辛甲己平行同用乙角即各邉俱相似(六卷四)则乙丁与乙辛若乙己与乙甲又先设乙丁己丙等是丙己邉与丁辛若己乙邉与甲己也夫丁辛为乙角之正弦甲己为丙角之正弦更之则丙己邉与己乙邉若乙角正弦之丁辛与丙角正弦之甲己也第十题有三角即有三邉之比例解曰直角形设一锐角自有其二(一卷三十二)三邉等形设一邉自有其三两邉等形有腰间角以减两直角平分其较自得底上角杂角形有两角幷以减两直角其较为第三角(杂角者总直钝锐也下文以直角为例)如乙角四十二度查正弦得六六九一三丙角四十八度得七四三一四则丙甲邉与乙甲邉若六六九一三与七四三一四约之为三十三与三十七有竒也其乙丙与丙甲若全数与乙角之正弦六六九一三也钝角同理第十一题三角形有设角之比例即有各角之几何解曰乙丙丁角形丁角与乙角若三与四乙角与丙角若四与六题言可得各角之几何论曰三几何分之有比例幷之亦有比例(五卷十八)乙丙丁三角幷得十三其与丙若十三与六与丁若十三与三与乙若十三与四如求每角几度则用三率法三角幷为第一两直角幷一百八十为第二每角之分数为第三推之得第四或用四卷八题之法三与四四与六四数横列之以第一第三相乗所得为第一率以第二第三相乗所得为第二以第三第四相乗所得为第三(再用前法)又如乙与丙若三与四丙与丁若五与六列数如图第十二题 论直角三邉 (四支)三角形有锐角及直角之对邉求余邉一法曰置弦(三角形之弦直角之对邉也)如乙丙二丈五尺乙角三十六度五十二分丙角必五十三度○八分求丙甲邉以乙角为心作丁丙戊象限弧则乙丙全数也丙甲邉乙角之正弦也一率甲直角之全数十万二率丙乙邉外数二十五尺(言内者八线表数言外者今所求得数如丈尺等)三率乙角(三十六)一度五十二分 或用丙角五十三度正弦内数五九九九五 其正弦内数八○○○三四率得一四九九约得一丈四尺 四率得二丈为甲丙邉外数 为甲乙邉外数用加减法凡全数为第一率如置十万即第二第三率之数进为万加○若过万则退位两率各当正弦向各表上取其弧两弧幷而相减求总存两弧之各余弦若总数过九十者两余弦相加其半为第四率总数不过九十者两余弦相减所存半之为第四率如全数与二十五若五九九九五与所求数法二十五作二万五千正弦表取其弧得十四度二十九分查第三率得三十六度五十二分两弧幷得五十度二十分其余弦为六三八三三相减存二十二度二十四分其余弦九二四五五两余弦之较二八六二三半之得一四三一为第四率与三率乗除所得同用切割两线二法曰丙乙角为心甲为界作甲戊己弧截乙丙于戊则乙甲邉全数也甲丙乙角之切线也乙丙乙角之割线也有乙设角即有其切线与割线而求甲乙邉则乙角之割线与乙丙(外)若乙甲全数与乙甲(外)又求甲丙邉则乙角之割线与乙角之切线若乙丙(外)与丙甲(外)一乙角三十六度五十二分之割线三四九九五二乙丙外邉二十五 或二乙角之切线七四九九一三全数十万 ○三乙丙外邉二十五四得二十为外甲乙邉 四得十五为外甲丙邉三法曰设直角傍之一邉如乙丙甲角五十三度八分用正弦则乙丙为全数其法为丙角之正弦与乙甲外数若甲直角之全数与乙丙底外数丙角五十三度八分之正弦八○○○三乙甲邉外数二十乙丙全数十万 乙角之正弦五九九九五得二十五强即乙丙底外数 得一十五强乃甲丙邉外数用割切二线四法曰设乙甲邉与乙角则甲乙全(内数)与其外数若乙丙割线(内数)与其外数或若甲丙切线(内数)与其外数底与邉俱得乙甲全数十万乙甲邉数二十乙角割线内数一二四九九五 乙角切线内数七四九九一得二十五强即乙丙外数 得一十五强即甲丙外数第十三题(三支)有两邉求余邉又求其角一支两邉在直角之傍一法曰先求邉用勾股法两邉数自之幷而开方得直角之对邉(一卷四十七)次以邉求其角因角与角之比例若邉与邉用正弦数为丙乙邉之外数与甲角之全数若丙甲邉外数与乙角之正弦亦若甲乙邉外数与丙角之正弦丙乙外数五全十万甲乙外数三 甲丙邉外数四用剖切线二法曰丙锐角为心丙甲为全数甲乙其切线丙乙割线也先求角则甲丙邉外数与全数若甲乙邉外数与丙角之切线丙甲外数四全十万甲乙邉外数三得七五○○○为丙角之切线查得三十六度五十二分有丙角自有乙角而求丙乙邉则全数与甲丙外数若丙角之交线与丙乙外数全十万甲丙外数四丙角交线一二五○二二得五为丙乙邉外数二支一邉为直角之对一邉在直角之傍三法曰先用勾股法两设邉各自之相减余开方得所求邉有邉求角则角与角之比例若邉与邉四法曰不用开方用第一支求角法有二邉即有对角之数次求邉则丙乙全数与丙乙外数若乙角之正弦与丙甲外数全数十万乙丙外数五乙角之正弦八○○○三得四为甲丙邉外数用割切两线五法曰求角用乙角之割线则乙甲外数与全数若乙丙外数与乙丙内数内乙丙者乙角之割线也乙甲邉外数三全数十万乙丙外数五得一六六六六六为乙角之割线查得五十三度五十二分(丙角三十六度○八分)六法曰求邉用乙角之切线则乙甲内全数与乙甲外数若乙角之切线与甲丙外数乙甲内全数十万 或乙角之割线一六六六七九甲乙外数三 乙角之切线一三三三四九乙角之切线一三三三四九 乙丙邉外数五得四为甲丙邉外数 得四为甲丙邉外数又问有一邉及两邉之比例余邉几何法曰设一邉与第二邉有比例或大或小则以大比例为前数为第一率设邉数为二率比例之后数为三率用三率法得四率为第三邉之数次用勾股法求第三邉如乙甲一丈乙甲与甲丙若二十与二十五得甲丙一丈二尺五寸次用开方求之又问设两邉总之较问各邉若干此测量不常用见勾股索隠又增题 三邉直角形设两腰以求角法曰设甲乙七十五甲丙百则以乙丙底平分于丁作丁戊垂线交丙甲腰于戊从戊至乙角作戊乙线是与戊丙等(一卷十)次以戊为心乙为界作丙乙己半圏丙甲腰引长至己即乙甲为丙甲甲己之中比例线(六卷十三)是乙甲上方形与丙甲甲己矩内形等次以乙甲邉自之以丙甲邉而一得甲己知丙己径之数即知丙戊及戊乙半径之数用三率法外戊乙与全数若外乙甲与乙戊甲角之正弦夫乙戊甲在心角也丙在弧角也弧角半于心角则因乙(戊甲)角得丙角(三卷二十)(题)甲乙七十五自之五千六百二十五甲丙百而一得五十六又四之一与丙甲幷得一百五十六又四之一即丙己半之得七十八又八之一即丙戊半径戊丙七八又八之一全十万甲乙七五乙己弧正弦九六○○○查得七十三度二十二分半之得三十六度四十一分用切线甲丙全数也丙甲为丙乙甲角之切线则甲丙一率也全数二率也甲乙三率也所得丙角之切线也第十四题(论杂角三邉形)有三角及一邉求第二第三邉解曰依前论邉与邉若角与角如设乙角六十○度丁角三十六度丙角八十四度乙丙邉一十○歩法曰所有邉其对角之正弦为第一率邉数为二率所求邉对角之正弦为三率得四率即所求邉数丁角之正弦五八七七九乙丙邉数一十丙角之正弦九九四五二 乙角之正弦八六六○○一得十七为丁乙邉 得十五为丙丁邉若三角形有钝角当借用其余角之正弦第十五题(三支)有角及其旁两腰求余邉余角一支不论角之体势 如丁乙丙角形乙丁邉一十二歩丁丙一十五歩丁角二十四度三十七分而求乙丙邉乙角丙角先以丙丁邉引长之丁为心乙为界作乙壬辛戊弧截引长邉于戊次作戊乙通弦从丁作丁庚辛线与丙乙平行末平分戊乙弦作丁甲壬线解曰乙丁丙角二十四度半强则乙丁戊角必一百五十五度半弱庚丁戊角与丙角等(在平行线内)庚丁乙角亦与丁乙丙角等盖丁乙线交两平行线故其相对两内角等则乙丁邉与丙角之正弦或庚丁戊角之正弦若丁丙与乙角之正弦或庚丁乙角之正弦依显戊庚弦与庚乙弦若庚丁戊角之正弦与乙丁庚角之正弦亦若乙丁(一十二)与丁丙(一十五)也(本卷四题)次以乙丁丁丙同比例之戊庚庚乙幷得戊乙二十七半之得甲戊一十三又半为外一率甲丁戊角之切线为内二率甲戊内减比例之小数戊庚存甲庚一有半为外三率求得甲丁庚角之切线为内四率查得本角之度知甲丁戊角则亦知甲戊切线知甲庚庚戊之比例则亦知甲丁庚角之切线甲庚也甲丁庚为乙丙两角之较以加减得各角之数乙丁邉十二丁丙邉十五总二十七代以乙戊也半之得十三半甲戊也减比例小数即十二余一半甲庚也丁角二十四度三十七分乙丙两角幷得一百五十五度二十三分即戊丁乙也其半七十七度四十一分甲丁戊也法曰乙丁丁丙两邉数幷半之为第一率乙丁戊角之数半之为甲丁戊其切线为二率甲戊内减去比例之小数十二所存甲庚为三率得甲丁庚角之切线查度以减甲丁戊外角所存为庚丁戊角之度即丙角之度既得角则用前法求邉(或两腰总数作第一率两腰较作第三率)甲戊十三有半甲丁戊角之切线四五八○○一甲庚有一半得五○八一五为甲丁庚角之切线查得二十六度五十六分甲丁乙角七十七度四十一分加甲丁庚角二十六度五十六分共一百○四度三十七分即丁乙丙角也又甲戊丁角七十七度四十一分减甲丁庚角二十六度五十六分余五十度四十五分为丙角则乙丁邉与丁丙邉若丙角与乙角二支所设为钝角解曰如丁乙丙角形丙钝角一百三十度丁丙邉一十二歩丙乙邉一十五歩用设邉如乙丙引长之从丁作垂线至引长邉得甲㸃在形外何者甲乙丁角形有甲直角丁丙乙角形有丙钝角则丙丁乙丙乙丁两角小于甲丁乙丁乙甲两角盖每角形之三角幷等两直角钝大于直则所余两角幷必小于直角之两余幷矣故丁甲线在丙丁之外丁丙乙角既一百三十度甲丙丁其余角也必五十度丙丁甲角必四十度一法用正弦用开方丁角为心丁乙邉为界作戊乙辛圏分又丁丙为界作午丙子象限圈即甲丁丙直角形有丁丙邉十二歩甲丙丁角五十度丙丁甲角必四十度而求甲丁甲丙两邉其法全数与丁丙若甲丙丁角之正弦与甲丁甲丙亦如之既得两邉开方求丁乙邉(甲丙丙乙幷之得勾丁甲为股故也)全数十万丁丙邉外数十二甲丙丁五十度角之正弦七六六○四 甲丁丙四十度角之正弦六四二七九得九又一百之十九为甲丁邉外数 得七又一百之七十一为甲丙邉外数(甲乙二十二又一百之七十一甲丁九又一百之十九)自之幷得一万之六○○二四三五开方得一百之二四四九即丁乙邉约之得二十五不足有三邉以求角则丁乙邉与全数若丁丙邉与乙角之正弦查得二十二度有竒用割切两线丁为心作甲己象限圏即丙丁为丙丁甲角之割线甲丙其切线也乙丁为乙丁甲角之割线甲乙其切线也甲丙丁角有五十度其形内有丁丙两锐角有丁丙邉十二歩而求甲丁甲丙两腰得甲丁九歩又一百之一十九甲丙七歩又一百之七十一以丙乙丙甲幷为甲乙邉二十二歩有竒则甲丁乙三角形有甲丁甲乙两邉开方求丁乙底得二十四歩半有竒甲丁丙角割线一三○五四丁丙邉外数十二全数十万 甲丁邉角切线八三九一○得九又一百之十九为甲丁邉外数有三邉以求角则甲丁邉外数与全数若甲乙邉外数与乙丁甲角之切线甲丁邉数九歩一十九分全数十万甲乙邉之数二十二歩七十一分得二四七一一六为乙甲丁角之切线查得六十度五十分三支所设为锐角解曰如丁乙丙角形乙锐角二十四度二十七分丁乙邉三十六歩乙丙邉五十二歩十五之十一一法用正弦数亦用开方从乙丙底之对角丁作垂线分元形为甲乙丁甲丙丁两形次以丁为心丙为界作寅丙壬弧又以乙为界作辛乙庚弧夫甲乙丁角形丁乙为全数设乙角则甲丁为正弦甲乙又丁角之正弦用法求甲丁为一十五歩求甲乙为二十二歩又一十五之一十一则以甲乙减丙乙存甲丙线二十歩依显丁甲丙角形有丁甲一十五歩甲丙二十歩用开方法求丁丙得五歩末以三邉求甲丙丁角得三十六度五十○分全数十万丁乙邉外数三十六乙角之正弦四六六七 乙角之余弦九○九○六得十五为丁甲邉外数 得二十三又十五之十一为乙甲邉外数丁丙邉二十五甲丁邉十五全十万得六○○○○为丙角之正弦查得三十六度五十五分用割切两线丁为心丁甲垂线为界作己甲午半圏丁甲乙角形丁甲为全数丁乙邉为乙丁甲角之割线甲乙其切线也又丁甲丙角形丁甲为全数丁丙邉为丙丁甲角之割线甲丙其切线也丁乙甲角形有丁乙邉三十六歩有丁角为乙之余角六十五度二十二分用法求丁甲甲乙两邉于丙乙减甲乙存二十为甲丙邉又丁甲丙角形有丁甲甲丙两邉用法求丙角亦求丁丙邉乙丁甲角之割线二三九九九九丁乙外邉三十六全数十万 乙丁甲角之切线二一八一七三得十五为所求外丁甲 得三十二又十五之十一为外甲乙求角甲丁邉十五全数十万甲丙邉二十得一三三三三三为甲乙丙角之切线查得五十三度○七分求邉全数十万甲丁丙角之割线一六六六六五丁丙邉十五得二十五弱为丁丙邉甲丙甲丁两邉之正方实幷而开方得丁丙二十五弱第十六题(四支)杂角形设两邉及一邉之对角求余邉余角一支不论角之体势依邉与邉若角与角比例之法先求乙角则丁乙为外一率其对角(即丙角)之正弦为二率丁丙为外三率所得为乙角之正弦以丁二十五歩弱丁丙十二歩丙角百三十度列数得之丁乙邉二十五歩弱丙一百三十度用五十度角之正弦七六六○四(为一)(弦当大小两弧)丁丙邉十二得三七五○○为乙角之正弦查得二十二度○二分幷乙丙两角之度以减一百八十余二十七度五十八分得丁角次有角求丙乙邉则乙角之正弦与外丁丙若丁角之正弦与外丙乙乙角之正弦三七五○○丁丙邉十二丁角之正弦四七○○○得十五为丙乙邉二支所设为钝角(数如前)用所设两腰间之丁角为心以丙以乙为界各作弧用正弦数如十四题第一图丁丙乙钝角一百三十度则甲丙丁角必五十度丙丁甲角必四十度(甲直角故)求甲丁邉用前法(如一图)又甲丁乙角形有甲丁邉九歩又百分之一十九分丁乙邉二十四歩求甲乙丁角(如二图) 又丁丙乙角形有乙角有丁丙乙角依前法求丙乙邉(如三图)全数十万丁丙邉十二甲丙丁五十度角之正弦七六六○四得九又一百之十九为甲丁邉数丁乙邉二十四歩半 乙角之正弦三七五○全十万 丁丙邉十二甲丁邉九歩又一百之十九 丙甲乙角之正弦四六八九六得三七五一为甲乙丁角之正弦 得十五为乙丙邉用割切两线甲丁为全数丁丙为甲丁丙角之割线甲丙其切线也丁乙为甲丁乙角之割线甲乙其切线也今有丁丙乙角一百三十度余角甲丙丁必五十度则甲丁丙直角形有两角有丁丙对直角之邉而求甲丁邉一图甲丁丙四十度之割线一三○五四一丁丙邉十二全数十万得九又一百之十九为甲丁邉外数二图或甲丁丙角之切线八三九一○为三率得七又半不尽为甲丙邉外数三图甲丁邉九有竒丁乙二四半全数得二六六五九四为甲丁乙割线查得六十七度二十三分(乙角之度二十二度○十○分)四图全数甲丁邉九有竒丙切线之较一六一三五得十五为丙乙邉又甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线丙乙为两切线之较则全数与甲丁邉若切线之较与丙乙(如四图)三支三角形有两邉及锐角其二亦锐角如丁乙丙形有丁乙邉三十六歩丁丙邉二十五歩丁乙丙锐角二十四度三十七分丁丙为其对邉法用所设两腰间之丁角作甲丁垂线至丙乙邉用正弦数丁为心丙为界作戊丙弧乙为界作己乙弧即甲丁乙角形有丁乙邉有乙角可求甲(丁甲乙两)邉(如一二图)甲丁丙角形有甲丁丁丙两邉可求丙角(如三图)可求丙甲邉(如四图)一图全数十万丁乙邉三十六乙角之正弦四六六七得十五为甲丁邉外数二图或乙丁甲角之正弦九○九○六为三率得三十二又十五之十一为甲乙邉外数三图丁丙邉二十五全数十万甲丁邉十五得六○○○○为甲丙丁角之正弦查得三十六度五十○分四图全数十万丁丙邉二十五○○○○甲丁丙角正弦八○○○○得十五为甲丙邉外数用割切两线丁乙为乙丁甲角之割线甲乙其切线也即甲丁乙角形有丁乙六十三歩乙角二十四度三十七分可求丁甲甲乙两邉(如一)(二图)又甲丙丁角形有甲丁丁丙两邉可求甲丁丙角甲丙邉(如三四图)一图乙丁甲角之割线二三九九九九全数十万丁乙邉三十六得十五为甲丁邉外数二图或乙丁甲角之切线二一八二五一得三十二又十五之十一为乙甲邉外数三图甲丁邉十五全数十万丙丁邉二十五得一六六六七九为甲丁丙角之割线查得五十三度八分四图全数十万甲丁丙角之切线一三三四九甲丁邉十五得二十七又十五之四为甲丙邉外数四支所设为锐角有两邉其旁为钝角一法用正弦数如丁乙邉二十四歩半丁丙邉一十二歩乙锐角二十二度○二分丙为钝角用第二支图作丁甲垂线即甲丁乙直角形丁乙二十四歩可求甲丁甲乙两邉(如一二图)甲丁丙直角形有甲丁丁丙两邉可求甲丁丙角(如三图)甲丙邉(如四图)一图全数十万乙丁邉二十四歩半乙角之正弦三七五一五得九歩又一百之十九为甲丁邉二图或甲丁乙角之正弦九二六九七为三率得二十二又一百之七十一为甲乙邉三图丁丙邉十二全数甲丁邉九又一百之十九得七六六○一为甲丁丙角之正弦查得五十度四图全数丙丁甲角之正弦六四三○一丁丙邉十二得七又一百之七十五为甲丙邉外数用割切两线法与前同第十七题三角形有三邉求三角三邉等则三角亦等各角皆六十度于一百八十度为三分之一或两邉等如丁乙丁丙法从丁作丁甲垂线至乙丙底分本形为甲丁乙甲丁丙两角形而等何者丁乙丁丙两腰等乙甲甲丙又等丁甲同腰则两形必等(一卷八)即甲乙丁角形有丁乙腰乙甲半底依角与角若邉与邉用三率法求之先置各腰五歩乙丙六半之为乙甲三推得乙丁甲角倍之得乙丁丙角以减两直角余为乙丙两角幷之数半之得两角数为两角等故丁乙邉五全数乙丙邉三得六○○○○为乙丁甲之正弦查得三十六度五十二分甲丁乙三十六度五十二分即所倍乙丁丙为七十三度四十四分以减一百八十存一百○六度一十六分为乙丙两角之幷数半之得五十三度○八分为乙丙两角之各本数或各邉不等如丁乙丙角形丁乙一十歩丁丙一十五歩丙乙一十八歩用丁角为心(此角在两小腰间)丁乙为界作戊乙己辛圈而以丙丁邉引长至戊依五题求甲乙得五歩半甲丙得一十二歩半即甲丙丁直角形有丁丙甲丙两邉求得丙丁甲角(如一图)因得甲丙丁角又甲丁乙直角形有丁乙甲乙求得甲丁乙角(如二图)因得甲乙角又幷两角得丙丁乙角亦得丙乙两角为是丁上两角之余故一图丁丙邉十五甲丙邉十二半全数得八三三三三为丙丁甲角之正弦查得五十六度二十六分二图丁乙邉十乙甲五半全数得五五○○○为甲丁乙角之正弦查得三十三度二十二分即丙角新法算书卷八十七
## 卷八十八
钦定四库全书
新法算书卷八十八 明 徐光启等 撰测量全义二第一题平靣测远(三支)一支测两物之能到者 一法曰甲乙为地平靣上江河之广或土田道里之远欲从甲测去乙几何于甲角上平安象限仪之心(后言象限或言仪平安言安省文)两边向乙向丙作直角次从甲向丙行任取一十二步为丙㸃丙上再安象限边向甲窥衡望乙交象限之周线于丁定丙角为四十八度成甲乙丙直角形此形有甲丙边丙角而求甲乙边法为全数与甲丙边外数若丙角之切线与甲乙边外数也算得一十三步又三之一为甲与乙平靣相距之远(象限仪法见本篇第三卷窥衡或作指尺义同)二法曰丁乙为两所不能作直角或不欲或地非平靣(山水林木屋舍所隔)则丁安象限边向乙窥衡向丙定丁角为六十二度向丙行任取一十二歩丙上再加象限边向丁窥衡望乙定丙角为八十度成丁乙丙角形此形有丁丙边丁丙两角自有乙角而求乙丁边法乙角之正弦与丁丙边外数若丙角之正弦与丁乙边外数算得一十九歩又五之一为乙与丁相距之逺丁为钝角亦如之 三法曰或从丁向丙线持象限前却取得甲直角是乙丁为直角之对边也法全数与外甲丁若丁角之交线与外乙丁四法曰若丁为钝角上安象限面移丁丙线外边向乙衡向任取之丙表定戊丁丙角为五十度以并戊丁乙直角得钝角一百四十度末定丙角二十四度成丁乙丙角形此形有丙丁边一丈二尺丙角二十四度法乙角之正弦与外丁丙若丙角之正弦与外乙丁得一丈七尺七寸五法曰丁安象限边向乙衡向任取之丙表得二丈从丁直视过丙至己任定丙己为一丈以上安象限边向戊衡向丙令己角与丁角等末前却令戊过丙至乙作直线则丙己与己戊若丙丁与丁乙论曰丁乙丙丙己戊两角形相似何者己丁两角等丙上两交角又等是形与形相似(六卷四题)即相当边之比例必等用三率法丙己一丈为一率己戊三丈为次率丁丙二丈为三率算得六丈为乙丁六法曰甲乙为两所从乙引长任取二十步为丙又任作丙丁戊直线任取丙丁二十五步丁安象限边向乙衡向丙定乙丁丙角次持象限前却取戊令戊角与丁角等量丁戊得六十一步法丙丁与丁戊若丙乙与乙甲(六卷二)算得十二步又一十五之四不用布算法七法曰乙丁为两所乙安象限边向任取之丙衡向丁得丁乙丙外角七十度次从丙乙直线上求戊令戊角半于丁乙丙角则戊乙与乙丁等论曰丁乙丙外角与相对之两内角等(一卷三十二)戊角半丁角亦半两角等两腰亦等八法曰乙上安象限作六十度角次于乙丙直线上求丙亦作六十度角则乙丙与乙丁等论曰乙丙两角各六十度则丁角亦六十度而乙丁丙为三边等形九法曰若乙丙短则向乙向丁求甲直角得甲乙为乙丁之半论曰丁乙甲直角形乙角既六十度则丁角三十度因角与角之正弦若边与边是三十度之正弦全数之半也故乙甲为乙丁之半也十法曰任设乙角为四十度次以半周上余度平分为七十度于乙丙线上前却令丙角亦七十度则乙丙与乙丁等论曰丙角为外角之半丁角亦半乙丙与乙丁两线必等用矩度法 用矩度者以器上小形当所测大形也如所测为甲乙则矩度之边壬丙或己辛与甲乙平行其相当数为比例必等所设两在边为甲丙则矩度之边壬辛或丙己与甲丙平行其相当数为比例必等(一卷)(二十九三十二题)置法同前甲恒为直角十一法曰一解窥衡交线(后省曰交或曰视交)在对角则丙甲与甲乙等论曰丙己辛丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两相似(六卷四题)而矩形丙己与己辛等则丙甲与甲乙亦等二解视交在两所平行边如戊则丙己与己戊若丙甲与甲乙论曰丙己戊丙甲乙两角形相似何者两形有己甲各直角同用丙角则两形相似(六卷四题)而矩形之丙己与己戊若甲丙与甲乙三率法丙己一百分为首率己戊七十分为二率丙甲一十五步为三率算得甲乙十一步半(两所平行边后省曰平边)三解视交在两测平行边如丁则丁壬与壬丙若丙甲与甲乙(两测平行边后省曰立边)论曰丁壬丙丙甲乙两角形相似何者两形有直角有相等之壬丁丙乙丙甲两角在平行线内则相当线之比例必等 三率法丁壬六十分为一率壬丙百分为次率丙甲一十二步为三率算得二十步为甲乙省算法 十二法曰交戊甲丙六十步即于丙己边自己至未取六十分与甲丙比例等自未至视线作未子为丙己之垂线从子作子午为辛己之垂线得子午戊形戊午之若干分为甲乙之若干步论曰子午戊丙甲乙两角形相似何者两形各有直角有相等之戊角与乙角则各边之比例等先作未己或子午与甲丙比例等则戊午甲乙比例亦等 若交在丁从壬至午取六十分作午子垂线二支测两所之不能到者一法曰乙丙为两所俱不能到独甲可到即于甲上立表令甲乙丙为直线安象限边向乙向丁行至丁得若干步安象限于丁边向甲衡以次向乙向丙成甲丁丙甲乙丁两直角形甲乙丁角形有甲丁边丁角可求甲乙边(本书首卷十二题二解)甲丁丙角形有甲丁边丁角可求甲丙边末以甲乙减甲丙所余乙丙用切线可求乙丙边如甲丁二十四步乙丁甲角三十四度丙丁甲角四十八度则甲丁为全数而甲乙为甲丁乙角之切线甲丙为甲丁丙角之切线两切线之较为乙丙用三率法全数一甲丁二十四步二切线较三算得一十步一十五之七为乙丙二法曰乙丙为两所直线上更任取两所如丁如庚次作庚壬线任取壬㸃安象限边向丙窥庚定壬角之度次辛㸃上安象限向乙向庚游移令辛角与壬角等次戊安象限向丁(乙丙直线上)向庚游移令戊角与壬角亦等未量壬辛戊庚及庚丁各几何用三率法与戊庚与辛壬若庚丁与乙丙三法曰乙丙直线上任至一处如庚庚上安象限边向乙丙窥丁定丁庚乙角之度又从庚丁直线上至戊戊上安象限作庚戊己角与丁庚(乙角)等即戊己线与丙庚平行次于巳上窥过丁到丙戊己之间游移窥过丁到乙得辛则戊丁与辛己若丁庚与乙丙论曰丙乙丁辛己丁两角形相似戊辛丁乙庚丁两角形亦相似则各边之比例自等省算 四法曰乙庚为两所直线上取甲安象限作乙甲丁直角行至丁安象限边向甲窥乙窥庚作甲丁乙甲丁庚两角次甲乙直线上寻戊作甲戊丁为乙丁甲之余角寻巳作甲己丁为甲丁庚之余角则得戊己与乙庚等论曰甲乙丁甲戊丁两形等何者戊为甲丁乙之余角则与乙角等同用甲丁边故两形等依显甲庚丁甲丁己两直角形亦等夫庚甲甲己既等减相等之甲乙甲戊所存戊己乙庚亦等五法曰甲丁直线上取戊安象限窥乙作戊角为四十五度丁上窥庚亦令丁角为四十五则戊丁与乙庚等(戊甲乙为直角)论曰丁戊各半直角则庚与乙亦如之甲丁甲庚必等又甲戊甲乙亦然减相等之甲乙甲戊则所存亦等六法曰若庚乙丁戊两线上所得角未真则于乙庚线上取丙安象限作六十度角丙丁线上寻戊寻丁望乙望庚作戊丁二角各六十度则戊丁与乙庚等论曰丁丙庚角形之三角同为六十度乙戊丙亦如之减相等之戊丙乙丙所存丁戊乙庚自等七法曰置丙角六十度令戊丁为两直角则戊丁为庚乙之半论曰庚丙丁乙丙戊两直角形有丙角六十度乙角必三十度因边与边若角与角之正弦则三十度之正弦戊丙为全数乙丙之半又庚丙为全数丁丙为庚角之正弦视全数亦半庚丁乙戊既平行则庚丙与丁丙若乙丙与戊丙分之乙丙与戊丙若庚乙与戊丁戊丙为乙丙之半则戊丁亦乙庚之半八法曰若丙为钝角则以丙角之余度平分之次于丙丁线上寻戊寻丁各作丙角余之半则戊丁与乙庚等论曰乙丙戊庚丙丁两角形相似乙戊庚丁四角等则边亦等减相等之戊丙乙丙所存之戊丁乙庚亦等用矩度九法曰庚向乙直线上行取甲甲上安矩度作甲丁垂线行至丁得若干步安矩度边向甲窥乙与庚各交矩度边 一解交乙庚平行边于己于戊则丁壬与戊己若丁甲与乙庚(戊己与乙庚平行故曰平行边)论曰己丁壬庚丁甲两直角形同用丁角则相似是丁壬与壬己若丁甲与甲庚又丁壬戊丁甲乙两直角形同用丁角亦相似是丁壬与壬戊若丁甲与甲乙更之丁壬与丁甲若壬戊与甲乙夫壬戊甲乙乃壬己庚甲两全内所取之分也(五卷十一)则所余戊己与乙庚若壬己与甲庚亦若丁壬与丁甲矣三率法丁壬一百分为首率戊己四十分为次率甲丁六步为三率算得二步又十分之四为乙庚二解交立边于午于子论曰午丁辛丁庚甲两直角形相似以求甲庚边子辛丁丁甲乙两直角形相似以求甲乙边庚甲内减甲乙较为乙庚省算于丁壬边取丁寅之分数如丁甲之步数(每步取一分或)(二或三俱得)寅上作垂线交两视线于酉于卯则卯酉之分数为乙庚之步数论曰卯寅丁庚甲丁两形相似酉寅丁乙甲丁两形亦相似卯寅内减酉寅庚甲内减甲乙则丁寅与卯酉若丁甲与庚乙三解互交两边于己于戊先求甲庚次求甲乙甲庚内减甲乙余为乙庚边其求甲庚为丙己与丙丁若甲丁与甲庚求甲乙为丁壬与壬戊若甲丁与甲乙 省算丁壬边上取丁寅之分数如甲丁之步数寅上立垂线交两视线于午于子则午子之分数如乙庚之步数三支物莫能到复不能作线与㕘直一法曰乙己两物不能到复不能向乙己作直线则于甲上安象限边向乙窥己成甲乙己角(形向丁次)行至丁得若干步上安象限边向甲窥乙成甲丁乙角形复窥己成丁乙己角形若乙甲丁形有丁角为三十八度丁甲十步而求甲乙边法为全数与外甲丁边若丁角之切线与外甲乙边算得七步又六十之四十九(若甲非直角则定其)(角之度)次己甲丁形有丁甲十步丁角七十七度甲角六十五度而求甲己边法为己角之正弦与外甲丁边若丁角之正弦与外甲己边算得一十五步又六十之四十九次甲乙己角形有甲角甲乙边七步又六十之四十九甲己边一十五又六十之四十九而求乙己边即从乙到戊作垂线分本形为两直角形其甲乙戊角形有甲角二十五度甲乙七步有竒而求甲戊边法为全数与外甲乙边若乙角之正弦与外甲戊边算得七步又六十之五次求乙戊边法为全数与外甲乙边若甲角之正弦与外乙戊边算得三步又六十之一十八末于甲己内减甲戊余八步又六十之四十四为戊己其乙戊己角形有乙戊戊己两边以句股法求之得乙己九步有竒二法曰任内丙表安象限边向乙窥巳定己丙(乙角)之度丙乙直线上取丁安象限边向己窥过丙到乙定己丁丙角为己丙乙角之半又于己丙直线上取戊安象限边向乙窥丙到己令乙戊丙之角为丙角之半则得丁戊与乙己等论曰丙丁己角为乙丙己外角之半则己角亦半夫角等者腰亦等则己丙与丁丙等乙戊丙角为乙丙己外角之半则乙角亦半而乙丙与丙戊等夫乙丙己丁丙戊两形之两腰等两腰间角等则乙己与戊丁两底亦等第二题斜靣测远(三支)一支不论根之能到与否一法曰乙甲为山之髙其坡乙丙欲测坡若于于丙或左或右置象限作直角一边向丁至丁上置象限边向丙窥乙令丁为四十五度角则得丙丁与乙丙等论曰乙丁丙直角形丁角四十五度则乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之对边也必等二支根之能到者 二法曰置丙象限边向甲根窥乙定丙角之度此形有甲丙边丙角而求乙丙边法为全数与外甲丙若丙角之割线与外乙丙 三法曰丙甲直线上求丁置象限令其角为乙丙甲角之半则丙丁与乙丙等四法用矩度一解曰表在丁窥交平边于辛为辛庚与辛丁若甲丁与乙丁二解曰表在丙窥交为对角线依句股法丙甲自之倍之开方得弦三解曰表在戊窥交立边于己为戊寅与戊己若甲戊与戊乙五法省算矩边从丁到午取分数如丁甲之歩数立午子垂线成午丁子角形与甲丁乙形相似则丁子之分数为乙丁之步数从戊亦如之三支根之不能到者 六法曰丙丁直线上用象限两次于丙于丁成乙丙丁形此形有丁丙边丁丙两角用正弦法得乙丙边七法曰以意置乙甲垂线用丁乙甲丙乙甲两角之切线较为一率外丁丙为次率丙乙甲之割线为三率所得为外率乙丙(或丁乙甲交线为三)(率所得四率乙丁)用矩度(八法)一解交平边法曰在丙交辛于甲丙直线上退至丁得若干步而交己则己辛与辛丁(即辛丙)若丁丙与丙乙论曰壬辛丙角形与甲丙乙角形相似丁己壬角形与乙丁甲角形相似于壬己减壬辛甲丁减甲丙则丁丙与己辛相似二解交立边法曰在丙交辛退丁交己则于矩靣上作子午线与丁戊平行截辛丁线(即辛丙)于子遇己丁线于午成子午丁角形与丁丙乙角形相似则子午与子丁若丁丙与丙乙或矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚辛丁形与乙丁丙形相似是庚辛与辛丁若丁丙与丙乙次求辛丁线法以辛戊戊丁各自之并而开方得所求次求辛庚线法己戊与戊丁若辛己与辛庚为丁己戊辛己庚两直角形有庚丁两角在平行线内即相似故论曰丁午子丁丙乙两形相似葢子午丁午丁戊为平行线内相对之两角等辛子午辛丙壬两角等(在平行线内)则乙丙丁辛子卯两余角自等辛子卯午子丁两交角亦等既两形之各角俱等即各边自相似 省算取子午之分数为丁丙之步数三解互交法曰在丙交辛在丁交己以平边引长之遇于庚成庚辛丁角形则庚辛与辛丁若丁丙与丙乙论曰庚辛丁乙丙丁两角形相似葢辛庚丁丙丁乙相对之两内角等壬辛丁角与甲丙乙角等其余角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙第三题望高测远一支平靣上有余地 一法曰甲乙为山或楼台而直线不能至甲欲借乙顶测丙与甲相距之远则于丙上置象限定角度却从丙到丁得若干步置象限定角度乙丙丁角形有丁丙边丁丙两角可求乙丙边有乙丙边而求甲丙边法为全数与乙丙边若乙角之正弦与甲丙边二法用切线乙为心甲为界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁两角切线之较则丙丁切线较与外丙丁步数若甲丙切线与外甲丙步数三法曰丙外不能作直线则或左或右作丁丙乙直角行至丁置象限求作四十五度角即丙丁得三十一步又三十之二十三以乙丙为全数丙丁为丁乙丙角之切线丙甲为甲乙丙角之正弦是丁丙切线与外丁丙之步数若丙甲正弦与外甲丙之步数四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度为丙角之半却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角与甲乙丙角等为二十六度丁戊线上求戊作直角则丙戊之步数即甲丙之步数论曰丁戊丙甲丙乙两直角形有丁乙两角等乙丁丙为乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙两腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有等角有同边即丁戊与甲丙必等用矩度 五交平边法曰丙上立矩度成午壬丙形与甲乙丙形相似丁上立矩度成午己丁形与丙丁乙形相似则己午与壬午若丁丙与甲丙六交立边法曰在丙交午在丁交己则午己与己壬若丁丙与丙甲论曰试从己作己戊线与午丁平行即午壬丁形(即午壬丙)与甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊两形亦相似己壬丁甲乙丁两形亦相似夫戊己壬形之壬戊为小甲丙己丁壬形之丁壬为小丁甲丁壬之内减戊壬丁甲之内减甲丙则戊丁小丁丙也午己与己壬既若丁戊与戊壬必若丁丙与丙甲矣七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊边引长之遇丁午线于子成子戊丁角形与乙丙丁相似则子戊与戊壬若丁丙与丙甲论曰甲乙丁午己丁两形相似午己丁丁壬子两形亦相似则丁壬子甲丁乙两形亦相似夫壬戊丙形(即壬戊丁)与甲乙丙形原相似是壬子当甲丁壬戊当甲丙即戊子当丁丙矣戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎矩靣加庚午衡线同上论二支平靣上无余地 一法曰甲不可到丙外复无余地则立表柱于内权线取直上丁下丙各置象限定丁丙两角成乙丙丁形此形有丁丙边有角则乙角之正弦与外丁丙若丁角之正弦与外乙丙(如丁为钝角无)(正弦则以余角之正弦)次甲乙丙形有乙丙边有角则全数与外乙丙之步数若乙角之正弦与外甲丙之步数用矩度 二法一解交立边在丙交己成己壬丙形与甲乙丙形相似在丁交辛成己辛丁形与乙丙丁形相似则己辛与丁壬若丙丁与甲丙论曰丁壬边引至庚得庚丁与甲丙平行夫己壬当乙甲辛壬当乙庚则辛己丁丙皆当甲庚二解交平边在丙交己在丁交辛则以丁己戊庚两边各引长之遇于寅截丁乙视线于子而成寅子丁形与乙丁丙形等角又成寅庚己形与甲乙丙形等角则各相似而寅戊丁形亦与寅庚己形相似则寅子与戊丁若丁丙与丙甲三解互交平边交己立边交未则以丁己戊庚两边各引之遇于寅因前论寅未与戊丁全边若丁丙与丙甲五法曰省算于矩面上两视线内加一直线与丁丙平行其分数等如申酉则丁酉之分数为丙甲之步数第四题对坡测远法曰有高为甲乙于对坡丙上见乙戊欲测甲丙相距几何于丙置象限向戊向乙向丁定戊丙乙乙丙丁两角之直次步于丁置象限向乙向戊向丙定乙丁戊戊丁丙两角之度末引长丁丙线遇乙戊线于甲而成角形四曰乙丙丁曰戊丙丁曰乙丙戊曰甲乙丙其乙丙丁形有丙丁边丁丙两角可求乙丙边戊丙丁形有丙丁边丁丙两角可求戊丙边乙丙戊形有乙丙戊丙两边有丙角可求丙乙戊角末甲乙丙形有乙丙边乙丙两角即得甲丙边如在丙作甲丙乙角四十八度甲丙戊角三十六度在丁作甲丁乙角三十八度甲丁戊角二十八度丁丙为一十步即乙丙丁形有丁角三十八度丙角一百三十二度(甲丙乙四十八度之余角)乙角一十度而求乙丙边则乙角之正弦与外丙丁之步数若丁角之正弦与外乙丙得三十五步又四五四○戊丙丁形有丁角二十八度丙角一百四十四度戊角○八度而求戊丙边则戊角之正弦与外丁丙之步数若丁角之正弦与外戊丙得三十三步又九千七百九十○戊丙乙形有乙丙戊丙两边丙角一十二度而求乙角则作戊辛垂线至乙丙边其全数与外戊丙三十三步又九七九○若戊丙乙角之正弦与戊辛(七又○六三)亦若戊丙乙角之余弦与辛丙(三三)(一四)于乙丙三十五又四五四○内减辛丙三十二余二又三一四○为乙辛夫乙戊辛直角形有乙辛戊辛两边而求乙角为乙辛与全数若戊辛与乙角之切线得二八六三九五查角之度为七十度四十五分末甲乙丙形有乙丙三十五又四五四○有乙角丙角则甲角必五十八度五十八分而求甲丙则甲角之正弦与乙丙边若乙角之正弦与甲丙边得四十一步又三七六一(一万分为步)值丙在坡下法与前同第五题登髙测远一支测根与他物之远一法曰登乙山欲测甲根与丙相距之远乙置象限向丙成甲乙丙直角形先得甲乙若干有角可得甲丙边二法曰用矩度交立边为壬辛与全边若乙甲与甲丙交平边为全边与壬辛若乙甲与甲丙二支测两他物之远 三法曰乙山上欲测丙与丁相距之远乙置象限作甲乙丙甲乙丁两直角形用正弦法求甲丙复求甲丁以甲丙减甲丁所余为丁丙边若用切线为全数与外甲乙若丁乙甲丙乙甲两切线之较与外丙丁四法曰用矩度交平边则乙壬与己辛若乙甲与丙丁(一图)交立边则壬辛与壬乙若乙甲与甲丁(二三图)又壬己与壬乙若乙甲与甲丙(三图)次以甲丙减甲丁余丁丙为两边之较若先求甲丙则乙壬与壬己若乙甲与甲丙(三图)又壬辛与壬乙若乙甲与甲丁(三图)三支不知高欲测根与他物之远 五法曰不知甲乙高欲测根与丁相距之远于戊于乙两置象限各向丁成甲乙丁甲戊丁两形以乙丁甲戊丁甲两角切线之较为一率外乙戊为二率全数为三率所得四率为外甲丁相距之远六法曰两交平边于己于辛(一二图)引长壬庚边遇乙丙戊丙两视线于寅于癸则乙壬当甲丙乙癸当丙戊乙寅当乙丙又壬癸当甲戊壬寅当甲乙则癸寅与乙壬若乙戊与甲丙两交立边于辛于己(三四图)则己辛当戊乙己壬当戊甲余如前 互交两边于己于辛(二三图)引长壬庚边遇乙丙视线于癸则辛癸当乙戊辛壬当戊甲余如前四支 七法曰乙戊上两置象限各向丙向丁成乙丙戊乙丁戊丁乙丙三形乙丙戊形有乙戊边乙戊两角可求乙丙边乙丁戊形有乙戊边乙戊两角可求乙丁边末丁乙丙形有丁乙乙丙两边乙角可求丁丙边八法曰在髙处其对山有二坡欲测其相距之远法以丙丁变乙戊反用之(查四题一图)义同前但甲角或钝或锐异耳第六题测髙之广法曰有室欲量其簷广如丁乙先于丙求丙丁乙丙两斜线次向丁向乙定丁丙乙角而成丙丁乙形此形有丙角丙丁乙丙两边可得丁乙边第七题测髙三支解曰凡测高以架承测器距地面若干所得高器以上之高也加距地度得全高或手持测器加目至地之度一支其底之能到者 一法曰人立丙欲测甲乙山之髙其底能到目在丁测立象限望乙成戊丁乙直角形此形有丁戊步数有丁角为全数与外丁戊若丁角之切线与外乙戊加甲戊得甲乙全高用正弦法亦如之二法曰于甲丙底线上从丙向甲或前或却侧立象限令丙为四十五度角得甲丙与甲乙等三法曰任得丙角后于地面丙上立象限作甲丙戊直角于戊平置象限令戊角与乙角等(丙余角即乙角)则甲乙丙甲戊丙为两相等形而丙戊之远即甲乙之高(侧置后省曰立)用矩度立矩度以测高立边当高平边当远用三率法视交在立边则全边与交边若远与高在平边则交边与全边若远与高四法曰在丙交平边于己己壬得五十分甲丙五步则己壬五十与全边百若五与甲乙之十在丁交立边于戊戊庚得八十分则丁庚全边与戊庚之八十分若甲丁一十二步与甲乙之九步○六分依在丙法或前或却以定其分如五十半也二十五四分之一也五二十之一也欲测高而平边得五十则高倍远得四之一则高四倍于远反之则髙一远四二支其底之不能到者五法曰甲不可到丙外又无直线丙上立象限定乙丙甲角次转器向乙向丁命作丙左右两等角次丙丁上进退求丁安象限向乙向丁命作丁直角则乙丙丁乙丙甲两形等丙丁当丙甲乙丁当甲乙六法曰丙外无余地上立象限作甲丙乙角从丙至丁任若干步加象限定甲丁乙角正弦切线任用之用矩度以所测高为底法与测远同七法曰截髙如乙甲求若干以测远法反用之底不能至亦如之三支非平行非高之底八法曰甲乙高人在丁更高测法立象限作丙丁乙丙丁甲两角其甲丙丁直角形有丁丙边丁角可求甲丁边次丁乙甲角形有甲丁边丁甲两角可得甲乙边或先得甲丙以丁为心作丁戊线与甲丙平行戊为界作弧丁戊为全数以乙丁戊甲丁戊两角之切线较求之九法曰甲乙高人在戊次高求测之先求甲丙因成戊乙甲形依地平作戊丁线与甲丙等分乙戊甲为乙丁戊甲丁戊两直角形各有戊丁边有乙戊丁丁戊甲角以求乙丁甲丁并之得乙甲象限矩度任用第八题因远测高一法曰知甲丙之远乙上立象限作甲乙丙形测之二法曰不知甲丁之远山上求树求屋作乙丙垂线各向丁立象限成乙丙丁形意置甲丁地平平行线引乙丙垂线至甲正弦切线任用测之(亦重表法)三法曰在山上知丙丁之远测乙甲高乙立象限成乙丙丁形意置乙甲垂线及甲丙地平平行线正弦切线任用测之四法曰丁高之上欲测乙戊先求甲丙次作丁戊乙形测之五法曰次高戊上测最高乙甲于丁戊上各立象限成戊甲丁丁甲乙两形测之第九题测井之深深者立远也去人而近地心测深与测高通人在物底为量高在物顶为量深一法曰测井从口一边垂线至底或视口广狭从口边投之以石至底作旋涡定其处如甲戊丙丁井甲戊口丁丙底投石作旋涡得乙为视线之界戊立象限向乙成甲戊乙直角形有甲戊边戊角得甲乙之深二法曰不知井口于口边立表表端加象限作甲丁乙形测之第十题登山测谷之深一法曰丁乙丙谷在于欲测甲乙之深于丙于丁各立象限成甲丙乙甲丁乙两形测之二法曰丙可到丁于丁于丙立象限成丁丙乙角形有丁丙两角有丁丙边用切线较得之新法算书卷八十八
## 卷八十九
钦定四库全书
新法算书卷八十九 明 徐光启等 撰测量全义卷三取地平线法 増题一凡测髙深广逺必用直角者以小句股求大句股也地平为句所测髙为股股者垂线也垂线之末加权焉以定地平有本器本论今用象限与矩度则于器心施权线平直相切于象限之边其表边所向之处别立他表则他表与器之心为平行线如一图甲乙为物髙丙上加器表边在上旁以权线凖之从丙直视至甲定甲为他表则甲丙线为地靣上平行线何者垂线从天顶向地心与地靣上平线为直角故也若道里相距太逺难定其髙下之较何者地靣为地球之一分〔？〕分也逺则目与物为〔？〕背所隔不相及矣法以相距之逺分为若干分每两分定其髙下之较末以各较加减之得总髙下之较如二图甲乙相距四里许乙上加器别立丙表令乙与丙等髙丙上加器别立丁表令丙与丁等髙丁上加器望甲令甲与丁等髙次量各表距地各几何加减之得甲乙之较值两地之间为山城所隔如三图量乙距丙几何令乙与丙平丙之表端为丁距戊几何令丁与戊平戊下取己与丙平戊己距庚辛表几何定己与庚平戊与辛平庚辛距壬癸表几何令辛庚与壬癸平从壬癸望甲令癸与甲平次以丁丙己戊并庚辛壬癸并两数相减余为两地髙下之较如近乙之丁丙与己戊并多于近甲之庚辛与壬癸并则乙下而甲髙深浅反之若山城中穷于用器则于山腰用之又别有简法曰山顶戊用器求甲与乙之深两数之较则髙下之较(四图)如在乙欲测甲髙乙上用器令乙与丁平则量丁乙之逺而求甲丁之深(五图)矩尺测量法 増题二法曰如一图欲于丁测甲乙之髙丁上立表表端为山口矩尺之直角加焉以己戊尺向髙际乙稍移就之令己戊乙为直线次从戊己尺上依直线向地平得丙成丁戊丙甲乙丙相似两形则丙丁与丁戊若丙甲与乙甲以髙求逺则戊丁与丁丙若乙甲与甲丙若据髙求逺如二图丁丙与戊丁若戊丁与丁乙若因逺求髙则戊丁与丁丙若乙丁与戊丁 论曰戊丁乙戊丁丙两形有丁直角丁丙戊丙戊丁并为一直角丙戊乙亦为直角两角内减丁戊丙角余戊丙丁丁戊乙两角等夫直角形有两角等即形相似则丙角之对边戊丁也乙戊丁角之对边丁乙也其比例必等求井之深则于井口边甲上立表向井底乙向地平之丁成甲丁丙丙戊乙两形相似是丙甲当广甲丁当深也测极逺别法 増题三两郡邑相距太逺以髙求逺表法为穷则用四表遇地靣不平四表法又穷别法每邑取一髙若山巅若楼䑓若林木俱可或并为诸物又地平为他物所碍则又穷当于气清日朗风恬时烧狼烟直上作两处之表次于近山之顶取甲取乙甲山上加象限向所测之丁与丙又向乙山定丙甲丁乙甲丁两角乙山上加象限向甲向丁向丙定丁乙丙甲乙丙两角夫甲乙丙形有甲乙边乙甲两角可求甲丙边甲乙丁形有甲乙边甲乙两角可求甲丁边未甲丁丙形有甲丙甲丁两边可求丁丙相距之逺若一次不能测则分测之如以甲乙测丁丙以乙辛测丙戊以辛庚测戊己量髙逺深 増题四用方木表承以鼎足之跗垂权取直表端以下一尺或五寸用一十或一百平分之下作方孔长寸许广三分贯以横表游移无定亦以十或百平分之纵横作直角解曰如一图欲测甲乙之髙丙上立表横表游移令丁戊乙为直线成丁戊己丁乙庚两相似形即丁己若干分与己戊一百分若丁庚与乙庚加甲庚得全髙以髙求逺则戊己一百分与丁己若干分若乙庚与庚丁减丁己得甲丙逺物在下目在上如二图令戊丁丙作直线则戊己与己丁若戊甲与甲丙若无髙求逺则用重表如三图以丑壬两测之较当庚癸相距之逺髙上测髙用重表再测但须定表横用游表直用在丙得己丙在丁得丁戊其较庚己以当丙丁横表己辛以当甲乙在一髙测两下在丁向乙向丙定横表之两数则丁戊当丁甲戊辛当甲丙己辛当乙丙己戊当甲乙用五图以逺求髙其理亦同以逺求深或井口上立柱用四图以井口之度求深用二图造象限仪法(篇中或省曰象限或曰仪)用铜或木板作圏四分之一去板边三分作甲乙直线平靣中任取丙为心甲为界作甲丁虚圏交甲乙线于戊从戊过丙作直线交甲丁圏于丁从甲至丁作直线成丁甲乙直角(几何用法)次以甲为心去版边一二分取乙为界作乙庚圏即四分全圏之一象限也圏限外余版剡去之次离乙庚弧以内约二分作相似弧两弧间平分各度分又同前作相似弧两弧间识其十度或五度从庚从乙皆可起算互用之庚后作小孔贯以权线至甲(若作两指尺可不用权线)窥衡一名指尺铜为之首为小圜径三四分从心出直线名指线以定度分所至也广三分厚一分长与象限之半径等上设二表一近心一近秒秒以钩钩象限边令游移而不脱表形方髙广约四三分中作直线鑢通之下为小孔表之下端为半枘入尺中令两表之前后两缝两孔皆相对不爽毫发于指线为垂线象限边上亦设二表如上法葢测量法每用两指线以定两测所在也或作两指尺同心同线可定可移尤便如图以木为架上为半圏两端开山口深三四寸以受象限用象限法架口受象限之甲乙边以庚甲线取平焉仪靣正对所测物从窥衡觑物与指线相参直得指线如弧所当度分则从乙至指线者地平上之髙也从指线至庚距天顶之髙也次法以架口受象限之弧甲心上别用权线下垂过弧甲庚边上立表游移觑表与物参直审权线之度定物之髙从乙角起者地平上之髙也从庚角起者距天顶之髙也三法若地或平或欹则别作圆转之架上端为球空大半作实球与空球等入空中鐡枘指外径二分长寸许旋转廻斡不出大球之口空球旁加螺旋三具俟实球之体定而固之 仪后靣中心作孔受实球之枘用时以枘入孔转仪得其靣与所测物为直线以螺旋固之象限之用有二一定仪如首图其一边与地平为平行线以窥衡定地平上之度一游仪如二图用权线其理同也何者游表边与定衡同向一物作平行线定仪之立边与游仪之权线作平行线则窥衡与立边所作角表边与权线所作角等弧亦等造矩度法用铜木板作正方直角形如象限法任用一角为心两旁作直角两线如甲乙甲丙次用元度乙丙各为心各作小弧交于丁次作丙丁乙丁两线成甲乙丙丁正方形各边作一百分毎对边分以直线相聮成网目形器小每五分十分作直线器大更细分之角止作心加窥衡加权线任用架具于前定仪于立边书髙深平边书逺游仪于表旁边书逺对边书髙深以便别识约法象限弧之内空作矩度其窥衡指线上分即矩度边之分是指线当权线也为用殊大若欲取最小之分则加两窥衡两指线相合为一线用时分指焉安衡法管端之小圜心开圆孔象限心则方孔为螺柱当圆为圆当方为方末圆而加螺旋焉仍以螺旋固之分象限法先三分之用元度庚乙两角各为心取庚辛乙寅得庚寅寅辛辛乙为三分而等各又三分之为九分又各半之为十八大分取四大分又五分之用元度毎大分之界为心左右参差定㸃毎大分中各有五小分得九十平分度也或取六大分作五分亦同(论见几何用法)分矩度法先平分之又平分之又各五分之为二十大分取四大分五分之或取六大分五分之共得百平分造小象限法正方版一角为心作象限之弧弧外两边二平分之又三平分之至四至五六七八九十各平分用界尺从心至各分为界弧上作踈宻线线以内书各分其弧外余板去之加权线与矩度同用用法 以表向物如前遇权线截弧表之旁则髙多逺少截表之对边则髙少逺多如截表旁为二分则逺一髙二截五分则逺一髙五反之则髙一逺二逺一髙五说见二卷矩度法中又法以甲乙边当一百依前法分乙戊弧为一百不平分若权线至己则股一百句五十也至辛则股一百句一十也转用之权线至庚则甲丁股一百句五十也法用平版如几案置仪其一端仪之心以当两测之初所定仪用㳺表左右迁移令二表与次所相叅直即于两表间作一线名曰主线主线之左右视所绘之物令与两表相叅直即如前作线虚记本物之名号次用指南针定其方向又各两线中间书其度分之数画讫至次所置仪于版之他端以仪心加主线之上主线与初所相叅直令初测之仪心在两所之间也定仪如前用两表视所绘之物各作线审方注度即每物各有两线在图版之上必相遇相遇之㸃乃实注本物之名号末去各线成所求作图若欲知此物之距测所远近多寡先定两测之所相距若干为主线之里数或歩数或丈尺数依三角形法主线为底向一物之两线为两腰是有底及底上之两角求两腰为本物距两测䖏若干又两物之两交作一线相聮与一测䖏成三角形从测所至两㸃之线为两腰聮线为底如前先得腰再用其角可得底为两物相距之数如一图甲为两测之初所加仪向次所乙先作主线次向午己戊癸等物作各线后至乙亦如之即得各两线之交为午己戊癸各物之定所若物在中不可得至欲绘其形即用仪几次周遭测之如二图新法算书卷八十九
## 卷九十
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新法算书卷九十 明 徐光启等 撰测量全义界说第一界面者有长有广第二界平面者一面平第三界曲面者一面曲无界者如球卵之面有界者如窑桥之面第四界一界之面一曲线内之形如圆形在圏界之内凡有三一平圆从心至界各线俱等一撱圆如圆柱而斜剡之得两面焉一无法曲线如桃棃之面第五界二界之面如两弧或无法之曲线或一直线一曲线而形之有法与否则视曲线第六界三界之面三边或直或曲以曲线为边者先定曲线之有法与否面因之量与二界同法以直线为本如丙丁戊曲边形从丙角至丁作丙丁直线成丙乙丁两角襍形从丙至戊从戊至丁亦如之细分元形各依法量之用所得或加或减以得其容凡三边形或俱等或俱不等或两边等或有直角或无直角皆有法之形也第七界四界之面方面有五边角俱等者正方也角等边不等者长方也边等角不等者斜方也各对角对边等者长斜方也边角俱不等者无法之方也首两种之外皆属无法葢有设边无设角或大或小容积因之异焉欲求其容须定角之度或中长线也第八界五以上多界之面邉角俱等者有法之形也或邉或角不等者皆无法之形也第九界定度者求两物之比例凡量度万形先定一有几何之度如三丈之物以一丈之度量之谓之某物与定度为三倍大则一丈之度名曰公度因其能量之势定各所量之物也凡量髙长广逺皆属线类则以线为公度葢比例之两率为同类也故量线者先具一定线或一丈或一尺以为公度量面者先具一定面或方歩或方丈邉等角直以为公度量线用直线以直线在万线中为最短故量面用平面用正方以平面在万面中为最短正方之理视万形之理为最凖故(量体亦定一度如一石斗为六面体各面等各角及邉等)第十界量算丈尺寸分满十进位畆法歩法则否二百四十方歩为畆二十五方尺为歩一百方寸复为尺也凡若干歩之积歩约为畆以二百四十方歩而一若干尺之积约为歩以二十五方尺而一若干寸之积约为尺以一百方寸而一约歩约畆则逓以歩法畆法除之第十一界中垂线从形心至邉作直角者为中垂线有法形之各中垂线必等无法形各邉不等中垂线亦不等第十二界中长线从形之一邉或一角至对边作垂线是各邉上极逺之线以得本形中之直角三边形第十三界直线为有法形之径直线形本无径聊借圆形之径名之然有法之形周内周外可作全圏在外者形之各邉切圏周在内者各用切圏周故圏之径亦可谓容形之径第一题量四邉形(其法有三)形之类有二有直线有曲线兹先解直线形若曲线形后方详之公量为方有法之方形二有正方四邉四角俱等(直角也)以所设一邉自之得面之容如正方田一叚各邉四歩自之其容为十六方歩有长方以所设两邉相乗得面之容如长方田一叚纵五横六相乗其容为三十方歩若斜方具邉无角亦无法之类也有中长线之数则以底数乘之得斜方之容若无中长线之数而知一角之数则先以角求中长线如乙丁斜方形有长濶若干有丁角之数即从丙钝角作丙甲垂线(即中长线)则丙丁甲直角形有丙丁边丁角依法求甲得数以乗乙丙得元形之容若等边斜方形作两对角线分元形为四句股形两对角线之交为直法法以两对角线相乗二而一四邉形有上下不等而在平行线内者名梯田旧法并两广半之以中长线乗之 论曰戊己丁丙形从上广之两界己戊作己甲戊乙两垂线(即中长线)中成长方形旁有两句股形次引戊己广至庚得庚己与乙丙等成己庚丁句股形与丙乙戊形等则庚乙方形与梯田形等丙乙甲丁为两广之较半之者损下广以益上广也兹旧法所自出也凡斜田箕田诸法俱同前两腰之等与不等角之等与不等俱以平行线为本若不知中长线而知斜边或一角者如下文知斜邉如丁己先分形成甲丁己直角形有甲丁为两广之半较有己丁弦法以两数自之相减开方得己甲中长线知角者如己甲丁形有甲丁邉有丁角或己角求己甲即全数与丁角之切线若丁甲边与己甲边旧法曰一面长乗中濶得形之容驳曰中广必垂线乃准垂线而外皆斜线必长于中长线况斜邉乎今设两形之同边异积如上图其理易见二不等田东长三十六西长三十北广二十五无南广问田旧法并两长折半乗北广驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两邉半之并南北两邉亦半之两半相乗得二九八九歩为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求弦为七十六又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七(此法见后第三题)并两形积得二八七一知法为未合也论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有余补不足改为方形也以中长线乗之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎第二题量三邉形乙丙丁三边形有邉数无角数求实其法并三邉数半之为实以每边之数为法各减之三较连乗得数以半总数乗之为实平方开之得实如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乗得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○开方得一百一十六又二三二七之一六四不尽解曰如图乙丙丁斜角形先平分丙丁二角作丙戊丁戊二线遇于戊从戊向各边作垂线为戊壬戊己戊庚三线皆等(戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙邉两丙角)(亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角)(形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等)次从乙作乙戊平分乙角乙戊己乙戊庚两直角形有己戊戊庚两邉等同用乙戊邉形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之为元形三邉并之半(或丁庚庚乙壬丙或每相等两形邉减一边得三较亦元形三邉并之半)次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子(乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两邉等两乙角亦等即乙子弦必等而辛子子癸亦等)次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等(癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与)(辛子等则其弦丁子丑子必等)又午丁子辛丑子两形亦等(丁子与丑子等丁午)(与辛丑等则午子与辛子必等)则午为直角(相似之辛角先已为直角)而丙辛子丙午子两直角形亦等又此两形并成一斜方形而丙辛子午四角内减午辛两直角余子丙两角并为两直角(凡四邉形)(之四角并为四直角)又□ 丙壬壬丙辛两角并亦等两直角而减共用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等其各半角亦等(即丙子辛己丙戊两角)即己丙戊辛子丙两直角形相似(己辛等为直角)(己丙戊辛子丙两角又等即其对邉相似)而戊己(小句一率)与己丙(小股二率)若丙辛(大句三率)与辛子(大股四率)次以线变为数(乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十)(七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今约用成数令直截易算也)则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也又以第一率乘第四以第二率乘第三得数必等则戊己辛子之矩内实己丙丙辛之矩内实(各五七六)通用可也又戊己(小句一率)与辛子(大句二率)若乙己(小股三率)与乙辛(大股四率)而以第一自乘又以乘第二其两方之比例亦若第三与第四(见几何七卷十七题)则戊己方(一四四)与戊己(十二)辛子(四八)矩(五七六)若戊己(十二)与辛子(四八其比例皆四之一)亦若乙己(十七)与乙辛(六八何者乙己戊乙辛子)(两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子)反之则乙己(十七一率)与乙辛(六八二率)若戊己方(一四四三率)与戊己辛子矩(五七六四率)或与己丙丙辛矩(又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与)(四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也)又四率法既云一乘四二乘三两矩积等今依法乘之即得乙己根(十七一率)乗己丙丙辛矩(五七六第)(四率)所得数(九七九二)与乙辛根(六八二率)乗戊己方(一四四第三率)所得数(九七九二)等次再以乙辛乗之即得乙辛根(第一率六十八二邉总之半)乗乙辛根(六八)偕戊己(元形中垂线)方(一四四)之矩实(共九七九二为第二率)所得数(六六)(五八五六)与乙辛根(第三率六十八三邉总之)(半)乘乙己根(十七)偕己丙辛丙矩(五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也)之矩实(共九七九二为第四率)所得数(六六五八五六)等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以半总乘之得数为实开平方亦得元形之积此用后所得数证法也何谓中垂线自乘以乘半总又再乘而得积以句股法解之如戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之积(两形等故)又乙戊己句股形以戊己句乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形并之积又以戊壬句乘壬丁股(或戊己乘)(丙辛)得倍积即庚戊壬丁两形并之积故戊己乘乙辛得元形之积如此即一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者算术中两方相乘开方得两根相乘之数如图戊己(一二)自乘为戊子方(一四四)以乘乙辛(六八即戊寅)为戊丑长方(九七九二)又以乘乙辛为戊寅大方(六六五八五六)此前证法所得数也若以乙辛(六八)自之得(四六二四)以戊己方(一四四)乘之所谓两方相乘也(得六六五八五六)开方各得八一六即戊己根(一二)乙辛根(六八)相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也若直角三邉形以句股数相乘得数半之为形之容葢方形与三角形同底同在平行线内则方形之容倍于三邉形之容或用半若三邉等形则有中长线者法与句股同为本线分元形为两直角形也无中长线者以法求之如乙丙丁三邉等形从丁角作垂线至乙丙邉平分元形为二(一卷二十六)用句股法以乙丁乙甲两方相减余为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减余四之三甲丁上方也开方得四之三之方根(何谓四之三之方根)(葢四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能)(发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文)次以四之三乘甲乙四之一(甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相)(乘若能发之根与不发之根为异类不可相乗故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开)(方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法开之得异类)(两根相乘之容方积也详见句股索隐)得方方根(即根之方)十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故系三十为元形乙丙邉上方形十三为乙丙丁三邉形之容葢两形同底则其比例为三十与十三求分之母为全数全数者一也则一邉之方数亦一其根亦一法曰三角形边上方形与三邉形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也又如各边为十其半五五自之得二十五以减全邉方之一百余七十五开方得八又一百之六十六以五乘之得四十三又十之三较前少差以开不尽故公法先求形之中垂线以形之半周乘之得形之容凡有法之形通用此解曰设三边等形从心向各边作垂线又向各角作线必分元形为六直角形而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为句股形亦各相等半句(即甲乙之半)乘股(即甲)(丙中垂线)得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次(为半句者六也)乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数(十四卷十二)二系二边等形先求中长线如三邉等形之法如两腰各五底六半之三自之得九以减腰五上方二十五得十六开方得四中长线也余与前等三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐角向对边作垂线成句股形有角有弦以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形有丁乙边乙角而求丁甲边为全数(内)与丁乙边十五(外)若乙角之正弦三七五一五(内)与甲丁邉五六二七二五(外)约得五尺有竒以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有竒元形之容也(凡先设先得者为明所求为隐邉角同下文倣)(此)若俱隐角则用本书一卷六题法从大角至底作垂线求两任分底之各分若干既分元形为两句股各有弦又求得句以求股若干即元形之中长线法曰丁乙丁丙两小邉相并为总相减得存存总相乘为实底数为法而一数与底相减所余半之得相小邉之小半底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小邉并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减余一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半㡳十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有竒不尽若有角求一邉或有二角求二边亦先求邉(本书一卷十五十六题)若形之邉为断几何如圆果平积之邉其法以邉数自之又加邉数半之为形之积假如各邉有三自之得九加边得十二半之得六形积也又如设邉五自之得二十五加邉三十半之得十五积也见算章逓加法第三题量多邉形一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆为两邉等三角形故不论㡬何邉俱同法法曰多邉形从心至各作线悉分为两邉等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容如八边邉设十歩从心至角作线辏心成八角皆等凡辏心必四直角分三百六十度八而一每角得四十五度乙丙丁角形二邉等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙两角并得一百三十五度半之得六十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲(半元邉为五)求甲乙垂线即全数(内)与丁甲(五外)若丁角之切线(二四一四二一内)与甲乙邉(一二○七一○五外)约之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得六二三五五二五约六十歩有竒八之得四八八四二四○○约得四百八十八歩有竒为元形之容若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二邉有法形邉设十歩以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙线即全数(内)与甲乙(五外)若丁角之切线(三七三二○五内)与甲乙(八一八六六○二五外)约得十八歩有竒甲乙中垂线也次如前或用正弦数法曰各邉为本弧之弦即半邉为半弧之正弦而中垂线为半弧之余弦以边数除三百六十得设边之弧邉数及弧度各半之次用半弧度求其正弦及余弦末用三率法以半弧之正弦为第一半邉数为第二余弦数为第三得第四为正垂线即乙甲如五邉等形邉设十二以五除三百六十得七十二半之得三十六其正弦五八七七九为一率(内)其余弦八○九○二为三率(内)半邉六为二率(外)得九又九之一为四率(外)即一邉上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五邉形之周为六十乘得五四六又九之四为五邉形之并积多邉有法形之比例 多边有法形之具三曰邉曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例每形之边为一(一虚数也丈尺寸分唯所设之)三边形之周三积为三十之十三四邉形之周四积为一五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽六邉形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法分元形作两句股形各形有弦有句以求股而求积得八四又三十之二十八几为八五非八四论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不知丙乙十四乙甲七各自之相减开方乃十二有竒非十二也且七除又七乘安用之旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六邉等形内有三角等边形六用古法得各形之积为九十六又七之六六因之得五九一又七之一非六七五论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同邉而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之余九六○八角形积也正法作图每两邉引长之遇于甲成正方形其内有元八邉形又有甲乙丙四句股形以丙乙元形邉十四为弦求丙甲而句股等法以弦十四自之得一九六半之得九八开方为九又十九之十七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁元形之邉得三十二又十九之十七为甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积余九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙邉与乙丙弦俱十四不知各率皆是而独乙丙弦非十四也故八角形之积实少而误以为多新法算书卷九十
## 卷九十一
钦定四库全书
新法筭书卷九十一 明 徐光启等 撰测量全义卷五圆靣求积凡圆面积与其半经线偕半周线作矩内直角形之积等依此法则量圆形者以半径乘半周而已古髙士亚竒黙徳作圜书内三题洞烛圎形之理今表而出之为元本焉第一题圆形之半径偕其周作句股形其容与圆形之积等解曰丙丁戊己圆形其心乙其半径乙丙即以为股形之周为句成午申酉句股形题言两形之容等论曰设有言不等必云或大或小云圆形为大句股形小者索其较为亥形即于圏内作丙丁己戊正方形又作丙庚丁辛戊壬己癸八角直线形从心至八角形之各边作甲乙等中垂线试于圆形内减其大半所余又减其大半末所余以比较形亥必能为小矣(十卷首题)如先减丁丙己戊方形次减丙癸己等三角形八末余丙庚丙癸等二角杂形八必小于亥形也次作午未戌三边形与丙庚丁八角形等必小于午申酉三边形何者未午乙甲也小于圏半径乙庚先设午申酉三边形及亥较形始与圏等今午未戌三边形及八两角杂形适与圏等夫午申酉三角形大于午未戌三角形亥形又大于八两角杂形是合两大形(即午申酉及亥)(较形)与圏等者复谓合两小形(即午未戌)(及八两角杂形)与圏等有是理乎次论曰若言圏形为小句股形大者索其较为亥形即于圏外作子寅丑己正方形又作卯辰八角形夫寅己方形大于午申酉三角形者方形之周线大于圎形之周线也内减其大半(即元圈)又减其大半(即卯辰子等四三角形也)末余丙卯庚庚辰丁等三角杂形八必小于较形亥又作午申亢三角形与丙卯辰八角形等兹形为圏之外切必大于元圏而午亢为外形之周必大于午酉内圏之周先设圏及亥形与午申酉三角形等今并圏及三角襍形八(即丙卯庚等八杂形也)反大于午申酉三角形是圜偕八杂小形而为大者又偕亥大形而为小可乎第二题凡圏周三倍圏径有竒(二支)此有二法其一云三倍又七十之十则朒其二云三倍又七十一之十则盈先解其一曰甲乙戊丁圏戊为心甲戊乙戊为两径辏心作直角从甲作午子切线从乙从丁作乙己丁壬线与乙戊等乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等形之边设甲午股一百五十三(任设此数以便推算)午子或午戊弦必三百○六各自之股方得二万三千四百○九弦方得九万三千六百三十六相减余七万○二百二十七为句方开得二百六十五有竒为戊甲句半径也则戊甲与甲午之比例为二六五有竒与一五三次平分午戊甲角作戊庚线任分午甲于庚则午戊与戊甲若午庚与甲庚(六卷三题)合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与午甲(即午)(庚偕甲庚)若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并得五七一有竒午甲为一五三则戊午并戊甲与甲午之比例若五七一与一五三若设甲庚一五三则戊甲与甲庚之比例为五七一与一五三矣即以两数自之并而开方得五九一又八之一不尽为庚戊线(戊甲甲庚之弦)则庚戊与甲庚之比例若五九一又八之一不尽与一五三次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一一六二又八之一与庚甲一五三若戊甲与甲辛若设甲辛一五三则戊甲为一 一六二又八之一有竒两数各自之并而开方得二七二又八之一为辛戊线(甲戊甲辛之弦)则辛戊与辛甲之比例若二七二又八之一与一五三次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二三三四又四之一与辛甲一五三若戊甲与甲寅若设甲寅为一五三则戊甲为二三三四又四之一有竒两数各自之并而开方得二三三九又四之一有竒为寅戊线(戊甲甲寅之弦)则寅戊与寅甲之比例若二三三九又四之一有竒与一五三次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四六七三半有竒与寅甲一五三若戊甲与甲未若设甲未为一五三则戊甲为四六七三半有竒论曰午戊子元角为三等角形之一即一直角三之二午戊甲其半则三之一庚戊甲其半则六之一辛戊甲其半则十二之一寅戊甲其半则二十四之一未戊甲其半则四十八之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申角形其戊角为直角二十四之一而未申〔？〕为象限〔？〕二十四之一于全周为九十六之一未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与圈全径之比例若戊甲四六七三半与甲未一五三末置九十六边形之一边为一五三因周为一四六八八径为四六七三半有竒则九十六边圈外形之周与圏径之比例为一四六八八与四六七三半约之为三又七之一不足则径为一九十六边圏外周为三又七之一不足夫形在周之外尚不及三又七之一况圏周乎二解三倍又七十一之十而盈者曰圏内作乙丙径从丙作六边形之一边丙甲与半径戊丙等(四卷十五)从乙作乙甲成乙甲丙形在半圏之内则甲为直角(三卷三十一题)设甲丙句七百八十○乙丙弦一千五百六十○两数自之相减开方得一千三百五十一不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一三五一与七八○次平分甲乙丙角作乙丁线又作丁丙线成乙丁丙丙丁己两直角形相似盖同用丁直角在半圏内甲丁丁丙两所乘之〔？〕等则丁丙己丁乙丙两〔？〕之角必等(三卷二十一)夫两形有两角等者各腰俱相似则乙丁(大形之股)与丁丙(大形之句)若丁丙(小形)(之股)与丁己(小形之句)又乙丙(大形之弦)与丁丙(大形之句)若己丙(小形之弦)与丁己(小形之句)更之乙丙与己丙(两弦)若丁丙与丁己(两句)是乙丁与丁丙(两股)丁丙与丁己(两句)乙丙与己丙(两弦)三比例皆等又乙丙与己丙(两弦)若乙丙并乙甲(两腰)与甲丙底之两分(见前解)则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一三五一弱乙丙一五六○是乙甲乙丙并为二九一一弱甲丙先设七八○则乙丁与丁丙亦为二九一一弱与七八○各自之并而开方得三○一二又四之一弱为乙丙(乙丁丁丙之弦)则乙丙与丁丙之比例为三○一三又四之一弱与七八○次平分丁乙丙角作辛乙线因前比例论得乙辛与辛丙比例之数盖丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三○一三又四之一乙丁二九一一弱并为五九二四又四之一弱今丙丁为七八○则乙辛与辛丙为五九二四又四之一弱与七八○欲省数改设辛丙二四○依三率法辛丙七八○乙辛为五九二四有竒今辛丙二四○即乙辛为一八二三弱两数自之并而开方得一八三八又十一之九弱为乙丙线(乙辛辛丙之弦)则二四○与一八三八又十一之九为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬壬丙两线辛乙乙丙两数并为三六六一又十一之九弱与辛丙二四○为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六六依三率法乙壬为一○○七弱两数自之并而开方得一○○九弱则六六与一○○九为壬丙与乙丙两线之比例末平分壬乙丙角作乙庚庚丙两线乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二○一六又六之一与丙壬六六两数自之开方得二○一七又四之一弱为乙丙(乙庚庚丙之弦)则庚丙与乙丙两线之比例为六六与二○一七又四之一弱论曰丙甲〔？〕为全圏六之一丙丁十二之一丙辛二十四之一丙壬四十八之一丙庚九十六之一是丙庚为九十六边内切圏形之一边也以九六乗六六得六三三六为九六边内切形之周乙丙径为二○一七又四之一弱两数约之一得三又七一之十强形之周也一得一圏之径也夫圜周在多边形之外即大则谓三倍径又七十一之十不又盈乎第三题圜容积与径上方形之比例解曰一为十一与十四而朒一为二百二十三与二百八十四而盈先解朒者乙戊辛圈甲丙戊方引长甲丙边为甲丁其大于甲丙为三倍又七之一则与周等为句甲乙边圈之半径也为股成甲乙丁角形其积与圈积畧等(不甚差故)又乙甲丙直角形因丙甲与甲丁若七与二十二则甲乙丙与甲乙丁两形之积亦若七与二十二(六卷一题)甲乙丁与圏等则甲乙丙形与圈积亦若七与二十二夫甲乙丙为方形四之一四之得二十八即两形积之比例为二十八与二十二约之为十四与十一也次解盈者甲丙设七十一甲丁二百二十三与圏周等则甲乙丙与甲乙丁两形之积为七一与二二三四倍七一得二八四全方之积与甲乙丙形之比例为二二三与二八四一题之系 半径全周成三边形与圏积等依句股法半径偕半周矩内方形与圏积等若全径偕全周矩内方形则四倍圏积几何(六卷二题)曰相似形之比例为两相似边再加之比例故边倍则实四之二题之一系 设圏径求周求容 凡设径求周用盈法七为一率二十二为二率所设径为三率得四率为所求周 用朒法为七十一与二二三若径与周古士论圏大小大都准此二论反之以周求径亦然二系 圈之径与径若周与周子之径与径亦若母之周与周假如一圏之径为七周为二十二他圏大于元圏四倍其径二十八则其周八十八亦四倍大于元圏之周三系 周线上方形与圏之积若八九二与七十一则盈若八八与七则朒周与他周若径与他径 周线上方与他周上方若径上方与他径上方(十二卷二题)径方与他径方若圏与圏则周方与他周方亦若圏与圏更之周之方与本圏之积若他周之方与其圏之积如设周一用一系之法则八九二一率也七十一二率也所设一三率也所得之径为二二三之七十一其容积为八九二之七十一周之方一全数也通之为八九二圏之积零数也为七十一是谓周方与圏为八九二与七十一而盈或二十二与七其径二十二之七其积为八八之七周之方一全数也通之为八八圏积为零数则周方与圏为八八与七也三题之系 设径求圏积则比例之母十四为一率子十一为二率径之方数为三率所得为圏之积而盈或三八三为一率二二三为二率径之方数为三率所得为圏之积而朒假如设径十用盈法得七八又七之四圏之容也用朒法得七八又二八三之二五七圏之容也反之设圈容求径则十一与十四若圜容与某数其方根为径又设周求圏之容因一系之法八九二与七十一若周之方数与圏之容而盈或一八八与七若周之方数与圏之容而朒反之设圏求周则七与八八若圏容与某数其方根为周径与周之比例古士之法如此今士别立一法其差甚微然子母之数积至二十一字为万亿亿难可施用○径一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○(大周)三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四七(小周)三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六约之首取三字为一百之三百一十四则三倍又百之十四再约得七之一又朒如前论曰总之不论若干位但加一即赢减一即缩赢即外切线缩即内弦也皆非周也古设周问积法曰周自之十二而一此犹是径一围三较之径七围二十二者尤疎也故不合古设径问积法以径自乗三之四而一如设径一自之得一三之得三四而一则四之三为圏之积全数(即母数)为径上之方形则知径上之方与圏之积为四与三然前论为一四与一一而合今之四与三则所谓虚隅二五也如图甲乙设十自之为一百平分之为乙丙丁五十又平分之为丁戊乙丙三角杂形丁戊乙二角杂形各二十五二角杂形必小于三角杂形安得合乎量撱圆法 撱圆形者斜截圆柱所成两面形也形有长短二径古士黙徳本论曰两径之中比例线为径作圏与撱圆等则两径为第一第三率相乗所得方数为第二率又同线上之正方与圏容为一四与一一今两率相乗者即中率正方之数(此比例法见几何六卷三十三题之第十)(增)故以两径相乗得数以一一乗之以一四除之得撱圆之积也量圈之一分第一图(名两半径〔？〕形)设半径及〔？〕用全与全若分与分之比例 法曰以半径乗〔？〕得积半之为本形积盖全周与全圈积若周之分与圈积之分如半径六〔？〕十二相乗得七十二半之三十六为本形积第二图(名两弦内〔？〕形)设两弦两〔？〕丙戊为径从心作甲乙甲丁线成甲乙丙甲丁戊各两半径〔？〕形依前法各求积又甲乙丁直线形两腰等有丁乙弦求其积三形积并为乙丙戊丁设形之积第三图即第二图之半同理第四图(名〔？〕形)有本圈径设弦求其积法先求半圈积次求两弦形之积两数相减余为设形之积如丙乙巳戊圈其径丙戊设乙丁弦求乙已丁〔？〕之积置乙巳丁〔？〕一一又七之六圈径十二先求本全圈之周得三十七又七之五半之为十八又七之六内减设形之〔？〕一一又七之六余七为丁戊乙丙两〔？〕之数半之为三半丁戊〔？〕也作丁甲乙甲两线因前法求丁戊乙丙两弦形之积得二十八又九之八又求半圈之积得五七又七之四内减两弦形之积二十八又九之八得二十七又六十三之四十二为设形之积若不知弦因丁甲乙形有丁甲乙甲两边有丁甲乙角得丁乙边为设形之弦若〔？〕形大于半圈者以两弦之积加于半圈之积若不知本圈之径则先求径其法丁乙弦半之作巳辛垂线量其度得数为法弦之半数自之为实而一得本圏之径(㡬何三卷五十五)如量己辛得一又九之五法也丁辛为四自之十六实也除之得十又九之二加己辛得十二全径也若辛己不可得量是属无法之形第五图设小半〔？〕形如甲乙丙则以甲丙句甲乙股各自之并而开方得乙丙弦成乙丙小〔？〕形有乙丙弦依前法求积次求甲乙丙句股形之积并之即得(一图)若止设一直线为径之一分(甲丙也)而知本圏之径法先求丁戊丙象限积次求丁乙甲戊两弦形之积相减余为甲乙丙形之积(二图)若所设乙甲丙非直角而知本圏之径法先求戊丁丙象限积次求甲乙辛句股积盖形有甲辛两角甲乙边可得余边即得其积末用前法求乙辛丙半〔？〕形之积内减甲乙辛句股积余为设形之积(三图)若乙甲丙为锐角乙辛股线在设形之内则以甲乙辛形之积加于半〔？〕形积(四图)或设本圏之径作戊乙线法以半径乗〔？〕得数半之得戊乙丙形次求甲乙戊直线形之积则乙戊半径也乙甲设形之边也戊甲为丙甲与半径之较依法得积以减戊乙丙两半径形之积余为设形积(五图)或依三角形法作乙丙线成甲乙丙三角形有甲乙甲丙两边有甲角以求乙丙余如前(六图)若半〔？〕形之边如甲乙甲丙大于半径即作乙戊线先求乙戊丙两半径形之积次求甲戊乙三边形之积并之如前若不知本圏之径则属无法形之法(七图)或依三角形法以甲乙甲丙两线及甲角求乙丙边求积次求乙丙〔？〕形之积如前法(八图)第六图(名两〔？〕之形)若知各〔？〕之径者法与一〔？〕形等若设两〔？〕亦设中长线则分元形为两〔？〕形 若不知本圏之径亦不知中长线属无法之形第七图以弦分之成直线形者一成〔？〕形者三四以上各以前法量之若为球体撱圆体圆角体之外面法见量体法中(第六卷)古法设长濶问积见长方又设长阔总数长濶较等问见句股义量面用法以木造矩锥平者为盘直者为干盘径五六寸厚二寸面画两径辏心成直角刻成渠深五分广一分下作凿以受干也干径一寸以上长四五尺令平立者目切其盘之面干之末施鐡锸焉别具望竿数事略与干等器成先试之法于平地卓锥从一径之渠向左向右各距若干丈尺卓两竿与径为直线又从他径之渠向前向后各距若干丈尺卓两竿与径为直线次转器易径以望先立诸竿仍作直线则为如法之器第一题直线内一㸃上求作垂线(㡬何一卷十一)法曰设㸃上卓锥转器令一径合于设线次从他径卓数竿题言诸竿所作直线与元线为直角与盘上直角等第二题直线外一㸃上求作垂线法曰设㸃上卓一竿持器循设线上㳺移迁就令一径合于元线一径与望竿为直线次从㸃至锥下作线则元线之垂线也凡设田形量其歩畆前法足矣然未知直线形之是否直角曲线形之是否中〔？〕且高下之数非目营可得欲求其度立公法如下文总之以句股为本凡图中断线所作线也聨线元形线也边上有○卓锥之处也三边田法从大边用器㳺移迁就向对角立垂线分元形为两句股形(一图)四边田先用器试各角是否直角直者用正方量之不直依图分句股形令分余者各两对边为平行线用正方长方法量之(二三四图)多边形田从大边如甲上作甲乙垂线从大边两界如丙如丁作丙戊丁己两垂线丁己线上立乙辛垂线又立庚寅己午两垂线丙戊线上立酉乙垂线是元形内有二方形七句股形量时依元设丈尺步数化大为小作图亦用元度作新立诸线各如数算之并之得元形之积(五图)若田形以曲线为边宜先求直线形法取一线为径径上宻宻卓锥作诸平行线末各直角上加器成诸长方形亦成诸三边形曲线为边者大圏之〔？〕也即依直线法量之所差甚微(六七)(图)或田中为房舍林木等物所隔难作中长线法于田外依一边作大方形形边上向田之各角作线是元形之外方形之内有若干句股形并诸句股积以减方形积余为元形之积(八图)增题 多边无法形量法从田心如癸加象限邉向乙角窥丙角定乙癸丙角之度次向丁向戊向己向庚向辛各定其癸角之度次以公量法量癸乙癸丙等线元形内有三边形七每形有一角两邉因法求余邉求毎形之积并而得元形之积中空田法先求大形之积次求空形之积如方田一叚各边十丈中为圆池径七丈则方形之积一百丈池之积三十八丈半减余六十一丈半为设形之积求环田积用两圏之径或周以次求大小圆积相减余为环田之积如设环之外周为四十四内周为二十二则大圆积一百五十四小圆积三十八半减余一百一十五半环田之积也变形法其一设三角形求变为等底等积方形凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成丁丙戊方形与元形等底等积如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊(形并戊庚如所求)如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与夘等即甲与乙夘癸与夘各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚夘次并夘乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线(丙非角故不名对角)引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法若所设线甚小几倍之得为元形边则平分元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所求如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求其三设矩内形变为正方形如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界㸃作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线其四设多边形变为正方形先以直线分元形为若干三边形次依第一法变各三边形为矩内形三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形四并各等边形成一大矩形五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之矩内形是也其五两正方形变为一正方(㡬何原本一卷四十七题备论其理此则用法)置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其弦聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形等次截取癸实形移补丙丁虚形次取丙子实形移补甲虚形次取壬实形移补庚虚形次取庚丑实形移补戊(己庚)虚形次取戊实形移补辛虚形成夘辰午未正方形其六设矩形求变为他矩形其边各有比例如设一形欲作他形等积而两边之比例若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形第四题截形法借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形为四三角形求其比例法曰从各角向各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙两形同用甲丙线为底即丁子乙丑两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率(即第)(三线)则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚(元数)与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑(元数)与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙又命分四之一而其截线求与命角之对边(如丙乙)平行法四平分甲乙腰四乗三(命分)(数内减得分以其余乗命分)得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本形为若干三边形又如前次第求各形之比例线(因形求线)合之成一直线如图为乙丙丁戊己若命分为四之一即四平分之若第一分在乙丙线内则分甲乙丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为元形四之一若命分之界不在元形之角如甲乙边内取庚㸃为界法从庚向各角作线求各形之比例线如前上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之三设方形命截几分之几法任分一边如命分数取得数作平行线或正方或斜方或矩形皆同理若以角为截界则与上文多边形同法四设梯田命截几分之几如四分之一法上下两(边各四平分而取其一作直线聨之)或用角为截界则与前多边形同法若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之㡬分得全形之几分随用前第一设截三角形之法得所求假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒(减一得子)为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求(或取三十二而取二十九)若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求(或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线)凡梯田在平行线内但底等即其积等不论角大小若两梯田截法先求各形之积次算此形所截之分为彼形之㡬分其用法如前此外别形尚多各有本法本论于法算诸书中详之此不及备著新法算书卷九十一
## 卷九十二
钦定四库全书
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰测量全义卷六论体厯家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天各有最髙度最髙冲度其去人逺近也恒不等其自相去之逺近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者必于地体推之故有日与月与地三大之比例(别有本书)不用此比例何繇知交食之歳月日时地影(即暗虚)比于月体小大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几何大去人几何逺乎则何繇知日食既之有无金环乎何繇知月食过分之暗虚几何大乎何繇定食限之几何时刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆以句股弧弦诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步前步未行后步不可得进也是测量之全义也体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同理同法其界为面面居体之周(面截面生棱如线遇线生角也又棱为两面之共界)一面之体如球如卵二面之体如半球半卵圆角圆堆三面之体如剖球卵之一分四面之体如三面角体而四面等即三面角体第因各面俱等故属四面五面之体如四面角体(因角体之面无定数故左方不列其名)六面之体如立方正立方斜立方八面之体八面俱等十二面之体十二面俱等二十面之体二十面俱等(自四六八十二二十面之外不能为等面胥无法之体也)公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算简易者也几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体扁圆体(因其上下为平行面亦属等面)公法以高乘底之积得其容(高深)(两名互用)其高之度则垂线也几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正高为据不论体势直与不直又本卷三十二题曰同类之体与体(凡比体者皆以其容积相比)为其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四几何为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四为三加也(五卷十界)此云三加者谓体之一与二若其边之一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大边之十六也系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得十八三加之得二七(其超法为一身有半)则初体与次体若八与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同第二体名角体底广上锐如堆垜锥亭峰之类其法同也几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面体(即同高体)之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则底积八十一设髙十八以乘底积得一四五八以三为法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乗得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之五底积也以高乗之得五七实尺又十一之三以三为法而一得十九又十一之一为圆堆之容(系凡委粟及倚垣等角体)(皆求立体之容三除之为角体之容)若不知其正高但知其底及棱则先求其正高法曰若棱为偶数如上图得四甲乙丙丁为底之四边各八又半甲丙对角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊丁戊丙为四棱各十而求次图之中长线戊己(次图何物如上图戊甲丁丙乙为全体若从戊顶向)(甲丙对角线平分之为二即所截之两面各成戊甲丙三角形甲丙底十)(二弱戊甲戊丙各十以此三边求中长线戊已即角体之高)法以半底甲已自之得三十六(句方)以减腰方一百(弦方)余六十四(股方)开方得甲已八为角体之正高余如前若棱为竒数如五底之各边为十二棱之度为二十则先求一面之中长线(各体有底有面有棱底之边随体无)(定数面则恒各为三边形形之底线即底之一边两腰即棱也)依句股法半底边得六(为句)自之得三十六(句方)棱度自之得四百(弦方)相减得三百六十四(股方)开方得一十九又一十三之一(即股即面形之中长线)次求底形之中长线用正弦法以五(底之边数)为法三百六十(全圈之周)为实(几何论凡有法之形形外可作圈切形之各角形内可作圈切形之各边)而一得七十二度为一边之弧半弧之正弦(即底之半边)为五八七七九第一率也(内)半边之数六为二率(外)半弧之余弦八○九○二为三率(内)算得八又四之一不尽(外)为五边底形从心所出之中垂线又正弦(内)与半边(外)若全数(内)与半径(外)得一十又五之一强(形外圈之半径)两数并得一十八又二十之九强为五边形之中长线次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线相遇成一三角形(平分全体所分之两面)有三边之数求中长线得一十六又半不尽为所求元体之正高底之周六十半之得三十以中垂线乗之得五七二又十三之四为底积以正高乗之得九四三八三而一为元体之容得三一四六也若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长线求体之正高论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上而下对角平分之为两堑堵毎一堑堵得正立方二之一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鼈臑得堑堵三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鼈臑则六角体者阳马也故得立面体三之一也(说见九章算)又外切圈之半径为句棱数为弦用句股法求股即元体之正高(此法甚简易但须各棱俱等乃可非公法也)截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜截之与边平行截面为圭窦形(顶不锐近底之两腰稍平行)三也直截之与轴平行截面为陶邱形(顶曲渐下渐直底两旁为锐角)四也无平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五(有本)论第三第四其面皆为一直线一曲线两界之面所截体之一分皆为两平面一曲面三界之体亚竒黙徳备论其量法然非测量所必须又各截面皆有底有轴(即中长线)有曲线若转轴环行即径线为平底界曲线为曲面界生二界之体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法以其浅深为光心之逺近亦非测天所用未及详焉第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体(凡置)(斗体大面居下本角体之截分角体欲自立底必在下也其置截分亦然)法曰若知本角体之高即先求本角体之容后求所阙截分之容相减余为元体之容假如斗体之底长方一边得八一边得九则其积七十二以全高二十四乗之得一七二八以三为法而一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四一边四又半其积十八(即阙分之底)以阙分之高十二乗之得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全角体其较五○四斗体之容也若不知全角体之高则截体分求之法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边各二十四戊已庚辛小面也边各一十八用垂线截斗体从戊已边向下至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中成立面体四边四体为堑堵(正二面一立一斜侧二面为句股)四隅四体为阳马(即角体亦名方锥)各以本法求其容并为斗体之容(堑堵以高乗底积二而一阳马以高乗底积三而一)立面体上下两面等各边十八其积为三二四以高十五乗之得四八六○堑堵(一名句股体)其底长方辛子三(两面之较六折半得)(三)辛庚为十八乗得五十四为底积以正高乗之得八一二为法而一得四○五四倍之得一六二○(四边四体故)阳马其底各三其积九以正高乗之得一三五以三为法而一得五四四倍之得一八○若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上边向下截成众体如图甲皆为堑堵乙皆为阳马其中间无法之形则以形为底分之中作一立面体余为四三边形各形有棱有高可知其容又公法(上二法遇圆体而穷)设上下面之边与正高与两面之积法曰上下两面积各开方两根相乗得数并入两面积以正高乗之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积为三二四两根相乗得四三二与前两积并以高一五乗之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容也又便法(小差而不逺)并两面之边半之自乗得数以高乗之得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二半之得二一自之得四四一以高一五乗之得六六一五比前少四五其差为一四七之一耳凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相似(几何十一十二十二十四卷极论此理今稍引用为比例之法)一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之成一全体有六棱四隅设各边一百因前法求其容为一一七四七二半 此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为例以显推隐故下文称例体例边二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面为正方形设各边一百因前法求其容为十万三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各边设一百因几何求其容为四七一四二五有竒四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十隅边设一百其容为七六八六三八九五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二隅边设一百其容为五二三八○九依几何之说得一体之容可推同类(同类者同若干面数也)万体之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比例等假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之容如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之容(第三率大体之容于前法体求容五例内简其同类者即用之)一率 一百万二率 一二五○○三率 一七七四七二半为前例所立大体之容四率得一四六八四又四之一为所求小体之容又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二五如前推之一率 一百万二率 一五六二五三率 七六八六三八九为前例所立十二面体之容四率 得一二○○九九为所求十二面体之容又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率法得立方根为五十即所求设体边数一率 一一七四七二半(例容)二率 一四六八四又四之一(设容)三率 一百万(例边)四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十为所求设体之边量圆球之容圆球之全体见亚竒黙徳圆球圆柱书并见几何一十四卷兹借数题明之第一题球上大平圜之积为本球圜面积四之一(此亚竒黙徳之一卷三十一题)(也大平圜者从大圏过心剖球体为二所分两平面是也圜面积者全球大曲面之平积也)系 凡周乗径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其径(与球径等)己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形之一边则两矩方形必等夫己壬周线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面等则其比例如己辛与辛戊矣(五卷二周与径比例之数为二二三之七一或)(二十二之七)又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之十或一与三又七之一第二题径三之二乗大平圜之积生球容之数(亚竒黙徳之一卷三十二题)解曰设大平圜之周一(凡大测当以全数为母则易推故设周为一自之再自之恒为)(一)其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以半周二之一乗之得八九二之七一此大平圜之盈积也又以六六九之一四二(此大径三分之二)乗之约之为二九八三七四之五○四一得球容之数又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球容之比例何者全数为母(即一几何谓之命分数)是周上之立方也子数(几何之得分数)为球容则球容与大圜周上立方之比例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得四九与二九○四又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大积为十四分径上方之十一以径三之二乗之得四十二之二十二约之得二十一之十一为球之容又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二二三亦径上立方与球容之比例也(右径上立方与球容之比例)因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乗径数以七除之以所得之径乗之得圆面之积(用二十二与七而盈用二)(二三与七十一则朒) 一求球之容以二十二乗径以七除之得数以径三之二乘之得球之容(右以径求圜面积及球之容)又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四九则朒 置径置球之圆面相乗六而一置径(四之一乗圆面三之二三之一乘圆面二之一) 乗大圜之积三而二或径乗积三分之二 或径三分之二乗积俱得球之容或半径乗大圜积三分之二所得为球容之半 或大圜半积乘径三分之二所得亦半量球一分之曲面凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无异(或半球或四之一或五之一俱同法) 若截球面不过心为直面而曲面界为球上之圏则借天球之界以明之解曰甲丁己辛为子午圏甲比己南丁辛为夏至之圏从夏至圏截之甲至丁作直线用此线为半径作甲丁别圏亚竒黙徳之一卷四十题曰甲丁别圏之积与丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直线为他圏之半径其圏之积亦与丁己辛球分之曲面等若曲面非全球之若干分则为无法之形量球一分之容取球之一分截面过心其曲面之界为圏亚竒黙德曰想圆角体其底之圏几何与所截凸面之一分等其高为球之半径此体之容与今所解之球分等如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲半径倍之以二二乗之以七除之所得之半以半径乗之为凸面之积次以甲庚半径乗之三而一为丁甲辛庚球分之容若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先求甲丁辛凸面之积以径乗之六而一为丁甲辛庚体之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以减丁甲辛庚体之容余为丁甲辛球分之容量撱圆体之容撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形之长径为轴旋转所生如一㸃直行生线一线横行生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚竒黙徳之第一卷备解此体及分角体之理今略述之凡截圆球生两圆面成两圏若平分之即过心过心之截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之则其面皆不等皆成长圆形凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其体之容为撱圆体四之一如甲乙为长径丙丁为小径即丙戊丁甲半撱圆体倍大于甲丙丁角体解曰小径以二十二乗之七而一小径之周也得数以乗小径四而一小径之平圆面积也得数以乗半长径圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体之容也若截面与小径平行如庚己壬求撱圆分体如庚甲壬之容黙徳法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙(大分之轴线)与戊乙(半长径线)甲己(小分之轴线)并若角体甲庚壬之容与撱圆小分庚己壬甲之容若求大分之容先求角体庚壬乙之容次用三率法甲己(小分之轴线)与甲乙(长径)戊乙(半长径)并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容量无法之体解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三和灰涂其罅令不漏实之以水投所量物其中则水溢取出物量水减几何得物之容如减一寸而椟边设一尺则得一百寸为物之容盖各边一尺上面积为一百寸水减一寸则为一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘之得物之容新法算书卷九十二
## 卷九十三
钦定四库全书
新法算书卷九十三 明 徐光启等 撰测量全义卷七 球面曲线形圏内线相当之理每弧毎角有八种线曰正弦曰正切线曰正割线曰正矢曰余弦曰余切线曰余割线曰余矢幷全数为九种诸线内各有相当之理皆依三边形等角比例法(㡬何六卷四题)如上图丙丁为正弧甲丁为正弦丙辛为正切线乙辛为正割线甲丙为正矢戊丁为余弦己壬为余切线乙壬为余割线戊己为余矢乙己乙丁乙丙皆全数也即辛丙乙壬己乙两形相似何者己丙两直角己乙辛丙为平行线辛乙直线割两平行即其相对两内角必等既丙辛乙壬乙己两角等即其对边相似一全数为正弦余割线两率之中率如丙丁弧之正弦为甲丁全数为丁乙余割线为乙壬则甲丁与丁乙若乙己与乙壬矣丁乙乙己皆全数必等则甲丁与丁乙若丁乙与乙壬也又全数为余弦正割线之中率如戊丁与丁乙若丁乙(与乙丙等故)与乙辛一系凡四率全数为中率(或二或三)若第一率为正弦即弃正弦而变余割线为中率全数为第一省而一 若第一率为余弦则变正割线为中率 若第一率为正割线则变余弦若第一率为余割线则变正弦 凡所变者皆以易全数而使为第一率论曰凡有连比例之三率一率与二(如二与六)若二率与三(如六与十八)别有二数其比例若连理之一率与二(如八与二十四)即可代用或连理之一率与二(如二与六)若他数与别数(八与)(二十四)可也或连理之二率与三(六与十八)若他数与别数(八与)(二十四)亦可也为其比例等故也(皆三之一)今连理之一率为甲(正弦)二率为乙(全数)三率为丙(余割线)次有断理之第三率丁第四率戊即可代用谓一甲(正弦)与二乙(全数)若三丁与四戊可也谓二乙(全数)与三丙(余割线)若三丁与四戊亦可也是于连理之三率二比中弃前比而用后比初以全数为第二余割为三今以全数为一余割为二也如三十八度一十七分之正弦六一九五五与全数若三十度之正弦与某数常法二三率相乘以一率为法而一得第四今法用三十八度一十七分之余割线一六一四○七为二率以易全数而为第一以二三率相乘即得第四何者正弦全数余割线为连比例故也二系凡四率中无全数若第一率为正弦则变余割线为第一率若第一率为余弦则变正割线为第一率法用一二率相乘得数以全为法去后五位所存若干位与全数等而一又以乘第三率得数如前而一得四率(名为而一者再皆以全数为法止减末位不难也常法一乘一除此用两乗犹是㨗法)假如一十八度四十○分之正弦三二○○六与二十五度三十七分之正弦四三二三一若六十三度三十二分之切线二○○八六二与某数其常法二三率相乘第一率而一今用㨗法取一十八度四十分之余割线三一二四三九乘第二率四三二三一得一三五○七○○○○○○为实以全数为法而一得一三五○七○又以第三率一二四三二二乘之得一六七九二二○○○○○以全为法而一得一六七九二二为四率二三○七三五 六十四度十九分之正割线又假设三率如一二二三四一二三四三二第一率变取六十四度十九分之余弦四三三四○以乗第二率得数减后五位以所存乘第三率得数又减后五位所存即第四率二全数为正余两切线之中率如上圗辛丙与丙乙若乙己与己壬何者丙乙乙己皆全数则辛丙丙乙(或乙己)己壬为三率连比例系凡四率断比例全数为中率若第一为正切线变余切线为中率以易全为第一若第一为余切线变正切线为中率以易全为第一三正弦与余弦若全数与余切线余弦与正弦若全数与正切线如前圗甲丁与丁戊(即甲乙故)若乙己与己壬戊丁(即甲乙故)与甲丁若乙丙与丙辛系四率断比例若一二率为正弦与余弦变为全数与余切线若为余弦与正弦变为全数与正切线四凡两弧之正割线与其余弦为互相视之线两弧之余割线与其正弦为互相视之线如上圗丙癸丙丁两弧丙癸弧之正割线为乙寅丙丁弧之正割线为乙辛丙癸弧之余弦为庚癸丙丁弧之余弦为戊丁则乙寅与乙辛若戊丁与癸庚论曰全数在正弧(丙癸)为其正割线(乙寅)及其余弦(癸庚)之中率在他弧(丙丁)亦为其正割线(乙辛)及其余弦(丁戊)之中率两理之各前后矩内形各与全数上方形等(各为其中率故)即两矩内形自相等其边互相视(㡬何六卷十四)五凡两弧之正切线与其余切线为互相视之线同上论卷中诸圏皆以曲线当圎球之大圏相交相截人目视球曲面或近或逺或上或下或左或右所见不同有时视曲线而为直线即同是曲线而形象不一葢平面图球不能尽球之理宜从论说中领其意义乃得耳圆球原本内借论题 古徳阿多西阿撰一大圏皆与球同心 系大圏皆相等若从大圏分球过心必为两平分(一卷六)二两大圏于球上相交各为两平分三反之两圏于球上相分为两平分必两皆大圏(一卷十一十二)(如赤道黄道等)四大圏过他圏之两极必相交为直角(一卷十五题如子午圏过赤道极则)(两圏交处皆为直角)五大圏与本极距一象限九十度六大圏交两大圏若作直角则元圏之极在两圏之交如赤道与极至交圏极分交圏为直角则两圏之交在赤道极七大圏三百六十平分之小圏亦然但小圏去离大圏一分其小圏之各分必小于大圏之各分八两大圏相交其交角必等或上或下两角幷必等两直角与直线相交同理九球上大圏不能相偕为平行弧一心止一圏故也若同心而能为多圏则是距等小圏非大圏矣分球上三角形之各类球上圏相交成三角形若三皆大圏之弧此形为大测之本(若有小圏之一弧即未能定圏大小之数安能定其弧数明大测不用小圏之弧也)球上角形或三边等其角必等边之度若四之一(九十度)则角为直角过四之一则钝角不及则锐角(如正球之赤道地平子午)(圏皆相交为直角则各边俱九十度)或二边等其对角亦等若边过象限为钝角不及为锐角或各边不等各角亦不等球上角形或三直角其边皆四之一或两为直角其两对边皆四之一此二类自明勿论所论者一为直角余或钝或锐各有本法如左一圗外大圏内两大圏分皆相交为直角则各圏之极在他两圏之交(用号作十者指直角作○者指钝角作丨者指锐角)(边云多者谓过四之一云少者谓不及四之一)二圗两直角形第三角或锐或钝(己上二圗俱不)(论)三圗甲乙丙形甲为直角余皆锐其边少甲丙戊形甲直角丙钝戊锐钝角之对边大即甲已戊弧锐角之对边小即甲丙弧或一直角两钝角如乙丙丁形乙丙两钝角其对边过四之一即乙壬丁弧凡两角或锐或钝若同𩔖其间所容弧不及四之一直线三角形与球上曲线三角形异理一直线形之三角幷与两直角等曲线形之三角幷其数不定但不能及四直角(四直角者三百六十度也)二直线形得两角即得其三曲线形否三直线直角形有两边以句股开方法求其三曲线形否四直线形有三角不能求三边若干但得其比例耳曲形设三角可推三边若干五直线形各边能当全数曲线之各边否六两直线形等角即两形之边有比例曲线等角形之边必等七直线形但有一易法以垂线分元形是也曲形有六易法八直线形不过二种一直角二或钝或锐角其边虽有长短不变其𩔖曲形边有大小其法不同球上斜三角形因各角各边不等分为九种(或恒用或否俱见下文)第一三角皆锐其边皆小于四之一(如第一图)(甲形)第二三角皆钝其一边适足四之一其二边大于四之一(后凡四之一皆言足小于四之一者皆言少大于四)(之一者皆言多如第二圗乙形)第三三角皆钝其两边多一边少(如三图丙形)第四三角皆钝其三边皆多(如四图丁形)第五一角钝两锐其三边皆少(如三圗戊形)第六一角钝两锐其两锐间之一边多钝角之两旁少(如四图己形)第七一角钝两锐一锐角之对边少余皆多(如三图庚形)第八一角钝两锐钝角之对边足余皆少(如二图壬形)第九一角钝两锐其边皆不等一多一少一足(如二图辛形)球上三角形相易其法有五第一甲乙丙直角形甲为直角于乙甲乙丙各引长之满象限为乙丁乙戊又甲丙边引长之作甲丙己象限次聨丁戊引至己亦作象限(乙丁乙戊俱象限则丁戊己弧心为乙又丙甲乙为直角)(乙丁戊亦直角则甲己丁己遇于己而己为乙丁弧之心)得丙戊己直角形若甲乙丙形设甲乙乙丙两边若干即有甲丁丙戊两余弧次丙戊己形有戊直角有丙戊边即有己角(其弧甲丁)若元形有直角之对边及直角旁一边即次形有直角旁一边及其对角(一图)若元形有二角即次形有一角一边(二图)若元形有一角及直角之对边即次形有直角旁两边(三图)第二甲乙丙直角形于甲乙引长作乙丁象限弧乙丙引至戊甲丙引至己皆满象限次作丁戊己象弧得丙戊己形次丙戊引至庚丙己至辛戊己至癸皆象弧次作庚辛癸弧成辛己癸形此形与元形甲乙丙相当何者元形有乙丙两角即次形有两边(有乙角之弧戊丁即有其余弧戊己有戊)(己弧即有己癸边与乙角之数等有丙角即辛庚丙形之丙角弧为庚辛其余弧为辛癸)元形之乙丙易为癸角(乙丙边余为丙戊丙戊之余为戊庚是癸角之度)元形之甲乙边易为辛己癸角(甲乙弧之余为甲丁其对角为丁己甲或辛己)(癸皆甲乙之余弧角)元形之丙甲边易为辛己边(甲丙弧之余为己丙己丙弧之余为辛己则辛己与)(甲丙等)第三斜角形(两腰等角或锐或钝)两腰引长至半周必相遇成他形与元形相当如图甲乙甲丙两腰引至丁成丁乙丙他形从乙丙作乙丙己成全圏引乙甲至己丙甲至戊又成甲戊己他形此两他形者皆与元形相当何者有甲乙边自有其半周内之余乙丁亦有其半周内之余甲已即乙丙与戊己等(丙乙戊乙戊己皆半周故)又丁角与甲角等(凡两大圏相交为两角必等如黄赤二道相交于春秋分是也)丁乙丙为甲乙丙之余角乙丙丁为甲丙乙之余角甲戊己为乙丙甲之余角甲己戊为丙乙甲之余角则元形变易而生两形各相似相当 问本用曰元形边大(多于象限)角钝易为次形边小角锐三角形六问中所用也(六问详见后篇)第四甲乙丙三不等形从乙甲弧作甲辰戊全圏次甲角为心作丁壬辰大圏分乙角为心作戊癸寅大圏分丙角为心作己丑夘大圏分三圏分必相交成癸寅丑形此形与元形相当而元形之边易为角角易为边何者甲壬弧满一象限丙午同之减同用之丙壬即午壬与丙甲等壬午弧限壬丑午角之度其余角为癸丑寅又甲丁乙戊皆象弧减同用之乙丁即甲乙与丁戊等丁戊为寅癸丑交角之度又乙辛丙子皆象弧减同用之丙辛即辛子与乙丙等辛子弧即辛寅子角之度则元形甲乙边易为次形之癸角甲丙边易为癸丑寅余角乙丙边易为寅角元形之三边易为次形之三角(边易为角)又元形乙角之余易为癸寅边甲角易为癸丑边丙角易为寅丑边(角易为边)第五凡斜角形设一角二边法从他角作垂弧至其对弧为直角如一图(若不能则引长其对弧令受垂弧如二图)若设二角一边法从他边之对角作垂弧如图乙丁丙形有丙角丙乙丙丁两边即作乙甲垂弧分为两直角形其甲丙乙形有一角一边可求其余甲丁乙直角形先得甲乙甲丁两边可求其余凡底边两旁角为同类垂弧在形内若异类垂弧在形外凡曲线三角形如得实球即指画易明直角形直角之对边名底斜角形大角之对边名底凡言直角其边小于象限则用之大于象限则依前法变为小而用之球上直角形各边角正弦等线之比例第一题直角形人数数(即直角之本数)与某角之正弦若底弧之正弦与某角对边之正弦欲明此论宜以浑体解之今权设浑象以坚厚楮作一圆形中心折作直角半平者其弧如赤道之半周也半立者其弧如极分交圏之半周也又作一半周形合于全形之直角两径相切共为半圏面三一平一立一中居中者其弧如黄道之半周也中圏面上下㳺移任作若干度角如黄赤道之相距又作九十度之两弧上合下分一置三半周之中如极至交圏为定弧一以下端㳺移平弧上恒与平弧为直角上割中弧而遇定弧于极㸃之上谓之㳺弧㳺弧之上容中平二弧之距度而此一定一㳺两弧者皆如过极之经圏也恒偕平弧为三弧两边等直角形今于平面作图拟彼圆象用意推测聊足可明其诸名义亦借浑天以便识别也如上图乙丁寅圏为赤道乙丙癸为黄道乙寅为春秋分癸为夏至午辰为南北极午癸丁辰为极至交圏午丙甲为过极经圏以限黄道之经度容赤黄二道之距度平置乙丁寅赤道圏从黄癸下垂线为极至圏上癸丁相距弧之正弦从赤丁上立垂线遇夘癸半径之引长线于戊得戊丁与癸己平行为癸丁弧之切线夘戊其割线也己夘则癸丁弧之余弦也又从黄道若干度之㸃如丙作两线一丙辛垂线为过极经圏上丙甲斜弧之正弦辛壬(乙寅径之垂线)其余弦一丙壬为寅乙极线之垂线即丙乙黄弧之正弦次从赤道过极两圏之交甲立甲子直线又于寅乙(黄赤交之对截线)上作甲丑垂线次于乙丙癸圏黄平面上从丑作丑子为乙寅之垂线过甲子于子子甲者过极圏上丙甲弧之切线也而甲丑为甲乙赤弧之正弦丑夘其余弦则图中有直线直角形四一癸己夘二戊丁夘三丙辛壬四子甲丑因夘壬丑三角等故三形俱相似题言癸夘(全数)与癸己(癸乙丁角之正弦)若丙壬(丙乙底弧之正弦)与丙辛(丙甲为乙角之对边丙辛其正弦)如上图甲乙丙形(凡称甲者恒为直角)全数(一率)与乙角之正弦(二率)若丙乙边之正弦(三率)与丙甲边之正弦(四率)此比例用㡬何五卷之六理云更之则一与三若二与四又反之二与一若四与三又反而更之三与一若四与二系若以大圏割本形作戊丁直角弧则丁戊与甲丙若乙戊与乙丙(俱用正弦)第二题全数与某边(如甲丙)之余弦(即丙戊弧之正弦)若他边(甲乙)之余弦(即戊)(角之正弦)与底(直角之对弧如丙乙)之余弦(即丁丙弧之正弦)若直角形内有一钝角或二钝角其理同本题第三题直角形全数与某角(丙)之正弦(即丁丙戊角之正弦)若设角(丙)旁边(甲丙)之余弦(即戊丙底之正弦)与其边对角(乙)之余弦(即丁戊边之正弦)此题之丁丙戊形与一题之甲乙丙皆有底有一角其理同也一系依相当第四法及此第一题显全数与乙角(乙丙角互用)之正弦若角对边(甲丙)之余割线与底弧(乙丙)之余割线(三四率各有正弦可用其余割线当之)二系依相当第四法及第一题显全数与底(乙丙)之正弦若某边(甲丙)之余割线与对角(乙)之余割线(三四率有正弦互易为余)(割线)三系依相当第一法及此第一题显全数与某角(乙)之余割线若对边(甲丙)之正弦与底(乙丙)之正弦(第一题之比例为角之正弦与全若角对边之正弦与底之正弦相当法则以正弦)(当余割线也)四系依相当第一法及此第一题显全数与底(乙丙)之余割线若边(甲丙)之正弦与对角(乙)之正弦(一题内底之正弦与全若边之)(正弦与角之正弦今易底之正弦为余割而居第二以全为第一)五系依相当法第四及第二题显全数与某边(甲丙)之余弦若底(乙丙)之割线与他边之割线(二题云全与边之余弦若他边之余弦与)(底之余弦此云底之割线与边之割线葢以割线当余弦而为三四率也)六系依相当第一法及第二题显全与某边(甲乙)之割线若底(乙丙)之余弦与他边(甲丙)之余弦(第二题之四率反用之为二与一若四与)(三则第一率为余弦第二率为全数也今依相当一法易之为全与割线)七系依第四相当法及三题显全数与角(乙)之正弦若他角(丙)之割线与他角对边(甲乙)之割线(三题言全与角之正弦若设角)(旁边之余弦与他角之余弦今用相当第四法反四率为三三率为四易余弦为割)(线葢两弧之余弦与其正割线为互相视之线)八系依三题第四相当法显全与边(甲丙)之余弦若边对角(乙)之割线与他角(丙)之余割线(三题三四率边旁角之正弦与他角之余)(弦今互变边对角之割线与他角之余割线)九系依相当第一法及第三题之四率前后易之显全数与角之余割线若他角之余弦与其对边之余弦十系三题之四率前后相易用第一相当法显全与边之割线若边对角之余弦与他角之正弦十一系因一系反理及相当一法显全与角之割线若底之余割线与角对边之余割线十二系因上五系反用其率及相当一法显全与边(甲丙)之割线若他边之割线与底之割线十三系因九系反用其率及相当一法显全与角之余割线若边之割线与其对角之割线第四题曲线直角形其全数与角(乙)之切线若角旁边(甲乙)之正弦与角对边(甲丙)之切线(如前圗)解用一题平面全图之甲乙丙形甲为直角戊丁为甲乙丙角之切线甲丑为甲乙边之正弦子甲为丙甲边之切线可见夘丁与乙角之切线丁戊若乙角旁边甲乙之正弦甲丑与乙角对边甲丙之切线甲子(三角形皆相似故见一题)系用相易第一法则全与边(甲乙)之余切线(或丁甲弧之正切线或戊)(己丙角之正切线)若边旁角乙之余弦(即戊己弧之正弦)与底之余切线(即丙戊之正切线) 按本题第二率为乙角之切线系易为丁戊之余弧或己戊边三率为角旁边(甲乙)之正弦系易为边(戊己)旁角(己)或丁甲弧之余弦(即甲乙正弦)四率为角对边(甲丙)之切线系易为底之余切线或甲丙弧之正切线二系全与底之余弦(或甲丙边之正弦)若角(丙)之切线(两形为交角)与他角(已)之余切线(即甲乙边之正切线)三系依相当五法余切线能当正切线(二三率可互易)为全数与边之正弦若他边之余切线与其对角之余切线四系若一二三四率反用为二与一若四与三即变第一率切线为余切线则为全数与角之余切线若角对边之切线与他边之正弦向下诸系皆用相当法及反理省文不解五全数与边之余切线若他边之切线与其对角之切线六全与角之余弦若底之切线与角旁边之切线七全与边之切线若底之余切线与角旁边之余弦八全与角之割线若底之余切线与角旁边之余切线九全与底之割线若角之余割线与他角之切线十全与角之余切线若他角之余切线与底之正弦十一全与边之余割线若边旁角之余切线与他边之余切线十二全与边之余切线若边对角之切线与他边之余割线十三全与角之割线若角旁边之切线与底之切线十四全与底之切线若边之余切线与边旁角之割线十五全与角之切线若他角之切线与底之割线因上四题即每一设形有十二算法 今设甲乙丙一形有乙丙底(三十度)及甲丙边(十一度三十一分)求乙角一为乙丙边之正弦(五○○○○)与全(十万分)若甲丙之正弦(一九九六五)与乙角之正弦(三九九一)(三)查得二十三度三十一分三十○抄二为全(十万)与丙乙之正弦(五○○○○)若甲丙之余割线(五○)(○八六九)与乙角之余割线(二二○六一七)三为甲丙之余割线(五○○八六九)与全(十万)若丙乙之余割线(二○○○○○)与乙角之正弦(三九九一三)四为全(十万)与甲丙之正弦(一九九六五)若乙丙之余割线(二○)(○○○○)与乙角之正弦(三九九一三)五为乙丙之余割线(二○○○○○)与全(十万)若甲丙之余割线(五○○八六九)与乙角之余割线(三二○六一七)六为甲丙之正弦(一九九六五)与全(十万)若乙丙之正弦(五○○○)与乙角之余割线(二二○六一七)七为乙丙之余弦(八六六○三)与乙丙之余切线(一七三二○五)若甲丙之正弦(一九九六五)与乙角之正弦(三九九一三)八为乙丙之余切线(一七三二○五)与乙丙之余弦(八六六○三)若甲丙之余割线(五○○八六九)与乙角之余割线(二二○六一七)九为乙丙之正弦(五○○○○)与甲丙之切线(二○三七六)若甲丙之余弦(九七九八七)与乙角之正弦(三九九一三)十为甲丙之切线(二○三七六)与乙丙之正弦(五○○○○)若甲丙之正割线(一○二○五五)与乙角之余割线(二二○六一七)十一为甲丙之割线(一○二○五五)与乙丙之余割线(二○○○○○)若甲丙之切线(二○三七六)与乙角之正弦(三九九一三)十二为甲丙之正弦(一九九六五)与乙丙之切线(五七七三五)若乙丙之余弦(八六六○三)与乙角之余割线(二五○六一七)以上十二法俱可得乙角因除法为繁故约用乘法如下方球上直角形相求约法球上直角三边形有三角三边此六者有三可推其余交互为三十求各以乘法得之第一设乙丙两角(凡甲皆直角乙丙或锐或钝)一求甲乙边为全数与乙角之正弦若丙角之割线与甲乙边之割线或全与乙角之余割线若丙角之余弦与甲乙边之余弦 丙角定数解曰同类者或皆过九十度或皆不及若丙角过九十度则所求之边亦过九十若丙角不及九十度所求之弧亦不及下倣此二求甲丙(甲丙甲乙两边互用乙丙两角亦互用)为全数与丙角之正弦若乙角之割线与甲丙边之割线 或全与丙角之余割线若乙角之余弦与甲丙边之余弦 乙角定类三求丙乙(对直角之底)为全与乙角之切线若丙角之切线与乙丙边之割线 或全与乙角之余切线若丙角之余切线与乙丙边之余弦或乙或丙两角定类凡定类有二号者若二号为同类所得为不足九十度若两号为异类所得为过九十度第二设乙角及乙甲边 四求丙角为全与乙角之余割线若乙甲边之割线与丙角之割线 或全与乙甲边之余弦若乙角之正弦与丙角之余弦(直线直角形设一得二取)(其较也此与异者曲直两线为异类故也) 甲乙弧定类五求甲丙边为全与甲乙之正弦若乙角之切线与甲丙边之切线 或全与乙甲边之余割线若乙角之余切线与甲丙边之余切线乙角定类六求乙丙边为全数与乙角之割线若甲乙边之切线与乙丙边之切线 或全数与乙角之余弦若甲乙边之余切线与乙丙边之余切线 乙角或甲乙边定类第三设乙角及甲丙边 七求丙角为全数与甲丙边之割线若乙角之余弦与丙角之正弦或全数与甲丙边之余弦若乙角之割线与丙角之余割线 乙角或甲乙边定类八求甲乙为全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正弦 或全数与甲丙边之余切线若乙角之切线与甲乙边之余割线 乙角或甲丙边定类九求丙乙为全数与乙角之余割线若丙甲边之正弦与丙乙边之正弦 或全数与乙角之正弦若丙甲边之余割线与丙乙边之余割线 乙角定类第四设乙角及乙丙边 十求丙角为全数与乙丙之割线若乙角之余切线与丙角之切线 或全数与乙丙边之余弦若乙角之切线与丙角之余切线 乙角及乙丙定类十一求甲乙为全数与乙角之余弦若丙乙边之切线与甲乙边之切线 或全数与乙角之割线若乙丙边之余切线与甲乙边之余切线 乙角及乙丙定类十二求甲丙为全数与丙乙边之正弦若乙角之正弦与甲丙边之正弦 或全数与丙乙边之余割线若乙角之余割线与甲丙边之余割线 乙角定类第五设丙角及甲乙边 十三求乙角为全数与甲乙边之割线若丙角之余弦与乙角之正弦 或全数与甲乙边之余弦若丙角之割线与乙角之余割线 丙角定类十四求甲丙边为全数与甲乙边之切线若丙角之余切线与甲丙边之正弦 或全数与甲乙边之余切线若丙角之切线与甲丙边之余割线 甲乙边定类十五求乙丙为全数与丙角之余割线若甲乙之正弦与乙丙边之正弦 或全数与丙角之正弦若甲乙边之余割线与乙丙边之余割线 丙角定类第六设丙角及甲丙边 十六求乙角为全数与丙角之余割线若甲丙边之割线与乙角之割线 或全数与甲丙边之余弦若丙角之正弦与乙角之余弦 甲丙边定类十七求甲乙边为全数与甲丙边之正弦若丙角之切线与甲乙边之切线 或全数与甲丙边之余割线若丙角之余切线与甲乙边之余切线 丙角定类十八求乙丙边为全数与丙角之割线若甲丙边之切线与乙丙边之切线 或全数与丙角之余弦若甲丙边之余切线与乙丙边之余切线 丙角及甲丙边定类第七设丙角及丙乙边 十九求乙角为全数与丙乙边之割线若丙角之余切线与乙角之切线 或全数与丙乙边之余弦若丙角之切线与乙角之余切线 丙角及丙乙边定类二十求甲乙边为全数与丙乙边之正弦若丙角之正弦与甲乙边之正弦 或全数与乙丙边之余割线若丙角之余割线与甲乙边之余割线 丙角定类二十一求甲丙边为全数与丙角之余弦若丙乙边之切线与甲丙边之切线 或全数与丙角之割线若丙乙边之余切线与甲丙边之余切线 丙角及丙乙边定类第八设甲乙甲丙两边 二十二求乙角为全数与甲乙边之余割线若甲丙边之切线与乙角之切线 或全数与甲乙边之正弦若甲丙边之余切线与乙角之余切线 甲丙边定类二十三求丙角为全数与甲丙边之余割线若甲乙边之切线与丙角之切线 或全数与甲丙边之正弦若甲乙边之余切线与丙角之余切线 甲乙边定类二十四求乙丙边为全数与甲乙边之割线若甲丙边之割线与乙丙边之割线 或全数与甲乙之余弦若甲丙之余弦与乙丙之余弦 甲乙甲丙定类第九设甲乙乙丙两边 二十五求乙角为全数与丙乙边之切线若甲乙边之余切线与乙角之割线 或全数与乙丙边之余切线若甲乙边之切线与乙角之余弦 甲乙及乙丙定类二十六求丙角为全数与乙丙边之余割线若甲乙边之正弦与丙角之正弦 或全数与丙乙边之正弦若甲乙边之余割线与丙角之余割线 乙角定类二十七求甲丙边为全数与甲乙边之余弦若乙丙边之割线与甲丙边之割线 或全数与甲乙之割线若乙丙之余弦与甲丙之余弦 甲乙及乙丙定类第十设甲丙乙丙两边 二十八求乙角为全数与丙乙边之余割线若甲丙边之正弦与乙角之正弦 或全数与乙丙边之正弦若甲丙边之余割线与乙角之余割线 甲丙边定类二十九求丙角为全数与乙丙边之切线若甲丙边之余切线与丙角之割线 或全数与乙丙边之余切线若甲丙边之切线与丙角之余弦 甲丙及丙乙定类三十求甲乙边为全数与甲丙边之余弦若乙丙边之割线与甲乙边之割线 或全数与甲丙边之割线若丙乙边之余弦与甲乙边之余弦 甲丙及丙乙定类球上斜角形各边角正弦等线之比例第一题各角之正弦与其对边之正弦皆为同比例若形是直角则借彼第一题为全数(甲)与某角(乙)之正弦若底弧(乙丙)之正弦与某角(乙)对边(甲丙)之正弦则用更理为甲角全数与其对边乙丙若乙角与甲丙或若丙角与甲乙用反理亦然(凡不言某)(线者皆正弦也下倣此)若斜角形借相易第五法如丙丁乙形从乙从丁从丙作乙甲丁戊丙壬各垂弧至其对边为直角因前论甲乙丙角与甲丙边甲乙丁角与甲丁边为同比例合之丙乙丁角之正弦与丙丁边之正弦若乙丁丙角之正弦与乙丙边之正弦(若戊为直角则)(戊丁丙角与戊丙边若戊乙丁角与戊乙边合之乙丁丙角与丙乙边若某角与某边或用壬直角其理不异)若甲直角在形外其理亦同 如乙丙甲乙甲丁两角对乙甲乙丁两边乙丁甲乙甲丙两角对甲乙乙丙两边各减共用之甲直角即丙对甲乙乙丁两边丁对甲乙乙丙两边又各减共用之甲乙则丁角之正弦与乙丙边之正弦若丙角之正弦与乙丁边之正弦乙角与丁丙边同理第二题四率断比例若第一率为全数则全数上方与二三率之矩内形若第一率与第四率解曰甲乙全数线上方(数与线两类相当互解)丙丁丙戊为二三率之矩内方己方形之容与丁戊矩方等又甲乙丁丙丙戊壬四线为断比例题言甲乙上方与丁戊矩方若甲乙线(一率)与壬线(四率)论曰因㡬何(六卷十)甲乙壬两率矩内形与丁戊两中率矩内形等或与已方形等即甲乙己壬三线为连比例第一率上方与第二率上方若第一率与三率等(六卷十七)则全数(甲乙)上方与二三率之矩内方(丁丙丙戊矩丙形或已形)若甲乙线(一率)与壬线(四率)系若二三率为切线或割线或正弦即相乘以全数除之得第四率第三题球上斜角形全数上方形与两腰之正弦矩内形若两腰间角之矢与两矢之较两矢者其一为底弧(即角对边)之之矢其一为两腰较弧之矢圗说乙丙丁斜角形于乙丙乙丁引长之各满半周遇于戊其极线为戊己乙己为心戊丙乙己为平面上半圈戊丁乙为斜面半圈两半圈各平分于辛于寅作己辛己寅已丙皆半径又作寅辛弧即乙角之弧也其正弦为寅庚其矢为庚辛又取乙壬弧与乙丁腰等作丁壬小圏之弧次从丁作丁甲从壬作壬甲各为戊乙之垂线则小圏之半径亦为乙丁腰之正弦(即丁戊弧之正弦)次从丁作丁酉即丁壬小圏弧之正弦其矢为酉壬又取丙癸弧与底弧丁丙等又从乙从壬从癸向丙己半径作乙辰壬夘癸午各垂线末从酉向壬夘作酉子垂线解曰乙辰为乙丙小腰之正弦其矢辰丙寅庚为乙角(亦寅辛弧)之正弦其矢庚辛午夘为两腰较弧(壬丙)之正弦其矢夘丙癸午为底(丁丙亦丙)(癸)之正弦其矢午丙午夘(酉子同)为两腰较弧(壬丙)之矢(夘丙)与底弧(丁丙或丙癸)之矢(午丙)之较矢丁甲(壬甲同)为乙丁大腰之正弦题合全数(乙己丙己之类)上方形与乙辰偕壬甲两正弦矩内形若辛庚(乙角之矢)与两矢之较午夘论曰丁甲酉寅己庚两形相似(酉与庚皆直角甲己两角之腰平行又同在两)(靣内即等)则寅己全数(辛己同)与庚己若乙丁弧之正弦丁甲(壬甲同)与酉甲或辛己(寅己同)与庚己若壬甲(丁甲同)与酉甲依㡬何(五卷十九)之论辛己与辛庚若壬甲与壬酉(全与全两所截)(取之分比例等则两截取之余分必等)或辛己(全数)与壬甲(乙丁大腰之正弦)若辛庚(乙角之矢亦寅辛弧之矢)与壬酉(丁壬弧之矢)又乙己辰壬子酉两直角形相似(壬夘乙辰两线平行即壬甲乙三角幷为)(一形之角而甲壬夘为辰乙己角之余又辰己乙角为乙角之余则与夘壬甲角必等)则乙己(全数)与乙辰(乙丙小腰之正弦)若壬酉(丁壬弧之矢)与子酉(两矢之较也午夘同)同乘理之法两理(前两比例)之第一率(一辛巳一乙己)相乘得全数上方形两理之第二率(一乙丁大腰之正弦壬甲一乙丙小腰之正弦乙辰)相乘得两弧之正弦矩内形依合理(㡬何五卷)为若乙角之矢辛庚(一理之第三率)与两矢之较子酉(二理之第四率)系斜角形全数与所得之第四率(第四率者如上题全数为一率两腰之正)(弦为二三率用三率法乗除所得则第四率也)若两腰间角之矢与某矢(某矢者两)(矢之较两矢者一为底弧之矢一为两腰较弧之矢)二系斜角形全数上方形与两角之两正弦矩内形(或全)(数与第四率)若两角内边之矢与某矢(某矢者两矢之)(较两矢者一为边对角之矢一为两角较角之矢)解用第四相易法设角易为边即两弧之正弦矩内形与两角之正弦矩内形必等或两腰内角之矢与两角内边之矢必等第四题全数上方形为两腰(或两角)两正弦矩内形及两腰两余割线矩内形之中率解曰乙(正弦)与丙(全数)若丙与丁(余割线)如有两正弦两全数两余割线各以类相乗其形依合理为比例等反之或用余弦矩内形及正割线矩内形亦同系若两正弦两余割线各以类相乘(或用余弦及正割线)以全数除之所得两数亦全数为中率假如乙丙丁形(乙丁边五十四度五十分丁丙边五十八度)求其正弦其余割线相乘以全数除之从尾截去若干位所存如全数之位则(五十四度五十分之正弦八一七四八五)(十八度之正弦八四八○五)相乘得六九三二六三九一四○(五十四度)(五十分之余割线一二二三二七五十八度之余割线一一七九一八)相乘得一四四二四五五五一八六全数为两数之中率试之一全数上方积为实所得第一率为法除之或用减九数法亦可二系两弧之正弦余割线互乘所得两数亦全数上方形为中率(或用余弦正割线理同)如前系一弧之正弦全数与其余割线作三率连比例为第一理一弧之余割线全数与其正弦作三率连比例为第二理用合理以两理之第一率相乘得数二三亦如之所得三数之比例与前同理则一弧之正弦他弧之余割线矩内形全数上方形一弧之余割线他弧之正弦矩内形为三率连比例形(如前法试之)若三率形皆以全数除之比例如前则一弧之正弦他弧之余割线相乘以全除之所得为一率全数为二率一弧之余割线他弧之正弦相乘以全除之所得为三率三系两弧之正切线矩内形两弧之两余切线矩内形亦全数上方形为中率(如图戊正切与己全若丙全与丁余)(切用合理如前)若三率形皆以全数除之所得三数之比例如前系四系若一弧之正切线乘他弧之余切线或一弧之余切线乘他弧之正切线亦全数上方形为中率若三率形皆以全数除之比例亦然五系一弧之正切线他弧之正弦矩内形又一弧之余切线他弧之余割线矩内形亦全数上方形为中率(如上)(系戊正切全数丁余切为连比例反之则丁与丙丙与戊用合理如前)若三率形以全数除之比例亦然六系一弧之余切线他弧之正弦矩内形一弧之正切线他弧之余割线矩内形亦全数上方为中率七系一弧之正切线他弧之余弦矩内形一弧之余切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率八系一弧之余切线他弧之余弦矩内形一弧之正切线他弧之正割线矩内形亦全数上方为中率若各三率形各以全数除之比例皆同第五题无直角形从一角向其对边为垂弧分元形为二直角形各直角对边之余弦若底弧(受垂弧者为底)两分之余弦解乙丙丁形从丙作丙甲垂弧甲为直角则丙丁弧之余弦与丙乙弧之余弦若丁甲之余弦与甲乙弧之余弦又两边之割线若两分之割线论曰依前直角形第二题为全(一)与某边之余弦(二)若他边之余弦(三)与底之余弦今用更理二率与一若四率与三以论甲丙丁形则甲丁边之余弦(一)与全(二)若丙丁(直角形之底即直角之对边)之余弦(三)与丙甲之余弦(四)以论甲丙乙形则甲乙(一)与全(二)若丙乙(三)与甲丙(四)此二理平之则甲丁与甲乙(两理之两)(一率)若丙丁与丙乙(两理之第三率)各弧之余弦成割线其理皆同(为丙丁边之割线与全若甲丁边之割线与甲丙边之余弦又丙乙割线与全)(若甲乙割线与甲丙边之余弦今用两理平之则一丙丁与一丙乙若三甲丁与三甲乙各弧之割线)第六题垂弧旁两角之正弦若他两角之余弦解甲丙丁甲丙乙两角之正弦若丁乙两角之余弦又丙上两分角之余割线若丁乙两角之正割线解依直角第三题甲丙丁角之正弦(一)与全(二)若丁角之余弦(三)与丙甲边(四)又曰全(一)与甲丙乙角之正弦(二)若丙甲边之余弦与乙角之余弦今以第二理更之为二与一若四与三又以二理平之一与一若三与三则甲丙丁角(一)与甲丙乙角(一)若丁角(三)与乙角(三)又用三题十三系可算割线之比例第七题垂弧旁两弧之余切线若垂弧旁两角之余解丙甲垂弧遇丙丁丙乙两边于丙即丁丙甲角之余切线与甲丙乙角之余切线若丙丁边之余弦与丙乙边之余弦用直角第四题依前论试之又两弧之正切线若两角之正割线 亦用四题之系及十三系试之第八题垂弧旁两弧之余割线若垂弧相对两角之正弦又两弧之正弦若两角之余割线解丙甲垂弧旁两弧为丙丁丙乙又丙甲垂弧之对角为丁为乙 用直角三题试之第九题垂弧分底为二两分之正弦若垂弧相对两角之切线又两分之余割线若两角之正切线又两分之正割线若两对边之正切线又两分之余切线若两对角之余切线右各题之理皆从直角形之理出前解已明今不赘斜角形相求约法凡所设为异类(或边与角或角与边)用第五易分两直角形法见前凡形之弧或角过九十度用三四易得相似形其弧不及一象限设三边若二边等即用垂弧分为两直角等形各形有元形之一边有元底之半求其角解丙乙丙丁两弧等丙甲垂弧分乙丁底及乙丙丁角各两平分依圆球原本第一卷二十一题知两形必等若三边各不等求某角有三法其一以本角旁两腰之正弦相乘以全除之得数名初得数又以两腰之正矢相乘以全除之得数名次得数以次得数与角对边之弦或相加或相减(解见下文)得数以全乘之以初得数除之得某角之余弦解凡角之对边大以象限而角之两腰同类(同类者或皆大于象)(限或皆小)则两数相加(所求之角为钝)角若异类则两数相减其次得数为实(大而受减者为实)则角锐次得数为法(小而以减者为法)则角钝 凡角之对边小于象限而两腰同类则两数相减其次得数为实即角钝次得数为法即角锐若异类则两数相加角为锐角其二角两腰之(余割)线相乗以全除之得初数又两腰之(余弦)相乗以全除之得次数以次数与角对边之(余弦)或加或减如前法以所得数乗第一得数以全除之(得角之余弦)三法用前斜角三题全圗解为全数与一腰之正弦若他腰之正弦与初得数又初得数与两矢之较(两矢者两腰较)(弧之矢及底弧之矢此名次得数)若全数与角之矢球上三角形比类法见宗动天诸问向上诸篇皆先言其理(诸问见本篇八卷)上法之外尚多别法或用实球从球面界画诸圏测之或用平立环浑仪测之或用平浑仪测之或用比例规或用宗动天之象限或用规于平面画圗以缀术算之或先算成各度分之数而列为立成表俱有本书本论本㨗法然方之前法则踈而不宻故近来厯家舍置不用也古法用弦数以推步七政必湏句股开平立三乘方等术至繁而易紊用力多而见功少今悉置不用独用乘除简矣此卷中幷除法不用而独用乘法更简也又有加减术幷乘除俱不用然其理必繇乘除而出故先用本卷之法此法既明用之既熟然后用加减取径㨗焉三角形有三边求角三法假如丙丁边十九度三十分丙戊边十五度五十八分戊丁边十二度九分求戊角 第一法两腰(戊丙戊丁)正弦(丙戊为二七五○八戊丁)(为二一○四七)相乘以全除之初得五七八九又余弦相乘以全除之(丙戊为九六一四二丙丁为九七七六○)次得九三九八八丙丁边余弦为九四二六四比次得数为大(因两腰同类其三为小)即戊角为锐其较为二七六加五○以初得数除之得四七六七为角之余弦查表得八十七度十六分 二法两腰余割线(丙戊三六三五三三丙丁四七五一二三)相乗以全除之初得一七一七二二九其余弦如上法次得九三九八八与第三边余弦相减得较以较乗初得数以全除之得如前此法更便可免除法 三法两腰正弦如上两矢较如前解求两腰之较度得三度四十八分其矢为二二一又对边之矢为五七三六两数相减得五五一五为实加五○以初数除之得角之矢为九五二三一其度如上新法算书卷九十三
## 卷九十四
钦定四库全书
新法算书卷九十四 明 徐光启等 撰测量全义卷八 解正球上大圏相交之度分正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏(如黄道等)三为直截赤道之圏(直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处)(午圏时圏等)三者相交相距是生多种三角形如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极(极者球面)(上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心)(名极亦即轴之两端也)从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙甲为乙㸃距赤道之度(即赤道之纬度)丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角(即直角)一形有三角三边凡六种先有三可求其余一题凡有两道极相距之度分(交角之度分同)及一道之经度分求其余如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度(如大梁等一宫)求其纬度乙甲(过极圏之一弧)此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三一求黄道若干度之赤道纬度(即乙甲边)法(见本篇七卷直角形㨗法第七)(设)为全数与丙角之正弦(三九九一六)若乙丙弧之正弦(五○)(○○○)与乙甲弧之正弦(一九九五七)查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度二求正球同升之度甲丙(若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入)(名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两㸃名虽)(不同其理无二详见左方)法为全数与丙角之余弦(九一)(六九○○)若乙丙之正切线(五七七三五)与甲丙边之正切线(五二)(九三○)查得二十七度五十三分四十三秒三求乙角(即黄道与子午等过极圏之交角)法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线(若知黄白二道)(交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及)(本表)用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度附同升解黄赤二道交于春秋二分必相截为两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之〔？〕必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之〔？〕必等为九十度也其二大圏独过一道之两极(如过北极则赤道极也)此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之〔？〕必不等(盖两道与)(过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也)而此两道之两〔？〕(从春分起数)名正球同升或同降之度(正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否)亦名同过子午圏之度(盖子午圏亦过赤道之极)如过极圏截黄道大梁初度(去离春分三十经度)截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分溯夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某㸃之正升度如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某㸃之正升度如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度为大火初从春分起与赤道同升之度若从春分溯冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某㸃之正升度如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆为斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两〔？〕数名欹球同升之度如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八(从春分起数)则大梁初度及赤道一十八度为某欹球同升之两㸃若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升为此球之降则某㸃为彼球之斜同升即此球之斜同入如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差已上所说用浑球解之则易明二题有黄道经纬度求两道交角之度如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之〔？〕甲丙俱用本书七卷十设因设数难定不须详别三题设两道交角之度及黄道某㸃之纬度而求其㸃之黄道经度如丙为交角丁甲其对边之纬〔？〕求丙甲赤道之〔？〕(见七卷三设)为全与丙角之余切线若甲丁〔？〕之切线与甲丙边之正弦(此即赤道经度凡经纬二数恒相连)求丙丁黄道之〔？〕为全与丙角之余割线若甲丁边之正弦与丙丁边之正弦(丙丁为黄道经即两圏上之两㸃丁甲恒相对同升于地平同)(过于子午等圏)求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正弦与丁角之正弦(三角形各形有十设)(各设三求今约取其必用者解之)四题有丙交角(丙恒为交角)及甲丙赤道之〔？〕求丁角(黄道与过极圏)(之交角)求丁丙(黄道同升之〔？〕)求甲丁(黄道上某㸃之纬度法见)(七卷第二设)解欹球上大圏相交之度分正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大一题有赤道与地平交角之度(子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地)(平上之余度必等)又有黄道某㸃之纬若某㸃或升或降在地平求黄道与地平交角之度如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁丙庚为黄道己为二道之交丙为黄道地平之交从赤道极乙㸃过丙至赤道上寅㸃作乙丙寅〔？〕即丙寅〔？〕定黄道丙㸃之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙为黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角 用前正球一题第三求得乙丙丁角(彼云乙角)次甲丙乙形甲乙为极出地之髙若干度乙丙为寅丙纬之余度用第九设第二求得之(此问日食)(算中所必用故详解之仍须作立成表)如有大梁初度(即黄道经三十度为乙丙边)又有两道之交角(丙角二十三度三十一分半)而求过极圏(甲乙)与黄道之交角(乙)法为全数与乙丙之割线(一一五四三○)若丙角之余切线(二二九七○○)与乙角之切线(二六五一四二)查得六十九度二十分有竒次求甲丙乙角(即前本图上形)为全数与乙丙边之余割线(大梁)(初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九)若甲乙边之正弦(如顺天府北极出地三十九度五十分其正弦六四○五六)与乙角之正弦(五四三六七)查得三十二度五十六分先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度若巳交角(即黄赤交)与丙(即黄道地平之交)同㸃即黄道极必在子午圏内或巳为春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳为秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加为秋交在西亦减(用浑球明之)二题有黄道某㸃之纬度及北极出地之度求本㸃出入地平之濶度(濶度者地平之经度各㸃出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于)(正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南)如图丁庚戊为子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子(地平圏之极)作子甲乙为地平第一经圏乙㸃即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某㸃距等圏之纬度甲乙丙角(庚戊〔？〕也)为赤道出地之度(北极出地之余)甲为直角(从赤道极癸出线而截赤道于甲故也)乙丙为黄道某㸃之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之正弦与丙乙边之正弦假如顺天府赤道高五十度五分乙角也其余割线(一三○二二三)甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正弦(三九九○二)算得乙丙边之正弦(五一九六)(一)查得三十一度一十九分 因乙㸃为正卯酉癸为北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角(丁己〔？〕也)为赤道入地之度如上图三题有北极出地度及黄道之某㸃求昼夜长短(即各欹球黄赤)(道同升之㸃)解曰凡测时以赤道为主何者日十二时九十六刻终古常然不以冬夏为永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各满一象限不与黄道偕盈缩二相配合则赤道过一宫而为一时过三度四分度之三而为一刻故赤道为各种日晷之宗法测时候之公本原也其在欹球独春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内两道过子午圏及出入地平常是同㸃则从午至酉赤道过子午圏而西者为九十度得二十四刻也过此以徃日躔积渐南北昼夜亦积渐永短赤道在午正左右之第九十度亦积渐出地上或入地下则定昼夜分者当求赤道与日躔过极圈交㸃之度其法从北极过日体作过极圏之一〔？〕为癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之㸃其赤黄两道之两㸃庚辛同过子午等圏转浑令辛㸃到地平如丙即庚㸃必至甲若太阳在北六宫庚㸃必过地平如癸丙甲在南六宫庚㸃必不到地平如癸甲丙此或过或不及之差名两升之差(一是正球过子午圏一是)(欹球过子午圏)亦谓之昼夜长短之根今欲测辛㸃从午至入地平之刻分必先定庚甲(庚甲大圏之〔？〕度与辛丙小圏之〔？〕度同在癸甲癸庚两)(过极圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏无法必用庚甲测之)而庚乙必九十度须知甲乙然后或加或减可得甲庚即半昼分倍之得昼夜以加减四十八刻得半夜分如上图甲乙丙形有乙角为赤道与地平之交角有甲丙为某㸃之距度求甲乙则全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正弦如甲丙为冬至之距纬二十三度有竒其切线四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其余切线八三四一五算得三六五一一为甲乙边之正弦查得二十一度二十五分以减九十度得六十八度三十五分算时刻得一十八刻四分(每刻十五分)二十抄(每分六十秒)为顺天府之冬至半昼分倍之得三十六刻○ 八分四十○秒为昼长以减九十六刻得五十九刻○六分二十○秒为夜长 因上法可作诸方半昼分立成表(见别卷)四题有赤道之高及太阳出入之濶度可得黄道本㸃之纬度亦自有其经度即用上图有乙角为赤道之高丙乙为大阳出入之濶求黄道之纬度甲丙亦求欹球同升之差甲乙(见七卷第四设)若有赤道之高及丙角亦可求其余(见七卷第一设)若置半昼分及赤道之高可得黄道本㸃之纬度及太阳出入之濶度(若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边)五题有黄道某㸃及北极出地之度求欹球同升之度如上图求得黄道某㸃之正升甲及两升之差甲乙以此两数或相加(在北六宫内)或相减得某地面黄赤两道同升(从春分起算)之两〔？〕如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差为一十八度两数相加得二百五十五度四十八分○七秒则黄道〔？〕为二百四十度(从春分起算)赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒为本地面两弧同斜升之度若求其同降之度则用黄道上对㸃求其斜升加一百八十度 如析木之对为实沈求实沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度升降三类(正球同升一斜球同升二正斜升之差三)其用甚大如定昼夜长短及太阳与某星相距之度及夜以星定时刻之属皆所必须故须详讲之熟习之(另卷有本表及其用免算)六题有极出地之度及赤道之升度(从所近交起算)求黄道同升之经度如图己癸为地平午丙辛为赤道戊丁庚为黄道交地平于乙两道之交成丁丙乙斜角形丁为两道之交角丁丙边为赤道上升度(从所近交)(起算)丁丙乙为赤道高丁丙癸之余角求黄道弧丁乙其法从丙角作丙甲垂弧分元形为二其甲丙丁形有丁角有丁丙边用直角第四设求丁丙甲角丙甲边丁甲边次于丁丙乙角内减丁丙甲角余甲丙乙角即甲丙乙形有丙角及丙甲边用直角第二设求甲乙以并丁甲得丁乙弧上法为是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙斜角形有丁丙边有丁丙两角从乙角作乙甲垂弧分元形为二先于甲乙丁形求甲乙甲丁次甲乙丙形有丙角甲乙边求甲丙以并甲丁得丁丙边七题有极出地之度分多于两道相距之余度分求此地周歳中太阳恒见恒隐之日数解曰正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角故昼夜恒等其在欹球极高六十六度半弱(两道距二十三度半强之余度)以下者太阳日日有出入周岁中日日有昼夜依上第三题求其昼夜分若极高六十六度半弱以上即周岁中太阳有时恒见不隐每日周遭地平之上有时恒隐不见每日周遭地平之下以法求得其𨼆见之日数然此所得者实隠见也又因清蒙之气入恒迟出恒早此为视隠见说见厯指一卷其法以赤道之髙(极出地之余度)当太阳之纬度因纬度求其经度(从春分或秋分起数)取经度之余度(即太阳去离夏至或冬至)倍之约一度为一日得本地太阳恒见恒隠之日数如上图癸己为地平午辛为赤道乙丙为夏至壬庚为冬至乙庚为黄道子丑为两极若太阳在夏至乙从乙转丙丙复转乙不割癸己地平即常见若太阳至丁己距圏从丁转己已复转丁虽切地平于已而不割亦常见假如极出地七十六度赤道髙十四度即以当太阳之十四纬度求经得三十七度二十分其经余五十二度四十分倍之得一百○五度二十分约一度为一日得一百○五十有竒太阳日日周行地平之上并为一昼若太阳躔南六宫则日日周行地平之下并为一夜第因清䝉之气即视见恒在真见之前视隐恒在真隐之后各有日数因本地之蒙气厚薄以为多寡八题有黄道交子午圏之㸃及极之髙求黄道之九十度限从地平以上数至黄道之九十度名为黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道极多不在子午圏中故上半周任交于子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若极在东则从地平西右数至子午圏黄道之度恒过九十从地平东左数至子午圏黄道之度恒不及九十若极在西则反是故春分前后六宫从冬至迄夏至交于子午则黄平限在东秋分前后六宫从夏至迄冬至交于子午则黄平限在西今所求者此九十度限之一㸃去离天顶若干度分也其用法详日食本论法有黄道交午圏之㸃求九十度限即先求正球上在午㸃之同升赤道㸃加赤道从午至地平九十度得总数定仪求本地欹球上之黄道同升㸃于黄道在午至地平数内减九十度得黄道去离地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升为赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球(顺天府极出地四十度弱)上之黄道同升得鹑火出地平一十一度弱于黄道从午至地平数内减九十度得大梁十一度弱为黄道九十度限在东又如黄道𤣥枵初度在午其正同升为赤道三百○二度强加九十得三百九十二(凡度数满全周用其余此三百九十二减三百六十)(即总数为三十二)次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度于黄道从午至地平数内减九十度得𤣥枵一十二度为黄平象限亦在东系有在午之㸃及九十度限其较为午㸃至九十度限之黄道一〔？〕如上第二设九十度限为𤣥枵一十二度午上之㸃为𤣥枵初度则其相距为一十二度反之有黄道之出地度求在午之㸃及九十度限法曰有地平上黄道㸃求其本地欹球上之赤道同升㸃减九十度得数求正同升之黄道上度为在午之㸃又于本㸃去离地平数内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升为一十八度减九十(凡实数小法数大借全周三百六十并而减之)得二百八十八度求其正同升之黄道上度得𤣥枵一十七度强为九十度限距午之度又黄道大梁初度在地平于地平距午数内减九十度得𤣥枵初度为九十度限九题有黄道交子午圏之㸃及极之髙求九十度限而不用同升度如图丁丙戊为子午圏乙甲丁为黄道乙㸃为某宫某度分丙为天顶甲为九十度限从丙过甲作丙甲己地平经圏成甲乙丙形甲为直角乙为黄道交于子午圏之角(见正球说有本表)丙乙为黄道某㸃距天顶之度(若某㸃系南六宫求其纬以减赤道髙若系北)(六宫求其纬以加赤道髙各得丙乙)而求甲乙边法为全与乙角之余弦若丙乙之切线与甲乙之切线(另卷有表又见交食厯)假如乙㸃是大梁初度则乙角为六十九度二十一分(法见正球四题)其余弦为三五二六六其纬一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其余为二十八度一十分丙乙也其切线为五三五四五算得一十度四十八分为甲乙弧(上题用同升表一十一度弱今亦用表数云一十度四十八分因上题弃去零数故也)十题有黄道交于子午圏之㸃及极之髙而求九十度限距天顶之度如前图求丙甲弧法为全与丙乙之正弦(四七四六○)若乙角之正弦(九三五七五)与甲丙边之正弦(四三四一九)算得二十五度四十四分为甲丙弧 因甲庚庚己各九十度则甲己为庚角之弧其角为黄道截地平之角即上第五题图之丁乙丙角十一题有在地平㸃之濶度及在午㸃之距天顶度而求黄平象限距天顶度如前图从天顶丙作地平经初度丙壬黄道截地平于庚成庚甲己形甲己为两直角(丙己经圏过地平之极故己为直角甲分地平)(上黄道为两平分即过地平之极亦过黄道之极故甲为直角)则相对之两腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自为九十若减同用之壬己即所余庚壬与己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角(或己戊或壬庚濶升度)可得甲丙法为全与濶升度之余弦若丙乙边之切线与丙甲边之切线十二题有午上之㸃求在地平㸃之阔升度即庚壬或己戊或甲丙乙角法为全与丙乙边之余割线若甲乙边之正弦与丙角之正弦(或庚壬濶〔？〕之正弦)十三题有午正前后时刻之度分(时刻之度分者以时刻易为度分也每四刻为)(一十五度一刻为三度四十五分刻之一秒分为度之四分之一刻之一秒为度之四)及太阳之经度求在午之度因求黄平象限度法如时在午前即以太阳经度求其正同升之度减时刻之度得赤道数以求黄道正同升之度即在午之度如太阳躔大梁初度于己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升为赤道二十八度减去三十度(己正)(初刻之度)余三百五十八(实少于法借全周)查其正同升之黄道度得娵訾二十八为在午之㸃次于赤道数加九十得八十八(满全周去之)求本地欹球同升之度得鹑首一十七(零数)(省文去之)为黄道本球本时出地平之度减去九十度得降娄一十七为黄道九十度限若时在午后则用加法如未正初刻则于二十八度(大梁)(之正同升)加三十(时度)得赤道五十八查其正同升得实沈初度为在午之㸃次于赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鹑尾五度半为黄道本时本球之出地度减去九十度得实沈五度半为黄道九十度限十四题有太阳躔度及时刻度求太阳地平上之髙度其法有四或太阳在赤道上(春秋分第一圏)或时度过九十(二图)或在北六宫(三图)或在南六宫(四图)第一图己戊丁壬为子午圏戊丙庚为赤道太阳在乙从天顶丁作丁乙甲弧过太阳至地平为直角成甲乙丙直角形此形有乙内边(戊乙时度之余)有丙角(赤道之高度)求甲乙为全与乙丙边之正弦(己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正弦八六六○三)若丙角之正弦(顺天府赤道髙五十度则丙角五十度其正弦七六六○四)与乙甲边之正弦(六六)(三四一)算得四十一度四十七分为太阳本时之髙第二图时度过九十即从北极辛作辛乙午〔？〕交地平于癸成癸午丙三角形午为直角有午丙为时度过九十之较有癸丙午为赤道与地平之交角求午癸边及午癸丙角(午癸丙角)(为过极圏或时圏与地平之交角求法见第七卷直角形之用法)次以午癸与午乙或加或减得癸乙〔？〕(用二图时度过九十即相减若不过九十者如三图太阳在北六宫即相)(加如四图太阳在南六宫即相减所并所余皆为癸乙〔？〕)次乙甲癸形甲为直角有先加减所得之癸乙边有乙(癸甲)角可得太阳之髙乙甲如三图日躔大梁初度其纬得一十一度三十分半乙午也巳正时戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分(或午丙癸角)次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸边法为全与午丙之正弦(八六六○三)若丙角之切线(一一九八八二)与午癸之切线(一○三八五五)算得四十六度○五分(因大梁在北六宫故)次加太阳之纬度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又于此形求癸角法为全与丙角之余割线(一三○二二三)若午丙弧之正割线(二○○○○○)与癸角之正割线(二六○四)(一七)算得六十七度二十四分癸角也次癸乙甲形甲为直角有癸角及癸乙边求甲乙法为全与乙癸弧之正弦(八四四五三)若癸角之正弦(九二三二一)与甲乙边之正弦(七七九五二)算得五十一度一十三分甲乙也是为本地本时黄道某度地平上之日轨髙若太阳躔南六宫如双鱼初度其纬亦一十一度三十○分三十秒则如第四图之癸午边减乙午得三十四度三十四分为乙癸边其正弦(五六七三六)乗癸角之正弦(九二三四三)得三十一度三十六分十五题有太阳之纬度有日轨髙有极出地度求时刻如上题第一图(太阳乙在赤道)甲乙丙形有日轨髙甲乙有乙丙甲角为赤道高求乙丙边(戊乙之余)法为全与丙角之余割线(丙角五十度○五分)(其余割线一三○一九二)若甲乙弧之正弦(甲乙日轨髙三十度其正弦五○○○○)与乙丙之正弦(六五三二○)算得四十度三十七分乙丙也戊乙其余为四十九度二十三分易为时得午前或午后一十三刻○二分三十二秒又如上题第二三四图用辛丁乙形(太阳在乙)有乙辛为太阳距极度(若乙在北六宫则乙辛为纬度之余)(若在南六宫则于纬度加九十得乙辛)有丁乙为日轨髙之余度有丁辛为北极距天顶之度(北极髙之余)求辛角(辛为赤道极丁)(辛乙角之〔？〕为戊午戊是午正则以戊午定午前后时刻之数)法见第七卷斜角形用法今解之如辛丁为五十度一十分丁乙(日轨髙之余)六十度辛乙八十度(太阳纬午乙十度其余得八十度)法以辛角旁两腰之正弦相乗(五十度一十分之正弦七六七九一八十度之正弦九八四八一)以全除之得(七五六二○)名初得数又以两腰之余弦相乗(五十度一十分之余)(弦六四二七九八十度之余弦一七三六五)以全除之得(一一○六)(九)名次得数以次得数与角对边之余弦(六十度之余弦为五○○○○)相减(丁乙边小又两腰同类故也)所存(三八九三九)以全乗之以初得数(七五六二○)除之得辛角之余弦(五一六九○)算得五十八度五十三分易为时得一十五刻一十三分四十二秒又如辛丁丁乙如前而辛乙为一百度(日在南六宫距度十)则以丁辛之正弦(七六七九一)辛乙之正弦(九八四九一百度而用八十度之正弦者)(大弦过象限则用其余弧之弦)相乗得(七五八三一)以全除之为初得数又以两弧之余弦(丁辛之余弦为六四○五)(六辛乙之余弦为一七三六五)相乗以全除之得(一一一二三)为次得数以加角对边丁乙之余弦(丁乙边小又两腰为异类故)得数(六一一二三)加五位为实以初得数为法除之得(八○六○四)为辛角之余弦查得三十六度一十七分易为时得九刻一十分○八秒如上法或用月之髙求月时则用月之纬度或用星之高求星时则用星之纬度十六题有极出地之高有日轨高及其纬度求地平经度(地平经度者或从卯酉正或从子午正起算皆得)如前图辛丁戊为子午圏丁为天顶丁乙甲为本时日躔(天顶经圏)今求壬甲弧(或壬丁甲角)或甲己弧(或甲丁己角)宜用辛丁乙角形求角列数如上题(丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度)法以辛丁丁乙两弧之正弦相乗以全除之先得(六六六八六)又两弧之余弦相乗以全除之次得(三二○二八)加乙辛之余弦(一七三六五)于次得数共(四九三九三)加五位(以全乗之故)为实以先得数除之得(七四○六即丁角之余弦)查正弦表得四十七度四十七分为乙丁戊角(即甲己弧)辛丁乙之余角也辛丁乙系钝角(因对角边乙辛小于九十度两腰为同类故相)(加次得数大于乙辛底之余弦故所得为钝角)故乙丁戊角之余为四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分为太阳之本顶圏距北向南之度壬甲也(此系太阳在北六宫)亦名地平之经度(造日晷之法内用)又如辛乙为一百一十三度三十一分半(太阳在南六宫躔星纪)丁乙为七十度求丁角法两腰之正弦相乗(丁辛之正弦为七六七九一丁乙之正弦为九三九)(六九)以全除之先得(七二一五八)以两弧之余弦相乗(丁辛为六四○)(五六丁乙为三四二○二)以全除之次得(二一九○九)以乙辛之余弦(三九)(九○二)加次得数共(六一八一一)加五位为实以先得为法除之得(八五六六六)即丁角之余弦查得五十八度五十六分为乙丁戊角因丁为钝角(角之对边辛乙大于九十度两腰为同类故相加又次得)(数小于乙辛底之余弦故丁为钝角)故加九十得一百四十八度五十六分为辛丁乙角之度(即壬甲弧)是太阳本顶圏距北向南之度若用余角则从南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也(余者一百四十八度五十六分之余)十七题有时度有日轨髙及极出地之度求太阳之纬度又求地平之经度如前图辛乙丁斜角形辛乙边为太阳本日距等圏距北极之度此形有辛角(即戊午弧)时度也有丁辛弧极髙之余也有丁乙弧日轨髙之余也而求太阳距北极之纬度辛乙即如次图从丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛(用七卷直角形第四设二三求)次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙(用七卷第八设)(之三求)乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平经度(乙丁辛角也)则丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角(若辛为钝角即乙丁辛为锐角若辛为锐角即乙丁)(辛为钝角)新法算书卷九十四
## 卷九十五
钦定四库全书
新法算书卷九十五 明 徐光启等 撰测量全义卷九 测星太阳行度止于黄道带中间一线终古不易故日躔厯中所用止黄道赤道过极天顶地平五大圈而已若恒星及五纬不然各有黄道之纬度(一名广度)恒星则终古不易五纬则随时不同也各有黄道之经度(一名长度)恒星则东行每百年一度二十五分五纬自有其本行也各有赤道之纬度(一名距度)则恒星纬星皆随时不同也各有赤道之经度恒星则为黄道之同升度(或名同过极圏之度非赤道本圏之上度)五纬自有其本行亦皆随时不同也盖二种星四种度其不易者止一恒星之黄道纬余皆时时变易矣欲测经纬各星之本度法用仪器定赤道上之经纬度可推得黄道上之经纬度或先测得黄道上经纬度可推得赤道上经纬度又以法求各欹球上之各星升降时刻见上卷其测星之器之法及行度各论各表见别卷第一题有某星之黄道上经纬度求其赤道上经纬度(星者通称也或恒星或五)(纬或客星彗孛皆是后论倣此)凡星之经度皆从春分或左或右起算厯家兼用二分葢皆两道之交无纬度但取其距近者为便耳如河鼓中星其黄道经二百九十六度有竒以满全周少六十三度有竒即用春分向右起算为相距未及一象限故黄道分四象限春分迄夏至九十度为一限夏至迄秋分一百八十度为二限秋分迄冬至二百七十度为三限冬至迄春分满三百六十度为四限凡论星之经度先定在黄道某象限之或左或右相距近则易测(图说如左)若论星之纬度或在二道之北或在二道之南或在二道之间(或在黄之南赤之北或在黄之)(北赤之南)亦如后图图说丁戊庚寅为极至交圏(南北圏过)(二道二极亦过二至)壬为心戊壬寅为黄道丁壬辛为赤道交于壬为春秋两分戊为夏至寅为冬至已为赤道极庚为黄道极从春壬向夏戊转秋壬至冬寅为四象限之弧也今设一星如乙从黄道极庚(或北极或南极与纬度同理)作象限弧过乙至黄道之子㸃子乙即黄道上本星之纬度也次从赤道极已过乙作己乙甲象限弧乙甲即赤道距本星之纬度也又定本星经度距交分之度为甲壬今欲求本星之赤道纬度甲乙及其赤道经其法有二一用己庚乙斜角形此形有两极之相距己庚有黄道纬乙子之余弧乙庚有对戊子弧之庚角(庚角之子戊弧即本星距交分之余弧亦即其距至之弧)求乙己庚角(其余乙己午角为甲丁〔？〕之角即本星赤道上距至之弧)法用七卷第五易以庚己弧引长之从乙作乙午垂弧成乙庚午直角形此形有庚角有庚乙边求午乙又求午庚(二求法见下第一假)(如)以己庚减午庚得午己次午己乙直角形有午乙有午己求己乙求午己乙午己乙者甲丁弧之角甲丁者所求赤道经壬甲之余弧己乙者所求赤道纬甲乙之余弧也假如乙为句陈大星(西名小熊尾第一)天启甲子年黄道经为八十三度二十三分壬子也其黄道北纬度为六十六度○二分子乙也因经度不过九十故在第一象限内从春壬向夏戊遇子即从庚过乙作庚乙子象限弧次从北极已(纬度在北)过乙作己乙甲象限弧成己乙庚形此形有乙庚庚己及庚角从乙作乙午垂弧成午乙庚直角形此形有乙庚二十三度五十八分(黄纬之余)有庚角六度三十三分求午乙边法为全与乙庚之正弦(四○六二一)若庚角之正弦(一一四○七)与午乙边之正弦(四五三三)查得二度三十六分又求午庚边法为全与庚角之余弦(九九三四七)若庚乙之切线(四四四五三)与午庚之切线(四四一六四)查得二十三度四十九分三十秒次以己庚减午庚得午己弧○度一十八分次午己乙形有午乙午己两边求乙己法为全与午己之余弦(九九九九九)若午乙之余弦(九九八九七)与乙己之余弦(九九八九三)查得二度三十九分为句陈大星与己北极之距余八十七度二十一分为本星赤道北之纬度又求午己乙角为全与午己之正弦(五二四)若午乙之余切线(二二○二一七一)与己角之余切线(一一五三八)查得八十三度二十五分为午己乙角之甲丁弧则甲壬得六度三十五分为本星赤道上之经度又假如乙为南河东星(西名小犬大星)甲子年黄道经度为一百一十○度二十七分三十○秒其南纬度为一十六度○十分因经度过九十故在第二象限内从戊数限外得二十○度二十七分为戊子从黄南极庚作庚子象弧其纬度为子乙因乙星在赤道北从赤北极作己乙甲弧成庚乙己大三角形此形有庚角(子戊也黄道经之余弧)有庚乙边(黄道纬之余弧)又有己庚大弧(庚戊)(象限九十度戊己为黄道夏至距赤道极六十六度二十八分三十秒得一百五十六度二十八分三十秒)求己乙边及己角从乙角作乙午垂弧在形内(为己庚边过象)(限又己庚两皆锐角)其庚乙午直角形有庚角有庚乙边求庚午得七十二度四十九分四十○秒又求乙午得一十九度三十三分一十四秒次以午庚减己庚余八十三度三十八分五十○秒为午己次午己乙直角形有己午午乙求己乙得八十四度○一分为赤道纬度之余即纬度甲乙为五度五十九分次求巳角之对弧甲丁得二十一度二十一分三十○秒因在第二象限加九十度得一百一十一度二十一分三十○秒为赤道上经度(加九十度者从壬起算越丁而转至甲故也)或从赤南极巳作己甲乙弧成乙庚己(南极)形乙庚边引长之又从己角作己午垂弧成庚己午形此形有己庚午角与戊庚子角等(相对交角)有己庚(两极之距)求午己午庚两边及午己庚角次午乙己形有午己午乙(午庚庚乙并)求己乙为某星距南极之度(减己)(甲九十度余为赤道北之纬度甲乙)次求午己乙角内减午己庚角余庚己乙角其对弧甲丁即某星之赤道上经度也假如河鼓中星天启甲子年黄道经二百九十六度二十八分三十三秒其黄纬为二十九度二十一分三十○秒求赤道上经纬度如图春壬夏戊为黄道初限(九十)(度)夏戊秋壬为黄道二限(百八十度)秋壬冬寅为黄道三限(二百七十度)冬寅春壬为黄道四限(全周)星之经度二百九十六即在寅壬四限内于经数内减三限(二百七十度)余二十六度二十八分三十三秒为从寅起算至子之经度次从黄北极庚 至子作庚子象限从子向北计其黄二十九度二十一分三十○秒为子乙次从北极巳过乙作己乙甲象限弧成庚己乙形此形有庚己(黄赤距二十三度三十一分三十○秒)有乙庚(黄度之余六十○度三十八分)(三十○秒)及己庚乙角(或子庚寅角之余为一百五十三度三十一分三十○秒)用七卷相易法从乙作乙午垂弧至己庚辛弧上成庚乙午直角形有庚乙边有乙庚午角求午乙法为全与庚乙边之正弦(八七一五七)若庚角之正弦(四四五七九)与午乙边之正弦(三八九二三)查得二十二度五十四分三十○秒为乙午边次求庚午法为全与庚角之余弦(八九四七四)若庚乙之切线(一七七七二三)与午庚之切线(一五九○一四)查得五十七度五十○分加庚己(二十三度三十一分三十○秒)得己午八十一度二十一分三十○秒次乙己午直角形有己午有午乙求己乙法为全与己午之余弦(一五○二六)若午乙之余弦(九二一一○九)与己乙之余弦(一三五四九)查得八十二度一十三分为己乙其余七度四十○分为乙甲是河鼓中星在赤道北之纬度又求乙己午角法为全与午己之正弦(九八五七○)若午乙之余切线(二三六六三六)与己角之余切线(二三四三二)查得二十三度○八分为己角即甲辛弧为从辛起算之赤道上经度也因在第四限加二百七十度得二百九十三度○八分为河鼔中星之赤道上经度其二法用前图庚子象弧交赤道于丑上下有壬子丑乙甲丑两直角形而求乙甲(乙星之赤道纬)及甲丁(己角之弧星经距至之弧)或甲壬(星距交分之弧)其壬子丑形有子直角有丑壬子角(两道之交角)有壬子边(星黄道距交分之弧)求丑子丑壬及子丑壬角次以乙子丑子或相加或相减(丑在乙子)(之间则减子在乙丑之间则加)得乙丑次乙丑甲形有甲直角有乙丑边有乙丑甲角(子丑壬之交角)求丑甲加丑壬得乙星赤道上距壬交之经度又求得甲乙为乙星之赤道上纬度如乙为娄中星黄道经三十二度二十六分三十○秒壬子也其北纬九度五十七分子乙也求赤道经纬度其壬子丑形有子直角有壬子(黄道经)及壬角(黄赤距弧)求子丑法为全与子壬之正弦(五三六四六)若壬角之切线(四三五三三)与子丑之切线(二三三五三)查得一十三度○八分四十○秒次求壬丑法为全与壬角之割线(一○九○六四)若壬子之切线(六三五六一)与丑壬之切线(六九三二)(一)查得三十四度四十三分五十七秒次求丑角为全与壬角之余割线(二五○五二○)若子丑之割线(一一八四九一)与丑角之割线(二九六八四三)查得七十○度一十八分五十二秒并乙子(星之黄道纬九度五十七分)子丑(本形初求一十三度○八分四十○秒)得二十三度○五分四十○秒又乙丑甲形有乙丑及丑角求乙甲边为全与乙丑之正弦(三九二二七)若丑角之正弦(九四一六六)与乙甲之正弦(三六九六四)查得二十一度四十○分三十○秒赤道之纬度也又求丑甲为全与丑角之余弦(三三六九一)若乙丑之切线(四二六四一)与丑甲之切线(一四)(三六五)查得八度一十○分三十○秒以减先得之丑壬余二十六度三十三分二十七秒为本星赤道之经度第二题有某星之赤道上经纬度求其黄道上经纬度如前图用己乙庚形此形有乙己(甲乙赤道纬度)(之余)有乙己庚角(其余为甲己丁角先有赤道经度壬甲即有甲丁弧)(或甲己丁角)有己庚(两极距度)求黄道经度之庚角或子戊弧(壬子之余)或用第二法引长乙甲弧交黄道于卯成卯甲壬直角形有壬角(两极距度)有壬甲(赤道经度)求甲卯及甲卯壬角以乙甲甲卯或相加或相减得卯乙次卯乙子形有卯乙有乙卯子角(先为甲卯壬角)求乙子为黄道之纬度亦求卯子壬卯卯子或加或减得壬子为本星距交之黄道经度(星在黄道南北如上图在两道间如下图)第三题有某星黄道赤道上之经纬度求两道之距度法用上图乙己庚形有庚己两角(两道之经度)有庚乙或乙己边求庚己边第四题有某星之黄道经度赤道纬度而求赤道经度黄道纬度法用上图乙己庚形有庚角(黄道经度)有己乙(赤道纬度之余)求己角(赤道经度)及庚乙边(黄道纬度之余)第五题有某星之地平经纬度及极出地之度求其赤道纬度如图丙丁己为子午圏丙壬辛为地平庚为天顶己为北极丁壬为赤道星在乙从己作己戊乙弧定戊乙为星距赤道之度从庚作庚乙甲弧定甲乙为地平之纬度又定甲庚丙角(即甲丙弧)为地平之经度(从南起算)成庚乙己形有己庚边(极出地之余)有乙庚(地平纬之余)有乙庚己角(即甲辛弧之角)求乙己减九十度得戊乙为星距赤道之纬度若有星之赤道纬度及其地平经纬度而求极出地之度如图庚乙己形有己乙乙庚两边有庚角求己庚弧为极距天顶度(即极出地之余)若有赤道上丁㸃(在子午圏)之经度可知某星之赤道经度如图求乙己庚角其弧为丁戊则以丁㸃或加或减于丁戊得星之赤道经度第六题有某星之赤道经度地平纬度北极出地之度求时刻(时者)(赤道过子午圏之平度分也太阳赤道上经度某㸃过子午圏三十度即成八刻是太阳之时也在星亦然凡)(星之赤道上经度某㸃在午正线即为某星之午正时更过三十度即某星之午后八刻若以某星之时刻求)(太阳之夜时刻即先求太阳及星之赤道上两经度以加减得太阳时刻法见下文)如上图丁戊弧求某星之距午时刻(即庚己乙角)其地平纬度为甲乙即有乙庚赤道纬度为戊乙即有乙己(若星纬向)(北则以戊乙减戊己九十度若向南则加之各得乙己弧)庚己为本地北极高之余是乙庚己斜角形有三边求己角(本书)(七卷)法曰庚己乙己为所求角(己)旁之两弧以此两弧之度分相加为总相减为较查总较数之两余弦若总数过九十即以两余弦相加不及即相减得数半之为先得数次以乙己己庚相减得较弧求其矢与庚乙边(所求己角)(之对边)之矢相减存数为实末加五位以先得数而一得己角之矢(即丁戊弧之矢查表得丁戊弧)假如河鼔中星天启甲子年在赤道北七度五十五分三十○秒乙戊也余乙己必八十二度○四分三十秒地平高三十五度甲乙也余乙庚必五十五度庚己五十○度○十分(顺天府北极距天顶)是庚乙己形有三边而求己角法以所求角(己)之两腰(庚己五十度○十分己乙八十二度○四分)相加得总数(一百三十二度一十四分)相减得较数(三十一度五十四分)查两得数之余弦(百三十二度一十四分以比半周少四十七度四十六分求其正弦为六七九八六总数之余弦也)(又八四三三九为较数之余弦)因总数过九十应相加得(一五二三二五)半之为(七六一六二)则先得数也两腰之较弧为三十二度三十○分其矢为(一五六六○)己角对边庚乙之矢为(四二六四二)两矢相减余(二六九四二)为实加末五位以先得数而一得(三六)(九一一)查得丁戊弧五十○度五十三分变时得三小时二十三分三十○秒若星在午线右则为午后星之本时若在午线左则以减半日十二时得子后星时为八时三十六分三十○秒若有星时求太阳时其法以星之赤道上经度去减太阳之赤道上经度其较为星与日之距度也变为时加减以星之时得太阳之正时若太阳经度小于星之经度亦相减得星日之距但以距度变时加入于星时如图外圏为时刻内圏为赤道设星在鹑火初度(设经为一百二十二度有竒)设太阳在析木初度(设经为二百三十七度有竒)又设星时为己正初刻(午前八刻或子后四十刻)两经相减得日星之距弧丑己变为时若星日俱在东则以星时加入距时为太阳之午前时(如一图)若一在西一在东则以星之时去减于距时得太阳时(如一)(图)若星日俱在西则以星时加入距时得太阳时(如三图)第七题有某星之赤道纬度及北极出地度求地平上时刻(太阳为昼)法与求太阳之昼时同如图丁壬为赤道己为极星或北或南出入地在乙从已极作己乙截赤道于甲成甲乙壬直角形有甲乙(星之纬度)有甲壬乙角(赤道高弧之角)求甲壬弧若星在北以甲壬加壬丁九十度得星之半昼星在南以甲壬减壬丁得星半昼 若星之近出极纬度小于极出地之度即此星常见不𨼆若近入极纬度小于极入地之度即此星常隐不见(满剌加以北则北为出极南为入极)第八题有星之经纬度以定出入之濶度如上图之壬乙边是也反之有某星出入之濶及极出地之高求其纬度及其昼时皆于本图内展转得之第九题有两星同在一天顶圏内测其高若一星有赤道之纬度即可推他星之纬度及两星之赤道经度差如图丙庚辛为子午圏丁壬为赤道巳为极庚为天顶两星一在乙一在子测得甲子甲乙两星之高若知乙星之纬度乙戊可推子星之纬度子丑及两星之经度差丑戊法用庚己乙形有庚己(极高之余)有庚乙(乙星高之余)有乙己(乙星距极之度)三边以求庚乙己角次乙己子形有乙己(乙星距极)有乙子(两星高之差)有己乙子角(庚乙)(己角之余)求己子边以比九十度其较为子星之纬度又求乙己子角其弧戊丑为两星之经度差若有两星同在一天顶圏内而各有其经纬度可推极出地之度如上图先用子乙己形有子己及己乙(两星纬之)(余)有己角(两经度之差)求乙角次庚己乙形有己乙庚乙及庚乙己角求庚己为极距天顶之度若先知两星之经纬度又测其高可推恒星之清蒙差但恒星极逺蒙差极微则法须极准极细乃可第十题有两星之地平经纬度(经者距地平南北圏纬者地平上高)若知一星之赤道经纬可推他星之赤道经纬(两星须俱在东或俱在西)图圏如前但从天顶庚作庚子卯象限弧定子星之高卯子(地平纬)亦定子星距北之弧卯辛(地平经)又甲辛弧为乙星距北之经自得卯甲弧(或卯庚甲角)为两星之地平经差 今论先知乙星之赤道经纬则用庚乙己形有庚己边(极距天顶)有庚乙(乙星地平纬之余)有乙己弧(乙星距极)依法求得己庚两角次于乙庚己角用卯庚甲角或加之或减之得子庚己角又己乙弧(乙星过极之圏)交庚卯弧(子星之天顶圏)于酉其庚酉己形有庚己边又得己庚两角依法求得庚酉酉已两边及酉角次酉子己形有酉子(庚子为子星高之余内减庚酉存酉子)有己酉子角(庚酉己角之余)又有酉己边依法求得酉己子角其弧戊丑即两星之经度差又求子已即子星距极之度若先知子则用子庚己形有庚己庚子子己求得己庚两角次于己庚子角加乙庚子角得乙庚己全角次庚乙己形有庚己庚乙及庚角求得乙己边即乙星距极之弧又求庚己乙角以减庚己子角余乙己子角其弧戊丑即两星之经差若一星在午圏上即午己丁己合为一弧不成三角形无从考其度分不用此法若一星在东一星在西即戊己极圏不能割庚卯天顶圏亦不成三角形不用此法第十一题有两星之黄道经纬度求两星之距度如图丙戊为两星己壬为黄道之一弧丁为极己丙为丙星之纬丙丁其余戊壬为戊星之纬戊丁其余己丁壬角为两星之经度差求距度丙戊法以大圏弧聨两星成戊丙丁斜角形有丙丁丁戊两边有丁角次从戊(从丙亦可)作戊甲垂弧依法求得戊甲甲丁又甲丙戊形求丙戊即两星之距(若地球上)(有两方之经纬度可推其距度如丁为北极丙丁戊丁为北极之两高丙丁戊角为东西里差丙戊为两方大)(圏上相距之度分以里法二百五十里通之得丙戊斜相距之里)第十二题有两星正午上之高及相距度求其赤道上经度差如图丁为北极己壬为赤道丙戊为两星丙丁戊形有丙丁戊丁为两星距北极之度(正午)(高之余各加北极距天顶之度得星距北极之度)及丙戊边求丁角法为丁丙丁戊两腰相加得总数相减得较数各求其余弦若总数过九十者即两余弦相加不及即相减得数半之为先得数次以两腰弧较之矢及丙戊底之矢相加相减(几底过九十合为总不及九十减为较)所得或总或较为实以先得数为法而一得丁角之矢第十三题有新星(未知其经纬度即恒星亦名新星客星及彗孛同)测得其去两旧星之各距度而先知两旧之经纬度以推新星之经纬度(三星所居)(之纬度有三类或俱在北或俱在南如一图或一南一北或一南二北一北二南如二图或三距周遶一极如)(三图言经纬度者或赤道或黄道皆用此葢以二求一其理同也)如一图丁角为极己辛壬为对角之弧丙戊为两旧星乙为新星从丁极作丁丙己丁乙辛丁戊壬三象弧又以大圏弧聨三星如丙乙乙戊戊丙今先求两旧星之弧丙戊用丙戊丁角形有丁丙丁戊两边(两星纬度之余)及丙丁戊角(两星之经度差)依法求丙戊边亦求丙戊丁角次丙乙戊形有三边(先测乙丙乙戊今得丙戊)依法求丙戊乙角末乙戊丁形有戊丁(戊星纬度之余)有乙戊(两星相距之弧)及乙戊丁角(丙戊丁丙戊乙两角并)求乙丁边即新星乙纬度之余又求乙丁戊角(即辛壬弧)先己知己壬弧度分(两星之经度)今得辛壬弧即知辛㸃所在为乙星之经度差二图用戊乙丙形及丙乙丁形求得如前法三图极在乙戊丙形内(星纬之余小于相距度则近极故极在形内)先用丙戊丁形求丙戊边及丙戊丁角次丙乙戊全形求丙戊乙全角于全角减丁戊丙角得其余丁戊乙角次丁乙戊形求丁角及丁乙边今借用西史旧测一则为例(二北一南)如万厯十九年辛卯太阳近夏至逺西马日诺测北极出地四十五度有竒中西里差一百○二度三十○分用象限仪测火星(荧惑也为乙新星)得其距河鼓中星丙四十四度○三分为丙乙其距心大星戊二十一度五十一分求火星之经纬度法用河鼔中丙本年之经纬度(经为二百九十六度○一分己㸃是北纬二十九度二十一分丙己是)及心中戊本年之经纬度(经为二百四十四度○五分壬㸃是南纬四度二十七分戊壬是加丁壬九十度得戊丁)两经相减得较为经差己壬五十一度五十六分(己上用上图己)(下用下图)次丙戊丁形有丙丁丁戊两边有丁角从丁丙边引长之从戊作甲戊垂弧成戊甲丁直角形求戊甲(全与)(戊丁之正弦若丁角之正弦与戊甲)得四十三度二十○分又求丁甲(全与)(丁角之余弦若戊丁之切线与丁甲之切线)得四十七度三十八分次以丁甲丁丙相减余四十六度四十九分甲丙也次丙甲戊直角形有甲丙四十七度有竒有甲戊四十三度有竒求丙戊(全与甲丙之余弦若甲戊之余弦与戊丙之余弦)得六十度○九分次二求丁丙戊角则先求甲丙戊角(全与甲丙之余割线若甲戊之切线)(与丙角之切线)得五十二度一十八分其余(并上以满半周)一百二十七度四十二分即丁丙戊角(以求丙戊丁角亦同) 次三丙乙戊形(此下复用上图)先有丙乙乙戊(两星距新星之度)今得丙戊边求乙丙戊角(见斜角形本法)以丁丙戊乙丙戊两角相减余乙丙丁为八十九度三十六分三十○秒 次四丁丙乙形有丁丙(六十○度三十九分)丙乙(四十四度○三分)两边及乙丙丁角(八十九度三十)(六分)求乙丁边依法得八十六度○四分四十○秒其余三度三十五分二十○秒为新星之北纬度乙辛又求乙丁丙角得其经度差己辛为二十一度五十四分第十四题有新星求其经纬度不用仪器从本星之四隅取四旧星成十字形可以四星之经纬度推新星之经纬度(法用直边)(之尺望新星与其相近二星皆切尺边成纵直线次又望三星切尺边成横直线即五星成十字形不论逺近)(上下前后随其位置以诸三角形推算如下文)如图乙为黄道极(二道俱可推此以黄为例)子辛壬为黄道弧丙丁己庚为旧星戊为新星从乙极过诸星各作象弧为乙丙子乙丁卯乙戊寅乙己辛乙庚壬从乙定各旧星纬度之余子卯为丙丁两星之经差卯寅为丁戊两星之经差寅辛为戊己两星之经差辛壬为己庚两星之经差今求新星戊之经纬度有丙戊庚三星成一直线(即三)(星在一大圏上)从丙戊庚弧引长遇黄道于丑(若星在南则先遇丑)又丁戊己三星成一直线从丁戊己弧引长遇黄道于亥先用丙庚乙形有乙丙(丙星纬之余)有乙庚(庚星纬之余)有丙乙庚角(丙庚两星之经差)求得丙角 次二丁乙己形有丁乙己乙(两星纬之余)及丁乙己角(两星之经度差)求得乙己丁角 次二丙子丑直角形有丙子(丙星之纬)有子丙丑角(乙丙庚角之余)求得丑角(过两星圏遇黄道所作角) 次四求得丑子弧(既知丙星之经度在子㸃可知黄道)(上之经差丑子) 次五己亥辛直角形有己角(乙己丁角之余)及己辛(己星之纬)求得亥角 次六又求得亥辛弧(既知己星之经度在辛㸃可知)(黄道上之经度亥辛) 次七亥戊丑形有亥丑两角及亥丑弧(知亥)(丑两㸃黄道上之经度因知其距度)求得亥戊边 次八亥戊寅直角形有亥角及亥戊边求得亥寅边为戊星黄道上距交㸃之经度又求得戊寅为戊星之纬度第十五题有过午圏赤道之㸃及某星地平经纬度求其赤道上经纬度如图戊壬丙为地平丁壬寅为赤道从天顶庚(地平极)作庚乙子象限弧子乙为星之地平纬度子丙为其经度(从北圏丙起算)又从己极作己乙甲象限弧得星距极之弧乙己(纬度之余)成庚乙己形形有庚乙(星地平纬之余)有庚己(极距天顶)有己庚乙角(丙子弧之角)求得己角(赤道弧丁甲之角)即星距午上赤道㸃之角又求得己乙边为星距极之度即纬度之余第十六题有新星之赤道上纬度(测得午正之高以加减赤道高得纬度)及距一旧星之度(有其经纬度)求新星之经纬度子为旧星乙为新星己为赤道极辛丙为赤道弧其己乙子形有己子(旧星纬之余)有己乙(新星纬之余)及乙子(两星之距度)求得己角为新星赤道上距子星之经度差第十七题一新星两旧星作直线若测得新星距一旧星之度可推新星之经纬度丁丙为二旧星乙为新星己丁丙形有己丁己丙两边及丙己丁角(两旧星之经度差)求得丁丙边及己丁丙角又己丁乙形有己丁丁乙(即丁丙丙乙)求己乙边即新星纬度之余又求丁己乙角即辛庚弧为乙丁两星之经度差新法算书卷九十五
## 卷九十六
钦定四库全书
新法算书卷九十六 明 徐光启等 撰测量全义卷十 仪器图说古三直游仪第一(西古多禄某所造以测七政地平上髙度与下丈六环仪皆彼中之鼻祖)(后来増修其术渐趋巧便然非古莫因故并存之)铸铜为方柱名旋柱(或铁或木皆可权用)髙五六尺广厚各二寸(更大)(更小任意作之)下端有轴为台或架以入轴(台架或铜铁木石或定或移任意作)(之)左右旋转令可周窥也上施垂线线末繋之垂权取正焉别造一直衡曰窥衡衡之长畧与柱等其广其厚减三分之一衡首为小圆形形之心横穿圆孔为枢以合于柱之上端左旁令可髙下游移也衡之下面从枢心中出直线名曰指线衡之末向下斜剡之为锐边合于指线以指定度分衡之上面两端不尽二寸许各设一通光耳耳各作二孔一小一大相等相向直列之两孔相连之直线为指线上之垂线(窥衡或名窥管通光耳或名窥表通用)柱有二枢上枢合于衡之上端下枢与上枢相去如窥衡之长(凡言长者皆以枢心衡末之一㸃为度不论全体)别造一直尺曰弦尺尺之长与衡之长如七与五方广与衡等尺之一端亦为小圆形形之心横穿圆孔以合于柱之下枢尺之上面从枢心出直线亦名曰指线三物合之成一三角形独衡与尺之末恒相离也又欲其恒相切也则于旋柱之上横穿圆孔轴贯其中轴之两端各加辘轳系䋲于尺引从辘轳而下末加铅坠以挂尺令窥衡之锐边与弦尺之面恒相切分尺法干设旋柱之两枢间若干尺当为一百平分或一千平分(柱恒为全数不必分度分度者弦尺耳此言设分者何也柱之长与窥衡等则窥衡亦恒)(为全数此两者恒为三角形之两腰弦尺恒为底用之则两腰准周天之半径弦尺截分之外想见为一截弧)(而弦尺所得分恒为其截弧之通弦)弦尺之上截一度与枢间等亦百平分或千平分之(必用全数者以便推算若一分中或二或三四五六任为小分)从尺之枢心起数元度百千分之外有余地依前度分之尽尺而止用法 三物既成三角形又左右上下斡运俯仰可以旋观徧测用以求日月星辰之髙度先转柱令衡与尺皆正向所测㸃(凡测皆言㸃者星止一㸃日月虽大亦测其中心一㸃)举衡尺上下移就之令日月光从通光前耳两窍中透照后耳之两窍则本㸃与窥衡相叅直若测星则目从后耳窍中透前耳之窍而窥见星即星与衡相叅直次视窥衡之末锐所指弦尺得何度分即某㸃距天顶之弧之通弦于八线表查得本弧之度分秒(查法平分通弦于正弦表得所当半弧倍之为)(全弧)论曰如小图甲乙为旋柱甲丙为窥衡其度等乙戊丙为弦尺甲丙衡上下游移成丙己乙弧乙戊丙尺切甲乙半径于乙切甲丙半径于丙则为乙己丙弧之通弦有弦即有弧则乙己丙为丁㸃距天顶之弧度分以减一象限得地平上之弧度分 按元史所载西域仪象有测验周天星曜之器其说与此畧同而多禄某当汉光武建武间己有之则元人所用亦古法也此器体制颇简造作良易且可合可解最便于四方行测又二法以窥衡当半径为全数以弦尺之长与全数以内之窥衡等者为通弦平分通弦为若干全数(或百千万十万)数之旁依八线表并列其相当度分用时移窥衡就弦数若干即得其度分若干免查表窥衡与弦尺宜相连宜相切其法用铜如图作山口山口之空如弦尺之厚下安螺柱上穿一轴窥衡之末不尽半寸许作孔以入轴入弦尺于山口以轴关之弦尺在其空中可进退也用时开螺柱入尺移窥衡向日转螺柱而固之以进退取景而定度分古六环仪第二(亦多禄某所造以测七政经纬度)冶铜为六环外内相次而逓结于黄赤二道之南北极故歛之则自黄道一圈而外皆合为圆平面展之成浑球焉外第一甲圏包括内仪而侧立于半空球之架平分三百六十度从天顶起算南北各去顶一象限即为地平此圏恒定不移以象静天亦名天元子午圏次内二乙为子午圏外规面切甲圏两旁合为平面可以南北移不能左右旋从心出庚辛直线平分圏体线之两端则赤道南北极也各为圆孔以受次内丙圏之轴查本地赤道极出地之度以极线上下游移俾合于甲圏之本度分如顺天府北极出地四十度弱从甲圏地平起上数至四十度以北极切本度分则定为本地之仪故又名载极圏也次内三丙圏平分圏体线之两端各施小轴入于乙圏之庚辛二孔左右环行是为宗赤道极而过冬夏二至名为极至交圏也圏之上去赤道二十三度五十一分(多禄某时两道相距之度后世不然此举其成法故仍之)仍作小圆孔以受内圏之黄道极次内四丁圏平分设壬癸二轴两端出内外规面外入于丙圏内入于戊圏三圏同轴者同宗黄道极也亦同去赤道极二十三度有竒而旋绕环行此圏限黄道之经度容黄道之纬度故名黄道经限圏也本圏去本极前后各九十度设一黄道圏周分十二宫三百六十度其大与丁圏等而纵横置之相交为直角两交之处为冬夏二至从黄极视之为平行从赤极视之则冬南而夏北也去交最远之两㸃为两分次内五戊圏与丁圏同极亦平分三百六十度为黄道纬度圏次内六已圏切戊圏两切之内外规面一为渠一为牡相入焉可前后移两旁偕为平面若一甲与二乙平分圏设两窥表相向用法 测日躔经度因甲乙圏巳定本方极出地度分转黄道丁圏向日见黄道圏以内无光知仪上黄道必当天上黄道(上弧揜下弧故无光则知日与上弧下弧叅相直)次定仪独转黄纬戊圏纵横加于黄道之下此为黄道极上所出过太阳之圏也此圏以内亦无光查黄道圏得两圏所交某宫某度为本日本时之日躔经度测月与测日同法若月光蒙昧用测星法如左以月测星之黄道上经纬度于日将入时依前法定黄道上之太阳经度又转戊圏以己圏之窥表向月轮令月与二表叅直即得月离经度日入后又转黄道圏以己圏之窥表向月用元定黄道独转戊圏以己圏之窥表向星则戊圏所定黄道一㸃为星之定经度先有日月之黄道上定经度今有星之定经度可推某星之经度定纬度则以己圏之窥表向星依星或南或北从戊圏上定本星之纬度按此仪与浑仪同法故多禄某依巴谷皆用之不言广袤者自咫尺以至寻丈无不可也但诸圏一一宻切制造匪易时时张翕分秒或爽不若浑仪之一成不易测候为便若狭小制度以供行测则亦未可废耳古象运全仪圗古象运全仪第三(西中古日白耳所造)仪有十二物方版二句股形版四圎盘三半周盘一窥衡二首定置甲乙方版为仪之底名地平版从版心作子午线依本方赤道髙作乙丙丁句股形版二定置子午线之两旁与平行股向南更作乙戊方版定置句股版之上与底版相切于乙以铰具聨之作角为本方赤道距地平之角次于赤道版上亦依地平版作子年线平分子午为心版边为界作圏圈一寸以内更作一同心圈两圏间平分三百六十度从子午起算版之心立枢轴与版为直角贯以庚己游盘盘之大与内圏等盘中作两径线盘周分十二宫盘边之外依冬至线作度指以定赤道经度是名赤道盘赤道游盘上定置辛壬句股版二其角二十三度三十○分(两道相距之度)与两至线平行股向夏至次于辛壬句股版之弦上定置辛癸圆盘是名黄道盘周分十二宫三百六十度从两道之极远处起数为夏至从盘心立枢轴与盘面为直角贯以丑寅窥衡衡之两端各设一窥表窥衡之上定立卯辰等四柱(或侧板)与衡为直角附柱侧立己午定圏平分三百六十度从本圏之横径起数其直径线为黄道之垂线是名黄道纬圏圏之心立枢轴与圏为直角贯以未申窥衡衡之两端各设一窥表未申之上各定置一短横柱与衡为直角曰未酉曰申戌两柱之端各穿圆窍别作一方衡两端为圆枘贯入窍中方衡之上定置一半周盘平分百八十度因酉戌轴之利转恒下垂也半周之心出一垂线末系垂权据此仪物以配𤣥象则甲乙平版地平也乙戊欹版赤道也若运赤道盘必挈黄道盘以上与偕行于时辛壬股在南者即黄道盘政当天上之夏至午正时若辛壬股在北者即黄道盘政当天上之冬至午正时黄道纬圏偕丑寅衡同转即定黄道之经度若以未申衡向某星即定黄道之纬度(纬圏之直径与黄道盘为直角横径为平行则平行径之上之下可)(定黄道之南北纬度)因以垂线所至定此星出地平之髙测地平上之髙度转丑寅衡或未申衡向日与叅直视权线所至去离半周径之度即日躔距天顶之度测月若星亦如之测日躔经度运赤道盘至黄道盘之上下面俱无光此为日与盘之上下弧叅直也定黄道盘独转丑寅衡至纬圏之前后面俱无光此为日与圏之上下弧叅直也即丑寅衡所指黄道之某宫度是本时之日躔经度测星之经纬度因日月光再测如前仪法按此仪重规叠矩纒连累积测候所须亦略备矣第其展转欹倾崔嵬摇飏体过大则作用俱艰体或小则分数未宻故后来名厯姑舍是焉古弧矢仪第四仪有七物干一衡一管一窥表四干之长约六尺方广各七分冶铜为之(或用铁若用木则加大)衡之长当干之长二十分之九方广减于干四之一干与衡各先为一管四分衡之长以其一为管之长管之空干与干等衡与衡等入之宻而不濇则甘苦衷也既成干管置下衡管置上各以其一端纵横相切镕金合之(如图)干管之上端加窥表一(此表止一方铜版不作窍下同)横之两端各定置一窥表别作一游表加于衡可离可合转移用之两管之旁各作螺柱每移管至其所欲至则旋螺而止之分法 横之一面二百平分之(或二千平分用比例规尤便)用元度以加于干之同方面四百平分之从一端起算则为干首末位所加为干尾尾有余地亦用元度分之尽干而止干与衡之数遇十百皆刻而识之干之一面既为平分其对面则以度分分之分度法有二一法作版与干等长广为衡之半(用几亦可)案依长边作长线依衡边(一百)作衡线两线为直角衡线之末为心角为界作象限弧分九十度(若细分度或二或三四五六量用)用尺从心过弧上各度分至长线作短界遇五书识之次依长线上度分移分干面从干首向下起数遇五刻识之干尾亦向上起数则八十(正数)与一十(倒数)七十与二十六十与三十五十与四十四十与五十三十与六十二十与七十一十与八十初分与九十度俱同线其向下度分至八十而止者切线渐远则无数若至九十与衡之上端平行矣故凡切线皆止八十度干长加一二焉二法半衡为全数查八线表各度分之切线数向干之分数面考其相当数之各度分各作度分线刻识之用法 此仪之用有二一以测日月星之髙度距度厯学所用一以测髙深广远地学所用(测地法畧见第三卷増题)今所解者测天之用法也一测日月星之髙度距度法正立干干首居上管加其首贯衡于衡管之中左右出等旋螺固之权䋲取直次转向所测令衡端之景揜干之分度面视所得度分即日月之距天顶度分以减象限得地平上髙度分论曰如图衡之甲端为心半衡甲乙之百分为半径乙丁干四百为切线甲乙既为横表则甲端之景至干面为戊倒景也此戊景所得实日体下边辛上之景谓之视景若日心庚所出景当从甲至己为正景其较为日体之半径(日体约三十分半之约十五分)则所得距天顶之数应减十五分何者为庚之距顶近于辛也所得地平髙度应加十五分何者庚之距地远于辛也如是为所求之正度分也若用壬癸正表则寅为直景实日体上边子上之视景而日心庚所出正景为丑则所得距天顶之度应加十五分为庚之距远于子故所得地平髙之度应减十五分为庚之髙近于子故(因上论知古来圭表测景未有景符不能定太阳之)(实髙盖直景失加倒景失减故也然加减各十五分以论圆仪则可若圭上十五分之寅丑差近表愈少远表)(愈多倒景则反是安所得定数而加减之是知圭表测天实为未确)若横置干以当地平加垂权衡上取直半衡之未景物干得度分为日月之地平髙度分二测星之髙度横置干直置半衡目切干首迁管于衡进退之令干首之角衡首之窥表与星为直线得干面度分为星之地平髙度分向先以衡居干首半衡为全数干上得切线数之推定度分今衡不居干首而居中身何以均为全数干上度均为切线度曰如图乙甲半衡居干首甲丁丙半衡居衡中丙以丁乙直线聨两衡之末成甲丁长方形四皆直角即甲丁乙丙两对角线必等则目在甲从丁测目在丙从乙测依句股法甲丙与丙甲两切线必等而甲丙所当之丙己弧丙甲所当之甲戊弧亦等即与天上之距弧俱相似其余弧庚己辛戊与天上之地平髙弧亦相似三测两星相距之度 欲测甲乙两星之距度用仪倚他物为安目在干首之上角丙向衡首丁表之上边测甲星又向衡中戊表之上边测乙星执管移衡进退之至目与两表两星俱叅直视衡所截干上度分为两星相距度分 若两星相距太远用衡端之丁己而表测之进退衡令两叅直得干度分倍之为两星相距之度分 若星距甚近用游表简衡上数去干面(此不用度分面用平)(分面)十分置之如前进退测两星令叅直以衡之十分为全数干上所得为切线查表得度分为星距四测日月之径分 衡在干尾日在干首加游表衡上向衡中表左右移测之令目过两表见径之两端俱叅直得两表间之衡上分四而一(干数四百故)即百为全数所得为切线查表得所当分秒为二曜之径分秒问太阳光大目不可正视当用何法可测曰轻云薄露时可测日出入时可测又问日出入时方之午正时其体较大何以得其定分曰日体安得以早晏大小盖出入时因清蒙之气映小为大(论见日躔厯指)人目自讹日体不变也试观近地平两星元测有定距度分其出入时相距之势必甚大于午正时(此星之午正时)然地平周三百六十度两距出入时果大于正中时则徧测地平上一周之星合并距度当较三百六十而赢不赢则安得变两距之度分今以日径之两端当两星星之出入与其正中也无异度分日安得有异分按此仪于地学中用测髙深广远为径捷法若以测天微成乖迕所以然者有数端焉仪体过大即度分宻矣而日景虚淡体小景直即度分不宻一也所分度数或依切线表或以规二法不同皆以直求曲则为异类二也目视两物成两直线来至于目相遇作角其角当在目睛最中之处外轮己非何况轮外干首之角殆非真角角既非真边之比例亦当小异三也目视手运微有振动四也一时用目兼测两星其间度分必难确合五也竿与衡应成直角乃两管交互相合焉保无差差之甚微其失甚钜六也今厯家知此六讹不复施用别作新弧矢仪如左新仪器解天体为立圆面为环周线为弧曲圆与方曲与直则异类也异类相求亘古无相等之率凡圭表弧矢等仪所得度数不能全与天行相当相准致差之根殆非一二(见圭)(表说揆日订讹右弧矢仪说)是以此等皆属权法而古今名厯大都以圆仪为正用论其殊致畧有四端仪之体正同天体截为度分正合天之度分平仪则否(如圭表测景日髙景短一度得一寸)(日低景长一度得二三寸)一也圆仪用窥衡窥表景箫等窍止容针通光极细所求分秒毫芒不失平仪不能得此二也圎仪举手得数即是度分平仪尚须立成表推算三也圆仪七政共用一当三四平仪止堪本用四也下文并著圗法以待用器者择焉仪器之用有六一测日月星地平髙之纬度二测地平东西南北之经度三测日月星各两㸃相距之度分四测日月星赤道上之经度纬度五测日月星黄道上之经度纬度六测定时刻古今仪器造法百变综而论之其形体则大仪胜小仪其材质则铜仪胜铁仪木仪其置顿则恒仪胜游仪何者仪大则分画愈细可得分秒小则每度仅容分许古称若干度半者是也或分四古称半及少半太半者是也或分五则称二十四十是也故曰大胜小也铜仪不受侵蚀永无渝变铁多锈损雕锼更难木多欹斜易致毁折故曰铜胜他材也(或用铜铁杂或用铜木杂随宜造之或杂锡木者则应猝小器易于)(雕刻亦便屡更皆属权法不堪久用铜亦宜纯黄色须铜多𨱎少若出山铜纯赤则起䵄杂锡则太坚亦不可)(用)恒仪定方向置之永久不易恒与天行相准游仪动荡得数未真故曰恒胜游也诸仪为用皆以求七政恒星分画之界域躔离之期限运行之体势其功力所必资者则分与窥其大端也分欲极细欲极均窥欲极宻欲极确此二者厯学之资用仪器之权舆古今名史咸究心焉今先具两公法首端向后诸器悉此取资无烦备载一窥法 窥法之用器有二一曰窥衡一曰窥表窥衡者即古之窥管窥箫也管孔大即测騐未真今欲造一管其孔仅大于黍米或小于芥子长数尺欲以之从上照而得日景以之从下觑而见星体则无法可作故用窥衡焉测日之衡长与仪等广与定度平分其广去其半而不尽其一端所不尽者其长与广之元度等是为衡首衡首之制剡为圆形形之心是为衡之心亦即为仪之心从心出线至于衡之末依半衡之边作一直线名曰指线近衡之两端各立一铜版其形长方广四则髙六可也是名窥表立表与衡之平面为直角表之两面各取中作指线之垂线名曰心线两心线之上去衡面等各作一㸃是为表心表之近衡心者曰上表上表从心作圆孔最大者无过一分(宁用周尺勿用市尺若仪大孔)(小二表之相去逺日光必淡孔大距远则光愈大非下表可容若仪小则表小孔亦小为距近得光易)其在衡末者曰下表表心不作孔从心作大小数平行距心圏务令上表之孔下表之心俱与指线相直而去衡之平面等髙次剡薄木板为方管三中管之广如衡首之广其长如衡三之二两端之管小于中管其长如中管二之一其广无度既成入之中管宻而不濇可也中管之中相去尺余为螺旋之柱二三以合于衡面小管入于中管出入之各切其所当之表即两表间无容光之隙故三表之总名曰景箫景箫者承上表所受之光束而致之下表也下管之切下表不尽五分刻方孔令从旁得见下表之面用时加管受光因表间之黝黒即下表之受景也真(日体正圆孔圎所受)(之景亦圎)次令景之圈合表面之距心圏转仪及衡左右下上之必合乃止次视指线之末所当度分即所求之度分若不用衡则从表向仪心之线为指线盖圆仪之弧上所定度分皆宗仪心故测星之窥衡则异前法上表之髙广各若干下表倍之下表之面作方形三线与上表等线外三面作方孔孔之长稍杀于中方之长其广无过一分用时目居下表之后令中方揜星从三孔察上表之同方边各见星即目与两表与星皆叅直 或两表各依心线一左一右各去其四之一令星居两阙间一线之上亦得目与表与星相叅直若不用衡则以圎柱代上表其髙广与之等(用衡者上下两表恒平行不用衡则下表依弧迁而上表不与偕迁即不得为平行代以圎柱则随所至与上)(表等广不失为平行)表或柱若在大仪宜得一寸以下恐暮夜不可得见也凢仪不用窥衡即为游表置之〔？〕上以当下表游表之制或用翕版或用螺柱以合于弧如圗甲乙为表版丙丁乙戊二版与甲乙为直角以夹〔？〕而稍寛戊乙版上别加一刚铁薄版其广与戊乙等其长三倍之己庚两端稍昂起按之则下令两夹入于〔？〕边弛之复起即庚己两端急合于弧令抱而不脱故庚己名翕版也或不用庚己而于戊乙版心作螺旋之孔为辛以螺柱从下转入之渐转之亦急合于弧一分法 凢平圎面从心出四线四平分之每分为一象限分度者或以全或以一象限其分法有二一旧法一新法旧法用象限平面直角为心弧边为界自外而内作四十五距等平行圏外一圏分九十次内二分八十九次三分八十八次四分八十七如是逓减一分以至四十五弧为四十五分每弧之端识以命弧之数每弧之分遇十遇五各识之加窥衡加权线以架承之用法凡测日月星之髙用权线或窥衡之指线必切一弧之一分 若切外一圏之一分因弧为九十度即所切为所求正度 若切向内某弧之一分则以本弧之若干分为一率以所截某分为二率以九十为三率推第四率得度不尽以六十乘之以本弧分数除之得分又不尽又如前乘之除之得秒又不尽又如前乘之除之得微假如截第二十圏之四十分本弧之分数为七十则七十与四十若九十与某数算得五十一不尽三十 六十乘之七十除之得二十五不尽五十○再乘再除得四十二不尽六十 再乘再除得五十一总之得五十一度二十五分四十二秒五十一微 如取数欲宻如前再乘除之欲简视所余满半收为一不满去之右法有本论有分图本法西儒丁氏所创能于一线所至悉得度分秒微可谓巧思绝人矣然而分圏己繁悉分诸圏则又繁每求一率当乘除数四则又繁埀线所至交于多分遇有二三疑似亦难辨决且仪面平实体质过重以彼材物造为空中之仪岂不倍大故近来名史改用后法焉新法一象限分九十度每度又当为六十分一度之弧不容分矣今以直角为心边为界作弧次内复作一弧两弧相距为五十分半径之一约每两度两弧之间各成甲乙丙丁方形又从心作线六平分之成戊丁庚己等六长方形各形作戊丁等对角线每线十平分之仪大则二十平分之是一小分为六十分度之一一分也或为百二十分度之一三十秒也因戊丁对角线大于丁己弧则其小分亦大于弧上之小分论曰凡直线方形之对角线任为若干分从各分作线与两腰平行必分底而底之分与弦之分比例等(几何六卷)(十题)今从心所出之甲丁乙丙两腰非直线形之两腰即甲乙丁丙两底不等或疑以为难用不知仪大弧小(六分度之一五千四百○分象弧之一)以较直线形所差极微或言度数之学在于慎小一秒之差独非差乎曰然姑以数计之则所差者非目所能见亦非推算所及用也试如本书四卷所推半径为十万全周为六二九一五五三百六十度为用六乗之得全周之分弧如丁己者二一六○以除全周得二九一又四之一不尽丁己所得周数也又于半径减五十分之一得九八○○○从心至甲至乙之径也求其周得六三○二八六以二一六○除之得二九六又三之一不尽甲戊所得周数也两数之较五即丁己弧大于甲戊弧之数约为六十分之一则十秒也又各十分之则两小分小大之较一秒也若所求数为一度则最后小分之较三千六百秒之一秒也十度则三万六千秒之一秒也岂目力所及见推算所及用哉新法测髙仪第一 凡六式一式曰象限悬仪作象限直角为心旁一边定置窥表二分弧为九十度又细分如前法从窥表边起算仪心为枢倚柱柱之下端为圆轴以入于架从枢以髙下举从柱以左右旋可周窥也从枢心出垂线加权用测日月星之髙转仪向所测垂线所加度分即距天顶度分(或日月星近地平近天顶仪体过重难举亦可仪中作枢不必定在直角)二式曰平面悬仪作平圎面顶有连环随所在悬之自为垂线从心作横直线为地平周分三百六十度仪小依几何法(三卷二十题)分一百八十每分当二度又六十分之如前法仪周作两平行圏以容度分内弧之上从顶左右各取二十二度半作圎孔各加转表一(或止用一)(表)转表者依表之心线为枘以入于仪周之孔其端外出以螺旋止之仪心为枢贯以窥衡衡之首依指线作度指以取度分衡之末稍短勿及于弧周之表又须订取其重心令左右平(凡物皆有重心以为机轴则易转如衡之枢两端置等重之物订之而平则枢为重心说见造形法)衡首之指线交于内弧之一㸃作孔亦加转表与仪边之转表同居内弧一线之上也仪边表从心向上每五度十度刻识之至九十度而止若二表则各向上交错并识之用测日月星转衡令两表与某㸃叅直转表令平行(两表)(上两孔相对即平行)则度指所当度分为地平上之髙度分如图甲丁为仪上之两表其距天顶等即甲丁线为地平丙乙为窥衡乙为衡首之转表乙从甲向日得光相叅直即丁乙弧为地平上之日轨髙何者丁丙乙为在心分圏角乗丁乙弧丁甲乙为在界负圏角亦乗丁乙弧几何言两角所乗之弧等则分圏角倍大于负圏角(三卷二十)今丁乙为六十度弧(三百六十分之)即丁丙乙为六十度之角丁丙乙半之即三十度之角(甲㸃止论负圏不论在分)(圏角之内外)元分周以一百八十度今从丁起算至乙得三十度是丁甲乙角之弧(元设以二当一)三式曰象限立运仪造象限分度如前法订取重心置轴与立边平行轴之两端加以铁枢上下各以架受枢平边在上加窥衡权线如常法下架有立柱柱之端为铁环以承下枢环之径三倍于枢之径环之三面各加螺柱横入于环出入展缩以进退枢令就合于垂线也四式曰象限座正仪如前造象限纵横木为架架底之四隅加螺柱三展缩髙下以取平令合于垂线五式曰象限大仪木造大象限锻铜为分弧之边为窥衡之面为表半径长十尺以外细分弧可得至十秒此仪体质重大运动惟艰可依正子午线倚台墙定置之以测日月星午正时之赤道纬度六式曰三直游仪见旧法第一章新法地平经纬仪第二 凡一式地平经度者分地平圏为三百六十从天顶向各度作一百八十过心大圏以限地平之经度容地平之纬度也从午正向东向西各起算或从北从东西皆可仪法作全圏循周为渠以注水(或用准平之器)弧分三百六十度每度任细分之中心为圎孔定置之去地二尺余与地平平行承以六础或以台架别作象限其半径与平圏之全径等平分其径与平边为直角而傅之轴轴之下端入于平圏之孔即象限侧立于平圏之上相与为直角而环行不滞可周窥也平边之下依正线(过平圏心之线亦过轴心之线)为衡左右出其一端居仪之背立斜柱以支仪一端居仪面作指线为度指以取平圏之度其窥衡等如前法用法定仪依子午线取正水准取平(求子午线诸法见厯指一卷指南针)(此地徧东无定度难可为据)测日或星(各用本测窥表)转象仪向本㸃升降窥衡取叅直即得地平上之髙为纬度度指所当平弧之度分距子午或卯酉为地平之经度依此经纬度可推赤道经纬度可推日月五星之视差地半经差清蒙气差等详论造法为移动之仪宜三足足下以螺柱取平 大仪难运则其底切地盘处加两辘轳之轴 仪髙恐摇扬不直则长其轴上切于仪背下入于架之底架之底为铁窽以承之轴欲粗或仪背作一句股形其股切仪其句合于地盘枎柱以取直也 窥衡欲广欲厚细而薄则挠而不直以定髙下前后不相应衡之末为钩以止之仪之后螺旋以固之 窥表宜为二具一测日一测星新法距度仪第三 凡三式测日月星两㸃相距别有二法一同时测两㸃之地平经纬度以推其相距度一用赤道仪求其赤道上经纬度以推距度俱见本书第六卷今用仪器三式测得之省算弧矢新仪圗一式曰弧矢新仪畧如旧式一干二衡干长四五尺大衡之长与之等小衡之长为干二之一平分两衡之中而为凿干之两端俱为方枘入之各左右为支柱凡四支柱之两端各以两螺柱固之不用可解而散也凡螺柱十六两衡之交于干也左右各为直角前后各为平面干与衡之方广用木则三四寸用铜铁则周尺一寸以下其表小衡上有三皆圆柱定置之大衡二一定一游分法干之一面为一百平分或一千平分仍以元度分大衡(细分可用对角线如前分法)其对面则依前旧仪法分度数干之度数从干首起算干首者近大衡之一端也衡之度数从衡心起算左右分列之小衡之分用切线之数左右分列之各至十度而止小衡之定表三中一左右各一皆圎柱也(表之径线合十度之线)别作窥表二则于大衡之上游移用之又定置一窥表居大衡之心仪之全体订取其重心以为仪心刻识之为架以承仪架有柱为山口以合于仪心螺旋固之柱与架为三运之枢轴左之右之髙之下之平之侧之惟所用之(三运之法山口之下为横轴以髙下运横轴之下为鹤膝以平侧运鹤膝之下为立轴以左右)(运又名六合之纽)用法测两星相距置仪于架一人从大横之中表过小中表窥某星叅直定仪一人用游表于大衡之上进退之过小中表窥他星令叅直次取大中表至游表之指线所定度分即两星之距度分若两星太近难容并测则一人置游表于大衡之左十度向小左表对某星一人置游表于大衡之右向小中表游移之与他星取直则大衡心至右表之度分为两星之距度分何者左两表之视线与中两表平行两线与右表之视线各作角必等若两星距远过仪之度限非前法可测则置游表于大衡之左十度一人从大左表向小右表一人用大右表游移向小左表交测之得大衡之两表距以加小衡之两表距(定为二十度)为两星相距远之度解曰甲乙为干丙乙己为大衡丁甲戊为小衡甲丁乙丙各十度己为游表目从丙(大左表)过戊(小右表)见星作丙戊视线从己(大右表)过丁(小左表)见星作己丁视线两视线遇于庚成丙庚己角即两星相距之角何者试从丙作丙丁线与甲乙平行成丙丁戊形丁戊为丙角之切线(定为二十度角)又成丙丁己角丙己其切线则丁为大衡两表之距度角而丙丁两角之度并之为丁戊丙己两线之数夫己庚丙角为丁庚丙三角形之外角必与丁丙两对角等(几何一卷十六)故曰丙己丁戊两线数并为两星相距度者丙庚己角也二式曰弩仪仪一干一弧干之长为弧之半径弧之通弦其长与干等左右为支柱各一弧之中设定表一旁用游表各一干之末弧之心也定置窥表一两人并测如上法三式曰纪限仪(纪限者六十度也)其弧为全圏六分之一两旁各作一半径成三角等腰杂形以坚木为之中多说𨐈纵横以为固锻铜加于弧之边依法作细度分弧之心测星用圎柱测日用窥表更置之弧上设两游表订取重心依重心为三运之枢以架承之或以台承之用法一人从弧上一表过圆柱见某星一人从他表过圆柱见他星两游表间度分为星距度分 三运法仪背加两环圆轴入之又依圆轴为径作半周圈架心立圆柱可周转柱上为山口以容周与径容周之处空而利转容径之处为小圆轴以聨之三运处宁苦无甘寛则难定也新法赤道经纬仪第四 凡二式测赤道纬度别法星在正午圏测其地平纬度(即地平上)(髙)得数内减赤道髙度为某星之赤道纬度若星在天顶北测其北髙内减北极髙度为星距北极之纬度若星在子午圏外则测地平经纬度可推赤道纬度此借法也其本法当用本仪赤道经纬简仪图一式曰赤道经纬简仪用全周圏一半周圏一全圏之用在其外弧设纵横诸𨐈以固其内半圏之用在其内䂓设正斜支柱以安其外当全圏之心而设轴与圏面平行轴之两端为两极设架北髙南下各为圆窍以受极其髙下之较本地北极出地之度分也是为过极经圏半圏者仰仪也内䂓向上斜置之为赤道之地下半周与全圏为直角转全圏则切其内䂓面而过之分法全圏从极起算又从赤道起算交互识之半圏从子午线起算分识之全圏之上设游表轴之心设柱表如前图甲乙丙丁为全圏甲丙为两极乙戊丁为赤道乙己丁为半圏庚辛为架底于庚辛架上从癸别作一横底两端立柱以承半圏之丁乙定置之半圏之己亦定置于元架之壬转全圏则乙戊丁赤道切半圏环行用法转仪用游表左右进退过柱表而见星即从弧上行星距赤道南北之纬度分或距北极之纬度分又全圏切半圏得赤道上星距子午圏之经度差赤道经纬全仪图二式曰赤道经纬全仪用四全圏外第一甲圏分三百六十度如本方北极出地之度斜入于半圏之架定置之是为子午圏次内二乙圏乙之外规面与甲之内规面宻相切而结于南北两极是为过极圏亦名载赤道圏次三丙是为赤道圏纵横合于乙圏两交处皆作直角又各作凹以相入令两圏之内外皆为平面也次内四丁亦结于两极为过极圏以容赤道之纬度又名赤道纬圏与乙丙二圏宻相切两过极圏贯以一轴而合于甲三游圏之各两侧面皆依法为细度分亦作游表数具于各弧之上游移用之轴心立圎柱表架之上两端准地平以定极出入之度置仪依子午线以取正加垂权以取直凡聚圏为仪欲极圆令规面相切宻而不碍枢轴欲正傅轴勿于规面于侧面轴之心与侧面为一㸃刻面为半圆而合之加伏兔以受之何故为度分之界指线所切窥表所及皆在侧面故用法以测两星赤道经度差一人用游表于纬圏向中柱表对星又一人用游表于载赤道圏向中柱对他星即两过极圏所限赤道圏上度分为两星之经度差又两圏上两游表相距度分即两星距赤道南北之纬度分新法黄道经纬仪第五 凡一式黄道经纬度仪与赤道经纬仪畧同用四全圏外第一甲圏斜入于架查本地北极出地度定置之为子午圏次内二乙圏外切甲而结于赤道两极为过极圏距赤极二十三度三十一分三十○秒为黄道极距黄极九十度横置次三丙圏曰黄道圏与过极圏交为斜角(即六十六)(度二十八分三十秒之角)故乙圏又名载黄道圏也乙丙之交为凹以相入令内外规皆平面次内四丁圏宗黄道极外切于黄道圏是名黄道纬度圏中设黄道轴轴中心立圆柱表作游表用架用权线等与赤道同法用法求某星之黄道经纬度一人于黄道圏上查先得某星之经度分(测黄道度必以显推隠显者为先得之某星隠者为今所求先得之初星必用)(日月太白逓求之法见恒星厯指)加游表其上过柱表对星定仪又一人用游表于纬圏上过柱表对星游移取直即纬圏上游表之指线定某星之纬度又定仪查黄道圏与某圏相距度分即某星之经度差右黄赤二仪用法详见恒星厯指西史第谷所用仪器总目(附)近四十年前西史第谷覃精星厯四十年中朝夕候验无间寒暑诸方行测不远数千里有门下髙足十余人所用仪器甚多皆酌量古法精加研审多所创造出人意表体制极大分限极精勘验极确尝自选厯器解其造法用法著书一卷近来厯学推为名宿于器于法多宗用之今畧叙其器目如左测髙象限 计六式一式铜版为象限半径一尺五寸中平面刻先儒丁氏分弧法有铁座有立枢有垂权座之四隅有螺柱以取平二式裁铜为二径一弧合成仪中虚则体轻三式冶铜为大象限半径八尺倚墙南向定置之其细分可至五秒用游表测七政过午正度分四式以木为径弧铜版为弧面有游表有枢轴有架旋转周测半径七尺五式铁为象限外有矩度下有地平圏以测地平经纬度其半径八尺各有度分小衡用柱表小弧用游表可测相近两星之距度分下设三运之枢余如常法三式为䂓仪冶铜为两股长七尺上端为枢心有弧入于股之下端开阖之两腰间加螺旋之弧随弧开阖欲止则以两螺圏固之枢心立柱表弧上设游表黄赤道经纬度仪 计四式一式为赤道简仪一全周一半周径一丈一尺二式为三圈仪即赤道圏载赤道圏子午圏径七尺三式为赤道四圏仪径七尺四式为黄道四圏仪径七尺浑球大仪 计一式作实圆球内木外铜径一丈十年乃成上定各星经纬度诸道诸圏无不备具可量度宗动天之度数球外有子午全圏地平全圏地平纬象限弧等此外有古弧矢平浑环仪等体制既小分数未宻止堪行测不为大用别有图说兹未备载圭表仪(附)用圭表以测日髙见表度说有五题今引用之详见本篇一地球在天之中(云天中者在恒星天宗动之中也七政则否说见厯指)二日轮随本天周动下向地平其环转皆平行故地体之上立表取景亦平行(日有最髙最髙冲不得为平行此之然者以测日髙所差甚㣲)(可置弗论耳)三地球小于日轮从日轮下视地球上于一㸃(若细测细推则)(地与日有比例有地半径差非大圆仪测候不可得算此聊畧取景不能及此说见厯指)四地本圆体(山髙海深或疑非圆不知髙深甚微如一大圆径数十丈加之一芥损之毫末不害)(为圆)五表端为地心(以此测恒星则可若日月五星则以地平距地心之半径为差测七政本天距)(地之度分安得弃而不用乎特所差甚微此姑不用可耳)分表用全数或百分或千分欲得其度分数从八线表取之造表有二法一为直表以取正景表直则为平圭一为横表以取倒景表横则为立圭其法畧同凡圭与表必相与为直角直角者从表末施垂线系以末锐之权下至表面所切圭面之一㸃即以起算是直角也(取景以表末为主不论表之体势)圭欲极平立圭欲极直平圭者或为渠以水准之或为准平之器以定之立圭则以垂权正之分圭之度即用分表之度圭之长倍表极愈下表当加长量作之日升表前即表后得景则表圭日光成三角形表为股圭为句日光为弦表为半径全数圭为切线日光为割线(见本书一卷论直角形法)查八线表切线数得度分即日躔天顶度分以减象限得日髙度分按元史言表短则分秒难别表长则景虚而淡又以表端测晷所得者日体上边之景实非中景郭守敬辈创为景符今台官遵用之郭氏此法既得实景复得中景可谓思致𤣥通度越前人矣其制以铜叶博二寸长加博之二中穿一窍若针芥然以方𫔴为跌一端设为机轴令可开阖搘以一端使其势斜倚北髙南下往来迁就于虚景之中窍达日光仅如米许隠然见横梁于中令台官以方木代铜便于旋转以隙缝代圆窍易于得景其理则同或问景符之得实景则从隙孔透光至于圭面不至散越其理甚明矣若用景符而得中景其理谓何曰此属度数家之视学也具有本论今畧借五题解之一曰有光之体自发光必以直线射光至所照之物二曰有光之多体同照光复者必深而各体之本光不乱三曰有大光体中有暗体分光体为二即一光体为有光之两体四曰光体射光过小圆孔若所照不远则光仍如本光体之形五曰两光体各射光过小孔反照之上体之光在下下体之光在上右在左左在右用横梁暗体也分日轮为上下二分即成两光体两体之两光过隙则日上分之光在下下分之光在上横梁在上下之间实得中景塔影倒垂义同于此若不用梁用表末而欲得中景即定用郭氏旧式用圆孔迁就于虚景之中令见半圏之光此半光者弦必在下弧必在上而其弦则表末之景也盖日轮半在表末之上半在表末之下而上下相易故新法算书卷九十六
## 卷九十七
钦定四库全书
新法算书卷九十七 明 徐光启等 撰新法厯引厯学维新厯学有法有用法者测各重天之运行体势以审诸曜出入隠现以求本行轨道以定凖则也用者取本法测定之分数随方随时以推步日月五星次舍冲照交食凌犯顺逆等情也二者阙一不可然而立法难矣语云毫厘之差千里之谬在厯学为尤甚中国自汉迄元造厯者七十余軰立法者仅十有三家且皆不免乖违后人难凭致用有谓得一冬至之正时即为密近者非也测冬至之于厯术未及百分之一闻一知百世无其人有谓得一歳实一朔实及转终交终等䇿为巳定者非也此皆诸曜平行之率何由遽定视行有谓测率四应可以无忒者非也此不过推算平行之界而已有谓多测交食稽其某法先天某法后天而后彚计筹䇿折中取之者亦非也厯家法数繁𤨏用以筭步交食不下四十余条究竟何项何欵可以折中取半者因知古来修改门户虽岐实则互相依傍间有出一二新意亦未必洞晓本元迹其大端犹不过截前至后通计所差加减乘除分𣲖各歳之下便谓修改己耳即使仅合一时岂能施诸久逺后惟授时厯庶称精密顾其法亦未尽善在当日已有推食不食食而失推之弊何况沿袭至于今日哉他若囘囘厯者其厯元为西域所定使非中厯先推太阳躔度至春分之日彼亦茫然无据以得支干以合中国所用歳月也况其厯元已厯千年不可复用乎兹惟新法悉本之西洋治厯名家曰多禄某曰亚而封所曰歌白泥曰苐谷四人者盖西国之于厯学师传曹习人自为家而是四家者首为后学之所推重著述既繁测验益密立法致用俱臻至极旅軰采其精详究其奥赜而又叅以独得发所未发焉更审今测以广古测必求合天年世互考中西名例半皆仍旧合异归同成书已进阙庭新法已行天下用彰昭代厯典度越前古暨质诸来〔？〕虽亿万年永永不爽云地球地在天之中心常静不动与天相较不啻稊米之于乔岳也其形浑圆古谓方者盖指其徳耳凡居处地球者其视日景之不同分有五带其中则自赤道南北各以二十三度半为限(此即二极出地之髙)名为煖带居其下者午正立表揆日测景必自射南射北顾每歳必有二日其表无景即春秋二分太阳正过其天顶之日也(此指正居赤道下者春秋二分日中无景过春分则景在南过秋分则景在北)此带惟一又于其南其北各自二十三度半外各截至六十六度半为限名为温带其下居南者表景恒射南居北者表景恒射北歳有一日其景极短然太阳则不经其天顶矣此带有二以上三带皆太阳每日有出有入者也又于南北二方自六十六度半外各底其极名为冷带其下或表景周围旋转有日太阳绕其地恒见有日太阳绕其地恒隠隠见之候或久至半歳或数月不等此带亦二是为大地共分五带之槩也因此推知距赤道之南北二方其气侯必相反如太阳躔星纪宫向北之方为冬至向南之方为夏至春秋二分以及诸节莫不皆然又因此推知地球为人所止以天顶而分四方亦可界为三百六十度以合天行东西为经测以赤道南北为纬测以子午(规名)(解见下篇)但测南北者有二极以为之端欲测东西则湏先定一所以为起界(新厯悉以京师为起界他方虽未亲测亦据舆图以定其经纬)而后地之经纬皆可得而明焉苟不谙此则无以知幅〔？〕相距之数而诸方太阳节气五星经度凌犯交食时刻日食分秒悉无从推步矣(日食南北东西各不同月食分数皆)(同但东西不同时耳)且不惟是即古测今测歳实之异日出日入昼夜永短之差咸取准于地之纬度所系大矣其可忽诸天道天体浑沦穹然莫辨必也相形酌理判立界限以为依据而后推测之功可施则夫设立诸规以著象数为用甚大且急较为厯家首务也新法总有四大规一曰地平一曰赤道一曰黄道一曰子午四规阙一不可盖地平规者从人足所附极目四望之界而设也人附地靣所可望见者天之半耳其半恒绕于地下人不可得而见也即此可见不可见之界而诸曜由是而出入明暗昼夜由是而分因设此规剖为四象以应四方象各限以九十度是为地平经度而各曜出入之方位以辨矣又自地平上至天顶设距等圈以为地平纬度而各曜渐升之度以明各曜出地离赤道之纬度并北极出地之数皆可得而稽之矣赤道规者从南北二极相距正中之界而设也古曰天行健又曰天左旋左旋而行健则知南北必有其极矣极也者天体永久不动之两㸃周天倚为环动之枢者也(极非星也云极星者盖指其最近极之星以命耳)如一极出地必一极入地其出入之度惟均厯家乃于二极相距最中之界设有赤道一规平分天体为南北南者为外为阳而北者为内为隂其亘于天中也终古不易推步者毕赖之为准则无容置议也本规列度三百有六十辰十有二刻九十有六天体一日一周之运于是焉纪昼夜刻分之永短于是焉定黄道出入之广狭于是焉齐春秋二分之晷景于是焉限南北纬算于是焉起大地全圆于是焉度凡此皆其用也黄道规者从太阳旋周一歳之界而设也盖太阳行天一歳所周轨迹旋以成规是名黄道本规斜络于赤道其半在南最南界为冬至其半在北最北界为夏至二道相交之两㸃为春秋分以故四平分之为象限限各九十度者是即二分二至四正之限也总计为三百六十度十二剖之为宫二十四剖之为节气七十二剖之为候盖用以节七曜列宿之行用以审日月交食之限至较著也子午规者从诸曜升降度适中之界而设也太阳一日旋天一周见于东方渐升至髙为正午此地平以上东半昼分过午向西渐底地平是为西半昼分乃谓之降他曜皆然于此升降度之中界立有一规名为子午诸曜际此谓为在子在午是规透过赤道及地平各二极其偕赤道地平而交为直角也恒然不动但人在地面南北迁此规惟一东西迁则随在各异也(与地平同)巳上四规各有本用所系非小厯家测候欲求七政行度会望等诸法舍此无从措手以此未言象数先以详明诸规为首务也一系赤道有恒动恒不动二用恒不动者以定各方时刻恒动者以相交相割于黄道也俗谓赤道有二者盖即指此二用非实有二道也二系赤道正居天顶则两极适与地平相当至若赤道斜交地平之所则极出地度数即赤道距天顶度数矣其经度即过极圈纬度即距等圈也三系黄道与赤道斜交故其极自有本极谓之黄极黄极者恒星与太阳本行之枢也论二道最逺之距(即南至北至之距)今古不同今测定为天度二十三度三十一分三十秒上古较多数十分后此则渐减矣四系周天诸道用立多规以便测验但其为规也非止旋周一线而已盖一满平圆面也面为各曜之所经行故谓之道某曜在某靣上即谓之在某道云厯元所谓厯元者乃以诸曜之平行同时而求各所厯数厯家因之用为起算之根也新法则以天聪戊辰前太阳过天正冬至后第一子正为厯元其日干则己夘也斯时太阳躔星纪宫初度五十三分太隂在六宫初度五十分他曜皆以此时行度为准不用冬至时刻与旧厯异縁冬至有正有平最难得其真率也夫厯元为诸算先资稍有舛忒即诸行皆谬矣况诸曜终歳细行莫不以子正起筭又安用冬至时刻为哉厯算旧以周天判为三百六十五度又四分度之一所谓日度也盖以太阳之行黄道日一度度析百分分析百秒且又均之分为宫次气候法用竒零势难齐一且天度者歳实之日分也中厯所用歳实诸家多寡不等是其分天非一定之术而为游移之法欲以是决定诸曜之行岂不难乎若夫新法之分周天厯度也即于天度以三百六十平剖之度析六十分分析六十秒盖六十者半之则为三十三之一则二十四之一则十五余任剖析皆为自然而然之分往古厯纪未始繁载但于测得之数曰某度几何分之一而巳错综离合其于厯算甚便也请言厯算夫厯之为数祗就天行无假淹贯九章而其所须用者加减乘除开方五法古用觚棱近便珠算西法第资毫颕今复有算筹之创简㨗尤甚矣所谓加法者以类相比倂多分以成全如度倂度分倂分秒并秒时刻倂时刻是也此湏知定位及进位之法如积六十秒为一分积六十分为一度秒进于分之位分进于度之位而与他度分秒并之若加时刻则以十五分进一刻四刻进一时二十四时进一日二十四西法谓之小时也此加法也减与加反用稽所余其法先湏较数多寡多中减寡理数易明若于少内减多必立借法以通其变如借度化分借分化秒为本类以用之乘法者九九互积之义有实数有法数凡单数乘度分秒不变位若度乘度复生多度分乘分以生秒秒乘秒以生微则皆变位(分秒相生皆指竒零而言)此不可不知也除法者以少剖多分分除减意也为法有二或以单数商除亦不变位苟分度不尽即以余度化分除之分秒亦然开方者以化法求其微数用筹乗除然后再受为度或用三率法亦可是五法者尽厯算矣然而新厯之算诸星经纬及交食等项也盖有二术其一取所图各宿曜本行规之半径幷其所设某日平行(即本圈上之弧)用诸三角形法推演乃可得经纬细行或交食之分数时刻此术最为缜密果能精心于此即诸天周行轨迹隠微㒺不洞然其二以先所推定诸表握筭设如某日某刻欲求太阳经度则第用加减二法检表二三次以求即可得其宫度较之中厯节气求经朔之法简便数倍余如五星太阴等曜以及交食皆各有表可稽火星兼用乘除他则但资加减立法虽难致用则易然而一趋超径万一操觚小失恐幷迷昧元初之理所以二术不可偏废皆为推步家之所朝夕从事者也勾股勾股之术从来尚矣古九章周髀载之究不过一三边直角形而巳垂线为股横线为勾斜线为弦测量家立表代股平圭代勾而景为其弦善斯术者髙深广逺无不可求而测天之为用尤大然而旧法虽有三元五和五较等用不过设二求三且泥于直角一形若遇斜角〔？〕角无以措用矣新法变而通之既名其公曰三角形又审其平靣球面曲线杂线锐角钝角之别即知天为圜体宜测以弧宿曜逺近诸道互交宜测以多类之弧遂生多类之三弧形于是各形咸备有三弧三角互设三以求余三是谓以圆齐圆于法为善故虽天道隠微象数零杂未有能遁焉者也割圆割圜古法亦即以圜求圜之意但古法设弧以求弦矢欵目四十余项颇为艰繁新法易之以表开卷即得盖因圜形之弧与角总代以直线数种稽其数名为八线表云夫圜形半径为本规六平分之通弦若二半径各自乘之并而开方可得本规四平分之通弦用几何诸法又可得各度分之通弦其各弧及其通弦折半乃得正弦正弧有弦弧即有其矢矣故矢不另立表也通弦之外有切线割线通弦全在规内切线全在规外线从规心出于规周之外则为割线然而弧有正有余弦矢切割四者因亦各有正余如一象限为本表之限或于限内取几何度谓为正弧其或逾九十度者即谓之余矣正余各有弦矢割切四线都为八线也恒星恒星亦名列星亦名经星云恒者谓其象终古不易也云经者以别于五纬南北行之义其数甚伙莫能穷尽就中有光体𣺌微非目可及非仪可测者畧而不录其在等第之内已经新法测定者南北二极共一千七百二十有五星稽其大小分为六等第一等大星如五帝座织女类者一十有七二等如帝星开阳类者五十有七三等如太子少衞类者八十有五四等如上将柱使类者三百八十有九五等如上相虎贲类者三百二十有三六等如天皇大帝后宫类者二百九十有五此皆有名之星计共一千一百六十有六余皆无名者矣至于天汉斜络天体古昔多谬解迩来窥以逺镜知是无算小星接攅一带即如积尸气等亦小星攅聚以成第非人目所能辨遂作如是观耳小者不足论论其大者古厯以周天诸星分为三垣二十八宿各定有名位座次每座每宿星数多寡不齐顾其所谓宿者盖取七曜经行止宿之义且用以便测算经度又为其各能主施徳也西古厯亦列二十八舍所定二十八距星皆与中古脗合第觜距西用天闗为小异耳此二十八宿者各以一字命名分注每日之下内以房虚星昴四宿为属太阳之日心危毕张为属太阴之日此外五纬各属四宿每以七日为期每日各属一宿西厯亦然西经传上古有一大师名诺厄者广宣厯理以遍万国则亦有所本也一系星之命名多系借义非可过泥虚名便谓实有其验比如贯索一星中以其象囹圄名以贯索西以其象冠冕名以冠冕一吉一㐫全由人意岂天星实然乎至谓诸星情性不同旉施互异是又理所必然不得槩置弗论也故总图于某星属某纬者咸附注之二系图星之法有二一浑球有南北二极有地平子午诸规界判黄赤二道运之能肖天体旋转以审各星经纬度分以辨星中出没以测夜时甚便也一面平图虽乏以上诸用然诸星位置宫度瞭若视掌为用亦大因有多种之分曰见界图以北极为心其最南隠于地中星极非此方人目可见者则截出之一曰赤道图黄道图二者各以其极为心其道为界盖皆以天之南北平剖为二图者也曰分星图依黄道分天为二十图均赋经纬署以维辰按图指陈天象莫晰于此外有浑盖所用天盘以极为心截冬至规为界亦图星于仪上肖天运动以觇诸星出没升降又有平仪从二极剖天为南六宫北六宫二靣亦绘辰宿可代浑仪旋转至若古传星经图步天歌等虽亦分有宿座便于观览而经纬度分悉皆茫然挂漏于测候无用也星中出没太阳右旋一日一度终歳行天一周必复与某恒星合又必有某星与之冲厯家无从测其合者测得其冲者谓为歳差所从来矣然由本方极出地度恒星有出没者亦有不出不没者如京师北极出地四十度则星距极四十度以外皆为恒见而距南极四十度以内者在京皆不能见矣至论恒星见伏亦由太阳右旋至某宿度附近之星光为日夺故不能见迨太阳去离渐逺则此星光渐升东方见而不伏矣缘是而升至午㸃即曰中星此其星中出没在立象学为用甚钜而厯家但于中夜资之以定时刻而已日轨太阳之行黄道也论其积歳平分之数新法以天度计为五十九分八秒有竒所谓平行度分是也然平行齐而实行则固非齐矣冬盈而夏缩矣所以然者盖縁黄道圈与日轮天不同心而黄道之心即地球心是日轮天与地球不同心也心既不同则日行距地近逺不等距近即行疾疾则所行之度过于平行而为盈每冬月一日计行一度一分有竒以较平行盈二分矣距逺即行迟迟则所行之度不及平行而为缩每夏月一日计行五十七分有竒以较平行则缩二分矣盈缩相差若此岂可谓之齐乎终歳之间但逢最髙限最卑限二日平实二行度数惟一此外两行之较日日不等新法因其或过或不及也故有加分减分谓之加减差盖以有恒率之平行为根而以加减差定之然后差而不差非齐而齐矣至论太阳之入某宫次以分节气也亦有平实二算盖算平行十五日二十一刻有竒为一节气乃一歳二十四平分之一耳若用躔度之日以算则冬夏不齐冬一节气为十四日八十四刻有竒夏一节气为十五日七十二刻有竒总由夏迟冬疾故其差如此皆非旧厯之所解也系太阳天距地极逺之㸃谓之最髙极近之㸃谓之最髙冲(亦名最卑)此二㸃者乃盈缩二行之界古法于冬夏二至谓其恒在一㸃其实非也按古今诸测皆各不齐古测最髙在夏至前数度今则在后六度矣以此推知一年之内太阳自行四十五秒也年月纪年者何太阳随列宿东行旋天一周之期也太阳之行界二其一从某宫次度分行天一周而复于元度其数为三百六十五日二十四刻二十一分有竒其一为太阳㑹于列宿天之某星行天一周而复与元星会但其星每岁有本行故湏加本行以定歳而其所湏加者新法定为五十一秒所谓歳差也然而日厯纪年惟以全日推算不用小余如以太阳十二次会合太阴为歳也为三百五十四日每二年三年而闰一月中厯是已如以太阳周十二宫次为歳也为三百六十五日每四年而闰一日西厯是已此纪年之槩也纪月有二或因太阴会朔一次以定谓太阴之月或因太阳行一宫次以定谓太阳之月顾其十二分年之一分则一也一月之终分有大尽小尽者比如初朔子正苟二朔者过二十九日外而不及第三十日之子正则谓之小过子正则谓之大大则二朔同一天干小则不同矣故有三十日弱时刻不及者厯家不得名大或二十九日强而时刻巳逾者厯家仍不得名小也且宇内地度不同而月之大小因以互异比如京师第二朔在子初二刻未到子正其月为小而西安此朔则己在子正初刻又当为大尽矣地度愈逺时刻愈差非可强而同之也月有闰者太阳躔一宫之时与月会合二次以成者也其月因无中气故谓之闰但古法置闰用平节气而新法用太阳所躔天度节气故闰有合有否或先后一月不等也昼夜晨昏太阳随宗动天西行一周而复于元界谓之一日东升西降循环无端其在厯家起算判定一界以为依据则恒以太阳在子在午为凖也论从子午起算之日每歳实行度分日日不等差较一刻有余盖縁黄道夏迟冬疾差余四分而黄赤二道又广狭异距则率度必不同分此其所当审者也今论昼夜太阳在地平上人目可得而覩谓之昼太阳渐隐地平之下人目无见则谓之夜是昼夜者全由人居以分随方(极出地若干)随时(太阳躔某宫)其昼夜刻分皆可依法推算焉然而法算与目见恒异盖太阳体大算法皆以体心出地为昼始而人目以一见日轮即为昼始又日出没升降度有斜正不同又地平各曜出没之界受清蒙气有变凡此皆非人目能辨故厯家立有视差法也一昼一夜平分为十二时时各八刻一日十二时共刻九十有六此恒率也其昼夜永短逓迁之故则不但日行南陆北陆不同而已亦由北极出地髙卑互异而永短因焉比如赤道正过天顶之地两极合于地平其昼夜均停绝无永短又极在天顶赤道与地平平行其下昼夜亦无长短之较但太阳百八十日恒见百八十日恒隠耳此外诸方各有永短顾其一歳之中昼夜均停者四日握算者引而伸之据四日之一日逐渐加减因得九十日之昼夜长短随可以推终歳之数也再论晨昏是分昼分夜之二界也太阳将出未出数刻之前其光东发星光渐为所夺是名为晨太阳已入回光返照亦经数刻始逌然灭尽是名为昏其久暂分数亦因冬夏而分短长新法以日在地平下十八度内为晨昏之限但太阳行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若论极髙七十二度以上之处则夏月晨昏相切虽至丙夜无甚黯黑也太阴太阴之行参错不一推歩筹算为力倍艰苟或分秒乖违交食岂能密合故必细审其行度所以然而后可立法致用也盖月较诸曜本旋之外行复多种第一曰平行一日十三度有竒但此行之界凡四一界是从某宫次度分起算此界定而不动二界为本天之最髙此非定界每日自顺天右行七分有竒是月距本天最髙一日为十三度三分有竒也故其平行二十七日三十刻有竒为一周已复于宫次元度又必再行二十三刻有竒为二十七日五十三刻始能及于本天之最髙此行新法谓之月自行中厯于此周谓之转周满一周谓之转终其最髙则行八年有竒而周天谓之月孛三界为黄白二道相交之所所谓正交中交此界亦自有行乃逆行也(自东而西)每日三分有竒则月平行距正交一日为十三度十三分有竒至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃回于元界厯谓之交终四界是与太阳去离太阳一日约行一度则太阴距太阳为十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒逐及太阳复与之会厯谓朔䇿是也凡上四行总归第一平行其第二行曰小轮每一朔内行满轮周二次每日为二十四度有竒(若以不同心圈论此即太阴中距圈也)因有此行复生第二损益加减分云第二者盖于朔朢所用加减分外再加再减故也此行中厯所无以上太阴诸行新法定其轨辙不外三者均圈一不同心圈一小轮一然不同心圈与小轮名异而理实同厯家资以推算两用互推所得之数正等也一系月道惟一古谓月行九道者乃白道正交行及四正阴阳二厯各异命之因有八名加以公名共有九耳非真有九道也白道两交黄道论最逺之距谓为五度此系二厯未甚大差之数新法测得凡朔望外相距皆过五度上下二弦则为五度一十七分三十秒推知二道相交之角非定而不动者要其广狭之行恒以十五日为限也二系合朔后月夕西见迟疾不一甚有差至三日者其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见迟叚则迟见一因黄道升降或斜或正正必疾见斜必迟见一因白道在纬南纬北凡在阴厯疾见阳厯迟见也此外又有极出地之不同朦胧分与炁差诸异所以迟疾难齐也交食凡日月之行二十九日有竒而东西同度谓之会朔至若日行在黄道近交人视为与日同经同纬是人目与月日相参直而月魄正隔日光于人目则为日食日食者非日失其光光为月掩耳凡太阴距太阳百八十度而正与之冲谓之朢若当冲时月行近于两交必入地景而为暗虚此乃月日同在一线而地居其中间日光为地所阻不能射照月体则月失其光而为月食此日月二食者躔度有恒持筹推步分秒确然而厯家各法之踈密于此更难掩也试言其畧黄白二道相交之二所名正交中交凡日月行及二交为同度同度则有食矣然而论交又湏论限及交而在限内则食限外则不食此不可不审也顾限度诸方不一盖太阳于诸方之地平髙度不同而阴阳二厯之各限亦异论煖带下之地二厯互相受变如白道向南极半周有时在天顶及黄道之中势必反谓为阴厯白道向北半周是时在黄道外势必反谓为阳厯故其下日食之限莫得而定之也他域更近于北必阴厯限多阳厯限少更近于南必阳厯限多阴厯限少比如京师近北约算阳厯八度阴厯二十一度则知日月相会凡在阳厯近二交八度在阴厯近二交二十一度其下必见日食而过此限以往则否即北可以推南莫不以逺近分多寡矣然而二厯食限之度有异者其故盖在月轮月轮比日最近于地而月又小于地人目见月之所又在地靣不在地心故以月天论地平虽天与地球皆为平分直过其心而人在地靣髙所以视天地之两界则似地球与月天非平分也少半在上多半在下而差约一度故以本法推算月己出正地平其于人目所视之地平尚少一度此其较谓之视差盖惟月在天顶正地平与视地平之极皆以一直线合于天顶无有视差过此左右不免有差愈逺天顶愈近地平差必愈甚夫视差无他恒降下月体数十分耳设令日月同度同在近交之南又因同度并在正地平上髙二十度则太阳于视地平为十九度五十八分祗降二分太阴于视地平为十九度直降一度矣而日月二差之较为五十八分故以算论虽二曜同髙同度而人目视之太阴恒下于太阳一度弱不掩日光则不食若二曜在地平上髙七十度则太阳无视差太阴视差止二十分其降于太阳亦止二十分势必相切或至掩数分而成食若二曜在交北又当以太阴算在太阳之上庶因视差所降而掩阳光以为食也顾此二地平之差又分二类一加减交食分数谓之气差一加减时刻谓之时差厯算之艰且剧莫过于此所最当究心者也系日食之全与不全其故有二一由天上之行一由食时地平上髙弧之度故均一食也有见全食者有见食多寡不等者有全不见食者就南北论见食地界设如北京见全食其南北各距四十五度之地为万一千有余里皆见有食然而多寡不等就东西论各距六十度为万五千有余里各见食而分数多寡亦不等焉即月食时刻南北亦有不同而东西为甚也三余三余旧加紫气名为四余亦谓之四隠曜然详求天行实无紫气且绝无当于推步之术故西法弃而不录第取三余一罗㬋一计都一月孛罗㬋即白道之正交计都即中交也月道自南溯北以交于黄道之一㸃此㸃有本行每日左旋三分有竒而罗㬋正对之㸃即为计都盖两规斜络其两交之二㸃必正相对也月孛是月所行圈极髙极逺之㸃谓月离于是其行极迟其体见极小盖孛云者指其交转两行相悖之义故其平行右旋每日七分有竒是三㸃者土木火诸星本圈亦有之名义皆同苐其各行不同耳古厯悉所未谙悉置不推不录新法用算五星之纬故于本厯各详其名数云独惜日者之流以罗计月孛等名皆指为星谓其所躔宿度各有吉凶用以推人禄命不知周天诸道诸㸃皆人所设以便揆算其行度耳并非实物何与吉凶至紫气一曜或谓生于闰余或谓土木相会或谓古人以是纪直年宿故二十八年而一周天都无义理可考故月离厯指详论其必无是曜也五纬异行土木火金水五曜名为纬星者谓其日有近南近北之行与恒星异也夫五纬之行各有二种其一为本行如填星约三十年行天一周日二分歳星约十二年一周天日五分荧惑将满二年一周天日三十五分太白辰星皆随太阳每年旋天一周各有盈缩各有加减分各有本天之最髙与最冲即其最髙又各有本行论其行界亦分四种非若囘囘厯总一最髙也其二在于本行之外西法称为歳行盖各星会太阳一次成一周也因此歳行之规(亦名小轮)推知各星顺逆留疾诸情故依新法图五纬各有一不同心圈一均圈一小轮凡星在小轮极逺之所必合太阳其行顺而疾其体见小凡在小轮极近之所其行逆而疾其体见大土木火行逆则冲太阳金水行逆夕伏而合行顺晨伏而合其各顺行转逆逆行转顺之两中界为留留非不行乃际于极迟行之所也留叚前后或顺或逆皆有迟行其土木火行逆即冲太阳而金水则否者縁土木火之本天大皆以太阳为心而包地得与太阳冲而金水之本天虽亦以太阳为心而不包地不能冲太阳也金水不能冲太阳而能与之离金离太阳四十八度水离二十四度五纬纬行太阳之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之纬南纬北也各二十三度有半以成二至是黄道者太阳之轨迹也太阴本道又斜交于黄道最逺之距为五度以生阴阳二厯五星之道虽相距纬度各异而其斜络黄道则与月道同理故皆借月道诸名名之其两交之所亦谓正交中交其在南在北两半周亦谓阴阳二厯审是而五星纬行庶可详求矣盖各本道外之歳行小轮恒与黄道为平行而又斜交于本道其上半恒在黄本二道中凡星躔于此则减本道之纬其下半恒在本道外星躔于此则加其纬然此小轮之纬向则恒不变如土星三十年行天一周其在正中二交之下必无纬度分十五年恒北十五年恒南耳凡冲太阳因在小轮下半即加本道纬度凡会太阳因在小轮上半即减纬度他星亦犹是也其或行近于地小轮加纬益多太白至夕伏合之际因其近地其纬几及八度矣中厯不谙纬行之原一见金星在纬南北七八九度即𫍡谓本星失行岂非诬乎又中厯亦有五星南北纬行图亦界以黄道本道似矣但其逆行之迹恒作一斜方形此甚非也五纬不行直线安得方形以此新法图分二种一设人在地仰观天上进退诸行故于上三星冲太阳下二星夕伏时第作一仅似之圆形凡冲太阳如在本道交上则不作圆形即仿佛一之字形而已一各星近逺于地之图要皆旧厯所未谙也五星伏见五星之光与日相较譬犹萤火之于庭燎光本非灭第为大光所夺人莫能睹耳旧厯亦晓此理故用黄道距度以定诸星伏见如谓太阳在降娄初度歳星在十五度即以为见限似矣然而诸星各有纬南纬北之分黄道有正斜升降之势各宫不同何得泥距度以定限乎新法定限惟以地平为主縁地平障蔽日光能使星或伏或见耳夫日之下于地平其光渐杀所谓晨昏此晨昏光之久暂四时不等即㝠漠等矣而星见时刻又自不等所以然者太阳由黄道而下地平或十度或十五度或至三十度有竒原自不等而星在黄道南相距必多数度在北相距必少数度其限岂可泥乎大畧土木火三星较太阳行迟行后太阳夕伏晨见金水二星顺天东旋较太阳行疾行先太阳晨伏夕见逆行反是其与太阳遇也亦夕伏晨见太阴行较太阳更疾晨伏夕见至于金星之纬不及八度则凡逆行合太阳于寿星大火二宫而其纬又在北七度以上虽与日合其光不伏一日晨夕皆可见之水星之纬惟四度余若其纬向南合太阳于寿星此后去离夕必不见合太阳于降娄此后去离晨必不见金合而不伏水离而不见此二故者浑仪解之他如恒星亦有夕伏晨见者一因黄道之经纬度一因其小大等第即为见伏之限故亦可推也测太阳诸曜森罗太阳其宗主也或推或测必首太阳顾其应测之行不外三种一曰盈缩之限一曰盈缩细行一曰盈初缩末之所中厯之测太阳未尝及此三行即所测止冬夏二至犹未尽善也其法立八尺表用星符器于冬至前后三四日测定三景因以三景之较数求太阳到冬至时刻其法未尝不是所以为未尽善者盖表景短长乃太阳行南行北所生论其近二至之候南北之行极微计一日所行天度有分半者有一分者有半分者乃于冬至近期建表寻丈而其所得二景差为一分二厘(量度则云分秒量景则云丈尺分厘)厘为八刻而此一二厘间相差甚微彼景符曷能定之况景符光线恒占数厘或更稍为进退其失弥甚是恒差数十刻也若测夏至则倍难矣今新法用八线表法查古所遗之数以用于推步庻称密近耳然又不但用表亦时用别法以相济也比如春秋二分太阳之南北行较大日行天度二十四分乃于其前后数日先测极出地度得赤道髙次用象限仪测日轨髙不免相差一分而其于本算日轨入交㸃时刻则约差四刻耳较之以寻丈表测冬至差厘数而乖违数十刻者岂不大相逺哉且新法于太阳实躔宫度分秒逐日可测而旧法于二至外推步遂穷何也又新法本测曰太阳从春分底立夏行黄道四十五度厯四十六日十刻十分又从立秋底秋分亦四十五度而所厯则四十六日三十八刻十分是逐日刻数不等所谓春行盈秋行缩也故定此盈缩初末之界非在二至㸃也乃在二至之后六度(古今不同)若如旧法谓恒在二至则是前后行度等也何为所厯之期日刻数不等乎此率古称盈末缩初新法称为最髙因有此最髙遂晰太阳之行为一不同心规也其行迟者在最髙行疾者在最髙之冲此最髙本行亦犹太阴之有月孛云测恒星测星之法不一大要以太阳为主而以太阴或太白或歳星为中次任取某星为界互相测度即得其度法于太阳将入之时测月或太白或歳星其距太阳度分若干日既没再测月或太白或歳星其与某星相距度分若干合两测即得太阳与此星之距然后查太阳本日躔某宫度则知此星所在宫度矣测一星之经度如此他星可以类推于是又测此星出地平之最髙即其距极距赤道之纬度并可得也然而恒星之经纬度分有二其一以黄极为枢每歳东行五十一秒有竒而其距本极之纬度则亘古无变其一则因赤道以算其经纬南北星位古今大异如尧时外屛星全座在赤道南今则在北角宿古在北者今亦在南星纬变易类多如此至以赤道论各宿距度亦有异者如觜宿距星上古为三度厯代逓减今且侵入参宿二十四分他宿互有损益距度各各不同因知赤极非恒星之极而其经纬之度亦非赤道之经纬度分也由是观之象数精微弥测弥明彼自画者流輙谓循古已足岂其然哉测太阴太阴行度所当测定者五一迟疾之限一迟疾初末一月孛行一每日细行一交行五测有一不详月离之违合难齐矣又月有气差时差(即地半径所生)所测之经纬度分于正度分复有相较以此测月于七政中为最难旧厯用表于午正测定三景以求之越四载而得一次测验之时九载而复推定疑太拙矣新法用三会食推算其法以食甚正对太阳得月经度以食甚分秒得距交若干以各食中积时日刻数不等并得天上所行不等度分于是用本法以求月天之孛或最髙(即极迟之行)亦遂得平视二行相较之度以简御繁法莫善于此矣其测上下二弦经度亦有本法盖弦乃太阴实距太阳或东或西九十度即周天四分之一也先以本仪测定某限次用法算其平行因其加分恒与所测差二度余赖有二三均数测算乃合又弦时去离南北所测与算亦较天度差四分之一缘白道斜交黄道相距度分各广狭不同故也至太阴之掩恒星测其出入亦可以知月离度分但湏先以地半径差均之测五纬上三星为土木火与太阳相冲会然于冲会之二时各无歳行加减分縁其会太阳即在歳行圈之最髙而冲之即在其最卑于实行为合故也湏知实行与平行不同平行百千万年维均各星本天各有迟疾(即最髙最卑)然而星合太阳无从可测毎于其冲测之(测其)(对太阳用恒星各经度或太阳躔度推算)得此冲经度即有中积天度日数及本星随日数之平行而后用此三率以求各星本天最髙之所于是又得其盈缩大差因幷得冲时各星以平行距冬至之界若干矣下二星为金水以其不能冲太阳也测之较难法先于或晨或昏求其与太阳距度者数次然后依法测算即可得其本天诸情也凡歳行之测以二留为本二留之限各星不同即所躔天度亦不同然而星在二留非冲太阳乃折中之度故本之以测歳行也下三星亦然又二留之际因无歳圈纬度故可得其本天之纬其或在日之冲距纬极逺又可得歳圈之本纬矣五星之天皆斜交黄道与白道同但其相距之纬各多寡不等又白道交行右旋而五星左旋此其异也测器夫测器之在厯家犹之工师之凖绳规矩不可湏臾离也盖宿曜运行樊然不齐苟欲齐之非器不可矣然而简便是求制作未能尽善虽欲齐乌得齐古厯所纪原有数种而今灵台所存止有圭表景符简仪浑象等器耳新法所增置曰象限仪百游仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑盖简平仪黄赤全仪日星等晷诸器或用推诸曜或用审经纬或用测极或用求时是诸仪者皆为厯学名家酌量增修精加研审多厯年所始趋巧便此外尚有多种以其不堪大用置弗录而其最竒巧者则近时所制逺镜尤为窥天要具用之能详日食分秒能见太白有上下弦能见歳星旁四小星又填星为撱形旁附有两小星昴宿星三十余鬼宿中之积尸气以至光体微渺之星用此奚啻多数十倍抑且界限分明光耀璀璨噫造器至此异甚矣时晷凡日月交食会合五星凌厯犯守其时刻所由取凖者赖有时晷也然而大地之广时非合一古法不分方土第用时牌揆景以定者非也新法制晷但湏预定本方北极出地之度随在随处虽垣墙正侧皆可制造能于一晷之靣视太阳所躔节气宫次度分及定日之髙度并黄道各时出没其称最者则地平晷立晷百游晷通光晷数种他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等不下数十余种而此外又有星晷与测月之器以为夜中测时之需云若遇阴雨则又有自鸣钟沙水等漏之制水漏与古壶漏异古或以水入壶而时箭浮新制以水出壶而时牌转壶体并不开孔似为胜之新法算书卷九十七
## 卷九十八
钦定四库全书
新法算书卷九十八 明 徐光启等 撰厯法西传引说凡学非能骤成莫不始于格物以致其知而后从而推广从而精详焉以故古人因目所见心悟顿启纪而騐之接续成书以诏来世乃成一学即厯学亦然矣其初所悟者㮣不岀日月交食及冬夏四正五纬凌犯等触目易见者数事因而再求之然后乃知月有本道焉交食有期有率焉又因而推广之精详之以及他数他理而厯学始为大全此如原泉一脉涓涓流而为壑浸假而百川彚集由湖由江以入于海浩浩乎无涯际矣后有好学者留思古人之学叅以己见曽无㡬许而附以传世是为坐收其成岂可擅称超悟屈抑前功哉余著厯书百卷大要取之古人而又括以厯引今复为此编先明西厯古书大指而次则遂及余书盖一则著新法非一人之法非近创之法良由博古深思叅互考订以得一真无容妄议一则令后之人便于循习晓畅数百年后测审差数推徃知来善于变通也或疑中西异法如格碍何余谓天行无隐君命非私厯至今日中人亦西学矣且即就中厯而论其根亦本于西如列宿距星皆同又列宿有属太阳者四属太阴者四亦同是知根本既同而清其枝干通其脉络有成书在展卷研求无不可见岂足相难哉学者勉之可也西古厯法西庠之学其大者有五科一道科二治科三理科四医科五文科而理科中旁出一支为度数之学此一支又分为七家曰数学家曰㡬何家曰视学家曰音律家曰轻重家曰厯学家曰地理家七家俱统于度数要皆师传曹习确有根据者也若多禄某即西洋厯学名师在郭守敬前一千百有余年汉顺帝永建时人著书一部计十有三卷第一卷详证厯学大指如诸星运行天体浑圆地与海共为一球地居天与空气之正中地较天大不过一㸃等项次著角理不但以句股测直线之长短且用曲线三角形量天是为以圆齐圆所得诸星相距度分最凖又求二至相距几何度分在赤道内外㡬何度分并二曜相离最远为㡬何度分设黄道纬度求赤道相应经度设黄道经度求赤道相应纬度第二卷论宗动天设黄道在地平上之㸃求其距赤道之地平弧设日之高求正侧各景之长短又求黄道各㸃之半昼弦解正仪昼夜等众星常见之故偏仪二至规下岁一次无景距赤道愈远昼夜愈不等而两极下毎岁为一昼夜第三卷考太阳行求二分时刻辩二至气至时难求时刻求岁实与毎日太阳平行乃作平行立成表又推论日行用同心规及小轮或同心及不同心合一之理推地心与日规相距㡬何远随求太阳最远㸃(亦名最髙)定太阳厯元及太阳行度毎日不等之数第四卷论太阴行证求太阴真行度即月食可考月有迟疾平三行乃求月平行并月每日纬度即以齐月诸行或用同心圏及小轮或不用同心圏二法同理设三月食求同心规及小轮两半径以定月诸行厯元又求月行正交中交之时推二交逆行之数第五卷解月自行以求月经纬度必用小轮推月加减立成表求月之更大纬度与月之地半径差度复求日月二轮与地球半径之比例及日月与地景之似径(地景其形如角所求之径乃月所过截地景之处)又求月半径及景半径与地半径之比例求日真径求日远于地求景之长大(以上三求皆以地半径为度)求日月地之比例(原书称三大即日月与地)设日月之远求地半径差推视差立成表比日月两视差分月视差有三种第六卷解日月合㑹求日月平朔平望并定朔定望时及其宫度分求地景及月半径定日月食限论日月半年中能再食月食后五阅月中能再食七阅月中不再食日于五阅月中各地能两食七阅月中一地能两食日于三十日中一地不能再食更求月正纬度设月真所在求视所在求月正会前后四刻之视行及日月似㑹(即日食)即求日食初亏食甚复圆三时定日食分秒第七卷论诸恒星远近终古如一证其昼夜行外别有他行论其顺天经行以黄道极为本极定岁差度设三星相距以二星经纬度求第三星经纬度详测星法第八卷论天汉起没详天汉中大星所在及众星拱向并其出入设黄道经纬度求赤道纬度等第九卷求五星每年及每日平行解五星大小轮理求水星之本行求水星最高求水星大小圏半径比例又求水星小轮上平行以求水星各行厯元第十卷解金水二星之行求金星最高及不同心轮与小轮半径比例设时定金星诸行厯元求土木火三星之小轮及小轮之本行(亦名岁行)设火星三处求其最高测从地心至不同心圏其远㡬何求火星小轮之半径推火星平行定火星诸行之厯元第十一卷解土木二星之理即求地心与木星本心之差及木星本轮与小轮之半径并其平行定木星之厯元后设土星三次舍以求其最高求土星小轮之半径而定其厯元设五星之平行求其实经度第十二卷解五政行度有退留疾等之故即求其留界及逆行之半弧更求金星左右距日之极大弧度并水星与日最远度第十三卷论齐五星纬度之法求火木土三星各本圏及黄道交角并定其纬度论五星伏见先求火木土三星伏见相距之时次求金水二星伏见及其相距之时以上十三卷属多禄某所著除右引各目外尚有三百余欵可为厯算之纲维推歩之宗祖也但其辞句太古浅学罕能习之故诸名家更互演译各有论著今不及叙后又有亚而封所乃极西宝祐时人身居王位自谙厯学捐数万金钱访求四方知厯之人务依先师所著创立成表以佐推算诸曜之法其功不在多禄某下缘属祖述成书故今亦不及叙又其后四百年有歌白尼騐多禄某法虽全备微欠晓明乃别作新图著书六卷今为序次之如左第一卷天动以圆解第二卷天并七曜图解众星各及其次舍解第三卷论岁差而证其行较古有异论岁实求太阳最远㸃及随年日时太阳躔度第四卷取古今月食各三度求月小轮之径求大轮小轮之比例并月经纬度推日月交食第五卷求五星平行用古今各三测经度求大小两轮之比例等终求其正经宫度分第六卷求五星纬度以上歌白尼所著后人多祖述焉有西满者尝证多禄某歌白尼两家之法惟一麻日诺又取歌白尼测法更为多禄某之图益见其理无二矣近六十年西土有多名家先后继起较前人用测更精立法更尽造图更美其一未叶大因悟不同心规与小轮难于推算于是更创蛋形图以解天文根本设七政三测求最远㸃又求地心与不同心差又求各轮比例等理其二第谷竭四十年心力穷究厯学备诸巧器以测天度不爽分秒第谷本大家饍养知厯人造器市书计用二十万金著书计六卷第一卷取二分真气至时第二卷取北极之高并解前人之谬解蒙气反光之差取二至真气至时并解二至难得真时之故求太阳最逺㸃并地心与太阳心之差求加减数证最远㸃之行度及太阳平行求岁实并推立成表用立成求日躔宫度而考其法第三卷以二十一月食求月平行设月行新图以齐月行用两大规及三小轮详其所以然推立成并其用法仍各设假如求月纬度加图及立成表算法因求月食又求月与地相距㡬何立推交食法因测五纬之真经纬度先考列宿之真经纬度第四卷解测星应用仪器乃驳古测有误取金星与日与某星相距度以求某星距日度分㡬何取近黄赤二道距度并之以合周天全度复取六星之距度以经度相并适合周天之全度求角宿经纬度以起周天之度再求近赤道十二星经纬度证星之黄道纬度今古不同求星之经度并解其时八百余星之真经纬度(五十三年前)复加百余星赤道经纬度说第五卷解其时新见大客星计十二章一详初起及渐大至与金星等并渐减二取附某宫星以定其经纬度三解测新星所用诸器四取新星与他星距度五解其更度几何六用各法以求新星经纬度七求新星赤道经纬度八证新星不丽空际而丽列宿天九考新星之大小十取新星之似径得三分三十秒十一证新星大倍于日大于地三百六十倍十二考众星参差第六卷测器诸图图计五章一解用测器求三曜之高二解用测器求星之纬度三解用测器求星相距度四解各仪象五为天文答问又第谷彗星解十卷测彗星之高度尾之长短光之隐显及其方向考十二星在黄道上度以求彗星之真所在设彗星离两星之度求黄赤道经纬度求彗星毎日赤道经纬度求彗星所行之道及其道交黄赤之角处依每日彗星行黄赤二道作立成表证彗星在月上较月更远于地为三百地半径故知彗星在日月二天之中证其尾恒向日与金星作彗星行度图征彗星之大为月二之一尾长为九十六地半径(每地半径为一万五千里)因考前人彗星之论当否第谷没后望远镜出天象微渺尽著于是有加利勒阿于三十年前创有新图发千古星学之所未发著书一部自后名贤继起著作转多乃知木星旁有小星四其行甚疾土星旁亦有小星二金星有上下弦等象皆前此所未闻且西旅每行至北极出地八十度即冬季为一夜又尝周行大地至南极出地四十余度即南极星尽见所以星图记载独全以上诸贤所著皆属推解厯理近因古学奥深学者为难厯学家别有立成表及测天诸器以便初学又有永年厯亦立成之类预纪七政经纬及交食凌犯诸行取凖于天具举其证葢由推测二功相佐而成不可疑也今论测器惟浑仪为最用之取日光求其躔度求日纬度求北极出地㡬何日出求东西之纬度求太阳午正之高推时求日星之高求太阳赤道经度求星出地平之时刻求太阳距子午规时刻求太阳出入并昼夜时刻以日星高求时刻又作地平日晷求朦胧时刻随时求东出黄道宫度分又浑仪挟持未便因又约为平仪体制虽异而施用不殊(名浑葢)乃有造平仪及百游各仪法其说甚多其用甚广又有日晷多种约言其法如作象限作卵形考墙面之方向求子午线设时求日之高设日之高求时分论有法日晷葢有六种一地平上晷一向南平靣晷一向东平面晷一向西平面晷一向北平面晷一向赤道平面晷详每日晷有十二种线以景证日之行如此从地平起时线从子午起时线节气线昼线过顶圏线日高线地球之径圏八十二种高线㡬节气出地平上线日出地平算某时刻日入地平算某时刻每日平分昼为十二时线(名七)(政时线)又有向南向北斜面杂向立面杂向倒面挖面或正圆或长圆正球偏球各日晷及各正表斜表法槩因无有定向称无法日晷又设日晷一图以大为小以小为大焉夫日晷大不越数尺小仅数寸而天之高远太阳之行度经纬悉备变相以通其理多方以尽其能故曰厯学之广大即日晷可征也右皆造日晷法然造晷用图平行垂线最多下手为难乃用立成表其法更精成功更速又日晷之度数或用立成表查或用㡬何要法或用比例尺诸规矩究竟所得皆符不爽毫发即此而推所算日躔之密合亦并可见矣合而观之西庠之于天学厯数千年经数百手而成非徒慿一人一时之臆见贸贸为之者日乆弥精后出者益竒要不越多禄某范围也已前所引在全书仅十分之一览者即所见以推所未见可也西新厯法余著新法悉本西传非敢强天就法也乃为法以合天以测候为厯家之首务故修政以来除西制大铜仪数具外在局别造有半径仪三座自心至边或一丈或八尺具刻宫度分秒一一详明以求适用日督同监局官生昼测日夜测月星三仪所测或并同或两同者取以为凖若三各不同则置之俟再测如是者数年列宿距星远近异同悉于是时考定凡遇五星凌犯伏见日月交食公同部司赴观象台测騐务求密合累蒙钦遣内臣同来审视又因交食差官四方测騐异同嗣后奉命造进黄赤大仪及星晷天球大日晷等或内庭亲测或偕内灵台诸臣测如是者又数年于是上下相孚朝野悦服上乃决计散遣魏文魁等囘籍一意颁行新法惜兵事倥〔？〕未免有待将来耳中土徃代修厯不过加减四余四应岁实等项已耳一时合天乆则仍错有数十年一改者有数年一改者前改既非后改亦复如是厯学废弛非一日矣余初奉命修厯时亦有以畧改旧法请者谓作者可免创始之劳述者兼得习熟之便然而不能也详考旧法其错非在算数乃在基本不清其基而求积垒不治其本而理枝干其术未有济焉者余故不辞艰瘁昼夜测騐天行叅考西法然后正其纰缪补其阙畧约有数十余欵于是著成厯书解明法原详整法数自太阳太阴恒星交食以迄五纬莫不条分缕析纲举目全共计百有余卷已经进呈御览蒙恩宣付史馆刋本传布四方与海内知厯者共之矣兹更将法原诸书逐卷挈其大指以便观览如左日躔厯指测凖岁实平视二行盈缩元及大差大距度等其题一求南北正子午线以定诸径圏及十二时之界以记太阳行满昼夜毎日之始末乃取凖于天非如从前徒用一指南针而已一求北极出地度分以定日出入昼夜长短日月帯食日食有无并诸曜正斜照地等类此用象限仪或测日轨午正高得距赤道度余即北极出地高度或测近极一星在最高又测之在最卑折中取之即正北极高也一求各气差气从地发蒙昧空中故自天顶以迄地平诸曜逐纬详测定差分秒多寡因而加减原测即得各曜真位也一求黄赤二道之距以定太阳赤纬于夏至前后一二日测午正日轨(必于午正者免蒙气也)乃于所测度内减去地半径差并赤道高余即二道相距真度分一求太阳盈缩之元以定平行加减乃得每宫度相应之实行葢设太阳以平行旋天毎日前移一度则宜自秋至春与白春至秋日行之度数相等矣今天度等而所行日数不等相差八日有竒此何以故葢因地在太阳天内非其正中也故设一直线贯地心而以两端接日天必分为大小两半大半之顶距地远日行经过之时乆小半之顶距地近日过此必速矣且日体近冬至现大近夏至现小冬至之月食大小又异于夏至之食总由地景长短大小系于日光远近之故西古厯家二千年以来阐明此理并立测法传之后人即日躔并日月交食皆正其本矣乃此中厯家羲和而下守敬而上举无有悟此者何也又一求太阳年日及时之平行以定岁实以确立推算之根所谓厯元也法先后隔数年或春或秋于午正时测日轨务得二分之凖时(太阳在二分其纬大日约)(得二十四分分应四刻故较他时所得为凖)乃于先后间总时以中年分之得毎年之平行即真岁实而岁实又以周天平度(三百六十)分之得一日之平行时亦倣此但因日天心异于地心渐移右行二心相距远近未有定数虽所移甚微而一二百年后必少觉之千年后差乃显著则依本法复测复推以加以减即造厯无异今时故新法实永法也昔郭守敬若知此法可免岁余上推百年増一下推百年减一之议惜乎不能也一求太阳最高所在及地心与日轮天心相距之差以定加减始末以得随时推日实行确法葢太阳西行及东本行之外其最高亦顺十二宫渐渐东行二心(即太阳本圈心与地球心)相距岁岁减少古测断不可泥厯家若不谙此日躔无根又何慿以推五纬乎古西土去今千八百年以三角形测日轨记最高在申宫五度三十五分两心之差为全径百分之四分强千年后又一士测之得最高在申宫二十二度十七分二心相距为百分之三分半强及据今测又在未宫六度强二心之差不及百分三之半矣中厯从来以夏至为凖泥在未宫初度相沿不改岂非大误一求太阳视差即地半径差此差既由各天与地球大小之比例而生则欲求此差者须取一天与地最远无可比例者为之则恒星天是已故于恒星天设三角形查与太阳交角相对之弧(他曜倣此)弧有大小而本差之多寡即见矣一论日差以齐诸曜之行所关者大故详推一立成表以便厯算即太阳实行嬴缩毎日不等是也彼旋地一周复于元界(子午圏是)为日必等者称用日葢民间所用也厯家若亦泥之则大惑矣恒星厯指三卷其一以金星测恒星及黄赤道度等法于日未出时先测恒星与太白之距日出后又测太白太阳之距晩测反是先测太白与太阳而日没后乃测太白与恒星因而求太白经纬视差及太阳经度则以曲线三角形法推得两经度以较同测之星加减之并得本恒星之经度今以毕宿大星娄宿北星角宿距星等为假如定赤道经纬即余星倣此可推矣又测近黄赤二道所有诸大星任定㡬星晷距星为界或自西而东或自东而西求两测之距度及距赤道之纬度用三角形法推得其经度差因连缀求之以迄一周所得经度若既合于赤道周则所测各距之经度必皆密合矣乃复用之为界以测众星皆可无不合者再以恒星赤道经纬度推其黄道经纬反复相求非三角形无由而得葢或星居两道之中或南或北或居两道相交之左右必设各极所出之曲线遇星而交而复相离各底本道而止乃为三角形者数矣最便推算且恒星依本法彼此相推不但其纬度终古不易即相距之经度差亦终古不易故凡推七政者必用恒星为界而后诸曜之远近灼然不爽也终引所资以测恒星者如测器如子午线如北极出地高如视差等皆是也葢测星有三求一求出地平上度分则用象限仪二求相距则用纪限仪三求距黄赤二道之度则用浑天仪若子午线者诸星行度升之极降之始也北极出地者所以正高下也凡用仪必以仪上极与本地之极高下相当即经纬皆相当故测星者使无子午以正东西升降无极高以正南北高下即一切推算之法无从措手若视差就地半径差论恒星以距地远得免就清蒙差论则恒星近地平必皆有之测时宜用减矣第二卷测恒星黄赤本行其行黄道上即岁差也中厯论岁差有曰未能测其所以然第以全厯推之二万六千八百八十年差一周天毎岁差一分三十余秒上推至帝喾甲子四十年日在虚六度至夏王不降乙未三十五年日退入女宿啇武乙丙寅四年日退入牛宿周简王丁亥十二年日退入斗宿宋度宗戊辰四年日退入箕宿四度二分余且言此定算也又或测日度者以月食冲求之可谓巧矣然而皆非也夫毎岁所差甚少月食分数颇寛安得借此求彼此其谬一谓日退者即日逆行古来测日但有盈缩有公行有本行退逆之行理所必无此其谬二既言未测其所以然何从而得一定之算此其谬三西法则以黄道二分二至为界据古所测某恒星距界之度从而复测之乃见迁移以较中古上古此星离冬至渐远如前此居冬至者虚也今已顺行东去继之者为女为牛为斗又后为箕矣是知岁差系恒星前行与七政依黄道本行无异此为真所以然非日退之说也且西测星非详得其分秒置不用非三四器三四人同地并得在一分以内者置不用此新法所以独密也所得岁差定数为五十一秒(依六十算)由此得恒星岁实小余为二十四刻九分又约二十七秒乃古今不易之则也问星岁无差既有定算如此厯家不用以推年日何曰立岁限以定所为主如四时如二至二分等日行皆有定所星算虽定而其右旋于各节气恒无定所故难用推年日也考黄赤道宿度今古变易缘诸星随黄道斜交赤道故也每见太阳之行黄道夏日距赤道北冬距其南逐年如此岂非由二道斜交之故乎厯家同时测日经而两道上所测度分必异又所差日各不等此为日经之变如从两极各出直线以交日心引之径过以至赤道两线必不复㑹于一㸃以是知日经纬在赤道恒变即恒星亦然逐渐右旋即赤道宿度逐渐有变其数多寡前后必异惟黄道经度则终古如一而星亦终古如一斗恒似斗尾恒似钩古二星在一直线者今时亦然彼此相距皆同也累测黄赤两道恒星之经度以推古今各宿积及本度并载厯指读者以参觜不仍旧次为疑不知宿在黄赤二道原有分别其依黄道不变之度分参前觜后终古恒然若依赤道而论在昔虽先觜后参而近自二百年来则参先而觜后矣葢因两道从两极出线以定度数故有异也第三卷以黄道经纬变赤道经纬及绘星图数法葢星之去离赤道无恒而其去离黄道有恒即黄赤二道之相距亦如有恒以两有恒求一无恒则依曲线三角形以乘除三率等法推算可得若直欲从赤道求之无由而得矣缘星行依黄道以向赤道时有迁移故也绘图旧以恒隐圏界为总图界星偏河南之南不复有图矣新法因见隐圏南北随地不同故以两极为心以赤道为界或又简以中土恒见之圏为界绘总星图闽粤以北可见诸星无不具载至图内正斜各圏直曲各线依星本经纬应入其中者本卷一一详之乃除天汉积尸气等无算小星外凡可见可测者别以六等令星在图在天大小异形无不相肖月离厯指计四卷首卷论测月平行䇿及迟疾加减正数如各种行度一随宗动天日一周行二依本天顺白道自西而东平行此或以太阳为界从合朔起算或以宫次节气为界从各㸃起算谓之交周满一周谓交终三依本轮自行从东而西然依轮之上顺行依轮之下则逆本天而行但缘月行甚疾地面但见其迟不见其逆此行谓之转行满一周谓转终四随次轮乃本轮之周复有一小轮其心随本轮左旋月在其上则又右旋满一周名为次转终也五为交行月行白道出入黄道西行所交于黄道中线两㸃一名正交一名中交旧所称罗计是也外又一次轮实测则有而据之以推度数颇微无大用又一面轮使月一面恒照下向地此亦无关疎密皆置不论论测月平行乃因视差及蒙气差参错难分月体且月体恒亏无从测心以此测月最繁度分难得其凖须按西古今法于月食时騐而知之晋史姜岌亦以月食冲騐太阳所在然而考太阳之躔度易考太阴之离度难在姜为倒用两率皆疎矣且平行亦非一食可騐也葢任用一食仅得当时之行度何由遽定平行必择前后两食各率均齐者以为两限然后取其中积平分之庶免日去地时近时远所生暗虚时大时小与夫月转时迟时疾时在最高时在最卑诸凡月行不平之绿也但欲得此前后食务须求之记载今考二十一史天文志但记有年月日而畧时刻分秒无已借西厯补之论测正中交行度葢月本圏之自行度曰转行及于黄道曰交而转满一周曰交终其在后不及转之度即谓两交之逆行也测法亦用月食考古无传仍依西史如前法用两月食测其前后各率均齐得交逆行日三分十一秒岁十九度零十九秒四十三微此为二千年前古测后史各加密测推得交行毎年盈一秒四十二纎应减论用不同心圏与用小轮名异理同皆借以分布度数解明七政盈缩迟疾之行乃公借古今测定本轮之大小远近之比例以求加减差立推算各表之法然而创始难工増修易善厯家积功二千余年至近代测騐而后渐次加精较古为密也终定太阴诸行厯元宜命一定地以慿起算即依本地初度初分为凖以加以减推算各地本时本曜之各所在度分此法从古未有且测北极出地中率不合葢前人未悟地半径差与蒙气差于二至所测之高应有加减故未得真高也二卷论测次轮次加减迟疾及半径差月径地景径等乃引古今西史月天诸轮之图解各所迟疾行之理并经纬随时度分更推假如令数与图互相发明因知欲求月离真所非一均数可定葢虽加减本轮之自行度可得定朔定望缘距限在五度内故然而二弦及弦左右之自行差则异于朔望其距限大至七度半强矣故据次轮之自行加减立第二均数于理为尽从是可得太阴之视行实经度次定交周交行及交行之厯元皆于月食取法葢须前后两月食其距太阳之最高远近均等两食分等两食之在阴厯阳厯正交中交亦畧等则因两食之中积而得交㑹及交终之数依此用三率法以各数推得交行之度分又得月平行距交之度并其平行距宫次或节气之度两数之较为三分十一秒是为两交一日逆行之数所谓罗计行度也若交行之厯元亦于两月食得其诸率各等则必并得其距交亦等葢交终由两食之经时而知今定交应则因两食之月距交等度考其中积时自行满交周外即得其距交㡬何度分是厯元也遂命曰某年天正冬至为厯元而某处某府为厯元本所又次测黄白二道相距度分法求月轨极高以免诸视差加减故乃得距赤度分去减黄赤距度余为黄白距度此西古今通法中厯黄白相距恒大于西术谬矣其推月食恒小于天騐殆缘于此论月视差此因地半径而生与他曜同但月天视地为近为卑则地与本天各半径之比例其视差并大古今累测得数无异约一度故测太阴先得其视高乃以地半径差加之得数又以蒙气差减之此为实高如反推则得其实高乃以地半径差减之得数又以蒙气差加之此为视高具见本表但蒙气之差因地因时所在各异必求本地势本时刻之确数定之终测月径地景径或由月食测定食分并推求其自行距交距黄道等率而得或以测太阳之似径比于地而并记其月距地设三角形推月与地各径又地半径之比例而两径可定三卷论测日月地大小近远之比例引古今法数种先求各视径大小如日食时月视径随地不等其各视径与实径大小绝异又如月视地为小月天视六曜天为小去人又近后定日月之实径推各体之容详测日月各距地之高论月天象数及诸月表之原四卷论测太阴见伏光体并四余辩天行无紫气等引古今交食以证新法并为后学之资葢因中史失载交食分秒及阴阳厯与太阳之距最高太阴之自行度分等后人无慿推歩以资修改故悉取之西史交食厯指第一卷详太阳光景地景及日食之故先引界说如何为暗体原光照光次光满光又如何为初景次景满景葢食生于景景生于光满景非暗也称光暗之中即日月食可辨凡交食或地食光于月景为日食或月体食光于地景为月食乃日月地三球各体大小不等有静有动去人有远有近当求其大小远近之比例推其施光受光之体势乃得交食之体势今设两球大小等一暗一明明者半面施光暗者半面受光无分远近未有交食者也若明球小暗球大暗以小半受光明以大半施光此为太阴照地而地受其隔日之光也凡大施小受施以小半受以大半二体弥近大者施光之小半弥小小者受光之大半弥大此即日居最卑而食之势也若夫小施大受则又二体弥远而施者亦弥小受者亦弥大此月食之分数有多有少而月近地居景厚处食分多远地居景薄处食分少总由大小远近之比例而生也又详景之处所在受光之背面乃因月与地势能出景在日食则为月景下至于地月食则为地景上至于月景形为角形缘出景之圎体与太阳大于地于月之倍数相当也月望月有食乃地景隔日光令月不受照有时失满光有时全失光月朔日有食乃月隔日光令地不受照有处射满景有处存少光皆系景之作用也至论月在景之光色或赤或杂或青黒色皆有占騐或生于气景或映于旁光或染于近地之清蒙气皆能令月现种种色也论食之期二景既随日月所至终古不爽即有定候一在定朔一在定望当食必食多寡先后上下千百世可知此则本卷益加详焉第二卷详交食诸类及推交食之原与简法葢日月之行虽有隅照方照六合照等悉无交食独相㑹相望(亦名合㑹照会)有食详之则有实㑹中㑹视㑹之别皆为推歩之原三㑹或较于地心或较于地面各异实㑹中㑹相距又无定度必先推求各元法从本天大小圏以厯元并以三角形细推乃能成表为密求法以便后人葢因得其所以然而后握简御繁无难也第三卷求推交食依人目所见仪器所测之时刻及所食分数之原必应改实时为视时而此地此时见食彼地则异时见食也故可随地推交食之有无又可上推徃古下騐将来万年悉如指掌若食分之多寡既原于日月地景之各视半径则定视径分秒之数逆计太阴居最高或最卑本视径差地景即因太阳居高居卑不同其照地生景之差以得各实差然后食分可得而定矣第四卷详食限食甚前后时及绘食图以解各食向位论限日与月不同葢虽同以所行各道经度距交㡬何为有食之始然而月食则太阴与地景遇因而两周相切即以两视半径并较白道距黄道度推交周度以定食限日食则太阳与太阴遇虽亦两周相切而有视差必先加入视差而后得距度定其食限也惟其食限各异故推太阴越五月能再食越七月不再食而太阳越五月七月皆能再食至于食分则以距度求之葢两周之心相距之度也在月食则为太阴心实距地景之心愈近食分愈多在日食则为日月两心以视度相距其近远不依实度而依目视之所及为凖此即月食分天下皆同而日食分随人目东西南北各异之(原也)食分以纬度而定食甚前后时刻则并以经纬而定葢太阴本时距度多寡不同即入景浅深亦不同浅则厯时少深则厯时多此葢从纬定也若就经论太阴之自行时疾时迟纬与视径虽同而自行每食不同即所得时刻亦必不同但太阴入景之弧与出景之弧畧等故依其行弧推食甚前之时倍之随得食甚后至复圆之时乃日食时刻则又以视差有异焉交食图列方位方位者日月失光之靣所向之方也法先考本食是阴厯或阳厯更考黄道是斜交地平与否葢黄道斜交日月亦依以斜行食时方向必异不可不审也故绘图以一直线过日月二心审其与地面相遇之势乃定日食方位过日景二心审其与地平相遇之势乃定月食方位旧法徒以阴阳二厯求之疎矣騐时安得合乎第五卷详日月视差及日食掩地面㡬何凡推歩日食要以人目为主目见之㑹非实㑹而视㑹也此差虽由地半径生(以人目在地面不在地心故)更为人目差分别有三等一高卑差以天顶为限一南北差以黄道为限此限能变诸曜纬度一东西差以黄道九十度为限其左右能变经度及时刻测此三差悉用三角形因设地半径为一边日月各距地高为一边各距地靣之远为一边测之乃得高弧或正或斜交于黄道以四方分视差然东西南北二差又时有变务彼此相较展转推求可也论日食之掩地面必系全食或系应不见光之地面又或本日太阳适在最卑而其视径大似太阴之视径若此则虽二曜之心合而周边大小微异乃见金环焉又总论见食之地其广㡬何且见食进退一分应地面㡬何由是以推各国各省能见食与否并食分多寡等义第六卷依原算日食以显推表及其所用之所以然必以视差求视㑹因详前引三差恒垂向下高卑差为正下南北差为斜下东西差独中限之一线为正左右皆斜此是太阴所变距黄道度及顺黄道经度用以加减时刻并求食分可矣但除地半径差外别有三差名外差不生于日月地而生于气一曰清蒙高差乃地所出清蒙之气能变易高下二曰清蒙径差日月居其中随变本径之大小三曰本气径差本气者即月天以下空中气也较清蒙为更精微亦能变太阳之光照令目所见之视度视径随地随时大小不一也第七卷测考食分方位及时刻务推与测并行以自騐其法密与否西厯家创法之初审之于天以求其当然成法之后复考之于天以证其必然正此意也交食推法既备前卷本卷则引测交食多寡之式如测日月各食分或于室内或于室外以真光形如远镜等承其射光之容即食分多寡可得非旧法水盘所能及也至二曜食时所向之方位或正或偏测与算合不爽毫末又日月或全或零食之时其变形之限如二食所共者初亏食甚复圆月食所独者食既生光皆可得其凖也五纬厯指一卷公论定各星古今次序测五星平行均数据古传太阴最近地其次为水为金为日而火而木而土而恒星古又谓诸天皆以地心为本心今测则惟日月与恒星为然五星各与地不同心即各视差及各高卑距地远近可征也五星诸行较恒星与太阳而得古今共法也乃先记其各平行而因各本行圏皆与地为不同心圏并亦定其本行而更以古今图様解之且增以新测五星左右异像焉第二卷至六卷毎卷测定五纬一星之最高及本天与地中两心之差并各星表厯元以得各自行及岁行加减等度分但金水二星之行相似与火木土异葢火木土或㑹或冲太阳以其实行为岁行之界而金水即以太阳平行为本天之平行其本天不出太阳之本轮因加小均轮以齐其顺逆行天一周有二伏二见之时非彼三星每岁一㑹一冲太阳可比也又火星或以其行甚曲或以其行之迟疾不等有时四五旬日行过一宫有时二百余日不及一宫行似无法兹穷究其理以著于图定其经纬高卑之行使测与推诸用法皆明也第七卷论五星纬行推其与恒星或互相照或同出入以定其凌犯近远见伏诸类葢舎纬行南北多寡而止论经行即凌犯诸类无从得其全也故引古今累测游星之纬记其各本道与黄道之交角并绘图用三角形所推两道濶狭以显其实相距之比例又定五星各本天交行而较火木土于金水详其纬从何而生从何而有异同也第八卷著诸曜凌犯相照伏见之原解七政迟疾二行五星留逆顺合冲各情并著表绘图求入宫入宿等法并论农家占岁医家疗疾人预知天时之雨旸皆由日月五星所命又定月大月小节气闰月诸法第九卷依古今法测五星各距地之远近以推其降施之力测各视径及实径之大小定其凌犯及诸照之密合查五星光色以考其照物之性情葢星皆借日光之分而所发光色各异有如镜者有如水者有如金者殆由各染本体之色而然又据新法新测以考中厯之古测乃知古测晨夕二留日时折半以求合伏之时非法也又其所用表晷简平等仪皆与星行之道绝不相似而用以测五星则非其器也大约测五星须用黄赤全仪弧矢仪经纬象限等与其行相类者而又常较之于恒星乃可得其凖也以上畧引书目皆归厯原以全修厯之学阙一不可古之论厯者或务改厯元如气应等或务正定岁差不则求之合朔求之五星求之宿度而已总皆挂一漏万其法立穷必如新法乃为无歉且此外更著学厯要书如割圆法八线表视学㡬何要法测量全义浑天仪用法比例规筹算开方等法以为旁通之学而厯学于是乎大备后有学者宜究心焉新法算书卷九十八
## 卷九十九
钦定四库全书
新法算书卷九十九 明 徐光启等 撰新法表异卷上总说帝王图治求端于天厯事由是兴焉炎帝八节俶农功也轩辕甲子系日成也帝喾序星征天象也尧置闰月四时乃定舜造玑衡七政以齐夏后周人其教渐详月令记于戴礼协纪载于箕畴自是以迨春秋率岁登台测验日至然而闰多失置晦朔国殊疎舛为甚六厯出于周秦之际后人疑其伪作而今不可考矣汉初张苍承秦用颛顼厯洛下闳太初刘歆三统始立积年日法以为推歩之准后世因之而行之愈不能久者不知顺天求合之道也其后李梵造四分厯七十余年而仪式方备又百三十年刘洪造干象厯始减岁余创制月行迟疾隂阳黄赤交错以合天度为推歩师表又百八十年后秦姜岌造三纪厯始以月食冲检知太阳躔度所在又五十七年宋何承天造元嘉厯始悟测景以定冬至又六十五年祖冲之造大明厯始悟太阳有岁差及极星去不动处有一度余又五十二年北齐张子信始悟日月交道有表里五星有迟留伏逆又三十三年刘焯造皇极厯始知日行有盈缩又三十五年唐传仁均造戊寅元厯颇采旧仪高宗时李淳风造麟德厯以古厯章蔀元首分度不齐始为总法用进朔以避晦日晨月见又六十三年开元时僧一行造大衍厯始以月朔建为四大三小诸法较宻又九十四年穆宗时徐昻造宣明厯始悟日食有气刻时三差又二百三十六年徽宗时姚舜辅造纪元厯始悟食甚泛余差数又一百七十余年元郭守敬造授时厯兼综前术时创新意然亦仅能度越前代诸家而求其宻合天行垂之永久而无敝终未能也明初作大统厯袭授时之成法二百余年不知变通讹舛特甚万厯间曾议改修至崇祯己巳乃召望等前来著书演器厯成亟欲颁行恭遇圣朝建鼎遂用新法造时宪宝厯颁行天下岂非一代之兴必有一代之厯预修二十年以备兴朝万年之法传哉于戯盛矣古来治厯者称七十余家考之前史仅四十有余人而已畧引各朝各厯继以本朝新厯之凡槪以质诸世之知厯者精粗疎宻展卷即得夫孰得而掩乎汉武帝太初元年丁丑洛下闳邓平造太初厯成帝绥和二年甲寅刘歆造三统厯积年一十四万四千五百一十一日法八十一二厯同法歆即衍闳平之法而为三统非有异也厯家立积年日法以准推歩葢始诸此其法以律起厯说多傅㑹初称脗合积渐后天至元和初失天益远晦朔弦望差天一日宿差五度后汉章帝元和二年乙酉李梵编䜣造四分厯积年一万五百六十一日法四是时旧厯舛甚乃诏梵等另造新厯乃以二十五刻为岁实小余以四分度之一为斗分天数与日数齐而日无盈缩月无迟疾止用一平朔歩厯疎谬可知至永光十五年七月甲辰造黄道铜仪献帝建安十一年丙戌刘洪造乾象厯积年八千四百五十二日法一千四百五十七汉厯三统四分皆四分之一余分太强刘洪始觉冬至后天乃减岁余更以五百八十九为纪法百四十五为斗分考冬至日日在斗二十二度精思二十余年始悟月行迟速之理创列差率以囿进退损益之数又知月行隂阳交错于黄道表里日行黄道于赤道宿度复进有退作乾象厯魏明帝景初元年丁巳杨伟造景初厯积年五千零八十九日法四千五百五十九先是黄初中韩翊因乾象厯减斗分太过后必先天乃少益斗分作黄初厯至是杨伟忿翊之非复作此厯行之乾象黄初二厯参校多年更相是非无时而决至于景初大槩不出乾象范围而其推五星尤为疎濶晋武帝太元九年甲申姜岌造三纪厯岌病古今诸厯斗分皆疎以致日月交㑹无验复作三纪厯其言曰治厯之道必审日月之行然后可以上考天时下察地化一失其本则四时变移矣于是考古今斗分疎密不同法数各异殷厯斗分粗故不施于今乾象斗分细故不通于古景初斗分虽在粗细之中而日之所在乃差四度日月亏已皆不及其次假使日在东井而食以月验之乃在参六度差违乃尔安可以考天时治人事乎乃作三纪厯岁实小余二四六八三八朔实余五三○五九五转终余五五四五一○交终余三二一六一三凡八万三千八百四十一算较前为详而交终之多则与景初同于五星亦未见考正其独创者则以月蚀冲检日宿度所在为厯术者宗焉惜其厯未见之施行也宋文帝元嘉二十年癸未何承天造元嘉厯积年六千五百四十一日法七百五十二承天病前厯昧于日所在之宿度又合朔交食不在朔望因比岁考校于元嘉二十年作元嘉厯行之其上表畧曰汉代杂候清台以昏明中星课日所在虽不可见月盈则食必当其冲以月推日则躔次可知焉尧典日永星火以正仲夏今季夏则火中又宵中星虚以殷仲秋今季秋则虚中迩来二千七百余年以中星检之所差二十七八度则尧冬至日在须女十度左右也汉太初歴冬至在牵牛初后汉四分魏景初法同在斗二十一臣以月蚀检之则景初今之冬至应在斗十七又以土圭测景考较二至差三日有余然则今之二至非天之二至也宜随时迁改以取其合乃以一百九十二章积三千六百四十八年为元法以七百五十二为日法又改岁实小余为二四六七一朔实余为五三○五八五转终余为五五四五二一交终余为三二一六○四于是厯成较前为宻至武帝时祖冲之觉其疎谬乃议改厯武帝大明七年癸卯祖冲之造大明厯积年五万二千七百五十七日法三千九百三十九冲之因元嘉畧于置法乖远已见作大明厯法上之其言曰何承天意存改革而置法简畧今已乖远日月所在差觉三度二至晷景几失一日五星伏见至差四旬留逆进退或移两宿分至乖失则节闰非正宿度违天则伺察无凖臣率愚瞽更剙新厯是即大明厯也四应等稍加改易而其改易之意有二内一欵因冬至宿度古今不同谓天数既差则七曜宿度渐与厯舛乖谬既著輙应改制今令冬至所在岁岁微差此言得之魏明帝正光二年辛丑龙祥李业兴造正光厯积年一十六万八千五百九日法七万四千九百五十二时龙祥等九家厯合为一厯以李业兴为主改元正光名正光厯魏书称元起壬子律始黄钟考古合今可为最宻今就其厯考之大约踵宋厯为之者东魏静帝兴和二年庚申李业兴造兴和厯积年二十万四千七百三十七日法二十万八千五百三十壬子厯气朔稍违荧惑失次四星出伏厯亦乖舛兴和元年齐献武王入邺复命李业兴改正武王上言之得诏施行 考洛京已来四十余岁五星出没岁星镇星太白业兴厯首尾恒中及有差处不过一日二日一度两度他厯之失动校十日十度荧惑一星伏见体自无常或不应度祖冲之厯多甲子厯十日六度何承天厯不及三十日二十九度今厯还与壬子同不有加增辰星一星没多见少及其见时与厯无舛今此亦依壬子元不改太白辰星唯起夕合为异业兴以天道高远测歩难精五行伏留推考不易人自仰闚未能尽宻但取其见伏大归畧其中间小谬如此厯便可行若专据所见之验不取出没之效则厯数之道其几废矣北齐文宣帝天保元年庚午宋景业造天保厯积年一十一万一千二百五十七日法二万三千六百六十文宣受禅景业奉命叶图䜟造天保厯行之后武平七年董峻郑元伟立议非之畧曰景业有心改作不㑹真理乃使日之所在差至八度节气后天闰先一月朔望亏食既未能知其表里迟疾之厯歩又不可以傍通妄设平分虚退冬至冬至虚退则日数减于周年平分妄设故加时差于异日五星见伏有违二旬迟疾逆留或乖两宿又是年六月戊申朔太阳亏刘孝孙言食于卯时张孟宾言食于申时郑元伟董峻言食于辰时宋景业言食于巳时至月食乃于卯申之间其言皆不能中大都五代诸厯家俱踵元嘉大明故法改换章蔀斗分妄自各立门戸争相妒竞以涂人耳目如是而已后周武帝天和元年丙戌甄鸾造天和厯积年八十七万六千五百七日法二万三千四百六十静帝大象元年己亥冯显造大象厯积年四万二千二百五十五日法一万二千九百九十二西魏入关尚兴李业兴正光厯后周明帝诏有司造周厯颇谬及武帝天和元年甄鸾造天和厯终于宣政元年至大象元年太史上士冯显更造大象厯此厯气多朔少所差实远而显自以为叅校精宻过矣隋高祖开皇四年甲辰张宾造开皇厯积年四百一十二万九千六百九十七日法一十万二千九百六十高祖初行禅代之事欲以符命曜于天下道士张宾揣知上意自云洞晓星厯盛言代谢之征由是大被知遇命造新厯宾乃依何承天法微加增损作开皇厯厯既行刘孝孙与冀州秀才刘焯并称其失驳有六条及以古今交食并测景辨其是非互有短长如聚讼然殊不知张宾止依元嘉旧法微加增损安得无差即孝孙等议厯亦止就旧法辨论总之于盈缩迟疾之窍未得其真虽辩万言何益仁寿四年甲子刘焯造皇极厯积年一百万九千五百一十七日法一千二百四十二开皇二十年太史令袁充表曰京房有言太平日行上道升平行次道霸代行下道葢日去极近则景短而日长去极远则景长而日短今自隋兴昼日渐长开皇元年冬至之景长一丈二尺七寸二分自尔渐短至十七年短于旧三寸七分矣上临朝谓百官曰日长之庆天之佑也今当改元乃改明年为仁寿元年因以厯事付皇太子东宫刘焯以太子新立修增其书名皇极厯与张胄元互相驳难是非不决焯罢归四年太史奏日食不効帝召焯欲行其厯胄元排之又会焯死厯竟不行炀帝大业四年戊辰张胄元造大业厯积年一百四十二万八千三百一十七日法一千一百四十四史称胄元博学多通精于术数时辈多出其下乃擢拜散骑侍即兼太史令赐物千段改定新厯至是行之大抵学祖冲之之法而小变其说葢与刘焯皆踵旧法为之无甚竒异也总之隋人歩厯不精气策未善冬至或差二三日则其景宜乎有三寸七分之差也而乃妄附太平祥称仁寿舛矣卒之厯年三十传国二世然则景长之效寿耶不耶唐高祖武德二年己卯傅仁均造戊寅厯积年一十六万五千三日法一万三千六百高祖受禅将治新厯东都道士傅仁均善推歩之学太史令庾俭丞傅奕荐之诏仁均与俭等叅议合受命岁名为戊寅元厯时称戊寅厯其大要可考验者有七唐以戊寅岁甲子日登极厯元戊寅日起甲子如汉太初一也冬至日短星昴合于尧典二也周幽王六年十月辛卯朔入食限合于诗三也鲁僖公五年壬子冬至合春秋命厯序四也月有三大二小则日食常在朔月食常在望五也命辰起子半命度起虚六符隂阳之始六也立迟疾定朔则月行晦不东见朔不西朓七也高宗因诏司厯起二年用之擢仁均员外散骑侍郎三年正月望及二月八月朔当食比不効为祖孝孙王孝通等所驳十八年李淳风上言仁均厯有三大二小云日月之食必在朔望十九年九月后四朔频大诏集诸解厯者详之不能定庚子诏用仁均平朔仁均厯法祖述胄元稍以刘孝孙旧议参之麟德间仁均厯较淳风最疎更相出入其有所中淳风亦不能逾之高宗麟德二年乙丑李淳风造麟德厯积年二十七万四百九十七日法一千三百四十高宗时戊寅厯渐差岐州雍人太史令李淳风作麟德甲子元厯以古厯有章蔀元纪日分度分参差不齐乃为总法千三百四十以一之损益中晷术以考日至为浑仪表里三重以测黄道初隋末刘焯作皇极厯未行淳风约之为法改作麟德厯行之淳风又以晦月频见故立进朔之法谓朔日小余在日法四分之三已上者虚进一日以避晦月见不知月之隐见本天道之自然朔之进退出人为之牵强孰若废人用天不复虚进为得哉𤣥宗开元十二年甲子僧一行造大衍厯积年九千六百九十六万二千二百九十七日法三千四十开元九年一行奉诏作新厯推大衍数立术以应之十二年测景于天下南至安南北至鉄勒十五年厯成而一行卒诏张说陈元景等次为厯术七篇畧例一篇厯议十篇称㫖明年说表上之起十七年颁行其大要著于篇者十二内厯本议有曰日行曰躔其差曰盈缩积盈缩曰先后古者平朔月朝见曰朒夕见曰朓今以日之所盈缩月之所迟疾损益之或进退其日以为定朔舒亟之度乃数使然躔离相错偕以损益故同谓之朓朒月行曰离迟疾曰转度母曰转法迟疾有衰其变者势也月逶迤驯屈行不中道进退迟速不率其常过中则为速不及中则为迟积迟谓之屈积速谓之伸阳执中以出令故曰先后隂含章以听命故曰屈伸日不及中则损之过则益之月不及中则益之过则损之尊卑之用暌而及中之志同观晷景之进退知轨道之升降轨与晷名舛而义合其差则水漏之所从也总名曰轨漏中晷长短谓之陟降景长则夜短景短则夜长积其陟降谓之消息游交曰交会交而周曰交终交终不及朔谓之朔差交中不及望谓之望差日道表曰阳厯其里曰隂厯五星见伏周谓之终率以分从日其差为进退即此议观之颇胜前人然亦不过从古二十三家之厯增宻而已乃欲去増修之名标独创之美强作议论仍用算数展转相合附会大衍令不知厯术之人称为作者此则欺人甚矣夫大衍之数自古有之假令一行生前汉时能舍四分三统而独创此厯乎前无刘洪姜岌祖冲之何承天之属吾知其必不能也肃宗实应元年壬寅郭献之造五纪厯积年二十七万四百九十七日法一千三百四十先是肃宗初大衍厯有误诏韩颖直司天台增益旧术行至德厯至宝应元年六月望月食不効乃诏司天台郭献之等复用麟德元纪更立岁差增损迟疾交食及五星差数以写大衍旧术上元七曜起赤道虚四度帝为制序题曰五纪厯史称献之加减大衍偶与天合遂颁用之德宗兴元元年甲子徐承嗣造正元厯积年四十万三千三百九十七日法一千九十五是时五纪厯气朔加时后天诏司天徐承嗣与夏官正杨景风等杂麟德大衍之㫖治新厯上元七曜起赤道虚四度建中四年厯成名为正元要不出五纪旧术范围也穆宗长庆二年壬寅徐昻造宣明厯积年七百七万五百九十七日法八千四百宪宗即位司天徐昻上新厯名曰观象起元和二年用之然无蔀章之数至于察歛启闭之候循用旧法测验不合至穆宗立以为累世缵绪必更厯纪乃诏日官改撰厯法名曰宣明上元七曜起赤道虚九度其气朔发歛日躔月离皆因大衍旧术晷漏交㑹则稍增损之更立新数以歩五星大约皆凖大衍厯法其分秒不同则各据本厯母法云起长庆二年自敬宗至于僖宗皆遵用之昭宗景福元年壬子边冈造崇𤣥厯积年五千三百九十四万七千六百九十七日法一万三千五百是时宣明厯数渐差诏太子少詹事边冈治新厯冈巧于用算然实㝠于本原其上元七曜起赤道虚四度其气朔发歛盈缩朓朒定朔弦望九道月度交会入食限去交前后皆大衍之旧余虽不同亦殊涂而至者景福元年厯成赐名崇𤣥按冈用算巧能立术简㨗虽仍大衍而皆变其名如策实曰岁实揲法曰朔实干实曰周天分之类明白使人易晓较之闭藏闪烁者不同是可尚也其治晷度凖阳城日晷前后消息加减得宜九服中晷各于其地立表候之在阳城之南之北者各有距差以加减阳城二至中晷九服所在各于其地置水漏以定漏率各以阳城二至晷漏母除之得加时黄道日躔交道有差其术甚善后世郭守敬倣之测验诸方惜未能尽用其术也周世宗显徳三年丙辰王朴造钦天厯积年七千二百六十九万八千七百七十七日法七千二百五代初用唐厯后诸国各有厯皆行之未久法不传惟周世宗钦天厯乃端明殿学士王朴所造其厯以隂三阳二化成之数得诸法较之八十一取之黄钟三千四十取之大衍其牵附为尤甚行五行周亡宋太祖建隆三年壬戌王处讷造应天厯积年四百八十二万五千八百七十七日法一万零二太平兴国六年辛巳吴昭素造乾元厯积年三千五十四万四千二百七十七日法二千九百四十真宗咸平四年辛丑史序造仪天厯积年七十一万六千七百七十七日法一万一百显德钦天厯行五年周亡宋初犹用之建隆二年五月以其厯推验疎濶乃诏司天少监王处讷等别造厯法四年四月新法成赐名应天至太平兴国间有上言应天厯气候渐差诏处讷等重加详定六年表上新厯会冬官正吴昭业所献新厯气朔稍均众所推服遂用之赐号乾元应天乾元皆御制序焉真宗嗣位命判官司天监史序等考验前法研核旧文取其枢要编为新厯咸平四年三月厯成赐号仪天夫天道运行皆有常度厯家之术古今不同葢变法以从天随时而推数故法有疎宻数有繁简虽条例稍殊而纲目一也仁宗天圣元年癸亥宋行古造崇天厯积年九千七百五十五万六千五百九十七日法一万五百九十宋兴百余年至干兴初诏厯官宋行古等改造新厯至天圣元年八月厯成诏翰林学士晏殊制序而施行焉命曰崇天其积年上考徃古岁减一算下騐将来岁加一算厯成以来年甲子岁用之是年五月丁亥朔日食不效诏候騐至七年会周琮言古之造厯必使千百年间星度交食若应绳凖今厯成而不验则厯法为未宻又有杨皥于渊者与琮求较验而皥术于木为得渊于金为得琮于月土为得诏增入崇天厯具改用率数云英宗治平元年甲辰周琮造明天厯积年七十一万一千九百七十七日法三万九十崇天厯行至嘉祐末英宗即位命殿中丞判司天监周琮等作新厯三年而成琮言旧厯节气加时后天半日五星之行差半次日食之候差十刻既而司天中官正舒易简等更陈家学于是诏翰林学士范镇等考定是非上推尚书辰弗集于房与春秋之日食参今厯之所候而易简等所学疎濶不可用新书为宻遂赐名明天厯诏翰林学士王珪序之未久以月食不效诏厯官重造新厯至神宗熈宁元年上之占验亦差遂复行崇天厯神宗熈宁七年甲寅卫朴造奉元厯积年八千三百一十八万五千二百七十七日法二万三千七百厯行十八年至元祐间测有差哲宗元祐七年壬申皇居卿造观天厯积年五百九十四万四千九百九十七日法一万二千三十厯行十一年崇宁间冬至有差徽宗崇宁二年癸未姚舜辅造占天厯积年二千五百五十万一千九百三十七日法二万二千八十厯行三年不效崇宁五年丙戌姚舜辅造纪元厯积年二千八百六十一万三千四百六十七日法七千二百九十厯行二十一年金太宗天会五年丁未(南宋高宗建炎元年)杨级造大明厯积年三亿八千三百七十六万八千六百五十七日法五千二百三十大定二十年庚子(南宋孝宗淳熈七年)赵知微重修大明厯积年八千八百六十三万九千七百五十七日法五千二百三十天会五年司天杨级始造大明厯十五年春正月朔始颁行之其法不知所本或曰因宋纪元厯而增损之至正隆戊寅三月辛酉朔推日当食而不食大定癸巳五月壬辰朔日食甲午十一月甲申朔日食加时皆先天丁酉九月丁酉朔食乃后天由是占候渐差至庚子乃命史官赵知微重修大明厯十一年厯成二十一年十一月望月食验知知微厯为亲遂用之南宋高宗绍兴五年乙卯陈得一造统元厯积年九千四百二十五万一千七百三十七日法六千九百三十厯行三十二年孝宗乾道三年丁亥刘孝荣造乾道厯积年九千一百六十四万五千九百三十七日法三万厯行九年淳熈三年丙申刘孝荣造淳熈厯积年五千二百四十二万二千七十七日法五千六百四十厯行十五年光宗绍熈二年辛亥刘孝荣造会元厯积年二千五百四十九万四千八百五十七日法三万八千七百厯行八年宁宗庆元五年己未杨忠辅造统天厯积年三千九百一十七日法一万二千厯行八年开禧三年丁卯鲍澣之造开禧厯积年七百八十四万八千一百五十七日法一万六千九百厯行四十四年理宗淳祐十年辛亥李德卿造淳祐厯积年一亿二千二十六万七千六百七十七日法三千五百三十厯行一年宝祐元年癸丑谭玉造会天厯积年一千一百三十五万六千一百五十七日法九千七百四十厯行十八年度宗咸淳七年辛未陈鼎造成天厯积年七千一百七十五万八千一百五十七日法七千四百二十厯行四年高宗时中原既失星翁离散纪元厯亡绍兴二年高宗重购得之乃命常州布衣陈得一改造统元厯厯成诏翰林院学士孙近为序颁行乃有司不善用之暗用纪元法推歩推得乾道三年丁亥岁十一月甲子朔裴伯寿陈统元法当进作乙丑于是依统元正之光州士人刘孝荣言是年四月戊辰朔日食一分日官言食二分既而精明不食是年孝宗命孝荣治厯乃采五代民间万分厯作三万分以为日法造乾道厯时谈天者各以技术相高互相诋毁纷纷不已至淳熈三年因推太阳不合仍命孝荣改厯四年颁行赐名淳熈淳熈末验合朔差光宗绍兴二年诏改新厯仍命孝荣为之赐名会元四年布衣王孝礼言陈得一造统元厯刘孝荣造乾道淳熈会元三厯皆未尝测景是以冬至皆后天一日今宜立表测验是时朝廷虽从未暇改作庆元四年会元厯占候多差日官草泽互有异同旧厯后天十一刻诏杨忠辅造新厯五年厯成赐名统天是年六月乙酉朔推日食不验又嘉泰二年五月甲辰朔日食统天厯先天一辰有半乃诏草泽有通厯者应聘修治开禧三年大理评事鲍澣之言统天厯气朔五星皆立虚加虚减之数气朔积分乃有泛积定积之繁其余差漏不可备言杨忠辅今见统天厯舛私成新厯容臣太史草泽诸人所著厯参攷之检讨曾渐亦言愿以诸厯下本省参攷以最近者颁用于是改定新厯厯成赐名开禧诏以戊辰年权附统天厯颁之于是附行于世四十五年嘉定十一年太史局推七月朔日食不验因命李德卿改造新厯淳祐十年厯成赐名淳祐是年淳祐新厯推壬子岁立春时刻与开禧厯所推相差六刻又推日食分亦差六刻有余十二年秘书省言李德卿厯与谭玉所进新厯各有得失请商确推算合众长而为一未几厯成赐名㑹天宝祐元年行之咸淳六年十一月三十日冬至后为闰十一月既已颁厯浙江安抚司凖备差遣臧元震言十九岁为一章至朔同日谓之章月今以十一月三十日为冬至又以冬至后为闰十一月自淳祐壬子至咸淳庚午凡十九年是为章岁以十九年七闰推之则闰月当在冬至前不当在冬至后以至朔同日论之则冬至当在十一月初一日不当在三十日因更造厯六年成七年颁行即成天厯也按宋史云宋开国以来其厯曰应天曰乾元曰仪天曰崇天曰明天曰奉天曰观天曰纪元迨靖康丙午百六十余年而八改厯南渡之后曰统元曰乾道曰淳熈曰㑹元曰统天曰开禧曰㑹天曰成天至德祐丙子又百五十年复八改厯使其初立法脗合天道则千岁日至可坐而致奚必数数更法以求幸合𤣥象哉虽然天歩惟艰古今通患天运日行左右既分不能无忒谓七十九年差一度虽视古差宻亦仅得其槩耳又况黄赤道度有斜正濶狭之殊日月运行有盈缩朏朒表里之异测北极者率以千里差三度有竒晷景称是古今测验止于岳台而岳台岂必天地之中余杭则东南相距二千余里华夏幅员东西万里发歛晷刻岂能尽谐又造厯者追求厯元逾越旷古抑不知二帝授时齐政之治毕殚于是否乎今其遗法具在方册惟奉天㑹天二法不存大抵数异术同因仍增损以追合乾象俱无以大相过也元国初承用金大明厯庚辰岁太宗西征五月望月食不効二月五月朔㣲月见于西南中书令耶律楚材以大明厯后天乃为更改又创里差以增损之名为西征庚午元厯表上之不果颁用至元四年西域扎马鲁丁撰进万年厯世祖稍颁行之十三年平宋遂诏前中书左丞许衡太子赞善王恂都水少监郭守敬改治新厯乃创简仪仰仪高表诸器测候日月星辰消息运行之变兼考前代厯法叅别同异酌取中数以为厯本当时测景之所二十有七东极朝鲜西至滇池南逾朱崖北尽铁勒十七年冬至厯成诏赐名曰授时厯十八年颁行按授时厯不用积年日法革去人为附㑹之失而惟顺天以求合又以日月实合时刻定朔而不用虚进法诚为卓见超越前代矣约畧计之其所考正者凡七事一曰冬至自至元十四年丁丑至十七年庚辰各冬至详测日晷酌取至日前后同者为凖二曰岁余自宋大明壬寅年距今八百一十年每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分即用二十五分为授时厯岁余合用之数较大明厯减去一十一秒并定上推百年增一下推百年减一之议三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道九度有竒较大明厯差七十六分六十四秒四曰月离自丁丑后每日测知逐时太隂行度推算变从黄道求入转极迟疾幷平行得大明厯入转后天又因考验交食加大明厯三十刻五曰入交自丁丑五月后凭每日测得太隂去极度比拟黄道去极度得月道交于黄道仍依日食法度推求皆有食分得入交时刻六曰二十八宿距度自汉太初以来距度不同互有损益大明厯则于度分附以太半少皆私意牵就未尝实测其数授时新仪皆细刻周天度分每度为三十六分以距线代管窥宿度余分并依实测不以私意牵就七曰日出入昼夜刻大明厯止据汴京为凖刻数与大都不同授时一以大都为正所创法者五事一曰太阳盈缩用四正定气立升降限求得每日行分初末极差积度二曰月行迟疾古厯用二十八限授时以万分日之八百二十分为一限析为三百三十六限求其迟疾度数逐时不同三曰黄赤道差依新算求得度率积差差率四曰黄赤内外度据累年实测内外极度度分求每日去极若干五曰白道交周旧法黄道变推白道以斜求斜授时用立浑比量得月与赤道正交春秋二正度分拟以为法推逐月每交二十八宿度分已上考正创法共十有二事守敬擅称此术槪在于是顾欲据是遂谓上通徃古下验将来无不宻合可垂永久而无敝岂其然乎何者求理未精立法未全也夫天有不同心圏地有纬度太阳高卑限不在二至月与五星有小轮有纬行七政各有视差有清蒙气差诸如此类缕举之不下数十种凡皆守敬所未闻也而厯家舍此数十种必无密合天行之理无惑乎授时厯成至大德三年八月推日当食而不食六年六月又食而失推守敬亦付之无可柰何也且当日加工仅于日月而畧于五星五星则犹沿用大明厯然则其厯术之浅深可知矣明洪武初年首命太史监正元统厘正厯典统上言一代之兴必有一代之厯随时修改以合天度遂以洪武十七年甲子岁为厯元作厯法四卷改名大统而其法皆袭授时独弃去百年消长之法李德芳争之不从于是相沿二百余年不知变通交食既讹节候亦爽五星伏见益复谬迷改修之议始于万厯决于崇祯岁次己巳望等应召前来著书演器阅六年厯成叅前验后无不宻合天行时有布衣魏文魁以晓厯著闻曾随观察邢公云路著有律厯考一书乃率门徒上疏要求设局以角胜负卒以测验屡疎散遣囘籍新法算书卷九十九
## 卷一百
钦定四库全书
新法算书卷一百 明 徐光启等 撰新法表异卷下国朝前明自改厯已来新法著闻于世久矣猥以国家多事颁行有待乃岁次甲申恭遇圣朝建鼎本年八月一验日食时刻分秒方位无差奉有新法尽善尽美之旨遂用新法造时宪书颁行天下天时人事巧相㑹合岂偶然哉算书共计百卷覃思竭精黙符乾造理明数著度越前朝谨撮举其凡概如左天地经纬天有经纬地亦有之葢大地随人所止依天顶以分四方东西为经南北为纬厯家不明各方经纬之度则无以知幅〔？〕相距之数即所推太阳节气与五星经度凌犯及交食时刻日食分数行之一方不能通之各方矣至于日出日入昼夜长短并凖地纬定之方适于用须知天地经纬相应古云地方言其德耳地形实圆月食时暗虚之圆是其景也周偏生物戴履不殊各以覩日为昼两极下极寒以半载为昼夜赤道下极暑以二分为夏二至为冬北行累日北星渐出南星渐没由是推之形圆明矣大约二百五十里当天之一度经纬皆然诸曜异天诸曜各天高卑相距远甚此创论也然有实验姑举二端一验以测法试立表于此于一线上窥二星其距表正等而其射景则长短不等岂非高者长而卑者短乎一騐以视差设月与星在天实行同度人从地靣视之皆有差分然月差一度有余星差有少至数分者此何以故差少者高差多者卑也旧厯测验不精认作同天为误匪小圜心不同太阳本圜与地不同心二心相距古今不等即加减亦异即今二百年后其数小变乃能测审差数以为万年通变之法旧法不知也蒙气有差欲测七政经纬度分先须定本地之蒙气差葢地中时有游气上腾其质轻微虽不能隐蔽天象却能映小为大升卑为高故日月出入人从地平上望之比于中天则大星座出入人从地平上望之比于中天则广此映小为大也定望日时地在日月之间人在地平无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西或高山之上见日月出入以较厯家算定时刻每先升后坠此升卑为高也且蒙气又有厚薄有高下近水与浮虚之地气盛则厚而高坚燥之地气减则薄而下厚且高则映象愈大升像愈高薄且下则映像不甚大升像亦不甚高大约地势不等气势亦不等故受蒙者其势亦不等欲定日躔月离五星列宿等之纬度若非先定本地之蒙气差终难密合也测算异古天气浑圆其靣与诸道相割所生三弧形不一而足乃古法测天惟以句股为本用平立定三差总是平形岂能测圆又句与股交为直角一遇斜角其法立穷新法测以天弧三角形算以割圆八线表是为以圆齐圆遇直遇斜无徃不合且其用甚大其法甚简弧矢诸线乘除一次即得非若句股必须展转商求累时方成一率也测算皆依黄道日行由黄道中线月与五星亦皆出入黄道内外不行赤道厯家测天若但用赤道仪所得经度宿次尚非本曜在天之宫次新法就其所得又通以黄赤通率表乃与天行宻合且月星之距赤极古今不同而其距黄极则皆终古如一以此新法日月五星皆依黄道起算即恒星亦从黄极以定岁差改定诸应七政本行各分平实二行乃平行起算之根是即某曜某日时刻躔某宫之数其名为应新法改定诸应悉从天聪二年戊辰前冬至后己卯日第一子正为始节气求真旧法平节气非天上真节气也葢太阳之行有盈有缩而盈缩又各不等旧法平分气策一十五万二一八四三七五以为岁周二十四分之一是以平数定节气不免违天矣于是节气之差或以时计或以日计至若春分则后天二日秋分则先天二日为误匪小新法悉皆改定盈缩真限岁实生于日躔由日轮之毂渐近地心其数浸消徃厯强欲齐之今古不相通矣授时创立消长上考徃古百年加一下验将来百年减一此说为近然而据算测天则又未合者须知日有最高最卑二㸃盈缩迟疾从此而生乃旧法以高卑二㸃泥在二至遂以二至为盈缩之定限非也新法精详测候见春分至立夏行四十五度有竒立秋至秋分亦行四十五度有竒其行度等而中间所厯时日不等又时日多寡世世不等即秋分至立冬立春至春分亦然因知日行最高卑度上古在二至前今世在二至后六度有竒则二至后六日乃真盈缩之限而沿守授时者犹从二至起算如此岁实安得齐也今用授时消分为平岁更以最高卑差加减之为定岁因计最高最卑之各一㸃每年自行四十五秒表测二分旧以圭表测冬至非法之善也葢表景长短之差上应太阳南北之行显则俱显微则俱微二至前后三日内太阳一日南北行为天度六十分之一设表长一丈冬至两日之景约差一分三十秒凖此细求之应差一秒为六刻七分然而圭上一秒之差人目不能无误且景符之光线较濶不止数秒一秒得六刻有竒如差三秒即为二十刻矣又安所得凖也新法独用春秋二分葢是时太阳一日南北行二十四分景差一寸二分纵令测差一二秒算不满刻所差无几较二至为最宻太阳出入及晨昏限诸方北极出地度数不同太阳出入时刻因以各别大统厯自永乐后造自燕都乃犹从江南起算且又执一方以槩天下则都城与诸方昼夜长短并与天违甚至日月东西带食所测不合所算矣新法虽从京都起算而诸方各有加减然后各得真正时刻即论晨昏旧以二刻半为限新以十八度为限然而太阳行此十八度各宫又各不同因是有五刻七刻之别若北极出地七十二度以上之处则夏月晨昏相切虽至中夜亦未甚有黯黑也昼夜不等昼夜之分厯家皆从子午起算一岁行度日日不等其差较一刻有竒新法独明其故有二一缘黄道夏迟冬疾差四分余一缘黄赤二道广狭不同距则率度必不同分也改定时刻昼夜定为九十六刻葢一昼一夜平分十有二时时各八刻积十二时为九十六刻其于推算甚便旧增四刻凑成百数求整齐耳乃其分派百刻则谓每时八刻又三分之一则是每时有一竒零益为繁琐矣且旧法亦自知百刻之不适于用也其于推交食求时差分仍用九十六刻为法定之则旧增四刻为赘矣置闰不同余气归终积而为闰凡闰之月太阳之躔某宫先后㑹月者二是本月之内太阳不及交宫因无中气遂置为闰月乃旧法置闰用平节气非也新法用太阳所躔天度之定节气与旧不同太隂加减月与五星本轮之外皆有次轮所以行度益繁就月言之同心轮负本轮之心而右本轮又负次轮之心而左俱一周而复月复循次轮而右半周而复次轮半径半于本轮半径并之得五度弱为二弦唯朔望月在本轮内规不须次轮加减止一加减已足余日则于一加减外另有二三均数多寡不等月行高卑迟疾旧厯言太隂最高得疾最卑得迟且以圭表测而得之非也太隂迟疾是入转内事表测高下是入交内事若云交即是转缘何交终转终两率互异明是二法岂容混推以交道之高下为转率之迟疾也交转既是二行而月行转周之上又复左旋所以最高向西行则极迟最卑向东行乃极疾正与旧法相反五星高下迟疾亦皆凖此朔后西见合朔以后月夕西见或迟或疾甚有差至三日者新法独明其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见迟叚则迟见一因黄道升降有斜有正正必疾见斜必迟见一因白道在纬南纬北凡在隂厯疾见阳厯迟见也此外又有北极出地不同之故并朦胧分与气差诸异所以迟疾恒不能齐也交行加减正交中交行度古定一日逆行三分终古皆为平行今细测之有时月在交上以平求之必不相合因设一加减为交行均数月纬距度太隂纬度旧法以交食分数及交泛等测定黄白二道相距五度因以为率不知朔望外距交尚有损益其至大之距计五度又三分之一也又遇一月两食则二弦又须另用仪测方能审知距度几何彼拘泥五度岂能合天交食有无交食有无惟于入交限定之入交适当交㸃必食即前后距㸃不远亦食不则不食葢距交近则其度狭狭则小于两半径故食距交远则其度广广则月与景过而不相渉矣何食之有然此论交前后也又当论交左右视太隂与黄道之纬度相距几何度分月食则以距度较月与景两半径并日食则以距度较日月两半径并而距度为小则食若大则过而不相渉等则过而仅相切皆不得食也但距度在月为实距度而在日为视距度此则不同耳日月食限不同食限者日月行两道各推其经度距交若干为有食之始也然而日与月不同月食则太隂与地景相过两周相切以其两视半径较白道距黄道度又以距度推交周度定食限若日食则虽太阳与太隂相遇两周相切而其两视半径未可遂以之定两道之距度为有视差故必加入视差而后得距度因知特论半径则日食之二径狭月食之二径广论日食之限乃反大于月食之限以视差也日月食分异同食分多寡惟于距度定之距度在月食为太隂心实距地景之心两心愈近食分愈多愈远则食分愈少矣在日食为日月两心之距距近食多距远食少与月食同但日食不据实距而据视距葢定朔为实交㑹天下所同而人见食分多寡则东西南北各异所以然者皆视度所为也实㑹中㑹以地心为主实㑹者以地心所出直线上至黄道者为主而日月五星两居此线之上则实会也即南北相距非同一㸃而总在此线正对之过黄极圏亦为实㑹葢过黄极圏者过黄道之两极而交㑹于黄道分黄道为四直角者也则从旁视之虽地心各出一线南北异纬而从黄极视之即见地心所出二线东西同经是南北正对如一线也是故谓之实㑹若月与五星各居其本轮之周地心所出线上至黄道而两本轮之心俱当此线之上则为月与五星之中㑹日无本轮本行圏与地为不同心两心所出则有两线此两线者若为平行线而月本轮之心正居地心线上则是日与月之中㑹也葢实㑹既以地心线射太隂之体为主则此地心线过小轮之心谓之中㑹矣若以不同心圏之平行线论之因日月各有本圏即本圏心皆与地心(即黄道心)有相距之度分即日月循各本圏之周右行所过黄道经度必时时有差(与地不同心故也)其从地心出直线过日月之体上至黄道此所指者为日月之实行度分也设从地心更出一平行直线与本圏心所出直线偕平行而上至黄道此所指者为日月之平行度分也葢太阳心线与地心一线平行太隂心线亦与地心一线平行但时多不相遇至相遇时两地心线合为一线则是日月之中相㑹若太阳实行之直线与太隂实行之直线合为一线则是日月之实相㑹合㑹望㑹皆有中有实其理不异视㑹以地面为主前言实㑹中㑹食限等皆日月食之公法也皆是凖于地心然有视㑹新法所创也夫月食生于地景景生于日故天上之实食即人所见之视食无二食也日食不然有天上之实食有人所见之视食其食分之有无多寡两各不同推歩日食难于太隂者以此其推算视食则依人目与地面为凖葢人目居地面之上与地心相距之差为大地之半径则所见之食与实食分两直线各至宗动天各有所指度分是生视差而人目所见之食非实㑹也特为视㑹黄道九十度为东西差之中限地半径三差恒垂向下但高卑差线以天顶为宗下至地平为直角南北差者变太隂距黄道之度以黄道极为宗下至黄道为直角东西差则黄道上弧也故论天顶则高卑差为正下南北差为斜下而东西差独中限之一线为正下一线以外或左或右皆斜下论黄道则南北差恒为股东西差恒为句高卑差恒为弦至中限则股弦为一线无句矣所谓中限者黄道出地平东西各九十度之限也旧法以子午圏为中限新厯以黄道出地之最高度为中限(东西各九十度)(即是最高)两法皆于中前减时差使视食先于实食皆于中后加时差使视食后于实食第所主中限不同则有宜多而少宜少而多或宜加反减宜减反加凡加时不得合天多缘于此三视差视㑹即实㑹者惟当天顶之一㸃为然过此则以地半径以日月距地之逺测太阳及太隂实有三种视差其法以地半径为一边以太阳太隂各距地之远为一边以二曜高度为一边成三角形用以得高卑差一也又偏南而变纬度得南北差二也以黄道九十度限偏左偏右而变经度得东西差三也因东西视差故太阳与太隂㑹有先后迟疾之变二曜之㑹在黄平象限度东即未得实㑹而先得视㑹若在黄平象限西则先得实㑹而后得视㑹所谓中前宜减中后宜加也因南北视差故太隂距度有广狭食分有大小之变如人在夏至之北测太隂得南北视差即以加于太隂实距南度或以减于实距北度又东西南北两视差皆以黄平象限为主日距九十度限渐近东西差渐小南北差渐大近之极则无东西差而南北差与高卑差合为一矣距九十度限渐远南北差渐小东西差渐大远之极则无南北差而东西差与高卑差又合为一矣葢三差恒为句股形高卑其弦南北其股东西其句至极南则弦与股合至极东极西则弦与句合也外三差交食有东西南北高卑三差皆生于地径然更有外三差不生于地径而生于气气有轻重有厚薄各因时因地而三光之视度为之变易一曰清蒙高差是近于地平为地平所生清蒙之气变易高下也二曰清蒙径差亦因地上蒙气而人目所见日径之大小变易也三曰本气径差本气者四行之一即素问所谓大气地面以上月天以下充塞太空者是也此比清蒙气更为精微无有形质而亦能变易太阳之光照使目所见之视度随地随时小大不一也此外三差之义振古未闻近始得之然论交食至此于理为尽矣亏复不一日食初亏复圆时刻多寡不一此非二时拆半之说也其故葢在视差夫视差能变实行为视行则用视差以较食甚前后不免参差又安能令视行前后同一乎新法直以视行推变时刻则初亏复圆时刻不一之故了然矣交食异算诸方各依地经推算交食时刻及日食分夫诸方所见日月出没及在天中各有前后不同即所得交食时刻互异日月二食皆同一理但日食又因视差随地不一即太隂视距不一而所见食分亦因以判焉日食变差日食古来有推食不食者或算入限不真或夜食而误为晨夕此皆不足置论独有据法应食而实不见食无可柰何遂云日度失行诬天甚矣朝臣有称贺者㒺上甚矣据新法变差而论必系此日此地之南北差变为东西差故论天行则地心与日月两心相叅直实不失食而从人目所见则日月相距近变为远实不得食然惟此地为然若在他方未必不渐见食并全见食也此亦千百年偶遇一二次非常有者也推前验后交食之法上推徃古下验将来百千万年当如指掌若悉用古法推歩穷年累月不可得竟矣今用新法诸表远溯唐虞下沿万〔？〕开卷了然不费功力如春秋以来有比月书食者有不书日不书朔者依法考求断其是非定其日朔至易也又至当也至欲累求向后若干年应得若干食是皆不用全表但检交周度表便可得之五星凖日推算五星皆以太阳为凖其近太阳而伏则疾行其对太阳而冲则退行且太阳之行又迟疾不一则推五星宜于各本行外并太阳迟疾之行俱入算内始为得之乃旧法于合伏日数时多时寡徒以本星叚目定之故不免有差一二度者计日则或十日或半月矣新法改正伏见宻合五星伏见各以距太阳之度分为限顾旧法惟用黄道距度如谓太阳在降娄初度岁星在十五度即定为见限非也须知五星有纬南纬北之分黄道又有正斜升降之势各宫不同所以加减各异此理未明故有差至一二旬或一月甚且推见而实伏推伏而实见者新法改正五星纬度太隂本道斜交黄道因生距度与隂阳二厯即五星亦然五星相距纬度多寡不一而其斜交黄道莫不与月同理故其两交亦曰正交中交其在南在北两半周亦曰隂阳二厯从是各定加减方可合天又土木火三星冲太阳纬大合伏太阳纬小金水顺伏纬小逆伏纬大新法一一详求旧未能也金水伏见金星或合太阳而不伏水星离太阳而不见所以然者金纬甚大凡逆行纬在北七度余而合太阳于寿星大火二宫则虽与日合其光不伏一日晨夕两见者皆坐此故水纬仅四度余设令纬向是南合太阳于寿星嗣后虽离四度夕犹不见也合太阳于降娄嗣后虽离四度晨犹不见也此二则用浑仪一测便见非旧法所能知也五星测法测五星须用恒星为凖测时用黄道仪或弧矢等仪将所测纬星视距二恒星若干度分依法布算乃得本星真经纬度分又或绘圏亦可免算恒星东移恒星以黄极为极故各宿距星行度时近赤极亦或时远赤极葢行渐近极即赤极所出过距星线渐宻而其本宿赤道弧较小行渐远极即过距星线渐疎其本宿赤道弧则较大此由二道各极不同非距星有异行或易位也即如觜宿距星汉测距参二度唐测一度宋测一度迄半度元测五分今测之不啻无分且侵入参宿二十四分此其明验也然其故至今日始明又宋时所定十二宫次各在某宿度今皆不然正因恒星有本行宿度已东移十余度矣旧法未谙故所算日月五星过宫俱多舛错新法改正绘星大备旧法绘星仅依河南见界即中国所见之星亦未全备新法周天皆有不但全备中国见界而已又新法所定二十八宿先后大小俱合天象其分恒星大小有六等之别前此未闻又依各星光测各星性为天文占验大用亦新法所创有也天汉破疑天汉斜络天体与天异色昔称云汉疑为白气者非也新法测以远镜始知是无算小星攒聚成形即积尸气等亦然足破从前谬解四余删改罗㬋即白道之正交乃太隂自南溯北交于黄道之一㸃㸃有本行而罗㬋正对之㸃即为计都即为中交矣月孛乃月所行极高之㸃至此其行极迟孛者悖也谓其交转两行若相悖云尔乃从前日者之流指罗计月孛为星谓其所躔宿度各有吉凶惑世诬民莫此为甚至于紫气一余细考诸曜实无此种行度欲测候无象可眀欲推算无数可定欲论述又无理可据明系前人妄増后人傅㑹今俱改删测器大备欲齐七政首重玑衡所借以验合改差者器也古厯尚有数种近代灵台所存惟有圭表景符简仪浑象等器颇不足用新法増置者曰象限仪百游仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑葢简平仪黄赤全仪日星等晷诸器或用推诸曜或用审经纬或用测极或用求时尽皆精妙而其最巧最竒则所制远镜更为窥天要具用之能详日食分秒能观太白有上下弦能见岁星旁四小星塡星为撱形旁附有两小星昴宿有三十余鬼宿中之积尸气以至体微光渺之星用此所见奚啻多数十倍又且界限分明光芒璀璨然此亦西洋近时新増之器百年前未有也欲求倍胜之法必资倍胜之器测器虽不一种然而有浑有平有全有隅其平而隅者较之浑而全者径广三倍分细十倍黄赤分器莫不精审旧法未能也日晷备用单论求时则晷为最凖葢古法时牌不分方土为用最拙新法之创斯晷必预定各方北极出地之度以故随处可用且无拘垣壁正侧咸可制造或用罗针或不用罗针且又能于一面视太阳所躔节气宫次度分及定日之高度定黄道各时之出没其称最者则地平晷立晷百游晷通光晷等数种他若柱晷瓦晷碗晷十字晷等或正或欹之类不啻数十种而此外更有星晷及测月之器以为夜中测时之需云新法算书卷一百◆ 《测量法义-明-徐光启》（KR3f0014）
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钦定四库全书 子部六
测量法义 天文算法类一(推步之属)测量异同 天文算法类一(推步之属)勾股义 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨案测量法义一卷测量异同一卷勾股义一卷明徐光启撰首卷演利玛窦所译以明勾股测量之义首造器器即周髀所谓矩也次论景景有倒正即周髀所谓仰矩覆矩卧矩也次设问十五题以明测望髙深广逺之法即周髀所谓知髙知逺知深也次卷取古法九章勾股测量与新法相较证其异同所以明古之测量法虽具而义则隠也然测量仅勾股之一端故于三卷则专言勾股之义焉序引周髀者所以明立法之所自来而西术之本于此者亦隠然可见其言李冶广勾股法为测圆海镜已不知作书之意又谓欲说其义而未遑则是未解立天元一法而谬为是饰说也古立天元一法即西洋借根方法是时西人之来亦有年矣而于冶之书犹不得其解可以断借方法必出于其后也三卷之次第大畧如此而其意则皆以明几何原本之用葢古法鲜有言其义者即有之皆随题讲解欧逻巴之学其先有欧几里得者按三角方圆推明各类之理作书十三卷名曰几何原本(按后利玛窦之师丁氏续为二卷共十五卷)自是之后凡学算者必先熟习其书如释某法之义遇有与几何原本相同者第注曰见几何原本某卷某节不复更举其言惟几何原本所不能及者始解之此西学之条约也光启既与利玛窦译得几何原本前六卷并欲用是书者依其条约故作此以设例焉其测量法义序云法而系之义也自岁丁未始也曷待乎于时几何原本之六卷始卒业矣至是而传其义也可以知著书之意矣乾隆四十六年十二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀题测量法义西泰子之译测量诸法也十年矣法而系之义也自岁丁未始也曷待乎于时几何原本之六卷始卒业矣至是而后能传其义也是法也与周髀九章之句股测望异乎不异也不异何贵焉亦贵其义也刘徽沈存中之流皆尝言测望矣能说一表不能说重表也言大小句股能相求者以小股大句小句大股两容积等不言何以必等能相求也犹之乎丁未以前之西泰子也曷故乎无以为之藉也无以为之藉岂惟诸君子不能言之即𨽻首商髙亦不得而言之也周髀不言藉乎非藉也藉之中又有藉焉不尽说几何原本不止也原本之能为用如是乎未尽也是鼷之于河而蠡之于海也曷取是焉先之数易见也小数易解也广其术而以之治水治田之为利巨为务急也故先之嗣而有述者焉作者焉用之乎百千万端夫犹是饮于河而勺于海也未尽也是原本之为义也钦定四库全书测量法义明 徐光启 撰最目先造器次论景本题十五首附三数算法造器测量者以测望知山岳楼台之髙并谷之深土田道里之逺近也其法先造一测望之器名曰矩度造矩度法用坚木版或铜版作甲乙丙丁直角方形以甲角为矩极作甲丙对角线次依乙丙丙丁两边各作相近两平行线次以乙丙丙丁两边各任若干平分之从甲向各分各作虚直线而两边之各外两平行线间则作实线如上图即外两线间为宗矩极之十二平分度也其各内两平行线间则于三六九度亦作实线以便别识若以十二度更细分之或每度分三分五分六分十二视矩大小作分分愈细即法愈详密矣次于甲乙边上作两耳相等耳各有通光窍通光者或取日光相射或取目光透照也或植两小表代耳亦可其耳窍表末须与甲乙平行末从甲㸃置一线线末垂一权其线稍长于甲丙对角线用时任其垂下审定度分(既设表度十二下方悉依此论 若有成器欲验已如式否亦同上法 其用法如下方诸题)论景法中俱用直景倒景布算故先正解二景之义次解其转合于矩度以资后论直景者直立之表及山岳楼台树木诸景之在平地者也若于向日墙上横立一表表景在墙则为倒景如上图作甲乙丙丁直角方形于乙丙丁丙各从丙任引长之令丁丙为地平面或为地平平行面其乙丙亦向日作面与地平面为直角即甲丁为丁丙平面上直立之表而甲乙为乙丙平面上横立之表也次以甲为心丙为界作戊巳丙圜次引甲乙甲丁线各至圜界夫地球比日天既止一㸃(说见天地仪解)即甲㸃为地心丁丙面在地心之下而戊巳丙圜为随地平上日轮之天顶圜矣即戊乙亦可当地平线而巳丁线为正过顶圜矣则丁丙面离地平线者甲丁表之度而乙丙面离过顶圜线者甲乙表之度也故日轮在庚其光必过地心甲截丁丙面于辛而遇乙丙之引长面于壬则甲丁表在丁丙面上之丁辛景为直景而甲乙表在乙丙面上之乙壬景为倒景若日轮在癸则丁丑为直景而乙子为倒景若日轮在寅则丁丙为直景而乙丙为倒景是甲乙丙丁直角方形之内随日所至其直景恒在丁丙边倒景恒在乙丙边也凡测量十二景得一即可推算但须备晓二景之理何者有直景过丁丙边之外有倒景过乙丙邉之外如上图者则直景过丁丙邉如丁丑当用倒景代之倒景过乙丙边如乙壬当用直景代之也若日光至丙即直倒景等可任意用之因两景各与本表等故欲知目前日景所至在丙耶在丁丙乙丙之内耶又有一法如日轮离地平四十五度即景当在丙日在四十五度以上即景在丁丙之内日在四十五度以下即景在乙丙之内论曰戊甲巳巳甲乙乙甲丁丁甲戊既四皆直角即等而对直角之各圜界亦等(三卷廿六)是每分为四分圜之一也而戊巳亦四分圜之一也又甲丙对角线分乙甲丁角为两平分(一卷三十四注)即丁甲丙丙甲乙两角等戊甲寅寅甲巳两交角亦等(一卷十五)而戊寅寅巳两圜界亦等夫戊巳圜界既九十度即戊寅必四十五度则日在寅景必在丙日在寅之下倒景必在乙丙之内日在寅之上直景必在丁丙之内(凡云某卷某题者皆引几何原本为证下同)今从上论解二景之转合于矩度者如日轮髙四十五度而其光过甲乙即矩度上权线在丙日在四十五度以上即权线在乙丙邉之内日在四十五度以下即权线在丁丙邉之内故矩度上之乙丙邉为直景而丁丙为倒景论曰前圜之甲戊巳分圜形既四分之一试两平分之于庚即日在庚为四十五度在辛为四十五度以上在壬为四十五度以下设于辛庚壬各出日光下射为辛甲乙庚甲乙壬甲乙三景线同过甲心而以矩度承之其甲为地心而甲乙邉与日景相直次以巳甲线引长之至地心下为丙而甲丙为矩度之权线夫戊庚庚巳圜界既等即戊甲庚庚甲巳两角亦等(三卷廿七)戊甲巳既直角即戊甲庚庚甲巳皆半直角(一卷十五)而矩度上之乙甲丙角在庚甲乙景线及甲丙权线内者亦半直角凡直角方形之对角线必分两直角为两平分即甲丙为依庚甲乙景线之甲乙丙丁直角方形之对角线(一卷三十四注)则日在庚为四十五度权线必在丙又巳甲辛角小于巳甲庚半直角即辛甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角亦小于半直角(一卷十五)凡直角方形之对角线必分两直角为两平分(一卷三十四注)则于依辛甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙对角线其权线必不至丙必在乙丙之内而分乙丙边于癸是日在四十五度之上其权线必在乙丙邉之内也又巳甲壬角大于巳甲庚半直角即壬甲乙景线及甲丙权线内之乙甲癸交角亦大于半直角(一卷十五)凡直角方形之对角线必分两直角为两平分(一卷三十四注)则于依壬甲乙景线之甲乙丙丁直角方形上若作一甲丙对角线其权线必过丙必在丁丙之内而分丁丙邉于癸是日在四十五度之下其权线必在丁丙邉之内也故矩度之内其傍通光耳之分度边为直景而对通光耳之分度边为倒景本题十五首第一题日轮髙四十五度直景倒景皆与表等在四十五度以上则直景小于表而倒景大于表在四十五度以下则直景大于表而倒景小于表依矩度即可明此题之义葢上已论日轮在四十五度权线必在丙即显乙丙直景丁丙倒景皆与甲乙甲丁两表等何者直角方形之各边俱等故也若日在四十五度以上权线必在乙丙分度边上而倒景当在丁丙之引出边上是直景小于倒景而倒景大于甲丁表若日在四十五度以下权线必在丁丙分度边上而直景当在乙丙之引出邉上是倒景小于直景而直景大于甲乙表第二题表随日所至皆为直景与倒景连比例之中率先设日轮在四十五度而权线在丙题言甲乙或甲丁表皆为乙丙直景与丁丙倒景连比例之中率论曰甲乙丙丁直角方形之四边既等即乙丙直景与甲乙或甲丁表之比例若表与丁丙倒景何者三线等即为两相同之比例故次设日轮在四十五度以上权线在乙丙直景边内分乙丙于戊而倒景在丁丙之引出边上遇权线于已题言甲乙或甲丁表为乙戊直景与丁巳倒景连比例之中率论曰乙与丁两直角等而乙甲戊与已相对之两内角亦等(一卷廿八)即甲乙戊巳丁甲为等角形(六卷四)则乙戊直景与甲乙或甲丁表之比例若表与丁巳倒景是甲乙或甲丁表为两景之中率(六卷八之系)后设日轮在四十五度以下权线在丁丙倒景边内分丁丙于戊而直景在乙丙之引出边上与权线遇于已题言甲乙或甲丁表为丁戊倒景与乙巳直景连比例之中率论曰丁与乙两直角等而丁甲戊与巳甲戊丁与乙甲巳各相对之两内角各等(一卷廿八)即甲丁戊甲乙巳为等角形(六卷四)则丁戊倒景与甲乙或甲丁表之比例若表与乙巳直景是甲乙或甲丁表为两景之中率(六卷八之系)注曰直景表倒景三线既为连比例即直景倒景两线矩内直角形与表上直角方形等(六卷十七)故表度十二则其羃为一百四十四若以为实以所设景数为法除之即得所求景数假如权线所至在倒景之三度即以三为法除其实一百四十四得四十八度为直景又如权线所至在所设景之五度三分度之二即所求景为二十五度十七分度之七何者以五度三分度之二为法除其实一百四十四即得二十五度十七分度之七是二景互变相代法(畸分除法见后附)第三题物之髙立于地平以直角其景与物之比例若直景与表亦若表与倒景解曰物之髙以直角立于地平如巳庚其景在地平上为庚辛题言直景与表之比例若庚辛与巳庚又言表与倒景之比例若庚辛与巳庚(凡言地平者皆依直线取平若不平者烦先准平然后测量后倣此)先论权线在丙者曰权线恒与物之髙为平行线何者两线下至庚辛皆为直角故(一卷廿八)即辛甲丙角与巳角等(一卷廿九)而乙与庚两直角又等则甲乙丙巳庚辛为等角形(一卷廿二)是乙丙直景与甲乙表之比例若庚辛景与巳庚髙(六卷四)二论曰若权线在乙丙直景边内而分乙丙于戊依前论显乙甲戊角与巳角等(一卷廿九)乙角与庚角等则甲乙戊巳庚辛为等角形(一卷三十二)是乙戊直景与甲乙表之比例若庚辛景与巳庚髙(六卷四)三论第一图之倒景曰权线在丙其巳角丁丙甲角各与乙甲丙角等(一卷廿九)即自相等丁角与庚角又等则甲丁丙与巳庚辛亦等角形(一卷三十二)是甲丁表与丁丙倒景之比例若庚辛景与巳庚髙(六卷四)后论曰若权线在丁丙倒景边内而分丁丙于戊依前论显乙甲戊角与巳角等(一卷廿九)即丁戊甲角与巳角亦等(一卷廿八)丁角与庚角又等则丁戊甲巳庚辛为等角形(一卷三十二)是甲丁表与丁戊倒景之比例若庚辛景与巳庚髙(六卷四)注曰前既论(本篇第一题)日轮在四十五度直景倒景皆与表等在四十五度以上直景小于表在四十五度以下表大于倒景即显日轮在四十五度各物在地平之景与其物之髙等在四十五度以上即景小于物在四十五度以下即景大于物如上三图可见第四题冇物之景测物之髙法曰如前图以矩度向日甲耳在前取日光透耳两窍以权线与矩度平直相切任其垂下细审所值何度何分若在十二度之中对角线上则景与物必正相等(本篇三题注)故量其景长即得其物髙若权线在直景边即景小于物(本篇三题注)则直景与表之比例若物之景与其髙用三数法以直景上所值度分为第一数以全表度十二为第二数以物景之度为第三数算之即所得数为其物髙(三数算法见后附)注曰欲测巳庚之髙以矩度承日审权线如在直景乙戊得八度正庚辛景三十步即以表度十二庚辛三十步相乗得三百六十为实以乙戊八度为法除之得四十五即巳庚之髙四十五步若权线在倒景邉即景大于物(本篇三题注)则表与倒景之比例若物之景与其髙用三数法以表为第一数以倒景上所值度分为第二数以物景之度为第三数算之即所得数为其物髙注曰欲测巳庚之髙以矩承日审权线如在倒景于戊得七度五分度之一庚辛景六十步即以丁戊七度五分度之一庚辛六十步相乗得二千一百六十为实以表度六十分为法除之得三十六即巳庚之髙三十六度(因权值有畸分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一从之为三十六分其表度十二亦通作六十分说见算家六分法)第五题有物之髙测物之景法曰如前图以矩度承日审值度分若权线在丙则景与物等(本篇三题注)若权线在直景边即物大于景(夲篇三题注)即直景与表之比例若景与物反之则表与直景若物之髙与其景(五卷四之系)用三数法以表为第一数直景度分为第二数物髙度为第三数算之即所得数为景度若权线在倒景边即物小于景(本篇三题注)则表与倒景之比例若景与物反之则倒景与表若物之髙与其景(五卷四)用三数法以倒景度分为第一数表为第一数物髙度为第三数算之即所得数为景度第六题以目测髙法曰欲于辛目测巳庚之髙先用一有度分之表与地平为直角以审目至足之髙次以矩度向物顶甲耳在前目〔？〕乙后而乙辛为目至足之髙以权线与矩度平直相切任其垂下目切于乙不动而以甲角稍移就物顶令目光穿两耳窍至物顶作一直线(如不能以目透通光耳中只取两耳角或两小表相对亦可)细审权线值何度分依前题论直景与表之比例表与倒景之比例皆若庚辛或等庚辛之乙壬(若自乙至壬作直线即与庚辛平行相等见一卷三十四)与巳壬(壬庚与乙辛等见一卷三十八)观上论(本篇三题)及本图自明葢三图之甲乙丙甲乙戊甲丁戊各与其巳壬乙为等角形则量辛庚之度而作直景与表之比例或作表与倒景之比例皆若辛庚与三数法所求得之他数即得巳壬之高次加目至足乙辛之高即得巳庚之高注曰如欲测巳庚高权线在直景即以直景乙戊为第一数表为第二数庚辛为第三数若在倒景即以表为第一数以丁戊倒景为第二数庚辛为第三数各算定各加自目至足乙辛数即得若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至权线值丙而止即不必推算可知其高若辛不欲至庚或不能(或为山水林木屋舍所隔或地非平面)则用两直景较算其法依前用矩度向物顶审权线在直景否如在倒景即以所值度分变作直景(本篇二题注)次从辛依地平直线或前或却任意逺近至癸仍用矩度向物顶审权线在直景否如在倒景亦以所值度分变作直景(本篇二题注)次以两直景度分相减之较为第一数以表为第二数以辛癸大小两相距之较为第三数依法算之即得巳壬之高加自目至足乙癸即得巳庚之高何者两景较与其表之比例若两相距之较与物之高故下论详之论曰以两直景之小乙戊线减其大乙戊线存子戊线为景较以两相距之小庚辛线减其大庚癸线存癸辛线为距较则子戊较线与甲乙表之比例若癸辛较线与巳壬线何者依上论(本篇三题)大乙戊直景与甲乙表之比例若乙壬或等乙壬之庚癸大相距之逺与巳壬之髙更之即大乙戊直景与大相距癸庚之比例若甲乙表与巳壬之高(五卷十六)依显小乙戊直景或等小乙戊之乙子与小相距之庚辛之比例若甲乙表与巳壬之高则大乙戊直景与大相距庚癸之比例亦若乙子小直景与小相距之庚辛也夫大乙戊与大相距庚癸两全线之比例既若两所减之乙子与庚辛(五卷十九)转之即大乙戊与庚癸两全线之比例亦若两减余之子戊与辛癸(五卷十九)而前巳论乙戊全与庚癸全之比例若甲乙表与巳壬之高则两减余之子戊与辛癸之比例亦若甲乙表与巳壬之高(五卷卜一)更之则景较子戊与甲乙表之比例若距较癸辛与巳壬之高(五卷十六)注曰如前图欲测巳庚之高先于辛得直景小乙戊为五度次却立于癸得直景大乙戊为十度景较五度以为第一数以表度为第二数次量距较癸辛十步以为第三数依法算得二十四步加自目至足乙辛或一步即如巳庚髙二十五步如后图先于辛得直景小乙戊为十一度次却立于癸得倒景九度即如前法变作大乙戊直景十六度景较五度以为第一数以表度为第二数次量距较癸辛二十步以为第三数依法算得四十八步加自目至足乙辛或一步即知巳庚高四十九步若山上有一楼台欲测其楼台之高先于平地总测楼台顶至地平之高次测山髙减之即得有楼台高数层欲测各层之高倣此第七题地平测逺法曰欲于巳测巳庚地平之逺先用一有度分之表与地平为直角以审目至足之高为甲巳若量极逺者则立楼台或山岳之上以目下至地平为甲巳(欲知山岳楼台之高巳具前测高法)次以矩极甲角切于目以乙向逺际庚如前法稍移就之令甲乙庚为一直线细审权线值何度分如权线在丙则高与逺等若在乙丙直景邉即高大于逺而矩度上截取甲乙戊与甲己庚为等角形何者两形之乙与己各为直角庚甲己与乙甲戊为同角即其余角必等故(一卷三十二)则甲乙表与乙戊直景之比例若甲巳高与巳庚逺也(六卷四)若权线在丁丙倒景邉即髙小于逺而矩度上截取甲丁戊与甲己庚为等角形何者两形之丁与己各为直角巳甲庚与甲戊丁相对之两内角等(一卷廿九)即其余角亦等故(一卷三十二)则丁戊倒景与甲丁表之比例若甲巳髙与巳庚逺也(六卷四)次以表为第一数直景为第二数以倒景为第一数表为第二数各以甲巳为第三数依法算之各得巳庚之逺第八题测井之深法曰己壬辛庚井其口之边或径为己庚欲测己壬之深用矩极甲角切目以乙从己向对边或径之水际辛如前法稍移就之令甲乙己辛为一直线即权线垂下截取矩度之甲乙戊与己壬辛为等角形何者两形之乙与壬各为直角壬巳辛与乙甲戊两角为巳壬甲癸两平行线(井甃必用垂线故与权线平行)之同方内外角等(一卷二十九)即其余角亦等故则乙戊直景与甲乙表之比例若等巳庚口之壬辛底与巳壬深也(六卷四)次以直景为第一数表为第二数巳庚为第三数依法算之即得巳壬之深若权线在倒景即表与倒景之比例若井之巳庚口与巳壬深观甲癸丁角形可推何者癸与乙甲戊相对两内角等(一卷廿九)即与壬巳辛角等故以表为第一数倒景为等二数巳庚口为第三数依法算之亦得巳壬之深注曰乙戊直景三度巳庚井口十二尺依法算得四十八尺即巳壬之深丁癸倒景四十八度依法算同第九题以平镜测高法曰欲测甲乙之高以平镜依地平线置丙人依地平线立于丁目在戊向物顶甲稍移就之令目见甲在镜中心是甲之景从镜心反射于目成甲丙戊角即目光至镜心偕足至镜心两线作戊丙丁角与甲丙乙角等(此论见欧几里得镜书第一题)即甲乙丙戊丁丙为等角形(乙丁两皆直角故)则足至镜心丁丙与目至足之高丁戊之比例若物之底至镜心乙丙与其高甲乙也(六卷四)今量丁丙为第一数丁戊为第二数乙丙为第三数依法算之即得甲乙之高注曰可以㿻水当镜若测极逺可以水泽当镜第十题以表测高法曰欲测甲乙之高依地平线任立一表于丙为丁丙与地平为直角(凡立表以线垂下三面附表即与地平为直角)次依地平线退立于戊使目在巳视表末丁与物顶甲为一直线若表仅与身等或小于身则俛首移就之可也(或别立一小表为巳戊亦可)次量目至足之数次想从巳目至甲乙上之庚㸃作直线与乙戊平行而分丁丙表于辛即巳辛丁巳庚甲为等角形(六卷四)则等丙戊之辛巳与辛丁之比例若等乙戊之庚巳与庚甲也次量丙戊为第一数辛丁为第二数乙戊为第三数依法算之即得甲庚之髙加目至足之数巳戊即得甲乙之高若戊不欲至乙或不能则用两表较算如前图立于戊目在己巳得辛巳等丙戊之度次依地平线或前或却又立一表(或即用前表或两表等)为癸壬依前法令丑子与巳戊目至足之度等而使丑癸甲为一直线即又得寅丑等壬子之度其壬子若移前所得必小于丙戊何者巳辛与辛丁之比例若巳庚与庚甲丑寅与寅癸若丑庚与庚甲(六卷四)而巳庚与庚甲大于丑庚与庚甲(五卷八)即巳辛与辛丁亦大于丑寅与寅癸也又辛丁与寅癸既等(癸壬丁丙元等所减寅壬辛丙等即所存亦等)即巳辛必大于丑寅也(五卷十)次以两测所得之巳辛与丑寅相减得卯辛较以为第一数以表目相减之较丁辛或癸寅为第二数以两相距之较戊子或巳丑为第三数依法算之即得甲庚之髙加目至足之数即得甲乙之髙论曰两测较外辛与表目较辛丁或癸寅其比例若距较戊子或巳丑与庚甲何者巳辛与辛丁既若巳庚与庚甲(五卷四)更之即巳辛与巳庚若辛丁与庚甲也(五卷十一)依显丑寅与丑庚若寅癸与庚甲也则丑寅与丑庚亦若辛丁与庚甲也(辛丁与寅癸等故)而巳辛全线与巳庚全线若巳辛所截取之巳卯(巳印与丑寅等故)与巳庚所截取之丑庚也则巳辛全与巳庚全亦若巳辛分余之卯辛与巳庚分余之巳丑也(五卷十九)前巳论巳辛与巳庚若辛丁与庚甲即卯辛与巳丑亦若辛丁与庚甲也更之即两测较卯辛与表目较辛丁若距较等子戊之巳丑与甲庚也若却后而得壬子则反上论之第十一题以表测地平逺法曰欲于甲测甲乙地平逺先依地平线立一表为丙甲与地平为直角其表稍小于身之长次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙为一直线次想巳丙作直线与甲乙平行而分丁戊于巳即丙巳丁丙甲乙为等角形(六卷四)何者甲与巳两为直角丙丁巳乙丙甲为平行线同方内外角等(一卷廿九)即其余角必等故(一卷三十二)则表目较丁巳与表目相距之度巳丙之比例若丙甲表与甲乙也次以丁巳为第一数丙巳为第二数丙甲为第三数依法算之即得甲乙之逺第十二题以矩尺测地平逺(今木工为方所用)法曰欲于甲测甲乙地平逺先立一表为丁甲与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁以丁戊尺向远际乙稍移就之令丁戊乙为一直线次从丁丙尺上依一直线视地平得巳次量巳甲为第一数丁甲为第二数又为第三数依法算之即得甲乙之逺论曰巳丁乙既直角若从丁作丁甲为巳乙之垂线即丁甲为甲巳甲乙之中率(六卷八之系)次以丁甲表自乗为实以甲巳之度为法除之即得甲乙之逺(六卷十七)第十三题移测地平远及水广法曰欲于乙测乙戊地平逺及江河溪壑之广凡近而不能至者于此际立一表为甲乙与地平为直角次以一小尺或竹木等为丙丁邪加表上稍移就彼际戊作一直线次以表带尺旋转向地平视丙丁尺端所直得巳次自乙量至巳即得乙戊之数论曰甲乙戊与甲乙巳两直角形等即相当之乙戊与乙巳两边亦等则量乙巳得乙戊(一卷廿六)又论曰若以乙为心巳戊为界作圜即乙巳戊为同圜之各半径等注曰如不用表以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁如上测之尤便第十四题以四表测远(前题测逺诸法不依极髙不得极逺此法于平地可测极逺)法曰欲于乙测甲远(或城或山凡可望见者皆是不论平否)择于平旷处(前云依地平线者必依直线取平此不必拘)立一表于乙次任却后若干大尺更立一表为丁令两表与甲(甲者是所测处指定一物或人或木或山及楼台之顶皆是)为一直线次从乙依乙丁之垂线任横行若干丈尺更立一表为丙次从丁与乙丙平行任若干丈尺稍逺于乙丙又立一表为戊(四表俱任意长短)从戊过丙望甲亦作一直线次以丁戊乙丙相减之较为第一数乙丁为第二数乙丙为第三数依法算之即得甲乙之逺论曰试作丙巳直线即得丙巳戊与甲乙丙为等角形(六卷四)何者甲乙丙丙巳戊两为直角丙戊巳甲丙乙为平行线同方内外角等(一卷廿九)即余角必等故则戊巳与等丙巳之乙丁之比例若丙乙与乙甲注曰如丁戊为三十六乙丙为三十乙丁为四十即以三十与三十六之较六为第一数以四十为第二数以三十为第三数依法算之得二百四十为甲乙之远第十五题测髙深广逺不用推算而得其度分不诸布算难用前法其有畸分者更难今求不用布算而全数畸分俱可推得与布算同功其法曰凡测髙深广远必先得三率而推第四率三率者其一直景或倒景其二所立处至所测之底若不能至者则景较或两测较其三表或距较也设如测一髙景较八距较十步其景较八与表十二之比例若距较十步与所求之髙(此不论目至足之髙)则于平面作甲乙甲丙两直线任相聨为甲角从甲向乙规取八平分任意长短以当景较为甲丁次用元度从丁向乙规取十二平分以当表度次从甲向丙规取十平分其用度依前度任等不等以当距较为甲戊次从戊至丁作一直线次从乙作一直线与戊丁平行而截甲丙线于丙次规取自甲至戊诸分内之一分为度从戊向丙规得若干分即所求之髙论曰甲乙丙角形内之戊丁与乙丙两线平行即甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙(六卷二)则戊丙当为十五分与三数法合加目至足之髙即得全髙又法曰若景较七度有半距较八步三分步之一即物髙度十三步三分步之一如后图加目至足之髙即得全髙若恒以甲丁为第一数丁乙为第二数甲戊为第三数即恒得戊丙为第四数三数算法(附)三数算法即九章中异乗同除法也先定某为第一数某为第二第三数次以第二第三两数相乘为实以第一数为法除之即得所求第四数如月行三日得三十七度问九日行几何度即以三十七度为第二数九为第三数相乗得三百三十三数为实次以三为第一数为法除之得一百一十一数即所求第四月行九日度数如有畸分即用通分约分法依上算如一星行八日三时得十二度二分度之一问十四日六时行几何度即以八日三时通作九十九为第一数以十二度二分度之一通作二十五为第二数以十四日六时通作一百七十四为第三数次以二十五与一百七十四相乗得四千三百五十为实以九十九为法除之得四十三分九十三次以二分为一度约得二十一度三十三分度之三十二即所求第四本星行十四日六时度分之数测量法义钦定四库全书测量异同明 徐光启 撰九章算法勾股篇中故有用表用矩尺测量数条与今译测量法义相较其法畧同其义全阙学者不能识其所繇既具新论以攷旧文如视掌矣今悉存诸法对题胪列推求同异以竢讨论其旧篇所有今译所无者仍补论一则共为测量异同六首如左第一题(与前篇第四题同)以景测髙欲测甲乙之髙其全景乙丙长五丈立表于戊为丁戊髙一丈表景戊丙长一丈二尺五寸以表与全景相乗得五万寸为实以表景百二十五寸为法除之得甲乙髙四丈此旧法与今译同第二题(与前篇第十题同)以表测髙欲测甲乙之髙去乙二十五尺立表于丙为丁丙高一丈却后五尺立于戊使目在巳戊至巳高四尺视表末丁与甲为一直线次以丁丙表髙十尺减目至足丁辛四尺得表目之较辛丙六尺以乗乙丙二十五尺得百五十尺为实以丙戊五尺为法除之得三十尺加表十尺得甲乙高四十尺此旧法以甲壬丁为大三角形以丁辛巳为小三角形今译以甲庚巳为大三角形丁辛巳为小三角形其实同法同论何者甲壬与壬丁若甲庚与庚巳也(六卷四)第三题(与前篇第八题同)以表测深甲乙丙丁井欲测深其径甲乙五尺立一表于井口为戊甲高五尺从戊视丙截甲乙径于巳甲至巳得四寸次以井径五尺减甲巳四寸存巳乙四尺六寸以乗戊甲五尺得二千二百寸为实以甲巳四寸为法除之得井深五丈七尺五寸此旧法以戊甲巳为小三角形巳乙丙为大三角形今译当以戊甲巳为小三角形戊丁丙为大三角形其实同法同论何者戊丁与丁丙若丙乙与乙巳也(一卷三十四可推)第四题(与前篇第十题后法同)以重表兼测无远之高无髙之逺欲于戊测甲乙之高乙丙之逺或不欲至或不能至则用重表法先于丙立丁丙表髙十尺却后五尺立于戊目在巳巳戊髙四尺视表末丁与甲为一直线次从前表却后十五尺立一癸壬表于壬亦高十尺却后八尺立于子去壬八尺其目在丑丑子亦高四尺从丑视癸甲亦一直线次以表髙十尺减足至目四尺得表目较癸辛或丁寅六尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乗得九十尺为实以两测所得巳寅丑辛相减之较卯辛三尺(此较旧名景差今名两测较)为法除之得三十尺加表髙十尺得甲乙髙四十尺若以两测所得之小率丙戊五尺与表间度癸丁或壬丙十五尺相乘得七十五尺为实以卯辛三尺为法除之即得乙丙逺二十五尺此旧法测髙以癸辛或丁寅与辛卯偕甲辰与壬等丙之丁癸为同理之比例今译以癸辛或丁寅与辛卯偕甲庚与等戊子之巳丑为同理之比例(旧用壬丙表间也今用戊子距较也)其实同法同论何者甲辰与辰丁若甲庚与庚巳也辰丁与丁癸若庚巳与己丑也(六卷四)平之则甲辰与丁癸若甲庚与己丑也补论曰旧法以重表测逺则卯辛与等丙戊之巳寅之比例若等壬丙之癸丁与等乙丙之丁辰何者甲辰癸癸辛丑为等角形(六卷三十二)即丑辛癸辰为相似边(六卷四)甲辰丁丁寅巳为等角形即巳寅丁辰为相似边是丑辛与癸辰若巳寅与丁辰也(六卷四)更之则丑辛与巳寅若癸辰与丁辰也今于丑辛减巳寅之度存卯辛于癸辰减丁辰存癸丁则卯辛与巳寅若癸丁与丁辰也(所减之比例等所存之比例亦等)第五题(与前篇第十四题同)以四表测逺欲测甲乙之逺于乙上立一表次于丙巳丁上各立一表成乙丙巳丁直角方形每表相去一丈令丁乙二表与甲为一直线次于已表之右戊上视丙表与甲为一直线戊巳相去三寸次以乙丙乙丁相乗得一万寸为实以戊巳三寸为法除之得甲乙髙三十三丈三分丈之一此旧法与今译同第六题(与前篇第十题后法同理)以重矩兼测无广之深无深之广(稍改旧法以从今论)有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之深则用重矩法先于甲岸上依垂线立戊甲巳句股矩尺甲巳句长六尺从股尺上视句末巳与谷底丙为一直线而遇戊甲股于庚庚甲髙五尺次于甲上依垂线取壬壬去甲一丈五尺于壬上依垂线更立一辛壬癸句股矩尺壬癸句亦长六尺从股尺上视句末癸与谷底丙为一直线而遇辛壬股于辛辛壬髙八尺次以前股所得庚甲五尺与两句间壬甲十五尺相乗得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五尺若以句六尺与两句间十五尺相乗得九十尺为实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺测深论作癸巳丑直线与本篇第四题重表测逺补论同测逺论与前篇第十题重表测髙论同测量异同钦定四库全书句股义明 徐光启 撰句股即三边直角形也底线为句底上之垂线为股对直角边为弦句股上两直角方形并与弦上直角方形等故句三股四则弦必五(一卷四七注)从此可以句股求弦句弦求股股弦求句(一卷四七注)可以求句股中容方容圆可以各较求句求股求弦可以各和求句求股求弦可以大小两句股互相求可以立表求髙深广逺以通句股之穷可以二表四表求极髙深极广逺以通立表之穷其大小相求及立表诸法测量法义所论著畧备矣句股自相求以至容方容圆各和各较相求者旧九章中亦有之第能言其法不能言其义也所立诸法芜陋不堪读门人孙初阳氏删为正法十五条稍简明矣余因各为论譔其义使夫精于数学者览图诵说庶或为之解頥第一题句股求弦法曰甲乙股四乙丙句三求弦以股自之得十六句自之得九并得二十五为实开方得甲丙弦五第二题句弦求股法曰如前图乙丙句三自之得九甲丙弦五自之得二十五相减得较十六开方得甲乙股四第三题股弦求句法曰如前图甲乙股四自之得十六甲丙弦五自之得二十五相减得较九开方得乙丙句三巳上三论俱见一卷四十七题(凡言某卷某题者皆引几何原本为证下同)第四题句股求容方法曰甲乙股三十六乙丙句二十七求容方以句股相乗为实并句股得甲戊六十三为法除之得容方辛乙乙癸各边俱一十五四二八论曰甲乙三十六乙丙二十七相乗得九百七十二以为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙并得六十三为法即成甲戊线除实得戊巳邉十五四二八即成甲戊巳庚直角形与甲乙丙丁形等(六卷十六)而巳庚边截乙丙句于癸甲丙弦于壬即成乙辛壬癸满句股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙(六卷十五)分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也(乙丙乙戊元等)又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙(六卷四)更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满句股之直角方形(六卷十五增题)又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊巳各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊巳亦各与方形边等则辛乙癸壬为直角方形第五题余句余股求容方求句求股法曰甲丁余股七百五十戊丙余句三十求丁乙戊巳容方边以丙戊甲丁相乘得二万二千五百为实开方得容方乙丁丁巳各边俱一百五十加余股得股九百加余句得句一百八十论曰甲丁戊丙相乘为实即成巳壬辛庚直角形与丁乙戊巳为甲丙角线形内之两余方形等(一卷四三)而壬巳与巳戊偕丁巳与巳庚为互相视之边(六卷十四)故巳壬辛庚之实即丁乙戊巳之实开方得丁乙戊巳直角方形边又论曰甲丁与丁巳既若巳戊与戊丙(六卷四之系)即方形边当为甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增题)今列甲丁七百五十戊丙三十而求其中率之数其法以前率比后率为二十五倍大之比例二十五开方得五则中率当为五倍之比例甲丁七百五十反五倍得一百五十一百五十反五倍得丙戊三十则方形边一百五十为甲丁丙戊之中率(六卷界说五)第六题容方与余句求余股与余股求余句法曰容方乙丁丁巳各边俱一百五十戊丙余句三十求甲丁余股以容方边自之为实以余句为法除之得甲丁余股七百五十以容方与余股求余句法同论曰如上论两余方形等实故以等己庚之丙戊除之得等壬巳之甲丁又论曰方形边既为甲丁戊丙之中率(六卷三十三之十五增题)即方形边自乘为实以戊丙除之得甲丁以甲丁除之得戊丙(六卷十七)第七题句股求容圆法曰甲乙股六百乙丙句三百二十求容圆以句股相乘得一万九千二百倍之得三万八千四百为实别以句股求弦得甲丙弦六百八十(本篇一)并句股弦为法除实得容圆径乙子二百四十论曰甲乙股乙丙句相乘即甲乙丙丁直角形倍之为实即丙丁戊己直角形求得甲丙弦幷句股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与句等庚辛与弦等得甲辛为弦和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊巳形等(六卷十六)而壬癸边截乙丙句于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径曷名为容圆径也谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙弦截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也则何以显此五边之皆为切圜线乎试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三邉形交加其上其丙午与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等(一卷二十二可推)次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戌酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戌为容圆径次于亥戌寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兊线遇诸形之交加线于离于兊次作甲震线遇诸形之交加线于巽于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戌离丙子离又等为直角戌离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等(六卷七)则丙兊线必分甲丙未角为两平分矣(一卷九)又子离与戌离两边既等(本论)子离震戌离卯两交角又等(一卷十五)卯戌离震子离又等为直角即卯离戌离震子之各边各角俱等而两形亦等(一卷廿六)又子离与离戌两边既等离卯与离震两边又等(本论)即子卯与戊震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戌震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离卯戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等(一卷廿六)依显午巽辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等巽寅兊与兊艮申之各邉各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百○二(算见测圆海镜之句股步率)则减丑卯之卯子必一百五十也卯子股一百五十丙子句八十以求卯丙弦则一百七十也(本篇一)次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戌卯既等为直角丑卯辰戌卯离两交角又等丑卯与戌卯复等即两形必等而其各边各角俱等(一卷廿六)依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等(一卷廿六)甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲巽午甲巽寅两形之甲寅甲午既等甲巽同线甲午巽甲寅巽又等为直角即两形必等而各边各角俱等(六卷七)是甲震线必分丙甲亥角为两平分也(一卷九)甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五邉而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径(四卷四)展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各句股形内之容圆径又法曰甲乙股六百乙丙句三百二十并得九百二十与甲丙弦六百八十相减亦得乙子二百四十论曰如前论诸大句股形之分余句俱八十诸句股和与诸弦相减之较亦俱八十则初分句二百四十为诸形之容圆径第八题句股较求股求句法曰甲丙弦四十五甲乙股甲丙句之较为甲丁九求股求句以弦自之得二千○二十五倍之得四千○五十较自之得八十一以减两弦羃存三千九百六十九为实开方得句股和六十三加较九得七十二半之得三十六为甲乙股减较得二十七为乙丙句论曰弦幂为甲戊直角方形倍之为己丙直角形较幂为甲庚直角方形与甲辛等相减即得减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得句股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等(一卷四七)即甲戊一弦幂内有一甲乙股幂一乙丙句幂也己丙两弦幂内有两甲乙幂两乙丙幂也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与卯辰两形两股幂也丙壬与癸子两形两句幂也而丑寅卯辰之间则重一等甲辛之卯寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为句丙丑与甲乙等故乙丑边即句股和也若于乙丙句加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙句第九题句弦较求句求弦法曰甲乙股三十六乙丙句甲丙弦之较为甲丁十八求句求弦以股自之得一千二百九十六较自之得三百二十四相减存九百七十二为实倍较为法除之得二十七为乙丙句加较得四十五为甲丙弦论曰股幂为甲戊直角方形较幂为丁庚直角方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折形为实次倍甲丁较线为乙寅线以为法除实即得乙子直角形与甲壬戊磬折形等何者乙子直角形加一等较幂之乙丑直角方形成子卯癸磬折形即与股幂之甲戊直角方形等也又何者甲丙弦幂之甲辰直角方形内当函一句幂一股幂(一卷四七)试于甲辰形内截取丁庚较幂之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙句之丁丙线等夫未酉酉戌并与句等即申未未酉并亦与句等而庚申未辰各与句等即庚未未午两形并为句幂而丁庚午丁两形并为股幂矣丁戌戌酉两较也乙卯卯寅亦两较也而丁丙与乙丙元等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子卯癸磬折形与股幂之甲戌形等此两率者各减一等较幂之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等又法曰股自之得一千二百九十六为实以句弦较十八为法除之得句弦和七十二加较得九十半之得弦四十五减较得句二十七论曰股幂为甲己直角方形以较而一为甲辛直角形即得甲壬边与乙丙丙甲句弦和等何者甲丙弦幂之甲丑直角方形内当函一股幂一句幂(一卷四七)试于甲丑形内截取子卯丑辰边各与甲丁较线等即卯丑辰丙俱与等乙丙句之丁丙线等而作甲卯卯辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与句等句幂也即甲卯卯辰两形当与股幂等亦当与甲辛形等而甲庚卯寅皆较也甲子弦也卯丑句也则甲辛形之甲壬边与句弦和等第十题股弦较求股求弦法曰乙丙句二十七甲乙股甲丙弦之较为丙丁九求股求弦以句自之得七百二十九较自之得八十一相减得六百四十八为实倍较为法除之得甲乙股三十六加较得甲丙弦四十五论曰句幂为乙己直角方形较幂为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚己磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚己磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙弦幂之甲癸直角方形内当函一句幂一股幂(一卷四七)试于甲癸形内截取丙丑较幂之外分作甲丑丑癸丑子三直角形即丑子与股幂等而丙丑甲丑丑癸三形并当与句幂等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚己磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等又法曰句自之得七百二十九为实以较为法除之得股弦和八十一加较得九十半之得弦四十五减较得股三十六论曰句幂为丙戊直角方形以较而一为丙己直角形即得丙庚边与甲乙甲丙股弦和等何者甲丙弦幂之甲辛直角方形内当函一股幂一句幂(一卷四七)试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与股幂等而丁辛丁癸两形并当与句幂等亦与丙己直角形等夫壬辛甲癸己庚皆较也而甲丁与股等丙辛与弦等即丙庚与股弦和等第十一题句股和求股求句法曰甲丙弦四十五甲乙乙丙句股和六十三求句求股以弦自之得二千○二十五句股和自之得三千九百六十九相减得一千九百四十四复与弦幂相减得八十一开方得句股较甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六减较得乙丙句二十七论曰以句股和作甲丁一直线自之为甲己直角方形此形内函甲辛癸己两股幂乙寅庚壬两句幂而甲辛癸己之间重一癸辛直角方形夫甲丙弦之幂既与句股两幂并等(一卷四七)以减甲己形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于弦幂者为癸辛形矣乙辛股也乙丑句也则丑辛较也第十二题句弦和求句求弦法曰甲乙股三十六乙丙甲丙句弦和七十二求句求弦以股自之得一千二百九十六句弦和自之得五千一百八十四相减得三千八百八十八半之得一千九百四十四为实以和为法除之得乙丙句二十七以减和得甲丙弦四十五论曰以句弦和作乙丁一直线自之为乙戊直角方形次用句弦度相减取丙庚两㸃从丙从庚作庚辛丙壬二平行线依此法作癸子丑寅二平行线即乙戊一形中截成丙子丑辛丁卯午己句幂四庚未辰壬癸辰未寅较句矩内直角形四卯午较幂一也今欲于乙戊全形中减一甲乙股之幂则于卯己弦幂内(一句一幂并为弦)存午己句幂而减子午辛磬折形即股幂矣何者卯己弦幂内当函一句幂一股幂也(一卷四七)又庚未与未寅等即庚壬形亦股幂也以庚壬形代磬折形即丁辛丙己两形为和幂与股幂之减存形也半之即丙己形以等句弦和之乙己除之得乙丙句又法曰股自之得一千二百九十六以句弦和七十二为法除之得十八为句弦较加句弦和得九十半之得四十五为弦减较得二十七为句此法与本篇第九题又法同论第十三题股弦和求股求弦法曰乙丙句二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以句自之得七百二十九股弦和自之得六千五百六十一相减得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实以和为法除之得甲乙股三十六以减和得甲丙弦四十五论曰乙丁和幂内之戊己句幂也余论同本篇十三题又法曰句自之得七百二十九以股弦和八十一为法除之得九为股弦较加股弦和得九十半之得四十五为弦减较得三十六为股此法与本篇第十题又法同论第十四题股弦较句弦较求句求股求弦法曰甲乙股甲丙弦较二乙丙句甲丙弦较九求句求股求弦以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为弦和较加句弦较九得甲乙股十五加股弦较二得乙丙句八以句弦较加句或股弦较加股得十七为甲丙弦论曰股弦较甲丁二自之得四为己庚直角方形句弦较乙戊九自之得八十一为辛壬直角方形两幂并得八十五以二减九得七即句股较自之得四十九为干兊直角方形元设两较互乘为癸戊子丑两直角形并得三十六以三十六减八十五亦得四十九何以知癸戊子丑三十六为实开方得六之寅卯直角方形边则弦和较也凡直角三边形之弦幂必与句股两幂并等(一卷四七)甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两幂并必与甲丙幂等今于甲乙股加甲辰弦丙乙句加乙午弦甲丙弦加丙未句未申股各作一直线以此三和线作一三边形(一卷廿二)即甲申上之甲酉直角方形必不等于丙午上之丙戌直角方形乙辰上之乙亥直角方形并而此不相等之较必句股较幂之四十九也何者若于甲酉丙戌乙亥三直角方形各以元设句股弦分之即甲酉形内有弦幂一股幂一句幂一股弦矩内形二句弦矩内形二句股矩内形二而乙亥形内有弦幂一股幂一股弦矩内形二丙戌形内有弦幂一句幂一句弦矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戌内诸形相当相抵则甲酉内存句股矩内形二丙戌或乙亥内存弦幂一次以此两存形相当相抵则一弦幂之大于两句股矩内形必句股较幂之四十九也何者一弦幂内函一句幂一股幂今试如上图任作一甲乙弦幂其乙丙为句幂则丁丙戊磬折形必与股幂等乙己为股幂则丁己戊磬折形必与句幂等次以乙庚辛壬两句股矩内形辏乙角依角傍两边纵横交加于弦幂之上即得句股之较幂丙己而乙丙上重一句幂次以所重之句幂补其等句幂之丁己戊磬折形则甲乙弦幂之大于乙庚辛壬两句股矩内形必丙己句股较幂矣故知向者乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必句股较幂之四十九也则乙亥丙戌两形并其大于甲酉形亦句股较幂之四十九也今于辛壬较幂内减句股较幂四十九之干兑直角方形其所存干离震兊两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅卯形则减寅卯之甲酉形与减辛壬之丙戌形减己庚之乙亥形并必等而减寅卯之甲酉形内元有弦幂如甲寅者四有弦偕寅卯形边矩内形如寅巽者四减辛壬之丙戌形内元有句幂如丙辛者四有句偕句弦较矩内形如辛坎者四减己庚之乙亥形内元有句幂如己辰者四有股偕股弦较矩内形如甲己者四今以四弦幂当四句幂四股幂(一卷四七)则甲己辛坎两形并必与寅巽形等甲丙与巽申等弦也丙申句股和也则两弦间等寅卯形边之丙巽不得不为弦和较矣既得丙巽六为弦和较即以元设两较相加可得句股弦各数也何者巽申弦也巽艮句弦较也艮申句也丙申句股和也于丙申句股和减艮申句则丙巽加巽艮之丙艮股也丙甲弦也丙坤股弦较也坤甲股也巽甲句股和也于巽甲句股和减坤甲股则巽丙加丙坤之巽坤句也次以巽艮加艮申或丙坤加坤甲则弦也第十五题句弦和股弦和求句求股求弦法曰甲丙乙丙句弦和七十二甲乙甲丙股弦和八十一求句求股求弦以两和相乘得五千八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实平方开之得弦和和一百○八以股弦和减之得乙丙句二十七以句弦和减之得甲乙句三十六以句股和减之得甲丙弦四十五论曰两和相乘为乙己直角形倍之为丁戊直角形以为实平方开之得己庚直角方形与丁戊等即其边为弦和和者何也丁戊全形内有弦幂二股弦矩内形句弦矩内形句股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一弦幂己庚形内余一句幂一股幂并二较一亦等(一卷四七)即己庚方形之各边皆弦和和句股义◆ 《浑盖通宪图说-明-》（KR3f0015）
## 提要
钦定四库全书 子部六
浑盖通宪图说 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案浑盖通宪图说二卷明李之藻撰之藻有頖宫礼乐疏己著录是书出自西洋简平仪法盖浑天与盖天皆立圆而简平则绘浑天为平圆浑天为全形人目自外还视盖天为半形人目自内还视简平止于一面则以人目定于一处而直视之之所成也其法设人目自南极或北极以视黄道赤道及昼长昼短诸规凭视线所经之㸃归界于一平圆之上次依各地北极出地以视法取天顶及地平之周亦归界于前平圆之内次依赤道经纬度以视法取七曜恒星亦取归于前平圆之内赤道为中圏赤道以外愈近目则圏愈大而径愈长赤道以外愈逺目则圏愈小而径愈短之藻取昼短规为最大圏乃自南极视之昼短规近目而圏大其意以为中华之地北极髙凡距北极百一十三度半以内者皆在其大圏内也卷首总论仪之形体上卷以下规昼度分时刻及制用之法后卷诸图咸根柢于是梅文鼎尝作订补一卷其说曰浑盖之器以盖天之法代浑天之用其制见于元史札马鲁丁所用仪器中窃疑为周髀遗术流入西方然本书黄道分星之法尚缺其半故此器甚少盖无从得其制也兹为完其所缺正其所误可以依法成造云云又有璇玑尺解一卷皆足与此书相辅而行以己见文鼎书中兹不复赘焉乾隆四十六年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷上
钦定四库全书浑葢通宪图说卷上明 李之藻 撰浑象图说天体浑圜运而不息古今制作浑仪最肖就中割圜截弧即是盖天兹为径尺之仪法取平悬不得不割截算之然不能离浑天度法故先论浑天之制设一平环名地平规周刻二十四向承以四柱立于四维下为十字渠以水平之规之子午际稍稍刻入以受子午之规子午规在地平规内径广稍杀侧立之令半出地平规上半入地平规下分为三百六十度其南北钻通二窍以受浑天南北极之轴此内又作二圜形径相等而视子午规又稍杀一为冬夏至规一为春秋分规两规十字相结于结处施鐡轴是为南北二极可旋转于子午规之内此二规相合其形正圜又一规则横束于分至二规之半为赤道规去南北极各九十度所谓带天之纮也俱分三百六十度而自赤道中循冬夏至规南北各二十三度半之𬹼再设二次圜为日行南陆北陆限又作一大圜径同赤道为黄道规以斜络赤道之上南北尽结于小圜之𬹼此圜匀分二十四气最南曰冬至为景长候最北曰夏至为景短候东交赤道者为春分西交赤道者为秋分皆昼夜平候若匀分三百六十五度有奇则可细列宿度今且作三百六十锲之其南北极离二十三度半处又各作一小圜而于圜𬹼当冬夏至规处对贯一轴为黄道轴最中作小圜为地形外加一圜贯轴旋转为月轮规上施月㳺轮径十二度轮心正绾规上亦可旋转以系太隂转之则为九道此外一圜稍大亦贯轴内为日轮规以系太阳形用此二圜可辩日月交食之理此皆浑天象也古四游六合诸仪大率类此而法有详略今台仪仍袭旧制有横箫瞡测而无日月地三形又北极出地铸为定度而无子午提规以随地度髙下元史所载西域诸仪亦有缀铜钉通方窍以代横箫或画圜形周度而不具星宿者随时消息皆可施用至论天体此为简明故首著之此浑仪如塑像而通宪平仪则如绘像兼𫖯卬转侧而肖之者也塑则浑圜绘则平圜全圜则浑天割圜则盖天夫浑天不可图也今强图之以识梗槩地居天中乃设平规于象外者以分地上地下界也侧立者乃子午规北极之出地南极之入地各随所在测定浑象纳此规中以二极为圆枢一日一周浑天极圜今割去黄道短规以南一小〔？〕为平仪所不用者此内大〔？〕自午中冬至度逾北极际迄夜半冬至度共径二百二十七度平仪截用为盖天形而置北极于中央云赤道规界说天体无涯难以器测强从南北二极之中界判一线细道名曰赤道因设此规亦曰昼夜平规在天则太阳躔度际此天下昼夜均平在地则国当赤道之下者通年昼夜皆平也此规之设用以度天行一日一周之运用以定昼夜刻分之永短(刻分长短虽据黄道实以赤道为宗)用以齐黄道出入不齐之度用以限春秋分之晷景而又由此判天道之南北以起南北之纬算以纪天下之地员用之大者凡七黄道规界说七政所经行者命曰光道亦曰黄道黄道与赤道如两环相叠然半出赤道北半出赤道南以三百六十度计之则南北所出经度各一百八十度而纬度之最逺者大约二十三度有半其经度每三十度为一宫十五度交一气正北为天正冬至之始(月建在子半其宫磨羯之初)次稍东为小寒(月建丑初)大寒(丑中其宫寳瓶)立春(月建寅初)雨水(寅中其宫双鱼)惊蛰(月建夘初)而交于赤道为春分(夘中其宫白羊)稍转而南为清明(建辰)谷雨(辰中其宫金牛)立夏(建巳)小满(巳中宫入隂阳)芒种(建午)尽于夏至(月建)(午中宫入巨蟹)稍西为小暑(建未)大暑(未中宫入狮子)立秋(建申)处暑(申中宫入)(双女)白露(建酉)又交赤道为秋分(月建酉中宫入天秤)次为寒露(建戌)霜降(戌中宫入天蝎)立冬(建亥)小雪(亥中宫入人马)大雪(建子)而又值天正冬至更细锲为三百六十五度四之一则二十八宿列焉凡月建与宫界常差十五度而中厯太阳所躔星纪等次又与西厯白羊等名常差数日(西厯所谓动的月不动的月天有九重则)(黄道亦有九重推法甚活)今只据西厯取其便于锲度则以白羊戌宫为始所谓步戌成歳者也所以分黄道为十二宫者日月相逐㑹于黄道者歳十二次而一歳四时有十二变取数于十二其义最精半之则为六三之则为四四之则为三凡诸曜之行歳时之变总之不出于此凡天下寒暑荣瘁皆由黄道中国当赤道之北故太阳之行黄道也北陆而暖而万物生南陆而寒而万物死也而黄道一规有四用一以节七曜列宿逆天右转之度(黄道内惟日行道中一线余各别有一小轮因有疾迟退伏离地愈逺则其规)(愈觉小也)一以审日月交食大抵近黄道则食一以其出地多寡定天下昼夜长短一以分星宿之南北及纪其纬度凡论黄道宫分者固不止规上一线凡二极之内周天星宿皆以十二判之但在本宫界内皆以本宫立算(义同剖〔？〕中厯从北极剖之纪以二十八宿西厯则以磨羯之初去)(北极二十三度半处为黄道极而剖分焉)昼长昼短南极北极四规说此四规分天下寒暑气候为五截日景亦五截赤道之下其地四时皆燠而春秋分为甚为适当日道之下也冬夏至稍减而其为燠则同为仅去日道二十三度半也其春秋分日中无景过春分则景在南过秋分则景在北长短二规之下其地每歳一极寒一极暑而正相反在长规者夏至暑冬至寒日有东南西三景而南景为常在短规者反是日有东北西三面景而北景为常过此二规则日不经天顶过矣惟赤道与长短二规相离适中之地冲和之气钟焉中国去赤道十九度至四十二度凡此自东徂西一带正当其界毓灵孕秀遂多圣贤豪杰之俦此外过〔？〕过寒皆属偏气虽有人类蠢顽不灵渐近南北二极之规黄道之所不至昼夜永短偏胜之极此二规内则天地之气极寒周围皆有日景而以半年为昼半年为夜矣子午规说此规灵台所无今增设于浑象之外而以浑象之极纳之令其旋转太阳从天上经此规为午中地下经此规为子中故名子午规设此规其用有五一以分半昼半夜刻数一以寻列曜极高过顶之度当此之谓中星一以此规计日凡毎日自子半起正当此规之下一检夜半中星以定太阳正宿一此规分周天度亦可縁太阳以求赤道縁赤道以求北极而万国全图所列曲线皆系此规但取中分南北过顶一线为名随地而异地平规说此规平分浑象之半凡北极日月列星在此上者可见在此下者不可见日在此上为昼在此下为夜而可以定北极赤道离地之度可以定星辰出入之分及何星常见不伏何星常伏不见可以定宿曜同出同入之度及先后出入度可以定太阳各曜所出地离赤道几何纬度(假如夏至日离赤道二十三度半惟赤道之下其出地入地过午皆)(同若北京在四十度惟午时所离赤道如前至于出地入地却差于纬度也更北则渐差渐多)可以辩各曜出入方位可以算各曜渐升之度自一度上至九十度止(通宪専重此度)此规应设二规一当地中半处一当地面若太阳经星及木火土三星离地绝逺即以地中作平规算法亦无差若算太隂及金水二星离地不甚逺则当就地面起算方得确度耳此运规之器以铜鐡为之圆顶二髀可合可开一居中一旋转锐施精钢离锐少许鑚孔划𫄧以便用墨凡为圆必取中规乃为至圆为直必取中绳乃为至直方亷隅角莫不皆然差之毫厘缪以千里凡圆舒线成直中判成隅耦交则方参立则平万形皆出于圆谓圆出于方者非也浑盖旧论纷纭推步匪异爰有通宪范铜为质平测浑天截出下规遥逺之星所用固仅倚盖是为浑度盖模通而为一面为俯视圆象背则璇玑玉衡中枢兼有南北二极系以瞡筩及定时衡尺其上弁以提纽用则悬之仪之阳有数层上为天盘其下皆为地盘各具三规中规为赤道(今名昼夜平规)内外二规为南至北至之限(内规为日)(行最北之道今名昼长规外规为日行南至之道今名昼短规详具于后)而黄道络于内外二规之间天盘浑是天体用黄道以纪太阳周天之度度分三百六十剖为十二宫二十四气其度斜刻𦂳切地盘以便观览错以经星星不具载载其最明巨者各以针芒所指为凖地盘随地更换各视所用地方北极出地之度为率其盘分地上地下二限最下一曲线为晨昏界(今名朦影规)稍升一曲线为出地入地之界(今名地平规)自此以上度数以渐平升直至天顶匀为九十度以观太阳列宿渐升渐降所到其中央一直线则当子午之中其过顶一曲线结于赤道夘酉之交者则为正东西界(南午北子东夘西酉)其余方向皆有曲线定之近北窄而近南寛盖若置身天外斜望者然其晨昏界下诸曲分为五停又为夜漏之节云仪之隂中分十字界其衡界以分入地出地之限其最上近纽处为天中外规周分三百六十度自地上至天顶左右俱镌九十度中央运以瞡筩筩立两表各有大小二窍以受大阳列宿之影以观其影离地而上得几何度其三百六十度每三十度作一宫内次层则分三百六十五度四分度之一以具歳周全数备刻节气列宿以与外盘相凖为用皆以瞡筩审定此为太阳行天实度也中央上截另为分时小轨下截方仪以勾股测逺近高深各有详其图说天体混沦不立度数则窥望曷据通宪之度全用浑仪而有地盘以平布于下分方隅第升度有天盘以平覆于上列黄道罗星宿而外盘则刬周天之度测三光之景总挈而左右瞡焉周天之象为度三百有六十凡以日揣天者度法三百六十而余五度四分度之一今但用三百六十举捷数也法于仪之中作一句线为夘酉线一股线为子午线外周规分为四停毎停九十度共三百六十度刻之外盘之隂而瞡筩则绾之枢中中分一线左右各杀其半两端对立二表表有孔大小各二以望太阳列宿之度枢则旋转盘上提衡定之如悬正仪仪外盘之阳亦分三百六十度毎度为六十分(外一层)而以三十度为一时中股线最上为午中最下为子中句线左为夘中右为酉中凡子午夘酉中之左右界各尽十五度共三十度为一时余时以次序列(中一层)毎时分八刻共九十六刻(内一层)凡日法百刻刻法六十分凡毎时八刻零二十分初初刻一十分初一刻初二刻初三刻初四刻各六十分正初刻一十分正一刻正二刻正三刻正四刻俱六十分也今减去余分但作八刻以便起算昔梁天监中作厯亦曾用此天体一而已人居地上东西异而日月星升沈之候异焉然寒暑发敛同其𤣥象未有移也南北异则昼夜长短刻分俱异矣北极赤道之高卑亦异矣故有昼短规有昼夜平规有昼长规而短规最大平规次之长规最小盖平仪系极中央中央之极实该南北二极试设八尺浑仪于此人自南极之外以望北极昼短之规最近定觉最大昼夜平规次近则觉次大昼长之规最逺则亦觉其最小平仪立法取此而中国在赤道以北故置昼长规于赤道内昼短规于赤道外凡昼短规以内其星稠而在望近短规以外其星有不可望者矣夫是以畧也(说详后篇)分规之法先以昼短规分周天度就子午线之中右行寻廿三度半为𬹼从此斜画一线贯子午而右到酉中而止取其与午线遇处从枢心旋一圜是为昼夜平规即赤道规又于赤道规分周天度从午中右行数廿三度半斜画一线到酉中取其遇午线之处为界从心画一圜是为昼长规而三规具焉赤道当天地之中置昼长规于赤道内则凡赤道之内通谓之北而中枢则专为北极其外则通谓南方图天文者中北极而以内外天官四布于外内北而外南平仪正同此理惟是配以地盘别以地度则其创耳凡太阳行赤道之内近北极则昼长行赤道之外逺北极则昼短总之以廿三度半为南北至(亦有变迁今不具悉)故平仪以廿三度半为长短规线之限自赤道至北极九十度北极居中不动地与极渐逺则斜倚而移故变地度以就极枢而平长短三规不易焉测晷之法先定天顶(旧名嵩高)自天顶周垂而下至于地平犂为九十度即列为二十四向无不为九十度也者以辩太阳诸星出地之度而筩以瞡之自地心平规为始累而上之毎一规为一度至天顶而九十度终焉天顶者二十四向之㑹至中极正其际不可以针芒爽总之不出子午一线然而随人身所立以为移易其为术也屡迁所居之地若离亦道一度则天顶亦离赤道一度第赤道在天无形故但以北极出地定之凡北极移一度则天顶亦移一度人居赤道下以赤道为天顶人居北极下以北极为天顶居昼长昼短规之下亦各以其长短规线为天顶其余地度各有推定之法总与地平之法相因先将赤道规分周天度(以后凡赤道规皆分周天度)乃于夘线北行起算依地方北极出高几度几分立𬹼于赤道之规而画弦以贯盘心北左𬹼为北极南右𬹼为南极此名南北极轴又于午线之东亦寻北极度分为𬹼此𬹼正当二极之中赤道之位亦贯盘心画弦谓之赤道轴自此赤道南轴斜望酉中经过午线再画一弦取其交午线处即为所求天顶若自北极𬹼画弦过酉中则交午者即地平际也原所以取赤道夘酉中为凖者盖赤道纮天地之中夘酉又分赤道之中借夘酉以为地心因望地心以求天顶仪体虽平其用则圜而其经纬从衡之妙全在赤道一规平视之而分子午夘酉侧视之而寄南北二极二极结子午之正寄二极于赤道者借赤道之规为子午规者也后凡地盘度皆自赤道为凖既得天顶则自天顶以对地心有一规总谓天顶规此规上下过天地之中东西交赤道夘酉之中辩方正位于是乎取其法自赤道规酉中起数地方赤道出地之度或自子中起数北极出地之度其法皆同但数一处刻𬹼自酉中按𬹼作弦长出求其交子中线处即是地下对顶中际从此上望天顶折半求中以是为枢旋而规之即成天顶之规此规既立地面以上方隅俱可按法而得又法自赤道酉中为枢作大半规以包昼短规于内而循枢画一直线与子午并垂以为半规之限将半规分周天全度从夘酉横线中分为二停又中分为四停每停刻九十度而即借南北二停中之弦线为子午线以近横线中之百八十度为周天东半之度以最南北之百八十度为周天西半之度因借赤道酉正之枢以为南极而设直线以便分度縁赤道分度界线衡易从难故变通其法以求确当理则一也法自半规之中夘酉横线而上寻赤道出地之度望酉中虚画一弦取其过午线处为天顶𬹼又自半规之下循直线左行亦数赤道出地之度望酉中虚画一弦取其过子线处以为地下对顶之𬹼两𬹼折中为枢旋规即得天顶不异前法但地心际其界甚逺恐盘小则不易及另有不必地际径取中枢之法其法有二一法自赤道规酉线起左行寻赤道之数数外又加一倍刻之为界自酉线按此画弦斜射子午其子线所得之𬹼即是顶规之枢一法即从半规求之即得半规上赤道出地之数乃于数上再加一倍上望酉中作弦其与子午交处亦得顶规之枢二法合而试之乃可无差凡日月星辰之可见者见其出地者也地平规以下无所庸测已地而上出浊入浊虽微有所蔽可度而按也人居赤道之下平望南北极以夘酉直线为地平居此极之下以赤道规为地平其余各有求测之法自北极出地一度至八十九度余各有定则北极出地浅则规最大渐出渐高则其规渐小至于北极为天顶赤道为地平则其规最小矣赤道而南反此互用凡求地平之法先自赤道规夘中起量北极出地几度几分至其度分𬹼之从所𬹼过子线对酉中作弦取其遇子线处以为最北地平之界此界之上为地上此界之下为地下凡刬度而望日星之晷望其在地平以上者也又将此北极之𬹼贯心作轴而自酉中望南极之𬹼斜弦以达午线取午线所交之𬹼为最南地平之界此界直出盘外大抵以北极出地之高下为逺近其南北两界之半定为中枢旋器成规是为地平规凡地平规东西必与夘酉之之中相交此规可以分出地入地之度可以起地上平升之度可以求地下之朦影可以分地上为六分地下为六分详具于后又法亦自酉中作枢旋大半规与子午线并行作直线以为规限将半规分周天全度又从横线中分为二又分为四如求天顶之法而以北极之度为据假如北极出地四十度即自直线之上右行寻四十度之际望酉中作一弦以过午线处为南方地平之际又自夘线以下右行寻四十度之际亦望酉中作一弦以过子线处为北方地平之际两际折中旋规之即得地平曲线此南北弦际在赤道者与前从赤道数度飞线之法相同而更为凖确又有不必折半即得中心二法其一即以赤道所得之度再加一倍如出地四十度即寻八十度之类得此加倍之𬹼因自酉中透弦取其午线所当即为中心其一即于半规之上再加一倍寻其所到度数亦望酉中画弦取其午线所当亦是中心二法合而试之即无差失其余渐升度数亦可依此而求既有地平之规即攷渐升之度自地平上升跻于天顶九十度毎度一规或三度五度一规视器之大小为之凡求渐升度以前图南北极轴线为𬹼去𬹼北不用自𬹼而南以半规匀分百八十度或兼二度则分作九十兼五度则分作三十六中定赤道轴线以求天顶次自北极左行第一度望酉中画一弦又自南极右行第一度望酉中画一弦二弦皆过盘中子午线而取子午线上所得之𬹼上下折半为枢旋规是为渐升第一规当出地之第一度余自二度至九十度亦如之南疎北密以为常凡地上升一度则南北极外各渐进一度至天顶止又法即用前大半规假如北极出地四十度则就夘酉横线起右行寻四十度处为北极又自直线上际右行寻四十度处为南极南北各对酉中画弦以取子午之交定地平规如前法而即自南北极度之中各离九十度处仍望酉中作天顶线而以天顶左右至南北极界百八十度为用假如欲寻地平以上第一规则寻南北极以内第一度而各对酉中作一弦以其经过子午线上者为南北之际因而规之如作地平规法是为第一规次自第二规以至八十九规而止莫不皆然凡百八十之度每二度共得一规若盘小欲取二度三度作一规则减度画线其法仍前既有渐升之度又当知地上四方十二方或二十四向之所在而后星辰所到之位易知也且如子午二向则原有在盘直线可定其理易知欲寻夘酉正中虽有盘中横线但其线正倚北极地度迁移不当夘酉正中之向必当直剖天顶之中以天顶一规东西络于赤道规夘酉之交方为正向故天顶规亦名夘酉规子午夘酉既明则诸凡方位皆可按规而定俱以天顶大规为主就此规心再横一线与子午线为十字形左右长出此线横截地中即借之为地平线凡分方各规之枢皆不离此次取大规从子午匀分八分或十二分廿四分三十六分各望天顶为枢用尺按其所分之𬹼画弦斜出寻其到横线上者㸃记为心然后毎位皆依此心旋而规之毎规俱取过顶即为地上各方定位凡近夘酉者规枢较近惟近于子午者规心较逺云又法以天顶规最上一半分𬹼求心画线未确别立简易半规以当周天全度先从天顶横一线与夘酉横线平行以为半规之限次就天顶为枢望下旋半规如仰月形以半规分八方或十二宫或二十四向或三十六分而以尺按𬹼自顶画弦仍以夘酉大规横线为际一一记其交处为枢而各望顶中旋规则亦与前法相同右以横线立枢旋规虽各规大小不同但上过天中则其下亦过地中若自地中为枢向上画成半规如偃月形照前分其度位按𬹼画弦记于大规横线法亦不异此见规法之妙昼夜之分地平规判矣若乃昼有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊古人以分刻制漏践更作役用亦不细此以毎画为五分毎夜为五分而节气昼夜长短弗论焉刻之地盘与十二时之法相参其法不计赤道细度但以平规分昼夜𬹼限取昼长昼短昼夜平三规于地平界上下各自分为五停先要识三点同圜之法假如立定三㸃须要先知三点之心何在即可以一圜贯之先取甲点与乙点相拟用规各作半圆相切取其圆之两交处直分一线长出又将乙㸃与丙㸃相拟用规各作半圆相切取其圆之两交又分一线长出而以两长出线相交之处为枢旋规则三㸃俱在一规之中凡昼夜五分之法以此为宗假如地平而下昼长规匀作五分昼短规作五分昼夜平规亦作五分欲知日入第一停之𬹼即寻地平规右下第一停检之毎停各得三㸃以三㸃依前法求交又依交处求枢成规即三点聨为一线凡四线而五分之限成焉其欲定更点细度者当自晨昏线下扣除初更前二㸃及五更后二㸃匀作二十一点刻之亦照前法但地平以上有渐升方位诸线分度已多不便重复今分地平以下为图大都可以互见七政列宿皆寄黄道黄道十二宫之旋转于天也不论赤道逺近北极高低大抵出地六宫入地六宫盖赤道出入于地其度分随时互有多寡若黄道则斜络赤道随处皆上下相半故二十八宿常有十四宿在天可见其法既有赤道规又知地平曲线乃以赤道规匀分十二𬹼两两过心相对加以地平曲线之遇子午线处为一点成三点照前三点合圜之法画成十二宫盖毎宫皆以地平子午之交为心而以赤道上相对二点定之太阳出没是分昼夜其轮之大于地也凡百余倍光照极逺故将出之先既没之后俱有朦胧之影焉在朝为晨在夜为昏古法定以二刻半为率不知朦影多寡固以候异亦以地异总之北极高下不同黄道轮旋日之入地又有斜直故朦影亦有长短凡朦影皆在出地前入地后十八度内今以平仪之度画线界之居可知己其法自赤道夘中右行数本地北极出地之数又外加十八度为𬹼次于午中左行取本地赤道出地之数亦外加十八度为𬹼两𬹼相望而自酉中望北𬹼画弦取其与子线遇处以为朦景之北尽界自酉中望南𬹼亦画一弦贯午中长出𬹼外如求地平南界之法取其交午线处以为盘外朦景之南尽界南北两界折中为枢作规即得盘内朦景曲线右法邉际大逺又法就前北极出地之数望南极聨弦为轴又就前两十八度加出之𬹼亦聨一弦为朦影轴而设赤道轴线(即南北极九十度之中)令之长出直与朦影轴线相遇作直角形乃取直角之中为用望酉中画一长弦北过子线抵赤道规视其所指规𬹼从此用规左旋量至前赤道轴𬹼为率又自轴𬹼左旋再加一倍量至尽处锲之按此复自酉中用尺画弦斜出得其交于午线者便为朦景曲线之枢比前法近一半云又法即以地平曲线完成一规规心横一线作十字形规上分周天度乃从地平北际子中右旋取十八度为𬹼又于南际午中左旋取十八度为𬹼而上下相对虚一线以虚线与横线交处为凖而自酉中望此画弦斜上得其交于午处即是朦胧曲线中心天盘黄道图说第十二日月星行度皆顺黄道右旋黄道斜交赤道南北出入其最逺者各廿三度三十分(厯取二十四度冇奇今节去五度四分度之一故只)(用二十三度半)为南北至故昼长昼短之规皆以为率此地盘法也天盘黄道即以地盘长短规为凖从昼短规之南到昼长规之北为二际折中为枢旋规此规必与赤道规及夘酉平线三合方凖是为黄道规其枢当就赤道数夘中以上四十七度望对靣酉中画弦而取其过午线者以为规枢凡太阳行黄道歳与太隂十二㑹因分之为十二宫(厯法𤣥枵星纪等宫尚过节气数日今即以节气为交宫之限而仍以西法白羊诸)(像纪名非立异同盖便界画所谓不动的月也)每宫三十度毎十五度交一气且以地盘十字线为限言之自平线以下夘中起初入白羊宫交春分又十五度交清明右行凡三十度而尽入金牛为谷雨立夏又三十度入隂阳宫则小满芒种也又三十度而际子中入于巨蟹夏至以之其继为小暑次乃入狮子为大暑至于立秋又次入双女其躔处暑白露终三十度而又得平线以上则酉中天秤也秋分主之继乃为寒露次乃天蝎霜降立冬其候也又次人马是为小雪大雪而交于午中磨羯之初天正之冬至若小寒则实司之次入宝缾为大寒十五度而一歳终焉又阅十五度当立春正月之节故寳缾之半新旧之交也次则入双鱼两水惊蛰而尽复抵于夘中白羊凡此十二宫者以地盘对之则巨蟹如子磨羯加午白羊乘东天秤衡西彼此换宫遥对盖地上之子午夘酉静而有定天行之子午夘酉动而不居平仪之制理取倒影故以遥射立法至于春分之晨秋分之昏则午南子北夘东酉西各宫自归其位此则于用法见之固与分宫之法异耳今厯家约分四大限定为常气则二至虽同而春分在日行赤道后三日秋分在日行赤道前三日其余各差一二度另有外盘歳周之法详检之云细分二十八宿则当刻于歳周规三百六十五度四分度之一之上然此处亦可畧见(大畧白羊初度交壁初其九度交奎廿六度交)(娄金牛初度交娄五其七交胃廿三交昴隂阳初度交昴七其四交毕廿一交觜交参巨蟹初际参井狮子初)(交井三十其一交鬼三交栁十六交星廿三交张双女初度交张七其十一度交翼天秤初度交轸初其十七)(交角天蝎初度交亢初其十度交氐廿七度交房人马初度交房三其三度交心九交尾廿七交箕磨羯初度)(交箕三其六交斗寳瓶初度交牛初其七交女十八交虚廿七交危双鱼初度交危三其十三交室也经星亦)(是逆天古转西法以为六十六年行一度顾迟疾亦有不同此即歳差之论今所较姑以万厯甲辰为率)凡黄道细分之度其疎密与赤道迥异赤道以盘心北极为心黄道则别有旋规之枢又有斜望之枢赤道度分匀排黄道则南北疎密有异且如只以赤道推求则当先论赤道一度与黄道所差几何然后可以布列刬度另有算定成法具图于后图不细载第攷五度差率其余可推依此算定分界贯盘心画其宫度黄赤二道差率畧(三百六十度立算)又法不必对检赤道但寻黄道斜转之极在天黄道极原去北极廿三度半(入磨羯初分)其错行赤道内外亦只去廿三度半故其法先从赤道一规酉中右上数至廿三度半为𬹼望对宫夘中黄赤之交过午作弦取其交午为用以为黄道之极如再増廿三度半即是前图黄道规枢规中与极中只差廿三度半也既得此极因将赤道规匀分十二宫以分处一一贯于极心按尺斜出点记黄道规上于是乃以盘心为心望黄道所点记者而画界焉或分十二宫或每宫分三十分皆照此法比前算不殊而术更简又法亦寻黄道之极如前法次求黄道南极旋成大规法于天秤角(即黄赤相交右角)左行寻日离赤道尽处亦二十三度半为𬹼而用尺自交对𬹼望下斜画长弦至与子线相交而止此为黄道南极在于盘外者自此望上盘内黄道北极折半为心尽两极之界旋为大规此为黄道全体之规规中再横一线即地心线直长贯出规外次以此规分为十二宫𬹼仍自黄道北极为枢逐一对𬹼画线旁引直贯刻记地心横线因以所刻为心旋规以分黄道诸宫假如欲求狮子宫界则于全规之下右行寻第一𬹼以尺按此上尽黄道之极旋成一规记于黄道之规此规南上一段即得狮子此下一段亦得寳缾余法皆同欲分每宫三十度亦照此法若恐黄道全规近上一半𬹼线不易确凖则自黄道之北极旋半规作仰月形如前分位之法亦可已上三术各有所用第一术不必寻黄道之极但就赤道分度加算其法颇简而算法不易第二术但以廿三度半求黄道斜望之极不必起赤道算然以直线分黄道止得适当黄道一线之度其出入南北圆体尚须别求第三术亦不起算第求黄道之北极又求其相对之南极而浑天圆体与黄赤二道之宫数在目中但以规大为难然欲求安星正位于用最切又法分黄道度者但匀分赤道作三百六十度以所分之度逐一南北相对作虚直线以识于夘酉横线之上而依前法以求黄道之极并其南极因取其大规之枢心以为用自此处上望横线所识𬹼用尺逐一作弦透画于黄道之规凡一弦即可分上下二度在横线以上之百八十度则宽在横线以下之百八十度则窄合之共三百六十度得黄道度其赤道虚度不用又法且将黄道虚分三百六十匀度而借虚度以取实度上下相对贯黄道之极以取之欲分在南之百八十度则用在北虚分之度欲分在北之百八十度则用在南虚分之度皆以黄道极为总辖而一一过之视直线之所拟而为之𬹼以成南稀北宻之度假如欲分磨羯之第一度则将子线北右虚分之第一度望上用尺过黄极视其午线以西所得之度在于何处刻之欲寻巨蟹第一度则又将午线南右虚分之第一度贯黄极视子线以东所得之度刻之其余倣此又法亦以三百六十匀分黄道且将黄道极画一横线次于赤道寻廿三度半为𬹼画长弦求黄道之南极如前法乃自南极为枢用尺一一拟上虚度作弦而以极上横线界之上下互取借虚度以刻实度如刻极横线以上百八十度则用线下所匀分者为用尺之界以成天秤至双鱼之度如刻极横线以下百八十度则用线上所匀分者为用尺之界以成白羊至双女之度此自黄道南极以望其北极因而斜倚分之以见纵横曲折无不中度之妙以上三法俱只论适当黄道一线之度若稍南稍北另有地心横线旋规之法浑盖通宪图说卷上
## 卷下
钦定四库全书浑盖通宪图说卷下明 李之藻 撰经星位置图说第十三太阳当空列曜俱熄至夜而星可测也星莫灿于五纬然各有迟留伏匿不易取齐又金水去地最近犹太阴然不可以地面为较是故弃纬求经(地周九万里半径一万四千三百一)(十八里九分里之二为地面人所测处月离地中心四十八万二千五百二十二里有余辰星离地中九十一)(万八千七百五十里余太白离地中二百四十万○六百八十一里余日离地中一千六百○五万五千六百九十)(里余荧惑离二千七百四十一万二千一百里余岁星离一万二千六百七十六万九千五百八十四里余填星离)(二万○五百七十七万○五百六十四里余经星离三万二千二百七十六万九千八百四十五里余此外即系一)(日一周之天包络转运此天离地六万四千七百三十三万八千六百九十里有余自太阳以上诸星离地绝逺且)(其体极巨以之较地为甚微则地面地心总之不异故可以通宪测之若太隂金水二星去地不甚逺必须就地心)(测之法宜另算地形半径)凡经星以四万九千歳一周天(是为歳差)亦时有移动但其移也密百年之内所差未多故可以定仪取之其细古称万有一千五百二十可名者中外星官三百六十未易悉列然品其光耀约有数等(凡经星之体分为六等上等全径大于地)(全径一百零六倍乂六分之一次等大于地八十九倍又八分之一其三等大七十一倍又三分之一其四等大五)(十三倍又十二分之十一五等大三十五倍又八之一六等大一十七倍十之一 附载七曜形体填星全径大)(于地全径九十倍又八之一岁星大于地九十四倍半荧惑大半倍日径大于地一百六十五倍八之三地大于太)(白三十六倍二十七之一地大于辰星二万一千九百五十一地大于月三十八倍又三之一然则日大于月六千)(五百三十八倍又五之一也别有算法人目所睹近者虽小亦大逺者虽大亦小不可以井窥泥之)今畧举大者一二以俟宵测其法有依黄道算者有依赤道算者总之先论各星所值宫度次察各星所离黄赤道度分几何与其在于黄道或赤道之南北以至异体大小之等而各布其所当之位凡依黄道起算者以黄道分南北以黄道之极为枢(说见分黄道度)依赤道起算者以赤道分南北而以北极为枢具列于后用黄道经度赤道纬度立算黄道过宫 离赤道 体等(一)勾陈三星 白羊(一五度十 分) 北(八十五度五十一分) 三(二)阁道南二星 白羊(三度) 北(五十三度四十五分) 三(三)天纲星 白羊(四十一度三 分) 南(二十度分二十六) 三(四)奎宿大星 白羊(十十三度四 分) 北(三十四度一十三分) 三(五)天仓右三星 白羊(二十三分二 分) 南(十二九度三十 分) 三(六)大陵大星 金牛(十一度二十分) 北(三十九度三十二分) 二(七)天囷东一星 金牛(十十一度二 三分) 北(二八度十 分) 三(八)天船西三星 金牛(十四度五 分) 北(四十七度四十二分) 二(九)昴宿二星 金牛 北 俱五(十)毕宿大星 隂阳(三八度十 分) 北(十五度分五十五) 一(十一)五车右北 隂阳(十十一度二 一分) 北(四十四度五十六分) 一(十二)参右足星 隂阳(十三度分四十八) 南(九四度十 分) 一(十三)参左肩星 隂阳(二十二度三十七分) 北(六六度十 分) 一(十四)天狼星 巨蟹(五十三度三 分) 南(十五度分四十九) 一(十五)北河中星 巨蟹(十四度) 北(三十一度二十八分) 二(十六)南河东星 巨蟹(十六度分四十三) 北(六九) (度分) 一(十七)北河东星 巨蟹(十十六度四 九分) 北(二十八度四十三分) 二(十八)星宿大星 狮子(十三度十四分) 南(四十二度三 分) 二(十九)轩辕大星 狮子(二十二度十一 分) 北(十四度十九分) 一(二十)轩辕南三星 狮子(二十四度四十九分) 北(二十二度一十九分) 二(二十一)北斗天枢 双女(五九度十 分) 北(六十二度三十六分) 二(二十二)太微西垣上相 双女(九十度三 分) 北(二十二度五十一分) 二(二十三)太微帝座 双女(十九度十六分) 北(十七度九 分) 一(二十四)北斗玊衡 天秤(七七度十 分) 北(五十八度七 分) 二(二十五)角宿南星 天秤(十五度十三分) 南(八六度十 分) 一(二十六)北斗开阳 天秤(十五度三十分) 北(五十七度二十四分) 二(二十七)北斗揺光 天秤(二十二度五十七分) 北(五十一度四十二分) 二(二十八)大角 天秤(二十九度二十一分) 北(二十一度四十五分) 一(二十九)招摇 天蝎(四) (度) 北(四十二度三十 分) 三(三十)氐右南星 天蝎(七十一度五 分) 南(十三度分二十九) 二(三十一)氐右北星 天蝎(十十四度二 八分) 南(七八度十 分) 二(三十二)贯索大星 天蝎(二十度十一分) 北(二十八度五十一分) 二(三十三)市垣梁 天蝎(二十九度) 南(一十八度五 分) 三(三十四)心宿中星 人马(一十七度二 分) 南(二十四度三十六分) 二(三十五)市垣帝座 人马(十一度分四十六) 北(十十五度二 七分) 三(三十六)天棓大星 人马(十六度一 分) 北(五十二度一十一分) 三(三十七)市垣候星 人马(十八度十 分) 北(十三度十一分) 二(三十八)织女大星 磨羯(三十一度五 分) 北(三十八度三十六分) 一(三十九)河鼔中星 磨羯(十八度分五十二) 北(七九度十 分) 二(四十)天津右北三 寳缾(三十五度五 分) 北(四十三度四十三分) 二(四十一)天钩大星 寳缾(十四度十 分) 北(六十度四十分) 三(四十二)垒壁西星 寳缾(十五度八 分) 南(十八度分四十六) 三(四十三)危宿北星 寳缾(十七度分四十一) 北(七五) (度分) 三(四十四)羽林军大星 双鱼(四五度十 分) 南(十八度) 三(四十五)室宿北星 双鱼(七十七度四 分) 北(二十五度三 分) 二(四十六)室宿南星 双鱼(八) (度) 北(十二度分四十一) 二右法用黄道经度先稽此星在何宫何度于黄规所当之度为𬹼对盘心作一虚弦为经度线已知此星只在此线之上矣次论星位在南在北(在赤道内为北外为南)凡星在北方者去极为近法自赤道午中顺天左旋数至本星所离赤道之数为𬹼望黄赤相交酉中作一虚弦名纬度线而専取其与子午线交处为凖自此回量取其至于盘心长短几何以此转置黄道经线用规自盘心起视其所当何地即是安星正位若星在南方者去极为逺则于午中逆天右转数起至其离赤道度亦对酉中作弦取其子午交处量至盘心移归经线此法经线则一而纬线有左右之殊逺者取度于右遇子午于赤道外近者取度于左遇子午于赤道内(此图以角宿南星为例后图同)用赤道经度北极纬度立算(依台本宿度以二百六十度折算)赤道入宿 离北极 体等(一)勾陈三星 壁(一十九度五 分) (三) (度) 三(二)阁道南二星 壁(六三度十 分) (三十六度三十分) 三(三)天纲星 壁(七十六度四 分) (一百一度五十八分) 三(四)奎左北五星 奎(三十六度五 分) (六十三) (度分) 三(五)天仓右三星 奎(七十六度四 分) (一百一度五十八分) 三(六)天船西三星 胃(五十二度四 分) (四十一度五十二分) 二(七)大陵大星 胃(三十五度四 分) (五十三度四十六分) 二(八)昴宿二星 (胃十五度十分昴一度五分) 俱五(九)天囷东大星 胃(八七) (度分) (八十五度四十二分) 三(十)毕左大星 毕(一十八度五 分) (七十五度二十一分) 一(十一)五车右北 毕(八十三度五 分) (四十五度四十八分) 一(十二)参右足星 毕(十十二度四 八分) (九十八度三十分) 一(十三)参左肩星 参(五十度二 分) (八十二度四十四分) 一(十四)天狼星 井(八十二度二 分) (一百六度二十二分) 一(十五)北河中星 井(十六度分三十三) (五十八度 六) (分) 二(十六)北河东星 井(二十度十八分) (六十度五 分) 二(十七)南河东星 井(二十度十八分) (八十四度十 三分) 一(十八)星宿大星 星(初十八度二 分) (九十七度四十三分) 二(十九)轩辕大星 张(三八) (度分) (七十五度四十五分) 一(二十)轩辕南三星 张(三十七度二 分) (六十八度二十八分) 二(二十一)北斗天璇 张(十五度八 分) (三十一度十 分) 二(二十二)北斗天枢 张(十五八度二十 分) (二十五度三十六分) 二(二十三)北斗天玑 翼(十三度) (三十三度十 分) 二(二十四)北斗天权 翼(十三度二十分) (二十九度四十分) 三(二十五)太微帝座 翼(十三度分七十一度分三十六 五十四) 一(二十六)微西垣上相 翼(二十七度五 分) (六十六度三十分) 二(二十七)北斗玉衡 轸(十十一度二 分) (三十一度一 分) 二(二十八)角宿南星 角(初) (度) (九十八度三十分) 一(二十九)北斗开阳 角(一一度十 分) (三十二度一 分) 一(三十)北斗揺光 角(七十二度五 分) (三十七度二十六分) 二(三十一)大角 亢(一十六度四 分) (六十七度五十八分) 一(三十二)招揺 亢(六十六度三 分) (四十九度十五分) 三(三十二)氐宿右北 氐(初) (度) (一百三度五十五分) 二(三十四)氐宿右南 氐(四十六度五 分) (九十八度五十分) 二(三十五)贯索大星 氐(四十六度四 分) (五十六度九 分) 二(三十六)天市垣梁 房(四十六度五 分) (九十一度三十六分) 三(三十七)心宿中星 心(一十八度五 分) (一百十五度一十 五分) 二(三十八)天市垣候星 尾(二十九度四 分) (七十六度二十一分) 一(三十九)天市垣帝座 尾(七十二度五 分) (七十四度五十一分) 三(四十)天棓南二星 箕(三十六度五 分) (四十度分二十三) 三(四十一)河鼔中星 斗(十八度二十分) (八十三度四十四分) 二(四十二)织女大星 斗(二十度三十分) (五十一度四十三分) 一(四十三)天津右北三星 女(二十) (度分) (四十七度十七分) 二(四十四)天钩大星 虚(二十二度二 分) (三十度五十分) 三(四十五)垒壁西星 虚(三五度十 分) (一百九度五十分) 三(四十六)危宿北星 危(初十八度二 分) (八十七度十 分) 三(四十七)室宿北星 室(初) (度) (六十五度三十分) 二(四十八)室宿南星 室(初) (度) (七十八度十 九分) 二(四十九)羽林大星 室(九十五度四 分) (一百六度五十二分) 三右法先定各宿之度以检各星入宿所在自星度对盘心画经线其纬度自盘心起算自一度至九十度皆在赤道规内视前法则为倒除其九十一度以外者皆出赤道之南用法同(此亦用角宿南星而以宿度代宫度)黄道经纬合度立算(此黄道枢入磨羯初度离北极廿三度半截算以万厯甲)(辰夏至为凖) 过宫 离白羊 离黄道 体等(一)天钩大星 白羊 (八八) (度分) 北(六十九度) 三(二)天仓右三星 白羊 (十十六度二 八分) 南(二十度三十分) 三(三)奎左北五星 白羊 (二十五度十 八分) 北(二十五度二十分) 三(四)娄宿中星 白羊 (二八) (八度 分) 北(七十度二 分) 三(五)阁道南二星 金牛 (三十二度十 八分) 北(四十六度四十五分) 三(六)天囷东大星 金牛 (三八) (九度 分) 南(十一度二十分) 三(七)大陵大星 金牛 (五十一度八 分) 北(三十三度) 二(八)昂宿二星 金牛 北(四度三十分五度) 俱五(九)天船西三星 金牛 (五十六度十一分) 北(三十度) 二(十)毕宿大星 隂阳 (六十四度八 分) 南(五十) (度分) 一(十一)参右足星 隂阳 (七十十度二 九分) 南(三十一度三十分) 一(十二)参左肩星 隂阳 (八十三度二十八分) 南(十七度) 一(十三)句陈三星 隂阳 (八十一度三十八分) 北(六十六度) 三(十四)五车西北 隂阳 (七十六度二十八分) 北(二十二度三十 分) 一(十五)天狼星 巨蟹 (九十九度八 分) 南(三十九度十 分) 一(十六)北河中星 巨蟹 (一百四度二十八分) 北(九十度三 分) 二(十七)北河东星 巨蟹 (一百七度五十八分) 北(六五度十 分) 二(十八)南河东星 巨蟹 (一百十度三十八分) 南(十六度十 分) 一(十九)北斗天枢 狮子 (一百三十二度八 分) 北(四十九度) 二(二十)星宿大星 狮子 (一百四十一度二十八分) 南(三十度三十分) 二(二十一)轩辕南三星 狮子 (一百四十二度三十八分) 北(八十度三 分) 二(二十二)轩辕大星 狮子 (一百四十三度五十八分) 北(○十) (度分) 一(二十三)北斗玉衡 双女 (一百五十三度三十八分)北(五十三度三十分) 二(二十四)北斗开阳 双女 (一百五十九度二十八分) 北(五十五度四十分) 二(二十五)北斗揺光 双女 (一百七十一度十八 分) 北(五十四度) 二(二十六)微西垣上相 双女 (一百五十五度三十八分) 北(十三度四十分) 二(二十七)太微帝座 双女 (一百六十五度五十八分) 北(十一度五十分) 一(二十八)招揺 天秤 (一百九十一度八 分) 北(四十九度) 三(二十九)角宿南星 天秤 (一百九十八度八 分) 南(二) (度) 一(三十)大角 天秤 (一百九十八度二十八分) 北(三十一度三十分) 一(三十一)贯索大星 天蝎(二百十六度八 分) 北(四十四度三十分) 二(三十二)氐宿右南 天蝎 (二百十九度二十八 分) 北(○十度四 分) 二(三) (二)氐宿右北 天蝎 (二百二十三度三十八分) 北(八十度三 分) 二(三十四)市垣梁 天蝎 (二百三十七度二十八分) 北(十六度三十分) 三(三十五)星宿中星 人马 (二百四十四度八 分) 南(四) (度) 二(三十六)市垣帝座 人马 (二百四十九度八 分) 北(三十七度三十分) 三(三十七)市垣候星 人马 (二百五十六度十 八分) 北(三十六度) 二(三十八)尾宿 人马 (二百五十八度五十八分) 南(十三度二十分) 三(三十九)天棓南二星 人马(二百六十一度三十八分) 北(七十五度三十分) 三(四十)织女大星 磨羯(二百七十八度四十八分) 北(六十二度) 一(四十一)河鼔中星 磨羯(二百九十五度十 八分) 北(二十) (九度 分) 二(四十二)危宿北星 寳缾(三百二十六度四十八分) 北(二十一度三 十分) 三(四十三)北落师门 寳缾(三百二十八度二十八分) 南(三十三度) 一(四十四)天津右北三星 寳缾 (三百三十度三十八分) 北(六十度) 二(四十五)羽林大星 双鱼 (三百三十三度八 分) 南(七十度三 分) 三(四十六)室宿南星 双鱼 (三百四十八度八 分) 北(十九度四十八) 二(四十七)室宿北星 双鱼 (三百五十三度三十八分) 北(三十一度) 二(四十八)天纲 双鱼 (三百五十七度八 分) 南(二十度二十分) 三右法先稽此星离白羊几度又离黄道几度在南在北而立黄道分天曲线依前分宫法寻黄道极次于酉中左行寻廿三度半作弦取遇子线止为对极之心折半求枢旋大规横画地心长线如前法乃以大规分周天度而自黄极午中左旋数四十七度𬹼用尺按对斜望地心横线画记以此为心旋规到黄极际作一曲线即为黄道分天线此线交于赤道处右去午中左去子中各得二十三度半核定为凖自此线之内为北此线之外为南于是乃察星离白羊经度几何仪法以夘中为白羊(即初交白羊之际)从此循黄道右行寻其定在几度依前黄极大规度法于地心横线取枢上际黄道极旋而规之即得本星经度然未知纬度何在则稽此星所离黄道纬度几何就以分天曲线限其内外假如星在北方黄道之内却于赤道规分天线外南北并向外数至本星纬度为𬹼望酉中各作斜弦此二弦又皆取其子午交处以之为𬹼上下相对折半求中以规按此中为极尽界为限运规移置本处经度曲线之上即其经纬相值正位若星在南方却于赤道规分天线以内数其离黄纬度余法相同假如欲置毕宿大星已知此星之去白羊六十四度八分即从白羊右行寻其躔度要从此望黄道之极作一曲线以成经度之规即于黄道大规横线寻一枢心法于黄道极顶与本星度𬹼上各作半规相向取其两交画线直望黄道大规横线上求之即得经线之枢又知此星在黄道南五度十分即于赤道分天线内两头各数纬度望酉作弦以取交于子午之处折中运规移置原有经度(凡度数自白羊起者逆行至子中为九十度酉中为百八十度余倣此)又法兼用黄赤二道另立平行规起式尤为简便借天秤为心(初交天秤即酉位中)侧望仪度以布星位作大半规分周天度如前法而稍赢其西南缩其东北法就赤道规子午线二中际各数二十三度半(南数则左旋北数则右转)各为𬹼望天秤画长弦此二弦名黄道斜络线南北皆当黄道规之尽际次自白羊南行亦数二十三度半再对天秤画弦以分前二弦之中而透过黄道之枢名北极直线其左右各匀作九十度共百八十度得半规之半凡星在黄道以内者此百八十度主之又将斜络线外两际各匀九十度亦共百八十度当半规之半凡星在黄道以外者此百八十度主之乃于外作一长界线贯天秤心为半规弦此弦直下适当天秤以下二十三度半之度与前北下南极之心相凖亦以验分度之齐否又于黄道旋规之枢横一线名黄道截心线(白羊上寻四十七度望天秤虚一线)(㸔午线所得为枢)以待求度直线而一一量之为寻枢旋规张本其说详后(此法斜络两线与前图黄道分天曲线同𬹼)次查星离黄道内外几度假如角宿南星离黄道南二度当于前图斜络线之西上下皆循西数各二度望天秤为虚弦取其过子午处两刻其界而折半求心以规之但折半求心未能无错则取其虚弦之过黄道规处上下相连再虚一直线与子午线竝行而取其经于黄道截心线者(从横相交小十字线)自天秤对此作弦透出子午之线以所经子午线处为枢然后尽前子午所刻两界为际而旋为一规此法无误是名黄道平行之规本星纬度只在此规之上若星在黄道之北者就前斜络线之东上下皆循东数到其纬度亦望天秤分界取枢作规如前法次乃求其经度则作赤道平行之规其法取赤道规度起算而以子午线东西分列其数如星在黄道之南则取午线东为数如星在黄道之北则取午线西为数假如此星离黄道以南二度则于赤道规午中右旋望白羊数二度之𬹼而对天秤画弦以过午线处为旋规之际乃就盘心为枢成小圜于赤道内是为赤道平行之规或星在黄道之北者于赤道午中望天秤左旋数去如前法大都星在黄道南则规在赤道之内而小星在黄道北则规在赤道之外而大此其槩也次察此星离白羊若干假如角宿南星原离白羊百九十八度八分即于平行赤规分其躔度而从白羊右转数及所当度分乃自黄道之极直画一线贯出遇前黄道平行规而止是为此星经度其赤道平行规度难于一一细分自有原立赤道规度可以对较此安星法其午线南出务令赢而有余(星在南则赤规反小星在北则赤规反大原所重在黄道之极故互换其规引极度以就)(规度)又法已有黄道平行规即不立赤道平行规但以黄道平规分周天度而取其对宫对度贯黄道之极而画弦求之假如角宿南星在天秤之十八度却寻白羊十八度𬹼从此画弦以贯黄道之极直至对宫规上相值之处即是星位盖匀分不合黄道惟从对宫贯极上疎下密其度自合(此与前分黄道宫与黄极者同)与前赤道平规所得无异而法更捷云(凡分匀度法不能毎规细量但设一平版或铜或坚木为式细画周天度四分之一)(如扇面然用时以规移置其上量取即得)凡位置星辰必须兼前数术以相叅騐始可无爽若盘小星密只择简要大星用之如左(娄宿中星星大陵大星星毕宿大星轩参左肩星五车北右 天狼星 宿中星 辕大星)(太微帝座织女大星) (角宿南星北落师门) (大角右二星心宿大星天津 室宿北星)右凡安星之法皆取针铓为星以对度分縁星体遥逺微茫不能别为他法故剉铜为针根巨末锐系之天盘稍取屈曲以防损壊歳周对度图说第十四凡平仪皆列三百六十度以从捷要若乃一歳之周实三百六十五日三时则每日太阳之行实不能及一度若槩以毎日一度求之其失不细今于仪之背周天度内另立一规以合歳周以对节气中气其法先定奥日奥日者从天顶中线入巨蟹九度为𬹼望盘心作一线用规自度𬹼至盘心折半求中又自中至盘心折半凡为折半者五其第五次之心则自盘心至度𬹼三十二分之一也即以此处为旋规之枢上尽九度𬹼旋大规分三百六十五度四之一为歳周规较周天规稍偏以歳规自天顶中匀分十二得中气又匀分二十四得节气而各画其界盖厯家以南至北至分二至复折二至相距之中以定春秋分故太阳已过赤道三日半而为春分太阳未交赤道三日半而为秋分先后共差七日必以规筩先攷内轮歳周之度视其所当外轮天度在于某𬹼然后准此以视天盘黄道方与天合也其二十八宿细度亦随歳周锲之自冬至起交箕四度(以甲辰躔为率)右行至春分交壁三度夏至交参九度秋分交翼十七度凡二十八宿定度箕九度半斗二十三度半(其三度太入丑宫)牛七度女十一度(其二)(度入子宫)虚九度危十六度(十二度太入亥宫)室十八度少壁九度少奎十七度太(一度太入戌宫)娄十二度少胃十五度太(三度太入)(酉宫)昴十一度毕十六度半(七度入申)觜五分参一十度少井三十一度(八度少入未宫)鬼二度栁十三度(四度入午)星六度少张十七度太(十五度少入巳)翼二十度轸十八度太(十度入辰)角十二度太亢九度半氐十六度半(一度少入夘)房五度半心六度少尾十八度(三度入寅)此皆约其大畧不能细具分秒(大约过三)(之二为太三之一为少二之一为半)而台厯过宫之度亦可槩见(仪载白羊等宫)(率取便于锲度盖西国厯法不动的月从戌推起所谓步戍成歳若中厯太阳过宫见前注)六时晷影图说第十五昼夜长短刻数前法备矣又有不论长短但以自晨至昏匀为六时者古法有之按轨顾影亦可知一日之中已过几许起学人寸隂之惜也刻之平仪之背隙处旁借周天度以测日景中取地平横线上半规为用于半规之中为枢上际规线下际盘心横线作一小规此为午线规(当第六停之界)次以平线上之大半规匀分十二停各刻其界以为规际而俱过盘心以旋之其各规之枢依三㸃联圜之法取诸天顶直线之中大约皆在午线南上以为规枢也东第一规为第一分界其次规为二界以渐计之其用先审本日是何节气午中日高几度几分取其最高之景为用以瞡筩中线置于旁镌分天度而审其正当内规所在以墨点记尺上(此㸃有二三日可用)因以所点测太阳景视其所到高低以占时候勾股弦度图说第十六天地之道尽于方圜圜以规天方以条地刻方度于圜度之内而用瞡筩四游以凖之九数以归之以御逺近高深之数有灿然者矣法取仪背地平线下半规为半方形两角对枢心各作一斜线曰弦以为勾股相交之限在下者曰勾在侧者曰股以望高若深为大股率取仪小股凖之以望逺若近为大句率取仪小句凖之皆据瞡筩以定其度凡二股二弦一句其句匀分二十四度其两股各匀分十二度而毎度之中又各匀为十二度其两股各匀分十二度而每度之中又各匀为十二分每停共一百四十四分如不能细分则刻作三分或五分七分举其大畧亦可但毎画皆宗枢极凡有所测以筩对影而审察其度云其法另具定时尺分度图说第十七取仪面半衡为用当中分一直线首设横线如十字以十字为枢就平衍器上用规量度先倣仪度作赤道半规自平线至顶际左右各列九十度而从夘上一度起望酉中作弦就午线一一刻之如取长短规法至一百十三度半而㑹于短规之际稍引长焉仍去其分中之半以便检对十字心钻窍与瞡筩共入一枢此尺度用定时刻若以审太阳列星出入赤道几何此亦切用或不能逐度细分则二度一𬹼亦可用例图说第十八凡盘隂外轮度专藉瞡筩为用其瞡筩全用立表二窍仰对日景以测日高几度几分及星高几度几分先以二大窍睹其畧次以一细窍审其微凡昼观太阳者先以瞡筩定其度分高卑因检是日太阳在某节气之几日以歳周对度图定之置其躔于黄道度上因以黄道躔配合地盘所当渐升之度次以定时尺加黄道𬹼直指外轮时刻不惟可知时刻抑且知其细度云凡审知太阳毎日所在宫度即知太阳对冲宫度若未审太阳宿所在确度而欲以通宪检正之者一面另下漏箭至子正四刻以筩求星对地盘度而视午中线得对冲视子中线得本躔度凡以瞡筩测太阳午影而未知其为已过午未过午者用参伍法初测之在某度再测之在某度若初下再高则未过午也初高再下是已过午也未过午置日度于盘左已过午置日度于盘右凡夜观近南星宿未知其在东在西亦如前以筩连瞡二次渐高者在东方渐卑者在西方凡欲知太阳列宿高低几何不论何日何时但以黄道星宿盘按时旋转就地盘渐升度求之虽未测景可以尽算凡欲求太阳出地最高之度于正午时验之用参伍法取本日最高影为据但定一歳则他歳同节候及同离节候第几日者其太阳皆同凡欲徧攷毎节毎日午景最高几度即审其日黄道所躔何在而以躔加于午线后就渐升度算之顷刻可以周知一歳即以定时尺检之亦同此在已知地度之后又法即以本地所离赤道之度与后所列太阳出入赤道纬度二数相参若春分后太阳北行即加所得纬度于地度外秋分后太阳南行即减所得纬度于地度内太阳离赤道纬度图右图以节气配过宫聊便检阅其白羊天秤之初为太阳正交赤道之候今厯注昼夜五十刻之日是也乃是春秋正中独有此日立表于地自朝至暮表颠日景如矢直指夘酉之正天下皆同制有晷影可验厯法但定二至日因折衷以取二分共作四大限所以春分在太阳未交赤道前三日秋分在太阳已交赤道后三日今但依歳周对度图攷之自凖凡天隂测日其景不能通窍但以瞡筩二大窍仰窥云内微景亦可畧知凡稽时于夜者以星为凖以瞡筩二窍仰望所求之星在何度分务求确当以星检盘按度加于渐升度上仍查本日太阳所躔黄道度处而以定时尺所指视其某时某刻此法惟太阳及经星可用若太隂去地甚近则当算地中为凖难以地面测之辰星太白亦然又五星各有迟留退逆故虽荧惑歳填去地绝逺亦不繁及凡昼夜不拘长短可以匀作十二分而以太阳所到测定但因地盘渐升度密难以细载且将地平规下匀分但以太阳对冲法推之自可互见盘隂又有小规若天盘黄道正仪以之用星亦可凡欲知各节候昼夜长短须考日出日入时刻以黄道先定日躔加于地平线界而以定时尺视其刻分循此上至午中得几何刻为半昼数倍之得全昼数其外轮时刻毎三十度得一时每三度四十五分得一刻右图且以四刻为一时以便推算毎时共六十分毎刻得一十五分而以一分为六十秒一秒为六十忽自上视之则以度化时化分自下视之则以度之分化时之分若秒以度之秒化时之秒若忽也凡计日百刻者毎刻作六十分毎时有八刻又零二十分作二小刻今节去余分以便镌记故毎日止九十六刻通算另有乘除之法(以瞡筩所测得时刻或逐节所查得度与中法一百相乘为实)(而以九十六为法除之即得若有零分零秒者化之)凡欲查天下昼夜长短细数以北极出地多寡为候先检前图日离赤道逺近纬度乃与本地方下所列黄赤差率相凖(如后图)视其所差若干度依前化度为时即得其地昼夜长短之数盖北极多寡既异则黄道斜转其度自各不同极之出地少则所差度少昼夜刻差亦少若北极渐高则黄道所差视赤道之下渐多故北方冬至昼短夜长比于南方迥异夏至亦然周髀曰北极之下其人朝种暮获盖以春秋分之际判朝暮一昼夜当期之日若地当赤道之下则通年昼夜平分以浑仪视之可知非诞说也黄道纬与赤道经差率(第一行七曜所躔黄道纬也以后皆北极出地度下所注)(度乃赤道三百六十内外増减之数此北极度已尽中国幅员逺国不暇具载)右图以黄道所离赤道之纬而对北极度下所注以算天下各节气之昼夜长短应有余为长率不足为短率依此可得半昼之数加一倍为全昼数就九十六刻内减昼刻分数可得夜刻分数以减夜数亦得昼数此图不能细具零分其纬度有零分者视前格与后格中差几何而以零分并全度所化乘之以度法六十归之若求百刻法则另用乘除如前凡盘中未定朦线而欲以时尺定之者取平线以上十八度为凖假如欲知晨段朦景几刻则将本日所躔加于西地平日未没前十八度𬹼而以定时尺审其相去日没几刻其对冲度即是晨度刻数求昏度者倣此如已定朦线者则以日躔置朦线上与日出日入之时相较而其刻数多寡可知大约北极愈高则朦胧影亦愈久而一日之内晨昏可以互见一歳之内日躔纬度相同者亦可以互见凡匀分一昼为十二度而测定之者有盘背小度名分曜晷以本日太阳午影最高度㸃识瞡筩随日高低望之法具前图如欲分为五分而审其已过几分则以黄道置地盘日所到度而以对宫度详之看在分更线上第几画即是日间已过几分之数如大暑日则视大寒度是也凡昏旦中星昼夜刻数不齐朦影又不齐殊难确当此仪却有四要可攷一天中一地中乃子午之正向一出地一入地定东西之升沉以日以星定其时时正而某星当中某星初出某星初入暸然也因而推日躔某宿某度亦了然也但以节气为限则毎歳皆同至过百年后列宿推移未免稍差则天盘度当推改耳凡查太阳离赤道内外几度以日躔加午线上而视其地盘赤道之瞡相离度分若干列宿同法或以定时尺度加上日星之躔亦得其数日躔每日有差星位终年不动百余年或差一度半度亦以去极逺近为率推改如前例云凡察北极高卑昼取太阳夜取列宿皆可审定于正午时瞡望太阳出地高几何度而查是日节气所躔原在某度因以前日离赤道纬度为算如日行赤道内则用减日行赤道外则用加如前法假如大寒后十四日离赤道外十六度五十七分日影高三十三度三分以日影加赤道数得五十度便知赤道高五十度其北极去赤道九十度除去五十度即知北极出地四十度(若厯纪昼)(夜各五十刻之日午景所得正在赤道之上最为易算)又法以筩测影専算正午日离天顶几度假如大寒后十四日验得日离天顶五十六度五十七分是日太阳行赤道南十六度五十七分除十六度五十七分仍剰四十度则知赤道出地五十度北极出地四十度(大约于九)(十度内除赤道度即得北极度若除北极度即得赤道度)凡以星察北极出地几度者随取一大星为凖以筩测其曾到午位正中否若未知地位之正亦如观太阳法参伍验之如已知地正者俟其既到午位再㸔离地几度因查此星原去北极几度去赤道南北几度而乘除算之假如毕宿大星原在赤道北十六度今测之离地六十六度二十分内除十六度尚有五十度二十分便知本地赤道出地五十度二十分于九十度内除去五十度二十分即是北极出地三十九度四十分须知地方北极高低度分乃可安顿地盘凡南北相悬者验以北极至于东西异地则当以月蚀验之先知一处地方月食定在何时何刻为食初候或食甚复圆之候至于他处蚀时按宪观其初蚀及蚀甚复圆在于何时何刻与前所定时刻相去几度或以合朔推算其法亦同俱可测其地差大约毎四刻应差十五度假如时差八刻则晷影应差三十度是地方相距亦三十度也再以北极高低参算斜直定其里数自北至南毎北极差一度即地差二百五十里其自东至西者赤道之下亦如之渐南渐北其度渐窄则其里数亦减有立成算法(右法以地凖之则每度径得二百五二里毎分径得四里零六分里之一凡积十四秒零 十四忽为一)(里积二一分二十四秒为十里积里十四分为百里积四度为 千里积四十度为一万 此皆以弦直道论)(云)凡视地盘度不知为何地合用之度者自地平线数至盘心可以知北极出地之数自天顶数至赤道可以知地方去赤道之数凡察太阳同出同入之星先定太阳躔度置地平线而视其同在线上者是何星宿即系当日同出同入之星若欲求某星以何日与太阳同出同入则以星置地平线检黄道躔即得欲求同过午中者亦如之而以午线为法凡欲豫定各星当以何时出地何时入地或何时到某位何时过午中俱以星盘轮转而审其太阳所躔以时尺按之以外轮对之一一可见凡经星随日东出或西入欲知何日离日可以晨见者以其星置东地平规上而视其日出以前朦影是值黄道何度即得此星东方晨见之期若视西朦影下黄道所值即知此时此星西方昏见之期或查某星何日入地不见或近太阳不见者则置西平地规亦检太阳其法正与前反凡审辩方位者以子午线定南北以过顶曲线之交于赤道者定东西其余八方或十二辰或二十四向或六十四卦位或三百六十度皆以地盘定之兹且设二十四线毎线该十五度自地平达天顶凡太阳及诸星见在某位或豫定某时当在某位及从何位下出地何位下入地按图皆如指掌故已知方隅正位虽不用升度亦可若未知方隅正位即以通宪定之亦自精当不拘何时以筩瞡得日高度即运黄道躔加于地盘升度视其见在何方及何细度乃以背仰顿平处移瞡筩之中线向之复以目仰望日影令其上下相对既定一向则其余东西南北皆据仪背外轮之度一切审定夜用列星亦同此法凡星辰隠见多寡皆视北极高卑古称近北极三十六度星辰常见不隐近南极三十六度星辰常隠不见殊未必然兹以盘心为极枢以列宿盘旋转观之凡不离地平线上者皆为常见之星其余随时各有出入则南北显见多寡迟疾皆可推测凡查五更时候瞡定星度安置升度以尺就太阳视所躔见在朦影之下几线若在初一线内为初更其余依次凡初学未识星宿者但认取一星见在之度余星以瞡筩测望而凖之以在垣度分参之以地盘宫位亦可推广假如到晚朦影尽时向高旷可望处所置本日所躔于朦线上即视何星方出何星将入或在正东或在正西正南北者一一认取何向次将宪背仰顿平处先定南北之位次以瞡筩旋转与星相望则可知地平以上之星若欲辩认稍高之星则查其星在于何方及离地几度然后对度向方亦可检取如京师夏至二日安本日度于朦线上则见危宿北星自正东夘中出室南星出地离正东以北一十八度天船大星出地离正北以东十一度壁北星将出离东北艮方稍东一十四度轩辕大星将没离正西稍北十三度依前法以宪背观之自当了了又查河鼓大星在东地平上十一规有半即是高三十四度半位在正东稍南十二度则置瞡筩于三十四度上向东测求余星倣此凡厯家每日以七曜之一为本日所直宿盖取天体层数定之昼夜匀作二十四分如第一分属太阳则第二为金三为水四为月五为土六为木七为火周而复始则其第八第十五第二十二皆属太阳至二十四属水而一日终焉次日之第一乃当属月厯取首分之曜为一日之直因以月继日而以日月火水木金土作每日之序云其所云二十四分者不论昼夜长短但匀日出后十二分日入后十二分亦非一时截作两时今以地盘匀分二十四分相对推之可见其序此外别有推论祲祥及人诞生所值智愚夀殀诸法此不悉载句股测望图说第十九凡句股以御逺近高深但有影可射者用瞡筩窍视其影如无影可射者以目力对望之凡所望皆如筩窍所指为据凡筩在句股之交者句与股等知句即知股知股即知句其不适在句股之间者别有算法凡以矩法御勾股者先须熟识变互之法变法者变句度为股度变股度为句度也各以方仪细度为凖方仪每隅皆分细度共作一百四十四数立此为积而以筩中𫄧所值之度分焉即得变度假如筩在股三度今欲化为句度即以一百四十四为实以三数为法归之是得四十八为句度数假如筩在勾五度零三分度之二今欲化为股度即以一百四十四为实而以五度三分度之二为法归之是得二十五度零十七分度之七为股度数也因句法平行股法直上直上之度逾上逾寛不可以平度等假如股之一度乃句之一百四十四度故必须立算互换始穷真数矩法之妙全在于此有余分者悉以全度化为零分其细度百四十四者亦从化法凡以筩望高者以所望为大股以我足下至彼股下为大句而以仪之小句股知之㕘伍于仪度以凖之 若筩之𬹼在小句则大股之长过于大句也已知大句是几何歩即以仪度乘之(即十二度)以小句所得度分之而其大股之高可知焉假如望之而筩𬹼在小句八度(无余分)其大句长三十步则以仪度十二乘大句三十(得三百六十步)而以小句之八数分之(得四十五)是知大股之高四十五步也若𬹼在小股则大股不及大句也已知大句是几何步却以小股所得度乘之而以仪度分之(即十二度)假如𬹼在小股七度而大句长六十步以小股之七乘大句六十(共四百二十步)而以表度之十二分之(得三十五)是知大股高三十五步 大抵所求在大股者筩在句则用以分而乘数在仪筩在股则用以乘而分数在仪 然须以自目至足之数加大股上 如先知大股而欲求大句之数者其乘分之法反用如已知塔高若干而欲覆知其塔影所底之类筩在句则用以乘而分用仪度筩在股则用以分而乘用仪度一互换之凡以筩望高而筩𬹼所值有余分者取其总度悉化为余分以乘之亦化为余分以归之假如筩𬹼在小股七度零五分度之一是有余分也即毎度皆化为五分是为三十六分此望股值股与大股为乘法其大句长六十步以所值小股数(三十六分)乘大股六十数(共二千一百六十)而以仪度为分法亦毎度皆化五分(共六十分)以归之(得三十六)是知大股高三十六步也如筩𬹼在小句者亦倣前例化用之皆加自目至足数若以筩望高既不知大股之数亦不知大句之数须以重差测之先以筩遥望审其𬹼在于某度又或前或却若干步(要取迳直)审其𬹼在于某度其两次筩上所测凡差几度为筩差在人足所立为表差各以仪度(十二)乘表差而以筩差为法分之然有正算有变算凡望大股之数而筩在句度用正法若望大股之数而筩在股度者用变法 假如初测筩𬹼在句一度次测𬹼在句十一度此望股得句也用正法其筩差十度用为分法其表差二十五步用以与仪度(十二)相乘是为正算而取其乘之所得(计三百)以筩差归之(得三十)加以自足至目之数或加一步并入大股为高三十一步 假如初测筩𬹼在股九度次测𬹼在股四度此望股得股也用变法变股为句变九度为一十六度变四度为三十六度(九分一百四十四得)(十六四四分一百四十 得三十六)其法如前两筩𬹼差二十度用为分法其表差五十步与仪度(十二)相乘而取其乘之所得(计六)(百)以筩差归(得三十数)加自目至足一步为三十一步高其已知大股几何高而欲覆知其大句之数为几何逺是为以高量逺即以前法互换为乘分云附录一法以镜量高置一镜于平地对所量处却立取其最高倒影入镜中心先定自目至足为小股几何尺自镜心至所求之足为大句几何尺两数相乘而以吾足至镜心为小句之数以分之其分得之数即其所望之数或以水㿻代镜亦同又法立表求高先对望立一长表次依直线退行若干步直立一短表(或不用短表即以已身自目至足数代之尤便)以目自短表际(或即吾目处)望长表际及所望最高之际三际相齐以所望为大股而取前表较后表高差几何为小股又自后表至所望最高之址几何尺为大句以小股与大句相乘而以前后表相距之尺寸为法分之加短表颠至地之数即知大股之高如不能知其大句之数则立四表而互征之先立一表退立一短表(或即以已目代之)望短表际与长表际及所望最高之际相齐乃量长短表相距几何为前数又或前或郤但取直线再立长表(移前表用之亦可)亦退后立短表自短表际望长表际及最高际皆齐又量长短表相距几何为后数乃较前后数相差几何为表句差次以长表较短表多几何为表股差次察前短表距后短表地几何为大句差以大句差与表股差相乘而分之以表句差焉算定加短表之数即得大股数凡以筩测深者以所望之深为大股以水径为大句以仪中度为小句数而参伍于仪度以凖之先以筩窍自此对射水际审值何度如在句度则以仪度乘水径数而以小句所值度分之假如以筩量井深几何其小句值三度上其井水径十二尺即以十二乘仪度(亦十二一共乘得)(百四十四)以小句三数归之(得四十八尺)是知井深四十八尺也如在股度则以小股度与井水径相乘却以仪度分焉凡以筩望逺者务取身立处与所望处相平或望极逺则立于高台大山以望之亦须先知台址山址到吾目几何丈尺方可布算而以所望之逺为大句以吾目至足或台址山址之与彼相凖处为大股以仪为小句股而测之凡筩在句度者是大句不及大股也以小句所值度乘大股而以仪度(十二)分之其分之所得为大句数若筩在股度者是大句逺于大股也以仪度(十二)乘大股而以小股所值度分之亦如前附录一法立表求逺者遥望立一长表(或以已身自目至足代之)取直进几步立一短表自长表际望短表际及所取最逺之际相齐乃以长表较短表多几何为表股差率次量二表相距几何为表句差率长表高几何为大股率以表句与大股相乘而以表股差分之即得大句逺数又有望极逺平立四表者不论表之长短但取四隅立算其法尤精先对所望立一表为前表次退若干步立一表为后表作直弦相望次于前表或左或右相去几何立一表为前辅表(前后表与所望处如弦直射则此表与前表须)(取方横列不可稍徧于前后也谓之直角形与前后表如曲矩)又于后表左右立一表为后辅表自后辅望前辅及所望之逺处亦如直弦(后辅亦与后表横对不可稍差盖前后二表与后辅亦如曲矩是也)其自后表至后辅比于前表至前辅尺寸必多乃较其所多之数为大句差以前表至后表数为小股差以前辅表至前表为小句差而以小股乘小句以大句差分之即得逺数又法立表用矩者(即木匠曲尺)立一表置矩心于表颠其矩専视曲转两际以稍昻一际直射所望之逺处须自矩角对矩昻际及逺处如直弦然次乃回望稍低一际视其射于何处亦自矩角对低际及地上如直弦然而画记之其画处至表址甚近也乃以矩角至表址数自乗而以表址至画记之数分之即得所望逺数又法欲知江河之濶若干就水旁立一表加一短尺或竹木之枝但以一物为标斜射彼岸水际望定表端所射即将其表旋向平地视其所射之际量之即得河水濶数如不用表则以身代之及取一器映目为率回身取数更便浑盖通宪圗说卷下◆ 《圜容较义-明-》（KR3f0016）
## 提要
钦定四库全书 子部六
圜容较义 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案圜容较义一卷明李之藻撰亦利玛窦之所授也前有万厯甲寅之藻自序称凡厥有形惟圜为大有形所受惟圜至多浑圜之体难名而平面之形易析试取同周一形以相叅考等边之形必距于不等边形多边之形必距于少边之形最多边者圜也最等边者亦圜也析之则分杪不亿是知多边聨之则圭角全无是知等边不多边等边则必不成圆惟多边等边故圜容最巨昔从邢公研穷天体因论圜容拈出一义次为五界十八题借平面以推立圜设角形以徴浑体云云盖形有全体视为一面从其一面例其全体故曰借平面以测立圜面必有界界为线为边两线相支必有角析圜形则各为角合角形则共成圜故曰设角以徴浑体其书虽明圜容之义而各面各体比例之义胥于是见且次第相生于周髀圆出于方方出于矩之义亦多足发明焉乾隆四十六年十二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 序
圜容较义序
自造物主以大圜天包小圜地而万形万象错落其中亲上亲下肖呈圜体大则日躔月离轨度所以循环细则雨㸃雪花润泽旉于涓滴人文则有旋中规而坐抱鼓况颅骨目瞳耳窍之浑成物宜则有谷孕实而核含仁暨鸢翔鱼泳虵蟠之咸若胎生卵育混沌合其最初葩发苞藏团栾于焉保合俯视沤浮水面仰观晕合天心抟风滃乎苹端湛露擎于荷葢砂倾活永任分合以成颗鲛泣明珠撒柈杆而竞走无情者飞蓬转石斡运总属天机有情若鼄网虫窠经营自凭意匠若乃灵心濬发尤多规运成能壁水明堂居中而宣政教六花八阵周衞而运正奇乐部在悬箫鼓共圜钟迭奏轺车欲驾轮辕贯枢轴其旋戏塲有蹴鞠弹棋雅事对莆团莲漏忽然一啑成如珠如雾之谈奇谩说恒沙满三千大千之国土至于火炎锐上试逺瞩而一㸃圆光水积纡回指寥天而两缝规合葢天籁地籁人籁声声触窍皆圜如象官象事象物粒粒浮空有烂所以龟畴蓍䇿用九之妙无穷羲画文重围圜之图不改草𤣥翁之三数安乐窝之一丸先天后天此物此志云尔凡厥有形惟圜为大有形所受惟圜最多夫浑圜之体难明而平面之形易晰试取同周一形以相参考等边之形必巨于不等边形多边之形必巨于少边之形最多边者圜也最等边者亦圜也析之则分秒不亿是知多边聨之则圭角全无是知等边不多边等边则必不成圜惟多边等边故圜容最巨若论立圜浑成一面则夫至圜何有周边周边尚莫能窥容积奚复可量所以造物主之化成天地也令全覆全载则不得不从其圜而万物之赋形天地也其成大成小亦莫不铸形于圜即细物可推大物即物物可推不物之物天圜地圜自然必然何复疑乎第儒者不究其所以然而异学顾恣诞于必不然则有设两小儿之争以为车葢近而盘盂逺沧凉逺而探汤近者不知二曜附丽于乾元将旦午之近逺畴异气行周绕于地域其厚薄以斜直殊观初𤾉暎气故晖散影巨而炎旭应㣲亭午笼虚则障薄光澄而曝射当烈又有造四大洲之诳以为日月遶须弥为昼夜地形较纵广于由旬者试问须弥何物凌日与月而亏天且纵广奚稽乃狭与弯之变相积由旬至亿千万则地径有度金轮岂厚载所容统忉利谓三十三则象纬正圜诸天之棋絫可怪且夫极辨者方圜之体若白黒一二之难欺最精者方圜之度当㣲渺毫茫之必析冲虚撰模棱而侮圣释氏骋荒忽以诬民彼曽不识圜形恶足与窥乾象夫寰穹邈矣岂排空驭气可以纵观乃道理跃如若指掌按图无难坐得昔从利公研穷天体因论圜容拈出一义次为五界十八题借平面以推立圜设角形以征浑体探原循委辨解九连之环举一该三光映万川之月测圜者测此者也割圜者割此者也无当于厯厯稽度数之容无当于律律穷絫黍之容存是论也庸谓迂乎译旬日而成编名曰圜容较义杀青杀竟被命守澶时戊申十一月也柱史毕公梓之京邸近反人汪孟朴氏因校算指重付剞劂以公同志匪徒广略异闻实亦阐著实理其于表里祘术推演㡬何合而观之抑亦解匡诗之颐者也圜容较义序
## 圜容较义
钦定四库全书圜容较义明 李之藻 撰万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界显界从线结总曰边线边线之最少者为三边形多者四边五边乃至千万亿边不可数尽也三边形等度者其容积固大于三边形不等度者四边以上亦然而四边形容积恒大于三边形多边形容积恒大于少边形恒以周线相等者验之边之多者莫如浑圜之体浑圜者多边等边试以周天度剖之则三百六十邉等也又剖度为分则二万一千六百边等也乃至秒忽毫厘不可胜算凡形愈多边则愈大故造物者天也象天者圜也圜故无不容无不容所以为天试论其槩凡两形外周等则多边形容积恒大于少边形容积假如有甲乙丙三角形其边最少就底线乙丙两平分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂线(几何原本一卷八)次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者(一卷四又三十六)既甲丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等(一卷三十四)则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四边皆与乙丁相等甲丙边为弦其线稍长试引丙戊至已引丁甲至庚皆与甲丙甲丁线等而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四边形与三边形等周者四边形容积必大于三边形凡同周四直角形其等边者所容大于不等边者假有直角形等边者每边六共二十四其中积三十六另有直角形不等边者两边数十两边数二其周亦二十四与前形等周而其边不等故中积只二十又设直角形其两边各九其两边各三亦与前形同周而中积二十七又设一形两边各八两边各四亦与前同周而中积三十二或设以两边为七以两边为五亦与前同周而中积三十五是知边度渐相等则容积固渐多也试作直角长方形令中积三十六同前形之积然周得三十与前周二十四者逈异令以此周作四边等形则中积必大于前形凡同周四角形其等边等角者所容大于不等边等角者设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形(一卷三十五)与不等角形同底原相等(一卷十九又三十四)甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形因显四等角形大于不等角形以上四则见方形大于长形而多边形更大于少边形则圜形更大于多边形此其大略若详论之则另立五界说及诸形十八论于左第一界等周形 谓两形之周大小等第二界有法形 谓不拘三边四边及多边但边边相等角角相等即为有法其欹邪不就规矩者为无法形第三界求各形心 但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即系圜与形同心第四界求形面 谓周线内所容人目所见乃形之一面第五界求形体 如立方立圜三乘四乘诸形乃形之全体第一题凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐高以中分线及高线作矩内直角方形必与三角形所容等解曰有甲乙丙三角形平分乙丙于丁于庚作垂线至甲至辛作甲丁己丙及辛庚己丙直角题言直角与三角形等先论曰甲乙丙三角形平分乙丙于丁作甲丁线次从甲作戊己线与乙丙平行又作己丙戊乙二线成直角形此直角倍大于甲丁丙己形亦倍大于甲乙丙角形(一卷四十一)故甲乙丙三角形与甲丁丙己形等(一卷三十六)次论曰作甲丁垂线而第二图丁非甲乙之平分第三图甲在方形之外皆从甲作戊己线引长之与乙丙平行成戊己丙乙方形及甲己丙丁方形而各以丙乙平分于庚作庚辛垂线视甲丁为平行亦相等(一卷三十四)其戊己丙乙倍大于辛庚丙己亦即倍大于三角形何者以辛庚丙己长方形分三角形底线半故(一卷三十六)第二题凡有法六角等形自中心到其一边之半径线作直角形线其半径线及以形之半周线舒作直线为矩内直角长方形亦与有法形所容等解曰有甲乙丙丁戊己有法形其心庚自庚至甲乙作直角线为庚辛另作壬癸线与庚辛等作癸子与甲乙丙丁线等即半周线也题言壬癸子丑直角形与甲乙丙丁戊己形之所容等论曰自庚到各角皆作直线皆分作三角形皆相等(一卷八)其甲乙庚三角形与甲辛辛庚二线所作矩内直角形等(以甲辛分甲乙之半故本篇一题)若以甲乙丙丁半形之周线为癸子线以与壬癸线共作矩内直角形即与有法全形等葢此半边三个三角形照甲乙庚形作分中垂线其矩线内直角形俱倍本三角形故第三题凡有法直线形与直角三邉形并设直角形傍二线一长一短其短线与有法形半径线等其长线与有法形周线等则有法形与三邉形正等解曰甲乙丙有法形其心丁从丁望甲乙作垂线又有丁戊己直角形其边丁戊与法形丁戊有等其戊己线又与甲乙丙之周线等题言丁戊己三角之体与甲乙丙全形等论曰试作丁戊己庚直角形两平分于壬辛作直线与丁戊平行则丁戊辛壬直角形与甲乙丙形相等(本篇二题)何者戊辛线得甲乙丙之半周而又在丁戊矩内即与有法形全体等故也其丁戊己三角形与丁戊壬辛直角形等则丁戊巳三角形与甲乙丙全形亦等第四题凡圜取半径线及半周线作矩内直角形其体等解曰有甲乙丙圜其半径为丁乙又有丁乙戊巳直角形两丁乙等之半圜线与戊乙等题言甲乙丙所容与丁乙戊巳直角形所容等论曰试以乙戊引长到庚令庚戊与乙戊等则乙庚与圜周全等次从丁望庚作直线既丁乙庚三角形之地与全圜地相等(在圜书一题)而丁乙戊巳又与丁乙庚三角形等(本篇四又一卷)(四十注)则丁乙戊巳自与全圜体等第五题凡直角三边形任将一锐角于对边作一直线分之其对边线之全与近直角之分之比例大于全锐角与所分内锐角之比例解曰有甲乙丙直角三边形丙为直角从甲锐角望所对丙乙边任作甲丁线题言丙乙线与丙丁线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例论曰甲丁线大于甲丙而小于甲乙(一卷十九)若以甲为心以丁为界作半规必分甲己线于乙之内而透甲戊线于丙之外其甲乙丁三角形与甲己丁三角形之比例大于甲丁丙三角形与甲丁戊之比例何者一为甲乙丁大形与甲己丁小形比一为甲丁丙小形与甲丁戊大形比也则更之乙甲丁形与丁甲丙形之比例大于己甲丁形与丁甲戊形之比例(五卷二十七)合之则乙甲丙形与丁甲丙形即是乙丁线与丁丙线之比例(形之比例与底线之比例相等在六卷)固大于甲己戊形与甲丁戊形之比例其甲己戊圜分与甲丁戊圜分之比例原若己甲戊角与丁甲戊角之比例(六卷三十三系)则乙丙线与丁丙线之比例大于乙甲丙角与丁甲丙角之比例也第六题凡直线有法形数端但周相等者多边形必大于少边形解曰设直线有法形二为甲乙丙为丁戊己其圜周等而甲乙丙形之边多于丁戊己(不拘四边六边虽十边与十一二边皆同)(此论)题言甲乙丙之体大于丁戊己之体论曰试于两形外各作一圜而从心望一边作庚壬作辛癸两垂线平分乙丙于壬分戊己于癸(三卷三)其甲乙丙形多边者与丁戊己形少边者外周既等而以乙丙求周六而徧以戊己求周四而徧则乙丙边固小于戊己边而乙壬半线亦小于戊癸半边矣兹截癸子与壬乙等而作辛子线又作辛戊辛己及庚丙庚乙诸线次第论之其己丁戊圜内各切线等即匀分各边俱等而全形边所倍于戊己一边数与全圜切分所倍于戊己切分地亦等则甲乙丙内形全边所倍于乙丙一边与其全圜切分所倍于乙丙切分不俱等乎其戊己圜切分与戊丁己全圜之切分若戊辛己角之与全形四直角(六卷三十三题之系)则以平理推之移戊己边于甲乙丙全边亦若戊辛己角之于四直角也而甲乙丙内形周与乙丙一边犹甲乙丙诸切圜与乙丙界之一切圜亦犹四直角之与庚乙丙角也(六卷三十三之二系)则又以平理推戊己与乙丙即戊癸与乙壬而乙壬即是癸子又以平理推而戊辛己角与乙庚丙角亦若戊辛癸之与乙庚壬也(五卷十五)夫戊癸与癸子之比例原大于戊辛癸角与子辛癸角之比例(本篇五)则戊辛癸与乙庚壬之比例大于癸辛戊与癸辛子之比例(五卷十三)而癸辛子角大于壬庚乙角(五卷十)其辛癸子与庚壬乙皆系直角而辛子癸角明小于庚乙壬角(一卷三十二)令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬边亦等于子癸边则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸(一卷二十六)令取庚壬线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也(本篇二)然则多邉直线形之所容岂不大于等周少边直线形之所容乎第七题有三角形其邉不等于一边之上另作两边等三角形与先形等周解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两边不等欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两边又等其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲乙乙丙两边并既大于甲丙边(一卷十)则丁己己戊两边并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣(一卷三十)(二)以作甲庚丙得所求葢庚甲庚丙自相等而甲丙同边则二形之周等而甲庚丙与甲乙丙为两边等之三角形(此庚㸃必在甲乙线外若在甲乙邉)(上过辛则辛丙线小于辛乙乙丙合线即不得同周)第八题有三角形二等周等底其一两边等其一两边不等其等边所容必多于不等邉所容解曰有甲乙丙形其甲乙边大于乙丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形与甲乙丙等周(本篇上)而丁甲丁丙两腰等亦与甲乙乙丙合线等题言甲丁丙角形大于甲乙丙论曰试引甲丁至戊令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两边与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两边等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半(一卷三十二)令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行(一卷廿八)又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线聨之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也(六卷)(一)因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙丙矣(问戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙与丁丙甲)(两角等而戊丁丙为其外角凡外角必兼两内角故也)第九题相似直角三边形并对直角之两弦线为一直线以作直角方形又以两相当之直线四并二直线各作直角方形其容等解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊两角为直角而甲与丁丙与己角各相等甲丙与丁己相当甲乙与丁戊相当题言并甲丙丁己为一直线于上作直角方形与并甲乙丁戊作直线及并乙丙戊己作直线各于其上作直角方形两并等论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度次从庚作线与戊己平行又引丁己长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行(一卷二十九)则巳壬辛之角形与丁戊巳相似而丁戊巳与甲乙丙相似矣(一卷三十二)何者巳壬辛角与庚角等庚角与丁戊巳角等己角又与乙角等而辛角与丁巳戊角及丙角俱等壬巳辛角与甲角亦等(一卷)(三十四)又巳壬边与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙巳辛与甲丙俱相等(一卷二十六)故丁辛线兼丁巳甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊巳乙丙之度庚壬即戊巳也(一卷三十)(四)然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣第十题有三角形二其底不等而腰等求于两底上另作相似三角形二而等周其两腰各自相等解曰甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰与巳丙巳丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于己角(一卷二十五)而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等法曰作庚辛线与甲戊戊乙丙己己丁四线等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁(六卷十)甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣(五卷一)夫庚辛并既大于甲乙丙丁并(两边)(必大于一边在一卷二十)则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也(五卷十四)甲乙庚癸癸壬三线每二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外(以戊)(甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度过之故)于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内(己丙己丁亦得庚壬)(之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二)论曰并甲戊戊乙丙己己丁四线之度既与并甲丑丑乙丙己己丁四线之度相等则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周而其两腰亦自相同至于两形相似何也甲乙与丙丁若庚壬与壬辛而减半之庚壬与壬子(五卷十五)又若丑甲与寅丙丑乙与寅丁也则更之而甲乙与甲丑若丙丁与丙寅而甲丑与丑乙若丙寅与寅丁是两形为同边之比例自相似(六卷五)第十一题有大小两底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之两三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并解曰甲丙丙戊两底上设有甲乙丙及丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令于两底上依前题别作甲己丙及丙庚戊两形相似而与前两三角形相并者等周题言甲己丙丙庚戊并大于甲乙丙丙丁戊并论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从已过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两边与乙己丙三角形之己丙己乙两边等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等(一卷八)又甲巳壬三角形之甲巳巳壬两边与丙巳壬三角形之丙巳巳壬两边等则甲巳壬角与丙巳壬角等而甲壬壬丙之两底亦等(一卷四)壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两边与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两边等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等(一卷四)丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与巳丙壬角即相等(一卷五)而丁丙辛即癸丙辛总大于巳丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬(一卷)(十五)是丑丙壬亦大于巳丙壬而引癸丑线当在于丙巳之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线(一卷二十)则巳丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲巳巳丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与巳丙丙庚亦相等故也并巳丙丙庚二线为一直线就其上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等(九题)而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁(即辛癸)上直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等(九题)(从子上分两对角其角等而壬与辛俱为直角相似之形令移置辛癸与乙壬之下移置壬辛为癸垂线则乙)(壬辛癸为股壬辛为句乙癸为弦矣)此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者每减一壬辛上直角方形则巳壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛(以甲)(丙原大于丙戊故)则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作垂线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丙形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉第十二题同周形其边数相等而等角等边者大于不等角等边者先解曰有甲乙丙丁戊己多边形与他形同周同角者较必边边相等乃为最大之形论曰若谓不然先设甲乙乙丙不等边如第一图又作甲丙线于上作等边三角为甲庚丙形与甲乙丙等周(本篇七)则甲庚丙丁戊己形亦与甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形(本篇八)令每加丙丁戊己角形则甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等边者不为最大其他如丙丁边之类或不等者亦如此推次解曰又设甲乙丙丁戊己等边形与他形同周同边者较必角角相等乃为最大之形论曰依上论各边俱等则甲乙丙丙丁戊为等边三角形(边角俱等)而甲乙乙丙与丙丁丁戊相等若谓不然而乙角可大于丁角则甲丙线必大于丙戊线(一卷二十四)试于甲丙丙戊两底上别作三角形为甲庚丙为丙辛戊如第十题相似形令与甲乙丙丙丁戊并者等周则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊(本篇十一)而每加丙戊己角形则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等边而不等角者为最大乎第十三题凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多边有法形其周等题言甲乙丙大于丁戊己论曰庚为甲乙丙之心辛为丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多边形与丁戊己相似(四卷十六注)而从壬癸切圜于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸垂线而分壬癸之半(三卷十八)又从辛作子丑垂线则辛丁亦分子丑之半(三卷三设于两多边形外作切形圜而以壬癸子丑)(为切圜线向心作垂线则垂线必分切线之中央故说在四卷十二)两形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等(一卷三十二)然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周与丁戊己形相同则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣夫两形相似而壬癸边大于子丑边则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例(六卷四)而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛(五卷十四)是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形其与圜地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也(本篇四)系曰推此见圜形大于各等周直线形(第五题证有法形同周者多邉为大又十二题证等周及边数)(之等者有法为大又本题证等周之有法形惟圜为大则圜为凡形等周者之最大)第十四题锐觚全形所容与锐顶至边垂线及三分底之一矩内直角立形等解曰有觚形不拘几面如甲乙丙丁戊底其顶己又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子与觚等髙题言此寅庚形与觚形所容等论曰从立形底诸角与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与寅庚形同底同髙又同己甲锐觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三(十二卷六注言两觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦)(等底倍亦倍)寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三(以同㡳同髙故在十)(二卷七系)则寅庚全方与己甲觚等第十五题平面不拘几边其全体可容浑圜切形者设直角立形其底得本形三之一其髙得圜半径即相等(可容浑圜〔？〕形者必)(圜形与诸面相切若长广不切诸面者不在此论)解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊(十一卷三题)试从戊壬割圜之半作戊己庚辛圜(圜形书一卷一题)从壬心望各切圜之㸃作壬戊为甲乙垂线(三卷十八)壬己为乙丙垂线壬庚为丙丁垂线壬辛为甲丁垂线别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁体三之一而其髙辰子与圜半径等题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形皆与觚所容等(本篇十四)又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙合圜半径也第十六题圜半径及圜面三之一作直角立方形以较圜之所容等解曰有甲乙丙浑圜其心为丁又有直角立形之戊在甲丁径及甲乙丁浑圜三之一矩内题言戊形所容与甲乙丙浑圜等论曰若言不等谓戊大于浑圜形其较有己者合以丁为心外作庚辛壬浑圜大于甲乙丙而勿令大于戊第令或等或小以验之而于庚辛壬内试作有法形勿切甲乙丙圜(十二卷十七)自丁心至形边各作垂线则垂线必长于甲丁又自丁心至形各角作直线以分此形为几觚其庚辛壬法形诸直线为觚底而垂线至丁心为觚锐顶试取各觚底三之一及丁垂线之髙以作直角立形与觚等(本篇十四)则并为大直角立形亦与庚辛壬内之法形等(本篇十五)如云以甲丁为髙而以各觚底三之一为直角立形并为大形则必小于前形因显庚辛壬三之一大于甲乙丙三之一而戊形甲丁径及甲乙丙圜三之一内小于庚辛壬体而谓庚辛壬不大于戊形则向庚辛壬之内形尚大于戊形也又论曰戊形小于甲乙丙浑圜体者其较为己试从丁心再作癸子丑圜小于甲乙丙而勿令小于戊或大或等者以验之于甲乙丙圜内作有法形不令切癸子丑(十二卷十七)而从丁至甲乙丙各面为垂线此垂线大于丁癸之半径又从丁向法形诸角作直线以分此形为数觚以形之各面为觚底丁心为觚锐顶而取觚底三之一及底至丁之垂线以作直角立形与觚等若使以甲丁为髙而以各觚三之一为底以作直角立形则其形必髙于前形既甲乙丙圜之面大于其内形之面则圜面三之一大于内形面三之一而直角立方形在甲丁髙及甲乙丁面三之一固即戊体矣愈大于甲乙丁之内形矣而云癸子丑圜或等或大于戊岂癸子丑圜大于甲乙丙圜而分大于全与则戊体不小于甲乙丙矣从后论不可为小从前论不可为大故曰等也第十七题圜形与平面他形之容圜者其周同其容积圜为大解曰有甲圜其心甲其半径甲乙又丙形与甲等周其周内可作诸切边圜形而从心至边为丙丁题言甲圜大于丙形论曰甲圜外试作与丙相似形(十二卷)而从甲心至各边切处作半径垂线皆等(本篇十五有解)其一为甲乙甲圜外形大于甲圜其周面亦大于丙面而甲乙垂线亦大于丁丙垂线以甲半径为髙乃以三分圜体之一作直角立方形即与甲圜形等(本篇十六)以丙丁线为髙而以三分丙形之一作直角立方形亦与丙形等而甲之立方固大于丙之立方(本篇十五)则甲圜与丙形虽同周而甲圜所容为大矣第十八题凡浑圜形与圜外圜角形等周者浑圜形必大于圜角形解曰有甲乙丙丁圜外作戊己庚辛等法形率以四数相偶若八面十二面十六面二十面及二十四二十八之类等边等角近于圜形者又作戊壬过心线为枢以转甲乙丙圜及戊己庚辛法形使平面旋为立圜之体则其形为圜外圜角之形而角与边周遭皆等(圜书一卷廿二)(廿七)又有浑圜形寅与圜角形等周题言寅圜大于圜角形论曰圜角外形既大于内之甲乙丙圜形则寅圜亦大于甲乙丙圜寅圜之半径亦大于甲乙丙圜之半径也夫浑圜中剖是为过心最大之圜此过心大圜之面恒得浑体四分之一(圜书一卷三十一题)令倍寅径以作卯辰径其圜面四倍大于寅之圜面(此专以圜而相较也卯辰径既倍寅径则卯辰圜□四倍)(于寅圜以圜与圜为径与径再加之比例故也在六卷附一增题)则卯辰圜与寅浑圜等(此卯辰圜为欲见角故画作扁圜实正圜也)次作未申圜与卯辰等作未面申圜角形而取寅半径为酉戌之髙又于卯辰上亦作卯巳辰圜角形而取甲乙丙圜半径为己午之髙两圜体等而未酉申圜角形髙于卯巳辰圜角形则亦大于卯巳辰圜角形(圜角形同底之比例若其髙之比例在十二卷十四题)夫割寅浑圜之中半以为底(即过心大圜也)而以其半径之髙为圜角形恒得寅浑圜四分之一(此旋抟所成尖顶半圜形非只论其一面也在圜书一卷)(三十二)则是一寅圜恒兼四圜角之形而未申圜原四倍大于寅圜则未酉申圜角形固与寅之浑圜形等矣(圜角)(形同髙之比例若其㡳之比例故也在十二卷十一题)其卯巳辰圜角形底原等戊己庚形之面(戊己庚之面与寅圜之面等故)而巳午之髙亦等于甲圜半径即戊己庚辛角形自与卯巳辰圜角形等(圜书一卷二十九题论凡圜外有圜角形如甲乙丙外有戊己庚形者以圜体过心)(大圜为底而以圜半径为髙旋作圜角形即与圜外诸圜角等)卯巳辰圜角形既小于未酉申圜角形而戊己庚辛壬癸子丑形宁大于同周之寅乎圜容较义◆ 《历体畧-明-》（KR3f0017）
## 提要
钦定四库全书 子部六
厯体畧 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案厯体畧三卷明王英明撰英明字子晦开州人万厯丙午举人是编成于万厯壬子上卷六篇曰天体地形曰二曜曰五纬曰辰次曰刻漏极度曰杂说中卷三篇曰极宫曰象位曰天汉下卷则续见欧罗巴书撮其体要曰天体地度曰度理之差曰纬曜曰经宿曰黄道宫界曰赤道纬纒曰气候刻漏凡七篇又附论日月交食一篇然其上中两卷所讲中法亦皆与西法相合盖是时徐光启新法算书虽尚未出而利玛窦先至中国业有传其说者故英明隂用之耳所论皆天文之梗槩不及后来梅文鼎薛鳯祚诸人兼备测量推步之法然学天文者必先知象纬之文与运行之故而后能因其度数究其精㣲是书说虽浅近固初学从入之门径也卷首冠以五图据翁汉麐序英明原著书而不著图此本顺治丙戌英明之子懩官江南督粮道时以原本重刋属汉麐所补今考书中步天歌第一章下有附注称步天歌无善本兹从先生订正庶鲜鱼鲁之讹云云核其文义亦汉麐之语则是书盖经汉麐重订非其原本矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 序
厯体畧序
澶渊王公来旬江南仁明廉断所为造命吾民者指不胜屈于是方千里内欢声载途惟公复帱是德而不知公之以实惠勤民者乃其先夫子之以实学诒训也先夫子才识渊博于厯律兵屯河防水衡之事无弗沉究卓然为世大儒少登髙科朝野并拟以公辅之望而绝意公车闭关修道四方名硕户屦恒满每相朂以今日操觚家类晋清谈学者当务为有用故阐发经㫖㕘决性命而外即捃摭先代故实及时局窽要答问之下手演成帙几至充栋虽遭兵火犹有存者今公不忍私其家珍将次第就锓首先厯体一书而以补图属小子小子则乌知厯而敢冒昧哉虽然事类续貂情同附骥且辱公有命夫何敢辞勉竭愚钝折衷今昔衡量分寸比拟方圆凡夫位置之髙下疎宻度数之广狭经纬惟恐少戾于乾象以忝是书而鄙衷则实有未慊者北辰髙下三十五六度其位在北而图则不能不移置于中央一不合也天体半在地下旋绕无定而图则不能不平列为静局二不合也天度皆斜分而图以直行三不合也自北极而分者至南极而合故赤道以南度渐就狭而图则四垂反张四不合也此无他天体浑圆四方上下旋还无端今以尺幅改为平圆则是葢天而非浑天其体有万万不相肖者始悟王夫子著书而不著图非阙略也图不可著故以不著著之今第使读是书者知垣何以三野何以九宿何以二十八则一览可尽庶无茫茫于仰睇已耳敢谓是图真足补是书哉惟公推其家学惠教小子使得预于管窥斯为顶佩又宁特供输一事共有众歌复帱已也东吴翁汉麐敬识厯体畧序昔箕子以神禹叙伦之道授周武王而五纪实终于厯数厯者帝王经世之洪范吾儒用世之大业也何云体即天体是两极廿八宿天体也七曜十二次天体也为物不贰地体亦天体也厯之象之授时急焉何占候家课以事应令尧舜钦若之典为梓慎禆灶軰借资耶末流之弊日官挟国禁以为重矣愚世受尚书于厯象为本业恒怪不习者相讳为不可知曹诿为不切务即号为能名理大儒于此多作梦中语也爰取实测定度暨古今格言节略成编为儿子治经之助而诸凡语涉不经者一切斥去之经纬兼举大体昭然其为用则玑衡灵宪之法也乘除推歩之数也错行代明无非至理具在别著中兹不详若繁星之号为秦汉以来依托者悉仍旧贯何则名天者即廿八宿亦假也书既毕总秘之帐中不敢示人万厯壬子古澶王英明书
## 恒星图
厯体图
日月五星列宿运动各各相反便知所丽之天原非一重先儒曰天左旋日月五星右旋则知左旋者在诸星天之外是以有第九重天也九重之说向固有之自天学诸儒由西海航入中国发明其义更尔精详其为性命之学更在九重之上号曰静天所谓造化之原万物之本也谈天者请于斯更进一筹焉日轮恒躔黄道一道不出入于南北界非如月五星之出入于十二度内也其上下四时各有定度不稍前后也黄道周天三百六十度分为四分每分九十度为四象限又一象限分六分每分十五度为一节气共二十四节气而岁成焉厯所繇定也日蚀非日失其光乃月体掩之也日天在月天之上朔时月轮正过日轮之下东西同经南北同纬故掩其光非如俗所传有异物以食之也地悬于六合中央如鸡卵黄在白内故日繇西炤地地必有景射东照东必有景射西夫日轮恒在黄道上若遇望日而月轮亦在黄道上与日正对望则地球障隔在日月之间月轮必入地景之内太阳不能照之故失光而食也渐出地景之外太阳能照之乃渐复得原光矣
## 卷上
钦定四库全书厯体畧卷上明 王英明 撰天体地形大圜者上天下地之总名也水附地以成一球凝奠居中天为大圜包其外有气以充实其间在天则有度数在地则有经纬以地合天而太阳节气与五星凌犯及各方之交食可得而推矣周天之度纵横皆三百六十五度有竒北极为天枢与南极相距一百八十二度半强(古曰天行健又曰天左旋繇其旋与健则知南北必有其极矣极者非星乃天体永久不)(移二㸃周天所以为环动之枢也一极出地必一极入地其出入之度惟均所谓极星者盖指其最切近于极之一星以命耳)赤道带天体之纮距两极各九十一度少强(二极相距正中之界谓之赤道平分天体为南)(北南者为外为阳北者为内为隂)黄道斜络于赤道(黄道者太阳所行之轨迹也斜络赤道南北各二十三度)(半太阳厯竟则成一岁而二十四节气由此而成矣详见后文)冬至日躔黄道距北极一百一十五度有竒在赤道外二十三度太强夏至日躔黄道距北极六十七度有竒在赤道内二十三度太强春秋二正日(即大统厯昼夜五十刻是)日躔距两极各九十一度少强乃黄赤道相交之处也(黄赤道交处即是春秋分)黄道冬至自箕宿三度起厯南斗之杓天籥南斗之魁建星天鸡以及牛宿罗堰十二国之秦代垒壁虚梁云雨霹雳又前过天囷天廪天隂昴之月星毕之附耳天街天髙诸王天关觜参之司恠遂至井钺天罇五诸侯积薪鬼中积尸酒旗轩辕右角暨御女左角太㣲西垣之灵台上相乃至进贤平道亢氐西咸钩钤键闭罚星东咸星宿中星天江而复于箕为一周是为太阳所经然非古今一定者日躔渐渐退移则所经之星亦从而异所谓岁差也赤道分周天之列舍而黄道则识太阳之经行二道度分之不齐者斜正广狭势使然耳地在寰宇之中常静不动与天相较政若稊米之于乔岳其形浑圆即突者为邱陵凹者为谿谷仍无损其万分之一易谓天圆而地方者指其德也人处地球以天顶而分有东西南北亦界为三百六十余度以期合于天行东西谓之经南北谓之纬求经度者于赤道上测之求纬度者于子午线测之随方用仪测极出地每南北行二百五十里则差一度东西离三十度则差一时所谓里差也二曜日与月为隂阳之宗而日尤为君天之得以为天岁之得以成岁者日而已矣不得其轨度欲以步厯何道之从而可日者太阳之精循黄道右行三百六十五日有竒而周天黄道起箕斗间北距赤道二十三度九十分迤逦东北至壁一度入赤道北又东北至参十度则南距赤道亦二十三度九十分遂折而东南至轸初度出赤道南又东南旋于尾箕周而复始长三百六十五度二十五分六十四秒其与赤道交也自南入北曰内道口自北入南曰外道口二交之口随岁差左移日行于此冬至居析木津躔箕小寒躔斗大寒躔牛立春躔虚雨水躔危惊蛰躔室春分躔壁清明躔奎谷雨躔娄立夏躔胃小满躔昴芒种躔毕夏至躔参小暑大暑俱躔井立秋躔柳处暑躔张白露秋分俱躔翼寒露躔轸霜降躔角立冬躔氐小雪躔房大雪躔尾而二十四气备矣冬至后九日入星纪之次大寒后十日入𤣥枵之次雨水后六日入娵訾之次春分后九日入降娄之次榖雨后十日入大梁之次小满后十一日入实沉之次夏至后十日入鹑尾之次大暑后九日入鹑火之次处暑后十日入鹑首之次秋分后十三日入夀星之星霜降后十四日入大火之次小雪后十二日入析木之次而十二过宫备矣冬至前后日行一度零百分度之五有余曰盈段其前其后各十有八日日损一分有竒春秋分日行一度无盈缩夏至前后日行百分度之九十五不足曰缩段其前其后各十有八日益一分有竒约一岁间截盈补缩日得一度岁行黄道三百六十五度二十四分二十五秒不及周天一分五十秒是曰歳差约六十六年八个月而差一度(岁差有二故一太阳从某宫次度分行天周而复于元度不及其数)(也二太阳㑹列宿天之某星行天周而复与元星㑹其星每岁有本行又当加其本行以定岁斯二者推步家)(所谓岁实周岁岁差也)月者太隂之精循白道右行白道半出黄道外半入黄道内相距逺者六度○二分两环相交如赤道之于黄道也其相交处自内出外(自北而南也)曰阳厯口世谓罗㬋(亦名龙头)自外入内(自南而北也)曰隂厯口世谓计都(亦名龙尾)罗计日行黄道上每十有八日五十八分五十二秒九十四㣲五而移一度月行一交移一度四十六分四十一秒八十㣲四(罗㬋即白道之正交乃月道自南溯北以交于黄道之处而罗)(㬋正对之处即计都矣月孛者是月所行极髙极逺之处月离于是其行极迟其体见小孛云者指其交转两)(行相悖之义也日者之流以罗计月孛等处皆指为星谓其所躔宿度各有吉凶因以推人禄命夫周天诸道)(诸㸃皆人所设以其便于揆算其行度也以人所虚设之名即谓能为吉为凶宇内顾有是理欤若月道交孛)(有吉有凶何彼土木火诸星交孛独不然也至于紫炁一曜或谓生于闰余或谓土木相㑹或谓古人以是纪)(直年宿而天上实无是星其为不经不待辨晰而自明矣)罗居午计居子则月道出黄道东古谓青道罗居子计居午则月道出黄道西古谓白道罗居酉计居卯则月道出黄道南古谓朱道罗居卯计居酉则月道出黄道北古谓黑道各分内外是曰八道并黄道为九道实惟一道也月行十八年而遍九道所谓春行青道夏行朱道秋行白道冬行黑道者妄也月行二十有七日五十五刻四十六分八十八秒而疾迟一周又行一日九十七刻有竒共二十有九日五十三刻○五分九十三秒而与日㑹则为合朔其迟疾一周也名转终折半为转中之日其转终前后月行疾日十有四度七十一分五十四秒转中前后月行迟日十有二度○四分六十二秒终中之间月行平日十有三度三十六分八十七秒半每一转终行三百六十八度三十七分○五秒五十八㣲七五折半为转中之度所在名曰孛月行最迟处也(合朔以后月夕西见迟疾不一或有差至三日)(者其因有三一因月视行度若视行为疾段则疾见迟段则迟见一因黄道升降有斜有正正必疾见斜必迟)(见一因白道在纬南纬北凡在隂厯疾见阳厯迟见也三因之外又有极出地之不同以及朦胧分与炁差诸)(异所以迟疾恒不能齐也)月行二十七日二十一刻二十二分二十四秒为交终折半为交中之日每一交终行三百六十三度七十九分三十三秒一十九㣲六一折半为交中之度其交终前六度一十五分三十四秒曰正交交中后六度一十五分三十四秒曰中交正交近罗㬋中交近计都月离(去声)其度而与日遇则日食与日对则月食也(日月行二十九日有竒东西同度月视行在于黄道近交人适视为同经同纬则人目与月日相㕘)(直月魄正隔日光于人目是为日食非日失其光月魄掩之耳太隂距太阳一百八十度而正与之冲月行近)(于两交地球居日月东西之中体影间隔则日光不能照射于月人目视之若月失其光是为月食非月失其)(光也地影隔之耳然必日月及于正交或中交为同度则食余则不能食也)五纬(汉律厯志曰三辰合于三统五星合于五行则岁填辰太白荧惑其本名也直作木金水)(火土者非)五曜之各一天也伏见顺逆皆有常轨不得其轨而妄言事应诬天甚矣纪轨度而袭旧舛如谓岁星以摄提格之岁居丑单阏之岁居子者宁无误后人哉木曰岁星其行约有十二年一周天法夕伏合伏各一十六日八十六刻各行三度八十六分晨出东方疾迟共一百一十二日行十有七度八十四分畱二十四日晨退夕退各四十六日五十八刻各退四度八十八分一十二秒半复畱二十四日迟疾共一百一十二日行一十七度八十四分则又夕伏而伏见一周其行以卯年居夘宫建夘月与氐房心夜半见东方辰年居寅宫建辰月与尾箕夜半见东方已年居丑宫建己月与斗牛夜半见东方午年居子宫建午月与女虚夜半见东方未年居亥宫建未月与室壁夜半见东方申年居戌宫建申月与奎娄夜半见东方酉年居酉宫建酉月与胃昴夜半见东方戌年居申宫亥年居未宫子年居午宫丑年居巳宫寅年居辰宫各以其年之月与其宫之宿夜半见东方凡五星之行嬴缩与日同火曰荧惑其行约二岁一周天法夕伏合伏各六十九日各行五十度晨出东方疾迟共二百八十有四日行一百六十六度畱八日晨退夕退各二十八日九十六刻四十五分各退八度六十五分六十七秒半复畱八日迟疾共二百八十有四日行一百六十六度而又夕伏为一周其疾也日一度有半土曰镇星约二十九岁一周天法夕伏合伏各二十日四十刻各行二度四十分晨出东方疾迟共八十六日行七度六十五分留三十日晨夕退各五十二日六十四刻五十八分各退三度六十二分五十四秒半复畱三十日迟疾共八十六日行七度六十五分而又夕伏为一周或名地候金曰太白其行先后太阳岁一周天法晨伏合伏各三十有九日各行四十九度五十分夕出西方疾迟共二百三十一日行二百五十度五十分畱五日夕退一十日九十五刻一十三分退三度六十九分八十七秒夕退伏六日退四度三十五分其合退伏如夕退伏其晨退如夕退复畱五日迟疾共二百三十一日行二百五十度五十分而又晨伏其行也晨先日出东谓之启明夕后日入西谓之长庚以辰申为界晨见于巳位夕见于未位为昼见过午位为经天为失行或谓金为长庚水为启明非也水曰辰星其行亦先后太阳岁一周天法晨伏合伏各一十七日七十五刻各行三十四度二十五分夕出西方疾迟共二十七日行三十一度五十分畱二日夕退伏合退伏各一十一日一十八刻八十分各退七度八十一分二十秒晨留二日迟疾共二十七日行三十一度五十分而又晨伏一周焉(土木火金水五曜名为纬星者谓其较于恒星则无)(日不有近南近北之行也凡五星在岁行极逺之所必合于太阳其行为顺而疾厥体见小凡在岁行极近之)(所其行为逆而疾厥体见大若土木火三星行逆则冲太阳金水二星行逆必夕伏而合行顺必晨伏而合其)(各星之顺行而转逆逆行而转顺之两界中为留留者非星不行乃际于极迟行之所也留段前后或顺或逆)(皆有迟行其实五星之光与日相较政犹萤光之于庭燎其光本不灭人苐莫覩耳○按小大诸星各有距太)(阳若干度分以为见伏之限此限度新旧二法各异如太阳在降娄宫初度或岁星在十五度即谓为见限然)(未必也诸星有纬南纬北之分黄道有正斜升降之势各宫不同何能泥此以定公法今崇祯厯书各星见伏)(之限惟以地平为主縁地平障蔽日光能使星为见与不见耳今夫日之下于地平也其光渐淡所谓晨昏此)(晨昏光之久暂四时各各不等即冥漠矣而星见时刻又自不等所以太阳由黄道而下于地平或有十度或)(十五度甚至有三十余度为限者总之星在黄道南必多数度若在北必少数度故统论其见伏之因凡四一)(以太阳下于地平一以星在纬之南北一以极出地髙一以黄道升降斜正凡此数者诸星伏见之大端也如)(谓太阳距某数即可以定伏见恐未然耳存以俟订)○按厯有四余躔度或曰孛生于月迟紫生于月闰然系占候运命家言与授时无关故黜之而罗㬋计都前太隂内己见此不重著(四余说见)(前篇)辰次十二辰度数古今不同如汉律厯志春秋分野月令章句通志天文略诸书各异葢未尝实测而承譌袭舛者也今一依授时之度纪之大火起氐一度一十一分六十四秒太于辰在卯析木起尾三度一十五分四十六秒少于辰在寅星纪起斗四度○九分二十七秒太于辰在丑𤣥枵起女二度一十三分○九秒少于辰在子娵訾起危十二度二十六分一十二秒太于辰在亥降娄起奎一度五十九分九十四秒少于辰在戌大梁起胃三度六十三分七十五秒太于辰在酉实沉起毕七度一十七分五十七秒少于辰在申鹑首起井九度○六分三十八秒太于辰在未鹑火起栁四度○○二十○秒少于辰在午鹑尾起张十四度八十四分○一秒太于辰在巳夀星起轸九度二十七分八十三秒少于辰在辰右十二辰分界从赤道剖之乃占候家遂配以郡国分野夫十二次尽乎天矣华夏郡国亦尽乎地耶多见其为坐井也刻漏极度日出为昼日入为夜一周共为百刻以十二辰分之每辰八刻零三分刻之一昼短则夜长夜短则昼长无问南北在所皆同春秋二分日之出入正当赤道昼夜适等各五十刻自春分以及夏至日入赤道内去北极近夜短而昼长自秋分以及冬至日出赤道外去北极逺昼短而夜长自地中揆之长不过六十刻短不过四十刻地中以南其长有不足六十刻者短有过四十刻者地中以北其长有过六十刻者短有不足四十刻者葢此地中乃中国之中非天地之中而中国在赤道之北故也昼夜长短禀之极星髙低而极星髙低又系地方之距极逺近兹列至元二十七所所测于左东极髙丽西至滇地南逾朱崖北尽铁勒大都北极出地四十度太强夏至晷影长二尺三寸四分日出寅正二刻入戌初二刻昼六十二刻夜三十八刻冬至日出辰初二刻入申正二刻昼三十八刻夜六十二刻(即今顺天府)东平北极出地三十五度太益都北极出地三十七度少登州北极出地三十八度少髙丽北极出地三十八度少西京北极出地四十度少太原北极出地三十八度少兴元北极出地三十三度半强(即今汉中府)西凉州北极出地四十度强(即今甘肃)西安府北极出地三十四度半强成都北极出地三十一度半强大名北极出地三十六度南京北极出地三十四度太强河南阳城北极出地三十四度太弱(在今禹州西)平阳北极出地三十五度少夏至影长一尺五寸扬州北极出地三十三度鄂州北极出地三十一度半(即今武昌府)雷州北极出地二十度太琼州北极出地一十九度太吉州北极出地二十六度半北京北极出地四十二度强上都北极出地四十三度少南海北极出地一十五度夏至景在表南长一尺一寸六分日出卯初二刻入酉正二刻昼五十四刻夜四十六刻冬至日出卯正二刻入酉初二刻昼四十六刻夜五十四刻衡岳北极出地二十五度夏至日在表端无景昼五十六刻夜四十四刻冬至昼夜反是岳台北极出地三十五度夏至晷影长一尺四寸八分日出寅正三刻入戌初初刻昼六十刻夜四十刻冬至日出辰初初刻入申正三刻昼四十刻夜六十刻和林北极出地四十五度夏至晷影长三尺二寸四分昼六十四刻夜三十六刻冬至昼夜反是铁勒北极出地五十五度夏至晷影长五尺一分昼七十刻夜三十刻冬至反是北海北极出地六十五度夏至晷影长六尺七寸八分日出丑正初刻入亥初三刻昼八十二刻夜一十八刻冬至日出已初三刻入未正初刻昼一十八刻夜八十二刻洪武间金陵测得夏至日出寅正四刻入戌初初刻昼五十九刻夜四十一刻冬至日出辰初初刻入申正四刻昼四十一刻夜五十九刻天体地形杂说厯以歩天然地势移则天度随而异如前各所北极髙低是巳迂儒袭误有谓天形圜而地形方者有谓东不可为西上不可为下者有谓冬夏非日之往来乃地之游动者悠谬若此无怪乎北极出地一之以三十六度而不知随在为髙卑也兹辑古圣贤格言以诏群蒙呜呼岂细故也与哉将造化性命之微关焉通此者谓之逹天昔者单居离问于曾子曰天圜而地方者信有之乎曾子曰离而闻之云乎单居离曰弟子不察此以敢问也曾子曰天之所生上首地之所生下首上首之谓圜下首之谓方如谓天圜而地方则是四角之不相揜也且来吾语汝参尝闻之夫子曰天道曰圜地道曰方黄帝素问曰立于子而面午立于午而面子至于自夘望酉自酉望夘皆曰北面立于夘而负酉立于酉而负夘至于自午望南自子望北皆曰北面(自子望北皆曰北面言北方之)(北尚有北也不愈证地之圆乎)周髀曰春分日之夜分以至秋分日之夜分日内近极极下常有光秋分日之夜分以至春分日之夜分日外逺极极下常无光故春秋分之夜分日所照适至极隂阳之分等也冬至夏至者日道发敛之所生昼夜长短之所极也赵君卿注天至髙地至卑非合也人目所穷而见其合也北辰正居天之中央人所谓东西南北者非有常处各以日出之处为东日中为南日入为西日没为北北辰之下从春分至秋分六月见日从秋分至春分六月不见日见日为昼不见日为夜一岁之周北辰之下一昼一夜也我之所在北辰之南非天地之中也我之夘酉非天地之夘酉也日阳从冬至始月隂从夏至始往来之端也又曰北极之下为天地之中其地最髙滂沱四𬯎而下三光隐映以为昼夜天体亦然故日运行处在极北北方日中南方夜半在极东东方日中西方夜半在极南南方日中北方夜半在极西西方日中东方夜半昼夜易处南晨而北昏四时相反南暑而北寒也北极左右夏有不释之氷此阳微隂彰昼夜分岁物朝生而暮获中衡左右冬有不死之草此阳彰隂微故万物不死五谷一岁再熟沈括曰旧谓中国于地为东南当偏西北望极星置极不当正北又谓天常倾西北极星不得居中夫以中国观之天当北倚可也谓极星偏西则不然所谓东西南北者何从而得岂非以日之所出者为东日之所入者为西乎古人测天自浚仪至安南才六千里而北极差十五度渐北不已庸讵知极星之不直人上也又北而背负极星其理可推矣臣始读黄帝素问所论南面北面之语不喻其理久而思之乃悟其常以天中为北而对之者皆为南也南北取诸天中以极星中天耳素问真善言天者今南北才五百里则北极辄差一度太强而东西南北数千里间日分之时候之日未尝不出于夘半而入于酉半固知天枢既中则日之所出者定为东日之所入者定为西天枢常为北无疑矣此殆放乎四海而同者何从知中国为东南也彼徒见中国东南皆际海而为是说也其亦井蛙之见矣内经曰帝曰地之为下否乎岐伯曰地为人之下太虚之中也曰何凭乎曰大气举之也(太虚之中即是太虚之下圆物之重在乎)(中心则中即最下之处)晋束晳云人之视天旁方与上方等旁视则天体存于侧故日出时视日大也(按日初出有水土之气浮于地上故其影大至髙度则水土之)(气清故其形小)日无大小而所存者有伸厌厌而形小伸而形大此人目力之殊日无逺近也是故置器广庭则函牛之鼎如釡堂崇十仞则八尺之人犹短葢其理耳姜岌云浑天之体圜周之径详之于天度騐之于晷影而知大小之异由人目也参伐初出在旁则其间疎在上则其间密以浑仪测之度则均也旁之与上无或殊也宋天台车若水曰天地本黑也以日而光本寒也以日而煖日入则复黑日逺则复寒矣周髀云冬至昼极短日之出入炤三不覆九夏至昼极长日之出入炤九不覆三炤三者巳午未也不覆三者亥子丑也此正北海北极出地六十五度之昼夜刻也毉家五运起于月初各节气是也六气起于月中各中气是也昼夜漏刻古厯有用百二十者不须发敛即得加时西厯六十分为度即此法之折半也古辰次及星宿与今不同按国语云辰角见而雨毕天根见而水涸木见而草木节解驷见而陨霜火见而清风戒寒则亢为天根非氐矣考工记云龙旗九斿以象大火也则尾为大火非房心矣又云熊旗六斿以象伐也则连卷言之而无左右肩足矣龟蛇四斿以象营室也则合东壁言之为一宿矣史记天官书有参罚而无觜有建星而无斗有狼弧而无井鬼作角亢氐房心尾箕建牛女虚危室壁奎娄胃畱浊参罚狼弧注张星翼轸则二十八舍古今不同北齐颜之推在修文令曹有山东学士与关中太史竞厯凡十余人纷纭累岁内史牒付仪官平之之推曰大抵诸臣所争四分并减分两家耳厯象之要可以晷影测之今騐其分至薄蚀则四分疎而减分密疎者称政令有寛猛运行致盈缩非算之失也密者则云七政有迟速以术求之预知其度无灾祥也疏则藏奸而不信密似任数而违经且仪官所知不能精于讼者以浅测深安有肯服举曹咸以为然有一礼官强欲考核朝夕聚议背春涉冬怨诮滋生乃𧹞然而退厯体畧卷上
## 卷中
钦定四库全书厯体畧卷中明 王英明 撰(按三垣二十八宿居天体之全宜先七政先生以厯体为指故先七政而以垣宿冠中卷之首)(葢厯成于七政而垣宿为垂象之大规也)极宫言星者皆以三垣并称然紫薇为北极之宫天枢中奠纲维六合司天者宜首重之若太微天市旁列乃占候家取象离宫亦名之曰垣固不可与天极并也史汉书志但暨四象为五宫未有垣名深得此理兹特表紫薇中宫而斥两外垣于不伍葢为厯数者不为占候著也又古今星官所属各异今从步天歌便诵习焉紫薇宫居天中北倚若葢广袤各七十有二度垣星一十有五环布两列左八右七石氏云左右皆八也(紫薇宫取)(极星周围近度定之诸星旋转不没居中御外有宸居之象焉故名紫薇)前后二门尝大火大梁之次大火为夘前门向之故夘为天根也前门为阊阖门左垣首一(犹言一星也后倣此)曰左枢次上宰少宰次上辅少辅次上卫少卫次上丞右垣首一曰右枢次上尉次上辅少辅次上卫少卫次少丞亦名长垣石氏多少尉一星此垣中者紫薇大帝之座也垣之最中曰天枢亦名北辰亦名北极(此天枢言天之枢纽非谓星也辰有二义日月所㑹曰辰垣亦称辰)(言无星之处曰辰是影响之词也)凡五星株连而薇曲携前门之天床首一明者曰太子所谓前星也次曰帝星最明赤所谓太乙之座次曰庶子次曰后宫最㣲第五差(平声)逺而不甚明者即曰天枢(此天枢指星非指枢纽也)是为极星天运无穷三光迭曜而此处不移所谓居其所而众星共之者也极星旋绕其外仅仅咫尺若毂口之绕轴𫐕或以极星为北辰非也抱极星四星曰四辅极旁六星如斗状曰钩陈钩陈中一星曰天皇大帝纬书所谓耀魄寳者也钩陈口下五星如聚花曰五帝内座座后十有六星曲杠九聚顶七曰华葢以覆帝座临钩陈之上濒汉当葢后九星曰传舎舎北六星曰阁道所谓绝汉抵营室者也舎东南一星曰䇿二官歌中皆属奎座右六星曰六甲座前五星曰天柱柱前傍钩陈四星匡立曰女御女御左一星曰女史女史前一星近左垣曰柱下史女前五星在太子东曰尚书尚书前二星曰大理大理右二星曰隂德或分为隂阳二德隂德前六星适当前门曰天床天床之右右枢之内近少卫二星曰内厨皆在垣以内者也北斗七星在右垣外太微垣之北魁枕参觜衡殷南斗杓携龙角亦名帝车运乎天中以定诸纪者也一曰枢二曰璇三曰玑四曰权五曰玊衡六曰开阳七曰揺光其枢入张度或云一至四为魁魁为璇玑五至七为杓杓为玊衡是为七政开阳左一星曰辅星揺光右一隂星曰弼星是为贪巨禄文廉武破辅弼也魁内四星曰天理魁外近璇六星曰天牢牢左四星曰势势左一星入张度曰太阳守其左一星当权衡之南入翼度曰相相之左三星在杓南曰三公天乙一星在右枢开阳间太乙一星在天乙右入轸度或云二星也天枪三星在天床右斗杓左天棓(棓音棒)五星在天床东北临箕上当天市垣之北入氐度𤣥戈一星或名天戈亦入氐在揺光左遥连招揺为北斗九星考要云一徐二梁三冀四荆五兖六扬七豫八雍九青天官书云杓端有两星内为矛招揺外为盾天锋即招揺𤣥戈也文昌六星在北斗魁上形如半月天之六府也一曰上将二曰次将三曰贵相四曰司禄五曰司命六曰司冦其右六星曰内阶魁及文昌间三星亦曰三公或曰三师其南一星在下台之上入翼度曰太尊以象贵戚阶右八星近传舎曰八谷舎右近上丞二星曰賛府府右九星岐卷斜入汉湄曰天钩钩右六星在东藩少卫之东北曰天厨其东南七星曰扶筐于歌中属女石氏又有天维三星在斗杓后附歩天歌曰中垣紫薇宫北极五星在其中大帝之座第二珠第一前星太子居第三之号为庶子四为后宫五天枢左右四星是四辅天乙太乙当门路左枢右枢夹南门两面营卫二八伍太尉少尉右枢连依序上辅与少辅上卫少衞次上丞后门东边两賛府门西唤作一少丞依次却向前门数隂德门里两黄聚尚书以次其位五女史柱史各一户女御四星五天柱大理两星隂德边钩陈尾指北极巅钩陈六星六甲前天皇独在钩陈里五帝内座后门是华盖并杠十六星杠作柄象葢繖形葢上连连九个星名曰传舎如连丁垣外左右各六珠右是内阶左天㕑阶后八星名八谷㕑下五个天棓宿天床六星左枢在内㕑两星右枢对文昌斗上半月形稀疎分明六个星文昌之下曰三师太尊只向三师明天牢六星太尊邉太阳之首四势前一个宰相太阳侧更有三公相西偏即是𤣥戈一星圆天理四星斗里暗辅星近著开阳淡北斗之宿七星明第一主帝名枢精第二第三璇玑星第四名权第五衡开阳揺光六七名揺光左三天枪红(丹元子随人隐者之流不著名氏作步天歌句中有图言下成象或)(约或多无挂无漏不言休咎而颇便习诵仰观向藏灵台拥为秘笈名曰鬼科窍近世相传然无善本兹)(从先生订正庶鲜鱼鲁之讹焉)象位在天成象左苍龙右白虎前朱鸟后𤣥龟奠四方而运四时繋天络星耿耿然依附分属之左前二象有二垣葢象中之垣也武密及乾象新书诸家以垣中诸星分属列宿乃合天度然举全垣则跨半象矣别系其后(按春秋传曰二十八宿分在四方方各七宿共成一象鸟兽在地有象在天东苍龙西白虎皆)(南首北尾南朱雀北𤣥武皆西首东尾从角起而左旋戴记亦曰前朱鸟而后𤣥龟左青龙而)(右白虎葢言象也而后世妖妄之徒号曰六神分吉凶夫天何故预立凶神以祸世耶且天道)(旋转春秋分朱鸟大火见于午位冬夏至白虎苍龙见于初昏究未尝定而不移也而二十八)(宿又各增为小象獐羊蝠䑕种种各别岂亦言其象而傅㑹者谓诸虫兽真形在于是吾不知)(真形之说何居也)苍龙七宿居夀星大火析木(尔雅云角亢夀星也或曰水土聚于辰木得水土资)(气故曰夀晋士弱曰心为大火公羊传曰大火为大辰尔雅云大辰房心尾也诸宿中惟房心尾及参最明故)(曰大辰尾箕析木津也或曰木生于寅故名析木天汉所起故名曰津)之次横亘七十有九度二十分以建午未申酉月昏见南方午位起太微左垣终天市左垣有角有心有尾俨然一龙体也谓之东陆角二星南北相直夹黄道踦赤道西北距太㣲垣不三四度是为天关黄道经其中其南为阳道其北为隂道其距南星广十有二度一十分起夀星九度尽二十一度考要云一星为李一星为将两星之间少右横二星曰平道平道右一星近太微上相曰进贤角北二星曰天田亦曰李其北三星近郎将曰周鼎角南二星曰天门天官书云左角李李天田也右角将将天门也门南一星曰平星东北一星曰阳门平星南十星六大弯曲为库四小方斜为楼是为天库西入轸度其中十五星三三而聚曰柱中央四小星曰衡又中央小星阵兵也南二大星曰南门歩天歌云角两星南北正直看中有平道上天田总是黒星两相连别有一乌名进贤平道右畔独渊然最上三星周鼎形角下天门左平星双双横于库楼上库楼十里屈曲明楼中五柱十五星三三相聚如鼎形其中四星别名衡南门楼外两星横亢四星状若张弓在角东黄赤道间其距南第二星广九度二十分亢北左右摄提各三星鼎足句中适直斗柄所指故曰摄提格中夹拱一大星曰大角亦云帝座入亢三度半亢南七星连亘而屈曰折威东南二星石氏曰颛顼或作顿顽歩天歌曰亢四星恰似弯弓状大角一星直上明折威七子亢下横大角左右摄提星三三相聚如鼎形折威下左颛顼星两个斜安黄邑晶顼下二星号阳门色若颛顼直下存氐四星状如侧斗踦黄道出其南为龙〔？〕为天根其距西南星广十有六度三十分起夀星末度尽大火中度大火卯也故云天根氐北三星曰帝席席北三星曰梗河又北西一星曰招揺与𤣥戈相直遥连斗杓帝席之右近摄提六星在亢宿上曰亢池帝席之左近天市西垣一星曰天乳氐南三星曰阵车又南二十七星三三而北曰骑官中一星为骑阵将军其西南三星曰车骑天辐二星在骑官之东步天歌云氐四星似斗侧量米天乳氐上一黑星世人不识称无名一个招揺梗河上梗河横列三星状帝席三黑河之西亢池六星近摄提氐下众星骑官出骑官之数二十七三三相连十欠一阵车氐下骑官次骑官之下二骑位天辐两星立阵旁将军阵里振威霜房四星跨踞黄道为龙腹四星之间黄道之所经也南间曰阳环其南为太阳北间曰隂环其北曰太隂亦曰天驷自南而数首左骖次左服次右服次右骖又名天廐又名农祥左传农祥晨正是也其距南第二星广五度六十分起大火十六度尽二十一度房北二小星曰钩钤东北一星曰键闭亦曰牵东咸西咸各四星在房左右状如房房之门户也为日月五纬之道其西咸入氐度两咸正中稍南三星南北而列曰罚房西南一星曰日日南二星曰从官石氏有巫官二星天福三星其天福或是天辐步天歌云房四星直下主明堂键闭一黄斜向上钩钤两个近其旁罚有三星植键上两咸夹罚似房状房下一星号为日从官两个日下出心三星在黄道南谓之火春秋传火犹西流诗曰七月流火是也其于中星为帝座为大辰前星为太子后星为庶子其距西第一星广六度五十分起大火二十一度尽二十七度东咸与罚皆在其上上为天市垣其西南十有二星在房下曰积卒歩天歌云心三星中央色最深下有积卒共十二三三相聚心下是尾九星在黄道南状如钩亦名九子星其距西行从西第二星广十有九度一十分起大火二十七度尽析木十六度第三星旁一星曰神宫尾北近市楼四星曰天江尾左一星曰傅说亦名天䇿左传云天䇿焞焞即傅说也说左一星曰天鱼在尾后天汉内尾南五星曰天龟歩天歌云尾九星如钩苍龙尾下头五黑号龟星尾上天江四横是尾东一个名傅说傅说东畔一鱼子龟西一星是神宫所以列在后妃中箕四星在黄道南天汉内龙所粪也日月宿之风起其距西北星广十度四十分起析木津十六度尽二十六度舌外一星曰糠糠南三星为木杵歩天歌云箕四星形状如簸箕箕下三星为木杵箕前一星是糠粃以上认取天市垣黄道迤北天江迩天市垣(紫薇垣如天子都而天市垣又后人推以象离宫如天子巡狩必有驻跸之地倘亦强附之说)(也)在析木之次临尾箕上西离于氐东入于斗垣星左右各十有一南门左一星为宋次南海次燕次东海次徐次吴越次齐次中山次九河次赵次代右一星为韩次楚次梁次蜀次粤次秦次周次鲁次瓯次闽次河中皆借其地而名之亦云天旗庭也帝座一星在市之正中座南五星曰斗与帝座皆入尾度又南四星曰斛又南六星当韩宋间临箕上曰市楼楼左二星曰车肆肆北二星曰宗正在候星之南其左四星曰宗人又左二星曰宗星其东北二星为帛度帛度左二星为屠肆帝座东南一星曰候入箕度候右四星斜布座前曰宦者入尾度其西南二星在斛西北曰列肆垣北九星当尾上曰天纪纪西九星当氐房上曰贯索索口一星为门汉志云十五星也索北七星横列氐上曰七公纪北三星当尾箕上曰女床石氏有天棒五星在女床东北天官书云房东北曲十二星曰旗旗中四星曰天市中六星曰市楼而已无垣名而以贯索附紫薇中宫其所云曲十二星者葢垣西藩也歩天歌云下垣一宫名天市两扇垣墙二十二当门六角黑市楼楼左两星是车肆两个宗正四宗人宗星一双亦依次帛度两星屠肆前候星还在帝座邉帝座一星常光明四个㣲茫宦者星以次两星名列肆斗斛帝前依其次斗是五星斛是四垣北九个贯索星索口横者七公成天纪恰似七公形数著分明多两星纪北三星名女床此座还依织女旁按帝座有五一在紫薇宫一为亢之大角一为心之中星一在天市垣一在太微垣象黻扆之随处而设也𤣥龟七宿居星纪𤣥枵娵訾之次(古者厯纪日月五星皆起于牵牛之次故)(曰星纪尔雅云𤣥枵虚也𤣥黒色枵虚中也营室东壁娵訾也室壁各二星如口象又在西北隅娵隅置也訾)(口象也)横亘九十有三度八十分以建酉戌亥子月昬见南方起天汉左终羽林左谓之北陆𤣥龟一名天鼋国语曰辰在天鼋即女虚𤣥枵之分也而室上有螣蛇二十二故曰𤣥武象为龟蛇或云𤣥蛇也武龟也虚危以前象蛇室壁象龟斗六星踦汉在黄道南将有天子之事占于南斗其距柄第三星广二十有五度二十分起析木二十七度尽星纪二十二度斗柄西八星当箕上曰天籥斗东北六星曰建南临黄道斗建之间七曜所由行也建上九星入河中曰天弁魁东二星南北相直曰天鸡鸡南二星东西相直曰天狗狗南四星曰狗国象鲜卑乌桓之夷也斗西南一星在箕之东曰农丈人魁南十四星曰鼈鼈东十星曰天渊亦曰天池歩天歌云斗六星其状似北斗魁上建星正相对天弁建上三三九斗下圆安十四星虽然名鼈贯索形天鸡建背双黑星天籥柄前八黄晶狗国四星鸡下生天渊十星鼈东边更有两狗斗魁前农家丈人狗下眠天渊色黄狗色𤣥牛六星二角觺然下四星句立在黄道北其距中央大星广七度二十分起星纪二十三度尽二十九度牛上四星曰天桴桴北三星踞汉湄曰河皷世谓之牵牛中大星为大将军南星为左将军北星为右将军左右旗各九星夹河皷偃卷汉内右旗在建星上入斗度左旗上有天津九星汉北近天纪三星一大二㣲曰织女织女东足四星曰渐台西足五星曰辇道织女渐台辇道皆入斗度牛东三星曰罗堰牛南九星曰天田田南九星曰九坎歩天歌云牛六星近在河岸头头上虽然有两角腹下从来欠一脚牛下九黑是天田田下三三九坎连牛上直建三河鼓鼓上三星号织女左旗右旗各九星河鼓两畔右边明更有四黄名天桴河鼓直下如连珠罗堰三乌牛东居渐台四星似口形辇道东足连五丁辇道渐台在何许欲得见时近织女(按张衡云牵牛)(织女七月七日相见者即此也尔雅云河鼔谓之牵牛又歌曰东飞伯劳西飞燕黄姑织女时相见黄姑)(即河鼔也音譌耳有谓牵牛即牛宿者然以之配织女恐当是河鼓若是六星之牛宿则当配以四星之)(女宿矣原注)女四星如箕在黄道北谓之须女亦名婺女其距西南星广十有一度三十五分起星纪二十九度尽𤣥枵十度女北五星曰离珠珠上五星曰败𤓰其上五星曰匏𤓰其北九星若张弓横亘河内曰天津八牛度津北四星在辇道东曰奚仲入斗度其北近紫垣七星曰扶筐亦云扶箱女南十六星或比或散为十二国北列左二为代次二为秦次二为周次二为赵南列左一为魏次韩次晋次燕次楚次齐次郑次越按天之所覆者广而华夏所分主者牛女下十二国耳其以十二国分野配十二辰次者妄也歩天歌云女四星如箕主嫁娶十二诸国在下陈先从越国向东论东西两周次二秦雍州南下双雁门代国向西一晋伸韩魏各一晋北轮楚之一国魏西屯楚城南畔独燕军燕西一郡是齐隣齐北两邑平原君欲知郑在越下存十六黄星细区分五个离珠女上星败𤓰珠上匏𤓰生两个各五二𤓰明天津九个弹弓形两星入牛河中横四个奚仲天津上七个仲侧扶筐星虚二星夹赤道其距南星广八度九十五分起𤣥枵十度尽十八度其第六度子中也虚北二星曰司命又北二星曰司禄又北少西二星曰司危又北二星曰司非虚南二星在代之东曰哭哭东二星曰泣在危上泣南十三星状如贯索曰天垒其南四星曰败臼二入危二入室臼西三星在韩晋之东曰离瑜离瑜与哭皆入女度歩天歌云虚上下各一如连珠命禄危非虚上呈两虚之下哭泣星哭泣双双下垒城天垒团团十三星败臼四星城下横臼西三个离瑜明危三星如矩在赤道北其距南星广十有五度四十分起𤣥枵十九度尽娵訾三度危北五星当司命上曰人星入虚度人左三星曰杵杵南四星曰臼杵北七星连卷而大首东近河抵司非曰车府河中五星如败𤓰曰造父亦曰伯乐河畔九星岐卷曰天钩见紫薇宫危南二星曰盖屋屋左四星曰坟墓其东南四星曰虚梁其南十星正圜曰天钱在北落西北羽林之西歩天歌云危三星不直旧先知危上五黑号人星人畔三四杵臼形人上七乌号车府府上天钩九黄晶钩上五鵶字造父危下四星是坟墓墓下四星斜虚梁十个天钱梁下黄墓旁两星能葢屋身著黑衣危下宿室二星北近天汉谓之营室离宫六星两两而比附其㫄尔雅云营室谓之定诗云定之方中是也其距南星广十有七度一十分起娵訾四度尽二十一度室北二十二星蜿蜒而翔曰腾蛇又上即造父也室南六星曰雷电其右二星在坟墓上曰土功吏雷电南十二星西南抵虚东近壁形如重担曰壁垒阵阵南四十五星三三而聚曰羽林军其西南一星曰天纲天纲左羽林南一星曰北落师门以上五官皆入危度其左三星曰𫓧钺下二星即败臼也其东南九星状如天田曰八魁入壁度石氏有天海十星歩天歌云室两星上有离宫出遶室三双有六星下头六个雷电形壁垒阵次十二星十二两头大似升阵下分布羽林军四十五卒三为群壁西四座星难论仔细厯厯看区分三粒黄金名𫓧钺一颗珍珠北落门门东八魁九个子门西一宿天纲是电㫄两黒土功吏螣蛇室上二十二壁二星如虚在室东谓之东壁其距南星广八度六十分起娵訾二十一度尽二十九度壁北十星曰天廐又北近垣五星王良也壁南二星曰土公又南五星曰霹雳又西南四星曰云雨二官入室度羽林左五星曰𫓧锧入奎度歩天歌云壁两星下头是霹雳霹雳五星横着行云雨次之曰四方壁上天廐十圆黄𫓧锧五星羽林㫄(一本多土公两黒壁下藏一句)白虎七宿居降娄大梁寔沈之次横亘八十有三度八十五分以建丑寅夘月昬见南方起羽林左终天侧左谓之西陆奎(一作䖯)十六星在天汉南为沟渎其距西南大星名天豕目广十有六度六十分起娵訾末度尽降娄(尔雅云降娄娄)(也万物至戌皆降而聚于娄故曰降娄)十五度奎北天汉内五星曰王良其四星连曲为天驷一星为御官御官动为䇿马史曰王良策马车骑满野此也㫄一星近天钩曰䇿入壁半度良左一星曰附路附路左六星曰阁道奎南七星曰外屏屏南七星如钩曰天溷溷右一星曰土司空在八魁之西南入壁度歩天歌云奎腰细头尖似破鞵一十六星遶鞵生外屏七乌奎下横屏下七星天溷明司空左畔土之精奎上一宿军南门河中六个阁道形附路一星道㫄明五个吐花王良星良兮近上一䇿名娄三星不匀在奎东南为聚众其距中央大星广十有一度八十分起降娄十六度尽二十九度娄东西各五星曰左更右更娄北天汉内十一星左右列各五中一大星曰天大将军入奎度(其南一星即军南门)娄南六星曰天仓亦入奎度又南四星曰天庾步天歌云娄三星不匀近一头左更右更乌夹娄天仓六个娄下头天庾四星仓东脚娄上十一将军侯胃三星鼎足立在娄东北近汉为仓廪其距西第一星广十有五度六十分起降娄二十九度尽大梁(大梁昴毕也昴)(毕间七曜所入要道若梁然)十二度胃北八星如钩曰大陵陵中一星曰积尸东天汉内九星与大陵分势者曰天船船内一星曰积水胃南左四星曰天廪廪又临赤道十三星形如乙字曰天囷步天歌云胃三星鼎足河之次天廪胃下斜四星天囷十三如一形河中八星名大陵陵北九个天船名陵中积尸一个星积水船中一黑晶昴七星四三相承一星独大南临黄道史记天官书作留毛传亦以为留也又曰旄头主胡其距西南星广十有一度三十分起大梁十三度尽二十四度昴北六星卷如曰卷舌舌中一星曰天谗舌后四星在五车北曰砺石昴左一星近黄道曰月星右一星曰天阿月南阿东五星曰天隂天囷南六星曰刍藁亦曰廥积其南十六星曰天苑天阿以下五官入胃度步天歌云昴七星一聚实不少阿西月东各一星月下五黄天隂名隂下六乌刍藁营营南十六天苑形河里六星名卷舌舌中黑㸃天谗星砺石舌㫄斜四丁毕八星欹倚黄道谓之罕车天之雨师也天官书作浊尔雅云浊谓之毕其大星曰天髙其距口北星广十有七度四十分起大梁二十四度尽实沈(实沈髙辛氏季子名也主参故)(以是名)十度傍一小星为附耳其上二星夹黄道曰天街东六星珠连曰诸王诸王北汉中五大星斜对毕口曰五车车旁九小星三三而聚曰三柱亦曰三泉车中五星曰天潢其上三星曰咸池车南一星曰天关毕畔诸王下四小星亦曰天髙毕南耳下八星大首而曲柄曰天节其东九星连蜷直五车曰参旗旗南九星夭矫而下垂曰九斿斿旁九星如圜而长曰九州殊域天苑南十三星曰天园入昴度步天歌云毕恰似爪乂八星出附耳毕股一星光天街两星毕背旁天节耳下八乌色毕上横列六诸王王下四皂天髙星节下团团九州城毕口斜对五车口车有三柱任纵横车中五个天潢晶潢畔咸池三黒星天关一星车脚边参旗九个参车间旗下直建九斿连斿下十三乌天园九斿天园参脚边觜三星隅置在参北曰觜觽为虎首其距西南星广百分度之五觜北河中九星直井钺上曰坐旗入井度旗西南四星曰司怪入毕度歩天歌云觜三星相近作参蕋觜上坐旗直指天尊卑之位九相连司怪曲立坐旗边四鵶大近井钺前参十星肩负黄道为白虎中横三星为衡石下三星为伐(史记天官书作罚)其外四星左右肩足也其距中西第一星广十有一度一十分起实沈十度尽二十一度参右足下四星曰玊井其南四星曰军井又南二星曰屏屏左四星曰厕厕下一星曰天矢矢南有丈人子孙各二星俱属井歩天歌云参总有十星觜相侵两肩双足三为心伐有三星足里深玊井四星右足隂屏前两扇井南襟军井四星屏上森左足下四天厕临厕下一物天矢沉朱鸟七宿居鹑首鹑火鹑尾之次横亘百有八度四十分以建夘辰巳午月昬见南方谓之南陆井八星横列汉湄谓之东井其距北西星广三十有三度三十分起实沈二十一度尽鹑首二十四度井西一星曰钺附钺南四星曰水府入参度东北三星居汉北浒曰北河井南三星居汉南浒曰南河两河天阙间为关梁七曜之道也北河之南五星在井东曰五诸侯侯南三星曰天樽又积水一星在北河之西积薪一星在北河之东其南四星居汉中曰水位井西南四星曰四渎又南三星曰阙丘亦曰天阙阙丘西下十三星在南河之南形若天钱曰军市中一星曰野鸡精市东一大星曰狼狼东南九星状若张弓曰弧矢弧南有一星曰老人近南极中国不见南海上候之唐张籍送郑尚书赴广州诗云此处莫言多瘴疠天边看取老人星是也军市西南二星曰丈人其东二星曰子子东二星曰孙皆入参度步天歌云井八星横列河中净一星名钺井边安两河各三南北正天樽三星井上头樽上横列五诸侯侯上北河西积水欲覔积薪东畔是钺下四星名水府水位东边四星序四渎横列南河里南河下头是军市军市团团十三星中有一个野鸡精子孙丈人市下列各立两星从东说阙丘三个南河东邱下一狼光蒙茸左畔九个弯弧弓一矢拟射顽狼胸有个老人南极中春秋出入夀无穷鬼在天汉东黄道北四星多置如匮谓之舆鬼中一星名积尸气为质书曰徳成衡观成潢伤成钺祸成井诛成质是也其距西南星广二度二十分起鹑首二十四度尽二十六度北四星直轩辕西在井之东北曰爟南七星横河中曰天狗弧矢南六星曰天社二官入井度天狗东六星曰外厨其南一星曰天纪二官入栁度步天歌云鬼四星册方似木柜中央白者积尸气鬼上四星是爟位天狗七星狼北是外厨六星柳星次天社六个弧东倚社东一星是天纪柳八星在鬼东南黄赤道间天官书作注朱鸟之注也其距西头第三星广十有三度三十分起鹑首二十六度尽鹑火(栁为鸟喙星为鸟颈张为乌嗦三宿连体故总谓之鹑火)十度栁北三星近轩辕右角曰酒旗入星度南即外厨天纪也栁近上台张近中台翼近下台步天歌云栁八星曲头垂似栁近上三星号为酒享晏大酺五星守星七星如钩踦赤道为鸟颈其距大星广六度三十分起鹑火十一度尽十七度星北十七星卷曲而翼飞形如腾龙度跨星张曰轩辕其大星前一星为御女左角为少民右角为大民周礼天府祭天之司民司禄谓此天文星第四星也或曰黄龙之体黄帝之神为后宫为权其东近中台四星曰内平入张度酒旗南三星曰天相相南五星曰天稷步天歌云星七星如钩栁下生星上十七轩辕形轩辕东头四内平平下三个名天相相下稷星横五明张六星在赤道南为鸟嗉其距西第二星广十有七度二十五分起鹑火十七度尽鹑尾三度(南方七宿取朱鸟为象井鬼为)(首翼轸为尾故曰鹑尾)南十四星曰天庙入星度步天歌云张六星似轸在星旁张下只是有天庙十四之星册四方长垣少㣲虽向上星数歌在太微旁太尊一星直上黄翼二十二星在赤道南北连太微垣若承捧然为鸟翼其距中行西第二星广十有八度七十五分起鹑尾三度尽二十三度南五星曰东瓯入张度步天歌云翼二十二星大难识上五下五横著行中心六个恰如张更有六星在何许三三相连张畔附若必不能分处所更请向前分度取五个黑星翼下头欲知名字是东瓯轸四星在赤道南为鸟尾为车辖二星附两旁其中一星名长沙其距西南星广十有七度三十分起鹑尾二十三度尽夀星八度右辖西南二星曰军门其南四星曰土司空其左七星曰青邱其南三十二星曰器府歩天歌云轸四星似张翼相近中央一个长沙子左辖右辖附两星军门两黄近翼是门下四个土司空门东七乌青丘子青丘之下名器府器府之星三十二以上便为太微垣黄道向上看取是太㣲垣在北斗之南鹑尾之次西临翼初东尽轸末垣星左右各五南中为端门夹端门二星曰左右执法执法之东西为左右掖门掖门之北左四辅南相北将右四辅南将北相各有上次四辅间各三门南曰东西太阳中曰东西华北曰东西太隂端门内右执法北四星曰内屏屏北五星为五帝座中曰黄帝苍赤白黑四帝各居其方座北一星曰太子太子右一星曰从官左一星曰幸臣左执法东北一星曰谒者谒者东北三星曰三公内座三公北三星曰九卿内座九卿北五星曰内五诸侯侯北十有五星依乌曰郎位或云二十四星也东北一大星曰郎将从官右一星在西垣之外上相之西下台之南曰虎贲郎位北七星如毕状曰常陈常陈右六星两两相比起文昌列招揺抵太㣲曰三台亦曰三能西二星近文昌为上台司命在栁北其北星入栁六度次二星对轩辕为中台司宗其北星入张二度东二星近太微为下台司禄在垣西藩北其北星入翼二度东方朔愿陈泰阶六符孟康曰三台也南四星雁行近上相曰少㣲处士星也其南四星入张度曰长垣右垣西南三星曰明堂堂西三星近上相曰灵台二官皆入翼度天官书无垣名而曰南宫朱乌权衡衡太㣲权轩辕考要亦云南宫之宿其大者曰权衡衡为太微之庭权为女主之宫步天歌云上垣太㣲宫昭昭列象铺苍穹端门只是门之中左右执法门西东门左皂衣一谒者以次即是乌三公三黒九卿公背傍五黑诸侯卿后行四个门西主轩屏五帝内座于中正幸臣太子及从官乌列帝后从东定郎将虎贲居左右常陈郎位居其后常陈七星不相误郎位陈东一十五两边宫垣十星布左右执法是其数宫外明堂布政宫三个灵台候云雨少微四星西南隅长垣双双㣲西居北门外西接三台与垣相对无兵灾右列宿度分皆以赤道立距各过宫中星皆以万厯年间为凖古言星官者唐虞以前莫考其见于尚书则四象列宿仅仅有其三汉以来石申甘德两家最著后又有巫咸家出然象于朝者皆袭秦官意其非巫咸本文也马迁班固书志巳多不同张衡灵宪以为中外之官常明者百有二十可名者三百二十为星二千五百微星之数万有一千五百二十吴太史令陈卓乃偹列甘德石申巫咸三家之星总二百八十三座为星一千四百六十四石申紫㣲垣一十三座六十四星中官四十八座二百八十六星外官三十六座二百七十七星皆赤甘德紫薇垣二十一座一百二十星中官五十七座一百九十八星外官四十座二百一十一星皆黑巫咸紫薇垣四座一十八星中官九座三十一星外官二十座九十三星皆黄即今步天歌中所谓黄赤黑者也其名同者三公星有三两在紫薇垣一在太㣲垣从官星有二在太㣲垣者一星属房宿者二星天纪星亦有二在天市垣者九星属鬼宿者一星御女亦有二在轩辕之下者一星在紫薇垣内者四星天田星亦有二属角宿者二星属牛宿者九星杵星亦有二箕属危属皆三星也又土司空有二属奎者一星属轸者四星胃属有积尸在大陵中其在舆鬼内者名积尸气也角属有衡星又太微为衡北斗第五星为玊衡也斗星有三在紫薇垣者谓之北斗七星在元武象者谓之南斗六星在天市垣者则五星也司禄亦有三其一属危其一为文昌第四星其一为三台东二星也两太子一在太微垣一为北极第一星心宿之前星亦为太子也两积水一在井一在胃两五诸侯一在井一在太微垣房属有罚参中之伐亦作罚天市垣之诸国与女下之十二国亦多同其相似者如内屏外屏之与屏星内㕑外㕑之与天㕑天鸡之与野鸡天溷之与天厕臼星之与败臼钩星之与天钩相星之与天相狗星之与天狗狗国三公内座之与三公五侯内座之与五侯军门之与军南门土功之与土功吏五柱之与三柱实繁有徒余不著者无名回回厯暨郭太史俱有新测无名诸星但不便于考记故不著今所用乃宋皇祐间校定而皇祐一本之丹元子步天歌紫薇垣三十八座一百八十四星太微垣一十九座七十八星天市垣一十八座八十七星列舎并附官二百一十二座一千一百三十八星中外官共二百八十七座一千四百八十七星然一座之星有兼跨两宿势难割裂步天歌但取其相近者属之而观测则不合故今虽从歌纪之而仍明注入某度入某度(紫薇垣正)(处天中度次徧入于列舎凡星在赤道内为中宫赤道外为外宫原注)(古厯以周天诸星分为三垣二十八宿各各定有名位座次每座每宿星数又各多寡不齐然其所谓宿者盖)(取七曜经行止宿之义且用以便于测算经度又谓其各能主施德也星之命名或仿佛其形似或因其光色)(或因其德性或命以官以国以人以物以事种种借义咸以便司天氏之仰观耳○又按二十八宿恒星也常)(定不移故谓之恒由今验之实未常不移者如角大星周赧王二十年丙寅测得经度在秋分前鹑尾宫二十)(二度后于汉顺帝永和三年戊寅测在鹑尾二十七度嘉靖四年乙酉测得过秋分在夀星宫一十七度万厯)(十三年乙酉测在夀星宫一十八度轩辕星亦如之赧王丙寅在鹑首二十七度汉永和戊寅在鹑火三度三)(十分今测在鹑火二十四度四十分余星皆如之是以帝尧之世日中星鸟谓春分则初昏时鹑火中也而周)(未在井今在参矣尧时冬至日在虚汉唐在斗今在箕矣过此以往又安知其不更异于昔耶即在天诸星巫)(咸石申甘德之徒分次识别如前所定垣宿是矣实有不止于是者如昴宿世传七星或云六星而实则三十)(七星鬼宿四星其中积尸气相传为白气如云实则其间有小星三十六但微茫难见耳)天汉天汉自昔志天官者遗之然络带南北为天之大界宿次舎垣借此以分昭昭乎与星辰俱垂象也乌可遗乎天汉谓之天河张衡云金之气或云水之精精气发升宛转若流与河海通余谓不然直是成象之在天者与星月同耳其南入南极不可见可见者自尾箕始经龟鱼𫝊说天江糠星天籥斜行上连箕斗天弁河皷左右旗倒分一派西映天市之吴越自坤抵艮至宗人宗星而止其大势上络天津而至车府造父螣蛇王良附路阁道大陵天船则渐下而南行厯卷舌五车诸王天关司怪水府入东井过四渎阙邱天狗弧矢之墟在社稷七星之南而入于南极内也步天歌云天河亦名曰天汉起自东方箕尾间遂乃分为南北道南经傅说入鱼渊开籥戴弁鸣河鼓北经龟宿贯箕边次络斗魁冒左旗又合南道天津湄二道相合北西行分夹匏𤓰络人星杵畔造父螣蛇精王良附路阁道平登此大陵泛天船直到卷舌又南征五车驾向北河南东井水位入吾骖水位过了东南游经次南河向阙邱天狗天纪与天稷七星南畔天河没厯体畧卷中
## 卷下
钦定四库全书厯体略卷下明 王英明 撰前所辑皆自古谈天成说也近有欧逻巴人挟其厯自大西洋来所论天地七政厯厯示诸掌创闻者不能无骇且异徐绎之悉至理也夫礼失而求之野择其善者而从之不犹愈于野乎述西厯体(欧逻巴国名其地亦在赤道北北至北极出地四十五度实与中国东西相对俱有理学文字其俗)(素精天文专以尊事天主上帝为学俗呼大西洋也自利玛窦于神庙初挟其彼国图书器物由海)(道自西南诸国以入中华尚食京师发明九重天奥义自后同学相继而来所译教义诸书不下充)(栋而厯法一部如几何原本同文算指表度等说测量全义日月星躔表天问畧测天约说及浑天)(仪测蚀等书确当详明逺过前代今总彚为崇祯厯书百余卷实推步家之指南也集中所载仅撮)(其度数经纬及天体地形日月星辰躔宿薄蚀等义足以左右厯指者其文辞先后自相发明故鲜)(所诠注也)天体地度凡厯象日月星辰者南北东西随地理之差为移易故不知舆地者不可以厯天兹首著浑天包地之故而以天躔经地度信乎其为物之不贰也东海西海心同理同吾中前圣旧盖有其说矣恨语焉不详耳於乎请勿怪生齿之反足相对也天有九重第九重号为宗动天体无星辰带下八重天转动一日一周自东而西第八重列宿天二万四千四百年一周第七重填星天二十九年一百五十五日二十五刻一周第六重岁星天一十一年三百一十三日七十○刻一周第五重荧惑天一年二百二十一日九十三刻一周第四重日轮天三百六十五日二十三刻一周第三重太白天第二重辰星天俱随日作三百六十五日二十三刻一周第一重月轮天二十七日三十一刻一周此八重天者俱自西而东右旋而俱为宗动天带之左旋九天层叠包裹如葱头虽体极坚而通透光亮清虚无碍不异琉璃水晶也日月星辰在其体内如木板之节各因本天而动焉天之内包火火之内包气气又包水土而水土合为一丸即地也火轻扬故升于九重天之下土重浊故凝于天之中水轻于土故浮土之上气不轻不重故乗水土而负火此系元火附于天而随之环动偕之一周极净甚炎而无光也何以无光无薪炭等体以传其光耳一遇外物冲撃则发光矣世所云天裂星流是也试观陶窰之久烧者初除薪炭虽内不见火光而热气甚盛物入之即焚正犹是耳乃气又有上中下三域上域近火故大热下域近水土而水土为太阳所射故发煖中域上下隔绝故大寒而霜雪凝于斯然三域又广狭弗等南极北极之下太阳不到隂气甚盛其上下热煖之域狭而中寒冷之域广若赤道之下正当太阳隂气甚微其上下热煖之域广而中寒冷之域狭地与海合为一丸本是圆形居浑天之当中㣲止一㸃谓地为方者乃语其定而不移之性非语其形体也天既包地则彼此相应故天有南北二极地亦有之天分三百六十度地亦同之天中为赤道自赤道而南二十三度半为南道赤道而北二十三度半为北道中国在北道之北日行赤道则昼夜半行南道则昼短行北道则昼长故浑天有昼夜平道于中昼短昼长二道于南北为日行之界地亦有三界对于下焉但天包地外为甚大其度广地处天中为甚小其度狭耳测得直行北方者每路二百五十里北极出髙一度南极入低一度直行南方者每路二百五十里北极入低一度南极出髙一度则审地形果圆而每二百五十里为地之一度也信地之东西一周南北一周各九万里而不异也夫地厚二万八千六百三十七里零二十五分里之九上下四旁皆生齿所居浑沦一丸原无上下葢在天之内何瞻非天总六合内凡足所履即为下凡首所戴即为上其专以身之所居分上下者皆不逹者也余自西海泛舟而来南行至亦道下见南北二极皆在平地略无髙低又南过大浪山但见南极出地三十六度而北极隐而不见则大浪山与中国上下相为对待矣而余彼时惟仰天在上未尝见其在下也故谓地形圆而周围皆生齿者信然矣以地圆故凡自海西岸上船者乗正东风遶地一周于东岸下船则一年止三百六十四日其理固自明也以天度分山海自北而南为五带一在昼长昼短二界之间其地甚热近日故也二在北极界之内三在南极界之内此两处甚冷逺日故也四在北极昼长二界之间五在南极昼短二界之间此两处皆谓之正带不冷不热日轮不逺不近故也南北纬度定天下之纵视其纬度可以知各极出地几何度自赤道一线之界而起平分天下之中北至北极南至南极凡地在赤道以北主北极则为北方在赤道以南主南极则为南方中国主北极而释氏谓为南〔？〕部州其谬甚矣葢地距赤道度数与各极出地度数相等但在南方则著南极出地之数在北方则著北极出地之数故北京在赤道以北四十度则知北京北极髙四十度也大浪山在赤道以南三十六度则知大浪山南极髙三十六度也凡同纬度之地其极出地之数同则四时寒暑同若两处距赤道度数相同但一离而南一离而北则四时之昼夜刻数皆同惟时相反此之秋彼为春此之夏彼为冬耳离赤道愈逺则昼夜长短愈多其长昼长夜之地每度长几何则自西徂东离赤道度数皆一焉东西经度定天下之衡视其经度可以知两处相离几何辰葢日行一日一周天每时行三十度而两处相距三十度为差一辰故女直距缅甸东西三十度则女直为夘时缅甸为寅时也其他倣是若差六辰则两处昼夜相反焉若昼夜相反者离赤道度数同而一南一北则两处人行立正对足底故中国金陵离赤道以北三十二度而大东洋之玛八作离赤道以南三十二度东西相距一百八十度则金陵与玛八作相对足底行立矣从此知同经度地并同辰而同时见日月食也(列宿即二十八宿世谓恒星填星即土星岁星即木星荧惑即火星太白即金星辰星即)(水星火气水土为四元行元火谓无形之火也天裂流星今夏秋夜见俗所谓星移者谬也元火在上日)(蒸人物之气上触而现为光正犹是耳南极夏至太阳不到北极冬至太阳不到东西南北一周各九万)(里而不异以地里数凖天度数可考而知释氏谓南〔？〕部洲言日月绕须弥山而成昼夜天文荒诞如此)(地理可知矣凡同纬度之地言东西国也极东极西与中国止差早晚而冬夏寒暑则等止因纬度之同)(耳)度里之差凡北极差一度则地差二百五十里测之无不合者然浑天之体经度在所各同而纬度自东周西乃惟正当赤道之下为得一度渐南渐北则渐以狭其里数亦难概以二百五十也略举其凡如左赤道北抵北极九十度以次渐逓加杀(凡六十分为一度凡六十秒为)(一分)则直得一度横得若干分秒是故从赤道起第一度横得五十九分五十九秒第五度横得五十九分四十六秒第十度横得五十九分○五秒第十五度横得五十七分五十七秒第二十度横得五十六分二十三秒第二十五度横得五十四分四十九秒第三十度横得五十一分五十八秒第三十五度横得四十九分○九秒第四十度横得四十五分五十八秒第四十五度横得四十二分二十六秒第五十度横得三十八分三十四秒第五十五度横得三十四分二十五秒第六十度横得三十○分○秒第六十五度横得二十五分二十一秒第七十度横得二十○分三十一秒第七十五度横得十五分三十二秒第八十度横得一十○分二十五秒第八十五度横得○五分一十四秒至第九十度则分秒俱无矣此略举隔五之数实则每度不同焉自赤道抵南极亦然以地凖之则每度径得二百五十里每分径得四里零六分里之一即六十步凡积十四秒零二十四微为一里积二分二十四秒为十里积二十四分为百里积四度为千里积四十度为万里皆以弦直道论云(里差每一度差二百五十里此从浑天仪可验者经纬濶狭理所固然但随南随北天体)(髙圆未尝少异恐经纬亦随处而皆然也俟订)纬曜太阳当空列曜俱熄至夜而星可测也星莫灿于五纬然各有迟留退伏又金水太隂距地最近不可以地面为较自太阳以上诸曜距地绝逺则地面地心总之不异且其形体各不相等人目所睹近者虽小亦大逺者虽大亦小不可以井闚泥之地周九万里其半径一万四千三百一十八里零九分里之二月距地中心四十八万二千五百二十二里余辰星距地中心九十一万八千七百五十○里余太白距地中心二百四十○万六百八十一里余其光有消有长如月轮然日距地一千六百○五万五千六百九十○里余荧惑距地二千七百四十一万二千一百○○里余岁星距地一亿二千六百七十六万九千五百八十四里余四周有四小星遶行甚疾或此东彼西或彼东此西或俱东俱西镇星距地二亿○五百七十七万○五百六十四里余形如鸡卵两侧有两小星镇星全径大于地全径九十倍又八分之一岁星全径大于地全径九十四倍半荧惑大半倍日大于地一百六十五倍又八分之三地大于太白三十六倍又二十七分之一地大于辰星二万一千九百九十一倍地大于月三十八倍又三分之一日大于月六千五百三十八倍又五分之一(皆以径论)经宿凡经星以二万四千四百年一周天是为岁差但其移也密百年之内所差不多故可以定度取之中外星官三百六十未易悉列兹举大者数十以俟宵测总之论各星所入赤道宿次度分与其在赤道南北几何距极几何以至异体大小之等皆载焉凡经星距地三亿二千二百七十六万九千八百四十五里有余此外即一日一周之天包络转运此天距地六亿四千七百三十三万八千六百九十○里有余所谓宗动天也其经星之体凡有六等上等全径大于地全径一百○六倍零六分之一次等大于地八十九倍零八分之一其三等大于地七十一倍零三分之一其四等大于地五十三倍零十二分之一其五等大于地三十五倍零八分之一其六等大于地一十七倍零十分之一举其著者五十二官若今所谓天汉者则小星稠密光显相聨若白练然非白气也勾陈三星体等三入壁二度距北极三度赤道北八十五度太阁道南二星体等三入壁六度少距北极三十六度半赤道北五十三度太天纲体等三入壁七度太距北极一百○二度赤道南二十度半奎左北第五体等三入奎三度太距北极六十二度赤道北三十四度少天仓右三星体等三入奎七度太距北极一百○二度赤道南十三度太大陵大星体等二入胃三度太距北极五十三度太赤道北三十九度半天船西三星体等二入胃五度太距北极四十一度太赤道北四十七度太天囷东一星体等三入胃八度少距北极八十五度太赤道北二度少昴宿两星体等俱五入胃十五度少昴一度距北极六十八度少赤道北二十一度太毕宿大星体等一入毕二度距北极七十五度少赤道北十五度太五车右北体等一入毕八度太距北极四十五度太赤道北四十五度参右足体等一入毕十二度太距北极九十八度半赤道南九度少参左肩体等一入参五度少距北极八十二度太赤道北六度少天狼体等一入井八度少距北极一百○六度少赤道南十五度太北河中星体等二入井十六度半距北极五十八度少赤道北三十一度半南河东星体等一入井二十度少距北极八十四度少赤道北六度少北河东星体等二入井二十度少距北极六十度少赤道北二十八度太星宿大星体等二入星初度半距北极九十七度太赤道南四度半轩辕大星体等一入张三度少距北极七十五度太赤道北十四度少轩辕南三星体等三入张三度半距北极六十八度半赤道北二十二度少北斗天枢体等二入张一十五度半距北极二十五度太赤道北六十二度太北极天璇体等二入张一十五度少距北极三十一度少赤道北五十九度太微西垣上相体等二入翼三度距北极六十六度半赤道北二十二度太北斗天玑体等二入翼十三度距北极三十三度少赤道北五十七度北斗天权体等三入翼十三度少距北极二十九度太赤道北六十度少太微帝座体等一入翼十三度太距北极七十一度太赤道北十七度少北斗玊衡体等二入轸十度少距北极三十一度赤道北五十八度少角宿南星体等一入角初度距北极九十八度半赤道南八度少北斗开阳体等二入角一度少距北极三十二度赤道北五十七度少北斗揺光体等二入角七度太距北极三十七度半赤道北五十一度太大角体等一入亢一度距北极六十八度赤道北二十一度太招揺体等三入亢六度太距北极四十九度少赤道北四十度半氐右南星体等三入氐初度距北极一百○四度赤道南十三度半氐右北星体等三入氐五度距北极九十八度太赤道南七度少贯索大星体等三入氐四度太距北极五十六度少赤道北二十八度太市垣梁星体等三入房五度距北极九十一度太赤道南二度心宿中星体等二入心二度距北极一百一十五度少赤道南二十四度太市垣候星体等二入尾二度太距北极七十六度少赤道北十三度少市垣帝座体等三入尾七度太距北极七十四度太赤道北十五度半天棓大星体等三入箕四度距北极四十○度少赤道北五十二度少织女大星体等一入斗一十八度少距北极五十一度太赤道北三十八度太河鼓中星体等二入斗二十度半距北极八十三度太赤道北七度少天津右北三星体等二入女二度少距北极四十七度少赤道北四十三度太天钩大星体等三入虚二度少距北极三十○度太赤道北六十○度太壁垒西星体等三入虚三度少距北极一百○九度太赤道南十八度太危宿北星体等三入危初度太距北极八十七度少赤道北七度少室宿北星体等二入室初度距北极六十五度半赤道北二十五度室宿南星体等二入室初度距北极七十八度少赤道北十二度太羽林大星体等三入室九度太距北极一百○六度太赤道南十八度北落师门体等一入室(阙) 距北极赤道南右中外星官灿烂著明可立距七曜者略备矣若初学之士未能尽识更择取简要大星用之如左大陵大星天船三星毕宿大星五车右北参左肩右足天狼北河两星南河东星星宿大星轩辕大星太微帝座微垣上相角宿南星大角心宿中星河鼔中星织女大星北落师门天津右二室壁两宿北斗七星右所纪度分节去五度四分度之一而零分以太半少约之以地圜故凡人在南方则见北方所不见之星在北方者亦见南方所不见之星人之行渐南渐北其南北之星随而渐次隐见也(中邦处赤道之北以北极出地三十度为率则闽粤以北诸星皆可)(见赤道以南渐难于闚测矣)黄道宫界带天之纮为赤道七曜经行为黄道两环斜交各自有极以三百六十度计之则经度每三十度交一宫十五度为一气起磨羯之初为冬至月建子中小寒月建丑初是尽一宫次交寳瓶宫为大寒丑中立春寅初次交双鱼宫为雨水寅中惊蛰卯初而际于赤道交白羊宫为春分卯中清明辰初次交金牛宫为谷雨辰中立夏已初次交隂阳宫为小满已中芒种午初既尽此宫遂转而交巨蟹宫为夏至午中小暑未初次交狮子宫为大暑未中立秋申初次交双女宫为处暑申中白露酉初又际赤道交天秤宫为秋分酉中寒露戌初次交天蝎宫为霜降戌中立冬亥初次交人马宫为小雪亥中大雪子初乃又值天正冬至而一岁周焉凡天下寒暑荣悴皆由黄道中国当赤道之北故太阳之行黄道也一北而暖而万物生一南而寒而万物死也其反是者不论兹以白羊戌宫为始纪之所谓步戌成岁云白羊宫三十度初度起壁初于辰为酉中戌初金牛宫三十度初度起娄五于辰为申中酉初隂阳宫三十度初度起昴七于辰为未中申初巨蟹宫三十度初度际参末于辰为午中未初狮子宫三十度初度起井三十于辰为巳中午初双女宫三十度初度起张七于辰为辰中已初天秤宫三十度初度起轸初于辰为卯中辰初天蝎宫三十度初度起亢初于辰为寅中卯初人马宫三十度初度起房三于辰为丑中寅初磨羯宫三十度初度起箕三于辰为子中丑初寳瓶宫三十度初度起牛初于辰为亥中子初双鱼宫三十度初度起危三于辰为戌中亥初赤道纬躔太阳之出入于赤道也南二十三度半而冬至北二十三度半而夏至内外不异而往来有渐兹著二十四气每日所躔九服凖之可以知在所赤道出地髙低因以推在所之北极焉气候刻漏隂阳之运于天地间也为寒暑为昼夜而一禀之太阳是故厯象以测日为第一义而日影随在不同其气候寒热与刻漏长短随之兹以天凖地凡在九万里内者悉一一著焉凡天下寒暑气候为五截日景亦五截赤道之下其地四时皆燠而春秋分为甚为适当日道之下也冬夏至稍减而其燠则同为去日道仅二十三度半也春秋分日中无景过春分则景在南过秋分则景在北其地以四十五日为一时一年共八时有两春两夏两秋两冬草木一岁再荣再枯故自赤道北二十三度半至赤道南二十三度半一带地方立表每岁间东西南北日影俱到也日行南北二道之下其地每岁一极寒一极暑而正相反在北道者夏至暑冬至寒日有东南西三面景而南景为常自赤道北二十三度半至六十六度半一带地方皆同在南道者反是过此二界则黄道之所不至日不经天顶过矣其地四时皆寒周围皆有日景而以半年为昼半年为夜草木朝生暮死故自赤道南北各六十六度三十分至九十度一带为二极界内之地昼夜永短偏胜之极每昼间日景东西南北周到也盖赤道南北各二十三度半乃黄道所经冬夏二至之界其六十六度半乃极南极北之界而冬夏昼夜长短于此分焉自赤道以北诸国观之日行北道则昼长夜短至夏至而极极则返而南日行南道则夜长昼短至冬至而极极则返而北其赤道以南诸国反是故惟黄道与南北二极之界相距适中之地冲和之气钟焉凡此自东周西一带毓灵孕秀遂多圣贤豪杰之俦中国自距赤道十九度至四十二度正当其处此外过寒过燠皆属偏气虽有人类蠢顽不灵矣昼夜永短关乎纬度是故赤道距两极各九十度每度每分之地其昼夜永短各各不同略举其大则北极之下长昼长一百八十二日六十二刻葢自春分至秋分通为一昼矣渐而南五度夏昼长一百七十七日九十八刻又五度夏昼长一百六十一日二十一刻又五度夏昼长一百三十四日二十○刻又五度夏昼长一百○四日○四刻又五度夏昼长六十四日五十五刻皆夏至前后通为一昼无夜余渐有夜至秋分而平又五度夏昼长八十八刻又五度夏昼长七十七刻又五度夏昼长七十一刻又五度夏昼长六十七刻又五度夏昼长六十四刻又五度夏昼长六十二刻又五度夏昼长五十九刻又五度夏昼长五十八刻又五度夏昼长五十六刻又五度夏昼长五十五刻又五度夏昼长五十三刻又五度夏昼长五十二刻至九十度夏昼长五十刻各以减百刻为夜刻则赤道之下也总之平分于赤道而南北反对南为长昼则北为长夜北为长昼则南为长夜北为夏昼南为冬昼南为夏昼北则冬昼其两极之下长昼长夜则半年有日光半年无日光者也(巳上诸说西法制有增式浑天仪旋转可测算也)附录凡厯家每日以七曜之一为本日所直宿葢取天体层数定之昼夜匀作二十四分如第一分属太阳则第二为金三为水四为月五为土六为木七为火周而复始则其第八第十五第二十二皆属太阳至二十四属水而一日终焉次日之第一乃当属月厯取首分之曜为一日之直因以月继日而以日月火水木金土作每日之序云其所云二十四分者不论昼夜长短但匀日出后十二分日入后十二分亦非一时截作两时也西国以此论人禄命及占候祲祥今畴人相㳂用之而不知其自故附见于此人在地上视日月大小不逺然月之离地一十○万四千四百○一里又百分里之八十一日之离地一千五百九十一万二千三百八十二里人目之视近者大而逺者小其常也今逺近异而体象等所以知其有大小也然何以知日大于地地大于月也答曰凡以光相施者丸之大小相等则其受光与不受光相半而所蔽之暗影至于无穷惟以小蔽大则小者之受光必过于半体而其暗影渐逺亦渐尖细逺之极无复暗影焉其影有穷也故月有蚀而星无蚀月近地而星逺地也地影不能及星也若月与地等何以蚀既又有蚀甚耶若地与日等或更大焉则众星皆蚀矣所以知其大小之分也又问日月蚀之理如何曰日蚀者縁朔时月至黄道在日之下遮掩日光人不能见日轮谓日蚀也然日轮了无失光故其蚀非天下相同之蚀或此处蚀他处不蚀或此处全蚀他处半蚀此因所当有偏正之异故也月蚀天下皆同也葢月与众星皆借日为光地在九重天之当中若望时月至黄道正与太阳相对地形障隔其中不得相射则月失其光而人以为蚀乃地影䝉之耳出地影而复光矣此交蚀之大略也厯体略卷下◆ 《御制历象考成-清-》（KR3f0018）
## 御制律厯渊源序
御制律厯渊源序
粤稽前古尧有羲和之咨舜有后䕫之命周有商高之访逮及厯代史书莫不志律厯备数度用以敬天授民格神和人行于邦国而周于乡闾典至重也我皇考圣祖仁皇帝生知好学天纵多能万几之暇留心律厯算法积数十年博考繁赜搜抉奥微叅伍错综一以贯之爰指授庄亲王等率同词臣于大内蒙养斋编纂毎日进呈亲加改正汇辑成书总一百卷名为律厯渊源凡为三部区其编次一曰厯象考成其编有二上编曰揆天察纪论本体之象以明理也下编曰明时正度密致用之术列立成之表以著法也一曰律吕正义其编有三上编曰正律审音所以定尺考度求律本也下编曰和声定乐所以因律制器审八音也续编曰协均度曲所以穷五声二变相和相应之源也一曰数理精蕴其编有二上编曰立纲明体所以解周髀探河洛阐几何明比例下编曰分条致用以线面体括九章极于借衰割圜求体变化于比例规比例数借根方诸法盖表数备矣洪惟我国家声灵逺届文轨大同自极西欧罗巴诸国专精世业各献其技于阊阖之下典籍图表灿然毕具我皇考兼综而裁定之故凡古法之岁乆失传择焉而不精与西洋之侏〔？〕诘屈语焉而不详者咸皆条理分明本末昭晰其精当详悉虽专门名家莫能窥万一所谓惟圣者能之岂不信欤夫理与数合符而不离得其数则理不外焉此图书所以开易范之先也以线体例丝管之别以弧角求经纬之度若此类者皆数法之精而律厯之要斯在故三书相为表里齐七政正五音而必通乎九章之义所由试之而不忒用之而有效也书成纂修诸臣请序而传之恭惟圣学高深岂易钻仰顾朕夙承庭训于此书之大指微义提命殷勤岁月斯乆尊其所闻敬効一词之赞葢是书也岂惟皇考手泽之存实稽古准今集其大成高出前代垂千万世不易之法将欲协时正日同律度量衡求之是书则可以建天地而不悖俟圣人而不惑矣雍正元年十月朔敬书
## 总目
钦定四库全书 子部六
御制厯象考成总目 天文算法类一(推歩之属)上编十六卷下编十卷表十六卷(臣)等谨案御制厯象考成四十二卷康熙五十二年圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第一部也按推歩之术古法无征所可考者汉太初术以下至明大统术而已自利玛窦入中国测验渐宻而辨争亦遂日起终明之世朝议坚守门户讫未尝用也国朝声教覃敷极西诸国皆累译而至其术愈推愈精又与崇祯新法算法图表不合而作新法算书时欧逻巴人自秘其学立说复深隠不可觧
## 提要
圣祖仁皇帝乃
特命诸臣详考法原定著此书分上下二编上编曰揆天察纪下编曰明时正度集中西之大同建天地而不悖精微广大殊非管蠡之见所能测今据其可以仰窥者与新法算书互校如黄道斜交赤道而出其内外其相距之度即二至太阳距赤道之纬度新法算书用西人第谷所测定为二十三度三十一分三十秒今则累测夏至午正太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒较第谷所测度 少二分葢黄赤二道由逺而近其所以古多今少渐次移易之故非巧算所能及故当随时宻测以合天行者也又时差之根其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退葢以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长葢以分至为加减之限也新法算书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同合立一表歳乆必不可用今分为二表加减二次而于法为宻矣又新法算书推算日食三差以黄平象限为本然三差并生于太隂而太隂之经纬度为白道经纬度当以白平象限为本太隂在此度即无东西差而南北差最大与髙下差等若在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平象限异故定交角有反其加减之用也又厯来算术定月食初亏复圆方位东西南北主黄道之经纬而言非谓地平经纬之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有邪正而加时距午有逺近両经纬回然各别所推之东西南北必不与地平之方位相符今实指其在月体之上下左右为众目所共睹较旧法更为亲切又新法算书言五星古图以地为心新图以日为心然第谷推步均数惟火星以日为心若以地为心立算其得数亦与之同知第谷乃虚立巧算之法而五星本天实皆以地为心葢金水二星以日为心者乃其本轮非本天也土木火三星以日为心者乃次轮上星行距日之迹亦非本天也至若弧三角之法新法算书所载图说殊多厐杂而正〔？〕又遗黄赤互求之法今以正〔？〕约之为对边对角及垂〔？〕矢较三比例则周天经纬皆可互求而操之有要矣此皆订正新法算书之大端其余与新法算书相同者亦推衍精宻无差累黍洵乎大圣人之制作万世无出其范围者矣乾隆四十九年六月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 职名
雍正二年五月十七日奉㫖开载纂修编校诸臣职名承㫖纂修和 硕 庄 亲 王(臣)允 禄和 硕 诚 亲 王(臣)允 祉彚编日讲官起居注詹事府少詹事兼翰林院侍讲学士加一级(臣)何国宗翰 林 院 编 修(臣)梅㲄成分校原任湖南巡抚都察院右副都御史(臣)魏廷珍翰 林 院 编 修(臣)王兰生原 进 士(臣)方 苞考测会 考 府 郎 中(臣)成 徳㕘 领(臣)阿齐图原 任 吏 部 员 外 郎(臣)顾 琮工 部 员 外 郎 加 一 级(臣)照 海食员外郎俸钦天监五 官 正(臣)明安图兵 部 主 事 加 一 级(臣)平 安福 建 汀 州 府 知 府(臣)何国栋江 西 袁 州 府 知 府(臣)李 英翰 林 院 笔 帖 式 加 一 级(臣)丰盛额校算兵部郎中兼管钦天监左监副事加二级(臣)何国柱刑 部 员 外 郎(臣)伦大理钦 天 监 左 监 副(臣)四 格内 阁 中 书(臣)黄 茂钦 天 监 博 士 加 一 级(臣)潘汝瑛山 东 莒 州 知 州(臣)陈永年广 东 西 宁 县 知 县(臣)萨 海京 卫 武 学 教 授(臣)胡 振举 人 拣 选 知 县(臣)髙 泽㑹 考 府 笔 帖 式(臣)傅明安吏 部 笔 帖 式(臣)戴嵩安候 补 笔 帖 式(臣)黑 都生 员(臣)秦 宁生 员(臣)五徳寳䕶 军(臣)杨 格校录翰 林 院 侍 读(臣)呉孝登翰 林 院 侍 讲(臣)留 保刑 部 郎 中 加 一 级(臣)朱 崧户 部 主 事(臣)黒 赫礼 部 主 事(臣)穆继伦刑 部 主 事(臣)玉 羾工 部 主 事 加 一 级(臣)色合立户 部 司 库 加 一 级(臣)穆成格工 部 司 库(臣)伍大夀行 人 司 行 人 加 一 级(臣)顾陈垿湖 广 黄 州 府 同 知(臣)郎 瀚江 南 通 州 知 州 加 一 级(臣)白暎棠河 南 孟 津 县 知 县 加 一 级(臣)陈永贞监 生 候 选 州 同 知(臣)张嘉论生 员(臣)焦继谟
## 上编卷一
钦定四库全书御制厯象考成上编卷一厯理总论天象地体厯元黄赤道经纬度岁差天象虞书尧典曰钦若昊天厯象日月星辰楚词天问曰圜则九重孰营度之后世厯家谓天有十二重非天实有如许重数盖言日月星辰运转于天各有所行之道即楚词所谓圜也欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸圜之动必以至静不动者准之然后得其盈缩盖天道静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相为表里故群动者运于其间而不息若无至静者以验至动则圣人亦无所成其能矣人恒在地面测天而七政之行无不可得者正为以静验动故也十二重天最外者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微厯家姑置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填星所行次为岁星所行次为荧惑所行次则太阳所行黄道是也次为太白所行次为辰星所行最内者则太隂所行白道是也要以去地之逺近而为诸天之内外然所以知去地之逺近者则又从诸曜之掩食及行度之迟疾而得之盖凡为所掩食者必在上而掩之食之者必在下月体能蔽日光而日为之食是日逺月近之征也月能掩食五星而月与五星又能掩食恒星是五星髙于月而卑于恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗动天以浑灏之气挈诸天左旋其行甚速故近宗动天者左旋速而右移之度迟渐远宗动天则左旋较迟而右移之度转速今右移之度惟恒星最迟土木次之火又次之日金水较速而月最速是又以次而近之证也是故恒星与宗动相较而岁差生焉太阳与恒星相㑹而岁实生焉黄道与赤道出入而节气生焉太阳与太隂循环而朔朢盈虚生焉黄道与白道交错而薄蚀生焉五星与太阳离合而迟速顺逆生焉地心与诸圜之心不同而盈缩生焉厯代专家多方测量立法布算积久愈详已得其大体其间或有豪芒之差诸说不无同异者盖因仪器仰测穹苍失之纎微年久则著虽有圣人莫能预定惟立穷源竟委之法随时实测取其精密附近之数折中用之每数十年而一修正斯为治厯之通术而古圣钦若之道庶可复于今日矣地体欲明天道之流行先达地球之圆体日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同时出入居东方者先见居西方者后见东西相去万八千里则东方人见日为午正者西方人见日为夘正也周天三百六十度每度当地上二百里是故推验大地经纬度分皆与天应测纬度者用午正日晷或测南北二极测经度则必于月蚀取之盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同月之食限分数天下皆同但入限有昼夜人有见不见耳此处食甚于子者处其东三十度必食甚于丑处其西三十度必食甚于亥是故相去九十度则此见食于子而彼见食于酉相去百八十度则此见食于子而彼当食于午虽食而不可见矣设如午酉子卯为日天甲乙丙丁为地球日在午人居甲者日正在其天顶得午时人居丙者日却在其天顶对冲而得子时东去甲九十度居丁者得酉时而西去甲九十度居乙者又得卯时矣夫居甲丙者以酉乙丁卯为地平而居乙丁者则又以午甲丙子为地平盖大地皆以日到天顶为午正也是故测东西之经度者两地同测月食亏复时刻或相约于同夜测月与某星同经度分为其时刻分秒相隔一时则东西相去六千里如测南北之纬度则于两地测北极出地之度所差一度即相去二百里此皆地球圆体之明验也厯元治厯者必有起算之端是谓厯元其法有二一则逺溯古初冬至七曜齐元之日为元自汉太初以来诸厯所用之积年是也一则截算为元若元授时厯以至元辛巳天正冬至为元今时宪厯以崇祯元年戊辰天正冬至为元是也二者虽同为起算之端然积年实不如截算之简易也夫所谓七曜齐元者乃溯上古冬至之时岁月日时皆㑹甲子日月如合璧五星如聨珠是以为造厯之元使果有此虽万世遵用可矣而廿一史所载诸家厯元无一同者是其所用积年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已当其立法之初亦必有所验于近测遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年之逺庶几各曜之躔次可以齐同然既欲其上合厯元又欲其不违近测竒零分秒之数决不能齐势不能不稍为迁就以求其巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣杜预云治厯者当顺天以求合不当为合以验天积年之法是为合以验天也安得为立法之尽善乎若夫截算之法不用积年虚率而一以实测为凭诚为顺天求合之道治厯者所当取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻为厯元(即康熙二十二年十一月初五日子正初刻)七政皆从此起算其应用诸数皆系实测庶数有可征而理有所据矣黄赤道天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半中华之地面近北故北极常现南极常隠平分两极之中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地之度也赤道以北为内为隂以南为外为阳斜交赤道而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本盖太阳循黄道东行而出入于赤道之南北太隂与五星各循本道东行而又出入于黄道之南北故弦赤二道之位定则昼夜永短寒暑进退以及晦朔弦朢薄蚀朓朒皆从此可稽矣经纬度恒星七政各有经纬度盖天周弧线纵横交加即如布帛之经纬然故以东西为经南北为纬然有在天之经纬有随地之经纬在天则为赤道为黄道随地则为地平赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之㑹于南北极皆成全圜亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道俱九十度是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近则大距赤道逺则小其度亦三百六十俱与赤道之度相应也赤道之用有动有静动者随天左旋与黄道相交日躔之南北于是乎限静者太虚之位亘古不移昼夜之时刻于是乎纪焉黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两㸃为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬而月与五星出入黄道之南北者悉于是而辨焉故凡南北圏过赤道极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角其过黄道极者亦必与黄道成直角而不能与赤道成直角惟过黄赤两极之圈其过黄赤道也必当冬夏二至之度所以并成直角名为极至交圈又若赤道度为主而以黄道度准之则互形大小何也浑圆之体当腰之度最寛渐近两端则渐狭(距等圏之度也)二至时黄道以腰度当赤道距等圏之度故黄道一度当赤道一度有余二分时两道虽皆腰度然赤道平而黄道斜故黄道一度当赤道一度不足也此所谓同升之差而七政升降之斜正伏见之先后皆由是而推焉至于地平经纬则以各人所居之天顶为极盖人所居之地不同故天顶各异而经纬从而变也地在天中体圆而小随人所立凡目力所极适得大圆之一半则地虽圆而与平体无异故谓之地平乃诸曜出没之界昼夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之为四方(子午卯酉)各相距九十度二十四分之为二十四向各十五度是为地平经从经度出弧线上㑹于天顶并皆九十度(从地平下至天顶之冲亦九十度)是为地平纬又名髙弧髙弧从地平正午上㑹天顶者其全圜必过赤道南北两极名为子午圏乃诸曜出入地平适中之界而北极之髙下晷影之长短中星之推移皆由是而测焉是故经纬相求黄赤互变因黄赤而求地平或因地平而求黄赤乃厯象之要务推测之所取准也岁差岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太阳躔某宿度至明年冬至时不能复躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之因立岁差法厯代治厯者宗焉而所定之数各家不同喜以五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之度征之天象恒星原有动移则新法之理长也(详恒星厯理)御制厯象考成上编卷一
## 上编卷二
钦定四库全书御制厯象考成上编卷二弧三角形上弧三角形总论弧三角形纲领弧三角形凡例正弧三角形论正弧三角形图说正弧三角形八线勾股比例图说正弧三角形用次形图说正弧三角形边角相求法正弧三角形设例七则弧三角形总论弧三角形者球面弧线所成也古厯家有黄赤相准之率大约就浑仪度之仅得大概未能形诸算术惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求始有定率视古为密但其法用三乘方取数甚难自西人利玛窦汤若望等翻译厯书始有曲线三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相应之八线弧与弧相交即线与线相遇而勾股比例生焉于是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经厯象之法至此而备勾股之用至此而极矣弧三角形纲领凡弧三角形皆在球面球面之腰围一线谓之大圈如甲乙丙丁为子午规戊己为赤道庚辛为黄道壬乙癸丁为地平规如此之类皆为大圈其周度皆相等故可以相为比例凡圈皆有极极距圈皆九十度如赤道则有南北极黄道则有黄极若圈不相等则为距等圈如子丑二圈其四围之距大圈皆相等而与大圈平行虽亦为三百六十度其分则小于大圈距大圈愈逺距极愈近则其圈愈小至极一㸃而止不能与大圈为比例故弧三角形之角度边度皆大圈之度也凡两弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度则必取其两弧各足象限九十度其对角之弧即为本角之度如甲乙丙丁为黄道甲戊丙己为赤道甲丙二处相交相距各半周一百八十度即如春秋分试于甲丙弧之各平分九十度处作丁己乙戊垂弧(凡言垂弧皆曲)(线画图于平面不能显出故作虚线以别之)则丁己弧为甲丁己三角形之甲角度亦为丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧为甲乙戊三角形之甲角度亦为丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距为春秋分之角度葢甲丙为极则丁己乙戊为腰圈所谓大圈者是也凡弧三角形之三弧不足九十度者必引长至九十度其对角之弧方为本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度则将甲乙弧引长至丁甲丙弧引长至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又将乙甲弧引长至己乙丙弧引长至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又将丙甲弧引长至辛丙乙弧引长至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也凡弧三角形其角适足九十度者为直角为正弧三角形甲图是也大于九十度者为钝角不及九十度者为锐角俱为斜弧三角形乙图丙图是也因三边皆弧故与直线三角形不同直线三角形有一直角或一钝角余二角必锐弧三角形则有一直角二锐角者如丁形有一直角二钝角者如戊形有一直角一钝角一锐角者如己形有二直角一锐角者如庚形有二直角一钝角者如辛形有三角俱直者如壬形有一钝角二锐角者如癸形有三角俱钝者如子形有一锐角二钝角者如丑形而弧三角之形势大概尽于此数端矣弧三角形凡例一直线三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大于一百八十度但不得满五百四十度(因其有三钝角每一钝角不得满一百八十度故三钝角)(不得满五百四十度)一直线三角形知两角即知其所余一角弧三角形虽知两角其余一角非算不知一直线三角形之边小则咫尺大则千百万里实有尺度之可量弧三角形之边俱系弧度必在半周一百八十度之内但合三边不得满三百六十度(葢三百六十度则成全圜而不得成角矣)一直线三角形之八线惟用于角弧三角形之八线并用于边角之八线与边之八线相求仍以勾股为比例也一直线三角形两形之三边各相等者为相等形两形之三角各相等者为同式形弧三角形则但有相等形而无同式形葢以两形之三角同其三边必各相同也一直线三角形可以三边求角不可以三角求边而弧三角形既可以三边求角又可以三角求边一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其余理与直线三角形同一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其余理与直线三角形同一斜弧三角形作垂弧分为两正弧三角形与直线三角形作中垂线之理同一弧三角形所知之三件有弧角相对者即用弧角为比例理与直线三角形同一正弧三角形弧角不相对者则用次形法一斜弧三角形知三边求角者用总较法知三角求边者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法一斜弧三角形知两边一角而角在两边之间者用总较法或用垂弧法知两角一边而边在两角之间者先用次形法将角易为边边易为角然后用总较法或用垂弧法正弧三角形论正弧三角形必有一直角者葢因南北二极为赤道之枢纽皆距赤道九十度故凡过南北二极经圈与赤道相交所成之角俱为直角其相当之弧皆九十度又凡有一圈即有两极其过两极经圈与本圈相交亦必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相对者用弧角之八线所成勾股为比例而弧角不相对者则用次形盖以弧角之八线所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形与象限相减之余度所成故用本形之余弦余切即用次形之正弦正切也其法可易弧为角易角为弧(若斜弧三角形可易大形为小形易大边为小)(边易钝角成锐角)边与角虽不相对可易为相对且知三角即可以求边其理实一以贯之也今以黄道赤道与过极经圈所成之三角形设例而正弧三角形比例推算之法无不统于是矣正弧三角形图说(设黄赤大距二十三度三十分)如甲乙丙丁为赤道甲戊丙己为黄道相交于甲丙甲为春分丙为秋分戊为夏至己为冬至庚为北极辛为南极庚戊乙辛己丁为二极二至交圈戊至乙己至丁俱二十三度三十分为黄赤大距今作庚壬癸辛为过南北二极经圈与黄道交于壬与赤道交于癸成甲癸壬正弧三角形甲为黄道赤道交角当戊乙弧二十三度三十分癸为直角葢庚辛二极即赤道之极皆距赤道九十度故凡过南北极经圈与赤道所成之角皆为直角其相当之弧皆九十度又如子丑为黄道两极若从子丑二处作子寅卯丑过黄极经圈与黄道交于卯与赤道交于寅成甲寅卯正弧三角形则卯亦为直角葢子丑为黄道两极皆距黄道九十度故凡过黄极经圈与黄道所成之角皆为直角其相当之弧皆九十度由此推之凡有一圈必有两极其过两极圈与本圈相交必为直角其所成三角形必皆为正弧三角形可知矣正弧三角形八线勾股比例图说(设黄道四十五度)甲为黄道赤道交角甲乙为黄道四十五度甲丙为赤道同升度乙丙为黄赤距度成甲乙丙正弧三角形甲丁甲戊皆象限丁戊为黄赤大距二十三度三十分即甲角度己为北极庚为南极己丁庚壬为二极二至交圈甲为春分丁为夏至辛为秋分壬为冬至癸为地心己乙丙庚为过南北二极经圈其甲乙丙三角形之八线各成相当比例之勾股形丁子为甲角之正弦子癸为甲角之余弦丑戊为甲角之正切丑癸为甲角之正割戊癸丁癸皆为半径成丑戊癸及丁子癸同式两勾股形乙寅为乙丙距纬弧之正弦乙卯为甲乙黄道弧之正弦将两正弦之寅卯二处作虚线聨之成乙寅卯勾股形(两正弦之末立于各半径寅卯)(二处而寅卯二处皆未抵于弧界故不得为正弦今)(以虚线聨之者为眀勾股之理也)辰丙为乙丙距纬弧之正切丙己为甲丙赤道弧之正弦将正切正弦之辰巳二处作虚线聨之成辰丙巳勾股形午甲为甲乙黄道弧之正切未甲为甲丙赤道弧之正切将两正切之午未二处作虚线聨之成午未甲勾股形此三勾股形与前二勾股形皆为同式形夫甲癸辛原系一线如将甲癸辛平视之则甲癸辛合成一㸃而辛癸卯己甲五角皆合为一角甲戊象限亦成一直线而戊癸半径寅卯聨线丙己正弦未甲正切亦皆合为一线矣赤道既平置则黄道斜倚従辛视之甲丁象限亦成一直线而丁癸半径乙卯正弦辰巳聨线午甲正切亦皆合为一线矣夫五勾股形既同角而各股皆合为赤道之一线各弦皆合为黄道之一线则各勾必皆与赤道径线相交成直角而自将平行故皆为相当比例之勾股形而可以互相比例也正弧三角形用次形图说如甲乙丙形可易为乙己丁次形葢甲戊甲丁己丙己戊四弧皆象限九十度于甲丁象限弧内减去甲乙弧余乙丁弧即次形之乙丁边于己丙象限弧内减去乙丙弧余己乙弧即次形之己乙边于己戊象限弧内减去丁戊弧(即甲角度)余己丁弧即次形之己丁边于甲戊象限弧内减去甲丙弧余丙戊弧即次形之己角度是次形之三边一角即本形三边一角之余度而用弦形之余弦余切实即用次形之正弦正切也弦次形之丁角为直角与本形之丙角等乙为交角其度又等故算乙己丁形即得甲乙丙形也又甲乙丙形可易为己庚辛次形葢庚丁为象限弧与己戊等则庚己与丁戊等(丁戊即甲角度)故本形之甲角即次形之庚己边乙辛壬庚乙壬皆为象限弧与甲丁等则壬丁即与甲乙等故本形之甲乙边即次形之庚角(庚壬与庚丁俱象限故壬丁弧为庚)(角度)乙壬与乙辛既皆为象限则辛壬弧即乙角之度故象限内减去乙角之辛壬弧余即次形之庚辛边丙戊弧即己角之度故于甲戊象限弧内减去甲丙弧余丙戊弧即次形之己角又次形之辛角为直角与本形之丙角等次形之辛己边与本形之乙丙边等(辛乙与己丙等故辛己与乙丙等)故算己庚辛形亦得甲乙丙形也正弧三角形边角相求法正弧三角形边角相求错综变换共三十则用黄赤交角所生八线勾股比例者九用黄道交极圏角所生八线勾股比例者亦九用次形者十二依题比类列目于前按法循序设问于后以便观览有直角有黄赤交角有黄道求距纬(第一)有直角有黄赤交角有黄道求赤道(并见第一)有直角有黄赤交角有黄道求黄道交极圏角(并见第一)有直角有黄赤交角有赤道求距纬(第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道(并见第二)有直角有黄赤交角有赤道求黄道交极圏角(并见第二)有直角有黄赤交角有距纬求黄道(第三)有直角有黄赤交角有距纬求赤道(并见第三)有直角有黄赤交角有距纬求黄道交极圏角(并见第三)有直角有黄道有赤道求黄赤交角(第四)有直角有黄道有赤道求距纬(并见第四)有直角有黄道有赤道求黄道交极圏角(并见第四)有直角有黄道有距纬求黄赤交角(第五)有直角有黄道有距纬求赤道(并见第五)有直角有黄道有距纬求黄道交极圏角(并见第五)有直角有赤道有距纬求黄赤交角(第六)有直角有赤道有距纬求黄道(并见第六)有直角有赤道有距纬求黄道交极圏角(并见第六)有直角有黄道交极圏角有黄道求赤道(与第一之)(理同)有直角有黄道交极圏角有黄道求距纬(与第一之)(理同)有直角有黄道交极圏角有黄道求黄赤交角(与第一之理同)有直角有黄道交极圏角有距纬求赤道(与第二之)(理同)有直角有黄道交极圏角有距纬求黄道(与第二之)(理同)有直角有黄道交极圏角有距纬求黄赤交角(与第二之理同)有直角有黄道交极圏角有赤道求黄道(与第三之)(理同)有直角有黄道交极圏角有赤道求距纬(与第三之)(理同)有直角有黄道交极圏角有赤道求黄赤交角(与第三之理同)有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求黄道(第七)有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求赤道(并见第七)有直角有黄赤交角有黄道交极圏角求距纬(并见第七)设如黄赤交角二十三度三十分黄道弧四十五度求距纬度及赤道度并黄道交极圏角各㡬何(第一)甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角甲乙为黄道弧求乙丙距纬弧则以丙直角为对所知之角其正弦即半径一千万为一率甲角二十三度三十分为对所求之角其正弦三百九十八万七千四百九十一为二率甲乙弧四十五度为所知之边其正弦七百零七万一千零六十八为三率求得四率二百八十一万九千五百八十二为乙丙弧之正弦检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图丁癸为半径丁子为甲角之正弦乙卯为甲乙弧之正弦乙寅为乙丙弧之正弦丁子癸勾股形与乙寅卯勾股形为同式形故以丁癸与丁子之比同于乙卯与乙寅之比也求甲丙赤道度则以半径一千万为一率甲角二十三度三十分之余弦九百一十七万零六百零一为二率甲乙弧四十五度之正切一千万为三率仍得四率九百一十七万零六百零一为甲丙弧之正切检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图丁癸为半径子癸为甲角之余弦午甲为甲乙弧之正切未甲为甲丙弧之正切丁子癸勾股形与午未甲勾股形为同式形故以丁癸与子癸之比同于午甲与未甲之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以甲乙弧四十五度之余弦七百零七万一千零六十八为一率甲角二十三度三十分之余切二千二百九十九万八千四百二十五为二率半径一千万为三率求得四率三千二百五十二万四千六百八十三为乙角之正切检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲乙弧之余弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦为丁子而甲角之余切即乙己丁次形之己丁弧之正切为丑丁又乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切为寅壬而丑丁子勾股形与寅壬癸勾股形为同式形故以丁子与丑丁之比同于壬癸与寅壬之比也此法用乙己丁次形有丁乙边(甲乙余弧)己丁边(甲角余弧)及丁直角求乙角即与有赤道有距纬求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角丁乙即如赤道己乙即如黄道己丁即如距纬其八线所成之勾股皆由乙角而生故其相当之比例皆同也设如黄赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距纬度及黄道度并黄道交极圈角各㡬何(第二)甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角甲丙为赤道弧求乙丙距纬弧则以半径一千万为一率甲角二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五万八千八百二十一为三率求得四率二百九十三万八千八百一十九为乙丙弧之正切检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图戊癸为半径丑戊为甲角之正切丙己为甲丙弧之正弦辰丙为乙丙弧之正切丑戊癸勾股形与辰丙己勾股形为同式形故以戊癸与丑戊之比同于丙已与辰丙之比也求甲乙黄道度则以甲角二十三度三十分之余弦九百一十七万零六百零一为一率半径一千万为二率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七万零六百零一为三率仍得四率一千万为甲乙弧之正切检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图子癸为甲角之余弦丁癸为半径未甲为甲丙弧之正切午甲为甲乙弧之正切丁子癸勾股形与午未甲勾股形为同式形故以子癸与丁癸之比同于未甲与午甲之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以半径一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秘之余弦七百三十七万零九十八为二率甲角二十三度三十分之正弦三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率二百九十三万八千八百二十为乙角之余弦检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为己庚辛葢甲丙弧之余弦即己庚辛次形之己角之正弦为卯辰而甲角之正弦亦即己庚辛次形之己庚弧之正弦为庚己又乙角之余弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦为庚午而庚午巳勾股形与卯辰癸勾股形为同式形故卯癸与卯辰之比同于庚己与庚午之比也此法用己庚辛次形有己角(甲丙余弧)己庚边(与甲角等)及辛直角求庚辛边(乙角余弧)即与有黄赤交角有黄道求距纬之理同葢己角即如黄赤交角己庚即如黄道己辛即如赤道庚辛即如距纬其八线所成之勾股皆由己角而生故其相当之比例皆同也设如黄赤交角二十三度三十分距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄道度及赤道度并黄道交极圈角各㡬何(第三)甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角乙丙为距纬弧求甲乙黄道弧则以甲角二十三度三十分为对所知之角其正弦三百九十八万七千四百九十一为一率丙直角为对所求之角其正弦即半径一千万为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秘为所知之边其正弦二百八十一万九千五百八十二为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之正弦检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图丁子为甲角之正弦丁癸为半径乙寅为乙丙弧之正弦乙卯为甲乙弧之正弦丁子癸勾股形与乙寅卯勾股形为同式形故丁子与丁癸之比同于乙寅与乙卯之比也求甲丙赤道度则以甲角二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为一率半径一千万为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三万八千八百一十九为三率求得四率六百七十五万八千八百二十一为甲丙弧之正弦检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图丑戊为甲角之正切戊癸为半径辰丙为乙丙弧之正切丙己为甲丙弧之正弦丑戊癸勾股形与辰丙己勾股形为同式形故丑戊与戊癸之丙同于辰丙与丙己之比也求黄道交极圈之乙角则用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余弦九百五十九万四千二百六十七为一率甲角二十三度三十分之余弦九百一十七万零六百零一为二率半径一千万为三率求得四率九百五十五万八千四百一十七为乙角之正弦检表得七十二度五十四分三十四秘即黄道交极圈之乙角度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙丙弧之余弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦为己未而甲角之余弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦为巳申又乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦为辛酉而巳申未勾股形与辛酉癸勾股形为同式形故巳未与巳申之比同于辛癸与辛酉之比也设如黄道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黄赤交角及距纬度并黄道交极圈角各几何(第四)甲乙丙正弧三角形丙为直角甲乙为黄道弧甲丙为赤道弧求黄赤相交之甲角则以甲乙弧四十五度之正切一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正切九百一十七万零六百零一为二率半径一千万为三率仍得四率九百一十七万零六百零一为甲角之余弦检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图午甲为甲乙弧之正切未甲为甲丙弧之正切丁癸为半径子癸为甲角之余弦午未甲勾股形与丁子癸勾股形为同式形故午甲与未甲之比同于丁癸与子癸之比也求乙丙距纬度则用次形法以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之余弦七百三十七万零九十八为一率半径一千万为二率甲乙弧四十五度之余弦七百零七万一千零六十八为三率求得四率九百五十九万四千二百六十六为乙丙弧之余弦检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲丙弧之余弦即乙己丁次形之己角之正弦为丙辰而甲乙弧之余弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦为乙子又乙丙弧之余弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦为乙未而丙辰癸勾股形与乙子未勾股形为同式形故丙辰与丙癸之比同于乙子与乙未之比也此法用乙己丁次形有己角(甲丙余弧)乙丁边(甲乙余弧)及丁直角求乙己边(乙丙余弧)即与有黄赤交角有距纬求黄道之理同葢己角即如黄赤交角己乙即如黄道己丁即如赤道乙丁即如距纬其八线所成之勾股皆由己角而生故其相当之比例皆同也求黄道交极圈之乙角则以甲乙弧四十五度为对所知之边其正弦七百零七万一千零六十八为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒为对所求之边其正弦六百七十五万八千八百二十一为二率丙直角九十度为所知之角其正弦即半径一千万为三率求得四率九百五十五万八千四百一十六为乙角之正弦检表得七十二度五十四分三十四秒即黄道交极圈之乙角度也如图甲申为甲乙弧之正弦甲酉为甲丙弧之正弦戌癸为半径戌亥为乙角之正弦甲酉申勾股形与戌亥癸勾股形为同式形故甲申与甲酉之比同于戌癸与戌亥之比也此与有黄道有距纬求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙为黄道乙丙即如赤道甲丙即如距纬其八线所成之勾股皆由乙角而生故其相当之比例皆同也设如黄道弧四十五度距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及赤道度并黄道交极圈角各㡬何(第五)甲乙丙正弧三角形丙为直角甲乙为黄道弧乙丙为距纬弧求黄赤相交之甲角则以甲乙弧四十五度为对所知之边其正弦七百零七万一千零六十八为一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒为对所求之边其正弦二百八十一万九千五百八十二为二率丙直角九十度为所知之角其正弦即半径一千万为三率求得四率三百九十八万七千四百九十一为甲角之正弦检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图乙卯为甲乙弧之正弦乙寅为乙丙弧之正弦丁癸为半径丁子为甲角之正弦乙寅卯勾股形与丁子癸勾股形为同式形故乙卯与乙寅之比同于丁癸与丁子之比也求甲丙赤道度则用次形法以乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余弦九百五十九万四千二百六十七为一率甲乙弧四十五度之余弦七百零七万一千零六十八为二率半径一千万为三率求得四率七百三十七万零一百一十三为甲丙弧之余弦检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙丙弧之余弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦为乙未而甲乙弧之余弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦为乙子又甲丙弧之余弦即乙己丁次形之己角之正弦为丙辰而乙子未勾股形与丙辰癸勾股形为同式形故乙未与乙子之比同于丙癸与丙辰之比也求黄道交极圈之乙角则与前第四问有黄道有赤道求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角甲乙为黄道乙丙即如赤道其勾股比例同也设如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距纬弧一十六度二十二分三十八秒求黄赤交角及黄道度并黄道交极圈角各㡬何(第六)甲乙丙正弧三角形丙为直角甲丙为赤道弧乙丙为距纬弧求黄赤相交之甲角则以甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之正弦六百七十五万八千八百二十一为一率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之正切二百九十三万八千八百一十九为二率半径一千万为三率求得四率四百三十四万八千一百零九为甲角之正切检表得二十三度三十分即黄赤相交之甲角度也如图丙己为甲丙弧之正弦辰丙为乙丙弧之正切戊癸为半径丑戊为甲角之正切辰丙己勾股形与丑戊癸勾股形为同式形故丙己与辰丙之比同于戊癸与丑戊之比也求甲乙黄道度则用次形法以半径一千万为一率甲丙弧四十二度三十一分二十二秒之余弦七百三十七万零九十八为二率乙丙弧一十六度二十二分三十八秒之余弦九百五十九万四千二百六十七为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之余弦检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢甲丙弧之余弦即乙己丁次形之己角之正弦为丙辰而乙丙弧之余弦即乙己丁次形之乙己弧之正弦为乙未又甲乙弧之余弦即乙己丁次形之乙丁弧之正弦为乙子而丙辰癸勾股形与乙子未勾股形为同式形故丙癸与丙辰之比同于乙未与乙子之比也求黄道交极圈之乙角则与求黄赤交角之理同葢乙角即如黄赤交角乙丙即如赤道甲丙即如距纬其勾股比例同也设如黄赤交角二十三度三十分黄道交极圈角七十二度五十四分三十四秒求黄道度及赤道度并距纬度各㡬何(第七)甲乙丙正弧三角形甲为黄赤交角丙为直角乙为黄道交极圈角求甲乙黄道弧则用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正切三千二百五十二万四千六百八十三为一率半径一千万为二率甲角二十三度三十分之余切二千二百九十九万八千四百二十五为三率求得四率七百零七万一千零六十八为甲乙弧之余弦检表得四十五度即甲乙黄道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙角之正切亦即乙己丁次形之乙角之正切为寅壬而甲角之余切即乙己丁次形之丁己弧之正切为丑丁又甲乙弧之余弦即乙己丁次形之丁乙弧之正弦为丁子而寅壬癸勾股形与丑丁子勾股形为同式形故寅壬与壬癸之比同于丑丁与丁子之比也求甲丙赤道弧亦用次形法以甲角二十三度三十分之正弦三百九十八万七千四百九十一为一率乙角七十二度五十四分三十四秒之余弦二百九十三万八千八百二十为二率半径一千万为三率求得四率七百三十七万零九十八为甲丙弧之余弦检表得四十二度三十一分二十二秒即甲丙赤道弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为己庚辛葢甲角之正弦亦即己庚辛次形之庚己弧之正弦为庚己而乙角之余弦即己庚辛次形之庚辛弧之正弦为庚午又甲丙弧之余弦即己庚辛次形之己角之正弦为卯辰而庚午己勾股形与卯辰癸勾股形为同式形故庚己与庚午之比同于卯癸与卯辰之比也求乙丙距纬弧亦用次形法以乙角七十二度五十四分三十四秒之正弦九百五十五万八千四百一十七为一率半径一千万为二率甲角二十三度三十分之余弦九百一十七万零六百零一为三率求得四率九百五十九万四千二百六十七为乙丙弧之余弦检表得一十六度二十二分三十八秒即乙丙距纬弧之度也如图甲乙丙正弧三角形之次形为乙己丁葢乙角之正弦亦即乙己丁次形之乙角之正弦为辛酉而甲角之余弦即乙己丁次形之己丁弧之正弦为巳申又乙丙弧之余弦即乙己丁次形之己乙弧之正弦为己未而辛酉癸勾股形与巳申未勾股形为同式形故辛酉与辛癸之比同于巳申与巳未之比也御制厯象考成上编卷二
## 上编卷三
钦定四库全书御制歴象考成上编卷三弧三角形下斜弧三角形论斜弧三角形边角比例法斜弧三角形作垂弧法斜弧三角形用总较法(次形法附)斜弧三角形设例八则斜弧三角形论弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱锐一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角(或求角而无对角之边或求边而无对边之角)则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角(或三边求)(角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间)则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣斜弧三角形边角比例法凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正弦与对所求之甲乙边正弦之比同于所知之甲角正弦与所求之丙角正弦之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正弦与对所求之丁角正弦之比同于所知之丁戊边正弦与所求之戊己边正弦之比也斜弧三角形作垂弧法凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正弦(即半径)与甲角正弦之比同于甲乙边正弦与乙丁垂弧正弦之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余弦之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正弦与甲丁边正弦之比同于丁角正弦(即半径)与乙分角正弦之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余弦之比而得乙分角以丁角正弦(即半径)与乙分角正弦之比同于乙丙边正弦与丁丙边正弦之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正弦(即半径)与庚角正弦之比同于己庚边正弦与己辛垂弧正弦之比而得己辛垂弧以半径与庚角余弦之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正弦与庚辛边正弦之比同于辛角正弦(即半径)与己虚角正弦之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边弦弦之比而得戊辛总边以己辛垂弧正弦与戊辛边正弦之比同于戊角正弦与己角弦弦之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也斜弧三角形用总较法凡斜弧三角形知三边求角者则用总较法以角傍之两边相加为总弧相减为较弧各取其余弦相加减(总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余弦)(相减若一过象限一不过象限则两余弦相加其或)(过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象)(限同)折半为中数又以对边之矢与较弧之矢相减余为矢较乃以中数与矢较为比同于半径与所求角之正矢之比也如知两边一角而角在两边之间者以半径与所知角之正矢为比同于中数与矢较之比既得矢较与较弧之矢相加即得对边之矢也如甲乙丙斜弧三角形有三边求甲角则以甲角傍之甲乙甲丙二边相加得乙丁(甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故)(其度相等)为总弧其正弦为丁己余弦为己庚甲乙与甲丙相减余乙戊为较弧其正弦为戊辛余弦为辛庚两余弦相加得己辛(乙丁总弧)(过象限乙戊较弧不过象限其两余弦在圜心之两)(边故相加)折半得辛壬与癸子等为中数乙丙对边与乙丑等(乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截)(故其度相等)其正弦为丑卯余弦为卯庚正矢为乙卯以乙卯与乙戊较弧之正矢乙辛相减余辛卯与辰巳等为矢较戊辰巳与戊癸子为同式两勾股形故癸子与辰巳之比同于戊子与戊巳之比也又午庚为半径戊子为距等圈之半径午未与戊己两段同为甲丙申大圈所分则戊子与戊己之比原同于午庚与午未之比是以中数癸子与矢较辰巳之比即同于半径午庚与甲角正矢午未之比也以午未与午庚半径相减余未庚为甲角之余弦检表即得甲角所当午申弧之度也若先有甲角及甲乙甲丙二边求乙丙对边则以半径午庚与甲角正矢午未之比即同于中数癸子与矢较辰巳之比既得辰巳与辛卯等与乙戊较弧之正矢乙辛相加得乙卯为乙丙对边之正矢也如有甲乙甲丙乙丙三边求乙角则以乙角傍甲乙乙丙二边相加得甲丁(乙丙乙丁乙戊三弧同为)(戊丁距等圈所截故其度相等)为总弧其正弦为丁己余弦为己庚甲乙与乙丙相减余甲戊为较弧其正弦为戊辛余弦为辛庚两余弦相减余辛己(甲丁总弧甲戊较弧皆不过象限其两余)(弦同在圜心之一边故相减)折半得辛壬与癸子等为中数甲丙对边与甲丑等(甲丙与甲丑两弧同)(为寅丑距等圈所截故其度相等)其正弦为丑卯余弦为卯庚正矢为甲卯以甲卯与甲戊较弧之正矢甲辛相减余辛卯与辰巳等为矢较戊癸子与戊辰巳为同式两勾股形故癸子与辰巳之比同于戊子与戊巳之比也又午庚为半径戊子为距等圈之半径戊巳与午未两段同为乙丙申大圈所分则戊子与戊巳之比原同于午庚与午未之比是以中数癸子与矢较辰巳之比即同于半径午庚与乙角大矢午未之比也(凡钝)(角所用诸线皆与外角同惟矢则有正矢大矢之别)(如庚未为乙锐角所当申酉弧之余弦亦为乙钝角)(所当午申弧之余弦检表锐角即得本角度钝角与)(半周相减亦即得本角度而未酉为乙锐角之正矢)(乃于酉庚半径内减庚未余弦午未为乙钝角之大)(矢乃于午庚半径加庚未余弦也此正矢大矢之别)(过弧亦然)于午未大矢内减午庚半径余庚未为乙角之余弦检表得乙外角度与半周相减余即乙钝角之度也若先有乙钝角及甲乙乙丙二边求甲丙对边则以半径午庚与乙角大矢午未之比即同于中数癸子与矢较辰巳之比既得辰巳与辛卯等与甲戊较弧之正矢甲辛相加得甲卯为甲丙对边之正矢也斜弧三角形知三角求边者则用次形法如甲乙丙形可易为丁戊己次形葢甲角之度当庚辛弧而庚辛与己戊等(庚己与辛戊皆象限故庚)(辛与己戊等)故本形之甲角即次形之己戊边乙外角之度当壬癸弧而壬癸与己丁等(壬己与癸丁皆象限故壬癸与己丁等)故本形之乙外角即次形之己丁边丙角之度当子丑弧而子丑与戊丁等(子戊)(与丑丁皆象限故子丑与戊丁等)故本形之丙角即次形之戊丁边是本形之三角即次形之三边也又次形丁角之度当癸丑弧而癸丑与乙丙等(丙丑与乙癸皆象限故癸丑与乙丙等)故次形之丁角即本形之乙丙边戊外角之度当辛子弧而辛子与甲丙等(丙子与甲)(辛皆象限故辛子与甲丙等)故次形之戊外角即本形之甲丙边己角之度当庚壬弧而庚壬与甲乙等(乙壬与甲庚皆象限故庚)(壬与甲乙等)故次形之己角即本形之甲乙边是本形之三边即次形之三角也故用丁己戊次形仍用总较法算之求得次形之三角即得本形之三边也如有乙角丙角及乙丙边而求甲角亦用丁戊己次形有己丁边戊丁边及丁角仍用总较法算之求得己戊边即甲角也设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求太阳距赤道纬度几何甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳乙丁戊己为子午经圏乙丙癸戊为地平经圏丁己为地平庚辛为赤道庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸为太阳髙三十二度(即地平纬度一名髙弧)与乙癸象限相减余太阳距天顶五十八度即乙丙边丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒与丁己半周相减余癸己九十八度一十七分一十二秒即乙角丙壬为太阳距赤道纬度与甲壬象限相减余甲丙边为太阳距北极度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙边求甲丙边以甲角六十度为对所知之角其正弦八百六十六万零二百五十四为一率乙角九十八度一十七分一十二秒为对所求之角其正弦九百八十九万五千五百九十三为二率乙丙五十八度为所知之边其正弦八百四十八万零四百八十一为三率求得四率九百六十九万零一百七十六为所求甲丙边之正弦检表得七十五度四十二分零一秒即甲丙弧之度与九十度相减余一十四度一十七分五十九秒即太阳距赤道北之纬度也此法用边角相比例与直线三角形同但直线三角形以角之正弦与边相比(见数理精)(蕴第十七卷)此以角之正弦与边之正弦相比其比例之理一也又以正弧之理明之试将甲乙弧引长至丁自丙角作丙丁垂弧则成甲丁丙乙丁丙两正弧三角形先求乙丁丙形丁角正弦(即半径)为一率乙角正弦为二率乙丙正弦为三率丙丁正弦为四率此第一比例也次求甲丁丙形甲角正弦为一率丁角正弦(即半径)为二率丙丁正弦为三率甲丙正弦为四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而二率三率相乘与一率四率相乘之数等故用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例之四率此有对角求对边之法也设如太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒测得髙弧三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求系何时刻甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳丙壬为太阳距赤道北一十四度一十七分五十九秒甲丙即为太阳距北极七十五度四十二分零一秒丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒癸己为九十八度一十七分一十二秒即乙角庚壬为太阳距午正赤道度即甲角故用甲乙丙三角形有乙角及甲丙乙丙二边求甲角以甲丙七十五度四十二分零一秒为对所知之边其正弦九百六十九万零一百七十六为一率乙丙五十八度为对所求之边其正弦八百四十八万零四百八十一为二率乙角九十八度一十七分一十二秒为所知之角其正弦九百八十九万五千五百九十三为三率求得四率八百六十六万零二百五十四为所求甲角之正弦检表得六十度即甲角度以六十度变得二时从午正初刻后计之(因偏西故为午正后)为申正初刻也此有对边求对角之法也设如北极出地四十度申正初刻测得太阳髙三十二度求太阳距赤道纬度及地平经度各几何甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳甲己为北极出地四十度甲乙即为北极距天顶五十度庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度丙壬为太阳距赤道纬度甲丙为其余丁癸为地平经度即乙角之外角(甲乙)(丙形之乙角当癸己弧其癸乙丁外角即当丁癸弧)故用甲乙丙三角形有甲角及甲乙乙丙二边求甲丙边及乙角乃自乙角作乙丁垂弧分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形先求甲乙丁形以丁角正弦即半径一千万为一率甲角六十度之正弦八百六十六万零二百五十四为二率甲乙五十度之正弦七百六十六万零四百四十四为三率求得四率六百六十三万四千一百三十九为乙丁弧之正弦检表得四十一度三十三分三十九秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求距纬之法)(葢甲角即如黄赤交角甲乙即如黄道甲丁即如赤)(道乙丁即如距纬)又以半径一千万为一率甲角六十度之余弦五百万为二率甲乙五十度之正切一千一百九十一万七千五百三十六为三率求得四率五百九十五万八千七百六十八为甲丁弧之正切检表得三十度四十七分二十三秒即甲丁弧之度也(此即)(正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道之法)又以甲乙五十度之正弦七百六十六万零四百四十四为一率甲丁三十度四十七分二十三秒之正弦五百一十一万八千八百八十八为二率丁角正弦即半径一千万为三率求得四率六百六十八万二千二百三十四为乙分角之正弦检表得四十一度五十五分四十八秒即乙分角之度也(此即正弧三角形有黄道)(有赤道求黄道交极圏角之法)次求乙丙丁形以乙丁四十一度三十三分三十九秒之余弦七百四十八万二千五百二十六为一率乙丙五十八度之余弦五百二十九万九千一百九十三为二率半径一千万为三率求得四率七百零八万二千零九十一为丙丁弧之余弦检表得四十四度五十四分三十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黄道有距纬求)(赤道之法葢丙角即如黄赤交角乙丙即如黄道丙)(丁即如赤道乙丁即如距纬)又以乙丙五十八度之正弦八百四十八万零四百八十一为一率丙丁四十四度五十四分三十八秒之正弦七百零六万零二十七为二率丁角正弦即半径一千万为三率求得四率八百三十二万五千零三十为乙分角之正弦检表得五十六度二十一分二十四秒即乙分角之度也(此即正弧)(三角形有黄道有距纬求黄赤交角之法葢乙分角)(即如黄赤交角乙丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁)(即如距纬)乃以甲丁丙丁相并得甲丙七十五度四十二分零一秒即太阳距北极度与九十度相减余一十四度一十七分五十九秒即太阳距赤道北之纬度(如甲丙大于九十度则减去九十度余为太阳距赤)(道南之纬度)以两乙分角相并得九十八度一十七分一十二秒与一百八十度相减余八十一度四十二分四十八秒即太阳距午正偏西之地平经度也此作垂弧于形内之法也设如申正初刻测得太阳髙三十二度地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒求北极出地度几何甲乙丙三角形甲为北极乙为天顶丙为太阳丙癸为太阳髙三十二度乙丙即为太阳距天顶五十八度庚壬为申正初刻距午正赤道六十度即甲角丁癸为地平经度偏西八十一度四十二分四十八秒即乙角之外角甲己为北极出地度甲乙为其余故用甲乙丙三角形有甲乙二角及乙丙边求甲乙边乃自丙角作丙丁垂弧补成甲丙丁乙丙丁两正弧三角形先求乙丙丁形以丁角正弦即半径一千万为一率乙角九十八度一十七分一十二秒之正弦九百八十九万五千五百九十三为二率乙丙五十八度之正弦八百四十八万零四百八十一为三率求得四率八百三十九万一千九百三十九为丙丁弧之正弦检表得五十七度零三分一十八秒即丙丁弧之度也(此即正弧三角形有黄赤)(交角有黄道求距纬之法葢乙角即如黄赤交角乙)(丙即如黄道乙丁即如赤道丙丁即如距纬)又以半径一千万为一率乙角九十八度一十七分一十二秒之余弦一百四十四万一千二百六十为二率乙丙五十八度之正切一千六百万零三千三百四十五为三率求得四率二百三十万六千四百九十八为乙丁弧之正切检表得一十二度五十九分一十七秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角形有黄赤交角有黄道求赤道)(之法)次求甲丙丁形以甲角六十度之正切一千七百三十二万零五百零八为一率半径一千万为二率丙丁五十七度零三分一十八秒之正切一千五百四十三万一千零五十九为三率求得四率八百九十万九千一百二十六为甲丁弧之正弦检表得六十二度五十九分一十七秒即甲丁弧之度也(此即正弧)(三角形有黄赤交角有距纬求赤道之法葢甲角即)(如黄赤交角甲丙即如黄道甲丁即如赤道丙丁即)(如距纬)乃以甲丁与乙丁相减余甲乙五十度即北极距天顶又与九十度相减余四十度即北极出地度也(若求丙角则求得丙总角与丙虚角相减即得)此作垂弧于形外之法也设如大角星黄道纬北三十一度零三分赤道纬北二十度五十八分四十七秒黄极赤极(即北极)相距二十三度三十分求黄道经度赤道经度各几何甲乙丙三角形甲为赤极(即北极)乙为黄极甲乙相距二十三度三十分丙为大角星丁戊为黄道己庚为赤道丙辛为黄道纬北三十一度零三分乙丙即为星距黄极五十八度五十七分丙壬为赤道纬北二十度五十八分四十七秒甲丙即为星距赤极六十九度零一分一十三秒丁辛为星距夏至后黄道经度即乙角己壬为星距夏至后赤道经度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有甲乙甲丙乙丙三边求甲乙二角先求乙角则以夹乙角之甲乙边二十三度三十分与乙丙边五十八度五十七分相加得八十二度二十七分为总弧其余弦一百三十一万三千九百一十三又以甲乙乙丙两边相减余三十五度二十七分为较弧其余弦八百一十四万六千二百二十两余弦相减(总弧较弧)(俱不过象限或俱过象限则两余弦相减若一过象)(限一不过象限则两余弦相加其或过二象限者与)(过一象限同过三象限者与不过象限同)余六百八十三万二千三百零七折半得三百四十一万六千一百五十四为中数为一率以对乙角之甲丙边六十九度零一分一十三秒之正矢六百四十一万九千六百二十五(余弦与半)(径相减得矢度)与较弧三十五度二十七分之正矢一百八十五万三千七百八十相减余四百五十六万五千八百四十五为矢较为二率半径一千万为三率求得四率一千三百三十六万五千四百五十四为乙角之大矢(凡矢度过于半径者为大矢其)(角即为钝角)内减半径一千万余三百三十六万五千四百五十四为乙角之余弦检表得七十度二十分与半周相减余一百零九度四十分为乙角度即星距夏至后黄道经度自夏至未宫初度逆计之为卯宫一十九度四十分也如图甲乙与乙丙相加得甲癸为总弧(乙丙乙癸乙子三弧同为癸子距等)(圈所截故其度相等)其正弦为癸丑余弦为丑寅甲乙与乙丙相减余甲子为较弧其正弦为子卯余弦为卯寅以丑寅与卯寅两余弦相减余卯丑折半得卯辰与巳午等为中数又对乙角之甲丙边与甲未等其正弦为未申余弦为申寅正矢为甲申以甲申与甲子较弧之正矢甲卯相减余卯申与酉戌等为矢较遂成子酉戌与子巳午同式两勾股形故巳午与酉戌之比必同于子午与子戌之比也又丁寅为半径子午为距等圈之半径子戌与丁亥两段同为乙丙辛黄道经圈之所分则子午与子戌之比原同于丁寅与丁亥之比是以中数己午与矢较酉戌之比即同于半径丁寅与乙角大矢丁亥之比也既得丁亥大矢内减丁寅半径余寅亥即乙外角之余弦检表得乙外角所当辛戊弧之度复与半周相减即得乙角所当丁辛弧之度也既得乙角则以对边对角之法求之即得甲角度矣如先求甲角则以夹甲角之甲乙边二十三度三十分与甲丙边六十九度零一分一十三秒相加得九十二度三十一分一十三秒为总弧其余弦四十三万九千七百二十九又以甲乙甲丙两边相减余四十五度三十一分一十三秒为较弧其余弦七百万零六千五百六十八两余弦相加(总弧过象限较弧不过象限故两余)(弦相加)得七百四十四万六千二百九十七折半得三百七十二万三千一百四十八为中数为一率以对甲角之乙丙边五十八度五十七分之正矢四百八十四万二千一百四十一与较弧四十五度三十一分一十三秒之正矢二百九十九万三千四百三十二相减余一百八十四万八千七百零九为矢较为二率半径一千万为三率求得四率四百九十六万五千四百四十五为甲角之正矢与半径一千万相减余五百零三万四千五百五十五为甲角之余弦检表得五十九度四十六分一十六秒即甲角度与半周相减余一百二十度一十三分四十四秒即星距夏至后赤道经度自夏至未宫初度逆计之为卯宫初度一十三分四十四秒也如图甲乙与甲丙相加得乙癸为总弧其正弦为癸子余弦为子丑甲乙与甲丙相减余乙寅为较弧其正弦为寅卯余弦为卯丑两余弦相加得卯子(因两余弦在圜心之两边故相加)折半得卯辰与巳午等为中数又对甲角之乙丙边与乙未等其正弦为未申余弦为申丑正矢为乙申以乙申与乙寅较弧之正矢乙卯相减余卯申与酉戌等为矢较遂成寅巳午与寅酉戌同式两勾股形故巳午与酉戌之比同于寅午与寅戌之比又庚丑为半径寅午为距等圈之半径寅戌与庚亥两段同为甲丙壬赤道经圈之所分则寅午与寅戌之比原同于庚丑与庚亥之比是以巳午中数与矢较酉戌之比即同于半径庚丑与甲角正矢庚亥之比也既得庚亥正矢与庚丑半径相减余亥丑即甲角之余弦检表即得甲角所当庚壬弧之度也既得甲角则以对边对角之法求之亦即得乙角度矣此三边求角之法也设如大角星黄道经度距夏至一百零九度四十分赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黄赤两过极经圈交角二十三度四十二分四十五秒求黄道纬度赤道纬度各几何甲乙丙三角形甲为赤极(即北极)乙为黄极甲乙为两极距度丙为大角星丁戊为黄道己庚为赤道丁辛为黄道经度距夏至一百零九度四十分即乙角己壬为赤道经度距夏至一百二十度一十三分四十四秒即甲角之外角丙角为甲壬乙辛两经圏交角二十三度四十二分四十五秒丙辛为黄道北纬度乙丙为其余丙壬为赤道北纬度甲丙为其余故用甲乙丙三角形有甲乙丙三角求乙丙甲丙二边乃用次形法先求乙丙边将甲乙丙形易为癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑边(甲角当庚壬弧与子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑边(乙角之外角当戊辛弧与癸丑等)本形之丙角即次形之癸子边(丙角当寅卯弧与癸子等)本形之甲乙边即次形之丑角(丁己)(弧与甲乙等即丑角度)本形之乙丙边即次形之癸角(辛寅弧与乙丙)(等即癸角度)本形之甲丙边即次形子角之外角(壬卯弧与甲丙)(等即子锐角度为癸子丑形子钝角之外角)故用癸子丑三角形有三边求癸角(即乙丙边)以夹癸角之癸子边(即丙角)二十三度四十二分四十五秒与癸丑边(即乙外角)七十度二十分相加得九十四度零二分四十五秒为总弧其余弦七十万五千五百四十四又以癸子癸丑两边相减余四十六度三十七分一十五秒为较弧其余弦六百八十六万八千二百三十二两余弦相加(总弧过象限较弧不)(过象限故两余弦相加)得七百五十七万三千七百七十六折半得三百七十八万六千八百八十八为中数为一率以对癸角之子丑边(即甲)(角)五十九度四十六分一十六秒之正矢四百九十六万五千四百四十五与较弧四十六度三十七分一十五秒之正矢三百一十三万一千七百六十八相减余一百八十三万三千六百七十七为矢较为二率半径一千万为三率求得四率四百八十四万二千一百七十四为癸角之正矢与半径一千万相减余五百一十五万七千八百二十六为癸角之余弦检表得五十八度五十七分即癸角度亦即乙丙边度与象限相减余三十一度零三分即黄道北之纬度也既得乙丙边则以对边对角之法求之即得甲丙边矣如先求甲丙边则用癸子丑次形求子角(子角之外角当壬卯)(弧与甲丙等)以夹子角之子丑边(即甲角)五十九度四十六分一十六秒与癸子边(即丙)(角)二十三度四十二分四十五秒相加得八十三度二十九分零一秒为总弧其余弦一百一十三万四千八百七十四又以子丑癸子两边相减余三十六度零三分三十一秒为较弧其余弦八百零八万四千一百五十二两余弦相减(总弧较弧俱不过象限故两余弦相减)余六百九十四万九千二百七十八折半得三百四十七万四千六百三十九为中数为一率以对子角之癸丑边(即乙外角)七十度二十分之正矢六百六十三万四千五百二十五与较弧三十六度零三分三十一秒之正矢一百九十一万五千八百四十八相减余四百七十一万八千六百七十七为矢较为二率半径一千万为三率求得四率一千三百五十八万零三百三十七为子角之大矢内减半径一千万余三百五十八万零三百三十七为子角之余弦检表得六十九度零一分一十三秒即子角之外角度亦即甲丙边度与象限相减余二十度五十八分四十七秒即赤道北之纬度也既得甲丙边则以对边对角之法求之亦即得乙丙边矣此三角求边之法也设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黄道南纬度二度三十七分黄极赤极相距二十三度三十分求赤道经度纬度各几何甲乙丙三角形甲为赤极(即北极)乙为黄极甲乙相距二十三度三十分丙为土星丁戊为赤道己庚为黄道己辛为黄道经度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丙辛为黄道南纬度二度三十七分乙丙为星距黄极九十二度三十七分丙壬为赤道南纬度甲丙即星距北极度丁壬为距夏至赤道经度即甲角之外角故用甲乙丙三角形有乙角及甲乙乙丙二边求甲丙边及甲角先求甲丙边以半径一千万为一率乙角一百二十二度二十九分之大矢一千五百三十七万零五百四十二为二率以夹乙角之甲乙边二十三度三十分与乙丙边九十二度三十七分相加得一百一十六度零七分为总弧其余弦四百四十万二千零四又以甲乙乙丙两边相减余六十九度零七分为较弧其余弦三百五十六万四千六百六十二两余弦相加(总弧过象限较弧不过象限故两余弦相)(加)得七百九十六万六千六百六十六折半得三百九十八万三千三百三十三为中数为三率求得四率六百一十二万二千五百九十九为矢较与较弧六十九度零七分之正矢六百四十三万五千三百三十八相加得一千二百五十五万七千九百三十七为甲丙对边之大矢(凡矢)(度过于半径者为大矢其弧即为过弧)内减半径一千万余二百五十五万七千九百三十七为甲丙边之余弦检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度内减九十度余一十四度四十九分一十四秒为赤道南之纬度也如图己癸为半径己子为甲角之大矢甲乙与乙丙相加(乙丙与乙丑乙卯皆相等)得甲丑为总弧其正弦为丑寅余弦为寅癸甲乙与乙丙相减余甲卯为较弧其正弦为卯辰余弦为辰癸两余弦相加得辰寅折半得辰巳与午未等为中数又对乙角之甲丙边与甲申等其正弦为申酉余弦为酉癸大矢为甲酉以甲酉与甲卯较弧之正矢甲辰相减余辰酉与戌亥等为矢较遂成卯午未与卯戌亥同式两勾股形而卯未与卯亥之比同于午未与戌亥之比又卯未为丑卯距等圈之半径卯亥与巳子两段同为乙辛丙黄道经圈之所分则卯未与卯亥之比原同于己癸与己子之比是以半径己癸与乙角大矢己子之比即同于中数午未与矢较戌亥之比也既得戌亥矢较与甲卯较弧之正矢甲辰相加得甲酉即为甲丙弧之大矢内减甲癸半径余酉癸为甲丙弧之余弦亦即丙干弧之余弦检表得丙干弧之度故与半周相减始为甲丙弧之度也次求甲角则以甲丙弧一百零四度四十九分一十四秒之正弦九百六十六万七千三百一十六为一率乙丙弧九十二度三十七分之正弦九百九十八万九千五百七十三为二率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三万五千四百七十七为三率求得四率八百七十一万六千六百七十一为甲角之正弦检表得六十度三十九分一十秒即甲角之度与半周相减余一百一十九度二十分五十秒即星距夏至赤道经度自夏至未宫初度逆计之为辰宫二十九度二十分五十秒也又法将乙丙弧引长至丁自甲作甲丁垂弧补成甲丁乙甲丁丙两正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三万五千四百七十七为二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率三百三十六万三千六百三十八为甲丁弧之正弦检表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黄赤)(交角有黄道求距纬之法)又以半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之余弦五百三十七万零五百四十二为二率甲乙二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为三率求得四率二百三十三万五千一百七十八为乙丁弧之正切检表得一十三度零八分三十八秒即乙丁弧之度也(此即正弧三角)(形有黄赤交角有黄道求赤道之法)次求甲丁丙形以半径一千万为一率乙丙弧九十二度三十七分与乙丁弧一十三度零八分三十八秒相加得丙丁弧一百零五度四十五分三十八秒其余弦二百七十一万六千一百七十八为二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之余弦九百四十一万七千三百一十八为三率求得四率二百五十五万七千九百一十一为甲丙弧之余弦检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度也(此即正弧三角形有赤道有距纬求)(黄道之法)既得甲丙边则以对边对角之法求之即得甲角矣此两边夹一角之法也设如土星黄道经度卯宫二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道经度辰宫二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黄极赤极相距二十三度三十分求黄道纬度赤道纬度各几何甲乙丙三角形甲为赤极(即北极)乙为黄极甲乙相距二十三度三十分丙为土星丁戊为赤道己庚为黄道己辛为黄道经度距夏至一百二十二度二十九分即乙角丁壬为赤道经度距夏至一百一十九度二十分五十秒即甲角之外角丙辛为黄道南纬度乙丙为星距黄极度丙壬为赤道南纬度甲丙为星距赤极度故用甲乙丙三角形有甲乙二角及甲乙边求甲丙乙丙二边乃用次形法先求丙角将甲乙丙形易为癸子丑次形葢本形之甲角即次形之子丑边(甲角当壬戊弧与子丑等)本形乙角之外角即次形之癸丑边(乙外角当辛庚弧与癸丑等)本形之丙角即次形之癸子边(丙角)(当寅卯弧与癸子等)本形之甲乙边即次形之丑角(丁己与甲乙等即丑)(角度)本形之乙丙边与半周相减之余度即次形癸角之外角(乙丙边与半周相减余丙辰与卯辛)(等即辛癸卯角为癸子丑形癸角之外角葢卯丙与)(辛辰皆象限各减辛丙故卯辛与丙辰等)本形之甲丙边与半周相减之余度即次形之子角(甲丙边与)(半周相减余丙巳与寅壬等即子角度葢寅丙与壬)(巳皆象限各减壬丙故壬寅与丙巳等)故用癸子丑三角形有丑角及癸丑子丑二边求癸子边(即丙角)以半径一千万为一率丑角二十三度三十分之正矢八十二万九千三百九十九为二率以癸丑边(即乙外角)五十七度三十一分与子丑边(即甲角)六十度三十九分一十秒相加得一百一十八度一十分一十秒为总弧其余弦四百七十二万零八百零七又以癸丑子丑两边相减余三度零八分一十秒为较弧其余弦九百九十八万五千零二十四两余弦相加得一千四百七十万五千八百三十一折半得七百三十五万二千九百一十五为中数为三率求得四率六十万九千八百五十为矢较与较弧三度零八分一十秒之正矢一万四千九百七十六相加得六十二万四千八百二十六为癸子对边之正矢与半径一千万相减余九百三十七万五千一百七十四为癸子对边之余弦检表得二十度二十一分四十一秒为癸子边之度亦即丙角度也次求乙丙边则以丙角之正弦三百四十七万九千三百八十七为一率甲角六十度三十九分一十秒之正弦八百七十一万六千六百五十七为二率甲乙边二十三度三十分之正弦三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率九百九十八万九千五百七十三为乙丙边之正弦检表得八十七度二十三分与半周相减余九十二度三十七分即乙丙边之度内减九十度余二度三十七分即星距黄道南之纬度也次求甲丙边以丙角之正弦三百四十七万九千三百八十七为一率乙角一百二十二度二十九分之正弦八百四十三万五千四百七十七为二率仍以甲乙边之正弦三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率九百六十六万七千三百三十一为甲丙边之正弦检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度内减九十度余一十四度四十九分一十四秒即星距赤道南之纬度也又法将乙丙弧引长至丁自甲作甲丁垂弧补成甲丁乙甲丁丙两正弧三角形先求甲丁乙形以丁角正弦即半径一千万为一率乙外角五十七度三十一分之正弦八百四十三万五千四百七十七为二率甲乙弧二十三度三十分之正弦三百九十八万七千四百九十一为三率求得四率三百三十六万三千六百三十八为甲丁弧之正弦检表得一十九度三十九分二十秒即甲丁弧之度也(此即正弧三角形有黄赤)(交角有黄道求距纬之法)又以甲乙弧二十三度三十分之正切四百三十四万八千一百二十四为一率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七万一千七百五十二为二率半径一千万为三率求得四率八百二十一万四千四百六十七为甲虚角之余弦检表得三十四度四十六分一十二秒即甲虚角之度也(此即正弧三角形有黄道有赤道求)(黄赤交角之法)次求甲丁丙形以丙甲乙角六十度三十九分一十秒与甲虚角三十四度四十六分一十二秒相加得九十五度二十五分二十二秒为丙甲丁角乃以其余弦九十四万五千零六十四为一率半径一千万为二率甲丁弧一十九度三十九分二十秒之正切三百五十七万一千七百五十二为三率求得四率三千七百七十九万三千七百五十七为甲丙弧之正切检表得七十五度一十分四十六秒与半周相减余一百零四度四十九分一十四秒即甲丙边之度也(此即正弧三角形有黄赤)(交角有赤道求黄道之法)既得甲丙边则以对边对角之法求之即得乙丙边矣此两角夹一边之法也御制〔？〕象考成上编卷三
## 上编卷四
钦定四库全书御制歴象考成上编卷四日躔歴理南北真线北极髙度地半径差黄赤距纬清蒙气差测岁实以定平行本天髙卑为盈缩之原求两心差及最髙最髙行及本轮均轮半径求盈缩差时差(原名日差)曚影刻分昼夜永短节气时刻南北真线辨方定位厯象首务盖必先定南北然后可以候中星歩日躔然南北之大势虽若昜知而立线定向必豪厘不失乃得其真即用指南针亦有所偏向不可为准其所偏向又随地不同故欲得南北之真线者必以测量星日为主法于春秋分日植表于案令极平取日影自午前至午后视表末影所至随作㸃为识次联诸㸃成一直线即东西线取东西线之正中作垂线即南北线也或不拘何日植表取影自午前至午后视表末影所至随作㸃为识次取与表心最近之一㸃为午正表影乃太阳出地平最髙之度依此㸃向表心作直线即南北线也又法用方案令极平作圜数层植表于圜心以取日影凡影圜上者皆作㸃识之乃视午前午后两㸃同在一圜上者作直线联之即东西线取东西线之正中向圜心作垂线即南北线也又法植表取日影别用仪噐测得午前日轨髙度作㸃于影末又测得午后日轨髙度与午前等亦作㸃于影末乃以两㸃作直线联之即东西线取东西线之正中向表作垂线即南北线也又法于冬至日前后用仪噐测勾陈第五星初昏时此星在北极之西候其渐转而西至不复西而止至五更后此星在北极之东候其渐转而东至不复东而止两表视线之正中即南北线也葢勾陈第五星冬至日酉时在极西卯时在极东他星则离极右逺故止取此星可以得东西之准他时非不可测但或日永夜短卯酉二时星不可见故必于冬至日前后测之也又法取恒星之大者用两仪噐测之一测其髙度一测其地平经度视此星在东时测其髙度若干随测其地平经度俟此星转而西测其髙度与在东时等者复测其地平经度此两经度之正中即南北线此法与前同然不拘冬至他日皆可用较前法为简便也北极髙度北极为天之枢纽居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之进退昼夜之永短因之而各异焉盖厯法以日躔出入赤道之度定诸节气而北极出地之度即赤道距天顶之度倘推测不精髙度差至一分则春秋分必差一时而冬夏至必差一二日日躔既差则月离五星之经纬无不谬矣故测北极出地之髙下最宜精宻不容或略也授时厯测得京师北极出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分约之为四十度零九分五十一秒新法算书京师北极出地三十九度五十五分今测得畅春园北极出地三十九度五十九分三十秒法于冬至日前后用仪器测勾陈大星出地之度酉时此星在北极之上候其渐转而髙至不复髙而止为最髙之度卯时此星在北极之下候其渐转而低至不复低而止为最低之度乃以所测最高最低之度折中取之即北极出地之度也盖北极无星其髙低不可得而见故取星之环绕北极上下者测之惟勾陈大星冬至酉时在最髙卯时在最低可以得髙低之准也又法取恒星之大者测其最髙为若干度若此星为赤道以南之星则以其距赤道之纬与其髙相加得若干即赤道之髙度若此星为赤道以北之星则以其距赤道之纬与其髙相减得若干即赤道之髙度既得赤道之髙与一象限九十度相减余若干即北极出地之度也此法较之前法为少烦盖因赤道南北之星距赤道之纬俱系测得北极之髙度而后可得而恒星有岁差其纬度亦有増损然存此法与前法参互考騐可也地半径差凡求七曜出地之髙度必用测量乃测量所得之数与推歩所得之数徃徃不合盖推歩所得者七曜距地心之髙度而测量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度为真髙距地面之髙度为视髙人在地面不在地心故视髙必小于真髙以有地半径之差也(或有大于真髙者则清蒙气所为也)盖七曜恒星虽皆丽于天而其髙下又各不等惟恒星天为最髙其距地最逺地半径甚㣲故无视髙真髙之差若夫七曜诸天则皆有地半径差今欲求太阳之真髙必先得地半径差欲求地半径差必先得地半径与日天半径之比例今随时测太阳之髙度求得地半径与日天半径之比例最髙为一与一千一百六十二最卑为一与一千一百二十一比旧定地半径与日天半径之比例最髙少二十二最卑多二十一盖太阳髙卑之故由于两心差然最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半(详见本轮均轮半径篇)旧表日天半径乃依两心差全数所定故最髙较实测则多最卑较实测必少也如图甲为地心乙为地面甲乙为地半径乙丙为地平丁戊己为太阳天庚辛壬癸为恒星天戊为太阳人从地面乙测之对恒星天于壬其视髙为壬乙丙角若从地心甲计之则见太阳于戊者对恒星天于辛其真髙为辛甲癸角此两髙之差为乙戊甲角即地半径之差然又时时不同者其故有二一太阳距地平近其差角大渐髙则渐小一太阳在本天上又有髙卑髙则距地心逺其差角小卑则距地心近其差角大(如戊甲线其长短时时不同其所以)(逺近之故详见于后)今约为最髙与中距及最卑三限(太阳本天髙卑)(细推之每日不同然用以求差角所差甚㣲故止用)(三限)于夏至春秋分冬至时各以所测地面上太阳之髙度求太阳距地心之戊甲线(太阳夏至前后行最髙限春秋分前后行)(中距限冬至前后行最卑限故于三时测之)康熙五十四年乙未五月二十九日甲子午正(夏至后八)(日也以本日太阳躔本天之最髙为距地心之最逺)在畅春园测得太阳髙七十三度一十六分零二十三㣲同时于广东广州府测得太阳髙九十度零六分二十一秒四十八㣲以之立法甲为地心乙为畅春园地面庚为天顶子为广州府地面丑为天顶戊为太阳寅为赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒为畅春园赤道距天顶之度寅丑弧二十三度一十分为广州府赤道距天顶之度(赤道距天顶数俱系实测所得)以两处赤道距天顶度相减余一十六度四十九分三十秒为庚丑弧即庚甲丑角以畅春园髙度与一象限相减余一十六度四十三分五十九秒三十七㣲为庚乙戊角于广州府髙度内减去一象限余六分二十一秒四十八㣲即戊子丑角(戊在天顶丑北)先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲边俱地半径命为一千万乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七为乙子边又以甲角与半周相减余数半之得八十一度三十五分一十五秒为乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角八十一度四十分四十五秒二十三秒(半周内减去甲乙子角又减去)(庚乙戊角余即戊乙子角)有戊子乙角九十八度一十八分二十三秒一十二㣲(半周内减去甲子乙)(角又减去戊子丑角余即戊子乙角)即有乙戊子角五十一秒二十五㣲求得戊子边一一六一三二二三八三九次用戊子甲三角形此形有戊子边有子甲边(地平径一千万)有戊子甲之外角六分二十一秒四十八㣲(即戊子丑角)求得戊甲边一一六二二六四二五一二为太阳在本天最髙时距地心之逺以地半径较之其比例如一与一千一百六十二也(乙甲一千)(万与一一六二二六四二五一二之比同于一与一)(千一百六十二有余之比)末用乙戊甲三角形乙甲边为一戊甲边为一一六二戊乙甲之外角一十六度四十三分五十九秒三十七㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角五十一秒零五㣲为最髙限太阳髙七十三度一十六分之地半径差以加畅春园视髙七十三度一十六分零二十三㣲得七十三度一十六分五十一秒二十八㣲为畅春园太阳之真髙也于乙戊子角五十一秒二十五㣲内减去乙戊甲角五十一秒零五㣲余二十㣲为甲戊子角乃最髙限太阳髙九十度零六分二十一秒之地半径差(即八)(十九度五十三分三十九秒之地半径差)以减广州府视髙九十度零六分二十一秒四十八㣲(视髙)(过九十度故减)得九十度零六分二十一秒二十八㣲为广州府太阳之真髙也又康熙五十五年丙申三月初五日丙申午正(春分后八)(日也以本日太阳躔本天之中距为距地心之适中)在畅春园测得太阳髙五十三度零三分三十八秒一十㣲同时于广东广州府测得太阳髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲减去纬差一十四秒余六十九度五十三分五十四秒三十八㣲(测得广州府子午线)(在京师之西三度三十三分其午正时乃京师午正)(初刻十四分也夫太阳距纬度夏至时每日止差四)(十余秒其一刻所差甚㣲可不论若春分时每日差)(至二十四分则十四分时可差一十四秒又春分后)(太阳自卑而髙纬度既差一十四秒则午正之髙度)(亦多一十四秒故必于所测之度减去纬差始为与)(京师子午相当地面之髙度也此即东西里差详后)(节气时刻篇)以之立法庚为畅春园天顶丑为广州府天顶戊为太阳寅为赤道乙甲子三角形之三边三角俱与前图等以畅春园髙度与一象限相减余三十六度五十六分二十一秒五十㣲为庚乙戊角以广州府髙度与一象限相减余二十度零六分零五秒二十二㣲为戊子丑角先用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角六十一度二十八分二十三秒一十㣲(半周内减去甲乙子角又减去庚乙戊角余即戊乙)(子角)有戊子乙角一百一十八度三十分五十秒二十二㣲(半周内减去甲子乙角加入戊子丑角即)(戊子乙角)即有乙戊子角四十六秒二十八㣲求得戊子边一一四一○三一○二九九次用戊子甲三角形此形有戊子边有子甲边(地半径一千万)有戊子甲之外角二十度零六分零五秒二十二㣲(即戊子丑角)求得戊甲边一一四二一八六七七三○为太阳在本天中距时距地心之逺以地半径较之其比例如一与一千一百四十二也末用乙戊甲三角形乙甲边为一戊甲边为一一四二戊乙甲之外角三十六度五十六分二十一秒五十㣲(即庚乙戊)(角)求得乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲为中距限太阳髙五十三度零三分三十八秒之地半径差以加畅春园视髙五十三度零三分三十八秒一十㣲得五十三度零五分二十六秒四十二㣲为畅春园太阳之真髙也于乙戊甲角一分四十八秒三十二㣲内减去乙戊子角四十六秒二十八㣲余一分零二秒零四㣲为子戊甲角乃中距限太阳髙六十九度五十四分零八秒之地半径差以加广州府视髙六十九度五十四分零八秒三十八㣲得六十九度五十五分一十秒四十二㣲为广州府太阳之真高也今若以最髙太阳距地心一一六二与中距太阳距地心一一四二相减余二○为两限距地心之较则最卑限太阳距地心之逺为一一二二然中距太阳距地心如弦本天半径如股(图见后求盈缩差篇)其距最髙之差应少距最卑之差应多故最卑限太阳距地心当不足一一二二欲以实测求之奈冬至后太阳躔本天最卑时髙弧仅二十六度余蒙气差甚大难得其真今以太阳最髙与本天半径比例数一○一七九二○八(见交食厯理求日月距地与地半径)(之比例篇)与地半径比例数一一六二之比即同于太阳最卑与本天半径比例数九八二○七九二与地半径比例数一一二一之比是为最卑限太阳距地心之逺也既得三限距地心之逺即各用为一邉(即戊甲)地半径为一边(即乙甲为一)太阳出地逐度之髙(即戊㸃)与象限相加为一角(即甲乙戊角)成戊乙甲三角形求得乙戊甲角为三限太阳自地平至天顶逐度之地半径差以列表黄赤距纬黄道斜交赤道而出其内外其相距最逺之度即二至太阳距赤道之纬度古今所测不同授时厯测得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之为二十三度三十三分三十二秒新法厯书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以来于畅春园累测夏至午正太阳髙度得视髙七十三度二十九分十余秒加地半径差五十秒得实髙七十三度三十分减去本处之赤道髙五十度零三十秒余二十三度二十九分三十秒为黄道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黄道每度每分之距纬以立表如图甲乙为黄道一象限甲丙为赤道一象限甲为春分乙为夏至乙丙为大距二十三度二十九分三十秒即甲角之度设丁㸃为立夏距甲春分四十五度求丁戊距纬若干则用甲丁戊正弧三角形此形有甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒有甲丁黄道四十五度有戊直角九十度今以戊直角九十度之正弦一千万与甲角乙丙大距度二十三度二十九分三十秒之正弦三九八六一五七之比即同于甲丁黄道四十五度之正弦七○七一○六八与丁戊距纬一十六度二十二分一十七秒之正弦二八一八六三九之比也既得立夏之距纬度则立春立秋立冬之距纬度亦同按法于甲乙一象限内逐度逐分求其距纬则其余三象限之距纬度亦得矣清䝉气差清蒙气差从古未闻明万厯间西人第谷始发之其言曰清蒙气者地中游气时时上腾其质轻㣲不能隔碍人目却能映小为大升卑为髙故日月在地平上比于中天则大星座在地平上比于中天则广此映小为大也定望时地在日月之间人在地面无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚见月食于西此升卑为髙也又曰清蒙之气有厚薄有髙下气盛则厚而髙气㣲则薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地势殊也若海或江湖水气多则清蒙气必厚且髙也故欲定七政之纬宜先定本地之清蒙差第谷言其国北极出地五十五度有竒测得地平上最大之差三十四分自地平以上其差渐少至四十五度其差五秒更髙则无差矣此即新法厯书所用之表也近日西人又言于北极出地四十八度地方测得太阳髙四十五度时蒙气差尚有一分余自地平至天顶皆有蒙气差即此观之益见蒙气差之随地不同而第谷之言为不妄矣今述其测量推算之法于左使观者知蒙气差表之所自立云假如太阳髙一十度三十四分四十二秒距正午八十三度(地平经度)于时日躔降娄宫三度三十六分距赤道北一度二十六分如图甲为地心乙为天顶丙为太阳丁为北极乙戊为子午规乙丙己为髙弧丙己为太阳实髙弧庚己为视髙弧今用丁乙丙斜弧三角形此形有北极距天顶之丁乙弧五十度零三十秒有太阳距北极之丁丙弧八十八度三十四分(以距)(纬一度二十六分减象限九十度得之)有丁乙丙角九十七度(己乙戊角八十)(三度为太阳距正午之度与半周相减即得丁乙丙)(角)求太阳实距天顶之乙丙弧法以乙丙弧引长从丁作丁辛垂弧两弧相交于心为直角遂成丁辛乙丁辛丙两正弧三角形先用丁辛乙正弧三角形以半径一千万与乙角八十三度之正弦九九二五四六二之比同于乙丁弧五十度零三十秒之正弦七六六一三七九与丁辛弧之正弦七六○四二七三之比得丁辛弧四十九度三十分零七秒又以半径一千万与乙角八十三度之余弦一二一八六九三之比同于乙丁弧五十度零三十秒之正切一一九二一○五六与乙辛弧之正切一四五二八一一之比得乙辛弧八度一十五分五十八秒次用丁辛丙正弧三角形以丁丙弧八十八度三十四分之正弦九九九六八七一与丁辛弧四十九度三十分零七秒之正弦七六○四二七三之比同于半径一千万与丙角正弦七六○六六五三之比得丙角四十九度三十一分二十二秒又以丙角四十九度三十一分二十二秒之正切一一七一七九二七与半径一千万之比同于丁辛弧四十九度三十分零七秒之正切一一七○九三○二与辛丙弧之正弦九九九二六三九之比得辛丙弧八十七度四十八分零五秒于辛丙弧内减去乙辛弧八度一十五分五十八秒余乙丙弧七十九度三十二分零七秒为太阳实距天顶之度以乙丙弧与乙己弧九十度相减余丙己弧一十度二十七分五十三秒为太阳之实髙乃以实髙与视髙一十度三十四分四十二秒相减余六分四十九秒加地半径差二分五十七秒得九分四十六秒为地平上一十度三十五分之蒙气差按法求得逐度之差数以立表测岁实以定平行太阳之实行每日不同歩日躔者必以平行为根而求平行之法则在于定岁实岁实者太阳循黄道右旋一周而复于原界之日时也(或自今年冬至至明年冬至或自今年春)(分至明年春分)古厯定太阳每日所行为一度故周天为三百六十五度四分度之一其后渐觉后天以为岁实太强自汉以来每次修厯必有所减以合当时实测故每日之平行虽定为一度而天周与岁实讫无定率也今法定天周为三百六十度故太阳每日之行不及一度其分秒之进退视岁实之消长得岁实即得毎日之平行矣数岁以来于二分二至遣人各省分测得岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒(即三百六十五日十分日之二分四二一八七五)乃置天周三百六十度为实以岁实三百六十五日五时三刻三分四十五秒为法实如法而一得太阳每日平行五十九分零八秒一十九㣲四十九纎五十九忽三十九芒(即十)(分度之九分八五六四七三六五八)既得太阳每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表(毎日二十四时毎时六十分)测岁实之法古人皆测冬至然冬至之时刻难定不如用春秋分时得数为真葢冬至时黄道与赤道平行其纬度一日所差不过数十秒仪噐无从分别春秋分黄道与赤道斜交其纬度一日差二十四分其差易见且求平行须用平行岁实而测量止能得视行惟二分时去中距不逺其平行实行之差甚㣲可以不计况冬至时太阳之地平纬度少清蒙之气甚大古来岁实难得确准此其故也康熙五十四年乙未二月十六日癸未午正于畅春园测得太阳髙五十度零三十二秒三十五㣲加地半径差一分五十六秒零五㣲得实髙五十度零二分二十八秒四十㣲与赤道髙五十度零三十秒相减余一分五十八秒四十㣲为太阳在赤道北之纬度即知春分时刻在午正前也如图甲为春分乙为太阳丙为赤道乙丁为午正太阳实髙丙丁为赤道髙乙丙为太阳距赤道北纬度用甲乙丙正弧三角形此形有甲角大距度二十三度二十九分三十秒有丙直角有乙丙纬度一分五十八秒四十㣲求甲乙弧为太阳过春分之经度法用甲角正弦三九八六一五七与丙直角正弦一千万之比同于乙丙弧正弦五七五三与甲乙弧正弦一四四三三之比得甲乙弧四分五十七秒四十三㣲用变时法以一日之平行五十九分零八秒二十㣲为一率(二分时太阳之实行)(与平行相近故即用平行为一率若他节气须用本)(日之实行为一率)二十四时化为一千四百四十分为二率甲乙弧四分五十七秒四十三㣲为三率得四率一百二十分四十九秒一十二㣲以每时六十分収之得二时零四十九秒一十二㣲为春分距午正前之时即已初三刻一十四分一十秒四十八㣲春分也康熙五十五年丙申二月二十七日戊子午正于畅春园测得太阳髙四十九度五十四分四十九秒五十一㣲加地半径差一分五十六秒一十七㣲得实髙四十九度五十六分四十六秒零八㣲与赤道髙五十度零三十秒相减余三分四十三秒五十二㣲为太阳在赤道南之纬度即知春分时刻在午正后也依法用甲乙丙正弧三角形求得乙甲弧九分二十一秒三十九㣲为太阳未到春分之经度变时得三时四十七分五十五秒四十八㣲为春分距午正后之时即申初三刻二分五十五秒四十八㣲春分也乃总计两春分相距得三百六十五日五时三刻三分四十五秒即为岁实本天髙卑为盈缩之原太阳行天每岁一周万古不忒宜其每日平行而无有盈缩乃征之目下实测则春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所见时日不同今即其不平行之数求其所以然之故则惟有本天髙卑之说能尽之本天髙卑之法有二一为不同心天一为本轮立名虽异而理则同故髙卑之距盈缩之度皆不谋而合焉不同心天之法盖以天包地外以地为心太阳本天亦包乎地外而不以地为心因其有两心之差而髙卑判焉如图甲为地心乙丙丁戊为黄道己为太阳本天心庚辛壬癸为太阳本天其癸庚辛大半周逺于地为髙辛壬癸小半周近于地为卑戊为春分丙为秋分乙为夏至丁为冬至自春分厯夏至以至秋分太阳自癸厯庚以至辛行本天之大半周故厯日多而自地心甲立算其自戊厯乙以至丙止行黄道之半周故为行缩自秋分厯冬至以至春分太阳自辛厯壬以至癸行本天之小半周故厯日少而自地心甲立算其自丙厯丁以至戊亦行黄道之半周故为行盈夫日在本天原自平行因自地心甲立算而不以太阳本天心已立算遂有髙卑盈缩之异故髙卑为盈缩之原而两心之差又髙卑之所由生也本轮之法盖以本天与地同心而本天之周又有一本轮本轮心循本天周向东而行日在本轮之周向西而行两行之度相等(轮心)(东行太阳西行二者亦有㣲差然积至周岁才差一)(分虽谓相等可也)太阳在本轮之下半周去地近为卑则顺轮心行故见其速于平行在本轮之上半周去地逺为髙则背轮心行故见其迟于平行在本轮之左右去地不逺不近为髙卑适中故名中距其行与平行等如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为本天其本轮循本天东行由丁向戊而乙而丙而复于丁为平行度(即经度)太阳循本轮西行由下而左而上而右而复于下(本轮以近地心为下逺地心为上)为自行度(名引数)如本轮心在丁则太阳在本轮之下如辛去地心甲最近是为最卑本轮心在乙则太阳在本轮之上如己去地心甲最逺是为最髙最髙最卑之㸃皆对本轮心与地心成一直线其平行实行同度故为盈缩起算之端如本轮心由丁向戊太阳由本轮下向左顺轮心行能益东行之度故较平行度为盈至半象限后所益渐少迨轮心行一象限至戊太阳亦行轮周一象限至壬即无所益而复于平行是为中距然而积盈之多正在中距盖平行至戊而太阳在壬从地心甲立算则太阳当本天之子子戊弧以本轮之半径为正切为盈差之极大也从中距而后太阳行本轮之上半周背轮心行故实行渐缩然因有积盈之度方以次渐消其实行仍在平行前迨行满一象限至最髙为极缩而积盈之度始消尽无余其实行与平行乃合为一线故自最卑至最髙半周俱为盈厯也如本轮心由乙向丙太阳由本轮上向右背轮心行能损东行之度故较平行度为缩至半象限后所损渐少迨轮心行一象限至丙太阳亦行轮周一象限至庚即无所损而复于平行是为中距然而积缩之多亦在中距盖平行至丙而太阳在庚从地心甲立算则太阳当本天之丑丑丙弧亦以本轮之半径为正切为缩差之极大也从中距而后太阳行本轮之下半周顺轮心行故实行渐盈然因有积缩之度方以次相补其实行仍在平行后迨行满一象限至最卑为极盈而积缩之度始补足无缺其实行与平行乃合为一线故自最髙至最卑半周俱为缩厯也此本轮之法于盈缩之理最为显著然谓与不同心天之理同何也试于本轮上己庚辛壬诸㸃聨为一圜此圜必不以甲为心而以癸为心遂成不同心天之形其癸甲两心之差即本轮之半径故求得两心之差而本轮之径自见明于本轮之故而盈缩之理益彰然则其理相通其用相辅并存其说实可以参稽而互证也求两心差及最髙新法厯书用春分秋分立夏三节气相距日时推得两心差为三五八四一六最髙在夏至后五度三十分然而未详何年月日永年表载康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒今以丁酉年实测节气时刻依法推算得两心差为三五八九七七最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五㣲皆与原数不合葢今之春分秋分立夏皆不正当最髙最卑中距之度用两心差以推其时刻与实测不合则用实测之时刻以推两心差亦必与原数不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太阳在最髙最卑二㸃平行与实行合为一线本天与黄道皆平分为两半周太阳厯半周岁而适行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周岁四分之一至中距应行九十度其实行之过于九十度者即积盈之度自最髙厯周岁四分之一至中距亦应行九十度其实行之不及九十度者即积缩之度检其正切即两心差之数也今以丁酉年逐日实测日躔度分求得最髙过夏至最卑过冬至各七度四十四分三十六秒四十八㣲又自太阳过最髙之日分加周岁四分之一求其时刻之实行不及中距二度零三分零九秒四十㣲检其正切得三五八四一六皆与歴书所载相合是故用两心差之全数以推盈缩维中距与实测合最髙前后两象限则失之小最卑前后两象限则失之大所以又用均轮以消息其数方与实测相符今于其相合者得最髙及两心差所自来于其不相合者得本轮均轮所由设推算之法并述于左用实测最髙最卑中距求两心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉二至后畅春园逐日测午正太阳髙度求其经度用实行推得五月二十一日甲戌辰正一刻零四十秒四十五㣲交未宫七度五月二十二日乙亥已初一刻一十四分五十七秒二十七㣲交未宫八度十一月二十七日丁丑子正一刻一十二分五十七秒四十一㣲交丑宫七度本日夜子初三刻一十二分二十七秒四十七㣲交丑宫八度夫未宫七度至丑宫七度厯一百八十二日一十六时一十二分一十六秒五十六㣲大于半周岁一时一十七分五十四秒二十六㣲而未宫八度至丑宫八度厯一百八十二日一十四时二十七分三十秒二十㣲小于半周岁二十六分五十二秒一十㣲乃以此两数立法以求最髙所在如图甲为地心即宗动天心乙丙丁戊为黄道与宗动天相应(同以甲为心也)乙为夏至丙为秋分丁为冬至戊为春分又设己㸃为心作庚辛壬癸圈为不同心天庚为最髙当黄道之子壬为最卑当黄道之丑则寅夘为其中距(距最髙子最卑丑各)(九十度)过巳甲两心作庚丑线则平分本天与黄道各为两半周故厯半周岁一百八十二日一十四时五十四分二十二秒三十㣲适行半周天一百八十度若夫夏至乙则在最髙前有加差时刻早冬至丁则在最卑前有减差时刻迟故夏至至冬至大于半周岁而秋分丙在最髙后有减差时刻迟春分戊在最卑后有加差时刻早故秋分至春分小于半周岁今未宫七度至丑宫七度大于半周岁未宫八度至丑宫八度小于半周岁即知未宫七度在最髙前如辰未宫八度在最髙后如巳丑宫七度在最卑前如午丑宫八度在最卑后如未今以大于半周岁之一时一十七分五十四秒二十六㣲与小于半周岁之二十六分五十二秒一十㣲相并得一时四十四分四十六秒三十六㣲与辰巳或午未一度之比同于大于半周岁之一时一十七分五十四秒二十六㣲与辰子或午丑四十四分三十六秒四十八㣲之比而得辰子或午丑与乙辰或丁午之七度相加得乙子或丁丑七度四十四分三十六秒四十八㣲即最髙过夏至最卑过冬至之度亦即中距过春秋分之度也(丙寅弧夘戊弧皆与乙子弧相等)此所得之数比永年表丁酉年前冬至最卑度多四十七秒比戊戌年前冬至最卑度少一十五秒葢最髙每岁行六十一秒今合最髙最卑取数立算则其所得为中距过秋分之度较之丁酉年前冬至固应差四分之三较之戊戌年前冬至固应差四分之一是所测与永年表合矣又用比例法求得本年五月二十二日乙亥寅初初刻一分三十七秒四十五㣲过最髙加周岁四分之一九十一日七时二十七分一十一秒一十五㣲得秋分后丙午日巳正一刻一十三分四十九秒过中距在黄道应从最髙子行九十度至寅为辰宫七度四十四分三十六秒四十八㣲而在本天则从最髙庚行九十度至辛当黄道之申今以实测求其经度在辰宫五度四十一分二十七秒零八㣲(即申㸃之度)不及中距二度零三分零九秒四十㣲即申寅弧当辛甲寅角与甲辛巳角等检其正切得三五八四一六为已甲两心差(亦即本轮半径)与厯书所载同用实测春分秋分立夏求两心差及最髙所在如康熙五十六年丁酉畅春园测得春分为二月初八日癸巳亥初二刻六分四十七秒立夏为三月二十四日己夘亥正二刻一分三十六秒秋分为八月十九日庚子申初二刻四分零三秒则春分距立夏得四十六日三刻九分四十九秒以毎日平行五十九分零八秒二十㣲乘之得平行度四十五度二十二分三十八秒一十六㣲春分距秋分得一百八十六日七十一刻一十二分一十六秒以每日平行五十九分零八秒二十㣲乗之得平行度一百八十四度零四分零三秒五十八㣲如图甲为地心乙丙丁戊为黄道戊为春分己为夏至丙为秋分庚为冬至辛为立夏戊辛弧四十五度又以壬㸃为心作子丑寅夘圈为不同心天春分时太阳在子实度在戊立夏时太阳在癸实度在辛子癸弧四十五度二十二分三十八秒一十六㣲为平行度秋分时太阳在寅实度在丙子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲为平行度于是过壬甲两心作丑丁线则丑为最髙当黄道之乙卯为最卑当黄道之丁今命丑壬半径为一千万求壬甲两心差得丑壬半径之若干分并求辛甲乙角为最髙距立夏之度乃以子癸丑寅弧一百八十四度零四分零三秒五十八㣲与全周相减余一百七十五度五十五分五十六秒零二㣲为寅辰卯子弧又甲辰子三角形其子甲辛外角为四十五度(当辛弧也)戊则子甲辰角必一百三十五度而辰角为癸子弧相对界角必为癸子弧之一半得二十二度四十一分一十九秒零八㣲则子角必为二十二度一十八分四十秒五十二㣲倍之得四十四度三十七分二十一秒四十四㣲为寅辰弧(因与)(子界角相当故)与寅辰夘子弧相减余一百三十一度一十八分三十四秒一十八㣲为子卯辰弧检其通弦得一八二二一五六二为子辰边用三角形边角相求法求得甲辰边九七八二九九八又以癸子弧与子卯辰弧相加得一百七十六度四十一分一十二秒三十四㣲为癸子卯辰弧半之得八十八度二十分三十六秒一十七㣲检其余弦得二八九○八九即壬巳其正弦得九九九五八二○即辰巳内减甲辰余二一二八二二即巳甲乃用壬巳甲勾股形求得壬甲弦三五八九七七为两心差比厯书所载多一千万分之五百六十一又用边角相求法求得甲角五十三度三十八分二十五秒五十五㣲为最髙乙距立夏辛之度内减立夏距夏至四十五度得最髙过夏至后八度三十八分二十五秒五十五㣲比永年表多五十四分三十六秒五十五㣲葢目今春分秋分立夏皆不正当最髙最卑中距之度故太阳之自最卑至中距自中距至最髙其行度必有不同所以用实测节气推两心差及最髙所在皆不相合是故歴家于本轮半径(即两心差)分设一均轮以消息四象限之行分而后与实测相符此均轮之法所由立也最髙行及本轮均轮半径太阳之行因去地有髙卑遂生盈缩故最髙最卑之㸃即极盈极缩之度而为起算之端但此髙卑之㸃不定在冬夏至而有行分且最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半歴家殚精推测因悟太阳本天之周有本轮而本轮之周又有均轮乃以两心差三十五万八千四百一十六四分之取其三分得二十六万八千八百一十二为本轮半径取其一分得八万九千六百零四为均轮半径而后髙卑之数盈缩之行始与实测相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本轮心之行㣲速于均轮心之行本轮心循本天东行已满一周而均轮心循本轮西转尚未满一周其本轮心与均轮心两行之差即最髙之行分也但其行分甚㣲积久始著康熙永年表戊午年测得最髙在夏至后七度零四分零四秒至丁酉年则最髙在夏至后七度四十三分四十九秒约毎年东行一分一秒一十㣲(即本轮心毎岁之行速于均轮心每岁之行一分一秒一十㣲也)如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为本天本天之周载本轮心本轮之周又载均轮心本轮心循本天东行由丁而戊而乙而丙而复于丁为经度(每日平行五十)(九分零八秒二十㣲)均轮心循本轮西行由下而左而上而右而复于下其行度㣲不及于本轮名曰引数(每日行五十九)(分零八秒零九㣲有余)太阳则循均轮周东行由最近而最逺(逺近皆以距本轮心言)而复于最近其行倍于均轮心(均轮心行一度)(太阳在轮周行二度)癸甲为两心差本轮半径为癸甲四分之三均轮半径为癸甲四分之一最卑时本轮心在本天之丁均轮心在本轮之辛(本轮下点)太阳则在均轮之辰(均轮近点)居两轮心之间从地心甲计之成一直线故无平行实行之差辰丁为两心差之半辰甲为太阳距地心之逺其卑于甲丁本天半径者即辰丁两心差之半也本轮心由丁行九十度至戊为中距均轮心由本轮之下㸃行九十度至壬(本轮左㸃)太阳则由均轮之近㸃行一百八十度至已(均轮逺㸃)从地心甲立算则太阳当本天之子子戊弧为积盈之度(即子甲戊角)其正切已戊为本轮与均轮两半径相并之数与癸甲两心差等最髙时本轮心在本天之乙(由戊行九十度至乙)均轮心在本轮之已(由本轮左㸃行)(九十度至上㸃)太阳则在均轮之寅(由均轮之逺㸃行一百八十度至近㸃)居两轮心之间从地心甲计之成一直线故亦无平行实行之差(中距时所积之盈度至此消尽)(而合于平行)寅乙为两心差之半寅甲为太阳距地心之逺其髙于乙甲本天半径者即寅乙两心差之半也本轮心由乙行九十度至丙为中距均轮心由本轮之上㸃行九十度至庚(本轮)(右㸃)太阳则由均轮之近㸃行一百八十度至夘(均轮逺㸃)从地心甲立算则太阳当本天之丑丑丙弧为积缩之度(即丑甲丙角)其正切夘丙为本轮与均轮两半径相并之数与癸甲两心差等夫子戊弧与丑丙弧既皆以两心差为正切故其度等但子戊为积盈之度(在最)(卑至最髙之半周故也)其平行戊在后实行子在前故子戊弧为加差以加于平行而得实行也(由最卑至最髙之半周皆平行在后)(实行在前故皆为加差也)丑丙弧为积缩之度(在最髙至最卑之半周故也)其平行丙在前实行丑在后故丑丙弧为减差以减于平行而得实行也(由最髙至最卑)(之半周皆平行在前实行在后故皆为减差也)本轮心复由丙行九十度至丁则均轮心复至辛太阳复至辰其积缩之度俱已补足而平行实行复合为一线矣然使两轮心之行度皆等而无秒忽之不同则最髙卑必常与冬夏至同度(据今最髙所在而上溯之得元世祖至元)(初年最髙卑正与冬夏至同度其前此则在至前也)因两轮心之行每年相差一分余积久至今已差七度四十余分而最髙即在夏至后七度四十余分矣如图未为冬至午为夏至本轮心由冬至未行一百七十九度余将至午而均轮心才至本轮之申未至上㸃七度有余(均轮行每年不及本)(轮行一分余积之遂差七度余也)而太阳必尚在均轮近㸃之东十四度余然从地心甲计之则太阳已当本天之午为夏至矣迨均轮心行至上㸃时本轮心复行七度余至乙而两轮心始与地心参直太阳亦至寅㸃在两轮心之间其距地最逺是为最髙而以日躔计之已在夏至后七度余最卑之在冬至后理亦如之故曰两轮心行度之差即最髙卑之行分也求盈缩差盈缩差即今所用之均数自最卑至最髙六宫为盈厯为加差自最髙至最卑六宫为缩厯为减差最卑前三宫与后三宫相当最髙前三宫亦与后三宫相当其差数皆相等故止求得最卑后六宫之差数而最髙后六宫之差数视此但加减不同耳(如最卑前三十度与)(最卑后三十度其差数必等但在最卑前者为减差在最卑后者为加差也)授时厯最大之盈缩差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分今推得最大之差为二度零三分一十一秒(即二度零百分度之五分三一)如图甲为地心即本天心乙丙为本天之一弧今命乙甲半径为一千万丁戊已为本轮则丁乙半径为二十六万八千八百一十二丁为上㸃已为下㸃(距地)(心近为下㸃距地心逺为上㸃)庚辛壬为均轮而庚己半径为八万九千六百零四庚为最近壬为最逺(逺近皆以距本轮心言)假如本轮心乙在本天之最卑则均轮心在本轮之下㸃已而太阳在均轮之近㸃庚是为初宫初度从地心甲计之太阳在两轮心之间成一直线无平行实行之差无均数也如本轮心乙在本天之最髙则均轮心在本轮之上㸃丁而太阳在均轮之近㸃庚是为六宫初度从地心甲计之太阳亦在两轮心之间成一直线无平行实行之差亦无均数也如本轮心乙距最卑后一象限为三宫初度则均轮心从本轮下㸃已行一象限至癸而太阳则从均轮近㸃庚行半周至逺㸃壬从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙为直角乙壬为两轮半径相并之数三十五万八千四百一十六乙甲为本天半径一千万则乙子弧即甲角之度而乙壬为其正切检表得二度零三分零九秒四十㣲为甲角即乙子弧乃太阳中距时之均数是为加差以加于平行而得实行(实行者太阳实在之行度)若本轮心乙距最卑前一象限为九宫初度则均轮心从本轮下㸃已行三象限至丑而太阳从均轮近㸃庚行一周复自庚行半周至逺㸃壬从地心甲计之太阳当本天之寅寅乙弧与乙子弧等亦为太阳中距时之均数但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也如本轮心乙距最卑后三十度为一宫初度则均轮心从本轮下㸃已行三十度至夘而太阳则从均轮近㸃庚行六十度至辰从地心甲计之太阳当本天之巳乙巳弧为实行盈于平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度(即己夘弧)则庚角必六十度有乙庚边一七九二○八(即乙夘半径之三分)(之二)求得午庚边八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半径一千万减去乙午一五五一九九得午甲九八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八(庚辰壬三角形与乙午庚三角形之边角俱相等盖庚为)(交角辰角立于圜界之一半为直角与午角等则壬角必与乙角等是三角俱)(等也庚壬为均轮全径与乙庚等则辰庚必与午庚等故倍午庚即得午辰也)于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八㣲即乙巳弧是为加差以加于平行而得实行若本轮心乙在最卑前三十度是为十一宫初度则均轮心从本轮下㸃已行三百三十度至未而太阳则从均轮近㸃庚行一周复行三百度至申从地心甲计之太阳当本天之酉酉乙弧与乙巳弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法求得最卑后一象限之加差即得最卑前一象限之减差如本轮心乙距最髙前四十度为四宫二十度则均轮心从本轮下㸃已行一百四十度至戌而太阳则从均轮近㸃庚行二百八十度至亥从地心甲计之太阳当本天之子乙子弧为实行盈于平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度(即丁戌弧)则庚角必五十度有乙庚边一七九二○八(即乙戌半径之三分之二)求得丑庚边一一五一九三丑乙边一三七二八一乃置乙甲本天半径一千万加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑庚得丑亥二三○三八六于是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三㣲即乙子弧是为加差以加于平行而得实行若本轮心乙距最髙后四十度是为七宫一十度则均轮心从本轮下㸃已行二百二十度至寅而太阳则从均轮近㸃庚行一周复行八十度至夘从地心甲计之太阳当本天之辰辰乙弧与乙子弧等但为实行缩于平行之度是为减差以减于平行而得实行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙后一象限之减差时差(原名日差)时差者平时与用时相较之时分也推歩所得者为平时测量所得者为用时(用时即视时也)二者常不相合其故有二一因太阳之实行而时刻为之进退盖以髙卑为加减之限也一因赤道之升度而时刻为之消长盖以分至为加减之限也新法厯书合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分则宫度引数必不能相同若合立一表岁久即不可用今仍分作二表加减两次庶于法为宻也如图甲为地心乙为本轮心冬至后本轮心平行一百一十八度余至乙太阳从本轮最卑自行一百一十一度余至丙从地心甲作实行线至丙割黄道于丁丁乙弧即平行实行之差设推得某日申正太阳平行乙未到酉宫尚一度余因行盈厯实行大于平行故平行乙虽未至酉宫而实行丁巳交酉宫若以平行乙所临之时刻为交宫之时刻则为申正太阳入酉宫是为平时然平行乙虽临于申正而太阳丙实在其东一度余(即丁乙弧)故必以此一度余变时约得五分为时差以减申正得申初三刻十分大阳入酉宫是为用时也又如夏至后本轮心平行六十一度余至乙太阳从本轮最髙自行五十四度余至丙从地心甲作实行线至丙割黄道于丁丁乙弧为平行实行之差设推得某日辰正太阳平行乙巳入巳宫一度余因行缩厯实行小于平行故平行乙虽入巳宫一度余而实行丁方交巳宫初度若以平行乙所临之时刻为交宫之时刻则为辰正太阳入巳宫是为平时然平行乙虽临于辰正而太阳丙实在其西一度余故必以此一度余变时约得五分为时差以加辰正得辰正初刻五分太阳入巳宫是为用时也准此论之凡最卑后半周实行皆大于平行则用时在平时东其时差宜减最髙后半周实行皆小于平行则用时在平时西其时差宜加此以最髙卑为时差加减之限黄道上事也然时刻以赤道为主黄道上之用时犹非赤道上之用时何也黄道与赤道斜交二分之后黄道如弦赤道如股(从赤极出线至赤道成直角勾股形)故黄道一度赤道一度不足赤道度少则时刻増矣(右旋度少则左旋度多故时刻増)二至之后黄道以腰围大圈之度当赤道距等小圈之度故黄道一度赤道一度有余赤道度多则时刻减矣(右旋)(度多则左旋度少故时刻减)如图甲为北极乙戊丙为赤道乙丁丙为黄道乙为春分丙为秋分丁为夏至春分后太阳实行四十五度至已赤道上与已相等之度为庚庚距乙亦四十五度与已相当之度为辛辛庚弧为赤道少于黄道之度得二度二十九分是为升度差如推得太阳本日实行距春分四十五度而即以四十五度之㸃当某位为某时者是以赤道之庚㸃命时也(如庚㸃当午位即为午时)而实度之辛㸃实在其西故必以辛庚升度差变时为时差以加于平时得用时(如庚㸃当)(午正末即午正末为平时以时差加之得辛㸃在未)(初为用时秋分后与春分后同)又如夏至后太阳实行四十五度至已赤道上与已相等之度为庚庚距戊为四十五度与巳相当之度为辛庚辛弧为赤道多于黄道之度得二度二十九分是为升度差如推得太阳本日实行距夏至四十五度而即以四十五度之㸃当某位为某时者是以赤道之庚㸃命时也(如庚㸃当午位即为午时)而实度之辛㸃实在其东故必以庚辛升度差变时为时差以减于平时得用时(如庚㸃当午初即午初为平时以时差减之得辛㸃)(在已正为用时冬至后与夏至后同)准此论之凡分后两象限用时皆在平时西其时差宜加至后两象限用时皆在平时东其时差宜减此以分至为时差加减之限赤道上事也是二者一以髙卑为加减之限一以分至为加减之限若以太阳实行宫度求得赤道同升度与平行宫度相减余度变时为时差逐度立表以加减平时而得用时是合两次加减为一次加减然而宫度引数又因逐年最髙卑有行分不能相同合立一表虑岁久不可用故仍分作二表一以太阳均数变时用引数查之一以升度差变时用实行查之依法加减两次庶平时与用时相较之分可得其真数也曚影刻分曚影者古所谓晨昏分也太阳未出之先已入之后距地平一十八度皆有光故以一十八度为曚影限然北极出地有髙下太阳距赤道有南北故曚影刻分随时随地不同其随时不同者二分之刻分少二至之刻分多也随地不同者愈北则刻分愈多愈南则刻分愈少也若夫北极出地五十度则夏至之夜半犹有光愈髙则渐不夜矣南至赤道下则二分之刻分极少而二至之刻分相等赤道以南反是如图甲为天顶乙丙为地平丁戊为地平下一十八度曚影限(乙丁及丙戊皆一十八度)已为北极庚为南极辛壬为赤道癸子为夏至距等圈丑寅为冬至距等圈二分时日行辛壬赤道出入于卯交曚影限于辰则日在卯辰弧地平上皆有光故以卯辰为曚引之刻分也若冬至时日行丑寅距等圈出入于已交曚厯限于午则日在巳午弧地平上皆有光故以巳午为曚影之刻分而巳午与赤道相当之弧为未申其度多于卯辰故冬至之刻分多于二分也夏至时日行癸子距等圈出入于酉交曚影限于戌则日在酉戌弧地平上皆有光故以酉戌为曚影之刻分而酉戌与赤道相当之弧为亥干其度更多于未申故夏至之刻分不惟多于二分而更多于冬至也夫冬至相当之未申弧度多于二分相当之卯辰弧度其故易知若夏至相当之亥干弧度多于冬至相当之未申弧度其故则难知葢未申亥干二分皆系与赤道相当之正弦非弧度也正弦之数近圜心则疎疎则所当之度少近圜周则宻宻则所当之度多试于赤道上之未申亥干四㸃各作垂线引至圜周其割圜周之㸃为坎艮震巽而坎艮弧为未申弧相当之度(未卯为坎己弧)(之正弦卯申为已艮弧之正弦以未卯与卯申相加)(成未申以坎已与巳艮相加成坎艮故坎艮弧为未)(申相当之度)震巽弧为亥干弧相当之度(卯干为巳巽弧之正弦夘亥为)(巳震弧之正弦以卯干与卯亥相减余亥干以已巽)(与已震相减余震巽故震巽弧为亥干相当之度)以震巽弧与坎艮弧相较则度之多少自见矣如求二分之曚影刻分则用甲巳辰斜弧三角形求巳角为赤道之辛夘辰弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度(以京师北)(极出地三十九度五十五分立法)有已辰边九十度有甲辰边一百零八度用三边求角法求得巳角一百一十三度四十五分三十六秒即辛卯辰弧变时得六时六刻五分(每度变时之四分)内减去半昼分辛夘六时(即日出夘至午正辛或午)(正辛至日入卯之时刻也)余卯辰六刻五分为二分时之曚影刻分也如求冬至之曚影刻分则用甲巳午斜弧三角形求巳角为赤道之辛未申弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度有巳午边一百一十三度二十九分三十秒(巳申)(象限九十度加申午距纬二十三度二十九分三十)(秒)有甲午边一百零八度用三边求角法求得已角九十四度二十分零六秒即辛未申弧变时得六时一刻二分内减去半昼分辛未四时二刻五分(即日出巳)(至午正丑或午正丑至日入巳之时刻也)余未申六刻一十二分为冬至时之曚影刻分也如求夏至之曚影刻分则用甲巳戌斜弧三角形求巳角为赤道之辛亥干弧此形有甲巳边五十度零五分为北极距天顶之度有巳戌边六十六度三十分三十秒(已乾象限九十度内减去戌干距纬二十三度)(二十九分三十秒)有甲戌弧一百零八度用三边求角法求得巳角一百四十三度二十三分零五秒即辛亥干弧变时得九时二刻五分内减去半昼分辛亥七时一刻一十分(即日出酉至午正癸或午)(正癸至日入酉之时刻也)余亥干八刻九分为夏至时之曚影刻分也其余各节气皆倣此推之昼夜永短昼夜由于日之出入因人所居有南北故见日之出入早晚随时各异而昼夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚于天顶之南南极入地北极出地故惟春秋分见日出入于卯酉而昼夜平分若秋分以后则出入于卯酉之南随天左旋之度地平上者少地平下者多故昼短夜永春分以后则出入于卯酉之北随天左旋之度地平上者多地平下者少故昼永夜短所居之地愈北则永短之差愈多(广州府北极出地二)(十三度一十分夏昼冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬昼各四十二刻零四分其较一十一刻零七分京)(师北极出地三十九度五十五分夏昼冬夜各五十九刻零五分夏夜冬昼各三十六刻一十分其较二)(十二刻一十分北极愈髙其较愈多)及至北极之下则赤道当地平夏则有昼而无夜冬则有夜而无昼葢以半年为昼半年为夜矣所居之地愈南则永短之差渐少以至于赤道之下则两极当地平而昼夜常均并无永短盖一岁中为四时者各二矣(以日当天顶为夏日去天顶逺为冬赤道既当)(天顶而太阳一岁必两躔赤道是两夏也一躔天顶南二十三度余一躔天顶北二十三度余是两冬也春秋)(亦如之)昼夜永短以南北而异若东西虽相去千万里苟南北极之髙度同则昼夜之永短亦同故谓之南北里差亦名地平纬差其推歩之法以本地北极出地髙度为主求得各节气日出入时刻即得昼夜时刻也如图甲乙丙为子午䂓甲丙为地平丁为北极丁丙三十九度五十五分为京师北极之髙戊为卯正酉正之位巳戊庚为赤道春秋分太阳正当赤道日出于戊为卯正中于巳为午正复入于戊为酉正地平上戊巳之度与地平下戊庚之度等故昼夜平分各四十八刻辛为夏至辛壬癸为赤道距等圈(古名昼长规)即夏至太阳随天西转一周之轨壬当卯正酉正之位子为冬至子丑寅为赤道距等圈(古名昼短规)即冬至太阳随天西转一周之轨丑当卯正酉正之位夏至日出于辰在卯正前壬辰为日出距卯正之弧与赤道之戊巳度等中于辛为午正复入于辰在酉正后地平上辰辛之度多于地平下辰癸之度故昼永夜短冬至日出于未在卯正后未丑为日出距卯正之弧与赤道之申戊度等亦即与夏至日出距卯正之戊己度等中于子为午正复入于未在酉正前地平上未子之度少于地平下未寅之度故昼短夜永冬至时地平上未子之度与夏至时地平下辰癸之度等冬至时地平下未寅之度与夏至时地平上辰辛之度等故冬之夜同于夏之昼冬之昼同于夏之夜也今求戊巳之度以丁戊半径一千万与丁丙北极髙三十九度五十五分之正切丁戌八三六六二四二之比即同于辰巳距纬弧二十三度二十九分三十秒之正切巳亥四三四六三九五与戊巳弧之正弦三六三六二九九之比(浑圆从外视之则弧与正弦俱合为一线)得戊巳二十一度一十九分二十四秒(戌丁戊三角形与亥巳戊三角形为)(同式形其巳角与丁角同为直角戌角与戊角为平)(行线上交错之角必等故相当之边皆可为比例)变时得五刻一十分在夏至时为卯前酉后分以减卯正得日出寅正二刻五分以加酉正得日入戌初一刻一十分复倍卯前分得一十一刻五分与四十八刻相加得五十九刻五分为昼刻与四十八刻相减得三十六刻一十分为夜刻也在冬至时为卯后酉前分以加卯正得日出辰初一刻一十分以减酉正得日入申正二刻五分复倍卯后分得一十一刻五分与四十八刻相减得三十六刻一十分为昼刻与四十八刻相加得五十九刻五分为夜刻也其余节气各用其距纬之正切为比例即得日出入距卯酉之弧但自春分至秋分半岁日出皆在卯前日入皆在酉后其变时加减并与夏至同自秋分至春分半岁日出皆在卯后日入皆在酉前其变时加减并与冬至同各省各国并依此法推之节气时刻古厯节气之日时有二其一取周岁之日(三百六十五日有竒)二十四分之得一十五日有余为节为气其日相等以之颁厯授时置闰成岁(置闰之法以无中气者为闰月)名为恒气言其各节气之日皆一定而不易且岁岁有常也其一取周天之度(古三百六十五度四分度之一)二十四分之得一十五度有余为节为气其度相等以歩躔离推朓朒名为定气言以日躔之度为定而不问日时之多寡也(因日行有盈缩故各节气度数虽等而日时不等)今颁厯亦用定气(以日躔右旋一)(十五度为一气)故冬至至小寒止一十四日有余夏至至小暑则一十六日不足且每年不同葢有加减可推务求宻合于天行也然一岁之中同一节气而京师各省时刻不同者此则东西之里差亦名地平经差而非天行之故盖地体浑圎与天相应而人居地面各以所见日中为午正今以京师为主在京师东者见日出入皆早其日中必在京师午正之前在京师西者见日出入皆迟其日中必在京师午正之后故东方节气迟者非日躔之缩乃其见日早也西方节气早者非日躔之盈乃其见日迟也其时刻之差视偏度之多寡每偏一度得时之四分偏东者加偏西者减要以京师西之节气时刻加减之即得各省之节气时刻御制厯象考成上编卷四
## 上编卷五
钦定四库全书御制歴象考成上编卷五月离歴理太隂各种行度太隂平行度太隂本轮迟疾四限三月食推本轮半径及最髙晦朔弦朢太隂四轮总论求初均数求二三均数两月食定交周黄白大距度及交均视差隐见迟疾太隂各种行度太隂行度共有九种而随天西转之行不与焉一曰平行葢太隂之本天带一本轮本轮心循本天自西而东每日平行一十三度有竒二十七日有余而行天一周即白道经度也二曰自行葢本轮心循白道行自西而东(即平行经度)太隂复依本轮周行自东而西每日亦行一十三度有竒㣲不及本轮心行而与本轮心之行顺逆参错人目视之遂生迟疾故名自行以别之授时厯名为转周满一周为转终其所生之迟疾差名为初均数也三曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太隂之行往往与实测未合因将本轮半径三分之存其二分为均轮半径用其一分为均轮半径均轮循本轮用行自东而西(即自行转周度)太隂复依均轮周行自西而东每日行二十六度有竒为轮心行之倍度(均轮心行一度月行均轮周二度也)其所生之迟疾差即今所用之初均数也四曰次轮行葢用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度有竒于朔朢时测之其数恰合而于上下弦时测之则不合其大差至七度有竒故厯家又于均轮之周复设一轮循均轮周行命为次轮次轮心自西而东太隂复依次轮周亦自西而东每日行二十四度有竒为本轮心距太阳行之倍度(本轮心距太阳行一度月行次轮周二度也)名为倍离倍离所生之迟疾差名为次均数也五曰次均轮行葢有初均次均以步朔朢以定两弦则既合矣而于两弦前后测之又多不合故新法厯书复有二三均数表之加减也细考其表中所列诚皆实测之数但总合二三均数加减之而为一表耳爰思次轮之上必更有一轮以消息乎次均之数今命之曰次均轮其心循次轮周自西而东行倍离之度而太隂则循此轮之周自东而西亦行倍离之度用其所生之差以加减次均数即与太隂两弦前后所行恰合也六曰交行葢太隂行白道出入于黄道之内外大距五度有竒其自黄道南过黄道北之㸃名曰正交(即如春分自赤道南过赤道北)自黄道北过黄道南之㸃名曰中交(即如秋分自赤道北过赤道南)每交之终不能复依原次而不及一度有余逐日计之退行三分有余命为两交左旋之度(自东而西也)亦名罗计行度也(正交曰罗㬋中交曰计都)七曰最髙行最髙者本轮之上半最逺地心之处而最髙行者平行与自行相较之分也均轮心从最高左旋㣲不及于平行每日六分有竒即命为最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行于每日平行度内减去太阳之行为每日太隂距太阳行二十九日有竒而复与日㑹是为朔䇿九曰距交行以每日平行度与每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名为交周也要之太隂之去地甚近其行最著诸小轮之设虽无象可见而实有数可稽葢借以推步度数期与实测相符而已至于大象寥廓其或然或不然则非智计之所能及也太隂平行度测太隂平行之法须用两月食计其前后相距若干日时及月行天若干周用其度分为实中积日时为法除之即得每日平行之率葢月之视差甚大惟月食为月入暗虚无地心地面之殊又食甚时正与太阳冲故将太阳之经度加半周即太隂之经度其得数为真也然所用两月食亦须详审葢暗虚与月体有小大之分而行度有迟疾之异必须择各率均齐之两月食方可用也其择之之法第一取两食时之太阳距地等斯暗虚之大小相等(太阳距地逺则影粗而长太阳距地近则影细而短详交食)第二取两食时之太隂距地等斯月体之大小等而入影之粗细亦等(暗虚为尖圆体近地粗渐逺地渐细以至于无故太隂距地近则当暗虚之粗处太隂距地逺则当)(暗虚之细处详交食)第三取两食时之自行度等斯入转之迟疾等而过影之时刻必等考之史志所书月食并无时刻分秒及躔离度数即西人交食考亦不载月转迟疾无凭取用今依新法厯书载西人依巴谷法定为三百四十五平年(平年者三百六十五日无余分)又八十二日四刻(每日九十六刻)或一十二万六千零七日四刻为两月食各率齐同之距于时㑹朢转终皆复其始计其中积凡为㑹朢者四千二百六十七为转终者四千五百七十三置中积一十二万六千零七日四刻为实会朢数四千二百六十七为法除之得㑹朢策(即朔䇿)二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒(即二十九日零)(十分日之五分三○五九三授时厯同)乃以周天三百六十度为实㑹朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒为法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒(即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授时厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以)(周天三百六十度每度六十分约之得一十二度一十一分二十七秋二十七微)为每日太隂平行距太阳之度加太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授时厯作一十三度三十六分八十七秒五十)(微以周天三百六十度每度六十分约之得一十三度一十分三十五秒二十四㣲)为每日太隂平行经度(即白道经度)又置中积一十二万六千零七日四刻为实以转终数四千五百七十三为法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十㣲三十纤四十三忽一十二芒(即二十七日零十分日之五分五四五六八授时厯作二十七日五五四六)为转终分乃以天周三百六十度为实以转终分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纤四十三忽一十二芒为法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒(即一十三度零百分)(度之六分四九八四三六一二一)为每日太隂自行度又以每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒与每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纤一十九忽一十六芒相减余六分四十一秒零四微三十八纤五十四忽五十七芒(即十分度之一分一一四一○四一○一七)为每日月孛之平行既得以上各种行度每日之平行递加之得十日百日之平行递析之得每时每分之平行以立表(毎日二十四时每时六十分)太隂本轮迟疾四限太隂之轮有四而本轮乃迟疾四限之所由生其余皆所以消息迟疾之数故本轮为步月离之主如图甲为地心即本天心乙丙丁戊为白道即太阴之本天己庚辛壬为本轮其心循白道右旋每日行一十三度一十分百奇自乙而丙而丁而戊而复至乙是为平行径度太隂循本轮左旋每日行一十三度零三分有奇自己而庚而辛而壬而复至己是为自行度(一名转周一名引数)太隂在本轮之己为最高(即月孛)在本轮之辛为最卑最髙最卑之㸃皆对本轮心与地心成一直线故平行实行同度为迟疾起算之端如太隂由己向庚为迟初限以其背轮心行能损右旋之度故较平行度为迟至半象限后所损渐少迨行满一象限至庚则无所损然而积迟之多正在于庚葢平行在乙而太隂在庚从地心甲计之太阴当本天之癸癸乙弧以本轮半径庚乙为正切为迟差之极大也从庚向辛为迟末限太隂行本轮之下半周顺轮心行其实行渐疾然因有积迟之度方以次相补其实行仍在平行后迨行满一象限至辛为极疾而积迟之度始补足无缺实行与平行乃合为一线故自最髙至最卑半周为迟厯也如太隂由辛向壬为疾初限以其顺轮心行能益右旋之度故较平行度为疾至半象限后所益渐少迨行满一象限至壬则无所益然而积疾之多正在于壬盖平行在乙而太隂在壬从地心甲计之太隂当本天之子子乙弧以本轮半径壬乙为正切为疾差之极大也从壬向己为疾末限太隂行本轮之上半周背轮心行其实行渐迟然因有积疾之度方以次相消其实行仍在平行前迨行满一象限至己为极迟而积疾之度始消尽无余实行与平行复合为一线故自最卑至最髙半周为疾厯也三月食推本轮半径及最髙太隂初均数生于本轮半径本轮半径不定则实行不可得而定新法厯书载西人多录某用汉阳嘉永和间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千七百零六月过最髙三百一十四度一十七分(阳嘉二年三月)(朢)西人歌白泥用明正徳嘉靖间三次月食推得本轮半径为本天半径十万分之八千六百零四月过最髙一百八十三度五十一分(正徳六年九月朢)迨后西人第谷定本轮半径为本天半径十万分之八千七百月离表定崇祯戊辰年天正冬至次日子正月过最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇祯戊辰年首朔(即年)(前十二月朔)月过最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六时二十六分四十六秒以交日表所定首朔月过最髙之度推其年天正冬至次日子正月过最髙之度应得二百零五度四十二分四十九秒比月离表所定多一十分三十三秒又察其正交行度两表差至二十余分今以交食表推步月食其时刻之早晚食分之浅深俱与天行颇合故月过最髙之度宜以交食表为凖但用目下三月食推本轮半径或微大或微小皆不能合八千七百之数葢用本轮以推实朢惟自行当三宫九宫初度之一㸃方合而目下所测月食其自行皆不正当三宫九宫初度之数用本轮半径以推实朢既与实测不合则用实测之实朢以推本轮半径亦必与原数不合因假设三月食以明其法如左设如第一食日躔鹑首宫七度三十五分四十七秒五十三微月离星纪宫七度三十五分四十七秒五十三微月行迟末限之初在本轮右半周之中如甲第二食日躔夀星宫初度月离降娄宫初度月行迟初限将半在本轮右半周之上如乙第三食日躔星纪宫二度五十四分零二秒四十九微月离鹑首宫二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本轮左半周之中如丙第一食距第二食一千一百八十日二十二时一十四分零四秒实行相距八十二度二十四分一十二秒零七微(即星纪宫丁㸃距降娄宫戊㸃)(之度于第二次月离度内减去第一次月离度即得)平行相距八十度二十一分一十秒(即星纪宫已㸃距降娄宫庚㸃)(之度以每日平行与距日相乘减去全周即得)平行小于实行二度零三分零二秒零七微自行相距三百零八度四十七分零七秒二十七微(以每日自行与距日)(相乘减去全周即得)第二食距第三食一千九百一十八日二十三时零五分五十七秒实行相距九十二度五十四分零二秒四十九微(即降)(娄宫戊㸃距鹑首宫辛㸃之度)平行相距八十五度零二十五秒(即降)(娄宫庚㸃距实沈宫壬㸃之度)平行小于实行七度五十三分三十七秒四十九微自行相距二百三十一度一十二分五十二秒三十三微乃以三月食自行相距度列于一本轮之上立法算之如图癸为地心即本天心丁戊己辛为本天之一弧己为本轮心从丁向戊右旋为平行度月体从本轮最高子向乙左旋为自行度第一食月在甲本天平行度在己实行度在丁从甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己实行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行实行之差从乙行二百三十一度一十二分五十二秒三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己实行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行实行之差乙癸线割本轮于丑从丑㸃作丑甲丑丙二线又作甲丙线即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形乃用此三三角形求本天半径与本轮半径之比例先用丑丙癸三角形求丑丙边此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微(以乙丑丙弧二百三十一)(度一十二分五十二秒三十三㣲折半即得葢乙子丙弧为丑界角之倍度折)(半得丑外角与半周相减得丑内角以乙丑丙弧折半得数亦同故乙丑丙弧)(亦即丑角之倍度)有癸角七度五十三分三十七秒四十九微(即戊辛弧之度)即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑丙边一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲边此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微(以甲)(丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七㣲折半即得葢乙甲弧为丑)(界角之倍度折半得丑外角与半周相减得丑内角以甲丑丙乙弧折半得数)(亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度)有癸角二度零三分零二秒零七微(即丁戊弧之度)即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微设丑癸边为一○○○○○○○求得丑甲边八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度(以癸丑丙角与)(癸丑甲角相加得二百七十度与三百六十度相减即得)有丑丙边一六四六九八六有丑甲边八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒为甲丑弧以甲丑弧与乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒三十三微为乙丑弧于是以本轮半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通弦则乙丑弧之通弦为一六二○八二三六丑丙弧之通弦为一七五七一五三○乃用比例法变先设之丑癸边为同比例数以先得之丑丙边一六四六九八六与先设之丑癸边一○○○○○○○之比即同于今所察之丑丙通弦一七五七一五三○与今所求之丑癸边之比而得丑癸边一○六六八九○○六又以乙丑通弦一六二○八二三六折半得八一○四一一八为寅丑与丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四为寅癸又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其余弦五八五八六○六为寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求弦法求得巳癸弦一一四九四二五二七为本天半径即得本天半径与本轮半径之比例为一一四九四二五二七与一○○○○○○○若设本天半径为一○○○○○○○则得本轮半径为八七○○○○求大阴距最髙之度则用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十六微与半周相减余三十八度四十七分零七秒一十四微为子乙弧即第二次月食月距最髙之度也晦朔弦朢太隂之晦朔弦朢虽无闗于自行之迟疾而自行之迟疾实由于朔朢两弦而得知其二十七日有奇而一周者太阴之自行也其二十九日半强而与太阳相㑹者朔策也其间犹有朢与上下两弦之分焉葢太隂之体赖太阳而生光其向太阳之面恒明背太阳之面恒晦而其行则甚速于太阳当其与太阳相会之时人在地上正见其背故谓之朔朔后渐逺太阳人可渐见其面其光渐长至距朔七日有奇其距太阳九十度人可见其半面太阳在后太隂在前其光向西其魄向东故名上弦上弦以后距太阳愈逺其光渐满至一百八十度正与太阳相朢人居其间正见其面故谓之朢自朢以后又渐近太阳人不能正见其面其光渐亏其魄渐生至距朢七日有奇其距太阳亦九十度则又止见其半面太阳在前太隂在后其光向东其魄向西故名下弦下弦以后距太阳愈近其光渐消至复与太阳相会其光全晦复为朔矣如图甲为地面乙为太阳丙丁戊己皆为太隂如太隂在丙与太阳正会为朔其光向乙从甲视之止见其背故全晦也离太阳而前距九十度至丁为上弦从甲视之见其半面故半明半晦也至距太阳一百八十度至戊正与太阳相朢从甲视之正见其面故全明也及离太阳而后距九十度至己为下弦从甲视之又止见其半面故亦半明半晦也及至于丙而与太阳复㑹则又全晦而为朔矣太隂四轮总论太隂行度用四轮推之而四轮之法皆系实测而得非意设也西人第谷以前步月离惟用本轮次轮葢因朔朢之行有迟疾故知其有本轮而两弦之行不同于朔朢故知其有次轮其法次轮与本轮两周相切太隂行于次轮之上朔朢时太隂正当两周相切之㸃故云朔朢时太隂循本轮周行而两弦时太隂则从两周相切之㸃行次轮半周距本轮心最逺故次轮全径为两弦时大于朔朢时平行实行之极大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故于本轮上复加一均轮且因两弦前后之行又不同于两弦故又加一次均轮葢用本轮推朔朢时平行实行之极大差为本轮半径得四度五十八分有余而徴之实测惟自行三宫九宫初度之一㸃为合在最髙前后两象限则失之小在最卑前后两象限则失之大故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径用求平行实行之差为初均数乃密合于天至于两弦时平行实行之极大差七度二十五分有余虽为新本轮半径并均轮半径仍加次轮全径之数然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也其次均轮行于次轮即如初均轮之行于本轮但所行之度不同耳(初均轮行为引数之度次均轮行为倍离之度)第谷以次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行初均轮则循本轮周行夫用不同心天与用小轮理本相通但两法合讲殊觉纷纭不如専用一法观之为便至于两弦前后有二三均数之加减而不言其由次均轮而生今并悉其根源増一负均轮圈移初均轮心使行于此则次轮心即行于初均轮而次均轮心亦得行于次轮葢负均轮圏半径乃新本轮半径加一次轮半径之分朔朢时太隂在次轮之最近㸃又在次均轮之下㸃而次均轮心又必常在次轮周故朔朢时止用初均轮不用次轮及次均轮也两弦时太隂在次轮之最逺㸃又在次均轮之上㸃而次均轮心亦必在次轮之最逺㸃故两弦时止用次轮不用次均轮也至于朔朢前后及两弦前后太隂在次轮之逺近二㸃之间又在次均轮之上下二㸃之间而次均轮心亦不在次轮之逺近二㸃故有次轮与次均轮之相差而或加或减也要之本轮者推本天之髙卑均轮者所以消息本轮之行度次轮者定朔朢两弦之逺近次均轮者又所以分别朔朢两弦前后之加减故本轮行度合初均轮之倍引而生初均数分髙卑左右而为朔朢之加减差也次轮行度合次均轮之倍离而生二三均数分逺近上下而为两弦及两弦前后之加减差也是故非騐诸实测无以知四轮之妙而明于四轮之用则于太隂迟疾之故思过半矣西人第谷以前所用本轮次轮法如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为本轮戊为最髙庚为最卑辛为次轮心辛壬为负次轮之圈己为次轮最近癸为次轮最逺如次轮周在本轮最髙后六十度相切于己朔朢时太隂在己从地心甲作己甲实行线割本天于子子丙弧为平行实行之差故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧为本轮所生初均数也上下弦时太隂则从次轮之巳㸃厯丑至癸从地心甲作癸甲实行线割本天于寅寅丙弧为平行实行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧为本轮所生初均及次轮所生次均之共数也(子丙弧为初均寅子)(弧为次均)第谷用此法求得均数征之实测在最髙前后两象限其数失之小在最卑前后两象限其数失之大故将本轮半径三分之存其二分为本轮半径取其一分为均轮半径将次轮设于地心又设不同心之天其心循次轮周行而本轮心则循不同心天行均轮心循本轮周行如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮辛丙半径为戊丙半径三分之二戊子丑为均轮戊辛半径为戊丙半径三分之一本轮心循本天右旋均轮心循本轮左旋甲寅卯辰为次轮本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢时本天心与地心同在甲两弦时本天心在卯离地心极逺总之朔朢以外本天心俱离甲㸃本天皆为不同心之天矣又第谷添设初均轮新法所推均数与本轮旧法所生均数最大之差有九分五十余秒在最高前后两象限为大最卑前后两象限为小如旧法太隂距最髙戊后六十度在已则丙甲巳角为初均数若新法则均轮心距最髙辛后六十度在壬太隂则距均轮之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均数亦如之又如旧法太隂距最卑庚后六十度在已则丙甲已角为初均数若新法则均轮心距最卑癸后六十度在壬太隂则距均轮之近㸃丑行一百二十度至子而丙甲子角为初均数比旧法初均数丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均数亦如之然第谷所増均轮法极有理而所设不同心天与小轮合用则不便于观今将次轮置于均轮之周其心循均轮周右旋又将次轮半径与新本轮半径相加为半径作负均轮之圈均轮心则循负均轮圈左旋又増一次均轮以明二三均数之根用此法求各均数皆与第谷之法无异依第谷所添初均轮并新増次均轮合本轮次轮共为一图如甲为地心乙丙丁为本天之一弧丙为本轮心戊己庚为旧本轮辛壬癸为新本轮巳子丑为原均轮寅卯为新増负均轮之圈其半径为次轮半径与新本轮半径相加之数乃移均轮心于负均轮圈卯作辰巳午均轮与巳子丑原均轮等辰为逺㸃午为近㸃用均轮心行负均轮圈寅卯弧之倍度(即本轮周辛壬弧之倍度)从均轮近点午数至巳以巳为心作未申子次轮其未子全径与均轮辰午全径平行未为逺㸃子为近㸃又以次轮周近㸃子为心作酉戌亥次均轮酉为上㸃戌为下㸃如均轮心循负均轮圈从最髙寅厯卯左旋则次轮心循均轮周从最近午厯巳右旋行均轮心距最髙之倍度次均轮心又循次轮周从最近子厯申右旋行太隂距太阳之倍度太阴则循次均轮周从最下戌厯亥左旋亦行距太阳之倍度朔朢时太隂必在次均轮之最下戌次均轮心必在次轮周之最近子(即次轮周与巳子丑原均轮周相切之㸃)从地心甲作子甲实行线即成丙甲子三角形其甲角为初均数葢朔朢时太隂虽在次均轮之周然必在下㸃而次均轮心又必在次轮周与均轮周相切之㸃故求朔朢时之初均数止用均轮不用次轮也(太隂在次)(均轮之戌㸃虽在子㸃之下然俱在实行线上其经度无异也)两弦时次均轮心从次轮周之最近子行至最逺未太阴从次均轮周之最下戌行至最上酉从地心甲作酉甲实行线成子甲未三角形其甲角为二均数葢两弦时太隂必在次均轮周之上㸃而次均轮心又必在次轮周之逺㸃故两弦时止用次轮求二均数不用次均轮也(太隂)(在次均轮周之酉点虽高于未点然俱在实行线上其经度无异也)如在朔朢之后两弦之前次均轮心从次轮周之最近子行至申太隂从次均轮周之最下戌行至亥从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与亥甲申两三角形其子甲申角为二均数亥甲申角为三均数两角相减余子甲亥角为二三均数也如在朔朢之前两弦之后次均轮心从次轮周之最近子厯最逺未行至申太隂从次均轮周之最下戌厯最上酉行至亥从地心甲至次均轮之最上酉作酉甲过心线复从地心甲至次均轮之太隂所在亥作亥甲实行线则成子甲申与申甲亥两三角形其子甲申角为二均数申甲亥角为三均数两角相加得子甲亥角为二三均数也求初均数及二三均数法俱见后求初均数太隂之行因迟疾而生加减差朔望用之者名为初均数自最髙至最卑六宫为迟厯为减差自最卑至最髙六宫为疾厯为加差葢因最髙前三宫与后三宫相当最卑前三宫与后三宫相当其差数皆相等故求得最髙后六宫之差数而最卑后六宫之差数视此但加减不同耳(如最髙前三十度与最髙后三十度其差数必等但在最髙前者为加差最髙后者为减差也)授时厯名为迟疾差其最大者为五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分约之得五度二十一分零五秒朔朢两弦同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒(即四度零十分度之九分七四二)惟朔朢为然名之初均数者所以别于朔朢以外之二三均数也如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为五十八万戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三分五十四秒即自行引数太隂则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则太隂在均轮之最近癸从地心甲计之成一直线无平行实行之差故自行初宫初度无均数也如均轮心从本轮最髙戊向己行一百八十度至最卑庚为六宫初度则太隂从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之亦成一直线无平行实行之差故自行六宫初度亦无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则太隂从均轮最近癸行六十度至丑(丑癸弧为戊子弧之倍度)从地心甲计之太隂当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙本轮半径之半二十九万(于子丙半径五十八万内)(减去子癸半径二十九万即得)求得癸卯边一十四万五千卯丙边二十五万一千一百四十七以卯丙边与丙甲半径一千万相加得一千零二十五万一千一百四十七为卯甲边以癸卯边三因之得四十三万五千为丑卯边(辛丑癸三角形与丙卯癸三角形为同式)(形葢癸为交角丑角立于圜界之一半为直角与卯角等则辛角必与丙角等)(是三角俱等也辛癸为均轮全径为癸丙之二倍则丑癸亦必为癸卯之二倍)(故三因癸卯即得丑卯也)于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧为太隂自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求得初均角即求得丑甲边为太隂距地心数存之为后求二均之用)(余倣此)若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则太隂从均轮最近癸行一周复自最近癸厯辛行三百度至己(癸巳弧为戊辰弧之倍度)从地心甲计之太隂当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之数是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫)(初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫)(初度至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行九十二度至未为三宫二度则太隂从均轮最近癸歴辛行一百八十四度至申从地心甲计之太隂当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角八十八度则癸角必二度癸丙边为二十九万求得癸戌边二十八万九千八百二十三丙戌边一万零一百二十一以丙戌边与丙甲边相减余九百九十八万九千八百七十九为戌甲边以癸戌边三因之得八十六万九千四百六十九为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧为太隂自行三宫二度之初均数是为极大之减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯庚行二百六十八度至亥为八宫二十八度则太隂从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百七十六度至子从地心甲计之太隂当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫二十八度之初均数与三宫二度等但为实行过于平行之数是为极大之加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫初度至五宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求二三均数太隂之加减差朔朢以外用者名为二均三均数其二均数之生于次轮全径与三均数之生于次均轮半径亦犹初均数之生于本轮及均轮半径也故欲求二均三均之数必先定次轮及次均轮之径而欲定次轮及次均轮之径又须先测二均及三均之数也厯家于上下弦当自行三宫或九宫时累测之(惟此时太隂距本轮心甚逺平行视)(行之差极大)其极大之均数得七度二十五分四十六秒查其切线得一百三十万四千内减去本轮均轮两半径之共数八十七万余四十三万四千半之得二十一万七千即次轮之半径也于两弦及朔朢之间(约太隂距太阳四十)(五度时)当自行三宫或九宫时累测之其均数常与推算不合差至四十一分零二秒是即次均轮所生之三均数也依法求其半径得一十一万七千五百既定次轮与次均轮之半径乃逐度求其二均三均之数复用三均数以加减乎二均数是为二三均数用以推步月离乃与测验脗合矣如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径戊丙己为本轮全径戊为最髙己为最卑庚丙辛为负均轮圈全径(省曰负圈)庚为最髙辛为最卑壬庚癸为均轮全径壬为最逺癸为最近子癸丑为次轮全径子为最逺丑为最近寅丑卯为次均轮全径寅为最上卯为最下本轮心从本天冬至度右旋(本天上与黄道冬至相对之度也)为经度均轮心从负圈最髙左旋(即同本轮最髙)为引数(即自行度)次轮心从均轮最近右旋为倍引数次均轮心从次轮最近右旋行倍离之度(即太隂距太阳之倍度)太隂从次均轮最下左旋亦行倍离之度如均轮心在负圈最髙庚为自行初宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之同在一直线即平行实行合而为一故无均数之加减也如均轮心在负圈最卑辛为自行六宫初度则次轮心在均轮之最近癸又当朔朢时则次均轮心在次轮之最近丑太隂在次均轮之最下卯从地心甲计之亦同在一直线即平行实行合而为一故亦无均数之加减也如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心则从均轮最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢时次均轮心常在次轮周之最近丑太隂常在次均轮周之最下卯从地心甲计之仍见太隂在丑(太隂虽在丑点之下因在一直线故视之如在)(一处也)其实行不及平行之度为丙甲丑角四度五十八分二十秒即初均数其切线丑丙八十七万即本轮均轮两半径之共数也两弦时次均轮心常在次轮周之最逺子太隂常在次均轮周之最上寅从地心甲计之仍见太隂在子(太隂虽在子点之上因在一直线故视之如在一处也)其实行不及平行之度为丙甲子角七度二十五分四十五秒内减初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒余二度二十七分二十五秒即丑甲子角命为二均数丙甲子角之切线子丙得一百三十万四千内减丑丙本轮均轮两半径八十七万余丑子线四十三万四千是为次轮之全径也此初均数为减差二均数亦为减差葢朔朢之实行丑点在平行丙点之后(本轮心丙循本天右旋故以左为前右为后凡言前后者皆倣)(此)而两弦时之实行子点仍在丑点之后故于平行内减去初均数丙甲丑角即得朔朢时之实行复减去二均数丑甲子角始得两弦时之实行也若均轮心从最髙行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心则从均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当两弦之时则初均数丙甲丑角与二均数丑甲子角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也如均轮心从最髙庚行九十度至辰为自行三宫初度次轮心从均轮之最近癸行一百八十度至最逺壬时当朔与上弦之间或朢与下弦之间次均轮心从次轮最近丑行九十度至巳太隂则从次均轮最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒为初均数丑甲边一千零三万七千七百七十四为次轮最近点距地心之数(求丑甲边法见)(前求初均数篇)乃用丑甲己三角形求二均数此形有丑甲边一千零三万七千七百七十四有丑己边三十万六千八百八十四(即次轮九十度之通弦以半径一千万为一率九十度之通弦一千)(四百一十四万二千一百三十六为二率次轮半径二十一万七千为三率求)(得四率三十万六千八百八十四即次轮九十度之通弦)有丑角四十九度五十八分二十秒(丙甲丑直角形以丙直角)(与甲角相加得九十四度五十八分二十秒为壬丑甲角内减去壬丑己角四)(十五度余四十九度五十八分二十秒为巳丑甲角)求得丑甲巳角一度二十二分零五秒与初均数丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒为实行不及平行之度然太隂不在巳而在午于时测得实行不及平行之度为五度三十九分二十三秒相差四十一分零二秒即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角命为三均数乃用午甲巳直角三角形求次均轮之半径此形有巳甲边九百八十四万二千六百二十二(用丑巳甲三角形求之而得)有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午边一十一万七千五百是为次均轮之半径也此初均数为减差二均数亦为减差而三均数转为加差故于二均数内减去三均数余四十一分零三秒即丑甲午角为二三均数仍为减差(凡二均与三均加减异者相减为二三均)(数仍从大数如二均大于三均则从二均三均大于二均则从三均)葢次轮之最近丑点在平行丙点之后次均轮心巳点又在最近丑点之后而太隂午点却在次均轮心巳点之前故以二均与三均相减余丑甲午角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲午角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百七十度至辰为自行九宫初度次轮心从均轮最近癸行一周复行一百八十度至最逺壬而当上弦与朢之间或下弦与朔之间则初均数丙甲丑角及二三均数丑甲午角皆与三宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也如均轮心从最髙庚行一百二十度至未为自行四宫初宫次轮心从均轮最近癸行二百四十度至申此时若太隂距太阳一百一十度为上弦后一日余则次均轮心从次轮最近丑行二百二十度至酉太隂亦从次均轮最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒为初均数丑甲边九百八十八万三千七百六十为次轮最近点距地心之数乃用丑甲酉三角形求二均数此形有丑甲边九百八十八万三千七百六十有丑酉边四十万七千八百二十七(次轮丑酉弧一百四十度之通弦)有丑角八十四度二十二分一十九秒(丙甲亥三)(角形以甲丙两角相并与亥外角等丑申子次轮全径原与癸未壬均轮全径)(平行则申丑亥角与丑亥丙角为平行线内两尖交错之角其度必等故以丙)(甲亥角四度二十二分一十九秒与甲丙亥角六十度相加得六十四度二十)(二分一十九秒即为申丑亥角又酉丑子为界角对酉子弧四十度则酉丑子)(角必二十度与申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即为酉丑甲)(角)求得丑甲酉角二度二十一分四十秒为二均数又求得酉甲边九百八十五万一千五百九十五复用酉甲戌三角形求三均数此形有酉甲边九百八十五万一千五百九十五有酉戌边一十一万七千五百(次均轮半径)有酉角一百四十度(即次均轮戌卯弧)求得酉甲戌角二十六分零七秒为三均数也此二均三均并为减差故以二均与三均相加得二度四十七分四十七秒为二三均数仍为减差(凡二均与三均加减同者相加为二三均数余倣此)葢次轮之最近丑点与次均轮心酉点俱在平行丙点之后而太隂戌点又在次均轮心酉点之后故以二均与三均相加得丑甲戌角为二三均数于平行内减去初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲戌角始得本时之实行也若均轮心从最髙庚行二百四十度至未为自行八宫初度次轮心从均轮最近癸行一周复行一百二十度至申而太隂距太阳七十度为上弦前一日余则次均轮心从次轮最近丑行一百四十度至酉太隂亦从次均轮最下卯行一百四十度至戌其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲戌角皆与四宫初度之数相等但实行俱在平行之前故俱为加差以加于平行而得实行也如均轮心合朔时在本轮之辰距最卑辛十五度余则次轮心在均轮之己距均轮最近癸三十一度余次均轮心则在次轮最近丑太隂在次均轮最下卯迨朔后一日余本轮心从本天合朔后行十六度至丙则均轮心亦从本轮辰行十五度余至最卑辛为自行六宫初度次轮心亦从均轮己行三十一度余至最近癸次均轮心从次轮最近丑行三十二度至午太隂亦从次均轮最下卯行三十二度至未则无初均数乃用癸甲午三角形求二均数此形有癸甲边九百四十九万三千(于丙甲半径一千万内减去负)(圈半径丙辛七十九万七千余辛甲九百二十万三千最加均轮半径癸辛二)(十九万即得)有癸午边二十一万七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒为二均数又求得午甲边九百六十七万七千五百零七复用午甲未三角形求三均数此形有午甲边九百六十七万七千五百零七有午未边一十一万七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒为三均数也此二均三均并为加差以二均与三均相加得一度零三分一十二秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与平行内点在一直线上平行即实行故无初均数而次均轮心午点在平行丙点之前太隂未点又在午点之前故以二均与三均相加得丙甲未角为二三均数以加于平行即得本时之实行也若均轮心在最卑辛而太隂距太阳三百四十四度为朔前一日余则二三均数丙甲未角与朔后一日余之数相等但实行在平行后故为减差以减于平行而得实行也如均轮心过最卑辛行五十度至午为自行七宫二十度则次轮心从均轮最近癸行一百度至未而太阴距太阳一百三十五度为朢前三日余则次均轮心从次轮最近丑行二百七十度至申太隂亦从次均轮最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒为初均数丑甲边九百八十三万六千一百九十五为次轮最近点距地心之数乃用丑甲申三角形求二均数此形有丑甲边九百八十三万六千一百九十五有丑申边三十万六千八百八十四(次轮丑申弧九十度之通弦)有丑角八度五十三分零六秒(丙甲戌三角形以丙甲两角相并与戌外角等)(丑未子次轮全径原与癸午壬均轮全径平行则丙戌丑角与戌丑未角为平)(行线内两尖交错之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒与甲)(丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒为戌丑未角内减去未丑)(申角四十五度余八度五十三分零六秒为申丑甲角也)求得丑甲申角一十七分零六秒为二均数又求得申甲边九百五十二万八千九百二十复用申甲酉三角形求三均数此形有申甲边九百五十二万八千九百二十有申酉边一十一万七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二十三秒为三均数也此初均数为加差二均数亦为加差而三均数转为减差故于三均数内减去二均数余二十五分一十七秒为二三均数转为减差(三均)(大于二均故从三均)葢次轮之最近丑点与次均轮心申点俱在平行丙点之前而太隂酉点却在次轮最近丑点之后故以二均与三均相减余丑甲酉角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复减去二三均数丑甲酉角始得本时之实行也若均轮心未至最卑辛五十度在午为自行四宫十度而太隂距太阳二百二十五度为朢后三日余其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲酉角皆与七宫二十度之数相等但初均数为减差二三均数为加差以初均数减于平行复以二三均数加之而得实行也如均轮心从最卑辛行一百二十度至辰为自行十宫初度则次轮心从均轮最近癸行二百四十度至己而太隂距太阳三百二十度为下弦后四日则次均轮心从次轮最近丑行一周复行二百八十度至午太隂亦从次均轮最下卯行一周复行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒为初均数丑甲边一千零一十七万二千九百四十一为次轮最近点距地心之数乃用丑甲午三角形求二均数此形有丑甲边一千零一十七万二千九百四十一有丑午边二十七万八千九百七十(次轮丑午弧八十度之通弦)有丑角七十四度一十四分五十一秒(丙申甲三角形以丙甲两角相并与申外)(角等丑巳子次轮全径原与癸辰壬均轮全径平行则己丑甲角与壬申丑角)(为平行线之内外角其度必等故以申丙甲角一百二十度与丙甲申角四度)(一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即为己丑甲)(角内减去己丑午角五十度余七十四度一十四分五十一秒为午丑甲角也)求得丑甲午角一度三十一分二十三秒为二均数又求得午甲边一千零一十万一千六百一十七复用午甲未三角形求三均数此形有午甲边一千零一十万一千六百一十七有午未边一十一万七千五百有午角八十度求得午甲未角三十九分二十七秒为三均数也此初均数二均数俱为加差而三均数为减差故于二均数内减去三均数余五十一分五十六秒为二三均数仍为加差葢次轮之最近丑点与次均轮心午点俱在平行丙点之前而太隂未点却在次均轮心午点之后故以二均与三均相减余丑甲未角为二三均数于平行外加初均数丙甲丑角复加二三均数丑甲未角即得本时之实行也若均轮心在最髙庚后六十度为自行二宫初度而太隂距太阳二百二十度为下弦前四日其初均数丙甲丑角及二三均数丑甲未角加与十宫初度之数相等但实行在平行之后故俱为减差以减于平行而得实行也两月食定交周白道与黄道斜交月行天一周必两次过交而交无定处每一交之中退天一度有余故每日太隂距交行度常多于每日平行经度其较即为每日交行度测法亦择用两月食其两食必须太阳之距最髙等太隂之自行度等食分等食在阳厯或在隂厯亦等(黄道南为阳厯黄道北为)(隂厯)乃可推月行若干交周而复于故处西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒为朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒(即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三)与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十三芒相减余三分一十秒三十八微二十四纤(即百分度之五)(分二九五五五五五五一授时厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度约之得百分度之五分一六)(○七)为两交每日左旋之度也今择用两月食以明其法如左第一食顺治十三年丙申十一月庚申朢子正后一十八时四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在阳厯日躔星纪宫一十度三十九分在最卑后三度四十九分于时月自行为三宫二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正后三时二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在阳厯日躔星纪宫二十一度五十二分在最卑后一十四度二十一分于时月自行为三宫二十五度二十四分(两次月食太阳距最髙差)(一十度余然地景之大小无异月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿论)以上两次月食相距中积二百二十三月乃用朔策定数五千四百五十八为一率交终定数五千九百二十三为二率(此二)(数依巴谷所定)二百二十三月为三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二(差千分之一可以不论)为两次月食相距之交终数又以两次月食相距中积六千五百八十五日零八时三十九分一十秒与每日太隂平行经度相乗以交终数二百四十二除之得一百二十九万零八百一十二秒小余八七九五九八为每一交行度与周天一百二十九万六千秒相减余五千一百八十七秒小余一二○四○二为每一交退行度又以交终数除两次月食相距中积日分得二十七日二一二二三三为交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微为两交每日退行度与每日平行经度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微为太隂每日距交行度比旧数止少一微今仍用旧数各以日数乘之得十日百日之行度以时分除之得每时每分之行度以立表黄白大距度及交均白道与黄道相距之纬曰大距度而交均者乃两交平行与自行之差是二者常相因也葢相距之度时少时多而自行之度有迟有疾故必测得距度极多极少之数而后交行之迟疾可推测大距之法推得月离黄道鹑首宫初度又在黄道北(月在黄道北则近天顶而地半径差最㣲可以勿论)而距交适足九十度时俟至子午线上测之得地平髙度乃于髙度内减去赤道髙及黄赤距纬度其余即为黄白大距度也厯家用此法测得朔朢时之大距为四度五十八分三十秒(即四度零十分度之九分七五)上下弦时之大距为五度一十七分三十秒(即五度零十分度之二分九一六授时厯无分朔朢两弦皆六)(度以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分三十九秒)既得二数乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表如图甲为黄极乙丙丁戊为黄道用朔朢与上下弦两距度相加折半得五度零八分为黄白大距之中数取中数为半径如己甲作己庚辛壬圈为白极绕黄极本轮又取两距度之较数一十九分折半得九分三十秒为半径如己癸作癸子丑寅圈为负白极均轮其心循己庚辛壬本轮左旋(从己向庚)每日行三分一十秒有余白极则循癸子丑寅均轮左旋(从癸向子)行倍离之度半月一周如癸子丑寅均轮心在己朔朢时白极在癸白道交黄道于丙于戊其卯乙弧为大距四度五十八分三十秒与癸甲弧等上下弦时白极在丑白道亦交黄道于丙于戊其辰乙弧为大距五度一十七分三十秒与丑甲弧等如癸子丑寅均轮心从本轮己行至庚朔朢时白极在癸白道交黄道于乙于丁其卯丙弧为大距四度五十八分三十秒与癸甲弧等上下弦时白极在丑白道亦交黄道于乙于丁其辰丙弧为大距五度一十七分三十秒与丑甲弧等惟朔朢与上下弦时白极俱在丑甲线上平行自行相合故无交均数如白极从癸向子交行渐迟至子距癸九十度为朔与上弦之间或朢与下弦之间其行极迟白道交黄道于巳于午其未申弧为大距与子甲弧等(子甲)(为白极距黄极之弧故与未申大距弧等)于是用子甲己正弧三角形求子甲弧此形有己甲弧五度零八分有己子弧九分三十秒有己直角九十度(当癸子弧)求得子甲弧五度零八分零九秒与未申弧等为黄白大距又求得甲角一度四十六分零八秒为交均即自行迟于平行极大之差从子向丑则迟行之度渐减至丑而合于平行矣如白极从丑向寅交行渐疾至寅距丑九十度为上弦与朢之间或下弦与朔之间其行极疾己甲寅角亦一度四十六分零八秒寅甲两极距弧亦与子甲等从寅向癸则疾行之度渐减至癸而又合于平行矣要之从癸向子至丑为前半周所求之诸甲角俱为减差以减交之平行而得交之实行从丑向寅至癸为后半周诸甲角之度皆以前半周等但俱为加差以加交之平行而得交之实行故用弧三角形法以己庚辛壬圈之半径五度零八分及癸子丑寅圈之半径九分三十秒为常用之两边以极距癸点之逐度为角得弧三角形一百八十求得各对角之弧为两极大距(如子甲之类)近黄极之角为交均在前半周为减差后半周为加差而大距及交均之表全矣至于有大距之数而求逐度之小距度与日躔求黄赤距纬之法同视差太隂之视差有四一为蒙气差能升卑为髙其理与数皆与太阳同一为髙下差(即地半径差)生于地之半径能变髙为下其理亦与太阳同而数则过之葢太阳本天半径与地半径之比例为千余分之一而太隂本天半径与地半径之此例为五六十分之一故其差角迥别不可同论也又有东西差(即经度差)南北差(即纬度差)皆由髙下差而生算交食用之详载交食本篇兹不具论如图甲为地心乙为地面甲乙为地半径乙丙为地平丁戊己为太隂本天庚辛壬癸为恒星天戊为太隂人从地面乙测之对恒星天于壬其视髙为壬乙丙角若从地心甲计之则见太隂于戊者对恒心天于辛其真髙为辛甲癸角此两髙之差为乙戊甲角即髙下差然亦时时不同者一因太隂距地平近则差角大渐髙则渐小一因太隂在本天最髙则差角小在本天最卑则差角大与日躔之理同今亦约为最髙最卑中距三限于朢时及两弦各以所测地面上太隂之髙度求太隂距地心之甲戊线(朢时测中距两弦时)(测最髙及最卑葢月自行在中距朢时次均轮心在)(次轮之最近月在次均轮之最下微小于本天若两)(弦时则次均轮心在次轮之最逺已在本天之外月)(又在次均轮之最上未免太过于本天故于朢时测)(中距也又月自行在最髙两弦时月距地心比朢时)(髙一次轮全径又髙一次均轮全径故于此时测最)(髙月自行在最卑两弦时月距地心北朢时卑一次)(轮全径又髙一次均轮全径犹在朢时月体之下故)(于此时测最卑也)如畅春园测得太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微同时于广东广州府测得太隂高七十九度四十七分二十六秒一十二微(广东子午线在京师西三度三十三)(分然髙下差甚微可勿论)于时月自行三宫初度月距日一百八十度(即朢时)以之立法甲为地心乙为京师地面庚为天顶子为广州府地面丑为天顶戊为太隂寅为赤道寅庚弧三十九度五十九分三十秒为畅春园赤道距天顶之度寅丑弧二十三度一十分为广州府赤道距天顶之度以两处赤道距天顶度相减余一十六度四十九分三十秒为庚丑弧即庚甲丑角以畅春园髙度与一象限相减余二十七度一十九分零八秒一十七微为庚乙戊角以广州府髙度与一象限相减余一十度一十二分三十三秒四十八微为丑子戊角先用乙甲子三角形此形有甲角一十六度四十九分三十秒又有乙甲及子甲俱地半径命为一千万乃以甲角折半之正弦倍之得二九二五九七七为乙子边又以甲角与半周相减余数半之得八十一度三十五分一十五秒为乙角亦即子角次用乙戊子三角形此形有乙子边二九二五九七七有戊乙子角七十一度零五分三十六秒四十三微(以庚乙戊角与子乙甲角相加得一百零)(八度五十四分二十三秒一十七微以减半周即得)有戊子乙角一百零八度三十七分一十八秒四十八微(于半周内减去乙子甲角八十一度三十)(五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三)(十三秒四十八微即得)即有乙戊子角一十七分零四秒二十九微求得戊乙边五五八二六五二五四末用戊乙甲三角形此形有乙甲地半径一千万有戊乙边五五八二六五二五四有戊乙甲角一百五十二度四十分五十一秒四十三微(于半周内减去庚乙戊角二十七度一十九分零八)(秒一十七微即得)求得乙戊甲角二十七分四十九秒零四微为中距限太隂髙六十二度四十分五十一秒四十三微之髙下差求得戊甲边五六七一七一三三四为太隂在本天中距时距地心之逺以地半径较之其比例为一千万与五亿六千七百一十七万一千三百三十四若命地半径为一则月距地心为五十六又百分之七十二也乃依此法于月自行初宫初度月距日九十度时(即上)(下弦)测之求得甲乙线与戊甲线之比例为一与六十一又百分之九十八即月在本天最髙距地心最逺之数又于月自行六宫初度月距日九十度时测之求得甲乙线与戊甲线之比例为一与五十三又百分之七十一即月在本天最卑距地心最近之数于是自最近五十三至最逺六十二之十数逐度求其髙下差以立表隠见迟疾合朔之后恒以三日月见于西方故尚书注月之三日为哉生明然有朔后二日即见者更有晦日之晨月见东方朔日之夕月见西方者唐厯家遂为进朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故葢月之隠见迟疾固有一定之理可按数而推殆因乎天行由于地度无庸转移迁就也至于汉魏厯家未明盈缩迟疾之差以平朔著厯故有晦而月见西方朔而月见东方者此则推步之疎不可以隠见迟疾论也隠见之迟疾其故有三今并详于后一因黄赤道之升降有斜正也葢春分前后各三宫(由星纪至实沈六宫)黄道斜升而正降月离此六宫则朔后疾见秋分前后各三宫(由鹑首至)(析木六宫)黄道正升而斜降月离此六宫则朔后迟见如上二图前图日躔降娄初度月离降娄一十五度为正降日入时月在地平上髙一十四度余即可见葢入地迟而见早也后图日躔夀星初度月离夀星一十五度为斜降日入时月在地平上髙六度余即不可见葢入地疾而见迟也若晦前月离正升六宫则隠迟斜升六宫则隠早其理亦同一因月距黄纬有南北也葢月距黄道北则朔后见早距黄道南则朔后见迟如图日躔降娄初度月离降娄一十五度而月距黄道北则月距地平之度多入地迟而见早月距黄道南则月距地平之度少入地疾而见迟也若晦前距黄道北则隠迟距黄道南则隠早其理亦同一因月视行之度有迟疾也葢月视行为迟厯则朔后见迟晦前隠迟视行为疾厯则朔后见早晦前隠早也夫月离正降宫度距日一十五度即可见以每日平行一十二度有竒计之则朔后一日有余即见生明于西是故合朔如在甲日亥子之间月离正升宫度距黄道北而又行迟厯则甲日太阳未出亦见东方月离正降宫度距黄道北而又行疾歴则乙日太阳已入亦见西方矣御制歴象考成上编卷五
## 上编卷六
钦定四库全书御制厯象考成上编卷六交食厯理一(日食月食合)交食总论朔望有平实之殊朔望用时求日月距地与地半径之比例日月视径求日月实径与地径之比例地影半径交食总论太隂及于黄白二道之交因生薄蚀故名交食然白道出入黄道南北太隂每月必两次过交而或食或否何也月追及于日而无距度为朔距日一百八十度为望此皆为东西同经其入交也正当黄道而无纬度是为南北同纬虽入交而非朔望则同纬而不同经当朔望而不入交则同经而不同纬皆无食必经纬同度而后有食也盖合朔时月在日与地之间人目仰观与日月一线参直则月掩蔽日光即为日食望时地在日与月之间亦一线参直地蔽日光而生暗影其体尖圆是为暗虚月入其中则为月食也按日为阳精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之顷特能下蔽人目而不能上侵日体故食分时刻南北迥殊东西异视也若夫月食则月入暗虚纯为晦魄故九有同观但时刻有先后耳至于推步之法日食须用髙下南北东西三差委曲详密而月食惟论入影之先后浅深无诸视差之繁故先总论交食之理次论月食乃及日食因日食立法较难故后论加详焉如图合朔时月在地与日之间人在地面居甲者见月全掩日居乙者见月掩日之半居丙者但见日月两周相切而不相掩故日食随地不同乃月蔽人日不见日光而日体初无异也如地在日月之间日大地小地向日之面为昼背日之面则生尖影人在影中不见日光为夜望时月入影中而不能借日光全为晦魄故月食为普天同视也朔望有平实之殊日月相㑹为朔相对为望而朔望又有平实之殊平朔望者日月之平行度相㑹相对也实朔望者日月之实行度相㑹相对也故平朔望与实朔望相距之时刻以两实行相距之度为准盖两实行相距之度以两均数相加减而得而两朔望相距之时刻则以两实行相距之度变为时刻以加减平朔望而得实朔望故两实行相距无定度则两朔望相距亦无定时也如图甲为地心即日月本天心乙为月本轮心丙为日本轮心(日月止用本轮者因明平实之)(理取其易于辨析也)两轮心俱在甲乙丙及甲乙丁直线上为平朔望而丙为黄道上平朔之度丁为黄道上平望之度如日在本轮之戊月在本轮之己或在本轮之庚俱在甲己戊辛及甲庚壬直线上则为实朔望而辛为黄道上实朔之度壬为黄道上实望之度也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为加均乃实行过于平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁皆为减均乃实行不及平行之度故以辛丙加均与癸丙减均相并得癸辛弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度以壬丁加均与子丁减均相并得子壬弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日为加均月为减均故日实行在月实行之前为实朔望在平朔望之后必计月得若干时分而后行过癸辛弧及子壬弧始能与日相㑹相对故以癸辛弧及子壬弧变为时分以加平朔望而得实朔望也若日为减均月为加均则日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前即以实行相距之时分减平朔望而得实朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为减均乃实行不及平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆为减均乃实行不及平行之度故以辛丙减均与癸丙减均相减余辛癸弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度以壬丁减均与子丁减均相减余壬子弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日之减均大于月之减均故日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前必计月己行过与日相㑹相对若干时分为辛癸弧及壬子弧故以辛癸弧及壬子弧变为时分以减平朔望而得实朔望也若日之减均小于月之减均则日实行在月实行之前而实朔望在平朔望之后即以实行相距之时分加平朔望而得实朔望其理亦同也如平朔望在丙在丁而日在戊月在己或在庚则日之实行度在辛相对之度在壬而辛丙及壬丁皆为加均乃实行过于平行之度月之实行度朔在癸望在子而癸丙及子丁亦皆为加均乃实行过于平行之度故以辛丙加均与癸丙加均相减余辛癸弧为两实行相距之度亦即实朔距平朔之度也以壬丁加均与子丁加均相减余壬子弧为两实行相距之度亦即实望距平望之度也此日之加均大于月之加均故日实行在月实行之前而实朔望在平朔望之后必计月得若干时分而后行过辛癸弧及壬子弧始能与日相㑹相对故以辛癸弧及壬子弧变为时分以加平朔望而得实朔望也若日之加均小于月之加均则日实行在月实行之后而实朔望在平朔望之前即以实行相距之时分减平朔望而得实朔望其理亦同也朔望用时太阳与太隂实行相㑹相对为实朔望但实朔望之时刻按诸测验犹有数分之差(或早或迟差至一刻)以其犹非用时也盖实朔望固两曜实㑹实对之度而推算时刻则仍以平行所临之位为时皆依黄道而定今推平行与实行既有盈缩差则时刻亦有增减又时刻以赤道为主而黄道赤道既有升度差则时刻亦有进退故必以本时太阳均数与升度差俱变为时分以加减实朔望之时刻为朔望用时乃与测验脗合此即日躔时差加减之理也求日月距地与地半径之比例太阳太隂距地之逺近日躔月离地半径差篇言之详矣顾求地半径差止用最髙最卑中距三限而交食之日月视径以及影径影差则逐度不同且太隂在最髙两弦尤髙太阴在最卑两弦尤卑交食在朔望其髙卑皆不及两弦故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心线今依日月诸轮之行求得太阳在最髙距地心一○一七九二○八(本半) (天径)(加本轮半径减均轮半径)其与地半径之比例为一与一千一百六十二(详日躔厯理)中距距地心一○○○六四二一(求均)(数时并求太阳距地心之邉即得)其与地半径之比例为一与一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二(本天半径减本)(轮半径加均轮半径)其与地半径之比例为一与一千一百二十一太阴在最髙朔望时距地心一○一七二五○○(本天半径加负圏半径减均轮半径又减次轮半径又减次均轮半径即得俱详月离二三均数图)其与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六中距朔望时距地心九九二○二七三(求初均数时并求太)(阴距地心之邉内减次均轮半径即得盖朔望时无二三均但距地心少次均轮半径耳)其与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二(详月离地)(半径差篇最髙最卑皆以此为比例)最卑朔望时距地心九五九二五○○(本天半径减负圏半径加均轮半径又加次轮半径减次均轮半径即得)其与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四如求太阳在最髙前后四十度距地心与地半径之比例则以太阳最髙距地心一○一七九二○八为一率一千一百六十二为二率太阳在最髙前后四十度之距地心线一○一三九八九八为三率得四率一千一百五十七即当时日距地与地半径之比例也求月距地之法倣此日月视径日月之径为食分浅深之原所关甚大但人目所见者非实径乃视径也实径为一定之数而视径则随时不同盖凡物逺则见小近则见大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其视径之小大亦不等数年以来精推实测得太阳最髙之径为二十九分五十九秒最卑之径为三十一分零五秒比旧定日径最髙少一秒最卑多五秒朔望时太阴最髙之径为三十一分四十七秒最卑之径为三十三分四十二秒比旧定月径最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今数为密兹将测算之术详著于篇测太阳径一法用正表倒表各取日中之影求其髙度两髙度之较即太阳之径也盖正表之影乃太阳上边之光射及表之上邉其所得为太阳上边距地平之髙度倒表之影乃太阳下边之光射及表之下边其所得为太阳下邉距地平之髙度故两髙度之较即太阳之径也一法用仪器测得太阳午正之髙度复用正表测影亦求其髙度两髙度之较即太阳之半径也盖仪器所得者太阳中心之度表影所得者太阳上边之度故两髙度相较即得太阳之半径也一法用中表正表各取日中之影求其髙度两髙度之较即太阳之半径也盖中表系横梁上下皆空太阳上边之光射横梁之下面太阳下边之光射横梁之上面其所生之影必当太阳之中心故以中表所测之髙度与正表所得太阳上边之髙度相较即得半径也一法治一暗室令甚黝黒于室顶上开小圆孔(径一寸或)(半寸)以透日光孔面顶平不可欹侧室内置平案孔中心悬垂线至案中线正午时日光射于案上必成撱圆形爰従案上对垂线处量至撱圆形之前后两界垂线至前界加孔之半径为前影垂线至后界减去孔之半径为后影乃以垂线(即孔距案面)为一率前后影各为二率半径一千万为三率得四率并查八线表之余切线得前后影之两髙度相减之较即太阳之全径也盖太阳上边之光従孔南界射入至案为撱圆形之前界与正表之理同太阳下边之光従孔北界射入至案为撱圆形之后界与倒表之理同故两髙度之较即为太阳之径也至于前后影必加减孔之半径者因量影时俱对孔之中心起算然前影则自孔之南界入在中心之前而后影则自孔之北界入在中心之后较之中心并差一半径故必须加减半径而后立算也测太阴径一法春秋分望时用版或墙为表以其西界当正午线人在表北依不动之处候太隂之西周切于正午线看时辰表是何时刻俟太阴体过完其东周才离正午线复看时辰表是何时刻乃计太阴过正午线共得㡬何时刻以时刻变度(每时之四分为一度)内减本时分之太阴行度余即太阴之径也一法两人各用仪器候太阴当正午时同时并测一测其上弧髙度一测其下弧髙度两髙度之较即太隂之径也一法用附近恒星以纪限仪测其距太阴左右两弧之度其两距度之较即太阴之径也以上诸法逐时测量即得太阳太阴自髙及卑之各半径以立表又法不用逐时测量止测得最髙最卑时之两半径相减用其较数与本轮之矢度为比例即可得髙卑间之各半径数也如太阳最髙之径为二十九分五十九秒最卑之径为三十一分零五秒相差一分零六秒化为六十六秒今求距髙卑前后六十度之视径则命本轮径为二千万为一率六十度之矢五百万为二率径差六十六秒为三率得四率一十六秒半以加最髙之径二十九分五十九秒得三十分一十五秒半为最髙前后六十度之视径以减最卑之径三十一分零五秒得三十分四十八秒半为最卑前后六十度之视径也太阴之法并同求日月实径与地径之比例日月地三体各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月髙卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大致相符足征其说之有据而非诬也凡明暗两体相对明体施光暗体受之其背即生黑影若两体同大则其影成平行长圆柱形其径与原体相同其长至于无穷而无尽也如甲图然若明体小暗体大则其影渐大成圆墩形其径虽与原体相同其长至于无穷其底之大亦无穷也如乙图然惟明体大暗体小则其影渐小成尖圆体其径与原体等其下渐小而尽成锐角如丙图然使日小于地或与地等则地所生之影宜如甲乙两图其长无穷今地影不能掩荧惑何况岁星以上诸星是地影之长有尽必如丙图而日之大于地也其理明矣又凡人目视物近则见大逺则见小如丁戊与己庚两物同大人目视之成两三角形丁戊近目其两腰短故底之对角大己庚逺目其两腰长故底之对角小若去人目有逺近而视之若等则逺者必大近者必小今仰观日月其径畧等而日去地甚逺月去地甚近则月必小于日也可知矣夫地径小于日而地影之径又渐小于地月过地影则食食时月入影中多厯时刻而后生光则月必小于地影月既小于地影则其必小于地也又何疑焉求日实径之法如图甲为地心乙为日心甲乙为两心相距乙甲丙角为日视半径角乙丙为日半径用甲乙丙直角三角形此形有丙直角有甲角十四分五十九秒三十微为日在最髙之视半径有乙甲边一千一百六十二为日在最髙距地心之数求得乙丙五又百分之七为日实半径即为地半径之五倍又百分之七也求月实径之法倣此地影半径太阳照地而生地影太阴过影而生薄蚀凡食分之浅深食时之乆暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有逺近距地逺者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而逺地细太阴行最卑距地近则过影之麤处其径大行最髙距地逺则过影之细处其径小此由太阴而变易者也今依太阳在最髙所生之大影为率而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数求其相当之影半径为影半径表复求得太阳従髙及卑所生之各影各求其太阴在中距所当之影半径俱与太阳在最髙所生之大影相较余为影差列于本表之下用时以太阴引数宫度查得影半径复以太阳引数宫度查得影差以减影半径即得所求之地影实半径也如图甲为地球乙丙皆为太阳乙为最髙丙为最卑太阳従最髙乙发光则地影长大为丁己戊従最卑丙发光则地影短小为丁庚戊太阴遇丁己戊大影而在最髙辛则其所当之影径如辛壬在最卑癸则其所当之影径如癸子若太阴遇丁庚戊小影而在最髙辛则其所当之影径如丑寅在最卑癸则其所当之影径如卯辰其两半径之较为辛丑与癸卯是所谓影差也求地影半径有二法一用推算一用测量而推算所得之数比测量所得之数常多数分盖因太阳光大能侵削地影故也如甲为地球乙丙丙丁为太阳实半径従乙丁作两线切地球戊己两边而交于庚则成戊庚己影然太阳光芒常溢于原体之外如辛壬従辛壬作两线切地球戊己两边而交于癸则成戊癸己影而小于戊庚己影论其实则推算之数为真欲合仰观则测量之数为准故地影表所列之数皆小于推算之数也推算之法命地半径甲己为一百分则太阳实半径丙丁为五百零七分(太阳实径)(为地径之五倍又百分之七今以地半径为一百分则太阳实半径为五百零)(七分)以甲己与丙丁相减余丙子四百零七乃以丙子四百零七为一率太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百(即地半径之一千一百六十二倍)为二率甲己地半径一百为三率得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长盖丙子甲勾股形与甲己庚勾股形为同式形故其相当各界皆可为比例也既得甲庚地影之长乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二(即地半径之五十六倍又百分之七十二)余二万二千八百七十八为丑庚于是用丑庚寅直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒为太阴在中距时所过地影之半径查地影半径表为四十四分四十三秒多三分五十一秒测量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其实引为二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半径零百分之四十一测得纬度在黄道北三十六分一十八秒月半径为一十六分一十秒食分为二十三分三十秒乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒为食甚距纬与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内减月半径一十六分一十秒余四十三分四十六秒为地影半径查地影半径表为四十三分五十四秒相差八秒乃本时太阳之影差也(表数乃太阳在最髙之影今太阳在八宫故差八秒)如图子丑寅为黄道卯辰己为白道卯子寅己为地影午丑为地影半径未申酉为月未辰为月半径月行白道従卯至辰距地影心丑最近是为食甚午酉即为食分辰戌为黄道纬度辰丑即白道纬度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角与黄白交角等有戌直角有辰戌边求得辰丑为食甚距纬以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑内减与月半径未辰相等之亥午余午丑即为地影之半径也推算所得之数既大于测量所得之数则太阳光大之能侵削地影可知矣然不得太阳之光分虽逐时测量又有影差杂于其内则地影之大小终不能得其真今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准(前测月食实引二宫)(三度近中距而其影畧与表合故以中距之地影为准)求太阳之光分命地半径甲巳为一百分则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二丑甲寅角即为四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八甲寅为五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形(巳为直角)求得巳甲寅角为八十八度五十九分二十四秒于象限内减去巳甲寅角又减去丑甲寅角余一十五分五十三秒为卯甲己角乃用卯甲己直角三角形(已为直角)求得甲卯为一百又千分之一甲卯内减去与丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一为辰卯于是以卯辰寅勾股形(辰寅与甲丑等)与卯甲庚勾股形为比例得甲庚二万一千六百三十二即地影之长又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例得丙丁六百三十七即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也既得丙丁太阳之光分又得甲庚地影之长乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳五千八百一十六余己庚一万五千八百一十六以甲卯庚勾股形与巳午庚勾股形为比例得巳午七十三小余一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒为太阴在最髙所过地影之半径于甲庚内减太阴在最卑距地心之甲未五千四百八十四余未庚一万六千一百四十八以甲卯庚勾股形与未申庚勾股形为比例得未申七十四小余六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒为太阴在最卑所过地影之半径比旧表最髙多一十三秒最卑少一十二秒盖旧表固由实测要亦准于太隂之髙卑今测太阴之在最髙较旧数为稍卑故月径大而影径亦大太阴之在最卑较旧数为稍髙故月径小而影径亦小然月径约以三十分为十分影径差一十二秒食分止差四秒固不失为密合况影径随月径而大小尤不致舛谬也于是以随时太阴距地心之地半径数各与地影之长相减以求得地影之半径线又各求其相当之角即得太阴随时之影半径以立表求影差之法用太阳在最髙所生之长影求得太阴在中距时所当之影半径四十四分四十三秒为率而以太阳在最卑所生之短影亦求得太阴在中距所当之影半径为四十四分零八秒相差三十五秒为太阳最髙最卑两限之影差其余影差俱依此例推之御制厯象考成上编卷六
## 上编卷七
钦定四库全书御制厯象考成上编卷七交食厯理二(専论月食)太隂食根月食分秒月食五限时刻见食先后定月食方位绘月食图太阴食限食限者推太阴交周度距交若干为入食限之始也太阴半径与地影半径相切即入食之限故以两半径相并之数当黄白两道之距纬度而求其相当之经度得距交一十一度一十六分四十五秒为必食之限距交一十二度一十六分五十五秒为可食之限盖必食者无不食可食者或食或不食也二者皆实望之限若论平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即为有食之限矣解之如左地影半径最小者四十二分三十八秒太阴半径最小者一十五分五十三秒三十微相并得五十八分三十一秒三十微黄白距纬度在此数以内者月必食以此数当距纬求其经度则用黄白大距四度五十八分三十秒之正切与半径为比例即得一十一度一十六分四十五秒为必食之限如图甲乙为黄道甲丙为白道甲为二道之交乙为地影心丙为月心两周相切于丁乙丁丙为两半径之共数若距度在此数以内则月周侵入地影内而见食故用甲乙丙正弧三角形求甲丙交周度距交若干此形有丙直角有甲角黄白大距度四度五十八分三十秒有乙丙两半径相并五十八分三十一秒三十微今以甲角正切与半径之比同于乙丙距纬正切与甲丙经度正弦之比而得一十一度一十六分四十五秒为甲丙距交之度也地影半径最大者四十六分四十八秒太阴半径最大者一十六分五十一秒相并得一度零三分三十九秒黄白距纬度在此数以内者月可食以此数当距纬按前法求经度得一十二度一十六分五十五秒为可食之限其或不食者何也盖必两半径俱最大而后得食若有一半径畧小即两周不得相切而不食矣平望之限又寛于实望之限而为一十四度五十四分何也盖太阳最大之均数二度零三分一十一秒太阴最大之均数四度五十八分二十七秒相并得七度零一分三十八秒为两实行相距最逺之度如图甲为地心乙为黄道上平望之点日之实行正对之度在丙乙丙弧为二度零三分一十一秒月之实行度在丁丁乙弧为四度五十八分二十七秒两实行相并得丁丙弧七度零一分三十八秒为日实行正对之点与月实行相距之度迨月实行逐及于日实行正对之丙则曰正对之点又行三十一分余至戊月更行至戊则日正对之点又行二分余至己月必又行至己方为实望共计乙己弧得二度三十七分有余为实望距平望之数以此数与实望之限相加得一十四度五十四分乃为平望之食限也月食分秒月食分数之浅深视黄白距纬之多少距纬愈少太阴心与地影心相去愈近则太阴入影愈深故用太阴半径地影半径相并而与距纬相较并径大于距纬之较即为月食之分若并径小于距纬则月不食若太阴恰当交点而无距纬则并径全为食分为月食之最深也但太阴与地影之半径分秒皆系弧度而论食分则以太阴全径直线计之其法命太阴全径为十分以太阴视径分秒与并径距纬之较之比(无距纬者即以并径为比)同于太阴全径与食分之比也如图甲乙为黄道丙乙为白道乙为二道之交丙甲丁戊己庚皆为黄白距度辛甲壬戊癸庚子乙皆为地影半径丙丑丁寅己卯乙辰皆为太阴半径如太阴心在丙地影心在甲丙丑辛甲两半径相并小于丙甲距纬则太阴不入于影故不食也如太阴心在丁地影心在戊丁寅壬戊两半径相并大于丁戊距纬其较为壬寅即太阴入影之分也又如太阴心在己地影心在庚己卯癸庚两半径相并大于巳庚距纬其较为癸夘与太阴全径相等即太阴入影之分此为月食十分盖月体全入影中才食既而即生光也又太阴恰当交点全无距纬太阴心地影心相㑹于乙即以子乙乙辰两半径相并为太阴入影之分月食遇此其食分为最深也设太阴在最髙其视半径一十五分五十三秒三十微地影半径四十三分一十三秒相并得五十九分零六秒三十微乃以太阴视径三十一分四十七秒为一率并径五十九分零六秒三十微为二率太阴全径十分为三率得四率一十八分三十七秒为月食之最大分也月食五限时刻月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初亏月将入影两周初切也一曰食既月全入影其光尽掩也是二者在食甚前一曰生光月将出影其光初吐也一曰复圆月全出影两周方离也是二者在食甚后月食十分以上者有五限十分以下者止三限无食既与生光也其时刻之多寡则由于入影之浅深过影之迟速盖距纬有寛狭寛则入影浅而时刻少狭则入影深而时刻多又月与影之半径各有小大月大影小则过影速而时刻少月小影大则过影迟而时刻多抑且自行有迟疾迟则出影迟疾则出影速故虽距纬同半径同而自行不同即时刻亦不同也其食甚前后各限相距之时刻恒等而食甚又非实望之时所差虽微而理则实异夫地影之心即太阳正对之点地影心距交之黄道经度与月心距交之白道经度等是为东西同经即为实望然月心与影心斜距犹逺惟従白极出弧线过影心至白道与白道成直角月心临此直角之点乃为食甚盖惟此时月心与影心相距甚近食分最深也如图甲乙为黄道甲丙为白道甲为交点丙为实望之度丁戊己庚为地影乙为影心甲乙与甲丙等辛壬癸子丑为五限月心所在辛为初亏戊为初亏之点壬为食既丁为食既之点癸为食甚癸乙为食甚距纬较丙乙为近此线引长必过白极故与白道成直角子为生光庚为生光之点丑为复圆己为复圆之点癸丙为食甚距实望之弧辛癸为初亏距食甚之弧与复圆距食甚之癸丑弧等壬癸为食既距食甚之弧与生光距食甚之癸子弧等故求得食甚前两限距食甚之时刻以减食甚时刻得食甚前两限之时刻以加食甚时刻得食甚后两限之时刻也若以丙为食甚则丙乙之距大于癸乙必非入影最深之处而前后各限之距俱不相等矣推食甚时刻求癸丙弧法用乙甲癸正弧三角形此形有癸直角有甲角有甲乙黄道度与甲丙交周度等求得甲癸以甲癸与甲丙相减得癸丙乃用变时法以一时之月实行与一时之比同于癸丙度分与食分之比即得时之若干分秒而行癸丙弧为食甚距实望之时分加减实望时刻即得食甚之时刻矣推初亏复圆时刻用辛乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有辛戊月半径与戊乙影半径相加之辛乙弧求得辛癸为初亏距食甚之弧亦用一时之月实行比例得时分以减食甚时刻得初亏时刻以加食甚时刻得复圆时刻也推食既生光时刻用壬乙癸正弧三角形此形有癸直角有癸乙弧有丁壬月半径与丁乙影半径相减之壬乙弧求得壬癸为食既距食甚之弧亦用一时之月实行比例得时分以减食甚时刻得食既时刻以加食甚时刻得生光时刻也见食先后月食深浅分数天下皆同而亏复各限时刻不同者非月入影有先后乃人居地面有东西也盖日之所之为时随人所居各以见日出入为东西日中为南为子午而平分时刻故其地同居一子午线者虽南北悬殊(北极出地髙下不同)而时刻不异若东西易地虽北极同髙而西方见食必先东方见食必后也凡东西差一度则时差四分今以京师为主视各省之子午线在京师东者以时差加在京师西者以时差减皆加减京师各限时刻为各省各限时刻也是故欲定各省之时刻必先定各省之子午线而欲定各省之子午线非分测各省之月食其道无由也定月食方位厯来厯书定月食初亏复圆方位距纬在黄道北初亏东南复圆西南在黄道南初亏东北复圆西北食八分以上则初亏正东复圆正西此东西南北主黄道之经纬言非谓地平经度之东西南北也惟月实行之度在初宫六宫初度望时又为子正则黄道经纬之东西南北与地平经度合否则黄道升降有斜正而加时距午有逺近故两经纬迥然各别而所推之东西南北必不与地平之方位相符不如实指其在月体之上下左右为众目所共覩乃为亲切也其法従天顶作髙弧过月心至地平即分月体为左右两半周乂平分为上下两象限即成左上左下右上右下四象限而黄道在地平上之半周亦平分为东西两象限乃于初亏复圆二限各求其黄道交髙弧之角若月当黄道无距纬而交角满九十度则初亏正左复圆正右在黄道西象限而交角在四十五度以上初亏左稍偏上复圆右稍偏下交角在四十五度以下初亏上稍偏左复圆下稍偏右在黄道东象限者反是若月在交前后有距纬则又须求得纬差角与髙弧交角相加减为定交角然后可定其上下左右也加减之法月距黄道北而在西象限初亏为加复圆为减在东象限初亏为减复圆为加月距黄道南者反是乃视定交角为相加者在九十度以内则亏复之上下左右如前论若过九十度为钝角则易象限之上下又或定交角为相减者而交角内减去差角则亏复之上下左右如前论若差角内减去交角则易象限之左右也求黄道髙弧交角如图甲乙丙为子午规甲为天顶乙丙为地平甲丁戊为髙弧己庚辛为黄道壬庚癸为赤道庚为春分子为北极子丑丁为过极经圏丁庚为月距春分黄道度丑庚为月距春分赤道度壬丑为月距正午赤道度(即食)(甚时太阳距子正赤道度)壬庚为春分距正午赤道度月实行度在丁求黄道与髙弧相交之丁角先用庚辛癸斜弧三角形求黄道交地平之辛角此形有庚角为春分角有癸角为赤道髙减半周之余有庚癸春分距地平弧为春分距正午之余求得辛角为黄道交地平之角并求得庚辛弧为黄道距地平之边乃以丁庚月距春分度与庚辛弧相加得丁辛弧因用丁辛戊正弧三角形求丁角此形有丁辛弧有辛角有戊直角即求得丁角为黄道与髙弧相交之角也纬差角者初亏复圆时月与地影两心相距之线与黄道相交之角也如图甲乙丙为黄道丁戊巳为白道乙为地影心庚戊辛皆为月心乙戊为距纬即食其时两心相距之数乙庚为并径即初亏时两心相距之数壬庚为距纬乙辛亦并径为复圆时两心相距之数癸辛为距纬如月适当黄道无距纬则初亏复圆时两心相距之线与甲乙丙黄道相合而无差角矣因有纬度故乙庚两心相距之线与甲乙丙黄道相离即成甲乙庚角乙戊之距愈寛其差角愈大也法以乙庚并径之正弦与初亏距纬壬庚之正弦为比同于半径一千万与乙角之正弦为比即初亏之纬差角也又以乙辛并径之正弦与复圆距纬癸辛之正弦为比同于半径一千万与乙角之正弦为比即复圆之纬差角也月正当交点无距纬则无纬差角如图甲乙丙为黄道一象限庚为初亏月心辛为复圆月心如在黄道西象限则黄道左昂右低而甲乙丑或丙乙卯交角在四十五度以上故初亏子点在月体之左稍偏上复圆寅点在月体之右稍偏下也(如交角在四十五度以下则初亏为)(上稍偏左复圆为下稍偏右)若在黄道东象限则黄道左低右昂而甲乙卯或丙乙丑交角在四十五度以下故初亏子点在月体之下稍偏左复圆寅点在月体之上稍偏右也(如交角在四十五度以上则初亏为)(左稍偏下复圆为右稍偏上)如月距黄道之南而在黄道东象限如图甲乙卯或丙乙丑为黄道交髙弧之角庚乙甲为初亏纬差角辛乙丙为复圆纬差角因月距黄道之南初亏时宜以庚乙甲纬差角与甲乙卯交角相加得卯乙庚为定交角在四十五度以上故初亏子点在月体之左稍偏下复圆时须以辛乙丙纬差角与丙乙丑交角相减余丑乙辛为定交角在四十五度以下故复圆寅点在月体之上稍偏右也若在黄道西象限则初亏之纬差角为减复圆之纬差角为加与此相反如月距黄道之北而在黄道东象限如图甲乙卯或丙乙丑为黄道交髙弧之角庚乙甲为初亏纬差角辛乙丙为复圆纬差角因月距黄道之北初亏时宜以庚乙甲纬差角与甲乙卯交角相减余卯乙庚为定交角在四十五度以下故初亏子点在月体之下稍偏左复圆时须以辛乙内纬差角与内乙丑交角相加得丑乙辛为定交角在四十五度以上故复圆寅点在月体之右稍偏上也若在黄道西象限则初亏之纬差角为加复圆之纬差角为减与此相反绘月食图凡绘月食图先作横竖二线直角相交横线当黄道竖线当黄道经圈用地影半径为度于中心作圜以象暗虚又以月半径与地影半径相减用其余数为度作内虚圈为食既生光之限又以两半径相并为度作外虚圈为初亏复圆之限次视实交周在初宫十一宫于外虚圈上周黄经线右取黄白大距五度作识实交周在五宫六宫于外虚圈上周黄经线左取黄白大距五度作识乃自所识作线过圜心至外虚圈下周即为白道经圈于此线上自圜心取食其距纬度作识即食甚时月心所在従此作横线与白道经圈相交成直角即为白道而白道割外虚圈右周之点乃初亏时月心所在割内虚圈右周之点乃食既时月心所在割内虚圈左周之点乃生光时月心所在割外虚圈左周之点乃复圆时月心所在也末以五限月心所到之点为心月半径为度作各小圜以象月体即初亏食既食甚生光复圆之象俱备矣如图甲乙竖线如黄道经圈丙丁横线如黄道戊己庚圈为地影甲丙乙丁外虚圈为初亏复圆之限其丙辛半径为月与地影两半径相并之数壬癸内虚圈为食既生光之限其癸辛半径为月与地影两半径相较之数设实交周五宫或六宫则于外虚圈上周甲乙经线之左取黄白大距五度如子従子作线过圜心辛至下周丑为白道经圈于子丑白道经圈上自圜心辛向上取食甚距纬度如寅辛此寅点即食甚时月心所在也(此以实交)(周五宫为例其纬在北故自圜心辛向上取寅点若)(实交周是六宫其纬在南则自圜心辛向下取寅点)乃従寅取直角作卯辰线与子丑白道经圈相交即为白道而白道割外虚圈右周卯点为初亏限割内虚圈右周巳点为食既限割内虚圈左周午点为生光限割外虚圈左周辰点为复圆限于卯巳寅午辰五点各为心月半径为度作圜以象月体即见月心在卯其周正切暗虚而光将缺是为初亏月心至巳其体全入暗虚而光尽掩是为食既月心至寅其体深入暗虚两心相距甚近是为食甚月心至午其体将出暗虚而光初吐是为生光月心至辰其体全出暗虚而光才满是为复圆也御制歴象考成上编卷七
## 上编卷八
钦定四库全书御制厯象考成上编卷八交食厯理三太阳食限日食三限时刻黄平象限白象限之同异日食三差求黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧求东西南北差求日食食甚用时食甚交周食甚实纬求日食食甚真时及食甚视纬求日食初亏复圆用时求日食初亏复圆真时日食分秒定日食方位绘日食图太阳食限日食之限不同于月食月食惟以太阴地影两视半径相并之数当黄白二道之距纬推距交之经度即为食限日食因有南北差其视纬度随地随时不同故太阳太阴两视半径不能定食限也夫最大之南北差一度零一分太阳最大之视半径一十五分三十二秒三十微太阴最大之视半径一十六分五十一秒两视半径相并得三十二分二十三秒三十微与南北差一度零一分相加得一度三十三分二十三秒三十微为视纬度以推距交经度得一十八度一十五分一十三秒为可食之限太阳最小之视半径一十四分五十九秒三十微太阴最小之视半径一十五分五十三秒三十微两视半径相并得三十分五十三秒与南北差一度零一分相加得一度三十一分五十三秒为视纬度以推距交经度得一十七度五十六分五十六秒为必食之限然在黄道北者必食在黄道南者或食或不食在黄道北者亦非普天之下皆见食但必有见食之地耳葢视差因地里之南北而殊而视纬又因实纬之南北而异故食限不可一槩而论也今以北极髙一十六度至四十六度之地而定食限则太阴距黄道北平朔之限得二十度五十二分实朔之限得一十八度一十五分太阴距黄道南平朔之限得八度五十一分实朔之限得六度一十四分要之视差之故多端食限不过得其大槩欲定食之有无必按法求得本地本时视纬度与太阳太阴两视半径相较若两视半径相并之数大于视纬者为有食小于视纬者为不食也如图甲乙为黄道丙丁为白道戊为实交巳庚为视白道辛为视交太阳从甲乙黄道行太阴实循丙丁白道行因髙下差变髙为下遂生南北差视之如循巳庚行也如太阳在壬太阴距黄道北在癸距戊交约一十八度去太阳甚逺因视差之故见太阴在子巳与太阳两周相切故北纬以距交一十八度为有食之始也如太阳在丑太阴距黄道南在寅距戊交约六度虽无视差己与太阳两周相切故南纬以距交六度为有食之始也至于平朔之限又寛于实朔者因实朔距平朔之行度约二度三十七分故以此数与实朔之限相加乃为平朔之限与太阴食限之理同日食三限时刻日食止有三限一曰初亏一曰食甚一曰复圆而无食既生光葢太阳太阴之视径畧相等食甚之最大者不过食既方食甚即生光故止求三限时刻三限时刻维何曰用时曰近时曰真时此三者虽为三限所同而三限之中尤以食甚为本故今发眀三限时刻先详食甚时刻次及初亏而复圆如之食甚之理大槩与月食同但月食以太阴实经度当最近地影心之㸃为食甚故以实朢交周求得食甚交周相减为交周升度差以月实行比例得时分加减实望用时即得食甚时刻而无用时近时真时之名日食因有东西差(详后日食三差篇)必以太阴视经度当最近太阳之㸃为食甚其实经度与视经度既不同而实行与视行又不同故先以实朔交周求得食甚交周相减为交周升度差以月实行比例得时分加减实朔用时为食甚用时(详后求食甚用时篇)次以食甚用时求得东西差(详后求东西南北差篇)仍以月实行比例得时分加减食甚用时为食甚近时又以食甚近时求得东西差与用时东西差相较得视行然后以视行与用时东西差比例得时分加减食甚用时方为食甚真时(详后求食甚真)(时篇)是则食甚用时者乃在天实行日月相掩最深之时刻食甚真时者乃人目所见日月相掩最深之时刻而食甚近时者所以定视行以求用时与真时相距之时分者也夫食甚既有用时近时真时则初亏复圆亦必有用时近时真时乃今求日食初亏复圆用时则不以初亏复圆距食甚之时分加减食甚用时而以初亏复圆距食甚之时分加减食甚真时为初亏复圆用时(详后求初亏复圆用时篇)次以初亏复圆用时求得东西差与食甚之东西差相较得视行乃以视行与初亏复圆距食甚之度比例得时分加减食甚真时即为初亏复圆真时(详后求初亏复圆真时篇)然而不用近时者葢为近时所以求视行今食甚巳有东西差则与初亏复圆东西差相较即可以得视行故不必又求近时也要之求日食三限时刻必先求食甚真时而欲求食甚真时必先求食甚用时有食甚用时然后可以知三差之大小而三限时刻皆由此次第生焉此日食所以异于月食也如图甲乙为黄道甲丙为白道甲为交㸃丁为太阳戊为太阴甲巳为实朔交周与甲丁等故巳㸃为实朔用时之度然丁巳相距犹逺试自白极过太阳丁作丁戊垂弧与白道成直角则丁戊之距必近于丁巳故戊㸃为食甚用时之度甲戊为食甚交周丁戊为食甚实纬戊巳为交周升度差以一小时之月实行与戊巳交周升度差相比得时分加减巳㸃实朔用时得戊㸃为食甚用时(此太阴在两交后由甲向丙故甲巳度多甲戊度少)(应减戊巳距时若太阴在两交前由丙向甲则丙巳)(度少丙戊度多应加戊巳距时)既得食甚用时如戊则自用时求近时今太阴实经度虽在戊因有东西差而用时之视经度却在庚则尚在食甚前故求得庚戊东西差以一小时之月实行相比得时分加于戊点食甚用时得辛点为食甚近时(庚戊与戊)(辛等)若使辛点近时之东西差与戊点用时之东西差等则实经度在辛视经度即在戊而近时即为真时又何用求真时然近时实经度虽在辛而近时之东西差复不同于用时之东西差故近时之视经度却又在壬则仍在食甚前夫食甚用时因东西差而见太阴在庚食甚近时又因东西差而见太阴在壬是自戊点食甚用时至辛点食甚近时止见太阴行庚壬之分故以庚壬视行与戊辛弧所变时分之比即同于庚戊东西差与戊癸弧所变时分之比加于戊点食甚用时得癸点为食甚真时葢食甚真时之东西差如戊癸必使太阴实经度在癸而视经度乃在戊方为人目所见日月相掩最深之时刻也(此太阴视经度)(在实经度西故加东西差所变时分若太阴视经度)(在实经度东则减东西差所变时分详下二篇)又如子为初亏限太阴所在丑为复圆限太阴所在丁子丁丑皆太阳太阴两视半径相并之数今命丁戊为食甚视纬(丁戊原系食甚实纬)(今借为食甚视纬以明其理)用正弧三角形求得子戊或戊丑为初亏复圆距食甚之弧(子弧)(与弧丑等)以一小时之月实行相比得时分即初亏复圆距食甚之时分今求初亏复圆用时论理当于戊点食甚用时内减子戊弧所变时分得子点为初亏用时然后求初亏近时及真时但丁戊既为食甚真时之视纬则求初亏用时即于食甚真时内减初亏距食甚之时分得数为密故于癸点食甚真时内减与子戊弧相等之寅癸弧所变时分得寅点为初亏用时因初亏用时之东西差不同于食甚真时之东西差其视经度却在夘则己过初亏后夫食甚真时因东西差而见太阴在戊初亏用时又因东西差而见太阴在夘是自寅点初亏用时至癸点食甚真时止见太阴行夘戊之分故夘戊即为视行而不必又求初亏近时以夘戊视行与寅癸弧所变时分之比即同于子戊初亏距食甚之度与辰癸弧所变时分之比于癸点食甚真时内减之得辰点为初亏真时葢初亏真时之东西差如辰子必使太阴实经度在辰而视经度乃在子方为人目所见日月两周初切之时刻也复圆时刻倣此但与食甚时刻加减相反黄平象限白平象限之同异新法厯书推算日食三差以黄平象限为本(黄平象限乃黄)(道在地平上半周折中之处东西距地平各一象限故名黄平象限又名九十度限)今按三差并生于太阴而太阴之经纬度为白道经纬度用白道较之用黄道为密(详见下日食三差篇)故今推算日食三差以白平象限为本(白平象限即白道在地平上半周折中之处东西距地平亦各一象)(限)然求白平象限诸数必由黄平象限诸数而得不合论之不见其同异不分论之不得其疎密今将黄平象限白平象限之同异详具图说如左如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为赤极(即北极)戊巳庚为赤道按黄赤大距二十三度二十九分三十秒作辛壬负黄极圈任取癸点为黄极则子丑为黄道自黄极癸过天顶甲作癸甲子寅过黄极经圈则子点为黄平象限夘为黄道出地平之点辰为黄道入地平之点子夘子辰皆九十度黄道与赤道交于巳午己为春分午为秋分宗动天左旋惟赤极丁点不动自赤极丁过天顶甲之经圈即子午圈故赤道地平上半周折中之戊点常在正午若黄极则随天左旋一曰绕赤极一周惟黄极正当赤极之上如辛或正当赤极之下如壬则黄赤大距当正午自黄极过天顶甲之黄道经圈即与子午圈合故黄平象限亦在正午今黄极癸在赤极西半周则自黄极癸过天顶甲所作之癸甲子寅经圈其南半周必在子午圈之东故黄平象限子点即在正午东出地夘点在赤道北入地辰点在赤道南春分后未点当正午而子未即黄平象限距正午东之度子寅即黄平象限距地平之髙也若黄极癸在赤极东半周则自黄极癸过天顶甲所作之癸甲子寅经圈其南半周必在子午圈之西故黄平象限子点即在正午西出地夘点在赤道南入地辰点在赤道北秋分前申点当正午而申子即黄平象限距正午西之度子寅即黄平象限距地平之髙也夫黄极随天左旋一日既绕赤极一周则白极随天左旋一日亦绕黄极一周今按朔望时黄白大距四度五十八分三十秒作酉戌负白极圈任取亥点为白极则干坎为白道自白极亥过天顶甲作亥甲干艮过白极经圈则干点为白平象限震为白道出地平之点巽为白道入地平之点干震干巽皆九十度白道与黄道交于离坤离为正交坤为中交惟白极正当黄极之上如酉或正当黄极之下如戌则黄白大距当黄平象限自白极过天顶甲之白道经圈即与黄道经圈合故白平象限与黄平象限同度今白极亥在黄极西半周则自白极亥过天顶甲所作之亥甲干艮经圈其南半周必在黄道经圈之东故白平象限干点即在黄平象限东出地震点在黄道北入地巽点在黄道南正交后兊点当黄平象限而干兊即白平象限距黄平象限东之度干艮即白平象限距地平之髙也设太阴在干兊之间则所当黄道度为限东视经度差而东其时刻宜减而白道度实为限西视经度差而西其时刻则宜加也若白极亥在黄极东半周则自白极亥过天顶甲所作之亥甲干艮经圈其南半周必在黄道经圈之西故白平象限干点即在黄平象限西出地震点在黄道南入地巽点在黄道北中交后亢点当黄平象限而干亢即白平象限距黄平象限西之度干艮即白平象限距地平之髙也设太阴在干亢之间则所当黄道度为限西视经度差而西其时刻宜加而白道度实为限东视经度差而东其时刻则宜减也又白平象限距地平之干艮弧髙于黄平象限距地平之子寅弧则白道直而昻黄道斜而低白道髙弧交角必小于黄道髙弧交角如白平象限距地平之干艮弧低于黄平象限距地平之子寅弧则白道斜而低黄道直而昻白道髙弧交角必大于黄道髙弧交角也按京师赤极髙四十度弱黄平象限最髙者七十三度余最低者二十六度余白平象限最髙者七十八度余最低者二十一度余黄平象限距正午偏至二十四度余白平象限距黄平象限偏至十度余地愈近南赤极愈低则限距地平愈髙而所偏之度愈少地愈近北赤极愈髙则限距地平愈低而所偏之度愈多也日食三差推歩日食较之推歩月食为甚难者以有三差也三差维何一曰髙下差(即地半径差)一曰东西差(新法厯书为太阴黄)(道经差今定为太阴白道经差)一曰南北差(新法厯书为太阴黄道纬差今定为太阴白道)(纬差)然东西差南北差又皆由髙下差而生其故何也葢食甚用时以地心立算人自地面视之遂有地半径差而太阳地半径差恒小太阴地半径差恒大于太阴地半径差内减太阳地半径差始为太阴髙下差髙下差既变真髙为视髙故经度之东西纬度之南北亦皆因之而变也新法厯书求东西南北差以黄平象限为本者葢以太阴在黄平象限东者视经度恒差而东太阴在黄平象限西者视经度恒差而西差而东者时刻宜减差而西者时刻宜加故日食之早晚必征之东西差而后可定也北极出地二十三度半以上者黄平象限恒在天顶南太阴之视纬度恒差而南北极出地二十三度半以下者黄平象限有时在天顶北太阴之视纬度即差而北差而南者实纬在南则加在北则减差而北者实纬在南则减在北则加故日食之浅深必征之南北差而后可定也其法自黄极作两经圏一过真髙一过视髙两经圏所截黄道度即实经度与视经度之较是为东西差两经圏之较即实纬度与视纬度之较是为南北差三差相交成正弧三角形直角恒对髙下差黄道髙弧交角恒对南北差余角恒对东西差惟太阴正当黄平象限则黄道经圏过天顶与髙弧合真髙视髙同在一经圏上故髙下差即南北差而无东西差黄平象限正当天顶则黄道与髙弧合真髙视髙同在黄道上故髙下差即东西差而无南北差过此距黄平象限愈近交角愈大则南北差大而东西差小距黄平象限愈逺交角愈小则南北差小而东西差大故必先求黄平象限及黄道髙弧交角而后东西南北差可次第求焉今按太阴之经度为白道经度食甚实纬又与白道成直角则东西差乃白道之经差非黄道之经差也南北差乃白道之纬差非黄道之纬差也三差相交成正弧三角形亦白道与白道经圏及髙弧所成之三角形非黄道与黄道经圏及髙弧所成之三角形也夫白道与黄道斜交则白平象限之与黄平象限白道髙弧交角之与黄道髙弧交角亦皆有不同新法厯书因日食近两交黄白二道相距不逺故止用黄道为省算究之必用白道方为密合故今求东西南北差以白平象限为本然白平象限以黄平象限为根而白道髙弧交角又以黄道髙弧交角为据知太阴距黄平象限东西及黄道髙弧交角则可知太阴距白平象限东西及白道髙弧交角矣如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为赤极戊己为负黄极圏戊为黄极庚辛为黄道壬为黄平象限距地平辛九十度癸子为负白极圏癸为白极丑寅为白道夘为白平象限距地平寅亦九十度凡日食求三差必自天顶甲过太阴所在至地平辰作甲辰髙弧即髙下差所由生也设食甚用时太阳在己太阴实髙亦在巳视髙在午巳午为髙下差以黄道论之自黄极戊作两经圈一至实髙巳一至视髙午截黄道于未两经度之较为巳未即东西差两经圈之较为未午即南北差此时太阴实经度巳㸃在黄平象限壬㸃之西视经度未㸃更差而西自人视之尚在食甚前故时刻应加而迟又太阴实髙在巳正当黄道视髙在午在黄道南故距纬应加而逺三差相交成巳午未正弧三角形未为直角对巳午髙下差未巳午角为黄道髙弧交角对未午南北差巳午未角为黄道交髙弧之余角对巳未东西差故知未巳午角及巳午弧即可求巳未弧及未午弧也今以白道而论则应自白极癸作两经圈一至实髙巳一至视髙午截白道于申则巳申为东西差申午为南北差此时太阴实经度巳㸃在白平象限夘㸃之西而视经度申㸃亦更差而西太阴实髙在己正当黄道视髙在午亦在黄道南其东西差南北差之加减并与黄道同但三差相交却成巳午申正弧三角形申为直角对巳午髙下差申巳午角为白道髙弧交角对申午南北差巳午申角为白道交髙弧之余角对巳申东西差此申巳午交角小于未巳午交角故申午南北差小于未午南北差而巳午申余角大于巳午未余角故巳申东西差大于巳未东西差以此推食甚之时刻较之用黄道者必稍迟而食甚之距纬较之用黄道者必稍近故必知申巳午角及巳午弧然后可求巳申弧及申午弧也设食甚用时太阳在巳太阴实髙在午午巳为实纬在黄道北(午为直角)视髙在未午未为髙下差以黄道论之太阴正当黄平象限壬午未髙下差即南北差而无东西差故食甚用时即食甚真时今以白道而论则太阴午㸃尚在白平象限夘㸃之西自白极癸作两经圈一至实髙午一至视髙未截白道于申则申午为东西差申未为南北差自人视之尚在食甚前其时刻应加而迟待太阴由午行至酉则实髙在酉视髙在戌自白极癸至视髙戌作经圈截白道于午截黄道于巳必过日月两心其视经度正当食甚用时午㸃故太阴行至酉㸃之时刻方为食甚真时而酉午为真时东西差午戌为真时南北差于午戌真时南北差内减午巳实纬余巳戌为视纬在黄道南也(实纬在黄道北应减南北差因南北差大于实)(纬故于南北差内反减实纬余即为视纬)此时东西差差三分余则食甚差至半刻而初亏复圆亦必皆差半刻彼以黄道论者太阳在巳太阴在未固不得为食甚真时而午未髙下差即南北差与午巳实纬亦非一线故不得相减为视纬也若设食甚用时为太阴与太阳黄道同度而食甚实纬为与黄道成直角食甚用时太阳在壬太阴实髙在午午壬为实纬(壬为直角)视髙在未午未髙下差即南北差而无东西差则食甚用时即为食甚真时于午未南北差内减午壬实纬余午未为视纬然以白道而论则应自白极癸过太阳壬作经圈截白道于戌戌壬为白道纬度(戌为直角)而戌壬近于午壬则太隂在戌为食甚用时而在午非食甚用时也待太阴由戌行至亥则实髙在亥视髙在申自白极癸至视髙申作经圈亦截白道于戌而截黄道于壬必过日月两心其视经度正当食甚用时戌㸃故亥戌为东西差戌申为南北差于戌申南北差内减戌壬实纬余壬申为视纬而壬申亦近于壬未则太阴在亥为食甚真时而在午非食甚真时也总之日月相距最近为食甚而近莫近于白道成直角故南北差亦必于白道成直角方可以定视纬又太阴在白平象限西则白道之势东髙西下髙下差既变髙为下则俟太阴过用时之东其轨渐髙距日渐近故必用白平象限方可以定真时在限东者倣此又设赤极丁出地二十三度黄极戊当地平则庚辛黄道与髙弧合而黄平象限即在天顶丑寅白道在天顶南白平象限夘在正午之西食甚用时太阳在辰太阴实髙在巳巳辰为实纬在黄道北(巳为直角)视髙在午巳午为髙下差以黄道论之自黄极戊作两经圈一过实髙巳截黄道于未一过视髙午截黄道于申未申畧与巳午等午申畧与巳未等故巳午髙下差即同于未申东西差而无南北差待太阴实经度当黄道之酉则视经度当黄道之辰与太阳同度而太阴行至酉㸃之时刻即为食甚真时然以白道而论则应自白极癸作两经圈一过实髙巳一过视髙午截白道于戌则巳戌为东西差小于未申东西差戌午为南北差在白道南待太阴由巳行至亥则实髙在亥视髙在干自白极癸至视髙干作经圈截白道于巳截黄道于辰必过日月两心其视经度正当食甚用时巳㸃故太阴行至亥㸃之时刻即为食甚真时而亥巳为真时东西差巳干为真时南北差于巳干真时南北差内减巳辰实纬余辰干为视纬在黄道南此白道亥巳东西差小于黄道酉辰东西差则时刻必差而早然东西差所差犹少而白道巳干南北差较之黄道无南北差者则所差甚多此南北差差至三分则食分差一分故新法厯书又以亥巳为距时交周以加于实朔交周为定交周巳过中交坎㸃之后求得酉亥为实纬在黄道南因以黄道立算无南北差即以酉亥实纬为视纬亦畧与辰干视纬等此乃借补之法今以白道立算故即用巳辰为实纬而不用距时交周也求黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧东西南北二差生于髙下差而髙下差生于太阳太隂髙弧今求东西南北二差虽用白道然必先求黄平象限及黄道髙弧交角而求髙下差又止求太阳髙弧葢因合朔时太阴与太阳同度其髙弧畧等也夫黄道与赤道斜交赤道之髙度随地不同故黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧亦随地不同今求黄平象限所该诸数必按本地本时太阳距正午赤道度求得正午黄道经度及黄赤相距纬度并黄道与子午圈相交之角然后可推黄平象限距午东西与距地平之髙及黄道髙弧交角并太阳髙弧也设太阳实行在春分后一十五度为三宫一十五度食甚用时为申正初刻求黄平象限诸数如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为赤极丁丙为京师赤极髙三十九度五十五分戊己庚为赤道戊乙为京师赤道髙五十度零五分辛为黄极壬癸子丑为黄道己为春分丑为交西地平之㸃壬为黄平象限距丑九十度癸为正午壬癸为黄平象限距正午之度壬寅为黄平象限距地平之度即丑角度子为太阳实行黄道经度子巳为距春分后一十五度子壬为太阳距黄平象限之度子夘为太阳髙弧丑子夘角为黄道髙弧交角辰为申正初刻戊辰为申正距午正六十度辰巳为赤道同升度一十三度四十八分二十三秒与戊辰距午正六十度相加得戊巳七十三度四十八分二十三秒为本时正午距春分赤道经度先用癸己戊正弧三角形求癸巳本时正午距春分黄道经度及癸戊本时正午黄赤相距纬度并黄道与子午圈相交之癸角此形有戊直角有己角为黄赤交角二十三度二十九分三十秒有戊己弧七十三度四十八分二十三秒求得癸己弧七十五度零五分一十秒(用戊己弧察二躔黄赤升度表亦得)即知正午癸㸃距春分后二宫一十五度零五分一十秒为黄道之五宫一十五度零五分一十秒也又求得癸角八十三度三十七分零四秒(用癸己弧察日躔黄道赤经交)(角表亦得)又求得癸戊本时正午黄赤距度二十二度三十九分一十九秒(用癸己弧察黄)(赤距度表亦得)与戊乙赤道髙五十度零五分相加得癸乙弧七十二度四十四分一十九秒为正午黄道距地平之度次用癸乙丑正弧三角形求丑角及癸丑弧此形有乙直角(甲乙为子午圈与地)(平成直角)有癸角八十三度三十七分零四秒有癸乙弧七十二度四十四分一十九秒求得丑角七十二度五十分五十六秒(卿壬寅弧)为黄平象限距地平之度又求得癸丑弧八十八度零一分一十八秒与壬丑弧九十度相减余壬癸弧一度五十八分四十二秒为黄平象限距正午东之度以壬癸弧一度五十八分四十二秒与本时正午癸㸃黄道五宫一十五度零五分一十秒相加得五宫一十七度零三分五十二秒即黄平象限壬㸃之度内减太阳实行子㸃黄道经度三宫一十五度余六十二度零三分五十二秒即壬子弧为太阳距黄平象限西之度也于是用丑子夘正弧三角形求子角为黄道髙弧交角及子夘弧为太阳髙弧此形有夘直角有丑角七十二度五十分五十六秒(即黄平象限距地平)(之髙)有子丑弧二十七度五十六分零八秒(即太阳距黄平象限)(壬子弧之余)求得子角一十九度一十五分一十九秒即黄道髙弧交角又求得子夘弧二十六度三十五分三十秒即太阳髙弧也又随时求太阳髙弧法春秋分日太阳在赤道上无距纬者则以半径一千万为一率本地赤道髙度之正弦为二率各时刻距午正赤道经度之余弦为三率所得四率即本日各时刻太阳髙弧之正弦也如图甲乙丙为子午圈甲为天顶乙丁丙为地平戊为北极戊丙为京师北极髙三十九度五十五分己丁庚为赤道己乙为京师赤道髙五十度零五分即春秋分午正太阳之髙己辛为赤道髙度之正弦如求春秋分日巳正太阳之髙则从天顶甲过巳正作甲巳壬髙弧其巳壬即巳正髙弧己癸为己正髙弧之正弦己距午正己三十度己己为距午正三十度之矢己丁为距午正三十度之余弦(即距夘正六十度之正弦)即成己丁辛己丁癸同式两勾股形故以己丁半径与己辛赤道髙五十度零五分之正弦之比即同于己丁距午正三十度之余弦与己癸己正髙弧之正弦之比而得己癸髙弧之正弦检表得己壬髙弧即春秋分日己正太阳之髙也葢春秋分日太阳循己丁赤道行从丁出地平为夘正渐髙距丁三十度为辰正(毎一时当赤道三十度毎一刻当赤道三度四十五)(分)距丁六十度为己正距丁九十度至己为午正又渐低距己三十度为未正距己六十度为申正距己九十度复从丁入地平为酉正故春分日与秋分日逐时之髙弧皆等而午前各时与午后各时之髙弧亦等也春秋分前后太阳不在赤道上有距纬则以本时距纬与赤道髙度相加减各取其正弦相加折半为中数相减折半为夘酉髙弧之正弦乃以半径一千万为一率各时刻距午正赤道经度之余弦为二率中数为三率所得四率为加减差加夘酉髙弧正弦得距赤道北各节气逐日时刻太阳髙弧之正弦减夘酉髙弧正弦得距赤道南各节气逐日时刻太阳髙弧之正弦若加减差小于夘酉髙弧正弦即为太阳在地平下无髙度也如图甲乙丙为子午圈甲为天顶乙丁丙为地平戊为北极戊丙为京师北极髙三十九度五十五分己丁庚为赤道己乙为京师赤道髙五十度零五分自春分至夏至以及秋分太阳行赤道北辛巳即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自春分以后太阳距赤道北者皆如之辛壬为夏至距等圈故夏至日太阳行辛壬线从癸出地平自秋分至冬至以及春分太阳行赤道南己子亦即黄赤大距二十三度二十九分三十秒凡自秋分以后太阳距赤道南者皆如之子丑为冬至距等圈故冬至日太阳行子丑线从寅出地平求夏至冬至太阳午正前后各时通用之数则以夏至距纬辛己弧与赤道髙己乙弧相加得辛乙弧七十三度三十四分三十秒即夏至午正太阳之髙其正弦辛夘以冬至距纬己子弧与赤道髙己乙弧相减余子乙弧二十六度三十五分三十秒与丙壬弧等即冬至午正太阳之髙其正弦子辰与壬午等两正弦相加得辛未半之得辛申为中数两正弦相减余酉夘半之得申夘(或以中数辛申与正弦辛夘相减即得申)(夘或以中数申未与正弦夘未相减亦同)为夘酉正弦葢戌为夏至日夘正酉正太阳所在戌亥为其髙弧之正弦却与申夘等故申夘为夘酉之正弦也今求夏至日巳正太阳之髙巳干为髙弧其正弦巳坎巳距午正辛三十度辛巳为距午正三十度之矢与己艮矢相当巳戌为距午正三十度之余弦与艮丁相当(辛戌距等圈半径与己丁赤道)(半径平行故其分线皆为相当比例)遂成辛申戌巳震戌同式两勾股形今以辛戌距等圈半径与巳戌距等圈余弦之比即如辛申中数与巳震加减差之比因辛戌距等圈半径与巳戌距等圈余弦之比原同于己丁半径与艮丁余弦之比则己丁半径与艮丁余弦之比亦必同于辛申中数与巳震加减差之比矣故以己丁半径为一率艮丁距午正三十度之余弦为二率辛申中数为三率得四率巳震为加减差与夘酉正弦震坎相加(震坎与申夘等)得巳坎为巳干髙弧之正弦检表得巳干髙弧即夏至日巳正太阳之髙也(未正之髙弧同)如求冬至日己正太阳之髙巽离为髙弧其正弦巽坤巽距午正子三十度子巽为距午正三十度之矢与兊壬等则兊角亦与巽坤等而壬午又原与子辰等今以壬午与兊角各引长加一夘酉正弦申夘分得壬亢与兊氐其壬亢戌勾股形必与辛申戌勾股形相等(辛戌与戌壬同为距等圈半径其分既等则所)(余二边亦必等)而兊氐戌勾股形亦必与巳震戌勾股形相等故巳震加减差即与兊氐等于兊氐内减去与申夘相等之氐角余兊角与巽坤等为巽离髙弧之正弦检表得巽离髙弧即冬至日己正太阳之髙也(未正)(之髙弧同)其冬夏至前后各节气并以距赤道南北纬度如法求之如立夏在赤道北立冬在赤道南其距纬相等则其加减之数皆同用故求得加减差以加夘酉髙弧正弦得立夏日各时刻太阳髙弧之正弦以减夘酉髙弧正弦得立冬日各时刻太阳髙弧之正弦至于立秋在赤道北与立夏距赤道之纬度等其各时刻太阳之髙弧必等而立春在赤道南与立冬距赤道之纬度等其各时刻太阳之髙弧亦等故用一比例可得四节气各时刻太阳之髙弧也又随时求太阳髙弧用斜弧三角形法设如秋分后二十五日太阳距赤道南一十度求巳初初刻太阳髙弧若干则以太阳距北极为一边北极距天顶为一边巳初距午正赤道经度为一角用知两边一角而角在两边之间求对边之法求得对边为太阳距天顶之弧与一象限相减余即太阳距地平之髙弧也如图甲乙丙为子午圈甲为天顶乙丙为地平丁为北极戊己为赤道戊为午正赤道南一十度如庚庚辛为距赤道一十度之距等圈己初距午正赤道经度为四十五度赤道上四十五度为戊壬从北极丁出经圈过赤道壬㸃至庚辛距等圈癸㸃即本日己初太阳所在壬癸为距纬一十度从天顶甲过太阳所在癸至地平子作甲癸子髙弧即成丁甲癸斜弧三角形此形有丁角四十五度(当戊壬弧)有丁甲边北极距天顶五十度零五分有丁癸边太阳距北极一百度求得甲癸边六十四度五十九分四十八秒为太阳距天顶与甲子象限九十度相减余癸子二十五度零一十二秒即此日巳初初刻太阳距地平之髙弧也求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧虽由黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧而得然而用弧三角细推之止用黄平象限用捷法加减之止用黄道髙弧交角细推之法食甚用时不在两交㸃者得数为密而立表则甚繁葢白道之交于黄道即如黄道之交于赤道黄平象限既因赤道之髙度而随地不同则白平象限亦必因黄道之髙度而随时不同也加减之法食甚用时不在两交㸃者得数少差而入算则甚简葢食限距交不过一十六度食限距纬不过一度太阴正当黄道者其数本同太阴虽不正当黄道者而得数亦畧相等也要之细推之法为眀其理加减之法为便于用今按法列图如左设食甚用时太阳距黄平象限西六十二度零三分五十二秒黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒太阳髙弧二十六度三十五分三十秒黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太阴适当正交无纬度求白平象限诸数如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为赤极戊为黄极己庚为黄道辛为黄平象限壬为白极癸子为白道丑为白平象限食甚用时太阳在寅辛寅为太阳距黄平象限西六十二度零三分五十二秒寅庚为其余辛夘为黄平象限距地平七十二度五十分五十六秒即庚角度寅辰为太阳髙弧二十六度三十五分三十秒庚寅辰角为黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒太阴适当正交亦在寅丑寅为太阴距白平象限西之度寅子为其余丑己为白平象限距地平之度即子角度寅辰亦即太阴髙弧子寅辰角为白道髙弧交角先用庚寅子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子己角之外角)及寅子弧(乃太阴距白平象限丑寅弧之余)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有寅角为黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太阳距)(黄平象限辛寅弧之余)求得子角一百零二度四十六分零二秒与半周相减余七十七度一十三分五十八秒即丑子巳角为白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十七度一十九分一十六秒与九十度相减余六十二度四十分四十四秒即丑寅弧为太阴距白平象限西之度次应用子寅辰正弧三角形求寅角为白道髙弧交角及寅辰弧为太阴髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角内减庚寅子黄白交角之余(庚寅子角即朔望时黄白大距)故止于庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内减庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒余子寅辰角一十四度一十六分四十九秒即白道髙弧交角又太阴适当正交与太阳同度太阳髙弧即太阴髙弧故凡太阴适当正交无纬度者即如此加减并不用细推也又此所得白道髙弧交角既小于黄道髙弧交角即知太阴距黄平象限近距白平象限逺在黄平象限辛㸃西者必更在白平象限丑㸃之西而黄道髙弧交角足减黄白交角即知白平象限虽髙于黄平象限犹未与髙弧合仍在天顶南也设食甚用时太阳仍在寅而太阴过正交后如午食甚交周过正交后五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)实朔交周过正交后六度如寅未(实朔交周黄道)(度也)则午申为太阴髙弧子午申角为白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(乃白平象限距地平髙之丑子巳角)(之外角)及未子弧(为与午未相加即太)(阴距白平象限之余也)此形有庚角七十二度五十分五十六秒有未角为黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅为太阳距黄平象限之余二十)(七度五十六分零八秒减寅未实朔交周过正交六)(度余二十一度五十六分零八秒即未庚)求得子角一百零二度三十一分四十一秒与半周相减余七十七度二十八分一十九秒即丑子巳角为白平象限距地平之髙又求得未子弧二十一度二十六分五十三秒与午未食甚交周过正交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十七度二十五分三十二秒与九十度相减余六十二度三十四分二十八秒即丑午弧为太阴距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角为白道髙弧交角及午申弧为太阴髙弧此形有申直角有子角七十七度二十八分一十九秒有午子弧二十七度二十五分三十二秒求得子午申角一十四度零三分一十六秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度四十三分一十二秒即太阴髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈与寅庚平行而午申亦畧与寅辰平行则酉午申角畧与庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧与庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故于庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒内减去庚未子黄白交角四度五十八分三十秒余一十四度一十六分四十九秒即如酉午申角内减去酉午子角余子午申角为白道髙弧交角也较细推所得之数多一十三分三十三秒而太阴亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天顶南又午申太阴髙弧亦畧与寅辰太阳髙弧等故即命太阴髙弧为二十六度三十五分三十秒较细推所得之数少七分四十二秒然用此二数求三差髙下差仅多一秒东西差仅少二秒南北差仅多一十二秒而时刻食分皆不过差数秒可以不计且立算甚简捷可省白平象限立表之繁也凡太阴距黄平象限西而在正交前后则白道入地平之子㸃必在黄道南太阴由未向午入阴厯白道交弧交角皆小于黄道髙弧交角故凡太阴距黄平象限西而在正交前后者皆于黄道髙弧交角内减黄白交角余即为白道髙弧交角若太阴距黄平象限东而在中交前后则白道南地平之子㸃必在黄道南太阴由午向未入阳厯白道髙弧交角亦小于黄道髙弧交角故凡太阴距黄平象限东而在中交前后者亦于黄道髙弧交角内减黄白交角余为白道髙弧交角也设食甚用时太阳仍在寅而太阴适当中交无纬度求白平象限诸数则先用庚寅子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及寅子弧(乃太阴距白平象限丑寅弧之余)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角)(之外角)有寅角为黄白交角四度五十八分三十秒有寅庚弧二十七度五十六分零八秒(乃太阳距黄平象限辛寅弧之)(余)求得子角六十八度二十七分二十秒即丑子巳角为白平象限距地平之髙又求得寅子弧二十八度四十六分零二秒与九十度相减余六十一度一十三分五十八秒即丑寅弧为太阴距白平象限西之度次应用子寅辰正弧三角形求寅角为白道髙弧交角及寅辰弧为太阴髙弧然子寅辰角即庚寅辰黄道髙弧交角加庚寅子黄白交角之数故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒与庚寅子黄白交角四度五十八分三十秒相加得子寅辰角二十四度一十三分四十九秒即白道髙弧交角又太阴适当中交与太阳同度太阳髙弧即太阴髙弧故凡太阴适当中交无纬度者即如此加减并不用细推也又此所得白道髙弧交角虽大于黄道髙弧交角而犹未满九十度即知太阴虽距黄平象限逺距白平象限近而犹未至白平象限亦仍在白平象限丑㸃之西而白道髙弧交角既大于黄道髙弧交角即知白平象限低于黄平象限更在天顶南也设食甚用时太阳仍在寅而太阴过中交后如午食甚交周过中交后五度五十八分三十九秒如午未(食甚交周白道度也)实朔交周过中交后六度如寅未(实朔交周黄道)(度也)则午申为太阴髙弧子午申角为白道髙弧交角先用庚未子斜弧三角形求子角(即白平象限距地平之髙)及未子弧(为与午未相加即太阴距白平象限之余)(也)此形有庚角一百零七度零九分零四秒(乃黄平象限距)(地平髙之辛庚夘角之外角)有未角为黄白交角四度五十八分三十秒有未庚弧二十一度五十六分零八秒(庚寅为太)(阳距黄平象限之余二十七度五十六分零八秒减)(寅未实朔交周过中交六度余二十一度五十六分)(零八秒即未庚)求得子角六十八度三十八分一十一秒即丑子巳角为白平象限距地平之髙又求得未子弧二十二度三十六分零七秒与午未食甚交周过中交五度五十八分三十九秒相加得午子弧二十八度三十四分四十六秒与九十度相减余六十一度二十五分一十四秒即丑午弧为太阴距白平象限西之度次用子午申正弧三角形求午角为白道髙弧交角及午申弧为太阴髙弧此形有申直角有子角六十八度三十八分一十一秒有午子弧二十八度三十四分四十六秒求得子午申角二十四度二十四分四十秒即白道髙弧交角又求得午申弧二十六度二十二分四十三秒即太阴髙弧也捷法不用求白平象限先求白道髙弧交角自午作午酉距等圈与寅庚平行而午申亦畧与寅辰平行则酉午申角畧与庚寅辰角等(庚寅辰角即黄道髙弧交角)酉午子角畧与庚未子角等(庚未)(子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角一十九度一十五分一十九秒与庚未子黄白交角四度五十八分三十秒相加得二十四度一十三分四十九秒即如酉午申角加酉午子角得子午申角为白道髙弧交角也较细推所得之数少一十分五十一秒而太阴亦仍在白平象限西白平象限亦仍在天顶南又午申太阴髙弧亦畧与寅辰太阳髙弧等故即命太阴髙弧为二十六度三十五分三十秒较细推所得之数多一十二分四十七秒然用以求三差所差亦甚㣲可以不计凡太阴距黄平象限西而在中交前后则白道入地平之子㸃必在黄道北太阴由未向午入阳厯白道髙弧交角皆大于黄道髙弧交角故凡太阴距黄平象限西而在中交前后者皆以黄道髙弧交角如黄白交角即为白道髙弧交角若太阴距黄平象限东而在正交前后则白道出地平之子㸃必在黄道北太阴由午向未入阴厯白道髙弧交角亦大于黄道髙弧交角故太阴距黄平象限东而在正交前后者亦以黄道髙弧交角加黄白交角为白道髙弧交角也设食甚用时太阳距黄平象限西五度黄平象限距地平二十七度零五分零九秒太阳髙弧二十六度五十八分二十八秒黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太阴食甚交周过中交后六度三十六分三十七秒实朔交周过中交后六度三十八分零七秒求白平象限诸数如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为赤极戊为黄极己庚为黄道辛为黄平象限壬为白极癸子为白道丑为白平象限食甚用时太阳在寅辛寅为太阳距黄平象限西五度寅庚为其余辛夘为黄平象限距地平二十七度零五分零九秒即庚角度寅辰为太阳髙弧二十六度五十八分二十八秒庚寅辰角为黄道髙弧交角八十七度二十六分五十二秒太阴过中交后在巳巳午为食甚交周过中交后六度三十六分三十七秒(食甚交周白道度也)寅午为实朔交周过中交后六度三十八分零七秒(实朔交周)(黄道度也)丑未为白平象限距地平之度即子角度己申为太阴髙弧子己申角为白道髙弧交角先用庚午子斜弧三角形求子角及午子弧此形有庚角一百五十二度五十四分五十一秒(乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角之外)(角)有午角为黄白交角四度五十八分三十秒有午庚弧七十八度二十一分五十三秒(寅庚为太阳距黄平象限之余)(八十五度减寅午实朔交周过中交六度三十八分)(零七秒余七十八度二十一分五十三秒即午庚)求得子角二十六度三十分即丑未弧为白平象限距地平之髙又求得午子弧八十八度一十分与己午食甚交周过中交后六度三十六分三十七秒相加得己子弧九十四度四十六分三十七秒内减九十度余四度四十六分三十七秒即丑巳弧为太阴距白平象限东之度次用子巳申正弧三角形求巳角为白道髙弧交角及巳申弧为太阴髙弧此形有申直角有子角二十六度三十分有巳子弧九十四度四十六分三十七秒求得巳角九十二度二十二分三十二秒即白道髙弧交角又求得己申弧二十六度二十四分零三秒即太阴髙弧也捷法自巳作巳酉距等圈与寅庚平行而巳申亦畧与寅辰平行则酉巳申角畧与庚寅辰角等(庚寅辰角即黄)(道髙弧交角)酉巳子角畧与庚午子角等(庚午子角即黄白交角)故以庚寅辰黄道髙弧交角八十七度二十六分五十三秒与子午庚黄白交角四度五十八分三十秒相加得九十二度二十五分二十三秒即如酉巳申角加酉巳子角得子巳申角为白道髙弧交角也此所得白道髙弧交角过九十度即知太阴过白平象限丑㸃之东又寅辰太阳髙弧畧与巳申太阴髙弧等故即命太阴髙弧为二十六度五十八分二十八秒也此太阴距黄平象限西而在中交前后应以黄道髙弧交角加黄白交角为白道髙弧交角因加过九十度即知太阴过白平象限东若黄道髙弧交角加黄白交角适足九十度即知太阴正当白平象限而无距度凡黄道髙弧交角加黄白交角适足九十度或过九十度者倣此设赤极二十三度以下(为使)(黄平象限近天顶白平象限过天顶北也)食甚用时太阳距黄平象限西四十度黄平象限距地平八十七度五十五分太阳髙弧四十九度五十七分一十八分黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太阴适当正交无纬度求白平象限诸数如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为赤极戊为黄极己庚为黄道己即为黄平象限辛为白极壬癸为白道壬即为白平象限食甚用时太阳在子己子为太阳距黄平象限西四十度子庚为其余己丑为黄平象限距地平八十七度五十五分即庚角度子寅为太阳髙弧四十九度五十七分一十八秒庚子寅角为黄道髙弧交角三度一十四分零六秒太阴适当正交亦在子壬子为太阴距白平象限西之度子癸为其余壬夘为白平象限距地平之度即癸角度子寅亦即太阴髙弧癸子寅角为白道髙弧交角先用庚子癸斜弧三角形求癸角(乃白平象限距地平髙之壬癸夘角)(之外角)及子癸弧(乃太阴距白平象限)(壬子弧之余)此形有庚角八十七度五十五分有子角为黄白交角四度五十八分三十秒有子庚弧五十度(乃太阳距黄平象限己子弧之余)求得癸角八十八度五十二分二十七秒与半周相减余九十一度零七分三十三秒即壬癸夘角为白平象限距地平之髙因其过于九十度故知白平象限在天顶北又求得子癸弧四十九度五十八分零五秒与九十度相减余四十度零一分五十五秒即壬子弧为太阴距白平象限西之度次应用子寅癸正弧三角形求子角为白道髙弧交角及子寅弧为太阴髙弧然癸子寅角即庚子癸黄白交角内减庚子寅黄道髙弧交角之余故止于庚子癸黄白交角四度五十八分三十秒内减庚子寅黄道髙弧交角三度一十四分零六秒余癸子寅角一度四十四分二十四秒即白道髙弧交角又太阴适当正交与太阳同度太阳髙弧即太阴髙弧也此太阴距黄平象限西而当正交入阴厯应于黄道髙弧交角内减黄白交角余为白道髙弧交角因黄道髙弧交角小于黄白交角不足减故于黄白交角内反减黄道髙弧交角即知髙弧在黄白二道之间而白平象限在天顶北凡黄道髙弧交角不足减黄白交角者倣此以上诸图皆以黄平象限在天顶南设例若黄平象限在天顶北则加减反是求东西南北差求东西南北二差以白道髙弧交角及髙下差为比例葢三差相交成正弧三角形直角恒对髙下差交角恒对南北差余角恒对东西差故以半径与交角余弦之比即同于髙下差正切与东西差正切之比而半径与交角正弦之比即同于髙下差正弦与南北差正弦之比也然交角虽有九十度而东西南北差止用四十五度前后互为消长其数相当亦如割圜八线四十五度前后互相为正余也设如白道髙弧交角二十五度二十五分髙下差四十五分五十七秒求东西南北差如图甲为天顶甲乙丙丁为过白极经圈乙丙为地平丁为白极戊己为白道甲庚为髙弧太阴实髙在辛视髙在壬己辛庚角为白道髙弧交角二十五度二十五分辛壬为髙下差四十五分五十七秒自白极丁至视髙壬作经圈截白道于癸辛癸为东西差壬癸为南北差乃用辛壬癸正弧三角形求辛癸壬癸二弧此形有癸直角有辛角二十五度二十五分有辛壬弧四十五分五十七秒求得辛癸弧四十一分三十秒为东西差又求得壬癸弧一十九分四十三秒为南北差也总之二差之大小由于髙下差如髙下差大则二差俱大髙下差小则二差俱小而二差之互为消长则由于交角如同一髙下差而交角大于余角则东西差小而南北差大余角大于交角则东西差大而南北差小故设交角九十度东西南北差止用四十五度前后可以互用如四十度之东西差即五十度之南北差四十度之南北差即五十度之东西差也求日食食甚用时食甚交周食甚实纬食甚用时者太阴实行与太阳实行白道同度之时刻食甚交周者食甚用时太阴距交之白道经度而食甚实纬者食甚用时太阴距太阳之白道纬度也太阳距交之黄道经度与太阴距交之白道经度等是为东西同经即为实朔其距交之度为实朔交周然此时太阳与太阴相距犹逺惟自白极过太阳作经圈与白道成直角太阴实经行至此直角之㸃则与太阳相距最近是为食甚用时其距交之经度为食甚交周其相距之纬度即食甚实纬法以太阳距交黄道度(即实朔交周)求其相当之白道度即为食甚交周求其距纬即为食甚实纬以食甚交周与实朔交周相减余为交周升度差以一小时月实行相比得时分加减实朔用时即为食甚用时既有用时则可以东西差求近时与真时既有实纬则可以南北差求视纬故日食之时刻分秒虽不以用时与实纬而定而实以用时与实纬为入算之本也设实朔用时为申正一刻九分四十七秒实朔交周过正交后一十二度一小时月实行为三十三分求食甚用时及食甚交周食甚实纬如图甲乙为黄道甲丙为白道甲为正交甲戊为实朔交周过正交后一十二度与甲丁等戊㸃为实朔用时之度己㸃为食甚用时之度甲己为食甚交周丁己为食甚实纬乃用甲丁己正弧三角形求甲己丁己二弧此形有己直角有甲角为黄白交角四度五十八分三十秒有甲丁弧一十二度与甲戊实朔交周等求得甲己弧一十一度五十七分二十二秒为食甚交周又求得丁己弧一度零一分五十九秒为食甚实纬以甲己食甚交周与甲戊实朔交周相减余戊己二分三十八秒为交周升度差乃以一小时月实行三十三分与一小时六十分之比即同于戊己交周升度差二分三十八秒与食甚距实朔四分四十七秒之比而得戊己交周升度差所变时分因于实朔用时申正一刻九分四十七秒内减四分四十七秒得申正一刻五分即食甚用时也此食甚在两交后太阴由甲向丙而甲戊实朔交周度多甲己食甚交周度少故于戊㸃实朔用时减戊己交周升度差所变时分为食甚用时若食甚在两交前太阴由丙向甲而丙戊实朔交周度少丙己食甚交周度多则于戊㸃实朔用时加戊己交周升度差所变时分为食甚用时也求日食食甚真时及食甚视纬日食食甚时刻必以东西差加减用时方为真时而东西差之时分最为难定葢太阴因视差之故其行度时时不同若以实行比例加减用时而其时又有东西差必不与用时之东西差相等自人视之或在食甚前或在食甚后犹非食甚真时也故欲定东西差之时分必以视行为比例其法以一小时月实行与一小时之比即同于用时东西差与近时距分之比以加减食甚用时为食甚近时(太阴在白平象限西则加在白平象)(限东则减)又以近时求得东西差与用时之东西差相较得差分以加减用时东西差为食甚视行(用时之东西差小近)(时之东西差大则以差分减用时之东西差大近时之东西差小则以差分加或以用时之东西差倍之)(减近时之东西差所得亦同)乃以食甚视行与近时距分之比即同于用时东西差与真时距分之比以加减食甚用时即为食甚真时也既得食甚真时则以真时求得南北差与食甚实纬相加减即得食甚视纬矣(白平象限)(在天顶南者实纬在黄道南则加南北差而视纬仍为南实纬在黄道北则减南北差而视纬仍为北若)(实纬不足减南北差则反减而视纬即变为南白平象限在天顶北者反是)设食甚用时为申正一刻五分而在白平象限西其东西差三分五十一秒一小时月实行为三十三分求食甚真时及食甚视纬如图甲为天顶甲乙丙丁为过白极经圈乙丙为地平丁为白极戊己为白道戊为白平象限甲庚为髙弧食甚用时太阴在辛人从地面视之却见太阴在壬当白道之癸尚在食甚辛㸃之西三分五十一秒故辛癸为东西差夫太阴实经度在辛视经度既在癸待太阴行过辛㸃三分五十一秒时而实经度在子则视经度必应在辛故以一小时月实行三十三分计之行辛癸弧三分五十一秒须得时之七分则行子辛弧三分五十一秒亦须得时之七分是为近时距分因于食甚用时申正一刻五分内加七分得申正一刻十二分是为近时也然近时既迟于用时其时亦必有东西差乃以近时复推得东西差为四分五十一秒如子丑大于子辛弧一分然则依用时之东西差辛癸计之太阴在子视之应在辛而依近时之东西差子丑计之则太阴在子者视之必应在丑仍在食甚辛㸃之西一分如辛丑是自食甚用时至食甚近时止见太阴行丑癸之度故以辛丑为差分以减用时之东西差辛癸三分五十一秒余丑癸二分五十一秒为视行夫行丑癸弧二分五十一秒既须时之七分则行辛癸弧三分五十一秒必须时之九分二十七秒矣故以九分二十七秒为真时距分以加食甚用时得申正一刻十四分二十七秒为食甚真时也葢食甚用时实经度在辛视经度在癸而食甚近时实经度在子视经度在丑则食甚真时实经度必更在子㸃之东如寅人从地面视之却见太阴在夘其视经度正当食甚白道之辛故太阴行至寅㸃方为食甚真时乃以真时推得辛夘南北差为太阴白道纬差以加减白道实纬即为太阴距太阳之视纬也求日食初亏复圆用时欲求初亏复圆距食甚之时刻必先求初亏复圆距食甚之弧度其法以视纬为一边以太阳太阴两视半径相并为一边以视纬交白道之角为直角用正弧三角形求得初亏距食甚之弧亦即复圆距食甚之弧其理与月食同但月食初亏复圆距食甚之弧度等而时刻亦等日食因视差之故常变实行为视行其初亏复圆距食甚之弧度虽等而时刻则不等然不等者视行也而相等者实行也非先以实行求其相等之时刻无以求东西差而得视行故以一小时月实行与一小时之比即同于初亏复圆距食甚之度与初亏复圆距食甚时分之比以减食甚真时为初亏用时以加食甚真时为复圆用时既有初亏复圆用时则可以求初亏复圆真时故日食初亏复圆时刻虽不以用时为定而实以用时为入算之本也设食甚真时为申初初刻七分食甚视纬二十分太阳视半径一十五分太阴视半径一十六分一小时月实行为三十三分求初亏复圆用时如图甲乙为黄道甲丙为白道丁为太阳丁戊为食甚视纬二十分食甚时大阴视经在戊初亏时太阴视经在己复圆时太阴视经在庚丁辛与丁壬皆太阳视半径一十五分己辛与庚壬皆太阴视半径一十六分丁己与丁庚皆并径三十一分己戊为初亏距食甚之弧戊庚为复圆距食甚之弧其度相等故用丁戊己正弧三角形求己戊弧此形有戊直角有丁戊弧二十分有丁己弧三十一分求得己戊弧二十三分四十一秒为初亏距食甚之度亦即复圆距食甚之度也但己戊与戊庚之度虽等而大阴行此度之时刻则不等故先以一小时月实行三十三分与一小时六十分之比即同于己戊或戊庚二十三分四十一秒与初亏复圆距食甚时分四十四分二十四秒之比而得己戊或戊庚所变时分因于食甚真时申初初刻七分内减四十四分二十四秒得未正一刻七分三十六秒即初亏用时于食甚真时申初初刻七分加四十四分二十四秒得申初三刻六分二十四秒即复圆用时也求日食初亏复圆真时日食初亏复圆真时即以初亏复圆用时求之而得与求食甚真时又用近时者不同葢食甚己有东西差则可相较得视行以为比例也其法以初亏复圆两用时各按法求其东西差同限者以其东西差与食甚之东西差相减为差分以加减初亏复圆距食甚之度为初亏复圆时视行异限者以其东西差与食甚之东西差相并为差分以减初亏复圆距食甚之度为初亏复圆时视行(初亏与食甚同在白平象限东而初亏东西差大于)(食甚东西差则以初亏差分减初亏东西差小于食甚东西差则以初亏差分加若初亏与食甚同在白)(平象限西则加减反是复圆与食甚同在白平象限东而复圆东西差大于食甚东西差则以复圆差分)(加复圆东西差小于食甚东西差则以复圆差分减若复圆与食甚同在白平象限西则加减反是若初)(亏在限东食甚在限西或食甚在限东复圆在限西则俱以差分减)乃以初亏视行与初亏用时距食甚时分之比即同于初亏距食甚之度与初亏真时距食甚时分之比以减食甚真时即为初亏真时以复圆视行与复圆用时距食甚时分之比即同于复圆距食甚之度与复圆真时距食甚时分之比以加食甚真时即为复圆真时也设食甚真时为申初初刻七分而在白平象限西其东西差一十八分五十四秒初亏距食甚之弧为二十三分四十一秒比例得时分四十四分二十四秒初亏用时为未正一刻七分三十六秒求初亏真时如图甲为天顶甲乙丙丁为过白极经圈乙丙为地平丁为白极戊己为白道戊为白平象限甲庚为髙弧食甚真时太阴在辛人从地面视之却见太阴在壬当白道之癸正当食甚之㸃辛癸为食甚东西差一十八分五十四秒子为初亏子癸为初亏距食甚之弧二十三分四十一秒夫太阴行过食甚癸㸃一十八分五十四秒时而实经度在辛视经度既在癸则太阴行过初亏子㸃一十八分五十四秒时而实经度在丑视经度必应在子是故丑子与辛癸等丑辛亦与子癸等丑㸃即为初亏用时然初亏在食甚前其时亦必有东西差乃以初亏用时复推得东西差为一十二分零二秒如丑寅小于丑子弧六分五十二秒然则依食甚之东西差辛癸计之太阴在丑视之应在子而依初亏之东西差丑寅计之则太阴在丑者视之必应在寅己过初亏子㸃之东六分五十二秒如子寅是自初亏用时至食甚真时止见太阴行寅癸之度故以子寅为差分以减初亏距食甚之子癸二十三分四十一秒余寅癸一十六分四十九秒为视行夫行寅癸弧一十六分四十九秒既须时之四十四分二十四秒则行子癸弧二十三分四十一秒必须时之一时零二分五十秒矣故以一时零二分五十秒为初亏距时以减食甚真时得未正初刻四分一十秒为初亏真时葢食甚真时实经度在辛视经度在癸而初亏用时实经度在丑视经度在寅则初亏真时实经度必更在丑㸃之西如夘人从地面视之却见太阴在辰其视经度正当初亏白道之子故太阴行至夘㸃方为初亏真时也复圆真时倣此日食分秒日食分秒以太阳与太阴两视半径相并内减食甚视纬余为两体相掩之分乃命太阳视径为十分以视经度分与十分之比即同于减余度分与十分中几分之比而得食分为太阳视径十分中之几分也或食甚视纬大于并径则两周不相切为不食食甚视纬仅与并径等则两周相切而不相掩亦为不食或太阴正当黄道而无食甚视纬即以并径为食分两心相掩是为全食若遇太阴视径小于太阳视径则四周露光名为金环食也如图甲乙丙为黄道丁戊己为白道乙为太阳心戊为太阴心乙戊为视纬庚辛为太阳视径壬癸为太阴视径乙癸为两视半径相并之数内减乙戊视纬余戊癸与壬辛等为太阴掩太阳之分以太阳全径庚辛作十分计之则壬辛得五分有余为食分也又如庚辛为太阳视径壬癸为太阴视径乙戊为视纬与乙辛壬戊两视半径相并之数等则太阴与太阳两周相切而不相掩其视纬大于并径者则愈不相掩矣又如太阴视经度正在两道之交而无纬度则太阴心与太阳心相合于乙全掩太阳之光是为全食或太阴之视径壬癸小于太阳之视径庚辛则大阳四周露光如金环也定日食方位厯来厯书定日食初亏复圆方位月在黄道北初亏西北复圆东北月在黄道南初亏西南复圆东南食八分以上初亏正西复圆正东此东西南北主黄道之经纬言与人目所见地平经度之东西南北颇不相合故今亦如月食之法定初亏复圆之㸃在日体之上下左右乃于仰观为亲切也其法亦从天顶作髙弧过日心至地平即分日体为左右两半周又平分为上下两象限即成左上左下右上右下四象限乃视月距黄道之南北距黄平象限之东西及交角之大小而初亏复圆之㸃可定矣如月在黄道上无纬度又在黄平象限上而交角满九十度则初亏正右复圆正左在黄平象限西而交角在四十五度以上则初亏右稍偏下复圆左稍偏上交角在四十五度以下则初亏下稍偏右复圆上稍偏左在黄平象限东者反是若月在交前后有距纬则必求纬差角与交角相加减为定交角然后可定其上下左右也如图甲乙丙为黄道一象限丁乙戊为髙弧乙为日心因在黄平象限西故黄道左昻右低己为日食初亏之月心庚为日食复圆之月心月心正在黄道上无距纬而甲乙戊或丙乙丁交角在四十五度以下其初亏辛㸃在日体之下稍偏右复圆壬㸃在日体之上稍偏左也若日在黄平象限东则黄道左低右昻而甲乙丁或丙乙戊交角在四十五度以上故初亏辛㸃在日体之右稍偏上复圆壬㸃在日体之左稍偏下也如日在黄平象限西而月在黄道北则初亏以己乙甲纬差角与甲乙戊交角相加得己乙戊为定交角在四十五度以上故初亏辛㸃在日体之右稍偏下复圆以庚乙丙纬差角与丙乙丁交角相减余庚乙丁为定交角在四十五度以下故复圆壬㸃在日体之上稍偏左也若日在黄平象限东则初亏之纬差角为减复圆之纬差角为加与此相反(求纬差角与加减之法并)(同月食)如日在黄平象限西而月在黄道南则初亏以己乙甲纬差角与甲乙戊交角相减余己乙戊为定交角在四十五度以下故初亏辛㸃在日体之下稍偏右复圆以庚乙丙纬差角与丙乙丁交角相加得庚乙丁为定交角在四十五度以上故复圆壬㸃在日体之左稍偏上也若日在黄平象限东则初亏之纬差角为加复圆之纬差角为减与此相反绘日食图凡绘日食图先作横竖二线直角相交横线当黄道竖线当黄道经圈用日半径为度于中心作圜以当日体又以日月两半径相并为度作虚圈为初亏复圆之限次视实交周系初宫十一宫则于虚圈上周黄经线右取黄白大距五度作识实交周系五宫六宫则于虚圈上周黄经线左取黄白大距五度作识乃自所识作线过圜心至虚圈下周即为白道经圈于此线上自圜心取食甚视纬度作识即食甚时月心所在从此作横线与白道经圈相交成直角即为白道而白道与虚圈右周相割之㸃即初亏时月心所在白道与虚圈左周相割之㸃即复圆时月心所在也末以初亏食甚复圆三㸃各为心月半径为度各作一圜以当月体即初亏食甚复圆之象宛然在目矣如图甲乙竖线如黄道经圈丙丁横线如黄道戊巳庚圈如日体甲丙乙丁虚圈为初亏复圆之限其半径丙辛为日月两半径之共数设实交周初宫或十一宫则于虚圈上周甲乙经线之右取黄白大距五度如甲壬从壬作线过圜心辛至下周癸为白道经圈于壬癸白道经圈上自圜心辛向下取食甚视纬度如辛子此子㸃即食甚时月心所在也(此以实交周十一宫)(为例其纬在南故自圜心辛向下取子㸃若实交周)(是初宫其纬在北则自圜心辛向上取子㸃)乃从子取直角作丑寅线与壬癸白道经圈相交即为白道而白道割虚圈右周丑㸃为初亏限割左周寅㸃为复圆限以丑子寅三㸃各为心月半径为度作圜以象月体即见月心至丑其周切日日体将缺是为初亏从丑至子掩日最大是为食甚从子至寅月已离日日光全满是为复圆也御制厯象考成上编卷八
## 上编卷九
钦定四库全书御制厯象考成上编卷九五星厯理一(五星合论)五星总论五星本天皆以地为心五星冲伏留退俱生于次轮五星次轮之上下两弧皆非平分五星总论五星行度有平行有自行有距日行太槩与太隂同推歩之法或用两心差或用小轮或用均轮于本天心或用均轮于本天周其法虽别而理实同月离论之已详然五星之行虽相似而细较之亦有不同以平行言之土木火各有平行为一类而金水即以太阳之平行为平行是为一类以自行言之土木火金之次轮心皆行倍引数为一类而水星之次轮心则行三倍引数是独为一类以次轮之大小言之土木金水之次轮半径皆有定数为一类而火星之次轮在本天最髙则大最卑则小又视太阳在最髙则大最卑则小是独为一类以次轮之行度言之土木火皆行距日度为一类而金水自有行度又为一类以纬行言之土木火皆有本天与黄道相交以生纬度次轮斜交本天其面又与黄道平行能加减其纬度为一类而金水之本天即为黄道本无纬度因次轮斜交黄道以生纬度又为一类以伏见言之土木火皆有合有冲为一类而金水则有合有退合而无冲是又为一类也如图甲为地心乙丙丁为本天之一弧(金水本天即为黄道)丙为本轮心戊丙已为本轮全径戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚为最逺(去本轮心逺也)辛为最近(去本)(轮心近也)壬庚癸为次轮全径(土木火原名岁轮金水原)(名伏见轮今俱名次轮从一例)壬为最逺(去地心逺也)癸为最近(去地心近也)本轮心从本天冬至度右旋为平行经度均轮心从本轮最髙左旋为自行引数土木火金四星之次轮心从均轮最近右旋为倍引数独水星之次轮心从均轮最逺右旋为三倍引数五星皆从次轮最逺右旋在土木火三星为本轮心距日度惟金水二星各有行度因其本轮即以日为心故无距日之度也又土木火三星之次轮皆斜立于本道半周在本道北半周在本道南其壬庚癸全径恒与黄道之径平行金水二星之次轮亦斜立于黄道半周在黄道北半周在黄道南其壬庚癸全径却不与黄道之径平行故金水虽行黄道而亦有纬度也又星与日与地参直而日在星与地之间则星为日掩是为合伏如地在星与日之间则星与日相距半周天正相对照如月之望是为冲如星在日与地之间则星正当日之下如月之朔此时星必在次轮下半退行故为退伏在土木火三星能距日半周天故有合有冲而无退合金水二星之本轮以日为心常绕日行不能与日相距半周天故止有合有退合而无冲也五星本天皆以地为心新法厯书言五星古图以地为心新图以日为心及观西人第谷推歩均数土木金水四星仍以地为心惟火星以日为心尝推火星亦以地为心立算其得数与彼相同乃知第谷之推歩火星不过虚立巧算之法非真谓火星天独以日为心也然则新法厯书之新图五星皆以日为心者何也盖金水二星以日为心者乃其本轮非本天也土木火三星以日为心者乃次轮上星行距日之迹亦非本天也土木火三星之次轮半径最大与日天半径畧等星距次轮最逺之度又与次轮心距日之度等以星行距日之迹观之即成大圜而为绕日之形其理与日躔连本轮行度成不同心天者相似然星之自行又有髙卑其距日不无逺近谓其成绕日之形则可谓其成不同心天则不可也虽厯家巧算之术以次轮设于本天与以次轮设于地心成不同心天者理本相通然必次轮半径与日距地半径等方可以日为心作不同心天立算今土木二星之次轮半径有定数而日距地则有髙卑火星次轮半径虽有太阳髙卑差而又有本天髙卑差终与日距地半径不等则与其设次轮于地心不如设次轮于本天之为便也由是观之五星之本天皆以地为心可知矣新法厯书又言旧说有谓七政之左旋非七政之行乃地自西徂东日行一周治厯之家以为非理故无取焉而近日又有复理其说者殆欲以地之东行而齐诸曜之各行耳究之诸曜之行终不能齐何若以一静而验诸动之易明乎古图五星各有本天重重包裹土木火三星常在日上名为上三星金水常在日下名为下二星今考五星惟土木二星常在日上火金水三星能在日上亦能在日下则重重包裹之说特其大槩耳此古图不如新图之密也新图五星皆以日为心土木二星圈甚大包日天之外故常在日上火星圈亦大但不能包日天而割入日天之内故有时在日之下金水二星圈甚小不惟不能包日天并不能包地故不能冲日然金水之本天即日天此围日者乃其本轮也土木火亦各有本天此围日者乃次轮上星行距日之迹也下图详之土木二星之本天大次轮小(土星次轮半径为本天半径十分之一强木星)(次轮半径为本天半径十分之二弱)如图甲为地心乙丙为日本天丁戊为星本天己庚与辛壬皆为次轮如日在乙次轮心在丁星在己日行至丙星亦行至庚庚丙之相距与己乙之相距等也或日在丙次轮心在戊星在壬日行至乙星亦行至辛辛乙之相距与壬丙之相距等也星之距日既随在皆相等则连其轨迹即成围日之形矣试用己乙之距为半径作圈即成己辛圈为星行轨迹所到而以乙日为心或用庚丙之距为半径作圈即成庚壬圈亦为星行轨迹所到而亦以丙日为心也虽各星自行亦有髙卑其距日不无逺近之差要不能改其围日之大致耳火星之本天小于土木二星之本天而次轮则大(火星)(次轮半径为本天半径十分之六强)如图甲为地心乙丙为日本天丁戊为星本天己庚与辛壬皆为次轮己辛圈以乙日为心庚壬圈以丙日为心皆为次轮上星行轨迹所到悉与土木二星同但其次轮甚大割入日天之内星行至此即在日之下也五星冲伏留退俱生于次轮五星之有本轮次轮俱与太阴同太隂之朔望皆在次轮故五星之冲伏亦在次轮然太隂止有迟疾而五星则有留退何也盖太隂之平行甚疾而轮甚小(太隂平行毎日一十三度余合计本轮次轮之最大均数止七度余)当其在轮周退行之时但能稍减其平行之度故止见其迟而不见其退若五星之平行甚迟其本轮虽小而次轮则甚大(五星平行毎日不足一度而次均之大者至五十余度)当其在轮之上弧则见其顺行在轮之下弧则见其退行在轮之左右则见其留而不行也以土木火三星论之如图甲为地心乙丙为太阳本天丁戊为土星本天(以土星为)(例木火同理)俱以甲为心己庚为本轮以丁为心辛壬为均轮以己为心癸子为次轮以壬为心太阳在乙本轮心在丁无距日度星在次轮之最逺癸自地心甲计之日在星与地之间成一直线星伏而不见为合伏设太阳在丑本轮心丁距日九十余度则星从合伏癸亦行九十余度至寅自地心甲计之星自上而下成一直线不见其行为前留(或曰顺留)设太阳在丙本轮心丁距日半周则星从合伏癸亦行半周至最近子自地心甲计之地在星与日之间成一直线为冲设太阳在夘本轮心丁距日二百六十余度则星从合伏癸亦行二百六十余度至辰自地心甲计之星自下而上成一直线不见其行为后留(或曰退留)迨太阳复至乙与本轮心丁参直而星亦复至最逺癸又为合伏矣凡星在辰癸寅上弧则顺轮心行自西而东故其行为顺为疾星在寅子辰下弧则逆轮心行自东而西故其行为退为迟也以金水二星论之如图甲为地心乙丙为太阳本天即金星本天(水星之理与金星同)亦以甲为心丁戊为本轮以乙太阳为心己庚为均轮以戊为心辛壬为次轮以庚为心太阳在乙星在次轮之最逺辛在太阳之上自地心甲计之成一直线星伏而不见为顺合星在次轮之最近壬在太阳之下自地心甲计之亦成一直线星伏而不见为退合星从最逺辛行一百三十余度至癸自地心甲计之星自上而下成一直线不见其行为前留星从最近壬行四十余度至子自地心甲计之星自下而上成一直线不见其行为后留凡星行子辛癸上弧为顺为疾行癸壬子下弧为退为迟与土木火三星同也五星次轮之上下两弧皆非平分五星皆以两留际分次轮为上下两弧星行上弧为顺为疾星行下弧为退为迟然此两弧皆非平分上弧常多下弧常少而五星又各不同如土星上弧一百九十二度有余下弧一百六十七度有余木星上弧二百度有余下弧一百五十九度有余火星上弧或二百八九十度下弧或七八十度金星上弧二百七十度下弧九十度水星上弧二百二十二度下弧一百三十八度其所以参差不齐者盖因五星距地各有逺近而次轮又各有大小也自地心作两视线至次轮周与次轮半径成直角则此两视线即为下半弧之切线其切轮周之㸃为留际即上下两弧所由分而上弧之度必多于下弧但轮小而距地逺者其上下两弧相差不甚逺如土木二星是也若轮大而近于地则上弧愈多下弧愈少如火金水三星是也又五星自行各有髙卑其上下两弧之分亦有増减要之知轮心距地之逺近与轮径之大小则上下两弧之多少皆可得而推矣如图甲为地心乙为次轮心乙丙乙丁皆次轮辛径从甲作甲丙甲丁两视线至次轮周与次轮半径乙丙乙丁成直角则甲丙即为丙戊下半弧之切线甲丁即为丁戊下半弧之切线而乙甲丙与乙甲丁成相等之两直角三角形此乙甲丙三角形之丙角既为直角九十度则乙角必不足九十度而所对之丙戊弧亦必不足九十度丙戊下半弧既不足九十度则两半弧相合之丙戊丁弧亦必不足一百八十度此下弧之所以常少于上弧也又第一图轮小而乙甲之距逺则两视线长故甲角小而乙角大乙角大则所对之丙戊与戊丁两弧亦大此丙戊丁下弧虽小于丙己丁上弧而犹不甚相逺也如第二图轮大而乙甲之距近则两视线短故甲角増而乙角减乙角减则所对之丙戊与戊丁两弧亦从之而减此丙戊丁下弧所以愈少丙己丁上弧所以愈多也是故欲求各星次轮下弧之度以次轮心距地心之乙甲线与次轮半径乙丙或乙丁之比同于半径一千万与乙角余弦之比而得乙角度即丙戊弧或丁戊弧倍之得丙戊丁下弧之度为星退行之共度也御制厯象考成上编卷九
## 上编卷十
钦定四库全书御制厯象考成上编卷十五星厯理二(専论土星)土星平行度用土星三次冲日求本轮均轮半径及最髙求初均数求次均数土星平行度测土星平行之法用前后两测取其距恒星之度分等(恒星有岁差毎年五十一秒测时须加入计之)距太阳之逺近左右亦等乃计其前后相距中积若干日时及星行满次轮若干周即可得其毎日平行之率盖两测距恒星之度既等则其行满一周天而复于故处而距太阳之逺近左右又等则两测之迟疾加减俱等而次轮之行亦满全周而复其故处也新法厯书载古测定五十九平年又十六日十分日之三或二万一千五百五十一日又十分日之三土星行次轮五十七周(即㑹日五)(十七次冲日亦五十七次)置中积二万一千五百五十一日又十分日之三为实星行次轮周数五十七为法除之得周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒(即三百七十八日零百分日之)(九分二九八二□时厯作三百七十八日○九一六)乃以毎周三百六十度为实周率三百七十八日八刻一十三分五十三秒三十八微四十一纎一十六忽四十八芒为法除之得五十七分零七秒四十三微四十一纎四十四忽三十三芒为毎日土星距太阳之行(即土星在次轮周毎日之行一名岁)行与毎日太阳平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒相减余二分零三十六微零八纎零七忽零六芒为毎日土星平行经度(即本)(轮心毎日之行)既得毎日之平行用乘法可得毎年毎月之平行用除法可得毎时毎分之平行以立表用土星三次冲日求本轮均轮半径及最髙土星之初均数生于本轮半径而求本轮半径须用三次冲日与月离用三月食同盖星冲日之时星在次轮最近㸃无次均数故测诸星本轮半径者必俟此时也新法厯书载西人多录某于汉顺帝时用土星三次冲日推得两心差为本天半径十万分之一万一千七百七十二用其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径最髙在大火宫二十三度(永建二年)(丁夘)后因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之一万一千二百七十七至明正徳间西人歌白泥复用三测推得两心差为本天半径十万分之一万二千最髙在析木宫二十七度三十五分(正徳)(九年甲戌)相距一千三百八十七年而两次所测最髙相差三十四度三十五分乃以三十四度三十五分为实一千三百八十七年为法除之得毎年最髙行一分二十九秒四十六微万厯间西人第谷又测得两心差为本天半径十万分之一万一千六百二十八后又定两心差为本天半径千万分之一百一十六万二千本轮半径为本天半径千万分之八十六万五千五百八十七(此四分之三小比三分之二大)均轮半径为本天半径千万分之二十九万六千四百一十三(比四分之一大)(比三分之一小)最髙在析木宫二十六度二十分二十七秒(万厯十八年庚寅)毎年最髙行一分二十秒一十二微用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左假如第一次冲日日躔娵訾宫一度零三分二十七秒土星在鹑尾宫一度零三分二十七秒如甲第二次冲日日躔娵訾宫二十一度四十七分三十九秒土星在鹑尾宫二十一度四十七分三十九秒如乙第三次冲日日躔降娄宫一十六度五十一分二十八秒土星在夀星宫一十六度五十一分二十八秒如丙第一次冲日距第二次冲日一万一千三百四十三日五时三十六分其实行相距二十度四十四分一十二秒(即鹑尾宫甲点距乙点之度亦即甲)(丁乙角于第二次实行度内减去第一次实行度即)(得)其平行相距一十九度五十九分五十四秒(以毎日平)(行度与距日相乗减去全周即得)第二次冲日距第三次冲日七百五十五日二十时三十一分其实行相距二十五度零三分四十九秒(即鹑尾宫乙点)(距夀星宫丙点之度亦即乙丁丙角于第三次实行)(度内减去第二次实行度即得)其平行相距二十五度一十九分一十六秒乃用不同心圈立法算之任取戊点为心作己庚辛壬不同心圈则辛庚弧即第一次距第二次之平行度一十九度五十九分五十四秒庚巳〔？〕即第二次距第三次之平行度二十五度一十九分一十六秒爰从戊点过地心丁至圜周二界作一线为最髙线戊丁即两心差又引丙丁线至壬自壬至甲丁乙丁二线所割庚辛二点作壬庚壬辛二线自庚至辛又作庚辛线即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半径与两心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛边此形有壬角二十二度三十九分三十五秒(壬为界角当辛巳弧以辛庚庚)(巳两弧相加折半即得)有丁角一百三十四度一十一分五十九秒(即甲丁丙角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬辛边一八二四二六三九次用壬丁庚三角形求壬庚边此形有壬角一十二度三十九分三十八秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百五十四度五十六分一十一秒(即乙丁丙角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬庚边一九七二二九五四末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛边一八二四二六三九有壬庚邉一九七二二九五四有壬角九度五十九分五十七秒(以辛壬丁角与庚壬丁角相减即得)求得庚角六十度五十八分四十秒倍之得一百二十一度五十七分二十秒为辛壬弧与辛巳弧四十五度一十九分一十秒相加得一百六十七度一十六分三十秒为己辛壬弧于是以本天半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通弦则辛壬弧之通弦为一七四八八六三二己壬弧之通弦为一九八七六八一三乃用比例法变先设之丁壬边为同比例数以先得之辛壬边一八二四二六三九与先设之丁壬一○○○○○○○之比即同于今所察之辛壬通弦一七四八八六三二与今所求之丁壬边之比而得丁壬边九五八六六七九又平分己辛壬弧于癸作戊癸线平分己壬通弦于子得子壬九九三八四○七内减去丁壬九五八六六七九余子丁三五一七二八又以己癸弧八十三度三十八分一十五秒与九十度相减余六度二十一分四十五秒为戊巳子角(戊巳子为直角三角)(形戊角当己癸〔？〕故己角为己癸〔？〕减象限之余)察其正弦得一一○八一八五为戊子乃用戊子丁勾股形以戊子为股子丁为勾求得戊丁弦一一六二六六三为两心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三边有子直角求得丁角七十二度二十三分二十八秒即第三次冲日土星距最髙丑点之度也求初均数土星之初均数授时厯名为盈缩差其盈差最大者八度二五五二三八二一缩差最大者六度二七九○四七一四以周天三百六十度毎度六十分约之盈差得八度零八分一十一秒四十一微缩差得六度一十一分一十九秒三十八微冲合以外各段同用新法厯书最大之初均数为六度三十八分一十九秒零六微(即六度零十分度之六分三八六三三)惟星正当冲合之时止用此均数加减若在冲合前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为八十六万五千五百八十七戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十九万六千四百一十三辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁毎日行二分有余即土星经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚毎日亦行二分有余(微不及经度之行毎年少一分二十秒一十二)(微)即自行引数次轮心则循均轮右旋自癸而壬而辛毎日行四分有余为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向已行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故自行初宫初度及六宫初度俱无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑(丑癸弧为戊子〔？〕之倍度)从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸夘直角三角形求癸夘夘丙二邉此形有夘直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙边五十六万九千一百七十四(本轮半径内减去均)(轮半径之数)求得癸夘边二十八万四千五百八十七夘丙边四十九万二千九百一十九以夘丙与丙甲本天半径一千万相加得一千零四十九万二千九百一十九为夘甲边以癸夘边与丑癸通弦二十九万六千四百一十三相加(即均)(轮丑癸弧六十度之通弦故与均轮半径等若非六十度则用比例法以半径)(一千万为一率均轮丑癸弧折半察正弦为二率均轮子癸半径为三率得四)(率倍之即丑癸通弦也)得五十八万一千为丑夘边于是用甲丑夘直角三角形求得甲角三度一十分零九秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求得初均角即求得丑甲邉为次)(轮心距地心之数存之为后求次均之用)若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸厯壬辛行三百度至已从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为五十六万九千一百七十四求得癸戌边四十九万二千九百一十九丙戌边二十八万四千五百八十七以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余九百七十一万五千四百一十三为戌甲边以癸戌边与申癸通弦五十一万三千四百零二相加(即均轮申癸〔？〕一百二十度之通弦)得一百万零六千三百二十一为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角五度五十四分四十九秒即酉丙弧为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向已厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均数土星与太阳冲合之后即有次均其数生于次轮盖星冲太阳之时在次轮之最近合伏之时在次轮之最逺与次轮心及地心参直故求初均数即以次轮心立算而无次均自冲合而外星行次轮周之左右其次轮周星体所在即次均数也新法厯书载西人多录某测得次轮半径为本天半径十万分之一万零八百三十三其后西人第谷又改为本天半径千万分之一百零四万二千六百今从之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为八十六万五千五百八十七戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为二十九万六千四百一十三庚为最逺辛为最近(此逺近以距本轮心言)壬辛癸为次轮全径壬辛半径为一百零四万二千六百壬为最逺癸为最近(此逺近以距地心言)本轮心从本天冬至度右旋(本天上与黄道冬至相对之度)为经度均轮心从本轮最髙戊左旋为引数(即自行度)次轮心从均轮最近辛右旋为倍引数星从次轮最逺壬右旋行距日之度(即本轮心距太阳之度)如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最近辛合伏之时星在次轮之最逺壬冲太阳之时星在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减若冲合以后则星在次轮周之左右(冲太阳之后在次轮之右合伏之后在次轮之左)而次均生矣如均轮心从最髙戊行三十度至子为自行一宫初度次轮心则从均轮最近辛行六十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角三度一十分零九秒(即寅)(丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬厯癸行三百度至夘从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲夘三角形求甲角(即辰寅〔？〕)此形有丑角一百二十度(于壬癸夘弧三百度内减去壬)(癸半周余癸夘〔？〕即丑角度)有夘丑半径一百零四万二千六百有丑甲边一千零五十万八千九百九十一(求丑甲邉法见前求初均数篇)求得甲角四度五十四分一十八秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙〔？〕三度一十分零九秒相加得辰丙弧八度零四分二十七秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行三百三十度至己为自行十一宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行三百度至午星从次轮最逺壬行六十度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相加之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也(若测得平行实行之差及星距太阳之度以推次轮半径)(亦用丑甲夘三角形求之)如均轮心从最髙戊行一百二十度至子为自行四宫初度次轮心则从均轮最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角五度五十四分四十九秒(即寅丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬行四十五度至夘从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲夘三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(于半周内减去壬夘弧四十五度余夘癸弧即丑角度)有夘丑半径一百零四万二千六百有丑甲边九百七十六万七千三百九十二求得甲角四度零五十二秒即寅辰弧为次均数与初均数寅丙弧五度五十四分四十九秒相减(因初均寅点在平行丙点之后而次均辰)(点在寅点之前故相减)余辰丙弧一度五十三分五十七秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行二百四十度至己为自行八宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行一百二十度至午星从次轮最逺壬厯癸行三百一十五度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相减所余之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也御制厯象考成上编卷十
## 上编卷十一
钦定四库全书御制歴象考成上编卷十一五星厯理三(专论木星)木星平行度用木星三次冲日求本轮均轮半径及最髙求初均数求次均数木星平行度测木星平行之法亦用前后两测与土星同新法厯书载古测定七十一平年又十二日千分日之六百一十七或二万五千九百二十七日又千分日之六百一十七木星行次轮六十五周(即㑹日六十五次冲日亦六十五次)置中积二万五千九百二十七日又千分日之六百一十七为实星行次轮周数六十五为法除之得周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纤三十六忽(即三百九十八日零十分日之八分八六四一五授时歴同数)乃以毎周三百六十度为实周率三百九十八日八十五刻一分二十六秒一十五微二十一纤三十六忽为法除之得五十四分零九秒零二微四十二纤四十七忽三十二芒为每日木星距太阳之行(即木星在次轮周毎日之行一名岁行)与毎日太阳平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒相减余四分五十九秒一十七微零七纤零四忽零七芒为每日木星平行经度(即本轮心毎日之行)既得每日之平行用乘法可得每年毎月之平行用除法可得毎时每分之平行以立表用木星三次冲日求本轮均轮半径及最髙测木星本轮半径法与土星同新法厯书载西人多录某于汉顺帝时推得两心差为本天半径十万分之八千九百零二用其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径最髙在鹑尾宫一十一度(阳嘉二年癸酉)后因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之九千一百七十至明正徳间西人歌白泥复推得两心差为本天半径十万分之一万一千九百三十最髙在寿星宫六度二十分(嘉靖八年己丑)相距一千三百九十六年而两次所推最髙相差二十五度二十分因知毎年最髙行一分零五秒二十微万厯间西人第谷又测得两心差为本天半径十万分之九千五百四十后又定两心差为本天半径千万分之九十五万三千三百本轮半径为本天半径千万分之七十万五千三百二十(比四分之三小比三分之二大)均轮半径为本天半径千万分之二十四万七千九百八十(比四)(分之一大比三分之一小)最髙在寿星宫八度四十分(万厯二十八年庚子)每年最髙行五十七秒五十二微用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左假如第一次冲日日躔鹑尾宫七度三十一分四十九秒木星在娵訾宫七度三十一分四十九秒如甲第二次冲日日躔大火宫二十度五十六分木星在大梁宫二十度五十六分如乙第三次冲日日躔析木宫二十五度五十二分二十七秒木星在实沈宫二十五度五十二分二十七秒如丙第一次冲日距第二次冲日八百零四日一十五时三十五分其实行相距七十三度二十四分一十一秒(即娵訾宫甲点距大梁宫乙点之度亦即甲丁)(乙角于第二次实行度内减去第一次实行度即得)其平行相距六十六度五十三分二十秒(以毎日平行度与距)(日相乘即得)第二次冲日距第三次冲日三百九十九日一十四时四十四分其实行相距三十四度五十六分二十七秒(即大梁宫乙点距实沈宫)(丙点之度亦即乙丁丙角于第三次实行度内减去)(第二次实行度即得)其平行相距三十三度一十三分零八秒乃用不同心圈立法算之任取戊点为心作己庚辛壬不同心圈则辛庚弧即第一次距第二次之平行度六十六度五十三分二十秒庚己弧即第二次距第三次之平行度三十三度一十三分零八秒爰从戊点过地心丁至圜周二界作一线为最髙线戊丁即两心差又引丙丁线至壬自壬至甲丁乙丁二线所割庚辛二点作壬庚壬辛二线自庚至辛又作庚辛线即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半径与两心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛边此形有壬角五十度零三分一十四秒(壬为界角当辛)(己弧以辛庚庚己两弧相加折半即得)有丁角七十一度三十九分二十二秒(即甲丁丙角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬辛边一一一五七四三六次用壬丁庚三角形求壬庚边此形有壬角一十六度三十六分三十四秒(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十五度零三分三十三秒(即乙丁丙角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬庚边一八二一○○九一末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛边一一一五七四三六有壬庚边一八二一○○九一有壬角三十三度二十六分四十秒(以辛壬丁角与庚壬丁角相减即得)求得庚角三十四度三十八分二十八秒倍之得六十九度一十六分五十六秒为辛壬弧与辛巳弧一百度零六分二十八秒相加得一百六十九度二十三分二十四秒为己辛壬弧于是以本天半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通弦则辛壬弧之通弦为一一三六八六八二己壬弧之通弦为一九九一四三三二乃用比例法变先设之丁壬边为同比例数以先得之辛壬边一一一五七四三六与先设之丁壬一○○○○○○○之比即同于今所察之辛壬通弦一一三六八六八二与今所求之丁壬边之比而得丁壬边一○一八九三三二又平分己辛壬弧于癸作戊癸线平分己壬通弦于子得子壬九九五七一六六与丁壬一○一八九三三二相减余子丁二三二一六六又以壬癸弧八十四度四十一分四十二秒与九十度相减余五度一十八分一十八秒为戊壬子角(戊壬子为直角三角形戊角当壬癸弧故壬角为壬)(癸弧减象限之余)察其正弦得九二四五七五为戊子乃用戊子丁勾股形以戊子为股子丁为勾求得戊丁弦九五三二七八为两心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三边有子直角求得丁角七十五度五十四分一十五秒与半周相减余一百零四度零五分四十五秒为戊丁巳角即第三次冲日木星距最髙丑㸃之度也求初均数木星之初均数授时厯名为盈缩差止用一表不分盈缩其最大者五度九九二九八○二八以周天三百六十度每度六十分约之得五度五十四分二十四秒三十七微冲合以外各段同用新法歴书最大之初均数为五度二十七分零三秒五十四微(即五度零)(十分度之四分五一○八三三)惟星正当冲合之时止用此均数加减若在冲合前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为七十万五千三百二十戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为二十四万七千九百八十辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行四分五十九秒有余即木星经度均轮心循本轮左旋自戊而已而庚每日亦行四分五十九秒有余(微不及经度之行每)(年少五十七秒五十二微)即自行引数次轮心则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行九分五十八秒有余为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向已行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故自行初宫初度及六宫初度俱无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑(丑癸弧为戊子弧之倍度)从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙边四十五万七千三百四十一(本轮半径内减去均)(轮半径之数)求得癸卯边二十二万八千六百七十一卯丙边三十九万六千零六十九以卯丙边与丙甲本天半径一千万相加得一千零三十九万六千零六十九为卯甲边以癸卯边与丑癸通弦二十四万七千九百八十相加(即均轮丑癸弧)(六十度之通弦故与均轮半径等若非六十度则用比例法以半径一千万为)(一率均轮丑癸弧折半查正弦为二率均轮子癸半径为三率得四率倍之即)(丑癸通弦也)得四十七万六十六百五十一为丑卯边于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度三十七分三十秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求得初均角)(即求得丑甲边为次轮心距地心之数存之为后求坎均之用)若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸厯壬辛行三百度至已从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为四十五万七千三百四十一求得癸戌边三十九万六千零六十九丙戌边二十二万八千六百七十一以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余九百七十七万一千二百二十九为戌甲边以癸戌边与申癸通弦四十二万九千五百一十四相加(即均轮申癸弧一百二十度之通弦)得八十二万五千五百八十三为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度四十九分四十六秒即酉丙弧为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫)(初度至五宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫)(初度至八宫末度)求次均数木星与太阳冲合之后即有次均其数生于次轮盖星冲太阳之时在次轮之最近合伏之时在次轮之最逺与次轮心及地心参直故求初均数即以次轮心立算而无次均自冲合而外星行次轮周之左右其次轮周星体所在即次均数也新法厯书载西人多录某测得次轮半径为本天半径十万分之一万九千一百九十四其后西人第谷又改为本天半径千万分之一百九十二万九千四百八十今从之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为七十万五千三百二十戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为二十四万七千九百八十庚为最逺辛为最近(此逺近以距本轮心言)壬辛癸为次轮全径壬辛半径为一百九十二万九千四百八十壬为最逺癸为最近(此逺近以距地心言)本轮心从本天冬至度右旋(本天上与黄道冬至相对之度)为经度均轮心从本轮最髙戊左旋为引数(即自行度)次轮心从均轮最近辛右旋为倍引数星从次轮最逺壬右旋行距日之度(即本轮心距太阳之度)如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最近辛合伏之时星在次轮之最逺壬冲太阳之时星在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减若冲合以后则星在次轮周之左右(冲太阳之后在次轮之右合伏之后在次轮之左)而次均生矣如均轮心从最髙戊行三十度至子为自行一宫初度次轮心则从均轮最近辛行六十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角二度三十七分三十秒(即寅丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬厯癸行三百度至卯从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(于壬癸卯弧三百度内减)(去壬癸半周余癸卯弧即丑角度)有卯丑半径一百九十二万九千四百八十有丑甲边一千零四十万六千九百八十九(求丑甲边法见前求)(初均数篇)求得甲角八度二十一分三十三秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙弧二度三十七分三十秒相加得辰丙弧一十度五十九分零三秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行三百三十度至己为自行十一宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行三百度至午星从次轮最逺壬行六十度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相加之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也(若测得平行贯行之差及)(星距太阳之度以推次轮半径亦用丑甲卯三角形求之)如均轮心从最髙戊行一百二十度至子为自行四宫初度次轮心则从均轮最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角四度四十九分四十六秒(即寅丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬行四十五度至卯从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角一百三十五度(于半周内减去壬卯弧四十五度余卯癸弧即丑角度)有卯丑半径一百九十二万九千四百八十有丑甲边九百八十万六千一百四十四求得甲角六度五十七分四十九秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙弧四度四十九分四十六秒相减(因初均寅㸃在)(平行丙㸃之后而次均辰㸃在寅㸃之前故相减)余辰丙弧二度零八分零三秒为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行二百四十度至己为自行八宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行一百二十度至午星从次轮最逺壬厯癸行三百一十五度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相减所余之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也御制厯象考成上编卷十一
## 上编卷十二
钦定四库全书御制厯象考成上编卷十二五星厯理四(专论火星)火星平行度用火星三次冲日求本轮均轮半径及最髙求初均数求次均数火星平行度测火星平行之法亦用前后两测与土木二星同新法厯书载古测定七十九平年又二十二日千分日之八百八十三或二万八千八百五十七日又千分日之八百八十三火星行次轮三十七周(即会日三十七次冲日亦三十七次)置中积二万八千八百五十七日又千分日之八百八十三为实星行次轮周数三十七为法除之得周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纤一十九忽一十二芒(即七百七十九日零十分日之九分四二七八三授时厯作七百七十九)(日九二九)乃以每周三百六十度为实周率七百七十九日九十刻七分三十六秒二十七微零四纤一十九忽一十二芒为法除之得二十七分四十一秒三十九微三十七纤四十三忽五十五芒为每日火星距太阳之行(即火星在次轮周每日之行一名岁行)与每日太阳平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒相减余三十一分二十六秒四十微一十二纤零七忽四十四芒为每日火星平行经度(即本轮心每日之行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每时每分之平行以立表用火星三次冲日求本轮均轮半径及最髙测火星本轮半径法与土木二星同新法厯书载西人多录某于汉顺帝时推得两心差为本天半径十万分之二万一千八百六十一用其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径最髙在鹑首宫二十五度二十九分(永和四年己卯)后因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之二万分至明正徳间西人歌白泥复推得两心差为本天半径十万分之一万九千六百最髙在鹑火宫二十七度零一分(嘉靖)(二年癸未)相距一千三百八十四年而两次所推最髙相差三十一度三十二分因知每年最髙行一分二十二秒零一微万厯间西人第谷又测得两心差为本天半径千万分之一百八十五万五千本轮半径为一百四十八万四千(两心差之五分之四)均轮半径为三十七万一千(两心差之五分之一)最髙在鹑火宫二十八度五十九分二十四秒(万厯二十八年庚子)每年最髙行一分零七秒用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左假如第一次冲日日躔元枵宫一十八度五十八分三十八秒火星在鹑火宫一十八度五十八分三十八秒如甲第二次冲日日躔娵訾宫二十三度二十二分火星在鹑尾宫二十三度二十二分如乙第三次冲日日躔大梁宫一度火星在大火宫一度如丙第一次冲日距第二次冲日七百六十四日一十二时三十二分其实行相距三十四度二十三分二十二秒(即鹑火宫甲㸃距鹑尾宫乙㸃之度亦即)(甲丁乙角于第二次实行度内减去第一次实行度)(即得)其平行相距四十度三十九分二十五秒(以每日平行度)(与距日相乘减去全周即得)第二次冲日距第三次冲日七百六十八日一十八时其实行相距三十七度三十八分(即鹑尾宫乙㸃距大火宫丙㸃之度亦即乙丁丙角)(于第三次实行度内减去第二次实行度即得)其平行相距四十二度五十二分三十五秒乃用不同心圈立法算之任取戊㸃为心作己庚辛壬不同心圈则辛庚弧即第一次距第二次之平行度四十度三十九分二十五秒庚巳弧即第二次距第三次之平行度四十二度五十二分三十五秒爰从戊㸃过地心丁至圜周二界作一线为最髙线戊丁即两心差又引丙丁线至壬自壬至甲丁乙丁二线所割庚辛二㸃作壬辛壬庚二线自庚至辛又作庚辛线即成壬丁辛壬丁庚壬庚辛三三角形以求本天半径与两心差之比例先用壬丁辛三角形求壬辛边此形有壬角四十一度四十六分(壬为界角当辛巳弧以辛庚庚巳两弧相)(加折半即得)有丁角一百零七度五十八分三十八秒(即甲)(丁丙角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬辛边一八八七七六二○次用壬丁庚三角形求壬庚边此形有壬角二十一度二十六分一十七秒三十微(以庚巳弧折半即得)有丁角一百四十二度二十二分(即乙丁丙)(角之余)设丁壬边为一○○○○○○○求得壬庚边二一八九二六○九末用壬庚辛三角形求庚角此形有壬辛边一八八七七六二○有壬庚边二一八九二六○九有壬角二十度一十九分四十二秒三十微(以辛壬丁角与庚壬丁角相减即得)求得庚角五十七度二十五分一十五秒倍之得一百一十四度五十分三十秒为辛壬弧与辛巳弧八十三度三十二分相加得一百九十八度二十二分三十秒为己辛壬弧于是以本天半径命为一○○○○○○○各用八线表求其通弦则辛壬弧之通弦为一六八五二九六五己壬弧之通弦为一九七四三四二二乃用比例法变先设之丁壬边为同比例数以先得之辛壬边一八八七七六二○与先设之丁壬边一○○○○○○○之比即同于今所察之辛壬通弦一六八五二九六五与今所求之丁壬边之比而得丁壬边八九二七四八四又平分己壬弧于癸作戊癸线平分己壬通弦于子得子壬九八七一七一一内减去丁壬八九二七四八四余子丁九四四二二七又以己癸弧八十度四十八分四十五秒(以己辛壬弧与全周相减所余折半即得)与九十度相减余九度一十一分一十五秒为戊己子角(戊己子为宜角三角形戊角当己癸弧故己角)(为己癸弧减象限之余)察其正弦得一五九六六五八为戊子乃用戊子丁勾股形以戊子为股子丁为勾求得戊丁弦一八五四九六一为两心差也求最髙之法亦用戊子丁直角三角形求丁角此形有三边有子直角求得丁角五十九度二十四分零三秒即第三次冲日火星距最髙丑㸃之度也求初均数火星之初均数授时厯名为盈缩差止用一表不分盈缩其最大者二十五度六一九七七九七一以周天三百六十度每度六十分约之得二十五度一十五分零五秒三十微冲合以外各段同用新法厯书最大之初均数为一十度三十四分二十秒(即一十度零十)(分度之五分七六六六)惟星正当冲合之时止用此均数加减若在冲合前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为一百四十八万四千戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为三十七万一千辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行三十一分二十六秒有余即火星经度均轮心循本轮左旋自戊而己而庚每日亦行三十一分二十六秒有余(微不及经度之行每年少)(一分零七秒)即自行引数次轮心则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行一度零二分五十二秒有余为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向已行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸厯壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故自行初宫初度及六宫初度俱无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑(丑癸弧为戊子弧之倍度)从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙边一百一十一万三千(本轮半径内减去均轮半径之数)求得癸卯边五十五万六千五百卯丙边九十六万三千八百八十六以卯丙边与丙甲本天半径一千万相加得一千零九十六万三千八百八十六为卯甲边以癸卯边与丑癸通弦三十七万一千相加(即均轮丑癸弧六十度之通弦故与均轮半径等若非六)(十度则用比例法以半径一千万为一率均轮丑癸弧折半查正弦为二率均)(轮子癸半径为三率得四率倍之即丑癸通弦也)得九十二万七千五百为丑卯边于是用甲丑卯直角三角形求得甲角四度五十分零八秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求得初均角即求得丑甲边为次轮心距地心之数存之为后求次均之用)若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸歴壬辛行三百度至巳从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为一百一十一万三千求得癸戌边九十六万三千八百八十六丙戌边五十五万六千五百以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余九百四十四万三千五百为戌甲边以癸戌边与申癸通弦六十四万二千五百九十相加(即均)(轮申癸弧二百四十度之通弦)得一百六十万零六千四百七十六为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角九度三十九分一十六秒即酉丙弧为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫初度至五宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均数火星之次均数生于次轮与土木二星同但其次轮半径有本天髙卑之差又有太阳髙卑之差髙则半径大卑则半径小无一定之数此则火星之所独异也新法厯书载西人多录某测得次轮半径为本天半径十万分之六万五千八百以推次均数不合天行其后西人第谷等累年密测方知次轮半径有髙卑之不同其法于太阳火星同在最卑时测得次轮最小之半径为本天半径千万分之六百三十万二千七百五十又于太阳在最卑火星在最髙时测得次轮半径为本天半径千万分之六百五十六万一千二百五十与最小之半径相较余二十五万八千五百此本天髙卑之大差也又于火星在最卑太阳在最髙时测得次轮半径为本天半径千万分之六百五十三万七千七百五十与最小之半径相较余二十三万五千此太阳髙卑之大差也既得此两髙卑之差则次轮由髙及卑之各半径皆可以比例而得之矣如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为一百四十八万四千戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为三十七万一千庚为最逺辛为最近(此逺近以距本轮心言)壬辛癸为次轮全径壬辛半径之数随时不同壬为最逺癸为最近(此逺近以距地心言)本轮心从本天冬至度右旋为经度均轮心从本轮最髙戊左旋为引数(即自行度)次轮心从均轮最近辛右旋为倍引数星从次轮最逺壬右旋行距日之度(即本)(轮心距太阳之度)如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最近辛合伏之时星在次轮之最逺壬冲太阳之时星在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减若冲合以后星在次轮之左右而次均生矣如均轮心从最髙戊行三十度至子为自行一宫初度次轮心则从均轮最近辛行六十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角四度五十分零八秒(即寅)(丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬厯癸行三百度至卯从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲卯三角形求甲角(即辰寅弧)此形有丑角一百二十度(于壬)(癸卯弧三百度内减去壬癸半周余癸卯弧即丑角)(度)本时太阳在最髙后六十度火星均轮心在最髙后三十度卯丑次轮半径为六百七十二万零一百八十四(于最小半径六百三十万零二千七)(百五十内加本天髙卑差二十四万一千一百八十)(四又加太阳髙卑差一十七万六千二百五十即得)(求差之法见后)有丑甲边一千一百万零三千零四十九(求丑)(甲边法见前求初均数篇)求得甲角二十二度零三分二十七秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙弧四度五十分零八秒相加得辰丙弧二十六度五十三分三十五秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行三百三十度至己为自行十一宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行三百度至午星从次轮最逺壬行六十度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相加之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也(若测得平行实行之差及星距太阳度以推次轮半)(径亦用丑甲卯三角形求之)如均轮心从最髙戊行一百二十度至子为自行四宫初度次轮心则从均轮最近辛厯庚行二百四十度至丑若星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸则与次轮心丑同在一直线从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角九度三十九分一十六秒(即寅丙弧)为初均数而无次均数若星从次轮最逺壬行一百四十度至卯从地心甲计之当本天之辰其寅甲辰角即次均数乃用丑甲卯三角形求甲角(即寅辰弧)此形有丑角四十度(于半周内减去壬卯弧一)(百四十度余卯癸弧即丑角度)本时太阳在最髙前三十度火星均轮心在最卑前六十度卯丑次轮半径为六百五十八万六千六百三十三(于最)(小半径六百三十万零二千七百五十内加本天髙)(卑差六万四千六百二十五又加太阳髙卑差二十)(一万九千二百五十八即得)有丑甲边九百五十七万九千一百六十九求得甲角四十三度零二分三十二秒即辰寅弧为次均数与初均数寅丙弧九度三十九分一十六秒相减余辰丙弧三十三度二十三分一十六秒为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行二百四十度至己为自行八宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行一百二十度至午星从次轮最逺壬厯癸行二百二十度至未则初均数丙甲申角与丙甲寅角等次均数申甲酉角与寅甲辰角等两角相减所余之丙甲酉角亦与丙甲辰角等但为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也求火星髙卑差法命火星本轮全径为二千万为一率本天髙卑大差二十五万八千五百为二率火星自行距最卑之正矢为三率(火星自行距最卑过象限则为大矢以半径与)(余弦相加即得)得四率为所求本天髙卑差又以太阳本轮全径为二千万为一率太阳髙卑大差二十三万五千为二率太阳自行距最卑之正矢为三率(太阳自行距最)(卑过象限则为大矢以半径与余弦相加即得)得四率为所求太阳髙卑差乃以次轮最小之半径六百三十万二千七百五十加所求本天髙卑差及太阳髙卑差即为本时次轮半径也御制厯象考成上编卷十二
## 上编卷十三
钦定四库全书御制歴象考成上编卷十三五星歴理五(专论金星)金星平行度用金星距太阳前后极远度求最髙及本轮均轮半径求初均数求次均数金星平行度金星之平行经度(即本轮心行度)即太阳之平行经度盖金星之本轮心即太阳之本轮心故其行度同也至其在次轮周每日之平行亦用前后两测与土木二星同新法厯书载古测定七平年又三百六十四日千分日之六百六十七或二千九百一十九日又千分日之六百六十七金星行次轮五周(即会日五次退合亦五次)置中积二千九百一十九日又千分日之六百六十七为实星行次轮周数五为法除之得周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纤(即五百八十三日零十分日之九分三三四授时歴)(作五百八十三日九○二六)乃以每周三百六十度为实周率五百八十三日八十九刻九分零五秒四十五微三十六纤为法除之得三十六分五十九秒二十五微五十二纤一十六忽四十四芒为每日金星在次轮周之平行(一名)(伏见行)既得每日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得每时每分之平行以立表用金星距太阳前后极逺度求最髙及本轮均轮半径测金星两心差之法与土木火三星不同盖土木火三星各有平行能与太阳冲故测三次冲日之度即可得两心差及最髙所在金星即以太阳之平行为平行星绕太阳旋转不得与太阳冲故必测其距太阳极逺之度先得最髙所在而后得两心差其本轮均轮之半径方可次第定焉其法于金星辰见时逐日测之取其距太阳极逺之度(星自合伏后距太阳渐逺至极逺又复渐)(近故须逐日测之方得其极逺之度也)夕见时亦逐日测之取其距太阳极逺之度但星距太阳极逺之度亦时时不同盖本天有髙卑平行(即轮心)近最髙则距地逺而角小平行近最卑则距地近而角大必择晨夕极逺度之相等者(如晨测距太阳四十七度夕测亦距四十七度)则其两平行距髙卑左右之度亦等爰以两平行所当宫度相加折半即最髙最卑线所当宫度然犹未能定其孰为最髙孰为最卑也乃再择晨见时或夕见时距太阳极逺之度以相较若平行所当宫度近最髙其相距极逺之度较小近最卑其相距极逺之度较大既得最髙而两心差可得矣(法见后)新法厯书载西人多录某于汉顺帝阳嘉三年甲戌测得最髙在大梁宫二十五度两心差为本天半径十万分之二千一百三十取其四分之三为本轮半径四分之一为均轮半径因其数与天行不合又改两心差为本天半径十万分之四千一百四十八逮后西人第谷又于明万厯十三年乙酉测得最髙在实沈宫二十九度一十六分三十九秒每年最髙行一分二十二秒五十七微定两心差为本天半径千万分之三十二万零八百一十四本轮半径为二十三万一千九百六十二(比四分之三小比三)(分之二大)均轮半径为八万八千八百五十二(比四分之一大比三)(分之一小)用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左求最髙之法用晨夕两测取其平行实行之大差相等者用之假如第一次晨测得金星实行在娵訾宫八度二十三分四十七秒如甲太阳平行在降娄宫二十二度一十六分即金星之平行如乙甲乙弧四十三度五十二分一十三秒为平行实行之大差第二次夕测得金星实行在夀星宫二十五度三十分一十三秒如丙太阳平行在鹑尾宫一十一度三十八分即金星之平行如丁丁丙弧亦四十三度五十二分一十三秒为平行实行之大差两测平行实行之大差既等则最髙最卑线必在两平行宫度之中试取乙丁两平行相距之弧折半于戊从戊过地心己至庚作戊庚线即为最髙最卑线而不同心天之心必在此线之上乃于戊庚线上任取辛点为心作壬癸子丑不同心天复从辛点作壬辛丑辛两线与乙己丁巳平行即以壬丑两点各为心作两次轮切己甲线于寅切己丙线于卯第一次晨测时次轮心循不同心天行至壬以太阳平行计之当恒星天之乙(乙距戊之度与壬距辰之度等)故乙点为平行星循次轮周行至寅从地心己计之当恒星天之甲故甲点为实行甲乙相距之四十三度五十二分一十三秒即癸己寅角第二次夕测时次轮心循不同心天行至丑以太阳平行计之当恒星天之丁(丁距戊之度与丑距辰之度等)故丁点为平行星循次轮周行至卯从地心已计之当恒星天之丙故丙点为实行丁丙相距之四十三度五十二分一十三秒即子己卯角此癸己寅及子己卯两角之大小因平行距最髙之逺近而殊盖平行距最髙近则不同心天距地心之线长而角小平行距最髙逺则不同心天距地心之线短而角大也今两已角既相等则癸巳与子巳距地心之两线必等而乙点与丁点距最髙之度亦必等故以乙点之降娄宫二十二度一十六分与丁点之鹑尾宫一十一度三十八分相加折半得鹑首宫一度五十七分如戊其冲为星纪宫一度五十七分如庚得戊庚为最髙最卑之线也欲定其孰为最髙须再测之假如再用晨测得金星实行在星纪宫一十四度一十八分三十三秒如已太阳平行在娵訾宫初度如午巳午弧四十五度四十一分二十七秒为平行实行之大差试从辛点作辛未线与己午平行即以未点为心作次轮切己巳线于申次轮心循不同心天行至未以太阳平行计之当恒星天之午故午点为平行星循次轮周行至申从地心己计之当恒星天之已故已点为实行已午相距之四十五度四十一分二十七秒即酉己申角此前所测癸己寅角多一度四十九分一十四秒夫先测之平行乙点距鹑首宫戊点近而平行实行之差少是近最髙而差角小也后测之平行午点距鹑首宫戊点逺而平行实行之差多是逺最髙而差角大也然则鹑首宫戊点为最髙而星纪宫庚点为最卑可知矣求两心差之法亦用两测择其平行度一当最髙一当最卑而距太阳极逺者用之假如太阳平行在鹑首宫一度五十七分正当金星最髙之点如戊于时测得金星实行为鹑火宫一十六度二十二分四十五秒如甲其平行实行之差为四十四度二十五分四十五秒即甲巳戊角又于太阳平行在星纪宫一度五十七分亦正当金星最卑之点如庚于时测得金星实行为大火宫一十三度四十分零四秒如乙其平行实行之差为四十八度一十六分五十六秒即乙己庚角乃以戊点为心切己甲线于丙庚点为心切己乙线于丁各作一金星次轮又从戊点至丙庚点至丁作两半径即成己丙戊己丁庚两直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己边此形有丙直角有己角四十四度二十五分四十五秒命戊丙半径为一○○○○○○○求得戊巳边一四二八五一六三又用己丁庚直角三角形求己庚边此形有丁直角有己角四十八度一十六分五十六秒命庚丁半径为一○○○○○○○求得己庚边一三三九七○七五以戊己与己庚相加得戊庚二七六八二二三八为本天全径半之得戊辛或辛庚一三八四一一一九为本天半径辛庚半径内减去己庚一三三九七○七五余辛巳四四四○四四为两心差乃用比例法变先所得之本天半径为同比例数以先所得之本天半径一三八四一一一九与先所得之两心差四四四○四四之比即同于今所设之本天半径一○○○○○○○与今所得之两心差之比而得三二○八一五为两心差也求初均数金星之初均数授时歴亦名盈缩差止用一表不分盈缩其最大者二度一三六三二一三八以周天三百六十度每度六十分约之得二度零九分二十二秒零六微新法厯书最大之初均数为一度五十分一十五秒四十㣲(即一度零十分度之八分三七六八五二)惟星在次轮周之行度正当最逺最近二点之时止用此均数加减若在最逺最近前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为二十三万一千九百六十二戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为八万八千八百五十二辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心)(近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有余(与太阳之平行)(同)即金星经度均轮心循本轮左旋自戊而己而庚每日亦行五十九分零八秒有余(微不及于经度之行每年少一分二十二秒五十七微)即自行引数次轮心则循均轮右旋自癸而壬而辛每日行一度五十八分一十六秒有余为倍引数也如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最近癸或均轮心从本轮最髙戊向己行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最近癸歴壬辛行一周复至癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故自行初宫初度及六宫初度俱无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最近癸行六十度至丑(丑癸弧为戊子弧之倍度)从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二边此形有卯直角有丙角三十度则癸角必六十度有癸丙边一十四万三十一百一十(本轮半径内减去均轮半)(径之数)求得癸卯边七万一千五百五十五卯丙边一十二万三千九百三十七以卯丙边与丙甲本天半径一千万相加得一千零一十二万三千九百三十七为卯甲边以癸卯边与丑癸通弦八万八千八百五十二相加(即均轮丑癸弧六十度之)(通弦故与均轮半径等若非六十度则用比例法以半径一千万为一率均轮)(丑癸弧折半察正弦为二率均轮子癸半径为三率得四率倍之即丑癸通弦)(也)得一十六万零四百零七为丑卯边于是用甲丑卯直角三角形求得甲角五十四分三十秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求得初均角即求得丑甲边为次轮心距地)(心之数存之为后求次均之用)若均轮心从最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰为十一宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自最近癸厯壬辛行三百度至已从地心甲计之当本天之午午丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫初度)(至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度)(至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行一百二十度至未为四宫初度则次轮心从均轮最近癸厯壬辛行二百四十度至申从地心甲计之当本天之酉酉丙弧为实行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二边此形有戌直角有丙角六十度则癸角必三十度癸丙边为一十四万三千一百一十求得癸戌边一十二万三千九百三十七丙戌边七万一千五百五十五以丙戌边与丙甲本天半径一千万相减余九百九十二万八千四百四十五为戌甲边以癸戌边与申癸通弦一十五万三千八百九十六相加(即均轮申癸弧一百二十度之通弦)得二十七万七千八百三十三为申戌边于是用甲申戌直角三角形求得甲角一度三十六分一十一秒即酉丙弧为自行四宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向己厯庚行二百四十度至亥为八宫初度则次轮心从均轮最近癸行一周复自癸厯壬行一百二十度至子从地心甲计之当本天之丑丑丙弧与酉丙弧等故自行八宫初度之初均数与四宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫初度至五)(宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫初度至八)(宫末度)求次均数金星之次均数亦生于次轮但星在次轮周之行度土木火三星皆自最逺起算金星则自平逺起算盖土木火三星之次轮径线与地心参直其次轮周之最逺㸃有分定星在次轮周又行距日度最逺即为合伏最近即为退冲故从最逺起算金星之次轮径线不与地心参直而与本轮髙卑线平行(从地心过本轮心之)(线)其径线逺地心之端为平逺近地心之端为平近理与太阴次轮径线与均轮径线平行者同盖太阴次轮之逺近以距本轮心言则与均轮径线平行金星次轮之逺近以距地心言则与髙卑线平行故最逺㸃无定分而平逺㸃有定分又金星之本轮即以太阳本轮心为心星在次轮周自行伏见度其合伏退合亦不定在逺近二㸃故从平逺起算惟次轮心正当髙卑线上(即均轮心在最髙或最卑时)则平逺㸃与最逺㸃合最髙后半周则平逺差而东最卑后半周则平逺差而西此两逺㸃之差即初均数然求次均数之法必以最逺㸃为起算之端故均轮心在最髙后半周初均数为减者则于伏见度内加初均数为星距次轮最逺之度(因其差而东也)均轮心在最卑后半周初均数为加者则于伏见度减去初均数为星距次轮最逺之度(因其差而西也)是金星在次轮周之行度虽自平逺起算而求次均数之法仍自最逺起算也新法厯书载西人多录某测得次轮半径为本天半径千万分之七百五十万九千八百其后西人第谷又改为本天半径千万分之七百二十二万四千八百五十今从之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为二十三万一千九百六十二戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为八万八千八百五十二庚为最逺辛为最近(此逺近以距本轮心言)壬辛癸为次轮全径壬辛半径为七百二十二万四千八百五十壬为最逺癸为最近(此逺)(近以距地心言)因均轮心在最髙故平逺点与最逺点合而壬亦即为平逺癸亦即为平近本轮心从本天冬至度右旋为经度(即太阳平行度)均轮心从本轮最髙戊左旋为引数(即自行度)次轮心从均轮最近辛右旋为倍引数星从次轮平逺点右旋行伏见度如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最近辛星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减过此二点则星在次轮周之左右而次均生矣如均轮心从最髙戊行六十度至子为自行二宫初度次轮心则从均轮最近辛行一百二十度至丑从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角一度三十四分四十九秒(即寅丙弧)为初均数卯为平逺辰为平近壬为最逺癸为最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十四分四十九秒(即壬)(卯弧)与初均数丙甲寅角等如星从平逺卯行三百五十八度二十五分一十一秒正当最逺壬或从平逺卯行一百七十八度二十五分一十一秒正当最近癸则与次轮心丑同在一直线而无次均数若星从次轮平逺卯厯辰行三百二十度至已则于卯癸辰巳弧三百二十度加壬卯弧一度三十四分四十九秒(即初均数)得壬卯癸辰巳弧三百二十一度三十四分四十九秒为星距次轮最逺之度从地心甲计之当本天之午其寅甲午角即次均数乃用丑甲巳三角形求甲角(即午寅弧)此形有丑角一百四十一度三十四分四十九秒(于壬卯癸辰巳弧内减去)(壬卯癸半周即得)有己丑半径七百二十二万四千八百五十有丑甲边一千零七万五千三百八十七(求丑甲边法见)(前求初均数篇)求得甲角一十五度五十五分二十七秒即午寅弧为次均数与初均数寅丙弧一度三十四分四十九秒相加(因初均寅点在平行)(丙点之后而次均午点又在寅点之后故相加)得午丙弧一十七度三十分一十六秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊厯己行三百度至未为自行十宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行二百四十度至申星从次轮平逺卯行四十度至酉则初均数丙甲戌角与丙甲寅角等次均数戌甲亥角与寅甲午角等两角相加之丙甲亥角亦与丙甲午角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也(若测得平行实行之差及伏见度以推次)(轮半径亦用丑甲巳三角形求之)如均轮心从最髙戊行一百二十度至子为自行四宫初度次轮心则从均轮最近辛行二百四十度至丑从地心甲计之当本天之寅其丙甲寅角一度三十六分一十一秒(即寅丙弧)为初均数卯为平逺辰为平近壬为最逺癸为最近其平逺距最逺之卯丑壬角亦一度三十六分一十一秒(即壬卯弧)与初均数丙甲寅角等如星从平逺卯行三百五十八度二十三分四十九秒正当最逺壬或从平逺卯行一百七十八度二十三分四十九秒正当最近癸则与次轮心丑同在一直线而无次均数若星从次轮平逺卯行七十度至已则于卯巳弧七十度加壬卯弧一度三十六分一十一秒(即初均数)得壬卯巳弧七十一度三十六分一十一秒为星距次轮最逺之度从地心甲计之当本天之午其寅甲午角即次均数乃用丑甲巳三角形求甲角(即寅午弧)此形有丑角一百零八度二十三分四十九秒(于壬卯巳癸半周内减去壬卯)(巳弧即得)有己丑半径七百二十二万四千八百五十有丑甲边九百九十三万一千五百一十求得甲角二十九度一十八分三十六秒即午寅弧为次均数与初均数寅丙弧一度三十六分一十一秒相减(因初均寅)(点在平行丙点之后而次均午点在平行丙点之前)(故相减)余丙午弧二十七度四十二分二十五秒为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也若均轮心从最髙戊歴巳行二百四十度至未为自行八宫初度次轮心则从均轮最近辛行一周复行一百二十度至申星从次轮平逺卯行二百九十度至酉则初均数丙甲戌角与丙甲寅角等次均数戌甲亥角与寅甲午角等两角相减所余之丙甲亥角亦与丙甲午角等但为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也御制歴象考成上编卷十三
## 上编卷十四
钦定四库全书御制厯象考成上编卷十四五星厯理六(专论水星)水星平行度用水星距太阳前后极逺度求最髙及本轮均轮半径求初均数求次均数水星平行度水星之平行经度(即本轮心行度)亦即太阳之平行经度其在次轮周每日之平行亦用前后两测与金星同新法厯书载古测定四十六平年又十二日十分日之四或一万六千八百零二日又十分日之四水星行次轮一百四十五周(即会日一百四十五次退合亦一百四十五次)置中积一万六千八百零二日又十分日之四为实星行次轮周数一百四十五为法除之得周率一百一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纤五十忽二十四芒(即一百一)(十五日零十分日之八分七八六二授时歴作一百一十五日八七六○) 乃以每周三百六十度为实周率一十一十五日八十四刻五分一十二秒五十一微一十五纤五十忽二十四芒为法除之得三度零六分二十四秒零六微五十九纤二十九忽二十二芒为每日水星在次轮周之平行(一名伏见行)既得毎日之平行用乘法可得每年每月之平行用除法可得毎时每分之平行以立表用水星距太阳前后极逺度求最髙及本轮均轮半径测水星两心差之法与金星同盖其行旋绕太阳不得与太阳冲故亦须测其距太阳前后极逺之度先得最髙所在而后得两心差也新法厯书载西人多录某于汉顺帝永和三年戊寅测得最髙在寿星宫一十度一十五分两心差为本天半径十万分之九千四百零七取其六分之五为本轮半径六分之一为均轮半径逮后西人第谷又于明万厯十三年乙酉测得最髙在析木宫初度一十分一十七秒每年最髙行一分四十五秒一十四微定两心差为本天半径千万分之六十八万二千一百五十五本轮半径为五十六万七千五百二十三(比六分之五微小)均轮半径为一十一万四千六百三十二(比六分之一微大)用其数推算均数与天行密合今仍用其数而述其测法如左求最髙之法用晨夕两测取其平行实行之大差相等者用之假如第一次晨测得水星实行在寿星宫一十度一十五分一十四秒如甲太阳平行在寿星宫二十九度三十二分即水星之平行如乙甲乙弧一十九度一十六分四十六秒为平行实行之大差第二次夕测得水星实行在星纪宫二十七度一十二分四十六秒如丙太阳平行在星纪宫七度五十六分即水星之平行如丁丁丙弧亦一十九度一十六分四十六秒为平行实行之大差两测平行实行之大差既等则最髙最卑线必在两平行宫度之中试取乙丁两平行相距之弧折半于戊从戊过地心己至庚作戊庚线即为最髙最卑线而不同心天之心必在此线之上乃于戊庚线上任取辛点为心作壬癸子丑不同心天复从辛点作壬辛丑辛两线与乙巳丁巳平行即以壬丑两点各为心作两次轮切己甲线于寅切己丙线于卯第一次晨测时次轮心循不同心天行至壬以太阳平行计之当恒星天之乙(乙距戊之度与壬距辰之度等)故乙点为平行星循次轮周行至寅从地心己计之当恒星天之甲故甲点为实行甲乙相距之一十九度一十六分四十六秒即癸巳寅角第二次夕测时次轮心循不同心天行至丑以太阳平行计之当恒星天之丁(丁距戊之度与丑距辰之度等)故丁点为平行星循次轮周行至卯从地心己计之当恒星天之丙故丙点为实行丁丙相距之一十九度一十六分四十六秒即子己卯角此癸巳寅及子己卯两角之大小因平行距最髙之逺近而殊盖平行距最髙近则不同心天距地心之线长而角小平行距最髙逺则不同心天距地心之线短而角大也今两已角既相等则癸巳与子巳距地心之两线必等而乙点与丁点距最髙之度亦必等故以乙点之夀星宫二十九度三十二分与丁点之星纪宫七度五十六分相加折半得析木宫三度四十四分如戊其冲为实沈宫三度四十四分如庚得戊庚为最髙最卑之线也欲定其孰为最髙须再测之假如再用晨测得水星实行在鹑首宫一十六度四十二分五十四秒如已太阳平行在鹑火宫六度三十分如午巳午弧一十九度四十七分零六秒为平行实行之大差试从辛点作辛未线与巳午平行即以未点为心作次轮切己巳线于申次轮心循不同心天行至未以太阳平行计之当恒星天之午故午点为平行星循次轮周行至申从地心己计之当恒星天之巳故巳点为实行巳午相距之一十九度四十七分零六秒即酉己申角比前所测癸巳寅角多三十分二十秒夫先测之平行乙点距析木宫戊点近而平行实行之差少是近最髙而差角小也后测之平行午点距析木宫戊点逺而平行实行之差多是逺最髙而差角大也然则析木宫戊点为最髙而实沈宫庚点为最卑可知矣求两心差之法亦用两测择其平行度一当最髙一当最卑而距太阳极逺者用之假如太阳平行在析木宫三度正当水星最髙之点如戊于时测得水星实行为析木宫二十三度四十八分三十二秒如甲其平行实行之差为二十度四十八分三十二秒即甲巳戊角又于太阳平行在实沈宫三度亦正当水星最卑之点如庚于时测得水星实行为大梁宫八度五十八分如乙其平行实行之差为二十四度零二分即乙己庚角乃以戊点为心切己甲线于丙庚点为心切己乙线于丁各作一水星次轮又从戊点至丙庚点至丁作两半径即成己丙戊己丁庚两直角三角形用己丙戊直角三角形求戊己边此形有丙直角有己角二十度四十八分三十二秒命戊丙半径为一○○○○○○○求得戊巳边二八一四九○三二又用己丁庚直角三角形求己庚边此形有丁直角有己角二十四度零二分命庚丁半径为一○○○○○○○求得己庚边二四五五三八五○以戊己与己庚相加得戊庚五二七○二八八二为本天全径半之得戊辛或辛庚二六三五一四四一为本天半径辛庚半径内减去己庚三四五五三八五○余辛巳一七九七五九一为两心差乃用比例法变先所得之本天半径为同比例数以先所得之本天半径二六三五一四四一与先所得之两心差一七九七五九一之比即同于今所设之本天半径一○○○○○○○与今所得之两心差之比而得六八二一六○为两心差也求初均数水星之初均数授时厯亦名盈缩差止用一表不分盈缩其最大者二度二八六一四八四七以周天三百六十度每度六十分约之得二度一十五分一十一秒五十一微新法厯书最大之初均数为三度三十四分二十秒二十三微(即三度零十分度之五分七二三二八七)惟星在次轮周之行度正当最逺最近二点之时止用此均数加减若在最逺最近前后仍有次均数之加减故此名初均数以别之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲半径为一千万戊己庚为本轮戊丙半径为五十六万七千五百二十三戊为最髙庚为最卑辛壬癸为均轮辛戊半径为一十一万四千六百三十二辛为最逺(去本轮心逺也)癸为最近(去本轮心近也)本轮心循本天右旋自乙而丙而丁每日行五十九分零八秒有余(与太)(阳之平行同)即水星经度均轮心循本轮左旋自戊而己而庚每月亦行五十九分零八秒有余(微不及于经度之行每年少一分四十五秒一十四)(微)即自行引数次轮心则循均轮右旋自辛而壬而癸每日行二度五十七分有余为三倍引数也(土木火金四星之次轮心皆起均轮)(最近行倍引数惟水星则起均轮最逺行三倍引数)如均轮心在本轮之最髙戊为初宫初度则次轮心在均轮之最逺辛或均轮心从本轮最髙戊向己行半周至最卑庚为六宫初度则次轮心亦从均轮最逺辛歴壬癸行一周至辛复自辛歴壬行半周至最近癸从地心甲计之俱成一直线无平行实行之差故自行初宫初度及六宫初度俱无均数也如均轮心从本轮最髙戊行三十度至子为一宫初度则次轮心从均轮最逺辛行九十度至丑(辛丑弧为戊子弧之三倍)从地心甲计之当本天之寅寅丙弧为实行不及平行之度乃用丙子丑三角形求丙角及丑丙边此形有子角九十度(当丑癸弧)有子丙本轮半径五十六万七千五百二十三有丑子均轮半径一十一万四千六百三十二求得丙角一十一度二十五分一十秒丑丙边五十七万八千九百八十五以丙角一十一度二十五分一十秒与子丙庚角一百五十度相加(当子庚弧为自行度减半周之余)得丑丙庚角一百六十一度二十五分一十秒于是用丑丙甲三角形求甲角此形有丙角一百六十一度二十五分一十秒有丑丙边五十七万八千九百八十五有丙甲本天半径一千万求得甲角一度零七秒即寅丙弧为自行一宫初度之初均数是为减差以减于平行而得实行也(凡求)(得初均角即求得丑甲边为次轮心距地心之数存之为后求次均之用)若均轮心从最髙戊向己歴庚行三百三十度至卯为十一宫初度则次轮心从均轮最逺辛行二周复自最逺辛歴壬癸行二百七十度至辰从地心甲计之当本天之己巳丙弧与寅丙弧等故自行十一宫初度之初均数与一宫初度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最髙后三宫之减差(初宫初度至二宫末度)即得最髙前三宫之加差(九宫初度至十一宫末度)如均轮心从本轮最髙戊行一百三十五度至午为四宫一十五度则次轮心从均轮最逺辛歴壬癸行一周复行四十五度至未从地心甲计之当本天之申申丙弧为实行不及平行之度乃用丙午未三角形求丙角及丙未边此形有午角一百三十五度(当癸未弧)有丙午本轮半径五十六万七千五百二十三有午未均轮半径一十一万四千六百三十二求得丙角七度零七分二十五秒丙未边六十五万三千六百三十四以丙角七度零七分二十五秒与午丙庚角四十五度相加(当午庚弧为自行度减半周之余)得未丙庚角五十二度零七分二十五秒于是用未丙甲三角形求甲角此形有丙角五十二度零七分二十五秒有丙未边六十五万三千六百三十四有丙甲本天半径一千万求得甲角三度零四分三十六秒即申丙弧为自行四宫一十五度之初均数是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊向已歴庚行二百二十五度至酉为七宫一十五度则次轮心从均轮最逺辛行一周复自辛歴壬癸行三百一十五度至戌从地心甲计之当本天之亥亥丙弧与申丙弧等故自行七宫一十五度之初均数与四宫一十五度等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也用此法求得最卑前三宫之减差(三宫初度至五宫末度)即得最卑后三宫之加差(六宫初度至八宫末度)求次均数求水星次均数之理与金星同新法厯书载西人多录某测得次轮半径为本天半径十万分之三万五千七百二十其后西人第谷又改为本天半径千万分之三百八十五万今从之如图甲为地心即本天心乙丙丁为本天之一弧丙甲为本天半径一千万戊丙巳为本轮全径戊丙半径为五十六万七千五百二十三戊为最髙己为最卑庚戊辛为均轮全径庚戊半径为一十一万四千六百三十二庚为最逺辛为最近(此逺近以距本轮心言)壬庚癸为次轮全径壬庚半径为三百八十五万壬为最逺癸为最近(此逺近以距地心言)因均轮心在最髙故平逺点与最逺点合而壬亦即为平逺癸亦即为平近本轮心从本天冬至度右旋为经度(即太阳平行度)均轮心从本轮最髙戊左旋为引数(即自)(行度)次轮心从均轮最逺庚右旋为三倍引数星从次轮平远点右旋行伏见度如均轮心在本轮最髙戊为自行初宫初度次轮心在均轮最逺庚星在次轮之最逺壬或在次轮之最近癸从地心甲计之与轮心同在一直线故无均数之加减过此二点则星在次轮周之左右而次均生矣如均轮心从最髙戊行六十度至子为自行二宫初度次轮心则从均轮最逺庚行一百八十度至辛从地心甲计之当本天之丑其丙甲丑角二度一十一分四十七秒(即丑丙弧)为初均数寅为平逺卯为平近壬为最逺癸为最近其平逺距最逺之寅辛壬角亦二度一十一分四十七秒(即壬)(寅弧)与初均数丙甲丑角等加星从平逺寅行三百五十七度四十八分一十三秒正当最逺壬或从平逺寅行一百七十七度四十八分一十三秒正当最近癸则与次轮心辛同在一直线而无次均数若星从次轮平逺寅歴卯行三百三十度至辰则于寅癸卯辰弧三百三十度加壬寅弧二度一十一分四十七秒(即初均数)得壬寅癸卯辰弧三百三十二度一十一分四十七秒为星距次轮最逺之度从地心甲计之当本天之己其丑甲巳角即次均数乃用辛甲辰三角形求甲角(即己丑弧)此形有辛角一百五十二度一十一分四十七秒(于壬寅癸卯辰弧内减去)(壬寅癸半周即得)有辰辛半径三百八十五万有辛甲边一千零二十三万三千九百六十五(求辛甲边法见前求初均数篇)求得甲角七度三十分零二秒即己丑弧为次均数与初均数丑丙弧二度一十一分四十七秒相加(因初均丑)(点在平行丙点之后而次均己点又在丑点之后故)(相加)得己丙弧九度四十一分四十九秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊歴己行三百度至午为自行十宫初度次轮心则从均轮最逺庚行二周复行一百八十度至辛星从次轮平逺寅行三十度至未则初均数丙甲申角与丙甲丑角等次均数申甲酉角与丑甲巳角等两角相加之丙甲酉角亦与丙甲巳角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也(若测得平行实行之差及伏见度以)(推次轮半径亦用辛甲辰三角形求之)如均轮心从最髙戊行一百一十度至子为自行三宫二十度次轮心则从均轮最逺庚行三百三十度至丑从地心甲计之当本天之辰其丙甲辰角三度三十四分二十六秒(即辰丙弧)为初均数寅为平逺卯为平近壬为最逺癸为最近其平逺距最逺之寅丑壬角亦三度三十四分二十六秒(即壬寅弧)与初均数丙甲辰角等如星从平逺寅行三百五十六度二十五分三十四秒正当最逺壬或从平逺寅行一百七十六度二十五分三十四秒正当最近癸则与次轮心丑同在一直线而无次均数若星从次轮平逺寅行二百度至巳则于寅癸卯巳弧二百度加壬寅弧三度三十四分二十六秒(即初均数)得壬寅癸卯巳弧二百零三度三十四分二十六秒为星距次轮最逺之度从地心甲计之当本天之午其辰甲午角即次均数乃用丑甲巳三角形求甲角(即午辰弧)此形有丑角二十三度三十四分二十六秒(于壬)(寅癸卯巳弧内减去壬寅癸半周即得)有己丑半径三百八十五万有丑甲边九百七十三万七千零一十九求得甲角一十三度五十五分四十四秒即午辰弧为次均数与初均数辰丙弧三度三十四分二十六秒相加得午丙弧一十七度三十分一十秒为实行不及平行之度是为减差以减于平行而得实行也若均轮心从最髙戊歴己行二百五十度至未为自行八宫十度次轮心则从均轮最远庚行二周复行三十度至申星从次轮平远寅行一百六十度至酉则初均数丙甲戌角与丙甲辰角等次均数戌甲亥角与辰甲午角等两角相加之丙甲亥角亦与丙甲午角等但为实行过于平行之度是为加差以加于平行而得实行也御制厯象考成上编卷十四
## 上编卷十五
钦定四库全书御制厯象考成上编卷十五五星厯理七(五星合论)五星交周土木火三星纬度金水二星纬度五星伏见五星视差五星交周五星交周名义虽与太隂同而其行之顺逆实相反也(太隂之交逆行五星之交顺行)然而本道与黄道交周土木火三星有之而金水二星则无何也土木火三星各有本道与黄道斜交其自黄道南过黄道北之㸃亦为正交自黄道北过黄道南之㸃亦为中交自交而后便生距度此本道与黄道相距所生之纬度也若夫金水二星则皆以黄道为本道因无二道之交㸃故亦无二道相距之纬度也其所以又有纬度者由于次轮之面不与本道平行星行次轮周凡离本道者皆生纬度此又非独金水二星为然即土木火三星亦然也是故土木火三星本道与黄道相交之两㸃仍名之曰交周自两交㸃过地心作径线名之曰交线自两交之中过地心作径线名之曰大距线其次轮面之东西径线恒当本道之平面而与交线平行者曰枢线次轮面之南北径线恒与本道斜交而与黄道平行者曰次轮大距线其枢线之两端恒与本道相当遂成两交㸃今名之曰次交㸃而金水二星次轮面之东西径线亦曰枢线南北径线亦曰次轮大距线其枢线之两端亦与本道(即黄道)相当今亦名之曰次交㸃而与枢线平行之本道径线仍名之曰交线交线之两端仍名之曰交周(金水二星本无交周因次轮最逺距次轮)(两交㸃之度即次轮心距交线两端之度故仍名曰交周)又土木火三星之次轮面不与本道平行而金水二星之次轮面亦不与本道平行此五星之所同次轮心行至本道之两交㸃则枢线与交线合次轮心行至本道两交之中星又行至次轮两交㸃之中则纬度极大故五星之交周㸃即纬度起算之端也新法厯书载崇祯元年戊辰土星正交在鹑首宫二十度四十一分五十二秒中交在星纪宫二十度四十一分五十二秒每年交行四十一秒五十三微本天与黄道相交之角为二度三十一分木星正交在鹑首宫七度零九分零八秒中交在星纪宫七度零九分零八秒每年交行一十三秒三十六微本天与黄道相交之角为一度一十九分四十秒火星正交在大梁宫一十七度零二分二十九秒中交在大火宫一十七度零二分二十九秒每年交行五十二秒五十七微本天与黄道相交之角为一度五十分金星正交恒距最髙一十六度在实沈宫一十四度一十六分零六秒中交在析木宫一十四度一十六分零六秒每年交行一分二十二秒五十七微水星正交恒与最卑同在实沈宫一度二十五分四十二秒(旧作中交)中交在析木宫一度二十五分四十二秒(旧作正交)每年交行一分四十五秒一十四微至于金水二星之次轮面与黄道相交之角则未载其数今按其纬度表推之金星次轮面交黄道之角为三度二十九分水星次轮心在正交当黄道北之角为五度零五分一十秒当黄道南之角为六度三十一分零二秒次轮心在中交当黄道北之角为六度一十六分五十秒当黄道南之角为四度五十五分三十二秒次轮心在两交之中当黄道南北之角皆五度四十分夫五星之次轮面斜交本道其交角宜相等而轮心南北之角为交错之角其度尤宜相等惟水星独不等或因水星近日逼于阳光低昻不定亦未可知然其体甚微且不数见于其应见时谨候之随见即𨼆无从测騐以得其确准也土木火三星交周如甲为地心乙丙丁戊为黄道乙巳丁庚为星本道丙巳戊庚为过二极经圏星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙为正交丁为中交己丙与戊庚为大距当乙丁二交角土星为二度三十一分木星为一度一十九分四十秒火星为一度五十分乙丁为交线己庚为大距线辛壬癸子为次轮其面与本道斜交(本道上有本轮均轮而次)(轮心在均轮周然本轮均轮皆与本道成一平面自)(地心作视线与本道参直故止将次轮画于本道以)(便观览)而与黄道平行辛壬癸半周在本道南(低于本道之下)癸子辛半周在本道北(昻于)(本道之上)其辛癸径线恒当本道之平面而与乙丁交线平行今名之曰枢线枢线之辛癸两端自地心甲视之恒当本道故与本道成两交点今名之曰次交点辛为次轮正交癸为次轮中交其壬子径线恒与本道面斜交(壬子线本在两交之中因与本)(道斜交非平行面故作旁视之形以显交角)若与本道面平行作丑寅线则壬己丑及寅巳子诸角即次轮面与本道面斜交之角与二道之交角等其壬子二点距本道最大故壬子线今名之曰次轮大距线次轮心在本道乙丁两交点则无本道距黄道之纬度次轮心在己或在庚则本道距黄道之纬度极大星在次轮辛癸两交点则无星距本道之纬度星在壬或在子则星距本道之纬度极大然星距次轮两交之度实由次轮心距木道两交之度而知盖土木火三星行次轮周皆自合伏起算(即次轮最逺)而合伏距次轮正交之度即与次轮心距本道正交之度等试自地心过次轮心作夘辰逺近线夘为合伏时星当本道视线点辰为退冲时星当本道视线点次轮心行至本道正交乙则合伏所当本道视线夘点与次轮正交辛点合次轮心行至本道中交丁则合伏所当本道视线夘点与次轮中交癸点合次轮心行至本道大距己距正交乙九十度则合伏所当本道视线夘点距次轮正交辛点亦九十度次轮心行至本道大距庚距中交丁九十度则合伏所当本道视线夘点距次轮中交癸点亦九十度若次轮心距本道正交乙行四十五度至己则合伏所当本道视线夘点距次轮正交辛点亦四十五度是知次轮心距本道正交之度即合伏距次轮正交之度以星距合伏之度与次轮心距本道正交之度相加即得星距次轮正交之度故本道之乙丁两交点为纬度起算之端也金水二星交周如甲为地心乙丙丁戊为星本道即黄道丙戊为过黄极经圈本道与黄道既为一体故无二道之交亦无相距之纬辛壬癸子为次轮与黄道斜交辛壬癸半周在黄道北(昻于黄道之上)癸子辛半周在黄道南(低于黄道之下)其辛癸径线恒当黄道之平面任次轮心在黄道之何处其辛癸径线皆相为平行今亦名之曰枢线枢线之辛癸两端自地心甲视之恒当黄道故与黄道成两交点今亦名之曰次交点辛为次轮正交癸为次轮中交(因辛点为自黄道南过黄道北之点故名正交)(癸点为自黄道北过黄道南之点故名中交与土木)(火三星之本道两交点相应与次交点相反)其壬子径线恒与黄道面斜交(壬子线本在两交之中因与黄道斜交非平行)(面故作旁视之形以显交角)若与黄道面平行作丑寅线则丑丙壬及寅丙子诸角即次轮面与黄道面斜交之角其壬子二点距黄道最大故壬子线今亦名之曰次轮大距线星在次轮辛癸两交点则无星距黄道之纬度星在壬或在子则星距黄道之纬度极大然金水二星行次轮周自平逺起算而求次均与纬度皆自最逺起算其距次交点之度无由而知故与枢线平行作乙丁径线亦名曰交线又自地心过次轮心作夘辰逺近线夘为最逺时星当本道视线点辰为最近时星当本道视线点次轮心行至交线乙则最逺所当本道视线夘点与次轮正交辛点合次轮心行至交线丁则最逺所当本道视线夘点与次轮中交癸点合次轮心距交线乙行九十度至丙则最逺所当本道视线夘点距次轮正交辛点亦九十度次轮心距交线丁行九十度至戊则最逺所当本道视线夘点距次轮中交癸点亦九十度若次轮心距交线乙行四十五度至己则最逺所当本道视线夘点距次轮正交辛点亦四十五度故乙点亦命为正交下点亦命为中交丙戊二点亦命为大距所以纪次轮最逺距次交点之度而为纬度起算之端其实无本道之交周点也土木火三星纬度土木火三星纬度之原有四一由本道与黄道斜交本轮心循本道右旋均轮次轮亦随之而右旋次轮心虽不在本道然当本道之平面自地心计之与在本道等若次轮心适当二道之交则无纬度距交渐逺则纬度渐大今名之曰初纬乃初经度所当本道距黄道之纬度即次轮心距黄道之纬度也一由星循次轮周行其经度既因次均数之加减而不同于初经则纬度亦不同于初纬今名之曰实纬乃实经度所当本道距黄道之纬度也一由次轮面与本道斜交而与黄道平行半周在本道南半周在本道北又生纬度今名之曰次纬乃星距本道之纬度也一由纬度之角生于地心而次纬之角却生于次轮心必求得次纬当地心之角与实纬相加减方为星距黄道之纬度(实纬在黄道北而次纬又在本道北或实纬在黄道南而次纬又在本道南则)(相加若实纬在黄道北而次纬却在本道南实纬在黄道南而次纬却在本道北则相减)今名之曰视纬乃自地心作视线所得之真纬度也然如此立法则甚繁且实纬与黄道成直角而次纬却与本道成直角亦难于加减入算况次轮面与黄道平行星距地心之逺近虽不等而距黄道之逺近必与次轮心距黄道之逺近等夫既有次轮心距黄道之弧即可得星距黄道之边再有星距地心之边即可得视纬之角又不必以实纬与次纬相加减而得之也故今立法惟以次轮心距本道正交之度(初经度内减正交度)(即得)求得初纬即以次轮心距地心线与初纬之正弦为比例而得星距黄道线又以星距合伏之度(即次轮最)(逺)用三角形法求得星当黄道视线㸃距地心之逺与星距黄道线为比例而得视纬度要之初纬度小星在合伏前后则距地心逺而视纬度愈小初纬度大星又在退冲前后则距地心近而视纬度愈大也新法厯书载西人第谷测得次轮心在两交之中星又在次轮最近其视纬极大(两交之中为二道之大距次轮心在此其初纬)(极大星又在次轮最近其距地心之线极短故视纬尤大)土星北纬为二度四十八分南纬为二度四十九分木星北纬为一度三十八分南纬为一度四十分火星北纬为四度三十一分南纬为六度四十七分(本轮有髙卑则次轮心距地有逺近逺则纬小近则)(纬大因次轮心在本道之北半周当最髙南半周当最卑故南纬大于北纬也)如图甲为地心乙丙丁戊为黄道乙巳丁庚为星本道丙巳戊庚为过二极经圈星本道之乙巳丁半周在黄道北丁庚乙半周在黄道南乙为正交丁为中交辛壬癸子为次轮次轮心所当宫度为初经度如次轮心行至正交乙或中交丁则无初纬度次轮心距本道正交乙行九十度至己或距本道中交丁行九十度至庚则己丙或庚戊为初纬度即大距度若次轮心距本道正交乙行四十五度至己则己年为初纬度当己甲午角其法以乙巳九十度之正弦与己丙大距度正弦之比即同于乙巳距交四十五度之正弦与巳午距纬度正弦之比也(此即正弧三角形有黄赤交角)(有黄道求距纬之法盖乙角即如黄赤交角乙巳即)(如黄道乙午即如赤道己午即如距纬也)又如次轮心距本道正交乙行九十度至己星行至次轮中交癸当本道之未则未为实经度未申为实纬度当未甲申角其法亦以丁巳九十度之正弦与己丙大距度正弦之比即同于丁未距交度之正弦与未申距纬度正弦之比也(与求初纬法同)又如次轮心距本道正交乙行九十度至己星合伏时所当本道视线夘距次轮正交辛亦九十度其实经度仍当本道之己则己甲丙角为初纬度(即己丙大距度)亦即实纬度然次轮面与本道斜交自地心计之星虽与夘辰逺近线参直而星实在壬低于夘点之下壬巳夘角为次纬度壬酉线为星距本道视线之逺其当地心之角为己甲壬角与实纬己甲丙角相减余壬甲丙角乃为视纬度也又如次轮心距本道正交乙行九十度至己星退冲时则当本道视线辰其实经度仍当本道之己则己甲丙角为初纬度(即己丙大)(距度)亦即实纬度然次轮面与本道斜交自地心计之星虽与夘辰逺近线参直而星实在子昻于辰点之上子己辰角为次纬度子戌线为星距本道视线之逺其当地心之角为子甲巳角与实纬己甲丙角相加得子甲丙角乃为视纬度也今立求视纬法先求初纬即求视纬而不用求实纬及次纬焉盖次轮面与黄道平行星距黄道视线之逺近必与次轮心距黄道之逺近等如次轮心行至本道正交乙或中交丁其壬子次轮大距线正当黄道自地心视之则辛壬癸子次轮面与壬子次轮大距线合任星在次轮周之何处无初纬亦无视纬如次轮心行至本道大距己或本道大距庚其壬子次轮大距线与丙戊黄道径线平行而辛壬癸子次轮面亦与壬子大距线平行任星在次轮周之何处其距黄道视线之逺近皆与轮心距黄道之逺近等惟求得星当黄道视线点距地心之逺与星距黄道之逺近为比例即得视纬之角其法甚便也如次轮心距本道正交乙行九十度至己则己甲丙角为初纬(即己丙大距度)星在合伏壬求视纬则以本天半径与初纬己丙弧正弦之比即同于己甲次轮心距地心与己亥之比(求次轮心距地)(心见前求初均数篇)而得己亥与壬干等为星距黄道视线之逺又以本天半径与初纬己丙弧余弦之比即同于己甲次轮心距地心与亥甲之比而得亥甲其干亥一段即与壬巳次轮半径等以干亥与亥甲相加得干甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以干甲与壬干之比即同于半径全数与壬甲干角正切之比而得壬甲干角为星在合伏壬之视纬度也如星在退冲子则星距黄道视线之逺为子坎仍与己亥等而亥坎亦与己子次轮半径等以亥坎与亥甲相减余坎甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以坎甲与子坎之比即同于半径全数与子甲坎角正切之比而得子甲坎角为星在退冲子之视纬度也如次轮心距本道正交乙行九十度至己则己甲丙角为初纬(即己丙大距度)星距合伏壬行六十度至艮其距黄道视线之逺为艮震与己亥等今所求之视纬即艮甲震角艮甲为星距地心之逺震甲为星当黄道视线点距地心之逺艮巽为艮壬弧六十度之正弦与震离等巽己为艮壬弧六十度之余弦与离亥等而㢲离亦与己亥等故以半径全数与六十度正弦之比即同于艮己次轮半径与艮巽次轮六十度正弦之比而得艮巽又以半径全数与六十度余弦之比即同于艮己次轮半径与巽己次轮六十度余弦之比而得巽己又以半径全数与初纬己丙弧余弦之比即同于己甲次轮心距地心与亥甲之比而得亥甲其离亥一段原与巽己等以离亥与亥甲相加得离甲乃用震离甲勾股形求震甲离甲为股震离为勾求得震甲弦为星当黄道视线点距地心之逺于是以震甲与艮震之比即同于半径全数与艮甲震角正切之比而得艮甲震角为星距合伏六十度艮之视纬度也如次轮心距本道正交乙行四十五度至己则先求得己甲午角为初纬(即己午距)(纬度)又与甲午黄道径线平行作坤兑线即知合伏时星在坤低于夘辰逺近线之下退冲时星在兑昻于夘辰逺近线之上如星在合伏坤则以本天半径与初纬己午弧正弦之比即同于己甲次轮心距地心与己亥之比而得己亥与坤干等为星距黄道视线之逺又以本天半径与初纬己午弧余弦之比即同于己甲次轮心距地心与亥甲之比而得亥甲其干亥一段即与坤己次轮半径等以干亥与亥甲相加得干甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以干甲与坤干之比即同于半径全数与坤甲干角正切之比而得坤甲干角为星在合伏坤之视纬度也如星在退冲兑则星距黄道视线之逺为兑坎仍与己亥等而亥坎亦与巳兑次轮半径等以亥坎与亥甲相减余坎甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以坎甲与兑坎之比即同于半径全数与兑甲坎角正切之比而得兑甲坎角为星在退冲兑之视纬度也如次轮心距本道正交乙行四十五度至己则己甲午角为初纬星过退冲兑行七十度至艮其距黄道视线之逺为艮震与己亥等今所求之视纬即艮甲震角艮甲为星距地心之逺震甲为星当黄道视线点距地心之逺艮巽为艮兑弧七十度之正弦与震离等巽己为艮兑弧七十度之余弦与离亥等而巽离亦与己亥等故以半径全数与七十度正弦之比即同于艮己次轮半径与艮巽次轮七十度正弦之比而得艮巽又以半径全数与七十度余弦之比即同于艮己次轮半径与巽己次轮七十度余弦之比而得巽己又以半径全数与初纬己午弧余弦之比即同于己甲次轮心距地心与亥甲之比而得亥甲其离亥一段原与巽己等以离亥与亥甲相减余离甲乃用震离甲勾股形求震甲离甲为股震离为勾求得震甲弦为星当黄道视线点距地心之逺于是以震甲与艮震之比即同于半径全数与艮甲震角正切之比而得艮甲震角为星过退冲七十度艮之视纬度也又求合伏退冲视纬㨗法不用求星距黄道视线及星当黄道视线点距地心之逺即以初纬度与次轮心距地心及次轮半径为三角形算之如次轮心在本道大距己星在合伏壬求视纬则用壬巳甲三角形此形有己甲次轮心距地心有壬巳次轮半径有己角为初纬壬巳夘角之外角(壬巳夘角与己甲丙角等)求得甲壬己角与壬甲丙角等即星在合伏壬之视纬度也如星在退冲子求视纬则用子巳甲三角形此形有己甲次轮心距地心有己子次轮半径有己角为初纬角(子巳甲角与己甲丙角等)求得己子甲角与半周相减余甲子丑角与子甲丙角等即星在退冲子之视纬度也金水二星纬度金水二星纬度生于次轮本无初纬实纬盖因其本道即黄道本轮心循黄道右旋均轮次轮亦随之而右旋次轮心虽不在黄道然当黄道之平面自地心计之与在黄道等故无初纬星循次轮周行其实行所当本道经度亦即黄道度故无实纬也其次轮与黄道斜交半周在南半周在北乃生纬度今亦名之曰次纬次纬当地心之角即星距黄道之纬度今亦名之曰视纬今立法先以星距次轮正交之度(以星距次)(轮最逺度与次轮心距黄道正交度相加即得)求得次纬即以次轮半径与次纬之正弦为比例而得星距黄道线又以星距次轮最逺之度用三角形法求得星当黄道视线点距地心之逺与星距黄道线为比例而得视纬度要之次纬度小星在最逺前后则距地心逺而视纬度愈小次纬度大星又在最近前后则距地心近而视纬度愈大也新法厯书载西人第谷测得次轮心在两交之中星在次轮最近其纬度极大(次轮心在两交之中则最近即)(次轮之大距故纬度极大)金星为九度零二分水星为三度三十三分(金水二星本道之交点皆近最髙则两交之中皆近中距故次轮心距地心之逺近皆等而南)(北之纬度亦等)如图甲为地心乙丙丁戊为星本道即黄道丙戊为过黄极经圈辛壬癸子为次轮次轮心所当宫度为初经度即黄道度故无初纬度也如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星行至次轮正交辛当本道之己则己为实经度亦即黄道度故亦无实纬度也又如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星在次轮最逺时所当本道视线夘距次轮正交辛亦九十度然次轮面与本道斜交自地心计之星虽与夘辰逺近线参直而星实在壬昻于夘点之上壬丙夘角为次纬度壬午线为星距黄道视线之逺其当地心之角为壬甲午角即视纬度也又如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星在次轮最近时则当本道视线辰然次轮面与本道斜交自地心计之星虽与夘辰逺近线参直而星实在子低于辰点之下子丙辰角为次纬度子未线为星距黄道视线之逺其当地心之角为子甲未角即视纬度也今立求视纬法先求次纬如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星在次轮最逺壬则次轮面与本道斜交之壬丙夘角即次纬以半径全数与壬丙夘角正弦之比即同于壬丙次轮半径与壬午之比而得壬午为星距黄道视线之逺又以半径全数与壬丙夘角余弦之比即同于壬丙次轮半径与午丙之比而得午丙与丙甲次轮心距地心相加得午甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以午甲与壬午之比即同于半径全数与壬甲午角正切之比而得壬甲午角即星在次轮最逺壬之视纬度也如星在次轮最近子则次轮面与本道斜交之子丙辰角为次纬以半径全数与子丙辰角正弦之比即同于子丙次轮半径与子未之比而得子未为星距黄道视线之逺又以半径全数与子丙辰角余弦之比即同于子丙次轮半径与未丙之比而得未丙与丙甲次轮心距地心相减余未甲为星当黄道视线点距地心之逺仍以未甲与子未之比即同于半径全数与子甲未角正切之比而得子甲未角为星在次轮最近子之视纬度也如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星距次轮最逺壬行三十度至申则以星距最逺壬申弧三十度与最逺距次轮正交辛壬弧九十度相加(辛壬弧与乙丙)(弧等)得辛申弧一百二十度为星距次轮正交度与半周相减余申癸弧六十度为星距次轮中交度先求次纬以半径全数与次轮面斜交本道之壬丙夘角正弦之比即同于距交申癸弧之正弦与次纬申丙酉角正弦之比而得申丙酉角为次纬度复以半径全数与次纬申丙酉角正弦之比即同于申丙次轮半径与申酉之比而得申酉为星距黄道视线之逺今所求之视纬即申甲酉角申甲为星距地心之逺酉甲为星当黄道视线点距地心之逺申戌为壬申弧三十度之正弦与酉亥等戌丙为壬申弧三十度之余弦而戌亥亦与申酉等故以半径全数与三十度正弦之比即同于申丙次轮半径与申戌次轮三十度正弦之比而得申戌又以半径全数与三十度余弦之比即同于申丙次轮半径与戌丙次轮三十度余弦之比而得戌丙又以半径全数与次轮逺近线斜交本道逺近线之壬丙夘角余弦之比(因次轮最逺距)(次交点九十度故次轮面与本道斜交之壬丙夘角)(亦即为次轮逺近线斜交本道逺近线之角过此则)(先求次轮逺近线斜交本道逺近线之角详见后)即同于戌丙与亥丙之比而得亥丙与丙甲次轮心距地心相加得亥甲乃用酉亥甲勾股形求酉甲亥甲为股酉亥为勾求得酉甲弦为星当黄道视线点距地心之逺于是以酉甲与申酉之比即同于半径全数与申甲酉角正切之比而得申甲酉角为星距次轮最逺三十度申之视纬度也如次轮心距本道正交乙行一百五十度至干则次轮最逺所当本道视线夘点距次轮正交辛亦一百五十度而距次轮中交癸即三十度然次轮面与本道斜交最逺时星在坎昻于夘辰逺近线之上最近时星在艮低于夘辰逺近线之下如星在最逺坎则先以半径全数与次轮面斜交本道之壬干丑角正弦之比即同于最逺距交坎癸弧之正弦与最逺距黄道视线之正弦之比而得坎干夘角为次轮逺近线与本道逺近线斜交之角即次纬度以半径全数与坎干夘角正弦之比即同于坎干次轮半径与坎震之比而得坎震为星距黄道视线之逺又以半径全数与坎干夘角余弦之比即同于坎干次轮半径与震干之比而得震干与干甲次轮心距地心相加得震甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以震甲与坎震之比即同于半径全数与坎甲震角正切之比而得坎甲震角即星在次轮最逺坎之视纬度也如星在次轮最近艮则次轮逺近线与本道逺近线斜交之艮干辰角即次纬度以半径全数与艮干辰角正弦之比即同于艮干次轮半径与艮巽之比而得艮巽为星距黄道视线之逺又以半径全数与艮干辰角余弦之比即同于艮干次轮半径与巽干之比而得巽干与干甲次轮心距地心相减余巽甲为星当黄道视线点距地心之逺乃以巽甲与艮巽之比即同于半径全数与艮甲巽角正切之比而得艮甲巽角为星在次轮最近艮之视纬度也如次轮心距本道正交乙行一百五十度至干星距次轮最逺坎行一百五十五度过最近艮一十五度至离则以星距最逺坎艮离弧一百九十五度与最逺距次轮正交辛壬坎弧一百五十度相加(辛壬坎弧与乙丙干弧等)得三百四十五度为星距次轮正交度而距次轮正交前即一十五度先求次纬以半径全数与次轮面斜交本道之子干寅角正弦之比即同于距交离辛弧之正弦与次纬离乾坤角正弦之比而得离乾坤角为次纬度复以半径全数与次纬离乾坤角正弦之比即同于离干次轮半径与离坤之比而得离坤为星距黄道视线之逺今所求之视纬即离甲坤角离甲为星距地心之逺坤甲为星当黄道视线㸃距地心之逺离兑为艮离弧一十五度之正弦畧与坤亥等兑干为艮离弧一十五度之余弦而离坤亦畧与兑亥等故以半径全数与一十五度正弦之比即同于离干次轮半径与离兑次轮一十五度正弦之比而得离兑又以半径全数与一十五度余弦之比即同于离干次轮半径与兑干次轮一十五度余弦之比而得兑干又以半径全数与次轮逺近线斜交本道逺近线之艮干辰角余弦之比即同于兑干与亥干之比而得亥干与干甲次轮心距地心相减余亥甲乃用坤亥甲勾股形求坤甲亥甲为股坤亥为勾求得坤甲弦为星当黄道视线㸃距地心之逺于是以坤甲与离坤之比即同于半径全数与离甲坤角正切之比而得离甲坤角为距次轮最逺一百九十五度离之视纬度也又求最逺最近视纬㨗法不用求星距黄道视线及星当黄道视线㸃距地心之逺即以次纬度与次轮心距地心及次轮半径为三角形算之如次轮心距本道正交乙行九十度至丙星在次轮最逺壬求视纬则用壬丙甲三角形此形有丙甲次轮心距地心有壬丙次轮半径有丙角为次纬壬丙夘角之外角求得丙甲壬角即星在次轮最逺壬之视纬度也如星在次轮最近子求视纬则用子丙甲三角形此形有丙甲次轮心距地心有丙子次轮半径有丙角为次纬角求得子甲丙角即星在次轮最近子之视纬度也五星伏见五星近太阳则伏逺太阳则见而伏见迟速之故有三一由星体之大小一由黄道之斜正一由纬度之南北如星体大黄道正升正降纬度在北则速见迟伏星体小黄道斜升斜降纬度在南则迟见速伏要皆视太阳在地平下之度为准新法厯书载西人多录某测得金星当地平太阳在地平下五度即可见木星水星当地平太阳在地平下一十度方可见土星当地平太阳在地平下一十一度方可见火星当地平太阳在地平下一十一度三十分方可见盖五星之体金星最大木水二星次之土星又次之火星最小星体大则太阳在地平下之度少即可见星体小则太阳在地平下之度多方可见夫太阳在地平下之度既不等则五星距太阳之度亦不等而伏见之迟速因之不等以此定为伏见之限加以黄道经纬度推之则五星在黄道之何宫度距太阳若干度则见若干度则伏皆可得而知矣如图甲乙丙丁为过黄极经圈甲为天顶乙丁为地平戊为黄极己庚辛为黄道庚为星当地平又正当黄道无纬度壬为太阳癸壬为太阳距地平之度即伏见之限如庚为金星则癸壬为五度庚为木星水星则癸壬为一十度庚为土星则癸壬为一十一度庚为火星则癸壬为一十一度三十分既知癸壬伏见限度则用庚癸壬正弧三角形此形有癸壬弧有癸直角有庚角为黄道交地平之角(知庚㸃为黄道之某宫某度即)(可求黄道与地平相交之角法详交食厯理求黄平)(象限篇)求得庚壬弧即星在黄道上距太阳伏见之限星距太阳之黄道度大于庚壬弧则见小于庚壬弧则伏癸壬弧五星既各不等则庚壬弧亦不等此因星体之大小而为伏见之迟速者也又癸壬伏见限五星各有定数而庚角则时时不同设黄道斜升斜降如子丑则庚角小庚角小则庚壬弧转大设黄道正升正降如寅夘则庚角大庚角大则庚壬弧转小此因黄道之斜正而为伏见之迟速者也又设星在黄道北如辰其距纬为辰庚其经度仍在庚正当地平而星己在地平之上则庚壬弧不足以定伏见之限试作辰己距等圈交地平于己从黄极戊过己作经圈截黄道于午则午壬弧为星距太阳伏见之限乃用庚巳午正弧三角形此形有午直角有庚角为黄道交地平之角有己午距纬与辰庚等求得庚午弧与庚壬弧相减余午壬弧为伏见之限盖星在辰其距太阳之黄道度大于午壬弧则见小于午壬弧则伏也设星在黄道南如未其距纬为庚未其经度仍在庚正当地平而星尚在地平之下则庚壬弧亦不足以定伏见之限试作未申距等圈交地平于申从黄极戊至申作经圈截黄道于酉则酉壬弧为星距太阳伏见之限乃用庚申酉正弧三角形此形有酉直角有庚角为黄道交地平之角有酉申距纬与庚未等求得酉庚弧与庚壬弧相加得酉壬弧为伏见之限盖星在未其距太阳之黄道度大于酉壬弧则见小于酉壬弧则伏也此因纬度之南北而为伏见之迟速者也五星视差五星视差生于地半径其测算之法并与太阳太隂同土木二星距地极逺地半径与本天半径之比例土星为一与一万零九百五十三木星为一与五千九百一十八其最大之视差俱不满一分可以不计火星在最髙之比例为一与三千一百二十三其最大之视差为一分六秒在中距之比例为一与一千七百四十四其最大之视差为一分五十八秒在最卑之比例为一与四百一十其最大之视差为八分二十三秒金星在最髙之比例为一与一千九百八十三其最大之视差为一分四十四秒在中距与太阳同在最卑之比例为一与三百零一其最大之视差为一十一分二十五秒水星在最髙之此例为一与一千六百三十三其最大之视差为二分零六秒在中距与太阳同在最卑之北例为一与六百五十一其最大之视差为五分一十七秒盖五星距地之逺近不等故视差之大小亦不等今亦约为最髙中距最卑三限用火金水三星距地心与地半径之比例数逐度各求地半径差以立表御制歴象考成上编卷十五
## 上编卷十六
钦定四库全书御制厯象考成上编卷十六恒星厯理恒星总论恒星东行测恒星法三恒星比测考经度推恒星赤道经纬度七政宿度中星时刻恒星出入地平恒星总论恒星之名见于春秋而四仲中星及斗牵牛织女参昴箕毕大火农祥龙尾鸟帑天驷天鼋之属散见于尚书易诗左传国语至周礼春官冯相氏掌二十八星之位而礼记月令太戴礼夏小正稍具诸星见伏之节葢古者敬天勤民因时出政皆以星为纪秦炬之后羲和旧术无复可稽其传者惟史记天官书而所载简畧后汉张衡云中外之官常明者百有二十四可名者三百二十为星二千五百而其书不传至三国时太史令陈卓始列巫咸甘石三家所著星图总二百八十三官一千四百六十四星隋丹元子作步天歌叙三垣二十八宿共一千四百六十七星为观象之津梁然尚未有各星经纬度数自唐宋而后诸厯家以仪象考测始有各星入宿去极度数视古加密矣新法厯书恒星图表共星一千二百六十六分为六等第一等星一十七第二等星五十七第三等星一百八十五第四等星三百八十九第五等星三百二十三第六等星二百九十五外无名不入等者四百五十九康熙壬子年钦天监新修仪象志恒星亦分六等而其数又与新法厯书微异第一等星一十六第二等星六十八第三等星一百零八第四等星五百一十二第五等星三百四十二第六等星七百三十二总计一千八百七十八葢观星者以目之所能辨因其形体聨缀成象而命之名其微茫昬暗者多不可考故各家星官之学有古少而今多者亦有古多而今少者而惟列宿及诸大星则中外如一辙也今择其近黄道诸星及星体之大者为推凌犯中星之用其黄道经纬则依仪象志加岁差推算为厯元康熙二十三年甲子黄道经纬度云恒星东行恒星行即古岁差也古厯俱谓恒星不动而黄道西移今谓黄道不动而恒星东行葢使恒星不动而黄道西移则恒星之黄道经纬度宜毎岁不同而赤道经纬度宜终古不变今测恒星之黄道经度毎岁东行而纬度不变至于赤道经度则逐岁不同而纬度尤甚自星纪至鹑首六宫星在赤道南者纬度古多而今渐少在赤道北者纬度古少而今渐多自鹑首至星纪六宫星在赤道南者纬度古少而今渐多在赤道北者纬度古多而今渐少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以过赤道南在赤道南者亦可以过赤道北则恒星循黄道东行而非黄道之西移明矣新法厯书载西人第谷以前恒星东行之数或云百年而行一度或云七十余年而行一度或云六十余年而行一度随时修改讫无定数与古厯累改岁差之意同迨至第谷殚精推测方定恒星毎岁东行五十一秒约七十年有余而行一度而元郭守敬所定亦为近之至今一百四十余年验之于天虽无差忒但星行微渺必厯多年其差乃见然则第谷所定之数亦未可泥为定率惟随时测验依天行以推其数可也测恒星法恒星东行既依黄道则测定一年之黄道经纬度而逐年之黄道经纬度皆视此矣然欲测诸恒星必以一星作距而欲测黄道经纬度必以赤道经纬度为宗葢诸曜随天左旋惟赤极不动其经纬既与黄道相当又与地平相应时刻之早晚于是乎纪太阳之躔次于是乎辨非赤道则黄道无从而稽也其法择恒星之大者测其方中时刻及正午髙弧乃以本时太阳赤道经度与太阳距午正赤道经度相加即星之赤道经度又以正午髙弧与赤道髙度相减即星之赤道纬度既得赤道经纬度则用弧三角法推得黄道经纬度既得一星之黄赤经纬度即以此一星作距或用黄道赤道诸仪测其相距之经纬或用地平象限诸仪测其偏度及髙弧而诸星之黄赤经纬度皆可得矣要之测恒星之法先测一星为准而此星经度必取定于太阳倘于时刻差四分则于天行差一度故须㕘互考验方得密合或用太阴及太白比测者然皆有视差不如用太阳之确准也设如亥初初刻测得大角星方中正午髙弧七十度四十九分四十秒本时太阳赤道经度为实沈宫一十五度四十九分一十秒求大角星黄赤经纬度如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为北极戊巳为赤道庚辛为黄道壬为大角星当赤道之戊戊乙为京师赤道髙五十度零五分壬乙为星髙弧七十度四十九分四十秒癸为太阳当赤道之子戊子为亥初初刻距午正赤道经度以亥初初刻距午正之九小时变作一百三十五度自子㸃实沈宫一十五度四十九分一十秒计之得戊㸃为大火宫初度四十九分一十秒即大角星赤道经度又以壬乙七十度四十九分四十秒与戊乙五十度零五分相减余壬戊二十度四十四分四十秒即大角星距赤道北纬度乃用弧三角法推之即得大角星黄道经度为夀星宫二十度二十二分三十秒纬度距黄道北三十一度零三分也(法与斜弧三角形设例第七则同)设如以大角星作距用黄道仪测心宿第二星如图甲乙为南北极丙丁为黄极轴甲丙乙丁为过二极经圈戊巳为地平庚辛为黄道庚为冬至辛为夏至壬为黄道心壬癸为黄道心纬表子㸃为夀星宫二十度二十二分三十秒即大角星黄道经度丑㸃为其对冲即降娄宫二十度二十二分三十秒于丑㸃安表耳对丙丁黄极轴见大角星如寅当黄道之子同时于丙卯丁辰黄道经圈辰㸃安表耳对壬癸纬表见心宿第二星如卯当黄道之己乃视己㸃为析木宫五度五十五分三十秒即心宿第二星黄道经度又视辰午四度二十七分与卯巳等即心宿第二星距黄道南之纬度也设如用赤道仪测之如图甲乙为赤极轴甲丙乙丁为子午圈丙丁为地平戊巳为赤道庚为赤道心庚辛为赤道心纬表壬为心宿第二星正到子午圈上于癸㸃安表耳对庚辛纬表见心宿第二星当赤道之戊距赤道如戊壬同时以甲子乙丑经圈对大角星寅则当赤道之子乃视子戊相距三十二度二十分五十秒与大角星赤道经度大火宫初度四十九分一十秒相加(因在距星东故加若)(在距星西则减)得析木宫三度一十分即心宿第二星赤道经度又视戊壬二十五度四十三分二十秒即心宿第二星距赤道南之纬度既得赤道经纬度用弧三角法推之亦得心宿第二星黄道经度为析木宫五度五十五分三十秒纬度在黄道南四度二十七分也又随时测恒星法设如子正初刻用地平仪测得室宿第一星地平经度偏西六十一度三十四分五十秒同时用象限仪测得髙弧五十二度五十三分四十五秒本时太阳赤道经度为夀星宫初度五十二分三十六秒正午赤道经度为降娄宫初度五十二分三十六秒求室宿第一星黄赤经纬度如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为北极戊巳为赤道庚为室宿第一星当赤道之辛乙壬为地平经度偏西六十一度三十四分五十秒即壬甲乙角庚壬为髙弧五十二度五十三分四十五秒庚辛为赤道北纬度即丁庚之余戊辛为距午正赤道经度即丁角乃用甲丁庚斜弧三角形求丁庚弧及丁角此形有甲丁弧五十度零五分为京师北极距天顶之度有甲庚弧三十七度零六分一十五秒为庚壬之余有甲角一百一十八度二十五分一十秒为壬甲乙角之外角求得丁庚弧七十六度一十六分一十四秒与丁辛九十度相减余庚辛一十三度四十三分四十六秒即室宿第一星距赤道北纬度又求得丁角三十度当戊辛弧即距午正赤道经度与戊㸃降娄宫初度五十二分三十六秒相减(因星在午西故)(减若星在午东则加)得辛㸃为娵訾宫初度五十二分三十六秒即室宿第一星赤道经度既有赤道经纬度则用弧三角法推之即得室宿第一星黄道经度为娵訾宫一十九度三十九分三十秒纬度在黄道北一十九度二十六分也此法或用月食时刻或用中星时刻随时测量不必方中其所得太阳距正午赤道经度较准而所得之地平经纬度亦简而易用距星测他星倣此三恒星比测考经度前用太阳经度推测各星经度尚恐所测未准又用左右两星比测中一星以考验之彼此分秒相符方为密合如原测得参宿第一星赤道经度实沈宫一十九度三十分南河第二星赤道经度鹑首宫一十八度零二分星宿第一星赤道经度鹑火宫一十八度三十一分今用赤道仪先测得参宿第一星与南河第二星相距二十八度三十二分以加参宿第一星赤道经度实沈宫一十九度三十分得南河第二星赤道经度为鹑首宫一十八度零二分又测得南河第二星与星宿第一星相距三十度二十九分以减星宿第一星赤道经度鹑火宫一十八度三十一分亦得南河第二星赤道经度为鹑首宫一十八度零二分彼此参互考验其数相同方知其不误也推恒星赤道经纬度恒星赤道经纬度逐岁不同难以列表仪象志用加分算法固简捷而理则未精葢二分之后黄道度多赤道度少二至之后黄道度少赤道度多恒星既依黄道东行则升度差亦有増减况黄道与赤道斜交夏至后赤道北之星渐差而近冬至后赤道北之星渐差而逺纬度既差则经度亦必有差今立法以厯元甲子年各星黄道经度加岁差分得本年各星黄道经度然后用弧三角法推本年各星赤道经纬度设例如左设厯元甲子年河鼓第二星黄道经度为星纪宫二十七度一十分黄道北纬度二十九度二十二分求赤道经纬度如图甲为赤极乙为黄极甲乙相距二十三度二十九分三十秒丙丁为赤道戊己为黄道戊为冬至己为夏至庚为河鼓第二星当黄道之辛当赤道之壬戊辛为黄道经度距冬至二十七度一十分即戊乙辛角庚辛为星距黄道北二十九度二十二分丙壬为距冬至赤道经度即丙甲壬角庚壬为赤道北纬度即甲庚之余故用甲乙庚斜弧三角形求甲庚弧及甲角此形有甲乙边二十三度二十九分三十秒有乙角一百五十二度五十分为戊乙辛角之外角有乙庚弧六十度三十八分为庚辛之余求得甲庚弧八十一度五十四分五十六秒与九十度相减余八度零五分零四秒即赤道北纬度又求得甲角二十三度四十一分五十八秒即距冬至赤道经度为星纪宫二十三度四十一分五十八秒也若用加分算依仪象志内载康熙十一年壬子河鼓第二星赤道经度为星纪宫二十三度三十七分纬度在赤道北八度九分自癸丑年起算每年经度加四十六秒一十二微纬度加七秒四十八微至康熙二十三年甲子计十二年经度应加九分一十四秒二十四微纬度应加一分三十三秒三十六微则甲子年河鼓第二星赤道经度为星纪宫二十三度四十六分一十四秒二十四微纬度在赤道北八度一十分三十三秒三十六微较细推所得之数经度多四分一十六秒二十四微纬度多五分二十九秒三十六微十二年之间虽所差无多然而积久则著也七政宿度日月五星皆有宿度古以十二宫定于二十八宿故宿度逐岁不同者经度亦因而不同今以二十八宿厯于十二宫故宿度逐岁有差而经度终古不变其法以岁差五十一秒按岁积之与各宿第一星黄道经度相加为本年黄道宿钤乃于七政黄道经度内减去相当黄道宿度余即七政黄道宿度葢七政恒星皆宗黄道故宿度亦以黄道推也至于日月交食则并用赤道宿因其闗于天行最著故于推算独详然各宿赤道经纬度逐岁不同须按推恒星赤道经度法求得本年各宿第一星赤道经度为本年赤道宿钤乃于太阳太阴赤道经度内减去相当赤道宿度余即太阳太阴赤道宿度若夫测量中星每以大星作距仪象志载康熙壬子年二十八宿距星及诸大星赤道经纬度并每岁经纬加减分为求赤道宿度及测量中星之用其加减分所差无多而各星赤道经纬度则以浑仪比测与推算多不合今用弧三角法推得厯元甲子年二十八宿及诸大星赤道经纬度并每岁经纬加减分附恒星黄道经纬度表后以为推步之捷径云中星时刻厯法最重中星有中星可以知时刻有时刻亦可以知中星中星与时刻相符则恒星之经度可稽太阳之躔次可验而太阴与五星皆于是取征焉中星求时刻者以中星赤道经度(即本时正午赤道经度)与本日太阳赤道经度相减余数变时自午正后起算即得时刻时刻求中星者以本时太阳赤道经度与本时太阳距午正后赤道经度相加即得本时正午赤道经度视本年某星赤道经度与正午赤道经度相合即为某星方中若星之赤道经度小于正午赤道经度即为某星偏西大于正午赤道经度即为某星偏东也设心宿第二星康熙六十年赤道经度为析木宫三度一十分夏至日太阳赤道经度为鹑首宫初度求其方中之时刻如图甲乙丙丁为子午圈乙丁为地平戊为北极甲丙为赤道己庚为黄道辛为心宿第二星当赤道之甲为析木宫三度一十分即正午赤道经度壬为太阳当赤道之癸为鹑首宫初度则于正午甲㸃析木宫三度一十分内减癸㸃太阳赤道经度鹑首宫初度余甲癸弧五宫三度一十分变时得十小时一十二分四十秒自甲㸃午正初刻起算得亥正初刻一十二分四十秒即心宿第二星方中之时刻也如以时刻求中星则以本时太阳距正午十小时一十二分四十秒变赤道度得五宫三度一十分与本时太阳赤道经度鹑首宫初度相加得析木宫三度一十分为本时正午赤道经度与本年心宿第二星赤道经度相合即为心宿第二星方中也设本日心宿第二星偏西二度十五分求时刻则赤道经度偏西如甲子乃以子甲二度五十分与甲㸃析木宫三度一十分相加(因偏)(西故加若偏东则减)得子㸃为析木宫六度即正午赤道经度内减癸㸃太阳赤道经度鹑首宫初度余子癸弧五宫六度变时得十小时二十四分自子㸃午正初刻起算得亥正一刻九分即心宿第二星偏西二度五十分之时刻也如以时刻求中星则以本时太阳距正午十小时二十四分变赤道度得五宫六度与本时太阳赤道经度鹑首宫初度相加得析木宫六度为本时正午赤道经度内减本年心宿第二星赤道经度析木宫三度一十分(取本年恒星赤道经度相近者用之)余二度五十分即为心宿第二星偏西二度五十分也恒星出入地平恒星随宗动天东出西入旋转有常因节气有冬夏昼夜有永短人居有南北故所见恒星出入地平之时刻因时各异随地不同也夫逐时皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之时刻可以测候而得亦可以推步而知其法用本地北极髙度及本星赤道经纬度求得本星与赤道同出入地平之度乃与本时太阳赤道经度相减即得本星出入地平之时刻也设如京师北极髙三十九度五十五分角宿第一星康熙六十年赤道经度为夀星宫一十七度四十分距赤道南纬度九度三十九分一十秒清明时太阳赤道经度为降娄宫一十五度求其出入地平之时刻则先求本星与赤道同出入地平之度如图甲乙丙丁为子午圈乙丁为地平戊为北极戊丁为京师北极髙三十九度五十五分甲丙为赤道甲乙为京师赤道髙五十度零五分己为赤道出入地平之度即卯正酉正之位庚为角宿第一星当赤道之辛为夀星宫一十七度四十分庚辛为距赤道南纬度九度三十九分一十秒辛巳为星出入地平在卯后酉前分(星在赤道南为卯后酉前分星在赤道北)(为卯前酉后分与太阳出入地平之理同)乃用已辛庚正弧三角形求辛巳弧此形有辛直角有已角五十度零五分有庚辛弧九度三十九分一十秒求得辛巳弧八度一十分五十一秒以辛巳弧与辛㸃夀星宫一十七度四十分相加得夀星宫二十五度五十分五十一秒为星出地平时卯正赤道度(因辛)(巳弧为卯后分故加若为卯前分则减)又以辛巳弧与辛㸃夀星宫一十七度四十分相减得夀星宫九度二十九分零九秒为星入地平时酉正赤道度(因辛巳弧为酉前分故减若为酉后分则)(加)既得星出入地平时卯正酉正赤道度则于星出地平时卯正赤道度夀星宫二十五度五十分五十一秒内减本日太阳赤道经度降娄宫一十五度(不及)(减者加十二宫减之)余六宫一十度五十分五十一秒变时得一十二小时四十三分二十三秒自卯正后计之为酉正二刻十三分二十三秒即角宿第一星出地平之时刻又于星入地平时酉正赤道度夀星宫九度二十九分零九秒内减本日太阳赤道经度降娄宫一十五度余五宫二十四度二十九分零九秒变时得一十一小时三十七分五十七秒自酉正后计之为卯初二刻七分五十七秒即角宿第一星入地平之时刻也御制歴象考成上编卷十六
## 下编目录
钦定四库全书御制厯象考成下编目录明时正度卷一日躔厯法卷二月离厯法卷三月食厯法卷四日食厯法卷五土星厯法卷六木星厯法卷七火星厯法卷八金星厯法卷九水星厯法卷十恒星厯法
## 下编卷一
钦定四库全书卸制厯象考成下编卷一日躔厯法推日躔用数推日躔法用表推日躔法推节气时刻法推节气用时法推各省节气时刻法推日出入昼夜时刻法定气推平气法平气推定气法平气日率推日躔用数康熈二十三年甲子天正冬至为厯元(天正冬至者岁前冬至即)(癸亥年十一月冬至也)周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒葢七政诸行自度以下皆以六十)(递析须将度分皆化为秒数微纎忽芒则以六十与一百为比例收为秒之小余然后便于入算故)(周天度数亦化为秒数则诸曜之行方与天行相应也)周日一万分(一日二十四时刻则为九十六分则为一千四百四十秒则为八万六千四百)(法各不同故将一日命为一万分然后便于入算如有时刻欲通为分数则以一千四百四十分为)(一率所有时刻化分为二率一万分为三率求得四率即所通之分数如有分数求时刻则以一万)(分为一率所有之分数为二率一千四百四十分为三率求得四率即时刻之分数乃以六十分收)(为一时十五分收为一刻不满十五者为分自单位以下则以一百与六十为比例得秒再比例得)(微命时之法初时为子正一时为丑初二时为丑正三时为寅初四时为寅正以次顺数二十三时)(为夜子初满二十四时则去之复为次日子正也)周岁三百六十五日二四二一八七五(周岁三百六十五日五时)(三刻三分四十五秒将时刻分秒用周日一万分通之得二千四百二十一分小余八七五即岁实)(也)纪法六十(纪法者自甲子至癸亥之日数其法初日起甲子一日为乙丑二日为丙寅以次顺)(数十日为甲戌二十日为甲申三十日为甲午四十日为甲辰五十日为甲寅至五十九日为癸亥)(满六十日则去之复为甲子即旬周也)宿法二十八(宿法者自角至轸之宿数其法初日起角一日为亢以次顺数至二十七日为)(轸满二十八日则去之复为角也)太阴每日平行三千五百四十八秒小余三三○五一六九(太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒以秒法)(通之即得)最卑每岁平行六十一秒小余一六六六六(最卑每岁平行)(一分零二秒一十微以秒法通之即得)最卑每日平行十分秒之一又六七四六九(最卑每岁平行)(六十一秒小余一六六六六以用岁三百六十五日二四二一八七五除之即得如以微纎命之则)(为一十微零二纎五十三忽一十八芒)太阳本天半径一千万太阳本轮半径二十六万八千八百一十二太阳均轮半径八万九千六百零四气应七日六五六三七四九二六(气应者厯元甲子年天正平冬至距)(甲子日子正初刻之日分乃辛未日申初三刻也葢自甲子日子正初刻起算至庚午日夜子初三)(刻末共得七日又自辛未日子正初刻至申初三刻以周日一万分计之得六千五百六十三分小)(余七四九二六乃当时平气之应上考往古则减下推将来则加皆以此为根也○按康熙五十六)(年丁酉二月乙未夜子初初刻一分零七秒零三微太阳本轮心交戌宫初度为平春分以纪法初)(日起甲子周日一万分命之得三十一日九千五百九十一分小余○九三○一加六十日减周岁)(四分之一九十一日三千一百零五分小余四六八七五得初日六千四百八十五分小余六二四)(二六为丁酉年天正平冬至自丁酉年上朔至甲子年共三十四年减一年余三十三年为积年与)(周岁三百六十五日二四二一八七五相乗得一万二千零五十二日九九二一八七五为中积分)(减丁酉年天正平冬至初日六四八五六二四二六余一万二千零五十二日三四三六二五 七)(四为通积分其日满纪法六十去之余五十二日三四三六二五○七四转与纪法六十相减余七)(日六五六三七四九二六即甲子年天正平冬至气应也)宿应五日六五六三七四九二六(宿应者厯元甲子年天正平冬至距)(角宿值日子正初刻之日分乃尾宿值日申初三刻也宿止论日不论分今并带分数者葢子正为)(二日之交前后虽差数分即差一日亦必差一宿故宿应亦带分数从子正起算也)最卑应七度一十分一十一秒一十微(最卑应者厯元甲子年天)(正平冬至次日子正初刻最卑过冬至之度分也葢厯元甲子年天正平冬至太阳本轮心正躔丑)(宫初度而均轮心未及本轮最卑㸃七度余太阳未及均轮最近㸃一十四度余必待本轮心行过)(冬至七度余而均轮心方行到本轮最卑㸃太阳方行到均轮最近㸃平行以实行乃合为一线而)(为盈缩起算之端故此七度余为当时最卑过冬至之应上考往古则减最卑每岁之行下推将来)(则加最卑每岁之行推本年则加最卑每日之行皆以此为根也○按康熙五十六年丁酉测得中)(距过秋分七度四十四分三十六秒四十八微其年秋分后丙午日己正一刻一十三分四十九秒)(太阳过中距距天正冬至次日乙丑子正初刻计二百八十一日四千三百六十六分小余七八以)(此日分与最卑每日行十分秒之一又六七四六九相乗得四十七秒零八微为自冬至次日子正)(初刻至过中距之最卑行度与中距过秋分之度相减余七度四十三分四十九秒四十微为丁酉)(年天正冬至次日子正初刻最卑过冬至之度又丁酉距厯元甲子积三十三年以三十三年与最)(卑每岁平行六十一秒小余一六六六六相乗得三十三分三十八秒三十微为自甲子年至丁酉)(年之最卑行度与丁酉年最卑过冬至七度四十三分四十九秒四十微相减余七度一十分一十)(一秒一十微即甲子年天正冬至次日子正初刻最卑过冬至之度分也)推日躔法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年(积年者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之年数因本年)(初交天正冬至尚在岁前故减一年如甲子至癸亥计六十年而癸亥初交天正冬至止五十九年也下)(推将来则顺推上考往古则逆溯其法皆同)求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分(中积分者乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日分故以积年)(与周岁日分相乗即得也)求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分(通积分者)(乃所求本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至前甲子日子正初刻之日分故下推将来则置中积分)(加气应上考往古则置中积分减气应也)求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小余得天正冬至时分秒(天正)(冬至者乃所求本年天正冬至距冬至前甲子日子正初刻之日分故置通积分满纪法去之余为天正)(冬至日分若上考往古则其所余为距冬至后甲子日子正初刻之日分故转与纪法六十相减方为天)(正冬至日分也)求年根以周日一万分为一率太阳每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九为二率以天正冬至分(不用)(日)与周日一万分相减余为三率求得四率为秒以分收之得年根(年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太阳距冬至之平行经度)(也天正冬至分乃冬至距本日子正初刻后之分数与周日一万分相减余为冬至距次日子正初刻前)(之分数故与每日之平行为比例得次日子正初刻太阳距冬至之平行经度也)求纪日以天正冬至干支加一日得纪日(纪日者乃所求本年天正冬至次日)(之干支也既有天正冬至干支可以不用纪日因用表推算起于年根而不用天正冬至若无纪日则无)(以定干支且日数自纪日干支起初日故并用之)求值宿置中积分加宿应五日六五六三七四九二六为通积宿其日满宿法二十八去之外加一日为值宿日分上考往古则置中积分减宿应为通积宿其日满宿法二十八去之余数转与宿法二十八相减外加一日为值宿日分自初日角宿起算得值宿(求值宿与求天)(正冬至之理同但天正冬至乃冬至本日之干支而值宿乃冬至次日之宿故外加一日)求日数自天正冬至次日距所求本日共若干日与太阳每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乘得数为秒以官度分收之得日数(日数者乃所求本日子正初刻距天)(正冬至次日子正初刻之平行经度也年根从天正冬至次日子正初刻起算故从天正冬至次日起初)(日至所求本日得若干日与每日太阳平行相乗得若干日之平行经度也)求平行以年根与日数相加得平行(平行者乃所求本日子正初刻太阳距冬至之)(平行经度也年根为天正冬至次日子正初刻距冬至之行度日数为本日子正初刻距冬至次日子正)(初刻之行度故相加得本日子正初刻距冬至之行度也)求最卑平行以积年与最卑每岁平行六十一秒一六六六六相乘得积年之行又以日数与最卑每日平行十分秒之一又六七四六六相乘得日数之行两数相并与最卑应七度一十分一十一秒一十微相加得最卑平行上考往古则置最卑应减积年之行加日数之行得最卑平行(最卑平行者乃所求本日子正初刻最卑距冬至之行度也下推将来置)(最卑应加积年之行上考往古置最卑应减积年之行则得本年天正冬至次日子正初刻最卑距冬至)(之行度而所求本日又距天正冬至后若干日故下推将来上考往古皆加日数之行得本日子正初刻)(最卑距冬至之行度也)求引数置平行减最卑平行得引数(引数者乃所求本日子正初刻均轮心过本轮)(最卑之行度也平行乃本轮心之行度自冬至起初宫引数乃均轮心之行度自最卑起初宫故置本日)(平行减本日最卑平行得引数也)求均数均轮心自本轮最卑左旋(自东而西)行引数度太阳自均轮最近㸃右旋(自西而东)行倍引数度用两三角形法求得地心之角为均数(法详日躔厯理盈缩差篇)引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减(均数者平行与实行之差卑也引数初宫至五宫在最)(后实行过于平行故加六宫至十一宫在最髙后实行不及平行故减)求实行置平行加减均数得实行(实行者乃所求本日子正初刻太阳实在之行度也)(平行乃本轮心之行度而太阳实在均轮之周其加减差即均数故以均数加减平行得实行也)求宿度以积年与岁差五十一秒相乘得数与厯元甲子年黄道宿钤相加得所求本年黄道宿钤察实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为某宿度分(宿度)(者乃所求本日子正初刻太阳所躔之黄道宿度也实行自冬至起算宿度自各宿初度起算故于实行内减)(本年黄道宿钤某宿度余为太阳躔某宿之度也)用表推日躔法(用表推日躔法年根纪日值宿日数最卑均数各检本表其余与前法同葢用乗除而得者则用表)(以省算若用加减而得者则已无可省如平行引数实行是也有必不能用表者如宿钤岁岁不同)(难以预为立表须随时加岁差以立算是也今并逐条开列以便于用月离交食五星并倣此)求年根用日躔太阳年根表察本年距冬至分秒(三十微进一秒下倣)(此)得年根察本年最卑度分秒得本年最卑行并察纪日值宿(纪日值宿今推日躔俱不逐日开载葢一岁之日躔推算既毕然后以纪日起干支)(以值宿值日若设某节某干支求日躔则自纪日干支起初日以定日数日数既定不复用纪日故不必)(逐日开载也然为作厯所必需故并详于此)求日数用日躔太阳周岁平行表察本日平行宫度分秒得日数并察本日最卑行分秒得日数最卑行求平行以年根与日数相加得平得求最卑平行以本年最卑行与日数最卑行相加得最卑平行求引数置平行减最卑平行得引数求均数用日躔太阳均数表以引数宫度分察其所对之度分秒得均数并记加减号求实行置平行加减均数得实行求宿度以积年与岁差五十一秒相乘得数与厯元甲子年黄道宿钤相加得本年黄道宿钤察实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为某宿度分推节气时刻法日躔丑宫初度为冬至丑宫一十五度为小寒子宫初度为大寒子宫一十五度为立春亥宫初度为雨水亥宫一十五度为惊蛰戌宫初度为春分戌宫一十五度为清明酉宫初度为谷雨酉宫一十五度为立夏申宫初度为小满申宫一十五度为芒种未宫初度为夏至未宫一十五度为小暑午宫初度为大暑午宫一十五度为立秋己宫初度为处暑己宫一十五度为白露辰宫初度为秋分辰宫一十五度为寒露卯宫初度为霜降卯宫一十五度为立冬寅宫初度为小雪寅宫一十五度为大雪皆以子正日躔未交节气宫度者为交节气本日已过节气宫度者为交节气次日(本日子正未交次日子正已过则交节气必在本日子正后次日子正前)(故未交为本日已过为次日)推时刻之法以本日实行与次日实行相减为一率一千四百四十分为二率本日实行与节气宫度相减余为三率(如推立春则以本日实行与一宫一十五度相)(减余倣此)求得四率为距子正后之分数葢以一日之行度与一日之分数为比同于距节气之度与距子正之分数为比也乃以六十分收为一小时十五分收为一刻得节气时刻如本日实行适当节气宫度而无余分则交节气即为本日子正初刻推节气用时法以交节气本日均数变时(一度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒)得均数时差均数为减者则时差为加均数为加者则时差为减(天左旋日右旋故加减相反)又以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为二率本节气黄道度之正切线为三率求得四率为赤道之正切线检表得赤道度与黄道度相减余数变时得升度时差二分后为加二至后为减(二分后黄道度)(多赤道度少故加二至后黄道度少赤道度多故减)乃以两时差加减节气时刻得节气用时(详日躔厯理时差篇)如用表则以引数宫度察日躔均数时差表得均数时差以节气宫度察日躔升度时差表得升度时差依两时差加减号加减节气时刻得节气用时推各省节气时刻法各省节气时刻皆以京师为主视各省东西之偏度加减之(详日躔厯理节气时刻篇)盛京偏东七度一十五分则加二十九分(毎一度当四分)浙江偏东三度四十一分二十四秒则加一十四分四十六秒福建偏东二度五十九分则加一十一分五十六秒江南偏东二度一十八分则加九分一十二秒山东偏东二度一十五分则加九分江西偏西三十七分则减二分二十八秒河南偏西一度五十六分则减七分四十四秒湖广偏西二度一十七分则减九分零八秒广东偏西三度三十三分一十五秒则减一十四分一十三秒山西偏西三度五十七分四十二秒则减一十五分五十一秒广西偏西六度一十四分四十秒则减二十四分五十九秒陜西偏西七度三十三分四十秒则减三十分一十五秒贵州偏西九度五十二分四十秒则减三十九分三十一秒四川偏西一十二度一十六分则减四十九分零四秒云南偏西一十三度三十七分则减五十四分二十八秒朝鲜偏东一十度三十分则加四十二分(各省偏度俱依地图经度所定今测日影以求其节气时)(刻及月食早晚验之皆与地图合)推日出入昼夜时刻法推日出入昼夜时刻法以半径一千万为一率北极髙度之正切线为二率本日距纬度之正切线为三率求得四率为卯酉前后赤道度之正弦检表得日出入在卯酉前后赤道度乃以一度变为四分十五分变为一分春分前秋分后为夘后酉前分以加夘正为日出时刻以减酉正为日入时刻春分后秋分前为卯前酉后分以减卯正为日出时刻以加酉正为日入时刻自日出至日入为昼刻与九十六刻相减余为夜刻(冬至前与冬至后之距纬同则昼夜时刻亦同夏至前后与冬至前后之距纬)(亦同而南北各异则昼夜时刻相反故求得冬至后一象限之时刻即得余三象限之时刻)各省日出入昼夜时刻俱以本处之北极髙度立算京师北极髙三十九度五十五分盛京北极髙四十一度五十一分山西北极髙三十七度五十三分三十秒朝鲜北极髙三十七度三十九分一十五秒山东北极髙三十六度四十五分二十四秒河南北极髙三十四度五十二分二十六秒陜西北极髙三十四度一十六分江南北极髙三十二度零四分四川北极髙三十度四十一分湖广北极髙三十度三十四分四十八秒浙江北极髙三十度一十八分二十秒江西北极髙二十八度三十七分一十二秒贵州北极髙二十六度三十分二十秒福建北极髙二十六度零二分二十四秒广西北极髙二十五度一十三分零七秒云南北极髙二十五度零六分广东北极髙二十三度一十分(各省北极髙度俱系实测所得)定气推平气法康熙五十六年丁酉二月初八日癸己亥初一刻一十三分二十九秒四十一微日躔戌宫初度为定春分用时(测法见日躔厯理测岁实以定平行篇)求平春分日时先以本年天正冬至次日子正初刻最卑过冬至七度四十三分四十九秒四十微与平春分距冬至九十一日之最卑行一十五秒一十四微相加(平春分距冬至为周岁四分之)(一因最卑每日之行甚微故止用九十一日)得七度四十四分零四秒五十四微为平春分之最卑行与平春分之平行九十度相减余八十二度一十五分五十五秒零六微为平春分之引数求其均数得二度零二分二十秒与平春分之平行九十度相加(春分时实行在平行前故加)得九十二度零二分二十秒为平春分之实行又以所得均数与平春分之平行九十度相减余八十七度五十七分四十秒为平春分前虚设之平行(定春分在平春分前故设于平)(春分前求之)减平春分之最卑行七度四十四分零四秒五十四微(春分时近中距均数逐度之差甚微故虽在平春分前仍可用平春分之最卑行)余八十度一十三分三十五秒零六微为平春分前虚设之引数求其均数得二度零一分四十四秒四十四微与平春分前虚设之平行相加得八十九度五十九分二十四秒四十四微为平春分前虚设之实行乃以两实行相减余二度零二分五十五秒一十六微为一率两平行相距之二度零二分二十秒为二率又为三率(两平行相距即平春分之均数亦即定春分距平春分之实行度)求得四率二度零一分四十四秒五十四微为平春分距定春分之平行即定春分之均数又以太阳毎日之平行三千五百四十八秒三三○五一六九为一率周日一万分为二率平春分距定春分之平行二度零一分四十四秒五十四微化秒为三率求得四率二日五百八十六分八四七七一为平春分距定春分之日分于是以所测定春分用时亥初一刻一十三分二十九秒四十一微加均数时差八分七秒(即定春分之均数变时也春分时用时在平时东以平时求用时则减均数时差今以用时求平时)(故加均数时差无升度时差者春分日当赤道故也)得亥初二刻六分三十六秒四十一微为定春分平时以纪法初日起甲子周日一万分计之得二十九日(癸巳日也)九千零四分二四五三为定春分之日分加平春分距定春分之二日五百八十六分八四七七一得三十一日九千五百九十一分○九三○一为平春分之日分以纪法初日起甲子周日二十四时计之得乙未日夜子初初刻一分零七秒零三微即平春分日时也如图甲乙为本天之一弧定春分平行在丙实行在丁平春分平行在丁实行在戊今测得平行在丙㸃之日时而求平行在丁㸃之日时必求得丙丁之分然后可以入算但丙丁之度无由而知故先于平行在丁㸃时求其均数为丁戊则戊㸃即为平春分之实行又设己丁与丁戊等己㸃为平春分前虚设之平行求其均数得己庚则庚㸃即为平春分前虚设之实行两实行相距为庚戊夫两实行相距如庚戊则两平行相距如己丁今定春分与平春分两实行相距如丁戊则两平行相距如丙丁故以庚戊与己丁之比同于丁戊与丙丁之比(丁戊与己丁等)而得丙丁之分既得丙丁之分则以太阳一日之平行与一日之比即同于丙丁之分与平春分距定春分日分之比与所测平行在丙㸃之日分相加即得平行在丁㸃之日分矣平气推定气法以本年天正冬至日分各加平气日率减一日各得平气距天正冬至次日子正初刻日分又置平气宫度减本日最卑行余为本日引数按法求得本日均数乃以太阳毎日平行三千五百四十八秒三三○五一六九为一率周日一万分为二率本日均数为三率求得四率与平气距天正冬至次日子正初刻之日分相加减(均数为加者则减均数为减者则加)又加本年纪日之数满纪法六十去之各得定气干支以一千四百四十分通其小余各得定气时分秒如推月日则用日食推实朔法推得逐月实朔乃自本月实朔干支计之各得定气月日(平气推定气即古厯步气朔求次气之法葢平气者乃平行交节气日分)(因有加减之差故定气有进退也其加减与均数相反者实行为加则交节早故减实行相减则交节迟)(故加)平气日率小寒一十五日二一八四二四四大寒三十日四三六八四八九立春四十五日六五五二七三四雨水六十日八七三六九七九惊蛰七十六日○九二一二二三春分九十一日三一○五四六八清明一百零六日五二八九七一三榖雨一百二十一日七四七三九五八立夏一百三十六日九六五八二○三小满一百五十二日一八四二四四七芒种一百六十七日四○二六六九二夏至一百八十二日六二一○九三七小暑一百九十七日八三九五一八二大暑二百一十三日○五七九四二七立秋二百二十八日二七六三六七一处暑二百四十三日四九四七九一六白露二百五十八日七一三二一六一立秋二百七十三日九三一六四○六寒露二百八十九日一五○○六五一霜降三百零四日三六八四八九五立冬三百一十九日五八六九一四○小雪三百三十四日八○五三三八五大雪三百五十日○二三七六三○冬至三百六十五日二四二一八七五御制厯象考成下编卷一
## 下编卷二
钦定四库全书御制厯象考成下编卷二月离厯法推月离用数推月离法用表推月离法推合朔弦望法推交宫时刻法推正升斜升横升法推太阴出入时刻法推月离用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十太阴每日平行四万七千四百三十五秒小余○二一一七七(太阴毎日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十)(三芒以秒法通之即得)太阴一小时平行一千九百七十六秒小余四五九二一五七(置每日太阴平行以二十四除之即得)月孛毎日平行四百零一秒小余○七七四七七(月孛)(毎日平行六分四十一秒零四微三十八纎五十四忽五十七芒以秒法通之即得)正交毎日平行一百九十秒小余六四(正交毎日平行三分一十)(秒三十八微二十四纎以秒法通之即得)太阴本天半径一千万太阴本轮半径五十八万太阴均轮半径二十九万太阴负圏半径七十九万七千次轮半径二十一万七千次均轮半径一十一万七千五百朔望黄白大距四度五十八分三十秒两弦黄白大距五度一十七分三十秒黄白大距中数五度零八分(以朔望大距与两弦大距相加折半即得)黄白大距半较九分三十秒(以朔望大距与两弦大距相减折半即得)气应七日六五六三七四九二六太阴平行应一宫零八度四十分五十七秒一十六微(太阴平行应者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻太阴本轮心距冬至之平行经度也太)(阳自冬至起算躔丑宫初度故以冬至为应太阴亦自冬至起算而不必躔丑宫初度故以冬至次)(日子正初刻为应上考往古则减太阴平行下推将来则加太阴平行皆以此为根也)月孛应三宫零四度四十九分五十四秒零九微(月孛)(应者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻最髙过冬至之度分也太阳自最卑起算故以最卑为)(应太阴自最髙起算故以月孛为应上考往古则减月孛平行下推将来则加月孛平行皆以此为)(根也)正交应六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微(正交应者厯元甲子年天正冬至次日子正初刻正交过冬至之度分也葢黄道与白道斜交)(自黄道南过黄道北之㸃为正交自黄道北过黄道南之㸃为中交每日退行三分有余故有当时)(正交之应上考往古则加正交平行下推将来则减正交平行皆以此为根也○按康熙六十年辛)(丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本年天正冬至次日丙戌)(子正初刻为三百七十六日九九八六八○一其十时太阴平行过冬至六宫一十一度五十七分五)(三秒五十微月孛过冬至六宫二十二度二十六分零五十一微正交过冬至六宫一十一度三十)(七分一十七秒四十九微自辛丑年上溯至甲子年共三十八年减一年余三十七年为积年与周)(岁三百六十五日二四二一八七五相乗得一万三千五百二十一日六一七三一二四二六为中)(积分加厯元甲子年气应分六五六三七四九二六减辛丑年天正冬至分六一七三一二四二六)(得一万三千五百一十四日为积日又加辛丑年十一月平望距本年天正冬至次日子正初刻三)(百七十六日九九八六八○一得一万三千八百九十日九九八六八○一为平望距厯元日分乃)(以平望距厯元日分与太阴毎日平行四万七千四百三十五秒○二一一七七相乗满周天去之)(余五宫三度一十六分五十六秒三十四微与辛丑年十一月平望太阴过冬至六宫一十一度五)(十七分五十三秒五十微相减余一宫零八度四十分五十七秒一十六微即甲子年太阴平行应)(也又以平望距厯元日分与月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乗满周天去之余三宫)(一十七度三十六分零六秒四十二微与辛丑年十一月平望月孛过冬至六宫二十二度二十六)(分零五十一微相减余三宫零四度四十九分五十四秒零九微即甲子年月孛应也又以平望距)(厯元日分与正交毎日平行一百九十秒六四相乘满周天去之余一十五度三十六分一十九秒)(五十九微与辛丑年十一月平望正交过冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微相加)(得六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微即甲子年正交应也)推月离法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日(积日者厯元甲子年)(天正冬至距所求本年天正冬至之日数也中积分加气应分则得厯元甲子年天正冬至子正初刻至)(本年天正冬至之日分故减本年天正冬至分即得厯元甲子年天正冬至子正初刻至本年天正冬至)(子正初刻之日数也上考往古反是○日躔自天正冬至起算故止用天正冬至不用积日月离自天正)(冬至次日子正初刻起算故必兼用积日其余皆与日躔同)求太阴年根以积日与太阴毎日平行四万七千四百三十五秒○二一一七七相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积日太阴平行加太阴平行应一宫零八度四十分五十七秒一十五微得太阴年根上考往古则置太阴平行应减积日太阴平行得太阴年根(太阴年根者乃所求本年天正冬至次日子正初刻太阴距冬至之平行经度也以积日与太阴毎日平)(行相乗则得厯元甲子年天正冬至距本年天正冬至之太阴平行故上考往古则减下推将来则加即)(得本年天正冬至次日子正初刻太阴过冬至之平行经度也下倣此)求月孛年根以积日与月孛每日平行四百零一秒○七七四七七相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积日月孛平行加月孛应三宫零四度四十九分五十四秒零七微得月孛年根上考往古则置月孛应减积日月孛平行得月孛年根求正交年根以积日与正交毎日平行一百九十秒六四相乗满周天一百二十九万六千秒去之余为积日正交平行与正交应六宫二十七度一十三分三十七秒四十八微相减(正交应不足减者加十二宫减之)得正交年根上考往古则置正交应加积日正交平行得正交年根(太阴本轮)(与月孛皆顺行帷正交逆行故上考反加下推反减)求太阴日数以所设日数与太阴每日平行四万七千四百三十五秒○二一一七七相乘得数为秒以宫度分收之得太阴日数求月孛日数以所设日数与月孛毎日平行四百零一秒○七七四七七相乘得数为秒以宫度分收之得月孛日数求正交日数以所设日数与正交毎日平行一百九十秒六四相乘得数为秒以度分收之得正交日数求太阴平行以太阴年根与太阴日数相加(满十二宫去之)得太阴平行求月孛平行以月孛年根与月孛日数相加(满十二宫去之)得月孛平行求正交平行置正交年根减正交日数(不足减者加十二宫减之)得正交平行(正交逆行故于年根内减日数余皆与日躔同)求均数时差以本日太阳均数变时得均数时差(一度变为四分十五分变为一)(分十五秒变为一秒)均数为加者则为减均数为减者则为加求升度时差以本日太阳黄道经度与本日太阳赤道经度相减余数变时得升度时差二分后为加二至后为减求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求时差行以三千六百秒为一率一小时太阴平行一千九百七十六秒四五九二一五七为二率时差总化秒为三率求得四率为秒以分收之得时差行时差总为加者则为减时差总为减者则为加求用时太阴平行置太阴平行加减时差行得用时太阴平行(太阴平行独求)(用时者因太阴行度甚疾必加减时差行方为子正初刻之平行度其余诸平行所差甚微可以不计也)(其加减与时差总相反者时差加而迟则用时子正差而早故减时差减而早则用时子正差而迟故加)求引数置用时太阴平行减月孛平行得引数(引数者乃所求本日子正)(初刻均轮心过本轮最髙之行度也太阳自最卑起算故置平行减最卑行太阴自最髙起算故置平行)(减月孛行也)求初均数均轮心自本轮最髙左旋(自东而西)行引数度太阴自均轮最近㸃右旋(自西而东)行倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详月离厯理求初均数篇)引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求太阴距地心之边为求二均之用(初均数者平行与初实行之差也太阴有二三均数故以初别之加)(减与日躔相反者自最髙起算故也)求初实行置用时太阴平行加减初均数得初实行(太阴有二三均数虽)(加减初均数不能即得实行故亦以初别之)求月距日次引置初实行减本日太阳实行得月距日次引(月距日者太阴)(距太阳之度也初实行自冬至起算月距日自太阳起算故置初实行减太阳实行得月距日名曰次引)(者以其为次轮周之行度也)求二均数均轮心自负圏最髙左旋行引数度次轮心自均轮最近㸃右旋行倍引数度次均轮心自次轮最近㸃右旋(次轮径与均轮径平行其近本轮心之一㸃为最近㸃)行月距日之倍度用三角形法以次轮最近㸃距地心线为一边(即求初均)(数时所得太阴距地心之边)次轮月距日倍度之通弦为一边(半径)(一千万为一率月距日正弦为二率次轮半径二十一万七千为三率求得四率倍之即通弦)以初均数与均轮心距最卑之度相加(引数与半周相减即均轮心距最卑)(之度)又加减月距日距象限度为所夹之角(月距日与象限相减)(为月距日距象限度如月距日过二象限则减去二象限余数又与象限相减为月距日距象限度其加)(减之法初均数为减者月距日过一象限或过三象限则加不过象限或过二象限则减初均数为加者)(月距日过一象限或过三象限则减不过象限或过二象限则加若初均数与均轮心距最卑相加之度)(不足减月距日距象限度则转减余为所夹之角若相减无余则无角即无二均数若相加过半周则与)(全周相减余为所夹之角若相加适足半周则无角亦无二均数若月距日为初度或一百八十度则无)(月距日倍度之通弦亦无二均数)求得地心对通弦之角为二均数如无初均数者则以次轮心距地心线为一边次轮半径为一边月距日倍度为所夹之角(过半周者与全周相减用)(其余在最髙为所夹之内角在最卑为所夹之外角)求得地心对次轮半径之角为二均数定加减之法以初均数与均轮心距最卑之度相加为次轮最近㸃距地心线与次轮径所夹之角此角如不及九十度则倍之与半周相减余为加减限初均数为减者月距日倍度在此限内则二均数反为加初均数为加者月距日倍度与全周相减余数在此限内则二均数反为减此角如过九十度则与半周相减余数倍之又与半周相减余为加减限初均数为减者月距日倍度与全周相减余数在此限内则二均数反为加初均数为加者月距日倍度在此限内则二均数反为减若不在限内或其角适足九十度则初均数为加者二均数亦为加初均数为减者二均数亦为减随求次均轮心距地心之边为求三均之用(二均数者次轮所生也前以本轮均轮求初均数而太阴)(实在次均轮之周次均轮心又在次轮之周故又求次均轮心距次轮最近㸃当地心之角为二均数也)(○前求初均数以均轮为在本轮周太阴为在均轮周此求二均数以均轮为在负圏周次轮为在均轮)(周二者似异实同葢本轮半径加次轮半径为负圏半径则均轮心去本轮心亦逺一次轮半径然次轮)(心在均轮周之行度即前所用太阴在均轮周之行度而次轮径与均轮径平行则次轮最近㸃去次轮)(心必近一次轮半径故前所求太阴㸃即此所求次轮最近㸃前所求太阴距地心线即此所用次轮最)(近㸃距地心线也至于定加减之法乃求次轮最近㸃距地心线割次轮周为加减之限次均轮心在此)(限内初均数为减者次均轮心在次轮最近㸃之前初均数为加者次均轮心在次轮最近㸃之后故其)(加减与初均数相反也详月离厯理求二三均数篇)求三均数太阴自次均轮下㸃左旋行月距日之倍度用三角形法以次均轮心距地心线为一边(即求二均数时所得次轮心距)(地心之边)次均轮半径一十一万七千五百为一边月距日倍度为所夹之角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次均轮半径之角为三均数月距日倍度不及半周为加过半周为减(三均数者次均轮所生也月距日倍度不及半周太阴在轮心前故加月)(距日倍度过半周太阴在轮心后故减如倍月距日为初度则无二均数亦无三均数如倍月距日为一)(百八十度则有二均数无三均数)求二三均数二均数与三均数同为加者则相加为二三均数仍为加同为减者亦相加为二三均数仍为减一为加一为减者则相减为二三均数加数大为加减数大为减求白道实行置初实行加减二三均数得白道实行(白道实行者太阴在白道)(之实行度也论其理当置初实行加减二均数又加减三均数得白道实行今既合二均数与三均数为)(二三均数故合两次加减为一次加减也)求黄白大距及交均白道极自交均轮最近㸃左旋行月距日之倍度用弧三角法以黄白大距中数五度零八分为一边黄白大距半较九分三十秒为一边月距日倍度为所夹之角(过半周者与全周相减用其余)求得对边为黄白大距并求得近黄极之角为交均月距日倍度不及半周交均为减月距日倍度过半周交均为加(黄白大距者乃所求本日黄白)(二道之交角交均者正交平行与正交实行之差也葢太阴黄道经纬度并生于距交而黄白交角时时)(不同交行又有加减故必先求两极相距之度为黄白大距又求白道极与交均轮心之差为交均然后)(太阴之黄道经纬度可推也月距日倍度不及半周者白道极逆轮心行故减月距日倍度过半周者白)(道极顺轮心行故加详月离厯理求黄白大距及交均篇)求正交实行置正交平行加减交均得正交实行(正交实行者白道与黄道相交)(之实行也交均虽以白道极立算然极差则交亦差故置正交平行加减交均得正交实行也)求中交实行置正交实行加减六宫得中交实行(中交者正交之对冲故正交实)(行不及六宫者加六宫过六宫者减六宫得中交实行也)求距交实行置白道实行减正交实行得距交实行(距交实行者太阴距正交)(之实行也白道实行自冬至起算距交实行自正交起算故置白道实行减正交实行得太阴距正交之)(实行也)求升度差以半径一千万为一率黄白大距之余弦为二率距交实行之正切线为三率(距交过一象限则与半周相减用其余过二象限则)(减去二象限用其余过三象限则与全周相减用其余)求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与距交实行相减余为升度差距交实行不过象限为减过象限为加过二象限为减过三象限为加(升度差者白道与黄道之差也月五星并宗黄道而白道与黄道有)(差故先求其差乃可求黄道度也距交不及象限或过二象限皆白道度多黄道度少故减距交过一象)(限或过三象限皆白道度少黄道度多故加)求黄道实行置白道实行加减升度差得黄道实行(黄道实行者太阴所当黄)(道经度也太阴本行白道加减黄白二道之差则得相当黄道度矣)求黄道纬度以半径一千万为一率黄白大距之正弦为二率距交实行之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得黄道纬度距交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南(黄道纬度者太阴距黄道南北之纬度也太阴过正交入)(阴厯故距正交不及半周者皆在黄道北太隂过中交入阳厯故距正交过半周者皆在黄道南)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度求月孛宿度月孛平行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为月孛宿度求正交宿度正交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为正交宿度求中交宿度中交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为中交宿度用表推月离法求诸年根用月离太阴年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微进)(一秒下倣此)得太阴年根察本年月孛宫度分秒得月孛年根察本年正交宫度分秒得正交年根求诸日数用月离太阴周岁平行表察本日平行宫度分秒得太阴日数察本日月孛宫度分秒得月孛日数察本日正交度分秒得正交日数求太阴平行以太阴年根与太阴日数相加得太阴平行求月孛平行以月孛年根与月孛日数相加得月孛平行求正交平行置正交年根减正交日数得正交平行求均数时差用日躔均数时差表以本日太阳引数宫度察其所对之分秒得均数时差并记加减号求升度时差用日躔升度时差表以本日太阳黄道经度察其所对之分秒得升度时差并记加减号求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求时差行用月离周日平行表以时差总之时分秒各察其与平行相对之数而并之得时差行时差总为加者则为减时差总为减者则为加求用时太阴平行置太阴平行加减时差行得用时太阴平行求引数置用时太阴平行减月孛平行得引数求初均数用月离太阴初均数表以引数宫度分察其所对之度分秒得初均数并记加减号求初实行置用时太阴平行加减初均数得初实行求月距日次引置初实行减本日太阳实行得月距日次引求二三均数用月离太阴二三均数表以引数宫度及月距日次引宫度察其所对之度分秒得二三均数并记加减号(太阴二三均数表乃合二均数与三均数加减所定故用表推算止求二三均数不必先求二均数)(与三均数也)求白道实行置初实行加减二三均数得白道实行求黄白大距及交均用月离交均距限表以月距日次引宫度察其与距限相对之度分秒得黄白大距察其与交均相对之分秒得交均并记交均加减号求正交实行置正交平行加减交均得正交实行求中交实行置正交实行加减六宫(不及六宫则加六宫过六宫则减六宫)得中交实行求距交实行置白道实行减正交实行得距交实行求升度差用月离黄白升度差表以距交实行宫度察其所对之度分秒得升度差并记加减号求黄道实行置白道实行加减升度差得黄道实行求黄道纬度用月离黄白距度表以距交实行宫度按黄白大距相近者察其所对之度分秒得黄道纬度并记南北号求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度求月孛宿度月孛平行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为月孛宿度求正交宿度正交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为正交宿度求中交宿度中交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为中交宿度推合朔弦望法太阴实行与太阳实行同宫同度为合朔限距三宫为上弦限距六宫为望限距九宫为下弦限(详月离厯理晦)(朔弦望篇)皆以太阴未及限度为本日已过限度为次日(如太阴未及太阳为合朔本日已过太阳为合朔次日太阴距太阳未及九十度为上弦本日已过九十)(度为上弦次日之类)求时刻之法以本日太阳实行与次日太阳实行相减余为太阳一日之实行以本日太阴实行与次日太阴实行相减余为太阴一日之实行乃于太阴一日之实行内减太阳一日之实行余为一率一千四百四十分为二率本日太阳实行加限度(合朔同宫同度无可加上弦加三宫朢加六宫下弦加九宫)减本日太阳实行余为三率求得四率为距子正之分数葢以太阴距太阳一日之实行与一日之分数为比同于本日子正太阴距合朔弦望度分与距子正之分数为比也乃以六十分收为一小时十五分收为一刻得合朔弦望时刻如本日太阴实行与太阳实行适当合朔弦望限度而无相距度分则合朔弦望即为本日子正初刻推交宫时刻法太阴未过宫为交宫本日已过宫为交宫次日求时刻之法以本日太阴实行与次日太阴实行相减余为一率一千四百四十分为二率本日太阴实行度(不用宫)与三十度相减余为三率求得四率为距子正之分数葢以太阴一日之实行与一日之分数为比同于本日子正太阴距某宫初度之度分与距子正之分数为比也乃以六十分收为一时十五分收为一刻得交宫时刻如本日太阴实行适当某宫初度而无余分则交宫即为本日子正初刻推正升斜升横升法合朔日太阴实行自子宫一十五度至酉宫一十五度为正升自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度为斜升自未宫初度至寅宫一十五度为横升自寅宫一十五度至丑宫初度亦为斜升(月离厯理隠见迟疾篇言春分前后各三宫黄道斜升而正降秋分前后各三宫黄道正升而)(斜降乃以东方出地为升西方入地为降所以明太阴隠见之迟疾也此所谓升乃指西方地平方上之)(黄道升度所以定生明之方向也葢太阴在戌宫初度当黄道之春分入地平时夏至在正午距地平七)(十三度余西方地平上之黄道㡬与地平经圈等故为正升春分前四十五度为子宫一十五度当黄道)(之立春春分后四十五度为酉宫一十五度当黄道之立夏立春入地平则立夏在正午立夏入地平则)(立秋在正午距地平皆六十六度余西方地平上之黄道犹未斜倚故自子宫一十五度至酉宫一十五)(度皆为正升也立夏后四十五度为未宫初度当黄道之夏至立春前四十五度为丑宫初度当黄道之)(冬至夏至入地平则秋分在正午冬至入地平则春分在正午皆距地平五十度余西方地平上之黄道)(即成斜倚故自酉宫一十五度至未宫初度自丑宫初度至子宫一十五度皆为斜升也太阴在辰宫初)(度当黄道之秋分入地平时冬至在正午距地平不过二十六度余西方地平上之黄道斜倚已甚㡬与)(地平纬圏等故为横升秋分前九十度为未宫初度当黄道之夏至入地平时秋分在正午距地平五十)(度余然夏至在赤道之极北入地平时纬度虽髙而经度横亘故亦为横升秋分后九十度为丑宫初度)(当黄道之冬至入地平时春分在正午距地平亦五十度余然冬至在赤道之极南入地平时纬度既髙)(而经度复短不得为横升故自未宫初度至寅宫一十五度为横升自寅宫一十五度至丑宫初度复为)(斜升也正升时月体背正西而向正东斜升时月体背西北而向东南横升时月体背正北而向正南皆)(以黄道方向为定太阴虽行白道然相距不过五度且黄白道之交无定在其纬度常与经度不合故以)(黄道定之则终古不易也)推太阴出入时刻法用正弧三角形法以本日太阳黄道经度求其相当赤道经度又用斜弧三角形法以本日太阴距黄极度为一边(太阴在黄道北则以黄道纬度与九十度相减在黄道南则以黄道纬度与九十度)(相加得太阴距黄极度)黄极距赤极(即北极)二十三度二十九分三十秒为一邉本日太阴距冬至黄道经度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得对边为太阴距赤极度过九十度者减九十度余为赤道南纬度不及九十度者与九十度相减余为赤道北纬度并求得近赤极之角为太阴距冬至赤道经度(与恒星厯理推恒星赤道经纬度之)(法同)乃以半径一千万为一率北极髙度之正切线为二率太阴赤道纬度之正切线为三率求得四率为夘酉前后赤道度之正弦检表得太阴出入在卯酉前后赤道度太阴在赤道北出在卯正前入在酉正后太阴在赤道南出在卯正后入在酉正前(赤道出地为卯)(正入地为酉正乃太阴所临时刻之方位非太阳所临之时刻也与日躔厯理昼夜永短法同)爰于太阴赤道经度内减太阳赤道经度(不足减者加十二宫减之)余为太阴距太阳赤道度又加减太阴出地在卯正前后赤道度(前减后加)得数变时(一度变为四分)自卯正后计之得何时刻再加本时太阴行度所变之时刻(约一小时行三十分)(变为时之二分)即太阴出地时太阳所临之时刻又以太阴距太阳赤道度加减太阴入地在酉正前后赤道度(前减后加)得数变时自酉正后计之得何时刻再加本时太阴行度所变之时刻即太阴入地时太阳所临之时刻葢时刻以太阳为定故推得太阳所临之时刻即太阴出入之时刻也御制歴象考成下编卷二
## 下编卷三
钦定四库全书御制厯象考成下编卷三月食厯法推月食用数推月食法用表推月食法推各省月食法推月食带食法定朢推平朢法推月食用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十朔策二十九日五三○五九三(朔策者平朔相距之日分也其数二十九)(日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纤四十三忽一十二芒以周日一万分通之得二十九)(日五千三百零五分小余九三)朢策一十四日七六五二九六五(朢策者平朢距平朔之日分也以朔)(策折半即得)太阳平行朔策一十万四千七百八十四秒小余三○四三二四(以太阳每日平行与朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分二十四秒一十八微)太阳引数朔策一十万四千七百七十九秒小余三五八八六五(太阳引数者太阳均轮心在本轮周之行度也以太阳每日平行与最卑)(每日平行相减余为太阳引数毎日之平行与朔策日分相乘即得以度分秒微收之得二十九度)(零六分一十九秒二十二微)太隂引数朔策九万二千九百四十秒小余二四八五九(太隂引数者太隂均轮心在本轮周之行度也以太隂每日平行与月孛每日平行相减)(余为太隂引数每日之平行与朔策日分相乗满周天去之即得以度分秒微收之得二十五度四)(十九分零一十五微)太隂交周朔策一十一万零四百一十四秒小余○一六五七四(太隂交周者太隂距正交之行度也以太隂毎日平行与正交毎日平行)(相加得太隂交周每日之平行与朔策日分相乘满周天去之即得以宫度分秒微收之得一宫零)(四十分一十四秒零一微)太阳平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微太阳引数朢策一十四度三十三分零九秒四十一微太隂引数朢策六宫一十二度五十四分三十秒零七微太隂交周朢策六宫一十五度二十分零七秒(各以每日)(平行与朢策日分相乘以宫度分秒微收之即得)一小时太阳平行一百四十七秒小余八四七一○四九一小时太阳引数一百四十七秒小余八四○一二七一小时太隂引数一千九百五十九秒小余七四七六五四二一小时太隂交周一千九百八十四秒小余四○二五四九(各置毎日平行以二十四除之即得)一小时月距日平行一千八百二十八秒小余六一二一一○八(月距日者太隂距太阳之行度也以太阳毎日平行与太隂每日平行相)(减余为月距日每日之平行以二十四除之即得)太阳本天半径一千万太阳本轮半径二十六万八千八百一十二太阳均轮半径九千六百零四太隂本天半径一千万太隂本轮半径五十八万太隂均轮半径二十九万太隂次均轮半径一十一万七千五百太阳光分半径六百三十七(太阳光分半径为地半径之六倍又百分之三)(十七今推月食命地半径为一百分故太阳光分半径即为六百三十七也)太隂实半径二十七(太隂实半径为地半径百分之二十七今推月食命地半径为)(一百分故太隂实半径即为二十七也)太阳最髙距地一千零一十七万九千二百零八与地半径之比例为一十一万六千二百(太阳最髙距地与地)(半径之比例为一千一百六十二今推月食命地半径为一百分故与地半径之比例即为一十一)(万六千二百也)太隂最髙距地一千零一十七万二千五百与地半径之比例为五千八百一十六(太隂最髙距地与地半径之比例为)(五十八又百分之一十六今推月食命地半径为一百分故与地半径之比例即为五千八百一十)(六也)黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒气应七日六五六三七四九二六纪日八朔应二十六日三八五二六六六(朔应者厯元甲子年首朔距天正冬)(至次日子正初刻之日分也诸曜皆自天正冬至起筭故以天正冬至为应交食则自合朔起算故)(以首朔为应上考往古则于积日内加朔应日分下推将来则于积日内减朔应日分皆以此为根)(也○按康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅夜子初三刻一十三分零五秒五十六微平望距本)(年天正冬至次日子正初刻为三百七十六日九千九百八十六分小余八○一减一朢策一十四)(日七六五二九六五又减十二月朔策三百五十四日三六七一一六余七日八六六二六七六为)(辛丑年天正冬至后第一平朔距天正冬至次日子正初刻之日分即辛丑年首朔之应又自辛丑)(年天正冬至次日子正初刻上溯至甲子年天正冬正次日子正初刻得积日一万三千五百一十)(四加辛丑年首朔应七日八六六二六七六得一万三千五百二十一日八六六二六七六为通朔)(即辛丑年首朔距甲子年天正冬至次日子正初刻之日分以朔策二十九日五三○五九三除之)(得四百五十七朔余二十六日三八五二六六六为甲子年首朔距天正冬至次日子正初刻之日)(分即甲子年朔应也)首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四十二秒五十七微(首朔太阳平行应者厯元甲子年首朔太阳本轮心距冬至之平行经度也合)(朔日月同度故不用太隂)首朔太阳引数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微(首朔太阳引数应者厯元甲子年首朔太阳均轮心距本轮最卑之行度也引)(数起于最卑行而太阳平行实行之差则专生于引数故不用最卑应而用引数应也)首朔太隂引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微(首朔太隂引数应者厯元甲子年首朔太隂均轮心距本轮最髙之行度)(也引数起于月孛行而太隂平行实行之差则专生于引数故不用月孛应而用引数应也)首朔太隂交周应六宫初度三十分五十五秒一十四微(首朔太隂交周应者厯元甲子年首朔太隂距正交之行度也交周起于正交行而太隂)(入食限则专生于距交故不用正交应而用交周应也○按康熙六十年辛丑十一月平朢太阳平)(行初宫一十一度五十七分五十三秒五十微自厯元甲子年首朔至辛丑年十一月平朢计四百)(六十九朔策一望策乃于辛丑年十一月平朢太阳平行内减四百六十九朔策一朢策之太阳平)(行三十七周天外又十一宫一十五度三十七分一十秒五十三微余初宫二十六度二十分四十)(二秒五十七微即甲子年首朔太阳平行应也又辛丑年十一月平朢太阳引数初宫零四度零八)(分五十六秒二十微减四百六十九朔策一朢策之太阳引数三十七周天外又十一宫一十四度)(五十八分二十八秒五十九微余初宫一十九度一十分二十七秒二十一微即甲子年首朔太阳)(引数应也又辛丑年十一月平朢太隂引数十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微减四)(百六十九朔策一朢策之太隂引数五百零三周天外又二宫零五十七分二十六秒四十三微余)(九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微即甲子年首朔太隂引数应也又辛丑年十一月平)(朢太隂交周平行初宫初度二十分三十六秒零一微减四百六十九朔策一朢策之交周平行五)(百零八周天外又五宫二十九度四十九分四十秒四十七微余六宫初度三十分五十五秒一十)(四微即甲子年首朔太隂交周应也)推月食法推首朔诸平行及入交(推首朔诸平行及入交为月食入算之首葢本年逐月太阳太隂之行度必以首朔为根有首朔之)(日分然后可以求平望之日分有首朔诸平行然后可以求平朢诸平行至于入交乃当食之月数)(太隂每岁两次入交闰月之岁或三次入交其不入交之月不必算也月食必在朢不用首望而用)(首朔者以天正冬至或在十一月朢前或在十一月朢后不若首朔之定为年前十二月朔也)求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求纪日以天正冬至日数加一日得纪日求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求通朔置积日减朔应二十六日三八五二六六六得通朔上考往古则置积日加朔应得通朔(通朔者乃所求本年天正冬至)(次日子正初刻距歴元甲子年首朔之日分也积日原为本年天正冬至距厯元甲子年天正冬至之日)(数故下推将来则于积日内减朔应上考往古则于积日内加朔应得通朔也)求积朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九三除之得数加一为积朔余数与朔策相减为首朔上考往古则置通朔以朔策除之得数为积朔余数为首朔(积朔者厯)(元甲子年首朔距所求本年首朔之月数而首朔者本年天正冬至后第一朔距本年天正冬至次日子)(正初刻之日分也下推将来以朔策除通朔得数为厯元甲子年首朔距本年天正冬至前一朔之月数)(故加一月为积朔其余数亦为本年天正冬至次日子正初刻距前一朔之日分故与朔策相减方为首)(朔日分若上考往古则以朔策除通朔得数即厯元甲子年首朔距本年首朔之月数故即为积朔其余)(数亦即本年首朔距本年天正冬至次日子正初刻之日分故亦即为首朔也)求首朔太阳平行以积朔与太阳平行朔䇿一十万四千七百八十四秒三○四三二四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太阳平行加首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太阳平行上考往古则置首朔太阳平行应减积朔太阳平行得首朔太阳平行(首朔太阳平行者乃所求本年首朔太阳本轮心距)(冬至之平行经度也以积朔与太阳平行朔策相乘则得厯元甲子年首朔距本年首朔之太阳平行度)(故下推将来则置太阳平行应加积朔之太阳平行上考往古则置太阳平行应减积朔之太阳平行而)(得本年首朔之太阳平行也)求首朔太阳引数以积朔与太阳引数朔䇿一十万四千七百七十九秒三五八八六五相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太阳引数加首数太阳引数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太阳引数上考徃古则置首朔太阳引数应减积朔太阳引数得首朔太阳引数(首朔太阳引数者乃所求本年首朔太阳均轮心距)(本轮最卑之自行度也余与太阳平行同)求首朔太隂引数以积朔与太隂引数朔策九万二千九百四十秒二四八五九相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太隂引数加首朔太隂引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引数上考往古则置首朔太隂引数应减积朔太隂引数得首朔太隂引数(首朔太隂引数者乃所求本年首朔太隂均轮心距本轮最髙)(之自行度也余与太阳平行同)求首朔太隂交周以积朔与太隂交周朔䇿一十一万零四百一十四秒○一六五七四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太隂交周加首朔太隂交周应六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古则置首朔太隂交周应减积朔太隂交周得首朔太隂交周(首朔太隂交周者乃所求本年首朔太隂本轮心距正交之度)(也余与太阳平行同)求逐月朢太隂交周置本年首朔太隂交周加太隂交周朢䇿六宫一十五度二十分零七秒再以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微递加十三次得逐月朢太隂交周(逐月朢太隂交周者乃所求本年逐年平朢太隂本轮心距正交之行度也以首朔太隂交周)(加太隂交周朢䇿则得年前十二月平望之太隂交周故递加太隂交周朔策则得本年逐月平朢之太)(隂交周也递加十三次者其年或有闰月则十二月为第十三月也)求太隂入交月数逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆为太隂入交第几月入交即第几月有食(太隂)(距交前后可食之限一十四度五十四分故逐月朢太隂交周在此限以内者为入交详交食厯理太隂)(食限篇)推平朢诸平行第一(推平朢诸平行为月食第一段盖既知本月入交矣必求本月平朢之日分然后可以求实朢必求)(平朢诸平行然后可以求实行太阳平行者所以定太阳之经度而太隂之经度即在其对冲太阳)(太隂引数者所以定本轮周之自行度为求均数之用也其不求平望太隂交周者因求入交月数)(已得本月平朢太隂交周若知入交月数则不求逐月朢太隂交周及入交即以入交月数与太隂)(交周朔策一十一万零四百一十四秒○一六五七四相乘得数加太隂交周朢䇿六宫一十五度)(二十分零七秒与本年首朔太隂交周相加即平望太隂交周也)求平朢以太隂入交月数与朔䇿二十九日五三○五九三相乘得数加朢策一十四日七六五二九六五与本年首朔日分相加再加纪日满纪法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支以周日一千四百四十分通其小余得平朢时分秒(平朢者本月太隂本轮心与太隂本)(轮心相对之日时也以入交月数与朔䇿相乘加朢策日分则得平朢距首朔之日分与首朔日分相加)(则得平朢距天正冬至次日子正初刻之日分又加纪日则得平朢距冬至前甲子日子正初刻之日分)(故满纪法六十去之自初日甲子起算得平朢干支以一千四百四十分通其小余得平朢时分也)求平望太阳平行以太隂入交月数与太阳平行朔䇿一十万四千七百八十四秒三○四三二四相乘得数加太阳平行朢䇿一十四度三十三分一十二秒零九微与本年首朔太阳平行相加得平朢太阳平行求平朢太阳引数以太隂入交月数与太阳引数朔䇿一十万四千七百七十九秒三五八八六五相乘得数加太阳引数朢䇿一十四度三十三分零九秒四十一微与本年首朔太阳引数相加得平朢太阳引数求平朢太隂引数以太隂入交月数与太隂引数朔䇿九万二千九百四十秒二四八五九相乘得数加太隂引数朢䇿六宫一十二度五十四分三十秒零七微与本年首朔太隂引数相加得平朢太隂引数推日月相距第二(推日月相距为月食第二段盖平朢固两本轮心相对矣而日月皆有均数因生距弧既有距弧则)(必有距时也若两均加减同度分亦同则无距弧亦无距时而平朢即实朢详交食厯理朔朢有平)(实之殊篇)求太阳均数以平朢太阳引数依日躔求均数法算之得太阳均数引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减求太隂均数以平朢太隂引数依月离求初均数法筭之得太隂均数引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加求距弧太阳太隂两均数同为加或同为减者则相减得距弧一为加一为减者则相加得距弧(距弧者日月相距之弧也两均)(同为加或同为减者则相距为两均之较故相减得距弧两均一为加一为减者则相距为两均之和故)(相加得距弧)求距时以一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八为一厯三千六百秒为二厯距弧化秒为三厯(一度化六十分一分化六十秒)求得四厯为秒以时分收之得距时太阳太隂两均数同为加者大阳加均大则距时为加太阳加均小则距时为减同为减者太阳减均大则距时为减太阳减均小则距时为加一为加一为减者太阳为加均则距时为加太阳为减均则距时为减(距时者日月相距之时分也太阳均数为加太隂均数为减或同为加而太阳加均)(大或同为减而太阳减均小皆太阳在前太隂在后月未及与日相对故距时为加太阳均数为减太隂)(均数为加或同为加均而太阳加均小或同为减圴而太阳减均大皆太隂在前太阳在后月已过与日)(相对故距时为减)推实引第三(推实引为月食第三段葢日月既有距时则此相距之时分内亦必有引数之自行故又以距时求)(得引弧以加减平朢之引数为实引数也)求太阳引弧以三千六百秒为一率一小时太阳引数一百四十七秒八四○一七二为二率距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得太阳引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太隂引弧以三千六百秒为一厯一小时太隂引数一千九百五十九秒七四七六五四二为二厯距时化秒为三厯求得四厯为秒以度分收之得太隂引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太阳实引置平朢太阳引数加减太阳引弧得太阳实引求太隂实引置平朢太隂引数加减太隂引弧得太隂实引推实朢第四(推实朢为月食第四段前求日月相距以得距时似可以加减平朢而为实朢矣然此相距之时分)(内引数既有微差则均数亦有微差而距弧与距时亦必有微差故又以实引推实均以求实距弧)(而得实距时然后加减平朢为实朢也)求太阳实均以太阳实引依日纒求均数法算之得太阳实均实引初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求太阳距地心之边为求太阳距地之用求太隂实均以太隂实引依月离求初均数法算之得太隂实均实引初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求太隂距地心之边为求太隂距地之用求实距弧太阳太隂两实均同为加或同为减者则相减得实距弧一为加一为减者则相加得实距弧求实距时以一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八为一厯三千六百秒为二率实距弧化秒为三厯求得四厯为秒以时分收之得实距时定加减之法与距时同求实朢置平朢加减实距时得实朢加满二十四时则实朢进一日不足减者借一日作二十四时则实朢退一日推实交周第五(推实交周为月食第五段盖实朢与食甚尚有微差而距纬与距交亦有进退故又求实朢时太隂)(距正交之实行度然后时刻之早晚距纬之逺近食分之浅深皆可次第推也)求交周距弧以三千六百秒为一率一小时太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九为二厯实距时化秒为三率求得四厯为秒以度分收之得交周距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减(交周距弧者平朢距实朢)(太阴交周之行度也盖平朢与实朢既有距时则此相距之时分内太阴又有距交行故又以实距时求)(交周距弧也)求实朢平交周置平朢太阴交周加减交周距弧得实朢平交周(实朢)(平交周者实朢时太隂本轮心距正交之平行度也平朢太隂交周为平朢时太隂本轮心距正交之度)(加减交周距弧即为实朢时太隂本轮心距正交之度因其为本轮心行故仍名之曰平也)求实朢实交周置实朢平交周加减太隂实均得实朢实交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宫一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宫一十七度四十三分零五秒至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算(实朢实交周者实朢时太隂距正交之实行度也实朢平交周为太)(隂本轮心距正交之度而太阴实行又有加减之差故加减太隂实均为实交周也其入限宫度乃太隂)(距交必食之限详交食厯理太阴食限篇)推太阳实经第六(推太阳实经为月食第六段盖月食之时刻由于太阳而太阳之时刻定于赤道故求太阳实经所)(以为求时差之用也)求太阳距弧以三千六百秒为一率一小时太阳平行一百四十七秒八四七一○四九为二率实距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得太阳距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减(太阳距弧者平朢距实朢太阳)(本轮心之行度也与交周距弧之理同)求实朢太阳平行置平朢太阳平行加减太阳距弧得实朢太阳平行(与实朢平交周之理同)求太阳黄道经度置实朢太阳平行加减太阳实均得太阳黄道经度(与实朢实交周之理同)求太阳赤道经度以半径一千万为一厯黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为二厯太阳距春秋分黄道经度之正切线为三厯(太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫)(者与九宫相减过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)求得四厯为赤道经度之正切线检表得太阳距春秋分赤道经度以冬至起初宫命之得太阳赤道经度推实朢用时第七(推实朢用时为月食第七段葢实朢固为日月相对之时刻而验诸实测犹有㣲差因有时差也故)(加减二时差之总为实朢用时)求均数时差以太阳实均变时得均数时差(一度变为四分十五分变为一分十五秒)(变为一秒)实均为加者则为减实均为减者则为加求升度时差以太阳黄道经度与太阳赤道经度相减余数变时得升度时差二分后为加二至后为减求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减(时差之理详日躔厯理时差及交食厯理朔朢用时篇其加减为时差总者合両次加减为一次加)(减也)求实朢用时置实朢加减时差总得实朢用时距日出后日入前九刻以内者可以见食九刻以外者则全在昼即不必算(分昼夜之法以一小时月距日实行二十七分四十三秒为一率六十分为二率最大月半径)(与最大影半径相并得一度零三分三十九秒为三率求得四率一百三十八分收作九刻实朢在日出)(后九刻以内日出前可见初亏实朢在日入前九刻以内日入后可见复圆若九刻以外虽食分最大时)(刻最久亦不见食矣故不必筭)推食甚距纬食甚时刻第八(推食甚距纬食甚时刻为月食第八段盖实朢用时固日月相对之时刻矣然太隂与地影斜距犹)(逺故求其白道纬度为距纬以辨相掩之浅深求其白道经差为交周升度差以定距时之早晚然)(后加减实朢用时为食甚时刻也详交食厯理月食五限时刻篇)求食甚距纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率实朢实交周之正弦为三率求得四率为食甚距纬之正弦检表得食甚距纬实交周初宫五宫为北六宫十一宫为南(食甚距纬者食甚时太隂距地)(影心之白道纬度也月离求纬度乃黄道之纬度与黄道成直角此所求之距纬乃白道之纬度与白道)(成直角夫求白道纬度应以黄道立筭今用实朢实交周者葢交食推朔朢以白道当黄道太隂白道经)(度与太阳黄道经度相同为朔相对为朢与月离用黄道经度推朔朢者不同故实朢时地影心距交之)(黄道经度与太隂距交之白道经度等用白道即用黄道也至于南北则以黄道为主实交周初宫至五)(宫为正交后入隂厯在黄道北六宫至十一宫为中交后入阳厯在黄道南月食方位所由定也)求食甚交周以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之余弦为二率实朢实交周之正切线为三率求得四率为食甚交周之正切线检表得食甚交周(食甚交周者食甚时太隂距正交之白道经度也葢实交周为实朢时太隂距正交之白道经度与地影)(心距正交之黄道经度等故用实朢实交周为地影心距交之黄道度求其相当之白道度为食甚时太)(隂距交之白道经度也)求交周升度差以食甚交周与实朢实交周相减得交周升度差(交周)(升度差者食甚时太隂交周与实朢时太隂交周之差也故相减得交周升度差)求月距日实行以一小时太隂引数与太隂实引相加依月离求初均数法算之为后均数与太隂实均相加减(实均与后均同)(为加或同为减者则相减一为加一为减者则相加)得数与一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加减(实均)(与后均同为加者后均加数大则加后均加数小则减同为减者后均减数大则减后均减数小则加一)(为加一为减者后均加则加后均减则减)得月距日实行(月距日实行者一小时月距日)(之实行度也葢初亏在食甚前复圆在食甚后其均数皆以渐而差故设食甚后一小时之引数求其均)(数与实均相较以得食甚后一小时月距日之实行则食甚前一小时之实行视此矣以此一小时月距)(日之实行与一小时为比例然后各相距之时刻可以得其真也)求食甚距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率交周升度差化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距时实朢实交周五宫十一宫为加初宫六宫为减(食甚距时者食甚与实朢用时相距之时分也盖食甚时太隂距交之白道度与实朢时太隂)(距交之白道度既有微差则食甚之时分与实朢用时之时分亦有微差故以一小时月距日实行与一)(小时之比同于交周升度差与食甚距时之比也定加减之法实朢实交周五宫十一宫在交前黄道度)(少白道度多故加初宫六宫在交后黄道度多白道度少故减)求食甚时刻置实朢用时加减食甚距时得食甚时刻自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初每十五分收为一刻不足一刻者为零分推食分第九(推食分为月食第九段葢食分之多寡由于相掩之浅深相掩之浅深由于视径之大小视径之大)(小又由于距地之逺近故先求得距地数以得视径及相掩之分数然后比例而得食分也)求太阳距地以太阳最髙距地一千零一十七万九千二百零八为一率地半径比例数一十一万六千二百为二率太阳距地心之边为三率求得四率即太阳距地(太阳)(距地者月食时太阳距地心与地半径之比例数也)求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七万二千五百为一率地半径比例数五千八百一十六为二率太隂距地心之边内减次均轮半径一十一万七千五百余为三率求得四率即太隂距地(太隂距地者月食时太隂距地心与地半)(径之比例数也太隂距地心之邉又减次均轮半径者因朢时太隂在次均轮下㸃故也)求太隂半径以太隂距地为一率太隂实半径二十七为二率半径一千万为三率求得四率为太隂半径之正弦检表得太隂半径求地影半径以太阳光分半径六百三十七内减地半径一百余五百三十七为一率太阳距地为二率地半径一百为三率求得四率为地影之长又以地影之长为一率地半径一百为二率半径一千万为三率求得四率为地影角之正弦检表得地影角又以半径一千万为一率地影角之正切线为二率地影之长内减太隂距地余为三率求得四率为太隂所当地影之濶乃以太隂距地为一率地影之濶为二率半径一千万为三率求得四率为地影半径之正切线检表得地影半径(详交食厯理地影半径篇)求并径以太隂半径与地影半径相加得并径求食分以太隂半径倍之为一率十分为二率并径内减食甚距纬余为三率求得四率即食分推初亏复圆时刻第十(推初亏复圆时刻为月食第十段葢初亏时太隂与地影两周初相切复圆时太隂与地影两周初)(相离故以两半径相加为两心相距之度以此斜距之度求其白道度则得距弧以距弧比例得距)(时与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻矣详交食厯理月食五限时刻篇)求初亏复圆距弧以食甚距纬之余弦为一率并径之余弦为二率半径一千万为三率求得四率为初亏复圆距弧之余弦检表得初亏复圆距弧(初亏复圆距弧者初亏距食甚或食甚距复圆之行)(度也与正弧三角形有黄道有距纬求赤道之法同)求初亏复圆距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏时刻置食甚时刻减初亏复圆距时得初亏时刻不足减者加二十四时减之初亏即在前一日命时之法与食甚同求复圆时刻置食甚时刻加初亏复圆距时得复圆时刻加满二十四时去之复圆即在次日命时之法与食甚同推食既生光时刻第十一(推食既生光时刻为月食第十一段葢食既时太隂全入影中生光时太隂方出影外故以两半径)(相减为两心相距之度以此斜距之度求其白道度则得距弧以距弧比例得距时与食甚时刻相)(加减即得食既生光时刻矣详交食厯理月食五限时刻篇)求食既生光距弧以食甚距纬之余弦为一率地影半径内减太隂半径余为径较检其余弦为二率半径一千万为三率求得四率为食既生光距弧之余弦检表得食既生光距弧(如径较小于距纬则月食必在十分以内即无食既生光)求食既生光距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率食既生光距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得食既生光距时求食既时刻置食甚时刻减食既生光距时得食既时刻不足减者加二十四时减之食既即在前一日命时之法与食甚同求生光时刻置食甚时刻加食既生光距时得生光时刻加满二十四时去之生光即在次日命时之法与食甚同推太隂经纬宿度第十二(推太隂经纬宿度为月食第十二段所以騐诸实测也)求黄白升度差以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之余弦为二率食甚交周之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与食甚交周相减余为黄白升度差食甚距时加者亦为加食甚距时减者亦为减(与月离厯法求升度差同)求大隂黄道经度置太阳黄道经度加减六宫(过六宫者减六宫不及六宫者加六宫)再加减食甚距弧又加减黄白升度差得太隂黄道经度(太隂黄道经度者食甚时太隂黄道经度也求实朢时既以白道当黄道则以实朢太阳黄道经度)(加减六宫即得实朢太隂白道经度再加减食甚距弧即得食甚太隂白道经度故又加减黄白升度差)(方为食甚时太隂黄道经度也)求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察太隂黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为太隂黄道宿度求太隂黄道纬度以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率食甚交周之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得太隂黄道纬度食甚交周初宫五宫为北六宫十一宫为南(与月离求黄道纬度之法同)求太隂赤道经度赤道纬度以太隂距黄极度为一边(太隂在黄道北则以黄道纬度与九十度相减在黄)(道南则以黄道纬度与九十度相加得太隂距黄极度)黄极距赤极二十三度二十九分三十秒为一边太隂距冬至黄道经度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)用斜弧三角形知两边一角而角在两边之间求对边之法求得对边为太隂距赤极度过九十度者减九十度余为赤道南纬度不及九十度者与九十度相减余为赤道北纬度又求得近赤极之角为太隂距冬至赤道经度(与恒星厯)(理推恒星赤道经纬度之法同)求太隂赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿钤察太隂赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为太隂赤道宿度推月食方位及食限总时(推月食方位及食限总时亦以騐诸实测盖方位虽无闗于行度而实有合于仰观仰观既合则黄)(道之出入白道之交错皆有明征矣总时既有闗于迟疾又以騐诸久暂久暂既騐则并径之大小)(食分之浅深皆有确据矣)求春秋分距地平赤道度以食甚时刻变赤道度(每时之四分变作一度每时之一分变作十五分毎时之)(一秒变作十五秒)又于太阳赤道经度内减三宫(不足减者加十二宫)(减之)余为太阳距春分赤道度两数相加(加满全周去之)为春分距子正赤道度过半周者减半周余为春分距正午西赤道度不及半周者与半周相减余为春分距正午东赤道度距正午西过九十度者与半周相减余为秋分距正午东赤道度距正午东过九十度者与半周相减余为秋分距正午西赤道度以春秋分距正午东西赤道度与九十度相减余为春秋分距地平赤道度(春秋分为黄赤二道之交求得春秋分距地平赤道度则春秋分距地平黄道)(度与黄道地平交角皆可推矣然欲求春秋分距地平赤道度必先求春秋分距正午赤道度而欲求春)(秋分距正午赤道度必先求太阳距春分与距子正赤道度葢太阳赤道度起于冬至右旋时刻赤道度)(起于子正左旋故必于太阳赤道经度内减去三宫余为太阳距春分赤道度与时刻赤道度相加为春)(分距子正赤道度知春分距子正赤道度即知春分距正午前后赤道度或秋分距正午前后赤道度既)(得春秋分距正午赤道度而正午距地平又恒为九十度故以春秋分距正午赤道度与九十度相减得)(春秋分距地平赤道度也)求黄道地平交角以春秋分距地平赤道度为所知之一边黄赤交角二十三度二十九分三十秒及赤道地平交角(春分在正)(午西秋分在正午东用对赤道髙弧之角如京师为五十度零五分春分在正午东秋分在正午西则以)(赤道高弧与半周相减用其余如京师为一百二十九度五十五分)为所知之两角用斜弧三角形知两角一边而边在两角之间求对角之法求得对角春分在正午东秋分在正午西者则求得之角即为黄道地平交角春分在正午西秋分在正午东者则以求得之角与半周相减余为黄道地平交角(黄道地平交角者黄道与地平南半周相交之角即黄平象限距地平之髙也春分)(在正午东秋分在正午西则地平黄道在赤道北故求得对赤道之角即黄道与地平南半周相交之角)(春分在正午西秋分在正午东则地平黄道在赤道南故求得对赤道之角为黄道与地平北半周相交)(之交必与半周相减方为黄道与地平南相交之角也)求春秋分距地平黄道度以黄道地平交角之正弦为一率赤道地平交角之正弦为二率春秋分距地平赤道度之正弦为三率求得四率为春秋分距地平黄道度之正弦检表得春秋分距地平黄道度求太隂距春秋分黄道度春分在地平上者(或在正午前或在正午后皆为在地平上)以太隂黄道经度与三宫相减余为太隂距春分黄道度秋分在地平上者以太隂黄道经度与九宫相减余为太隂距秋分黄道度春秋分宫度大于太隂宫度为距春秋分前春秋分宫度小于太隂宫度为距春秋分后求太隂距地平黄道度春秋分在正午西者太隂在春秋分后则以太隂距春秋分黄道度与春秋分距地平黄道度相加太隂在春秋分前则以太隂距春秋分黄道度与春秋分距地平黄道度相减得太隂距地平黄道度春秋分在正午东者太隂在春秋分后则以太隂距春秋分黄道度与春秋分距地平黄道度相减太隂在春秋分前则以太隂距春秋分黄道度与春秋分距地平黄道度相加得太隂距地平黄道度求太隂距限春秋分在正午西者太隂距地平黄道度不及九十度为限西过九十度为限东春秋分在正午东者太隂距地平黄道度不及九十度为限东过九十度为限西求黄道髙弧交角以太隂距地平黄道度之余弦为一率半径一千万为二率黄道地平交角之余切线为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得黄道髙弧交角(此以上即日食求黄平象限及黄道髙弧交角之理因月食未论及黄平象限故用春秋分距地平及太)(隂距地平黄道度立算以从简易详交食厯理定月食方位篇与日食求黄平象限诸法可以参看)求初亏交周置食甚交周减初亏复圆距弧得初亏交周求复圆交周置食甚交周加初亏复圆距弧得复圆交周求初亏距纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率初亏交周之正弦为三率求得四率为初亏距纬之正弦检表得初亏距纬初亏交周初宫五宫为纬北六宫十一宫为纬南求复圆距纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率复圆交周之正弦为三率求得四率为复圆距纬之正弦检表得复圆距纬复圆交周初宫五宫为纬北六宫十一宫为纬南求初亏纬差角以并径之正弦为一率初亏距纬之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为初亏纬差角之正弦检表得初亏纬差角求复圆纬差角以并径之正弦为一率复圆距纬之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为复圆纬差角之正弦检表得复圆纬差角求初亏定交角太隂在限东者初亏纬南则以初亏纬差角与黄道髙弧交角相加初亏纬北则以初亏纬差角与黄道髙弧交角相减得初亏定交角太隂在限西者初亏纬南则以初亏纬差角与黄道髙弧交角相减初亏纬北则以初亏纬差角与黄道髙弧交角相加得初亏定交角如初亏无距纬则无初亏纬差角而黄道髙弧交角即初亏定交角求复圆定交角太隂在限东者复圆纬南则以复圆纬差角与黄道髙弧交角相减复圆纬北则以复圆纬差角与黄道髙弧交角相加得复圆定交角太隂在限西者复圆纬南则以复圆纬差角与黄道髙弧交角相加复圆纬北则以复圆纬差角与黄道髙弧交角相减得复圆定交角如复圆无距纬则无复圆纬差角而黄道髙弧交角即复圆定交角求初亏方位太隂在限东者初亏定交角在四十五度以内为下偏左在四十五度以外为左偏下适足九十度为正左过九十度为左偏上太隂在限西者初亏定交角在四十五度以内为上偏左在四十五度以外为左偏上适足九十度亦为正左过九十度为左偏下求复圆方位太隂在限东者复圆定交角在四十五度以内为上偏右在四十五度以外为右偏上适足九十度为正右过九十度为右偏下太隂在限西者复圆定交角在四十五度以内为下偏右在四十五度以外为右偏下适足九十度亦为正右过九十度为右偏上(京师)(北极髙四十度故月食方位皆以黄平象限在天顶南而定若北极髙二十三度以下黄平象限有时在)(天顶北则月食方位之左右与此相反)求食限总时以初亏复圆距时倍之得食限总时(食限总时者初亏至复圆之时)(刻也初亏距食甚与食甚距复圆其时分恒相等故以初亏复圆距时倍之即得食限总时也)用表推月食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔诸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微进一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朢太隂交周用交食朔朢䇿表察正月太隂交周朢䇿宫度分秒与首朔太隂交周相加得正月朢太隂交周以下递加交周朔䇿一宫零四十分一十四秒得逐月朢太隂交周求入交月数逐月朢太隂交周自初宫初度至初宫一十四度五十四分自五宫一十五度零六分至六宫一十四度五十四分自十一宫一十五度零六分至十一宫三十度皆为太隂入交第㡬月入交即第㡬月有食推平朢诸平行第一求首朔诸根用交食首朔诸根表察本年首朔日时分秒得首朔根察本年太阳平行宫度分秒得太阳平行根察本年太阳引数宫度分秒得太阳引数根察本年太隂引数宫度分秒得太阴引数根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察纪日求诸朢䇿用交食朔朢䇿表察本月朢䇿日时分秒得朢䇿察本月太阳平行朢䇿宫度分秒得太阳平行朢䇿察本月太阳引数朢䇿宫度分秒得太阳引数朢䇿察本月太隂引数朢䇿宫度分秒得太阴引数朢䇿察本月太阴交周朢䇿宫度分秒得太阴交周朢䇿求平朢以首朔根纪日朢䇿三数相加其日满纪法六十去之得平朢自初日甲子起算得平朢干支自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初每十五分收为一刻不足一刻者为零分得平望时分秒求平朢太阳平行以太阳平行根与太阳平行朢䇿相加得平望太阳平行求平望太阳引数以太阳引数根与太阳引数朢䇿相加得平望太阳引数求平望太隂引数以太隂引数根与太隂引数望䇿相加得平望太隂引数求平望太隂交周以太隂交周根与太隂交周望䇿相加得平望太隂交周推日月相距第二求太阳均数用日躔太阳均数表以平朢太阳引数宫度分察其所对之度分秒得太阳均数并记加减号求太隂均数用月离太隂初均数表以平望太隂引数宫度分察其所对之度分秒得太隂均数并记加减号求距弧太阳太隂两均数同为加或同为减者则相减得距弧一为加一为减者则相加得距弧求距时用交食周日诸平行表以距弧度分秒察月距日相当之数取其所对之时分秒得距时凡太阳太隂两均数同为加者太阳加均大则距时为加太阳加均小则距时为减同为减者太阳减均大则距时为减太阳减均小则距时为加一为加一为减者太阳为加均则距时为加太阳为减均则距时为减推实引第三求太阳引弧用交食周日诸平行表以距时之时分秒各察其与太阳平行相对之数而并之得太阳引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减(太阳每日之最卑行不过十分秒之一则)(太阳引数畧与太阳平行同故求太阳引弧即用太阳平行也)求太隂引弧用交食周日诸平行表以距时之时分秒各察其与太隂引数相对之数而并之得太隂引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太阳实引置平望太阳引数加减太阳引弧得太阳实引求太隂实引置平望太隂引数加减太隂引弧得太隂实引推实望第四求太阳实均用日躔太阳均数表以太阳实引宫度分察其所对之度分秒得太阳实均并记加减号求太隂实均用月离太隂初均数表以太隂实引宫度分察其所对之度分秒得太隂实均并记加减号求实距弧太阳太隂两实均同为加或同为减者则相减得实距弧一为加一为减者则相加得实距弧求实距时用交食周日诸平行表以实距弧度分秒察月距日相当之数取其所对之时分秒得实距时定加减之法与距时同求实望置平望加减实距时得实望加满二十四时则实望进一日不足减者借一日作二十四时则实望退一日推实交周第五求交周距弧用交食周日诸平行表以实距时之时分秒各察其与太隂交周相对之数而并之得交周距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实望平交周置平望太隂交周加减交周距弧得实望平交周求实望实交周置实望平交周加减太隂实均得实望实交周自初宫初度至初宫一十二度一十六分五十五秒自五宫一十七度四十三分零五秒至六宫一十二度一十六分五十五秒自十一宫一十七度四十三分零五秒至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算推太阳实经第六求太阳距弧用交食周日诸平行表以实距时之时分秒各察其与太阳平行相对之数而并之得太阳距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实望太阳平行置平望太阳平行加减太阳距弧得实望太阳平行求太阳黄道经度置实望太阳平行加减太阳实均得太阳黄道经度求太阳赤道经度用日躔黄赤升度表以太阳黄道经度察其所对之赤道宫度分秒得太阳赤道经度推实望用时第七求均数时差用日躔均数时差表以太阳实引宫度察其所对之分秒得均数时差并记加减号求升度时差用日躔升度时差表以太阳黄道经度察其所对之分秒得升度时差并记加减号求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实望用时置实望加减时差总得实望用时距日出后日入前九刻以内者可以见食九刻以外者则全在画即不必算推食甚距纬食甚时刻第八求食甚距纬用交食黄白距度表以实望实交周宫度分察其所对之度分秒得食甚距纬并记南北号(交食黄白距度表乃以白)(道经度求黄道纬度与黄道成直角若以黄道经度察表则其所得为白道纬度与白道成直角今实望)(实交周宫度与地影心距交之黄道度等故察表即得白道纬度而为食甚之距纬也)求交周升度差用月离黄白升度差表以实望实交周宫度察其所对之分秒得交周升度差并记加减号(月离黄白升度差表乃以)(白道经度求黄道升度差若以黄道经度察表则其所得为白道升度差今实望实交周与地影心距交)(之黄道度等故察表即得交周白道升度差也)求食甚交周实望实交周加减交周升度差得食甚交周(前法先得食甚)(交周而后相减得交周升度差此用表法先得交周升度差而后相减得食甚交周其理一也)求月距日实行用交食月距日实行表以太隂实引宫度察其所对之分秒得月距日实行求食甚距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率交周升度差化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距时交周升度差为加者亦为加交周升度差为减者亦为减求食甚时刻置实望用时加减食甚距时得食甚时刻命时之法与平望同推食分第九求太隂半径用交食视半径表以太隂实引宫度察其与月半径相对之分秒得太隂半径求地影半径用交食视半径表以太隂实引宫度察其与影半径相对之分秒得地影半径求影差用交食视半径表以太阳实引宫度察其与影差相对之分秒得影差求实影半径置地影半径减影差得实影半径(地影半径表乃以太阳在最髙所生)(之大影立算若太阳不在最髙者其影皆有微差故以太阳引数宫度察得影差以减地影半径方为实)(影半径不用求日月距地者因以引数察表则距地之髙卑已在其中也)求并径以太隂半径与实影半径相加得并径求食分以太隂半径倍之为一率十分为二率并径内减食甚距纬余为三率求得四率即食分推初亏复圆时刻第十求初亏复圆距弧用交食月行表以并径分及食甚距纬分察其所对之分秒得初亏复圆距弧求初亏复圆距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏时刻置食甚时刻减初亏复圆距时得初亏时刻不足减者加二十四时减之初亏即在前一日命时之法与平望同求复圆时刻置食甚时刻加初亏复圆距时得复圆时刻加满二十四时去之复圆即在次日命时之法与平望同推食既生光时刻第十一求食既生光距弧用交食月行表以实影半径内减太隂半径之余分及食甚距纬分察其所对之分秒得食既生光距弧求食既生光距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率食既生光距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得食既生光距时求食既时刻置食甚时刻减食既生光距时得食既时刻不足减者加二十四时减之食既即在前一日命时之法与平望同求生光时刻置食甚时刻加食既生光距时得生光时刻加满二十四时去之生光即在次日命时之法与平望同推太隂经纬宿度第十二求黄白升度差用月离黄白升度差表以食甚交周宫度察其所对之分秒得黄白升度差并记加减号求太隂黄道经度置太阳黄道经度加减六宫(过六宫者减六宫不及六宫者加六宫)再加减交周升度差又加减黄白升度差得太隂黄道经度求太隂黄道纬度用交食黄白距度表以食甚交周宫度分察其所对之度分秒得太隂黄道纬度求太隂黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察太隂黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为太隂黄道宿度求太隂赤道经度用黄赤经纬互推表以太隂黄道经度及太隂黄道纬度察其所对之宫度分秒得太隂赤道经度求太隂赤道纬度用黄赤经纬互推表以太隂黄道经度及太隂黄道纬度察其所对之度分秒得太隂赤道纬度求太隂赤道宿度依恒星歴理求得本年赤道宿钤察太隂赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为太隂赤道宿度推月食方位及食限总时求春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以食甚时刻加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距正午后时分两数相加(加满二十)(四时去之用其余)得春分距午时分(春分距午时分者食甚时春分距正午后赤道)(度所变之时分也不用度数而用时分者为与食甚时刻相应也前法以距地平上立算或春分在地平)(上或秋分在地平上故求春分或秋分距地平赤道度此用表法以距正午后立算或在地平上或在地)(平下皆自春分起数故止求春分距午时分也)求月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数为黄平象限宫度与太隂黄道经度相减余为月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度太于黄平象限宫度者为限东小于黄平象限宫度者为限西(月距限者太隂距黄)(平象限之度分也宫数之次皆自西而东故太隂黄道经度大于黄平象限宫度者为限东小于黄平象)(限宫度者为限西也)求限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以春分距正午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得限距地髙求黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以月距限及限距地髙之度察其所对之度分秒得黄道髙弧交角求初亏交周置食甚交周减初亏复圆距弧得初亏交周求复圆交周置食甚交周加初亏复圆距弧得复圆交周求初亏距纬用交食黄白距度表以初亏交周宫度察其所对之度分秒得初亏距纬并记南北号求复圆距纬用交食黄白距度表以复圆交周宫度察其所对之度分秒得复圆距纬并记南北号求初亏纬差角用交食纬差角表以并径分及初亏距纬分察其所对之度分得初亏纬差角求复圆纬差角用交食纬差角表以并径分及复圆距纬分察其所对之度分得复圆纬差角以下求定交角及方位并食限总时皆与前法同推各省月食法求各省月食时刻以京师月食时刻按各省东西偏度加减之(与推各省节气)(时刻加减法同)得各省月食时刻求各省月食方位以各省赤道髙度及各省食甚时刻依京师推月食方位法算之得各省月食方位推月食带食法求带食距时以本日日出或日入时分与食甚时分相减余为带食距时(带食距时者太隂出入地平距食甚之时刻也月食日月相对则日出时刻即月入时刻)(日入时刻即月出时刻故初亏或食甚在日入前者为带食出地食甚或复圆在日出后者为带食入地)(带食出地者则以日入时分与食甚时分相减余为带食距时带食入地者则以日出时分与食甚时分)(相减余为带食距时各省带食以各省日出入时刻及各省食甚时刻算之)求带食距弧以三千六百秒为一率一小时月距日实行化秒为二率(即推月食所用月距日实行也)带食距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得带食距弧(带食距弧者太隂出入地平距食甚)(之行度也初亏复圆以距弧求距时带食以距时求距弧其理同也)求带食两心相距以半径一千万为一率带食距弧之余切线为二率食甚距纬之余弦为三率求得四率为两心相距之余切线检表得带食两心相距(带食两心相距者带食时太隂心与地影)(心相距之度也初亏复圆以并径斜距之度与距纬求距弧之白道度带食以距弧之白道度与距纬求)(两心斜距之度其理同也)求带食分秒以太隂半径倍之为一率十分为二率并径内减带食两心相距余为三率求得四率即带食分秒(带食分秒)(者太隂出入地平时与地影相掩之分数为太隂全径十分中之几分也食甚两心相距即距纬故于并)(径内减距纬为三率带食则于并径内减带食两心相距为三率其理同也)定望推平望法康熙六十年辛丑十一月十五日壬寅望月食初亏戌正初刻十二分二十四秒零四微食甚亥正一刻四分零一秒零六微复圆十六日子正一刻十分三十八秒零八微食甚时太阳赤道经度初宫一十三度零六分零九秒一十六微太阳平行过冬至一十一度五十三分四十九秒四十一微(自厯元甲子年天正冬至次日)(子正初刻至本日食甚时刻计一万三千八百九十日九二九八七三八与太阳每日平行相乗加厯元)(甲子年天正冬至次曰子正初刻太阳平行遇冬至二十分一十九秒一十八微即得)太阳引数过最卑四度零四分五十二秒一十二微(以食甚距厯元)(日分与最卑每日平行相乗加厯元甲子年最卑应得数与食甚太阳平行相减即得)太隂引数过最髙十一宫一十八度三十七分五十六秒四十四微(自崇祯戊辰年首朔至本日食甚时刻计三万四千三百二十九日二四五五五六二与)(太隂每日自行相乗加崇祯戊辰年首朔太隂遇最髙一宫零七度三十四分三十四秒即得)太阳实均加八分五十六秒五十四微太隂实均加五十六分四十三秒四十四微太隂半径一十五分五十七秒五十七微地影半径四十二分三十九秒五十二微一小时月距日实行二十七分四十五秒四十四微推得初亏复圆距弧五十八分三十五秒一十九微食甚距纬在黄道北二分一十二秒三十八微食甚交周为初宫初度二十五分二十二秒五十六微实望实交周为初宫初度二十五分二十八秒三十九微交周升度差五秒四十三微食甚距时减一十二秒二十二微则实望用时为亥正一刻四分一十三秒二十八微均数时差减三十五秒四十八微升度时差减四分一十二秒四十二微则实望为亥正一刻九分零一秒五十八微实距时减一时三十四分零三秒五十八微则平望为夜子初三刻一十三分零五秒五十六微以食甚时刻与平望时刻相减得平望在食甚后一时三十九分零四秒五十微乃以食甚距平望时分之太阳平行四分零四秒零九微与食甚太阳平行相加得平望太阳平行为初宫一十一度五十七分五十三秒五十微加六宫得平望太隂平行为六宫一十一度五十七分五十三秒五十微以食甚距平望之太阳引数四分零四秒零八微与食甚太阳引数相加得平望太阳引数过最卑四度零八分五十六秒二十微以食甚距平望之太隂引数五十三分五十六秒一十五微与食甚太隂引数相加得平望太隂引数过最髙十一宫一十九度三十一分五十二秒五十九微又以实距时一时三十四分零三秒五十八微求得交周距弧五十一分五十一秒零六微与实望实交周相加(因平望求)(实望为减则实望求平望为加)得实望平交周初宫一度一十八分一十九秒四十五微减太隂实均五十六分四十三秒四十四微得平望交周初宫初度二十分三十六秒零一微又置平望太隂平行减平望交周得平望正交过冬至六宫一十一度三十七分一十七秒四十九微置平望太隂平行减平望太隂引数得平望月孛过冬至六宫二十二度二十六分零五十一微御制厯象考成下编卷三
## 下编卷四
钦定四库全书御制厯象考成下编卷四日食厯法推日食用数推日食法用表推日食法推各省日食法推日食带食法推日食用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十朔策二十九日五三○五九三太阳平行朔策一十万四千七百八十四秒小余三○四三二四太阳引数朔策一十万四千七百七十九秒小余三五八八六五太隂引数朔策九万二千九百四十秒小余二四八五九太隂交周朔䇿一十一万零四百一十四秒小余○一六五七四一小时太阳平行一百四十七秒小余八四七一○四九一小时太阳引数一百四十七秒小余八四○一二七一小时太隂引数一千九百五十九秒小余七四七六五四二一小时太隂交周一千九百八十四秒小余四○二五四九一小时月距日平行一千八百二十八秒小余六一二一一○八太阳本天半径一千万太阳本轮半径二十六万八千八百一十二太阳均轮半径八万九千六百零四太隂本天半径一千万太隂本轮半径五十八万太隂均轮半径二十九万太隂次均轮半径一十一万七千五百太阳实半径五百零七(太阳实半径为地半径之五倍又百分之七今推日食命)(地半径为一百分故太阳实半径即为五百零七也)太隂实半径二十七太阳最髙距地一千零一十七万九千二百零八与地半径之比例为一十一万六千二百太隂最髙距地一千零一十七万二千五百与地半径之比例为五千八百一十六黄赤大距二十三度二十九分三十秒黄白大距四度五十八分三十秒气应七日六五六三七四九二六纪日八朔应二十六日三八五二六六六首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四十二秒五十七微首朔太阳引数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微首朔太隂引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微首朔太隂交周应六宫初度三十分五十五秒一十四微推日食法推首朔诸平行及入交(推首朔诸平行及入交为日食入算之首其理与月食同但日食在朔故皆不用朢䇿)求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求纪日以天正冬至日数加一日得纪日求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求通朔置积日减朔应二十六日三八五二六六六得通朔上考往古则置积日加朔应得通朔求积朔及首朔置通朔以朔䇿二十九日五三○五九三除之得数加一为积朔余数与朔䇿相减为首朔上考往古则置通朔以朔䇿除之得数为积朔余数为首数求首朔太阳平行以积朔与太阳平行朔䇿一十万四千七百八十四秒三○四三二四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太阳平行加首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四十二秒五十七微得首朔太阳平行上考往古则置首朔太阳平行应减积朔太阳平行得首朔太阳平行求首朔太阳引数以积朔与太阳引数朔策一十万四千七百七十九秒三五八八六五相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太阳引数加首朔太阳引数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微得首朔太阳引数上考往古则置首朔太阳引数应减积朔太阳引数得首朔太阳引数求首朔太隂引数以积朔与太隂引数朔䇿九万二千九百四十秒二四八五九相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太隂引数加首朔太隂引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微得首朔太隂引数上考往古则置首朔太隂引数应减积朔太隂引数得首朔太隂引数求首朔太隂交周以积朔与太隂交周朔策一十一万零四百一十四秒○一六五七四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积朔太隂交周加首朔太隂交周应六宫初度三十分五十五秒一十四微得首朔太隂交周上考往古则置首朔太隂交周应减积朔太隂交周得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒零一微递加十三次得逐月朔太隂交周求太隂入交月数逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度五十二分自五宫九度零八分至六宫八度五十一分自十一宫二十一度零九分至十一宫三十度皆为太隂入交第几月入交即第几月有食(太隂距正交后中交前在黄道)(北可食之限二十度五十二分太隂距中交后正交前在黄道南可食之限八度五十一分故逐月朔太)(隂交周在此限以内者为入交详交食厯理太阳食限篇)推平朔诸平行第一(推平朔诸平行为日食第一段其理亦与月食同)求平朔以太隂入交月数与朔䇿二十九日五三○五九三相乘得数与本年首朔日分相加再加纪日满纪法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支以周日一千四百四十分通其小余得平朔时分秒求平朔太阳平行以太隂入交月数与太阳平行朔䇿一十万四千七百八十四秒三○四三二四相乘得数与本年首朔太阳平行相加得平朔太阳平行求平朔太阳引数以太隂入交月数与太阳引数朔䇿一十万四千七百七十九秒三五八八六五相乘得数与本年首朔太阳引数相加得平朔太阳引数求平朔太隂引数以太隂入交月数与太隂引数朔䇿九万二千九百四十秒二四八五九相乘得数与本年首朔太隂引数相加得平朔太隂引数推日月相距第二(推日月相距为日食第二段其理亦与月食同若两均加减同度分亦同则无距弧亦无距时而平)(朔即实朔详交食厯理朔朢有平实之殊篇)求太阳均数以平朔太阳引数依日躔求均数法算之得太阳均数引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减求太隂均数以平朔太隂引数依月离求初均数法算之得太隂均数引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加求距弧太阳太隂两均数同为加或同为减者则相减得距弧一为加一为减者则相加得距弧求距时以一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八为一率三千六百秒为二率距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得距时太阳太隂两均数同为加者太阳加均大则距时为加太阳加均小则距时为减同为减者太阳减均大则距时为减太阳减均小则距时为加一为加一为减者太阳为加均则距时为加太阳为减均则距时为减推实引第三(推实引为日食第三段其理亦与月食同)求太阳引弧以三千六百秒为一率一小时太阳引数一百四十七秒八四○一七二为二率距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得太阳引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太隂引弧以三千六百秒为一率一小时太隂引数一千九百五十九秒七四七六五四二为二率距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得太隂引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太阳实引置平朔太阳引数加减太阳引弧得太阳实引求太隂实引置平朔太隂引数加减太隂引弧得太隂实引推实朔第四(推实朔为日食第四段其理亦与月食同)求太阳实均以太阳实引依日躔求均数法算之得太阳实均实引初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求太阳距地心之边为求太阳距地之用求太隂实均以太隂实引依月离求初均数法算之得太隂实均实引初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求太隂距地心之边为求太隂距地之用求实距弧太阳太隂两实均同为加或同为减者则相减得实距弧一为加一为减者则相加得实距弧求实距时以一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八为一率三千六百秒为二率实距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得实距时定加减之法与距时同求实朔置平朔加减实距时得实朔加满二十四时则实朔进一日不足减者借一日作二十四时则实朔退一日推实交周第五(推实交周为日食第五段其理亦与月食同)求交周距弧以三千六百秒为一率一小时太隂交周一千九百八十四秒四○二五四九为二率实距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得交周距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实朔平交周置平朔太隂交周加减交周距弧得实朔平交周求实朔实交周置实朔平交周加减太隂实均得实朔实交周自初宫初度至初宫一十八度一十五分自五宫一十一度四十五分至六宫六度一十四分自十一宫二十三度四十六分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算(入限宫度乃实朔距交可食之限详交食厯理)(太阳食限篇)推太阳实经第六(推太阳实经为日食第六段后求黄平象限皆以太阳经度为根非但为求时差之用而己余与月)(食同)求太阳距弧以三千六百秒为一率一小时太阳平行一百四十七秒八四七一○四九为二率实距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得太阳距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实朔太阳平行置平朔太阳平行加减太阳距弧得实朔太阳平行求太阳黄道经度置实朔太阳平行加减太阳实均得太阳黄道经度求太阳赤道经度以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为二率太阳距春秋分黄道经度之正切线为三率(太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫)(者与九宫相减过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)求得四率为赤道经度之正切线检表得太阳距春秋分赤道经度以冬至起初宫命之得太阳赤道经度推实朔用时第七(推食朔用时为日食第七段其理亦与月食同)求均数时差以太阳实均变时得均数时差(一度变为四分十五分变为一分十五秒)(变为一秒)实均为加者则为减实均为减者则为加求升度时差以太阳黄道经度与太阳赤道经度相减余数变时得升度时差二分后为加二至后为减求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实朔用时置实朔加减时差总得实朔用时距日出前日入后五刻以内者可以见食五刻以外者则全在夜即不必算(分昼夜之法以一小时月距日实行二十七分四十三秒为一率六十分为二率最大日半径)(与最大月半径相并得三十二分二十三秒三十微为三率求得四率七十分收作五刻实朔在日入后)(五刻以内日入前可见初亏实朔在日出前五刻以内日出后可见复圆若五刻以外虽食分最大时刻)(最久亦不见食矣故不必算)推食甚实纬食甚用时第八(推食甚实纬食甚用时为日食第八段详交食厯理日食三限时刻及求日食食甚用时食甚交周)(食甚实纬篇)求食甚实纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率实朔实交周之正弦为三率求得四率为食甚实纬之正弦检表得食甚实纬实交周初宫五宫为北六宫十一宫为南求食甚交周以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之余弦为二率实朔实交周之正切线为三率求得四率为食甚交周之正切线检表得食甚交周求交周升度差以食甚交周与实朔实交周相减得交周升度差求月距日实行以一小时太隂引数与太隂实引相加依月离求初均数法算之为后均数与太隂实均相加减(实均与后均同)(为加或同为减者则相减一为加一为减者则相加)得数与一小时月距日平行一千八百二十八秒六一二一一○八相加减(实均)(与后均同为加者后均加数大则加后均加数小则减同为减者后均减数大则减后均减数小则加一)(为加一为减者后均加则加后均减则减)得月距日实行求食甚距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率交周升度差化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距时食甚交周五宫十一宫为加初宫六宫为减求食甚用时置实朔用时加减食甚距时食甚用时推食甚近时第九(推食甚近时为日食第九段详交食厯理求食甚真时及食甚视纬篇)求用时春分距午赤道度以太阳赤道经度减三宫(不足减者加十二宫减之)为太阳距春分后赤道度又以食甚用时变赤道度(一小时变为十五度一分)(变为十五分一秒变为十五秒)加减半周(不及半周则加半周过半周则减半周)为太阳距正午后赤道度两数相加(加满全周去之用其余)得用时春分距午赤道度(用时春分距午赤道度专以距午后立算盖太阳赤道度自西而东)(时刻赤道度自东而西时刻既以距午后起算则太阳在正午之西太阳又以距春分后起算则春分更)(在太阳之西故两数相加得春分距午后赤道度也后倣此)求用时春秋分距午赤道度用时春分距午赤道度不过象限者其度数即为春分距午西赤道度过一象限者则与半周相减余为秋分距午东赤道度过二象限者则减去二象限余为秋分距午西赤道度过三象限者则与全周相减余为春分距午东赤道度(用时春秋分距午赤道度专以地平上立算不论距)(午东西如春分距午不过象限则春分仍在地平上故其度数即为春分距午西赤道度过一象限则春)(分在地平下而在子正前春分既在子正前则秋分必在午正前故与半周相减余为秋分距午东赤道)(度也他倣此)求用时春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为一率半径一千万为二率用时春秋分距午赤道度之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得用时春秋分距午黄道度求用时正午黄赤距纬以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦为二率用时春秋分距午黄道度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得用时正午黄赤距纬求用时黄道与子午圈交角以用时春秋分距午黄道度之正弦为一率半径一千万为二率用时春秋分距午赤道度之正弦为三率求得四率为黄道与子午圏交角之正弦检表得用时黄道与子午圏交角求用时正午黄道宫度春分在午西者以用时春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以用时春秋分距午黄道度加九宫春分在午东者以用时春秋分距午黄道度与三宫相减秋分在午东者以用时春秋分距午黄道度与九宫相减得用时正午黄道宫度(春分在午西则正午黄道当春分后)(故加春分距冬至之三宫仍自冬至初宫起算得用时正午黄道宫度也他倣此)求用时正午黄道髙用时正午黄道宫度三宫至八宫则以用时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相加用时正午黄道宫度九宫至二宫则以用时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相减得用时正午黄道髙(正午黄道宫度三宫至八宫则在春分后秋分前距赤道北故加九宫至二宫则在秋分后春)(分前距赤道南故减)求用时黄平象限距午度分以用时黄道与子午圏交角之余弦为一率半径一千万为二率用时正午黄道髙之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与九十度相减余为用时黄平象限距午度分求用时黄平象限宫度用时正午黄道宫度初宫至五宫则以用时黄平象限距午度分与用时正午黄道宫度相加用时正午黄道宫度六宫至十一宫则以用时黄平象限距午度分与用时正午黄道宫度相减得用时黄平象限宫度(正午黄道宫度初宫至五宫则冬至后宫度当正午而黄极在子午圈之西黄平象限必在子)(午圈之东故加正午黄道宫度六宫至十一宫则夏至后宫度当正午而黄极在子午圈之东黄平象限)(必在子午圈之西故减用时正午黄道髙过九十度者加减反是)求用时月距限以太阳黄道经度与用时黄平象限宫度相减余为月距限度(有一宫作三十度)太阳黄道经度大于用时黄平象限宫度者为限东小于用时黄平象限宫度者为限西求用时限距地髙以半径一千万为一率用时黄道与子午圏交角之正弦为二率用时正午黄道髙之余弦为三率求得四率为限距地髙之余弦检表得用时限距地髙求用时太隂髙弧以半径一千万为一率用时限距地髙之正弦为二率用时月距限之余弦为三率求得四率为太隂髙弧之正弦检表得用时太隂髙弧求用时黄道髙弧交角以用时月距限之正弦为一率用时限距地髙之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得用时黄道髙弧交角(以上)(并详交食厯理求黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧篇)求用时白道髙弧交角置用时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫用时月距限东则加月距限西则减食甚交周为五宫六)(宫用时月距限东则减月距限西则加)得用时白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为用时白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北(详交食厯理求白平象限及白道髙弧交角并太隂髙弧篇)求太阳距地以太阳最髙距地一千零一十七万九千二百零八为一率地半径比例数一十一万六千二百为二率太阳距地心之边为三率求得四率即太阳距地求太隂距地以太隂最髙距地一千零一十七万二千五百为一率地半径比例数五千八百一十六为二率太隂距地心之边内减次均轮半径一十一万七千五百余为三率求得四率即太隂距地求用时髙下差以地半径一百为一边太阳距地为一边用时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太阳地半径差又以地半径一百为一边太隂距地为一边用时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太隂地半径差两地半径差相减余为用时髙下差(日食时太阳与太隂同度其髙弧畧等故借用)(之其求髙下差之理详日躔月离地半径差及交食厯理日食三差篇)求用时东西差以半径一千万为一率用时白道髙弧交角之余弦为二率用时髙下差之正切线为三率求得四率为东西差之正切线检表得用时东西差(详交食厯理求东西南北)(差篇)求近时距分以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率用时东西差化秒为三率求得四率为秒以时分收之得近时距分用时月距限西为加月距限东为减(以用)(时白道髙弧交角变限不变限为定)求食甚近时置食甚用时加减近时距分得食甚近时推食甚真时第十(推食甚真时为日食第十段盖近时既与用时不同则近时之东西差亦必与用时不同故又以近)(时春分距午赤道度求近时东西差以定视行惟于太阳距春分后赤道度与太阳距地太隂距地)(仍用前数者因用时与近时之太阳行度所差甚微其距地之差可以不计太隂行度虽或差至数)(十分而太隂距地之闗于髙下差者亦相去不逺故仍用前数)求近时春分距午赤道度以食甚近时变赤道度加减半周(不及半周则加半周过半周则减半)(周)与太阳距春分后赤道度相加(太阳距春分后赤道度即前求用时)(春分距午赤道度条内所得之数)得近时春分距午赤道度(加满全周去之)(用其余)求近时春秋分距午赤道度近时春分距午赤道度不过象限者其度数即为春分距午西赤道度过一象限者则与半周相减余为秋分距午东赤道度过二象限者则减去二象限余为秋分距午西赤道度过三象限者则与全周相减余为春分距午东赤道度求近时春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为一率半径一千万为二率近时春秋分距午赤道度之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得近时春秋分距午黄道度求近时正午黄赤距纬以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦为二率近时春秋分距午黄道度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得近时正午黄赤距纬求近时黄道与子午圏交角以近时春秋分距午黄道度之正弦为一率半径一千万为二率近时春秋分距午赤道度之正弦为三率求得四率为黄道与子午圏交角之正弦检表得近时黄道与子午圏交角求近时正午黄道宫度春分在午西者以近时春秋分距午黄道度加三宫秋分在午西者以近时春秋分距午黄道度加九宫春分在午东者以近时春秋分距午黄道度与三宫相减秋分在午东者以近时春秋分距午黄道度与九宫相减得近时正午黄道宫度求近时正午黄道髙近时正午黄道宫度三宫至八宫则以近时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相加近时正午黄道宫度九宫至二宫则以近时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相减得近时正午黄道髙求近时黄平象限距午度分以近时黄道与子午圏交角之余弦为一率半径一千万为二率近时正午黄道髙之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与九十度相减余为近时黄平象限距午度分求近时黄平象限宫度近时正午黄道宫度初宫至五宫则以近时黄平象限距午度分与近时正午黄道宫度相加近时正午黄道宫度六宫至十一宫则以近时黄平象限距午度分与近时正午黄道宫度相减得近时黄平象限宫度(近时正午黄道髙过九十度者加减反是)求近时月距限置太阳黄道经度加减用时东西差(近时距分加者亦为加近时距)(分减者亦为减)得近时太隂黄道经度与近时黄平象限宫度相减余为近时月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度大于近时黄平象限宫度为距限东小于近时黄平象限宫度为距限西(用时太隂与太阳同度故即以太阳黄道经度与用时黄)(平象限宫度相减为用时月距限度既因东西差而变用时为近时则太阳在限西者太隂实在太阳之)(东太阳在限东者太隂实在太阳之西故加减用时东西差为近时太隂黄道经度以此求太隂髙弧及)(黄道髙弧交角得数又为亲切也)求近时限距地髙以半径一千万为一率近时黄道与子午圏交角之正弦为二率近时正午黄道髙之余弦为三率求得四率为限距地髙之余弦检表得近时限距地髙求近时太隂髙弧以半径一千万为一率近时限距地髙之正弦为二率近时月距限之余弦为三率求得四率为太隂髙弧之正弦检表得近时太隂髙弧求近时黄道髙弧交角以近时月距限之正弦为一率近时限距地髙之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得近时黄道髙弧交角求近时白道髙弧交角置近时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(加减与用时白道髙弧交角同)得近时白道髙弧交角求近时髙下差以地半径一百为一边太阳距地为一边近时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太阳地半径差又以地半径一百为一边太隂距地为一边近时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太隂地半径差两地半径差相减余为近时髙下差求近时东西差以半径一千万为一率近时白道髙弧交角之余弦为二率近时髙下差之正切线为三率求得四率为东西差之正切线检表得近时东西差求食甚视行以用时东西差倍之减近时东西差余为食甚视行求真时距分以食甚视行化秒为一率近时距分化秒为二率用时东西差化秒为三率求得四率为秒以时分收之得真时距分加减号与近时距分同求食甚真时置食甚用时加减真时距分得食甚真时推食分第十一(推食分为日食第十一段详交食厯理求食甚真时及食甚视纬并日食分秒篇)求真时春分距午赤道度以食甚真时变赤道度加减半周(不反半周则加半周过半周则减半)(周)与太阳距春分后赤道度相加得真时距午赤道度(加满全用去之用其余)求真时春秋分距午赤道度真时春分距午赤道度不过象限者其度数即为春分距午西赤道度过一象限者则与半周相减余为秋分距午东赤道度过二象限者则减去二象限余为秋分距午西赤道度过三象限者则与全周相减余为春分距午东赤道度求真时春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为一率半径一千万为二率真时春秋分距午赤道度之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得真时春秋分距午黄道度求真时正午黄赤距纬以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦为二率真时春秋分距午黄道度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得真时正午黄赤距纬求真时黄道与子午圏交角以真时春秋分距午黄道度之正弦为一率半径一千万为二率真时春秋分距午赤道度之正弦为三率求得四率为黄道与子午圏交角之正弦检表得真时黄道与子午圏交角求真时正午黄道宫度春分距午西者以真时春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以真时春秋分距午黄道度加九宫春分距午东者以真时春秋分距午黄道度与三宫相减秋分距午东者以真时春秋分距午黄道度与九宫相减得真时正午黄道宫度求真时正午黄道髙真时正午黄道宫度三宫至八宫则以真时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相加真时正午黄道宫度九宫至二宫则以真时正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相减得真时正午黄道髙求真时黄平象限距午度分以真时黄道与子午圈交角之余弦为一率半径一千万为二率真时正午黄道髙之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与九十度相减余为真时黄平象限距午度分求真时黄平象限宫度真时正午黄道宫度初宫至五宫则以真时黄平象限距午度分与真时正午黄道宫度相加真时正午黄道宫度六宫至十一宫则以真时黄平象限距午度分与真时正午黄道宫度相减得真时黄平象限宫度(真时正午黄道髙过九十度者加减反是)求真时月距限置太阳黄道经度加减近时东西差(真时距分加者亦为加真时距)(分减者亦为减)得真时太隂黄道经度与真时黄平象限宫度相减余为真时月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度大于真时黄平象限宫度为距限东小于真时黄平象限宫度为距限西求真时限距地髙以半径一千万为一率真时黄道与子午圏交角之正弦为二率真时正午黄道髙之余弦为三率求得四率为限距地髙之余弦检表得真时限距地髙求真时太隂髙弧以半径一千万为一率真时限距地髙之正弦为二率真时月距限之余弦为三率求得四率为太隂髙弧之正弦检表得真时太隂髙弧求真时黄道髙弧交角以真时月距限之正弦为一率真时限距地髙之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得真时黄道髙弧交角求真时白道髙弧交角置真时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(加减与用时白道髙弧交角同)得真时白道髙弧交角求真时髙下差以地半径一百为一边太阳距地为一边真时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太阳地半径差又以地半径一百为一边太隂距地为一边真时太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太隂地半径差两地半径差相减余为真时髙下差求真时东西差以半径一千万为一率真时白道髙弧交角之余弦为二率真时髙下差之正切线为三率求得四率为东西差之正切线检表得真时东西差求真时南北差以半径一千万为一率真时白道髙弧交角之正弦为二率真时髙下差之正弦为三率求得四率为南北差之正弦检表得真时南北差求食甚视纬置食甚实纬加减真时南北差得食甚视纬白平象限在天顶南者实纬在黄道南则加而视纬仍为南实纬在黄道北则减而视纬仍为北若实纬在黄道北而南北差大于实纬则反减而视纬即变为南白平象限在天顶北者实纬在黄道北则加而视纬仍为北实纬在黄道南则减而视纬仍为南若实纬在黄道南而南北差大于实纬则反减而视纬即变为北求太阳半径以太阳距地为一率太阳实半径五百零七为二率半径一千万为三率求得四率为太阳半径之正弦检表得太阳半径求太隂半径以太隂距地为一率太隂实半径二十七为二率半径一千万为三率求得四率为太隂半径之正弦检表得太隂半径求并径以太阳半径与太隂半径相加得并径求食分以太阳半径倍之为一率十分为二率并径内减食甚视纬余为三率求得四率即食分推初亏真时第十二(推初亏真时为日食第十二段详交食厯理求初亏复圆用时及求初亏复圆真时篇)求初亏复圆距弧以食甚视纬之余弦为一率并径之余弦为二率半径一千万为三率求得四率为初亏复圆距弧之余弦检表得初亏复圆距弧求初亏复圆距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏用时置食甚真时减初亏复圆距时得初亏用时求初亏春分距午赤道度以初亏用时变赤道度加减半周(不及半周则加半周过半周则减半)(周)与太阳距春分后赤道度相加得初亏春分距午赤道度(加满全周去之用其余)求初亏春秋分距午赤道度初亏春分距午赤道度不过象限者其度数即为春分距午西赤道度过一象限者则与半周相减余为秋分距午东赤道度过二象限者则减去二象限余为秋分距午西赤道度过三象限者则与全周相减余为春分距午东赤道度求初亏春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为一率半径一千万为二率初亏春秋分距午赤道度之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得初亏春秋分距午黄道度求初亏正午黄赤距纬以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦为二率初亏春秋分距午黄道度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得初亏正午黄赤距纬求初亏黄道与子午圏交角以初亏春秋分距午黄道度之正弦为一率半径一千万为二率初亏春秋分距午赤道度之正弦为三率求得四率为黄道与子午圏交角之正弦检表得初亏黄道与子午圏交角求初亏正午黄道宫度春分距午西者以初亏春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以初亏春秋分距午黄道度加九宫春分距午东者以初亏春秋分距午黄道度与三宫相减秋分距午东者以初亏春秋分距午黄道度与九宫相减得初亏正午黄道宫度求初亏正午黄道髙初亏正午黄道宫度三宫至八宫则以初亏正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相加初亏正午黄道宫度九宫至二宫则以初亏正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相减得初亏正午黄道髙求初亏黄平象限距午度分以初亏黄道与子午圏交角之余弦为一率半径一千万为二率初亏正午黄道髙之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与九十度相减余为初亏黄平象限距午度分求初亏黄平象限宫度初亏正午黄道宫度初宫至五宫则以初亏黄平象限距午度分与初亏正午黄道宫度相加初亏正午黄道宫度六宫至十一宫则以初亏黄平象限距午度分与初亏正午黄道宫度相减得初亏黄平象限宫度(初亏正午黄道髙过九十度者加减反是)求初亏月距限置太阳黄道经度减初亏复圆距弧又加减真时东西差(真时距分加者亦为加真时距分减者亦为减)得初亏太隂黄道经度与初亏黄平象限宫度相减余为初亏月距限度太隂黄道经度大于初亏黄平象限宫度为距限东小于初亏黄平象限宫度为距限西求初亏限距地髙以半径一千万为一率初亏黄道与子午圏交角之正弦为二率初亏正午黄道髙之余弦为三率求得四率为限距地髙之余弦检表得初亏限距地髙求初亏太隂髙弧以半径一千万为一率初亏限距地髙之正弦为二率初亏月距限之余弦为三率求得四率为太隂髙弧之正弦检表得初亏太隂髙弧求初亏黄道髙弧交角以初亏月距限之正弦为一率初亏限距地髙之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得初亏黄道髙弧交角求初亏白道髙弧交角置初亏黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫初亏月距限宫则加月距限西则减食甚交周为五宫六)(宫初亏月距限东则减月距限西则加)得初亏白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为初亏白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北求初亏髙下差以地半径一百为一边太阳距地为一边初亏太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太阳地半径差又以地半径一百为一边太隂距地为一边初亏太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太隂地半径差两地半径差相减余为初亏髙下差求初亏东西差以半径一千万为一率初亏白道髙弧交角之余弦为二率初亏髙下差之正切线为三率求得四率为东西差之正切线检表得初亏东西差求初亏南北差以半径一千万为一率初亏白道髙弧交角之正弦为二率初亏髙下差之正弦为三率求得四率为南北差之正弦检表得初亏南北差求初亏视行初亏与食甚同在限东或同在限西者以初亏东西差与真时东西差相减为差分以加减初亏复圆距弧(初亏与食甚同在白平象限东初亏东西差大则以差分减初亏东西差小则以差分加初亏与食)(甚同在白平象限西初亏东西差大则以差分加初亏东西差小则以差分减)得初亏视行初亏在限东食甚在限西者以初亏东西差与食甚东西差相并为差分以减初亏复圆距弧得初亏视行求初亏距分以初亏视行化秒为一率初亏复圆距时化秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏距分求初亏真时置食甚真时减初亏距分得初亏真时推复圆真时第十三(推复圆真时为日食第十三段其理与初亏同)求复圆用时置食甚真时加初亏复圆距时得复圆用时求复圆春分距午赤道度以复圆用时变赤道度加减半周(不及半周则加半周过半周则减半)(周)与太阳距春分后赤道度相加得复圆春分距午赤道度(加满全周去之用其余)求复圆春秋分距午赤道度复圆春分距午赤道度不过象限者其度数即为春分距午西赤道度过一象限者则与半周相减余为秋分距午东赤道度过二象限者则减去二象限余为秋分距午西赤道度过三象限者则与全周相减余为春分距午东赤道度求复圆春秋分距午黄道度以黄赤大距二十三度二十九分三十秒之余弦为一率半径一千万为二率复圆春秋分距午赤道度之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得复圆春秋分距午黄道度求复圆正午黄赤距纬以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分三十秒之正弦为二率复圆春秋分距午黄道度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得复圆正午黄赤距纬求复圆黄道与子午圏交角以复圆春秋分距午黄道度之正弦为一率半径一千万为二率复圆春秋分距午赤道度之正弦为三率求得四率为黄道与子午圏交角之正弦检表得复圆黄道与子午圏交角求复圆正午黄道宫度春分距午西者以复圆春秋分距午黄道度加三宫秋分距午西者以复圆春秋分距午黄道度加九宫春分距午东者以复圆春秋分距午黄道度与三宫相减秋分距午东者以复圆春秋分距午黄道度与九宫相减得复圆正午黄道宫度求复圆正午黄道髙复圆正午黄道宫度三宫至八宫则以复圆正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相加复圆正午黄道宫度九宫至二宫则以复圆正午黄赤距纬与京师赤道髙五十度零五分相减得复圆正午黄道髙求复圆黄平象限距午度分以复圆黄道与子午圏交角之余弦为一率半径一千万为二率复圆正午黄道髙之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与九十度相减余为复圆黄平象限距午度分求复圆黄平象限宫度复圆正午黄道宫度初宫至五宫则以复圆黄平象限距午度分与复圆正午黄道宫度相加复圆正午黄道宫度六宫至十一宫则以复圆黄平象限距午度分与复圆正午黄道宫度相减得复圆黄平象限宫度(复圆正午黄道髙过九十度者加减反是)求复圆月距限置太阳黄道经度加初亏复圆距弧又加减真时东西差(真时距分加者亦为加真时距分减者亦为减)得复圆太隂黄道经度与复圆黄平象限宫度相减余为复圆月距限度太隂黄道经度大于复圆黄平象限宫度为距限东小于复圆黄平象限宫度为距限西求复圆限距地髙以半径一千万为一率复圆黄道与子午圏交角之正弦为二率复圆正午黄道髙之余弦为三率求得四率为限距地髙之余弦检表得复圆限距地髙求复圆太隂髙弧以半径一千万为一率复圆限距地髙之正弦为二率复圆月距限之余弦为三率求得四率为太隂髙弧之正弦检表得复圆太隂髙弧求复圆黄道髙弧交角以复圆月距限之正弦为一率复圆限距地髙之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道髙弧交角之正切线检表得复圆黄道髙弧交角求复圆白道髙弧交角置复圆黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫复圆月距限东则加月距限西则减食甚交周为五宫六)(宫复圆月距限东则减月距限西则加)得复圆白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为复圆白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北求复圆髙下差以地半径一百为一边太阳距地为一边复圆太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太阳地半径差又以地半径一百为一边太隂距地为一边复圆太隂髙弧与九十度相减为所夹之角求得对地半径之角为太隂地半径差两地半径差相减余为复圆髙下差求复圆东西差以半径一千万为一率复圆白道髙弧交角之余弦为二率复圆髙下差之正切线为三率求得四率为东西差之正切线检表得复圆东西差求复圆南北差以半径一千万为一率复圆白道髙弧交角之正弦为二率复圆髙下差之正弦为三率求得四率为南北差之正弦检表得复圆南北差求复圆视行复圆与食甚同在限东或同在限西者以复圆东西差与真时东西差相减为差分以加减初亏复圆距弧(复圆与食甚同在白平象限东复圆东西差大则以差分加复圆东西差小则以差分减复圆与食)(甚同在白平象限西复圆东西差大则以差分减复圆东西差小则以差分加)得复圆视行食甚在限东复圆在限西者以复圆东西差与食甚东西差相并为差分以减初亏复圆距弧得复圆视行求复圆距分以复圆视行化秒为一率初亏复圆距时化秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得复圆距分求复圆真时置食甚真时加复圆距分得复圆真时推太阳宿度第十四(推太阳宿度为日食第十四段其理与月食同)求太阳黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿铃察太阳黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为太阳黄道宿度求太阳赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿钤察太阳赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为太阳赤道宿度推日食方位及食限总时(推日食方位及食限总时其理亦与月食同但日食有视差故以视纬立算且初亏复圆各有黄道)(髙弧交角故各用本交角为更密耳)求初亏交周置食甚交周减初亏复圆距弧得初亏交周求复圆交周置食甚交周加初亏复圆距弧得复圆交周求初亏实纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率初亏交周之正弦为三率求得四率为初亏实纬之正弦检表得初亏实纬初亏交周初宫五宫为北六宫十一宫为南求初亏视纬置初亏实纬加减初亏南北差得初亏视纬(加减之法与食)(甚视纬同)求复圆实纬以半径一千万为一率黄白大距四度五十八分三十秒之正弦为二率复圆交周之正弦为三率求得四率为复圆实纬之正弦检表得复圆实纬复圆交周初宫五宫为北六宫十一宫为南求复圆视纬置复圆实纬加减复圆南北差得复圆视纬(加减之法亦与)(食甚视纬同)求初亏纬差角以并径之正弦为一率初亏视纬之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为初亏纬差角之正弦检表得初亏纬差角求复圆纬差角以并径之正弦为一率复圆视纬之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为复圆纬差角之正弦检表得复圆纬差角求初亏定交角初亏月距限东者初亏视纬在南则以初亏纬差角与初亏黄道髙弧交角相加初亏视纬在北则以初亏纬差角与初亏黄道髙弧交角相减得初亏定交角初亏月距限西者初亏视纬在南则以初亏纬差角与初亏黄道髙弧交角相减初亏视纬在北则以初亏纬差角与初亏黄道髙弧交角相加得初亏定交角如初亏无视纬则无初亏纬差角而初亏黄道髙弧交角即初亏定交角求复圆定交角复圆月距限东者复圆视纬在南则以复圆纬差角与复圆黄道髙弧交角相减复圆视纬在北则以复圆纬差角与复圆黄道髙弧交角相加得复圆定交角复圆月距限西者复圆视纬在南则以复圆纬差角与复圆黄道髙弧交角相加复圆视纬在北则以复圆纬差角与复圆黄道髙弧交角相减得复圆定交角如复圆无视纬则无复圆纬差角而复圆黄道髙弧交角即复圆定交角求初亏方位初亏月距限东者初亏定交角在四十五度以内为上偏右在四十五度以外为右偏上适足九十度为正右过九十度为右偏下初亏月距限西者初亏定交角在四十五度以内为下偏右在四十五度以外为右偏下适足九十度亦为正右过九十度为右偏上求复圆方位复圆月距限东者复圆定交角在四十五度以内为下偏左在四十五度以外为左偏下适足九十度为正左过九十度为左偏上复圆月距限西者复圆定交角在四十五度以内为上偏左在四十五度以外为左偏上适足九十度亦为正左过九十度为左偏下(京师北极髙四十度故日食方位皆以黄平象限在天顶南而定若北极髙二十三度以下黄平象)(限有时在天顶北则日食方位之左右与此相反)求食限总时以初亏距分与复圆距分相加得食限总时用表推日食法推入交求首朔太隂交周用交食首朔诸根表察本年太隂交周宫度分秒(三十)(微进一秒下倣此)得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十四秒递加十三次得逐月朔太隂交周求入交月数逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十度一十二分自五宫九度四十八分至六宫八度五十分自十一宫二十一度一十分至十一宫三十度皆为太隂入交第几月入交即第几月有食推平朔诸平行第一求首朔诸根用交食首朔诸根表察本年首朔日时分秒得首朔根察本年太阳平行宫度分秒得太阳平行根察本年太阳引数宫度分秒得太阳引数根察本年太隂引数宫度分秒得太隂引数根察本年太隂交周宫度分秒得太隂交周根并察纪日求诸朔䇿用交食朔望䇿表察本月朔䇿日时分秒得朔䇿察本月太阳平行朔䇿宫度分秒得太阳平行朔䇿察本月太阳引数朔䇿宫度分秒得太阳引数朔䇿察本月太隂引数朔䇿宫度分秒得太隂引数朔䇿察本月太隂交周朔䇿宫度分秒得太隂交周朔䇿求平朔以首朔根纪日朔䇿三数相加满纪法六十去之得平朔自初日甲子起算得平朔干支自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初每十五分收为一刻不足一刻者为零分得平朔时分秒求平朔太阳平行以太阳平行根与太阳平行朔䇿相加得平朔太阳平行求平朔太阳引数以太阳引数根与太阳引数朔策相加得平朔太阳引数求平朔太隂引数以太隂引数根与太隂引数朔䇿相加得平朔太隂引数求平朔太隂交周以太隂交周根与太隂交周朔䇿相加得平朔太隂交周推日月相距第二求太阳均数用日躔太阳均数表以平朔太阳引数宫度分察其所对之度分秒得太阳均数并记加减号求太隂均数用月离太隂初均数表以平朔太隂引数宫度分察其所对之度分秒得太隂均数并记加减号求距弧太阳太隂两均数同为加或同为减者则相减得距弧一为加一为减者则相加得距弧求距时用交食周日诸平行表以距弧度分秒察月距日相当之数取其所对之时分秒得距时凡太阳太隂两均数同为加者太阳加均大则距时为加太阳加均小则距时为减同为减者太阳减均大则距时为减太阳减均小则距时为加一为加一为减者太阳为加均则距时为加太阳为减均则距时为减推实引第三求太阳引弧用交食周日诸平行表以距时之时分秒各察其与太阳平行相对之数而并之得太阳引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太隂引弧周交食周日诸平行表以距时之时分秒各察其与太隂引数相对之数而并之得太隂引弧距时为加者亦为加距时为减者亦为减求太阳实引置平朔太阳引数加减太阳引弧得太阳实引求太隂实引置平朔太隂引数加减太隂引弧得太隂实引推实朔第四求太阳实均用日躔太阳均数表以太阳实引宫度分察其所对之度分秒得太阳实均并记加减号求太隂实均用月离太隂初均数表以太隂实引宫度分察其所对之度分秒得太隂实均并记加减号求实距弧太阳太隂两实均同为加或同为减者则相减得距弧一为加一为减者则相加得距弧求实距时用交食周日诸平行表以实距弧度分秒察月距日相当之数取其所对之时分秒得实距时定加减之法与距时同求实朔置平朔加减实距时得实朔加满二十四时则实朔进一日不足减者借一日作二十四时则实朔退一日推实交周第五求交周距弧周交食周日诸平行表以距时之时分秒各察其与太隂交周相对之数而并之得交周距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实朔平交周置平朔太隂交周加减交周距弧得实朔平交周求实朔实交周置实朔平交周加减太隂实均得实朔实交周自初宫初度至初宫一十七度三十五分自五宫一十二度二十五分至六宫六度一十三分自十一宫二十三度四十七分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算推太阳实经第六求太阳距弧用交食周日诸平行表以实距时之时分秒各察其与太阳平行相对之数而并之得太阳距弧实距时为加者亦为加实距时为减者亦为减求实朔太阳平行置平朔太阳平行加减太阳距弧得实朔太阳平行求太阳黄道经度置实朔太阳平行加减太阳实均得太阳黄道经度求太阳赤道经度用日躔黄赤升度表以太阳黄道经度察其所对之赤道宫度分秒得太阳赤道经度推实朔用时第七求均数时差用日躔均数时差表以太阳实引宫度察其所对之分秒得均数时差并记加减号求升度时差用日躔升度时差表以太阳黄道经度察其所对之分秒得升度时差并记加减号求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实朔用时置实朔加减时差总得实朔用时距日出前日入后五刻以内者可以见食五刻以外者则全在夜即不必算推食甚实纬食甚用时第八求食甚实纬用交食黄白距度表以实朔实交周宫度分察其所对之度分秒得食甚实纬并记南北号求交周升度差用月离黄白升度表以实朔实交周宫度察其所对之分秒得交周升度差并记加减号求食甚交周置实朔实交周加减交周升度差得食甚交周求月距日实行用交食月距日实行表以太隂实引宫度察其所对之分秒得月距日实行求食甚距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率交周升度差化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距时交周升度差加者亦为加交周升度差减者亦为减求食甚用时置实朔用时加减食甚距时得食甚用时推食甚近时第九求用时春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以食甚用时加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十四时)(去之用其余)得用时春分距午时分(春分距午时分者即春分距午赤道度所)(变之时分也与月食方位求春分距午时分之理同)求用时月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以用时春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得用时黄平象限宫度与太阳黄道经度相减余为用时月距限度(有一宫作三十度)太阳黄道经度大于用时黄平象限宫度者为限东小于用时黄平象限宫度者为限西求用时限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以用时春分距午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得用时限距地髙求用时太隂髙弧用交食太阳髙弧表以用时月距限及用时限距地髙之度察其所对之度分秒得用时太隂髙弧(合朔日月)(同度故太阳髙弧即太隂髙弧)求用时黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以用时月距限及用时限距地髙之度察其所对之度分秒得用时黄道髙弧交角求用时白道髙弧交角置用时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫用时月距限东则加月距限西则减食甚交周为五宫六)(宫用时月距限东则减月距限西则加)得用时白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为用时白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北求太隂距地用交食视半径表以太隂实引宫度察其与月距地相对之数得太隂距地(太隂距地为求太隂地半径差至于太阳太隂视半径己)(以实引列表故不求太阳距地也)求用时髙下差用日躔太阳地半径差表以用时太隂髙弧按太阳实引宫限察其所对之数为太阳地半径差又用月离太隂地半径差表以用时太隂髙弧按太隂距地限察其所对之数为太隂地半径差两地半径差相减余为用时髙下差求用时东西差用交食东西南北差表以用时白道髙弧交角及用时髙下差察其与东西差所对之数得用时东西差求近时距分以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率用时东西差化秒为三率求得四率为秒以时分收之得近时距分用时月距限西为加月距西东为减(以用)(时白道髙弧交角变限不变限为定)求食甚近时置食甚用时加减近时距分得食甚近时推食甚真时第十求近时春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以食甚近时加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十四时)(去之用其余)得近时春分距午时分求近时月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以近时春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得近时黄平象限宫度又置太阳黄道经度加减用时东西差(近时距分加者亦为加近时距分减者亦为减)得近时太隂黄道经度两数相减余为近时距限限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度大于近时黄平象限宫度者为限东小于近时黄平象限宫度者为限西求近时限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以近时春分距分时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得近时限距地髙求近时太隂髙弧用交食太阳髙弧表以近时月距限及近时限距地髙之度察其所对之度分秒得近时太隂髙弧求近时黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以近时月距限及近时限距地髙之度察其所对之度分秒得近时黄道髙弧交角求近时白道髙弧交角置近时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(加减与用时白道髙弧交角同)得近时白道髙弧交角求近时髙下差用日躔太阳地半径差表以近时太隂髙弧按太阳实引宫限察其所对之数为太阳地半径差又用月离太隂地半径差表以近时太隂髙弧按太隂距地限察其所对之数为太隂地半径差两地半径差相减余为近时髙下差求近时东西差用交食东西南北差表以近时白道髙弧交角及近时髙下差察其与东西差所对之数得近时东西差求食甚视行以用时东西差倍之减近时东西差余为食甚视行求真时距分以食甚视行化秒为一率近时距分化秒为二率用时东西差化秒为三率求得四率为秒以时分收之得真时距分加减号与近时距分同求食甚真时置食甚用时加减真时距分得食甚真时推食分第十一求真时春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以食甚真时加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十四时)(去之用其余)求真时月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以真时春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得真时黄平象限宫度又置太阳黄道经度加减近时东西差(真时距分加者亦为加真时距分减者亦为减)得真时太隂黄道经度两数相减余为真时月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度大于真时黄平象限宫度者为限东小于真时黄平象限宫度者为限西求真时限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以真时春分距午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得真时限距地髙求真时太隂髙弧用交食太阳髙弧表以真时月距限及真时限距地髙之度察其所对之度分秒得真时太隂髙弧求真时黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以真时月距限及真时限距地髙之度察其所对之度分秒得真时黄道髙弧交角求真时白道髙弧交角置用时黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(加减与用时白道髙弧交角同)得真时白道髙弧交角求真时髙下差用日躔太阳地半径差表以真时太隂髙弧按太阳实引宫限察其所对之数为太阳地半径差又用月离太隂地半径差表以真时太隂髙弧按太隂距地限察其所对之数为太隂地半径差两地半径差相减余为真时髙下差求真时东西差用交食东西南北差表以真时白道髙弧交角及真时髙下差察其与东西差所对之数得真时东西差求真时南北差用交食东西南北差表以真时白道髙弧交角及真时髙下差察其与南北差所对之数得真时南北差求食甚视纬置食甚实纬加减真时南北差得食甚视纬白平象限在天顶南者实纬在黄道南则加而视纬仍为南实纬在黄道北则减而视纬仍为北若实纬在黄道北而南北差大于实纬则反减而视纬即变为南白平象限在天顶北者实纬在黄道北则加而视纬仍为北实纬在黄道南则减而视纬仍为南若实纬在黄道南而南北差大于实纬则反减而视纬即变为北求太阳半径用交食视半径表以太阳实引宫度察其与日半径相对之分秒得太阳半径求太隂半径用交食视半径表以太隂实引宫度察其与月半径相对之分秒得太隂半径求并径以太阳半径与太隂半径相加得并径求食甚以太阳半径倍之为一率十分为二率并径内减食甚视纬余为三率求得四率即食分推初亏真时第十二求初亏复圆距弧用交食月行表以并径分及食甚视纬分察其所对之分秒得初亏复圆距弧求初亏复圆距时以月距日实行化秒为一率三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏用时置食甚真时减初亏复圆距时得初亏用时求初亏春分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以初亏用时加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十四时)(去之用其余)得初亏春分距午时分求初亏月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以初亏春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得初亏黄平象限宫度又置太阳黄道经度减初亏复圆距弧复加减真时东西差(真时距分加者亦为加真时距)(分减者亦为减)得初亏太隂黄道经度两数相减余为初亏月距限度(有一宫作三十度)太隂黄道经度大于初亏黄平象限宫度者为限东小于初亏黄平象限宫度者为限西求初亏限距地髙周交食北极髙四十度黄平象限表以初亏春分距午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得初亏限距地髙求初亏太隂髙弧用交食太阳髙弧表以初亏月距限及初亏限距地髙之度察其所对之度分秒得初亏太隂髙弧求初亏黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以初亏月距限及初亏限距地髙之度察其所对之度分秒得初亏黄道髙弧交角求初亏白道髙弧交角置初亏黄道髙弧交角加减黄白交角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫初亏月距限东则加月距限西则减食甚交周为五宫六)(宫初亏月距限东则减月距限西则加)得初亏白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为初亏白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北求初亏髙下差用日躔太阳地半径差表以初亏太隂髙弧按太阳实引宫限察其所对之数为太阳地半径差又用月离太隂地半径差表以初亏太隂髙弧按太隂距地限察其所对之数为太隂地半径差两地半径差相减余为初亏髙下差求初亏东西差用交食东西南北差表以初亏白道髙弧交角及初亏髙下差察其与东西差所对之数得初亏东西差求初亏南北差用交食东西南北差表以初亏白道髙弧交角及初亏髙下差察其与南北差所对之数得初亏南北差求初亏视行初亏与食甚同在限东或同在限西者以初亏东西差与食甚东西差相减为差分以加减初亏复圆距弧(初亏与食甚同在白平象限东初亏东西差大则以差分减初亏东西差小则以差分加初亏与食)(甚同在白平象限西初亏东西差大则以差分加初亏东西差小则以差分减)得初亏视行初亏在限东食甚在限西者以初亏东西差与食甚东西差相并为差分以减初亏复圆距弧得初亏视行求初亏距分以初亏视行化秒为一率初亏复圆距时化秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏距分求初亏真时置食甚真时减初亏距分得初亏真时推复圆真时第十三求复圆用时置食甚真时加初亏复圆距时得复圆用时求复圆春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以太阳黄道经度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分义以复圆用时加减十二时(不及十二时则加十二时)(过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十四时)(去之用其余)得复圆春分距午时分求复圆月距限用交食北极髙四十度黄平象限表以复圆春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得复圆黄平象限宫度又置太阳黄道经度加初亏复圆距弧复加减真时东西差(真时距分加者亦为加真时距)(分减者亦为减)得复圆太隂黄道经度两数相减余为复圆月距限度(有一宫作三十度)太阳黄道经度大于复圆黄平象限宫度者为限东小于复圆黄平象限宫度者为限西求复圆限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以复圆春分距午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得复圆限距地髙求复圆太隂髙弧用交食太阳髙弧表以复圆月距限及复圆限距地髙之度察其所对之度分秒得复圆太隂髙弧求复圆黄道髙弧交角用交食黄道髙弧交角表以复圆月距限及复圆限距地髙之度察其所对之度分秒得复圆黄道髙弧交角求复圆白道髙弧交角置复圆黄道髙弧交角加减黄白道角四度五十八分三十秒(食甚交周为初宫十一宫复圆月距限东则加月距限西则减食交周为为五宫六)(宫复圆月距限东则减月距限西则加)得复圆白道髙弧交角加过九十度者则限东变为限西限西变为限东不足减者则于黄白交角内反减黄道髙弧交角余为复圆白道髙弧交角限距地髙在天顶北者白平象限为在天顶南限距地髙在天顶南者白平象限为在天顶北求复圆髙下差用日躔太阳地半径差表以复圆太隂髙弧按太阳实引宫限察其所对之数为太阳地半径差又用月离太隂地半径差表以复圆太隂髙弧按太隂距地限察其所对之数为太隂地半径差两地半径差相减余为复圆髙下差求复圆东西差用交食东西南北差表以复圆白道髙弧交角及复圆髙下差察其与东西差所对之数得复圆东西差求复圆南北差用交食东西南北差表以复圆白道髙弧交角及复圆髙下差察其与南北差所对之数得复圆南北差求复圆视行复圆与食甚同在限东或同在限西者以复圆东西差与食甚东西差相减为差分以加减初亏复圆距弧(复圆以食甚同在白平象限东复圆东西差大则以差分加复圆东西差小则以差分减复圆与食)(甚同在白平象限西复圆东西差大则以差分减复圆东西差小则以差分加)得复圆视行食甚在限东复圆在限西者以复圆东西差与食甚东西差相并为差分以减初亏复圆距弧得复圆视行求复圆距分以复圆视行化秒为一率初亏复圆距时化秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得复圆距分求复圆真时置食甚真时加复圆距分得复圆真时推太阳宿度第十四求太阳黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察太阳黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余即为太阳黄道宿度求太阳赤道宿度依恒星厯理求得本年赤道宿钤察太阳赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余即为太阳赤道宿度推日食方位及食限总时求初亏交周置食甚交周减初亏复圆距弧得初亏交周求复圆交周置食甚交周加初亏复圆距弧得复圆交周求初亏实纬用交食黄白距度表以初亏交周宫度察其所对之度分秒得初亏实纬并记南北号求初亏视纬置初亏实纬加减初亏南北差得初亏视纬(加减之法与食)(甚视纬同)求复圆实纬用交食黄白距度表以复圆交周宫度察其所对之度分秒得复圆实纬并记南北号求复圆视纬置复圆实纬加减复圆南北差得复圆视纬(加减之法亦与)(食甚视纬同)求初亏纬差角用交食纬差角表以并径分及初亏视纬分察其所对之度分得初亏纬差角求复圆纬差角用交食纬差角表以并径分及复圆视纬分察其所对之度分得复圆纬差角以下求定交角及方位并食限总时皆与前法同推各省日食法求各省日食时刻分秒以京师食甚用时按各省东西偏度加减之(与推各省节气)(时刻加减法同)得各省食甚用时乃以各省食甚用时按各省北极髙度依京师推近时真时食分及初亏复圆真时法算之得各省日食时刻分秒求各省日食方位以各省黄道髙弧交角及各省初亏复圆视纬依京师推日食方位法算之得各省日食方位推日食带食法求带食距时以本日日出或日入时分与食甚真时相减余为带食距时(带食距时者太阳出入地平距食甚之时刻也初亏或食甚在日出前者为带食出地食)(甚或复圆在日入后者为带食入地带食出地者则以日出时分与食甚真时相减余为带食距时带食)(入地者则以日入时分与食甚真时相减余为带食距时各省带食以各省日出入时刻及各省食甚真)(时算之)求带食距弧以初亏复圆距时化秒为一率初亏复圆视行化秒为二率(带食在食甚前用初亏视行带食在食甚后用复圆视行)带食距时化秒为三率求得四率为秒以度分收之得带食距弧(带食)(距弧者太阳出入地平距食甚之行度也初亏复圆以视行与距时比例得距分带食以距时与视行比)(例得距弧其理同也)求带食两心相距以半径一千万为一率带食距弧之余切线为二率食甚视纬之余弦为三率求得四率为两心相距之余切线检表得带食两心相距(带食两心相距者带食时太隂心与太阳)(心相距之度也初亏复圆以并径斜距之度与视纬求距弧之白道度带食以距弧之白道度与视纬求)(两心斜距之度其理同也)求带食分秒以太阳半径倍之为一率十分为二率并径内减带食两心相距余为三率求得四率即带食分秒(带食分秒)(者太阳出入地平时与太隂相掩之分数为太阳全径十分中之几分也食甚两心相距即视纬故于并)(径内减视纬为三率带食则于并径内减带食两心相距为三率其理同也)御制歴象考成下编卷四
## 下编卷五
钦定四库全书御制厯象考成下编卷五土星厯法推土星用数推土星法用表推土星法推土星用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十土星每日平行一百二十秒小余六○二二五五一(土星每日平行二分零三十六微零八纎零七忽零六芒以秒法通之即得)土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三(土星最髙每岁平行一分二十秒一十二微以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得最髙)(每日平行一十三微一十纎二十九忽二十一芒以秒法通之即得)土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八(土星正交每岁平行四十一秒五十三微以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行六微五十二纎四十九忽一十九芒以秒法通之即得)土星本天半径一千万土星本轮半径八十六万五千五百八十七土星均轮半径二十九万六千四百一十三土星次轮半径一百零四万二千六百土星本道与黄道交角二度三十一分气应七日六五六三七四九二六土星平行应七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微土星最髙应十一宫二十八度二十六分零六秒零五微土星正交应六宫二十一度二十分五十七秒二十四微(按新法厯书载崇祯元年戊辰土星平行距冬至八宫二十八度零八分二十七秒最髙)(距冬至十一宫二十七度一十一分一十五秒正交距冬至六宫二十度四十一分五十二秒自崇)(祯戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日积二万零四百五十三日以积日各与每)(日平行相乗得数各与崇祯戊辰年诸应相加即厯元甲子年诸应也)推土星法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乗得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天至冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求土星年根以积日与土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乗满周天一百二十九万六千秒去之余为积日土星平行加土星平行应七宫二十三度一十九分四十四秒五十五微得土星年根上考往古则置土星平行应减积日土星平行得土星年根求最髙年根以积日与土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得数为积日最髙平行加土星最髙应十一宫二十八度二十六分零六秒零五微得最髙年根上考往古则置土星最髙应减积日最髙平行得最髙年根求正交年根以积日与土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得数为积日正交平行加土星正交应六宫二十一度二十分五十七秒二十四微得正交年根上考往古则置土星正交应减积日正交平行得正交年根求土星日数以所设日数与土星每日平行一百二十秒六○二二五五一相乘得数为秒以度分收之得土星日数求最髙日数以所设日数与土星最髙每日平行十分秒之二又一九五八○三相乘得数为秒以分收之得最髙日数求正交日数以所设日数与土星正交每日平行十分秒之一又一四六七二八相乘得正交日数求土星平行以土星年根与土星日数相加得土星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置土星平行减最髙平行得引数求初均数均轮心自本轮最髙左旋行引数度次轮心自均轮最近㸃右旋行倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详五星厯理二求初均数篇)引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求次轮心距地心之边为求次均数之用求初实行置土星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引(月离厯法求月)(距日次引置初实行减本日太阳实行此求星距日次引置本日太阳实行减初实行盖太阴之行速于)(太阳合朔后太阴差而东故置太阴经度减太阳经度余为距日度星行迟于太阳合伏后星差而西故)(置太阳经度减星经度余为距日度也)求次均数星自次轮最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次轮心距地心线为一边(即求初均数时所得次轮心距地心之边)次轮半径一百零四万二千六百为一边星距日度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次轮半径之角为次均数星距日初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求星距地心之边为求视纬之用求本道实行置初实行加减次均数得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行(距交实行者次轮心距正交之)(度故置初实行减正交平行得距交实行也)求升度差以半径一千万为一率本道与黄道交角二度三十一分之余弦为二率距交实行之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与距交实行相减余为升度差距交实行不过象限为减过象限为加过二象限为减过三象限为加求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求初纬以半径一千万为一率本道与黄道交角二度三十一分之正弦为二率距交实行之正弦为三率求得四率为初纬之正弦检表得初纬求星距黄道线以半径一千万为一率初纬之正弦为二率次轮心距地心线为三率求得四率即星距黄道线求视纬以星距地心线为一率(即求次均数时所得星距地心之边)星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬距交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南(星距地心线原以本道立筭而次轮面却与黄道平)(行则星距地心线在合伏前后必差而近在退冲前后必差而逺故五星厯理求纬度篇内又求星当黄)(道视线㸃距地心之逺与星距黄道线为比例然用以求视纬所差甚微可以不计故即用星距地心线)(与星距黄道线比例为省算也木火金水四星倣此)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度用表推土星法求诸年根用土星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微进一秒下倣)(此)得土星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求诸日数用土星周岁平行表察本日平行度分秒得土星日数察本日最髙行分秒得最髙日数察本日正交行秒微得正交日数求土星平行以土星年根与土星日数相加得土星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置土星平行减最髙平行得引数求初均及中分用土星均数表以引数宫度分察其与初均所对之度分秒得初均察其与中分所对之分秒得中分并记初均加减号(初均者即本轮均轮所生之加减差而中分者则次轮心距地心与最髙)(距地心之较为六十分中之几分也盖次轮心在最髙则距地心逺次轮心在最卑则距地心近故以土)(星次轮心在最高距地心之一○五六九一七四与土星次轮心在最卑距地心之九四三○八二六相)(减余一一三八三四八乃以一一三八三四八与六十分之比即同于今所得次轮心距地心之边与最)(髙距地心相减之数与六十分中几分之比也○前法求初均数时即求次轮心距地心之边此求初均)(数时则求次轮心距地心与最髙距地心之较因表中所列次均乃以次轮心在最髙立算故先求中分)(以为比例实次均之用也木金水三星倣此)求初实行置土星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引求次均及较分用土星均数表以星距日次引宫度分察其与次均所对之度分秒得次均察其与较分所对之分秒得较分并记次均加减号(次均者次轮心在最髙所生之加减差而较分者则次轮)(心在最髙与次轮心在最卑所生加减差之较也盖次轮心在最髙则距地心逺而次均角小次轮心在)(最卑则距地心近而次均角大故设次轮心在最髙又设次轮心在最卑求其两次均之较以为比例实)(次均之用也木金水三星倣此)求实次均以三千六百秒为一率较分化秒为二率中分化秒为三率求得四率为秒以分收之为加差与次均相加得实次均加减号与次均同(实次均者即星在次轮周实行之次均也)(因表中所列次均以次轮心在最髙立算故名实次均以别之盖次轮心在最卑所生之次均既大于次)(轮心在最髙所生之次均则自最髙至最卑其递加之差必畧相等今最髙距地心与最卑距地心之较)(既命为六十分则以六十分与较分之比即同于中分与加差之比故以加差与次轮心在最髙所生之)(次均相加得实次均也)求本道实行置初实行加减实次均得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求升度差用土星升度差表以距交实行宫度察其所对之分秒得升度差并记加减号求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求星距黄道线用土星距黄道表以距交实行宫度察其所对之数得星距黄道线并记南北号求星距地心线用土星距地表以星距日次引宫度察其所对之数得星距地心线求视纬以星距地心线为一率星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬(星距黄道线当以次轮心距地心线与初纬之正弦为比例今表中所列星距黄道线即初纬之正弦而)(星距地心线亦以次轮心在中距立算故其比例仍同也)求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度御制厯象考成下编卷五
## 下编卷六
钦定四库全书御制厯象考成下编卷六木星厯法推木星用数推木星法用表推木星法推木星用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十木星每日平行二百九十九秒小余二八五二九六八(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒以秒法通之即得)木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三(木星)(最髙每岁平行五十七秒五十一微五十九纎五十八忽一十九芒以周岁三百六十五日二四二)(一入七五除之得最髙每日平行九微三十纎二十一忽四十芒以秒法通之即得)木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七(木星正交每岁平行一十三秒三十五微五十九纎五十九忽五十八芒以周岁三百六十五日二)(四二一八七五除之得正交每日平行二微一十四纤零二忽五十三芒以秒法通之即得)木星本天半径一千万木星本轮半径七十万五千三百二十木星均轮半径二十四万七千九百八十木星次轮半径一百九十二万九千四百八十木星本道与黄道交角一度一十九分四十秒气应七日六五六三七四九二六木星平行应八宫零九度一十三分一十三秒一十一微木星最髙应九宫零九度五十一分五十九秒二十七微木星正交应六宫零七度二十一分四十九秒三十五微(按新法厯书载崇祯元年戊辰木星平行距冬至十一宫一十八度五十一分五十一秒)(最髙距冬至九宫零八度五十七分五十九秒正交距冬至六宫零七度零九分零八秒自崇祯戊)(辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日积二万零四百五十三日以积日各与每日平)(行相乘得数各与崇祯戊辰年诸应相加即厯元甲子年诸应也)推木星法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求木星年根以积日与木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积日木星平行加木星平行应八宫零九度一十三分一十三秒一十一微得木星年根上考往古则置木星平行应减积日木星平行得木星年根求最髙年根以积日与木星最髙每日平行十分秒之一又五八四三三相乘得数为积日最髙平行加木星最髙应九宫零九度五十一分五十九秒二十七微得最髙年根上考往古则置木星最髙应减积日最髙平行得最髙年根求正交年根以积日与木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得数为积日正交平行加木星正交应六宫零七度二十一分四十九秒三十五微得正交年根上考往古则置木星正交应减积日正交平行得正交年根求木星日数以所设日数与木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八相乘得数为秒以宫度分收之得木星日数求最髙日数以所设日数与木星最髙每日平行十分之一一又五八四三三相乗得最髙日数求正交日数以所设日数与木星正交每日平行百分秒之三又七二三五五七相乘得正交日数求木星平行以木星年根与木星日数相加得木星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置木星平行减最髙平行得引数求初均数均轮心自本轮最髙左旋行引数度次轮心自均轮最近㸃右旋行倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详五星厯理三求初均数篇)引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求次轮心距地心之边为求次均数之用求初实行置木星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引求次均数星自次轮最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次轮心距地心线为一边(即求初均数时所得次轮心距地心之边)次轮半径一百九十二万九千四百八十为一边星距日度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次轮半径之角为次均数星距日初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求星距地心之边为求视纬之用求本道实行置初实行加减次均数得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求升度差以半径一千万为一率本道与黄道交角一度一十九分四十秒之余弦为二率距交实行之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与距交实行相减余为升度差距交实行不过象限为减过象限为加过二象限为减过三象限为加求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求初纬以半径一千万为一率本道与黄道交角一度一十九分四十秒之正弦为二率距交实行之正弦为三率求得四率为初纬之正弦检表得初纬求星距黄道线以半径一千万为一率初纬之正弦为二率次轮心距地心线为三率求得四率即星距黄道线求视纬以星距地心线为一率(即求次均数时所得星距地心之边)星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬距交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度用表推木星法求诸年根用木星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微进一秒下倣)(此)得木星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求诸日数用木星周岁平行表察本日平行宫度分秒得木星日数察本日最髙行秒微得最髙日数察本日正交行秒微得正交日数求木星平行以木星年根与木星日数相加得木星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置木星平行减最髙平行得引数求初均及中分用木星均数表以引数宫度分察其与初均所对之度分秒得初均察其与中分所对之分秒得中分并记初均加减号求初实行置木星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引求次均及较分用木星均数表以星距日次引宫度分察其与次均所对之度分秒得次均察其与较分所对之度分秒得较分并记次均加减号求实次均以三千六百秒为一率较分化秒为二率中分化秒为三率求得四率为秒以度分收之为加差与次均相加得实次均加减号与次均同求本道实行置初实行加减实次均得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求升度差用木星升度差表以距交实行官度察其所对之分秒得升度差并记加减号求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求星距黄道线用木星距黄道表以距交实行官度察其所对之数得星距黄道线并记南北号求星距地心线用木星距地表以星距日次引宫度察其所对之数得星距地心线求视纬以星距地心线为一率星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度御制厯象考成下编卷六
## 下编卷七
钦定四库全书御制厯象考成下编卷七火星厯法推火星用数推火星法用表推火星法推火星用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十火星每日平行一千八百八十六秒小余六七○○三五八(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纎零七忽四十四芒以秒法通)(之即得)火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九(火星最髙每岁平行一分零七秒以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得最髙每日平行)(一十一微零二十三忽以秒法通之即得)火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三(火星正交每岁平行五十二秒五十七微以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得正交每)(日平行八微四十一纎五十四忽零一芒以秒法通之即得)火星本天半径一千万火星本轮半径一百四十八万四千火星均轮半径三十七万一千火星最小次轮半径六百三十万二千七百五十本天髙卑大差二十五万八千五百太阳髙卑大差二十三万五千火星本道与黄道交角一度五十分气应七日六五六三七四九二六火星平行应二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微火星最髙应八宫初度三十三分一十一秒五十四微火星正交应四宫一十七度五十一分五十四秒零七微(按新法厯书载崇祯元年戊辰火星平行距冬至五宫零四度四十五分三十秒最髙距)(冬至七宫二十九度三十分四十秒正交距冬至四宫一十七度零二分二十九秒自崇祯戊辰年)(天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至次日积二万零四百五十三日以积日各与每日平行相)(乘得数各与崇祯戊辰年诸应相加即厯元甲子年诸应也)推火星法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求火星年根以积日与火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积日火星平行加火星平行应二宫一十三度三十九分五十二秒一十五微得火星年根上考往古则置火星平行应减积日火星平行得火星年根求最髙年根以积日与火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得数为积日最髙平行加火星最髙应八宫初度三十三分一十一秒五十四微得最髙年根上考往古则置火星最髙应减积日最髙平行得最髙年根求正交年根以积日与火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得数为积日正交平行加火星正交应四宫一十七度五十一分五十四秒零七微得正交年根上考往古则置火星正交应减积日正交平行得正交年根求火星日数以所设日数与火星每日平行一千八百八十六秒六七○○三五八相乘得数为秒以官度分收之得火星日数求最髙日数以所设日数与火星最髙每日平行十分秒之一又八三四三九九相乘得数为秒以分收之得最髙日数求正交日数以所设日数与火星正交每日平行十分秒之一又四四九七二三相乘得正交日数求火星平行以火星年根与火星日数相加得火星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置火星平行减最髙平行得引数求初均数均轮心自本轮最髙左旋行引数度次轮心自均轮最近㸃右旋行倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详五星厯理四求初均数篇)引数初官至五宫为减六宫至十一宫为加随求次轮心距地心之边为求次均数之用求初实行置火星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引求本天髙卑差以火星本轮全径命为二千万为一率本天髙卑大差二十五万八千五百为二率火星均轮心距最卑之正矢为三率(引数与半周相减即均轮心距最卑之度其距最卑过九十度则为□矢)(以半径与余弦相加即得)求得四率即本天髙卑差求太阳髙卑差以太阳本轮半径命为二千万为一率太阳髙卑大差二十三万五千为二率本日太阳引数之正矢为三率(引数过半周者与全周相减用其余)求得四率即太阳髙卑差求次轮半径置火星最小次轮半径六百三十万二千七百五十加本天髙卑差又加太阳髙卑差得次轮半径(火星次轮)(半径时时不同故须加本天髙卑差及太阳髙卑差详五星厯理四求次均数篇)求次均数星自次轮最逺㸃右旋行距日度用三角形法以次轮心距地心线为一边(即求初均数时所得次轮心距地心之边)次轮半径为一边星距日度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次轮半径之角为次均数星距日初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求星距地心之边为求视纬之用求本道实行置初实行加减次均数得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求升度差以半径一千万为一率本道与黄道交角一度五十分之余弦为二率距交实行之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与距交实行相减余为升度差距交实行不过象限为减过象限为加过二象限为减过三象限为加求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求初纬以半径一千万为一率本道与黄道交角一度五十分之正弦为二率距交实行之正弦为三率求得四率为初纬之正弦检表得初纬求星距黄道线以半径一千万为一率初纬之正弦为二率次轮心距地心线为三率求得四率即星距黄道线求视纬以星距地心线为一率(即求次均数时所得星距地心之边)星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬距交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度用表推火星法求诸年根用火星年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微进一秒下倣)(此)得火星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年正交行宫度分秒得正交年根求诸日数用火星周岁平行表察本日平行宫度分秒得火星日数察本日最髙行分秒得最髙日数察本日正交行秒微得正交日数求火星平行以火星年根与火星日数相加得火星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求正交平行以正交年根与正交日数相加得正交平行求引数置火星平行减最髙平行得引数求初均及次轮心距地用火星均数表以引数宫度分察其与初均所对之度分秒得初均察其所对之次轮心距地数得次轮心距地并记初均加减号(次轮心距地者即次轮心距地心之边盖火星次轮)(半径时时不同则次均数亦时时不同须用三角形推算故先求次轮心距地心之边为求次均之用也)(其独不用中分者因次均数时时不同不能以中分比例而得故表不列次均亦即不用中分也)求本天次轮半径用火星均数表以引数宫度分察其所对之次轮半径本数得本天次轮半径(本天次轮半径者乃火星最小次轮半径加本天髙)(卑差之数故以引数察表则本天髙卑差已加在其中也)求太阳髙卑差用火星均数表以本日太阳引数宫度分加减六宫(不及六宫则加六宫过六宫则减六宫)察其所对之太阳髙卑差数即太阳髙卑差(太阳引数加减六宫者因火星自最髙起算太阳自最卑起算故加减六宫方)(与表相应)求次轮实半径置本天次轮半径加太阳髙卑差得次轮实半径(次轮)(实半径者即本日次轮半径因先有本天次轮半径故以实别之)求初实行置火星平行加减初均数得初实行求星距日次引置本日太阳实行减初实行得星距日次引求半外角星距日次引不过半周者折半得半外角星距日次引过半周者与全周相减余数折半得半外角求半较角以次轮实半径与次轮心距地数相加为一率相减为二率半外角之正切线为三率求得四率为半较角之正切线检表得半较角求次均数置半外角减半较角得次均数星距日初宫至五宫为加六宫至十一宫为减求本道实行置初实行加减次均数得本道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求升度差用火星升度差表以距交实行宫度察其所对之分秒得升度差并记加减号求黄道实行置本道实行加减升度差得黄道实行求星距黄道线用火星距黄道表以距交实行宫度察其所对之数得星距黄道线并记南北号求星距地心线以次均数之正弦为一率次轮实半径为二率星距日次引之正弦为三率(星距日次引过半周者减半周用其余)求得四率即星距地心线(火星次轮半径既时时不同则星距地亦时时不同故不能列表而)(用三角形比例求之也)求视纬以星距地心线为一率星距黄道线为二率次轮心距地为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬(前法以半径为一率初纬正弦为二率次轮心距地心线为三率求得四率为星距黄道线此第一比例)(也又以星距地心线为一率星距黄道线为二率半径为三率求得四率为视纬正弦此第二比例也因)(第一比例之一率四率即第二比例之二率三率一率四率相乗原与二率三率相乗之数等而表中所)(列星距黄道线又即初纬之正弦故即用第一比例之二率三率而用第二比例之一率即得第二比例)(之四率也)求黄道宿度依日缠求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度御制厯象考成下编卷七
## 下编卷八
钦定四库全书御制厯象考成下编卷八金星厯法推金星用数推金星法用表推金星法推金星用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十金星每日平行三千五百四十八秒小余三三○五一六九(与太阳平行同)金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五(金星最髙每岁平行一分二十二秒五十七微以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十三微三十七纎三十五忽四十芒以秒法通之即得)金星伏见每日平行二千二百一十九秒小余四三一一八八六(金星伏见每日平行三十六分五十九秒二十五微五十二纎一十六忽)(四十四芒以秒法通之即得)金星本天半径一千万金星本轮半径二十三万一千九百六十二金星均轮半径八万八千八百五十二金星次轮半径七百二十二万四千八百五十金星次轮面与黄道交角三度二十九分气应七日六五六三七四九二六金星平行应二十分一十九秒一十八微(与厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太阳平行度同)金星最髙应六宫零一度三十三分三十一秒零四微金星伏见应初宫一十八度三十八分一十三秒零六微(按新法厯书载崇祯元年戊辰金星最髙距冬至六宫初度一十六分零六秒伏见行距)(次轮平逺初宫零九度一十一分零七秒自崇祯戊辰年天正冬至次日至厯元甲子年天正冬至)(次日积二万零四百五十三日以积日各与每日平行相乗得数各与崇祯戊辰年诸应相加即厯)(元甲子年诸应也)推金星法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乘得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求金星年根以积日与金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗满周天一百二十九万六千秒去之余为积日金星平行加金星平行应二十分一十九秒一十八微得金星年根上考往古则置金星平行应减积日金星平行得金星年根求最髙年根以积日与金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得数为积日最髙平行加金星最髙应六宫零一度三十三分三十一秒零四微得最髙年根上考往古则置金星最髙应减积日最髙平行得最髙年根求伏见年根以积日与金星伏见每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘满周天一百二十九万六千秒去之余为积日伏见平行加金星伏见应初宫一十八度三十八分一十三秒零六微得伏见年根上考往古则置金星伏见应减积日伏见平行得伏见年根求金星日数以所设日数与金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得数为秒以官度分收之得金星日数求最髙日数以所设日数与金星最髙每日平行十分秒之二又二七一○九五相乘得数为秒以分收之得最髙日数求伏见日数以所设日数与金星伏见每日平行二千二百一十九秒四三一一八八六相乘得数为秒以宫度分收之得伏见日数求金星平行以金星年根与金星日数相加得金星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求伏见平行以伏见年根与伏见日数相加得伏见平行求正交平行置最髙平行减一十六度得正交平行(金星正交恒距最髙前一)(十六度故置最髙平行减一十六度得正交平行也)求引数置金星平行减最髙平行得引数求初均数均轮心自本轮最髙左旋行引数度次轮心自均轮最近㸃右旋行倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详五星厯理五求初均数篇)引数初宫至五官为减六宫至十一宫为加随求次轮心距地心之边为求次均数之用求初实行置金星平行加减初均数得初实行求伏见实行置伏见平行加减初均数得伏见实行初均为减者则加初均为加者则减(伏见平行为星距次轮平逺之度伏见实行为星距次轮)(最逺之度其相差之较即初均数而加减相反详五星厯理五求次均数篇)求次均数星自次轮最逺㸃右旋行伏见实行度用三角形法以次轮心距地心线为一边(即求初均数时所得次轮心距地心之边)次轮半径七百二十二万四千八百五十为一边伏见实行度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次轮半径之角为次均数伏见实行初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求星距地心之边为求视纬之用求黄道实行置初实行加减次均数得黄道实行(金水二星本道即黄道故置初)(实行加减次均数即黄道实行无升度差也)求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求距次交实行以伏见实行与距交实行相加(加满全周去之用其余)得距次交实行(距次交实行者星距次轮正交之度也伏见实行为星距次轮最逺之度而次轮最逺距)(次轮正交之度与次轮心距本道正交之度等故相加得距次交实行也详五星厯理七五星交周及金)(水二星纬度篇)求次纬以半径一千万为一率次轮面与黄道交角三度二十九分之正弦为二率距次交实行之正弦为三率求得四率为次纬之正弦检表得次纬求星距黄道线以半径一千万为一率次纬之正弦为二率次轮半径七百二十二万四千八百五十为三率求得四率即星距黄道线求视纬以星距地心线为一率(即求次均数时所得星距地心之边)星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬距次交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度用表推金星法求诸年根用金星年根表察本年距冬至分秒(三十微进一秒下倣此)得金星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏见行宫度分秒得伏见年根求诸日数用金星周岁平行表察本日平行宫度分秒得金星日数察本日最髙行分秒得最髙日数察本日伏见行宫度分秒得伏见日数求金星平行以金星年根与金星日数相加得金星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求伏见平行以伏见年根与伏见日数相加得伏见平行求正交平行置最髙平行减一十六度得正交平行求引数置金星平行减最髙平行得引数求初均及中分用金星均数表以引数宫度分察其与初均所对之度分秒得初均察其与中分所对之分秒得中分并记初均加减号求初实行置金星平行加减初均数得初实行求伏见实行置伏见平行加减初均数得伏见实行初均为减者则加初均为加者则减求次均及较分用金星均数表以伏见实行宫度分察其与次均所对之度分秒(三十度进一官)得次均察其与较分所对之度分秒得较分并记次均加减号求实次均以三千六百秒为一率较分化秒为二率中分化秒为三率求得四率为秒以度分收之为加差与次均相加得实次均加减号与次均同求黄道实行置初实行加减实次均得黄道实行求距交实行置初实行减正交平行得距交实行求距次交实行以伏见实行与距交实行相加(加满全周去之用其余)得距次交实行求星距黄道线用金星距黄道表以距次交实行宫度察其所对之数得星距黄道线并记南北号求星距地用金星距地表以伏见实行宫度察其与星距地所对之数得星距地求距地差用金星距地表以引数宫度察其与距地差所对之数得距地差求星距地用数置星距地减距地差得星距地用数(星距地用数者求视纬所用星)(距地心之数也表中所列星距地数乃设次轮心在最髙所得星距地心之边而次轮心距地心实有髙)(卑则是距地心之差亦与次轮心距地心之差等故以引数宫度求得次轮心距地心之边与最髙距地)(心相减余为距地差于星距地数内减之方为星实距地之数也○土木二星星距黄道线即初纬之正)(弦而星距地心线亦以次轮心在中距立算故其比例同金水二星星距黄道线乃以次轮半径与次纬)(正弦比例之数原无闗于本天之髙卑而星距地心线又以次轮心在最髙立算故减距地差为星距地)(用数其比例乃相当也)求视纬以星距地用数为一率星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度御制厯象考成下编卷八
## 下编卷九
钦定四库全书御制厯象考成下编卷九水星厯法推水星用数推水星法用表推水星法(附推五星伏见及交宫同度法)推水星用数康熙二十三年甲子天正冬至为厯元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二一八七五纪法六十水星每日平行三千五百四十八秒小余三三○五一六九(与太阳平行同)水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三(水星最髙每岁平行一分四十五秒一十四微以周岁三百六十五日二四二一八七五除之得最)(髙每日平行一十七微一十七纎一十三忽四十六芒以秒法通之即得)水星伏见每日平行一万一千一百八十四秒小余一一六五二四八(水星㐲见每日平行三度零六分二十四秒零六微五十九纎)(二十九忽二十二芒以秒法通之即得)水星本天半径一千万水星本轮半径五十六万七千五百二十三水星均轮半径一十一万四千六百三十二水星次轮半径三百八十五万水星次轮心在大距与黄道交角五度四十分水星次轮心在正交当黄道北交角五度零五分一十秒其与大距交角较三十四分五十秒水星次轮心在中交当黄道北交角六度一十六分五十秒其与大距交角较三十六分五十秒水星次轮心在正交当黄道南交角六度三十一分零二秒其与大距交角较五十一分零二秒水星次轮心在中交当黄道南交角四度五十五分三十二秒其与大距交角较四十四分二十八秒气应七日六五六三七四九二六水星平行应二十分一十九秒一十八微(与厯元甲子年天正)(冬至次日子正初刻太阳平行度同)水星最髙应十一宫零三度零三分五十四秒五十四微水星伏见应十宫零一度一十三分一十一秒一十七微(按新法厯书载崇祯元年戊辰水星最髙距冬至十一宫零一度二十五分四十二秒伏)(见行距次轮平逺三宫二十九度五十四分一十六秒自崇祯戊辰年天正冬至次日至厯元甲子)(年天正冬至次日积二万零四百五十三日以积日各与每日平行相乗得数各与崇祯戊辰年诸)(应相加即厯元甲子年诸应也)推水星法求积年自厯元康熙二十三年甲子距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二一八七五相乗得中积分求通积分置中积分加气应七日六五六三七四九二六得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求积日置中积分加气应分六五六三七四九二六(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求水星年根以积日与水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗满周天一百二十九万六千秒去之余为积日水星平行加水星平行应二十分一十九秒一十八微得水星年根上考往古则置水星平行应减积日水星平行得水星年根求最髙年根以积日与水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得数为积日最髙平行加水星最髙应十一宫零三度零三分五十四秒五十四微得最髙年根上考往古则置水星最髙应减积日最髙平行得最髙年根求伏见年根以积日与水星伏见每日平行一万一千一百八十四秒一一六五二四八相乗满周天一百二十九万六千秒去之余为积日伏见平行加水星伏见应十宫零一度一十三分一十一秒一十七微得伏见年根上考往古则置水星伏见应减积日伏见平行得伏见年根求水星日数以所设日数与水星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九相乗得数为秒以宫度分收之得水星日数求最髙日数以所设日数与水星最髙每日平行十分秒之二又八八一一九三相乗得数为秒以分收之得最髙日数求伏见日数以所设日数与水星伏见每日平行一万一千一百八十四秒一一六五二四八相乗得数为秒以宫度分收之得伏见日数求水星平行以水星年根与水星日数相加得水星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求伏见平行以伏见年根与伏见日数相加得伏见平行求引数置水星平行减最髙平行得引数求初均数均轮心自本轮最髙左旋行引数度次轮心自均轮最逺㸃右旋行三倍引数度用两三角形法求得地心之角为初均数(法详五星厯理六求初均数篇)引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加随求次轮心距地心之边为求次均数之用求初实行置水星平行加减初均数得初实行求伏见实行置伏见平行加减初均数得伏见实行初均为减者则加初均为加者则减求次均数星自次轮最逺㸃右旋行伏见实行度用三角形法以次轮心距地心线为一边(即求初均数时所得次轮心距地心之边)次轮半径三百八十五万为一边伏见实行度为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)求得地心对次轮半径之角为次均数伏见实行初宫至五宫为加六宫至十一宫为减随求星距地心之边为求视纬之用求黄道实行置初实行加减次均数得黄道实行求距交实行置初实行减最髙平行加减六宫得距交实行(水星正交)(恒与最卑同则最髙平行即中交平行故置初实行减最髙平行又加减六宫方为距正交实行也)求距次交实行以伏见实行与距交实行相加(加满全周去之用其余)得距次交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求交角距交实行九宫至二宫星在黄道北交角为五度零五分一十秒星在黄道南交角为六度三十一分零二秒(距交实行九宫至二宫为次轮心在正交前后故其交角用次轮心在正交当黄道南北交角)距交实行三宫至八宫星在黄道北交角为六度一十六分五十秒星在黄道南交角为四度五十五分三十二秒(距交实行三宫至八宫为次轮心在中交前后故其交角用次轮心在中交当黄道)(南北交角)求交角差以半径一千万为一率大距交角较化秒为二率(距交)(实行九宫至二宫星在黄道北大距交角较为二千零九十秒星在黄道南大距交角较为三千零六十)(二秒距交实行三宫至八宫星在黄道北大距交角较为二千二百一十秒星在黄道南大距交角较为)(二千六百六十八秒)距交实行之正弦为三率求得四率即交角差距交实行九宫至二宫星在黄道北为加星在黄道南为减距交实行三宫至八宫星在黄道北为减星在黄道南为加求实交角置交角加减交角差得实交角(实交角者本日星在次轮周所当次轮面)(与黄道斜交之角也盖水星次轮面与黄道斜交惟次轮心在大距其南北交角皆为五度四十分此外则)(黄道南与黄道北不同而正交与中交又不同次轮心在正交其黄道北交角最小距正交渐逺则交角)(渐大而黄道南交角最大距正交渐逺则交角渐小交次轮心在中交其黄道北交角最大距中交渐逺则)(角渐小而黄道南交角最小距中交渐逺则交角渐大故先以次轮心距正交前后或距中交前后及星)(在黄道南北定其交角然后加减交角差方为实交角也)求次纬以半径一千万为一率实交角之正弦为二率距次交实行之正弦为三率求得四率为次纬之正弦检表得次纬求星距黄道线以半径一千万为一率次纬之正弦为二率次轮半径三百八十五万为三率求得四率即星距黄道线求视纬以星距地心线为一率(即求次均数时所得星距地心之边)星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度用表推水星法求诸年根用水星年根表察本年距冬至分秒(三十微进一秒下倣此)得水星年根察本年最髙行宫度分秒得最髙年根察本年伏见行宫度分秒得伏见年根求诸日数用水星周岁平行表察本日平行宫度分秒得水星日数察本日最髙行分秒得最髙日数察本日伏见行宫度分秒得伏见日数求水星平行以水星年根与水星日数相加得水星平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加得最髙平行求伏见平行以伏见年根与伏见日数相加得伏见平行求引数置水星平行减最髙平行得引数求初均及中分用水星均数表以引数宫度分察其与初均所对之度分秒得初均察其与中分所对之分秒得中分并记初均加减号求初实行置水星平行加减初均数得初实行求伏见实行置伏见平行加减初均数得伏见实行初均为减者则加初均为加者则减求次均及较分用水星均数表以伏见实行宫度分察其与次均所对之度分秒得次均察其与较分所对之度分秒得较分并记次均加减号求实次均以三千六百秒为一率较分化秒为二率中分化秒为三率求得四率为秒以度分收之为加差与次均相加得实次均加减号与次均同求黄道实行置初实行加减实次均得黄道实行求距交实行置初实行减最髙平行加减六宫得距交实行求距次交实行以伏见实行与距交实行相加(加满全周去之用其余)得距次交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南求实交角用水星距限表以距交实行宫度按黄道南北察其所对之度分秒得实交角(水星距限表乃以交角差加减交角而得故用表推)(算即求实交角不用先求交角与交角差也)求星距黄道线用水星距黄道表以距次交实行宫度按实交角相近者察其所对之数得星距黄道线求星距地用水星距地表以伏见实行宫度察其与星距地所对之数得星距地求距地差用水星距地表以引数宫度察其与距地差所对之数得距地差求星距地用数置星距地减距地差得星距地用数求视纬以星距地用数为一率星距黄道线为二率半径一千万为三率求得四率为视纬之正弦检表得视纬求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度推五星伏见及交宫同度法求土木火三星合伏时刻土木火三星黄道实行与太阳实行同宫同度为合伏皆以太阳实行未及星实行为合伏本日已过星实行为合伏次日求时刻之法以本日太阳实行与次日太阳实行相减余为太阳一日之实行以本日星实行与次日星实行相减余为星一日之实行乃于太阳一日之实行内减星一日之实行余为一率一千四百四十分为二率本日星实行内减本日太阳实行余为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之得合伏时刻(与月离求合朔之理同)求土木火三星退冲时刻土木火三星黄道实行与太阳实行相距六宫为退冲(亦名与太阳冲)皆以相距未及六宫为退冲本日已过六宫为退冲次日求时刻之法以本日太阳实行与次日太阳实行相减余为太阳一日之实行以次日星实行与本日星实行相减余为星一日之实行乃以太阳一日之实行与星一日之实行相加为一率(太阳)(顺行星逆行则相距为两实行之和故相加为一率)一千四百四十分为二率本日星实行加六宫减本日太阳实行余为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之得退冲时刻求土木火三星晨夕伏见段目土木火三星合㐲后距日渐逺为晨见东方顺行(土木)(火三星合伏后渐差而西日出前即可见故为晨见东方其行度在次轮上半周故恒为顺行)顺行渐迟迟而忽退为留退初(古名前留亦名顺留因其顺而忽留故曰顺留因其)(留而初退故曰留退初)距日半周为退冲退冲之次日为夕见(退冲之后日入时可见日出时不见故曰夕见不曰夕见西方者因初夕见时星尚在东方也)退行渐迟迟而忽顺为留顺初(古名后留亦名退留因其退而忽留故曰退留因其)(留而初顺故曰留顺初)顺行渐疾复近合伏为夕不见求土木火三星晨夕伏见限度土星限为一十一度木星限为一十度火星限为一十一度三十分合伏前后某日太阳实行与本星实行相距近此限度即以本日本星实行宫度察五星伏见距日黄道度表取其与本星相对之数为距日黄道度又以本日本星实行宫度察五星伏见距日加减差表取其与本星纬度相对之数为距日加减差乃以距日加减差与距日黄道度相加减(纬南则加纬北)(则减)得伏见限度合伏前某日太阳实行与星实行相距近此限度即为某日夕不见合伏后某日近此限度即为某日晨见(土星当地平太阳在地平下一十一度即可见木星当地平太阳在)(地平下一十度即可见火星当地平太阳在地平下一十一度三十分即可见此乃地平纬度因星之经)(纬逐日不同难以逐日推算故以地平纬度当黄道经度察表为省算也余详五星冲伏留退俱生于次)(轮及五星伏见篇)求金水二星合伏时刻金水二星黄道实行与太阳同宫同度为合伏皆以星实行未及太阳实行为合伏本日已过太阳实行为合伏次日求时刻之法以本日太阳实行与次日太阳实行相减余为太阳一日之实行以本日星实行与次日星实行相减余为星一日之实行乃于星一日之实行内减太阳一日之实行余为一率一千四百四十分为二率本日太阳实行内减星实行余为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之得合伏时刻(金水二星行度合伏时速于太阳故与土木火三星相反而其理则同也)求金水二星合退伏时刻金水二星退行与太阳实行同宫同度为合退伏(亦名)(退合)皆以太阳实行未及星实行为合退伏本日已过星实行为合退伏次日求时刻之法以本日太阳实行与次日太阳实行相减余为太阳一日之实行以次日星实行与本日星实行相减余为星一日之实行乃以太阳一日之实行与星一日之实行相加为一率一千四百四十分为二率本日星实行内减本日太阳实行余为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之得合退伏时刻求金水二星晨夕伏见段目金水二星合伏后距日渐逺为夕见西方顺行(金水二星)(合伏后渐差而东日入后即可见故曰夕见西方其行度在次轮上半周故恒为顺行)顺行渐迟迟而忽退为留退初退行渐近太阳为夕不见复与太阳同度为合退伏自是又渐逺太阳为晨见东方退行(金水二星合退伏后渐差而西日出前即可见故曰晨见东方其行度在次轮下半周故)(恒为退行)退行渐迟迟而忽顺为留顺初顺行渐疾复近合伏为晨不见求金水二星晨夕伏见限度金星限为五度水星限为一十度合伏前后或合退伏前后某日太阳实行与本星实行相距近此限度即以某日本星实行宫度察五星伏见距日黄道度表取其与本星相对之数为距日黄道度又以本日本星实行宫度察五星伏见距日加减差表取其与本星纬度相对之数为距日加减差乃以距日加减差与距日黄道度相加减(纬南则加纬北则减)得伏见限度合伏前某日太阳实行与星实行相距近此限度即为某日晨不见合伏后某日近此限度即为某日夕见合退伏前某日近此限度即为某日夕不见合退伏后某日近此限度即为某日晨见求五星交宫时刻以本星一日之实行为一率一千四百四十分为二率本星实行距某宫初度之度分为三率(顺行者以本日实行)(与三十度相减逆行者即用本日实行)求得四率为距子正之分数以时刻收之得交宫时刻(与太阴交宫之理同但太阴皆顺行五星或有逆行耳)求五星同度时刻以两星一日之实行相加减为一率(两星皆顺行或皆逆行者则相)(减一顺一逆者则相加)一千四百四十分为二率两星相距为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之得同度时刻(与求合伏及退合之理同)御制厯象考成下编卷九
## 下编卷十
钦定四库全书御制厯象考成下编卷十恒星厯法推中星法推中星时刻法推凌犯法推凌犯视差法推中星法(推中星及中星时刻亦可用三角形法推筭但求太阳赤道经度已详日食厯法求恒星赤道经度)(已详恒星厯理而本年诸恒星赤道经度又须逐一推定然后可以求某星方中及偏东偏西之度)(数故立法用表以从简易)求本时太阳黄道经度以一千四百四十分为一率本日太阳实行与次日太阳实行相减余为二率以所设时刻化分为三率求得四率与本日太阳实行相加得本时太阳黄道经度求本时太阳赤道经度用日躔黄赤升度表以本时太阳黄道经度察其所对之赤道宫度分秒得本时太阳赤道经度求本时太阳距午后赤道经度以所设时刻变赤道度(一小时变为十五度一分变为十五分一秒变为十五秒)加减半周(不及半周则加半周过半周则减半周)得本时太阳距午后赤道经度求本时正午赤道经度以本时太阳赤道经度与本时太阳距午后赤道经度相加(加满全周去之用其余)得本时正午赤道经度求中星用恒星赤道经纬度表察各星赤道经度又用恒星赤道经纬度岁差表察各星经度岁差与各星经度相加减为本年各星赤道经度乃察本年某星赤道经度与本时正午赤道经度相同即为某星方中如经度不相同则察其相近者与本时正午赤道经度相减余为偏东偏西之度凡星之赤道经度大于正午赤道经度者为偏东小于正午赤道经度者为偏西推中星时刻法求星赤道经度用恒星赤道经纬度表察本星赤道经度又用赤道经纬度岁差表察本星经度岁差按岁积之与本星赤道经度相加减得星赤道经度(或用恒星黄道经纬度表察本星黄)(道经度自厯元甲子起算每年加岁差五十一秒求得本年本星黄道经度又用黄赤经纬互推表以本)(年黄道经度及黄道纬度察其所对之赤道宫度分亦得星之赤道经度如黄道经纬度俱有零分者用)(中比例三次求之)求太阳赤道经度用日躔黄赤升度表以本日太阳黄道经度察其所对之赤道宫度分秒得太阳赤道经度求太阳距午后赤道经度星赤道经度内减太阳赤道经度(不及减者加十二宫减之)余为太阳距午后赤道经度求中星时刻以太阳距午后赤道经度加减半周(不及半周者加半周过半周者)(减半周)变时自子正初刻起算得中星时刻(推中星用本时太阳)(赤道度而推中星时刻则用子正太阳赤道度因无时刻可设故即用子正耳又太阳每日东行一度变)(时约得四分虽有微差亦不甚逺若必欲按本时太阳赤道度立筭则于所得中星时刻内每一小时减十)(秒则一日二十四时即减四分于理更密)推凌犯法求凌犯入限太阴凌犯恒星以本日太阴经度与次日太阴经度察本年凌犯恒星经纬度表某星在此限内为凌犯入限复察其间各星纬度如太阴纬与星纬同在黄道北者太阴纬多为太阴在上太阴纬少为太阴在下太阴纬与星纬同在黄道南者太阴纬多为太阴在下太阴纬少为太阴在上一纬北一纬南者太阴纬北为太阴在上太纬纬南为太阴在下(近天顶为上近地平)(为下)太阴在上者相距二度以内取用太阴在下者相距一度以内取用(太阴有地半径差常变髙为卑太阴在上者虽相距二度或因地半)(径差而相距一度故于二度以内取用若太阴在下者虽相距一度而加以地半径差则相距益逺故止)(于一度以内取用也)两纬相距十七分以内为凌十八分以外为犯(逼近为凌畧逺为犯)两纬相同为掩太阴凌犯五星以本日太阴经度在星前次日太阴经度在星后为凌犯入限余与凌犯恒星同五星凌犯恒星无论在上在下皆于相距一度以内取用(五星地半径差甚小故皆于一度以内取用)两纬相距三分以内为凌四分以外为犯(五星光小故三分以内方为凌四分以外即为犯)两纬相同为掩余与太阴凌犯恒星同五星自相凌犯以行速者为凌犯之星以行迟者为受凌犯之星如两星行度相同而一顺行一逆行者则以顺行者为凌犯之星逆行者为受凌犯之星皆以本日此星经度在彼星前次日此星经度在彼星后为凌犯入限余与五星凌犯恒星同求日行度太阴凌犯恒星以本日太阴经度与次日太阴经度相减得日行度(日行度者乃太阴与恒星一日相距之行度因恒星之行甚迟有似不动)(故止以太阴之行度为日行度也)太阴凌犯五星以本日太阴经度与次日太阴经度相减余为太阴一日之行度又以本日星经度与次日星经度相减余为星一日之行度星顺行者则以两数相减得日行度(与交食月距日之理同)星逆行者则以两数相加得日行度(与交食距交之理同)五星凌犯恒星以本日星经度与次日星经度相减得日行度(与太阴犯恒星之理同)五星自相凌犯以本日此星经度与次日此星经度相减余为此星一日之行度又以本日彼星经度与次日彼星经度相减余为彼星一日之行度两星俱顺行或俱逆行者则以两数相减得日行度两星一顺行一逆行者则以两数相加得日行度(与太阴犯五星之理)(同)求相距度太阴凌犯恒星以本日太阴经度与恒星经度相减得相距度太阴凌犯五星以本日太阴经度与本日星经度相减得相距度五星凌犯恒星以本日星经度与恒星经度相减得相距度五星自相凌犯以本日两星经度相减得相距度求凌犯时刻以日行度化分为一率一千四百四十分为二率相距度化分为三率求得四率为分以时刻收之得凌犯时刻推凌犯视差法(凡太阴凌犯诸星夜所可见者则复推视差以求其凖与日食三差之理同其推之之法亦可用三)(角形立算因其理已详日食故立法用表以从简易其推可见不可见之法则以太阴出入时刻法)(求之或用天球比算亦得大槩至于五星凌犯恒星及五星自相凌犯其视差甚微可以不计不必)(复推矣)求本时太阳黄道度以一千四百四十分为一率本日太阳实行与次日太阳实行相减余为二率凌犯时刻化分为三率求得四率与本日太阳实行相加得本时太阳黄道度求春分距午时分用交食北极髙四十度黄平象限表以本时太阳黄道度察黄道宫度取其与时分所对之数为太阳距春分后时分又以凌犯时刻加减十二时(不及十二时则加十)(二时过十二时则减十二时)为太阳距午后时分两数相加(加满二十)(四时去之用其余)得春分距午时分(春分距午时分者即本时春分距午后之时分)(也与日食春分距午时分之理同)求黄平象限宫度用交食北极髙四十度黄平象限表以春分距午时分察表内时分相近者取其与黄平象限相对之数得黄平象限宫度(日食推黄平象限宫度与月距限同在一条凌犯视差有专用黄平)(象限宫度之处故另列一条以便于用)求月距限以黄平象限宫度与星经度相减余为月距限度(凌犯)(时太阴与星同度故以星经度与黄平象限宫度相减余即为月距限度)星经度大于黄平象限宫度为限东小于黄平象限宫度为限西求限距地髙用交食北极髙四十度黄平象限表以春分距午时分察表内时分相近者取其与限距地髙相对之数得限距地髙求正交经度依月离厯法推得本时正交实行得正交经度求限距交黄平象限宫度内减正交经度(不足减者加十二宫减之)余为限距交求限距纬用月离黄白距度表以限距交宫度按本日月离黄白大距相近限内察其所对之度分秒得限距纬并记南北号求白道髙度置限距地髙加减限距纬(北加南减)得白道髙度(白道髙度者黄)(平象限上白道距地平之髙度虽黄白距纬与地平髙弧不同然数度之间相去不逺故先求得黄平象)(限距交之度以求其距纬乃与限距地髙相加减即为白平象限距地平之髙虽黄平象限与白平象限)(经度亦自不同而白平象限之髙与当黄平象限处畧相等且以求白道髙弧交角所差无多故借用以)(从简易)求太阴髙弧用交食太阳髙〔？〕表以月距限及白道髙度察其所对之度分秒(八表以白道髙度当限距地髙)得太阴髙〔？〕求白道髙〔？〕交角用交食黄道髙〔？〕交角表以月距限及白道髙度察其所对之度分秒(入表以白道髙度当限距地髙)得白道髙〔？〕交角(黄道髙〔？〕交角表以月距限及限距地髙立算今既以白道髙度当限距地髙故所得即为白道髙〔？〕交)(角)求太阴引数依月离厯法求得本时太阴平引得太阴引数求太阴距地用交食视半径表以太阴引数宫度察其与月距地相对之数得太阴距地求髙下差用月离太阴地半径差表以太阴髙〔？〕按太阴距地限察其所对之数得髙下差(恒星无视差故太阴地半径差即髙下差若太)(阴凌犯火金水诸星则各用本星地半径差表以太阴髙〔？〕按本星引数宫限察得本星地半径差与太)(阴地半径差相减即髙下差与日食髙下差之理同)求东西差及南北差用交食东西南北差表以白道髙〔？〕交角及髙下差察其与东西差所对之数得东西差随察其与南北差所对之数得南北差求太阴距交星经度内减正交经度(不足减者加十二宫减之)得太阴距交(凌犯)(时太阴与星同度故于星经度内减正交经度即得太阴距交)求太阴实纬用月离黄白距度表以太阴距交宫度按本日月离黄白大距相近限内察其所对之度分秒得太阴实纬并记南北号求太阴视纬置太阴实纬加减南北差得太阴视纬实纬在黄道南则加南北差而视纬仍为南实纬在黄道北则减南北差而视纬仍为北若实纬在黄道北而南北差大于实纬则反减而视纬即变为南求太阴距星视纬与星纬同在黄道南或同在黄道北者则相减得太阴距星一在黄道南一在黄道北者则相加得太阴距星相距一度以内者用相距一度以外者不用定太阴在上在下之法与取凌犯入限同求太阴实行用月离太阴实行表以太阴引数宫度察其所对之分秒得太阴实行求视时距分以太阴实行化秒为一率三千六百秒为二率东西差化秒为三率求得四率为秒以分收之得视时距分太阴距限西为加太阴距限东为减求凌犯视时置凌犯时刻加减视时距分得凌犯视时御制厯象考成下编卷十
## 表[目录]
钦定四库全书御制厯象考成表卷一日躔表卷二月离表一卷三月离表二卷四月离表三卷五交食表一卷六交食表二卷七交食表三卷八交食表四卷九土星表卷十木星表卷十一火星表卷十二金星表卷十三水星表卷十四恒星表卷十五黄赤经纬互推表上卷十六黄赤经纬互推表下
## 表卷一
钦定四库全书御制歴象考成表卷一日躔表太阳年根表太阳周岁平行表太阳周日平行表太阳均数表黄赤距度表黄赤升度表黄道赤经交角表升度时差表均数时差表太阳地半径差表清蒙气差表太阳实行表太阳年根表太阳年根表以距冬至及最卑逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太阳平行距丑宫初度之分秒也(求逐年距)(冬至法以周日一万分为一率太阳每日平行三千五百四十八秒小余三三○五一六九为二率以厯元甲)(子年天正冬至气应分数六千五百六十三分小余七四九二六与周日一万分相减余三千四百三十六分)(小余二五○七四为三率求得四率一千二百一十九秒小余二九五三三六四收作二十分一十九秒一十)(七微四十三纤一十二忽四十芒为厯元甲子年距冬至之数此后用加法以本年距冬至之数加三百六十)(五日之太阳平行三百五十九度四十五分四十秒三十八微一十九纤一十二忽二十四芒满三百六十度)(减之余为次年距冬至之数而本年即为三百六十五日是为平年如相加不满三百六十度则再加一日之)(太阳平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒然后减三百六十度余为次年距冬至)(之数而本年即为三百六十六日是为闰年又捷法以本年距冬至之数减三百六十五日之太阳平行度与)(全周之较一十四分一十九秒二十一微四十纤四十七忽三十六芒即得次年距冬至之数而本年即为平)(年若不足减则以本年距冬至之数加三百六十六日之太阳平行度与全周之较四十四分四十八秒五十)(八微零九纤零四忽零三芒即得次年距冬至之数而本年即为闰年按法求得逐年距冬至之数满三十纤)(以上者进作一微不足三十纤者可以去之后倣此)最卑者乃逐年天正冬至次日子正最卑过丑宫初度之度分也(求逐年最卑法厯元甲子年天正冬)(至最卑应七度一十分一十一秒一十微即厯元甲子年最卑过冬至之数此后用加法如本年为平年则加)(三百六十五日之最卑行一分零一秒零七微三十四纤一十五忽五十八芒即得次年最卑过冬至之数如)(本年为闰年则加三百六十六日之最卑行一分零一秒一十七微三十七纤零九忽一十六芒即得次年最)(卑过冬至之数)后列纪日值宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所值之宿也(求逐年纪日及值宿法厯元甲子年天正冬至气应七日为辛未次日为)(壬申即厯元甲子年纪日此后用加法如本年为平年则自本年纪日干支顺数加五日即得次年纪日干支)(如本年为闰年则自本年纪日干支顺数加六日即得次年纪日干支盖纪法以六十为率三百六十日则纪)(法满六周故平年加五日闰年加六日也又厯元甲子年天正冬至宿应五日为尾宿次日为箕宿即厯元甲)(子年值宿此后用加法如本年为平年则自本年值宿顺数加一宿即得次年值宿本年为闰年则自本年值)(宿顺数加二宿即得次年值宿盖宿法以二十八为率三百六十四日则宿法满一十三周故平年加一宿闰)(年加二宿也)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自歴元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为八分一十八秒三十二微其最卑为七度四十八分五十五秒二十八微其纪日为辛夘其值宿为张宿也太阳周岁平行表太阳周岁平行表以太阳平行及最卑行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃太阳本轮自一日至三百六十六日之平行各数也(太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒累加之即得逐日)(平行之各数)最卑行者乃太阳本天自一日至三百六十六日之最卑行各数也(最卑每日行一十微零二纤五十三忽一十八芒累加之即得逐日)(最卑行之各数)用表之法如求冬至后九十二日之太阳平行及最卑行则察本表日数九十二所对各数录之其平行为三宫零四十分四十六秒二十四微即九十二日太阳平行之共数其最卑行为一十五秒二十四微即九十二日最卑行之共数也太阳周日平行表太阳周日平行表以一日内之时分秒递降列之盖时刻之分秒与度数之分秒皆以六十递析(一日二十四时每时六十)(分每分六十秒)故太阳一时之平行与一分或一秒之平行皆同数不过递降一位耳如太阳一时行二分有余一分行二秒有余一秒行二微有余其平行之数同为二而为分为秒为微则递降也表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则太阳逐时逐分逐秒之平行数也(太阳每日之平行用二十四时除之得二分二十七秒五)(十微四十九纤三十四忽四十芒是为一时之平行累加之为逐时之平行逐分逐秒之平行皆同数而递降)(一位时之平行为度分秒微分之平行为分秒微纤秒之平行为秒微纤忽)至于最卑每日止行一十微有余则时分所行甚少故周日平行表不列最卑行用表之法如求一十二时四十二分五十一秒之太阳平行则察本表一十二时所对之数为二十九分三十四秒一十微四十二分所对之数为一分四十三秒二十九微三十四纤五十一秒所对之数为二秒零五微四十纤一十二忽合计三数得三十一分一十九秒四十五微一十四纤一十二忽即所求之太阳平行也太阳均数表太阳均数表按最卑最髙分顺逆列之引数初宫至五宫为最卑后列于上引数六宫至十一宫为最髙后列于下前后列引数度分分顺逆以别加减中列逐宫逐度之均数太阳引数在上六宫者用顺度其号为加太阳引数在下六宫者用逆度其号为减用表之法以引数之宫对引数之度分其纵横相遇即所求之均数也表以十分为率若引数有零分者按中比例法求之设太阳引数为二宫五度一十二分求其均数则以二宫五度一十分所对之数一度五十二分三十七秒与下层五度二十分所对之数一度五十二分四十六秒相减余九秒为一十分之较乃以引数一十分为一率较数九秒为二率设数二分为三率求得四率一秒小余八收作二秒与二宫五度一十分之均数一度五十二分三十七秒相加(因二十分之均数大于一十分之均数故)(相加反是则相减也)得一度五十二分三十九秒为所求之均数其号为加即为加均也黄赤距度表黄赤距度表按二分二至分顺逆列之二分后之各宫列于上降娄大梁实沈三宫系春分后为北纬夀星大火析木三宫系秋分后为南纬其数同二至后之各宫列于下鹑首鹑火鹑尾三宫系夏至后为北纬星纪元枵娵訾三宫系冬至后为南纬其数同太阳实行在上六宫者用顺度太阳实行在下六宫者用逆度用表之法以实行之宫对实行之度分其纵横相遇即所求之距度也表以十分为率若实行有零分者按中比例法求之设太阳实行在黄道大火宫二十一度一十五分求黄赤距度则以大火宫二十一度一十分所对之数一十八度零五分二十四秒与下层二十一度二十分所对之数一十八度零八分零二秒相减余二分三十八秒为一十分之较乃以一十分为一率较数二分三十八秒化作一百五十八秒为二率设数五分为三率求得四率七十九秒收作一分一十九秒与大火宫二十一度一十分之距度一十八度零五分二十四秒相加(因二十分之距度火于一十分之距度故相加反是则相减也)得一十八度零六分四十三秒为所求之距度也黄赤升度表黄赤升度表黄道宫度与赤道宫度并列之皆自冬至星纪宫起初宫(即○宫)元枵宫为一宫以太阳经度为次用宫数不用宫名者太阳当交宫之际惟二分二至黄赤同度其余恒不同宫故用宫数以便列表用表之法以太阳实行察黄道宫度其所对之赤道宫度即所求之赤道升度也表以逐度为率若实行有零分者按中比例法求之设太阳实行在黄道降娄宫五度二十四分求赤道升度自星纪宫起初宫计之为三宫五度二十四分则以黄道三宫五度所对之数三宫四度三十五分一十五秒与下层三宫六度所对之数三宫五度三十分二十一秒相减余五十五分零六秒为一度之较乃以一度化作六十分为一率较数五十五分零六秒化作三千三百零六秒为二率设数二十四分为三率求得四率一千三百二十二秒收作二十二分零二秒与三宫五度之赤道度三宫四度三十五分一十五秒相加得三宫四度五十七分一十七秒为所求之赤道升度也黄道赤经交角表黄道赤经交角表(黄道赤经交角乃黄道与过赤极经圏相交之角即正弧三角形所谓黄)(道交极圏角也)亦按二分二至分顺逆列之二分后之各宫列于上二至后之各宫列于下太阳实行在上六宫者用顺度太阳实行在下六宫者用逆度用表之法以实行之宫对实行之度其縦横相遇即所求之交角也设太阳实行在黄道实沈宫五度求黄道赤经交角则察实沈宫五度所对之数为七十九度三十五分三十秒即所求之交角也(实沈宫在上故用顺度)若实行有零分者亦按中比例法求之升度时差表升度时差表亦按二分二至分顺逆列之二分后六宫列于上二至后六宫列于下前后列黄道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之升度时差即赤道升度与黄道相差度分所变时刻之分秒(每一度变时之四分每十五分变时之一分每)(十五秒变时之一秒)太阳实行在上六宫者用顺度其号为加太阳实行在下六宫者用逆度其号为减用表之法以实行之宫对实行之度其縦横相遇即所求之升度时差也设太阳实行在黄道大梁宫八度求升度时差则察大梁宫八度所对之数为九分三十一秒即所求之升度时差其号为加即为加差也(大梁宫在上故)(用顺度)若实行有零分者亦按中比例法求之均数时差表均数时差表亦按最卑最髙分顺逆列之最卑后六宫列于上最髙后六宫列于下前后列引数度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之均数时差即均数度分所变时刻之分秒(每一度变时之四分每一十五分变时之一分每一十五秒变时之一秒)太阳引数在上六宫者用顺度其号为减太阳引数在下六宫者用逆度其号为加用表之法以引数之宫对引数之度其縦横相遇即所求之均数时差也设太阳引数为十一宫二十五度求均数时差则察十一宫二十五度所对之数为四十四秒即所求之均数时差其号为加即为加差也(十一宫在下故)(用逆度)若引数有零分者亦按中比例法求之太阳地半径差表太阳地半径差表分最髙中距最卑三限列之其前列实髙度(太阳引数自四宫一十五度至七宫一十五度为最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆为中距限自十宫一十五度至一宫一十五度为最卑限)表内分秒即三限实髙度所生之地半径差也用表之法如夏至后太阳引数当最髙限推得午正太阳实髙七十三度求地半径差则察最髙限实髙七十三度所对之数为五十一秒即所求之地半径差与实髙七十三度相减余七十二度五十九分零九秒为本日午正太阳之视髙也如先测得午正太阳视髙七十二度五十九分零九秒则以地半径差五十一秒与视髙相加得七十三度为本日午正太阳之实髙也盖实髙乃地心之度视髙乃地面之度实髙所生之地半径差与视髙所生之地半径差应有不同然所差甚微故本表虽以实髙求视髙而视髙求实髙亦可同用髙度有零分者亦按中比例法求之清䝉气差表清䝉气差表分两段列之第一段自初度至二十二度第二段自二十三度至四十五度皆地平之髙度其所对之数则逐度之蒙气差也用表之法如测得七政或恒星髙四十度求蒙气差则察四十度所对之数为一十秒即所求之䝉气差与视髙四十度相减余三十九度五十九分五十秒为实髙如先推得实髙三十九度五十九分五十秒则以䝉气差一十秒与实髙相加得四十度为视髙也髙度有零分者亦按中比例法求之太阳实行表太阳实行表亦按最卑最髙分顺逆列之最卑后六宫列于上最髙后六宫列于下前后列引数度中列逐宫逐度之太阳实行(太阳实行者太阳一小时之实行也本轮心之行度为平行一小时恒为)(二分二十七秒五十一微而实行则有盈缩盖因均数时时不同故实行亦不同也求法以一度为一率逐度)(均数之较为二率太阳一小时之引数为三率求得四率为一小时均数之较与太阳一小时之平行相加减)(即得太阳逐宫逐度一小时之实行其加减之法均数为加者本度加均小次度加均大则加本度加均大次)(度加均小则减均数为减者本度减均小次度减均大则减本度减均大次度减均小则加)太阳引数在上六宫者用顺度太阳引数在下六宫者用逆度用表之法以引数之宫对引数之度纵横相遇即所求之实行也设太阳引数为一宫二十五度求实行则察一宫二十五度所对之数为二分三十一秒即所求之实行也(一宫在上故用顺度)引数有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度实行所差甚微故也御制厯象考成表卷一
## 表卷二
钦定四库全书御制厯象考成表卷二月离表一太阴年根表太阴周歳平行表太阴周日平行表太阴初均表交均距限表黄白距度表黄白升度差表太阴地半径差表太阴实行表太阴年根表太阴年根表以距冬至及月孛行正交行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太阴平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至太阴平行应一宫零八度四十分五十七秒一十六微即厯元)(甲子年太阴平行距冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之太阴平行十三周天外又)(四宫零九度二十三分零二秒四十三微四十六纤三十四忽四十一芒满全周去之余为次年距冬至之数)(如本年为闰年则加三百六十六日之太阴平行十三周天外又四宫二十二度三十三分三十七秒四十五)(微零二纤四十八忽五十四芒满全周去之余为次年距冬至之数满三十纤以上者进作一微不足三十纤)(者去之后倣此)月孛行者乃逐年天正冬至次日子正最髙过冬至之宫度也(求逐年月孛行法厯元甲子年天正冬至月孛应三宫零四度四十九分五十)(四秒零九微即厯元甲子年月孛过冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之月孛行一)(宫一十度三十九分五十三秒一十六微四十四纤四十六忽零五芒即得次年月孛过冬至之数如本年为)(闰年则加三百六十六日之月孛行一宫一十度四十六分三十四秒二十一微二十三纤四十一忽零二芒)(即得次年月孛过冬至之数)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交过冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交应六宫二十七)(度一十三分三十七秒四十八微即厯元甲子年正交过冬至之数此后用减法如本年为平年则减三百六)(十五日之正交行一十九度一十九分四十三秒三十六微即得次年正交过冬至之数如本年为闰年则减)(三百六十六日之正交行一十九度二十二分五十四秒一十四微二十四纤即得次年正交过冬至之数)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为一宫零三度五十一分五十六秒一十一微其月孛行为六宫二十一度零五分四十八秒二十七微其正交行为六宫一十二度一十五分二十五秒一十五微也太阴周歳平行表太阴周歳平行表以太阴平行及月孛行正交行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃太阴本轮自一日至三百六十六日之平行各数也(太阴每日平行一十三度一十分三十五秒零一微一十六纤一十四忽一十)(三芒累加之即得逐日平行之各数)月孛行者乃太阴本天自一日至三百六十六日之最髙行各数也(最髙每日行六分四十一秒零四微三十八纤)(五十四忽五十七芒累加之即得逐日月孛行之各数)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各数也(正交每日退行三分一十秒三十八微二十四)(纤累加之即得逐日正交行之各数)用表之法如求冬至后二十五日之太阴平行及月孛行正交行则察本表日数二十五所对各数录之其平行为十宫二十九度二十四分三十五秒三十二微即二十五日太阴平行之共数其月孛行为二度四十七分零六秒五十六微即二十五日月孛行之共数其正交行为一度一十九分二十六秒即二十五日正交行之共数也太阴周日平行表太阴周日平行表以一日内之时分秒递降列之盖时刻之分秒与度数之分秒皆以六十递析(一日二十四时每时六十)(分每分六十秒)故太阴一时之平行与一分或一秒之平行皆同数不过递降一位耳如太阴一时行三十二分有余一分行三十二秒有余一秒行三十二微有余其平行之数同为三十二而为分为秒为微则递降也表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则太阴逐时逐分逐秒之各平行数也(太阴每日)(之平行用二十四时除之得三十二分五十六秒二十七微三十三纤一十忽三十五芒是为一时之平行累)(加之为逐时之平行逐分逐秒之平行皆同数而递降一位时之平行为度分秒微分之平行为分秒微纤秒)(之平行为秒微纤忽月孛行与正交行皆倣此)用表之法如求五时三十六分四十八秒之太阴平行及月孛行正交行则察本表太阴平行五时所对之数为二度四十四分四十二秒一十八微三十六分所对之数为一十九分四十五秒五十二微三十二纤四十八秒所对之数为二十六秒二十一微一十纤零三忽合计三数得三度零四分五十四秒三十一微四十二纤零三忽即所求之太阴平行也月孛行五时所对之数为一分二十三秒三十三微三十六分所对之数为一十秒零一微三十七纤四十八秒所对之数为一十三微二十二纤零九忽合计三数得一分三十三秒四十七微五十九纤零九忽即所求之月孛行也正交行五时所对之数为三十九秒四十三微三十六分所对之数为四秒四十五微五十八纤四十八秒所对之数为六微二十一纤一十七忽合计三数得四十四秒三十五微一十九纤一十七忽即所求之正交行也太阴初均表太阴初均表按最髙最卑分顺逆列之引数初宫至五宫为最髙后列于上引数六宫至十一宫为最卑后列于下前后列引数度分分顺逆以别加减中列逐宫逐度之初均数太阴引数在上六宫者用顺度其号为减太阴引数在下六宫者用逆度其号为加用表之法以引数之宫对引数之度分其纵横相遇即所求之初均数也表以十分为率若引数有零分者按中比例法求之设太阴引数为一宫三度四十六分求其初均数则以一宫三度四十分所对之数二度四十一分四十六秒与下层三度五十分所对之数二度四十二分二十九秒相减余四十三秒为一十分之较乃以引数一十分为一率较数四十三秒为二率设数六分为三率求得四率二十五秒小余八收作二十六秒与一宫三度四十分之初均数二度四十一分四十六秒相加(因五十分之初均数大于四十分之初均数故相加反是则相减也)得二度四十二分一十二秒为所求之初均数其号为减即为减均也交均距限表交均距限表按朔朢两弦分顺逆列之朔朢后之各宫列于上月距日初宫至二宫为朔后六宫至八宫为朢后其数同两弦后之各宫列于下月距日三宫至五宫为上弦后九宫至十一宫为下弦后其数同月距日次引在上六宫者用顺度交均之号为减月距日次引在下六宫者用逆度交均之号为加用表之法以月距日次引之宫对月距日次引之度其縦横相遇即所求之交均及距限也表以逐度为率若月距日次引有零分者交均则按中比例法求之距限则取相近者用之(不足三十分者去之满三十分以上则进作一度察表)设月距日次引六宫八度一十五分求交均及距限则以六宫八度所对之交均三十分一十秒与下层九度所对之交均三十三分四十八秒相减余三分三十八秒为一度之较乃以一度化六十分为一率较数化二百一十八秒为二率设数一十五分为三率求得四率五十四秒小余五收作五十五秒与八度之交均三十分一十秒相加(因九度之交均大于八度之交均故相加反是则相减也)得三十一分零五秒为所求之交均其号为减即为减均又察六宫八度所对之距限四度五十八分五十三秒即所求之距限也(因八度一十五分与八度近与九度逺故即用八度之数)黄白距度表黄白距度表按两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后为北纬六宫至八宫系中交后为南纬其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前为北纬九宫至十一宫系正交前为南纬其数同太隂距交实行在上六宫者用顺度太阴距交实行在下六宫者用逆度用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其縦横相遇即所求之距度也表分六限依距限相近者取用(黄白大距逐日不同故以朔朢时黄白大距四度五十八分三十秒与两弦时黄白大距五度一十七分三十)(秒均分为六限各求其距纬列表每限大距相差三分有余夫大距止差三分则距纬所差甚微可以不计故)(依距限相近者取用也)设距限为五度太阴距交实行为一宫五度求黄白距度则察大距四度五十八分三十秒黄白距度表(为与距限五度相近)一宫五度所对之数为二度五十一分零四秒即所求之黄白距度也若距交实行有零分者亦按中比例法求之黄白升度差表黄白升度差表亦按两交前后分顺逆列之两交后六宫列于上两交前六宫列于下前后列距交白道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之黄白升度差太阴距交实行在上六宫者用顺度其号为减太阴距交实行在下六宫者用逆度其号为加用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之升度差也设太阴距交实行为二宫六度求黄白升度差则察二宫六度所对之数为四分五十秒即所求之黄白升度差其号为减是为减差也若距交实行有零分者亦按中比例法求之太阴地半径差表太阴地半径差表按太阴距地与地半径比例数分十限列之(自距地五十三地半径至距地六十二地半径)表内度分秒即各限实髙度所生之地半径差也用表之法如太阴距地五十三地半径推得太阴实髙二十六度求地半径差则察太阴距地五十三地半径表实髙二十六度所对之数为五十八分四十七秒即所求之地半径差与实髙二十六度相减余二十五度零一分一十三秒为本时太阴之视髙也如先测得太阴视髙二十五度零一分一十三秒则以地半径差五十八分四十七秒与视髙相加得二十六度为本时太阴之实髙也若髙度有零分者按中比例法求之太阴实行表太隂实行表亦按最髙最卑分顺逆列之最髙后六宫列于上最卑后六宫列于下前后列引数度中列逐宫逐度之太阴实行(太阴实行者太阴一小时之实行也本轮心之行度为平行一小时恒为)(三十二分五十六秒二十八微而实行则有迟疾葢因均数时时不同故实行亦不同也其理与太阳实行同)太阴引数在上六宫者用顺度太阴引数在下六宫者用逆度用表之法以引数之宫对引数之度其縦横相遇即所求之实行也设太阴引数为初宫二十四度求实行则察初宫二十四度所对之数为三十分二十五秒即所求之实行也(初宫在上故用顺度)引数有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度实行所差甚微故也御制厯象考成表卷二
## 表卷三上
钦定四库全书制厯象考成表卷三上月离表二二三均数表上太隂二三均数表太隂二三均数表按引数及月距日分顺逆列之引数初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后月距日宫度亦分顺逆列于上下(引数初宫至五宫用上宫度六)(宫至十一宫用下宫度)中列逐宫逐度之二三均数其曲折界线乃加减所由分顺度为减者遇界线则为上加下减顺度为加者遇界线则为上减下加逆度为加者遇界线则为上加下减逆度为减者遇界线则为上减下加用表之法以太隂引数之宫度对月距日之宫度其纵横相遇即所求之二三均数也(凡月距日满六宫者即减去六宫用其余数)表以逐度为率若引数与月距日皆有零分者则用中比例三次求之设太隂引数一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分求二三均数则以引数一宫五度与月距日四宫一度所对之数三十五分五十七秒与下层引数一宫六度与月距日四宫一度所对之数三十七分五十五秒相减余一分五十八秒为引数一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一分五十八秒化作一百一十八秒为二率设数二十分为三率求得四率三十九秒与引数一宫五度所对之数三十五分五十七秒相加(因六度之数大于五度之数故相加反是则相减也)得三十六分三十六秒为引数一宫五度二十分月距日四宫一度之二三均数又以引数一宫五度与月距日四宫二度所对之数三十四分二十八秒与下层引数一宫六度与月距日四宫二度所对之数三十六分二十四秒相减余一分五十六秒为引数一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一分五十六秒化作一百一十六秒为二率设数二十分为三率求得四率三十八秒与引数一宫五度所对之数三十四分二十八秒相加得三十五分零六秒为引数一宫五度二十分月距日四宫二度之二三均数复以比例所得两二三均数相减余一分三十秒即月距日一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一分三十秒化作九十秒为二率设数一十五分为三率求得四率二十三秒与比例所得月距日四宫一度之二三均数三十六分三十六秒相减(因二度之数小于一度之数故相减反是则相加也)余三十六分一十三秒为所求引数一宫五度二十分月距日四宫一度一十五分之二三均数其号为减即为减均也 又设太隂引数初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分求二三均数则以引数初宫一十三度与月距日三宫二十五度所对之数六秒与下层引数初宫一十四度与月距日三宫二十五度所对之数二分零五秒相减余一分五十九秒为引数一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一分五十九秒化作一百一十九秒为二率设数一十五分为三率求得四率三十秒与引数初宫一十三度所对之数六秒相加得三十六秒为引数初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度之二三均数是为减均又以引数初宫一十三度与月距日三宫二十六度所对之数五十八秒与下层引数初宫一十四度与月距日三宫二十六度所对之数一分相加得一分五十八秒为引数一度之较(因上)(层为加下层为减则其较为两均之和故相加为引数一度之较)乃以一度化作六十分为一率较数一分五十八秒化作一百一十八秒为二率设数一十五分为三率求得四率三十秒与引数初宫一十三度所对之数五十八秒相减余二十八秒为引数初宫一十三度月距日三宫二十六度之二三均数是为加均(因上层为加下层为减其所加之数渐小故相减余为加均若不足减则于四)(率内反减之余即为减均或上层为减下层为加其所减之数渐小亦相减余为减均若不足减亦于四率内)(反减之余即为加均)复以比例所得两二三均数相加(因比例所得两均数)(一为加一为减故相加若同号则相减)得一分零四秒即月距日一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一分零四秒化作六十四秒为二率设数四十分为三率求得四率四十三秒反减去比例所得月距日三宫二十五度之二三均数三十六秒余七秒为所求引数初宫一十三度一十五分月距日三宫二十五度四十分之二三均数即为加均也(因前数为减后数为加其所减之数渐小应相减余为减均今不足减故于四率内)(反减之余即为加均或前数为加后数为减其所加之数渐小亦相减余为加均若不足减则于四率内反减)(之余即为减均也察逆度上下前后反是)御制厯象考成表卷三上
## 表卷三中
钦定四库全书御制厯象考成表卷三中月离表二二三均数表上御制厯象考成表卷三中
## 表卷三下
钦定四库全书御制厯象考成表卷三下月离表二三均数表御制厯象考成表卷三下
## 表卷四上
钦定四库全书御制厯象考成表卷四上月离表三二三均数表下御制厯象考成表卷四上
## 表卷四中
钦定四库全书御制厯象考成表卷四中月离表三二三均数表下之二御制厯象考成表卷四中
## 表卷四下
钦定四库全书御制厯象考成表卷四下月离表三二三均数表下之三御制厯象考成表卷四下
## 表卷五
钦定四库全书御制厯象考成表卷五交食表一首朔诸根表朔朢策表周日诸平行表月距日实行表黄白距度表视半径表交食月行表首朔诸根表首朔诸根表以首朔及太阳平行太阳引数太隂引数太隂交周逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名首朔者乃逐年天正冬至后第一平朔距冬至次日子正之日时也(求逐年首朔法厯元甲子年朔应二十六日零九时一十四分)(四十七秒零二微零三纤即厯元甲子年首朔之数此后用加法以本年首朔之数加十二朔策三百五十四)(日零八时四十八分三十八秒四十九微二十一纤如本年为平年则减去三百六十五日余为次年首朔之)(数如本年为闰年则减去三百六十六日余为次年首朔之数若不足减则再加一朔策二十九日一十二时)(四十四分零三秒一十四微零七纤然后减之而本年即为有闰月也满三十纤以上者进作一微不足三十)(纤者去之后倣此)太阳平行者乃逐年首朔太阳平行距丑宫初度之度分也(求逐年太阳平行法厯元甲子年首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四)(十二秒五十六㣲三十四纤即厯元甲子年首朔太阳平行过冬至之数此后用加法如本年无闰月则加十)(二朔策之太阳平行十一宫一十九度一十六分五十一秒三十九微零八纤满全周去之即得次年首朔太)(阳平行过冬至之数如本年有闰月则加十三朔策之太阳平行一周天外又一十八度二十三分一十五秒)(五十七微二十二纤即得次年首朔太阳平行过冬至之数)太阳引数者乃逐年首朔太阳自行距最卑之宫度也(求逐年太阳引数法厯元甲子年首朔太阳引)(数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微二十四纤即厯元甲子年首朔太阳自行过最卑之数此后)(用加法如本年无闰月则加十二朔策之太阳引数十一宫一十九度一十五分五十二秒一十八微二十三)(纤即得次年首朔太阳自行过最卑之数如本年有闰月则加十三朔策之太阳引数本轮一周外又一十八)(度二十二分一十一秒三十九微五十五纤即得次年首朔太阳自行过最卑之数)太隂引数者乃逐年首朔太隂自行距最髙之宫度也(求逐年太隂引数法厯元)(甲子年首朔太隂引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六㣲二十二纤即厯元甲子年首朔太隂)(自行过最髙之数此后用加法如本年无闰月则加十二朔策之太隂引数本轮十二周外又十宫零九度四)(十八分零二秒五十八㣲五十九纤即得次年首朔太隂自行过最髙之数如本年有闰月则加十三朔策之)(太隂引数本轮十三周外又十一宫零五度三十七分零三秒一十三微五十四纤即得次年首朔太隂自行)(过最髙之数)太隂交周者乃逐年首朔太隂平行距正交之宫度也(求逐年太隂交周法厯元甲子年首朔太隂交周应六宫零三十分五十五秒一十四微一十)(六纤即厯元甲子年首朔太隂平行过正交之数此后用加法如本年无闰月则加十二朔策之太隂交周十)(三周天外又八度零二分四十八秒一十一㣲五十六纤即得次年首朔太隂平行过正交之数如本年有闰)(月则加十三朔策之太隂交周十四周天外又一宫零八度四十三分零二秒一十二㣲五十纤即得次年首)(朔太隂平行过正交之数)后列纪日値宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所値之宿也(与日躔表同但日躔表所列者为干支与宿之名此所列者为)(干支与宿之数干支以初日为甲子一日为乙丑宿以初日为角一日为亢俱依次顺数之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之首朔诸根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其首朔为二十六日一十八时二十分零八秒其太阳平行为二十六度三十一分零五秒五十九微其太阳引数为初宫一十八度四十二分零六秒零一微其太隂引数为六宫零二度二十六分二十三秒零六微其太隂交周为六宫一十五度四十分四十三秒其纪日为二十七其値宿为二十五也朔朢策表朔朢策表以朔策朢策及太阳平行太阳引数太隂引数太隂交周逐月列之前用月数者自一月至十三月之月数也表名朔策者乃逐月平朔距首朔之日时(求逐)(月朔策法以朔策二十九日一十二时四十四分零三秒一十四微零七纤累加之即得逐月朔策)朢策者乃逐月平朢距首朔之日时也(求逐月朢策法以朢策一十四日一十八)(时二十二分零一秒三十七微零四纤与逐月朔策相加即得逐月朢策)太阳平行朔策者乃逐月平朔距首朔之太阳平行(求逐月太阳平行朔策法以太阳平行朔)(策二十九度零六分二十四秒一十八微一十六纤累加之即得逐月太阳平行朔策)太阳平行朢策者乃逐月平朢距首朔之太阳平行也(求逐月太阳平行朢)(策法以太阳平行朢策一十四度三十三分一十二秒零九微零八纤与逐月太阳平行朔策相加即得逐月)(太阳平行朢策)太阳引数太隂引数太隂交周皆倣此用表之法如求首朔后第五月之朔策则察本表月数五所对各朔策之数录之其朔策为一百四十七日一十五时四十分一十六秒其太阳平行朔策为四宫二十五度三十二分零一秒三十一微其太阳引数朔策为四宫二十五度三十一分三十六秒四十八微其太隂引数朔策为四宫零九度零五分零一秒一十五微其太隂交周朔策为五宫零三度二十一分一十秒零五微即所求首朔后第五月各朔策之数也求朢策倣此周日诸平行表周日诸平行表以一日内之时分秒递降列之其法与日躔月离周日平行表同表名太阳平行者即逐时逐分逐秒之太阳平行也月距日者乃逐时逐分逐秒之太隂平行内减去太阳平行之数也太隂引数者乃逐时逐分逐秒之太隂自行也太隂交周者乃逐时逐分逐秒之交周平行也用表之法如求五时一十二分二十四秒之太阳平行则察五时所对之太阳平行为一十二分一十九秒一十二分所对之太阳平行为二十九秒三十四微二十四秒所对之太阳平行为五十九微零八纤合计三数得一十二分四十九秒三十三微零八纤即所求之太阳平行也又或有太阳平行一十二分四十九秒三十三微零八纤求时分秒则察太阳平行表内与一十二分四十九秒相近畧小之数为一十二分一十九秒其所对为五时乃以一十二分一十九秒与设数相减余三十秒三十三微零八纤又察太阳平行表内与三十秒三十三微相近畧小之数为二十九秒三十四微其所对为一十二分又以二十九秒三十四微与余数相减余五十九微零八纤复察太阳平行表内与五十九微零八纤相近畧小之数余数恰合其所对为二十四秒合计三次所得五时一十二分二十四秒即所求之时分秒也余倣此月距日实行表月距日实行表亦按最髙最卑分顺逆列之最髙后六宫列于上最卑后六宫列于下前后列引数度中列逐宫逐度之月距日实行(月距日实行者一小时月距日之实行也本轮心之行度为平)(行一小时恒为三十二分五十六秒二十八微内减太阳一小时之平行二分二十七秒五十一微余三十分)(二十八秒三十七微为一小时月距日之平行然平行虽同而实行则有迟疾因有均数之加减故也求法与)(太阳实行同)太隂引数在上六宫者用顺度太隂引数在下六宫者用逆度用表之法以引数之宫对引数之度其纵横相遇即所求之月距日实行也设太隂引数为初宫二十四度求月距日实行则察初宫二十四度所对之数为二十七分五十七秒即所求之月距日实行也(初宫在上故用顺度)若引数有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度实行所差甚微故也黄白距度表黄白距度表按两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后为北纬六宫至八宫系中交后为南纬其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前为北纬九宫至十一宫系正交前为南纬其数同太隂交周在上六宫者用顺度太隂交周在下六宫者用逆度(此即月离黄白距度表六分之一乃朔朢时之大距专为交食之用故以)(十分递析较月离加详焉)用表之法以交周之宫对交周之度分其纵横相遇即所求之距度也表以十分为率若交周有零分者按中比例法求之设太隂交周初宫三度二十五分求黄白距度则以交周初宫三度二十分所对之数一十七分二十秒与下层三十分所对之数一十八分一十二秒相减余五十二秒为一十分之较乃以一十分为一率较数五十二秒为二率设数五分为三率求得四率二十六秒与初宫三度二十分之距度一十七分二十秒相加得一十七分四十六秒即所求之黄白距度也视半径表视半径表按引数宫度分顺逆列之初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名日半径者乃太阳自最卑至最髙逐度之半径分秒也月半径者乃太隂自最髙至最卑逐度之半径分秒也月距地者乃太隂朔朢时自最髙至最卑距地之逺与地半径比例之数也(太隂两弦时距地最逺为地半径之六十二倍有余距地最近为地半径之五十三)(倍有余表为交食而作故止列朔朢时距地之数)影半径者乃太阳在最髙所生之地影太隂自最髙至最卑所当影半径之分秒也影差者乃太阳自最卑至最髙逐度所生之地影与太阳在最髙所生之地影相差之数也用表之法设太阳引数初宫五度太隂引数十一宫一十五度求各视半径数则察太阳引数初宫五度与日半径所对之数为一十五分三十二秒即所求之日半径其与影差所对之数为三十五秒即所求之影差又察太隂引数十一宫一十五度与月半径所对之数为一十五分五十四秒即所求之月半径其与月距地所对之数为五十八倍又百分之一十二即所求之月距地其与影半径所对之数为四十三分一十六秒即所求之影半径也交食月行表交食月行表以两径和较及食甚距纬纵横列之食甚距纬列于前两径和较列于上(两径和者太阳与太隂或太隂与地影两半径)(之和两径较者太隂与地影两半径之较日食惟用两径和月食十分以上兼用两径较)中列逐分初亏至食甚或食既至食甚之月行分秒(初亏至食甚与食甚至复)(圆同食既至食甚与食甚至生光同)其有空格者盖两径之和大于距纬方有食小于距纬或仅与距纬等则不食即无月行分秒矣用表之法以两径和较之分对食甚距纬之分其纵横相遇即所求之月行分秒如太阳太隂两半径之和三十二分食甚距纬一十二分求初亏至食甚之月行分秒则察两径和较三十二分与食甚距纬一十二分所对之数为二十九分四十秒即所求初亏至食甚之月行分秒又如太隂地影两半径之较三十分食甚距纬五分求食既至食甚之月行分秒则察两径和较三十分与食甚距纬五分所对之数为二十九分三十五秒即食既至食甚之月行分秒若距纬及两径和较皆有零秒者用中比例三次求之御制厯象考成表卷五
## 表卷六上
钦定四库全书御制厯象考成表卷六上交食表二黄平象限表上(自北极髙十六度度至北极髙二十二)黄平象限表黄平象限表自北极髙一十六度至北极髙四十六度按正午黄道宫度逐叚列之(三宫初度为春分故表从三宫初度起)表名春分距午者乃春分距午赤道度所变之时分秒也(每一)(度变时之四分每十五分变时之一分每十五秒变时之一秒春分距午宫度愈逺则所变时分愈多不因北)(极髙下而殊也)黄平象限者乃本时黄平象限之宫度也限距地髙者乃本时黄平象限距地平之髙度也其过天顶之南北则以界线分之盖中国地面在赤道北黄道恒在天顶南自北极髙一十六度至北极髙二十三度正午黄道近夏至则黄道过天顶北夏至后复过天顶南故界线所分即南北差之加减所由辨也用表之法设京师北极髙四十度太阳黄道经度三宫一十五度合朔距午后二时零三分求春分距午时分及黄平象限宫度并限距地髙则察本表正午黄道三宫一十五度与春分距午相对之数为五十五分一十四秒与合朔距午后二时零三分相加得二时五十八分一十四秒为所求春分距午时分乃以二时五十八分一十四秒察春分距午时分相近者得二时五十八分零六秒其与黄平象限相对之数为四宫二十三度五十三分四十四秒即所求之黄平象限宫度其与限距地髙相对之数为六十七度五十七分零四秒即所求之限距地髙也御制厯象考成表卷六上
## 表卷六下
钦定四库全书御制厯象考成表卷六下交食表二黄平象限表上之二(自北极高二十三度至北极高三十度)御制厯象考成表卷六下
## 表卷七上
钦定四库全书御制厯象考成表卷七上交食表三黄平象限表下(自北极高三十一度至北极高三十八度)御制厯象考成表卷七上
## 表卷七下
钦定四库全书御制厯象考成表卷七下交食表三之二黄平象限表下之二(自北极高三十九度至北极高四十六度)御制厯象考成表卷七下
## 表卷八
钦定四库全书御制厯象考成表卷八交食表四黄道髙弧交角表太阳髙弧表东西南北差表纬差角表黄道髙弧交角表黄道髙弧交角表以日距限及限距地髙纵横列之日距限自一度至九十度分三段列于前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列于上(每段一十度)中列逐度之黄道髙弧交角用表之法以日距限之度对限距地髙之度其纵横相遇即所求之黄道髙弧交角也设日距限三十度限距地髙二十五度求黄道髙弧交角则察日距限三十度与限距地髙二十五度所对之数为七十六度五十二分三十二秒即所求之黄道髙弧交角也若日距限及限距地髙皆有零分者用中比例三次求之太阳髙弧表太阳髙弧表亦以日距限及限距地髙纵横列之日距限自一度至九十度分三段列于前(每段三十度)限距地髙自二十度至八十九度分七段列于上(每段一十度)中列逐度之太阳髙弧用表之法以日距限之度对限距地髙之度其纵横相遇即所求之太阳髙弧也设日距限六十一度限距地髙二十五度求太阳髙弧则察日距限六十一度与限距地髙二十五度所对之数为一十一度四十九分二十三秒即所求之太阳髙弧也若日距限及限距地髙皆有零分者亦用中比例三次求之东西南北差表东西南北差表以交角及髙下差分顺逆列之交角自一度至四十五度顺列于前自四十五度至八十九度逆列于后中按髙下差分数列逐度东西南北差之分秒顺度用上东西南北差逆度用下东西南北差用表之法以髙下差之分对交角之度其纵横相遇即所求之东西南北差也设髙下差三分交角二十五度求东西南北差则察髙下差三分与交角二十五度所对之东西差为二分四十三秒即所求之东西差其南北差为一分一十六秒即所求之南北差也(交角为顺度故用上)(东西南北差)若髙下差及交角皆有零分秒者用中比例三次求之纬差角表纬差角表以并径及距纬纵横列之并径自三十一分至六十四分列于前视纬自一分至六十四分列于上(太阳最小之半径一十四分五十九秒三十微太阴最小之半径一十五分五十三秒三十微两半径相并得)(三十分五十三秒太阴最大之半径一十六分五十一秒地影最大之半径四十六分四十八秒两半径相并)(得六十三分三十九秒故并径自三十一分起至六十四分止)中列逐分之纬差角用表之法以并径之分对距纬之分其纵横相遇即所求之纬差角也设并径三十四分距纬三分求纬差角则察并径三十四分与距纬三分所对之数为五度零三分四十四秒即所求之纬差角也若并径及距纬有零秒者满三十秒以上则进作一分不用中比例因逐分之纬差角虽有数度之差而定交食方位所差甚微故也御制厯象考成表卷八
## 表卷九
钦定四库全书御制厯象考成表卷九土星表土星年根表土星周岁平行表土星周日平行表土星均数表土星升度差表土星距黄道表土星距地表土星年根表土星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正土星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至土星平行应七宫二十三度一十九分四十四秒五十五)(微即厯元甲子年土星平行距冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之土星平行一十)(二度一十三分三十九秒四十九微二十三纤一十一忽三十芒即得次年距冬至之数如本年为闰年则加)(三百六十六日之土星平行一十二度一十五分四十秒二十五微三十一纤一十八忽三十六芒即得次年)(距冬至之数加满十二宫者去之满三十纤以上者进作一微不足三十纤者去之后倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高过冬至之宫度也(求逐年最高行法厯元甲子年天正冬至最高应十一宫二十八度二十六分零六秒零五微即厯元甲子年)(最高过冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之最高行一分二十秒零八微四十八纤)(三十二忽四十五芒即得次年最高过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之最高行一分二十秒)(二十一微五十九纤零二忽零六芒即得次年最高过冬至之数)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交过冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交应六宫二十一度二十分五十七秒二十四微即厯元甲子年正交过冬至之数此后用)(加法如本年为平年则加三百六十五日之正交行四十一秒五十一微二十纤零五十七芒即得次年正交)(过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之正交行四十一秒五十八微一十二纤五十忽一十四芒)(即得次年正交过冬至之数)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为十一宫零八度一十七分零三秒三十七微其最高行为十一宫二十九度一十六分五十三秒三十八微其正交行为六宫二十一度四十七分二十八秒五十七微也土星周岁平行表土星周岁平行表以土星平行及最高行正交行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃土星本轮自一日至三百六十六日之平行各数也(土星每日平行二分零三十六微零八纤零七忽零六芒累加之即得逐日平)(行之各数)最高行者乃土星本天自一日至三百六十六日之最高行各数也(最高每日行一十三微一十纤二十九忽二十一芒累加之即得逐日最)(高行之各数)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各数也(正交每日行六微五十二纤四十九忽一十九芒累加之即得逐日正交行之各数)用表之法如求冬至后二十八日之土星平行及最高行正交行则察本表日数二十八所对各数录之其平行为五十六分一十六秒五十二微即二十八日土星平行之共数其最高行为六秒零九微即二十八日最高行之共数其正交行为三秒一十三微即二十八日正交行之共数也土星周日平行表土星周日平行表以一日内之时分秒递降列之表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则土星逐时逐分逐秒之平行数也(土星每日)(之平行用二十四时除之得五秒零一微三十纤二十忽一十八芒是为一时之平行累加之为逐时之平行)(逐分逐秒之平行皆同数而递降一位时之平行为分秒微分之平行为秒微纤秒之平行为微纤忽)用表之法如求一十六时二十五分三十六秒之土星平行则察本表一十六时所对之数为一分二十秒二十四微二十五分所对之数为二秒零五微三十八纤三十六秒所对之数为三微零五十四忽合计三数得一分二十二秒三十二微三十八纤五十四忽即所求之土星平行也土星均数表土星均数表以引数宫度求初均及中分以星距日次引宫度求次均及较分初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名初均者乃土星本轮均轮所生之均数顺度为减逆度为加中分者则逐宫逐度次轮心距地心与最高距地心之较为六十分中之㡬分也(求中分之法以土星次轮心在最髙距地心之一○五六九一七四与土星次轮心在最)(卑距地心之九四三○八二六相减余一一三八三四八为一率六十分为二率逐宫逐度次轮心距地心与)(最高距地心相减余为三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次轮心距地心之法详厯理求初均数篇)次均者乃次轮心在最高土星行次轮周逐宫逐度之次均数顺度为加逆度为减较分者则次轮心在最卑逐宫逐度之次均与次轮心在最高逐宫逐度之次均相较之数也(求较分之法设次轮心在最卑求得逐宫逐度之次均数与次轮心在最高逐宫逐)(度之次均数相减即得)用表之法设土星引数为初宫四度一十分求初均及中分则察初宫四度一十分与初均所对之数为二十七分二十八秒其号为减即所求之初均其与中分所对之数为三秒即所求之中分也(初宫在上故用顺度)又设星距日次引为十一宫二十五度求次均及较分则察十一宫二十五度与次均所对之数为二十六分五十五秒其号为减即所求之次均其与较分所对之数为二分五十五秒即所求之较分也(十一宫在下故用逆度)若引数或星距日次引有零分者按中比例法求之土星升度差表土星升度差表按两交前后分顺逆列之两交后六宫列于上两交前六宫列于下前后列距交本道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之升度差土星距交实行在上六宫者用顺度其号为减土星距交实行在下六宫者用逆度其号为加用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之升度差也设土星距交实行为一宫八度求升度差则察一宫八度所对之数为一分三十七秒即所求之升度差其号为减是为减差也若距交实行有零分者亦按中比例法求之土星距黄道表土星距黄道表亦按两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后在黄道北六宫至八宫系中交后在黄道南其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前在黄道北九宫至十一宫系正交前在黄道南其数同前后列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道数(即次轮心距黄道之数)土星距交实行在上六宫者用顺度土星距交实行在下六宫者用逆度用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之星距黄道线也设土星距交实行为初宫五度求星距黄道线则察初宫五度所对之数为三八二七○即所求之土星距黄道线也若距交实行有零分者亦按中比例法求之土星距地表土星距地表按星距日次引宫度分顺逆列之初宫至五宫列于上六宫至十一宫列于下前后列星距日次引度中列逐宫逐度之星距地数(星距地者乃次轮心在中距土星行次轮)(周逐宫逐度之距地心线)土星距日次引在上六宫者用顺度土星距日次引在下六宫者用逆度用表之法以星距日次引之宫对星距日次引之度其纵横相遇即所求之星距地心线也设土星距日次引为初宫一十二度求星距地心线则察初宫一十二度所对之数为一一○二一九四八即所求之星距地心线也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御制厯象考成表卷九
## 表卷十
钦定四库全书御制厯象考成表卷十木星表木星年根表木星周岁平行表木星周日平行表木星均数表木星升度差表木星距黄道表木星距地表木星年根表木星年根表以距冬至及最高行正交行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正木星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至木星平行应八宫零九度一十三分一十三秒一十一微)(即厯元甲子年木星平行距冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之木星平行一宫零)(二十分三十九秒零八微零二忽三十五芒即得次年距冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之木)(星平行一宫零二十五分三十八秒二十五微零七纤零六忽四十二芒即得次年距冬至之数加满十二宫)(者去之满三十纎以上者进作一微不足三十纎者去之后倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高过冬至之宫度也(求逐年最高行法厯元甲)(子年天正冬至最高应九宫零九度五十一分五十九秒二十七微即厯元甲子年最高过冬至之数此后用)(加法如本年为平年则加三百六十五日之最高行五十七秒四十九微四十一纎五十忽一十七芒即得次)(年最高过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之最高行五十七秒五十九微一十二纎一十一忽)(五十七芒即得次年最高过冬至之数)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交过冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲子年天正冬至正交应六)(宫零七度二十一分四十九秒三十五微即厯元甲子年正交过冬至之数此后用加法如本年为平年则加)(三百六十五日之正交行一十三秒三十五微二十七纎三十二忽零五芒即得次年正交过冬至之数如本)(年为闰年则加三百六十六日之正交行一十三秒三十七微四十一纎三十四忽五十八芒即得次年正交)(过冬至之数)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为十宫二十三度零二分五十三秒四十九微其最高行为九宫一十度二十八分三十八秒二十微其正交行为六宫零七度三十分二十六秒二十二微也木星周歳平行表木星周歳平行表以木星平行及最高行正交行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃木星本轮自一日至三百六十六日之平行各数也(木星每日平行四分五十九秒一十七微零七纎零四忽零七芒累加之即得)(逐日平行之各数)最高行者乃木星本天自一日至三百六十六日之最高行各数也(最高每日行九微三十纎二十一忽四十芒累加之即得逐日)(最高行之各数)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各数也(正交每日行二微一十四纎零二忽五十三芒累加之即得逐日正交行之各数)用表之法如求冬至后二十六日之木星平行及最高行正交行则察本表日数二十六所对各数录之其平行为二度零九分四十一秒二十五微即二十六日木星平行之共数其最高行为四秒零七微即二十六日最高行之共数其正交行为五十八微即二十六日正交行之共数也木星周日平行表木星周日平行表以一日内之时分秒递降列之表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则木星逐时逐分逐秒之平行数也(木星每日)(之平行用二十四时除之得一十二秒二十八微一十二纎四十七忽四十芒是为一时之平行累加之为逐)(时之平行逐分逐秒之平行皆同数而递降一位时之平行为分秒微分之平行为秒微纎秒之平行为微纎)(忽)用表之法如求一十五时二十四分三十六秒之木星平行则察本表一十五时所对之数为三分零七秒零三微二十四分所对之数为四秒五十九微一十七纎三十六秒所对之数为七微二十八纎五十六忽合计三数得三分一十二秒零九微四十五纎五十六忽即所求之木星平行也木星均数表木星均数表以引数宫度求初均及中分以星距日次引宫度求次均及较分初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名初均者乃木星本轮均轮所生之均数顺度为减逆度为加中分者则逐宫逐度次轮心距地心与最高距地心之较为六十分中之几分也(求中分之法以木星次轮心在最高距地心之一○四五七三四○与木星次轮心在最)(卑距地心之九五四二六六○相减余九一四六八○为一率六十分为二率逐宫逐度次轮心距地心与最)(高距地心相减余为三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次轮心距地心之法详厯理求初均数篇)次均者乃次轮心在最高木星行次轮周逐宫逐度之次均数顺度为加逆度为减较分者则次轮心在最卑逐宫逐度之次均与次轮心在最高逐宫逐度之次均相较之数也(求较分之法与土星同)用表之法设木星引数为初宫四度一十分求初均及中分则察初宫四度一十分与初均所对之数为二十二分四十七秒其号为减即所求之初均其与中分所对之数为四秒即所求之中分也(初宫在上故用顺度)又设星距日次引为一宫五度二十分求次均及较分则察一宫五度二十分与次均所对之数为五度一十七分五十六秒其号为加即所求之次均其与较分所对之数为二十五分五十九秒即所求之较分也(一宫在上故用顺度)若引数或星距日次引有零分者按中比例法求之木星升度差表木星升度差表按两交前后分顺逆列之两交后六宫列于上两交前六宫列于下前后列距交本道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之升度差木星距交实行在上六宫者用顺度其号为减木星距交实行在下六宫者用逆度其号为加用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之升度差也设木星距交实行为一宫一十五度求升度差则察一宫一十五度所对之数为二十八秒即所求之升度差其号为减是为减差也若距交实行有零分者亦按中比例法求之木星距黄道表木星距黄道表亦按两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后在黄道北六宫至八宫系中交后在黄道南其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前在黄道北九宫至十一宫系正交前在黄道南其数同前后列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道数(即次轮心距黄道之数)木星距交实行在上六宫者用顺度木星距交实行在下六宫者用逆度用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之星距黄道线也设木星距交实行为初宫八度求星距黄道线则察初宫八度所对之数为三二二四九即所求之木星距黄道线也若距交实行有零分者亦按中比例法求之木星距地表木星距地表按星距日次引宫度分顺逆列之初宫至五宫列于上六宫至十一宫列于下前后列星距日次引度中列逐宫逐度之星距地数(星距地者乃次轮心在中距木星行次轮)(周逐宫逐度之距地心线)木星距日次引在上六宫者用顺度木星距日次引在下六宫者用逆度用表之法以星距日次引之宫对星距日次引之度其纵横相遇即所求之星距地心线也设木星距日次引为初宫一十六度求星距地心线则察初宫一十六度所对之数为一一八六六六五九即所求之星距地心线也若星距日次引有零分者亦按中比例法求之御制厯象考成表卷十
## 表卷十一
钦定四库全书御制厯象考成表巻十一火星表火星年根表火星周岁平行表火星周日平行表火星均数表火星升度差表火星距黄道表火星地半径差表火星年根表火星年根表以距冬至及最髙行正交行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正火星平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法厯元甲子年天正冬至火星平行应二宫一十三度三十九分五十二秒一十五)(微即厯元甲子年火星平行距冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之火星平行六宫)(一十一度一十七分一十四秒三十三微四十七纤零二忽四十芒即得次年距冬至之数如本年为闰年则)(加三百六十六日之火星平行六宫一十一度四十八分四十一秒一十三微五十九纤一十忽二十四芒即)(得次年距冬至之数加满十二宫者去之满三十纤以上者进作一微不足三十纤者去之后倣此)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙过冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙应八宫零三十三分一十一秒五十四微即厯元甲子年)(最髙过冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之最髙行一分零六秒五十七微一十九)(纤五十六忽二十八芒即得次年最髙过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之最髙行一分零七)(秒零八微二十纤一十九忽二十八芒即得次年最髙过冬至之数)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交过冬至之宫度也(求逐年正交行法厯元甲)(子年天正冬至正交应四宫一十七度五十一分五十四秒零七微即厯元甲子年正交过冬至之数此后用)(加法如本年为平年则加三百六十五日之正交行五十二秒五十四微五十三纤三十六忽零八芒即得次)(年正交过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之正交五十三秒零三微三十五纤三十忽零九芒)(即得次年正交过冬至之数)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为四宫二十七度一十八分零五秒四十微其最髙行为八宫零一度一十五分三十七秒五十一微其正交行为四宫一十八度二十五分二十六秒一十一微也火星周岁平行表火星周岁平行表以火星平行及最髙行正交行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃火星本轮自一日至三百六十六日之平行各数也(火星每日平行三十一分二十六秒四十微一十二纤零七忽四十四芒累加)(之即得逐日平行之各数)最髙行者乃火星本天自一日至三百六十六日之最髙行各数也(最髙每日行一十一微零二十三忽累加之即得逐日最)(髙行之各数)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行各数也(正交每日行八微四十一纎五十四忽零一芒累加之即得逐日正交行之各数)用表之法如求冬至后三十一日之火星平行及最髙行正交行则察本表日数三十一所对之数录之其平行为一十六度一十四分四十六秒四十六微即三十一日火星平行之共数其最髙行为五秒四十一微即三十一日最髙行之共数其正交行为四秒三十微即三十一日正交行之共数也火星周日平行表火星周日平行表以一日内之时分秒递降列之表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则火星逐时逐分逐秒之平行数也(火星每日)(之平行用二十四时除之得一分一十八秒三十六微四十纤三十忽一十九芒是为一时之平行累加之为)(逐时之平行逐分逐秒之平行皆同数而递降一位时之平行为度分秒微分之平行为分秒微纤秒之平行)(为秒微纤忽)用表之法如求一十八时三十二分四十五秒之火星平行则察本表一十八时所对之数为二十三分三十五秒三十二分所对之数为四十一秒五十五微三十四纤四十五秒所对之数为五十八微五十七纤三十忽合计三数得二十四分一十七秒五十四微三十一纤三十忽即所求之火星平行也火星均数表火星均数表按引数宫度分顺逆列之初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名初均者火星本轮均轮所生之均数也顺度为减逆度为加次轮心距地数者乃次轮心自最髙至最卑逐宫逐度距地心之数也次轮半径本数者乃火星最小次轮半径与逐宫逐度本天髙卑差相加之数也(火星次轮半径在本天最)(髙则大在本天最卑则小故以逐宫逐度之本天髙卑差与最小次轮半径相加为次轮半径本数)太阳髙卑差数者乃太阳髙卑所生火星次轮半径之差数也(火星次轮半径太阳在最髙时则大太阳在最卑时则小故以太阳引数求其逐宫逐度之差为太阳髙)(卑差数)用表之法以引数之宫对引数之度分其纵横相遇即所求之数也设火星引数为初宫四度五十分求初均及次轮心距地本天次轮半径则察初宫四度五十分与初均所对之数为四十八分二十二秒其号为减即所求之初均其所对之次轮心距地数为一一一一○一二六即所求之次轮心距地其所对之次轮半径本数为六五六○七八八即所求之本天次轮半径也又设太阳引数为七宫二十度求太阳髙卑差则以太阳引数减六宫得一宫二十度(太阳引数过六宫者减六宫不及六宫者加六宫因)(太阳引数初宫起最卑此表初宫起最髙故也)察其所对之太阳髙卑差数为一九三○二八即所求之太阳髙卑差也若引数有零分者亦按中比例法求之火星升度差表火星升度差表按两交前后分顺逆列之两交后六宫列于上两交前六宫列于下前后列距交本道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之升度差火星距交实行在上六宫者用顺度其号为减火星距交实行在下六宫者用逆度其号为加用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之升度差也设火星距交实行为一宫二十四度求升度差则察一宫二十四度所对之数为五十秒即所求之升度差其号为减是为减差也若距交实行有零分者亦按中比例法求之火星距黄道表火星距黄道表亦按两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后在黄道北六宫至八宫系中交后在黄道南其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前在黄道北九宫至十一宫系正交前在黄道南其数同前后列距交本道度中列逐宫逐度之星距黄道数(即次轮心距黄道之数)火星距交实行在上六宫者用顺度火星距交实行在下六宫者用逆度用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其纵横相遇即所求之星距黄道线也设火星距交实行为初宫一十二度求星距黄道线则察初宫一十二度所对之数为六六五一六即所求之火星距黄道线也若距交实行有零分者亦按中比例法求之火星地半径差表火星地半径差表分最髙中距最卑三限列之其前列实髙度(火星引数自十宫一十五度至一宫一十五度为最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆为中距限自四宫一十五度至七宫一十五度为最卑限)表内分秒即三限实髙度所生之地半径差也用表之法如火星引数当最髙限推得实髙五十三度求地半径差则察最髙限实髙五十三度所对之数为四十秒即所求之地半径差与实髙五十三度相减余五十二度五十九分二十秒为本时火星之视髙也如先测得火星视髙五十二度五十九分二十秒则以地半径差四十秒与视髙相加得五十三度为本时火星之实髙也髙度有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度地半径差所差甚微故也御制厯象考成表巻十一
## 表卷十二
钦定四库全书御制厯象考成表卷十二金星表金星年根表金星周岁平行表金星周日平行表金星均数表金星距黄道表金星距地表金星地半径差表金星年根表金星年根表以距冬至及最髙行伏见行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正金星平行距丑宫初度之分秒也(金星平行与太阳平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最高过冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最高应六宫零)(一度三十三分三十一秒零四微即厯元甲子年最高过冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百六)(十五日之最高行一分二十二秒五十三微四十一纤五十九忽三十三芒即得次年最高过冬至之数如本)(年为闰年则加三百六十六日之最高行一分二十三秒零七微一十九纎三十五忽一十三芒即得次年最)(高过冬至之数满三十纤以上者进作一微不足三十纤者去之后倣此)伏见行者乃逐年天正冬至次日子正金星距次轮平逺之宫度也(求逐年伏)(见行法厯元甲子年天正冬至伏见应一十八度三十八分一十三秒零六微即厯元甲子年伏见行距平逺)(之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之伏见行七宫一十五度零一分三十二秒二十三微)(零一纎四十七忽四十芒即得次年伏见行距平逺之数如本年为闰年则加三百六十六日之伏见行七宫)(一十五度三十八分三十一秒四十八微五十四纤零四忽二十四芒即得次年伏见行距平逺之数加满十)(二宫者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为八分一十八秒三十二微其最高行为六宫零二度二十六分零三秒零八微其伏见行为九宫二十五度零九分三十八秒三十四微也金星周岁平行表金星周岁平行表以金星平行及最髙行伏见行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃金星本轮自一日至三百六十六日之平行各数也最髙行者乃金星本天自一日至三百六十六日之最髙行各数也(最髙每日行一十三微三十七纤三十五忽四十芒)(累加之即得逐日最髙行之各数)伏见行者乃自一日至三百六十六日金星行次轮之各数也(伏见每日行三十六分五十九秒二十五微五十二纤一)(十六忽四十四芒累加之即得逐日伏见行之各数)用表之法如求冬至后二十八日之金星平行及最髙行伏见行则察本表日数二十八所对各数录之其平行为二十七度三十五分五十三秒一十五微即二十八日金星平行之共数其最髙行为六秒二十二微即二十八日最髙行之共数其伏见行为一十七度一十五分四十四秒零四微即二十八日伏见行之共数也金星周日平行表金星周日平行表以一日内之时分秒递降列之表分两段并与太阳平行同用表之法如求一十六时一十六分二十四秒之金星平行则察本表一十六时所对之数为二十四分三十九秒三十七微一十六分所对之数为二十四秒三十九微三十七纤二十四秒所对之数为三十六微五十九纤二十六忽合计三数得二十五分零四秒五十三微三十六纤二十六忽即所求之金星平行也金星均数表金星均数表以引数宫度求初均及中分以伏见实行宫度求次均及较分初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名初均者乃金星本轮均轮所生之均数顺度为减逆度为加中分者则逐宫逐度次轮心距地心与最髙距地心之较为六十分中之几分也(求中分之法以金星次轮心在最髙距地心之一○一四三一一○与金星次轮心在最卑距)(地心之九八五六八九○相减余二八六二二○为一率六十分为二率逐宫逐度次轮心距地心与最髙距)(地心相减余为三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次轮心距地心之法详厯理求初均数篇)次均者乃次轮心当最髙金星行次轮周逐宫逐度之次均数顺度为加逆度为减较分者则次轮心在最卑逐宫逐度之次均与次轮心在最髙逐宫逐度之次均相较之数也(求较分之法与土星同)用表之法设金星引数为初宫一十一度二十分求初均及中分则察初宫一十一度二十分与初均所对之数为二十一分二十二秒其号为减即所求之初均其与中分所对之数为三十二秒即所求之中分也(初宫在上)(故用顺度)又设伏见实行为二宫五度三十分求次均及较分则察二宫五度三十分与次均所对之数为二十六度三十四分五十三秒其号为加即所求之次均其与较分所对之数为三十分三十秒即所求之较分也(二宫)(在上故用顺度)若引数或伏见实行有零分者按中比例法求之金星距黄道表金星距黄道表按次轮两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后在黄道北六宫至八宫系中交后在黄道南其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前在黄道北九宫至十一宫系正交前在黄道南其数同前后列距次交实行度中列逐宫逐度之星距黄道数(即次轮半径与次纬正弦相比例之数)金星距次交实行在上六宫者用顺度金星距次交实行在下六宫者用逆度用表之法以距次交实行之宫对距次交实行之度其纵横相遇即所求之星距黄道线也设金星距次交实行为初宫一十六度求星距黄道线则察初宫一十六度所对之数为一二○九九六即所求之金星距黄道线也若距次交实行有零分者亦按中比例法求之金星距地表金星距地表以伏见实行宫度求星距地以引数宫度求距地差初宫至五宫列于上六宫至十一宫列于下前列顺度后列逆度中列逐宫逐度之星距地及距地差(星距地者次轮心在最髙金星行次轮周逐宫逐度之距地心线距地差者乃金星次轮心自最髙至最)(卑逐宫逐度之距地心线与最高距地心线之较也)宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法设伏见实行为一宫二十度求星距地则察一宫二十度与星距地所对之数为一五七八八九一四即所求之星距地也又设金星引数为初宫一十八度求距地差则察初宫一十八度与距地差所对之数为六五一九即所求之距地差也若伏见实行或引数有零分者亦按中比例法求之金星地半径差表金星地半径差表分最高中距最卑三限列之其前列实高度(金星引数自十宫一十五度至一宫一十五度为最高限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆为中距限自四宫一十五度至七宫一十五度为最卑限)表内分秒即三限实高所生之地半径差也用表之法如金星引数当中距限推得实高三十九度求地半径差则察中距限实高三十九度所对之数为二分二十秒即所求之地半径差与实高三十九度相减余三十八度五十七分四十秒为本时金星之视高也如先测得金星视高三十八度五十七分四十秒则以地半径差二分二十秒与视高相加得三十九度为本时金星之实高也高度有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度地半径差所差甚微故也御制厯象考成表卷十二
## 表卷十三
钦定四库全书御制厯象考成表卷十三水星表水星年根表水星周岁平行表水星周日平行表水星均数表水星距限表水星距黄道表水星距地表水星地半径差表五星伏见距日黄道度表(附)五星伏见距日加减差表(附)水星年根表水星年根表以距冬至及最髙行伏见行逐年列之前用纪年者乃厯元后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正水星平行距丑宫初度之分秒也(水星平行亦与太阳平行同)最髙行者乃逐年天正冬至次日子正最髙过冬至之宫度也(求逐年最髙行法厯元甲子年天正冬至最髙应十)(一宫零三度零三分五十四秒五十四㣲即厯元甲子年最髙过冬至之数此后用加法如本年为平年则加)(三百六十五日之最髙行一分四十五秒零九㣲四十八纎四十六忽五十六芒即得次年最髙过冬至之数)(如本年为闰年则加三百六十六日之最髙行一分四十五秒二十七微零六纎零四十二芒即得次年最髙)(过冬至之数满三十纎以上者进作一㣲不足三十纎者去之后倣此)伏见行者乃逐年天正冬至次日子正水星距次轮平逺之宫度也(求逐年伏)(见行法厯元甲子年天正冬至伏见应十宫零一度一十三分一十一秒一十七㣲即厯元甲子年伏见行距)(平逺之数此后用加法如本年为平年则加三百六十五日之伏见行三周又一宫二十三度五十六分四十)(二秒三十一㣲五十三纎三十八忽五十芒即得次年伏见行距平逺之数如本年为闰年则加三百六十六)(日之伏见行三周又一宫二十七度零三分零六秒三十八㣲五十三纎零八忽一十二芒即得次年伏见行)(距平逺之数加满十二宫者去之)用表之法如求康熙六十一年壬寅之年根则察本表纪年自厯元甲子年后第一壬寅为所求之年乃视壬寅所对各数录之其距冬至为八分一十八秒三十二㣲其最髙行为十一宫零四度一十分三十三秒四十三微其伏见行为七宫零九度零五分四十四秒三十二㣲也水星周岁平行表水星周岁平行表以水星平行及最髙行伏见行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃水星本轮自一日至三百六十六日之平行各数也最髙行者乃水星本天自一日至三百六十六日之最髙行各数也(最髙每日行一十七㣲一十七纎一十三忽四十六)(芒累加之即得逐日最髙行之各数)伏见行者乃自一日至三百六十六日水星行次轮之各数也(伏见行每日行三度零六分二十四秒零六㣲五十九纎)(二十九忽二十二芒累加之即得逐日伏见行之各数)用表之法如求冬至后二十九日之水星平行及最髙行伏见行则察本表日数二十九所对各数录之其平行为二十八度三十五分零一秒三十五㣲即二十九日水星平行之共数其最髙行为八秒二十一㣲即二十九日最髙行之共数其伏见行为三宫零五分三十九秒二十三㣲即二十九日伏见行之共数也水星周日平行表水星周日平行表以一日内之时分秒递降列之表分两叚并与太阳平行同用表之法如求一十八时二十分三十二秒之水星平行则察本表一十八时所对之数为二度一十九分四十八秒零五㣲二十分所对之数为二分三十五秒二十㣲零六纎三十二秒所对之数为四秒零八㣲三十二纎零九忽合计三数得二度二十二分二十七秒三十三㣲三十八纎零九忽即所求之水星平行也水星均数表水星均数表以引数宫度求初均及中分以伏见实行宫度求次均及较分初宫至五宫依次顺列于前六宫至十一宫依次逆列于后表名初均者乃水星本轮均轮所生之均数顺度为减逆度为加中分者则逐宫逐度次轮心距地心与最髙距地心之较为六十分中之几分也(求中分之法以水星次轮心在最髙距地心之一○六八二一五五与水星次轮心在最卑距)(地心之九五四七一○九相减余一一三五○四六为一率六十分为二率逐宫逐度次轮心距地心与最髙)(距地心相减余为三率求得四率即逐宫逐度之中分也求次轮心距地心之法详厯理求初均数篇)次均者乃次轮心当最髙水星行次轮周逐宫逐度之次均数顺度为加逆度为减较分者则次轮心在最卑逐宫逐度之次均与次轮心在最髙逐宫逐度之次均相较之数也(求较分之法与土星同)用表之法设水星引数为初宫一十一度二十分求初均及中分则察初宫一十一度二十分与初均所对之数为二十一分四十三秒其号为减即所求之初均其与中分所对之数为一分零三秒即所求之中分也(初宫)(在上故用顺度)又设伏见实行为二宫五度三十分求次均及较分则察二宫五度三十分与次均所对之数为一十五度五十五分二十七秒其号为加即所求之次均其与较分所对之数为一度三十一分四十秒即所求之较分也(二宫在上故用顺度)若引数或伏见实行有零分者按中比例法求之水星距限表水星距限表按正交中交分顺逆列之初宫至五宫为正交后列于上六宫至十一宫为中交后列于下水星距交实行在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度用表之法以距交实行之宫对距交实行之度其縦横相遇即所求之距限也表分南北两限依星在黄道之南北取用(水星次轮面与黄道相交之角南北不同故分列两表)设水星距交实行一宫二十二度星在黄道北则察黄道北距限表一宫二十二度所对之数为五度三十二分三十七秒即所求之距限也距交实行有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度交角所差甚㣲故也水星距黄道表水星距黄道表按次轮两交前后分顺逆列之两交后之各宫列于上初宫至二宫系正交后在黄道北六宫至八宫系中交后在黄道南其数同两交前之各宫列于下三宫至五宫系中交前在黄道北九宫至十一宫系正交前在黄道南其数同前后列距次交实行度中列逐宫逐度之星距黄道数(即次轮半径与次纬正弦相比例之数)水星距次交实行在上六宫者用顺度水星距次交实行在下六宫者用逆度用表之法以距次交实行之宫对距次交实行之度其縦横相遇即所求之星距黄道线也表分二十限依实交角相近者取用(水星次轮面与黄道相交之角逐度不同故以最小之交角四度五十五)(分三十二秒与最大之交角六度三十一分零二秒均分为二十限各求其星距黄道数列表每限交角相差)(五分夫交角止差五分则星距黄道数所差甚㣲可以不计故依实交角相近者取用也)设实交角五度零一分水星距次交实行为初宫二十二度求星距黄道线则察交角五度星距黄道表(为与实交角五度零一分相近)初宫二十二度所对之数为一二五六九九即所求之水星距黄道线也若距次交实行有零分者亦按中比例法求之水星距地表水星距地表以伏见实行宫度求星距地以引数宫度求距地差初宫至五宫列于上六宫至十一宫列于下前列顺度后列逆度中列逐宫逐度之星距地及距地差(星距地者次轮心在最髙水星行次轮周逐宫逐度之距地心线距地差者乃水星次轮心自最髙至最)(卑逐宫逐度之距地心线与最髙距地心线之较也)宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法设水星伏见实行为初宫二十四度求星距地则察初宫二十四度与星距地所对之数为一四二八五三○六即所求之星距地也又设水星引数为一宫二十六度求距地差则察一宫二十六度与距地差所对之数为四○一二七八即所求之距地差也若伏见实行或引数有零分者亦按中比例法求之水星地半径差表水星地半径差表分最髙中距最卑三限列之其前列实髙度(水星引数自十宫一十五度至一宫一十五度为最髙限自一宫一十五度至四宫一十五度)(自七宫一十五度至十宫一十五度皆为中距限自四宫一十五度至七宫一十五度为最卑限)表内分秒即三限实髙所生之地半径差也用表之法如水星引数当最卑限推得实髙一十九度求地半径差则察最卑限实髙一十九度所对之数为五分即所求之地半径差与实髙一十九度相减余一十八度五十五分为本时水星之视髙也如先测得水星视髙一十八度五十五分则以地半径差五分与视髙相加得一十九度为本时水星之实髙也髙度有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度地半径差所差甚㣲故也五星伏见距日黄道度表五星伏见距日黄道度表以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列于上三宫至五宫九宫至十一宫列于下前后分顺逆列星之黄道度中列各星之距日黄道度分宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法求晨见晨不见用晨宫求夕见夕不见用夕宫设土星当晨见限度其黄道经度为初宫一十二度求距日黄道度则察晨初宫一十二度与土星所对之数为一十七度一十一分即所求之距日黄道度也星经度有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度距日黄道度所差甚㣲故也五星伏见距日加减差表五星伏见距日加减差表亦以星之黄道宫度按晨夕列之初宫至二宫六宫至八宫列于上三宫至五宫九宫至十一宫列于下前后分顺逆列星之黄道度中列各星黄道南北自一度至八度之距日加减差宫在上者用顺度宫在下者用逆度南纬为加北纬为减用表之法求晨见晨不见用晨宫求夕见夕不见用夕宫设土星当夕不见限度其黄道经度为六宫二十四度纬度在黄道北二度求距日加减差则察夕六宫二十四度与纬二度所对之数为二度四十三分即所求之距日加减差其纬度在北即为减差也星经度有零分者满三十分以上则进作一度纬度有零分者用中比例求之御制歴象考成表卷十三
## 表卷十四
钦定四库全书御制厯象考成表卷十四恒星表恒星黄道经纬度表恒星赤道经纬度表恒星赤道经纬度岁差表凌犯恒星黄道经纬度表恒星黄道经纬度表恒星黄道经纬度表以厯元康熙二十三年甲子之黄道经纬度列之上列星名次列黄道经度次列黄道纬度下列星等用表之法设康熙甲子年日躔黄道初宫八度求黄道宿度则察恒星黄道经纬度表斗宿第一星黄道经度为初宫五度五十分(取相近畧小者用)与日躔黄道经度相减余二度一十分即太阳入斗宿二度一十分也若求厯元后各年之黄道宿度则以所求之年距厯元若干年与岁差五十一秒相乘得数加于各宿黄道经度然后与诸曜黄道经度相减余即为诸曜黄道宿度也恒星赤道经纬度表恒星赤道经纬度表亦以厯元康熙二十三年甲子之赤道经纬度列之上列星名次列赤道经度次列赤道纬度下列星等用表之法设康熙甲子年月离赤道一宫二度四十分求赤道宿度则察恒星赤道经度表牛宿第一星赤道经度为一宫初度五十一分(取相近畧小者用)与月离赤道经度相减余一度四十九分即太阴入牛宿一度四十九分也若求厯元后各年之赤道宿度则以所求之年距厯元若干年与各星每年赤道岁差之数相乘(察赤道岁)(差表)得数加于各星赤道经度然后与诸曜赤道经度相减余即为诸曜赤道宿度也恒星赤道经纬度岁差表恒星赤道经纬度岁差表以各星每年应加减之数列之上列星名次列经度岁差次列纬度岁差用表之法设康熙六十一年壬寅求斗宿第一星赤道经纬度则以壬寅年距厯元甲子年三十八年与斗宿经度岁差加五十七秒零八微相乘得三十六分一十一秒零四微即赤道经度应加之数与厯元甲子年斗宿第一星赤道经度初宫六度三十三分相加得初宫七度零九分一十一秒零四微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道经度也又以三十八年与斗宿一星纬度岁差减二秒二十五微相乘得一分三十一秒五十微即赤道纬度应减之数与厯元甲子年斗宿第一星赤道纬度南二十七度一十二分相减余二十七度一十分二十八秒一十微即所求壬寅年斗宿第一星之赤道南纬度也凌犯恒星黄道经纬度表凌犯恒星黄道经纬度表取黄道南北十度以内之恒星黄道经纬度列之葢七政出入黄道不过十度故列十度以内之恒星为取凌犯之用其经度皆以厯元康熙二十三年甲子为定若求厯元后各年之凌犯须依法每年加岁差五十一秒推之用表之法设本日太阴黄道经度申宫八度二十分次日太阴黄道经度申宫二十度三十一分纬度在黄道南二度一十分则察本表内自参旗第一星黄道经度五宫九度零三分起至天关星黄道经度五宫二十度二十二分止皆为本日太阴所经厯之星乃察其间各星纬度惟天高第一星纬度在黄道南一度五十分与太阴纬度相减余二十分即为本日太阴犯天高第一星太阴在下相离二十分(太阴在星之南故为下)又天关星纬度在黄道南二度一十四分与太阴纬度相减余四分即为本日太阴凌天关星太阴在上四分也(太阴在星之北故为上)其余诸星虽与太阴有经度相同之时(求时刻详本法)而纬度之南北相去甚远不得相凌犯矣御制厯象考成表卷十四
## 表卷十五
钦定四库全书御制厯象考成表卷十五黄赤经纬互推表上黄道纬北初度至十度黄赤经纬互推表黄赤经纬互推表以黄道经度与赤道经纬度按黄道纬度之南北逐段列之黄道北初度与黄道南初度皆正当黄道无距纬其赤道经度即黄赤升度其赤道纬度即黄赤距纬而距黄道南北有纬度者则赤道经纬逐度不同故以黄道北与黄道南分为上下二卷自黄道北初度至黄道北十度自黄道南初度至黄道南十度又各分为十段(月五星距黄道皆在十度以内)中列相当之赤道经纬度分用表之法按黄道纬度之南北察黄道经度其所对之数即所求之赤道经纬度也表以逐度为率若经纬度俱有零分者用中比例三次求之设黄道经度初宫一十二度二十分黄道北纬度一度二十四分求其相当之赤道经纬度则察本表黄道经度初宫一十二度与黄道纬北一度所对之赤道经度为一十二度五十七分零六秒与下层黄道经度初宫一十三度与黄道纬北一度所对之赤道经度一十四度零一分三十秒相减余一度零四分二十四秒为黄经一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一度零四分二十四秒化作三千八百六十四秒为二率设数二十分为三率求得四率一千二百八十八秒收作二十一分二十八秒与初宫一十二度所对之赤道经度一十二度五十七分零六秒相加(因十三度之数大于十二度之数故相加反是则相减也)得一十三度一十八分三十四秒为黄道经度初宫一十二度二十分黄道纬北一度之赤道经度又察黄道经度初宫一十二度与黄道纬北二度所对之赤道经度为一十二度五十一分二十二秒与下层黄道经度初宫一十三度与黄道纬北二度所对之赤道经度一十三度五十五分一十七秒相减余一度零三分五十五秒为黄经一度之较乃以一度化作六十分为一率较数一度零三分五十五秒化作三千八百三十五秒为二率设数二十分为三率求得四率一千二百七十八秒收作二十一分一十八秒与初宫一十二度所对之赤道经度一十二度五十一分二十二秒相加得一十三度一十二分四十秒为黄道经度初宫一十二度二十分黄道纬北二度之赤道经度复以比例所得之两赤道经度相减余五分五十四秒为黄纬一度之较乃以一度化作六十分为一率较数五分五十四秒化作三百五十四秒为二率设数二十四分为三率求得四率一百四十二秒收作二分二十二秒与纬北一度之赤道经度一十三度一十八分三十四秒相减(因二度之数小于一度之数故)(相减反是则相加也)余一十三度一十六分一十二秒即所求黄道经度初宫一十二度二十分黄道纬北一度二十四分相当之赤道经度也求赤道纬度倣此御制厯象考成表卷十五
## 表卷十六
钦定四库全书御制厯象考成表卷十六黄赤经纬互推表下黄道纬南初度至十度御制厯象考成表卷十六◆ 《御制历象考成后编-清-》（KR3f0019）
## 目录
钦定四库全书 子部六
御制厯象考成后编目录 天文算法类一(推步之属)卷一日躔数理卷二月离数理卷三交食数理卷四日躔歩法月离歩法卷五月食歩法卷六日食歩法卷七
## 提要
日躔表卷八月离表上卷九月离表下卷十交食表(臣)等谨案御定厯象考成后编十卷乾隆二年奉勅撰新法算书推步法数皆仍西史第谷之旧其图表之参差觧说之隠晦者圣祖仁皇帝厯象考成上下二编研精阐微穷究理数固己极一时推步之精示万世修明之法矣第测验渐久而渐精算术亦愈变而愈巧自康熙中西洋噶西尼法兰徳等出又新制坠子表以定时千里镜以测逺以发第谷未尽之义大端有三其一谓太阳地半径差旧定为三分今测止有十秒葢日天半径甚逺测量所系秪在秒微又有䝉气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日星相较可得其凖而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半经差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差以比例算之必更小于火星地半径差也其一谓清䝉气差旧定地平上为三十四分髙四十五度止有五秒今测地平上止三十二分髙四十五度尚有五十九秒其说谓䝉气绕乎地球之周日月星照乎䝉气之外人在地面为䝉气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎䝉气之中必反折之使下故光线与视线在䝉气之内则合而为一䝉气之外则岐而为二所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为䝉气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得䝉气差角也其一谓日月五星之本天旧说为平圆今以为〔？〕圆两端径长両腰径短葢太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其说一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮推盈缩差惟中距与实测合而最髙最卑前后则差因用均轮以消息之然天行不能无差刻白尔以来屡加精测又以均轮所推髙卑前后渐有㣲差乃设本天为撱圆均分撱圆而积为逐日平行之度则卑卑之理既与旧说无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与实测相符也据此三者则第谷旧法经纬俱有微差雍正八年六月朔日食以新法较之纎微宻合是以世宗宪皇帝特允监臣戴进贤之请命修日躔月离二表续于厯象考成之后然有表无说亦无推算之法吏部尚书顾琮恐久而失𫝊奏请増修表觧图说仰请睿裁垂诸永久凡新法与旧不同之处始抉剔底蕴阐发无余而其理仍与圣祖仁皇帝御制上下二编若合符节益足见圣圣相承先后同揆矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书御制厯象考成后编卷一日躔数理日躔总论岁实黄赤距纬清蒙气差地半径差用撱圆面积为平行求两心差及撱圆与平圆之比例求撱圆大小径之中率撱圆角度与面积相求求均数日躔总论钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月㑹而为朔行天一周而为岁岁月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治厯之大经万世莫能易也其推步之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天髙卑本轮均轮诸说用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法逈殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天髙卑之说也至若岁实之转増距纬与两心差之渐近地半径差蒙气差之互为大小则亦由于积候损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云岁实日行天一周为岁周岁之日分为岁实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一岁实为三百六十五日四分日之一(周日为一万分四分之一为二千五百分)尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为岁实太强减岁余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓岁当有差乃损岁余以益天周岁差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得岁实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定岁实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒(即十分度之九分八五六四七三六)(五八)岁差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天岁自为岁而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测岁实又谓第谷所减太过酌定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘(即十分度之九分八五六四六九六九三)(五一二八二二五)比第谷所定少五纤有竒每年少三十微有竒盖岁实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒(见推日躔用数)而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于岁实消长统天授时用之新法算书虽为之说而实未用其数兹不具论黄赤距纬黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园蒙养斋开局测太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等厯考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用蒙气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有蒙气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十数分之多康熙年间所用蒙气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不逺由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载清蒙气差清蒙气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为髙映小为大而蒙气之厚薄升像之髙下又随地不同其所作蒙气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大蒙气差三十四分自地平以上其差渐少至距地髙四十五度犹差五秒更髙则无蒙气矣厥后西人又言北极髙四十八度太阳髙四十五度时蒙气差尚有一分余自地平至天顶皆有蒙气差上编具载其说而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等厯考西史第谷所定地平上蒙气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其说谓蒙气绕乎地球之周日月星照乎蒙气之外人在地面为蒙气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎蒙气之中必反折之使下故光线与视线在蒙气之内则合而为一蒙气之外则岐而为二此二线所交之角即为蒙气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反复精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为蒙气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得蒙气差角爰在北极出地髙四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒蒙气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正弦之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之蒙气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左如图甲为地心乙为地面乙甲为地半径一千万丙乙为蒙气之厚六千零九十五丁为太阳(月星倣此)照于蒙气之戊人自地面乙视之则见日于戊者当本天之巳巳戊乙为视线丁戊乙为光线是视线常髙光线常卑视线常直光线常折在戊㸃蒙气之内则光线与视线合同为戊乙出乎戊㸃之外则视线己戊光线丁戊岐而为二故己戊丁角为蒙气差角试自地心甲出线过戊㸃至庚则庚甲即为地平上蒙气之割线己戊庚角为视线与割线所成之角丁戊庚角为光线与割线所成之角而己戊丁蒙气差角即为两角之较今既测得地平上蒙气差为三十二分一十九秒又测定蒙气之厚为六千零九十五则己戊庚视线角与丁戊庚光线角可以得其比例其术用甲乙戊直角三角形以甲戊一○○○六○九五与甲乙一千万之比同于乙直角正弦一千万与戊角正弦九九九三九○八(小余七一)之比而得戊角为八十八度(小余百分秒之四二)即己戊庚角又以己戊丁蒙气差角三十二分一十九秒与之相加得八十八度三十二分一十九秒(小余四二)即丁戊庚角其正弦为九九九六七四八(小余二五)夫视线角之正弦己辛为九九九三九○八(小余七一)则光线角之正弦丁壬为九九九六七四八(小余二五)若设己辛为一千万则丁壬必为一○○○二八四一此两角正弦之比例也既得两弦之比例而蒙气差之戊角与视线交蒙气割线之戊角同以在地平为最大渐近天顶则渐小则是二者常相因而逐度之蒙气差皆可以两弦比例而推如求地平上髙二十度癸己弧之蒙气差则癸戊乙为视线子戊乙为光线丑戊甲为地平上二十度蒙气之割线戊乙丙角为七十度癸戊丑角为视线与割线所成之角其正弦为癸寅子戊丑角为光线与割线所成之角其正弦为子卯先用甲戊乙三角形求得戊角六十九度五十四分一十五秒(小余五五)即癸戊丑角又以一千万与一○○○二八四一之比同于癸寅与子卯之比而得子戊丑角为六十九度五十六分五十五秒(小余九二)两角相减余癸戊子角二分四十秒(小余三七)即地平上二十度之蒙气差也余倣此地半径差地半径差者视髙与实髙之差也太阳距地平近则差角大渐髙则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最髙距地心逺则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚逺无地半径差而测量所系只在秒微又有蒙气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤逺地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其说今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最髙为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最髙为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左康熙十一年壬子秋分前十四日火星与太阳冲西人噶西尼于富郎济亚国测得火星距天顶五十九度四十分一十五秒利实尔于噶耶那岛测得火星距天顶一十五度四十七分五秒同时用有千里镜能测秒微之仪器与子午线上最近一恒星测其相距噶西尼所测火星较低一十五秒(如噶西尼测得火星距恒星下)(四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十)(分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九)(度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火)(星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度)以之立法甲为地心乙为富郎济亚国地面丙为天顶丁为噶耶那岛地面戊为天顶己为火星丙戊己庚为子午线(如两地面不同在一子午线则)(须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日)(躔厯理)己乙丙角为乙处火星视距天顶五十九度四十分一十五秒己丁戊角为丁处火星视距天顶一十五度四十七分五秒(地面)(为视距地心为实距)辛为恒星辛甲丙角为乙处恒星距天顶之度辛甲戊角为丁处恒星距天顶之度因恒星距地甚逺地面所视与地心无异故无地半径差假若火星亦无地半径差则乙处火星实距天顶当为己甲丙角丁处火星实距天顶当为己甲戊角而火星与恒星之相距即同为己甲辛角无髙低之异乃乙处所测火星距天顶为己乙丙角较之实距天顶之己甲丙角低一乙己甲角是即乙处之地半径差也丁处所测火星距天顶为己丁戊角较之实距天顶之己甲戊角低一丁己甲角是即丁处之地半径差也夫火星之距恒星一也因乙处所测火星距天顶逺故乙己甲差角大丁处所测火星距天顶近故丁己甲差角小则乙处所测火星距恒星较丁处低一十五秒即两差角相减所余之丁己乙角乃两处地半径差之较也既得地半径差较丁己乙角而欲求地平上最大差甲壬乙角则以两处所测火星距天顶之正弦相减与地半径差较秒数之比即同于半径一千万与地平上最大差秒数之比盖将己乙线引长至癸自甲作甲癸垂线成甲癸乙直角形癸为直角乙角与己乙丙为对角即乙处火星距天顶之度甲癸为地半径差乙己甲角之正弦(甲己为半径故)甲乙为地半径即最大差甲壬乙角之正弦(甲壬为半径故)其法为乙角正弦与甲癸之比同于癸直角正弦一千万与甲乙之比检表而得壬角也又将己丁线引长至子自甲作甲子垂线成甲子丁直角形子为直角丁角与己丁戊为对角即丁处火星距天顶之度甲子为地半径差丁己甲角之正弦甲丁与甲乙等亦为最大差甲壬乙角之正弦其法为丁角正弦与甲子之比同于子直角正弦一千万与甲丁之比亦检表而得壬角也夫两视距天顶之正弦与两地半径差正弦之比既皆同于一千万与最大差正弦之比则两视距天顶正弦相减之较与两地半径差正弦相减之较之比亦必同于一千万与最大差正弦之比又地半径差角甚小其两正弦之较与两角度之较可以相为比例则两视距天顶正弦相减之较与两地半径差相减所余秒数之比亦必同于一千万与最大差秒数之比矣故以己乙丙角五十九度四十分一十五秒之正弦八六三一三八六与己丁戊角一十五度四十七分五秒之正弦二七二○二三六相减余五九一一一五○为一率乙己丁角一十五秒为二率一千万为三率求得四率二十五秒(小余三七)即甲壬乙角为火星在地平上最大之地半径差也既得火星地半径差甲壬乙角而欲求太阳地半径差甲丑乙角据歌白尼第谷测得火星距地甲壬与太阳距地甲丑之比如一百与二百六十六其法当先用甲乙壬形以乙角正弦为一率甲壬为二率壬角正弦为三率甲乙为四率此第一比例也次用甲乙丑形以甲丑为一率乙角正弦为二率甲乙为三率丑角正弦为四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而一率四率相乗原与二率三率相乗之数等故即以甲丑二六六为一率甲壬一○○为二率壬角二十五秒(小余三七)为三率求得四率九秒(小余五三)进为一十秒为丑角度(因壬)(丑二角甚小正弦与角度可以相为比例故壬角用)(秒丑角亦得秒)即太阳在地平上最大之地半径差也又按上编日躔求地半径差法以两处恒星距天顶相减余四十三度五十二分五十五秒为戊丙弧即戊甲丙角先用乙甲丁三角形甲乙甲丁二边俱命为一千万以甲角折半之正弦倍之得七四七三○二三为乙丁边又以甲角与半周相减余数半之得六十八度三分三十二秒三十微为乙角亦即丁角次用乙己丁三角形此形有乙丁边有己乙丁角五十二度一十六分一十二秒三十微(半周内减去甲乙丁角又减去)(己乙丙角余即己乙丁角)有己丁乙角一百二十七度四十三分三十二秒三十微(半周内减去甲)(丁乙角加己丁戊角即己丁乙角)有乙己丁角一十五秒(乙丁二角相并与半)(周相减余即己角与前地半径差较合)求得己丁边八一二七五一二五一五四(小余二九)次用己丁甲三角形此形有甲丁边有丁己边有丁外角一十五度四十七分五秒(即丁处火)(星距天顶)将己丁线引长至子成甲子丁直角形丁角正弦二七二○二三六(小余五)即甲子边丁角余弦九六二二九○六即丁子边以丁子与己丁相加得己子八一二八四七四八○六○(小余二九)为股甲子为勾求得弦八一二八四七四八一一二为甲己边与甲壬等即火星距地心数以地半径较之其比例为一与八千一百二十八又以甲壬为一率甲乙为二率一千万为三率求得四率一二三○(小余二四)为壬角之正弦检表得二十五秒(小余三七)为火星在地平上最大差与前法所得数同(上编求日纒地)(半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶)(南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天)(顶之正弦相加与地半径差总秒数之比同于一千)(万与地平上最大差秒数之比耳)用撱圆面积为平行太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其说一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧说无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图说如左如图甲为地心乙丙丁戊为黄道己为不同心天之心庚辛壬癸为不同心天乙庚为本轮半径与甲己两心差等以本轮之法论之最卑时本轮心在乙太阳在庚中距时本轮心在丙太阳在辛乙丙为平行九十度辛甲丙角为平行实行之最大差以不同心天之法论之太阳自最卑庚行至辛亦九十度己辛甲角为平行实行之最大差与辛甲丙角等故本轮之法与不同心天之法相同以均轮之法论之最卑时本轮心在乙均轮心在子太阳在丑中距时本轮心在丙均轮心在卯太阳在辛最髙时本轮心在丁均轮心在辰太阳在巳辛甲丙角最大差仍当甲己之全而丑乙之卑于本天半径巳丁之髙于本天半径者止及甲己之半与甲寅等故以推盈缩差惟中距与本轮同最髙半周比之本轮则大(距地近故角大)最卑半周比之本轮则小(距地逺故)(角小)此其所以消息乎本轮之行度者当时必有所据而自刻白尔以来则谓髙卑之数均轮所定诚是但其数渐减耳至以推盈缩差则均轮之所消息者又属太过惟以寅为不同心天之心作撱圆形自地心甲𤓰分之计太阳在撱圆周右旋其所行之分撱圆面积日日皆相等而用以推黄道实行之盈缩则在本轮均轮所得数之间而与实测脗合试以寅为心与己丑作十字线又取寅丑之度从甲截横线于午使午甲午己皆与寅丑半径等乃以甲己两㸃各为心午为界各用一针钉之围以丝线末以铅笔代午针引而旋转即成丑午己未撱圆形寅丑寅己为撱圆大半径寅午寅未为撱圆小半径则撱圆不以甲己为心而以寅为心丑乙之卑于黄道巳丁之髙于黄道者止及甲己之半与寅甲等是髙卑之理与均轮合矣又将撱圆面积以甲为心均分为三百六十分每分之积皆为一度每一度积为六十分太阳每日右旋当每一度积之五十九分有竒是为平行在最卑半周甲心至撱圆界之线短则角度必寛是为行盈在最髙半周甲心至撱圆界之线长则角度必狭是为行缩故太阳循撱圆周行惟所当之面积相等而角不等其角度与积度之较即平行实行之差中距平行至申甲申丑积为撱圆四分之一为平行九十度与寅午丑积等(申午)(酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等)亦与申己甲角等而自地心甲计之己当黄道之戌戌甲丑角为实行己申甲角为平行实行之差是中距之盈缩差与本轮均轮皆合矣用是以推逐度之盈缩差在最髙半周比之本轮固大比之均轮又微小最卑半周比之本轮固小比之均轮又微大验诸实测庶为近之推算之法具详后篇求两心差及撱圆与平圆之比例新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正弦得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有竒乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为弦求得股九九九八五七一(小余八四)(八○一九一)即撱圆之小半径而凡撱圆之正弦角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚撱圆为本天乙丁为大半径一午万乙戊为小半径丙戊甲戊皆与乙丁等太阳行至戊甲戊丁分撱圆面积八十九度一分五十四秒为平行其小于九十度之五十八分六秒即甲乙戊勾股积(乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊)(丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积)亦即乙戊甲角(甲乙戊勾股积甲戊边即大径)(乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面)(相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲)(己则边长而角小详后篇)戊甲丁角九十度五十八分零六秒为实行其大于九十度者亦五十八分六秒即戊甲辛角与乙戊甲角等亦与丙戊乙角等平行实行之差一度五十六分一十二秒即甲戊丙角折半得五十八分零六秒即乙戊甲角甲戊既为一千万则甲乙即乙戊甲角之正弦故检表得一六九○○○即甲乙两心差以甲乙为勾甲戊为弦求得乙戊股九九九八五七一(小余八四八○一九一)即撱圆小半径也既得撱圆小径则凡撱圆之面线及角度皆可以得其比例以正弦之比例言之试以乙为心乙丁为半径作丁壬己癸平圆则撱圆乙丁大半径与平圆乙壬半径相等戊乙小半径之小于平圆半径者即壬戊撱圆差若逐度割之则撱圆之余弦必与平圆之余弦相等而撱圆之正弦必小于平圆之正弦然平圆正弦与撱圆正弦之比例必同于平圆半径与撱圆小半径之比例也如丁㸃为初度无正弦丁乙为初度之余弦平圆与撱圆等丁壬弧为九十度无余弦壬乙为平圆九十度之正弦即大半径戊乙为撱圆九十度之正弦即小半径壬戊即九十度之撱圆差丁子弧为三十度丑乙为三十度之余弦平圆与撱圆等子丑为平圆三十度之正弦寅丑为撱圆三十度之正弦子寅为三十度之撱圆差丁卯弧为六十度辰乙为六十度之余弦平圆与撱圆等卯辰为平圆六十度之正弦巳辰为撱圆六十度之正弦卯巳为六十度之撱圆差则子丑与寅丑之比卯辰与巳辰之比皆同于壬乙与戊乙之比而子丑与子寅之比卯辰与卯巳之比皆同于壬乙与壬戊之比也奚以明其然也盖撱圆之与平圆处处皆有一小半径藏乎其内试取壬戊之分于乙心作圜则午乙未乙申乙酉乙皆与壬戊等壬午卯未子申丁酉皆与戊乙等是推而抵于平圆之界各有一小半径在也又自甲丙二㸃出线合于戊则小径之端在戊而末在乙自甲丙二㸃出线合于丁则小径之端在丁而末在酉若自甲丙出二线合于寅则小径必端在寅而末在戌合于巳则小径必端在巳而末在亥是引而归于平圆之径又各有一小半径在也夫寅戌巳亥既皆为小径而申戌未亥又与子丑卯辰为平行则寅戌与子申巳亥与卯未亦必为平行而申戌与子寅未亥与卯巳必各相等故乙子丑与戌寅丑及乙申戌为同式形乙卯辰与亥巳辰及乙未亥亦为同式形而子丑与寅丑之比同于子乙(即壬乙)与寅戌(即戊乙)之比卯辰与巳辰之比同于卯乙(即壬乙)与巳亥(即戊乙)之比又子丑与申戌(即子寅)之比同于子乙(即壬乙)与申乙(即壬戊)之比卯辰与未亥(即卯)(巳)之比同于卯乙(即壬乙)与未乙(即壬戊)之比是平圆与撱圆正弦之比例同于大径与小径之比例也以角度之比例言之设卯乙辰角为平圆六十度(即丁卯弧)求撱圆之巳乙辰角试以乙辰为半径作弧则卯辰为卯乙辰角之正切巳辰为巳乙辰角之正切夫卯辰与巳辰之比既同于壬乙与戊乙之比则卯乙辰角之正切与巳乙辰角正切之比亦必同于壬乙与戊乙之比故以壬乙一千万为一率戊乙九九九八五七一(小余八五)为二率卯乙辰角六十度之正切一七三二○五○八为三率求得四率一七三一八○三四为巳乙辰角之正切检表得五十九度五十九分四十七秒即巳乙辰角而卯乙巳角一十三秒为撱圆差角(卯乙辰角内减巳乙辰角余即卯乙巳角)又设巳甲辰角六十度五十分三十二秒求卯甲辰角试以甲辰为半径作弧则巳辰为巳甲辰角之正切卯辰为卯甲辰角之正切夫卯辰与巳辰之比既同于壬乙与戊乙之比则巳辰与卯辰之比必同于戊乙与壬乙之比而巳甲辰角之正切与卯甲辰角正切之比亦必同于戊乙与壬乙之比故以戊乙九九九八五七一(小余八五)为一率壬乙一千万为二率巳甲辰角之正切一七九二三八九七为三率求得四率一七九二六四五七为卯甲辰角之正切检表得六十度五十分四十五秒即卯甲辰角而卯甲巳角一十三秒为撱圆差角是平圆与撱圆角度之比例亦同于大径与小径之比例也再以面积之比例言之凡平圆面积与撱圆面积之比例同于平圆外切正方面积与撱圆外切长方面积之比例亦即同于撱圆大径与小径之比例(撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节)如求撱圆六十度之面积则先设丁卯弧六十度求乙卯丁六十度之平圆面积以比之法以半周率三一四一五九二六五(定率圆径)(一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万)(为半径故周率为半周)用三分之得一○四七一九七五五为卯丁弧线(因卯丁弧六十度为半周三分)(之一故三分半周率而得卯丁弧线若有竒零则须)(用比例法)与乙卯半径一千万相乗折半得五二三五九八七七五○○○○○即乙卯丁分平圆六十度之面积而为丁壬己癸平圆全积六分之一又以壬乙大半径一千万为一率戊乙小半径九九九八五七一(小余八五)为二率乙卯丁积为三率求得四率五二三五二三九九七二四○九五即乙己丁分撱圆六十度之面积而为丁戊己庚撱圆全积六分之一也(此所)(得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径)(之小余为八四八进为八五之故然于圆度只差纎)(忽可不计也)盖将平圆撱圆二面积依壬癸横径缕析之则皆成线矣其线与线之比既同于大径与小径之比则面与面之比亦同于大径与小径之比故分之丁卯辰弧矢积与丁巳辰弧矢积之比卯辰乙勾股积与巳辰乙勾股积之比皆同于大径与小径之比而合之乙卯丁分平圆面积与乙巳丁分撱圆面积之比亦必同于大径与小径之比也既得撱圆与平圆之各比例则面线角度皆可得而求至于撱圆正弦以平圆命度而角度不同分撱圆面积与全积相当而角不相应则撱圆差之所生而与平圆之所以别也求撱圆大小径之中率凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣(见前篇)况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也如图甲为地心乙为本天心乙甲为两心差丙甲为倍差丁戊己庚撱圆为本天乙丁为大半径一千万乙戊为小半径九九九八五七一(小余八四八○一九一)试以乙丁大半径作丁辛己壬平圆则平圆与撱圆二面积之比例同于平圆外切癸子丑寅正方积与撱圆外切卯辰巳午长方积之比例又试以乙丁大半径为首率乙戊小半径为末率求得乙申中率九九九九二八五(小余八九)作平圆则大半径所作丁辛己壬平圆与中率所作申酉戌亥平圆二面积之比例亦同于大径平圆外切癸子丑寅正方积与中率平圆外切干坎艮震正方积之比例此二比例既同而干坎艮震正方积原与卯辰巳午长方积等(首率末率相乘与中率自)(乗等)则申酉戌亥平圆积亦必与丁戊己庚撱圆积相等矣乃以己丁大径二千万与戊庚小径一九九九七一四三(小余六九六○三八二)相乗得卯辰巳午长方积与干坎艮震正方积等以方与圆之比例定率七八五三九八一六二五通之得三一四一一四三九八二八二三三七为申酉戌亥平圆面积与丁戊己庚撱圆面积等将申酉戌亥平圆面积以三百六十度除之得八七二五三九九九五二二九为一度之面积其形为分平圆面其两腰皆为中率半径与乙申等其弧其角皆为一度若将丁戊己庚撱圆面积自甲心亦平分为三百六十分则其形为分撱圆面其两腰自甲丁极短以渐而长逐度俱不等其弧其角亦不等然其每分之面积则皆与一度之面积等故凡分一段撱圆面积以一度之面积为法而一则面积即可以度分命之然后以面积之度与角度相较而平行实行之差出焉如以甲为心以中率为半径作平圆则甲巽丁分撱圆面积为太阳距最卑后之平行度与甲离申分平圆面积等亦即与离甲申角等巽甲离角为平行实行之差其实行在平行前甲坤己分撱圆面积为太阳距最髙后之平行度与甲兑戌分平圆面积等亦即与兑甲戌角等兑甲坤角为平行实行之差其实行在平行后也撱圆角度与面积相求前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反复参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图说详著于左先设以角求积法如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差丙甲为倍差丁戊己庚为本天丁为最卑己为最髙设太阳在辛辛甲丁角为实行距最卑后六十度求甲辛丁分撱圆面积平行若干度分先将甲辛线引长至壬作丙壬垂线成甲丙壬辛丙壬两勾股形乃以半径一千万为一率甲角六十度之正弦八六六○二五四为二率(丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等)丙甲倍两心差三三八○○○为三率求得四率二九二七一六(小余五九)为丙壬边又以半径一千万为一率甲角六十度之余弦五○○○○○○为二率丙甲边为三率求得四率一六九○○○为甲壬边次以丙壬为勾自乗以甲壬与甲辛丙辛两边和二千万相加得二○一六九○○○为股弦和除之得四二四八(小余二五)为股弦较与股弦和相加折半得一○○八六六二四(小余一三)为丙辛边与二千万相减余九九一三三七五(小余八七)为甲辛边即太阳距地心线次以半径一千万为一率甲角六十度之正弦八六六○二五四为二率甲辛边为三率求得四率八五八五二三五(小余三○)即辛癸边次以撱圆小径九九九八五七一(小余八五)为一率大径一千万为二率辛癸边为三率求得四率八五八六四六一(小余五八)即子癸边检正弦得五十九度九分五十三秒(小余六九)即乙角度亦即子丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半圆周定率三一四一五九二六(小余)(五)为二率乙角度分化作二十一万二千九百九十三秒(小余六九)为三率求得四率一○三二六二二五(小余)(四七八四○○九)为子丁弧线与乙丁半径一千万相乗折半得五一六三一一二七三九二○○五为乙子丁分平圆面积次以撱圆大径一千万为一率小径九九九八五七一(小余八五)为二率乙子丁积为三率求得四率五一六二三七五三六九二五四六为乙辛丁分撱圆面积次以乙甲一六九○○○与辛癸八五八五二三五(小余三○)相乗折半得七二五四五二八八二八五○为辛乙甲三角积(辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同)(底同髙折半之积等)与乙辛丁积相减余五○八九八三○○八○九六九六即甲辛丁分撱圆面积以一度之面积定率八七二五三九九九五二二九除之得五十八度三三三四(小余八七)收作五十八度二十分○秒三十三微即实行距最卑后六十度时之平行度也又法求甲辛太阳距地心线将甲辛线引长至壬使辛壬与丙辛等又自丙至壬作丙壬线成甲丙壬三角形此形知丙甲倍两心差三三八○○○知甲壬二千万(甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛)(等故甲壬亦二千万)知甲外角六十度用切线分外角法求得壬角四十九分五十三秒(小余三六)又求得丙壬边二○一七一○八○(小余二九)次将丙壬边折半于癸作辛癸垂线成壬癸辛直角形以半径一千万为一率壬角正割线一○○○一○五三(小余三五)为二率癸壬边一○○八五五四○(小余一四五)为三率求得四率一○○八六六○二(小余六一)为辛壬边与甲壬二千万相减余九九一三三九七(小余三九)即甲辛太阳距地心线也此法所得甲辛线较前法多二十二盖因壬角甚小比例易差耳然其角度自不爽故后借角求角之法则用之且以甲为心以二千万为半径作圜(如甲壬)又取两心差之倍度截直径于丙自丙出线至圜周(如丙壬)折半作垂线(如癸辛)所抵圜径之㸃即撱圆界(如辛㸃)依法逐度作㸃连之即成撱圆周以此发明撱圆之理最为精巧故附于此又设太阳在壬壬甲己角为实行距最髙后六十度求甲壬己分撱圆面积平行若干度分则以半径一千万为一率甲角六十度之正弦八六六○二五四为二率丙甲三三八○○○为三率求得四率二九二七一六(小余五九)为丙癸垂线又以半径一千万为一率甲角六十度之余弦五○○○○○○为二率丙甲边为三率求得四率一六九○○○为甲癸分边次以丙癸为勾自乘以甲癸与甲壬丙壬两边和二千万相减余一九八三一○○○为股弦和除之得四三二○(小余六六)为股弦较与股弦和相加折半得九九一七六六○(小余三三)为丙壬边与二千万相减余一○○八二三三九(小余六七)为甲壬边即太阳距地心线次以半径一千万为一率甲角六十度之正弦八六六○二五四为二率甲壬边为三率求得四率八七三一五六二(小余二五)即壬子边次以撱圆小径九九九八五七一(小余八五)为一率大径一千万为二率壬子边为三率求得四率八七三二八○九(小余四二)即丑子边检正弦得六十度五十分三十一秒(小余八三)即乙角度亦即己丑弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半周率三一四一五九二六(小余)(五)为二率乙角度分化作二十一万九千零三十一秒(小余八三)为三率求得四率一○六一八九六二(小余七六)(六一一一九)为已丑弧线与已乙半径一千万相乗折半得五三○九四八一三八三○五五九为乙丑已分平圆面积次以撱圆大径一千万为一率小径九九九八五七一(小余八五)为二率乙丑己积为三率求得四率五三○八七二三一○九四七二二为乙壬已分撱圆面积次以甲乙一六九○○○与壬子八七三一五六二(小余二五)相乗折半得七三七八一七○一○一二五为壬乙甲三角积与乙壬己积相加得五三八二五○四八一○四八四七即甲壬己分撱圆面积以一度之面积定率八七二五三九九九五二二九除之得六十一度六八七七(小余七二)收作六十一度四十一分一十五秒五十八微即实行距最髙后六十度时之平行度也若设平行求实行亦可以所得之平行转相比例然必累求累较方得恰合(一率两设平行)(较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实)(行较)法属繁难故兹不载次设以积求角之法如太阳在辛甲辛丁分撱圆面积为平行距最卑后一度求甲角实行若干度分法以甲丁最卑距地心九八三一○○○(乙丁一千万减甲乙两心)(差一六九○○○余甲丁)自乗得九六六四八五六一○○○○○○为一率中率半径九九九九二八六自乗得九九九八五七一八四八○一九一(即大径与小径相乗之数)为二率甲辛丁一度之面积八七二五三九九九五二二九为三率求得四率九○二六六七七四二○○三以一度之面积八七二五三九九九五二二九除之得一度二分四秒(小余三○)为甲角度即平行距最卑后一度时之实行度也盖以甲为心以中率为半径作弧将甲丁线引长至壬甲辛线引长至癸则甲壬甲癸皆为中率甲壬癸分平圆面积与一度之面积为比例即得甲角而甲辛丁分撱圆面与甲壬癸分平圆面为同式形(甲辛长于甲丁然为)(数无多故为同式形)以甲丁自乗正方积与甲壬自乗正方积之比即同于甲辛丁积与甲壬癸积之比(凡同式形两面积之)(比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷)(第九节)故先比例得甲壬癸积以一度之面积除之而得甲角也(捷法以甲丁自乗方积除甲壬)(自乗方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率)(相乗又以一度面积除今省一乗则并省一除也)又如太阳在子甲子丁分撱圆面积为平行距最卑后二度求子甲丁角实行若干度分则先求平行距最卑后一度时日距地心之甲辛线将甲辛线引长至丑自丙作丙丑垂线成甲丑丙辛丑丙两勾股形以半径一千万为一率甲角一度二分四秒(小余三○)之正弦一八○五四九(小余五五)为二率甲丙边三三八○○○为三率求得四率六一○二(小余五七)为丙丑边又以半径一千万为一率甲角一度二分四秒(小余三○)之余弦九九九八三七○(小余)(一三)为二率甲丙边为三率求得四率三三七九四四(小余九一)为甲丑边乃以丙丑为勾自乗以甲丑与丙辛甲辛两边和二千万相加得二○三三七九四四(小余)(九一)为股弦和除之得一(小余)(八三)为股弦较与股弦和相加折半得一○一六八九七三(小余三七)为辛丙弦与丙辛甲辛两边和二千万相减余九八三一○二六(小余)(六三)为甲辛日距地心线次以甲辛子形与甲癸寅形为比例以甲辛边自乗得九六六四九○八四五九九七六九为一率甲癸中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一为二率甲子辛一度之面积八七二五三九九九五二二九为三率求得四率九○二六六二八五一七六九为甲癸寅分平圆面积以一度之面积除之得一度二分四秒(小余二八)即癸甲寅角与先得之癸甲壬角一度二分四秒(小余三○)相加得二度四分八秒(小余五八)为子甲丁角即平行距最卑后二度时之实行度也此所求之实行用求积法反求之少半秒强因日距地心线自最卑丁以渐而长中距戊为适中至最髙巳而止今所用一率微小故所得四率微大若每分递算自得密合然须逐一先求日距地心线若积度多者则须合前法而兼用之故又设后法次设借积求积之法如平行距最卑后四十五度求实行若干度分先从本天心设辛乙丁角为四十五度则乙壬丁积即为分撱圆四十五度之面积三九二六四二九九七八五二九二(将撱圆全积八分之得乙壬丁积数)求得壬乙丁角为四十四度五十九分四十五秒(小余二七)(法见前)次与乙壬平行作丙癸线使丙角与壬乙丁角等自甲至癸作甲癸线此甲癸线所截甲癸丁分撱圆面积若与乙壬丁积等则癸甲丁角即为平行距最卑后四十五度之实行度乃用甲丙癸三角形求癸甲丁角以半径一千万为一率丙角正弦七○七○五六二(小余七六)为二率甲丙三三八○○○为三率求得四率二三八九八五(小余○二)为甲子垂线又以半径一千万为一率丙角余弦七○七一五七二(小余七七)为二率甲丙边为三率求得四率二三九○一九(小余)(一六)为丙子分边次以甲子为勾自乗以丙子与丙癸甲癸两边和二千万相减余一九七六○九八○(小余)(八四)为股弦和除之得二八九○(小余二三)为股弦较与股弦和相加得一九七六三八七一(小余○七)折半得九八八一九三五(小余五四)为甲癸边次以甲癸边为一率甲子垂线为二率半径一千万为三率求得四率二四一八四○(小余二九)检正弦得一度二十三分八秒(小余七九)即癸角度与丙角相加得四十六度二十二分五十四秒(小余○六)即癸甲丁角度(用切线分外角法得数较捷因癸角度小比例得甲)(癸线难得确凖故用垂线法)然甲癸线所截甲癸丁分撱圆面积比所设乙壬丁四十五度之面积小一甲乙丑积与寅壬癸积等(甲癸丁积比乙壬丁积多)(一卯壬癸积少一甲乙卯积而甲乙与寅癸等甲卯)(与卯癸等乙卯与卯寅等卯壬与卯丑等故甲乙卯)(积与寅癸卯积等卯壬癸积与卯甲丑积等以多补)(少尚少一甲乙丑积与寅壬癸积相等也)乃用前角求积法以半径一千万为一率甲角四十六度二十二分五十四秒(小余○六)之正弦七二三九五一三(小余六○)为二率甲癸边为三率求得四率七一五四○四○(小余六七)即癸辰边次以撱圆小半径九九九八五七一(小余八五)为一率大半径一千万为二率癸辰边为三率求得四率七一五五○六二(小余五二)即己辰边检正弦得四十五度四十一分四秒(小余九四)即巳乙丁角度亦即巳丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半周率三一四一五九二六(小余五)为二率巳丁弧度分化作一十六万四千四百六十四秒(小余九四)为三率求得四率七九七三四八五(小余二八八三七四八)为巳丁弧线与半径一千万相乗折半得三九八六七四二六四四一八七四为乙巳丁分平圆面积次以撱圆大半径一千万为一率小半径九九九八五七一(小余八五)为二率乙巳丁分平圆面积为三率求得四率三九八六一七三二七七五三六七为乙癸丁分撱圆面积内减所设乙壬丁分撱圆四十五度之面积余五九七四三二九九○○七五为乙癸壬积次以癸辰边七一五四○四○(小余六七)与癸寅边一六九○○○相乗折半得六○四五一六四三六六一五为乙癸寅积内减乙癸壬积余七○八三四四六五四○为寅壬癸积与甲乙丑积等即甲癸丁积小于乙壬丁积之较(或于乙癸丁积内先减甲乙癸积得甲癸)(丁积再与乙壬丁积相减得数亦同)夫甲癸丁积既小于乙壬丁积则是甲癸丁积不足四十五度而平行距最卑后四十五度时太阳必仍在癸㸃之前如午则甲癸午积与寅壬癸积等甲午丁为分撱圆四十五度之面积与乙壬丁积等实行午甲丁角比癸甲丁角尚大一午甲癸角乃用前积求角法将甲癸线引长至未甲午线引长至申甲未甲申皆为中率半径成甲未申分平圆面与甲癸午为同式形以甲癸自乗得九七六五二六五○○一六七一五为一率甲未中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一为二率甲癸午积七○八三四四六五四○为三率求得四率七二五二六八○七一六为甲未申积以撱圆一秒之面积二四二三七二二二一除之得二十九秒(小余九二)为未甲申角(即癸甲午角)与癸甲丁角四十六度二十二分五十四秒(小余○六)相加得四十六度二十三分二十三秒(小余九八)为午甲丁角即平行距最卑后四十五度时之实行度也此法乃合前二法而兼用之而午甲癸角止三十秒甲癸甲午二线相差无多得数为密其所以先设辛乙丁角为四十五度乙壬丁积为四十五度而求壬乙丁角以为丙角者第借积以比其大小耳究之撱圆面积逐度皆有成数原不待求且先求壬乙丁角为丙角而求甲癸丁积又与所设之乙壬丁积相差不逺则并先求壬乙丁角亦属可省详后法又法迳设丙角为四十五度依前法求得甲癸线九八八一九四四(小余二八)癸甲丁角四十六度二十三分九秒(小余一四)甲癸丁积三九二六○七九四六七九三四八与四十五度撱圆积三九二六四二九九七八五二九二相减余三五○五一○五九四四为甲癸丁积小于四十五度平行积之较即知平行四十五度时太阳在癸㸃之前如午乃以甲癸自乘得九七六五二八二二七五三○二五为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率(即甲癸午积)求得四率三五八八八四一八四一为甲未申分平圆面积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得一十四秒(小余八一)为未甲申角(即癸甲午角)与癸甲丁角四十六度二十三分九秒(小余一四)相加得午甲丁角为四十六度二十三分二十三秒(小余九五)即平行距最卑后四十五度时之实行度此法得数与前同而即以平行积度为丙角较前法为省便也又如平行距最卑后九十度求实行若干度分则先设丙角为九十度作丙丑甲丑二线成甲丙丑勾股形依法求得甲丑线一○○○二八五六(小余一)丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒(小余○九)甲丑丁积七八五二八七六○一八三六九五与九十度撱圆积七八五二八五九九五七○五八四相减余一六○六一三一一一为甲丑丁积大于九十度平行积之较即知平行九十度时太阳在丑㸃之后如卯乃依中率半径截甲卯线于辰截甲丑线于巳成甲辰巳分平圆面与甲卯丑为同式形以甲丑自乘得一○○○五七一三○一五七三○七为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率(即丑甲卯积)求得四率一六○四九八四八○为甲辰巳分平圆面积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得百分秒之六六为辰甲已角(即丑甲卯)(角)与丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒(小余○九)相减余九十一度五十六分一十秒(小余四三)为卯甲丁角即平行距最卑后九十度时之实行度也又如平行距最卑后一百二十度求实行若干度分则先设丙角为一百二十度作丙寅甲寅二线成甲丙寅三角形依法求得甲寅线一○○八六六二四(小余一三)寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒(小余六九)甲寅丁积一○四七○七九九○六四九五○六与一百二十度之撱圆积一○四七○四七九九四二七四四六相减余三一九一二二二○六○为甲寅丁积大于一百二十度平行积之较即知平行一百二十度时太阳在寅㸃之后如辰乃依中率半径截甲寅线于巳截甲辰线于午成甲巳午分平圆面与甲寅辰为同式形以甲寅边自乘得一○一七三九九八六三三九八九八为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率(即甲寅辰积)求得四率三一三六一九七八九一为甲已午积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得一十二秒(小余九四)为巳甲午角(即寅甲辰角)与寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒(小余六九)相减余一百二十一度三十九分三十三秒(小余七五)为辰甲丁角即平行距最卑后一百二十度时之实行度也右借积求积之法最为精密而理亦易晓然须乗除比例十数次推算则属繁难故又设后法次设借角求角之法如太阳平行距最卑后四十五度求实行若干度分先从本天心设丁乙辛角为四十五度则乙壬丁分撱圆面积亦为四十五度次将丁乙辛角加癸乙子撱圆差角(九十度以内大一撱圆差角九十度以外)(小一撱圆差角解见后)以撱圆小半径九九九八五七一(小余八五)为一率大半径一千万为二率所设丁乙辛角四十五度之正切一千万为三率求得四率一○○○一四二八(小余三五)为丁乙癸角之正切检表得四十五度○分一十四秒(小余七三)即丁乙癸角度次与乙癸平行作丙丑线自甲作甲丑线则丙角与丁乙癸角等而甲丑丁积为分撱圆四十五度之面积与乙壬丁积等是为平行丑甲丁角即为实行乃将丙丑线引长至寅使丑寅与甲丑等则丙寅为二千万(甲丑丙丑共二千万)(丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万)又自甲至寅作甲寅线成甲寅丙三角形用切线分外角法求得寅角四十一分三十四秒(小余七四)倍之得一度二十三分九秒(小余四九)即甲丙丑形之丑角度(甲丑寅形之丑角以)(甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑)(等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角)与丙角四十五度○分一十四秒(小余七三)相加得四十六度二十三分二十四秒(小余二二)为丑甲丁角度(丑甲丁角)(为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与)(丙角相加得丑甲丁角)即平行距最卑后四十五度时之实行度也然则何以设丙角比平行积度大一撱圆差角而甲丑丁积即与平行积度相等也盖与丙丑平行之乙癸线截本天于卯所截之乙卯丁积比甲丑丁积多一甲乙巳形(乙卯丁积比甲)(丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰)(等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补)(少尚多一甲乙巳积也)此甲乙巳形之积与癸午倍撱圆差乘乙未余弦折半之乙癸午三角形积等(癸子辛壬皆撱圆差而辛)(壬㣲小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故)(谓癸午为倍差)亦即与乙卯壬积等(以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓)(相等)夫乙卯丁积比乙壬丁积多一乙卯壬形比甲丑丁积多一甲乙巳形甲乙已积既与乙卯壬积等则甲丑丁积必与乙壬丁积等而乙壬丁为分撱圆四十五度之面积辛乙丁角为四十五度之角癸乙丁角比辛乙丁角原大一撱圆差角丑丙丁角又原与癸乙丁角等故设丙角比平行积大一撱圆差角而甲丑线所截撱圆积即与平行积相等也然则又何以知甲乙巳积与乙癸午积相等也试以乙丁大半径作乙丁申酉正方形又以乙戊小半径作乙戊戌亥正方形两积相减余酉申丁亥戌戊磬折形积与两心差自乘之甲乙干坎正方积等(乙丁与甲戊等为弦乙戊为股)(甲乙为勾股弦两方相减与勾方等)斜分而半之则乙甲坎勾股积即与酉申戌戊斜尖长方积等而申艮倍撱圆差与酉申相乘折半之乙申艮三角积原与酉申震戊长方积等(乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以)(酉申为髙而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相)(乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等)比酉申戌戊斜尖长方积仅多申震戌一小勾股积则借乙申艮三角积为与乙甲坎勾股积相等可也又以方为斜截丁辛弧为四十五度乙辛与乙丁等辛巽为四十五度之正弦辛离为四十五度之余弦依乙戊小径截乙辛线于坤依乙甲两心差截乙辛线于兑与辛巽平行作坤亢兑氐二线与辛离平行作坤房兑尾二线所成正方各为前图正方积之一半则于离辛巽乙正方形内减房坤亢乙正方形余离辛巽亢坤房磬折形积亦与乙尾兑氐正方积等乙兑氐勾股积亦与离辛坤房斜尖长方积等而辛箕倍撱圆差乘辛离余弦折半之乙辛箕三角积原与离辛壬房长方积等(辛壬)(为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离余弦相)(乗折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等)比离辛坤房斜尖长方积仅多辛壬坤一小勾股积则借乙辛箕三角积为与乙兑氐勾股积相等亦可也由此推之逐度之正弦余弦所成之勾股虽非正方而斜弦不改则各数比例皆同试自与丙丑平行之乙癸线所截之癸㸃作癸未正弦癸斗余弦又依乙戊小径截乙癸线于牛作牛女牛虚二线又依甲乙两心差截乙癸线于水作水火水金二线皆相平行则于斗癸未乙长方形内减去女牛虚乙长方形余斗癸未虚牛女磬折形积亦与金水火乙长方积等乙水火勾股积亦与斗癸牛女斜尖长方积等而癸午倍撱圆差乗癸斗余弦(与乙未等)折半之乙癸午三角积原与斗癸子女长方积等(癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗余弦相乗)(折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等)比斗癸牛女斜尖长方积仅多癸牛子一小勾股积则借乙癸午积为亦与乙水火勾股积等而甲乙土勾股与乙水火勾股为相等形(同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与)(乙水等故三边及面积皆相等)比甲乙巳积仅多甲巳土一小弧矢积其差只在微纎之间故谓甲乙巳积与乙癸午积相等也此法所得实行较前法多百分秒之二十四盖乙卯丁积比乙壬丁积多乙卯壬积实与甲乙土积等而比甲丑丁积仅多甲乙巳积则是甲丑丁积比乙壬丁四十五度积为稍大故所得实行丑甲丁角亦稍大计其所大之数适与甲巳土弧矢积度相去不逺至于以乙癸午三角积为与斗癸牛女斜尖长方积等其数微多(多癸牛子)(勾股积)以癸午为倍撱圆差其数微少然其多少之差约足相抵可不计也又如太阳平行距最卑后九十度求实行若干度分先从本天心设丁乙戊角九十度则乙戊丁分撱圆面积亦为九十度次与乙戊平行作丙癸线自甲至癸作甲癸线则丙角与戊乙丁角等而甲癸丁分撱圆面积即为九十度与乙戊丁积等(九十度无撱圆差觧见后)是为平行癸甲丁角即为实行乃将丙癸线引长至子使癸子与甲癸等则丙子为二千万又自甲至子作甲子线成甲丙子三角形求得子角五十八分五秒(小余五五)倍之得一度五十六分一十一秒(小余一○)即甲丙癸形之癸角度与丙角九十度相加得九十一度五十六分一十一秒(小余一○)为癸甲丁角度即平行距最卑后九十度时之实行度也盖乙戊丁为撱圆四分之一其积为九十度戊乙丁角亦九十度(积度与角度同为一)(线故无撱圆差)丙角既与乙角等甲癸丁积又与乙戊丁积等(甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲)(乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比)(甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积)(与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等)故即以平行积度为丙角而求甲角为实行度也此法所得实行较前法多百分秒之六十七盖甲癸丁积比乙戊丁积多癸戊寅弧矢积九十度稍大故实行亦稍大又丙角至九十度则弧矢之癸寅半弦与甲乙两心差相等是为最长积亦最大故所差最多过此则所差又渐少矣又如太阳平行距最卑后一百二十度求实行若干度分先从本天心设丁乙癸角一百二十度则乙子丁分撱圆面积亦为一百二十度次将丁乙癸角减丑乙寅撱圆差角(九十度以外小)(一撱圆差角故减)则癸乙已外角大一撱圆差角以撱圆小半径九九九八五七一(小余)(八五)为一率大半径一千万为二率所设癸乙已外角六十度之正切一七三二○五○八为三率求得四率一七三二二九八一(小余)(九八)为己乙寅外角之正切检表得六十度○分一十二秒(小余七六)即己乙寅外角度与一百八十度相减余一百一十九度五十九分四十七秒(小余二四)即寅乙丁内角度次与乙寅平行作丙卯线自甲作甲卯线则丙角与寅乙丁角等甲卯丁积为分撱圆一百二十度之面积与乙子丁积等是为平行卯甲丁角即为实行乃将丙卯线引长至辰使卯辰与甲卯等则丙辰为二千万又自甲至辰作甲辰线成甲丙辰三角形求得辰角四十九分五十三秒(小余四六)倍之得一度三十九分四十六秒(小余九二)即甲丙卯形之卯角度与丙内角一百一十九度五十九分四十七秒(小余二四)相加得一百二十一度三十九分三十四秒(小余一六)为卯甲丁角度即平行距最卑后一百二十度时之实行度也盖与丙卯平行之乙寅线截本天于巳所截之乙巳丁积比甲卯丁积小一卯己午形与甲乙未形等(乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲)(乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少)(一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳)(等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未)(弧则卯巳午积即与甲乙未积等)此甲乙未形之积与寅申倍撱圆差乘乙戌余弦折半之乙寅申三角形积等(寅丑癸子皆撱)(圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为)(数无多故谓寅申为倍差与乙戌余弦相乘折半得)(积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一)(小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等)亦即与乙子巳积等(与前法同)夫乙巳丁积比乙子丁小一乙子巳积比甲卯丁积小一甲乙未积甲乙未积既与乙子巳积等则甲卯丁积必与乙子丁积等而乙子丁为分撱圆一百二十度之面积癸乙丁角为一百二十度之角寅乙丁角比癸乙丁角原小一撱圆差角卯丙丁角又原与寅乙丁角等故于平行一百二十度内减一撱圆差角为丙角其甲卯线所截撱圆积即与平行度相等而求得甲角为实行度也此法所得实行较之前法多百分秒之四十一盖乙巳丁积比乙子丁积少乙子己积仅与甲乙亥积等而比甲卯丁积则少甲乙未积是甲卯丁积比乙子丁一百二十度积为稍大故所得实行卯甲丁角亦稍大然所差最大者不过半秒有竒不为不密而法最为简便故日躔求实行用此法也求均数均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最髙前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最髙起算最髙前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最髙后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法畧同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚为本天辛壬癸子为黄道以行度言之太阳在最卑前后当子辛辛壬两象限其本天平行丑甲寅丁面积未及半周而以黄道度计之巳见自子行至壬故为行盈太阳在最髙前后当壬癸癸子两象限其本天平行寅甲丑已面积巳过半周而以黄道度计之止见自壬行至子故为行缩以盈缩差言之太阳在最卑丁是为初宫初度当黄道之辛甲丁辛成一直线无盈缩差太阳在最髙已是为六宫初度当黄道之癸甲癸己成一直线亦无盈缩差而自最卑后行丁寅戊巳半周实行皆大于平行如平行至寅所截甲寅丁平行积度畧与寅丙丁角度等(争一撱圆差角故谓畧等)自地心甲视之巳当黄道之壬壬甲辛角必大于寅丙丁角又如平行至戊所截之甲戊丁平行积度畧与戊丙丁角度等自地心甲视之己当黄道之卯卯甲辛角必大于戊丙丁角故皆为加差自最髙后行已庚丑丁半周实行皆小于平行如平行至庚所截甲庚已平行积度畧与庚丙己角度等自地心甲视之方当黄道之辰辰甲癸角必小于庚丙己角又如平行至丑所截甲丑巳平行积度畧与丑丙巳角度等自地心甲视之方当黄道之子子甲癸角必小于丑丙已角故皆为减差此盈缩之理与不同心天之理同至求盈缩差之法当先以平行积度加减撱圆差角(九十度以)(内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角)(则减正九十度无差角解见前)为所设之丙角而求对倍差之角与所设之丙角相加得实行以平行与实行相减乃为均数(解见前借角求角法)然其数竒零不便立算故先以平行求得对倍差之角而后加减撱圆差角为尤便也如设太阳在己甲己丁分撱圆面积为平行距最卑后六十度知己丙甲角度比所设之甲己丁平行积度大一撱圆差角则于己丙甲角内减未丙午撱圆差角余午丙甲角必为六十度而与甲巳丁平行积度相等故先设午丙甲角为六十度用甲丙午三角形求得对甲丙倍差之午角一度四十一分二十九秒与平行午丙甲角相加则得午甲丁角然太阳原在已当黄道之申实行申甲辛角(即辛申弧)比午甲丁角尚大一巳甲午角故又求得未丙午撱圆差角一十三秒与巳甲午角等(巳甲午角与未)(丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角畧大)(然所差甚微故为相等)与午角相加(九十度以内大一撱圆差角故加)得一度四十一分四十二秒是为均数为加差以加于平行而得实行也若太阳在酉当黄道之戌甲酉巳分撱圆面积为平行距最高后一百二十度而距最卑前六十度则对甲丙倍差之亥角与午角等干丙亥撱圆差角亦与未丙午角等但其均数为减差以减于平行而得实行也如设太阳在亢甲亢丁分撱圆面积为平行距最卑后一百二十度知亢丙甲角度比所设之甲亢丁平行积度小一撱圆差角则于亢丙甲角加房丙氐撱圆差角得氐丙甲角必为一百二十度而与甲亢丁平行积度相等故先设氐丙甲角为一百二十度用甲丙氐三角形求得对甲丙倍差之氐角一度三十九分四十七秒与平行氐丙甲角相加则得氐甲丁角然太阳原在亢当黄道之尾实行尾甲辛角(即辛尾弧)比氐甲丁角尚小一氐甲亢角故又求得房丙氐撱圆差角一十三秒与氐甲亢角等(氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧)(而甲氐线长于丙氐则角畧小然所差甚㣲故为相)(等)与氐角相减(九十度以外小一撱)(圆差角故减)余一度三十九分三十四秒是为均数为加差以加于平行而得实行也若太阳在斗当黄道之牛甲斗己分撱圆面积为平行距最高后六十度则对甲丙倍差之女角与氐角等女丙虚撱圆差角亦与房丙氐角等但其均数为减差以减于平行而得实行也用此法求得最卑后半周之加差即得最高后半周之减差列为表此法与以丙为心作不同心天之法畧同但多一撱圆差又平圆之半径为一千万撱圆则自甲丙两心出线合于圆界共为二千万耳而太阳距地高卑之差止及两心差之半与均轮之法不谋而合故撱圆之法正所以合不同心天与本轮均轮而一之也御制厯象考成后编卷一
## 卷二
钦定四库全书御制厯象考成后编卷二月离数理月离总论太阴本天面积随时不同太阴本天心距地及最高行随时不同求初均数求一平均求二平均求三平均求二均数求三均末均求交均及黄白大距地半径差月离总论古歴皆谓月一日行十三度十九分度之七出入日道不逾六度东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬乃定为转分进退时各不同犹今之初均数而其出入日道之大距则仍恒为六度也新法算书初均而外又有二均三均交均葢因朔望之行有迟疾故有初均两弦又不同于朔望故有二均两弦前后又不同于两弦故有三均此经度之差也朔望交行迟而大距近两弦交行疾而大距逺故有交均此交行之差而亦纬度之差也上编言太阴行度有九种一曰平行二曰自行三曰均轮行四曰次轮行五曰次均轮行六曰交行七曰最高行八曰距日行九曰距交行其实均轮行自行度次轮次均轮皆行月距日倍度则九种行度之中又止六种而巳自西人刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及太阴诸行又皆以日行与日天为消息故日行有盈缩则太阴平行最高行正交行皆因之而差名曰一平均日距月天最高有逺近则太阴本天心有进退两心差有大小而平行面积亦因之而差名曰二平均其最高之差名曰最高均又白极绕黄极而转移则白道度有进退而太阴之在白道亦因之而差名曰三平均此四者皆昔日之所无而刻白尔以来柰端等屡测而创获者也夫两心差既有大小则月距最高虽等而迟疾之差不等故分大中小三数而仍名曰初均朔望而外其差之最大者不在两弦而在朔弦弦望之间仍名曰二均又月高距日高与月距日之共度半周内恒差而疾半周外恒差而迟仍名曰三均又朔后恒差而迟望后恒差而疾因月高距日高之逺近其差不等别名曰末均又日在交后一象限则交行疾日在交前一象限则交行迟仍名曰正交均此五者末均为昔日之所无其余诸均亦名同而数异皆刻白尔以来噶西尼等屡测而改定者也至于黄白交角(即大距度)新法算书朔望最小两弦最大今则谓日在交㸃交角大前后皆小朔望尤小日在大距交角小前后皆大两弦尤大似皆与新法算书不同然用以推歩交食则皆与实测合而与新法算书亦相去不逺计其行度一平均用日引度二平均最高均用日距月最高之倍度三平均正交均用日距正交之倍度初均仍用自行度二均仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度交角用日距正交兼月距日度较旧用行度多四种一曰日引二曰日距月最高三曰日距正交四曰月高距日高则其行度共行种矣今考其表中所列诚皆实测之数而要不离乎本天高卑中距四限与朔望两弦前后参互比较而得之兹为总举其端而各具测算之法于后庶学者知其立法所自来而推歩考验咸可通其条贯云太阴本天面积随时不同太阴初均数生于两心差两心差不等则均数亦不等然于平行无与也自刻白尔以本天为撱圆以平行为面积则两心差不等而撱圆之面积与太阴之平行亦因之不等盖两心差大者小径之数小而面积亦小两心差小者小径之数大而面积亦大故分撱圆之度数虽同而度之面积各异非先求其面积无以求度数也今取两心差之大中小三数求其小径及面积以定平行而后均数可得而推也如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚撱圆为太阴本天乙丁为大半径一千万乙戊为小半径甲戊丙戊皆与乙丁大半径等以甲戊为弦甲乙为勾求得股即乙戊小半径也以乙丁大半径求得丁辛己壬平圆积以乙辛与乙戊为比例即撱圆全积也用度分秒数除之即得一度一分一秒之积也以庚戊小径与丁己大径相乗开平方折半即乙癸中率半径也其理皆与日躔同惟两心差随时不同则小径与面积皆各异具列于左最大两心差 六六七八二○小径 九九七七六七五(小余九○)中率半径 九九八八八三一(小余七二)中率半径方 九九七七六七五九○四一一七二撱圆全积 三一三四五七九三二八四四五六七九十度积 七八三六四四八三二一一一四二一度积 八七○七一六四八○一二四一分积 一四五一一九四一三三五一秒积 二四一八六五六八九中数两心差 五五○五○五小径 九九八四八三五(小余七一)中率半径 九九九二四一四(小余九八)中率半径方 九九八四八三五七一四四七一○撱圆全积 三一三六八二八六四九二○三九六九十度积 七八四二○七一六二三○○九九一度积 八七一三四一二九一四四六一分积 一四五二二三五四八五七一秒积 二四二○三九二四八最小两心差 四三三一九○小径 九九九○六一二(小余九二)中率半径 九九九五三○五(小余三六)中率半径方 九九九○六一二九一五三二七一撱圆全积 三一三八六四三六一○三七八六七九十度积 七八四六六○九○二五九四六七一度积 八七一八四五四四七三二七一分积 一四五三○七五七四五五一秒积 二四二一七九二九一太阴本天心距地及最高行随时不同太阴之行有迟疾由于本天有高卑其说一为不同心天一为本轮与太阳同西人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万即不同心天之两心差其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大因将本轮半径三分之存其二分五十四万为本轮半径取其一分二十七万为均轮半径其高卑之数迟疾之差虽各有不同而其距地之有定数最高之有常行则一也自刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有竒与旧数相去不逺若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日厯月天高卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也今考其表中所载其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多最卑前后九十度少与上编小轮之理同其求两心差则在本天高卑之适中而亦不正九十度与本编日躔之理同而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数巳见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣如甲为地心乙为太阴本天心丙为最高丁为最卑戊己为中距(戊己乃实行之中距非平)(行之中距因朔望相对故借实行以明之)设日天最高当月天最高丙太阳在最高后中距戊太阴亦在戊合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒又设太阳在最高前中距己太隂亦在己合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒太阴在最高后中距戊望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒两测太隂在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然太阳在戊则少数小多数大太阳在己则少数大多数小是必另有一均因太阳在戊而加在己而减者若不因太阳之故则太隂在戊为减在己为加其数必相等也于是以大小两数相减折半得一十一分五十秒别为一平均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也又设日天最高当月天最高后中距戊太阳在最高戊太阴在最高后中距戊合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒又设日天最高当月天最高前中距己太阳在最高己太阴在最高前中距己合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒太阴在最高后中距戊望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度则少数大多数小日天最高在己月天最高距日天最高九十度则多数大少数小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加与前测合又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在中距戊上弦测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒太阴在中距己下弦测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒又设日天最高当月天最卑丁太阳在最高丁太阴在中距己上弦测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒太阴在中距戊下弦测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然上弦则少数小多数大下弦则少数大多数小是必另有一均因上弦而加下弦而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得七度三十七分五十九秒为日在月天最高最卑时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也又设日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太阳在庚距月天最高四十五度太阴在戊距最高九十度而距日四十五度为朔与上弦之间测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太阳在辛距月天最高一百三十五度太阴仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度为下弦与朔之间测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒又设日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太阳在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度为朔与上弦之间测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太阳在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度为下弦与朔之间测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣而朔与上弦之间则少数小多数大下弦与朔之间则少数大多数小是必另有一均因朔后而加朔前而减者而所大所小之数又不及二均加减之多是必又有别均加减于其间而此特为其加减之较于是以大小两数相减折半得二十八分三十二秒为二均与二平均末均加减之较(查朔后四十五度二均应)(加三十三分一十四秒而日距月天高卑后四十五度二平均应减三分三十)(四秒又月高距日高在四象限之正中朔后四十五度时末均应减一分八秒)(故以二十八分三十二秒为加减之较又查朔前四十五度二均应减三十三)(分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均应加三分三十四秒又月)(高距日高在四象限之正中朔前四十五度时末均应加一分八秒故亦以二)(十八分三十二秒为加减之较详后各篇)以减大数加小数得六度二十六分一十七秒为日距月天高卑前后四十五度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引(即距最高之平行度)之多于九十度与实引(即距最高之实行度)之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等(见日躔求两心差篇)如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距(丑寅)(为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引)(九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也)乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等(与日躔求两心差同但日)(躔从最卑起算月离从最高起算耳)此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒(此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分)(二十五秒故减)余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正弦检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上弦其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒(同前)余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正弦得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也(此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非)(直角则用切线分外角法)如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣求初均数新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六(见日躔撱圆角度与面积相求篇)月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减(不及半周)(者与半周相减过半周者减半周)为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云如图甲为地心乙为本天心甲乙为最大两心差六六七八二○丙丁戊己为月本天乙丙为大半径一千万与乙庚等乙丁为小半径九九七七六七五(小余)(九○)设太阴平引距最高后九十度用日躔借角求角法依甲乙之分截乙丙线于辛取丙辛壬角为九十度自地心甲作甲壬线命甲壬丙分撱圆面积为九十度与乙丁丙面积等亦与丙乙丁角度等用甲辛壬三角形丙辛壬外角为平引九十度甲辛为倍两心差一三三五六四○甲壬与辛壬共为二千万求得壬角七度三十八分二十八秒(小余七○)为初均数即得壬甲丙角八十二度二十一分三十一秒(小余三○)为实引试依日躔借积求积法细推之辛壬边为九九五五四○一(小余六四)甲壬边为一○○四四五九八(小余)(三六)甲壬丙分撱圆面积为七八三五四五六三一八四七七三与最大两心差之撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二相减余九九二○○二六三六九为甲壬癸积即甲壬丙积小于九十度积之较故知平引距最高九十度时太阴必在壬㸃之后如癸乃依最大两心差中率半径九九八八八三二截甲壬线于子截甲癸线于丑成甲子丑分平圆面与甲壬癸为同式形(甲壬)(长于甲癸然为数无多故为同式形)以甲壬自乗得一○○八九三九五六二一三七一五为一率甲子中率自乗方九九七七六七五九○四一一七二为二率甲壬癸积较为三率求得四率九八一○一八二○七五为甲子丑分平圆面积以最大两心差之一秒积二四一八六五六八九除之得四十秒(小余五六)为子甲丑角与壬甲丙角相加得八十二度二十二分一十一秒(小余八六)为癸甲丙角即平引距最高后九十度之实引与平引九十度相减余七度三十七分四十八秒(小余一四)即平引距最高后九十度时之初均数前用日躔借角求角法所得实引壬甲丙角比细推少四十秒盖乙丁丙为撱圆面四分之一其积为九十度今命太隂在壬以甲壬丙分撱圆积为与乙丁丙积等其实甲壬丙积比乙丁丙积多一甲乙寅形少一寅壬丁形而甲乙寅积仅与寅壬卯积等以多补少尚少壬卯丁弧矢积故推得壬甲丙角比细推少四十秒也(日躔)(从最卑起算则推得辰甲戊角比细推为多)又查日天两心差为一六九○○○小矢为一四二六所得实引比细推差百分秒之六十六月天甲乙两心差为六六七八二○与壬卯半弦等几为日天之四倍卯丁小矢为二二二七四(乙丁内减去辛壬余即卯丁小矢也)几为日天之一十六倍则壬卯丁弧矢积几为日天之六十四倍(四因一十六倍得六十四倍)故实引比细推差四十秒亦几为日躔实引所差之六十四倍也今用两三角形法先设丙乙庚角为平引九十度用甲乙庚三角形甲乙庚角为九十度乙庚为半径一千万甲乙为最大两心差六六七八二○求得甲庚乙角三度四十九分一十四秒(小余三五)又与甲庚平行作乙己线自甲至己作甲己线成甲乙己三角形己乙庚角与甲庚乙角等以己乙庚角与甲乙庚角九十度相加得九十三度四十九分一十四秒(小余三五)为甲乙己角求得乙甲己角八十二度二十三分二秒(小余四一)为平圆引数次以乙庚大半径一千万为一率乙丁小半径九九七七六七六为二率乙甲己角之正切线为三率求得四率为乙甲午角之正切线检表得八十二度二十二分一秒(小余七九)为实引与平引九十度相减余七度三十七分五十八秒(小余二一)即最大两心差平引九十度之初均数也此法推得实引比前细推所得之数仍少一十秒而较之日躔借角求角之法则为己宻葢设丙乙庚角为九十度则乙庚丙分平圆积乙丁丙分撱圆积皆为九十度今与甲庚平行作乙己线甲己丙面与乙庚丙面相等而为平圆九十度积则甲午丙面亦必与乙丁丙面相等而为撱圆九十度积夫甲己丙面内有乙己丙形与甲乙己形乙庚丙面内有乙己丙形与乙己庚形甲乙己积与乙己庚积相等则甲己丙积即与乙庚丙积相等试自己至庚作己庚直线则乙己庚与甲乙己为二平行线内同底同高之两三角形其积相等(乙己原与甲庚平行庚未正弦与甲申垂线等)(以乙己底与庚未高相乗折半得乙己庚三角积以)(乙己底与甲申高相乗折半得甲乙己三角积庚未)(既与甲申等故两三角积必等也)是甲乙己形比乙己庚形尚少庚酉巳弧矢积而甲己丙分平圆面比乙庚丙平圆九十度积甲午丙分撱圆面比乙丁丙撱圆九十度积亦少庚酉已弧矢积故求得实引比细推少一十秒即庚酉巳弧矢积之度然为数无多非若差壬卯丁弧矢积者比故其法较日躔为己宻也又以日躔之法明之日躔设太阴在壬其甲壬丙分撱圆面积比乙丁丙撱圆九十度积少壬卯丁弧矢积故实引壬甲丙角少四十秒今平引用乙角甲乙与乙辛等而乙庚长于辛壬则与甲庚平行之乙己线必在壬㸃下减巳甲午撱圆差角太阴午㸃亦必仍在壬㸃下是甲午丙积比甲壬丙积即多甲午壬积足与所少壬卯丁弧矢积相补故求得实引午甲丙角即比壬甲丙角大一午甲壬角以数计之已午畧与卯丁等甲戌畧与甲辛等则甲已午三角积为壬卯丁勾股积之二倍而甲午壬积约为甲己午积之一半故甲午壬积与壬卯丁勾股积等比壬卯丁弧矢积仅少壬亥丁一小弧矢积故实引止少一十秒且此之平引为九十度乃差之最大者九十度前后愈近最高最卑其差愈少故推太阴初均用此法也依前法设平引九十度甲乙为最小两心差四三三一九○求得乙甲午角八十五度二分二十九秒为实引与平引九十度相减余四度五十七分三十一秒为最小两心差平引九十度之初均数又设甲乙为中数两心差五五○五○五求得乙甲午角八十三度四十二分一十秒为实引与平引九十度相减余六度一十七分五十秒为中数两心差平引九十度之初均数如设平引九十度日距月最高四十五度两心差为五六二八六六求初均数则以最大两心差与中数两心差相减余一一七三一五为一率最大两心差之初均数与中数两心差之初均数相减余一度二十分八秒化作四千八百零八秒为二率今有之两心差与中数两心差相减余一二三六一为三率求得四率五百零七秒収作八分二十七秒与中数两心差之初均数相加得六度二十六分一十七秒为平引九十度两心差五六二八六六之初均数盖均数因两心差为大小故初均大小之差即用两心差之较为比例若以甲乙两心差五六二八六六用两三角形法算之则得乙甲午角八十三度三十三分四十三秒为实引与平引九十度相减余六度二十六分一十七秒为初均数与用两心差之较为比例所得数同故初均表止列大中小三限为省算也余倣此求一平均新法算书推歩朔望惟用初均数若月在本天最高或在本天最卑则平行与实行合为一线并无初均数矣刻白尔以来奈端等屡加测騐谓月在最高最卑虽无初均数而日在最卑后则太阴平行常迟最高平行正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交平均则兼左旋右旋两差之故焉以太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十八秒六二为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒变时(每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒)得七分四十五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収为一十一分四十九秒为太阴一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度巳差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行太阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加巳过子正应减之时差行又其在外者也故以一日太阳平行三千五百四十八秒三三为一率一日最高平行四百零一秒○七为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒为三率求得四率七百八十八秒一六加四倍时差最高行八秒用一五因之再加最高时差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒为最高一平均又以一日太阳平行为一率一日正交平行一百九十秒六三为二率太阳中距均数为三率求得四率三百七十四秒六二加四倍时差正交行四秒用一五因之再加正交时差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒为正交一平均最高顺行故加减与太阳均数同正交退行故加减与太阳均数相反是为太阳实行至子正时之最高平行与正交平行也最高一平均与旧表合太阴一平均正交一平均皆少一秒今仍用旧数既得太阳中距之平均而逐度之平均皆由太阳均数立算故以太阳中距均数与中距平均之比即同于太阳逐度均数与逐度平均之比也测法附后如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高当日天最高丙太阳在中距丁太阴在最卑戊上弦测得太阴实行比平行多一十四分一十五秒太阴在最高丙下弦测得太阴实行比平行多九分二十五秒又设太阳在中距己太阴在最高丙上弦测得太阴实行比平行少九分二十五秒太阴在最卑戊下弦测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣而上弦则多数大少数小下弦则多数小少数大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也又设太阳在丁月天最高在丁距日天最高后九十度太隂在丁合朔测得太隂实行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己望测得太隂实行比平行多九分二十五秒又设太阳在己月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己合朔测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高后九十度太阴在丁望测得太隂实行比平行少九分二十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高后九十度则多数大少数小月天最高在己距日天最高后二百七十度则多数小少数大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也又设太阳在庚距最高后四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔测得太隂实行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望测得太隂实行比平行多六分三十二秒又设太阳在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔测得太隂实行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望测得太隂实行比平行少六分三十二秒两测太阳距最高前后皆四十五度而在最高后庚太隂实行皆比平行为多在最高前壬太隂实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最高前则减为一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高后四十五度则多数大月天最高在辛距日天最高后二百二十五度则多数小月天最高在壬距日天最高后三百一十五度则少数大月天最高在癸距日天最高后一百三十五度则少数小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得八分一十五秒为太阳距最高前后四十五度之一平均最高后为加最高前为减也查太阳最高前后四十五度之均数为一度二十分五十七秒以太阳中距之均数一度五十六分一十三秒与中距一平均一十一分五十秒之比同于最高前后四十五度之均数一度二十分五十七秒与四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均当以逐度太阳均数为比例也又设太阳在最高后中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正当交㸃此时应无初均惟一平均应加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均应加二分二十五秒然测太隂实行比平行多一十九分一十四秒较之一平均与三均应加之数仍多四分五十九秒为最卑后三十四分一十一秒所应加之初均数夫太隂本在最卑以一平均与三均应加之数计之应在最卑后一十四分一十五秒是必最高又有减差太隂始得在最卑后三十四分一十一秒乃于三十四分一十一秒内减一平均与三均应加之一十四分一十五秒余一十九分五十六秒为太阳在最高后中距应减之最高平均也又此时太隂正当交㸃应无距纬然测太阴纬度在黄道北二十六秒为太隂距正交后四分四十五秒之纬度夫太隂本在交㸃以一平均与三均应加之数计之则应距正交后一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交后四分四十五秒乃于一平均与三均应加之一十四分一十五秒内减四分四十五秒余九分三十秒为太阳在最高后中距应加之正交平均也太阳在最高前倣此求二平均前篇言太阴在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒高卑后为减中距后为加其间日距月最高逐度之差皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平均盖太阴本天心循最高均轮周行日距月最高之倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度则两心差与撱圆之面积皆为适中太隂平行原以适中之数立算故其平行无迟速也然推盈缩迟疾之法皆以小轮上下二㸃为起算之端而以九十度处为差数之极今太隂本天心既循均轮周行日距月最高之倍度则是日在月天高卑时本天心皆在均轮上㸃也日在月天中距时本天心皆在均轮下㸃也日距月天高卑中距四十五度时本天心皆在均轮九十度处也故二平均以高卑中距分加减之限而以四十五度为最大差至其大差之数与比例之法固由测量而得亦可推算而知测算之法并设于左如甲为地心乙为月本天心丙丁戊己为月本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太隂初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十二分二十五秒比所推实行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太隂初均应减四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推实行少一分五十一秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太隂初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推实行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太隂初均应减四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行少四度四十二分二十五秒比所推实行多五分一十七秒两测太阳同在最高前测太阳一在月天最高后四十五度一在月天最卑后四十五度实行皆比所推为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比所推为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分三十四秒为太阳在最高时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太阴初均应减四度二十分二十四秒然测太阴实行却比平行少四度二十六分三秒比所推实行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太阴初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十五分二十九秒比所推实行少二分一十三秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太阴初均应减四度四十七分四十二秒然测太阴实行仅比平行少四度四十五分二十九秒比所推实行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太阴初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十六分三秒比所推实行多五分三十九秒两测太阳同在最卑前测太阳一在月天最卑后四十五度一在月天最高后四十五度实行皆比平行为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比平行为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分五十六秒为太阳在最卑时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也设日天最高在丙与月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此时一平均应加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均应加四度四十七分四十二秒实行应比平行多四度五十五分五十七秒然测太阴实行仅比平行多四度五十二分二十秒比所推实行少三分三十七秒是为日在最高后四十五度时距月天最高后四十五度应减之二平均也又设日在壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度距日天最高亦一百三十五度此时一平均应加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均应加四度二十分二十四秒实行应比平行多四度二十八分五十四秒然测太阴实行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推实行多三分五十三秒是为日在最高后一百三十五度时距月天中距后四十五度应加之二平均也又设日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此时一平均应加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均应加二度四十四分二秒实行比平行应多二度四十八分然测太隂实行仅比平行多二度四十五分四十二秒比所推实行少二分一十八秒是为日在最高后二十度时距月天最高二十度应减之二平均也又设日在寅距月天最高一百一十度而在中距后二十度距日天最高亦一百一十度此时一平均应加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高后二百九十度初均应加四度五十五分一十六秒实行比平行应多五度六分二十八秒然测太阴实行却比平行多五度八分五十六秒比所推实行多二分二十八秒是为日在最高后一百一十度时距月天最高一百一十度应加之二平均也以上测得诸数与本天面积比例相似如甲乙丙丁为最大两心差之撱圆其面积小甲戊丙己为最小两心差之撱圆其面积大甲庚丙辛为相加折半之撱圆其面积适中今以适中之面积均分之为平行在小面积必比中积为少故平行迟在大面积必比中积为多故平行速然其迟速之限止在日距月最高倍度九十度之间故其迟速之差亦至九十度而止试以最大两心差之甲乙壬撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二与最小两心差之甲戊壬撱圆九十度积七八四六六○九○二五九四六七相减余一○一六○七○四八三二五为甲乙戊积折半得五○八○三五二四一六二为甲乙庚积与甲庚戊积等以适中一秒积二四二○二二四九○除之得二百一十秒収为三分三十秒比日在最高之最大二平均仅少四秒今仍用旧数又日在最高距地逺而差数小日在最卑距地近而差数大与转比例相似试以日在最卑距地九八三一之平方九六六四为一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○为二率(面积从末)(截去十位以便入算)日在最高距地数乗最高二平均三分三十四秒之长方为三率求得四率为日在最卑距地数乗最卑二平均之长方以最卑距地数除之得三分五十六秒强为日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地数与一率最卑平方相乗得最卑距地之立方九五○一五二为一率以三率最高距地数与二率最高平方相乗得最高距地之立方一○五一五六二为二率(立方积从末截)(去十五位以便入算)即以日在最高二平均三分三十四秒为三率则得四率即为日在最卑二平均三分五十六秒与表合日距月最高逐度之二平均以半径与日距月最高倍度之正弦为比例如甲为地心甲乙为中数两心差甲丙为最大两心差甲丁为最小两心差日在月天最高月本天心在丙面积最小平行最迟自丙向戊所迟渐少迨日距月天最高四十五度则月本天心自丙行九十度至戊面积适中即无所迟而复于平行然积迟之多正在戊故为最大之减差由戊向丁面积渐大平行渐速然因有积迟之度方以次相补迨日距月天最高九十度则月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而积迟之度方补足无缺故自丙至丁半周皆为减差也日在月天中距月本天心在丁面积最大平行最速自丁向己所速渐少迨日距月天最高一百三十五度则月本天心自丙行二百七十度至己面积适中即无所速而复于平行然积速之多正在己故为最大之加差由己向丙面积渐小平行渐迟然因有积速之度方以次相消迨日距月天最高后半周与月天最卑同度则月本天心自丙行一周复至丙平行最迟而积速之度始消尽无余故自丁至丙半周皆为加差也日距月天最卑后皆倣此今以日距月最高倍度之正弦为比例自丙向戊自丁向己正弦渐大而其较渐小自戊向丁自己向丙正弦渐小而其较渐大故自戊㸃而后所减渐少而所少之较又渐大实即加也加至丁㸃而极自丁㸃而后为加虽所加渐多而所加之较实渐小至己则逐日所加相等是即无所加矣自己㸃而后所加渐少而所少之较又渐大实即减也减至丙㸃而极自丙㸃而后为减虽所减渐多而所减之较实渐小至戊则逐日所减相等是即无所减矣故太阴平行以丙㸃前后为迟丁㸃前后为速而迟速之差至戊己二㸃而止其间逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正弦为比例也太阳距地逐度二平均较以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例盖以本日太阳距地之立方与最高距地之立方为比同于最高之二平均与本日太阳距地之二平均为比此正理也(法见前)然以此立表则不胜其繁而逐度太阳距地之立方推算亦不易且其至大之差不过二十二秒用立方较为比例其数巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高时本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑时本日之二平均两二平均相减为高卑二平均之较乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二与日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相减余一○一四一○为高卑立方大较为一率高卑二平均之较为二率本日太阳距地之立方与最高距地之立方相减为本日之立方较为三率求得四率为本日二平均较与日在最高之二平均相加即得本日之二平均也求三平均前篇言日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数然惟太阳在两交与大距为然若太阳在两交后则平行又稍迟在大距后则平行又稍速其最大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮周新法算书谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正交之倍度(详见后交均篇)故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直其平行无加减太阳在两交后则白极在均轮心之东而白道经圏之过黄道者亦差而东其黄道旧㸃所当白道度即差而西故平行应减而迟也太阳在大距后则白极在均轮心之西而白道经圏之过黄道者亦差而西其黄道旧㸃所当白道度即差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒之间虽不易得之仰观而实可稽诸仪象其法以半径一千万与均轮半径切线为比同于本轮半径与最大三平均切线为比而逐度之三平均皆以半径与日距正交倍度之正即为比例焉如图甲为黄极乙丙丁戊为黄道以最大黄白大距五度一十七分二十秒与最小黄白大距四度五十九分三十五秒相加折半得五度八分二十七秒半为黄白大距之中数以中数为半径作己庚辛壬圏为白极绕黄极本轮又以两大距相减折半得八分五十二秒半为半径作癸子丑寅圏为负白极均轮均轮心循本轮周左旋自己向庚每日三分有余为正交行度白极循均轮周右旋自癸向子每日二度四分有余为日距正交之倍度日在两交白极在癸日在大距白极在丑与均轮心参直成一直线故无三平均如日距两交后四十五度则白道之北极自癸行九十度至子在均轮心之东而白道之南极即转在均轮心之西白道经圏交白道于卯当黄道之辰在乙㸃黄道度之东而白道经圏之过乙㸃者即当白道之己是白道度退矣白道度退则太隂亦随之而退故白极在癸子丑半周三平均皆为减差也如日在大距后四十五度则白道之北极自丑行九十度至寅在均轮心之西而白道之南极即转在均轮心之东白道经圏交白道于卯当黄道之午在乙㸃黄道度之西而白道经圏之过乙㸃者即当白道之未是白道度进矣白道度进则太阴亦随之而进故白极在丑寅癸半周三平均皆为加差也巳卯子卯寅卯皆九十度巳角子角寅角皆直角巳子巳寅皆均轮半径八分五十二秒半即卯角度乙卯五度八分二十七秒半与甲己本轮半径等故以半径一千万与卯角正切线二五八一六为比同于乙卯弧之正弦八九六○六六与乙午或乙辰之正切线二三一三为比而得乙午乙辰弧各四十七秒为最大三平均若日距正交之倍度不及九十度或过九十度则巳角或锐或钝不得成直角而卯角与乙辰乙午三平均皆以渐而小当用弧线三角形法推算然均轮半径不过八分余其逐度之正弦即与卯角等故逐度之三平均即以半径与日距正交倍度之正弦为比例也今按三平均系白道度当用卯巳与卯未弧又按推交均法将均轮半径减五十秒余巳申八分二秒半为小轮半径则三平均又当用卯酉弧然以数推之卯巳弧为四十八秒卯酉弧为四十三秒其差不逺故即以均轮半径比例为省算云求二均数新法算书惟太阴两弦行度止有初均二均两弦前后始有三均初均之最大者四度五十八分余二均之最大者二度二十七分余三均之最大者四十二分余计两弦前后最大差共八度弱噶西尼以来屡加测验谓两弦太阴行度止有初均三均而三均又不尽关乎两弦之故二均之最大者不在两弦而在朔弦弦望之间其初均之最大者七度三十九分三十四秒二均之最大者三十七分一十一秒计两弦前后最大差共八度强则是今之二均固兼新法算书二均三均之义而其数则又不同盖太阴去地甚近其行最著又二十七日有竒而一周天一月之中备日行四时之轨至为参错不齐古人惟重交食故朔望而外置之弗论西人第谷始创二三均之法其门人精测不已又数十年然后改定则其数必实有所据而非为臆说也其法定日在最高朔望前后四十五度最大差为三十三分一十四秒日在最卑朔望前后四十五度最大差为三十七分一十一秒朔望后为加两弦后为减其间月距日逐度之二均则以半径与月距日倍度之正弦为比例其太阳距最高逐度二均之差又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例与二平均同测算之法并设于后如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高在日天最高丙太阳在最高丙太阴在庚距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上弦之间此时太阴初均应减五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行少四度三十一分一十四秒比所推实行多三十四分五十七秒若太隂在辛距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下弦之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行多六度一十六分比所推实行多三十一分三十一秒又设太隂在壬距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下弦与朔之间此时太隂初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度三十一分一十四秒比所推实行少三十四分五十七秒若太阴在癸距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上弦与望之间此时太隂初均应减五度四十四分二十九秒然测太隂实行却比平行少六度一十六分比所推实行少三十一分三十一秒两测太阳同在最高前测太隂在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十三分一十四秒为太阳在最高时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两弦后为减也设月天最高在日天最卑戊太阳在最卑戊太阴在辛距最高四十五度距日亦四十五度为朔与上弦之间此时太隂初均应减五度六分一十一秒然测太隂实行则仅比平行少四度二十七分一十七秒比所推实行多三十八分五十四秒若太隂在庚距最高二百二十五度距日亦二百二十五度而在望后四十五度为望与下弦之间此时太隂初均应加五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行多六度一十九分五十七秒比所推实行多三十五分二十八秒又设太阴在癸距最高三百一十五度距日亦三百一十五度而在朔前四十五度为下弦与朔之间此时太阴初均应加五度六分一十一秒然测太阴实行则仅比平行多四度二十七分一十七秒比所推实行少三十八分五十四秒若太阳在壬距最高一百三十五度距日亦一百三十五度而在望前四十五度为上弦与望之间此时太阴初均应减五度四十四分二十九秒然测太阴实行却比平行少六度一十九分五十七秒比所推实行少三十五分二十八秒两测太阳同在最卑前测太阴在朔望后四十五度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前四十五度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三十七分一十一秒为太阳在最卑时月在朔望前后四十五度之最大二均数朔望后为加两弦后为减也设月天最高当日天最高丙太阳在最高丙太阴在子距最高三十度距日亦三十度此时太阴初均应减三度三十三分五十七秒然测太阴实行仅比平行少三度三分五十七秒比所推实行多三十分若太阴在丑距最高二百一十度距日亦二百一十度而在望后三十度此时太阴初均应加四度七分一十三秒然测太阴实行却比平行多四度三十四分四十七秒比所推实行多二十七分三十四秒又设太隂在寅距最高三百三十度距日亦三百三十度而在朔前三十度此时太阴初均应加三度三十三分五十七秒然测太隂实行仅比平行多三度三分五十七秒比所推实行少三十分若太阴在卯距最高一百五十度距日亦一百五十度而在望前三十度此时太阴初均应减四度七分一十三秒然测太隂实行却比平行少四度三十四分四十七秒比所推实行少二十七分三十四秒两测太阳同在最高前测太阴在朔望后三十度实行皆比所推为多后测太阴在朔望前三十度实行皆比所推为少是知太阴在朔望后则加在朔望前则减为二均之故矣然朔后则多数大望后则多数小朔前则少数大望前则少数小是必另有一均因朔后而加望后而减者于是以大小两数相减折半得一分一十三秒别为三均以减大数加小数得二十八分四十七秒为日在最高时月距日三十度之二均数朔望后为加两弦后为减也乃以前第一测月距日四十五度倍之得九十度其正弦即半径一千万为一率前第一测月距日四十五度之二均三十三分一十四秒为二率第三测月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四为三率求得四率二十八分四十七秒与所测合故知月距日逐度之差以半径与月距日倍度之正弦为比例也又设月天最高在日天最高丙太阳在辰距本天最高三十度距月天最高亦三十度太阴在己距本天最高六十度距日三十度此时一平均应加五分四十九秒二平均应减三分六秒初均应减五度五十三分二十二秒三均应加一分一十三秒实行应比平行少五度四十九分二十六秒然测太阴实行则仅比平行少五度二十分二十六秒比所推实行多二十九分是为日在日天最高后三十度时月距日三十度应加之二均数与本天高卑比例相合盖以日在最卑距地之立方九五○一五二为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高之最大二均数三十三分一十四秒加高卑二平均较二十二秒得三十三分三十六秒为三率则得四率三十七分一十一秒为日在最卑之最大二均数以今设日距最高三十度距地一○一四五六之立方一○四四三一九为一率日在最高距地之立方一○五一五六二为二率以日在最高月距日三十度之二均数二十八分四十七秒加本日二平均较一秒(法见前求二平均篇)得二十八分四十八秒为三率则得四率二十九分为本日之二均数此正理也然列表则甚繁而入算亦不易故先以半径为一率日在最高最大二均数三十三分一十四秒为二率月距日三十度倍之得六十度其正弦八六六○二五四为三率得四率二十八分四十七秒为日在最高月距日三十度之二均数又以半径为一率日在最卑最大二均数三十七分一十一秒为二率月距日倍度之正弦为三率得四率三十二分一十二秒为日在最卑月距日三十度之二均数两二均之较为三分二十五秒乃以太阳高卑立方大较一○一四一○为一率两二均之较三分二十五秒为二率日距最高三十度距地之立方一○四四三一九与最高距地之立方一○五一五六二相减余七二四三为本日立方较为三率求得四率一十四秒与日在最高之二均相加得二十九分一秒为日距最高三十度时月距日三十度之二均数比前法仅多一秒故太阳距最高逐度二均之差以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例也求三均末均新法算书推歩朔望两弦皆无三均数而三均之最大者毎在朔弦弦望之间故知三均之差生于月距日之倍度自噶西尼以来以朔弦弦望间之最大差属之二均而月距日九十度与月高距日高九十度其差正等(见求两心差第二第三条求一平均第一第二条)月距日四十五度与月高距日高四十五度其差又等(见求一平均第三条求二)(平均第一条求二均第一条)则是三均之差不専系乎月距日之故也于是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等乃知三均之差生于月距日与月高距日高之总度半周内为加半周外为减其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒其间逐度之差以半径与总度之正弦为比例则三均之法定矣然必日月最高同度或日月同度两者止有一相距之差则止有三均若月天最高与日天最高有距度日月又有距度则三均之外朔后又差而迟望后又差而速及至月高距日高九十度月距日亦九十度时无三均而其差反最大故知三均之外又有末均乃将月高距日高九十度分为九限各于月距日九十度时测之两高相距九十度其差三分渐近则渐小其间月距日逐度末均之差皆以半径与月距日之正弦为比例朔后为减望后为加而后推太隂经度之法纎悉具备今考其所测其数之小者只在秒微之间其时又数十年而不一遇然其用意细宻学者茍通乎此何患推测之无术欤如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日在最高丙月天最高在庚距日天最高四十五度日距月天最高三百一十五度月在最高庚距日四十五度与月高距日高共为九十度此时二平均应加三分三十四秒二均应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太隂实行却比平行多三十八分五秒半比所推实行多一分一十七秒半若月天最高在辛距日天最高二百二十五度日距月天最高一百三十五度月在最高辛距日二百二十五度与月高距日高共为四百五十度减全周余亦九十度此时二平均亦应加三分三十四秒二均亦应加三十三分一十四秒实行应比平行多三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行多四十分二十秒半比所推实行多三分三十二秒半又设月天最高在壬距日天最高三百一十五度日距月天最高四十五度月在最高壬距日三百一十五度与月高距日高共六百三十度减全周余二百七十度此时二平均应减三分三十四秒二均应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少三十八分五秒半比所推实行少一分一十七秒半若月天最高在癸距日天最高一百三十五度日距月天最高二百二十五度月在最高癸距日一百三十五度与月高距日高亦共为二百七十度此时二平均亦应减三分三十四秒二均亦应减三十三分一十四秒实行应比平行少三十六分四十八秒然测太阴实行却比平行少四十分二十秒半比所推实行少三分三十二秒半前测两距总数共九十度实行皆比所推为多后测两距总数共二百七十度实行皆比所推为少是知两距之总度半周内为加半周外为减两三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得一分七秒半别为末均以加小数减大数得二分二十五秒为两距共九十度与二百七十度之三均九十度为加二百七十度为减也设日在最高丙月天最高在子距日天最高二十二度半日距月天最高三百三十七度半月在最高子距日二十二度半与月高距日高共为四十五度此时二平均应加二分三十一秒二均应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十七分一十八秒七微半比所推实行多一分一十七秒七微半若月天最高在丑距日天最高二百零二度半日距月天最高一百五十七度半月在最高丑距日二百零二度半与月高距日高共四百零五度减全周余亦四十五度此时二平均亦应加二分三十一秒二均亦应加二十三分三十秒实行应比平行多二十六分一秒然测太阴实行却比平行多二十八分九秒五十二微半比所推实行多二分八秒五十二微半又设月天最高在寅距日天最高三百三十七度半日距月天最高二十二度半月在最高寅距日三百三十七度半与月高距日高共六百七十五度减全周余三百一十五度此时二平均应减二分三十一秒二均应减二十三分三十秒实行应比平行少二十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十七分一十八秒七微半比所推实行少一分一十七秒七微半若月天最高在卯距日天最高一百五十七度半日距月天最高二百零二度半月在最高卯距日一百五十七度半与月高距日高亦共为三百一十五度此时二平均亦应减二分三十一秒二均亦应减二十三分三十秒实行应比平行少一十六分一秒然测太阴实行却比平行少二十八分九秒五十二微半比所推实行少二分八秒五十二微半前测两距总数共四十五度实行皆比所推为多后测两距总数共三百一十五度实行皆比所推为少是知两距总度半周内为加半周外为减为三均之故矣然距日半周内则多数小少数大距日半周外则多数大少数小是必另有一均因朔后而减望后而加者于是以大小两数相减折半得二十五秒五十二微半别为末均以加小数减大数得一分四十三秒为两距共四十五度与三百一十五度之三均四十五度为加三百一十五度为减也前测日月同度两高相距九十度三均差二分二十五秒(见求两心差第二条一平均第二条)两高同度日月相距九十度三均亦差二分二十五秒(见求两心差第三条一平均第一条)日月同度两高相距四十五度三均差一分四十三秒(见求二平均第二条)两高同度日月相距四十五度三均亦差一分四十三秒(见求)(二均第一条)今测两距共九十度三均亦差二分二十五秒两距共四十五度三均亦差一分四十三秒故知三均生于两距之总度而九十度之正弦与二分二十五秒之比同于四十五度之正弦与一分四十三秒之比故知逐度之三均以半径与总度之正弦为比例也前测月天最高在日天高卑前后四十五度月在朔望前后四十五度末均皆为一分七秒半月天最高在日天高卑前后二十二度半月在朔望前后二十二度半末均皆为二十五秒五十二微半可见月天最高距日天高卑前后之度等则其差亦等月距朔望前后之度等则其差亦等而独四十五度与二十二度半一分七秒半与二十五秒五十二微半无以为比例于是取月天最高距日天高卑前后九十度时按月距日逐度测之设日在最高丙正当交点月天最高在丁距日天最高后九十度月在最高丁距朔后九十度此时无一二三平均亦无初二三均然测太阴实行比平行少三分若月天最高在己距日天最高前九十度月在己距日二百七十度而距朔前九十度以测太阴实行则比平行多三分是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后九十度时末均为三分朔后为减望后为加又设日在最高丙月天最高在丁距日天最高后九十度月在庚距最高前六十度而在朔后三十度此时太阴初均应加四度一十分五十六秒二均应加二十八分四十七秒三均应加二分六秒实行应比平行多四度四十一分四十九秒然测太阴实行仅比平行多四度四十分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己距日天最高后二百七十度而距日天最高前九十度月在辛距最高前六十度距日二百一十度而距望后三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行则比平行多四度四十三分一十九秒比所推实行多一分三十秒又设日在最高丙月天最高在丁月在壬距最高后六十度距日一百五十度而距望前三十度此时初均应减四度一十分五十六秒二均应减二十八分四十七秒三均应减二分六秒实行应比平行少四度四十一分四十九秒然测太阴实行却比平行少四度四十三分一十九秒比所推实行少一分三十秒若月天最高在己月在癸距日三百三十度而距朔前三十度此时太阴诸均俱与前同然以测太阴实行仅比平行少四度四十分一十九秒比所推实行多一分三十秒是知月天最高距日天最高前后九十度而月距日朔望前后三十度时末均为一分三十秒朔后为减望后为加又九十度之正弦一千万与三分之比同于三十度之正弦五百万与一分三十秒之比故知月距日逐度之末均以半径与月距日之正弦为比例也乃用此法各于月距日九十度时测得月天最高距日天高卑前后九十度最大末均为三分八十度最大末均为二分三十九秒七十度最大末均为二分一十九秒六十度最大末均为二分五十度最大末均为一分四十三秒四十度最大末均为一分二十八秒三十度最大末均为一分一十六秒二十度最大末均为一分七秒一十度最大末均为一分一秒月天最高与日天高卑同度无末均其间月高距日高逐度之差用中比例法求得月天最高距日天高卑前后四十五度之最大末均为一分三十五秒半以半径与月距日四十五度之正弦为比例得本时末均为一分七秒半又求得月天最高距日天高卑前后二十二度半之最大末均为一分九秒一十五微以半径与月距日二十二度半之正弦为比例得本时末均为二十六秒二十二微半与前测合求交均及黄白大距正交之行有迟疾由于黄白大距有大小上编言之详矣授时厯用古法黄白大距恒为六度(以周天三百六十度)(每度六十分约之得五度五十四分三十九秒)朔望两弦无异故无交均新法算书测定朔望时交角(即大距度)最小为四度五十八分三十秒两弦时交角最大为五度一十七分三十秒两距度之较为一十九分交均之最大者为一度四十六分零八秒自奈端噶西尼以来谓日在两交时交角最大为五度一十七分二十秒日距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒两距度之较为一十七分四十五秒朔望而后交角又有加分因日距交与月距日之渐逺以渐而大至日距交九十度月距日亦九十度时加三分四十三秒交均之最大者为一度二十九分四十二秒皆与新法算书不同然厯家测黄白大距必于月距交九十度时夫月距交九十度而值朔望则日距交亦九十度是今之谓日距交九十度交角小犹与朔望交角小之义同也月距交九十度而值两弦则日必在两交是今之谓日在两交交角大犹与两弦交角大之义同也惟日在两交而又值朔望则交角关乎食分之浅深日距交九十度而又值两弦则加分关乎距纬之逺近是必验诸实测古今确有不同之处㕘稽经纬以成一家之言而非轻为改定也至其推算之法以五十九为边总五十六为边较求得黄极之角为交均以日距交月距日之余弦比例得加分与最小之交角相加为大距亦与新法算书不同则是作者务出新竒而又取其易于入算故近日西士皆从之称为新学今并悉其根源具详图说于左如图甲为黄极乙丙丁为黄道以最大距限(距限即大距度)(因大距又有大小故名距限以别之)五度一十七分二十秒与最小距限四度五十九分三十五秒相加折半得五度八分二十七秒半为距限中数以中数为半径作戊己庚辛圏为白极绕黄极本轮又以两距限相减折半得八分五十二秒半为半径作壬癸子丑圏为负白极均轮均轮心循本轮周左旋自戊向己每日三分有余为正交行度白极循均轮周右旋自壬向癸每日二度四分有余为日距正交之倍度如均轮心在戊日在两交时白极在壬正交在乙中交在丁寅丙弧为最大距限五度一十七分二十秒与壬甲弧等日距交九十度时白极在子正交亦在乙中交亦在丁卯丙弧为最小距限四度五十九分三十五秒与子甲弧等惟此二时白极与轮心同在一线故无交均日厯两交而后白极从壬向癸距限渐小交行渐迟交均俱为加差日距交九十度而后白极从子向丑距限渐大交行渐疾交均俱为减差(正交逆行故加为迟减为疾也)此即上编求交均大距之法惟白极行日距正交之倍度与月距日倍度不同耳然用是以推交均则与今表不合设日距交四十五度白极自壬行九十度至癸交均戊甲癸角当为一度三十九分一秒今表则为一度二十九分四十秒其法以五十九为一率五十六为二率日距正交之正切线为三率求得四率为正切线检表与日距正交相减得交均盖弧线三角形之小者可作直线算而甲戊癸三角形知甲戊戊癸二边及壬戊癸外角当用切线分外角法日距正交之度即半外角也则五十九必边总也五十六必边较也以数推之戊辰当为四百八十二秒半辰癸当为五十秒用约分比例甲戊一万八千五百零七秒半为五十七分半则戊辰四百八十二秒半为一分四九九若以甲戊正弦八九六○六六为五十七分半则戊辰正弦二三三九二为一分五○一折中而取之为一分半故相加得五十九分为边总相减得五十六分为边较此其为立法所自来断如矣然用是以求大距则又与今表不合盖均轮之内仍有一小轮试将壬子均轮全径一千零六十五秒五分之得二百一十三秒除一百六十三秒为加分小轮全径余五十秒即为交均小轮全径与均轮全径相减余一千零一十五秒为负小轮全径小轮心循负小轮周右旋行日距正交之倍度白极自小轮最逺㸃左旋行轮心之倍度如日在两交无距度则小轮心在己白极在壬无交均仍以壬甲弧为距限也日距交九十度则小轮心自己行一百八十度至午白极自最逺子行三百六十度仍至子无交均仍以子甲为距限也如日距交四十五度则小轮心自己行九十度至未白极自最逺癸行一百八十度至辰戊甲辰角一度二十九分四十秒为交均辰甲五度八分三十四秒为距限也如日距交三十度则小轮心自己行六十度至申白极自最逺酉行一百二十度至戌戊甲戌角一度一十六分三十七秒为交均(表多二秒)戌甲五度一十二分五十八秒为距限也(先用)(戊酉斗三角形求得酉斗邉七分四十一秒一六斗)(戊邉四分二十六秒二五则斗甲为五度一十二分)(五十三秒七五次求得酉戌通弦四十三秒三○与)(酉斗相减余六分五十七秒八六为斗戌邉然后用)(斗甲戌直角形求甲角及甲戌邉余倣此)如日距交六十度则小轮心自巳行一百二十度至亥白极自最逺亢行二百四十度至氐戊甲氐角一度一十八分五十秒为交均(表少)(九秒)氐甲五度四分六秒为距限也如此则交均距限理数皆极精宻而推算则属繁难且交均用小轮与去一小轮全径作小均轮其角度相去不逺(见前)距限用弦与用股其邉度亦相去不逺(见后)故将戊癸均轮半径五百三十二秒半减癸辰小轮全径五十秒余戊辰四百八十二秒半作小均轮半径则甲戊与戊辰之比常如五十七分半与一分半之比用切线分外角法即得逐度之交均以半径一千万为一率日距正交倍度之正矢为二率(过九十度则用大矢)仍以均轮壬戊半径五百三十二秒半为三率(酉斗癸戊亢牛等线皆为均轮正弦)(壬斗壬戊壬牛等线皆为均轮正矢故仍以均轮半)(径为比例)求得四率为距交减分(如壬斗壬戊壬牛之类)与壬甲最大距限五度一十七分二十秒相减即得逐度之距限也(斗甲为五度一十二分五十四秒比戊甲)(少四秒戊甲为五度八分二十八秒比辰甲少六秒)(牛甲为五度四分一秒比氐甲少五秒故日相去不)(逺)然此又惟朔望为然朔望而后交角又有加分因日距交与月距日之渐逺以渐而大至日距交九十度月距日亦九十度时交角比朔望大二分四十三秒盖白道之上又有小轮其周之下点与白道相切日距交渐逺其径渐大至日距交九十度时最大全径为二分四十三秒其逐度之小轮全径与最大小轮日距正交倍度之正矢等是为距交加差朔望而后白道以渐而张与白道小轮月距日倍度之正矢等(凡正矢过九十度俱用大矢后倣此)是为距日加分如白极在壬无日距交度则无白道小轮即无距交加差如白极在子日距交倍度为一百八十度则白道小轮女卯全径为二分四十三秒即距交加差(一百八十度之大矢即全径故小轮)(全径最大)设两弦时月距日倍度为一百八十度则白道自卯张至女女卯小轮全径即为距日加分(一百八十度之)(大矢即全径故交角加分即与小轮全径等)与卯丙距限相加(卯丙与子甲等)得女丙为黄白大距设月距日倍度为六十度则白道张至危以半径一千万为一率六十度之正矢五百万为二率(半径与余弦相减为正矢)小轮半径一分二十一秒半为三率求得四率危卯四十一秒为距日加分与卯丙距限相加得危丙为黄白大距又如白极在辰日距交倍度为九十度则白道小轮干坎全径一分二十一秒半为女卯最大小轮全径之一半是为距交加差(九十度之正矢与半径等故白道小轮全)(径与最大小轮半径等)设月距日倍度为一百二十度则白道张至艮以半径一千万为一率一百二十度之大矢一千五百万为二率(半径与余)(弦相加为大矢)小轮半径四十秒七五为三率求得四率坎艮一分一秒为距日加分与坎震距限相加(坎震与辰甲等)得艮震为黄白大距其数悉与今表相合而表之立算则不用距交减分而总用加分其法以半径一千万为一率日距正交倍度之余弦为二率壬戊均轮半径八分五十二秒半为三率求得四率如斗戊与戊牛之类日距正交倍度九十度以内者与戊子半径相加得数如斗子之类日距正交倍度九十度以外者与戊子半径相减得数如牛子之类是为距交加分盖前以壬斗壬牛等类之距交减分与壬甲最大距限相减此以斗子牛子等类之距交加分与子甲最小距限相加其得数同也至求距日加分则又用两加差为比例先以半径一千万为一率日距正交倍度之正矢为二率最大加分二分四十三秒折半得一分二十一秒半为三率求得四率为距交加差次以半径一千万为一率月距日倍度之正矢为二率仍以最大加分之半数一分二十一秒半为三率求得四率为距日加差乃以最大加分二分四十三秒为一率距交加差为二率距日加差为三率求得四率为距日加分盖距交加差即白道小轮全径用其半径与月距日倍度之正矢为比例即得距日加分今距日加差与距交加差同列一表仍以最大加分为全径立算则其所得距日加差乃差之最大者故以最大加分(即最大小轮全)(径也)与距交加差之比(即本时小)(轮全径也)同于最大距日加差(最大小轮全径所生)与本时距日加分之比也(本时小轮全径所生)以距日加分与距交加分相加为交角加分与最小距限相加即为黄白大距盖以距交加分加于最小距限与以距交减分减于最大距限其得数既同而得距限之后再加距日加分与先以距日加分与距交加分相加而后加于最小距限其得数亦同也论法则用交角减分为明列表则用交角加分为便故推月离之法则两载之实并行而不相悖也地半径差太阴地半径差以太阴距地平及距地心之逺近为大小上编言之详矣顾旧法高卑距地心有定数而推距地平逐度之视差则皆用三角形立表易而推算难故自五十三倍地半径至六十二倍地半径列为十表今法高卑距地心无定数太阴之自行虽同度而距地心之逺近常不同至推距地平逐度之视差则即以距天顶之正弦与地平最大差为比例(见本编日躔地半径差篇)立表难而推算易故以最大两心差与最小两心差各求太阴自高至卑逐度之地平最大差合为一表若两心差在大小之间者则用中比例求之(法见本表)其求太阴自高至卑逐度地平最大差之法则先求得两心差最大时最高距地心一○六六七八二○为六十三倍地半径又百分之七十七最卑距地心九三三二一八○为五十五倍地半径又百分之七十九两心差最小时最高距地心一○四三三一九○为六十二倍地半径又百分之三十七最卑距地心九五六六八一○为五十七倍地半径又百分之一十九中距距地心一千万为五十九倍地半径又百分之七十八(测算之法并同上编)依法求得太阴自高至卑逐度距地心线与地半径之比例及地平最大差列为表因其为推交食之用故表入交食焉御制厯象考成后编卷二
## 卷三
钦定四库全书御制厯象考成后编卷三交食数理交食总论用日躔月离求实朔望用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距求月食初亏复圆时刻(食既生光附)求日月实径与地径之比例(视径附)求影半径及影差求黄道高弧交角求月食初亏复圆并径黄道交角(即纬差角)求白经高弧交角求高下差求日食食甚真时及两心视相距求日食初亏复圆时刻(方位附)求日食带食交食总论日月相㑹为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食(朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食)顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤请上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出于昔人所未及者如求实朔实望用前后二时日月实行为比例昔之用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两经斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食用图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简㨗则又考验之常规而推步所当从也各为之说如左用日躔月离求实朔望从来求实朔望有二法一用本日次日两子正日月黄道实行度比例其相㑹之时刻为实朔相对之时刻为实望推逐月朔望用之(见下编推合朔弦望法)以巳有本年逐日之日躔月离故也一用本年首朔先求本月平朔望之时刻然后求其平行实行之差比例加减而得实朔望之时刻推交食用之(见上编朔望有平实之殊篇及下编)(推日食月食法)因上考徃古下推将来不必逐日悉推其躔离而即可迳求其朔望故也斯二法诚不可偏废但从前交食求平行实行之差太隂惟用初均故甚整齐简易今求太隂初均又有诸平均之加减既属繁难而黄白大距又时时不同非推月离不得其凖故今交食推实朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日两子正之日躔月离以求其实朔望之时又推本时次时两日躔月离以比例其时刻较之旧法似为纡逺然太隂之行甚速因迟疾差之故一日之内行度时时不同且平行实行之差大者至八九度则平朔望与实朔望之相距即至十有余时今以前后两时相比例较之止用两子正实行度相比例者固为精宻即较之以距时为比例者亦又加详矣用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距新法算书以实朔用时即为日食食甚用时以实望用时即为月食食甚时刻皆黄白同经(太隂自道度与太阳黄道)(度相等为黄白同经)上编以此时两心斜距犹逺惟自白极过太阳作经圏与白道成直角太隂临此直角之㸃两心相距最近始为食甚故以白道升度差为食甚距弧以一小时月距日实行比例得时分与实朔望用时相加减方为食甚时刻(月食即食甚时刻日食为食甚用时)其法较前为加密矣(见月食五限时刻日食三限时刻篇)近日西法用日躔月离比例求实朔望是为黄道同经较之新法算书去食甚为尤逺而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚实纬以实朔望太隂距最近㸃之度为食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月两经常相斜距若以太阳为不动则太隂如由斜距线行故求两心相距最近之线不与白道成直角而与斜距线成直角其距弧变时亦不以月距日实行度为比例而以斜距度为比例较之上编为尤近焉虽度分时刻所差无多而其理更为细密图说详著于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为中交新法算书以日心在甲月心在丙为实朔影心在甲月心在丙为实望甲乙与丙乙等是为黄白同经无另求食甚之法上编以月行至丁为食甚甲丁距纬与白道成直角较甲丙为近故丙丁为食甚距弧以月距日实行比例得时分加于丙㸃实朔望之时刻方为食甚时刻今用日躔月离黄道度算则以日心在甲月心在戊为实朔影心在甲月心在戊为实望甲戊距纬与黄道成直角是为黄道同经戊之去丁较丙丁为尤逺按上编之法当以甲乙黄道度求丁乙白道升度与戊乙太隂距交白道度相减余戊丁为食甚距弧而仍以甲丁距纬为食甚两心实相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁则日亦不在甲而顾谓甲丁为食甚两心实相距戊丁为食甚距弧者盖月由戊行至己则日由甲行至庚庚己与甲丁平行甲庚与辛已等庚己与甲辛等丁己与辛己甲丁与庚己皆相差无多故借甲丁为与庚己等为两心实相距借丁己为与辛己等为日行(月食为影心行与日行等)而戊己原为月行则戊丁即为月距日之行故即以戊丁为距弧以一小时月距日实行为比例即得食甚距时也今求食甚之法以戊乙与甲乙原非平行日月两经常相斜距己㸃固为直角相对之时而其相距尤近必犹在己㸃之后试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏取一小时日实行甲癸之分截之于子取一小时月实行截白道于丑则子丑为一小时两经斜距又与戊子平行作丑寅线与子丑平行作戊寅线则寅丑与戊子等亦为一小时日实行戊寅与子丑等亦为一小时两经斜距戊寅丑与戊辛己为同式形月行为戊丑则日行为寅丑(与甲癸等)斜距为戊寅月行为戊己则日行为辛己(与甲庚等)斜距为戊辛是日月二道原非平行而两经斜距则常为一线若以日心为不动将庚㸃合于甲则月心己㸃必合于辛将癸㸃合于甲则月心丑㸃必合于寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距线上行矣乃自甲㸃与戊寅斜距成直角作甲夘线与丑寅平行作夘辰线与甲夘平行作辰巳线则甲己与夘辰等为实朔至食甚之日实行戊辰为实朔至食甚之月实行辰巳与甲夘等即食甚两心实相距甲夘相距之近尤近于甲辛(甲夘)(为股甲辛为弦股必短于弦也)是月心临于辰㸃方为食甚其实行在己㸃后也若以日心为不动将己㸃合于甲则月心辰㸃必合于夘故戊夘为食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑边为一小时日实行戊丑边为一小时月实行丑角与乙角等即本时黄白交角用切线分外角法求得戊角为斜距交角差(斜距交角差者乃斜距黄道交角与黄白交角)(之差此本系弧线三角形因其形甚小故作直线算以从简易)并求得戊寅边为一小时两经斜距次用甲戊夘三角形以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加(戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行故)(丑角戊角皆与乙角等)得寅戊壬角为斜距黄道交角即与夘甲戊角等(甲戊午与甲夘戊及)(戊夘午皆为同式三角形故寅戊壬角与夘甲戊角等)乃以半径与甲角余弦之比同于甲戊与甲夘之比(此亦作直线算)而得甲夘为食甚两心实相距又以半径与甲角正弦之比同于甲戊与戊夘之比而得戊夘为食甚距弧然后以戊寅一小时两经斜距为一率一小时为二率戊夘食甚距弧为三率求得四率为食甚距时盖月行为戊辰日行为夘辰斜距为戊夘戊夘辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也今设乙角为四度五十八分三十秒(丁甲戊角戊丑寅角丑戊)(壬角皆与乙角等)甲乙为实朔太隂黄道距中交前十度戊甲为太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○戊丁距弧为四分三十秒三五以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一此例食甚距时得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二与丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二为斜距黄道交角与夘甲戊角等又求得戊寅邉三十分二十九秒一九为一小时两经斜距次用甲夘戊三角形求得甲夘两心实相距为五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊夘距弧为四分五十二秒一三以戊寅两经斜距比例食甚距时得九分三十四秒九四比戊丁距时迟四十三秒是为两心相距最近之时若实朔望在交后则日由乙向甲月由乙向戊两心以渐而逺食甚在实朔望前距时比旧为早其法并同求月食初亏复圆时刻(食既生光附)月食求初亏复圆时刻以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻(初亏减复圆加)上编言之详矣(见月食五限时刻篇)今以弧线可作直线算故用勾弦求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例葢食甚两心实相距既与斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也图说并著于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为黄白交角实望时地影心在甲月心在丙食甚时地影心在丁月心在戊戊丁为食甚两心实相距与甲己等丙己为食甚距弧初亏时地影心在庚月心在辛辛戊为初亏至食甚之月实行庚丁为初亏至食甚之日实行与壬戊等辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距与癸巳等即初亏距弧(理与食甚同)庚壬即食甚两心实相距与甲己等庚辛为并径与甲癸等复圆时地影心在子月心在丑戊丑为食甚至复圆之月实行丁子为食甚至复圆之日实行与戊寅等寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距与巳夘等即复圆距弧子寅即食甚两心实相距与甲己等子丑为并径与甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳甲为相等四股勾形若以地影心为不动以食甚影心丁㸃合于甲则月心戊㸃合于巳以初亏影心庚㸃合于甲则壬㸃合于巳而月心辛㸃合于癸以复圆影心子㸃合于甲则寅㸃合于巳而月心丑㸃合于夘初亏复圆距弧即与癸夘斜距合为一线矣故今求初亏复圆距弧即用癸己甲勾股形以己甲为勾癸甲为弦求得癸己股与巳卯等为初亏复圆距弧夫癸己与己夘二弧既皆为两经斜距则以二弧变时亦当与斜距为比例故以一小时两经斜距与一小时之比同于癸己或己夘初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也若食既生光则甲癸甲夘二线为月半径与影半径相减之较其法并与初亏复圆同求日月实径与地径之比例(视径附)从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有逺近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之逺近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也新法算书载日实径为地径之五倍有余中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一(见日躔地半径差篇)最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十四又百分之八十四(见交食日月距地与地半径之比例篇)今监臣戴进贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九(详本编曰躔月离地半径)(差篇)又用逺镜仪(西人黙爵所制以逺镜加衡为窥管)测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小余二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍余则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒余与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也测算之法并见上编求影半径及影差地影半径之大小由于太阳距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太阳在最高所生之大影为率求得太隂从高及卑所当地影之濶为影半径又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较为影差与影半径相减乃为实影半径上编言之详矣(见地影半径篇)今以三角形之理考之日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半径惟以日月两地半径差相加内减去日半径余即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有蒙气差能映小为大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月食时日在地下蒙气转蔽日光则地影视径必尤大于实径计其所大之分约为太隂地半径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有蒙气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由于太阳距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗为尤重查最卑太隂距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太隂距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也图说详著于左如图甲乙为地半径甲丙为日天半径丙丁为日半径从丁切乙作光线与丙甲线交于戊甲戊为地影之长甲己为月天半径庚己辛为月行所当地影之濶己甲辛角为影半径分(详上编地影半径篇)试观甲丁辛三角形丁辛二内角与壬甲辛一外角等而丁角即太阳地半径差辛角即太隂地半径差(甲丁线畧与甲丙日天半径等甲辛线畧与甲巳月天半径等)(而其角皆与甲乙地半径相当故其角即为地半径差角)壬甲巳角与丙甲丁角为对角即日半径故以丁角太阳地半径差与辛角太隂地半径差相加即得壬甲辛角内减日半径壬甲己角余己甲辛角即实影半径盖日月地半径差及日半径既因日月距地之高卑逺近而时时不同故所得影半径即为本时之实影半径不复有影差也又蒙气映小为大丙丁为太阳视半径丙癸为太阳实半径从癸切乙作光线与丙甲线交于子则月行所当地影半径为己丑而己丑之分必大于己辛且地球外蒙气之厚如乙寅从丁切寅作光线与丙甲线交于夘则月行所当地影半径为己辰而己辰之分必尤大于己辛矣此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一故又以此为影差与实影半径己甲辛角相加得己甲辰角为视影半径也求黄道高弧交角求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而畧为简易葢各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便葢黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因著其法于左如图甲为天顶甲乙丙为子午圏乙丙为地平丁为赤极戊己庚为赤道辛为黄极壬癸子丑为黄道己为春分丑为黄道交西地平之㸃壬为黄平象限距丑九十度癸为正午壬癸为黄平象限距正午之度壬寅为黄平象限距地平之度即丑角度子为太隂实行经度(日食即为太阳经度月食为太)(阳对冲地影之经度)子已为太隂距春分后之经度子壬为太隂距黄平象限之度甲子夘为高弧丁子辰为赤道经圈辰巳为赤道同升度戊辰为太阴距正午赤道度(日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子)(正赤道度)丑子夘角为黄道高弧交角求之之法先用戊己弧求癸己癸戊二弧及癸角次求癸丑弧及丑角以求子角者日食三差之法也先用己庚弧求己丑弧及丑角以求子角者月食方位之法也今按己子辰角即黄道赤经交角甲子丁角与辰子夘角为对角即赤经高弧交角两角相减即得丑子夘黄道高弧交角夫黄道交地平之丑角时时不同而己子辰黄道赤经交角则初亏与复圆无异然则先求得黄道赤经交角至求黄道高弧交角则惟求一赤经高弧交角与之加减而己其加减之法以太阴在夏至前后各六宫与距正午之东西为定试以甲为天顶作乙庚丙己地平圏乙甲丙为子午经圏庚甲己为东西经圏庚戊己为赤道丑己未为黄道己为春分当黄平象限丑为冬至当西地平未为夏至当东地平是为夏至前六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午东之度设太隂子㸃在正午之西甲子夘为高弧丁辰子为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角甲子丁角为赤经高弧交角丑子夘角为黄道高弧交角与甲子癸角等是以甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相减余甲子癸角即黄道高弧交角也设太隂申㸃在正午之东甲申酉为高弧丁申戌为过赤极经圏巳申戌角为黄道赤经交角与丁申未角等甲申丁角为赤经高弧交角酉申未角为黄道高弧交角乃甲申未角之外角是以甲申丁赤经高弧交角与丁申未黄道赤经交角相加得甲申未角与半周相减余酉申未角即黄道高弧交角也若己为秋分当黄平象限未为夏至当西地平丑为冬至当东地平是为夏至后六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午西之度设太隂子㸃在正午之西甲子夘为高弧丁子辰为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角与丁子未角等甲子丁角为赤经高弧交角夘子未角为黄道高弧交角乃甲子未角之外角是以甲子丁赤经高弧交角与丁子未黄道赤经交角相加得甲子未角与半周相减余夘子未角即黄道高弧交角也设太隂申㸃在正午之东甲申酉为高弧丁戌申为过赤极经圏己申戌角为黄道赤经交角甲申丁角为赤经高弧交角丑申酉角为黄道高弧交角与甲申癸角等是以甲申丁赤经高弧交角与己申戌黄道赤经交角相减余甲申癸角即黄道高弧交角也此太隂在午东而亦在限东太隂在午西而亦在限西之常法也若太隂在夏至前六宫而在正午之东如干以己干亥黄道赤经交角与甲干丁赤经高弧交角相加得己干甲角不足九十度与酉干丑角等则不与半周相减即以酉干丑角为黄道高弧交角乃知太隂干㸃在黄平象限巳㸃之西也葢惟正当黄平象限高弧与黄道成直角在限西者则高弧与限西之黄道成锐角在限东者则高弧与限东之黄道成锐角今己干甲角既不及九十度故知干㸃在黄平象限己㸃之西而干酉高弧乃与限西之干丑黄道相交成锐角也太隂在午西而在限东者倣此(左图以二至当)(地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当)(地平则黄平象限当正午加减之法并同)至求赤经高弧交角之法则以北极距天顶为一边影距北极为一边影距正午赤道度(日食则为日距正午赤道度)为所夹之角用弧三角法算之如太隂在申甲申丁三角形申角为赤经高弧交角甲丁为北极距天顶申丁为影距北极丁角当戊戌弧为影距正午赤道度因丁角为锐角则自天顶甲作甲坎垂弧于形内使坎角成直角求得甲坎丁坎二边以丁坎与丁申相减即得坎申边用之与甲坎边求申角也如太隂在艮甲丁艮角当戊己弧适足九十度成直角则甲丁即为垂弧即用甲丁艮正弧三角形以求艮角也如太隂在震甲丁震角当戊巽弧过于九十度成钝角则自天顶甲作甲离垂弧于形外使离角成直角求得甲离离丁二边以离丁与丁震相加即得离震边用之与甲离边求震角也又如黄道在天顶北太隂在坤甲坤丁赤经高弧交角大于九十度则自天顶甲作垂弧至兊而所求之丁兊距极分边反大于丁坤影距北极则以坤兑甲兑二边求坤角之外角即知甲坤丁角为钝角也若所求距极分边与影距北极等即知赤经高弧交角为直角不待求也至于赤经高弧交角有与黄道赤经交角相等者亦有与黄道赤经交角共为一百八十度者有反大于黄道赤经交角而不足减者亦有与黄道赤经交角相加大于半周而又减去半周者如北极出地二十三度二十九分以下夏至前后黄道正当天顶太隂子㸃在夏至未㸃之前而在正午之西当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相减为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相等两角相减无余即知黄道与高弧合无交角也又如太隂申㸃在夏至未㸃之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与巳申戌黄道赤经交角相加共一百八十度亦如黄道与高弧合无交角也又如北极出地在二十三度以下夏至前后黄道在天顶北太隂子㸃在夏至未㸃之前而在正午之西当于黄道赤经交角内减赤经高弧交角为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与辰子夘角等反大于巳子辰黄道赤经交角则于辰子夘赤经高弧交角内反减巳子辰黄道赤经交角余巳子夘角为黄道高弧交角即知黄平象限在天顶北也又如太隂申㸃在夏至未㸃之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与戌申酉角等与巳申戌黄道赤经交角相加大于一百八十度则减去巳申戌角及戌申未角共一百八十度余未申酉角为黄道高弧交角亦如黄平象限在天顶北也总之黄道出入于赤道之内外随天左旋其高低斜正既随时不同又以人所居之南北异地改观益多变换然定之以数自无遁形或从地平立算或从子午圈立算或从赤道经圈立算法虽不同理实一致合而观之益见弧线三角之用至通变矣求月食初亏复圆并径黄道交角(即纬差角)定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣(见月)(食方位篇)然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角(丙甲庚角与庚丙丁)(角等)与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角(甲庚为食甚两心相距不)(系经圏以其为南北之度故借名实纬)以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角(此论在交)(前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由)(乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与)(九十度相加)次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆倣此既知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同求白经高弧交角日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余(凡弧角与九十度相减所余为余)(余角)是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角(见前篇)又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西(犹黄道冬至后)交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东(犹黄道夏至后)乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左如图甲为天顶乙丙丁戊为地平圏丙己戊为赤道庚己辛为黄道己为春分庚为冬至辛为夏至癸为赤极(即北极)壬为黄极庚壬癸辛为过二至经圏即过二极经圏冬至日行在庚黄赤二经合为一线无交角冬至后日行自南而北黄经必在赤经西渐逺则角渐大至春分而止如日行在子壬子黄经在癸子赤经西壬子癸角为黄赤二经交角即癸子己黄道赤经交角之余(己子壬角九十度)春分日行在己壬己黄经在癸己赤经西壬己癸角为黄赤二经交角与戊己辛二道交角等(壬己辛角戊己癸角)(皆九十度)是为最大过此又渐小夏至日行在辛则黄赤二经又合为一线无交角夏至后日行自北而南黄经必在赤经东渐逺则角又渐大至秋分而止如日行在丑壬丑黄经在癸丑赤经东壬丑癸角为黄赤二经交角即癸丑辛黄道赤经交角之余(癸丑辛角与寅丑夘)(角等)秋分日行在寅壬寅黄经在癸寅赤经东壬寅癸角为黄赤二经交角与丙寅辛二道交角等过此又渐小至冬至乃复合为一线也至白道之交于黄道亦如黄道之交于赤道但其行度自正交起算交食时日月又必近交故其南北东西及两经交角惟以两交为定设白极在辰正交在午白道自南而北(犹黄)(道之春分)日行在正交㸃如午或正交前如子正交后如巳白经皆在黄经西黄白二经交角皆与黄白二道交角为相等(惟日在正交午㸃其壬午)(辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在)(交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经)(交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与)(上编捷法同)此黄经在赤经西白经又在黄经西则以黄白二经交角与黄赤二经交角相加为赤白二经交角也设白极在申中交在酉白道自北而南(犹黄道之秋分)日行在中交㸃如酉或中交前如子中交后如已白经皆在黄经东黄白二经交角亦与黄白二道交角为相等此黄经在赤经西而白经在黄经东则以黄白二经交角与黄赤二经交角相减为赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向白经亦在赤经西也设黄经在赤经西而中交近二至经圏如戌亥戌白经在壬戌黄经东壬戌亥黄白二经交角反大于壬戌癸黄赤二经交角相减余癸戌亥角为赤白二经交角则从白经之向白经转在赤经东也既得赤白二经交角是为初亏食甚复圆同用之数(初亏至复)(圆太阳行度无几故二经交角不改)随时求得赤经高弧交角与之加减即得各时白经高弧交角如日行在子是为午后甲子癸角为赤经高弧交角辰子癸角为赤白二经交角此赤经在高弧西白经又在赤经西则相加得辰子甲角为白经高弧交角白经更在高弧西是知太阳在白平象限西也又如日行在己是为午前甲己癸角为赤经高弧交角辰己癸角为赤白二经交角此赤经在高弧东白经在赤经西则相减余甲己辰角为白经高弧交角赤白二经交角大白经为在高弧西是知太阳虽在午东而却在白平象限西也盖惟太阳正当白平象限则白道经圏过天顶与高弧合为一线限东者白经必在高弧东限西者白经必在高弧西是定白经之东西与白平象限一理也又与白道平行作干坎线则辰子坎角为九十度甲子坎角为白道高弧交角与干子艮角等甲子辰白经高弧交角即甲子坎角之余是用白经高弧交角与用白道高弧交角一理也又如癸丁北极出地二十八度赤道距天顶之甲震弧亦二十八度春分巳㸃在午西夏至前巽㸃当正午震巽距赤道北二十三度余正交在离巽甲距黄道北又四度余则白道在天顶与高弧合日行在离甲离癸赤经高弧交角与癸离坤赤白二经交角相加得甲离坤白经高弧交角适足九十度盖白经与白道相交其角必九十度白道既与高弧合故白经高弧交角亦九十度也过此以徃北极愈低则白道极北入地平下南出地平上白道即在天顶北白经高弧交角即大于九十度而成钝角则与半周相减余为白道南之经圏与高弧相交之角是不求限距地高而白平象限在天顶之南北俱以白经高弧交角为定也白经在赤经东者倣此求高下差高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太隂地半径差恒大故于太隂地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉(见上编日食三差及)(日月地半径差篇)如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太隂以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正弦之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比(见本编日躔地半径差篇)而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正弦之比(交食时日月高)(弧畧相等故即以日高弧为月高弧)必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太隂距地数求得太隂地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正弦为比例其法甚为省便也如图甲为地心乙为地面丙丁为日天戊己为月天假如日在庚实距天顶为丙甲庚角视距天顶为丙乙庚角与丙甲丁角等其差庚甲丁角即地平太阳地半径差与甲庚乙角等甲乙地半径即其角之正弦与庚辛等又如日在壬实高为壬甲丁角视高为壬乙庚角与癸甲丁角等其差壬甲癸角即本时太阳地半径差与甲壬乙角等将壬乙线引长作甲子垂线即其角之正弦与壬丑等甲乙子勾股形子角为直角乙角与丙乙壬角为对角即太阳视距天顶之度甲乙即地平太阳地半径差之正弦甲子即本时太阳地半径差之正弦因其边度甚小正弦与弧线可以相为比例则甲乙即为地平太阳地半径差与庚丁弧等甲子即为本时太阳地半径差与壬癸弧等故以子直角正弦与乙角正弦之比即同于地平太阳地半径差甲乙与本时太阳地半径差甲子之比也假如太隂在寅实距天顶为寅甲戊角视距天顶为寅乙戊角与已甲戊角等其差寅甲巳角即地平太隂地半径差与甲寅乙角等甲乙地半径亦其角之正弦(甲乙同为地半径甲庚日)(天半径大故角小甲寅月天半径小故角大)与寅夘等又如月在辰实高为辰甲己角视高为辰乙寅角与巳甲己角等其差辰甲巳角即本时太隂地半径差与甲辰子角等甲子亦其角之正弦与辰午等因以正弦作弧度则甲乙即地平太隂地半径差与寅己弦等甲子即本时太隂地半径差与辰巳弧等故以子直角正弦与乙角太隂视距天顶正弦之比亦同于地平太隂地半径差甲乙与本时太隂地半径差甲子之比也试以日天半径与月天半径为相等而比较之(日天月天半径不等)(故地半径虽等而差角不等今以日天半径与月天)(为相等则差角之不等者其正弦亦不等乃可相较)(也)自地平太阳实高线割月天之未㸃与乙庚视高线平行作未申线则甲未申角与甲庚乙角等甲申即地平太阳地半径差(甲申)(本系甲未申角之正弦因以正弦作弧度则甲申正)(弦与未已弧等而月天之未已弧与日天之庚丁弧)(同当庚甲丁角其度相等故甲申即为地平太阳地)(半径差)与甲乙地平太隂地半径差相减余申乙即地平高下差(甲乙当寅已弧甲申当未巳弧)(乙申当寅未弧)自本时太阳实高线割月天之酉㸃与乙壬视高线平行作酉申线引长至戌则甲酉戌角与甲壬乙角等甲戌即本时太阳地半径差与甲子本时太隂地半径差相减余戌子即本时高下差与申亥等(甲子当辰巳弧甲戌当酉巳弧子戌当辰酉弧)申乙亥与甲乙子为同式形故以亥直角正弦与乙角日距天顶正弦之比亦即同于地平高下差申乙与本时高下差申亥之比也右求高下差以半径与太阳视距天顶之正弦为比例今日食所推太阳高弧乃实距天顶之度而即以其正弦比例高下差者盖实高与视高所差无多故借用之自来实高视高相求皆同一地半径差加减互用不列二表也如细辨之地平太阳实高在丁太隂实高在已丁乙庚角为地平太阳地半径差与甲丁乙角等甲乙地半径为其角之切线当庚丁弧巳乙辛角为地平太隂地半径差与甲己乙角等亦以甲乙地半径为其角之切线当辛巳弧前以地半径为其角之正弦此以地半径为其角之切线其角度虽有微差然最大者不过半秒愈高则愈小故亦以弧度为比例而甲乙即为地平太阳地半径差亦即为地平太隂地半径差也本时太阳实高在壬太隂在癸壬乙子角为本时太阳地半径差与甲壬乙角等乙丑为其角之垂线当子壬弧癸乙寅角为本时太隂地半径差与甲癸乙角等亦以乙丑为其角之垂线当寅癸弧丑壬之长小于甲壬丑癸之长小于甲癸则角度必较弧度为稍大盖视高低于实高其大固宜然所差甚微故亦以弧度为比例而乙丑即为本时太阳地半径差亦即为本时太隂地半径差也试自地平太阳视髙线割月天之卯㸃与甲丁实高线平行作卯辰线则乙夘辰角与甲丁乙角等乙辰当辛夘弧即地平太阳地半径差以乙辰与地平太隂地半径差甲乙相减余甲辰当夘已弧即地平高下差自本时太阳视高线割月天之巳㸃与甲壬实高线平行作巳辰线则乙巳辰角与甲壬乙角等乙午当寅巳弧即本时太阳地半径差以乙午与本时太隂地半径差乙丑相减余午丑与辰未等当巳癸弧即本时高下差甲乙丑与甲辰未为同式形丑未二角为直角甲角为日月实距天顶之度故以直角正弦与实距天顶正弦之比同于地平地半径差甲乙与本时地半径差乙丑之比亦同于地平高下差甲辰与本时高下差辰未之比也今日食用简平仪法求地面日影心之所在皆用实高比例高下差设日实高在丁则正射地心照至地面酉㸃之影当月天巳㸃之度照至地面乙㸃之影当月天夘㸃之度是酉乙地面上应日天实距天顶之丙丁弧而其当月天之度则为夘巳高下差也设日实高在壬则正射地心照至地面申㸃之影当月天癸㸃之度照至地面乙㸃之影当月天巳㸃之度是乙申地面上应日天实距天顶之丙壬弧而其当月天之度则为巳癸高下差也若以地平高下差为半径作地面平圆则甲乙即夘巳之度为地平高下差当乙酉地面(以地球为平面则地面之弧与正弦等甲乙为乙酉)(弧之正弦故甲乙当乙酉弧)与日天之丙丁弧等乙丑即巳癸之度为本时高下差当乙申地面(乙丑为乙申弧之正弦故乙丑当乙申弧)与日天之丙壬弧等由此推之时时实距天顶之度在地面皆与本时高下差等(实距天顶之度原与地面之弧度等简平仪以)(地球为平面则地面之弧又与地面之正弦等今地)(面之正弦既为高下差故实距天顶之度即与高下)(差等)故随高弧之所向以高下差之度自圆心取之即日影心之所在随白经之所向以实纬之度自圆心取之即月影心之所在此所以用实高为比例于视差之理尤为显而易明也求日食食甚真时及两心视相距日食求食甚真时及食甚视纬新法算书用浑天仪法以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较得视行以用时之东西差比例得时分与食甚用时相加减(限西加限东减)而得食甚真时以真时之南北差与食甚实纬相加减(白平象限在天顶南纬南则加纬北则减白平象限在天顶北)(纬南则减纬北则加)而得食甚视纬上编言之详矣(见日食三限时刻及)(求食甚真时食甚视纬篇)然其求真时也必求太隂视行正当实纬之度乃以视行之道与白道为平行故与实纬成直角而视纬与实纬必合为一线也夫近时之东西差与用时之东西差既不等(因白道髙弧交角及高下差不同之故)则南北差亦不等而视行即不与白道平行视行既不与白道平行则实纬即不与视行成直角而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣近日西法用简平仪绘图算(浑仪从上视如观平面是为简平仪)以本日地平高下差(本日地平日月两地半径差相减余为本日地平高下差)为半径作平圆(即地径当月天之度)即地受日照之半面上应浑天半周圆心即日射地面至地心之㸃以人视日则人所处之地面即日影心以日照月则月所当之地面即月影心假令人所处之地面正在圆心则必见日当天顶又正当子午圏而月之实纬即日月两心视相距外此则日影心之所在随时随地不同若日影心与月影心同㸃则必见日全食若日影心与月影心之相距大于并径则不见食故先以食甚用时求其两心视相距复设一时(限西向后设限东向前设)亦求其两心视相距以此两视距线及所夹之角求其对边为视行自日影心至视行作垂线与视行成直角是为两心相距最近之处月影心临此直角之㸃即为食甚真时因垂线不与实纬合故不曰视纬而曰两心视相距然后以所得真时复考其两心视相距果与所求垂线合则食甚真时即为定真时不然则又作垂线求之盖太隂视差时时不同其视行之道既不与白道平行又不能自成直线其两心视相距最近之线不与白道成直角而与视行成直角(两心实相距不与白道成直角而与斜距成直)(角两心视相距又不与斜距成直角而与视行成直角今法与旧法之不同在此)故反复推求务得太隂正当视行直角之㸃斯为两心最近之处而食甚乃为确凖也是法也可以图代算可以一图而知各地见食之不同新奇精巧与旧法迥殊然其理无不可以相通盖旧法以浑测浑可实指其东西南北之差而视行之法甚简新法写浑于平可实稽其实距视距之异而视差之理尤精今以新法合旧名义㕘观而详觧之则理之确者以并观而并明法之奇者因相较而益显庶观者由旧径以适新途不致有捍格之势而算者取新规以合旧范更坐収密合之方矣如雍正八年庚戌六月戊戌朔日食太隂实引初宫八度四十七分三十一秒四○地平地半径差五十三分五十九秒九○内减太阳地平地半径差十秒余五十三分四十九秒九○为本日地平高下差以此为干坎半径作坎艮震巽平圆(以五十三分作五寸三分以四十九)(秒九○通作八厘三毫绘图用四分之一后倣此)即地球受日照之半面上应浑天半周而其当月天之度则为五十三分五十秒(四十九秒九○进为五十秒入算仍用小余他)(倣此)故以地球上应浑天之度而论则干为日照地面之正中距圆界各九十度(以地球为平面则地面之弧与正弦等半径为九十)(度之正弦故半径即九十度)假令人在圆心干则见日当天顶又当正午坎震赤道径圏即其地之子午圈艮巽即其地之夘酉圏坎为北震为南艮为东巽为西若人在圆界则见日当地平在坎震线之西者见日为午前在坎震线之东者见日为午后自是以外则见日之高下随地不同要以人所处之地面为日影心上应本处天顶人距日照地面正中之度即日距天顶之度而以地面所当月天之度而论则地之半径与地平高下差等人距日照地面正中之度与本时高下差等(见前高下差篇)故随高弧之所向以本时高下差之度自圆心取之即人所处之地面亦即本时之日影心随白经之所向以月实纬之度自圆心取之即本时之月影心夫月影心当月天之度即太隂之实纬度而日影心当月天之度不为太阳之实高度而为太阳之视高度则地面日月两影心之相距因高下差而殊而食甚之早晚食分之浅深所以因视差而变者皆可按图而稽矣乃以本时日距赤道北二十一度三十八分一十二秒○二取艮离巽坤之分(即离干艮)(角与坤干巽角等)作离坤线截赤道经圏于兑作艮兑巽弧为赤道则兑干即日距赤道北之纬度又作甲干乙弧为赤道距等圈即太阳随天西转之轨又以坎艮九十度之分自离截圆界于丁自坤截圆界于丙作丙丁线截子午圈于戊则戊㸃为北极戊兑为九十度戊干为日距北极六十八度二十一分四十七秒九八又以本时黄赤二经交角九度二十一分二十秒五七取坎干己角(本时日在)(夏至后黄经在赤经东故向东取)作己庚线为黄道经圏自干与己庚线取直角作辛干线为黄道辛为秋分干辛为日距秋分前六十七度四十二分五十四秒四三是时京师食甚用时为午正二刻九分五十八秒九五日距午西赤道度为九度五十九分四十四秒二五则京师地面必在坎震线之东故以用时赤经高弧交角二十二度四十三分八秒三九取戊干壬角以用时日距天顶二十度九分四十八秒二七之高下差一十八分三十三秒三四取壬干之分作壬干线自戊向壬作戊壬癸弧则壬㸃为京师之地面即用时之日影心上应京师天顶壬干为用时日距天顶之高弧在地则与用时高下差等戊壬癸为京师子午圏戊壬为京师北极距天顶五十度五分戊角为用时日距午西赤道度(戊干壬角)(及干壬弧俱用戊干壬三角形求之而得)又以斜距黄道交角五度四十四分五十五秒二九取已干子角(本时月在中交前白经在黄经东故)(向东取)作丑寅线为白道经圏(即斜距经圏)以月实纬距黄道北二十三分二十八秒四五自干向北截之于子与丑寅线取直角作夘辰线为白道(即两经斜距)则子㸃为用时月影心壬子即用时日月两影心视相距乃用干壬子三角形干子为食甚用时日月两心实相距干壬为用时高下差以己干丑黄白二经交角与坎干己黄赤二经交角相加得坎干丑角一十五度六分一十五秒八六为赤白二经交角(黄经在赤经东白经又在)(黄经东故相加)与坎干壬赤经高弧交角相减余丑干壬角七度三十六分五十二秒五三为用时白经高弧交角即用时对两心视相距角(赤经在高弧西白经在赤经东故相减赤白交)(角小白经仍在高弧西)用切线分外角法求得壬角一百四十六度三十四分二秒○七为用时对两心实相距角又求得壬子边五分三十八秒七四为用时日月两影心视相距此时白经实距在高弧西月影心必在日影心之西则食甚用时尚在食甚前也次向后取未初初刻为设时(白经在高弧西)(月影心差而西用时尚在食甚前故向后设若白经)(在高弧东月影心差而东用时已过食甚后则向前)(设)以设时赤经高弧交角三十一度三十三分一秒七三取戊干己角以设时日距天顶二十二度一十七分四十二秒二六之高下差二十分二十五秒三五取干己之分作干己线自戊向已作戊己弧则己点为设时日影心干己为设时日距天顶之高弧在地则与设时高下差等戊己即京师北极距天顶五十度五分与戊壬等(太阳本随)(距等圏西转今以太阳为不动则影向东移亦与赤)(道成距等圏其距北极皆相等)己戊干角即设时日距午西一十五度(戊干己角及干巳弧俱用戊干巳三角形求之)(而得)次以设时距用时二十分一秒○五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得用时至设时之月实行为九分六秒自子向东截之于午则午㸃为设时月影心午子为设时距弧(月由白道东行设时在用)(时后故距弧向东取)午干子角为设时对距弧角二十一度一十一分二十秒九九午干为设时两心实相距二十五分一十秒五八(午干子角及午)(干弧俱用午干子三角形求之而得)己午为设时日月两影心视相距乃用己干午三角形以坎干己设时赤经高弧交角与坎干丑赤白二经交角相减余丑干己角一十六度二十六分四十五秒八七为设时白经高弧交角(加减之理与用时白经髙弧交角同)与午干子对距弧角相减余巳干午角四度四十四度三十五秒一二即设时对两心视相距角(月在黄道北白经在高弧西对)(距弧角大则实距在高弧东对距弧角小则实距在)(高弧西白经在高弧东者倣此)用切线分外角法求得巳角一百五十五度五十七分四十六秒四○为设时对两心实相距角又求得己午边五分六秒六五为设时两心视相距此时实距在高弧东月影心必在日影心之东则设时巳过食甚后而食甚真时之月实行必在子午二㸃之间矣于是与巳午线平行作壬未线与巳午等为设时两心视相距又与巳干平行作壬申线为设时高弧则未壬申角与午巳干角等以丑干壬用时白经高弧交角与丑干巳设时白径高弧交角相减余壬干巳角八度四十九分五十三秒三四为两白经高弧交角较与干壬申角等与干壬子用时对两心实相距角相减余申壬子角一百三十七度四十四分八秒七三为设时高弧交用时视距角与未壬申角相加(未壬申角与午)(巳干角等即对设时两心实相距角)得二百九十三度四十一分五十五秒一三与三百六十度相减余未壬子角六十六度一十八分四秒八七为对设时视行角(用时实距在高弧西)(设时实距在高弧东两角与高弧相背故相加若同)(在高弧之一边则相减又用时设时两月影心俱在)(日影心之北两角与两视距相背俱为钝角故相加)(即过一百八十度与全周相减方为两视距所夹之)(角)乃用未壬子三角形壬子为用时两心视相距壬未为设时两心视相距未壬子角为所夹之角用切线分外角法求得子角五十二度二十九分四十五秒六九为对设时视距角又求得子未边五分五十三秒九五为设时视行次自壬作壬酉垂线与子未视行成直角则壬酉相距为最近故用壬子酉直角形求得子酉分边三分二十六秒二三为真时视行以子未设时视行与设时距分二十分一秒○五之比即同于子酉真时视行与真时距分一十一分三十九秒八○之比与食甚用时相加得午正三刻六分三十九秒为食甚真时(食甚用时白经在高弧西月影视在西真时在用时)(后故加若白经在高孤东月影视在东真时在用时)(前则减)又求得壬酉垂线四分二十九秒即食甚真时两心视相距也夫京师之地面一也既以人所处之地面为日影心而用时日影心在壬设时日影心在已其故何也(此图用三分之一)盖人之所处原有定在而太阳随天西转其所照之地面时时不同设时太阳既转而西人在壬视之则干㸃亦移而西矣今仍就原干㸃立算则人之视日如在己视干是非人所处之地面改也日之所照者改也若就一壬㸃立算则设时日照地面正中之㸃随距等圏西转至申白道经圏西转至戌戊申为太阳距北极与戊干等申戌为距纬与子干等戊申戌角为赤白二经交角与戊干丑角等戊壬为京师北极距天顶与戊巳等申戊壬角为设时日距午西赤道度与干戊巳角等戊申壬角为设时赤经高弧交角与戊干巳角等申壬为设时太阳距天顶即设时高下差与干已等戌申壬角为设时白经高弧交角与子干巳角等戌未为设时距弧与子午等未申戌角为设时对距弧角与午干子角等壬申未角为设时对两心视相距角与巳干午角等人在壬视之则日影心总在壬而用时则见月影心在子设时则见月影心在未是自用时至设时见月影心循子未线行故子未为设时视行夫子未视行线既不与白道平行则壬酉两心相距最近之线即不与白道成直角而与视行成直角故以月影心临于酉㸃为食甚真时以壬酉垂线为食甚两心视相距也然则与旧法之可以相通者何也盖旧法从太隂取高下差今从日影心当月天之度取高下差形象虽殊理数则一试与白道平行作壬亥水线与白经平行作壬火木线及未土线则壬亥即用时东西差干亥即用时南北差与干子相减余亥子用壬亥子勾股形亦可求壬子边壬水即设时东西差申水即设时南北差以申水与申戌相减余壬火(壬火与水戌等)以壬水与戌未距弧相减余火未用壬火未勾股形亦可求壬未边壬亥与火未相加得子土(壬亥)(与子木等火未与木土等)壬火与亥子相减余未土(亥子与壬木等火木与未)(土等)用子未土勾股形亦可求子未边既得三边则用壬子未三角形亦可求中垂线矣是则与旧法之可以相通者然也然则与旧法之所以异者何也按旧法当以壬水设时东西差与戌未设时距弧相减(旧法)(以用时东西差为距弧故即以两东西差相减)余火未与子木用时东西差相加(火未与木土等子木与壬亥等)得子土为设时视行乃以白道度算故以太隂视行经度临于白道木㸃为食甚真时壬木线与白道成直角今以子未为设时视行不以白道度算故以月影心临于酉㸃为食甚真时壬酉线不与白道成直角而与子未视行成直角是则与旧法之所以异者然也然则设时与近时之不同何也盖旧法以木㸃为白道当太阳之度故先求实行至木㸃之时刻为近时而近时视行又不正当木㸃故又以近时视行与近时距分为比例而得食甚真时今以实行至未㸃之时刻为设时故以设时视行与设时距分为比例而得食甚真时其所不同者惟在视行与白道平行不平行之殊若均以视行为不与白道平行立算则或用设时或用近时其所得真时正自相同也然则简平与浑天之同异何也盖浑天以仰观立算故以太隂当日天之度为视差简平以俯视立算故以太阳当月天之度为视差今干申二㸃之影自日心正射地心乃太阳实高当月天之度壬㸃之影自日心照至地面乃太阳视高当月天之度(见前高下差篇)故壬干壬申皆为高下差夫太阳视高既当月天壬㸃而用时月心原在月天子㸃设时月心原在月天未㸃故壬子壬未即皆为日月两心视相距是以日天当月天之度算也若以月天当日天之度而论则用时月天壬㸃之度当日天之干而太隂子㸃即当日天之亢故子亢为用时高下差与干壬等干亢为用时两心视相距与壬子等设时月天己㸃之度当日天之干而太隂午㸃即当日天之氐故午氐为设时高下差与干己等干氐为设时两心视相距与己午等亦与壬未等而亢氐亦与子未等是简平与浑天本属一理但自圆外观耳如以圆内仰观立算则上为北下为南东西犹旧(此以白平象限在天)(顶南而论如白平象限在天顶北则上为南下为北)(东西相反)用时日心在干月心实高在子视高在亢子亢为用时高下差一十八分三十三秒三四(此图用全分)干子亢角为用时白经高弧交角七度三十六分五十二秒五三与子亢房角等子房为用时东西差二分二十七秒五三与亢斗等房亢为用时南北差一十八分二十三秒五二与子斗等以子斗与子干二十三分二十八秒四五相减余斗干五分四秒九三用干斗亢勾股形求得干亢弦五分三十八秒七四为用时两心视相距设时日心仍在干月心实高在午视高在氐午氐为设时高下差二十分二十五秒三五午氐牛角为设时白经高弧交角一十六度二十六分四十五秒八七牛午为设时东西差五分四十六秒九一牛氐为设时南北差一十九分三十五秒二二与子女等以牛午与子午设时实距弧九分六秒相减余子牛三分一十九秒○九为设时视距弧与女氐等以子女与子干相减余女干三分五十三秒二三用干女氐勾股形求得干氐弦五分六秒六五为设时两心视相距次以女氐设时视距弧与亢斗用时东西差相加(女氐与斗)(虚等)得亢虚五分四十六秒六二为用设二时视距和以房亢用时南北差与牛氐设时南北差相减余虚氐一分一十一秒七○为用设二时纬差较用亢氐虚勾股形求得亢氐弦五分五十三秒九六为设时视行次用干亢氐三角形求中垂线分为两勾股法求得亢危分边三分二十六秒二四为真时视行干危垂线四分二十九秒为真时两心视相距(干亢干氐两腰)(各自乘相减以亢氐勾和除之得勾较与勾和相加)(折半得亢危大勾勾弦求股得干危垂线)其数皆与前同是东西南北差与实距视距一理也如用近时之法算之先以子房用时东西差二分二十七秒五三取子甲之分为近时实距弧以一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例而得近时距分五分二十四秒五二为太隂行子甲弧之时分(即近)(时距用时之时分)与食甚用时午正二刻九分五十八秒九五相加(用时月在白平象限西视经度差而)(西近时在用时后故加若月在白平象限东视经度)(差而东近时在用时前则减)得午正三刻零二十三秒四七为食甚近时即太隂行至甲㸃之时刻惟时太隂实高在甲视高在乙甲乙为近时高下差一十九分零百分秒之三十七按法求得甲乙丙角一十度一十二分一秒九二为近时白经高弧交角甲丙为近时东西差三分二十一秒九五丙乙为近时南北差一十八分四十二秒三五与子丁等以子甲近时实距弧与甲丙近时东西差相减余子丙五十四秒四二为近时视距弧在实纬西(即近时视)(行距实纬之弧月在白平象限西视经度差而西而)(东西差大于实距弧故为纬西若小于实距弧则为)(纬东月在限东反是)与乙丁等以子丁近时南北差与子干实纬二十三分二十八秒四五相减与丁干四分四十六秒一○用干丁乙勾股形求得干乙弦四分五十一秒二三为近时两心视相距次以子丙近时视距弧与子房用时东西差相减余丙房一分三十三秒一一与亢戊等为用近二时视距较(用时东西差与近时视距弧同)(在纬西故相减为视距较若一东一西则相加为视)(距和)以房亢用时南北差与丙乙近时南北差相减(房亢)(与丙戊等)余戊乙一十八秒八三为用近二时纬差较用亢戊乙勾股形求得亢乙弦一分三十四秒九九为近时视行(即近时距用时之视行)次用干亢乙三角形求形外垂线补成两勾股法求得亢已分边三分二十五秒○三为真时视行(即真时距用时)(之视行)以亢乙近时视行与近时距分五分二十四秒五二之比同于亢已真时视行与真时距分一十一分四十秒四六之比(即真时距)(用时之时分)与食甚用时相加(限西故加限东则减与近时同)得午正三刻六分三十九秒为食甚真时又求得干己垂线四分二十九秒为真时两心视相距(干亢干乙两腰各自乘相减以亢乙)(为法除之得数大于亢乙则所得为两勾和而亢乙)(为两勾较故知垂线在形外若有得之数小于除之)(之数则所得之数为两勾较而除之之数为两勾和)(即知垂线在形内若除得之数与除之之数等则知)(小腰即系垂线成直角也)其数与用设时所得同是用近时与用设时一理也乃以真时午正三刻六分三十九秒按前法求其实高在庚视高在辛干辛两心视相距果为四分二十九秒与前所求垂线合而辛角犹未为直角故又求得乙辛边一分五十秒四九为考真时视行乙壬边五十一秒○二为定真时视行干壬垂线仍为四分二十九秒为定真时两心视相距以乙辛与考真时距分六分一十五秒五三之比(即真时距近时)(之时分)同于乙壬与定真时距分六分一十七秒三二之比与近时相加得午正三刻六分四十秒七九(进为)(四十一秒)始为食甚定真时焉盖食甚时两心视相距之线与视行成直角故前后数秒之间其相距皆相等若秒下加小余细考之则午正三刻六分四十一秒之时相距为四分二十九秒二三八九其三十九秒之时则相距犹为四分二十九秒二三九九至四十三秒之时则相距又为四分二十九秒二三九一故以四十一秒之时为相距尤近然测候之际至分巳密故推算之法总以三十秒进一分秒下之小余原可不计今考之又考者第以求其确凖耳若用新数而以视行与白道为平行算之则早三分有奇故今推视行之法尤为精宻至求近时则犹求设时之法也求视差则犹求视距之法也理无殊涂法归一致庶几质诸徃昔而无疑用之推步而不忒矣求日食初亏复圆时刻(方位附)日食求初亏复圆时刻先以食甚视纬为一边并径为一边以视纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆用时次以初亏复圆用时各求其东西差与食甚真时之东西差相较得初亏复圆视行与初亏复圆距弧比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆真时上编言之详矣(见食食三限时刻及求初亏复圆用时真时篇)今食甚真时两心视相距与视行成直角初亏复圆距食甚之弧亦即视行之度则求初亏复圆用时以食甚视行为比例较之以月距日实行为比例者必为近之且初亏复圆用时之东西差既不与食甚真时等则南北差亦不等虽以初亏复圆视行比例得时分而其时之两心视相距亦未必与并径等然则即以视行比例之时分与食甚真时相加减犹未必即为初亏复圆真时也近日西法初亏复圆各设一时为前设时求其两心视相距(太隂在限西食甚真时在用时后如食甚用时两心视相距与并径)(相去不逺则以食甚用时为初亏前设时小则向前设大则向后设太隂在限东食甚真时在用时前如)(食甚用时两心视相距与并径相去不逺则以食甚用时为复圆前设时小则向后设大则向前设)又设一时为后设时亦各求其两心视相距(前设时两心视相距)(小于并径初亏向前设复圆向后设大于并径初亏向后设复圆向前设)乃以两视距之较为一率两设时之较为二率后设时两心视相距与并径之较为三率求得四率为初亏复圆真时距分与初亏复圆后设时相加减得初亏复圆真时(前设)(时两心视相距小于并径初亏减复圆加大于并径初亏加复圆减)然后又以真时各考其两心视相距果与并径等方为定真时焉盖初亏两周初切复圆两周初离日月两心视相距必与并径等故务求其恰合而初亏复圆乃为确准也虽其数比旧法所差无多而其理甚为细宻至于设时之法则亦犹食甚用时近时之义耳今亦如食甚之次第先求初亏复圆用时(即前设时)次求初亏复圆近时(即后设时)俾学者知设时之准而其求两心视相距与以两视距比例时分则犹是设时之法也既得初亏复圆两心视相距与并径等则求得并径与高弧相交之角即为方位角图说并详于左如雍正八年六月戊戌朔日食日月实并径三十分一十八秒六五食甚用时午正二刻九分五十八秒九五干甲两心实相距在黄道北二十三分二十八秒四五甲乙两心视相距五分三十八秒七四小于并径逺甚故向前取午初初刻四分为初亏前设时与食甚用时相减余一时三十五分五十八秒九五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得四十三分三十八秒○一自甲向前截之于丙则丙㸃为初亏前设时月影心甲丙为初亏前设时距弧求得甲干丙角六十一度四十三分一十三秒四七为对距弧角干丙边四十九分三十二秒八三为初亏前设时两心实相距又以初亏前设时赤经高弧交角二十九度五十六分五十一秒○一取坎干丁角(午前赤经在高弧东故从赤经向西)(取高 角)以本时日距天顶二十一度四十九分一十一秒○八之高下差二十分零百分秒之五十一取干丁之分则丁㸃为初亏前设时日影心求得甲干丁白经高弧交角四十五度三分六秒八七与甲干丙对距弧角相减余丁干丙角一十六度四十分六秒六○为对两心视相距角用干丁丙三角形求得丁角一百五十二度三十八分零百分秒之八十三为对两心实相距角丁丙边三十分五十五秒○一为初亏前设时两心视相距比并径大三十六秒三六则初亏真时必在前设时之后故又向后取午初初刻八分为初亏后设时依法求得甲戊距弧四十一分四十八秒九一甲干戊对距弧角六十度四十一分二十七秒六三干戊两心实相距四十七分五十七秒二一甲干己白经高弧交角四十三度二十二分六秒七一巳干戊对两心视相距角一十七度一十九分二十秒九二戊己干对两心实相距角一百五十一度二十二分四十四秒一一戊己两心视相距二十九分四十八秒四四比并径小三十秒二一夫丙丁既大于并径戊己既小于并径则并径必在二线之间如庚辛乃自丁至己作丁己线又取戊己之分截丙丁线于癸作戊癸线则癸丙为两视距之较一分六秒五七丙戊为两设时之较四分壬庚为后设时视距小于并径之较三十秒二一以丙癸与丙戊之比同于壬庚与庚戊一分四十八秒九一之比为初亏真时距分与初亏后设时相减(后设时两心视相距)(小于并径故减)得午初初刻六分一十一秒○九为初亏真时再以初亏真时考其两心视相距果得三十分一十八秒六三与并径合则初亏真时即为初亏定真时其对考真时两心实相距角一百五十一度五十七分二十秒即初亏方位角复圆倣此又法先求初亏用时干甲为食甚实纬(即食甚用时两心实相距)乙为食甚真时日影心丙为食甚真时月影心乙丙为食甚真时两心视相距四分二十九秒二四与乙丙取直角作线以日月并径三十分一十八秒六五取乙丁乙戊之分合成乙丙丁乙丙戊两勾股形求得丙丁股二十九分五十八秒六一与戊丙等为初亏复圆平距(初亏复圆距食甚用时之)(度名距弧故此名平距以别之)次以食甚定真时视行一分五十一秒○二为一率(即食甚定真时距食)(甚近时之视行)定真时距分六分一十七秒三二为二率(即食)(甚定真时距食甚近时之时分俱见前篇)初亏复圆平距为三率求得四率一时四十一分五十二秒六六为初亏复圆用时距分与食甚定真时相减得午初初刻九分四十八秒一三为初亏用时以用时距分与食甚定真时相加得未正二刻三分三十三秒四五为复圆用时初亏用时月影心在己甲己为初亏用时距弧四十分五十九秒七五(以初亏用时与)(食甚用时相减余一时三十分一十秒八二与一小)(时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得初)(亏用时距弧)日影心在庚辛庚为京师北极距天顶五十度五分干辛为日距北极六十八度二十一分四十七秒九八庚辛干角为日距午东一十二度三十二分五十八秒○五干庚为日距天顶二十一度一十分一十八秒二二在地则为初亏用时高下差一十九分二十六秒五三庚干辛角为初亏用时赤经高弧交角二十七度二十八分四十五秒一○与辛干甲赤白二经交角一十五度六分一十五秒八六相加得庚干甲角四十二度三十五分零百分秒之九十六为初亏用时白经高弧交角(赤经在高弧东白经又在赤经东故)(加)庚壬为初亏用时东西差一十三分九秒三五与甲癸等干壬为初亏用时南北差一十四分一十八秒九○以甲癸与甲己距弧相减余己癸二十七分五十秒四○以干壬与干甲相减余壬甲九分九秒五五与庚癸等用庚癸巳勾股形求得庚巳弦二十九分一十八秒四八为初亏用时两心视相距比并径小一分零百分秒之一十七则初亏真时必犹在用时前也乃以初亏用时两心视相距为一率初亏用时距分为二率初亏用时两心视相距小于并径之较为三率求得四率三分二十九秒一六为初亏近时距分与初亏用时相减(初亏用时两心视相距小于并径故减)得午初初刻六分一十八秒九七为初亏近时盖就食甚真时乙㸃立算与庚巳平行作乙子线与庚巳等即初亏用时两心视相距自丙至子作丙子线即初亏用时视行(即初亏用时距食甚定真)(时之视行)以时刻而论即初亏用时距分(即初亏用时距食甚定真时之)(时分)试将乙子线以并径之分引长至丑则子丑即初亏用时两心视相距小于并径之较又将丙子线引长至寅使子丑寅与子乙丙成同式形则乙子与行丙子弧时分之比即同于子丑与行子寅弧时分之比以子寅与丙子时分相加(初亏在食甚前时刻减而早则距食甚前之视)(行愈多故视行为加)得丙寅与丙丑等故以丑㸃为初亏近时之月影心丙丑为初亏近时距食甚之视行其乙丑两心视相距乃与并径等也(子丑寅与子乙丙为同式形则丙丑必长于丙)(寅然所差无多故以太隂视行临于丑㸃为初亏近)(时)初亏近时月影心在夘甲夘为初亏近时距弧四十二分三十四秒八四(以初亏近)(时与食甚用时相减余一时三十三分三十九秒九)(八与一小时两经斜距为比例得初亏近时距弧)日影心在辰辛辰为京师北极距天顶五十度五分辰辛干角为日距午东一十三度二十五分一十五秒四五辰干为日距天顶二十一度三十三分一十七秒九四在地为初亏近时高下差一十九分四十六秒六五辰干辛角为初亏近时赤经高弧交角二十八度五十八分五十七秒四二与辛干甲赤白二经交角相加得辰干甲角四十四度五分一十三秒二八为初亏近时白经高弧交角辰已为初亏近时东西差一十三分四十五秒六一与甲午等干巳为初亏近时南北差一十四分一十二秒三五以甲午与甲夘距弧相减余午夘二十八分四十九秒二三以干巳与干甲相减余巳甲九分一十六秒一○与辰午等用夘辰午勾股形求得辰夘弦三十分一十六秒四五为初亏近时两心视相距比初亏用时两心视相距大五十七秒九七而比并径仍小二秒二○则初亏真时必犹在近时前也乃以用近二时两心视相距之较五十七秒九七为一率近时距分三分二十九秒一六为二率用时两心视相距小于并径之较一分零百分秒之二十七为三率求得四率三分三十七秒一一与初亏用时相减得午初初刻六分一十一秒○二为初亏真时盖仍就乙㸃立算与辰夘平行作乙未线与辰夘等即初亏近时两心视相距自丙至未作丙未线即初亏近时视行试依乙未之分将初亏用时两心视相距之乙子线引长至土则子土即初亏用近二时两心视相距之较依丙未之分将初亏用时视行之丙子线引长至木则子木即初亏用近二时两视行之较又依并径之分将乙子线引长至火与土木平行作火金线将丙木线引长合之于金则子火即初亏用真二时两心视相距之较子金即初亏用真二时两视行之较故子土与行子木弧时分之比即同于子火与行子金弧时分之比以子金与丙子相加得丙金与丙水等故以水㸃为初亏真时之月影心丙水为初亏真时距食甚之视行其乙水两心视相距乃与并径相等也于是以初亏真时依法求其两心视相距果得三十分一十八秒六五与并径合则初亏真时即为初亏定真时(如或大或小则又用比例求之)又以辰午与夘午之比同于半径与夘辰午角正切线之比而夘辰午角即并径白经交角与申辰午白经高弧交角相减(辰午与干甲平行即)(日影所当白道经圏故申辰午角与辰干甲角等申)(干高弧在夘辰午角之内故减在外则加)余夘辰申角为并径高弧交角日在辰月在夘夘辰为并径申干为高弧申为上干为下初亏方位为上偏右(边角俱用初亏定真时立算因与初亏近时相去不)(逺故借近时之图以明之)因即以并径立算故质名之曰并径高弧交角不必又求纬差角与黄道高弧交角相加减而后为定交角也复圆倣此求日食带食推日食带食法旧以初亏复圆距时之视行(带食在食甚前)(用初亏视行带食在食甚后用复圆视行)与日出入距食甚之时分(即帯食距)(时)为比例得日出入距食甚之视行(即带食距弧)而后与食甚视纬求其两心视相距下编仍之今推食甚先求两心视相距而后求视行初亏复圆止求两心视相距更不求视行则带食亦可迳求两心视相距不待先求视行矣且旧法推视行虽不见初亏食甚或不见食甚复圆皆犹多此一算今迳求两心视相距则以地平为断凡己初亏而带出者止求带出时之相距不用求初亏视行未复圆而带入者止求带入时之相距不用求复圆视行若己过食甚而带出者即以帯食视纬求复圆用时未及食甚而带入者即以帯食视纬求初亏用时固不用求视行亦不用求食甚其法甚为省便况视行不与白道平行带食之视纬必不与食甚等则迳求带食两心视相距而不用视行者其理尤为确凖也如雍正九年辛亥十二月庚寅朔日食帯食食甚用时辰正二刻一分五十一秒一六日出辰初一刻九分二十九秒二三在用时前四刻七分二十一秒九三以一小时两经斜距三十三分一十秒二三为比例得甲乙三十七分一十四秒五四为带食距弧甲为用时月影心乙为帯食月影心干甲为用时两心实相距四十三分三十七秒八○甲干乙角为帯食对距弧角四十度二十九分二秒二八干乙为帯食两心实相距五十七分二十一秒八一坎干甲角为赤白二经交角八度四十分五十秒六八(本时日在冬至后黄)(经在赤经西月在正交后白经又在黄经西故白经)(更在赤经西)坎干丙角为日出时赤经高弧交角四十五度四十分四十八秒三八(赤经在高弧东)内减坎干甲角余甲干丙角三十六度五十九分五十七秒七○为日出时白经高弧交角(赤经在高)(弧东白经在赤经西故以赤白二经交角与赤经高)(弧交角相减余为白经高弧交角)与甲干乙对距弧角相减余乙干丙角三度二十九分四秒五八为帯食对两心视相距角丙为带食日影心丙干为地平高下差五十九分二十秒二一用干乙丙三角形求得丙角五十九度一十一分一十七秒四七为帯食对两心实相距角即帯食方位角与半周相减余乙丙丁角一百二十度四十九分为帯食视距高弧交角(方位角止用度分故不计)(秒)丁为上干为下帯食方位为右偏下又求得乙丙邉四分三秒五七为帯食两心视相距与日月实并径三十二分二十一秒四四相减余二十八分一十七秒八七以日全径三十二分四十六秒作十分为比例得八分三十八秒一七即帯食分秒也又法以甲干丙白经高弧交角及丙干高下差求得戊丙东西差三十五分四十二秒五六与甲己等干戊南北差四十七分二十三秒三三以干甲实纬与干戊南北差相减余戊甲三分四十五秒五三与丙己等为带食视纬以甲己东西差与甲乙带食距弧相减余乙己一分三十一秒九八为带食视距弧用乙丙己勾股形求得乙丙弦四分三秒五七为带食两心视相距与前所得数同又以丙己与乙己之比同于半径一千万与丙角正切线之比而得丙角二十二度一十一分一十五秒与干丙己白经高弧交角相加(干丙己角与甲干丙角等)得乙丙干角五十九度一十一分与半周相减余乙丙丁角一百二十度四十九分为带食视距高弧交角亦与前所得数同此乙丙视距未与视行成直角(甲乙虽非)(视行然相去不逺)带食在食甚前必按求食甚真时之法求得真时两心视相距再求复圆用时如带食在食甚后者则不用求食甚即以丙己带食视纬为勾丙庚并径为弦求得己庚股与乙己带食视距弧相加得乙庚为复圆距弧(甲乙带食距弧)(大于东西差乙庚大于己庚故加若甲乙带食距弧)(小于东西差而乙庚小于己庚则减)以一小时两经斜距为比例即得复圆距时与日出时刻相加即得复圆用时也(带食出地)(复圆在日出后故加若带食入地初亏在日入前则)(减)带食入地者倣此御制歴象考成后编卷三
## 卷四
钦定四库全书御制厯象考成后编卷四日躔歩法推日躔用数推日躔法月离歩法推月离用数推月离法用表推月离法推日躔用数雍正元年癸卯天正冬至为元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二三三四四二纪法六十宿法二十八太阳毎日平行三千五百四十八秒小余三二九○八九七(太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒以秒法通之即得)最卑每岁平行六十二秒小余九九七五(最卑每岁平行一分二秒)(五十九微五十一纤零八忽以秒法通之即得)最卑每日平行十分秒之一又七二四八(最卑每日平行十微二十)(纤五十六忽以秒法通之即得)太阳本天大半径一千万小半径九百九十九万八千五百七十一小余八五两心差十六万九千气应三十二日一二二五四(气应者癸卯年天正平冬至距甲子日子正初刻之)(日分乃丙申日丑正三刻十一分有奇也○按下编康熙二十三年甲子气应为七日六五六三七四九)(二六依法以求癸卯年天正冬至则得三十二日一○一六八七四今所定气应迟百分日之二又○八)(五二六于时差二刻于经度差一分十四秒而纬度则无差也葢算家推测惟凭春秋分而推测之法则)(以所测之视髙度减蒙气差加地半径差而得太阳之实髙度然后以距纬求其经度而得节气时刻焉)(上编谓春秋分太阳髙五十度无蒙气差而加地半径差一分五十六秒今法谓地半径差甚微可以不)(计而减蒙气差五十秒故所测视髙度虽同而所推实髙度恒低二分四十六秒则经度必差六分五十)(八秒春分日道自南而北时刻必差而迟秋分日道自北而南时刻必差而早故春分均数少加六分五)(十八秒秋分均数少减六分五十八秒则所推与所测合矣然今所测之视髙度春分又比前低二十七)(秒秋分又比前髙二十七秒则经度又差一分十四秒时刻皆差而迟故定气应迟二刻则经度即减一)(分十四秒纬度即差二十七秒而春秋分之视髙乃与实测脗合也)宿应二十七日一二二五四(宿应者癸卯年天正平冬至距角宿値日子正初刻)(之日分乃轸宿値日丑正三刻十一分有奇也)最卑应八度七分三十二秒二十二微(最卑应者癸卯年天正平冬至)(次日子正初刻最卑过冬至之度分也○按下编甲子年最卑应为七度一十分一十一秒一十微依法)(以求癸卯年最卑应则得七度四十九分五十六秒四十微今所定最卑应多十七分三十五秒四十二)(微葢既改定均数则春分以加少而迟秋分以减少而早与实测合矣然逐节气测之春分前之所迟秋)(分前之所早者较多春分后之所迟秋分后之所早者较少故定最卑应多十七分有奇则引数即少十)(七分有奇春分前加均以渐而多引数少则加者少故迟者遂多春分后加均以渐而少引数少则加者)(多故迟者遂少秋分前减均以渐而多引数少则减者少故早者遂多秋分后减均以渐而少引数少则)(减者多故早者遂少而春秋分之前后乃皆与实测脗合也)推日躔法求积年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与岁实三百六十五日二四二三三四四二相乘得中积分求通积分置中积分加气应三十二日一二二五四得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小余得天正冬至时分秒求年根以周日一万分为一率太阳每日平行三千五百四十八秒三二九○八九七为二率以天正冬至分(不用日)与周日一万分相减余为三率求得四率为秒以分收之得年根求纪日以天正冬至干支加一日得纪日求値宿置中积分加宿应二十七日一二二五四为通积宿其日满宿法二十八去之外加一日为値宿日分上考往古则置中积分减宿应为通积宿其日满宿法二十八去之余数转与宿法二十八相减外加一日为値宿日分自初日角宿起算得値宿求日数自天正冬至次日距所求本日共若干日与太阳每日平行三千五百四十八秒三二九○八九七相乘得数为秒以宫度分收之得日数求平行以年根与日数相加得平行求最卑平行以积年与最卑每岁平行六十二秒九九七五相乘得积年之行又以日数与最卑每日平行十分秒之一又七二四八相乘得日数之行两数相并与最卑应八度七分三十二秒二十二微相加得最卑平行上考往古则置最卑应减积年之行加日数之行得最卑平行求引数置平行减最卑平行得引数求均数以二千万为一边倍两心差三三八○○○为一边引数为所夹之角(六宫内引数即为所夹之角六宫外引数与全周相减余为所夹之角)用切线分外角法求得对倍两心差之角倍之为撱圆界角又以撱圆小半径九九九八五七一(小余八五)为一率大半径一千万为二率引数(即前所夹之角)之正切为三率求得四率为撱圆之正切检表得度分秒与引数相减余为撱圆差角最卑前后各三宫与撱圆界角相加最髙前后各三宫与撱圆界角相减(○一二宫为最卑后九十十一宫为最卑前三四五)(宫为最髙前六七八宫为最髙后)得均数引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减求实行置平行加减均数得实行求宿度以积年与岁差五十一秒相乘得数与癸卯年黄道宿钤相加得本年宿钤察实行足减某宿度分则减之余为某宿度分右法除均数外余俱与下编同但用数小异耳至用表推算之法则全与下编同故不复载推月离用数雍正元年癸卯天正冬至为元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二三三四四二纪法六十太阴毎日平行四万七千四百三十五秒小余○二三四○八六最髙每日平行四百零一秒小余○七○二二六正交每日平行一百九十秒小余六三八六三太阳最大均数一度五十六分一十三秒(入算化作六千九百七十)(三秒)太阴最大一平均一十一分五十秒(入算化作七百一十秒)最髙最大平均一十九分五十六秒(入算化作一千一百九十六秒)正交最大平均九分三十秒(入算化作五百七十秒)太阳最髙立方积一○五一五六二太阳髙卑立方较一○一四一○太阳在最髙太阴最大二平均三分三十四秒(入算化作二百)(一十四秒)太阳在最卑太阴最大二平均三分五十六秒(入算化作二百)(三十六秒)太阴最大三平均四十七秒太隂本天撱圆大半径一千万最大两心差六六七八二○最小两心差四三三一九○最髙本轮半径五五○五○五(即中数两心差)最髙均轮半径一一七三一五太阳在最髙太阴最大二均三十三分一十四秒(入算化作)(一千九百九十四秒)太阳在最卑太阴最大二均三十七分一十一秒(入算化作)(二千二百三十一秒)太阴最大三均二分二十五秒(入算化作一百四十五秒)两最髙相距一十度两弦最大末均六十一秒相距二十度两弦最大末均六十七秒相距三十度两弦最大末均七十六秒相距四十度两弦最大末均八十八秒相距五十度两弦最大末均一百零三秒相距六十度两弦最大末均一百二十秒相距七十度两弦最大末均一百三十九秒相距八十度两弦最大末均一百五十九秒相距九十度两弦最大末均一百八十秒正交本轮半径五十七分半正交均轮半径一分半最大黄白大距五度一十七分二十秒最小黄白大距四度五十九分三十五秒黄白大距中数五度八分二十七秒三十微(人算化作五万八千)(五百零七秒半)黄白大距半较八分五十二秒三十微(入算化作五百三十二秒半)最大交角加分二十七分四十五秒(入算化作一千零六十五秒)最大距日加分二分四十三秒(入算化作一百六十三秒)气应三十二日一二二五四太阴平行应五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微最髙应八宫一度一十五分四十五秒三十八微正交应五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微推月离法求积年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与岁实三百六十五日二四二三三四四二相乘得中积分求通积分置中积分加气应三十二日一二二五四得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分自初日甲子起算得天正冬至干支以一千四百四十分通其小余得天正冬至时分秒求积日置中积分加气应分一二二五四(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求太阴年根以积日与太阴每日平行四万七千四百三十五秒○二三四○八六相乘得数满周天一百二十九万六千秒去之余以宫度分收之为积日太阴平行加太阴平行应五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微得太阴年根上考往古则置太阴平行应减积日太阴平行得太阴年根求最髙年根以积日与最髙每日平行四百零一秒○七○二二六相乘得数满周天一百二十九万六千秒去之余以宫度分收之为积日最髙平行加最髙应八宫一度一十五分四十五秒三十八微得最髙年根上考往古则置最髙应减最髙积日平行得最髙年根求正交年根以积日与正交每日平行一百九十秒六三八六三相乘得数满周天一百二十九万六千秒去之余以宫度分收之为积日正交平行于正交应五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微内减之(正交应不足减者加十二宫减之)得正交年根上考往古则置正交应加积日正交平行得正交年根(加满十二宫去之)求太阴日数以所设日数与太阴每日平行四万七千四百三十五秒○二三四○八六相乘得数为秒以宫度分收之得太阴日数求最髙日数以所设日数与最髙每日平行四百零一秒○七○二二六相乘得数为秒以宫度分收之得最髙日数求正交日数以所设日数与正交每日平行一百九十秒六三八六三相乘得数为秒以度分收之得正交日数求太阴平行以太阴年根与太阴日数相加(满十二宫去之)得太阴平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加(满十二宫去之)得最髙平行求正交平行置正交年根减正交日数(不足减者加十二宫减之)得正交平行求一平均以太阳最大均数一度五十六分一十三秒化作六千九百七十三秒为一率太阴最大一平均一十一分五十秒化作七百一十秒为二率本日太阳均数化秒为三率求得四率为秒以分收之为太隂一平均太阳均数加者为减减者为加又以太阳最大均数六千九百一十三秒为一率最髙最大平均一十九分五十六秒化作一千一百九十六秒为二率本日太阳均数化秒为三率求得四率为秒以分收之为最髙平均太阳均数加者亦为加减者亦为减又以太阳最大均数六千九百一十三秒为一率正交最大平均九分三十秒化作五百七十秒为二率本日太阳均数化秒为三率求得四率为秒以分收之为正交平均太阳均数加者为减减者为加求二平行置太阴平行加减一平均得二平行(二平行者即子正初刻用时之太隂)(平行度也不曰用平行而曰二平行者以尚有二三平均之加减而后曰用平行也不加减时差行者以一平)(均内已有均数时差而又止就黄道算故不用升度时差也凡推算条目与下编同者已见下编与下编不同)(者已见本编厯理今不尽释也)求用最高置最髙平行加减最髙平均得用最髙求用正交置正交平行加减正交平均得用正交求日距月最髙置太阳实行减用最髙得日距月最髙(不及减者加十二宫减之)求日距正交置太阳实行减用正交得日距正交(不及减者加十二宫减之)求日距地心数以半径一千万为一率太阳实引(太阳平引加减太阳均数为太阳实引)之余弦为二率(凡用度数查八线度数过一象限者与半周相减过半周者减半周过三象限)(者与全周相减后倣此)倍两心差三三八○○○为三率求得四率为分股又以半径一千万为一率太阳实引之正弦为二率倍两心差三三八○○○为三率求得四率为勾以分股与全径二千万相加减(实引初一二九十十一宫加三四五六七)(八宫减)得勾弦和为首率勾为中率求得末率为勾弦较与勾弦和相加折半为弦以弦与全径二千万相减得日距地心数(法见日躔撱圆角度与面积相求篇)求立方较以太阳距地心数自乘再乘得立方积与太阳最髙距地心数一○一六九○○○自乘再乘之立方积一○五一五六二相减余为立方较(立方较表只用四位今以自乘再乘之位数为)(定则最大立方积用七位足矣)求二平均以半径一千万为一率太阳在最髙时之最大二平均三分三十四秒化作二百一十四秒为二率日距月最髙倍度之正弦为三率求得四率为秒以分收之为太阳在最髙时日距月最髙之二平均又以半径一千万为一率太阳在最卑时之最大二平均三分五十六秒化作二百三十六秒为二率日距月最髙倍度之正弦为三率求得四率为秒以分收之为太阳在最卑时日距月最髙之二平均乃以太阳髙卑距地之立方大较一○一四一○为一率本时之立方较为二率所得髙卑两二平均相减余化秒为三率求得四率为秒以分收之与前所得太阳在最髙时日距月最髙之二平均相加为本时之二平均日距月最髙倍度不及半周为减过半周为加求三平均以半径一千万为一率最大三平均四十七秒为二率日距正交倍度之正弦为三率求得四率为三平均日距正交倍度不及半周为减过半周为加求用平行置二平行加减二平均再加减三平均得用平行求最髙实均以最髙本轮半径五五○五○五为一边最髙均轮半径一一七三一五为一边日距月最髙之倍度与半周相减余为所夹之角(日距月最髙倍度不及半周者与半周相减过半周者减半周)用切线分外角法求得小角为最髙实均日距月最髙倍度不及半周为加过半周为减求本天心距地数以最髙实均之正弦为一率最髙均轮半径一一七三一五为二率日距月最高倍度之正弦为三率求得四率为本天心距地数(即本时两心差)求最髙实行置用最髙加减最髙实均得最髙实行求太阴引数置用平行减最髙实行得太阴引数(不及减者加十二宫减之)求初均以半径一千万为一边本时两心差为一边(即本天心距地数)太阴引数与半周相减余为所夹之角(引数不及半周者与半周相减)(过半周者则减半周)用切线分外角法求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍以前二边用切线分外角法求得对半径之大角为平圆引数乃以半径一千万(即撱圆大半径)为一率本天心距地之余弦(以本天心距地数为)(正弦对其余弦即撱圆小半径)为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与太阴引数相减得初均数引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加求初实行置用平行加减初均得初实行求月距日置初实行减本日太阳实行得月距日(不及减者加十二宫减之)求二均数以半径一千万为一率太阳在最髙时之最大二均数三十三分一十四秒化作一千九百九十四秒为二率月距日倍度之正弦为三率求得四率为秒以分收之为太阳在最髙时月距日之二均数又以半径一千万为一率太阳在最卑时之最大二均数三十七分一十一秒化作二千二百三十一秒为二率月距日倍度之正弦为三率求得四率为秒以分收之为太阳在最卑时月距日之二均数乃以太阳髙卑立方大较一○一四一○为一率本时之立方较为二率前所得髙卑两二均数相减余化秒为三率求得四率为秒以分收之与前所得太阳在最髙时月距日之二均数相加得本时之二均数月距日倍度不及半周为加过半周为减求二实行置初实行加减二均得二实行求实月距日置月距日加减二均得实月距日求太阳最髙置太阳最卑平行加减六宫得太阳最髙求日月最髙相距置太阴最髙实行减太阳最髙得日月最髙相距(不及减者)(加十二宫减之)求相距总数以实月距日与日月最髙相距相加得相距总数(加满十二)(宫去之)求三均数以半径一千万为一率最大三均二分二十五秒化作一百四十五秒为二率相距总数之正弦为三率求得四率为秒以分收之为三均数总数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减求三实行置二实行加减三均得三实行求末均数以半径一千万为一率两弦最大末均日月最髙相距一十度为六十一秒二十度为六十七秒三十度为七十六秒四十度为八十八秒五十度为一百零三秒六十度为一百二十秒七十度为一百三十九秒八十度为一百五十九秒九十度为一百八十秒用日月最髙相距度比例得两弦最大末均为二率(两弦最大末均以十度为率日)(月最髙相距有零度者用中比例法求之如十度为六十一秒二十度为六十七秒十五度则为六十四秒是)(也)实月距日之正弦为三率求得四率为秒以分收之为末均数实月距日初宫至五宫为减六宫至十一宫为加求白道实行置三实行加减末均得白道实行求正交实均以正交本轮半径五十七分半为一边正交均轮半径一分半为一边日距正交之倍度为所夹之外角(日距正交)(倍度过半周者与半周相减用其余)用切线分外角法以边总五十九为一率边较五十六为二率日距正交之正切线为三率(即半外角切线日距正交过一象限者与半周相减过半周者减半周过三象限者与全周相减)求得四率为正切线检表得数与日距正交相减余为正交实均日距正交倍度不及半周为加过半周为减求正交实行置用正交加减正交实均得正交实行求月距正交置白道实行减正交实行得月距正交(不及减者加十二宫减之)求交角减分以半径一千万为一率日距正交倍度之正矢为二率(凡日距正交倍度过半周者则与全周相减余为距交倍度凡距交倍度不及九十度则用正矢以余弦与半)(径相减过九十度则用大矢以余弦与半径相加)黄白大距半较八分五十二秒半化作五百三十二秒半为三率求得四率为秒以分收之得交角减分求距限置最大距限五度一十七分二十秒减交角减分得距限求距交加差以半径一千万为一率日距正交倍度之正矢为二率(同前)最大两弦加分二分四十三秒折半得八十一秒半为三率求得四率为秒以分收之得距交加差求距日加分以半径一千万为一率实月距日倍度之正矢为二率(同前)距交加差折半化秒为三率求得四率为秒以分收之得距日加分求黄白大距置距限加距日加分得黄白大距求黄道纬度以半径一千万为一率黄白大距之正弦为二率月距正交之正弦为三率(月距正交过一象限者与半周相减过半周者减半周过三象限者)(与全周相减)求得四率为距纬之正弦检表得黄道纬度月距正交初宫至五宫为北六宫至十一宫为南求升度差以半径一千万为一率黄白大距之余弦为二率月距正交(白道度也)之正切线为三率求得四率为黄道度之正切线检表得月距正交之黄道度与月距正交相减余为升度差月距正交初一二六七八宫为交后为减三四五九十十一宫为交前为加求黄道实行置白道实行加减升度差得黄道实行求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减宿钤内某宿度分则减之余为某宿度分求月孛宿度察最髙实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为月孛宿度求罗㬋宿度置正交实行加减六宫足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为罗㬋宿度求计都宿度察正交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为计都宿度用表推月离法求诸年根用月离太阴年根表察本年距冬至宫度分秒(三十微进一秒)(下倣此)得太阴年根察本年最髙宫度分秒得最髙年根察本年正交宫度分秒得正交年根求诸日数用月离太阴周岁平行表察本日平行宫度分秒得太阴日数察本日最髙宫度分秒得最髙日数察本日正交度分秒得正交日数求太阴平行以太阴年根与太阴日数相加(满十二宫去之)得太阴平行求最髙平行以最髙年根与最髙日数相加(满十二宫去之)得最髙平行求正交平行置正交年根减正交日数(不及减者加十二宫减之)得正交平行求一平均用月离一平均表以太阳引数宫度分察其所对之一平均分秒得太阴一平均又察其所对之最髙分秒得最髙平均又察其所对之正交分秒得正交平均俱记加减号求立方较用日距地立方较表以太阳引数宫度察其所对之立方较数得立方较求二平行置太阴平行加减太阴一平均得二平行求用最髙置最髙平行加减最髙平均得用最髙求用正交置正交平行加减正交平均得用正交求日距月最髙置太阳实行减用最髙得日距月最髙(不及减者加十二宫减之)求日距正交置太阳实行减用正交得日距正交(不及减者加十二宫减之)求二平均用月离二平均表以日距月最髙宫度分察其所对之二平均分秒并较秒记之乃以髙卑立方大较一○一四为一率前所得之立方较为二率所记之较秒为三率求得四率与所记之二平均相加得二平均并记加减号求三平均用月离三平均表以日距正交宫度分察其所对之三平均秒得三平均并记加减号求并均二三平均同为加者则相加为并均仍为加二三平均同为减者亦相加为并均仍为减若二三平均一为加一为减者则相减为并均加数大为加减数大为减求用平行置二平行加减并均得用平行求最髙实均及本天心距地用月离太阴最髙均及本天心距地表以日距月最髙宫度分察其所对之最髙均数度分秒得最髙实均并记加减号又察其所对之本天心距地数得本天心距地随将本天心距地数与中数两心差或最小两心差相减余为距地较为求初均之用(如本天心距地数大于中数两心差者则)(与中数两心差五五○五○五相减如本天心距地数小于中数两心差者则与最小两心差四三三一九○)(相减)求最髙实行置用最髙加减实均得最髙实行求月引数置用平行减最髙实行得月引数求初均数用月离太阴初均表以月引数宫度分及本天心距地数察其所对之度分秒得初均数表列大均中均小均三段查前所得本天心距地数大于中数两心差五五○五○五者则以月引数宫度分察其所对之中均数为初均本位察其所对之大均数为初均次位如本天心距地数小于中数两心差五五○五○五者则以月引数宫度分察其所对之小均数为初均本位察其所对之中均数为初均次位本位与次位相减余为初均较乃以距地半较一一七三一五为一率(即最小两心差与中数两)(心差相减之数亦即中数两心差与最大两心差相减之数也)前所得之距地较为二率初均较为三率求得四率与初均本位相加为所求之初均数并记加减号求初实行置用平行加减初均得初实行求月距日置初实行减夲日太阳实行得月距日(不及减者加十二宫减之)求二均用月离太阴二均表以月距日宫度分察其所对之二均分秒并较数记之乃以髙卑立方大较一○一四为一率前所得之立方较为二率所记较数为三率求得四率与所记之二均相加得二均并记加减号求二实行置初实行加减二均得二实行求实月距日置月距日加减二均得实月距日求太阳最髙置太阳最卑平行加减六宫得太阳最髙求日月最髙相距置太阴最髙实行减太阳最髙得日月最髙相距求相距总数以实月距日与日月最髙相距相加得相距总数求三均用月离太阴三均表以相距总数宫度分察其所对之三均分秒得三均并记加减号求三实行置二实行加减三均得三实行求末均用月离太阴末均表以日月最髙相距宫度及实月距日宫度察其纵横相遇之分秒得末均并记加减号求白道实行置三实行加减末均得白道实行求正交实均用月离太阴正交均数表以日距正交宫度分察其所对之度分秒得正交实均并记加减号求正交实行置用正交加减正交实均得正交实行求月距正交置白道实行减正交实行得月距正交求距交加分用月离交角加分表以日距正交宫度分察其所对之距交加分之分秒得之交加分求距交加差距日加差用月离交角加分表以日距正交宫度分察其所对之加差为距交加差以实月距日宫度分察其所对之加差为距日加差求距日加分以最大两弦加分二分四十三秒化作一百六十三秒为一率距交加差为二率距日加差为三率求得四率为距日加分求交角加分以距日加分与距交加分相加得交角加分求黄白大距置最小距限四度五十九分三十五秒与交角加分相加得黄白大距求升度差用月离黄白升度差表以月距正交宫度分察其所对之升度差分秒并较秒记之乃以距限大较一十七分四十五秒化作一千零六十五秒为一率所记之较秒为二率交角加分化秒为三率求得四率与所记之升度差相加得升度差并记加减号求黄道实行置白道实行加减升度差得黄道实行求黄道纬度用月离黄白距纬表以月距正交宫度分察其所对之距纬度分秒并较分记之乃以距限大较一十七分四十五秒化作一千零六十五秒为一率所记之较分化秒为二率交角加分化秒为三率求得四率与所记之距纬度分秒相加得黄道纬度并记南北号求黄道宿度依日躔求宿度法求得本年黄道宿钤察黄道实行足减夲年黄道宿钤内某宿度分则减之余为黄道宿度求月孛宿度察最髙实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为月孛宿度求罗㬋宿度置正交实行加减六宫足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为罗㬋宿度求计都宿度察正交实行足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为计都宿度御制厯象考成后编卷四
## 卷五
钦定四库全书御制厯象考成后编卷五月食歩法推月食用数推月食法推各省月食法推月食带食法推月食用数雍正元年癸卯天正冬至为元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周岁三百六十五日二四二三三四四二纪法六十朔策二十九日五三○五九○五三(太阳每日平行五十九分零八秒一)(十九微四十四纎四十三忽二十二芒与太阴每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纤)(一十六忽一十六芒相减余一十二度一十一分二十六秒四十一微三十九纤三十二忽五十四芒为)(一日月距日之平行为一率周日一万分为二率周天三百六十度为三率求得四率二十九日五千三)(百零五分小余九○五三为朔策即太阴复与太阳会之日数以一千四百四十分通之得二十九日一)(十二时四十四分零三秒零一微一十八纎二十七忽零四芒○按新法算书朔策为二十九日五三○)(五九三以一千四百四十分通之得二十九日一十二时四十四分零三秒一十四微零六纤四十三忽)(一十二芒上编仍之今因太阳每日平行比旧少五纎有奇太阴每日平行比旧多八纤有奇则月距日)(之行每日多一十三纤有奇故朔策比旧少一十二微有奇即万分分之二百四十七也)望策一十四日七六五二九五二六五太阴交周朔策一十一万零四百一十三秒小余九二四四一三三四(太阴每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纎一十六忽)(一十六芒与正交每日平行三分一十秒三十八微一十九纎零四忽一十八芒相加得太阴每日距交)(行一十三度一十三分四十五秒三十九微四十三纎二十忽三十四芒与朔策日分相乘满周天去之)(得一宫零四十分一十三秒五十五微二十七纤五十三忽一十七〔？〕为交周朔策以秒法通之即得○)(按新法算书交周朔策为一宫零四十分一十四秒零一微上编仍之今因太阴每日平行比旧多八纤)(有奇正交每日平行比旧少四纤有奇则太阴每日距交行比旧多三纤有奇然朔策比旧少一十二微)(有奇故交周朔策转比旧少五微有奇也)太阴交周望策六宫一十五度二十分零六秒五十八微中距太阴地半径差五十七分三十秒太阳地半径差一十秒中距太阳距地心一千万中距太阴距地心一千万中距太阳视半径一十六分六秒中距太阴视半径一十五分四十秒三十微黄赤大距二十三度二十九分气应三十二日一二二五四朔应一十五日一二六三三(朔应者雍正癸卯年首朔距天正冬至次日子正初)(刻之日分也以月距日一日之平行一十二度一十一分二十六秒四十一微三十九纎三十二忽五十)(四芒为一率周日一万分为二率以癸卯年冬至次日子正初刻太阳平行五十一分五十三秒三十一)(微内减太阴平行五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微余六宫零四度二十四分零四秒三十)(八微为三率求得四率一十五日一二六三三○二为癸夘年天正冬至次日子正初刻距第一朔之日)(分即癸夘年朔应也)首朔太阴交周应六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微(首朔太阴交周应者雍正癸卯年首朔太阴距正交之行度也以癸夘年天正冬至)(次日子正初刻太阴平行五宫二十六度二十七分四十八秒五十三微内减正交平行五宫二十二度)(五十七分三十七秒三十三㣲余三度三十分一十一秒二十微为癸夘年天正冬至次日子正初刻太)(阴距正交之度分又以朔应一十五日一二六三三○二与太阴每日距交行一十三度一十三分四十)(五秒三十九微四十三纎二十忽三十四芒相乘得六宫二十度零六分四十一秒二十九微有奇为首)(朔太阴距交行之度分与天正冬至次日子正初刻太阴距正交之度分相加得六宫二十三度三十六)(分五十二秒四十九微有奇即癸夘年首朔太阴交周应也)右推月食用数名义俱见下编因用日躔月离求实望故推太阳太阴平行自行诸用数兹皆不载推月食法推首朔及入交及实望实时(下编以推首朔诸平行及入交为入算之首葢以平望太阳太阴诸平行皆以首朔诸平行为根也今以)(日躔月离求实望则太阳太阴诸平行不以首朔为根而以天正冬至为根故止求首朔之日时及入交)(之月数合之即得平望距冬至之日时而不必求首朔诸平行也)求积年自雍正元年癸卯距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周岁三百六十五日二四二三三四四二相乘得中积分求通积分置中积分加气应三十二日一二二五四得通积分上考往古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考往古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求纪日以天正冬至日数加一日得纪日求积日置中积分加气应分一二二五四(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考往古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求通朔置积日减朔应一十五日一二六三三得通朔上考往古则置积日加朔应得通朔求积朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九○五三除之得数加一为积朔余数与朔策相减为首朔上考往古则置通朔以朔策除之得数为积朔余数为首朔求首朔太阴交周以积朔与太阴交周朔策一十一万零四百一十三秒九二四四一三三四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余数为秒以宫度分收之为积朔太阴交周加首朔太阴交周应六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微得首朔太阴交周上考往古则置首朔太阴交周应减积朔太阴交周(不及减者加十二宫减之)得首朔太阴交周求逐月望太阴交周置本年首朔太阴交周加太阴交周望策六宫一十五度二十分零六秒五十八微再以太阴交周朔策一宫零四十分一十三秒五十五微递加十三次得逐月望太阴交周求太阴入交月数逐月望太阴交周自初宫初度至初宫一十五度九分自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度皆为太阴入交第几月入交即第几月有食(影半径最大者四十六分五十一秒)(月半径最大者一十六分四十八秒相并得六十三分三十九秒以此数当距纬用最小黄白交角四度五十)(九分三十五秒求得距交白道度一十二度一十六分五十四秒为实望可食之限又以最大太阳均数一度)(五十六分一十三秒最大太阴均数七度三十九分三十三秒相并得九度三十五分四十六秒为两实行相)(距最逺之度计月逐及于日太阳又行五十五分余与太阳均数相加得二度五十二分为实望距平望之数)(与实望可食之限相加得一十五度九分为平望可食之限图解见上编太阴食限篇)求平望以太阴入交月数与朔策二十九日五三○五九○五三相乘加望策一十四日七六五二九五二六五与首朔日分相加其所得日数即平望距冬至之日数再加纪日满纪法六十去之自初日甲子起算得平望干支以周日一千四百四十分通其小余得平望时分秒求实望泛时以平望距冬至之日数用推日躔月离法各求其子正黄道实行将太阳黄道实行加减六宫与太阴黄道实行相较如太阴实行未及太阳则平望日为实望本日平望次日为实望次日如太阴实行已过太阳则平望前一日为实望本日平望日为实望次日又用推日躔月离法各求其本日或次日子正黄道实行乃以本日次日两太阳实行相减为一日之日实行本日次日两太阴实行相减为一日之月实行一日之二实行相减为一日之月距日实行化秒为一率周日一千四百四十分为二率本日太阳实行加减六宫内减本日太阴实行余化秒为三率求得四率为距本日子正后之分数以时收之得实望泛时(如次日太阴实行仍未及太阳则次日为实望日即以次)(日太阳实行加减六宫内减次日太阴实行余为三率所得四率为距次日子正后之分数如本日太阴实行)(已过太阳则前一日为实望日即以本日太阳实行加减六宫转于本日太阴实行内减之余为三率所得四)(率为距本日子正前之分数与一千四百四十分相减余为距前一日子正后之分数)求实望实时以实望泛时之时刻设前后两时(如实望泛时为丑正二刻则以丑正初刻)(为前时寅初初刻为后时)用推日躔月离法各求其黄道实行乃以前后两时太阳实行相减为一小时之日实行以前后两时太阴实行相减为一小时之月实行一小时两实行相减为一小时月距日实行化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率前时太阳实行加减六宫内减前时太阴实行余化秒为三率求得四率为秒以分收之加于前时得实望实时再以实望实时用推日躔月离法各求其黄道实行则太阴太阳必对宫而同度乃视本时月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算推食望用时第一(下编以推实望用时为月食第七段而有推平望诸平行推日月相距推实引推实望推实交周推太阳)(实经六段在其前今推月食以日躔月离求得实望而实望实交周及太阳黄道经度又已在本时日躔)(月离之中故不用前六段而即以推实望用时为月食第一段也)求均数时差以实望太阳均数变时得均数时差(一度变为四分十五分变为一分十)(五秒变为一秒)均数加者则为减均数减者则为加求升度时差以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之余弦为二率实望太阳距春秋分黄道经度之正切线为三率(实望太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫者与九宫相减)(过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)求得四率为距春秋分赤道经度之正切线检表得太阳距春秋分赤道经度与太阳距春秋分黄道经度相减余为升度差变时得升度时差二分后为加二至后为减求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实望用时置实望实时加减时差总得实望用时距日出后日入前九刻以内者可以见食九刻以外者则全在昼即不必算推食甚实纬食甚时刻第二求斜距交角差以一小时太阴白道实行化秒为一边(本时次时二月离白道实行相)(减得一小时太阴白道实行太阳倣此)一小时太阳黄道实行化秒为一边实望黄白大距为所夹之角用切线分外角法求得对小边之角为斜距交角差求斜距黄道交角置实望黄白大距加斜距交角差得斜距黄道交角求两经斜距(即一小时两经斜距)以斜距交角差之正弦为一率一小时太阳实行化秒为二率实望黄白大距之正弦为三率求得四率为秒以分收之得两经斜距求食甚实纬(即食甚两心实相距)以半径一千万为一率斜距黄道交角之余弦为二率实望月离黄道实纬化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚实纬南北与实望黄道实纬同求食甚距弧以半径一千万为一率斜距黄道交角之正弦为二率实望月离黄道实纬化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距弧求食甚距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率食甚距弧化秒为三率求得四率为秒以分收之得食甚距时月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加求食甚时刻置实望用时加减食甚距时得食甚时刻自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初每十五分为一刻不足一刻者为零分推食分第三求太阳实引置实望太阳引数加减本时太阳均数得太阳实引求太阴实引置实望太阴引数加减本时太阴初均数得太阴实引(下编实引从本天心算为求实均此实引从地心算为求距地)求太阳距地以倍两心差三三八○○○为一边以二千万为两边和以太阳实引为一角用三角作垂线成两勾股法算之(实引三宫以内者即以实引为一角过九宫者与全周相减为一角俱作垂线于形外实引过三宫者与)(六宫相减过六宫者减六宫为一角俱作垂线于形内法见日躔撱圆角度与面积相求篇)求得地心至撱圆界之一边即太阳距地求太阴距地以实望太阴本天心距地数倍之为一边以二千万为两边和以太阴实引为一角用三角作垂线成两勾股法算之(实引三宫以内者即以实引为一角过九宫者与全周相减为一角俱作垂线于形内实引过)(三宫者与六宫相减过六宫者减六宫为一角俱作垂线于形外法与求太阳距地同因太阳从最卑起算太)(阴从最髙起算故内外相反)求得地心至撱圆界之一边即太阴距地求太阴地半径差(即本日太阴在地平上最大地半径差)以太阴距地为一率中距太阴距地一千万为二率太阴中距最大地半径差五十七分三十秒化作三千四百五十秒为三率求得四率为秒以分收之得太阴地半径差(此以弧度代正弦算太阳太阴半径同)求太阳视半径以太阳距地为一率中距太阳距地一千万为二率中距太阳视半径一十六分六秒化作九百六十六秒为三率求得四率为秒以分收之得太阳视半径求影半径置太阴地半径差加太阳地半径差一十秒减太阳视半径得影半径求影差太阴地半径差化秒以六十九除之得影差求实影半径置影半径加影差得实影半径求太阴视半径以太阴距地为一率中距太阴距地一千万为二率中距太阴视半径一十五分四十秒三十微化作九百四十秒半为三率求得四率为秒以分收之得太阴视半径求并径以太阴视半径与实影半径相加得并径求两径较以太阴视半径与实影半径相减得两径较求食分以太阴全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减食甚实纬余化秒为三率求得四率为秒以分收之得食分(若食甚实纬大于并径则月与地影两周不相切则不食即不必算)推初亏复圆时刻第四求初亏复圆距弧以并径与食甚实纬相加化秒为首率相减化秒为末率求得中率为秒以分收之得初亏复圆距弧求初亏复圆距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率初亏复圆距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏时刻置食甚时刻减初亏复圆距时得初亏时刻不足减者加二十四时减之初亏即在前一日命时之法与食甚同求复圆时刻置食甚时刻加初亏复圆距时得复圆时刻加满二十四时去之复圆即在次日命时之法与食甚同推食既生光时刻第五(食甚实纬大于两径较则月食在十分以内无食既生光)求食既生光距弧以两径较与食甚实纬相加化秒为首率相减化秒为末率求得中率为秒以分收之得食既生光距弧求食既生光距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率食既生光距弧化秒为三率求得四率为秒以时分收之得食既生光距时求食既时刻置食甚时刻减食既生光距时得食既时刻不足减者加二十四时减之食既即在前一日命时之法与食甚同求生光时刻置食甚时刻加食既生光距时得生光时刻加满二十四时去之生光即在次日命时之法与食甚同推食甚太阴黄道经纬宿度第六求距时月实行以一小时化作三千六百秒为一率一小时太阴白道实行化秒为二率食甚距时化秒为三率求得四率为秒以分收之得距时月实行食甚距时加者亦为加减者亦为减求食甚太阴白道经度置实望太阴白道实行加减距时月实行得食甚太阴白道经度(食甚与实望既有距时则白道经度亦有进退又食甚距纬不与白道成直角故其进退)(之差必以食甚距时为比例与旧法加减食甚距弧者法虽不同而理则一也)求食甚月距正交(即食甚实交周)置实望月距正交加减距时月实行得食甚月距正交求黄白升度差以半径一千万为一率实望黄白大距之余弦为二率食甚月距正交之正切线为三率求得四率为黄道之正切线检表得黄道度与食甚月距正交相减余为黄白升度差食甚距时加者亦为加减者亦为减求食甚太阴黄道经度置食甚太阴白道经度加减黄白升度差得食甚太阴黄道经度求食甚太阴黄道宿度察食甚太阴黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴黄道宿度求食甚太阴黄道纬度以半径一千万为一率实望黄白大距之正弦为二率食甚月距正交之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得食甚太阴黄道纬度南北与食甚实纬同推食甚太阴赤道经纬宿度第七求太阴距二分弧与黄道交角以半径一千万为一率食甚太阴距春秋分黄道经度之正弦为二率(食甚太阴黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫者与)(九宫相减过九宫者减九宫得太阴距春秋分黄道经度)食甚太阴黄道纬度之余切线为三率求得四率为太阴距二分弧与黄道交角之余切线检表得太阴距二分弧与黄道交角(此正弧三角形)(有赤道有距纬求交角用次形法也葢太阴黄道纬度与赤道纬度既不同为一线黄白交角与黄赤交角又)(不同在一㸃故有黄道经纬度而求赤道经纬度须用斜弧三角形下编详其法矣今欲求省便作正弧三角)(形算借太阴斜距二分弧为一边则距二分弧如黄道黄道如赤道太阴距二分弧与黄道交角即如黄赤交)(角矣论本形当以黄道经度之正弦为一率黄道纬度之正切线为二率半径为三率太阴距二分弧与黄道)(交角之正切线为四率今欲以乘代除故又用次形法求得太阴距二分弧与黄道交角则与黄赤交角合为)(一㸃而太阴赤道经纬度即可作正弧三角形算也)求太阴距二分弧与赤道交角置黄赤交角二十三度二十九分加减太阴距二分弧与黄道交角得太阴距二分弧与赤道交角食甚太阴黄道经度在秋分后春分前者黄道在赤道南纬南则加仍为南纬北则减亦为南若太阴距二分弧与黄道交角大于黄赤交角则反减即为在赤道北食甚太阴黄道经度在春分后秋分前者黄道在赤道北纬北则加仍为北纬南则减亦为北若太阴距二分弧与黄道交角大于黄赤交角则反减即为在赤道南求太阴距二分弧之正切线以太阴距二分弧与黄道交角之余弦为一率半径一千万为二率食甚太阴距春秋分黄道经度之正切线为三率求得四率为太阴距二分弧之正切线(此正弧三角形)(有交角有赤道求黄道之法)求食甚太阴赤道经度以半径一千万为一率太阴距二分弧与赤道交角之余弦为二率太阴距二分弧之正切线为三率求得四率为太阴距春秋分赤道度之正切线检表得太阴距春秋分赤道经度自冬至初宫起算得食甚太阴赤道经度(察食甚太阴黄道经度不及三宫者则以距春秋分赤道经度与三宫相减过三宫者则加三宫过)(六宫者则与九宫相减过九宫者则加九宫即得自冬至初宫起算赤道经度)求食甚太阴赤道宿度察食甚太阴赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴赤道宿度求食甚太阴赤道纬度以半径一千万为一率太阴距二分弧与赤道交角之正切线为二率食甚太阴距春秋分赤道经度之正弦为三率求得四率为距纬之正切线检表得食甚太阴赤道纬度推月食方位第八求影距赤道度以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之正弦为二率影距春秋分黄道经度(即太阳距春秋分黄道经度但)(差六宫春分为秋分秋分为春分耳)之正弦为三率求得四率为影距赤道度之正弦检表得影距赤道度太阳在春分后秋分前影在赤道南太阳在秋分后春分前影在赤道北(地影)(与太阳对冲故南北相反不另求食甚太阳黄道经度者以食与实望相去为时不逺太阳所行无多故即用)(实望太阳黄道经度也)求黄道赤经交角(即黄道交极圜角)以影距春秋分黄道经度之余弦为一率黄赤大距二十三度二十九分之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄道赤经交角之正切线检表得黄道赤经交角求影距北极置九十度加减影距赤道度(影在赤道南则加赤道北则减)得影距北极求初亏复圆影距正午赤道度以初亏复圆各距子正之时刻变赤道度(子正后者则初亏复圆时)(刻即为距子正后之时刻子正前者则以初亏复圆时刻与二十四时相减余为距子正前之时刻一时变为)(十五度一分变为十五分一秒变为十五秒)得初亏复圆影距正午各赤道度初亏复圆时刻在子正前者影在正午东在子正后者影在正午西求初亏复圆赤经髙弧交角以北极距天顶为一边(北极髙度与九十度相减余即北极距天顶)影距北极为一边初亏复圆影距正午各赤道度为所夹之角用斜弧三角形法自天顶作垂弧至赤道经圏即成两正弧三角形先以半径一千万为一率影距正午各赤道度之余弦为二率北极距天顶之正切线为三率求得四率为距极分边之正切线检表得距极分边以距极分边与影距北极相加减为距影分边(影距正午赤道度不及九)(十度者作垂弧于形内则相减过九十度者作垂弧于形外则相加)次以半径一千万为一率影距正午各赤道度之正切线为二率距极分边之正弦为三率求得四率为垂弧之正切线又以距影分边之正弦为一率垂弧之正切线为二率半径一千万为三率求得四率为赤经髙弧交角之正切线检表得初亏复圆赤经髙弧各交角(若子正初刻影在正午无影距正午赤道度则)(赤经与髙弧合无交角若影距正午赤道度为九十度则北极距天顶即为垂弧用正弧三角形法以影距北)(极之正弦为一率北极距天顶之正切线为二率半径一千万为三率求得四率为赤经髙弧交角之正切线)(检表得赤经髙弧交角若影距正午赤道度为九十度影距北极亦九十度则北极距天顶度即赤经髙弧交)(角度图见求黄道髙弧交角篇月食方位皆以京师北极出地四十度黄平象限在天顶南而定若北极出地)(二十三度以下黄平象限有时在天顶北则赤经髙弧交角有时成直角或成钝角见日食法)求初亏复圆黄道髙弧交角置黄道赤经交角加减初亏复圆赤经髙弧交角得初亏复圆黄道髙弧交角太阴在夏至前六宫(初一二三四五宫也)影在午西则减亦为限西影在午东则加加过九十度与半周相减亦为限东若相加不及九十度则不与半周相减变为限西太阴在夏至后六宫(六七八九十十一宫也)影在午东则减亦为限东影在午西则加加过九十度与半周相减亦为限西若相加不及九十度则不与半周相减变为限东(若影在正午无赤经髙弧交角则黄道赤经交角即黄道髙弧交角太阴在夏)(至前六宫为限西在夏至后六宫为限东)求并径交实纬角以并径化秒为一率食甚实纬化秒为二率半径一千万为三率求得四率为并径交实纬角之余弦检表得并径交实纬角(如无食甚实纬则无并径交实纬角亦无纬差角)求初亏黄道交实纬角置九十度加减斜距黄道交角得初亏黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加求初亏并径黄道交角(即初亏纬差角)以初亏黄道交实纬角与并径交实纬角相减得初亏并径黄道交角凡并径交实纬角小于初亏黄道交实纬角则初亏距纬之南北与食甚同大于初亏黄道交实纬角则食甚为纬北者初亏为纬南食甚为纬南者初亏为纬北若两角相等则并径与黄道合无交角求复圆黄道交实纬角置九十度加减斜距黄道交角得复圆黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为加五宫十一宫为减求复圆并径黄道交角(即复圆纬差角)以复圆黄道交实纬角与并径交实纬角相减得复圆并径黄道交角凡并径交实纬角小于复圆黄道交实纬角则复圆距纬之南北与食甚同大于复圆黄道交实纬角则食甚为纬北者复圆为纬南食甚为纬南者复圆为纬北如两角相等则并径与黄道合无交角求初亏并径髙弧交角(即初亏定交角)置初亏黄道髙弧交角加减初亏并径黄道交角得初亏并径髙弧交角初亏在限东者纬南则加纬北则减初亏在限西者纬南则减纬北则加如无初亏并径黄道交角则初亏黄道髙弧交角即初亏并径髙弧交角求复圆并径髙弧交角(即复圆定交角)置复圆黄道髙弧交角加减复圆并径黄道交角得复圆并径髙弧交角复圆在限东者纬南则减纬北则加复圆在限西者纬南则加纬北则减如无复圆并径黄道交角则复圆黄道髙弧交角即复圆并径髙弧交角求初亏方位初亏在限东者初亏并径髙弧交角初度为正下四十五度以内为下偏左四十五度以外为左偏下九十度为正左过九十度为左偏上初亏在限西者初亏并径髙弧交角初度为正上四十五度以内为上偏左四十五度以外为左偏上九十度亦为正左过九十度为左偏下并径黄道交角大反减黄道髙弧交角者则左变为右求复圆方位复圆在限东者复圆并径髙弧交角初度为正上四十五度以内为上偏右四十五度以外为右偏上九十度为正右过九十度为右偏下复圆在限西者复圆并径髙弧交角初度为正下四十五度以内为下偏右四十五度以外为右偏下九十度亦为正右过九十度为右偏上并径黄道交角大反减黄道髙弧交角者则右变为左(京师北极出地四十度故月食方位皆以黄平象限在天顶南而定若北极出地二十三度以下黄)(平象限有时在天顶北则初亏复圆方位之左右与此相反并径黄道交角之加减亦相反)求食限总时以初亏复圆距时倍之得食限总时用表推月食法推入交及实望实时求首朔太阴交周用交食首朔诸根表察本年太阴交周宫度分秒(三十微进)(一秒下倣此)得首朔太阴交周求逐月望太阴交周用交食朔望策表察正月太阴交周望策宫度分秒与首朔太阴交周相加得正月朢太阴交周以下递加交周朔策一宫零四十分一十四秒得逐月望太阴交周求入交月数逐月朢太阴交周自初宫初度至初宫一十五度九分自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度皆为太阴入交第几月入交即第几月有食求首朔根及纪日用交食首朔诸根表察本年首朔日时分秒得首朔根察本年纪日得纪日求望策用交食朔望策表察本月望策日时分秒得望策求平望以首朔根与望策相加所得日数即平望距天正冬至之日数再加纪日满纪法六十去之自初日甲子起算得平望干支其时分秒即平望时分秒求实望泛时以平望距冬至之日数用推日躔月离法各求其子正黄道实行将太阳黄道实行加减六宫与太阴黄道实行相较如太阴实行未及太阳则平望日为实望本日平望次日为实望次日如太阴实行已过太阳则平望前一日为实望本日平望日为实望次日又用推日躔月离法各求其本日或次日子正黄道实行乃以本日次日两太阳实行相减为一日之日实行本日次日两太阴实行相减为一日之月实行一日之二实行相减为一日之月距日实行化秒为一率周日一千四百四十分为二率本日太阳实行加减六宫内减本日太阴实行余化秒为三率求得四率为距本日子正后之分数以时收之得实望泛时(如次日太阴实行仍未及太阳则次日为实望日即以次)(日太阳实行加减六宫内减次日太隂实行余为三率所得四率为距次日子正后之分数如本日太阴实行)(已过太阳则前一日为实望日即以本日太阳实行加减六宫转于本日太隂实行内减之余为三率所得四)(率为距本日子正前之分数与一千四百四十分相减余为距前一日子正后之分数)求实望实时以实望泛时之时刻设前后两时(如实望泛时为丑正二刻则以丑正初刻)(为前时寅初初刻为后时)用推日躔月离法各求其黄道实行乃以前后两时太阳实行相减为一小时之日实行以前后两时太阴实行相减为一小时之月实行一小时两实行相减为一小时月距日实行化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率前时太阳实行加减六宫内减前时太阴实行余化秒为三率求得四率为秒以分收之加于前时得实望实时再以实望实时各推日躔月离为后诸求之用实望时月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算推实望用时第一求均数时差用日躔均数时差表以实望太阳引数宫度察其所对之分秒得均数时差引数有零分者按中比例法求之并记加减号求升度时差用日躔升度时差表以实望太阳黄道宫度察其所对之分秒得升度时差黄道度有零分者按中比例法求之并记加减号求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实望用时置实望实时加减时差总得实望用时距日出后日入前九刻以内者可以见食九刻以外者则全在昼即不必算推食甚实纬食甚时刻第二求日实行以前后两时日躔黄道实行相减得日实行求月实行以前后两时月离白道实行相减得月实行求实行总以日实行与月实行相加得实行总求实行较以日实行与月实行相减得实行较求半外角以实望黄白大距与半周相减余数折半得半外角求半较角以实行较之对数与半外角正切线之对数相加内减实行总之对数余为半较角正切线之对数检八线对数表得半较角(切线分外角法以两边总为一率两边较为二率半外角切线为三率半较角)(切线为四率对数以加代乘以减代除故以实行较之对数与半外角切线之对数相加即以二率与三率乘)(也减实行总之对数即以一率除也○凡察对数表真数有奇零或对数有多少者俱用中比例法求之○凡)(弧线作直线算者度分皆化秒察之○凡以对数察真数者首位加一数察之则真数多一位为单位下之小)(余过五则进一数用○凡对数止用八位切线过半径者则用九位后俱倣此)求斜距交角差以半较角与半外角相减得斜距交角差求斜距黄道交角置实望黄白大距加斜距交角差得斜距黄道交角求两经斜距以日实行之对数与实望黄白大距正弦之对数相加内减斜距交角差之正弦对数余为两经斜距之对数检对数表得真数为秒以分收之得两经斜距求斜距对数较置一小时三千六百秒之对数内减两经斜距之对数余为斜距对数较(斜距对数较者一率与二率两对数相减之数如有距弧求距时以斜距)(为一率一小时为二率当加一小时之对数减斜距之对数今对数较已先减斜距之对数则但加对数较而)(已得也如有距时求距弧以一小时为一率斜距为二率当加斜距之对数减一小时之对数今对数较已减)(斜距之对数则但减对数较而已得也故用对数较)求食甚实纬以斜距黄道交角之余弦对数与实望太阴实纬之对数相加减半径之对数(即减首位所进之一)余为食甚实纬之对数检对数表得真数为秒以分收之得食甚实纬记南北号(与实望黄道实纬同)求食甚距弧以斜距黄道交角之正弦对数与实望太阴实纬之对数相加减半径之对数余为食甚距弧之对数检对数表得真数为秒以分收之得食甚距弧求食甚距时以食甚距弧之对数与斜距对数较相加为食甚距时之对数检对数表得真数为秒以分收之得食甚距时月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加求食甚时刻置实望用时加减食甚距时得食甚时刻自初时起子正一时为丑初以次顺数至二十三时为夜子初毎十五分为一刻不足一刻者为零分推食分第三求太阳实引置实望太阳平引加减本时太阳均数得太阳实引求太阴实引置实望太阴平引加减本时太阴初均数得太阴实引求太阴地半径差用交食地半径差表以太阴实引宫度(实引三十分以上则进一度不)(足三十分者去之)及本天心距地数(见月离)察其所对之分秒得太阴地半径差如距地心有逺近者按中比例法求之(见本表)求太阳视半径用交食太阳视径表以太阳实引宫度(实引三十分以上则进一度不)(足三十分者去之)察其所对之分秒得太阳视半径求影半径置太阴地半径差加太阳地半径差一十秒减太阳视半径得影半径求影差太阴地半径差化秒以六十九除之得影差求实影半径置影半径加影差得实影半径求太阴视半径用交食太阴视径表以太阴实引宫度(实引三十分以上则进一度不)(足三十分者去之)及本天心距地数察其所对之分秒得太阴视半径如距地心有逺近者按中比例法求之求并径以太阴视半径与实影半径相加得并径求两径较以太阴视半径与实影半径相减得两径较求食分并径内减食甚实纬余化秒察其对数与六百秒之对数相加内减太阴全径化秒之对数余为食分之对数检对数表得真数为秋以分收之得食分(若食甚实纬大于并径则)(不食即不必算)推初亏复圆时刻第四求勾弦和以并径与食甚实纬相加化秒得勾弦和求勾弦较以并径与食甚实纬相减化秒得勾弦较求初亏复圆距弧以勾弦和之对数与勾弦较之对数相加折半得初亏复圆距弧之对数检对数表得真数为秒以分收之得初亏复圆距弧(此即勾弦和较求股法对数以加代乘以折半代开方故也)求初亏复圆距时以初亏复圆距弧之对数与斜距对数较相加为初亏复圆距时之对数检对数表得真数为秒以时分收之得初亏复圆距时求初亏时刻置食甚时刻减初亏复圆距时得初亏时刻不足减者加二十四时减之初亏即在前一日命时之法与食甚同求复圆时刻置食甚时刻加初亏复圆距时得复圆时刻加满二十四时去之复圆即在次日命时之法与食甚同推食既生光时刻第五(食甚实纬大于两径较则月食在十分以内无食既生光)求勾弦和以两径较与食甚实纬相加化秒得勾弦和求勾弦较以两径较与食甚实纬相减化秒得勾弦较求食既生光距弧以勾弦和之对数与勾弦较之对数相加折半得食既生光距弧之对数检对数表得真数为秒以分收之得食既生光距弧求食既生光距时以食既生光距弧之对数与斜距对数较相加为食既生光距时之对数检对数表得真数为秒以时分收之得食既生光距时求食既时刻置食甚时刻减食既生光距时得食既时刻不足减者加二十四时减之食既即在前一日命时之法与食甚同求生光时刻置食甚时刻加食既生光距时得生光时刻加满二十四时去之生光即在次日命时之法与食甚同推食甚太阴黄道经纬宿度第六求距时月实行以月实行之对数与食甚距时之对数相加内减三千六百秒之对数余为距时月实行之对数检对数表得真数为秒以分收之得距时月实行并记加减号(与食甚距)(时同)求食甚太阴白道经度置实望太阴白道实行加减距时月实行得食甚太阴白道经度求食甚月距正交置实望月距正交加减距时月实行得食甚月距正交求黄白升度差以实望黄白大距余弦之对数与食甚月距正交(月距正交)(过五宫者与六宫相减过六宫者减去六宫过十一宫者与十二宫相减)正切线之对数相加内减半径之对数余为黄道正切线之对数检八线对数表得黄道度与食甚月距正交相减余为黄白升度差并记加减号(与食甚距时同)求食甚太阴黄道经度置食甚太阴白道经度加减黄白升度差得食甚太阴黄道经度求食甚太阴黄道宿度察食甚太阴黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴黄道宿度求食甚太阴黄道纬度以实望黄白大距之正弦对数与食甚月距正交之正弦对数相加内减半径之对数余为距纬正弦之对数检八线对数表得食甚太阴黄道纬度并记南北号(与食)(甚实纬同)推食甚太阴赤道经纬宿度第七求太阴距二分弧与黄道交角以太阴距春秋分黄道经度之正弦对数(食甚太隂黄道经度不及)(三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫者与九宫相减过九宫者减九宫得太阴距春秋分黄道经度)与食甚太阴黄道纬度余切线之对数相加内减半径之对数余为交角余切线之对数检八线对数表得太阴距二分弧与黄道交角求太阴距二分弧与赤道交角置黄赤交角二十三度二十九分加减太阴距二分弧与黄道交角得太阴距二分弧与赤道交角太阴黄道经度在秋分后春分前者黄道在赤道南纬南则加仍为南纬北则减亦为南若太阴距二分弧与黄道交角大于黄赤交角则反减即为在赤道北食甚太阴黄道经度在春分后秋分前者黄道在赤道北纬北则加仍为北纬南则减亦为北若太阴距二分弧与黄道交角大于黄赤交角则反减即为在赤道南求食甚太阴赤道经度以食甚太阴距春秋分黄道经度正切线之对数与太阴距二分弧与赤道交角余弦之对数相加内减太阴距二分弧与黄道交角余弦之对数余为太阴距春秋分赤道度正切线之对数检八线对数表得太阴距春秋分赤道度(此合两比例为一比例也按前法以太阴距二分弧与黄道交角之余弦为一率半)(径一千万为二率食甚太阴距春秋分黄道经度之正切线为三率太阴距二分弧之正切线为四率又以半)(径一千万为一率太隂距二分弧与赤道交角之余弦为二率太阴距二分弧之正切线为三率太隂距春秋)(分赤道度之正切线为四率是当以食甚太阴距春秋分黄道经度正切线之对数与半径之对数相加内减)(太阴距二分弧与黄道交角余弦之对数得太隂距二分弧正切线之对数又与太隂距二分弧与赤道交角)(余弦之对数相加内减半径之对数而得太隂距春秋分赤道度正切线之对数今第一比例不加半径之对)(数第二比例亦不减半径之对数故省一四率也)自冬至初宫起算得食甚太阴赤道经度(察食甚太阴黄道经度不及三宫者则以距春秋分赤道度与三宫相减过三宫者)(则加三宫过六宫者则与九宫相减过九宫者则加九宫即得自冬至初宫起算赤道经度)求食甚太阴赤道宿度察食甚太阴赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阴赤道宿度求食甚太阴赤道纬度以太阴距二分弧与赤道交角正切线之对数与食甚太阴距春秋分赤道经度正弦之对数相加内减半径之对数余为距纬正切线之对数检八线对数表得食甚太阴赤道纬度并记南北号(与太阴距二分弧与赤道交角同)推月食方位第八求影距赤道度以黄赤大距二十三度二十九分正弦之对数与太阳距春秋分黄道经度(实望太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过)(六宫者与九宫相减过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)正弦之对数相加内减半径之对数余为影距赤道度正弦之对数减八线对数表得影距赤道度并记南北号(太阳在春分后秋分前影在赤道南)(太阳在秋分后春分前影在赤道北)求黄道赤经交角用交食黄道赤经交角表以太阳距春秋分黄道宫度察其所对之度分秒得黄道赤经交角黄道有零分者按中比例法求之(若求黄赤二经交角则以所得黄道赤经交角与九十度相减余即所求)(黄赤二经交角)求影距北极置九十度加减影距赤道度(地影纬南则加纬北则减)得影距北极求北极距天顶置九十度减本省北极出地度得北极距天顶求初亏影距正午赤道度以初亏距子正之时刻变赤道度(子正后者即用初亏时刻子正前者与二)(十四时相减用其余一时变为十五度一分变为十五分一秒变为十五秒复圆倣此)得初亏影距正午赤道度子正前影在午东子正后影在午西求初亏距极分边以初亏影距正午赤道度余弦之对数与北极距天顶正切线之对数相加内减半径之对数余为距极分边正切线之对数检八线对数表得初亏距极分边求初亏距影分边置影距北极加减初亏距极分边得初亏距影分边初亏影距正午赤道度九十度以内为减九十度以外为加求初亏赤经髙弧交角以初亏影距正午赤道度正切线之对数与初亏距极分边正弦之对数相加内减初亏距影分边正弦之对数余为初亏赤经髙弧交角正切线之对数检八线对数表得初亏赤经髙弧交角(此合两比例为一比例余同前)求初亏黄道髙弧交角置黄道赤经交角加减初亏赤经髙弧交角得初亏黄道髙弧交角太阴在前六宫影在午西则减亦为限西影在午东则加加过九十度与半周相减亦为限东太阴在后六宫影在午东则减亦为限东影在午西则加加过九十度与半周相减亦为限西若加不及九十度则不与半周相减午东为限西午西为限东(无赤经髙弧交角则)(黄道赤经交角即黄道髙弧交角前六宫为限西后六宫为限东复圆同)求复圆影距正午赤道度以复圆距子正之时刻变赤道度得复圆影距正午赤道度子正前影在午东子正后影在午西求复圆距极分边以复圆影距正午赤道度余弦之对数与北极距天顶正切线之对数相加内减半径之对数余为距极分边正切线之对数检八线对数表得复圆距极分边求复圆距影分边置影距北极加减复圆距极分边得复圆距影分边复圆影距正午赤道度九十度以内为减九十度以外为加求复圆赤经髙弧交角以复圆影距正午赤道度正切线之对数与复圆距极分边正弦之对数相加内减复圆距影分边正弦之对数余为复圆赤经髙弧交角正切线之对数检八线对数表得复圆赤经髙弧交角求复圆黄道髙弧交角置黄道赤经交角加减复圆赤经髙弧交角得复圆黄道髙弧交角太阴在前六宫影在午西则减亦为限西影在午东则加加过九十度与半周相减亦为限东太阴在后六宫影在午东则减亦为限东影在午西则加加过九十度与半周相减亦为限西若加不及九十度则不与半周相减午东为限西午西为限东求并径交实纬角以食甚实纬化秒之对数与半径之对数相加内减并径化秒之对数余为交角余弦之对数检八线对数表得并径交实纬角(如无食甚实纬则无交角亦无纬差角)求初亏黄道交实纬角(以下并与前法同)置九十度加减斜距黄道交角得初亏黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加求初亏并径黄道交角(即初亏纬差角)以初亏黄道交实纬角与并径交实纬角相减得初亏并径黄道交角并记南北号凡并径交实纬角小于初亏黄道交实纬角则南北与食甚实纬同号大于初亏黄道交实纬角则南北与食甚实纬异号若两角相等则并径与黄道合无交角求复圆黄道交实纬角置九十度加减斜距黄道交角得复圆黄道交实纬角食甚月距正交初宫六宫为加五宫十一宫为减求复圆并径黄道交角(即复圆纬差角)以复圆黄道交实纬角与并径交实纬角相减得复圆并径黄道交角并记南北号凡并径交实纬角小于复圆黄道交实纬角则南北与食甚实纬同号大于复圆黄道交实纬角则南北与食甚实纬异号若两角相等则并径与黄道合无交角求初亏并径髙弧交角(即初亏定交角)置初亏黄道髙弧交角加减初亏并径黄道交角得初亏并径髙弧交角初亏在限东南加北减初亏在限西南减北加如无初亏并径黄道交角则初亏黄道髙弧交角即初亏并径髙弧交角求复圆并径髙弧交角(即复圆定交角)置复圆黄道髙弧交角加减复圆并径黄道交角得复圆并径髙弧交角复圆在限东南减北加复圆在限西南加北减如无复圆并径黄道交角则复圆黄道髙弧交角即复圆并径髙弧交角求初亏方位初亏在限东者初亏并径髙弧交角初度为正下四十五度以内为下偏左四十五度以外为左偏下九十度为正左过九十度为左偏上初亏在限西者初亏并径髙弧交角初度为正上四十五度以内为上偏左四十五度以外为左偏上九十度亦为正左过九十度为左偏下并径黄道交角大反减黄道髙弧交角则左变为右求复圆方位复圆在限东者复圆并径髙弧交角初度为正上四十五度以内为上偏右四十五度以外为右偏上九十度为正右过九十度为右偏下复圆在限西者复圆并径髙弧交角初度为正下四十五度以内为下偏右四十五度以外为右偏下九十度亦为正右过九十度为右偏上并径黄道交角大反减黄道髙弧交角则右变为左(求月食方位以黄平象限在天顶南而定若北极出地二十三度以下黄平象限有时在天顶北则初亏)(复圆方位之左右与此相反并径黄边交角之加减亦相反)求食限总时以初亏复圆距时倍之得食限总时推各省月食法求各省月食时刻置京师月食时刻按各省东西偏度所变之时分加减之得各省月食时刻(盛京加二十九分浙江加一十四分四十六秒福建加一十一分五)(十六秒江南加九分一十二秒山东加九分江西减二分二十八秒河南减七分四十四秒湖广减九分零八)(秒广东减一十四分一十三秒山西减一十五分五十一秒广西减二十四分五十九秒陜西减三十分一十)(五秒贵州减三十九分三十一秒四川减四十九分零四秒云南减五十四分二十八秒朝鲜加四十二分解)(见上编日躔节气时刻篇偏度见下编日躔推各省节气时刻法)求各省月食方位以各省北极髙度及各省初亏复圆时刻依京师推月食方位法算之(黄平象限在天顶北者并径黄道交角之加减相反初亏复圆方位之左右亦)(相反)得各省月食方位推月食带食法求日出入卯酉前后赤道度以半径一千万为一率本省北极髙度之正切线为二率本时黄赤距纬(即食甚影距赤道度)之正切线为三率求得四率为夘酉前后赤道度之正弦检表得卯酉前后赤道度求日出入时分以卯酉前后赤道度变时(一度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒)春分后秋分前以减卯正加酉正得日出入时分秋分后春分前以加卯正减酉正得日出入时分(见上编日躔昼夜永短篇)求带食距时以日出或日入时分与食甚时分相减得带食距时求带食距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率带食距时化秒为三率求得四率为秒以分收之得带食距弧(食甚两心相距与斜距成直角带食两心相距亦与斜距成勾股故)(用斜距为比例初亏复圆以距弧求距时此以距时求距弧其理一也)求带食两心相距以半径一千万为一率带食距弧之余弦为二率食甚实纬之余弦为三率求得四率为带食两心相距之余弦检表得带食两心相距(用勾股求弦法算之所得亦同)求带食分秒以太阴视半径倍之得太阴全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减带食两心相距余化秒为三率求得四率为秒以分收之得带食分秒求带食赤经髙弧交角以影距赤道度之余弦为一率(即影距北极之正弦)北极髙度之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为赤经髙弧交角之余弦检表得带食赤经髙弧交角带出地平为东带入地平为西(带食时太阴必在地平北极至卯酉之经圈必九十度卯酉经圈与)(地平相交之角即北极出地度而影距北极经圈与地平相交之角即赤经髙弧交角之余故用对边对角法)(算或以髙弧九十度之正弦一千万为一率影距正午赤道度之正弦为二率北极距天顶之正弦为三率则)(得四率为赤经髙弧交角之正弦亦系对边对角之法若初亏复圆正当日出入时刻太阴正当地平则初亏)(复圆赤经髙弧交角亦可用此法求之)求带食黄道髙弧交角置黄道赤经交角加减带食赤经髙弧交角得带食黄道髙弧交角太阴在夏至前六宫影在午西则减午东则加(加过九十度者与半周相减用其余)太阴在夏至后六宫影在午西则加(加过九十度者与半周相减用其余)午东则减(若黄道赤经交角不足减赤经髙弧交角)(则反减或加过一百八十度则减去一百八十度用其余黄平象限即在天顶北若黄道赤经交角与赤经髙)(弧交角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则黄道在天顶与髙弧合无交角)求带食两心相距交实纬角以带食两心相距化秒为一率食甚实纬化秒为二率半径一千万为三率求得四率为交角之余弦检表得带食两心相距交实纬角(与初亏复圆并径交实纬角之理同)求带食两心相距与黄道交角(即纬差角)以初亏或复圆黄道交实纬角(带食在食甚前用初亏黄道交实纬角在食甚)(后用复圆黄道交实纬角)与带食两心相距交实纬角相减得带食两心相距与黄道交角带食两心相距交实纬角小于黄道交实纬角则带食距纬之南北与食甚同大于黄道交实纬角则食甚为纬北者带食为纬南食甚为纬南者带食为纬北若两角相等则两心相距与黄道合无交角(与初亏复圆并径黄道交角之理同)求带食两心相距与髙弧交角(即定交角)置带食黄道髙弧交角加减带食两心相距与黄道交角得带食两心相距与髙弧交角食甚前带出地平食甚后带入地平者纬南则加纬北则减食甚后带出地平食甚前带入地平者纬南则减纬北则加如带食两心相距与黄道无交角则带食黄道髙弧交角即带食两心相距与髙弧交角(黄平象限在天顶北者加减相反)求带食方位食甚前与初亏同食甚后与复圆同(黄平象限在天顶北者左右相反)用表推月食带食法求日出入卯酉前后赤道度以本省北极髙度正切线之对数与本时黄赤距纬(即食)(甚影距赤道度)正切线之对数相加内减半径之对数余为卯酉前后赤道度正弦之对数检八线对数表得卯酉前后赤道度求日出入时分以卯酉前后赤道度变时(一度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒)春分后秋分前以减卯正加酉正得日出入时分秋分后春分前以加卯正减酉正得日出入时分求带食距时以日出或日入时分与食甚时分相减得带食距时求带食距弧置带食距时化秒之对数减斜距对数较余为带食距弧之对数检对数表得真数为秒以分收之得带食距弧求带食两心相距以带食距弧余弦之对数与食甚实纬余弦之对数相加内减半径之对数余为带食两心相距余弦之对数检八线对数表得带食两心相距求带食分秒并径内减带食两心相距余化秒察其对数与六百秒之对数相加内减太阴全径化秒之对数检对数表得真数为秒以分收之得带食分秒求带食赤经髙弧交角以北极髙度正弦之对数与半径之对数相加内减影距赤道余弦之对数余为交角余弦之对数检八线对数表得带食赤经髙弧交角带出地平为东带入地平为西求带食黄道髙弧交角置黄道赤经交角加减带食赤经髙弧交角得带食黄道髙弧交角太阴在前六宫东加西减太阴在后六宫东减西加凡加过九十度者与半周相减用其余(若黄道赤)(经交角不足减赤经髙弧交角则反减或加过一百八十度则减去一百八十度用其余黄平象限即在天顶)(北若黄道赤经交角与赤经髙弧交角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则黄道在天顶与髙弧合)(无交角)求带食两心相距交实纬角以食甚实纬化秒之对数与半径之对数相加内减带食两心相距化秒之对数余为交角余弦之对数检八线对数表得带食两心相距交实纬角求带食两心相距与黄道交角以初亏或复圆黄道交实纬角(带食在食甚前用初亏黄道交实纬角在食甚)(后用复圆黄道交实纬角)与带食两心相距交实纬角相减得带食两心相距与黄道交角并记南北号带食两心相距交实纬角小于黄道交实纬角则南北与食甚实纬同号大于黄道交实纬角则南北与食甚实纬异号若两角相等则两心相距与黄道合无交角求带食两心相距与髙弧交角置带食黄道髙弧交角加减带食两心相距与黄道交角得带食两心相距与髙弧交角食甚前带出地平食甚后带入地平者南加北减食甚后带出地平食甚前带入地平者南减北加如带食两心相距与黄道无交角则带食黄道髙弧交角即带食两心相距与髙弧交角(黄平象限在天顶北者加减相反)求带食方位食甚前与初亏同食甚后与复圆同(黄平象限在天顶北者左右相反)右月食法惟食甚两心实相距与斜距成直角与旧法不同他若推平望之用日躔月离推方位之用黄道赤经交角及两心相距与黄道交角则其理相同特用法有殊耳余惟数目小异至用表推算之法则惟首朔根朔望策时差地半径差日月视径黄道赤经交角列有本表余俱用对数表以加减代乘除以折半代开方甚为简便学者熟此可以实收对数之功而尤贵明比例之理不可务末而忘其本也御制厯象考成后编卷五
## 卷六
钦定四库全书御制厯象考成后编卷六日食歩法推日食用数推日食法推各省日食法推日食带食法日食诸角加减图推日食用数雍正元年癸夘天正冬至为元周天三百六十度(入算化作一百二十九万六千秒)周日一万分周歳三百六十五日二四二三三四四二纪法六十朔策二十几日五三○五九○五三太隂交周朔策一十一万零四百一十三秒小余九二四四一三三四中距太隂地半径差五十七分三十秒太阳地半径差一十秒中距太阳距地心一千万中距太阴距地心一千万中距太阳视半径一十六分六秒中距太隂视半径一十五分四十秒三十微太阳光分一十五秒黄赤大距二十三度二十九分气应三十二日一二二五四朔应一十五日一二六三三首朔太隂交周应六宫二十三度三十六分上十二秒四十九微推日食法推首朔及入交及实朔实时(理与月食同)求积年自雍正元年癸夘距所求之年共若干年减一年得积年求中积分以积年与周歳三百六十五日二四二三三四四二相乘得中积分求通积分置中积分加气应三十二日一二二五四得通积分上考徃古则置中积分减气应得通积分求天正冬至置通积分其日满纪法六十去之余为天正冬至日分上考徃古则以所余转与纪法六十相减余为天正冬至日分求纪日以天正冬至日数加一日得纪日求积日置中积分加气应分一二二五四(不用日)减本年天正冬至分(亦不用日)得积日上考徃古则置中积分减气应分加本年天正冬至分得积日求通朔置积日减朔应一十五日一二六三三得通朔上考徃古则置积日加朔应得通朔求积朔及首朔置通朔以朔策二十九日五三○五九○五三除之得数加一为积朔余数与朔策相减为首朔上考徃古则置通朔以朔䇿除之得数为积朔余数为首朔求首朔太隂交周以积朔与太隂交周朔䇿一十一万零四百一十三秒九二四四一三三四相乘满周天一百二十九万六千秒去之余数为秒以宫度分収之为积朔太隂交周加首朔太隂交周应六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微得首朔太隂交周上考徃古则置首朔太隂交周应减积朔太隂交周(不及减者加十二宫减之)得首朔太隂交周求逐月朔太隂交周置本年首朔太隂交周以太隂交周朔䇿一宫零四十分一十三秒五十五微逓加十三次得逐月朔太隂交周求太隂入交月数逐月朔太隂交周自初宫初度至初宫二十一度一十八分自五宫八度四十二分至六宫九度一十四分自十一宫二十度四十六分至十一宫三十度皆为太隂入交第几月入交即第几月有食(太阳最大视半径一十六分二十二秒三十微)(太隂最大视半径一十六分四十八秒相并得三十三分一十秒三十微以此数当距纬用最小黄白交角四)(度五十九分三十五秒求得距交白道经度六度二十二分为黄道南实朔可食之限又以最大太阳太隂两)(半径相并之数与最大高下差一度一分二十七秒相加得一度三十四分三十七秒三十微以此数当距纬)(用最小黄白交角求得距交白道经度一十八度二十六分为黄道北实朔可食之限各加实朔距平朔之行)(度二度五十二分黄道南得九度一十四分黄道北得二十一度一十八分为平朔可食之限图觧见上编太)(阳食限篇)求平朔以太隂入交月数与朔䇿二十九日五三○五九○五三相乘得数与本年首朔日分相加其所得日数即平朔距冬至之日数再加纪日满纪法六十去之自初日甲子起算得平朔干支以周日一千四百四十分通其小余得平朔时分秒求实朔泛时以平朔距冬至之日数用推日躔月离法各求其子正黄道实行如太隂实行未及太阳则平朔日为实朔本日平朔次日为实朔次日如太阴实行已过太阳则平朔前一日为实朔本日平朔日为实朔次日又用推日躔月离法各求其本日或次日子正黄道实行乃以本日次日两太阳实行相减为一日之日实行本日次日两太隂实行相减为一日之月实行一日之二实行相减为一日之月距日实行化秒为一率周日一千四百四十分为二率本日太阳实行内减本日太隂实行余化秒为三率求得四率为距本日子正后之分数以时收之得实朔泛时(如次日太隂实行仍未及太阳则次日为实朔日即于次日太阳实行内)(减次日太隂实行余为三率所得四率为距次日子正后之分数如本日太隂实行已过太阳则前一日为实)(朔日即以本日太阳实行转于本日太隂实行内减之余为三率所得四率为距本日子正前之分数与一)(千四百四十分相减余为距前一日子正后之分数)求实朔实时以实朔泛时之时刻设前后两时用推日躔月离法各求其黄道实行乃以前后两时太阳实行相减为一小时之日实行以前后两时太隂实行相减为一小时之月实行一小时两实行相减为一小时月距日实行化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率前时太阳实行内减前时太隂实行余化秒为三率求得四率为秒以分収之加于前时得实朔实时再以实朔实时用推日躔月离法各求其黄道实行则太隂太阳必同宫同度乃视本时月距正交自初宫初度至初宫一十八度二十六分自五宫一十一度三十四分至六宫六度二十二分自十一宫二十三度三十八分至十一宫三十度皆入食限为有食不入此限者不食即不必算推实朔用时第一(理与月食同)求均数时差以实朔太阳均数变时得均数时差(一度变为四分十五分变为一分十)(五秒变为一秒)均数加者则为减均数减者则为加求升度时差以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之余弦为二率实朔太阳距春秋分黄道经度之正切线为三率(实朔太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫者与九宫相减)(过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)求得四率为距春秋分赤道经度之正切线检表得太阳距春秋分赤道经度与太阳距春秋分黄道经相减余为升度差变时得升度时差二分后为加二至后为减求时差总均数时差与升度时差同为加者则相加为时差总仍为加同为减者亦相加为时差总仍为减一为加一为减者则相减为时差总加数大为加减数大为减求实朔用时置实朔实时加减时差总得实朔用时距日出前日入后五刻以内者可以见食五刻以外者则全在夜即不必算推食甚实纬及食甚用时第二求斜距交角差以一小时太隂白道实行化秒为一邉(本时次时二月离白道实行相)(减得一小时太隂白道实行太阳倣此)一小时太阳黄道实行化秒为一邉实朔黄白大距为所夹之角用切线分外角法求得对小邉之角为斜距交角差求斜距黄道交角置实朔黄白大距加斜距交角差得斜距黄道交角求两经斜距(即一小时两经斜距)以斜距交角差之正弦为一率一小时太阳实行化秒为二率实朔黄白大距之正弦为三率求得四率为秒以分収之得两经斜距求食甚实纬(即食甚用时两心实相距)以半径一千万为一率斜距黄道交角之余弦为二率实朔月离黄道实纬化秒为三率求得四率为秒以分収之得食甚实纬南北与实朔黄道实纬同求食甚距弧以半径一千万为一率斜距黄道交角之正弦为二率实朔月离黄道实纬化秒为三率求得四率为秒以分収之得食甚距弧求食甚距时以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率食甚距弧化秒为三率求得四率为秒以分収之得食甚距时月距正交初宫六宫为减五宫十一宫为加求食甚用时置实朔用时加减食甚距时得食甚用时推地平高下差及日月视径第三(下编推食甚用时之后即求三差而既得食甚真时之后方求日月视径今求各时高下差皆以本日地)(平高下差为比例而求地平高下差与日月视径又皆由日月距地而生故以推地平高下差及日月视)(径次于食甚用时之后为日食第三段也)求太阳实引置实朔太阳引数加减本时太阳均数得太阳实引求太隂实引置实朔太阴引数加减本时太隂初均数得太隂实引求太阳距地以倍两心差三三八○○○为一邉以二千万为两邉和以太阳实引为一角用三角作垂线成两勾股法算之(实引三宫以内者即以实引为一角过九宫者与全周相减为一角俱作垂线于形外实引过三宫者与)(六宫相减过六宫者减六宫为一角俱作垂线于形内法见日躔撱圆角度与面积相求篇)求得地心至撱圆界之一邉为太阳距地求太阴距地以实朔太阴本天心距地数倍之为一边以二千万为两边和以太阴实引为一角用三角作垂线成两勾股法算之(实引)(三宫以内者即以实引为一角过九宫者与全周相减为一角俱作垂线于形内实引过三宫者与六宫相减过六宫者)(减六宫为一角俱作垂线于形外)求得地心至撱圆界之一边即太阴距地求地平高下差以太隂距地为一率中距太隂距地一千万为二率太隂中距最大地半径差五十七分三十秒化作三千四百五十秒为三率求得四率为秒以分収之得本日太阴在地平上最大地半径差减太阳地半径差一十秒得地平高下差求太阳实半径以太阳距地为一率中距太阳距地一千万为二率中距太阳视半径一十六分六秒化作九百六十六秒为三率求得四率为秒以分収之得太阳视半径再减太阳光分一十五秒得太阳实半径求太隂视半径以太隂距地为一率中距太隂距地一千万为二率中距太隂视半径一十五分四十秒三十微化作九百四十秒半为三率求得四率为秒以分収之得太隂视半径求并径以太阳实半径与太隂视半径相加得并径推食甚太阳黄赤经纬宿度及黄赤二经交角第四(下编推太阳实经在推实朔用时之前而推黄赤宿度在推复圆真时之后今太阳黄道经度已在)(本时日躔之中而求日食三差则必用赤道纬度及黄赤二经交角与赤道经度宿度皆属一体故)(以推黄赤经纬宿度及黄赤二经交角并在三差之前为日食第四段也)求距时日实行以一小时化作三千六百秒为一率一小时太阳黄道实行化秒为二率食甚距时化秒为三率求得四率为秒以分収之得距时日实行食甚距时加者亦为加减者亦为减求食甚太阳黄道经度置实朔太阳黄道实行加减距时日实行得食甚太阳黄道经度(下编即用实朔经度今实朔经度已见日躔而月食求太隂白道经度加减距时月实行)(故日食亦同一例究之所差无多故东西差虽亦有日行分而黄道经度皆不另算)求食甚太阳黄道宿度察食甚太阳黄道经度足减本年黄道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳黄道宿度求食甚太阳赤道经度以半径一千万为一率黄赤大距二十三度三十九分之余弦为二率食甚太阳距春秋分黄道经度之正切线为三率(食甚太阳黄道经度不及三宫者与三宫相减过三宫者减三宫过六宫者与九宫相减)(过九宫者减九宫得太阳距春秋分黄道经度)求得四率为距春秋分赤道经度之正切线检表得太阳距春秋分赤道经度自冬至初宫起算得食甚太阳赤道经度求食甚太阳赤道宿度察食甚太阳赤道经度足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之余为食甚太阳赤道宿度求食甚太阳赤道纬度以半径一千万为一率黄赤大距二十三度二十九分之正弦为二率食甚太阳距春秋分黄道经度之正弦为三率求得四率为距纬之正弦检表得食甚太阳赤道纬度春分后秋分前为北秋分后春分前为南求太阳距北极置九十度加减食甚太阳赤道纬度(纬南则加纬北则减)得太阳距北极求黄赤二经交角以食甚太阳距春秋分黄道经度之余弦为一率黄赤大距二十三度二十九分之余切线为二率半径一千万为三率求得四率为黄赤二经交角之余切线(本为黄道)(赤经交角之正切线故即为黄赤二经交角之余切线)检表得黄赤二经交角冬至后黄经在赤经西夏至后黄经在赤经东如太阳在冬夏至则黄经与赤经合无交角求黄白二经交角斜距黄道交角即黄白二经交角实朔月距正交初宫十一宫白经在黄经西五宫六宫白经在黄经东求赤白二经交角黄赤二经交角与黄白二经交角同为东或同为西者则相加得赤白二经交角东亦为东西亦为西一为东一为西者则相减得赤白二经交角东数大为东西数大为西(此之所谓东西乃白经在赤经之东西也)若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角如无黄赤二经交角则黄白二经交角即赤白二经交角东西并同本法推食甚用时两心视相距第五求用时太阳距午赤道度以食甚用时与十二时相减(不及十二时者于十二时内减之过十二时者则减)(去十二时)余数变赤道度(一时变为十五度一分变为十五分一秒变为十五秒)得用时太阳距午赤道度求用时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉(北极高度与九十度相减余即北极距天顶)太阳距北极为一邉用时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法自天顶作垂弧至赤道经圏即成两正弧三角形先以半径一千万为一率用时太阳距午赤道度之余弦为二率北极距天顶之正切线为三率求得四率为距极分邉之正切线检表得距极分邉与太阳距北极相加减得距日分邉(太阳距午赤道度不及九十度者作垂弧于形内则)(相减过九十度者作垂弧于形外则相加若距极分邉与太阳距北极等则赤经高弧交角为九十度)次以半径一千万为一率用时太阳距午赤道度之正切线为二率距极分邉之正弦为三率求得四率为垂弧之正切线又以距日分邉之正弦为一率垂弧之正切线为二率半径一千万为三率求得四率为赤经高弧交角之正切线检表得用时赤经高弧交角若距极分邉转大于太阳距北极则所得为外角与半周相减余为赤经高弧交角午前赤经在高弧东午后赤经在高弧西(若太阳在正午无距午赤道度则赤道与高弧合无交角若太阳距午赤道度为九十度则北极距)(天顶即为垂弧用正弧三角形法以太阳距北极之正弦为一率北极距天顶之正切线为二率半径一千万)(为三率求得四率为赤经高弧交角之正切线检表得赤经高弧交角若太阳距午赤道度为九十度太阳距)(北极亦九十度则北极距天顶度即赤经高弧交角度图解见黄道高弧交角篇)求用时太阳距天顶以用时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率用时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得用时太阳距天顶求用时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率用时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得用时高下差求用时白经高弧交角用时赤经高弧交角与赤白二经交角同为东或同为西者则相加得用时白经高弧交角东亦为东西亦为西一为东一为西者则相减得用时白经高弧交角赤经高弧交角大东西与赤经高弧交角同赤经高弧交角小东西与白经高弧交角同(如无赤经高弧交角则赤白二经交角即白经)(高弧交角如无赤白二经交角则赤经高弧交角即白经高弧交角东西并同此之所谓东西乃白经在高弧)(之东西也)如无赤经高弧交角亦无赤白二经交角或两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角食甚用时即真时用时高下差与食甚实纬相加减(白经高弧交角九十度以)(内南加北减九十度以外南减北加)即食甚两心视相距求用时对两心视相距角月在黄道北则用时白经高弧交角即对两心视相距角实距在高弧之东西与白经同月在黄道南则以白经高弧交角与半周相减余为对两心视相距角白经在高弧东者实距在高弧西白经在高弧西者实距在高弧东(若白经高弧交角过九十度则纬南如纬北纬北如纬南)求用时对两心实相距角以食甚用时两心实相距为一边(即食甚实纬)用时高下差为一边用时对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(用时两心实相距大于高下差)(则加小于高下差则减)得用时对两心实相距角求用时两心视相距以用时对两心实相距角之正弦为一率用时两心实相距化秒为二率用时对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得用时两心视相距(白经在高)(弧西两心视相距大于并径者或无食或食未及与并径等者食甚用时即初亏真时小于并径者在初亏食)(甚之间白经在高弧东用时两心视相距大于并径者或无食或食已过与并径等者食甚用时即复圆真时)(小于并径者在食甚复圆之间)推食甚设时两心视相距及食甚真时第六求食甚设时用时白经高弧交角东向前取西向后取角大逺取角小近取(逺不过九刻近或数分)量距用时前后若干分为食甚设时求设时距分以食甚设时与食甚用时相减得设时距分求设时距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率设时距分化秒为三率求得四率为秒以分収之得设时距弧求设时对距弧角以食甚实纬化秒为一率设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为对距弧角之正切线检表得设时对距弧角求设时两心实相距以设时对距弧角之正弦为一率设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为秒以分収之得设时两心实相距求设时太阳距午赤道度以食甚设时与十二时相减余数变赤道度得设时太阳距午赤道度求设时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边设时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为设时赤经高弧交角(法与求用时赤经高弧交角同)求设时太阳距天顶以设时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率设时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得设时太阳距天顶求设时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率设时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得设时高下差求设时白经高弧交角以设时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得设时白经高弧交角(法与用时同)求设时对两心视相距角月在黄道北以设时白经高弧交角与设时对距弧角相减余为设时对两心视相距角对距弧角小则实距在高弧之东西与白经同对距弧角大则白经在高弧西者实距在高弧东白经在高弧东者实距在高弧西月在黄道南以设时白经高弧交角与设时对距弧角相加得数与半周相减余为设时对两心视相距角白经在高弧东者实距在高弧西白经在高弧西者实距在高弧东如两角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则两心实相距与高弧合无交角亦无对设时两心实相距角即以设时高下差与设时两心实相距相减余为设时两心视相距(若白经高弧交角过九十度则纬南如纬北纬北如纬南)求设时对两心实相距角以设时两心实相距为一邉设时高下差为一边设时对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(设时两心实相距大于高下差则加小于高下差则减)得设时对两心实相距角求设时两心视相距以设时对两心实相距角之正弦为一率设时两心实相距化秒为二率设时对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得设时两心视相距求设时白经高弧交角较以设时白经高弧交角与用时白经高弧交角相减得白经高弧交角较求设时高弧交用时视距角以设时白经高弧交角较与用时对两心实相距角相加减(纬北为减纬南为加)得设时高弧交用时视距角(若白经高弧交角过)(九十度纬北为加纬南为减)求对设时视行角以设时高弧交用时视距角与设时对两心实相距角相加减(两实距同在高弧东或同在高弧西者则相减一东一西者则相加)得对设时视行角加过半周者与全周相减用其余如无设时对两心实相距角设时高下差大于设时两心实相距则设时高弧交用时视距角即对设时视行角设时高下差小于设时两心实相距则以设时高弧交用时视距角与半周相减余为对设时视行角求对设时视距角以用时两心视相距为一边设时两心视相距为一边对设时视行角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(设时两心视相距大于用时两心视相距则加小于用时两心)(视相距则减)得对设时视距角求设时视行以对设时视距角之正弦为一率设时两心视相距化秒为二率对设时视行角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得设时视行求真时视行以半径一千万为一率对设时视距角之余弦为二率用时两心视相距化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时视行求真时两心视相距以半径一千万为一率对设时视距角之正弦为二率用时两心视相距化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时两心视相距求真时距分以设时视行化秒为一率设时距分化秒为二率真时视行化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时距分白经在高弧西为加在高弧东为减求食甚真时置食甚用时加减真时距分得食甚真时推食甚考定真时及食分第七求真时距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率真时距分化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时距弧求真时对距弧角以食甚实纬化秒为一率真时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为对距弧角之正切线检表得真时对距弧角求真时两心实相距以真时对距弧角之正弦为一率真时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为秒以分収之得真时两心实相距求真时太阳距午赤道度以食甚真时与十二时相减余数变赤道度得真时太阳距午赤道度求真时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边真时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为真时赤经高弧交角(法与求用时赤经高弧交角同)求真时太阳距天顶以真时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率真时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得真时太阳距天顶求真时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率真时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得真时高下差求真时白经高弧交角以真时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得真时白经高弧交角(法与求用时白经高弧交角同)求真时对两心视相距角以真时白经高弧交角与真时对距弧角相加减得真时对两心视相距角(法与求设时对两心视相距角同)求真时对两心实相距角以真时两心实相距为一邉真时高下差为一边真时对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(真时两心实相距大于高下差则加小于高下差则减)得真时对两心实相距角求考真时两心视相距以真时对两心实相距角之正弦为一率真时两心实相距化秒为二率真时对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得考真时两心视相距求真时白经高弧交角较以真时白经高弧交角与设时白经高弧交角相减得真时白经高弧交角较求真时高弧交设时视距角以真时白经高弧交角较与设时对两心实相距角相加减(月在黄道北白经在高弧东设时真时两实距同在高弧西或白经在高弧西两实距同在高弧东)(设时白经高弧交角小则加大则减若白经在高弧东两实距亦同在高弧东或白经在高弧西两实距亦同)(在高弧西设时交角小则减大则加若两实距一在高弧东一在高弧西则皆相减月在黄道南设时交角小则)(加大则喊)得真时高弧交设时视距角如无设时对两心实相距角设时高下差大于设时两心实相距则真时白经高弧交角较即真时高弧交设时视距角设时高下差小于设时两心实相距则以真时白经高弧交角较与半周相减余为真喧尚弧交设时视距角(若白经高弧交角过)(九十度则纬南如纬北纬北如纬南)东对考真时视行角以真时高弧交设时视距角与真时对两心实相距角相加减(两实距同在高弧东或同在高弧西者则相减一东一西者则相加如设时实距与高弧合无)(东西者设时高下差大于设时两心实相距则相减设时高下差小于设时两心实相距则相加)得对考真时视行角如过半周者与全周相减用其余(女真时白)(经高弧交角较与设时对两心实相距角相等而减尽无余则真时对两心实相距角即对考真时视行角如)(真时白经高弧交角较与设时对两心实相距角相加适足一百八十度则真时对两心实相距角与半周相)(减即对考真时视行角)求对考真时视距角以设时两心视相距为一邉考真时两心视相距为一边对考其时视行角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相减(考真时两心视相距必小于设时两心视相距故减)得对考真时视距角求考真时视行以对考真时视距角之正弦为一率考真时两心视相距化秒为二率对考真时视行角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得考真时视行求定真时视行以半径一千万为一率对考真时视距角之余弦为二率设时两心视相距化秒为三率求得四率为秒以分収之得定真时视行(如定真时视行与考真时视行等是考真时两心视相距已与视行)(成直角则食甚真时即食甚定真时即以考真时两心祝相距求食甚分秒如或大或小则犹未为直角再用下)(法求之)求定真时两心视相距以半径一千万为一率对考真时视距角之正弦为二率设时两心视相距化秒为三率求得四率为秒以分収之得定真时两心视相距求定真时距分以考真时视行化秒为一率设时距分与其时距分相减余化秒为二率定真时视行化秒为三率求得四率为秒以分収之得定真时距分白经在高弧东设时距分小为减大为加白经在高弧西设时距分小为加大为减求食甚定真时置食甚设时加减定真时距分得食甚定真时求食分以太阳实半径倍之得太阳全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减定真时两心视相距余化秒为三率求得四率为秒以分収之得食分推初亏前设时两心视相距第八求初亏复圎前设时白经在高弧西食甚用时两心视相距与并径相去不逺即以食甚用时为初亏前设时小则向前取大则向后取量距食甚用时前后若干分为初亏前设时与食甚定真时相减余数与食甚定真时相加为复圆前设时白经在高弧东食甚用时两心视相距与并径相去不逺即以食甚月时为复圆前设时小则向后取大则向前取量距食甚用时前后若千分为复圆前设时以食甚定真时与之相减余数又与食甚定真时相减为初亏前设时来初亏前设时距分初亏前设时与食甚用时相减得初亏前设时距分求初亏前设时距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率初亏前设时距分化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏前设时距弧求初亏前设时对距弧角以食甚实纬化秒为一率初亏前设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为对距孤角之正切线检表得初亏前设时对距弧角初亏前设时在仓甚用时前为西在仓甚用时后为东求初亏前设时两心实相距以初亏前设时对距弧角之正弦为一率初亏前设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为秒以分収之得初亏前设时两心实相距求初亏前设时太阳距午赤道度以初亏前设时与十二时相减余数变赤道度得初亏前设时太阳距午赤道度求初亏前设时赤经高孤交角以北极距天顶为一边太阳距北极为一邉初亏前设时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为初亏前设时赤经高孤交角(法与食甚用时同)求初亏前设时太阳距天顶以初亏前设时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之弦弦为二率初亏前设时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得初亏前设时太阳距天顶求初亏前设时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率初亏前设时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得初亏前设时高下差求初亏前设时白经高弧交角以初亏前设时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得初亏前设时白经高弧交角(法与食甚用时同)求初亏前设时对两心视相距角以初亏前设时白经高弧交角与初亏前设时对距弧角相加减(月在黄道北二角同为东或同为西则相加一为东一为西则相减月在黄道南二角同为东)(或同为西则相减又与半周相减一为东一为西则相加又与半周相减若白经高弧交角过九十度则纬南)(如纬北纬北如纬南)得初亏前设时对两心视相距角如两角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则两心实相距与高弧合无交角即以初亏前设时高下差与初亏前设时两心实相距相减余为初亏前设时两心视相距求初亏前设时对两心实相距角以初亏前设时两心实相距为一边初亏前设时高下差为一邉初亏前设时对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(两心实相)(距大于高下差则加小于高下差则减)得初亏前设时对两心实相距角求初亏前设时两心视相距以初亏前设时对两心实相距角之正弦为一率初亏前设时两心实相距化秒为二率初亏前设时对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得初亏前设时两心视相距推初亏后设时两心视相距第九求初亏后设时初亏前设时两心视相距小于并径则向前取大于并径则向后取察其较之多寡量取前后若干分为初亏后设时以下俱用初亏后设时之数逐条推算法与初亏前设时同推初亏考定真时第十求初亏视距较以初亏前设时两心视相距与初亏后设时两心视相距相减得初亏视距较求初亏设时较以初亏前设时距分与初亏后设时距分相减得初亏设时较求初亏视距并径较以初亏后设时两心视相距与并径相减得初亏视距并径较求初亏真时距分以初亏视距较化秒为一率初亏设时较化秒为二率初亏视距并径较化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏真时距分初亏后设时两心视相距大于并径为加小于并径为减求初亏真时置初亏后设时加减初亏真时距分得初亏真时乃以初亏真时依前法求其两心视相距果与并径等则初亏真时即初亏定真时初亏真时对两心实相距角即初亏方位角如或大或小则以初亏前后设时两心视相距与并径尤近者与考真时两心视相距相较依法比例得初亏定真时推复圆前设时两心视相距第十一求复圆前设时距分复圆前设时与食甚用时相减得复圆前设时距分求复圆前设时距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率复圆前设时距分化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆前设时距弧求复圆前设时对距弧角以食甚实纬化秒为一率复圆前设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为对距弧角之正切线检表得复圆前设时对距弧角复圆前设时在食甚用时前为西在食甚用时后为东求复圆前设时两心实相距以复圆前设时对距弧角之正弦为一率复圆前设时距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为秒以分収之得复圆前设时两心实相距求复圆前设时太阳距午赤道度以复圆前设时与十二时相减余数变赤道度得复圆前设时太阳距午赤道度求复圆前设时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边复圆前设时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为复圆前设时赤经高弧交角(法与食甚用时同)求复圆前设时太阳距天顶以复圆前设时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率复圆前设时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得复圆前设时太阳距天顶求复圆前设时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率复圆前设时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得复圆前设时髙下差求复圆前设时白经高弧交角以复圆前设时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得复圆前设时白经高弧交角(法与食甚用时同)求复圆前设时对两心视相距角以复圆前设时白经高弧交角与复圆前设时对距弧角相加减(月在黄道北二角同为东或同为西则相加一为东一为西则相减月在黄道南二)(角同为东或同为西则相减又与半周相减一为东一为西则相加又与半周相减若白经高弧交角过九十)(度则纬南如纬北纬北如纬南)得复圆前设时对两心视相距角如两角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则两心实相距与高弧合无交角即以复圆前设时高下差与复圆前设时两心实相距相减余为复圆前设时两心视相距求复圆前设时对两心实相距角以复圆前设时两心实相距为一邉复圆前设时高下差为一邉复圆前设时对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(两心实相)(距大于高下差为加小于高下差为减)得复圆前设时对两心实相距角求复圆前设时两心视相距以复圆前设时对两心实相距角之正弦为一率复圆前设时两心实相距化秒为二率复圆前设时对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得复圆前设时两心视相距推复圆后设时两心视相距第十二求复圆后设时复圆前设时两心视相距小于并径则向后取大于并径则向前取察其较之多寡量取前后若干分为复圆后设时以下俱用复圆后设时之数逐条推算法与复圆前设时同推复圆考定真时第十三求复圆视距较以复圆前设时两心视相距与复圆后设时两心视相距相减得复圆视距较求复圆设时较以复圆前设时距分与复圆后设时距分相减得复圆设时较求复圆视距并径较以复圆后设时两心视相距与并径相减得复圆视距并径较求复圆真时距分以复圆视距较化秒为一率复圆设时较化秒为二率复圆视距并径较化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆真时距分复圆后设时两心视相距小于并径为加大于并径为减求复圆真时置复圆后设时加减复圆真时距分得复圆真时乃以复圆真时依前法求其两心视相距果与并径等则复圆真时即复圆定真时复圆真时对两心实相距角即复圆方位角如或大或小则以复圆前后设时两心视相距与并径尤近者与考真时两心视相距相较依法比例得复圆定真时又法推食甚近时第五求用时太阳距午赤道度以食甚用时与十二时相减(不及十二时者于十二时内减之过十二时者则减)(去十二时)余数变赤道度(一时变为十五度一分变为十五分一秒变为十五秒)得用时太阳距午赤道度求用时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉(北极高度与九十度相减余即北极距天顶)太阳距北极为一邉用时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法自天顶作垂弧至赤道经圏即成两正弧三角形先以半径一千万为一率用时太阳距午赤道度之余弦为二率北极距天顶之正切线为三率求得四率为距极分邉之正切线检表得距极分邉与太阳距北极相加减得距日分邉(太阳距赤道度不及九十度者作垂弧于形内则相)(减过九十度者作垂弧于形外则相加若距极分边与太阳距北极等则赤经高弧交角为九十度)次以半径一千万为一率用时太阳距午赤道度之正切线为二率距极分邉之正弦为三率求得四率为垂弧之正切线又以距日分邉之正弦为一率垂弧之正切线为二率半径一千万为三率求得四率为赤经高弧交角之正切线检表得用时赤经高弧交角若距极分边转大于太阳距北极则所得为外角与半周相减余为赤经高弧交角午前为东午后为西(若太阳距午赤道度为九十度则北)(极距天顶即为垂弧用正弧三角形法以太阳距北极之正弦为一率北极距天顶之正切线为二率半径一)(千万为三率求得四率为赤经高弧交角之正切线检表得赤经高弧交角若太阳距午赤道度为九十度太)(阳距北极亦九十度则北极距天顶度即赤经高弧交角度图解见黄道高弧交角篇)求用时太阳距天顶以用时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率用时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得用时太阳距天顶(日食时太阳太隂同度即有距纬之南北而高下差所差无几故借太阳高弧为太隂高弧)求用时白经高弧交角用时赤经高弧交角与赤白二经交角同为东或同为西者则相加得用时白经高弧交角东为限东西为限西一为东一为西者则相减得用时白经高弧交角赤经高弧交角大午东仍为限东午西仍为限西赤经高弧交角小午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则太阳正当白平象限白经与高弧合无交角若相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若相加过九十度与半周相减用其余则白平象限在天顶北求用时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率用时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得用时高下差求用时东西差以半径一千万为一率用时白经高弧交角之正弦为二率用时高下差化秒为三率求得四率为秒(秒下必带小余)(二位下倣此)以分収之得用时东西差(如无白经高弧交角则无东西差食甚用)(时即真时而高下差即南北差)求用时南北差以半径一千万为一率用时白经高弧交角之余弦为二率用时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得用时南北差(如白经高弧交角为九十度则无南北差食甚实纬即视纬而高下差即)(东西差)求用时视纬以用时南北差与食甚实纬相加减得用时视纬(白平象限)(在天顶南纬南则加仍为南纬北则减仍为北南北差大纬则反减变北为南白平象限在天顶北纬北则加仍为北)(南则减仍为南南北差大则反减变南为北后倣此)求用时两心视相距以用时东西差为勾用时视纬为股求得弦即用时两心视相距求近时距分以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率以用时东西差为近时实距弧化秒为三率求得四率为秒以时分収之得近时距分限西为加限东为减求食甚近时置食甚用时加减近时距分得食甚近时推食甚真时第六求近时太阳距午赤道度以食甚近时与十二时相减余数变赤道度得近时太阳距午赤道度求近时赤经高弧交角以北极距天顶为一边太阳距北极为一邉近时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为近时赤经高弧交角(法与求用时赤经高弧交)(角同)午前为东午后为西求近时太阳距天顶以近时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率近时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得近时太阳距天顶求近时白经高弧交角以近时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得近时白经高弧交角(法与求用时白经高弧交角同)求近时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率近时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得近时高下差求近时东西差以半径一千万为一率近时白经高弧交角之正弦为二率近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得近时东西差求近时南北差以半径一千万为一率近时白经高弧交角之余弦为二率近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得近时南北差求近时视距弧以近时东西差与用时东西差相减得近时视距弧(限东)(亦为纬东限西亦为纬西)求近时视纬以近时南北差与食甚实纬相加减得近时视纬(法与求用时视)(纬同)求近时两心视相距以近时视距弧为勾近时视纬为股求得弦为近时两心视相距求近时视行以近时视距弧与用时东西差相减为勾(近时东西差必大于用时)(东西差故近时视距弧限东必在纬东限西必在纬西与用时东西差同向故皆相减)以近时视纬与用时视纬相加减为股(两视纬同为南或同为北者则相减一南一北者则)(相加)求得弦为近时视行求真时视行以近时两心视相距与用时两心视相距各自乘(即本条弦)(方积)相减以近时视行除之得数与近时视行相加折半得真时视行(如用近二时两心视相距各自乘相减以近时视行除之得数与近时视行等是近)(时两心视相距已与视行成直角则近时即定真时即以近时两心视相距求食甚分秒如或大或小则犹未)(为直角再用下法求之)求真时两心视相距以用时两心视相距为弦真时视行为勾求得股为真时两心视相距求真时距分以近时视行化秒为一率近时距分化秒为二率真时视行化秒为三率求得四率为秒以分收之得真时距分限西为加限东为减求食甚真时置食甚用时加减真时距分得食甚真时推食甚考定真时及食分第七求真时太阳距午赤道度以食甚真时与十二时相减余数变赤道度得真时太阳距午赤道度求真时赤经高弧交角以北极距天顶为一边太阳距北极为一邉真时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为真时赤经高弧交角(法与求用时赤经高弧交)(角同)午前为东午后为西求真时太阳距天顶以真时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率真时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为太阳距天顶之正弦检表得真时太阳距天顶求真时白经高弧交角以真时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得真时白经高弧交角(法与求用时白经高弧交角同)求真时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率真时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得真时高下差求真时东西差以半径一千万为一率真时白经高弧交角之正弦为二率真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时东西差求真时南北差以半径一千万为一率真时白经高弧交角之余弦为二率真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时南北差求真时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率真时距分化秒为三率求得四率为秒以分収之得真时实距弧求真时视距弧以真时东西差与真时实距弧相减得真时视距弧(太隂)(在限东者东西差大于实距弧为纬东小为纬西太隂在限西者东西差大于实距弧为纬西小为纬东)求真时视纬以真时南北差与食甚实纬相加减得真时视纬(法与求用)(时视纬同)求考真时两心视相距以真时视距弧为勾真时视纬为股求得弦为真时两心视相距求考真时视行真时视距弧与近时视距弧相加减为股(两视距弧同为东或同为)(西者则相减为视距较一东一西者则相加为视距和)真时视纬与近时视纬相加减为勾(两视纬同为南或同为北者则相减为纬差较一南一北者则相加为纬差和)求得弦为考真时视行求定真时视行以考真时两心视相距与近时两心视相距各自乘相减以考真时视行除之得数与考真时视行相加折半得定真时视行(如近真二时两心视相距各自乘相减以考真时视行除之得数与考真时视)(行相等是考真时两心视相距已与视行成直角则真时即定真时即以考真时两心视相距求食甚分秒如)(或大或小则犹未为直角再用下法求之)求定真时两心视相距以近时两心视相距为弦定真时视行为勾求得股为定真时两心视相距求定真时距分以考真时视行化秒为一率以近时距分与真时距分相减余化秒为二率定真时视行化秒为三率求得四率为秒以分収之得定真时距分近时距分小于真时距分限西为加限东为减近时距分大于真时距分限西为减限东为加求食甚定真时置食甚近时加减定真时距分得食甚定真时求食分以太阳实半径倍之得太阳全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减定真时两心视相距余化秒为三率求得四率为秒以分収之得食分推初亏近时第八求初亏复圆平距(即初亏复圆距弧因距食甚用时之度名距弧故此名平距以)(别之)以食甚定真时两心视相距化秒为勾并径化秒为弦求得股为秒以分収之得初亏复圆平距求初亏复圆用时距分以定真时视行化秒为一率定真时距分化秒为二率初亏复圆平距化秒为三率求得四率为秒以时分収之得初亏复圆用时距分求初亏用时置食甚定真时减初亏复圆用时距分得初亏用时求初亏用时太阳距午赤道度以初亏用时与十二时相减余数变赤道度得初亏用时太阳距午赤道度求初亏用时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一邉初亏用时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为初亏用时赤经高弧交角(法与求食)(甚用时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求初亏用时太阳距天顶以初亏用时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率初亏用时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得初亏用时太阳距天顶求初亏用时白经高弧交角以初亏用时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得初亏用时白经髙弧交角其加减及定距限东西天顶南北之法并与求食甚用时白经高弧交角同求初亏用时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率初亏用时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得初亏用时高下差求初亏用时东西差以半径一千万为一率初亏用时白经高弧交角之正弦为二率初亏用时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏用时东西差求初亏用时南北差以半径一千万为一率初亏用时白经高弧交角之余弦为二率初亏用时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏用时南北差求初亏用时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率初亏用时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得初亏用时实距弧初亏用时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东(初亏固早于食甚然因东西视差之故太阳在限西则食甚恒差而迟夫食甚真时既迟于食甚用时如东西)(差甚大而食分又甚小则初亏用时或迟于食甚用时者有之矣若太阳在限东则必早于食甚用时也)求初亏用时视距弧以初亏用时东西差与初亏用时实距弧相加减得初亏用时视距弧(限西纬东则减纬西则加限东必在纬西则减)求初亏用时视纬以初亏用时南北差与食甚实纬相加减得初亏用时视纬(法与求食甚用时视纬同)求初亏用时两心视相距以初亏用时视距弧为股初亏用时视纬为勾求得弦为初亏用时两心视相距乃视初亏用时两心视相距与并径相等则初亏用时即为初亏真时如或大或小则用下法求之求初亏近时距分以初亏用时两心视相距化秒为一率初亏复圆用时距分化秒为二率初亏用时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏近时距分初亏用时两心视相距大于并径为加小于并径为减求初亏近时置初亏用时加减初亏近时距分得初亏近时推初亏真时第九求初亏近时太阳距午赤道度以初亏近时与十二时相减余数变赤道度得初亏近时太阳距午赤道度求初亏近时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边初亏近时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为初亏近时赤经高弧交角(法与求食)(甚用时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求初亏近时太阳距天顶以初亏近时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率初亏近时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得初亏近时太阳距天顶求初亏近时白经高弧交角以初亏近时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得初亏近时白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)求初亏近时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率初亏近时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得初亏近时高下差求初亏近时东西差以半径一千万为一率初亏近时白经高弧交角之正弦为二率初亏近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏近时东西差求初亏近时南北差以半径一千万为一率初亏近时白经高弧交角之余弦为二率初亏近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏近时南北差求初亏近时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率初亏近时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得初亏近时实距弧初亏近时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东求初亏近时视距弧以初亏近时东西差与初亏近时实距弧相加减得初亏近时视距弧(限西纬东则减纬西则加限东则减)求初亏近时视纬以初亏近时南北差与食甚实纬相加减得初亏近时视纬(法与求食甚用时视纬同)求初亏近时两心视相距以初亏近时视距弧为股初亏近时视纬为勾求得弦为初亏近时两心视相距乃视初亏近时两心视相距与并径相等则初亏近时即为初亏真时如或大或小则再用下法求之求初亏真时距分以初亏用时两心视相距与初亏近时两心视相距相减余化秒为一率初亏近时距分化秒为二率初亏用时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏真时距分初亏用时两心视相距大于并径为加小于并径为减求初亏真时置初亏用时加减初亏真时距分得初亏真时推初亏考定真时第十求初亏真时太阳距午赤道度以初亏真时与十二时相减余数变赤道度得初亏真时太阳距午赤道度求初亏真时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边初亏真时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为初亏真时赤经高弧交角(法与求食)(甚用时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求初亏真时太阳距天顶以初亏真时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率初亏真时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得初亏真时太阳距天顶求初亏真时白经高弧交角以初亏真时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得初亏真时白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)求初亏真时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率初亏真时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得初亏真时高下差求初亏真时东西差以半径一千万为一率初亏真时白经高弧交角之正弦为二率初亏真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏真时东西差求初亏真时南北差以半径一千万为一率初亏真时白经高弧交角之余弦为二率初亏真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得初亏真时南北差求初亏真时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率初亏真时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得初亏真时实距弧初亏真时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东求初亏真时视距弧以初亏真时东西差与初亏真时实距弧相加减得初亏真时视距弧(限西纬东则减纬西则加限东则减)求初亏真时视纬以初亏真时南北差与食甚实纬相加减得初亏真时视纬(法与求食甚用时视纬同)求初亏考真时两心视相距以初亏真时视距弧为股初亏真时视纬为勾求得弦为初亏考真时两心视相距乃视初亏考真时两心视相距与并径相等则初亏真时即为初亏定真时如或大或小则再用下法求之求初亏定真时距分以初亏近时两心视相距与初亏考真时两心视相距相减余化秒为一率初亏近时距分与初亏真时距分相减余化秒为二率初亏考真时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为初亏定真时距分初亏考真时两心视相距大于并径为加小于并径为减求初亏定真时置初亏真时加减初亏定真时距分得初亏定真时推复圆近时第十一求复圆用时置食甚定真时加初亏复圆用时距分得复圆用时求复圆用时太阳距午赤道度以复圆用时与十二时相减余数变赤道度得复圆用时太阳距午赤道度求复圆用时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一边复圆用时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为复圆用时赤经高弧交角(法与求食)(甚用时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求复圆用时太阳距天顶以复圆用时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率复圆用时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得复圆用时太阳距天顶求复圆用时白经高弧交角以复圆用时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得复圆用时白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)求复圆用时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率复圆用时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得复圆用时高下差求复圆用时东西差以半径一千万为一率复圆用时白经高弧交角之正弦为二率复圆用时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆用时东西差求复圆用时南北差以半径一千万为一率复圆用时白经高弧交角之余弦为二率复圆用时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆用时南北差求复圆用时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率复圆用时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得复圆用时实距弧复圆用时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东(复圆固迟于食甚然因东西差之故太阳在限东食甚真时必早于食甚用时如东西差甚大而食分又甚小)(则复圆用时亦或早于食甚用时若太阳在限西则必迟于食甚用时也)求复圆用时视距弧以复圆用时东西差与复圆用时实距弧相加减得复圆用时视距弧(限东纬西则减纬东则加限西必在纬东则减)求复圆用时视纬以复圆用时南北差与食甚实纬相加减得复圆用时视纬(法与求食甚用时视纬同)求复圆用时两心视相距以复圆用时视距弧为股复圆用时视纬为勾求得弦为复圆用时两心视相距乃视复圆用时两心视相距与并径相等则复圆用时即为复圆真时如或大或小则用下法求之求复圆近时距分以复圆用时两心视相距化秒为一率初亏复圆用时距分化秒为二率复圆用时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆近时距分复圆用时两心视相距大于并径为减小于并径为加求复圆近时置复圆用时加减复圆近时距分得复圆近时推复圆真时第十二求复圆近时太阳距午赤道度以复圆近时与十二时相减余数变赤道度得复圆近时太阳距午赤道度求复圆近时赤经高弧交角以北极距天顶为一边太阳距北极为一边复圆近时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为复圆近时赤经高弧交角(法与求食甚用)(时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求复圆近时太阳距天顶以复圆近时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率复圆近时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得复圆近时太阳距天顶求复圆近时白经高弧交角以复圆近时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得复圆近时白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)求复圆近时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率复圆近时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得复圆近时高下差求复圆近时东西差以半径一千万为一率复圆近时白经高弧交角之正弦为二率复圆近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆近时东西差求复圆近时南北差以半径一千万为一率复圆近时白经高弧交角之余弦为二率复圆近时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆近时南北差求复圆近时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率复圆近时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得复圆近时实距弧复圆近时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东求复圆近时视距弧以复圆近时东西差与复圆近时实距弧相加减得复圆近时视距弧(限东纬西则减纬东则加限西则减)求复圆近时视纬以复圆近时南北差与食甚实纬相加减得复圆近时视纬(法与求食甚用时视纬同)求复圆近时两心视相距以复圆近时视距弧为股复圆近时视纬为勾求得弦为复圆近时两心视相距乃视复圆近时两心视相距与并径相等则复圆近时即为复圆真时如或大或小则再用下法求之求复圆真时距分以复圆用时两心视相距与复圆近时两心视相距相减余化秒为一率复圆近时距分化秒为二率复圆用时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆真时距分复圆用时两心视相距大于并径为减小于并径为加求复圆真时置复圆用时加减复圆真时距分得复圆真时推复圆考定真时第十三求复圆真时太阳距午赤道度以复圆真时与十二时相减余数变赤道度得复圆真时太阳距午赤道度求复圆真时赤经高弧交角以北极距天顶为一邉太阳距北极为一邉复圆真时太阳距午赤道度为所夹之角用斜弧三角形法求得对北极距天顶之角为复圆真时赤经高弧交角(法与求食)(甚用时赤经高弧交角同)午前为东午后为西求复圆真时太阳距天顶以复圆真时赤经高弧交角之正弦为一率北极距天顶之正弦为二率复圆真时太阳距午赤道度之正弦为三率求得四率为距天顶之正弦检表得复圆真时太阳距天顶求复圆真时白经高弧交角以复圆真时赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得复圆真时白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)求复圆真时高下差以半径一千万为一率地平高下差化秒为二率复圆真时太阳距天顶之正弦为三率求得四率为秒以分収之得复圆真时高下差求复圆真时东西差以半径一千万为一率复圆真时白经高弧交角之正弦为二率复圆真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆真时东西差求复圆真时南北差以半径一千万为一率复圆真时白经高弧交角之余弦为二率复圆真时高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得复圆真时南北差求复圆真时实距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率复圆真时与食甚用时相减余化秒为三率求得四率为秒以度分収之得复圆真时实距弧复圆真时早于食甚用时为纬西迟于食甚用时为纬东求复圆真时视距弧以复圆真时东西差与复圆真时实距弧相加减得复圆真时视距弧(限东纬西则减纬东则加限西则减)求复圆真时视纬以复圆真时南北差与食甚实纬相加减得复圆真时视纬(法与求食甚用时视纬同)求复圆考真时两心视相距以复圆真时视距弧为股复圆真时视纬为勾求得弦为复圆考真时两心视相距乃视复圆考真时两心视相距与并径相等则复圆真时即为复圆定真时如或大或小则再用下法求之求复圆定真时距分以复圆近时两心视相距与复圆考真时两心视相距相减余化秒为一率复圆近时距分与复圆真时距分相减余化秒为二率复圆考真时两心视相距与并径相减余化秒为三率求得四率为复圆定真时距分复圆考真时两心视相距大于并径为减小于并径为加求复圆定真时置复圆真时加减复圆定真时距分得复圆定真时推日食方位及食限总时第十四求初亏并径白经交角以初亏真时视纬化秒为一率初亏真时视距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为并径白经交角之正切线检表得初亏并径白经交角如初亏真时无视纬则并径与白道合并径白经交角为九十度求复圆并径白经交角以复圆真时视纬化秒为一率复圆真时视距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为并径白经交角之正切线检表得复圆并径白经交角如复圆真时无视纬则并径与白道合并径白经交角为九十度求初亏并径高弧交角(即初亏定交角)置初亏并径白经交角加减初亏真时白经高弧交角得初亏并径高弧交角初亏在限东者纬南则加(南北以初)(亏视纬论)与半周相减纬北则减(本法以初亏方位角与半周相减)初亏在限西者纬北则加与半周相减纬南则减(本法即用初亏方位角)得初亏并径高弧交角(若白平象限在天顶北则纬南如纬北纬北如纬南)如无初亏白经高弧交角则初亏并径白经交角即初亏并径高弧交角如两角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则交角为初度求复圆并径高弧交角(即复圆定交角)置复圆并径白经交角加减复圆真时白经高弧交角得复圆并径高弧交角复圆在限东者纬北则加(南北以复)(圆视纬论)与半周相减纬南则减(本法即用复圆方位角)复圆在限西者纬南则加与半周相减纬北则减(本法以复圆方位角与半周相减)得复圆并径高弧交角(若白平象限在天顶北则纬南如纬北纬北如纬南)如无复圆白经高弧交角则复圆并径白经交角即复圆并径高弧交角如两角相等而减尽无余或相加适足一百八十度则交角为初度求初亏方位初亏在限东者初亏并径高弧交角初度为正上四十五度以内为上偏右四十五度以外为右偏上九十度为正右过九十度为右偏下初亏在限西者初亏并径高弧交角初度为正下四十五度以内为下偏右四十五度以外为右偏下九十度亦为正右过九十度为右偏上白经高弧交角大反减并径白经交角者则变右为左(白平象限在天顶北左右相反)求复圆方位复圆在限东者复圆并径高弧交角初度为正下四十五度以内为下偏左四十五度以外为左偏下九十度为正左过九十度为左偏上复圆在限西者复圆并径高弧交角初度为正上四十五度以内为上偏左四十五度以外为左偏上九十度亦为正左过九十度为左偏下白经高弧交角大反减并径白经交角者则变左为右(白平象限在天顶北左右相反)求食限总时置复圆定真时减初亏定真时得食限总时推各省日食法求各省日食时刻分秒方位置京师食甚用时按各省东西偏度所变之时分加减之(偏度时分见月食法)得各省食甚用时以各省北极高度依京师推日食法算之得各省日食时刻分秒方位推日食带食法求日出入夘酉前后赤道度以半径一千万为一率本省北极高度之正切线为二率本时黄赤距纬之正切线为三率求得四率为夘酉前后赤道度之正弦检表得夘酉前后赤道度求日出入时分以夘酉前后赤道度变时(一度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒)春分后秋分前以减夘正加酉正得日出入时分秋分后春分前以加夘正减酉正得日出入时分求带食距时以日出或日入时分与食甚用时相减得带食距时求带食距弧以一小时化作三千六百秒为一率一小时两经斜距化秒为二率带食距时化秒为三率求得四率为秒以分収之得带食距弧求带食赤经高弧交角以黄赤距纬之余弦为一率北极高度之正弦为二率半径一千万为三率求得四率为赤经高弧交角之余弦检表得带食赤经高弧交角带出地平为东带入地平为西求带食白经高弧交角以带食赤经高弧交角与赤白二经交角相加减得带食白经高弧交角(法与求食甚用时白经高弧交角同)本法求带食对距弧角以食甚实纬化秒为一率带食距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为对距弧角之正切线检表得带食对距弧角求带食两心实相距带食对距弧角之正弦为一率带食距弧化秒为二率半径一千万为三率求得四率为秒以分収之得带食两心实相距求带食对两心视相距角以带食白经高弧交角与带食对距弧角相加减(纬北减纬)(南加又与半周相减)得带食对两心视相距角求带食对两心实相距角以带食两心实相距为一边地平高下差为一邉(带食太阳)(在地平故用地平高下差)带食对两心视相距角为所夹之角用切线分外角法求得半较角与半外角相加减(两心实相距大于高)(下差为加小于高下差为减)得带食对两心实相距角求带食两心视相距以带食对两心实相距角之正弦为一率带食两心实相距化秒为二率带食对两心视相距角之正弦为三率求得四率为秒以分収之得带食两心视相距又法求带食东西差以半径一千万为一率带食白经高弧交角之正弦为二率地平高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得带食东西差求带食南北差以半径一千万为一率带食白经高弧交角之余弦为二率地平高下差化秒为三率求得四率为秒以分収之得带食南北差求带食视距弧以带食东西差与带食距弧相减得带食视距弧求带食视纬以带食南北差与食甚实纬相加减得带食视纬(法与求食)(甚用时视纬同)求带食两心视相距以带食视距弧为股带食视纬为勾求得弦为带食两心视相距求带食分秒以太阳实半径倍之得太阳全径化秒为一率十分化作六百秒为二率并径内减带食两心视相距余化秒为三率求得四率为秒以分収之得带食分秒求带食方位带食在食甚前者用初亏方位法求之带食在食甚后者用复圆方位法求之求带食初亏复圆时刻带食不见食甚者以带食视纬化秒为勾并径化秒为弦求得股为初亏复圆视距弧与带食视距弧相加减(带食东西差小于带食距弧则加大于带食距弧则减)得带食初亏复圆实距弧以一小时两经斜距化秒为一率一小时化作三千六百秒为二率带食初亏复圆实距弧化秒为三率求得四率为秒以分収之得带食初亏复圆距时带出地平者与日出时分相加得复圆用时带入地平者与日入时分相减得初亏用时按初亏复圆法求之得初亏复圆时刻右日食法惟食甚用时两心实相距与斜距成直角食甚真时两心视相距与视行成直角及初亏复圆带食迳求两心视相距与旧法不同若本法又法虽似逈殊理实一致至用表推算则除首朔根等项列有本表外余俱用对数表其法与月食同故不复载御制厯象考成后编卷六
## 卷七
钦定四库全书御制厯象考成后编卷七日躔表太阳年根表太阳周岁平行表太阳周日平行表太阳均数表黄赤距度表黄赤升度表升度时差表均数时差表太阳距地心表清蒙气差表太阳年根表太阳年根表以雍正元年癸卯为元其距冬至及最卑之度分与前表小异(求逐年距冬至法以周日一万分为一率太阳每日平行三千五百)(四十八秒小余三二九○八九七为二率以癸卯天正冬至气应分数一千二百二十五分小余四与周日一)(万分相减余八千七百七十四分小余六为三率求得四率三千一百一十三秒小余五一六八四三収作五)(十一分五十三秒三十一微为癸卯年距冬至之数此后以本年距冬至之数平年加三百六十五日之太阳)(平行三百五十九度四十五分四十秒零七微零三纎四十九忽零九芒半闰年加三百六十六日之太阳平)(行三百六十度四十四分四十八秒二十六微四十八纎三十二忽三十一芒半满三百六十度去之即得次)(年距冬至之数求逐年最卑法癸卯年天正冬至最卑应八度零七分三十二秒二十二微即癸卯年最卑过)(冬至之数此后平年加三百六十五日之最卑行一分零二秒五十七微二十四纎四十三忽闰年加三百六)(十六日之最卑行一分零三秒零七微四十五纎四十忽即得次年最卑过冬至之数满三十纎者进作一微)(不足三十纎者去之后倣此)其纪日值宿并与前表法同用表之法如求乾隆元年丙辰之年根则察本表纪年自癸卯年后第一丙辰为所求之年乃视丙辰所对各数录之其距冬至为四十三分零二微最卑为八度二十一分一十一秒一十九微纪日为乙巳值宿为娄宿也太阳周岁平行表太阳周岁平行表以太阳平行及最卑行自一日至三百六十六日逐日列之表名平行者乃太阳自一日至三百六十六日之平行积度也(太阳每日平行五十九分零八秒一十九微四)(十四纎四十三忽二十二芒零三尘累加之即得逐日之平行)最卑行者乃最卑自一日至三百六十六日之分秒也(最卑每日行一十微二十纎五十七忽累加之)(即得逐日之最卑行)用表之法如求冬至后九十二日之太阳平行及最卑行则察本表日数九十二所对各数录之其平行为三宫零四十分四十六秒一十七微即九十二日太阳平行之共数其最卑行为一十五秒五十二微即九十二日最卑行之共数也太阳周日平行表太阳周日平行表以一日内之时分秒与逐时逐分逐秒之平行数对列之因太阳每日之平行比前表止差五纎有竒而列表至微而止故其数皆与前表同用表之法如求一十二时四十二分五十一秒之太阳平行则察本表一十二时所对之数为二十九分三十四秒一十微四十二分所对之数为一分四十三秒二十九微三十四纎五十一秒所对之数为二秒零五微四十纎一十二忽合计三数得三十一分一十九秒四十五微一十四纎一十二忽即所求之太阳平行也太阳均数表太阳均数表按最卑最高分顺逆列之引数初宫至五宫为最卑后列于上引数六宫至十一宫为最髙后列于下前后列引数度分分顺逆以别加减中列逐宫逐度之均数旁列较数太阳引数在上六宫者用顺度其号为加太阳引数在下六宫者用逆度其号为减用表之法以引数之宫对引数之度分其纵横相遇即所求之均数也表以十分为率若引数有零分者按中比例法求之设太阳引数为二宫五度一十二分求其均数则察二宫五度一十分所对之均数为一度四十六分二十三秒较数为八秒乃以引数一十分为一率较数八秒为二率设数二分为三率求得四率一秒小余六收作二秒与二宫五度一十分之均数一度四十六分二十三秒相加(因二十分之均数大于一十分之均数故相加反是则相减也)得一度四十六分二十五秒为所求之均数其号为加即为加均也黄赤距度表黄赤距度表按二分二至分顺逆列之二分后之各宫列于上降娄大梁实沈三宫系春分后为北纬夀星大火析木三宫系秋分后为南纬其数同二至后之各宫列于下鹑首鹑火鹑尾三宫系夏至后为北纬星纪元枵娵訾三宫系冬至后为南纬其数同太阳实行在上六宫者用顺度太阳实行在下六宫者用逆度俱与前表同用表之法以实行之宫对实行之度分其纵横相遇即所求之距度也表以十分为率若实行有零分者按中比例法求之设太阳实行在黄道大火宫二十一度一十五分求黄赤距度则以大火宫二十一度一十分所对之数一十八度零五分零二秒与下层二十一度二十分所对之数一十八度零七分三十九秒相减余二分三十七秒为一十分之较乃以一十分为一率较数二分三十七秒化作一百五十七秒为二率设数五分为三率求得四率七十八秒小余五收作一分一十九秒与大火宫二十一度一十分之距度一十八度零五分零二秒相加(因二十分之距度大于一十分之距度故相加反是则相减也)得一十八度零六分二十一秒为所求之距度也黄赤升度表黄赤升度表黄道宫度与赤道宫度并列之皆自冬至星纪宫起初宫(即○宫)元枵宫为一宫以太阳经度为次用宫数不用宫名者太阳当交宫之际惟二分二至黄赤同度其余恒不同宫故用宫数以便列表俱与前表同用表之法以太阳实行察黄道宫度其所对之赤道宫度即所求之赤道升度也表以逐度为率若实行有零分者按中比例法求之设太阳实行在黄道降娄宫五度二十四分求赤道升度自星纪宫起初宫计之为三宫五度二十四分则以黄道三宫五度所对之数三宫四度三十五分一十六秒与下层三宫六度所对之数三宫五度三十分二十二秒相减余五十五分零六秒为一度之较乃以一度化作六十分为一率较数五十五分零六秒化作三千三百零六秒为二率设数二十四分为三率求得四率一千三百二十二秒收作二十二分零二秒与三宫五度之赤道度三宫四度三十五分一十六秒相加得三宫四度五十七分一十八秒为所求之赤道升度也升度时差表升度时差表按二分二至分顺逆列之二分后六宫列于上二至后六宫列于下前后列黄道度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之升度时差即赤道升度与黄道相差度分所变时刻之分秒(毎一度变时之四分每十五分变时之一分每十五)(秒变时之一秒)太阳实行在上六宫者用顺度其号为加太阳实行在下六宫者用逆度其号为减俱与前表同用表之法以实行之宫对实行之度其纵横相遇即所求之升度时差也设太阳实行在黄道大梁宫八度求升度时差则察大梁宫八度所对之数为九分三十秒即所求之升度时差其号为加即为加差也(大梁宫在上故用顺)(度)若实行有零分者按中比例法求之均数时差表均数时差表按最卑最髙分顺逆列之最卑后六宫列于上最髙后六宫列于下前后列引数度分顺逆以别加减中列逐宫逐度之均数时差即均数度分所变时刻之分秒(毎一度变时之四分毎一十五分变时之一分毎一十五秒变时之一秒)太阳引数在上六宫者用顺度其号为减太阳引数在下六宫者用逆度其号为加俱与前表同用表之法以引数之宫对引数之度其纵横相遇即所求之均数时差也设太阳引数为十一宫二十五度求均数时差则察十一宫二十五度所对之数为四十一秒即所求之均数时差其号为加即为加差也(十一宫在下故)(用逆度)若引数有零分者按中比例法求之太阳距地心表太阳距地心表按太阳实引宫度分分顺逆列之初宫至五宫顺列于上六宫至十一宫逆列于下前后列实引度分中列逐宫逐度之太阳距地心数(表数皆以千万为率故列)(表止八位今用九位者因较数甚小带尾数一位比例方准也)及其对数各列较数于其旁宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法以实引之宫对实引之度分其纵横相遇即所求之太阳距地心数也表以十分为率若实引有零分者按中比例法求之设太阳实引为二宫五度一十二分求太阳距地心数则察二宫五度一十分所对之太阳距地心数为九九二六六八七六较数为四四○一乃以实引一十分为一率较数四四○一为二率设数二分为三率求得四率八八○与二宫五度一十分之太阳距地心数九九二六六八七六相加(因二十分之太阳距)(地心数大于一十分之太阳距地心数故相加反是则相减也)得九九二六七七五六即所求二宫五度一十二分之太阳距地心数也求对数法同清蒙气差表清蒙气差表分四段列之每段前列距地平之度分后列距天顶之度分中列蒙气差之分秒第一段距地平自初度至五度三十分距天顶自九十度至八十四度三十分第二段距地平自五度三十分至二十三度距天顶自八十四度三十分至六十七度第三段距地平自二十三度至五十六度距天顶自六十七度至三十四度第四段距地平自五十六度至八十九度距天顶自三十四度至一度其毎段中列蒙气差之分秒即距地平与距天顶逐度之蒙气差也(表列距地平度分自初度至七度因距地)(平近距天顶逺其蒙气差之较数甚大故俱以十分为率自七度至十五度因距地平渐逺距天顶渐近其蒙)(气差之较数渐小故俱以三十分为率自十五度至八十九度因距地平逺距天顶近其蒙气差之较数甚微)(故俱以一度为率)用表之法如测得七政或恒星髙四十度求蒙气差则察距地平四十度所对之数为一分一十秒即所求之蒙气差与视高四十度相减余三十九度五十八分五十秒为实髙如先推得实髙三十九度五十八分五十秒则以蒙气差一分一十秒与实髙相加得四十度为视髙如测得距天顶五十度求蒙气差则察距天顶五十度所对之数为一分一十秒即所求之蒙气差与距天顶五十度相加得五十度一分一十秒为实距天顶如先推得实距天顶五十度一分一十秒则以蒙气差一分一十秒与实距天顶相减得五十度为视距天顶也高度与距天顶有零分者按中比例法求之御制厯象考成后编卷七
## 卷八
钦定四库全书御制厯象考成后编卷八月离表上太隂年根表太隂周岁平行表太隂周日平行表太隂一平均表日距地立方较表太隂二平均表太隂三平均表太隂最高均及本天心距地表太隂年根表太隂年根表以距冬至及最高行(即月孛行)正交行逐年列之前用纪年者乃雍正元年后逐年之干支也表名距冬至者乃逐年天正冬至次日子正太隂平行距丑宫初度之宫度也(求逐年距冬至法雍正元年癸夘太隂平行应五宫二十六度二十七分四十)(八秒五十三㣲即癸卯年天正冬至次日子正太隂平行距冬至之数此后用加法如本年为平年则加三百)(六十五日之太隂平行十三周天外又四宫零九度二十三分零三秒三十二微三十八纎五十五忽五十六)(芒满全周去之余为次年距冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之太隂平行十三周天外又四宫)(二十二度三十三分三十八秒三十四微零三纎一十二忽一十二芒满全周去之余为次年距冬至之数满)(三十纎以上者进作一㣲不足三十纎者去之后倣此)最高行者乃逐年天正冬至次日子正最高过冬至之宫度也(求逐年最高行法雍正元年癸卯最)(高应八宫零一度一十五分四十五秒三十八微即癸夘年天正冬至次日子正最高过冬至之数此后用加)(法如本年为平年则加三百六十五日之最高行一宫一十度三十九分五十秒三十七微五十六纎四十七)(忽四十八芒即得次年最高过冬至之数如本年为闰年则加三百六十六日之最高行一宫一十度四十六)(分三十一秒四十二微零九纎三十六忽三十五芒又四分芒之一即得次年最高过冬至之数)正交行者乃逐年天正冬至次日子正正交过冬至之宫度也(求逐年正交行法雍正元年癸卯正交应五宫二十二度五十七分三十七秒三十三微即癸卯年天正)(冬至次日子正正交过冬至之数此后用减法如本年为平年则减三百六十五日之正交行一十九度一十)(九分四十三秒零六微零一纎一十三忽五十五芒半即得次年正交过冬至之数如本年为闰年则减三百)(六十六日之正交行一十九度二十二分五十三秒四十四微二十纎一十八忽一十三芒半即得次年正交)(过冬至之数)用表之法如求乾隆壬戌年之年根则察本表纪年雍正元年癸卯后第一壬戌为所求之年乃视壬戌所对各数录之其距冬至为五宫一十七度二十八分一十六秒一十九微其最高行为九宫二十四度一十九分三十一秒五十六微其正交行为五宫一十五度三十分一十六秒零五微也太隂周岁平行表太隂周岁平行表以太隂平行及最高行正交行逐日列之其前用日数者自一日至三百六十六日之日数也表名平行者乃太隂自一日至三百六十六日之平行数也(太隂每日平行一十三度一十分三十五秒零一微二十四纎一十六忽一十六芒累加之即)(得逐日平行之数)最高行者乃太隂自一日至三百六十六日之最高行数也(最高每日行六分四十一秒零四微一十二纎四十八忽四十七芒累加之即)(得逐日最髙行之数)正交行者乃自一日至三百六十六日之正交行数也(正交每日退行三分一十秒三十八微一十九纎零四忽一十八芒累加之即得逐日正)(交行之数)用表之法如求冬至后四十五日之太隂平行及最高行正交行则察本表日数四十五日所对各数录之其平行为七宫二十二度五十六分一十六秒零三微即四十五日太隂平行之共数其最高行为五度零四十八秒一十微即四十五日最高行之共数其正交行为二度二十二分五十八秒四十四微即四十五日正交行之共数也太隂周日平行表太隂周日平行表以一日内之时分秒递降列之盖时刻之分秒与度数之分秒皆以六十递析(一日二十四时每时六十)(分每分六十秒)故太隂一时之平行与一分或一秒之平行皆同数不过递降一位耳如太隂一时行三十二分有余一分行三十二秒有余一秒行三十二微有余其平行之数同为三十二而为分为秒为微则递降也表分两段第一段自一至三十者一时至三十时一分至三十分一秒至三十秒第二段三十一至六十者三十一时至六十时三十一分至六十分三十一秒至六十秒其所对之数则太隂逐时逐分逐秒之各平行数也(太隂每日)(之平行用二十四时除之得三十二分五十六秒二十七微三十三纎三十忽四十芒是为一时之平行累加)(之为逐时之平行逐分逐秒之平行皆同数而递降一位时之平行为度分秒微分之平行为分秒微纎秒之)(平行为秒微纎忽最高行与正交行皆倣此)用表之法如求五时三十六分四十八秒之太隂平行及最高行正交行则察本表太隂平行五时所对之数为二度四十四分四十二秒一十八微三十六分所对之数为一十九分四十五秒五十二微三十二纎四十八秒所对之数为二十六秒二十一微一十纎零三忽合计三数得三度零四分五十四秒三十一微四十二纎零三忽即所求之太隂平行也最高行五时所对之数为一分二十三秒三十三微三十六分所对之数为一十秒零一微三十七纎四十八秒所对之数为一十三微二十七纎零九忽合计三数得一分三十三秒四十七微五十九纎零九忽即所求之最高行也正交行五时所对之数为三十九秒四十三微三十六分所对之数为四秒四十五㣲五十八纎四十八秒所对之数为六微二十一纎一十七忽合计三数得四十四秒三十五微一十九纎一十七忽即所求之正交行也太隂一平均表太隂一平均表按太阳引数宫度前后顺逆列之初宫至五宫为最卑后顺列于前六宫至十一宫为最高后逆列于后中列逐宫逐度之各平均大隂平均顺度为减逆度为加最高平均顺度为加逆度为减正交平均顺度为减逆度为加用表之法以太阳引数之宫度对各平均之数即所求之各平均也表以十分为率若太阳引数有零分者按中比例法求之设太阳引数为一宫六度一十分(引数有三)(十秒以上者进一分不及三十秒者去之后倣此)求各均数则察一宫六度一十分所对太隂平均之数七分零六秒为所求之太隂平均其号为减即为减均也又察一宫六度一十分所对最高平均之数一十一分五十八秒为所求之最高平均其号为加即为加均也又察一宫六度一十分所对正交平均之数五分四十二秒为所求之正交平均其号为减即为减均也日距地立方较表日距地立方较表按太阳引数宫度分顺逆列之初一二三四五宫列于上六七八九十十一宫列于下前后列太阳引数度中列逐宫逐度之日距地立方较乃本时太阳距地数之立方与太阳在最高距地数之立方相减之较也宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法以太阳引数之宫对太阳引数之度其纵横相遇即所求之立方较也设太阳引数为一宫零六度(引数有三十分以上者进一度不及三十分者去之)求立方较则察一宫六度纵横相对之日距地立方较为九二三即所求之立方较也太隂二平均表太隂二平均表按日距月最高宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列日距月最高度分中列太阳在最高时距月最高逐宫逐度之二平均傍列较数者乃太阳在最卑时距月最高逐宫逐度之二平均与太阳在最高时距月最高逐宫逐度之二平均相减之较也宫在上者用顺度其号为减宫在下者用逆度其号为加用表之法以日距月最高之宫对日距月最高之度纵横察得二平均及较数记之复以高卑立方大较一○一四为一率前所求得本时之立方较为二率所记之较数为三率求得四率与所记之二平均相加即所求之二平均也表以十分为率若日距月最高有零分者按中比例法求之设日距月最高为三宫一十六度一十五分立方较为九二三求二平均则以三宫一十六度一十分所对二平均之数一分五十四秒与上层三宫一十六度二十分所对二平均之数一分五十六秒相减余二秒为十分之较乃以十分为一率二秒为二率设数五分为三率求得四率一秒与三宫一十六度一十分所对之平均一分五十四秒相加(因二十分之二平均大于一十分之二平均故相加反是则相)(减也)得一分五十五秒记定又察三宫一十六度一十分所对之较数与三宫一十六度二十分所对之较数俱系一十二秒无庸比例即将一十二秒记定复以立方大较数一○一四为一率所记较数一十二秒为二率所设立方较九二三为三率求得四率一十秒小余九收作一十一秒与所记之二平均一分五十五秒相加得二分零六秒为所求之二平均其号为加即为加均也太隂三平均表太隂三平均表按日距正交宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列日距正交度分中列日距正交逐宫逐度之三平均宫在上者用顺度其号为减宫在下者用逆度其号为加用表之法以日距正交之宫对日距正交之度其纵横相遇即所求之三平均也表以逐度为率若日距正交有零分者按中比例法求之设日距正交为八宫二度四十六分求三平均则以八宫二度所对三平均之数三十九秒与下层八宫三度所对三平均之数三十八秒相减余一秒为六十分之较乃以六十分为一率较数一秒为二率设数四十六分为三率求得四率十分秒之七六收作一秒与八宫二度三平均之数三十九秒相减(因三度之平均小于二度之平均故相减反是则相加也)得三十八秒即所求之三平均其号为减即为减均也太隂最高均及本天心距地表太隂最高均及本天心距地表按日距月最高宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列日距月最高度分中列逐宫逐度之最高均及本天心距地数并各列较数于其傍宫在上者用顺度均数之号为加宫在下者用逆度均数之号为减用表之法以日距月最高之宫对日距月最高之度其纵横相遇即所求之最高均及本天心距地数也表以十分为率若日距月最高有零分者按中比例法求之设日距月最高为三宫一十六度一十五分求最高均及本天心距地数则以十分为一率三宫一十六度一十分与二十分之间所对之较分三分五十五秒化作二百三十五秒为二率设数五分为三率求得四率一百一十七秒小余五收作一分五十八秒与三宫一十六度一十分所对之最高均数七度五十四分五十秒相加(因二十分之最高均大于一十分之最高均故相加反是则相减也)得七度五十六分四十分秒为所求之最高均数其号为减即为减均也又以十分为一率三宫一十六度一十一十分与二十分之间所对之距地较数四四二为二率设数五分为三率求得四率二二一与三宫一十六度一十分所对之本天心距地数四五五七二○相加(因二十分之本天心距地)(数大于一十分之本天心距地数故相加反是则相减也)得四五五九四一即所求之本天心距地数也御制厯象考成后编卷八
## 卷九
钦定四库全书御制歴象考成后编卷九月离表下太隂初均表太隂二均表太隂三均表太隂末均表太隂正交实均表交角加分表黄白升度差表黄白距纬表太隂初均表太隂初均表按太隂引数宫度分顺逆列之初宫至五宫列于上六宫至十一宫列于下前后列太隂引数度分中列逐宫逐度之初均数因太隂两心差随时不同故表分大均中均小均三段最大两心差六六七八二○列为大均中数两心差五五○五○五列为中均最小两心差四三三一九○列为小均宫在上者用顺度其号为减宫在下者用逆度其号为加用表之法以太隂引数宫度及本天心距地数察其纵横相遇之均数即所求之初均数也表以十分为率若太隂引数有零分及本天心距地数在大均中均小均之间者用三次比例法求之(本天心距地数在大均中均之间者则以大均数与)(中均数相比例本天心距地数在中均小均之间者则以中均数与小均数相比例)设太隂引数为三宫一十八度四十三分本天心距地数为四五五九四一求初均数(本天心距地数在中均小均之间应以小均为本位中均为次位)则以十分为一率引数三宫一十八度四十分所对之小均数四度四十六分五十一秒与下层三宫一十八度五十分所对之小均数四度四十六分三十七秒相减余一十四秒为二率设数三分为三率求得四率四秒与三宫一十八度四十分所对之小均数四度四十六分五十一秒相减(因五十分所对之小均数小于四十分所对之小均数故相减反是则相加也)余四度四十六分四十七秒即引数三宫一十八度四十三分之小均数为初均本位又以十分为一率引数三宫一十八度四十分所对之中均数六度零六分零三秒与下层三宫一十八度五十分所对之中均数六度零五分四十六秒相减余一十七秒为二率设数三分为三率求得四率五秒与三宫一十八度四十分所对之中均数六度零六分零三秒相减(相减之理与前同)余六度零五分五十八秒即引数三宫一十八度四十三分之中均数为初均次位乃以最小两心差四三三一九○与中数两心差五五○五○五相减余一一七三一五为一率本天心距地数四五五九四一与最小两心差四三三一九○相减(因本天心距地数四五五九四一在两心差中数小数之)(间故与两心差小数四三三一九○相减若本天心距地数在两心差大数中数之间则与两心差中数五五○)(五○五相减)余二二七五一为二率本位初均四度四十六分四十七秒与次位初均六度零五分五十八秒相减余一度一十九分一十一秒化作四千七百五十一秒为三率求得四率九百二十一秒收作一十五分二十一秒与本位初均四度四十六分四十七秒相加得五度零二分零八秒为所求之初均数其号为减即为减均也太隂二均表太隂二均表按月距日宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列月距日度分中列太阳在最高时月距日逐宫逐度之二均数傍列较数者乃太阳在最卑时月距日逐宫逐度之二均与太阳在最高时月距日逐宫逐度之二均相减之较也宫在上者用顺度其号为加宫在下者用逆度其号为减用表之法以月距日之宫对月距日之度分纵横察其二均及较数各记之复以高卑立方大较数一○一四为一率前所得本时立方较为二率所记之较数为三率求得四率与所记之二均相加即所求之二均数也表以十分为率若月距日有零分者按中比例法求之设月距日为十一宫一十九度三十分立方较为九二三求二均数则将十一宫一十九度三十分所对之二均一十一分五十五秒较数一分二十五秒各记定(月距)(日无零分故无庸中比例)乃以立方大较数一○一四为一率前所得之立方较九二三为二率所记之较数一分二十五秒化作八十五秒为三率求得四率七十七秒收作一分一十七秒与所记之二均一十一分五十五秒相加得一十三分一十二秒为所求之二均其号为减即为减均也太隂三均表太隂三均表按日月最高相距与实月距日相加之总数宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列相距总数度分中列相距总数逐宫逐度之三均数宫在上者用顺度宫在下者用逆度初宫至五宫其号为加六宫至十一宫其号为减用表之法以相距总数之宫对相距总数之度其纵横相遇之数即所求之三均数也表以十分为率若相距总数有零分者五分以上则进作十分不足五分者去之设相距总数为三宫二度二十四分求三均数则察三宫二度二十分所对三均之数为二分二十五秒即所求之三均其号为加即为加均也太隂末均表太隂末均表按日月最高相距宫度及实月距日宫度分上下前后顺逆列之日月最高相距初一二六七八宫每隔十度顺列于上三四五九十十一宫毎隔十度逆列于下实月距日初一二六七八宫逐度顺列于前三四五九十十一宫逐度逆列于后中列日月最高相距及实月距日逐宫逐度之末均数日月最高相距初一二六七八宫用上度三四五九十十一宫用下度实月距日初一二宫其号为减六七八宫其号为加俱用顺度三四五宫其号为减九十十一宫其号为加俱用逆度用表之法以日月最高相距之宫度对实月距日之宫度察其纵横相遇之数即所求之末均也表列实月距日以逐度为率若实月距日有三十分以上者进一度不及三十分者去之日月最高相距以十度为率若日月最高相距有零度者用中比例法求之设日月最髙相距为三宫一十三度实月距日为十一宫一十九度求末均数则先察日月最高相距三宫一十度条内横对实月距日十一宫一十九度之末均为三十秒次察三宫一十度条内横对实月距日十一宫一十九度之末均为二十七秒两数相减余三秒为日月最高相距一十度之较乃以一十度为一率较数三秒为二率设数三度为三率求得四率十分秒之九收作一秒与日月最高相距三宫一十度所对实月距日十一宫一十九度之末均三十秒相减(因三宫二十度之末均小于三宫一十度之末均故相减反是)(则相加也)余二十九秒为所求之末均实月距日十一宫为加即为加均也太隂正交实均表太隂正交实均表按日距正交宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列日距正交度分中列日距正交逐宫逐度之正交实均宫在上者用顺度其号为加宫在下者用逆度其号为减用表之法以日距正交之宫对日距正交之度分其纵横相遇之数即所求之正交实均也表以十分为率若日距正交有零分者按中比例法求之设日距正交为八宫二度四十六分求正交实均则以十分为一率日距正交八宫二度四十分所对之交均一度一十四分一十六秒与下层八宫二度五十分所对之交均一度一十三分五十八秒相减余一十八秒为二率设数六分为三率求得四率一十秒小余八收作一十一秒与八宫二度四十分之交均一度一十四分一十六秒相减(因五十分之均数小于四十分之均数故相减反是则相加也)余一度一十四分零五秒为所求之正交实均其号为加即为加均也交角加分表交角加分表按日距正交宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列日距正交度中列日距正交逐宫逐度之距交加分及距交加差宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法以日距正交之宫度纵横察得本表之距交加分为距交加分察得加差为距交加差复以实月距日之宫度亦察本表之加差得距日加差然后以最大两弦加分二分四十三秒与两加差比例得距日加分与距交加分相加即得所求之交角加分也表以十分为率若日距正交及实月距日有零分者按中比例法求之设日距正交为八宫二度四十六分实月距日为十一宫一十九度一十六分求距交加分及加差则以十分为一率日距正交八宫二度四十分所对距交加分之数三分四十五秒与下层八宫二度五十分所对距交加分之数三分四十二秒相减余三秒为二率设数六分为三率求得四率一秒小余八收作二秒与日距正交八宫二度四十分之距交加分三分四十五秒相减(因四十分之距交加分大于五十分之距交加分故相减反是则相加也)余三分四十三秒为所求之距交加分记之又察日距正交八宫二度四十分所对加差之数与下层八宫二度五十分所对加差之数俱为二分零九秒无庸比例即以日距正交八宫二度四十分之加差二分零九秒为所求之距交加差记之又察实月距日十一宫一十九度一十分所对加差之数与上层十一宫一十九度二十分所对加差之数俱为六秒亦无庸比例即以实月距日十一宫一十九度一十分之加差六秒为所求之距日加差记之然后以最大两弦加分二分四十三秒化作一百六十三秒为一率所记距交加差二分零九秒化作一百二十九秒为二率所记距日加差六秒为三率求得四率四秒小余七收作五秒为距日加分与前所记距交加分三分四十三秒相加得三分四十八秒即所求之交角加分也黄白升度差表黄白升度差表按月距正交宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列月距正交度中列最小交角月距正交逐宫逐度之升度差傍列较秒者乃最大交角月距正交逐宫逐度之升度差与最小交角月距正交逐宫逐度之升度差相减之较也宫在上者用顺度其号为减宫在下者用逆度其号为加用表之法以月距正交之宫度分纵横察得升度差及较秒各记之复以交角大较数一十七分四十五秒为一率前所得本时交角加分为二率所记之较秒为三率求得四率与所记之升度差相加即得所求之升度差也表以十分为率若月距正交有零分者按中比例法求之设月距正交为七宫二十度五十一分交角加分为三分四十八秒求黄白升度差察月距正交七宫二十度五十分与七宫二十一度所对之升度差俱为六分二十四秒无庸比例即以七宫二十度五十分之升度差六分二十四秒记之又察月距正交七宫二十度五十分与七宫二十一度所对之较秒俱为四十七秒亦无庸比例即以七宫二十度五十分之较秒四十七秒记之然后以交角大较数一十七分四十五秒化作一千零六十五秒为一率交角加分三分四十八秒化作二百二十八秒为二率所记较秒四十七秒为三率求得四率一十秒与所记之升度差六分二十四秒相加得六分三十四秒为所求之升度差其号为减即为减差也黄白距纬表黄白距纬表按月距正交宫度分顺逆列之初一二六七八宫列于上三四五九十十一宫列于下前后列月距正交度分中列最小交角月距正交逐宫逐度之距纬傍列较分者乃最大交角月距正交逐宫逐度之距纬与最小交角月距正交逐宫逐度之距纬相减之较也宫在上者用顺度宫在下者用逆度初宫至五宫其号为北六宫至十一宫其号为南用表之法以月距正交之宫度分纵横察得距纬及较分各记之复以交角大较数一十七分四十五秒为一率前所得之交角加分为二率所记之较分为三率求得四率与所记之距纬相加即得所求之黄白距纬也表以十分为率若月距正交有零分者按中比例法求之设月距正交为七宫二十度五十一分交角加分为三分四十八秒求黄白距纬则以十分为一率月距正交七宫二十度五十分所对之距纬三度五十二分零九秒与七宫二十一度所对之距纬三度五十二分四十二秒相减余三十三秒为二率设数一分为三率求得四率三秒与七宫二十度五十分之距纬三度五十二分零九秒相加(因二十一度之距纬大于二十度五十分之距纬故相加反是则相减也)得三度五十二分一十二秒为所求之黄白距纬记定又以十分为一率月距正交七宫二十度五十分所对之较分一十三分四十四秒与七宫二十一度所对之较分一十三分四十六秒相减余二秒为二率设数一分为三率求得四率十分秒之二不足半秒无庸相加即将月距正交七宫二十度五十分之较分一十三分四十四秒为所求之较分记定然后以交角大较数一十七分四十五秒化作一千零六十五秒为一率交角加分三分四十八秒化作二百二十八秒为二率所记之较分一十三分四十四秒化作八百二十四秒为三率求得四率一百七十六秒收作二分五十六秒与所记之黄白距纬三度五十二分一十二秒相加得三度五十五分零八秒为所求之黄白距纬其号为南即为南纬也御制歴象考成后编卷九
## 卷十
钦定四库全书御制厯象考成后编卷十交食表首朔诸根表朔望策表黄道赤经交角表太阳视半径表太隂视半径表太隂距地心表太隂地半径差表太阳实行表太隂实行表首朔诸根表首朔诸根表以首朔及太隂交周逐年列之前用纪年者自癸卯年后逐年之干支也表名首朔者乃逐年天正冬至后第一平朔距冬至次日子正之日时也(求逐年首)(朔法雍正元年癸卯朔应一十五日零三时零一分五十四秒五十五微四十五纎二十四忽二十九芒即癸)(卯年首朔之数此后用加法以本年首朔之数加十二朔策三百五十四日零八时四十八分三十六秒一十)(五微四十一纎二十四忽四十八芒如本年为平年则减去三百六十五日余为次年首朔之数如本年为闰)(年则减去三百六十六日余为次年首朔之数若不足减则再加一朔䇿二十九日一十二时四十四分零三)(秒零一微一十八纎二十七忽零四芒然后减之而本年即为有闰月也若首朔日时分在一日八时以内则)(闰月或在上年葢表中所列首朔固是年前冬至后第一朔然系平朔距平冬至次日子正初刻之日时而定)(朔之距平朔最大者有二十一时定冬至之距平冬至本表三百年中最大者有十一时若定朔退而早定气)(进而迟则定首朔在定冬至之前故本年首朔即为上年十一月朔而闰月即在上年本年即无闰月也表中)(遇此则上年十二月为上年首朔后第十三月本年正月为本年首朔后第二月)太隂交周者乃逐年首朔太隂平行距正交之宫度也(求逐年太隂交周法雍正)(癸卯年首朔太隂交周应六宫二十三度三十六分五十二秒四十九微二十四纎零一忽一十一芒即癸卯)(年首朔太隂平行过正交之数此后用加法如本年无闰月则加十二太隂交周朔䇿十三周天外又八度零)(二分四十七秒零五微三十四纎三十九忽二十四芒即得次年首朔太隂平行过正交之数如本年有闰月)(则加十三太隂交周朔策十四周天外又一宫零八度四十三分零一秒零一微零二纎三十二忽四十一芒)(即得次年首朔太隂平行过正交之数)后列纪日值宿者乃逐年天正冬至次日之干支并所值之宿也至太阳平行太阳引数太隂引数诸根因用日躔月离求实朔望故皆不载用表之法如求乾隆元年丙辰之首朔诸根则察本表纪年自癸卯年后第一丙辰为所求之年乃视丙辰所对各数录之其首朔为二十一日一十三时一十四分零一秒其太隂交周为三宫一十一度三十四分一十四秒三十九微其纪日为四十一其值宿为一十五也(纪日不列干支而列数目者以其便于加减也如丙辰年首朔为二十一日纪日为四十一日相加得六十二)(日满纪法六十去之余二日自初日甲子起算则知乾隆元年首朔为丙寅日也)朔望策表朔望策表以朔策望策及太隂交周朔望策自一月至十三月逐月列之其求朔望策之法与前表同用表之法如求首朔后第五月之朔策则察本表月数五所对各朔策录之其朔䇿为一百四十七日一十五时四十分一十五秒其太隂交周朔策为五宫零三度二十一分零九秒三十七微求望策倣此黄道赤经交角表黄道赤经交角表按二分二至分顺逆列之二分后之各宫列扵上二至后之各宫列扵下太阳实行在上六宫者用顺度太阳实行在下六宫者用逆度俱与前表同因黄赤大距比前表小三十秒故交角之数比前表稍大耳用表之法以太阳实行之宫对实行之度其纵横相遇即所求之交角也设太阳实行在黄道实沈宫五度求黄道赤经交角则察实沈宫五度所对之数为七十九度三十五分四十四秒即所求之交角也(实沈宫在上故用顺度)若实行有零分者按中比例法求之太阳视半径表太阳视半径表按最卑最高分顺逆列之最卑后六宫列扵上最高后六宫列扵下前后列实引度太阳实引在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度中列太阳视半径之分秒即太阳自最卑至最高逐度之视半径分秒也用表之法以太阳实引之宫对实引之度其縦横相遇即所求之太阳视半径也设太阳实引一宫九度求视半径则察一宫九度所对之数为一十六分一十九秒即所求之太阳视半径也(一宫在上故用顺度)实引有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度视半径所差甚微故也太隂视半径表太隂视半径表按最高最卑分顺逆列之最高后六宫列于上最卑后六宫列于下(太阳引数自最卑起初宫顺行故列扵上之初宫至)(五宫为最卑后六宫列扵下之六宫至十一宫为最高后六宫太隂引数自最高起初宫顺行故列于上之初)(宫至五宫为最高后六宫列于下之六宫至十一宫为最卑后六宫)前后列实引度太隂实引在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度中列太隂大小两视半径之分秒盖太隂本天心距地数(即两心差)有大小之不同则视半径亦有大小之异最高视径小而两心差之大者为尤小最卑视径大而两心差之大者为尤大故按两心差之大小各求其逐宫逐度之视半径而分列之也用表之法以太隂实引之宫度及本天心距地数察其相对之分秒即所求之太隂视半径也若本天心距地数在大小之间者用中比例法求之设太隂实引为六宫八度本天心距地数为六五九七八九求太隂视半径则以实引六宫八度所对最大两心差之视半径一十六分四十七秒与所对最小两心差之视半径一十六分二十三秒相减余二十四秒为两视半径之较(六宫)(在下故用逆度)乃以最大两心差六六七八二○与最小两心差四三三一九○相减余二三四六三○为一率所设本天心距地数六五九七八九与最小两心差四三三一九○相减余二二六五九九为二率两视半径较二十四秒为三率求得四率二十三秒与最小两心差之视半径一十六分二十三秒相加(因最大两心差之视半径大扵最小两心)(差之视半径故相加)得一十六分四十六秒即所求之太隂视半径也实引有零分者满三十分以上则进作一度不用比例因逐度视半径所差甚微故也太隂距地心表太隂距地心表按太隂实引宫度分顺逆列之初宫至五宫顺列于上六宫至十一宫逆列于下前后列实引度中列最大两心差与最小两心差逐宫逐度太隂距地心数旁列与地倍分宫在上者用顺度宫在下者用逆度用表之法以太隂实引宫度及本天心距地数(即两心差)察月距地数及倍数其縦横相遇即所求之月距地心数及倍数也实引以逐度为率本天心距地数以最大数六六七八二○与最小数四三三一九○为率若太隂实引有零分及本天心距地心数在大小之间者用三次比例法求之设太隂实引为三宫一十八度四十三分本天心距地心数为四五五九四一求月距地心数则以六十分为一率实引三宫一十八度所对之最小两心差四三三一九○之月距地心数九八四九三八八与下层三宫一十九度所对之最小两心差四三三一九○之月距地心数九八四二四二四相减余六九六四为二率设数四十三分为三率求得四率四九一九与三宫一十八度所对之最小两心差四三三一九○之月距地心数九八四九三八八相减(因十八度所对之距地心)(数大于十九度所对之距地心数故相减反是则相加也)余九八四四四六七为所求月距地心数本位又以六十分为一率实引三宫一十八度所对最大两心差六六七八二○之月距地心数九七五四一○八与下层三宫一十九度所对最大两心差六六七八二○之月距地心数九七四三五五六相减余一○五五二为二率设数四十三分为三率求得四率七五六二与三宫一十八度所对最大两心差六六七八二○之月距地心数九七五四一○八相减(相减之理与前同)余九七四六五四六为所求月距地心数次位乃以最大两心差六六七八二○与最小两心差四三三一九○相减余二三四六三○为一率本天心距地数四五五九四一与最小两心差四三三一九○相减余二二七五一为二率本位月距地心数九八四四四六七与次位月距地心数九七四六五四六相减余九七九二一为三率求得四率九四九五与本位月距地心数九八四四四六七相减得九八三四九七二即所求之月距地心数也如求月距地倍数则以六十分为一率实引三宫一十八度所对最小两心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十八分与下层三宫一十九度所对最小两心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十四分相减余四分为二率设数四十三分为三率求得四率三分与三宫一十八度所对最小两心差四三三一九○旁列之倍分五十八倍八十八分相减余五十八倍八十五分为所求距地倍数本位又以六十分为一率实引三宫一十八度所对最大两心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍三十一分与下层三宫一十九度所对最大两心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍二十五分相减余六分为二率设数四十三分为三率求得四率四分与三宫一十八度所对最大两心差六六七八二○旁列之倍分五十八倍三十一分相减余五十八倍二十七分为所求距地倍数次位乃以最大两心差六六七八二○与最小两心差四三三一九○相减余二三四六三○为一率本天心距地数四五五九四一与最小两心差四三三一九○相减余二二七五一为二率本位距地倍数五十八倍八十五分与次位距地倍数五十八倍二十七分相减余五十八分为三率求得四率六分与本位距地倍数五十八倍八十五分相减余五十八倍七十九分即所求之距地倍数也太隂地半径差表太隂地半径差表按最高最卑分顺逆列之最髙后六宫列于上最卑后六宫列于下前后列实引度太隂实引在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度中列太隂大小两地半径差之分秒乃太隂自最髙至最卑逐度所生地平上之最大地半径差也盖太隂本天心距地数有大小之不同则地半径差亦有大小之异最髙地半径差小而两心差之大者为尤小最卑地半径差大而两心差之大者为尤大故按两心差之大小各求其逐宫逐度之地半径差而分列之也用表之法以太隂实引之宫度及本天心距地数察其相对之分秒即所求太隂在地平上之地半径差也若本天心距地数在大小之间者用中比例法求之设太隂实引为六宫八度本天心距地数为六五九七八九求太隂在地平上之地半径差则以实引六宫八度所对最大两心差之地半径差六十一分三十五秒与所对最小两心差之地半径差六十分零五秒相减余一分三十秒为两地半径差之较(六宫在下故用逆度)乃以最大两心差六六七八二○与最小两心差四三三一九○相减余二三四六三○为一率所设本天心距地数六五九七八九与最小两心差四三三一九○相减余二二六五九九为二率两地半径差较一分三十秒化作九十秒为三率求得四率八十六秒小余九进作八十七秒收为一分二十七秒与所对最小之地半径差六十分零五秒相加(因最大两心差之地半径差大于最小两心差之地半径差故相加)得六十一分三十二秒即所求太隂在地平上之地半径差也实引有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度地半径差所差甚微故也如求本日地平髙弧六十度之地半径差则以半径一千万为一率本日太隂在地平最大地半径差六十一分三十二秒化作三千六百九十二秒为二率地平髙弧六十度之余弦五百万为三率(即距天顶之正弦)求得四率一千八百四十六秒收作三十分四十六秒即所求本日高弧六十度之地半径差也(前表以太隂距地与地半径比例数及髙度列)(表故中列地平髙弧逐度之地半径差今以实引列表故止列太隂在地平之地半径差而求髙弧逐度之地)(半径差则又用比例法解见日躔地半径差篇)太阳实行表太阳实行表按最卑最高分顺逆列之最卑后六宫列于上最高后六宫列于下前后列引数度太阳引数在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度中列逐宫逐度之太阳一小时之实行(求太阳实行之法与前表同)用表之法以太阳引数之宫对引数之度縦横相遇即所求之太阳实行也设太阳引数为一宫二十五度求太阳实行则察一宫二十五度所对之数为二分三十一秒即所求之太阳实行也(一宫在上故用顺度)引数有零分者满三十分以上则进作一度不用中比例因逐度实行所差甚微故也太隂实行表太隂实行表按最髙最卑分顺逆列之最髙后六宫列于上最卑后六宫列于下前后列引数度太隂引数在上六宫者用顺度在下六宫者用逆度中列逐宫逐度太隂一小时之大小两实行(太隂一小时之平行恒为三十二分五十六秒二十)(八微而实行则有迟疾盖因均数时时不同故也旧法以朔望时太隂止有初均数无二三均故亦如求太阳)(实行之法以一度为一率逐度初均数之较为二率太隂一小时之引数为三率求得四率为一小时初均数)(之较与太隂一小时之平行相加减即得逐宫逐度太隂一小时之实行今以太隂唯在朔望时无二三均若)(一小时之前与一小时之后则仍有二三均然则前所得太隂实行犹为初实行也以朔望前后之二均计之)(毎度应加七十秒以朔望前后最大之三均计之毎度应加三秒合二三均计之毎度应加七十三秒而一小)(时月距日之行则约有半度强故以毎度应加之二三均七十三秒折半得三十六秒半为毎一小时应加二)(三均之数与前所推一小时太隂初实行相加方为太隂一小时实在之实行也)盖太隂本天心距地数有大小之不同则太隂之初均数与一小时之实行亦有大小之异最髙行迟而两心差之大者为尤迟最卑行疾而两心差之大者为尤疾故按两心差之大小各求其逐宫逐度太隂一小时之实行而分列之也用表之法以太隂引数之宫度及本天心距地数察其相对之分秒即所求之太隂实行也若本天心距地数在大小之间者用中比例法求之设太隂引数为初宫十五度本天心距地数为六五九七八九求太隂一小时之实行则以引数初宫十五度所对最大两心差之实行二十九分二秒与所对最小两心差之实行三十分二十秒相减余一分十八秒为两实行之较(初宫在上故用)(顺度)乃以最大两心差六六七八二○与最小两心差四三三一九○相减余二三四六三○为一率所设本天心距地数六五九七八九与最大两心差六六七八二○相减余八○三一为二率两实行较一分十八秒化作七十八秒为三率求得四率二秒小余六进作三秒与所对最大两心差之实行二十九分二秒相加(最小两心)(差之实行大于最大两心差之实行故相加)得二十九分五秒即所求太隂一小时之实行也若引数有零分者则即以所近最大两心差上下二度之实行比之(所设两心差与最大两心差相近故用最大两)(心差之实行)不用三次比例因最大两心差逐度实行之较与最小两心差逐度实行之较所差甚微故也御制厯象考成后编卷十◆ 《钦定仪象考成-清-》（KR3f0020）
## 御制序
钦定四库全书御制仪象考成序上古占天之事详于虞典书称在璇玑玉衡以齐七政后世浑天诸仪所为权舆也厯代以来递推迭究益就精宻所传六合三辰四逰仪之制本朝初年犹用之我皇祖圣祖仁皇帝奉若天道研极理数尝用监臣南怀仁言改造六仪辑灵台仪象志所司奉以测验其用法简当如定周天度数为三百六十周日刻数为九十有六分黄赤道以备仪制减地平环以清仪象创制精宻尤有非前代所及者顾星辰循黄道行每七十年差一度黄赤二道之相距亦数十年差一分所当随时厘订以期脗合而六仪之改创也占候虽精体制究未协于古赤道一仪又无游环以应合天度志载星象亦间有漏略躐次者我皇祖精眀歩天定时之道使用六仪度至今必早有以随时更正矣予小子法祖敬天虽切于衷而推测协纪之方实未夙习兹因监臣之请按六仪新法参浑仪旧式制为玑衡抚辰仪绘图著说以禆测候并考天官家诸星纪数之阙者补之序之紊者正之勒为一书名曰仪象考成纵予斯之未信期允当之可循由是仪器正天象著而推算之法大备夫制器尚象以前民用莫不当求其至精至宻矧其为授时所本熙绩所关尤不容有秒忽差者折衷损益彰往察来以要诸尽善奉时修纪之道敢弗慎诸至乃基命宥宻所为夙夜孜孜监于成宪者又自有在是为序乾隆二十有一年岁在丙子冬十有一月御笔
## 奏议
钦天监监正加礼部侍郎(臣)戴进贤等谨奏为请㫖増修灵台仪象志表以昭遵守事窃(臣)等西鄙庸愚荷蒙我皇上深仁广覆畀以玑衡重任早夜兢兢唯恐有旷职守伏查康熙十三年蒙圣祖仁皇帝命原任治理歴法兼工部侍郎(臣)南懐仁制造观象台测量日月星辰仪器六座又纂成灵台仪象志一书有解有图有表皆阐明仪器六座所用之法此书乃(臣)监中天文科推测星象所常用者其中诠解用法仪详理备但志中原载星辰循黄道行毎年约差五十一秒合七十年则差一度今为时已久运度与表不符理宜改定再查康熙十三年纂修仪象志时黄道赤道相距二十三度三十二分今测得相距二十三度二十九分志中所列诸表皆据曩时分度所当逐一加修脗合天行庶测验时更觉便于较证又查三垣二十八宿以及诸星今昔多寡不同应以本年甲子为元厘辑増订以资考测(臣)等受恩日久报称无能此乃分所应办故敢冒昧陈奏至修书人员容(臣)于监中拣用数员务期悉心从事书成之日进呈御览恭请钦定伏候睿鉴施行谨奏乾隆九年十月初六日具奏奉㫖著荘亲王鄂尔㤗张照议奏钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏十月初六日发下戴进贤等奏折一件奉㫖著荘亲王鄂尔泰张照议奏钦此该(臣)等议得戴进贤等折请修灵台仪象志一书系伊衙门应办之事又即请用伊衙门所有之人不支桌饭银两自应如所请令其精详修纂完竣进呈御览伏候圣训谨奏乾隆九年十一月初六日具奏奉㫖依议仍著荘亲王鄂尔泰张照兼管钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为请㫖事乾隆九年十一月二十二日(臣)等奏称三辰公晷仪制规倣玑衡其用广大简易为从前所未有请制造大仪安置观象台上以便测量之用如蒙俞允(臣)等㑹同海望三和办理等因奉㫖好依议钦此本月二十六日奉㫖观象台所存旧仪座架废铜著即为制造新仪之用钦此该(臣)等㑹看得观象台现设黄道赤道二仪俱径六尺座髙四尺五寸今应按其尺度制造谨用五分之一拟制式样恭呈御览伏候圣训再铸造仪器若另立作厰置办器具未免糜费钱粮今郎中佛保现在雍和宫办理铸造之事请就便交与佛保处遵㫖用旧仪座架废铜铸造如有不敷再行配搭添补(臣)等已𣲖出内务府郎中杨作新公义副总领叶文成(臣)馆算学教习何国栋原任钦天监五官正刘裕锡㑹同监制督工(臣)等不时前往查看一切作法仍㑹同西洋人戴进贤刘松龄等商酌辨理其需用工料钱粮数目令佛保等细加核估(臣)等另行奏闻为此谨奏请㫖乾隆十年三月三十日具奏奉㫖好照议办理先依此五分之一式样制造铜仪一座进呈钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为奏闻事乾隆十年三月三十日(臣)等奏称观象台现设黄道赤道二仪俱径六尺座髙四尺五寸今铸造三辰仪应按其尺度制造谨用五分之一拟制式样恭呈御览请交与佛保处遵㫖用旧仪座架废铜铸造其需用工料钱粮数目令佛保等细加核估(臣)等另行奏闻等因奉㫖好照议办理先依此五分之一式様制造铜仪一座进呈钦此钦遵(臣)等随令郎中佛保等将五分之一铜仪一座现今敬谨制造外其观象台添设三辰仪据该郎中佛保等约估得铸造三辰仪并运往安设等项办买物料计银八百四十八两三钱四分六厘食粮匠役一万三千三百三十工毎工饭银三分六厘计银四百七十九两八钱八分外雇匠役一万八千八百二十六工毎工银一钱五分四厘计银二千八百九十九两二钱四厘壮夫七百十四名每名银八分计银五十七两一钱六分以上办买物料匠役工价饭银共约需银四千二百八十四两五钱九分相应向广储司领取应用如有余剰核明缴回倘不敷用再行请领统俟工完之日核实报销谨将约估需用工料钱粮细数并行取物料另缮清单一并恭呈御览伏候圣训谨此奏闻乾隆十年七月十七日具奏奉㫖知道了钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为遵㫖増修灵台仪象志恒星经纬度表告成恭呈御览仰祈圣鉴事乾隆九年十一月内钦天监监正戴进贤等奏请増修灵台仪象志一折(臣)允禄等遵㫖议覆系伊衙门应办之事应如所请令其精详修纂完竣进呈等因奉㫖依议仍著荘亲王鄂尔泰张照兼管钦此(臣)等谨查汉以前星官名数今无全书晋志载吴太史令陈卓总巫咸甘石三家星官著于图录凡二百八十三官一千四百六十四星今亦不见原本隋丹元子步天歌与陈卓数合后之言星官者皆以步天歌为凖康熙十三年监臣南懐仁修仪象志星名与古同者总二百六十一官一千二百一十星比步天歌少二十二官二百五十四星又于有名常数之外増五百一十六星又多近南极星二十三官一百五十星监臣戴进贤等据西洋新测星度累加测验仪象志尚多未合又星之次第多不顺序(臣)何国宗恭奉圣训宜加厘正(臣)刘松龄(臣)鲍友管率同监员明安图等详加测算著之于图(臣)允禄等复公同考定总计星名与古同者二百七十七官一千三百一十九星比旧仪象志多十六官一百零九星与步天歌为近其中次第颠倒凌躐(臣)等顺序改正者一百五官四百四十五星其尤彰明较著者二十八宿次舎自古皆觜宿在前参宿在后其以何星作距星史无明文仪象志以参宿中三星之西一星作距星则觜宿在后参宿在前今依次顺序以参宿中三星之东一星作距星则觜前参后与古合亦经顺序改正又于有名常数之外増一千六百一十四星按其次序分注方位以备稽考又近南极星二十三官一百五十星中国所不见悉仍西测之旧共计恒星三百官三千零八十三星编为总纪一卷黄道经纬度表赤道经纬度表各十二卷月五星相距恒星经纬度表一卷天汉黄赤经纬度表四卷共成书三十卷书内星图体制微小谨另绘大图一并恭呈御览伏乞皇上训定钦赐嘉名御制序文冠于卷端交武英殿刋刻以垂永久所有襄事诸臣职名应否载入另折开列请㫖为此谨奏乾隆十七年十一月二十二日具奏奉㫖知道了书名用仪象考成职名准开载新测恒星并増星图象著照干清宫陈设天球式様制造二分进呈钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为请㫖更定时宪书觜参之序以归画一事查时宪书内铺注二十八宿值日古法觜宿在前参宿在后自用西法以来改为参宿在前觜宿在后乾隆五年钦天监修协纪办方书奏称星宿值日于算法疎密全无关涉请依古改正经大学士九卿议覆二十八宿值日载在时宪书既于算法全无关涉则亦不必更改等因在案今(臣)等奉命重修仪象志恒星经纬度表查明星座次第顺序改正参宿在后觜宿在前列于恒星经纬度表恭候钦定则乾隆十九年之七政书即用此表推算若时宪书之值宿仍依参前觜后铺注则与七政书不能画一请以乾隆十九年为始依古觜前参后改正铺注则七政书之星度时宪书之日宿皆一例顺序矣(臣)等未敢擅便伏乞皇上圣鉴勅下大学士九卿再行议覆施行为此谨奏请㫖又夹片谨查二十八宿星次或自下而上(如角室等宿)或自东而西(如虚毕等宿)或自西而东(如心尾等宿)或自中而左右旋转(如斗牛等宿)而以第一星作距星则各宿皆同惟觜参二宿相近自古星躔分野皆觜宿在前参宿在后西法以参宿中三星之西一星作距星则参宿在前觜宿在后今以参宿中三星之东一星作距星则觜前参后与古合再查二十八宿分列四方每方各七宿星家分配七政皆木金土日月火水为序东方七宿角亢氐房心尾箕属火箕属水北方七宿斗牛女虚危室壁室属火壁属水南方七宿井鬼柳星张翼轸翼属火轸属水皆系火前水后惟西方七宿若以奎娄胃昴毕参觜为序参属水觜属火则水前火后与三方之序不协今改觜前参后则火前水后与三方之序脗合干隆十七年十一月二十四日具奏奉㫖大学士㑹同九卿议奏钦此大学士忠勇公(臣)傅恒等谨题为遵㫖议奏事乾隆十七年十一月二十六日内阁抄出和硕荘亲王等具奏内开查时宪书内铺注二十八宿值日古法觜宿在前参宿在后自用西法以来改为参宿在前觜宿在后乾隆五年钦天监修协纪辨方书奏称星宿值日与算法疎密全无关涉请依古改正经大学士九卿议覆二十八宿值日载在时宪书既于算法全无关涉则亦不必更改等因在案今臣等奉命重修仪象志恒星经纬度表查明星座次第顺序改正参宿在后觜宿在前列于恒星经纬度表恭候钦定则乾隆十九年之七政书即用此表推算若时宪书之值宿仍依参前觜后铺注则与七政书不能画一请以乾隆十九年为始依古觜前参后改正铺注则七政书之星度时宪书之值宿皆一例顺序矣伏乞皇上圣鉴勅下大学士九卿再行议覆施行谨奏请㫖又夹片内开谨查二十八宿星次或自下而上(如角室等)(宿)或自东而西(如虚毕等宿)或自西而东(如心尾等宿)或自中而左右旋转(如斗牛等宿)而以第一星作距星则各宿皆同惟觜参二宿相近自古星躔分野皆觜宿在前参宿在后西法以参宿中三星之西一星作距星则参宿在前觜宿在后今以参宿中三星之东一星作距星则觜前参后与古合再查二十八宿分列四方每方各七宿星家分配七政皆木金土日月火水为序东方七宿角亢氐房心尾箕尾属火箕属水北方七宿斗牛女虚危室壁室属火壁属水南方七宿井鬼柳星张翼轸翼属火轸属水皆系火前水后惟西方七宿若以奎娄胃昴毕参觜为序参属水觜属火则水前火后与三方之序不协今改觜前参后则火前水后与三方之序脗合等因具奏奉㫖大学士㑹同九卿议奏钦此钦遵抄出到部该(臣)等㑹议得周天躔度以二十八宿为经星经星之星数多寡不一所占之度数亦广狭不一而前后相次总以各宿之第一星为距星此天象之自然古今所不易也其间惟觜参二宿相距最近觜止三星形如品字其所占之度狭参有七星三星平列于中四星角出于外其所占之度广古法以参宿中三星之东一星作距星则觜前参后康熙年间用西法算书以参中三星之西一星作距星遂改为参前觜后故时宪书内星宿值日亦依此序铺注乾隆五年钦天监修协纪辨方书曾奏称宿之距星惟人所指星宿值日于算法疎密全无关碍请依古改正当经大学士九卿奉㫖议覆以星宿值日既于算法全无关碍则既经康熙年间改定今亦不必更改等因在案惟是宿之距星惟人所指而以星度考之觜之占度本狭古以觜在前则距参一度而分野之度狭参之占度本广古以参在后则距井十度三十六分而分野之度广若如西法以参在前以觜在后是则参反距觜一度而参宿距井之十度三十六分移而归觜似不如古法为优今荘亲王等既奏称奉命重修仪象志恒星经纬度表查明星座次第顺序改正参宿在后觜宿在前列于恒星经纬度表乾隆十九年之七政书即用此表推算并时宪书之值宿亦依古觜前参后改正铺注等语是觜参之前后现今依古改正至时宪书之值宿虽与七政书算法全无关碍而七政书乃时宪书之所从出其铺注列宿次第未便与推算之星度互异应如所奏请以乾隆十九年为始时宪书之值宿依古改正仍以觜前参后铺注觜参之前后既经顺序改正与恒星经纬度表相合则二十八宿分列四方星家以七宿分配七政皆木金土日月火水为序者西方七宿亦火前水后与三方之序脗合矣恭候命下之日令钦天监遵照办理可也再此本系礼部主稿合并声明(臣)等未敢擅便谨题请㫖乾隆十七年十二月十四日题本月十六日奉㫖依议钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为请㫖事乾隆九年十一月内(臣)等折奏三辰公晷仪制规倣玑衡其用广大简易为从前所未有请制造大仪安置观象台上以便测候之用如蒙俞允(臣)等㑹同海望三和办理等因奉㫖好依议钦此钦遵今已制造安设讫(臣)等谨按尚书蔡沈注云宋钱乐作浑天仪即璇玑玉衡遗法本朝因之为仪三重其在外者曰六合仪次其内曰三辰仪其最在内者曰四游仪(臣)等从前制造三辰公晷规倣其制省为两重要带赤道以其一器而备日月星辰之用故名三辰今制造大仪(臣)等先经进呈式様已即仍为三重惟省黄道地平二环以免遮蔽实即玑衡遗法而更为简明若仅名三辰于义未备伏请皇上钦赐嘉名并请于仪之正中子午双环南面镌刻乾隆甲子年御制清汉字様以垂永久伏祈圣训为此谨奏请㫖乾隆十九年正月初五日具奏奉㫖知道了朱笔批出玑衡抚辰仪钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为销算奏闻事先经(臣)等奏称观象台添设三辰仪据原任郎中佛保等约估得铸造并运往安设等项办买物料需银八百四十八两三钱四分六厘匠役等工价饭食需银三千四百三十六两二钱四分四厘以上共需银四千二百八十四两五钱九分向广储司领取应用如有余剰核明缴回倘不敷用再行请领统俟工完之日核实报销等因具奏奉㫖知道了钦此钦遵在案今制造得三辰仪子午圏二个天常赤道圏一个游旋赤道圈一个过极圏二个四游圏二个大龙牙二根小龙牙四根龙柱二根狮子八个云墪一个地平一件山子四个螺蛳四个直距窥管三根业经运往观象台合对安设讫查铸造三辰仪共实用过铜一万四千零二十四斤五两此内除观象台旧有废铜六千二百二十斤外添用过铸炉处铜七千八百零四斤五两办买物料及匠役工价饭食共实用过银三千五百六十九两八钱四分六厘余剰银七百十四两七钱四分四厘谨将用过铜斤办买物料银两及行取过物料数目另缮清单一并恭呈御览俟命下之日交各该处查照外余剰银两缴回广储司可也为此谨具奏闻乾隆十九年正月初五日具奏奉㫖知道了钦此(刑部左侍郎镶红旗满洲副都统兼管钦天监事务臣觉离勒尔森工部左侍郎乐部大臣里行兼管钦天监事务臣何国宗)谨奏为御制仪器吿成恭疏陈谢并请编著仪说以垂永久事乾隆九年十月二十七日皇上驾幸观象台特允荘亲王等所请规放玑衡制造大仪安设台上以裨测候乾隆十九年正月初五日赐名御制玑衡抚辰仪三月十六日镌刻清汉文讫钦惟(一)皇上道通法象学贯天人钦若授时齐七政而万邦惟宪文明熙载抚五辰而庶绩其凝固已嫓美勲华合符化育矣乃以灵台旧器赤道动静未分前代浑仪天度竒零不尽爰稽古制聿阐新规两极兼三逺绍唐虞遗法七环省二秘参易简真源诚千古之巨观万年之大宝也(臣)等瞻天仰圣无任屏营抑(臣)等更有请者仪器法理精微功用广大康熙十三年新制六仪告成(臣)监请修仪象志十六卷星度之外仪说附之乾隆九年(臣)监监正戴进贤等因星度尚有未合奏请重修蒙皇上勅交荘亲王管理乾隆十七年十一月书成三十卷赐名钦定仪象考成武英殿刋刻将次竣事今御制玑衡抚辰仪告成伏请仍勅荘亲王率同(臣)监编著仪说附成全帙宣付史馆以传永久则理明法备球图共焕光华象显义彰奕禩永为典则矣为此恭疏陈谢具奏请㫖乾隆十九年三月三十日具奏奉㫖知道了著交荘亲王钦此和硕荘亲王(臣)允禄等谨奏为遵㫖编著仪说恭呈御览仰祈圣训事乾隆十九年三月三十日(臣)勒尔森(臣)何国宗等具奏御制仪器告成恭疏陈谢并请编著仪说以垂永久一折奉㫖知道了著交荘亲王钦此钦遵(臣)等伏惟唐虞之世首重玑衡汉唐以来代有制作我朝康熙八年圣祖仁皇帝命监(臣)南懐仁新制六仪康熙五十二年命监(臣)纪利安制地平经纬仪精义利用于斯大备我皇上敬天法祖齐政勤民酌古凖今御制玑衡抚辰仪颁设灵台用禆测候功用广大法理精微(臣)等钦遵圣训编著仪说首仪制次制法次用法次算法成书上下二卷并从前具奏所奉谕㫖叙于巻端谨缮稿本恭呈御览伏请皇上训定交武英殿刋刻冠于钦定仪象考成之首所有前后监造诸(臣)职名另折开列应否载入伏候谕㫖遵行为此谨奏请㫖乾隆十九年闰四月二十九日具奏奉㫖著刋刻钦此
## 职名
乾隆十七年十一月二十二日奉㫖开载总理协理考测推算绘图诸臣职名总理和 硕 荘 亲 王(臣)允 禄︵字位过密 无法显示︶ (臣)鄂尔泰原任经筵讲官刑部尚书乐部大臣加太子太保吏部尚书(臣)张 照协理刑部左侍郎镶红旗满洲副都统兼管钦天监事务(臣)觉罗勒尔森工部左侍郎乐部大臣里行兼管钦天监事务(臣)何国宗考测原任钦天监监正加礼部侍郎衔(臣)戴进贤钦 天 监 监 正(臣)刘松龄钦 天 监 监 副(臣)鲍友管推算兵部郎中留钦天监五官正任(臣)明安图钦 天 监 春 官 正(臣)何国卿钦 天 监 秋 官 正(臣)孙君徳工部主事留钦天监冬官正任(臣)鲍钦辉钦 天 监 博 士(臣)鲍懐仁钦 天 监 博 士(臣)路 铨钦 天 监 博 士(臣)白士杰钦 天 监 博 士(臣)钮兆凤钦 天 监 博 士(臣)李 鏊钦 天 监 天 文 生(臣)徐文学钦 天 监 天 文 生(臣)何廷禄钦 天 监 天 文 生(臣)张 肱钦 天 监 天 文 生(臣)鲍懐礼钦 天 监 天 文 生(臣)陈际新绘图钦 天 监 五 官 灵 台 郎(臣)欧天瑞钦 天 监 天 文 生(臣)潘从源钦 天 监 天 文 生(臣)金 渊钦 天 监 天 文 生(臣)文有徳乾隆十九年闰四月二十九日奉㫖开载总理协理监造诸臣职名总理和 硕 荘 亲 王(臣)允 禄协理原任经筵讲官刑部尚书乐部大臣加太子太保吏部尚书(臣)张 照太子少保内大臣户部尚书总管内务府大臣(臣)海 望工部左侍郎乐部大臣里行兼管钦天监事务(臣)何国宗工 部右侍郎总管内务府大臣(臣)三 和原任钦天监监正加礼部侍郎衔(臣)戴进贤钦天监监正加三品职衔食俸(臣)刘松龄钦 天 监 监 副(臣)鲍友管钦 天 监 监 副(臣)傅作霖监造原 任 内 务 府 郎 中(臣)佛 保内 务 府 郎 中(臣)杨作新内 务 府 郎 中(臣)公 义钦 天 监 中 官 正 (臣)何国栋内 务 府 催 总(臣)舒 山原 任 内 务 府 副 催 总(臣)叶文成钦 天 监 博 士(臣)刘裕锡
## 目录
钦定四库全书 子部六
钦定仪象考成目录 天文算法类一(推步之属)卷首上御制玑衡抚辰仪说卷上卷首下御制玑衡抚辰仪说卷下卷一恒星总纪卷二恒星黄道经纬度表一卷三恒星黄道经纬度表二卷四恒星黄道经纬度表三卷五恒星黄道经纬度表四卷六恒星黄道经纬度表五卷七恒星黄道经纬度表六卷八恒星黄道经纬度表七卷九恒星黄道经纬度表八卷十恒星黄道经纬度表九卷十一恒星黄道经纬度表十卷十二恒星黄道经纬度表十一卷十三恒星黄道经纬度表十二卷十四恒星赤道经纬度表一卷十五恒星赤道经纬度表二卷十六恒星赤道经纬度表三卷十七恒星赤道经纬度表四卷十八恒星赤道经纬度表五卷十九恒星赤道经纬度表六卷二十恒星赤道经纬度表七卷二十一恒星赤道经纬度表八卷二十二恒星赤道经纬度表九卷二十三恒星赤道经纬度表十卷二十四恒星赤道经纬度表十一卷二十五恒星赤道经纬度表十二卷二十六月五星相距恒星黄赤经纬度表卷二十七天汉经纬度表一卷二十八天汉经纬度表二卷二十九天汉经纬度表三
## 提要
巻三十天汉经纬度表四(臣)等谨案御定仪象考成三十二卷乾隆九年奉勅撰乾隆十七年告成御制序文颁行卷首上下为御制玑衡抚辰仪卷第一之十三为总纪恒星及恒星黄道经纬度表卷第十四之二十五为恒星赤道经纬度表卷第二十六为月五星相距恒星黄赤道经纬表巻第二十七之三十为天汉经纬度表按玑衡之制马融郑元注尚书皆以为浑仪是其遗法唐宋而后日以加详然规环既多遮蔽𨼆映之患势不能免郭守敬析之为简仰二仪人称其便康熙十三年圣祖仁皇帝命监臣南懐仁新制六仪赤道黄道分为二器皆不用地平圏而地平象限纪限天体诸仪则地平之经纬与黄赤之错综皆已毕具又命监臣纪利安制地平经纬仪合地平象限二仪而为一其用尤便皇上亲莅灵䑓徧观仪象以浑天制最近古而时度信宜从今改制新仪锡名曰玑衡抚辰诚酌古凖今损益尽善仪制凡三重其在外者即古之六合仪而不用地平圏其正立双环为子午圈斜倚单环为天常赤道圏其南北二极皆设圆轴轴本贯于子午双环中空而轴内向以贯内二重之环又依京师北极髙度而上五十度五分为天顶于天顶拖垂线以代地平圈故不用地平圈也其内即古之三辰仪而不用黄道圏其贯于二极之双环为赤极经圏结于赤极经圏之中要与天常赤道平运者为逰旋赤道自经圏之南极作两象限弧以承之测得三辰之赤道经纬度则黄道经纬可推且黄赤距纬古逺今近縦或日乆有差而仪器无庸改制故不用黄道圏也又其在内即古之四㳺仪贯于二极之双环为四游圈定于游圏之两极者为直距绾于直距之中心者为窥衡㳺圏中要设直表以指经度及时窥衡右旁设直表以指纬度此则古今所同也又星辰循黄道行每七十年差一度黄赤大距亦数十年而差一分灵台仪象志中所列诸表皆据曩时分度今则逐时加修得岁差真数其三垣二十八宿以及诸星今昔多少不同者并以乾隆九年甲子为元验诸实测比旧増一千六百一十四星亦前古之所未闻宻考天行随时消息所以示万年修改之道者举不越乎是编之范围矣乾隆四十六年五月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 卷首上
钦定四库全书钦定仪象考成卷首上御制玑衡抚辰仪说卷上仪制制法御制玑衡抚辰仪说卷上之一仪制全仪子午圏天常赤道赤极经圏游旋赤道四游圏指时度表借弧指时度表指纬度表立表平行立表平行借弧表绾经度表绾时度表平行线测经度表虞书舜典在璇玑玉衡以齐七政孔颖逹疏曰玑衡者王者正天文之器汉世以来谓之浑天仪者是也马融云浑天仪可旋转故曰玑衡其横箫所以视星宿也蔡邕云衡长八尺孔径一寸下端望之以视星辰盖悬玑以象天而衡望之转玑窥衡以知星宿是其说也上天之体不可得知测天之事见于经者惟此璇玑玉衡一事而已杨子法言云或问浑天曰落下闳营之鲜于妄人度之耿中丞象之几乎几乎莫之能违也闳与妄人武帝时人宣帝时司农中丞耿夀昌始铸铜为之象史官施用焉江南宋元嘉年太史丞钱乐(陈氏师凯曰钱乐本名乐)(之孔疏脱之字)铸铜作浑天仪传于齐梁周平江陵迁于长安尚书蔡注曰宋钱乐铸铜作浑天仪衡长八尺孔径一寸玑径八尺圆周二丈五尺强转而望之以知日月星辰之所在即璇玑玉衡之遗法也厯代以来其法渐密本朝因之为仪三重其在外者曰六合仪平置黒单环上刻十二辰八干四隅在地之位以凖地面而定四方侧立黒双环背刻去极度数以中分天脊直跨地平使其半入地下而结于其子午以为天经斜倚赤单环背刻赤道度数以平分天腹横绕天经亦使半出地上半入地下而结于其卯酉以为天纬三环表里相结不动其天经之环则南北二极皆为圆轴虚中而内向以挈三辰四游之环以其上下四方于是可考故曰六合次其内曰三辰仪侧立黒双环亦刻去极度数外贯天经之轴内挈黄赤二道其赤道则为赤单环外依天纬亦刻宿度而结于黒双环之卯酉其黄道则为黄单环亦刻宿度而又斜倚于赤道之腹以交结于卯酉而半入其内以为春分后之日轨半出其外以为秋分后之日轨又为白单环以承其交使不倾垫以其日月星辰于是可考故曰三辰其最在内者曰四游仪亦为黒双环如三辰仪之制以贯天经之轴其环之内则两面当中各施直距外指两轴而当其要中之内面又为小窽以受玉衡要中之小轴使衡既得随环东西运转又可随处南北低昻以待占候者之仰窥焉以其东西南北无不周徧故曰四游此其法之大畧也今考前史汉初落下闳造浑天仪本无黄道或云贾逵所加或云李淳风所加或云一行所加而宋钱乐之浑仪之制虽有黄道并无黄道经圈其四游圈亦不贯于黄极则亦未尽黄道之用元郭守敬作简仪乃分浑仪而变其制别设立运圏以测地平经纬度而不设黄道圏盖黄道与黄极经圏成经纬设黄道又设经圏则圏多而不便于测候故不用黄道而专用赤道圈明正统三年铸铜浑仪简仪于北京即宋元遗法也我朝康熙八年圣祖仁皇帝命监臣南懐仁新制六仪赤道黄道分为二器皆不用地平圏而地平象限天体诸仪则地平之经纬与黄赤之错综皆已毕具康熙五十二年又命监臣纪利安制地平经纬仪合地平象限二仪而为一其用尤便制作之妙于斯极矣我皇上敬天法祖齐政勤民亲莅灵台徧观仪象以浑天制最近古而时度信宜从今观其㑹通斯成巨典于是用今之数目合古之型模御制玑衡抚辰仪用裨测候诚唐虞之遗意昭代之新规也仪制三重其在外者即古之六合仪而不用地平圏其正立双环为子午圏两面皆刻周天三百六十度自南北极起初度至中要九十度是为天经斜倚单环为天常赤道圏两面皆刻周日十二时以子正午正当子午双环中空之半而结于其中要是为天纬其南北二极皆设圆轴轴本实于子午双环中空之间而轴内向以贯内二重之环其下承以云座仰面正中开双槽以受双环东面正中开云窝以受垂球下面置十字架施螺旋以取平架之东西两端各植龙柱龙口衔珠开孔以承天常赤道卯酉之两轴依观象台测定南北正线将座架安定则平面之四方正又依京师北极出地三十九度五十五分自北极而上五十度五分即上应天顶自南极而下五十度五分即下对地心而应天顶之冲于天顶施小钉悬垂线而垂适当地心又适切于双环之面不即不离则上下正立面之四方亦正而地平已在其中故不用地平圏也次其内即古之三辰仪而不用黄道圏其贯于二极之双环为赤极经圏两极各设轴孔以受天经之轴两面皆刻周天三百六十度结于赤极经圏之中要与天常赤道平运者为游旋赤道圈两面皆刻周天三百六十度与天之赤道旋转相应自经圏之南极作两象限弧以承之使不倾垫测得三辰之赤道经纬度则黄道经纬可推且黄道与赤道之相距古逺今近纵或日久有差而仪器无庸改制故不用黄道圏也其在内者即古之四游仪贯于二极之双环为四游圏两面皆刻三百六十度定于游圏之两极者为直距绾于直距之中心者为窥衡游圏中要设直表以指经度及时窥衡右旁设直表以指纬度此古今所同无容置议者也是故体制倣乎浑天之旧而时度尤为整齐运量同于赤道新仪而重环更能合应至于借表窥测则上下左右无不宜焉夫羲和遗制不可考已汉世以来或作而不传或传而不久盖制器尚象若斯之难也而稽古宜今至我朝乃臻尽善易系传云备物致用立成器以为天下利莫大乎圣人讵不信乎子午圈所以正南北也天之南北定于两极必先测定南北正线而后安置子午圈则子午圈即为南北之正线南北正而后日轨之髙下时刻之早晚中星之偏度可得而稽也其制双环外径六尺三寸内径五尺六寸六分环面濶三寸二分厚九分中空一寸双环之间四隅各施铜枕合而固之其中空之半为子午正线两面各画三百六十度每度六十分自南北极起初度至中要九十度古曰天经环西法旧曰纬圈盖织丝以直者为经横者为纬古以其圈直立故曰经西法以其为横线所界之度故曰纬今按圈直而度横则其圈宜曰经圈而其度乃为纬度周礼贾公彦疏所谓南北之道谓之经元儒陈氏师凯所谓自北数向南去如机上数纬丝是也自两极起初度者北极出地南极入地其度数皆自两极起算也中要九十度者赤道为帯天之纮距两极各一象限也南北极各设钢轴轴本扁方长三寸濶二寸二分厚一寸实于只环之间以钢螺旋结之轴长六寸径八分正当双环中空之半内向以贯三辰四游之环所以象天枢也天常赤道所以正时刻也天左旋一日一周南北极持其两端而赤道为其横帯以其常定不动故曰天常日循黄道右旋而其随天西转则系赤道之度日行临于赤道之某位即为某时故时刻由赤道而正也其制单环外径六尺一寸二分内径五尺六寸四分环面濶二寸四分厚一寸四分平分其厚为赤道之中线两面各画周日十二时每时初正各四刻每刻十五分每一时当天之三十度每四刻当天之十五度每一分当天之十五分以其子正午正线当子午双环中空之半而结于其中要使其赤道中线适当子午圏之九十度两圈相结成十字直角古曰天纬环西法旧曰赤道经圈盖古以其圈横运故曰纬西法以其为直线所界之度故曰经今按圈横而度直则其圈宜曰纬圈而其度乃为经度周礼贾公彦疏所谓东西之道谓之纬陈氏师凯所谓自东数向西去如机上数经丝是也上面午正时刻线结于子午圈之正北卯正居西酉正居东谓日影对照之时下面则子正居北午正居南卯正居东酉正居西为日行所临之正位也赤极经圏所以帯赤道也亦曰过极圏制如子午双环在内而差小外径五尺五寸六分内径五尺一寸二分环面濶二寸二分厚八分中空一寸二分两面皆画三百六十度每度六十分一面自两极起初度至赤道九十度以应天经一面自赤道起初度至两极九十度以应赤纬南北极各设轴孔用扁方铜长三寸濶与环面等厚与双环中空等中心开圆孔以受天经之轴其孔径适容轴径使旋转不致动摇孔之两面各施钢片厚四分使孔径不致磨损两轴孔之中径适当双环中空之半与两极径线参直以钢螺旋结之环外南北极之两端各施扁圆钢子厚五分与内外两双环之分缝等贯于天经之轴使赤极经圈之中要九十度线适与子午圈之九十度相凖则内外两圈上下四方俱合为一线而纵横经纬自宜悉协矣游旋赤道所以象天之运行而纪其赤道经度也制如天常赤道在内而差小外径五尺五寸六分内径五尺一寸二分环面濶二寸二分厚一寸二分平分其厚为赤道之中线两面各画周天三百六十度上面分为十二宫每宫三十度每度六十分下面自丑宫起初度右旋三百六十度以其丑宫未宫初度之线当赤经双环中空之半而结于其中要使其赤道中线适当经圈之九十度两圈相结成十字直角与天之赤道旋转相应又于经圏南极之两旁设象限弧承于游旋赤道辰宫戌宫之下以螺旋结之使不倾垫有天常赤道之不动者以定时又有游旋赤道之常动者以纪度则赤道之逐宫逐度皆能周行于十二时而三辰之所躔与两曜之相距皆可得而稽矣四游圈所以测三辰之赤道经纬度也制如赤经双环在内而差小外径五尺内径四尺六寸八分环面濶一寸六分厚七分中空一寸四分盖三重双环之外面皆相平而内重则渐薄中空则渐大取其轻重适宜亦便于设窥衡也两面各画三百六十度一面自北极起初度至南极一百八十度为去极度一面自赤道起初度至两极各九十度为距纬度南北极各设轴孔以受夭经之轴与过极圈同环外南北极之两端各施扁圆钢子厚六分与赤经四游两环之分缝等贯于天经之轴其下半周之中要安直表以指经度及时刻两面对南北极各安直距如圆之通径濶一寸六分厚七分中空一寸四分直距之二面对环之两极作直径线对环之九十度作横径线十字相交中心开圆孔施螺旋小钢轴而圆其末以绾窥衡窥衡长四尺七寸二分方一寸二分中空一寸上下两端施方铜盖厚五分内三分方一寸入于管中外二分方一寸二分齐于管面中心开圆孔上端孔心留十字线以便测视管之四面亦各取中线上面安立表下端右面安指纬度表左右两面之中心各开圆孔使直距中要小轴之末入其中以绾之则窥衡乃能南北低昂而随双环东西运转焉窥衡连盖长四尺七寸六分比四游环内径长八分两端各施钢篐厚一分中要孔外施钢眼钱亦厚一分使其左右适切于中空之内面上下两端入于双环内径各四分则上下低昂自无偏侧而所测经纬度必皆密合矣指时度表通长七寸三分本长一寸六分形如方筒入于四游双环中空之间濶一寸四分与四游环之中空等平分其濶即当窥衡之中线筒中施左右螺旋以充塞于中空之内使表不动移横带长三寸二分濶五分两端各钩囬二分扣于环面之外表长五寸二分濶一寸其指时度之边线对方筒之正中亦即窥衡之正中下端二寸四分厚三分切于游旋赤道之面以指度分上端二寸八分厚二分切于天常赤道之面以指时刻也借弧指时度表其本方筒及横带长濶并与前指时度表同横带之下自左向右立安弧背一道长九寸三分濶一寸二分厚一分六厘弧背之末平安指时度表除弧背之厚长五寸二分濶一寸计自表本方筒之中线至指时度表之内边长六寸七分当游旋赤道之十五度当天常赤道之一小时测量时指时度表或为子午圏所碍则用此表视其所指之时度加四刻即为所测之时减十五度即为所测之度盖借弧指时度表在窥衡之右所指虽视乎借表而所测则定于窥衡天常之时刻左旋故加三辰之度分右旋故减则用借弧指时度表察之与用指时度表等也指纬度表其形两曲安于窥衡下端之右面底长三寸濶九分平分其濶为中线对衡面中线以螺旋结之曲横七分与四游环之厚等又曲长一寸七分切于四游环之外面从中线减濶之半所以指纬度也立表二座形直底平表髙底长各三寸二分濶九分厚一分平分其濶为中线表直立于底长之半与底面成直角距底面一寸一表向上开长方孔长一寸中留直线又上五分开圆孔径四分中留十字线安于窥衡之上端一表依前度下开直缝上开小圆孔安于窥衡之下端各对衡面中线以螺旋结之测量时窥衡或为赤道及铜枕所碍则用此表盖两表之孔心中线距衡面皆相等又与衡面之中线参直则用立表测之与用窥衡等也平行立表二座形曲底平底盘长四寸濶一寸二分厚一分中空长三寸二分濶九分与立表底盘之长濶等表曲如勾股股直如立表髙三寸二分濶九分勾横连于股末长五寸濶九分横植于底盘之末底盘中空冒于立表底盘之外以掐表固之测量时窥衡立表或为子午圏及龙柱所碍则用此表盖平行立表曲如勾股而与立表平行则用平行立表测之与用立表等亦与用窥衡等也平行借弧表制如平行立表而倒正异盖四游窥衡东西为子午圏及龙柱所碍南北为赤道及铜枕所碍则用平行立表犹是窥衡所能及而管孔被遮故其表平行正立即可见若近北极之星则东西既碍于子午圏南北又碍于极轴窥衡不能及自上测之不能及北极之南六度余自下测之不能及北极之北六度余故借十度作平行借弧表一表上植一表下垂则窥衡未及北极十度而窥孔之视线已与北极参直其法以半径一千万为一率十度之正切线一百七十六万三千二百七十为二率表之横勾距窥衡中心二尺三寸三分为三率求得四率四寸一分零八毫为表髙之中数(自窥)(衡中线至直距中线之数)上端之表立植于衡面则中数即表髙(中数)(减衡方之半六分加表端距窥孔中心六分为表端至表本之髙仍与中数等)下端之表自衡面下垂则于中数加衡方之半六分表端距窥孔中心六分又加平行横勾之濶九分得六寸二分零八毫为表之髙距表端下六分开圆孔又下五分开长方孔皆与立表制同凡测近北极之星测得距赤道北若干加十度即得星距赤道北之纬度若测赤道南之星亦可用此表但测得距赤道南若干减十度即得星距赤道南之纬度也绾经度表通长四寸濶一寸四分平分其濶即当窥衡之中线其本方筒长一寸六分髙一寸八分入于四游双环之间以左右螺旋固之其末上下二面以夹游旋赤道上面濶七分减本之半与窥衡中线参直下面以螺旋固之所以绾定游旋赤道之经度于四游圈也绾时度表内外二截内截上下内三面绾于游旋赤道之内规上面之末承于外截之下开二方孔以受外截之方足下面以螺旋固之外截上下外三面绾于天常赤道之外规上面之末覆于内截之上安二方足入于内截之方孔下面以螺旋固之凡以太阳时刻及经度测月星则内外截俱绾定别测月星若以经度求时刻则止绾定内截外截随之运转视其所当刻分即得时刻若以时刻求经度则止绾定外截任游旋赤道之运转视其所当度分即得经度也平行线测经度表以赤经之平行线与直距之平行线相参直(赤经之平行线在圆周直距之平行线在圆心其平行线之间俱对南北极之中径)而测距星之经度也其制于直距南北极之两端各安铜板如工字形正方二寸八分与直距二面之分等(直距二面各厚)(七分中空一寸四分共二寸八分)两要各缺一长方长一寸六分濶七分与直距一面之分等(直距二面每面濶一寸六分厚七分)扣于直距中空之间中心开圆孔贯于天经之轴四隅距中心一寸九分(铜板方二寸八分对角斜线三寸九分八厘四隅距中心各一寸九分九厘今取一寸九分余九厘)各安立柱圆顶开孔以穿直线与直距中径平行下安小环以为结赤经平行线之用又按距星宫度于游旋赤道安赤经平行线表其制上画半圆内容半方自对角斜线起初度至横径为四十五度其中直径与指度表之边线参直半圆中心安二游表各长二寸距中心一寸九分边留小脐中开小圆孔与直距四隅立柱之距中心等以线穿之上端系于北极铜板对角之两环下端贯于南极铜板对角之两环各以垂球坠之乃视四游圏之所测与此平行线之所测相距若干度即将游表对半圆度数安定下面以螺旋中径以压表固之此二线必与赤经中径平行而与直距中径之二平行线广狭相等从左线视之与所测参直从右线视之亦与所测参直则此二线即为距星经度之凖线以此线对定距星将游旋赤道随之运转又以四游圏及窥管测日月及星即得其经纬度也盖以一星作距测日月及星必用两测旧制黄道赤道二仪南北极之通径皆系圆轴故测候用通光耳实其正中与轴径等两边各开直缝从左缝对轴左边见光从右缝对轴右边见光亦犹用平行线之意也今不用圆轴而用直距两测相距有逺近则直距对角有斜横斜则二线平距之分狭横则二线平距之分广(直巨铜板方分也其对角斜分也二线平距则横分也对角斜)(则平距为斜之方故狭对角横则平距为方之斜故广)其限自正斜起初度至四十五度而横四十五度以后复由横而斜至九十度与初度同(九十度以后复由斜而横至一百三十五度与四十五度同一百三十五度以后复由横而斜)(至一百八十度与初度同盈半周天而止)如四游环与平行线表同度是为初度是时直距对角正斜而其二线平距之分为斜之方此二线平距之最狭者也过此而四游环距平行线表渐逺则直距对角渐横而二线平距渐广至四游环距平行线表四十五度则直距对角正横而其二线平距之分为方之斜此二线平距之最广者也过此则直距对角又渐斜而二线平距又渐狭至九十度正斜而最狭故又与初度同也今欲使赤经平行线与直距平行线广狭相等必以直距对角斜横之度合于赤道之半圆游表二线距圆心各一寸九分通共三寸八分即直距铜板对角之斜分也半圆自内方之对角斜线起初度即直距对角之初度为正斜也半圆至横径为四十五度即直距对角之四十五度为正横也设以二游表通为一直表则与直距对角之斜横俨为一体但游表在赤道若通为一直表则其线为赤道所碍而广狭不灵且通为一表此端在横径内彼端必在横径外凡斜线与十字线过心相交其彼端距横径外之度与此端距横径内之度必相等而距中径之濶亦相等故以直表彼端当横径外之度另用一游表于横径内按度安之其距中径之濶必相等而与直距二平行线广狭亦相等则用平行线表亦犹用通光耳之意也御制玑衡抚辰仪说卷上之二制法铜质宜精型制宜工旋磨宜平取心宜中轻重宜审界度宜均两径合度合结均齐三重同心安置方正铜质宜精凡铸黄铜器具应用红铜六成倭铅四成镕錬精到然后铸之辽厯象志云古之炼铜黒黄白青之气尽然后用之故可施于久逺唐一行铸浑天仪时称精妙理固然也型制宜工凡铸仪器以土为型必先治地极平外规较定制微大内规较定制微小其外环面如轮次内如辐次内如毂中留环心务极圆平合度则所铸之体自亦圆平而旋磨亦易为力矣旋磨宜平凡制仪器必用旋磨圆环中心当治方孔以受轴轴圆而方其端施于环心之方孔使环之上下前后左右不得动揺则旋之自圆且平矣取心宜中凡制圆器必取中心心中则界正未旋之前环心尚在圆规方孔皆自环心取中逮旋之既成则无中心矣而画仪器之圆线则必先取中心为凖须以直木为环径其两端即如环之内规切𦂳安定约其中心嵌定铁板任于环之内规取三处作㸃用三㸃求圆心法(法见数理精蕴)求得圆心即于铁板作记次以钢制规径一规尖二规尖之本开方孔贯于规径之两端一尖安于圆心一尖按环面内外规之度各用螺旋固之于环之内外规旋转比试处处皆当规面则圆心中矣次依环之内外规取外界圆线半径之度安定规尖画外界圆线为度之外界即以此半径度将外界圆线分为六觚毎觚六十度(半径与六十度之通弦等)又取内界圆线半径之度安定规尖画内界圆线为度之内界自外界每觚六十度之㸃平分之得三十度各对中心作直线抵内界其过心对角之线即圆之通径而平分环面为两半周则圆界正矣次将直线轻微引出外界至外规用极方正矩度凖于侧面单环则自侧面即凖于彼面双环则自此环之侧面凖于彼环之侧面复自彼环之侧面凖于彼环之彼面轻微画线作记乃用前直木环径切𦂳安定以纵横二线对于所凖之通径果于中心相交则所凖确合否则又用前法取心务令得中单环即可如前画彼面之圆线及十二度线双环则俟审定轻重合钉枕铜再行比试确凖然后可画彼面也轻重宜审凡环之两半周轻重适均则平置无偏侧之失运转无游移之弊审量之法用圆直铁铤径八分(与轴径等)长逾环径平分中线卧置之使不动移而以环面之通径线加于其上易置试之两半周无有低昂则轻重适均否则非其线有微差即其体质不等细察磨治务得其轻重之适均则天常赤道之子正午正游旋赤道之丑宫未宫三双环之南北极皆以此通径为凖乃将双环已画十二度线之一面置于下以通径凖线四象分中安设铜枕以双环彼面之通径凖线合于上钉而固之复用前法比试确凖取定中心然后画内外界圆线及十二度线则两面之圆心圆界允协矣界度宜均环心既中环界既正则界度可得而均矣顾诸环皆取度分惟天常赤道取时刻然时刻亦与度分相凖故取度分者将每觚六十度平分之得三十度又三分之各为十度自外界抵内界各画直线而于内界之外画圆线一层是为十度界次将每十度又十分之各为一度自外界抵十度界各画直线而于十度界之外外界之内各画圆线一层是为度界次于内度界之外外度界之内各画圆线一层为十分界将每度六分之各为十分画直线于其界内次于内外两十分界之间画圆线九道界为十层自每十分之初至每十分之末各作对角斜线则每一圆线与斜线之交即逐度之一分也取时刻者每三十度为一时平分之得十五度为一小时每一小时分为四刻自外界抵内界各画直线而于内界之外画圆线一层是为时刻界次将每刻十五分三分之各为五分自外界抵时刻界各画直线而于时刻界之外外界之内各画圆线一层是为五分界次于内五分界之外外五分界之内又各画圆线一层为一分界而将每五分又各五分之各为一分画直线与其界内次于内外两一分界之间画圆线十一道界为十二层自每一分之初至每一分之末作对角斜线则每一圆线与斜线之交即逐分之五秒也(每分为六十秒十二分之故为五秒)两径合度界度既均仪体正矣而其用尤在于轴稍滞则运转不灵稍滑则游移不定是必轴身与轴孔两径相同密相合切而后无滞滑之失其法以极精钢制成轴本轴身近本径八分近末微细以铜制为轴孔(轴本轴孔皆扁方体详前仪制)(本篇)上下孔面各嵌钢片厚五分开成圆孔较轴身微小乃以油濡轴身转而入之钢屑如泥随转而出轴外孔内更不容间则以轴身治轴孔即以轴孔治轴身故两径密相合切而自无滞滑之弊也合结均齐经纬各环制造既已如式而合结尤宜均齐其法先将子午圏之轴本过极圏四游圏之轴孔三扁方治令方正十字分中(凡圏皆正立轴本轴孔入于双环之间轴本扁方先将东西二面及南北两端各对)(轴径取中线次将上面作十字线轴孔扁方先将上下二面各对轴孔作十字线次将东西二面南北两端取)(中线)自中线各取双环中空之半为其扁方之厚(子午圏中空一)(寸过极圏中空一寸二分四游圏中空一寸四分)入于双环中空之间(扁方微厚则不)(动)次于轴本轴孔之中心结通径线(上下二轴各安铜管其端之中心开)(小圆孔以线结之上下二孔各安铜片其中心开小圆孔以线结之)双环之中空二极之两面各结十字线(双环中空上下对扁方十字直线中间对铜枕厚分之半以线围而结之)(二极上下对扁方十字横线内面对极中径以线围而结之)三线相参(通径直线一十字围线二)(纵横皆三)倘一线有毫厘之差则非中心有偏即十字线不正中心有偏者治扁方十字不正者治直线务令三线相合始为得中即于上下二扁方及四铜枕刻线作记以为合结之用乃将轴本轴孔之扁方二极双环之两面皆自中线取分各作四孔以铜螺旋结之(径三分试定易钢螺旋径)(四分)次将过极圏与游旋赤道合结为三辰仪于过极双环之南北两半周去极九十度中线之上下各取六分与九十度作平行线自内规面向外各取一寸一分与南北极作平行线依线裁成缺口以受赤道之内入又于游旋赤道之南北两半周丑宫未宫之东或西取一寸四分与冬夏至作平行线(作线于东则半弧背自西裁作线于西则半弧背自东裁法理皆同)自外规面向内各取一寸一分与辰宫戌宫作平行线依线裁去半弧背(凡裁弧皆梢留有余比试合切使令方正)以足过极圏之内容则游旋赤道适容入于过极双环之内而丑宫未宫线适当双环中空之间(游旋赤道外径五尺五寸六分南北各裁一寸一分余五尺三寸四分过极圏内径五尺一寸二分)(南北各开一寸一分亦得五尺三寸四分九十度中线之上下各去六分共去一寸二分与游旋赤道之厚等丑宫)(未宫之东或西去一寸四分为双环厚分之半故游旋赤道适容入于过极双环之内而丑宫未宫线正当双环中)(空之间)乃依裁去弧背之度除双环分位另制弧背铜补全游旋赤道(以铜钉固之)并补画度分仍将补铜拆去合结两环使丑宫未宫正与所记中线相对又依前法于轴孔结通径线又自双环上下扁方直线过丑宫未宫自扁方横线过辰宫戌宫结十字线三线相参合为一线复用半径之斜度作尺制斜尖二管贯于尺之两端斜度之一尖直指于南北极之外界一尖直指于辰宫戌宫之外界以螺旋固之转相比试四象限皆相符合乃将补铜钉而固之又以游旋赤道结于过极圏之两要恐东西两半周日久倾垫故制二象限弧以承其下其方一寸其弧即用过极圏一象限弧之度一端减双环厚分之半一寸四分抵于过极圏南极之外面一端减赤道厚分之半六分承于游旋赤道辰宫戌宫之下面外加二足各长一寸二分与环面之濶等以螺旋结之复以前尺斜度之两象限仍相符合(南极有二弧不可量故惟量北极两象限)(此两象限合则彼两象限亦必合矣)则游旋赤道与过极圏相交成直角均齐方正而无有偏侧矣次于三辰仪之外将子午圏与天常赤道合结为六合仪其子午双环之南北两半周去极九十度中线之上下裁成缺口天常赤道之南北两半周裁去半弧背并另制弧背铜补画时刻皆与三辰仪同(子午圏内规面裁去一寸二分九十度上下各裁七分乃能容天常赤道数虽小异而其)(理其法则同也)乃立置天常赤道圏(中线左右以木承之使其下可结十字线)以裁去半弧背之半周仰于上纳入三辰仪(天常赤道顺列之十二时与游)(旋赤道之十二宫同在一面乃向北极之上面也)将子午圏合结于其外以木橙承其四隅使二环之面相平二极之线参直周围之分缝皆相等天常游旋二赤道下半周之分缝以木片实之使周围亦相等乃将轴本入于子午圏南北极中空之间贯于过极圈南北极之轴孔使扁方之四孔与环面之四孔相合以铜螺旋结之依前法于轴端结通径线子午卯酉各结十字线三线相参合为一线又用斜尺絜度四象限皆相符合乃将补铜钉而固之则子午圏与天常赤道相交成直角均齐方正无有偏侧又卯正酉正有二小轴承于龙柱之珠孔自不虞倾垫矣至于四游圏与窥衡合结为四游仪其法较易已详仪制并见后篇三重同心前篇分言合结之法先正其枢心次正其经纬宜其无不正矣然三重合为一仪必三重同心施之测量乃得允协且以一重而言三线相参视之犹逺二线相切即有一线之差再以二重合之尤易参错则先合定外二重比较确凖而后加入内一重其中正较为易得也盖子午圏过极圏贯于一轴则子午圈之轴本即天常赤道之中心过极圏之轴孔即游旋赤道之中心如两心皆得其中则两心合而为一游旋赤道之宫度线必与天常赤道之时刻线相合如一心有偏则两心岐而为二而宫度线与时刻线不合矣然有偏东西与偏南北之殊又有轴本偏与轴孔偏之异偏东西者轴本轴孔厚分之中线不正当中空之半或偏东或偏西故丑宫未宫线亦偏子正午正之或东或西也偏南北者轴本轴孔扁方之中线不正当环面之径或偏北或偏南故辰宫戌宫线亦偏卯正酉正之或北或南也治之之法先正东西立置子午圏按方位安定北极在上南极在下午正在北子正在南卯正在西酉正在东(假如先是立置天常)(赤道圏西面午正在北子正在南卯正在下酉正在上则子午圏西首为北极东首为南极乃以氊铺地将天)(常赤道圏向南推转至子午圏在下即将子午圏东首转北西首转南向北推转使北极在上则按位安定矣)设以丑宫对于午正而未宫即对于子正转以未宫对于午正而丑宫亦对于子正则东西正一有不对则东西偏比试两次而轴本轴孔之偏正乃得而见焉凡两试俱偏东俱偏西而偏分相等者为轴孔正轴本偏(轴孔)(正则丑宫未宫线正当轴孔中心轴本偏东则挈之而东轴本偏西则挈之而西故所偏同向而偏分相等也)东为轴本偏东西为轴本偏西其偏为偏分之一半(所谓)(偏分者乃丑宫对午正未宫偏子正东西斜线之偏轴本轴孔所偏者乃丑宫未宫与子正午正平行线之偏)(如丑宫对于午正未宫偏子正东二分若以丑宫未宫线与子正午正线平行则丑宫偏午正东一分未宫亦)(偏子正东一分故其偏为偏分之一半)其度之一分为尺之八毫(凡偏分皆以游)(旋赤道之度分而言游旋赤道外径五尺五寸六分周一丈七尺四寸六分七厘有竒以周天三百六十度每)(度六十分除之得每分为八毫零八忽有竒)偏东二分者为轴本偏东一分应向西移一分将上下轴本二扁方之东西记定(凡记方向)(只记一字可定)西面去八毫东面加八毫(以薄铜叶钉之)则轴本正而不偏矣偏西者凖此(凡治轴本轴孔应移八毫者上下各移八毫合之用线比较如上正)(下偏则上之扁方不动下之扁方移一厘六毫如上亦微偏则上移四毫下移一厘二毫或上移六毫下移一)(厘总使上下共移一厘六毫而其十字中心正移八毫上偏下正及偏南偏北者皆倣此治之)凡两试一偏东一偏西而偏分相等者为轴本正轴孔偏(轴本正则)(子正午正线正当轴本中心设轴孔偏于戌宫之一面丑宫在北戌宫在西是轴孔偏于丑宫未宫线之西挈)(之于轴本则丑宫未宫线必偏于子正午正线之东转而丑宫在南戌宫在东是轴孔偏于丑宫未宫线之东)(挈之于轴本则丑宫未宫线必偏于子正午正线之西故所偏异向而偏分亦相等也)东为轴孔偏西西为轴孔偏东其偏亦为偏分之一半偏东二分者为轴孔偏西一分应向东移一分将上下轴孔二扁方及环面之东西记定(子午圏有定向故不须记过极圏有转易故并记之)东面去八毫西面加八毫则轴孔正而不偏矣偏西者凖此凡两试俱偏东俱偏西而偏分不等者为轴本偏轴孔亦偏偏东分多为轴孔偏西偏西分多为轴孔偏东(轴本)(偏东而轴孔又偏西挈之于轴本则丑宫未宫线必益在子正午正线之东故偏东分多也轴本偏西而轴孔)(又偏东挈之于轴本则丑宫未宫线必益在子平午正线之西故偏西分多也)其轴孔之偏为偏多一半之半偏东多二分者为轴孔偏西半分偏西多二分者为轴孔偏东半分先治轴孔则偏分等(平行线之)(偏既为偏分之一半而轴本轴孔在偏多之偏又为平行线所偏之一半故为一半之半如丑宫对于午正未)(宫偏子正东二分未宫对于午正丑宫偏子正东四分是未宫在北偏东多二分若以丑宫未宫线与子正午)(正线平行丑宫偏午正东一分则未宫亦偏子正东一分未宫偏午正东二分则丑宫亦偏子正东二分是未)(宫在北偏东仅多一分均分其半将轴孔向东移半分则未宫在北丑宫未宫线偏子正午正东一分半丑宫)(在北未宫在南丑宫未宫线亦偏子正午正东一分半试以丑宫对于午正则未宫偏子正东三分转以未宫)(对于午正丑宫亦偏子正东三分其偏分等)东为轴本偏东西为轴本偏西其偏为偏分之一半再治轴本则不偏矣凡两试一偏东一偏西而偏分不等者为轴孔偏轴本亦偏偏东分多为轴本偏东偏西分多为轴本偏西其轴本之偏亦为偏多一半之半偏东多二分者为轴本偏东半分偏西多二分者为轴本偏西半分先治轴本则偏分等(如丑)(宫对于午正未宫偏子正东二分未宫对于午正丑宫偏子正西四分是未宫在北偏西多二分若以丑宫未)(宫线与子正午正线平行丑宫偏午正东一分则未宫亦偏子正东一分未宫偏午正西二分则丑宫亦偏子)(正西二分是未宫在北偏西仅多一分均分其半将轴本向东移半分则未宫在北丑宫未宫线偏子正午正)(西一分半丑宫在北未宫在南丑宫未宫线偏子正午正东亦一分半试以丑宫对于午正则未宫偏子正东)(三分转以未宫对于午正则丑宫偏子正西三分其偏分等)东为轴孔偏西西为轴孔偏东其偏为偏分之一半再治轴孔则不偏矣凡两试一正一偏者为轴本与轴孔之偏分相等一正一偏东者为轴本偏东轴孔偏西一正一偏西者为轴本偏西轴孔偏东其偏各为偏分一半之半(轴本偏东则子正午正线在轴)(本之西若轴孔亦偏东其偏分等则丑宫未宫线必与子正午正线相合及其转而之西则轴孔为偏西而丑)(宫未宫线在轴孔之东挈之于轴本盖在子正午正线之东其偏必倍故半之为相等之偏又半之为平行线)(之偏轴本偏西者凖此)先治轴孔则变为俱偏东俱偏西其偏分等再治轴本则不偏矣若先治轴本则变为一偏东一偏西其偏分亦等再治轴孔则亦不偏矣以上凡治轴本轴孔之偏东偏西先并环面之东西记定平置子午圏用木橙承穏解螺旋下之磨治合度复结螺旋立置比试皆合则东西正其南北亦正者则辰宫戌宫与卯正酉正合为一线其南北不正者辰宫戌宫线亦必与卯正酉正线平行乃察其南北依前法以丑宫对于午正未宫对于子正察辰宫戌宫线偏卯正酉正南北几分转以未宫对于午正丑宫对于子正察辰宫戌宫线偏卯正酉正南北几分如此比试两次则轴本轴孔之偏南偏北亦可得而见焉凡两试俱偏南俱偏北而偏分相等者为轴本正轴孔偏南为轴本偏南北为轴夲偏北(皆与前法同理但易东西为南北耳)偏南一分者为轴本偏南一分(辰宫戌宫线既与卯正酉正线平行故其偏分即为轴本之偏)应向北移一分将上下轴本二扁方之南北记定环面四小孔向北开八毫轴夲扁方四小孔向南开八毫治令圆正易螺旋结之(环面)(四小孔向北开八毫轴夲固可向北移矣然孔不圆正故将轴夲扁方四小孔向南开八毫治令圆正其径较)(大故易微大之铜螺旋结之至比试确凖乃易用钢螺旋也)则轴夲正而不偏矣偏北者凖此凡两试一偏南一偏北而偏分相等者为轴本正轴孔偏偏南一分者为轴孔偏北一分应向南移一分将上下轴孔二扁方及环面之南北记定环面四小孔向南开八毫轴孔扁方四小孔向北开八毫治令圆正易螺旋结之则轴孔正而不偏矣偏北者凖此凡两试俱偏南俱偏北而偏分不等者为轴本偏轴孔亦偏偏南分多为轴孔偏北偏北分多为轴孔偏南其轴孔之偏为偏多之一半偏南多二分者为轴孔偏北一分偏北多二分者为轴孔偏南一分先治轴孔则偏分等(辰宫戌宫线既与卯正酉正线平行则轴本轴孔在偏多之偏止为平行线所偏之一半如丑宫对于午)(正辰宫戌宫线偏卯正酉正南二分转以未宫对于午正辰宫戌宫线偏卯正酉正南四分未宫在北偏南多)(二分是轴孔偏于未宫一分将轴孔向丑宫移一分则丑宫在北辰宫戌宫线偏卯正酉正南三分未宫在北)(辰宫戌宫线偏卯正酉正南亦三分其偏分等)南为轴本偏南北为轴本偏北其偏即偏分再治轴本则不偏矣凡两试一偏南一偏北而偏分不等者为轴孔偏轴本亦偏偏南分多为轴本偏南偏北分多为轴本偏北其轴本之偏亦为偏多之一半偏南多二分者为轴本偏南一分偏北多二分者为轴本偏北一分先治轴本则偏分等南为轴孔偏北北为轴孔偏南其偏即偏分再治轴孔则不偏矣凡两试一正一偏者为轴本与轴孔之偏分相等一正一偏南者为轴本偏南轴孔偏北一正一偏北者为轴本偏北轴孔偏南其偏各为偏分之一半先治轴孔则变为俱偏北俱偏南其偏分等再治轴本则不偏矣若先治轴本则变为一偏北一偏南其偏分亦等再治轴孔则亦不偏矣以上凡治轴本轴孔之偏北偏南若与偏东偏西一同比试然后解螺旋下之按分磨治未尝不可但所偏之向或有互异易致混淆且未正东西必以丑宫未宫线与子正午正线平行方可察其偏南北而察平行线之偏两端察视较偏子正一端之察视为难故以先正东西而后正南北之为便也六合三辰二重东西南北既正乃平置子午圏解螺旋下之加入四游仪贯于轴本结螺旋立置如前比试则止有轴孔之偏而无轴本之偏以四游圏南北极之中线与轴本参直则轴孔之南北正线偏南将轴孔向南移线偏北将轴孔向北移以窥衡之中线与丑宫未宫子正午正线展转相对则轴孔之东西正线偏东将轴孔窥衡向东移线偏西将轴孔窥衡向西移(窥管中线原应与轴孔参直但毫厘之差甚为难辨)(且窥衡之在直距亦应东西适中如窥衡既已适中则移轴孔如有微偏则移窥衡窥衡东西二面各有眼钱)(如移向东则将东面眼钱易薄西面眼钱易厚如移向西则西面易薄东面易厚总期窥衡中线与子正午正)(丑宫未宫线相合)如此则三重合为一心东西南北皆合为一线用以测量而经纬乃无不协也安置方正前言制造之法亦畧备矣然安置不正则亦不可用其法先于台面仪基之正中取南北真线(南北真线随地不同京师偏指)(南针西二度三十分)南北中三处各作垂线与之参直依此仪基作南北线又作十字东西线将仪座纵横对凖安定自三垂线视之与座面中线参直用三角中垂线表(木板为之)(制如并矩底长六尺中长三尺两弦各长四尺二寸四分平分底线为底之中自底线之两端取弦分相交于)(上尖为角之中自角中至底中作垂线为中垂线中垂线直则底平)仰置座面以取平中心安云座两端安龙柱悬垂线以取直座面有两槽以受子午双环柱端龙口衔珠半珠开孔以受天常赤道两傍之小轴自珠孔中心至座面槽底与子午双环半径等两珠孔相距与天常赤道全径等用三角中垂线表覆于珠孔(表底两端留小圆轴扣于珠孔自底中挂垂线)表之垂线适当于云座面之正中则云座正而珠孔平两珠孔之距仪心各为天常赤道全径之一半自三垂线视之与两槽中线参直则云座与龙柱皆正矣乃悬全仪安置其上以北极上五十度五分为天顶南极下五十度五分为天顶之冲于子午圏之东面作上下直线对于云座南北正中之线口(云座东面南北正中有线口其下有云窝以受垂球)自天顶施小钉挂垂线适合上下直线而垂球入于云窝又适切环面不即不离自三垂线视之适当子午双环中空之半则南北东西皆正候日月星至子午线用窥衡察视经纬悉协夫然后上下四方均齐方正惟用所适无不宜矣钦定仪象考成卷首上
## 卷首下
钦定四库全书钦定仪象考成卷首下御制玑衡抚辰仪说卷下用法算法御制玑衡抚辰仪说卷下之一用法测太阳时刻测日出入时刻及昼夜永短测太阳赤道纬度测午正太阳髙弧测太阳赤道经度测月星赤道经纬度测恒星求时刻测月五星求时刻测月星当中及偏度测月星出入地平时刻测南北真线测北极髙度测黄赤距度测黄白距度测太阳时刻法以四游圏东西推转窥衡南北低昂令太阳从衡孔透光圆正或用薫黒玻璃置于下端衡孔视上端圆孔十字线正当太阳中心则窥衡与太阳参直乃视四游圏下周指时度表临于天常赤道之某时刻分即太阳时刻也若二分前后日影为赤道所碍则用窥衡上面立表测之(常时不为赤道所碍亦用此表为便)若午正及卯酉前后日影为子午圏及龙柱所碍则用窥衡上面平行立表测之以四游窥衡对凖太阳令上端表圆孔十字线影从下端表圆孔正中透出上端表直线影从下端表直缝正中透出(测时刻止用经度可止取直线影若测纬度则必取圆孔十字线影)视指时度表所指即得太阳时刻若指时度表为子午圏所碍则易用借弧指时度表次用平行立表测定日影视借弧指时度表所指时刻加一小时即得太阳时刻盖借弧之长当游旋赤道之十五度当天常赤道之一小时又借表在四游圏之西所指时刻在本时前故加一小时即为本时刻分也测日出入时刻及昼夜永短法于太阳出入地平时按前法测得太阳出入时刻乃计距午正前后若干刻分倍之即得昼刻计距子正前后若干刻分倍之即得夜刻测太阳赤道纬度法如前测凖太阳视窥衡下端指纬度表所指四游圏右面距赤道度分即得太阳赤道纬度表指赤道北太阳纬度为在赤道南表指赤道南太阳纬度为在赤道北盖窥管以圆心为枢上端所窥在赤道北下端所指必在赤道南上端所窥在赤道南下端所指必在赤道北也测午正太阳髙弧法于午正时测得太阳赤道纬度在赤道北与赤道髙五十度五分相加在赤道南与赤道髙五十度五分相减即午正太阳髙弧也测太阳赤道经度法用恒星作距测之取所知近午正前后一恒星(午正前后)(取其蒙气少易得确凖也)以其赤道经度之对冲用绾经度表于游旋赤道绾定四游圏(凡以仪器测星其上当星处为星之正位其下当人目处则星之对)(冲故以星经度之对冲于游旋赤道绾定四游圏)又任设一时用绾时度表于其时刻之对冲绾定天常赤道(天常环面乃日影所照之时其对冲则太阳所)(临之正位故于设时之对冲绾之如设丑正初刻则绾于未正初刻即太阳临于丑正之位也)乃将四逰圏带定游旋赤道用窥衡测凖距星随之左旋候至所设时刻(或钟表或漏壶须得确凖)视绾时度表对于游旋赤道之某宫度分即太阳赤道经度也(环面时刻之对冲即太阳所临之正位故其所)(对游旋赤道之宫度即太阳经度)又法先以恒星作距测金星次以金星作距测太阳如金星晨见则于太阳未出之前取在金星西之一恒星作距以其赤道经度用平行线测经度表于游旋赤道安定(三测皆系经度若距星之经度用对冲则测得之经度又须加减半周故距星不用对冲所测亦即)(得本度也)令一人用此平行线表窥定距星随之左旋一人用四游窥衡测金星两人同时测定乃视四游圏指时度表所指游旋赤道之宫度分即金星赤道经度次以金星赤道经度用平行线测经度表于游旋赤道安定令一人窥定金星随之左旋一人于太阳始出时用四游窥衡测太阳乃视四游圏指时度表所指游旋赤道之宫度分即得太阳赤道经度若金星夕见则于太阳将入时任于某宫初度安定平行线测经度表令一人窥定金星又令一人用四游窥衡测太阳视太阳距金星若干度记定俟太阳既入后取金星东之一恒星作距按前法测得金星赤道经度内减太阳距金星之度(星在东日在西故减)即得太阳赤道经度也(太阳光大惟月及金星可以两见然月有)(视差不如用金星为凖也)测月星赤道经纬度法于昏后晓前任设一时以本日太阳赤道经度与次日太阳赤道经度比例得本时太阳赤道经度(七政时宪书所)(列乃子正之度子正后七政皆有行分故以本日子正之度分与次日子正之度分相减余为一日十二时所)(行之分与设时距子正之时分为比例得设时距子正之行分加于本日子正之度分得本时之度分)用绾时度表于游旋赤道绾定又以所设时刻之对冲于天常赤道绾定候至所设时刻用四游窥衡测月星乃视指时度表所指游旋赤道宫度加半周(环面时刻之对冲即为太)(阳之正位环面之宫度却为月星之对冲故加半周)即得所测月星赤道经度随察指纬度表所指四游圏距赤道南北度分即得所测月星赤道纬度也(纬之南北与前测太阳纬度法同)又法用恒星作距测之以距星之赤道经度用平行线测经度表于游旋赤道安定令一人用此平行线表窥定距星随之左旋一人用四游窥衡测月星两人同时测定乃视指时度表所指游旋赤道之度分即所测月星之赤道经度随察指纬度表所指四游圏之度分即得所测月星之赤道纬度也测恒星求时刻法先以恒星赤道经度用绾经度表于游旋赤道绾定四游圏次约计测时为某时依前法比例得本时太阳赤道经度(太阳每日行一度于时为四分每一时行五分于时为二十秒故约计测量之时比例得)(其时赤道经度即可用以测时刻也)用绾时度表绾定游旋赤道将四游圏带游旋赤道推转用窥衡测定恒星乃视绾时度表对于天常赤道之某时刻分加六时即太阳时刻也(天常)(赤道之时刻乃日影对照之时故加六时始为太阳所临之时刻也)测月五星求时刻法以本时太阳赤道经度用绾时度表绾定游旋赤道以月五星本时赤道经度之对冲用绾经度表于游旋赤道绾定四游圏将四游圏带游旋赤道推转用窥衡测定月星乃视绾时度表对于天常赤道之某时刻分加六时即得太阳时刻若太阳近子正前后绾时度表为子午圏所碍则向东或西借三十度绾定测之视所对时刻加减一时(向东借则加向西借则减)即得太阳时刻若月五星近赤道或近午正前后为诸圏所碍则用窥管上面立表及平行立表测之与前测太阳时刻法同测月星当中及偏度法以四游窥衡随时测月或星视指时度表当天常赤道之某时刻分记之(近午正则易用借弧指时度表加一小时)午正为当中无偏度午正前为偏东午正后为偏西乃以距午时分变赤道度每一时为三十度每一小时为十五度每一分为十五分每一秒为十五秒共之为所偏度凡推月星当中及偏度者用此法测之则离合可辨凡有求时刻者用此法测定则时刻可推也测月星出入地平时刻法以本日子正月五星赤道经度或恒星经度之对冲用绾经度表于游旋赤道绾定四游圏又以本日子正太阳经度用绾时度表绾定游旋赤道爰以四游窥衡于月星出入地平时测之视绾时度表当天常赤道之某时刻分加六时为本日月星出入时刻之通数复计测时距本日子正后若干时刻比例得太阳行分变时(每一度为四分每十五分为一分每十五秒为一秒)为太阳时差比例得月五星行分变时为月五星时差(恒星则无行分亦无时差)乃于前所测月星出入时刻之通数减太阳时差加月五星时差即得月星出入地平时刻盖日与月星测时皆用子正经度而子正后太阳有右旋之行分则时刻必差而早月五星亦有右旋之行分则时刻必差而迟(时刻左旋七政皆右旋太阳有)(右旋之行分则测时太阳之经度必在所测时刻之前故差而早月五星有右旋之行分则测时月星之方位)(必在所测时刻之后故差而迟)故减太阳时差加月五星时差(若五星逆行则)(时差亦减)方为月星出入地平真时此与前测月星求时刻法同理设时可以预知故先求本时经度而后测月星出入难以悬定故先测而后加减时差其理相通其用尤便也测南北真线法于太阳出地平时测其距午东赤道度又于太阳入地平时测其距午西赤道度(测得太阳出入地平距午正前后若干时分变赤道)(度即得距午正东西赤道度)两距午度相等则子午圏之向即南北真线若日出距午东之度多日入距午西之度少则子午圏之午正偏西若日出距午东之度少日入距午西之度多则子午圏之午正偏东(此言午正乃子午圏之正南)以两测之距午度相减折半即所偏之赤道经度(若求地平偏度则用三角)(法推之见算法第八则)依所偏之度作线即南北真线也又法于冬至后测织女第一星昏刻此星当酉正之位以四游圏安于酉正测其去极度若干(九十度内减赤道纬度余即去)(极度)旦刻此星当卯正之位以四游圏安于卯正测其去极度若干(织女星在赤道丑宫七度赤道北三十八度半冬至后半月内昏旦可以两见故専取此)(星测之)两去极度相等则子午圏之向即南北真线若卯正位测得去极度多酉正位测得去极度少则东逺西近即子午圈之北极偏西若卯正位测得去极度少酉正位测得去极度多则东近西逺即子午圈之北极偏东以两测之去极度相减折半即所偏之赤道纬度(若求)(地平偏度则用三角法推之见算法第十五则)依所偏之度作线即南北真线也盖南北真线自北极过天顶平分赤道之地平上半周是为午正故向南测者以午正为凖向北测者以北极为凖太阳随天左旋其出地入地距午必相等若其不等必仪之午正偏也恒星绕地左旋其在东在西去极必相等若其不等必仪之北极偏也依其偏度正之则南北真线得矣又按浑仪经纬与天同象测太阳亦可用纬度测恒星亦可用经度然不及右二法之简明推测精熟法理自见今不具悉也测北极髙度法于冬至前后以四游圏安于正北测天权星(即北斗第四星)昏刻此星在北极之下测其去极度若干旦刻此星在北极之上测其去极度若干(天权星今在赤道辰宫初度赤道北五十八度冬至)(前后半月内昏旦可以两见故専取此星测之)两去极度相等则仪之北极髙度与天合若在上之去极度少在下之去极度多则仪之北极差髙若在上之去极度多在下之去极度少则仪之北极差下以两测之去极度相减折半即所差之地平纬度于仪之北极髙度加减之(差髙则减差下则加)即天之北极髙度也盖天之北极无星故取大星之环绕北极上下者测之星之去极有定度则上下两测之去极必等若其不等则仪之髙下差也依其差度加减之则在天之北极髙度得矣又按旧法用地平纬仪测钩陈大星以其在北极上下两髙度相加折半得北极髙度取其距地髙无蒙气也今用浑仪测之则钩陈大星为仪枢所碍须用借弧故取用天权星测其去极之较以备一例若以所测在北极上之去极度与所设北极髙度相加以所测在北极下之去极度与所设北极髙度相减得两地平髙度相加折半得北极髙度与用钩陈大星之理同测黄赤大距法于冬至日午正初刻测太阳在赤道南若干度分夏至日午正初刻测太阳在赤道北若干度分若冬至夏至皆在午正初刻则所测日距赤道南北之纬度即黄赤大距度若冬至夏至不正当午正则又用前测太阳赤道经度法测得太阳距冬夏至前后若干度分用有太阳赤道经纬度求黄赤交角之法(见算法第四则)求得黄赤交角即黄赤大距度也盖黄道与赤道斜交春秋分时太阳正当赤道春分后秋分前太阳在赤道北夏至而极北秋分后春分前太阳在赤道南冬至而极南故致日者必于冬夏二至今用弧线三角形法测得逐日之距纬皆可以推大距然春秋分前后黄道斜而纬差大以推大距其理𨼆而难知冬夏至前后黄道横而纬差微以推大距其象显而易见故冬夏致日古今之通义也测黄白距限(距限即大距因大距又有大小故名距限以别之见数象考成后编)法于春分日上弦秋分日下弦月距交九十度时测得月距赤道北若干度分春分日下弦秋分日上弦月距交九十度时测得月距赤道南若干度分与黄赤大距相减余为黄白二道最大之距限又于冬至日望月距交九十度时测得月距赤道北若干度分夏至日望月距交九十度时测得月距赤道南若干度分与黄赤大距相减余为黄白二道最小之距限盖白道与黄道斜交月距交九十度则距黄道最逺故测黄白大距必于月距交九十度时然黄白大距与黄道成直角黄赤大距与赤道成直角惟冬夏二至黄道经圈与赤道经圈合为一线故测黄白大距又必于月当冬夏二至时(上编)(専取月当夏至为其距地髙也若以对待而言则兼用冬夏至)夫月距交九十度而又当冬夏二至则两交必在春秋二分当是时而值两弦则日必在春秋分而适当两交值朔望则日必在冬夏至而距交九十度上编之法谓两弦时交角大(交角之度即大)(距度)朔望时交角小后编之法谓日在两交时交角大日距交九十度时交角小极二说之异致至此而得其合故测黄白大距必于春秋分两弦冬夏至望日(朔日不见月故)(惟用望日)月距交九十度时测之春分之日上弦秋分之日下弦而月距交九十度是月当夏至而日在两交也春分之日下弦秋分之日上弦而月距交九十度是月当冬至而日在两交也以两弦与日在两交而论皆交角大冬至之日望而月距交九十度是月当夏至而日距交九十度也夏至之日望而月距交九十度是月当冬至而日距交九十度也以朔望与日距交九十度而论皆交角小各测其距赤道度与黄赤大距相减则最大最小之黄白距限皆得矣按月行出黄道南为阳厯为正交(今为中交)入黄道北为阴厯为中交(今为正交)夏至在阴厯冬至在阳厯则月距赤道校黄道为逺故于所测距赤道度内减黄赤大距余为黄白大距夏至在阳厯冬至在阴厯则月距赤道校黄道为近故于黄赤大距内减所测距赤道度余为黄白大距又按古法黄白大距不逾六度弦望无殊故曰春秋致月今法交角有大小故又必兼于冬夏至测之也又法推得月离黄道冬夏至时预于前数刻或以太阳作距用绾时度表绾定时刻或以恒星作距用平行线测经度表对定距星皆以四游圏指时度表对冬夏至宫度安定候月行至二至线上乃以窥衡测月距赤道南北纬度若干与黄赤大距相减余为月距黄道南北纬度以正交宫度与冬夏至宫度相减余为月距正交黄道经度用有太阳赤道经纬度求黄赤交角之法(见算)(法第四则)求得交角度分即黄白距限盖月之纬度与黄道成直角其三角形之比例则黄道如赤道白道如黄道黄纬如赤纬黄白交角即如黄赤交角黄白大距即如黄赤大距也前法于分至弦望测月纬度乃测黄白大距正法然其时不易得此法于月离冬夏至时凡见月即可测叅之弦望与日距交之逺近则交角有大小之故亦可得而稽矣御制玑衡抚辰仪说下之二算法有太阳赤道纬度求午正髙弧有太阳视髙弧求午正晷影有太阳赤道纬度求赤道经度有太阳赤道经纬度求黄赤大距有太阳赤道纬度求黄道经度有太阳赤道纬度求出入地平及昼夜时刻有太阳赤道纬度求昏旦时刻有太阳赤道纬度求太阳出入地平偏度(二题)有时刻有太阳赤道纬度求地平经纬度有节气有太阳午正髙弧求交节气时刻有日月星赤道经度求月星当中时刻有日月星赤道经度有时刻求月星当中及偏度有日月星赤道经纬度求月星出入地平时刻有月星赤道经纬度求黄道经纬度有月星距午赤道度有赤道纬度求地平经纬度有二星赤道经纬度求二星斜距度有日月五星视髙度求实髙度设如北极出地三十九度五十五分午正初刻测得太阳距赤道北十五度求髙弧几何如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极戊己为赤道丁丙为北极出地三十九度五十五分戊乙为赤道髙五十度五分庚为太阳庚戊为太阳距赤道北十五度庚乙为太阳髙弧太阳正当午正赤经与髙弧合则以庚戊距纬与戊乙赤道髙度相加得庚乙六十五度五分为午正太阳髙度若太阳距赤道南则以距纬与赤道髙度相减即午正太阳髙度也设如测得午正太阳髙弧四十度中表髙八尺求影长几何法以半径一千万为一率午正太阳髙弧四十度之余切一千一百九十一万七千五百三十六为二率表髙八尺为三率求得四率九尺五寸三分四厘零二丝八忽八微为所求之影长也如图甲乙为中表之髙丙为太阳丁为中影心甲丁乙角为午正太阳髙度乙丁为影长则以丁戊半径与太阳髙弧余切戊已之比同于甲乙表髙与乙丁影长之比也设如春分后测得太阳距赤道北十五度黄赤交角二十三度二十九分求赤道经度几何如图甲乙丙丁为赤道甲戊丙己为黄道相交于甲丙甲为春分丙为秋分戊为夏至己为冬至庚为北极辛为南极庚戊乙辛己丁为过二极二至经圈乙至戊丁至己俱二十三度二十九分为黄赤大距即甲丙黄赤二道相交之角壬为太阳甲壬为太阳距春分后黄道经度自庚辛南北二极过太阳壬作庚壬癸辛赤极经圏交赤道于癸癸㸃为太阳所当赤道宫度甲癸为太阳距春分后赤道经度壬癸为太阳距赤道北十五度法用甲壬癸正弧三角形有甲角黄赤交角有癸直角有壬癸距纬求甲癸赤道度以甲角二十三度二十九分之乙子正切四百三十四万四千六百六十六为一率乙丑半径一千万为二率壬癸距纬十五度之癸寅正切二百六十七万九千四百九十二为三率求得四率六百一十六万七千三百一十四为甲癸弧之正弦癸卯检表得三十八度四分四十秒即甲癸太阳距春分后赤道经度与甲丁春分距冬至三宫相加得四宫八度四分四十秒即太阳赤道宫度也设如春分后测得太阳距赤道北十五度距春分后赤道经度三十八度四分四十秒求黄赤大距度几何如图甲为春分甲角为黄赤交角当戊乙黄赤大距壬为太阳壬癸为太阳距赤道北十五度甲癸为太阳距春分后赤道经度三十八度四分四十秒用甲壬癸正弧三角形以甲癸赤道三十八度四分四十秒之癸卯正弦六百一十六万七千三百一十四为一率壬癸距纬十五度之寅癸正切二百六十七万九千四百九十二为二率乙丑半径一千万为三率求得四率四百三十四万六千六百六十六为甲角之正切乙子检表得二十三度二十九分即甲角黄赤大距度也设如春分后测得太阳距赤道北十五度黄赤交角二十三度二十九分求黄道经度几何如图甲为春分甲角为黄赤交角二十三度二十九分壬为太阳甲壬为太阳距春分后黄道经度壬癸为距赤道北十五度用甲壬癸正弧三角形有甲角黄赤交角有癸直角有壬癸距纬求甲壬黄道度以甲角二十三度二十九分之戊辰正弦三百九十八万四千八百二十三为一率戊丑半径一千万为二率壬癸距纬十五度之壬巳正弦二百五十八万八千一百九十为三率求得四率六百四十九万五千一百一十九为甲壬弧之正弦壬午检表得四十度三十分十七秒即甲壬太阳距春分后黄道经度与甲已春分距冬至三宫相加得四宫十度三十分十七秒即太阳黄道宫度也设如北极出地三十九度五十五分测得太阳距赤道北十五度求出入地平及昼夜时刻如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分戊己为赤道戊乙为赤道髙五十度零五分庚为太阳庚辛为太阳距赤道北十五度壬为卯正酉正之位辛壬为日出入在卯前酉后赤道度用庚辛壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛边求辛壬边以壬角五十度五分之正切一千一百九十五万二千七百九十九为一率半径一千万为二率庚辛十五度之正切二百六十七万九千四百九十二为三率求得四率二百二十四万一千七百二十八为辛壬弧之正弦检表得十二度五十七分十五秒即辛壬弧为日出入在卯前酉后赤道度变时得三刻六分四十九秒为卯前酉后分以减卯正得日出卯初初刻八分十一秒以加酉正得日入酉正三刻六分四十九秒复倍卯前酉后分得六刻十三分三十八秒与四十八刻相加得五十四刻十三分三十八秒为昼刻与四十八刻相减得四十一刻一分二十二秒为夜刻也又法求己辛日出入距子正前后赤道度用丁丙庚正弧三角形有丙直角有丁丙北极出地度有丁庚日距北极度求丁角以丁庚七十五度之正切三千七百三十二万零五百零八为一率丁丙三十九度五十五分之正切八百三十六万六千二百四十二为二率半径一千万为三率求得四率二百二十四万一千七百二十八为丁角之余弦检表得七十七度二分四十五秒即辛已弧为日出入距子正前后赤道度变时得五小时零八分十一秒为日出入距子正前后分自子正起算为卯初初刻八分十一秒即日出时刻与二十四小时相减得酉正三刻六分四十九秒为日入时刻复倍日出入距子正前后分得四十一刻一分二十二秒为夜刻与九十六刻相减余五十四刻十三分三十八秒为昼刻也设如北极出地三十九度五十五分测得太阳距赤道北十五度求昏旦时刻如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分甲丁为北极距天顶五十度五分戊己为赤道庚为太阳庚辛为太阳距赤道北十五度丁庚为太阳距北极七十五度壬癸为太阳随天西转之赤道距等圈庚子为昏旦曚影限十八度甲庚为太阳距天顶一百零八度丑寅为地平下曚影距等圈辛㸃为太阳所当昏旦时刻戊辛为太阳距午正前后赤道度用甲庚丁斜弧三角形有甲丁边北极距天顶有丁庚边日距北极有甲庚边日距天顶求丁角距午赤道度以夹丁角之丁庚边七十五度与甲丁边五十度五分相加得一百二十五度五分为总弧其余弦五百七十四万七千六百七十二又以甲丁丁庚二边相减余二十四度五十五分为较弧其余弦九百零六万九千二百一十五两余弦相加(总弧较弧一过象限一不过象限则)(两余弦相加若两弧俱不过象限或俱过象限则两)(余弦相减)得一千四百八十一万六千八百八十七折半得七百四十万零八千四百四十四为中数为一率以对丁角之甲庚边一百零八度之大矢一千三百零九万零一百七十(余弦与半)(径相加得大矢)与较弧二十四度五十五分之正矢(余弦与半径相)(减得正矢)九百三十万零七百八十五相减余一千二百一十五万九千三百八十五为矢较为二率半径一千万为三率求得四率一千六百四十一万二千八百七十三为丁角之大矢(凡矢过于半径者为大矢其角即为钝角)内减半径一千万余六百四十一万二千八百七十三为丁角之余弦检表得五十度六分四十四秒与半周相减余一百二十九度五十三分十六秒为丁角度即旦刻太阳距午前昏刻太阳距午后赤道度变时得八小时二刻九分三十三秒与午正十二小时相减得寅初一刻五分二十七秒即旦刻与午正十二小时相加得戌正二刻九分三十三秒即昏刻也如图丁庚与丁甲相加得甲癸为总弧(丁庚丁癸丁壬三弧同为癸壬)(距等圏所截故其度相等)其正弦为癸卯余弦为卯辰丁庚与丁甲相减余甲壬为较弧其正弦为壬己余弦为己辰以卯辰与己辰两余弦相加得巳卯折半得己午与未申等为中数又对丁角之甲庚边与甲丑甲寅等其正弦为丑酉或寅酉余弦为酉辰大矢为甲酉以甲酉与甲壬较弧之正矢甲已相减余己酉与戌庚等为矢较遂成壬庚戌与壬申未同式两勾股形故未申与戌庚之比必同于壬申与壬庚之比也又戊辰为半径壬申为距等圈之半径壬庚与戊辛两叚同为丁庚辛赤道经圏之所分则壬申与壬庚之比原同于戊辰与戊辛之比是以中数未申与矢较戌庚之比即同于半径戊辰与丁角大矢戊辛之比也既得戊辛大矢内减戊辰半径余辛辰即丁外角余弦检表得丁外角所当辛巳弧之度复与半周相减即得丁角所当戊辛弧之度也设如北极出地三十九度五十五分太阳出地平时测得距赤道北十五度求地平偏度几何如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圈乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分戊己为赤道庚为太阳庚辛为太阳距赤道北十五度壬为卯正庚壬为日出地平偏度用庚辛壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛边求庚壬边以壬角五十度五分之正弦七百六十六万九千七百八十五为一率半径一千万为二率庚辛十五度之正弦二百五十八万八千一百九十为三率求得四率三百三十七万四千五百二十七为庚壬弧之正弦检表得十九度四十三分十八秒为庚壬弧度即太阳出地平时正东偏北之度也设如北极出地三十九度五十五分太阳入地平时测得距赤道南十五度求地平偏度㡬何如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分戊己为赤道庚为太阳庚辛为太阳距赤道南十五度壬为酉正庚壬为日入地平偏度用辛庚壬正弧三角形有辛直角有壬角赤道髙度有庚辛边求庚壬边以壬角五十度五分之正弦七百六十六万九千七百八十五为一率半径一千万为二率庚辛十五度之正弦二百五十八万八千一百九十为三率求得四率三百三十七万四千五百二十七为庚壬弧之正弦检表得十九度四十三分十八秒为庚壬弧度即太阳入地平时正西偏南之度也设如北极出地三十九度五十五分己正初刻测得太阳距赤道北十五度求地平经纬度各㡬何如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极戊己为赤道丁丙为北极出地三十九度五十五分甲丁为北极距天顶五十度五分庚为太阳庚辛为太阳距赤道北十五度丁庚为太阳距北极七十五度辛为己正初刻戊辛为太阳距午东赤道度三十度即丁角甲庚为太阳距天顶庚壬为太阳髙弧即地平纬度乙壬为太阳正南偏东地平经度即甲角之外角用甲丁庚斜弧三角形有丁角距午东赤道度有甲丁北极距天顶有丁庚太阳距北极求甲庚边及甲角度乃自太阳庚㸃作庚癸垂弧于形外补成丁庚癸甲庚癸两正弧三角形先用丁庚癸形以半径一千万为一率丁角三十度之余弦八百六十六万零二百五十四为二率丁庚七十五度之正切三千七百三十二万零五百零八为三率求得四率三千二百三十二万零五百零八为丁癸弧之正切检表得七十二度四十八分二十八秒即丁癸弧内减甲丁五十度五分余二十二度四十三分二十八秒即甲癸弧又以半径一千万为一率丁角三十度之正切五百七十七万三千五百零三为二率丁癸七十二度四十八分二十八秒之正弦九百五十五万三千一百八十四为三率求得四率五百五十一万五千五百三十四为庚癸弧之正切次用甲庚癸形以甲癸二十二度四十三分二十八秒之正弦三百八十六万二千九百九十六为一率前所得庚癸弧之正切五百五十一万五千五百三十四为二率半径一千万为三率求得四率一千四百二十七万七千八百六十六为甲角之正切检表得五十四度五十九分三十五秒为甲角度即太阳正南偏东地平经度又以甲角五十四度五十九分三十五秒之余弦五百七十三万六千七百五十六为一率半径一千万为二率甲癸二十二度四十三分二十八秒之正切四百一十八万八千一百零四为三率求得四率七百三十万零四百七十四为甲庚弧之正切检表得三十六度七分五十二秒为甲庚弧即太阳距天顶之度与甲壬象限九十度相减余庚壬五十三度五十二分八秒为太阳髙弧即地平纬度也又法自太阳庚㸃至卯正癸㸃作庚癸弧成庚辛癸庚壬癸两正弧三角形算之先用庚辛癸形以辛癸距卯正后赤道度六十度之正弦八百六十六万零二百五十四为一率庚辛太阳距赤道北十五度之正切二百六十七万九千四百九十二为二率半径一千万为三率求得四率三百零九万四千零一十一为庚癸辛角之正切检表得十七度十一分三十二秒即庚癸辛角与辛癸壬角五十度五分相加得六十七度十六分三十二秒即庚癸壬角又以庚癸辛角十七度十一分三十二秒之余弦九百五十五万三千一百八十四为一率半径一千万为二率辛癸六十度之正切一千七百三十二万零五百零八为三率求得四率一千八百一十三万零六百一十三为庚癸弧之正切检表得六十一度七分一十五秒为庚癸弧度次用庚壬癸形以半径一千万为一率庚癸壬角六十七度十六分三十二秒之余弦三百八十六万二千九百九十六为二率前所得庚癸弧之正切一千八百一十三万零六百一十三为三率求得四率七百万零三千八百四十九为壬癸弧之正切检表得三十五度零二十五秒即壬癸弧度与乙癸象限相减余乙壬五十四度五十九分三十五秒即太阳正南偏东地平经度又以半径一千万为一率庚癸壬角六十七度十六分三十二秒之正弦九百二十二万三千七百三十三为二率庚癸弧六十一度七分十五秒之正弦八百七十五万六千四百零一为三率求得四率八百零七万六千六百七十为庚壬弧之正弦检表得五十三度五十二分七秒为庚壬太阳髙弧即地平纬度也又法用总较法算之以半径一千万为一率丁角三十度之正矢(余弦与半径相减得正矢)一百三十三万九千七百四十六为二率以夹丁角之甲丁边五十度五分与丁庚边七十五度相加得一百二十五度五分为总弧其余弦五百七十四万七千六百七十二又以甲丁丁庚两边相减余二十四度五十五分为较弧其余弦九百零六万九千二百一十五两余弦相加(总弧)(过象限较弧不过象限故两余弦相加)得一千四百八十一万六千八百八十七折半得七百四十万八千四百四十四为中数为三率求得四率九十九万二千五百四十三为矢较与较弧二十四度五十五分之正矢九十三万零七百八十五相加得一百九十二万三千三百二十八为甲庚对边之正矢与半径一千万相减余八百零七万六千六百七十二为甲庚弧之余弦检表得三十六度七分五十三秒为甲庚太阳距天顶度与甲壬象限相减余五十三度五十二分七秒为庚壬太阳髙弧即地平纬度也如图戊癸为半径戊辛为丁角之正矢甲丁与丁庚相加得甲子为总弧(丁庚丁子丁寅三弧同为子寅距等圏所截故其度)(相等)其正弦为子丑余弦为癸丑甲丁与丁庚相减得甲寅为较弧其正弦为寅卯余弦为癸卯两余弦相加得卯丑折半得卯辰与巳午等为中数又对丁角之甲庚边与甲未等其正弦为未申余弦为申癸正矢为甲申以甲申与甲寅较弧之正矢甲卯相减余卯申与酉庚等为矢较遂成寅午巳寅庚酉同式两勾股形而寅午与寅庚之比同于已午与酉庚之比又寅午为子寅距等圏之半径寅庚与戊辛两叚同为丁庚辛过赤极经圏之所分则寅午与寅庚之比原同于戊癸与戊辛之比是以半径戊癸与丁角正矢戊辛之比即同于中数巳午与酉庚之比而酉庚与卯申矢较等既得卯申矢较与甲寅较弧之正矢甲卯相加得甲申即为甲庚弧之正矢与甲癸半径相减余癸申为甲庚弧之余弦检表得甲庚弧之度与甲壬象限相减余庚壬弧即太阳髙弧之度也次求甲角则以甲庚弧三十六度七分五十三秒之正弦五百八十九万六千三百八十九为一率丁庚弧七十五度之正弦九百六十五万九千二百五十八为二率丁角三十度之正弦五百万为三率求得四率八百一十九万零八百二十五为甲外角之正弦检表得五十四度五十九分三十五秒为甲外角度即太阳正南偏东之地平经度也设如北极出地三十九度五十五分春分日测得午正太阳髙五十度求春分时刻法先以午正太阳视髙五十度减蒙气差五十秒加地半径差六秒得午正太阳实髙四十九度五十九分十六秒与赤道髙五十度五分相减余五分四十四秒为太阳距赤道南之纬度即知春分在午正东春分时刻在午正后也如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分戊已为赤道戊乙为赤道髙五十度五分庚为太阳庚乙为午正太阳实髙四十九度五十九分十六秒庚戊为太阳距赤道南五分四十四秒爰用庚戊辛正弧三角形有戊直角有辛角黄赤交角有庚戊距纬求庚辛太阳距春分黄道度以辛角二十三度二十九分之正弦三百九十八万四千八百二十三为一率半径一千万为二率庚戊五分四十四秒之正弦一万六千六百七十七为三率求得四率四万一千八百五十一为庚辛弧之正弦检表得十四分二十三秒十五微为太阳距春分黄道度乃以一日之日平行五十九分八秒二十微为一率(二分时太阳之实行与平行相近故即用)(平行为一率若他节气须用本日之实行为一率)周日一千四百四十分为二率太阳距春分黄道度十四分二十三秒十五微为三率求得四率三百五十分十九秒四十微以六十分收之得五时五十分十九秒四十微为春分距午正后之时刻即酉初三刻五分十九秒四十微也设如太阳赤道经度为戌官十五度木星赤道经度为午宫初度求木星当中之时刻(月恒星同)如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极戊已为赤道庚辛为黄道戊㸃为木星所当赤道之午宫初度亦即正午赤道经度壬为太阳当赤道之癸为戌宫十五度则于正午戊㸃赤道经度午宫初度内减癸㸃太阳赤道经度戌宫十五度余戊癸三宫十五度为太阳距午西赤道度变时得七小时自午正初刻起算得戌初初刻即木星当中之时刻也设如亥初初刻测得太阳赤道经度为戌宫十五度太阴赤道经度为巳宫初度求太阴当中及偏度(五星恒星同)如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极戊已为赤道庚辛为黄道壬为太阳当赤道之癸为戌宫十五度戊为正午之位癸为亥初初刻距正午九小时变赤道度得戊癸太阳距午西赤道度四宫十五度与癸㸃太阳赤道经度戌宫十五度相加得巳宫初度为正午戊㸃赤道经度与太阴赤道经度相合即为亥初初刻太阴当中如太阴赤道经度大于正午赤道经度为偏东小于正午赤道经度为偏西也设如北极出地三十九度五十五分本日子正初刻太阳赤道经度为戌宫十五度太阴赤道经度为申宫初度距赤道北十八度至次日子正初刻太阳赤道经度为戌宫十六度太阴赤道经度为申宫十三度求太阴入地平时刻(太阴出地倣此五星恒星并同)如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分戊已为赤道戊乙为赤道髙五十度五分庚辛为黄道本日子正初刻太阳在壬当赤道之癸为戌宫十五度太阴在子当赤道之丑为申宫初度丑癸为太阴距太阳四十五度子丑为太阴距赤道北十八度寅为酉正之位丑寅为太阴入地在酉正后赤道度用子丑寅正弧三角形有丑直角有寅角有子丑边求丑寅边以寅角五十度五分之正切一千一百九十五万二千七百九十九为一率半径一千万为二率子丑十八度之正切三百二十四万九千一百九十七为三率求得四率二百七十一万八千三百五十七为丑寅弧之正弦检表得十五度四十六分二十五秒为丑寅太阴入地在酉正后赤道度与丑癸太阴距太阳四十五度相加得寅癸六十度四十六分二十五秒为太阳距酉正后赤道度变时得四小时三分六秒加酉正十八小时得二十二小时三分六秒为本日太阴入地时刻之通数复以本日次日子正初刻太阳赤道经度相减得一度为一日之日行度以通数距子正后之时分为比例得太阳行分为五十五分八秒变时得三分四十一秒为太阳时差以本日次日子正初刻太阴赤道经度相减得十三度为一日之月行度以通数距子正后之时分为比例得太阴行分为十一度五十六分四十一秒变时得四十七分四十七秒为太阴时差乃于本日太阴入地时刻之通数二十二小时三分六秒内减太阳时差三分四十一秒加太阴时差四十七分四十七秒得二十二小时四十七分十二秒自子正后计之为亥正三刻二分十二秒即太阴入地平之时刻也盖太阴入地时刻之通数乃以本日子正初刻之赤道经度立算然太阴入地在子正后太阳太阴俱有右旋之行分太阳右旋则其赤经已过癸㸃之东时刻必差而早太阴右旋则其赤经亦过丑㸃之东及随天西转以至入地时刻必差而迟且太阳行分少太阴行分多是太阳当癸㸃之时太阴尚在地平上逮太阴入地太阳赤经必又在癸㸃之西故于通数内减太阳时差加太阴时差方为太阴入地之时刻也设如黄赤大距二十三度二十九分测得大角星赤道经度卯宫一度七分二十六秒赤道纬北二十度三十分四十二秒求黄道经纬度几何(月五星同)如图甲为赤极乙为黄极甲乙为黄赤二极相距二十三度二十九分丙为大角星丁戊为赤道已庚为黄道辛㸃为赤道经度卯宫一度七分二十六秒丁辛为距冬至前赤道经度五十八度五十二分三十四秒即甲角丙辛为赤道纬北二十度三十分四十二秒甲丙为星距赤极六十九度二十九分十八秒壬㸃为黄道经度己壬为距冬至前黄道经度即乙角之外角丙壬为黄道北纬度乙丙为星距黄极度用甲乙丙斜弧三角形有甲角及甲乙甲丙二边求乙角及乙丙边先求乙角自大角星丙㸃作丙癸垂弧于形外补成甲丙癸乙丙癸两正弧三角形先用甲丙癸形以半径一千万为一率甲角五十八度五十二分三十四秒之余弦五百一十六万八千九百零三为二率甲丙六十九度二十九分十八秒之正切二千六百七十二万九千六百一十六为三率求得四率一千三百八十一万六千二百七十九为甲癸弧之正切检表得五十四度六分十三秒为甲癸弧内减甲乙弧二十三度二十九分余三十度三十七分十三秒为乙癸弧又以半径一千万为一率甲角五十八度五十二分三十四秒之正切一千六百五十六万一千五百七十三为二率甲癸五十四度六分十三秒之正弦八百一十万零七百八十六为三率求得四率一千三百四十一万六千一百七十六为丙癸弧之正切次用乙丙癸形以乙癸弧三十度三十七分十三秒之正弦五百零九万三千四百六十为一率前所得丙癸弧之正切一千三百四十一万六千一百七十六为二率半径一千万为三率求得四率二千六百三十四万零五为乙角之正切检表得六十九度十二分三十九秒为乙外角度即己壬距冬至前黄道经度与十二宫相减余九宫二十度四十七分二十一秒即壬㸃黄道经度也次求乙丙边以乙角六十九度十二分三十九秒之余弦三百五十四万九千三百零二为一率半径一千万为二率乙癸三十度三十七分十三秒之正切五百九十一万八千七百六十二为三率求得四率一千六百六十七万五千八百四十八为乙丙弧之正切检表得五十九度三分一秒为乙丙星距黄极度与乙壬象限九十度相减余三十度五十六分五十九秒即丙壬星距黄道北纬度也又法先求乙丙边自黄极乙作乙癸垂弧于形内分为甲乙癸丙乙癸两正弧三角形先用甲乙癸形以半径一千万为一率甲角五十八度五十二分三十四秒之余弦五百一十六万八千九百零三为二率甲乙二十三度二十九分之正切四百三十四万四千六百六十六为三率求得四率二百二十四万五千七百一十六为甲癸弧之正切检表得十二度三十九分二十五秒为甲癸弧度与甲丙弧六十九度二十九分十八秒相减余五十六度四十九分五十三秒为丙癸弧又以甲癸十二度三十九分二十五秒之余弦九百七十五万六千九百九十四为一率半径一千万为二率甲乙二十三度二十九分之余弦九百一十七万一千七百六十为三率求得四率九百四十万零一百九十为乙癸弧之余弦次用丙乙癸形以半径一千万为一率丙癸弧五十六度四十九分五十三秒之余弦五百四十七万一千零四十七为二率前所得乙癸弧之余弦九百四十万零一百九十为三率求得四率五百一十四万二千八百八十八为乙丙弧之余弦检表得五十九度三分为乙丙星距黄极度与乙壬象限九十度相减余三十度五十七分即丙壬星距黄道北纬度也次求甲乙丙角则以乙丙弧五十九度三分一秒之正弦八百五十七万六千一百八十九为一率甲丙弧六十九度二十九分十八秒之正弦九百三十六万六千零九为二率甲角五十八度五十二分三十四秒之正弦八百五十六万零五百一十为三率求得四率九百三十四万八千八百九十三为乙外角之正弦检表得六十九度十二分三十七秒为乙外角度与全周相减余二百九十度四十七分二十三秒为辰宫二十度四十七分二十三秒即大角星黄道经度也设如北极出地三十九度五十五分测得大角星距午东三十度距赤道北二十度三十分四十二秒求地平经纬度各㡬何(月五星同)如图甲为天顶甲乙丙丁为子午圏乙丙为地平丁为北极丁丙为北极出地三十九度五十五分甲丁为北极距天顶五十度五分戊巳为赤道庚为大角星庚辛为星距赤道北二十度三十分四十二秒丁庚为星距赤极六十九度二十九分十八秒戊辛为星距午东三十度即丁角甲庚为星距天顶庚壬为髙弧即地平纬度乙壬为大角星正南偏东地平经度即甲角之外角用甲丁庚斜弧三角形有丁角有甲丁边有丁庚边求甲庚边及甲角乃自大角星庚㸃作庚癸垂弧于形外补成丁庚癸甲庚癸两正弧三角形先用丁庚癸形以半径一千万为一率丁角三十度之余弦八百六十六万零二百五十四为二率丁庚六十九度二十九分十八秒之正切二千六百七十二万九千六百一十六为三率求得四率二千三百一十四万八千五百二十六为丁癸弧之正切检表得六十六度三十八分十秒为丁癸弧内减甲丁五十度五分余十六度三十三分十秒为甲癸弧又以半径一千万为一率丁角三十度之正切五百七十七万三千五百零三为二率丁癸六十六度三十八分十秒之正弦九百一十八万零四十七为三率求得四率五百三十万零一百零三为庚癸弧之正切次用甲庚癸形以甲癸弧十六度三十三分十秒之正弦二百八十四万八千九百八十五为一率前所得庚癸弧之正切五百三十万零一百零三为二率半径一千万为三率求得四率一千八百六十万三千四百七十八为癸甲庚角之正切检表得六十一度四十四分二十六秒为癸甲庚角即大角星正南偏东地平经度又以甲角六十一度四十四分二十六秒之余弦四百七十三万四千六百四十九为一率半径一千万为二率甲癸十六度三十三分十秒之正切二百九十七万二千一百五十八为三率求得四率六百二十七万七千四百六十二为甲庚弧之正切检表得三十二度七分六秒为甲庚弧即星距天顶度与甲壬九十度相减余庚壬五十七度五十二分五十四秒即大角星地平纬度也设如土星赤道经度未宫初度赤道北纬度二十四度木星赤道经度酉宫十五度赤道北纬度十六度求二星斜距度几何如图甲为赤极乙丙为赤道丁为土星乙㸃为土星所当赤道经度未宫初度丁乙为距赤道北二十四度甲丁为土星距赤极六十六度戊为木星巳㸃为木星所当赤道经度酉宫十五度戊已为距赤道北十六度甲戊为木星距赤极七十四度乙已为二星相距赤道经度四十五度即甲角自丁戊二㸃作丁戊庚腰围大圏则丁戊为二星斜距弧用甲丁戊斜弧三角形有甲角二星相距赤道经度有甲丁边土星距赤极有甲戊边木星距赤极求丁戊二星斜距度乃自丁㸃作丁辛垂弧于形内分为甲辛丁戊辛丁两正弧三角形先用甲辛丁形以辛直角正弦即半径一千万为一率甲角四十五度之余弦七百零七万一千零六十八为二率甲丁六十六度之正切二千二百四十六万零三百六十八为三率求得四率一千五百八十八万一千八百七十九为甲辛弧之正切检表得五十七度四十八分十三秒为甲辛弧度与甲戊七十四度相减余十六度十一分四十七秒为戊辛弧又以甲辛五十七度四十八分十三秒之余弦五百三十二万八千二百三十为一率半径一千万为二率甲丁六十六度之余弦四百零六万七千三百六十六为三率求得四率七百六十三万三千六百一十六为丁辛弧之余弦次用戊辛丁形以半径一千万为一率戊辛十六度十一分四十七秒之余弦九百六十万零三千一百一十二为二率前所得丁辛弧之余弦七百六十三万三千六百一十六为三率求得四率七百三十三万零六百四十七为丁戊弧之余弦检表得四十二度五十一分二十二秒为丁戊弧度即土木二星斜距之度也又法用总较法算之以半径一千万为一率甲角四十五度之正矢二百九十二万八千九百三十二为二率以甲戊边七十四度与甲丁边六十六度相加得一百四十度为总弧其余弦七百六十六万零四百四十四又以甲丁甲戊两边相减余八度为较弧其余弦九百九十万二千六百八十两余弦相加(总弧)(较弧一过象限一不过象限故相加)得一千七百五十六万三千一百二十四折半得八百七十八万一千五百六十二为中数为三率求得四率二百五十七万二千零六十为矢较与较弧八度之正矢九万七千三百二十相加得二百六十六万九千三百八十为丁戊弧之正矢与半径一千万相减余七百三十三万零六百二十为丁戊弧之余弦检表得四十二度五十一分二十三秒为丁戊弧即土木二星斜距度也如图乙辛为半径乙已为甲角之正矢甲戊与甲丁相加得丁壬为总弧(甲戊甲壬甲子同为壬子距等)(圏所截故其度相等)其正弦为壬癸余弦为癸辛甲戊与甲丁相减余丁子为较弧其正弦为子丑余弦为丑辛两余弦相加得丑癸折半得丑寅与卯辰等为中数又对甲角之丁戊边与丁巳等其正弦为巳午余弦为午辛正矢为丁午以丁午与丁子较弧之正矢丁丑相减余丑午与未戊等为矢较遂成子卯辰与子未戊同式两勾股形而子辰与子戊之比同于卯辰与未戊之比又子辰为距等圏之半径子戊与乙巳两叚同为甲戊已赤道经圏之所分则子辰与子戊之比原同于乙辛与乙已之比是以半径乙辛与甲角正矢乙已之比即同于中数卯辰与矢较未戊之比也既得矢较未戊与丁子较弧之正矢丁丑相加得丁午即丁戊弧之正矢与丁辛半径相减余午辛为丁戊弧之余弦检表得丁戊弧之度即土木二星斜距之度也设如测得太阳午正视髙度四十度求实髙度几何如图甲为天顶甲乙丙为子午圏丁为地心戊为地面已庚为地平已乙与庚丙为太阳在地平上最大之地半径差十秒与丁戊地半径等(巳乙与庚丙弧线甚小可作直)(线算故谓与丁戊地半径等)戊辛为地周蒙气之厚六千零九十五(丁戊地半径设为一千万戊辛为六千零九十)(五)壬为太阳视髙㸃壬戊巳角为午正太阳视髙度四十度癸为太阳实髙㸃癸丁乙角为午正太阳实髙度戊子壬为视线常直而髙戊子癸为光线常折而下壬子癸角为本时蒙气差角戊癸为太阳距地面丁癸为太阳距地心戊癸丁角为本时地半径差角先求蒙气差自地心丁过子㸃作丁丑蒙气之割线则壬子丑角为视线与割线所成之角癸子丑角为光线与割线所成之角其两角之较即壬子癸蒙气差之角也先用丁戊子直线三角形有丁戊子角之外角(即太阳视距天顶度)有丁戊边(即地半径一千万)有丁子边(地半)(径加蒙气之厚)求丁子戊角以丁子一千万零六千零九十五为一率丁戊一千万为二率丁戊子角之外角五十度之正弦七百六十六万零四百四十四为三率求得四率七百六十五万五千七百七十八为丁子戊角之正弦检表得四十九度五十七分三十秒为丁子戊角度与壬子丑角等即视线与割线所成之角乃以视线角之正弦定率一千万为一率光线角之正弦定率一千万零二千八百四十一为二率前所得之壬子丑角(即丁子戊角)正弦七百六十五万五千七百七十八为三率求得四率七百六十五万七千九百五十三为癸子丑角之正弦检表得四十九度五十八分四十秒为癸子丑角度即光线与割线所成之角与壬子丑角度相减余一分十秒为壬子癸角度即蒙气差角之度也(壬子癸角乃子㸃之角人自地面戊㸃视之则壬戊)(癸角始为蒙气差角然所差甚微故即以壬子癸角)(为壬戊癸角也)与壬戊已角视髙度相减余三十九度五十八分五十秒为癸戊已角即无蒙气差之视髙度次求地半径差将戊癸线引长至子作丁子垂线即癸角地半径差之度用丁戊子直角三角形有丁戊边有子直角有戊角求丁子边以半径一千万为一率戊角五十度一分十秒之正弦七百六十六万二千六百二十六为二率丁戊十秒为三率求得四率八秒为丁子即癸角地半径差之度与癸戊已角三十九度五十八分五十秒相加得三十九度五十八分五十八秒为癸丁乙角度即午正太阳实髙度也钦定仪象考成卷首下
## 卷二
钦定四库全书钦定仪象考成卷二恒星黄道经纬度表一黄道星纪宫(赤道度附)恒星黄赤经纬度表恒星布列周天古有去极入宿度数入宿即经度也去极即纬度也然黄道度与赤道度不同岁差亦异葢黄道以黄极为枢赤道以赤极为枢两道两极各相距二十三度半故星在两极之间者黄道属未宫赤道则属丑宫星在两道之间者黄道属纬南赤道则属纬北此黄赤不同之极致也恒星循黄道东行每年五十一秒纬度终古不改而经度之差有常赤道与黄道斜交分至前后南北逺近其差不等两极之间在黄道为差而东在赤道为差而西两交之际黄道南者差而入赤道北黄道北者差而出赤道南此岁差不同之极致也今以乾隆九年甲子恒星黄赤经纬度依黄道次序列恒星黄道经纬度表而以赤道经纬附之依赤道次序列恒星赤道经纬度表而以黄道经纬附之各将赤道岁差列于其下黄道以便推算赤道以便测量厯象之用于斯备矣钦定仪象考成卷二
## 卷三
钦定四库全书钦定仪象考成卷三恒星黄道经纬度表二黄道元枵宫(赤道度附)钦定仪象考成卷三
## 卷四
钦定四库全书钦定仪象考成卷四恒星黄道经纬度表三黄道娵訾宫(赤道度附)钦定仪象考成卷四
## 卷五
钦定四库全书钦定仪象考成卷五恒星黄道经纬度表四黄道降娄宫钦定仪象考成卷五
## 卷六
钦定四库全书钦定仪象考成卷六恒星黄道经纬度表五黄道大梁宫(赤道度附)钦定仪象考成卷六
## 卷七
钦定四库全书钦定仪象考成卷七恒星黄道经纬度表六黄道实沈宫(赤道度附)钦定仪象考成卷七
## 卷八
钦定四库全书钦定仪象考成卷八恒星黄道经纬度表七黄道鹑首宫(赤道度附)钦定仪象考成卷八
## 卷九
钦定四库全书钦定仪象考成卷九恒星黄道经纬度表八黄道鹑火宫(赤道度附)钦定仪象考成卷九
## 卷十
钦定四库全书钦定仪象考成卷十恒星黄道经纬度表九黄道鹑尾宫(赤道度附)钦定仪象考成卷十
## 卷十一
钦定四库全书钦定仪象考成卷十一恒星黄道经纬度表十黄道寿星宫(赤道度附)钦定仪象考成卷十一
## 卷十二
钦定四库全书钦定仪象考成卷十二恒星黄道经纬度表十一黄道大火宫(赤道度附)钦定仪象考成卷十二
## 卷十三
钦定四库全书钦定仪象考成卷十三恒星黄道经纬度表十二黄道析木宫(赤道度附)钦定仪象考成卷十三
## 卷十四
钦定四库全书钦定仪象考成卷十四恒星赤道经纬度表一赤道星纪宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十四
## 卷十五
钦定四库全书钦定仪象考成卷十五恒星赤道经纬度表二赤道元枵宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十五
## 卷十六
钦定四库全书钦定仪象考成卷十六恒星赤道经纬度表三赤道娵訾宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十六
## 卷十七
钦定四库全书钦定仪象考成卷十七恒星赤道经纬度表四赤道降娄宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十七
## 卷十八
钦定四库全书钦定仪象考成卷十八恒星赤道经纬度表五赤道大梁宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十八
## 卷十九
钦定四库全书钦定仪象考成卷十九恒星赤道经纬度表六赤道实沈宫(黄道度附)钦定仪象考成卷十九
## 卷二十
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十恒星赤道经纬度表七赤道鹑首宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十
## 卷二十一
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十一恒星赤道经纬度表八赤道鹑火宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十一
## 卷二十二
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十二恒星赤道经纬度表九赤道鹑尾宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十二
## 卷二十三
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十三恒星赤道经纬度表十赤道夀星宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十三
## 卷二十四
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十四恒星赤道经纬度表十一赤道大火宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十四
## 卷二十五
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十五恒星赤道经纬度表十二赤道析木宫(黄道度附)钦定仪象考成卷二十五
## 卷二十六
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十六月五星相距恒星经纬度表黄道十二宫(赤道度附)月五星相距恒星经纬度表恒星在天各有定位月五星东行过之南北相距一度以内为犯月距十七分以内五星距三分以内为凌同度为掩月五星出入黄道不过十度故取黄道南北十度以内之恒星依黄道次序列为表而以赤道经纬附之并将赤道岁差列于其下推算之法详见考成上编兹不具载钦定仪象考成卷二十六
## 卷二十七
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十七天汉经纬度表一黄道北天汉度天汉黄赤经纬度表晋书天文志云天汉起东方经箕尾之间谓之汉津乃分为二道其南经传说鱼天籥天弁河鼓其北经龟贯箕下次络南斗魁左旗至天津下而合南道乃西南行又分夹瓠𤓰络人星杵造父螣蛇王良附路阁道北端大陵天船卷舌而南行络五车经北河之南入东井水位而东南行络南河阙邱天狗天记天稷至七星南而没明史天文志云近年浮海之人至赤道以南见云汉过天狗之墟抵天社海石之南逾南船带海山贯十字架蜜蜂傍马腹经南门络三角龟杵而属扵尾宿是为带天一周灵䑓仪象志天汉经纬度分列黄道南北赤道南北四表与明史合但不按宫次或分二界或分三界或分四界逐度列表其分合曲折之处尚有未详今亦分黄赤南北四表而各按宫次分南界北界南之北界北之南界各列四层其分合既为明晰至其曲折之处经纬或有不同又扵每度之间细分列表按数图之庶合悬象云钦定仪象考成卷二十七
## 卷二十八
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十八天汉经纬度表二黄道南天汉度钦定仪象考成卷二十八
## 卷二十九
钦定四库全书钦定仪象考成卷二十九天汉经纬度表三赤道北天汉度钦定仪象考成卷二十九
## 卷三十
钦定四库全书钦定仪象考成卷三十天汉经纬度表四赤道南天汉度钦定仪象考成卷三十◆ 《晓庵新法-清-》（KR3f0021）
## 提要
钦定四库全书 子部六
晓庵新法 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨案晓庵新法六卷国朝王锡阐撰锡阐字寅旭号余不又号晓庵又号天同一生吴江人是书前一卷述句股割圜诸法后五卷皆推步七政交食凌犯之术观其自序葢成于明之末年故以崇祯元年戊辰为厯元以南京应天府为异差之元其分周天为三百八十四更以分弧为逐限以加减为从消剏立新名虽颇涉臆撰然其时徐光启等纂修新法聚讼盈庭锡阐独闭戸著书潜心测算务求精符天象不屑屑扵门户之分钮琇觚賸称其精究推步兼通中西之学遇天色晴霁辄登屋卧䲭吻间仰察星象竟夕不寐盖亦覃思测騐之士梅文鼎勿庵厯算书记曰从来言交食只有食甚分数未及其边惟王寅旭则以日月圆体分为三百六十度而论其食甚时所亏之边凡㡬何度今为推演其法颇为精确又称近代厯学以吴江为最识解在青州之上云云(案青州谓薛鳯)(祚鳯祚山东益都人为青州属邑故也)其推挹锡阐甚至迨康熙中御制数理精蕴亦多采锡阐之说葢其书虽疎密互见而其合者不可废也书中于法有未备者每稍别见补遗然此本止扵六卷实无所谓补遗者意其有佚篇欤乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 原序
晓庵新法原序
炎帝八节厯之始也而其书不传黄帝颛顼虞夏殷周鲁七厯先儒谓其伪作今七厯具存大指与汉厯相似而章蔀气朔未覩其真其为汉人所托无疑太初三统法虽疎违而创始之功不可冺也刘洪姜岌次第阐明何祖专力表圭益称精切自此南北厯家率能好学深思多所推论皆非浅近所及唐厯大衍稍亲然开元甲子当食不食一行乃为谀词以自解何如因差以求合乎至宋而厯分两途有儒家之厯有厯家之厯儒者不知厯数而援虚理以立说术士不知厯理而为定法以騐天天经地纬躔离违合之原概未有得也国初元统造大统厯因郭守敬遗法増损不及百一岂以守敬之术果能度越前人乎守敬治厯首重测日余尝取其表景反复布算前后抵牾余所剏改多非宻率在当日已有失食失推之咎况乎遗籍散亡法意无徴兼之年逺数盈违天渐逺安可因循不变耶元氏艺不逮郭在廷诸臣又不逮元卒使昭代大典踵陋袭伪虽有李徳芳争之然徳芳不能推理而株守陈言无以相胜诚可叹也近代端清世子郑善夫邢云鹭魏文奎皆有论述要亦不越守敬范围至如陈壌摭拾九执之余津冷逢震墨守元㑹之畸见又何足以言厯乎万厯季年西人利氏来归颇工厯算崇祯初命礼臣徐光启译其书有厯指为法原厯表为法数书百余卷数年而成遂盛行于世言厯者莫不奉为爼豆吾谓西厯善矣然以为测候精详可也以为深知法意未可也循其理而求通可也安其误而不辨不可也姑举其概二分者春秋平气之中二正者日道南北之中也大统以平气授人时以盈缩定日躔法非谬也西人既用定气则分正为一因讥中厯节气差至二日夫中厯岁差数强盈缩过多恶得无差然二日之异乃分正殊科非不知日行之朓朒而致误也厯指直以怫已而讥之不知法意一也诸家造厯必有积年日法多寡任意牵合由人守敬去积年而起自辛巳屏日法而断以万分识诚卓也西厯命日之时以二十四命时之分以六十通计一日为分一千四百四十是复用日法矣至于刻法彼所无也近始每时四分之为一日之刻九十六彼先求度而后日尚未觉其繁施之中厯则窒矣反谓中厯百刻不适于用何也且日食时差法之九十有六与日刻之九十六何与乎而援以为据不知法意二也天体浑沦初无度分可指昔人因一日日躔命为一度日有疾徐断以平行数本顺天不可损益西人去周天五度有竒敛为三百六十不过取便割圜岂真天道固然而党同伐异必曰日度为非讵知三百六十尚非弦弧之㨗径乎不知法意三也上古寘闰恒于岁终盖厯术疎阔计岁以寘闰也中古法日趋宻始计月以置闰而闰于积终故举中气以定月而月无中气者即为闰大统专用平气置闰必得其月新法改用定气致一月有两中气之时一岁有两可闰之月若辛丑西厯者不亦盭乎夫月无平中气者乃为积余之终无定中气者非其月也不能虚衷深考而以卤莾之习侈支离之学是以归余之后气尚在晦季冬中气已入仲冬首春中气将归腊杪不得已而退朔一日以塞人望亦见其技之穷矣不知法意四也天正日躔本起子半后因岁差厯丑及寅若夫合神之说乃星命家猥言明理者所不道西人自命厯宗何至反为所惑而天正日躔定起丑初乎况十二次舎命名悉依星家如随节气递迁虽子午不妨异地而𤣥枵鸟咮亦无定位耶不知法意五也岁实消长昉于统天郭氏用之而未知所以当用元氏去之而未知所以当去西人知以日行髙卑求之而未知以二道逺近求之得其一而遗其一当辨者一也岁差不齐必縁天运缓促今欲归之偶差岂前此诸家皆妄作乎黄白异距生交行之进退黄赤异距生岁差之屈伸其理一也厯指已明于月何蔽于日当辨者二也日躔盈缩最高斡运古今不同揆之臆见必有定数不唯日躔月星亦应同理但行迟差微非毕生岁月所可测度西人每诩数千年传人不乏何以亦无定论当辨者三也日月去人时分逺近眎径因分大小则逺近大小宜为相似之比例西法日则逺近差多而眎径差少月则逺近差少而眎径差多因数求理难可相通当辨者四也日食变差机在交分(西厯名交角)日轨交分与月髙交分不同月髙交于本道与交于黄道者又不同厯指不详其理厯表不著其数岂黄道一术足穷日食之变乎当辨者五也中限左右日月眎差时或一东一西交广以南日月视差时或一南一北此为眎差异向与眎差同向者加减逈别厯指岂以非所常遇故寘不讲耶万一遇之则学者何从立算当辨者六也日光射物必有虚景虚景者光径与实径之所生也暗虚恒缩理不出此西人不知日有光径仅以实径求暗虚及至步推不符天騐复酌损径分以希偶合当辨者七也月蚀定望唯食甚为然亏复四限距望有差日食稍离中限即食甚己非定朔至于亏复相去尤逺西厯乃言交食必在朔望不用朓朒次差(西厯)(名次均加减)过矣当辨者八也岁填荧惑以本天为全数日行规为岁轮太白辰星以日行规为全数本天为岁轮(厯指又名伏见轮)故测其迟速留退而知其去地逺近考于厯指数不尽合当辨者九也荧惑用日行髙卑变岁轮大小理未悖也用自行髙卑变岁轮大小则悖矣太白交周不过二百余日辰星交周不过八十余日厯指皆与岁周相近法虽巧非也当辨者十也语云步厯甚难辨厯甚易盖言象纬森罗得失无所遯也据彼所述亦未尝自信无差五星经度或失二十余分(西法一十二分)躔离表騐或失数分交食值此当失以刻计凌犯值此当失以日计矣故立法不久违错颇多余于厯说已辨一二乃癸卯七月望食当既不既与夫失食失推者何异乎且译书之初本言取西厯之材质归大统之型范不谓尽堕成宪而专用西法如今日者也余故兼采中西去其疵颣叅以己意著厯法六篇㑹通若干事攷正若干事表明若干事增葺若干事立法若干事旧法虽舛而未可遽废者两存之理虽可知而非上下千年不得其数者阙之虽得其数而逺引古测未经目信者别见补遗而正文仍袭其故为日一百几十有几为文万有千言非敢妄云窥其堂奥庶㡬初学之津梁也或曰子云称雒下为圣人识者非之嗣是名厯代兴业愈精而差愈见徒供人之弹射子今法成而弹射者至矣曰培冈阜者易为髙浚溪谷者易为深夫厯二千年来差愈见而法愈宻非后人知胜于古也增修易善耳或者以吾法为标的则吾学明矣庸何伤昭阳单阏菊花开日晓庵氏自序朱氏彛尊明诗综王锡阐字寅旭一字昭冥吴江人博综群书尤精厯象之学创新法候日月食较宻于前人撰有厯说厯法大统法启蒙圜解三辰仪晷志等书为人耿介抜俗诗亦不沿时习
## 目录
钦定四库全书晓庵新法目录卷一勾股割圜变率通率卷二法数 (度法) (日法)黄道诸数 (天周纬) (岁差) (列宿距星黄道经)赤道辰次日躔诸数 (岁周) (厯周)月离诸数 (月周) (转) (交)气朔定名 (四孟节气季中气中气 四 节气) (四仲节气望中气 朔)(弦) (一气三候)岁星诸数 (合) (转) (交)荧惑诸数 (合) (转) (交)填星诸数 (合) (转) (交)太白诸数 (合) (转) (交)辰星诸数 (合) (转) (交)逺近中准视径中准晨夕隠见 (昏明) (伏见中准)里差诸应 (厯元岁星) (黄道荧惑) (赤道填星) (日躔太白) (月离辰星)(里差)卷三气朔 (气候交平朔弦望月离 转) (盈虚) (日躔入厯)五星 (平合) (交转)通率 (日) (度) (平行分) (初末限)躔离定度 (朓肭荧次行准月离朓肭定差差岁填 惑后 五星朓肭次)(行定度)气朔定日 (四正望) (定朔弦望) (五星定合退)内外纬度 (月离正交度黄道内外度) (月五星交定度星月离纬度 五)(纬度)经纬变度 (两道差度有黄道纬求赤道纬距日定)躔离宿度 (黄道宿度黄道宿度) (赤道宿度) (赤道上)躔离辰次 (赤道) (黄道)九服里差命日 (大余) (小余)卷四昼夜永短 (赤道日周日出入分) (升降差昏明分) (昼夜分)五星逺近(补) (逺近定分)月星光体盈亏 (径体准度分光体汜加分光体次加 光体定分)视径 (日月径分) (五星径分) (暗虚)月星伏见 (赤道离日日周见伏见准度升降较 定伏)极交分卷五气差视差 (午位黄赤道限黄道午中差度黄道中限 黄道中 髙 黄道髙 极交分)(分日月髙度极交分 三差) (月星髙交黄道)晨昏日月径 (晨昏径差) (晨昏径分)月体光魄定向 (汜向) (次向) (定向)变差(附) (赤道) (黄道)卷六日食 (南北较差日食分秒) (东西较差初亏复明) (食甚定时环既内 金)(径日食方位 变差) (带食) (带食方位) (月)月食 (食甚定时食月食分秒食初亏复明食既内 月 更㸃 月 方位 带)(带食方位)太白食日 (太白晨昏定径食东西南北较差 中食定时 日浅深 日中)(黑子带出入二限方太白食日方位 食 带食 位)凌犯 (主客定纬) (次纬较次距时定距定行 分 差法) (平距定合)(隂阳厯浅顺逆厯犯晨昏径分食正合 掩食 深 凌 逺近 掩 初终)(二限转凌犯初终二限位 时变差 重合) (掩食凌犯方有犯无合)(升降) (昏旦隠见)交㑹辰次 (赤道宿度) (黄道宿度) (辰次)
## 卷一
钦定四库全书晓庵新法卷一吴江王锡阐撰勾股置四方形从两隅斜分之损半为三边之形形之两边从横相遇其隅中矩曰勾股横为勾从为股旧法短为勾长为股今不论短长但以从横为定斜行以两端属于勾股之端者曰弦此为勾股之弦与割圜法中全正较三弦异理勾股各为幂自因曰幂相从平方开之得弦数弦为幂勾股两幂相从即弦幂以勾幂消弦幂为股幂即股自因数股幂消弦幂为勾幂即勾自因数各以平方开之得勾股之数假如勾数三股数四勾数自因得九为勾幂股数自因得一十六为股幂两幂相从得二十五为弦幂平方开之得五为弦数余倣此割圜置全圜四分之曰象限日度九十一度少强爻限九十六爻平限九十限六分之曰纪限日度六十一度弱爻限六十四爻平限六十限十分之曰专限日度三十六度半强爻限三十八爻四十策平限三十六限参分象限之一曰辰限日度三十度半弱爻限三十二爻平限三十限四分纪限之一曰气限当辰限之半日度一十五度少弱爻限一十六爻平限一十五限参分专限之二曰髀限日度二十四度强爻限二十五爻六十策平限二十四限三百八十四分圜周之一曰爻限全周三百八十四爻其一爻当日度之九十五分有奇平限之九十三分太三百六十分圜周之一曰平限全周三百六十限其一限当日度之一度一分半弱爻限之一爻又三十分爻之二以岁周分圜周曰度限亦曰日度全周三百六十五度少弱其一度当爻限之一爻五策有奇平限之九十八分半强割圜周之一曰正弧即用弧随所用大小不拘度分正弧与象限之较曰较弧置象限内减正弧得较弧弧之对边与两端属于弧之两端者曰全弦全弦之半为其半弧之正弦正弦亦曰正半弦既得正弦复置半弧为正弧正弦与半径为勾弦求股为较弧之正弦亦为正弧之较弦较弦损半径为矢矢与正弦为勾股得全弦置半径内减较弦得矢矢为勾正弦为股勾股求弦得正弧全弦半之又为半弧之正弦用此法可以递损半弧求其正弦圜之全径为半周全弦二度半径为象限正弦亦为纪限全弦一度自为勾股得象限全弦一度自因倍为实平方开之得一度四十一分四十二秒一十三㣲半强即象限全弦全径为幂四分去一三度平方开之得倍纪全弦倍纪当日度之一百二十一度太弱爻限之一百二十八爻平限之一百二十限其全弦得一度七十三分二十秒五十微太强半之为纪限正弦八十六分六十秒二十五微半弱四分全径之一为勾五十分半径为股求弦去勾为专限全弦六十一分八十秒三十四㣲弱其幂与半径之幂相从平方开之得倍专全弦倍专当日度之七十三度强爻限之七十六爻八十策平限之七十二限其全弦得一度一十七分五十五秒七十㣲半强半之为专限正弦五十八分七十七秒八十五㣲少强纪限专限正弦相损为股两正弦数俱见上相损存二十七分八十二秒四十微弱较弦相损为勾纪限较弦五十分专限较弦八十分九十秒一十七㣲弱相损存三十分九十秒一十七㣲得髀限全弦勾股求弦得四十一分五十八秒二十三㣲半弱即髀限全弦有不齐之两弧互以正弦因较弦相从为两弧相益之正弦相消为两弧相损之正弦倍正弦因较弦为倍弧之正弦各随用弧大小不拘度分中分纪限全弦为辰限正弦五十分置辰限求全弦五十一分七十六秒三十八微强半之为气限正弦二十五分八十八秒一十九微强以弦矢术递损其半至四分爻限之一之正弦而止四分爻限之一得二十五策其正弦四十秒九十微半强以二十五为法分之为百分爻限之一之正弦百分爻限之一即一策其正弦一秒六十三微半强用两弧损益之术得三百八十四爻及诸策之正弦又法置髀限以弦矢术递损其半至二十分爻限之一(即五策)之正弦而止其数八秒一十八微强为实五策为法而一亦得百分爻限之一之正弦半径因正弦为实较弦为法而一得外切圜分省曰切分半径自因为实较弦为法而一得割圜界分省曰界分较弧损半其切分如正弧切分即正弧界分较弧损半其切分减正弧界分即正弧切分命半径为一度诸率以半径为法因之者可免因法以半径为法而一者可免分法后俱从省当日度之五十八度有奇爻限之六十一爻有奇平限之五十七限少强其一分当日度之五十八分有奇爻限之六十一策有奇平限之五十七分少强径一则围三有奇围三则径一不足命全径为二度得围法六度二十八分三十二秒不足用分全周得本文诸数变率正弧过一象限者与半周相消设有正弧一百爻是为过一象限之弧与半周初减存九十二爻余倣此过半周者内损半周设有正弧二百爻是为过半周之弧内减半周存八爻余倣此至三象限已上者与全周相消设有正弧三百爻是为三象限已上之弧与全周相减存八十四限各以所存之弧代正弧求弦矢诸数割圜器表止一象限而全周之为象限者四故正弧过一象限已上者与全周半周相减以所存之弧求正较弦矢切分界分通率有日度求爻限者以爻限周因之如岁周而一爻限周三百八十四每度得一爻五策一十三分五十七秒少弱有爻限求平限者以平限周因之如爻限周而一平限三百六十每爻得空限九十三分七十五秒有平限求日度者以岁周因之如平限周而一每限得一度一分四十五秒六十一微半强若反求者以因法为分法分法为因法有日度求平限者以平限因之如岁周而一每度得空限九十八分五十六秒四十七微少强有平限求爻限者以爻限周因之如平限周而一每限得一爻六策又参分策之二有爻限求日度者以岁周因之如爻限周而一每爻得空度九十五分一十一秒五十一微半强自一度以上因陟而上分降而下自一度以下因降而下分陟而上假如一度以上者以三度因四度得一十二度故曰因陟而上以四度分三度得百分度之七十五故曰分降而下又如三度之幂得九度四度之幂得一十六度因陟而上也置九度平方开之得三度置一十六度平方开之得四度分降而下也余倣此假如一度以下者以百分度之二十因百分度之一十得百分度之二故曰因降而下以百分度之一十分百分度之二十得二度故曰因陟而上又如百分度之五十其幂得百分度之二十五因降而下也置百分度之二十五平方开之得百分度之五十分陟而上也余倣此晓庵新法卷一
## 卷二
钦定四库全书晓庵新法卷二吴江王锡阐撰法数度法度法百分分秒㣲纎尘芒末递以百为法爻法百策策法百分分秒以下俱倣此日法纪法六十日十干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十二支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥干支互配得六十故纪法六十日宿纪总法四百二十日又以二十八宿与十干十二支互配得四百二十故宿纪总法四百二十日日法百刻刻法百分分秒以下倣此时法八刻又参分刻之一黄道诸数天周周天三百六十五度二十五分六十五秒五十九㣲三十二纎半周一百八十二度六十二分八十二秒七十九㣲六十六纎象限九十一度三十一分四十一秒三十九㣲八十三纎内外准内外准分三十九分九十一秒四十九纎内外准分古今消长不同别见补遗内外次准九十一分六十八秒八十六微岁差黄道岁差一分四十三秒七十三微二十六纎一策又九十分策之四十六岁差消长古今不同别见补遗列宿距星黄道经纬角一十度七十三分七十九秒一十一爻二十八策又九分策之八南二度一分二十三秒二爻一十一策又九分策之五亢一十度八十二分二十四秒一十一爻三十七策又九分策之七北三度一分一秒三爻一十六策又九分策之四氐一十八度一十六分一十四秒一十九爻九策又三分策之一北四十三分九十六秒四十六策又九分策之二房四度八十三分六十三秒五爻八策又九分策之四南五度四十六分一十九秒五爻七十四策又九分策之二心七度六十六分二秒八爻五策又三分策之一南三度九十七分三十八秒四爻一十七策又九分策之七尾一十五度八十二分七十八秒一十六爻六十四策南一十五度二十一分九十秒一十六爻箕九度四十六分九十六秒九爻九十五策又九分策之五南六度五十九分四十九秒六爻九十三策又三分策之一右东宫苍龙七宿七十七度五十一分五十六秒南斗二十四度一十九分八十二秒二十五爻四十四策南三度八十八分九十三秒四爻八策又九分策之八牵牛七度七十九分五十五秒八爻一十九策又九分策之五北四度七十五分一十七秒四爻九十九策又九分策之五婺女一十一度八十二分二秒一十二爻四十二策又三分策之二北八度二十八分五十九秒八爻七十一策又九分策之一虚一十度一十二分九十一秒一十爻六十四策又九分策之八北八度八十二分七十秒九爻二十八策危二十度四十一分四秒二十一爻四十五策又九分策之七北一十度八十五分六十二秒一十一爻四十一策又三分策之一营室一十五度九十一分二十三秒一十六爻七十二策又九分策之八北一十九度七十一分七十一秒二十爻七十二策又九分策之八东壁一十一度六十八分四十八秒一十二爻二十八策又九分策之四北一十二度七十六分七十二秒一十三爻四十二策又九分策之二右北宫𤣥武七宿一百一度九十五分五秒奎一十三度四十二分六十六秒一十四爻一十一策又九分策之五北一十八度五分一十八爻九十八策又三分策之二娄一十三度一十八分九十八秒一十三爻八十六策又三分策之二北八度六十分七十二秒九爻四策又九分策之八胃一十三度二十分六十七秒一十三爻八十八策又九分策之四北一十一度四十三分一十二秒一十二爻一策又九分策之七昴八度六十分七十二秒九爻四策又九分策之八北四度五分八十四秒四爻二十六策又三分策之二毕一十五度一十一分七十六秒一十五爻八十九策又三分策之一南三度四分三十八秒三爻二十策觜觿一十一分八十四秒一十二策又九分策之四南一十三度八十六分六十三秒一十四爻五十七策又九分策之七参一十二度二分三十秒一十二爻六十四策南二十四度九十二分五十四秒二十六爻二十策又九分策之四右西宫白虎七宿七十五度六十八分九十三秒东井三十度八十六分八秒三十二爻又四十五分爻之二十南八十九分六十二秒九十四策又九分策之二舆鬼四度六十六分七十二秒四爻九十策又三分策之二南八十一分一十七秒八十五策又三分策之一柳一十七度二十四分八十二秒一十八爻一十三策又三分策之一南一十二度六十三分一十八秒一十三爻二十八策七星八度五十分五十七秒八爻九十四策又九分策之二南二十三度七十二分七十一秒二十三爻八十九策又三分策之一张一十八度三十三分五秒一十九爻二十七策又九分策之一南二十六度五十八分二十六秒二十七爻九十四策又三分策之二翼一十七度二十四分八十二秒一十八爻一十三策又三分策之一南二十三度一分四十六秒二十四爻一十九策又九分策之五轸一十三度二十四分五秒一十三爻九十二策南一十四度六十二分七十三秒一十五爻三十七策又九分策之七右南宫朱鸟七宿一百一十度一十分一十一秒赤道辰次附子元枵之次亥娵訾之次戌降娄之次酉大梁之次申实沈之次未鹑首之次午鹑火之次已鹑尾之次辰寿星之次卯大火之次寅析木之次丑星纪之次日躔诸数岁周岁周三百六十五日二十四刻二十一分八十六秒六㣲岁周消长古今不同别见补遗半周一百八十二日六十二刻一十分九十三秒三㣲象限九十一日三十一刻五分四十六秒五十一㣲五十纎气策一十五日二十一刻八十四分二十四秒四十二㣲候策五日七刻二十八分八秒一十四㣲土王策三日四刻三十六分八十四秒八十八㣲四十纎盈策一日一刻四十五分六十一秒六十二微七十九纎四十四尘距至爻法一爻五策一十三分五十七秒一十九微诸率俱随岁周消长古今不同别见补遗厯周厯周三百六十五日二十五刻四十八分六十八秒八微厯周消长古今不同别见补遗半周一百八十二日六十二刻七十四分三十四秒四㣲象限九十一日三十一刻三十七分一十七秒二㣲厯周岁差一策又三分策之一入厯爻法一爻五策一十三分二十二秒四十七微诸率俱随厯周消长古今不同别见补遗朓肭准度三度亦名盈缩准度准分八十九秒六十㣲古今消长不同别见补遗月离诸数月周月周二十九日五十三刻五分九十一秒九十七㣲日躔平行三十一爻四策七十二分望策一十四日七十六刻五十二分九十五秒九十八㣲五十纎弦策七日三十八刻一十六分四十七秒九十九微二十五纎虚策九十八刻四十三分五十三秒六㣲五十六纎六十七尘通闰一十日八十七刻五十分八十二秒四十二㣲月行爻法一十四爻五策四十八分二十一秒五十㣲距朔爻法一十三爻三十四分六十四秒通闰法一十一爻四十三策五十九分六十一秒朓肭外准一分三十一秒二十㣲亦名迟疾外准转转周二十七日五十五刻四十六分一十三秒七十七㣲半周一十三日七十七刻七十三分六秒八十八㣲五十纎转终差一日九十七刻五十九分七十八秒二十㣲转半差九十八刻七十九分八十九秒一十㣲入转爻法一十三爻九十三策五十九分六十秒转差法二十七爻五十三策七十一分五十三秒半差法一十三爻七十六策八十五分七十六秒五十㣲朓朒准度五度五十九分亦名迟疾准度用新法会通崇祯厯书得朓朒准度二度准分一分三十二秒三㣲用新法会通崇祯厯书得朓朒准分二分九十秒交交周二十七日二十一刻二十二分二十二秒三㣲半周一十三日六十刻六十一分一十一秒一㣲五十纎交终差二日三十一刻八十三分六十九秒九十四㣲入交爻法一十四爻一十一策一十三分六秒交差法三十二爻七十一策五十二分二十八秒交纬准分八分六十七秒二十五㣲中纬准分八分九十四秒七十㣲交行朓朒准分三分六秒八十㣲亦名交行屈伸准分气朔定名四孟节气正月立春四月立夏七月立秋十月立冬四孟中气正月雨水四月小满七月处暑十月小雪四仲节气二月惊蛰五月芒种八月白露十一月大雪四仲中气二月春分五月夏至八月秋分十一月冬至四季节气三月清明六月小暑九月寒露十二月小寒四季中气三月谷雨六月大暑九月霜降十二月大寒朔望弦日月相会为朔月离日一象限为上弦日月相冲为望月离日三象限为下弦正月建寅律中太蔟二月建卯律中夹钟三月建辰律中姑洗四月建巳律中仲吕五月建午律中蕤賔六月建未律中林钟七月建申律中夷则八月建酉律中南吕九月建戌律中无射十月建亥律中应钟十一月建子律中黄钟十二月建丑律中大吕一气三候不及候策为初候一候策以上为中候二候策以上为末候岁星诸数合合周三百九十八日八十八刻三十一分七十九秒日躔平行三十五爻三十六策八十七分合中一百九十九日四十四刻一十五分八十九秒五十㣲合周岁差三百五十一爻六十一策四十二分二十六秒平行爻法八策八十六分六十九秒三十一㣲距合爻法九十六策二十六分八十七秒八十八㣲朓朒中准一十九分二十九秒四十八㣲亦名迟疾中准用新法会通崇祯厯书其岁星朓朒中准即为后准转转周四千三百三十三日三十七刻九分六十九秒转中二千一百六十六日六十八刻五十四分八十四秒五十㣲转象限一千八十三日三十四刻二十七分四十二秒二十五㣲入转岁差一策九十九分七十九秒四十三㣲入转爻法八策八十六分一十四秒六十一㣲转差法三十五爻三十四策六十八分七十九秒一十㣲朓朒准度三度亦名盈缩准度准分二分三十八秒五十㣲交交周四千三百三十一日二十四刻七十八分一十七秒交中二千一百六十五日六十二刻三十九分八秒五十㣲入交周岁差四十一分一十三秒三十九微入交爻法八策八十六分五十八秒五㣲交差法三十五爻三十六策四十二分六秒一十六㣲中纬准分二分五十二秒八十㣲荧惑诸数合合周七百七十九日九十三刻五十一分二十八秒日躔平行五十一爻九十九策三分八秒合中三百八十九日九十六刻七十五分六十四秒合周岁差一百七十九爻八十二策六十四分九十四秒平行爻法五十五策九十分八秒五十五㣲距合爻法四十九策二十三分四十八秒六十四㣲朓朒中准六十五分四十九秒五十㣲亦名迟疾中准用新法会通崇祯厯书得外准一度一十分转转周六百八十七日五十二分八十四秒转中三百四十三日五十刻二十六分四十二秒转象限一百七十一日七十五刻一十三分二十一秒入转岁差二策二十二分三十七秒四十四㣲入转爻法五十五策八十九分四十七秒六十七㣲转差法四十五爻六十六策二十一分八十秒三十㣲朓朒准度三度亦名盈缩准度用新法会通崇祯厯书得四度准分四分六十三秒七十五㣲用新法会通崇祯厯书得三分七十一秒交交周六百八十六日九十八刻三十二分六十八秒交中三百四十三日四十九刻一十六分三十四秒入交岁差一策五十六分九十五秒入交爻法五十五策八十九分六十五秒五十八㣲交差法四十五爻六十六策三十五分七十七秒三十六㣲中纬准分三分一十九秒九十㣲填星诸数合合周三百七十八日九刻二十二分八十四秒日躔平行一十三爻五十一策四十三秒合中一百八十九日四刻六十一分四十二秒合周岁差三百七十爻九十四策九十一分一十七秒平行爻法三策五十七分三十二秒一十二㣲距合爻法一爻一策五十六分二十五秒六㣲朓朒中准一十分四十二秒八十㣲亦名迟疾中准用新法会通崇祯厯书其填星朓朒中准即为后准转转周一万七百六十七日五十六分八十五秒转中五千三百八十三日五十刻二十八分四十二秒五十㣲转象限二千六百九十一日七十五刻一十四分二十秒二十五㣲入转岁差二策四十六分九十三秒四十㣲入转爻法三策五十六分六十四秒五十一㣲转差法一十三爻四十八策四十四分七十六秒六十六㣲朓朒准度三度亦名盈缩准度准分二分九十秒七十㣲交交周一万七百五十六日八十六刻九分一秒交中五千三百七十八日四十三刻四分五十秒五十㣲入交岁差一策二十四分八秒四十五㣲入交爻法三策五十六分九十八秒一十五㣲交差法一十三爻四十九策七十一分九十三秒八十四㣲中纬准分四分三十九秒太白诸数合合周五百八十三日九十一刻九十九分一十二秒日躔平行二百二十九爻九十策八十三分九十九秒合中二百九十一日九十五刻九十九分五十六秒合周岁差二百四十爻一十九策二十一分八十四秒距合爻法六十五策七十六分二十四秒四十三㣲朓朒后准七十二分二十四秒八十五㣲亦名迟疾后准转转周三百六十五日二十六刻五十五分七十秒转中一百八十二日六十三刻二十七分八十五秒转象限九十一日三十一刻六十三分九十二秒五十㣲入转岁差二策四十五分八十一秒五十三㣲入转爻法一爻五策一十二分八十九秒八十九㣲转差法二百二十九爻八十六策九十分九十八秒九十㣲朓朒准度三度亦名盈缩准度准分八十秒二十㣲交交周二百二十四日七十刻四十分六十八秒四十二㣲交中一百一十二日三十五刻二十分三十四秒二十一㣲入交岁差二百四十爻一十六策七十六分二秒入交爻法一爻七十策八十九分一十四秒三十二㣲交差法与转差法同中纬准分四分三十九秒辰星诸数合合周一百一十五日八十七刻七十二分二十四秒日躔平行一百二十一爻八十二策八十四分五十八秒合中五十七日九十三刻八十六分一十二秒合周岁差五十八爻三十五策八十六分四十秒距合爻法三爻三十一策三十八分五十二秒二十五㣲朓朒后准三十八分五十秒亦名迟疾后准转转周三百六十五日二十七刻一十九分五十五秒转中一百八十二日六十三刻五十九分七十七秒五十㣲转象限九十一日三十一刻七十九分八十八秒七十五㣲入转岁差三策一十二分七十二秒六十六㣲入转爻法一爻五策一十二分七十一秒五十七㣲转差法一百二十一爻八十一策八十四分四十秒九十㣲朓朒准度五度亦名盈缩准度准分一分一十三秒七十㣲交交周八十七日九十七刻一十三秒一十一㣲交中四十三日九十八刻五十分六秒五十五㣲五十纎入交岁差五十八爻三十二策七十三分六十八秒入交爻法四爻三十六策五十一分二十三秒八十二㣲交差法与转差同中纬准分三分八十一秒一十㣲逺近中准日太白辰一千一百四十二度月五十六度七十二分岁五千九百一十八度六十九分荧惑一千七百四十三度六十四分填一万九百五十三度三十九分视径中准日中准八十八秒六十八㣲用新法会通崇祯厯书得八十八秒七十五㣲又得径差准分八十二秒八十八㣲光径准度一十二度四十分月中准九十三秒七㣲用新法会通崇祯厯书得九十四秒七十四㣲又得径差准分二分一秒五十七㣲五星岁八秒荧惑四秒六十九㣲填五秒三十一㣲太白九秒四十五㣲辰六秒五十二㣲晨夕隠见昏明昏明准分三十九分十秒一十七㣲伏见中准月一十七分八十八秒四十㣲用新法㑹通崇祯厯书得一十七分三十六秒五十㣲岁星辰星数同岁一十八分三十三秒用新法会通大统厯得二十分四十九秒荧惑二十二分四十三秒四十㣲用新法会通大统厯得三十二分一十秒崇祯厯书得一十九分九十三秒七十㣲填二十分二十六秒用新法㑹通大统厯得三十分四十七秒崇祯厯书得一十九分八秒一十㣲太白八分八十五秒八十㣲用新法㑹通大统厯得一十七分九十七秒崇祯厯书得八分七十一秒六十㣲辰二十分三十七秒八十㣲用新法㑹通大统厯得夕见晨伏二十八分七十六秒夕伏晨见三十二分一十秒里差北极髙下全差二万二千五百里东西差准九百里诸应厯元崇祯元年著雍执徐为厯元十干甲曰阏逢乙曰旃蒙丙曰柔兆丁曰强圉戊曰著雍已曰屠维庚曰上章辛曰重光壬曰元黓癸曰昭阳十二支子曰困敦丑曰赤奋若寅曰摄提格卯曰单阏辰曰执徐已曰大荒落午曰敦牂未曰协洽申曰涒滩酉曰作噩戌曰阉茂亥曰大渊献南京应天为里差之元黄道宿应箕四度三十四分六十秒箕宿四爻五十六策九十一分赤道辰应三百一十度四十八分六十八秒三百二十六爻三十三策二十五分日躔气应三百七十四日一十刻二十分七十八秒其甲子一十四日一十刻二十分七十八秒厯应三百五十九日一十六刻七十五分一十七秒三百七十七爻六十策三分厯周限六爻三十九策九十七分月离闰应一十三日九十四刻九十七分六十七秒月平行一百八十一爻三十九策五十三分转应一日六刻七十一分三十秒一十四爻八十七策一十五分转周限一百六十六爻四十五策二十九分交应一十日五十二刻五十三分四十四秒一百四十八爻五十二策六十三分正交限三十二爻七十九策八十一分用大统厯法㑹通崇祯厯书得交应一十日五十五刻六十一分二十一秒岁星合应一十二日四十一刻九十九分一十一爻九十五策六十五分岁星平行三百七十二爻四策三十五分转应三千七日五十刻五十九分二百六十六爻五十策九十分转初限一百五爻五十三策四十五分交应四千一百一十日六十八刻六十一分三百六十四爻四十四策五十四分正交限七爻五十九策八十一分荧惑合应四百四十五日六十八刻八十八分二百一十九爻八十三策五十四分荧惑平行一百六十四爻一十六策四十六分转应一百八十日八十七刻九十六分一百一爻一十策二十二分转初限六十三爻六策二十四分交应三百七十五日八十刻九十八分二百一十爻七策五十九分正交限三百三十八爻八策八十七分填星合应九十六日五十一刻七十二分九十八爻二策五十三分填星平行二百八十五爻九十七策四十七分转应二千七百一十九日二十八刻三分九十六爻九十八策一十八分转初限一百八十八爻九十九策二十九分交应七千三百九十三日七十一刻一分二百六十三爻九十四策一十八分正交限二十二爻三策二十九分太白合应一十三日九十四刻四十五分九爻一十七策二分转应三百六十五日三百八十七爻七十一策八分转初限二十八策九十二分交应一十五日一十八刻九十六分二十八秒二十五爻九十五策七十七分七十三秒正交限三百五十八爻四策二十二分二十八秒辰星合应三十七日七十刻一十九分一百二十四爻九十三策八十五分转应二百一十一日三十二刻八分二百二十二爻一十五策五十五分转初限一百六十一爻八十四策四十五分交应三十五日五十三刻四十一分四十五秒一百五十五爻一十一策九分四十二秒正交限二百二十八爻八十八策九十分五十八秒里差北极应三十二度四十分(在应天实测)三十四爻六策晓庵新法卷二
## 卷三
钦定四库全书晓庵新法卷三吴江王锡阐撰气朔气候置岁周以距元积年因之为中积加气应曰通积足宿纪总法累去之得天正冬至大小余分日曰大余刻分曰小余递加候策足宿纪总法去之凡以甲子命日俱倣此得各气候日分天正冬至大小余分即为冬至初候日分加一候策为冬至中候日分加两候策为冬至末候日分加三候策得小寒气日分即为小寒初候日分余倣此以土王策损四季中气不及损者加宿纪总法损之凡以甲子命日者俱倣此得土王用事日分上考者以气应减中积为通积足宿纪总法累去之余仍与宿纪总法相减得天正冬至大小余分平朔弦望置中积加闰应曰闰积足月周累去之得天正闰余日分用损冬至得天正平朔大小余分置天正闰余加通闰即次年天正闰余递加弦策得各月平朔弦望日分上考者以闰应损中积为闰积足月周累去之余仍与月周相减得天正闰余日分盈虚置各候以盈策递加之得各日气目刻分其无目之日曰盈日大统厯以无气目之次日为盈日置平朔弦望以虚策累加之得各日闰目刻分其重目之日曰虚日大统厯以两目之次日为虚日日躔入厯置中积加厯应足厯周累去之得天正冬至入厯日分半周已下为朓厯已上内减半周余为朒厯月五星入转倣此递加候策得各气候入厯日分加足全周去之凡足全周者俱倣此以闰余损天正冬至入厯不及损者加厯周损之凡周率不及损者俱倣此即天正平朔入厯日分递加弦策得各月平朔弦望入厯日分上考者以厯应损中积足厯周累去之余仍与厯周相减得天正冬至入厯日分月离交转置中积加转应损闰余曰转积足转周累去之得天正平朔入转日分递加弦策得各月平朔弦望入转日分置平朔弦望入转加转终差得次月平朔弦望入厯日分置平朔入转加转半差朓改朒朒改朓得平望入转日分以望求朔及两弦互求者俱倣此上考者置中积损转应加闰余曰转积足转周累去之余仍与转周相减得天正平朔入转日分置中积加交应损闰余曰交积足交周累去之得天正平朔入交日分递加望策得各月平朔望入交日分置平朔望入交加交终差得次月平朔望入交日分上考者置中积损交应加闰余曰交积足交周累去之余仍与交周相减得天正平朔入转日分五星平合置中积加合应足合周累去之得天正冬至前合日分周减合周即后合日分以前合减冬至得至前平合日分后合加冬至得至后平合日分置平合加半周岁填荧惑为退望日分太白辰星为退合日分上考者以合应损中积足合周累去之余即后合日分与合周相减得前合日分交转置中积加转应为五星转积足各星转周累去之得天正冬至各星入转日分内减前合为至前平合加后合为至后平合各入转日分上考者置中积损各星转应为转积足各星转周累去之余仍与转周相减得天正冬至各星入转日分置中积加交应为五星交积足各星交周累去之得天正冬至各星入交日分内减前合为至前平合加后合为至后平合各入交日分上考者置中积损各星交应为交积足各星交周累去之余仍与交周相减后天正冬至各星入交日分置平合交转加合中为岁填荧惑退望太白辰星退合各入转及入交日分辰周累加合周得次合交转日分通率日置用时以天正冬至减之为距至日分凡随用一日时通曰用时以平朔平合减用时为距朔距合日分荧惑太白距合过宿纪总法者以平合减用时加宿纪总法为距合日分置距朔距合以朔合入厯及交转加之为用时入厯及交转日分度置距至命日为度即为距至度分求爻策者以爻限周因之如岁周而一为距至爻策捷法置距至度分以爻法因之得距至爻策置距朔距合及入厯交转日分以岁周因之如各周而一得各度分求爻策者以爻限周因之如各周而一得各爻策捷径法置距合距朔及入厯交转日分各以其爻法因之得各爻策以距元积年因厯周岁差为厯周差积损厯应爻策为所求天正冬至入厯爻策加厯元厯周限为所求天正冬至厯周限爻策以距元积年因通闰爻法足爻限周累去之为通余爻策加厯元月平行得所求天正冬至月平行爻策置岁周足月离转周累去之余因入转爻法为通转法与距元积年相因累减爻限全周为转余爻策加转应爻策得所求天正冬至月离入转爻策用减月平行得所求天正冬至月离转初限置岁周内减月离交周十三次余因入求爻法曰通交法与距元积年相因足爻限周累去之为交余爻策加交应爻策得所求天正冬至月离入交爻策用减月平行得所求天正冬至月离正爻限置平朔距至爻策加月周日躔平行爻策得次朔距至爻策强望倣此置平朔弦望月离入转爻策加转差法得次朔弦望入转爻策以转半差法加平朔入转爻策疾改迟迟改疾得平望入转爻策有望求朔及两弦互求者俱倣此置平朔望月离入交爻策加交差法得次朔望入交爻策五星各置其合周岁差以距元积年因之累去爻限周为合周差余各加合应爻策得所求天正冬至五星距合爻策岁填荧惑各以天正冬至距合爻策反减爻限周得所求天正冬至平行爻策以距元积年因五星入转岁差为转岁差积加厯元转初限得所求天正冬至五星转初限爻策岁填荧惑以减所得天正冬至平行爻策太白辰星反减爻限周各得所求天正冬至入转爻策岁填荧惑以距元积年因入交岁差为交岁差积加厯元正交限得所求天正冬至正交限爻策以减所得天正冬至平行爻策得所求天正冬至入交爻策太白辰星以距元积年因入交岁差足爻限周累去之为交差余加交应爻策得所求天正冬至入交爻策用减爻限周得所求天正冬至正交限爻策置五星平合距至爻策加合周日躔平行得次周平合距至爻策置五星平合入转爻策以转差法加之入交爻策以交差法加之得次周平合入转及入交各爻策日太白辰星以距至度为平行经度月以距朔度益距至度为平行经度岁填荧惑以距合度损距至度为平行经度爻策倣此又法月行爻法五星平行爻法因距至日分加天正冬至月五星平行爻策各得用时月五星平行爻策月距朔五星距合各爻法因距至日分加天正冬至距朔距合爻策得用时月距朔五星距合各爻策日躔入厯月五星入转入交各爻法因距至日分加天正冬至入厯入转入交爻策得用时日躔入厯月五星入转入交各爻策月置平行经度损入交度为平交度五星置各平行经度损入交度为正交度爻策倣此平行分置岁周如月周及五星合周而一各为平离分用爻限者即距朔及距合爻法日太白辰星皆以一度为平行分月平离与一度相从岁填荧惑平离与一度相消各为平行用爻限者日太白辰星即距至爻法月岁填荧惑即平行爻法初末限日躔入厯月星入转度在半周以下为朓以上去半周余为朒爻视朓朒度不及象限者曰初限过象限者反减半周余曰末限躔离定度朓朒差倍朓朒初末限辰星三倍之申其正弦为勾较弦加减朓朒准度为股倍度过象限者加不及者减辰星朒初朓末反是勾股求弦为初法法分勾为正弦得加减差日月岁填荧惑太白皆曰加差辰星朓初朒末下及纪限曰加差过纪限曰减差朒初朓末反是捷法置勾如股而一为切分得加减差申其界分因股得初法初法因朓朒准分为定用加减差加减初末限为定限定限正弦因定用为勾较弦因定用加减一度为股朓初朒末减朒初朓末加勾股求弦为逺近初分置勾如初分而一为正弦得朓朒差捷法置勾如股而一为切分得朒朓差申其界分因股得逺近初分次行置平行径度以朓朒差朓益朒损之为次行月岁荧惑填各以次行与日躔次行相减为离度月倍之曰倍离太白辰星置距合度以朓朒差朓损朒益之为离度月倍离在半周以下为朓以上内减半周余为朒五星离度倣是朓朒不及象限为初限过象限者反减半周余为末限月离朓朒定差朓朒外准加定用曰次准倍离初末限正弦因外准为勾较弦因外准损益次准为股朓初朒末损朒初朓末益勾股求弦为后准置勾如后准而一为正弦得朓朒次差捷法置勾如股而一为切分得朓朒次差申其界分因股得后准以朓朒次差朓加朒减入转度曰次转又有加差加减之入转度在初限者加末限者减仍依入转度法求朓朒初末限申其正弦因后准为勾较弦因后准损益一度为股朒初朓末益朓初朒末损勾股求弦为逺近定分置勾如定分而一为正弦得朓朒定差捷法置勾如股而一为切分得朓朒定差申其界分曰股得逺近定分岁填荧惑后准以用时日躔入歴求其逺近分因三星朓朒中准为后准用新法会通崇祯厯书岁填即以中准为后准荧惑以用时日躔入厯求其逺近分与一度相减余因朓朒中准曰日躔差次以荧惑入转度准日躔入厯度中日躔逺近分与一度相减余因荧惑朓朒中准又以外准因之曰入转差以所得两差视逺近分过一度者加不及者减各加减于中准为后准五星朓朒次差离度朓朒初末限正弦因后准为勾较弦因后准损益逺近初分为股朓初朒末益朒初朓末损勾股求弦为逺近次分置勾如次分而一为正弦得朓朒次差㨗法置勾如股而一为切分得朓朒次差申准界分因股得逺近次分行定度日躔即以次行为行定度月离以朓朒定差朓加朒减其平行经度为行定度五星各以朓朒次差朓加朒减其次行为行定度五星次日行定度凡言次日上日者皆以子正为限等于上日者为留差在日度一分以下者俱为留段少于上日者为退月日五星各以次日行定度与上日行定度相较为定行分月日五星定行与日躔定行进相消退相从各为离日定行分气朔定日四正置四仲中气日躔朓朒差如定行而一得日差朓损朒益四仲中气日分得四正日分定朔弦望置平朔弦望日月朓朒差同名相从日朓月朒同名为加月朓日朒同名为减异名相消日朓多应加月朓多应减日朒多应减月朒多应加为实月平离为法而一得加减泛差用以加减平朔弦望为前泛时置前泛时覆求加减次差复以加减平朔弦望为后泛时覆求加减后差与次差相减余自因为实泛差次差相减余为法而一得数损益其加减后差次差多于泛差者益少者损为加减定差以加减定差加减于平朔弦望得定朔弦望日分前后两朔于同者前月大尽异者前月小尽两朔间无中气者为闰月五星定合退望五星行定度与日躔行定度相减逐日逐时细求之无余分者即为定合余半周者为退定望若未合者置其较分如离日定行而一得数加减用时为定合退望日分星行定度多者加日行定度多者减太白辰星顺合反此岁填荧惑合前为夕合后为晨望前为晨望后为夕太白辰星顺合前为晨合后为夕退合前为夕合后为晨内外纬度月离正交度月倍离初末限正弦因交周朓朒准分为勾较弦因交周朓朒准分损益一度为股朓初朒末损朒初朓末益勾股求弦为纬差法法分勾为正弦得行朓朒差倍离在朓限者交行为朒差倍离在朒限者交行为朓差亦曰屈申差朓差为申朒差为屈捷法置勾如股而一为切分得交行朓朒差申其界分因股得纬差法朓益朒损平交度为正交度月五星交定度月以正交损行定度为交定度五星以正交度损次行为交定度交定不及半周者为正交后其纬距南曰阳厯过半周者去半周余为中交后其纬距北曰隂厯正交后过象限者反减半周余为中交前中交后过象限者反减半周余为正交前黄道内外度黄道距至度半周以下为冬至后以上去半周为夏至后冬至后过象限者反减半周为夏至前夏至后过象限者反减半周为冬至前后但以割圜变率求之亦可较弦因内外准分为正弦得内外度春正限后行赤道北为内秋正限后行赤道南为外春正后即夏至前后秋正后即冬至前后月离纬度月在朔望者以交纬准分因交定正弦为正弦得弦望月纬度不在朔望者以纬差法因中纬准分为纬大限正弦又以交定正弦因之为正弦得月纬度五星纬度五星逺近初分与逺近次分相减余因中纬准分如次分而一得差较损益中纬准分为各星纬大限正弦逺近初分多者益逺近次分多者损又以交定正弦因之为正弦得各星纬度经纬变度两道差置黄道度正弦如内外度较弦而一为正弦得赤道经度两日日躔赤道经度相较余为日躔赤道定行分月星置交定较弦如纬度较弦而一为较弦得黄道距交度正交前者与正交度相消正交后者与正交度相从中交前者以半周益正交度相消中交后者以半周益正交度相从各得月星黄道经度两日黄道经度相较为黄道定行分与日躔定行进相消退相从为黄道离日定行分两道经度相减余为两道朓朒差黄道强为朒赤道强为朓月星以本道强为朒黄道强为朓有黄道经纬求赤道经纬内外准分因纬度较弦为先数内外次准因纬度正弦为次数黄道经度较弦因先数为后数月星在黄道外者以后数从次数在赤道外者以后数消次数在两道间者以次数消后数各为正弦得月星赤道内外度亦曰赤道纬度春正限后月星在黄道北为黄道外赤道南为赤道外秋正限后月星在黄道南为黄道外赤道北为赤道外与末所得月星赤道内外度外为南内为北者不同黄道纬度较弦因黄道经度正弦如赤道较弦而一为正弦得赤道经度两日月星赤道经度相较为月星赤道定行分与日躔赤道定行进相消退相从为月星赤道离日定行分距日定度月星黄道经度与日躔行定度相较为黄道距日度申其较弦因黄道纬度较弦为较弦得月星距日定度躔离宿度黄道宿度置岁差以距元积年因之用减黄道宿应如不及减者累加前宿减之得天正冬至日躔黄道宿度分与本宿全度相减余为次宿距星黄道经度如冬至日躔在箕宿其减余即为斗宿距星黄道经度也递加列宿分度各得次宿距星黄道经度亦曰黄道宿积如加斗牛两宿分度即得女宿距星黄道经度之类置七政黄道经度以近少黄道宿积减之得躔离黄道宿度赤道宿度置各宿距星黄道经度及南北纬度依前章求赤道经纬法得各宿距星赤道内外度及经度其经度亦曰赤道宿积置列宿距星赤道经度各减前宿距星赤道经度不及减者加全周减之后倣此得赤道列宿度分如置牛宿距星赤道经度以斗宿距星赤道经度减之余即斗宿赤道度分列宿俱倣此置七政赤道经度以近少赤道宿积减之得躔离赤道宿度赤道上黄道宿度置赤道宿积较弦以内外次准分之又如正弦而一为勾一度为股勾股求弦弦分勾为较弦得赤道上黄道宿积㨗法置赤道宿积较弧切分如内外次准而一为较弧切分得赤道上黄道宿积与次宿相减得本宿度分置七政赤道经度依上法得赤道上黄道积度以近少赤道上黄道宿积减之得躔离宿度密法以岁周因各宿距星黄道经纬度如黄道天周而一依前章求赤道经纬及本章求赤道上黄道法得数复以天周因之如岁周而一为各宿赤道内外度经度及赤道上黄道宿积如以爻策求之者不用此法但以得数之后以天周因爻策如爻限周而一为度分上考者以距元积年因岁差加宿应足本宿度分递去之余为次宿度分即所求天正冬至日躔黄道宿度分躔离辰次赤道积年因岁差以损辰应与全周相减辰应不及损者反损之不与全周相减得元枵中限赤道积度加气限得娵訾初限积度递加辰限得以次各辰初限积度各辰初限即各宫界置各辰初限积度以近少赤道宿积减之得各辰宫界入赤道宿次度分密法以初限积度因天周如岁周而一为宫界定积以近少赤道宿积减之得宫界入宿次度分有爻策求度分者以天周因爻策如爻限周而一得度分章内多同七政赤道经度与初限积度等者密法亦用宫界定积即以用时为交宫刻分若未合者相减余如七政赤道定行而一为刻分损益用时宫界定积多者益七政经度多者损五星退行者反是为交宫刻分黄道置各辰初限赤道积度求得赤道上黄道即各辰黄道经界积度密法亦以天周因之如岁周而一为黄道宫界定积以近少赤道上黄道宿积减之得各辰宫界入黄道宿度依赤道法得七政黄道交宫日分上考者积年因岁差加辰应与全周相减得𤣥枵中限赤道积度九服里差南北里差置南北距元里数如髙下全差而一又以象限因之南减北加于北极应得各方北极髙东西里差北极髙较弦因东西差准为东西差法置东西距元里数如差法而一得东西里差刻分东益西损于气应得各方气应命日大余置大余命虚甲子算外得宿纪干支如初日为虚甲子一日为危乙丑六十日为奎甲子一百二十日为毕甲子一百八十日为鬼甲子二百四十日为翼甲子三百日为氐甲子三百六十日为箕甲子四百一十九日为女癸亥至四百二十日去宿纪总法仍为虚甲子余倣此㨗法置大余足纪法去之余命甲子算外得日辰干支小余置时法损半为定时用数得四刻又六分刻之一置小余如定时用数而一命子正算外得各初正时未及定时用数为子正得一为丑初得二为丑正三为寅初四为寅正至二十三为夜子初各算外余倣此余不及用数者命初刻算外得各刻分如定时得二为丑正又余一刻即为丑正一刻若不及一刻即为丑正初刻某分秒他时及刻分皆倣此晓庵新法卷三
## 卷四
钦定四库全书晓庵新法卷四吴江王锡阐撰昼夜永短赤道日周置全周加一日日躔赤道定行为赤道日周升降差内外度及北极髙两正弦相因为实两较弦相因为法而一为正弦得升降差㨗法内外度及北极髙两切分相因为正弦得升降差凡求日月星升降差皆同法昼夜分置日躔升降差倍之如天周而一为昼夜差刻分损益五十刻为昼刻分春正后益秋正后损与百刻相减为夜刻分日出入分夜刻损半为日出前泛时加昼刻为日入前泛时置前泛时真刻分凡所得日出入时皆定刻分须借后篇气差反损益之得真刻分下倣此覆求日出入次泛时两泛时齐分者即以次泛时为定时若未合者又置次泛时真刻分求日出入后泛时次后两泛时之较自因如前次两泛时之较而一曰较差损益后泛时定刻分为日出定时次泛时在前泛时以上为益以下为损置日入定时内损本日日出定时为昼定刻分以日入定时减次日日出定时为夜定刻分昏明分置日出入定时真刻分进退四刻为昏明前泛时日出退日入进下皆倣此求其日躔赤道内外度益北极髙为外较如在一象限以上者与半周相减余为外较后倣此损北极髙为内较两申其较弦相从损半为先数以昏明准分损外较或内较较弦日在赤道南损内较赤道北损外较不及损者其日入后至日出前皆为朦胧分为次数如先数而一为矢得距中度次数大于先数者倍先数内减次数余如先数而一为矢所得距中度过一象限先有弦矢而所得弧度当过一象限者以弧矢入割圜表申其弧度与半周相消即得所求弧度凡言所得弧度过一象限者皆依此法如天周而一为距中刻分以夜定刻损半相消曰朦胧分损益日出入定时得昏明次泛时置泛时真刻分覆求得后泛时置三泛时依日出入法得昏明定时昏明定时与日出入定时相消为朦胧定分求昏明中界者置日出入时真刻分进退二刻求内外两较及先数以昏明准分之半损外较或内较较弦为次数依上法求之得昏明中界定时五星逺近(补)逺近定分五星中纬准分因交定正弦为正弦得中纬度逺近初分因中纬度正矢用损逺近次分余为股初分因中纬度正弦为勾勾股求弦得逺近定分月星光体盈亏径体准度日月星各以逺近中准因逺近定分得逺近定度又以视径中准因逺近中准得径体准度光体泛加分月星距日定度正弦因月星逺近定度为勾较弦因逺近定度损益日逺近定度为股月星距日过象限者益不及象限者损不足损者反损之所得泛加分过一象限勾股求弦为实距度置勾如实距度而一为正弦得光体泛加分㨗法置勾如股而一为切分得光体泛加分申其界分因股得实距光体次加分置日径准度内损月星径体准度为余准如实距度而一为先数又置月星径体准度如其逺近定度而一为次数用损先数为正弦得光体次加分光体定分两加分及月星距日定度相从不及半周者即为光体定度过半周者与半周相减余为光体定度在象限以下申正矢以上申正矢损全径各为实如二十而一得光体定分捷法半其实退位即光体定分视径日月径分日月逺近定分与一度相减余因日月视径中准如定分而一损益视径中准逺近定分过一度者损不及者益为径弦得日月径分用新法会通崇祯厯书以日月逺近初分与一度相减余因径差准分如初分而一得数视初分过一度者减不及者加加减于视径中准为正弦得日月径分又増法月逺近定分与逺近初分相减余因月径正弦如定分而一得数视定分强于初分者减弱于初分者加加减于月径正弦仍为正弦得月径次分五星径分五星逺近定分与一度相减余以五星视径中准因之如定分而一损益视径中准定分过一度者损不及者益为正弦得各星径分暗虚置光径准度去二度曰余准倍日躔逺近定度如光径余准而一曰总率内减月离逺近定度余倍之如总率而一为勾月离逺近定分为股勾股求弦弦分勾为全弦得暗虚分捷法半勾如股而一为切分得暗虚半径月星伏见赤道离日日周置赤道日周顺损逆益月星赤道离日定行得月星赤道离日日周伏见准度月星逺近初分与一度相减余以伏见中准因之如初分而一损益伏见中准初分过一度者损不及者益为正弦得伏见准度用新法会通大统厯及崇祯厯书以伏见中准为正弦即得伏见准度升降较以晨夕日躔升降差晨以日出分为限夕以日入为限损益其赤道经度春正后升损降益秋正后升益降损为日躔赤道升降度以晨夕月星升降差损益其赤道经度视月星赤道内外度内度升损降益外度升益降损为月星赤道升降度日躔及月星两升降度相减为升降较定伏见月离升降较在伏见准度以上者为见以下者为伏五星置升降较如赤道离日日周而一为升降前后刻分损益日出入分星在日西者为前损日出分星在日东者为后益日入分晨伏见者用因全周夕伏见者以减百刻余因全周为赤道距中度象限以上申较弦加一度象限以下申其矢各为先数次以日躔内外度益北极髙为外较损北极髙为内较两申其较较弦相从损半因先数日行赤道南损外较赤道北损内较各较弦为正弦得日入地度在各星伏见准度以上为见以下为伏大统厯但以黄道求五星伏见自具大统厯经今不赘用新法会通崇祯厯书求其五星伏见与月同法岁填荧惑顺合伏太白辰星合退伏皆夕伏晨见月晦朔太白辰星顺合伏皆晨伏夕见月及岁星昼见太白昼见经天皆不在伏见之限极交分置赤道较弦如黄道较弦而一为正弦得过北极弧交黄道分省曰极交分晓庵新法卷四
## 卷五
钦定四库全书晓庵新法卷五吴江王锡阐撰气差日躔平行经度与赤道经度相减余如赤道日周而一得气差刻分赤道经度强于平行者为损差平行经度强于赤道者为益差损益日下小余分为定刻分益足百刻者其大余进一日不及损者加百刻损之其大余退一日小尽之月遇次月合朔进一日者其月改大尽大尽之月遇月合朔退一日者其月改小尽闰月因夲月退朔得中气在朔者移闰于前一月因次月进朔得中气在夲月之晦者移闰于后一月先有定刻分求真刻分者如前两篇所求日下小余皆为真刻分其损益反用之凡求经纬诸数皆用真刻分如前两篇诸法凡求视差诸数以距午距中分斜正多寡者皆用定刻分如本篇诸法视差午位黄赤道先以用时真刻分求得七政黄赤两道内外经纬诸度分置用时定刻分与五十刻相较为距午刻分用时定刻分不及五十刻者为午前过五十刻者为午后以全周因之为距午赤道度损益日躔赤道经度午前损午后益为午位赤道度其正弦因内外次准为法法分较弦为勾一度为股勾股求弦弦分勾为较弦得午位黄道度㨗法午位赤道较弦因较弧界分如内外次准而一为较弧切分得午位黄道又法以较弧切分如内外次准而一为较弧切分得午位黄道求其内外度损益北极髙内度损外度益与象限相减得午位黄道髙黄道午中差极交分较弦因午位黄道髙较弦如正弦而一为勾一度为股勾股求弦弦分勾股为正弦得黄道午中差㨗法极交分较弦因午位黄道髙较弧切分为切分得午中差黄道中限置午位黄道以午中差损益之午位黄道在半周以下者益以上者损为黄道中限度与七政黄道经度相较得各曜距中度中限度强于七政经度为中后七政经度强于中限度为中前黄道中限髙极交分正弦因午位黄道髙较弦为较弦得黄道中限髙黄道髙度及交分黄道中限髙正弦因距中较弦为正弦得日月星黄道髙度其较弦分中限髙较弦为正弦得髙度交分日月星髙度及交分日躔髙度及交分即以黄道为定月星纬度正弦因黄道髙较弦为先数纬度较弦因黄道髙正弦为次数黄道髙度交分正弦因先数为后数损益次数月星纬北者益纬南者损为正弦得月星髙度黄道髙度较弦因黄道髙交分较弦如月星髙较弦而一仍为较弦得月星髙交分月星髙交黄道分月星纬正弦为实交分正弦因月星纬较弦为法而一为勾一度为股勾股求弦弦分勾为正弦得月星髙距黄道分置月星纬切分如交分正弦而一为切分得月星髙距黄道分置月星纬正弦如月星髙距黄道正弦而一仍为正弦得月星髙交黄道分三差置七政髙度较弦如逺近定度而一为正弦得通差七政髙度交黄道分正弦日躔即黄道髙交分下倣此因通差正弦仍为正弦得南北差七政髙度交黄道分较弦因通差正弦为正弦得东西差晨昏日月径晨昏径差置逺近定度去一度曰距地度日月髙度较弦为勾较矢加距地度为股勾股求弦曰距人度如逺近定度而一为晨昏逺近定分与一度相减余以日月径分正弦因之如晨昏逺近定分而一为晨昏径差晨昏逺近定分过一度者为损差不及一度者为益差㨗法距人度与逺近定度相减余因日月径分正弦如距人度而一得晨昏径差晨昏径分以晨昏径差损益日月径正弦仍为正弦得晨昏日月径分月体光魄定向泛向月离黄道与午位黄道相减为黄道距午度月离黄道强于午位黄道为午前午位黄道强于月离黄道为午后次以午位及月离两黄道髙度较弦相因为先数正弦相因为次数用次数损距午较弦不及损者反损之下所得弧过象限为后数如先数而一为较弦其弧与半周午前相从午后相消为泛向起子中位算外后皆同次向朔后者以黄道髙度交分中前加泛向中后反减半周余加泛向望后者以黄道髙度交分中后减泛向中前反减半周余减泛向各为次向定向月纬度正弦如距日定度正弦而一为正弦得差较分用以损益次向朔后纬南损纬北益望后纬南益纬北损为魄体定向加半周为光体定向又损益一象限为光魄界定向变差(附)赤道厯元以南以里差损北极应不及损者反损之余为南极出地度其地在赤道南凡以内外度论损益者皆反用之如第四篇第一章昼夜差改用春正后损秋正后益损益五十刻为昼刻分又如第四篇第四章日躔升降差改用春正后升益降损秋正后升损降益损益其赤道经度为日躔赤道升降度月星升降差改用内度升益降损外度升损降益损益其赤道经度为月星赤道升降度又求日入地度法以日躔内外度益南极髙为外较损南极髙为内较两申其较弦相从损半因先数视日躔在赤道南者损内较赤道北者损外较各较弦为正弦得日入地度凡用北极髙者皆改从南极髙反用损益即得黄道午位黄道行赤道内度强于北极髙者内去北极髙度余与象限相减为午位黄道髙其午位及中限两黄道皆在天中之北地在赤道南者午中两黄道皆在天中北唯午位黄道行赤道外度强于南极髙者内去南极髙度余与象限相减为午位黄道髙其午中两黄道皆在天中南凡以黄纬南北论损益者皆反用之如本篇第二章午中差改用午位黄道在半周以下损以上益损益午位黄道为黄道中限度又求月星髙度所得后数改用纬南为益纬北为损损益次数为月星髙正弦又如本篇第四章求泛向其所得弧午后者即为泛向午前者与全周相减余为泛向又求次向朔后者以黄道髙度交分中前减泛向中后从半周加泛向望后者以黄道髙度交分中后加泛向中前从半周损泛向各为次向唯求定向者全用正文虽有南北纬度不从变差损益凡午中在黄道天中南者皆从正文午中两黄道在天中北者皆从变差晓庵新法卷五
## 卷六
钦定四库全书晓庵新法卷六吴江王锡阐撰日食南北较差日南北差与月南北差同向相消异向相从曰南北较差月星纬加黄道中限髙不及象限者即为视差同背过象限者以月星纬正弦因月星距中黄道较弦得数大于中限髙较弦为视差异向小于中限髙较弦为视差同向东西较差月东西差损益月离黄道为先数月离中前为益中后为损凡以月星东西差为损益者皆从月星中前中后为定日东西差损益月离行定为次数日躔中前为益中后为损凡以日东西差损益者皆从日躔中前中后为定两数相消曰东西较差食甚定时置定朔定刻分东西较差如月离日定行分而一得时差前泛分中前为损差中后为益差下皆同损益定刻分为食甚前泛时欲求真刻分以气差反损益之下皆同置前泛时先以真刻分求日月经纬诸数次以定刻分求髙度视差诸数篇内俱倣此凡经纬髙度视差诸数各就本时求之篇内皆同覆求时差定泛分与求前泛分同法下倣此损益定朔定刻分为食甚后泛时置后泛时覆求时差后泛分与次泛分相减余自因为实前次两泛分相减余为法而一加减后泛分次泛分多于前泛分者为加前泛分多于次泛分者为减为时差定分损益定朔为食甚定时损益定朔真刻分得食甚定时真刻分以求经纬诸数损益定朔定刻分得食甚定时定刻分以求髙度视差诸数凡以大小余命日时者皆定刻分如欲密求者再以时差后泛分损益定朔依前法复求时差与后泛分相减余自因为实次后两泛分相减余为法而一得数视后泛分多者加次泛分多者减加减末所得时差为定分更欲密者推此法累求之日食分秒食甚定时南北较差损益月纬视差异背者皆为益视差同背者南纬益北纬损如不及损即反损之余为南纬若黄道中限在天中北者反是后皆倣此曰定纬南曰阳厯北曰隂厯食甚定时日月两晨昏径分凡日月晨昏径及暗虚月星径分各就本时求之篇内皆同相从损半曰日食用数内损定纬为日食限不及损者不食如本时晨昏日径而一得日食分秒初亏复明食甚定时用数正弦与定纬正弦为勾弦求股为正弦得日食行分损益交定初亏损复明益初亏复入交各求纬度损益南北较差损益与日食分秒法同为定纬其正弦仍与用数正弦为勾弦求股为正弦得初亏复明行分如月离日定行而一为亏复泛用刻分损益食甚定时初亏损复明益为亏复前泛时以上诸数俱从食甚定时置亏复前泛时黄道距日度以下诸数各从本时如初亏前泛时即从初亏前泛时诸数复明前泛时即从复明前泛时诸数余倣此以东西较差损益之初亏中前损中后益复明中前益中后损初亏在朔后复明在朔前者以黄道距日度东西较差初亏有日躔中前月离中后者复明有月离中前日躔中后者皆以东西较差益月离黄道距日度为日月次距如泛用分而一曰时差法亏复前泛时南北较差损益月纬为定纬其正弦为勾用数正弦为弦此用数即以前泛时日月两晨昏径分相从损半得数后皆倣此勾弦求股为正弦得前泛时亏复行分与次距相减余为行差如时差法而一为行差刻分次距强于亏复行分者初亏为益差复明为损差亏复行分强于次距者初亏为损差复为益差后皆倣此损益前泛时为亏复次泛时以亏复次泛时覆求次距及亏复行分两数相较无余分者即以次泛时为定时若未齐者复求行差刻分求时差法之术与前泛时同但以亏复次泛时与食甚定时相较为泛用刻分后皆倣此损益次泛分覆求之至亏复行分及次距齐分而止得初亏复明定时行差在一分以下者置为实如时差法而一为刻分损益泛时即为定时初亏与复明定时与食甚定时相减为初亏复明各定用分两定用相从为日食中积分既内日食至十分者曰既以上为既内以日晨昏径分损用数此晨昏径及用数皆从食甚定时金环倣此为既内用数依初亏法求之得食既定时依复明法求之得生光定时各以食甚定时相减为食既生光两定用分两定用相从为既内中积与日食中积相消为既外刻分食既生光经纬髙度视差及两晨昏径用数皆各从其泛时定时真定刻分求之金环分环合环倣此金环日食限大于月径者食有金环以月径损用数为金环用数如日径而一得金环周广分秒此日月两径即食甚定时晨昏径分依初亏法得合环定时依复明法得分环定时其合环已前分环以后缺处为玦口合环分环两定时与食甚定时相减为合环分环各定用分两定用相从为金环中积分日食方位置七限日躔黄道度初亏食既合环食甚分环生光复明为七限与午位黄道相减为日躔距午度次以午位及日躔两黄道髙度较弦相因为先数正弦相因为次数与距午较弦相减距午较弦大于次数者下所得弧小于象限距午较弦小于次数者下所得弧大于象限若距午黄道过一象限者不论其较弦与次数大小下所得弧皆过一象限月体光魄泛向法亦同为后数如先数而一为较弦其弧与半周午前相从午后相消为泛向若午中从黄道在天中北者午前以所得弧损全周为泛向午后即以所得弧为泛向初亏以黄道髙度交分中后损泛向中前反减半周余损泛向各为次向食既合环倣此午中两黄道在天中北者以黄道髙度交分中后益泛向中前从半周损泛向各为次向复明以黄道髙度交分中前益泛向中后反减半周余益泛向各为次向生光分环倣此午中两黄道在天中北者以黄道髙度交分中后益泛向中前从半周益泛向各为次向食甚定时中前依初亏法中后依复明法各得次向置六限定纬正弦日食七限除食甚为六限如三用数正弦而一初亏复明各从本时日食用数食既生光各从本时既内用数合环分环各从本时金环用数是为三用数仍为正弦得差较分用以损益次向初亏纬南益纬北损复明纬南损纬北益食既合环同初亏分环生光同复明为晦体定向食既生光为明体定向合环分环为玦口定向食甚定时以象限损益次向中前纬南益纬北损中后纬南损纬北益为晦体定向置晦体定向损益半周过半周者损不及半周者益为明体定向食既生光置明体定背损益半周为晦体定向食甚定时日月两晨昏半径正弦各自因相减如定纬正弦而一为先数日径大于月径者内言日月径皆食甚定时晨昏径分先数加定纬正弦为次数日径小于月径者以先数损定纬正弦不及损者反损之下所得晦界过一象限为次数置次数如日径全弦而一为较弦得晦界度分用以损益晦体定背为晦明定带食日食在早晚者以日出入时定纬正弦为勾日月次距正弦为股日食在早从日出时日食在晚从日入时勾股求弦为正弦得日月定距以损本时日食用数为带食限不及损者无带食如日晨昏径而一得带食分秒食甚时在昼者曰带食内分在夜者曰带食外分食在早者以初亏定时减日出时不及减者无带食余为不见食刻分与日食中积相消为见食刻分食在晚者以日入时减复明定时不及减者无带食余为不见食刻分与日食中积相消为见食刻分带食方位置日出入时视在食甚前者准初亏食甚后者准复明求得泛向及次向以带食定距准日食用数求得差较分损益次向损益与求亏复方位法同为带食定向月径变差置光径准度如日逺近中准而一曰光径准分与日视径中准相减曰日径较分月视径中准因之如月晨昏径正弦而一曰晨昏较分北极髙矢幂因晨昏较分曰日径加差加日视径中准以日晨昏径正弦因之如日视径中准而一曰晨昏光径准分月晨昏径正弦因日晨昏径正弦如晨昏光径准分而一为正弦得里差变径又曰月晨昏定位凡求日食唯赤道之下止用月晨昏径其余各方皆当用月晨昏定径右以北极髙下求里差变径亦约畧可得但四时有寒暑燥湿之异九服有平原山泽之分以及云霞之类皆能变易月径当随地随时测定用之未可执一以为成法故不著于正文而附见章末云月食食甚定时置定望月离黄道经度与日躔行定度相减余如月黄道离日定行分而一为时差分损益定望真刻分交前益交后损为食甚定时真刻分复以气差损益之为食甚定时定刻分凡求经纬及暗虚月径诸数皆从真刻分凡求髙度视差方位及命日命时皆从定刻分章内皆同月食分秒食甚定时月径分篇内日食凌犯诸法皆用日月晨昏径唯月食法止用月径分与暗虚相从损半为月食用数内损月距日定度为月食限纬南为阳厯纬北为隂厯不及损者不食如月径而一为月食分秒初亏复明食甚定时月食用数及月纬两正弦各为幂相消平方开之为正弦得月食行分损益交定度初亏损复明益为亏复入交求纬度其正弦为幂以消用数幂平方开之为正弦得初亏复明行分如月黄道离日定行而一为亏复泛用刻分损益食甚定时真刻分初亏损复明益为亏复前泛时以上诸数俱从食甚定时置亏复前泛时月纬及用数两正弦以下诸数各从本时求之此用数即以前泛时月径暗虚相从损半得数后皆倣此各为幂相消平方开之为正弦得平距亦名前泛时亏复行分与月离黄道距日度相减余为行差如月黄道离日定行分而一为行差刻分损益前泛时平距大于黄道距日度者初亏损复明益平距小于距日度者初亏益复明损为亏复次泛时以次泛时覆求行差刻分损益次泛时此损益与前泛时同法为初亏复明定时真刻分又以气差损益之得初亏复明定时定刻分初亏复明定时与食甚定时相减得初亏复明各定用分两定用相从为月食中积刻分既内月食至十分曰既以上为既内以月径损月食用数此月径及用数皆从食甚定时余为既内用数依初亏法得食既定时依复明法得生光定时各与食甚定时相减为食既生光定用分两定用相从为既内中积刻分与月食中积相减为既外刻分月食更㸃置夜定刻五而一为更率倍更率十而一为㸃率置日入时以㸃率递加之得各更㸃刻分凡更㸃皆用算内如日入时加㸃率二次即为一更三㸃加㸃率五次即为二更一㸃之类余倣此月食五限刻分初亏食既食甚生光复明为五限在各更㸃刻分以上者即为所交更㸃假如日入时七十五刻即得夜刻五十以一十刻为更率二刻为㸃率置日入时七十五刻加更率一次得八十五刻为二更一㸃又加㸃率一次得八十七刻为二更二㸃视五限刻分在八十五刻以上即交二更一㸃八十七刻以上即交二更二㸃余倣此一更二㸃以内曰昏分五更三㸃以外曰晨分通曰晨昏分又曰昏明分月食方位置五限月离黄道与午位黄道相减为月离距午度依日食法得泛向初亏以黄道髙度交分中前益泛向中后反减半周余益泛向复明以黄道髙度交分中后损泛向中前反减半周余损泛向各为次向若午中两黄道在天中北者初亏依日食复明法复明依日食初亏法各得泛向食既法同初亏生光法同复明食甚先定望者依初亏法后定望者依复明法各得次向置四限月纬正弦月食五限去食甚为四限如两用数正弦而一初亏复明各从本时月食用数食既生光各从本时既内用数是为两用数仍为正弦得差较分用以损益次向其损益与日食相同为晦体定向食既生光为明体定向食甚以象限损益次向食甚定时在定望前者纬南益纬北损定望后者纬南损纬北益为晦体定向置晦体定向损益半周与日食同法为明体定向食既生光置明体定向损益半周为晦体定向食甚定时月暗虚两半径正弦各自因相减如月纬正弦而一为先数用损月纬正弦不及损者反损之下所得晦界过一象限余如月径全弦而一为较弦得晦界度分损益晦体定向为晦明界定向带食月食在昏旦者以日出入时月纬较弦因月离黄道距日较弦月食在初昏者从日入时在将旦者从日出时仍为较弦得定距以损用数余为带食限不及损者无带食如月径而一得带食分秒食甚在夜者曰带食内分食甚在画者曰带食外分食近初昏者以初亏定时减日入时不及减者无带食余为不见食刻分与月食中积相消为见食刻分食近平旦者以日出时损复明定时不及损者无带食余为不见食刻分与月食中积相消为见食刻分带食方位置日出入时视在食甚前者准初亏食既在食甚后者准生光复明求得泛向及次向以带食定距准月食用数求得差较分损益次向损益与月食亏复方位法同为带食定向日出入时值月既内者不必求带食方位太白食日太白晨昏定径太白逺近定度因日径较分如月离逺近中准而一为日径加差加日视径中准以日晨昏径正弦因之如日视径中准而一曰晨昏光径准分晨昏光径准分九服不同宜随地测定酌用之依日月晨昏径法求得太白晨昏径分正弦因日视径中准如晨昏光径准分而一为正弦得太白晨昏定径省曰太白定径东西南北较差以星躔准月离依日食法得太白东西南北较差中食定时置太白退定合时东西较差如太白离日定行分而一得时差前泛分中前为益差中后为损差章内俱倣此损益定合时得中食前泛时日星经纬诸数皆用真刻分髙度视差诸数及命日命时皆用定刻分后俱倣此置前泛时覆求时差次泛分损益定合时为中食后泛时置后泛时覆求时差次泛分依日时法得时差定分损益定合时得中食定时食日浅深中食定时南北较差损益星纬以星纬准月纬即与日食同法后倣此曰定纬纬南为阳厯纬北为隂厯中食定时日晨昏径太白定径相从损半曰食日用数内损定纬为食中限不及损者不食如晨昏日径而一为太白食日入中分秒省曰食中分秒其食中分秒多寡即为食日浅深出入二限中食定时用数正弦与定纬正弦为勾弦求股为正弦得食日行分损益太白交定入日益出日损为出入二限入交各求纬度损益南北较差为定纬其正弦仍与用数正弦为勾弦求股为正弦得太白入日出日行分如太白离日定行而一为出入泛用刻分入日损出日益损益中食定时为出入前泛时以上诸数俱从中食定时置出入前泛时太白黄道距日度以下诸数各从本时宜借日食法类推之以东西较差损益之入日中前益中后损出日反是若入日在合后出日在合前者以黄道距日度反损东西较差入日或日在中后星在中前出日或日在中前星在中后皆以东西较差益太白黄道距日度为日星次距如各泛用分而一曰时差法太白入日准初亏出日准复明依日食法用行差及行差刻分损益前泛时为出入次泛时损益亦与日食法同以出入次泛时覆求次距及出入行分求出入行分与食日次泛时亏复行分同法两数相较无余分者即以次泛时为定时若未齐者复求行差刻分损益次泛时递求之至出入行分与次距齐分而止得太白入日出日定时出入二限定时与中食定时相减为入日出日各定用分两定用相从为太白食日中积分日中黑子食中限大于太白定径者太白体全入日为日中黒子置太白定径如日晨昏径而一得黒子分秒置食日用数内损太白定径为黒子用数依太白入日法得太白全入日体定时依太白出日法得太白初出日体定时㨗法置太白出日入日时两定径各如其时差法而一入日时损出日时益得全入初出定时全出初入二限定时与中食定时相减各为定用分两定用相从为内限中积与太白食日中积相消为外限刻分食中限小于太白定径者星体不全入日不成黒子止求三定限时入日中食出日是为三限太白食日不成黒子者日光盛大人目难见今姑具其理辰星以退定合时依太白法求晨昏定径得数甚㣲虽入日体人目难见故不著于篇若欲求之悉依太白食日诸法太白食日方位置五限日躔入日全入中食初出出日是为五限依日食法得泛向太白入日准复明太白出日准初亏各依日食法得次向全入同入日法初出同出日法中食中前依出日法中后依入日法各得次向置四限定纬正弦太白食日五限去中食为四限如两用数正弦而一太白入日出日各从本时食日用数全入初出各从本时黒子用数为两用数仍为正弦得差较分用以损益次向太白入日南纬损北纬益太白出日南纬益北纬损全入同入日初出同出日为出入定向中食定时以象限损益次向与日食食甚定时相反为中食定向带食太白食日在早晚者以太白定纬准月定纬依日食法得带食分秒亦为带食浅深以中食准食甚得带食内外分以太白入日准初亏出日准复明依日食法得昼见食夜不见食各刻分带食方位置日出入时中食前者准太白入日中食后者准太白出日求泛向及次向以带食定距准食日用数求得差较分损益次向损益与出入定向法为带食定向凌犯主客月星相犯者星为主月为客经纬两星相犯者经星为主纬星为客两纬星相犯者或皆顺或皆逆行迟者为主行疾者为客一顺一逆者顺行者为主逆行者为客次纬月星南北差损益其黄道纬度视差与午中两黄道南北异向者皆相益午中两黄道在天中南视差同向者南纬益北纬损不及损者反损南北差余为南纬午中两黄道在天中北视差同向者北纬益南纬损不及损者反损南北差余为北纬求视差异同两向法见日食时节注中为月星次纬次距置月星黄道经度损益其东西差中前益中后损为黄道次经主客两曜或月星两曜或两纬星或一经星一纬星黄道次经相减得次距定距客星次纬较弦因次距较弦仍为较弦得泛距章内凡称客星者月离同法置客星次纬正弦如泛距正弦而一仍为正弦得客星交黄道分省曰客星交分泛距与主星次纬两正弦相因为先数两较弦相因为次数先数因客星交分正弦为后数次后二数同名相从异名相消两曜次纬皆南皆北曰同名一南一北曰异名为较弦得定距平距泛距正弦因客星交分较弦为正弦得平距定纬置泛距较弦如平距较弦而一仍为较弦得纬较分纬较分与主星次纬同名相消异名相从各为定纬两曜次纬南北同者为同名南北异者为异名若主客两曜次经相同无次距者但以两次纬同名相消异名相从即为定纬亦为定距经星无东西南北差即以其黄道经纬准次经纬求定距定纬置平距正弦如定距正弦而一仍为正弦得两曜交分定行较分主客两曜定行分同名相消异名相从各为定行较分主客两曜皆顺皆逆为同名一顺一逆为异名时差法置凌犯之日凡凌犯皆用夜刻唯月岁太白三曜相犯兼用昼刻每间一时求其平距前后两时平距相减假如子正平距即与丑正平距相减余倣此若客星次经前时少于主星后时多于主星或前时多于主星后时少于主星者皆以两平距相从为平距较分如时法而一捷法以十二因之得时差法各以其时命之假如亥正至子正者曰亥正时差法子正至丑正者曰子正时差法余倣此定合主客两曜黄道经度相减余如定行较分而一为加减前泛差客星黄道经度少于主星者顺行为加差逆行为减差下倣此客星黄道经度多于主星者顺行为减差逆行为加差下倣此加减用时为泛合时置泛合时覆求加减后泛差自因如前泛差而一为加减较分加减后泛差与前泛差加减同者为益较异者为损较用以损益其加减后泛差为加减定差置泛合时以加减定差加减之为两曜黄道定合时隂阳厯主客两曜次纬异名者客星南为阳厯客星北为隂厯次纬南北异名者不论纬较分大小皆同法次纬同名纬较分大于主星次纬者南为阳厯北为隂厯次纬同名纬较分小于主星次纬者南为隂厯北为阳厯顺逆厯黄道定合时客星顺行者其东西差大于主星为顺厯小于主星为逆厯客星逆行者其东西差小于主星为顺厯大于主星为逆厯既有定合顺逆厯即可推正合有无定合而见正合者客星次经先少于主星后多于主星为顺厯先多于主星后少于主星为逆厯正合前客星次经小于主星者为顺厯大于主星者为逆厯正合后客星次经大于主星者为顺厯小于主星者为逆厯有无正合而见凌犯者客星次经小于主星初限为顺厯终限为逆厯客星次经多于主星初限为逆厯终限为顺厯晨昏径分依日月晨昏径法得五纬星晨昏径分内太白晨昏径巳见太白食日章中经星无数大小绝异其径分不可胜纪各以所测径分准七政晨昏径用之正合置黄道定合时两曜平距求各曜经纬诸数皆用真刻分求髙度视差诸数及命日命时皆用定刻分后俱倣此求次经次纬泛距平距定距定纬凡从视差出者皆随髙度视差用定刻分篇内尽同如时差法而一为时差前泛分顺厯中前为损差中后为益差逆厯中前为益差中后为损差定合时平距大于平距较者内减平距较余为实益差进损差退进退一时申其时差法实如法而一为时差奇分加时法为时差前泛分若余实又多于次时平距较者于内递减平距较每减一次进退一时申其时差法置减余为实如法而一为时差奇分以时法因递减次数加奇分得时差前泛分以后凡如时差法而一者皆倣此类推之损益定合时为正合前泛时置前泛时覆求时差次泛分顺厯客星黄道次经小于主星者为益差大于主星者为损差逆厯客星黄道次经大于主星者为益差小于主星者为损差下倣此损益前泛时为正合后泛时置后泛时覆求时差后泛分自因如次泛分而一为时差定较与后泛分相加减前次两泛分损益同者相加异者相减为时差定分损益后泛时得正合定时两曜迟疾相近定合时平距大于定行较分者进退一日依法求之重得正合定时如是屡求之至无正合之日而止为比日凌犯巳上凡言凌犯者皆与掩食相通掩食浅深主客两曜晨昏径相从损半为掩食用数内损定纬为掩食不及损者有凌犯无掩食如主星晨昏径而一为掩食分秒其分秒多寡即为掩食浅深诸数皆从正合定时下一节同凌犯逺近置日度一度为法若诸数本用爻策者亦以日度一度通为爻策为法加掩食用数为凌犯用数视定纬在凌犯用数以下者定纬在凌犯用数以上者无凌犯内损掩食用数余如法而一得两曜相距寸分足法数为尺十分法之一为寸十分寸之一为分其相距寸分多寡即为凌犯逺近客星髙定度大于主星曰凌小于主星曰犯以通差损月星髙度即为髙定度凌犯定名皆以初限定时为准掩食初终二限正合定时掩食用数正弦与定纬正弦为勾弦求股仍为正弦得掩食行分如时差法而一为初终二限泛用日刻分掩食行分大于平距较者依时差之术求之㨗法进退两时者间一时求其平距相消曰平距总较为减法进退三时四时而上至若干日时者皆依此类推之凡进退时日皆以益差为进损差为退此独以初限为退终限为进损益正合定时得初终二限前泛时损为初限益为终限以上诸数皆从正合定时置初终前泛时掩食用数正弦以下诸数各从本时宜借日食太白食日类推之与定纬正弦为勾弦求股仍为正弦得初终二限各行分与平距相较为行差如时差法而一得行差日刻分初限行分大于平距者为损差小于平距者为益差终限行分大于平距者为益差小于平距者为损差后皆倣此损益前泛时为初终次泛时置次泛时覆求平距及初终二限行分两数相齐无余分者即为初终定时若未齐者再求行差刻分损益次泛时递求之至两数齐分而止得掩食初终二限定时㨗法行差不及十分刻之一者即以损益其泛时得定时初终二限定时各与正合定时相减为定用分两定用相从得掩食中积日刻分凌犯初终二限置凌犯诸数依掩食初限法得凌犯初限定时依掩食终限法得凌犯终限定时凌犯初终二限定时与正合定时相消为初终二限各定用分两定用相从得凌犯中积日刻分掩食凌犯方位顺厯主星准日躔客星准月离依日食法得泛向及次向逆厯主星准日躔客星准太白依太白食日法得泛向及次向正合先定合者依初限法后定合者依终限法各得次向四限两曜交分凌犯初终二限掩食初终二限为四限各与象限为较得差较分损益次向为初终定向经顺厯纬阳厯初限益终限损纬隂厯初限损终限益经逆厯纬阳厯初限损终限益纬隂厯初限益终限损正合以象限损益次向为掩食凌犯定向其损益视正合定时先定合者依初限法后定合者依终限法月星相犯视终初二限定向不及半周者益半周过半周者内损半周初限为星入月定向终限为星出月定向转时变差用时次经与本时前后次经各相较如用时在子初以其次经前与亥正次经相减后与子正次经相减余倣此大小同名者两次经或皆大于用时次经或皆小于用时次经即为转时每间一刻求其平距至损益之交渐増复减渐减复増之际即为转刻置转刻与前后时相较为法如子初二刻与前时亥正相较得六刻又六分刻之一为法与后时子正相较得二刻又六分刻之一为法余倣此转刻平距与前后时平距相较为转时较如法而一各为转时变差用时在转时者以转时变差代时差法用之用时在转刻前者用转刻前变差在转刻后者用转刻后变差重合正合后不及终限行差复大于先掩食凌犯行分大于平距而后刻分行差复大于先刻分行差及合前合后主客次经大小同名者客星次经合前大于主星合后亦大合前小于主星合后亦小是为同名皆有重合行差复大者以先得行差半之为较法以泛用加正合时求得行差为先得行差前后次经大小同名者置平距如时差法而一与泛用相从半之为较法较法损泛用加正合定时为转际前泛时四分较法之一曰节率进退转际前泛时为先后二节各求其行差又求前泛时行差减之若先节在正合前其行差与前泛时行差相加后节次经与前泛时异名者两行差亦相加为行差较两较相从为法相消因节率为实实如法而一为损益差先节行差小于后节为损差大于后节为益差若两行差相加为较者反是一加一减者先节加为损差后节加为益差损益前泛时为转际次泛时四分节率之一为次泛时节率进退次泛时为前后二节依前泛时法得损益差自因如前泛时损益差而一与次泛时损益差相加减两差损益同名为加异名为减为损益定差损益次泛时为转际定时以掩食转际定时两曜定距减用数余为转际食限如用数而一为掩食浅深分秒置凌犯转际定时两曜定距如法数而一得凌犯逺近寸分置转际定时内减正合定时为转前定用刻分以加转际定时得重合前泛时依正合法顺厯改逆逆厯改顺下倣此得重合定时仍与转际定时相减得转后定用依正合后终限法得重合后终限定时内减重合定时得终限定用刻分初终二限定时相减得掩食凌犯中积刻分有犯无合无正合时而两曜定距小于用数者为有犯无合用时后行差渐多者其用时在转际前渐少者其用时在转际后以用时行差刻分损益用时转际前损转际后益为初限或终限前泛时损为初限益为终限依法求之得定时为先得定时置先得定时掩食凌犯行分或初限定时或终限定时如时差法而一为泛用加减先得定时求行差刻分损半为较法较法减泛用余以损益先得定时终限以损初限以益为转际前泛时依前节法得转际定时与先得初终定时相减为初终定用依前节法得掩食浅深分秒凌犯逺近寸分置转际定时损益先得定用先得初限者此益转际为终限先得终限者此损转际为初限为初限或终限前泛时复依前法求之顺厯改逆逆厯改顺得定时为后得定时与转际定时相减为后得初终定用先后两定用相从为掩食凌犯中积刻分升降掩食凌犯在升降之际者以月星赤道升降度与日躔赤道升降度相减为升降较置升降较如赤道离日日周而一为升降先刻分损益日出入时为月星升降前泛时月星升降赤道过于日躔者益小于日躔者损下倣此置前泛时真刻分覆求升降次刻分损益日出入时为后泛时复求其真刻分求升降后刻分次后两刻分之较自因如次刻分而一加减后刻分次刻分大于先刻分者加小于先刻分者减为进退定分进退日出入时得月星升降定时凡掩食凌犯皆从先降后升一曜求升降时唯月星相掩从月离求升降时以掩食升降定时两曜定距损用数余为升降时掩食限不及损者升降时无掩食如用数而一得升降时掩食分秒置凌犯升降定时两曜定距如法数而一得凌犯相距寸分定距大于凌犯用数者升降时无凌犯升降定时与初终二限定时相减为掩食凌犯内外刻分升定时与终限定时相减降定时与初限定时相减各得掩食凌犯当见刻分即为掩食凌犯外分以减掩食凌犯中积得不见刻分即为掩食凌犯内分置升降定时依法求得定向即为升降时掩食凌犯方位昏旦隠见掩食凌犯在早晚者以昏明中界为隠见时诸星大小不齐隠见先后亦不等不胜悉辨今但以昏明中界为中数月岁太白不在此限以隠见时准升降定时依前节诸法得隠见时掩食浅深凌犯逺近及方位内外刻分交会辰次赤道宿度置三辰交会诸限赤道经度日月星曰三辰日月食皆曰交会今以太白入日及凌犯掩食附之日月食食甚初亏复明食既生光合环分环七限太白食日食中入日出日全入初出五限掩食凌犯各正合初终转际重合五限以近少赤道宿积损之得各曜躔离赤道宿次度分黄道宿次置三辰交会诸限黄道经度以近少黄道宿积减之得各曜躔离黄道宿次度分又置各曜赤道上黄道积度以赤道上黄道宿积近少者损之得各曜躔离赤道上黄道宿次度分辰次各曜躔离宿次所在宫舍即为躔离辰次若一宿两辰者视躔离宿次度分在宫界以下为前辰以上为次辰晓庵新法卷六◆ 《中星谱-清-》（KR3f0022）
## 提要
钦定四库全书 子部六
中星谱 天文算法类一(推步之属)提要(臣)等谨案中星谱一卷国朝胡亶撰亶号励斋仁和人王晫今世说称其博综群书尤精天官家言日月薄蚀星辰躔度推测毫髪无遗在长安与监中西洋専家反复辨论群皆叹伏所著有中星谱周天现界图歩天歌行世今所见者惟是编所订经星凡四十有五乃于二十八舍之外益以大角贯索天市帝座织女河鼔天津北落师门土司空天囷五车参左肩参右足天狼南北河轩辕大星太㣲帝座等十八星用以较午中迟早缀诸时刻首京师附浙江其余以类而推所论昼夜永短寒暑循环地殊势异与所引经𫝊记载考定岁差厘分昏旦皆简明详切与今仪象考成中星更录颇能表里观其自序撰自康熙八年是此书在钦定算书以前前明徐光启新法算书以后存其度数以备校证恒星岁差之行亦不为无所禆矣乾隆四十六年二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 原序
中星谱原序
易曰仰以观于天文俯以察于地理是二者固皆儒者读书穷理之所有事也顾地理似易而较难天文似难而较易盖地之延袤既非辙迹所能周亦非瞻望所可悉按图志以求索所见与所传闻多殊何从一一证之故曰难也歩天则不然当夕仰观则地平以上半周天之星悉灿然在目矣向晨再一仰观则平地以下半周天之星又悉旋转于上灿然在目矣其间即有近日之星光揜未能全见昼永之夜见星不满天周然迟旬月而更一再起视则日右旋而星左出曩所不见者又无不灿然在目矣故曰易也惟是星数本繁学有造始亶以为莫要于先审中星中星者恒星之见于正南午位者也其指肇自尧典所谓星鸟星火星虚星昴各以昏时测其正中以定二分二至此古圣人敬授民时之宏规也三代因以加详如诗称定之方中作于楚宫七月流火九月授衣春秋传云龙见而雩水昏正而栽火中成军之属皆壹以候星为考时出政之本其重如此逮月令一书显于周秦之间以十二月别昏旦中星叙次尤晰论者谓虽出吕览周公之遗书故载之礼经良有以也汉唐至今厯术加密皆附节气以记中星载在史志可考然节气古与今同中星今与古异如尧时冬至昏昴中今时冬至昏壁中四千年之间己移五十余度其故云何盖缘恒星与七政各有东西二行其随赤道而西也大约昼夜一周其随黄道而东也各有迟速不等惟恒星之东行最迟阅七十年方渐移一度即厯家所云岁差也既有岁差则中星当非一定然一岁之差才周天三万六千分(平度三百六十每度百分)之一分有半弱则数十年之内暌离非远且即中星以验知岁差因岁差以修改中星易简之理也亶素好览厯代史中天官厯志等书后据时宪厯书粗窥大畧顾自惭谫陋无能有所发挥今幸䝉恩予养闲居稍暇窃不自揆爰就成书中酌其简要易晓者厘为中星谱一卷其目于凡例详之又取旧本星宿小图展为大图经纬度数备具图谱互稽庶几中星一览无遗矣既识中星因按图以推左右上下诸星即周天无一不可渐识既识周星可以审时候可以定方隅可以察分野可以测知五纬行留顺逆及日躔月离之所在因以悟天行之不息感时序之如驰兢兢焉各有进徳修业之思无玩岁愒日之志其亦有小补矣乎况识星实为治厯根本朝廷方旁求谙晓厯法之人是谱也虽不足以就正博雅抑亦可为始学津逮云尔皇清康熈八年正月仁和后学胡亶谨撰
## 发凡
中星谱发凡
一昼夜循环无刻不有中星昼则太阳光盛星不可见故不备录今以日入至日出为限通夜中星依次顺列较古法止记昏旦者为详若欲并知昼时中星苐检隔半年后对待节气谱内于各星下时刻数其相冲时刻即半年前节气之昼时星中也所以然者半年后节气之夜与半年前节气之昼长短数同此正星囘于天适半周之候故也(假如欲知立春昼星检对待之立秋谱内视心)(宿在酉正三刻三分中卯酉为冲即知立春心宿在卯正三刻三分中也室宿在丑初二刻七分中丑未)(为冲即知立春室宿在未初二刻七分中也余星倣此雨水检处暑之类亦倣此)一月令以十二月记中星月之气朔不齐法难分画故注家皆主其月中气为说今既录中气兼录节气共为二十四谱亦汉唐以来旧术一古法以日入后二刻半为昏所谓初昏也以日出前二刻半为旦所谓平旦也今时宪新法以太阳在地平下十八度定为昏旦时刻但此十八度内太阳升降有正有斜故各省各节之定昏定旦时刻小异然刻数大约倍于初昏平旦者于时星体全见经纬较明故也若欲知古旦昏时刻苐于谱内日入时刻加二刻六分日出时刻减二刻六分即得盖古法百刻之二刻五十分即今九十六刻之二刻又十五分刻之六故也一古法每日百刻每刻百分授时厯所谓日法一万者也但以百刻配十二时无法可均如俗传子午各多二刻或云子午卯酉各多一刻皆非厯家所用考授时(元厯)大统(明厯)所用者每一时凡八大刻二小刻其前四大刻曰初初曰初一曰初二曰初三俱各百分间以一小刻曰初四止一十六分六十六秒不尽其后四大刻曰正初曰正一曰正二曰正三俱各百分再间以一小刻曰正四亦止一十六分六十六秒不尽合十二时总为九十六大刻二十四小刻其小刻以六准一故名百刻共足万分之数虽为传习有据民间颇似难知(宋人有以大刻为各六十分小刻为各一十分者又古语云每时八刻零三分)(刻之一其理并同)今时宪斯法每时止整八刻(初初初一初二初三正初)(正一正二正三)删去二小刻总共九十六刻较为简㨗易晓盖刻数虽省而时不异譬有匹帛于此以小尺量得四丈大尺量为三丈六尺其于匹帛无加损也一古法每刻百分者时宪止用每刻十五分盖计时至刻巳近矣刻下之分简则易考也若运算则不嫌递以百计以便乗除所谓并行不悖也若欲据新法刻分考知古法刻分自有㑹通算法先除后乘即自可知一古法中星止记二十八宿内如井斗度广候之不免移时今于列宿外增益十七大星共为四十五座大星庶接续易明凡此大星各有经纬度分另于谱后备录用以按图比对若合符节其余众星皆有中时谱虽不著可以类推一大星四十五座皆系近黄赤道者每座星数多寡不等谱内止拈各座之一星为言如增益十七座明书某大星某南星之类是也其二十八宿专指距星如角宿以南星为距亢宿以南第二星为距之类按图检之凡距星皆有经线为界并横书宿名于其端甚易识别一星宿出入地平皆有定时但各省各节刻数不同惟正中之时刻无二亦如日出日入各处时刻不同惟日中皆为午正初刻也一中星既云正南午位如五车天津织女等星实在人顶之北葢以北极视之不嫌为南也一谱内所录中星时刻皆指其节气中气之第一日也若次日则星行天一周而又西逾约一度即须于本星时刻内减十五分刻之四弱以验其中从此递日减之以至次节(如立春首日胃宿酉初初刻十三分中若第二日须减四分为酉初初刻)(九分中第三日再减四分为五分中余星倣此)一日出入及昏旦昼夜长短各省计时大同较刻小异今谱前所列者一依时宪所颁顺天府时刻尊京师也他省时刻具在厯前可检故不复赘惟末附记浙省以备参考一各节气昏旦时刻不必适遇星中今考其距宿之几度几分中附录于大星经纬度分后以合古法而验同异第大星经纬系录平度距宿度分系录日度其说见星图发凡中一星宿西行经一昼夜九十六刻每刻十五分共一千四百四十分行天一周按谱内系用平度计周天三万六千分(三百六十度每度百分)每刻之一分行天之二十五分每一刻行三百七十五分(即三度七十五分)每一时行三千分(即三十度)如用日度计周天三万六千五百二十五分(三百六十五度四分度之一每度百分)每刻之一分行天之二十五分三十六秒四十五微零(每分百秒每秒百微)每一刻行三百八十分四十六秒八十七微零每一时行三千四十三分三十七秒四十二微零(此与前述节气次日递减四分皆是论其大较)(其间尚小有加减别书详之然要自大体不远也)
## 中星谱
钦定四库全书中星谱胡 亶 撰昼四十二刻十二分 夜五十三刻○三分雨水正月中 昼四十二刻十○分 夜五十三刻○五分日入酉初一刻○五分 昏酉正三刻十一分日出卯正二刻十○分 旦卯初初刻○四分惊蛰二月节 昼四十五刻○五分 夜五十○刻十○分日入酉初二刻十○分 昏戌初初刻十四分日出卯正一刻○五分 旦寅正三刻○一分春分二月中 昼四十八刻 夜四十八刻日入酉正初刻 昏戌初二刻○五分日出卯正初刻 旦寅正一刻十○分清明三月节 昼五十○刻十○分 夜四十五刻○五分日入酉正一刻○五分 昏戌初三刻十三分日出卯初二刻十○分 旦寅正初刻○二分谷雨三月中 昼五十三刻○三分 夜四十二刻十二分日入酉正二刻○九分 昏戌正一刻○七分日出卯初一刻○六分 旦寅初二刻○八分立夏四月节 昼五十五刻○九分 夜四十○刻○六分日入酉正三刻十二分 昏戌正三刻○二分日出卯初初刻○三分 旦寅初初刻十三分小满四月中 昼五十七刻○九分 夜三十八刻○六分日入戌初初刻十二分 昏亥初初刻十二分日出寅正三刻○三分 旦丑正三刻○三分芒种五月节 昼五十八刻十四分 夜三十七刻○一分日入戌初一刻○七分 昏亥初一刻十二分日出寅正二刻○八分 旦丑正二刻○三分夏至五月中 昼五十九刻○七分 夜三十六刻○八分日入戌初一刻十一分 昏亥初二刻○五分日出寅正二刻○四分 旦丑正一刻十○分小暑六月节 昼五十八刻十四分 夜三十七刻○一分日入戌初一刻○七分 昏亥初一刻十二分日出寅正二刻○八分 旦丑正二刻○三分大暑六月中 昼五十七刻○九分 夜三十八刻○六分日入戌初初刻十二分 昏亥初初刻十二分日出寅正三刻○三分 旦丑正三刻○三分立秋七月节 昼五十五刻○九分 夜四十○刻○六分日入酉正三刻十二分 昏戌正三刻○二分日出卯初初刻○三分 旦寅初初刻十三分处暑七月中 昼五十三刻○三分 夜四十二刻十二分日入酉正二刻○九分 昏戌正一刻○七分日出卯初一刻○六分 旦寅初二刻○八分白露八月节 昼五十○刻十○分 夜四十五刻○五分日入酉正一刻○五分 昏戌初三刻十三分日出卯初二刻十○分 旦寅正初刻○二分秋分八月中 昼四十八刻 夜四十八刻日入酉正初刻 昏戌初二刻○五分日出卯正初刻 旦寅正一刻十○分寒露九月节 昼四十五刻○五分 夜五十○刻十○分日入酉初二刻十○分 昏戌初初刻十四分日出卯正一刻○五分 旦寅正三刻○一分霜降九月中 昼四十二刻十○分 夜五十三刻○五分日入酉初一刻○五分 昏酉正三刻十一分日出卯正二刻十○分 旦卯初初刻○四分立冬十月节 昼四十○刻○六分 夜五十五刻○九分日入酉初初刻○三分 昏酉正二刻十○分日出卯正三刻十二分 旦卯初一刻○五分小雪十月中 昼三十八刻○六分 夜五十七刻○九分日入申正三刻○三分 昏酉正一刻十三分日出辰初初刻十二分 旦卯初二刻○二分大雪十一月节 昼三十七刻○一分 夜五十八刻十四分日入申正二刻○八分 昏酉正一刻○五分日出辰初一刻○七分 旦卯初二刻十○分冬至十一月中 昼三十六刻○八分 夜五十九刻○七分日入申正二刻○四分 昏酉正一刻○二分日出辰初一刻十一分 旦卯初二刻十三分小寒十二月节 昼三十七刻○一分 夜五十八刻十四分日入申正二刻○八分 昏酉正一刻○五分日出辰初一刻○七分 旦卯初二刻十○分大寒十二月中 昼三十八刻○六分 夜五十七刻○九分日入申正三刻○三分 昏酉正一刻十三分日出辰初初刻十二分 旦卯初二刻○二分大星经纬度分右十二宫者经度也赤道南北者纬度也俱以平度三百六十度每度百分计算(说见星图发凡○此系戊辰岁监局测定距今四十年经度约应东移半度强)(纬度亦应稍有所移苐图谱所据者赤道而星之东移乃循黄道须凭仪器方可测确记此以备考验)昏旦中宿度分右分注首行京师宿度也次行附记浙省宿度也俱以日度三百六十五度四分度之一每度百分计算○按各节气所厯中宿度分多寡悬殊此縁日出入迟早及昏旦参差所生天运自然但以仰观不忒为宻合不可强齐也数有竒零厯家约分二名不及度者谓之弱过度者谓之强或以过度分三名过未及半曰少过半曰太适半曰半皆约略之辞也少字俱去声星图发凡一图内近紫微垣之圏常见界圏也距北极三十六度次大腰圏赤道圏也距北极九十度距常见圏五十四度又大腰圏斜络赤道者黄道圏也半在赤道外相距最逺处二十三度半强半在赤道内相距最逺处亦二十三度半强次邉大圏常隐界圏也北距赤道五十四度南距南极亦三十六度绕南极诸星既属常隐不见又赤道向南极与向北极同理形势皆宜渐狭而入平面之图不能不渐濶故愈南愈不可图止及与常见圏对待之五十四度而止(常见常隐度数就中州言之亦系厯代相)(沿旧法葢北极出地各处不同如顺天出地四十度常见亦四十度浙省出地三十度常见亦三十度南极入地理同)一古法分周天为三百六十五度四分度之一盖依太阳右旋行天一周为三百六十五日四分日之一是为一岁故即以日行之度为天度也苐拘此数则以分象分宫测太隂测五星处处皆有竒零纷糅难算况四分日之一自古迄今分数渐减又非定论乎新法简㨗周天止画三百六十度名曰平度仍存古法名曰日度一切起算皆用平度若欲兼考日度者以乘除法通之一算即得今遵而两用之其记二十八宿度分用日度三百六十五度二十五分列于内围其记十二宫次度分用平度三百六十度列于外围二法㑹通算法附载于后握算即可互知一图内分二十八经线(直线为经)者二十八宿之距线也十二宫次亦应有十二经线虑渉繁杂止于各圏际用短界线识之亦自可明一天体浑圎经度三百六十纬度亦三百六十(如经度有五度四分度之一即)(纬度亦须有之故知平度为简)今将纬线(横线为纬凡围圏皆纬也)寄画井宿经线之上以便稽考此纬线近北较数向南较疏者縁入图南面经度渐濶不得不小疏其纬以应之不然即撱形成扁不相肖似矣在天度实系平均非有疏数也一常见圏内有十字线子午卯酉线也一本法经度从春分戌宫初度起自一度右旋以至三百六十度为亥宫之末今每宫各注一十二十三十度理亦同也一纬度俱从赤道起算向北自一十二十以至九十(即本图中心)向南自一十二十以至五十四(即常隐界圏)一欲考各星经度分用长界尺(长线亦可)从图心引贯本星中央视界尺末端切某宫度分即本星之经度分欲考纬度分亦如前法用长尺或线从心引抵本星中央视本星离赤道或南或北若干分寸识之即用所识之分寸为度移向纬线依南北量之即本星纬度分一图内恒星有古志有而今无者如器府天籥之属有古志多而今少者如羽林积卒之属厯指称㨿今实测如此然测星时或遇夜气有明暗应俟更加详验(内有星不分明仍存联线者亦备查补之意)一恒星有古志无而新增者厯指称经纬分明不得不为附益今亦不能悉载止载四等以上大星凡图内无名并无联线者是也间亦有并载小星者如女宿东南二星天乳北星之属查别图有作正者并存以备考一各星悉依图表惟八魁九星捡晋隋二志及歩天歌宋灵台秘苑位置实当在此厯指以为不类译从火鸟名色今寜从旧又南门西星厯指译入马尾而以赤道南五十九度在常隐界内之星作南门查五十九度中土所不能见何縁厯代志之亦为厘正自余即小有较订皆据古今厯图不敢凭臆进退毫末一古志以列宿分四象所谓东方苍龙七宿之类葢昔贤所定先天方位也天行不息毎日必有适当方位之一刻瞬息即移求其昏时如方位者一岁止有一夕(次日即移一度)按尧典日中星鸟以殷仲春是其时矣(朱鸟既在南苍龙必在东白虎必在西元武必在北也)昔贤似据此定之今时则星鸟以季春昏中其象设不变而时令浸移故尊其说为先天方位可也实则东南西北刻刻运旋在某星左即为东在某星右即为西而主北辰为言则常见界外众星皆可谓之南也一本图名总图者以别南北两分图也按分图一以北极为心一以南极为心皆以赤道为邉界在总图赤道以内诸星与北图形体无异若赤道以外诸星则宜狭反广不如南图之合天象也今另绘周天经纬度二小图又将南图尾箕斗相连三宿形模并绘于后以明其意然跨赤道各星在分图剖开为二颇烦比拟总图则联属无间葢二法各有所宜也一本图分宫分宿俱依赤道为主葢所考者恒星与七政循赤道西行度分以审其中也与时宪七政躔度厯过宫移宿不能皆同葢七政厯依黄道为主所考者七政循黄道东行度分故也赤道宫次从赤极(即本图中心)出经线黄道宫次从黄极(距赤极二十三度半强)出经线惟二至同一线二分惟交处同线本末亦异其余宫次悉参差非一欲因此知彼须用句股算法并从黄道图察之一天左旋(即西行)日月五星右旋(即东行)从来厯家定说自晋虞喜觉有岁差而厯术渐宻然岁差縁于恒星东行则实自时宪厯指发之足扩前贤之己悟而未备也苐厯家旧说皆云天无体即以恒星为天左旋之体今恒星既有东行则孰为主左旋者曰此在恒星天之表非人瞻瞩所及厯指名之曰宗动天宋儒云从太虚空里观那天理亦符也一图内恒星约三百座总计一千一百五十七星内第一大者十四星第二五十一星第三一百八十四星第四三百九十三星第五二百二十二星第六二百九十三星外又新增无名一百二十六星(大星在群星中光灿不同晚先见晨后隐语云落落如晨星大抵一二三等星也)一天度广逺难以道里数计苐就人目而论如两星相距一度在图鳞接者仰视在天相离亦不盈尺古法以月与五星行近恒星七寸以内始名曰犯亦谓同在一度之内故也(此指周天)(均度言其经度与纬度同理不主分宫分宿中间广而两端锐之度也)一以上各说止从本图及中星谱所及者述其大畧图谱之外为说尚繁不遑缕述附平度日度会通算法如先有平度分欲知日度分以日度三百六十五度二十五分为实以平度三百六十度为法除之得日度一度○一分四十五秒八十三微零准平度一度凡遇各宫宿之平度分以一○一四五八三乘之即得日度分如先有日度分欲知平度分以平度三百六十度为实以日度三百六十五度二十五分为法除之得平度九十八分五十六秒二十六微零准日度一度凡遇各宫宿之日度分以九八五六二六乘之即得平度分其理同也(如新法度下之分秒微等递以六十计即须先将分秒微等数俱通六为十次并入度下总乗之)浑球不可图于平面故剖为二以图之朱子云天如圆匣赤道是圆匣合缝处是矣图虽有二应作一浑图观斯经纬晓然也中星谱◆ 《天经惑问-清-》（KR3f0023）
## 提要
钦定四库全书 子部
天经或问 天文算法类(推步之属)提要(臣)等谨案天经或问四卷国朝游艺撰艺字子六建宁人是书凡前后二集此其前集也凡天地之象日月星之行薄蚀朒朓之故与风云雷电雨露霜雾虹霓之属皆设为问答一一阐其所以然颇为明晢至于占验之术则悉屏不言尤为深识昔班固作汉书律厯志言治厯当兼择専门之裔明经之儒精算之士正以専门习于成法明于古义精算得其确数欲使互相参攷究己往以知未来非欲髙谈雄辨徒究其精微幽妙之理而己也邵子厯理厯数之说亦谓知其当然与知其所以然学者误㑹其㫖遂以为厯数之外别有厯理孙承泽春明梦余录因以元授时厯全归于许衡之明理所载崇祯十四年礼部议改厯法一疏不能决两家之是非因推原厯本扫除测算尤属遁词夫天下无理外之数亦无数外之理授时厯宻于前代则有宋诸儒言天凿凿何以三百年中厯十八变而不定必待郭守敬辈乎艺作此书亦全明厯理于歩算犹属未谙然艺尚能知厯数故反复究阐具有实征存是一编可知即数即理本无二致非空言天道者所可及也乾隆四十七年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书天经或问卷一闽中游艺撰天浑沦一气无有重数特以外制内以刚制柔则气渐远渐杀以至永静因分重数以便起测万化皆由一气万动总由一动微妙不测者莫如此动新语曰天体本一而各政居有上下然共一心同为一制诸政皆左旋而有自行轮轮则激退滚进遂有倒逆之形其实皆是进也浑象图子午对者为南北极南北分者为赤道圜斜络于赤道者为黄道圜近北者又为昼长圜近南者又为昼短圜周围列宿布焉诸圜并星共□浑象之内今析为数图者为浑图不能全载故也李振之曰天体必要具图始可明之浑仪如塑像平仪则如绘像兼𫖯仰转侧而肖之者也塑则浑圜绘则平圜全圜则浑天割圜则葢天夫浑天不可图今强图之以识梗概凡设三轮水而臬之则知地平针而丙之则知子午绳而垂之则知上下轮皆有先后天八卦十二宫周期之度是为三轮是为六合是为八觚此大舜璇玑之始图约法也于是出入地平可定南北二极腰旋黄赤二道形如双环日月交分经纬皆可距度四破取一是为象限欲求一星立地可得今以有征无中之理借此弥纶以世言圆皆昼毬如镜之扁圆也非圆圆也此浑象内日月地三形图最外一圜周天子午规第二圜日行冬夏至规冬夏规处对贯一轴为黄道轴最中小圜为地球形外一圜贯轴旋转为月轮规上施月㳺轮径十二度轮心上绾规上亦可旋转以系太阴转之则为九道此九道因月自有游轮月轮又要随黄道转故也此外一圜稍大亦贯轴内为日轮规以系太阳形用此二圜可辨日月交食之理此皆浑天象也地居天中乃设平规于象外者以分地上地下界也侧立者乃子午规北极之出地南极之入地各随所在可测定浑象纳此规中以二极为圆枢运转一日一周以合天体之行度也朔日日月同度月天正居日天之下日光独炤其向上之半面人在中间仰视独能见其无光之下半面故朔之日视月全无光过朔日月渐离至初三四日月光如峨嵋至初七八日则月见其上面一分之光为上弦至十五六日则日月对照全光为望焉望之后日渐逺至廿三四日则月见其下面一分之光为下弦晦朔弦望是以月离太阳有逺近故其光无时不消长也朔则日月同其经纬为一线月受日光于上月体隔日光于下是月掩日若无光为日食而光实未常失也望则日月相对如一线日光正照之月体正受之中间地体适当线上在日与月之间地体隔日光于此面而射影于彼面月在影中失其所借之光为月食居丁者正见月于日故见全食居戊者斜见月于日故见半食居己者不见月于日故全不见日食龙头龙尾是日纒之两界月食所经之处若龙尾距过数度则无食而日食因地之逺近则见食有多有寡焉汤道未曰日食与月食固自有异葢月食天下皆同而日食则否日食此地速彼地迟此地见多彼地见少此地见偏南彼地见偏北无有相同者而月食则凡地面见之者大小同焉迟速同焉经候同焉唯所居不同子午线者则时刻不同矣葢月一入影失其借光更无处可见其光也然距度有广狭则月食有大小迟速日离地有逺近则地影有大小不同故有食不食焉天问略曰地为圆体县于空际上下四旁皆有人居四方之人各以所居子午线为午时太阳在东方甲居东方者为午时日轮在其天顶故也乙居西方者即为夘时日轮至天顶须三时故也丙居正西者即为子时日轮至天顶须六时故也诸地相去自东而西莫不皆然如相去七千五百里即移一时因知居东方者若得午时自此逐渐往西即为己为辰为夘寅丑子矣天体浑圆内以中分南北为赤道圜两头尽处为南北极极犹枢纽运转全天星斗也古天学家唯以北极为心目所见旋绕诸星为图不列南极是中华处赤道北不及见南极诸星故也世人则以北极为天心周罗诸星为边幅以南极为空名耳汤道未先生曰人处赤道北则见赤道南天应渐狭而在图则渐广形势相违无法可以入图故图惟列北极处赤道南者见北亦然今图全天地必以赤道中分为界分作二图以二极为心然后体理相应故作赤道二总图则见天浑圆全体也今以赤道南北细分之以南北二极二十八宿另为图以黄赤道南北见界各为图则知子午相对处为南北极南北中分处为赤道圜赤道之相交斜络者为黄道圜是故分之求其详合之无遗漏矣地舆图者按地在天中如鸡子黄在青之内天运旋于外地静处居中人依圆体无方隅上下葢在天之内何瞻非天也故定一圆图倣西士职方之遗意也复作一方图以九州为心四彝作辅如朱思本之广舆按其昼方计里修短广狭偏正曲直如其地形可分可合山川险夷郡邑聨络有不得尽闻者按其形实一一了然非如世图疎密失准逺近错误者也掲子暄禹书经天合地图说曰昔之作禹图者东西南北惟按书画之至地之长短曲折广狭偏正悉置不问今以天下校古禹迹而画方计里始如其形故曰合地中土以北极出地三十六度夏至日长六十刻为算不知地自南而北二百五十里差天一度赤道居两极之中离赤道渐逺则北极渐高夏至日渐长且四方国土日之出入不同时东方先见西方后见两地相去七千五百里则差一时惟以里度测刻分而多寡早迟始可通推故曰经天艺以地圆形东西升降故时刻之先后不同南北出入故昼夜之长短互异所以环地而转从东达西时时晓时时黄昏自南而北有半年为昼半年为夜者此图毎方五百里方各二度南起赤道二十三度北行二十二度纵五千五百里西起地中海七十一度东行二十八度广七千里其间以单墨行者州界双墨行者水道以圏行者山道㸃列者贡道也边之左纪日长右纪出极下纪距日里刻见各地之不同也以其经天合地余故约而布之游艺书天经或问卷一
## 卷二
钦定四库全书天经或问卷二闽中游艺撰囫囵天地茫茫无际一动一静体质各异其动有由其静有自太极既判阴阳之秘从动测天天体非𤣥有形无质度数昭然三百六十左旋右旋枢纽二极位乎南北黄赤二道天之至奥交络天腹岁功是造左旋惟疾右旋不一迟疾参差星辰月日不害不悖层次可识其层曰九又为十二数明理实自然之义水土与石凝为地质围九径三至静不易水周于地土间乎石中含庶类实有万国足底相对上下各背子午夘酉随在而配至静至圆从可测焉天内包地地外裹天日月中行化育流宣赤道内外日月所躔日逺而寒日近而炎昼夜永短四时运还备则得中灵气所潜此春彼秋此永彼短经纬之度乃其所斡或炎不寒或夜寡旦候异气偏㝠顽多悍得中者灵得偏则蠢化于无心成于无形天动不息地静永宁化育生生莫知始终始有所始终岂无终欲知所终不外动静动至不动静至不静动静相反天地道穷化育机塞灵蠢皆㝠自有而无有为无渐自无而有无为有先无极而极贞下起元游子之书天地理全王勷题天体问天之苍苍高逺无极其星辰错综体象运旋可得闻欤曰天体如碧瓈透映而浑圆七曜列宿层层运旋以裹地(七政运旋有髙下故谓层层云)地如弹丸适天之最中永静不动而四面人居焉最上一层常静天为诸天主宰(宋儒谓此天为天壳)(也而不可思议)其次为宗动之天带转下诸重天也此天之运依南北二极从东而西左旋十二时厯一周其各天皆因此一动制之而运焉(西士测尚有南北岁差东西岁差二重约四万九千年从西厯)(东行一周)其次为恒星天在七曜之上此天之本动也于赤道上偏南而北从北而南谓之一近一距之动厯七千年行一周从东厯西之正行约二万五千余年而行一周(此即岁差正行之算也)其次土星(土星约二十九年一百五十五日零二十五刻行一周天)木星(木星约十一年三百十三日七十刻行一周)火星天(火星约一年三百二十一日九十三)(刻行一周)其次太阳之天照映世界万象取光故在七曜之中也(太阳约三百六十五日二十三刻五分行一周)其次金水二星天皆从太阳天行而太阴天最近地(太阴约二十七日三十一刻行一周)此恒星七曜诸天俱从自西而东右旋之行算也左旋一天以静天极为轴以赤道为天腰右旋诸天以黄道极为轴偏南北各二十三度三十一分即以黄道为天腰赤道之心与静天之心宗动天之心地球之心同是一㸃其两极在南北正子午主一日一周七曜列宿之公运悉系转楗焉其道与天元赤道相合为一线动静虽异终古不离其极为正子午也黄道斜络出入赤道各二十三度半其极非正子午则在己亥也太阳行黄道正线其天心不与诸天同心故其行转于地面自非平行也黄道左右各八度为太阴五星出入之道而日月经纬俱从黄道极转故有不同子午之枢也吾儒按九重者因恒星七曜行度各异相次而上权立数重以起测云地体问藏经以四方分为四州邹衍以瀛海环九州外文长谓水际天是皆以地为扁土也今曰天体浑圆古人亦曰天如卵白地如卵黄是天包于外地亘于中也然天乃轻清之气地乃重浊之滓既为圆体亘中能浮空而不坠乎四面皆人何以安其居也而能辩其四方乎曰天地浑圆本相聨属古人云减一尺地则多一尺天然地亦天也以其形言之谓之地唯天虚昼夜运旋于外地实确然不动于中也而地四面洼者为河海突者为山岳平者为田地人所居立皆依圆体天裹著他运旋之气升降不息四面𦂳塞不容展侧地不得不凝于中以自守也然总无方隅四面都是上无可坠处适天之至中亦无可倚处天之东升西降亦就人所居而言天则无处非升无处非降浑沦环转而己地圆则无处非中(揭子曰天之虚非虚也虚者气塞满之无有空隙如以瓶挈水闭其一孔水使不入气塞中也气即)(天也地之实非实也气出入之虽有土石其坚者悉在皮表进焉则虚濡也然天内有气故时结为搀抢彗孛)(诸星映为晕珥〔？〕珮诸象地内有空故潮汐呼吸转为泉源深山大谷吐为云雾阴伏阳愆发为震撼故㳺子)(曰地亦天也)唯指极星分东西南北测太阳定寒暑昼夜故所居之地日所照不同居赤道之下南北二十三度半之地一圏春秋二分太阳正过其天顶日中无影过春分则影在南过秋分则影在北名为煖带南北二十三度半以外截至六十六度半之地此地太阳不经其天顶而不近不逺此南北二圏为正带不甚冷热(此带温和而圣)(贤挺生中国处赤道北十八度至四十二度适当其地也)南北二方自六十六度半各抵其极为冷带有日太阳绕其地恒见有日太阳绕其地恒隐隐见之候或至数月或至半年(揭子曰两极之下天轮横)(绕半年为昼半年为夜其地甚冷其人耐寒)此五带之大概也因此推之距赤道南北二方者其气候必相反如太阳纒星纪(即丑宫)向北之方为冬至向南之方则为夏至诸节莫不皆然又因推之地球为人所止以天顶而分四方亦可界为三百六十度以合天行东西为经测以黄道南北为纬定以子午若测南北有二极为之端(㳺熊曰西学测地球周围有九万里)(如往北行二百五十里测极星便髙一度二万二千五百里便髙九十度在天顶正中再行则又从中渐低无)(北极过南南极过北之理地圆故也)若测东西必先定一处为起界之端(如处某地即以某地为端)方可测也如无测法则寒暑无定东西不辨耳黄赤道问天体无涯难以器测日月五星有形可歩黄赤二道全无影象何所指而名也曰赤道者平分天体为南北从南北二极相距正中之界判一细道名曰赤道(朱子云天体如一圆匣相似赤道是那匣子相合缝处一线也)亘于中天终古不易推步者毕赖之为准则也李振之曰此道列三百六十度分十二辰界九十六刻(以一时八刻算)(余分不列)而为用有七焉一以度天行一日一周之运一以定昼夜刻分之永短一以齐黄道出入之广狭一以限春秋分之晷影一以判天道之南北一以起南北之纬算一以纪天下之地圆也黄道者从太阳旋周一岁之界而设以记月与五星所经行者葢太阳行天一岁所周轨迹旋以成规名为黄道此道斜络于赤道如两环相叠然半出赤道南最南之界约纬度二十三度半为冬至半出赤道北最北之界约纬度二十三度半为夏至二道相交之所为春秋分四平分之为四象限限各九十度是即二分二至之限也以三百六十度计之十二剖之则为宫二十四剖之则为气七十二剖之则为候更细锲之为三百六十五度四分度之一而二十八宿列焉凡月建与宫界常差五度所以分黄道为十二宫者日月相逐㑹于黄道者岁有十二次而一岁四时有十二变取数于十二其义最精半之则为六三之则为四四之则为三诸曜之行四时之变总不出于此天下寒暑荣瘁皆由黄道中国处赤道北故太阳之行黄道也北陆煖而万物生南陆寒而万物死也(黄子曰如国处赤道)(南者太阳行南陆则反是)黄道一规而用有四焉一以节七曜列宿逆行右转之度(黄道惟太阳行道中正线余各别有小轮故有迟疾伏退之异)一以审日月交食之限(月行有九道大抵近黄道则食)一以其出地多寡定天下昼夜长短一以分列宿之南北及纪其纬度南北极问天学家云南北二极是相对也又曰北极出地南极入地则是低昂矣是低昂乎相对乎曰南北极者天体永久不动之两㸃周天倚为环转之枢者也故名为极(㳺燕曰极如轮之毂如磨之脐非星也云极星者葢指其近极之星而名)(耳)而居中有不转之地以为之心故南北有不转之极以为之枢太虚空洞固有不转之神化以为之主而后此天得以循行万古而不越也李振之(名之藻)曰测从极中周围起线为南北纬度至天之中九十度为赤道界人居赤道之下者以赤道为天顶居二极之下者以二极为天顶极之低昻因人所居而定也从极中分瓣起线为十二宫从宫内分密线为东西经度合至中天则为赤道经度(此皆测法而定)太阳躔黄道行度虽极南极北止离赤道二十三度半也故南北二极之规天轮横绕黄道之所不至昼夜永短偏胜之极二规之内天地之气甚寒周围皆有日影而以半年为昼半年为夜矣子午规问浑天以赤道为中分以南北二极为子午又以天顶为午地下为子则是以赤道为子午何也曰南北二极处为正子午是也然天之子午亦南北极之子午天之子午但取中分南北极处过顶之线为名从诸曜升降适中之界而设也太阳一日遶天一周见于东方渐升天顶为午中此地平以上东半昼分谓之升过天顶向西渐低地平是为西半昼分谓之降他曜皆然于此升降之中界设一规为子午规也诸曜际此谓之在子在午也(黄道十二宫之子午以列宿分度而定天之子午以人所居之地而立也)此规透过赤道及地平与二极其偕赤道地平而交为直角也恒然不动但人在地面上南北迁此规惟一东西迁此规随在各异也极之子午即地之子午静而有定此有定之子午发线去随太阳到天顶而转故天之子午动而不居也(㳺熈曰日行周天子午亦随而周天是以人所居之天顶而定也余支亦)(皆然)设此规其用有五一以分半昼半夜时刻一以寻列宿极髙过顶之度当此之谓中星一以此规计日凡毎日自子半起正当此规之下一以捡夜半中星以定太阳正宿一以分周天之度亦可縁太阳以求赤道缘赤道以求北极地平规问子午规者中分南北极过天顶之线为名从诸曜升降适中之界而设也地平规者则何说也曰地平规者平分天地之半从人足所附极目四望之界而设也人附地面所可望见者天之半耳其半恒绕于地下人不可而见也即此可见不可见之界而诸曜由是而出入明暗昼夜由是而分因定此规剖为四象以应四方象各限以九十度是为地平经度可以定北极赤道离地之度可以定星辰出入之分及何星常见不伏何星常伏不见可以定七曜列宿同出同入之度及先后出入之度可以定太阳各曜所出地离赤道几何纬度可以辩各曜出入之方位可以算各曜渐升之度自一度上至九十度皆可知得而稽也问诸规必须为象方可知之理虽剖晰终属茫然曰黄赤道南北极子午地平者不过相形酌理设其象为依据如不知此欲知诸曜之行则茫然无措故欲知象先明此为首如此理不谙虽登台转象亦茫然耳太阳问诸曜森罗太阳其宗也何不居诸天之上反居列宿之下七曜错行太阳甚正也何节有舒缩日有永短也曰太阳者黄帝经曰天凝其阳精为日而月与星用之万物皆用之故居天之中适得上下照映暄及下地能济万物故称星月之宗(黄帝经曰天明则日月不明潜草曰两间之光皆太阳之火也)(文饶曰两间变状皆气光之所为)若居最上则温煖不及诸物难以滋生若居最下则燥热太甚诸物受其暵损故日得中和之理万物之宜也所以一日循黄道一周使万物得阴阳之育和而周天日恒过太阳一度使南北而有寒暑之候(俞子曰太阳日行黄道一周天则有昼夜万物得以滋生周天过日一度一岁则能踵黄道南北节)(气故有寒暑)行黄道积岁平分之数以天度计一日为五十九分八秒有竒(是一度以六十分算者)所谓平行度分是也然平行为齐实行则非齐也有冬盈而夏缩矣所以然者葢缘日天心不同宗动天心与地之心则日行距地逺近不等距近则行疾疾则所行之度过于平行而为盈毎冬月一日计行一度一分有竒以较平行则盈二分矣(㳺熊曰平行周天度也实行太阳度也因太阳天心不同宗动天心故有平行实行之度相较而有盈缩矣)故冬一节气为十四日八十四刻有竒距逺则行迟迟则所行之度不及平行而为缩毎夏月一日计行五十七分有竒以较平行则缩二分矣故夏一节气为十五日七十二刻有竒总由夏行北陆冬行南陆则有盈缩之差也(揭子曰春分至秋分合一百九十日七时四刻毎十日应缩四十三分六厘共缩八度二十五)(分秋分至春分合一百七十四日七时四刻毎十日应伸四十七分四厘共伸八度二十五分)而逐日测之则太阳实躔宫度分秒逐日有盈缩如太阳从春分底立夏行黄道四十五度则厯四十六日十刻十分原谓之空度从立秋至秋分亦行黄道四十五度而所厯则四十六日三十八刻十分原谓之共度是逐日刻数不等所谓春行盈秋行缩也(俞子曰近岁宻测而知太阳与宗动不同心故)(知节气有盈缩原惟平分十五日二时四刻作一节气而不知春有盈而秋有缩也)故定盈缩之界非在二至之㸃(元算在此)乃在二至之后六度此二㸃为盈末缩初今盈为最髙之㸃缩为最卑之㸃因定此二㸃遂晰太阳之行为一不同心规也其行迟者在最髙之㸃行疾者在最高之冲(即最卑之㸃)此最高本行亦犹太阴之按月孛如太阳之心并二极与宗动天同则日行转常在赤道之圏绝无距度安得有东西运行之异乃知气不叅差无以成化时不寒暑无以合序物不错综无以生文也太阴问太阴之行不随黄道之一线又不踵黄道之节气要自疾行一周又步与日㑹为合朔然太阳之光为世界之切须太阴虽有清光亦无恒照何行反较难于太阳乎曰日之升也布光于色象阐景于山川日之没也诸曜则受光地面则幽暗太阴之体最近于地受日之照反映于下使夜之幽暗者时受清辉焉故与日为敌而运行叅错不一推步筹算倍艰皆为交食故茍或分杪乖违交食岂能密合故必细审其行度然后可立法致用也葢太阴不循黄道一线自行一月游轮径约十二度出入黄道内外相距逺者各六度其轮交黄道如一小环系于黄道带行焉其本旋之外有平行一日十三度有竒但此行之界有四一界是从某宫次度分起算此界定而不动二界为本天之最高此非定界毎日自顺天右行七分有竒是月距本天最高一日之行为十三度三分有竒故其平行二十七日三十刻有竒为一周己复于宫次元度又必再行二十三刻有竒为二十七日五十三刻始能及于本天之最高今谓之月自行元谓之转周满一周谓之转终其最高则行八年有竒而周天谓之月孛(月孛是月行极高极逺之㸃后人谓之月孛星)三界为黄白二道相交之所谓之正交中交此界亦自有行乃逆行也毎日三分有竒则月平行距正交一日为十三度十三分有竒至二十七日二十七刻减交行之一度二十三分得二十七日十五刻有竒月乃囘于元界谓之交终四界是与太阳去离太阳一日约行一度则太阴距太阳迟为十二度十分有竒至二十九日五十三刻有竒遂及太阳复与之㑹谓之朔䇿古谓月行九道是月㳺轮出入黄道内外算也自内出外为阳厯口世谓之罗㬋又名龙首自外出内为阴厯口世谓之计都又名龙尾(㳺熈曰罗㬋计都乃黄赤道左右之内外相交出入之名后人以为火土之余星)乃白道正交行及四正阴阳二厯各异名之为八道并黄道为九也实一道也月行十八年余而徧九道(游燕曰九道乃近日逺日而名)(月行黄道东为青道行南为朱道行北曰黒道行西曰白道各分内外为八道并黄道为九也十九年内月行)(九道完而复起所以算日月食惟在十九年内推测度分畧同而时刻稍易皆各有定则)其白道两交黄道论最逺之距为五度今测朔望外相距皆过五度上下二弦则为五度十七分三十秒也推知二道相交之角非定而不动约其广狭之行常以十五日为限也日食问日为诸阳之主永无亏损何得有食曰日为诸阳之宗星月皆借光焉而日所行在月天之上月所行在日天之下朔日日与月相遇两周相切(两周者日周天月周天也)与南北同经东西同纬则月受日之光于上月体隔日之光于下是日月相值则蔽而不见然日与月虽则相叠而上下相离数百万里其相值也特相荡而过自人在地面上仰视之则见其月掩日于是日若无光然实未常失光也人不见其光故谓之食若日食非月掩则食无常何定在朔而不前后也而食时天上度分唯一处人居圆地则食分随东西南北人见无有同者厯家不明各方经纬之度(游熈曰天有经)(纬之度地亦有经纬两合之测则不甚差)则无以知幅〔？〕相距之数而交食时刻与分数行之一方不能通之各方耳如从西面东地隔七千五百里者则东人先八刻见食设若地平形则天下人见食共在一时无有先后也若南北经纬之度距过三十四分者则月从邉行人不见其掩则无食矣问月食宋儒云火日外影中心实暗到望时却当其中暗处谓之暗虚以暗虚之象为月食是否曰天圆形地梗在中心如鸡子黄处青之内青之周围即列宿七曜之天也日一日行一度月一日行十三度余以周天三百六十度记之自朔至望仅行一半月距日一百八十度而日月正对望中间地球障隔月轮在地影之上月轮在地球之下日光不能照之故失其光而谓之食渐出地影之外日能照之则渐复元光因知月轮失光为食食悉由于地影之蔽入此影中安得不食而半进半食全进全食是食必在望其食之处定在龙头龙尾(游燕曰即黄白二道相交之所则经纬同故有食)十三度三分度之一过此则月之行道不相涉而地影不能障也龙头龙尾者是日躔之两界月食所经之处也然食之时地影从人之下蔽上去故天下皆同(㳺熈曰见月食必在夜而人在地影中立故天下皆同)凡地面见者大小迟速亦同唯居子午线不同则时刻亦不同大抵十九年所躔宫度同而食之时刻浅深亦不同而土木垣宿不及食者影斜而锐不相透也日行天一周则影亦行天一周月当其影处即食而食之处迄无定所交食问日食月掩也月食地影蔽也然掩蔽俱是无光则食皆同又云月食皆同日食不同因地影也圎也请详其说曰日月之行二十九日有竒而东西同度谓之合朔而月魄隔日光于下而不偏斜谓之日食(俞大刚曰合朔则月月初一皆)(合合而不食者因月行九道与日度有偏斜则从边而过故合朔而不食)月距日一百八十度正与之冲谓之望若当冲时必入地影而地居中间日光为地所阻不能射照月体月失其光谓之月食而食常在黄白道相交之所谓之正交中交凡日月行及二交为同度同度则有食而食必凖在限交在限内则食交在限外则不食日食之限与月食之限亦异故推月食越五月能再食越七月不能再食日食越五月能再食越七月亦能再食所以为限各异也至于食分则以距度求之葢两周之心相距之度也在月食则为太阴之心实距地影之心愈近食分愈多(新语曰夫以火照物对冲必得)(黒影地之居中也日照于东黒影冲西日照于下黒影冲上物过黒影即黒而不见故日月正对地隔于中则)(影射而月黒而食有浅深月之道有浮沉也)在日食则为日月两心以视度相距其逺近不依实度而依人目视之所及为凖此即月食分天下皆同而日食分随人目东西南北各异也如白道向南极半周有时在天顶及黄道之中谓之阴厯白道向北极半周是时在黄道外谓之阳厯故其下日食之限莫得而定也比如京师北极出地四十度约算阳厯八度阴厯有二十一度则知日月相㑹凡在阳厯近二交八度在阴厯近二交二十一度其下必见日食过此限以往则否也即北可以推南莫不以逺近多寡定食之验然二厯食限之度有异者其故在月轮月轮最近于地又小于地人见之所在地面非在地心以月天论地平虽天与地球皆为平分直过其心而人在地面髙所以视天地之两界则地球与月天非平分也而少半在上太半在下约差一度以本法推算月己出正地平于人所视之地平尚少一度此谓之视差惟月在天顶正地平与地平之极皆以一直线合于天顶无有视差过此左右不免有差愈逺天顶愈近地平其差愈甚夫视无他常降下月体数十分耳假令日月同度同在近交之南又因同度并在地平上高二十度则日于视地平为十九度五十八分祗降二分月于视地平为十九度直降一度以日月二差之较为五十八分矣若日月同高共度而人视之月常下于日一度耳不掩日光则不食若日月在地平上高七十度则日无视差月视差止二十分其降于日亦止二十分势必相切或至掩数分而成食若日月在交北又当以月算在日之上庶因视差所降而掩日光以为食矣顾此二地平之差又分二焉一加减交食分数谓之气差一加减时刻谓之时差此测交食之艰也朔望弦晦问月若圆形受日之光朔日月掩日为食望日地影蔽为食月不掩日地影不蔽时宜月体之光俱圆何过朔则渐盈过望则渐亏至上下弦而盈亏各半疑其月体是活物能自发光固能晦能满能消能长也曰天体如玻瓈月与星即玻瓈中之坚凝圆物也而圆者坚凝则不能透光太阳之火充满全天天体直透者不能发光星月坚凝者则耀日之光而返照焉故日光照及其体则明不及则暗如月自有光则近日逺日其光恒一绝无消长也朔日日月同度月正居日之下日光照其向上之面不照其向下之面人居地上独能见其无光之下面不能见其有光之上面故朔之日视月全无光过朔月则东行而渐离于日而日在西月光渐盈距日至九十度日照其下侧半面人居地上独能见其下侧半面为上弦距日一百八十度则日月正对月之圆体受日之光全满为望也过望月则虽东行却是渐离在西日反在东月光渐亏距日至九十度日照月上侧半面为下弦下弦以后月光渐消至于无光为晦焉气盈朔虚闰余问气既踵节矣因何有盈朔有常数矣因何有虚又因盈虚而后置闰如盈虚不设闰亦不必置也于数更易何如曰浑天之度一岁之常数三百有六十太阳行黄道节气圏一周有三百六十五日三时较常数则多五日三时为气盈一月以二十九日六十三刻有竒为合朔共十二月得三百五十四日四时四刻较常数则少五日七时四刻为朔虚以朔虚较常数则常数为多以常数较节气则节气为多合多十日十时四刻为余日余日归之于终积成一月则置闰约三十二月则一闰十九年则七闰也其闰之月太阳不及交宫必无中气也如无气盈则常数不合如无朔虚则晦望不凖如无置闰则夏月为春节冬月成秋候也前贤之测无丝髪之余故七闰终在十九年子丑之月气朔分齐为一章之定法也月见迟疾问太阴之测无遗矣则合朔后夕间西见见皆恒一而迟疾偏不一甚有差一二日何也曰人目所见其月近日远日为差彼有斜正升降而行故也其故有三一因月视行度视行为疾叚则疾见视行为迟叚则迟见一因黄道升降或斜或正正必疾见斜必迟见一因白道在纬度之南又在纬度之北在阴厯(黄道之中)则疾见在阳厯(黄道之外)则迟见此外又有北极出地之不同朦昽影与气差诸异所以迟疾则难齐也然月亦星类也较星更小为其在天极低人所仰视甚近故有朔望弦晦食与不食之较著也金水二星亦与日同度恒日轮中有黒㸃以星处高人所仰视甚逺故不谓之食若月轮时过二星之下亦能掩其星光今不显其食如日者乃二星之天高光微而体小人所忽也故月惟主潮汐无与气候因其近地有光影照地而推也日月右行问太阳一日行一度人见其日日如是未尝有进退也太阴一日行十三度余人见其一日迟一日又以为行速何也曰诸天迟速之行七曜错综之度尚有未宻者惟日月之行宋儒言之甚详朱子云天行甚健一日一夜行周天三百六十五度四分度之一(一度如以百分即得二十五分)又进过一度日行速健次于天一日一夜行周天三百六十五正恰好比天进一度则日为退一度积至三百六十五日四分日之一(即一日十二时四分得三时也)则天所进过之度又恰周得本数而日所退之度亦恰退尽本数遂与天㑹而成一年假如天无进过之度则四时中星俱同日亦不能㑹天节亦不能踵岁矣月实行迟一日一夜行周天三百六十五度四分度之一行不尽比天为退十三度有竒进数自东行西为顺天而左退数自西而东为逆天而右厯家进数难算只以退数算之故谓右行为速也且曰日行迟月行速然则日行却得其正也天行过一度问厯以为天一日一周太阳一日行一度今云日行本数恰好是天行过一度岂不悖欤曰若以为天一日一周正恰好不进过一度则四时中星如何㑹不同如此则日日一般而太阳亦无踵星之度节气亦无定限之所以甚么去纪岁五星迟疾伏退问日行步岁踵节矣月行晦朔弦望矣而测算尚艰五纬之星行度各各不同兼有迟疾伏退之异如何测步知各有异而不顺行也曰步天测象诚惟难矣而纬较难五纬之体圆如活珠黄道之轨有若虚槽而五纬之行又各有本行各有异行各有伏见各有加减各有不同心圏各有均圏各有小轮不同心圏与小轮名异而理同皆附黄道左右八度之间而盈缩迟疾之行皆借以分度布数也各有二道二极各有三百六十度其度分又各有实经纬视经纬其㑹合有实㑹视㑹实望视望樊然不齐惟以日躔齐之如土星三十年少一周天木星十二年少一周天火星二年少一周天金水随日一年一周天是纬星之本行也纬星在小轮极逺之所必合太阳其行顺而疾其体见小在小轮极近之所其行逆而疾其体见大土木火行逆则冲太阳金水行逆夕伏而合行顺晨伏而合其各顺行转逆逆行转顺之两中界为畱留非不行乃际于极迟行之所也留叚前后或顺或逆皆有迟行其土木火行逆即冲太阳而金水则否者縁土木火之本天大皆以太阳为心而包地得与太阳冲金水之本天虽亦以太阳为心而不包地如车轮然毂从内转轴在外者自上下周旋故日之转也金水或旋而前或旋而后一旋一却亦势之所至自人从平衡视之祗见其或顺或逆而不知其遶日环转也故不能冲太阳而能与之离金离太阳四十八度水离太阳二十四度此五星之异行也太阳之行因黄道斜交于赤道故其距赤道之纬南纬北也各二十三度有半以成二至是黄道者太阳之轨迹也太阴本道又斜交于黄道最逺之距为五度余以生阴阳二厯五星之道虽相距纬度各异而其黄道则与月道同理故皆借月道诸名名之其两交之所亦谓正交中交其在南在北两半周亦谓阴阳二厯审是而五星纬行庶可详求也盖各本道外之岁行小轮恒与黄道为平行而又斜交于本道其上半恒在黄本二道中凡星躔于此则减本道之纬其下半恒在本道外星躔于此则加其纬然此小轮之纬向则常常变如土星三十年行一周天其在正中二交之下必无纬度分十五年恒北十五年恒南凡冲太阳因在小轮下半即加本道纬度凡㑹太阳因在小轮上半即减本道纬度他星亦然或行近于地小轮加纬益多太白至夕伏合之际因其近地其纬几及八度耳原不谙有纬行(此纬行近岁西士熊罗诸人始测出)一见金星在纬南北七八度之间即诧谓之失行皆不知五星有纬行之故也然五星有纬南纬北之分黄道有正斜升降之势各宫不同亦不能以距度定限今定限惟在用地平为主縁地平障蔽日光能使星或伏或见耳日之下于地平其光渐杀所谓晨昏晨昏之光四时不等星光时刻亦自不等所以然者太阳由黄道而下地平或十度或十五度以至三十度原自不等而星在黄道南相距必多数度在黄道北相距必少数度其限不能泥也大约土木火三星较太阳行迟行后太阳夕伏晨见金水二星顺天东旋较太阳行疾行先太阳晨伏夕见逆行反是其与太阳遇也亦夕伏晨见太阴行较太阳更疾晨伏夕见至于金星之纬不及八度逆行合太阳夀星(辰宫)大火(卯宫)二宫而其纬又在北七度余虽与日合其光不伏晨夕皆可见之水星之纬惟四度余若其纬向南合太阳于夀星此后去离夕必不见合太阳于降娄(戌宫)此后去离晨必不见此五星伏见之不同也如土星右行三十年少一周天夕伏合伏各二十日四十刻各行二度四十分(此五)(星一度以百分算者)晨出东方疾迟共八十六日行七度六十五分留三十日晨退夕退各五十二日六十四刻五十八分各退三度六十二分五十四秒半复留三十日迟疾共八十六日行七度六十五分又夕伏复见为一周大约六十年同而日时则不同也(六十年同其迟疾伏退过宫则不同其时刻大)(约要先三时可也)木星右行十二年少一周天夕伏合伏各一十六日八十六刻各行三度八十六分晨出东方疾迟共一百一十二日行一十七度八十四分留二十四日晨退夕退各四十六日五十八刻各退四度八十八分一十二秒半复留二十四日又迟疾共一百一十二日行十七度八十四分则又夕伏而复见为一周大约八十四年同而日时亦不同也火星二年少右行一周天夕伏合伏各六十九日各行五十度晨出东方疾迟共二百八十四日行一百六十六度留八日晨退夕退各二十八日九十六刻四十五分各退八度六十五分六十七秒半复留八日迟疾共二百八十四日行一百六十六度而又夕伏复见为一周大约八十年同而日时亦不同也金星右行先后太阳岁一周天晨伏合伏各三十有九日各行四十九度五十分夕出西方疾迟共二百三十一日行二百五十度五十分留五日夕退十日九十五刻一十三分退三度六十九分八十七秒夕退伏六日退四度三十五分其合退伏如夕退伏其晨退如夕退留五日疾迟共二百三十一日行二百五十度五十分而又晨伏其行也晨先日出东谓之启明夕后日入西谓之长庚以辰申为界晨见己位夕见未位大约九年同而日时亦不同也水星亦先后太阳岁一周天晨伏合伏各一十七日七十五刻各行三十四度二十五分夕出西方疾迟共二十七日行三十一度五十分留二日夕退伏合退伏各十一日十八刻八十分各退七度八十一分二十秒晨留二日迟疾共二十七日行三十一度而又晨伏为一周云约四十七年同而日时亦不同也凡七曜迟速错综之行至四千六百一十七年子月甲子朔旦夜半冬至则日月如合璧五星如连珠乃七曜厯元之第一日也上推汉元封七年丁丑子月适当其时也下推康熈三年甲辰以后二千八百四十九年子月甲子朔旦复是其时也四余罗计气孛问罗计气孛元谓之火土木水之余测算家云罗计见于交食之影气孛不常见见则有异此是星不常见乎是交食之算乎曰四余者元皆指为星谓其所躔宿度各有吉凶不知是月行难算设此诸道之交㸃按此名目以便揆算其行度并无实物也罗㬋即白道(即月行之道也)之交㸃计都即白道之中㸃(厯家按此二㸃以便起算交食)月道自南溯北以交于黄道之一㸃曰罗此㸃有本行每日左旋三分有竒而罗正对之㸃为计所谓龙首龙尾内道口外道口也葢两规斜络其两交之一㸃必正相对也月孛是月所行圏极高极达之㸃谓月离于是其行极迟其体见极小盖云孛者指其交转两行相孛之义故其平行右旋每日七分有竒此三㸃者土木火诸星本行之圏亦有之但其行不同耳为不算交食晦朔故不设此也(赵希度曰四余为火土木)(水之余何金独无乎则可知其非星也且测其当躔某恒星之度并未见其形象何如吾师言其理甚晰直破)(古今之疑)紫气者元算生于闰余或为土木二星相㑹之所或古人以此纪直年耳故二十八年月之闰余而生气一周皆是交食之积算也天经或问卷二
## 卷三
钦定四库全书天经或问卷三闽中游艺撰岁差客问岁差曰每岁太阳行度皆有常数何以有岁差黄道节气必以太阳为凖而曰每年冬至日躔不及余分积数十年而差一度谓之日退又考厯代所纪度分或多或寡而无定则如汉邓平改厯洛下闳谓百年后当差一度汉末刘洪作乾象厯有核岁之法晋虞喜始以天为天岁为岁立差以追其变以五十年日差一度何承天増之约百年差一度隋刘焯折取二家中数为七十五年差一度刘炫以四十五年差一度梁虞邝以百八十六年差一度唐僧一行作大衍厯以八十三年差一度宋大明厯以四十年差一度统天厯以六十七年差一度元授时厯以六十六年差一度明大统厯以七十八年差一度万厯中利西泰(名玛窦西域人)入仍约以六十八年八阅月差一度每年不及周天一分五十秒熊良孺以六十七年差一度方宻之以六十余年差一度而差之说纷然以何为据知其差也夫差有一定之法乎抑差必复差无可算测乎惟详示之曰岁差者天运日躔之所致日躔一岁之间行周天度未及星之余分日已至而星畧移于东似日退而实星进焉故每岁常移于东之分秒以过其元界谓之差也(㳺燕曰古今谓不及余分者是日踵其界星则过之是以过为不及也非日不能及星度也)上推帝尧甲辰冬至初昏昴中日躔虚七度(汤道未推帝喾甲子冬至日躔虚六)(度)夏不降乙未冬至日退女十一度(日退者星进则以日为退也)商武乙丙寅冬至日退牛七度(退即谓之差年年渐退但以此为凖便起算不繁也)周简王丁亥冬至日退斗二十三度秦庄襄王元年壬子日退斗二十二度汉太初元年丁丑日退斗二十度晋太元九年甲申日退斗十七度宋元嘉十年癸酉日退斗十四度唐开元十二年甲子日退斗十度宋庆厯四年甲申日退斗五度度宗四年戊辰日退斗四度二分元至正元年辛已日退箕十度洪武十七年甲子日退箕七度嘉靖三年甲申初昏室中日退箕三度万厯四十年壬子冬至日尚在黄道箕三度十九分十九秒在赤道算四度四分二十五秒内道口在壁一度外道口在轸初度至崇祯十六年癸未厯三十一年止差一分三十五秒(此差是进非退汤道未测顺治分庚子冬至日在箕三度二十九)嘉靖甲申至崇祯癸未一百二十年日尚进而未退则天道㣲渺之行亦有迟速不可以年限也(掲子曰岁差不独迟速不等㳺子详测而有已)(进而复退也)今从崇祯癸未上距庆厯甲申六百年日差十二度余则以五十年差一度庆厯甲申上距开元甲子三百二十一年日差五度则以六十四年差一度开元甲子上距汉太初丁丑八百二十七年日差十度则以八十三年差一度太初丁丑上距庄襄王壬子一百四十五年日差二度则以七十三年差一度庄襄王壬子上距尭帝甲辰二千二十八年差二十八度则以七十二年差一度此析而分之也以全厯推之崇祯癸未上距帝尭甲申三千九百二十年共差五十八度则以六十八年零七月十三日三时差一度二万五千一百有余年共差三百六十五度有竒为一周天复踵元界矣(㳺熊曰此以虚宿起测则二万五千余年踵卢之元位若以斗宿起测二万五千余年亦复踵斗之元位也)余复推之崇祯癸未上距帝喾甲子四千二十年止差五十七度约一岁差一分少九秒七十年零六月差一度二万五千七百三十五年差一周天此统而分之也(㳺熊曰诸名家分度不宻以致多寡㳺移差度耳然此统而分之亦有不同)厯代诸家所推各自有据然推差之法如郭守敬许衡王恂辈测影騐气减周岁为三百六十五日二十四分二十五秒加周天为三百六十五度二十五分七十五秒强弱相较差一分五十秒积六十六年有竒而退一度定为岁差振之李子谓经星时有动移但其移也宻百年之内所差未多四万九千年则差一周良孺熊公以二万五千余年差一周谓东行之天以黄道为轴不独有东西差更因有南北差密之方公以经星行度厯差于静天之度而岁实日周遂与经星之度迻也日一年从西向东行二十八宿三百六十五度四分度之一尚差一分余而至六十余年差一度约积三万年不足而复于原宿之度矣盖其所差之理亦不能执一法以穷之石斋黄公以易定厯而以守敬万法积之终不免于洒𣲖纳虚也易以数为端几而定于环轮静天亦犹是也均列定限分别节气以日所行至者纪于何节之分秒焉日五星所至亦纪之经星所行亦纪之则所差之由与追差之合自犂然也或谓天不可见惟以经星躔次为考静天何所考乎濳夫方公谓算家遇不可问之数则立商法焉商而两测之以中之度于是乎定今以静天环一定之分秒而使日月五星与经星皆各行其迟速之行岂能逃乎犹之㑹通易几者无往非河洛则物物之未有物先皆厯厯河洛也因建此意以待神明之士密之方公曰此定恒法也而随时测騐盈虚在其中矣天运盈虚一年有盈虚一日有盈虚又多年而盈多年而虚太西穆公曰地亦有㳺欲据一岁之测而定之乎欲明其理理则如此盖从前止以经星天而日周之不知经星自行于静天而静天不可见故无悟者掲子宣曰岁自为岁差自为差岁原无差也天有静动静天有一定之度动天有一定之至(此动静合一而言)周静天之度切动天之至以成其岁节气齐而南陆极岁何常有差但仰视诸星稍移分许耳是不可谓之岁差但可谓之星差亦不可谓之星差但可谓经星周天百十年移一度而或迟或速其数不等也测之者亦止测经星离至几许周天几许于岁无渉也岁则万古如一也然人罄一生精力不过数十年亦止见其所行一度半度耳又安能以其迟速概前后之度而逺及于数万年哉此言差之理但未悉其差数也余谓天地之理之数其妙不测政在于秒忽㣲芒之间而其日月星辰之象隂阳寒暑之候亦有时而不齐亦不能以一定而求之岁差之测自古及今冬至日躔星度分秒年年不同(各节亦然但以冬至为主)而迟速各异者乎(迟者有百余年差一度速者四五十年差一差是也)尧时冬至虚者今东移于箕矣而移者有实之理差之法知此则得天甚密也(㳺燕曰测实差法以太阳为主以星行为据太阳之岁有二其一某节某㸃行天一周而复于元节)(元㸃是名太阳节气岁若太阳㑹于某恒星行天一周而复与元星㑹是名太阳恒星岁恒星有本行自西而)(东假如今年冬至太阳㑹某星来年冬至此星已行过冬至若千分秒耳太阳至冬至则已满节气岁之实而)(尚未及元星岁之实也积数十年未及一度二万五千余年未及一周厯家必以节气限以其不满恒星岁实)(为岁差也知分节气岁实恒星岁实者则得之矣)汉唐以来祗以年分课䟽密(如知分测统测之法则不必辨其年之多寡为疑也)未晓其所以差之故求其故者宜举中星以定四时考晷刻以騐永短将黄道二分二至为界又测某恒星距界之度(测差者必以此数法为始)从而复测之乃见推移而复有环转之差也以较中古上古此星离冬至渐逺如前居冬至者虚也今顺行东去继之者为女为牛为斗为算矣然岁差实系恒星前行与七政本行无异也经星名位问日为诸阳之宗故名太阳月为诸隂之母故名太隂五星像五行之色故名为金木水火土经星错综列布全天何能一一具名而有意义乎曰天象之星元虽无名然地中之事上合于天循序而观之故分内为紫微太微天市三垣定焉外分为四维东则角亢氐房心尾箕北则斗牛女虚危室壁西则奎娄胃昴毕觜参南则井鬼栁星张翼轸二十八宿布焉三垣二十八宿与天并运而一定不移者为经星也日月五星运行于列宿而无定在者为纬星也恒星布其经七曜运其纬经纬错落而凡星布列其中则天之文见矣天学家以三垣者曰天市按明堂位也曰太微按朝廷位也曰紫微按宫寝位也明堂位者天子巡狩之居也朝廷位者听政之居也宫寝位者燕息之居也天市岁临之太微日临之紫微朝夕在焉七曜必遵黄道厯天街岁一受事太微而出犹大臣受天子之命于朝以行其职也二十八宿分布四方各守其度率诸经星以共紫㣲之帝犹郡国百司各治其职安其民人以承天子也盖周天以紫微垣为中虽天运无穷三光迭曜惟极不移故曰北辰居其所而众星共之是北辰最尊本无星也极星乃其傍之最近者其实极星未常不动特动之微人不觉耳勾陈中一星曰天皇大帝为帝之主宰帝在紫宫故北辰居其所而周天运转昼夜不息此独为之枢也苟非帝以宰之则四辅三师尚书大理女史柱史皆空名耳非极星以枢纽之则其宿度井多至三十余度觜少不及度其何以定之哉可见天帝有常尊天枢有定所天度有定数也又析举其大之者言之第一星主月后妃也第二星主日太子也亦为太乙之座第三星主五星庻子也勾陈后宫也天帝之居北四星曰女御官八十一御妻之象也抱北四星曰四辅所以辅佐北极而出度授政也大帝上九星曰华盖所以覆蔽大帝之座也下九星曰扛华盖之柄也又下五星曰五帝内座扛旁六星曰六甲所以分隂阳而配节候故在帝旁布政教而授农时也极东一星曰柱下史北一星曰女史传舍九星在华盖上近河賔客之馆南河中五星曰造父御官也西河中九星曰钩星天乙星在紫宫门右星南天帝之神也太乙星在天乙南亦帝之神也紫宫垣十五星其西蕃七东蕃八在北斗北一曰紫㣲大帝之座天子之常居也东垣下五星曰天柱建政教悬图法门内东南维五星曰尚书主纳言尚书西二星曰隂徳阳徳主周急赈抚门左内二星曰大理主理刑门外六星曰天床西南角外二星曰内厨东西维外六星曰天厨此北极紫宫之次也北斗七星在太㣲北七政之枢机隂阳之元本也运乎天中临制四方以建四时均五行也故曰斗一北而万物虚斗一南而万物盈魁四星为璇玑杓三星为玉衡又曰斗为人君之象号令之主也又为帝车取运动之义其第一星曰天枢为天二曰天璇为地三曰天玑为日四曰天权为时五曰玉衡为音六曰开阳为律七曰瑶光为星一至四为魁五至七为杓杓南三星与西三星及魁第一星皆曰三公主宣徳化调七政和隂阳也此北斗之次也文昌六星在北斗魁前天之六府也一曰上将二曰次将三曰贵相四曰司禄司中五曰司命六曰司冦北六星曰内阶相一星在北斗南总领百司以集众事太阳星在相西西北四星曰势天牢六星在北斗魁下此文昌宫之次也太㣲天子庭五帝之座也十二诸侯府也其外蕃九卿也一曰太㣲为衡衡主平也又为天庭理法平辞监升授徳列宿授符诸神考节舒情稽疑也南蕃中二星曰端门东曰左执法廷尉之象也西曰右执法御史大夫之象也左执法之东左掖门也右执法之西右掖门也东蕃四星一上将二次将三次相四上相皆曰四辅也西南角外三星曰明堂天子布政之宫西三星曰灵台主观云物左执法东北一星曰谒者主赞賔客谒者东北三星曰三公内座朝㑹之所也北三星曰九卿内座九卿西五星曰内五诸侯此太㣲宫之次也黄帝座在太㣲中含枢纽之神也四星夹黄帝座东为苍帝南为赤帝西为白帝北为黒帝北一星曰太子太子北一星曰从官帝座东北一星曰幸臣屏四星在端门之内所以拥蔽帝座郎位十五星在帝座北郎将在郎位北武贲一星在太㣲西蕃北常陈七星在帝座北为天子宿卫以设防疆御者也此五帝座之次也三台六星两两而居起文昌抵太㣲一曰天柱三公之位也在天曰三台主开徳宣符也西近文昌曰上台为司命主夀次二星曰中台为司中主宗室东二星曰下台为司禄主兵所以昭徳塞违也又曰三台为天阶太乙蹑以上下一曰太阶上阶上星为天子下星为女后中阶上星为诸侯三公下星为卿大夫下阶上星为士下星为庶人所以相隂阳而理万物也南四星曰内平平罪之官也中台之北一星曰太尊贵戚也此三台之次也二十八宿者角主发育万物故特先焉亢曰䟽庙氐曰天根房为天子之后寝键闭钩钤两咸以防淫而谨内也心天子之象尾主后妃箕承帚扫尾受之以箕示妇道也天寳之间五星聚箕尾斗主荐贤受禄斗为器量所以斟酌也民事莫重于耕织故牛女相联牛农丈人耕骊珠女献工也天田九星象天田天狗司夜天鸡司晨而使树蓄及时也罗堰九坎天渊言农桑者先水利也女宠则国虚故哭泣司命司禄附之虚主死䘮危主祸耗故梁与墓附之危则复盈为室室主营建宫室嘉靖甲申五星聚营室壁图书之秘府奎天子之武库放军南门营垒王良策府车骑附之武备莫要于牧飬娄主蓄牧牺牲以供祭祀自室至娄天子之宫馆苑囿在焉胃主诸藏五谷之府昴名旄头主刑狱故卷舌附之毕主外兵昴毕之间有天街分焉参中三星为中军中星为大将旁为参谋也二肩左右将军二足前后将军也中三小星曰伐天都尉也觜行军之藏府座旗附井主水衡法令平中之事物之平者莫如水故营国制城画野分州皆取象焉故四渎五诸侯南北河附之国必有社故天社附之社必有祭故天厨附之鬼主祠祀栁主草木飨燕星为文明之㑹黼黻文章张主宗庙珍寳服用故天庙太尊附之天启甲子五星聚张翼天子之乐府也轸主车骑任载而复于角焉如揺星陨星鬭星飞星凌犯守畱芒角掩等各以类占之客流妖瑞彗孛等星俱是地上灾祥之气上着于空故出无常处见无常时而亦无常体也恒星多寡问恒星既循序有名矣然亦有大小不齐者多寡不等者能无遗漏乎曰恒星亦名列宿亦名经星云恒者谓其终古不易也云经者以别五纬南北行也其数甚多莫能穷尽今已测定稽其大小分为六等一等大星如五帝座织女类者一十有七二等如帝星开阳类者五十有七三等如太子少卫类者八十有五四等如上将柱史类者三百八十有九五等如上相虎贲类者三百二十有三六等如天皇后宫类者二百九十有五此皆有名之星共计一千一百六十有六㣲星之概万一千五百二十至于天汉是无算小星接聚一带如白练焉较古之测精宻极矣大陵积尸等亦小星攒聚以成此不能以数名总曰天汉积尸云大星位分问经星一一具名矣如何认法知是某星知是几等是某星在南某星在北曰观星法先知赤道中分之位界并南北极之位分宵测经星中大星入某宿之位为经以距北极逺近为纬合以黄道过宫之经与离赤道南北之纬如数安置定其体大几等则无遗矣今录吾师良孺熊公测定宫度之星于后以便学者观测太阳出入赤道度分问观星必须先认赤道与北极极有星可指赤道必须测法方可知之不知测法则㳺移数度亦无据也曰定以太阳出入赤道南北各二十三度半内外不异往来有渐以二十四节所躔准之(日距赤道逐日有移惟以节日为准使人)(易测)可以知所在赤道高低因以推所在之北极焉日距赤道(如春秋分日太阳行周天圏即赤道正圏无偏南偏北之度即知南北平分天体之界也)春分 中(本时在中线无距度)清明 北(六度分十九)谷雨 北(十一度三十分)立夏 北(十六度四十分) 小满 北(二十度十二分)芒种 北(二十二度四十六分)夏至 北(二十三度三十一分)小暑 北(二十二度四十六分)大暑 北(二十度十二分)立秋 北(十六度四十分) 处暑 北(十一度三十分)白露 北(六九度十 分)秋分 中(本时在中线无距度)寒露 南(六度分十九)霜降 南(十一度三十分)立冬 南(十六度四十分) 小雪 南(二十度十二分)大雪 南(二十二度四十六分)冬至 南(二十三度三十一分)小寒 南(二十二度四十六分)大寒 南(二十度十二分)立春 南(十六度四十分) 雨水 南(十一度三十分)惊蛰 南(六九度十 分)经星东移问经星终古所行不易觜星古今推测度分皆不同而恒星亦有移乎曰恒星以黄道极为极而行度时近时逺于赤道极因黄道有斜络其度故有近有逺若行渐近赤道极所过距星线渐宻其本宿赤道弧较小若行渐逺赤道极所过距星线渐疎其本宿赤道弧较大此由二道之极不同非距星有异行异位也如觜星距星上古测三度厯代逓减今测且侵入参宿二十四分矣是其星在黄赤二道元有分别而恒星以黄道极为极其距本极之纬度参在觜后终古恒然其依赤道而论其极非恒星之极而纬度亦非恒星之纬度在昔虽先觜后参而近自二百年来则参先而觜后矣盖因两道从两极出线以定度故有异也元所定宫次今皆不同因恒星有本行宿度已东行十余度耳觜宿古今测异问测异之法盖因出线定度从两极而知之然觜星故有异他星独不然乎曰测星之法必以太阳为主太阳将入之时则测月或太白或岁星测其距太阳度分若干太阳既没再测月或太白或岁星测其与某星相距度分若干合两测即得太阳与此星之距然后查太阳本日躔某宫度则知此星所在宫度矣测一星经度如此他星亦然于是又测此星出地平之最高即其距赤道之纬度并可得也然而恒星之经纬度分有二其一以黄道极为枢每岁东行五十一秒有奇而其距本极之纬度则亘古无变其一则因赤道以算其经纬南北星位古今大异如尧时外屏星全座在赤道南今测在赤道北角宿古测在北今测亦在南矣星纬变易多类如此以至赤道论各宿距度亦有异者如觜宿距星厯代渐减者因觜度促而近参易见也他星互有损益因度广而畧之也然距度各各不同是恒星经纬之度非赤道经纬放也若谓循古已足象数精微岂其然乎七曜各丽天问七曜列宿岂不如鸟飞空中鱼行水内安得各设一天以丽之乎曰万物之理静者独有一静动者独有一动未有一息之内能动静互见未有二动并出能此动东去彼动西行者也今观列宿日月五星其运动各各不同故谓其各有所丽之天惟金水二星其所行轮抱日轮外天转故日转日转故金水转如絮碾然铁干中转二权自左右迭乗故俄而在日前行俄而在日后行似有三动每夜见其东升西没每日一周者一动也是最上徤行之天所带动也其附日东行每年一周者二动也本星所丽之天常东旋而其或南或北迟疾靡常者又一动也则本星在所丽之天如循圏然于其一时而有数动似若有天以牵属之为数重焉因名之俟其起测也非如物之层层而分之者也恒星天问然其动静不同似儱统错综其行也何以知七曜在下恒星在上曰六曜有时能掩恒星(云六曜者日未算也)掩之者在下所掩者在上且七曜循黄道行皆速恒星近宗动之天故最迟也七曜惟月最近地故能掩日与五星也试立一表候日月俱升至三十度月影必肥而长日影必瘦而短岂非日逺月近之故乎月循黄道行二十七日而周天余皆一年以上是七曜中月为最速也宗动天问恒星在七曜之上有星可测有动可据宗动天者无星可测其动无据何以知其在恒星之上曰七曜恒星其运行皆有两种其一自西而东右旋各有本行如月二十七日而周日则一岁者是也其一自东而西左旋一日一周者是也似有二天故能一时作此二动因知七曜恒星天之上复有宗动宗动之上帝静主之宗动一天牵制诸天一日一周而诸天更在其中各安本所各行其本行也七政恒星既随宗动西行一日而周其迅速殆非思议所及而诸天又欲各遂其本行一东一西势相违悖故近于宗动东行极难逺于宗动东行渐易此七政恒星迟速之所由也常静天问宗动牵制诸天此理可据常静之天以何为据也曰天亦理也有动必有静凡测星动物必有一不动之物为凖如舟行水中迟速逺近茍非以不动之地为凖则若干道理何从而知之若以此舟度彼舟则茫然耳自宗动以下随时展转八行不同(恒星与七政也)二极各异若以动论动杂糅无纪将何凭借用资考算故当有不动之天其上有不动之道不动之度不动之极然后诸天运行依此立算凡所云某曜若干时行天若干度分若干时行一周天之类所言天者皆此天也不动之极对地中心至大之天至小之地通轴于一而后诸天错行不〔？〕也故天之动者以静为基天之一日一周者此其常也天之内体渐逺渐迟以至于不动者地球是也天之外体亦渐逺渐迟以至于不动者常静是也诸天运行问有此不动之天与不动之地通轴于一诸天则不错行然诸天之运静非自然而动也是有为而动也若谓动为自然寕无动更自然也若谓动为有为然则何为乎曰诸天之运行以极为枢轴亦无形质但如劲风之旋升降不息是为天体也亦非天体也实自然也亦是有为也故诸天之动一周厯十二时昼夜迭换曽无停住是有不动之神化为之主也惟有不动所以常动所以不尽动而万物咸宜皆由于此不尽动之生遂也否则昼夜不均而动静偏胜矣天道违而人事壊矣故赤道内外相距限界皆等者盖所以令日行岁一周以分四时以生万物非无故也试观冬则隆寒元气闭蓄于下春则和矣万物资发而上夏之热也变未化而畅诸情秋之肃也除恶蘖以苞嘉种所以浑天之动为养万物也七曜离地问浑天之内七曜列宿各有所丽之位则其逺近距地几何与其高下运旋几何曰天道㣲妙古明其理而畧其测今彻其理以精其测从地至宗动各有测算利西泰曰测地周九万里而月离地心有四十八万二千五百二十里余辰星离地心九十一万八千七百五十里余太白离地心二百四十万六百八十一里余日离地心一千六百零五万五千六百九十里余荧惑离地心二千七百四十一万二千一百里余岁星离地心一万二千六百七十六万九千五百八十四里余填星离地心二万五百七十七万五百六十四里余经星离地心三万二千二百七十六万九千八百四十五里余此外即系一日一周宗动之天包络转运诸天者其离地心有六万四千七百三十三万八千六百九十里余其余逺近各有测算之法测量之器(㳺熊曰夫测器之在厯象家犹之工师凖䋲规矩也原灵台止有圭表景符简仪浑天仪诸器耳今)(西法乃有象限仪百㳺仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑盖简平仪黄赤全仪诸器巧妙精绝外更有地平)(晷立晷百㳺晷通光晷柱晷瓦晷碗晷十字晷星晷月晷此皆测影之器若遇隂雨则有自鸣钟沙漏水漏窥)(天则有逺镜见其界限分明星体㣲渺此诸器晷惟镜最巧)实非荒唐之言揣摩之见直是一毫不爽者然高低尚有定位而行天转旋皆可测也如日处七曜之中约一时从宗动之行有九百万零四万里经星天在七曜之上约一时从宗动之行有一万万零七百二十万里较行疾于太阳数十倍为近宗动天之故(掲子曰就人息与天行合计之人一日一夜计二万五千二百息天一日一夜共行)(一周凡人之一息计月所丽天位应行一百二十里日丽天位应行四千零四里余火星丽天位应行六千八)(百三十七里余木星丽天位应行三万一千六百二十里余土星丽天位应行五万一千三百二十五里余经)(星丽天位应行八万五百又九里余宗动天位应行一亿六万一千四百六十七里余)盖诸星处天有高下距赤道亦有高下各有本行本轮各有二道二极故行天有迟速而体叚有巨细也只因离地绝逺人仰见得巨者亦㣲也细者如天河积尸等虽星亦伙亦不见其为星也若人从星上视地决如一尘不能见矣日体大小问七曜列宿之天逺近距地有测算矣六等之星次第之径其大小几何曰浑盖图宪测以经星之体分为六等上等全径大于地全径(地周围全径约九万里径二万八千六百六十里零三十六丈)六十八倍其最大者加二十倍次小者减亦如之次等大于地二十八倍其三等大于地十一倍其四等大于地四倍有半其五等同地稍大其六等得地体三分之一六等之外更有㣲渺难见者则匪目所能测匪数所可算也七曜之体惟日最大其径大于地一百六十五倍八之三(㳺燕曰此)(以周天之度每度作六十分算者日约大三十分如以地升之日际仅有十余秒耳他星亦然又以日月在本)(天每半度为一全径方素伯以半度推之日径大一十三万八千二百四十八里半也若据百余倍推之则日径)(大四百八十八万四千零三十五里余在本天应据十七度一十一万八千三百零六里矣此初函错处故素)(伯辨之)填星大于地二十二倍岁星畧同填星荧惑又不及岁星地大于太白三十六倍二十七之一而辰星最下则又渺乎小矣地大于月三十八倍又三之一然则日大于月六千五百三十八倍又五之一也予谓人目所睹近者虽小亦大逺者虽大亦小也此以其理测之如求确据则亦凿矣金水伏见问土木二星大地二十余倍火星大半倍其可见固也金星小地三十六倍以地球九万里算之亦庻几大三千里其天处水月之上可见亦固也水星小地万余倍计其大不及十里所处亦在月天之上则无可见之理测其行度如何知之曰金水附日而行其光俱伏而不见西极之国近岁有度数名家造为望逺之镜(㳺燕曰其镜以皮为筒约长一尺余其大小四五筒叠套)(内小筒镜向物视之见大为小外大筒镜向物视之见小为大约百里之遥无云烟所隔则见人须眉嘻笑万)(厯始有此器入中华其次则有简天仪测量晷称为绝巧测天之高下多寡定星辰之度分深浅皆由此器)测木星则旁有四小星周行甚疾土星旁有二小星如附耳焉测太白则见有时晦有时光满有时上下弦若水星之见必平望于高舂桑榆之间切地上浮㳺之气即可影小为大如眼带镜看字又可影逺为近如著钱于盂水中又水星有本天有附轮之天其轮又颇大盖不大则不能或在日前或在日后也附轮而行有逺地之轮弦有近地之轮弦而其本天之心又不对地之心以不对运既有逺地心之处又有近地心之处故水星之有时可见也以平望切浮㳺之气影之使大又其所循之轮弦既与地切而本天之行动又与地近备此三端所以可见而测歩甚艰也若恒星之㣲渺难见者如昴星传云七星惟据目力之见而定也实则三十七星鬼宿四星中白质传云白气实有三十六星小星如牛宿中南星尾宿东鱼星傅说星觜宿南星皆在六等外㣲渺难见以逺镜窥之则见多星列次甚逺如觜南一星是二十一里大小不等可见恒星无数三垣二十八舍三百座一千一百六十六官之外樊然淆乱隶首难穷也天汉问天汉传云河影又云清气埤雅云河精上为天汉物理论曰水气发而升精华浮上曰天河灵宪注亦以水精为天河今谓是星恐未然也曰古人以天汉非星不置诸列宿天之上意其光与映日之轻云相类谓在空中月天之下为恒清气而已其实不然以逺镜窥之天河实是小星之隠而不现者然微而甚多攒聚一带盖因天体通明映彻受诸星之光并合为一直白练焉故名为天河后世因名天河则疑为水之精也然其理与鬼宿中白质大陵积尸等俱似清白之气耳使其真为清气之类与恒星异体安能亘古常存其所当星宿又安能古今寰宇觏若画一哉甚矣天载之𤣥也人据目力所观曷能穷尽天上㣲妙之理耶(天河十月昏转南而隠二月昏转北而见天下皆然方宻之老师在岭表数年腊月晴煗之夜仍见)(天河朗然若星总不收隠是其星微近则见逺则隠也岭表之地离赤道二十三度距南不逺所以冬月亦见)(其朗然若星不俟逺镜亦可知其非清气也)经星伏见问星分经纬矣分宫度矣分等第矣如南极诸星人不见其出没虽有其星亦空名耳虽列经星之位亦无据也曰夫天星人只以目所见者言之但诸物当论其全体方无遗漏合天下之耳目为耳目则无管窥之见此南极诸星不见为何由本地处北极出地之度则不见南极入地之度处南极出地之度则不见北极入地之度如京师见北极出地四十度则星距北极四十度以外者常见距南极四十度以内者不见若见南极出地四十度者反是(出地或多或寡者亦然)如处赤道之下南北二极此地皆可见春秋分日正丽天顶冬夏至日仅距顶各二十三度半常见南北二极诸星无一隠者(汉有海中星占亦载南极)(诸星因人不见故缺之近者西士浮海来测之甚悉也)然恒见诸星亦有伏见因其伏见亦可遗乎经星伏见亦由太阳右旋至某宿度附近之星光为日夺故不能见迨太阳去离渐逺则此星之光渐升东方见而不伏矣縁是而升至天顶午位即曰中星此其中星出没在象学为用甚钜厯家中夜资之可定时刻不爽矣度分宫舍问恒星之度尚可据而曰天之度曰黄道之度赤道之度又曰宫曰舍何也曰恒星二十八宿亦未始有度也天道冲漠何以考测惟以二十八宿为体隶其度于二十八宿上以此星距彼星算也用以纪日月所躔而已天之度日引之谓之度度之离日行则舒月行则疾㑹而均别之曰赤道之度日行自南而北升降四十八度而迤别之曰黄道之度不可见可见者星也剖周天为十二界谓之宫日月五星之所由有星焉当度之尽者凡二十有八谓之舍舍所以挈度度所以生数度在天者也为之玑衡则度在器度在器则日月五星可以转乎器中而天不为难知也度分广狭问既以二十八宿为度而度有狭有濶濶处尚有星可指何不均分以便起算曰天之分星度广狭为日之所躔或多或寡适与此宿相当者凡二十有八故度之多寡于是生焉斗井之间非无星也然不与日躔相当故其度不得不濶也觜鬼之旁非无星也然与日躔相当故其度不得不狭也夫其得度广狭亦以所相值者言耳非举一星全体尽占此度也度属不同问分度以日所躔相当者是也何度内诸星或测属此又测属彼如大角一星两朝志以为属亢中兴志以为属角库楼十星丹元子以为属角两朝志以为属轸适相当者不可㳺移乎不相当者可㳺移乎曰测星定度古今畧异唐开元所测与旧经异而宋所测又与唐异皆所争二三度也而天道幽逺测法未宻术家各持一说固未有以订其是非也则于是此以为轸彼以为角甲以为氐乙以为房然所差者常在禆邻次舍之间不过㳺移数度耳今定周天为四象限限设三宫宫分三十度大约白羊(戌宫)初度交壁初度金牛(酉宫)初度交娄五度隂阳(申宫)初度交昴七度巨蟹(未宫)初度际参末井初狮子(午宫)初度交井三十度双女(巳官)初度交张七度天秤(辰宫)初度交轸初度天蝎(卯宫)初度交亢初度人马(寅宫)初度交房三度磨羯(丑宫)初度交箕三度寳瓶(子宫)初度交牛初度双鱼(亥宫)初度交危三度(㳺熙曰世人但知子属本日始得亥)(为本日终时殊不知子对中正初之刻为本日始时夜子初四刻为本日终时如正月立春建寅过宫则在雨)(水始入寅宫今人谓奎二度在戌宫胃四度过酉宫毕七度过申宫者俱不知宫顺行逆又不知宫分时析之)(故)法以线按极心至周天宫度某星在某宫线以内者即属某宫某宿之星星动烁跃问天星行有定度测有定算然星有时闪跃有时动揺似无定也斯动揺闪烁亦关之测算否曰经星之定位无错综变换明晦増减之理若将风雨则闪烁动揺皆地气飞揺腾动其影然非星动也气跃也故星揺之下当有湿露百里之外则不动不跃矣人目从地气中窥动日光星光本自如也若切近地平之星比于中天者其跃动更倍则以近地之㳺气倍厚于中天若昧爽日未出之前地平之星跃动更倍于他时是地气为日光蒸起倍厚于他时耳故天将晓之候较夜犹暗日将出之处比他处更黒晓行之人由此而知天之将旦理可类推也㳺气问日月诸星从东起时觉大至中天较小此大小何故乎而大小则经纬之度分㳺移难定也曰测日月诸星经纬度分者先须定本地之蒙气差盖地中时有㳺气上腾气行空中悉成湿性质虽轻㣲不能隠蔽天象却能映小为大升卑为高故湿以太阳自下而上映带而来晃漾蓬勃人望之以为如是其大耳若太阳当空浮翳尽扫无所映隔真体明浄较之旦暮为小诸星亦然此映小为大也定望日时日月正对地在日月之间人在地平无两见之理而恒得两见或日未西没而已见月食于东日已东出而尚月食于西或高山之上见日月出没以较厯家算定时刻每先升后坠此升卑为高也且蒙气又有厚薄有高下近水与浮虚之地气盈则厚而高坚燥之地气减则薄而下厚高则映像愈大升像愈高薄下则映像不甚大升像不甚高大约地势不等气势亦不等故受蒙者其势亦不等欲定日躔月离五星列宿等之经纬度分非先定本地之蒙气差终难宻合余师司马熊公(讳明遇)曰天地之象至定不定者气蒙之也天地之数至定不定者事乱之也达者始终古今深观时变仰察蒙气俯识乱事而权衡其理则天官备矣星座问同类之星有各自为用而不相附者何也曰诸星有以一星为一座者有以二三十星为一座者有相为比附者有相比而不附者杠附华盖凡十八星为一座者衡附库楼凡二十九星为一座者钺不附井耳不附毕糠不附箕长沙不附轸钩钤闭键不附房则以属吏自为官也矢得以附弧臼不得附杵以弧矢一人司之杵臼二人司之故也野鸡不附军井鸡自守其所司也南门不附库楼南门不但为库楼门也如积水不附天船积尸不附大陵天谗不附卷舌咸池天潢不附五车皆有其辩不可臆说也昼夜长短问人居各地而有昼夜长短不同日出入不同节气时刻不同何以推之知其不同也曰天体一而已人居地上东西异而日月升沉之候异焉然寒暑发歛同其𤣥象未有移也南北异则昼夜长短异矣赤道之高卑亦异矣故有昼夜长短地平之分焉人居见北极出地者则夏之节气昼长夜短冬之节气昼矩夜长人居见南极出地者则长短反是诸节亦然互有浅深也故节气之所反者皆由两极出地之高下也人居赤道之下者以赤道为天顶两极合于地平则昼夜均平绝无永短其地极热以二分之节为夏以二至之节为冬(㳺熙曰此地见两夏两冬而无春秋值两冬之日寒暑亦犹中国值二分之时)(一日数雨而人柰暑)若居南北二极之下者以南北极为天顶则以赤道为天腰日轮旋转如磨焉而春分后皆昼秋分后皆夜者北极下也而秋分后皆昼春分后皆夜者南极下也(㳺燕曰人能知赤道之下无寒昼夜无永短二极之下无暑半年为昼半年为夜则知天矣)此外诸方各有永短(亦有二三月为一昼夜者)天下不可一律也如此至于东西日月诸星虽每日出入地平一遍但天下国土非同时出入盖东方先见西方后见渐东渐早渐西渐迟如两地相去九百三十七里则隔一刻相去七千五百里则隔一时(㳺燕曰此从东西一带算则渐次而迟从分而刻而时以至迟半日)(而止从南北一带算则有昼夜均平亦渐次从分而刻而时而日而月以至半年为一昼夜而止也)周天三百六十度每度为地二百五十里若相去一百八十度则东方之午为西方之子相去九十度则东方之午为西方之卯故东西昼夜时刻不同皆由于日之出入也日之出入舒缩不同皆由于两极出地多寡也所以普天之下时时晓时时午时时日晡时时黄昏时时夜半各于其地作如是观晨昏长短问昼夜长短由于日之出入晨昏亦有长短此何理也曰太阳循黄道而行万古无瞬息之停人居地上见其渐升地平之上人目可得而覩谓之昼太阳渐隠地平之下人目不见谓之夜而晨昏者是分昼分夜之二界也太阳将出未出数刻之前其光东发星光渐为所夺是名为晨太阳渐入地下廻光返照亦经数刻渐渐减尽是名为昏其久暂分数亦因冬夏而分长短也今测以太阳出入在地下十八度内为晨昏之界但太阳行此十八度又各方各宫不等因有五刻七刻十刻之别若论极高七十二度以上之度晨昏虽至丙夜亦无黯黒也天经或问卷三
## 卷四
钦定四库全书天经或问卷四闽中㳺艺撰分野问浑天之象星辰周布如无占星纪地则征应不能劵合然纪地分州与天度相符否曰日月列宿自东徂西原无停住日月无私照列宿无私顾何分彼此乎秦汉谓经星以角亢郑之分野兖州氐房心宋之分野豫州尾箕燕之分野幽州斗牛呉越之分野杨州女虚齐之分野青州危室壁卫之分野并州奎娄鲁之分野徐州胃昴赵之分野冀州毕觜参魏之分野益州井鬼秦之分野雍州栁星张周之分野三河翼轸楚之分野荆州以二十八宿分主十二州也夫星光有下施之功能为人物方隅禨祥所由理或不诬然经星所分如家人子别藉家财何视𤣥昊之不广也而所分多少逈绝如郑宋齐鲁数百里地而或分三宿二宿已视秦赵异矣斗牛杨州合江南数省延袤亘匝五六千里仅值二宿又四方万国而无一宿所值然俱在覆载之中抑何不平之甚耶如云自古占星纪地征应符合而不知治乱循环有一定之理星文无变徵以各地之气为变徵事多符騐史书于事后牵合傅㑹耳潜草曰地如蓏有蒂脐以赤道之腰分南北东西与二极为六合矩也卵伏必分上下圆物水浮丝悬便自定分三轮五线证知中国当胸西干当左乳中土以卦䇿定礼乐表性命治教之大成独为明备中正岂偶然乎当北极之下者无用之地也黄道之下人灵物盛而中国在腰轮之南天地人相应其几自应地势符天全地应之一方之地亦应之可以平列可以环列古人因民之所知而列之惜今无神明不能重定中土之分野而犹守隋晋之志更今郡县名耳是古人因事触几用占分野原非限定为后世之执据也如甲子干支亦用分野可推矣世人胶见所以事事碍也年月问一年太阳行天一周谓之年是也月小于日反以三十日为一月以十二时为一日何也曰一岁者太阳随列宿东行旋天一周之期也其行有二一从某宫次度分一日一度行天一周而复于元界其数为三百六十五日二十四刻二十一分有奇一为太阳㑹于列宿天之某星一日一度行天一周而复与元星㑹是谓一岁之全数也但其数每岁自有本行故须加本行以定岁所以加者恒星东行定为五十一秒(㳺燕曰恒星天围之大有二秭○畡二京八兆八亿三万九千○二十五里恒星东行全数一岁复加行八万)(一千一百五十三里半至二万五千余年则加满全数为岁差者不差矣此以里数分度算者)所谓岁差也然而日厯纪年惟以全日推算不用小余如以太阳十二次㑹合太隂为岁也为三百五十四日故二年三年而闰一月也纪月有二或因太隂㑹朔一次以定谓太隂之月或因太阳行一宫次以定谓太阳之月顾其十二分年之一分则一也一月之终分为大尽小尽者以二十九日六时余月㑹日而合朔如初朔子正过二十九日外而不及第三十日之子正则谓之小过子正则谓之大虽有三十日弱而时刻不及者厯家不得名大或二十九日强而时刻已逾者厯家仍不得名小且宇内地度不同而月之大小因而互异比如京师第二朔在子初二刻未到子正其月为小而西安此朔则已在子正初刻又当为大大尽小尽如节气然亦有各地之不同也(㳺熊曰论详测不可差分秒则有各处节气与大月小月之不同依京师为主则各)(处惟存其理只得畧其法而遵之以便民俗也日月食多寡与时刻浅深亦如之)是月合朔要三十日弱故为一月也是为太隂之月也(以合朔定月故名太隂厯)然以冬至为正节宫十二中气为十二宫(即十二支之宫)则一岁三百六十五日三时行完一岁以朔望另算此依宫论气则不须置闰此法平易苐后世不能行也中国以太隂为厯以月为主故有盈虚而太阳节气宫度反分注于月之下若以太阳为厯则以节气为主朔望分纪于节气之中则不须纷纷言厯矣日者从东厯西行天一周任踵元处而太虚过一度(即恒星过一度)为一日也度分四限限分十二宫一刻太阳行三度四十五分行三十度过一宫为一时一日厯徧十二宫为十二时成一日也厯法问年以太阳行完周天之期为岁月以合朔为月日以太阳厯徧十二宫时也何周以建子月为岁首商以建丑月为岁首夏以建寅月为岁首然太阳行周天之元界为期而有从丑从寅之岁首是岁不拘定某处为期为岁也月以合朔为初晦为终然厯家又以某日立节为某月节月不以朔晦为月则月亦未以朔望为月是以节气为月也曰古今定厯必以冬至之日时为厯元是以太阳行北陆至南尽而复囘是复卦一阳初生之时也故冬至之日建子为首周天十二宫必以子为首何常以丑以寅为首也昔伏羲氏始造八卦作三画以象二十四气黄帝因之初作调厯厯代十一更五千余年凡有七厯颛顼以今之孟春月为岁首因其时正月朔旦立春而五星㑹于天厯营室也氷冻始泮蛰虫始发鸡始三唱天曰作时地曰作昌人曰作乐鸟兽万物莫不应和后谓颛顼圣人为厯宗而夏继之汤作殷厯弗复以正月朔旦立春建寅为节也更以子月朔旦冬至为岁首随而易之以建丑也(后魏景初元年亦以建丑为正月)周易之以建子也三代以后皆从夏节据正四时夏为得天以承尧舜从颛顼故也大戴曰虞夏之厯建正于孟春此之谓也孔子曰行夏之时后世因圣人之一言不敢改也余谓必以古今以冬至定厯元为岁首后人不复有偏执㳺移从丑从寅也方师宻之掲子子宣同余推测辨正以为万世定法其法当以天为定盘(所谓静天也静天即在动天之中)以黄道为定圏(嵌动天之中始终不改徙者也)以十二宫为定节气(依地为盘以分子丑)(以气分宫不以日分宫也)以道浅深定宫(所谓北道长南道短随多寡而分也)以冬至为岁首(神农高阳周武皆建之为岁首)以日躔一日为定度(不论迟速一日为一)(度以日分度不以星分度)以日到宫纪日(所谓冬至一日冬至二日行满此宫则换节另纪以)(上不用测算)以月到宫纪月(月到某节某日合朔某日弦望到南至则为一周)以星到宫纪星(某星于某节日移宫某节日合伏到南至为一周以上用测算)如此则无岁差(如此日自为日月自为月星自为星分毫不乱何有岁差)如此则无气盈朔虚(合朔)(为一朔)如此则无闰月(止须四年増一日而宫节如故)节气无月首月尾而节定(每节自首至终节节无异矣)岁无新年旧年而岁定(每岁自冬至至)(除夜岁岁无异今星算家畧存此意)岁岁是此日立春岁岁是此日立秋而天定(今逢春迎春逢霜迎霜降畧得此意)岁岁是此日兴农岁岁是此日讲武而人事定(今春分栽花惊蛰惊虫畧得此意)节节是此日数(每节)(自一日始至某日止各有定数)岁岁是此日数无増无减而日定(自冬至一)(日始至三百六十五日三时止)一岁还一岁一节还一节(并是一日还一日一度还)(一度)天道合人事齐是为天厯是为万世画一之厯也终数百年必有起而从之者霄霞问霄未见天之何色而指也霞则见天之五色而著也虽日月星辰不如霞之彩测歩者独不关之何也曰霄者天之无云气而青碧者也天色在五行之外青亦非其真体庄生所谓天之苍苍其正色耶其逺而无所至极耶其视下也亦若是则已矣霞者云正受日光则透白虚斜相交则起色皆假日之光或成五彩也夫云气至清虚五色非有定质因时之早晚候之寒暑各借日气之厚薄掩映人目而成象为五彩成文乃和气之所散亦视境之所幻故不关之也风云雨露雾霜问气一也何以能变水火风云雨露之不同何也曰天地之间皆气也气贯实中而充塞虚廓则一也而其所出之体有轻重爽腻之不同故其变亦有不同耳湿者为水燥者为火火出附天水浮附地天地之间分三际焉有凝形之气有未凝形之气水土之块太阳蒸之是成温际真火同天是名热际中间通达而冷是名冷际日为火主照及下土以吸动地上之热气热气炎上而水土之气随之是水受阳嘘渐近冷际则飘扬飞腾结而成云云上隔日气下隔火气冷湿之气在云中旋转相荡相薄则旋为千百螺髻势将变化而万雨生焉雨既成质必复于地譬如蒸水因热上升腾腾作气云之象也上及于葢葢是冷际就化为水便复下坠云之行雨即此类也若气䟽越而燥鬰积上升天上无湿气以吸之地下无湿气以助之则此燥鬰之气飘扬旋转横骛披呌震撞怒号如人之噫而骛于空者则为风风性本自燥热随过地方亦带湿气海方多湿所以东南之风湿热西北距海甚逺所以多燥其为利为害亦从所经之地分也有日出而风发者以燥气为夜冷气所压日开其冷风风遂嘘发亦有日出而风息者阳气胜而燥湿之气散也有暴风者以热气被冷云所围开云突出故为暴风或峰岛土窍激气而助发其风亦烈赤道之下有片云即有巨风以日近故有旋风自上而下者有自下而上者海中能吸舟船四时各有信风者亦随时随地为之不可一律也(㳺燕曰如太平海全无风浪大西洋至大明海四十)(五度以南风有定候四十五度以北风常变乱倐忽更二十四向小西洋至大浪山潮极大而风浪甚险满剌)(加国则无风而倐起数里之波北极之北海氷堆成山矣哥阿之地无雨常晴晴至数年徳墨多国则多雨泥)(入多国则无雨亦无云泥禄河一年一涨亚大腊之山顶终古晴明盖其地独高云雨皆在其下耳然风雨因)(其地之湿燥日之逺近而不能一律也)若水土湿气既清且微日中上升即为风日所干迨至夜时升至冷际乃凝为露夜半寒深气升稍重故晨露犹繁若届严节遂零为霜霜落之时五更偏厚夜有烈风亦受风损故风盛即露微风盛即露亦不降矣若地上湿热值寒气蒙葢不能上冲冷际为雨(㳺熊曰地之高下则冷热之际亦高下日之逺近则冷热际亦有逺近)又无风散弥漫布濩则成重雾日高雾卷轻𩙪微嘘是阳胜隂雾变为雨是隂气偏重耳然露与霜不同露能滋物霜能杀物以遏土气弗使扬散为来春播种之资此霜之力也雨与露不同雨气昏而露气清露与雾不同露气肃而雾气迷也雪霰问雪寒物也欲下时必先温煖何也霰圆物也霰下成雪而有六棱何也曰雪与雨同理亦挟火气故将雪之日必先温煖不温煖气不能上升也天之三际近地之际率皆温也惟温则能生万物温际以上则为冷也无冷际包褁则温气直散不复有温便无雨雪霜露矣冬月冷际甚冷(三际上是火际)(不言火际者冬月太阳逺则冷际盛而火际㣲)气升成云云遇冷际而为雨雨在气中一一皆圆初圆甚㣲以渐归并成为㸃滴隆冬气升即成同云遇冷凝沍悉成散圆(散圆即霰也亦兼雨㸃也)散圆下零又轻于寒遂成米珠雪渐升而上于云则云不能复聚遂凝为栁絮雪雨体大而风紧上降下持吹飘之间欲求归并不可太合则鼔为六瓣遂为六花雪雪花六出者凡物聚方以八围一聚圆则以六围一此定理中之定数也水居空中在气体内气不容水急切围抱不令四散水则聚而自保故成圆体此定理中之定势也然雪之下也厚隂力扶阳气除霜毒利生物也天亦非无故以为雪也大小雪之节后地自出北极二十七八度起出度愈多雪则愈盛大小暑之月后地自出南极二十七八度起出度愈多雪亦愈盛平见南北极者全无霜雪生植亦异故大地周围之间时时雷电时时霜雪不独时时黄昏时时夜半也雹问雹冷物也何以不降于寒而降于暑也或谓蜥蝪所喷或谓龙鳞所藏是乎否乎曰气之三际中为冷际下近地温上近火热极冷之处乃在冷际之中二时之雨三冬之雪盖至冷之初际即已变化下零矣冬月气升其力甚缓非大地同云不能扶势故云足甚广二时之云足亦濶云生缓迟即雨舒徐皆变于冷之初际也夏月鬰积浓厚决绝上腾力专势迅故云足促狭隔堘分垅沟浍旋盈盖因其专锐故能径至于冷之深际气升愈厚腾上愈速入冷愈深变合愈骤结体愈大矣遽升入极冷之际骤凝为雹雹体大小又因入冷之浅深云气之厚薄也雹中砂土更多于雪雹体中虚以某激结之骤包气于中也如器盛氷雪外成温润非极冷与外气相激之徴乎若夫蜥蝪龙鳞之说则樵牧市语也雷电问世谓雷之击物也电光耀其先而雷继之似此当有二神司之永无间者乃何以春则发而冬必藏乎曰雷为阳气而属火春夏地气上升日行近天顶(人所居之)(地上为天之顶)照地成热则有雷日为火母下火腾踔而亲又挟水土之气合迸冲逼云中都被重云围褁四围冷湿之气包火成团燃著势昌旁礴涌沸冷湿亟欲歛聚而下燥火又欲迸出而上东奔西撞所以轰轰猛势相逼搏激涨破云窍或如裂缯或为鸣鼓而成声也而水土之气挟带㣲质畧如硝炱火热发越适暎云际逢其质气闪为电光迅疾如金蛇火迸土腾土经火炼凝聚成物是为劈雳之楔矣然雷与电同体火气切云互相摩荡带上土气一齐㸃著乃见电光光相入目即呈声气入耳少待电光之后便继急雷此则闻之迟速耳或先闻雷而无电者是燥火之气与云周旋遇合亦能发声未曽燃火也或有电无雷雷声稍疏未曾摩荡而火已燃也夫雷有三种一曰钻雷尖细如火燄凿空便过一曰湃雷逢物不击而烧散一曰烧雷是阴阳鬰怒之气地有恶气适与之感㑹则震之而经过便畱火迹有毒之物去毒无毒之物㽞毒有去一毒而生一毒者皆烧雷之所致也(㳺熊曰地若近阳土中能生物如鸟如豕之异形非时触之杀人此乃阳气所生之物乘)(阳而出人得以制之非雷也)霾问风云雨露是地气蒸上而变也有时雨霾如灰也有时雨粟雨荳似物也有时雨诸物各像其形此种何物耶曰雨霾者火气踈燥挟土而上水气轻㣲不能成雨土气浓厚降下如黄雾蒙蒙者谓之霾也若火气亦盛则炼而成质或似粟荳与诸物之形皆与落楔陨石同理也夫地气之升各象其山川之所积所落诸形亦地气所致而象也彗孛问流星画一火光瞬息之间见而无定形陨星或落而无形或落有如石者彗则有尾如箒孛则有芒如刺能同天转此种何物也曰流陨彗孛皆火也火气从下挟土上升不遇隂云不成雷电凌空直突至于火际火自归火挟上之土轻㣲热燥亦如炱煤乘势直冲遇火便燃状如药引今夏月奔星是也其土势大盛者有声有迹下反于地或成落星之石初落之际热不可摩如埏气初出若更精厚结聚不散附于晶宇即成彗孛(㳺熙曰火际极热土气冲此际如窑中无光投物则)(发光耳结聚其气论其厚薄大小之分则有彗孛之不同)彗长而孛大故能久不散亦随天转盛有光刺出锋曰芒〔？〕长四出曰角〔？〕长而偏出曰彗彗之芒谓之正旗晨见东方芒则西指夕见西方〔？〕则东指而附丽日久势尽力衰渐乃㣲灭故彗孛无百日不灭者凡彗将见必多大风大旱縁燥热横满空中容易变风未带湿气不能变云主多荒而旱以彗燥热能噏地上饶泽之气又主多震以彗在上噏气之𦂳地中之气欲出所以揺动又主灾病以彗噏动燥气流动人间水泽之处或有四围芒角似铁蒺藜者或为孛亦彗也此是上邉恒星所噏其气虽不到星却与星对所以周围芒角也如日月晕此方见彼方不见晕气厚低不在日月体上也此外更有非所常见之星偶见于天谓之新星客星者然新星著天甚高行度有则初起时小而能渐大后又渐减测法视其所附某宫星以定其经纬度求其离赤道经纬度取其似径约较有三分三十余秒不似彗孛止丽空际他实丽列宿之天也但此种俱属火气非星也总由太阳为诸火之原上耀全天下彻入地火诸变异各随其地挟水土之气而生也惟大风雨则渐而解矣然水土非气不升非火不化故宻之方师曰惟火至纯不受余物而能入于余物水土与虚气则皆相容相受者也海水夜明烧酒能热是水有火分也水体同重惟酒则轻是水有气分也积雪消之砂土下凝是水有土分也云气上升激成雷电是虚气有火分也雨露霜雪虚升实降是虚气有水分也地中最重自心以至地面虚窍甚多皆水气火气与虚所行虚气与水火皆相接无际而能相化者也地中之气与水接水随气到即水所不到而土情本冷气遇其冷亦化为水故地中皆水也日光彻地则生温热温热入地积成亁燥燥亁之极乘气成火也火气盛必欲伸则乘气冲上遇云雨所鬰褁者即迸裂成雷电也火气体大而无围褁者则结之成彗孛故彗孛能久不散随天而转也如不冲上从地脉经之温柔而散者石气触之为硫礜水源经之为温泉故地中有火也(㳺熊曰世人惟)(知地中有水滂沛不知有火如此神异也)气水在地皆因虚空虽居洞穴终是地上实亦未尝离其本所火在地中非从本所而降盖由热生以成济万物因縁上升仍归本所者也虹问虹曰䗖𬟽疑为䖝属焉有䖝属如此其大而倐忽而生倐忽而没耶若是云霞之类何值起时或能吸水吸酒也曰虹系雨际云在一邉日在一邉日光为云斜对抵住日气下垂吸动地下之热气则地之热气旋涌而起(虹起)(之处或值井值酒之地则其气随涌而起人谓之虹能吸水吸酒也)以接空中雨际之云云之薄处为日光所映射后面却有黒云浓重者日光透不去此映射之云(此云即徴薄之雨也)所以成虹特无颜色以日力㣲耳映日之色以为红绿也绿者水之气也红者火气也是虹为水火之交虚斜相映也故虹朝西而暮东中天日光盛时则无虹矣试于日在东使一人西邉喷水人从中间看其水珠皆成红绿之象虹之体穹然外黄中绿而里红随云之邉幅外薄中厚下愈厚故也对日成虹而他处复有一虹者又虹影所自射也然海现蜃楼皆是逺地楼阁上映于空空中湿气倒影水靣人望之楼阁嶒崚谓之蜃气者亦如虹谓之䗖𬟽也时有方士于东海见虹起处掘地得虹䖝能为媚药亦取其类应耳所以古人以虹为淫气而属䖝也日月晕问虹是薄雨为日光所映而成红绿也然则日月四旁时有红白之气围抱成环谓之曰晕此晕是何如曰晕乃空中之气直逼日月之光围抱成环其有缺者有团者抱者背者薄者厚者皆是气所注射又有一等气在天上外浅中深如井者深是气厚处日光所照似乎深窈一般浅系气薄日照之故白色如井栏月晕者必在中天必在望之前后上下弦内将晦朔时则无晕矣然欲风雨月方吸其云气而光所射以为晕也故晕气渐稠而黒者雨徴也有忽然去一邉者风徴也忽然全去者晴徴也然此地见彼地不见縁其气不甚高也日月重见问日月晕气是也日为诸阳之尊有重出为之抗者此是何物也曰日有重叠见两三者以云对日一层云稍薄能透光却被日光所射后邉却又有一层黒而厚者攩住日光反透薄云故成重日之象其旁另有云又与所透之云相对复成日象然日在东西平靣下看之则间有中天则无是事以仰观目力难及午中阳气力大冲破云气且正中㳺气更薄于东西也月亦如是亦须望前后两三日见望时月力光大乃能照云为月大抵日月之重皆雨征也风雨征问日月晕与重出皆雨征也然晕与重出不常见而风雨则常有者更有何征乎曰气行空中为湿性所碍不得上升观之见其宛曲者雨征也晓间雾开而复拥者雨征也晨起气昏者雨征也烟气下垂者雨征也日出时云多破漏日光散射者雨征也日光黯淡而色苍白者雨征也日出云雾即掩者雨征也忽有黒云拥起者雨徴也晨西北有黒云堆积者雨徴也昏西北累层烟雾者雨徴也目能射日者雨徴也天低气昏㳺气浮蔽云势四合俱雨徴也春大寒夏气蒸秋忽凉冬忽温亦雨徴也日出无云掩映者晴徴也晨有雾而渐开者晴徴也晨无雾露者亦晴徴也风从东南来者晴徴也烟气亭亭直上者晴徴也晚霞彩者晴徴也午后多赤云者晴徴也云如火光者旱徴也冬大寒而数日忽温煖者雪徴也冬冷而群鸟飞者雪徴也夏日灾气鬰蒸者雹徴也空中有云如线不动者雹徴也井水忽溷者雹徴也或云片相逐云色惨白聚散不常绕围日下日月昏晕日赤日围月过房箕壁轸夜星烁跃参星动揺太白晨见此皆风徴或继之雨也至于人事物类亦可以徴风雨者如头痒耳热靣赤髪潮体燥肢痛鸟雀翻飞噪空围舞鱼出跳跃群蚁出穴蚓过路蛇曝日石脉润树汗流琹声不清皷音不亮灯燄揺闪燄暴有声此皆风雨之先徴也天开问偶然夜间天上有红白大光燄异非常或见兵马楼台似有形有声俗谓之天开门洪范传谓之天裂孰是曰此是火际偶吸下土之气鬰积腾燄如金银在炉冶中镕跃之状当在月天之下太虚无际寕有迸裂之事且天体极坚若㑹迸裂则壊久矣若有门可开则开有常矣止惠帝元康二年二月裂一次太安二年八月裂一次穆帝升平五年八月裂一次广三四丈有声如雷也何天开天裂而昼不见独见于夜乎日中太阳之光充满全天则无此象夜间隂静则有此象与彗孛雷电同理也亦或有昼见兵马戈㦸行空者或见楼台宫室森然者是日光为湿云所蔽湿云上受日光下吸地影故有此象若倒映水靣即蜃楼之类是也然冬间气歛火弱则无此象矣且星大地数十倍者人见止一㸃耳而楼阁人物如此其逺人能见之乎地震问云地处天中昼夜元气运旋诸天包褁而永静不动因何有地震乎曰地本气之渣滓聚成形质者束于元气旋转之中故兀然浮空而不坠为极重亘中心以镇定也(黄石斋老师云地动)(而天静也地转而天运也如舟行而岸移非岸移也实舟行也余曽质之曰若地转而天若运日月之行则不)(偏南北矣五行之度则无迟速矣地无震揺矣节无寒暑矣然天乃轻清故转速地乃重浊故静定然舟行数)(百里人亦寝食不安地周九万里而人能安其寝食耶必以天动旋于外地静亘于中乃确也师首肯之)而四围有窍相通或如蜂窠或如菌瓣水火之气伏于其中盖气喷盈欲舒不得舒如人筋转脉揺亦与雷霆同理如北极之地大寒不能生热则少震赤道之下为其地气为太阳所胜易散而息则少震砂土之地气䟽不受閟则少震泥土之地无空可藏气则少震温煖之地多石之地下有空穴热气吹入为冷气摄歛极则舒放激搏其地如铳药在巍楼巨塔之下得火而发无不被其震冲也必无大地通震震乃各处各气各动也故有一方震时能令地之徙山之移者能令地裂城乡全䧟者能令地有新山海有新岛者能令江河逆流旁散者能令开新泉之脉塞旧派之流者俱由震之轻重而有变异也震后地下燥气猛廹热变火而出则震停矣海问百川之水㑹于海海底复有窍穴旋转运为泉脉此生生不已之运旋也不然海惟承之百千万年而不能满乎曰天地万物有生必死有长必消自然之理乾坤古人谓曰造化如造而不化则太虚充满矣化而不造则大块亦消矣物物皆然而水独运转以为生生耶图象几表曰地中虚窍甚多皆水气火气与虚所行虚气与水火皆相接无际而能相化者也地中之气与水接水随气到而土情本冷气遇其冷亦化为水故地中皆水也水主降而浮于土火主升而生于土虚之积于天下地上而水气凝质稍轻于土附地居焉惟地形最重凝结水下万形万质莫不就之水既在地地如胡桃有凸有凹海则胡桃之凹处也故百川汇海后则渐消而重而咸矣咸水问水则皆一也何海水咸而河水淡也曰水皆有源源出于幽隂山石之空穴空处气满穴中最寒气情本煖煖气遇寒变成水体积久而泄则流矣夫水流出而未居所者其性轻清尚是本源之质故淡也以流至海则久而沉重而火入故能变质而消而咸矣故海水之重而咸者生于火也如火燃薪木既已成灰用水淋灌即成灰卤亁燥之极遇水即咸此其騐也地中得火既多亁燥亁燥遇火即成咸味咸者之性尤多下坠试观五味辛甘酸苦皆寄草木独是咸味寄于海水足徴四味浮轻咸性沉重矣(㳺熊曰蜀中盐井先凿得泉悉是淡水以)(筩隔之更凿深下乃得卤焉又盐池雨多水味必淡作为斗门泄其淡水下乃卤焉咸重淡轻亦一证也)海于地中为最卑下诸咸就之积咸即多淡入亦化海中山岳或悉是盐岂独水乎问咸既火生何不炎上火所在上何故遏居地中耶曰地中火煖多能变化傥火与咸俱在地上则动植之物皆冺矣盖日光生热因热生火旋用水土壅阏恒使在下助生万物间一发见即归本所不得一时流行地上偶一游行目为灾异矣因火之鬰下者生咸亦令性重恒居在下归藏于海为人作味咸能固物使之不腐却能歛物使之不生咸水生物美于淡水故海中之鱼甘于江河之鱼咸水厚重载物则强故入江河而沉者或入海而浮也海月入江騐㾗深浅石莲试卤成则莲浮可见咸能载物浴则肤赤或至皱裂盖有燥劲之情故比凡水为稠密云温泉问海水由火成咸何故不热温泉由火成热何以不咸曰图象几表云是日光彻地则生温热温热之极则火成烬水经其烬因而得咸故忘其热而海水不冰者亦具有热性矣热极入地积成燥亁则乘气为火积火所燃土石为烬复乘气出共成炎上隔于云雨鬰为雷霆升于晶明上成彗孛此二物者火之精㣲别有洞穴上通全体俱出则为西国火山蜀中火井(㳺燕曰今蜀地凿井求盐或得)(火井覆之则火灭投火则随而上焉是则井火在下与水同深遇水成卤不遇成火矣晋中河曲乃有火石火)(石恒热大行河西亦产硫黄可见晋中火浅故晋有盐池亦在浅土又有小盐刮地作之畧如硝鹻也西地中)(海其水亦卤周数千里彼其侧近遂有火山高数千丈其上火穴径千余歩厥火炎上古今不绝足徴盐之与)(火相切则成亦复相视以为浅深故蜀井深而晋池浅也宋应星曰西川有火井其水甚冷全无火气但以长)(竹剖开去节合缝漆布一头挿入井底其上曲接以口𦂳对釡脐注卤水釡中只见火意烘烘水即滚沸启竹)(视之绝无半㸃焦炎意未见火形而用火神真天间极竒事也)若遇石气滋液发生则成硫礜泉源经之即为温泉火道所经填压不出则为火石故火在地中助于土气发生万物五金八石及诸珍寳皆由火炼而成然物中最近火者无如硫黄水过其上则成温泉也潮汐问潮汐藏经以为神龙之变化葛洪以为天河激涌金楼子以为鲸鱼之吐纳郭璞以为海鳅之出入此恐谬矣然潮汐之长水从何至潮汐之退水从何去曰寰宇隂湿之气升降于水者皆月主之月为隂精湿能下济水则上升如呼吸然而相就于月月之所临则潮起为正摄月之对冲潮亦起为反摄月之气从前顺虚至对冲而极极而不能前则聚聚则必盈故姚令威曰潮盈于朔望消于朏魄日月合朔子夜潮平每日渐移三刻七十二分对月到之位而以日临之次潮必应之月望后东行潮附日而又西应之张封演曰月周天而潮应也古洲曰朔后三日明出而潮壮望后三日魄见而汐涌月之与水如磁之吸针珀之拾芥也月遶地而行潮亦遶地而行是天地内无地不潮无刻不潮惟潮有迟速大小渐暴者乃月轮与土地之分焉月有盈亏轮有高下故潮有盛衰山川有广狭路途有修逺故潮有迟速黄道有南北海限有逺近故潮有渐暴春夏昼潮常大秋冬夜潮常大盖春为阳中秋为隂中岁之有春秋犹月之有朔望也故潮之极长常在春秋之中涛之极大常在朔望之内此隂阳消长不失其时天地之常数也(新语曰每月十三二十七日曰水起是为大泛各七日初五二十日曰下岸是为小泛亦)(各七日久晴虽大泛亦不长凡潮生则水长但潮至有逺近镇江至大海五百里十八日辰时潮至浙江至海)(三百里则十八日丑时潮至潮之大小随月月高潮小月低潮大瑷馆志江浙钦廉之潮皆有定候半月东流)(半月西流明州潮月如子午则长朱隠老曰月丽卯酉则潮应乎东西月丽子午则潮应乎南北采珠者入海)(底间遇潮则水涌而下虚焉以水则虚以气则实采珠者中其气輙病地之喘息寓息于风生气也寓潮于水)(死气也中之病)当其潮时江河以及盆盎无处不长长则气入水为之轻潮降气出水复故重独小水之处升降甚微人所不觉也水族之物皆望盈晦缩故月虚而鱼脑减月满而蚌蛤实也草木滋生无不应月月满气滋月虚气燥故上弦以后下弦以前不冝伐竹木为材易蠧以生气在中也故邵子云海潮者地气之喘息也所以应月者从其类也(㳺燕曰潮汐考暖姝由笔曰海早晚两潮惟广东一潮番禺杂记早潮下晚潮)(上两水相合曰㳫潮而潮亦异者海潮皆以渐钱塘之潮独震撼如雷张僧鍳浔阳记鸡笼山涌泉如潮朔望)(尤大拾遗记栁州昔相岭西麓下有潮井广百亩一日三涌三落䕫州开县有三潮溪张佳允记滇大华山有)(圣泉一名海眼应子午邜酉四潮曰三潮者夜不见也韶州有雌雄泉两潮职方外纪厄勒祭亚有岛其海一)(日七潮又旁岛有海窖潮盛窖吸水入而不盈潮退则喷水如山𤣥中记贵州城外有漏汋一日百盈渇以应)(刻漏安寕州有潮泉一日三溢三蘸连州水下流有斟泉一日十溢十渇舆地志移风县有湖鸡鸣长旦清如)(吹角每鸣应潮至䖍州濂泉之旁数十丈有井甚深一日三潮名三潮井当潮时可操瓢而汲温伯芳云崇桢)(末年不至杨穆西野杂记钱塘江隣海口有子午潮不爽欧逻巴西北有勿搦祭亚城建海中以木为椿其海)(无潮广东金陵间常涌水十余日不退名曰海啸故潮有不同也方宻之老师曰人一呼一吸胍且四至水当)(火烹百沸不止亦气之上下也潮之应月月行有南北陆地异不同耳)望气问弥天地皆气望气知妖祥何辨乎曰物理云一切物皆气所为也空皆气所实也物有则空亦有则以费知隠丝毫不爽其则也理之可徴也而神在其中矣故地之发气也若烟若云而有色有形所以望之妖祥可徴也然非地上湿热蒸起蒙蒙烟雾之气也(气也似云似烟似雾也望之者要辨之真始可徴也)如气内赤外黄而润泽耀目者则所发之地不有王者起定有王者㳺往其地也或为城门楼阁华盖龙马等形隠隠于黄云紫雾之间或如彩色森森鬰鬰冲天者此皆帝王之气如龙如兽如火燄如粉沸如旌旗如弓弩者此皆猛将之气如堤如板如火光如劒㦸如森木如粉沸之腾烟如彩云之连天此皆军胜之气如马肝如枯骨如死灰如扬灰如壊山如败穰如卷席如偃葢如猪羊之形如群鸟乱飞乍起乍没乍聚乍散如尘之勃勃如雾之始起者此皆败徴之气如𤓰蔓连结部队相逐须臾罢而复出或四望无云独有赤云如旌旗如人持节如虎如豹如白虹如曲钩此皆暴兵之气如浑浑青气髣髴楼台而有赤气中冲者如纷纷黒云相连成围而有彩色中藏者此皆伏兵之气或如猛兽如锣鼓如箕箒如县衣如飞鸟奔尘如破军聚营者亦伏兵之气也然云气各象其山川人民所聚积故候息耗者入国邑则视封疆田畴之正治城廓宫室之润泽皆可候也实息者吉虚耗者凶若非烟非云郁郁纷纷者卿云也若雾非雾衣冠不濡者阳气也若尘非尘惨淡而迷者隂气也凡天变地动山崩川塞草木禽兽谣俗俚语俱可推也如常有大云五色出其上者其下必有贤人隠地有祥气则上征为青云紫雾龙文矞彩者其下必有圣贤英杰挺生也地有凶气则上蒸为风霾旱魃淫雨搀抢者其下必有饥馑兵戈横出也凡海旁蜄气象楼台广野之气成宫阙(㳺燕曰此气亦犹空中湿气倒映水靣之楼台也湿气映者影也而镂雕彩色逼真海中现蜃楼者其气)(微似楼台一涌而没也)战塲之地寳玉瘗处皆有光气此皆因其下之气发徴于上也野火问气之变也可徴妖祥火之变也而成雷电彗孛雷电能击物而烧彗孛能随天而转然春夏之夜有火光燄幽幽数㸃联珠人逐之则退人去又复依人此火不能烧物又能逐人依人此何火也亦可以占否曰夫野血化为燐腐草化为萤俱以气渗漉土上为风雨日露所滋照其质虽化其气尚存故或为萤为燐春夏之间地气上升火随气发然得风日䟽散使其上归晶宇下归地中则不作光怪惟久雨乍晴上下皆有冷气致火不能散去横鹜地上偶逢膏腻之气则燃而成光气类所感两两三三或牛马人畜血溅之处膏腻稍重其光遂转大而胶之所以稍久极容易揺动值人行或导人前或随人后或随人转遶是空中气满在人前则气拒而前在人后则后气急填行前者之空气又推之而前随人忽转又或值他气稍重故又廹之旁行縁其气体轻㣲人行衣衫动处皆有㣲风逐之则风嘘故退反则风吸故复依人又有一等在墟墓荒坛递相传走出入见者不必惊为鬼怪不知有尸气牲血之膏腻而于此也故军中刀鎗上火起其理与野火同(㳺熙曰或有火)(能烧禾者田有湿气空有冷气当夏火不能䟽越逼入禾叶如腐草延烧急去田水令下靣冷气稍减则火气)(䟽越而不烧也又谷种乘其热藏者蓄其火气于种内夏热太阳下蒸吸其火气则多烧若下去水则不蒸上)(而烧矣)占候问古今天学家首言占验方为有补之学今所言者惟理而已或是休咎不言乎不然测步如此繁剧岂不徒费苦心乎曰天者群物之祖理性之所由出其文即犹理性之耳目也今舍吾耳目之性之理之灵而漫言耳目其不为皮相者鲜矣故西士亦曰天文格物穷理之首务旨哉言也故云测算非闗占候吉凶盖吉所系在吾人心中所造而祸福则自召耳后世不知吉凶祸福系于理而以祸福之未来者当之则以福为吉以祸为凶夫吉凶则致祸福而不可祸福即吉凶也如其顺理心安则福固吉祸亦吉也理不顺心不安则为祸固凶福亦凶也盖祸福不能自免而理则至定此心所以顺之也先知而顺之上焉者圣神次焉者君子孟子所谓顺受其正不立岩墙之下者此占候之道也故吾师宻之曰星宿极高无变异之理灾异之占天官书云晕适风云天之客气发见亦有大运然其与政事俯仰最近大人之符气几心几二而一也隂阳之气人事之变各自为几而适与之合岁有寒暑风雨而蟪蝼与蜗蠋当之自灾可取譬也儒者求端于天天人相与甚可畏也静深明理之士触其几而知之然不欲尽泄至于圣人则不为隂阳所转矣时愆气沴孱夫则病壮夫则否周王龟焦蓍折刘裕竿壊幡亡又何硋乎焦京管郭崔浩戴洋一端之中耳关子明之如响举人事天道消息之此中论也邵子观其深矣用三余一岂思虑所能测度乎四行五行问天有五纬地有五行不易之理也而西国不用金木以水火土气为四行云火情至轻则跻于九天之下而止土情至重则下凝而安天地之当中水情比土而轻则浮土之上而息气情不轻不重则乘水土而负火焉所谓土为四行之浊渣火为四行之浄精也火在其本处近天则随而环动每日偕作一周此系元火故极浄甚炎而无光焉谓天下万象之初皆以四元行结成之理亦诚然而金木之为用果不能敌此四者且释氏云地水火风邵子云水火土石亦未及金木则四行之义已先言之矣然则何从乎曰黄帝曰六合之内不离于五既言五运又分六气不参差乎播五行于四时非用四乎易曰一隂一阳之谓道非用二乎五行因世间可见之五材而隠表其五气之行以谓之五也然气分其气以凝为形而形与气为对待是一之而用二也土形居中而水火二行交旋其虚实之气焉是土为形主水形流地火形縁物而水火实为燥湿之二气也金木之形因地而出金则地中之坚气木则地外之生气然其为气也列于东西以为生杀故举南北之水火而东西之金木寓焉非以为水火对待也是天地之气必原之水火水之用实重而火之用最神(梦笔录云火为五行之至神非同木土金水之成形也世但知火能生土不知火能生金生木)(生水盖金非火不能生成水非火不能升降木非火不能发荣易称干为龙龙火之精也五行之精惟龙神变)(故冇土龙金龙水龙木龙火龙今之土中石中金中海中树中敲之撃之钻之无不有火出焉则此火能藏神)(于万物而又能生万物也坎卦在子宫所谓天一生水以隂先阳也还知坎中一画真阳为天地之心也表冬)(至子半者正以坎中一画真阳为天地之根火之宗也下阳在隂中即龙宫之在海藏神龙之潜九渊所谓阳在)(而勿用即大易寂然不动之宗也复卦以至日闭闗道家藏火伏火之诀正谓此也在胎之前非三縁之火不)(能结搆身既生后非丹田之火不能飬成故百骸五脏六腑十二经络独以心火为君命火为臣始能传生化)(食以资长其骨肉此火一散则百骸废人初死时百体俱存独此煖气一去则四大皆溃散矣所谓世界圣凡)(同是此心所造须当辨其邪火真火能知性空真火性火真空则知薪尽为火传灯传为命续矣五徳有形有)(神形也土分之则崩金分之则缺水分之则绝木分之则折独火为神愈分愈多愈聚愈胜愈与愈有愈传愈)(久此向上不传之秘所以分灯列燄而传乎此火之最神也)而气蕴于火而转动则为风吹急则为声聚发则为光合凝则为形是风声光形总为气用无非气也故西国舍金木而专言气与水火土并举者指其未凝形之气以为天地万物生生之机也则五材之形五行之气顾不可以生尅为至理掲子曰金能尅木然又不如火之尅木并其形而毁之也火之尅金又不如火之尅木尅木而木不存尅金而金愈精曰土生金又不如土生木木则连山徧岭金则生不数处曰土尅水然土实生水水非土载而生水能空立乎他物之生生后可判为二水土之相生胶漆不能离焉曰水尅火然水火一也论其质则相尅论其气则相生论其形气之交则又相入火见水而死而温泉沸汤则火之气能入水之形水见火而散而灯脂爝蜡则水之气能入火之形夫水化气而火火化气而为水则水火互相生变化以为道也是二而居之一也然就气以格物之质理举其所以为气者以格物之通理亦二而一也费而象数隠而条理亦二而一也若知二在一中则错综变化无不可为者非自神明难析至理地理问观天文者能推歩测候则预知休咎察地理者明龙穴砂水则预定富贵是知天文地理者皆明吉凶祸福者也何知地理者详而多知天文者畧而寡曰观天文者以隂阳消息治厯明时歩天行成岁者非仅占候也察地理者以南北高深天下形势定封疆界域者非是葬埋也葬者孝子不忍其亲之暴露歛而藏之非有他欲也程伊川曰古人之𦵏欲比化者不使土亲肤以防蚁与水壊之今竒玩之物尚寳藏固宻恐其污损况亲之遗骨肯暴露乎故卜其宅兆卜其地之美恶也是孝子仁人不欲其亲速朽之意非隂阳家所谓祸福者也吴临川曰𦵏师之说盛于东南郭氏𦵏经者其术之祖乎盖必原其脉络之所从来审其形势之所止聚有水以界之无风以散之然后乘地中之正气以飬死者之畱骨俾常温煖而不速朽腐死者之体魄安则子孙之受其气以生者不致凋瘁乃理之自然而非有心觊其效之必然也若曰某地可公可侯可将可相则术者倡是术以愚世人而要重糈者也其言岂足信哉罗大经曰古之择者亦不过欲其山川廻合草木茂盛使亲之遗体得安耳岂真借此以求子孙之富贵乎何今之人有贪求吉地至不能𦵏其亲者有既𦵏以为不吉掘至再至三者有因地至讼棺未入土而家已萧条者有兄弟惑于各房风水之说骨肉化为仇讐者凡此皆不善读璞书之所误也温公曰今世之𦵏既择年月日时又择山川形势以为子孙贤愚贵贱尽系于此而其为术又多不同争辩纷纭无时可决至有失尸柩而不知其处者若使殡𦵏实能致人祸福为子孙者亦岂忍使其亲臭腐暴露而自求其利耶悖理伤义无过于此(徐仲光曰从来送死之礼𦵏为大祭次之所以安死者之藏而隠其魄也古诸侯以及士庻之丧无)(有过时而不𦵏者谓不能𦵏春秋讥之其或有过而未𦵏者虽出三年人子之服不变所以著其情而必其时)(也今世之俗详于祭而畧于𦵏甚者先世遗骸叠累非一身有高堂邃宇之安而乃不能为其亲营尺寸之土)(冲风苦雨严冰烈日之吹荡冻炙而莫之顾惜如此而于古之委壑者何异乎大家如此小民之穷窭不知礼)(义者奚所法乎而吾于祖父如此即吾之子孙将复奚责万一有水火盗贼意外倾崩震撼之患其为疚戾将)(奚续乎此虽人情积惰昧于轻重缓急之所致亦世俗隂阳拘忌之说有以中之达于理者断断焉不为世俗)(之所惑矣○家礼或问家贫乡逺不能归𦵏则如之何公曰子㳺问丧具夫子曰称家之有无子㳺曰有无乌)(乎齐夫子曰有毋过体茍无矣歛手足形还𦵏悬棺而窆人岂有非之者哉昔亷范千里负丧郭平自卖营墓)(岂待豊富然后𦵏其亲哉在礼未𦵏不变服食粥居庐寝苦枕块盖闵亲之未有所归故寝食不安奈何舍之)(出逰食稻衣锦不知其何以为心哉世人又有逰宦没于逺方子孙火焚其柩收烬归𦵏者夫孝子爱亲之肌)(肤故歛而藏之残毁他人之尸在律犹严况子孙乃悖谬如此其俗盖不知始于何时浸染既久习以为常见)(者恬然曽莫之怪岂不哀哉延陵季子适齐其子死𦵏可于嬴博之间孔子以为合礼必也不能归𦵏𦵏于其地)(也岂不犹愈于焚之哉)掲子曰亲之爱子也无所不至而不能必子之贤达何也以其分体而莫之为也父母生而莫之能为而乃问之于朽腐之骨而又问之顽然之土使土而有识则彼水𦵏者其处当绝人类使骨而有知则彼殱死疆场者其子孙颠倒罹凶而不必然者无此理也且人之生贫富贵贱天禀已定谓之天命不可改也岂塜中枯骨所能转移乎若如其说则上天之命反制于一杯之土矣予谓人之生于地者亦犹万物之出于土也北之土横而平旷则气重而为沙烟其生人也壮而坚南之土竖而峰峦其气清而为云霭其生人也弱而秀故土有坚弱水有湍缓人之刚肥轻重长育其地之使然也贫富夀夭亦如物物之不齐必非遗骸之所致也若孝子之心虑患深逺歛藏其祖考之遗骸必致其谨重诚敬之心以为安固久逺之计恐浅则有离乱暴露之变深则有水泉蝼螘之壊所以不可不择也惟以利后为虑不以奉先为计尤非孝子仁人之用心也数问天有定位故运旋循度星有定行故迟速合辙而物虽错综而有定凖人遇得失必有定数此皆定理之不可易者曰天地万物有定理惟祸福得失无定理乃人自取耳若言数为定理则非也数可拘于中人不可拘于上人若偶然得祸以为旡妄偶然得禄而至人不受故不可为定理定数也性书曰若人之所作皆有前数则忠臣之死其数应死而非忠降臣之生其数应生而非奸善人之施其数应施而非善恶人杀人其数当杀而非恶而贤否赏罚皆无所庸矣予谓一言有数遂将圣贤名教一概抹杀故数之一字惟庸懦而力不振者后挫折思而悔之归之于数也若尽心尽力为忠臣为孝子天必然成就之必不以数拘之不得为忠臣为孝子也虽定数亦能挽矣星降生问世之常言星下降为人测天象者必知某星下降然恐不知降是何人也何云昭王恒星之降也东方朔李太白纬星之托也宰相乃高僧之转也然落星之石有形有迹经纬之降当有据也曰诗之有鸟降生商岳降生甫皆钦其人而尊以推之非有实事如人夣日入懐而生子不应上天之日䪺亡其精也后世乃效尤其说竒为禀星如刘向东方朔李太白之徒皆有托焉遂使释典以昭王恒星不见降生西土指实而言至诬孔颜以相口实无论孔颜天地全气世言佛氏神通希有大过于天所禀不过星五之一则五行之气亦未全领将以尊之反得其隘且经纬之星万古无増减每一星大地数倍若降下压翻世界矣星中灵异不可思议岂降为人数十年血肉之〔？〕耶迨乎晚近多言阿罗高僧转世夫造物无穷未必不转窃恐为造物所转者性命亦未便能定也孔门成周诸贤不见有转不较上一层也王龟龄蘓子瞻一代伟人亦为开门瞒过殊不知僧众共拥一皮囊于龛中必非望轻力小之人所能开初闭者料之亦熟矣予见行立而闻道者皆言日用平常之理而无诡异欺人之诳即其实也汉唐不生于鸟岳已自下矣后世不生于星而生于僧世之逓下矣如此诚恐后世并无一人身降转矣天经或问卷四◆ 《天步真原-清-》（KR3f0024）
## 提要
钦定四库全书 子部
天步真原 天文算法类(推步之属)提要(臣)等谨案天步真原一卷国朝薛凤祚所译西洋穆尼阁法也凤祚有两河清彚已著录顺治中穆尼阁寄寓江寕喜与人谈算术而不招人入耶苏教在彼教中号为笃实君子凤祚初从魏文魁㳺主持旧法后见穆尼阁始改从西学尽传其术因译其所说为此书其法専推日月交食中间绘弧三角图三一则有北极出地有日距赤道有时刻而求高弧一则有日距天顶有正午黄道有黄道与子午圏相交之角而求黄道高弧交角一则有黄道高弧交角有高下差而求东西南北二差末绘日食食分一图凤祚译是书时新法初行又中西文字辗转相通故词㫖未能尽畅梅文鼎尝订证其书称其法与崇祯新法厯书有同有异其似异而同者布算之同对数之表与厯书逈别然得数无二惟黄道春分二差则根数大异非测候无以断其是非然其书在未修数理精蕴之前录而存之犹可以见步天之术由疏入宻之渐也乾隆四十七年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 天步真原
钦定四库全书天步真原青州薛凤祚撰日食原理日月泛遇为平㑹日月地心在一线为正会日月人目在一线为实㑹用东西南北差为视会求食限中华定食限取北中界(地居赤道之北南不至赤道北不至北极)日食依南方北极出地十八度北方北极出地四十二度定食限最广者太阴距南交尝度七度三十一分午时高下差全变为南北差以加二径折半故距度少太阴距北交尝度一十七度三十五分午时高下差全变为南北差以减二径折半故距度多为可食之限最狭者太阴距南交尝七度距北交尝一十六度五十三分为必食之限 月食不论阴阳厯其限皆一十五度一十二分在日之冲日月交入食限算朔在昼分望在夜分即有食日月越六月皆能再食若五月能再食则大月七月能再食则小月年月积日根数起汉庚辰至崇祯厯元后二十三年庚寅积一千六百五十年入厯减一算先求年变日表次月变日表搃计得第三旬周数 第二旬周数 第一旬周数 日数大西东来应加(一日)日数末一日未成应减二算对仍依原数平朔中积月距日平行表搃计各旬周及日数平行度分以减全周得全周余度又以距日平行表取近小度数求日时分并加于旬周日数为平朔中积日分如先得本年月朔望䇿只以朔望䇿逓加平朔免积日之烦望䇿一十四日十八小时二十二分○二秒朔䇿倍之二十九日一十二小时四十四分○四秒以中积入表求时分以中积入表求春分平行即以春分平行为引数求加减以中积入表求日平行以中积入表求日心平行即以心行为引数求心差加减及比例分以中积入表求高行以上叚所得心差加减之为真高行以日平行减直高为实引以实引入表求日初均及余分以比例及余分求次均度以初均次均度加减日平行为实经又加减春分为日自春分实经以中积入表求月距日度分两倍之即月心平行以月心行入表求心行加减及比例分以月自行加减心差为月实引以月实引入表求月初均度及余分以比例余分求次均以日平行并月距日行得月平行以加减初次均为月实经又加减春分差为月自春分实经求平㑹离正㑹度分 日月相距弧太阳均度与太阴均度若一加一减二均度相加得平㑹离正㑹度分若俱加或俱减以小减大其余数即平㑹离正㑹度分求日月相距时刻以太阴实引数入表取月一时行度分(若无正度用比例法)以上叚平㑹离正㑹度分用三率法当行几时刻为日月相距时刻日月在前在后日月均度或俱加加大者在前或俱减减小者在前若加减不同即减者在前月在日前平㑹比实㑹先到日在月前平㑹比实㑹后到相距时刻加减平㑹先到日月相距时刻加实㑹先到日月相距时刻减以加减平朔中积日分变时分为正㑹时刻试法真否以正㑹时刻再筭积日时分变日分日春分平行及加减日平行日心之平行及加减及比例日高行及真高行日实引数日加减度及余分日次均日实经及自春分实经月距日平行及心行月心差及比例分月平引及实引月加减均度及余分月次均月平行实经及自春分实经时分变日以下十六法皆同前惟月距日平行筭于太阳实经之后与上法异前后二筭太阳距太阴度差在三十秒以下即可用若差多再筭再筭法太阴实引数取月一时行用三率法 一率月一时行分 二率一时 三率太阴距太阳差分 第四得所求时分太阳在太阴前实㑹先到所得时减太阴在太阳前平㑹先到所得时加筭诸行俱同前应时以太阳实经度查黄赤道变度表得赤道度(无正度用比例法)太阳平行减黄道根数四周纪三十八度三十六分三十四秒平行小加一圏减其余为黄道余度变赤道度减赤道根数二百八十度三十五分赤道小加一圏减其余为赤道余度黄赤道二余度相减变时分(黄道余度大时分加正㑹赤道余度大时分加正㑹)南京比立表之地又加七时二十八分北京又加二十○分为实㑹应时(以上定朔)求太阳实㑹经纬度太阳黄道实经度变赤道即距赤道实经度太阳黄道实经度用表查纬度南北度分即太阳距赤道纬度求太阳距天顶度(前后三时同用)月在日前月加减大日加减小平㑹先到实㑹后到自应时自午而己辰向后筭三小时若月加减小日加减大月在日后平㑹后到实㑹先到自应时自午而未申向前筭三小时筭丁亥甲大三角有亥甲邉北极出地之余 有亥丁邉日过白羊初度纬在赤道北以日距赤道纬度减九十度若日过天枰初度纬在赤道南以日距赤道纬度加九十度有亥角距午时刻每时作十五度午后加赤道实经度午前减从不知之角打线从丁从甲皆可今从丁打线至巳先求亥巳线若大于亥丁分线在外小于亥丁分线在内先筭亥巳甲三角用圏线正角第三法有两角一邉其先有邉为正角对邉法求亥巳邉(先有角相连之邉有巳正角余有亥角距午度分 有亥甲邉北极出地之 为正角对邉)一率通弦 二率亥角余线 三率亥甲邉切线四率得亥巳邉切线求甲巳邉(先有角相连之邉此有巳正角用有求邉对亥角 有亥甲邉 为正法今 捷法省此筭)一率通弦 二率亥角正线 三率亥甲邉正线四率得甲己邉正线又筭甲己丁三角(有己正角有己丁邉) (有甲己邉)求己丁邉日距赤道纬度减九十度或加九十度除上所得亥巳邉即己丁邉求甲丁邉一率通弦 二率甲己邉余线 三率己丁邉余线 四率得甲丁邉余线为日距天顶度其余即距地平筭前后三小时同法但时在午前以距午前分数减六十分所得求度分有时者每一时加十五度时在午后以距午后分数求度分有时者每一时加十五度为距午时有捷法省求甲己邉径求甲丁邉一率亥巳邉余线 二率亥甲邉余线 三率己丁邉余线 四率即径得甲丁邉余线距天顶度(余距地平)筭差角(前后三时同用)如图丑甲午为差角然丑甲邉难取而甲己丙角与甲午之大小同故寜算丙甲己钝用筭丙己邉离午时(即前图亥角每时十五度)看在午前后在午后(自午而未申)加太阳实经变赤道度(即应时所得)在午前(自午而巳辰)减太阳实经变赤道度为过午时圏度即知入何宫度(如得二百五十)(一度五十分)即入天蝎一十一度五十分变黄道以表中赤道对黄道度数取黄道度有黄道度即可入表求黄道纬度又看黄纬在赤道南北在赤道北(自白羊初至双女三十度)以纬度减北极出地所得在赤道南(自天枰初至双鱼三十度)以纬度加北极出地度所得为丙己邉筭己角丙己邉内有赤道过午时圏度(离午时加实经所得)有赤道变黄道度此入表不用过午时圏度用变黄道度求交角表有余分则用比例法得己角筭甲角(即差角)一率丙甲邉距天顶正线 二率己角正线 三率丙己邉正线搃数相较即得甲角正线为差角求地平差(此法或前或后三时同用)东西南北差之本是高卑差高卑差之本是地平差以太隂实引数入表得其相对之分秒有余数以下度与余数比例或加或减于相对之数为太隂地平差崇祯厯书作地平径数求太隂高卑差(此法或前或后俱筭三时)查表以所得地平差分数从上以前得距地平(即距天顶减九)(十度之余)从右小余另比例为先得太隂高卑差太阳高卑差以距地平查表得分秒以减先得太隂高卑差为太隂真高卑差(恒减不加)如图日月在甲人目在地视之不见在甲而见在丁甲丙为日高即甲丁为高卑差就黄道极作一大圏至高卑差丁相交黄道又交过顶圏戊为正角凡各圏过本圏之极其相交之角即正角甲丁为高差日在甲人目视之不见在甲而见在戊即甲戊为东西差戊丁为南北差高卑差南北差东西差三者惟甲丁高卑差至大不过六十分其甲戊东西差戊丁南北差皆小于甲丁高卑差故皆锐角又且分数少在天俱可作直线筭东西差(前后三时同法)以通弦(一○○○○)为一率 以前得差角(即甲角余线)为二率三率以高卑差分秒俱化成秒求其对数与二率相加去一率通弦求原数以六十成分为东西差筭南北差(前后三时同法)以通弦(一○○○○)为一率 以前得差角(即甲角正线)为二率三率以高卑差分秒俱化成秒求对数与二率数相加去通弦求原数以六十成分为南北差若查表第一行距天顶数第二行东西差邉第三行南北差邉省用前筭三角法如筭东西差 一率六十分 二率取表中第二行东西差邉 三率前取太隂高卑差 即得所用东西差 南北差同法但取表中第三行表中各宫皆初分用法如午时正二刻六分日在天蝎一度四十六分○八秒 如天蝎一分午时得距天顶四十二度三十五分人马一分午时得距天顶五十一度二十一分其差八度四十六分用下法一率一宫三十度 二率八度四十六分 三率天蝎一度四十六分○八秒搃数较数即其差分以加先得四十二度三十五分即天蝎一度四十六分距天顶度东西南北差同法求视㑹(筭日食月行)以太隂实引数入表其表每隔三度以余分求比例或加或减于正度之上为太隂一时分实行度有实行取视行第一法月食在黄道九十度限东东西差先大后小(早间)(食辰时在先巳时在后午后食未时在先申时在后)其上所筭第一时东西差与第二时东西差第三时东西差与第二时东西差相减其余分与实行相减为视行若东西差先小后大其前后二差相减其余分加实行为视行第二法日食在黄道九十度西东西差先大后小其东西差前后二差相减其余分加实行为视行若先小后大其东西差前后二差相减其余分减实行即为视行第三法一半在九十度限东一半在九十度西前后二东西差相减(不论先后大小)其余与实行相减余分即为视行视行距度东西差大实行小以实行减东西差其余为实㑹与视㑹相距度分东西差小实行大即以东西差为实㑹距视㑹度分视㑹相去度变时法第一法若实㑹东西差比视行小其东西差分数要实㑹相近时视行比例分得实㑹与视㑹相去度数变时分第二法若实㑹东西差比视行大除一时月视行余东西差分数要视㑹相近时视行比例分得实㑹与视㑹相去度数变时分 二叚日食在东皆减实㑹时分为视㑹时分在西皆加实㑹时分为视㑹时分一率太隂实行 二率六十分 三率实㑹去视㑹度分俱化为秒乘除成分为所变时分用第一法加减实㑹为视㑹用第二法一时之外加减实㑹为视㑹试法真不真用所得视㑹再筭距天顶 再筭差角 地平差同前数 再筭太隂高平差 再筭东西差 再筭南北差 日食月行同前数有实行求视行以所得东西差置位 一率六十分 二率月一时实行 三率上叚所得有实行求视㑹变时分 俱化为秒 乘除 成分 与置位东西差相减余为差分有差分变时分一率上叚实㑹距视㑹度分 二率上叚实㑹距视㑹所变时分 三率差分 俱化为秒 乘 除 成 分 秒为变时差分大东西差小上叚视㑹时分内当减变时分为视㑹差分以加减实㑹为视㑹差分小东西差大上叚视㑹时分内当加变时分为视㑹差分以加减实㑹为视㑹时分差至三十秒内即定视㑹若多又用三试其筭法与第二叚试法同但要所得差分成时与东西差合方定视㑹求日食大小筭交行以日月实㑹时分(用应时定数)入平距度表搃计交行度以太隂均度依号加减之为实㑹交行以加减东西差为日月视㑹交行度实㑹在前东西差减实㑹若在后东西差加求距度以交行宫度分秒查距度表有小余用比例法为视㑹距度又本表后行余分比例下度差分为正余分与太隂心差比例分相较乘除以加距度为真距度(恒加)(不减)日月食若无此比例分及余分者省此筭距度(○一二宫北下三四五宫南下) (六七八宫南上九十土宫北上)求视距度正交㸔在南在北与南北差同类相加异类相减(北极出地)(二十三度三十一分以上皆在南)为视距度若南北差大于距度其日食交在北者移而南求日月半径以太阳实引数入表求日半径以太隂实引数入表求月半径以两半径搃数减视距度余数为食分距度若距度大于两半径搃数即无食食分以太阳全径为一率 日月两半径搃数减视距度为二率西法十二分为三率取第四即西法日食分又作中国分以西法十二分为一率 以所得西法日食分为二率 中法日食十分为三率 取第四即中法日食分用表以日全径从右以距度分从上再以日全径小余从右以距度分从上得食分求初亏以食甚前一时东西差与食甚时东西差相较余数以加减月实引数所得月一时正行为食甚前一时视行 取法与前有实行求视行同法用表以日月半径搃数从上以真距交度分从右又以半径搃数小余从上以距交从右共得○分秒以太隂食甚前一时视行为一率以一时六十分为二率以表上所取分秒为三率 乘 除 成分得时分以减食甚时刻为初亏求复圆依法再求食甚后一小时距顶 距地平 差角 高差 东西差以食甚后一时与食甚东西差相较余数以加减月实引所得月一时正行为食甚后一时视行用表同初亏法以加食甚时分为复圆丑卯黄道 未寅白道丑未寅卯为距交子辰为太阳半径午申为月半径子丙为日月两半径搃数月食原理月食求积年日数筭太阳诸行太隂诸行皆与筭日食同求日月前后日月相距度相距时刻筭日月实㑹皆与日食同再筭试真否皆与日食同求太隂正中交行置实㑹中积日数分秒入太隂平距度表搃计交行度数加减太隂均度得交平行求太隂距交分(余分有比例分取用无比例分省笔)以太隂平交行入距交度表得距交分无正度分用比例法初一二九十十一宫北三四五六七八宫南求太隂半径及全径以太隂实引数入表得太隂半径无正度用比例法倍之为太隂全径求地景半径以太隂实引数入表得地景径(无正度用比例法)减对行秒余为真半径两半径减距交余数月半径加地景半径并之以所得距交分数减之所得为二径余数食分日月食表月全径从右二径余数从上得月食分月食有初亏食既食甚生光复圆五叚若在十二分以内食不全及全食即生光者去食甚生光二叚西法月作十二分筭 中法月食作十五分如西法筭月食十八分一秒 一率十二分 二率十八分 三率十○分 得中法十五分食既分食甚分月食不全或全食而食尽即生光者所得为食既分若月全食食后不即生光者所得为食甚分食时分表以月半径地景径并之搃数从上月交距度从右无正度用比例法为食既与食甚度分初亏分实㑹减食既与食甚分为初亏分有食甚求食既分(月食不全不必再筭)以月半径减地景半径从上月交距度从右(无正度用比例法)以减食甚分为食既分生光以前所得有食甚求食既分数加食甚为生光分复圆实㑹并食既与食甚分倍加之为复圆分太隂一时实行表求太隂一时实行(无正度用比例法)以食甚分实行求食(无正)(时用比例法)为食甚时分以食既分实行求时为食既时分求正时太阳平行减黄道根数得黄道余度太阳实经度黄赤道同升度减赤道根数得赤道余度二余度相减以二余度入变时表查时为时差黄道余大加实㑹赤道余大减实㑹又加本地与立表之地所差时分(如南)(京差七时二十八分北京差二十○分)为真实㑹时刻天步真原◆ 《天学会通-清-》（KR3f0025）
## 提要
钦定四库全书 子部
天学㑹通 天文算法类(推步之属)提要(臣)等谨案天学㑹通一卷国朝薛凤祚撰凤祚有两河清彚已著录是书本穆尼合天步真原而作所言皆推算交食之法按推算交食凡有两例一用积月积日以取应用诸行度数由平三角弧三角等法逐次比例而得食分时刻方位者一用立成表按年月日时度数逐次检取加减而得食分时刻方位者凤祚此书盖用表之例殊为简㨗精宻梅文鼎订注是书亦称其以西法六十分通为百分从授时之法实为便用惟仍以对数立算不如直用乗除为上法惜所订注之处未获与之相质云乾隆四十七年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 天学会通
钦定四库全书天学㑹通青州薛凤祚撰日食诸法异同万厯丙申八月朔日食新法求交周六十五甲子下一十一宫二十四度四七二二 三十二年丙申下八宫二十五度三一五二 九月䇿九宫○六度○二○五(以满周十二宫除之以满三十度进一宫)一得五宫二十六度二一二(入食限)求首朔六十五甲子下三日一十○时五七一四丙申三十二年下五日○二时四四五二八月九朔䇿下二百六十五日一十八时三十六分二八共二百七十四日八时一十八分三四六十五甲子下纪日四 三十二年下纪日四十八共五十二以加前搃数得三百二十六日以纪法除之余二十六日得庚寅日求太阳引数六十五甲子下得一十一宫二十七度三六三九丙申三十二年下五度五二二八 九月朔䇿八宫二十一度五七○六得八宫二十五度二六一三为太阳引数求太阴引数六十五甲子下三宫二十度四五四二丙申三十二年下四宫二十三度二四三二八月九月䇿下七宫二十二度二一○一得四宫○六度三一一五为太阴引数求太阳经度六十五甲子下二度四八三二丙申三十二年下六度一六三二八月九月䇿下八宫二十一度五七三九得九宫一度○二分四三为太阳经度求太阳均度以太阳引数八宫二十五度下查表得二度○二分一十九秒以较分一十四秒为二率以引数小余二十六分一三化作一千五百七十三秒为三率得二二○二二以六十分化作三百六十秒为一率得三十六秒以后度少减二度○二分一十九秒余二度一分四十三秒为太阳均度(依号为减)求太阴均度以太阴引数四宫六度下查表得四度○五分四十五秒以较分三分三秒为二率以引数小余三十一分一十五秒为三率以六十分为一率过位得一分三十五秒以加四度○五分四十五秒得四度○七分二十秒为太阴均度(依号为减)求日月相距弧(皆号为减当相减)以太阳均度二度○一分四十三秒减太阴均度四度○七分二十秒余二度五分三十七秒为相距弧求日月相距时刻查四行时表下二度○五分三七得四时余三分四十三秒查时得七分余七秒得十四秒以加首朔小余共十二时二十五分四十八秒为日月相距时刻求太阳次引数查四时下太阳引数九分五十一秒二三又七分下一十七秒共一十○分十秒以加前引数得八宫二十五度三十七分三六为次引数求太阴次引数查四时下四行时表太阴引数得二度一十○分三十九秒又七分下得三分四十八秒共之得二度一十七分七十八秒以加前引数四宫○六度三一一五得四宫○八度四九三三为太阴次引数求太阳次均度太阳加减表八宫二十五度下得二度二分一九七以较分十四秒为二率次引数小余三十七分三十六为三率得三一五八四以六十分化三千六百为一率得八秒二五以后度少名减以减二度二分十九秒得二度二分一十○秒为太阳次均度为减求太阴次均度太阴加减表四宫八度下得三度五十九分三五较分三分一十二秒为二率引数小余四十九分三三为三率得五十七万○八百一十秒以六十化三千六百为一率得一分五十八秒以加均度得四度○一分三十三秒为减求日月次距弧以太阴均度四度○一分三十三秒减太阳均度二度二分一十秒得一度五十九分二十三秒为日月次距弧求日月实距日(月在日前时宜加)四行时表月距日三时下得一度三十一分二五五余二十七分五七五五十五分下得二十七分五十六秒余一秒五得三秒并之得三时五十五分三秒以加首朔小余八时一十八分三十四秒为一十二时一十三分三十七秒为日月实相距时求日月实㑹时距度置交周五宫二十六度二十一分二十秒差时(中㑹与实㑹差)三时五十五分三秒查四行时交周表三时得一度三十九分一十四秒五十五分得三十分一十九秒三秒得二秒并之得二度九分三十五秒以加交周五宫二十六度二一二得五宫二十八度三分五十五秒为平交度以减太阴次均数四度○一分三十二秒得五宫二十四度二十九分二十三秒距度五宫二十四度下得三十一分○九秒二十五度下得二十五分五十八秒相减余五分一十一秒五分一十一秒为六十分一度所行今二十九分三十三秒应行若干以二十九分三十三秒化一千七百七十三秒为二率以五分一十一秒化作三百一十一秒为三率得五十五万一千三百秒以六十化三千六百秒为一率除之得一千五百三十秒又以六十化之得二分三十三秒以减三十一分九秒余二十八分三十六秒为日月实距度求太阳实㑹度置太阳经度九宫一度○二分四三以减太阳次均度二度○十二分一十秒余八宫二十八度五十○分三十三秒为实经度(双女宫)求应时双女宫二十八度下一十一时五十五分以加实距时一十二时十三分三十七秒共二十四时八分三十七秒为距子正时加十二时为距午正以满一日除之余一十二时八分三十七为应时求距顶限及距地平髙度以距午一十二时八分查表得距顶限三十六度四十九分以减九十度余五十三度一十一分为距地平髙度九十限一十三度一距子午十八度五九求太阴距地及视髙差 及日月半径以太阴引数四宫八度查表得五十五地半径三十六分 月半径一十六分五十三秒以太阴引数八宫二十七度查表得五十五地半径下得视差六十二分因日在中距减日差二分得六十分为最大视差求气差以大髙差六十从上以距顶限三十六度从右得三十五分一十六秒又以六十分从上以距顶度小余四十九分从右得四十五秒一十七㣲并之得三十六分一秒为气差求时差以六十从上以地平高限五十三度从右得四十七分五十五秒又以六十从上以地平髙小余一十一分从右得一十二秒并之得四十八分七秒为时差又太阳实㑹经度八宫二十八度五十分三十三秒以十二时所得九十度限双女宫一十三度一十分减之余一十五度五十○分三十三秒则复查表以最大时差四十八分从上以一十五度从右得一十二分二十五秒又以五十○分从右得三十六秒四六又以三十三秒从右得三秒并之得一十三分四秒为时差求时分时差十三分一秒 太阴四宫八度实行一小时三十二分十秒三十二分十一秒行一小时今十三分一秒应行若干以十三分一秒化之得七百入十三秒为三率以一时化之得三千六百秒为二率得二百八十一万七二以三十二分一十一秒化之得一千九百三十一秒为一率除之得一四五一以六十除之得二十四分一十五秒为时分求食甚置定朔十二时十三分三十七秒内减时分二十四分一十五秒得一十一时四十九分二十二秒得午初三刻四分二十二秒在定朔前求食分以日月实距度五宫二十四度二十九分二十三秒又减时分二十四分一十五秒交周行一十三分一十四秒共五宫二十四度一十六分十秒得二十九分八十秒以气差三十六分一秒减之余六分二十秒为视距度以前所求太阴半径十六分五十三秒太阳半径一十五分一十五秒并之得三十二分○八秒以六分二十秒减之余二十五分四十八秒以太阳本视半径并之得三十分○三十秒为法而一得八分三十秒为日食分数距度过黄道南日食犹在阴厯黄道北求初亏置定朔应时十二时八分约用前四刻减之余一十一时八分度限在双女宫一度五分即午后一十四度五十五分距顶限三十一度二十五分距地平五十八度二十五分求时差以高差六十分从上以地平高五十八度从右得时差五十一分五十秒为最大时差又以太阳实经二十八度五十○分三十三秒内减前四刻所得限度双女一度五分除之余八宫二十七度四十五分三十三秒即距太阳度查表以大时差五十一分从上以二十七度从右得二十三分九秒以四十五分从右得三十六秒三又以五十秒从上以二十七度从右得二十四秒并之得二十四分九秒以二十四分太阴行较前得太阴行一十三分○四秒余一十一分以四宫八度一小时太阴实行三十二分十秒除之余二十一分为四刻中太阴视行今二十一分行四刻若自初亏至食甚太阴当行三十一分为时几何法以四刻作三千六百秒为二率以三十一分化作一千八百六十秒为三率得六百六十九万六千秒以二十一分化一千三百六十秒除之得五百三十一秒以六十除之得八十八分五十五秒以十五为刻而一得五刻一十三分五十五秒以减食甚一十一时四十九分二十二秒得一十○时三十五分二十七秒为初亏在己正二刻五分二十七秒(按此条数多误)求复圆置定朔后四刻以定朔应时十二时八分二十七秒加之得一十三时八分二十七秒度限在双女二十五度二十四分即午后二十二度三十二分以减太阳经度二十八度五十分三三得三度一十六分三十三秒距顶四十二度三十五分以九十减之余地平高四十八度二十五分求时差以六十从上以地平高四十八度从右得四十四分三五又以二十五分从右得三秒并之得四十四分三秒为大视差以四十四分从上以三度从右得二分十八秒又以十六分从右得十二秒共二分三十秒为时差以二分三十秒太阴行较一十三分○四秒太阴行余十分四十秒以四宫八度太阴实行三十二分十秒减之余二十一分三十秒为四刻间太阴行太阴行四刻得二十一分三十○秒今行三十一分当为时若干以四刻化三千六百秒为二率以三十一分化一千八百六十秒为三率得六百九十九万六千秒以二十一分三十秒化一千二百九十秒除之得五万二千六百秒以六十秒除之得八十七分六十五秒以十五分为刻而一得五刻一十三分四秒以加食甚得十三时一十七分二十六秒未初一刻二分二十六秒求起复方位置视距度六分二十秒入表得六宫一度一十二分又自初亏至食甚太阴行三十一分七秒与交周相减得初亏交六宫○四十一分五十一秒相加得复圆交六宫一度四十三分○五秒得初亏距度三分三十三秒复圆距度八分五十三秒崇祯壬申三月望月食㑹时一百三十三日一十三时四十三分三六 纪日癸丑太阳引数四宫○六度三○四八太阴引数五宫○八度四六○八太阳经度四宫一十二度三十四分○二秒交周六宫○六度四十三分一四太阳均度一度五七加太阴均度一度五十一分一五减日月相距弧三度三十六分日月相距时刻二十○时三十三分三六太阳次引四宫○六度四十七分三八太阴次引五宫一十二度二九一九太阳次均一度三十六分四五加太阴次均一度三十二分五五减日月次距弧三度九分四十秒日月次距日一十九时五十六分五四太阴实望距度四十四分在黄道南食分太阴引数求月半径一十七分一五地景四十六分五十秒并减距度余一十九分六十四秒以十乘之以太阴视径三十四分三十秒为法得月食五分六十秒食时以太阳在中距以太隂次引五宫一十二度入表得食甚一时五十三分二十五秒食既五十九分三十三秒起复方位初亏月在黄道南三十八分复圆月在黄道南五十分月食经度以太阳经度加太阳次均度又以太阳经行四分三十八秒半之并加得四宫一十四度一十三分○六秒对宫为十宫一十四度三分○六秒(氐四度一)(十九分○六秒)以定望一十九时五十六分五四加食既得二十○时五十○分一十九秒复圆亥初二刻一十九分九秒减食甚得初亏一十九时○三分二九酉正三刻一十二分二九食甚戌初三刻一十一分五十四秒依广舆图毎度应时四分顺天府以东加之以西减之得各省直见食时刻凡十五分为一刻年太阳 月 日崇祯四年辛未太阴(十月十二日夜子正后六时三分距根三百十九日)崇祯七年甲戌土星(八月初七日庚申日辛距根二百五十一日用初八 酉子正)崇祯七年甲戌木星(闰八月二十七日庚戌距限三百○ ○日)戊寅年火星(正月初四日夘初五小时距根 五十七日根辛未木日戊辰)相未其半切半距减并乘除切得减 (太阳)减减到余之线径日为为 线度半 (本年)日距日 较总 数 (最髙)实日冲 数数 存 (数)经恒星差天学㑹通◆ 《历算全书-清-》（KR3f0026）
## 提要
钦定四库全书 子部六
厯算全书 天文算法类一(推歩之属)提要(臣)等谨厯算全书六十巻国朝梅文鼎撰文鼎字定九宣城人笃志嗜古尤精厯算之学康熙四十一年大学士李光地尝以其厯学疑问进呈㑹圣祖仁皇帝南廵于徳州召见御书积学参微四字赐之以年老遣归嗣诏修乐律厯算书下江南总督征其孙㲄成入侍直律吕正义书成复驿致命校勘后年九十余终于家特命织造曹𫖯为经纪其䘮至今传为稽古之至荣所著厯算诸书李光地尝刻其七种余多晚年纂述或已订成帙或畧具草稿魏荔彤求得其本以属无锡杨作枚校正作枚遂附以已说并为补所未备而刋行之凡二十九种名之曰厯算全书然序次错杂未得要领谨重加编次以立厯者居前而以言算者列于后首曰厯学疑问论厯学古今疏宻及中西二法与囘囘厯之异同即尝䝉圣祖仁皇帝亲加㸃定者谨以冠之简编次曰厯学疑问补亦杂论厯法纲领次曰厯学答问乃与一时公卿大夫以厯法往来问答之辞次曰弧三角举要乃用浑象表弧三角之形式次曰环中黍尺乃弧三角以角代算之法次曰岁周地度合考乃考髙卑岁实及西国年月地度弧角里差次曰平立定三差说推七政赢缩之故次曰冬至考用统天大明授时三法考春秋以来冬至次曰诸方日轨乃以北极髙二十度至四十二度各地日轨按时节为立成表次曰五星纪要总论五星行度次曰火星本法専论火星迟疾次曰七政细草载推步日月五星法及恒星交宫过度之术次曰揆日候星纪要列直𨽻江南河南陜西四省表景并三垣列宿经纬定为立成表次曰二铭补注解仰仪铭简仪铭次曰厯学骈枝乃所注大统厯法次曰交㑹管见乃以交食方位向称南北东西者改为上下左右次曰交食䝉求乃推算法数次曰古算衍畧次曰筹算次曰茟算次曰度算释例俱为歩算之根源次曰方程论次曰勾股阐微次曰三角法举要次曰觧割圜之根次曰方圆幕积次曰㡬何补编次曰少广拾遗次曰堑堵测量皆以推阐算法或衍九章之未备或著今法之面形或论中西形体之变化或释弧矢勾股八线之比例盖厯算之术至是而大备矣我国家修明律数探赜索隠集千古之大成文鼎以草野书生乃能覃思切究洞悉源流其所论著皆足以通中西之㫖而折今古之中自郭守敬以来罕见其比其受圣天子特逹之知固非偶然矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 恭记
壬午十月扈驾南巡驻跸徳州有㫖取所刻书集回奏匆遽未曽携带且多系经书制举时文应塾校之需不足尘览有宣城处士梅文鼎厯学疑问三巻(臣)所订刻谨呈求圣诲奉㫖朕留心厯算多年此事朕能决其是非将书留览再发二日后承召面见上云昨所呈书甚细心且议论亦公平此人用力深矣朕带回宫中仔细看阅(臣)因求皇上亲加御笔批駮改定庶草野之士有所取裁(臣)亦得以预闻一二不胜幸甚上肯之越明年春驾复南巡遂于行在发回原书面谕朕已细细看过中间圏㸃涂抹及签贴批语皆上手笔也臣复请此书疵缪所在上云无疵缪但算法未备盖梅书原未完成圣谕遂及之窃惟自古怀抱道业之士承诏有所述作者无论已若乃私家蔵录率多尘埋瓿覆至厯象天官之奥尤世儒所谓专门绝学者盖自好事耽奇之徒往往不能竟篇而罢曷能上烦乙夜之观句谭字议相酬酢如师弟子梅子之遇可谓千载一时方今宸翰流行天下独未有裁自圣手之书蓄于人间者岂特若洛下之是非坚定而子云遗编所谓遭遇时君度越诸子者亦无待乎桓谭之屡叹矣既以书归之梅子而为叙其时月因起俾梅宝奉焉甲申五月壬戌(臣)李光地恭记
## 序
序
厯学疑问梅子定九之所著也先生于是学覃思博考四十年余凡所撰述满家自专门者不能殚览也余谓先生宜撮其指要束文伸义章缝之士得措心焉夫列代史志掀及律厯则几而不视况一家之书哉先生肯余言以受馆之暇为之论百十篇而托之疑者或曰子之强梅子以成书也于学者信乎当务欤曰畴人星官之所专司不急可也夫梅子之作辨于理也理可不知乎乾坤父母也继志述事者不离乎动静居息色笑之间故书始厯象诗咏时物礼分方设官春秋以时纪事易观于隂阳而立卦合乎岁闰以生蓍其所谓秩叙命讨好恶美刺治教兵刑朝㑹搂伐建侯迁国之大涉川畜牝之细根而本之则始于太乙而殽于隂阳日星以为纪月以为量四时以为柄鬼神以为徒故曰思知人不可以不知天仰则观于天文穷理之事也此则儒者所宜尽心也圣之多才艺而精创作必称周公自大司徒土圭之法周髀盖天之制后世少有知者汉唐而下最著者数家率推一时一处以为定论其有四出测候逾数千里则已度越古今而未能包八极以立说海外之士乘之真谓吾书之所未有微言既逺冺冺棼棼可胜诘哉梅子闵焉稽近不遗矣而源之务索其言之成则援熙朝之厯以合于轩姬虞夏洙泗闽洛冺然也此固我皇上膺厯在躬妙极道数故草野之下亦笃生异士见知而与闻之而梅子用心之勤不惮探赜表微以归于至当一书之中述圣尊王兼而有焉昔刘歆三统文具汉志子云太𤣥平子以为汉家得岁二百年之书也彼刘扬乌知天皆据洛下一家法而傅㑹以经义云尔今先生之论罗罔千载明皇厯之得天即象见理综数归道异日兰台编次必有取焉七政三统殆不足儗而书体简实平易不为枝离佶屈吾知其说亦大行于经生家非如太𤣥之覆醤瓿者而终不显矣先生之归也谓余叙之余不足以知厯姑叙其大意以质知先生者先生续且为之图表数术以继斯巻余犹得竟学而观厥成焉淸溪李光地书
## 序
序
厯元起冬至其来旧矣易复卦传曰先王以至日闭闗商旅不行后不省方孟子曰天之高也星辰之逺也茍求其故千岁之日至可坐而致故古来治厯者其立算并起冬至夫有所受之也欲騐将来必推已往所谓求其故也秦炬以前古术难征惟春秋左氏传僖公五年春王正月辛亥朔日南至公既视朔遂登观台以望而书此冬至之有日名灼然可据者自汉以后渐讲于测景之法然测景最难真确载在史书可信者不过数十条故元时许衡王恂郭守敬等造授时厯据之以考厯法之疎密也古今厯法七十余家皆由疎以至密必取其最密者以相参考而其说始定是故唐厯莫善于大衍其次莫善于宣明宋厯莫善于纪元尤莫善于统天金厯莫善于赵知微而授时厯集其大成故以此六家互相稽考也今依其本法求之则合于当时者或戾于古合于古者又不效于今惟授时统天能上考下求而多所合由是观之厯学之古疎今密约畧可见而岁起冬至则岁实之古大今小较然不诬即统天授时上考下求百年消长之法亦自有据并可以深思而得其故矣(按百年消长之法统天厯术中已暗藏其数至授时乃发明之郭太史自言创法五端原未及此)元史厯议已具录六厯所得日名离合之端然未详算法兹特各依其本法详衍使学厯者攷焉宣城梅文鼎
## 卷一
钦定四库全书厯算全书巻一宣城梅文鼎撰厯学疑问一论厯学古疏今密问三代典制厄于秦火故儒者之论谓古厯宜有一定不变之法而不可复考后之人因屡变其法以求之葢至于今日之宻合而庶几克复古圣人之旧非古疏而今密也曰圣人言治厯明时盖取于革故治厯者当顺天以求合不当为合以验天若预为一定之法而不随时修改以求无弊是为合以验天矣又何以取于革乎且吾尝徴之天道矣日有朝有禺有中有昃有夜有晨此厯一日而可知者也月有朔有生明有弦有望有生魄有下弦有晦此厯一月而可知者也时有春夏秋冬昼夜有永短中星有推移此歴一岁而可知者也乃若荧惑之周天则厯二年岁星则十二年土星则二十九年(皆约整数)夫至于十二年二十九年而一周已不若前数者之易见矣又其毎周之间必有过不及之余分所差甚㣲非厯多周岂能灼见乃若岁差之行六七十年始差一度厯二万五千余年而始得一周虽有期颐上夀所见之差不过一二度亦安从辨之迨其厯年既乆差数愈多然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也前人不能预见后来之差数而后人则能尽考前代之度分理愈乆而愈明法愈修而愈密势则然耳问者曰若是则圣人之智有所穷欤曰使圣人为一定之法则穷矣惟圣人深知天载之无穷而不为一定之法必使随时修改以求合天是则合天下万世之聪明以为其耳目圣人之所以不穷也然则厯至今日而愈密者皆圣人之法之所该矣论中西二法之同问者曰天道以乆而明厯法以修而密今新厯入而尽变其法以从之则前此之积候举不足用乎曰今之用新厯也乃兼用其长以补旧法之未备非尽废古法而従新术也夫西厯之同乎中法者不止一端其言日五星之最髙加减也即中法之盈缩厯也在太隂则迟疾厯也其言五星之岁轮也即中法之段目也(迟留逆伏)其言恒星东行也即中法之岁差也其言节气之以日躔过宫也即中法之定气也其言各省直节气不同也即中法之里差也但中法言盈缩迟疾而西说以最髙最卑明其故中法言段目而西说以岁轮明其故中法言岁差而西说以恒星东行明其故是则中厯所著者当然之运而西厯所推者其所以然之源此其可取者也若夫定气里差中厯原有其法但不以注厯耳非古无而今始有也西厯始有者则五星之纬度是也中厯言纬度惟太阳太隂有之(太阳出入于赤道其纬二十四度太隂出入于黄道其纬六度)而五星则未有及之者今西厯之五星有交㸃有纬行亦如太阳太隂之详明是则中厯缺陷之大端得西法以补其未备矣夫于中法之同者既有以明其所以然之故而于中法之未备者又有以补其缺于是吾之积候者得彼说而益信而彼说之若难信者亦因吾之积候而有以知其不诬虽圣人复起亦在所兼收而亟取矣论中西之异问今纯用西法矣若子之言但兼用其长耳岂西法亦有大异于中而不可全用抑吾之用之者犹有未尽欤曰西法亦有必不可用者则正朔是也中法以夏正为岁首此万世通行而无弊者也西之正朔则以太阳㑹恒星为岁其正月一日定于太阳躔斗四度之日而恒星既东行以生岁差则其正月一日亦屡变无定故在今时之正月一日定于冬至后十一日溯而上之可七百年则其正月一日在冬至日矣又溯而上之七百年又在冬至前十日矣由今日顺推至后七百年则又在冬至后二十日矣如是不定安可以通行乎此徐文定公造厯书之时弃之不用而亦畧不言及也然则自正朔外其余尽同乎曰正朔其大者也余不同者尚多试畧举之中法歩月离始于朔而西法始于望一也中法论日始子半而西法始午中二也中法立闰月而西法不立闰月惟立闰日三也黄道十二象与二十八舍不同四也余星四十八象与中法星名无一同者五也中法纪日以甲子六十日而周西法纪日以七曜凡七日而周六也中法纪岁以甲子六十年而周西法纪年以以总积六千余年为数七也中法节气起冬至而西法起春分八也以上数端皆今厯所未用徐文定公所谓镕西算以入大綂之型模葢谓此也(就中推闰日用之于恒表积数而不)(废闰月犹弗用也其总积之年厯指中偶一举之而不以纪岁)论今法于西厯有去取之故问者曰皆西法也而有所弃取何也曰凡所以必用西法者以其测算之精而己非好其异也故凡最高卑加减黄道经纬之属皆其测算之根而不得不用者也若夫测算之而既合矣则纪日于午何若纪于子之善也纪月于朢何若纪于朔之善也四十八象十二象之星名与三垣二十八宿虽离合不同而其星之大小逺近在天无异也又安用此纷纷乎此则无闗于测算之用者也乃若正朔之颁为国家礼乐刑政之所出圣人之所定万世之所遵行此则其必不可用而不用者也又何惑焉论囘囘厯与西洋同异问囘囘亦西域也何以不用其厯而用西洋之厯曰囘囘厯与欧罗巴(即西洋厯)同源异派而踈宻殊故囘囘厯亦有七政之最髙以为加减之根又皆以小轮心为平行其命度也亦起春分其命日也亦起午正其算太隂亦有第一加减第二加减算交食三差亦有九十度限亦有影径分之大小亦以三百六十整度为周天亦以九十六刻为日亦以六十分为度六十秒为分而逓析之以至于㣲亦有闰日而无闰月亦有五星纬度及交道亦以七矅纪日而不用干支其立象也亦以东方地平为命宫其黄道上星亦有白羊金牛等十二象而无二十八宿是种种者无一不与西洋同故曰同源也然七政有加减之小轮而无均轮太隂有倍离之经差加减而无交均之纬差故愚尝谓西厯之于囘囘犹授时之于纪元统天其踈密固较然也然在洪武间未尝不密其西域大师马哈麻马沙亦黒颇能精于其术但深自秘惜又不著立表之根后之学者失其本法之用反借大统春分前定气之日以为立算之基何怪其乆而不效耶然其法之善者种种与西法同今用西法即用囘囘矣岂有所取舎于其间哉(按囘囘古称西域自明郑和奉使入洋以其非一国)(槩称之曰西洋厥后欧罗巴入中国自称大西洋谓又在囘囘西也今厯书题曰西洋新法盖囘囘厯即西洋)(旧法耳论中举新法皆曰欧罗巴不敢混称西洋所以别之也)论回回厯厯元用截法与授时同问论者谓回回厯元在千余年之前故乆而不可用其说然欤曰回回厯书以隋开皇己未为元谓之阿刺必年然以法求之实用洪武甲子为元而托之于开皇己未耳何以知之盖回回厯有太阳年太隂年自洪武甲子逆溯开皇己未距算七百八十六此太阳年也而回囘厯立成所用者太隂年也回回厯太隂年至第一月一日与春分同日之年则加一岁约为三十二三年而积闰月十二所谓应加次数也然则洪武甲子以前距算七百八十六年当有应加闰月之年二十四次而今不然即用距算查表至八百一十七算之时始加头一次然则此二十四个闰年之月日将何所归乎故知其即以洪武甲子为元也惟其然也故其总年立成皆截从距开皇六百年起其前皆缺盖皆不用之数也然则何以不竟用七百八十算为立成起处而用六百年曰所以涂人之耳目也又最髙行分自六百六十算而变以前则渐减以后则渐増其减也自十度以至初度其増也又自初度而渐加此法中厯所无故存此以见意也(初度者盖指巨蠏初㸃惟六百六十算之年最髙与此㸃合以岁计之当在洪武甲子年前一百二十六)(算其前渐减者盖是未到巨蠏之度故渐减也)由是言之其算宫分虽以开皇己未为元而其查立成之根则在己未元后二十四年(即立成所谓一年)既退下二十四年故此二十四次应加之数可以不加自此以后则皆以春分所入月日挨求亦可不必细论惟至闰满十二个月之年乃加一次此其巧㨗之法也然则其不用积年而截取现在为元者固与授时同法矣论天地人三元非回回本法问治回回厯者谓其有天地人三元之法天元谓之大元地元谓之中元人元谓之小元而以己未为元其简法耳以子言观之其说非欤曰天地人三元分算乃吴郡人陈壤所立之率非回回法也(陈星川名壤袁了凡师也嘉靖间曽上疏)(改厯而格不行)其说谓天地人三元各二千四百一十九万二千年今嘉靖甲子在人元己厯四百五十六万六千八百四十算所以为此迂逺之数者欲以求太乙数之周纪也(按太史王肯堂笔廛云太乙多不能算厯故以厯法求太乙多不合惟陈星川之太乙与厯法合)然其立法皆截去万以上数不用故各种立成皆止于千其为虚立无用之数可知矣夫三式之有太乙不过占家一种之书初无闗于厯算乂其立法以六十年为纪七十二年为元五元则三百六十年谓之周纪纯以干支为主而西域之法不用干支安得有三元之法乎今天地人三元之数现在厯法新书初未尝言其出于回回也盖明之知回回厯者莫精于唐荆川顺之陈星川壤两公而取唐之说以成书者为周云渊述学述陈之学以为书者为袁了凡黄然云渊厯宗通议中所述荆川精语外别无发眀(有厯宗中经余未见)而荆川亦不知最髙为何物(唐荆川曰要求盈缩何故减那最髙行度只为岁差积乆年年欠下盈缩分数以此补之云云)(是未明厥故也)若云渊则直以毎日日中之晷景当最髙尤为臆说矣了凡新书通回回之立成于大统可谓苦心然竟削去最髙之算又直用大统之岁余而弃授时之消长将逆推数百年亦已不效况数千万年之乆乎人惟见了凡之书多用回回法遂误以为西域土盘本法耳又若薛仪甫凤祚亦近日西学名家也其言囘囘厯乃谓以己未前五年甲寅为元此皆求其说不得而强为之解也总之回回厯以太隂年列立成而又以太阳年查距算巧藏其根故虽其专门之裔且不能知无论他人矣(查开皇甲寅乃回教中所𫝊彼国圣人辞世之年故用以纪岁非厯元也薛仪甫盖以此而误)论回回厯正朔之异问回回厯有太阳年又有太隂年其国之纪年以何为定乎曰回回国太隂年谓之动的月其法三十年闰十一日而无闰月惟以十二个月为一年(无闰则三百五十四日有闰则)(三百五十五日)故遇中国有闰月之年则其正月移早一月(如首)(年春分在第一月遇闰则春分在第二月而移其春分之前月为第一月)故曰动的月其太阳年则谓之不动的月其法以一百二十八年而闰三十一日皆以太阳行三十度为一月即中厯之定气其白羊初即为第一月一日岁岁为常故曰不动的月也然其纪岁则以太隂年而不用太阳年此其异于中厯而并异于欧罗巴之一大端也然又有异者其毎岁斋月又不在第一月而在第九月满此斋月至第十月一日则相贺如正旦焉不特此也其所谓月一日者又不在朔不在朢而在哉生明之后一日其附近各国皆然瀛涯胜览诸书可考而知也马欢瀛涯胜览曰占城国无闰月但十二月为一年昼夜分为十更用鼓打记又曰阿丹国无闰月气候温和常如八九月惟以十二个月为一年月之大小若头夜见新月明日即月一也又曰榜葛刺国亦无闰月以十二个月为一年按马欢自称㑹稽山樵曽従郑和下西洋故书其所见如此盖其国俱近天方故风俗并同其言月一者即月之第一日在朔后故不言朔厥后张升改其文曰以月出定月之大小夜见月明日又为一月也文句亦通然非月一字义也又按一统志天方国古筠冲之地旧名天堂又名西域有回回厯与中国前后差三日葢以见新月之明日为月之一日故差三日○又按素问云一昼一夜五分之隋志云昼有朝有禺有中有晡有夕夜有甲乙丙丁戊则昼夜十更之法中法旧有之○又熊䃪石岛夷志曰舶舟视旁罗之针罗罗处甚幽密惟开小扄直舵门灯长燃不分昼夜夜五更昼五更合昼夜十二辰为十更其针路悉有谱按此以十更记程而百刻匀分不论冬夏长短与记里鼓之意略同若素问隋志所云则以日出入为断而昼夜有长短更法因之而变两法㣲别占城用鼔打记不知若何要不出此二法论夏时为尧舜之道问古有三正而三王迭用之则正朔原无定也安在用太隂年用恒星年之为非是乎曰古圣人之作厯也以敬授民时而已天之气始于春盛于夏敛于秋伏藏于冬而万物之生长收藏因之民事之耕耘收获因之故圣人作厯以授民时而一切政务皆顺时以出令凡郊社禘尝之礼五祀之祭搜苗狝狩之节行庆施惠决狱治兵之典朝聘之期饮射读法劝耕省敛土功之事洪纎具举皆于是乎在故天子以颁诸侯诸侯受而藏诸祖庙以毎月告朔而行之厯之重葢如是也而顾使其游移无定何以示人遵守乎如回回厯则毎二三年而其月不同是春可为夏夏可为冬也如欧罗巴则毎七十年而差一日积之至乆四时亦可互为矣是故惟行夏之时斯为尧舜之道大中至正而不可易也然则又何以有三正曰三正虽殊而以春为民事之始则一也故建丑者二阳之月也建子者一阳之月也先王之于民事也必先时而戒事犹之日出而作而又曰鸡鸣而起中夜以兴云尔岂若毎岁迁徙如是其纷纷者哉虽其各国之风俗相沿而不自觉然以数者相较而孰为正大孰为烦碎则必有辨矣论语行夏之时古注云据见万物之生以为四时之始取其易知论西厯亦古疏今宻问中厯古疏今密实由积候固己西厯则谓自古及今一无改作意者其有神授欤曰殆非也西法亦由积候而渐至精密耳隋以前西厯未入中国其见于史者在唐为九执厯在元为万年厯在明为回回厯在本朝为西洋厯新法然九执厯课既疏逺唐大衍厯既成而一行卒瞿昙怨不得与改厯事讼于朝谓大衍写九执厯未尽其法诏厯官比验则九执厯课最䟽万年厯用亦不乆元太祖庚辰西征西域厯人奏五月朢月当蚀耶律楚材曰否卒不蚀明年十月楚材言月当蚀西域人曰不蚀至期果蚀八分世祖至元四年西域札玛鲁丹撰进万年厯世祖稍颁行之至十八年改用授时厯回回厯明用之三百年后亦渐䟽明洪武初设回回司天台于雨花台寻罢回回司天监设回回科𨽻钦天监毎年西域官生依其本法奏进日月交蚀及五星凌犯等厯欧罗巴最后出而称最精岂非后胜于前之明验欤诸如厯书所述多禄某之法至歌白泥而有所改订歌白泥之法至地谷而大有变更至于地谷法畧备矣而逺镜之制又出其后则其为累测益精大畧亦如中法安有所谓神授之法而一成不易者哉是故天有层数西法也而其说或以为九重或以为十二重今则以金水太阳共为一重矣又且以火星冲日之时比日更近而在太阳天之下则九重相裹如葱头之说不复可用矣太阳大于地西说也而其初说日径大于地径一百六十五倍竒今只筭为五倍竒两数相悬不啻霄壤矣太阳最髙卑岁岁东移西法也然先定二至后九度后改定为六度今复移进半度为七度竒矣又何一非后来居上而谓有神授不由积验乎浑盖通宪定奥日在巨蠏九度即最髙也其时为万厯丁未在戊辰厯元前二十年是利西泰所定厥后厯书定戊辰年最髙冲度在冬至后五度五十九分五十九秒以较万厯丁未所定之奥日凡改退三度有竒是徐文定公及汤罗诸西士所定今康熙永年厯法重定康熙戊午髙冲在冬至后七度○四分○四秒以较厯书二百恒年表原定戊午髙冲六度三十七分二十九秒凡移进二十六分三十五秒其书成于厯书戊辰元后五十年是治理厯法南懐仁所定论地圎可信问西人言水地合一圆球而四面居人其地度经纬正对者两处之人以足版相抵而立其说可信欤曰以浑天之理徴之则地之正圆无疑也是故南行二百五十里则南星多见一度而北极低一度北行二百五十里则北极髙一度而南星少见一度若地非正圎何以能然至于水之为物其性就下四面皆天则地居中央为最下水以海为壑而海以地为根水之附地又何疑焉所疑者地既浑圎则人居地上不能平立也然吾以近事徴之江南北极髙三十二度浙江髙三十度相去二度则其所戴之天顶即差二度(江南天顶去北极五十八度浙江天顶去北极六十度)各以所居之方为正则遥㸔异地皆成斜立又况京师极髙四十度琼海极髙二十度(京师以去北极五十度之星为天顶琼海以去北极七十度之星为天顶)若自京师而观琼海其人立处皆当倾跌(琼海望京师亦复相同)而今不然岂非首戴皆天足履皆地初无欹侧不忧环立欤然则南行而过赤道之表北逰而至戴极之下亦若是已矣是故大戴礼则有曽子之说大戴礼单居离问于曽子曰天圆而地方诚有之乎曽子曰如诚天圆而地方则是四角之不揜也参尝闻之夫子曰天道曰圆地道曰方内经则有岐伯之说内经黄帝曰地之为下否乎岐伯曰地为人之下太虚之中也曰凭乎曰大气举之也素问又曰立于子而面午立于午而面子皆曰北面立于午而负子立于子而负午皆曰南靣释之者曰常以天中为北故对之者皆南也宋则有邵子之说邵子观物篇曰天何依曰依地地何附曰附天曰天地何所依附曰自相依附程子之说程明道语录曰天地之中理必相直则四边当有空阙处地之下岂无天今所谓地者特于天中一物尔又曰极须为天下之中天地之中理必相直今人所定天体只是且以眼定视所极处不见遂以为尽然向曽有于海上见南极下有大星数十则今所见天体葢未定以土圭之法騐之日月升降不过三万里中然而中国只到鄯善莎车已是一万五千里就彼观日尚只是三万里中也地圆之说固不自欧逻西域始也元西域札玛鲁丹造西域仪像有所谓库哩叶阿喇斯汉言地里志也其制以木为圆毬七分为水其色绿三分为土地其色白画江河湖海贯串于其中画作小方井以计幅员之广袤道里之逺近此即西说之祖论葢天周髀问有圆地之说则里差益明而浑天之理益著矣古乃有葢天之说殆不知而作者欤曰自扬子云诸人主浑天排葢天而葢说遂诎由今以观固可并存且其说实相成而不相悖也何也浑天虽立两极以言天体之圆而不言地圎直谓其正平焉耳若葢天之说具于周髀其说以天象盖笠地法覆槃极下地髙滂沲四𬯎而下则地非正平而有圆象明矣故其言昼夜也曰日行极北北方日中南方夜半日行极东东方日中西方夜半日行极南南方日中北方夜半日行极西西方日中东方夜半凡此四方者昼夜易处加四时相及此即西厯地有经度以论时刻早晚之法也其言七衡也曰北极之下不生万物北极左右夏有不释之冰中衡左右冬有不死之草五榖一岁再熟凡北极之左右物有朝生暮获(赵君卿注曰北极之下从春分至秋分为昼从秋分)(至春分为夜)即西厯以地纬度分寒煖五带昼夜长短各处不同之法也使非天地同为浑圎何以能成此算周髀本文谓周公受于商髙虽其详莫攷而其说固有所本矣然则何以不言南极曰古人著书皆详于其可见而略于所不见即如中高四下之说既以北极为中矣而又曰天如倚盖是亦即中国之所见拟诸形容耳安得以辞害意哉故写天地以圆器则葢之度不违于浑图星象于平楮则浑之形可存于葢唐一行善言浑天者也而有作葢天圗法元郭太史有异方浑盖圗今西厯有平浑仪皆深得其意者也故浑盖之用至今日而合浑盖之说亦至今日而合浑盖之说亦至今日而益明元札马鲁丁西域仪象有兀速都儿刺不定汉言昼夜时刻之器其制以铜如圆镜而可挂面刻十二辰位昼夜时刻上加铜条缀其中可以圆转铜条两端各屈其首为二窍以对望昼则视日影夜则窥星辰以定时刻以则休咎背嵌镜片二面刻其圗凡七以辨东西南北日影长短之不同星辰向背之有异故各异其图以尽天地之变焉按此即今浑盖通宪之制也以平诠浑此为最著论周髀仪器问若是则浑盖通宪即盖天之遗制欤抑仅平度均布如唐一行之所云耶曰皆不可考矣周髀但言笠以写天天青黒地黄赤天数之为笠也赤黒为表丹黄为里以象天地之位此盖写天之器也今虽不𫝊以意度之当是圆形如笠而图度数星象于内其势与仰观不殊以视平圗浑象转为亲切何也星圗强浑为平则距度之䟽密改观浑象图星于外则星形之左右易位若写天于笠则其圆势屈而向内星之经纬距皆成弧度与测筭脗合胜平圗矣又其星形必在内面则星之上下左右各正其位胜浑象矣论厯元问造厯者必先立元元正然后定日法法立然后度周天古厯数十家皆同此术至授时独不用积年日法何欤曰造厯者必有起算之端是谓厯元然厯元之法有二其一逺溯初古为七曜齐元之元自汉太初至金重修大明厯各所用之积年是也其一为截算之元自元授时不用积年日法直以至元辛巳为元而今西法亦以崇祯戊辰为元是也二者不同然以是为起算之端一而已矣则二者无优劣乎曰授时优夫所谓七曜齐元者谓上古之时岁月日时皆㑹甲子而又日月如合璧五星如连珠故取以为造厯之根数也使其果然虽万世遵用可矣乃今卄一史中所载诸家厯元无一同者是其积年之乆近皆非有所受之于前直以巧算取之而已然谓其一无所据而出于胸臆则又非也当其立法之初亦皆有所验于近事然后本其时之所实测以旁证于书𫝊之所𫝊约其合者既有数端遂援之以立术于是溯而上之至于数千万年之逺庶几各率可以齐同积年之法所由立也然既欲其上合厯元又欲其不违近测畸零分秒之数必不能齐势不能不稍为整顿以求巧合其始也据近测以求积年其既也且将因积年而改近测矣又安得以为定法乎授时厯知其然故一以实测为凭而不用积年虚率上考下求即以至元十八年辛巳岁前天正冬至为元其见卓矣按唐建中时术者曺士𫇭始变古法以显庆五年为上元雨水为岁首号符天厯行于民间谓之小厯又五代石晋髙祖时司天监马重绩造调元厯以唐天寳十四载乙未为上元用正月雨水为气首此二者亦皆截筭之法授时厯葢采用之耳然曺马二厯未尝密测逺徴不过因时厯之率截取近用若郭太史则制器极精四海测验者二十七所又上考春秋以来至于近代然后立术非舍难而就易也 又按孟子千岁日至赵注只云日至可知其日孙奭疏则直云千岁以后之日至可坐而定初不言立元论西法积年问厯元之难定以岁月日时皆㑹甲子也若西厯者初不知有甲子何难溯古上元而亦截自戊辰欤曰西人言开辟至今止六千余年是即其所用积年也然厯书不用为元者何也既无干支则不能合于中法一也又其法起春分与中法起冬至不同以求上古积年毕世不能相合二也且西书所𫝊不一其积年之说先有参差三也故截自戊辰为元亦镕西算入中法之一事葢立法之善虽巧算不能违矣天地仪书自开辟至崇祯庚辰凡五千六百三十余年圣经直解开辟至崇祯庚辰凡六千八百三十六年通雅按诸太西云自开辟至崇祯甲申六千八百四十年依所制稽古定仪推之止五千七百三十四年月离厯指曰崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年天文实用云开辟初时适当春分又云中西皆以角为宿首因开辟首日昬时角为中星也今以恒星本行逆推约角宿退九十度必为中星计年则七千矣与圣经纪年合开辟至洪水天地仪书云一千六百五十余年圣经直解则云二千二百四十二年相差五百九十二年洪水至汉哀帝元夀二年庚申天主降生天地仪书云二千三百四十余年圣经直解则云二千九百五十四年相差六百一十四年遗诠又云二千九百四十六年比圣经直解又少八年论日法问上古积年荒忽无凭去之诚是也至于日法则现在入用之数也而古厯皆有日法授时何以独无曰日法与厯元相因而立者也不用积年自可不用日法矣盖古厯气朔皆定大小余大余者日也小余者时刻也凡七曜之行度不能正当时刻之初而或在其中半难分之处非以时刻剖析为若干分秒则不能命筭此日法所由立也自日法而析之则有辰法刻法分法秒法自日法而积之则有气䇿法朔实法岁实法旬周法与日日法同用者则有度法宿次法周天法又有章法蔀法纪法元法一切诸法莫不以日法为之纲古厯首定日法而皆有畸零葢以此也惟日法有畸零故诸率从之而各有畸零之数矣夫古厯岂故为此繁难以自困哉欲以上合于所立之厯元而为七曜之通率有不得不然者也(如古法以九百四十分为日法其四分之一则为二百三十五所以然者以十九年一章有二)(百三十五月也又古法月行十九分度之七是以十九分为度法亦以十九年一章有七闰也他皆类此)今授时既不用积年即章蔀纪元悉置不用而一以天验为徴故可不用畸零之日法而竟以万分为日日有百刻刻有百分故一万也自此再析则分有百秒秒有百微皆以十百为等而递进退焉数简而明易于布算法之极善者也是故授时非无日法也但不用畸零之日法耳用畸零之日法乘除既繁而其势又有所阻故分以下复用秒母焉用万分之日可以析之屡析至于无穷(日躔之用有秒则日为百万月离之用有㣲则日为亿万)而乘除之间转觉其易是小余之细未有过于授时者也而又便于用岂非法之无弊可以万世遵行者哉按宋蔡季通欲以十二万九千六百为日法而当时厯家不以为然畏其细也然以较授时犹未及其秒数而不便于用者有畸零也有畸零而又于七曜之行率无闗何怪厯家之不用乎若回回泰西则皆以六十递析虽未尝别立日法而秒㣲以下必用通分颇多纡折若非逐项立表则其繁难不啻数倍授时矣薛仪甫著天学㑹通以六十分改为百分诚有见也厯算全书巻一
## 卷二
钦定四库全书厯算全书巻二宣城梅文鼎撰厯学疑问二论岁实(闰余)问岁实有一定之数而何以有闰余曰惟岁实有一定之数所以生闰余也凡纪岁之㳒有二自今年冬至至来年冬至凡三百六十五日二十四刻二十五分而太阳行天一周是为一岁二十四莭气之日(据授时大统之数或自今)(年立春至来年立春亦同)周礼太史注中数曰岁朔数曰年自今年冬至至明年冬至岁也自今年正月朔至明年正月朔年也古有此语要之岁与年固无大别而中数朔数之不齐则气盈朔虚之所由生自正月元旦至腊月除夕凡三百五十四日三十六刻七十一分一十六秒而太阴㑹太阳于十二次一周是为一岁十二月之日(亦据授时平朔言之)两数相较则莭气之日多于十二月者一十日八十七刻五十三分八十四秒是为一岁之通闰积至三年共多三十二日六十二刻六十一分五十二秒而成一闰月仍多三日零九刻五十五分五十九秒积至五年有半共多五十九日八十一刻四十六分一十二秒而成两闰月仍多七十五刻三十四分二十六秒古云三岁一闰五岁再闰者此也然则何以不竟用莭气纪歳则闰月可免矣曰晦朔弦望易见者也莭气过宫难见者也敬授人时则莫如用其易见之事而但为之闰月以通之则四时可以不忒尧命羲和以闰月定四时成歳此尧舜之道万世不可易也若囘囘厯有太阴年为动的月有太阳年为不动的月夫既谓之月安得不用晦朔弦望而反用莭气乎故囘囘厯虽有太阳年之算而天方诸国不以纪歳也沈存中欲以莭气纪歳而天经或问亦有是言此未明古圣人之意者矣论歳余消长问歳实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋綂天之法然亦非綂天亿创之法而合古今累代之法而为之者也盖古厯周天三百六十五度四分度之一一歳之日亦如之故四年而增一日(今西)(厯永年表亦同)其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之(古厯)(起斗终斗故四分之一皆寄斗度谓之斗分)自汉而晋而唐而宋毎次改厯必有所减以合当时实测之数故用前代之厯以顺推后代必至后天以斗分强也(斗分即岁余)若用后代之厯据近测以逆溯往代亦必后天以斗分弱也(前推后而歳余强则所推)(者过于后之实测矣后推前而岁余弱则所推者不及于前之实测矣故皆后天)綂天厯见其然故为之法以通之于歳实平行之中加一古多今少之率则于前代诸厯不相乖戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然綂天厯蔵其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也然则大綂厯何以不用消长曰此则元綂之失也当时李徳芳固巳上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇祯厯书谓元綂得之测验窃不谓然何也元綂与徳芳辨但自言未变旧法不言测騐有差又其所著通轨虽便初学殊昧根宗间有更张辄违经㫖(如月食时差既内分等俱妄改背理)岂能于冬至加时后先一刻之间而测得真数乎然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大綂法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎然则綂天授时之法同乎曰亦不同也綂天厯逐年逓差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如綂天矣夫必百年而消长一分未尝不是乃以乗距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄钟厯法所以有所酌改也(假如康熙辛酉年距元四百算)(该消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年岁余二十四刻二十二分而辛酉年歳余)(二十四刻二十一分也以此所消之一分乗距算得四百分则辛酉岁前冬至忽早四刻而次年又只平运以)(实数计之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分)(其法舛矣)论岁实消长之所以然问岁实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其说安在岂亦有所以然之故欤曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧厯而合耳初未尝深言其故也惟厯书则为之说曰岁实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其说今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于周天三百六十度之中非有所増损于其外也如最髙则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣减度则加时矣然皆以最卑之所减补最髙之所加及其加减既周则其总数适合平行畧无余欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为迟速相补而归于平行一也岂有日轮心逺地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣又考日躔永表彼固原未有消长之说日躔厯指言平岁用授时消分定岁则用最髙差及查恒年表之用则又只用平率是其说未有所决也又厯书言日轮渐近地心数千年后将合为一㸃若前之渐消由于两心之渐近则今之消极而长两心亦将由近极而逺数千年后又安能合为一㸃乎彼盖见授时消分有据而姑为此说非能极论夫消长之故者也然则将何以求其故曰授时以前之渐消既徴之经史而信矣而今现行厯之岁实又稍大于授时其为复长亦似有据窃考西厯最髙卑今定于二至后七度依永年厯毎年行一分有竒则授时立法之时最髙卑正与二至同度而前此则在至前过此则在至后岂非髙冲渐近冬至而岁余渐消及其过冬至而东又复渐长乎余观七政厯于康熙庚申年移改最髙半度弱而其年歳实骤増一刻半强此亦一徴也存此以竢后之知厯者(巳未年最髙在夏至后六度三十九分庚申年最髙在夏至后七度七分除本行外计新移二)(十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分实计三百六十五日二十四)(刻十三分前后各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以较庚申年岁实骤増一刻九分)王寅旭曰岁实消长其说不一谓由日轮之毂渐近地心其数寖消者非也日轮渐近则两心差及所生均数亦异以论定岁诚有损益若平岁岁实尚未及均数则消长之源与两心差何与乎识者欲以黄赤极相距逺近求岁差朓朒与星岁相较为节岁消长终始循环之法夫距度既殊则分至诸限亦宜随易用求差数其理始全然必有平岁之岁差而后有朓朒之岁差有一定之岁实而后有消长之岁实以有定者纪其常以无定者通其变始可以永乆而无弊按寅旭此论是欲据黄赤之渐近以为岁实渐消之根盖见西测黄赤之纬古大今小今又觉稍赢故断以为消极复长之故然黄赤逺近其差在纬岁实消长其差在经似非一根又西测距纬复赢者彼固自疑其前测最小数之末真则亦难为确据愚则以中厯岁实起冬至而消极之时髙冲与冬至同度髙冲离至而岁实亦増以经度求经差似较亲切愚与寅旭生同时而不相闻及其卒也乃稍稍见其书今安得起斯人于九原而相与极论以质所疑乎论恒星东移有据问古以恒星即一日一周之天而七曜行其上今则以恒星与七曜同法而别立宗动是一日一周者与恒星又分两重求之古厯亦可通欤曰天一日一周自东而西七曜在天迟速不同皆自西而东此中西所同也然西法谓恒星东行比于七曜今考其度盖即古厯岁差之法耳岁差法昉于虞喜而畅于何承天祖冲之刘焯唐一行厯代因之讲求加密然皆谓恒星不动而黄道西移故曰天渐差而东岁渐差而西所谓天即恒星所谓岁即黄道分至也西法则以黄道终古不动而恒星东行假如至元十八年冬至在箕十度至康熙辛未厯四百十一年而冬至在箕三度半在古法谓是冬至之度自箕十度西移六度半而箕宿如故也在西法则是箕星十度东行过冬至限六度半而冬至如故也其差数本同所以致差者则不同耳然则何以知其必为星行乎曰西法以经纬度候恒星则普天星度俱有岁差不止冬至一处此盖得之实测非臆断也然则普天之星度差古之测星者何以皆不知耶曰亦尝求之于古矣盖有三事可以相证其一唐一行以铜浑仪候二十八舍其去极之度皆与旧经异今以歳差考之一行铜仪成于开元七年其时冬至在斗十度而自牵牛至东井十四宿去极之度皆小于旧经是在冬至以后厯春分而夏至之半周其星自南而北南纬増则北纬减故去北极之度渐差而少也自舆鬼至南斗十四宿去极之度皆大于旧经是在夏至以后厯秋分而冬至之半周其星自北而南南纬减则北纬増故去北极之度渐差而多也(星度详后)向使非恒星移动何以在冬至后者渐北在夏至后渐南乎(恒星循黄道行实只东移无所谓南北之行也而自赤纬观之则有)(南北之差盖横斜之势使然)其一古测极星即不动处齐梁间测得离不动处一度强(祖暅所测)至宋熈宁测得离三度强(沈存中测)(详梦溪笔谈)至元世祖至元中测得离三度有半(郭太史候极仪径七)(度终夜见极星循行环内切边而行是也)向使恒星不动则极星何以离次乎其一二十八宿之距度古今六测不同(详元史)故郭太史疑其动移此盖星既循黄道东行而古测皆依赤道黄赤斜交勾弦异视所以度有伸缩正由距有横斜耳不则岂其前人所测皆不足慿哉故仅以冬至言差则中西之理本同而合普天之星以求经纬则恒星之东移有据何以言之近两至处恒星之差在经度故可言星东移者亦可言岁西迁近二分处恒星之差竟在纬度故惟星实东移始得有差若只两至西移诸星经纬不应有变也如此则恒星之东移信矣恒星既东移不得不与七曜同法矣恒星东移既与七曜同法即不得不更有天挈之西行此宗动所由立也唐一行所测去极度与旧不同者列后旧经 唐测牵牛(去极)百 六度 牵牛(去极)百 四度须女 百 度(有脱字) 须女 百 一度虚 百 四度 虚 百 一度危 九十七度(有误字) 危 九十七度营室 八十五度 营室 八十三度东壁 八十六度 东壁 八十四度奎 七十六度 奎 七十三度娄 八十度 娄 七十七度胃昴 七十四度 胃昴 七十二度毕 七十八度 毕 七十六度觜觹 八十四度 觜觹 八十二度参 九十四度 参 九十三度东井 七十度 东井 六十八度以上十四宿去极之度皆古测大而唐测小是所测去极之度少于古测为其星自南而北也又按唐开元冬至在斗十度则此十四宿为自冬至后厯春分而夏至之半周旧经 唐测舆鬼 六十八度 舆鬼 六十八度栁 七十七度 栁 八十度半七星 九十一度 七星 九十三度半张 九十七度 张 百度翼 九十七度 翼 百 三度轸 九十八度 轸 百度角 九十一度(正当赤道) 角 九十三度半(在赤道南二度半)亢 八十九度 亢 九十一度半氐 九十四度 氐 九十八度房 百 八度 房 百一十度半心 百 八度 心 百一十度尾 百二十度 尾 百二十四度箕 百一十八度 箕 百二十度南斗 百一十六度 南斗 百一十九度以上十四宿去极之度皆古测小而唐测大是所测去极之度多于古测为其星自北而南也以冬至斗十度言之则此十四宿为自夏至后厯秋分而冬至之半周论七政髙下问𫝊言日月星辰系焉而今谓七政各有一天何据曰屈子天问圜则九重孰营度之则古有其语矣七政运行各一其法此其说不始西人也但古以天如棋局不动而七政错行如碁子之推移西人之说则谓日月五星各丽一天而有髙下其天动故日月五星动非七政之自动也其所丽之天表里通彻故但见七政之动耳不然则将如彗孛之类旁行斜出安得有一定之运行而可以施吾筹䇿乎且既各丽一天则皆天也虽有髙下而总一浑灏之体于中庸所谓击焉者初无抵牾也然则何以知其有髙下曰此亦古所有但言之未详耳古今厯家皆言月在太阳之下故月体能蔽日光而日为之食是日髙月下日逺月近之证也又歩日食者以交道表里而论其食分随地所见深浅各异故此方见食既者越数千里而仅亏其半古人立法谓之东西南北差是则日之下月之上相距甚逺之证也又月与五星皆能掩食恒星是恒星最在上而于地最逺也月又能掩食五星是月最在下而于地最近也五星又能互相掩是五星在恒星之下月之上而其所居又各有髙下于地各有逺近也向使七政同在一规而无髙下之距则相遇之时必相触击何以能相掩食而过乎是故居七政之上最近大圜最逺于地者为恒星恒星之下次为土星又次为木星次为火星次为太阳为金为水最近于地者为月以视差言之与人目逺者视差㣲近则视差大故恒星之视差最㣲以次渐増至月而差极大也以行度言之近大圜者为动天所掣故左旋速而右移之度迟渐近地心则与动天渐逺而左旋渐迟即右移之度反速故左旋之势恒星最速以次渐迟至月而为最迟也右移之度恒星最迟以次渐速至月而反最速也是二者宛转相求其数巧合髙下之理可无复疑(梦溪笔谈以月盈亏明日月之形如丸可谓明悉而又以问者之疑其如丸则相遇而相碍故輙漫应之)(曰日月气也有形无质故相值而无碍此则未明视差之理为智者千虑之失)论无星之天问古以恒星不动七曜常移故有蚁行磨上之喻今恒星东移既与七曜同法则恒星亦是蚁而非磨故虽宗动无星可信其有也然西法又谓动天之外有静天何以知之曰此亦可以理信者也凡物之动者必有不动者以为之根动而不息者莫如天则必有常不动者以为之根矣天之有两极也亦如硙之有脐戸之有枢也枢不动故户能开阖脐不动故硙能运旋若枢与脐动则开阖运旋之用息矣然枢能制户脐能运硙而此二者又谁制之而能不动哉则以其所丽者常静也(如户之枢)(附于屋而屋仍有基基即地也脐植于硙之下半而硙安于架架仍在地也人但知枢之于戸脐之于硙能以)(至小为至大之君而不知此至小者之根又实连于大地之体)唯天亦然动天之周系于两极而此两极者必有所丽其所丽者又必常静故能终古凝然而为动天之枢也使其不然极且自动而何以为动天之所宗乎或曰天不可以戸硙拟也戸硙物也天则一气旋转而已岂必有所附著而后其枢不动哉曰天之异于物者大小也若以不动为动之根无异理也且试以实测徴之自古言北极出地三十六度而阳城之测至今未改也元史测大都北极之髙四十度半今以西测徴之亦无分寸之移故言岁差者不及焉(如黄赤古逺今近日轮毂渐近地心之类皆有今昔之差惟北极出地之度不变)使天惟兀然浮空而又常为动而不息之物北极髙下亦将改易而何以髙度常有定测乎朱子尝欲先论太虚之度然后次及天行太虚者静天之谓也(朱子曰而今若就天里看时只是行得三百六十五度四分度之一若把天外来说则是一日过了一度)(蔡季通尝言论日月则在天里论天则在太虚空里若在太虚空里观那天自是日日裏得不在旧时处)(又曰厯法蔡季通说当先论天行次及七政此亦未善要当先论太虚以见三百六十五度四分度之一)(一一定位然后论天行以见天度加损虚度之岁分岁分既定然后七政乃可齐耳)(临川吴氏曰天与七政八者皆动今人只将天做硬盘却以七政之动在天盘上行今当以太虚中作一)(空盘却以八者之行较其迟速)论无星之天(其二)问静天为两极所丽即朱子所言太虚是已然西法又设东西岁差南北岁差二重之天其说何居曰西人象数之学各有授受师说故其法亦多不同此两岁差之天利西泰言之徐文定公作厯书时汤罗诸西士弃不复用厥后穆氏著天歩真原北海薛氏本之著天学㑹通则又用之故知其授受非一家也今即其说推之则穆与利又似不同何也西人测验谓黄赤之距渐近此亦可名南北差若东西岁差则恒星之东移是已而恒星既为一重天不应复有东西岁差之天则西泰所言不知何指也至于穆薛之说则又不正言南北东西两岁差而别有加算谓之黄道差春分差其法皆作小圏于心而大圏之心循之而转若干年在前若干年在后其年皆以千计有图有数有法且谓作厯书时弃之非是也然于西泰初说亦不知同异何如耳然则何以断其有无曰天动物也但动而有常耳常则乆乆则不能无秒忽之差差在秒忽固无损于有常之大较而要之其差亦自有常也善歩者以数合差而得其衰序则俨然有形可说有象可图焉如小轮之类皆是物也要之为图为说总以得其差数而止其数既明其差既得又何必执其形象以生聚讼哉论天重数问七政既有髙下恒星又复东移动天一日一周静天万古常定则天之重数岂不截然可数欤曰此亦据可见之度可推之数而知其必有重数耳若以此尽天体之无穷则有所不能即以西说言之有以天为九重者则以七曜各居其天并恒星宗动而九也有以天为十二重者则以宗动之外复有南北岁差东西岁差并永静之天十二也有以天为层层相裹如葱头之皮密密相切畧无虚隙者利氏之初说也又有以天虽各重而其行度能相割能相入以是为天能之无尽者则以火星有时在日天之下金星有时在日天之上而为此言厯书之说也又有以金水二星遶日旋转为太阳之轮故二星独不经天是金水太阳合为一重而九重之数又减二重共为七重也然又谓五星皆以太阳为本天之心葢如是则可以免火星之下割日天是又将以五星与太阳并为一天而只成四重也(一月天二太阳五星共为一天三恒)(星天四宗动天)其说之不同如此而莫不持之有故其可以为定议乎尝试论之天一而已以言其浑沦之体则虽不动之地可指为大圜之心而地以上即天地之中亦天不容有二若由其苍苍之无所至极以徴其体势之髙厚则虽恒星同在一天而或亦有髙下之殊儒者之言天也当取其明确可徴之辞而畧其荒𣺌无稽之事是故有可见之象则可以知其有附丽之天有可求之差则可以知其有髙下之等(如恒星七政皆有象有差)有一种之行度知其有一枢纽(如动天无象可见而有行度)此皆实测之而有据者也而有常动者以为之运行知其必有常静者以为之根柢(静天与地相应故地亦天根)此则以理断之而不疑者也若夫七政恒星相距之间天宇辽阔或空澄而精湛或𬘡缊而弥纶无星可测无数可稽固思议之所穷亦敬授之所缓矣论天重数二问重数既难为定则无重数之说长矣曰重数虽难定而必以有重数为长何也以七政之行非赤道也临川掲氏曰天无层数七政皆能动转试以水注圆噐而急旋之则见其中沙土诸物近心者凝而不动近边者随水而旋又且迟速洄漩以成㽞逆诸行矣又试以丸置于圜盘而輙转其盘则其丸既为圜盘所掣与盘并行而丸之体圎亦能自转而与盘相逆以成小轮之象矣此两逾明切诸家所未及然以七政能自动而废重数之说犹未能无滞碍也何也谓天如盘七政如丸盘之与丸同在一平面故丸无附丽而能与盘同行又能自动也若天则浑圆而非平圆又天体自行赤道而七政皆行黄道平斜之势甚相差违若无本天以带之而但如丸之在盘则七政之行必总㑹于动天之腰围阔处皆行赤道而不能斜交赤道之内外以行黄道故曰以有重数为长也曰天既有重数则当如西人初说七政在天如木节在板而不能自动矣曰七政各居其天原非如木节之在板也各有小轮皆能自动但其动只在本所畧如人之目睛未尝不左右頋盼而不离睂睫之间也若如板之有节则小轮之法又将安施即西说不能自通矣故惟七政各有本天以为之带动斯能常行于黄道而不失其恒惟七政之在本天又能自动于本所斯可以施诸小轮而不碍掲说与西说固可并存而不废者也论左旋问天左旋日月五星右旋中西两家所同也自横渠张子有俱左旋之说而朱子蔡氏因之近者临川掲氏建寕游氏又以槽丸盆水譬之此孰是而孰非曰皆是也七曜右旋自是实测而所以成此右旋之度则因其左旋而有动移耳何以言之七曜在天每日皆有相差之度厯家累计其每日差度积成周天中西新旧之法莫不皆然夫此相差之度实自西而东故可以名之右旋然七曜每日皆东升西降故又可以名之左旋西厯谓七曜皆有东西两动而并出于一时盖以此也夫既云动矣动必有所向而一时两动其势不能古人所以有蚁行磨上之喻而近代诸家又有人行舟中之比也(七曜)(如人天如舟舟扬帆而西人在舟中向舟尾而东行岸上望之则见人与舟并西行矣)又天之东升西没自是赤道七曜之东移于天自是黄道两道相差南北四十七度(自短规至长规合之得此数)虽欲为槽丸盆水之喻而平面之行与斜转之势终成疑义安可以遽废右旋之实测而从左转之虚理哉然吾终谓朱子之言不易者则以天有重数耳曰天有重数何以能㫁其为左旋曰天虽有层次以居七曜而合之总一浑体故同为西行也同为西行矣而仍有层次以生微差层次之髙下各殊则所差之多寡亦异故七曜各有东移之率也然使七曜所差只在东西顺逆迟速之间则槽丸盆水之譬亦已足矣无如七曜东移皆循黄道而不由赤道则其与动天异行者不徒有东西之相违而且有南北之异向以此推知七曜在各重之天皆有定所而其各天又皆顺黄道之势以黄道为其腰围中广而与赤道为斜交非仅如丸之在槽沙之在水皆与其噐平行而但生退逆也(丸在槽与其盘为平面沙在水与其噐为平面故丸与盘同运而生退逆水与沙并)(旋而生退逆其顺逆两象皆在一平面)盖惟其天有重数故能动移惟其天之动移皆顺黄道斯七曜东移皆在黄道矣是故左旋之理得重数之说而益明曰谓右旋之度因左旋而成何也曰天既有重数矣而惟恒星天最近动天故西行最速㡬与动天相若(六七十年始东移一度)自土星以内其动渐杀以及于地球是为不动之处则是制动之权全在动天而恒星以内皆随行也使非动天西行则且无动无动即无差又何以成此右旋之筭哉其势如陶家之有钧盘运其边则全盘皆转又如运重者之用飞轮其运动也亦以边制中假令有小盘小轮附于大钧盘大飞轮之上而别为之枢则虽同为左旋而因其制动者在大轮其小者附而随行必相差而成动移以生逆度又因其枢之不同也虽有动移必与本枢相应而成斜转之象焉(此之斜转亦在平面非正喻其平斜但聊以明制动之势)夫其退逆而右也因其两轮相叠其退转而斜行也因于各有本枢而其所以能退逆而斜转者则以其随大轮之行而生此动移也若使大者停而不行则小者之逆行亦止而斜转之势亦不可见矣朱子既因旧说释诗又极取张子左旋之说盖右旋者已然之故而左旋者则所以然之理也西人知此则不必言一时两动矣故掲氏以丸喻七曜只可施于平面而朱子以轮载日月之喻兼可施诸黄赤与西说之言层次者实相通贯理至者数不能违此心此理之同洵不以东海西海而异也(朱子语类问经星左)(旋纬星与日月右旋是否曰今诸家是如此说横渠说天左旋日月亦左旋看来横渠之说极是只恐人不晓)(所以诗𫝊只载旧说或曰此亦易见如以一大轮在外一小轮载日月在内大轮转急小轮转慢虽都是左转)(只有急冇慢便觉日月是右转了曰然但如此则厯家逆字皆著改做顺字退字皆著改做进字)论黄道有极问古者但言北辰浑天家则因北极而推其有南极今西法乃复立黄道之南北极一天而有四极何也曰求经纬之度不得不然也盖古人治厯以赤道为主而黄道从之故周天三百六十五度皆从赤道分其度一一与赤道十字相交引而长之以㑹于两极若黄道之度虽亦匀分周天(三百六十五)而有经度无纬度则所分者只黄道之一线初不据以分宫故授时十二宫惟赤道匀分各得三十度竒黄道则近二至者一宫或只二十八度近二分者一宫多至三十二度(皆约整数)若是其濶狭悬殊者何哉过宫虽在黄道而分宫仍依赤道赤道之匀度抵黄道而成斜交势有横斜遂生濶狭故曰以赤道为主而黄道从之也向使厯家只歩日躔此法已足无如月五星皆依黄道行而又有出入其行度之舒亟转变为法多端皆以所当黄道及其距黄之逺近内外为根故必先求黄道之经纬西厯之法一切以黄道为主其法匀分黄道周天度为十二宫其分宫分度之经度线皆一一与黄道十字相交自此引之各成经度大圏以周于天体则其各圏相交以为各度辏心之处者不在赤道南北极而别有其心是为黄道之南北极自黄道两极出线至黄道(即黄道上分宫分度之线引而成大圏以辏心者也心即黄极故亦)(可云从极出线)其纬各得九十度而均(极距黄道四面皆均故分宫分度线上之纬度)(皆均)以此各线之纬聮为圏线皆与黄道平行自黄道上相离一度起逐度作圏但其圏渐小以至九十度则成一㸃而㑹于黄极是为纬圏(一名距等圈)曰黄道既有经纬则必有所宗之极测筭所需固巳然则为测筭家所立欤抑真有是以为运转之枢耶曰以恒星东移言之则真有是矣何则古法岁差亦只在黄道之一线今以恒星移则普天星斗尽有古今之差惟黄道极终古不动岂非真有黄极以为运转之枢哉曰然则北辰非黄极也今曰惟黄极不动岂北辰亦动与曰以毎日之周转言则周天星度皆东升西没惟北辰不动以恒星东移之差言则虽北辰亦有动移而惟黄极不动盖动天西旋以赤道之极为枢而恒星东移以黄道之极为枢皆本实测各有至理也(古今测极星离不动处渐逺具见前篇)论厯以日躔为主中西同法问天方等国以太隂年纪岁(即囬回法)欧逻巴国以恒星年纪岁(即西洋本法)若是其殊意者起筭之端亦将与中土大异而何以皆用日躔为主欤曰其纪岁之不同者人也其起筭之必首日躔者天也夫天有日如国有君史以纪国事厯以纪天行而史之纲在帝纪厯之纲在日躔其义一也是故太隂之行度多端无以凖之凖于日也(太隂有周天有㑹望有迟疾入转有交道表里皆以所厯若干日而知其行度之率)五星之行度多端无以凖之凖于日也(五星亦有周天有㑹望有盈缩入厯有交道表里畧同太)(隂亦皆以日数为率)恒星之行度甚迟无以凖之亦凖于日也(恒星)(东移是生岁差亦以日度知之而得其行率)不先求日躔且不能知其何年何日而又何以施其测騐推歩哉且夫天下之事必先得其著而后可以察其㣲必先得其易而后可以及其难必先得其常而后可以尽其变故以测騐言之日最著也以推歩言之日最易也以经纬之度言之日最有常也悬象常明而无伏见是为最著(若月与星则有晦伏)立术歩筭道简不繁是为最易(歩月五星之法皆繁于日)恒星东移而分至不易是为经度之有常月五星出入黄道而日行黄道中线是为纬度之有常古之圣人以宾饯永短定治厯之大法万世遵行所谓易简而天下之理得也愚故曰今日之厯愈宻皆圣人之法所该此其一徴矣论黄道问黄道斜交赤道而差至四十七度何以徴之曰此中西之公论要亦以日轨之髙下知之也今以表测日景则夏至之景短以其日近天顶而光从直下也冬至之景长以其日不近天顶而光从横过也夫日近天顶则离地逺而地上之度髙日不近天顶则离地近而地上之度低测筭家以法求之则夏至之日度髙与冬至之日度髙相较四十七度半之则二十三度半为日在赤道南北相距之度也然此相较四十七度者非倐然而髙顿然而下也逐日测之则自冬至而春而夏其景由长渐短日度由低渐髙至夏至乃极自夏至而秋而冬其景由短渐长日度由髙渐低至冬至乃极其进退也有序其舒亟也有恒而又非平差之率故知其另有一圏与赤道相交出其内外也曰日行黄道固无可疑月与五星樊然不齐未尝正由黄道也今曰七曜皆由黄道何也曰黄道者光道也(古□字从炗从日炗字即古光字)日为三光之主故独行黄道而月五星从之虽不得正由黄道而不能逺离故皆出入于黄道左右要不过数度止耳古厯言月入隂阳厯离黄道逺处六度西厯测止五度竒又测五星出入黄道惟金星最逺能至八度其余纬度乃更少于太隂是皆以黄道为宗故也故月离黄道五度竒合计内外之差共只十度竒若其离赤道也则有逺至二十八度半(以黄道距赤道二十三度半加月道五度竒得之)合计内外之差则有相差五十七度竒(以月在赤道内二十八度半在外亦如之并之得此数)金星离黄道八度竒合计内外之差共只十六度竒若其离赤道也则有逺至三十一度竒(以黄赤之距加星距黄道)合计内外之差则有相差六十二度竒(以星距赤道内外各三十一度得之)是月五星之出入黄道最逺者于赤道能为更逺岂非不宗赤道而皆宗黄道哉论经纬度(黄赤)问黄道有极以分经纬然则经纬之度惟黄道有之乎曰天地之间盖无在无经纬耳约畧言之则有有形之经纬有无形之经纬而又各分两条曷言乎无形之经纬凡经纬之与地相应者其位置虽在地而实在无形之天朱子所谓先论太虚一一定位者此也曷言乎有形之经纬凡经纬之在天者虽去人甚逺而有象可徴即黄赤道也是故黄道有经纬赤道亦有经纬两道之经度皆与本道十字相交引而成大圏(经度皆三百六十两度相对者)(连而成大圏故大圏皆一百八十)其圏相㑹交必皆㑹于其极两道之纬圏皆与本道平行而逐度渐小以至于本极而成一㸃此经纬之度两道同法也然而两道之相差二十三度半故其极亦相差二十三度半而两道纬圏之差数如之矣(以黄纬为主则赤纬之斜二十三度半以赤纬为主而观黄纬则其差亦然)若其经度则两道之相同者惟有一圈(惟磨羯巨蟹之初度初分聫而为一圏此圏能)(过黄赤两极)其余则皆有相差之度而其差又不等(惟一圏能过两)(极则黄赤两经圏合而为一圏以黄赤两极同居磨羯巨蟹之初也此外则黄道经圏只能过黄极而不过赤)(极赤道经圏亦只过赤极而不过黄极离磨羯巨蟹初度益逺其势益斜其差益多故逐度不等)此其势如以两重罾网冒于圎球则网目交加纵横错午而各循其顶以求之条理井然至赜而不可乱故曰在天之经纬有形而又分黄赤两条也论经纬度二(地平)问经纬之与地相应者一而已矣何以亦分两条曰黄赤之分两条者有斜有正也地度之分两条者有横有立也今以地平分三百六十经度(三十度为一宫共十二宫再剖之则二十)(四向)四面八方皆与地平圏为十字而引长之成曲线以辏于天顶皆相遇成一㸃故天顶者地平经度之极也(其经度下逹而辏于地心亦然)又将此曲线各匀分九十纬度(即地平上高度)(又谓之渐升度)而逐度聮之作横圏与地面平行而渐髙则渐小㑹于天顶则成一㸃即地平纬圏也(其地平下作纬圏至地心亦然)(如太阳朦影十八度而尽太隂十二度而见之类皆用此度也)此地平经纬之度为测验所首重其实与太虚之定位相应者也然此特直立之经纬耳(其经纬以天顶地心为两极是直立也其地平即腰围广处而纬圏与地平平行渐小而)(至天顶亦成直上之形矣)又有横偃之经纬焉其法以卯酉圏匀分三百六十度(亦三十度为一宫此圏上过天顶下过地心而正交地平于卯酉之中即地平经圈)(之一也其三百六十度亦即经圈上所分纬度但今所用只圈上分度之一㸃而不更作与地平平行之纬圈)从此度分作十字相交之线引而成大圏(其圏一百八十半在地平)(之上半在其下其地平上半圏皆具半周天度势皆自正北趋正南穹隆之势与天相际度间所容中阔而两)(末锐畧如剖𤓰其两锐在南北其中濶在卯酉)大圏相遇相交皆㑹于正子午而正切地平即子午规与地平规相交之一㸃(在地平直立经)(纬原用子午规卯酉规为经圏地平规为腰围之纬圏今则以卯酉规为腰围而子午规与地平规则同为经)(度圈)此一㸃即为经度之极而经度宗焉(立象学安十二宫用此度也)又自卯酉规向南向北逐度各作半圈如虹桥状而皆与卯酉规平行(地平下半圏亦然合之则各成全圏)但离卯酉规渐逺亦即渐小以㑹于其极(即地平规之正子午一㸃)是其纬圏也(测算家以立晷)(取倒影定时用此度也)此一种经纬则为横偃之度(其经度以地平之子午为)(两极而以卯酉规为其腰围是横偃之势)一直立一横偃其度皆与太虚之定位相应故曰无形之经纬亦分两条也不但此也凡此无形之经纬皆以人所居之地平起算所居相距不过二百五十里即差一度(此以南北之里数言也若东西则有不二百五十里而差)(一度者矣何也地圎故也)而所当之天顶地平俱变矣地平移则髙天顶易则方向殊跬歩违离辗转异视殆千变而未有所穷故曰天地之间无在无经纬也地平经纬有适与天度合者如人正居两极之下则以一极为天顶一极为地心而地平直立之经纬即赤道之经纬矣若正居赤道之下则平视两极一切地平之子一切地平之午而地平横偃之经纬亦即赤道之经纬矣论经纬相连之用及十二宫问经纬度之交错如此得无益増测算之难乎曰凡事求之详斯用之易惟经纬之详此厯学所以易明也何也凡经纬度之法其数皆相待而成如鳞之相次网之在纲衰序秩然而不相凌越根株合散交互旁通有全则有分有正则有对即显见隠举二知三故可以经度求纬亦可以纬度求经有地平之经纬即可以求黄赤有黄赤之经纬亦可以知地平而且以黄之经求赤之经亦可以黄之纬求赤之经以黄之纬求赤之纬亦可以黄之经求赤之纬用赤求黄亦复皆然宛转相求莫不脗合施于用从衡变化而不失其常求其源浑行无穷而莫得其隙夫是以布之于算而能穷差变笔之于图而能肖星躔制之于噐而不违悬象此其道如棋方罫之间固善奕者之所当尽也曰经纬之度既然以为十二宫则何如曰十二宫者经纬中之一法耳浑圆之体析之则为周天经纬之度周天之度合之成一浑圜而十二分之则十二宫矣然有直十二宫焉有衡十二宫焉有斜十二宫焉又有百游之十二宫焉以天顶为极依地平经度而分者直十二宫也其位自子至卯左旋周十二辰辨方正位于是焉用之以子午之在地平者为极而以地平子午二规为界界各三宫者衡十二宫也其位自东地平为第一宫起右旋至地心又至西地平而厯午规以复于东立象安命于是乎取之赤道十二宫从赤道极而分极出地有髙下而成斜立是斜十二宫也加时之法于是乎取之则其定也西行之度于是乎纪之则其游也黄道十二宫从黄道极而分黄道极绕赤道之极而左旋而黄道之在地上者从之转侧不惟日异而且时移晷刻之间周流迁转正邪升降之度于是乎取之故曰百游十二宫也然亦有定有游定者分至之限游者恒星岁差之行也知此数种十二宫而俯仰之间缕如掌纹矣然犹经度也未及其纬故曰经纬中之一法也论周天度问古厯三百六十五度四分之一而今定为三百六十何也岂天度亦可增损欤曰天度何可增减盖亦人所命耳有布帛于此以周尺度之则于度有余以汉尺度之则适足尺有长短耳于布帛岂有増损哉曰天无度以日所行为度毎岁之日既三百六十五日又四之一矣古法据此以纪天度宜为不易奈何改之曰古法以太阳一日所行命之为度然所谓四之一者讫无定率故古今公论以四分厯最为疎阔而厯代斗分诸家互异至授时而有减岁余增天周之法则日行与天度较然分矣又况有冬盈夏缩之异终岁之间固未有数日平行者哉故与其为畸零之度而初不能合于日行即不如以天为整度而用为起数之宗固推歩之善法矣(周天者数所从起而先有畸零故析之而为半周天有象限为十二宫为二十四气七十二候莫不先有畸零)(而日行之盈缩不与焉故推歩稍难今以周天为整数而但求盈缩是以整御零为法倍易)且所谓度生于日者经度耳而厯家所难尤在纬度今以三百六十命度则经纬通为一法(若以岁周命度则经度既有畸零凖之以为纬度畸)(零之算愈多若为两种度法则将变率相从益多纠葛)故黄赤虽有正斜而度分可以互求七曜之天虽有内外大小而比例可以相较以其为三百六十者同也半之则一百八十四分之则九十而八线之法缘之以生故以制测噐则度数易分以测七曜则度分易得以算三角则理法易明吾取其适于用而已矣可以其出于囘囘泰西而弃之哉(三百六十)(立算实本囘囘至欧罗巴乃发眀之耳)况七曜之顺逆诸行进退损益全在小轮为推歩之要眇然而小轮之与大轮比例悬殊若镒与铢而黍累不失者以其度皆三百六十也以至太隂之㑹望转交五星之岁轮无一不以三百六十为法而地球亦然故以日躔纪度但可施于黄道之经而整度之用该括万殊斜侧纵横周通环应可谓执简御棼法之最善者矣厯算全书巻二
## 卷三
钦定四库全书厯算全书巻三宣城梅文鼎撰厯学疑问三论盈缩高卑问日有髙卑加减始于西法欤曰古厯有之且详言之矣但不言卑髙而谓之盈缩耳曰日何以有盈缩曰此古人积候而得之者也秦火以还典章废阙汉晋诸家皆以太阳日行一度故一歳一周天自北齐张子信积候合〔？〕加时始觉日行有入气之差而立为损益之率又有赵道严者复凖晷景长短定日行进退更造盈缩以求亏食至隋刘焯立躔度与四序升降为法加详厥后皆相祖述以为歩日躔之凖葢太阳行天三百六十五日惟只两日能合平行(一在春分前三日一在秋分后三日一年之内能合平行)(者惟此二日)此外日行皆有盈缩而夏至缩之极毎日不及平行二十分之一冬至盈之极又过于平行二十分之一两者相较为十分之一以此为盈缩之宗而过此皆以渐而进退焉此盈缩之法所由立也曰日躔既毎日有盈缩则歳周何以有常度曰日行毎日不齐而积盈积缩之度前后自相除补故歳周得有常度也(细考之古今歳)(周亦有㣲差此只论其大较则实有常度)今以授时之法论之冬至日行甚速毎日行一度有竒厯八十八日九十一刻当春分前三日而行天一象限(古法周天四之一为九十一度三十分竒下同)谓之盈初厯此后则毎日不及一度其盈日损厯九十三日七十一刻当夏至之日复行天一象限谓之盈末厯夫盈末之行毎日不及一度而得为盈厯者以其前此之积盈未经除尽总度尚过于平行故仍谓之盈若其毎日细行固悉同缩初此盈末缩初可为一法也试以积数计之盈初日数少而行度多其较为二度四十分盈末日数多而行度少其较亦二度四十分以盈末之所少消盈初之所多则以半歳周之日(共一百八十二日六十二刻竒)行半周天之度(一百八十二度六十二分竒)而无余度矣夏至日行甚迟毎日不及一度厯九十三日七十一刻当秋分后三日而行天一象限谓之缩初厯此后则每日行一度有竒其缩日损厯八十八日九十一刻复当冬至之日而行天一象限谓之缩末厯夫缩末之行每日一度有竒而亦得为缩厯者以其前此之积缩未能补完总度尚后于平行故仍谓之缩若其毎日细行则悉同盈初此缩末盈初可为一法也试以积数计之缩初日数多而行度少其较为二度四十分缩末日数少而行度多其较亦二度四十分以缩末之所多补缩初之所少则亦以半歳周之日行半周天之度而无欠度矣夫盈厯缩厯既皆以前后自相除补而无余欠则分之而以半歳周行半周天者合之即以一歳周行一周天安得以盈缩之故疑歳周之无常度哉再论盈缩高卑问日有盈缩是矣然何以又谓之髙卑曰此则回回泰西之说也其说曰太阳在天终古平行原无盈缩人视之有盈缩耳夫既终古平行视之何以得有盈缩哉葢太阳自居本天而人所测其行度者则为黄道黄道之度外应太虚之定位(即天元黄道与静天相应者也)其度匀剖而以地为心太阳本天度亦匀剖而其天不以地为心于是有两心之差而高卑判矣是故夏至前后之行度未尝迟也以其在本天之高半故去黄道近而离地远远则见其度小(谓太阳本天之度)而人自地上视之迟于平行矣(缩初盈末)(半周是太阳本天高处故在本天行一度者在黄道不能占一度而过黄道迟)是则行度之所以有缩也冬至前后之行度未尝速也以其在本天之低半故去黄道远而离地近近则见其度大(亦谓本天之匀度)而人自地上视之速于平行矣(盈初缩末半周是太阳本天低处故在本天行)(一度者在黄道占一度有余而过黄道速)是则行度之所以有盈也且夫行度有盈缩而且日日不同则不可以筹䇿御而今以圜法解之不同心之理通之在高度不得不迟在卑度不得不速高极而降迟者不得不渐以速卑极而升速者不得不渐以迟迟速之损益循圜周行与算数相㑹是则盈缩之征于实测者皆一一能得其所以然之故此高卑之说深足为治厯明时之助者矣太阳之平行者在本天太阳之不平行者在黄道平行之在本天者终古自如不平行之在黄道者晷刻易率惟其终古平行知其有本天惟其有本天斯有高卑以生盈缩不平行之率以平行而生者也惟其盈缩多变知其有高卑惟其盈缩生于高卑验其在本天平行平行之理又以不平行而信者也夫不平行之与平行道相反矣而求诸圜率适以相成是葢七曜之所同然而在太阳尤为明白而易见者也(月五星多诸小轮加减故本天不同心之理惟)(太阳最明)论最高行问以高卑疏盈缩确矣然又有最高之行何耶曰最高非他即盈缩起算之端也盈缩之算既生于本天之高卑则其极缩处即为最高如古法缩厯之起夏至也极盈处即为最卑如古法盈厯之起冬至也(亦谓之最高冲或省曰高冲)然古法起二至者以二至即为盈缩之端也西法则极盈极缩不必定于二至之度而在其前后又各年不同故最高有行率也其说曰上古最高在夏至前今行过夏至后毎年东移四十五秒(今又定为一年行一分一秒十㣲)何以征之曰凡最高为极缩之限则自最高以后九十度及相近最高以前九十度其距最高度等则其所缩等何也以视度之小于平度者并同也(古法以盈末缩初通为一限亦是此意)高衡为极盈之限则自高冲以后九十度及相近高冲以前九十度其距高冲度等则其所盈亦等何也以视度之大于平度者并同也(古法以缩末盈初通为一限亦是此意)今据实测则自定气春分至夏至一象限(即古盈末限)之日数与自夏至后至定气秋分一象限(即古缩初限)之日数皆多寡不同又自定气秋分至冬至一象限(即古缩末限)之日数与自冬至后至定气春分一象限(即古盈初限)之日数亦多寡不同由是观之则极盈极缩不在二至明矣曰若是则古之实测皆非欤曰是何言也言盈缩者始于张子信而后之厯家又谓其损益之未得其正由今以观则子信时有其时盈缩之限后之厯家又各有其时盈缩之限测验者各据其时之盈缩为主则追论前术觉其未尽矣此岂非最高之有动移乎又古之盈缩皆以二十四气为限至郭太史始加宻算立为毎日毎度之盈缩加分与其积度由今考之则郭太史时最高卑与二至最相近(自厯元戊辰逆溯至元辛巳三百四十八年而最高卑过二至六度以今率毎年最高行一分一秒十㣲)(计之其时最高约与夏至同度以西又旧率毎年高行四十五秒计之其时最高已行过夏至一度三十余分)(其距度亦不为甚逺也)故盈缩起二至初无谬误测算虽宻秪能明其盈缩细分若最高距至之差无縁可得非考验之不精也论高行周天问最高有行能周于天乎抑只在二至前后数十度中东行而复西转乎曰以理徴之亦可有周天之行也曰然则何以不徴诸实测曰无可据也厯法西传曰古西士去今一千八百年以三角形测日轨记最高在申宫五度三十五分今以年计之当在汉文帝七年戊辰(自汉)(文帝戊辰顺数至厯元戊辰积一千八百算外)此时西厯尚在权舆越三百余年至多禄某而诸法渐备然则所谓古西士之测算或非精率然而西史之所据止此矣又况自此而逆溯于前将益荒远而高行之周天以二万余年为率亦何从而得其起算之端乎是故以实测而知其最高之有移动者只在此千数百年之内其度之东移者亦只在二至前后一宫之间若其周天则但以理断而已曰以理断其周天亦有说欤曰最高之法非特太阳有之而月五星皆然其加减平行之度者亦中西两家所同也故中厯太阳五星皆有盈缩太隂则有迟疾在西法则皆曰高卑视差而已然则月孛者太隂最高之度也而月孛既有周天之度矣太阳之最高何独不然故曰以理徴之最高得有周天之行也论小轮问以最高疏盈缩其义已足何以又立小轮曰小轮即高卑也但言高卑则当为不同心之天以居日月小轮之法则日月本天皆与地同心特其本天之周又有小轮为日月所居是故本天为大轮负小轮之心向东而移日月在小轮之周(即邉也)向西而行大轮移一度日月在小轮上亦行一度大轮满一周小轮亦满一周而盈缩之度与高卑之距皆不谋而合囘囘厯以七政平行为中心行度益谓此也凡日月在小轮上半顺动天西行故其右移之度迟于平行为减在小轮下半逆动天而东故其右旋之度速于平行为加(五星同理)若在上下交接之时小轮之度直下不见其行谓之留际留际者不东行不西行无减无加与平行等此小轮上逐度之加减以上下而分者也(用第一图自辛留际过戊最髙至已为上半皆西行自已留过际庚最卑至辛为下半皆东行巳辛两留际循)(小轮之旁不见其动)若以入表则分四限小轮上半折半取中为最髙小轮下半折半取中则为最卑最卑最髙之㸃皆对小轮心与地心而成直线七政居此即与平行同度故为起算之端假如七政起最髙在小轮上西行能减东移之度半象限后西行渐缓所减渐少至一象限而及留际不复更西即无所复减然积减之多反在留际何也七政至此其视度距小轮心之西为大也在古法则为缩初(用第一图自戊至巳一象限其减度最大为己甲小轮半径)既过留际而下转而东行本为加度因前有积减仅足相补其视行仍在平行之西至一象限而及最卑积减之数始能补足而复于平行是为缩末(用第一圗自巳留际至庚最卑一象限)又如七政至最卑在小轮下东行能加东移之度半象限后东行渐缓所加渐少至一限象而又及留际不复更东亦无所复加然积加之多亦在留际何也七政至此其视度距小轮心之东为大也在古法则为盈初(第一)(圗自庚最卑至辛留际一象限加度最大为甲辛小轮半径)过留际而上复转西行即为减度然因前有积加仅足相消其视行仍在平行之东至一象限而复及最髙积加之度始能消尽而复于平行是为盈末(第一图自辛㽞际至戊最髙一象限)此则表中入算加减从小轮之左右而分者也再论小轮及不同心轮小轮之用有二其一为迟速之行在古厯则为日五星之盈缩月之迟疾西法则总谓之加减即前所疏者是也其一为髙卑之距即回回厯影径诸差是也凡七政之居小轮最髙其去人逺故其体为之见小焉其在最卑去人则近故其体为之加大焉騐之于日月交食尤为著明(别条详之)是故所谓平行者小轮之心而所谓迟速者小轮之边与其心前后之差(即东西)所谓髙卑者小轮之边与其心上下之距也知有小轮而进退加减之行度逺近大小之视差靡所不贯矣然则何以又有不同心之算曰不同心之法生于小轮者也试以第二图明之甲乙丙丁圏七政之本天即小轮心所行之道也以子为心即地心也假如小轮心在甲则七政在戊为小轮最髙小轮心自甲东移一象限至乙七政之在小轮亦从戊西行一象限至巳为留际小轮心东移满半周至丙七政在小轮亦行半周至庚为最卑由是小轮心东移满二百七十度至丁七政亦行小轮二百七十度至留际辛小轮心东移满一周复至甲七政行小轮上亦行满一周复至最髙戊若以小轮上七政所行之戊巳庚辛诸㸃聫之即成大圏此圏不以地心为心而别有其心故曰不同心圈也如图地心在子不同心圈之心在丑丑子两心之差与小轮之半径等故可以小轮立算者亦可以不同心立算而行度之加减与视径之大小亦皆得数相符也论小轮不同心轮孰为本法问二者之算悉符果孰为本法曰晶宇寥廓天载无垠吾不能飞形御气翺歩乎日月之表小轮之在天不知其有焉否耶然而以求朓朒之行则既有其度矣以量髙卑之距则又有其差矣虽谓之有焉可也至不同心之算则小轮实巳该之何也健行之体外实中虚自地以上至于月天大气所涵空洞无物故各重之天虽有髙卑而髙卑两际只在本天(七政各重之天相去甚逺其间甚厚故可以容小轮)(而其最髙最卑皆不越本重之内)非别有一不同之心遶地而转也(不同)(心之天既同动天西运则其心亦将遶地而旋)况七政两心之差各一其率若使其不同之心皆绕地环行亦甚涣而无统矣愚故曰不同心之算生于小轮而小轮实已该之观回回厯但言小轮可知其为本法而地谷于西术最后出其所立诸圗悉仍用小轮为说亦足以徴矣论小轮不同心轮各有所用问小轮与不同心轮既异名而同理择用其一不亦可乎曰论相因之理则不同心之算从小轮而生论测算之用则小轮之径亦从不同心而得故推朒朓之度于小轮特亲(小轮心即平行度也从最髙过轮心作线至地心为平行指线剖小轮为二则小轮右半)(在平行线西为朒左半在平行线东为朓观图易了)而求最髙之行以不同心立算最切然则其理互通其用相辅并存其说亦足以见圜行之无方而且可为参稽之藉矣最髙在天不可以目视不可以噐测惟据朓朒之度以不同心之法测之而得其两心之差是即为小轮之半径于以作圗立算而朓朒之故益复犁然是故不同心者即测小轮之法也论小轮心之行及小轮上七政之行皆非自动问小轮心逆动天而右旋日月五星之在小轮也又逆本天而顺动天以左旋何若是其交错欤意者七政各有能动之性而其动也又恒以逆为顺欤今夫鱼溯川而游顺鳞鬐也鸟逆风而翔便羽毛也夫七政之行亦将若是而已矣曰子以小轮心自为一物而不与本天相连乎曰非也小轮心常在本天之周殆相连耳曰七政居小轮之周岂不若小轮心之在本天乎曰然曰然则小轮心在本天七政在小轮体皆相连其非若鱼之川泳鸟之云飞也审矣然则何为而有动移曰小轮心非能自动也小轮之动本天之动也七政亦非自动也七政之动小轮之动也其故何也盖小轮之心既与本天相连必有定处因本天为动天所转与之偕西而不及其速以生退度故小轮心亦有退度焉厯家纪此退度以为平行(回回厯所谓中心行度)故曰小轮之动本天之动也然则小轮心者小轮之枢也枢连于本天不动故轮能动而七政者又相连于小轮之周者也小轮动则七政动矣故曰七政之动小轮之动也七政虽动不离小轮轮心虽移不离本天又恒为周动而有定法岂若游鳞征鸟之于波澜风霄而莫限所届哉再论小轮上七政之行问本天移故小轮心移小轮动故七政动是则然矣然何以七政在小轮上西行不与轮心同势岂非七政自有行法欤曰七政之居小轮也有一定之向本天挈小轮心东移而七政在小轮上常向最髙殆其精气有以摄之也故轮心东移一度小轮上七政亦西迁一度以向最髙譬之罗金小轮者其盘也小轮心者置针之处也七政所居则针所指之午位也试为大圆周分三百六十度(以法周天)别为大圏加其上使与大圆同心而可运(以法同心轮)乃置罗金于大圏之正午而依针以定盘则针之午即盘之午(此如小轮在最髙而七政居其顶与最髙同处也)于是运大圏东转使罗金离午而东(此如本天挈小轮而东移也)则盘针之指午者必且西移而向丁向未(因正午所定之盘不复更置则此时之丁之未实为针之)(午此如小轮从本天东移而七政西迁居小轮之旁以向最髙之方)盘东移一度针亦西移一度盘东移一宫针亦西移一宫盘东行半周至大圆子位则针在盘上亦西移半周而反指盘之子(此时盘之)(子实针之午此如小轮心行至最髙冲而七政居小轮之底在小轮为最卑而所向者最髙之方也)盘东移三百六十度而复至午针亦西移一周而复其故矣是何也针自向午不以盘之东移而改其度自盘上观之见为西移耳七政之常向最髙何以异是(七政在小轮上常向)(最髙之方观第二图可见)论小轮非一问小轮有㡬曰小轮以算视行视行非一故小轮亦非一也凢算视行有二法或用不同心轮则惟月五星有小轮而日则否何也以盈缩髙卑即于不同心之轮可得其度故不以小轮加减而小轮之用已蔵其中也或用同心轮负小轮则日有一小轮月五星有两小轮其一是髙卑小轮为日五星之盈缩月之迟疾即不同心之算七政所同也其一是合望小轮在月为倍离(即晦朔弦)(望)在五星为岁轮(即迟㽞逆伏)皆以距日之逺近而生故太阳独无也若用小均轮则太阳有二小轮其一为平髙卑二为定髙卑而月五星则有三小轮其一二为平髙卑定髙卑与太阳同其三为太隂倍离五星岁轮与太阳异也凡此皆以齐视行之不齐有不得不然者然小轮之用不同而名亦易相乱(如月离以髙卑轮为自行轮又称本轮又曰古称小)(轮其定髙卑轮五星称小均轮月离称均轮或称又次轮至于距日而生之轮月离称次轮五星或称次轮或)(称年岁轮然亦曰古称小轮)今约以三者别之一曰本轮七政之平髙卑是也一曰均轮七政平髙卑之轮上又有小轮以加减之为定髙卑此两小轮相须为用二而一者也一曰次轮月五星距日有逺近而生异行故曰次轮而五星次轮则直称之岁轮也论七政两种视行(七政从天月五星又从日)问小轮有三又或为二何也曰小轮旧只用二(一本轮一次轮)新法用三(一本轮一均轮一次轮)然而均轮者所以消息乎本轮为本轮㣲细之用故曰二而一者也是则轮虽有三实则两事而已何谓两曰七政皆从天以生本轮而月五星又从乎日以生次轮天西行故七政之本轮皆从天而西转其行皆向最髙也(日月五星之在本轮俱向本天最髙其本轮心离最髙一)(度本轮周亦行一度似为所摄)日天东移故月五星之合望次轮皆从日而东运其行皆向日也(月五星离日若干次轮度亦行若干是为日所摄)惟本轮从天于是有最髙卑之加减而其行度必始于最髙(本轮行始于本天最髙而均轮即始于本轮之最高卑故本轮均轮至最髙卑皆无加减为起算之端)惟次轮从日于是有离日之加减而其行度必始于㑹日(月次轮行始于朔望星次轮始于合伏故月至朔望五星合日冲日皆无次轮加减)是故七政皆以半周天之宿度行缩厯半周天之宿度行盈厯厯宿度三百六十而本轮一周起最髙终最髙也(因最髙有行分)(故视周天稍赢然大致不变月之迟疾亦然)次轮则月以厯黄道一周而又过之凡三百八十九度竒而行二周起朔望终朔望也五星岁轮(即次轮)则土以行黄道十二度竒木以三十三度竒火以四百○八度竒金以五百七十五度竒水以一百十四度竒而皆一周起合伏终合伏也治厯者用三小轮以求七政之视行惟此二者故曰两事也(金水二星)(㑹日后皆行黄道宿一周又复过之然后再与日㑹)论天行迟速之原问天有重数则在外者周径大而其度亦大故土木之行迟在内者周径小而其度亦小故金水月之行速七政之行势畧同特其度有大小而分迟速耳以是为右旋之徴不亦可乎曰此必七政另为一物以行于本天之上故可以度之大小为迟速也今七政既与天同体而非另为一物则七政之东升西没即其本天之东升西没也且使各天之行各自为政则其性岂无缓急而自外至内舒亟之次如是其有等乎盖惟七政之天虽有重数而总为一天制动之权全在动天故近动天者不得不速近地而逺动天者不得不迟固自然之理势也曰若是则周径大小可勿论矣曰在外者为动天所掣而西行速故其东移之差数迟又以其周径大而分度阔则其差又迟是故恒星六七十年而始差一度近动天也然以周径之大小准之此所差之一度以视月天将以周计矣在内者逺于动天而西行迟故其东移之差速又以其周径小而分度狭则其差又速是故月天一日东移十三四度者近地而逺动天也然以周径计之此所差之十三四度以视日天尚不能成一度矣然则周径之大小但可兼论以考其差而非所以迟速之原也左旋之说可以无疑论中分较分问中分较分何也曰较分者是五星在最卑(本轮)时逐度(岁轮周)次均之增数也凡算次均皆设岁轮心在本轮最髙而逐度(岁轮周)定其均数(或视差在轮心东为加西为减以生迟㽞逆㐲诸行)列之于表命曰次均再设心在最卑亦逐度定其均数所得必大于最髙法以先所得最髙时逐度之均数(即次均)减之其余为较分若曰此岁轮上逐度视差在最卑时应多此数也所以者何视差之理逺则见小近则见大岁轮之在最卑去地为近比在最髙必大故也然则又何以有中分曰较分者次均之较而中分者又较分之较也使歳轮心常在最髙与最卑则只用次均与较分亦已足矣无如自最髙至最卑中间一百八十度岁轮皆得逓居则次均之较各异(歳轮心行于本轮离最高而下以渐)(近地则星在岁轮周逐度所生之次均必皆渐大于在最高时而心离最高时时不等即次均之所増亦必不)(等而较分悉变)势不能一一为表故以中分括之其法以本轮之度分为主若岁轮各度在本轮最卑时较分若干今在本轮他度则较分只应若干也故以最卑之较分命其比例为六十分(即中分之全分)而其余自离最卑一度起各有所减减至最髙而无中分则亦无较分只用次均本数矣是故较分于次均恒为加而以中分求较分则于较分恒为减(表所列较分皆轮心在最卑之数各以中分乗之六十除之变为轮心未至最卑之)(较分视在最卑皆为小数)其比例为岁轮心在某度之较分与在最卑之较分若中分与六十分也故曰中分者较分之较也再论中分问中分之率既皆以较分为六十分之比例则皆以本轮度距最卑之逺近而得中分之多寡乃五星之中分各有异率何欤曰中分之率生于距地之逺近而五星各有其本天半径之比例则其平行之距地逺近悬殊而两心差亦各不同则又有本轮半径与其本天半径之比例矣至于岁轮之大小复参错而不齐如土木本天大而岁轮小金星本天小而岁轮大而火星在水星之上则火星本天大而岁轮反大水星本天小而岁轮反小积此数端而较分之进退纾亟攸分此五星之中分所以各一其率也要其以最卑为较分之大差当中分之六十一而已矣论囘囘厯五星自行度问诸家多以五星自行度为距日度然乎曰自行度生于距日逺近然非距日之度何也星在黄道有顺有逆有疾有迟其距太阳无一平行而自行度终古平行故但可谓之距合伏之行而非距日之度也此在中土旧法则为叚目其法合计前后两合伏日数以为周率周率析之为疾行迟行退行及留而不行诸叚之目疾与迟皆有顺行度数退则有逆行度数其度皆黄道上实度也回厯不然其法则以前合伏至后合伏成一小轮小轮之心行于黄道而星体所行非黄道也乃行于小轮之周耳近合伏前后行轮上半顺轮心东行而见其疾冲日前后行轮下半则逆轮心西行而见其迟留且退其实星在轮周环转自平行也故以轮周匀分三百六十度为实前合伏至后合伏日率为法除之得轮周毎日星行之平度是之谓自行度也若以距太阳言则顺轮心而见疾距日之度必少逆轮心而迟退距日之度必多安所得平行之率哉故曰自行者星距合伏之行而非距日之行也论囘囘厯五星自行度二曰自行度既非距日度又谓其生于距日何也曰星既在轮周行矣而轮之心实行于黄道与太阳同为右旋而有迟速当合伏时星与轮心与太阳皆同一度(星在轮之)(顶作直线过轮心至太阳直射地心皆在黄道上同度如月之合朔)然不过晷刻之间而巳自是以后太阳离轮心而东轮心亦随太阳而东太阳速轮心迟轮心所到必在太阳之后以迟减速而得轮心每日不及太阳之恒率是则为距日行也(即平行距日)然而轮心随太阳东行星在轮周亦向太阳而东行太阳离轮心相距一度(黄道上度)星在轮周从合伏处(轮顶)东行亦离一度(小轮上度)太阳离轮心一象限(如月上弦)星在轮周亦离合伏一象限乃至太阳离轮心半周与轮心冲星在轮周亦离合伏半周居轮之底复与轮心同度而冲太阳(自轮顶合伏度作线过轮心至星之体又过地心以至太阳黄道上躔度皆成一直线如月之望)再积其度太阳离轮心之冲度而东轮心亦自太阳之冲度而东然过此以徃太阳反在轮心之后假如轮心不及太阳积至三象限则太阳在轮心后只一象限(因其环行)(故太阳之行速在前者半周以后太阳反在轮心之后若追轮心未及者然○如月下弦)星在轮周亦然(自轮底行一象限则离轮顶合伏为三象限而将复及合伏尚差一象限)逮太阳离轮心之度满一全周而轮心与太阳复为同度则星在轮周亦复至合伏之度而自行一周矣(星轮心太阳三者皆复同为一直线)(以直射地心如月第二合朔)凡此星行轮周之度无一不与轮心距日之度相应(主日而言则为太阳离轮心之度主星而言则为轮心不及太阳之距度其义一也)故曰自行之度生于距日然是轮心距日非星距日也论囘囘厯五星自行度三问轮心距日与星距日何以不同乎曰轮心距日平行星距日不平行惟其不平行是与自行度之平行者判然为二故断其非距日度也惟其平行是与自行度相应故又知其生于距日也然则自行度不得为星距日度独不得为轮心距日度乎曰轮心距日虽与自行相应能生其度然其度不同轮心是随日东行倒算其不及于日之度星在轮周环行是顺数其行过合伏之度不同一也又轮心距日是黄道度七政所同星离合伏自行是小轮周度小于黄道度又各星异率(小轮小于黄道而小轮周亦匀分三百六十度其度必小于黄道度而各)(星之小轮周径各异度亦从之而异)不同二也若但以自行之初与日同度自行半周毎与日冲而径以距日与自行混而为一岂不毫厘千里哉论新图五星皆以日为心问五星天皆以日为心然乎曰西人旧说以七政天各重相裹厥后测得金星有弦望之形故新图皆以日为心但上三星轮大而能包地金水轮小不能包地故有经天不经天之殊然以实数考之惟金水抱日为轮确然可信若木火土亦以日为心者乃其次轮上星行距日之迹非真形也凡上三星合伏后必在太阳之西而晨见于是自岁轮最逺处东行而渐向下及距日之西渐逺至一象限内外星在岁轮行至下半为迟留之界再下而退行冲日则居岁轮之底此合伏至冲日在日西半周也冲日以后转在日东而夕见又自轮底行而向上过迟留之界而复与日合矣此冲日至合伏在日东半周也故岁轮上星行髙下本是在岁轮上下而自太阳之相距观之即成大圎而为围日之形以日为心矣其理与本轮行度成不同心天者同也但如此则上三星之圎周左旋与金水异夫七政本轮皆行天一周而髙卑之数以毕虽有最髙之行所差无㡬故可以本轮言者亦可以不同心天言也若岁轮则不然如土星岁轮一周其轮心行天不过十二度竒木星则三十三度竒上下旋转止在此经度内不得另有天周之行知为距日之虚迹也又如金星岁轮一周其轮心平行五百七十余度则大于天周二百余度水星岁轮一周轮心平行一百一十五度竒则居天度三之一皆不可以天周言惟火星岁轮之周其平行四百余度与天周差四十度数畧相近故厯指竟云以太阳为心而要之总是借虚率以求真度非实义也厯算全书卷三
## 卷四
钦定四库全书厯算全书卷四宣城梅文鼎撰厯学疑问补上论西厯源流本出中土即周髀之学问自汉太初以来厯法七十余家屡改益精本朝时宪厯集其大成兼采西术而斟酌尽善昭示来兹为万世不刋之典顾经生家或犹有中西同异之见何以徴信而使之勿疑曰厯以稽天有昼夜永短表景中星可攷有日月薄〔？〕五星留逆伏见凌犯可騐乃实测有慿之事既有合于天即当采用又何择乎中西且吾尝徴诸古籍矣周髀算经汉赵君卿所注也其时未有言西法者(唐开元始有九执厯直至元明始有回回厯)今攷西洋厯所言寒暖五带之说与周髀七衡脗合岂非旧有其法欤且夫北极之下以半年为昼半年为夜赤道之下五谷一岁再熟必非慿臆凿空而能为此言夫有所受之矣然而习者既希所𫝊又略读周髀者亦祗与山海经穆天子传十洲记诸书同类并观聊备竒闻存而不论已耳今有欧逻巴实测之算与之相应然后知所述周公受学商髙其说亦非无本而惜其残缺不详然犹幸存梗槩足为今日之徴信岂非古圣人制作之精神有嘿为呵䕶者哉论盖天与浑天同异问西术既同周髀是盖天之学也然古厯皆用浑天浑天与盖天原为两家岂得同欤曰盖天即浑天也其云两家者传闻误耳天体浑圆故惟浑天仪为能惟肖然欲详求其测算之事必写记于平面是为盖天故浑天如塑像盖天如绘像总一天也总一周天之度也岂得有二法哉然而浑天之器浑员其度匀分其理易见而造之亦易盖天写浑度于平面则正视与斜望殊观仰测与旁闚异法度有踈宻形有垤坳非深思造微者不能明其理亦不能制其器不能尽其用是则盖天之学原即浑天而微有精麄难易无二法也夫盖天理既精深传者遂尠而或者不察但泥倚盖覆槃之语妄拟盖天之形竟非浑体天有北极无南极倚地斜转出没水中而其周不合荒诞违理宜乎扬雄蔡邕辈之辞而辟之矣盖汉承秦后书器散亡惟洛下闳始为浑天仪而他无攷据然世犹𫝊盖天之名说者承讹遂区分之为两而不知其非也载攷容成作盖天𨽻首作算数在黄帝时颛顼作浑天在后夫黄帝神灵首出又得良相如容城𨽻首皆神圣之人测天之法宜莫不备极精微颛顼盖本其意而制为浑员之器以发明之使天下共知非谓黄帝容成但知盖天不知浑天而作此以厘正之也知盖天与浑天原非两家则知西厯与古厯同出一源矣(元史载仰仪铭以盖天与安䜣宣夜等并称六天而殊浑于盖犹沿旧说续读姚牧庵集有所改定)(则已知浑盖之非二法实为先得我心详见鼎所著二仪铭注)论中土厯法得传入西国之由问欧罗巴在数万里外古厯法何以得流通至彼曰太史公言幽厉之时畴人子弟分散或在诸夏或在四裔盖避乱逃咎不惮逺涉殊方固有挟其书器而长征者矣(如鲁论载少师阳撃磬襄入于海鼔方叔入于河播鼗武入于汉故外域亦有律吕音乐之𫝊厯官遐遁)(而厯术逺𫝊亦如此尔又如𫝊言夏衰不窋失官而自窜于戎翟之间厥后公刘迁邠太王迁岐文王迁丰渐)(徙内地而孟子犹称文王为西夷之人夫不窋为后稷乃农官也夏之衰而遂失官窜于戎翟然则羲和之苖)(裔屡经夏商之丧乱而流离播迁当亦有之太史公独举幽厉盖言其甚者耳)然逺国之能言厯术者多在西域则亦有故尧典言乃命羲和钦若昊天厯象日月星辰敬授人时此天子日官在都城者盖其伯也又命其仲叔分宅四方以测二分二至之日景即测里差之法也羲仲宅嵎夷曰旸谷即今登莱海隅之地羲叔宅南交则交趾国也此东南二处皆濵大海故以为限又和叔宅朔方曰幽都今口外朔方地也地极冷冬至于此测日短之景不可更北故即以为限独和仲宅西曰昩谷但言西而不限以地者其地既无大海之阻又自东而西气候略同内地无极北严凝之畏当是时唐虞之声教四讫和仲既奉帝命测验可以西则更西逺人慕德景从或有得其一言之指授一事之留传亦即有以开其知觉之路而彼中颕出之人从而拟议之以成其变化固宜有之考史志唐开元中有九执厯元世祖时有札玛鲁丹测器有西域万年厯明洪武初有玛沙伊克玛哈齐译回回厯皆西国人也而东南北诸国无闻焉可以想见其涯略矣论周髀中即有地圆之理问西厯以地心地面为测算根本则地形浑圆可信而周髀不言地圆恐古人犹未知也曰周髀算经虽未明言地圆而其理其算已具其中矣试略举之周髀言北极之下以春分至秋分为昼秋分至春分为夜盖惟地体浑圆故近赤道则昼夜之长短渐平近北极则昼夜长短之差渐大推而至北极之下遂能以半年为昼半年为夜矣若地为平面则南北昼夜皆同安得有长短之差随北极髙下而异乎一也周髀又言日行极北北方日中南方夜半日行极东东方日中西方夜半日行极南南方日中北方夜半日行极西西方日中东方夜半盖惟地体浑圆与天体相似太阳随天左旋绕地环行各以其所到之方正照而为日中正午其对冲之方在地影最深之处而即为夜半子时矣假令地为平面东西一望皆平则日一出地而万国皆晓日一入地而八表同昏安得有时刻先后之差而且有此方日中彼为夜半者乎二也周髀又言北极之下不生万物北极左右夏有不释之氷物有朝耕暮获中衡左右冬有不死之草五谷一岁再熟盖惟地与天同为浑圆故易地殊观而寒暑迥别北极下地即以北极为天顶而太阳周转近于地平阳光希微不能解冻万物不生矣其左右犹能生物而以春分至秋分为昼故朝耕而暮获也若中衡左右在赤道下以赤道为天顶春分时日在赤道其出正夘入正酉并同赤道正午时日在天顶其热如火即其方之夏春分以后日轨渐离赤道而北至夏至而极其出入并在正夘酉之北二十三度半有竒正午时亦离天顶北二十三度半竒其热稍减而凉气以生为此方之秋冬矣自此以后又渐向赤道行至秋分日复在赤道出入正夘酉而正过天顶一如春分热之甚亦如之则又为其方之夏矣秋分后渐离赤道而南直至冬至又离赤道南二十三度半竒而出入在正夘酉南正午亦离天顶南并二十三度半竒气候复得稍凉又为秋冬是故冬有不死之草而五谷一岁再热也又其方日轨每日左旋之圏度并与赤道平行而终岁昼夜皆平上条言地近赤道而昼夜之差渐平以此故也赤道既在天顶则北极南极俱在地平可见然但言北极不言南极者中土九州在赤道北圣人治厯祗据所见之北极出地而精其测算即南极可以类推然又言北极下地髙旁陀四𬯎而下即地圆之大致可见非不知地之圆也即如日月交〔？〕常在朔望则日食时日月同度为月所掩赤易知之事而春秋小雅但云日有食之古圣人祗举其可见者为言皆如是也论浑盖通宪即古盖天遗法问盖天必自有仪器今西洋厯仍用浑仪浑象何以断其为盖天曰盖天以平写浑其器虽平其度则浑非不用浑天仪之测验也是故用浑仪以测天星畴人子弟多能之而用平仪以稽浑度非精于其理者不能也今为西学者多能制小浑仪小浑象至所𫝊浑盖通宪者则能制者尠以此故也夫浑盖平仪置北极于中心其度最宻次昼长规又次赤道规以渐而踈此其事易知又次为昼短规在赤道规外其距赤道度与昼长规等理宜収小而今为平仪所限不得不反展而大其经纬视赤道更濶以踈然以稽天度则七政之躔离可知以攷时刻则方位之加临不爽若是者何哉其立法之意置身南极以望北极故近人目者其度加寛逺人目者其度加窄视法之理宜然而分秒忽微一一与勾股割圜之切线相应非深思造微者必不能知也至于长规以外度必更寛更濶而平仪中不能容不得不割而弃之浅见者或遂疑葢天之形其周不合矣是故浑盖通宪即古盖天之遗制无疑也论浑盖通宪即盖天遗法二问利氏始传浑盖仪而前此如回回厯并未言及何以明其为古盖天之器曰浑盖虽利氏所𫝊然非利氏所创吾尝徴之于史矣元史载札玛鲁丹西域仪象有所谓乌蘓都尔喇卜垣者其制以铜如圆镜而可挂面刻十二辰位昼夜时刻此即浑盖之型模也又云上加铜条缀其中可以圆转铜条两端各屈其首为二窍以对望昼则视日影夜则窥星辰以定时刻以占休咎此即浑盖上所用之闚筩指尺也又言皆嵌镜片二面刻其图凡七以辨东西南北日影长短之不同星辰向背之有异故各异其图以尽天地之变此即浑盖上所嵌圆片依北极出地之图而各一其图凖天顶地平以知各方辰刻之不同与夫日出入地昼夜之长短及七政躔离所到之方位及其髙度也其圆片有七而两面刻之则十四矣西洋虽不言占法然有其立象之学随地随时分十二宫与推命星家立命宫之法略同故又曰以占休咎也虽作史者未能深悉厥故而语焉不详今以浑盖徴之而一一脗合故曰浑盖虽利氏所传而非其所创也且利氏𫝊此器初不别立佳称而名之曰浑盖通宪固已明示其指矣然则何以不直言盖天曰盖天之学人屏绝之久矣骤举之必骇而不信且夫殊盖于浑乃治浑天者之沿谬而精于盖天者原视为一事未尝区而别之也夫浑天仪必设于观台必如法安置而始可用浑盖则悬而可挂轻便利于行逺为行测之所需所以逺国得存其制而流𫝊至今也论浑盖之器与周髀同异问浑盖通宪岂即周髀所用欤曰周髀书残缺不完不可得攷据所言天象盖笠地法覆槃又云笠以写天而其制弗详今以理揆之既地如覆槃即有圆突隆起之形则天如盖笠必为圆坳曲抱之象其制或当为半浑圆而空其中略如仰仪之制则于髙明下覆之形体相似矣乃于其中按经纬度数以写周天星宿皆宛转而曲肖矣是则必以北极为中心赤道为边际其赤道以外渐敛渐窄必别有法以相佐或亦是半浑圆内空之形而仍以赤道为边其赤道以南星宿并取其距赤道逺近求其经纬度数而图之至于南距赤道甚逺不可见星之处亦遂可空之不用于是两器相合即周天可见之星象俱全备而无遗矣以故不知者因其极南无星遂妄谓其周不合而无南极也又或写天之笠竟展而平而以北极为心赤道为边用割圆切线之法以攷其经纬度数则周天之星象可一一写其形容其赤道南之星亦展而平而以赤道为边查星距赤道起数亦用切线度定其经纬则近赤道者距踈离赤道向南者渐宻而一一惟肖其不见之星亦遂可空之是虽不言南极而南极已在其中今西洋所作星图自赤道中分为两即此制也所异者西洋人浮海来賔行赤道以南之海道得见南极左右之星而补成南极星图与古人但图可见之星者不同然其理则一是故西洋分画星图亦即古盖天之遗法也周髀云笠以写天当不出坳平二制至若浑盖之器乃能于赤道外展濶平边以得其经纬遂能依各方之北极出地度而求其天顶所在及地平边际即昼夜长短之极差可见于是地平之经纬与天度之经纬相与错综参伍而如指诸掌非容成𨽻首诸圣人不能作也而于周髀之所言一一相应然则即断其为周髀盖天之器亦无不可矣夫法传而久岂无微有损益要皆踵事而增其根本固不殊也利氏名之曰浑盖通宪盖其人强记博闻故有以得其源流而不敢没其实亦足以徴其人之贤矣论简平仪亦盖天法而八线割圆亦古所有问西法有简平仪亦以平测浑之器岂亦与周髀相应欤曰凡测天之器圆者必为浑平者即为盖(唐一行以平图写星)(象亦谓之盖天所异者只用平度不曽以切线分浑球上之经纬踈宻耳)简平仪以平圆测浑圆是亦盖天中之一器也今攷其法亦可以知一岁中日道发南敛北之行可以知寒暑进退之节可以知昼夜永短之故可以用太阳髙度测各地北极之出地即可用北极出地求各地逐日太阳之髙度推极其变而置赤道为天顶即知其地方之一年两度寒暑而三百六旬中昼夜皆平若北极为天顶即知其地之能以半年为昼半年为夜而物有朝生暮获凡周髀中所言皆可知之故曰亦盖天中一器也但周髀云笠以写天似与浑盖较为亲切耳夫盖天以平写浑必将以浑圆之度按而平之浑盖之器如剖浑球而空其中乃仰置几案以通明如玻瓈之片平掩其口则圆球内面之经纬度分映浮平面一一可数而变拗为平矣然其度必中宻而外踈故用切线(此如人在天中则浑天之内面乃正视也故寘北极于中心)简平之器则如浑球嵌于立屏之内仅可见其半球而以玻瓈片悬于屏风前正切其球四面距屏风皆如球半径而无欹侧则球面之经纬度分皆可写记而抑突为平矣然其度必中濶而旁促故用正弦(此如置身天外以测浑天)(之外面故以极至交圏为边两极皆安于外周以考其出入地之度乃旁视也)由是言之浑盖与简平异制而并得为盖天遗制审矣而一则用切线一则用正弦非是则不能成器矣因是而知三角八线之法并皆古人所有而西人能用之非其所创也伏读御制三角形论谓众角辏心以算弧度必古厯所有而流传西土此反失传彼则守之不失且踵事加详至哉圣人之言可以为治厯之金科玉律矣论周髀所𫝊之说必在唐虞以前问周髀言周公受学于商髙商髙之学何所受之曰必在唐虞以前何以知之盖周髀所言东方日中西方夜半云云者皆相距六时其相去之地皆一百八十度(地与)(天应其周度皆三百六十则其相对必一百八十)此东西差之极大者也细攷之则日在极东而东方为日中午时则其地在极南者必见日初出地而为卯时在极北者必见日初入地而为酉时故又云此四方者昼夜易处加四时相及(自南方卯)(至东方午为四时自东方日中午至北方酉亦四时故每加四时则相及矣若以度计之实相距九十)又细分之则东西相距三十度必早晚差一时(如日在极南为午时)(其西距三十度之地必见其为已时而其东距三十度之地必见为未时其余地准此推之并同)相距十五度必相差四刻尧分命羲仲寅賔出日和仲寅饯内日者测此东西里差也(寅賔寅饯互文见意非羲仲但朝测和仲但暮测也)又周髀所言北极下半年为昼中衡下五谷一岁再熟云云者其距纬皆相去九十度乃南北差之极大者也细考之北极髙一度则地面差数百十里(屡代所测微有不同今定为二)(百五十里)而寒暑宻移昼夜之长短各异和叔羲叔分处南北以测此南北里差也故曰此法之传必在唐虞以前也夫东西差测之稍难若南北之永短因太阳之髙下而变日轨髙下又依北极之髙下而殊经商逺游之辈稍知厯象即能觉之羲和二叔奉帝尧之命考测日景一往极北一往极南相距七八千里之逺其逐地之极星髙下昼夜永短身所经厯乃瞢然不知何以为羲和也哉是知地面之非平而永短以南北而差早晚以东西而异必皆羲和所悉知而敬授人时祗据内地幅员立为常法其推测歩算必有专书而亡于秦焰周髀其千百中之十一耳又何疑焉论地实圆体而有背面问地体浑圆既无可疑然岂无背面曰中土圣人所产即其面也何以言之五伦之教天所叙也自黄帝尧舜以来世有升降而司徒之五教人人与知若西方之佛教及天教虽其所言心性之理极其精微救度之愿极其广大而于君臣父子之大伦反轻此一徴也语言惟中土为顺若佛经语皆倒如云到彼岸则必云彼岸到之类欧逻巴虽与五印度等国不同语言而其字之倒用亦同日本国卖酒招牌必云酒卖彼人亦读中土书则皆于句中用笔挑剔作记而倒读之北边塞外及南徼诸国大略皆倒用其字此又一徴也往闻西士之言谓行数万里来賔所厯之国多矣其土地幅员亦有大于中土者若其衣冠文物则未有过焉此又一徴也是知地体浑圆而中土为其面故笃生神圣帝王以继天建极垂世立教亦如人身之有面为一身之精神所聚五藏之精并开窍于五官此亦自然之理也论盖天之学流𫝊西土不止欧逻巴问佛经亦有四大州之说与周髀同乎曰佛书言须弥山为天地之中日月星辰绕之环转西牛贺州南瞻部州东胜神州北具卢州居其四面此则亦以日所到之方为正中而日环行不入地下与周髀所言略同然佛经所言则其下为华藏海而世界生其中须弥之顶为诸天而通明故夜能见星此则不知有南北二极而谓地起海中上连天顶始如圆墖圆柱之形其说难通而彼且谓天外有天令人莫可穷诘故婆罗门等(婆罗门即回回)皆为所笼络事之唯谨(唐书载回纥诸国多事佛回纥即回回也)然回回国人能从事厯法渐以知其说之不足慿故遂自立门庭别立清真之教西洋人初亦同回回事佛(唐有波斯国人在此立大)(秦寺今所𫝊景教碑者其人皆自署曰僧)回回既与佛教分而西洋人精于算复从回厯加精故又别立耶苏之教以别于回回(观今)(天教中七日一斋等事并略同回教其厯法中小轮心等算法亦出于回厯)要皆盖天周髀之学流传西土而得之有全有缺治之者有精有粗然其根则一也论逺国所用正朔不同之故问回厯及西洋厯既皆本于盖天何以二教所颁斋日其每年正朔如是不同曰天方国以十二个月为年(即回)(回国)欧逻巴以太阳过宫为年月依岁差而变此皆自信其厯法之善有以接古盖天之道又见秦人蔑弃古三正而以己意立十月为岁首(今西南诸国犹有用秦朔者)故遂亦别立法程以新人耳目夸示四隣(今海外诸国多有以十二个月为年遵回厯也)盖回国以厯法测验疑佛说之非故谓天有主宰无影无形不宜以降生之人为主其说近正(所异于古圣人者其所立拜念)(之规耳)厥后欧逻巴又于回厯研精故又自立教典奉耶苏为天主以别于回回然所称一体三身降生诸灵怪反又近于佛教而大声辟佛动则云中国人错了夫中土人伦之教本于帝王虽间有事佛者不过千百中之一二又何错之云今但攷其厯法则回回泰西大同小异而皆本于盖天然惟利氏初入欲人之从其说故多方阐明其立法之意而于浑盖通宪直露浑盖之名为今日所徴信盖彼中之英贤也厥后厯书全部又得徐文定及此地诸文人为之广其畨译为厯家所取资实有功于厯学其他可以勿论若回回厯虽亦有所持之圆地球及平面似浑盖之器而若露若藏不宣其义洪武时吴伯宗李翀奉诏翻译亦但纪其数不详厥㫖至数𫝊之后虽其本科亦莫稽测算之根所云乌蘓都尔喇卜垣之器竟无言及之者盖失𫝊已久殊可惜耳尤可深惜者回回泰西之厯既皆本于盖天而其所用正朔乃各自翻新出竒欲以自异其实皆非夫古者帝王钦若昊天顺春夏秋冬之序以敬授人时出于自然何其正大何其易简万世所不能易也顾乃恃其巧算私立正朔以变乱之亦见其惑矣徐文定公之译厯书也云镕西洋之巧算入大统之型模非独以尊大统也揆之事理固有不得不然者尔测算以求天验不难兼西术之长以资推歩颁朔以授人时自当遵古圣之规以经久逺虚心以折其衷博考以求其当有志厯学者尚其念诸(余详后论)厯算全书卷四
## 卷五
钦定四库全书厯算全书巻五宣城梅文鼎撰厯学疑问补下论太阳过宫问旧厯太阳过宫与中气不同今何以复合为一曰新厯之测算精矣然其中不无可商当俟后来详定者则此其一端也何则天上有十二宫宫各三十度每岁太阳以一中气一节气共行三十度(如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其余并同)满二十四气则十二宫行一周故厯家恒言太阳一岁周天也然而实考其度则一岁日躔所行必稍有不足虽其所欠甚微(约其差不过百分度之一有半)积至年深遂差多度(六七十年差一度六七百年即差十度)是为岁差厯家所以有天周岁周之名(天上星辰匀分十二宫共三百六十度是为天周每岁太阳十二中气共行三百六)(十度㣲弱是为岁周)汉人未知岁差误合为一故即以冬至日交星纪而定之于牵牛逮晋虞喜等始觉之五代宋何承天祖冲之隋刘焯等言之益详顾治厯者株守成说不敢辄用岁差也至唐初傅仁均造戊寅元厯始用岁差而朝论多不以为然(亦如今人之不信西法人情狃于习见大扺皆然)故李淳风麟德厯复去岁差不用直至𤣥宗开元某年僧一行作大衍厯乃始博徴广证以大畅厥㫖于是分天自为天(即周天十二次宫度其度终古不变)岁自为岁(即周岁十二中气日躔所行天度其度岁岁微)(移)厯代遵用(所定岁差年数微有不同而大致无异)元世祖时用授时厯郭守敬测定六十六年有八月而差一度回回泰西差法略同(今定为七十年差一度数亦非逺)故冬至日一岁日躔之度已周尚不能复于星纪之元度必再行若干日时而至星纪(十二中气皆同一理)所以太阳过宫与中气必不同日其法原无错误其理亦甚易知徐李诸公深于厯术岂反不明斯事乃复合为一真不可解推原厥故盖译厯书时误仍回回厯太阳年之十二月名耳问回回厯亦知岁差何以误用宫名为月名曰回回厯既以十二个月为太隂年而用之纪岁不用闰月然如是则四时之寒燠温凉错乱无纪因别立太阳年以周岁日躔匀分三百六十度又匀分为十二月以为耕敛之节而起算春分是亦事势之不得不然(尧典寅賔出日始于仲春)(即此一事亦足徴西厯之本于羲和)但彼以春分为太阳年之第一月第一日遂不得复用古人分至启闭之法及春夏秋冬正名(古者以立春立夏立秋立冬春分秋分冬至夏至为八节其四立并在四孟月之首以为四时之节谓之)(启闭二分二至并在四仲月之中居春夏秋冬各九十一日之半皆自然之序不可移易今回厯之太阳年既)(以春分为岁首则是以仲春之后半月为正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日竒遂一并移之于岁)(终而孟春之前半改为十一月之后半孟春之后半合仲春之前半共三十日改为十二月即春夏秋冬之四)(时及分至启闭之八节孟仲季之月名无一与之相应名不正则言不顺遂不复可得而用矣)故遂借白羊等十二宫以名其太阳年之月彼非不知天度有岁差白羊不能板定于春分然以其时春分正在白羊姑借此名之以纪月数(即此而知回厯初起时其年代去今非逺)欧逻巴厯法因回厯而加精大致并同回厯故遂亦因之耳徐文定公译厯书谓镕西洋之精算入大统之型模则此处宜为改定使天自为天岁自为岁则岁差之理明而天上星辰宫度各正其位矣(如昼夜平即为二分昼极长即为夏至不必问其日躔是)(何宫度是之谓岁自为岁也必太阳行至降娄始命为日躔降娄之次大阳行至鹑首始命为日躔鹑首之次)(不必问其为春分后几日夏至后几日是之谓天自为天也)顾乃因仍回厯之宫名而以中气日即为交宫之日则岁周与天周复混而为一于是岁差之理不明(如星纪之次常有定度而冬至之日度渐移是生岁差若冬至)(日即躔星纪岁岁相同安得复有岁差)而天上十二次宫度名实俱乱(天上)(十二宫各有定星定度若随节气移动则名实俱左后篇详之)是故厯法至今日推步之法已极详明而不无有待商酌以求尽善者此其一端也问者曰厯所难者推步耳若此等处改之易易(但于)(各中气后查太阳实躔某宫之度即过宫真日)但厯书中所作诸表多用白羊金牛等宫名以为别识今欲通身改换岂不甚难曰否否厯书诸表虽以白羊金牛等为题而其中之进退消长并从节气起算今但将宫名改为节气即诸表可用不必改造有何难哉(如厯从白羊起者即改白羊初度为春分初度表从磨羯起者即改)(磨羯初度为冬至初度厯书诸表依旧可用但正其名不改其数更无烦于推算)论周天十二宫并以星象得名不可移动问天上十二宫亦人所名今随中气而移亦何不可之有曰十二宫名虽人所为然其来久矣今攷宫名皆依天上星宿而定非漫说者如南方七宿为朱鸟之象(史记)(天官书栁为鸟注注即咮咮者朱鸟之喙也七星颈为员官颈朱鸟颈也员官咙㗋也张为素素即嗉鸟受食)(之处也翼为羽翮朱鸟之翼)故名其宫曰鹑首鹑火鹑尾(鹑即朱鸟乃凤也)东方七宿为苍龙(天官书东宫苍龙房心心为明堂今按角二星象角故一名龙角氐房心)(象龙身心即其当心之处故心为明堂尾宿即龙之尾)故其宫曰夀星(封禅书武帝诏天下)(尊祀灵星正义灵星即龙星也张晏曰龙星左角曰天田则农祥也见而祀之)曰大火(心为大火)曰析木(一名析木之津以尾箕近天河也)北方七宿为𤣥武(天官书北宫𤣥武)其宫曰星纪(古以斗牛为列宿之首故星自此纪也)曰𤣥枵(枵者虚也即虚危也又象龟蛇)(为𤣥武也)曰娵訾(一名娵訾之口以室壁二宿各二星两两相对而形正方故象口也)西方七宿为白虎(天官书奎曰封豕参为白虎三星直者是为衡其外四星左右肩股也小三星隅置曰觜)(觽为虎首)其宫曰降娄(以娄宿得名也)曰大梁曰实沈由是以观十二宫名皆依星象而取非漫设也尧典日中星鸟以其时春分昏刻朱鸟七宿正在南方午地也日永星火以其时夏至初昏大火宫在正午也(火即心宿)宵中星虚以其时秋分昏中者𤣥枵宫也即虚危也日短星昴以其时冬至昏中者昴宿也即大梁宫也厯家以岁差攷之尧甲辰至今已四千余岁岁差之度已及二宫(以西率七十年差一)(度约之凡差六十余度)然而天上二十八舎之星宿未尝变动故其十二宫亦终古不变也若夫二十四节气太阳躔度尽依岁差之度而移则岁岁不同七十年即差一度(亦据)(今西术推之)安得以十二中气即过宫乎试以近事徴之元世祖至元十七年辛巳冬至度在箕十度至今康熙五十八年己亥冬至在箕三度其差盖已将七度而即以箕三度交星纪宫则是至元辛巳之冬至宿(箕十度)已改为星纪宫之七度再一二百年则今己亥之冬至宿(箕三)(度)为星纪宫之初度者又即为星纪宫之第三度而尾宿且浸入星纪矣积而久之必将析木之宫(尾箕)尽变为星纪大火之宫(氏房心)尽变为析木而十二宫之星宿皆差一宫(凖上论之角亢必为大火翼轸必为夀星柳星张必为鹑尾井鬼必为鹑火而觜参为鹑首胃)(昴毕为实沈奎娄为大梁而娵訾为降娄虚危为娵訾斗牛为𤣥枵二十八宿皆差一宫)即十二宫之名与其宿一一相左又安用此名乎再积而久之至数千年后东宫苍龙七宿悉变𤣥武(岁差至九十度时角亢氐尾心房箕)(必尽变为星纪𤣥枵娵訾并倣此)南宫朱鸟七宿反为苍龙西宫白虎七宿反为朱鸟北宫𤣥武七宿反为白虎国家颁厯授时以钦若昊天而使天上宿度宫名颠倒错乱如此其可以不亟为厘定乎又试以西术之十二宫言之夫西洋分黄道上星为十二象虽与羲和之旧不同然亦皆依星象而名非漫设者如彼以积尸气为巨蠏第一星盖因鬼宿四星而中央白气有似蠏筐也所云天蝎者则以尾宿九星卷而曲其末二星相并如蝎尾之有岐也所云人马者谓其所图星象类人骑马上之形也其余如宝瓶如双鱼如白羊如金牛如隂阳如狮子如双女如天秤以彼之星图观之皆依稀仿佛有相似之象故因象立名今若因节气而每岁移其宫度积而久之宫名与星象相离俱非其旧而名实尽淆矣又按西法言岁差谓是黄道东行未尝不是如今日鬼宿已全入大暑日躔之东在中法岁差则是大暑日躔退回鬼宿之西也在西法则是鬼宿随黄道东行而行过大暑日躔之东其理原非有二尾宿之行入小雪日躔东亦然夫既鬼宿已行过大暑东而犹以大暑日交鹑火之次则不得复为巨蠏之星而变为师子矣尾宿已行过小雪后而犹以小雪日交析木之次则尾宿不得为天蝎而变为人马宫星矣即询之西来知厯之人有不哑然失笑者乎论西法恒星岁即西月日亦即其斋日并以太阳过宫为用而不与中气同日问西法以太阳㑹恒星为岁谓之恒星年恒星既随黄道东行则其恒星年所分宫度亦必不能常与中气同日厯书何以不用曰恒星年即其所颁斋日也其法以日躔斗四度为正月朔故曰以太阳㑹恒星为岁也其斗四度盖即其所定磨羯宫之初度也(在今时冬至后十二日)自此日躔行满三十度即为第二月交宝瓶宫(余月并同皆以日躔)(行满三十度交一宫即又为一月而不论节气)然其十二月之日数各各不同者以黄道上有最髙卑差而日躔之行度有加减也(如磨)(羯宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫即成一月若巨蠏宫日躔最髙行迟故三十一日而行一宫始成)(一月其余宫度各以其或近最卑或近最髙迟速之行不同故日数皆不拘三十日并以日躔交宫为月不论)(节气)是则其所用各月之第一日即太阳交宫之日原不与中气同日而且岁岁微差至六七十年恒星东行一度即其各宫并东行一度而各月之初日在各中气后若干日者又増一日矣(如今以冬至后十二日为岁首至岁差一度时必在冬至后十)(三日余尽然)此即授时厯中气后几日交宫之法乃岁差之理本自分晓而厯书中不甚发挥斯事者亦有故焉一则以月之为言本从太隂得名故必晦朔弦望周而后谓之月今反以太阳所躔之宫度为月而置朔望不用是名为月而实非月大骇听闻一也又其第一月既非夏正孟春亦非周正仲冬又不用冬至日起算非厯学履端于始之义事体难行二也又其所用斋日即彼国所颁行之正朔欧逻巴人私奉本国之正朔宜也中土之从其教者亦皆私奉欧逻之正朔谓国典何故遂隠而不宣三也(初造厯书事事阐发以冀人之信从惟此斋日但每岁𫝊单伊教不笔于书)然厯书所引彼中之旧测每称西月日者皆恒星年也其法并同斋日皆依恒星东行以日躔交磨羯宫为岁旦而非与冬至中气同日也此尤为太阳过宫非中气之一大证据矣或曰厯书所引旧测多在千余年以前然则西月日之兴所从来久矣曰殆非也唐始有九执厯元始有回回厯欧逻巴又从回厯加精必在回厯之后彼见回回厯之太隂年太阳年能变古法以矜竒创故复变此西月日立恒星年以胜之若其所引旧测盖皆以新法追改其月日耳论恒气定气问旧法节气之日数皆平分今则有长短何也曰节气日数平分者古法谓之恒气(以岁周三百六十五日二十四刻竒平分为二十四)(气各得一十五日二十一刻八十四分竒)其日数有多寡者谓之定气(冬至前后)(有十四日竒为一气夏至前后有十六日为一气其余节气各各不同并以日行盈厯而其日数减行缩厯而)(其数増)二者之算古厯皆有之然各有所用唐一行大衍厯议曰以恒气注厯以定气算日月交食是则旧法原知有定气但不以之注厯耳译西法者未加详考辄谓旧法春秋二分并差两日则厚诬古人矣夫授时厯所注二分日各距二至九十一日竒乃恒气也(厯经厯草皆明言恒)(气)其所注昼夜各五十刻者必在春分前两日竒及秋分后两日竒则定气也定气二分与恒气二分原相差两日授时既遵大衍厯议以恒气二分注厯不得复用定气故但于昼夜平分之日纪其刻数则定气可以互见非不知也且授时果不知有定气平分之日又何以能知其日之为昼夜平分乎夫不知定气是不知太阳之有盈缩也又何以能算交食何以能算定朔乎(经朔犹恒)(气定朔犹定气望与上下弦亦然)夫西法以最髙卑䟽盈缩其理原精初不必为此过当之言良由译书者并从西法入手遂无暇参稽古厯之原流而其时亦未有能真知授时立法之意者为之援据古义以相与虚公论定故遂有此等偏说以来后人之疑议不可不知也其所以为此说者无非欲以定气注厯使春秋二分各居昼夜平分之日以见授时古法之差两日以自显其长殊不知授时是用恒气原未尝不知定气不得为差而西法之长于授时者亦不在此以定气注厯不足为竒而徒失古人置闰之法欲以自暴其长反见短矣故此处宜酌改也后条详之再论恒气定气问授时既知有定气何为不以注厯曰古者注厯只用恒气为置闰地也春秋传曰先王之正时也履端于始举正于中归邪于终(邪与余同谓余分也)履端于始序则不愆举正于中民则不惑归邪于终事则不悖盖谓推步者必以十一月朔日冬至为起算之端故曰履端于始而序不愆也又十二月之中气必在其月如月内有冬至斯为仲冬十一月月内有雨水斯为孟春正月月内有春分斯为仲春二月余月并同皆以本月之中气正在本月三十日之中而后可名之为此月故曰举正于中民则不惑也若一月之内只有一节气而无中气则不能名之为何月斯则余分之所积而为闰月矣闰即余也前此余分累积归于此月而成闰月有此闰月以为余分之所归则不致春之月入于夏且不致今冬之月入于明春故曰归邪于终事则不悖也然惟以恒气注厯则置闰之理易明何则恒气之日数皆平分故其每月之内各有一节气一中气(假如冬至在十一月朔则必有小寒在其月望后若冬至)(在十一月晦则必冇大雪节气在其月望前余月并然)此两气策之日合之共三十日四十三刻竒以较每月常数三十日多四十三刻竒谓之气盈又太隂自合朔至第二合朔实止二十九日五十三刻竒以较每月三十日又少四十六刻竒谓之朔虚合气盈朔虚计之共余九十刻竒谓之月闰乃每月朔策与两气策相较之差也(假如十一月经朔与冬至同时刻则大寒中气)(必在十二月经朔后九十刻而雨水中气必在次年正月经朔后一日又八十刻竒其余月并准此求之)积此月闰至三十三个月间(即二年零九个月)其余分必满月策而生闰月矣闰月之法其前月中气必在其晦后月中气必在其朔则闰月只有一节气而无中气然后名之为闰月(假如闰十一月则冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而闰月只有小寒节气更无中气)(则不可谓之为十一月亦不可谓之为十二月即不得不名之为闰月矣)斯乃自然而然天造地设无可疑惑者也一年十二个月俱有两节气惟此一个月只一节气望而知其为闰月今以定气注厯则节气之日数多寡不齐故遂有一月内三节气之时又或有原非闰月而一月内反只有一中气之时其所置闰月虽亦以余分所积而置闰之理不明民乃惑矣然非西法之咎乃译书者之踈略耳何则西法原只有闰日而无闰月其仍用闰月者遵旧法也亦徐文定公所谓镕西洋之巧算入大统之型模也按尧典云以闰月定四时成岁乃帝尧所以命羲和万世不刋之典也今既遵尧典而用闰月即当遵用其置闰之法而乃不用恒气用定气以滋人惑亦昧于先王正时之理矣是故测算虽精而有当酌改者此亦一端也今但依古法以恒气注厯亦仍用西法最髙卑之差以分昼夜长短进退之序而分注于定气日之下即置闰之理昭然众著而定气之用亦并存而不废矣又按恒气在西法为太阳本天之平行定气在西法为黄道上视行平行度与视行度之积差有二度半弱西法与古法略同所异者最髙冲有行分耳古法恒气注厯即是用太阳本天平行度数分节气论七政之行并有周有转有交问月五星之行并有周天有盈缩迟疾有出入黄道之交㸃共三事也太阳亦然乎曰并同也太阳终古行黄道则无出入黄道之交㸃然而黄道出入于赤道亦可名交是故春秋二分即其交㸃亦如月离之有正交中交也因此而日躔有南陆北陆之行古者谓之发敛(行南)(陆为发行北陆为敛并以其离北极之逺近言之)于是而四时之寒燠以分昼夜刻之永短有序皆交道之所生以成岁周是故岁周者即太阳之交道也与月离之交终同也然以岁差之故(西法谓之黄道东行)故每岁三百六十五日二十四刻竒(此以授时)(古率言之)已满岁周矣又必加一刻有半(亦依古率约之)始能复躔冬至元度(假如本年冬至日躔箕宿三度八十分次年冬至必在箕宿三度七十分竒是岁序已周)(而元度未复故必于三百六十五日二十四刻竒之外复加一刻有半始能复躔于箕三度八十分)是为太阳之周天与月行之周天同也月行周天与交终原非一事是故太阳之周天与岁周原为两事也然太阳之行有半年盈厯半年缩厯即恒气定气之所由分(古法)(起二至西法起最髙冲尤为亲切)亦如月离之转终是又为一事合之前两者(岁周与周天)共为三事乃七政之所同也按月离交终以二十七日二十一刻竒而隂厯阳厯之度一周在月周天前以较周天度为有欠度也转终以二十七日五十五刻竒而迟厯疾厯之度一周在月周天后以较周天度为有余度也月周天之日数在二者之间亦二十七日又若干刻而周虽同大余不同小余当其起算之初所差不过数度(如交终与转终相差三十四刻竒即其差度为)(四五度)积至一年即差多度(太隂每年行天十三周半即相差六十余度)故其差易见日躔岁周以二十四节气一周为限因有恒星东行之岁差故其度在周天前以较周天度为有欠分也(约为七十分度之一)日躔盈缩以盈初缩末缩初盈末一周为限因最髙有行分故其度在周天后以较周天度为有余分也(亦约为七十分度之一)以一岁言之三者并同大余即小余亦不甚逺(岁周三百六十五日二十四刻竒増一刻半即周天又増一刻半即盈缩厯周但差刻不)(差时)积其差至七十年即各差一度(岁周不及周天七十年差一度即恒星东)(行之岁差而盈缩厯至七十年又过于周天一度即最髙之行于是岁周与盈缩厯周共相差二度并至七十)(年而后知之也)故其差难见(七十年只差一度故难见也)然虽难见其理则同(以周天之度为主则岁周之差度退行亦如太隂交终差度之毎交逆退也而盈缩入厯之差度于周天)(为顺行亦如太隂之转终差度毎转顺行也而周天度则常不动)但以太隂之交转周比例之则判然三事不相凌杂矣问厯法中所设交差转差即此事乎曰亦微有不同盖交差转差是以交终转终与朔策相较(或言其日或言其度并同)兹所论者是以交终转终与周天相较故其数不同也其数不同而厯法中未言者何也縁厯家所言在交食故于定朔言之綦详而月之周天反略惟陈星川(壤)袁了凡(黄)所撰厯法新书明立太隂周天日数谓之月周与交终转终并列为三实有禆于厯学而人或未知故特著之又徴之五星亦皆有周天有厯周(即盈缩如月之入转)有正交中交是故此三事者日月五星之所同也知斯三者于厯学思过半矣(外此则月有朔望五星有叚目并以距日之逺近而生故大阳所与月五星同者惟)(此三事)论月建非专言斗柄问行夏之时谓以斗柄初昏建寅之月为岁首议者以冬至既有岁差则斗柄亦从之改度今时正月不当仍为建寅其说然乎曰不然也孟春正月自是建寅非闗斗柄其以初昏斗柄建寅者注释家未深攷也何则自大挠作甲子以十日为天干(自甲至癸)十二子为地支(自子至亥)天道圆故以甲乙居东丙丁居南庚辛居西壬癸居北戊巳居中参同契所谓青赤白黒各居一方皆禀中央戊巳之功也十干以配五行圆转周流故曰天干也地道方故以寅夘辰列东巳午未列南申酉戍列西亥子丑列北易大传所谓帝出乎震齐乎㢲相见乎离致役乎坤说言乎兊战乎干劳乎坎成言乎艮自东而南而西而北其道左旋周而复始也是十二支以配四时十二月静而有常故曰地支也天干与地支相加成六十甲子以纪岁纪日纪时而皆凖于月以岁有十二月也此乃自然而然之序不可増减不可动移是故孟春自是寅月何尝以斗柄指寅而后谓之寅月哉如必以斗柄指寅而谓之寅月则亦有寅年寅月寅时岂亦以斗柄指寅而后得以谓之寅乎是故尧典命羲仲宅嵎夷平秩东作以殷仲春次命羲叔宅南交平秩南讹以正仲夏次命和仲宅西平秩西成以殷仲秋次命和叔宅朔方平在朔易以正仲冬此四时分配四方而以春为岁首之证也夫既有四仲月以居夘午酉子之四正则自各有孟月季月以居四隅仲春既正东为夘月其孟春必在东之北而为寅月何必待斗柄指寅乎故日中星鸟日永星火宵中星虚日短星昴并祗以昼夜刻之永短为慿以昏中之星为断未尝一言及于斗柄也又攷孔子去尧时已及千五百岁岁差之度已二十余度若尧时斗柄指寅孔子时必在寅前二十度而指丑矣岂待今日而后知乎然孔子但言行夏之时盖以孟春为岁首于时为正非以斗柄指寅而谓之寅月也又攷岁差之法古虽未言然而月令昏中之星已不同于尧典则实测当时之星度也然尧典祗举昏中星而月令兼言旦中又举其日躔所在又于尧典四仲月之外兼举十二月而备言之可谓详矣然未尝一语言斗杓指寅为孟春又攷史记律书以十律配十二月之所建地支而疏其义兼八风二十八舎以为之说而并不言斗建惟天官书略言之其言曰杓擕龙角衡殷南斗魁枕参首用昏建者杓夜半建者衡平旦建者魁是则衡亦可言建魁亦可言建而非仅斗杓夜半亦有建平旦亦有建而非止初昏其言甚圆以是而知正月之为寅二月之为卯皆一定不可移而斗之星直之即谓建固非以初昏斗柄所指而命之为何月也然则谓行夏之时是以斗柄建寅之月为岁首者盖注释家所据一家之说而未详厥故也今乃遂据其说而欲改正月之建寅可乎不可乎再论斗建问说者又以各月斗柄皆指其辰惟闰月则斗柄指两辰之间由今以观其说亦非欤曰非也周天之度以十二分之各得三十度竒(在西法为三十度)凡各月中气皆在其三十度之中半各月节气皆居其三十度之首尾今依其说斗柄所指各在其月之辰则交节气日斗柄所指必在两辰之间矣(假如立春为正月节则立春前一日斗柄所指在丑立春后一日斗柄指)(寅而立春本日斗柄所指必在丑与寅之间余月皆然)十二节气日皆指两辰之间又何以别其为闰月乎若夫闰月则只有节气无中气其节气之日固指两辰之间矣然惟此一日而已其前半月后半月并非两辰之间也(假如闰正月则雨水中气在正月晦春分中气)(在二月朔而闰月只有惊蛰节在月望则其前半月必指寅后半月必指卯惟惊蛰日指寅与卯之交界缝中)(可谓之两辰间闰在余月亦然)地盘周围分为十二辰首尾鳞次如环无端又何处设此三十度于两辰间以为闰月三十日之所指乎凡若此等习说并由未经实测而但知斗杓所指为月建遂岐中生岐成此似是而非之解天下事每壊于一知半解之人往往然也又按斗柄之星距北极只二十余度必以北极为天顶而后可以定其所指之方今中土所处在斗杓之南仰而观之斗杓与辰极并在天顶之北其斗杓所指之方位原难清楚故古人祗言中星不言斗杓盖以此也(如淮)(南子等书言招揺东指而天下皆春不过大槩言之原非以此定月)又按𫝊言营室之中土功其始火之初见期于司里又言水昏正而栽日至而毕诗亦言定之方中作于楚宫又言七月流火九月授衣古之人以星象授人时如此者不一而足也若以岁差攷之则于今日并相差一二旬矣然而当其时各据其时之星象为之著令所以使民易知也而终未有言斗杓指何方而作何事者则以其方位之难定也十二月建之非闗斗柄明矣是故斗柄虽因岁差而所指不同正月之建寅不可易也论古颁朔问论语子贡欲去告朔之饩羊孔子不然其说曰我爱其礼不知周制颁厯其式如何曰颁朔大典也盖王政在其中矣古者天子常以冬月颁来岁十二月之朔于诸侯诸侯受而藏诸祖庙月朔则以特羊告庙请而行之如是其隆重者何也盖既曰请而行之则每月内各有当行之政令颁于天子而诸侯奉行惟谨焉故告朔之后即有视朔听朔之礼所以申命百官有司以及黎庶相与恪遵以奉一王之大法此之谓奉正朔也是故大之有朝觐㑹同之期有隣国聘问之节有天子巡狩朝于方岳之时(此等大礼皆以年计而必冇定期如虞书东巡狩必于仲春南巡狩必于仲夏)(之类)其于宗庙也有禴祠烝尝四时之祭有畊籍田夫人亲蚕以预备粢盛衣服之需其于群神也有山川社稷祈榖报岁八蜡五祀之典其于黉序也有上丁释菜冬夏诗书春秋羽籥之制其于农事也有田畯劝农播种収获沟洫隄防筑场纳稼之务有饮射读法遒人徇铎之事其于军政也有搜苖狝狩振旅治兵之政其于土功也有公旬三日之限其于刑罚也有宥过释滞折狱致刑之月又如藏氷用氷出火内火仲夏斩阳木仲冬斩隂木獭祭鱼然后渔人入泽梁豺祭兽然后田猎之类凡若此者皆顺四时之序以为之典章先王之所以奉若天道也而一代之典制既藏之太府恪守无斁矣又毎岁颁示诸侯以申命之诸侯又于每月之朔告于祖庙请而奉行之天子本天以出治无一事敢违天时诸侯奉天子以治其国无一事不遵王命以上顺天时唐虞三代所以国无异俗家无异教道德一而风俗同盖以此也故曰颁朔告朔实为大典而王政因之以行也周既东迁矣王政不行鲁不吿朔他国可知盖视为弁髦久矣厥后遂有司厯再失闰之愆而大夫陪臣之僭乱纷纷矣以秉礼之国而蔑弃王朝大典何怪其群相效尤是故夫子曰我爱其礼盖庶几因此羊而念及先王之典也如谓颁朔祗以识月之大小辨朔望生明死魄之干支何取乎每月告庙之繁文也哉由是以观则三代时所颁之厯可知己矣论厯中宜忌问厯法中宜忌之说古有之乎曰无之也盖起近代耳尧之命羲和也曰敬授人时曰东作西成曰允厘百工庶绩咸熙厯之大用盖如此也何尝有选择之事乎司马迁曰阅隂阳之书使人拘而多畏其说盖起于战国之时夫箕子陈洪范其七曰稽疑古者有大政既断之于主心又谋及卿士谋及庶人矣然必谋及卜筮古圣人不敢自专自用而必协谋于神人盖其慎也战国力争此义不明太卜筮人之官废疑事无所决隂阳家言乃纷然以出矣隋唐之季其说愈多故吕才援引古义著论以非之可谓深切著明矣然而教化不行吉凶福祸之说深中于人心黠者乘之各立异说以恫喝聋俗愈出愈攴六十干支而选择之书乃有九十余家同此一日而此以为大吉彼以为大凶令人无所适从诬民惑世莫此为甚今官厯宜忌本于选择厯书不知其为元时所定明初所定然攷史志厯代言厯者初无一字及于选择又如罗计四余郭守敬厯经所无而大统増入之然则此等不经之说并元统郭伯玉等所为耳原其初意或亦欲假此以定民之趋然官厯虽颁宜忌而民间偏惑通书通书既非一种而术者私书更多虽户说以渺论不能止也今若能一切删去只载宜行政事及南北耕耘収获之节则唐虞三代敬天勤民之至意复覩今日岂不快哉洪武中解大绅庖西封事曰治厯明时授民作事但申播植之宜何用建除之谬方向煞神事甚无谓孤虚宜忌亦且不经东行西行之论天德月德之云臣料唐虞之厯必无此等之文所宜著者日月之行星辰之次仰观俯察事合逆顺七政之齐正此类也按此说甚正惜当时不能用然实为定论圣人所不易也论治厯当先正其大其分秒微差可无深论问厯法至今日可谓详且宻矣然徴诸交食亦或有微差之刻何欤曰此可以不必深论者也攷汉时不知定朔故日食或不在朔或差而前则食于晦差而后则食于初二日直至唐李淳风麟德厯始用定朔于是蚀必在朔无差日矣然尚有差时厥后大衍厯所推益宻宣明厯又立气刻时三差至宋统天厯纪元厯又加详焉迨元授时厯遂无差时但有差刻今西厯言东西南北差以黄道九十度限为宗其理益明其法益善然而亦或有时而差刻分者何也今夫盆盎之中可以照物池沼澄清则岸上之人物花鸟山陵树木毕现其中然而其边际所域必有所改易两镜相照则多镜层现于一时而六层以上必有所穷况乎以八尺之玑衡测大圆之宫度其大小之比例道里之辽濶不可以亿计而因积候之多用算之巧遂致交食应期亏复应候东西南北方向胥符而但有晷刻之后先分秒之同异即谓之不差可矣国家治厯所重者顺天出治以敬授人时日食之类所重在于修省至于时刻小差原非所重但当令司厯者细加测候详纪其所差之数以待后来修厯者使有所据依以益精其推步而已断不可因小节之微差而辄更成法也汉唐宋厯法屡改而多不效元明三四百年守一授时法而交食不效只数事而已况今新厯又加精于授时何必复加更变乎或谓厯算之差由于尾数予谓此一端耳尾数有丢収无闗大数所难者乃根数耳盈缩迟疾之根虽有离朱无所施其目并由年深日久然后知之又如最髙之行利氏所定与今所用不同皆根之差厯所以取象于革也厯算全书卷五
## 卷六
钦定四库全书厯算全书卷六宣城梅文鼎撰厯学答问答祠部李古愚先生厯算之学散见经史固儒者所当知然其事既不易明而又不切于日用故学者置焉博览之士稍渉大端自谓已足欲如绛县老人能自言其生之四百四十四甲子者固已鲜矣况能探讨其义类乎明公夙夜在公日懋勤于职业而心闲若水孜孜好学用其心于人所不用之处真不易得鼎虽疎浅无似敢不勉竭鄙思以仰答下问之勤乎谨条于左问授时大统二厯厯元并岁实积日日法诸数按厯元云者厯家起算之端也然授时厯元之法与古不同请先言古法古人治厯必先立元元正然后定日法法立然后度周天其法皆据当时实测以验诸前史所传又推而上之至于初古之时取其岁月日时皆㑹甲子又在朔旦而日月五星皆同一度以此为起算之端是谓厯元自厯元顺数至今造厯之时凡厯几何岁月是为积年既有积年即有积日而此积日若用整数则遇﨑零难以入算而不能使厯元无余分故必析此一日为若干分使七曜可以通行而上可以合厯元下不违于实测是为日法即一日之细分也用此细分自一日积之至于二百六十五日又四分日之一弱使一岁之日尽化为分是为岁实古厯太阳每日行一度则日法即度法于是仍用此细分自一度积之至于三百六十五度又四分度之一弱使其度亦尽化为分是为周天数者相因乃作厯之根本自汉太初厯以后厯晋唐五代宋辽金诸家厯法代有改宪然其规模次第皆大同而小异耳右古法厯元等项惟元授时厯不然其说以为作厯当凭实测而必逆推上古虚立积年必将迁就其畸零之数以求密合既有迁就久则易差故不用积年之法而断自至元十七年辛巳岁前天正冬至为元上考往古下验将来皆自此起算弃虚立之元用实测之度顺天求合一无迁就可谓开拓万古之心胸者矣至于大统则以洪武十七年甲子为元然特易其名而已一切歩算皆本授时名虽洪武甲子实用至元辛巳也右授时大统厯元惟授时不用积年故日法亦可不立而径以万分为日万分者日有百刻刻有百分故一万也古诸家厯法虽皆百刻而刻非百分其日法皆有畸零授时以万分为日竟是整数故曰不用日法然即此是其日法矣右授时日法大统同授时既以万分为日故其岁实三百六十五万二千四百二十五分其数自辛巳岁前天正冬至(即庚辰年十一月中气)积至次年壬午岁前天正冬至(即辛巳本年十一月中气)共得三百六十五日二十四刻二十五分也若逆推前一年亦是如此(如是庚辰年十一月冬至逆推至巳卯年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分)此岁实之数大统与授时并同然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则岁实当消一分(依法推至洪武十四年辛酉满一百年其岁实消一)(分为三百六十五日二十四刻二十四分)若自辛巳元逆推至一百年则岁实当长一分(依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年岁实长一分为三百六十五日二十四)(刻二十六分)每相距増一百年则岁实消长各増一分以是为上考下求之准大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也右授时大统岁实岁实即一年之日数也自一年以至十年百年共积若干是为积日亦谓之中积分(上考下求皆距至元辛巳立算)假如今康熈庚午岁相距四百零九算(自辛巳元顺推至今康熈庚午)(四百一十年法以积年减一得实距四百零九年)依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分(因距算四百以上岁实当)(消四分为三百六十五日二十四刻二十一分以乘距算四百零九得如上数是为庚午岁前天正冬至上距)(辛巳岁前天正冬至之积日若以日为万分则所得化为一十四亿九千三百八十四万零一百八十九分谓)(之中积分)大统法不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分(中积分一十四亿九千三百八十四万一千八)(百二十五分)两法相差一十六刻三十六分(以命冬至日辰授时得癸卯日)(丑初三刻大统得癸卯日卯初三刻 两法皆加气应)右授时大统积日以上数端并在歩气朔章是太阳项下事也其厯元七曜同用乃根数所立之处也问授时大统二厯月法转周交周诸数按月法者即朔䇿也亦曰朔实其法自太阳太隂同度之刻算至第二次同度为两朔相距之中积分平分之则为望䇿四分之则为弦䇿望者日月相望距半周天弦者近一逺三上弦月在日东下弦月在日西皆相距天周四之一授时朔䇿二十九万五千三百零五分九十三秒即二十九日五十三刻零六分弱也大统同右月法月平行每日十三度有竒然有时而疾则每日十四度竒有时而迟则每日只十二度竒是为月转初入转则极疾疾极而平平而迟迟极又平平而又疾以此遂有疾初疾末迟初迟未四限满此一周谓之转终授时转终二十七日五十五刻四十六分大统同右转法月不正行黄道而出入其内外故谓之交交者言其道交于黄道也月行天一周其交于黄道只有二处其始从黄道内而出于其外此时月道自北而南在黄道上斜穿而过谓之正交自正交行九十一度(就整数)离黄道南六度自此再行九十一度又自黄道外而入于其内此时月道自南而北亦斜穿黄道而过谓之中交中交行至九十一度时离黄道北亦六度自此再九十一度又自黄道内而出于其外复为正交矣其法以正交后半周为阳厯中交后半周为隂厯满此一周谓之交终授时交终二十七日二十一刻二十二分二十四秒大统同右交道以上三端朔䇿在歩气朔章转终在歩月离章交终在歩交㑹章并太隂项下事也问授时厯有气应何义按气应为授时四应数之一其法创立古厯所无也古厯立元皆起初古故但有积年而无根数(即应数)授时既不立积年而用截算不得不有四应数以纪当时实测之数为上考下求之根而气应居一焉气即中气节气二十四中节皆始冬至故气应者即冬至相应之真时刻也当时实测辛巳岁前天正冬至是己未日丑初一刻故曰气应五十五万零六百分即五十五日零六刻也其法自甲子日为一数起挨算至戊午日得满五十五日又加子正后六刻则为己未日丑初一刻矣气应之外又有闰应以纪经朔转应以纪月之迟疾厯交应以纪月之隂阳厯亦是截算皆实测辛巳年天正冬至气应(己未日丑初一刻)所得上距经朔及距入转距正交各相应之数也 依法推到辛巳年天正经朔三十四日八十五刻半为戊戌日戍正二刻(在气应冬至前二十日二十刻五十)(分)及己未冬至气应则为经朔之二十一日 凡此皆厯经所未明言兹特著之问推歩交食之法按厯家之法莫难于交食其理甚精其法甚备故另为一章若知交食则诸法尽知矣然必能推歩而加以讲究然后能由其当然以知其所以然是谓真知茍未能然则所知或未全耳请言其槩葢厯法代更由疎渐宻其验在于交食约畧言之有宜知者二端其一古者只用平朔平朔者一大一小相间故汉晋史志往往有日食不在朔而在朔之二日或晦日者自唐李淳风麟徳厯始用定朔至一行大衍厯又发明之始有四大三小之月而蚀必在朔此是一层道理其一自北齐张子信积候合蚀加时立入气加减唐宣明厯本之立气刻时三差至今遵用即授时厯之时差及东西南北差也此又是一层道理前一说由平朔改为定朔其根在天葢以日躔有盈缩月离有迟疾天上行度应有之差天下所同也后一说于定朔之外又立三差其根在地葢以日髙月卑正相掩时中间尚有空隙人所居地靣不同而所见亏复之时刻与食分之浅深随处各异谓之视差非天上行度有殊而生于人目一方所独也知此两端而交食之理思已过半即厯法古疎今宻之故亦大槩可见矣至于入算须看假如诸书中具有成式然但能依法推歩者亦未必尽知其理故谨以拙见畧疏大意不知于来谕所谓已明其理者同异何如统容晤悉问发敛加时之法发敛加时之法按此即九章中通分法也授时厯以一日为一万分整数今欲均分为十二时每时各得八百三十三分三三不尽故依古法以十二通之每一分通为十二小分则日周一万通为一十二万而每时各得一万故每遇一万为一时也然满五千亦进一时者时分初正各四刻竒厯家以子正四刻为今日子初四刻为昨日今满五千即是半时以当子正之四刻辏完昨夜子初之四刻而成一时故命起子初算外即丑初乃借算也(遇有五千进一时者一时算外是丑初二时算外是寅初余倣此)若以一万为一时者命起子正算外即丑正乃本算也(无五千进一时者一时算)(外是丑正二时算外是寅正余倣此)其取刻数又仍以十二除之何也曰此通分还原也时下零分是以十二乘过之小分今仍以十二除之十二小分收为一大分复还原数则所存者即日周一万之分而每百分命为一刻矣一法加二为时减二为刻即是前法但以加减代乘除非有二也何以言之乘法是两位俱动而数升者位反降加法则本位不动而但加二数于下位也减二亦然凡珠算十二除当一归二除今用减二则本位不动但于下位减二即定身除也台官不明算理往往于此处有误但知以加减代乘除则了然矣是故算数者治厯之本也又按发敛二字乃日道发南敛北之谓葢主乎北极为言则夏至近极为敛冬至逺极为发而自冬至以至夏至则由逺而近自夏至以至冬至则由近而逺总谓之发敛古诸家厯法皆以发敛另为一章其中所列为二十四气七十二候之类而加时之法附焉故曰发敛加时言发敛章各节候加时法也元统作通轨误以十二通分为发十二除收刻为敛则以发敛为算法之名失其㫖矣而律厯攷因之以讹不可不知也问以授时法上推春秋鲁隠公三年辛酉岁距至元辛巳二千年中积七十三万零四百八十九日天正冬至六百零六刻闰余二十九日四十八刻经朔三十六日五十七刻今依法以满甲子除中积而求冬至则合以月䇿除中积而求经朔则不合有一日三刻之差其经朔应在冬至前耶抑冬至在经朔前耶按此以百年长一之法上推往古中积诸数原自不错惟求经朔闰余则误加为减故有一日三刻之差而所以差者由于未深明经朔闰余立法之源也今具论之经朔者日月合朔之常日也冬至者日轨南至而影长之日也日南至而影长是日与天㑹也日月合朔是月与日㑹也月㑹日谓之一月日㑹天谓之一年二者常不齐此厯法所由起也古厯十九年七闰谓之一章章首之年至朔同日其余则皆不同日矣故天正经朔常在冬至前冬至常在经朔后自经朔至冬至其间所歴日时谓之闰余以闰余减冬至得经朔以闰余加经朔得冬至理数之自然也今自至元辛巳逆推隠公辛酉法当以所得中积七十三万零四百八十九日在位用至元闰应二十○日二十○刻半减之余七十三万零四百六十八日七十九刻半为闰积以朔䇿二十九日五十三刻○五分九十三秒为法除之得二万四千七百三十六个月仍有不满之数四刻六十五分五十二秒用以转减朔策余二十九日四十八刻四十○分四十一秒为其年之闰余分即是其年冬至在经朔后之日数也凡求经朔之法当于冬至内减闰余今推得其年冬至是六日零六刻不及减闰余故以纪法六十日加冬至而减之得三十六日五十七刻五十九分五十九秒为其年天正经朔是庚子日子正后五十七刻半强也复置经朔三十六日五十七刻五九五九以闰余二十九日四十八刻四零四一加之得六十六日零六刻除满纪法去之仍得六日零六刻即是其年冬至为庚午日子正后六刻也庚午距庚子整三十日即知其年冬至在次月朔为至朔同日之年而年前闰十二月矣今误以闰余去减经朔为冬至所以差一日三刻也(经朔)(二十六日五十七刻内减去闰余二十九日四十八刻余七日零九刻以校先得冬至六日零六刻实多一日)(三刻)问闰月宜闰岁前十二月乎或闰正月乎先儒辩之今不得其解按闰月之议纷纷聚讼大㫖不出两端其一谓无中气为闰月此据左氏举正于中为说乃厯家之法也其一谓古闰月俱在岁终此据左氏归余于终为论乃经学家之诂也若如前推隠公辛酉冬至在经朔后三十日宜闰岁前十二月即两说齐同可无疑议然有不同者何以断之曰古今厯法原自不同推歩之理踵事加宻故自今日言厯则以无中气置闰为安而论春秋闰月则以归余之说为长何则治春秋者当主经文今考本经书闰月俱在年终此其据矣问至元辛巳至隠公辛酉二千年中闰月几何按此易知也前以朔䇿除闰积得二万四千七百三十六月内除二万四千月为二千年应有之数其七百三十六即闰月也此与古法十九年七闰之法亦所差不多问二千年中交泛若干次入食限若干次及交泛字义何解经朔合朔何所分别按月与日㑹谓之合朔然有平朔有定朔三代以上书籍散轶不可深考所可知者自汉以来祗用平朔唐以后乃用定朔定朔与平朔有差至一日之时然必先求平朔然后可求定朔今曰经朔即平朔也以其为合朔之常数故谓之经得此常数再以盈缩迟疾加减之即定朔矣是故合朔者总名也因有定朔故别之为经朔耳交者月道出入于黄道也授时之法二十七日二十一刻二十二分二十四秒而月道之出入于黄道一周谓之交终以此为法而除中积则得其入交次数矣今依本法求到鲁隠公辛酉正月经朔入交十七日三十八刻九六七○自此下距至元辛巳凡满交终二万六千八百四十三其出入于黄道也各二万六千八百四十四至于食限则不可以预定何也入交虽有常数而其食与否又当以加减差及气刻时三差诸法定之又按入交亦有平日有定日此云泛者亦平义也因先求平日次求定日故命之曰泛泛者以别于定也然厯经本文谓之入交泛日或省文曰入交或曰泛交未有称交泛者其称交泛则台官之语以四字节去首尾而中撮两字为言文理不安所当改正者也问周髀算经牵牛去极枢共积九百九十二亿七千四百九十五万分以一度积八亿五千六百八十万为法除之复原度一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九用何算法还原按此乃通分法也凡算家通分之法所以齐不齐之分便乘除也若如郭太史以一万分为度则分有百秒秒有百㣲皆以十百为等自然齐同通分之法可以不用而古厯不然各有所立之法其法又不同母此通分之法所由立也即如周髀所立度法是一千九百五十四里二百四十七歩又一千四百六十一分歩之九百三十三度下有里里下有歩歩下有分其法不同故必以里通为歩乃以零歩纳入歩又通为分乃又以零分纳入此所谓通分纳子也然后总计其分以为度法(即度积)法曰置一千九百五十四里在位以每里三百歩为法乘之得五十八万六千二百歩如是则里通为歩可以纳子矣于是以零歩二百四十七加入共得五十八万六千四百四十七歩复置在位以歩之分法一千四百六十一为法乘之得八亿五千六百七十九万九千零六十七分则歩又通为分可以纳子于是再以零分九百三十三加入共得八亿五千六百八十万分是为度法言满此分为一度也其外衡去璇玑(即牵牛去极数)二十二万六千五百里亦以每里三百歩乘之得六千七百九十五万歩是里通为歩也又置为实以每歩一千四百六十一分乘之得九百九十二亿七千四百九十五万分是歩又通为分也以为实于是以法除实得满法之数一百一十五命之为度其不满法之数仍余七亿四千二百九十五万分不能成一度当以里法收之为里法曰置每里三百歩以每歩一千四百六十一分乘之得四十三万八千三百分是为里法以里法为法余分七亿四千二百九十五万分为实实如法而一得一千六百九十五命为里 仍有余分三万一千五百不能成一里当以歩法收之为歩法曰置余分三万一千五百为实以每歩一千四百六十一分为法除之得二十一歩 仍有余分八百一十九不能成一歩即命为分用上法求得一百一十五度一千六百九十五里二十一歩又一千四百六十一分歩之八百一十九适合原数縁实数是里数(牵牛去极二十二万六千五百里是里数也)法数有里有歩有分不便乘除故必以里通为歩歩又通为分乃可乘除故曰齐同法实乘以散之也其不满法者以里法收之为里又不满里法者以歩法收之为歩再不满歩法命为零分故曰不满法者以法命之又曰位尽于一歩故以其法命余为残分也通分之法不过如此乃正法也今周髀所载之法其初通法实并为分末以法命残分并同惟中间收余分㣲异则古人截算之法也具如后凡算有除两次者则以两次除之之法相乘为法以除之谓之异除同除如以三除又以四除则以三乘四得十二为法除之变两次除为一次除也若算有法数太多者则变为简法两次除之谓之截法如以七十二除之者则以八除之又以九除之即与七十二除同此两者正相对而其理相通也如余分七亿四千二百九十五万不满一度宜收为里法当以每里三百歩乘每歩一千四百六十一共化为四十三万八千三百分此即异除同除之法也周髀经则先以每里三百歩除之得二百四十七万六千五百为里实再以周天分(即歩法)为法除之得一千六百九十五里不尽一百○五此即截法变一次除为两次除也古所得里数与前法不异所异者前法余分三万一千五百而今用截法只一百○五此何以故因前法所余是实分今用截法则余分是用每里三百歩除过者则此余分一数内各蔵有三百之数也(是以三百分为一分)余分内既各𢃄有三百之数则当以三百乘之复还原分之数然后可以收为歩此亦正法也何以言之葢余分有二头一次是不满一度之分则当收为里此余分又是不满一里之余分故当收为歩然而歩之法是周天一千四百六十一分乃实数也此所余一百○五是三百分为一分非实数也若仍以三百乘之则亦为实数而可以乘除矣故曰正法也周髀之法则又不然虽亦以三乘之而不言百(以三百乘一百)(零五该三万一千五百今以单三数乘之只三百一十五)则每余分内仍𢃄有一百之数余分为实者既以百分为一分则其满法而成一歩者即是百歩(既是以百分为一分则其满一千四百六十一之法而成一歩者即是满了一)(百个一千四百六十一而成百歩也)故曰不满法者三之言以单三数乘不满法之余分也又曰如法得百歩言此余分既以三乘则其满法者为百歩也又自疏其义曰上以三百约之为里之实此当以三百乘之为歩之实而言三之者不欲转法更以一位为一百之实故从一位命为百也此葢自明其不以三百乘而以三乘之故是欲以得数为百歩也得数为百歩则其实亦百歩之实也故曰省算也刻本三百乘之句遗百字而言三之句遗三字既言如法得百歩而今之余实只三百一十五在一千四百六十一之下是不能满法也不能满法者即不能成百歩也于是以余分进位(三百一十五变为三千一百五十)为实而以满法为十歩何也原一分内有百分今虽进位以一分为十分然仍未复原数仍是十分为一分故得数即为十歩也法曰置三百一十五进位为实(变三千一百五十)以法一千四百六十一除得二数命为二十歩不尽二百二十八经曰不满法者又上十之如法得十歩亦省算也上之即进位也此余分既各𢃄有十分故复以十乘之即得本数法曰置二百二十八又进位为实(变为二千二百八十)以法一千四百六十一除得一数命为一歩不尽八百一十九经曰不满法者又上十之得数为一歩又自䟽之曰又复上之者便以一位为一实故从一实为一言末次进位则适得本数为实而得数亦为本数也凡看厯书与别项文字不同须胸中想一浑圆天体并七政旋行之道了了在吾目前则左右逢源有条不紊故图与器皆足为看书之助右所䟽数条言虽浅近然由浅入深庶几有序天下最深㣲之理亦即在最粗浅中舍粗浅无深㣲矣谨复答嘉兴髙念祖先生律厯天官具载二十一史南北国学并有雕版国家试士发䇿多有及此者本学者所当知也然或者以其不切于辞章之用又其义难骤知读史者至此则寘而不观先生独能缕举其异同分合之端以为问可见其留心之有素不愧家学之渊源请陈其管蠡之愚以求正定问史记八书三曰律四曰厯分律与厯言之也前汉书合称律厯改书为志而后汉书晋书北魏书隋书宋史并因之宋书新唐书辽金元三史则皆有厯志而不及律何欤按律厯本为二事其理相通而其用各别观于唐虞命官羲和治厯䕫典乐各有専司太史公本重黎之后深知其理故分为二书班书合之非也独是厯书所载非当时所用之法乃殷厯也非汉厯也(其四年而増一日即四分厯之所祖)(又谬以太初元年丁丑为甲寅干支相差二十三年葢禇先生辈所续余于厯法通攷中已详辩之兹不具悉)而汉太初厯八十一分日法反载于班志意者孟坚以其起数钟律遂从而合之欤后世言厯者率祖班志故史亦因之厥后渐觉其非而不能改直至元许衡郭守敬乃始断然以测验为慿不复以钟律卦气言厯一洗诸家之傅㑹故其法特精此律厯分合之由也(人有恒言汉厯)(莫善于太初唐厯莫善于大衍殊不知汉厯至刘洪乾象厯始精若太初则最踈独其创始之功不可没耳若)(大衍本为名厯测算诸法至此大备后世不能出其范围特以易数言厯反多牵附其失与太初之起数钟律)(同也明水公云以律配厯可也而以生厯则不可又云僧一行颇称知厯而窜入于易以眩众此诚千古定论)(而经生家所不能知也)至于称书称志之不同葢太史公合记古事故名史记班孟坚専述本朝故踵虞书夏书之日而称汉书全部既称书不得不别其类为志无深意也问厯书之次曰天官书前汉书改为天文志后汉书晋书宋书南齐书隋书唐书宋金元史并仍之而晋书宋史天文在律厯之前金元二史亦在厯前北魏则改为天象辽史则合厯与天象称厯象有以异乎按言天道者原有二家其一为厯家主于测算推歩日月五星之行度以授民事而成岁功即周礼之冯相氏也其一为天文家主于占验吉凶福祸观察祲祥灾异以知趋避而修救备即周礼之保章氏也班史析之甚明故虽合律厯为一志而别出天文也易天官为天文者星象在野象物在朝象官故星在赤道以内近紫㣲垣者古谓之中官在赤道外者古谓之外官天官之说葢取诸此也易曰观乎天文以察时变其改称天文本诸易也易又曰天垂象见吉凶北魏改名天象亦本易也占与测虽分科亦互相为用故辽史合之也至于晋天文志在律厯之前以日月交食五星凌犯皆厯家所据以为推测之用故先之又晋志出李淳风之手其星名占法视古加详而亦有同异尔后言占者悉本淳风故其次序亦因之也问史书中有一代总无律厯天文志者果尽出于史阙文之意乎按史之有志具一代之典章事事徴实不可一字凿空而谈较之纪传颇难故三国无志诚为阙事而范氏后汉书本亦无志今志乃刘昭续补也至于天文厯法尤非専家不能故晋隋两志并出淳风新唐书厯志五代史司天考并出刘羲叟其余则既无其人又无其书虽欲不阙而不可得此亦史臣之不得已也五代则五十余年而六易姓纪载无徴故仅有司天职方二考他皆阙如而司天又止有王朴钦天厯法其交蚀凌犯并无可稽故不复称志而名之曰考也问五行志创始班书乃史记所未有而后汉晋宋南齐隋唐宋金元九史并仍之其义何居按虞书惟言六府洪范始言五行其以五事配五行又以襍占祥异皆件系之而以时事言其应其说葢滥觞于夏侯氏之治尚书而详于刘向父子太史公时其说未著故始见班书而诸史因之要其说亦有应不应当其应也固足以为警戒及其不应反足以启人不信之心唐书以后但纪灾祥不言事应有合于春秋之义此可以为法者也答沧州刘介锡茂才问左右辖距轸宜平今左近右逺又狼星之邉有弧矢错乱不齐不其经星亦常移位耶按自古以列宿为不动故曰经星又谓之恒星乃占书中往往有动移之说愚窃疑其未然葢既曰动移则必先知其不移之位然后可以断其实移而古本图象大约传久失真人所目击不过数十年之内何以知今日之星座必与古异而谓之动移哉又必暂见其移未几即复本位始谓之变若数十年中所见尽同则常也而非变也查崇祯厯书右辖距轸南右星凡二度竒左辖距轸北左星只半度竒一逺一近诚如尊谕又弧矢天狼不甚整齐皆如所测夫厯书成于前戊辰距今六十四年而星座之经纬如故亦足以徴其非动矣至于厯法中亦自有经星东行之法其理与岁差相应非如占书之言动移也弧破矢折之论似宜更详问本年闰七月初八夜太隂食心前星不知何应第三日初十夜大风雨雷电是有解散否查闰七月太隂犯心前星当是初七日戍亥二时月加丁未坤之地非初八也此时月正上弦行至心宿三四度间值月半交在黄道南五度竒与心宿东星逼近理得相为掩犯然皆月道当行之道非失行也又按古人云三日内得雨则解此葢为晕珥虹霓之属多为风雨之气所结故应在本方若七政之凌犯多方共覩殆难一例问十数年前亲见太白过午者累日是经天耶昼见耶主何休祥按太白星绕日为轮离太阳前后不得过五十度故夕见西方仍没于西晨出东方仍没于东非不过午也其过午必与日偕为日光所掩故也若日光㣲而星光盛在昼漏明是为昼见昼见不必尽在午地也若在午地则为经天矣然亦有非昼见而能经天者此又别自有说不知所见过午者是昼乎是晨夕乎尝考前史所载经天之事不一而足占书之说未免过于张皇非其质也愚不敢輙信占书亦正谓此等处耳问来年元旦日食五分十七秒一曰五榖贵一曰主大水孰为实应抑别有徴也又十数年前长星见久应在何时按日食元旦古亦多有然其数可以预推与凌犯同理若长星之见自是灾变然圣人遇灾而惧实有修省转移之道故古人言占必兼人事若执定占书一两言以断其休咎将修徳弥灾语为虚设而天亦可量矣是固不敢妄谈问厯法最难解者未宫鬼金羊为主今未宫全系井度而鬼反在午室火猪只十度在亥而余皆入戍不知天运何年西下诸宿移而天盘动按列宿移而天盘动即岁差之法也周天列宿分十二宫古今厯法各各迥异要其大端之改易有三自隋以前未用岁差故天之十二宫皆随节气而定如冬至日躔度即为丑初之类一也唐一行始定用岁差分天自为天岁自为岁故冬至渐移而宫度不变以后厯家遵用之所以明季言太阳过宫以雨水三朝过亥二也若今西厯则未尝不用岁差而十二宫又复随节气而移三也三者之法未敢断其孰优然以平心论之则一行似胜何以言之葢既用岁差则节气之躔度年年不同故帝尧冬至日在虚而今在箕已差五十余度若再积其差冬至必且在尾在心在氐房在角亢顾犹以冬至之故而名之曰丑宫则东方七宿不得为苍龙而皆变𤣥武北方宿反为白虎西方宿反为朱鸟而南方朱鸟为苍龙名实尽乖即西法之金牛白羊诸宫皆将易位非命名取象之初㫖即不如天自为天岁自为岁之为无弊矣故新厯之推歩实精而此等尚在可酌不无俟于后来之论定耳先生于此深疑实与鄙意相同至若十二生肖及演禽之法别有本末与厯家无渉亦无与于星占可无深论以星推命不知始于何时然吕才之辟禄命只及干支至韩潮州始有我生之时月宿南斗之说由是徴之亦在九执以后耳每见推五星者率用溪口厯则于七政躔度疎逺若依新法则宫度之迁改不常二者已如枘凿之不相入又安望其术之能验乎夫欲求至当则宜有变通然其故多端实难轻议或姑以古法分宫而取今算之七政布之则既不违其本术亦不谬乎悬象虽未知验否何如而于理庶几可通矣请以质之髙明问冬夏致日以土圭求日至之景是也而春秋又以致月其说何如按日行黄道有南至北至月亦有之月之北至则隂厯是也月之南至则阳厯是也夫月之隂阳厯随时变迁而必于春秋测之何耶凡言至者皆要其数之所极则必有中数以为之衷如日道有南至有北至相差四十七度竒而其中数则赤道也月有隂厯有阳厯出入于黄道各六度弱而其中数则黄道也夫黄道之在冬夏既自相差四十七度竒则已无定度又何以为月道之中数乎惟春秋二分之黄道与赤道同度则其东出西没及过午之度并与赤道无殊于此测月可得隂阳厯出入黄道之真度矣假如二分之望月在其冲(春分之望月必)(在秋分之宿度秋分之望月必在春分之宿度)则日没于酉正而月出于卯正日出于卯正而月没于酉正其出没方位必居卯酉正中与日相等然而或等焉或不等焉或有时而出没于酉正卯正之南则知其在阳厯也有时而在卯正酉正之北则知其在隂厯也又此时日之过午也必与本处之赤道同髙(即冬夏二至日轨髙度折中之处)则月亦宜然然而月之过午或有时而髙于日度则知其在隂厯也有时而卑于日度则知其在阳厯也若月之出没在卯酉之正而不偏南北月之过午一如日轨之度而略无髙卑则为正当交道而有亏食故曰惟春秋可以测月也康成注曰冬至日在牵牛景丈三尺夏至日在东井景尺五寸此长短之极此言冬夏致日也又曰春分日在娄秋分日在角而月弦于牵牛东井亦以其景知气至此言春秋致月也贾疏云春分日在娄其月上弦在东井圆于角下弦于牵牛秋分日在角上弦于牵牛圆于娄下弦于东井郑并言月弦于牵牛东井不言圆望义可知也按此贾䟽增成郑义足与愚说相为发明葢但以日轨为主则春秋致月亦致日之余事即于两弦立说亦足以明若正言致月之理则必将详攷其交道出入之端与夫隂阳厯逺近之距则兼望言之其理益著也问隂阳厯之法于两弦亦可用乎曰可凡冬夏至表景既有土圭之定度(夏至尺五寸即土圭之定度也冬至景丈三尺葢亦以土圭之度度之而)(知)则月亦宜然而今测月景每有不齐则交道可知假如春分日在娄而月上弦于东井秋分日在角而月下弦于东井则是月所行者夏至日道也其午景宜与土圭等又如春分日在娄而月下弦于牵牛秋分日在角而月上弦于牵牛则是月行冬至日道也其午景宜与土圭所度冬至长景等而徴之所测或等焉或不等焉其等于定度者必月交黄道之度也其短于定度者必月在日道之北而为隂厯也其长于定度者必月在日道之南而为阳厯也是故两弦亦可以测隂阳厯也然则隂阳厯之变动若此又何以正四时之叙曰日道之出入赤道也距逺至二十四度月道之出入黄道最逺止六度距二十四度故景之进退也大(夏至尺五寸冬至一)(丈三尺相去悬绝)距止六度故景之进退也小(隂厯阳厯之月景所差于日景)(者不过尺许而已)假如月上下弦在东井而景更短于土圭其为夏至之隂厯更无可疑即使是阳厯而景长于土圭其长不过尺许无害其为夏至之黄道也又如月上下弦在牵牛景加长于土圭所定之度其为冬至之阳厯已成确据即使是隂厯而景短于土圭所定之度其短亦不过尺许无损其为冬至之日道也夫两弦之月道既在二至之度则日躔必在二分而四叙不忒故曰举两弦立说亦足以明也或疑洛下闳制浑仪止知黄道至东汉永元铜仪始知月道至隂阳交道之说后代始宻周礼所言致月或未及此曰洪范言日月之行则有冬有夏是古有黄道也十月之交见于诗是古知交道也洛下闳等草创于祖龙煨烬之余故制未备而以此疑周礼乎夫谓厯术屡变益精者如岁差之类必数十年始差一度故久而后觉若月之隂阳厯月必一周视黄道之变尤为易见而谓古人全不之知吾不信也或又疑土圭只尺有五寸则惟北至时可用余三时何以定之曰经固言日北景长日南景短矣其长其短亦必有数则皆以土圭之尺寸度之耳然则夏日至景如土圭者冬日至景必数倍于土圭而以土圭度之无难得其丈尺故冬夏并言致日也问尝攷春秋厯法讹舛甚多不知左氏之误抑古厯不如此也夫验于古然后可施于今今以最踈之古厯尚不可攷则太初以下其疑难当更何如按厯法古踈今宻乃古今之通论葢谓天体无穷天道幽逺踵事渐増斯臻其善非谓古人之智不及后人也夫攷古厯之踈宻必须得其立算之根今自秦火以来并无一书能言三代以上之厯法所谓殷周六厯率皆伪撰不足为据春秋左氏之不合又何疑焉若夫三代以下太初厯始创规模洛下闳等之功自不可没自是以后屡代加详由后之宻厯观之遂觉其前之为最踈耳厯家之言曰验天以求合无为合以验天是故治厯者必当求之天验求之天验则当以近代之宻测者为凭而详徴算术以得其当然之理又知其所以然之故然后备攷古术徐求其改宪源流博稽经史以攷其徴信合者存之疑者阙焉斯不为用心于无益矣尊著以春秋二百四十年月日列序以攷其得失用功甚勤与氏族官制地名等攷皆有功于经传其书自可孤行若但以厯法言仍当从事于郭太史授时法与今西法庶可以得其门户矣余初学厯原从授时入手后复求之二十一史始知古人立法改宪各有根源见史志仅载算法而无一语注释因稍稍以所能知者解之遂以成帙最后始得西术此事益明然卷帙既多又窜改无定亦欲俟稍暇再加缮冩以请正髙明耳问日食古无其法汉日食每多先天终汉四百年无人修改则洛下闳张衡皆梦梦欤按古日食每不在朔者以古用平朔耳古所以用平朔者以日月并纪平度也东汉刘洪作乾象厯始知月有迟疾北齐张子信积候二十年始知日有盈缩有此二端以生定朔然而人犹不敢用也至唐李淳风僧一行始用之至今遵用乃验厯之要然非有洛下闳之浑仪张衡之灵宪则测验且无其器又何以能加宻测愚故曰古人之功不可没也问五星迟疾逆留按五星之迟疾逆留汉以前无言之者汉以后语焉而不详虽授时厯号为至精而于此未有精测至西厯乃能言之此今厯胜古之一大端也问月食地景按月食地影之说肇于泰西骤言之若可骇细审之确有实据然必于厯学深究其根乃知其说为不诬耳问平差立差按平差立差定差之法古无其术乃郭太史所创为以求七政盈缩之度所以造立成之根本也其法日月五星并有之亦非如平朔定朔之用厯家用字偶同如此者多徴实言之乃知其故耳据云依立招差又云依垜叠立招差则似古算术中原有其法而今采用之然不可攷矣愚尝因李世兄之问而为之衍算颇觉其用法之巧焉与锡山友人杨学山书厯算之学弟生平癖嗜闻有同此者即不惮褰裳相从然如先生之实用其力于几何三角以溯其根者未多见也前年奉晤吴门不胜喜慰以为可得留连旬日以深领诲益尘事之相牵失于交臂至今怅惘兹年已八三神明消蚀启处艰难不知仍能续晤否也承借书五本当即抄付但未经重校故仅以抄本奉〔？〕而留其原稿宝蔵之以代靣诲前曽以此意告之吕令亲属为转致厥后吕返锡山弟乡居不知遂迟至今幸勿深罪书五种验收是望承赐问数端皆弟所积疑内日差一事向因日躔表说甚是䝉混尝为之论辨累纸谓既有二根当定二表以相加减友人皆以为然既而熟思觉其非确宜只用月离交食二表为是大抵厯书表说多是后来所増故往往与表不应若日差表则又不然葢西厯之传亦各有师授之不同日躔表之兼用二根或是初说其平时定时乃测验之实用必是后来之说日躔表中日差误用初说而强为之辞故愈解而愈支拙见如此不知髙识以为何如也月二三均数不与厯指之说相应惟王寅旭尝论及之余人但知用表未有求其根者今先生以次均之外设又次均数既合表理复精当诚为创见敬服敬服火星半径与视学相反真是难解然彼皆得之积候非凿空之论五星中分亦然皆不敢轻为置论尝谓厯学至今益宻其理亦愈推明若集中土之贤才以専心致志而为之必更有可观而无如其不能群萃州处何也火星借象之图世人多泥旧说先生輙深信之不疑古所谓一人之知非耶然此图是与袁惠子先生论辨而作亦颇承其虚懐今惠兄久不得音问心甚念之若先生之知我葢尤深于惠兄安得拏舟溯洄一遂鄙懐乎此学甚孤而学者多执成见或得少为足而遂欲自立门庭惟薛仪甫王寅旭两先生能兼中西之长而且自有发明然生虽同时而并未得相见庚寅奉过始得一见令祖坤翁先生少伸企怀而鲍燕翌先生又已先归道山殊为憾事弟又景逼桑榆故图晤之心甚切非同泛泛也鸿便往来勿吝邮致乙未三月十九日拟璇玑玉衡赋(有序)易言治厯䇿数当期典重授时中星纪岁葢七政璇玑之制类先天卦画之图原道必本乎天儒者根宗之学制器以尚其象帝王钦若之心理至难言以象显之则理尽意所未悉以器示之则意明故扬雄覃思浑天用成𤣥草平子精探灵宪聿阐元枢覆矩仰规一行以之衍䇿天根月窟尧夫于焉弄丸此圣学之攸先匪术家之私尚也况姬公之法受于商髙而神禹之畴肇诸河洛平成永頼实资句股圜方才艺硕肤爰有南车记里髙深广逺寸矩以御几何律度量衡万事斯为根本既圜顶而方趾敢忘髙而负深茍俯察而仰观必徴理而稽数家传大易窃慕韦编世际清宁恭〔？〕巨制竭欧逻之巧力绍蒲坂之芳型洵心理之胥同中西脗合亶后来之居上今古无双虽株守山陬迟睹灵台之美而心仪法象遥忻神器之成僭拟短章臆闚鸿典无禆采听聊当衢歌云尔至哉浑仪之为器也体天地之撰类经纬之情微显阐幽穷髙极深殆更仆莫殚其蕴累牍难悉其能者矣粤自道生宇宙肇为大圜健运无息东西斡旋七政错行宿离纠纷交光罗络终始相嬗虽有离朱孰闚其端圣喆挺生仰俛观察积候成悟赜探隠索谂六虚之旷邈讵目营兮可获廼范金兮为仪纵若衡兮八尺厯㠯之治兮象㠯之核尧命羲和四隅分宅制闰成歳厘工熈绩匪有器以御之孰所凭而推䇿虞帝受之玑衡以设敬天勤民两圣一辙嗣三统兮迭更兹重器兮㒺䙝陈东序兮天球羌大训兮为列河之图兮莫先况琬琰与𢎞璧嬴秦力政㒺畏天常迁周九鼎焚毁旧章球图湮没莫知其乡厯纪乖次伏隂愆阳及夫汉造太初浑天初置唯意匠兮经营未详徴乎昔制曽黄赤兮未分矧歳差兮能治厯唐逾宋代有讨论小异大同踵事而増说存掌故约畧可陈外周六合子午为经卯酉交加日月之门三轮八觚象地者衡是立郛郭以挈三辰黄倚赤而相结剖二至与二分判发敛兮南北距紫极兮为言小环四游又居其内左右周闚两箫更代低昻斜侧折旋唯意仪三重兮共枢亶推歩兮精义亦有铜球实惟浑象列星缀离三家殊状或附益之两曜类蚁行兮磨上迟速行兮一机或水转兮磨荡非不研精覃思穷神尽智象重大兮易胶每机闗兮弗利仪重环兮掩暎颇未宜乎闚视加以代异人湮乍成旋废作之也何难坏之也何易若乃元祖初服广徴硕儒有美鲁斋王郭之徒既作授时备器与书髙表四丈承以景符简仪候极离立扶踈二线代管分秒乘除度百刻兮天腹旋立运兮四虚闚几兮测月莲花兮挈壶正方有案兮定南北悬正座正兮九服之须仰仪兮虚而似釡度斜络兮南极攸居可谓酌古凖今洵美且都者矣厯年未百有明膺命虽大统兮殊称实授时兮为政属作都兮石城旋京邑兮北定既观台兮屡迁地更寘兮乖应岂仪器兮多迕抑畴人兮弗敬转测之或未娴兮址渐倾兮蔑正宁不善厥初兮歳荐更兮滋衅经生既非所习兮又申之以厉禁専科不相通兮有愤悱兮谁问遂使灵台徒为文具交食或乖谁知其故帝谓兮草泽畴明理兮习数尔乃理难终隠道有必开天相其衷西儒朅来如礼失兮求埜似问郯兮识官此珍秘兮勿泄彼菽粟兮非难于是吴淞太史仁和水部夜译晨钞心追手歩亦得请而开局集欧逻与儒素撷西土兮精英入中算兮罏铸屡清台兮襍候良占测兮可据怵巧拙兮相形新术精兮群妒慨万里兮作賔兼十年兮发复厯成兮弗用良书兮徒著何人事兮多违或苍穹兮有待唯我盛朝度越千代正朔初颁适逢斯㑹唯钦若以为怀奚畛域乎中外洞新法之宻合命遵行为定制哂䜿儒兮固陋谬执古兮非今若肓不杖兮聋别竽笙斯术之无弊兮经指摘兮益明乃诏太史乃咨礼臣谓新厯兮允臧顾仪器兮未成式采铜兮名山鸠哲匠兮上京备制兮六仪各锡兮嘉名赤道兮法动天之西转黄道兮俪七曜之东征古二道为一器兮景交罗而莫分今别其用兮法以简而倍精黄既丽赤而左旋兮复自转而右奔纬度之各异兮亦异其经黄自有极以运兮诚振古之未闻游表所指兮太阳之心时时可验节候兮若影于镫地平之仪辨方正位转线参直三光所至出没之度渐升之意秒忽微茫具可别识象限平转兮测髙与庳割圆八线兮于是焉施合四为一兮周天在兹度唯九十兮厥数已全纪限六十兮于以参焉正反隅角兮靡幽弗宣用稽距度兮两星之间弧三角之法兮推其所然五者相资多人分测片晷之余各尽目力假变行之迅速无须臾之或失别有浑球全赋星躔循黄之极碁罫珠联列曜逺近南北八度小轮之限凖斯无捂亦依赤极出地有恒或正升兮斜降或正降兮斜升晰伏见之先后谙里差之所因黄纬之列兮百世无改宫分迤差兮恒星东汇以度计年兮六十六载下设旋轮兮水激自动刻漏㒺僭兮机发于踵爰有髙弧繋之天顶地平经纬兹焉互审或象限兮平观或纪限兮斜距或黄赤仪之所窥絜之球而参遇烂若轩辕之宝镜兮缩圜形而周布众仪得其散兮球徴其聚正求兮反暎宛转兮廻互测量有书兮或不能句摩娑斯器兮旷如揭雾更旋宫兮十二随道里兮攸殊际地之极南北兮以为之枢子午及平环兮以限四隅隅各三宫兮东方为初次第右环兮大权以区三合六合之照兮凶吉分途惟斯球而可暏兮攷歩笇之宻疏致用万端未克枚举洵天府之竒珍永作则乎来者若其镕金有法弃滓取精磨礲砥砺光辉荧荧旋之中规直之中绳擘划匀细度万其分寘仪衡重测重求心力相扶兮㒺偏积歳年兮弗倾趺交之以铜龙兮或海兽以相承为水凖与螺柱兮常消息焉取平天矫兮腾踔攫拏兮狰狞讵美观兮一时永奠定兮千春乃至崇台百歩迥出阛阓周以储胥纎埃攸避上列六台方圆式异相依兮交让旋观兮罔阂施窥筒之竒巧眄千里兮如对昼候兮日靣之星夜占兮句已之态折照浮光兮气水水气清蒙厚薄兮地心相配交食浅深兮起亏进退地景厚薄兮青绿明昧视差有多少兮命天九重月有弦望兮太白攸同抱日为轮兮互入相容超西法之旧兮信天能之弗穷登斯台也轩豁洞逹耳目开通挥斥兮八极广揽兮无终意气兮飞扬凌虚兮御风习其器也陆离潇洒缤纷磊砢灿烂兮朝霞孔明兮朱火照曜兮焜煌周流兮轩翥戄对越兮於穆游吾心兮太古帝载之虚无兮陟降其所垓埏之辽绝兮敛之一黍匪重黎之诞降兮曷其臻乎要眇邈祈姚之不作兮畴则探斯奥窔伊崇效而卑法兮协至徳于太灏定百代之犹豫兮踵危微于帝道毕逺臣之精思兮备前王之所少璇玑玉衡之不传兮乃今而获圣人之大宝乱曰巍巍穹窿帝所则兮父干母坤不敢不及兮写以良金如塑像兮朝斯夕斯期勿忘兮子之于父视无形兮瞻兹肖貌曷敢以宁兮兢兢业业承天休兮奉若不违升大猷兮祈天永命从兹始兮亿万斯年昊天其子兮学厯说或有问于梅子曰厯学固儒者事乎曰然吾闻之通天地人斯曰儒而戴焉不知其髙可乎曰儒者知天知其理而已矣安用厯曰厯也者数也数外无理理外无数数也者理之分限节次也数不可以臆说理或可以影谈于是有牵合傅㑹以惑民听而乱天常皆以不得理数之真蔑由徴实耳且夫能知其理莫尧舜若矣尧典一书命羲和居半舜格文祖首在璇玑玉衡以齐七政岂非以敬天授时固帝王之大经大法而精一之理即于此寓哉曰然则律何以禁私习曰律所禁者天文也非厯也曰二者异乎曰以日月晕抱珥虹蜺彗孛飞流芒角动揺预断未来之吉凶者天文家也本躔离之行度中星之次以察发敛进退敬授民事者厯家也汉艺文志天文二十一家四百四十五卷厯谱十八家六百六卷固判然二矣且夫私习之禁亦禁夫妄言祸福惑世诬民耳若夫日月星辰有目者所共睹古者率作兴事皆用为候又何禁焉楚邱之诗曰定之方中作于楚宫夏令曰修而场功偫而畚挶营室之中土功其始火之初见期于司里春秋传曰凡土功龙见而戒事火见而致用水昏正而栽日至而毕此版筑之候也豳风之诗曰七月流火九月授衣此裘褐之候也申丰曰古者日北陆而蔵氷西陆朝觌而出之火出而毕赋则蔵氷用氷之候也龙见而雩则雩候也农祥晨正则畊候也三星在天则㛰候也单襄公曰辰角见而雨毕天根见而水涸本见而草木节解驷见而陨霜火见而清风戒寒雨毕除道水涸成梁草木节解而备蔵陨霜而冬裘具清风至而修城郭宫室是故有一候则有一候之星有一候之星则有一候之政令田夫红女皆知之矣又何禁焉自梓慎禆灶之徒以星气言事应乃始有灾祥之占而其说亦有騐有不騐有星孛于大辰禆灶曰宋卫陈郑将同日火若我用瓘斝玉瓒则不火子产弗与已而火作灶曰不用吾言郑又将火子产曰天道逺人道迩灶焉知天道是亦多言矣岂不或信卒不与郑亦不火梓慎以日食占水昭子曰旱也已而果旱慎言不效是故唯子产昭子深明乎理数之实乃有以折服矫诬之论虽挟术如慎灶而不为所动故厯学大著则禨祥小数无所依托而自不得行其于政教不无小补与律禁私习之指固殊涂而同归矣曰世皆谓天文厯数能前事而知以豫为趋避而子谓厯学明则占家无所容其欺妄言之徒不待禁而戢其说可得闻乎曰有说也葢古之为厯也疎久而渐宻其势然也唯其踈也厯所歩或多不效于是乎求其说焉不得而占家得以附㑹于其间是故日月之遇交则食以实㑹视㑹为断有常度也而古厯未精于是有当食不食不当食而食之占日之食必于朔也而古用平朔于是有食在晦二之占月之行有迟疾日之行有盈缩皆有一定之数故可以小轮为法也而古唯平度于是占家曰晦而月见西方谓之朓朓则候王其舒朔而月见东方谓之仄慝仄慝则侯王其肃月行隂阳厯以不足二十年而周其交也则于黄道其交之半也则出入于黄道之南北五度有竒皆有常也而古厯未知于是占家曰天有三门犹房四表房中央曰天街南间曰阳环北间曰隂环月由天街则天下和平由阳道则主䘮由隂道则主水夫黄道且有歳差而况月道出入于黄道时时不同而欲定之于房中央不已谬乎月出入黄道既有南北而其与黄道同升也又有正升斜降斜升正降之不同唯其然也故月之始生有平有偃而古厯未知也则为之占曰月始生正西仰天下有兵又曰月初生而偃有兵兵罢无兵兵起月于黄道有南北一因也正升斜降二因也盈缩迟疾三因也人所居南北有里差则见月有蚤晚四因也是故月之初见有初二日初三日之殊极其变则有在朔日初四日之异而古厯未知则为之占曰当见不见又曰不当见而见魄质成蚤也食日者月也不闗云气而占者之说曰未食之前数日日已有谪日大月小日髙月卑卑则近髙则逺逺者见小近者见大故人所见之日月大小略等者乃其逺近为之而非其本形也然日月之行各有最髙卑而影径为之异故有时月正掩日而四靣露光如金环也此皆有可攷之数而占者则以金环食为阳徳盛五星有迟疾留逆而古法唯知顺行于是占者以逆行为灾而又为之例曰未当居而居当去不去当居不居未当去而去皆变行也以占其国之灾福五星之出入黄道亦如日月故所犯星座可以预求也而古法无纬度于是占者以为失行而为之例曰凌曰犯曰鬬曰食曰掩曰合曰句已曰围绕夫句已凌犯占可也以为失行非也五星离黄道不过八度则中官紫微及外官距逺之星必无犯理而占书皆有之近世有著贤相通占者删去古占黄道极逺之星亦既知其非是矣至于恒星有定数亦有定距终古不变而世之占者既无仪器以知其度又不知星座之出入地平有蒙气之差或以横斜之势而目视偶乖遂妄谓其移动于是为占曰王良䇿马车骑满野天钩直则地维坼泰阶平人主有福中州以北去北极度近则老人星逺而近浊不常见也于是古占曰老人星见王者多夀以二分日候之若江以南则老人星甚髙三时尽见而畴人子弟犹歳以二分占老人星宻䟽贡谀此其仍讹习欺尤大彰明者矣故厯学不明而徒为之禁以严之终不能禁也或以禁之故而私相传习矜为秘授以售其诈若厯学既明则人人晓然于其故虽有异说而自无所容余所以数十年从事于斯而且欲与天下共明之也且子不徴之功令乎经史语孟士之本业也而鲁论言辰居星拱行夏之时孟子言千歳日至可坐而致易言治厯明时大传言五歳再闰三百有六十当期之日尧典中星分测验之地玑衡之制为万世法辰弗集房载于夏书诗称十月之交朔日辛卯春秋纪日食三十六礼载月令大戴礼述夏小正皆详日所在宿及恒星伏见昏旦之中与其方向低昻之状用为月节以布政教而成百事又自汉太初以来造厯者数十家皆具其说于史若是者既刋布其书使学者诵习之矣三年而试之程式发䇿往往有及于律厯者其于律之禁宁相背乎是故律禁私习妄言而未尝禁士之习经史也而顾诿之为星翁卜师之事而漫不加察反令术士者流得挟其不经之说以相炫诱而不能断其惑是亦儒者之过也故人之言天以占验为竒吾之言厯以能辩惑为正曰然则占騐可废乎将天变不足畏邪曰恶是何言也吾所谓辩惑者辩其诬也若夫王者遇灾而惧侧身修省以答天戒固钦若之精意也又可废乎古者日食修徳月食修刑夫徳与刑固不以日月之食而始修也遇其变加警惕焉此则理之当然未敢以数之有常而或懈也此又学厯者所当知厯学源流论梅子殚心厯学数十年而叹心之神明无有穷尽虽以天之髙星辰之逺有迟之数千百年始见端绪而人輙知之輙有新法以追其变故世愈降厯愈以宻而要其大法则定于唐虞之时今夫厯所歩有四曰恒星曰日曰月曰五星治厯之具有三曰算数曰图象曰测验之器由是三者以得前四者躔离朓朒盈缩交蚀迟留伏逆掩犯之度古今作厯者七十余家踈宻代殊制作各异其法具在可攷而知然大约三者尽之矣尧命羲和厯象日月星辰舜在璇玑玉衡以齐七政厯者算数也象者图也浑象也璇玑玉衡测验之器也故曰定于唐虞之世也然厯之最难知者有二其一里差其一歳差是二差者有微有著非积差而至于著虽圣人不能知而非其距之甚逺则所差甚微非目力可至不能入算故古未有知歳差者自晋虞喜宋何承天祖冲之隋刘焯唐一行始觉之或以百年差一度或以五十年或以七十五年或以八十三年未有定说元郭守敬定为六十六年有八月回回泰西差法略似而守敬又有上攷下求増减歳余天周之法则古之差迟而今之差速是谓歳差之差可谓精到若夫日月星辰之行度不变而人所居有东南西北正视侧视之殊则所见各异谓之里差亦曰视差自汉及晋未有知之者也北齐张子信始测交道有表里此方不见食者人在月外必反见食宣明厯本之为气刻时三差而大衍厯有九服测食定晷漏法元人四海测验二十七所而近世欧逻巴航海数万里以身所经山海之程测北极为南北差测月食为东西差里差之说至是而确是葢合数千年之积测以定歳差合数万里之实验以定里差距数逾逺差积逾多而晓然易辨且其为法既推之数千年数万里而凖则施之近用可以无惑厯至今日屡变益精以此然余亦谓定于唐虞之时何也不能预知者差之数万世不易者求差之法古之圣人以日之所在不可以目视而器窥也故为之中星以纪之鸟火虚昴此万世求歳差之根数也又以日之出入发敛不可以一方之所见为定也故为之嵎夷昧谷南交朔方之宅以分候之此万世求里差之定法也呜呼至矣学者知合数千年数万里之心思耳目以治厯而后能精宻又知合数千年数万里之心思耳目以为之精宻者适以成古圣人未竟之绪则当思羲和以后凡有能出一新智立一㨗法垂之至今者皆有其所以立法之故及其久而必变也又皆有所以变之说于是焉反复推论必使理解氷释无纎毫疑似于吾之心则吾之心即古圣人之心亦即天之心而古今中外之见可以不设而要于至是夫如是则古人之精意可使常存不致湮没于耑已守残之士而过此以往或有差变之微出于今法之外亦可本其常然以深求其变而徐为之修改以衷于无弊则是善于治厯者也厯算全书卷六
## 卷七序
序
厯家所凭全恃测騐昔者蔡邕上书愿匍匐浑仪之下按度考数著于篇章以成一代盛典古人之用心盖可想见然则儒者端居斗室足不履观台目不睹浑象安所得测騐之事而亲之而安从学之曰所恃者有测騐之法之理在则句股是也遭秦之厄天官书器散亡汉落下闳鲜于妄人等追寻坠绪厯代相承攷订加详至于今日厥理大著则句股之用于浑圆是也今夫测量之法方易而圆难古用径一围三聊举成数非有所不知也自刘徽祖冲之各为圆率逮元赵友钦定为径一则围三一四一五九二与今西术略同皆割圆以得之非句股奚藉焉(西法割圆比例以直角三边形为主即句股也但异其名不异其实)然用句股测平圆犹易用句股测浑圆更难厯家所测皆浑圆也非平圆也古有黄赤道相准之率大约于浑器比量仅得梗槩未能彰诸笇术近代诸家以相减相乘推变其差损益有序稍为近之而未亲也惟元郭太史守敬始以弧矢命笇有平视侧视诸图推步立成诸数黄赤相求斯有定率视古为密由今观之皆句股也但其立法必先求矢又用三乗方取数不易故但能列其一象限中度率不复能求其细分之数厯书之法则先求角既因弧以知角复因角以知弧而句股之形能预定其比例又佐之八线互用以通其穷其法以三弧度相交辄成三角则此三弧度者各有其相应之弦弧与弧相割即弦与弦相遇而句股生焉茍熟其法则正反斜侧八线犁然各相得而成句股(八线比例以半径全数为弦正弦余弦为句为)(股又以割线为弦切线与半径全数为其句股表中所列句股形凡五千四百)于是乎黄可变赤赤可变黄可以经度知纬可以纬度知经罗络钩连旁通曲畅分秒忽微胪陈笇位求诸中心可无纎芥之疑告诸同学亦如指掌之晰即不必匍匐浑仪之下可以不窥牖而见天道赖有此具也全部厯书皆弧三角之理即皆句股之理顾未尝正言其为句股使人望洋无际(彼云直角三边形此云句股乃西国方言译书时不知此理遂生分别)又译书者识有偏全笔有工拙语有浅深详略所载图说不无渗漏之端影似之谈与臆参之见学者病之兹稍为摘其肯綮从而䟽剔订补以直截发明其所以然窃为一言以蔽之曰析浑圆㝷句股而已盖于是而知古圣人立法之精虽弧三角之巧岂能出句股范围然句股之用亦必至是而庶无余蕴尔厯法之深㣲奥衍不啻五花八门其章句之诘曲离竒不啻羊肠𫄠度而由是以启其扃钥庶将掉臂游行若揭日月而骋康庄矣文虽不多实为此道中开辟涂径盖积数十年之探索而后能㑹通简易故亟欲与同志者共之余老矣禹服九州之大厯代圣人教泽所渐被必有好学深思其人所冀大为阐发俾古人之意晦而复昭一线之传引而弗替则生平之志愿毕矣岂必身擅其名然后为得哉余拭目竢之康熙二十三年上元甲子长至之吉勿庵梅文鼎书于柏枧山中
## 卷七
钦定四库全书厯算全书卷七宣城梅文鼎撰弧三角举要卷一弧三角体势弧三角与平异理故先体势知体势然后可以用算而算莫先于正弧犹平三角之有句股形也故以为弧度之宗正弧形之之角取法于黄赤交角则有定度而余角取法于过极圏交黄道之角则随度而移互用之其理益显故有求余角法弧三角以一角对一边而比例等与平三角同而其理回别故有弧角比例法斜弧无相对之弧角则比例之法穷故有垂弧法三角求边则垂弧之法又穷故有次形法垂弧与次形合用则有捷法弧与角各有八线而可以互视故有相当法(余详环中秦尺)(及堑堵测量)弧度与天相应弧三角之法以测浑员浑员之大者莫如天员之至者亦莫如天故弧三角之度皆天度也以平测员其难百倍以员测员其简百倍而得数且真是故测天者必以弧度而论弧度者必以天为法测弧度必以大圏浑球上弧度有极大之圏乃腰围之一线也如赤道带天之纮原止一线如黄道如子午规如地平规尽然又如测得两星相距之逺近亦为大圏之分(若以此两星之距弧)(引而长之必匝于浑员之体而成大圏不论从衡斜侧皆同一法)球上大圏必相等所以必用大圏者以其相等也 浑球上从衡斜侧皆可为大圏而其大必相等者以俱在腰围之一线也如黄道赤道及子午规地平规俱系大圏必皆相等不相等即非大圏故惟大圏可相为比例(任测两星之距不必当黄赤道而能)(与二道相比例者以其皆大圏也)球上两大圏无平行者大圏在浑球既为腰围之一线则必无两圏平行之法若平行即非大圏(如黄赤道并止一线而无广即无地可容平行线也子午规地平规亦然)球上圏能与大圏平行者皆小圏谓之距等圏离大圏左右作平行圏皆曰距等圏谓其四围与大圏相距皆等(如于黄道内外作纬圏其与黄道相距或近则四靣皆近或逺则四面亦皆逺无毫忽之)(不同平行故也赤道纬圏地平髙度并同)而其自相距亦等故曰距等也(如黄)(道内外或近或逺处处可作距等圏而皆与黄道平行即其圏亦自相平行故并为等距)距等圏皆小于大圏(如黄道内外纬圏但离数分其围即小于黄道其距益逺其圏益小小之极至一㸃而止)(诸纬圏并然)不能与大圏为比例(大圏惟一距等圏无数无一同者无法可为比例)故为比例者必大圏也如图甲乙为大圏大圏只一丙丁及戊庚等皆小圏小圏无数渐近圎顶己即其圏愈小而成一㸃大小悬殊故不可以相为比例大圏之比例以度不拘丈尺凡圏皆可分三百六十度(每圏平分之成半周四平分之成象限象限又各平分之)(为九十度成三百六十度)而球大者其大圏大球小者其大圏小皆以本球之围径自为比例不拘丈尺(尽本球之围分为全周之度其球上)(之度即皆以此为准但在本球上为最大故谓之大圏非以丈尺言其大小)古人以八尺浑仪准周天盖以此也又如古浑仪原有三重其在内之环周必小于外而其度皆能相应者在内环周虽小而在内之浑员以此为大圏即在内之各度并以此为准故也大圏之度为公度凡球上距等圏亦可平公三百六十度而其圈皆小于本球之大圏又大小不伦则其所分之细度亦皆小于大圈而大小不伦矣惟本球腰围大圏上所分之度得为公度故凡言度者必大圏也如图甲乙为大圏一象限丙丁及戊庚各为距等小圏一象限象限虽同而大小迥异又如甲辛为大圈三十度丙壬及戊癸亦各为小圏之三十度其为三十度虽同而大小亦异再细攷之至一度或至一分亦大小异也故惟大圏之度为公度大圏即本球外周其度即外周之度而横直皆相等平员有径有周浑员亦有径有周立浑员于前则外周可见即腰围之大圏也旋而视之皆可为外周故大圏之横直皆等(皆以外周度为其度故等)如图子午规为浑仪外周其度三百六十乃横度也地平为腰围度亦三百六十乃横度也横度直度皆得为外周故其度相等若依北极论之则赤道又为腰围而亦即外周也推是言之浑球上大圏从衡斜侧皆相等何则旋而视之皆得为腰围即皆得为外周故也大圏上相遇有相割无相切大圏相割各成两半分球上从衡斜侧既皆成大圏则能相割矣而皆为浑员之外周则必无相切之理(若相切者必在外周之内为距等小圈)如图甲丙乙为大圏半周能割大圏于甲于乙而不能相切丙丁成小圈则能切大圏于丙于丁如图甲庚辛乙为大圏半周割外圏于甲于乙则甲己乙乙子甲亦各成半周若壬癸距等圏割大圏于庚于辛而庚辛非半周球上两大圏相割必有二处此二处必相距一百八十度而各成两平分如黄赤二道相交于春分必复相交于秋分即二分之距必皆半周一百八十度而黄道成两半分赤道亦两平分也若距等圏与大圏相割必不能成两平方两大圏相遇则成角球上大圏既不平行则其相遇必相交相割而成角弧三角之法所由以立也角有正有斜斜角又有锐钝共三种而角两旁皆弧线与直线角异如图己午戊子为子午规辛午乙子为地平规两大圏正相交于南地平之午北地平之子则皆正角而四角皆等并九十度角也(正角一名直角一名十字角一名正方角)如图午辛子为地平规丁辛癸为赤道规两大圏斜相交于辛则丁辛子钝角大于九十度丁辛午锐角小于九十度两角相并一百八十度减锐角其外角必钝若减钝角亦得锐角也故有内角即知外角 又两锐角相对两钝角相对其度分必等故有此角即知对角凡此数端并与平三角同然而实有不同者以角两旁之为弧线也弧线之作角必两直线剖平员作角形如分饼角旁两线皆半径至周而止弧线剖浑幂作角形如剖𤓰角旁两弧线皆半周必复相交作角而等(如黄赤道交于二分其角相等)角有大小量之以对角之弧其角旁两弧必皆九十度弧线角既如𤓰瓣则其相距必两端狭而中濶其最濶处必离角九十度此处离两角各均即球上腰围大圏也故其度即为角度(如黄赤道之二分交角二十三度半即二至时距度此时黄赤道离)(二分各九十度乃腰围最濶处也)大圈有极大圏能分浑员之面幂为两则各有最中之处而相对是为两极两极距大圏四靣各九十度如图甲辛乙为赤道大圈己为北极己为南极甲己丁己等弧线距北极各九十度距南极亦然 若己为天顶甲辛乙为地平大圏亦同如甲正北辛正东乙正南丁东北丙东南所在不同而甲乙等髙弧距天顶各九十度皆等大圏上作十字弧线引长之必过两极两极出弧线至大圏必皆十字正交如赤道上经圏皆与赤道正交为十字角则其圏必上过北极下过南极也然则从两极出弧线过赤道必十字正交矣大圏之极为众角所辏如赤道上逐度经圏皆过两极则极心一㸃为众角之宗(经圏之弧在赤道上成十字者本皆平行渐逺渐狭至两极则成角形之锐尖)角无论大小皆辏于极而合成一㸃离此一㸃外即成锐钝之形而皆与赤道度相应所谓量角以对弧度而角两旁皆九十度以此如图己为北极即众角之顶锐其所当赤道之度如乙丙等则己角为锐角如丙庚等则己角为钝角 若己为天顶外圏为地平亦然角度与角旁两弧之度并用本球之大圏度故量角度者以角为极有弧线角不知其度亦不知角旁弧之度法当先求本球之九十度(其法以角旁二弧各引长之使复作角乃中分其弧即成本弧之九十度而角旁弧之度)(可知)以角为心九十度为界作大圏(与角旁两弧并本球大圏而其分度等)乃视角所当之弧(即角旁两九十度弧所界)于大圏上得若干度分即角度也故曰以角为极三大圏相遇则成三角三边此所谓弧三角形也如黄道赤道既相交于二分又有赤道经圏截两道而过之则成乙丙甲弧三角形知图己为北极戊辛为赤道丁庚为黄道二道相交于春分成乙角又己壬为过极经圏自北极己出弧线截黄道于丙得丙乙边为黄道之一弧亦截赤道于甲成甲乙边为赤道之一弧而过极经圏为二道所截成丙甲边为经圏之一弧是为三边即又成丙角甲角合乙角为三角弧三角不同于平三角之理弧三角形有三角三边共六件以先有之三件求余三件与平三角同所不同者平三角形之三角并之皆一百八十度弧三角不然其三角最小者比一百八十度必盈(三边在一度以下可借平三角立算因其差甚微然其角度视半周必有微盈)但不得满五百四十度(角之极大者合之以比三半周必不能及)平三角之边小仅咫尺大则千百万里弧三角边必在半周以下(不得满一百八十度)合三边不得满三百六十度(如满全周)(即成全员而不得成三角)平三角有两角即知余角弧三角非算不知平三角有一正角余二角必锐弧三角则否(有三正角两正角者)(其余角有钝有锐或两锐两钝或一锐一钝不等)平三角有一钝角余二角必锐弧三角则否(其余角或锐或正或)(钝甚有三钝角者)平三角以不同边而同角为相似形同边又同角为相等形弧三角则但有相等之形而无相似之形以同角者必同边也平三角但可以三边求角不可以三角求边弧三角则可以三角求边(弧三角之边皆员度也初无丈尺可言故三角可以求边若干三角边各有丈尺则)(必有先得之边以为之例所以不同相前条言有相等之形无相似之形亦谓其所得之度 等非谓其丈尺)(等也)弧三角用八线之理平三角用八线惟用于角弧三角用八线并用于边平三角以角之八线与边相比弧三角是以角之八线与边之八线相比平三角有正角即为句股若正弧三角形实非句股而以其八线辏成句股平三角以角求边是用弧线求直线也(有角即有弧)以边求角是用直线求弧线也然角以八线为用仍是以直线求直线也句股法也弧三角以边求角以角求边并是以弧线求弧线也而角与边并用八线仍是以直线求直线也亦句股法也(盖惟直线可成句股)所不同者平三角所成句股形即在平靣而弧三角所成句股不在弧靣而在其内外弧三角之㸃线面体测量家有㸃线面体弧三角备有之其所测之角即㸃也但其㸃俱在弧靣(如于浑球任指一星为所测之㸃即角度从兹起如太阳太阴角度)(并从其中心一㸃论之)弧三角之边即线也但其线皆弧线(如浑球上任指两星即有距线或于)(一星出两弧线与他星相距即成角而角旁两线皆弧线也)弧三角之形即靣也但其靣皆浑球上面幂之分形弧三角之所丽即浑体也剖浑员至心即成锥体而并以弧三角之形为底(详堑堵测量)浑员内㸃线面体与弧三角相应前条㸃线面体俱在球面可以目视器测但皆弧线难相比例(比例必用句股句股必直线故也)赖有相应之㸃线面惟在浑体内厯员可指虽不可以目视而可以算得弧三角之法所以的确不易也 如浑球中剖则成平员即靣也于是以球面之各㸃(即弧三角之各角)依视法移于平员面即浑员内相应之㸃也又以弧与角之八线移至平面成句股以相比例是浑员内相应之线也 又如弧三角之三边各引长之成大圏各依大圏以剖浑员即各成平员面是亦浑员内相应之面也二平员面相割成𤓰瓣之体三平员面相割成三楞锥体若又依八线横割之即成堑堵诸体是浑员体内相应之分体也此皆与弧面相离在浑员之内非剖浑员即不可见而可以算得即不啻目视而器测矣大圏与浑员同心球上大圏之心即浑员之心(若依各大圏剖浑员成平员面其平员心即浑员之)(心)若距等小圏则但以浑员之轴为心而不能以浑员心为心同心者亦同径(大圏以浑贠径为径若距等圏则但以通弦为径)浑体内诸线能与弧三角相应者以此(浑员体内诸线皆宗其径弧三角既以大)(圏相割而成必宗大圏之径径同故内外相应)弧三角之边不用小圏亦以此也(距等圏既与大圏异径则其度不齐不能成边而所作之角必非真角无从考其度分也)弧三角视法弧三角非图不明然图弧线于平面必用视法变浑为平平置浑仪从北极下视则惟赤道为外周不变而黄道斜立即成撱形 其分至各经圏本穹然半员今以正视皆成员径是变弧线为直线也立置浑仪使北极居上而从二分平视之则惟极至交圏为外周不变其赤道黄道俱变直线为员径而成辏心之角(即大距度平面角)是变弧线角为直线角也(又距等圏亦变横线)(而成各度正弦与员径平行)其赤道上逐度经圏之过黄赤道者虽变撱形而其正弦不变且厯算可见如在平面而与平面上之大距度正弦同角成大小句股比例是弧面各线皆可移于平面也故视法不但作图之用即步算之法已在其中以上谓之正视(以黄赤道为式若于六合仪取天顶地平诸线亦同他可类推)以上谓之旁视(浑员上有垜叠诸线从旁侧视之庶几可见虽不能按度肖形而大)(意不失以显弧三角之理为用亦多)角之矢如图甲丙乙丁半浑员以甲戊乙弧界之则其弧面分两角为一锐一钝以视法移此弧度于相应之平面亦一锐一钝即分员径为大小二矢而戊丙正矢为戊甲丙锐角之度(戊乙丙亦同)戊丁大矢为戊甲丁钝角之度(戊乙)(丁亦同)故得矢即得角角之八线如前图丙戊弧为甲锐角之度与丙庚等则丙戊之在平面者变为直线即为甲锐角之矢而戊巳为角之余弦戊庚为角之正弦丙辛为角之切线己辛为角之割线皆与平面丙庚弧之八线等丁巳戊过弧为甲钝角之度与丁乙庚过弧等则丁戊在平面者变为钝角之大矢而戊巳余弦戊庚正弦丙辛切线己辛割线并与锐角同(平面钝角之八线与外角同用弧三角亦然)正弧斜弧之角与边分为各类凡三角内有一正角谓之正弧三角形三角内并无正角谓之斜弧三角形正弧三角形之角有三正角者有二正角一锐角者有二正角一钝角者(以上种种不须用算)又有一正角两锐角者(内分)(二种一种两锐角同度一种两锐角不同度)有一正角两钝角者(内分二种一种两钝)(角同度一种两钝角不同度)有一正角一锐角一钝角者(内分二种一种锐钝)(角角合之成半周一种合锐钝两角不能成半周)计正弧之角九种而用算者六也正弧三角形之边有三边并足者(足谓足九十度)有二边足一边小者(在象限以下为小)有二边足一边大者(过象限以上为大○以上三种)(可不用算)有三边并小者(内分二种一种二边等一种二边不等)有二边大而一小者(内分三种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余)计正弧之边八种而用算者五也二边俱小则余边必不能大故无二小一大之形二边俱大则余边亦不能大故无三边并大之形一边若足则余边亦有一足故无一边足之形正弧三角形图一(计三种)正弧三角形图二(讣三种)以上正弧形三种有同度之边与角谓之二等边形内有己形虽无同等之邉角而有共为半周之邉角度虽不同而所用之正弦则同即同度也凡邉等者角亦等后倣此正弧三角形图三(计三种)以上正弧形三种边角与丁戊巳三种无异但无同度之边凡正弧三角形共九种斜弧三角形之角有三角并锐者(内分三种一种有二角相等一种三角不)(相等一种三角俱等)有二角锐而一钝者(内分四种一种二锐角相等一种二锐角不相)(等一种钝角为一锐角减半周之余一种二锐角相等而又并为钝角减半周之余)有二角钝而一锐者(内分四种一种二钝角相等一种二钝角不相等一种锐角为一钝角减半周之余一种二钝)(角相等而又并为锐角减半周之余)有三角并钝者(内分三种一种有二角相等一种三角不)(相等一种三角相等)计斜弧之角十有四种斜弧三角形之边有一边足二边小者(内分二种一种二小边相等一)(种二小边不等)有一边足二边大者(内分二种一种二大边等一种二大边不等)有一边足一边小一边大者(内分二种一种大小二边合之成半周一种合二边不能)(成半周)有三边并小者(内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等)有二边大而一小者(内分四种一种二大边等一种二大边不等一种小边为一大边减半周之余)(一种二大边等而又并为小边减半周之余)有二边小而一大者(内分四种一种二小)(边等一种二小边不等一种大边为一小边减半周之余一种二小边等而又并为大边减半周之余)有三边并大者(内分三种一种三边不等一种二边等一种三边俱等)计斜弧之边二十种斜弧三角形图一(计四种)以上斜弧形四种并三角三边同度谓之三等边形内有二等边者其一边为等边减半周之余与三等边同法(以同用正弦故)斜弧三角形图二(计十二种)以上斜弧三角形十二种并二等边形内有四种以大小二边度成半周与二等边同法(小边为大边减半周之余则同用一正弦)斜弧三角形图三(计十种锐厯书只九种遗一 二钝形)以上斜弧三角形十种并三边不等(用算只四种)凡斜弧三角形共二十六种通共弧三角形三十五种(内除正弧三种不须用算实三十二种)乙丁寅为赤道乙丙癸为黄道乙与寅为春秋分癸为夏至午癸丁辰为极至交圏午与辰为南北极午丙甲为过极经圈丙乙为黄道距二分之度甲乙为赤道距二分之度(卯同)(升度)丙甲为黄赤距纬成丙乙甲三角弧形甲为正角乙春秋分角与浑员心卯角相应癸丁弧为黄赤大距(即乙角之弧亦为夘角之弧)癸巳为乙角正弦卯巳其余弦戊丁为乙角切线戊卯其割线卯癸及夘丁皆半径成癸巳夘及戊丁夘两句股形又午夘半径庚午为乙角余切庚夘为乙角余割成午夘庚倒句股形丙辛为丙甲距度正弦丙壬为丙乙黄道正弦作辛壬线与丁卯平行成丙辛壬句股形子甲为丙甲距度切线甲丑为甲乙赤道正弦作子丑线与丙壬平行成子甲丑句股形酉乙为丙乙黄道切线未乙为甲乙赤道切线作酉未线与子甲平行成酉未乙句股形前二句股形在癸丁大距弧内外(癸巳邜用正余弦在弧内戊丁夘用)(割切线出弧外)后三句股形在丙乙甲三角内外(丙辛壬在丙角用两)(正弦在浑员内子甲丑在甲角兼用正弦切线半在内半在外酉未乙用两切线在浑员外)论曰此五句股形皆相似故其比例等何也赤道平安从乙视之则丁乙象限与丁夘半径视之成一线而辛壬聨线甲丑正弦未乙切线皆在此线之上矣以其线皆平安皆在赤道平面与赤道半径平行故也(是为句线)赤道平安则黄道之斜倚亦平其癸乙象限与癸夘半径从乙视之亦成一线而丙壬正弦子丑聨线酉乙切线皆在此线之上矣以其线皆斜倚皆在黄道平面与黄道半径平行故也(是为弦线)黄赤道相交成乙角而赤道既平安则从乙窥夘卯乙半径竟成一㸃而乙丑壬夘角合成一角矣诸句股形既同角而其句线皆同赤道之平安其弦线皆同黄道之斜倚则其股线皆与赤道半径为十字正角而平行矣是故形相似而比例皆等也(其夘午庚倒句股形为相)(当之用与诸句股形亦相似而比例等)又论曰丙辛壬形两正弦(丙辛丙壬)俱在浑体之内其理易明子甲丑形甲丑正弦在浑体内子甲切线在浑体之外已足诧矣酉未乙形两切线(酉乙未乙)俱在浑体之外虽习其术者未免自疑厯书置而不言盖以此耶今为补说详明欲令学者了然心目庶以用之不疑用法假如有丙乙黄道距春分之度求其距纬丙甲法为半径癸夘与乙角之正弦癸巳若丙乙黄道之正弦丙壬与丙甲距纬之正弦丙辛也一 半径全数 癸夘 弦二 乙角正弦 癸巳 股三 黄道正弦 丙壬 弦四 距纬正弦 丙辛 股若先有丙甲距度而求丙乙黄道距二分之度则反用之为乙角之正弦癸巳与半径癸夘(若欲用半径为一率以省除则为半)(径午夘与乙角之余割庚夘其比例亦同)若丙甲距纬之正弦丙辛与丙乙黄道之正弦丙壬也一 乙角正弦 癸巳 半径全数 午夘 股二 半径全数 癸夘 乙角余割 庚夘 弦三 距纬正弦 丙辛 股四 黄道正弦 丙壬 弦右丙辛壬形用法假如有甲乙赤道同升度求距纬丙甲法为半径夘丁与乙角之切线丁戊若甲乙赤道之正弦甲丑与丙甲距纬之切线子甲也一 半径全数 卯丁 句二 乙角正切 丁戊 股三 赤道正弦 甲丑 句四 距纬正切 子甲 股若先有丙甲距纬而求甲乙赤道则反用之为乙角之切线戊丁与半径丁夘(或用半径为一率则为半径夘午与乙角之余切午庚)若丙甲距纬之切线子甲与甲乙赤道之正弦甲丑也一 乙角正切 戊丁 半径全数 卯午 股二 半径全数 丁夘 乙角余切 午庚 句三 距纬正切 子甲 股四 赤道正弦 甲丑 句右子甲丑形用法论曰以上四法厯书所有但于图増一夘午庚句股形则互视之理更明假如有丙乙黄道距二分之度径求甲乙赤道同升度法为半径夘癸与乙角之余弦夘巳若丙乙黄道之切线酉乙与甲乙赤道之切线未乙也一 半径全数 夘癸 弦二 乙角余弦 卯巳 句三 黄道正切 酉乙 弦四 赤道正切 未乙 句若先有甲乙赤道而求其所当黄道丙乙法为半径丁夘与乙角之割线戊夘若甲乙赤道之切线未乙与丙乙黄道之切线酉乙也一 半径全数 丁夘 句二 乙角正割 戊夘 弦三 赤道正切 未乙 句四 黄道正切 酉乙 弦论曰以上两条酉未乙形用法予所补也有此二法黄赤道可以自相求而正角弧形之用始备矣外此仍有三弧割线余弦之用具如别纸十余年前曽作弧三角所成句股书一册稿存儿辈行笈中觅之不可得也庚辰年乃复作此至辛己夏复得旧稿为之惘然然其理固先后一揆而说有详略可以互明不妨并存以征予学之进退因思古人毕生平之力而成一事良自不易世有子云或不以复瓿置之乎康熙辛己七夕前两日勿庵梅文鼎识是日也为立秋之辰好雨生凉炎歊顿失稍简残帙殊散人懐甲乙丙正弧三角形即测量全义第七卷原图稍为酌定又増一酉未乙形测员之用甚博非止黄赤也然黄道赤道南北极二分二至诸名皆人所习闻故仍借用其号以便识别案图中句股形凡五皆形相似其一癸巳夘形以癸卯半径为弦(即黄道半径)癸巳正弦为股(即黄赤大距弧之正)(弦)巳夘余弦为句(即黄赤大距弧之余弦)其二戊丁夘形以戊夘割线为弦(即黄赤大距弧之正割线)戊丁切线为股(即黄赤大距弧)(之正切线)丁夘半径为句(即赤道半径)以上二句股形生于黄赤道之大距度乃总法也两句股形一在浑体之内一出其外同用夘角(即黄道心亦即)(春分角)其三丙辛壬形以丙壬正弦为弦(即黄经乙丙弧之正弦以丙夘黄道半径为其全数而夘壬其余弦)丙辛正弦为股(即黄赤距纬丙甲弧之正弦亦以丙夘黄道半径为其全数而辛夘其余弦)辛壬横线为句法于赤道平面上作横线聨两余弦成夘壬辛平句股形此形以距纬余弦(夘辛)为弦黄经余弦(夘壬)为股而辛壬其句也此辛壬线既为两余弦平句股形之句亦即能为两正弦立句股形之句矣厯书以辛壬为丙辛之余弦误也然则当命为何线曰此非八线中所有乃立三角体之楞线也其四子甲丑形以子丑斜线为弦(此亦立三角体之楞线也非八线中之线)子甲切线为股(即黄赤距纬弧之正切线以赤道半径甲夘为其全数而子夘其割线也)甲丑正弦为句(即赤)(经乙甲弧之正弦亦以赤道半径甲夘为其全数而丑夘其余弦也)其五酉未乙形以酉乙切线为弦(即黄经丙乙弧之正切线以黄赤半径夘乙为其全数而酉夘其割线也)酉未立线为股(此亦立三角之楞线非八线中之线)未乙切线为句(即赤经乙)(甲弧之正切线亦以黄赤半径夘乙为其全数而未夘其割线也)以上三句股形生于设弧之度第三形在浑体之内第四形半在浑体之内而出其外第五形全在浑体之外问既在体外其状何如曰设浑圆在立方之内而以两极居立方底葢之心以乙春分居立方立面之心则黄赤两经之切线酉乙未乙皆在方体之立面而未乙必为句酉乙必为弦于是作立线聨之即成酉未乙句股形矣此一形厯书遗之予所补也(详堑)(堵测量)论曰此五句股形皆同角故其比例等然与弧三角真同者乙角也第一(癸巳夘形)第二(戊丁夘形)两形皆乙角原有之八线即春秋分角也其度则两至之大距也或先有角以求边则以此两形中线例他形中线得线则得边矣或先有边以求角则以他形中线例此两形中线得线则亦得角矣(盖夘角即乙角也○若欲求丙角则以丙角当乙角如法求之)第三形(丙辛壬形)以黄经之正弦(丙壬)黄赤距度之正弦(丙辛)为弦与股是以黄经与距纬相求或先有乙角有黄经以求距纬(用乙角实用壬角下同)或先有乙角有距纬以求黄经或先有黄经距纬可求乙角亦可求丙角第四形(子甲丑形)以黄赤距纬之切线(子甲)赤经之正弦(甲丑)为股与句是以距纬与赤经相求或先有乙角有赤经以求距纬(用乙角实用丑角下同)或先有乙角有距纬以求赤经或先有赤经距纬可求乙角亦可丙角第五形(酉未乙形)以赤经之正切(未乙)黄经之正切(酉乙)为句与弦是黄赤经度相求或先有乙角有黄经以求赤道同升度或先有乙角有赤道同升以求黄经或先有黄赤二经度可求乙角亦可求丙角又论曰诸句股形所用之夘壬丑乙四角实皆乙角何也侧望则弧度皆变正弦而体心夘作直线至乙为夘壬丑乙线即半径也今以侧望之故此半径直线化为一㸃则乙角即夘角亦即壬角亦即丑角矣癸丁为乙角之度(即黄赤大距二至纬度)癸乙为黄道半径丁乙为赤道半径戊丁为乙角切线癸巳为乙角正弦戊乙为乙角割线已乙为乙角余弦癸巳乙戊丁乙皆句股形其乙角即夘角丙甲为设弧距度其正弦丙辛其切线子甲丙乙为所设黄道度其正弦丙壬(因侧望弧度正弦成一线)偕距度正弦丙辛成句股形其乙角即壬角甲乙为所设赤道同升度其正弦甲丑(因侧望弧度正弦成一线)偕距度切线子甲成句股形其乙角即丑角酉乙为所设黄经切线未乙为赤道同升度切线此两线成一酉未乙句股形在体外真用乙角正弧三角形求余角法凡弧三角有三边三角先得三件可知余件与平三角同理前论正弧形以黄赤道为例而但详乙角者因春分角有一定之度人所易知故先详之或疑求乙角之法不可施于丙角兹复为之条析如左(仍以黄道上过极经圏之交角)(为例)假如有乙丙黄道度有乙甲赤道同升度而求丙交角则为乙丙之正弦与乙甲之正弦若半径与丙角之正弦也假如有丙甲距度及乙甲同升度而求丙交角则为丙甲之正弦与乙甲之切线若半径与丙角之切线假如有丙甲距度及乙丙黄道度而求丙交角则为乙丙之切线与丙甲之切线若半径与丙角之余弦又如有丙交角有乙丙交道度而求乙甲同升度则为半径与丙角之正弦若乙丙之正弦与乙甲之正弦或先有乙甲同升度而求乙丙黄道度则以前率更之为丙角之正弦与半径若乙甲之正弦与乙丙之正弦又如有丙交角有乙甲同升度而求丙甲距度则为丙角之切线与半径若乙甲之切线与丙甲之正弦或先有丙甲距度而求乙甲同升度则以前率更之为半径与丙角切线若丙甲正弦与乙甲切线又如有丙交角有乙丙黄道度求丙甲距度则为半径与丙角余弦若乙丙切线与丙甲切线或先有丙甲距度而求乙丙黄道则以前率更之为丙角余弦与半径若丙甲切线与乙丙切线论曰求丙角之法一一皆同乙角更之而用丙角求余边亦如其用乙角也所异者乙角定为春分角则其度不变丙角为过极经圏交黄道之角随度而移(交角近大距则甚大类十字角)(近春分只六十六度半弱中间交角度度不同他形亦然皆逐度变丙角)有时大于乙角有时小于乙角(乙角不及半象限则丙角大乙角过半象限则丙角有时小)故必求而得之又论曰丙交角既随度移而甲角常为正角何也凡球上大圏相交成十字者必过其极今过极经圏乃赤道之经线惟二至时则此圏能过黄赤两极其余则但过赤道极而不能过黄道极故其交黄道也常为斜角(即丙)(角)交赤道则常为正角(即甲角)又论曰丙角与乙角共此三边(一乙丙黄道一乙甲赤道一丙甲距度)其所用比例者亦共此三边之八线(三边各有正弦亦各有切线)而所成句股形遂分两种可互观也乙角所成诸句股皆以戊丁夘为例内角所成诸句股皆以亥辰夘为例并如后图如图丙角第一层句股兊乙心形即乙角之壬丙辛也在乙角两正弦交于丙在丙角两正弦交于乙皆弦与股之比例而同弦不同股(乙角丙角并以乙丙黄道正弦为弦而乙角所用之股为)(丙甲正弦丙角所用则乙甲正弦皆正弦也而弦同股别)丙角第二层句股女甲亢形即乙角之子甲丑也乙角丙角并以一正弦一切线交于甲为句与股之比例而所用相反(乙角于乙甲用正弦于丙甲用切线丙角则于乙甲用切线于丙甲用正弦皆乙甲丙甲)(两弧之正弦切线而所用逈别)丙角第三层句股艮丙氐形即乙角之酉乙未也在乙角以两切线聨于乙在丙角以两切线交于丙皆弦与句之比例而同弦不同句(乙丙两角并以乙丙切线为弦而乙角以乙甲切线为句)(丙角以丙甲切线为句皆切线也而弦同句别)球面弧三角形弧角同比例解第一题正弧三角形以一角对一边则各角正弦与对边之正弦皆为同理之比例如图乙甲丙弧三角形(甲为正角) 法为半径与乙角之正弦若乙丙之正弦与丙甲之正弦更之则乙角之正角与对边丙甲之正弦若半径与乙丙之正弦也又丙角之正弦与其对边乙甲之正弦亦若半径与乙丙之正弦也合之则乙角之正弦与其对边丙甲之正弦亦若丙角之正弦与其对边乙甲之正弦论曰乙丙两角与其对边之正弦既并以半径与乙丙为比例则其比例亦自相等而两角与两对边其正弦皆为同比例又论曰甲为正角其度九十而乙丙者甲正角所对之边也半径者即九十度之正弦也以半径比乙丙之正弦即是以甲角之正弦比对边之正弦故以三角对三边皆为同比例第二题凡四率比例二宗内有二率三率之数相同则两理之首末二率为互视之同比例(即斜弧比例之所以然故先论之)假如有甲乙丙丁四率甲(四)与乙(八)若丙(六)与丁(十二)皆加倍之比例也又有戊乙丙辛四率戊(二)与乙(八)若丙(六)与辛(二十四)皆四倍之比例也此两比例原不同理特以两理之第二第三同为乙(八)丙(六)故两理之第一第四能互用为同理之比例(先理之第一甲四与次理之第四辛二十四若次理之第一戊二与先理之四丁十二皆六倍)(之比例也)论曰凡二率三率相乘为实首率为法得四率今两理所用之实皆乙(八)丙(六)相乘(四十八)之实惟甲(四)为法则得十二若戊(二)为法则得二十四矣法大者得数小法小者得数大而所用之实本同故互用之即为同理之比例也试以先理之四率更为首率其理亦同(丁与辛若戊与甲皆加倍比例)若反之令两四率并为首率亦同(甲与戊若辛与丁皆折半比例)并如后图第三题斜弧三角形以各角对各边其正弦皆为同比例乙丙丁斜弧三角形任从乙角作乙甲垂弧至对边分元形为两正角形甲为正角依前正角形论各对边之正弦与所对角之正弦比例皆等乙甲丁形丁角正弦与乙角正弦若半径(即甲角正弦)与丁乙正弦是一理也乙甲丙形丙角正弦与乙甲正弦若半径与乙丙正弦是又一理也两理之第二同为乙甲第三同为半径则两理之首末二率为互视之同比例故丁角之正弦与乙丙之正弦若丙角之正弦与丁乙之正弦也又如法从丁角作丁戊垂弧至对边分两形而戊为正角则乙角正弦与丁丙正弦亦若丙角正弦与乙丁正弦 又从丙作垂弧分两形而壬为正角则乙角与丁丙亦若丁角与乙丙一 丁角正弦 丙角正弦乙丙丁斜弧三角形丁为钝角 法从乙角作乙甲垂弧于形外亦引丙丁弧㑹于甲成乙甲丁虚形亦凑成乙甲丙虚实合形甲为正角乙甲丁形丁角之正弦与乙甲边若半径与乙丁边正弦一理也 乙甲丙形丙角之正弦与乙甲边若半径与乙丙正弦又一理也 准前论两理之第二第三既同则丁角正弦与乙丙正弦若丙角正弦与乙丁正弦也论曰丁角在虚形是本形之外角也何以用为内角曰凡钝角之正弦与外角之正弦同数故用外角如本形角也若用乙角与丁丙边则作丙庚弧于形外取庚正角其理同上或作丁戊垂弧于形内取戊正角分两形则如前法并同用法凡弧三角形(不论正角斜角)但有一角及其对角之一弧则其余有一角者可以知对角之弧而有一弧者亦可以知对弧之角皆以其正弦用三率比例求之假如乙丁丙三角形先有丁角及相对之乙丙弧则其余但有丙角可以知乙丁弧有乙角可以知丁丙弧此为角求弧也若有乙丁弧亦可求丙角有丁丙弧亦可求乙角此为弧求角也一 丁角正弦 一 乙丙正弦二 乙丙正弦 二 丁角正弦三 丙角正弦 乙角正弦 三 乙丁正弦 丁丙正弦四 乙丁正弦 丁丙正弦 四 丙角正弦 乙角正弦厯算全书巻七
## 卷八
钦定四库全书厯算全书巻八宣城梅文鼎撰弧三角举要巻三斜弧三角形作垂弧说正弧形有正角如平三角之有句股形也斜弧形无正角如平三角之有锐钝形也平三角锐钝二形并以虚线成句股故斜弧形亦以垂弧成正角也正弧形以正弦等线立算句股法也斜弧形仍以正角立算亦句股法也斜弧三角用垂弧法垂弧之法有三其一作垂弧于形内则分本形为两正角形其二作垂弧于形外则补成正角形其三作垂弧于次形总法曰三角俱锐垂弧在形内一钝二锐或在形内或在形外(自钝角作垂弧则在形内自锐角作垂弧则在形外)两钝一锐或三角俱钝则用次形其所作垂弧在次形之内之外(次形无钝角垂弧在)(其内有钝角垂弧在其外若破钝角亦可在内)第一法垂弧在形内成两正角(内分五支)设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角法于乙角(在先有乙丙边之端乃不知之角)作垂弧(如乙丁)至甲丙边分甲丙边为两即分本形为两而皆正角(凡垂弧之所到必正角也角不)(正即非垂弧故所分两角皆正后倣此) 一乙丁丙形此形有丁正角丙角乙丙边为两角一边可求丁丙边(乃丙甲之分)乙丁边(即垂)(弧)及丁乙丙角(即乙分角) 次乙丁甲形有丁正角甲丁边(甲丙内减丁丙其余丁甲)乙丁边为一角两边可求乙甲边甲角及丁乙甲分角 末以两乙角并之成乙角或如上图丁甲角端作垂弧至乙丙边分乙丙为两亦同右一角二边而先有者皆角旁之边为形内垂弧之第一支(此所得分形丁丙边必小于元设边即垂弧在形内而甲为锐角)设甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之丙乙边及与角相对之乙甲边求余两角一边法于不知之乙角(在先有二边之中)作乙丁垂弧分两正角形一乙丙丁形此形有丁正角有丙角有乙边边可求乙丁分线及所分丁丙边及丁乙丙分角 次乙甲丁形此形有丁正角有乙丁边有乙甲边可求甲角及丁乙甲分角丁甲边 末以两分角(丁乙丙及丁乙甲)并之成乙角以两分边(丁丙及丁甲)并之成甲丙边右一角二边而先有对角之边为形内垂弧之第二支设甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边(在两角之间)求甲角及余边法于乙角作垂弧分两形并如前(但欲用乙丙边故破乙角存丙角)一乙丙丁形有丁正角丙角乙丙边可求乙丁边丁丙边丁乙丙分角 次乙丁甲形有乙丁边丁正角丁乙甲分角(原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲)可求乙甲边甲角及甲丁边末以甲丁并丁丙得甲丙边或于丙角作垂弧亦同若角一钝一锐即破钝角作垂线其法并同右二角一边而边在两角之间不与角对为形内垂弧之第三支(此必未知之角为锐角则垂弧在形内)设甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边(与丙角相对与甲角相连)求乙角及余二边法于乙角(为未知之角)作垂弧分为两形而皆正角 一乙丁甲形有丁正角甲角乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲分角 次丁乙丙形有丁正角乙丁边丙角可求乙丙边丁丙边丁乙丙分角 末以甲丁丁丙并之成甲丙边 以两分角(丁乙甲丁乙丙)并之成乙角右二角一边而先有对角之边为形内垂弧之第四支(此先有二角必俱锐则垂弧在内)设乙甲丙形有三边而内有(乙甲乙丙)二边相同求三角法从乙角(在相同二边之间)作垂弧至丙甲边(乃不同之一边)分两正角形(其形必相等而甲丙线必两平分) 乙丙丁形有丁正角乙丙边丁丙边(即甲丙之半)可求丙角乙分角(乃乙角之半)倍之成乙角而甲角即同丙角(不须再求)右三边求角而内有相同之边故可平分是为形内垂弧之第五支(此必乙丙乙甲二边并小在九十度内若九十度外甲丙二角)(必俱钝当用次形详第三又法)第二法垂弧在形外补成正角(内分七支)设甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边(乙丙甲丙)求乙甲边及余两角法自乙角(在先有边之一端)作垂弧(乙丁)于形外引丙甲边至丁补成正角形二(一丙乙丁半虚半实形二甲乙丁虚形) 先算丙乙丁形此形有乙丙边丙角有丁正角可求丙乙丁角(半虚半实)乙丁边(形外垂弧)丁丙边(丙甲引长)(边) 次甲乙丁虚形有丁正角有乙丁边甲丁边(丁丙内减内甲得甲丁)可求乙甲边甲角及甲乙丁虚角末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角右一角二边角在二边之中而为锐角是为形外垂弧之第一支(此所得丁丙必大于原设边即垂弧在形外而甲为钝角)设乙甲丙形有甲钝角有角旁之(丙甲乙甲)二边求乙丙边及余二角法于乙角作垂弧(乙丁)引丙甲至丁补成正角 先算乙丁甲虚形此形有丁正角甲角(即原设甲角减半周之余亦曰外角)有乙甲边可求甲丁边乙丁边丁乙甲虚角 次丁乙丙形有乙丁边丁丙边(甲丙加丁甲得之)丁正角可求乙丙边丙角丙乙丁角 末于丙乙丁内减丁乙甲虚角得原设乙角或从丙作垂弧至戊引乙甲边至戊补成正角亦同右一角二边角在二边之中而为钝角乃形外垂弧之第二支设乙甲丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角法从乙角作垂弧至丁成正角(亦引丙甲至丁) 先算丙乙丁形有丁正角丙角乙丙边可求诸数(乙丁边丁丙边丙乙丁角) 次丁乙甲虚形有丁正角乙丁乙甲二边可求诸数(乙甲丁角)(甲乙丁角甲丁边) 末以所得虚形甲角减半周得原设甲钝角于丙乙丁内减虚乙角得原设乙角于丁丙内减甲丁得原设丙甲右一角二边角有所对之边而为锐角乃形外垂弧之第三支(此必甲为钝角故垂弧在外)设乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角法于丙角作垂弧至戊补成正角 先算虚形(甲丙戊)有戊正角甲角(甲钝角减半周之余)甲丙边可求诸数(丙戊边甲戊边丙虚角)次虚实合形(乙丙戊)有戊正角丙戊边乙丙边可求原设乙角及诸数(乙丙戊角乙戊边) 末以先得虚形数减之得原设数(丙角内减丙虚角得原设丙角乙戊内减甲戊虚引边得原设乙甲边)右一角二边角有所对之边而为钝角乃形外垂弧之第四支(此先得钝角垂线必在外)设乙甲丙形有丙甲二角(一锐一钝)有丙甲边在两角之中法于丙锐角作垂弧至丁(在甲钝角外)补成正角 丁丙甲虚形有丁正角甲外角丙甲边可求诸数(丙丁边甲丁边丙虚角)次乙丙丁形(半虚实)有丁正角丙丁边丙角(以丙虚角补原设丙)(角得丁丙乙角)可求原设乙丙边乙角及乙甲边(求得乙丁边内减虚形之)(甲丁边得原设甲乙边)右二角一边边在两角间为形外垂弧之第五支(此亦可于甲钝角作垂弧则在形内法在第一法之第三支)设乙甲丙形有乙甲二角(乙锐甲钝)有丙甲边与乙锐角相对(钝角相连)法于丙锐角作垂弧至戊(在丙甲边外)补成正角 甲戊丙虚形有戊正角有丙甲边甲角(原设形之外角)可求诸数(丙戊甲戊)(二边丙虚角) 次乙丙戊形有戊正角乙角丙戊边可求丙角(求得乙丙戊角内减丙虚角得元设丙角)乙丙边乙甲边(求到乙戊边内减甲戊得乙甲)右二角一边而边对锐角为形外垂弧之第六支设乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对(锐角相连)法于丙锐角作垂弧至戊(在甲钝角外)补成正角 乙丙戊形有戊正角乙角乙丙边可求诸数(丙戊乙戊二边乙丙戊角) 次甲丙戊虚形有戊正角甲外角丙戊边可求原设丙甲边甲乙边(求到戊甲虚边以减乙戊得原设乙甲)丙角(求到丙虚角以减乙丙戊角得原设)(丙角)右两角一边而边对钝角为形外垂弧之第七支第三垂弧又法 用次形(内分九支)设乙甲丙形有乙丙二角有乙丙边在两角间而两角并钝求余二边及甲角法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内(如己丁)分为两形(一己丁戊一己丁甲)可求乙甲边(以己丁戊分形求到丁戊以己丁甲形求到甲丁合之成甲戊以减半周即得乙甲)丙甲边(以己)(丁甲分形求到己甲以减半周即得丙甲)甲角(以己丁甲分形求到甲交角)右二角一边边在角间而用次形为垂弧又法之第一支论曰旧说弧三角形以大边为底底旁两角同类垂弧在形内异类垂弧在形外由今考之殆不尽然盖形内垂弧分底弧为两成两正角形所用者锐角也(底旁原有两锐)(角分两正角形则各有两锐角)形外垂弧补成正角形所用者亦锐角也(底旁原有一锐角补成正角形则虚实两形各有两锐角)故惟三锐角形作垂弧于形内一钝两锐则垂弧或在形内或在形外若两钝一锐则形内形外俱不可以作垂弧(垂弧虽有内外而其用算时并为一)(正角两锐角之比例若形有两钝角则虽作垂弧只能成一正一钝一锐之形无比例可求则垂弧为徒设矣)故必以次形通之而所作垂弧即在次形不得谓之形内然则同类之说止可施于两锐(若两钝虽亦同类而不可于形内作垂弧)异类之说止可施于一钝两锐(若两钝一锐而底弧之旁一钝一锐虽亦异类)(然不可于形外作垂弧)非通法矣(两钝角不用次形垂弧之法己穷况三钝角乎)又论曰以垂弧之法征之则大边为底之说理亦未尽盖钝角所对边必大既有形外立垂线垂弧之法则钝角有时在下而所对之边在上矣不知何术能常令大边为㡳乎此尤易见设乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边如法引甲乙丙乙俱满半周㑹于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两可求乙角(依法求到分形两己)(角合之为次形己角与乙对角等)甲丙边(求到分形甲丁及丁丙并之即甲丙)乙丙边(求到)(次形己丙以减半周得之)右二角一边边与角对而用次形为垂弧又法之第二支此三角俱钝也或乙为锐角亦同设乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中法用甲乙戊次形(有乙甲边有乙戊边为乙丙减半周之余有乙外角)作甲丁垂弧分为两形可求丙甲边及余两角(以乙甲丁分形求到丁乙及甲分角)(人以甲戊丁形求到甲戊以减半周为丙甲又得甲分角并先所得成甲角即甲外角又得戊角即丙对角)右二边一角角在二边之中而用次形为垂弧又法之第三支或丙为钝角则于次形戊角作垂弧法同上条设乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对法用甲己戊次形(甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角)作垂弧(甲丁)于内分为两形可求丙乙边及余两角(以甲丁戊)(分形求丁戊及甲分角又以甲丁己形求得丁己以并丁戊成己戊即丙乙也又得分角以并先得分角即甲)(交角也又得己角即乙外角也)右二边一角角与边对而用次形为垂弧又法之第四支若甲为钝角亦同论曰先得丙钝角宜作垂弧于外而乙亦钝角不可作垂弧故用次形设乙甲丙形有三边内有(乙甲丙甲)二边相同而皆为过弧求三角法引相同之二边各满半周作弧线聨之成戊甲己次形如法作甲丁垂弧分次形为两(其形相等)可求相同之二角(任以甲丁戊分形求到戊角以减半周得乙角亦即丙角)及甲角(求到甲半角倍之成甲角)右三边求角内有相同两大边为垂弧又法之第五支 若甲为锐角亦同以上垂弧并作于次形之内设乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间法引乙丙乙甲满半周㑹于戊成甲戊丙次形自甲作垂弧与丙戊引长弧㑹于丁补成正角可求乙甲边乙丙边乙角(先求丙甲丁形诸数次求甲戊丁得甲戊以减半周为甲乙又以丁戊减先得丁丙得丙)(戊以减半周为乙丙又求得戊虚角减半周为戊角即乙对角)右两钝角一边边在角间而于次形外作垂弧为又法之第六支或自丙角作垂弧亦同设乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对法引设边成丙戊甲次形(有甲外角有戊钝角为乙对角有丙甲边)如上法作丙丁垂弧引次形边㑹于丁可求乙丙边(先求甲丁丙形诸数)(次丙丁戊虚形求到丙戊以减半周为乙丙)乙甲边(先求到丁甲以虚线丁戊减之得戊甲即得乙)(甲)丙角(先求到甲丙丁角内减丙虚角得丙外角即得元设丙角)右二角一边边与角对垂弧在次形外为又法之第七支设乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边(丙乙丙甲)法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹于丁可求乙甲边及甲乙二角(先以甲丁丙形求到诸数再以甲丁戊虚形求甲戊即得乙甲又甲虚角)(减先得甲角成甲外角又戊虚角即乙外角)右二边一角角在二边之中垂弧在次形外为又法之第八支设乙甲丙形有甲钝角有一边与角对(乙丙)一边与角连(丙甲)法用丙戊甲次形自丙作垂弧与甲戊引长边㑹于丁可求乙甲边及余两角(依法求到甲戊即得乙甲求戊角即乙角以丙虚角减先得丙)(角即丙外角)右二边一角角有对边垂弧在次形外为又法之第九支以上垂弧并作于次形之外论曰三角俱钝则任以一边为底其两端之角皆同类矣今以次形之法求之而垂弧尚有在次形之外者益可与前论相发也弧三角举要卷四弧三角用次形法次形之用有二正弧三角斜弧三角并有次形法而其用各有二其一易大形为小形则大边成小边钝角成锐角其一易角为弧易弧为角则三角可以求边亦二边可求一边第一正弧三角形易大为小 用次形如图戊己甲乙半浑圜以(戊丙甲己丙乙)两半周线分为弧三角形四(一戊丙乙二己丙戊三己丙甲并大四乙丙甲为最小)今可尽易为小形一戊丙乙形易为乙甲丙形(戊丙减半周余丙甲又戊乙减半周余乙甲而乙丙)(为同用之弧则三边之正弦同也乙丙甲角为戊丙乙外角甲乙丙为戊乙丙外角戊角又同甲角则三角之)(正弦同也故算甲丙乙即得戊丙乙)二己丙戊形易为乙甲丙形(乙甲己及甲己戊并半周内各减己甲则乙甲同己)(戊而乙丙于己丙及甲丙于戊丙皆半周之余又甲戊并正角丙为交角而乙角又为己角之外角故算乙丙)(甲得己丙戊)三己丙甲形易为乙丙甲形(乙甲为己甲减半周之余乙丙为丙己减半周之余)(而同用甲丙又次形丙角为元形之外角乙角同己角甲同为正角故算乙丙甲得己丙甲)用法凡正弧三角内有大边及钝角者皆以次形立算但于得数后以次形之边与角减半周即得元形之大边及钝角(其元形内原有小边及锐角与次形同者径用得数命之不必复减半周)斜弧同以上易大形为小形而大边成小边钝角成锐角为正弧三角次形之第一用(大边易小钝角易锐则用算画一算理易)(明其算例并详第二用)第二正弧三角形弧角相易 用次形(内分四支)一乙甲丙形易为丁丙庚次形解曰丁如北极 戊己壬甲如赤道圈 己庚乙如黄道半周 辛丁壬如极至交圈(壬如夏至辛如冬至) 戊丁甲如所设过极经圈 乙如春分己如秋分并以庚壬大距为其度 丙如所设某星黄道度 丙乙如黄道距春分度其余丙庚即黄道距夏至为次形之一边 丙甲如黄赤距度其余丙丁即丙在黄道距北极度为次形又一边 庚丁如夏至黄道距北极而为乙角余度是角易为边也(壬庚为乙角度其余庚丁)是为次形之三边又丙交角如黄道上交角 庚正角如黄道夏至 甲乙如赤道同升度其余壬甲如赤道距夏至即丁角之弧是边易为角也则次形又有三角用法假如有丙交角乙春分角而求诸数是三角求边也(乙丙)(两角幷甲正角而三)法为丙角之正弦与乙角之余弦若半径与丙甲之余弦得丙甲边可求余边一 丙角正弦 丙角正弦二 乙角余弦 丙角正弦三 半径(甲角) (在次形) 半径(庚角)四 甲丙余弦 丁丙正弦右以三角求边也若三边求角反此用之若先有乙丙边乙甲边而求甲丙边则为乙甲余弦(即次)(形丁角正弦)与乙丙余弦(即庚丙正弦)若半径(甲角即次形庚角)与甲丙余弦(即丁丙正弦)或先有乙丙边甲丙边而求乙甲边则为甲丙余弦(即丁)(丙正弦)与乙丙余弦(即庚丙正弦)若半径(甲角即庚角)与乙甲余弦(即丁角正弦)或先有乙甲边甲丙边而求乙丙边则为半径(甲角即庚角)与甲丙余弦(即丁丙正弦)若乙甲余弦(即丁角正弦)与乙丙余弦(即庚丙正弦)右皆以两弧求一弧而不用角也以上为乙甲丙形用次形之法本形三边皆小一正角偕两锐角次形亦然所以必用次形者为三角求边之用也是为正弧三角次形第二用之第一支二己丙甲形(甲正角余二角丙钝己锐丙甲边小余二边并大)易为丁丙庚次形法曰截己甲于壬截己丙于庚使己壬己庚皆满九十度作壬庚丁象限弧又引丙甲边至丁亦满象限而成丁丙庚次形此形有丁丙边为丙甲之余有庚丙边为己丙之余(凡过弧内去象限其余度正弦即过弧之余弦故己丙内减己庚而庚丙为其余弧)有庚丁边为己角之余乃角易为边也(庚与壬皆象限即庚壬为己角之度)(而丁庚为其余)又有丙锐角为元形丙钝角之外角有庚正角与元形甲角等(壬庚既为己角之弧则壬与庚必皆正角)有丁角为己甲边之余(己甲过弧以壬甲为余度说见上文)乃边易为角也用法假如有甲正角己锐角丙钝角而求丙甲边法为丙钝角之正弦(即次形丙锐角正弦盖外角内角正弦同用也)与己角之余弦(即次形丁)(庚边之正弦)若半径(即次形庚正角之正弦)与丙甲边之余弦(即次形丁丙边)既得丙甲可求己丙边 法为半径与丙角余弦若甲丙余切(次形为丁丙正切)与己丙余切(次形为庚丙正切)得数以减半周为己丙下同(凡以八线取弧角度者若系大边钝角皆以得数与半周相减命度后倣此)求己甲边 法为己角之余弦(即庚丁正弦)与丙角之正弦若己丙之余弦(即庚丙正弦)与己甲之余弦(即丁角正弦其弧壬甲)右三角求边又如有己甲己丙两大边求丙甲边 法为己甲余弦(即丁角正弦)与己丙余弦(即庚丙正弦)若半径与丙甲余弦(即丁丙正)(弦)或有己甲丙甲两边求己丙大边 法为半径与丙甲余弦(即丁丙正弦)若己甲余弦(即丁角正弦)与己丙余弦(即庚丙正弦)(得数减半周为己丙下同)或有丙甲己二边求己甲大边 法为丙甲余弦与半径若己丙余弦与己甲余弦(即上法之反理)右二边求一边以上己丙甲形用次形之法本形有两大边一钝角次形则边小角锐而且以本形之边易为次形之角本形之角易为次形之边(后二形并同)是为正弧三角次形第二用之第二支三己丙戊形(戊正角己钝角丙锐角己丙与戊丙并大边)易为丁丙庚次形法曰以象限截己丙于庚其余庚丙截戊丙于丁其余丁丙为次形之二边作丁庚弧其度为己角之余(己钝角与)(外锐角同以壬庚之度取正弦其余丁庚为己外角之余亦即为己钝角之余)角易边也次形又为元形之截形同用丙角又庚正角与戊角等而丁角即己戊边之余度(试引己戊至辛成象限则戊辛等壬甲皆丁角之度而又为己戊之)(余)边易角也用法假如有丙锐角己钝角偕戊正角求戊丙边 法为丙角正弦与己角余弦(即庚丁正弦)若半径与戊丙余弦(即丁丙正)(弦)得数减半周为戊丙(下同)既得戊丙可求己丙 法为半径与丙角余弦若戊丙余切(即丁丙正切)与己丙余切(即庚丙正切)求己戊边 法为戊丙余弦(即丁丙正弦)与半径若己丙余弦(即庚丙正弦)与己戊余弦(即丁角正弦)以上己丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第三支四乙丙戊形(戊正角乙丙并钝角戊乙戊丙并大边乙丙小边)易为丁丙庚次形法曰引乙丙边至庚满象限得次形丙庚边(即乙丙之余)于丙戊截戊丁象限得次形丁丙边(为戊丙之余)而丁即为戊乙弧之极(戊正角至丁九十度故知之)从丁作弧至庚成次形庚丁边为乙角之余是角易为边也(试引庚丁至辛则辛丁亦象限而辛为正角庚)(亦正角乙庚乙辛皆象限弧是庚丁辛即乙钝角之弧度内截丁辛象限而丁庚为乙钝角之余度矣)又庚正角与戊等丙为外角丁角为乙戊边之余是边易为角也(乙戊丙截乙辛象限其余戊辛即丁交角之弧)用法假如三角求边以丙角正弦为一率乙角余弦为二率半径为三率求得戊丙余弦为四率以得数减半周为戊丙余并同前以上乙丙戊形三角求边为正弧三角次形第二用之第四支论曰厯书用次形止有乙甲丙形一例若正角形有钝角及大边者未之及也故特详其法又论曰依第一用法大边可易为小钝角可易为锐则第二三四支皆可用第一支之法而次形如又次形矣(己丙甲形己丙戊形乙丙戊形皆易为乙甲丙形而乙甲丙又易为丁丙庚是又次形也)正弧形弧角相易又法 用又次形甲乙丙正弧三角形易为丁丙庚次形再易为丁戊壬形法曰依前法引乙丙边甲乙边各满象限至庚至己作庚己弧引长之至丁亦引甲丙㑹于丁亦各满象限成丁丙庚次形又引丙庚至辛引丙丁至戊亦满象限作辛戊弧引之至壬亦引庚丁㑹于壬则辛壬庚壬亦皆象限成丁戊壬又次形此形与甲乙丙形相当论曰乙丙边易为壬角(乙庚及丙辛皆象限内减同用之丙庚则辛庚即乙丙而辛庚)(即壬角之弧)乙甲边易为丁角(乙甲之余度己甲即丁交角之弧)是次形之两角即元形之两边也乙角易为丁壬边(丁己及庚壬俱象限内减)(同用之庚丁则丁壬即己庚而为元形乙角之弧)丙角易为戊壬边(丙交之弧弧辛戊其)(余为次形戊壬)是次形之两边即元形之两角而次形戊丁边即元形丙甲次形戊角即元形甲角用法若原形有三角则次形有戊直角有戊壬丁壬二边可求乙甲边 法为乙角之正弦(即丁壬正弦)与半径若丙角之余弦(即戊壬正弦)与乙甲之余弦(即丁角正弦)求乙丙边 法为乙角之切线(即丁壬切线)与丙角之余切(即戊壬正切)若半径与丙乙之余弦(即壬角余弦)既得两边可求余边以上又次形三角求边为正弧三角第二用之又法论曰用次形止一弧一角相易今用又次形则两弧并易为角两角并易为弧故于前四支并峙而为又一法也第三斜弧三角易大为小 用次形(内分二支)一甲乙丙二等边形 三角皆钝如法先引乙丙边成全图又引甲丙甲乙两边出圜周外㑹于丁又引两边各至圜周(如戊如己)成乙丁丙及戊甲己两小形皆相似而等即各与元形相当而大形易为小形论曰次形(甲戊甲己)二边为元形边减半周之余则同一正弦次形(己戊)二角为元形之外角亦同一正弦(甲乙戊为甲乙丙外)(角而与次形己角等甲丙己为甲丙乙外角亦与次形戊角等)而次形甲角原与元形为交角戊己边又等乙丙边(戊乙丙及己戊乙并半周各减乙戊则戊己等乙丙)故算小形与大形同法惟于得数后以减半周即得大边及钝角之度(置半周减戊甲得甲丙减己甲亦得甲乙又置半周减己锐角得元形乙钝角)(减戊锐角亦得元形丙钝角其交角甲及相等之戊己边只得数便是并不用减)论曰凡两大圈相交皆半周故丁丙与丁乙亦元形减半周之余又同用乙丙而乙与丙皆外角丁为对角故乙丙丁形与戊甲己次形等边等角而并与元形甲乙丙相当右二边等形易大为小为斜弧次形第一用之第一支二甲乙丙三边不等形 角一钝二锐如法引乙丙作圜又引余二边(甲乙甲丙)至圜周(己戊)得相当次形己甲戊(算戊甲得甲丙算己甲得甲乙算己戊得乙丙)其角亦一钝二锐(算戊钝角得丙锐角算己锐角得乙钝角而甲交角一算得之)又戊甲乙形 角一钝二锐 如法引戊乙作圜又引乙甲至圜周(己)成次形己甲戊与元形相当(算己甲得甲乙算己)(戊得戊乙又同用戊甲边故相当算甲锐角得甲钝角算戊钝角得戊锐角算己角即乙角)又甲己丙形 三角俱钝 如上法引丙己作圜又引丙甲至戊成次形己甲戊与元形相当(元形甲丙与戊甲元形己丙与)(己戊并减半周之余又同用己甲又丙钝角即戊钝角甲己两锐角并元形之外角)右三边不等形易大为小为斜弧次形第一用之第二支第四斜弧三角形弧角互易 用次形(内分三支)一乙甲丙形(三角俱钝)易为丑癸寅形(一钝二锐)法曰引乙甲作圜次引乙丙至酉引甲丙至未并半周次以甲为心作丁辛癸寅弧乙为心作戊丑癸壬弧丙为心作丑子午寅弧三弧交处别成一丑癸寅形与元形相当而元形之角尽易为边边尽易为角论曰甲角之弧丁辛与次形癸寅等则甲角易为癸寅边(丁癸及辛寅皆象限减同用之辛癸则癸寅同丁辛)乙角之弧己壬与次形丑癸等则乙角易为丑癸边(癸己及丑壬皆象限减同用之癸壬即丑癸同壬己)丙外角之弧午申(引丑午寅至申取亥申与庚子等成午申)与次形寅丑等则丙外角易为寅丑弧(丑午及寅申皆象限各加同用之午寅即午申等丑寅)是元形有三角即次形有三边也 又甲乙边之度易为癸外角(乙己及甲辰皆象限内减同用之甲己则乙甲同己辰为癸外角弧)甲丙边易为寅角(甲辛及丙子皆象限内减同用之丙辛则甲丙等辛子而同为寅角之弧)乙丙边易为丑角(乙壬及午丙皆象限内减同用之丙壬则乙丙等午壬而同为丑角之弧)是元形有三边即次形有三角也又论曰有此法则三角可以求边(既以三角易为次形之三边再用三边求)(角法求得次形三角即反为元形之三边 三边求角法详别卷)又论曰引丙甲出圜外至申亦引庚亥弧出圜外㑹于申则庚亥与子申并半周内各减子亥即子庚同亥申而子寅既象弧则寅申亦象弧矣以寅申象弧加午寅与以丑午象限(午壬为丑角之弧故丑午亦象限)加午寅必等而申午者丙外角之度丑寅者次形之边也故丙角能为次形之边也又论曰凡引弧线出圜外者其弧线不离浑圜面幂因平视故为周线所掩稍转其浑形即见之矣但所引出之线原为半周之余见此余线时即当别用一圈为外周而先见者反有所掩如见亥申即不能见子庚故其度分恒必相当亦自然之理也又论曰依第三用法之第二支丙未酉形及丙未乙形丙酉甲形并可易为甲乙丙则又皆以癸丑寅为又次形矣右三角俱锐形弧角相易为斜弧次形第二用之第一支二未丙酉形(三角俱钝)易为丑癸寅形(一钝二锐)法曰引酉未弧作圜又引两边至圜周(如乙如甲)乃以未为心作丁辛癸寅辰弧以酉为心作戊丑癸壬己弧以丙为心作庚子丑寅午申弧亦引丙甲出圜外㑹于申三弧相交成丑癸寅形此形与元形相当而角尽易为弧弧尽易为角论曰未外角之弧丁辛成次形癸寅弧(癸丁及寅辛皆象限内减同用)(之癸辛则癸寅即丁辛)酉外角之弧壬己成次形丑癸弧(壬丑及癸己皆)(象限各减癸壬则丑癸即壬己)丙外角之弧申午成次形寅丑弧(准前论庚)(亥及子申并半周则申亥等子庚而申寅为象限与午丑象限各减午寅即寅丑同申午) 是三角尽易为边也酉未边成癸外角(酉戊及未丁皆象限各减未戊则丁戊即酉未而为)(癸外角之弧若以丁戊减戊乙己半周其余丁乙己过弧亦即为癸交角之弧)未丙边减半周其余甲丙成寅角(甲辛及子丙皆象限各减辛丙则辛子即甲丙而为寅角之弧)酉丙边减半周其余乙丙成丑角(午丙及壬乙皆象限各减丙壬则壬午即乙丙而为)(丑角之弧)是三边尽易为角也(寅角丑角并原边减半周则原边即两外角弧与酉未成)(癸外角等)故三角减半周得次形三边算得次形三角减半周得原设三边右三角俱钝形弧角相易为斜弧次形第二用之第二支论曰若所设为乙未丙形则未角易为次形癸寅边(径用)(丁辛子形内以当癸寅不须言外角)乙外角为丑癸边(亦以己壬当丑癸与用酉外角同理)丙角为丑寅边(径以丙交角之弧甲午当丑寅不言外角) 若所设为甲酉丙形则酉角易为丑癸边(己壬径当丑癸不言外角)甲外角为寅癸边(用丁辛当癸寅即甲外角)丙角为丑寅边(亦申午当丑寅不言外角)又论曰此皆大边径易次形不必复言又次三甲乙丙形(一钝角两锐角)易为丑癸寅形如法引甲乙边作全圜引余二边各满半周又以甲为心作丁壬癸丑辰半周以乙为心作戊庚辛癸寅亥弧以丙为心作己午子丑寅夘弧三弧线相交成丑癸寅次形与元形相当而角为弧弧为角论曰易甲角为次形丑癸边(于癸丁象限减壬癸成丁壬为甲角之弧于丑壬象)(限亦减壬癸即成癸丑边其数相等)乙外角为次形癸寅边(于癸戊象限减癸辛成辛)(戊为乙外角之弧于寅辛象限亦减癸辛即成癸寅边其数相等)丙角为次形丑寅边(于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧于寅子象限亦减丑子即成丑寅边其数相等)则角尽为边又甲乙边为癸角(于甲丁象限乙戊象限各减乙丁则戊丁等甲乙而癸角角之弧)乙丙边成寅角(于乙辛及子丙两象限各减丙辛则辛子等乙丙而为寅角之弧)甲丙边为丑外角(于甲壬及午丙两象限各减丙壬则午壬等甲丙而为丑外角之弧)则边尽为角右一钝角两锐角形弧角相易为斜弧次形第二用之第三支论曰若所设为甲丙酉形(三角俱钝而有两大边)则以甲外角为次形丑癸边酉外角为癸寅边丙外角为丑寅边又以三边为次形三外角(并与第二支未丙酉形三钝角同理) 若所设为丙未酉形乙未丙形(并一钝二锐而有两大边)皆依上法可径易为丑癸寅次形观图自明甲乙丙形(三边并大三角并钝)易为次形法以本形三外角之度为次形三边(午己为乙外角之度而与癸壬等丑)(辛为甲外角之度而与癸寅等申亥为丙外角之度而与寅壬等)以本形三边减半周之余为次形三角(甲乙减半周其余戊乙或子甲而并与辰丁等即癸角之度甲丙减半周)(其余戊丙而与丑庚等即寅角之度乙丙减半周其余子丙而与午亥等即壬角之度)并同前术论曰此即厯学㑹通所谓别算一三角其边为此角一百八十度之余者也然惟三钝角或两钝角则然其余则兼用本角之度不皆外角右三角俱钝形弧角相易同第二支(惟三边俱大)子戊丙形(一大边二小边一钝角二锐角)其法亦以次形(癸壬癸寅)二边为本形(子戊)二角之度寅壬边为丙外角之度次形(寅壬)二角为本形二小边之度癸角为大边减半周之度论曰此所用次形与前同而用外角度者惟丙角其子角戊角只用本度为次形之边非一百八十度之减余也 若设戊丙乙形子丙甲形并同(戊丙乙形惟次形癸寅边为戊外角)(其余癸壬边之度为乙角寅壬边之度为丙角则皆本度子丙甲形惟次形癸壬边为子外角其余寅壬边之)(度为丙角癸寅边之度为甲角则皆本度)右一钝角二锐角与第三支同(惟为边一大一小)第五斜弧正弧以弧角互易(内分二支)一甲乙丙形(甲乙边适足九十度余二边一大一小角一钝二锐)易为丑癸寅正弧形(癸正角余锐三边并小)法曰引乙丙小边成半周(于乙引至夘补成丙乙夘象限又于丙引至午成丙辛午)(象限即成半周)作夘亥庚丑寅午以丙为心之半周(截丙甲大边于庚使)(丙庚与丙乙夘等乃作庚夘弧为丙角之度即庚与夘皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙为心)作甲丑癸辛戊以乙为心之半周(引甲乙象限至戊成半周于甲于戊各作)(正角聨之即又成半周而截乙辛成象限与乙戊等即辛戊为乙外角度而此半周以乙为心)作乙壬癸寅弧以甲为心(甲戊半周折半于癸成两象限从癸作十字正角弧一端至寅一端至乙)(成癸乙象限其所截甲壬亦象限即乙壬为甲角之弧而甲为其心)三弧线相交成一丑癸寅次形与本形弧角相易而有正角论曰次形丑寅边即本形丙角之度(丑夘及寅庚皆象限各减丑庚则丑)(寅即庚夘而为丙角之弧)癸寅边即甲角之度(寅壬及癸乙皆象限各减癸壬则癸寅即)(壬乙而为甲角之弧)癸丑边即乙外角之度(丑辛及癸戊皆象限各减癸辛则丑癸即)(辛戊而为乙外角之弧)是角尽易边也又寅角为甲丙边所成(庚丙)(及壬戊皆象限各减丙壬则寅角之弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等)丑角为乙丙边所成(午丙及辛乙皆象限各减辛丙则丑角之弧午辛与乙丙边等)癸正角为甲乙边所成(癸正角内外并九十度而甲乙象限为癸外角弧若减半周则乙戊象限为癸交角弧)是边尽为角而有正角也又辰戊丙形(辰戊边象限余并同前)易为正弧形(并同前法观图自明)乙丙戊形(乙戊边足一象限余并小)易为正角形则丑寅度即丙外角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角为边也又寅角生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是边为角辰甲丙形(辰甲象弧余二边大三角并钝)易为正角形则丑寅边为丙外角丑癸边为辰外角寅癸边为甲外角角为边也又寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲(并准)(前条诸论推变)是边为角而且有正角也右本形有象限弧即次形有正角而斜弧变正弧为弧角互易之第一支丙乙甲形(丙正角余两锐角相等边三小相等者二)易为己癸壬次形(角一钝二)(锐锐相等)法以甲为心作寅己丑半周则甲角之度(子寅弧)成次形一边(己壬)以乙为心作夘己午半周则乙角之度(夘辰弧)成次形又一边(己癸)此所成二边相等以丙为心作亥癸壬未半周则丙角之度(癸壬象限)即为次形第三边 依法平分次形以己壬酉形求壬角得原设甲丙边(壬角之度癸子与甲)(丙等)乙丙边(壬癸两锐角原同度而癸角之度辰壬与乙丙等故一得兼得也)求半己角倍之成己角以减半周得原设乙甲边(己外角之度午寅或丑夘并与)(乙甲等)论曰本形有正角次形无正角而有象限弧得次形之象限弧得本形之正角矣若设丙戊丁形(丙正角两钝角同度二大边同度一边小)易为己癸壬次形与上同法惟丁戊用外角若设甲丙戊形(丙正角余一锐一钝而锐角钝角合成半周边二大一小而小边与一大边合)(成一半周)易为己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本角而同度所得次形之边亦同度(甲外角之度子寅成次形巳壬边戊本角)(乏度辰夘成次形己癸边而四者皆同度)其转求本形也用次形之壬角得甲丙以减半周即得丙戊(或乙丙丁形亦同)右本形有正角而次形无正角为弧角互易之第二支或三角形无相同之边角而有正角(其次形必有象限边)或无正角而有相同之边角(其次形亦有等边等角)准此论之次形法补遗(角一锐一钝边二大一小)附算例 三角求边 三边求角甲乙丙形(甲角一百二十度乙角一百一十度丙角八十五度为一锐二钝)三角求边如法易为丑寅癸次形(癸寅边六十度当甲角丑癸边七十度当乙角寅丑边当丙角)(并以角度减半周得之)求甲乙边(即次形癸外角)法以(甲乙)两角正弦相乗半径除之得数(八一三八○)为一率半径(一○○○○○)为二率(甲乙)两角相较(十度)之矢与丙角减半周(九十五度)大矢相较得数(一○七一九七)为三率求得四率(一三一七二四)为次形癸角大矢内减半径成余弦(三一七二四)捡表得癸外角(七十一度三十分)为甲乙边(本宜求癸角以)(减半周得甲乙今用省法亦同)论曰三角求边而用次形实即三边求角也故其求甲乙边实求次形癸角得癸角得甲乙边矣然则两角正弦仍用本度者何也凡减半周之余度与其本度同一正弦也(甲角一百二十度之正弦八六六○三即次形癸寅边六十度之正弦乙角一百一十度之正)(弦九三九六九即次形丑癸边七十度正弦)独丙角用余度大矢何也正弦可同用而矢不可以同用也(丙以外角易为次形丑寅边九十五度其大矢一○)(八七一六而丙角本八十五度是锐角当用正矢故不可以通用)然则两角较矢又何以仍用本度曰两余度之较与本度同故也(甲角乙角之较十度)(所易次形之癸寅边丑癸边其较亦十度)所得四率为大矢而甲乙边小何也曰余度故也(甲乙边易为癸外角而四率所得者癸内角也故为甲乙减半周之余度)用余度宜减半周命度矣今何以不减曰省算也虽不减犹之减矣(四率系大矢必先得癸外角七十一度半以减半周得癸内角一百○八度半再以癸内)(角减半周仍得七十一度半为甲乙边今径以先得癸外角之度为甲乙边其理无二)求甲丙边 如上法以边左右两角正弦(甲八六六○三丙九九六)(一九)相乘半径除之得数(八六二七三)为一率半径(一○○○○○)为二率(甲丙)两角相较(三十五度)矢(一八○八五)与乙外角(七十度)矢(六五)(七九八)相较得数(四七七一三)为三率求得甲丙边半周余度之矢(五五三○四)为四率(捡表得六十三度二十七分)以减半周得甲丙边(一百一十六度三十三分)论曰此亦用次形三边求寅角也(以甲角所易癸寅边丙角所易寅丑边为)(角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周余度)求乙丙边 如法以边左右两角正弦(丙九九六一九乙九三九六九)相乘半径除之得数(九三六一二)为一率半径(一○○○○○)为二率(丙乙)两角较(二十五度)矢(○九三六九)与甲外角(六十度)矢相较(四○)(六三一)为三率求得余度矢(四三四○三)为四率(捡表得五十分五度三十二)以减半周得乙丙边(一百廿四度廿八分)论曰此用次形三边求丑角也(丙角易寅丑边乙角易丑癸边为角旁二边甲角易癸寅为对)(边求得丑角度午壬与未丙等即乙丙边减半周余度)又论曰此所用次形之三边三角皆本形减半周之余度(甲乙同己辰即癸外角度则次形癸角为甲乙边之半周余度也寅角之度子)(辛与酉丙等甲丙边之余度也丑角之度午壬与未丙等乙丙边之余度也是次形三角皆本形三边减半周)(之余度矣其次形三边为本形三角减半周之余己详前注)故所得四率为角之大小矢者皆必减半周然后可以命度若他形则不尽然必须详审如甲未丙形(甲角六十度丙角九十五未角一百一十)易丑寅癸次形则其角易为边用本度者二(甲角弧丁辛六十度易次形癸寅边丙角弧申午九十五度易)(次形寅丑边)用余度者一(未角弧壬戊一百一十度其半周余度己壬七十度易次形丑癸边)而其边易为角用本度者二(未丙边五十五度三十二分与午壬等成次形丑角)(甲未边余度未酉七十一度三十分与丁戊等成癸外角则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度)用余者者一(甲丙边一百十六度三十三分其余度酉丙六十三度二十七分与辛子等成次形)(寅角)若一槩用余度算次岂不大谬又如乙丙酉形(乙角七○丙角九五酉角一二○)用(癸寅丑)次形(前图)求丙酉边如法以边左右两角正弦(丙九九六一九酉八六六○三)相乗去末五位得数(八六二七三)为一率半径(一○○○○○)为二率以(酉外角丙角)相差(三十五度)矢(一八○八五)与乙角矢(六五七九八)相较(四七七一三)为三率求得正矢(五五三○四)为四率(次形寅角之矢)捡表得六十三度二十七分为丙酉边论曰此所用四率与前条求甲丙边之数同而边之大小迥异一为余度一为本度也(前条为余度之矢故甲丙边大此条为本度之)(矢故丙酉边小)又所用矢较亦以不同而成其同(前条以两角相差此则以)(酉外角与丙角相差不同也而相差三十五度则同前条用乙外角之矢此条用乙本角又不同也而矢数六五)(七九八则同)其理皆出次形也求酉乙边 如法以两角正弦(乙九三九六九酉八六六○三)相乗去末五位(得八一三八○)为一率半径为二率(酉外角乙角)相差(十度)之矢与丙角(九十五度)之矢相较(得一○六一九七)为三率求得大矢(次形癸角之矢)为四率(一三一七二四)捡表(得一百○八度三十分)为酉乙边(此与)(前条求甲乙边参㸔即见次形用法不同之理如前所论)求乙丙边 与前条同法(因丙乙两内角之正弦及差度并与两外角同而酉角又)(同甲角故也)论曰三角求边必用次形而次形之用数得数并有用求度余度之异即此数条可知其槩又论曰在本形为三角求边者在次形为三边求角故此数条即三边求角之例也(余详环中黍尺)垂弧捷法(作垂弧而不用其数故称捷法) 亦为次形双法(用两次形故称双法)设亥甲丁形有甲亥边亥丁边亥角(在二边之中)求甲丁边(对角之边)本法作垂弧分两形先求甲已边次求亥已边分丁巳边再用甲巳丁巳二边求甲丁边今捷法不求甲已边但求亥已边分丁已边即用两分形之两次形以径得甲丁一 亥已余弦 即次形亥戊正弦二 亥甲余弦 即次形亥丙正弦三 已丁余弦 即次形辛丁正弦四 甲丁余弦 即次形庚丁正弦法引甲亥边至丙引甲丁边至庚引甲已垂弧至乙皆满象限又引分形边亥已至戊引丁已至辛亦满象限末作辛庚乙丙戊半周与亥已遇于戊与丁已遇于辛成亥丙戊次形与甲已亥分形相当丁亥辛次形与甲已丁分形相当而此两次形又自相当(戊角辛角同以己乙为其度则)(两角等丙与庚又同为正角则其正弦之比例皆等)论曰半径与戊角之正弦若戊亥之正弦与亥丙之正弦又半径与辛角(即戊角)之正弦若辛丁之正弦与丁庚之正弦合之则戊亥正弦与亥丙正弦亦若辛丁正弦与丁庚正弦又论曰辛丁已亥戊如黄道半周辛庚乙丙戊如赤道半周甲如北极辛如春分戊如秋分已乙如黄赤大距即夏至之纬乃二分同用之角度(即戊角辛角之度)亥丙及丁庚皆赤纬甲亥及甲丁皆距北极之度(即赤纬之度)一 戊亥正弦 黄经 戊亥为未到秋分之度辛二 亥丙正弦 赤纬 丁为已过春分之度似有三 辛丁正弦 黄经 不同而二分之角度既同四 丁庚正弦 赤纬 故其比例等一 亥已余弦 即亥戊正弦二 亥甲余弦 即亥丙正弦三 已丁余弦 即戊丁正弦四 甲丁余弦 即庚丁正弦论曰此理在前论中盖以同用戊角故比例同也又论曰乙庚丙戊如赤道已丁亥戊如黄道皆象弧戊角如秋分其弧己乙如夏至距纬(此两黄经并在夏至后秋分前其理易见)或先有者是丁钝角甲丁丁亥二边则先求丁巳线(亦用前图)一 丁已余弦 即戊丁正弦二 甲丁余弦 即丁庚正弦三 亥已余弦 即亥戊正弦四 亥甲余弦 即亥丙正弦又论曰假如星在甲求其黄赤经纬则亥丁如两极之距亥角若为黄经则丁角为赤经而亥甲黄纬丁甲赤纬也若丁角为黄经则亥角为赤经而丁甲黄纬亥甲赤纬也(弧三角之理随处可施故举此以发其例)弧三角举要卷五八线相当法引弧三角有以相当立法者何也以四率皆八线也弧三角四率何以皆八线而不用他线(八线但论度他线则有丈尺)浑体故也(弧三角皆在浑员之面)浑体异平而御浑者必以平是故八线之数生于平员而八线之用专于浑员也曷言乎专为浑员曰平三角之角之边皆直线也同在一平面而可以相为比例故虽用八线而四率中必兼他线焉(以八)(线例他线则用角可以求边以他线例八线则用边可以求角皆兼用两种线)弧三角之角之边皆弧度曲线也不同在平面故非八线不能为比例而四率中无他线焉既皆以八线相比例则同宗半径(有角之八线有边之八线各角各边俱非平面而可以相求者同一半径也)相当互视之法所由以立也错举似纷实则有条不紊故为论列使有伦次云八线相当法详衍总曰相当分之则有二曰相当曰互视互视又分为二曰本弧曰两弧但曰相当者皆本弧也又分为二曰三率连比例者以全数为中率也其目有三曰四率断比例者中有全数也其目有六凡相当之目九互视者亦相当也皆为断比例而不用全数若以四率之一与四相乗二与三相乗则皆与全数之自乗等也本弧之互视其目有三两弧之互视其目有九凡互视之目十二总名之皆曰相当其目共二十一内三率连比例三更之则六四率断比例十有八更之反之错而综之则百四十有四共百有五十相当共九一曰正弦与全数若全数与余割二曰余弦与全数若全数与正割三曰正切与全数若全数与余切以上三法皆本弧皆三率连比例而以全数为中率四曰正弦与余弦若全数与余切五曰余弦与正弦若全数与正切六曰正割与正切若全数与正弦七曰余割与余切若全数与余弦八曰正割与余割若全数与余切九曰余割与正割若全数与正切以上六法亦皆本法而皆四率断比例四率之内有一率为全数互视共十二一曰正弦与正切若余切与余割二曰余弦与余切若正切与正割三曰正弦与余弦若正割与余割以上三法亦皆本弧皆四率断比例而不用全数然以四率之一与四二与三相乗则其两矩内形皆各与全数自乗之方形等四曰此弧之正弦与他弧正弦若他弧之余割与此弧余割五曰此弧之正弦与他弧余弦若他弧之正割与此弧余割六曰此弧之正弦与他弧正切若他弧之余切与此弧余割七曰此弧之余弦与他弧余弦若他弧之正割与此弧正割八曰此弧之余弦与他弧正弦若他弧之余割与此弧正割九曰此弧之余弦与他弧余切若他弧之正切与此弧正割十曰此弧之正切与他弧正切若他弧之余切与此弧余切十一曰此弧之正切与他弧正弦若他弧之余割与此弧余切十二曰此弧之正切与他弧余弦若他弧之正割与此弧余切以上九法皆两弧相当率也其为四率断比例而不用全数则同若以四率之一与四二与三相乗其矩内形亦各与全数自乗之方形等相当法错综之理此三率连比例也首率与中率之比例若中率与末率故以首率末率相乗即与中率自乗之积等假如三十度之正弦(○五○○○○)与全数(一○○○○○)之比例若全数(一○○○○○)与三十度之余割(二○○○○○)其比例皆为加例也更之则余割(二○○○○○)与全数(一○○○○○)若全数(一○○○)(○○)与正弦(○五○○○○)其比例为折半也又如三十度之余弦(○八六六○三)与全数(一○○○○○)若全数(一○)(○○○○)与三十度之正割(一一五四七○)更之则正割(一一五四七○)与全数(一○○○○○)若全数(一○○○○○)与余弦(○八六六○三)也又如三十度之正切(○五七七三五)与全数(一○○○○○)若全数(一○)(○○○○)与三十度之余切(一七三二○五)更之则余切(一七三二○五)与全数(一○○○○○)若全数(一○○○○○)与正切(○五七七三五)也用法凡三率连比例有当用首率与中率者改为中率与末率假如有四率其一三十度正弦其二全数改用全数为一率三十度余割为二率其比例同凡四率之前后两率矩内形与中两率矩形等故一与四二与三可互居也右四率断比例也一率与二率之比例若三率与四率假如三十度之正弦(○五○○○○)与其余弦(○八六六○三)若全数(一○○○○○)与其余切(一七三二○五)更之则余切(一七三二○五)与全数(一○○○○○)若余弦(○八六六○三)与正弦(○五○○○○)也(第四法)又如三十度之正割(一一五四七○)与其正切(○五七七三○)若全数(一○○○○○)与其正弦(○五○○○○)更之则全数(一○○○○○)与正割(一一五四七○)若正弦(○五○○○○)与正切(○五七七三五)也(第六法)又如三十度之余割(二○○○○○)与其正割(一一五四七○)若全数(一○○○○○)与其正切(○五七七三五)更之则正切(○五七七三五)与正割(一一五四七○)若全数(一○○○○○)与余割(二○○○○○)也(第九法余倣此)用法凡四率断比例当用前两率者可以后两率代之假如有四率其一正弦其二余弦改用全数为一率余切为二率其比例同互视此本弧中互相视之率也其第一与第四相乗矩第二与第三相乗矩皆与全数自乗方等故其边为互相视之边而相与为比例皆等假如三十度之正弦(○五○○○○)与其余割(二○○○○○)相乗(一○)(○○○○○○○○○)其余弦(○八六六○三)与其正割(一一五四七○)相乗(一○○○)(○○○○○弱)皆与全数自乗之方等故以正弦为一率余弦为二率正割为三率余割为四率则正弦(○五○○○○)与余弦(○八六六○三)若正割(一一五四七○)与余割(二○○○○○)也(第三法)又如三十度之正切(○五七七三五)与其余切(一七三二○五)相乗(一○)(○○○○○○○弱)亦与全数之方等故以正弦为一率余切为二率正切为三率余割为四率则正弦(○五○○○○)与正切(○五七七三五)若余切(一七三二○五)与余割(二○○○○○)也(第一法)或以余弦为一率余切为二率正切为三率正割为四率则余弦(○八六六○三)与余切(一七三二○五)若正切(○五七七三五)与正割(一一五四七○)也(第二法)用法此亦四法断比例故当用前两率者可以后两率代之假如有四率当以正弦与正切为一率二率者改用余切为一率余割为二率以乗除之其比例亦同余倣此本弧诸线相当约法其一为弦与股之比例 反之则如股与弦全 正割 余切 余割 全 余弦 正切 正弦正弦 正切 余弦 全 余割 余切 正割 全其二为弦与句之比例 反之则如句与弦全 余割 正切 正割 全 正弦 余切 余弦余弦 余切 正弦 全 正割 正切 余割 全其三为句与股之比例 反之则如股与句全 余弦 余割 余切 全 正割 正弦 正切正切 正弦 正割 全 余切 余割 余弦 全右括本弧七十八法如图甲丙甲乙甲丁皆半径全数乙丙为正弧乙丁为余弧乙戊为正弦庚丙为正切线庚甲为正割线乙己为余弦辛丁为余切线辛甲为余割线此皆一定比例观图自明外有余切余弦非弦与股之比例则借第二比例更之一 甲乙全数(即甲丁) 辛丁余切四 辛丁余切 甲丁全数全数与余弦若余割与余切更之而余切与余弦若余割与全数也余割与全数既为弦与股则余切与余弦亦如弦与股矣正切正弦非弦与句之比例则借第一比例更之一 甲乙全数(即甲丙) 庚丙正切四 庚丙正切 甲丙全数全数与正弦若正割与正切更之而正切与正弦若正割与全数也正割与全数既为弦与句则正切与正弦亦如弦与句矣余割正割非句与股之比例则仍借第一比例更之一 余割辛甲 余割辛甲二 全数甲丁(即甲丙) 正割庚甲三 正割庚甲 全数甲丙四 正切庚丙 正切庚丙余割与全数若正割与正切更之而余割与正割若全数与正切也全数与正切既为句与股则余割与正割亦如句与股矣(互视自此而分以前为本弧所用共大法三更之则二十有四合相当法则七十有八而总以三率)(连比例三大法为根)(以后为两弧所用共大法九更之七十有二而仍以本弧之三率连比例为根)九法十二法(以上大法三更之二十有四是以本弧之正切余切与他弧互视)此皆两弧中互相视之率也本弧有两率相乗矩与全数之方等他弧亦有两率相乗矩与前数之方等则此四率为互相视之边互相视者此有一率赢于彼之一率若干倍则此之又一率必朒于彼之又一率亦若干倍而其比例皆相等故以此弧之两率为一与四则以他弧之两率为二与三假如有角三十度边四十度此两弧也角之正弦(○五○○)(○○)与其余割(二○○○○○)相乗(一○○○○○○○○○)与全数自乗等边之正弦(○六四二七九)与其余割(一五五五七二)相乗(一○○○○○○○○弱)亦与全数自乗等则此四率为互相视之边互相视者言角之正弦(○五○○○○)与边之正弦(○六四二七九)若边之余割(一五五五七二)与角之余割(二○○○○○)也(第四法)又如有二边大边五十度小边三十度大边之正弦(○七)(六六○四)余割(一三○五四一)相乗与全数自乗等小边之正切(○五)(七七三五)余切(一七三二○五)相乗亦与全数自乗等则此四者互相视互相视者言大边之正弦(○七六六○四)与小边之正切(○五七七三五)若小边之余切(一七三二○五)与大边之余割(一三○五四一)也(第六法)又如有两角甲角三十度乙角五十度此亦两弧也甲角之正切(○五七七三五)余切(一七三二○五)相乗与全数自乗等乙角之正切(一一九一七五)余切(○八三九一○)相乗亦与全数自乘等则此 率为互相视之边互相视者言甲角之正切(○五)(七七三五)与乙角之正切(一一九一七五)若乙角之余切(○八三九一○)与甲角之余切(一七三二○五)也(第十法)用法假如别有四率以五十度正弦为第一三十度正切为第二今改用三十度余切第一五十度余割第二其比例同如图壬丙为本弧乙丙为他弧他弧小于本弧而并在半象限以内本弧(正弦壬癸余割未甲) (余弦壬丑正割庚甲) (正切庚丙余切未丁)他弧(正弦乙戊余割酉申) (余弦乙巳正割辛甲) (正切辛丙余切酉丁)论曰甲丙甲丁皆半径乃本弧他弧所共也半径自乗之方幂为甲丙夘丁而本弧中以正弦乗余割以余弦乗正割以正切乗余切所作矩形既各与半径方幂等则他弧亦然故可以互相视而成相当之率如上图壬丙本弧在半象限内巳丙他弧在半象限外亦同如上图壬丙本弧小于乙丙他弧而并在半象限外并同厯算全书卷八
## 小引
小引
环中黍尺者所以明平仪弧角正形乃天外观天之法而浑天之画影也天圜而动无晷刻停而六合以内经纬厯然亘万古而不变此即常静之体也人惟囿于其中不惟常动者不能得其端倪即常静之体所为经纬厯然者亦无能拟诸形容惟置身天外以平观大圜之立体则周天三百六十经纬之度擘划分明皆能变浑体为平面而写诸片楮按度攷之若以玻璃水晶通明之质琢成浑象而陈之几案也又若有镂空玲珑之浑仪取影于烛而惟肖也故可以算法证仪亦可以量法代算可以独喻可以众晓平仪弧角之用斯其妙矣庚辰中秋鼎偶沾寒疾诸务屏绝展转床褥间斗室虚明心闲无寄秋光入户秋夜弥长平时测算之绪来我胸臆积思所通引伸触类乃知厯书中斜弧三角矢线加减之图特以推明算理故为斜望之形其弧线与平面相离聊足以仿佛意象启人疑悟而不可以实度比量固不如平仪之经纬皆为实度弧角悉归正形可以算即可以量为的确而简易也病间录枕上之所得輙成小帙然思之所引无方而笔之所追未能什一庶存大致竢同志之讲求耳(此第一卷原序也余详目录)康熈三十有九年重九前七日勿庵力疾书时年六十有八
## 卷九
钦定四库全书厯算全书卷九宣城梅文鼎撰环中黍尺卷一之二总论有垂弧及次形而斜弧三角可算乃若三边求角则未有以处也环中黍尺之法则可以三边求角(如有黄赤两纬度可)(求其经)可以径求对角之边(如有黄道经纬可径求赤道之纬)立术超妙而取径遥深非专书备论难谙厥故矣书成于康熈庚辰非一时之笔故与举要各自为首尾凡测算必有图而图弧角者必以正形厥理斯显于是以测浑圆则衡缩欹衺环应无穷殆不翅累黍定尺也本书命名盖取诸此用八线至弧度而竒然理本平实以八线量弧度至用矢而简然义益多通要亦惟平仪正形与之相应一卷之先数后数所为直探其根以发其藏也平仪以视法变浑为平而可算者亦可量即眎度皆实度矣二卷之平仪论所以博其趣而三极通几其用法也(黍尺名书于兹益著)矢度之用已详首卷而余弦之用亦可参观故又有三卷之初数次数也 初数次数本用乗除亦可以加减代之故有加减法以疏厥义(自三卷以后非非一时所撰今以类相附而仍各为)(之卷)四卷之甲乙数即初数次数之变也而彼以乗除此以加减则繁简殊矣五卷之法亦加减也而特为省径故称㨗焉(用初数不用次数用)(矢度不用余弦以视甲乙数又省其半)然不可不知其变故又有补遗之术也恒星厯指之法别成规式而以加减法相提而论固异名而同实是以命之又法也(以上环中黍尺之法约之有六用乘除者二其一先数后数其一初数次数也用加减者四初数次数也)(甲乙数也捷法也又法也本书中具此六术然而加减捷法其尤为善之善者欤)外有不系三边求角之正用并可通之以加减之法者是为加减通法盖术之约者其理必精数之确者为用斯博并附数则于五卷之末以发其例弧三角用平仪正形之理作图之法有二一为借象一为正形以平写浑不得已而为侧睨遥望之形以曲状其变然多借象而非正形兹一准平仪法度寘二极于上下而从旁平视之(如置身大)(员之表以观大员)则浑球上凸面之经纬弧角一一可写于平面而悉为正形于是测望之法步算之源皆不烦笺疏而解平仪用实度之理斜视之图无实度可纪(弧角之形聊足相拟其实度非算不知)兹者平仪既归正形则度皆实度循图可得即量法与算法通为一术(以横径查角度以距纬查弧度并详二卷)平仪用矢线之理八线中有矢他用甚稀乃若三边求角则矢线之用为多而又特为简易信古人以弧矢测浑员其法不易然亦惟平仪正形能著其理(下文详之)矢线之用有二一矢线为角度之限 钝角用大矢 锐角用小矢(小矢)(即正矢也从半径言之为正矢从全径言之为小矢)法曰置角度于平仪之周则平员全径为角线所分而一为小矢一为大矢(平仪横径即浑)(员之腰围故大矢即钝角度小矢即锐角度)如图浑球上甲戊甲丁甲丙三小弧与甲已同度故同用甲已为正矢丁乙戊乙丙乙三过弧与已乙同度故同用已乙为大矢一矢较为弧度之差 大弧用大矢(弧度过象限为大弧故大矢亦大于)(半径)小弧用小矢(弧度不及象限为小弧故正矢小于半径)较弧与对弧并同法曰置较弧对弧于员周(角旁两弧之较为较弧亦曰存弧对角之弧为对弧)(亦曰底弧)则各有矢线而同轴可得其差谓之两矢较也较弧对弧并小则为两正矢之较(两弧俱象限以下故俱用正矢)较弧小对弧大为正矢大矢之较(较弧在象限以下用正矢对弧过象限用)(大矢)较弧对弧并大为两大矢之较(两弧俱过象限故俱用大矢)凡较弧必小于对弧则较弧矢亦小于对弧矢故无以较弧大矢较对弧正矢之事法所以恒用加也(若较弧用大矢)(则对弧必更大)如图丑乙弧之正矢辛乙(庚乙寅乙)(二弧同用)子乙弧之正矢壬乙(癸乙夘乙)(同用)则辛壬为两矢之较即为(癸乙)(寅乙)两弧度之较也(或丑乙与子乙或庚乙与)(癸乙或寅乙与卯乙并同) 又如戊乙弧之大矢已乙与丑乙弧之正矢辛乙相较得较已辛或子乙弧之正矢壬乙与丙乙弧之大矢已乙相较得较巳壬皆大矢与正矢较也 又如甲丑弧之大矢辛甲与甲夘弧之大矢壬甲相较得较辛壬则两大矢较也约法凡求对角之弧并以角之矢为比例(钝角用大矢锐角用正矢)求得两矢较(半径方一率正弦矩一率角之矢三率两矢较四率)以加较弧之矢(较弧大用)(大矢较弧小用正矢)得对弧矢加满半径以上为大矢其对弧小(遇象限)加不满半径为小矢其对弧小(不过象限)此不论角之锐钝边之同异通为一法凡三边求角并以两矢较为比例求角之矢(半径方一率余割矩)(二率两矢较三率角之矢四率)得数大于半径为大矢其角则钝得数小于半径为正矢其角则锐亦不论边之同异通为一法问用矢用余弦异乎曰矢余弦相待而成者也可以矢算者亦可用余弦立算但加减尚须详审若矢线则一例用加尤为简妙先数后数法(此以平仪弧角正形解浑球上斜弧三角用矢度矢较为比例之根也)(先得数者正弦上距等圈矢也与角之矢相比后得数者而矢较也与较弧矢相加)设丙乙丁斜三角形 有乙锐角 有丙乙弧小于象限丁乙弧大于象限(是为角旁)(之两弧不同类) 求丁丙为对角之弧 用较弧(角旁两弧相减)及对弧两正矢之较为加差法以大小两边各引长之满半周遇于戊作戊甲乙圜径 又于圜径折半处(巳)命为浑圜心 又自己心作横半径(如巳寅辛)则寅辛即乙角之弧亦即为乙角之矢(平视之为矢度实即角度之弧跻缩而成)而寅已即乙角之余弧亦即为乙角余弦(因视法能令余弧跻缩成余弦) 又自丁作横半径(巳辛)之平行线(如壬丁甲)此平行线即乙丁大边之正弦(因平视故乙丁小于乙壬其实)(乙丁弧之度与乙壬同大今壬甲既为戊壬及乙壬之正弦亦即为乙丁之正弦矣)而此正弦(壬甲)又即为距等圈之半径也(想戊巳乙为半浑圜之中剖国面侧立形乃自壬丁甲横)(切之则壬甲为其横切之半径)则其丁壬分线亦为距等圈上丁壬弧之矢线矣(有距等圈半径即有其弧)而此大小两矢线各与其半径之比例皆等(己辛大圜之半径大故寅辛矢亦大甲壬距等圈之半径小故壬丁矢亦小然其度)(皆乙角故比例一也距等虽用戊角而戊角即乙角有两弧线限之故也)法为已辛与甲壬若寅辛与壬丁一率 半径已辛二率 (大弧正弦)壬甲(卯距等圈之半径)三率 (乙角矢)寅辛四率 (先得数)壬丁(即距等圏之正矢)次从丙向已心作丙巳半径此线为加减之主线(以较弧对)(弧俱用为半径而生矢度) 又从壬作壬夘为壬丙较弧之正弦(壬乙)(既同丁乙则丁乙弧之大于丙乙其较为壬丙) 又从丁作癸丁午线为丁丙对弧之正弦(因平视故丁丙弧小于癸丙其实丁丙弧与癸丙同大癸午既为癸丙正弦亦即丁)(丙之正弦矣)因两正弦平行又同抵巳丙半径为十字正方角故比例生焉此立算之根本 又从丁作丁子线与午夘平行而等(以有对弧较弧两正弦为之限也)成壬丁子句股形又从丙作丙辰线为乙丙小边之正弦成已丙辰句股形 此大小两句股形相似(巳丙辰与卯已奎小形相似则亦与壬丁子形相似)(等角等势故也)法为丙已与辰丙若壬丁与丁子一率 半径丙已 弦二率 (小弧正弦)辰丙 股三率 (先得数)壬丁 小弦四率 (两矢较)丁子 小股省算法用合理(因上两宗内各冇先得数而一为三率一为四率故对去不用)乃以后得数为矢较加较弧矢(以午夘加夘丙也)成对弧矢(午丙)末以对弧矢(午丙)减半径(巳丙)成对弧余弦(午已)检表得对弧(丁丙)之度又法 以后得数减较弧余弦(以午夘减夘已)成对弧余弦(午己)检表得对弧(丁丙)度亦同(两正矢之较即两余弦较也故加之得矢者减之即)(得余弦)若先有三边而求乙钝角则反用其率(因前四率反之以首率为次率)(三率为四率)以乙角矢(寅辛)减半径(辛巳)得余弦(寅巳)检表得乙角之度右锐角以二边求对边及三边求角并以两矢较为加差(以差加较弧矢得对弧大三边求角则为三率)亦为两余弦较(依又)(法以差减较弧余弦为对弧余弦三边求角则两余弧相减为三率) 角旁弧异类对边小设亥乙丁斜弧三角形 有乙钝角 有亥乙小弧丁乙大弧 求亥丁(对角弧) 用较弧正矢与对弧大矢之较为加差戊乙径为取角度之根亢寅角度及房甲与亥虚两正弦皆依之以立大矢即钝角之弧度小矢即锐角之弧度亥斗径为加减之根房氐及危心两正弦依之以立 有两正弦即有两余弦及大小矢而加减之用生焉法以大小两边各引长之满半周遇于戊 又依小边半周(乙亥戊)补其余半周(戊辛乙)成全圆 又从戊至乙作圆径 又作亢辛横径两径相交于已即圆心 则寅辛为乙角之小矢而寅亢为乙角之大矢(寅已亢即乙钝角之弧度)(平视之成大矢) 若自寅点作直线与戊乙平行取距戊乙之度加象限即角度 又从丁作房丁壬横线与亢辛横径平行此线即丁乙大邉正弦之倍数(房丁壬与亢辛平行则房乙即)(丁乙也因平视故丁乙小于房乙耳而房甲既为房乙之正弦亦即丁乙正弦也房甲既为正弦房壬则倍正)(弦矣倍正弦即通弦)而此(房壬)倍正弦又即为距等圏之全径(想全体浑)(圆从壬丁房横切之成距等圈而房壬其全径)则房丁分线亦即为距等圏上丁甲房弧之大矢(有距等圈全径即有其全圏而房甲丁其切弧)而此两大矢线各与其全径之比例皆等(亢辛全径大故寅亢大矢亦大房壬距等圏之全径)(小故房丁大矢亦小然其度皆乙角之度在乙丁戊及乙房戊两弧线之中故各与其全圆之比例等而其大)(矢亦各与其全径之比例等)即各与其半径之比例亦等(若以甲为心壬为界)(作半圆于房壬线上则距等之弧度见矣)法为亢辛(全径)与房壬(距等全径即倍正弦)若寅亢(钝角大矢)与房丁(先得数亦距等大矢)而亢已(半径)与房甲(乙丁正弦亦距)(等半径)亦若寅亢与房丁一率 亢巳(半径)二率 房甲(大邉之正弦亦距等半径)三率 寅亢(钝角大矢)四率 房丁(先得数亦距等大矢)次从亥过巳心作亥已斗全径为加减主线(较弧对弧之弦俱过)(此全径而生大小矢) 又从房作房氐线为房亥较弧之正弦(准前)(论房乙同丁乙则丁乙之大于亥乙其较房亥) 又从丁作心丁娄线与房氐正弦平行而交亥斗径于危如十字则此线为亥丁对弧之倍正弦(因视法心亥弧大于亥丁其实即亥丁也亥丁为平视跻缩之形心亥为正形而心)(危者心亥弧之正弦也是即亥丁弧之正弦而心丁娄其倍弦矣) 又从丁作丁女线与斗亥径平行亦引房氐较弧之正弦为通弦而与丁女线遇于女成丁女房句股形 又从亥作亥虚线与亢辛横径及大边之正弦房甲俱平行成亥虚已句股形 此大小两句股形相似(亥巳即径线与丁女平行亥虚与房甲丁平行则大)(形之丁角与小形之亥角等而女与虚并正角则为等角而相似)法为已亥(半径)与亥虚(小边正弦)若房丁(先得数而距等大矢)与丁女(后得数亦即氐危为较弧正矢氐亥及对弧大)(矢危亥之较)一率 半径已亥 弦二率 (小边正弦)亥虚 句三率 (先得数)房丁 大弦四率 (后得数)丁女 大句乃以省算法平之乃以后得数加较弧正矢(以氐危加氐亥成危亥)为对弧大矢内减半径得对弧余弦检表得度以减半周为对弧之度又法于后得数内减去较弧余弦成对弧余弦(于氐危内)(减氐巳其余危巳即对弧余弦)乃以余弦检表得度以减半周为对弧之度 大矢与小矢之较即两余弦并也内减去一余弦即得一余弦矣观图自明 前用锐角是于较弦余弦内减得数为对弧余弦此用钝角是于得数内减较弧余弦为对弧余弦若有三边而求角度者则反用其率一半径上方 一两正弦矩 半径上方二两正弦矩 二半径上方 两余割相乗矩三钝角大矢寅亢 三两余弦并氐危(即较弧正矢与对弧大矢之较)四两余弦并丁女(即氏危)四钝角大矢寅亢乃于所得大矢内减去半径成余弦以余弦检表得度用减半周为钝角之度右钝角求对边及三边求钝角并用两矢之较为加差(以差加较弧正矢得对弧大矢又为三边求角之三率)亦为两余弦并(依又法减较弧余弦得对弧余弦三边求角即并两余弦为三率) 其钝角旁两弧异类对弧大设丁辛乙斜弧三角形有辛丁边(五十度一十分)丁乙对角边(六十度)辛乙边(八十度)三边并小求辛锐角法先为戊亢辛全员 作戊辛员径 又作亢巳横员径(两径十字相交于巳心此线上有角度)次于戊辛径左右任取自辛数至丁如所设角旁小边(五十度一十分)之数截丁辛为小边 又从丁过巳作径线(此线)(上有加减度)为较弧对角弧两正弦所依 仍自辛过丁数至房如所设大边(八十度)之数截房丁为大小两边之较弧 又自丁过房数至心如所设对边(六十度)之数截心丁与乙丁等 仍自丁过辛截娄丁度如心丁乃作娄心直线聨之为心丁对弧之倍正弦 又从房作房甲横线与亢巳横径平行此为乙辛大边之正弦(因视法房辛即)(乙辛详后) 次视娄心倍弦与房甲正弦两线相遇于乙命为斜弧形之角 乃从乙角向辛作乙辛弧(此弧亦八十度与房)(辛同大)是所设角旁之大边(理在平仪视法房辛是真度乙辛是视凸为平跻缩之形)(想平仪原系浑体从房乙甲横切之则自房至甲为距等圈之九十度从此线上度度作弧至辛极并八十度)(不惟乙辛与房辛同大即甲辛亦与房心同大也他倣此) 又从乙向丁作乙丁弧(此弧亦六十度与心丁同大)是所设对角之边(切浑角以心娄距等圈而以丁为极则危)(丁亦六十度与心丁同大矣乙丁同大不言可知) 遂成乙辛丁斜弧三角在球上之形与所设等 又从乙引乙辛弧线至戊成心乙戊半周侧立形此线截亢巳半径于寅则亢寅为辛角矢度而寅己其余弦 次从丁作丁虚横线与房甲正弦平行是为辛丁小边之正弦 又从房作房夘线与心危娄平行则此线为房丁较弧之正弦其心危则乙丁对弧之正弦 又从乙作乙女线与夘危平行而等(线在两正弦平行线之中而赤平行不得不等)是为较弧与对弧两正矢之较(房夘为较弧正弦则夘已为余弦而夘丁其矢又心危为对弧正弦则危巳为余弦而危丁其矢此两正)(矢之较为危卯而乙女与之等则乙女亦两矢之较矣)法曰巳丁虚句股形与房乙女句股形相似(房乙与丁虚平行乙)(女与巳丁平行则所作之大形丁角小形乙角必等而大形之虚小形之女并正角则两形相似)故丁虚(小边正弦)与丁巳(半径)若乙女(即夘危较弧余弦与对弧余弦之较)与乙房(先得)(数)又房甲正弦之分为乙房犹亢巳之分为寅亢其全与分之比例皆相似(从房甲线切浑员成距等圏而房甲为其半径犹浑员之有亢巳为半径)(也两半径同为戊寅辛弧线所分则乙房为距等圏半径之矢度犹寅亢为大员半径之矢度也其比例俱相)(似)故房甲(大邉正弦即距等圏半径)与亢巳(大员之半径)若乙房(先得数即距等)(圏之矢)与寅亢(后得数即角之矢线)以省算法平之即异乘同乘异除同除较弧(二十九度五十分)余弦(八六七四八)正矢(一三二五二)其较三六七四八对弧(六十度) (五○○○○) (五○○○○)一半径方一○○○○○○○○○○(首率除宜去十尾乃先于二率)二余割矩一三二二三二三四○八九(去五位故得数只去五位即如)三两矢较 三六七四八(共去十位也)四锐角矢 四八五九二(用减半径得辛角余弦五一四○八)检表得五十九度四分为辛角之度(此与厯书所算五十八度五十三分)(只差十一分)又法径求余弦 法曰房甲之分为乙房而其余乙甲犹亢已之分为亢寅而其余寅已也故其全与分余之比例亦相似法为房甲(正弦)与亢己(半径)若乙甲(正弦)(分线之余)与寅已(半径截矢之余即角之余弦)准前论小边之正弦虚丁(句)与半径丁巳(弦)若较弧对弧两矢之较乙女(小句)与大边正弦之分线乙房(小弦)也先求乙房为先得数以转减大边正弦房甲得分余线乙甲一 小边(五十度一○)正弦 丁虚 七六七九一二 半径 丁巳一○○○○○三 (较弧二十九度五○对弧六 十度○○)两正矢较乙女 三六七四八四 先得数(大邉正弦之分线) 乙房 四七八五四以先得数减大邉八十度正弦房甲 九八四八一得大边正弦内乙房分线之余乙甲 五○六二七未以分余线为三率一 大边正弦 房甲 九八四四一二 半径 亢已一○○○○○三 分余线 乙甲 五○六二七四 角之余弦 寅已 五一四○七(检表得五十九度○四分与先算合)附厯书斜弧三角图(稍为校正)丙乙丁弧三角形乙丙角旁小弧 壬乙同丁乙角旁大弧 壬丙为较弧癸丙同丁丙为对角之弧甲壬为大弧正弦 辰丙为小弧正弦 壬夘为较弧正弦 癸午为对弧正弦 寅辛为乙角之弧 庚辛为乙角之矢 夘丙为较弧之矢 午丙为对弧之矢午夘为两矢较 酉壬为先得数 酉子同午夘亦两矢之较法为全数(己辛)与大弧正弦(甲壬)若角之矢(庚辛)与先得数(酉壬)又全数(巳丙)与小弧正弦(辰丙)若先得数(酉壬)与两矢较(酉子)也一率全之方 二率两正弦矩 三率角之矢 四率得两矢较以两矢较加较弧之矢为对弧之矢论曰此因欲显酉壬为甲壬距等半圈之矢度故特为斜望之形其实丁点原在酉寅点原在庚丁壬弧即酉壬线寅辛弧即庚辛线乙寅丁戊弧原即为乙庚酉戊弧也故以平仪图之则皆归正位矣所以者何平仪上惟经度有弧线之形其距等圈纬度皆成直线而寅庚为角度之正弦直立下垂从其顶视之成一点矣丁酉者大弧正弦甲壬上所作距等圈之正弦也从顶视之而成一点与寅庚一也其寅已半径势成斜倚从上眎之与已庚余弦同为一线甲丁与甲酉亦然此皆平面正形可以算亦可以量非同斜望比也愚故谓惟平仪为正形也若乙角为钝角成亥乙丁三角形则当用房亥较弧之正矢(牛亥)与同丁亥对弧之心亥弧大矢危亥相减成两矢之较(牛危即女酉)以较加较弧正矢为对弧大矢(法详前例但前)(例钝角旁小弧不同乙丙故此图以相同者论之更见其理之不易)乙为钝角用大矢之图(此用平仪正形故丁与酉同为一点)设角之一边适足九十度一边大 用锐角(余角一钝一锐)法为半径与大边之正弦若角之矢与两矢较也亦若角之余弦与对弧之余弦乙丁丙斜三角形 丙丁边适足九十度乙丁边大于九十度丁锐角求对边丙乙 法先作平员分十字从丁数丁壬及丁丑并如乙丁度作距等线聫之(壬丑)又于壬丑线上取乙点(法以壬巳为度巳为心作半员)(分匀度而自壬取角度得乙㸃)作庚乙癸直线为对弧之正弦 又取壬丙为较弧作壬夘正弦较弧之矢夘丙对弧之矢癸丙其较夘癸与壬乙等壬已正弦又即距等圈半径而为丁乙戊弧所分则壬乙如矢乙已如余弦与角之丙子矢子甲余弦同比例一 半径丙甲 一 半径丙甲二 (大邉正弦)壬已 二 (大邉正弦)壬已三 (角之矢)子丙 三 (角之余弦)子甲四 (两矢较)壬乙(即夘癸) 四 (对弧余弦)乙已(即癸甲)若丁为钝角 用大矢法为半径与大边之正弦若角之大矢与两矢较也亦若钝角之余弦与对弧之余弦借前图作乙辛为对角之弧成乙丁辛三角形(三角俱钝)作丑午为较弧丑辛正弦(以丑丁同乙丁故)其庚癸为对弧乙辛之正弦(以庚辛即乙辛故)较弧之正矢午辛对弧之大矢癸辛其较癸午与丑乙等 依前论壬乙为距等圈小矢则乙丑为大矢壬丑为距等圏全径与其大矢乙丑之比例若丙辛全径与钝角之大矢子辛则已丑为距等半径与其大矢丑乙亦若甲辛半径与钝角之大矢子辛也而丑已原为乙丁大边之正弦(丑乙原与癸午等)故法为半径(甲辛)与钝角之大矢(子辛)若大边之正弦(已丑)与两矢较(丑乙)(或癸午)也一 半径甲辛 一 半径甲辛二 (大邉正弦)丑巳 二 (大邉正弦)丑已三 (钝角大矢)子辛 三 (钝角余弦)子甲四 (两矢较)癸午 四 (对邉余弦)乙已(用余弦入表得度以减半周得对邉之度)一系 距等圏上弧度所分之矢与余弦与大矢与其半径或全径并与大圏上诸数比例俱等又按前法亦可以算一邉小于象限之三角于前图取乙戊丙斜弧三角形用戊锐角(余角一钝一锐)有丙戊大边足九十度有乙戊边小于九十度 求对戊角之乙丙边法从乙㸃作壬已线为小邉乙戊之正弦(以壬戊即乙戊故)又从乙㸃作庚癸为对弧乙丙之正弦(以庚丙即乙丙故) 于是较弧之矢为夘丙 对弧之矢为癸丙而得两矢之较为癸夘 则又引戊乙小邉之弧过半径于子而合大圏于丁分子丙为戊角之矢子甲为角之余弦法曰丙甲(半径)与壬已(小邉弦)若子丙(戊角之矢)与乙壬(两矢较)也得乙壬即得癸夘捷法不用较弧但作壬已为小弧乙戊之正弦作庚癸为乙丙对弧之正弦其余弦癸中 又引小邉戊乙分半径于子得子甲为戊角之余弦法曰丙甲(半径)与壬已(小邉正弦)若子甲(戊角余弦)与乙巳(对邉余弦)得乙己得癸甲矣又于前图取辛戊乙三角形用戊钝角(余角并锐)有戊辛大邉九十度有戊乙邉小于九十度 求对戊钝角之辛乙邉用㨗法 于乙㸃作壬丑为乙戊小邉之通弦 作庚癸为乙辛对弧之正弦 其余弦甲癸 又引戊乙小邉割丙辛全径于子分子辛为钝角大矢子甲为钝角余弦法为甲辛与丑已若子甲与乙巳得乙巳即得癸甲一 半径甲辛(即丙辛全径之半)二 (小邉王弦)丑已(即壬丑通弦之半)三 (钝角余弦)子甲四 (对邉余弦)癸甲(即乙巳)若先有三邉而求角则反用其率一 半径二 小邉余割三 对邉余弦四 角之余弦一系凡斜弧三角形有一邉足九十度其余一邉不拘小大通为一法皆以半径与正弦若角之矢与两矢较也亦若角之余弦与对邉之余弦若置大小邉于员周其算亦同乙丁丙斜弧三角形 乙丁邉适足九十度 丁丙邉小于九十度 有丁锐角 求对邉丙乙 法于平员邉取丙丁度作丙已为小邉之正弦 又自丙作丙甲过心线又作壬夘线为丙壬较弧之正弦 又作庚乙癸线为对弧乙丙之正弦(庚丙即乙)(丙故) 乙壬为丁角之矢 乙甲为丁角之余弦 癸丙为对弧之矢 癸甲为余弦 夘丙为较弧之矢 夘甲为余弦 对弧较弧两矢之较夘癸(亦即乙辰)法曰甲丙已壬乙辰乙甲癸三句股相似故甲丙(半径)与丙已(小邉正弦)若壬乙(角之矢)与乙辰(两矢较)亦若乙甲(角之)(余弦)与甲癸(对弧余弦)三邉未角法一 半径壬甲(即甲丙) 二 (小邉余割)甲甲三 (对弧余弦)癸甲 四 (角之余弦)乙壬又于前图取乙戊丙三角形 用戊锐角(余角一钝一锐) 有乙戊邉九十度 有戊丙大邉 求对戊角之丙乙邉用㨗法 自丙作丙已为丙戊大邉之正弦 即从丙作丙甲半径 乃于乙点作庚癸为丙乙对弧之正弦其余弦癸甲而戊乙弧原分乙甲为戊角之余弦法曰甲丙巳句股与乙甲癸相似故甲丙(半径)与丙巳若乙甲(角之余弦)与甲癸(对边余弦)若丁为钝角(余角并锐) 用大矢借前图作丑乙为对角之弧成丑丁乙三角(丁为钝角) 作丑甲寅径 又作辛丑较之正弦辛午 (以辛丁同丁乙故) 作丑乙对弧之正弦子酉引过乙至亥成通弦 又作辛未线与酉午平行而等 较弧之正矢午丑对弧之大矢酉丑相较得酉午(亦即未辛) 乙辛与丁钝角大矢 乙甲为钝角余弦法曰甲丑已乙辛未乙甲酉三句股相似故甲丑(半径)与丑已(小邉正弦)若乙辛(角大矢)与未辛(两矢较)亦若乙甲(角之)(余弦)与甲酉(对弧余弦)又于前图取乙戊丑形 用戊钝角(三角俱钝) 有乙戊邉九十度有丑戊大邉 求对钝角之丑乙邉用㨗法 自丑作丑已为丑戊大邉之正弦 又自丑作丑甲寅全径 又自乙作亥酉为对邉丑乙之正弦(以亥丑即乙丑故) 其余弦酉甲而乙甲原为戊钝角之余弦法曰甲丑己句股形与乙甲酉相似故甲丑(半径)与丑已(大邉正弦)若乙甲(钝角余弦)与甲酉(对邉余弦)又设丙乙丁三角形 乙为钝角(余一钝一锐) 乙丙邉小丁乙邉大 对邉丁丙大于象限 较弧壬丙亦大于象限惟对邉较弧俱大于象限故所得为两大矢之较其正弦比例仍用小矢以角为锐角也壬丙较弧之大矢夘丙加后得数午夘为对弧丁丙之大矢(丁丙即癸丙故) 大矢午丙内减半径已丙得午已为余弦以检表得庚癸之度以减半周得癸丙之度即对弧丁丙之度又法以得数午夘加较弧之余弦夘巳得午已为对弧余弦(以两大矢较即两余弦较也余同上)若于前图取丁乙庚三角形则角旁两邉俱大于象限而对邉小于象限较弧亦小于象限乙为钝角(三角俱钝)有庚乙与丁乙两大邉而较弧丑庚小故所得为两小矢之较其正弦比例则用大矢以乙为钝角故也 丑庚为较弧其正弦丑亥余弦亥已 对弧庚丁即庚酉其正弦酉午余弦午已(两矢较亥午即余弦较)又设丙乙丁三角形乙为锐角(余一钝一锐)乙丙邉小 丁乙邉大 对弧丁丙大于象限 较弧壬丙小于象限 所得为对弧大矢与较弧小矢之较其正弦比例仍用小矢以乙锐角故两余弦并即大矢与小矢之较也法以得数午夘加较弧之正矢夘丙成午丙为对弧之大矢午丙内减去半径已丙得午巳余弦乃以余弦检表得度以减半周得对弧丁丙之度若于得数内减较弧余弧夘己亦即得午己余弦余如上又于前图取丁乙庚三角形 乙为钝角(三角俱饶) 角旁两邉俱大于象限惟对邉小故用两正矢较其正弦比例仍用大矢以钝角故 乙丁弧之通弦丑壬为乙丁弧所割成丑丁亦割其戌辛全径于寅成寅戌为钝角大矢而比例等 又丑庚为较弧其正弦丑亥其矢亥庚 对弧庚丁之通弦酉癸其矢午庚两矢之较为亥午以两矢较亥午加丑庚较弧之矢庚亥成午庚为对弧丁庚之矢(以矢减半径庚已得对弧之余弦午巳检表得丁庚度)论曰先得数何以能为句股比例也曰先得数即距等圏径之分线也其势既与全径平行又其线为弧线所分其分之一端必与对弧相㑹(葢对弧亦从此分也)其又一端必与较弧相㑹是此分线恒在较弧对弧两正弦平行线之中斜交两线作角而为弦则两正弦距线必为此线之句矣而两矢之较即从两正弦之距而生故不论大矢小矢其义一也然则正弦上所作句股何以能与先得数之句股相似邪曰两全径相交于员心则成角各正弦又皆为各全径之十字横线则其相交亦必成角而横线所作之角必与其径线辏心之角等角等则比例等矣大邉小邉之正弦皆全径之十字横线也较弧对弧之正弦皆又一全径之十字横线也此两十字之各线相交而成种种句股其角皆等仍于前图取丁戊庚三角形 戊钝角(余并锐) 三边俱小于象限 戊丁弧之通弦丑壬正弦甲壬 又引戊丁弧过全径于寅㑹于乙则寅戌为戊钝角之大矢亦割丑壬通弦于丁则丑丁与通弦若寅戌大矢与全径也 又戊庚弧之正弦庚申为句则已庚半径为其弦其比例若丑未为句而丑丁为弦也 又丑庚为较弧其正弦丑亥其余弦亥已其矢亥庚 对弧庚丁之通弦酉癸正弦癸午余弦午已其矢午庚两矢之较为亥午(对弧小故用两小矢之较戊钝角故以角之大矢为比例并同上条)两法并用钝角其度同所求之庚丁弧又同故其法并同即此可明三角之理仍于前图取丁丙戊三角形 有丁丙及戊丙二大边有丙锐角(余一钝一锐)求丁戊对边 法引丁丙及戊丙二弧㑹于庚作庚丙径作已亢及已戊两半径作癸午为丁丙边正弦而丁丙弧割癸午正弦于丁亦割亢已半径丁心则亢已之分为心亢犹癸午之分癸丁也又作戊井为戊丙弧之正弦成戊已井勾股形又从丁作壬甲为对弧戊丁之正弦其矢甲戊又取癸戊为较弧(以癸丙同丁丙故)作癸氐为较弧正弦其矢氐戊两矢之较为氐甲又从丁作斗丁与氐甲平行而等成丁斗癸小句股形与戊已井形相似则已戊弦与井戊句若癸丁弦与斗丁句也(此因对弧小故所得为小矢之较而用丙锐角)(故只用角之正矢为比例丁又此因用丙角求戊丁邉矣故另为比例若用戊角求 丙弧则与第一条之法同)以甲氐加较弧之矢氐戊成甲戊为对弧之矢如法取其度得丁戊右例以一图而成四种三角形皆可以入算而诸线错综有条不紊可见理之真者如取影于灯宛折惟肖也(又丁丙戊三角形亦可以戊角立算余三角并然角丁乙丙形可用丙角庚戊丁形庚乙丁形俱可用庚)计开一图中三角形凡四一丁乙丙形 一丁戊丙形 一丁乙庚形 一丁戊庚形全径凡二一戊乙径 一庚丙径算例凡八右前四例皆以乙戊径为主线丙庚径为加减线后四例皆以丙庚径为主线乙戊径为加减线一系 凡三角形以一邉就全员则此一邉之两端皆可作线过心为全员之径而一为主线一为加减线皆视其所用之角凡所用角在径线之端则此径为主线余一径为加减线几用锐角则主线在形外用钝角则主线在形内凡角旁两弧线引长之各成半周必复相㑹而作角其角必与原角等凡主线皆连于所用角之锐端或在形内或在形外并同其引长之对角亦必连于主线之又一端也若主线在形内破钝角端者其引长之钝角亦然一系 凡两径线必与两弧相应如角旁弧引长成半周其首尾皆至主线之端是主线即为此弧之径也如对角弧引长成半周首尾皆至加减线之端是加减线即为对弧之径也主线既为引长角旁一弧之径又原为全员之径而角旁又一弧之引长线即全员也故角旁两弧皆以主线为之径 加减线既为对弧之径而较弧在员周其端亦与加减线相连又加减线原为全员径故较弧对弧皆以加减线为径一系 凡全径必有其十字过心之横径而正弦皆与之平行皆以十字交于全径引之即成通弦主线既为角旁两弧之径故角旁两弧之正弦通弦皆以十字交于主线之上而其余弦其矢皆在主线加减线既为对弧较弧之径故对弧较弧之正弦皆以十字交于加减线而其余弦其矢皆在加减线一系 凡角旁之弧引长之必过横径分为角之矢角之余弦若钝角则分大矢角旁引长之弧过横径者亦过正弦通弦故其全与分之比例皆与角之大小矢及余弦之比例等平仪论 论以量代算之理以横线截弧度以直线取角度并与外周相应如艮已弧距极三十度为申未横线所截故其度与外周未已相应坎乙应戌乙亦同又干乙弧距极六十度为丑夘横线所截故其度与外周丑乙相应巽已应午已亦同又如戊已辛角有未戊辰直线为之限知其为六十度角以与外周未午辛之度相应也癸乙子三十度角应子丑度亦然又庚已子钝角有午夘庚直线为之限知其为百五十度角以与外周午未已申寅子弧度相应也壬乙辛百二十度角应戌乙辰夘辛弧亦然论曰平仪有实度有视度有直线有弧线直线在平面皆实度也弧线在平面则惟外周为实度其余皆视度也实度有正形故可以量视度无正形故不可以量然而亦可量者以有外周之实度与之相应也何以言之曰平仪者浑体之昼影也置浑球于案自其顶视之则惟外周三百六十度无改观也其近内之弧度渐以侧立而其线渐缩而短离邉愈逺其侧立之势益髙其跻缩愈甚至于正中且变为直线而与员径齐观矣此跻缩之状随度之髙下而迁其数无纪故曰不可以量也然而以法量之则有不得而遁者以有距等圈之纬度为之限也试横置浑球于案任依一纬度直切之则成侧立之距等圈矣此距等圈与中腰之大圈平行其相距之纬度等故曰距等也其距既等则其圈踓小于大圈而其为三百六十度者不殊也从此距等圈上逐度作经度之弧其距极亦皆等特以侧立之故各度之视度跻缩不同而皆小于邉之真度其实与邉度并同无小大也特外周则眠体而内线立体耳故曰不可量而可量者以有外周之度与之相应也此量弧度之法也弧度者纬度也(量法详后)然则其量角度也奈何曰角度者乃经度也经度之数皆在腰围之夫圈此大圈者在平仪则变为直线不可以量然而亦可以量者亦以外周之度与之相应也试于平仪内任作一弧角如乙已丙平员内作已丙戊角欲知其度则引此弧线过横径于戊而㑹于乙则已戊弧即丙锐角之度戊壬弧即而钝角之度也然已戊壬两弧皆以视法变为平线又何以量其度法于戊㸃作庚辛直线与乙丙直径平行则已庚弧之度即戊巳弧之度亦即丙锐角之度矣其余庚乙壬之度即戊丁壬弧之度亦即丙钝角之度矣故曰不可量而实可量者以有外周之度与之相应也然此法惟角旁弧度适足九十度如戊丙则其数明晣若角旁之弧或不足九十度又何以量之曰凡言弧角者必有三邉如上所疏既以一邉就外周真度其余二邉必与此一邉之两端相遇于外周而成角此相遇之两㸃即余两弧起处法即从此起数借外周以求其度而各循其度作距等横线乃视两距等线交处而得余一角之所在遂补作余两弧而弧三角之形宛在平面再以法量之则所求之角可得其度矣此量角度之法也今设乙丁丙弧三角形丁丙邉五十○度乙丙邉五十五度乙丁邉六十○度而未知其角法先作戊巳庚丙平员又作巳丙及戊庚纵横两径任以丁丙邉之度自直线之左从丙量至丁得五十○度为丁丙邉又自丙左右各数五十五度如辛丙及子丙皆如乙丙之度乃作辛子线联之为五十五度之距等圈 又自丁作夘丁径线自丁左右各数六十○度为癸丁及丑丁皆如乙丁之数亦作丑癸线聨之为六十○度之距等圈 此两距等线相交于乙则乙㸃即为乙丙及乙丁两邉相遇之处而又为一角也 乃自乙角作乙丙及乙丁两弧则乙丙丁三角弧形宛然平面矣再以法量之则丁丙两角亦俱可知 欲知丙角即用辛子距等线以半线午子为度以午为心作子酉辛半员句分一百八十度此辛子径上距等圈之真形也乃自乙㸃作直线与午丙径平行截半员于酉乃从酉数至子得酉子若干度此即乙丙丁锐角之度以减半周得酉辛若于度亦即乙丙辛钝角之度也 欲知丁角亦即用丑癸距等线以半线辰癸为度辰为心作丑亥癸半员分一百八十度此亦丑癸径上距等圈之正形也乃自乙㸃作直线与辰夘径平行截半员于亥即从亥数至癸得亥癸若干度此即乙丁丙钝角之 度以减半周得亥丑若干度又即乙丁丑钝角之度也计开丙角七十八度稍弱(以算考之得七十七度五十五分)丁角六十七度三分度之二(以算考之得六十七度三十九分)右量角度以图代算(欲得零分须再以算法考之即知无误)又设乙丙丁弧三角形有六十○度丙角有乙丙邉一百○○度有丁丙邉一百二十○度求丁乙邉(对角之邉)法先为巳戊丙庚大圈作巳丙及庚戊十字径乃自丙数至辛如所设丁丙边一百二十○度自丙至子亦知之作辛十子线为一百二十○度之距等圈又以距等之半线辛午为度午为心作辛酉子半圈匀分一百八十度乃自辛数至酉如所设丙角六十度而自酉作酉丁直线与已甲径平行至丁遂如法作丁丙邉 又自丙数至乙如所设乙丙邉一百○○度又从乙过甲心至夘作大圈径亦作寅壬横径乃补作丁乙邉(乙丙丁三角弧形宛然在目) 又自丁作丑丁癸距等线与寅壬平行未自乙数至癸得若干度即乙丁之度计开丁乙线五十九度强(以算考之得五十九度○七分)右量弧度以图代算(若用规尺可免逐圈匀分之度有例在后条)又若先有乙丁对角邉丁丙角旁邉有丙角而求乙丙角旁之邉(仍借前圏)法先作己戊丙员及十字径线又以丁丙邉之度取丙辛及丙子作辛子距等线又作子酉辛半员取辛酉角度作酉丁直线遂从丁作丁丙邉皆如前 次以所设丁乙邉五十九度倍之作一百十八度少于夲员周取其通弦(即距等线癸丑之度)乃以通弦线就丁㸃迁就游移使合于外周而不离丁㸃成丑丁癸线即有所乘丑乙癸弧乃以弧度折半于乙则乙丙外周之度即所求乙丙邉于是补作乙丁线成三角之象又法以丁乙倍度之通弦(丑癸)半之于辰乃从辰作夘甲辰过心径线即割大员周于乙而乙癸及乙丑之弧度以平分而等皆如乙丁度亦遂得乙丙度余如上又若先有乙丙两角及乙丙邉在两角之中(亦仍借前图)法先作己戊丙员及十字径线皆如前乃自丙数至乙截乙丙为所设之邉 次作丙角法于戊庚横径如前法求庚亥如所设丙角之度遂从亥㸃作弧(如丙亥己)则丙角成矣 次作乙角法于乙㸃作乙甲夘径亦作壬寅横径乃自寅至未如前法求寅未如所设乙角之度遂从未㸃作弧(如夘未乙)则乙钝角亦成矣 两弧线交于丁角乃补作丑癸及辛子两距等线则弧度皆得(案此两弧线必)(以鸡子形作之方凖若丁㸃离两横径不逺则所差亦不多也)再论平仪凡平仪上弧线皆经度而直线皆纬度惟外周经度亦可当纬度又最中长径纬度亦为经度平仪上弧线皆在浑靣而直线皆在平靣试以浑球从两极中半濶处直切之(如用极至交圏为度以剖浑仪)则成平靣矣以此平面覆置于案而从中腰横切之(如赤道半)(圏)则成横径于平面矣(如赤道之径)又以此横径为主离其上下作平行线而横切之则皆成距等圏之径线于平面矣大横径各距极九十度逐度皆可作距等圏即皆有距等径线在平面故曰皆纬度也此线既为距等圏之径则其径上所乗之距等圏距极皆等即任指一㸃作弧度其去极度皆等故以为纬度之限也若又别指一处为极(如赤道极外又有黄道极又如天顶亦为极)则其对度亦一极也亦可如前横切作横径(如黄道之径)于平面其横径上下亦皆有九十度之距等圏与其径线矣(如黄道亦有纬)(度)故直线有相交之用也凖此观之浑球之外圏随处可指为极即有对度之极两极相对则皆有直线为之轴轴上作横径横径上下即皆有九十度之距等径线而相交相错其象千变而句股之形成比例之用生加减之法出矣(如黄赤两极外又有天顶)(地心之极而天顶地心随北极之髙下而变)又此所用外周特浑球上经圏之一耳若凖上法于球上各经圏皆平切之皆为大圏则亦可随处为极以生诸距等纬线而相交相错之用乃不可以亿计矣(如天顶地心既随极出地度而异其南北亦可因各地经度而异其东西)由是推之浑球上无一处不可为极故所求之㸃即极也何以言之凡于球上任指一㸃即能于此㸃之上作十字直线以㑹于所对之㸃而十字所分之角皆九十度即逐度可作线以㑹于对㸃而他线之极此㸃上线皆能与之㑹故曰所求之㸃即极也又论平仪凡平仪上弧线皆经度也而弧有长短者则纬度也是故弧线为经度而即能载纬度盖载纬度者必以经度也若无经度则亦无纬度矣平仪上直线皆纬度也而线有大小者则经度也是故直线为纬度而即能载经度盖载经度者必以纬度也若无纬度则亦无经度矣(所云直线指横径及其上下之距等径而言)弧线能载纬度即又能分纬度之大小直线能载经度即又能分经度之长短假如平面作一弧引长之其两端皆至外周则分此外周为两半员而各得百八十度即所作之弧亦百八十度矣此百八十者皆纬度故曰能载纬度也而此平面上所乘之半浑员其经度亦百八十而皆纪于腰围之纬圏若于腰围纬圏上任指一经度作弧线必会于两极而因此弧线割纬圏以成角度故又曰能分纬度也不但此也若从此弧线之百八十度上任取一度作平行距等纬圏其距等圏上所分之纬必小于腰围之纬圏而其所载距等圏之经度皆与角度等即近极最小之纬圏亦然何以能然曰纬圏小则其度从之而小而为两弧线所限角度不变也故纬圏之大小弧度分之也然弧线之长短又皆以纬圏截之而成而纬圏必有径在平面上与圏相应故曰直线能载经度即又能分经度之长短也复论平仪平仪上直线弧线皆正形也问前论直线有正形弧线跻缩无正形兹何以云皆正形曰跻缩者球上度也然其在平靣则亦正形矣有中剖之半浑球于此覆而观之任于其纬度直切至平面则皆直线也而其切处则皆距等圏之半员即皆载有经度一百八十也从此半员上任指一经度作直线下垂至平面直立如县针则距等圏度之正弦也若引此经度作弧以㑹于两极则此弧度上所载之纬度一百八十每度皆可作距等圏即每度皆可作距等圏之正弦矣由是观之此弧上一百八十纬度既各带有距等圏之正弦即皆能正立于平面而平面上亦有弧形矣夫以弧之在球面言之别以侧立之故而视为跻缩而平面上弧形非跻缩也故曰皆正形也惟其为正形故可以量法御之也又问平仪经纬之度近心濶而近邉狭何也曰浑员之形从其外而观之则成中凸之形其中心隆起处近目而见大四周逺目而见小此视法一理也又中心之经纬度平舖而其度舒故见大四周之经纬侧立而其度垜垒故见小此又视法一理也若以量法言之则近内之经纬无均平之数数皆纪之于外周外周之度皆以距等线为限而近中线之距等线以两旁所用之弧度皆直过与横直线所荖少故其间阔近两极之距等线则其两旁之弧度皆斜过与横直线县殊故其间窄此量法之理也固不能强而齐一之矣夫惟不能强而齐故正弦之数以生八线由斯以出尺算比例之法由斯可以量代算而测算之用遂可以坐天之内观天之外巳取角度又法设如巳戊丙庚员有子辛距等纬线有所分丁辛小纬线求其所载经度以命所求之角(丙角)本法取距等半径(辛午)作子酉辛半员从丁作酉丁线乃纪酉辛之度为丁辛之度今用㨗法径于丁㸃作女丁壬线与巳甲径平行再用距等半径(午辛)为度从甲心作虚半员截女壬线于亢即从此引甲亢线至癸则数大圈庚癸之度为丁辛角度(即丙角也)解曰试作氐亢房半员其亢甲牛径既与午辛等则氐亢房半员与辛酉子等而氐亢房半员又与大员同甲心则庚癸之度与氐亢等即亦与酉辛等矣又如先有丙角之度及辛子距等线而求丁㸃所在以作丙丁弧法从大圈庚数至癸令庚癸如丙角之度即从癸向甲心作癸甲线(半径) 次以距等之半径辛午为度从甲心作半员截癸甲(半径)于亢乃自亢作亢丁壬线截辛午于丁即得丁㸃用规尺法设如乙丁辛弧三角形有乙丁邉六十度有丁辛邉五十度一十分有乙辛邉八十度求辛锐角如法依三边各作图法以十字剖平员自主线端辛数所设丁辛五十度竒至丁乃自丁作径线过已心又依所设丁乙六十度自丁左数至娄右数至丙皆六十度作丙娄线为距等圈之径又自辛依所设辛乙八十度至房亦左至壬作房壬距等径线此两距等线交于乙乃作乙丁及辛乙丙线则三角形宛然在目今以量法求辛角法曰房甲距等半径与乙甲分线若亢已半径与辛角之余弦寅已法以比例尺正弦线用规器取图中房甲之度于半径九十度定尺再取乙甲度于本线求正弦等度得角之余度乃以所得余度转减象限命为辛角之度依法得余弦三十一度弱即得辛角为五十九度强又法以房甲为度甲为心作房癸壬距等半圈又作乙癸正弦与已辛平行如前以房甲度于正弦九十度定尺再以乙癸度取正弦度命为辛角度又法作房癸线用分员线取房甲度于六十度定尺再取房癸线于分员线求等度得数命为辛角之度更㨗论曰既以房甲为半径则乙癸即正弦乙甲即余弦房癸即分员皆距等圏上比例也其取角度与分半周度而数房癸之度并同然量法较㨗又求丁钝角法以丙危为度危为心作娄丑丙半员又作丑乙线当角之正弦则乙危当余弦乃取距等半径丙危度于正弦线九十度定尺再取乙危度求得正弦线等度命为钝角之余弦以所得加九十度为丁钝角度依法得余弦十二度太即得丁钝角一百○二度太或取丑乙线求正弦线上度命为钝角之正弦以所得减半周度余为丁钝角度(两法互用相考更确)又法作娄丑分员线取丙危半径于分员线六十度定尺而求娄丑分员之度分为丁钝角(亦可与正弦法叅考)论曰兼用弦两法分员线一法以相考理明数确然比半周度之工尚为省力是故量㨗于算而尺更㨗矣若兼作丙丑分员以所得度减半周亦同如此则分员线亦有两法合之正弦成四法矣又论曰此条三邉求角前条有二邉一角求弧可互明也故用图亦可以求角用尺亦可以求弧智者通之可也三极通几平员则有心浑员则有极如赤道以北辰为极而黄道亦有黄极人所居又以天顶为极故曰三极也极云者经纬度之所宗如赤道经纬悉宗北极而黄道经纬自宗黄极地平上经纬又宗天顶亦如屋之有极为楹桷宇梠楶棁之所宗也既有三极即有三种之经纬于是有相交相割而成角度角之锐端即两线相交之㸃任指一㸃而皆有三种经纬之度与之相应焉故可以黄道之经纬求赤道之经纬亦可以赤道之经纬求地平上之经纬以地平求赤道以赤道求黄道亦然举例如后以黄道经纬求赤道经纬 已辰庚斜弧三角形巳丁乙丙为极至交圈巳为北极 丙甲丁为赤道 庚为黄极 壬甲寅为黄道 星在辰 辰庚为黄极距星之纬 辰庚酉角为黄道经度 今求赤道经纬 法自辰作黄道距等纬圈(酉辛)又自辰作赤道距等纬圈(戊午)即知此星(辰)在赤道之北其距纬戊丙(或午丁) 次以赤道距等半径戊夘为度夘为心作午未戊半员又作未辰直线与已甲平行则未戊弧即为赤道经度(即戊巳辰角)若先有赤道经纬而求黄道经纬亦同以赤道经纬求地平经纬巳子戊三角形(三角皆锐)戊壬庚辛为子午规 壬辛为地平 戊为天顶巳为北极 丁丙为赤道星在子 子巳为星距北极 巳角为星距午规经度(即纬圈上丑子之距) 求地平上经纬 法自子作寅亥线与辛壬地平平行即知地平上星之髙度亥辛(或壬寅) 次作寅酉亥半员(以亥寅半线亥)(午为度午为心)又从子作酉子直线与戊甲天顶垂线平行即子寅为星距午方之度为子戊寅角数酉至寅之弧即得星在午左或午右之方位是为地平上之经度(按此图为)(星在夘酉线之北数酉辰若干度即知其星距夘酉线若干度也) 若先得地平上经纬(髙度为纬方位为经)而求赤道经纬(星距赤道为纬距午线时刻为经)其理亦同以两纬度求经度巳子戊斜弧三角形假如北极髙三十度(巳辛髙)戊寅壬为午规 太阳在子距赤道北十度(其距丑丁)(或卯丙纬度) 子丑为太阳距午线加时经度(即子巳丑角)寅壬为太阳髙度(即亥辛)求大阳所在之方 法以太阳髙度(亥辛或寅壬)作亥寅地平髙度纬线又以太阳距赤道纬(丑丁卯丙)作丑卯赤道北纬线两线相交于子乃以亥午为度午为心作亥酉寅半员(分百八十度)又自子作酉子直线与戊甲平行截半员于酉则酉至寅之度即太阳所到方位离午正之度(即子)(戊寅外角) 若求加时以北极赤纬线准此求之用子巳戊角求北极出地简法(可以出洋知其国土所当经纬西北广野亦然与地度弧角可以参用)不拘何日何时刻但有地平真髙度及真方位即可得之法曰先以所测髙度及方位如法作图取作平仪上太阳所在之㸃(即地平经纬交处)次查本日太阳在之道南北纬度用作半径于仪心作一小员末自太阳所在㸃作横线切小员而过引长之至边此即赤纬通弦也乃平分通弦作十字全径过仪心即两极之轴数其度得出地度假如测得太阳在辰髙三十四度方位在正卯南三度强而不知本地极髙但知本日太阳赤纬十九度今求北极度如法作图安太阳于辰(详下文) 先作丙丁线为地平髙度次用法自正东卯数正弦度至辰得近南三度为地平经度(或以丙卯为半径作半规取直应度分亦同)次依本日太阳赤纬十九度(以员半径取庚甲十九度正弦)为小员半径作子庚小员末自太阳辰作横线戊壬切小员于庚乃自庚向甲心作大员径线已午则已即北极(数己丑之度为极出地度)依法求得本地极髙四十度论曰此法最简最真然必得正方案之法以测地平经度始无错误厯算全书卷九
## 卷十
钦定四库全书厯算全书卷十宣城梅文鼎撰环中黍尺卷三之四初数次数法(加减代乗除之法从初数次数而生故先论之)(上卷之法用角旁两正弦相乗今则兼用两余弦故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余弦)(相加其一相减也相加又有二一锐角一钝角也相减有四或余弦内减次数或次数内减余弦而又各)(分锐角钝角也)约法 三边求角角求对边余弦次数相加例(锐角法钝角法各一)丁乙丙形 有三边求乙锐角 角旁大弧丁巳(正弦辛戊余弦巳戊)小弧丙乙(正弦丙癸余弦巳癸)两正弦相乗全数除之成初得数戊庚又以两余弦相乗全数除之成次得数戊丑(即卯巳)乃以次得数卯巳加对弧之余弦已戌成卯戌(即申戊)一 初得数 戊庚二 (次得数与对弧余弦相并)申戊三 半径 亥已四 角之余弦 已干(以余弦检表得乙锐角之度)若先有角求对边则反之一 半径 亥巳二 角之余弦 巳干三 初得数 戊庚四 (次得数与对弧余弦相并)申戊(以次得数戊丑减之得对弧余弦丑申即巳戌)论曰辛戊正弦与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊弦与丁戊小弦又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正弦并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余弦故也右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角仍用前图取丁甲寅三角形 有三边求甲钝角 角两旁弧同类 对角边大为寅丁其正弦酉戌余弦戌已 旁弧丁甲其正弦辛戊余弦已戊 又旁弧寅甲其正弦寅壬余弦壬已 初得数戊庚(半径除两正弦矩) 次得数卯巳(半径除两余弦矩)所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余弦(末以余弦检表得度以减)(半周余为甲钝角之度)若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余弦干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余弦论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正弦戌已为余弦角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正弦戊已为余弦甲寅弧又与乙丙弧等度其正弦壬寅同癸丙余弦壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正弦余弦并同故也甲角同乙角皆以干已余弦度转减半周为其度右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角正余交变例若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正弦余弦之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正弦故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正弦即过弧之余弦也若两弧内一用余度则其初数次数皆为正弦乘余弦半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正弦变为余弧之余弦而其又一弧仍系本度则正弦不变然则先所用两正弦相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数倣此试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧(即辛)(乙)内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正弦戊已即乙辛过弧之余弦也又亥辛之余弦辛戊即过弧乙辛之正弦也然则先以辛戊正弦乗丙癸正弦者今不变为辛戊余弦乘丙癸正弦乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数倣论(按此法即测星时第二法所用)若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余弦相乘次数变为两正弦相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥(义见前)乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正弦皆变余弦(丙癸为丙亥弧余弦辛戊为辛亥弧余弦)癸已戊已两余弦皆变正弦(癸已为丙亥弧正弦戊巳为辛亥弧正弦)然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数倣论总例凡弧度与半周相减之余则所用之正弦同余弦亦同凡弧度与象限相减之余则所用之正弦变余余弦变正余弦内减次数例(钝角法锐角法各一)丁乙丙弧三角形有三边求乙钝角 丙乙小弧其正弦丙辰余弦辰巳 丁乙大弧其正弦癸甲余弦甲已 是为角旁之两弧不同类 癸干初得数(两正)(弦乗半径除之数) 午已次得数(两余弦乗半径除之数) 丁丙对边大其正弦壬卯余弦卯已 对边大于象限而角旁弧不同类宜相减 对弧余弦大于次数法当于余弦卯巳内减去次得数午已余午卯(即艮丁)为二率一 初得数 癸干二 (次得数减余弦) 艮丁三 半径 辛已四 角余弦 寅已对边大角旁弧异类而次数小减对弧余弦其角为钝宜以四率寅已捡余弦表得度以减半周度其余即为乙钝角之度(即寅酉大矢之度)若先有乙钝角求对弧则反用其率一 半径 辛巳二 角余弦 寅已三 初得数 癸干四 (次得数减余弦) 艮丁既得艮丁乃以次数加之成卯已余弦检表得度以减半周得丁丙对边之度凡过弧与其减半周之余度同用一余弦故以余弦检表得度以减半周即得过弧仍用前图取锐角丁戊庚三角形(系锐角○此形有三锐角)有三边求戊角 戊庚小边其正弦庚丑余弦丑巳 丁戊次小边其正弦癸甲余弦甲巳 是为角旁弧同类 初得数癸干(半径除两正弦)(矩) 次得数午已(半径除两余弦矩) 丁庚对边小其正弦壬卯余弦卯巳 对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余弦卯已以午已去减卯已余卯午(即艮丁)一 初得数 癸干二 (次得数减余弦) 艮丁三 半径 辛已四 角余弦 寅已对边小角旁弧同类而次数小去减余弦其角为锐宜以四率寅已检余弦表得戊锐角之度若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度一 半径 辛巳二 角余弦 寅已三 初得数 癸干四 (次得数减余弦) 艮丁以所得艮丁加次数午已检余弦表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余弦得数后宜加次数为对边余弦论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正弦余弦并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同次数内转减余弦例(锐角法钝角法各一)丁乙丙形三边求乙角(系锐角) 丙乙小边正弦辰丙余弦辰已 丁乙大边正弦癸甲余弦甲已 是为角旁之两边不同类 初得数甲干(半径除两正弦矩) 次得数午已(半径除两余弦矩) 丁丙对边大正弦壬卯余弦卯已对边大而角旁弧不同类宜相减 次数午已大于对弧余弦卯已法当于午己内减卯巳余午卯(即甲艮)为二率一 初得数 甲干二 (余弦减次数之余) 甲艮三 半径 辛巳四 角余弦 寅已对边大角旁弧异类而次数大受对弧余弦之减其角为锐宜以四率寅已检余弦表得乙锐角之度(即寅辛矢度)若先有乙角而求对边丁丙则反用其率一 半径 辛巳二 角余弦 寅己三 初得数 甲干四 (余弦减次数之余) 甲艮末以所得甲艮转减次数午已得对弧余弦卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度前图取钝角丁戊庚形三边求戊角(系锐角) 戊庚小边正弦丑庚余弦丑巳 丁戊次小边正弦癸甲余弦甲巳 是为角旁两弧同类 初数甲干(半径除两正弦矩) 次数午已(半径除两)(余弦矩) 丁庚对边小正弦壬卯余弦卯巳 对边小而角旁两弧同类宜相减 次数午巳大于对边余弦卯巳当于午巳内减卯已余午卯(即甲艮)一 初得数 甲干二 (余弦减次数之余) 甲艮三 半径 辛巳四 角余弦 寅已对边小角旁弧同类而次数大内减去余弦其角为钝宜以四率寅巳检余弦表得度以减半周得戊钝角之度若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率一 半径 辛已二 角余弦 寅巳三 初得数 甲干四 (余弦减次数之余) 甲艮末以所得甲艮转减次数午巳得对弧余弦卯已检表得对弧丁庚之度一系 半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为同类者右必异类也(角旁两弧一居员周一居圆面此员面弧线左右所同用也而员周)(之弧左右有大小故同于左者不同于右)加减法(以代乗除)初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之余弦相加减而半之即与乗除之所得脗合法简而妙而甲数乙数之用亦从此生矣总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧(存弧一曰较弧)总弧存弧各取其余弦以相加减成初数次数 法曰视总弧过弧限则总存两余弦相加总弧不过象限则相减皆折半为初数(即原设两弧之正弦相乗半径除之之数)以初数转减存弧余弦即为次数(即原设两弧之余弦相乗半径除之之数)又法(总弧过象限两)(余弦相减不过象限则相加并折半为次数)又法(初数以相加成者以总弧余弦减初数以相减成者)(以总弧余弦加并加减初数为次数亦同)又取总弧存弧之正弦相加减成甲数乙数 法曰以总存两正弦相加折半为甲数(即原设大弧正弦乗小弧余弦半径除之之数)总存两正弦相减折半为乙数(即原设小弧正弦乘大弧余弦半径除之之数)又法(以存弧正弦减甲数其余为乙数亦同)又法(以甲数减总弧正弦即得乙数)总弧在象限内两余弦相减大弧丙寅 小弧辰丙(即丑丙) 二弧相加为总弧辰寅相减得存弧丑寅 丑寅存弧之余弦丑癸(亦即丁乙)辰寅总弧之余弦卯辰(即癸子亦即乙午) 两余弦相减(丑癸内减)(子癸存丑子或乙丁内减乙午存午丁)其余半之(丑子半之于壬成壬丑即亥丁)为(丙寅)(辰丙)二弧两正弦相乗半径除之之数即初得数也以初得数转减存弧之余弦(以壬丑减丑癸其余癸壬亦即亥乙)其余为大小二弧两余弦相乗半径除之之数即次得数也论曰丙辛大弧之正弦也丑戊小弦之正弦也以句股形相似之故乙丙半径(弦)与丙辛正弦(股)若丑戊正弦(小弦)与丑壬初得数也(小股)其半而得者何也曰辰戊同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初得数(壬丑)之倍数故半之即得 辛乙大弧之余弦也戊乙小弧之余弦也乙丙半径(弦)与辛乙余弦(句)若戊乙余弦(小弦)与亥乙次得数也(小句)又以存弧余弦内兼有初得次得两数故减初得次也(丑癸余弦内有丑壬初数癸壬次数故减)(丑壬即得癸壬也或于乙丁内减亥丁得亥乙并同)以上用总存两余弦加减又丑寅存弧之正弦丑丁(即午子或癸乙)辰寅总弧之正弦辰午(即卯乙)两正弦相加半之为大弧正弦乗小弧余弦半径除之之数即甲数也 以甲数转减总弧之正弦(以午)(已减辰午其余巳辰亦即卯未)是为大弧余弦乗小弧正弦半径除之之数即乙数也论曰乙辛大弧之余弦也辰戊小弧之正弦也以两句股形同比例之故丙乙半径(弦)与乙辛余弦(句)若辰戊正弦(小弦)与辰已乙数也(小句)又丙辛大弧之正弦也戊乙小弧之余弦也而丙乙半径(弦)与丙辛正弦(股)若戊乙余弦(小弦)与戊亥甲数(小句)也又以总弧正弦内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦得乙矣(辰午正弦内有辰巳乙数巳午甲数故减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳)以上用总存两正弦加减若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑(正弦丑丁余弦)(丑癸)其存弧辰酉(正弦辰午余弦卯辰)但互易存总之名其他并同论曰凡过象限之弧与其减半周之余弧同用一正弦如丙酉过弧以减半周得丙寅所用正弦(丙辛)余弦(辛乙)皆丙酉弧与丙寅弧之所同也故但易总存之名而正余加减之用不变又法 凡过象限之弧即截去象限用其余度如法加减但以总弧为存弧存弧为总弧而总存之余弦为正弦正弦为余弦如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小弧相加减则丑甲为总弧其正弦丑癸余弦丑丁而辰甲为存弧其正弦卯辰余弦辰午是总存正余名皆互易也法以总存两正弦相减而其余折半为甲数(丑癸内减卯辰余丑)(子半之得丑壬为甲数)仍以甲数转减总弧正弦(甲数丑壬转减丑癸其余癸壬)(即乙数)是其名虽易而其实不易也但横易为直论曰去过弧之象限而用之则过弧之正弦为余余弦为正矣故加减而得之数皆两弧之正弦乘余余弦乘正之数而非复正乗正余乘余之数也何也过弧之正余互易而小弧之正余如故也如丙酉过弧去象限为丙甲则其正弦丙庚即过弧之余弦也(丙庚即辛乙故)其余弦庚乙即过弧之正弦也(庚乙即丙辛故)而小弧丙丑之正弦丑戊余弦戊乙皆如旧故先得之丑壬为大弧余弦丙辛乘小弧正弦丑戊而丙乙半径除之也非两正弦相乘也乙数转减正弦而得之亥乙(即癸壬亦即戊未)为大弧正弦辛乙乘小弧余弦戊乙而半径除之也非两余弦相乘也又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而绝不与七卷八卷之乘除求初数次数者相蒙虽有学者何从悟入乎愚故为之详说以发其覆又论曰元法依图直看直者正弦横者余弦又法正余互易则图当横看变立体为眠体本以总存两余弦加减者变为两正弦加减然其数并同又论曰又法是用大弦之余度而小弧则用元度何以言之测星条用星之赤纬即去极之余度也其用赤道髙则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星去极度截去象限之数也何以亦为余度曰过弧既与其减半周之余度同一正弦则此减半周之余度亦即正弧也然则此截去象限而余者非即正弧之余度乎大弧过象限若干度与不及象限若干度其正弦并同故加减可通为一法(此又测星条用法之意)约法两弧俱用本度或俱用余度相加减以取总存二弧是两正或两余也则用总存两余弦加减法取初得数惟视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相加皆以初数减存弧之余弦为次得数若两弧内有一过弧则总弧之正弦小于存弧而余弦反大当以初数减总弧之余弦为次数若一弧用本度一弧用余度相加减以取总存之弧是一正一余也则用总存两正弦加减法其加减皆眎两正弦原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正弦余为乙数若过弧节去象限而用其剰度与余度同法(凡余度是以本度减)(象限而得名今反以象限减过弧故别之曰剰)若两俱剰弧与两余弧同法若只一剰弧与一正一余同法论曰过弧用剰度为余弧其法甚简快凡过弧皆当用之可不用本度矣(算普天星经纬岁差宜此)又按凡存弧之余弦内兼有两正弦相乗两余弦相乗两数即初次两得数也凡总弧之正弦内兼有此正弦乗彼余弦彼正弦乗此余弦之数即甲乙两数也故易其名以别之也大弧寅丙正弦丙辛余弦辛乙 小弧辰丙(即丑丙)正弦辰戊(即丑戊)余弦戊乙二弧相加为总弧辰寅正弦辰午余弦午乙 相减为存弧丑寅正弦丑丁余弦丁乙 存总两余弦(午乙丁乙)相并成午丁半之于亥成亥丁即初得数大小二弧两正弦(丙辛辰戊)相乗半径除之之数也 以初得数亥丁转减存弧之余弦丁乙余亥乙即次得数大小二弧两余弦(辛乙戊乙)相乗半径除之之数也论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正弦若戊丑正弦与初数丑壬(即亥丁)也皆弦比股也又丙乙半径与辛乙余弦若戊乙余弦与次数亥乙也皆弦比句也以上用总存两余弦加减因总弧跨过象限故相加又存弧正弦丑丁与总弧正弦辰午相加成辰干(以午干等)(丁艮亦即丑丁也)折半得巳午(即戊亥为辰子折半为巳子子干折半 午子合之成巳午)为甲数大弧正弦丙辛乗小弧余弦戊乙半径丙乙除之也以甲数已午转减总弧正弦辰午余辰巳为乙数大弧余弦辛乙乗小弧正弦辰戊半径丙乙除之也以上用总存两正弦加减若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用之正弦丙辛余弦辛乙即丙寅弧所同用故也又法于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙则甲丙反为小弧丙丑反为大弧(说见前条)图式三总弧在象限内两余弦相减 乙丙小弧其正弦丙辰余弦辰已 丁乙稍大弧其正弦丁甲余弦甲巳戊壬初得数(两正弦相乗半径除)(也即庚甲或戊卯) 午戊次得数(两余弦相乗半径除也即巳癸) 今改用加减以省乗除 以二弧相加成总弧丁丙其正弦子丁余弦子巳 又二弧相较成存弧壬丙其正弦壬辛(即午巳)余弦辛巳(即壬午)于存弧之余弦辛巳内减去总弦之余弦巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦即戊壬也(或于壬午丙减午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也) 又于存弧余弦辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也(壬午)(内减戊壬存午戊亦同)此因总弧在象限内故以总弧余弦减存弧余弦求初数是初数小于次数解曰以句股形相似之故己丙半径(弦)与丙辰正弦(句)若丁甲正弦(弦)与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也又已丙半径(弦)与辰已余弦(股)若甲已余弦(弦)与巳癸次数(股)也右系总存两余弦用法又丁庚为甲数(丁甲大弧正弦乗辰巳小弧余弦半径除之也亦即庚卯即甲戊) 子庚为乙数(辰丙小弧正弦乗甲巳大弧余弦半径除之也即癸甲)今改用加减法以存弧正弦子卯(即辛壬)加总弧正弦子丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数(亦即庚卯即戊甲) 仍于总弧正弦丁子内减去甲数丁庚存子庚(即癸甲)为乙数此亦总弧在象限内亦总存两正弦相加求甲数是甲数大于乙数解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧余弦若丁甲大弧正弦与甲数丁庚皆弦与股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也又巳丙半径与丙辰小弧正弦若甲已大弧余弦与乙数甲癸(即子庚)皆弦与句之比例也右系总存两正弦用法一系 凡两弧内无过弧则存弧之余弦大故其中有初次两数而总弧则正弦大故其中有甲乙两数虽两数相加能令总弧跨过象限此理不变余弦仍系存弧大正弦仍系总弧大总弧过象限两余弦相加乙丙小弧正弦辰丙余弦辰已 乙丁过弧正弦丁甲余弦甲已 初得数戊丁(半径除两正弦矩即子癸亦即癸辛亦即)(庚甲) 次得数癸巳(半径除两余弦矩)今用加减代乗除以二弧相加成总弧丁丙正弦丁子余弦子已 又二弧相较成存弧壬丙正弦壬辛余弦辛巳 乃以总存两余弦相加成子辛(子巳加辛巳)而半之于癸得子癸及癸辛(亦即丁戊即庚甲)初得数也 又以初数子癸转减总弧之余弦子已余癸巳次得数也(此因总弧跨过象限故两余弦相加求初)(数是初数大于次数)解曰以句股形相似故半径已丙与正弦丙辰若正弦丁甲与初数丁戊皆弦与股之比例也 又半径丙已与余弦辰已若余弦甲巳与次数癸已皆弦与句之比例也 又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得右用总存两余弦加减又甲数丑甲小弧余弦辰已乗过弧正弦丁甲半径除之也 乙数癸甲小弧正弦辰丙乗过弧余弦甲巳半径除之也今用加减搃存两正弦相加成丑戊(癸戊与正弦丁子等丑癸与正弦辛)(壬等故以相加即成丑戊)半之于甲得丑甲(亦即甲戊)为甲数 仍以甲数丑甲转减存弧正弦丑癸余癸甲为乙数(或以总弧正弦癸戊)(减甲数甲戊亦即得乙数癸甲)此亦总弧跨象限外仍系总存两正弦相加求甲数(甲数)(仍大于乙数)解曰半径丙已与小弧余弦辰已若大弧正弦丁甲与甲数丑甲皆以弦比句也 又半径丙已与小弧正弦辰丙若大弧余弦甲巳与乙数癸甲皆以弦比股也又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得右用总存两正弦加减一系 凡两弧内有过弧者总弧之余弦反大故初次两数皆在总弧余弦内而总弧之正弦反小故甲乙两数皆在存弧正弦内也(此必原有一过弧始用此例非谓总弧过象限也观图自)(明)甲数乙数用法(黄赤道经纬相求)黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今不用距极度而用其余度(距极度本为纬度之余今用三角形以距极度为边故纬)(度皆为余度)径取黄纬为一边(此先有黄纬而求赤纬也若先有赤道而求黄道即用赤)(纬为边)二至之黄赤大距为一边(黄赤大距原与两极之距等)而取二边之总存两正弦为用以加减省乘除故在本法为初数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤而举此为式其理特著故命之曰甲数乙数用法实黄赤相求简法矣第一图 黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小甲丙亢危大圈为过两极之经圈(即二至经圈)心乙亢轴即黄道二分经线 丙乙室为黄道 心为黄极寅乙危为赤道甲为北极 辰胃娄为黄道北纬(即丙辰之度) 丑尾奎为黄道南纬(即丙丑之度)星在箕 箕心为星距黄极纬度 箕女为星距黄道纬(即丙辰之度) 甲心箕锐角为黄道经度其余弦女乙甲心为两极相距(二十三度三十一分半) 寅丙为夏至距纬(同甲)(心之度)今求甲箕为星距北极纬度 其余弧箕翌为星距赤道纬(即氐危之度)用甲心箕三角形有心角(黄道经)有心箕弧(星距黄极纬)有甲心弧(为两极之距)而求对角弧甲箕(星赤道北极纬)依加减代乗除改用寅丙夏至距(即心甲)辰丙黄道纬(即心)(箕之余箕女又即丙丑度) 寅丙辰丙相加为总弧辰寅其正弦辰午 又相减为较弧丑寅其正弦丑丁(亦即丁井亦即午昴亦即子午)以丑丁正弦(即午昴)加辰午正弦成辰昴折半得巳午甲数(巳子为辰子之半子午为子昴之半合之成巳午)甲数(巳午)转减正弦(辰午)余(巳辰)为乙数或以丑丁正弦(即子午)减辰午正弦余辰子折半得辰巳为乙数以乙数转减总弧正弦辰午得已午为甲数亦同法为黄道半径(丙乙)与心角之余弦(女乙)若甲数(巳午)与四率(斗未)也一 黄道半径 丙乙二 心角余弦 女乙三 甲数 巳午(即戊酉)四 (减过乙数之赤纬正弦)斗未(即虚栁)论曰丙乙半径与女乙余弦原若辰胃与箕胃(辰胃者箕心黄)(纬之正弦即距等圏半径因箕心角线过箕至女分辰胃正弦于箕亦分丙乙半径于女故丙乙与女乙若辰)(胃与箕胃皆全与分比例)而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆弦也(戊酉乙大)(句股以戊乙为弦戊酉为句斗未乙小句股以斗乙为弦斗未为句)戊酉(同巳午)斗未皆句也则其比例等故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙亦即若已午与斗未以乙数(辰巳即箕虚)加四率(斗未即虚栁)成箕栁即所求赤道纬度正弦检表得赤纬在北(即箕翌亦即氐危)若先有赤纬黄纬而求黄经则互用其率以三四为一二法为甲数(戊酉)与赤纬正弦内减乙数之斗未若黄道半径(丙乙)与心角黄经度之余弦(女乙)也一 甲数 戊酉(即午巳)二 (乙数箕虚减赤纬正弦)半未(即虚栁)三 黄道半径 丙乙四 心角余弦 女乙 检余弦表得心角之度假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并同所得之四率亦无不同而赤纬逈异何以言之曰心不在箕而在尾则心甲弧(两极距度)心角(黄道经度)皆不变唯尾心弧大于箕心故甲心箕三角形变为甲心尾三角而所求对角之甲尾弧亦大于甲箕故赤纬异也然则所用之甲数乙数又同何也曰尾心为过弧则用在女尾(尾心内减去女心象限)女尾为黄道南纬与箕女北纬同度亦即同正弦则相加为总弧相减为较弧亦同而甲乙数不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北纬则用加在南纬则用减纬度迥异理势自然也一 黄道半径 丙乙二 心角余弦 女乙 以乙数(辰巳)减四率斗未减尽三 甲数 已午 无余为星在赤道无纬度四 (加过乙数之赤纬正弦)斗未论曰此因乙数与四率同大故减尽也减尽则甲尾正九十度而星在赤道无纬也亦有四率小于乙数者则当以四率转减乙数用其余为纬度正弦在赤道南又论曰星在箕为黄道北在尾为黄道南然所得赤纬皆在北者以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也故所得四率在赤道北而加乙数则北纬大减乙数则北纬小皆北纬也惟四率转减乙数则变为南纬(此亦惟黄南纬)(星又近二分则虽在夏至前后象限中而有南纬)亦有无四率者心角必九十度其星必在黄道二分经度无角度余弦为次率故亦无第四率可求但以乙数为用视星在南北即以乙数命为南北纬度之正弦假如前图中有星在胃是在北也即以乙数胃张(即辰巳)命为赤道北纬之正弦若星在房是在南也即以乙数乙癸(亦即辰巳)命为赤道南纬之正弦又有所得四率北反用减南反用加者心角必为钝角其星必在冬至前后两象限其角度余弦必为大矢内减仪象限之余则所得第四率在赤道之外(外即南也)而加减后所得皆赤道之南纬也故加减皆反(求北纬以加而南纬必减者星在北也求北纬)(以减而南纬必加者星在南也盖所得第四率原系在北在南两星纬度之中数 星在北在南皆主黄道言)假如前图中有星在兑为黄道北而甲心兑三角形心为钝角其余弦艮乙为艮丙大矢内减象限之余故所得第四率未斗在赤道之外为赤道南纬(此南纬是黄道轴距赤道)(轴)而兑星在黄道之北则其南纬正弦小于未斗故必以乙数牛斗(即辰己亦即奎巳)减之其余牛未(同兑庚)即兑星赤道南纬之正弦若星在巽亦同用心钝角为甲心巽三角形艮乙余弦四率未斗在赤道外并同但巽星又在黄道之南则其南纬大于未斗四率故必以乙数虚巽(即辰巳亦即牛斗)加之成巽栁即巽星南纬之正弦亦有四率小于乙数者则以四率转减乙数用其余为纬度在赤道北又论曰星在兑为黄道北在巽为黄道南然所得赤纬皆在南者以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也故所得四率在赤道南而以乙数减则南纬小以乙数加则南纬大皆南纬也惟四率转减乙数者则变为北纬(此亦必黄北纬星又近二分故虽在冬至前后象限中而仍有北纬 凡以乙数及四率相加减成纬度者并)(主纬度之正弦而言后倣此)总论曰凡乙数皆南北两赤纬度相减折半之数甲数则两纬度之中数也(如箕女与女尾两黄纬同度而不能以女庚为两赤纬弦之中数者弧)(度有斜正故也)而所得四率即所求星南北两纬正弦中数故与甲数为比例凡所得四率星在夏至前后两象限四率在赤道北星在冬至前后两象限四率在赤道南凡总弧正弦内兼有甲数乙数(不论黄南黄北并同一法)但视黄纬之大小若黄纬小于黄赤大距则以总存两正弦相并而半之为甲数若黄纬大于黄赤大距则以总存两正弦相减而半之为甲数并以甲数转减总弧正弦为乙数又法黄纬小于黄赤大距以总存两正弦相减而半之则先得乙数黄纬大于黄赤大距以总存两正弦相并而半之亦先得乙数并以乙数转减总弧正弦为甲数求赤纬约法凡星有黄纬之南北有黄经之南北(黄经南北即南六宫北六宫 星在)(夏至前后先得之黄经为锐角是经在北也也星在冬至前后先得之黄经为钝角是经在南)若星之黄纬南北与黄经同者其赤纬南北亦与黄纬同法用四率乙数相加为纬度正弦加惟一法星在黄道北又系夏至前后两象限先得黄经锐角是经纬同在北则赤纬亦在北 星在黄道南又系冬至前后两象限先得黄经钝角是经纬同在南则赤纬亦在南若星之黄纬南北与黄经异者赤纬有同有异皆四率乙数相减为赤纬正弦减有二法但视乙数大受四率转减者赤纬之南北与黄纬同如星在黄道北而在冬至前后两象限黄经角钝是纬北而经南也而乙数大受四率转减则赤纬仍在北星在黄道南而在夏至前后两象限黄经角锐是纬南而经北也而乙数大受四率转减则赤纬仍在南若乙数小去减四率者赤纬之南北与黄纬异 如星在黄道北而在冬至前后黄经角钝为纬北经南而乙数又小去减四率则赤纬变而南 星在黄道南而在夏至前后黄经角锐为纬南经北而乙数又小去减四率则赤纬变而北若星在黄道轴线是正当二分经度也其角必九十度无余弦亦无四率但以乙数为用 星在北即以乙数命为赤道北纬之正弦 星在南即以乙数命为南纬之正弦若遇乙数四率相减至尽者其星正当赤道无纬度第二图 黄纬大于黄赤大距甲数小乙数反大(有黄道经纬求赤纬)甲北极 心黄极甲心为两极之距丙室黄道 寅危赤道 寅丙为夏至大距(同甲心) 乙为二分以上并与前图无二 所异者黄纬丙丑(即丙辰)大于寅丙故乙数亦大于甲数 寅丙之正弦丙辛余弦辛乙 丙丑之正弦辰戊(或戊丑)余弦戊乙甲数戊酉乃寅丙正弦乗丙丑余弦半径除之也法为丙乙半径与正弦丙辛若戊乙余弦与甲数戊酉乙数辰巳(或巳子或戊壬)乃辛乙余弦乗辰戊正弦半径除之也法为丙乙半径与余弦辛乙若辰戊正弦与乙数辰巳假如星在箕为在黄道北箕心为距黄极之度其余箕女黄道北纬也有箕心甲心(两极距)二边有心锐角(黄经)用甲心箕三锐角弧形求赤纬甲箕为对角之弧依加减代乗除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅其正弦辰午 又相减成较弧寅丑其正弦丑丁(即午子)以丑丁正弦加辰午正弦成辰子折半于巳为乙数(辰巳)(及巳子) 乙数辰已转减总弧正弦辰午得已午为甲数(即戊酉)本法以丑丁减辰午折半得已午为甲数 甲数巳午转减辰午得辰巳为乙数法为黄道半径丙乙与余弦女乙若甲数戊酉与四率斗未也(理见前式论见)一 黄道半径 丙乙 既得斗未以乙数箕二 心角余弦 女乙 虚加之成箕栁为赤三 甲数 戊酉 纬正弦查表得箕翌四 (以乙数减赤纬正弦) 斗未(即虚栁) 赤纬度在赤道北右系黄纬在北而心为锐角黄经亦在北故法用加而赤纬仍在北若先有黄赤纬度而求黄经则互用其率亦同前式一 甲数 戊酉二 (乙数减赤纬正弦) 斗未三 黄道半径 丙乙四 心角余弦 女乙 查余弦表得心角之度假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及所得之四率并同惟赤纬异论曰星不在箕而在尾则甲心箕三锐角形变为甲心尾三角形而心尾弧大于心箕故所求对角之甲尾弧亦大于甲箕而赤纬大异心尾大于心箕而甲数乙数悉同者因用余弧则女尾南纬与女箕北纬同度故也一 黄道半径 丙乙 既得斗未以转减乙数斗二 心角余弦 女乙 牛得余未牛(即尾申)为赤纬三 甲数 戊酉 正弦查表得尾卯纬度在四 (乙数内减赤纬正弦) 斗未 赤道南论曰此系乙数跨赤道故乙数内兼有赤纬及四率之数而减赤纬得四率以四率转减亦得赤纬右系黄纬在南而心为锐角是纬南而经北法当用减而乙数大受四率反减故赤纬仍在南假如前图星在巽则所用之甲数乙数亦同惟四率异(因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同故甲数酉戊与戊酉同大而乙数斗牛兊干并同辰巳)又巽星在黄道南而心为钝角星在秋分后春分前黄经亦在南则赤纬亦在南法当用加一 黄道半径 丙乙(即室乙)二 (钝角余弦即大矢减半径之余) 艮乙(艮丙为心钝角大矢内减丙乙得艮乙)三 甲数 酉戊四 (赤纬正弦内减乙数) 未斗既得未斗以乙数斗牛(即辰巳)加之成未牛为赤纬正弦(即栁巽)查表得震巽纬度在赤道南假如前图星在兑为黄道北所用之甲数乙数四率并同惟赤纬异(兑艮北纬)(与巽艮南纬并同丙丑之度故甲数乙数同甲心巽与甲心兊两钝角形)(同用心钝角故四率亦同惟心兊弧小于心巽故所求对角弧甲兊亦小)(于甲巽而赤纬异)一 黄道半径 丙乙 既得未斗以转减乙数二 钝角余弦 艮乙 兊干得余兊离为赤纬三 甲数 酉戊 正弦查表得兊坎纬度四 (乙数内减赤纬正弦) 未斗(即离干) 在赤道北右系黄纬在北而心为钝角是秋分后春分前为纬北而经南法当用减而乙数大受四率转减故赤纬仍在北第三图 赤纬大于二极距甲数小乙数大心甲箕三锐角形 星在箕 有黄极纬心箕有北极赤纬甲箕有黄赤极距心甲(即室危)求甲角为赤经 辰危赤纬大于危室大距(即心甲)与前图略同故乙数亦大于甲数 所异者此求赤经故诸数皆生于赤纬谓总弧较弧皆用赤纬也而加减正弦反在黄道矣室危两极距之正弦室辛余弦辛乙辰危赤纬(即箕女为甲箕距比极之余)之正弦辰酉余弦酉乙甲数戊酉法为半径室乙与辛室正弦若酉乙余弦与甲数戊酉也乙数辰已法为半径室乙与辛乙余弦若辰酉正弦与乙数辰已(或娄酉正弦与乙数酉壬)也依加减代乗除改用辰危室危相加为总弧辰室其正弦辰午又相减为较弧娄室其正弦娄丁(即午昴)又以较弧正弦午昴减总弧正弦辰午余数半之得已午为甲数(即戊酉也法于辰午内截减辰坤如午昴其余坤午半之于已即得已午)甲数已午转减辰午正弦余辰巳为乙数(或以甲数已午加较弦午)(昴成巳昴乙数亦同)箕虚及未牛并同(皆乙数也)又以箕翼黄纬之正弦箕柳与乙数箕虚相减得虚柳(即未斗)以为次率(因箕栁黄纬大乙数箕虚小故于黄纬正弦内减乙数得未斗)法为甲数戊酉与未斗若酉乙与未乙亦即若危乙半径与甲角之余弦女乙也一 甲数 戊酉二 (黄纬正弦内减去乙数) 未斗三 赤道半径 危乙四 甲角余弦 女乙论曰赤道经度春分至秋分(北六宫)为钝角秋分至春分(南六宫)为锐角其角与黄经正相反此条星在箕是赤纬在北也而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬必以乙数减黄纬而得未斗乙数减黄纬而纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得加三象限皆命为其星距春分赤道经度若星在尾用甲心尾三角形则以黄纬正弦反减乙数为次率(未牛乙数大于黄纬)(斗牛故以斗牛反减未牛得未斗)余率并同论曰此条星在尾是赤纬在南也而黄纬亦并在南两纬同向宜相减而成次率而乙数大于黄纬宜于乙数内转减去黄纬成未斗也乙数大受黄纬转减而纬在南赤经必亦在南六宫为锐角一 甲数 戊酉二 (乙数内减黄纬) 未斗三 赤道半径 危乙四 甲角余弦 女乙假如前图星在兊用心甲兊三角形有心兑边(星距黄极)有甲兑边(星距北极)有心甲边(两极距)求甲钝角为赤道经度因赤纬同故甲数乙数同星在兊赤纬在北黄纬亦在北纬同向北宜相减而成次率而乙数大以黄纬减之得斗未(乙数兊干内减去黄纬兊离余离干)(即斗未)乙数大受黄纬转减而赤纬在北必赤经亦在北六宫为钝角一 甲数 酉戊二 (乙数内减去黄纬) 斗未三 赤道半径 寅乙四 甲角余弦 艮乙以艮乙查余弦表得度用减半周为甲钝角即赤经也在春分后以象限减钝角度在夏至后以钝角度与三象限相减皆命为星距春分赤道经度假如星在巽用心甲巽三角形有心巽边(距黄极)有甲巽边(距北极)有甲心边(两极距)求甲钝角为赤经甲数乙数并同惟心在巽是赤纬南也黄纬亦南也两纬并南宜相减成次率 乙数小黄纬大故以乙数减黄纬得斗未(斗牛黄纬即栁巽也内减乙数未牛余即)(斗未矣) 乙数小去减黄纬而赤纬在南赤经必在北六宫为钝角一 甲数 酉戊二 (黄纬内减乙数) 斗未三 赤道半径 寅乙四 甲角余弦 艮乙以艮乙余弦查度春分后用余弦度减象限夏至后加象限皆命为距春分赤经第四图 赤纬小于二极距甲数大乙数小假如星在箕用心甲箕钝角形有心箕过(距黄极对角边也其余箕翼即黄纬)有甲箕边(距北极即辰危之余)有心甲边(两极距寅丙及危室并同)求甲钝角赤道经两极距危室之正弦危辛余弦辛乙 赤纬危辰之正弦辰戊余弦戊乙甲数戊酉(为半径危乙与二极距之正弦危辛若赤纬余弦戊乙与甲数戊酉也)乙数辰巳(或戊壬赤为半径危乙与二极距之余弦辛乙若 纬正弦辰戊与乙数辰巳也)依加减代乗除以辰危危室两弧相加为总弧辰室其正弦辰午又相减为较弧娄室其正弦娄丁(或丁井即午昴)以总弧正弦辰午加较弧正弦午昴成辰昴而半之为甲数巳午(巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午)即戊酉又以甲数己午转减正弦辰午得辰巳为乙数(亦即戊壬)星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未(牛未乙数内减牛斗)(黄纬余斗未)乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一 甲数 酉戊 以艮乙余弦查度春分后二 (乙数内减黄纬正弦) 斗未 用减象限夏至后加象限三 赤道半径 寅乙 命为距春分经度四 甲角余弦 艮乙若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬故以乙数减黄纬成斗未(虚尾黄纬)(内减乙数氐尾余虚氐即斗未) 其甲数乙数等算并同 乙数小去减黄纬而纬在南赤经必在北六宫为钝角一 甲数 酉戊二 (黄纬正弦内减乙数) 斗未三 赤道半径 寅乙四 甲角余弦 艮乙若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬故以乙数减黄纬成未斗(兊干黄纬)(内减乙数兊离余余离干即未斗)甲数乙数并同乙数小去减黄纬而纬在北赤经反在南六宫为锐角一 甲数 戊酉 以女乙余弦度秋分后减二 (黄纬正弦内减乙数) 未斗 三象限冬至后加三象限三 赤道半径 危乙 命为距春分赤经(下同)四 甲角余弦 女乙若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗(未牛)(乙数内减黄纬斗牛即栁巽其余即未斗)乙数大受黄纬转减而纬在南赤经即在南六宫为锐角一 甲数 戊酉二 (乙数内减黄纬正弦) 未斗三 赤道半径 危乙四 甲角余弦 女乙第五图 赤纬小于二极距甲数大乙数小黄纬乙数相加成次率(黄纬在南角锐钝黄纬在北角)星在巽用心甲巽三角形有心甲边(二极距)有巽甲边(距北极度为过弧其)(赤纬女巽在南)有巽心边(距黄)(极度其余巽为黄纬在北) 求对巽心弧之甲角 心甲两极距即危室(或寅丙)其正弦危辛余弦辛乙 女巽赤纬即危娄(或辰危即丑寅)其正弦辰戊余弦戊乙甲数戊酉(两极距正弦危辛乗赤纬余弦戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉)乙数辰巳(两极距余弦辛乙乗赤纬正弦辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳)依加减代乗除改用辰危危室相加为总弧辰室其正弦辰午又相减为较弧娄室其正弦娄丁(即午昴及丁井)以总较两正弦相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊酉(巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之成己午)甲数巳午转减总弧正弦辰午得辰巳为乙数即戊壬黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与黄纬正弦相加成次率(以同黄纬正弦巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗)乙数黄纬正弦相加而黄纬在北其赤经必在南六宫为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若危乙与女乙一 甲数 戊酉 以女乙查余弦表得度二 (乙数加黄纬正弦) 未斗 秋分后减冬至后加皆与三 赤道半径 危乙 三象限相加减命为其星四 甲角余弦 女乙 距春分赤道经度又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边(二极距)有箕甲边(距北极度其余箕艮赤纬在北)有箕心边(距黄极度为过弧其黄纬翼箕在南)求对箕心弧之甲角甲数乙数同上惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数与黄纬正弦相加成次率(以黄纬正弦箕张相)(同之牛斗加乙数辰巳相同之牛未成斗未)乙数与黄纬弦相加而黄纬在南其赤经必在北六宫为钝角法为甲数酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙一 甲数 戊酉 以艮乙查余弦表得度春二 (乙数加黄纬正弦) 斗未 分后减夏至后加皆加减三 赤道半径 寅乙 象限命为其星距春分赤四 甲角余弦 艮乙 赤道经度求赤道经度约法用三边求角(两极距为一边距北极为一边此二边为角两旁之弧距黄极为一边此为对角之)(弧)以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在南六宫法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余弦其枢纽在次率也凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而成次率减有二法凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而成次率加惟一法厯算全书卷十
## 卷十一
钦定四库全书厯算全书卷十一宣城梅文鼎撰环中黍尺卷五之六加减捷法用加减则乗除省矣今惟用初数则次数亦省又耑求矢度省余弦则角之锐钝得矢自知边之大小加较即显无诸拟议之烦故称捷法如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象限以总存两余弦相加不过象限则相减并折半为初数若总弧过两象限与过象限法同(其余弦仍相加)过三象限与在象限内同(其余弦仍相减)若存弧亦过象限则反其加减(总弧)(过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加)并以两余弦同在一半径相减不然则加也总存两余弦同在一半径当相减折半图乙丁丙三角形丁为钝角丙卯为总弧其正弦卯戊余弦戊己 庚丙为存弧其正弦庚壬余弦壬巳 两余弦同在丙已半径宜相减(壬巳余弦内减戊巳成戊壬)折半为初数丑壬(即甲庚亦即未酉)总存两余弦分在两半径当相加折半图乙丁丙形 丁为锐角庚丙为总弧其正弧庚壬余弦壬巳 卯丙为存弧其正弦卯戊余弦戊已径两余弦分在丙巳子巳两半径宜相加(以戊巳加壬巳)(成壬戊)折半为初数丑戊(即甲酉亦即未卯)三边求角初数恒为法以两矢较乗半径为实法为初数与两矢较若半径与角之矢也一 初数(即角旁两正弦相乗半径除之之数今以加减得之)二 两矢较(或两俱正矢或两俱大矢或存弧用正矢对弧用大矢)三 半径四 角之矢(正矢角锐大矢角钝)角求对边则以初数乗角之矢为实半径为法法为半径与角之矢若初数与两矢较也一 半径二 角之矢(或正矢或大矢)三 初数四 两矢较(并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小)乙丁丙形 三边求丁角小边乙丁(正弦卯辛)大边丙丁(正弦壬丙) 初数卯癸(两正弦相乗半径除之也)今改用加减两余弦相减(余房戊)折半得丑戊即初数卯癸(与先所得同)一系 总弧过半周而存弧亦过象限则余弦相减法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正弦(距等半径)与乙庚(距等大矢)亦即若寅巳半径与角之大矢酉子一 初数 卯癸(即丑戊)二 两矢较 牛乙(即房甲)三 半径 寅巳四 角之大矢酉子若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率一 半径 寅巳二 角之大矢酉子三 初数 卯癸四 两矢较 牛乙以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙乙丁丙形三边求丁角小边乙丁(正弦乙辛) 大边丙丁(正弦戊壬)初数戊癸今用加减两余弦相减(余辰甲)折半得辰丑即初数戊癸对弧(乙丙)大矢斗乙存弧 大矢甲乙(两矢较斗甲)法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正弦(距等半径)与丙庚(距等大矢)亦即若寅巳半径与角之大矢酉子一 初数戊癸(即丑甲)二 两矢较 斗甲三 半径 寅巳四 角之大矢酉子论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正弦为径分大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正弦此图是用丁丙大弧正弦为径分大矢比例则所用句股是乙丁小弧正弦故句股形异也然句股形既异而所得初数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正弦相乗半径除之之数前图用大弧正弦偕半径为句与弦而小弧正弦用为大矢分径之比例是以大弧正弦为二率而小弧正弦为三率也今改用小弧弦为二率大弧弦为三率而首率之半径不变则四率所得之初数亦不变也又何疑焉一系 角旁二弧可任以一弧之正弦为全径上分大小矢之比例其余一弧之正弦即用为句股比例不拘大小同异其所得初数并同又论曰以句股比例言之则戊庚通弦为弦(即距等圏全径)戊女倍初数为句(即总存两余弦相加减之数)一也戊壬正弦为弦则戊癸初数为句二也丙庚为弦(通弦之大分即距等大矢)则斗甲两矢较为句(即丙房)三也丙壬为弦(正弦之分线即距等余弦)则斗丑为句(对弧余弦内减次数丑巳得斗丑亦即丙牛)四也戊丙为弦(正弦之分线即距等小矢)则午戊为句五也以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全径相当一也戊壬正弦为距等半径当寅巳半径二也丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等余弦当酉巳余弦四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也一系 初数恒与角旁一弧之正弦为句股比例其正弦恒为弦初数恒为句而其全与分之比例俱等又即与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员径上大小矢之比例等一系 角旁两弧任以一弧之正弦为径上全与分之比例初数皆能与之等若先有丁钝角求对边乙丙则更其率一 半径 巳子二 丁角大矢酉子三 初数 丑甲四 两矢较 斗甲以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内减巳乙半径得斗巳为对弧余弦捡表得未丙弧度以减半周得对弧丙乙度乙丁丙形 三边求丁角乙丁边(九十五度) 丁丙边(一百一十二度) 乙丙对弧(一百一十九度)总弧丙未二百○七度 余弦辛巳 八九一○一存弧丙戊一十七度 余弦壬巳 九五六三○两余弦相加辛壬一八四七三一初数卯亥(即半辛壬丑辛)九二三六五对弧大矢癸丙一四八四八一存弧正矢壬丙 四三七○两矢较癸壬 一四四一一一法曰卯亥(即丑辛)与癸壬若未亥与乙戊亦必若庚巳与甲子一 初数 卯亥 九二三六五二 两矢较癸壬 一四四一一一三 半径 庚巳 一○○○○○四 角之矢申子 一五六○二二四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○○○○减之余五六○二二为钝角余弦捡表得余弦度五十五度五十六分以减半周为丁角度依法求到丁钝角一百二十四度○四分论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛(总弧正弦)至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸(对弧正弦)至寅作亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等一未辰戊大句股 以辰戊倍初数为句未戊通弦为弦一乙寅戊次句股 以寅戊两矢较为句乙戊(距等大矢)为弦一(未卯亥亥斗戊)两小句股并以(卯亥斗戊)初数为句(未亥亥戊)正弦为弦辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通弦与乙戊距等大矢是以大句股比小句股也卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正弦与乙戊距等大矢是以小句股比大句股也 用亥斗戊形比乙寅戊其理更著又未戊通弦上全与分之比例原与全员径上全与分之比例等故三者之比例可通为一也(一大句股截数种小句股故又为全与分之比例)仍用全图取乙丁女形 求丁锐角乙丁边(九十五度) 女丁边(六十八度) 女乙对弧(六十一度)总弧女戊(一百六十三度)余弦(壬巳)九五六三○存弧女未(二十七度) 余弦(辛巳)八九一○一两余弦并(辛壬)一八四七三一初数卯亥九二三五六一 初数 卯亥 九二三六五二 两矢较癸辛 四○六二○三 半径 巳庚一○○○○○四 角之矢申庚 四三九七七 (以减半径得丁角余弦入表得丁角度)依法求得丁锐角五十五度五十六分辛丁乙形三边求丁角辛丁边五十度一十分 乙丁边六十总弧卯辛一百一十度一十分余弦庚丙二四四七五存弧戊辛九度五十分余弦子丙九八五三一余弦并子庚一三三○○六初数子午(即戊癸)六六五○三辛乙对弧八十度对弧矢辛酉 八二六三五存弧矢辛子 一四六九两矢较子酉 八一一六六一 初数 子午 六六五○三二 两矢较 子酉 八一 一六六三 半径 壬丙一○○○○○四 丁角大矢壬甲一二二○五○(用余弦入表得丁外角减半周得丁角度)依法求到丁钝角一百○二度四十四分论曰此如以日髙度求其地平上所加方位也乙为太阳乙甲其髙度其余度丁乙日距天顶也亥乙赤道北纬辛乙为距纬之余即去极纬度也辛壬为极出地度其余辛丁极距天顶也所求丁钝角百○二度太距正北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太阳在正东方过正卯位一十二度太乙丙辛形 有(辛丙三十三度辛乙百卅二度) 对弧乙丙(百度八)求辛角总弧(丙壬)一百六十五度余弦(己戊)九六五九三存弧(丙庚)九十九度余弦(己甲)一五六四三 两余弦相减余(戊甲)八○九五○初数甲丑四○四七五 对弧大矢酉丙一三○九○二存弧大矢甲丙一一五六四三两矢较甲酉 一五二五九一初数甲丑 四○四七五二两矢较甲酉一五二五九三半径申巳一○○○○○四角之矢未申三五三五二得辛锐角四十九度二十八分恒星岁差算例老人星黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒为庚角(康熈)(甲申年距厯元戊辰七十七算毎年星行五十一秒)(讣行一度○五分二十七秒以加戊辰年经度鹑首)(八度三十分得今数)黄道南纬七十五度 距黄极一百六十五度为庚辛边 用巳庚乙三角形(一角二边)求对弧巳乙(赤纬)余弦较丁甲二○六六一初数甲戊一○三三○庚角正矢申酉 一三九八一 半径 申丙一○○○○○ 大矢内减半径二 庚角矢 申酉 一三九八 取余弦检表得三 初数 甲戊 一○三三○ 三十八度廿三四 两矢较 甲丑 一四四 分半以减半周加存弧大矢巳甲一七八二三四 得星距北极一百得对弧大矢巳丑一七八三七八 四十一度三十六分半为对弧巳乙求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半(以校厯元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志康熈壬子年纬五十一度三十五分可以畧见恒星)(赤纬岁差之理)求巳角(赤经)巳庚角旁弧二十三度三十一分半巳乙角旁弧一百四十一度三十六分半庚乙对弧一百六十五度三边求角余弦较子斗 四九五七七初数午斗 二四七八八对弧大矢庚亥一九六五九三存弧大矢庚斗一四七○七六两矢较亥斗 四九五一七一 初数 午斗 二四七八八 大矢内减半径得二 两矢较亥斗 四九五一七 余弦检表得度以三 半径 丙氐一○○○○○ 减半周得已角度四 角大矢亢氐一九九七六一 一百七十六度○二分置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分(以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年赤经九十三度五十一分可以见恒星赤经东移之理)加减㨗法补遗㨗法以两余弦相加减以两矢较偹四率其用巳简然有阙余弦无可加减阙矢度无可较者虽非恒用而时或遇之亦布算者所当知也一加减变例凡余弦必小于半径常法也然或捴弧适足半周则余弦极大即用半径为捴弧余弦 法以存弧余弦加减半径折半为初数(视存弧不过象限则相加存弧过象限则相减)又若角旁两弧同数则无存弧而余弦反大即用半径为存弧余弦 法以捴弧余弦加减半径折半为初数(视捴弦过象限或过半周则相加捴弧在象限内或过三象限则相减)以上用半径为余弦者六凡加减取初数必用两余弦常法也然或搃弧适足一象限或三象限或存弧适足一象限皆无余弦法即用一余弦折半为初数不湏加减(搃弧无余弦即单用存弧)(余弦存弧无余弦即单用搃弧余弦)又或捴弧(适足象限或三象限)无余弦而两弧又同数(准前论即以半径为存弧余弦)或存弧(适足象限)无余弦而搃弧又适足半周(即以半径为搃弧余弦)二者并以半径之半为初数不湏加减以上无加减者六一两矢较变例凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径为矢(对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相)(较) 㨗法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又一弧之余弦为两矢较不更求矢(对弧满象限即用存弧余弦存弧满)(象限即用对弧余弦并即命为两矢较与上法同)凡以矢较加存弧矢成对弧矢(正矢则对弧小大矢则对弧大)常法也然或有相加后适足半径者其对弧必适足象限又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也(凖前论角旁两)(弧同度无存弧则亦无存弧矢之可较)法即以对弧矢为用不必更求矢较 若角求对边其所得第四率即对弧矢若三边求角其所用苐三率亦对弧矢(余详后例)设角旁两弧同度总弧在象限以内 求对角之边丙乙丁形乙角一百一十度余弦三四二○二 乙丙 乙丁并三十度两余弦相减 五○○○○ 丙庚半之为初数 二五○○○ 丙癸一 半径 寅已 一○○○○○二 初数 丙癸 二五○○○三 (乙角大矢) 寅午 一三四二○二四 (对弧矢) 丙甲 三三五五○(四率本为两矢较因无存弧矢故即为对弧之矢)(对弧余弦) 甲巳 六六四五○求到对弧丁丙四十八度二十二分论曰以半径为存弧余弦何也弧大者余弦小弧小者余弦大今存弧既相减而至于无则小之至也故其余弦亦大之至而成半径也 四率即为对弧矢何也弧大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则无可较故四率即对弧矢也 然则其比例奈何曰半径寅已与大矢寅午若正弦子丙与距等大矢丁丙亦即若初数丙癸与对弧矢丙甲若三边求角则反其率一初数 二半径 三对弧矢 四乙角矢若捴弧过三象限其法亦同前图丁丑丙形丑角同乙角其所用四率以得对弧丁丙并同上法若三边求角则反其率一初数 二半径 三对弧矢 四丑角矢一系 两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用设总弧满半周而较弧亦过象限 求对角之边前图卯丑丁形丑角 七十度余弦 三四二○二 午已丑丁 一百五十度丑卯 三十度相减 五○○○○庚丙初数 二五○○○庚癸存弧大矢一五○○○○庚卯丑角矢 六五七九八午酉一 半径 酉巳 一○○○○○二 初数 丙癸(即庚癸) 二五○○○三 丑角矢 午酉 六五七九八四 两矢较 庚甲 一六四四九加存弧大矢庚卯 一五○○○○得对弧大矢甲卯 一六六四四九求到对弧卯丁一百三十一度三十八分设三小边同数求角丙乙丁形三边并三十度求乙角相减 五○○○○ 丙庚初数 二五○○○ 丙癸对弧(丁丙)三十度余弦 八六六○三 甲巳矢 一三三九七 丙甲一 初数 丙癸 二五○○○二 半径 寅己 一○○○○○三 对弧矢丙甲 一三三九七四 乙角矢寅午 五三五八八余弦午巳 四六四一二求到乙角六十二度二十分 丁丙二角同论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正弦丙辰与丙丁距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午一系 凡三边等者三角亦等前图丁丑丙形 二大边同度一小边为大边减半周之余三边求角其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角六十二度二十分亦同乙角惟余两角(丁丙)并一百一十七度四十分皆为丑角减半周之余若先有角求对边则反其率又于前图取丁丑戊形丑丁 一百五十度丑戊 三十度其对弧戊丁(一百五十度)为丑戊(三十度)减半周之余故所用四率亦同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角(一百一十七度四十分)戊角同丑角丁角(六十二度二十分)即丑外角一系凡二边同度其余一边又为减半周之余与三边同度者同法但知一角即知余角其一角不同者亦为相同两角之外角设角旁两弧同数而捴弧适足一象限求对角之边子乙丙形乙角一百度余弦 一七三六五初数 五○○○○ 丙辛(即半径之半)一 半径 壬巳 一○○○○○二 初数 丙辛 五○○○○三 乙角大矢壬丑 一 一七三六五四 对弧矢 丙癸 五八六八二余弦癸巳 四一三一八求到对弧子丙六十五度三十六分论曰半半径为初数何也凖前论半径即存弧余弦而捴弧无余弦无可相减故即半之为初数 问捴弧何以无余弦曰弧大者余弦小捴弧满象限则大之极也故无余弦 其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲与丙子则亦若丙辛与丙癸 若所设为子戊丙形戊角同乙角一百度(戊子戊丙)同为一百三十五度 捴二百七十度(满三象限)亦无余弦亦如上法以半半径为初数依上四率求到对戊角之子丙弧六十五度三十六分若三边求角则反其率一初数 二半径 三对弧矢 四角之矢设角旁两弧之捴满半周而存弧亦满象限 求对角之弧 用前图子戊卯形戊角 八十○度余弦 一七三六五子戊一百三十五度卯戊 四十五度余弦无减半半径为初数五○○○○ 己辛即庚甲存弧满象限半径为正矢一○○○○○ 即卯巳半径一 半径 辰巳 一○○○○○二 初数 己辛 五○○○○三 戊角矢辰丑 八二六三五四 两矢较己癸 四一三一七 即对弧卯子余弦对弧大矢卯癸 一四一三一七 (以两矢较加存弧矢得对弧大矢)求到对弧卯子一百一十四度二十四分论曰捴弧以半径为余弦何也凡过弧大者余弦大过弧满半周则大之至也故其余弦亦最大而即为半径也 然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存弧既满象限故其矢亦满半径矣问两矢较巳癸即对弧之余弦也何以又得为两矢较曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧矢相较亦有大小而不得正为余弦今矢既为半径较必余弦矣若三边求角则反其率一 初数 巳辛 其比例为巳辛与巳癸若丁甲二 半径 辰巳 与丁子则亦若辰巳与辰丑三 两矢较己癸四 戊角矢辰丑设对弧满象限 三边求角乙丙甲形对弧乙甲九十度 无余弦求丙角相加辰癸 一三五六二一初数午癸 六七八一○对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○用㨗法即以存弧余弦癸已为矢较一 初数 午癸 六七八一○二 半径 巳戊 一○○○○○三 矢较 巳癸 四二二六二 即存弧余弦四 丙角矢 庚戊 六二九○四求到丙角六十八度一十四分其比例为初数午癸与余弦巳癸若正弦壬辛与距等矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊若先有丙角求对弧则反其率一半径(戊巳) 二初数(午癸) 三丙角矢(戊庚) 四两矢较(巳癸)以所得四率与存弧矢甲癸(五七七三八)相加适足半径(成巳甲)命对弧乙甲适足九十度 㨗法视所得四率矢较与存弧余弦同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢设角旁两弧同数捴弧过象限求对角之弧辛乙丙形乙角七十三度余弦二九二三七相加折半为初数 八二一三九 癸丙一 半径 己戊一○○○○○二 初数 癸丙 八二一三九三 乙角矢甲戊 七○七六三四 对弧矢丁丙 五八一二四余弦丁巳 四一八七六求到对弧辛丙六十五度一十五分若三边求角则反其率一初数(癸丙) 二半径(巳戊) 三对弧矢(丁丙)四乙角矢(甲戊)设角旁弧同数捴弧过半周其算并同前图辛丑丙形辛丑 丙丑并一百十五度捴弧丙丑壬二百三十度余弦 六四二七九 庚巳丑角同乙角其所用四率求对弧及三边求角并如上法设捴弧满半周而存弧不过象限 求对弧前图辛乙卯形乙角 一百○七度余弦 二九二三七 甲巳乙卯 一百十五度乙辛 六十五度相加半之为初数 八二一三九 癸庚即子辰一 半径 寅巳 一○○○○○二 初数 庚癸 八二三一九三 乙角大矢寅甲 一二九二三七四 两矢较 庚丁 一○六一五三 即辛未加存弧正矢庚卯 三五七二一得对弧大矢丁卯 一四一八七四求到对弧卯辛一百一十四度四十五分加减又法(解恒星暦指第四题三率法与加减㨗法同理)弧三角有一角及角旁二边求对角之弧法曰以角旁大弧之余度与小弧相加求其止弦为先得弦 次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即半先得弦为次得弦(此大弧之余弧与小弧等)若角旁两弧捴大于象限(此大弧之余弧小于小弧)则以大弧之余弧减小弧而求其弦以加先得弦然后半之为次得弦若两弧捴不及象限(此大弧之余弧大于小弧)则以小弧减大弧之余弧而求其弦以减先得弦然后半之为次得弦又以角之矢为后得弦以后得弦乗次得弦为实半径为法除之得数为他弦一率 全数二率 次得弦(即初数)三率 后得弦(即角之矢)四率 他弦(即两矢较)并以他弦与先得弦相减为所求对角弧之余弦若他弦大于先得弦即以先得弦减他弦(不问何弦但以小减大)(右法不载测量全义而附见厯指人自江南来得小儿以燕家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘录以疏其义)论曰此亦加减代乗除之一种也加减法以捴弧存弧之余弦相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之余度(以余度取正弦即存弧之余弦故也)又不正用存弧之余度而用大弧之余度(以大弧之余度加小弧即存弧之余度故也)至其加减又不用捴弧而用大弧余度与小弧相减之较弧(以此较弧之正弦即捴弧之余)(弦故也)取径迂回而理数脗合非两法相提并论不足以明其立法之意也举例如后乙丙丁形(有乙角及角旁二边)求对弧丁丙(以加减㨗法求得诸数与恒星厯指法相参论之)(乙丙小弧乙丁大弧)正弦(甲丙辰庚)(捴存)弧(戊丙庚丙)余弦(壬巳癸巳)(余弦并癸壬初数 癸甲) (即辰寅)(丁丙对弦庚丙存弧)正矢(卯丙癸丙)(一) (半两矢较卯癸 径 酉巳)(二三) (角之矢初数) (酉午即辰寅甲癸)(四末两矢较加癸卯癸卯即丁子 以卯癸 丙得 丙为对)(弧矢乃查其度得对弧丁丙)右加减法也今改用恒星厯指之法 先以酉庚为角旁大弧(乙丁)之余弧(乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉)(即乙丁之余)又以牛酉当角旁小弧乙丙(乙酉与牛丙皆象限内减同用之丙)(酉同乙丙)二者相加成牛庚取其正弦戊庚是为先得弦次视角旁两弧(乙丙乙丁)之捴(丙戊)大于象限(丙辛)法当以大弧余度去减小弧得较(于同小弧之午酉内减同大弧余度之氐酉其较牛氐与牛房等)而取其弦(牛氐较与牛房等则氐井弦与房井等而即与危戍等是危戌即牛氐较之弦也)以加先得弦(以危戍加戌庚成危庚)然后半之(危庚半之于未成未庚)为次得弦又以乙角之矢(午酉)为后得弦与次得弦(未庚)相乗为实半径为法除之得他弦(亥庚)未以他弦(亥庚)减先得弦(戌庚)其余亥戌为对弧(丁丙)之余弦(查表得对弧)论曰牛庚之正弦戍庚与癸巳平行而等即存弧之余弦也(牛庚为小弧与大弧余度之并实即存弧丙庚之余度故戌庚即同癸巳)次得弦未庚与甲癸平行而等即初数也(以危戍加戌庚而成危庚犹捴存两余弦相加成癸壬也)(危庚既同癸壬则其半未庚亦同甲癸)他弦庚亥与卯癸平行而等即两矢较也末以他弦与先得弦相减而得对弧余弦犹以两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也(两矢较即两余弦较)(也故加之得矢者减之即得余弦)然则此两法者固异名而同实矣又论曰加减本法用大弧小弧之捴与较取其余弦以相加减今此法则用大弧余度与小弧之捴与较而取其正弦以相加减(如牛庚是大弧余度与小弧之捴牛氐是大弧余度与小弧之)(较)用若相反而得数并同者何也曰余弧与正弧互为消长其数相待是故大弧之余度大于小弧则捴弧不及象限矣大弧之余度小于小弧则捴弧过象限矣捴弧过象限宜相加此条是也捴弧不及象限宜相减后条是也宜加宜减之数无一不同得数安得而不同(得数谓初数也在此法则为次得弦)又论曰此法之于加减法犹甲数乙数之于初数次数也初数次数用余弦甲数乙数用正弦加减法用余弦此法用正弦所以然者皆以角旁之弧半用余度也(甲数)(乙数法内一弧用本度一弧用余度此法小弧用本度大弧用余度)一加减法乃有四用其省乗除并同而繁简殊矣乙丙丁形有乙角及角旁二边求对弧丁丙(乙丙小弧乙丁大弧)正弦(申丙辰庚)(捴存)弧(戊丙庚丙)余弦(壬巳癸巳)(余弦较壬癸 初数癸甲)(丁丙对弧庚丙存弧)正矢(卯丙癸丙)(一) (两矢较卯癸半径 酉巳)(二三) (角大矢 初数) (酉午甲癸)(四) (两矢较) (卯癸)(末以卯癸加癸丙成卯丙为对弧矢查其余弦得对弧丁丙)右加减法也今依恒星法改用大弧之余度(庚酉即午丁)与小弧(牛酉即乙丙)相加(成牛庚即存弧丙庚之余度)求其正弦为先得弦(戍庚同巳癸即存弧之余)(弦)次视两弧之捴(戊丙)不及象限法当以小弧减大弧余度(取氐酉如酉庚以牛酉减之)得较(氐牛与牛房等)取其正弦(女房即女氐亦即戍危)以减先得弦(戍危减戌庚余危庚与癸壬等)然后半之(危庚半之于虚成庚虚与甲癸)(等)为次得弦又以(乙)钝角大矢(午酉)为后得弦与次得弦相乗为实半径为法除之得他弦(亢庚与卯癸等)末以他弦(亢庚)减先得弦(戍庚)其余戍亢(即卯巳)为对弧余弦查表得对弧丁丙一率 半径 酉巳二率 次得弦庚虚(即初数甲癸)三率 后得弦午酉(即角大矢)四率 他弦 亢庚(即两矢较卯癸)乙丙丁形(有丙角及角旁二边)求对弧丁乙法以(丁丙)大弧之余(午丁即酉甲)与小弧(乙丙即戊酉)相加(成甲戊)求其正弦(庚甲)为先得弦次视两弧之总(丑乙)适足象限即半先得弦为次得弦(癸甲或癸庚)又以角之大矢(午酉)为后得弦乘之(午酉乘癸甲)半径(酉巳)除之得他弦(卯甲即壬未)以减先得弦(甲庚)得对弧余弦(卯庚即壬巳)查表度得对弧(丁乙)解曰此因大弧之余酉甲与小弧戊酉同数则无加减故即半先得弦为次得弦也在加减法则为总弧无余弦而即半存弧余弦为初数丙戊丁形(有戊角及角旁二边)求对弧丁丙如法以大边(丙戊)之余(卯丙即癸庚)与小弧(丁戊即癸辛)相加(成辛庚)取其正弦(庚乙)为先得弦次眎角旁两弧之捴(辰丁)大于象限法当以癸庚减癸辛得较子辛(即辛井)而取其正弦(子斗即井斗亦即乙)(甲)以加先得弦(乙庚)而半之(甲庚之半为甲丑)为次得弦又以角之大矢(卯癸)为后得弦以乗次得弦为实半径为法除之得他弦(牛庚)末以他弦(牛庚)与先得弦(庚乙)相减得(牛乙即壬巳)为对弧之余弦查余弦度以减半周得对弧丁丙解曰此为他弦大于先得弦故反减也在加减法则所得为对弧大矢与存弧小矢之较而两矢较即两余弦并也故减存弧余弦得对弧余弦补求经度法法用角旁两弧(大弧用余度小弧用本度)相加得数取正弦为先得弦又相减得较取正弦以与先得弦相加减(角旁两弧大于象限)(则相加若小于象限则相减)而半之为次得弦(若角旁两弧并之适足一象限则径以先)(得弦半之为次得弦不须加减)用为首率 次以对角弧之余弦与先得弦相加减得他弦为次率(对弧大于象限相加小于象限则相减) 半径为三率 求得角之矢为四率(正矢为锐角大矢为钝角)假如丙戊丁形有三边求戊角(借用前图)一 次得弦 甲丑(乃先得弦甲庚之半)即庚丑二 他弦 壬酉(即牛庚乃对弧余弦加先得弦因对弧大故相加)三 半径 巳癸四 钝角大矢卯癸(卯癸大矢内减巳癸半径为余弦查表得度以减半同为戊钝角之度)论曰角求对边者求纬度也三边求角者求经度也二者之分祗在四率中互换无他缪巧厯指注云求纬用正弦求经用切线殊不可晓及查其后条用例亦无用切线之法殆有缺误厯书中如此者甚多故在善读耳加减通法加减代乗除之法以算三边求角及二边一角求对角之边皆斜弧三角之难者也其算最难而其法益简故凡算例中两正弦相乗者即可以加减代之则虽正弧诸法实多所通故谓之通法法曰凡四率中有以两正弦相乗为实半径为法者皆可以初数取之 有以两余弦相乗为实半径为法者皆可以次数取之 有以余弦与正弦相乗为实半径为法者皆可以甲乙数取之假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧(此如有春分角有黄)(道而求距度)本法当以角之正弦与角旁弧之正弦相乗为实半径为法除之也今以初数取之即命为所求度正弦设黄道三十度求黄赤距度(春分角二十三度三十一分半黄道 三十○度)(捴弧存弧) (五十三度三十一分半 六度二十八分半)余弦(五九四四七九九三六二)用初数为正弦检表得度 (相减三九九一五即初数折半一九九五七)求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒又设黄道七十五度求黄赤距度(春分角二十三度三十一分半黄道 七十五度)(捴存)弧 (九十八度三十一分半五十一度二十八分半)余弦(一四八二四六二二八五)用初数为正弦检表得度 (相加七七一○九折半三八五五四)求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距正弦黄道余弦相乗半径除之也今以甲数取之设黄道六十度求距纬(句股方锥黄道以距二至起算下同)(黄赤大距二十三度三十一分半黄道 六十○度)(捴弧存弧) (八十三度三十一分半三十六度二十八分半)正弦(九九三六二五五四四七)用甲数为正弦检表得度 (相减三九九一五为甲数半之一九九五七)求到距纬一十一度三十○分四十二秒设黄道一十五度求距纬(黄赤大距二十三度三十一分半黄道 一十五度)(捴存)弧 (三十八度三十一分半 八度三十一分半)正弦(六二二八五一四八二四)用甲数为正弦查表得度 (相加七七一○九为甲数半之三八五五四)求得距纬二十二度四十分三十九秒又如次形法本以一正弦与一余弦相乗半径除之得所求之余弦今以初数取之设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边而求乙角本法为半径与丙角正弦若甲丙余弦与乙角余弦今以初数即命为乙角余弦 (丙角度度甲丙余)相(并减)为(捴存)弧各取其余弦如法相加减而半之成初数即命为乙角余弦本法用正弦与余弦相乗而亦以初数取之何也曰甲丙余弦实次形丁丙正弦也故仍用初数假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正弦若角旁弧之正弦与垂弧之正弦也今以初数即命为垂弧正弦设丁乙丙形有乙锐角有丁乙边求作丁甲垂弧 (乙角度乙丁弧)相(并减)为(捴存)弧而取其余弦如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂弧正弦设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其法亦同 (乙外角丁乙边)相(并减)为(捴存)弧而各取其余弦如上法取初数命为甲丁垂弧正弦又如弧角比例法本为角之正弦与对角边之正弦若又一角之正弦与其对边之正弦今以初数进五位即为两正弦相乗之实可以省乗设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角正弦与乙甲正弦相乗为实丙角正弦为法除之得乙丙正弦今以甲角度与乙甲弧相并减为捴存弧如法取初数进五位为实以丙角正弦除之亦得乙丙正弦(若有)(乙丙边求丙角则以乙丙边正弦为法除之即得丙角之正弦)又如垂弧㨗法本以两余弦相乗为实又以余弦为法除之而得所求之余弦今以次数进五位为两余弦相乗之实即可省乗设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳边而求甲丁边本法为亥巳边之余弦与亥甲边之余弦若丁巳边之余弦与甲丁边之余弦也 今以次数代乗(亥甲丁巳)二弧相并为捴弧相减为存弧而各取其余弦如法相加减而半之为次数下加五○即同亥甲与丁巳两余弦相乗之实但以亥巳边之余弦为法除之即得甲丁边之余弦进五○何也曰初数者两正弦相乗半径除之之数故必进五位即同两正弦相乗之实矣 次数进位之理倣此论之补加减㨗法设壬丙甲弧三角形甲壬边适足九十度 丙甲边八十三度 对弧壬丙五十九度求甲角法曰角旁有一边适足九十度则总存两余弦同数当以余弦即命为初数 依法求得五十八度四十四分为甲角存矢 申丙 七四五矢较 戊申 四七七五一一 初数 九九二五五已申二 矢较 四七七五一戊申三 半径一○○○○○己癸 查表得五十八度四十四分四 (角之矢) 四八一○九壬癸余弦 五一八九一壬巳论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬甲九十度即髙弧全数丙甲八十三度月距北极也癸丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其余弦己戊即极出地正弦所求甲角月出地平时地经赤道差也㨗法以黄赤距度余弦与极出地正弦相减余进五位为实仍以距度余弦除之得差角矢解㨗法曰极出地正弦即对弧余弦黄赤距度余弦即存弧余弦两余弦之较即矢较也又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正弦也(即存)(弧癸丙之余弦)未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也又解曰初数是两正弦相乗半径除之之数今甲壬边之正弦即半径故省乗除竟以甲丙正弦为初数又设壬甲辛钝角形(即用前图) 壬甲邉适足九十度 辛甲邉九十七度 对邉辛壬一百二十一度 求甲角依法求得甲钝角一百二十一度一十六分对弧辛壬一百卄一度余弦巳戊 五一五○四对弧大矢 戊辛 一五一五○四存弧 矢 癸乙同酉辛 七四五(亦同丁庚)两矢 较 戊酉同辰辛一五○七五九(亦同丁壬)一 初数 (丁巳同午辛) 九九二五五二 矢较 (丁壬同辰辛)一五○七五九三 半径 己庚一○○○○○四 角大矢 壬庚一五一八九○余弦 己壬 五一八九○查表得五十八度四十四分以去减半周得甲角一百二十一度一十六分论曰縂弧过象限及过半周宜以余弦相加折半成初数今两余弦相同而径用为初数亦折半之理也向作加减法补遗自谓巳尽其变不知仍有此法故特记之因算带食得此其用㨗法更竒甚矣学问之无穷也壬甲丙锐角形壬甲邉适足九十度 丙甲邉六十七度对弧壬丙五十度 求甲角依法求得甲角四十五度四十二分○五(即为初数)壬丙对弧五十○度余弦六四二七九 巳戊对弧矢三五七二一 戊丙存弧矢 七九五○ 乙癸(即申丙)矢较 二七七七一 申戊一 初数 九二○五 申巳二 矢较 二七七一 申戊三 半径 一○○○○○ 己癸四 角之矢 三○一六九 壬癸余弦 六九八三一 壬巳查表得四十五度四十二分因前图丙癸度小故复作此以明之算甲余角又于本图取辛甲壬钝角形 壬甲九十度 辛甲一百一十三度 壬丙五十度 求甲钝角 依法求到甲钝角度一百三十四度一十八分壬辛对弧一百三十○度余弦巳戊六四二七九大矢 辛戊 一六四二七九存弧矢 申丙(即乙癸) 七九五○(亦即酉辛)矢较 酉戊 一五六三二九一初数 九二○五○酉巳(即丁巳) 二矢较一五(六三二九)酉戊三半径一○○○○○庚巳 四(角大矢)一六(九八三○)庚壬余弦六九(八三○)查表得四十五度四十二分以减半周得甲钝角一百三十四度一十八分论曰试作庚亥线与辛丙径平行又引对弧坎戊正弦至亥成庚亥壬句股形即庚干巳亦同角之小句股形而庚亥同酉戊两矢较也庚干同酉巳初数也则初数(庚干小股)与两矢较(庚亥大股)若半径(庚巳小弦)与角之大矢(庚壬大弦)凡角旁弧适足九十度则縂存两余弧同数法即以余弦命为初数日月食带食出入地平用此算其地经赤道差甚㨗补甲数乙数法丁辛乙斜弧三角形辛丁弧五十度一十分 辛乙弧八十度 丁乙对弧六十度 又若辛乙弧八十度求辛角 辛丁(余弧)三十九度(五十)分辛乙(余弧)一十度 縂弧一百十九度(五十)分辛丁弧五十度一十分 较弧 四十度一十分两正弦总(一五一二四九)半之为甲数(七五六二四)两正弦较(二二二四七)半之为乙数(一一一二三)丁乙对弧余弦(五○○○○)内减乙数余(三八)(八七七)为二率一 甲数 七五六二四二 三八八七七三 半径一○○○○○四 (辛角余弦) 五一四○八查表得五十九度○四分为辛角若前形有辛角而求丁乙对弧一 半径一○○○○○二 (辛角余弦) 五一四○八三 甲数 七五六二四四 三八八七七以加乙数 一一一二三成对弧余弦五○○○○查表得六十度此因角旁余弧小于正弧故乙数亦小于甲数而以所得四率加乙数为对弧余弦丙乙丁形 乙钝角一百一十度 (乙丙乙丁)二弧并三十度求丁丙对弧乙丙余弧六十度乙丁弧 三十度縂弧 九十度正弦一○○○○○较弧 三十度正弦 五○○○○相加 一五○○○○半之为乙数七五○○○相减 五○○○○半之为甲数二五○○○一 半径一○○○○○二 (乙角余弦) 三四二○二三 甲数 二五○○○四 八五五○以减乙数 七五○○○得对弧余弦六六四五○查表得四十八度二十一分此因角旁乙丙余弧大于乙丁正弧故乙数大于甲数而以所得四率反减乙数为对弧余弦前例转求乙钝角 (乙丙乙丁)二弧并三十度 丁丙对弧四十八度二十一分求乙角一 甲数 二五○○○ 二(对弧余弦减乙数之余)八五五○三 半径一○○○○○ 四钝角余弦三四二○二查表得七十度以减半周得一百一十度为乙角縂论曰甲数乙数原以角旁两弧之正弦错乗而得今改用加减故角旁两弧一用正一用余然有时余弧大于正弧者角旁两弧之合数必过象限也有时余弧小于正弧者角旁两弧之合必不及象限也若角旁两弧之合适足象限则余弧必与正弧等而无较弧又设子乙丙形 乙钝角一百度 (乙丙乙子)二弧并四十五度求对角乙丙余弧四十五度乙子 弧四十五度(半之为甲数)五○○○○ 则无可加亦(亦为乙数)五○○○○ 无可减故皆用縂弧正弦折半为甲数亦为乙数一 半径一○○○○○二 (钝角余弦) 一七三六五三 甲数 五○○○○四 八六八二加乙数共 五八六八二(命为对弧矢)得对弧(余弦) 四一三一八查表得对弧子丙六十五度三十六分若前例三邉求乙角乃置对弧六十五度三十六分之余弦四一三一八求其矢得五八六八二丙减乙数五○○○○仍余八六八二为二率一 甲数 五○○○○二 八六八二三 半径一○○○○○四 (钝角余弦) 一七三六四查表得八十度以减半周得一百度为乙角之度补先数后数法前式丙乙丁形 乙角一百一十度 (乙丙乙丁)并三十度求丁丙对弧一 半径方 一○○○○○○○○○○二 正弦方 二五○○○○○○○○三 乙角(大矢) 一三四二○二四 两矢较 三三五五○对弧余弦 六六四五○查表亦得四十八度二十一分此因角旁两弧同度则无较弧之矢故径以所得矢较命为对弧之矢前式子乙丙形 乙角一百度 (乙丙乙子)二弧并四十五度求对弧一 半径方 一○○○○○○○○○○二 正弦方 五○○○○○○○○○三 角大矢 一一七三六五四 矢较 五八六八二(因无较弧矢故即为对弧矢)对弧余弦 四一三一八查表亦得对弧子丙六十五度三十六分若先有对弧子丙而求乙角一 正弦方 五○○○○○○○○○二 半径方 一○○○○○○○○○○三 对弧矢 五八六八二(因无较弧矢故即以对弧矢为矢较)四 角大矢 一一七三六五余弦 一七三六五查表得八十度以减半周得乙钝角一百度又设乙角六十度角旁(乙丙乙子)二弧并四十五度 求子丙对弧一 半径方一○○○○○○○○○○二 正弦方 五○○○○○○○○○三 锐角矢 五○○○○四 矢较 二五○○○ (无较弧即用为对弧矢)对弧余弦 七五○○○查表得对弧五十三度○八分厯算全书卷十一
## 卷十二
钦定四库全书厯算全书卷十二宣城梅文鼎撰歳周地度合攷攷最髙行及歳余古厯不知太阳有最髙之行郭太史时最髙卑正在二至难于窥测西厯自多禄某以来世有积测定最髙㸃每年东行四十五秒每太阳平行一度髙行七㣲半约八十年行天一度康熙庚申又改测每年行一分○一秒十㣲最髙㸃进移二十八分故辛酉天正冬至最髙在未宫七度○七分○七秒每太阳平行一度髙行十㣲一○四计五十八年十个月○六日竒行天一度此永年表之新率也但最髙之度既改而又自有行动则每年歳实小余之数必不均齐夫治厯首务太阳而太阳重在盈缩爰举歴年髙行及四正相距时日前后互核以騐歳实之消长髙行之迟速列为一卷亦可为后来攷测之资云己未年最髙过夏至六度三十九分春分 甲戌日申正二刻六分中距九十三日十二刻十二分夏至 丁未日戌初三刻三分中距九十三日六十一刻秋分 辛巳日午初初刻三分 距本年(春分一百八十六日七十)(三刻十二分)中积八十九日四十五刻一分冬至 庚戌日亥正一刻四分 距本年(夏至一百八十三日一十)(刻一分)中积八十九日○八分按最髙行为盈缩立差之主其行有序今己未最髙在夏至后六度三十九分而次年庚申即行至七度七分一年之内骤行二十八分必另有新测矣庚申年最髙过夏至七度七分(按永年表所载者年前冬至之数七政厯所载本年)(夏至之数度分同)春分 己卯日亥正一刻十二分 距(己未秋分百七刻十八日四十五)中积九十三日十一刻 (九分己未春分三刻六分百六十五日卄三)夏至 癸丑日丑初初刻十二分 距(己未夏至三百六十五日卄一刻九分)中积九十三日六十一刻七分秋分 丙戌日申正三刻四分 距(本年春分百八十六日七十三刻七分)中积八十九日四十六刻(十三)分 (己未秋分三百六十五日二十三刻六分)冬至 丙辰日寅正二刻二分 距(巳未冬至三百六十五日卄四刻十三分)(本年夏至一百八十三日一十三刻六分)按最髙进移则夏至差而早冬至差而迟意者新测之冬至迟于先测耶又按歳余二十四刻十三分于授时法得二千五百九十分必无是理其为改测无疑据向后数冬至距冬至春分距春分俱合得三百六十五日二十三刻四分(或五分三分)以较庚申歳实多一刻○九分必为改测矣壬戌年最髙过夏至七度九分春分 庚寅日巳正初刻六分中距九十三日十刻一十二分夏至 癸亥日午正三刻三分 距(庚申夏至七百三十日四十六刻六分)中距九十三日六十二刻九分秋分 丁酉日寅正一刻(十二)分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日四十七刻冬至 丙寅日申正初刻(十二)分 距(庚申冬至七百三十日四十六刻十分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日十三刻九分)癸亥年最髙过夏至七度十分春分 乙未日申初三刻九分 距(壬戌春分三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(十刻十二)分 (壬戌秋分一百七十分八日四十五刻十二)夏至 戊辰日酉正二刻六分 距(壬戌夏至三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(六十二刻)九分 (壬戌冬至一百八十二日九刻○九分)秋分 壬寅日己正一刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)一分 (壬戌秋分三百六十五日二十三刻三分)冬至 辛未日亥正初刻一分 距(壬戌冬至三百六十五日二十三刻四分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日一十三刻十分)甲子年最髙过夏至七度十一分春分 庚午日亥初二刻(十三)分 距(癸亥秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日(十刻)十一分 (癸亥春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲戌日子正一刻九分 距(癸亥夏至三百六十五日二十三刻○三分)中距九十三日(六十二刻)十分 (癸亥冬至一百八十二日九刻○八分)秋分 丁未日申正初刻四分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)一分 (癸亥秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 丁丑日寅初三刻五分 距(癸亥冬至三百六十五日二十三刻四分)中距八十八日(九十四刻十二)分 (本年夏至一百八十三日十三刻十一分)乙丑年最髙过夏至七度十二分春分 丙午日寅初二刻二分 距(甲子秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻九分 (甲子春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 己卯日卯正初刻(十一)分 距(甲子夏至三百六十五日二十三刻二分)中距九十三日(六十二刻十二)分 (冬至一百八十二日九刻六分)秋分 壬子日亥初三刻八分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中距八十九日(四十七刻)二分冬至 壬午日巳初二刻十分 距(甲子冬至三百六十五日二十三刻五分)中距八十八日(九十四刻十一)分 (本年夏至一百八十三日十三刻十四分)丙寅年最髙过夏至七度十三分春分 辛亥日巳初一刻六分 距(乙丑秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻八分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲申日午初三刻(十四)分 距(乙丑夏至三百六十五日二十三刻三分)中距九十三日(六十二刻十二)分 (冬至一百八十二日九刻四分)秋分 戊午日寅初二刻(十一)分 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中距八十九日(四十七刻)四分冬至 丁亥日申初二刻 距(乙丑冬至三百六十五日二十三刻六分)中积八十八日(九十四刻)十分 (本年夏至一百八十三日十四刻一分)按日行盈缩细攷之则春分距夏至夏至距秋分虽皆缩厯而其缩亦不同秋分距冬至冬至距春分虽皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同细求之则节节不同又细求之且日日不同矣其故何也葢最髙一㸃不在夏至而在其后数度又且年年移此太阳盈缩之根而岁实所以有消长也甲子年春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥年秋分(一百七十八日四十五刻十三)分 距癸亥年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 丁未日申正初刻四分 距春分一百八十六日七十三刻六分乙丑年春分 丙午日寅初二刻二分 距甲子年秋分(一百)(七十八日四十五刻十三)分 距甲子年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 壬子日亥初三刻八分 距本年春分(一百八十)(六日七十三刻)六分 距甲子年秋分(三百六十五日二十三刻四分)丙寅年春分 辛亥日巳初一刻六分 距乙丑年秋分(一百)(七十八日四十五刻十三)分 距乙丑年春分(三百六十五日二十三刻四分)秋分 戊午日寅初二刻十一分 距本年春分(一百)(八十六日七十三刻)五分 距乙丑年秋分(三百六十五日二十三刻三分)以上二分定气之距皆相同其春分至秋分日行最髙为缩厯多八日二十七刻八分惟丙寅年秋分早到一分只多八日二十七刻七分约之为八日二十七刻半按最髙半周多八日竒者非多八日也以较最卑半周故多八日竒若其本数只多四日有竒耳因最卑亦少四日竒故合之为八日竒熊䃪石乃谓本数多八日则所误多矣假如乙丑秋分至丙寅秋分共三百六十五日卄三刻三分半之该一百八十二日五十九刻九分而丙寅春分至秋分得一百八十六日七十三刻五分则多四日一十三刻十一分 丙寅春分前距乙丑秋分得一百七十八日四十五刻十三分又少四日一十三刻十一分 合计之则为八日二十七刻七分半周均𣲖各一百八十二日竒者谓之恒气半周有盈缩者谓之定气相差八日竒者乃两半周定气相较之数非一半周定气与其恒气自相较之数也甲子年春分 庚子日亥初二刻十三分 距癸亥春分三百六十五日二十三刻四分冬至 丁丑日寅初三刻五分 距癸亥冬至三百六十五日二十三刻四分乙丑年春分 丙午日寅初二刻二分 距前春分三百六十五日二十三刻四分冬至 壬午日巳初二刻十分 距前冬至三百六十五日二十三刻五分丙寅年春分 辛亥日己初一刻六分 距前春分三百六十五日二十三刻四分冬至 丁亥日申初二刻 距前冬至三百六十五日二十三刻五分右冬至之小余皆卄三刻五分(或四分)春分之小余皆卄三刻四分差一分以冬至论歳余得授时万分日法之二千四百三十○半分大于消分八分法以小余五分为实刻十五分为法除之得三之一以从刻共得二十三刻又三之一为实九十六刻为法除之得○二四三○五进四位得二千四百三十分强(进四位者以万乗也)若以春分论歳余得授时万分日法之二千四百二十三分六亦大于消分一分六法以卄三刻化三百四十五分并入四分得三百四十九分为实日法一千四百四十分为法除之得○二四二三六进四位得二千四百二十三分半强按授时消分为不易之法今复有长者何耶西法最髙之㸃在两至后数度歳歳东移故虽冬至亦有加减不得以恒为定也此是两法中一大节目其法自回回厯即有之然了凡先生颇采用回回法而不知此熊䃪石先生亲与西儒论厯而亦不言及何耶丁卯年高冲过冬至七度十四分春分 丙辰日申初初刻十分 距(丙寅秋分一百七十八日四十五刻十四分)中积九十三日十刻七分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 己丑日酉初三刻二分 距(丙寅夏至三百六十五日二十三刻三分)中积九十三日(六十二刻十三)分 (冬至一百八十二日九刻二分)秋分 癸亥日己初二刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中积八十九日四(十七刻四)分 (丙寅秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 壬辰日亥初一刻四分 距(丙寅冬至三百六十五日二十三刻四分)中积八十八日九(十四刻十)分 (本年夏至一百八十三日十四刻二分)戊辰年髙冲过冬至七度十五分春分 辛酉日戍正三刻(十四)分 距(丁卯秋分一百七十八日四十五刻十四分)中积九十三日十刻六分 (春分三百六十五日二十三刻四分)夏至 甲午日夜子初(二刻)五分 距(丁卯夏至三百六十五日二十三刻三分)中积九十三日(六十二刻十四)分 (冬至一百八十二日九刻一分)秋分 戊辰日申初一刻四分 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中积八十九日四(十七刻六)分 (丁卯秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 戊戌日寅初初刻十分 距(丁卯冬至三百六十五日二十三刻六分)中积八十八日(九十四刻)七分 (本年夏至一百八十三日十四刻五分)己巳年髙冲过冬至七度十六分春分 丁卯日丑正三刻二分 距(戊辰秋分一百七十八日四十五刻十三分)中距九十三日十刻六分 (春分三百六十五日二十三刻三分)夏至 庚子日卯初一刻八分 距(戊辰夏至三百六十五日二十三刻三分)中积九十三日六十三刻 (冬至一百八十二日八刻十三分)秋分 癸酉日亥初初刻八分 距(本年春分一百八十六日七十三刻六分)中积八十九日(四十七刻)六分 (戊辰秋分三百六十五日二十三刻四分)冬至 癸卯日辰正三刻(十四)分 距(戊辰冬至三百六十五日二十三刻四分)中积八十八日(九十四刻)八分 (本年夏至一百八十三日十四刻六分)庚午年髙冲过冬至七度十七分春分 壬申日辰正(二刻)七分 距己巳(秋分一百七十八日四十五刻十四分)中积九十三日(十刻)四分 (春分三百六十五日卄三刻五分)夏至 乙巳日午初初刻(十一分) 距己巳(夏至三百六十五日二十三刻三分)中积九十三日六十(三刻) (冬至一百八十二日八刻十二分)秋分 己卯日丑正三刻(十一分) 距本年(春分一百八十六日七十三刻四分)中积八十九日(四十七刻七分) (己巳秋分二百六十五日廿三刻三分)冬至 戊申日未正三(刻三)分 距己巳(冬至三百六十五日廿三刻四分)中积八十八日(九十四刻七分) (本年夏至一百八十三日十四刻七分)辛未年髙冲过冬至七度十八分春分 丁丑日未正一刻(十分) 距(庚午秋分一百七十八日四十五刻十四)中积九十三日(十刻)三分 (分日春分三百六十五 廿三刻三分)夏至 庚戌日申正三(刻三十)分 距(庚午夏至三百六十五日二十三刻二分)中积九十三日(六十三刻二分) (冬至一百八十二日八刻十分)秋分 甲申日辰正三刻 距(本年春分一百八十六日七十三刻五分)中积八十九日(四十七刻七分) (庚午秋分二百六十五日廿三刻四分)冬至 癸丑日戌正二(刻七)分 距(庚午冬至三百六十五日廿三刻四分)(本年夏至一百八十三日十四刻九分)按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共长一刻○三分(中积只十一年)壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分(中积共只八年)又合计癸亥夏至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻(一分) 辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分然二分之相距则无甚差何也葢最髙移而东则夏至后多占最髙之度而减度加时之数益多故益长髙冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也乃若二分与中距虽亦歳移而中距皆为平度不系加减其最髙前后视行小之度固全在春分后半周最髙冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无动移故无甚消长也西国月日攷攷回国圣人辞世年月回国圣人辞世年月据西域斋期(江寕至鸿堂刻单)以康熙庚午五月初三日起是彼中第九月一日谓之勒墨藏一名阿咱而月也至六月初三日开斋是彼中第十月一日谓之绍哇勒一名荅亦月是为大节再过一百日至九月十三日为彼中第一月第十日谓之穆哈兰一名法而干而丁月其日为阿叔喇济贫之期谓之小节鼎尝以回回厯法推算本年白羊一日入第六月之第八日与此正合又据斋期云本年庚午圣人辞世共计一千○九十六年(此太阳年)攷本单开圣人生死二忌在本年十一月十四日在彼为第三月谓之勒必欧勒傲勿勒又名虎而达查西域阿刺必年是开皇己未距今康熙为一千○九十二算减一为一千○九十一乃开皇己未春分至今康熙庚午春分之积年又查己未年春分在彼中为太阴年之第十二月初五日 以距算一千○九十一减圣人辞世千○九十六相差五年逆推之得开皇十四年甲寅为圣人辞世之年约计甲寅至己未此五年中节气与月分差闰五十五日甲寅春分当在彼中第十月之初圣人辞世既是第三月则在春分月前七个月为处暑月即今七月也自开皇甲寅七月十四日圣人辞世至今康熈庚午七月十四日正得一千○九十六年故曰共计一千○九十六年也据此则开皇甲寅是彼中圣人辞世之年薛仪甫谓为回回厯葢以此而误又按圣人以第三月辞世而其年春分则在第十月今彼以第十月一日为大节葢为此也攷泰西天主降生年月据天地仪书耶苏降生至崇祯庚辰一千六百四十年算至康熈庚午一千六百九十年查康熙戊辰年瞻礼单诞辰在冬至后四日日躔箕宿七度 逆推汉哀帝庚申约差卝四度则是当时冬至在斗宿之末 约计耶苏降生在冬至前二十余日为小雪后四五日也自哀帝庚申十月算至隋开皇甲寅七月望回回教圣人马哈木徳辞世实计五百九十四年不足两个多月攷厯书所纪西国年月万厯十二年甲申西九月十五日日躔夀星二度 又十三年乙酉西九月卄八日日躔夀星十五度半万厯十四年丙戌西十月(阙) 日日躔夀星二十九度又十五年丁亥西十月卝六日日躔大火十二度太万厯十六年戊子西十一月初八日日躔大火二十六度太 又十七年己丑西十一月卝二日日躔析木十一度弱万厯十八年庚寅西十二月初六日日躔析木卄五度又十九年辛卯西十二月卄一日日躔星纪九度万厯二十三年乙未西正月三十日日躔𤣥枵卄一度万厯三十五年丁未西七月初九日日躔鹑首廿六度五三 又三十七年己酉西七月廿一日日躔鹑火八度半万厯三十八年庚戍西八月初二日日躔鹑火二十度又三十九年辛亥西八月十五日日躔鹑尾二度按此所纪皆是以日躔星纪二十度为正月初一日析木二十度(或十九度)为十二月朔 大火(十九)度(或二十度)为(十一)月朔 夀星十八度为十月朔 鹑尾十八度为九月朔 鹑火十九度(或十八度)为八月朔 鹑尾十八度为七月朔(此亦约畧之算细求之尚有太阳盈缩)又正德九年甲戌西五月初五日子正前日躔大梁二十二度四十分 是以大梁十九度为五月朔(所测在子正前)(西厯纪日月午正故曰十九度)正德十五年庚辰西四月三十日日躔大梁十七度四八 是以降娄十九度为四月朔又本年七月十三日日躔鹑火初度 是以鹑首十八度为七月朔嘉靖二年癸未西十一月卄九日日躔析木十五度五四 是以大火十八度为十一月朔嘉靖六年丁亥西十月初十日日躔夀星卄七度 是以夀星十八度为十月朔嘉靖八年己丑西二月初一日日躔𤣥枵廿一度 是以𤣥〔？〕廿一度为二月朔万厯十年壬午西二月廿六日申初二刻日躔娵訾十七度四十九分四二 是以𤣥枵廿二度为二月朔万厯十一年癸未西九月初六日日躔鹑尾廿三度是以鹑尾十八度为九月朔万厯十四年丙戌西十二月廿六日申初二刻太阳在星纪宫十四度五十一分五三 是以析木十九度为十二月朔万厯十六年戊子西十二月十五日巳初刻太阳在星纪三度五十三分 是以析本十九度为十二月朔万厯十八年庚寅西二月初八日午正后三十四刻太阳视行在娵訾初四十秒 是以𤣥枵廿三度为二月朔又本年九月初七日子正日躔鹑尾二十四度 据此初一日鹑尾十八度万厯廿一年癸巳西八月初十日日躔鹑火廿七度是以鹑火十八度为八月朔又汉顺帝永建二年丁卯西三月廿六日酉正太阳在降娄一度十三分 是以娵訾七度为三月朔顺帝阳嘉二年癸酉西六月初三日申正太阳在实沈九度四十分 是以实沈七度为六月朔顺帝永和元年丙子西七月初八日午正太阳在鹑首十四度十四分 是以鹑首七度为七月朔又本年西八月三十一日九月初一太阳在鹑尾七度顺帝永和二年丁丑西十月初八日太阳在夀星十四度 是以夀星七度为十月朔顺帝永和三年戊寅西十二月廿二日子正前四时日躔析木九度十五分 据此初一日是大火八度当是十一月非十二月顺帝阳嘉二年癸酉西五月十七十八日太阳在大梁二十三度 据此五月朔大梁七度按自汉顺帝永建丁卯为总积四千八百四十年至明万厯十二年甲申为总积六千二百九十七年相距一千四百五十七年相差十二三度即歳差之行也汉时月朔俱在各宫七八度之间万厯间月朔俱在各宫之十八九度或卄一二度据此论之则西厯太阳年用恒星有定度其恒星节气虽从歳差西行而每月之日次则以太阳到恒星某度为定千古不变也想西古厯法只是候中星每年某星到正中即是某月又按此法于歳差之理甚明但欲敬授民时则不如用节气为妥天经或问欲以冬至日为第一月第一日可以免闰又可授时谓本于方无可先生然沈氏笔谈已先有其说矣今查瞻礼单康熙丁卯年正月十八丁酉日 应西厯三月初一日(亥宫十度二十六分) (危十一度二三)二月二十戊辰日 应西厯四月初一日(戌宫十一度十三分) 壁六度二三二月二十戊戌日 应西厯五月初一日(酉宫十度二十九分) 娄十度五三四月廿二己巳日 应西厯六月初一日(申一十度十五分) 毕六度九分五月廿二己亥日 应西厯七月初一日(未八度四十九分) 井七度五一六月廿四庚午日 应西厯八月初一日(午八度二十一分) 柳二度二二七月廿五辛丑日 应西厯九月初一日(巳八度一十分) 张六度四八八月廿五辛未日 应西厯十月初一日(辰七度三十○分) 轸一度○四九月廿七壬寅日 应西厯十一月初一日(卯八度二十二分) 亢八度一八十月卄七壬申日 应西厯十二月初一日寅八度(四二) 心五度一八十一月(卄八)癸卯日 应西厯正月初一日(丑十度二十分) 斗四度二六十二月(三十)甲戌日 应西厯二月初一日(子十一度五十六分) 女四度三○据此则西国厯日是以建子之月为正月也其法不论太隂之晦朔只以太阳为主然又不论节气但以太阳到斗宿四度为正月一日耳又其数与新法厯书所载不同岂彼国亦有改宪耶按西厯以午正纪日则以上宿度宜各加三十分依此推之欧罗巴之正月一日在斗宿五度新法厯书万厯二十三年乙未西正月三十日太阳在𤣥枵卄一度于时日行盈厯逆推初一日是星纪卄一度以歳差攷之万厯乙未至今丁卯距九十二年计差一度半弱其时星纪卄一度是斗十四度二法相较差十度必是改宪抑彼有多国各一其法耶又按今之斗四度是星纪十度逆推前此六百六十余年则正是冬至日太阳所躔之度也当此北宋之初瞻礼单必是此时所定若厯书所载斗十四度则又在其前六百六十年距今丁卯共有一千三百二十余年当在汉时葢其时冬至日躔斗十四度故以为歳首意者厯书所载故是古法而瞻礼单所定乃是新率耶由是观之则耶苏新教之起必不大逺又按西法以白羊宫初度为测算之端而纪月又首磨羯何耶曰测算论节气是以太阳之纬度为主纪月论恒星是以太阳之经度为主故也地度弧角地度求斜距法有两处北极髙度又有两处相距之经度而求两地相距之里数甲乙丙为赤道象弧丁为极(丁角之度为甲乙)戊甲距四十五度甲乙十度半(即经度之距亦即丁角)巳乙距四十度求戊巳之距法作戊庚丙象弧斜交于赤先求庚乙距以减巳乙得庚巳边又求戊庚边求庚角成戊庚巳小三角弧算戊庚巳小三角先有一角(庚)两边(一戊庚边一已庚边)而求已戊边 法先作已辛垂弧截出戊辛边并求戊角因得巳戊边乃以度变成里此所得即大度若距赤同度则但以距赤道余弦求其比例得里数一率 全 二率 距赤余弦三率 大度里数(二百五十里)四率 纬圈里数如距赤四十五度依法算得离赤道四十五度之地每一度该一百七十六里二百八十步 如东西相距二十七度该四千七百七十二里三百五十歩弱论曰地有距赤纬度又有东西经度经度如句纬度相减之余如股两地斜距如弦既有句有股可以求弦而不可以句股法求者地圆故也又论曰此为一角两边而角在两边之中法当用斜弧三角法求其对角一边之度变为里即里数也或用垂线分形法并同补论曰已㸃或在庚上或在其下其用庚角并同 但在下则当于庚乙内减巳乙而得己庚以里数求经度法或先有两地相距之里数而不知经度法先求两处北极髙度乃以两髙度之余为两边及相距里数变成度(用二百五十里大度)又为一边成弧三角形 乃以三边求角法求其对里数边之一角即经度也论曰凡地经度原以月食时取其时刻差以为东西相距然月食歳不数见又必多人两地同测始能得之况月天最近有气刻时三差及朦影之改变髙度非精于测者不易得凖 今以里数求之较有把握 得此法与月食法相参伍庶几无误 凡以里数论差当取径直若遇山林水泽峻岭回谷则以测量法求其折算之数而取直焉不但左右不宜旋绕曲折斯谓之直即髙下若干亦须用法取平若两地极髙同度则但以距赤道余弦(即极髙度正弦)求其比例得经度一率 距赤度余弦二率 全数三率 里数所变之度(用二百五十里为度)四率 相应之经度(纬圏经度也与赤道大圏相应但里数小耳)论曰北极髙度虽有凖则然近在数十里内所争在分秒之间亦无大差今以里数凖之则当以正东西为主如自东至西之路合罗金卯酉中线斯为正度若稍偏侧亦当以斜度改平然后算之视极髙度反似的确里差攷时宪厯各省太阳出入昼夜时刻京师 三十(九度五十五分)夏至昼五十九刻(七分)夜三十六刻(八分)盛京 四十(二度) (天问略无) 六十刻四分 三(十五)刻十(一分)山西 三十八度 五十八刻(八分) 三十七刻(七分)山东 朝鲜 (三十六度) 五十七(刻十三分) 三十八刻(二分)河南 陜西 (三十竒四度) 五十七刻(一分) 三十八(刻十四分)江南 三十二度半 五十六刻(六分) 三十九刻(九分)湖广 三十一度 五十六刻(二分) 三十九(刻十三分)四川 三 十 度 五十(五刻)十(一分) 四十刻四分浙江 廿 九 度江西 二十九度 五十五刻(七分) 四十刻八分福建 广西 (二十七度) 五十四(刻十二分) 四十一刻(三分)贵州 二十五度 五十四刻(四分) 四十一(刻十一分)云南 二十四度 五十四刻 四十二刻广东 二十三度半 五十三(刻十一分) 四十二刻(四分)此据壬申年厯日数也其刻数与天问略同者京师江南湖广浙江江西云南广东也刻分同则极髙确矣山西天问略长五十八刻六分今八分是所差不多或字画误也其极髙三十八度应亦无讹山东天问略长五十八刻四分今只五十七刻十三分是极髙原测三十七度后改测三十六度也时宪厯各省节气时刻以京师为主 在东者加 在西者减 毎加减四分为经度一度朝鲜 加二刻十分盛京 加二刻浙江 福建 加十二分江南 加八分山东 加五分以上地在京师之东皆加江西 减十分河南 湖广 减一刻广东 山西 减一刻五分广西 陜西 减二刻四分贵州 减二刻八分四川 减三刻七分云南 减四刻八分以上地皆在京师之西皆减天象同时并见而在东者早见日故其刻分加在西者迟见日故其刻分减假如京师正午时太阳在午线而居东者已见其过午矣故加居西者方见其将午到而犹未正午也故减陜西天问略长五十七刻十三分今只五十七刻一分是极高原测三十六度后改测三十四度奇也河南天问略长五十七刻七分今只五十七刻一分是极高原测三十五度后改测三十四奇也褔建天问略长五十四刻八分今有五十四刻十二分是极高原测二十六度后改测二十七度也广西天问略长五十四刻四分今亦五十四刻十二分是极髙原测二十五度后改测二十七度也贵州天问略长五十四刻今有五十四刻四分是极髙原测二十四度半后改测二十五度也天问略四川极髙二十九度半江西二十九度南北纬度以北极髙下定 东西经度以月食时刻定地在东一度则见食早其差为十五分刻之四节朔同地在北则昼夜差多南则渐平仰规覆矩 以里差赤纬为用一查地平经度为日出入方位一查赤道经度为日出入时刻约法求每日出入地平广度(春分至秋分在正卯酉北秋分至春分在正卯酉南)一率 大员半径二率 极髙度割线三率 赤道纬度正弦四率 日出入卯酉正弦(地平经度)求每日昼刻长短(春分至秋分加秋分至春分减)皆加减半昼二十四刻为半昼刻一率 大员半径二率 极髙度切线三率 赤道纬度切线四率 日出入加减度正弦(赤道经度) 以变时刻为加减之用求二至日出地广度图(广者地平经度距正卯酉也即日出入方位举二至为例余日皆以赤纬定之)已丙极髙度 即甲角之弧(亦即乙甲丁之余弧) 乙丁为夏至日距赤道之纬 即壬辛(其正弧辰乙即卯甲) 今求乙甲为夏至日出地平之广(冬至)(同广但夏至在卯酉北冬至在正卯酉南逐日赤纬)(皆可以此法求之得逐日出地之广)用甲乙丁弧三角形 法为丙戊正弦与丙甲半径若乙丁之正弦乙辰与乙甲也(乙甲即正弦庚丙戊正弦即北极髙度之余弦 甲也以丙甲戊角)(即巳甲丙之余角) 或用乙甲卯句股形 则为庚甲余弦(巳甲)(丙角之余弦)与巳甲半径若壬辛之正弦卯甲与乙甲也末皆以乙甲查正弦表得弧为出地之广(壬辛之正弦壬未与乙辰)(卯甲同大即知乙丁与壬辛亦同大而卯甲之弧亦与壬辛同大而今以直视竟成正弦)捷法 以比例尺取丙甲半径于正弦线之九十度定尺乃以乙甲正弦取对度得弧命为出地之广法曰半径与北极出地之割线若赤道纬度正弦与地平出入经度距正卯酉之正弦也此图已为南极 甲乙为冬至日出入之广 卯乙为冬至日轨所减于半昼之度 与前图同理量法从乙作直立线(与午)(甲平行)至戌得戌午弧即乙星出入地平距正卯酉经度(大圈即子午规侧望之形故午)(甲线即正卯酉)求时刻法 若欲知卯乙在距等圏之度法以卯为心癸若壬为界作半圏次从卯心出半径直线至干平分半员成象限末于乙出线与卯干半径平行至象限弧止为乙坎则其所分坎干之弧即卯乙在距等圏之度此度与甲丁赤道度相应可以知所歴时刻矣或用比例尺 以癸卯(即赤纬余弦)为距等半径加正弦线九十度定尺乃以卯乙取对度得弧又算法 求时刻加减度(谓逐日时刻所加减于半昼二十四刻之数春分后加秋)(分后减皆以度变时) 用前图巳甲乙斜弧三角形 有甲角(极出)(地度)有巳甲边九十度 有巳乙边赤纬之余(按用斜弧法厯书未)(有) 求巳角(其弧甲丁)赤道经度用查时刻法为半径丙甲与甲角之切线酉丙若已乙之余切亥丁(乙丁为巳乙之余弦故也实即)(赤纬之正切也)与已角之正弦甲丁(甲丁即弧即正)(弦以直视故弧线变为直线用法以甲丁查正弦表得角度)右即夏至卯酉前后日行地平上之赤道度以距等圏上之卯乙即赤道上之甲丁以甲丁度化时即得本地卯正前酉正后所多之刻冬至日卯后酉前所减之度及其时刻并同(逐日求之可列表)求乙甲边(地平经度查日出方位)此为求出地平之广与前算法并同但用斜弧形故其名顿易 法为半径丙甲与极出地甲角之割线酉甲若已乙之余弦乙辰与乙甲边(乙甲亦即边即正弦) 末以乙甲边查正弦表得乙甲边之度厯算全书卷十二
## 自序
自序
授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段各以段日除其叚之积度得数乃相减为一差一差乂相减为二差则其数齐同乃缘此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为毎日之定差矣若其布立成法则直以立差六者因之以为毎日平立合差之差此两法者若不相蒙而其术巧㑹从未有能言其故者余因李世徳孝廉之疑而试为思之其中原委亦自晓然爰命孙(瑴成)衍为垜积之图得书一卷
## 自序
几何补编自序
天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出葢利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然厯书中往往有杂引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈篾为灯诧其为有法之形(其制以六圈成一灯每圈匀为)(六折并周天六十度之通弦故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆未言及)乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源(法皆自楞剖至心即皆成锥体)(以求其分积则总积可知)以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃徴其实数(测量全义设二十等面体之边一百)(则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百一十八万一八二八相差四倍)又几何原本理分中末线亦得其用法(几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用)(今依法求得十二等面及二十等面之体积因得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例乂两体互相容及)(两体与立方立圆诸体相容各比例并以理分中末线为法乃知此线原非徒设)则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编
## 卷十三
钦定四库全书厯算全书卷十三宣城梅文鼎撰授时平立定三差详说太阳行天有盈有缩立成以八十八日九十一刻就整为限者(据盈厯言之)此由测验而得之也葢自定气冬至至定气春分太阳行天一象限(依古法以九十一度三一竒为象限)该歴九十一日三十一刻有竒而今则不然毎于冬至后八十八日九十一刻而太阳已到春分宿度故盈厯以此为限也夫八十八日九十一刻而行天一象限则于平行之外多行二度四十分竒也是为盈厯之大积差若缩厯即其不及之数必行至九十三日竒而后满一象限也故缩厯之限多于盈厯日数其积差极数亦与盈厯同但此盈缩之差绝非平派或自多而渐少或由少而渐多何以能得其毎日参差之数郭太史立为平立定三差法以齐其不齐可得毎日细差及积差其理则出于垜积招差之法也定差者何曰所测盈缩初日最大之差也凡盈缩末日即同平行其盈缩之最多必在初日今欲求逐日之差必先求初日最大之差以为之凖则故曰定差也既有此最大之差即可以求逐日之差而逐日之差皆以渐而少法当用减故又有平差立差皆减法也然何以谓之平差曰平者平方也其差之増有类平方故以名之也差何以能若平方曰初日以后其盈缩渐减以至于平以常法论之数宜平派即用差分法足矣而合之测验所得则又非平派也其近初日也所减甚少其近末日也所减骤多假如一日减平差一则二日宜减二而今则二日之平差増为四又初日平差一二日平差四则三日宜为七四日宜为十而今则三日之平差増为九四日増为十六故非平方垜积之加法不足以列其衰序也然则又何以为立差曰立者立方也差何以又若立方曰以平差合之测验犹为未足故复设此以益之假如初日减平差一又带减立差一至二日则平差四而所带之立差非四也乃八也三限平差九而立差非九也乃二十七也葢必如此而后与所测之盈缩相应其分为六段何也曰此求差之法也一二日间虽各有盈缩之差然差少则难辨积至半次其差始多而可见矣故各就其盈缩之日匀分之一年二十四定气分四象限各有六气故其分亦以六也既匀分六段矣又以后段连前段何也曰此所谓招差也虽匀分六段其差积仍难细分故惟于初段用本数以其盈缩多而易见也(如盈厯初段积盈七千分是最多而易见也)若末段必带前段以其盈缩少而难真也(如盈厯末段积差与第五段相减则其本)(段中只共盈七百四十九分数少难分故连前段论之)借彼易见之差以显难真之数此立法之意也(以太阳盈差为例他倣此)然则各段平差不几混乎曰无虑也凡前多后少之积差合总数而匀分之即得最中之率如第六段之平差即第四十四日之盈加分(以八十八日九二折半得四十四日四六即最中之处其)(本段平差二百七十余分与之相应下倣此)第五段之平差即第三十七日之盈加分第四段之平差即二十九日之盈加分第三段之平差即第二十二日之盈加分第二段之平差即第十四日八二之盈加分第一段之平差即第七日四一之盈加分其数各有归著虽连前段原无牵混也然则又何以有一差二差曰一差者差之较也二差者较之较也曷言乎差之较曰各段平差是盈缩于平行之数也其数初段多而末段少各段一差是相邻两限盈缩之较也其数初段少而末段反多然则二者若是其相反欤曰非相反也乃相成也葢惟其盈缩于平行之数既以渐而减则其盈缩自相差之数必以渐而増其法于前限平差内减次限平差即知前限之盈缩多于后限若干矣而此一差之数原非平派故初限次限之较最少而次限三限之较渐多三限四限之较又多四限五限更多至五限六限则多之极矣其多之极者何也盈缩之数近末限则骤减也此一差之前少后多正所以为盈缩之前多后少也然则二差又何以有齐数曰不齐者物之情也而不齐之中有所以不齐焉得其所以不齐斯可以齐其不齐矣今各限之一差不齐而前后两一差相减则仍有齐数为二差是其不齐者差之较而其无不齐者较之较也较之较既为齐数则较数之不齐皆有伦而有脊矣故遂可据之以求定差也泛平积即用第一段平差何也曰今推定差初日之数也前所推第一段平差则第七日之数也故总第一段言之可曰平差而自初日言之但成泛积泛者对定之辞言必再有加减而后为定率也二差折半何也曰以分平差立差之实也葢泛平积差既为初日盈加分多于七日之较则皆此七日中平差立差所积而成之者也而平差之数大立差之数小泛平积之大数皆平差所成而其中有六十九秒(即半二差)则立差所成故分出此数以便各求其数也平差除一次立差除两次何也曰此平立之分也除一次者段日本数为法也除两次者段日自乘为法也于是再以段日乘之则本数者如平方之自乘自乘者如立方之再乘矣平立合差何也曰次限少于初限之差也内有两平差六立差之共数故谓之合差(如盈厯以二分四十六秒为平差三十一微为立差)(今倍平差得四分九十二秒加入加分立差一秒八十六微共得四分九十三秒八十六微为平立合差是有)(两平差六立差之数葢加分立差原是六个立差也)定差内又减一平差一立差为初日加分何也曰此初日加分之积少于定差之数也既以定差为初日加分矣而积又减此何也曰以定差为初日加分者乃初日最初之率也积满一日则平差立差各有所减而特其减甚微故各祗一数如平方立方之起数以一也是故此一平差一立差者即初日平立合差也初日之平立合差何独少耶曰准于平方立方之加法正相应也葢平方幂积以自乘之积为等(其数一四九十六二十五)(三十六四九六四八一也)立方体积以再乘之积为等(其数一八二十七六四百)(二十五二一六三四三五一二也)而平立合差之数亦如之是故初日之盈缩积是于定差内减一平差一立差如平方立方之根一者积亦一也次日之盈缩积是于二定差内减四平差八立差 如方根二者平积必四立积必八也三日之盈缩积是于三定差内减九平差二十七立差如方根三者平积必九立积二十七也四日之盈缩积是于四定差内减十六平差六十四立差如方根四者平积必十六立积必六十四也向后各限并同此推合而言之即皆逐日之平立合差也然则以一平差一立差较次日之四平差八立差固为小矣而以四平差八立差较三日之九平差二十七立差不更小乎何况以三较四则为九平差二十七立差与十六平差六十四立差其相差不更悬绝乎问次日之平立合差只两平差六立差而今又云四平差八立差三日以后之平立合差只递増六立差(逐日递増)(加分立差一秒八十六微是六个立差之数)而今所云者三日有平差九立差二十七其说之不同如此必有一误矣曰差之积类于平方立方者是总计其所减之数而毎加加分立差者是分论其逐日所减之数也欲明此理仍当求诸少广(少广者开方法也)今夫平方以一四九十六二十五等为序者其幂积也若分而言之以一三五七九为序者其廉隅也(以相挨两平幂)(相减即得廉隅如一与四相减得三四与九相减得五九与十六相减得七十六与二十五相减得九是也)廉隅即较也而递増以二数者较之较也(一三五七九皆递増以二)今夫立方以一八二七六四一二五为序者其体积也若分而言之以七十九三七六一为序者其廉隅也(亦以)(相挨两体积相减得之如一减八得七八减廿七得十九廿七减六十四得三十七六十四减一百二十五得)(六十一是也)廉隅即较也而递増以六者较之较也(一増六得七七)(増二六得十九十九増三六得三十七三十七増四六得六一)是故平立差之总积是初日以来所积之差也亦如平立方之幂积体积也平立差之加法是逐日递増之较也亦如平立方之廉隅也合初日以来之加分(即盈缩积度)与定差较则其差如平立方之幂积体积也(平差之序一四九十六二十五十立差之序一八二十七六四一二 五)若以本日之加分与定差较则其差如平立方之廉隅也(平差之序一三五七九十立差之序七十九三十七六 一)若以本日之平立合差与初日较如平立方之廉积(平差)(之増二四六八立差之増六十八三十六六十)若以相近两日之平立合差自相较如平立方之廉积相较(平差之递増皆二立差之递増以六而再増十二为)(二六再増十八为三六再増二十四为四六也)于定差内减平差立差各一为初日加分又于初日加分内减去二平差六立差是共减平差四(本日实减三合初日所减之一则四)立差八(本日实减七合初日所减之一则八)而为次日加分也又于次日平立合差内加入六立差为平立合差(共二平差)(十二立差)以减次日加分是共减去平差九(本日实减平差五合前两日所)(减四共九)立差二十七(本日实减立差十九合前日所减之八则二十七)而为三日加分也又于三日之平立合差内加六立差为平立合差(共二平差)(十八立差)以减三日加分是共减去平差十六(本日实减平差七合前三)(日所减之九则十六)立差六十四(本日实减立差三十七合前三日所减之二十七则六十四)而为四日加分也故曰合初日以来之加分与定差较其差如平立方之幂积体积而以本日之加分(即本日实减数)与定差较则如廉隅也若论布立成法则不言定差但以初日加分为根以平立合差减初日加分为次日加分是于初日加分内减二平差六立差也又以六立差倂入平立合差以减次日加分为三日加分是于次日加分内又减二平差十二立差于初日加分则为减四平差十八立差也又如上法再増六立差以减三日加分为四日加分是于三日加分内又减二平差十八立差于初日加分内则为减六平差三十六立差也故曰以平立合差与初日较若平立方之廉积而以相近两日自相较如平立方之廉积相较也平方二廉故相加以二立方六廉故相加以六此倍平差六因立差为平立合差之理也平方之相加以二者始终不变立方之相加以六者毎限递増此向后立差递増六数之理也盈缩招差图说盈缩招差本为各一象限之法(如盈厯则以八十八日九十一刻为象限缩厯)(则以九十三日七十一刻为象限)今只作九限者举此为例也其空格九行定差本数为实也其斜线以上平差立差之数为法也斜线以下空格之定差乃余实也假如定差为一万平差为一百立差为单一今求九限法以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八十一并两数九百八十一为法定差一万为实法减实余实九千○一十九即九限末位所书之定差也于是再以九限为法乘余实得八万一千一百七十一为九限积数本法以九限乗定差得九万为实另置平差以九限乘二次得八千一百置立差以九限乗三次得七百二十九并两数得八千八百二十九为法以减实九万得八万一千一百七十一为九限积与前所得同本法是先乘后减用法是先减后乘其理一也初日减平差一庚也次日又减平差二甲也实减三并甲庚也合廉隅矣并计初日共减四合平方幂矣第三日又多减平差二乙也实减五并二甲二乙一庚也合廉隅矣并计前两日共减九合平方幂矣第四日以后倣此推之中心甲一为初限所减立差即垜积形之顶加外围六乙共七为次限所减立差平廉长廉各三隅一也并上层甲共八成根二之体积是为垜积形之第二层又加外围丙十二共十九为三限所减立差三平廉共十二三长廉共六隅一也并上两层共二十七合根三之体积是为垜积形之第三层又加外围丁十八共三十七为四限所减立差三平廉共二十七三长廉共九隅一也并上三层共六十四合根四体积是为垜积形之第四层又加外围戊二十四共六十一为五限所减立差三平廉共四十八三长廉十二隅一也并上三层共一百二十五合根五之体积是为垜积之第五层又加巳三十共九十一为六限立差其七十五为三平廉其十五为三长廉其一隅也并上层共二百一十六成体积是为垜积之第六层又加庚三十六共一百二十七为七限立差其百○八为三平廉其十八为三长廉其一隅也并上层成体积三百四十三是为垜积之第七层又加辛四十二共一百六十九为八限立差其百四十七为三平廉其二十一为三长廉其一隅也并上层共五百一十二如体积是为垜积之第八层此姑以八层为式向后倣此推之 因从甲顶平视故类六角平面其实如六角锥也立方廉隅而图以锥形六角者以表其垜积招差之理也 甲恒为隅朱书者长廉余则平廉立方之平廉长廉各三离居三方则成六角 六觚形以六抱一毎层増六与立方加法同所异者六觚平面而立方必并其积故以堆垜象之 若算六角堆垜但取其底之一面自乘再乘见积与立方同以斜立面观之最上甲一次乙二次丙三丁四戊五己六庚七辛八其底之数各如其层之数(如堆只三层则以三丙为底四)(层则四丁为底毎多一层其各面之底必多一数若辛下再加一层为壬必九数也)实计其毎面六觚之数则甲一乙七丙十九丁三十七戊六十一己九十一庚一百二十七辛一百六十九(前平)(视之图乙为甲掩故但见外围之六丙为乙掩故但见外围十二余皆若是也观者当置身于髙处从甲顶俯)(视即得其理)皆以外围之数为下层多于上层之数合计其堆垜之积则甲一乙八丙二十七丁六十四戊一百二十五己二百一十六庚三百四十三辛五百一十二(乙七并甲一成八丙十九并乙七甲一成二十七余皆若是)其堆垜之积皆如其层数之立方(以底之一面余乗又以层数乗之也)问平差之根是以段日除积差而得则毎日适得一平差今所减平差甚多殆非实数曰泛平积差是初日多于第七日之数(亦据盈厯言之)而平差之数既如段日则于日数为加倍(盈厯段日十四日竒以此分积差为毎日平差则平差共数亦十四竒于七日为加倍)今倍减平差正合积差原数岂患其多曰若然又何以能合平方曰以本日实减之数与定差较但取其销尽积差已足(如第七日实减十三平差第八日实减十五平差七日有)(竒在其中半积差必当减尽)故其法若平方之廉隅若合计初日以来减过平差与初日以来定差相较则所减之积皆如平方自乘观图自明(如七日共数得四十九八日共数得六十四之类)又如立差以段日自乘除泛立积差而得故其数亦略如段日之自乗而毎日实减亦如立方之廉隅聊足以销去积差(本日尚有余秒后一日竒减尽)若合计初日以来共数则亦如立方再乗之积矣右图以九限为例(九限以后倣论)定差设十万平差设一千立差设单一如法以本日加法并之为平立合差(如图平差立差)(各有加法故当并用)以平立合差减先日加分得本日加分合计从前加分为本日盈缩积(或以本日加分加先日盈缩积得本日盈缩积亦同)又简法置定差内减平差立差各一为初日加分(又即为第一日盈缩积)别置平差倍之加入六立差为初日平立合差以后毎于平立合差内加入六立差为次日平立合差(余同上)用定差法以日数乘立差得数加入平差再以日数乘之得数乃置定差以得数减之用其余为实复以日数乘之得本日盈缩积置相近两盈缩积相减得加分又置相近两加分相减得平立合差亦同定差本法置定差以日数乘之得数为实又以日数自乘用乘平差得数以日数再自乘用乘立差得数平立两得数并之为法法减实得盈缩积(余同上)厯算全书卷十三
## 卷十四
钦定四库全书厯算全书卷十四宣城梅文鼎撰冬至攷唐宋金元六家算冬至本术唐开元大衍厯(僧一行造)演纪上元阏逢困敦之歳距开元十二年甲子积九千六百九十六万一千七百四十算通法三千○四十策实百一十一万○三百四十三策余万五千九百四十三策实乘积算曰中积分盈通法而一为积日爻数去之余起甲子算外得天正中气辰法七百六十(即半辰法) 刻法三百○四凡发敛加时各置其小余以六爻乘之辰法而一为半辰之数不尽进位六约为分分满刻法为刻命辰起子半算外唐宣明厯(徐昻造)通法曰统法策实曰章歳策余曰通余爻数曰纪法通纪法为分曰旬周章歳乘年曰通积分演纪上元甲子至长庆二年壬寅积七百○七万○一百三十八算外统法八千四百章岁三百○六万八千○五十五通余四万四千○五十五刻法八十四辰法七百 半辰法三百五十宋崇宁纪元厯演纪上元上章执徐之歳距元符三年庚辰岁积二千八百六十一万三千四百六十算至崇宁五年丙戌歳积二千八百六十一万三千四百六十六算日法七千二百九十辰法一千二百一十五 半辰法六百○七半刻法七百二十九期实二百六十六万二千六百二十六歳周三百六十五日余一千七百七十六旬周四十三万七千四百纪法六十置积年期实乘之为气积分满旬周去之不满日法而一为大余命己卯即所求天正冬至日辰及余其小余倍之辰法而一为辰数不满五因刻法而一为刻数勿庵法小余进一位刻法收之为刻不尽为刻分刻加二退位得时金赵知微重修大明厯演纪上元甲子距大定二十年庚子八千八百六十三万九千六百五十六年(大定庚子)(即宋孝宗淳熈七年距元至元辛巳一百一年)日法五千二百三十分歳实一百九十一万○二百二十四通余二万七千四百二十四旬周三十一万三千八百纪法六十歳实乘积年为通积分旬周去之不满日法约之为大余命甲子辰法二千六百一十五 半辰法一千三百○七半刻法三百一十三秒八十凡小余六因之辰法除之不尽刻法除之为刻宋统天厯演纪上元甲子歳距绍熈五年甲寅积三千八百三十(至庆元己未歳积三千八百三十五至至元辛巳歳积三千九百一十七)策法一万二千歳分四百三十八万二千九百一十 余六万二九一气差二十三万七千八百一十一(法通得一十九日八一七五)斗分差一百二十七纪实七十二万歳分乘积算气差减之为气泛积积算距算相减为距差斗分差乘之万约(万约者万分为分万)(秒为秒也半以上收为秒半以下则弃之矣)为躔差(小分半以上从秒一)复以距差乘之(秒半以上从分一)以减泛积为气定积满纪实去之余如策法而一为大余(如其年无躔差及距差乘躔差不满秒以上者以泛为定)鼎按此即授时厯加减岁余法也积算减距算为距差者距绍熈甲寅为算也斗分差乘距差为躔差者百年加减一分也授时毎百年加减一分统天则一分零六秒弱复以距差乘躔差者百年加减一分竒而又以其距年乘之也假如百年授时加减积百分统天则百有六分弱减泛积为定者授时不立元明以当时所测截算为主故有上考下求之别而加减亦明统天则虽以当时所测截算为主而又立元故只用减所求在距算以后减之则冬至差而早早则其岁实减矣所求在距算以前减之则冬至益早早则其岁实加矣减之而歳实减人知之减之而岁实加人不知之此算家转换之法也若距差乘躔差不满秒半以上者是所求正在绍熈前后百年内其岁实平故无加减而以泛为定元授时厯(许衡王恂郭守敬造)不用积年据实测至元十八年辛巳岁前天正冬至为元上考下求皆距此起算日法一万分 纪法六十万岁实三百六十五万二四二五(上考者毎百年长一分下求者毎百年消)(一分)气应五十五万六百分距算乘岁实为中积加气应为通积满纪法去之得数为天正冬至 上考者以气应减中积为通积满纪法去之余以减纪法得数为冬至(并起甲子算外命其日辰)小余以十二乘之满万为一时命起子正满五千又进一时命起子初算外得时不满者以一千二百除之为刻春秋以来冬至日名六厯异同详衍(按春秋以来冬至多矣而所攷只此者以其测验之可据也厯议原载四十八事今攷献公在春秋前无)(信史可徴故删之而以左传僖公一条为首实四十七事也)鲁僖公五年丙寅歳正月辛亥朔旦冬至大衍厯(积算九千六百九十六万○三百六十二)中积分(一百○七兆六千五百九十二)(亿五千九百二十二万四千一百六十六)冬至(大余四十七日小余二千八百八十六)辛亥日(九十四刻太强)亥正三刻宣明厯(积算七百○六万八千六百六十二)通积分(二十一兆六千八百七十○亿四千)(三百七十九万二千四百一十)冬至(大余四十七日小余五千六百一十)辛亥日(六十六刻太强)申正初刻纪元厯(积算二千八百六十一万一千七百○六)气积分(七十六兆一千八百二十二亿)(七千二百二十九万九千九百五十六)冬至(大余三十三日小余六千一百八十六)壬子日(八十四刻太强)戌正一刻统天厯(积算一千九百八十二)距差(一千八百四十分)躔差(二十三八五)减分(四万三千四百二十八)气泛积(八十六亿八千六百六十八万九千八百○九)气定积(八十六亿八千六百六十四万六千三百七十一)冬至(大余四十七日小余二千)辛亥日(一十九刻太强)寅正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万七千八百二十二)通积分(一百六十九兆)(三千一百八十○亿九千四百八十九万二千一百二十八)冬至(大余四十八日小余四千)壬子日(八十九刻半强)亥初二刻授时厯(距算一千九百三十五)歳余(二四四四)中积分(七十○亿六千七百四十)(七万九一四○)通积分(七十○亿六千六百九十二万八五四○)冬至(四十七万一四)(六○)辛亥日(一十四刻半强)寅初二刻鲁昭公二十年己夘歳正月己丑朔旦冬至大衍厯(积算九千六百九十六万○四百九十四)中积分(一百○七兆六亿千五百九十四)(○六百八十九万九千七百八十五)冬至(大余二十五日小余一千三百八十五)己丑日(四十五刻半强)已正三刻宣明厯(积算七百○六万八千七百九十四)通积分(二十一兆六千八百七十四亿五千)(一百八十四万三千七百二十五)冬至(大余二十五日小余一千七百二十五)己丑日(二十刻半强)寅正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万一千八百三十八)气积分(七十六兆一千八百二十)(六亿二千六百四十二万九千二百一十四)冬至(大余一十一日小余一千八百二十四)庚寅日(二十五刻少弱)卯正初刻统天厯(积算二千一百一十五)距差(一千七百一十五)躔差(二十一分八)减分(三万七千三百八十七)气泛积(九十二亿六千九百六十一万六千八百三十九)气定积(九十二亿六千九百五十七万九千四百五十二)冬至(大余二十四日小余)(一万一千四百五十二)戊子日(九十五刻半弱)亥正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万七千九百五十五)通积分(一百六十九兆)(三千一百八十三亿四千八百九十五万一千九百二十)冬至(大余二十六日小余一千五百)庚寅日(二十九刻半弱)辰初初刻授时厯(距算一千八百○二)歳余(二四四三)中积分(六十五亿八千一百七十○万)(二二八六)通积分(六十五亿八千一百一十五万一六八六)冬至(二十四万八三一四)戊子日(八十三刻强)戌初三刻刘宋文帝元嘉十二年乙亥歳十一月十五日戊辰景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十二)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿六千九百四十九万八千○三十六)冬至(大余四日小余一千○七十六)戊辰日(三十五刻少强)辰正二刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十二)通积分(二十一兆六千九百○二亿八千七)(百九十七万二千三百六十)冬至(大余四日小余二千七百六十)戊辰日(三十二刻太强)辰初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千七百九十六)气积分(七十六兆一千八百五十)(一亿七千四百五十六万二千二百九十六)冬至(大余四十九日小余二千八百八十六)戊辰日(三十九刻半强)巳初二刻统天厯(积算三千○七十二)距差(七百五十八)躔差(九分六)减分(七千二百)(七十七)气泛积(一百三十四亿六千四百○六万一千七百○九)气定积(一百)(三十四亿六千四百○五万四千四百三十二)冬至(大余四日小余六千四百三十二)戊辰日(五十三刻半强)午正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十二)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿七千七百○三万六千二百八十八)冬至(大余四日小余二千一百六十)戊辰日(四十一刻半弱)巳初三刻授时厯(距算八百四十五)歳余(二四三三)中积分(三十○亿八千六百三十○万)(五八八五)通积分(三十○亿八千五百七十五万五二八五)冬至(四万四七一五)戊辰日(四十七刻强)午初一刻元嘉十三年丙子歳十一月二十六日甲戌景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十三)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千○六十○万八千三百七十九)冬至(大余九日小余一千八百一十九)癸酉日(五十九刻太强)未正一刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十三)通积分(二十一兆六千九百○三亿九千一)(百○四万○四百一十五)冬至(大余九日小余四千八百一十五)癸酉日(五十七刻少强)未初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千七百九十七)气积分(七十六兆一千八百五十)(一亿七千七百二十二万四千九百二十二)冬至(大余五十四日小余四千六百六十二)癸酉日(六十四刻弱)申初一刻统天厯(积算三千○七十三)距差(七百五十七)躔差(九分六)减分(七千二百)(六十七)气泛积(一百三十四亿六千八百四十四万四千六百一十九)气定积(一百三十四亿六千八百四十三万七千三百五十二)冬至(大余九日小余九千三百五十)癸酉日(七十七刻太强)酉正二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十三)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿七千八百九十四万六千五百一十二)冬至(大余九日小余三千四百四十)癸酉日(六十五刻太强)申初三刻授时厯(距算八百四十四)歳余(二四三三)中积分(三十○亿八千二百六十五万)(三四五二)通积分(三十○亿八千二百一十○万二八五二)冬至(九万七一四八)癸酉日(七十一刻半弱)酉初初刻 先一日元嘉十五年戊寅歳十一月十八日甲申景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十五)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千二百八十二万九千○六十五)冬至(大余二十日小余二百六十五)甲申日(八刻太弱)丑正初刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十五)通积分(二十一兆六千九百○三亿九千七)(百一十七万六千五百二十五)冬至(大余二十日小余五百二十五)甲申日(六刻少)丑初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千七百九十九)气积分(七十六兆一千八百五十)(一亿八千二百五十五万○一百七十四)冬至(大余五日小余九百二十四)甲申日(一十二刻半强)寅初初刻统天厯(积算三千○七十五)距差(七百五十五)躔差(九分六)减分(七千二百)(四十八)气泛积(一百三十四亿七千七百二十一万○四百三十九)气定积(一百)(三十四亿七千七百二十○万三千一百九十一)冬至(大余二十日小余三千一百九十一)甲申日(二十六刻半强)卯正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十五)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿八千二百七十六万六千九百六十)冬至(大余二十日小余七百六十)甲申日(一十四刻半强)寅初二刻授时厯(距算八百四十二)歳余(二四三三)中积分(三十○亿七千五百三十四万)(八五八六)通积分(三十○亿七千四百七十九万七九八六)冬至(二十○万二○一四)甲申日(二十刻强)寅正三刻元嘉十六年己卯岁十一月二十九日己丑景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十六)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千三百九十三万九千四百○八)冬至(大余二十五日小余一千○○八)己丑日(三十三刻强)辰初三刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十六)通积分(二十一兆六千九百○四亿○○二)(十四万四千五百八十)冬至(大余二十五日小余二千五百八十)己丑日(三十刻太弱)辰初一刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千八百)气积分(七十六兆一千八百五十一亿八千)(五百二十一万二千八百)冬至(大余一十日小余二千七百)己丑日(三十七刻强)辰正三刻统天厯(积算三千○七十六)距差(七百五十四)躔差(九分六)减分(七千二百)(三十八)气泛积(一百三十四亿八千一百五十九万三千三百四十九)气定积(一百三十四亿八千一百五十八万六千一百一十一)冬至(大余二十五日小余六千一百)己丑日(五十刻太强)午正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十六)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿八千四百六十七万七千一百八十四)冬至(大余二十五日小余二千○三)己丑日(三十八刻太强)巳初一刻授时厯(距算八百四十一)歳余(二四三三)中积分(三十○亿七千一百六十九万)(六一五三)通积分(三十○亿七千一百一十四万五五五三)冬至(二十五万四四四七)己丑日(四十四刻半弱)巳正二刻元嘉十七年庚辰歳十一月初十日甲午景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十七)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千五百○四万九千七百五十一)冬至(大余三十日小余一千七百五十一)甲午日(五十七刻半强)未初三刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十七)通积分(二十一兆六千九百○四亿○三百)(三十一万二千六百三十五)冬至(大余三十日小余四千六百三十五)甲午日(五十五刻少弱)未初初刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千八百○一)气积分(七十六兆一千八百五十一亿)(八千七百八十七万五千四百二十六)冬至(大余一十五日小余四千四百七十六)甲午日(六十一刻半弱)未正三刻统天厯(积算三千○七十七)距差(七百五十三)躔差(九分六)减分(七千二百)(二十九)气泛积(一百三十四亿八千五百九十七万六千二百五十九)气定积(一百三十四亿八千五百九十六万九千○三十○)冬至(大余三十日小余九千○三十○)甲午日(七十五刻少)酉正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十七)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿八千六百五十八万七千四百○八)冬至(大余三十日小余三千三百○)甲午日(六十三刻少)申初初刻授时厯(距算八百四十)歳余(二四三三)中积分(三十○亿六千八百○四万三七二)(○)通积分(三十○亿六千七百四十九万三千一百二十○)冬至(三十○万六八)(八○)甲午日(六十八刻太强)申正二刻元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千六百一十六万○○九十四)冬至(大余三十五日小余二千四百九十四)己亥日(八十二刻强)戌初二刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十八)通积分(二十一兆六千九百○四亿○六百)(三十八万○六百九十)冬至(大余三十五日小余六千六百九十)己亥日(七十九刻少弱)酉正四刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千八百○二)气积分(七十六兆一千八百五十一亿)(九千○五十三万八千○五十二)冬至(大余二十日小余六千二百五十二)己亥日(八十五刻太强)戌正二刻统天厯(积算三千○七十八)距差(七百五十二)躔差(九分六)减分(七千二百)(一十九)气泛积(一百三十四亿九千○三十五万九千一百六十九)气定积(一百)(三十四亿九千○三十五万一千九百五十○)冬至(大余三十五日小余一万一千九百五十)(○)己亥日(九十九刻半强)夜子初三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十八)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿八千八百四十九万七千六百三十二)冬至(大余三十五日小余四千五百)己亥日(八十七刻半强)亥初初刻授时厯(距算八百三十九)歳余(二四三三)中积分(三十○亿六千四百三十九万)(一千二百八七)通积分(三十○亿六千三百八十四万○六八七)冬至(三十五万九三)己亥日(九十三刻强)亥正一刻元嘉十九年壬午歳十一月初三日乙巳景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百五十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿七千七百二十七万○四百三十七)冬至(大余四十一日小余一百九十七)乙巳日(六刻半弱)丑初二刻宣明厯(积算七百○六万九千七百五十九)通积分(二十一兆六千九百○四亿○九百)(四十四万八千七百四十五)冬至(大余四十一日小余三百四十五)乙巳日(四刻强)子正四刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千八百○三)气积分(七十六兆一千八百五十一亿)(九千三百二十○万○六百七十八)冬至(大余二十六日小余七百三十八)乙巳日(一十刻强)丑正一刻统天厯(积算三千○七十九)距差(七百五十一)躔差(九分五)减分(七千一百)(三十四)气泛积(一百三十四亿九千四百七十四万二千○七十九)气定积(一百)(三十四亿九千四百七十三万四千九百四十五)冬至(大余四十一日小余二千九百四十)乙巳日(二十四刻半弱)卯初三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百一十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百○一亿九千○四十○万七千八百五十六)冬至(大余四十一日小余六百二十)乙巳日(一十二刻弱)丑正三刻授时厯(距算八百三十八)歳余(二四三三)中积分(三十○亿六千○七十三万八)(千八百五十四)通积分(三十○亿六千○一十八万八二五四)冬至(四十一万一七)乙巳日(一十七刻半弱)寅正初刻孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至大衍厯(积算九千六百九十六万一千四百七十八)中积分(一百○七兆六千六百○)(四亿九千八百三十六万六千九百五十四)冬至(大余二十日小余二千一百五十四)甲申日(七十刻太强)申正四刻宣明厯(积算七百○六万九千七百七十八)通积分(二十一兆六千九百○四亿六千七)(百七十四万一千七百九十)冬至(大余二十日小余五千七百九十)甲申日(六十九刻弱)申正二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千八百二十二)气积分(七十六兆一千八百五十)(二亿四千三百七十九万○五百七十二)冬至(大余五日小余五千三百二十二)甲申日(七十三刻强)酉初二刻统天厯(积算三千○九十八)距差(七百三十二)躔差(九分三)减分(七千八百)(○八)气泛积(一百三十五亿七千八百○一万七千三百六十九)气定积(一百三十)(五亿七千八百○○万九千五百六十一)冬至(大余二十日小余九千五百六十一)甲申日(七十九刻太弱)戌初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万八千九百三十八)通积分(一百六十九兆)(三千二百○二亿二千六百七十○万二千一百一十二)冬至(大余二十日小余三千九百一)甲申日(七十四刻太强)酉正一刻授时厯(距算八百一十九)岁余(二四三三)中积分(二十九亿九千一百三十四万)(二千六百二七)通积分(二十九亿九千○七十九万二○二七)冬至(二十○万七九)甲申日(七十九刻太弱)戌初初刻 先一日陈文帝天嘉六年乙酉岁十一月庚寅景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百八十二)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿一千三百八十四万二千六百二十六)冬至(大余二十六日小余三百八十六)庚寅日(一十二刻太弱)寅初初刻宣明厯(积算七百○六万九千八百八十二)通积分(二十一兆六千九百○七亿八千六)(百八十一万九千五百一十)冬至(大余二十六日小余一千一百一十)庚寅日(一十三刻少弱)寅初初刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百二十六)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿二千○七十○万三千六百七十六)冬至(大余一十一日小余四百八十六)庚寅日(六刻太弱)丑初二刻统天厯(积算三千二百○二)距差(六百二十八)躔差(八分)减分(五千○二十四)气泛积(一百四十○亿三千三百八十四万○○○九)气定积(一百四十○亿三千)(三百八十三万四千九百八十五)冬至(大余二十六日小余二千九百八十五)庚寅日(二十四刻太强)卯初四刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○四十二)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿二千五百三十六万五千四百○八)冬至(大余二十六日小余四百二十八)庚寅日(八刻少弱)丑初四刻授时厯(距算七百一十五)歳余(二四三二)中积分(二十六亿一千一百四十八万)(八千八百八十)通积分(二十六亿一千○九十三万八千二百八十)冬至(二十六万)(一七二○)庚寅日(一十七刻强)寅正初刻临海王光大二年戊子岁十一月乙巳景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百八十五)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿一千七百一十七万三千六百五十五)冬至(大余四十一日小余二千六百一十五)乙巳日(八十六刻强)戍正二刻宣明厯(积算七百○六万九千八百八十五)通积分(二十一兆六千九百○七亿九千六)(百○二万三千六百七十五)冬至(大余四十一日小余七千二百七十五)乙巳日(八十六刻半强)戌正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百二十九)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿二千八百六十九万一千五百五十四)冬至(大余二十六日小余五千八百一十四)乙巳日(七十九刻太强)戍初初刻统天厯(积算三千二百○五)距差(六百二十五)躔差(七分九)减分(四千九百)(三十八)气泛积(一百四十○亿四千六百九十八万八千七百三十九)气定积(一百四十○亿四千六百九十八万三千八百○一)冬至(大余四十一日小余一万一千八百)(○一)乙巳日(九十八刻少强)夜子初二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○四十五)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿三千一百○九万六千○八十)冬至(大余四十一日小余四千二百五十)乙巳日(八十一刻少强)戌初二刻授时厯(距算七百一十二)歳余(二四三二)中积分(二十六亿○○五十三万一千)(五百八四)通积分(二十五亿九千九百九十八万○九百八十有四)冬至(四十一万)(九○一六)乙巳日(九十刻强)戌初二刻宣帝太建四年壬辰岁十一月二十九日丁卯景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百八十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿二千一百六十一万五千○二十七)冬至(大余二日小余二千五百四十七)丙寅日(八十三刻太强)戌正初刻宣明厯(积算七百○六万九千八百八十九)通积分(二十一兆六千九百○八亿○八百)(二十九万五千八百九十五)冬至(大余二日小余七千○九十五)丙寅日(八十四刻半弱)戌正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百三十三)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿三千九百三十四万二千○五十八)冬至(大余四十七日小余五千六百二十八)丙寅日(七十七刻少弱)酉正二刻统天厯(积算三千二百○九)距差(六百二十一)躔差(七分九)减分(四千九百)(○六)气泛积(一百四十○亿六千四百五十二万○三百七十九)气定积(一百四十)(○亿六千四百五十一万五千四百七十三)冬至(大余二日小余一万一千四百七十三)丙寅日(九十五刻半强)亥正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○四十九)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿三千八百七十三万六千九百七十六)冬至(大余二日小余四千一百一十六)丙寅日(七十八刻太弱)酉正三刻授时厯(距算七百○八)歳余(二四三二)中积分(二十五亿八千五百九十二万一八)(五六)通积分(二十五亿八千五百三十七万一二五六)冬至(二万八七四四)丙寅日(八十七刻半弱)戌正四刻 先一日太建六年甲午岁十一月二十日丁丑景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百九十一)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿二千三百八十三万五千七百一十三)冬至(大余一十三日小余九百九十三)丁丑日(三十二刻半强)辰初三刻宣明厯(积算七百○六万九千八百九十一)通积分(二十一兆六千九百○八亿一千四)(百四十三万二千○○五)冬至(大余一十三日小余二千八百○五)丁丑日(三十三刻少强)辰正初刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百三十五)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿四千四百六十六万七千三百一十)冬至(大余五十八日小余一千六百九十)丁丑日(二十三刻少弱)卯初二刻统天厯(积算三千二百一十一)距差(六百一十九)躔差(七分九)减分(四千)(八百九十○)气泛积(一百四十○亿七千三百二十八万六千一百九十九)气定积(一百四十○亿七千三百二十八万一千三百○九)冬至(大余一十三日小余五千三百)(○九)丁丑日(四十四刻少弱)巳正二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○五十一)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿四千二百五十五万七千四百二十四)冬至(大余一十三日小余一千四百三十)丁丑日(二十七刻半弱)卯正二刻授时厯(距算七百○六)岁余(二四三二)中积分(二十五亿七千八百六十一万六九)(九二)通积分(二十五亿七千八百○六万六三九二)冬至(一十三万三六○八)丁丑日(三十六刻强)辰正四刻太建九年丁酉岁十一月二十三日壬辰景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百九十四)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿二千七百一十六万六千七百四十二)冬至(大余二十九日小余一百八十二)癸巳日(六刻弱)丑初一刻宣明厯(积算七百○六万九千八百九十四)通积分(二十一兆六千九百○八亿二千三)(百六十三万六千一百七十)冬至(大余二十九日小余五百七十)癸巳日(六刻太强)丑初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百三十八)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿五千二百六十五万五千一百八十八)冬至(大余一十三日小余七千二百一十八)壬辰日(九十九刻强)夜子初三刻统天厯(积算三千二百一十四)距差(六百一十六)躔差(七分八)减分(四千)(八百○五)气泛积(一百四十○亿八千六百四十三万四千九百二十九)气定积(一百四十○亿八千六百四十三万○一百二十四)冬至(大余二十九日小余二千一百二十)癸巳日(一十七刻太弱)寅正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○五十四)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿四千八百二十八万八千○九十六)冬至(大余二十九日小余二十六)癸巳日(半刻弱)子正初刻授时厯(距算七百○三)歳余(二四三二)中积分(二十五亿六千七百六十五万九六)(九六)通积分(二十五亿六千七百一十○万九○九六)冬至(二十九万○九○四)癸巳日(九刻强)丑正初刻 后一日太建十年戊戌歳十一月五日戊戌景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千五百九十五)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿二千八百二十七万七千○八十五)冬至(大余三十四日小余九百二十五)戊戌日(三十刻半弱)辰初一刻宣明厯(积算七百○六万九千八百九十五)通积分(二十一兆六千九百○八亿二千六)(百七十○万四千二百二十五)冬至(大余三十四日小余二千六百二十五)戊戌日(三十一刻少)辰初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百三十九)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿五千五百三十一万七千八百一十四)冬至(大余一十九日小余一千七百○四)戊戌日(二十三刻少强)卯初二刻统天厯(积算三千二百一十五)距差(六百一十五)躔差(七分八)减分(四千)(七百九十七)气泛积(一百四十○亿九千○八十一万七千八百三十九)气定积(一百四十○亿九千○八十一万三千○四十二)冬至(大余三十四日小余五千○四十二)戊戌日(四十二刻强)巳正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○五十五)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿五千○一十九万八千三百二十)冬至(大余三十四日小余一千三百)戊戌日(二十四刻太强)卯初四刻授时厯(距算七百○二)歳余(二四三二)中积分(二十五亿六千四百○○万七二六)(四)通积分(二十五亿六千三百四十五万六六六四)冬至(三十四万三三三六)戊戌日(三十三刻少强)辰正初刻隋文帝开皇四年甲辰歳十一月十一日己巳景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百○一)中积分(一百○七兆六千六百○六亿)(三千四百九十三万九千一百四十三)冬至(大余五日小余二千三百四十三)己巳日(七十七刻强)酉正二刻宣明厯(积算七百○六万九千九百○一)通积分(二十一兆六千九百○八亿四千五)(百一十一万二千五百四十五)冬至(大余五日小余六千五百四十五)己巳日(七十八刻弱)酉正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百四十五)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿七千一百二十九万三千五百七十)冬至(大余五十日小余七千○七十)己巳日(九十七刻弱)夜子初一刻统天厯(积算三千二百二十一)距差(六百○九)躔差(七分七)减分(四千六百)(八十九)气泛积(一百四十一亿一千七百一十一万五千二百九十九)气定积(一百四十一亿一千七百一十一万○六百一十)冬至(大余五日小余一万○六百一十)己巳日(八十八刻半弱)戌初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○六十一)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿六千一百六十五万九千六百六十四)冬至(大余五日小余三千七百一十四)己巳日(七十一刻强)酉初初刻授时厯(距算六百九十六)岁余(二四三一)中积分(二十五亿四千二百六十九万)(一九七六)通积分(二十五亿四千二百一十四万一三七六)冬至(五万八六二四)己巳日(八十六刻少)戌正二刻开皇五年乙巳岁十一月二十二日乙亥景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百○二)中积分(一百○七兆六千六百○六亿)(三千六百○四万九千四百八十六)冬至(大余一十一日小余四十六)乙亥日(一刻半强)子正一刻宣明厯(积算七百○六万九千九百○二)通积分(二十一兆六千九百○八亿四千八)(百一十八万○六百一十)冬至(大余一十一日小余二百一十)乙亥日(二刻半)子正二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百四十六)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿七千三百九十五万六千一百九十六)冬至(大余五十五日小余六千八百四十六)甲戌日(九十四刻弱)亥正二刻统天厯(积算三千二百二十二)距差(六百○八)躔差(七分七)减分(四千六百)(八十二)气泛积(一百四十一亿二千一百四十九万八千二百○九)气定积(一百)(四十一亿二千一百四十九万三千五百二十七)冬至(大余一十一日小余一千五百二十)乙亥日(一十二刻太弱)寅初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○六十二)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿六千三百五十六万九千八百八十八)冬至(大余一十日小余四千九百八十八)甲戌日(九十五刻少强)戌正三刻授时厯(距算六百九十五)歳余(二四三一)中积分(二十五亿三千九百○三万九)(五四五)通积分(二十五亿三千八百四十八万八九四五)冬至(一十一万一○五五)乙亥日(十刻半强)丑正二刻开皇六年丙午歳十一月三日庚辰景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百○三)中积分(一百○七兆六千六百○六亿)(三千七百一十五万九千八百二十九)冬至(大余一十六日小余七百八十九)庚辰日(二十六刻弱)卯正初刻宣明厯(积算七百○六万九千九百○三)通积分(二十一兆六千九百○八亿五千一)(百二十四万八千六百六十五)冬至(大余一十六日小余二千二百六十五)庚辰日(二十七刻弱)卯正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百四十七)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿七千六百六十一万八千八百二十二)冬至(大余一日小余一千三百三十二)庚辰日(一十八刻少强)寅正一刻统天厯(积算三千二百二十三)距差(六百○七)躔差(七分七)减分(四千六百)(七十四)气泛积(一百四十一亿二千五百八十八万一千一百一十九)气定积(一百四十一亿二千五百八十七万六千四百四十五)冬至(大余一十六日小余四千四百)庚辰日(三十七刻强)辰正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○六十三)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿六千五百四十八万○一百一十二)冬至(大余一十六日小余一千○三十二)庚辰日(一十九刻太弱)寅正三刻授时厯(距算六百九十四)歳余(二四三一)中积分(二十五亿三千五百三十八万)(七一一四)通积分(二十五亿三千四百八十三万六五一四)冬至(一十六万三四八六)庚辰日(三十四刻太强)辰正一刻开皇七年丁未歳十一月十四日乙酉景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百○四)中积分(一百○七兆六千六百○六亿)(三千八百二十七万○一百七十二)冬至(大余二十一日小余一千五百三十二)乙酉日(五十刻少强)午正初刻宣明厯(积算七百○六万九千九百○四)通积分(二十一兆六千九百○八亿五千四)(百三十一万六千七百二十)冬至(大余二十一日小余四千三百二十)乙酉日(五十一刻半弱)午正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百四十八)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿七千九百二十八万一千四百四十八)冬至(大余六日小余三千一百○八)乙酉日(四十二刻半强)巳正初刻统天厯(积算三千二百二十四)距差(六百○六)躔差(七分七)减分(四千六百)(六十六)气泛积(一百四十一亿三千○二十六万四千○二十九)气定积(一百)(四十一亿三千○二十五万九千二百六十三)冬至(大余二十一日小余七千三百六十三)乙酉日(六十一刻少强)未正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○六十四)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿六千七百三十九万○三百三十六)冬至(大余二十一日小余二千三百○六)乙酉日(四十四刻强)巳正二刻授时厯(距算六百九十三)岁余(二四三一)中积分(二十五亿三千一百七十三万)(四六八三)通积分(二十五亿三千一百一十八万四○八三)冬至(二十一万五九一七)乙酉日(五十九刻强)未正初刻开皇十一年辛亥歳十一月二十八日丙午景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百○八)中积分(一百○七兆六千六百○六亿)(四千二百七十一万一千五百四十四)冬至(大余四十二日小余一千四百六十四)丙午日(四十八刻强)午初二刻宣明厯(积算七百○六万九千九百○八)通积分(二十一兆六千九百○八亿六千六)(百五十八万八千九百四十)冬至(大余四十二日小余四千一百四十)丙午日(四十九刻少强)午初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百五十二)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿八千九百九十三万一千九百五十二)冬至(大余二十七日小余二千九百二十二)丙午日(四十刻强)巳初二刻统天厯(积算三千二百二十八)距差(六百○二)躔差(七分六)减分(四千五百)(七十五)气泛积(一百四十一亿四千七百七十九万五千六百六十九)气定积(一百四十一亿四千七百七十九万一千○九十四)冬至(大余四十二日小余七千○九十四)丙午日(五十九刻强)未正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○六十八)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿七千五百○三万一千二百三十二)冬至(大余四十二日小余二千一百七十)丙午日(四十一刻半强)巳初四刻授时厯(距算六百八十九)歳余(二四三一)中积分(二十五亿一千七百一十二万)(四九五九)通积分(二十五亿一千六百五十七万四三五九)冬至(四十二万五六四一)丙午日(五十六刻半弱)未初二刻开皇十四年甲寅歳十一月辛酉朔旦冬至大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百一十一)中积分(一百○七兆六千六百○)(六亿四千六百○四万二千五百七十三)冬至(大余五十八日小余六百五十三)壬戌日(二十一刻半弱)卯初初刻宣明厯(积算七百○六万九千九百一十一)通积分(二十一兆六千九百○八亿七千五)(百七十九万三千一百○五)冬至(大余五十八日小余一千九百○五)壬戌日(二十三刻弱)卯初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万二千九百五十五)气积分(七十六兆一千八百五十)(五亿九千七百九十一万九千八百三十)冬至(大余四十三日小余九百六十)壬戌日(一十三刻少弱)寅初初刻统天厯(积算三千二百三十一)距差(五百九十九)躔差(七分六)减分(四千)(五百五十二)气泛积(一百四十一亿六千○九十四万四千三百九十九)气定积(一百四十一亿六千○九十三万九千八百四十七)冬至(大余五十八日小余三千八百四十)壬戌日(三十二刻强)辰初二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千○七十一)通积分(一百六十九兆三千)(二百○四亿八千○七十六万一千九百○四)冬至(大余五十八日小余七百六十四)壬戌日(一十四刻半强)寅初二刻授时厯(距算六百八十六)岁余(二四三一)中积分(二十五亿○六百一十六万七)(六六六)通积分(二十五亿○五百六十一万七○六六)冬至(五十八万二九三四)壬戌日(二十九刻少强)辰初初刻唐太宗贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百六十一)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿○一百五十五万九千七百二十三)冬至(大余二十日小余一千三百二十三)甲申日(四十三刻半强)巳正一刻宣明厯(积算七百○六万九千九百六十一)通积分(二十一兆六千九百一十○亿二千)(九百一十九万五千八百五十五)冬至(大余二十日小余三千八百五十五)甲申日(四十五刻太强)午初初刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○○一)气积分(七十六兆一千八百五十七亿)(三千一百○五万一千一百三十)冬至(大余五日小余二千二百八十)甲申日(三十一刻少强)辰初二刻统天厯(积算三千二百八十一)距差(五百四十九)躔差(七分)减分(三千八百)(四十三)气泛积(一百四十三亿八千○○八万九千八百九十九)气定积(一百)(四十三亿八千○○八万六千○五十六)冬至(大余二十日小余六千○五十六)甲申日(五十刻强)午正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百二十一)通积分(一百六十九兆)(三千二百○五亿七千六百二十七万三千一百○四)冬至(大余二十日小余一千七百○)甲申日(三十二刻半强)辰初三刻授时厯(距算六百三十六)歳余(二四三一)中积分(二十三亿二千三百五十四万)(六一一六)通积分(二十三亿二千二百九十九万五五一六)冬至(二十○万四四八四)甲申日(四十四刻太强)巳正三刻贞观二十三年己酉歳十一月辛亥景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百六十六)中积分(一百○七兆六千六)(百○七亿○七百一十一万一千四百三十八)冬至(大余四十六日小余一千九百九十八)庚戌日(六十五刻太弱)申初二刻宣明厯(积算七百○六万九千九百六十六)通积分(二十一兆六千九百一十○亿四千)(四百五十三万六千一百三十)冬至(大余四十六日小余五千七百三十)庚戌日(六十八刻少弱)申正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○一十)气积分(七十六兆一千八百五十七亿)(四千四百三十六万四千二百六十)冬至(大余三十一日小余三千八百七十)庚戌日(五十三刻强)午正三刻统天厯(积算三千二百八十六)距差(五百四十四)躔差(六分九)减分(三千)(七百五十四)气泛积(一百四十四亿○二百○○万四千四百四十九)气定积(一百四十四亿○二百○○万○六百九十五)冬至(大余四十六日小余八千六百九十五)庚戌日(七十二刻半弱)酉初一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百二十六)通积分(一百六十九兆)(三千二百○五亿八千五百八十二万四千二百二十四)冬至(大余四十六日小余二千八百)庚戌日(五十四刻少强)未初初刻授时厯(距算六百三十一)岁余(二四三一)中积分(二十三亿○五百二十八万三)(九六一)通积分(二十三亿○四百七十三万三三六一)冬至(四十六万六六三九)庚戌日(六十六刻少强)申初三刻髙宗龙朔二年壬戌岁十一月四日己未至戊午景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百七十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿二千一百五十四万五千八百九十七)冬至(大余五十四日小余二千五百三十七)戊午日(八十三刻半弱)戌正初刻宣明厯(积算七百○六万九千九百七十九)通积分(二十一兆六千九百一十○亿八千)(四百四十二万○八百四十五)戌正二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○二十三)气积分(七十六兆一千八百五十七亿)(七千八百九十七万八千三百九十八)冬至(大余三十九日小余五千○八十八)戊午日(六十九刻太强)申正三刻统天厯(积算三千二百九十九)距差(五百三十一)躔差(六分七)减分(三千)(五百五十八)气泛积(一百四十四亿五千八百九十八万二千二百七十九)气定积(一百四十四亿五千八百九十七万八千七百二十一)冬至(大余五十四日小余一万)(○七百二十一)戊午日(八十九刻少强)戌正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百三十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百○六亿一千○六十五万七千一百三十六)冬至(大余五十四日小余三千七百)戊午日(七十一刻强)酉初初刻授时厯(距算六百一十八)歳余(二四三一)中积分(二十二亿五千七百八十○万)(二三五八)通积分(二十二亿五千七百二十五万一七五八)冬至(五十四万八二四二)戊午日(八十二刻半弱)戌初三刻髙宗仪鳯元年丙子岁十一月壬申景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百九十三)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿三千七百○九万○六百九十九)冬至(大余八日小余七百七十九)壬申日(二十五刻半强)卯正初刻宣明厯(积算七百○六万九千九百九十三)通积分(二十一兆六千九七百百一十一亿二千)(三十七万三千六百一十五)冬至(大余八日小余二千四百一十五)壬申日(二十八刻太)卯正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○三十七)气积分(七十六兆一千八百五十八亿)(一千六百二十五万五千一百六十二)冬至(大余五十三日小余七百九十二)壬申日(一十刻太强)丑正二刻统天厯(积算三千三百一十三)距差(五百一十七)躔差(六分六)减分(三千)(四百一十二)气泛积(一百四十五亿二千○三十四万三千○一十九)气定积(一百四十五亿二千○三十三万九千六百○七)冬至(大余八日小余三千六百○七)壬申日(三十刻强)辰初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百五十三)通积分(一百六十九兆)(三千二百○六亿三千七百四十○万○二百七十二)冬至(大余八日小余六百三十二)壬申日(一十二刻强)丑初三刻授时厯(距算六百○四)歳余(二四三一)中积分(二十二亿○六百○十六万八三二)(四)通积分(二十二亿○五百五十一万七七二四)冬至(八万二二七六)壬申日(二十二刻太强)卯初一刻髙宗永淳元年壬午歳十一月癸卯景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千六百九十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿四千三百七十五万二千七百五十七)冬至(大余三十九日小余二千一百九十七)癸卯日(七十二刻少强)酉初一刻宣明厯(积算七百○六万九千九百九十九)通积分(二十一兆六千九百一十一亿四千)(五百七十八万一千九百四十五)冬至(大余三十九日小余六千三百四十五)癸卯日(七十五刻半强)酉正初刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○四十三)气积分(七十六兆一千八百五十八亿)(三千二百二十三万○九百一十八)冬至(大余二十四日小余四千一百五十八)癸卯日(五十七刻强)未初二刻统天厯(积算三千三百一十九)距差(五百一十一)躔差(六分五)减分(三千)(三百二十一)气泛积(一百四十五亿四千六百六十四万○四百七十九)气定积(一百四十五亿四千六百六十三万七千一百五十八)冬至(大余三十九日小余九千一百)癸卯日(七十六刻少强)酉正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百九十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百○六亿四千八百八十六万一千六百一十六)冬至(大余三十九日小余三千○四)癸卯日(五十八刻少弱)未初四刻授时厯(距算五百九十八)岁余(二四三○)中积分(二十一亿八千四百一十五万)(三一四○)通积分(二十一亿八千三百六十○万二五四○)冬至(三十九万七四六○)癸卯日(七十四刻半强)酉初三刻明皇开元十年壬戌歳十一月癸酉景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千七百三十九)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿八千八百一十六万六千四百七十七)冬至(大余九日小余一千五百一十七)癸酉日(五十刻弱)午初四刻宣明厯(积算七百○七万○○三十九)通积分(二十一兆六千九百一十二亿六千八百)(五十○万四千一百四十五)冬至(大余九日小余四千五百四十五)癸酉日(五十四刻强)午正四刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○八十三)气积分(七十六兆一千八百五十九亿)(三千八百七十三万五千九百五十八)冬至(大余五十四日小余二千二百九十八)癸酉日(三十一刻半强)辰初二刻统天厯(积算三千三百五十九)距差(四百七十一)躔差(六分)减分(二千八百)(二十六)气泛积(一百四十七亿二千一百九十五万六千八百七十九)气定积(一百四十七亿二千一百九十五万四千○五十三)冬至(大余九日小余六千○五十三)癸酉日(五十刻强)午正初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千一百九十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百○七亿二千五百二十七万○五百七十六)冬至(大余九日小余一千七百○六)癸酉日(三十二刻半强)辰初三刻授时厯(距算五百五十八)歳余(二四三○)中积分(二十○亿三千八百○五万五)(九四○)通积分(二十○亿三千七百五十○万五三四○)冬至(九万四六六○)癸酉日(四十六刻半强)午初初刻开元十一年癸亥岁十一月戊寅景长大衍厯(积算九千六百九十六万一千七百四十)中积分(一百○七兆六千六百○七亿)(八千九百二十七万六千八百二十)冬至(大余一十四日小余二千二百六十)戊寅日(七十四刻少强)酉初三刻宣明厯(积算七百○七万○○四十)通积分(二十一兆六千九百一十二亿七千一百)(五十七万二千二百)冬至(大余一十四日小余六千六百)戊寅日(七十八刻半强)酉正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○八十四)气积分(七十六兆一千八百五十九亿)(四千一百三十九万八千五百八十四)冬至(大余五十九日小余四千一百七十四)戊寅日(五十七刻少强)未初三刻统天厯(积算三千三百六十)距差(四百七十)躔差(六分)减分(二千八百二十○)气泛积(一百四十七亿二千六百三十三万九千七百八十九)气定积(一百四十)(七亿二千六百三十三万六千九百六十九)冬至(大余一十四日小余八千九百六十九)戊寅日(七十四刻太弱)酉初三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千二百)通积分(一百六十九兆三千二百)(○七亿二千七百一十八万○八百)冬至(大余一十四日八十小余二千九百)戊寅日(五十七刻弱)未初二刻授时厯(距算五百五十七)岁余(二四三○)中积分(二十○亿三千四百四十○万)(三五一○)通积分(二十○亿三千三百八十五万二九一○)冬至(一十四万七○九○)戊寅日(七十刻太强)酉初初刻开元十二年甲子歳十一月癸未冬至大衍厯(积算九千六百九十六万一千七百四十一)中积分(一百○七兆六千六百○)(七亿九千○三十八万七千一百六十三)冬至(大余一十九日小余三千○○三)癸未日(九十八刻太强)夜子初二刻宣明厯(积算七百○七万○○四十一)通积分(二十一兆六千九百一十二亿七千四百)(六十四万○二百五十五)冬至(大余二十日小余二百五十五)甲申日(三刻强)子正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千○八十五)气积分(七十六兆一千八百五十九亿)(四千四百○六万一千二百一十)冬至(大余四日小余五千八百五十)癸未日(八十刻少弱)戌初一刻统天厯(积算三千三百六十一)距差(四百六十九)躔差(六分)减分(二千八百)(一十四)气泛积(一百四十七亿三千○七十二万二千六百九十九)气定积(一百)(四十七亿三千○七十一万九千八百八十五)冬至(大余一十九日小余一万一千八百八十)癸未日(九十九刻强)夜子初三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千二百○一)通积分(一百六十九兆三千)(二百○七亿二千九百○九万一千○二十四)冬至(大余一十九日小余四千二百五十四)癸未日(八十一刻少强)戌初二刻授时厯(距算五百五十六)歳余(二四三○)中积分(二十○亿三千○七十五万一)(○八○)通积分(二十○亿三千○二十○万○四八○)冬至(一十九万九五二○)癸未日(九十五刻少弱)亥正三刻宋真宗景徳四年丁未歳十一月戊辰日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千○二十四)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿○四百六十一万四千三百三十二)冬至(大余四日小余四百七十二)戊辰日(一十五刻半强)寅初三刻宣明厯(积算七百○七万○三百二十四)通积分(二十一兆六千九百二十一亿四千)(二百八十九万九千八百二十)冬至(大余四日小余二千二百二十)戊辰日(二十六刻半弱)卯正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千三百六十八)气积分(七十六兆一千八百六十)(六亿九千七百五十八万四千三百六十八)冬至(大余四十八日小余五千四百四十八)丁卯日(七十四刻太弱)酉初三刻统天厯(积算三千六百四十四)距差(一百八十六)躔差(二分三)减分(四百)(二十八)气泛积(一百五十九亿七千一百○八万六千二百二十九)气定积(一百)(五十九亿七千一百○八万五千八百○一)冬至(大余三日小余九千八百○一)丁卯日(八十一刻太弱)戌初一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千四百八十四)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十二亿六千九百六十八万四千四百一十六)冬至(大余三日小余三千九百)丁卯日(七十五刻)酉正初刻授时厯(距算二百七十三)歳余(二四二七)中积分(九亿九千七百一十一万二五)(七一)通积分(九亿九千六百五十六万一九七一)冬至(三万八○二九)丁卯日(八十刻少强)戌初一刻仁宗皇祐二年庚寅歳十一月三十日癸丑景长大衍厯(积算九千六百九十六万二千○六十七)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿五千二百三十五万八千九百八十一)冬至(大余四十九日小余二千○二十一)癸丑日(六十六刻半弱)申初二刻宣明厯(积算七百○七万○三百六十七)通积分(二十一兆六千九百二十二亿七千)(四百八十二万六千一百八十五)冬至(大余四十九日小余六千五百八十五)癸丑日(七十八刻半弱)酉正三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百一十一)气积分(七十六兆一千八百六十)(八亿一千二百○七万七千二百八十六)冬至(大余三十四日小余一千六百二十六)癸丑日(二十二刻少强)卯初一刻统天厯(积算三千六百八十七)距差(一百四十三)躔差(一分八)减分(二百)(五十七)气泛积(一百六十一亿五千九百五十五万一千三百五十九)气定积(一百六十一亿五千九百五十五万一千一百○二)冬至(大余四十九日小余三千一百○二)癸丑日(二十五刻太强)卯初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百二十七)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十三亿五千一百八十二万四千○四十八)冬至(大余四十九日小余一千一百)癸丑日(二十二刻半强)卯初一刻授时厯(距算二百三十)歳余(二四二七)中积分(八亿四千○○五万八二一○)通积分(八亿三千九百五十○万七六一○)冬至(四十九万二三九○)癸丑日(二十三刻太强)卯初三刻神宗元丰六年癸亥歳十一月丙午景长大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百)中积分(一百○七兆六千六百一十一亿八)(千九百○○万○三百)冬至(大余四十二日小余二千二百二十)丙午日(七十三刻强)酉初二刻宣明厯(积算七百○七万○四百)通积分(二十一兆六千九百二十三亿七千六百○七)(万二千)冬至(大余四十二日小余七千二百)丙午日(八十五刻太弱)戌正二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百四十四)气积分(七十六兆一千八百六十)(八亿九千九百九十四万三千九百四十四)冬至(大余二十七日小余一千九百一十四)丙午日(二十六刻少强)卯正一刻统天厯(积算三千七百二十)距差(一百一十)躔差(一分四)减分(一百五十四)气泛积(一百六十三亿○四百一十八万七千三百八十九)气定积(一百六十三亿)(○四百一十八万七千三百三十五)冬至(大余四十二日小余三千二百三十五)丙午日(二十七刻弱)卯正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十)通积分(一百六十九兆三千)(二百一十四亿一千四百八十六万一千四百四十)冬至(大余四十二日八十小余一千三百)丙午日(二十六刻少强)卯正一刻授时厯(距算一百九十七)歳余(二四二六)中积分(七亿一千九百五十二万七九)(二二)通积分(七亿一千八百九十七万七三二二)冬至(四十二万二六七八)丙午日(二十六刻太强)卯正一刻元丰七年甲子歳十一月辛亥景长大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百○一)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿九千○一十一万○六百四十三)冬至(大余四十七日小余二千九百六十三)辛亥日(九十七刻半弱)夜子初一刻宣明厯(积算七百○七万○四百○一)通积分(二十一兆六千九百二十三亿七千九百)(一十四万○○五十五)冬至(大余四十八日小余八百五十五)壬子日(一十刻强)丑正一刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百四十五)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿○二百六十○万六千五百七十)冬至(大余三十二日小余三千六百九十)辛亥日(五十刻半强)午正初刻统天厯(积算三千七百二十一)距差(一百○九)躔差(一分四)减分(一百五十)(三)气泛积(一百六十三亿○八百五十七万○二百九十九)气定积(一百六十)(三亿○八百五十七万○一百四十六)冬至(大余四十七日小余六千一百四十六)辛亥日(五十一刻少弱)午正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十一)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿一千六百七十七万一千六百六十四)冬至(大余四十七日小余二千)辛亥日(五十刻太弱)午正初刻授时厯(距算一百九十六)歳余(二四二六)中积分(七亿一千五百八十七万五四)(九六)通积分(七亿一千五百三十二万四八九六)冬至(四十七万五一○四)辛亥日(五十一刻强)午正一刻哲宗元祐三年戊辰歳十一月壬申景长大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百○五)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿九千四百五十五万二千○一十五)冬至(大余八日小余二千八百九十五)壬申日(九十五刻少弱)亥正三刻宣明厯(积算七百○七万○四百○五)通积分(二十一兆六千九百二十三亿九千一百)(四十一万二千二百七十五)冬至(大余九日小余六百七十五)癸酉日(八刻强)丑初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百四十九)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿一千三百二十五万七千○七十四)冬至(大余五十三日小余三千五百○四)壬申日(四十八刻强)午初二刻统天厯(积算三千七百二十五)距差(一百○五)躔差(一分三)减分(一百三十)(七)气泛积(一百六十三亿二千六百一十○万一千九百三十九)气定积(一百)(六十三亿二千六百一十○万一千八百○二)冬至(大余八日小余五千八百○二)壬申日(四十八刻少强)午初二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十五)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿二千四百四十一万二千五百六十)冬至(大余八日小余二千五百二十)壬申日(四十八刻少弱)午初二刻授时厯(距算一百九十二)歳余(二四二六)中积分(七亿○千一百二十六万五七)(九二)通积分(七亿○千○百七十一万五一九二)冬至(八万四八○八)壬申日(四十八刻强)午初二刻元祐四年己巳歳十一月丁丑景长大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百○六)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿九千五百六十六万二千三百五十八)冬至(大余一十四日小余五百九十八)戊寅日(一十九刻半强)寅正二刻宣明厯(积算七百○七万○四百○六)通积分(二十一兆六千九百二十三亿九千四百)(四十八万○三百三十)冬至(大余一十四日小余二千七百三十)戊寅日(三十二刻半)辰初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百五十)气积分(七十六兆一千八百六十九亿)(一千五百九十一万九千七百)冬至(大余五十八日小余五千二百八十)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻统天厯(积算三千七百二十六)距差(一百○四)躔差(一分三)减分(一百三十)(五)气泛积(一百六十三亿三千○四十八万四千八百四十九)气定积(一百六十)(三亿三千○四十八万四千七百一十四)冬至(大余一十三日小余八千七百一十四)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十六)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿二千六百三十二万二千七百八十四)冬至(大余一十三日小余三千)丁丑日(七十二刻半强)酉初一刻授时厯(积算一百九十一)歳余(二四二六)中积分(六亿九千七百六十一万三三)(六六)通积分(六亿九千七百○十六万二七六六)冬至(一十三万七二三四)丁丑日(七十二刻少强)酉初一刻元祐五年庚午歳十一月壬午冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百○七)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿九千六百七十七万二千七百○一)冬至(大余一十九日小余一千三百四十一)癸未日(四十四刻强)巳正二刻宣明厯(积算七百○七万○四百○七)通积分(二十一兆六千九百二十三亿九千七百)(五十四万八千三百八十五)冬至(大余一十九日小余四千七百八十五)癸未日(五十七刻弱)未初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百五十一)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿一千八百五十八万二千三百二十六)冬至(大余三日小余七千○五十六)壬午日(九十六刻太强)夜子初初刻统天厯(积算三千七百二十七)距差(一百○三)躔差(一分三)减分(一百三十)(四)气泛积(一百六十三亿三千四百八十六万七千七百五十九)气定积(一百)(六十三亿三千四百八十六万七千六百二十五)冬至(大余一十八日小余一万一千六百)壬午日(九十六刻太强)夜子初一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十七)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿二千八百二十三万三千○○八)冬至(大余一十八日小余五千○六)壬午日(九十七刻弱)夜子初一刻授时厯(距算一百九十)岁余(二四二六)中积分(六亿九千三百九十六万○九四○)通积分(六亿九千三百四十一万○三四○)冬至(一十八万九六六○)壬午日(九十六刻半强)夜子初初刻元祐七年壬申歳十一月癸巳冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百○九)中积分(一百○七兆六千六百一十一)(亿九千八百九十九万三千三百八十七)冬至(大余二十九日小余二千八百二十七)癸巳日(九十三刻弱)亥正一刻宣明厯(积算七百○七万○四百○九)通积分(二十一兆六千九百二十四亿○三百六)(十八万四千四百九十五)冬至(大余三十日小余四百九十五)甲午日(六刻弱)丑初一刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百五十三)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿二千三百九十万七千五百七十八)冬至(大余一十四日小余三千三百一十八)癸巳日(四十五刻半强)巳正三刻统天厯(积算三千七百二十九)距差(一百○一)躔差(一分三)减分(一百三十)(一)气泛积(一百六十三亿四千三百六十三万三千五百七十九)气定积(一百)(六十三亿四千三百六十三万三千四百四十八)冬至(大余二十九日小余五千四百四十)癸巳日(四十五刻半弱)巳正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百六十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿三千二百○五万三千四百五十六)冬至(大余二十九日小余二千三百)癸巳日(四十五刻半强)巳正三刻授时厯(距算一百八十八)岁余(二四二六)中积分(六亿八千六百六十五万六○)(八八)通积分(六亿八千六百一十○万五四八八)冬至(二十九万四五一二)癸巳日(四十五刻强)巳正三刻哲宗元符元年戊寅歳十一月甲子冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百一十五)中积分(一百○七兆六千六百一)(十二亿○五百六十五万五千四百四十五)冬至(大余一日小余一千二百○五)乙丑日(三十九刻半强)巳初二刻宣明厯(积算七百○七万○四百一十五)通积分(二十一兆六千九百二十四亿二千)(二百○九万三千八百二十五)冬至(大余一日小余四千四百二十五)乙丑日(五十二刻太弱)午正二刻纪元厯(积算二千八百六十十万三千四百五十九)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿三千九百八十八万三千三百三十四)冬至(大余四十五日小余六千六百八十四)甲子日(九十一刻太弱)亥正初刻统天厯(积算三千七百三十五)距差(九十五)躔差(一分二)减分(一百一十)(四)气泛积(一百六十三亿六千九百九十三万一千○三十九)气定积(一百六十)(三亿六千九百九十三万○九百二十五)冬至(大余○日小余一万○九百二十五)甲子日(九十一刻强)亥初三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百七十五)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿四千三百五十一万四千八百)冬至(大余日空小余四千八百)甲子日(九十一刻太强)亥正初刻授时厯(距算一百八十二)歳余(二四二六)中积分(六亿六千四百七十四万一五)(三二)通积分(六亿六千四百一十九万○九三二)冬至(○万九○六八)甲子日(九十刻强)亥初三刻徽宗崇宁三年甲申歳十一月丙申冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千一百二十一)中积分(一百○七兆六千六百一)(十二亿一千二百三十一万七千五百○三)冬至(大余三十二日小余二千六百二十三)丙申日(八十六刻少强)戌正二刻宣明厯(积算七百○七万○四百二十一)通积分(二十一兆六千九百二十四亿四千)(○五十○万一千一百五十五)冬至(大余三十二日小余八千三百五十五)丙申日(九十九刻半弱)夜子初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千四百六十五)气积分(七十六兆一千八百六十)(九亿五千五百八十五万九千○九十)冬至(大余一十七日小余二千七百六十)丙申日(三十七刻太强)巳初初刻统天厯(积算三千七百四十一)距差(八十九)躔差(一分一)减分(九十八)气泛积(一百六十三亿九千六百二十二万八千四百九十九)气定积(一百六十)(三亿九千六百二十二万八千四百○一)冬至(大余三十二日小余四千四百 一)丙申日(三十六刻半强)辰正三刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千五百八十一)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十四亿五千四百九十七万六千一百三十四)冬至(大余三十二日小余一千)丙申日(三十七刻太弱)巳初初刻授时厯(距算一百七十六)岁余(二四二六)中积分(六亿四千二百八十二万六九)(七六)通积分(六亿四千二百二十七万六三七六)冬至(三十二万三六二四)丙申日(三十六刻少弱)辰正二刻光宗绍熈二年辛亥歳十一月壬申冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百○八)中积分(一百○七兆六千六百一十三)(亿○八百九十一万七千三百四十四)冬至(大余九日小余三百八十四)癸酉日(一十二刻半强)寅初初刻宣明厯(积算七百○七万○五百○八)通积分(二十一兆六千九百二十七亿○七百四)(十二万一千九百四十)冬至(大余九日小余二千三百四十)癸酉日(二十七刻太强)卯正二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千五百五十二)气积分(七十六兆一千八百七十)(一亿八千七百五十○万七千五百五十二)冬至(大余五十三日小余四千一百八十二)壬申日(五十七刻少强)未初三刻统天厯(积算三千八百二十八)距差(二)躔差减分(并无)气泛积(一百)(六十七亿七千七百五十四万一千六百六十九)气定积(因无减分以泛为定)冬至(大余八日小余五千六百六十九)壬申日(四十七刻少弱)午初一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千六百六十八)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十六亿二千一百一十六万五千六百三十二)冬至(大余八日小余二千九百)壬申日(五十七刻少弱)未初三刻授时厯(距算八十九)歳余(二四二五)中积分(三亿二千五百○六万五八二五)通积分(三亿二千四百五十一万五二二五)冬至(八万四七七五)壬申日(四十七刻太)午初一刻宁宗庆元三年丁巳岁十一月癸卯日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百一十四)中积分(一百○七兆六千六百一)(十三亿一千五百五十七万九千四百○二)冬至(大余四十日小余一千八百○二)甲辰日(五十九刻少强)未正初刻宣明厯(积算七百○七万○五百一十四)通积分(二十一兆六千九百二十七亿二千)(五百八十三万○二百七十)冬至(大余四十日小余六千二百七十)甲辰日(七十四刻太弱)酉初三刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千五百五十八)气积分(七十六兆一千八百七十)(二亿○三百四十八万三千三百○八)冬至(大余二十五日小余二百五十八)甲辰日(三刻半强)子正三刻统天厯(积算三千八百三十四)距差(四)躔差(○分一)减分(无)气泛积(一百六十八亿○三百八十三万九千一百二十九)气定积(距差乘躔差不满秒半以)(泛为定)冬至(大余三十九日小余一万一千一百二十九)癸卯日(九十二刻太弱)亥正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千六百七十四)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十六亿三千二百六十二万六千九百七十六)冬至(大余四十日小余一百七)甲辰日(三刻少强)子正三刻授时厯(距算八十三)歳余(二四二五)中积分(三亿○千三百一十五万一二七五)通积分(三亿○千二百六十○万○六七五)冬至(三十九万九三二五)癸卯日(九十三刻少)亥正一刻宁宗嘉泰三年癸亥岁十一月甲戌日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百二十)中积分(一百○士兆六千六百一十三)(亿二千二百二十四万一千四百六十)冬至(大余一十二日小余一百八十)丙子日(六刻弱)丑正一刻宣明厯(积算七百○七万○五百二十)通积分(二十一兆六千九百二十七亿四千四百)(二十三万八千六百)冬至(大余一十二日小余一千八百)丙子日(二十一刻半弱)卯初初刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千五百六十四)气积分(七十六兆一千八百七十)(二亿一千九百四十五万九千○六十四)冬至(大余五十六日小余三千六百二十四)乙亥日(四十九刻太弱)午初三刻统天厯(积算三千八百四十)距差(一十)躔差(○分一)减分(一)气泛积(一百六十八亿三千○一十三万六千五百八十九)气定积(一百六十八亿三千○一十三)(万六千五百八十八)冬至(大余一十一日小余四千五百八十八)乙亥日(三十八刻少弱)巳初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千六百八十)通积分(一百六十九兆三千)(二百一十六亿四千四百○八万八千三百二十)冬至(大余一十一日小余二千五百九十)乙亥日(四十九刻半强)午初三刻授时厯(距算七十七)歳余(二四二五)中积分(二亿八千一百二十三万六七二五)通积分(二亿八千○百六十八万六一二五)冬至(一十一万三八七五)乙亥日(三十八刻太)巳初一刻宁宗嘉定五年壬申歳十一月壬戌日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百二十九)中积分(一百○七兆六千六百一)(十三亿二千二百二十三万四千五百四十七)冬至(大余五十九日小余七百八十七)癸亥日(二十五刻太强)卯正初刻宣明厯(积算七百○七万○五百二十九)通积分(二十一兆六千九百二十七亿七千)(一百八十五万一千○九十五)冬至(大余五十九日小余三千四百九十五)癸亥日(四十一刻半强)巳初四刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千五百七十三)气积分(七十六兆一千八百七十)(二亿四千三百四十二万二千六百九十八)冬至(大余四十三日小余五千○二十八)壬戌日(六十九刻弱)申正二刻统天厯(积算三千九百四十九)距差(一十九)躔差(○分二)减分(四)气泛积(一百六十八亿六千九百五十八万二千七百七十九)气定积(一百六十八亿)(六千九百五十八万二千七百七十五)冬至(大余五十八日小余六千七百七十五)壬戌日(五十六刻半弱)未初二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千六百八十九)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十六亿六千一百二十八万○三百三十六)冬至(大余五十八日小余三千五百)壬戌日(六十八刻太强)申正初刻授时厯(距算六十八)歳余(二四二五)中积分(二亿四千八百三十六万四九○○)通积分(二亿四千七百八十一万四三○○)冬至(五十八万五七○○)壬戌日(五十七刻)未初二刻理宗绍定三年庚寅歳十一月丙申日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百四十七)中积分(一百○七兆六千六百一)(十三亿五千二百二十二万○七百二十一)冬至(大余三十三日小余二千○○一)丁酉日(六十五刻少弱)申初二刻宣明厯(积算七百○七万○五百四十七)通积分(二十一兆六千九百二十八亿二千)(七百○七万六千○八十五)冬至(大余三十三日小余六千八百八十五)丁酉日(八十二刻弱)戌初二刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千五百九十一)气积分(七十六兆一千八百七十)(二亿九千一百三十四万九千九百六十六)冬至(大余一十八日小余五百四十六)丁酉日(七刻半弱)丑初三刻统天厯(积算三千八百六十七)距差(三十七)躔差(○分五)减分(一十九)气泛积(一百六十九亿四千八百四十七万五千一百五十九)气定积(一百六十)(九亿四千八百四十七万五千一百四十○)冬至(大余三十二日小余一万一千一百四十)(○)丙申日(九十二刻太强)亥正一刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千七百○七)通积分(一百六十九兆三千)(二百一十六亿九千五百六十六万四千三百六十八)冬至(大余三十三日八小余三百七十)丁酉日(七刻少弱)丑初三刻授时厯(距算五十)歳余(二四二五)中积分(一亿八千二百六十二万一二五○)通积分(一亿八千二百○十七万○六五○)冬至(三十二万九三五○)丙申日(九十三刻半)亥正一刻理宗淳祐十年庚戌岁十一月辛巳日南至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百六十七)中积分(一百○七兆六千六百一)(十三亿七千四百四十二万七千五百八十一)冬至(大余一十八日小余一千六百六十一)壬午日(五十四刻半强)未初初刻宣明厯(积算七百○七万○五百六十七)通积分(二十一兆六千九百二十八亿八千)(八百四十三万七千一百八十五)冬至(大余一十八日小余五千九百八十五)壬午日(七十一刻少)酉初初刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千六百一十一)气积分(七十六兆一千八百七十)(三亿四千四百六十○万二千四百八十六)冬至(大余二日小余六千九百○六)辛巳日(九十四刻太弱)亥正三刻统天厯(积算三千八百八十七)距差(五十七)躔差(○分七)减分(四十)气泛积(一百七十○亿三千六百一十三万三千三百五九)气定积(一百七十○亿三千)(六百一十三万三千三百一九)冬至(大余一十七日小余九千三百一十九)辛巳日(七十七刻太弱)酉正二刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千七百二十七)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十七亿三千三百八十六万八千七百九十八)冬至(大余一十七日小余四千)辛巳日(九十三刻半强)亥正一刻授时厯(距算三十)岁余(二四二五)中积分(一亿万千九百五十七 二七五)通积分(一亿万千九百十二 二一五) 冬至(一十七万七八五)辛巳日(七十八刻半)酉正三刻元世祖至元十七年庚辰歳十一月己未夜半后六刻冬至大衍厯(积算九千六百九十六万二千二百九十七)中积分(一百○七兆六千六百一)(十四亿○七百七十三万七千八百七十一)冬至(大余五十五日小余二千六百七十一)己未日(八十七刻太强)亥初初刻宣明厯(积算七百○七万○五百九十七)通积分(二十一兆六千九百二十九亿八千)(○四十七万八千八百三十五)冬至(大余五十六日小余四百三十五)庚申日(五刻强)丑初一刻纪元厯(积算二千八百六十一万三千六百四十一)气积分(七十六兆一千八百七十)(四亿二千四百四十八万一千二百六十六)冬至(大余四十日小余一千八百六十六)己未日(二十五刻半强)卯初初刻统天厯(积算三千九百一十七)距差(八十七)躔差(一分一)减分(九十六)气泛积(一百七十一亿六千七百六十二万○六百五十九)气定积(一百七十一亿)(六千七百六十二万○五百六十三)冬至(大余五十五日小余○万○五百六十三)己未日(四刻半强)丑初初刻重修大明厯(积算八千八百六十三万九千七百五十七)通积分(一百六十九兆)(三千二百一十七亿九千一百一十七万五千五百六十八)冬至(大余五十五日小余一千)己未日(二十五刻强)卯正初刻授时厯(据当时日晷推定无距算无中积分上考下求用为元数)(实测得冬至气应五十五日○六百分)己未日(六刻)丑初一刻右日名五厯合宣明后一日刻惟授时合统天先一刻余皆后天大衍至八十余刻以上自鲁僖公以来冬至日名共四十七并至元辛巳有刻为四十八事授时法合者三十八不合者昭公己卯刘宋元嘉丙子大明辛丑陈太建壬辰丁酉隋开皇甲寅唐贞观甲辰己酉宋景徳丁未嘉泰癸亥共十统天厯同据厯议统天不合者惟献公戊寅与授时不同今以宋史所载厯术躔差用秒法求之无不同也算式如后鲁献公十五年戊寅歳正月甲寅朔旦冬至统天厯(积算一千七百五十四)距差(二千○七十六)躔差(二十六分四)减分(五万四千八百○六)气泛积(七十六亿八千七百三十八万六千三百二十九)气定积(七十六亿八千七百三十三万一千五百二十三)冬至(大余五十日小余一万一千五)甲寅日(九十六刻强)夜子初初刻躔差三位得之大余(五十一日)小余(三百五十三)乙卯日(二刻太强)子正二刻躔差二位得此若躔差只用二位正得乙卯与授时厯议合然非其本法也何以知之按统天厯术歩气朔章曰躔差小分半以上从秒一距差乘躔差秒半以上从分一如躔差只用分安得有秒距差乘后又安得有分以下之数乎故三位为是鲁献公距算考(附)史记武王九年东伐至盟津周公辅行十一年伐纣至牧野周公佐武王作牧誓克殷二年周公作金縢其后武王崩成王少在襁褓之中成王七年作洛七年后还政成王北面就臣位周公卒子伯禽固前已受封是为鲁公(皇甫谧云伯禽以成王元年封)(四十六年康王十六年卒)伯禽卒子考公酋立四年卒弟炀公熈立六年卒子幽公宰立十四年弟㵒弑之自立为魏公五十年卒子厉公擢立三十七年卒鲁人立其弟具是为献公献公三十二年卒子真公濞立真公十四年周厉王奔彘二十九年周宣行政三十年真公卒弟武公敖立武公九年朝周归而卒少子戏立是为懿公懿公九年兄括之子伯御杀懿公自立十一年周宣王伐鲁杀伯御立懿公弟称为孝公孝公二十五年犬戎弑幽王二十七年孝公卒子惠公弗皇立四十六年卒隐公摄当国(又史记三代世表鲁献公在夷王燮时十二诸侯年表起鲁真公濞十五年庚申一云十四年)按自元至元十八年辛巳上距周武王己卯通二千四百单三年据厯议春秋献公以来二千一百六十余年而首列献公十五年为戊寅是在武王后二百四十年也今世家自伯禽至献公卒通一百八十九年而已厯议不知何据存之再考厯算全书卷十四
## 卷十五
厯算全书卷十五
## 卷十六
钦定四库全书厯算全书卷十六宣城梅文鼎撰五星纪要论五星岁轮五星与日皆东岀而西没宗动天之所运也土木火三星在太阳上而近宗动故其左旋速于日毎日有所差之分即岁轮心之平行也五星与太阳有定距岁轮心既为宗动所掣渐离太阳而西则星不得不自岁轮之中线(即平行度)渐移而东以就日而星既在日之上亦即不得不自岁轮之顶渐移而下以就日也既渐移而东又渐移而下则不能平转而成环行岁轮之圆象成矣岁轮心正在太阳之上星又在岁轮之顶作直线过岁轮心以过太阳之心而指地心是为合伏合伏以后星在岁轮上东移有类平转故其东移速(古谓之疾段)岁轮心离日渐逺星在岁轮离合伏之度亦渐逺而向下行则东移之度渐迟(古谓之迟段)岁轮心离日至一象限星在岁轮直向下行人自地观之不见其动(古为留段)过此留段轮心距太阳益逺将至半周星行岁轮之底转成向西行(是为退叚)轮心与日冲星正居轮底自轮心作线过星以过地心而直射太阳之心亦为一直线是为退冲未至日冲皆为晨见冲日以后则为夕见夕见者西与日近东与日逺轮心反在日后而西行追日日在西星在东星不得不自轮底西移而就日(故仍为退段)轮心西距日益近则星渐西而亦渐上行以就其距日之定距星既在轮边与轮心亦有定距则其西移过半象限不得不转而上行矣至于西距日一象限上行之势又直人自地观之亦不见动(古亦谓留段)过此而轮心距日益近则星亦在轮上渐向东行以就合伏之度以就其距日之常度于是又见其东移之速而至于合伏(古亦谓疾段)是为岁轮之周论上三星围日之行左旋问古以七政右旋宋儒以七政周天左旋今以七政恒星皆为一日一周之天所掣而西发明宋说谓右旋之度因左旋而成可谓无疑义矣兹论七政新图以太阳为心而复谓上三星左旋与金水异何居曰左旋有二前所论七政左旋以地为心者也今上三星左旋以太阳为心者也五星既为动天所转而成左旋(一日绕地一周之行)又依岁轮而右旋(以本轮上定度为心)此五纬之所同也然岁轮上实行之度与太阳相直有定距则仍以太阳为心又成围绕太阳之行矣金水二星即以太阳为岁轮(或伏见轮)之心故岁轮即围日之行岁轮右旋故其围日之行亦右旋也上三星则岁轮不以太阳为心但其距日有定度而又成围日之形以岁轮上度言之仍是右旋与金水同以围日之形言之则是左旋与金水异矣五星与日皆为动天所转绕地左旋但上三星之左旋速于日故合伏之后即在日西(以右旋言为星不及日以左旋言为星过于日)冲日之后乃在日东(以右旋言为日逐星以左旋言则为星逐日)是不特其平行绕地者为左旋而其距日有常以成围日之形者亦左旋也金水之左旋与日等故合伏之后在日东退合之后在日西则是平行绕地者均为左旋而其围日之行则右旋也故曰上三星左旋与金水异者主乎围日以为言者也然则岁轮之度又何以同为右旋乎曰视行之法逺则见迟近则见疾上三星之左旋虽速于日而在岁轮上半则见过日之度稍迟下半则见过日之度加速矣金水之左旋虽与日等而在岁轮上半较日距地为逺则见左旋迟于日下半距地近则见右旋速于日夫上半左旋迟则右移反速下半左旋速则右移反迟而成留退此所以岁轮上度五星皆为右旋也然五星岁轮所以有在上在下之分者则以与太阳有定距也因其与日有定距所以能成岁轮上周转之行因其在岁轮上周转而行所以与日有定距杨学山曰上金水左旋右旋之论犹仍厯书之说以伏见轮同岁轮后言伏见轮乃绕日圆象金水另有其岁轮乃勿庵晚年新说耳论五星以日为心之图法曰上三星其围日之圏左旋下二星其轮右旋皆以从宗动而西运之行为主(论左旋则星之退行乃其行速)假如上三星合伏时在太阳之上及其毎日左旋一周则星行过日若干分而在日西然其旋也距地则渐近其所以低者以就太阳也自此左旋之周益多则其离日而西之度亦渐逺而益旋益低比至在日西满半周而冲日则其旋益近地所以然者因在日冲故必下行岁轮之底以就日也冲日以后其左旋之行转在日东随日之后而向日行其旋亦自冲日卑处渐向于髙离冲日若干分则其旋渐髙亦若干分自此在日后左旋追日而益近之以复至合伏则其旋益髙而复在太阳之上矣是故上三星之能为围日之圏者以左旋言也惟以左旋言之则无论冲合之在恒星何度亦无问各星之冲合各有周率经厯之时日几何而其以日为心悉同一法也其下二星以岁轮围日其理易明然亦是与太阳同为一日一周之左旋而星之左旋迟于日故合伏时在太阳上毎左旋一周则星不及日若干分度而在日东其行亦渐降至于夕留之后又复渐速而追日其度益降至退合伏而极乃复离日而西度亦渐升而复于合伏矣地谷曰日之摄五星若磁石之引铁故其距日有定距也惟其然也故日在本天行一周而星之升降之迹亦成一圆相厯家因取而名之曰岁轮也是故上三星岁轮约畧皆与太阳天同大而今其径有大小者各以其本天半径为十万之比例也地谷新图其理如此不知者遂以围日为本天则是岁轮心而非星体失之逺矣宗动天左旋星与太阳皆从之左旋而有迟速以其所居有髙下离动天有逺近也上三星在日天之上近于动天故其毎日左旋比日为速虽不能与恒星同复故处而所差甚㣲(土星只二分竒木星只五)(六分火星只半度)不能若太阳之毎差一度也论五星本天以地为心问五星之法至西厯而详明然其旧说五星各一重天大小相函而皆以地为心其新说五星天虽亦大小相函而以日为心若是其不同何也曰无不同也西人九重天之说第一重宗动天次则恒星又次土星次木星次火星次太阳次金次水次太隂是皆以其行度之迟速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知则皆以地心为心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大于太阳之天而包于外金水二星距地心渐近故其天皆小于太阳之天而在其内为太阳天所包是其本天皆以地为心无可疑者惟是五星之行各有岁轮岁轮亦圆象五星各以其本天载岁轮岁轮心行于本天之周星之体则行于岁轮之周以成迟疾留逆(岁轮心行)(于本天周皆平行也星行于岁轮之周亦平行也人自地测之则有合有冲有疾有迟有留有逆自然之理也)若以岁轮上星行之度聨之亦成圆象而以太阳为心西洋新说谓五星皆以日为心盖以此耳然此围日圆象原是岁轮周行度所成而岁轮之心又行于本天之周本天原以地为心三者相待而成原非两法故曰无不同也(上三星在岁轮上右旋金水在岁轮上左旋皆挨度平行)夫围日圆象既为岁轮周星行之迹则迟留逆伏之度两轮皆有之故以岁轮立算可以得其迟留逆伏之度以围日圆轮立算所得不殊立法者溯本穷源用法者从简便算如厯书上三星用岁轮金水二星用伏见轮皆可以求次均立算虽殊其归一也或者不察遂谓五星之天真以日为心失其指矣夫太阳去地亦甚逺矣五星本天既以地为心而又能以日为心将日与地竟合为一乎必不然矣厯指又尝言火星天独以日为心不与四星同予尝断其非是作图以推明地谷立法之根原以地为本天之心其说甚明其金水二星厯指之说多淆亦乆疑其非今得门人刘允恭悟得金水二星之有岁轮其理的确而不可易可谓发前人之未发矣论伏见轮非岁轮问金水二星之求次均也(即迟疾留逆)用伏见轮厯指谓其即岁轮其说非欤曰非也伏见轮之法起于回厯而欧逻因之若果即岁轮何为别立此名乎由今以观盖即岁轮上星行绕日之圆象耳(王寅旭书亦云伏见轮非岁轮)然则伏见轮既为围日之迹上三星宜皆有之何以不用而独用之金水曰以其便用也盖五星行于岁轮起合伏终合伏皆从距日而生故五星之岁轮并与日天同大而岁轮之心原在本天周故其围日象又并与本天同大上三星之本天包太阳外其大无伦又其行皆左旋(所以左旋之故详其后论)颇费觧说故只用岁轮也至于金水本天在太阳天内伏见轮既与之同大又其度顺行故用伏见轮(亦即绕日圎象)若用岁轮则金水之岁轮反大于本天(以岁轮与日天同大故皆大于本天)故不用岁轮非无岁轮也承用者未能深考立法之根輙谓伏见轮即岁轮其说似是而非不可不知也伏见亦起合伏终合伏有似岁轮然岁轮之心行于本天之周而伏见轮以太阳为心故遂以太阳之平行为平行皆相因而误者也论五星平行然则金水既非以太阳之平行为平行又何以求其平行曰岁轮之心行于本天是为平行乃实度也实度者周度也(以本天分三百六十度而以各星周率平分之则得其毎日平行如土星二十九年竒而行本)(天一周则二十九日而行一度毎日平行二十九分度之一是为最迟木星十二年周天毎日平行约为十二)(分度之一火星二年周天约为毎日平行半度金星二百二十余日周天约毎日平行一度半强水星八十八)(日竒而周天约毎日平行四度皆平行实度)若岁轮及伏见轮虽亦各分三百六十度亦各有其平行然而非实度也(既非本天上平行之度又非从)(地心实测之平行度)乃各星之离度耳因此离度(下文详之)用三角法从地心测之则得其迟留伏逆之状亦为实度矣(此实度不平行与本天之平行)(实度不同)本天之度平行实度也岁轮及伏见乃离度也离度为虚数故皆以半径之大小为大小伏见轮上行度与岁轮同所不同者半径也伏见之半径皆同本天岁轮之半径皆同日天论离度有顺有逆问何以谓之离度曰于星平行内减去太阳之平行故曰离度乃离日之行也以太隂譬之其毎日平行十三度竒者太隂平行实度毎日十二度竒者太隂之离度也(于太隂平行内减太阳平行)是故金星毎日行大半度竒水星毎日约行三度皆于星平行内减太阳之平行 因金水行速其离度在太阳之前乃星离于日之度故其度右旋顺行与太隂同法也若上三星则当于太阳平行内减去星行是为离度盖以上三星行迟在太阳之后乃星不及于日之度其度左旋而成逆行与太隂相反然其为离日之行度一而已矣(王寅旭五星行度觧谓上三星左旋盖谓此也然竟以此为本天则终非了义)论平行有二用而必以本天之度为宗平行者对实行而言也然实行有二一是本天最髙卑之行亦曰实行一是黄道上迟留逆伏实测亦曰视行是二者皆必以本天之平行为宗若金水独以太阳之平行为平行是废本天之平行矣又何以求最髙卑乎围日之轮(即伏见轮)起合伏终合伏是即古法之合率也本天之行则古法之周率也最髙卑则古法之厯率也又有正交中交以定纬度即如古法之太隂交率也(此一法是)(西法胜中法之一大端)是数者皆必以本天取之故不得以围日之轮为本天厯指言金星正交定于最髙前十六度水星正交与最髙同度其所指皆本天之度非伏见行之度则伏见轮不得为本天明矣今以七政厯征之不惟最髙卑之盈缩有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十余日而南北之交一终水星则八十八日竒而交终此皆论本天实度原不论伏见行是尤其较著者矣论金水交行非徧交黄道问周云渊言金水遍交黄道不论何宫今日交有定度何也曰云渊之说盖因回回厯纬表而误者也何以言之回回厯以自行度小轮心度立表而定其交黄道之度非以黄道度为主而求其交处也故其所谓宫度者皆小轮之宫度也非黄道之宫度也若谓黄道之宫度而可以徧交将正交之度亦无定在矣又安得谓金星正交在最髙前十六度及水星正交定于最髙同度乎必不然矣(正交定度虽出厯书然与回厯原是大同小异)今以七政厯攷之金星水星之交周皆有定期(金星以二百二)(十余日水星以八十八日竒)但岁轮心行至正交即无纬度不论其为合伏为冲退为疾为迟或留也以此而断其必有本天有岁轮可以勿疑论金水伏见轮伏见轮即绕日圆象也其半径与本天等本天上岁轮心所行之周半在黄道北半在黄道南其势斜立如太隂之出入黄道为隂阳厯也而星体行伏见轮周其势亦斜立与之相应故其交角等岁轮心在正交或中交则星无纬度故伏见轮上亦有正交中交 岁轮心行过正交渐生北纬至离正交九十度则北纬极大如太隂之隂厯半交也(古法正交后阳厯中交后隂厯西法则反用其号然其用不殊)岁轮心行过北大距(离正交九十度至一百七十九度)北纬渐小至中交而复无纬此如太隂之隂厯半周也 岁轮心行本天隂厯半周即星在伏见轮上亦行北半周而其纬在北纬有大小无不与之相似岁轮心行过中交渐生南纬至离中交九十度南纬极大如太隂之阳厯半交也岁轮心行过南大距南纬渐小复至正交而无纬如太隂之阳厯半周也即星在伏见轮亦行南半周而南纬之大小一一与本天相似聨正交中交成一线此线在本天必过地心以本天圆面与黄道面斜交相割而成也而在伏见轮亦必过日心以伏见轮之绕日圆象亦与黄道面斜交而半在黄南半在黄北圆面相割成线也以此线为横线而均剖之作十字横线则上下两端所指并半交大距度矣此伏见轮上十字线之理也伏见轮心即太阳太阳行黄道三百六十度伏见轮亦随之行一百六十度而十字之形不变此正视之形也又正视图不能见交角故必以旁视明之伏见轮事事与本天等故以本天明之如图 甲丙乙壬为本天浑员之体(因旁视即为本天浑)(体)甲心乙即本天之星道(因旁视故前平视之外周跻缩成一直线)(也)心即地心(在伏见轮即为太阳)又即为正交中交(因旁视正交中)(交过心横线竟㸔成一点)丁心癸即本天上黄道圈(本天小于黄道然其度一一与黄道相应而成一圈亦因旁视㸔成)(一直线)两直线相交于心即成纬度角(两直线相交即两圈)(相交也亦即为两圆靣相切两圆面者一为星道一为黄道在浑体皆成面)甲心丁角在黄道北其弧甲丁其正弦甲庚北大距之纬度也(甲丁)(弧虽在本天然即外应黄道纬)乙心癸角在黄道南其弧乙癸其正弦乙辛南大距之纬度也(乙癸弧在本天外应黄道与甲丁同)问何以分南北也曰甲丁与乙癸两大距弧各引长之成一全圈在本天浑体即外与黄道上过极经圈相应而北心南直线为之轴北即北极南即南极亦与黄道之南北极相应矣甲心线在黄道北即生北纬乙心线在黄道南即生南纬又何疑哉(甲心半径也以旁视故正交后北半周一百八)(十弧度并跻缩成直线与半径等乙心之在南亦然)然何以谓之大距曰甲丁纬弧与甲心丁角相应为北大纬乙癸弧与乙心癸角相应为南大纬甲㸃乙㸃并居半交故其纬最大其未及半交及已过半交其纬并小南北并同也问纬度即角度也角同而纬有大小何也曰角虽同而边不同也大距度以半径为全数其余各度并皆以正弦当全数假如任举一度如过正交三十度为戊㸃(未至中交三十度亦同)其正弦戊心法为甲心全数与甲丁大距之正弦甲庚若戊心正弦与戊子弧之正弦戊巳也(戊心巳句股形与甲心庚形相似同)(用心角而戊心边正得甲心之半则戊巳亦甲庚之半而戊子弧亦必为甲丁之半矣他皆倣此)以上所论皆本天之事然伏见轮之理并无有二故此一图即可作伏见轮观其旁视之交角甚明也论伏见轮十字线伏见轮既为绕日员象而生于本天之岁轮故其面与本天等径而其斜交黄道之势亦与本天等夫本天之斜交黄道也半在北半在南惟正交中交二㸃与黄道合聨此二㸃过心是为交线即两员面相切所成也从交线上中分之作过心十字直线至本天周即大距线也何则黄道面上原有十字线正视之两线合为一直旁视之则本天直线斜穿而成交角故此直线在本天即为大距线也此直线所指本天之度正在二交折半之中其距最大故即为大距线然则此十字线者固本天所原有而伏见轮之斜交黄道既与本天等则其十字线亦无不等矣伏见轮即为绕日之员象则太阳即轮心太阳行于黄道故伏见心钉于黄道也然其心虽钉于黄道而其面则半在北半在南一定不易任轮心在黄道之何度而其斜交之面总与本天为平行故其交线皆不变其十字大距线亦不变也由是观之伏见轮亦有二面何则伏见轮之面既斜交黄道与本天之面为平行则其相当之黄道亦即有与伏见轮相应之一圏与黄道面平行而与伏见轮斜交亦如本天之与黄道斜交矣如是则伏见轮之交线常与本天之交线平行不论在黄道上何度分也而伏见轮上之从心所出之十字大距线及所相当黄道上从太阳心即轮心所出之十字线亦与本天心黄道之十字线平行而两十字线正视之成一直线旁视之一直一斜而成大距之交角亦一一与本天交黄道之角分寸不爽故用伏见即如本天也论伏见轮之所以然伏见轮半在日天外半在日天内其半径与本天等即星体所行也(黄道半径与金星本天之比例约为十与七二有竒)伏见轮以日为心绕日环行与本天周上岁轮心行度相应故其大相等本天半在黄道北半在其南伏见轮亦然(门人刘著云譬如人)(放纸鸢人在下环行而纸鸢亦在空际环行盖以纸鸢为风所举不能下而又为线所引不能不环行可谓善)(于形容)故惟本天之度为实度不惟伏见轮为星绕日行之虚迹即岁轮周上星行之度亦虚设之员周非硬圏有形质也譬如浮屠髙尖有珠如日人持长竿竿上端有微小之珠(如金星)浮屠之中腰有圆圏梯道斜绕之(如金)(星本天之斜立)人行其上(如岁轮心之行于本天周)其珠竿直立指天其长也如浮屠尖至其腰围之心(如星在岁轮周至岁轮心之径与日天半径等)两珠相望有绳系之其绳常引直而有定距与腰围斜绕之磴道等(如金星绕日有定距与本天半径相等)持竿者循斜梯绕浮屠旋转平行之则竿上珠自然亦绕尖上大珠旋转成员象矣(此如伏见轮为绕日之员象)由是言之可以免岁轮大小之疑何则岁轮之心行于本天之周而本天既有髙卑岁轮心行于髙度则金星在伏见轮者离地逺矣岁轮心行低度则星在伏见轮者离地近矣近则觉岁轮之半径小矣逺则觉岁轮之半径大矣若岁轮为坚靭之物何以能伸屈如此乎更以视法徴之何以在最髙反大在最卑反小乎必不然矣岁轮之大小又因于太阳髙卑伏见轮既以日为心则太阳行最髙时伏见轮从之亦髙而星去地逺太阳行最卑则伏见轮从之卑而去地近亦遂疑岁轮之有大小而与视法反若知岁轮亦非真有轮则群疑尽释矣求伏见轮交角伏见轮斜交黄道既一一与本天等则伏见轮交角与本天交角亦必相等假如本天大距纬度之正弦欲变为伏见轮上大距之正弦法为黄道半径与本天大距之正弦(即本天交角)若伏见轮半径(亦即本天半径)与伏见轮之大距正弦也金星本天交角定为三度二十九分 水星六度 分一 黄道半径(全数) 一○○○○○二 本天交角(正弦) ○六○七六二 伏见轮半径 七二二五一四 伏见轮大距纬(正弦) ○四三八九王寅旭中纬准分是○四三九○葢以得数九九七收作一数故也其余各度并先以全数为一率交角正弦为二率各度正弦为三率得四率为各度纬再以全数为一率各度纬为二率伏见半径为三率求得四率为各度变率之本纬简法置交角正弦以各度正弦乘之去末五位又以伏见轮半径乘之去末五位即径得各度变率本纬又㨗法 黄道半径为一率 大距正弦变率为二率各度正弦为三率 得各度本纬为四率假如伏见轮上距交三十度求其本纬一 黄半径全数一○○○○○二 (大距正弦)变率 ○四三九○乘得二一九五○○三 三十度正弦 五○○○○○○○四 三十度本纬 ○二一九五解曰此以变率求变率故径得本纬不须再变寅旭用中纬准分即此理也求各度正余弦变率法置各度正余弦以伏见轮半径乘之得数去末五位即得变率之正余弦求金星视纬法(水星倣此)一求合伏距交法以本日太阳实行在正交后宫度(即伏见轮心距交宫度)命为合伏距交度解曰凡星合伏必与太阳同度太阳行一度小轮上合伏㸃亦随之移一度故太阳实行度即轮心而轮心距交必与轮周之合伏距交等角二求星距交法以用日距合伏后日数在位用星离日度三十七分弱为法乘之得离日平行以加合伏距交度为星距交平行度再简本度盈缩差加减之(即加减差从最髙卑起算)为星实行距交度分解曰金星之行速于太阳太阳行一度金星行一度三十七分弱有竒故虽与太阳同行而常在前谓之离日度厯书以太阳之行为星平行非真平行故必并此离日度始为真平行星平行在伏见轮周而根本在本天岁轮心行于本天有髙卑加减古厯谓之盈缩差伏见轮上行既与本天上岁轮心行相应则亦必有盈缩加减矣三求两距交度入隂阳厯及初末限法以两距交度(一伏见轮心距交是黄道上度一星体距交是伏见轮周度)并视其在半周以下为入隂厯(○一二三四五宫)满半周以上内减去半周为入阳厯(六七八九十十一宫)各视其度在象限以下为初限(○一二宫为隂厯初限六七八宫为阳厯初限)满象限以上用以减半周余为末限(三四五宫为隂厯末限九十十一为为阳厯末限)四求视纬正弦法以星距交正弦(用变率)及各度本纬(变率)各自乘实相减得数开方得根以加减黄道正弦(即轮心距交度正弦用本数)为黄道正弦又自乘之得数以与本纬自乘实相并(本纬实即上所)(求)为视纬股实开方得视纬正弦(㨗法不必开方只用股实)加减例 视(黄道上轮心伏见轮上星)两距交度(同在隂厯或同在阳厯则相加或一)(在隂厯一在阳厯则相减)解曰星距地心线如句股之弦即全数也故亦有其正弦为股余弦为句五求视纬余弦法以星距交度余弦(变率)加减黄道余弦(用本数与正弦同)为视纬余弦加减例 视两距交度(仝在正交边或仝在中交边则相加若一在正交边一在中交)(边则相减)解曰在正交边者隂厯初限阳厯末限也隂厯初限为已过正交在正交前一象限也阳厯末限为未到正交在正交后一象限也此两象限共一百八十度在十字直线之右并于正交为近也在中交边者隂厯末限为未到中交之度在中交后一象限阳厯初限为已过中交之度在中交前此一百八十度在十字直线之左并于中交为近也又总解曰正弦之加减论隂阳厯以十字横线为断也余弦之加减论正中交以十字直线为断也横线者交线也直线者大距线也正弦线并与大距线平行是各度距交线之数余弦线并与交线平行是各度距大距线之数于此而知十字线之为用大也六求星距地心线法以视纬正弦余弦各自之并而开方得星距地心线七求视纬法以各度本纬(变率)加五位为实星距地心为法除之得视纬论曰必如此下算则事事有著落视纬得数始真若前纬后纬之表以中分取数加减法虽巧便得数亦恐不真耳假如金星伏见轮心距正交三十度星距合伏三十五度求视纬如图大圈为黄道小圈为伏见轮轮心在日距正交为井日弧三十度合伏距正交为合正亦三十度星在戊过合伏三十五度距正交为戊正弧六十五度法先用日乙丙丁戊巳两三角形依变率法日乙与乙丙大纬正弦若丁戊星距交正弦与戊巳纬次用丁戊巳直角形巳为直角戊丁为弦戊巳为勾求得巳丁股次用戊巳癸直角形巳为直角以巳丁股加丁癸(丁癸即日)(壬为轮心距交井日弧正弦)共己癸为股戊巳为勾求得戊癸为视纬正弦次以星距交正戊弧余弦丁日即壬癸也与壬心相加(壬心为轮心距交井日弧之余弦)共癸心为视纬余弦次用戊癸心形癸为直角戊癸为股癸心为勾求得戊心星距地心线末用心戊巳直角形巳为直角心戊与戊巳纬若全数与戊心巳角之正弦求弧得心角视纬度(图内诸三)(角形俱是立三角须以浑体观之便明)按右法未加髙卑之算盖前纬后纬表原亦未用髙卑也若求宻率仍当以髙卑入算为穏说具后条又按依右法用三角形推算可不必立前后纬表亦不用中分厯书盖以作表故用约法以该之也论大距纬之变率又以髙卑而变大距纬者即黄道交角之正弦金水本天半径皆小于黄道半径(黄道常为十万而金星本天半径得其十之七有竒水星得其十之三有竒)故其大距纬亦小于黄道之大距纬而各度从之皆有变率矣然星本天既有髙卑则其半径亦时有大小而其距纬亦从之有大小变率之法又当以此为准的也准前论在本天最髙则半径大而伏见轮半径亦大即距纬亦大矣在最卑则半径小(本天与伏见轮并仝)距纬亦小矣(皆变率之距纬)说者遂谓其与视法之理相反殊不然也何则本纬之变率与视纬之变率不同也本纬在最髙则半径大本纬亦大在最卑则半径小本纬亦小乃本天自有之数非闗视法(伏见轮上纬仍是本天)视纬星距地逺则大纬变小星距地近则小纬变大全系视法(从地上看伏见轮上星)论黄道亦有半径之大小黄道半径常为十万分全数然黄道既有髙卑则其半径必有大小最髙时半径必十万有竒最卑时半径必十万不足日躔章原有太阳距地髙卑表所当取用者也太阳距地为黄道半径亦即伏见轮心距地也在上三星用岁轮即为岁轮半径王寅旭曰因黄道之髙卑而岁轮有大小盖谓此也今按岁轮与黄道同大厯家筭髙卑或用不同心圏则其距地之数有大小乃是半径有大小非以此半径另作一圏也以岁轮立算乃是数中之象因天运有常故可以轮法测之此可为达者告也论伏见轮半径亦有大小而本纬因之有大小本天既有髙卑则半径有大小而伏见轮并与之等伏见轮半径既有大小则其正弦余弦之变率及大距度之变率与各度之本纬并因之而有大小法以本天髙卑求得各度半径为伏见轮各度半径(最髙)(距正交十六度起算)就以半径为法乘各度正弦余弦去末五位为正弦余弦变率又以半径为法乘大距正弦(金星大距三度二十九分)去末五位为大距变率就以大距变率为法乘各度正弦去末五位为各度本纬以上数端并以最髙变大最卑变小论视纬当兼用两种髙卑立算准上论黄道半径有大小伏见轮半径及正余弦及本纬并有大小必兼论之则视纬始为宻率法以伏见轮各度正弦变率自乘本纬亦自乘两得数相减开方求根以加减黄道正弦(髙卑所求)为正弦又自乘之以并本纬自乘为视纬自乘实(即视纬股实)又法不用加减但以伏见轮正弦(变率)为一边黄道正弦(髙卑所算)为一边大距度外角(以大距角减半周)为一角用切线分外角法求得视纬正弦自乘为股实亦同又以伏见轮余弦黄道余弦相加减(俱用变率)为视纬余弦又自乘之为句实并视纬股实句实开方得弦即星距地心逺近线也末以星距地心为法本纬(变率)加五位为实实如法而一得视纬宻率黄道髙卑于太阳实行度取轮心距最髙宫度(在正交后若干)(度起算)本天髙卑于伏见轮上星实行度取距最髙宫度(距正交十)(六度起算)又按用此宻率当设两表一伏见轮上各度半径表 以金星髙卑算得其大小一伏见轮上各度大距表 即以各度半径乘大距变率正弦全数除之即得其黄道中各度半径即用日躔髙卑表不必另作有各度半径即可求逐度正弦余弦变率(黄道仝)有各度大距变率即可求各度正纬 以上俱用乘法按金星之最髙不与正交同度相差十六度当于伏见轮上安两种十字线水星之最髙则与正交同度论金星前后纬表南北之向金星前纬自小轮初宫向北其纬极大为一度二十八分自此渐减至二宫三十度而减尽无纬度(即三宫初度)自三宫初向南渐有南纬至五宫三十度南纬极大为九度○二分(即六宫初度)自六宫初以后南纬渐减至八宫三十度南纬减尽无纬(即九宫初度)自九宫初度复向北渐有北纬至十一宫三十度复为一度二十八分(即初宫初度)据此则金星前纬南纬大北纬小南大纬至九度○二北大纬只一度二八而分为四限自合伏至留际(乃岁轮上距合伏九十度亦可名为留际)北纬减尽为初限自留际向南至退合南纬至九度○二分(为南纬极大)为次限自退合以后南纬渐减至留际(距退合亦九十度)南纬减尽为三限自留际复向北至合伏北纬至一度二十八分(北纬极大)为末限此盖以岁轮上合伏之时星距地逺故纬度见小退合之时星距地近故纬度见大此前纬是置轮心在正交后大距处而算伏见轮上一周之纬故其南北之向如此金星后纬自小轮初宫初度无纬度自此向北而生北纬北纬之大为二度三十三分在四宫十五度自此渐减至五宫三十度北纬减尽(即六宫初度)自六宫初度以后向南而生南纬南纬之大亦二度二十三分在七宫十五度又自此渐减至十一宫三十度南纬减尽(复至初宫初度)据此则金星后纬向南向北分为两限(其增减之分南北相同但有顺)(逆而无大小)自合伏始向北而生北纬至距合伏一百三十五度北纬甚大(至二度三十三分)至距合伏一百八十度北纬减尽而无纬度(即退合时其距大纬度相距四十五度)是为北纬限自退合后始向南而生南纬至距退合四十五度南纬甚大(亦二度三十三分)从此渐减至退合一百八十度南纬减尽而无纬度(即复至合伏其距南大纬度一百三十五度)是为南纬限此后纬是置轮心在正交㸃而算伏见轮上一周之纬故其南北之向若此 若水星南北之向俱与金星相反然伏见轮之理则同合前后二纬表观之距合伏后一象限前后纬宜相加以其同为向北也距退合前一象限前后纬宜相减以前纬已改向南而后纬仍向北也过退合后一象限前后纬又宜相加以前纬仍向南而后纬亦向南也过退合后第二象限(即距合伏前一象限)前后纬又宜相减以前纬已改向北而后纬仍向南也论金星前后纬加减之法前纬起大距(凡言起者即合伏㸃所在)自初宫至二宫共九十度为隂厯末限后纬起正交自初宫至二宫共九十度(○一二宫)为隂厯初限虽分初末皆隂厯也故相加前纬过九十度(三宫四宫五宫)为阳厯初限后纬过九十度(三宫)(四宫五宫)为隂厯末限一隂厯一阳厯南北相反故相减前纬过一百八十度复行九十度(六宫七宫八宫)为阳厯末限后纬过半周复行九十度(六宫七宫八宫)为阳厯初限并阳厯俱在南故亦相加前纬过二百七十度行一象限复至合伏(九宫十宫十一宫)为隂厯初限后纬过二百七十度行一象限(九宫十宫十一宫)复至正交为阳厯末限一隂厯一阳厯故又相减此置轮心(即太阳)于正交(后纬)及正交后大距(前纬)立表若置轮心于中交(为后纬)及中交后大距(为前纬)则隂阳之名相易然加减之法并同并以合伏后一象限相加(○一二宫)第二象限相减(三四五宫)退合后一象限(六七八宫)又相加第二象限又相减(九十十一宫)又按厯书枢线之说盖是谓交㸃移则南北变恐非有翕张之形也假如交在合伏则合伏线与交线合而无纬度若合伏过正交若干度则正交上之合伏后若干度(即合伏㸃距枢线之度)此处无纬度而合伏反有纬度矣是纬度之变动全系乎枢线之移也(即轮心所到)论五星以髙卑变纬度本天髙卑能变纬度理宜有之然按图详审其法有三其一于本天之斜交径上作岁轮三径线与黄道面平行逺近不同纬度自异其二于本天斜径上只作一岁轮径线而最髙卑之岁轮心有时而移即其周之长短随之逺近其三亦只作一径线而行最髙时岁轮圏大行最卑时岁轮圏小三者虽同用最髙卑立算而加减各异此必徴之实测乃可定之第一法用三线则交角虽不变而岁轮面与黄道面之逺近顿殊(角既同矣纬何得异曰所用之本天径线不同也假如中距时交角为三度其所得正弦)(乃中距时径线为全数也若最髙时则其全数大矣虽亦三度角之正弦而其实数则大矣故纬亦大最卑时)(全数小而正弦亦小彷此论之其留际上下角不同者又在其外也)又有异者若用三线则交㸃亦当有变何也中距面线至正交时与黄道面径合为一线其余两岁轮面线必一在北一在南(按至交㸃则三线合一此一节可以勿论)第二法岁轮只用一线其面之距纬本无不同而最髙卑时轮心有动移最髙时轮心在上则正弦线如故而角变小矣(谓小于中距之角)最卑时轮心近下则正弦如故而角变大矣(大于中距角)何则正弦虽同(谓岁轮面与黄道面平行之纬)而轮心在上则逺于地心而见小矣轮心在下则近于地心而见大矣(又法用不同心于黄道则不但正弦不变角亦不变但人在地心视之则有大小与上法)(二而一者也)第三法只作一岁轮径线(凡言径线皆因旁视而面变为线)而其两端并作三层线折半为岁轮心而两端无参差尽其轮边(即径线两锐尖尽处)为最大圏之径乃最髙时所用两端各缩进为界则中距时径也两端又缩进为界则最卑时圏径也西厯论火星岁轮有大小之故解之以髙卑而王寅旭亦取之用此法也以上三法不知谁为定法故曰必徴诸实测又按三法在上三星其用皆同至金水则又大异何则金水岁轮大于本天(以其径同太阳天故)则包过地心退合时轮心在人之背而星在轮周跨过地心在人之上星之下星在轮周与其轮心如月之望而人居其间故最髙时轮心逺于地而星在轮周反近于地纬反变大矣若最卑时轮心近地而星在轮周反逺于地纬反变小矣此自然之势不得不然者也(此在第一法第二法并同)若用第三法则虽有髙卑而两端之逺近不变与前二法相反故必徴之实测乃取其合者用之杨学山曰西法歩五星土木火有岁轮金水有伏见轮虽两轮行度求角之法皆同然岁轮上为星离日之虚度轮心在本天伏见轮则自有行度轮心即太阳细按厯书之说盖谓上三星本天包太阳天外星离日而又与日有定距是生岁轮其半径恒与太阳天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距地亦与太阳等(俱一千一百四十二地半径)而此伏见一轮以日为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏见(以平行同太阳故也)故名伏见轮之半径皆有定度(金星七千二百)(竒水星三千八百竒)是其意原非以伏见轮当岁轮若果即为岁轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即岁轮者盖因行法相同而混言之耳今勿庵之说又异是谓五星皆同一法皆有岁轮上三星因本天大故用岁轮金水因岁轮大难用故用绕日圆象(即伏见轮如上)(三星围日之圏)如此可明金水自有本天因得自有髙卑亦自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道因有正交中交之名诸根底俱有著落且五星一贯但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度分南纬北纬之大小皆与厯书数迥异騐之于天末识合否余尝疑厯指论五星纬说多混淆金水尤略因作五星纬行解一巻明之勿庵之说不敢遽定其是非存之以待参攷焉厯算全书卷十六
## 卷十七
钦定四库全书厯算全书巻十七宣城梅文鼎撰火纬本法图说荧惑一星最为难算至地谷而其法始宻图表具在可攷而知也何尝云火星天独以太阳为心不与余四星同法乎作厯书者突发此语遂令学者沿譌是执图以观图而不以算理观图也不知厯算家有实指之图有借象之图地谷氏之图火星所谓借象也非实指也钱唐友人袁惠子士龙受黄三和先生𢎞宪厯学以厯指为金科余故为作此以极论之而徴之切线分角之法以著其理袁子虚懐见从已复质诸睢州友人孔林宗兴秦亦以为然而手抄以去又旁证诸穆氏天歩真原王氏晓庵厯法大㫖亦多与余合火星本法(发厯书之覆)据厯指万厯癸丑年太阳在降娄宫一十四度有半地谷测火星体㑹合于井宿第五星经度为鹑首四度半纬度在黄道北二度十一分火星平行在壬距冬至二百一十七度半强火星最髙在丙引数自丙厯丁至壬三百三十八度半弱图说 乙为地心 即为各天平行之心(亦黄道心)大圈为火星平行之天 内圈为太阳平行天皆以地为心(其度皆应黄道) 太阳在本天自春分壁向娄顺行 火星岁轮心在本天自丙过丁至壬顺行太阳行速而火星行迟今太阳在后火星在前是太阳与星已过相冲之度而从后逐星也 火星在岁轮上亦自戌顺行过亢至申 合伏时星在戊冲日时星在亢今在申是星己过冲日之限而复向合伏也 太阳距星实行为娄张〔？〕(亦即心氐)以减半周为张角〔？〕为黄道上星距日冲之度(亦即氐未)太阳在黄道上自娄仍顺行其冲亦自角顺行星亦自氐顺行而日速星迟故其距渐近而星距日冲渐逺则星在岁轮上距合伏之度亦渐近距冲日之度亦渐逺其岁轮上渐逺渐近之度皆与黄道上距度相应然黄道上娄张是日在后追星岁轮上是星向合伏(申戌)黄道上日冲度渐离星(角张)岁轮上是星离冲日(申亢)本法以平行壬为心作子癸小轮自最髙子过癸左行为引数之数至丑 又以丑为心作夘辰小均轮自辰最近右行过夘歴寅复过辰歴夘至寅为引数之倍减去全周得岁轮之心到寅先以丑寅壬三角形求得丑壬寅角及壬寅线次以寅壬乙形求得寅乙线为岁轮心距本天心之数 又求得壬乙寅角为平行实行之差即前均也因在后六宫其号为加得寅乙申角为实行视行之差此以上厯书之法并同以下则异次以寅为心作岁轮戊申亢圏也戊为最逺合伏之度也亢为最近冲日之度也今太阳在降娄火星在鹑首是已过冲日之度而日反在后以逐星也其日星之距为降娄至鹑首之度在岁轮上则为申戊弧乃星行岁轮末至合伏之度也(厯家谓之距余盖顺数自戊合伏过亢冲日至)(申为距合伏行度以〔？〕全周得申戊为距余)以申戊减半周得申亢〔？〕为巳过冲日之度即申寅亢角(或申寅乙角)末以申寅乙三角形求申寅半径 此形有先求得寅乙距心线又有申乙寅角为先测火星视行与所算实行之差度有申寅乙角为岁轮上己过冲日之度有两角自有寅申乙角法为申角之正弦与乙角之正弦若寅乙线与申寅线也(此以测得视差而求半径)若先有申寅半径而无视差度求乙角者则以切线法求之以申寅邉乙寅邉并之得戊乙为总数(一率)又以申寅减乙寅得亢乙为较数(二率)以申戊〔？〕度半之为距余半求其切线(为三率)法为总数与较数若半距余角(即半总角)之切线与半较角之切线也求得四率查切线得其度以减距余半之度余为申乙寅视差角乃以视差角减实径为视径(已过日冲其差为减)此本法也厯书所载求法得数并同而其图迥异盖巧算耳下文详之厯书之法亦是用两角一邉以求余邉(星过日冲弧度是一角测得视)(行与实行之差是一角算得寅乙距心线是一边今以法取岁轮半径为所求一边)然不正作申乙寅视差角而反作乙寅甲为视差角故亦不正作申寅乙星过冲日角而作寅乙甲为星距冲日角然则用本法者惟寅乙距心一线耳然既有寅乙线为主又有寅乙甲为星距日冲度有乙寅甲角为视差度则乙寅甲三角形与申乙寅三角等而甲乙邉必与申寅半径同矣此倒算㨗法与加减差法不作角于心而作角于邉同一枢轴也其法以先得寅乙线为三角之底其两端各作角(即先得两)(角)各引其邉遇于甲则甲乙为半径(寅甲亦即为星体距心与申乙之距同矣)(又大阳心在降娄其冲未在寿星星实行在氐氐末〔？〕为氐乙未角即星实行己过日冲之真距也正与)(岁轮上申亢〔？〕度等故用氐乙未角为黄道上星距日冲之度与用岁轮上申寅亢同此为借象之一根)然又以甲为地心而作圏周分十二宫何也曰此则借象也其法妙在作甲己线与寅乙平行何也先依寅乙线作三角形其寅甲原与申乙平行今己甲又与寅乙平行则寅甲己角与申乙寅角等度而且等势矣(寅甲线斜交于)(寅乙及甲己两平行线中则所作寅甲己及甲寅乙两角等寅乙线斜交于申乙及寅甲两平行线中则甲寅)(乙与申乙寅角亦等而寅甲己角与申乙寅不得不等矣○角之度既相等而寅乙线即原用之线也今巳甲)(与寅乙平行故不惟等度而且等势也)由是而自甲心作春秋分横线井箕直线即与乙心所作大圏上降娄夀星横线及冬夏至直线悉为平行而等势(横与横平行直与直平行则其势等)于是而匀分十二宫即无一不与乙心所作大圏等十二宫既与大圏等势而寅甲己角又与大圏之申乙寅角等度等势则己甲线即指星实行度寅甲线即指星视行度而可以命其宫度不爽矣推此而辛甲为星最髙指线及作平行线于己甲实行之内一一皆真度矣又以乙为太阳体何也曰太阳实行降娄宫度原在大圏其离降娄之度为乙角今太阳指线过乙至甲则甲角与乙角等度而乙㸃在次圏上(甲心所作之甪)距春分之度与大圏等(圏有大小而角度等)即太阳真度可以命之为日矣乙既命为日则次圏可命为太阳所行之天而乙心所作大圏以太阳之冲处割小圏有火星行岁圏最近侵入太阳天内之象故遂以大圏命为星行之圏也(又寅乙甲角原为星距日冲之度与申寅乙角同而甲己既与寅乙平行甲未即甲乙之截线则己甲未角又)(与寅乙甲角同而己亥〔？〕与岁轮上申亢同为星距日冲之〔？〕)此一图也有岁轮半径之数(甲乙)有火星实行视行差度(寅甲己角)有周天宫度有太阳度及火星最髙卑度又有火星行最近入太阳天内之象可谓简而该巧而妙矣非地谷精于测算神明于法不能为也然则何以谓之借象曰以其一图而备数端故知之也何以言之甲乙者岁轮之半径也不得与日距地心同数一也寅乙距心之线从两小轮求出而两小轮在火星本天是从乙心起算不从甲心起算二也因寅乙距心之线以得视差之角亦为乙心之角非甲心之角三也若甲真为地心则与乙太阳有距数太阳乙心所见之差角至地心必不同观四也视行实行之差角为地面实测非乙心之数不得两处悉同五也又大圏既为本天而侵入太阳天内则将为岁轮之心若冲日之时岁轮心既在太阳天内星又在岁轮最近将越过地心如金水之退伏合而不得冲日矣六也由是观之此图但为借象巧算之用而非以是为真象也或者不察遂真以乙为日体则死于古人句下矣或问五星新图亦以火星天用太阳为心而冲日之处割入太阳天内又何以说焉曰火星之行围日而能割太阳天者乃岁轮上周行之迹耳非本天也盖火星本天在太阳之外能包太阳之天因岁轮之行合伏时在岁轮之顶去太阳益髙合伏以后离太阳渐逺则行于岁轮中半与本天齐及其冲日则行岁轮之底而在本天之内去地益近其去地益近者为日所摄也此理五星所同故土木火三星皆可为围日之象今新图五星不以地为心者是也火星则岁轮最大冲日时稍侵入太阳之天其实岁轮之心仍系本天在太阳天外耳七政小轮周行于天遂成不同心之圏岁轮周行于天成围日之形一而已矣今以实数攷之火星岁轮半径约为本天半径十之六其合伏时则两半径相加成十六冲日时两径相减只余十之四其侵入太阳天内约为一二分则太阳天半径只得火星天半径十之六有竒而火星合伏时在太阳上约为十分冲日时在太阳下亦约十分而成围日之形矣是故以日为心者岁轮上星行之轨迹也非本天也(图见下)火星岁轮上轨迹围日之图 (土木二星因岁轮之度而成围日之形与此同理但)(其天更大而岁轮小故不致侵入余里之天)丁庚寅辛为太阳天 戊癸己壬为火星本天甲丑岁轮以戊为心 丙子岁轮以己为心丁为日体 甲丙皆星体甲癸丙壬为岁轮上星行轨迹成一大圈而以丁日为心星天日天各有小轮髙卑其本天则皆以地为心星在岁轮甲为合伏而去地极逺 星在丙为冲日冲日之时庚丙辛〔？〕割入太阳天庚寅辛之内而去地极近星在岁轮丙时已割入日天然岁轮心则在本天已若如众说以割入日天内者为本天则冲日时当以丙为岁轮心矣而星在岁轮之上又当向日岂不越地心乙而过之乎必不然矣切线法解在后火星次均解 (火星次均用切线求岁轮上视差角乃三角法也)欲明火星次均用切线之法当先明三角形用切线之法甲夘乙三角形有甲钝角一百五十度有甲乙邉六十有甲夘邉一百整求夘角法曰以甲角减半周得余三十度为癸甲乙外角 半之得十五度为丙甲辛角 其切线辛癸(二六七九五)并甲乙(六十)甲夘(一百)共得丙夘一百六十为首率(总数) 以甲乙减甲夘余得辰夘四十为二率(较数) 半外角之切线辛癸为三率 二率乗三率为实首率为法除之得辛夘(六六九八)为四率即辛甲壬减〔？〕之切线也 以四率查切线表得三度五十分弱为辛甲壬减〔？〕角 以所得辛甲壬减〔？〕角三度五十分减半外角十五度余壬甲丙角十一度一十分即夘角也今以火星言之丙乙辰圏则岁轮也甲为岁轮之心丙甲辰夘过心线即星实行度分也夘为本天之心 甲夘者距心线也(即表中距日数) 甲丙甲乙甲辰皆岁轮半径也(即表中半径合日差而成星数也)先以前均求到星之实行在甲矣然此岁轮之心而非星也星则自丙合伏顺行过辰冲日而渐近合伏其体在乙则丙辰乙为星在岁轮上行之度(与星距太阳实行之度相等)即相距度也乙丙则距余度半之为辛丙则距余半也 乙辰〔？〕为星巳过冲日之度则甲角度也今已知岁轮心实行之度又已知星在岁轮上行之度所不知者视差角耳盖自本天心夘作实行线过甲心至黄道又从夘作视行线过乙星体至黄道其差为夘角是故求次均者求此夘角也用上法以距日(即距心)为一邉(甲夘)以星数为一邉(甲乙)以星行过冲日之度(即乙辰〔？〕)为一角(甲角)成甲夘乙三角形依上法得夘角即次均也一率 距日与星数之总(即甲夘并甲乙亦即甲丙)二率 星数减距日之较(即辰夘)三率 距余半之切线(即半夘角之切线辛癸盖乙甲丙角为距余即乙甲夘角之余)(度半之为辛甲丙角即距余半)四率 减〔？〕之正切线(即辛壬其角为辛甲壬)末于辛甲丙(距余半角)内减去辛甲壬(减〔？〕角)余成壬甲癸角与夘角等得视差之度如所求既知三角形用切线之法尤当进而明其所以用切线之理如后图乙甲夘三角形 甲角一百五十度 甲乙邉六十甲夘邉一百 两邉之总一百六十为首率两邉之较四十为次率 甲角之余角半之求切线为三率(即率癸) 求得四率为半较角之切线辛壬求其度以减半余角得夘角何以用切线也曰此分角法也凡外角(乙甲丙为乙甲夘之余角亦为)(外角)内兼有形内余两角之度(乙甲丙外角兼有夘角及甲乙夘角之度)试作壬甲线与乙夘平行分外角为两则壬甲丙角如夘角矣(以壬申及乙夘皆平行线而丙甲夘未一直线故其作角必等)外总角内减去同夘角之壬甲丙角则其余壬甲乙角必为甲乙夘角矣今但有外角为总角而不知其分角故以比例分之而切线则其比例也又试作乙丙线为外角之通弦又从乙作正线至丁为乙甲壬大角之正弦从丙作正线至戊为壬甲丙小角之正弦而通弦遇壬甲分角线于子成乙子及子丙两线此大小两线之比例与大小两角之正弦比例等何也乙子丁勾股形与丙子戊勾股形以子为交角则相似而乙子(大弦)与子丙(小弦)若乙丁(大股)与丙戊(小股)矣又甲夘大邉与甲乙小邉原若所对之大角正弦(乙角)及小角(夘角)正弦(凡三角形邉之比例与对角正弦之比例皆等)即乙丁与丙戊也(角同则正弦同)则甲夘与甲乙亦若乙子与子丙矣又试作辛甲线分外角为两平分而各作切线为辛癸为辛己(即半外角之切线)则两切线聨为一(己癸)而与乙丙平行又引壬子线割之则分为二线而己壬与壬癸之比例若乙子与子丙亦若甲夘与甲乙矣又作庚甲线使庚己如壬癸则庚壬为两线之较己癸为两线之总而甲乙甲夘两邉之较为辰夘其总为丙夘甲夘大邉与甲乙小邉之比例既若大线(己壬)与小线(壬癸)则两邉之总与较亦必若两线之总与较矣一率 丙夘(即甲乙甲夘两边之总)二率 辰夘(即两邉之较)三率 己癸(即己壬壬癸两线之总)四率 庚壬(即两线之较) 今各半之辛癸半总(即半外角辛甲癸之切线)辛壬半较(即半较角辛甲壬之切线)既得辛壬切线查表得其角度即半较角也以半较角减(辛甲癸)半外角即半角也若以半较角加(乙甲辛)半外角亦即甲乙夘角矣火星测算本法图说(明厯书之倒算)岁圏半径(六四七三八)甲乙查加减表八宫十九度(四十分) 半径数(六四○八七三)太阳引数星纪二十三度加六宫为六宫二十三度日差(一○一六)相并得(六四一八八)为星数与所测㣲差若用实引得半径(六四四二五)其数益相近距心数(九九六九七)寅乙平引八宫一十九度(四十二分二十秒)加均数 一十度(三十三分三十秒)实引九宫初度(一十五分五十秒)查加减表八宫一十九度(四十分)距日(九九七○一)所差不多若用实引则距心(一○一六七四)差稍大然按图用乙寅线宜用实引图说本宜用寅㸃为岁轮之心以寅乙申角为岁轮上视差角即寅未〔？〕也寅申线则岁轮之半径也此为本法今厯书所载地谷图不于寅心作岁轮圏而以甲为心盖因戌寅亥角与寅乙申视角同度(切线法用此角以代乙角)而甲寅乙角者戌寅亥之交角也凡交角皆同大则甲寅乙角亦即寅乙申视角矣既以甲寅乙角为所测视角则乙㸃即可为岁圈之心而甲乙寅角可代乙寅申角矣故以岁圏上星过冲日之度(冲日即近㸃亢星过日冲即乙寅申角亦即亢申〔？〕)移作寅乙甲角自乙岁圏心依角度作乙甲线与寅甲线遇于甲(先有乙寅甲角自有寅甲线)则甲㸃即岁轮上星所到度可代申㸃而甲乙即岁轮半径可代寅申矣故以甲乙线为半径者巧法也然则当以乙为岁轮之心用代寅㸃矣何又以甲为心乎曰甲乙既为半径则以乙为心甲为界或以甲为心乙为界其半径等为甲乙也故倒以甲为心其法与诸加减表说作差角于圏界者同也(先倒作均角于寅界法同两术中惯用此)(倒算之法)然则以甲为地心何也曰此则其移人耳目之法也何以言之彼固言甲乙为岁轮半径矣又以甲心乙界之轮为岁轮矣甲既为岁轮之心又安得为地心乎然则地心安在曰以理论之仍当以乙㸃为地心耳何也星之实经在寅其视经在未寅未之〔？〕成寅乙未角此固实测之度也实测差角从地上得之安得不以乙为地心乎若谓乙为日体则日之去地逺矣日体所见之差角与测所见之差角必有分也而今不然故不得以乙心径为日体也非地心而地心之何也盖所以使人疑也其使人疑奈何岁轮心之非地心易见也乙㸃之非日体难知也以其所易见例其所难知疑则思思则得矣 地心既非地心则日体亦非日体然则其中机彀固以示之矣又论曰借甲为地心妙在作戊己线与乙寅平行葢甲己既与乙寅平行则己甲寅角即甲寅乙角亦即寅乙申均角而甲地心所作之十二宫度一切皆与乙心所作之度相应矣此用法之巧也先以乙寅甲角代寅乙申视角而取甲乙线以代寅申半径是倒算也复以甲为心乙为界作岁圏以甲心代乙心亦倒算也两番倒算而倒变为顺故甲可代乙为地心即本天心也而甲己线与寅乙平行即地心所指实行之度也己甲寅角即视差角也寅甲线即视行指线与申乙同也故天度皆应可作十二宫分细度也若于乙作岁圏则但能得半径而十二宫之向皆反矣故借甲为心法之巧也乂取甲为心影出火星能入太阳天之象其实火星入太阳天者乃其岁轮上度非岁轮心也若真以此为岁轮心则火星体将过地心而与日同度如金水矣又用甲为心作十二宫则细度可不碍书若用本法则有两小轮各线相襍而不能详书细数故移乙心于甲移寅乙申角为己甲寅角也呜呼可谓巧之至矣但未说破故后学遂妄为作解耳论曰既火星初均在寅即当以寅为岁轮心而今不然何耶曰此巧算也甲寅乙角即寅甲己角也何也甲己与乙寅平行也即均角也又乙寅者岁轮心距日数也乙甲者半径也寅乙甲角者先有之角即星日相距之余数也即己过日冲之度本法以距日数及半径为两邉与先有之角求均数角今先测得均角而无半径故反用其法以求半径法之巧也盖先有两角一邉而求余邉之法也一率 甲角之正弦 (有乙寅两角自有甲角)二率 乙寅邉 (即距日数实为岁轮心距本天心)三率 寅角之正弦 (即均角乃所测视行与实行之差度)四率 甲乙邉 (即岁轮半径包有日差在内)由是言之甲乃岁轮心耳非地心也若甲真为地心则甲乙非岁轮半径矣火星次均解 查火星岁轮半径与本天半径略如六与十宜即用为比例作图则所得均角亦近(后数系初稿存)(例非火星正用)图说 乙甲夘三角形有甲角一百二十度有甲夘邉一百 乙甲邉四十一 求夘角 乙角 乙夘邉法曰以乙甲甲夘二邉并得一百四十一为总(即丙夘)为一率又相减得五十九为较(即辰夘)为二率 丙甲乙外角六十度半之得三十度(即辛甲丙角)其切线五七七三五(即辛癸)为三率求得(壬辛)为四率得二三九八八查表得十三度二十九分四十秒収作三十分(即辛甲壬角)以辛甲壬角减半外角(辛甲丙角)得壬甲丙角十六度三十分即夘角也 又以辛甲壬角加辛甲丙(即辛甲己)得壬甲己角四十三度三十分(亦即甲乙夘角)末以甲乙夘角四十三度三十分之正弦六八八三五为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之正弦若乙甲与甲午也得甲午 又甲乙夘角之余弦七二五三七为二率乙甲四十一为三率全数为一率法为全数与乙角之余弦若乙甲与乙午也得乙午 用勾股以甲午幂减甲夘幂余数 开方得数为午夘乃并乙午午夘共为乙夘邉一系甲夘如火星距心线(即表中距日数)甲乙即如火星岁轮半径(即表中半径加日差为星数之数)丙甲乙外角即如火星行岁轮上离合伏之度(即日)(星相距度)丙甲辛角即如火星半距度(辛癸其切线)壬甲辛角即火星减〔？〕(壬辛其切线)卯角即均角一系丙㸃如岁轮合伏度 甲为岁轮心 夘为本天心 丙甲夘线即岁轮心平行线一系丙夘乙均角在前六宫是平行线东为加一系岁轮上加减以夘亥切线所到为限自丙㸃以至亥㸃距合伏度渐从小至大其均度渐増过亥㸃至辰冲日距度渐从大至小均度渐减盖距合伏度大则半距亦大反之则小也一系星行岁轮过亥㸃则距度大而减〔？〕更大故均数渐减如图星行至未成甲未夘三角丙甲未外角半之于酉而壬甲酉为减〔？〕其得均角夘与星行在乙等若欲知未甲辰角法用三率求之一率 甲未邉 二率 夘角正弦三率 甲夘邉 四率 未角正弦既得未角以并夘角而减半周其余即甲角也星行到乙与星行到未同以夘角为均度一系星之离日有定距一系星之岁轮与日天略等一系日距星为日离星而东日速故也星距日为星离日而西星迟故也一系日距星为日天之度星距合伏为岁轮之度一系论右旋则日速星迟若左旋则星反速于日故岁轮心渐逺于日可称左旋而岁轮上围日之象亦左旋也一系星有迟速皆岁轮心之行而星行岁轮邉成围日之行则五星一理一系星本天右旋星在岁轮上亦右旋而星围日之行左旋此外仍有自行之髙卑故土星能至甲木能至乙至丙火能至丁各天故不甚相逺自人所见五星所当宿度则距日有逺近之殊而五星在天以径线距太阳终古如一以此图观之见矣所异者五星各有髙卑本轮则有微差而火星则兼论太阳髙卑要不能改其径线相距之大致算火星前均及距地心线用简法 依表说用两小轮图设平引三十度依表说算得均角四度五十分加减表四度五十分七秒 表说差七秒今用简法得四度五十分十秒 只差三秒表说又算距心一十○万九千九百○三加减表是一十一万○○一十三差十万分之一百一十(数见表首巻第四章称为火星年岁圈心距地心数)今用简法得一十一万○○一十九只差十万分之单六又原法用勾股作垂线以求角求邉今用简法以半外角切线乗两邉之较为实两邉之总为法除之即得半较角以减半外角即为均角工力较前省半其小轮上加减之角用小轮半径四与一之比例乗除工力尤省数倍求邉之法只用对角之正弦比例工亦省半窃意立表时当是用此法凡诸表数或是西人成法翻译成书或是厯局依法算演俱不可攷然是入用之数当以为主火星平引三十度算得均角四度(五十分十秒)距心线(一十一万○○一九)查表均角四度(五十分七秒只差三秒)距心(十一万○○一三只差十万分之单六)可谓宻近丙戊甲三角形 求甲角 及戊甲邉 丙甲为一四八四○丙戊三七一○ 其比例为四与一简法其总为五其较为三 丙角六十度(引数之倍) 先求甲角法以丙角减半周得余外角一百二十度半之六十度查其切线一七三二○五以较(三)因之总(五)除之得一○三九二三查切线表得其度为四十六度六分○八秒为半较角以半较角减半外角六十度余一十三度五十三分五十二秒为丙甲戊角表说甲角十三度五十四分是不用秒数也次求戊甲邉法以甲角之正弦(二四○二○)为一率 丙戊邉(三七一○)为二率 丙角之正弦(八六六○三)为三率 求得戊甲邉(一三三七六)为四率次戊甲丁三角形 有甲丁邉(一○○○○○) 有先求到戊甲邉(一三)(三七六) 有甲角(以求到戊甲丙角加引数丙乙三十度共得四十三度五十四分弱为戊甲乙外角余一百三)(十六度六分强为甲丙角)先求丁角(即三十度视差角)法并(甲丁戊甲)两邉得总(一一三三七六)为一率 又两邉相减得较(八六六二)(四)为二率 半外角得(二十一度五十七分弱)之切线(四○三○○)为三率求得半较角切线(三○七九○)为四率查表得角(十七度六分五十秒)以减半外角余四度(五十分一十秒)即丁角次求戊丁线(即表距日数实即岁轮心距地心之数)法以丁角之正弦(八四二六)为一率 戊甲邉(一三三七六)为二率 甲角(用余角四十三度五十四分弱)正弦(六九三三八)为三率 求得戊丁邉(二○○一九○)为四率一系凡两小轮有比例者俱可用简法求角七政并同一系凡三角形有一角在两邉中者遇其邉有比例可用简法土星 自行轮半径八七二一小均圏半径二九○七 其比例为三与一 其总为四 其较为二 总与较之比例为折半简法(但以半外角之切线折半即得半较角)木星 自行轮半径七一五五 小均圏半径二八三五 其比例亦为三与一(法同土星)金星 自行轮半径二四○六 小均半径八○二 其比例为三与一(法同土木)水星 地谷宻测自行轮半径六八二二 小均轮一一三七其比例为六与一 总为七较为五 法用五因七除多禄某旧法自行轮九四七九 小均轮一五八○ 其比例为六与一而强太隂 本轮半径(八千七百)三平分之二为新本轮半径(五千八百)一为均轮半径(二千九百)其比例为二与一其縂为三其较为一法用三为法以除半外角切线得半较角朔望次轮半径二千一百七十旧为二千三百一十此朔望轮地谷转用于地心之上太隂朔望次轮全径四千三百四十以全加于本轮半径则一万三千○四十故两弦之加减至七度四十分 然以比五星岁轮则太隂最少太阳 两心差三五八四 折半一七九二王寅旭法两心差三八八三八八收作三五八四 小均轮半径为两心差四之一 第一均轮半径为两心差四之三两均轮之比例为三与一 其总四其较二亦折半比例也与土木金三星并同加减差图说以两心差折半作角盖谓此也两均轮比例求七政各小轮半径法具厯书今只定其大小之比例两心差火星最大为一万八千五百竒 次土星一万一千六百竒 又次木星○万九千九百九十 又次太隂八千七百又次水星七千八百五十 太阳数少三千五百八十四 金星更少只三千二百○六上三星轨迹成绕日圆象五星本天并以地为心与日月同至若岁轮(即古法迟留逆伏之)(叚日)则惟金水二星绕太阳左右而行其岁轮直以日为心土木火三星则不然并以本天上平行度为岁轮心(金水以太阳为岁轮心亦以二星之平行与太阳同度也)然其轨迹所到并于太阳有一定之距故又成绕日左行之圆象西人所立新图不用九重天而五星并以太阳为心盖以此也然金水岁轮绕日其度右移上三星(土木火)轨迹其度左转若岁轮则仍右移耳七政前均简法(订火纬表说因及七政)西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或笔误无从订改矣故有表说以发明之然或表说所用之数有与表中互异者则是作表者一人作表说者又一人也余因查火星之表而为之推演然后知立表之法甚简洵乎此心此理不以东海西海而殊厯算全书巻十七
## 卷十八
钦定四库全书厯算全书卷十八宣城梅文鼎撰七政细草补注推日躔法先查年根(冬至后一日子正距冬至)随录本年髙冲(年根子正髙冲)后查日数(本日子正距冬至后一日子正之平行)随录髙行(亦本日子正距冬至后一日子正之髙行)高行加入高冲书于高冲格内(即本日高冲所在)年根日数相加得平行(即本日距冬至之平行)平行内减去髙冲为引数(即得本日)(子正距高冲)以引数查加减表相较(用中比例)得均数随记加减号均数依号加减于平行即得细行(人目所见视度)细行内按宫度减宿次即得本日宿也鼎按年根者冬至后一日子正之平行也日数者毎日之平行也故相加即为本日之平行邵本云凡算宿钤以戊辰年为主毎年加五十一秒所积之秒以六○归之加于宿钤之内再与细行相减髙冲者太阳最卑㸃距冬至之度毎年东行一分推月离法先查四年根独正交行加六宫后查四日数俱年日相加得三平行而正交年日相减为正交平行书本日太阳细行即按细行宫度查日差表得数记书加减号按数至时刻平行表内查得日差两书之依号加减于平行总平行引以平行引查加减表相较(中比例)得均数记加减号均数依号加减于平行总平行引即为实行实行引实行内减去太阳度为月距日次引以月距日次引同实行引宫度查表(二三均数表)相较得次均次均依号加减于实行即白道经度(邵本云即白经恒减)以月距日次引查交均记加减号随查大距数交均依号加减于正交平行即正交经度正交经度加六宫即中交置白道经度内减去正交经度即月距正交以月距正交查白道同升差表得同升差记加减号白道经度与同升差依号相加减为黄道视行以月距正交与大距数查纬表(即黄)(白距度表)得视纬减宿照日躔减法同邵本云录本日太阳细行而太阳恒减以太阳恒减查日差表记得数于旁加减号记于月离日差之旁次将所得之数查时刻平行表如查出之数只分秒耳即日差以两平行与日差照号加减得平行总平引又云以月距日次引查二三均表直行以实行查横行所遇之处即得如月距日次引过六宫减去然后查表内行宫度顺查外行宫度逆查而粗格所在即加减所分按杨学山云月之二三均数以距日而生与五星岁轮同理但其行法却异于五星兼有又次轮附于次轮之上与次均相消相长表乃二均三均之总数故与五星次均表绝殊其加减之句亦不以六宫而分○月之交均距限亦以距日而生地谷以前无之也推土木星法先查两年根(冬至后一日子正星距冬至及引数)后查正交行再查日数(年根距冬至及引数之下各书日数)两书之年日相加得平行平引(年根距冬)(至引数各加日数为平行与平引即所求本日子正)以平引查加减表相较(中比例)得均数随录中分(加减表中分)记书加减号均数依号加减于平行得实经(岁轮心所到)即书本日太阳细行(日躔条求得数)于格太阳内减去实经即次引(本日星在岁轮距合伏)以次引查次均随得较分亦相较(中比例)记书加减号中较相乗六十归之得三均三均与次均恒加即定均将定均依次均号加减于实经即视经(迟留逆伏之度)减宿照日躔减法同置实经于交行下内减交行即得距交(所求日星距正交)以距交查中分(纬表内之中分)以次引(即前所得岁轮上星距合伏)查纬限中纬相乗六十归之得视纬定南北以距交宫度定之前六宫(○一)(二三四五)号北后六宫(六七八九十十一)号南按学山云五星三均恒用加者以岁轮心自最髙至最卑次均皆渐大而表所列次均数乃置轮心在最高时算也五星加减表中分是从高卑立算纬度中分是从交㸃至半交立算乃厯家简括之法若依三角形算则不用中分矣推火星法先查两年根(距冬至引数)随录正交行后查日数(两年根之下各书日)(数)两书之年日相加为平行平引以平引查加减表相较(中比例)得均数即书加减号均数依号加减于平行得实行实引随录本日太阳细行太阳内减去实行得相距若相距过六宫则于实行内减去太阳得距余减距余之半即得距余半此系后六宫者若前六宫即将相距减去一半为半距无距余半太阳内减去髙冲改作对冲宫为日引(加六宫即是从最髙起)以实引查距日及半径以日引查日差半径日差相加得星数(星数即歳轮半径)星数与距日(距日即岁轮心距地)相加为总相减为较以距余半查八线表即得半距切线数与较相乗又以总数除之得数再查八线表取相近切线用之即得减弧半距或距余半内恒减去减弧得次均即看相距在前六宫者加(岁轮上从)(合至冲)后六宫者减(从冲至合)依号加减于实行即视行宿次照日躔减法同实行内减去正交即距交以距交查中分以相距(日星相距)查纬限(先定南北)纬有加减分距交在北者依号加减为定纬限中分纬限相乗六十归之得纬以距交定南北前六宫是北后六宫是南按距日半径俱以实引取之查各式并同天学㑹通亦同按前六宫是自合伏至冲日后六宫是自冲日复至合伏皆以岁轮言邵本于半距切线下注云从距日至再查切线俱逢十进之按杨学山云火星半距总较切线等用是斜三角形有一角二边求余角之法也五星皆可用惟日差星数火星所独耳推金水星法先查三年根(引数伏见距冬至)后查太阳日数两书之(即用为星平行)(日数两书于引数及距冬至下阳金水距冬至平行即日躔表数也金水以太 为平行之心)再查本星表内日数(此则伏见平行之日数)书于伏见行下年日相加得各平行以引数平行查加减表相较(中比例)得前均即书加减号随得中分(加减表中分)前均依号加减于各平行得实经实引独伏见行下前均加减号反用得伏见实行(反用均数加减伏见平行为伏见实行)以伏见实行查二均亦相较(中比例)书加减号随得较分中较相乘六十归之得三均二均三均恒加即定均并均依号加减于实经即视经减宿与日躔法同实引内恒加十六度(金星正交在最髙前十六度)即得次实引(即星距正交)以次实引查前中分(前纬表中分)以伏见实行查前纬限中纬相乗六十归之记书南北号其后中分(后纬表中分)后纬限(亦以距交查后中分)亦照前纬查法同(以伏见实行查)(后纬限)亦书南北号如前后纬号同者两纬相加(俱南纬俱北纬)(则相加)如号异者两纬相减(一南一北则相减)即得视纬其南北以数大者定之(若异号相减则以南纬大者命其减余为南北大者则命为北) 水星照此推法同独无次实引(水星正交与最高同度即以实引为距交)金水伏见行即土木之次引也土木以星行岁轮心与太阳相减得次引者是星距日度即岁轮上距合伏之度金水则伏见轮心即太阳无可相减故另有伏见之行金水次实引即土木之距交也因水星即用实引数为距交故金星别之为次实引然殊乱人目不若直名之距交邵本查后中分后纬下有云必中纬同在一篇者方可用以便定南北学山云金水纬行独有前后二表者以二星之纬皆由伏见轮而生而伏见轮小于黄道斜交侧立旋居于本天之周作表须前后两表以该之非星纬实有前后之分也学山云金水伏见实行与初均加减号相反者以伏见轮心之角斜线错列适与初均成相反之势故反加减之得星合伏真度非伏见之行与本轮相反勿误认袁说推火星诸行假如(甲申年距根一百三十五日)距冬至平行 查(本星)二百恒年表(本年下)距冬至横行(一十)(一宫○六度五十三分五十九秒)随查日数(二宫十度四十五分)日数与年根并之得(一宫十七度三十九分)引数平行 查恒年表(本年下)引数横行(三宫七度○五分二十七)(秒)日数与距冬至同 年根日数并之得(五宫十七度五)(十分)初均数 以引数平行查(本星)加减表得(二度三十分四十二)(秒) (其号顺减书减号于均数之旁)随录距日数距冬至实行 以(本星)平行内减去初均数得(一宫一十五度○八)(分) (以均数之号为加减)引数实行 以本平行内减去均数之全数得(五宫十五)(度十九分) (以均数之号为加减)太阳 即录本日日躔细行相距 以太阳内恒减去距冬至实行得(二宫二十)(九度三十五分)半距 即以相距半之 若相距过半周则借全周内减去相距全分即为距余再将其较半之即距余半也日引 以本日太阳加六宫减去日躔表内本年下最髙冲得(十宫八度三十一分)距日 以引数实行查加减表得(八九三七四○) 勿庵按距日半径俱宜用实行半径 以引数实行查加减表得(六三○七一七)日差 以日引查之得(○一九一四四)星数 以半径恒加日差得(六四九八六一)总数 以距日内加星数得(一五四三六○一)较 距日内减去星数得(二四三八七九)半距切线 以半距全分查八线表正切线得(九九二四)减弧 以较数与半距切线相乗得(二四二○四二五九)(一一三) 又以总数除之得(一五六八○)以此查正切线得(八度五十五分)次均 半距内恒减去减弧得(一宫五度五十二分)视行 以实行内加次均全分得(二宫二十一度)正交 查(本星)恒年表(本年下)正交横行得(四宫十七度十)(三分)距交 以实行内恒减去正交得(八宫二十七度五十五分)中分 以距交查首卷本星纬度得(六十分)纬限 以相距查纬表得(一度二十九分)视纬 以纬限数化作(八十九分)与中分(六十分)相乘得(五千三百四十分)为实以六十为法除之得(八十九分)以六十分成度得(一度二十九分)推凌犯法月犯恒星以本年七政厯与恒星钤表恒星经度及南北纬度月在上相距二度内取月在下相距一度内取之又以本日与次日之月视行相较化分为一率日法一千四百四十分为二率恒星经度内减月经度之较化分为三率二三相乘一率除之得凌犯时刻月犯五星以本年七政查月与五星经度及南北纬度月在上相距二度内取月在下一度内取之次以本日之月视行内减次日之月视行取其较又以五星本日经度内减次日经度取其较视星顺行者两较相减逆行者两较相加化分为一率日法一千四百四十分为二率以本日五星经度内减月经度为月未及星之距化分为三率求得四率为凌犯时刻五星犯五星以本年七政五星经度及南北纬度相距一度内取用五星各以本日经度与次日经度相减得较如俱顺俱逆者两较相减一顺一逆者两较相加化分为一率日法一千四百四十为二率又以本日五星经度两相减之较化分为三率如法求得四率为凌犯时刻五星犯恒星以本年七政与恒星钤表经度及南北纬度相距一度内取用次以五星本日经度内减次日经度得较度化分为一率日法一千四百四十为二率又置恒星经度内减本日五星经度得较度化分为三率如法求得凌犯时刻为四率若五星退行者以五星经度内减恒星经度为三率月与星一度为犯十七分以内为凌同纬为掩 五星与星一度为犯三分以内为凌同纬为掩视凌犯时刻在地平上者取之若在地平下可勿推算定上下以北为上南为下月纬星纬同在北以月纬多者在上少者在下月纬星纬同在南则以月纬多为在下少为在上其两纬相减 若星月一南一北则以月南为在下月北为在上两纬相加推月星凌犯密法依本年七政厯并恒星钤视恒星经度及南北纬度月在上二度内取之月在下一度内取之又以恒星经度内减本日之月视行得度化分为二率以一千四百四十分为三率本日之月视行相减其较数度分为一率二三率相乘以一率除之即得时刻一求太阳细行 以一千四百四十分为一率次日细行与本日细行相减得较为二率凌犯时化分为三率二三率相乘一率除之得四率以四率加于本日细行得太阳细行二求时分 以太阳细行查交食四卷内(九十度表)得时分太阳度过三十分进一度查表得数即是三求总时 以时分及凌犯时刻午后减十二小时午前加十二小时满二十四时去之余为总时(即应时)四求九十度限 以总时查交食四卷表与时分相对者录之得九十度限五求恒星经度 置恒星经度六求限髙度 以九十度减距天顶之度分得限髙度七求月实引 置月离内月实引八求月距地(半径) 以月实引查交食二卷表内得月距地半径(邵本作查交食表二卷内视半径)九求月实行 以月实引查交食二卷表内得月实行十求星距限 九十度限之宫度分内减星之经度宫度分为限大则星在西若不及减置星经度内减九十度限之宫度分为限小则星在东(十一)求置正交(经度) 置月离内正交经度十二求较数 以正交经度内减九十度限宫度若九十度限不足减则加十二宫减之即得较数十三求真髙度 以较数查交食二卷太隂距度表得月实纬分北加南减于限髙度得真髙度六宫以上定北加以下定南减十四求地平差 以真髙度并月距地半径求地平差(见交食九卷表)十五求时差 以地平差变为髙下差(查交食表九卷)及星距限度求时差十六求较数 以真高度置九十度减之余为较数十七求气差 以较数及月距地半径求气差(交食九卷)(表内)月距地半径查上横行以较数查右直行十八求月实纬 以凌犯时刻化分为三率本日之月纬度与次日纬度相较得数化分为二率与凌犯化分相乘以二十四小时化分为一率除之得数加减于本日纬度视南北号顺加逆减即月实纬若南北异号以两数相加为二率后除得之数用减本日纬度以次日之号定南北十九求视纬 以月实纬度南加北减于气差得视纬二十求恒星纬 置恒星纬度分廿一求月距星 月视纬北多定上月视纬南多定下以大减小一度以外不用得月距星如一南一北两数相加(廿二)求凌犯时刻 置凌犯时刻廿三求定时差 以月实行分为一率时差分为二率六十分为三率二三率相乘一率除之得四率有六十分进一时十五分进一刻得定时差廿四求视时 以定时差加减于凌犯时刻即得凌犯视时视星距限度西加东减南北异号(月南在下月北在上两数相加)南北同号 同(北南)月纬大在(上下)月纬小在(下上)两数相减按凡推月与五星及恒星凌犯用此式较密攷节气法(用变时表依法查之更密)凡半月一节气遇细行一十四度与二十九度即是交节气之日次日细行与本日细行相减减余化秒为一率置六十分以本日细行分秒减之减余化秒为二率化二十四小时为一千四百四十为三率二三率相乘以一率除之得数即四率其分秒用六归之收作时刻分 查节气日差加减表(在日躔二卷内凡六十分为一)(小时若过半分作一分用)一百二十分为一大时十五分为一刻如不满一刻作分算时自子正起算二十九度与次宫○度相较为气十四度与十五度相较为节查二至限法以二至度为主加以本日太阳经度未满宫度之余分即是二至限 如冬至日经度为二十九度二十五分(即此廿五分为未满之余分也) 而本至宿为箕三度三十五分加二十五分则为冬至限在箕四度假如五月初十日太阳在申宫二十九度二十三分宿在觜十度十二分问曰夏至限系何宿度分 答曰觜宿十度四十九分假如十一月二十日太阳在寅宫二十九度十五分宿在箕二度五十六分问曰冬至限系何宿度分 答曰箕宿三度四十一分假如正月十四日太阳在子宫十四度二十一分八秒十五日太阳在子宫十五度二十二分三秒问曰立春系何时刻 答曰申初初刻十分假如二十九日太阳在子宫二十九度三十一分二十五秒三十日太阳在亥宫初度三十一分十四秒问曰雨水系何时刻 答曰午初一刻六分定合朔弦望法合朔 以月距日次引满十一宫二十余度此日即合朔也满十二宫即○宫是合朔之次日也求合朔时刻(凡星同度法同)以本日太阳与次日太阳相减得较数另记又以本日之月视行与次日之月视行相减得较仍以两较数相减得数化分为一率以一千四百四十为二率又置本日太阳减去本日之月视行得数即月不及日之度为三率二三相乘一率除之得数再以六十分收之为时余以十五分收为刻即得时刻及分假如正月初一日太(阳隂)在子宫(十四度十五分二十秒十度二十三分十二秒)初二日太(阳隂)在子宫(十五度十四分六秒十一秒二十三度三十分三)问曰合朔系何时刻 答曰辰初二刻八分相望 亦以次引满五宫二十度之上将近六宫即是望也到六宫即望之次日也求弦望时刻以本日与次日太阳之较及月视行之较相减化分为一率以一千四百四十为二率又置本日之月视行内减去本日太阳其余宫度分上弦辏满三宫望辏满六宫下弦辏满九宫将辏满之数化分为三率二三相乘一率除之得数再以六十收之为时刻分假如十六日太(阳隂)在(戌辰)宫(十五度十六分九秒秒六度三十分二十一)十七日太(阳隂)在(戌辰)宫(十六度十五分十六秒五秒十八度二十九分三十)问曰望系何时刻 答曰戌初初刻七分上弦 以次引二宫二十余度将近三宫即上弦也若满三宫即为上弦之次日也假如初八日太(阳隂)在(亥申)宫(八度三十四分八秒秒七度五十八分四十)初九日太(阳隂)在(亥申)宫(七度三十四分二十秒秒二十度五十五分十六)问曰上弦系何时刻 答曰丑初初刻十分下弦 以次引八宫二十余度将近九宫即是下弦也若九宫一二度即下弦之次日也假如二十三日太(阳隂)在(酉子)宫(二十一度十一分二十秒十一度三十三分六秒)二十四日太(阳隂)在(酉子)宫(二十二度八分十六秒十秒二十五度二十八分三)问曰下弦系何时刻 答曰酉初三刻四分求月入宫法以次日宫度分内减去本日宫度分余度分化分为一率本日未满整宫之余度分亦化分为二率一千四百四十为三率二三率相乗一率除之即得时刻假如正月初七日太阴在戌宫十八度三十一分初八日太阴在酉宫一度二十四分问曰月入宫系何时刻 答曰亥初一刻八分入酉宫求月升法以朔日之月离宫度定之子宫十五度至酉宫十五度为正升酉宫十五度至未宫初度为斜升未宫初度至寅宫十五度为横升寅宫十五度至子宫十五度为斜升假如正月初一日月在丑宫十八度四十六分问曰月系何升 答曰系斜升求月孛罗计法以本年所推月离稿内毎月初一十一二十一三日月孛实行正交经度中交经度内减本年宿余减宿即得三宿分假如正月初一日月孛实行在己宫八度四十四分本年宿钤在己宫一度八分为张宿问曰月孛系何宿度分 答曰张宿七度三十六分求五星伏见土木火三星与太阳合伏后为晨见 合伏前俱称夕与太阳冲后为夕见 冲前为晨(葢星行迟太阳行速故也)金水二星顺行与太阳合伏曰夕 逆行合伏曰晨假如土星四月十九日合伏问曰土星合伏前后应晨应夕见与不见答曰合伏前系夕不见合伏后系晨见假如水星五月十二日与太阳冲问曰太阳冲前冲后应晨夕见与不见答曰冲前系夕不见冲后即晨见(按水星不冲日今云尔者葢退合亦)(冲之属也退当云退合伏前系夕不见 合伏后即晨见)求五星冲伏同度时刻法两星各以次日行与本日行相减得较 两较相加减为一率同顺同逆两较相减一顺一逆两较相加一千四百四十为三率二三率相乘以一率除之得时刻假如正月十八日(土水)星在子宫(二十六度四十九分二十六度三十三分)十九日(土水)星在子宫(二十六度五十六分二十八度一十七分)问曰(土水)二星系何时同度 答曰寅初三刻十二分假如正月二十五日(太阳水星)在亥宫(二十八度三十分分二十八度四十二)二十六日(太阳水星)在亥宫(二十九度三十分分二十七度四十二)问曰水星系何时与太阳合退伏 答曰丑正一刻九分假如二十日(太阳土星)在(丑未)宫(三度二十六分四度十分)二十一日(太阳土星)在(丑未)宫(四度二十四分四度六分)问曰土星系何时与太阳冲 答曰酉初初刻一分假如二十八日(太阳木星)在子宫(二十七度三十分分二十七度五十五)二十九日(太阳木星)在子宫(二十八度三十分二十八度二分)问曰木星系何时与太阳合伏 答曰午初一刻四分求五星退入宫法本日度分内减去次日度分其较为一率本日余分为二率(度以上不算止用余分)一千四百四十为三率二三率相乘以一率除之得时刻假如二十六日金星在戌宫初度三十二分二十七日金星在亥宫二十九度三十八分问曰金星系何时退入某宫 答曰未正初刻十三分退入亥宫求五星顺入宫法以次日宫度分内减去本日宫度分余度分化分为一率诸法俱与月入宫法同(如退入宫者则于本日宫度分内减去次日宫度分)(得数化分为一率以日法为二率即以本日初度分为三率依法求之)假如正月初三日水星在丑宫二十九度四十六分初四日水星在子宫一度三十五分问曰水星系何时刻入某宫 答曰寅初初刻四分入子宫求五星最髙卑中距法凡三宫九宫为中距 ○宫为最卑 六宫为最高火金水三星以实引次实引查 土木星以平引查假如土星平引在四宫八度二十分问曰从何限之上下行 答曰中距下行求五星留逆法凡五星经度自一度二度而行者为顺如从十五度十四度而行者为逆 本日系十度五分次日仍十度五分者为留第三日系十度六分为留顺初如系十度四分三分为留退初求五星伏见法以天球安定北极出地如四十度求晨在东地平上用本日太阳距星之数求夕在西地平上用次日太阳距星之数以太阳所在之宫𦂳挨地平又看此日之星宫度相距太阳之逺近又用缺规矩较星距太阳之定限如土星定限距太阳十一度木星定限距太阳十度火星定限距太阳十一度半金星定限距太阳五度水星定限距太阳十一度半以缺规矩较定之限挨地平视星所在之宫度及纬南纬北之度视厯算全书卷十八
## 卷十九
钦定四库全书厯算全书卷十九宣城梅文鼎撰揆日候星纪要求日影法谨按测日之法要先知太阳纬度 其次要知里差其次要知句股算法其次又要知割圆八线太阳纬度有半年在赤道南有半年在赤道北此以节气定之假如冬至日太阳在赤道南二十三度半为纬度之极南其影极长自此以后太阳渐渐自南而北其南边纬度渐减则影之长者亦渐减至春分日太阳行到赤道上即无纬度既过春分太阳行过赤道之北于是渐生北纬纬既渐北其影渐短至夏至之日而影短极矣夏至日太阳在赤道北二十三度半为纬度之极北其影极短自此以后太阳渐渐自北而南则北边纬度渐减而影之短者复渐长至秋分日太阳行到赤道上亦无纬度既过秋分太阳行过赤道之南于是渐生南纬纬既渐南影亦渐増至于冬至之度而复为影长之极矣长极则短短极则长总由太阳南北纬度之所生其纬日日不同故影之长短亦日日不同也凡㸔表上层节气顺数而下自初日至十五日止下层节气逆数而上亦自初日至十五日止或论日或论度㣲有不同然所差不逺查表法第一表是太阳在赤道南所纪度分是南纬日日不同之数管冬至小寒大寒立春雨水惊蛰(其日期自上而下顺推)又管秋分寒露霜降立冬小雪大雪(其日期自下而上逆推)凡顺推日期者看右行顺下之数逆推日期者看左行逆上之数第二表是太阳在赤道北所纪度分是北纬日日不同之数管春分清明谷雨立夏小满芒种(日期顺推看右行)又管夏至小暑大暑立秋处暑白露(日期逆推看左行)凡查纬度看本日是何节气则知太阳在赤道南或在其北又看是节气之第几日依表顺逆查之即知太阳在赤道南北相离几何度分假如辛未年四月初一日是在谷雨节内检表便知在赤道北又查交过谷雨已有八日便于谷雨节之下从上顺数而下对右行八字之格内(系第九格)寻其纬度是(十四)(度十三分)便是此日太阳距赤道北纬之数也又法不用算日期只于本年七政厯寻本日太阳所到宫度加三十分即是 假如四月初一日七政厯内太阳是酉宫七度三十六分此是夜半子时度数加三十分得八度○六分便是本日午正太阳躔度也以午正太阳入酉宫八度○六分从本表中谷雨节一行内从上顺数而下到横对右行顺下第八号之格是十四度一十三分便是此日此时太阳离赤道北之纬度也以上论太阳纬度既知纬度则日影长短之縁已得之矣然又要知里差何也纬度不同是天上事乃万国九州所同然而人所居有南北故所见太阳之髙下各异则其影亦异前所论纬度髙下是毎日不同今论里差则虽同此一日而北方日影与南方不同若不知此则误矣里差南北论本地北极出地即如四月初一日午正推得太阳在地平上髙六十四度此据京师地势言之若在别省则其度不同何也北极之出地不同也 后图明之右图举浙江为例其他处各各不同可以类推北极出地度开后京师 四十度 山东 三十七度 陜西 三十六度盛京 四十二度 山西 三十八度 河南 三十五度江南 三十二度 浙江 三十度 福建 二十六度湖广 三十一度 (江西四川) 俱廿九度 广西 二十五度贵州 二十四度 广东 二十三度 云南 二十二度求赤道髙法各以其地北极出地度减九十度余为赤道髙度观前图自明以上论里差既知太阳纬度又知本地里差则任举一日可知太阳午正之髙度而测影不难矣然又要知句股算法及割圆八线凡测影有二法一是用直表而取平地之影(又名直影) 一是用横表而取壁上之影(又名倒影)此两者皆是句股形直表取影是一个正句股形古人用八尺表取影只用直表直影故前所论者亦直影也凡此句股之法生于割圎八线何以谓之割圆周天三百六十度今取其若干度而算之是将浑沦圆形剖开算之故曰割圆也割圆有八种线俱是算句股之法今取日影则所用者切线也切线有正有余此因直表取影故所用者又是余切线也凡测影者先以纬度及里差得太阳髙度即用所得髙度入八线中查本度之余切即得所求直影假如前推四月初一日太阳髙六十四度一十四分即于八线表中寻六十四度十四分之余切线便是所得直影八线表在厯书中其查法毎度六十分自四十五度以前自上而下四十五度以后至九十度自下而上(其顺下逆)(上俱自一分起至六十分止俱要看表旁之分号对而取之)甲乙为半径(为股)以当表丙乙为余切线(为句)以当影甲丙为日光斜弦太阳在已光射于表端之甲直至于丙成甲乙丙句股形其己庚髙度与戊丁相对之度等用戊丁即如用己庚也以戊丁为主则丁乙为余度而丙乙者即戊丁髙度之余切线也查八线表法先查某度 再查某线 再查某分 以横直相遇处取之其度数有写在髙处者(自○度起至四十四度止)有写在下面者(自四)(十五度起至九十度止)其八线之号有写在上一层者有写在下一层者其分数有自上而下者有自下而上者此无他故也只看度数写在髙处者其八线之号(如正切等)亦即写在上一层而其分数亦自上而下也若度数写在下面者其八线之号亦即写在下一层而其分数亦自下而上也(凡一度俱有两)(张一张自○分至三十分一张自三十分至六十分)假如前推太阳髙六十四度便知此度数写在下靣即于表中寻下面左角上写有六四字样者此则六十四度之表也 度既写在下便从下一层横看八线之号至余切字样处认定此即六十四度余切之行也 又因度下有一十四分便向表中原写六四字样处接了便是○分自此逆上一分二分以至十四分止是所用之横格也依此十四分之号横看至余切之行其中所书便是六十四度十四分之余切线数矣他倣此(若依前加)(太阳十五分便寻三十分之号如法求之)又式康熈辛未七月初四日丁亥测正午时日影 京师立表前月二十八日壬午夘时交大暑节本日子正太阳度鬼宿三度七分为六宫四度三十三分午正太阳度鬼宿三度三十六分为六宫五度○二分黄纬十九度○五分在北京师赤道髙五十度 午正太阳髙度六十九度○五分余切线○三八三八六立八尺表 正午日影该三尺○七分凡立表须正取影之地须平又须正对子午又按此直表也故当以太阳半径加髙度而取直影(用余)(切)若横表即当以太阳半径减髙度而取倒影(用正切)此测影中最精之理不可不知皖城北极髙三十一度赤道髙五十九度 立表八尺 冬至日在赤道外二十三度三十一分半午正太阳髙三十五度二十八分半 余切线一四○○六五 直影宜加太阳半径十五分竒共髙三十五度四十四分其余切线一三八九九四以表数八尺乘余切线得影长一丈一尺一寸二分 若求倒影宜减太阳半径十五分竒得髙三十五度一十三分四省表影立成四省表影立成者为友人马德称氏作也徳称系本西域逺祖玛沙伊克玛哈齐两编修公以善治厯见知洪武朝受敕译西书其文御制称为不朽之智人钦天监特寘专科肄习子孙世其官皆精其业西域之言厯者宗焉西域之厯有二一曰动的月以弦望晦朔为序乃太阴厯也故斋期以见月为满一曰不动的月以二十四定气为端乃太阳厯也故礼拜以晷景为凭然此二者皆有里差而今回回家所传二十四节气表景尺度共祗一术故徳称氏疑焉谓其不足以尽诸省直之用而欲有以是正之以属余余既稔知西域之以天为教以厯为学经数百年能守其旧俗不变可谓有恒而徳称氏又能不牵于习见踵事加详以致其恪恭郑重之意深为可敬遂力疾为之布算以归之夫厯学至今日明且确矣而泰西氏之法大纲多出于回回窃意如各省直里差之说必西域所自有或当时存而未译或译之而未传或传之久而残缺皆未可知吾愿德称氏与其西域之耆旧尚为之详征焉而出以告世庶有以证吾之说而释夫传者之疑以正其疎也四省直节气定日表影考定立表十尺(若表短则用折算假如用表一尺则以尺为寸寸为分分为厘皆折取十分之一若)(表八尺则尺取八寸为十之八)右表影皆以直省城内为准附近二百里内外可用其余州县各各不同须以彼处北极髙度定之一凡立表须直不得稍偏于东西南北则影为之变须以线垂而准之古所谓八线附臬者是也一植表取影之地须极平如砥若㣲有髙下陂陀坑坎拗垤则影不应矣当以水准之一量表量影之尺度须极匀极细一取正午之影须在正南然天上正南非罗针所指之正南也须于罗针正午之西稍偏取之或曰丙午之间缝针与臬影合亦非也盖针所指在在不同如金陵则偏三度此非正方案则不能定或以厯书法用北极附近星取之以上四事皆求表影者所当知此外又有节气加时在午前午后之不同则影亦为之加减假如冬至影极长而冬至不在正午或午前或午后则其午影必㣲差而短又如夏至影极短而夏至不在正午或午前或午后则其午影必微长又如小寒至芒种十一气影自长而短若其加时在午前则午影必㣲短加时在午后则午影必微长又如小暑至大雪十一气影自短而长若其加时在午前则午影必㣲长加时在午后则午影必㣲短按以上加减只在分厘若所用径尺之表初无损益可无深论也惟春秋分及前后两节晷差颇速若其加时又在亥子之间则距午甚逺为差益大不可不知午正太阳髙九十度已至天顶则日中无影其过此者皆在天顶之北而生南影法当以所带零度转减九十度而用其余命为太阳在天顶北之髙度北极出地二十度则赤道在天顶南二十度而夏至日躔在赤道北二十三度半故其日午时已过天顶北三度而影在表南芒种日午正亦过天顶北二度竒影亦在南凡午影芒种必髙于小满夏至又髙于芒种今皆反之亦此故也自北极髙二十三度以前倣此论之宜邑谢野臣至中州寻古测景之台所立石表尚存其形似墖上小下大夏至日中无影盖其根盘半径即日景所到如句髙尖距地之数为表如股亦表八尺土圭尺有五寸之比例也以此推之则向南州邑并可作夏至无影之石表论恒星中星定时中星之法肇于尧典羲和分职测日之后继以中星盖中星所以觇四时騐寒暑定昏旦考节气察日度辨里差其用甚钜故与测日均为治厯之大端也第星之丽天左旋之势则依赤道自行之度则向黄道因此星之经纬度自二道望之叅差不齐法以黄赤二道之极为宗出弧线过星体用弧三角法可推各星之经纬度在古厯未觉有恒星之行(中法谓之歳差不言星行)西用大仪累年密测知恒星亦依黄道毎岁东行五十一秒其距黄道有定度若赤道因黄道斜络之势度分多变动不居因普测周天有名位之星算其二道之经纬度列表今推中星祗用赤道度以时刻凭赤道为主故也法以星赤道度与本日太阳赤道度相离之数变时得星昏旦中之时刻取用星座除二十八舎外止用三等以上之星余光体茫昧者可勿论也推中星求时法先查本年七政厯太阳宫度分至仪象志八卷内变为赤道度分次查所出之星在十二三卷内系若干度分将星之度分减去太阳所变之度分如不足减数加三百六十度减之所余之度分移至仪象志第五卷之变时表内变为时刻分从未初起算至所得时刻即所求之时也推时求中星法先查本年七政厯太阳宫度分至第八卷仪象志内变为赤道度分次查所出之时刻从未初起算得几时刻移至第五卷变时表内变为赤道经度分时之度分加于太阳之度分若满过三百六十度则去之所余之度分至十二三卷内比例相近度分之大星宿即所求之星宿也(星宿之度分不及则偏西有余则偏东)诸名星赤道经纬度加减表二十八宿距星黄赤二道经纬度二十八宿距星赤道经纬度(自春分起算)壬子年度二十八宿距星黄道经纬度 壬子年度二十八宿黄道积度康熈戊辰年各宿距星所入各宫度分(黄道经度)以上戊辰年经度视仪象志又各加一十四分惟斗牛二宿加十五分纪星数大西儒测算凡可见可状之星一千二十二若㣲小者或不常见者或朦黒者不与焉其大小分为六等又因其难以识认尽假取人物之像以别其名(星非真有象也但人借名)(之耳)毎合数星以成一像凡四十八像其多寡大小不等在黄道北者二十一像第一曰小熊内有七星外有一星二曰大熊内二十七外八三曰龙凡三十一星四曰黄帝内十一外二五曰守熊人内二十二外一六曰北冕旒凡八星七曰熊人内二十九外一八曰琵琶凡十星九曰鴈鵞内二十二外一其十曰岳母凡十三星十一曰大将内二十六外三十二曰御车凡十四星十三曰医生又曰逐蛇(一医常取蛇合药以救世其星如人逐蛇状)内二十四外五十四曰毒蛇凡十八星十五曰箭凡五星十六曰日鸟(性喜视日)内九外六十七曰鱼将军(性好人闻人歌乐即来听呼其名渐来就)(人溺水则载之岸边人取鱼彼即领众鱼至呼之彼先跃过网众鱼则罹网矣)凡十星十八曰驹凡四星十九曰飞马凡二十星二十曰公主凡二十四星二十一曰三角形凡四星共在北者三百六十星一等三二等十八三等八十四四等一百七十四五等五十八六等十三昏者十在黄道中者(按节气)十二象(即十)(二宫)一曰白羊即春分清明内十三外五二曰金牛即谷雨立夏内三十三外十一三曰双兄即小满芒种内十八外七四曰巨蟹即夏至小暑内九外四五曰狮子即大暑立秋内二十七外八六曰室女即处暑白露内二十六外六七曰天秤即秋分寒露内八外九八曰天蝎即霜降立冬内十一外三九曰人马即小雪大雪凡三十一星十曰磨羯(羊头鱼尾)即冬至小寒凡二十八星十一曰寳瓶即大寒立春内四十二外三十二曰双鱼即雨水惊蛰内三十四外四共在中者三百四十六星一等五二等九三等六十四四等一百三十四五等一百○六六等二十九昏者三在黄道南者十五像一曰海兽凡二十二星二曰猎户凡三十八星三曰天河凡三十四星四曰天兔凡十二星五曰大犬内十八外十一六曰小犬凡二星七曰船凡四十五星八曰水蛇内二十五外二九曰酒缾凡七星十曰乌雅凡七星十一曰半人牛凡三十七星十二曰豺狼凡十九星十三曰大台凡七星十四曰南冕凡十三星十五曰南鱼内十二外六共在南者三百十六星一等七二等十八三等六十四等一百六十八五等五十三六等九昏者一三方共一千二十二星分其大小一等共十五二等共四十五三等共二百○八四等共四百七十四五等共二百十七六等共四十九昏者共十四新増一十二像(系近南极之星)火鸟十 水委三 蛇首蛇腹蛇尾十五 小斗七飞鱼七 南船五 海山六 十字架四 马尾三马腹三 蜜蜂四 三角形三 海石五 金鱼四夹白二 附白一 异雀十 孔雀十 波斯十一鸟喙六 鹤十二 共一百三十四星据西书言彼地天文家原载可见之星分为四十八像后自𢎞治十年丁巳有精于天文呉黙哥者行至极南见有无名多星复有西士安徳肋者亦见诸星之旁尚有白气二块如天汉者嗣于万厯十八年庚寅有西士胡本笃始测定南极各星经纬度数新増一十二像至万厯四十八年庚申汤罗两公航海过赤道南三月有竒见南极已髙三十余度将前星一一对测经纬皆符但据云一十二像今又有二十一名何耶地谷测定经纬之星数厯法西传曰地谷著书第四卷取六星之距度以经度相并适合周天之全度求角宿经纬度以起周天之度再求近赤道十二星经纬度证星之黄道纬度今古不同求星之经度并解其时八百余星之真经纬度(五十三年)(前)复加百余星赤道经纬度说按地谷实测过者只有八百星则其余非地谷测也新法厯书星数厯引曰恒星为数甚多莫能穷尽其间有光渺体㣲非目可及非仪可推者则略而不录其在等第之内已经新法所测定者南北两极共得一千七百二十五星又曰星以大小分为六等第一等大星如五帝座织女类者一十七次二等如帝星开阳类者五十七次三等如太子少衞类者一百八十五次四等如上将柱史类者三百八十九次五等如上相虎贲类者三百二十三次六等如天皇大帝后宫类者二百九十五是皆有名之星共为一千二百六十六余则皆为无名之星矣西又分为六十二像各命之以名以期便于识别又曰西古厯亦有二十八舎义与中古相侔其所定二十八距星亦皆脗合第觜宿距星西用天闗耳此二十八宿者各以一字命名分注毎日之下内以房虚星昴为属太阳之日心尾毕张为属太阴之日是外五纬各属四宿毎以七日为期毎日各属一宿西厯亦然义理皆符西经相传上古有大师名诺厄者所通于天下万国云按天经或问恒星多寡条与此同但总数作一千一百六十六则总撒符矣 汤道未删定厯引数同但总数百字上缺画不明今查经纬表三等星有二百○七除海石等七星仍有二百则云八十五者非矣恒星厯指曰自古掌天星者大都以可见可测之星求其形似聨合而为象命之名以为识别是有三垣二十八宿三百座一千四百六十一有名之星世所传巫咸石申甘德之书是也西厯依黄道分十二宫其南北又三十七像亦以能见能测之星聨合成之共得一千七百二十五其第一等大星一十七次二等五十七次三等一百八十五次四等三百八十九次五等三百二十三次六等二百九十五盖有名者一千二百六十六按此星数与厯引同惟三等星多一百然以总数合之此为是星屏赤道南北两总星图说曰旧传三垣二十八宿共三百座一千四百六十一有名之星如世传巫咸丹元子之书之类然细测有在疑似者今则非实测不图旧图未载而测有经纬亦増入焉南极旁星向来无象无名因以原名翻译共得星一千八百一十二第一等一十六第二等六十七第三等二百一十六第四等五百二十二第五等四百一十九第六等七十二按此星数细数少五百总数多五百恒星经纬表旧本一等星十七二等六十八三等二百○九四等五百一十二五等三百四十六等二百一十六共一千三百六十二外有傅说积尸气等不入等之星共七然今刻表又有不同天学㑹通星数论各星大小一等十五星二等四十五星三等二百八十星四等四百七十四星五等二百一十六星六等五十星共一千二十九星按此数合总该一千○八十总撒不符必有误也薛书若此类颇多查表一等大星毕参二五车狼老人星轩辕五帝座角大角心南门织女北落师门共十五与此合其水委不在此内又查表三等并新増海石等共二百○七则十字衍可知又查表二等星五十又新増海石等十七共六十七与此及厯引厯指俱不同天文实用星数恒星总像例条曰中厯分垣分宿计二百八十座见界诸星尽矣西国于此见界诸星约以四十八像别如近南极诸星都为六十像騐时依像推效各异古厯家详察星之形星之性与某物合因以毎物像之白羊宫 起降娄二十八度 止大梁一十八度金牛宫 起大梁一十九度 止实沈二十五度双兄宫 起实沈二十六度 止鹑首二十四度巨蟹宫 起鹑首二十四度 止鹑火一十二度狮子宫 起鹑火一十三度 止鹑尾一十六度室女宫 起鹑尾一十六度 止大火 六 度天秤宫 起大火 六 度 止大火二十六度天蝎宫 起大火二十七度 止析木二十五度人马宫 起析木二十六度 止星纪二十八度磨羯宫 起星纪二十八度 止𤣥枵二十二度寳瓶宫 起𤣥枵二十三度 止娵訾一十五度双鱼宫 起娵訾一十五度 止降娄二十七度汉志星数汉书天文志曰凡天文在图籍昭昭可知者经星常宿中外官凡百一十八名积数七百八十三晋志星数晋书天文志曰马绩云天文在图籍昭昭可知者经星常宿中外官凡一百一十八名积数七百八十三皆有州国官宫物类之象张衡云文曜丽乎天其动者有七日月五星是也日者阳精之宗月者隂精之宗五星五行之精众星列布体生于地精成于天列居错峙各有攸属在野象物在朝象官在人象神其以神差有五列焉是为三十五名一居中央谓之北斗四布于方各七为二十八舍日月运行厯示吉凶五纬躔次用告祸福中外之官常明者百有二十四可名者三百二十为星二千五百微星之数盖万有一千五百二十庶物蠢蠢咸得系命不然何得总而理诸后武帝时太史令陈卓总甘石巫咸三家所著星图大凡二百八十三官一千四百六十四星以为定纪隋志星数隋天文志又列目曰经星中官乃另起叙星自北极五星起北斗辅星三公止又另起自文昌六星起至少微长垣止太㣲天市二垣俱杂叙其中是为天文上卷次卷天文中列目曰二十八舍乃另起叙星自东方角二星起又北方南斗六星西方奎十六星南方东井八星各另起而于后低三字总结之曰右四方二十八宿并辅官一百八十二星又列目曰星官在列宿之外者乃另起叙星自库楼十星起青丘土司空军门止仍低三字总结之曰自摄提至此大凡二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿辅官名曰经星常宿逺近有度大小有差茍或失常实表灾异隋天文志曰后汉张衡为太史令铸浑天仪总序经星谓之灵宪其大畧曰中外之官常明者百有二十可名者三百二十为星二千五百微星之数万有一千五百二十庶物蠢动咸得系命而衡所铸之图遭乱湮灭星官名数今亦不存三国时呉太史令陈卓始列甘氏石氏巫咸三家星官著于图录并注占赞总有二百五十四官一千二百八十三星并二十八宿及辅官附坐一百八十二星总二百八十三官一千五百六十五星宋元嘉中太史令钱乐之所铸浑天铜仪以朱黒白三色用殊三家而合陈卓之数髙祖平陈得善天官者周坟并宋氏浑仪之器乃命庾季才等叅挍周齐梁陈及祖暅孙僧化官私旧图刋其大小正彼踈密依准三家星位以为盖图以坟为太史令自此太史观生始能识天官客星说(附)厯法西传曰地谷书第五卷解其时新见大客星计十二章一详初起及渐大至与金星等并渐减二取某宫星以定其经纬度三解测新星所用诸器四取新星与他星距度五解其更度几何六用各法以求新星经纬度七求新星赤道经纬度八证新星不丽空际而丽列宿天九攷新星之大小十取新星之似径得三分三十秒十一证新星大倍于日大于地三百六十倍十二攷众星参差彗星解(附)厯法西传又载地谷彗星十卷测彗星之髙度尾之长短光之隐显及其方向攷十二星在黄道上度以求彗星之真所在设彗星离两星之度求黄赤道经纬度求彗星毎日赤道经纬度求彗星所行之道及其道交黄赤之角处依毎日彗星行黄赤二道作立成表证彗星在月上较月更逺于地为三百地半径故知彗星在日月二天之中证其尾恒向日与金星作彗星行度图徴彗星之大为月二之一尾长为九十六地半径因攷前人彗星之论当否极星攷隋书纽星去不动处一度余隋天文志曰北极五星皆在紫宫中北极辰也其纽星天之枢也天运无穷三光迭耀而极星不移故曰居其所而众星共之贾逵张衡蔡邕王蕃陆绩皆以北极纽星为枢是不动处也祖暅以仪准候不动处在纽星之末犹一度有余宋时极星去不动处三度余宋时天文志载沈括于熙宁七年七月上浑仪浮漏景表三议其浑仪议内一则云前世皆以极星为天中自祖衡以玑衡窥攷天极不动处乃相极星之末犹一度有余今铜仪天枢内径一度有半乃谬以衡端之度为率若玑衡端平则极星常游天枢之外玑衡小偏则极星乍出乍入令瓒旧法天枢乃径二度有半葢欲使极星游于枢中也臣攷騐极星更三月而后知天中不动处逺极星乃三度有余则祖恒窥攷犹未为审今当为天枢径七度使人目切南枢望之星正循北极枢里周常见不隐天体方正(按祖衡祖恒并误当作祖暅乃冲之子)按古法自浑仪之南窥浑仪之北皆用衡管则必过心所得之度数亦真惟此候极之枢似有未确何以言之南枢既亦径七度则人目可中可边致有游移若南枢窄小令目常在枢心则目光射星不过仪心而悉成斜望矣且以圆理征之人目窥处即圆心为起度之根而北极之度变七度为三度有半矣故不如元候极仪之确元候极仪亦径七度然设于简仪是从心窥周其度真确又尝疑西术言极星亦东行而祖暅时离不动处一度沈括时遽离三度竒可谓速矣而至郭太史时仍三度竒何以又迟今以其仪器攷之则宋时离不动处正在二度左右耳祖氏所用仪器恐亦是自南周用目以窥北周则虽云离一度有余若其真度恐未及一度宋史志极度条又言北极为天之正中而自唐以来厯家以仪象攷测则中国南北极之正实去极星之北一度有半此盖中原地势之度数也中兴更造浑仪而太史令丁师仁乃言临安府地势向南于北极髙下当量行移易局官吕璨言浑天无量行移易之制若用于临安与天参合移之他往必有差忒遂罢议后十余年邵谔铸仪果用临安北极髙下为之以清台仪挍之实去极星四度有竒也又叙中外官星言北极五星在紫㣲宫中北辰最尊者也其纽星为天枢天枢在天心四方去极各九十一度贾逵张衡蔡邕王蕃陆绩皆以北极纽星之枢是不动处在纽星末犹一度有余今清台则去极四度半按此两条误以北极出地之髙下差为极星去不动处之距度作史者之疎乃如此 愚前一条言用目自心窥周为测圆正法足证郭太史简仪之妙然自昔无人见及其理甚微无恠其然也若后两条之辨茍稍知厯法者宜知之奈何史家瞆瞆也王良阁道攷隋天文志曰天良五星在奎北居河中天子奉车御官也其四星曰天驷旁一星曰王良亦曰天马其星动为策马车骑满野亦曰王梁梁为天桥主御风雨水道故或占津梁其星移有兵亦曰马病客星守之桥不通前一星曰策王良之御策也主天子仆在王良旁若移在马后是为策马则车骑满野 阁道六星在王良前飞道也从紫宫至河神所乗也一曰阁道主道里天子游别宫之道也亦曰阁道所以扞难灭咎也一曰王良旗一曰紫宫旗亦所以为旌表而不欲其动揺旗星者兵所用也傅路一星在阁道南旁别道也备阁道之败复而乘之也一曰太仆主御风雨亦游从之义也晋志并同隋但亦曰王良作亦曰梁若移在马后作若移在王良前居马后前汉天文志曰紫宫左右星曰天枪右四星曰天棓后十七星绝汉抵营室曰阁道 又曰营室为清庙曰离宫阁道汉中四星曰天驷旁一星曰王梁王梁策马车骑满野旁有八星绝汉曰天横天横旁江星江星动则人涉水史记天官书曰紫宫左三星曰天枪右五星曰天棓后六星绝汉抵营室曰阁道 又曰营室为清庙曰离宫阁道汉中四星曰天驷旁一星曰王良王良策马车骑满野旁有八星绝汉曰天潢天潢旁江星江星动人涉水又宋均云天潢天津也津凑也主计度也○正义曰天江四星在尾北主太阴也不欲明明而动水暴出其星明大水不禁也宋史天文志并同鼎按史记本云阁道六星而汉书更其文曰十七星不知何据今厯书图阁道为十余星其本诸此欤三十杂星攷回回厯书有三十杂星钱塘袁惠子攷其经纬系以中法星名但所攷尚缺第三第四第五第十三第十四第廿四第廿五第廿九壬申秋晤于京师则皆补完余问其何本则皆自揣摩而得非三和授也又以余言改定巨蟹为积尸气缺碗为贯索薛仪甫厯学㑹通亦有三十杂星之攷亦有缺星名者今余所攷则以囘厯星名同者为证似比两公为有根本也又查恒星出没表四十五大星内星名同者二十一人坐椅子诸像非西洋六十像之像如贯索在回回厯为缺椀在西洋则为冕旒即此见西占之本出回囘也第五作觜宿南星性情既合又与参宿同象而厯书言逺镜测之有三十六星则为气类宜为杂星所收今从袁说查囘回凌犯表有天关及昴宿性情虽同星名不合若如袁说则两星性情皆系金土亦未可为确据不如缺之攷定三十杂星(戊午年距厯元戊辰五十一年加星行四十三分二十秒)今将原书所载列后西星名 (译书时所述宫度) (距道黄) 等性原书云以上数星是三百九十二年之前度数如此其星皆往东行一年行五十四秒十年行九分六十六年行一度观者依此推之厯算全书卷十九
## 卷二十
钦定四库全书厯算全书卷二十宣城梅文鼎撰仰仪简仪二铭补注仰仪按元史天文志简仪之后继以仰仪然简仪纪载明析而弗录铭辞仰仪则仅存铭辞而弗详制度葢以铭中弗啻详之也庚寅暮春真州友人以二铭见寄属䟽其义余受而读之简仪铭既足以补史志之阙仰仪铭与史亦多异同而异者较胜岂牧庵作铭后复有定夲耶爰据其夲以为之释仍附录史志原文以资攷订焉不可形体莫天大也无竞维人仰〔？〕载也言天体之大夲不可以为之形似而今以虚坳似〔？〕之器仰而肖之则以下半浑圆对复帱之上半浑圆而周天度数悉载其中此人巧之足以代天工故曰无竞维人也六尺为深□自倍也兼深□倍絜〔？〕兊也〔？〕形是半浑圆而其深六尺是浑圆之半径也倍之为广则浑圆之全径也兼深与□之度而又倍之浑圆之周也盖仰仪之口圆径一丈二尺周三丈六尺也兑为口故曰〔？〕兑絜犹度也(此虽亦径一围三古率然其器果圆则畸)(零在其中矣)振溉不泄缭以浍也正位辨方曰子卦也〔？〕口周围为水渠环绕注水取平故曰振溉不泄缭以浍也〔？〕口之面均列二十四方位而从子半起子午正则诸方皆正故曰正位辨方曰子卦也横缩度中平斜载也斜起南极平〔？〕镦也(度入声)缩直也仰仪象地平下半周之浑天其度必皆与地平上之天度相对待故先平度之从仪面之卯酉作弧线相聫必过仪心以横剖〔？〕形为二地平下卯酉半规也又直度之从仪面之子午作弧线相聨亦过仪心而直剖〔？〕形为二地平下子午半规也两半规交于仪心正中天在地平下正对天顶处也故曰衡缩度中然此所谓中乃平度之中(其衡缩度之者并自地平之子午卯)(酉出弧线而㑹于地平下之中心)若在天之度固自斜转即非以此为中故既平度之复斜度之有两种取中之法故曰平斜载也(载犹再也)斜度柰何曰宗南极也法于地平下子午半规匀分半周天度乃用此度自地平午数至南极入地度命为斜度之中心故曰斜起南极(言纬度从)(此起)〔？〕镦者〔？〕之镦即仪心也(镦徒对切矛㦸底平者曰镦曲礼进矛㦸者前)(其镦类篇矛㦸柲下铜也仪类〔？〕而形仰最坳深处为其底心故谓之镦)为地平下两半规十字交处而下半浑圆之心平度以此为宗亦如斜度之宗南极故曰平〔？〕镦也盖以此二句释上二句也(不言起省文)小大必周入地画也始周浸断浸极外也此言斜度之法也斜画之度既宗南极则其纬度之常隠不见者毎度皆绕极环行而成圆象(毎度相去约一寸弱)虽有大小皆全圆也(近南极旁则小渐逺渐大毎度相离一寸其圆径之大小毎度)(必加二寸)故曰小大必周而明其为入地之画也在南极常隠界内故也若过此以徃则离极益逺纬度之圆益大其圆之在地平下者渐不能成全圆而其阙如玦以其渐出南极常隠界外也故曰始周浸断浸极外也(亦是以下句释上句)极入地深四十太也北九十一赤道𬹼也列刻五十六时配也仪设于元大都大都北极出地四十度太(四分之三为太)则南极入地亦然仰仪凖之近南极四十度内皆常隠界也若四十一度以上则所谓始周浸断者也至于离南极一象限(四分天周各九十一度竒为象限铭盖举成数也)则为赤道之𬹼而居浑天腰围矣(𬹼齿相切之界缝也考工记圅人衣之欲其无𬹼也仰观)(经纬之度入筭处并只一线故曰𬹼)凡昼夜时刻并宗赤道赤道全周匀分百刻以配十二时仰仪赤道乃地平下半周故列刻五十配六时也六时者起卯正初刻毕酉初四刻皆昼时仰仪赤道半周居地平下而纪昼时者日光所射必在其冲也(日在卯光必射酉日在午光必射子余时亦皆若是)衡竿加卦㢲坤内也以负缩竿子午对也(子元史作夲)末旋机杖(机杖元史作机板)窽纳芥也上下悬直与镦㑹也视日漏光何度在也此仰仪上事件也㢲东南坤西南所定〔？〕口之卦位也横竿之两端加此二卦者以负直竿也直竿正与口为平面承之者必稍下故曰内也直竿加横竿上如十字其夲在午而末指子故曰对也直竿必圆取其可以旋转而竿末则方其形类板板之心为圆窍甚小仅可容芥子故曰窽纳芥窽即窍也然必上下悬直以为之凖盖直竿之长适如半径其末端虽自午指子实不至子而纳芥之窍正在〔？〕口平圆之心于此悬绳取正则直线下垂亦正直〔？〕底镦心故曰与镦㑹也既上下相应无豪髪之差殊则窍纳芥处亦即为浑圆心矣凡所以为此者以取日光求真度也何则仰仪为〔？〕形以象地平下之半天而所测者地平上之天也故必取其冲度以命之而浑圆上经纬之相冲必过其心兹也机板之窍既在浑圆之最中中央从此透日光以至〔？〕底视其光之在何度分即可以知天上日躔之度分矣漏即透也旸谷朝賔夕饯昧也寒暑发敛騐进退也此详言测日度之用也虞书分命羲仲宅嵎夷曰𤾉谷寅賔出日分命和仲宅西曰昧谷寅饯内日此古人测日用里差之法也今有此器则随地随时可测日度即里差已在其中不必𤾉谷昧谷而寅饯之用已全矣周礼以土圭致日日至之影尺有五寸为土中又取最长之影以定冬至此古人冬夏致日之法也今有此器以测日道之发南敛北(日躔在赤道以南谓之发在赤)(道以北谓之敛皆以其逺近于北极而立之名)则毎日可知其进退之数(二分)(前后黄赤斜交故纬度之进退速二至前后黄赤平行故纬度之进退缓细攷之亦逐日各有差数)不必待南至北至而可得真度视表影所测尤为亲切矣薄蚀终起鉴生杀也以避赫曦夺目害也言仰仪又可以测交食也(日月交食一曰薄蚀)厯家之测騐莫大于交食而测筭之难亦莫如交食是故测食者有食之分秒有食之时刻有食之方位必测其何时何刻于何方位初亏为食之起何时何刻于何方位复圆为食之终何时何刻于何方位食分最深为食之甚自亏至甚为食之进自甚至复为食之退凡此数者一一得其真数始可以騐厯之踈宻以为治厯之资然太阳之光最盛难以目窥今得此器透芥子之光于仪底必成小小圆象而食分之浅深进退毕肖其中(但蚀于左者光必阙于右蚀于右者光必阙于左上下亦然皆取其对冲方位)而时刻亦真不烦他器矣古者日食修徳月食修刑然春生秋杀之理固在寒暑发敛中而起亏进退尤测〔？〕之精理此盖与上文互见相明也南北之偏亦可槩也极浅十七林邑界也深五十二(元史)(作五十竒)铁勒塞也浅赤道髙人所载也夏永冬短犹少差也深故赤平冬昼晦也夏则不没永短最也(载当作戴)此言仰仪之法不特可施之大都而推之各方并可施用因举二处以槩其余也盖时刻宗赤道赤道宗两极而各方之人所居有南北北极之出地遂有髙卑而南极之入地因之有深浅则有地偏于南如林邑者其地在交趾之南是为最南故其见北极之髙只十七度即南极之入地亦只十七度而为最浅又有地偏于北如铁勒者其地在朔漠之北是为最北故其见北极之髙至五十余度即南极之入地亦五十余度而为最深南极入地浅则赤道入地深而成立势其赤道之半在地上者渐近天顶为人所戴故夏日亦不甚长冬日亦不甚短而永短之差少也南极入地深则赤道入地浅而成眠势其赤道之半在地上者渐近地平绕地平转故冬日甚短而或至昼晦夏昼甚长而日或不没永短之最斯为极致也(按元)(史铁勒北极髙五十五度夏至昼七十刻夜三十刻北海北极髙六十五度夏至昼八十二刻夜十八刻)(未至于夏日不没则冬亦不至昼晦然北海之北尚有其北北极有渐直人上之时逺征之周髀所言近)(騐之西海所测夏不没冬昼晦容当有之铭盖因二方差度而遂以推极其变也)二天之书曰浑盖也一仪即揆何不悖也以指为告无烦喙也暗资以明疑者沛也智者是之胶者怪也此言仰仪之有禆于推歩也浑天盖天并古者测天之法盖同出于一源传乆而分遂成岐指近代盖天之说浸㣲惟周髀筭经犹存十一于千百而习之者稀今得此器以肖地平下之天虽常隐不见之南极其度数皆如掌纹而浑天之理頼以益明即盖天家所言七衡之说并可相通初无龃龉然后知浑盖两家实有先后一揆并行而不悖者矣所以者何也多言乱听喙愈烦而心惑一仪惟肖指相授而目喻也由是而理之暗者资之以明从来疑义涣然氷释虽其器创作或为胶固者之所怪而其理不易终为明智者之所服矣(周髀筭经云北极之左右物有朝生暮获赵爽注曰北极之下从春分至)(秋分为昼从秋分至春分为夜是北极直人上而南极益深为人所履赤道平偃与地面平日遂有时而)(不没地为永短之最观于仰仪可信其理)过者巧厯不亿軰也非让不为思不逮也将窥天眹造物爱也其有俟然昭圣代也泰山厉兮河如带也黄金不磨悠乆頼也鬼神禁诃庻勿壊也此承上文而深赞之也言古来巧厯不可数计然不知为此者岂其谦譲不遑乎无亦精思有所未及耳抑天道幽逺将造物者不欲以朕兆令人窥测而或有爱惜耶其或待人而行非时不显故若有所俟必至圣代而始昭耶然则兹器也实振古所未有而兹器之在宇宙间亦当与天地而常存虽泰山如砺长河如𢃄而兹器也悠乆頼之如黄金之不磨而鬼神且为之呵䕶以庻㡬勿壊矣按史载斯铭引古六天之说而谓仰仪可衷其得失是等盖天于宣夜诸家而归重浑天也然郭太史有异方浑盖图固已观其㑹通兹则并举浑盖且以仰仪信其揆之一盖牧庵之厯学深矣愚故以断其为重定之夲也学无止法理愈析益精古之人皆如是上海徐公之治西厯也开局后数年推宗郭法乃重于前惟公则明惟虚受益好学深思者其知所取法哉简仪(仪制详元史兹约举为铭而文章尔雅能略所详详所略与史相备因并释之)旧仪昆仑六合包外经纬纵横天常衺带三辰内循黄赤道交其中四游𫖯仰钧箫此将言简仪而先述浑仪也昆仑即混沦古者浑天仪浑圆如球故曰旧仪昆仑也浑天仪有三重外第一重为六合仪有地平环平分廿四方向有子午规卯酉规与地平相结于四正又自相结于天顶以象宇宙间四方上下之定位故曰六合包外经纬纵横也又依北极出地于子午规上数其度分命为南北二极之枢两枢间中分其度斜设一规南髙北下以象赤道之位而分时刻谓之天常规故又曰天常衺带也内第二重为三辰仪亦有子午规卯酉规而相结于两极各为枢轴以缀于六合仪之枢中分两极间度设赤道规与天常相直又于赤道内外数南北二至日度斜设一规为黄道两道斜交以纪宿度以分节气而象天体故曰三辰内循黄赤道交也内第三重为四游仪亦有圆规内设直距以带横箫横箫有二并缀于直距而能运动故可以上下转而周窥规枢在两极又可以左右旋而徧测故曰其中四逰𫖯仰钧箫也凡今改为皆析而异繇能䟽明无窒于视此承上文而言作简仪之大意也浑天仪经纬相结而重重相包今则析为单环以各尽其用故曰皆析而异各环无经纬相结作之既简而各仪各测无重环掩映之患故曰䟽明无窒于视也四游两轴二极是当南轴攸沓下乃天常维北欹倾取轴矩应镂以百刻及时初正赤道上载周列经星三百六十五度竒赢此以下正言简仪之制也简仪之四游环用法与浑仪之四游同而厥制㢠异原亦有经纬相结今只一环(虽用䨇环而左右平列无经纬相结即如一环)又原在浑仪之内为第三重今取出在外而中分其环命为两极北极枢轴连于上规之心南极枢轴在赤道环心故曰四游两轴二极是当南轴攸沓下乃天常也天常即百刻环与赤道相叠言天常不言赤道省文也上规贯北云架柱之端赤道百刻叠置承以南云架柱两云架柱斜倚之势并凖赤道但言维北欹倾者省文互见也两并欹倾则二轴相应如绳正指两极而四游环可以运动其势恒与上下两规作正方折其方中矩故曰取轴矩应此以上言四逰环也百刻环匀分百刻又匀分十二时时又分初正此二句言百刻环也赤道环叠于百刻环上故曰上载其环匀分十二次周天全度于中又细分二十八舍距度故曰周列经星三百六十五度竒赢也(百刻环即六合仪上斜带之天常赤道环即三辰仪之赤道然)(皆不用子午规而单环叠置此其异也)地平安加立运所履错列干隅若十二子地平环分二十四方位与浑仪同(干八干甲乙丙丁庚辛壬癸隅四维)(乾坤艮巽十二子支辰子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥也)然彼为六合仪之一规此则独用平环卧置以承立运故曰立运所履也立运环浑仪所无兹特设之以佐四逰之用其制亦平环分度而中分之为上下二枢上枢在北云架柱之横𨐈下枢在地平环中心二枢上下相应如垂绳之立而环以之运故谓之立运五环三旋四衡絜焉一四游二百刻三赤道四地平五立运凡为环者五也旋运转也五环之内百刻地平不动四游赤道立运并能运转是能旋者三也衡即横箫古称玉衡絜犹絜矩之絜用衡测天如筭家之□术絜而度之以得其度也简仪之衡凡四而并施于旋环之上故曰五环三旋四衡絜焉也(下文详之)两缀闚距随捩留迁欲知出地究兹立运去极㡬何即游是问两者两衡承上文四衡而分别言之先举其两也两者维何一在立运环一在四游环也闚闚管距直距捩闗捩即枢轴也留迁者言或留或迁惟人所用也闚管缀于直距有枢轴以转动随其所测可以𫖯仰周闚此两衡之所同也然各有其用欲知日月星辰何方出地及其距地平之髙下则惟立运可以测之若欲知其去北极逺近㡬何度分惟四游可以测之此又两衡之所异也赤道重衡四弦末张上结北轴移景相望测日用一推星兼二定距入宿两候齐视前云四衡而上文已详其两尚有二衡复于何施曰并在赤道环也赤道一环何以能施二衡曰凡衡之枢在腰而此二衡者并以赤道中心之南极轴为轴重叠交加可开可合故曰重衡也衡既相重故不曰闚衡而谓之界衡界衡之用在线不设闚管也用线柰何其法以线自衡枢间循衡底之渠贯衡端小孔上出至北极轴穿轴端所结线折而下行至衡之又一端入贯衡端小孔顺衡底渠至衡中腰结之如此则一线折而成两并自衡端上属北极其势斜直张而不弛半衡如句而线为之弦一衡首尾二线重衡则四线矣故曰四弦末张末指衡端张者状其线之弦直也北轴即北极之轴穿线处也四弦线并起衡端而宗北极故又曰上结北轴也景谓日影移衡对日取前线之景正加后线则衡之首尾二线与太阳参直故曰移景相望也衡上二线既与太阳参直则界衡正对太阳衡端所指即太阳所到加时早晚时初时正何刻何分并可得之(百刻环中具列其数)则一衡已足故曰测日用一也测星之法移衡就星用目睨视取衡上二线与其星相参值则为正对与用日景同理但须二衡并测故曰推星兼二也二衡并测奈何曰二十八舍皆有距星以命初度若欲知各宿距度广狭者法当以一衡正对距星又以一衡正对次宿距星则两衡间赤道度分即夲宿赤道度分矣若欲知中外官星入宿深浅者法当以一衡对定所入宿距星复以一衡正对此星稽两衡间赤道即得此星入宿度分矣既用二衡即亦可两人并测故曰定距入宿两候齐视也巍巍其髙莫莫其遥荡荡其大赫赫其昭歩仞之间肆所赜考明乎制器运掌有道法简而中用宻不穷厯考古陈未有侔功猗与皇元发帝之蕴畀厥羲和万世其训简仪之制及其用法上文已明此则赞其制作之善归羙夲朝也言天道如斯髙逺乃今测诸歩仞之间如示诸掌则制器有道耳其为法也简而适中其为用也宻而不穷歴攷古制未有如我皇元斯器之善
## 厯学骈枝自叙
厯学骈枝自叙
厯犹易也易传象以数犹律也律制噐以数数者法所从出而理在其中矣世乃有未习其数而嘐嘐然自谓能知厯理虽有髙言雄辨广引博稽其不足以折畴人之喙眀矣而株守成法者复不能因数求理以眀其立法之根于是有沿误传讹而莫之是正厯所以成绝学也然理可以深思而得数不可凿空而撰然则茍非有前人之遗绪又安所𠂻乎(鼎)自童年受易于先大父又侧闻先君子余论谓象数之学儒者当知谨识之不敢忘壬寅之夏获从竹冠倪先生受台官通轨大统厯算交食法归与两弟依法推步疑信相参乃相与晨夕讨论为之句栉字比不惮往复求详遇所难通则废瞑食以助其愤悱夫然后气朔发敛之由躔离朓朒之序黄赤道差变之率交食起亏复满之算稍稍闚见藩篱迺知每一法必有一根而数因理立悉本实测为端固不必强援钟律牵附蓍卦要其损益进退消息往来于易于律亦靡弗通也爰取商确之语录系本文之下义从浅近俾可共晓辞取眀畅不厌申重庶存一时之臆见以为异时就正之藉虽于厯学未必有禆亦如骈拇枝指不欲以无用折之云尔康熙元年岁在元黓摄提格相月既望又三日宣城山口梅文鼎书于陵阳之东楼厯学源流夫治厯以明时乃古今之大典而气朔为之首章以总七政之要当时有载太史令郭公守敬因气朔之不齐遂攷景以验气更立四十尺之表测至元十八年辛巳岁前天正冬至恒气日则己未丑初一而为元曰授时谓授人时而已距来岁之冬至则三百六十五万二千四百二十五分为一岁之实以二十四气约之是知每气一十五万余二千一百八十四分三十七秒半为之气盈一月凡二气计盈四千三百六十八分七十五秒也其月有迟疾而三十日之间与日㑹之同度曰合朔然此非交食无以攷也今朔距来朔则二十九万五千三百○五分九十三秒为朔实是知一朔之实而少四千六百九十四分○七秒不及三十日为之朔虚并一月之气盈得九千○百六十二分八十二秒曰月闰积一年凡一十○万八千七百五十三分八十四秒曰岁闰积三年而过朔实有三万余是三年一闰而名曰正闰积五年复成再闰稍未及二朔之实积十九年成七闰为一章之终亦不及七朔实之八百余分也所以五年之十九年之闰皆曰余闰稽之于韵闰即余也余即闰也故曰闰余成岁厯之既成在元凡八十七年迨至我朝尤重之勅太史令王公恂撰之立成元公统注诸通轨契厯经不言之奥开来学未遇之疑既而更太史院为钦天监实敬天勤民之盛心授推步官为保章正乃设职从政之美意又何以加于是乎故为序右厯学源流一篇不知谁作味其语意首言气朔为首章葢即首章之序也案元史授时厯经本有七章曰气朔曰发敛曰日躔曰月离曰中星曰交㑹曰五星而本书合气朔发敛为一章又取日躔章之盈缩差月离章之迟疾差使相附丽则经朔之后即求定朔颇便于用大致亦本厯草也然不用授时消分则元统氏之为也元统所传厯法于日躔月离交㑹五星皆有通轨而此章独无葢乆为畴人所习简明易知无烦改作也作此序者又在元统之后其言气盈朔虚置闰甚有原委字句朴简犹存古意故仍冠其首
## 释凡四则
释凡四则一印心厯生于数数生于理理与气偕其中有神赜焉而不乱也变焉而有常也于是圣人以数纪之尧命羲和舜在玑衡皆是物也中遭秦炬先宪略亡自太初以后作者数十家人各效才王郭肇兴大成斯集夫天不变理亦不变故厯代贤者往往验天以立法要皆积有其毕生之精力始得其一法之合于理有圣人虽起不能易者而后垂之不刋以至今鼎何人也敢与于斯夫创起者难为功观成者易为力昔人縁理以立数今兹因数以知理期以信吾心焉耳矣所不能信者不敢知也其或章句繁复往复谆然夫必如是而后自信以信于古人僭越获罪既无所逃拘滞固陋诒诮通方幸有以教一存疑大统厯法所以仍元法不变者谓其法之善可以永久也夫既仍辛巳之元合用授时之数乃以今所传较之厯经参伍多违岂别有说愚故不能无疑也按厯经上考往古则岁实百年长一周天百年消一下验将来则岁实百年消一周天百年长一此其据往以知来自尧典𦙍征降而诸史所载可以数求者当时则既一一验之矣而今所传岁实一无消长此其可疑一也又按厯经诸应等数随时推测不用为元固也今则气应仍是五十五日○六百分周应仍是箕十度至于闰原是二十○万一千八百五十分今改为二十○万二千○五十分较授时后二百分转应原是一十三万一千九百○四分今改为一十三万○千二百○五分较授时先一千六百九十九分交应原是二十六万○千一百八十七分八十六秒今改为二十六万○千三百八十八分较授时后二百○○分一十四秒或差而先或差而后以之上考辛巳必与元算不谐若据厯经以步今兹亦与今算不合然则定朔置闰月离交㑹之期又安所取𠂻也岂当时定大统厯有所测验而改之与夫改宪则必另立元今气应周应俱同而独于数者有更此其可疑二也又按厯经盈缩迟疾皆有二术其一术不用立成其一术用立成然只有用之之法而无其图其迟疾图则又仍如古式只二十八日母数而无逐限细率意者当时修史者之遗忽与抑有所禁秘也今据此所载立成以求盈缩二术俱谐以求迟疾则自八十三限以至八十六限与前术有所不合意其所谓立成者有异欤据元史王恂先卒其立成之藁俱未成书郭公守敬为之整齐意者厯经前术为王公未定之藁与此其可疑三也又如日月食开方数乃所求食分横过半径之数据厯经皆五千七百四十乘之今改月食者为四千九百二十乘是所测暗虚小于原所测者二十分也则其所测月轮圆径亦小于原测一十分也茍非实有测验于天又何敢据此以非彼与茍非于交食之际立浑比量周径纵横之数何从而定与茍非于亏复之际下漏刻以验之定用分之多少何自而知与此其可疑四也又有自相背驰如立成所载日出入半昼分是自冬至夏至后顺数只问盈缩不言初末而通轨求日出入法又似有初末二图此言不可意断者至于昼夜永短与元史所载大都刻数不同则以北极高下黄道因之所在而殊理固然也然篇首既不言郡省撰名复载王恂岂当时九服晷漏之永短皆推有图而元史止载其一欤然毕竟此所列者据何地为则也此其可疑五也凡此数端同异出入未敢偏据姑即所传畧附笺疏去取是非俟之君子一刋误大抵一书传经数手多非其旧或誊冩鲁鱼或简编蠧蚀故君子慎阙疑也乃若专守残文习焉不察有所未解强入以己意参之遂使斲轮不传糟粕并失金根辄改燕郢何凭今于其尤谬乱者是正数条或据厯经或据本书非敢逞私凭臆以重获戾于古今也一者日月食限乃算家所凭以定食不食者也而今所载或失而出或失而入失而入不过虚费筹筞而已失而出则将据此以断不食其有不合将以疑立法之不详今皆据隂阳食限极之诸差所变以为常准即准本书以定似为稍密脱有不合其必非本算所能御矣其日食夜刻月食昼刻亦据本书及厯经所载时差并定用分得之其月带食若据厯经定用分尚有微差亦不多也一者月食时差分据厯经为定葢厯考古厯皆与此所载不合故断从〔？〕经一者黄道定积度原以岁差推变自大衍以后为法畧同今若定钤何异胶柱今断从厯经仍以天启辛酉一年步定为式一者月食既内分据厯经原以既内分与一十分相减相乘平方开之也今则讹为一十五分夫月食十分而既其既内五分倍之为十分而止矣安得有所谓既内十五分乎今以弦较求句股法求得既内小平圆积数皆与所求相应一如厯经原法故断从之别有图说以证其理一者日月带食凡日出入分在初亏已上复圆已下是为带食而出入也今则讹为初亏已上食甚已下是得其半而失其半求之厯经亦复仍讹故愚亦不敢全据歴经者谓有此等处也今据后已复光未复光条改为复圆分已下厥数实谐于理亦畅又月食通轨前所录数定望并晨分下注误又月食分秒定子法误又月食定用分并既内分定子俱误又月食更㸃归除法并定数法俱误又迳求次年天正交泛分条误多有闰无闰每月加数今皆刋正一补遗算有所必不可畧句与字有所必不可无而或无之或畧之则非作法者之故为秘惜也如日食交前后条正交交定度在七度已下数虽在正交度下而实则阳厯交后度也法宜加交终度减之此算之所必不可畧者也乃此书既不之载至元歴经亦复阙焉何也夫此亦数之易知当必非所甚秘岂非梨枣铅椠者之责乎将谓精于算者自能知之而无所用书欤今辄断之以理重为补定古人而得见我何以幸教之也(续读学厯小辨所载大统交食法有在七)(度以下食在正交语足与愚说相证)又如定子法为乘除后进退而设甚便于初学其立法立意不可谓不至也乃多有遗去言十定一不满法去一二语者夫定子所以御乘除之变而此二语又所以通定子之穷若无此二语则何如不定子之为愈乎又如求天正赤道黄道度二条皆不用定子夫赤道不定子知其所减者为度位乎为分位乎黄道乘除不用定子固也然何以处夫除不满法与夫减过积度只剩秒㣲者乎又如食甚入盈缩条遗食甚甚字夘酉前后条遗定望望字凡此皆字与句之所必不可无者也今皆补定
## 卷二十一
钦定四库全书厯算全书卷二十一宣城梅文鼎撰厯学騈枝卷一大统厯歩气朔用数目录元世祖至元十七年辛巳岁前天正冬至为厯元按古厯并溯太古为元各立积年未免牵合故乆而多差惟授时厯不用积年截用至元辛巳为元一慿实测而无假借故自元迄明承用三四百年法无大差以视汉晋唐宋之屡改屡差不啻霄壤故曰授时厯集诸家大成盖自西厯以前未有精于授时者徐文定公厯书亦截崇祯戊辰为元而废积年用此法也(又按大统厯以洪武甲子为元然易其名不易其实故台官布算仍用至元辛巳也)周天三百六十五万二千五百七十五分半周一百八十二万六千二百八十七分半天体浑员自角初度顺数至轸末度得周天度分均剖之即半周天按天本无度因日躔而有度古厯代更天度异测授时厯用简仪实测当时度分视古为密度法一万分按古厯以日法命度并有畸零(如太初厯以八十一分为日法大衍厯以)(三千四百分为日法而度法因之亦有畸零)惟授时厯不用日法故一度即为一万分而周天三百六十五度二五七五分即命为三百六十五万二千五百七十五分此王郭诸公之卓见超越千古也又按授时厯周天百年长一今大统不用此其与授时㣲异者也岁周三百六十五万二千四百二十五分岁周一名岁实自今岁冬至数至来岁冬至得此日数实不及周天一百五十分而岁差生焉半岁周一百八十二万六千二百一十二分半均剖岁周也自天正冬至算至本年夏至又自本年夏至数至本年冬至其日数并同气䇿一十五万二千一百八十四分三十七秒半置岁周日数以二十四气平分之得此日数谓之恒气日周一万分(自今日子正至来日子正共得此数) 刻法一百分(毎日百刻故也)旬周六十分(自甲子至癸亥六十日之积分) 纪法六十日(即旬周也)按日周一万分乃整齐之数故旬周亦整六十日也太阳行天每日一度前云度法万分者亦以此也并以整万分立算而无畸零故曰不用日法也又按授时厯岁周上考已往百年长一分下推将来百年消一分大统省不用故不言也通余五万二千四百二十五分置岁周减六旬周得余此数即五日二十四刻二十五分乃一年三百六十日常数外之余日余分气应五十五万○千六百分此授时厯所用至元辛巳天正冬至为元之日时也是为己未日丑初一刻乃实测当时恒气之应上考已往下求将来并距此立算以此为根也其数自甲子日子正初刻算至戊午日夜子初四刻得五十五日又自己未日子正初刻算至丑初一刻得六刻合之为五十五万零六百分岁䇿三百五十四万三千六百七十一分一十六秒此十二朔策之积也自今年正月经朔至来年正月经朔得此积分或置岁实内减岁闰亦同朔䇿二十九万五千三百○五分九十三秒此太隂与太阳合朔常数乃晦朔弦朢一周也自本月经朔至次月经朔得此积分又谓之朔实乃十二分岁䇿之一朢䇿一十四万七千六百五十二分九十六秒半此朔䇿之半乃二十四分岁䇿之一自经朔至经朢又自经朢至次月经朔并得此数又谓之交朢弦䇿七日三千八百二十六分四十八秒二五此朢策之半乃四分朔策之一自经朔至上弦又自上弦至经朢又自经朢至下弦至次月经朔其数并同月闰九千○百六十二分八十二秒此一月两恒气与一经朔相差之数置气䇿倍之得三十○万四千六十八分七十五秒内减朔䇿得之岁闰一十○万八千七百五十三分八十四秒此十二个月闰之积也亦名通闰闰应二十○万二千○百五十○分此至元辛巳为元之天正闰余也盖即己未冬至去经朔之数当时实测得辛巳岁前天正经朔是三十四万八千五百五十分即至元庚辰年十一月经朔为戊戌日八十五刻半为戌正二刻也闰凖一十八万六千五百五十二分○九秒置朔䇿内减岁闰得之盈初缩末限八十八日九千○百九十二分二十五秒此冬至前后日行天一象限之日数盖冬至前后一象限太阳每日之行过于一度故也(四分岁周所行度得九十一度)(三一○六二五为一象限)缩初盈末限九十三日七千一百二十○分二十五秒此夏至前后日行天一象限之日数也盖夏至前后一象限太阳毎日之行不及一度故也按盈初者定气冬至距定气春分之日数缩末者定气秋分距定气冬至之日数也此两限者并以八十八日九十一刻稍弱而行天一象限缩初者定气夏至距定气秋分日数盈末者定气春分距定气夏至日数也此两限者并以九十三日七十一刻有奇而行天一象限今现行时宪厯节气有长短即此法也又按古厯每日行一度原无盈缩言盈缩者自北齐张子信始也厥后隋刘焯唐李淳风僧一行言之綦详厯宋至元为法益密然不以之注厯者为闰月也大衍厯议曰以恒气注厯定气算日月食由今以观无处不用但每月中节仍用恒气不似西洋之用定气耳西洋原无闰月祇有闰日故以定气注厯为便若中土之法以无中气为闰月故以恒气注厯为宜治西法者不谙比气辄诃古法为不知盈缩固其所矣转终二十七万五千五百四十六分此月行迟疾一周之日数也内分四限入转初日太隂行最疾积至六日八十余刻而复于平行谓之疾初限厥后行渐迟积至十三日七十七刻奇而其迟乃极谓之疾未限于是太隂又自最迟以复于平行亦六日八十余刻谓之迟初限厥后行又渐疾亦积至十三日七十七刻奇其疾乃极如初日矣谓之迟末限合而言之共二十七日五十五刻四十六分而迟疾一周谓之转终也转中一十三万七千七百七十三分即转终之半(解见上文转其数一名小 中)转差一万九千七百五十九分九十三秒置朔策内减转终得之乃相近两经朔入转之相差日数也转应一十三万○千二百○五分此至元辛巳天正冬至日入转日数也盖实测得冬至己未日丑初一刻太隂之行在疾末限之末日也交终二十七日二千一百二十二分二十四秒此太隂出入黄道阳厯隂厯一周之日数也交差二日三千一百八十三分六十九秒置朔䇿内减交终得之乃相近两经朔入交之相差日数也交应二十六万○千三百八十八分此至元辛巳天正冬至入交泛日也(乃实测冬至己未日丑初一刻)(月过正交日数)气盈○日二千一百八十四分三十七秒半此气策内减十五整日外余此数(一月两恒气共盈四千三百六十八)(分七十五秒)朔虚○日四千六百九十四分○七秒置三十日内减朔策得之乃一朔䇿少于常数三十日之数没限○日七千八百一十五分六十二秒半置日周一万内减气盈得之土王䇿一十二日一千七百四十七分五十○秒又土王䇿三日○千四百三十六分八十七秒半按土王䇿一名贞䇿置岁实以五除之得七十三日○四八五为一岁中五行分王之日数又为实以四除之得一十八日二六二一二五为每季中土王日数内减气䇿得余三日(○四三六八七五)为土王䇿乃自辰戌丑未四季月中气日逆推之数土王䇿四因之得十二日(一七四七五)亦为土王䇿乃自四季月节气日顺数之数二者只须用一今并存者所以相考也宿会二十四万宿余分一万五千三百○五分九十三秒日直宿二十八日一周是为宿会以宿会减朔实得宿余限䇿九十○限○六八三○八六五置弦䇿以十二限二十分乘之得此数故以全加得次限限总一百六十八限○八三○六○(一名中限)置小转中以十二限二十分乘之得此数故限䇿加满则用以全减朔转限䇿二十四限一○七一一四六置转差以十二限二十分乘之得此数故以全加得次朔限按以上三者为求迟疾限之捷法然可不用盖既有日率相减之法则十二限二十分乘之法已为筌蹄何况限䇿盈䇿六十九万六千六百九十五分二十八秒置气盈分为实以气䇿除之得毎日盈一百四十三分五三四七七五转用为法以除日周得每六十九日六六九五二八而盈一日是为盈䇿故以加盈日即得次盈虚䇿六十二万九千一百○四分二十二秒置朔虚分以朔䇿除之得毎日虚一百五十八分九五六一七一转用为法以除日周得六十二日九一○四二二而虚一日是为虚䇿故以加虚日即得次虚大统厯歩气朔法求中积分置岁实三百六十五万二千四百二十五分为实以距至元辛巳为元之积年减一为法乘之即得其年中积分(定数以岁实定六子以积年视有十年定一子百年定二子乘法言十加定一子得数后共以八子约之)(为亿也)如径求次年中积分者加一岁实即可得之中积分者自所求年天正冬至逆推至辛巳为元之天正冬至中间所有之积日积分也积年减一者以岁前天正冬至为立算之根故也假如康熈元年壬寅距至元十七年辛巳该三百八十二算法祗以三百八十一年入算是为减一用之也盖欲算本年之气朔必以年前天正冬至为根是所求康熈壬寅年之中积分乃顺治辛丑年十一月冬至之数故也定子法者为珠算定位设也其法十定一子百定二子千定三子万定四子十万定五子百万定六子千万定七子亿万定八子岁实首位是三百万故定六子积年有十定一有百定二皆一法也言十加定一子者以乘法首位言之凡法首位与实首位相呼九九数有言十之句则得数进一位故加定一子此条原文缺此句余所补也得数以八子约之为亿者谓视原定之子若有八子则乘得数首位是亿也未乘之先视法实之数以定子故既乘之后即据所定之子以定得数此法最便初学也附岁实钤千百十万一 三六五二四二五 凡用钤自单年起有二 七三○四八五○ 十年则进一位用之三 一○九五七二七五 有百年又进一位即四 一四六○九七○○ 得所求中积分并以五 一八二六二一二五 单年无定之位推而六 二一九一四五五○ 上之即算位俱定七 二五五六六九七五八 二九二一九四○○九 三二八七一八二五求通积分置所得其年中积全分加气应五十五万○千六百分即得所求通积分如径求次年亦加岁实前推中积分是从辛巳厯元天正冬至起算今加气应是又从辛巳厯元冬至前五十五日○六刻起即甲子日子正初刻也求天正冬至置通积全分满纪法六十万去之余为所求天正冬至分也万以上命起甲子算外为冬至日辰(欲求时刻依发敛加时条求之)(见后)如迳求次年者不拘有无闰月并加通余五万二四二五满纪法去之即得通积分既从甲子起算故满纪法去之即知日辰也算外命日辰者以有小余也凡满万分成一日者为大余九千分以下皆为小余大余为日乃先一日之数小余为时刻乃为本日故取算外也求天正闰余分置其年中积全分如闰应二十○万二千○百五十分为闰积以满朔实二十九万五千三百○五分九十三秒除之为积月其不满者即为所求年天正闰余分也闰余分满闰凖一十八万六五五二○九者其年有闰月(补法闰余满十六万八四二六四五以上者其年冇闰如用闰凖须加两月闰)如迳求次年天正闰余者不拘有无闰月并加通闰一十○万八七五三八四满朔策去之即得(如却求前岁闰者置本年闰余内减通闰得之闰余)(小于通闰不及减加朔实减之即是)闰余分者乃岁前天正冬至距天正经朔数也法当自辛巳厯元天正经朔起算故以闰应通之也闰凖是朔实内去十二个月闰之数若闰其年十一二月者此法不能御故有补法也若于所得闰余分加一万八千一百二十五分六四(两月闰之数)再用闰凖取之亦同附经朔钤百十万一 二九五三○五九三 闰积内与经朔钤数二 五九○六一一八六 同者减去之减至不三 八八五九一七七九 满一朔实二十九万四 一一八一二二三七二 五三○五九三而止五 一四七六五二九六五 其余数即闰余分六 一七七一八三五五八七 二○六七一四一五一八 二三六二四四七四四九 二六五七七五三三七求天正经朔置其年通积全分内减去其年闰余全分满纪法六十万去之余为所求天正经朔分又法置冬至内减闰余即得经朔如冬至小于闰余不及减加纪法六十万减之如迳求次年天正经朔者无闰加五十四万三六七一一六(十二朔实去纪法之数)有闰加二十三万八九七七○九(十三朔实去纪法之数)并满纪法去之即得朔者日月同度之日经者常也经朔者朔之常数所以别于定朔也古人只用平朔故日蚀或在晦二唐以后始用定朔则蚀必于朔然不知经朔则定朔无根故必先求定朔先推通积分自厯元甲子日算至冬至减去闰余是从甲子日算至经朔故去纪法即得经朔之大小余也先推冬至分是以纪法减过通积而得乃冬至前甲子日距冬至数内减闰余即为甲子日距经朔数也如冬至小于闰余是此甲子日虽在冬至前却在经朔后故加纪法减之是又从经朔前甲子算起也求天正盈缩厯置半岁周一百八十二日六二一二五内减去其年闰余全分余为所求天正缩厯也(补法若其年冬至与经朔同日而冬至加时在)(经朔前则天正经朔入盈厯)如迳求次年天正缩厯者内减去通闰一十○万八七五三八四得之减后视在一百五十三日○九以下者再加一朔䇿即是按冬至交盈厯夏至交缩厯各得岁周之半今置半岁周是减去盈厯半周祇用缩厯半周从夏至日算至冬至日之数也内减闰余即为从夏至算至十一月经朔日数故恒为缩厯亦有入盈厯者其前必有闰月而至朔同日冬至小余又小于经朔小余先交冬至后交经朔其经朔已入盈厯法当于经朔小余内减去冬至小余命其余为天正盈厯也若冬至小余大于经朔小余不用此法盖虽至朔同日而朔在至前仍为缩厯此处原本所缺故备著之凡闰余加通闰即为次年闰余今所得天正缩厯是半周内减闰余之数于中又减通闰即如减次年闰余矣故迳得次年天正缩厯也一百五十三日○九以下者半周内减一朔䇿也减后得此必有闰月在次年天正经朔前故必复加朔䇿而得次年天正朔厯也求天正迟疾厯置其年中积全分内加转应一十三万○二○五减去其年闰余全分为实以转终二十七万五五四六为法除之其不满转终之数若在小转中一十三日七七七三以下者就为所求天正疾厯也若在小转中以上者内减去小转中则为天正迟厯也如迳求次年天正迟疾厯者加二十三日七一一九一六(十二转差积数)经闰再加转差一日九七五九九三并满转终去之迟疾各仍其旧若满小转中去之者迟变疾疾变迟也中积分原从厯元冬至起算至所求天正冬至止今加转应减闰余是从厯元冬至前十三日初交疾厯时起算至所求年天正经朔止故不满转终即为天正疾厯也转中者转终之半故疾厯满此即变迟厯也附转终钤百十万一 二七五五四六二 五五一○九二三 八二六六三八四 一一○二一八四五 一三七七七三○六 一六五三二七六七 一九二八八二二八 二二○四三六八九 二四七九九一四求天正入交泛日(原本作交泛分今依厯经改定)置中积减闰余加交应二十六万○三八八为实以交终二十七万二一二二二四为法除之其不满交终之数即为所求天正入交泛日及分也如迳求次年天正入交日者无闰加六千○百八二○四(十二交差内减去交终之数)有闰加二万九千二百六五七三(十三)(交差内减去交终之数)即得中积减闰余与求迟疾法同加交应是从辛巳厯元前二十六日初入正交时算起也故不满交终即为天正入交日也泛者对定而言也有经朔有定朔则入交之深浅亦从之而移此所得者经朔下数故别之曰泛附交终钤百十万一 二七二一二二二四二 五四四二四四四八三 八一六三六六七二四 一○八八四八八九六五 一三六○六一一二○六 一六三二七三三四四七 一九○四八五五六八八 二一七六九七七九二九 二四四九一○○一六推经朔次气及弦望法置天正经朔全分加五十九万○六一一八六(即二朔䇿)满纪法六十万去之为所求年正月经朔累加朔䇿二十九万五千三百○五九三为逐月经朔累至次年天正经朔必相同也(次年天正经朔在本年为十一月)复以朢䇿一十四万七六五二九六五累加各月经朔得经朢又加之即得次月经朔 复以弦䇿七万三八二六四八二五累加经朔得上弦加上弦即复得经朢又加之得下弦又加之复得次月经朔 凡累加时并满纪法去之其复得数必与原推分秒不异(或先加弦䇿次加朢䇿亦同)前有迳求次年天正经朔法与此挨次累加之数互相参考即知无误算法还原之理也以后并同推恒气次气法置天正冬至日及分加四十五万六五五三一二五(即三)(气䇿)满纪法去之为所求年立春恒气累加气策一十五万二一八四三七五满纪法去之得各恒气加至本年冬至即与前迳推次年天正冬至相同也附二十四恒气钤立春(次年)正月节 五十○万八九七八一二五右钤以加天正冬至满纪法去之即迳得各月恒气大小余凡恒气大余命起甲子算外得日辰小余命时刻(依发敛加时条取之)并同冬至法推盈缩厯次气法置天正盈缩厯日及分加五十九万○六一一八六满半岁周一百八十二日六二一二五去之为所求年正月经朔下盈厯也累加朔䇿二十九万五三○五九三为逐月经朔盈厯也盈厯加满半岁周去之交缩厯又累加之满半岁周去之复交盈厯也(累加至十一月即与次年天正盈缩)(厯相同) 复以弦䇿七万三八二六四八二五累加之各得弦朢乃次朔之盈缩厯也(至次朔亦必相同)盈厯满初限八十八日九○九二二五为有末之盈缩厯满初限九十三日七一二○二五为有末之缩推初末限法置半岁周一百八十二日六二一二五内减有末之盈缩厯全分余为所求各末限日分也 复于各盈缩末限日分累减弦䇿七万三八二六四八二五得各弦朢及次朔下盈缩末限必相同也 若不及减弦䇿者末限已尽盈交缩缩交盈也(补法置弦䇿以不及减之余末转减之即各得所交盈缩)(初限日分相同也)凡盈厯算起冬至缩厯算起夏至并从盈缩初日顺推至所求日时若盈末则算起夏至缩末则算起冬至并从盈缩尽日逆推至所求日时故置半岁周减之而得末限日分也所得末限日分是所求日时距盈缩末尽日逺近之数朔而弦朢入厯益深则其距末尽日益近故在初限累加弦䇿者在末限即用累减而得也推盈缩差法置盈缩厯全分(若系末限则置所得末限全分)减去大余不用只用小余(有千分定三有百定二有十定一)并以立成相同日数下取其盈缩加分为法乘之(加分有百定二有十定一言十加定一子)得数以所定八子约之为度位乃于立成取本日下所有盈缩积与得数相倂即得所求盈缩差凡言八子或九子约之为度者乃是于得数上定此虚位以便与盈缩积度相加非言得数有八子九子也假如八子为度位而原所定只有五子即得数为度下三位若盈缩积有度即度得数上第三位加之法于得数首位呼五字逆上数之曰五六七八至八字住于此加积度即无误也迟疾厯同盈缩加分是本日太阳行度或过或不及于一度之分也(或日行过于一度而有余分是为盈加分或日行不过一度而有欠分是为缩加分)盈缩积度则是本日以前加分累积之数也(总计逐日盈加分为盈积)(度总计逐日缩加分为缩积度)法当以小余乘本日加分为实日周一万分为法除之即得小余时刻内所有之加分乃以得数倂入本日以前原有之积度则为本日本时之盈缩差矣(厯经云万约为分即是以日周一万除乃本法也)兹以定子法约之故以八子为度所得亦同(假如以千乘百共定五子则所得乘数为十万)(分就用为实以日周一万为法除之当去四子剰一子则所得除数成十分是于度下为第三位也何以)(言之盖度下有千有百故十分为第三位今于所定五子虚进三位至八子位命为度以加积度即得数)(十分适居度下第三之位而相加无误矣理前条八子命亿而此以八子约为度何也曰无二 也八子)(于乘得数原是亿位盖亿即一万万用万万为实以一万为法除之当去四子剩四子则除后得数为万)(而成度位今不去子故以八子为度其实即厯经万约为分之法非有二也)问初限是从盈缩初日顺推(盈初从冬至起算缩初从夏至起算并数其已)(过之日)其小余亦顺推(并自本日子正刻起顺下丑寅数至所求时刻)若末限则是从盈缩末尽日逆数(盈末距夏至立算缩末距冬至立算皆数其未到之)(日)其小余亦逆数(并自本日夜子初刻逆转亥戌数至所求时刻)而加分乘小余加积度之法并无有异且盈缩互用(盈末所用之加分积)(度即缩初之数缩末所用之加分积度即盈初之数)何也曰凡初限所积之盈缩度分并为末限之所消(假如盈初限共有积盈度二度四十分一交盈末即)(每日有所缩以消其积盈直至盈末尽日其盈消尽而交夏至为缩厯矣又如缩初限共有积缩度二度)(四十分一交缩末即每日有所盈以消其积缩直至缩未尽日其缩消尽而交冬至复为盈厯矣)故同一加分也在初限为日增之分在末限则为日消之分(假如盈末限未到夏至若干日与缩初限已过夏至之日数等则其日行度之所缩亦等故盈)(末日即用缩加分又如缩末日与盈初限之日数等则其距冬至等而日行之所盈亦等故缩末日即用)(盈加分)同一积度也在初限为己积之度分若末限则为未消之度分(假如盈末毎日内各有缩加分以消其盈而今盈末尚有若干日则其缩)(加分末用而积盈亦未消累而计之其数必与缩初限相同日数下之积度等故即用缩积度为盈积度)(也缩末即用盈积度为未消之缩积度其理亦同)今末限既有小余则此时刻内亦必有未消之零分在积度外故以小余乘加分而万约之(即八子为度之法解已见前)倂入积度即知此日此时尚有未经消尽之积度共若干度分而命之为盈缩差矣(盈末日虽用缩加分缩积度取数而仍为盈差缩末日虽用盈加分盈积度取数而仍为)(缩差盖其加分积度为逐日之盈缩而盈缩差分是总计初日以来之盈缩故也)推迟疾厯次气法置天正迟疾厯日及分加三日九五一九八六(两转差数)为所求年正月经朔下迟疾厯也以后累加转差即得各月经朔下迟疾厯也凡加后如满小转中一十三万七七七三者去之疾变为迟迟变为疾不满者迟疾不变累加至十一月即与次年天正迟疾厯相同也 复以弦䇿七日三八二六四八二五累加之各得弦朢及次朔之迟疾厯亦满小转中去之变迟疾也本宜累加朔䇿而去转终今用转差是㨗法其得数同也附转差钤一 一日九七五九九三 用钤加正月经朔下二 三日九五一九八六 迟疾厯可迳求各月三 五日九二七九七九 迟疾厯若加满小转四 七日九○三九七二 中去之疾变迟迟变五 九日八七九九六五 疾也六 十一日八五五九五八七 ○日○五四六五一 自七个月以后为减八 二日○三○六四四 过小转中之后加后九 四日○○六六三七 即变迟疾若加满小十 五日九八二六三○ 转中去之反不变也十一 七日九五八六二三十二 九日九三四六一六推迟疾厯限数法置迟疾厯日及分(十日定五单日定四○日有千定三○日○千有百定二有十定一)以十二限二十分(定一)为法乘之(言十定一)得数以所定有四子为单限五子为十限六子为百限即得各迟疾厯限数如迳求次弦朢之限数者(如自朔求上弦自上弦求朢之类)每加限䇿九十限即得加满中限一百六十八限去之则变迟疾 如超次月(如以朔求次朔以上弦求次月上弦之类)累转加朔转限䇿二十四限一○即得(亦满中限去之而变迟疾)如累加之至十个月间有多一限乃二十分尾数积成故有退一限减之之法不必致疑皆以日率为定也迟疾分限数何也太隂行天有迟疾其迟疾又有初末与太阳之盈缩同所不同者太阳之盈缩以半岁周分初末而其盈缩之度止于二度奇太隂之迟疾以十三日七十七刻奇分初末而其迟疾之度至于五度奇(疾初只六日八十八刻奇而疾五度迟初只六日八十八刻奇而迟五度)厯家以八百二十分为一限(即八刻竒)一日分十二限二十分而自朝至暮逐限之迟疾细分可得而求矣捷法以所得迟疾厯与立成中迟疾日率相较择其相近者用之(或所得迟疾厯日及分即立成内日率相同或稍强于日率即可取用)即可迳得限数(此法可免十二限乘亦即无退退一限减之之事余所补也)推迟疾差法置迟疾厯日及分以立成内相同限下日率减之(如立成日)(率大不及减即退一限减之)用其余分为实(有百分定四子十分定三子单分定二子十秒)(定一子)以其下损益分(十分定五子单分定四子十秒定三子单秒定二子)为法乘之(言十定一)得数又为实以八百二十分(去二子)为法除之(不满)(法又去一子)得数取所定八子为度位视立成是益分即于得数上依位加本限下迟疾积度(如盈缩差加积度法)若是损分即置迟疾积度内减去得数(如八子为度位而所定只五子则于度下第三位减)(之余倣此)即各得所求迟疾差迟疾日率者毎限八百二十分之积数也(如满八百二十分则)(为一限满两个八百二十分则为二限乃至满十个八百二十分即为十限百个八百二十分即为百限)(故曰日率)而所得迟疾厯未必能与各限之日率巧合而无零分故以此日率减之即知此日太隂之行度己足过若干限而尚余若干时刻也(毎限八百二十分即八刻奇未满此)(数皆为零分)损益分者各限内迟疾进退之差也自初限至八十三限为益分其迟疾为进也(在疾厯则益其疾在迟厯亦益其迟故并为益)(分)自八十四限至一百六十八限为损分其迟疾为退也(在疾厯则损其疾在迟厯亦损其迟故并为损分)此损益分皆整限八百二十分之数零分所有之损益必小于八百二十分之损益故以零分乘八百二十分除也迟疾积度者是本限以前所积之迟疾度分也(如在八十)(三限以前则为日益之积数八十四限以后则为日损之余数)于是以所得零分内之损益分损之益之便知此时此刻内太隂之迟疾所不同于平行者共有若干度分而命之为迟疾差也定子之法千三百二则万四常为度位而此与盈缩差并用八子者盈缩差原是万约为分宜去四子今省不去故八子即是四子也此求迟疾之损益是以八百二十除原非万约为分而亦用八子为度者因乘时加定四子(余分百定四子是加定二子也损益分之十分是度下一位宜定千三今)(定五子是又加二子也合之共加定四子)则八子亦是四子其故何也迟疾厯遇八十一限至八十六其损益分多为单秒则定子之法穷故加四数以豫为之地也不满法又去一子者亦以相除时算位言之(假如法是八实)(亦是八或八以上可以除得一数即为满法若实在八以下即不能除得一数当退位除之即为不满法)(也此不论十百千万之等惟论自一至九之数假如以八十除六百亦为不满法若以八百除九十亦为)(满法皆以得数有进位不进位而分算中精理也)盖除法本是降位(如用十为除法)(是以十为一当降一位故去一子百为除法是以百为一当降两位故去二子)今不能除得一数而退位除之是又降一位故再去一子也按古厯太阳朓朒之行但有各恒气十五日奇之总率而无毎日细数太隂朓朒之行但有毎一日之总率而无一日内分十二限奇之细数有之皆自授时始皆以平立定三差得之授时之密于古法此一大端也推加减差法视各经朔弦朢下盈缩差与迟疾差如是盈迟缩疾为同名则相倂用之如是盈疾缩迟为异名则两数相较用其余分(有万定四子千定三子百定二十定一)以八百二十分(定二子)乘之(言十定一)得数为实以立成本限下迟疾行度为法(迟用迟行)(度疾用疾行度并以万去四子千去三子)除之(不满法又去一子)得数以所定有三子为千分二子为百分即得所求加减差同名者 盈迟为加差 缩疾为减差异名者 盈多疾少为加差 疾多盈少为减差迟多缩少为加差 缩多迟少为减差加减差者时刻之进退也前论盈缩迟疾二差则行度之进退也因日月之行度各有纾亟而时刻因之进退故前既分求之兹乃论之也以右旋之度言之日每日平行一度月每日平行十三度有竒合朔时日月同度厯弦䇿七日(三八二六四八二五)而月度超前离日一象限是为上弦又厯弦䇿而月度离日半周天与日对度是为朢自此以后月向日行又厯弦策而距日一象限是为下弦更厯弦䇿而月追日及之又复同度而为合朔矣凡此者皆有常度有常期故谓之经朔经朢经弦也乃若定朔定朢定弦则有时而后于常期故有加差焉有时而先于常期故有减差焉凡加差之因有二一因于日度之盈夫日行既越于常度则月不能及一因于月度之迟夫月行既迟于常度则不能及日二者皆必于常期之外更增时刻而后能及于朔朢弦之度故时刻加也减差之因亦有二一因于日度之缩夫日行既缓于常度则月易及之一因于月度之速夫月行既速于常度则易及于日二者皆不待常期之至而已及于朔弦朢之度故时刻减也乃若以日之盈遇月之迟二者皆宜有加差以日之缩遇月之疾二者皆宜有减差故(盈与迟缩与疾)并为同名而其度宜倂 若以日之盈遇月之疾在日宜加在月则宜减以日之缩遇月之迟在日宜减在月宜加故(盈与疾缩与迟)并为异名而其度宜相减用其多者为主也如上所论既以(盈缩迟疾)二差同名相从异名相消则加减差之大致已定然而又有乘除者上所言者度也非时刻也故必以此所得之度分(即同名相从异名相消之度分)用每限之时刻(八百二十分)乘之为实每限之月行度为法(即迟疾行度)除之即变为时刻而命之为加减差矣以异乘同除之理言之月行迟疾行度则所厯时刻为八百二十分今加减之度有㡬个迟疾行度则月行时刻亦当有㡬个八百二十分故以此乘除而知加减差之时刻推定朔法各置经朔弦朢大小余各以其加减差加者加之减者减之即各得所推定朔弦朢大小余大余命起甲子算外得定日支干小余命时刻(依发敛加时条求之)其定朔朢日小余若在本日日出分以下者退一日命之惟朔不退定朔日干名与次月同者其月大不同者其月小 内无中气者为闰月弦朢退一日者以候月当用更㸃也假如定朢在乙丑日日未出前则仍是甲子日之更㸃故也按节气为两月相交之界故谓之节中气为一月三十日之正中故谓之中月有中气然后可正其名曰某月(如有冬至则为十一月有大寒则为十二月有雨水则为正月他皆若是)若月内无中气而但有节气则在两月交界之间不能名其为何月而谓之闰月矣凡闰月前一月中气必在晦后一月中气必在朔则前后两月各在定名而此月居其间不得复以前后月之名名之不得不为闰月(如月内但有立春节而无中气则大寒中气在)(前月之晦定其为十二月雨水中气则后月之朔定其为正月前后两月各有本名不可移动而本月无)(中气即无月名必为闰月也)厯家以无中气为闰月则各月之中气必在本月而不可稍移所谓举正于中民则不惑也然惟以恒气注厯始能若是唐一行之说所以确不可易而厯代遵守以为常法非不知有定气而但知恒气也(定气即日行盈缩若于各恒气求其盈缩差而以盈差为减差缩差为加差即得各)(定气日及分然而不用者为闰月也)推入交次气法置天正入交泛日及分加四日六三六七三八(即两交差)即为所求年正月经朔下入交泛日及分也以后累加交差二日三一八三六九满交终二十七日二一二二二四去之即各月经朔下入交泛日也累加至其年十一月即与次年天正入交泛日相同也 复以交朢一十四日七六五二九六五累加之亦满交终去之即得各月经朢下入交泛日加朔得朢加朢得次朔亦必相同也附交差钤一 二日三一八三六九 用钤加正月经朔下二 四日六三六七三八 入交泛日可迳得所三 六日九五五一○七 求某月经朔下入交四 九日二七三四七六 泛日若加正月经朢五 十一日五九一八四五 下入交泛日亦可迳六 十三日九一○二一四 得所求某月经朢下七 十六日二二八五八三 入交泛日加满交终八 十八日五四六九五二 二十七日二一二二九 二十○日八六五三二一 二四并去之用其余十 二十二日一八三六九○ 数十一二十五日五○二○五九十二 ○日六○八二○四推盈日法视各恒气之小余在没限七千八百一五六二五以上者为有盈之气也置䇿余分一万○一四五(以十五日除气䇿得)(一万○一四五六二五止用四位取大数也)内减有盈之气小余四位用其余分为实(以千三百二定之)以六十八分六十秒(以气盈除十五日得六十)(八分六十六秒九五今亦止用三位)定一为法乘之(言十定一)得数取定四子为日位用加恒气大余日满纪法去之命起甲子算外为所推盈日也又法亦以有盈之恒气小余去减䇿余分余以一气十五日乘之为实气盈二千一百八四三七五为法除之得数以加恒气大余满纪法去之命为盈日亦同若迳求次盈日者置所得盈日毎加盈䇿六十九万六六九五二八即得第二盈日亦满纪法去之命干支也盈日即古厯之没日也凡气内有盈日者多一日假如甲子日立春则己夘日雨水今盈一日为庚辰日雨水故谓之盈日䇿余分者十五日除气䇿之数也盖谓毎大余一日即带有盈分○千一百四十五分故必足得䇿余分(一万○一四五)之数则为十五分气䇿之一也六十八分六十秒者气盈除十五日之数也盖谓毎盈一分在恒气为六十八分六十秒即六十八分六十秒盈一分也今有盈之恒气小余尚不及䇿余分有若干分则必更厯若干六十八分六十秒而其盈分始足命之盈日也又法以十五日乘气盈除即六十八分六十秒乘也故其得数同捷次盈以盈䇿加者率六十九日奇而有盈日则毎一岁周只有五盈日或四日也余详用数推虚日法视各经朔之小余在朔虚四千六百九四○七以下者为有虚之朔也置有虚之朔小余四位(千定三百定二)为实以六十三分九十秒(朔虚除三十日得六十三分九十一秒竒此用大数故只三位)定一为法乘之(言十定一)得数取定四子为日位用与经朔大余相加满纪法去之命起甲子算外为所推虚日也又法以三十日乘有虚之小余为实朔虚四千六百九四○七为法除之得数以加经朔大余满纪法去之为虚日亦同若迳求次虚日者置所得虚日每加虚䇿六十二日九一○四二二即得第二虚日其命干支亦满纪去之也虚日即古厯之灭日也凡月内有虚日者其月小(以经)(朔言之)故谓之虚日六十三分九十秒者朔虚除三十日之数也盖谓毎虚一分在月内为六十三分九十秒即毎六十三分九十秒当虚一分也今经朔小余尚有若干分则必更厯若干六十三分九○而其虚分始尽命之虚日也其又法以三十日乘朔虚除即六十三分九○乘也故得数亦同捷次虚日以虚䇿加者率六十三日弱而有虚日则每一岁䇿亦只五虚日也余亦详用数推土王用事法置四季月节气大小余(三月用清明六月小暑九月寒露十二月小寒)各加土王䇿一十二万一七四七五满纪法去之大余命起甲子算外各得所推土王用事日辰也又法置四季月中气大小余(三月用谷而六月大暑九月霜降十二月大寒)内各减第二土王䇿三日○四三六八七五如不及减加纪法减之所得亦同天有五行而土无专位以体之立者言之则居中以用之行者言之则在隅土者木火金水之所以成终而成始也参同契曰土旺四季罗络始终青赤白黒各居一方皆禀中宫戊己之功盖谓此也厯家以春木夏火秋金冬水分旺者各得气策四又十二日(一七)(四七五)而土寄旺于四季之末者各得气䇿一又三日(○四三六八七五)与四行之数适以相等而岁功成焉前法用加节气者是于四时之末而要其终后法用减中气者是据土王用事之初而原其始余详用数推发敛加时法各置定朔弦朢及恒气之小余为实以十二时为法乘之(法实并以千三百二定之言十定一以所定四子为万)取万为时命起子正有五千起作一时命起子初并以算外命时其不满五千者取一千二百为刻命起(初正)初刻算外为某刻又法各置小余加二为时减二为刻不须定数就以千位为时百位为刻有五百起作一时命起子初初刻不起者命起子正初刻也按古法以日行赤道外去北极逺谓之发日行赤道内去北极近谓之敛发敛字义并主北极为言日道之自近而逺逺而复近皆以渐致故不曰逺近而曰发敛也古诸家厯法并有歩发敛一章其所列者月卦律吕气候之类而加时之法附焉授时亦然故曰歩发敛加时也(授时虽不用律吕月卦惟存七十二候而统以廿四中节盖即其所谓发)(敛而所谓歩发敛加时者以推各气候初交之时刻发敛字义䝉上文而为说犹云歩气候加时云尔)大统则省去歩发敛一章故加时之法在气朔章后而犹云推发敛加时因仍旧名无他义也以十二乘者何也盖以日周一万分十二时则各得八百三十三分三三不尽故以十二乘之通日周一万为十二万则可以匀分乃算术通分法也日周既通为十二万故以一万为一时以一千二刻为一刻也有五千起作一时者因时有初正则各得五千其子初四刻为前半个子时乃先一日之数谓之夜子时子正四刻为后半个子时乃本日之数本日十二时并从兹起故满一万者命起子正也命起子正则算外为丑正矣(因所满一万数中有子正四刻丑初四刻在内则前半个丑时已满而算)(外为丑正)若但满五千则算外为丑初(但满五千则所满者是后半个子时)(而交前半个丑时是为丑初非丑正也)故起作一时而命起子初此是从先日夜子初刻算起借前半个子时辏合成整以便入算也其又法加二为时减二为刻者加是就身加二即十二乘但不变千位不定子故即以一千为一时而起子正有五百起作一时而起子初也减二即十二除而挨身减二不动算位所谓定身除法也故即以一百为一刻附十二时钤千百十分十秒 千百十分十秒子正 ○○○○○○ 午正 五○○○○○丑初 ○四一六六六 未初 五四一六六六丑正 ○八三三三三 未正 五八三三三三寅初 一二五○○○ 申初 六二五○○○寅正 一六六六六六 申正 六六六六六六夘初 二○八三三三 酉初 七○八三三三夘正 二五○○○○ 酉正 七五○○○○辰初 二九一六六六 戌初 七九一六六六辰正 三三三三三三 戌正 八三三三三三巳初 三七五○○○ 亥初 八七五○○○巳正 四一六六六六 亥正 九一六六六六午初 四五八三三三 (夜子)初 九五八三三三凡日下小余分并以十二时钤相减命时(如满四一六六者即)(命其时为丑初满八三三三者即命其时为丑正)减不尽者以一百分为一刻如不满百分即命初刻满一百分即命一刻满二百分命二刻满三百分命三刻满四百分命四刻(如小)(余可减二千五百分命其时为夘正减过余数有一百分即为夘正一刻有二百分为夘正二刻有三百)(分为夘正三刻有四百分为夘正四刻若减余不满百分只为夘正初刻他皆若是)初正并同推朔值宿法置辛巳为元求到其年通积全分内减去其年闰余全分加三万○六一一八六(即两宿余)满宿㑹二十八万去之命起虚宿算外即得所求年正月经朔直宿以后累加宿余一万五三○五九三满宿会去之即得各月经朔直宿再以各朔下加减差加者加之减者减之亦满宿会去之命起虚宿算外即得各月定朔直宿(其加减过小余亦必)(与定朔小余相同为凖)此盖以辛巳为元之天正冬至前甲子日正直虚宿故迳以通积取之即得直宿按日直宿法乃演禽之用占家之一种也故诸家厯法无之授时厯经亦所未载而大统厯有之盖元统之所増其实无闗厯法推闰月所在置朔实(二十九万五三○五九三)内减去有闰之天正闰余全分(即所)(推天正闰余在闰凖以上者其年有闰是也)余为实以月闰九千○百六二八二为法除之满法为月视所得有㡬月命起岁前十一月算外得闰在何月此法仍多未的然祇在其月之前后皆以定朔为凖也满法为月者满得一个月闰之数即为一月若满两个月闰即为两月此只求整月不除分秒故不必定子附六十甲子钤初日(甲子) 一日(乙丑) 二日(丙寅) 三日(丁夘) 四日(戊辰) 五日(己巳)六日(庚午) 七日(辛未) 八日(壬申) 九日(癸酉) 十日(甲戌) 十一(乙亥)十二(丙子) 十三(丁丑) 十四(戊寅) 十五(己夘) 十六(庚辰) 十七(辛巳)十八(壬午) 十九(癸未) 二十(甲申) 廿一(乙酉) 廿二(丙戌) 廿三(丁亥)廿四(戊子) 廿五(己丑) 廿六(庚寅) 廿七(辛夘) 廿八(壬辰) 廿九(癸巳)三十(甲午) 三十一(乙未) 三十二(丙申) 三十三(丁酉) 三十四(戊戌) 三十五(己亥)三十六(庚子) 三十七(辛丑) 三十八(壬寅) 三十九(癸夘) 四十(甲辰) 四十一(乙巳)四十二(丙午) 四十三(丁未) 四十四(戊申) 四十五(己酉) 四十六(庚戌) 四十七(辛亥)四十八(壬子) 四十九(癸丑) 五十(甲寅) 五十一(乙夘) 五十二(丙辰) 五十三(丁巳)五十四(戊午) 五十五(己未) 五十六(庚申) 五十七(辛酉) 五十八(壬戌) 五十九(癸亥)二十八宿钤初日(虚) 一日(危) 二日(室) 三日(壁) 四日(奎) 五日(娄)六日(胃) 七日(昴) 八日(毕) 九日(觜) 十日(参) 十一(井)十二(鬼) 十三(栁) 十四(星) 十五(张) 十六(翼) 十七(轸)十八(角) 十九(亢) 二十(氐) 廿一(房) 廿二(心) 廿三(尾)廿四(箕) 廿五(斗) 廿六(牛) 廿七(女)厯算全书卷二十一
## 卷二十二
钦定四库全书厯算全书巻二十二宣城梅文鼎撰厯学骈枝卷二大统厯交食通轨用数目录周天三百六十五度二十五分七十五秒按此即歩气朔章用数但彼以万分为度法此以百分为度法故百分为分而分为秒名异而实同也半周天一百八十二度六十二分八十七秒半周天象限九十一度三十一分四十三秒七十五㣲平分周天度为半周天又平分之则为象限乃四分周天之一如两仪之分四象也半岁周一百八十二度六十二分一十二秒半此太阳行天半岁之度也亦以度为百分与气朔章异而以日命度则同以较半周天不及七十五秒乃岁差所自生岁差一分五十秒若以万分命度则为一百五十分交终度三百六十三度七十九分三十四秒一十九㣲此以月平行度乘交终之数月入交一转凡行天度有此数也交中度一百八十一度八十九分六十七秒(○九八)此以月平行乘半交之数月入交一半凡行天度有此数也正交度三百五十七度六十四分此于交终度内减去六度一五有竒也中交度一百八十八度○五分此于交中度内加入六度一五有竒也 日食入交度有加减者日既髙于月黄道在天亦髙于月道故当其初入隂厯六度时月之行天虽在日北而人之见月尚在日南中交度所以有加也及其将入阳厯尚差六度时月之行天虽在日内而人之见月已出日外正交度所以有减也此皆由测验而得也其所以然则亦中国地势为之前凖一百六十六度三十九分六十八秒前者交前也入隂厯满此是在正交前也入阳厯满此是在中交前也以后凖减交中即得后凖一十五度五十分后者交后也入阳厯在此数以下是正交后也入隂厯在此数以下是中交后也凖者定也凡月食在交前后以此为定盖无论交前交后皆以十五度五十分为定过此则不食也前凖数虽多以减交中度则以十五度五十分也月平行分一十三度三十六分八十七秒半置月行极迟极疾度数一转之积以月行一转之日平分之得此数日行分八分二十秒此乃一限之日行分也月行一限在日周一万内〔？〕八百二十分也盖万分日之百即百分度之一分也日食分二十分此置日食十分倍之(倂日体月影各十分即二十分)月食分三十分此置月食一十五分倍之(倂月体十分暗虚二十分共三十分)隂食限八度 定法八十分隂者月入隂厯是在黄道北在日内也在日内则易为揜故八度食也 隂食八度故隂定法亦八十分以八十分除八度即得隂食十分也阳食限六度 定法六十分阳者月入阳厯是在黄道南在日外也在日外则难为揜故六度食较隂食近也 阳食六度故阳定法亦六十分以六十分除六度即得阳食十分也月食限一十三度○五分 定法八十七分以定法八十七除一十三度○五分即得月食一十五分也 月既小于暗虚暗虚所至即月所至无髙下故不论隂阳厯皆十三度即食也暗虚者日之影倍大于月故月食十有五分所谓既内既外也日月食限数(凡数满万为日千为十刻百为单刻)阳食入交在○日五十刻已下日月不食在二十六日○二刻已上日月皆食在一十三日○○刻已上日月皆食在一十四日七十五刻已(下上)日月皆食在○日五千四百五五已(下上)日月皆食在二十五日六一五一已上日月不食在一十二日○○八九已上日月不食在一十四日一五一六已下日月皆食隂食入交在一日二十五刻已下不食在一十二日四十二刻已(上下)月食在一日一八七二已下日食在二十六日○二四九已上日月皆食在一十二日四一八九已上在一十四日七九三三已下又在交朢一十四日七六五二九六五已下日月皆食又在交终二十七日二一二二二四已下日月皆食又在交中一十三日六○六一一二已下日月皆食右各日月食限如日食视其定朔小余在夜刻者如月食视其定朢小余在昼刻者即同不食亦不必推算也又与各交泛者数同则食也不同者不食其已上已下皆指小余而言凡数自万已上为大余自千已下为小余 凡日食视其定朔小余在一千二四九以下八千八百以上皆在夜刻也起亥初初刻止丑正四刻 凡月食视其定朢小余在三千○一六已上七千○八三已下皆在昼刻也起辰初初刻止申正四刻(昼夜刻仍宜以日出八分与定朔朢)(小余相较而定之)按自定朔之法行而日食必在朔厯家以是騐其疎密者千有余年矣厯至授时法益密数益简虽然月有交也逐逐歩算虽简亦繁许学士之讥世医谓猎不知兎广络原埜术已疎矣今通轨所载食限颠倒缪乱殆不可以数求其误后学将何已乎今为订定如左今考定日月入交食限朔泛交入阳厯在○日五○一六已下为入食限已上者日不食在一十三日一○四五已上为入食限已下者日不食朔泛交入隂厯在一十四日不问小余皆入食限其小余在一五一六已下一三○七已上者的食在一十五日一七七九已下为入食限已上者日不食在二十五日六四○四已上为入食限已下者日不食在二十六日不问小余皆入食限其小余在六六六七已上六八七六已下者的食又在交终二十七日二一二二二四已下为入食限又在交中一十三日六○六一一二已上为入食限朢泛交不问隂阳厯在○日不问小余皆入食限其小余在七九六六已下者月的食在一日一五五六已下为入食限已上者不食在一十二日四五○五已上为入食限已下者不食其小余在八○九五已上者月的食在一十四日七六一七已下为入食限已上者不食其小余在四○二七已下者月的食在二十六日○五六六已上为入食限已下者不食其小余在四一五六已上者月的食又在交终二十七日二一二二二四已下月的食又在交中一十三日不问小余皆的食右日月食限皆视其朔朢入交泛日其不入食限者即不必布算也其入的食限者必食也其入食限不言的者或食或不食也是皆以算御之也凡言已上已下者皆指小余有不问小余者则只以大余命之也又视其定朔小余如在日入分后及日出分前十分以上者夜刻也定朢小余如在日入分前及日出分后七百三十分以上者昼刻也日食在夜刻月食在昼刻即不得见初亏复圆同不食限不必布算也按日食隂厯距交前后二十一度而止以月平行除之得一日五七一八日食阳厯距交前后六度七十一分而止以月平行除之得○日五○一六即各食限也其隂厯距交前后七度○一三四至七度二九三四为日的食限月平行除之得○日五千二百四六至○日五千四百五五也其阳厯则无的食何也盖日食虽有阳食限六度隂食限八度其实总在隂厯阳厯本无蚀法也今所定阳厯食限以诸差得之皆或限也诸差者何一曰盈缩差加减之极至二度四十分一曰南北东西差加减之极至四度四十六分幷二数六度八十六分内除未交阳厯前原空有一十五分余六度七十一分是为阳厯食限也其隂厯的食起七度○一至七度二九止者正交中交限距交皆六度一十五分而阳食限只六度是原空一十五分也如入盈缩差幷南北东西差六度八十六分共七度○一而差变极矣故的限以比起置正交中交距交数加隂食限八度共一十四度一十五分内减去盈缩差幷减去南北东西差余七度二九而差变极矣故的限以此终不入此限度皆或限也置正交中交距交数加隂食限共一十四度一十五分又加入盈缩差又加入南北东西差共二十一度是为隂厯食限也盖极其变可以得其常执其常可以追其变今所订定食限皆要其变之极者言之而其常可知也又按月食不问隂阳厯只距交前后一十五度四十五分而止在月平行得一日一五五六为食限也其距交前后一十○度六十五分在月平行得○日七九六六为的食限也夫月食何以不问隂阳厯也月之掩日以形形则有所不周日之掩月以气气则无所不及故日必以隂厯食月不问隂阳厯皆食阳全隂半之理也又月虽掩日尚不能直至于日之所也故有东西南北差日以暗虚掩月则直至于日之所也故亦无东西南北差惟其不用东西南北差也故只以盈缩差二度四十分加其食限一十三度○五分而得食限一十五度四十五分或食之数止此而差变极也只以盈缩差二度四十分减其食限一十三度○五分而得的食限一十○度六十五度或不食之数亦至此而差变极也又按夜刻不见日食以时差分与定用分相较知之大约日出入夘正酉正合朔当之时差之多至六百五十分若当二至日出入其差乃极亦不下六百三十分故定朔分若与日出入同者其食甚皆在日出前日入后六百三十分以上也假如日食十分当月行极迟之限定用分极多至六百三十五分止矣故知定朔在日出分前一十分以下者即不得见未复光定朔在日入分后一十分以上者即不得见初亏断为夜刻无疑也其昼刻不见月食亦以时差分与定用分相较知之依授时时差法朢在卯酉正时差之多至一百三十分若当二至日出入其差为极亦不下八十九分故定朢若与日出入分同者其食甚皆在日入前日出后八十九分已上也假如月食十五分当月行极迟之限定用分多至八百十六分止矣故知定朢在日出分后七百三十分已上者即不得见初亏定朢在日入分前七百三十分已上者即不得见未复光断为昼刻无疑也(授时算月食时差法见后时差条)又按大衍厯有九服交食法庚午元厯有里差自宋以前厯法皆有晷漏所在差数今所定只据授时厯经所载大都食法其日出入据立成所载盖是应天漏刻也元统作通轨是洪武中故用南都漏刻(授时立法)(时宜有诸方漏刻及里差推歩之术今皆失传故只据通轨)日食通轨录各有食之朔下数经朔全分 盈缩厯全分 盈缩差全分迟疾厯全分 迟疾限数 迟疾差全分加减差全分 定朔全分 入交泛日全分按有食之朔即所推其朔入交泛日入食限者也故其下所有数皆全录之盖数以倚数叅伍相求此所录皆母数原定朔时俱已推定故也月食倣此推定入迟疾厯法置所推或迟厯或疾厯全分以本日下加减差加者加之减者减之得为定入迟疾厯分也按原推迟疾是经朔今以差加减之则是定朔下迟疾也推定入迟疾厯限数法置所推定入迟疾厯全分依朔下限数法推之即得按定朔迟疾既不同经朔则其入转限数亦异故复定之推定限行度法视所推定入迟疾限与太隂立成相同限下迟疾行度(迟用迟行度疾用疾行度)内减日行分八分二十秒(于度下二位减)即为定限行度也定限行度内减去八分二十秒者月行一限日行八百二十分于百分度法为八分二十秒也盖右旋之度月速于日立成中迟疾行度月行于天之数此所推定限行度乃月行距日之数即日月两行之较也假如一限内月行一度日亦行八分二十秒则月行之多于日行为九十一分八十秒推日出入半昼分法视有食之朔下是盈厯者大余若干用立成内冬至后相同积日下日出入半昼分全录之是缩厯者大余若干用立成内夏至后相同积日下日出入半昼分全录之按日出入者所以定带食也以全昼之分半之为半昼分所以定午也只用经朔盈缩厯不加减者所差半日而极无甚差数也推岁前冬至天正赤道宿次度分法置岁差一分五十秒(定二子)为实以所距积年减一算(十定)(一百定二)为法乘之(言十定一)得数(定有四子为度)置箕宿十度相减余为赤道箕宿度分也按岁差者日行黄道之度所毎岁迁徙不常者也尧时冬至在虚一度至元冬至在箕十度渐差而西也岁差一分五十秒者凡六十六年有八月而差一度也原至元冬至在箕十度至今所求年又差几度故以距算乘岁差而得所差之数以减箕宿十度便知退在箕宿几度也岁差之度自东而西其数为退故用减也推岁前冬至天正黄道宿次度分法置所推赤道度分内减去黄道立成相同积度下第三格积度全分余(有十定三子有分定二子十秒定一子)为实以同度下第四格度率为法除之(不去子只不满法去一子)得数(定有三子为十分二子为单分一子)(为十秒于十分前一位加积度)加入同度第一格积度得为天正黄道箕宿度分也按此以箕宿赤道度变黄道也欲明其交变之理当先知浑天之形盖天体浑员而赤道纮带天腰其南北极皆等赤道度匀分如𤓰瓣离赤道逺则其度渐敛渐狭以会于两极若黄道之度虽亦匀分然半出赤道之外半在赤道之内与赤道有平斜之别若自两极作经度纵剖赤道必过黄道则有时赤道一度当黄道一度有竒以黄道度斜也(二分黄道斜穿赤道而过故赤道平)(而黄道斜)有时赤道一度当黄道则不及一度以赤道度小也(二至黄道所经离赤道二十四度弱在赤道度则已为𤓰瓣渐敛之时其度瘦小故不能当黄)(道之一度)古诸家厯法各有黄赤变率惟授时依割员句股之法剖浑度为之于古为密也黄赤立成起二至毕二分起二分毕二至并于一象限内互相乘除各有定率(详第三卷)箕宿近冬至故用至后立成立成第四格赤道度率也第二格所变黄道度率也凡至后赤道一度零若干分始可当黄道一度也(以赤)(道小度当黄道之平度则一度不能当一度必加零分始可相当)第三格赤道积度也第一格所变黄道积度也凡至后赤道几度几十几分始可当黄道几度也岁差之法毎年冬至西移则冬至所在宿毎年之距度不同(如至元辛巳冬至在箕十度则箕初距冬至亦十度今康熙壬寅冬至退至四度竒则箕)(初距冬至亦只四度竒)故必毎年变之始为凖的(如康熙壬寅箕宿赤道距)(冬至四度竒以变黄道则不足四度冬至愈退则距度愈近而毎度之加率愈多)今以所推箕宿赤道度分(是从本年天正冬至逆数至箕宿初度)与第二格积度相减其满积度数即变成黄道积度(第三格赤)(道积度俱带零分第一格黄道积度并为整度以此相变是以带零分之赤道几度变为无零分之黄道)(几度也)其减不尽者以第四格赤道度率为法除之则此赤道零分亦变为黄道零分(所变零分必少于赤道零分)乃以所变零分倂入所变积度为箕宿初度距冬至之黄道度即知天正黄道实躔箕宿若干度分也以异乘同除之理言之赤道一度零几分于黄道为一度今有赤道零分若干于黄道亦当为零分若干法当置赤道零分以黄道度率乘之为实赤道度率为法除之得数为所变黄道零分今因黄道率是一度乘讫数不动故省不乘而只用除是㨗法也(惟其省乘)(故除亦不去子惟不满法去一子盖不去子则实位暗升与乘过之得数无两)黄道立成黄积度(加此) 度率(此乘黄道) 赤积度(减此) 度率(此除黄道)初度 一度 初度○○○○ 一度○八六五一度 一度 一度○八六五 一度○八六五二度 一度 二度一七二八 一度○八六○三度 一度 三度二五八八 一度○八七五四度 一度 四度二四四五 一度○八四九五度 一度 五度四二九四 一度○八四三六度 一度 六度五一三七 一度○八三三七度 一度 七度五九七○ 一度○八二三八度 一度 八度六七九三 一度○八一二九度 一度 九度七六○五 一度○八○一十度 一度 十度八四○六 一度○七八六按黄赤道交变立成原有九十一度今只用十度者以箕宿只十度也(若再过二三百年岁差于箕度退完交入㞑度则立成数宜用二十)(度)箕宿度在冬至前而今用至后立成者赤道变黄道之率至前与至后本同一法故可通用也(至后是从冬至)(顺数至前是从冬至逆溯其距冬至度同则赤黄之变卛不异)大致与缩末盈初二限共一加分积度者同理近乃有名家撰述辄讥此条为错用立成是未尝深思而得其意也推交常度法置有交食之入交泛日全分(十日定五子单日定四子空日定三子空千定二子)(空百定一子空十不定子)以月平行一十三度三六八七五(定一)为法乘之(言十定一乘过定有四子为单度五子为十度六子为百度)即得所推交常度分也按交常度者经朔太阳躔度距黄道白道相交之度也推交定度法置所推交常度全分内盈加缩减其朔下盈缩差度分为交定度分如遇交常度数少不及减缩差者加交终度三百六十三度七九三四一九减之余为交定度分也遇满交终度去之按交定度者定朔太阳所在距黄道白道相交之度也暗虚为日对度故只用太阳盈缩差加减之也如遇交常度数少不及减缩差者是以常数言之虽已在交后计日行盈缩则仍在交前故加入交终度减之即仍作交前算也推日食在正交中交度视交定度分如在七度已下三百四十二度已上者为食在正交如在一百七十五度已上二百○二度已下者为食在中交按正交者月自隂厯入阳厯交之始也中交者月自阳厯复入隂厯交之中也交终之度于此始即于此终故为正交也交中之度于此适半故为中交也七度已下三百四十二度已上者正交食限阳厯距交初七度隂厯距交终二十一度而止也一百七十五度者阳厯距交中亦七度而止为食限二百○二度者隂厯距交中亦二十一度而止为食限也推中前中后分法视定朔小余如在半日周五千分已下者就置五千分内减去定朔小余而余为中前分也如在半日周已上者就于定朔小余内减去半日周余为中后分也按中前是从午逆推前所距分也故以小余减半日周中后是从午顺求后所距分也故以半日周减小余顺数逆推皆自午正起算也推时差分法置半日周内减去所推或中前或中后分余(千定三百定二)为实复以中前或中后(千三百二定之)为法乘之(言十定一)得数又以九十六分(去三子子按九十六分宜去一子今去三 者经所谓退二位也)为法除之(不满法去一子除过定有二子为百分一子为十分)得为时差分也中前为减差中后为加差按时差分者食甚之时刻有进退于定朔者也盖经朔本有一定之期既以月迟疾日盈缩加减之为定朔矣而犹有差者则以合朔加时有中前中后之不同也其所以不同者何也大约日在外月在内故能掩之人又在月内故见其掩而有食当其正相当一度谓之食甚如其合朔午正则以人当月以月当日相当绳直故无所差若在午前以至于夘则渐差而早假如定朔夘正一刻日月合在一度是日月合朔本等时刻也人自地上观之则不待其月之至于此度也当其夘初初刻月未及日一度时已见其合于日是差而早六刻有竒也若在午后以至于酉则渐差而迟假如定朔酉正一刻日月合在一度是日月合朔本等时刻也人自地上观之则月虽已至此度尚未见其合也直至戌初一刻月行过于日将一度时始见其合于日是差而迟六刻有竒也其自夘而辰而已所差渐少至午正则复于无差也其自午而未而申积差以渐而多至酉则差而极于六刻有竒也盖天体至圆其行至徤运乎四虚地在其中为气所团结而不散若卵之有黄夫卵既圆矣黄安得独方故地之方者其徳其体则必不正方如碁局也夫日月并附天行而月在日下当其合时去日尚不知有几许人自地上左右窥之与天心所见不同故日月平合在夘酉皆不能见所见食甚日稍在下月稍在上斜弦所当差近一度在月平行为六百余分惟午则自下仰观所见正当绳直与在左右旁视者异故无差也昔人常云人能凌倒景以瞰日月则晦月之表光应如望吾亦云使人能逐景而行与日相偕则举头所见常如在午又使地如琉璃光人居其最中央旋而观日八面皆平时差之法可以不设矣是其所差不问盈缩迟疾而只在本日之加时故曰时差推食甚定分法视时差分如是中前分推得者置定朔小余内减去时差分余为食甚定分也如是中后分推得者置定朔小余内加入时差分共得为食甚定分也满日周去之至入盈缩度再加之按食甚食而甚也食甚分是自亏至复之中日月正相当于一度之时刻也中前减小余者差而早也中后加小余者差而迟也若夜刻不算者恐无满日周去之之理末二句疑有误推距午定分法置所推中前或中后分内加入时差分共得为距午定分也按距午定分是食甚时刻距午正之数也食甚以时差加减距午则不减只加者盖食甚原是顺故有加减距午分则一自午顺推一自午逆溯总是差而渐逺于午正故也推食甚入盈缩定度法置前推或盈厯或缩厯初末全分加入定朔大余及食甚定分内减去经朔全分余为食甚入盈缩厯定度分也按原推盈缩厯是经朔下者故以定朔大余及食甚分加之减去经朔全分如以经朔大小余加减作食甚大小余故即得食甚所入盈缩厯数也推食甚入盈缩差度法置所推食甚盈厯或缩厯全分减去大余依朔下盈缩差法推入得食甚入盈缩差度分也如遇末限亦用反减半岁周之数(数止秒)按食甚盈缩厯既异经朔则其所积盈缩之差亦不同故复求也推食甚入盈缩厯行定度法置食甚入盈缩厯全分以万为度内盈加缩减其所推食甚入盈缩差得为食甚入盈缩厯行定度分也(末限不用)(数止秒)按凡盈厯若干日即是常数日行距冬至宿之度数也凡缩厯若干日即是常数日行距夏至宿之度数也以其差加减之即得所推食甚日躔距二至宿之度数也凡用末限者所以纪其差是逆从二至推至二分其差整齐易知也今不用末限者所以积其度是顺从冬至数至夏至从夏至数至冬至也推南北泛差度法视所推食甚入盈缩厯行定度如在周天象限九十一度三一四三七五已下者为初限也如在已上者置半岁周内减去行定度余为末限也或得初限或得末限俱自相乘之(初末限者十度上下各定三子单度各定二子言十各定一子)得数以一千八百七十度(去三子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十)(分四按上下各定二子则 子矣故四子为度)复置四度四十六分(按四度四十六分者)(即周天象限自乘复以一千八百七十度除之者)内减去得数余为南北泛差度分也推南北定差度法置所推南北泛差全分(度定四子十分定三)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)为法乘之(言十定一)得数复以其所录半昼分(去二子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十分)仍置泛差减其得数余为南北定差也若遇泛差数少不及减者反减之而得也 又视其盈缩厯及所推正交中交限度如是盈初缩末者食在正交为减差中交为加差也如是缩初盈末者食在正交为加差中交为减差也若遇反减泛差者应加作减应减作加不可忽畧也按南北差者古人所谓气差也易之曰南北所以著其差之理也盖日行盈初缩末限则在赤道南其逺于赤道也至二十三度九十分日行缩初盈末限则在赤道北其逺于赤道也亦二十三度九十分日之行天在月之上而髙故月道与黄道相交之度有此差数以南北而殊也假如盈初缩末限一日空日间日行赤道外极南去人极逺去地益近日道所髙于月道之中间人皆从南观之易得而见故月道之出黄道而南也较常期(所谓常期皆南北东西差折中之数即所定大都正交度中交度也)早四度有竒其入黄道而北也较常期迟四度有竒由是以渐而至于盈初缩末八十八日行天渐满一象限之时黄道之在赤道南者去赤道以渐而近去地之数以渐而逺其日髙月下相去之数人所从旁见者以渐而少故其所差四度有竒以渐而杀也又如缩初盈末限一日空日间日行赤道内极北去人益近去地极逺日道所髙于月道之中间人仰面视之难得而见故月道之出黄道南而为正交也较常期迟四度有竒其入黄道北而为中交也较常期早四度有竒由是以渐而至于缩初盈末九十三日行天渐满一象限之时黄道之在赤道北者去赤道以渐而近去地之数亦以渐而近其日髙月下相悬之数人所从旁见者又以渐而多故其所差四度有竒亦以渐而杀也四度四十六分者据其极差者言也以得数减之便是今所有差也然此皆据午地而言故以距午分乘之以半昼分除之便知今距午之地应分得差数凡几许而今已距午几许则此所有之差已不可用故以减原得泛差数而知其尚余几许之差为定差也盖于天则冬至夏至之黄道为南北于地则加时在正子午为南北今泛差之数近二至则多近二分则少是以天之南北而差也定差之数近午正则多近日出没时刻则少是以加时之南北而差也故曰南北差 月自黄道北出黄道南谓之正交即经所谓交前隂厯交后阳厯也月自黄道南入黄道北谓之中交即经所谓交后隂厯交前阳厯也 其南北泛差不及减反减者此带食出入方有之何也此必是食甚定分在日入分已上或日出分已下则其距午定分多于半昼分故乘除后得数亦多于泛差也不则以多除以少乘其数且不能泛差相等况能多于泛差乎愚故断其为带食也泛差数少不及减是距午定分已过于半昼是在夜刻故反算其距子之数夫距子与距午其盈缩南北逺近幷旁视仰视之理正相反故加者减之减者加之以为定差也推东西泛差度法置所推食甚入盈缩厯行定度就为初限也去减半岁周余为末限也以初末二限互相乘之(百度定四子十度定三子言十)(定一是也)得数复以一千八百七十度(去三子)为法除之(不满法去)(一子除过定有四子为度三子为十分)即得所推东西泛差也推东西定差度法置所推东西泛差全分(度定四子千定三子)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)为法乘之(言十定一)得数以二千五百度(去三子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十分)视所推如在东西泛差已下者就为东西定差度分也如在已上者倍其泛差内减去得数余为东西定差度分也 又视其盈缩厯及中前中后分与正交中交限度若是盈厯中前缩厯中后者正交为减差中交为加差也若是盈厯中后缩厯中前者正交为加差中交为减差也按东西差即古所谓刻差也易其名曰东西者其差只在东西也于天则近二分之黄道为东西于地则近卯酉之时刻为东西盖日行在二至前后其势平直日行在二分前后则其黄道与赤道纵横相交其势斜径当其斜径加时又在卯酉则有差也假如春分日在盈厯九十余度其黄道之交于赤道自南而北势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道横也加时中后则是赤道倚而黄道纵也又如秋分日在缩厯九十余度其黄道之交于赤道自北而南势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道纵与盈厯中后仝也加时中后则是赤道倚而黄道横与盈厯中前仝也黄道纵立于夘酉月道之出入亦从而纵正面视之绳直相当其日内月外相去之中间人所见者少意与南北差缩初盈末正在人顶者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期迟四度有竒其入黄道北而为中交也较常期早四度有竒此盈厯中后缩厯中前皆于正交以差加中交以差减也黄道横偃于夘酉月道之出入亦从而横人在赤道之北斜而望之其日内月外相去之中间皆得而见意与南北差盈初缩末横偃南上渐近于地者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期早四度有竒其入黄道北而为中交也较常期迟四度有竒此盈厯中前缩厯中后皆于正交以差减中交以差加也若盈缩厯当二分加时又在卯酉则其差之极四度有竒迨至二分前后黄道之斜径以渐而平故其差亦以渐而少由是而至于二至黄道之斜径依平而差亦复于平故曰二至无刻差也若加时不在夘酉则虽二分之黄道其差却与他气不殊盖其斜径之势亦以渐而平故也假如二分加时辰巳之间其定差则正与四立泛差等渐而至于午中则其差亦渐而复于平是其所差只在东西故曰东西差 凡东西泛差近二分多是以天之东西而差也其定差以加时夘酉而多是以地之东西而差也以距午分乘之者距夘酉之数也以二千五百除之者日周四分之一乃夘酉距午之数也盖此所为泛差乃距午二千五百分时所有之差也乘除后得数若多于泛差是食甚距午分其数亦多于日周四分之一其加时乃在夘前酉后也夘前酉后之差于正夘酉者其数正与夘后酉前等故倍泛差减得数即为定差也凡差于南北者复于东西差于东西者复于南北幷二差加减数总无过四度四十六分以是为交度进退之极也盖原所谓正交中交限各损隂厯六度余为阳厯者乃是据中国地势所差于南戴赤道之下者言人在北道之北故所见黄道交处皆差而近北六度余此常数也若黄道在冬至横于南上去人益逺故其交处差而北者又四度余而极是共差十度余矣若黄道在夏至去人反近正在中国人顶故其交处原差而北者乃复而南亦四度余而极是只差一度余矣此南北差之理据午上言也若移而至日出入时则其横于南上者已斜纵于夘酉其正当人顶者已横斜于夘酉所见差度以渐而平如常数故南北差近午多近日出没则少也若黄道在春分而加时夘黄道在秋分而加时酉其势皆横偃于东西而与地相依故其交处益差而北又四度余而极是亦共差十度余矣若黄道在春分而加时酉黄道在秋分而加时夘其势皆纵立于东西而与人相当故其交处原差而北者亦皆复而南四度余而极是亦只差一度余矣此东西泛差之理据夘酉而言也若移而至午则其横偃于夘酉者反斜纵于午上其纵立于夘酉者反横斜于午上所见差度自以渐而平如常数故东西差近夘酉多近午则少也假使人能正当赤道之下则两极平见相望子正赤道平分界乎夘酉则凡正交只在交终中交则在交中其气刻之差减正交加中交者则差而北其加正交减中交者则差而南当亦各四度有竒也今中国地势则正在赤道之北故所见赤道皆斜倚于人之南其所见正交中交度常数亦皆因其赤道之斜倚者而断惟其黄道交在四立之宿加时在巽坤之维则黄道之势正自斜倚适如赤道之理而南北东西之差皆少与常数相依若黄道横则其势赤道加偃故正交中交之度益差而北若黄道纵则其势视赤道反直几有类于南戴日下之赤道故正交中交之度虽曰复差而南其实乃复于无差也凡缩初盈末而加时午盈厯而加时中后缩厯而加时中前皆黄道纵之类也其缩初盈末当午虽横在天心然东西视之则亦纵也凡盈初缩末而加时午盈厯而加时中前缩厯而加时中后皆黄道横之类也其冬夏至黄道当日出入其二分黄道当午皆黄道斜倚之类也推日食在正交中交定限度视所推日食在正交中交限度如食在正交者置正交度三百五十七度六十四分在中交者置中交度一百八十八度○五分俱以所推南北东西定差是加者加之减者减之即为所推正交中交定限度分也按正交本在交终三百六十三度七十九分今曰三百五十七度六十四分者于隂厯本数内损六度余为阳厯也中交本在交中一百八十一度八十九分今曰一百八十八度五分者于阳厯本数外増六度余侵入隂厯也盖黄道于月道如大环包小环月在日内中间相去空隙犹多人在月内稍北日月交其南人自北斜望得见其间空隙故其交处皆差而北也惟其交处差而北故其交而南也早六度其交而北也迟六度此据地势为言在授时立法原在大都若迤而渐南至于戴日之下所差渐平迤而向北差当益大当亦必有各方差数而不可攷矣 又按此正交中交度増损六度者只是地势使然已为常数其因时而差者又有南北东西二差于是复以加之减之而后乃今所推正交中交之度可得而定而后乃今交前交后隂阳厯可得而定矣推日食入隂阳厯去交前交后度法视所推交定度若在正交定限度已下者就于定限度内减去交定度余为隂厯交前度也若在正交定限度已上者于交定度内减去正交定限度余为阳厯交后度也又视其交定度若在中交定限度已下者就于定限度内减去交定度余为阳厯交前度也若在中交定限度已上者于交定度内减去中交定限度余为阴厯交后度也 按若交定度在七度以下者数虽在正交定限度下而实则为阳厯交后度也法当置交定度加入交终度复减去正交定限度余为阳厯交后度也(勿庵补)按凡交定度在正交后中交前者阳厯也其在正交前中交后者阴厯也若以东西南北差定之而正交度有加中交度有减者是阳厯变为阴厯也其正交度有减中交度有加者是阴厯变为阳历也正交阳变阴中交阴变阳是交后变为交前也正交阴变阳中交阳变阴是交前变为交后也故必以所推正交中交定限度为则与交定度相较而得合朔日躔距交前后的数也凡以交定度去减正交中交定限度者为交前是逆从交处数来也其于交定度内减去正交中交定限度者为交后是顺从交处数去也 又按交定度在七度以下食在正交也若以减正交定限度其所余当在三百五十度内外为阴厯交前度也勿庵曰非也若然则凡正交七度已下者永不入食限不必布算矣况所谓隂阳厯者自正交中交而断(正交后为阳中交后为隂)所谓交前后者皆附近正交中交前后而断(正交后为阳厯交后正交前为隂厯交前中交后为隂厯交后中交前为)(阳厯交前)交终度分为隂阳厯隂阳厯又各分前后安得有隂厯交前度乃多至三百五十余度者乎此必无之理亦必不可通之数也然则何以通之曰有法焉凡交定度在七度已下是其数不特在正交度下幷在中交度下也然而又与中交数逺幷亦不得减中交为交前也夫在中交数下是阳厯非隂厯也不在交前是交后也夫阳厯交后度法当置交定度内减去正交定限度而此交定度数少不及减故必加入交终度而后可以减之也如入交终度减之则阳厯交后之度复其本位也则凡距交七度已下者皆得入阳食之限也然则厯经何以不云通轨何以阙载也曰是偶尔之遗也或姑略之以俟人之变通也或传之乆而失其真原有阙文也夫夏五𫝊疑三豕徴信各行其是而已为其恐误后学也故订之推日食分秒法视日食入隂阳厯交前交后度是隂者置隂食限八度是阳者置阳食限六度皆减去隂厯或阳厯交前交后度余(度定四十定三)为实各以其定法是隂者置八十分阳者置六十分(去一)为法约之(不满法去一子所定有二子为单分一子为十秒)即得所推日食分秒也如隂阳食限不及减交前交后度者皆为不食也按隂食限八度者隂厯距交八度内有食也阳食限六度者阳厯距交六度内有食也凡合朔若正当交度其食十分渐离其处食分渐少假如阳厯距交一度二十分则于食十分内减二分只食八分也又如隂厯初交二度四十分则于食十分内减三分只食七分也故各置隂阳食限以距交前后度减之即是于食十分内减去若干分秒也其减不尽者则正是今所推合食之数故各以定法除之而得也凡隂阳定法皆十分食限之一也如食限不及减为不食者是距交前后之度多于隂阳食限其去交甚逺不能相掩断为不食也推日食定用分法置日食分二十分内减去推得日食分秒余(十分定三单分定二)为实即以日食分秒(单分定二)为法乘之(言十定一所定有六子为百分五子)(为十分)即为所推开方积也立天元一于单微之下依平方法开之得为开方数(有十定一)复以五千七百四十分(定五)为法乘开方数(言十定一)得数又以所推定限行度(去四子空度去)(三子)为法除之(不满法去一子所定有二子为百分一子为十分)即为所推定用分也按定用分者日食亏初复末中距食甚所定用之时刻也凡日食若干分则其所经厯凡有若干刻食分深者厯时乆以月所行之白道长也食分浅者厯时暂以月所行之白道短也今所求开方之数即自亏至甚或自甚至复月行白道之率也日食只十分今用二十分者何也日月各径十分其半径五分凡两员相切则两半径聮为一直线正得十分为两心之距以此两心之距为半径从太阳心为心运规作大圆其外周各距日之边五分为日月相切时太隂心所到之界其大圆全径正得二十分也以日食分秒相减相乘何也此句股术中弦较求股法也依前所论初亏时两圆相切其两心之距十分此大圆之半径常为句股之弦食甚时两心之距如句而太隂心侵入大圆边之数如句弦较自亏至甚太隂心所行白道如股而太隂心侵入大圆边之数与食分正同盖月边掩日一分则月心亦移进一分也故即以日食分秒为句弦较与大圆全径二十分相减其余即为句弦和和较相乘为开方积即股实也其开方数即股亦即自亏至甚月心所行之白道矣其自食甚至复光理同五千七百四十分乘者何也先求日食分秒及句股开方等率皆就日体分为十分其实日体不满一度大约为十之七耳五千七百四十者七因八百二十也月行一限得八百二十分其十之七则五百七十四分矣故以五百七十四分乘开方为实以定限行度除之为定用分之时刻也以异乘同除之理言之月行定限行度厯时八百二十分则月行亏至甚之白道(即开方数)该厯时有若干分然此所得开方数于度分为十之七法当置开方数七因退位(如有十分只作七分)然后乘除今开方数不动而七因八百二十为五千七百四十得数亦同(即算术中异乘同乘之用)开方数之分是度下一位宜定三子七因八百二十而退位实为五百七十四宜定二子今开方数不定子故于五千七百四十加交三子为五子其乘除后定数同也初亏时两心之距为弦(即大员二十分半径) 食甚时两心之距为句食甚时月心侵入限内三分为句弦较自亏至甚月心所行白道为股(甚至复亦同) 此以月在阳厯日食三分为例余可倣推推初亏复圆分法置所推食甚定分内减去定用分为初亏分不及减加日周(一万)减之复置食甚定分如入定用分为复圆分满日周去之时刻依合朔法推之按食甚者食之甚食之中也日月正相当于一度也初亏者亏之初食之始也月始进而掩日也复圆者复于圆食之终也月已掩日而退毕也凡言分者皆时刻也盖初亏在食甚前几刻故减小余复圆在食甚后几刻故加小余初亏距食甚时刻正与食甚距复圆数等故皆以定用分加减之也月食倣此 又按据加日周减满日周去二语定用分当不止此数也推日食起复方位法视所推日食入隂阳厯如是阳厯者初起西南甚于正南复圆于东南也如是隂厯者初起西北甚于正北复圆于东北也若食在八分以上者无论隂阳厯皆初起正西复圆于正东也按日食起复方位主日体言之即人所见日之左右上下也以午位言则左为东右为西上为北下为南也日食入隂阳厯者主月道言之月在日道南为阳厯月在日道北为隂厯也如是阳厯食是月在日南掩而过故食起西南甚于正南复于东南也如是隂厯食是月在日北掩而过故食起西北甚于正北复于东北也其食在八分已上者是月与日相当一度正相掩而过故食起正西复于正东其食甚时正相掩覆而无南北不言可知也凡日月行天并自西而东日速月迟其有食也皆日先在东月自西追而及之既相及矣则又行而过于日出于日东故日食亏初皆在西复末皆在东也 又按厯经云此所定起复方位皆自午地言之其余处则更当临时消息也推带食分法视朔下盈缩厯与太阳立成同日之日出入分如在初亏分已上食甚分(按食甚当作复圆)已下为带食之分也若是食在晨刻者置日出分昏刻者置日入分皆与食甚分相减余为带食差也置带食差(百定六十定五)以所推日食分秒(十定五单定四)为法乘之(言十定一)得数复以所推定用分(百去六子)为法除之(不满法去一子所定有五子为十分四子为单分三子为十秒)得数去减所推日食分秒余上下两处皆为带食已见未见之分也按带食分者日出入时所见食分进退之数也假如日出分在初亏分已上是初亏在日未出前但见食甚不见亏初也日入分在初亏已上是食甚在日入后但见亏初不见食甚也又如日出分在复圆分已下是食甚在日未出前不见食甚但见复末也日入分在复圆分已下是复圆在日入后不见复末但见食甚也见食甚不见亏初是食在未出已有若干尚有见食若干带之而出其食为进也见初亏不见食甚是食在未入见有若干尚有不见食若干带之而入其食亦为进也不见食甚但见复末是食在未出前已复若干尚有见复光若干带之而出甚食为退也不见复末但见食甚是食在未入前见复若干尚有未复光若干带之而入其食亦为退也凡此日出入所带进退分秒何以知之则视其带食而出为晨刻者置日出分其带食而入为昏刻者置日入分皆以食甚分与之相减而得带食之差也假如日出分在初亏分已上其食甚分又在日出分已上则以日岀分减其食甚分其减不尽者则是日出已后距食甚之时刻也若日入分在初亏分已上其食甚分又在日入分已上则以日入分减其食甚分其减不尽者则是日入已后距食甚之时刻也又如日出分在复圆分已下其食甚分又在日出分已下则于日出分内减去食甚分其减不尽者则是日出已前距食甚之时刻也若日入分在复圆分已下其食甚分又在日入分已下则于日入分内减去食甚分其减不尽者则是日入已前距食甚之时刻也凡此带食差分用乘日食分秒又以定用分除之便知日出入时所距食甚时刻在定用分全数内占得几许即知日出入时所带食分于日食分秒全数内占得几许也以其数减食分所余分秒即是日出入前距亏初已过食分或日出入后距复末未见食分也上下两处者得数与减余两处之数已见未见之分即已复未复已食未食如后二条所列也日有带食例置日出入分内减去食甚分谓之已复光未复光将所推带食分录于前晨(日未出已复光若干日已出见复光若干) 昏(日未入见复光若干日已入未复光若干)置食甚分内减去日出入分谓之见食不见食将所推带食分录于后晨(日未出已食若干日已出见食若干) 昏(日未入见食若干干日已入不见食若)按置日出入分内减去食甚分者其日出入分皆在复圆分已下也故谓之已复光未复光假如日食甚五分在日出入前其带食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已复光三分日已出后见复光二分也若在昏刻是日未入前见复光三分日已入后未复光二分也此二端带食分皆是已复光数故录于前也其以带食分减之而余者则是未复光数故录于带食之后也置食甚分内减去日出入分者其日出入分皆在初亏分已上也故谓之见食不见食假如日食甚五分在日出入后其带食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已食二分日已出后见食三分也若在昏刻是日未入前见食二分日已入后不见食三分也此二端带食分皆是未食数故录于后也其以带食分减之而余者则是已食数故录于带食之前也月食倣此但以日之昏为月之晨以日之晨为月之昏盖日出于晨入于昏月出于昏入于晨也其余并同推黄道定积度法置所推食甚入盈缩厯行定度如是盈厯者内加入天正黄道箕宿度共得为黄道定积度也如是缩厯者内加入半岁周及天正箕宿黄道度共得为黄道定积度也按黄道定积度者逆计食甚日躔度距天正冬至日躔宿度积数也盈厯加入天正黄道箕度者是逆从天正冬至所躔宿初度积算起也缩厯复加半岁周者缩厯本数是从夏至度起算今加入半岁周又加入天正箕宿度是变而如盈厯亦从天正冬至箕宿初度起算也所得定积度即是今所躔宿度与箕宿初度相距逺近之数也推食甚日距黄道宿次度法置所推黄道定积度无论盈缩厯皆以黄道各宿次积度钤挨及减之余为食甚日躔黄道某宿次度分也按所推黄道定积度无问盈缩皆是今食甚躔度前距箕宿初度之积数也然尚未知其为黄道何宿度也故以黄道各宿积度钤取其相挨及者减之其减去者是今积度内已满其宿之度日躔已过此宿断为前宿也其不及减而余者则是前宿算外所余度分也是日躔正在此宿中未过故其积度亦未满当即以所减算外之度分断为食甚日躔某宿几度几分也假如食甚定积十度则以箕宿积度九度五九减之余○度四十一分为箕宿算外余数断为食甚日躔黄道斗宿初度四十一分也余倣此黄道各宿次积度钤箕九度(五九) 斗三十三度(○六) 牛三十九度(九六)女五十一度(○八) 虚六十○度(○八太) 危七十六度(○三太)室九十四度(三五太) 壁一百○三度(六九太)奎一百廿一度(五六太)娄一百三十三度(九二太)胃一百四九度(七三太)昴一百六十度(八一太)毕一百七七度(三一太)觜一百七七度(三六太)参一百八七度(六四太)井二百十八度(六七太)鬼二百廿○度(七八太)栁二百三十三度(七八太)星二百四十度(○九太)张二百五七度(八八太)翼二百七七度(九七太)轸二百九六度(七二太)角三百○九度(五九太)亢三百十九度(一五太)氐三百三十五度(五五太)房三百四一度(○三太)心三百四七度(三○太)尾三百六五度(二五太)按黄道积度钤皆自箕初度积至其宿垜积之数也假如日躔斗二十三度四七加入箕宿九度五九则已共积得三十三度○六也又如日躔牛六度九十分如入斗二十三度四七又如入箕九度五九共积得三十九度九六也余倣此 又按凡言钤者皆豫将所算之数幷其已前之数垜积而成以便临算取用意同立成也虽然黄道不可以立钤算者当知黄道度之所由生则可以断其是非矣盖黄道积度生于其宿黄道度各宿黄道度皆生于赤道赤道三百六十五度二五七五黄道亦三百六十五度二五七五而其各宿度数不同者则以二至二分所躔不同也赤道近二至则其变黄道度也损而少赤道近二分则其变黄道度也益而多盖赤道平分天腹适当二极之中所纪之度终古不易黄道不然其冬至则近南极在赤道外二十三度九十分其夏至则近北极在赤道内亦二十三度九十分其自南而北自赤道外而入于其内也则交于春分之宿其自北而南自赤道内而出于其外也则交于秋分之宿交则斜以斜较平视赤道之度必多此处既多则二至黄道视赤道之数必少理势然也(二至赤道以敛小之度当黄道大度已详天正)(箕宿注)黄道之损益既系于分至分至既以岁而差黄道积度是必毎岁不同古人则既言之矣此所载者犹据授时厯经所测黄道之度乃至元辛巳一年之数也上考下求数十年间则皆有所不合况距今三百八十余算积差尤多安得海制此钤以尽古今之无穷乎今仍以授时厯经黄赤道差法求得天启辛酉年黄道积度如左依授时厯经求得天启辛酉年黄道积度天正冬至赤道箕宿四度九○赤道四象积度箕五度(五) 斗三十○度(七) 牛三十七度(九)女四十九度(二五) 虚五十八度(二○太) 危七十三度(六○太)室九十○度(七○太) 壁九十一度(三一四三太)右冬至后一象之度壁七度(九九三一少) 奎二十四度(五九三一少)娄三十六度(三九三一少)胃五十一度(九九三一少)昴六十三度(二九三一少)毕八十○度(六九三一少)觜八十○度(七四三一少)参九十一度(三一四三太)右春分后一象之度参初度(五二八太) 井三十三度(八二八太) 鬼三十六度(○二八太)栁四十九度(三二八太) 星五十五度(六二八太) 张七十二度(八七八太)翼九十一度(三一四三太)右夏至后一象之度翼初度(三一四三太) 轸一十七度(六一四三太)角二十九度(七一四三太)亢三十八度(九一四三太)氐五十五度(二一四三太)房六十○度(八一四三太)心六十七度(三一四三太)尾八十六度(四一四三太)箕九十一度(三一四三太)右秋分后一象之度黄道积度箕五度(○七) 斗二十八度(七一) 牛三十五度(六九)女四十六度(九五) 虚五十六度(○六太) 危七十二度(二○太)室九十○度(六五太) 壁九十九度(九八太) 奎一百十七度(七一太)娄一百二十九度(九三太)胃一百四五度(五四太)昴一百五六度(四八太)毕一百七二度(八二太)觜一百七二度(八七太)参一百八三度(一一太)井二百十四度(三五太)鬼二百十六度(四八太)栁二百二十九度(六五太)星二百三十六度(○四太)张二百五四度(○五太)翼二百七四度(二八大)轸二百九二度(九五太)角三百○五度(六八太)亢三百十五度(一二太)氐三百三十一度(三二太)房三百三十六度(七三太)心三百四二度(九三太)尾三百六十度(七四太)箕三百六五度(二五太)天正冬至黄道箕宿四度五一二○黄道各宿度角十二度(七三)亢○九度(四四)氐十六度(二) 房○五度(四一)心○六度(二) 尾十七度(八一)箕○九度(五八)右东方七宿七十七度三十七分斗二十三度(六四)牛○六度(九八)女十一度(二六)虚○九度(一太)危十六度(一四)室十八度(四五)壁○九度(三三)右北方七宿九十四度九十一分太奎十七度(七三)娄十二度(二二)胃十五度(六一)昴一十度(九四)毕十六度(三四)觜 初度(○五)参一十度(二四)右西方七宿八十三度一十三分井三十一度(二四)鬼○二度(一三)栁十三度(一七)星○六度(三九)张十八度(○一)翼二十度(二三)轸十八度(六七)右南方七宿一百○九度八十四度黄道各宿次积度钤箕九度(五八) 斗三十三度(二二) 牛四十○度(二)女五十一度(四六) 虚六十○度(五七太) 危七十六度(七一太)室九十五度(一六太) 壁一百○四度(四九太)奎一百二十二度(二二太)娄一百三十四度(四四太)胃一百五十度(○五太)昴一百六十度(九九太)毕一百七七度(三三太)觜一百七七度(三八太)参一百八七度(六二太)井二百十八度(八六太)鬼二百二十度(九九太)栁二百三十四度(一六太)星二百四十度(五五太)张二百五八度(五六太)翼二百七八度(七九太)轸二百九七度(四六太)角三百一十度(一九太)亢三百十九度(六三大)氐三百三十五度(八二太)房三百四一度(二四太)心三百四七度(四四太)尾三百六五度(二五太)已上度钤据天启辛酉岁差所在歩定俟岁差移一度时再改歩之又按厯经有増周天加岁差法因前所推俱依通轨故仍之厯算全书巻二十二
## 卷二十三
钦定四库全书厯算全书卷二十三宣城梅文鼎撰厯学騈枝卷三月食通轨录各有食之望下数经望全分 盈缩厯全分 盈缩差全分迟疾厯全分 迟疾限数 迟疾差全分加减差全分 定望全分(将本日日出分推在卯时何刻望在何刻已下者退一日)(也只说见定朔望条夘时举例言也按其定望退一日 据小余在日出分已下断之并不必求时刻)入交泛日全分 定入迟疾厯 定入迟疾限(此限)(与前仝者便不必书出损益分并行度○按此处损益分不言何用似总不必书出)定限行度 晨分(月入之时刻也先于复圆有带食)日出分日入分 昏分(月出之时刻也后于初亏有带食)(按晨昏分所以定更㸃也其带食分只用日出入分不用晨分葢晨昏日未出月则犹见昏前日已入月)(则已见也注误)天正赤道度 天正黄道度 交常度 交定度已上诸法皆与日食同推夘酉前后分法视定望小余如在二千五百分已下者就为夘前分若已上者去减半日周五千分为夘后分又如在七千五百分已下者内减去五千分为酉前分已上者去减日周一万分为酉后分按凡夘酉前后分皆距子午言之夘前分是距子正后之分故即以小余定之夘后分是逆数午正前之距分故以小余减半日周酉前分是顺数午正后之距分故以半日周减小余酉后分是逆数子正前之距分故以小余减日周推时差分法置日周一万内减去夘前夘后分或酉前酉后分(满千分者)(命为十分满百分者命为单分)为时差分推食甚定分法置所推时差分如入定望小余共得为食甚定分按日食气刻时三差皆起于唐宣明厯非月食所用后来诸厯或有用月食时差者皆于近夘酉则差多近子午则差少又皆子前减子后加今依通轨所推则近夘酉者差反少近子午者差反多又不问子前子后皆以加定望小余而无减法种种与厯经相反窃依元史月食时差法定之如左依厯经求月食甚定分法置卯酉前后分(有千法实皆定三有百法实皆定二)自相乘(言十加定一子)退二位去二子如四百七十八而一(去二子不满法去一子以所定二子为百分一)(子为十分)为时差子前以减子后以加皆加减定望分为食甚定分依发敛加时求之即食甚时刻按卯酉前后分即前所推卯前卯后分或酉前酉后分自相乘者如求南北差法即以所得卯酉前后分为法与实也凡卯酉前后分皆自子午起算以自相乘则近卯酉差多近子午差少矣退二位法同日食时差以得数后有百万退作万有十万退作千而后除之也如四百七十八而一者是以四百七十八除之如四百七十八分为一分也子前减子后加者凡望时之月在日所冲故日在子前月乃在午前日食午前减故月食亦子前减也日在子后月乃在午后日食午后加故月食亦子后加也其差多者不过一百三十分有竒而止故以四百七十八为法除之也推食甚入盈缩厯及食甚入盈缩差并食甚入盈缩厯行定度三法俱与日食同只换望日推月食入隂阳厯法视所推交定度如在交中度一百八十一度八九六七已下者便为入阳厯也如在已上者内减去交中度余为入隂厯也按交中度数原生于隂阳厯月入阳厯则在黄道南行一百八十一度有竒毕复入黄道北而行隂厯一百八十一度有竒毕则又复入阳厯矣行阳厯隂厯各一次谓之交终半之为交中今交定度在交中度已下是月在黄道南就为入阳厯度数也其在已上者是月在黄道北故于交定度内减去交中度命其余为入隂厯度数也阳厯数自交初起算隂厯数自交中起算也推交前交后度法视所推月食入隂阳厯如在后凖一十五度五十分已下者便为交后度也如在前凖一百六十六度三九六八已上者置交中度内减去隂阳厯余为交前度也按凡言交者皆月出入黄道斜十字相交之际也凡隂厯在后凖已上者是月入隂厯去交未逺尚在十五度内故为隂厯交后度也凡隂厯在前凖已上者是将交阳厯距交已近只在十五度内故为隂厯交前度也阳厯同月食限只一十三度○五分而此言十五度五十分者葢以盈缩差加减之则亦十三度有竒故以十五度五十分为食凖也推月食分秒法置月食限(一十三度五分)内减去交前或交后度(十度定三单度定二)(得按定子法疑有误若如所云则月食必无十分者安 有既内外之分乎愚意当是十度定五单度定四也)以定法八十七分(去一)为法除之(不满法去一子所定有三子为十分二子为单)(分)为月食分秒不及减者不食十分已下者用三限辰刻法已上者用五限辰刻法按月食限度多于日食者暗虚大而月小也故不问隂阳厯但距交前后一十三度○五分内即能相掩而有食也定法八十七即食限十五分之一故定望正当交度其食十五分渐离其处食分渐杀假如距交前后一度七十四分则于食十五分内减二分只十三分又如距交前后九度五十七分则于食十五分内减十一分只食四分也故置食限以距交度减之即于食十五分内减去若干分秒减不尽者如定法而一为所食之分秒也如食限不及减则是距交前后度多于月食限(已在十三度○五分之外)暗虚虽大至此不能相掩断不食也推月食定用分法置月食分三十分内减去所推月食分秒余(十分定三单分定二)为实却以月食分秒(十分定三单分定二按十分宜定一今加定三子者以分下有十有)(秒也故亦以定六子为百分法实共加定四子也)为法乘之(言十定一定有六子为百分五子为)(十分)得为开方积立天元一于单微之下依平方法开之得为开方数(言十定一)复以四千九百二十分(定五乘按以六分 八百)(二十分得四千九百二十分又按元史数同日食)为法乘开方数(有十定一)得数又以其前推得定限行度(去四子空度去三子)为法除之(不满法去一子定有)(二子为百分一子为十分)得数为所推定用分也定用分者月食自初亏复满距食甚之时刻也然日食只十分而月食则有十五分者暗虚大也暗虚之大㡬何曰大一倍何以知之以算月食用三十分知之也依日食条论两员相切法暗虚半径十分月半径五分两边相切则两半径聫为一直线共十五分为两心之距以此距线用暗虚心为心运作大圆正得全径三十分也此大圆边距暗虚边四周各五分为两圆相切时月心所到之界其两心之距十五分即大圆半径常用为弦而以食甚时两心之距为句食甚时月心侵入大圆边之数为句弦较其数与月食分秒同以此与大圆全径相减余即句弦和和较相乘为股实开方积也其开方数为股即自亏复至食甚月心所行之白道也四千九百二十乘者何也依日食条论又是十分八百二十而用其六也葢所得月体又小于日一分也然厯经所用与日食同此不同者葢改率也或亦改三应数时所定推三限辰刻等法置所推食甚定分内减去定用分余为初亏分也不及减者加日周减之复置食甚定分内加入定用分共得为复圆分也满日周去之时刻依合朔推之按三限辰刻同日食理不复赘初亏时两心之距为弦(即大员三十分半径)食甚时两心之距为句食甚时月心侵入大员界八分为句弦较自亏至甚月心所行之度分为股(甚亦复亦同)此以月食八分为例余可倣推又此系阳厯故月在暗虚南若隂厯反此论之推既内分法置月食限一十五分(按厯经作月食既一十分今从之)内减去所推月食分秒自单以下全分余(十分定三单分定二有句误按此处无十分当是 分定)(二十秒定一也)为实却以月食分秒自单分以下分秒(单分定二十秒)(定一)为法乗之(言十定一所定有五子为十分四子为单分)得为开方积立天元一于单微之下依平方法开之得为开方数就置开方数(十分定五单分定四分按十分定五句误此处开方数必无十分当作十秒定三有 定四也分加定四子者以有秒㣲也)复以四千九百二十分(定五)为法乘之(言十定一)得数又以所推定限行度(去四子空度去三子)为法除之(不满法去一子所定有六子为百分五子)(为十分)得为所推既内分也按厯经原是以既内分与一十分相减相乘此则改为一十五分今以大圆掩小圆率求得既内小平圆径一十分与厯经合故断从厯经月食十分则既矣此时月体十分全入暗虚而月之边正切暗虚之心两心之距正得五分以得五分为半径自暗虚心作小平圆其全径十分其边各距暗虚心五分为食既时月心所到之界过此界则为既内矣假如月食十二分食既时月心正掩小圆之边食甚时月体则入暗虚内二分而月心亦侵入小平圆二分故即用此二分为句弦较以与小平圆全径相减余为句弦和和较相乘得积开方得股即月心从食既至食甚在暗虚内所行小平圆内之白道也于是亦如前法变为度分而计其行率则知月入暗虚以后行至食甚所厯时刻之数而命为既内之分也食甚至复圆同论乙为暗虚心 初亏时月心在甲以其边切暗虚于庚两心之距为乙甲与壬乙等大员半径十五分也为大弦 食甚时月心行至丁丁甲度分为自亏至甚之行与甚至复丁戊之行等为大股丁乙三分食甚时两心之距为句 壬丁十二分食甚时月心侵入大圆内之数也为句弦较食既时月心在丙两心之距乙丙与生光时己乙之距等小圆半径五分也为小弦 丙丁为月心自既至甚之行与甚至生光己丁之行等为小股 丁乙仍为句 午丁二分为食甚时月心侵入小员之数为句弦较 丙至丁所厯时刻与己至丁时刻等是为既内分 甲至丙所厯时刻与己至戊等是为既外分 此以隂厯月食十二分为式余皆倣论开方数壬丁十二丁癸十八相乘二一六平方开之得丁甲十四(六九)午丁二分丁辰八分相乘十六平方开之得丁丙四分推既外分法置所推定用分内减去既内分余为既外分也按既外分者是月食初亏至食既生光至复圆所厯时刻也原所推定用是自亏初复末中距食甚之数乃既内既外总数也故于其中减去既内时刻其余即既外时刻推五限辰刻等法置食甚定分内减去定用分为初亏分初亏分加既外分为食既分食既分加既内分为食甚分食甚分加既内分为生光分生光分加既外分为复圆分也不及减者加日周减之满日周去之推时刻同前按月食有五限辰刻异于日食者日食只十分故其食而既也即其食甚也才食而既其光即生则其生光之分亦即其食甚也若月食则十五分自食既以至生光厯时且乆为刻皆殊中折二数以知食甚总计亏复故有五限也以定用减小余者所算定用原是食甚距初亏之数也故以减食甚得初亏以既外加初亏及生光者所算既外原是初亏距食既及生光距复圆数也故以加初亏得食既以加生光得复圆至于所算既内原是食既至生光折半之数即是食既生光中距食甚之数也故以加食既得食甚以加食甚得生光不及减加日周者是食甚在子正后初亏等在子正前也加满日周去之者是食甚等在子正前复圆等在子正后也凡言时刻同前者皆依发敛加时推法也推月食入更㸃法视望下盈缩厯与太阳立成同日之晨分就加一倍得数用五千分而一(句误按当作五而一下同)得为更法分也(定数满法得千)(分不满法得百分也)将更法又用五千分而一得为㸃法分也(定数)(满法得百分不满法得十分也也句误甚按当作满法者百已上不满法者二百已上 大约更法有干者则)(不满法)按更㸃倍晨分者凡日入后二刻半而昏日未出前二刻半而晨晨则辨色未昏则不禁行晨昏启闭以此为节是益昼五刻损夜五刻圣人扶抑之道无所徃而不存也其晨分皆自子正距晨之数夜之有晨分犹日之有半昼分也逆推子正前距昏之数正与相等故倍其晨分即为夜刻也于是以五除之即其夜每更所占时刻之数也假如晨分二千五百倍之五千五除之则知每一更中占有一千分也满法者是在五千分已上故知得数为千分不满法者是在五千分已下故知得数为百分于是又置更法以五除之即其夜每㸃所占刻数也假如更法分一千五除之则知每㸃中占有二百分也其㸃法得数无论满法不满法总是百分不必定数又除法只是单五每夜五更每更五㸃故以五除之也推初亏等更㸃法视初亏分如在晨分已下者就加入晨分共为初亏更分也如在昏分已上者内减去昏分余为初亏更分也却以元推更法分为法除之命起一更算外得为初亏更数也其不及更法数者却以元推㸃法分为法除之命起一㸃算外得为初亏㸃数也次四限更㸃倣此而推各得更㸃也(若在日入以上昏分以下者命为昏刻若在日出以下晨分以上者命为晨刻)(皆无更㸃)按初亏等分如在晨分已下者是在子后也加入晨分是逆从子前昏刻算起也其在昏分已上是在昏后也故减去昏分是减去昼刻截从初昏算起也二者总是从初更初㸃起算(初更初㸃即一更一㸃)加减后得数即知今距初更初㸃已若干数于是以本日更法除之其满过更法有㡬数便知已过㡬更故算外命为更数也其不满更法而余者则正是初入此更以来未满之数故又以㸃法除之其满过㸃法有㡬数便知在此更中已过㡬㸃故算外命为㸃法便知所推初亏等尚在苐㡬更苐㡬㸃中未满也其有总不满更法数者则只是初更其有以㸃法除总不满法者则只是初㸃也推月食起复方位法视月食入隂阳厯如是阳厯者初起东北食甚正北复圆于西北也如是隂厯者初起东南食甚正南复圆于西南也若食在八分已上者无论隂阳厯皆初起正东复圆于正西也按月食起复方位主月体言之即人所见月之上下左右也以卯位言之则东为下西为上北为左南为右以酉位言之则东为上西为下南为左北为右也月食入隂阳厯亦主月道言之如是阳厯食是月在日道南其入暗虚被掩者在北故食起东北甚于正北复于西北也如是隂厯食是月在日道北其入暗虚被掩者在南故食起东南甚于正南复于西南也其食在八分已上者是月入暗虚正相掩而过故食起正东复于正西也凡暗虚在日所冲太阳每日行一度暗虚随之而移月之行天既视暗虚为速故其食也皆暗虚先在东月自西来道有必经无所于避遂入其中而为所掩既受掩矣则行而出于暗虚之东却视暗虚又在月西故月食亏初皆在东复末皆在西也又按厯经此亦据午地言之推月有带食分法同日食推月有带食例昏(月未出已复光若干月已出见复光若干) 晨(月未入见复光若干月已入未复光若干)昏(月未出已食若干月已出见食若干) 晨(月未入见食若干干月已入不见食若)按月带食法同日食而只互易其晨昏书法者何也葢月食于望望者日月相望故日出则月入月出则则日入故易日之昏为月之晨易日之晨为月之昏也其所以同者何也假如日入分在复圆分已下是复圆在日入月出后于日为见食甚不见复末者于月则为见复末不见食甚也若日出分在复圆分已下是复圆在日出月入后于日为见复末不见食甚者于月则为见食甚不见复末也之二者总是以食甚分减日出入分其所推带食则总是日月出入前距食甚之数其以减食分而余者亦总是日月出入后未复光之数故总谓之已复光未复光而以所推带食分录于前也又如日入分在初亏分已上是初亏在日入月出前于日为见亏初不见食甚者于月则为见食甚不见亏初也若日出分在初亏分已上是食甚在日出月入后于日为见食甚不见亏初者于月则为见亏初不见食甚也之二者总是以日出入分减食甚分其所推带食分则总是日月出入后距食甚之数其以减食分而余者亦总是日月出入前已食之数故总谓之见食不见食而以所推带食分录于后也(余详日食)又按厯经月食既者以既内分减带食差余进一位如既外分而一以减既分即带食出入所见之分不及减者为带食既出入葢凡所推带食差是食甚所距日出入时刻今以既内分减之而余者即是日出入后距食既前或日出入前距生光后其间所有时刻也进一位者即是以既分乘之也又以既外分除之则知其食既生光距日出入时于既外全数中分得㡬许时刻即知其于食既全数内分得㡬许食分也故以减食既十分即为带食出入之食分也不及减者是带食差少于既内分其日出入分已在既内分内故为带食既出入也推食甚月离黄道宿次度法置元推食甚入盈缩厯行定度全分如是盈厯者加半周天一百八十二度六二八七五及天正黄道箕宿度其得为黄道定积度也如是缩厯者止加天正黄道箕宿度内减去七十五秒余为黄道定积度也无论盈缩厯皆以其黄道各宿次积度钤挨及减之余为食甚月离黄道某宿次度分也按月食黄道定积度者逆计月离度前距天正日躔宿度之数也元推食甚入盈缩厯行定度则是所求日躔距天正宿度乃月食所冲也如日在北正月食于南正故盈厯加半周天便是食甚月离宿度又加天正箕宿度便知食甚月离距黄道箕宿初度若干也其缩厯行定度则是日躔距夏至度数故即用其数为月离葢月食日冲日躔夏至宿后第㡬度月食即亦在冬至宿后第㡬度故不必加半周天也内减去七十五秒者盈厯缩厯相距半岁周不及半周天七十五秒减黄道积度钤法仝日食不赘依授时厯经黄赤道法(勿庵补定)求四正后赤道积度置天正冬至所在宿赤道全度以天正赤道减之余为距后度以赤道宿度累加之即各得其宿距冬至后赤道积度加满象限去之为四正宿距后度亦以赤道宿度累加之满象限去之即各得其宿距春分夏至秋分后赤道积度按四正者四仲月中气即二至二分也凡天正赤道度是天正冬至前距其宿初度之数故以减其宿全度即各得冬至后距其宿末度之数也于是以后宿赤道累加之即知冬至后各宿距冬至度所积之数也满象限去之者加满象限是其宿当四正所躔故减去象限即知四正后距其宿末度之数也于是又以赤道各宿度累加之即各得四正后各宿所距四正度之数也求赤道变黄道置各宿距四正后赤道积度用黄赤道立成视在至后者以第三格赤道积度相挨者减之余(有十定三有分定二)为实以其上第二格黄道率乘之(不用乘只加定四子)以下第四格黄道率为法除之(有度去四有十去三不满法再去一视定有四子为度三子为十分)加入第一格黄道积度即为其宿距至后黄道积度其夏至后再加周半天即各得其宿距天正黄道积度也若在分后者以第一格赤道积度相同者减之只用小余(有十)(定三有分定二)为实以下第四格黄道率为法(有度定四○度定三)乘之(言千定一)得数以其上第二格赤道率除之(不用除只去四子视定有四子)(为度三子为十分)加入第三格黄道积度即得其宿距分后积度其春分后再加一象限秋后分再加三象限即各得其宿距天正黄道积度也于是各置其宿距天正黄道积度以相挨前一宿黄道积度减之即各得其宿黄道本度也(秒就近约为分)按至后不用乘者其立成黄道率只是一度乘过数不动故只加定四子也分后不用除者其立成赤道率亦是一度除过数亦不动故只虚去四子也夏至后加半周天春分后加一象限秋分后加三象限者此所求黄道积度皆距四正起算故各以四正距天正黄道数加之即其宿前距天正之数也葢至后黄道虽减于赤道分后黄道虽加于赤道其实至四立之后则加之极而反减减之极而反加总计一象皆得九十一度有竒此天道如环平陂徃复间不容髪也减前宿积度为其宿本度者积度即是距天正数原包前宿在内故减之即得本度也(秒就近约为分者凡秒五十已)(上收为分已下弃之就整数也其七十五秒寄虚度)求天正冬至黄道度置周天度(三百六十五度二五七五)内减天正前一宿距天正黄道积度余命为天正冬至宿黄道度分也若迳求者置象限以其年天正赤道度减之余为天正前宿距秋分后赤道积度依赤道变黄道法求出其宿距分后黄道积度以减象限余为天正黄道度按周天度是自天正后积至天正前黄道总数故减去前宿距天正黄道积度即得天正距所在宿初度之数也迳求法置象限者即是自天正前距秋分后赤道总数也内减去天正赤道度其余即是前宿距秋分后赤道积度也赤道变黄道法即是以立成第一格积度减余以第四格度率乘以第二格度率除加入第三格积度而命为前宿距秋分后黄道积度也又以减象限者此所为象限即是自天正前距秋分后黄道总数故减去前宿距秋分黄道积度其余即是天正冬至距其宿初度黄道之数也求黄道宿积度定钤置天正冬至宿黄道度及分加入其宿距至后黄道积度及分共得为天正冬至宿黄道定积度以各宿黄道度累加之即各得其宿黄道定积度按分至每岁有差黄道因之而易即不能每岁歩之当于六十六年岁差一度时更定度钤始为无弊也凡冬至所在宿皆有前后距其黄道皆减于赤道今所推其宿至后积度是自冬至日躔后距其宿末度黄道数其天正黄道宿度则是自冬至日躔前距其宿初度黄道数也合二数为其宿初度距其末度总数故即命为天正宿定积度也于是以各宿黄道度累加之即所得其宿所距天正宿初度之数而命为定积度也求日月食甚宿次黄道度及分秒法同通轨又术置所推食甚盈缩厯缩厯加半周天为黄道定积度月食盈缩厯俱加半周天满周天分去之为黄道定积度皆迳以距天正黄道积度相挨者减之即各得日月食甚黄道宿度及分秒按此法不用定积度钤故亦不加天正黄道度然必每年歩定黄道积度方可用之也赤道宿度角十一度(一○)亢○九度(二○)氐十六度(三○)房○五度(六○)心○六度(五○)尾十九度(一○)箕一十度(四○)右东方七宿七十九度二十分斗廿五度(二○)牛○七度(二○)女十一度(三五)虚○八度(九五太)危十五度(四○)室十七度(一○)壁○八度(六○)右北方七宿九十三度八十分太奎十六度(六○)娄十一度(八○)胃十五度(六○)昴十一度(三○)毕十七度(四○)觜○○度(五) 参十一度(一○)右西方七宿八十三度八十五分井三十三度(三○)鬼○二度(二○)栁十三度(三○)星○六度(三○)张十七度(二五)翼十八度(七五)轸十七度(三○)右南方七宿一百○八度四十分黄赤道立成厯算全书卷二十三
## 卷二十四
钦定四库全书厯算全书卷二十四宣城梅文鼎撰厯学骈枝卷四盈缩厯立成太阳冬至前后二象盈初缩末限太阳夏至前后二象缩初盈末限布立成法厯经盈缩招差法太隂迟疾立成布立成法求每限月平行度法厯经迟疾厯三差法日出入晨昏半昼分立成冬至后半岁周夏至后半岁周考立成法太阳冬至前后二象盈初缩末限(置本限八十八度九○九二二五加入盈积度二度四○一四即合周岁一象限九十一度三一○六二五之数)太阳夏至前后二象缩初盈末限(置本限九十三度七一二○二五减去缩积度二度四○一四即合周岁一象限九十一度三一○六二五之数)布立成法先依厯经盈缩招差各以其日平差立差求到每日盈缩积次以相挨两日盈缩积相减余为每日盈缩加分以其日加分盈加缩减一度即每日日行度又以两日加分相减余为每日平立合差再置末日平立合差以初日平立合差减之余为实末日日数为法法除实即得每日平立合差之差数也(如盈初置八十七日)(下平立合差六分五五六八内减初日四分九三八六余一分六一八二为实八十七日为法除之得○一八六为每日之差)(分缩初置九十二日下平立合差五分九二六六内减初日四 四三六二余一分四九○四为实九十二日为法除之得○)(一六二为每日之差)又法(盈初置立差三十一缩初置立差二十七各六因之即得每日平立合差之差数)厯经盈缩招差法凡求盈缩积皆以入厯初末日乘立差得数用加平差再以初末日乘之得数以减定差余数复以初末日乘之得数万约为分即各得其日盈缩积太隂迟疾厯立成布立成法依厯经垜叠招差各以平差立差求到各限迟疾度次以相挨两限迟疾度相减余为各限损益分次以各限损益分加减每限月平行度得为各限迟疾行度也数止秒秒以下不用其加减法在疾厯益加损减迟厯反之求每限月平行度法置小转中(十三日七七七三)以每日月平行度(十三度三六八七五)乘之得(一百八十四度一八五二七九三七五)为实以一百六十八限除之得一度○九六三四○九四是为每限月平行度也厯经迟疾厯三差法立差 三百二十五平差 二万八千一百定差 一千一百一十一万凡推迟疾在八十四限以下者为初限以上者去减一百六十八限余为末限置立差以初末限乘之得数用加平差再以初末限乘之以减定差余数再以初末限乘之得数满亿为度即得各限迟疾积度(凡初限是从初顺数至后)(末限是从未尽日逆溯至前故其数并同也)月与日立法同但太阳以定气立限故盈缩异数太隂以平行立限故迟疾同原日出入晨昏半昼分立成冬至后半岁周夏至后半岁周考立成法以半昼分转减五千分(半日周)余为日出分 日出分减去二百五十分为晨分 以晨分减日周一万分余为昏分 昏分减去二百五十分为日入分又㨗法(晨分与昏分相并成日周一万又日出分与日入分相并亦成日周一万)厯算全书卷二十四
## 交会管见小引
交㑹管见小引
交食为验厯大端其事之著者有三一曰食分深浅一曰加时早晚一曰起复方位古法至授时立法已详新法有西洋所测更密几于无可复议独其所谓起复方位并以东西南北为言(如日食八分以上初亏正西复圆正东八分以下阳厯初亏西)(南食甚正南复员东南隂厯初亏西北食甚正北复员东北月食八分以上初亏正东复员正西八分以下阳)(厯初亏东北食甚正北复员西北隂厯初亏东南食甚正南复员西南之类)而东西南北并以日月光体中心为主故其边向北极处斯谓之北向南极处斯谓之南而东西从之亦以日月之边向东升处即谓之东向西没处即谓之西此中西厯法所同也然天既北倚赤道之势与北极出地相应皆南高而东西下黄道斜交赤道又因节气而殊初亏食甚复圆各限加时又别是故人所见日月光体之东西南北非日体之东西南北也故于仰观不能尽合密测者以日月体匀为细分而求其亏甚所当之处于理为尽然必测器精良用法取影庶几可知终不能若食分深浅加时早晚之可以万目同观众著无疑也愚今别立新术凡亏复各限并于日月光体之上下左右直指其蚀损所在而不用更杂以东西南北之名欲令测候之时举目共见即步算之疎密纎毫莫遁或于测学不无小补犹冀髙贤深明理数有以进而教之也康熙四十有四年岁在㫋䝉作噩勿庵梅文鼎谨识时年七十有三
## 卷二十五
钦定四库全书厯算全书巻二十五宣城梅文鼎撰交㑹管见求初亏复员定交角以初亏复员定时分依法求其距午时分午后以加午前以减各加减日实度所对时分(入九十度表取之)为初亏复员时定总时以定总时各求其日距限限距地髙遂以得其交角加减之得初亏复员时定交角求初亏复员时先阙后盈之㸃在日体上下左右法自天顶作垂弧过日心以至地平分日体员周左右各一百八十度次依定交角度分日在限西初亏为右下之角复员为左上之角其度右旋日在限东初亏为右上之角复员为左下之角其度左转并自垂弧左右起算数至定交角度分即得太阳员周初亏时先阙复员时后盈之㸃其定交角或为钝角者上下相易(如本为右)(下者变为右上本为右上者变为右下左亦然)是为亏复时交道中径 食十分者用此即中西旧法所谓八分以上初亏正西复员正东者也(初亏复员各依其定交角度分取之)若食九分以下当先求蚀纬差角法为并径与月视黄纬若半径与蚀纬差角之正弦也以月视黄纬化秒乘半径为实以并径减一分化秒为法除之得蚀纬差角之正弦查正弦得度分以加减亏复时交道中径得日体周边先缺后盈之㸃视纬北者日在限西初亏以加复员以减日在限东初亏以减复员以加视纬南者日在限西初亏以减复员以加日在限东初亏以加复员以减并置交道中径以蚀纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算得初亏何处先缺复员何处后盈上下左右皆可预定求食甚在日体上下左右惟食十分者食甚时两心相掩或全黒或作全环皆无上下左右可论其食九分以下皆以隂阳厯论南北视纬若食甚时正在黄平象限则视纬北者食甚在日体上半缺口正向天顶形如仰瓦即旧法所谓正北视纬南者食甚在日体下半余光厚处正对天顶缺处正向地平两角下垂形如覆梳即旧法所谓正南也若此者只有上下可言而无左右偏侧之度其余日在限西则南纬在左下北纬在右下日在限东南纬在右下北纬在左下并以食甚时定交角之余度或左或右并从天顶垂弧之两旁起算即得食甚在日体上下左右之度求日体周边受蚀几何法用太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乗为实月视黄纬为法除之得数以加减月视黄纬讫乃折半以乘半径又为实以太阳半径为法除之得余弦查表得度倍之即食甚时日体受蚀度分(以太阳全周分三百六十)(度内该受蚀者几何度)加减例(日半径大于月以得数加黄纬日半径小于月置黄纬以得数减之)求日食三限在地平上髙度食甚时日距地髙即可径用 初亏复员各以定时求其距午分依日赤纬南北度入髙弧表即各得亏复时地平上髙度(如无正表取前后二表数以中比例酌之假如其地极出地三十一度则查三十度)(表及三十二度表以两表数并而半之即是本地髙弧之数)又算法(以限距地髙度与日距限之余)(度相加为捴相减为较捴较各取余弦视捴弧过象限则两余弦相并不过象限两余弦相减并折半得髙弧)(正弦捡表得髙度)求日食三限地平经度法以地平纬度之余度分与极出地之余度分相加为总相减为较总弧较弧之余弦相减若总弧过象限则相加并折半为法(初数)又取较弧矢与日距北极度之矢(对弧矢也日赤纬在南者以加象限赤纬在北者置象限以赤纬减之即各得距北极度)相减得较较乘半径为实实如法而一得角之矢(以矢命度)若日食在午前其角度为距正北子正之度食在午后以减半周为距正南午正之度(正矢与大矢并同一法)三限皆如是求带食分在日体上下左右以日出入时距纬为法半径乘月视黄纬为实实如法而一得正弦查表得带食纬差角度分如求初亏复员之法以带食纬差角加减白道中径得带食分在日体上下左右若带食在初亏后食甚前其加减用初亏法带食在食甚后复员前其加减用复员法带食在初亏后食甚前者 隂厯日在限西加 日在限东减阳厯日在限西减 日在限东加带食在食甚后复员前者 隂厯日在限西减 日在限东加阳厯日在限西加 日在限东减右并置月道中径以带食纬差角度分加减之得数仍自垂弧左右起算即得带食时食分最深之处在日体上下左右(凡带食出入时或㣲亏或见蚀半或半以上其余光皆成两角外向均折两角取其中即)(带食分最深之处)求带食出入时日边受蚀几何以太阳太隂两半径相并为和相减为较和较相乘为实日出入时距纬为法除之得数以加减日出入时距纬(日半径大于月以得数加入距纬日半径小于月置距纬以得数减之)乃折半用乘半径又为实太阳半径为法除之得余弦查表得度倍之为带食出入时太阳周边受蚀之分(以三百六十度分太阳全周内该缺)(几何度分)作日食分图法(交食之验非图莫显图必分作其象始真故不惮反复详明以著其理)一定日食时交道斜正作立线以象垂弧此线上指天顶下指地平即地平经度圏之一象限也线上取一㸃为心规作员形以象太阳其员周为地平经线所分左右各一百八十度依本限定交角作㸃(或初亏或复员或食甚各有定交角)若日距限在西其度右旋日距限在东其度左旋于太阳员周上下并从垂线分处数至定交角度止得两㸃聮为一直线必过太阳之心两端稍引长之横出是为日食时月道交于垂弧之象若日距限西交道左昂右低日距限东反之其初亏食甚复员三限距限东西有时而异虽其不异亦必有逺近髙下之殊则交道低昂异势未可以一法齐也今三限各求定交角依度作图不论东西南北一以太阳边左右上下言其亏甚之状即测算可以相符厯法之疎宻可以众睹更无丝毫可容假借如图甲乙为垂弧 甲丁乙丙为日体 乙己丙为定交角丁己甲为对角乙至丙甲至丁皆定交角之度因日距限在限西故右旋数其度 丙丁为上下两㸃己为日心聮丙丁为直线则过日心稍引长之至庚则成交道因在限西故月道左昂右低(交道即月道也为月视纬所成在食)(十分时可名月道其食不满十分者可名月道平行线)各号并与前同惟日距限在限东故从乙至丙从甲至丁并左旋数定交角度而庚辛月道右昂左低如图月道平过与天顶垂弧相交成十字正角而又在午方则上北下南左东右西各如本位矣(如旧法食十分初亏正西)(复圆正东食八分以下者隂厯初亏西北食甚正北复圆东北阳厯初亏西南食甚正南复圆东南惟此时为)(然)此必日食在黄平象限左右因定交角加减而成正角然不常有即有之又未必在正南方则与东西南北之名不相叶应故不如用定交角直以上下左右言其方向(黄平象限有离午正二十三四度时又有定交角加减则虽离午正三十余度之逺而能有此象盖)(即月道之九十度限也食既者遇之亏必正右复必正左北纬者亏右上复左上而食甚正向天顶南纬者亏)(右下复左下而食甚向地平)己为日戊为月乙至丙甲至丁皆交角之度丙为初亏丁为复圆戊丙己丁为月道此因日食十分故即用丙丁二㸃为初亏复圆即旧法所云初亏正西复圆正东者也然以日距限西故初亏在日体右下复圆在日体左上此亦日食十分因距限在东故初亏在日体为右上复圆在日体为左下凡日距限西者复圆交角必小于初亏日距限东者复圆交角必大于初亏故必分作其图始能合算今从简省以交角相同者合为一图非谓一食中亏复同角也一图初亏先以初亏定交角如法作垂弧及交道安太阳于交㸃若食十分者于太阳右方截取交道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即初亏时先缺之㸃(图己见前)若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度月视黄纬在北向上数之在南向下数之并从太阳右方交道起算数至纬差角度止即为初亏时先缺之㸃自太阳心向此㸃作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作㸃即初亏时两心之距也以截㸃为心太隂半径为度作圆形即初亏时太隂来掩太阳相切之象也从太隂心作直线与交道平行则月视行之道也从太阳心作垂线至视行线成十字角即月视黄纬也 以上并不论初亏是午前午后亦不论地平方位或在正南或偏东西并同一法食甚复圆倣此乙己丙交角乙丙其度从丙过己心至丁而引长之即月道平行线丙己庚为纬差角丙庚其度因月视黄纬在北故从交道丙向上数其度至庚庚即初亏时先缺之㸃从太阳心己作直线过庚㸃而透出其外为己庚戊线乃并日月两半径(得己戊)为度截己庚戊线于戊戊即太隂心也以戊庚月半径从戊心作圆为太隂与太阳边相切于庚初亏象也从月心戊作戊辛癸线与丙己丁平行月视行道也(此月)(视行线乃人所见月心所行故以丙己丁交线为月道平行线)从太阳己心作十字垂线至月视行线上如己辛月视黄纬也乙己丙交角以乙丙为度从丙过己心作月道平行线丙己庚纬差角以丙庚为度因月视黄纬在南故从交道丙向下数其度至庚庚即初亏时先缺之㸃(此为纬差角大)(于定交角故易右为左)从己心向庚作己庚戊线而以己戊并径度截之于戊用为月心规作月体与太阳相切于庚象初亏也从戊心作癸戊辛线与丙己丁平行月视行道也从己心作己辛线与戊辛相遇成方角月视黄纬也以上二宗为日距限西日距限西者初亏定交角并为右下之角然惟食十分时则初亏右下与定交角同㸃其余则北纬者能易右下为右上前条是也南纬者能易右下为左下此条是也甲己丁交角以丁甲为度从丁过己心作丁己丙月道平行线丁己庚纬差角以丁庚为度因月视黄纬在北从交道丁向上数至庚以庚为初亏之㸃(此亦纬差角大于定交角故易右为左)如前从己心向庚作透出线截之于戊使己戊同并径则戊为月心从戊心作圆形象初亏时太隂以其边切太阳于庚从戊作戊辛癸线为月视行之道与丁己丙平行又从己作己辛线为月视黄纬辛为正角诸号同前惟以月视黄纬(即己辛)在南故纬差角(丁己庚角)从交道(丁)向下数其度(至庚)为初亏之㸃以上二者为日距限东凡初亏在限东者其定交角为右上之角然惟日食十分与定交角同㸃而初亏右上其余北纬者能易右上为左上南纬者能易右上为右下此二条可以推矣一图食甚先以食甚定交角作垂弧月道于交㸃安太阳并如初亏法次于太阳周边数定交角余度若日距限西其度左旋日距限东其度右旋并于日体上下方从垂线数起至定交角余度止各作㸃聮为一直线稍引长之此线与月道为正十字能过月道之极即月道之经圏食甚时太阳太隂并在此线之上乃以月视黄纬求其距若视纬在北向上量之视纬在南向下量之并从太阳心截取视纬于月道经线作㸃即食甚时两心之距也以此为心月半径为度规作月体即见食甚时月掩太阳在日体上下左右几何度分此时两心之距为最近其食分最深于此线上分太阳光体为十平分即所食之分可见若于太阳之边数其所蚀光界即知太阳周边受蚀几何度分若于月心作线与月道经线为十字正角即自亏至复月行之道也两端稍引长之用并径为度从太阳心截之左右各得一㸃即初亏复圆之㸃也(右为初亏左为复圆)如此即为总图(総图惟食甚为正形初亏复圆亦得大槩仍当于分图攷之)若食十分者或全黒或作金环并无视纬更无上下左右可论不用此法又若食甚时定交角满九十度则北纬正对天顶余光有如仰盂南纬正对地平余光有如覆椀其月道左右平衡其南北视纬即于垂弧取距(北纬自太阳心向上南纬自太阳心向下)(并以月视黄纬取其度为两心之距)不须另作月道经线又于月道经线以月视黄纬量其距若隂厯向上量之阳厯向下量之并自太阳心量至视黄纬止从此作线与月道经线为十字角即与亏复月行之道平行南北差之理亦自可见乙己丙为定交角其度自乙右旋至丙丙己丁线过太阳心为月道平行线乙己庚为定交角之余角其度自乙左旋至庚庚为食甚所向之方从庚过太阳心作午己庚线为太阳全径分为十分 依月视黄纬自太阳心己截至戊以戊为心月半径壬戊为度作圆以象食甚时掩日之月 计所掩径自庚至壬得蚀六分余光自壬至午得四分计所掩边自酉过庚至卯得缺光之边一百三十分余光自酉过午至夘得未掩之边二百三十分约为蚀三之一而强(此以太阳边周为三百六十分也分亦可名度)从月心戊作戊癸线与太阳径为十字角与交线平行是为月视行之道以并径为度自太阳心己截戊癸月道于辛于子各为心作太隂象即见初亏于酉复圆于卯可当总图此与前图皆食在限西故乙己丙定交角同势惟月视黄纬在北故用甲庚余角从甲左旋数至庚为食甚所向之方亦作午己庚十分全径而透出之用月视黄纬截之于戊戊为心戊壬半径作月体交加于太阳光体之上计所掩自庚至壬得蚀四分有竒其自未过庚至丑为所蚀之边 又如法从戊心作月视行之道以幷径截之于辛于子各作月体即见卯酉为亏复之㸃几食在限西者南纬必食甚左下北纬必食甚右上惟交角大者余角小交角小者余角大而大致不改即二图可槩其余其初亏交角必大于食甚复员交角必小于食甚全图聊举大意仍以分图为定乙己丙定交角其度自乙左旋至丙丙己丁过太阳心为月道平行线乙己庚余角度自乙右旋至庚庚己午太阳全径引长之以月视黄纬度截之于戊戊为食甚时月心所到其边掩太阳至壬午壬为食甚所向之方分太阳全径为十分午壬为所掩之分得二分有竒未午丑为所缺之边约得九之二此与前图皆食在限东乙己丙交角同势惟月视黄纬在南故用甲己午余角(即乙己庚)右旋从乙至庚庚㸃为食甚所向庚己午太阳全径十分以月视黄纬截己戊戊为月心作太隂体掩太阳至壬得八分有竒未庚丑为所缺之边约得九之四凡食甚在限东者北纬必左上南纬必右下虽角有大小其大致不变以上二图可槩其余 以上食甚四图或居太阳体之左上左下右上右下并以定交角论其余角不论地平经度之东西南北并同一理即令食甚正午而距限有东西即交道有低昂必无正北正南如旧法所云者也此月视纬在北日食七分竒甲为食甚在日体上方余光如仰盂此月视纬在南日食五分戊为食甚在日体下方余光如覆椀惟此二图是交角成象限若又居正南方则北纬食甚可称正北南纬食甚可称正南一图复圆以复圆定交角作垂弧月道安太阳并如上法若食十分者于太阳左方截取月道如月半径之度以此为心规作月体与太阳边相切即复圆时后盈之㸃(图亦见前)若食不满十分者用纬差角度算太阳边周之度北纬向上数之南向下数之并从太阳左方交道起数至纬差角度止即为复圆时后盈之㸃自太阳心向此㸃作直线透出其外稍引长之以并径为度从心截取引长线作㸃即复圆时两心之距以截㸃为心规作太隂与太阳相切即复圆时太隂行过太阳初离之象也甲己丁交角(即乙己丙)其度甲丁从丁过己心作丙己丁线引长之即月道平行线丁己庚为纬差角其度丁庚因月视黄纬在南从交道丁向下数其度至庚庚即复圆时后盈之㸃 从太阳心己出直线过庚而透出其外为己庚戊线以幷径为度截之于戊以戊为心月半径为界作太隂圆体切太阳边于庚即太隂行过太阳初离之象也 从月心戊作戊辛直线月视行之道也而己辛者月视黄纬也甲己丁交角(即乙己丙)其度甲丁从丁作月道平行线过己心至丙而引长之丁己庚纬差角大于交角而月视黄纬在北法当从交道丁向上数丁庚之度跨甲而至庚庚即复圆时复光最后之㸃 又法从己心作丙己丁之十字垂线乃以月视黄纬为度截之于辛则己辛即食甚两心之距也从辛又作十字长垂线与丙己丁交道平行如戊辛癸即月视行之道也次以幷径为度截月视行道于戊以戊为心月半径为度作复圆时太隂象即其边切太阳于庚以上二图皆复圆距限西也凡复圆限西者其定交角为左上之角然惟食十分其㸃不改其余则有易为正左稍下如前图者有易为右上如此图者余可数推乙己丙交角以乙丙为度从丙作月道平行线过己心至丁而引长之因月视黄纬在北从交道丙向上数纬差角丙己庚之度至庚即庚为复圆之㸃 又法以丁午丙半周度折半于午从午作线至太阳心己为丙己丁之十字垂线于此垂线上截取辛己如月视黄纬即于辛㸃作十字交线与交道线(即月道平行线)平行为月视行之道于此月视行道取戊己斜距如并径则戊㸃即复圆时太隂之心从心作太隂体即切太阳于庚而正居太阳左方此交角与差角同度也庚己丙交角其度自庚数至丙㸃为月道平行线所过(丙己丁过心线为交道即月道平行线)丙己庚差角自丙数至庚(因南纬向下数)庚㸃为复圆时太隂初离太阳边犹相切之处也差角丙庚之度与交角庚丙等故相减至尽而正居太阳之底也 如用又法从己心作己午垂线以月视纬截辛㸃从辛作十字线如辛癸与交线平行为月视行道即可以戊己并径截戊㸃为太隂心其边即切太阳于庚亦同凡复圆限东者定交角必居左下然惟食十分者则然其余则有变为日体正左或日体正下者如以上二条者可类推也甲为九十度限 乙为黄道过午规交角 乙丙为黄道在午规距天顶之度今用乙甲丙正弧三角形有甲正角 乙交角 乙丙弧而求甲丙弧为九十度距天顶之度 法为半径与丙乙弧正弦若乙角之正弦与丙甲正弦也(一二) (半径正弦丙乙)(三四) (乙角正弦丙甲正弦)増沿厯书乃以丙乙余弦与乙角余弦相乗为实半径除之得丙甲正弦失其㫖矣简庵曰甲角非正角也何以言之自天顶出线过赤道则为正角其过黄道不能成正角甲角既为天顶线过黄道所作之角则必非正角勿庵曰不然甲㸃者九十度限也若甲非正角则不得为九十度限矣简庵曰赤道能为正角者以天顶线能过北极也若黄极则不能过天顶天顶线既不串黄极则甲必不能为正角明矣勿庵曰子午线所以能穿天顶与北极者以赤道在平地上半周一百八十度而交子午圈处为其折半最中之处故天顶线交赤道成十字角也天顶线与赤道作正角惟此一处盖惟此处能使地平经线(即天)(顶出线至地平分方位之线)与赤道经线(即北极出线至赤道分时刻之线)合而为一(从地平经线言之为子午规从赤道言为过极圈)他处则不能也黄道亦然其在地平上亦一百八十度每度并从黄极出经线至黄道上成正角但不能过天顶而必有一度为黄道半周折半之处则此一经线必过天顶而穿黄极天顶线既穿黄极则其交黄道处必成十字正角矣天顶线与黄道作正角亦惟此一处(亦如赤道之有子午规)盖亦惟此处能使地平经线与黄道经圈合而为一而他度不能西法用九十度限其理如此故甲角必正角简庵闻此欣然首肯焉本法用乙甲丙形求丙甲为九十度距天顶 今依简庵说用丁戊丙形求得戊丙为天顶距黄极之度以减象限即得丙甲距天顶之度法曰以正午黄经之赤道同升度取丁角(从冬至数之即得)以各地北极出地余度取丁丙边 以两极相距二十三度半为丁戊边是为一角两边可求戊丙边若用垂弧法虽多转折其理无讹 若用加减代乘除法乃捷矣又按此以正弧形为本形改用斜弧为次形亦弧三角中一法往所未及也可见学问相长之无穷既得甲丙边又原有乙丙边甲正角可求甲乙边为九十度距午规丁北极 戊黄极 丑寅圈径五度为白道极所行之迹 丑为今所求月道心(即白道极所到)得丑寅边为丑戊寅角之度亦即为丁戊丑角度 先用丁戊丑弧三角形有丁戊边(为两极距二十三度半)有丑戊边(为月道大距五度)有戊角(即上)(所论) 可求丑丁边为白道极距北极之弧 可求丑丁戊角次用丁丑丙弧三角形 有丑丁弧(为先所求)有丙丁丑角(以先有之戊丁丙角与今得之丑丁戊角相加减得丙丁丑角)有丁丙边(即本地北极出地余度)可求丑丙边为白道极距天顶之弧亦即为白道九十度距地平之髙度 求白道极所在(即丑㸃)法曰凡白道极随交㸃而移交㸃逆行故白道极亦逆行也先求正交(或中交)在黄道度分离此一象限即为半交最逺之所此㸃与白道极相应若系半交是阳厯则白极在黄极南半交是隂厯则白极在黄极北极距黄极五度竒即丑戊也丑戊弧五度循黄极而左旋有时而合于两极距线为寅戊或戊辛则无丑戊丁角自此以外皆有戊角此算之根也设白道极(丑)在寅即丑戊寅角法当以戊寅五度(白极距黄)(极)与丁戊二十三度半相减余十八度半为寅丁寅丁丙弧三角形有寅丁边(为白极距北极)有丁丙边(北极距天顶)有丁角可求寅丙边为白极距天顶又设(丑)㸃在辛即以戊辛加戊丁为一边(辛丁)如上法可求辛丙弧为白极距天顶以上二者因白极距黄极之线与黄极距北极同一大圈之经度故丁戊线有加减而丁角无加减故只用一弧三角形即可得之此惟月边半交在二至度然后能如是设正交在秋分之度中交在春分之度则阳厯半交在冬至黄道外隂厯半交在夏至黄道内各五度竒而白道极在两极距线外亦五度竒如辛如酉法当以白黄大距五度竒(辛戊或酉戊)加两极距二十三度半(戊丁)共得二十八度半竒(辛丁或酉丁)为一边 丁丙为一边(北极距天顶)丁为一角(或辛丁丙或酉丁丙) 可求辛丙边(或酉丙边)即白道极距天顶度以减九十度余为白道距天顶度(捷法即以所得白道极距天顶命为白道九十度距地平)此图丁辛线己用弧线不能作两白道极圈如图丙为天顶丁为北极丁戊二十三度半即以丁为心戊为界运规作圆即黄极绕北极之圈再以丁戊引长之至于辛又以戊为心辛为界作圆为白极绕黄极之迹戊辛为黄白距五度竒(此图则戊酉可省)今聮丁辛丙成三角形如上论余观图自明更当明者白道限度之不能与黄平象限同在一度即若黄平象限之不能与赤道髙度同在一度同也黄平象限与赤道髙度能在一经度者惟极至圈在子午规之度为然白道限度之能与黄平象限同在一经度者惟两交在二分之度又极至圈同在午规时也又设正交在春分之度中交在秋分之度则阳厯半交在夏至黄道外隂厯半交在冬至黄道内各五度竒而白道极在两极距线内亦五度竒如寅如未法当以白黄大距五度竒(寅戊或未戊)去减两极距二十三度半(戊丁)得余十八度半弱(寅丁或未丁)为一边 丁丙为一边 丁为一角(或寅丁丙或未丁丙)可求寅丙边(或未丙边)为白极距天顶即命为白道九十度距地平之髙图如后以上二者并只用一弧三角形何则以交㸃在二分也交㸃在二分则半交与白极并在极至交圈故丁戊弧自有加减而丁角无加减若交㸃离二分则否何则交㸃逆行即罗计度也交㸃周于天而半交大距亦一周天而白极亦周于黄极左右之小圈故丁角有加减而必用两三角形也求戊角(用两三角形必先取戊角) 法曰正交在秋分则白极在辛(即在酉)从辛左旋过丑至寅而复于辛以生戊角戊角之度或锐或钝皆以交㸃距分之度命之白极小圏以罗计一周而复于元度(假如正交自秋分向夏至逆行过秋)(分二十度则白极离辛㸃亦二十度以减半周余百六十度为戊钝角)求丁角(戊丁丙角) 法曰视极至交圏距午圏若干度分即得戊丁丙角(以加时午正黄道度取之)白道九十度限用法依前所论以求加时白道九十度限在地平上之髙的确不易(用斜弧三角形) 但如此则交食表所算九十度限俱可不用当另算白道九十度表法曰丑戊丁三角形以丁戊边(两极距二十三度半)丑戊边(白极距黄)(极五度)戊角(白极距冬至经圏之度亦即正交离秋分之余度)为二边一角可求丁丑边(此边之度天下所同)丁角(此角亦天下所同)其法并以戊角之大小立算(只算半周可以立表矣)正交在(秋分前以过夏至而至春分春分前以过冬至而至秋分)之度角在极至圏(西东)戊丁丙三角形 求丁角法曰以应时法求加时午正黄道(可借用黄道九十度表)取其赤道同升度即得丁角视同升度在冬至后半周其距冬至度即为丁角(其角)(在子午线西)若同升度在夏至后半周即以距夏至度去减半周余为丁角(其角在子午线东)此丁角亦天下所同丑丁丙三角形 先求丁角法曰以先有之两丁角相减或相并即得丁角两丁角俱在西或俱在东(则相并)两丁角一在西一在东(则相减)此丁角亦天下所同次求丁丙边法曰丁丙者各地之北极距天顶也以北极髙度减象限得之次求白道九十度限之髙法曰既有丁角(即上所求)丁丑边(即先所求)丁丙边(即极距天顶)为一角两边可求丑丙边(为白极距天顶度)以减象限得白道九十度限距天顶亦即得其距地平之髙既得白道九十度限距地平之髙再求得月在白道上距九十度限之度分(法以月距交前交后度减象余即得)可求其交角(白道)(交天顶经度之角也)此交角可借黄道交角表用之 但须补作黄道北五度表既得交角则髙下差可知而东西南北差悉定矣康熙四十三年五月十七日乙卯朢月食分秒时刻并起复方位京师月食十分三秒初亏子正二刻三分 东北食既丑初三刻八分食甚丑正一刻二分生光丑正二刻一分复圆寅正初刻一分 正北稍偏西右计食限内凡十三刻十三分按食限内共十三刻十三分折半得六刻十四分故以此减食甚时刻得初亏(自初亏子正二刻三分至食甚丑正一刻二分正得六刻十四)(分)加食甚亦得复圆(自食甚丑正一刻二分至复圆寅正初刻一分亦得六刻十四分)是亏至甚甚至复时刻适均也时刻所以适均者月行天之度均也然则作图之法自当以食甚月体置于亏复两限适中之处而不宜偏侧矣今监颁蚀图乃偏置于东若是则亏至甚月行之度分多甚至复月行之度少度既不均则时刻亦宜増减若时刻既无増减则图之偏者必非正法矣又按食既至食甚食甚至生光时刻亦宜适均与亏至甚甚至复之理无二(厯书本法亏复折半之数谓之食甚距分以减食甚得初亏若以加)(食甚得复圆其食既至生光折半数谓之食既距分以减食甚得食既以加食甚亦得生光并无长短伸缩)今图中所注食既至食甚时刻多(食既是丑初三刻八分至食甚丑正一刻)(二分计一刻○九分)食甚至生光时刻少(食甚丑正一刻至生光丑正二刻一分只十四)(分)相差十分何也岂以食甚图偏而自疑其法耶不然何以若是又按交食表食甚距分是一时四十四分(即监推六刻十四分)食既距分是四十二分(实计二刻十二分)月食只十分○三秒食既生光不得有五刻九分之乆(倍食既距分得八十四分实五刻○九分)盖觉其非是而弃表不用也然表之数宜改而其法不宜改(表自既至生光五刻九分监推只二刻○八分是改数也厯书以距分加减食甚得既与生光而监推相)(差三分刻之二是改法也)今改其数幷改其法不知何所见而云然也或疑月行有迟疾自生光至食甚行迟故厯时刻多食甚至生光行疾故厯时刻少此亦说之可通者也然月之迟疾必以渐成决无于二刻八分中顿有十分之差(月平行二刻八分只行天三分度之一而弱)且食既生光既有迟疾之差初亏复圆何以独无可谓进退失据矣又按食甚云者以月于此时侵入暗虚独湥也则其距前后之时刻必为折中均平之处也故月食未既者必于食甚时定其食分以此时所蚀之分最大也(假如月食九分)(则惟食甚时能满九分前后皆少食八分以下尽然)是以谓之食甚若图有偏侧不得谓之食甚矣食未既时有食分以攷之(食分最多时始为食甚)食既矣则食甚无可指惟頼食既生光时刻折半取中而今乃相差若此又何所据而为食甚耶又详检之初亏至食既(计五刻五分)食既至食甚(计一刻九分)食甚至生光(计十四分不满一刻)生光至复圆(计六刻)无一相同而迟疾皆不伦初限较末限既先疾而后迟(初亏至食既五刻五分是初限行疾)(也生光至复圆整六刻是末限行迟也)二限较三限又先迟而后疾(食既至食)(甚一刻九分是次限行迟也食甚至生光只十四分而不满刻是三限又行疾也)是初亏行疾限至食既而忽迟食既行迟限至食甚而顿疾食甚行疾限至生光以后而又迟不识月转迟疾有如此行度否乎厯算全书卷二十五
## 卷二十六
钦定四库全书厯算全书卷二十六宣城梅文鼎撰交食蒙求卷一厯书有交食蒙求七政蒙引二目刻本逸去兹以诸家所用细草补之并稍为订定以便初学日食一求诸平行首朔根 检二百恒年表本年下首朔等五种年根并纪日录之朔䇿 用十三月表以所求某月五种朔策之数录于各年根下平朔 以首朔日时与朔实及纪日并之(满二十四)(时进一日满六十日去之)太阳平引 以太阳引根与朔策并之太隂平引 以太隂引根与朔䇿并之交周平行 以交周度根与朔策并之随视其宫度○宫二十度四十分内五宫○九度二十分外六宫十一度二十分内(十一)宫十八度四十分外以上俱有食再于实交周详之太阳经平行 以太阳经度根与朔䇿并之二求日月相距日定均 以太阳平引宫度检一卷加减表如平引满三十分进一度查之(记加减号)月定均 以太阴平引宫度检一卷加减表如平引满三十分进一度查之(记加减号)距弧 以日月定均同号相减异号相加即距弧距时 以距弧度分于四行时表月距日横行内检取相当或近小数以减距弧得时(视相当近小数本行上顶格所书时数录之即是)其余数再如法取之得时之分秒(依上法用相当近小数取之)并所得数即为距时随定其加减号两均相减者日大则减 日小则加两均相加者日大则加 日小则减两均一加一减者 加减从日三求实引日引弧 以距时时及分入四行时表取太阳平行两数(两数谓时及分下同)并之(依距时加减号)日实引 置太阳平引以日引弧加减之即得月引弧 检四行时表取距时(时分)下太阴平引两数并之(依距时加减号)月实引 置太阴平引以月引弧加减之即得四复求日月相距日实均 以日实引宫度检一卷加减表如实引满三十分进一度查之(记加减号)月实均 以月实引宫度检一卷加减表如实引满三十分进一度查之(记加减号)实距弧 以日月实均同减异加即得实距时 以实距弧度分检四行时表与前距时同(加减号亦同前)五求实朔实朔 置平朔以实距时加减之即得如加满二十四时者进一日不及减者借二十四时减之则退一日为实朔也六求实交周交周距弧 检四行时表以实距时(时分)取交周平行两数并之即得(依实距时加减号)交周次平行 置交周平行以交周距弧加减之即得实交周 置月实均(记加减号)以加减交周次平行即得实交周随视其宫度以辨食限凡阴厯○宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外凡阳厯六宫○八度二十分以内(十一)宫廿一度四十分以外实交周入此限者并有日食七求躔离实度日距弧 以实距时(时分)检四行时表取太阳平行两数并之即得(依实距时加减号)日次平行 置太阳经度平行以日距弧加减之即得日实度 置日实均(记加减号)以加减日次平行即日实度八求视朔加减时 以日实度检一卷加减时表(如日实度满三十分)(进一度取足)记加减号视朔 置实朔以加减时加减之即得九求径距较数月距地 以月实引查二卷视半径表月距地数即得(度取相近者用之)月半径 查月距地下层有太阴之数即月半径月半径 以日实引加减六宫检视半径表取太阳之数即得(日实引在六宫以下加六宫如四宫则用十宫实引)(在六宫以上减六宫如十宫则用四宫)并径 以日月二半径并之即是月实行 以月实引宫度(满三十分进一度查)检二卷太隂实行表(度取相近者用之)十求近时总时 检四卷九十度表(九十度表一名黄平象限表其表随地不)(同如在京师立算取四十度在江南取三十二度冬依极出地取本表用之)以日实度取表第一行宫度得相对第二行㡬时㡬分另以视朔时分与十二时相加减得数以加入之即为总时总时过二十四时去之用其余加减十二时法视朔在十二时以上 减去十二时(止用余数)视朔在十二时以下 加上十二时用之日距限 以总时(时分)入黄平象限本表第二行取其相对第三行九十度限下之宫度分用中比例得数与日实度相减即得日距限度分并东西号定东西法日实度大内减限度 日在限东日实度小去减限度 日在限西限距地髙 以总时(时分)相对本表第五行限距天顶数置象限九十度减之余数即限距地髙日赤道纬 以日实度在三宫以下者加九宫在三宫以上者减去三宫用检五卷太阳距赤纬表即得(记书南北号)日距地髙 以(日赤纬视朔时)检六卷髙弧表(髙弧随地不同各依北极)(髙度取用)先以纬度或南或北之数检右直行次以视朔检上横行其视朔满十二时去之用其余刻入表(假如十二时三十三分止以三)(十三分作二刻入表)不满十二时则置十二时减之用其余入表(加减余一时即作四刻)月髙下差 以九求月距地数及日距地髙度(满三十分)(进一度)检八卷太阳太阴视差表先以月距地数检右直行次以日距地髙检上横行得数内减去本数上之太阳视差分秒即月髙下差两圏交角 用本求日距限限距地髙(满三十分进一度)检七卷交角表(以限距地查左右直行以日距限检上横行用中比)(例取之)得数以减象限即得定交角 置交角加减白道角五度为定交角(实交)(周是○宫十一宫日距限在限西则减在限东则加若实交周是五宫六宫日)(距限在限西则加在限东则减)时差 用定交角月髙下差检八卷时气差表(以定交角检左右直行以月髙下差检上横行)即得时差(顺度用上)(时差号逆度用下时差号)近时距分 月实行化秒为一率六十分为二率时差化秒为三率二三相乗一率除之即得(零及半者收作一数)近时 置视朔以近时距分加减之即得(日在限西)(则加限东则减如定交角大于象限则反其加减 若适足象限则无时差即)(以视朔为食甚真时不用后法)十一求真时近总时 置总时以近时距分加减之即近总时(日在限西则加限东则减)日距限 以近总时如前法取之记东西号限距地髙 以近总时如前法取之日距地髙 以日赤道纬及近时如前法检髙弧表月髙下差 以九求月距地及(本求)日距地如前法检视差表两圏交角 以日距限限距地髙如前法检交角表(如前加减为定交角)近时差 以定交角度及月髙下差如前法检时气差表视行 以近时差与先得时差相减为较若先得时差小以较减之若先得时差大以较加之即为视行又㨗法倍先得时差内减去近时差得视行亦同真时距分 以十求内先得时差化秒与近时距分相乗为实以视行化秒为法除之即得真时 置视朔以真时距分加减之即真时(亦以)(限西加限东减)十二求考定真时真总时 复置总时以真时距分加减之(日在限西则加)(限东则减)即真总时日距限 限距地髙(并以真总时查) 日距地髙(以真时)月髙下差 两圏交角(定交角)以上并如前法(真时差气差) 以本求(定交角月髙下差)如前法取(时差表内得时差即)(得气差)以真时距分与月实行化秒相乗为实一小时化秒为法除之得数为真距度(秒六十收为分)食甚定时 以所得真距度与本求真时差相较若相等者即用真时为食定时(如此即不用后条距)(较考定法)距较度分 若(真距度真时差)相较有余分即为距较度分(差数秒不论)距时损益分 以真时距分与距较度分化秒相乗为实十求内先得时差化秒为法除之得数为距时损益分 若真时差大于真距度则为益分 真时差小于真距度则为损分(须记损益分)(考定)真时距分 置真时距分以所得损益分如号损益之即是(考定)食甚时 复置视朔时以考定真时距分加减之(东减西加并如原号)为考定食甚时十三求食分距时交周 以实朔与真时相减得较数如前法取四行时表交周度即得(限东为减号限西为加号)定交周 置实交周以距时交周加减之即得月实黄纬 以定交周检太阴距度表(依中比例求之式如左)假如定交周○宫十度十四分求共黄纬一率 全度六十分 二率 三百○七秒三率 小余十四分 四率 七十一秒以所得四率(七十一秒收为一分一十一秒)如十度黄纬共得黄纬五十二分五十七秒 其纬在北中比例加减法(表上数前少后多者加前多后少者减)辨月纬南北 并视定交用是(○宫十五宫六宫 一宫)其纬在(北南)月视黄纬 置月实黄纬以气差加减之即得视纬凡月实纬在南以气差加月实纬在北以气差减若实纬在北而气差大于实纬当以实纬转减气差为视纬其纬变北为南并径减距 置前并径内减去一分再以月视纬减之即并径减距如月视黄纬大于并径不及减则不得食矣食分 倍日半径为一率 十分为二率 并径减距为三率求得四率为食甚分秒十四求初亏时刻日食月行(复圆同用)以日实引检八卷日食月行表(分三表查)五六七宫在最髙限取(二三四八九十)宫在中距限取○一十一宫在髙冲限取(如日实引满十)(五度进一宫查之)法以月实引宫检直行(如月实引)(满十五度亦进一宫查之)又以月视黄纬分检上横行取纵横相遇之数即所求日食月行度分前总时 以十二求真总时内减一时即前总时日距限(记东西号若真时在限西而初亏限东则为异号) 限距地(并以前总时如法求之)日距地髙 置真时内减一时如前法以日赤纬检髙弧表月髙下差 以(九求)月距地及(本求)日距地髙如前法检视差表两圏交角(定交角)以(本求)日距限及限距地检交角表(如前法求之)前时差 以(本求)定交角及月髙下差如前法检时气差表差分 以(前真)时差相减并即差分(法恒用减惟定交角过九)(十度则相并角其东西异号者恒相并惟定交 过九十度则相减)视行 置月实行以差分加减之即得视行日在限(西东)前时差大则(加减) 小则(减加)若差分用并者则恒减(又若食甚真时定交角满象限)(无真时差可较即用前时差减或初亏定交角满象限无前时差即用真时差)(减并减实行为视行)初亏距时分 以本求视行化秒为一率一小时六十分为二率置日食月行分内减一分化秒为三率二三相乗为实一率为法除之得数即初亏距时(以满六十分为一时)初亏时刻 置真时(即食甚)内减去初亏距时分即初亏时刻十五求复圆时刻后总时 用十二求真总时加一时即后总时日距限 以后总时如前法求之(记东西号若真时在限东复员)(在限西为异号)限距地髙 以后总时取之并如前法日距地髙 用真时加一时以日赤纬检髙弧表(如前法)月髙下差 以月距地(九求)及本求日距地髙检视差表(如前法)两圏交角(定交角)以本求日距限限距地髙检交角表(如前法)后时差 以(本求)定交角及月髙下差检时气差表差分 以后时差与真时差相减并得差分(法同)(初亏)视行 置月实行以差分加减之即得视行日在限(西东) 后时差大则(减加)小则(加减)(若差分用并者恒减可又若食甚真时定交角满象限无真时差 较即用后时差或复)(员定交角满象限无后时差亦即用真时差法恒用减与初亏同)复圆距时分 置日食月行分(即初亏所用)内减一分化秒为三率一小时六十分为二率本求视行化秒为一率二三相乗为实一率为法除之得复圆距时(分满六十为时)复圆时刻 置真时恒以复圆距时加之即得十六求宿度黄道宿度 置日实宫命黄道宫名即食甚时黄道宫度(○宫起星纪)以各宿黄道宿钤近小者去减黄道宫度即得食甚时黄道宿度(记冩宿名)法以所求年距厯元戊辰之算乗岁差五十一秒加入宿钤然后减之如加岁差后宿钤转大于食甚黄道不及减退一宿再如法减之(如角宿不及减用轸宿是也)赤道宫度 以黄道宫度入一卷升度表对度取之(黄道满三十分进一度查)即得所变食甚时赤道宫度(记写宫名)或检仪象志八卷取用亦同赤道宿度 以所入宿黄道宫度并其宿南北纬度入仪象志八卷内如法求其宿赤道宫度置所得食甚时赤道宫度以本宿赤道宫度减之余为食甚时赤道宿度又法以弧三角求之其法别具(见补遗)定日食方位 食八分以上者初亏正西复圆正东不及八分者㸔月实黄纬号在南者初亏西南食甚正南复圆东南黄纬号在北者初亏西北食甚正北复圆东北○宫至五宫为阴厯其号在北六宫至十一宫为阳厯其号在南又法不论东西南北惟以人所见日体上下左右为凭详交㑹管见补遗带食法求日有带食若食在朝者初亏时刻在日出前食在暮者复圆时刻在日入后是有带食也求带食距分若带食在朝者以日出时刻在暮者以日入时刻并与食甚时刻相减余即为𢃄食距分辨食分进退凡日出入时刻在食甚前其所带食分为进也(食在朝为不见)(初亏尚可见食甚复圆日在暮为但见初亏不得见食甚复圆)若日出入时刻在食甚后其所带食分为退也(食在朝为不见)(初亏食甚但见复圆食在暮为可见初亏食甚不见复圆)若日出入时刻与食甚同则不用更求带食分即以原算食分为日出入时刻所带食分其食十分者为带食既出入(食在朝为不见初亏食在暮为不见复圆)求带食出入之分带(己退方进)之分者以(复圆初亏)距分化秒为法并以带食距分化秒日食月行化秒相乗为实实如法而一得数自乗又以月视黄纬化秒自乗并而开方得数收为分(以六十秒)(为分)得日出入时距纬以减并径余数以十分乘之为实太阳全径为法除之得日出入时带食之分算赤道宿度用弧三角法一求赤道纬度两极距二十三度三十一分半为一邉本宿距星去黄极度为一邉二邉相加为总相减为较总弧较弧各取余弦以总弧不过象限两余弦相减过象限相加并折半得初数 又以黄道经度为对角取其矢(黄道春分后三宫以)(正弦夏至后三宫以余弦并与半径相减为正矢秋分后三宫以正弦冬至后三宫以余弦并与半径相加为)(大矢)以乘初数为实半径为法除之得矢较以加较弧矢得赤道纬度矢矢与半径相加减得本宿赤道纬度正弦(加矢较后得数小于半径则转减半径为正弦其纬在北若加后得数大于半径则于内减去半径为正)(弦其纬在南)一求赤道经度以所得赤道纬度是北纬与象限相减南纬与象限相加为去北极度用与两极距度相加为总相减为较总较各取余弦以总弧不过象限两余弦相减过象限相加并折半为初数 又以宿去黄极度取矢与较弧矢相减得较以乗半径为实初数为法除之得角之矢与半径相加减得本宿赤道经度之弦(角之矢小于半径为正矢其经度在)(南六宫若矢度大于半径为大矢其经度在北六宫)春分至秋分半周为北六宫所得为大矢当于得数内减半径为赤道经度之弦春分后三宫为赤道正弦 夏至后三宫为赤道余弦秋分至春分半周为南六宫所得为正矢当置半径以得数减之为赤道经度之弦春分后三宫为赤道正弦 夏至后三宫为赤道余弦作日食总图法(依旧法稍为酌定)先定东西南北之向作正十字线其横者黄道也以左为东以右为西其立者黄道经圏也以上为北以下为南次以十字交处为心太阳半径为界规作图形以象太阳光体太阳居十字正中则东西南北各正其位矣次定食限十字心为心太阳太阴两半径相并为度(用太阳半径原度以后量)(视纬亦同)规作大圆于太阳之外是为食限太阴心到此圏界始得与太阳相切过此则不食也次求月道实交周在○宫十一宫为月道由阳厯入阴厯也法于圆周上下各自南北线左旋数五度识之(圆周并分三百六十度)若实交周是五宫六宫为月道由阴厯入阳厯也则于圆周上下各自南北线右旋数五度识之并以所识聫为直线必过圆心是为月邉上经线也于此线上从圆心量至月视黄纬为度(视纬在北自圆心向上量之视纬在南自圎心向下量之)即食甚时月心所到㸃也于此㸃作横线与月道经线相交如十字则自亏至复月行之道也此线两端引长与大圏相割东西各有一㸃即为初亏复圆时月心所到之㸃也(西为初亏东为复圆)次考食分初亏食甚复圆三㸃各为心以太隂半径为度作圆形以象月体即见初亏时太隂来掩太阳其邉相切复圆时太隂已离太阳其光初满食甚时太阴心与太阳心相距最近食分最深若以太阳全径分为十分则所掩分数惟此时与所算相符故谓之食甚也又初亏时或在日体正西或在西南西北复圆时或在日体正东或在东南东北食甚时或在日体正南或在正北或食十分则正相掩无南北并以太阳心为中论其南北东西一一皆如所算 又或有时太隂全径小于太阳全径十秒以上两心虽正相掩不能全食当依月径于太阳光界之内规作太隂即见四面露光之象为金环食也辨日实度大小法凡论日食在限东西并以日实度大于黄平限度则食在限东若小于黄平限度则食在限西其法有三其一日实度与限度同在一宫之内即以度分之多少为大小假如限度在寳瓶宫十度日实度在寳瓶宫十五度是日实度大则内减限度得食在限东五度也 若日实度在寳瓶宫七度是日实度小则置限度以日实度减减之得食在限西三度也其二日实度与限度不同宫则以一宫通作三十度然后相较假如限度在寳瓶宫十度日实度在双鱼宫十五度法以寳瓶宫十度作四十度(寳瓶是一宫一宫者三十度也既原带有三十度加入今)(限度十度共得限度四十度为自○宫初度算起也)以双鱼宫十五度作七十五度(双鱼是二宫原带有六七度加入今日实度十五度共得日实度七十五度亦自○宫初度算起也)相减得日实度大于限度三十五度为食在限东之距也若限度在寳瓶十度而日实度在磨羯十五度法以实瓶十度作四十度(解见上)与磨羯十五度相减(磨羯是○宫故只用)(本度亦是从○宫初度起算)得日实度小于限度二十五度为食在限西之距也其三日实度与限度不同宫而其宫相隔太逺如一在磨羯寳瓶双鱼一在天秤天蝎人马则以加十二宫之法通之然后相较假如限度在天蝎十五度日实度在寳瓶十度相隔太逺(天蝎是十宫寳瓶是一宫相隔九宫是太逺也)法当于寳瓶加十二宫得十三宫十度内减天羯十宫余三宫十度作一百度内又减天蝎宫原有十五度余八十五度为日实度大于限度之距而食在限东又如限度在双鱼宫五度日实度在人马宫二十五度(双鱼是二宫人马是十一宫相隔九宫)法当于双鱼加十二宫得十四宫○五度内减人马十一宫余三宫○五度作九十五度内又减人马宫原有二十五度余七十度为日实度小于限度之距而食在限西凡限度为地平上黄道半周之最髙度日实度或在其东或在其西皆距限度在一象限内若过象限即在地平以下不得见食矣故无隔三宫以上之事然反有隔九宫以上者右旋一周之度毕于人马(十一宫)而复起磨羯(○宫)故以加十二宫之法通之而隔九宫以上者距度反近亦只在三宫以下为象限内而已厯算全书卷二十六
## 卷二十七
钦定四库全书歴算全书卷二十七宣城梅文鼎撰交食䝉求卷二日食附说第一求恒年表以首朔为根何也曰首朔者年前冬至后第一朔也因算交㑹必于朔望故以此为根也根有五种曰干支也太阳太隂各平引也太隂交周太阳经度各平行也太阳太隂各二而干支者所以纪之也西厯于七政皆起子正而此处首朔日食有小余者交㑹无一定之时故也纪日者年前冬至次日之干支也首朔日时者年前十二月朔距冬至之日时也以此相加得首朔之干支及其小余矣于是再以逐月之朔实加之得各月平朔干支及其小余矣太阳平引与其经度不同何也曰太阳引数从最髙冲起算而经度从冬至起算也冬至定于○宫初度最髙冲在冬至后六七度且每年有行分此西厯与古法异者也第二求日定均者即古法之盈缩差也月定均者迟疾差也距弧者平朔与实朔进退之度也距时者平朔实朔进退之日时也因两定均生距弧因距弧生距时即古法之加减差也第三求第四求五求平朔既有进退矣则此进退之时刻内亦必有平行之数故各以加减平行而为实引也实引既不同平引则其均数亦异故又有实均以生实距弧及实距时也夫然后以之加减平朔而为实朔也平朔古云经朔实朔古云定朔然古法定朔即定于第二求之加减差其三求四求之法古亦有之谓之定盈缩定迟疾则惟于算交食用之而西厯用于定朔此其微异者也第六求(原为第九)朔有进退则交周亦有进退故有实交周按古法亦有定交周其法相同然必先求次平行者以实朔原有两次加减也只用月实均者其事在月也其序原居第九今移此者以辨食限也第七求(原为第六)经度有次平行者以实朔有两次加减故经行亦有两次加减乃得日实度也只用日实均者其事在日也第八求问平朔者古经朔也实朔者古定朔也何以又有视朔曰此测騐之理因加减时得之古法所无也何以谓之加减时曰所以求实朔时太阳加时之位也盖厯家之时刻有二其一为时刻之数其一为时刻之位凡布算者称太阳右移一度稍弱为一日又或动天左旋行三百六十一度稍弱为一日此则天行之健依赤道而平转其数有常于是自子正厯丑寅复至子正因其运行之一周而均截之为时为刻以纪节候以求中积所谓时刻之数也凡测候者称太阳行至某方位为某时为某刻此则太虚之体依赤道以平分其位一定于是亦自子正歴丑寅复至子正因其定位之一周而均分之为时为刻以测加时以候凌犯所谓时刻之位也之二者并宗赤道宜其同矣然推二分之日黄赤同㸃(经纬并同)二至之日黄赤同经(纬异经同)则数与位合(所算时刻)(之数太阳即居本位与所测加时之位一一相符)不用加减时其过此以徃则二分后有加分加分者太阳所到之位在实时西二至后有减分减分者太阳所到之位在实时东也然则所算实朔尚非实时乎曰实时也实时何以复有此加减曰正惟实时故有此加减若无此加减非实时矣盖此加减时分不因里差而异(九州万国加减悉同非同南北东西差之随地而变)亦不因地平上髙弧而改(髙弧虽有髙下加减时并同非若地半径及蒙气䓁差之以近)(地平多近天顶少)而独与实时相应(但问所得实时入某节气或在分至以后或在分至)(以前其距分至若同即其加减时亦同是与实时相应也)故求加减时者本之实时而欲辨实时之真者亦即徴诸加减时矣其以二分后加二至后减何也曰升度之理也凡二分以后黄道斜而赤道直故赤道升度少升度少则时刻加矣二至以后黄道以腰围大度行赤道杀狭之度故赤道升度多升度多则时刻减矣假如所算实朔巳定于某日午正时而以在二分后若干日当有加分则太阳加时之位必在午正稍西从而测之果在午正之西与加分数合即知实朔之在午正者真也又如所算实朔是未正而在二至后当有减分太阳加时之位必在未正稍东从而测之果在未正之东与减分数合即知实朔之在未正者确也加减时即视时也一曰用时其实朔时一曰平时加减时之用有二其一加减实时为视时则施之测騐可以得其正位如交食表之加减是其正用也其一反用加减以变视时为实时则施诸推步可以得其正算如月离表之加减是其反用也然其理无二故其数亦同也(月离表改用时为平时即是据所测视时求其实时以便入算)古今测騐而得者并以太阳所到之位为时故曰加时言太阳加临其地也然则皆视时而已视时实时之分自厯书始发之然有至理厯家所不可废也第九求(原为十求)月距地者何即月天之半径也月天半径而谓之距地者地处天中故也地恒处天中则半径宜有恒距而时时不同者生于小轮也月行小轮在其髙度则距地逺矣在其卑度则距地近矣每度之髙卑各异故其距地亦时时不同也日半径月半径者言其体之视径也论其真体日必大于月论其视径日月略相䓁所以能然者日去人逺月去人近也然细测之则其两视径亦时时不䓁此其故亦以小轮也日月在小轮髙处则以逺目而损其视径在其卑处则以近日而増其视径矣检表法不同者视半径表并起最髙而加减表太阳引数起最卑太隂引数起最髙故月实引只用本数而日实引加减六宫也并径者日月两半径之縂数也两半径时时不同故其并径亦时时不同而时分之深浅因之亏复之距分因之矣月实行者一小时之实行也其法以月距日之平行每日分为二十四限即一小时平行也各以其应有之加减分加减之即一小时之实行也虽亏复距甚未必皆为一小时而以此为法所差不逺(此与授时用迟疾行度内减八百二十分)(者同法)第十求(原为十一)縂时者何也以求合朔时午正黄道度分也何以不言度而言时以便与视朔相加也然则何不以视朔变为度曰日实度者黄道度也时分者赤道度也若以视朔时变赤道度亦必以日实度变赤道度然后可以相加今以日实度变为时即如预变赤道矣此巧算之法也其必欲求午正黄道何也曰以求黄平象限也(即表中九十度)(限)何以为黄平象限曰以大圏相交必互相均剖为两平分故黄赤二道之交地平也必皆有半周百八十度在地平之上(黄道赤道地平并为浑圆上大圏故其相交必皆中剖)其势如虹若中剖虹腰则为半周最髙之处而两旁各九十度故谓之九十度限也此九十度限黄赤道并有之然在赤道则其度常居正午以其两端交地平常在卯正酉正也黄道则不然其九十度限或在午正之东或在午正之西时时不䓁(惟二至度在午正则九十度限亦在午正与赤道同法此外则无在午正者而且时)(时不同矣)其两端交地平亦必不常在卯正酉正(亦惟二至度在午正)(为九十度限则其交地平之处即二分㸃而黄道与赤道同居卯酉此外则惟赤道常居卯酉而黄道之交于)(地平必一端在赤道之外而居卯酉南一端在赤道之内而居卯酉北)而时时不等故也(黄道东交地平在卯正南其西交必酉正北而九十度限偏于午规之西若东交地平在卯正北其西交地平)(必酉正南而九十度限偏于午正之东则半周如虹者时时转动势使然也)盖黄道在地平上半周之度自此中分则两皆象限若从天顶作线过此以至地平必成三角而其势平过如十字故又曰黄平象限也(地平圏为黄道所分亦成两半周若从天顶作弧线过黄平象限而引长之成地平经度)(半周必分地平之两半周为四象限而此经线必北过黄极与黄经合而为一)问黄平象限在午正必二至日有之乎曰否每日有之也凡太阳东升西没成一昼夜则周天三百六十度皆过午正而西故每日必有夏至冬至度在午正时此时此刻即黄平象限与子午规合而为一每日只有二次也自此二次之外二至必不在午正而黄平象限亦必不在二至矣观浑仪当自知之黄平象限表以极出地分何也曰凖前论地平上黄道半周中折之为黄平象限其两端距地平不䓁而自非二至在午正则黄道之交地平必一端近北一端近南(亦前论所明)极出地渐以髙则近北之黄道渐以出近南之黄道渐以没而黄平象限亦渐以移此所以随地立表也求黄平象限何以必用縂时曰黄平象限时时不同即午规之地亦时时不同是午正黄道与黄平象限同移也则其度必相应是故得午正即得黄平(黄平限为某度其午正必)(为某度谓之相应然则午正为某度即黄平限必某度矣故得此可以知彼)而縂时者午正之度也此必用縂时之理也日距限分东西何也曰所以定时差之加减也(凡用时差日在)(限西则加日在限柬则减)日距地髙何也曰所以求黄道之交角也(时差气差并生于交角又)(生于限距地及限距日)二者交食之关键而非黄平象限无以知之矣日距地髙何也谓合朔时太阳之地平纬度也亦曰髙弧髙弧之度随节气而殊故论赤纬之南北赤纬之南北同矣又因里差而异故论极出地极出地同矣又以加时而变故又论距午刻分极出地者南北里差距午刻分者东西里差也合是数者而日距地平之高可见矣日赤纬加减宫数者何也纬表○宫起春分而日实度○宫起冬至故三宫以下加九宫三宫以上减去三宫以宫数变从纬表也视朔时加减十二时者何也求太阳距午刻分也日在地平上之弧度惟正午为髙其余则渐以下或在午前或在午后皆以距午为㫁其距午同者髙弧之度亦同也视朔满十二小时是朔在午后也故内减十二时用其余为自午正顺数若不满十二时是朔在午前则置十二时以视朔减之而用其余为自午正逆推即各得其距午之刻分矣其必求髙弧者何也所以求月髙下差也髙下差在月而求日距地髙者日食时经纬必同度故日在地平之髙即月髙也何以为月髙下差曰合朔时太隂之视髙必下于真髙其故何也月天在日天之内其间尚有空际故地心与地面各殊地面所见谓之视髙以较地心所见之真髙徃徃变髙为下以人在地靣傍视而见其空际也故谓之月髙下差(地心见食谓之真食地靣见食谓之视食真食有时反不见食见视食时反非地心)(之真食纵使地心地靣同得见食而食分深浅亦必不同凡此皆月髙下差所为也)月髙下差时时不同其縁有二其一为月小轮髙卑即第九求之月距地数也在小轮卑处月去人近则距日逺而空际多髙下差因之而大矣在小轮髙处月去人逺则距日近而空际少髙下差因之而小矣其一为髙弧即本求之日距地髙也髙弧近地平从旁视而所见空际多则髙下差大矣髙弧近天顶即同正视而所见空际少则髙下差小矣(若髙弧竟在天顶即与地心所见无殊无髙下差)小轮髙卑天下所同髙弧损益随地各异故当兼论也两圏交角何也曰日所行为黄道圏以黄极为宗者也人在地平上所见太阳之髙下为地平经圏以天顶为宗者也此两圏者各宗其极则其相遇也必成交角矣因此交角遂生三差日食必求三差故先论交角也何以谓之三差曰髙下差也东西差也南北差也是谓三差三差之内其一为地平纬差即髙下差前条所论近地平而差多者也其一为黄道经差即东西差其一为黄道纬差即南北差此三差者惟日食在九十度限则黄道经圏与地平经圏(即髙弧)相合为一而无经差故但有一差(无经差则但有纬差是无东西差而有南北差也而两经纬既合为一则地平之髙下差又即为黄)(道之南北差而成一差)若日食不在九十度而或在其东或在其西则两经圏不能相合为一遂有三差(月髙下差恒为地平髙弧之纬)(差而黄道经圏自与黄道为十字正角不与地平经合以生经度之差角是为东西差又黄道上纬度自与黄)(道为平行不与地平纬度合以生纬度之差角是为南北差东西南北并主黄道为言与地平之髙下差相得)(而成句股形则东西差如句南北差如股而髙下差常为之弦合之则成三差也)因此三差有此方见日食彼方不见或此见食分深彼见食分浅之殊故交食重之而其源皆出于交角得数减象限何也以表所列为余角也表何以列余角曰三差既为句股形则有两圏之交角即有其余角而交角所对者为气差(即南北差)余角所对者为时差(即东西差)作表者盖欲先求时差故列余角然与两圏交角之名不相应故减象限而用其余以归交角本数也定交角何也所以求三差之真数也何以为三差真数曰日食三差皆人所见太隂之视差而其根生于交角则黄道之交角也殊不知太隂自行白道与黄道斜交其交于地平经圏也必与黄道之交不同角则所得之差容有未真今以隂阳厯交黄道之角加减之为定交角以比两圏交角之用为亲切耳(详补遗)时差古云东西差其法日食在东则差而东为减差减差者时刻差早也日食在西则差而西为加差加差者时刻差迟也其故何也太阳之天在外太隂之天在内并东升而西降而人在地靣所见之月度既低于真度则其视差之变髙为下者必顺于黄道之势故合朔在东升之九十度必未食而先见(限东一象限东下西髙故月之真度尚在太阳之西未能追及于日而以视差)(之变髙为下亦遂能顺黄道之势变西为东见其掩日矣)若合朔在西降之九十度必先食而后见(限西一象限黄道西下东髙故月之真度虽已侵及太阳之体宜得相掩而以)(视差之故变髙为下遂顺黄道之势变东而西但见其在太阳之西尚逺而不能掩日矣)而东西之界并自黄道九十度限而分此黄平象限之实用也问日月以午前东升午后西降何不以午正为限而用黄平象限乎曰此西法之合理处也何以言之日月之东升西降自午正而分者赤道之位终古常然者也日月之视差东减西加自九十度限而分者黄道之势顷刻不同者也若但从午正而分则加减或至于相反授时古法之交食有时而踈此其一端也问加减何以相反曰黄平限既与午正不同度则在限为西者或反为午正之东在限为东者或反为午正之西日食遇之则加减相违矣假如北极出地四十度设午正黄道(即縂时)为寳瓶十七度其黄平限为䨇鱼十一度在午正东二十四度而日食午初日实度躔二宫二度在限西九度宜有加差若但依午正而分则食在午前反当有减差是误加为减算必先天矣又设午正为天蝎二度其黄平象限为天秤八度在午正西二十四度而日食午正后二刻日实度躔九宫二十四度距限东十六度宜有减差若但依午正而分则食在午后反有加差是又误减为加算必后天矣时差表有倒用之说何也曰此亦因交角表误列余角也今既以交角表之数减九十度为用则交角已归原度而此表不湏倒用矣近时距分者何也即视朔时或加或减之时刻分也所以有此加减者时差所为也然何以不径用时差曰时差者度分也以此度分求月之所行则为时分矣(查厯指所谓时差即近时距分而东西差即时差表皆易之今姑从表以便查数也)近时何也所推视朔时与真朔相近之时也食在限东此近时必在视朔时以前故减食在限西近时必在视朔时以后故加十一求(原为十二)近縂时何也近时之午正黄道度也朔有进退午正之黄道亦因之进退故仍以近时距分加减十求之视朔午正度为本求之近时午正度既有近时又有近时之午正度则近时下之日距限及距限地髙日距地髙以及月髙下差两圏交角凡在近时应有之数一一可推因以得近时之时差矣(内除月距地数)(在九求日赤纬在十求并用原数其余并改用近时之数故皆复求然求法并同十求)既得时差可求视行视行者何也即近时距分内人目所见月行之度也何以有此视行曰时差所为也盖视朔既有时差则此时差所到之度即视朔时人所见月行所到差于实行之较也视朔既改为近时则近时亦有时差而又即为人所见近时月行所到差于实行之较矣此二者必有不同则此不同之较即近时距分内人所见月行差于月实行之较矣故以此较分加减时差为视行也本宜用前后两小时之时差较加减月实行为视行(如用距分减视)(朔者则取视朔前一小时之时差若距分加视朔者则取视朔后一小时之时差各取视朔时差相减得较以)(加减月实行即为一小时之视行)再用三率比例得真时距分法为月视行与一小时若时差度与真时距分也今以近时内之视行取之其所得真时距分䓁何以明其然也曰先得时差即近时距分之实行也实行之比例䓁则视行之比例亦䓁一 一小时实行 一小时视行 法为一小时之实行与二 一小时 一小时 一小时若时差度与近三 时差(近时距分之实行)视行(即近时距分之视行)时距分则一小时之视四 近时距分 近时距分 行与一小时亦若视行度与近时距分也一 一小时视行 视行 今一小时视行与一小二 一小时 近时距分 时既若时差与真时距三 时差 时差 分则视行与近时距分四 真时距分 真时距分 亦必若时差与真时距分矣问视行之较一也而或以加或以减其理云何曰凡距分之时刻变大则所行之度分变少故减实行为视行若距分之时刻变小则所行之度分变多故加实行为视行假如视朔在黄平限之东时差为减差而近时必更在其东其时差亦为减差乃近时之时差所减大于视朔所减是为先小后大其距分必大于近时距分而视行小于实行其较为减又如视朔在黄平限之西时差为加差而近时必更在其西时差亦为加差乃近时之时差所加大于视朔所加是亦为先小后大其距分亦大于近时距分而视行亦小于实行故其较亦减二者东西一理也若视朔在黄平限东其时差为减而近时时差之所减反小于视朔所减又若视朔在黄平限西其时差为加而近时时差之所加反小于视朔所加此二者并先大后小则其距分之时刻变小矣时刻变小则视行大于实行而其较应加东西一理也如图戊为黄平象限甲为视朔甲乙为视朔时差甲丙甲丁并近时时差其甲乙时差为视朔时顺黄道而差低之度变为时即为近时距分此分在限东为减差若在限西即为加差其理一也若以甲丙为近时差则大于甲乙其较度乙丙依实行比例求其较时则距分变而大矣距分变大者行分变小法当于甲乙差度内减去乙丙较度(即乙庚)其余如甲庚则是先定甲乙距分行行甲乙度者为实行而今定甲乙距分只行甲庚度者为视行也故在东在西皆减也又若以甲丁为近时差则小于甲乙其较乙丁依实行比例求其较时则距分变而小矣距分变小者行分变大法当于甲乙差度外加入乙丁较度(亦即乙庚)成甲庚则是先定甲乙距分行甲乙度者为实行而今定甲乙距分能行甲庚度者为视行也故在东在西皆加也㨗法用倍时差减近时差何也曰即加减也何以知之曰凡时差先小后大者宜减今于倍小中减一大是于先得时差内加一小时差减一大时差也即如以较数减先时差矣先大后小者宜加今于倍大内减一小是于先得时差内加一大时差减一小时差也即如以较数加先时差矣数既相合而取用不烦法之善者也真时距分者何也即视朔时或加或减之真时刻也其数有时而大于近时距分亦有时而小于近时距分皆视行所生也视行小于实行则真时距分大于近时距分矣视行大于实行则真时距分小于近时距分矣其比例为视行度于近时距分若时差度与真时距分也真时何也所推视朔之真时刻也真时在限东则必早于视朔之时真时在限西则必迟于视朔之时此其于视朔并以东减西加与近时同惟是真时之加减有时而大于近时有时而小于近时则惟以真时距分为㫁不论东西皆一法也若真时距分大于近时距分而在限东则真时更先于近时在限西则真时更后于近时是东减西加皆比近时为大也若真时距分小于近时距分而在限东则真时后于近时在限西则真时先于近时是东减西加皆比近时为小也十二求(原为十三)真縂时何也真时之午正黄道也故仍以真时距分加减视朔之縂时为縂时(即是改视朔午正度为真时午正度)近时既改为真时即食甚时也然容有未真故复考之考之则必于真时复求其时差而所以求之之具并无异于近时所异者皆真时数耳(谓日距限限距地髙日距地髙月髙下差两圏)(交角䓁项并从真时立算)是之谓真时差既得真时差乃别求真距度以相恭考则食甚定矣(考定)(真时全在此处)何以为真距度曰即真时距分内应有之月实行也盖真时差是从真时逆推至视朔之度真时距分内实行是从视朔顺推至真时之度此二者必相等故以此考之考之而䓁则真时无误故即命为食甚定时也其或有不䓁之较分则以法变为时分而损益之于是乎不䓁者亦归于相䓁是以有距较度分考定之法也距较度分者距度之较也损益分者距时之较也其比例亦如先得时差度与真时距分故可以三率求也真时差大者其距时亦大故以益真时距分益之则减者益其减原在限东而真时早者今乃益早若加者亦益其加原在限西而真时迟者今则益迟矣 真时差小者其距时亦小故以损真时距分损之则减者损其减原在限东而真时早者今改而稍迟若加者亦损其加原在限西而真时迟者今改而稍早矣如是考定真时距分以加减视朔为真时即知无误可谓之考定食甚时也气差古云南北差凖前论月在日内人在地靣得见其间空际故月纬降髙为下夫降髙为下则亦降北为南矣此所以有南北差也(南北差生于地势中国所居在赤道之北北髙南下故也)然又与髙下差异者自天顶言之曰髙下自黄道言之曰南北惟在正午则两者合而为一髙下差即为南北差其余则否气差与时差同根故有时差即有气差而前此诸求但用时差者以食甚之时未定重在求时也今则既有真时矣当求食分故遂取气差也(时差气差并至真时始确)十三求(原为十四)距时交周何也即实朔距真时之交周行分也故以实朔与真时相减之较查表数然何以不用视朔曰原算实交周是实朔故也定交周者何也真时之月距交度也食甚既定于真时则一切视差皆以食甚起算故必以实朔交周改为食甚之交周斯之谓定交周也月食黄纬者食甚时月行隂阳厯实距黄道南北之纬度也月视黄纬者食甚时人所见月距黄道南北纬度则气差之所生也月行白道日行黄道帷正交中交二㸃月穿黄道而过正在黄道上而无距纬其距交前后并有距纬而每度不同然有一定之距是为实纬实纬因南北差之故变为视纬即无一定之距随地随时而异但其变也皆变北为南假如月行隂厯实纬在黄道北则与黄道实逺者视之若近焉故以气差减也若月行阳厯实纬在黄道南则与黄道实近者视之若逺焉故以气差加也至若气差反大于实纬则月虽隂厯其实在黄道北而视之若在南故其气差内减去在北之实纬而用其余数为在南之视纬也并径减距者何也并径所以定食分减距所以定不食之分也距者何也即视纬也并径则日月两半径之合数也假令月行阴厯其北纬与南北差同则无视纬可减而并径全为食分其食必既其余则皆有距纬之减而距大者所减多其食必浅距小者所减少其食必深是故并径减余之大小即食分之所由深浅也若距纬大于并径则日月不相及或距纬等于并径则日月之体相摩而过不能相掩必无食分矣并径内又先减一分何也曰太阳之光极大故人所见之食分必小于真食之分故预减一分也然则食一分者即不入算乎曰非也并径之分度下分也(毎六十分为一度)食分之分太阳全径之分也(以太阳全径十平分之假)(令太阳全径三十分则以三分为一分)是故并径所减之一分于食分只二十余秒问日月两半径既时时不同则食分何以定曰半径虽无定而比例则有定但以并径减余与太阳全径相比则分数覩矣(分太阳全径为十分即用为法以分并径减距之余分定其所食为十分中几)(分)有时太阴径小于太阳则虽两心正相掩而四面露光厯家谓之金环是其并径亦小于太阳全径虽无距纬可减而不得有十分之食故也(细草原用表今改用三率)(其理较明法亦简易)十四求日食月行分者何也乃自亏至甚之月行度分也(自甚至复)(同用)其法以并径减一分常为弦视纬常为句句弦求股即得自食甚距亏与复之月行度分矣(按此即授时厯开方求定用分之法所异者并径时时增减与旧法日月视径常定不变者殊耳)前总时何也即食甚前一小时之午正度也得此午正度即可得诸数以求前一小时之时差谓之前时差前时差与真时差之差分即视行与实行之差分故以差分加减实行得视行也假如日在限西而前时差大于真时差是初亏所加多而食甚所加反少也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小则行分大故以差分加实行为视行若日在限西而前时差小于真时差是初亏所加少而食甚所加渐多也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大则行分必小故以差分减实行为视行若日在限东而前时差大于真时差是初亏所减多而食甚所减渐少也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行若日在限东而前时差小于真时差是初亏所减少而食甚所减反多也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行食甚定交角满象限不用差分何也无差分也何以无差分曰差分者时差之较也食甚在限度即无食甚时差无可相较故初亏径用前时差复圆径用后时差又食甚在限度则初亏距限东而前时差恒减复圆距限西而后时差恒加减时差则初亏差而早加时差则复圆差而迟其距食甚之时刻并变而大也时刻大者行分小故皆减实行为视行(又若初亏复圆时定交角满象限亦无差分而径用食甚之时)(差减实行为视行与此同法其初亏复圆距食甚之刻分亦皆变大而行分变小也视行之理此为较著)初亏距时分者初亏距食甚之时刻也用上法得视行为食甚前一小时之数而初亏原在食甚前则其比例为视行之于一小时犹日食月行之于初亏距时故可以三率取之也(日食月行减一义见前条)既得此初亏距分则以减食甚而得初亏时刻也十五求后縂时者即食甚后一小时之午正度分也用此午正度得诸数以求后一小时之时差为后时差又以后时差与真时差相较得差分以加减实行为视行并同初亏但加减之法并与初亏相反假如日在限西而后时差大于真时差是食甚所加少而复圆所加多则甚至复之时刻亦变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行若日在限西而后时差小于真时差是食甚所加多而复圆所加反少则甚至复之时刻亦变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行假如日在限东而后时差大于真时差是食甚所减少而复圆所减反多则甚至复之时刻变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行若日在限东而后时差小于真时差是食甚所减多而复圆所减少则甚至复之时刻变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行(食甚在限度求视行之理已详十四求)复圆距时分三率之理并与初亏同惟复圆原在食甚后故加食甚时刻为复圆时刻十六求黄道宫度内减宿钤何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小于日实度宫度故以相减之较为食甚时所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星东行之度即古岁差法也因岁差所加故有宿钤在日实度以下而变为日实度以上则食甚时所入非其宿矣故退一宿用之也其以岁差(五十一秒)乘距算(本年距歴元戊辰)之数各宿并同虽退一宿所加不异也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度则不可以升度取何也各宿距星多不能正当黄道而在其南北各有纬度故必以弧三角求之为正法也此后原有十七求以算东西异号今省不用何也曰东西异号之算厯书语焉不详故细草补作之亦有思致但所求者仍为黄平象限之东西故必复求定交角今于十四求十五求即得定交角为白道限度之东西简易直㨗可不必更多葛籐矣故省之也附说补遗求縂时条加减十二时问求縂时与求日距地髙二条并以视朔与十二时相加减然后用之而用法不同何也曰求縂时条是欲得午正黄道距春分之升度故并从午正后顺推(如视朔过十二)(时则内减十二时而用其余数是从午正后数其距视朔之时刻也若视朔不及十二时则以十二时加之是)(从先日午正后数其距今视朔之时刻也故其法皆为顺数)日距地髙条是欲得视朔距午正之度故各从午正前后顺推逆数(如视朔为十二时去)(之而用其余数是从视朔时逆推其己过午正之刻也若视朔不满十二时则置十二时以视朔时减之而用)(其余数是从视朔顺数其未及午正之刻也二其视朔满十二时减去之两法并同惟视朔不满十 时用法)(则异)附又法问视朔在午前若用减十二时法亦可以得縂时乎曰可其法亦如求日距地髙置十二时以视朔时减之求到视朔未至午之刻去减日实度距春分时刻(即九十度表第)(二行对日实度之时刻)亦即得縂时与上法同此法可免加满二十四时去之然遇日实度距春分时刻不及减又当加二十四时然后可减矣假如日实度是春分后相距只一时而视朔在午正前三时是为日实度小不及减法当以日实度加二十四时作二十五时减去三时余二十二时为总时定交角或问问定交角满象限以上反其加减何也曰此变例也西厯西加东减并以黄道九十度限为宗今用定交角则是以白道九十度限为宗而加减因之变矣问白道亦有九十度限乎歴书何以未言曰歴书虽未言然以大圏相交割之理征之则宜有之矣何则月行白道亦分十二宫(视月纬表可见)则亦为大圏其交于地平也亦半周在地平上则其折半之处必为白道最高之处而亦可名之为九十度限矣(或可名白道限度)若从天顶作高弧过此度以至地平则成十字正角而其圏必上过白道之极成白道经圏与黄平象限同(黄平象限上十字经圏串天顶与黄道极故亦成黄道经圏与此同理)月在此度即无东西差而南北差最大与高下差等(前论月在黄平象限无东)(西差而即以高下差为南北差其理正是如此但月行白道当以白道为主而论其东西南北始为亲切)若月在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差但其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平限异故有反其加减之用也问如是则白道亦有极矣极在何所曰白道有经有纬(凡东西差皆白道经度南北差皆白道纬度)则亦有南北二极为其经纬之所宗但其极与黄极恒相距五度以为定纬(虽亦有小小増减而)(大致不变)其经度则岁岁迁动至满二百四十九交而徧于黄道之十二宫则又复其始(约其数十九年有竒)法当以黄极为心左右各以五纬度为半径作一小圆以为载白道极之圏再以正交中交所在宫度折半取中即于此度作十字经圏必串白道极与黄道极矣则此圏之割小圆㸃即白道极也问何以知此圏能过黄白两极也曰此圏于黄道白道并作十字正角故也(凡大圏上作十字圏必过其极)问此圏能串两极则限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白两极而未必其串天顶如黄道上极至交圏也若限度则必串天顶以过白极而未必其过黄极如黄道上之黄平限也是故白道上度处处可为限度亦如黄道上度处处可为黄平限但今在地平上之白道半周某度最髙即其两邉距地平各一象限从此度作十字经圏必过天顶而串白道之两极何也此圏过地平处亦皆十字角即与地平经圏合而为一所谓月髙下差即在此圏之上矣(惟白道半交为限度能与黄平限同度此外则否况近交乎故)(必用定交角也)以定交角推白道限度白道限度大约在黄道交角之八十五度(定交角三此满象限过此)(则有异号)若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之东乃白道限度则更在其东而原以限东宜减者今或以定交角大而变为限西宜加矣若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而变为限东宜减矣以上二宗并离午正益逺交食遇此则古法益踈而新法犹近若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其东而原以限东宜减者今以定交角大而变为限西宜加矣若定交周是五宫六宫而黄平限在午正东乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而变为限东宜减矣以上二宗并离黄平限而近午正交食遇此则有时古法反亲而新法反踈若白道限度径在午正则古法宻合矣由是观之加减东西差宜论白道明甚厯书略不言及岂非缺陷之一大端问定交角者所以变黄道交角为白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生于限度者也交角变则限度移矣故先得限度可以知交角(交角之向指以距限东西而异交角)(之大小以距限逺近而殊)而既得交角亦可以知限度故不必复求限度也其加减以五度何也曰取整数也古厯测黄白大距为六度(以西度通之得五度五十四分竒)西厯所测只五度竒而至于朔望又只四度五十八分半今论交角故祗用整数也(若用)(弧三角法求白道限度所在及其距地之髙并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前)(交后故也)问五度加减后何以有异号不异号之殊曰近交时白道与黄道低昻异势者也(惟月在半交能与黄道平行亦如二至黄道之与赤道平)(行也若交前交后斜穿黄道而过不能与黄道平行亦如二分黄道之斜过赤道也故低昻异势)然又有顺逆之分而加减殊焉其白道斜行之势与黄道相顺者则恒减减惟一法(减者角损而小也虽改其度不变其向)若白道与黄道相逆者则恒加加者多变遂有异号之用矣(加者角増)(而大也増之极或满象限或象限以上遂至改向)是故限西黄道皆西下而东髙限东黄道皆西髙而东下此黄道低昻之势因黄平象限而异者也而白道正交(○宫十一宫也即古法之中交)自黄道南而出于其北亦为西下而东髙(黄道半周在地平上者偏于天顶之南以南为下北为上正交白道自南而北如先在黄道之下而)(出于其上故比之黄道为西下而东髙也)白道中交(五宫六宫也即古法之正交)自黄道北而出于其南亦为西髙而东下(白道自北而南如先在黄道之上而出于)(其下故比之黄道为西髙而东下也)假如日食正交而在限西日食中交而在限东是为相顺相顺者率于交角减五度为定交角是角变而小矣角愈小者东西差愈大故低昻之势増甚而其向不易也(限西黄道本西下东髙而正交白道又比黄道为西下东髙则向西之角度变小而差西度増大其时刻)(迟者益迟矣限东黄道本西髙东下而中交白道又比黄道为西髙东下则向东之角度变小而差东之度増)(大其时刻早者益早矣是东西之向不易而且増其势也)假如日食正交而在限东日食中交而在限西是为相逆相逆者率于交角加五度为定交角是角变而大矣角愈大者东西差愈小故低昻之势渐平而甚或至于异向也(限东黄道本西髙东下而正交白道比黄道为西下东髙则向东之角渐大而差东度改小时)(刻差早者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向东者改而向西时刻宜早者反差迟矣限西)(黄道本西下东髙而中交白道为西髙东下则向西之角渐大而差西度改小时刻差迟者亦渐平若加满象)(限则无时差乃至满象限以上则向西者改而向东而时刻宜迟者反差而早矣)凡东西差为见食甚早晚之根如上所论定交角所生之差与黄道交角无一同者则欲定真时刻非定交角不可也若但论黄道交角时刻不真矣凡东西差与南北差互相为消长而南北差即食分多少之根如上所论则欲定食分非定交角不能也但论黄道交角食分亦悮矣差分有用并之理问差分本以两时差相较而得(十四求已有备论)今乃有用并之法何也曰异号故也此其白道限度必在两食限之间(或限度在甚与复两限之间则食甚在限东而复圆限而或限度在亏与甚之间则食甚在限西而初亏)(限东)两食限一距限东一距限西其两时差必一为减号一为加号是为东西异号无可相较故惟有相并之用也乃若定交角大于象限则先为同号而变为异号其食甚必在黄平限及白道限度之间(食甚在黄平限西白道限度东则先推食)(甚复圆同号者变为异号矣食甚在黄平限东白道限度西则先推食甚初亏同号者变为异号矣)两食限既变为东西异号则其两时差亦一加一减变为相并矣问异号恒相并固也乃复有定交角过九十度而仍用相较为差分者何也曰此异号变为同号也其黄平限必在两食限之间而白道限度或反在食限之外则能变异号为同号(假令黄平限在复与甚之间甚距限东复距限西本异号也而复圆之定交角)(过象限则白道限度必又在复圆之西而先推黄平限复圆在西者今推白道限度复圆在限东即复圆食甚)(变为同号矣又加黄平限在亏与甚之间亏距限东甚距限西本异号也而初亏之定交角过象限则白道限)(度必又在初亏之东而先推黄平限初亏在东者今推白道限度初亏在限西即初亏食甚变为同号矣)又如前论食甚在黄平限及白道限度之间能变同号为异号即亦能变异号为同号(凖前论食甚在黄平限西白道限度东能变食)(甚与复圆异号则先推食甚与初亏异号者今反同号矣若食甚在黄平限东白道限度西能变食甚与初亏)(异号则先推食甚与复圆异号者今反同号矣)凡此之类变态非一皆于定交角取之故可以不用十七求也相并为差分者并减实行为视行之理问用差分取视行有减实行加实行之异而相并为差分者一例用减何也曰凡相较为差分者有前小后大前大后小之殊故其于实行有减有加(觧见前条)减者常法加者变例也(凡减实行为视行者在限东者益差而东在限西者益差而西食限中如此者多故)(为常法若加实行为视行者限东者反损其差东之度在西者反损其差西之度乃偶一有之故为变例)若相减为差分者不论前后之大小縂成一差故于实行有减无加只用常法也(十四求附说论食甚初亏复圆三限定交角满象限并用时差)(减实行与此同理盖彼以无可相较故径用一时差此则虽有两时差不以相较而且以相益故其时刻并变)(大而行分变小故皆减实行为视行也)己为天顶 庚为黄道极 丑寅癸为地平 子为黄平象限度 子辛丙癸为地平上黄道之一象限 甲乙丁壬为黄道北纬 己乙丙寅为地平经圏 乙为天上太隂实纬(在黄道北) 丙为人所见太隂视度(正当黄道)乙丙为髙下差(是地平上髙弧差) 乙丁为东西差(是黄道经度差)丙丁为南北差(是黄道纬度差) 盖髙卑差以天顶为宗下至地平为直角南北差以黄极为宗下至黄道为直角东西差以中限为宗下至黄极为直角而其根皆生于地靣与地心不同视之故也设太隂实髙在乙视髙在庚髙弧上乙庚之距为髙下差从黄极出经线至太隂实度(乙)又从黄极出经线至视度庚必过(丁)黄道上乙丁之距为东西差实度乙正当黄道视度庚在黄道南其距丁庚纬度与乙丙䓁是为南北差设太隂实髙在庚视髙在乙髙弧上庚乙之距为髙下差从黄极出经线二一过实髙庚指黄道度丁一过丙至视度乙黄道丁乙之距为东西差(与丙庚䓁)实度庚在黄道北其纬度庚丁与丙乙䓁视度乙正当黄道无纬度丙乙为南北差(与丁庚䓁)设太隂实髙在辛视髙在庚髙弧上辛庚之距为髙下差从黄极出经线二一过太隂实髙度辛至黄道乙乙为实度一过北纬甲及黄道丁至太隂视髙度庚丁为视度黄道上乙丁之距为东西差(与甲辛丙庚䓁)月实纬辛在黄道北其距辛乙与甲丁䓁视纬庚在黄道南其距丁庚与乙丙䓁甲庚为南北差(与辛丙䓁)厯算全书卷二十七
## 卷二十八
钦定四库全书厯算全书卷二十八宣城梅文鼎撰交食䝉求卷三(订补)月食一求诸平行首朔根 查二百恒年表本年下首朔等五种年根并纪日录之朔策望策 用十三月表以所求某月五种朔策并望策之数录于各年根之下平望 以首朔日时与朔策望策并纪日并之(满二十四时进一日满六十日去之)太阳平引 以太阳引根与朔策望策并之(满十二宫去之)(后并同)太隂平引 以太隂引根与朔策望策并之交周平行 以交周度根与朔策望策并之随视其宫度以辨食限○宫○六宫十五度以内五宫十一宫十五度以外以上宫度俱有食太阳经平行 以太阳经度根与朔望二策并之二求日月相距日定均 以太阳平引宫度查一卷加减表如平引满三十分进一度查之(记加减号)月定均 以太隂平引宫度查一卷加减表如平引满二十分进一卷查之(记加减号)距弧 以日月定均同号相减异号相并即得距时 以距弧度分于四行时表月距日横行内查得相当或近小数以减距弧得时(视相当近小数本行上顶格所书时数录之即是)其余数再如法查取得时之分秒(依上法用相当近小数取之)并所查数即为距时随定其加减号两均同加者日大则加 日小则减两均同减者日大则减 日小则加两均一加一减者 加减从日三求实引日引弧 以距时时及分查四行时表太阳平行两数并之(依距时加减号)日实引 置太阳平引以日引弧加减之即得月引弧 查四行时表取距时时分下太隂平行两数并之(依距时加减号)月实引 置太隂平引以月引弧加减之即得四复求日月相距日实均 以日实引宫度查一卷加减表如实引满三十分进一度查之(记加减号)月实均 以月实引宫度查一卷加减表如实引满三十分进一度查之(记加减号)实距弧 以日月实均同减异加即得实距时 以实距弧度分查四行时表与前距时同(加减号亦同前)五求实望实望 置平望以实距时加减之即得如加满二十四时则进一日不及减借二十四时减之(则实望退一日)六求实交周交周距弧 查四行时表实距时时分下交周平行两数并之即得(依实距时加减号)交周次平行 置交周平行以交周距弧加减之即得(凡加者满三十度进一宫满十二宫去之为○宫减者遇所减度数反小则加)(三十度退一宫减之○宫度不及减则加十二宫然后减之)实交周 置月实均(记加减号)以加减交周次平行即得七求月距黄纬月距黄纬 以实交周查太隂距度表依中比例法求之假如实交周十一宫十九度十四分先以十九度查得五十六分五十三秒又以十九度与二十度之数相减得较五分○七秒化作三百○七秒与实交周小余十四分相乘用六十分为法除之得七十一秒収作一分十一秒以减十九度之数得五十五分四十二秒即月距纬(其纬在南)中比例加减法 视表上数前(少多)后(多少)者(加减)又法 视表上宫名在上者以所得中比例数加○宫六宫是也 表上宫名在下者以所得中比例数减五宫十一宫是也辨交食月纬南北法视实交周是(○六)宫(五一十)宫其纬在(北南)八求径距较数月半径 以月实引查二卷视半径表即得影半径 月半径下层即景半径景差 以日实引加减六宫查视半径表即得实景 景半径内减去景差即实景并径 以实景加月半径即得并径减距 置并径以月距纬减之即得如距纬大于并径不及减则不得食矣九求食分食分 以月半径倍之为一率并径减距为二率月食十分为三率二三相乘一率除之即得食分十求躔离实度日距弧 以实距时时分查四行时表太阳平行两数并之即得(依实距时加减号)日次平行 置太阳经平行以日距弧加减之即得日实度 置日实均(记加减号)以加减日次平行即得月实度 以日实度加减六宫即月实度(记写宫名)十一求视望加减时 以日实度查一卷加减时表即得(记加减号)视望 置实望以加减时加减之即得十二求所食时刻月实行 以月实引查二卷太隂实行表得之(实行)(表三度一查假如某宫一度二度俱在○度下查若四度五度俱在三度下查)(余倣此)初亏距弧 以距纬加并径与并径减距相乘平方开之即得初亏距(时分) 置距弧用三率法化时即得食既距弧 实景内减去月半径余数与距纬相加为和相减为较和较相乘平方开之即得食既距(时分) 置距弧用三率法化时即得三率法月实行化秒为一率六十分为二率(初亏)(食既)距弧化秒为三率求得(初亏食既)距(时分)为四率初亏时刻 置视望以初亏距(时分)减之即初亏时刻复圆时刻 置视望以初亏距(时分)加之即复圆时刻食限縂时 复圆时刻内减去初亏时刻即縂时食既时刻 置视望以食既距(时分)减之即食既时刻生光时刻 置视望以食既距(时分)加之即生光时刻既限縂时 生光时刻内减去食既时刻即得十三求宿度黄道宿 以黄道距宿钤减月实度即得(记写宿名)其宿钤每年加岁差行五十一秒如实度小于宿钤不及减改前宿赤道宫度 以月实度用弧三角求之即得(记写宫名)(求赤道经纬弧三角法见日食䝉求下同)赤道宿度 以所入宿黄道经纬(加过岁差之宫度为经其纬用恒星)(表取之)用弧三角法求到本宿赤道经度以减月赤道度得食甚时赤道宿度(如不)(及减取前一宿如法用之)十四求各限地平经纬各限交周 置实交周以初亏食既距弧加减之得各限交周(以查月距度表得各限月纬)黄白差角 定为四度五十九分(此朔望交角也各限有微差可以不论)是○宫(十一)宫上方差角在黄经度西是五宫六宫上方差角在黄经度东用月实度入极圏交角表取其余度即得是(○一二三四五)宫上方差角在赤经度西是(六七八一九十十)宫上方差角在赤经度东月赤道差 以所推黄白黄赤两差角东西同号者相并异号者相减即得(记东西号)其异号以小减大并以度之大者为主命其东西以上所推食甚时差角各限同用(各限亦有微差可以勿论)距午度分 置各限时刻如在子后者即为距午时(此从午正顺数)如食在子前者置二十四时以各限时刻减之余为距午时(此从午正逆推)再以时变为度即得各限太隂距午度分时变度法 每一时变十五度每时下一分变度下十五分时下四分成一度时下一秒变度下十五秒时下四秒成一分秒满六十収为分分满六十収为度各限髙度(即地平纬)以极距天顶为一邉月实度距北极为一邉(以黄赤距度南加北减象限得之)二邉相加为縂相减为存存縂各取余弦相加减(縂弧不过)(象限相减縂弧过象限相加若存弧亦过象限则仍相减)并折半为初数(各限同用)乃以各限距午度取其矢(距午)(度过象限则用大矢)以乘初数去末五位为矢较用加存弧矢得对弧矢矢减半径得余弦命为髙度正弦查表得髙度(所得对弧即月)(距天顶乃髙度之余故其余弦即髙度正弦)一率(半径)二率(角之矢)三率(初数)四率(两矢较)各限方向(即地平经)以极距天顶为一邉月距天顶为一邉(髙度之余)二邉相加为縂相减为存存縂各取余弦相加减(并如髙度法)如法取初数(各限)(不同)乃以月距北极为对弧取其矢(月在赤道)(南用大矢)与存弧矢相减为矢较进五位为实初数为法实如法而一得所求矢(即地)(平经度皆子午规所作天顶角度分之大小矢)矢与半径相减得余弦查其度命为月距正子午方地平经度(凡正矢去减半径得锐角余弦其度子后食者逆推子前食者)(顺数并距正子方立算大矢内减半径得钝角余弦其度子后食者顺数子前)(食者逆数并距正午方立算即得各限月在地平上方位)一率(初数)二率(两矢较)三率(半径)四率(角之矢)地经方位度分钤(锐角用本度钝角用外角度并以余弦查表取之)地经赤道差 以月距北极为一邉月距天顶为一邉二邉相加为縂相减为存存縂各以余弦相加减(如前法)取初数(各限不同)以天顶距北极为对邉取其矢(各限同用)与存弧矢相减得矢较进五位为实初数为法实如法而一得差角矢(从北极作赤道经圏过月心又从天顶作髙弧过月心得此差角)矢减半径得余弦命度(记东西号)地经白道差 置所推地经赤道差以月赤道差加减之(东西同号者相并异号者相减)即得各限白道经度差于地经髙弧之数(记东西号)若月赤道差大于地经赤道差法当反减其号东西互易并以月赤道差之号命其东西(月食)(有初亏子前复圆子后者各依本限论之各限时刻在子前用子前法在子后)(用子后法) 此线所指即月行白道之极(犹赤)(经线之指北极)订补月食绘图法赤经主线 縂图先作立线以象赤道经此线上指北极下指南极线左为东线右为西为作图主线暗虚食限 主线上取一㸃为心地景半径为度作圆形以象暗虚 又以暗虚心为心并径(景半径月半径相加)为度作大圆于暗虚之外是为食限 又径较为度(景半径月半径相减)作小圆于虚暗之内是为既限黄道交角 以月实度入极圏交角表取之命为食甚时黄道与赤经所作之角黄道线 依黄道交角度分作角于主线左右皆自主线起算数食限上度分作识向暗虚心作直线令两端透出即上下各成相对二角并如黄道交赤道之角而此线象黄道凡上方角度(右顺左逆)下方角度(左顺右逆)并自主线起算数食限大圆周度分作识从此作过心直线至对邉则角度皆䓁白道经度 依所推月赤道差角于赤经左右数其度(亦借圆邉数之其左右如先所推)作识向圆心作直线而透出之即食甚时白道经线白道 亏复各取月纬于黄道上下作两平行虚线(阳厯用南纬此二平行线作于黄道下方隂厯用北纬作两平行线)(于黄道上方)虚线两端必与食限大圆相遇而各成一㸃依法各取其合用之㸃聫为一直线即自亏至复所行白道也(交前)(先逺后近以逺㸃为初亏近㸃为复圆交后先近后逺以近㸃为初亏逺㸃为)(复圆初亏㸃在西复圆㸃在东隂阳厯并同一法)白道线与经线相遇成十字角十字中心一㸃即食甚时月心所到也以月半径为度从心作圆形以象食甚时月体即见其为暗虚所掩分数与所推月食分秒相符(法以月体匀分十分即见此时月入暗虚若干分数或全)(在其中而为食既或深入其中而食既外尚有余分一一皆可见)又此时月心与暗虚心正对其相距之分即食甚时月纬与所推亦合亏复真象 又以白道割外圆之㸃各为心月半径为度作小圆二以象初亏复圆时月体即见初亏时月以邉渐入暗虚复圆时月体全出暗虚其先缺后盈之㸃皆有定在食既生光 若食既者白道必横过内园(即既限)亦相割成两㸃即食既生光时月心所到也两㸃各为心月半径为度作圆形二以象食既生光时月体即见食既时月体全入暗虚而光尽失生光时月体渐出暗虚而光欲吐其欲既未既欲吐未吐之时月体必有一㸃正切暗虚之邉皆有定处取白道简法 不必求亏复月纬但以月距黄纬于白道经线作识(隂厯在北阳厯在南并距暗虚心立算)为食甚月心所到从此作横线与经线十字相交即成白道(余同上)右縂图以上为北下为南左为东右为西中西厯法所同也若月食子正即赤道经与午规为一而所测如图然各限时刻不同(假如初亏子正复圆必在子后若复圆子正初亏必在子)(前相距有十二三刻以上化为度有相距三四十度以上)则经线午规相离而南北东西易位食近卯酉变态尤多非精于测算不能明也故有后法新増月食分图法髙弧主线 作立线以象髙弧(上指天顶下指地平)不论东西南北在何方位并以天顶为宗直指其上下左右是为各限绘图之主线白道线 主线上取一㸃为心规作月体(并以所推月半)(径度分为半径其周分三百六十度)月邉上方数所推各限地经白道差之度作识(差东者逆数向左差西者)(顺数向右并从主线上方割圆周处起算)从此作过心直线即白道经线也于月心作横线与白道经线十字相交以象白道十分真像 白道经线上于月心起算取月距黄纬作识(隂厯作识于月心之下方阳厯作识于月心之上方并如月距黄纬)(度分以月半径之度凖之)即暗虚心也(月距黄纬即食甚时两心)(之距)暗虚心为心实景半径为度作圆分于月体即见食甚时月入暗虚被掩失光晦明邉际了了分明受蚀处所 视月邉所缺若干度分(在月全周三百六十度中亏若)(干)其与白道经线相割处必正对暗虚(即缺邉度折半取中之㸃)即旧法所谓月食方位也此㸃或在月体之上或在月体之下与其左右一一可指其余光若新月或大或小必皆曲抱此㸃而斜侧仰俯皆可豫定其形(算缺邉度法别具)若食既者不用此条食之深浅 又以月体全径分为十分(于白道经线上分之)即食甚时亏食深浅或被食若干分数而有余光或全入暗虚月光全失而为食既(即食十分)或深入暗虚而食既之外尚有余分(即食十一二分以上至十六七分不䓁)并丝毫不爽初亏复圆 如法作主线及月体白道(并如食甚)乃于白道上自月心取初亏距弧之度作识(初亏)(于月心之左复圆于月心之右即食甚时月心所到)从此作垂线截如月距黄纬之度(阳厯向上作之隂厯向下作之即食)(甚时两心之距)垂线末为暗虚心从暗虚心作直线至月心必割月邉此㸃即初亏复圆时先缺后盈之㸃(在初亏则此处先缺在复圆则此处)(后盈)并可以月体之上下左右命之(又㨗法于)(初亏距弧作识处以月距黄纬为度依上下之向作弧分虚线于月心以并径)(为度亦作弧分虚线两虚线交处即闾虚心从暗虚心作虚直线割月邉至月)(心即于割㸃作识命为先缺后盈之㸃可不作垂线直线)(若以实景半径为度从暗虚心向月邉作半圆以象暗虚其邉与月邉相切即)(先缺后盈之像益复分明)食既生光 立主线绘月体取白道经线作白道(并如)(初亏复圆)白道上以食既距弧度作识(食既于月)(心之左生光于月心之右并自月心起算与亏复同)从此作垂线寻暗虚心(阳厯向上隂厯向下并如月距黄纬之度亦同亏复)作直线自暗虚心过月心至邉即食既生光时后入先出之㸃(欲既未既时此处有余光后没光欲)(生时此处有微光先吐)于月体之上下左右皆有定处(㨗法以月距黄纬于食既距弧作识处依隂阳歴之向作虚弧又以径较为度)(自月心依左右之向作虚弧两虚弧交处即暗虚心从暗虚心作直虚线过月)(心至邉即食既时后没生光时先见之㸃)(若以实景半径从暗虚心作半圆以包月体即见食既时月体全入暗虚生光)(时月体将出暗虚而各有二邉相切之一㸃 若暗虚半径稍缩其度则食既)(时后没余光生光时微光先吐皆了然可见)月𢃄食法辨月有𢃄食 月食子后者视复圆时刻若在日出后月食子前者视初亏时刻若在日入前是有𢃄食也若日出入时刻与食甚相同者不用布算即以所推食分为𢃄食分诸限时刻有与日出入同者亦然皆不必推𢃄食𢃄食距时 𢃄食在朝者以日出时刻在暮者以日入时刻并与食甚时刻相减余即为𢃄食距时(法同日食)𢃄食距弧 初亏距时化秒为法初亏距弧化秒与𢃄食距时化秒相乘为实实如法而一得数为𢃄食距弧(秒满六十収为分)𢃄食距心径 以𢃄食距弧月距黄纬各自乘两数相并平方开之得数为𢃄食距心径(法实俱化)(秒得数収分)𢃄食分秒 月全径(化秒)为一率月食十分(化秒)为二率置并径内减𢃄食距心径余数(化秒)为三率求得四率即月出入时𢃄食分秒(秒满)(六十収分)凡𢃄食分必小于食分(食既者𢃄食必不满)(十分若满十分为𢃄食既出入其减余必大于月全径)一法置𢃄食距心径内减径较(月半径影半径)(之较)余数化秒为三率如上法求之得未食余光分秒以转减月食十分为𢃄食分秒(如𢃄食距心径小于径较不及减者为𢃄食既出入其𢃄食距时必)(小于食既距时)辨食分进退 凡月出入时刻(即日出入时刻)在食甚前其所𢃄食分为进(𢃄食在朝者为但见初亏不见食甚复圆在暮者为)(不见初亏但见食甚及复圆若食既者在朝为见初亏不见食既或见食既而)(必不见生光复圆在暮为不见初亏但见食既或并不见食既而但见生光复)(圆)若月出入时刻在食甚后其所𢃄食分为退(在朝为见初亏食甚不见复圆在暮为不见亏与甚但见复圆若食)(既者在朝为但见初亏食既食甚生光不见复圆或并不见生光在暮为不见)(初亏食既食甚生光但见复圆或并可见生光)𢃄食作图法縂图 以𢃄食距心径为半径暗虚心为心作圆周取其与白道横线相割㸃为月出入时月心所到用此为心如法作圆以象出入地平时月体即见其时月体有若干分秒在暗虚内与所算𢃄食分相符(圆周割白道必有二㸃当以𢃄食分进退详其左右如法取之)分图 如法先求月出入时地经白道差法曰以黄赤距度(用月实度取之)取余弦(即存弧余)(弦又即縂弧余弦)命为初数(縂存两余弦同数故也)以极出地度正弦减半径命为对弧矢(即极距天)(顶之矢)以黄赤距度取矢(即存弧矢)二矢度相减得较数进五位为实初数为法法除实得差角矢(矢减半径得余弦以余弦查表得度)即月出入时地经赤道差(𢃄食在朝者差角在西若在暮者差角在)(东)㨗法 以黄赤距度之余弦内减极出地之正弦得余数进五位为实仍以黄赤距度之余弦为法除之得差角矢若月实度正与二分同度即以极距天顶度分命为地经赤道差不湏布算凡各限时刻有与日出入同者并可依此法求其地经赤道差角置地经赤道差以各限同用之月赤道差加减之(东西同号者加异号者减)即月出入时地经白道差(记东西号)次作髙弧主线(如各限法)规作月体于圆邉数地经白道差之度作识(依白道差东西之号并自髙弧上方交月邉处起算差东者逆而向左差)(西者顺而向右)从此作过心直线以象白道经线又于月心作十字横线以象白道(其法)(并同各限)白道上以𢃄食距弧为度作识(即食甚月心所)(到也𢃄食分进者此㸃在月体左方退者在月体右方)从此作垂线(阳厯作垂线向上隂厯作垂线向下)截其长如月距黄纬之度(即暗虚心所在)从此向月心作直线至对邉(此即月出入时月与暗虚两心相对之径线)乃分月体为十匀分(即于径线上分之)末以暗虚心为心实景半径为度作圆分于月体内即见月体在暗虚内有㡬何分与所推𢃄食分秒相符其余光若新月者偃仰纵横皆如所见矣康熙五十七年戊戌二月十五甲午日夜子初二刻八分望月食分秒起复时刻方位 (依厯书本法)月食十七分三十一秒初亏 亥初二刻十三分食既 亥正三刻食甚 夜子初二刻八分生光 十六日子正二刻一分复圆 丑初二刻三分食限内共计十五刻五分既限内七刻八分食甚月离黄道鹑尾宫二十五度五十三分为翼宿六度食甚月离赤道鹑尾宫二十六度一十四分为翼宿十四度三十八分以上诸数并主京师立算江南省月食分秒宿度并同惟各限时刻加八分右图为黄道上日月躔离右旋之度自西而东乃步算之根也日行迟月行疾暗虚地影居日之冲故暗虚之行即日行也初亏时月在暗虚之西及至复圆遂出其东日月并右旋而有迟速于斯著矣月道之交于黄道也有隂厯焉有阳厯焉有交前交后焉今二月月食交后隂厯也距交逺则黄纬大而受蚀浅距交近则黄纬小而受蚀深今距交未及一度黄纬只四分故入影最深而食分最大自甲至卯共十七分竒厯厯可数也自丙至丁为自亏至复月行之度折半于乙为食甚故亏至甚甚至复时刻俱等与算数相符按图索之了如指掌矣(若乙㸃稍偏即度有参差与算理不合)亥初三刻六分月食初起髙四十七度二十四分距正午东五十度零四分 在巽方初见微蚀处在月体下方之左亥正三刻九分月食至尽髙五十五度二十九分距正午东三十度零三分 在巳方欲既未既些少余光在月体右上右图为地平上太隂加临方向东升西没其行左旋乃测騐之用也假如欲候初亏法以盘针考定巽方定为月食初亏时地平经度(又法择平地画以圆圏对子午卯酉作十字线分圆周为四自)(卯至午匀分九十度自午至酉亦如之乃自午向卯数五十度为初亏方位各限俱如是)候至亥时初三刻(用星晷香漏或自鸣钟定之)其时太隂巳到巽方在地平上髙四十七度竒(用象限仪等器测之)即见月体下方偏左处渐有微缺是为月食初亏在月体下方之左也 此不论东西南北惟以月体对天顶处为上对地平处为下左右亦然测时湏正身直立向月平观即上下左右丝毫不爽 食既䓁各限并同子正二刻九分月光始生髙五十七度五十分过午正西十八度三十一分 在丁方微光初见时在月体左方稍下丑初二刻十一分月光尽复髙五十五度半过午正西二十七度三十九分 在未方光欲满时些少微缺在月体右方畧上因五限縂图限于尺幅月影缩小故复作分图以便测騐内惟食甚月在暗虚地形深处聊可得其地平经纬无上下左右可言故分图只四限厯算全书卷二十八
## 卷二十九
钦定四库全书厯算全书卷二十九宣城梅文鼎撰古算衍略古算器攷或有问于梅子曰古者算学亦有器乎曰有曰何器曰古用筹筹何似曰汉书言之矣用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍絫又世说言王衍持牙筹㑹计此用筹之明证也曰若是则筹可用竹亦可用牙矣然则即今之筹笇非欤曰非也今西厯用筹亦起徐李诸公葢从厯家之立成而成即立成表之活者耳故一筹即备九数若古之用筹用以纪数而无字画故一筹只当一数乘除之时以筹纵横列于几案一望了然观古算字作祘葢象形也然则起于何时曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍当一数则其来逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其制而加长长则不可以横故皆纵列惟分二象两之后挂一䇿以别之使无凌杂余皆纵列也又其数只四十九故四揲以稽其实数其用専専则诚也布算之法有十百千万之等以乗除而升降又日用必需之物故其制短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小于今尺才四寸竒葢亦取其便于手握耳(浦江吴氏中馈录有算条巴子切肉长三寸各如算)(子様亦可以想其长短)然则其用之若何曰五以下皆纵列六以上则横置一筹以当五而纵列其余(式详后)然则十百千万何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域欧逻写算之位皆顺手势不得不同也曰亦有征欤曰有之蔡九峰洪范皇极数所纪算位一至五皆纵列六至九皆横一于上以当五又自一之一至九之九皆并列两位自左而右此用于宋者也又授时厯草所载乘除法实之式皆纵横排列自左而右以万千百十零为序此用于元者也左传史赵言亥有二首六身下二如身为绛县老人日数士文伯知其为二万六千六百六旬而孟康杜预颜师古释之皆以为亥字二画在上其下三六为身如笇之六葢横一当五又竖一于横一之下则为六矣与皇极同也又言下亥二画竖置身傍葢即竖两笇为二万又并三六为六千六百六旬而四位平列与厯草同此又用于三代及汉晋者也曰厯草又有一至五横纪之处何欤曰此亦非起于厯草也何以知之唐人论书法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是书其言笇子即所列筹也然兼横直画言之则唐人用筹为算亦有横直可知干凿度云卧算为年立算为日葢位数多者恐其相混故三十三二十二之类笇位皆一纵一横以别之纵即立算横即卧算也干凿度不知作于何人然其在汉魏以前无可疑者则横直相错之法古有之矣五以下既可易纵为横则六以上横一当五者亦可易之而纵又何疑于厯草哉曰然则今用珠盘起于何时曰古书散亡苦无明据然以愚度之亦起明初耳何以知之曰归除歌括最为简妙此珠盘所恃以行也然九章比类所载句长而澁葢即是时所创后人踵事増华乃更简快是书为钱塘吴信民作其年月可攷而知则珠盘之来则自不逺按钦天监厯科所𫝊通轨凡乘除皆有定子之法惟珠算则可用然则珠算即起其时又尝见他书元统造大统厯访求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然则珠盘之法葢即伯玉等所制亦未可定曰南雷畣牧斋流变三疉之问既云长水分别算位本位是竖进一位即是横本位是横进一位即是竖又引凿度卧算立算以证之矣然其所图算位俱作圆㸃殊无横直之形何耶曰南雷固言今之算器数分于珠是指珠算也又云长水之算只用今器其所谓横竖者分别算位南雷之意葢谓长水姑借横竖之语以分算位而实用珠算非实有横竖也然以(鼎)观之疏既以一横二竖当十二复以一竖二横当百二十终以一横二竖当千二百而皆曰进动算位明是用筹非用珠也故当十进百之时则当取去第一叠零位之二竖而加十位之一横为二横又添一竖于百位则成百二十矣故曰进动算位为第二叠也百进千则又取去十位之二横而増一竖于百位为二竖又别増一横于千位成千二百故亦曰进动算位为第三叠也说本明晰与今珠算何涉乎若如南雷所图则横竖字为赘文矣是故布筹可纵可横此亦一证又按朱子语类云潜虚之数用五只似如今算位一般其直一画则五也下横一画则为六横二画则为七此又一证也(蔡九峰皇极数以横画当五故下竖一画为六竖二画为七与此相反然)(理则相通厯草则兼用之葢皆本之古法)古布算式皇极数图(见性理大全)厯草算式立差 定平差 定平积右式皆因数有雷同故纵横列之以为别亦自然之理也乘除法实式(亦见厯草)亥字二首六身攷左传襄公三十年三月癸未绛县老人曰臣生之岁正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也师旷曰鲁叔仲恵伯㑹郤成子于承匡之岁也(注鲁文公十一)(年乙巳岁)七十三年矣(注自乙巳岁至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢计其全数而)(言未满七十三年也)史赵曰亥有二首六身(注言亥字上二画为首六画为身如算之)(六者三也春秋时有此字体□)下二如身是其日数也(注如徃也言除下亥上二画徃)(置身旁也□便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也葢以亥之二画为二万之数以三六之算为六)(千六百六旬之数也)士文伯曰然则二万六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也筹有色以分正负沈存中括笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而巳日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有迟有速难以一术御故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也按此又宋算用筹之明证方田通法序学必有原不得其原不可以为学九数之学具列周官而孔子言游艺在志道据徳依仁后唐十经博士期业成以五年可形下视哉客岁之冬从竹冠先生饮令弟乐翁所得观先生捷田歌括离竒出没杯酒间未深领其趣属他故覊治城且匝月既无携书可破岑寂乃稍忆所疑演而通之因浩然叹数学之有源虽至近若方田而易简中精深尔尔也算具不具仗三寸不聿为之今年春里中有事履亩或见问桐陵法遂出斯编相质命曰方田通法云阏逢执徐日躔在奎勿庵梅文鼎识方田通法太极生生之数数始于天一终于地十十亦一也天地之地始终乎一故曰太一太一者太极也自极而仪而象而卦皆加一倍三加而止万事托始焉是故制器者尚其象玑衡八尺周于八方寻常则之以度百物葢取诸此两地之数一生二二者两地也两一则二两二则四两四则八两八则十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤两则之以权百物葢取诸此参天之数一生二二生三三者参天也参一而三参二而六参四而十有二参八而二十有四作厯者以纪中节八节二十四气八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而玑围二十有四斤之两十有六而铢二十有四二十有四者权度之所生数之纲也从而十之以为地纪而畆法生焉畆法二百四十步 古法步百为畆畆百为夫今二百四十步为畆相𫝊起于唐太宗步法五 合参两则五犹合四行为土土之生数也倍五则十土之成数也乗者从生故平方五尺为步而用以乗除者从成故积步二百四十为畆而用以除方田原法以所丈田横步与其纵步相乗得数为实以一畆二百四十步为法除之满法为畆不满退除为分厘 田之为字衡缩相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圆或直或梯或斜或如牛角或为矢弧不皆方故为之法以方之大约不离横纵者近是九章之术首列方田君子絜矩之道欤截归法或八归三归各一次或四归六归各一次或五因一十二归 邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以观已减法或折半减二或减六减五各一次 即定身除也飞归法进一除二四 进二除四八 进三除七二 进四除九六 五除一二 一四四作六 一六八作七 一九二作八 二一六作九 见一加三隔位四 见二加六隔位八 不尽者留法喝之又三六作一五 六作二五 八四作三五 一○八作四五 一三二作五五 一五六作六五 一八作七五 二○四作八五 二二八作九五留法一留退四一六六 二留退八三三三 三留一二五四留一六六六六 五留二○八三三 六留二五七留二九一六六 八留三三三三三 九留三七五 其法是除用之似乗以其为除后得数也故谓之留 若用以喝稍者言退者本位不则进一位或稍子位多者喝完总移进之更妙凡加留减者如加减法只记原实于各挨身加减之若原用因法者则又下一位挨加减之皆记原实以留法喝之言退者各又退一位以上截留飞减四法皆于乗土之后用以求畆惟留法则有不尽故长于喝稍后有用两求斤留法附录之 一退六二五 二一二五 三一八七五 四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五 八五 九五六二五 十六二五十一六八七五 十二七五 十三八一二五 十四八七五 十五九三七五新増径求畆步法其法不用乘土以所得横纵之歩先得者为实后得者为法径求之可以抵掌而办原法二十有二竹冠道士衍为百二十有三勿庵氏引而伸之且三百八十有四也倚数之妙乃至斯乎而岂有外于参两乎又岂有加于所谓一者乎法列如后减二 即十二除凡法之可以两者皆减二是为畆法之半或折半六归之八除 或二十五于下位加之凡法之可以参者皆八除是为畆法三分之一四十八除 即折半飞归也凡法之可以五者皆四十八除是两其畆法也四除 或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是为畆法六分之一六除 凡法之可以四者皆六除是为畆法四分之一三除 凡法之可以八者皆三除是为畆法八分之一下加 凡法之上位得一者皆下加上加 凡法之下位得一者皆上加凡加毕再用留法或飞归之折半 凡法之十二者皆折半为畆法六分之五减六 凡法之可以十五者皆减六即两求斤留法也为畆法三分之二又为六分之四减五 凡法之可以十六者皆减五即十五除也为畆法八分之五加留减留 凡法之可借上者皆加留可借下者则减留所以通其穷也随数喝畆 凡二十四则随数喝之倍法 凡四十八五除之即二因也减八 即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又为四分之三九除 即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之二十一除 即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除因法代除 如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因加法代除 如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二径加七五五四二次加五皆不用除原法歌诀(出桐陵)量田捷法少人知 不乗一数便留之 二弓折半六而一 三步之中用八归 四步由来六归是 五步还宜六八归 六数四归无走作 八上三归无改移十二将来折一半 十六三而加倍齐 二十四中随数喝 廿五中分六八归 三十二上尤甚准 四因还要用三归 四十八上加一倍 八卦宫中谁得知 三归八因尤甚准 胜如神见不差池 七二倍之加遍五 九十六上四因之 十五之中逢二八七五之中四八归 三七半时当八八 九弓加五四归竒 十八折之加五定 三六之中加五施 此是明师真口诀 千金不度世人知附归除捷法多上空加一(多上者实多于法也空者实首隔一位也凡实多于法则于实前隔一位上一子若)(法实两数等亦同)依前除莫疑(依前者即以前法数除之也)少前数上五(少前者实少于法也即于实之前位上五子 不隔位)折半数除之(折半除者用法数之半而除之也 用五乗代折半甚捷)无除随上一(无除者上五之后不及除半数也既不及除随于实前位上一子)化下照前除(化下者退下一位也照前除者即依法数降一位而除之也)区田图刋误按区田古法并以方一尺五寸为区通计毎亩可二千七百区空一行种于所种行内隔一区种一区除隔空外可种六百七十五区(此亦约畧之说后又云毎区一斗每亩可收六十六石而诗亦)(云限将一亩作田规计区六百六十二并大同小异)是四分而种其一也今农书之图黑白相间是二分种一与说相背且如所图既不便于营治亦不便于浇灌反不如姜田之用濶沟通人行之为便矣谨依古说改作之如左又按四分种一亦是约畧之数若细求之则四邉近田堘处可只空半区要以随方就圆使其易行亦不在拘拘于尺寸之间也孟子曰此其大略也若夫润泽之则在君与子吾于区田亦云如甲乙为田内毎画方一尺五寸为区(如甲子)直行毎隔一行种一行(如甲戊丙巳)因得横行亦然(如庚甲辛癸)其播种之区四面合之各成小平方如丙辛方中间子丑为种地卯寅方中间午未方为种地皆居小平方之中央又蝉聫而下通计毎田一畆为种区者约四之一图中白者是空地黒者是种区区田说向读嵇叔夜养生论谓区种之法亩可得粟数十钟已读王氏农书详著其法而农政全书载汜胜之书及务本书谓汤有七年之旱伊尹作为区田教民粪种负水浇田诸山陵倾坂及田邱城上皆可为之王祯田古人每区收榖一斗每亩可收六十六石今人学种可减半计贾思协曰兖州刺史刘仁之昔在洛阳于宅田七十步之地域为区田收粟三十六石然则一亩之收过百石矣古说彰彰如是而或者疑之(徐𤣥扈先生以为古今斗斛之异)余以为不必疑也葢徴之于姜芋矣吾乡土瘠每亩收稻麦不过数石而芋则每亩二十余石多者三十余石姜之下者二十余石其上者至四十余石然而种姜一亩有稻田六亩以上之工岂非粪多力勤之効乎攷姜田营治之法其畊甚深在一尺以上通水沟虽止数寸而畦土斜杀而上种姜棱背相距空间与棱背畧相等是亦空一行种一行也即区种之遗法也姜田惟空直行而区田复空横行是其功又倍于姜田也多收之数又何疑焉(又攷遂宁王灼晦叔糖霜谱蔗田亦云区种而其深畊摩劳开渠濶尺深尺五及今年为蔗田)(明年改种五榖以休地诸法并同姜田) 又按区田毎区方一尺五寸(贾氏)(说又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法)葢欲于城上斜坡立区故为此制若平田亦可变通畸零法解(乗法)假如其处地畆被水所淹今涸出五分之四于中又有髙地居七分之四问若干答曰髙地为三十五之十六法用母乗母子乗子 两母(五七)相乗三十五为母 两子(四四)相乗十六为子 乗得三十五之十六解曰分总地为五分而涸出居其四四又将此涸出之四分分为七分而髙地居其四若以总地分三十五分则髙地居其十六矣本法置实子五之四以法子七之四乗之得十六为实法母七为法除之得五之二又小分七之二为髙地然七除不尽当用通分法以小分母七通原分母五为三十五得数二通为十四加入之二共十六是三十五之十六也今不用七除其子而以七乗其母得数亦同(母既七倍而子不动)(是七之一也故乗母即同除子)以数明之 设原数三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分为七分而髙地居其四是一千六百畆也则髙地于原数为三十五之十六矣又假如有米一宗内分七之四于预备仓收贮又于预备仓内取五之四先给赈荒问若干答曰三十五之一十六 法见前解曰分总米为七分而预备仓得其四又分预备仓米为五分而先给赈济者得其四若以总米分为三十五分则先给赈济者得其十六本法置实七之四以法子之四乗之得一十六为实法母五为法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七为三十五又通得数三为十五加子一为十六即三十五之十六也今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣(母乗得五倍则子为五之一)以数明之 设原米四千二百石分为七分而取其四为预备仓是二千四百石也预备仓米又分五分而取其四以给赈是一千九百二十石也若分原米为三十五分每分一百二十石则给赈米得十六分(四千)(二百是三十五个一百二十石一千九百二十是十六个一百二十石故也)又法法用倒位互除以代乘法 以法子四除实母七得一七五为母 以法母五除实子四得○八○为子 乗得一七五之八○各进位而倍之即三十五之十十六本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得数同也(母既改为四之一而子不动即子为四倍故除母可代乘子也然除法多有不尽不如母)(乘母子乘子为便)还原畸零除法假如营兵奉裁五之一留五之四其所支月饷为某仓米七之四问未裁时月饷几何答曰该支仓米七之五法用倒位互乗以当除法 以法子之四乗实母七得二十八为母 以法母五乗实子之四得二十为子 除得二十八之二十 约为七之五解曰兵奉裁留五之四其原额未裁则五之五也故其原支仓米亦必七之五乃四而増一之比例本法置实七之四 以法母五乗之得七之二十为实以法子之四为法除之得七之五今不用四除其子而以四乗其母得数亦同(母既四倍于原母而)(原子不动如四之一故乗母可代除子)又法法以法母五除实母七得一四为母又以法子之四除实子之四得一○为子 除得一四之一○ 约之亦得七之五此不用五乗其子而以五除其母得数亦同(母既五除则为原母)(五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子)论曰以上三法所得并同然倒位乗尤妙葢以乗代除则无畸零不尽之数故也以数明之 设营兵三千其五之四则二千四百也仓米二千五百二十石其七之四则一千四百四十石也七之五则一千八百石也兵二千四百而给米一千四百四十石则兵三千当给一千八百石还原用倒位互除 以代乗法 法子四除实母二十八得七为母 法母五除实子二十得四为子 乗得七之四复合原数问仓米七之四可给营兵五之四若仓米全发给兵几何答曰给兵五之七如法倒位 以法子之四乗实母五得二十为母 以法母七乘实子之四得二十八为子 除得二十○之二十八 约为五之七 子大于母收为一又五之二是可给原额兵而仍多五分之二也解曰原给仓米七之四而今全给七分是四分而増其三也故兵亦四分増三(于五之四増五之三即为五之七)本法置实之四以法母七乘之得五之二十八为实法子四为法除之得五之七(今以四乗母代四除子与前条同)以前数明之仓米二千五百二十石分为七分则每分三百六十石营兵三千分为五分则每分六百以仓米四分给兵四分是每米三百六十石给兵六百名也今仓米全给为三百六十石者七则兵为六百者亦七是四千二百名也除三千名满原额净多一千二百名之饷为五分之二(以七除五不尽故不用又法)厯算全书巻二十九
## 筹算自序
筹算自序
唐有九执厯不用布算唯以笔记史谓其繁重其法不传今西儒笔算或其遗意欤笔算之法详见同文算指中厯书出乃有筹算其法与旧传铺地锦相似而加便㨗又昔但以乘者今兼以除且益之开方诸率可谓尽变矣但本法横书仿佛于珠算之位至于除法则实横而商数纵颇难定位愚谓既用笔书宜一行直下为便辄以鄙意改用横筹直写而于定位之法尤加详焉俾用者无复纎疑即不敢谓兼中西两家之长而于筹算庶几无憾矣康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿庵撰筹算有数便奚囊逺涉便于佩带一也所用乘除存诸片楮久可覆核二也斗室匡坐㸃笔徐观诸数厯然人不能测三也布算未终无妨泛应前功可续四也乘除一理不湏歌括五也尤便学习朝得暮能六也原法横书故用直筹筹直则积数横彼中文字实用横书也今直书故用横筹筹横则积数直其理一也亦有数便自上而下乃中土笔墨之宜便写一也两半圆合一位便查数二也商数与实平行便定位三也
## 卷三十
钦定四库全书厯算全书巻三十宣城梅文鼎撰筹算一作筹之度凡筹以牙为之或纸或竹片皆可长短任意以方正为度凡筹背面皆平分九行每行以曲线界之为两半圆状凡筹背面皆相对第一筹之隂即为第九便检寻也二与八三与七四与六五与空位皆倣此共五类类各五筹当珠盘二十五位或更加之亦可 外有开方大筹为平方立方之用详见别巻筹式列左作筹之理凡筹每行以曲线界之成两位其下为本位上为进位假如本位一两则进位为十两凡列两筹则行内成三位下之进位与上之本位两半圆合成一位故也 列三筹则成四位 列四筹则成五位 五筹以上皆倣此凡筹有明数有暗数明数者筹面所有之数是也暗数者行数也假如第一行即为一数第二行即为二数凡筹与行数相因而成积数假如第二筹之第四行即为八数第九筹之第八行即为七二数筹算之资凡用筹算当先知并减二法今各具一则并法并者合也合众散数为一总数也又谓之垜积 其法先列散数自上而下对位列之千对千百对百十对十单对单以类相附列讫并为一总数 其法从最下小数起自下而上如画卦之法 数满十者进位作暗马而本位书其零恐混原数故以此别之便覆核也假如有米三千四百八十石又五千○六十八石又二万六千九百石合之共几何如图散数三宗依法并之为一总数得三万五千四百四十八石减积法减者去也于总数内减去几何则知其仍余几何也减与并正相反减而剰者谓之减余其法以应减去之数列左以原有之总数列右而对减之千对减千百对减百十对减十单对减单减而尽者抹去之 减而不尽者改而书之本位无数可减合上位减之假如欲减八十而原数只有七十但其上位有一百则合而减之于一百七十内减八十仍余九十假如有银三十二万五千三百一十两支放过二十九万五千三百○五两仍余几何依法减之仍余三万○○○五两十万千百十两如图先于三十万内减二十万余一十万改三为一次减九万而万位无九合上位共一十二万减之余三万抹去一二改书三次减五千 次减三百 皆减尽皆抹去之书作○次减五两而两位无五于一十两内减之抹去一○改书○五 减讫余二○○○三凡算有乘有除乘者用并法除者用减法筹算之用凡算先别乘除乘除皆有法实实者现有之物也法者今所用以乘之除之之规则也凡筹算皆以实列位而以筹为法法有几位则用几筹如法有十系两位则用两筹法有百系三位则用三筹凡法实不可误用唯乘法或可通融若除法必须细认俱详后乘法勿庵氏曰凡理之可言者皆其有数者也数始于一相縁以至于无穷故曰一与一为二二与一为三自此以徃巧厯不能尽乘之义也故首乗法解曰乗者増加之义其数渐升如乗髙而进也亦曰因言相因而多也珠算有因法有乗法在筹算总一乘法殊为简易法曰凡两数相乘任以一为实一为法假如以人数给粮或以人为实粮为法或以粮为实人为法皆可凡算先列实(列书之于纸或粉板亦可依千百十零之位列之自左而右)次以法数用筹乘之法有几位则用几筹(假如法为六十四则用第六第四两筹法为三百八十四则用第三第八第四共三筹)凡乘皆从实末位最小数起视原实某数即于筹其行取数列之(假如实是二则取第二行数)凡列乘数皆自下而上如画卦凡实有几位挨次乗之但次乗之数必髙于前所列之数一位(假如先乘者是单次乗者必是十故进位列之)乗讫乃以并法并之合问又法凡法尾空位者省不乗但于并数之后补作圏于其下以存其位尤为简捷如上图乘讫并得三○○○因法尾有空又补作一圏是为三○○○○则知所得三万定位法见前又若田为一亩二分则所得为三合何也亩下有分故得数之三○○其尾○又是勺下之分也此定位之精理须细审之一四二四四四五七五共九位因实尾空位(无零年故也)用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合问除法勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相无其数每相当不失毫厘如相报也邵子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定倘一倒置则毫厘千里矣(假如有粮若干分给若干)(人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人)(则所误多矣) 凡法有几位则用几筹 乃列实(自上而下直书)(之) 视筹之第几行中积数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商 有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止 余实不满法以法命之凡商数皆以筹之行数为其数(假如所减是等第一行即商一数第二行)(即商二数)书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对 若所减第一位是○则补作○于原实首位上而对之(此定)(位之根)定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首位之上一位命为单数(程大位曰归于法前得零古法实如法而一是也)此有二法 有法少实多者从原实内寻法首位认定逆转上一位命为单数(如米则为单石钱则为单文之类)既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯而上至法首位止又上一位命为单数(此是虚位借之以求实数)既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数初商除尽式 法此欲分为七十二分也故以七二为假如太阳每 法用两筹岁行天三百 实三六○ 如图先列三百六十度六十度分为 百十 为实次简两筹行内有七十二候每 三六○与实相同用减候几何度 原实恰尽 次查所简(答曰)每候五度 系筹之第五行商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度假令实是三千六百则所得为五十度如后图定位法曰此亦法少于实也法亦于原实内寻法首十位再上一位为单位单位空补作圏再上一位是十度定所得为五十度用筹同而得数逈异定位之法所以当明也再商式 法此欲分为一十二分也故以一二假如皇极经世 为法用两筹一元共一十二 实 如图列实(一元总数)简万九千六百年 ○一二九六○○筹第一行是○一分为一十二会 十万千百十年二商作一数(第一行故)各几何 (商一)减实一十二万答曰每㑹一万 余九千六百不尽○八百年 再用筹如法除之又因所减数是○一二故于原实首补作圏而以商得一对此○位书之(即所减筹上第一位也)此定位之根不可错须细审之简两筹第八行是○九六与余实相合再商八(第八行故也)减余实九千六百恰尽此所减数亦是○九六故以商得八进位书之以暗对其○如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位不相接是得数有空位也乃于其间补作圏为一○八假如隔两位则作两圏三位以上倣此求之若非于商数审其位置鲜不误矣此算中一大闗键也非此则不能定位定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再上一位是单年单位空补作圏又上一位是十十亦空亦补作圈又上一位是百知所得为八百年也知百知千万矣定为一万○八百年假如黄钟之 法此欲分得二千一百八十实一十七万 七乃为一分故以二一八七千一百四十 七为法用四筹七其分法二千一百八十七问若干分答曰八十一分二千一百八十七再商之简筹第一行是○二一八七正合余实再商一除实恰尽次商一进位书暗对所减○位定位诀从原实寻法首位千逆转上一位得单分则余位皆定按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵各居其方不相依附定位颇难故虽厯书间有讹位今特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为异也四商法假如有小珠三十四 此欲分为九分有竒也(以钱)万三千一百五十四 (为主则六分五厘是其竒零九分之分去声)故粒换得大珠重九钱 以(九六五)为法用筹三根六分五厘每大珠一 如后图列实先简筹第(三)钱换小珠几何粒 行(二八九五)略少于实商(三)减答曰每钱换三万五 实(二十八万九千五百)余实(五万三千六百)千五百六十粒 (五十四)以候续商次简筹第(五)行是(四八二五)为略少于余实商(五)减余实(四万八千二百五十)仍余(五千)(四百○四)以待第三商原实 又简筹第(五)行是(四八二五)为略少于余实又商(五)减余实(四千八百二十五)仍余商数 (五百七十九)知尚有第四商也又简筹第(六)行是(五七九○)与余实恰合四次商数俱对首位 商作(六)除余实(五百七十九)恰尽定位诀从原实中寻法首(单)位逆转上一位得(单)粒定所得为(三万五千五百六十○粒)命为大珠每钱所换小珠之数五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎葢所问是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首钱数为十位得为(三千五百五十六)矣故定位须详问意乃要诀也法有○筹式 法此欲分作(九百○七分)也故以(九○七)假如布二万 为法用三筹一千七百六 如图简筹第(二)行十八丈给与 (一八一四)商作(二)减实九百○七人 (一万八千一百四十)余(三千六百)各几何 (二十八丈)次简第(四)行答曰(每人二十四丈) (三六二八)商(四)除实尽以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成一整数假如(三十六)人分布而布有(三十六)丈则各人分得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统宗曰归扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假如(三十六)人分布(二十七)丈则每人不能分一丈只各得(七尺五寸)是于(一丈)内得其(七分五秒)也然必先知整数然后可以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若相差一位则得为十之一(如两有钱尺有寸)隔位则为百之一(如两有分丈有寸)此乃通变之法要其为法上得零则一而已矣又论曰此原实即不满法也若余实不满法除之终不能尽则以命分之法御之详后命分法法曰凡除法商数至单已极而有余实不尽者不能成一整数也则以法命之此有二法一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几分之几解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有之数在命分数内得若干也(命分者古谓之分母得分者古谓之分子)假如古厯以九百四十分为日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一(约法见后)一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分假如授时厯法每岁三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也式如后假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步答曰九步又五分步之三如图列实简筹第九行是二二五商作九(第九行故)减实二百二十五尺余一十五不尽以法命之命为九步又二十五分歩之一十五约为五之三(约分法见后)若用第二命分法再列余实加○位商之以得其分秒如后余实下加一圈则一十五尺通为一百五十分可再商矣简等第六行是一五○商六分除余实恰尽命分九歩六分(即十分歩之六)(命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也)若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘(即百分歩之六十四)约分法约分者约其繁以从简也法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也(若一减之即得纽数则不必转减)解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽若相减至尽而无纽数者则不可约假如母数二十五子数一十五约之若干畣曰五之三一○ 先以(十五) 复以(一十) ○五二五 减(二十五)一○转减(十五) 一○一五 余(一十○)一五 余(○五) ○五复以(○五)转减(一十)余(○五左右皆五即为纽数)以纽数(○五)为法转除母(二十五)得(五)除子数(一十五)得(三)故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也此转减例又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一先以(二百三十五)减(九百四十)余(七百○五)又减之余(四百七十○)又减之余(二百三十五)左右皆(二百三十五)即纽数也以纽数(二百三十五)转除母数(九百四十)得(四)除子数(二百三十五)得一故曰四之一母数是四个(二百三十五)子数是一个(二百三十五)此不转减例厯算全书巻三十
## 卷三十一
钦定四库全书厯算全书巻三十一宣城梅文鼎撰筹算二之三开平方法勿庵氏曰自周髀算经特著开平方法其说谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也(幂音覔覆物中也)开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形(商四次以)(上倣此加之)解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉(其积自○一至○九)(其方根为一二三)筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉(其积自一六至八一其方根自四至九)用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作㸃凡作㸃之法皆从实单位实单位起作一㸃毎隔位则㸃之而视其最上一㸃以为用首位有㸃者以实首一位独商之(乃补作一圏于原实之上亦成两位)(之形)首位无㸃㸃在次位者以实首位合商之皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等(或单或十或百之类)以求次商其法依前隔位所作之㸃总计之视有若干㸃假如只一㸃者初商所得必单数也(自方一至方九)则初商已尽无次商矣有二㸃者初商所得必十数也(自方一十至方九十)初商十数者有次商有三㸃者初商所得必百数也(自方一百至方九百)初商百数者有次商又有三商有四㸃者初商千也有商四次焉有五㸃者初商万也有商五次焉次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者 倍初商为亷法用小筹以除之(初商一则用第二筹)(初商七则用第一第四两筹皆取倍数)视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也(可借开方筹取之)若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止以数明之 假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法(在初商之两旁故曰亷亷有二)(故倍之也)次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法 如前用筹以除余实求得第三商以减亷积又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商商四次五次以上并同第三商命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分 凡得分必小于命分亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几 或平方每面几百○○又几百几十几分之几若欲知其小分别有开除分秒法见第七巻列商数法曰凡初商得数而书之有二法 其法依前隔位所作㸃以最上一㸃为主凡得数皆书于此㸃之上一位五以上者又进一位故有二法也其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣 大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也凡次商列位亦有二法 次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也商三次以上书法并同隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等(隅数即次商之)(数也或单或十或百千等)以求其积隅数是单其减隅积亦尽于单位隅数是十其减隅积必尽于百位隅数是百其减隅积必尽于万位隅数千其隅积必百万隅数万其隅积必亿每隅数进退一位则隅积差两位(隅积小平方也故皆与初商同)(理)还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数假如有积三百六十平方开之列位(单位作圈)作㸃(从单位起)视首位有㸃以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十(有二㸃故初商是十)于原实内减去方积一百余二百六十(初商是十知有次商)以上一㸃为主凡得数皆书于此㸃之上一位此常法也四以下用常法次倍初商(一十)作(二十)用第二筹为亷法视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十(所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之)次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数(一六)减亷积一百六十余一百(所减第一位下空故对位书之)乃以次商八为隅法减隅自乘积(六十)(四)余(三十六)不尽隅数单故减隅积亦尽于单位初商(一十)次商(八)共(一十八)是已开至单位也而有单位也以法命之 以平方(一十八)倍之又加隅(一)共(三十七)为命分命为平方一十八又三十七分之三十六还原法以平方一十八用筹为法即以平方一十八为实而自相乘之得三百二十四加入不尽之数三十六共得三百六十如原数命分还原论详别巻假如有积一十二万九千六百平方开之列位 作㸃视首位无㸃㸃在次位以两位一十二万合商之乃视平方筹积有小于一二者是○九其方三也于是商三百(三㸃故初商百)减去方积九万余三万九千六百(初商百故知有次商)次倍初商(三百)作(六百)用第六筹为亷法视筹第六行积数(三六)小于(三九)次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百(所减首位不空)(故对书之)次以次商(六十)为隅法减隅积三千六百恰尽(隅数十故减隅积必尽于百位)凡开得平方三百六十○ 开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后倣此还原法以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数假如有积一千平方开之列位 作㸃视㸃在次位以首二位一千○百合商之乃视平方筹小于(一○)者(○九)也(○九)之方三商作三十(二㸃故初商十)减方积九百余一百次以初商(三十)倍作(六十)用第六筹为亷法视第六筹第一行是(○六)小于(一百)次商一千初商三十之下减亷积六十余四十(所减是○六首位空也故书于进位以对)(其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣)次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽(隅积尽单)(位)所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分命为平方三十一又六十三分之三十九此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一㸃为主而书其初商所得数于㸃之上一位乃常法也假如有积四千○九十六平方开之列位 作㸃视㸃在次位以四千○百合商之乃视平方筹积数有三六小于四○其方六也商作六十(二㸃故初商十)减方积三千六百余四百九十六(初商十故知有次商)以最上一㸃为主而书其得数于㸃之上两位乃进法五以上用进法次倍初商(六十)作(一百二十)为亷法(用第一第二两筹)视筹第四行积数(四八)小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六(所减是○四八首位空也故次)(商四进位书之若初商不进则次商同位矣)次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽(隅数单故隅积尽单)(位)凡开得平方六十四假如有积八千○九十九以平方开之列位 作㸃视㸃在次位以八千○百合商之乃视平方筹有(六四)小于(八○) 其方八也于是商八十(二㸃故初商十)除实六千四百余一千六百九十九(初商是十宜有次商)次以初商八十倍作一百六十为亷法(用第一第六两筹)合视两筹第一行积(一六)与余实同宜商(一十)因无隅积改用第九行(一四四)次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九(所减第一位不空故对位)(书之)次以次商九为隅法减隅积(八十一)仍余一百七十八不尽(隅数单隅积尽单位)已开至单位而有不尽以法命之 应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八(因少一数故不能成九十之方)假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位 作㸃视㸃在次位以二千五百万合商之乃视平方筹积有(二五)与实相同其方五也商五千(四㸃故初商千)除方积二千五百万余四十八万二千三百○四(初商千有次商)(又法既以四㸃知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣)次倍初商(五千)作(一万)为亷法(用第一筹)视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四(所减是○)(四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也)次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四(隅数十故减隅积尽于百位 商至十有末商)次合初商次商倍之得(一万○○八十)为亷(用第一)(第八并二空位共四筹)(大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必)(同位亦初次商尽然)合视筹内第八行积数(八○六四)小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四(此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○)次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽(隅数是单故减)(隅积亦必尽于单位)凡开得平方五千○四十八以上皆商五以上进书例也常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中开立方法(筹算三)勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根如图方者初商也初商不尽则再商之于是有三平亷三长亷一小隅共七并初商方形而八合之成一立方形如图方形者长濶髙皆如初商之数方形只一如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数 (平亷形凡三以辅于方形之三面)长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数 (长亷形亦三以补三平亷之隙)小隅者长濶髙皆等皆如次商数 (其形)(只一以补三长亷之隙)商三位图如后图一方三平亷三长亷一小隅除实仍不尽则更商又得次平廉次长廉各三次小隅一合之共十五形凑成一大立方形 次平亷之长濶相等皆如初商并次商之数厚如三商数其形三以辅初商并次商合形之外 次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙立方筹式(列后)解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也 次两位者自乘之积即平方也置于立方筹者以为亷法之用假如初商一百则其平亷亦方一百其积一万乃至商九百则其平亷方九百而积八十一万也又如次商一十则其长亷之两头亦必方一十而积一百乃至次商九十则其长亷之两头必方九十而积八千一百也 下一位者方根也假如立积一千则其根一十立积八千则其根二十乃至积七十二万九千则其根九十也立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作㸃从单位㸃起每隔两位作一㸃(即满三位去之之法也)㸃讫视最上一㸃以为用㸃在首位者独商之以首位为初商之实单数商法也 若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同㸃在次位者合首两位为初商之实十数商法也 若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法㸃在第三位者合首三位为初商之实百数商法也 若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法又法视其㸃在首位则于原实之上加两圈㸃在次位者上加一圈皆合三位而商之次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等(或单或十百等)以知有续商与否 皆以前所作㸃而合计之视有若干㸃之命之假如只有一㸃则商数是单 初商已得单数无次商有二㸃者商数十 初商十数者有商两次焉有三㸃者商数百 初商百数者有三三次焉四㸃商千 五㸃商万 每多一㸃则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也减积法曰凡初商减积皆止于最上㸃之位次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法(解曰平亷古曰)(方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也)先以所得初商数三之为亷法又以初商数自乘而三之为三法 以方法用筹除积以得次商(以列位之法定之其法见后)既得次商用其数以乘方法为三平亷积又以次商自乘以乘亷法为三长亷积其次商即为隅法 以隅法自乘再乘得小立方积为隅积乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用(或续商或以法命之)若共积反大于余实不及减转改次商及减而止(若次商单一而无减以法命之)商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法 如前以方法用筹除余实求得第三商(亦以列位法详其所得)既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商四次以上皆同法命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之 未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之(如平亷)又以立方数三之(如长亷)又加单一(如小隅)并三数为命分不尽之数为得分 其命分必大于得分列商数法曰依前隔位作㸃以最上一㸃为主而论之有三法凡商得立方一数者于此㸃之上一位书之(或单一或一十或一百或一千并同)此常法也若商得立方二三四五者于此㸃之上两位书之(单十)(百千其法并同)乃进法也若商得立方六七八九者于此㸃之上三位书之(单十)(百千其法并同)乃超进法也平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同假如立方单一其方法单三 若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也又如立方单五其方法七十五 若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也假如立方一十其方法三百 若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也又如立方五十其方法七千五百 若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方 商三次以上并同隅积法曰隅法单隅积尽单位 隅法是十隅积尽于千位隅法百隅积尽百万之位 以上倣求 大约隅法大一位则隅积大三位还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实假如有积一千三百三十一立方开之列位 作㸃(从单位起)视首位有㸃以○○一千为初商之实乃视立方筹有○○一其立方一于是商一十(有二㸃故商十)减去立方积一千余三百三十一(初商十者有次商也)以最上㸃为主商一数者书于㸃之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法又以初商一十自乘而三之得三百为方法(用第三)视筹第一行积数○三与余实同次商一于初商一十之下(减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○)于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积 又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三积共三百三十一除余实恰尽凡开得立方一十一(还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合)(原积)假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位 作㸃视首位有㸃以○○一十亿为初商之实乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法(用第三筹)视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位(所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次)(商隔位故知其是十)就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积 又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积 并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽凡开得立方一千○八十○(初商千次商○八是十而除实已尽是所商单)(位亦○也此列位之妙)以上皆商得一数例也 皆以最上一㸃为主而以初商得数书于㸃之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同假如有积九千二百六十一立方开之列位 作㸃视㸃在首位以○○九千命为初商之实乃视立方筹积有小于○○九者○○八也其立方二于是商二十(二㸃故初商十)减立方积八千余一千二百六十一以最上一㸃为主而以得数书于㸃之上两位乃进法也商二至五之法也次以初商二十用三因之得六十为亷法又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法(用第一第二两筹)合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下(所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二)(始)就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积 并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干列位 作㸃视㸃在次位以○三万二千为初商之实乃视立方筹积小于○三二者是○二七其立方三也于是商三十(二㸃故初商十)减商三十(二㸃故初商十)减立方积二万七千余五千七百六十八次以初商三十用三因得九十为亷法又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法(用第二第七两筹)合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下(所减首位○宜进书以对其○)就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积 又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积 并三积共五千七百六十八除实尽凡开得立方三十二假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干列位 作㸃视㸃在第三位以一十一万七千为初商之实乃视立方筹积有小于一一七者○六四也其立方四于是商四十(二㸃故初商十)减立方积六万四千余五万三千六百四十九 次以初商四十用三因之得一百二十为亷法又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法(用第四第八两筹)合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下(所减首位不空故本位书之)就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积 又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积 合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽凡开得立方四十九假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干列位 作㸃视㸃在第三位以一千六百六十亿为初商之实乃视立方筹有小于一六六者是一二五其立方五也商作五千(四㸃商千)除立方积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法(用第七第五两筹)合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下(所减首位不空故书本位)就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三十七亿五千万为长亷积 又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积 并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽 凡开得立方五千五百○○以上乃商得二三四五之例也 皆以最上一㸃为主而以初商所得进书㸃之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位 作㸃视㸃在第三位以二十六万二千为初商之实乃视立方筹有小于二六二者二一六也其立方是六商六十(二㸃商十)减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四以最上一㸃为主而以得数书于㸃之上三位超进法也乃商六至九之法也次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法(用第一空位第八三筹)合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下(所减首位是○故进位书之以对其○)就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积 又以四自乘再乘得六十四为隅积 并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位 作㸃视㸃在第三位以三十七万三千为初商之实乃视立方筹积有小于三七三者是三四三其立方七也商七十(二㸃商十)减立方积三十四万三千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法(用第一第四第七三筹)合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下(所减首位空故进位书之以对其○)就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积 并三积共三万○二百四十八除实尽凡开得立方七十二假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位 作㸃视㸃在第三位以五十三万一千为初商之实乃视立方筹积有五一二小于五三一其方八也商八十(二㸃商十)减立方积五十一万二千余一万九千四百四十一次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法(用第一第九第二三筹)合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下 就以次商一乘方法为平亷积 又以一自乘用乘亷法为长亷积 又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽凡开得立方八十一假如有积九十七万○二百九十九立方开之列位 作㸃视㸃在第三位以九十七万○为初商之实乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九十(二㸃商十)减积七十二万九千余二十四万一千二百九十九次以初商九十三之得二百七十为亷法又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法(用第二第四第三三筹)合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下(所减首位不空故本位书之)就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积 又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积 又以九自乘再乘得七百二十九为隅积 并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九此以上皆初商六七八九之例也 皆以最上一㸃为主而以得数书于㸃之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同命分例假如有立方八百一十尺问立方每面各若干列位 作㸃㸃在第三位以八百一十○尺为初商之实视立方筹有小于实者为七二九其立方九商九尺减积(七百二十九尺)余(八十一尺)此商数已至单尺而有不尽当以法命之法以商数九自乘(八十一)而三之得(二百四十三)如平亷又置商数九而三之得(二十七)如长亷 加小隅一共(二百七十一)为命分命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干列位 作㸃㸃在第三位以一亿二千五百万尺为初商实视立方筹有(一二五)恰与实合商(五百尺)减实(一亿二千五百万尺)余(七十五万○○○○尺)有三㸃故知所商是(五百尺)宜有第二商第三商也乃以初商(五百尺)自乘(二十五万尺)而三之得(七十五万尺)为平亷法又以初商(五百尺)三之得(一千五百尺)为长亷法视余实(七十五万尺)仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之法以平亷法长亷法合数加小隅一共(七十五万一千五百○一)(尺)为命分命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也厯算全书巻三十一
## 卷三十二
钦定四库全书厯算全书巻三十二宣城梅文鼎撰筹算四之五开带纵平方法勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已(平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓)(之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以)(加方积成一直田形积也)平方与方纵两形初商之积也两亷一隅一亷纵者次商之积也亷有二故倍之亷之纵只一故不倍也如前图除积不尽则有第三商如此图虽三商亦只倍亷而不倍纵四商以上倣此详之用法曰先以积列位如法作㸃从单位起隔位㸃之视㸃在首位独商之㸃在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积(初商自乘之数也) 即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积(初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行)兼方积纵积两数以减原实而定初商(必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰)(定) 若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数 不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然(初商应是百而改九十应是千而改九百并同)定位法曰既得初商视所作原实之㸃共有几何以定其得数之位以知其有次商与否(如一㸃则得数是单而无次商二㸃)(则得数是十而有次商之类皆如平方法取之)次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也 次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之 视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商 就以次商自乘为隅积以减余实以定次商(必余实内有亷隅两积则次商无误)不及减者改商之及减而止皆如平方法商三次以上并同次商命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之 法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之 法即以亷法加隅一为命分列商数法曰依平方法视所作㸃而以最上一㸃为主若初商五以上(不论单五或五十或五千或五百并同)皆用进法书其其得数于㸃之上两位则不论纵之多少也若初商四以下(亦不论单十百千)则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商(单从单十从十百千各以类加)若满五以上者变从进法书于㸃之上两位(如初商四而纵有二初商三而纵有四之)(类)若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于㸃之上一位(如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类)总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误假如有直田积六十三步但云濶不及长二步列位(依平方法)作㸃(从单位起)视㸃在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法视平方筹积有(四九)小于(六三)其方七也商作单七(用进法书于㸃之上两位 一㸃知所商是单)即视带纵筹第七行积数(一四)用为纵积并方积(四十九)纵积(一十四)共六十三除实尽(此亦偶除)(尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位)定为濶七步 加纵二步得长九步凡得数在五以上用进法书于㸃之上两位此其例也假如有直田六百三十步但云长多濶二步列位(无单位补作圈)作㸃视㸃在首位独商之以○六百步为实以平方带纵二各用筹为法视平方筹积数有(○四)小于(○六)其方二商二十步(二㸃故初商十)自乘得方积(四百步)随视纵筹第二行是(四)得纵积(四十步)并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之(初商十故有次商也)(商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于㸃之上一位)次以初商(二十步)倍之(四十步)加纵(二步)共四十二步为亷法(用第四第二两筹)合视两筹第四行积数(一六八)小于(一九○)次商(四)减亷积一百六十八步余二十二步(所减首位不空次商故书本位)次以次商(四步)为隅法自乘得(一十六步)为隅积用减余实不尽六步以法命之(初商虽不进位所得次商单数已在命分之上)(一位矣列商数法妙在于此)倍所商(二十四步)为(四十八步)加纵(二步)又加隅(一步)共五十一步为命分命为濶(二十四步)又(五十一分步之六)加纵(二步)得长(二十六步)又(五十一分歩之六)凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于㸃之上一位此其例也假如有直田五亩但云长多濶八十八步列位(以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈)作㸃视㸃在次位合商之以一千二百步为实纵有两位用两筹与平方筹并列各为法先视平方筹有(○九)小于(一二)宜商三十(二㸃商十)因有纵改商二十其方积四百步纵积一千七百六十步(初商十与纵相乘故纵单数皆成十数)兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之改商(一十步)其方积(一百步)其纵积(八百八十步)并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商(初商十故有次商也)(纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法)次以初商(一十步)倍之(二十步)加纵(八十八步)共一百○八步为亷法(用第一空位第八三筹)合视筹第二行积(二一六)小于(二二○)次商(二步)于初商(一十步)之下减亷积一百一十六余四步(所减首位)(○故进书之初商豫进正为此也)次以次商(二步)自乘得四步为隅积除实尽定为濶一十二步加纵(八十八步)得长一百步假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步列位(以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈)作㸃视㸃在次位以三千○百步为实以平方带纵七十各用筹为法先视平方筹积有二五小于(三○)宜商(五十)因纵改商(四十步)其方积一千六百步其纵积二千八百步共四千四百步大于实不及减抹去之改商(三十步)其方积(九百步)其纵积(二千一百步)共三千步除实尽(纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于㸃上两位)(假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位 命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一)(百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数)凡开得平方三十步为田濶 加纵七十步共一百步为长假如有直田七亩但云长多濶六十步列位(以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈)作㸃视㸃在次位合商之以一千六百步为实以平方带纵六十步用筹各为法先视平方筹有一六与实同宜商四十(二㸃初商是十)因带纵改商三十步其方积(九百步)纵积(一千八百步)共二千七百步大于实不及减抹去之改商(二十步)其方积(四百步)纵积(一千二百步)共减一千六百步余八十步再商之(纵折半三十加初商共五十故进书之)(假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也)次以初商(二十步)倍之(四十步)加入纵六十步共一百步为亷法 亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之 法以亷法加隅一为命分命为濶(二十步)又(一百○一分步之八十)加纵为长(八十步)又(一百○一分步之八十)假如有直田四亩但云长多濶九十步列位(以亩法通之得九百六十步)作㸃视㸃在首位独商之以○九百为实以平方带纵九十步各用筹为法先视平方筹积有(○九)与实同宜商三十步(二㸃故初商十)因带纵改商二十步其方积(四百步)纵积(一千八)(百步)不及减又改商一十歩其方积(一百步)纵积(九)(百步)共一千步仍不及减 此有二㸃宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也(纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书㸃之上两位)改商单九步其方积(八十一步)纵积(八百一十步)共八百九十一步以减实余六十九步不尽(此宜商十数者变商)(单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分)(之上一位也)商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分命为濶九步又(一百○九分步之六十九) 加纵为长九十九步又(一百○九分步之六十九)以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于㸃之上两位此其例也开带纵立方法(筹算五)勿庵氏曰泰西家说勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例祇一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或髙多方若干是也(深即同髙)一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也(此方多数为纵)一带两纵而纵数又不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同带一纵图三此长多于方 此髙多于方也为横纵横 也为直纵直纵之形濶与 纵之形长濶髙等如其方 相等如其方其厚也如其 其髙也如其纵所设 纵所设俱立方一纵形一合为长立方形如图立方形方纵形合者初商也平亷三内带纵者二长亷三内带纵者一小隅一此七者次商也平亷所带之纵长与立方等厚与次商等其髙也则如纵所设长亷所带之纵两头横直等皆如次商其髙也如纵所设用法曰以积列位乃作㸃从单位起隔两位㸃之㸃毕视积首位有㸃独商之以首位为初商之实首位无㸃以首位合有㸃之位商之 㸃在次位以首两位为初商之实 㸃在第三位以首三位为初商之实 皆同立方法先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商(定位法合计所作㸃共有若干一㸃者商单数二㸃则商十数每一㸃进一位皆如立方)用其积数为初商立方积(定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初)(商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以㸃计之皆如立方)次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商(若初商无误者)(原实中必兼此两积)命初商为方数加纵数为髙数(或长数皆依先所设)不及减者改商之及减而止次商法曰依前定位知初商是何等(或单十百千等)若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法 又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法 或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同又以初商三之加纵为长亷法乃置余实列位以平亷法除之得数为次商(用筹为法除而)(得之)(依除法定其位)于是以次商乘平亷法为三平亷积 又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积 就以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减原实(原实中兼此并积知次商无误矣)乃并初商次商所得数为方数加纵命为髙数(或长数皆如先所设)合问 不及减者改商之及减而止商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法又以商得数三之加纵为长亷法 余并同次商命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之 其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数(如平亷)又以所商得数三之加纵(如长亷)并两数又加单一(如隅)为命分不尽之数为得分或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数(仅同者无隅积)是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分列商数法曰依立方法以初商之实有㸃者为主(即原实内)(最上之一㸃)凡初商得数必书于㸃之上一位乃常法也惟初商一数者用常法有以初商得数书于㸃之上两位者进法也初商二三四五者用进法有以初商得数书于㸃之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一㸃而以第二㸃论之此尤要诀(或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一㸃论也)(细考其数则同此商数列位立法之妙宜详玩之)假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺 法以立方带纵为法除之列位 作㸃视㸃在首位独商之以○○七百万尺为初商之实以立方筹为法 视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺(三㸃故初商百商一百故用常法书于㸃之上一位)得立方积一百万尺(三㸃者方积尽百万之位一初商之方积皆尽于最上之 㸃)次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积 并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺(百改十故亦改用第二㸃第二㸃是十位故方积亦尽于千位)次以初商九十尺自乘八千一百尺乘纵八百尺得六百四十八万尺为纵积 并两积共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之(初商一百今改商九十故上一㸃不用用第二㸃论)(之商九者书于第二㸃之上三位超进法也)次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法 又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之(用第一第六第八第三共四等)商九十用超进法书于第二㸃之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图(亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之)合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下(所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商)就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积 又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积 又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积 并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽乃以商数命为井方 加纵为井深计开井方九十二尺深八百九十二尺此超进法改而更超一位也带两纵纵数相同图二此髙不及方也方之横与直俱多于髙是为两纵两纵者纵廉二纵方一并立方而四立方形长濶髙皆相等纵亷形髙与濶相等如其方之数其厚也如所设纵之数纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形不及之数有在立方旁者观后图可互见其意如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意㑹之可也(此横头不及方也即前图)(之眠体)次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商无纵长廉长如初商两头横直等如次商小隅横直髙皆等皆如次商用法曰先以纵倍之为纵廉(两纵并也)以纵自乘为纵方(两纵相乘)此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣乃如法列位作㸃求初商之实以立方筹为法求得初商方数及初商立方积(皆如立方)(法皆依定位法命之)次以初商乘纵方得数为纵方积 又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商(皆如一纵法)命初商为髙数(或深数皆如所设)加纵为方数(不及减改商之若初商未)(是单数则以余实求次商)次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数 又以初商加纵自乘得数 并之共为平亷法(又法初商三之)(加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同)次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法(又法初商三之)(纵倍之并为长亷法亦同)乃置余实列位 以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商(皆以所减首位是○与否)(而为之进若退) 又法合平亷长亷两法以求次商于是以次商乘平亷法为平亷积 又以次商自乘数乘长亷法为长亷积 又以次商自乘再乘为隅积 合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商(皆如一纵法)(又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅)(共积以减余实亦同)乃命所商数为髙(或深之类如所设)加纵数命为方合问不尽者以方倍之乘髙又以方自乘(如平亷)又以方倍之并髙(如长亷)又加单一(如隅)为命分假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺 以带两纵立方为法除之(方者长濶等每面各多髙一百四十尺)先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方列位 加㸃视㸃在首位独商之以○○五百万尺为初商之实视立方积有○○一小于○○五商一百尺(三㸃故商百尺)得立方积一百万尺(商一数宜)(用常法书于㸃之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故)(改用进法书之亷法之升见后)就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺(初商百尺宜有续商)初商一百尺髙也 加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法乃列余实 以亷法酌定初商改进一位书之以平亷法用筹除余实视筹第一行○一○五六小于余实次商一尺于初商一百尺之隔位(所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一)(尺) 就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积 又以次商自乘再乘仍得一尺如故 合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽乃以所商数命为台髙 加纵为方计开台髙一百○一尺 方二百四十一尺此常法改用进法也假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺 先以纵(五十)尺倍之一百为纵亷 又纵自乘之得(二千五百)尺为纵方列位 加㸃视㸃在第三位合商之以五十万○○尺为初商之实视立方筹有三四三小于五○○宜商七十尺(二㸃商十尺)因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺 次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣 改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺 又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺 并三积共五十万尺除实尽 以商数命为池深 加纵为方计开 池深五十尺 方一百尺此进法改为超进也(假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二)(万○二百五十一矣) 亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长带两纵纵数不相同图二此长多于濶而髙又多于长也是为两纵而又不相同凡为大纵亷小纵亷各一纵方一并立方形而四立方形长濶髙相等大纵亷横直等如其方而髙如大纵 小纵亷髙濶等如其方而厚如小纵纵方形之两头髙如大纵厚如小纵其长也则如立方 大纵小纵以辅立方之两面而纵方补其阙合为一长立方形如图初商有立方有大纵廉小纵廉纵方各一共四只图其二余为平廉所掩也次商平廉三内带小纵者一带大纵者一(在初商大纵立方之)(背面)带两纵者一长廉三内带小纵者一带大纵者一小隅一共七带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商带小纵长亷长如初商加小纵之数 带大纵长亷髙如初商加大纵之数 无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数小隅横直髙皆如次商之数用法曰以两纵相并为纵亷 以两纵相乘为纵方列位作㸃求初商之实 以立方筹求得初商立方积 以初商求得纵方纵亷两积 皆如前法乃以初商命为濶 各加纵命为长为髙求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法又以初商长濶髙并之为长亷法乃置余实列位(以平亷酌定初商之位)以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长(如所设)皆如前法不尽者以所商长濶髙维乘并之(如平亷)又以长濶髙并之(如长亷)又加单一(如隅)为命分假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺先以两纵相并五尺为纵亷 以两纵相乘六尺为纵方列位 作㸃视㸃在第二位合商之以○九十○尺为初商之实乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积(原实只一㸃故初商是单商三)(故书于㸃之上两位用进法也)次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽乃以初商命为濶 各加纵为髙为长计开濶三尺 长五尺 髙六尺假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺先以两纵相并九尺为纵亷 以两纵相乘一十八尺为纵方列位 作㸃视㸃在首位独商之以○○一千尺为初商之实乃视立方筹有○○一与实同商一十尺(二㸃商十)得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积 合计之共二千○八十尺大于实不及减(商一十故用常法书于㸃之上一位)改商九尺得七百二十九尺为立方积(十变为单则上一㸃不用用第二㸃故商九书于第二㸃之上两位)(用超进法也)次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽乃以商数命为濶 各加纵为长为髙计开濶九尺 长一十五尺 髙一十二尺假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺先以长多五尺髙多六尺并之得(十十)为纵亷 又以五尺六尺相乘三十为纵方(解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也)列位 作㸃视㸃在第二位合商之以○六万四千尺为初商之实视立方筹有○六四与实同宜商四十尺因有纵改商三十尺(二㸃故商十尺)得二万七千尺为立方积(商三十故书于㸃之上两位用进法也)次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之(初商十宜有次商)初商三十尺濶也 加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也乃以初商长濶髙维乘之濶乘长得一千○五十尺 髙乘濶得一千○八十尺 长乘高得一千二百六十尺并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法(又法并长)(与髙乘濶又以髙乘长并之亦同)次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法(又法)(初商三之加两纵亦同)乃以平亷用筹为法以余实列位除之如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺(所减首位不空故书本位)得二万○三百四十尺为平亷积(次商乘平亷法也)次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺 髙乘濶得一千五百一十二尺 长乘髙得一千七百二十二尺并得四千七百一十尺(如平亷)又并濶髙长得一百一十九尺(如长亷)又加一尺(如隅)共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开濶三十六尺有竒(音基) 长四十一尺有竒髙四十二尺有竒假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺先以两纵并得一十一尺为纵亷以两纵乘得三十尺为纵方列位 作㸃视㸃在第三位合三位商之以一十万○一千为初商之实乃视立方筹有○六四小于一○一商四十尺(二㸃商十)得六万四千尺为立方积(商四十故)(书于㸃之上两位进法也)次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之初商四十尺濶也 加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也乃以初商濶长髙而维乘之长乘濶得一千八百尺 濶乘髙得一千八百四十尺(又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同)髙乘长得二千○七十尺并维乘数共五千七百一十尺为平亷法又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之合视筹第三行是一七一三小于余实次商三尺(所减首位不空故本位书之)就以次商三尺乘平亷法得一万七千一百三十尺为平亷积 又以次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积 又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积 并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减改商二尺就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积(即用筹第二行取之)次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积 又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺(代两维乘)又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺 又以长濶髙并之得一百三十七尺 又加一尺 共六千三百八十四为命分命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开濶四十二尺有竒长四十七尺有竒髙四十八尺有竒厯算全书卷三十二
## 卷三十三
钦定四库全书厯算全书卷三十三宣城梅文鼎撰筹算六之七开方捷法勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以著其理用捷法者所以善其事平方法曰如前列实从单位作㸃每隅位㸃之以求初商(初商)(列位有常法进法俱如前)既得初商即倍根数为亷法(亦同前法)以亷法数用筹(亷法几位用筹几根)列于平方筹之上为亷隅共法(或省曰次商法)合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商(以本行内方根命之)三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法(或省曰三商法)以除三商之实而得三商四商以上倣此求之解曰隅者小平方也故可以平方筹为法 亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法(何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一)(位)凡初商减积尽最上一㸃故最上一㸃者初商之实也次商减积尽第二㸃故第二㸃以上次商之实也三商减积尽第三㸃故第三㸃以上三商之实也推之第四㸃为四商之实第五㸃为五商之实(以上并同)审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行(凡筹)(第一行最小数也)则知次商是空位也(不能成一数故空)即作圈于初商下以为次商 乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商(若空位多者另有简法见后)三商实小有空位并同假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干列位 作㸃如图㸃在次位以二千四百万为初商实视平方筹有小于二四者是一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺(有四㸃故)(初商是千而有次商)次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法以第二㸃余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺(此所减首位不空故对位书之)次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法 以第三㸃上余实九八九九为三商之实合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余实八十九万○一百尺(首位不空故亦对位书之)次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法以第四㸃上余积九九八九九为四商之实合视筹第九行积八九九○一小于实商九尺减余实八万九千九百○一尺不尽九千九百九十八尺开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异加空筹式假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干列位 作㸃如图㸃在次位以一千六百万为初商实视平方筹有一六与实同其方四商四千尺减积一千六百万尺(凡余实必在商数下一位起倘空位)(则作圈补之后倣此) 次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法(筹见前例)以第二㸃上余实○七七为次商实筹最小数是○八一(第一行数)大于实不及减是商数无百也乃于初商四千下作一圈以为次商(减去实中○位) 次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法以第三㸃上七七七二为三商实视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法以第四㸃上四九一一六为四商之实合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽凡开得平方四千○九十六尺假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干列位作㸃如后图㸃在首位以○九亿步为初商实视平方筹有○九与实同商三万步(五㸃故初商万)减积九亿步次以初商三万步倍之得六万步用第六筹加平方筹上为次商法(即廉隅共法) 以第二㸃上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈(凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之)(以清出续商之实)而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图此即次商三商四商合图也次加三空筹于平亷(第六筹)之下平方之上为五商亷隅共法 径以第五㸃上一八○○○九为五商实视筹第三行数与余实合商三尺除积一八○○○九恰尽凡开得平方三万○○○三步又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位 作㸃如图㸃在次位以二千五百万尺为初商实视平方筹有二五与实同其方五商五千尺减积二千五百万尺次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法(凡商得五数则原带有空位)列平方筹上为次商法 实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图此次商三商合图也(原实上减两圏商数下加两圏)如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法以○七○○四九为四商实(次商三商之两㸃已销故径用第四㸃)视筹第七行相合商七尺减实恰尽凡开得平方五千○○七尺又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位作㸃 如图㸃在次位以五十六万为初商实视平方第七行是四九小于实商七百尺除实四十九万次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法 以第二㸃上○七三五为次商实合视第五行是○七二五小于实商五十尺减去余积○七万二千五百尺次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三㸃上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之凡亷隅共法筹第一行数即命分也葢能满此数即成一单数矣凡开得平方七百五十○尺又一千五百○一之一千○○○约为三之二弱立方法曰如前列实隔两位作㸃以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法(即方法)以平亷法用筹列于立方筹之上(借立方筹为隅法也)为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法(即亷法)以长亷法用筹列于立方筹之下(法于长亷数下加一空筹以合进一位之数)先以平隅共法(即平亷小隅共法或省曰共法)为次商之法即截取初商下一位至第二㸃止为次商之实法除实得次商(视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商)次以次商之自乘数(即大筹立积下所带平方积数)与长亷法相乘(以平方数寻长亷筹之行取其)(行内积数用之)得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止(因亷积或大有不及减者)三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法截取次商下一位至第三㸃为三商之实共法为法除之以得三商(其积为共积) 次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积 减实(又一法长亷法不必)(加空位筹得于得数下加一圏即进位也)四商以上倣此解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法 长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也(何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十)(则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商)(初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也)凡初商积尽于上一㸃故上一㸃为初商实次商积尽于第二㸃故第二㸃以上为次商实推之三㸃为三商实四㸃为四商实以上并同审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹(并原有一空位筹共两空位筹)为三商长亷法(又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏) 若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也(平亷原大)(二位加二空筹则大四位矣)初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干列位 作㸃如图㸃在首位以○○六百万为初商实视立方筹有小于○○六者○○一也其立方一商一百尺(三㸃故初商百)减积一百万尺次截取第二㸃上五八五九为次商实以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长廉法列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九小于实商九十尺次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除实尽次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也凡开得立方每面一百九十○尺假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺问方若干列位作㸃如图㸃在第三位以一千二百八十亿为初商实视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺(四㸃故初商千)减积一千二百五十亿次截取第二㸃上○三六三四为次商实以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○百尺为长亷法用筹列立方筹下视共法筹第一行是○七五○一大于实不及减知次商百位空也于初商下作一圏为次商(原实上减一圏)乃截第三㸃三六三四六七○为三商实次于平亷筹下立方筹上加两空位筹为平亷小隅共法于长亷筹下又加一空位筹(原有一空位筹共二空位)为长亷法视共法筹第四行是三○○○○六四小于实用为共积商四十尺 以长廉法与四行之平方一六相乘得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○尺为长廉法列立方筹下乃截第四㸃六一○六○六五九二为四商之实视共法筹第八行六○九六三八九一二小于实商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积以加共积得六一○六○六五九二除实尽凡开得立方每面五千○四十八尺右加两空筹例假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺问每面若干列位 作㸃如图㸃在第三位以七千二百九十亿为初商实 视立方筹方九之积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿(四㸃故初商千)次截第二㸃○○○七二九为次商实以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿四千三百万尺为平亷法列立方筹上为平亷小隅共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺为长亷法列立方筹下 视共法筹第一行是○二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初商九千尺下作一圏为次商(原实上减去一圏)乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法 截取第三㸃○○七二九二四三为三商实 视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏为三商(原实上又减去一圏)(又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃与平亷相应即于○七之上初商之下作连圏为次)(商三商而于原实中销两圏)此次商三商合图也乃于平亷筹下立方筹上又加两空筹(共四空筹)为平亷小隅共法 其长亷筹下又加一空筹(共三空筹)得二七○○○为长亷法(或不必加筹只于得数下加三圏亦同)截取第四㸃○七二九二四三○二七为四商实视共法筹第三行是○七二九○○○○二七小于实商三尺 以长亷法与第三行平方○九相乘得二四三○○○为长亷积以加共积得○七二九二四三○二七除实尽凡开得立方每面九千○○三尺右加四空筹例开方分秒法(筹算七)勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻加宻矣平方法曰凡开平方有余实不能成一数不可开矣若必欲开其分秒则于余实下加二圏(原实一化为一百分)如法开之所得根数是一十分内之几分也或加四圏(原实一化为一)(万分)如法开之所得根数是一百分内之几分也或加六圏(原实一化为一百万分)如法开之所得根数是一千分内之几分也如此递加两圏则多开得一位乃至加十圏(原实一化为百亿分)其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也假如平方积八步开得二步除实四步余四步不尽分秒几何法于余实下添两圏则余实四步化为四百○○分为次商之实依捷法以初商二步倍作四步为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行积三八四小于余实次商八分除实三百八十四分开得平方每面二步八分不尽一十六分再开之又于余实下加两圏则余实一十六分化为一千六百○○秒为三商之实依捷法以初商次商共二步八分倍之得五步六分为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第二行积一一二四小于余实商作二秒除实一千一百二十四秒共开得平方每面二步八分二秒不尽四百七十六秒此单下开两位式也所不尽之数不过百分之四若欲再开亦可得其忽㣲如后式还原以二步八二用筹为法又以二步八二列为实而自相乘之得七万九千五百二十四分加不尽之分四百七十六共八万乃以一万分为一步之法除之(当退四位)仍得八步合原数解曰此以一步化为百分故其积万分何也自乘者横一步直一步也今既以一步化为一百分则是横一百分直一百分而其积一万分为一步假如平方九十步开得九步除实八十一步余实○九步不尽(小分几何)法于余实九步下加八圏则余实九步化为九亿共作五㸃而以第二㸃○九亿○○分为次商之实依捷法以初商九步倍作一十八步为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第四行○七三六略小于余实商四千分除实七亿三千六百万分余一亿六千四百○○万分为第三商之实(第三㸃也)又依捷法以初商次商九步又十之四倍之得一十八步八为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一○四略小于余实商八除实一亿五千一百○四万余一千二百九十六万分○○为第四次商之实(第四㸃也)又依捷法以三次所商共九步四八倍之得一十八步九六为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第六行一一三七九六略小于实商六除实一千一百三十七万九千六百分余一百五十八万○四百○○分为第五次商之实(第五㸃也)又依捷法以所商九步四八六倍之得一十八步九七二为亷法列平方筹上为亷隅共法简筹第八行一五一七八二四略小于实商八除实一百五十一万七千八百二十四分余六万二千五百七十六分不尽凡开得平方每面九步四千八百六十八分(亦可)(名为四分八秒六忽八㣲)不尽一○○○○○○○○之○○○○六二五七六(即一万分之六分有竒)虽不尽不过万分之一不足为损益可弃不用还原以九步四八六八用筹为法又为实自乘得八十九亿九千九百九十三万七千四百二十四分加入不尽之分六万二千五百七十六共九十亿以一亿分为一步之法除之(当退八位)仍得九十步合原数解曰此以一步化为一万分故其自乘之积一亿何也自乘者横一步直一步之积也今既以一万分为步则是横一万分直一万分而其积一亿为一步若依命分法则还原不合如前例 原实八步开得方二步除实四步不尽四步法当倍每方二步作四步又加隅一步为命分命为二步又五分步之四意若曰若得五步则商三步矣今只四步是五分内止得四分也然还原有不合何也以算明之用通分法以命分五通二步得一十分又加得分四共一十四分自乘得一百九十六为实以命分五自乘得二十五分为法(每步通作)(五分横一步直一步则共得二十五分也)除之得七步又二十五分之二十一以较原实少二十五之四以图明之每步作五分其羃积二十五分方二步积四步共一百分又五之四以乘方二步得四十分倍之为亷积八十分又五之四自乘得隅积一十六分共九十六分以合原余积四步该一百分少二十五分之四以此观之实数每缩虚数常盈故命分之法不可以还原 其故何也曰隅差也何以谓之隅差曰平方之有竒零其在两亷者实其在隅者虚何也亷之虚者一面而隅之虚者两面也即如二步五之四谓五分内虚一分故不能成一歩也然试观于图两亷之四步皆虚一分(横四分直五分积二十分以二十五分计之是为于五分之中虚一分)而隅之一步虚一分有零(横四分直亦四分积一十六分虚九分以二十五分)(计之是为五分之中虚二分弱)则是边数二步五之数者其积不及五之四也今余积四步者实数也其边数常盈于五之四有竒也而命之曰五之四宜其不及矣然则古何以设此法曰古率常寛以为所差者㣲故命之也不但此也古率圆一围三方五斜七今考之皆有㣲差故曰寛也愚常考定开平方隅差之法法曰如法以命分之毋通其整而纳其子(即得分)为全数以全数自相乘得数为通积另置分毋以分子减之余数以乘分子而加之为实乃以分毋自乘为法除之即适还原数 如上方二步五之四以分毋五通二步得十纳子四共十四自乘得方积一百九十六分另以分子四减分毋五余一以转乘分子四得四即隅差也以隅差加入方积共二百分为实乃以分毋五自乘得二十五为法以除实得八步合原积又如后例 原实九十步开得九步除实八十一步不尽九步法当倍每方九步作十八步又加隅一共十九步为命分命为九步又十九分步之九意若曰若得十九歩则加商一步成十步今只九步是十九分内只得九分也然还原亦不合以算明之用通分法以命分十九通九步得一百七十一步又加得分九共一百八十步自乘得三万二千四百为实以命分十九自乘得三百六十一为法(每步十九分横十九)(分直十九分共得三百六十一分也)除之得八十九步又三百六十一分之二百七十一以较原实之九十步计少三百六十一分之九十分若依隅差之分以得分九减命分十九余十转乘得分得九十分为隅差以加自乘通积三万二千四百共得三万二千四百九十为实乃以命分自乘三百六十一为法除之恰得九十步合原积以图明之甲戊丁庚形者方九步九分之总形也通为一百八十分积三万二千四百分以三百六十一为步除之较原实少九十分内分甲丙乙巳形为初商方九步之形其积八千一歩戊乙形庚乙形次商亷积之形也长九步(通为一百七十一分)濶九分积一千五百三十九分两亷共计三千○七十八分丁乙者小隅者横直各九分以较亷积中每一步之形(如丑乙)欠一丁癸形即隅差也以积考之亷九步每步濶九分长一步(通为十九分)积一百七十一分隅濶九分长亦九分积八十一分少九十分为隅差立方法曰凡立方有余实不能成一数不可开矣若必欲知其分秒则于余实下加三圏(原实一化为一千分)如法开之所得根数是一十分之几分也若加六圏(原实一化为一百万分)所得根数是一百分之几分也若加九圏(原实一化为十亿)则根数是一千分之几分也若加十二圏(原实一化为万亿)则根数是一万分之几分也解曰平方筹两位故两位作㸃而其化小分亦以两位为率葢积多两位则根数可多一位也(亷一位隅一位故两位)立方筹三位故三位作㸃而其化小分亦以三位为率葢积多三位则根数可多一位也(平亷一位长亷一位隅一位故)(三位)假如立方积一十七步开得立方二步除八步余实九步不尽法于余实下加十二圈则余实九步化为九万亿分(増)(四㸃可加开四位)依捷法截第二㸃○九○○○为次商之实 以初商二自乘(四)而三之得一十二步为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商(二)三而进位得(六○)为长亷法列立方筹下 简共法筹第五行积(○六一)(二五)小于实商五分(六行七行亦小于实因无长亷)(积故不用)乃以第五行平方(二五)与长亷法相乘得(一五○○)为长亷积以加共积共得(○七六二五)是为次商五分之积以除实余一三七五以俟三商又截取第三㸃一三七五○○○为三商之实 以初商次商共二步五分自乘得(六二五)而三之得(一)(八七五)为平亷法列立方筹上为平隅共法 以初商次商(二步五分)三而进位得(七五○)为长亷法列立方筹第七行(一三一二八四三)共法(八四三)小于实商七秒 乃以第七行平方(四九)与长亷法相乘得(三六七五○)为长亷积以加共积共得(一三四九)(五九三)为三商七秒之积以除实余○二五四○七以候续商又截取第四㸃○二五四○七○○○为四商之实以商数(二五七)自乘得(六六○四九)而三之得(一九)(八一四七)为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数(二五七)进位而三之得(七七一○)为长亷法列立方筹下简共法筹第一行(○一九八一四七○一)小于实商一忽乃以第一行平方(一)乘长亷得(七七一○)为长亷积以加共积得(一九八二二四一一)为商一忽之积以除实余○五五八四五八九以候末商通第五㸃○五五八四五八九○○○为末商之实以商数(二五七一)自乘得(六六一○○四一)而三之得(一九八三○一二三)为平亷法列立方筹上为平隅共法 以商数(二五七一)进位而三之得(七七)(一三○)为长亷法列立方筹下简共法筹第二行(○)(三九六六○二四六○八)小于实商二㣲乃以第二行平方(○四)乘长亷法得(三○八五二○)为长亷积以加共积得(○三九六六三三三一二八)为末商二㣲之积以减实余一六一八二五五八七二不尽凡开得立方每面二步五分七秒一忽二㣲(不尽之数不能)(成一㣲弃不用)还原以二步五七一二用筹为法别以二步五七一二列为实以法乘实得六六一一○六九四四再乘之得一十六万九千九百八十三亿八千一百七十四万四千一百二十八分乃以不尽之积一十六亿一千八百二十五万五千八百七十二分加入再乘积共得一十七万亿以一万亿为一步之法(以一步为万分横一万直一万商一万共一万亿)除之得一十七步合原数若依命分法则还原不合如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加(一步)为隅共(一十九步)为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合以算明之用通分法以命分十九通立方二步得(三十八分)又加得分九共(四十七分)此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得(二千二百○九)(分)再乘得(一十○万三千八百二十三)乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得(三百六十一)再乘得(六千八百五十九)乃方一步之积为法以除实得(一十五步又六千八百五十)(九之九百三十八)较原实一十七步少(一步又六千)(八百五十九分之五千九百二十一)其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积(六千八百五十九分)为步法以十九分除之得每(三百六十一)为分法平亷每步(横十九分直十九分髙九分积三千二百四十九)分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也若长亷(横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分)分法除之得四分有竒而已以较平亷九分之积(三千二百四十九)少(一千七百一十分)三长亷共(六步)共少(一万○二百)(六十分)步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差若小隅(横直髙各九分积七百二十九分)分法除之得二分有竒而已以较平亷九分之积(三千二百四十九)少二千五百二十分为隅差合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一以图明之丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直髙各十九分积六千八百五十九分是为步法以十九分除步法得三百六十一分是为分法亷隅总图(见左)甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千九百八十八分丁戊巳三长亷也各长二步通为三十八分厚濶各九分积三千○七十八分三亷共九千二百三十四分庚小隅也长濶髙皆九分积七百二十九分三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内正方形纵横各二步通为三十八分 积五万四千八百七十二分总形方二步九分通为四十七分髙如之 积一十○万三千八百二十三分 以步法除之得一十五步有竒不满原实一步又五千九百二十一分平亷方二步其容四步即辛壬癸子之分形也每步纵横皆一步通为十九分厚皆九分积三千二百四十九(辛一形积如此壬癸子者同) 以分除之适得九分长亷长二步(如丑寅合形)通为三十八分厚九分皆与平亷同所不同者平亷濶十九分而长亷濶只九分故长亷二步尚不及平亷一步之积以积计之每长亷一步(如丑形)积一千五百三十九分较平亷每步之积(如丑夘合形)少一千七百一十分(如丑之虚分夘)三长亷计六步共少一万○二百六十分是为长亷之差小隅横直髙皆九分(如未形)于平亷一步之积不及四之一以积计之小隅之积七百二十九较平亷一步之积(如未申合形)少二千五百二十分(如未之虚分申)是为小隅之差 合二差共一步五千九百二十一分今考定开立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母(即命分)通其整而纳以分子(即得分)为立方全数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分(母数)与得分(子数)各自乘得数以相减用其余数以乘得分得数为隅差又置命分与得分相减用其余数转与得分相乘以乘命分得数是为长亷每步虚数又以长亷法乘之得数为长亷差合二差数以加通积为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数如所设立方积十七步开得立方二步又十九分之九法以分母(十九)通立方二步而以分(子九分)纳之共(四十七分)为立方全数以全数自乘再乘得(一)(十○万三千八百二十三)为通积另置命分(十九)自乘得(三百六十一)内减分子(九)自乘(八十一)余(二百)(八十分)以分子(九)乘之得(二千五百二十分)为隅差又置命分(一十九)内减得分(九)余十分转乘得分(九)得(九十分)以乘命分(十九)得(一千七百一十分)为长亷每步虚数又以长亷法(六步)乘之得(一万○二百)(六十分)为长亷差合二差共一万二千七百八十分以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积厯算全书卷三十三
## 笔算自序
笔算自序
或问笔算西人之法耳子何规规焉曰非也自图书启而文字兴参两倚数毕天下之能事六书九数皆原于易非二事也古人算具以筹策纵横布列畧如筮法之挂扐其字象形为祘是故其纵立者一而一其上横者一而五珠盘之位实此权舆夫用蓍在立卦之后则筹策之算必不在文字先矣是故筹策之未立形声㸃画自足以用而筹策之所得又将纪之简策以诏方来书与数之相须较然眀也近数百年间再变而为珠盘踵事生新以趋简易然观九章中盈朒方程必列副位厥用仍资笔札其源流不可想见与故谓笔算为西人独智者非也曰今所传同文算指西镜录等书亦唐九执厯元明间回囘土盘之遗耳与中算固各有本末矣曰是则然矣然安知九执以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以来二千年屡变而宻溯而上之亦不能言其始于何人其为算也亦若是己矣夫古者圣人声教洋溢无所不通南车记里之规随重译而四逹我则失之彼则存之乌乎识其然乌乎识其不然耶且夫治理者以理为归治数者以数为断数与理协中西非殊是故礼可以求诸野官可以问诸郯必以其西也而摈之取善之道不如是隘也况求之于古抑实有相通之故乎曰然则子何以易衡而直曰旁行者西国之书也天方国字自右而左欧逻巴字自左而右皆衡列为行彼中文字尽然也彼之文字既衡故笔算亦横取其便于彼用耳非求异于我也吾之文字既直故笔算宜直亦取其便于用耳非矜胜于彼也又何惑焉问者以为然遂书其语为序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰
## 发凡
发凡
笔算之便与筹算同然筹仍资笔而笔则无假于筹于文人之用尤便(笔算无歌括最便学习又无妨酬应乆可覆核皆与筹算同详筹算书)笔算易横为直以便中土盖直下而书者中土圣人之旧而吾人所习也与筹算易直为横其理正同笔乗原法以法实相叠殊混人目今所更定者一纵一横法实各居其所而纵横相遇处得数生焉不惟便用而已其所以然之理亦按图可知笔除原法得数与原实相离定位易淆今所更定者法实与得数两两相对算理井然定位尤简(所谓原法者并据同文算指乃西土之旧式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥后有西镜录等书稍)(稍讲明定位之用盖亦酌取中法而为之然于古人实如法而一之㫖似犹有隔兹以法上得零之诀定)(之庶令学者一望而知所兾髙贤有以教之幸甚)
## 卷三十四
钦定四库全书厯算全书卷三十四宣城梅文鼎撰笔算卷一列位法数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后(以一位言之有自一至九)(之名此如同軰之有长㓜合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有)(子孙云仍故单以下复有畸零之位也)列位式万 千 百 十 零(此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单)假如有数二万四千七百五十九依法列之二 四 七 五 九(凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更)(书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣)又如有数四千○九十六依法列之四 ○ 九 六(凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位)又如有数一万○八百一 ○ 八 ○ ○(凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣)又如有数一十二万九千六百一 二 九 六 ○ ○(原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万)畸零列位式凡整数自单而升若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之升以十为等自单而十而百而千而万皆一法也(万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而)(变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿)(万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也)若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法(详后)其一以十为等分二类假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六丝七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠依法列之○○五九八六七九三四八九二一两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠(右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为丝忽以至渺漠皆以十为等)(原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有)(两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也)凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属(亦有以尺为单以寸为单者皆如所设)凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属(亦有以斗为单数者皆如所设命之)法并同上右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之(右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作㸃以志之使知日下)(二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等 凡作㸃必单位如日为单位下)(又有单刻单分单秒之属)凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作㸃以志之法亦同上右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作㸃之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列(右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作㸃志之畧同授时然皆以六十而进非以百也)(其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六)(十之率巨细同法 西洋法亦然)又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太𤣥以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列(此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作㸃志之亦同前法但铢以二)(十四为率两以十六为率二率不同)又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正(西厯谓之二十四小时)每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之(此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率)(二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩)右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也(此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之)并法凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也(数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所)(以稽总撒)法曰置所有㪚数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从列讫仍并之自上而下如画卦之法数满十者进位作号而本位纪其零纪号式丨□□□□丅□□□(此古算位也用以别原数便稽核也)假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又(三百五十)(斤若合之 干)如上式㪚数三宗依法列位并之得总数二千三百三十斤假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干九减试法(凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之)(先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行)(三五合成八数纪于右八纪于左次减总数二三三合得) (左右相同知其)(不误)(第二图先减㪚数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○)(于右同次以总数一八九成二九减尽纪○于左也左右相 知其无误 或问九减不计上下之位何 曰)(此㨗法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位)七减试法(凡七减与九减不同须论位减实数十第一图先减㪚数自上而下头一排只有一作一 算合第二排)(八三得十一共二十一以七减之尽第三排九八五合得二十二以七减之余一作一十合第四排八二)(得十共得二十以七减之余六纪于右二次减总数亦自上起首位无七有二合第二位作 十三以七)(减之余二又合第三位作二十三以七减之余二合误末位○作二十减二七余六纪于左 左右相同不)(第二图先减㪚数头一排四五八合十七以七减之余三作三十合第一排两个五成十共四十以七减)(之余五作五十合下六三成九共五十九以七减之余三纪右)(次减总数首两位十八以七减之余四合第三位○作四十以七减之余五作五十合下位九共五十九)(以七减之余三纪左左右相同不误)畸零并法假如有物十斤四两十二铢又九斤十一两十二铢共若干答曰二十斤(铢数并得卄四成一两进位并原数共十六两成斤进位并原数十九斤)(共卄斤四两率十六不同故以㸃隔铢率卄)(之率不同难用九减七减只以减法凡)(还原其法于总数内减原㪚数一宗其余一宗必合减余是为无误减法)(见后详通分)假如品官计俸原厯任过三年○九个月今又歴任一年十一个月共若干答曰共歴任五年○八个月(先并月得二十再以十二个月成一年进位纪号余八个月次并一年三年加)(所进一年共五年并得五年○八个月此因月法十二非以满十而进故以㸃)(隔之非满十而进不用九减七减只以此亦)(减法还原)递加法假如授时厯歳实(三百六十五日二十四刻二十五分)两次加气策(一十五日)(二十一刻八十四分三十七秒五十微)共若干答曰(三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒)此递并法借前总数当㪚数用之如此则可以层累而加(前条三百八十○日四十六刻竒是从岁前冬至算至本年小寒此条三百九十五日六十八刻弱是又)(算至本年大寒)截小总法(凡并法头项太多者截分小总则易清乃垜积之㨗法)假如河工一十二宗一工(五千○十四工)又(三千三百工)又(八百九十一工)又(二千○九十工)又(九百○九工)又(一千○八十工)又(二千○二十工)又(九十一工)又(六百)(六十七工)又(四千七百工)又(七百三十工)又(八十二工)问共数答曰二万一千五百七十四工法曰(先以河工十二宗任分为三段依法并之各成小总再合各小总依法并之为一大总合问)(或有极多至百十宗者宜多分小总小总又并为小总末乃并为一大总变繁为简最便覆核)减法凡数相较法当用减有两数于此以相减则得其大小之较也有全数于此减其所去则得其留余之数也(在钱糓之用则减为开除减余为实在若收受则所减为已完减余为未完其法与并法正相对其用亦)(相需也)法曰置原数于右置减数于左依列位法自上而下对位列之(若两数相较则以大数列右以当原数小数列左为减数)乃以两数相较以少减多(原数必多减数必少若原数反少则有转减)减讫列减余之数于左行凡减自下小数起本位无可减借上位一数化十而减之则于上位作㸃以为志(还原时即用此㸃为进位之志或不用㸃用短直亦同)假如有库银十万两支放过五万九千五百○三两问存库若干 答曰四万○四百九十七两(此因数万以下俱空故皆用借十作㸃之法自最下两位起两位空作㸃于上位借十两减三存七 支)(数原无十两因借减之㸃宜减十两而十两亦空复作㸃于上位借一百内减一十存九十 支数五百)(加借㸃共六百亦作㸃借一千减六百存四百万支数九千凑借㸃成一万作㸃于万位凑原支五 共)(六万又作㸃于首位借十万减六万存四万)还原用并法(即借用本图)从两位起以支放三两并存留七两得十两作㸃于十两位凑存留九十两成一百两又作㸃于百位凑支放五百存留四百并得一千作㸃于千位凑支放九千成一万作㸃于万位凑支放五万存留四万共成十万作㸃于首位至此存留支放俱无可辏浄十万两作一十万字于原银位合总无差递减法假如有应进贡(貂皮一千五百张收过九百○五张次年补收四百九十五张仍欠若干)答曰(一百张)(以头一次九百○五张依法减原额一千五百张得减余五百)(九十五张为欠数十五张减欠次以补收四百九)(数五百九十五张得减余一百张为仍欠数)因两次递减亦减两次试之(九减) (六□) (七减) (二□) (先以原额减余数列右合收欠减余数列左)(试法) (一□) (试法) (○□) (次以欠数取减余列右合续收仍欠减余列左)还原(倒用前图)以仍欠一百并续收四百九十五得五百九十五合前欠数 又以欠五百九十五并先收九百○五得一千五百合原额 凡递减者亦以递并还原透支转减法假如有钱一万五千○三十文陆续支用过一万六千○五十文该有透支若干答曰净多支一千○二十文此因支数多于原数故以原数转减支数而得透支之数(凡两数相较多寡皆倣此)还原以多支一千○二十并原钱一万五千○三十得一万六千○五十合支用数畸零减法假如有地丁银三千五百零三两徴完三千二百一十两零三钱五分仍未完若干 答曰二百九十二两六钱五分还原以已完未完相并得数合额编之数(此原数至两而止因)(减而有钱与分之数盖以两为单数其钱为两十之一分又为钱十之一皆畸零也)假如授时厯毎月二节气共三十○日四十三刻六十八分七十五秒经朔二十九日五十三刻○五分九十三秒两数不同是生月闰该若干答曰月闰九十○刻六十二分八十二秒太阳节气 此经朔减节气也太阴经朔 经朔小节气大相减月闰 之较是为月闰还原以月闰并经朔得总即仍合节气之数假如品官计俸以三年为满今厯任过一年零七个月该补若干 答曰该补一年零五个月(此以十二个月为一年故减法不同)(先减七个月月位无可减作㸃于年位借一年为十二月减七存五)(次减一年并所借一㸃共二年以减三年余一年)还原以己厯一年○七个月补俸一年○五个月相并得三年合总假如有海濵田一百三十一顷四十亩被潮坍损二顷八十五亩一百五十九步仍余若干答曰仍存田一百二十八顷五十四亩八十一步解曰(此以百亩成顷二百四十步为亩故列位时须作㸃别之而减法亦同)(先减一百五十九步原数无步作㸃于亩位借一亩)(为二百四十步纪号于原位乃如法减之)仍存一二□五□○八□还原以坍损田及仍存田相并得原田数合总右二式畸零之率不同难用九减七减只以并法还原(余详通分)钱粮四柱法四柱者旧管新收开除实在也各衙门造册必归四柱则收放可稽在笔算为减并合用盖旧管新收用并法开除用减法其实在则减余也亦有减尽无余者则无实在即于实在项下直注曰无其事件创立前无所承者则无旧管亦有存留不动之项则有旧管而无新收其法并同(如无旧管则注曰旧管无或无新收则亦曰新收无)若所出浮于所入则为透支当用转减之法也(开除本用以减)(今反将并旧管新收以减开除故曰转减)凡转减者亦当于实在项下注明(如云实在无外多支若干是也)式如后假如藩库原存地丁银一十二万○三百○三两今于康熙三十年征收一百四十一万○五十五两六钱节次支放过一百二十二万二千○五两六钱问该存留若干答曰三十万○八千三百五十三两(先用并法得旧管新收共一百五十三万○三百五十八)(两六钱再用减法于共数内减去开除一百卄二万二千)(○五两六钱得实在存留三十万○八千三百五十三两)(四) (以旧管新收共数与开除实在并数各依试法)(四) (左右列减余相同知其不误 九减七减并余)(四可省一图)假如仓内原存米四千四百石新收某处解到米五百○三石麦三千六百石奉文支放兵米五千石问实在若干答曰(米支放讫仍缺额九十七石麦实在三千六百石存仓)麦(法以旧管新收共米) 旧管 无(四千九百○三石转) 新收 三六○○(减开除五千石得缺) 开除 无(项九十七石) 实在 三六○○(试法合旧管新收加入缺项而九减七减之纪余于右 又单)(用开除一项九减七减纪余于左以左右相同知其无误)(凡转减者倣此试之)假如某镇军饷原存二千一百○三两支放过正月分口粮折银一千八百○九两续于二月有某处解到协济银三千五百两于四月内发过草料银八百九十二两又制造盔甲银用过九百九十九两五钱续准某军门公文发到饷银一千○九十两问今库内现存若干 答曰仍存二千九百九十二两五钱以上先用并法变六宗为两宗然后相减若依四柱法则当以协济三千五百两院发一千○九十两另并为新收四千五百九十两(九) (六) (七) (三)(试试□并试旧□新收并为右 法 以 管)(一宗而九减之纪余于右以开除实在并为一宗而九减)(之纪余于左不同者开除实七减亦然所)(在减至钱数则旧管新收亦必减至○钱位止然后左右)(相较可以无误此七减之要诀所当熟玩)淮仓销算(邸抄附录为式)户部题为差委司属官员事查得淮仓监督将任内自康熙廿九年九月初六日起至三十年八月初七日止收放钱粮数目造册具题前来查册开旧管银三万八千一百一两五钱三分零米麦四万五千一百六十九石九斗三升零新收银一万二千一百四十八两九钱九分零米麦一万七千三百六十九石二斗六升零又收过商税等银三万一千六十四两八钱六分零内相符准销银一万八千三百一十五两一钱五分零米麦一千一百一十九石八斗四升零行查催解银三万五百五十四两八钱零米麦一万三千二百五十石八斗二升零存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零将解支欵项开后一解部银一万七千六百二两三钱五分零米一百三石毎石九钱折银九十二两七钱麦一千一十六石八斗四升零每石五钱折银五百八两四钱二分零等语查前项银两已经解到收讫无庸议一给门军口粮银七百一十二两八钱等语查系应给之项无庸议一解河工银五千八百一十三两二钱六分零查未开解交年月日期应令开明报部之日查核一给淮安等卫廿九年分行粮银五千三百两三钱二分零米麦一万三千二百五十石八斗二升零月粮银一万四千七百三十二两九钱查总漕未奏销应俟奏销到日查核一解淮安府银四千七百八两三钱二分零查卄八九两年解府银两尚未动支今何得又行起解应令作速解部一存剩银三万二千四百四十五两四钱三分零米麦四万八千一百六十八石五斗三升零应将此解部米麦存仓备用又收过房田税契银四百二两六分六厘零查前项银两已经解到收讫无庸议者奉㫖依议 今以四柱法核之如后(桉此即原题四柱册也旧管者即四柱之旧管也新收及商税皆新收也准销即开除存剩即实在其行)(查催解银则四柱中原作开作而部不准销改入实在之数也)法(以准销查催共数与旧管新收共数相减即得存剩)细账(仍原数不动)以上并依法合总无讹外有房田税契银另项附销不在四柱之内厯算全书巻三十四
## 卷三十五
钦定四库全书厯算全书巻三十五宣城梅文鼎撰笔算巻二乘法以数生数是之谓乗数不能自生相得乃生故乗亦曰因(生则不穷故乘有陻义生则日积故乘有载义)有一位乗有多位乗(或分一位曰因)(多位曰乘然古皆谓之乘今从古)皆有法有实有得数(凡实数纵列于右凡法数横列于下纵横相遇而得)(数生焉对者法数也斜行直行所)(所对者实数也而纪得数则以横行定之)(或问实何以对斜行曰法有进行故得数斜升是故)(右第一行是法单位乘出之数也其次行则法十位)(乘出之数也又次而百而千视此矣故其乗得数不)(出斜格流此虚位也单十百千周 迭居皆于临时)(定之)凡乘出数皆有本位有进位如有十数又有零数(三四一十)(二四四一十六之类)则纪零于本位(本格之右方)纪十于进位(上一格之左方)有十数无零数则纪十于进位而本位作○(五四成二十五六成)(三十之类)有零数无十数则纪零于本位而进位作○(一一如一)(二二如四之类)凡法实有空位则本位进位俱纪○凡乘皆从法尾位起(即右第一行)对定实数相乗自下而上如画卦之法右行乘毕挨乗左行毎移一行必进上一位其各行中斜对实数自下而上皆如右行法凡法与实有空位则无可乘然必于本位进位各作○以存其位(若实尾有空位则于合摠时补之)凡各行乗讫必覆核之乃以并法合总而纪于左方以为得数实尾有几○皆作于总数之下凡乗讫定位皆于原实内寻原问毎数为根以横行对定得数命为法尾数则上下之位皆定凡数单乗单成单(甲为本位戊为进位)十乘十成百(乙为本位已为进位)百乘百成万(丙为本位庚为进位)千乗千成百万(丁为本位辛为进位)前图可明定位又法(法曰有本数有大数有小数如原问是毎亩之价而原实恰止于亩数是本数也凡本数)(即用得数尾位命为法尾数是若原问是毎亩之价而原实只有十亩或只有百亩 大数也凡大数当于得)(数尾位下增○然后于所增○位命为法尾数若大几位亦增几○皆增至毎位止即命末○为法尾数也)(若原问是每亩之价而原实不止于亩亩下𢃄有分厘是小数也凡小数当于得数之尾截去之原𢃄畸零几)(位亦截去几位然后命之即所截之上一位为法尾数是也)凡乗毕恐其有误宜用除法还原(置得数为实以法数为法除之即得原实)(或置得数为实以实数为法除之亦得法数)不则以九减七减试之尤㨗(先以法数如法九减之而纪其余纪于右如甲次以实数亦九减之而)(其余于左如乙再以左右两减余相乘得数仍九减之而纪其余于上方)(如丙下末以得数亦九减之而纪其余于 方如丁 丁丙相同即知无)(误七减亦然)(先以法数实数各如法九减之而并纪其余如甲与乙 次以两减余相)(乗得数仍九减之而纪其余如丙以上并居左方 末以得数亦九减之)(而纪其余于右方如丁二视丙丁相同即知无误 如甲乙 者内有一)(○即丙亦○又或甲为一数即丙数同乙皆不用乗 七减亦然)一位乗式假如有熟田三千五百一十九亩每亩编银六分问该若干答曰二百一十一两一钱四分(法从下起先以法数六乘实数九呼六九五十四纪四于)(于本位纪五于进位进乘实数一呼一六得六纪六于本)(位纪○于进位进乗实数五呼五六成三十纪○于本位)(纪三于进位进乘实数三呼三六一十八纪八于木位纪)(一于进位合乘毕以倂法 总)定位法 因原问是毎亩科则就于右行原实内寻每亩数为定位之根横对左行得数命法尾分则其余皆定(根是九亩横对是四分则上位是钱又上是两又上十两又上是百两定所得为二百一)(十一两一钱四分)两位以上乗式假如有金九钱八分五厘每两价银八两八钱问该若干 答曰八两六钱六分八厘(先以法八钱乗实数五呼五八成四十纪○于本位纪四于进位进)(乗实数八呼八八六十四纪四于本位纪六于进位进乗实数九呼)(八九七十二纪二于本位纪七于进位)(次进一位以法八两乗实五呼五八成四十纪○于本位进乗实八)(呼八八六十四纪四本位纪六进位进乘实九呼八九七十二纪二)(本位纪七进位总乗毕以并法合)定位法(原问毎两之价而实无两当于实九钱上补作○两位为根以横对得数定为法尾钱即)(上下之位俱定)定位又法(此小数也原问以毎两价为法而实有钱分厘共小三位即于得数截去尾三位定第四)(位为六钱)(法实减余平列左上相乘而减之列左下)(得数减余列右下以相同为定)假如有钱三十万零五百八十文每千卖银九钱零五厘该若干答曰二百七十二两零二分四厘九毫(先以法数五乗实数八纪四○次乘实数五纪二五)(次乗实数○○本位进一位俱纪○次乗实数三纪 五)(进一位以法数○乘实○无可乘于本位进位各纪)(○以存其位法数九乘实又进一位以)(数八纪七二进乗实数五纪四五进乘两○纪○进)(乗实数三纪二七乘毕以并法合总)定位(原问是毎千之价当于原实内寻干位为根以对得数命为法尾厘则其余皆定)定位又法(此亦小数也实有十丈于原问毎干为小两位当于得数截去末两位定为法尾厘)(此即前问也因法有空位省不乘但于法首九)(钱起进二位乘之即得数无讹与前法同)(本宜进一位乘九钱今进两位以合空位之数)(若法有两空即进三位以上倣论)假如星命家以年月日时配成八字(以七百二十乗七百二十)问共该若干答曰五十一万八千四百(如法乗讫并之得五一八四)定一(原问七百二十年月下毎一数中各配七百二十日)(时宜于原实下补作○单位为根以对得数定法尾十)或用又法(实数止于十大于毎数一位乃大数也宜)(径于得数増一○位定法尾一)解曰(六十年各十二月则前四字七百二十六十日各十二时下四字亦七百二十故以相乘即能)(尽八字之变)假如西厯天度毎周三百六十今有星行天三百周该若干答曰一十万零八千度(依法乘讫用并法合总得一○八)定位(原问是毎周之度今实数是三百周当于原实下补作两○至毎周位止)(以此为根横对得数定法尾十度而得数空补作一○上一位为百度位得数亦空)(又补作○是得数无百无十也再上为千为万为十万定所得为一十万○八千)或用又法(星行三百周大于毎周两位乃大数也法径于得数下增两○)(定末○为法尾十度即得数皆定)(此先置三百六十为实而以三百周为法乘之也得)(数一○八与前法同但变两位乘为一位乘其用更)(简)定位(用大数法以实止十度无毎位径于得数)(下补作一○定为法尾百即得数定为十万○八千)假如有珠子三分五厘毎两值银二十四两该若干答曰八钱四分依法乘而并之得八四○定位(原问珠毎两价今实数只有分乃进位作)(○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数)(两而两位空补作为八钱四分) (定所得)定位又法(此小数法也实有分厘在原问毎两下三位宜截去得数末三位定法尾数两而得数只)(三位无可截乃补作○于得数之上然后截之定为○两)此与前条金价并畸零乘法也(余详通分)省乘法(古谓之加法)假如有漕粮三百六十石毎石𢃄耗米四斗问正耗共若干答曰共五百○四石此就身加法也(原数即当得数不动只挨身加四)(先于六十石加四六二十四石又于三百石加三四一百二十石末)(用并法连原数并之合总凡加法定位依原数不湏更求下同)(加法九试七试略同并法并合原数加数减余列右共数减余列左此及下)(条并九减七减俱无余)假如银五十四两毎两月息二分五厘今两个月共本息若干答曰共五十六两七钱(此因所加是分在两下二位故隔位加 又因毎月二分半今两个)(月该五分故以五分为法先于四两加二○进于五十加二五末以)(并法连原数合总)省乘又法(古谓之求一乘法)凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加此为本非一数求而得之故名求一乗法也 其法遇法首为二为三则折半用之而倍其实 法首遇五六七八九则加倍用之而半其实 法首遇四则取四之一用之而四其实(如此则法首成一数可用省乘)(凡求一乘法定位亦于原实内寻毎数为根以横行对得数定之但此所对得数恒为法首位数 若乘法则)(为法尾位数与此不同乃理势之自然不可不知)假如前条珠三分五厘价毎两值银二十四两用乘法得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍作七分挨身加之所得正同而用加㨗矣(原数不动即用为法首一数所乘也七加挨身以法次位二与原数相乘呼二)(一十四本位纪一下位纪四加讫以并法合总亦连原数作数并之)定位(亦从原数七分上加两○寻毎两位为定位之根横对左行总数得法首)(位是十两下一位是两俱空位补作两○再下一位即钱定所得为八钱四分)又如前条钱三十万○○五百八十文毎千价九钱○五厘以钱折半(十五万○二百九十)为实价加倍(作一两八钱一分)为法(原数借为得数不动挨以法去首位一只用八一 身加)(之自下起于九加七二九于二加一六二其○位无加于)(五加四○五于实首一加八加讫合 原数并总) (一)定位(寻原数千位为根横对左行得数得法首两位)并乘法(凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘)假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干 答曰二千两(法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再)(以息银乘之是并两次乘为一次乘也)截乘法(凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通)假如有三十二人各给布六丈四尺共若干答曰二百○四丈八尺(先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又)(二乘加倍合总二乘即三十二乘也解曰十六乘又)定位(凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此)(条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已升为六十四丈)(矣时若加倍自是本位此在用算者临 消息之也)或置三十二人以八丈乘两次亦同解曰八乘二次即六十四乗也或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也除法以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归(除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣)有一位除有多位除(或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除)皆有法有实有得数(得数一名商数)实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣(实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省)(文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其㫖矣)定法实诀凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也(如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也)一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也(如以总米除总银以总银除总米是也)何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣(此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米)若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣(此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银)是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数(凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方)何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数(凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理)又㨗法凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方一列位(法实既辨即当列位)其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆倣此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数(得数亦名商数)以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数(如三三如九之𩔖)则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数(如二六一十二之类)则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之(如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为)(○九则以九上之○对商数书之他皆倣此)乃遂以乗出数与右行原实对减(周减法)足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也次定得数之位先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定次命分除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几次还原凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之(此法更简更确)按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等(谓十单分)(秒之等)而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快一位除式假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干答曰三千五百一十九亩审法实诀(此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法)(右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法)列位法(如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六)(列于右直线之左因法系六分故与实分位相对)商除法(次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三)(六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十)(之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八)(实系一不足减作㸃借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去)(一㸃只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八)(次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实)(三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三)(作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○如六三商以六除一合下位作十一商作一呼一六)(是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左)(以对减实一一以六减一不足减作㸃借上成十一减六余五改书 五于右抹去一一亦于左减数抹)(去○六六除五亦合下位作五十四商作九呼六九末商以)(五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左)(以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去 共商得三五一九)定位诀(于右线法数六字上一位作□为单位之识亩以横对左得数九字定为单九亩进位是十)(又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩)乗法还原(以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法)除法还原(以得数为法除原实仍得法数六分后条) (见)试法(九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上)(九减原实无余纪○于下皆○凡○位与他数相乗所得)(七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于)(上七减原实余二纪于下悮两试皆上下相同知其不)(论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同)(文算指用九减七减试法可免还原颇称巧㨗今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用)(相参互以明筭理握算者择而用之可也法今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试)多位除式假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干 答曰毎亩六分审法实(此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以)(地为法银为实)列位法(先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首)(是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法)商除法(以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六)(以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之)(左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三)(位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书)(下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽)定位(寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○)(再下是分定所得为六分)此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数(两为整数今所得是分在两下二位)(若用乘法还原同前条还原法若用除法还原即前条除法)此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数(下条同)其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得乃百分两之六也(详命分)假如有银八两六钱六分八厘换金毎金一两该银八两八钱问换金若干答曰九钱八分五厘定法实诀(此为以银除银金价八两八钱是先有之定则不动就以为法)(如前法对列法实于右线之左右改退商九以乗法初商法八实八宜商一因无次商)(八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨书遂以对减实三位八六六余○七四 次商八以乘法八)(得六四乗法次八亦得六四依法书之遂以对减余实七四八余○四四 三商五以乗法八八得四四)(○依法书之遂以对减余实恰尽)定位(法数上一位为单位横对得数上一位是两定为○两九钱八分五厘法实首位同而法次位)(八大于实次位六故亦借虚位以定实数说在前条)(甪乗法还原见乗法第二条两用除法还原以金九钱八分五厘为法除实得毎 价八两八钱即畸零)(法也详通分)假如有银四万八千两六十四人分之该若干答曰各七百五十两假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干 答曰三十万零五百八十文定法实(此先有定则九钱○五厘故以为法)(此法有○位例也亦是得数有○之例)(初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位)(再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余)(○○○五字实空位无可商次商从实五 起商作五以乘法)(九得四五法次位空亦作○存位 乗法末位五得二五如式)(书之以对减实五二四九余○七二四)(初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数)(宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商)(次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次)(商之事毕之末商八以乗法九得七二法次位无乘尽亦作○存 法末位乗得四○以对减余七二四恰)定位(此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定)(所得为三十万○○五百八十文)若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图审法实(此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实)列位之理(所欲知者毎千之价故以千为)(单以万为十以十万当百与原银对列)(其书商数如式不错则得无数之空位自明定位亦自)(舛说见前相还原此两条互) (若以)(乗法还原并用乘法第三条)命分法凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也(若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见)其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几(如以三除五内)(除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也)假如十九人分银二百五十四两问各若干答曰各十三两零十九分之七(以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命)(之七其法以法十九命为分母不尽 数为分子命为十九分两之)(七不解曰一整两各剖为十九分则 尽之七两共剖为一百三十)(三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两)(零十九分两之七)(若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加)(八不尽七两共二百五十四两合原实)(若用除法还原实法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为 毎人十三两为法法除实得十九人)论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽(如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽)故不如命分之简妙(如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只)(一语喝尽更无渗漏然后知古法为无弊)省除法(旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之)假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干答曰三百六十石(先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得)(耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定)(正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八)(四减余数恰尽之即还原数或用合得数减数并)(加四亦同)定位(凡省除皆以原数定位)省除又法(古谓之求一除法)凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍(如此则法首位皆成一数)假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同(先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折)(半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位)(一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二)(书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定)(五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽)定位(得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石 假如十人七千即毎)(人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上倣此论之凡省除依原实)(定位当知此诀)并除法(旧名异除同除)凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也(如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之)(是并数次除为一次除也)假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息答曰毎两息一钱五分六厘二毫半法曰先以四年乗原本(三千)(二百)得(一万二千八百)为总法(本法宜以)(二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎)(年毎两之息今并两次除为一次除足简法也)截除法(与并除相反所以便初学)凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银(一千五百一十二两)各若干答曰各二十七两(此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合)(问)(或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数)(右省除式也祇作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位)(者用此为便)假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干答曰毎斤一钱五分六厘二毫半(原法三位今用截除三次俱一位为)(法可用省除)假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干答曰五两 (原法三位今用六除三次亦同)约分法凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之(以等数除母子)(数则皆除尽西人谓之纽数)假如八十一人分银二十七两问各数 答曰各得三分两之一法曰(以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分)(两之二十七又以法约之为三之一)解曰(八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其)(二十七分是三之一也)分母八一 (约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减)分子二七 (之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八)减余五四 (十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三)(又减分子)二七 (人共一两也十四则用转减法以子五四若分子是五)仍余二七 (转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等)(数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二)假如米八十五石分结一百○二人问各若干答曰各得六分石之五法曰(人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五)(约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十)(七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余)(亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十)(五得五约为六分之五十七八十五是解曰一百○二是六个)(五个十七故曰六之五即六人共米五石也)(若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法)(除之得五是毎分之五也) (所得为一石米中六)厯算全书巻三十五
## 卷三十六
钦定四库全书歴算全书卷三十六宣城梅文鼎撰笔算卷三异乘同除法以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之说以著古法次详三率之用以显通理异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也(置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二)(件乘除之也)问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干答曰四十五两法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价(见以物求价也若还原则以价求物)假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干答曰一百○八石法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求(今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率)(法实四率也)假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四(二率)九(三率)相乘(卅六)为实以三(一率)为法除之必得十二(四率)若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求(此即还原之理)(解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是)(此以上图之四率为)(一率也故其序皆倒)(而所得四率即上图)(之一)又更而互之凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明(四九相乘)(三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一)(四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理)又错综之此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等(凡一率二率为前两率乃先有之二件也)(三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以)(比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也)若以一率除二率得数以乗三率亦得四率(如以一率三除)(二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先)(除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也)试仍以古图明之原有小麦十二石 换食盐九石 (俱四分之三比例若以上□左)今有小麦 四石 换食盐三石 (右更置即成三率之前四图)更之(以纵为横)原有粱米 三石 换棉布九疋 (俱三倍之比例若以上下左右)今有粱米 四石 换棉布(十二)疋 (更置即成三率之错综四图)辨法实凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率(其未知者待算而知则常为四率)视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名(如价与价物与物之类)就以此同名之两件审其孰为先有定为首率(其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率)假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干答曰截阔三十六步定法实诀以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率又诀(此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有)(之数为三率原濶与长异名为次率)按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变异乘同除定位法三率定位与乗法除法无异(乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以)(法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前巻)但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤升而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之(诸家算术往往有定位不确者)(皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也)假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里答曰一百七十五里论曰试以六时除马行(二百一十里)得每时行(三十五里)以乘(五)时亦得(一百七十五里)原无可疑今先乗后除故以(一千○五)(十里)为实骤观之似乎太多究竟除后适得其本数而已假如银(三十二两)换钱(三万六千文)今有银(二十八两)问钱若干答曰三万一千五百文若以(三十二两)除(三万六千)得毎两钱(一千一百二十五文)以乗(二十八两)亦得三万一千五百文(知得数之同则知一百万零八千之非误)异乗同除约分法三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加㨗矣(两率者其一首率其一次)(率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗则用其一皆取其与首率相凖也 或两率并为偶数)(俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则)(以等数约之并如约分法)(论其比例为十八比) (半之则九与八) (以三约之则六与十) (以九约之则二与十) (再约之则为一)(十六若九十九与八) (之比例亦若九) (六之比例若三十三) (六之比例若十一与) (与八若十一与)(十八也) (十九与八十八) (与八十八) (八十八) (八十八)假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两(法以二年成二十四个月依式列之)四 二百零八(八乗廿六即得此数)假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干答曰二百七十两(此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之)四 二百七十(十八乘十五得此数)(右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率)重测法(三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除)假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈 先用为法四 价 三两 法除实得此数重列一 价(七钱五分) 又用为法四 棉布 (二十八丈) 法除实得此数此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率(即今价也)而以棉布价(七钱五分)为首率(以与今价同名也)棉布(七丈)为次率(以与今价异名也)如法乘除得所换棉布为四率并乗除法以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除(古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也)假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换绿豆五石换黄米三石问该换黄米若干答曰六十七石五斗本法 重列一 麻 三石 豆 四石二 豆 五石 米 三石三 今麻 (五十四石) 今豆九十石(此重列之第三即先得之第四乃本法也)四该豆 (九十石) 米(六十七石五斗)简法(即并法)(今以两首率相乘为首率)(亦以两次率相乘为次率)(以两九十石对去不用故三率)(省乗是为并法实简法也)论曰本用两次乘除今以豆(四石)乘麻(三石)得(十二石)以除是并两次除为一次除也以米(三石)乘豆(五石)得(十五石)以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米(六十七石五斗)与两次求者数同(又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简)然则第三率何以独异(第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率)(并两次率为次率者逈别)曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求(重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不)(必更求其数)而乗除之用已偹(今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺)即所求之得数已清矣(若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十)(石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数)(直截了当)故为简法又式假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两依重测并乘除法当以(十二月)乘(七百名)得(八四○○)为法以(七个)(月)乗(一万二千六百)得(八八二○○)又以(三百名)乘之得(二六四六○○○○)为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以(七百)与(三百)约为七与三(皆百约之)则首率次率各有(七)对去不用可省并乘重列之时径以(十二)为首率饷银(一二六○○)为次率(三)为三率依法乘除而得四率 又以首率(十二)三率(三)约为四与一则径以饷(一二六○○)为实以四为法除之得(三千一百五十)合问变测法(古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也)凡异乘同除皆以先有之一率为法(即首率)以先有之又一率乘今有之一率为实(即二率三率相乗)若同乘异除则反以今有之一率为法(同文算指列于第三今依法实)(之序定为首率)以先有之两率自相乘为实(同文算指列于第一第二今定为第)(二第三)虽亦以法除实得今所求之又一率(即四率)与诸三率同而法实相反故曰变测假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得(八十四斤)本锤(一斤五两)加锤(一斤三两)问其物实重若干答曰一百六十斤一 锤重二十一两 为法四 实重一百六十斤 法除实得数法以锤(一斤五两作二十一两)加锤(一斤三两作十九两)共重(四十两)为先有之一率称重(八十四斤)为先有之又一率相乘(三三六○)为实以本锤重(二十一两)为今有之一率为法法除实得实重(一百六十斤)为所求今有之又一率合问假如秤失去锤有所称物(重一百六十斤)今以他物代锤(重四十两)称得重(八十四斤)问锤重若干 答曰一斤五两一 物重一百六十斤二 称得重八十四斤三 (他物代锤)重四十两四 锤重二十一两假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干答曰二十二丈一 今濶一尺五寸二 原濶二尺三 原长十六丈五尺四 今长二十二丈假如储粟方窖长(一丈二尺)濶(九尺)深(一丈)今欲别穿一窖藏粟与之等长亦(一丈二尺)但深加(二尺五寸)该濶若干答曰濶七尺二寸一 今深十二尺五寸二 原深十尺三 原濶九尺四 今濶七尺二寸(此原长不动而加深减濶也长今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘 一十二尺得一千零)(八十尺亦等则其藏粟等)又问若依原窖之濶(九尺)但加长(三尺)该深若干答曰深八尺一 今长十五尺二 原长十二尺三 原深十尺四 今深八尺(此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八)(十尺)假如有方仓高(一丈八尺)濶(二丈)深(二丈一尺)今更造一仓亦深(二丈)(一尺)但高减三尺问阔若干答曰濶加四尺(共濶二十四尺所储米石即同原仓之容)一 今高十五尺二 原高十八尺三 原濶二十尺四 今濶二十四尺(此原深不动而减高増濶也当与右二条叅㸔仓之高即窖之深仓之深即窖之长)(今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积)(等)假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱一 今银色九六 为法四 今还四十二两(五钱)法除实得数(解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六)(分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别巻)假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日 答曰四日一 今用四十人二 原用三十二人三 原耕五日四 今耕四日假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日答曰四日有半一 今濶八尺二 原濶三尺三 原十二日四 今四日半假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时答曰一年零八个月一 今兵三千三百六十二 原兵五千六百三 原设饷十二个月四 今可支二十个月歴算全书巻三十六
## 卷三十七
钦定四库全书厯算全书巻三十七宣城梅文鼎撰笔算巻四通分法(并减乘除并有子母通分之用故别自为巻其畸零以十百千万为等者不用此法)凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以一整数剖为若干分是为母数其所𢃄零分在母数中得几分之几是为子数通分子母列位法通分列位其法有三曰化整为零曰以整𢃄零曰收零为整假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所𢃄四两共二十两而列之二○(斤以十六两为母其所𢃄四两是子今化斤为两则可乘除谓之以母从子也)若欲通为铢则以毎两二十四铢为母通二十两为四百八十铢四八○(此以斤通为两两又通为铢是两次用通分也)若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之如皇极经世一元有十二㑹一㑹有三十运两次通之则一元有三百六十运 一运有十二世一世有三十年两次通之则一运有三百六十年若以元通为年则用四次(元通为㑹㑹又通为运运又通为世世又通为年是四次)(用通分也)通得十二万九千六百为一元年数假如古歴十九年七闰谓之一章其月谓之章月二三五(此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入闰七月共得二百三十五月为一章之月)右化整为零 古通分法曰通以分母纳以分子盖言以分母通其整数而以所𢃄零分加入也然亦有不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不用全化为分故西学谓之化法别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用整变零则全变为整而不用零其数则同(谓自一至九之数)其等则异(谓如零升为单单升为十之类)详见零除条凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整𢃄零当以母数子数并而书之曰几分之几(若分下𢃄有小分则曰几分之几又)(几分分之几)假如有整数二十五𢃄有零分为整数十二分之七又仍𢃄零秒为分数三十分之十四(此如歴算法一周十二宫一宫三十度今算得星行二十五周又七宫十四度也)假如有整数十六又𢃄零数为整数七分之五(此以一整数剖为七分而所𢃄零分适得其五也七为分母五为分子)假如有零数为整数三十分之十四又𢃄有小分为分数六之五(此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其)(十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母)右以整𢃄零凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而𢃄其零假如有零分十六其分母九(此以子数反大当以母数收为整)(九之十六) 收得一(九之七) (十六分内除九分收为整余七分是为整一又九分之七也)假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺(步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整)(七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十)假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距〔？〕元中积一百年问在第几蔀第几章畣曰第二蔀第二章之第六年(法先以章法十九收九十五年成五章剰五年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章)(通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也)右收零为整(凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也)此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分通分并子法通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又𢃄小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法径并法凡分母数同者径并其子并满母数收为整(数在三宗以上而母同者皆可径并)(其子或大分之下𢃄有小分而分母同者并用此法)假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤(又五分斤之二)(此因两母同为五故径并其子且子数七母数五是子满母数而)(有余也当以母数收之得整一零五之二)以上分母同者径并其子为通分并法之一类变分母法凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数(六之三)又加(四之一)共若干畣曰共四之三(法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣)(所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也)假如有金(八分两之五)又(四分两之三)并之若干答曰一两又八分两之三(八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三)(加倍即母数齐同可相并矣)互乘法凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之(数在三宗以上而母不同者皆可用此法)假如有物(四分石之三)又(七分石之四)共若干 答曰整一石又(卄八分石之九)(先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为)(卄八之十六三次以左母七互乘右母四及子 变四之二为卄八)(之卄一之两母既同遂并其子为二十八 三十七)(以满共母二十八収为整一仍余九)凡三母内有两母相乘与余一母同者祇用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲(七之六)丙得甲(五之四)丁得甲(卅五之二)(十三)若合乙丙丁三数得甲数若干 答曰得甲数二(又三十五之十一)(法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之)(四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并)(丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问)(归整)得甲数二(又卅五之十一)连乘法凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整假如有数六(之四)又加三(之一)又加五(之四)并之若干答曰整一(又九十之七十二) (法以六乘三得一十八又以五乘之得九十为连乘之共母)(即六除共母得数以乘之四之数)(即三乘共母得数以乘之一之数)(即五除共母得数以乘之四之数)归整得一又(九十之七十二)觧曰(此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十一又以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之 得)(十八之六又以五互乘之即成九十之三十九以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成 十之七十二)维乘法(此古维乘法也与母除共母以乘子之法所得同)假如钱粮一次完过(九分之一)又完(四分之一)又完(六分之一)又完(六分之一)又完(七分之一)问共完若干 答曰五百○四之四百零一(约为十分之八稍弱)法(以八乘六得四十八再以七乘之得三百卅六又以九乘之得三千○卄四又以四乘之即得一万二千○九十六)约为五百○四之四百○一(卄四约之)解曰(此即连乘法也但因分子皆为之一故即以母除共母之数为子相并而省一乗)试用维乘所得亦同截并法凡数件中有分母同者先取出并之然后与各件并列则五件可作四件用(六件以上倣论)而共母亦简如前图有八之一四之一为加倍比例可先取并之(用变)(分母法)乃重列之(原数五宗今作四宗入算余并同前)(解曰共母原系一万二千)(○九十六今只三千○二)(十四简四之三故所得之)(子皆于前式为四之一)凡宗数繁多而分母又各不同者可分作几次并之假如有物四宗甲数(五分斤之三)乙数(六分斤之一)丙数(三分斤之二)丁数(七分)(斤之四)并之若干答曰整二斤又六百三十分斤之三如上图依法互乘以四宗并作两宗乃重列之以上分母不同者为通分并子之又一类大分𢃄小分并法凡大分之下𢃄有小分而母相同者如法并之自小分起满小分之母进为大分满大分之母进为整若大分之母同而小分母不同者用互乘法使其同(余如上法)若大分母不同者即通大分为小分再用互乘以同之假如西厯以一日分二十四小时一时又析为六十分今算得中㑹二十九日十七时三十六分实㑹该加七时四十分依法并之得三十日零一时一十六分原二九 (卄四之一七) (六十之三六) (时为大分大分之母二十四时下为小分小分之母六十)加 (丨丨卄四之 ○□) (六十之四十) (先并小分得七十六以满六十进为一时仍余十六分)并得三○日○一时十六分 (次并大分得二十五时以满二十四进为一日仍余一时)假如修筑河堤新修七里○六十六歩一尺旧堤原存一十二里二百九十三步四尺问堤长若干答曰长二十里新修○七 ○六六 一 (里法三百六十步法五先并尺一四共五进一步次并步)原存□□ □□□ 四 (共三百六十进一里次并里二七及所进之一共十里并)共长二○里○○○步○尺 (原十里是为堤长二十里合问)假如有朱砂八斤十两○九铢又有三斤五两十八铢共若干答曰十二斤○三铢八 一○ ○九 (铢满二十四进一两余三两满十六进一)□ ○□ □八 (斤斤共十二是为一十二斤○三铢合问)共一二斤○○两○三铢右大小分母俱同故径以子并假如甲数九(之四)又小分(五之四)乙数九(之八)又小分(八之三)并之若干答曰整一又九之四又小分四十之七先同其小分之母(先以小分母相乘得四十为共母 又互乘其子变)(五之四为四十之三十二变八之三为四十之十五)小分母既同乃重列而并之(余同上)(并之)得九之十二又四十之四十七归整一又(九之四)又小分四十之七 (小分满四卜收为大分一大分满九收为整一)右系大分母同而小分之母不同故互乘之使其同假如有田二坵甲坵二亩(又四分亩之三)又小分(五之一)丙坵一亩(又三分亩)(之二)又小分(四之三)并之若干答曰整四亩(又六十分亩之四十三)先以甲小分母五通大分四之三为小分二十之十五加入原𢃄小分一共二十之一十六为甲数又以丙小分四通大分三之二为小分十二之八加入原𢃄小分三共十二之十一为丙数解曰(此即古通分纳子之法也以大分尽通为小分而纳小分焉实则以小分升为大分也)(并得)三又 二百四十之四百一十二归整四又(二百四十之一百七十二)约为六十之四十三右系大分母不同故尽通为小分而并之以上大分𢃄小分法为通分并子之又一类凡通分并法以通分减法还原(互见后除)通分子母减法通分减法亦有三类曰母同者曰母不同者曰大分𢃄小分者而其减之之法有五曰径减法曰变分母法曰互乘法曰子乘母除法曰通母纳子法(并之与减犹乘之与除可以互相还原相反而适相成也故所用之法皆同)径减法(数在三宗以上而母同者并用此法)凡分母同者径以相减不足减者以分母通整数减之假如有纻丝一疋零(五分疋之三)用过五分疋之三问仍存若干答曰五分疋之四原一 五之二 (此以之三减之二则减数反大于原数不足减以借法作)减 五之三 (㸃于疋位借原数一疋通作五分并之二共成五之七内)存○ 五之四 (减去五之三仍存五之四合问)以上分母同者径以对减为通分减法之一类变分母法凡分母有可以比例言者以比例同之可省互乘假如有数六之三又有数四之三其较若干答曰四之一较 四 之一假如有整数一零八之三减去四之三该存若干答曰八之五整数一 八 (之三) (通为)八 之(十一)减数 四 (之三) 变八 之六存数 八 之五互乘法凡分母不同者先互乘以同其母冄以母互乗其子而减之假如有两数甲五之三乙七之四不知谁多(法以两分母五七相乘得三十五为共母又互乘其)(子变甲数为三十五之二十一变乙数为三十五之)(二十以相减则乙不及甲者其较为三十五分之一)甲多 三十五之 一凡分母同者视其子为大小(子数大者即大小者即小)若子同而母不同者反是(母数大者子数反小)亦以互乘见之如后图(甲六之四乙五之四)互得三十(之二十之卄四) (丙四之三丁五之三)互得二十之(十五十二)乙多 三十分之四 丙多 二十分之三右二则以分相较而辨其多寡即古课分之法也凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相减假如有甲数二又(三十五之十一)乙得甲(七之六)丙得甲(五之四)余为丁数该若干答曰丁得甲三十五之二十三(先以分母通整数为分而纳入分子)(次以减数分母相乘为共母又互乘)(其子而并之是为三十五之五十八)丁存 三十五之卄三 (以减甲数仍余三十五之卄三合问)子乘母除法凡分母有可以相除者以分母除其分母得数转以乘子而减之其余数仍以分母除之即得约分之数若原系两分母互乘而并者用此法可知原母(数在三宗以上而母不同)(者并用此法可代维乘)假如有沉香一石零(二十八分石之九)用去七分石之四该余若干存 卄八 之 二十一 约为四之三(法以分母通共数一为二十八并子之九共三十七变共数为二十八之三十七 又以减分母七除共数之分母二十)(八得存数原母四以乘减分子四得十六变减数为二十八之十六两相减得所存数为二十一于是仍以减分母七除)(之得存数原子三变存数为四之三)(论曰此亦变分母法也其数与互乘所得无异但用互乘则数益烦故用子乘母除之法变七之四为二十八之十六母)(既相同即可以相减矣若互用异乘同除则成三率之比例如后图)一率(分母七) 法以子之四乘所变分母二十八得一百二率(分子四) 十二为实分母七为法除之得所变分子三率(分母卄八) 为十六其比例为七与四若二十八与十四率(分子十六) 六也又论曰存数不用约分法而竟以分母七除何也曰约分之法以对减而得纽数今分母七既可以除其母二十八又可以除其子二十一即纽数也又何事于对减之烦乎况用之互乘还原尤为亲切盖互乘之共母既以原母相乘而得即无不可以原母除之而尽也假如有整数一又(九十之七十二)甲得六(之四)乙得三(之一)余为丙数该若干答曰丙得五之四丙存 五 之四 九十 之七十二法曰(先以分母通整一为九十并分子七十二是为九十之一百六十二 次以甲分母六除原母九十得十五以)(甲分子四乘之得六十为甲数三又以乙分母三除原母九十得三十以乙分子一乘之仍 十为乙数)(合甲乙两数得九十以减原数一百六十二仍余七十二为丙数以法约之为五之四 约分法详后条)约分㨗法 置丙存数(九十之七十二)为实以甲乙分母(六三)相乘得数(十八)为法除之得五之四为丙存数(以十八除九十得五十八除七十二得四)(约分本法用子数七十二减母数九十得十八以转减子数得五十四再递减之亦余十八是为纽数乃用为法以除子)(母数得约分五之四今改用甲乙两母相乘亦得十八为法何也以原数九十可以六除亦可以三除知其为三数维乘)(而得者也故于还原最切)论曰此有分母三宜用维乘然其数益繁故改用子乘母除之法则三母齐同可用相减而法与数俱简矣试先减乙丙数则所存者即甲数(法同上)甲存 (约为)六 之四 即九十 之六十若先减甲丙数则所存者必乙数其法并同兹不悉具按如此互求即知无误可无假他法还原矣假如有数五百○四之四百○一甲得(八之一)乙得(六之一)丙得(七之)(一)丁得(九之一)余者为戊数该若干 答曰戊得四之一原数 五百○四 之四百○ 一甲减 八 之一 六十三乙减 六 之一 以各减母除原母得 八十四丙减 七 之一 七十二丁减 九 之一 五十六共减 二百七十五戊存 五百○四 之一百二十六约为 四 之一(以所存之数除原母即得)解曰此因分子俱系之一故即以除数为得数也以上分母不同者为通分减法之又一类大分𢃄小分减法凡大小分母并同者(谓原数之大小分母与减数之大小分母也下倣此)竟以对减不足减者借整数以分母通为分(小分不足减亦以小分之母通大分为小分 其借上位皆作㸃志之)若大分母本同而小分母不同者用互乘以同之余如上法若大小分母俱不同者用通分法尽通大分为小分而纳小分焉余如上法假如西厯算得某月平朔三十日○一时一十六分其实距时七时四十分为减号问实朔在某甲子某时刻答曰壬辰日酉初二刻○六分(以二十九日命为壬辰日以十七时命为酉初其小余三)(十六分以三十分收为二刻尚余六分命为壬辰日酉初二刻○六分)日 时 分(时为大分大分以二十四为母时下为小分小分之母六十)平朔三□○□一□(先减小分四十原数只十六不足减作直号于大分位借一分通为小分)(实距时) 七四□ (六十并原小分共七十六减四十余三十六 次减大分七原数一已借)实朔二□一□三□(去亦借整一通为二十四减七余十七 原数三十因借减一余二十九)凡大小分母不同者(谓大分之母与小分之母不同也)须作㸃以别之故借整化零之㸃改为直号右系大小分母并同故竟以对减假如有整数一又(九之四)又小分(四十之七)甲得九(之四)又小分五(之四)余为乙数该若干答曰乙得九之八又八之三乃重列之(小分既同即可相减)乙存 九 之八 二百之七十五 约为八之三法曰(先减小分减数大原数小不足减乃作直号于大分位借一分通为小分纳原数共二百三十)(五减一百六十余七十五为次减大分原数四因借减一变三亦借整数一通 九共十二减四余八)(整数借减尽)试先减乙(用变分母法以代互乘余并同上)原数一 九 之□又 四十 之七减乙 九 之八又八 之三变四十 之一十五存甲 九 之四又五 之四即四十 之三十二解曰(四十与八是五倍比例故以乙小分八之三母子各五倍之即变为四十之一十五则两母齐同可以对减矣)右系大分母同而小分母不同故用互乘以同之假如甲丙两坵田共四亩又六十分亩之四十三甲坵二亩又四分亩之三又小分五之一余为丙坵该若干答曰一亩又十二分亩之十一(即六十之五十五母子各五约之为十二之十一)法先以甲小分母五通大分四之三为二十之十五加入原𢃄小分一共二十之十六乃列而减之(如此则大分小分合而为一与原数无小)(分者类矣)存丙一又 六十 之五十五用变分母法以甲子母各加三倍变二十之十六为六十之四十八以减原数四十三不及减乃作直号于整数位借一数通为六十分纳原数共一百○三减甲数四十八余五十五次减整数整数四因借减一成三减甲二仍余一是为整数一又六十之五十五即丙存数也右系大分母不同故通为小分而减之以上大分𢃄小分法为通分减法之又一类通分子母乘法假如有田三十六亩六分毎亩征银三分钱之二问该银若干答曰二两四钱四分法以分子之二乘田三十六亩六分得七十三分二以分母三收之得二两四钱四分合问何以知其为七十三分也曰原问毎亩徴银三分钱之二分故于右行实数内寻毎亩之位为定位之根以横对左行得数即命为分则上下俱定矣假如有银六十四两毎两买铜八斤十二两该铜若干答曰五百六十斤先以斤法(十六)收十二两为斤下之七分五厘加八斤共八七五为法以乘银六十四两得五六○○○即于右行实数内寻毎两位以横对左行得数命法尾厘推而上之定为五百六十斤假如有米五石(又三分石之二)毎石价银九分两之八该银若干答曰五两又二十七分两之一法以分母三通五石为十五分纳子二共十七分以价之八乘之得一百三十六又以两分母(三九)相乘得二十七收之合问通分子母除法假如毎田一亩徴银三分钱之二今完编银二两四钱四分该田若干答曰三十六亩六分法以分母(三)通二两四钱四分为七十三分二为实以分子之二为法除之即得三十六亩六分合问(原所设三分之二以钱为主故)(四分所通为小分)假如有米五石又三分石之二共价银五两又二十七分两之一问毎石该价若干答曰九分两之八法先以米分母(三)通五石为十五分纳子二共十七分为法又以价分母(卄七)通五两为一百三十五纳子一共一百三十六分为实法除实得八为毎石三分一之价以分母三乘之得二十四分为毎石价命为二十七分两之二十四约为九之八又㨗法(以米分母三除银分母二十七得九为毎石价之母即以除出之数为子即九之八)假如有丝一斤又六分斤之四共价一两又四十二分两之二十问毎斤价若干 答曰七分两之六又十之二法先通丝一斤为六分纳子四共一十为法又通银一两为四十二分纳子二十共六十二退一位(即一十除也)命为单六又小分二即毎斤六分一之丝价也于是以分母六乘之得三十六又小分十二为毎斤价是为四十二分两之三十六又小分十二也子母并六约之为七分两之六又小分十之二㨗法(以丝分母六除价分母四十二得七为毎斤丝价之母即命为七分两之六又十之七)通分子母三率法(即异乘同除)假如西厯太阳毎日平行(五十九分零八秒二十微)今有二刻半该行若干分答曰一分三十二秒卄四微(又九十六分微之卄六)法(先通五十九分为三千五百四十秒加原帯八秒共三千五百四十八秒又通为二十一万二千八百八十微加原)(𢃄二十微共二十一万二千九百微在位以二刻半乘之得五十三万二千二百五十微为实以一日化九十六刻为法)(除之得五千五百四十四微不尽除满三千六百微收为一分又一千九百二十微收为三十二秒仍余二十四微 不)(尽者以法命之是为一分三十二秒二十四微又九十六分微之二十六)论曰此小数法也何则二十一万二千九百者是每日九十六刻之数今以二刻半乘之于刻下多一位故截去得数尾一位命为百假如以粟易布毎粟六分石之二易布五分疋之三今有粟一石又三分石之二该布若干 答曰三疋一 粟六分石之二(母子各减一倍)变为三之一四 布五分疋之(十五) 收为整三疋(两粟母同为三省不用只以布分母收之)用变分母法变一率六之二为三之一则两粟母相同可省互乘而子变为之一又可省除只以三率一石用分母通为三纳子二共五以乘二率布分子之三得十五再以布分母五收之即得三疋合问假如以银换金毎银二两又三分两之二换金九分两之二今有银六分两之四该金若干答曰十八分两之一四 金(十八)分两之一法以一率分母(三)互乘三率六之四为十八之十二与二率之二相乘得二十四为实又用一率分母三通二两为六分纳子二共八是为三之八复以三率分母(六)互乘之为十八之四十八以乘金母(九)得四百三十二为法法大实小以法命之为四百三十二之二十四母子各二十四约之即十八分两之一合问若用变分母法则如后式一 银二两(又三之二) 通为三之八乘得(七十二)为法(以金母九乘之八也)四 金(七十二分)两之四 约为(十八)之一(子母各四约之)解曰十八分两之一即五分五牦五五不尽畸零𢃄分子母乘法假如以八之五乗四之三该若干答曰三十二之十五法以母乘母得三十二子乘子得十五即三十二之十五为乗得数也又法以除代乗则倒位互除之法以五除四得八为母数以八除三得三七五为子数是为八之三七五与乗得之数同解曰四除三十二得八四除十五得三七五若四因八得三十二四因三七五亦得十五用法假如谷一石价二十七分两之十六今有谷四分石之三价若干答曰九分两之四一 谷一石四 价九分两之四(因首率是一故省除即以九之四为得数)解曰二十七分两之十六即五钱九分二牦六毫弱也谷四分石之三即七斗五升也价九分两之四即四钱四分四四不尽也若用倒位除以代乘则径得九之四法用母四除十六得四为子用子三除二十七得九为母是为九之四也畸零𢃄分子母除法假如以五之四除四之三该若干答曰八之七五法以母除母得八子除子得七五是为八之七半即除得数也又法以乘代除则倒位互乗之法以母五乘子三得(十五)为子以子四乗母四得(十六)为母是十六之十五与除得之数同解曰十六即八之倍数十五即七五之倍数故其数同用法假如以绢易縀绢五分丈之四换縀七分丈之四问绢毎丈该縀若干答曰该换縀七分丈之五一 绢五分丈之四 法以母除母得一四子除子得一○是二 縀七分丈之四 为一十四之一十子母各半之为七分三 绢一丈 之五(三率是一省乘即用縀七之四为实)四 縀七分丈之五解曰五分丈之四者八尺也七分丈之四者五尺七寸一分强也七分丈之五者七尺一寸四分强也若用倒位乘以代除所得亦同法用子四乘母七得卄八为母用母互乘子四得卄为子子母各取四之一即七之五也论曰同文筭指有畸零乘除之法甚为简妙然莫适所用今以三率列之则实数可稽而用法亦明矣畸零乘除定位凡乘法得数必大于原问之数若畸零乗则其数反降凡除法得数必降若畸零除则其数反升盖即异乘同除之理诸家算术皆未经说破故定位多讹兹以三率明之如左假如换珠每珠一两值银二十四两今有珠三分五厘该若干答曰八钱四分此首率是单两而三率有分厘是单下有三位零也故截去得数尾三位命法尾两两位空定所得为八钱四分论曰此即以乘出之数为四率者以首率是单一两故省除耳试即以三率实尾位厘为单而定所得为八百四十两为实亦升首率单两为千厘为法除实(即以)(实数降三位)亦仍得八钱四分合问(此条已详二巻乘法中兹以三率列之于)(定位之理益明)又论曰乘除之难在于定位而畸零为尤难所以者何凡定位以单数为根而畸零无单位可言故也前于乘法中立本数大数小数三法以寻每位可以御畸零矣于除法犹未有以处也今皆归之三率惟视三率中所有之数即命为单数(如金银之类本以两为单今视三率中有)(分即以分为单而两则为其百数又如米谷之类本以石为单今三率中有斗即以斗为单而石则为其)(十数他倣此)则虽畸零皆可作整数筭无论乗除一以贯之矣(是为以零变整而乗除之后得数无异此所以别于通分化整为零之法也)假如有珠三分五厘价银八钱四分问每两珠价若干答曰二十四两(此一率首位是分即以分为单数以二率)(升两位作八十四两为实以法三分五厘)(对实分位列之位命除毕于法上一)(为单分推而上之定得数为二十四两合)(问)解曰二率升二位为实者即百分乘也分原在单两下二位今既升为单则单两亦升二位成百分也假如银二钱四分买稻九十六斤毎两该若干答曰四百斤(此以钱为单数则三率单两成十钱而二率亦升一)(位成九百六十○斤为实于是以法二钱对实○位)(列之以单钱对单斤也单除毕于法上一位命为)(斤即得数为四百斤合问)假如以豆换油豆四斗八升换油十二斤今豆十石该油若干答曰二百五十斤(此以斗为单数则三)(率十石成百斗故二率亦升两位作一千)(二百斤为实以法四斗对实○斤位列之)(亦以单斗对单斤也余亦同)假如芝麻六斗四升四合换豆一石今芝麻四石八斗三升该豆若干答曰七石五斗若以斗为单则命实为四十八石三斗(以二率十斗乘之也)而以法首六斗对实三斗列之除毕于法上位定为斗亦得七石五斗或以升为单以合为单得数亦无不同也(以升为单法上即命为升以合为单)(法上即命为合)假如钱六百五十文价四钱八分七厘半每千该价若干(此问毎千钱价是以千为单也今法首只有百)(即以百为单而升单千为十百则二率亦升一)(位作四两八钱七分五厘为实四两列之以单)(百对单两也除毕于法上位命为单两两位空)(定得数为七钱五分)歴筭全书卷三十七
## 卷三十八
钦定四库全书厯算全书巻三十八宣城梅文鼎撰笔算巻五开平方法测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其有实无法故别为一术以佐乘除之所穷平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以自乘之积求正方之邉故西法谓之测面其邉谓之方根法先列实 依除法作两直线以所用方积列于右直线之右自上而下至单位止无单作○次作㸃定位 自单位作一㸃起毎隔一位㸃之有一㸃则商一位(如有二㸃则商数有十有三㸃则商数有百)次定初商 皆自原实最上一㸃截定为初商之实(如㸃)(在首位即以一位为初商实㸃在次位即合两位为初商实)以自乘数约而商之皆以㸃处为本位㸃上一位为进位(本位者单数也如一商一四商二九商三)(其自乘皆本位不论百与万以上皆作单数用进位者十数也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有进位不论)(千与万以上上皆作十数用)又法 以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商(如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍)(大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆倣此)初商表(凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之)用表㨗法(但视初商实不满表上自乘积者退一格即商数如不满○四即商一不满○九即商二他倣此)既得商数即书于左直线之右皆对初㸃之进位书之(凡商得一二三)(四书于㸃之上一位)五以上又进一位(凡商得五六七八九书于㸃之上两位)次减实 以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初㸃(如初商一二三自乘一四九皆本位即对初㸃书之如初商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初㸃)就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商次商之法 倍初商得数为次商亷法对原实位书于右直线之左(视实冇二㸃则初商是十有三㸃初商是百四㸃初商是千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十)(者亦进位对之)截原实第二㸃为次商之实(次商减积至此㸃止)以廉法约实为次商数(并依除法约之)挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于廉法之下为次商廉隅共法(省曰次商法)以与次商数相乘书其数于左直线之左(皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言如之数亦以○位对之法有几位徧乘而挨书)(之㸃至次㸃止上又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对次 书之进位 一字书之依乘法例自下而上法有几位皆)(徧乘而迭进书之至次商数止亦同)命为次商减积数以对减右直线余积而定次商(皆减积至次㸃止)如减数大于余积则改次商(亦改隅法)如上乘减及减而止次商减积不尽则有三商三商之法 合初商次商数倍之为廉法(简法只以隅法加倍増入次商法内即三)(商廉法)截原实第三㸃为三商之实(三商减积至三㸃而止)余并同次商如减积不尽则有四商四商以上并同三商法审○位之法 若次商廉法大于苐二㸃以上余积或数适相同是商得○位也(凡商得一数者其减积必与廉法同而多一数以为隅故仅同者无隅积也即不能商一数而成○位)则书○于初商之下以当次商亦增○于亷法之下为三商亷法三商以上有○并同(若应商几位而于初商或次商即已减积至尽是末几位皆商得○也俱补作○)命分之法 若已商得单数而仍有余积当以法命之(以商得方根倍)(之加隅一为分母不尽之数为分子命为几分之几)虽未商得单数而余积甚少不能成单一数亦以法命之(前审○位云亷法大于余积者但取第二㸃以上相较不论千百十零其所谓不能)(商一数者或是一千或是一百不拘定是单一也故商○之后仍有所商与此不同)还原法以商得方根自之有不尽者以不尽之数加入之即得原实又简法作直线于左方以应减之积依并法并之必合原实有不尽数亦加入之并同除法还原初商本位式(凡初商一二三者减积言如在本位然初商一二三四者书商数于㸃之上一位 以书)(商数之位言之亦本位也两本位法此一式中皆可明之)假如有方田积二百五十六步问每面方若干答曰每面方十六步列实(作两直线列方积于右直线之右)作㸃定位(自单位起毎隔一位作一㸃共两㸃宜商两次 初商是十)初商(㸃在实首位即以实首位○二为初商实以自乘数约之得一为初商初商是一宜对㸃上一)(位书于左直线之右有两㸃初商是一十自乘一百为减数书左线之左遥对右行初㸃○二百书之就)(以对减初商实于二百内减一百仍余余一百改书之初商减积未尽有次商)次商(倍初商一十作二十对原列方积十步位书于右线之左为亷法 以第二㸃余实一五六为)(次商实用亷法约实可商七步因无隅积只约六步为次商以书于初商之下即用六步为隅法以书于)(亷法之下合亷隅共二十六步为次商法以乘次商六步得亷积一百二十步隅积三十六步皆对次商)(位书起每挨一位书之至次㸃止共得次商减数一百五十六以对减余实恰尽)共开得平方根一十六步合问甲乙丙丁四形合为正方形(四面皆一十六步)甲分形正方(四而皆十步积一百步即初商积)丙丁二分形皆长方(广六步长十步积六十步两形共积)(一百二十步即次商廉积)乙小分形亦正方(面皆六步积三十六步即次商隅积)自乘还原法置方一十六步为实即以十六步为法乘之得二百五十六步合原数初商进位式(凡初商四五六七八九减积言十在进位凡初商五六七八九书商数于㸃之上两位)(书商数以㸃上一位为本位则此其进位也两进位法此一式中皆有之)假如方积三十五万八千八百零一尺问方若干答曰方五百九十九步列位(同前)作㸃定位(有三㸃宜商三次初商是百)初商(㸃在实次位即合两位三五为初商实入表表中有小于三五者是二五其方根五即以五为初商数对实初)(㸃上两位书左直线之右又即以表中自乘数二五遥对实三五书于左直线之左就以对减初商实余一○改书之以)(待次商)次商(倍初商五百作一千○百对实千百位书于右直线之左为亷法 以第二㸃上余实一○八八为次商实用)(亷法约之得九为次商续书于初商之下即以次商九为隅法书亷法之下合亷隅共一○九为次商法以乘次商九得)(亷积九隅积八一对次商位书起至次㸃止共得减数九万八千一百以减次商实余一○七改书之以待三商)三商(以次商隅法九十倍作一百八十于次商法一千之下抹去○九改书一八共一一入为亷法 以第三㸃上)(余积一○七○一为三商实用亷法约之得九为三商续书于次商下即以三商九为隅法书于亷法之下合亷隅共一)(一八九为三商法以乘三商九步得亷积一万○六百二十隅积八十一对三商位书起至第三㸃止共得减数一万○)(七百○一以对减三商实恰尽)凡开得方根五百九十九尺初商甲(方五百尺积二十五万尺)次商(丁戊)二亷(各长五百尺濶九十尺共积九万尺)隅乙(方九十尺积八千一百尺)三商(已庚)二亷(各长五百九十尺濶九尺共积一万○六)(百二十尺)隅丙(方九尺积八十一尺)七形合成正方共积(三十五万八千八百○一○)商○位式假如方积八十二万六千二百八十一尺问方若干答曰九百○九尺列位作㸃定位(并同前条)初商(㸃在次位合两位八二为初商实表入表得八一小于八二其方根九即为初商在五以上对初㸃上两位书)(之亦以表数八一对实八二书于左线之左以减初商实余○一改书之以待次商)次商(倍初商九百作一千八百对原实位书之为亷法以第三㸃上余实○一六二为次商实以亷法约之法大实)(小不能商一数是商得○位也纪○于初商之下即于实首位销去一○余俟三商)三商(因次商是○增○于廉法之下共一八○为亷法以第三㸃上余实一六二八一为三商实用亷法约实得九)(尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷积一万六千二百隅)(积八十一减三商实恰尽)凡开得方根九百○九尺计开初商方九百尺 积八十一万尺续商亷(各濶九尺长九百尺)共积(一万六千二百尺) 隅方九尺积(八十一尺)通共八十二万六千二百八十一尺假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺问方若干答曰五万○七十尺列位(原积尾位是百补作两○列之)作㸃定位(有五㸃当商五次 初商是万)初商(以实首两位二五为初商实入表得五为初商书于㸃上两位次以自乘数对实列之相减尽)次商(倍初商五万尺得一十○万为亷法对原实位书之以第二㸃上余实○○○七为次商实实有三○无可商)(是次商○也书○于初商五之下亦于实首销去一○以待三商)三商(因次商○增○于亷法下得一○○为亷法○以第三㸃上余实○○七○○为三商实实仍有两 位是三)(商亦○也又书○于次商○之下于实首复销去一○以待四商)四商(因三商亦○又增○于亷法之下得一○○○为亷法 以第四㸃上○七○○四九为四商实用亷法约之)(得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷积七百万隅积四千)(九百以对减四商实恰尽)五商(五㸃宜有五商而四商已减实尽无可商作○于四商)凡开得方根五万○○七十○尺命分式假如方积五百七十六万四千八百尺问方根若干答曰二千四百尺(又四千八百○一分尺之四千八百)列位(实尽于百位如前法补作两圏列之)作㸃定位(有四㸃宜商四次初商是千)初商(以实首○五为初商实入表得二为初商以自乘数○四减实○五改书余一以待次商)次商(倍初商二千得四千为亷法约以第二㸃上余实一七六为次商实用廉法 之得四为次商)(即以为隅法书廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷积一百六十万隅积一十六万共减积一百七)(十六万次商实减尽)三商(倍次商隅法四作八增入次商法共四八为三商亷法以第三㸃上余实○○四八为三商实)(有两○无可商作○于三商位消去实首一○以待四商)四商(三商○亦增○于亷法下共四八○为亷法与以第四㸃上余实○四八○○为四商实仅)(亷法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位其不尽之数以法命之法以亷法四千八百○加隅)(一共四千八百○一为命分之母以不尽之数四千八百为分子命为四千八百○一分尺之四千八百)(即一尺弱也)共开得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百此虽未开至单尺之位而余实甚少不能成一单尺故即以法命之若余实是四千八百○一尺则商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一单尺也开方分秒(凡开方欲知分秒法于余实下毎増两○位则多开一位为分秒之数 平方之积尺有百寸)(寸有百分皆以百为母故增两○)假如有平方积二十四尺平方开之得方四尺不尽八尺问分秒若干 答曰方四尺零八寸九分八厘九毫有竒如常列位作㸃㸃在次位即以二四两位合商得方四尺减其自乘一十六尺余八尺用命分法以商四尺倍作八尺又加隅一得九为命分母不尽为分子命为方四尺又九分尺之八今欲知其寸(九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍𢃄此畸零是其中有寸)法于余实下加两○化八尺为八百寸(毎尺纵横十寸故其积百)(寸)用为次商实以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸(商数是毎邉之数故尺只十寸)对余实十寸位书之(即第一○位)为亷法用廉法约实可商九寸因恐无隅积只商八寸书于初商四尺之下亦即以次商八寸为隅法书于廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷积六百四十寸隅积六十四寸共亷隅积七百○四寸自次商位书起至第二○位止以对减余实仍余九十六寸命为竒数凡商得毎方四尺八寸有奇再求其分法于实下又加两○以余九十六寸化九千六百分(解见)(上)为三商实 商数四尺八寸亦化四百八十分倍之为九百六十分移对余实百分十分之位书之为亷法以亷法约实商得九分为三商书次商之下亦即以三商九分为隅法书于亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷积八千六百四十分隅积八十一分共积八千七百二十一分自三商位书起至第四○位止以对减余实仍余八百七十九分命为竒数凡商得每方四尺八寸九分有竒再求其厘法于余实下又加两○以余八百七十九分化八万七千九百厘为四商实 次倍商数四尺八寸九分作九尺七寸八分化为九千七百八十厘移对余实依千百十之位书之为亷法 用亷法约实得八厘为四商书于三商之下即以四商八为隅法增于亷法末共亷隅法九千七百八十八厘以乘四商八厘得亷积七万八千二百四十厘隅积六十四厘自四商位书起至第六○位止以减余实仍余九千五百九十六厘凡商得每方四尺八寸九分八厘有竒再求其毫如法于余实下又加两○化余实为九十五万九千六百毫为五商实 次倍商数四八九八作九尺七寸九分六厘化为九万七千九百六十毫为亷法移对余实万千百十之位书之用亷法约实得九毫为五商书四商下亦即以五商九为隅法增入亷法下共亷隅九万七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷积八十八万一千六百四十毫隅积八十一毫对五商位书起至第八○位止以减余实仍余七万七千八百七十九毫凡商得方四尺八寸九分八厘九毫又九万七千九百七十九之七万七千八百七十九即竒数也右单数下已开四位(尺为单位析为寸分厘毫凡四位)其不尽者是不满一毫之数于单数为十万分之一(如欲再求忽微)(亦如上法)开方𢃄纵(𢃄纵者长方形也以方为濶加纵数为长其法与开方无异但须以商得数乘纵数为纵积并)(入方积以减原积不及减者改商之其次商亦倍初商加纵为亷法但倍方而不倍纵 三商以上并同)假如有长田积六百二十四步濶不及长二步问长濶各若干答曰长二十六步濶二十四步列位(以实列右线之右步以纵二步列右线之左对实 位列之)如常作㸃定位初商(以○六为初商实商得二十步自乘应减方积四百步又以商数乘纵二步得纵积四十步如)(法列之以减原实仍余一百八十四步)次商(倍初商二十步作四十步加纵二步共四十二歩为亷法以约余实得商四步即以为隅法合)(亷隅纵共四十六用乘次商四得亷积一百六十步隅积十六步纵积八步共减积一百八十四步恰尽)命为濶二十四步 加纵二步为长二十六步合问以图明之甲为初商方形(长濶各二十步积四十步)已初商纵形(濶二步四长亦二十步积 十步)戊丙并次商廉(长各二十步十濶四步 积八 步)乙次商隅(方四步步积一十六)丁次商纵亷(长四步八濶二步 积 步)(以上五者合之为一长方形步共长二十六步 濶二十四)(积六百二十四步合原数)若纵数有比例可求者先以比例分其积平方开之得濶因以知长假如有直田积四百五十步但云长多濶一倍问长濶若干答曰濶十五步 长三十步法平分其积得二百二十五步平方开之得濶十五步置濶十五步倍之得长三十步合问假如有长田积二百五十二步但云长比濶多四分之三问长若干答曰 濶一十二步长二十一步法以多三分加分母四共七为法以分母四乘积为实法除实得一百四十四步开方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步为长(长比濶多)(九步于十二步为四分之三)开立方法平方者方田之属也但取面羃之积立方者方仓之属也必求其内容之积故平方曰面立方曰体有面而后有体有线而后有面故皆以线为根假如长二尺者线数也线有长短而无广狭若以此线横展之长亦二尺濶亦二尺则其积四尺为面面者平方形也面有濶狭而无厚薄又以此面层累而厚之长濶皆二尺高亦二尺则其积八尺为体体者立方形也立方有虚有实如筑方台则实凿方池作方窖则虚然其立方之积数一也法先立位(同平方) 作㸃(自单位起每隔二位㸃之以最上一㸃为初商实) 定位(视有若干㸃则商几位如有二㸃则商数有十有五㸃则商数有百并同平方)初商法 以自乘再乘数约而商之(如一商一八商二二七商三之类)书商数于左线之右(凡商得一数者书于㸃上一位商得二三四五者书于㸃上两位商)(得六七八九者书于㸃上三位)即以自乘再乘数书于左线之左以对减初商实(初商减积至初㸃止)次商法 以初商自乘而三之为平亷法(亦曰方法) 以初商三之为长亷法(亦曰亷法)皆对原实千百位书之 截第二㸃上余实为次商实(次商减积至次㸃止)以平亷法约实得次商(列初商下)即以次商为隅法列长亷次(亦按千百位列之)乃以次商乘平亷法为平亷积又以次商自乘以乘长亷及隅法为长亷小隅积俱挨书之以减余积不及减者改商三商法 以余实另列之 合初商次商自乘而三之为平亷法 合初商次商三之为长亷法 截第三㸃上余实为三商实(三商减积至此㸃止) 亦即以三商为隅法(余并同前)四商以上并同三商命分法 合平亷长亷法再加隅一为命分母不尽之数为命分子(并同平方)还原法 置商数自乘得数再以商数乘之即合原实(有不尽者以不尽之数加入之)初商表(用法与平方表同)假如立方积五千八百三十二尺问方若干答曰方一十八尺列实作㸃定位(有两㸃初商是十)初商(以五千为初商实约商一十自乘再乘得一千为应减积减原实余四千)次商(以初商自乘而三之得三百为平亷法二又以初商三之得三十为长亷法 以平亷法约第 㸃上余实得)(八尺为次商即以为隅法并如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百为平亷积又以次商自乘得六十四以乘长亷)(及隅法得长廉一千九百二十隅积五百一十二共减积四千八百三十二恰尽)以图明之甲为初商方形(长濶皆十尺积一千尺)乙为次商平亷凡三以辅于方之三面(长濶皆十尺厚八尺积八百尺共积)(二千四百尺)丙为次商长亷亦三以辅三平亷之隙(长十尺濶与厚皆八尺积六百四十)(尺共积一千九百二十尺)丁为次商隅如小立方以补三长亷之隙(长濶高皆八尺积五百一十二尺)假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五百七十尺问方根若干答曰方六千零九十尺(又一亿一千一百二十八)(万二千五百七十一之一亿一千一百二十八万二千五百七十)列实(实尾无单位补作○)作㸃定位(有四㸃初)(商是)千初商(合实三位约之商六千对初㸃上三位列之以六千自乘再乘得减积二千一百六十亿其余积改书以待次)(商)次商(日乘初商而三之得一亿○八百万为平亷法位以初商三之得一万八千为长亷法各对原实)(列之次以第二㸃上余实为次商实实首有两○无可商是 商○也作○于初商之下即于实首消去两○)(余俟三商)三商(次商○即以次商法为三商法尺以第三㸃上余实为三商实以平亷法约之商九十 即以为隅法对实十)(位列之乃以九十乘平亷法得平亷积九十七亿二千万又以九十自乘得八千一百以乘长亷及隅法得长亷积一亿)(四千五百八十万隅积七十二万九千共减积九十八亿六千六百五十二万九千)四商(以第四㸃上余实另列之二合三次商数六○九自乘而三之得一亿一千一百 十六万四千三百为平亷)(法得又以六○九三之 一万八千二百)(七十为长亷法亷以法约实仅与两 法)(之数相同无隅积不能成一单数以法命)(之合平廉长亷数加隅一为命分母余实)(为命分子)命为立方六千○九十尺又(一亿一千一百二十八万二千五百七十一尺之一亿一千一)(百二十八万二千五百七十)自乘 再乘厯算全书卷三十八
## 比例规用法假如原序
比例规用法假如原序
康熙癸未季弟尔素有比例规用法假如之作又五年丁亥重加挍录示予属为序序曰形而上者不可得而数有数可数即有象可见故算法量法理本相通而尺可为算器也厯书中有书一卷耑明尺算谓之比例规觧比例云者谓以尺中原有之两数求今所问之两数以例相比如古者异乗同除及西人三率之法而有尺以著其象则不烦言说乃作者之意也规云者谓以铜铁为规器两髀翕张用其末锐分指两尺上同数以得横距而命得数则用尺之法也规本画圆之器于尺算为借用故仍其名曰规本觧有作法用法惜无设例罕能用者携李陈献可荩谟补作例祗平分一线而已龙舒方位白中通作数度衍以横尺取数而不用规亦惟平分一线夫平分用止乘除聊足以明异乗同除之理而尺算之善不尽于是若乃平方立方分圆轻重诸术其求法多不以异乗同除为用而数变为线爰生比例即尽归于异乗同除此其所长也又规端取数毫牦可辨而㳺移进退简快灵妙横距虽无数而取诸本尺其则不逺固胜横尺矣吾弟此书仍其用规本法自平分以下十线一一为之用例以明之原书谬误稍为刋正然后其书可得而用为功于度数之学不小也忆岁乙夘余始购得厯书抄本于吴门姚氏偶缺是觧至戊午秋介亡友黄俞邰太史虞稷借到皖江刘潜柱先生本抄补之葢逾时而后能通其条贯以是正其讹阙又次年己未始为山隂友人何奕美作尺亦稍以己意増损推广之而未暇为立假如今得尔素是书可以无作矣勿庵兄文鼎序(方尔素撰此书时安溪相国以冢宰开府上谷公子世得钟伦锐意厯算之学余兄弟及儿以燕下榻芝)(轩与诸同学晨夕问难甚相得也无何尔素挈儿燕南归相国入参密勿而世得亡儿相继化去余亦大)(病滨死然犹能偷视息至今日为尔素序此书不可谓非不幸中幸也忆尔素六十时余有句云如稼观)(登塲如行将百里何以収桑榆无为所生耻今当相与念兹弗替尔勿庵又识)
## 凡例
凡例
按西士罗雅谷自序谓译书草创润色之増补之必有其时今之释例不嫌小有同异所以相成当亦作书者之所欲得也比例规觧原列十线为十种比例之法今仍之比例既有十种可各为一尺今总归一尺者便携也一尺中列十线则一尺而有十尺之用恐其不清故各线之端书某线以别之各线并从心起数惟立方线初㸃最大割线亦然又五金线之用近尺末故俱不到心以便他线之书字然其实并从心起算用者详之(尺心即尺端也两尺端聫于枢心成一㸃)(故从兹起算)
## 卷三十九目录
钦定四库全书厯算全书卷三十九宣城梅文鼎撰目录第一平分线第二平方线(原名分面)第三更面线(原名变面)第四立方线(原名分体)第五更体线(原名变体)第六割圆线第七正弦线(旧名节气)第八切线(旧名时刻)第九割线(旧名表心)第十五金线(附三线比例)以上十线并如旧式惟平方立方改从古名取其易晓又正弦改附割圆切线分为时刻取其便用割线去表心之目以正其名免悮用也说见各条之下又按罗序言此器百种技艺无不赖之功倍用㨗为造玛得玛第嘉之津梁然则彼中借此制器如工师之用矩尺则日晷等制并其恒业迺书中图说反有参错非故为靳秘也良由倣造者众未必深知法意爰致承讹抑或译书时语言不能尽解而强以意通遂多笔误耳今于其似是而非之处彻底厘清以合测量正理起立法之人于九京必当莫逆
## 卷三十九
比例尺式(即度数尺也原名比例规以两尺可开可合有似作圆之器故亦可云规)用薄铜板或厚纸或坚木(黄杨木等)作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股两面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半规余地以固枢也用时张翕㳺移比例尺又式前式两股相叠此式两股相并股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令宻无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两尺横直相得成一方角可作矩尺规式(此本为画圆之器尺算赖之以取底数葢相湏为用者也)用铜或鐡亦如尺作两股但尺式扁方此可圆也首为枢可张可翕末锐以便于尺上取数也当其半腰缀一铜条横贯之势曲而长如割圆象限之弧与枢相应得数后用螺钉固之凡算例假如有言取某数为底线者并以规之两锐于平分线上量而得之其用底线为得数者并以规取两尺上弦线相等之距于平分线上量而命之故规之两锐可当横尺数度衍以横尺比量反不如用规之便利而得数且真也第一平分线此线为诸线之根取数贵多尺大可作一千然过宻又恐其不清也故以二百为率分法 如设一直线欲作百分先平分之为二又平分之为四又于每一分内各五分之则已成二十分矣于是用更分法取元分四改为五分(如甲乙丙)(有丙戊丁三㸃是元分之四也今复匀作五分加己庚辛壬四㸃)则元分与次分之较(如壬丙及巳戊)皆元分五之一亦即设线百分之一分凖此为度而周布之即百分以成解曰元分为设线百分为二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一则甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度参差作㸃互相攷订即成百分匀度矣(每数至十至百皆作字记之) 或取元分六复五分之亦同何则元分一内函五分则元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也用法一 凡设一直线任欲作几分假如四分即以规量设线为度而数两尺之各一百以为弦乃张尺以就度令设线度为两弦之底置尺(置尺者置不复动故亦可云定尺下)(倣此)数两尺之各二十五以为弦敛规取二十五两㸃间之底以为度即所求分数(即四分中一分也以此为度而分其线即成四)(分) 若求极微分如一百之一如上以一百为弦设线为底置尺次以九十九为弦取底比设线其较为百之一 若欲设线内取零数如七之三即以七十为弦设线为底置尺次以三十为弦敛规取底即设线七之三谨按尺筭上两等边三角形分之即两句股也两句聫为一线而在下直谓之底宜也若两尺上数原系斜弦改而称腰于义无取今直正其名曰弦用法二 凡有线求几倍之以十为弦设线为底置尺如求七倍以七十为弦取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之用法三 有两直线欲定其比例以大线为尺末之数(尺百即百千即千)置尺敛规取小线度于尺上进退就其两弦等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之(约法以两大数约为两小数其比例)(不异如一百与三十约为十与三)用法四 有两数求相乗假如以七乗十三先以十㸃为弦取十三㸃为底置尺次检七十之等弦取其底得九十一为所求乗数(若以十为弦七为底置尺而检一百三十㸃之底得数亦)(同)(论曰乗法与倍法相通故以七乗十三是以十三之数七倍之是七个十三也以十三乗七是以七数十)(三倍之是十三个七也故得数并同)用法五 有两数求相除假如有数九十一七人分之即以本线七十为弦取九十一为底置尺次检十㸃之弦取底必得十三为所求又法以九十一为弦用规取七十为底置尺敛规取一十为底进退求其等弦亦得十三如所求(论曰筭家最重法实今当以七人为法所分九十一数为实乃前法以法数七为弦实数九十一为底又)(法反之而所得并同何也曰异乗同除以先有之两率为比例筭今有之两率虽曰三率实四率也徴之)(于尺则大弦与大底小弦与小底两两相比明明四率较若列睂故先有之两率当弦则今所求者在底)(是以弦之比例例底也若先有之率当底则今所求者在弦是以底之例例弦也但四率中原缺一率比)(而得之固不必先审法实殊为简易矣)(然则乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之谓之得数乗则先缺者必大数也故得亦大数除)(则先缺者必小数也故得亦小数所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦诸家所未)(发也)假如有银九十六两四人分之法以人数取四十分为底置银数九十六两为弦定尺敛规取一十分为底进退求其等弦得二十四两为每人得数又法取银数九十六两为底置一百分为弦定尺敛规于二十五分等弦取其底亦得二十四两为每人数又如有数一百二十三欲折取三分之一法以规取三十分为底置一百二十三等数为两弦定尺敛规取一十数为底进退求其等数为弦必得四十一命为三分之一如所求用法六 凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十㸃为两弦定尺取两弦五十㸃之底(即五倍)得六十进一位命所得为六百(以一十二当一百二十是)(一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法)又法以规取一十数为底于尺之一十二㸃为两弦(一十二以当一百二十是一当十也或二十四亦可为一当五)定尺展规取五十数(以当五倍)为底进退求其等数之弦必得六十进位成六百假如有银十三两每两换钱一千二百文法退二位以规取十二分(当一千二百以尺上一数当一百)为底置一十㸃(即每)(两之位)为弦定尺然后寻一百三十㸃(即十三两之位)为弦展规取其底得一百五十六分进二位命之得共钱一十五千六百又如有银四两每两换钱九百六十文法作两次乗先乗六十取六数为底置一十㸃为弦定尺展规取四十㸃之底得二十四次乗九百取九数为底置一十㸃为弦定尺展规取四十㸃之底得三十六进一位并之得三八四末増一○为进位得三千八百四十文(三二四 六) 因每两是九百六十故末位増○(三八四○千百十文)假如有数一百二十欲折取三分之一法以规取六十(折半法也)为底置九十分为弦定尺然后寻两弦之三十分㸃(即三之一)取其底于本线比之必二十命所得为四十(加倍法也先折半故得数加倍)凡所用数在一十㸃以内近心难用则进位取之如前条所设宜用六数九数为底其㸃近心取数难清即进位作六十取数用之是进一位也但先进一位者得数后即退一位命其数此可于前假如中详之(用尺时有退位得数后进位命其数用尺时有进位得数后退)(位命其数其理相通故不另立假如)或先进二位者得数亦退二位或先加倍者得数折半并同一法用法七 凡四率法有中两率同数者谓之连比例假如有大数(三十六)小数(二十四)再求一小数与此两数为连比例法以大数为弦(如辛甲)小数为底(如辛巳)定尺再以辛巳底为弦(如甲丁)而取其底(如丁戊)其数必(十六)则三十六与念四之比例若念四与十六也(其比例为三分损一)若先有小数(十六)大数(二十四)而求连比例之大数则以小数为底(如丁戊)大数为弦(如丁甲)定尺再以丁甲弦为底(如辛巳)取其弦(如辛甲)其数必三十六则十六与念四若念四与三十六也(其比例为三分増一)他皆倣此(原书有断比例法今按断比例即古法之异乗同除西法谓之)(三率前各条中用尺取数皆异乗同除之法故不更立例)用法八 凡句股形有句有股有弦共三件先有两件而求其不知之一件法以尺作正角取之假如有句(八尺)股(十五尺)欲知其弦法以规量取八十㸃为底一端指尺上之六十四㸃一端指又一尺之四十八㸃以定尺则尺成正角乃于尺上取八十㸃为句又于一尺上取一百五十㸃为股张规以就所识句股之两㸃必一百七十退一位得弦十七尺如所求(取句股数时原进一位故)(所得弦数退一位命之说见前)若先有弦(十七尺)股(十五尺)求其句则以规取一百七十㸃为句股之弦乃以规端指一百五十㸃以余一端又于一尺上寻所指之㸃必八十也如上退位得句八尺或先有弦(十七尺)句(八尺)求其股亦以规取(一百七十)而一端指(八十)寻又一端之所指必得(一百五十)命(一十五尺)为股如所求凡杂三角形内无正角不可以句股算法先作角假如先有一角及角旁之两边求余一边法于平分线(任用一笾如甲乙)取数为底分圆线(六十)度为两弦定尺以规取所设角之底(为平分线上任用甲乙边等度之底)定尺则尺间角如所设(如乙角)乃于两尺上依所设取角旁两边之数于两尺各作识(如甲乙丙乙)遂用规取斜距之底(如甲丙)即得余一边如所求又法 假如乙甲丙三角形有甲角(五十三度○七分)甲乙边(五十六尺)甲丙边(七十五尺)而求乙丙边法以规取一百分为分圆线上六十度之底敛规取五十三度强之底移于平分线上作百分之底定尺乃于尺上取五十六㸃(如甲乙)又一尺上取七十五㸃(如甲丙)乃以规取两㸃斜距之底于尺上较之即得六十一尺(如乙丙)命为所求邉(分圆线见后)用法十 有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十㸃之底定尺展规取五十㸃之底必得六十命为六尺如所求用法十一 平圆形周径相求法于平分线上作两识以一百八十八半弱上为周六十为径各书其号假如有径(七十一)求周法以规取七十一加于径㸃为底定尺展规取周㸃之底即得周二百二十三如所求(以周求径反此用之)用法十二 求理分中末线法于线上定三㸃于九十六定全分五十九又三之一为大分三十六又三之二为小分假如有一直线(一百四十四)欲分中末线即以设线加于全分㸃为底取其大小分㸃之底即得(八十九强)为大分(五十)(五弱)为小分(按平线上既作周径之号若又作此则太繁不如另作一线其上可寄五金线也 又按原书全分七十)(二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有讹错今改定)以上十二用法姑举其概其实平分线之用不止于是善用者自知之耳第二平方线(旧名分面线凡平方形有积有邉积谓之也幂亦谓之面边线亦谓之根即开平方法)原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一㸃为底求十六㸃之底则得方根八十或置于二㸃为底则求三十二㸃之底或置于三㸃为底则求四十八㸃之底皆同分法有二 以算一以量以算分算法者自枢心(甲)任定一度命为十分(如甲乙)即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强(如丙)命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱(如丁)即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同(按用方根表甚简易)以量分以任取之甲乙度作正方形(如丙乙甲)乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍积之根即于横线上截丁乙为甲乙之倍次平分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又㨗法 如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一㸃而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作斜弦以加于甲乙尺上为三百之根甲戊又自戊至丙作弦以加于甲乙尺上为四百之根甲已如此递加即得各方之根其加法俱从尺心起(如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆倣此)试法 甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边(四其三也)再加一倍得二十七倍之边(九其三也)再加倍得四十八倍之边(十六其三也)再加倍得七十五倍之边(二十五其三也)若以五倍之边倍之得二十倍之边(四其五也)再加倍得四十五倍之边(九其五也)再加倍得八十倍之边(十六其五也如凡言倍其度者线上度也 正方四百分)(之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书)用法一 有平方积求其边(即开平方)法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百二十五尺欲求其根以约分法求得二十五为设数四十九之一即以规于平分线取五㸃为平方线上一㸃之底定尺展规于四十九㸃取其底即得一边三十五尺为平方根(积二十五方根五加四十九倍为积一千二百)(二十五方根三十五) 或用四十九为设数(一千二百二十五尺)二十五之一即以规取七㸃为平方一㸃之底而取平方二十五㸃之底亦得方根三十五如所求(积四十九方根七加二十五倍为积一千)(二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一㸃之底定尺有假如在用法七)用法二 凡同类之平面形可并为一大形(或方或圆或三角多)(边等形但形相似即为同类)假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得(十六叉四之一)乃任取第一小形之边为底二㸃为弦定尺(若用第二形之边为底定尺即用三㸃为弦)而于十六㸃又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等若但有同类之形而不知面积亦不知边数则先求其积之比例如甲乙丙丁方形四法以小形甲之边为底平方线第一㸃为弦定尺次以乙形边为底进退求等数得第二㸃外又五分之一即命其积为二又五之一(此与小形一之比例不拘丈尺)次丙形边为底求得(二又四之三)丁形边得(四又六之五)并诸数及甲形一得(十又)(六十分之四十七)约为(五之四弱)向元定尺上寻十㸃外十一㸃内之距取其五之四为等数之两弦(即十一弱)用其底为大方形边其面积与四形并数等(此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上)用法三 平面形求作一同类之他形大于设形几倍(以设形之邉为一㸃之底定尺) 假如有正方形面积四百其邉二十今求别作一方形其容积大九倍法以设形邉(二十)为平方线一㸃之底定尺而取平方九㸃等数之底得(六十)如所求(邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍)用法四 平面形求别作一同类之形为设形几分之几(以设形之邉为命分定尺而于得分取数) 假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉(六十)为平方第九㸃之底定尺而取第四㸃之底得(四十)如所求(邉四)(十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分)此减积法也圆面三角等俱同一法用法五 有两数求中比例(即三率连比例之第二率)假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八㸃之底而取二㸃之底得四如所求二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率用法六 有长方形求作正方形 假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等直八尺横二尺 其积一十六尺方形各边并四尺其积亦十六尺用法七 有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一㸃之底而取二十五㸃半之底得十六弱为方根(十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱)第三更面线(凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求)分法置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号用法一 有平面积求各类之根(凡三角及多边各平面形其边既等故并)(以形之一边为根圆形则以径为根)法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根(依前卷用)(法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平)(方一㸃之底定尺而于其二十七㸃十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强)以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求用法二 有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积假如有甲(三角)乙(五边)丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内(如此)(则甲形已变为正方下同)书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半(其法以甲)(邉为平方十㸃之底定尺而以乙所变方边进退求等度之弦命之)即于乙形作方底线书之次以丙圆径为平圆号之底如前求得十六弱并三数得四十七半弱为总积(此因三形之邉)(无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例)若三形内先知一形之面积即用其所变方邉定尺则所得皆真数如上三形但知丙形之积十六(或十六尺或十六寸)(等)如法以丙形邉变方边于平方线十六㸃为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也末以总数于原定尺上寻平方线四十七㸃半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉(若欲作三角或圆形并同一法)用法三 有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底假如有三角形欲改平圆则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底定尺而取平圆号之底求其数命为平圆径所作平圆必与所设三角形同积用法四 有两平面形不同类欲定其相较之比例如前法各以所设形变为平方假如有六邉形有圆形相较即如法各变为平方求其数平圆数二十六邉数三十六即平员为六邉形三十六之二十以二十减三十六得十六为两形之较第四立方线(旧名分体线无凡平方形如棋局其四邉横直相等而 高与厚之数立方则如方)(柜有横有直又有髙而皆相等平方之积曰平积亦曰面积亦曰幂积如棋局中之细分方罫立方之积)(曰体积亦曰立积并如骰子之积累成方)(旧图误以尺枢心甲书于一㸃上今改正甲乙一亦即一十则其内细数亦不平分旧图作十平分亦误)(今删去)分法有二一以算一以量以算分 从尺心甲任定一㸃为乙则甲乙之度当十分邉之积为一千(十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其积必千寸)纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同㨗法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图(右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意)又㨗法用立方表以量分 如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也(假如邉为一倍之则二若)(求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加 三加者即四率)(连比例也)几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一(第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为)(加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第)(二率也)假如有立方体积又有加倍之积法以两积变为线(元积如辛庚倍积如辛巳)作壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚两各引长之以形心(戊)为心作圈分截引长线于子于午作子午直线切辛角(如不切辛角必渐试之令正相切乃止)即辛庚(一率)午庚(二率)子巳(三率)己辛(四率)为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍(以上倣此)解四率连比例之理试于辛㸃作卯辛为子午之垂线次用子壬度从午作卯午直线截卯辛线于卯又从卯作直线至子又从辛㸃引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成各句股形皆相似而比例等(卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例)(等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股)(则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也 卯辛子句股形从辛正角)(作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等 卯辰辛形卯辰为句辰)(辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子)(亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例)一率 辛庚 即午丑二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯四率 己辛 即辰子试法 元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉又取二倍邉倍之得十六(八其二也)再倍之得一二八倍体积之邉(六十四其二也)三加比例表(平方立方同理即连比例)第一率 第二率 第三率 第四率按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也(比例规觧乃云本线上量体任)(用其邉其根其面其对角线其轴皆可其说殊不可晓今删去)用法一 有立积求其根(即开立方)假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一㸃之底定尺而取四十㸃之底得三十四强即立方之根(说见平方)用法二 有两数求其双中率(谓有连比例之第一与第四而求其第二第三)法以小数为一率用作本线一㸃之底而取大数之底为二率既有二率可求三率假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一㸃之底定尺而于八㸃取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率一率三 二率六 三率十二 四率二十四用法三 设一体求作同类之体大于设体为几倍(此乗)(体之法)假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一㸃之底定尺而取八㸃之底得四十即大体邉如所求用法四 有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一㸃之底定尺而取四十一㸃之底为总体邉如所求 若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之用法五 有两同类之体求其比例与其较(此分体之法)假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一㸃之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八㸃取底为较形之邉用法六 有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八㸃之底定尺而于五㸃取底为邉作立方体即其容为设体八之五第五更体线(旧名变体线)体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体六等面体各面皆正方即立方也有十二棱八角测量全义曰设边一百求其容为一○○○○○○浑圆体亦曰球体即立圆也几何补编曰同径之立方积与立圆积若六○○○○○○与三一四一五九二设径一百求其容为五二三五九八此三角平面形相合而成有六棱四角测量全义曰设边一百求其容为一一七四七二半此体各面亦皆三等边形有十二棱六角测量全义曰设边一百求其容为四七一四二五有竒此体各面皆五等边有三十棱二十角测量全义曰设边一百求其容为七六八六三八九此体各面亦皆三等边有三十棱十二角按几何补编二十等面体设边一百其积二百一十八万一八二八测量全义作边一百容五二三八○九相差四倍故今不用分法置公积百万依算法开各类之根则立方六等面体之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五○半强二十等面体之根为七七圆球之径为一二四(原本十二等面根五)(○二十等面根七六圆径一二六今并依几何补编改定) 因诸体中独四等面体之根最大故本线用二○四平分之从心数各类之根至本数加字用法一 有各类之立体以积求根(即开各类有法体之方)法皆以设积于立方线求其根乃移置更体线求本号之根即得假如有十二等面体其积八千问邉若干法以一千之根十为立方一㸃之底定尺而取八㸃之底得二十为所变立方之根次以二十为本线上立方号之底而取十二等面号之底得一十○强即十二等面之一邉(他倣此)用法二 有各类之立体以根求积 法先以所设根变为正方根乃于立方线求其积假如有二十等面体其邉三十一弱问积法以根三十一弱为本线二十等面号之底定尺而取立方号之底得四十弱为所变立方之邉次于立方线以一十为一㸃之底而以四十进退求等数得(十六)㸃命其积(一万六千)如所求(邉一十其积一千则邉四十积一万六千)用法三 有不同类之体欲相并为一(此以体相加之法并变为正方)(体积即可相并)假如有三立体甲浑圆体(径一百二十四)乙二十等面体(邉七)(十七)丙十二等面体(邉五十○半)欲相并用前条法各以积变为立方积则三体之积皆一百万并之得三百万如所求用法四 有不同类之两体求其比例与其较(此以体相减之)(法)法各变为立方体即可相较以得其比例并同更面线法第六分圆线(即各弧度之通弦也旧名分弦线亦曰分圈)分法有二一以量一以算以量分 法作半方形如甲乙丙令甲丙斜弦与本线等长以乙方角为心甲为界作象限弧如甲丁丙乃匀分之为九十度各识之次从甲㸃作直线至各度移入尺上识其号 若尺小可作六十度即本线之长为六十度号 若尺大可作一百八十度即本线之半为六十度号以算分 法用正弦表倍之为倍度之通弦 假如求六十度通弦即以三十度之正弦(五○○○○)倍之得(一○)(○○○○)即六十度之通弦他皆若是试法十八为半周十之一(即全圈二十之一也)三十六为半周五之一(即全圈十之一)四十五为半周四之一(即全圈八之)七十二为半周五之二(即全圈五之一)九十为半周之半(即全圈四之一谓之)(象限)百二十度为半周三之二(即全圈三之一)用法一 有圆径求若干度之弧以半径当六十度取之假如有甲乙丙全圈有甲丙径求五十度之弧即以甲丙径半之于丁以甲丁半径为本线六十度之底定尺而取五十度之底如甲乙直线以切圆分即得甲戊乙弧为五十度如所求用法二 若以弧问径则反之如先有弧分如甲戊乙为五十度而问全径法从弧两端聫之作直线如(甲乙)用为本线五十度之底定尺而取六十度之底为半径(甲丁)倍之得全径(甲丙)用法三 直线三角形求量角度法以角为心任用规截角旁两线作通弦如法得角度假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲为心作虚圈截甲丙线于丁截甲乙线于戊次作丁戊直线次即用甲丁原度以乙为心如法截甲乙于辛截丙乙于庚作辛庚直线末以甲丁为六十度之底定尺乃用丁戊为底进退求其等度之号得甲角之度用辛庚为底亦得乙角之度合两角减半周得丙角度如甲角六十五乙角四十则丙角必七十五用法四 平面等邉形求其径假如有五等邉平面形欲求径作图(即对角辏心直线)法以设邉为分圆线七十二度之底而取其六十度之底为半径以作平圆末以原设边为度分其周为五平分即成五等面如所求(他等邉形并同)五等邉形有一邉如丙乙如法求得乙甲半径以甲为心乙为界作平圆而以丙乙邉度分其圆得丁戊己等㸃作线聫之即成五等邉形而所作圆即外切之圆第七正弦线(旧名节气线以其造平仪时有分节气之用也然正弦在三角法中为用甚多不止)(一事不如直言正弦以免挂漏)正弦线不平分亦近枢心大而渐小与分圆同分法 全尺为一百平分尺大可作一千于正弦表取数从枢心至各度分之每十度加号简法 第一平分线可当此线其线两傍一书平分号一书正弦号又法 分圆线可当此线以分圆线两度当正弦一度纪其号假如分圆六十度𬹼即纪正弦三十但分圆之号直书则正弦横书以别之解曰凡正弦皆倍度分圆之半故其比例等然则分圆之一度即正弦之半度而半度亦可取用为尤便也如图甲乙为通弦甲丙乙丙皆正弦用法一 有设弧求其正弦法以九十度当半径假如有七十五度之弧求正弦即以本圈半径为正弦线九十度之底定尺而取七十五之底为正弦如所求用法二 有弧度之正弦数求径数则以前条反用之假如有七十五度之正弦数即用为本线七十五度之底定尺而取其九十度之底得半径数用法三 句股形有角度有弦求句求股法以弦当半径正弦当句与股假如句股形之弦二丈有对句之角三十度即取平分线之二十当弦数为正弦线九十度之底而取三十度之底得一十即其句一丈又于其角之余弦(即六十度正弦)取底得(一十七又三之二弱)即其股为(一丈七尺三寸二分)若以句求弦则反之如句一丈其句与弦所作之角为六十度其余角三十度即取一十数为三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其弦二丈用法四 三角形以邉求角 假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉数为丙角正弦之底定尺而以甲丙邉为底进退求其等度取正弦线上号为乙角度如所求用法五 三角形以角求邉假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉为戊角正弦之底定尺而取己角正弦之底得数即为庚戊邉如所求 余详三角法举要用法六 作平仪求太阳二至日离赤道纬度如图以十字分大圆直者为两极横者为赤道横直交于圆心即地心也赤道即春秋分日行之道也地心至两极半径为正弦线九十度之底定尺取二十三度半之底于地心上下各作㸃于直线于此㸃作横线与赤道平行为二至日道近北极者夏至近南极者冬至也又求作各节气日道法先求黄道线法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一岁一周天者也以黄道半径为九十度之底定尺每十五度正弦取底移至黄道半径上(并从地心起度)于地心上下各识之即各节气日躔黄道上度也(或三)(十度取底则所得皆中气)乃自黄道上各㸃作直线并与赤道平行即各节气日行之道此与分至日道皆东升西没一日一周者也其各线两端抵大圆处即各节气赤道纬度也春分以后在赤道北秋分以后在赤道南试法于二至日道两端作横线聫之(如甲乙)次以此横线之半为度(如丙乙)过赤道处(如丙)为心作半圈于大圆之上(如乙戊甲半圆)亦如法作半圈于下两半圈各匀分十二分作识(若但求中气可分六分)上下相向作直线聫之即必与先所作日行道合为一线 又以甲丙为正弦九十度之底定尺而于其各正弦取底亦即与原定日道纬度线合(如丙辛三十度之正弦也与赤道旁第一纬线合丙丁六十度之正弦也与第)(二纬线合左右上下考之并同)用法七 定时刻(仍用平仪)法以平仪上赤道半径为正弦线九十度之底定尺而于各时刻距卯酉之度取其正弦于赤道作识(过两)(极轴线处即夘正酉正也距此而上三十度午前为辰正午后为申正距此而下三十度子前为戌正子)(后为寅正距此而上六十度午前为巳正午后为未正距此而下六十度子前为亥正子后为丑正至圆)(周处上为午正下为子正)即春秋分之时刻也欲作各时初正及刻凖此求之并以正弦为用(每时分初正各加距十五度初正又各分四刻)(每刻加距三度又四分之三并取正弦如前法)又以二至日道之半径为正弦九十度之底定尺如法取各正弦作识即二至之时刻也 末以分至线上时刻作弧线聫之即得各节气之时刻凖此论之平仪作时刻亦用正弦比例规觧以正弦名节气线切线名时刻线区而别之非是第八切线(旧名时刻线今按平仪时刻原用正弦惟以日景取髙度定时刻斯用切线耳又如浑盖)(通宪等法亦皆切线其用甚多故不如直名切线)切线不平分先小渐大至九十度竟平行无界故只用八十度或只作六十度亦可分法 简切线本表八十度之切线五六七即于尺上作五六七平分次简各度数分之逢十加识用法一 三角形求角假如乙甲丁三角形求乙角任截角旁线于丙得乙丙十寸自丙作垂线戊丙量得七寸次用十数为切线四十五度之底定尺而以戊丙七数为底进退求等度得三十五度为乙角用法二 求太阳地平上髙度(用直表)法曰凡地平上直立之物皆可当表以表高数为切线四十五度之底定尺而取表影数为底进退求等度得日髙度之余切线假如表髙一丈影长一丈五尺法以丈尺变为数用一十数当表髙为切线四十五度之底定尺次以一十五数当影长为底进退求等度得五十六度十九分为日髙之余度以减九十度得日髙三十三度四十一分癸丙地平上日高度与壬辛等其余度癸丁为日距天顶与戊辛等甲戊为表长其影戊已乃日距天顶之切线在日高癸丙为余切线也用法三 求太阳髙度用横表植横木于墙以候日影即得倒影为正切线之度假如横表长一尺倒影在墙壁者长一尺五寸法用十数当横表为四十五度之底定尺次以十五数当影长进退求等度得五十六度十九分即命为日高之度凡亭台之内日影可到者量其簷际之深可当横表卯寅墙 子甲为横表太阳光从丁过表端甲射丑成子丑倒影丁丙为日在地平上髙度与午子度等故以子丑倒影为日髙度之正切线也按直表之影低度则影长髙度则渐短日度益髙则影极短故以余切线当直影(前图是也)横表之影低度则影短髙度则渐长日度益髙则影极长故以正切线当倒影(后图是也)比例规觧乃俱倒说今正之用法四 求北极出地度分 假如江宁府立夏后九日午正立表一丈测得影长为二尺四寸法以一百数当表髙为切线四十五度之底定尺而以二十四数为底进退求等数得一十三度半如法以减九十度得七十六度半为日出地平上髙度简黄赤距度表是日太阳北纬一十九度以减日髙度得赤道髙五十七度半转减九十度得北极髙三十二度半㨗法以直表所得一十三度半加太阳北纬十九度即得三十二度半为北极髙度解曰直表所得太阳距天顶度也加北纬即赤道距天顶度亦即北极出地度又如顺天府立春后四日如法用横表三尺得倒影二尺一寸依切线法求得日髙三十五度简表得本日太阳南纬一十五度以加日髙度得赤道髙五十度以减九十度得北极髙四十度第九割线(旧名表心线今按割线非表心又割线之用甚多非只作日晷一事故直名割线为)(是)割线不平分先小后大并与切线略同故亦只作八十度或只作六十度亦可分法 用割线本表八十度之割线五七五平分之其初㸃与切线四十五度等次依表作度加识用法一 三角形以割线求角假如有甲乙丙三角形求甲角法任于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十九寸次以十数为割线初㸃之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度用法二 作平面日晷(兼用割切二线)法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲㸃起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分(如七度半加之成十五度即第二时)(又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八)(八十二度半合线末元定之㸃)若逓加三度四十五分而取底作识即每时四刻全矣(按每七度半加)(㸃乃二刻也今每三度四十五分则一刻加㸃)订定法曰横线上定时刻讫次取甲交㸃左右各十二刻之度(即元定四十五度之切线亦即)(半径全数)为割线上北极髙度之底定尺而取割线初㸃之底为表长(如壬庚) 次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极髙度之正切取底自甲㸃向南截之如甲壬以壬为表位又于北极髙度之余切线取底自表位壬向南截之如壬辛以辛为晷心 末自晷心辛向横线上原定时刻作斜直线引长之得时刻 时刻在子午线西者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影弦若已末午初则庚㸃之影不射甲而射乙而庚甲影弦如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之㸃并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也(庚甲既为切线之半)(径则必与四十五度之切线同长)以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道髙度随各方北极之髙而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极髙度之割线而取其初㸃为表长初㸃者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影弦能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极髙度则庚角必赤道髙度而庚甲能指赤道也故北极度髙则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道髙甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲㸃失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之庚壬表上指天顶下指地心为半径壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬为余切线甲角即赤道髙度壬庚甲角即北极髙度与辛角等用法三 先有表求作日晷(借用前图可解)法先作子午直线任于线中定一㸃为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作㸃(如甲)次于甲㸃作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极髙余度之底得壬辛余切线于表位南作㸃(如辛)即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长(庚壬)与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其弦线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲㸃左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识㸃即得午前后时刻并如前法用法四 有立面向正南作日晷并同平面法但以北极髙度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符用法五 用横表作向东向西日晷假如立面向正东法于近南作直线上指天顶下指地心近上作横线与地平相应两线相交于甲以甲为心于两线间作象限弧自下起数至本方北极出地度止自此向甲心作斜直线以分弧度此线即为赤道次以甲为表位用横表乙甲之长取数为切线四十五度之底定尺递取十五度切线从心向赤道线累加之作识定时即春秋分日影所到也(若分二刻则逓取七度半)(细分每刻则逓取三度四十五分)次于甲心作横斜线如丁戊为赤道之垂线其余时刻㸃各作线与丁戊平行(亦并与赤道十)(字相交)次于元定尺上(即以表长为四十五度所定)取二十三度半之切线为度于甲左右截之为界(如丁甲如戊甲)即二至卯正时日影所到也(二分日卯正则乙甲表正对日光无影分前后则有纬度而影)(亦渐生日日不同然不离丁戊线至二至而极冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此为界向西酉正)(时亦然)仍用元尺取(每十五度之黄赤距纬)切线作于丁戊线内从甲㸃左右作识得各节气卯正日影(或取三十度切线则所得)(每月中气酉正亦然)次以乙甲表长为割线初㸃之底定尺而取十五度之割线为二分日在辰初刻之影弦如乙辛即天元赤道上日离午线十五度其光过乙至辛所成也就以乙辛割线为切线四十五度之底而取二十三度半之底自辛㸃左右截横线并如辛壬为冬夏至辰初刻日影所到之界(辛壬在南为夏至其在北为冬至亦)(然)又逓取(每三十度之黄赤距纬)切线从辛至壬作㸃为各中气界(此向南日影界乃赤道北半周节气其辛㸃向北作界为南半周亦然)自此而辰正而巳初而巳正以至午初并同乃于节气界作线聫之即成正东日晷其面正西立晷作法并同但其时刻逆书自下而上最下为未初次未正次申初次申正次酉初而至酉正则横表正对日光而无影矣此亦二分日酉正也其余节气亦有短影而不出本线与卯正同新增时刻线(以切线分时刻本亦非误但切线无半度取度难清今另作一线得数既易时刻尤)(真)分法 依尺长短作直线(如后图乙丙)于线端作横垂线(如乙)(甲为乙丙垂线)又作直线略短与设线平行交横线如十字(如甲巳线交横线于甲)以甲为心作象限弧六平分之为时限各一分内四平之为刻限次于甲心出直线过各时限至直线成六时过各刻限者成刻乃作识纪之(并如)(后图)尺短移直线近甲心取之(移进线并与原直线平行以遇第六时第二刻为度)(如已戊虚线遇丁戊线于戊即戊为第六时之二刻)用法 凡作日晷并以所设半径置第三时为底定尺而取各时刻之底移于赤道线上午前午后并起午正左右为第一时依次加识即各得午正前后时刻(并如前法)第十五金线(即轻重之学)物有轻重以此权之独言五金者以其有定质也五金之性情有与七政相类者因以为识金(太阳)水银(水星)铅(土星)银(太隂)铜(太白)铁(火星)锡(木星)分法 用各分率及立方线比例率 (先取诸色金造成立方体其大小一般无二乃权其轻重以为比例)黄金一水银一又七十五分之三十八(仪象志作九十五分之三十八)铅一又二十三分之一十五银一又三十一分之二十六铜二又九分之一铁二又八分之三锡二又三十七分之二十一(比例规觧原作三十七分之一则锡率反小于铜铁)(而轻重之序乖今依仪象志)金体最重故以为凖自尺心向外任定一度为金之根率自此依各率増之并以金度为立方线上十分之底定尺次依各率为底进退求等数取以为各色五金之根率自心向金率㸃外作识解曰此同重异积之率也于立方线上求得方根作识于尺则同重异根之率也金体重则其积最少(谓立)(方体积)各色之金(谓银铅等)体并轻于金故必体积多而后能与之同重然立积虽有多少非开方不得其根之大小故必于立方线求之也又解曰先以同大之立方权之得各率者同根异重之率也而即列之为同重异根之率何也盖以根求重则金最重而他色轻以重求根则金最小而他色大其事相反然其比例则皆等假如金与铜之比例为一与二强若体同大则金倍重于铜矣若其重同者则铜之体必倍大于金其理一也又法 用立方根比例率黄金一六六弱水银一九一弱铅二○二银二○四铜二一三铁二二二锡二二八用法一 有某色金之立方体求作他色金之立方体与之同重(或立圆及各种等面体并同)假如有金球之径又有其重今作银球与之等重求径若干法以金球径数置本线太阳号为底定尺而取太隂号之底数作银球之径即其重与金球等用法二 若同类之体其根同大求其重假如有金银两印章体俱正方而其大等既知银重而求金重法以银图章之根数置太隂号为底定尺而取太阳号底数次于分体线上以银章重数为两弦太阳号底定尺而转以太隂底数(即银章根数)进退求等弦得数即金章之重轻重比例三线法(附)重学为西法一种其起重运重诸法以人巧补天工实宇宙有用之学五金轻重又重学中一种盖他物难为定率可定者独五金耳然比例规觧虽载其术而数多抵牾未可全据愚参以灵台仪象志其义始确因广之为三线曰重比例曰重之容比例曰重之根比例既列之矩算复为之表若论以发其凡康熙壬戌长夏勿葊梅文鼎谨述重比例(异色之物) (体积同轻重异)解曰重比例者同积也积同而求其重则重者数多轻者数少若反其率则为容积比例矣用法 假如有金一件不知重法以水盛器中令满权其重乃入金其中则水溢溢定出金乃复权之则水之重必减于原数矣乃以所减之重变为线于比例尺置于水㸃为底乃于金㸃取大底即金重也 又如有玉刻辟邪今欲作铜者与之同大问用铜几何法如前以玉器入水取水减重之数置水㸃为底取铜㸃大底即得所求(若作诸器用蜡为模亦同或以蜡轻难入水者竟以蜡重于蜡)(㸃为底而取铜㸃大底更妙也)重之容比例(轻重同则容积异亦谓异色之物)解曰容比例者同重也同重而求其积则重者积数少轻者积数多反其率亦即为轻重之比例矣又觧曰容积比例以立方求其根则为根比例矣故轻重当为三线也用法 假如有水若干重盛器中满十分有澒与水同重盛此器中问几何满法以水满十分之数作水㸃之底而取澒㸃小底则知澒在器中得几分用法二 有同重之两色物欲知其立方根法以容比例求其同重之积再于分体线求其根用法三 有金或铜锡等不知重法如前入水求得水溢所减之重变为线乃以水重置金㸃为底(若铜锡亦置铜)(锡㸃)于水㸃取大底(此借容比例求重故反用其率)若用蜡模铸铜器亦以蜡重置铜㸃为底(而于蜡㸃取大底即得合用铜斤)觧曰有二法三法则只须容比例一线足矣盖反用之可以求重既得容可以求根(用三线者取其便用一线者取其简可任意为)(之也)又容比例(附)又客比例解曰容比例有三率也其实一率而已第一率以水为主取其便用也第二率以金为主取其便擕也第三率平列乃立方之积数也其作线于尺则皆一率而已矣此外仍有通分之法亦愚所演然其理皆具原表中故仍载表而附之故后轻重原表右表灵台仪象志所引重学一则也其法同重者以直推见容积同积者以横推见重重比例容比例皆在其中矣既得容可以求根则根之比例亦在其中矣比例规觧五金线盖原于此原书金与蜡之比例讹卄一为廾九今改定通分法(亦容比例之率)分母澒九五铅廾三乗得二一八五银卅一又乗得六七七三五铜○九又乗得六○九六一五铁○八又乘得四八七六九二○锡卅七又乗得一八○四四六○四○为金率以澒分母九十五除金率得一八九九四三二以乗分子卅八得七二一七八四一六加金率得二五二六二四四五六为澒率以铅母卄三除金率得七八四五四八○以乗子十五得一一七六八二二○○加金率得二九八一二八二四○为铅率以银母卅一除金率得五八二○八四○以乗子廾六得一五一三四一八四○加金率得三三一七八七八八○为银率以铜母九除金率得二○○四九五六○以乗子一得如原数加金率二得三八○九四一六四○为铜率以铁母八除金率得二二五五五七五五以乘子三得六七六六七二六五加金率二得四二八五五九三四五为铁率以锡母卅七除金率得四八七六九二○以乗子廾一得一○二四一五三二○加金率二得四六三三○七四○○为锡率按自古厯算诸家于尾数不能尽者多不入算故曰半已上収为秒巳下弃之其有不欲弃者则以大半少强弱収之假如一百分则成一整数(九十为一弱一十为一强)百二十五为少即四分之一也(若二十为少弱三十为少强)五十为半(四十为半弱六)(十为半强)七十五为太即四分之三也(七十为太弱八十为太强)重之根比例(异色同重之立方)附求重心法乙甲癸子形求重心先作乙甲线分为(乙子甲乙癸甲)两三角形次用三角形求心术求(乙子甲乙)(癸甲)之形心在(丙丁)作丙丁线聫之又作子癸线分为(癸乙子癸甲子)两三角形求(癸乙子癸甲子)形之心在(庚辛)作庚辛线聫之 此二线相交于壬则壬为本形心即重心也 试作乙巳正角线至子癸线上又作甲戊线至子癸线上此两线之比例即两形大小之比例也(法为癸乙子形与癸甲子形之比例若乙巳与甲戊也)以此比例于庚辛两心距线上求得壬㸃为全形之重心(法为乙巳线与甲戊若辛壬与庚壬)如图子巳与癸戊之比例若丁壬与丙壬也余并同前图一率 子巳与癸戊二线并二率 子巳三率 丁丙四率 丁壬歴算全书卷三十九
## 自叙
方程论自叙
方程于数九之一也何独于方程乎论曰方程犹句股也数学之极致故二以殿乎九今之为数学往往覃思勾股而略方程不宁惟略抑多沿误佹于阙矣数九而阙其一可以无论乎议者谓勾股测量用以知道里之修城邑之广山之髙水之深天地日月之行度若方程筭术多取近用米盐凌杂非其精且大是不然精觕小大人则分之而自一至九之数无分也且数何兆欤当其未始有物之初混沌鸿蒙杳㝠恍惚无始无终无声无形无理可名无数可纪乃数之根也是谓真一真一者无一也一且非一而况其分及其自无之有无一而忽然有一有一则有万万者一之万也万各其一一各其万即万即一环应无端又孰从而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齐观理实同源数亦㝠㑹苟未达此而侈言髙逺遗乎目睫将日用之酬酢有外乎理数以自立者哉而二之也古者数学大司徒以备乡之三物教万民而賔兴之其属保氏掌之以教国子具曰九数未尝右勾股于方程也虽然古之人以其进乎数者治数故用之简易而言之约今欲于古学既湮之日出独是以信众疑使方程之沿误皆正而九数阙而复全则意取共明固不敢谬托简古以自文其疎愚之论乃不觉其复矣凡六卷论成于壬子之冬写而成帙则甲寅之夏勿庵梅文鼎自识
## 余论
余论
数学有九要之则二支一者筭术一者量法量法者长短逺近以求其距西法谓之测线方圆弧矢幂积周径以相求西法谓之测面立方浑圆堆垜之形以求容积西法之测体在古九章则为方田为少广为商功为句股筭术者消息盈虚乘除进退以差多寡騐往以测来西法谓之比例通分子母整齐画一不尽者以法命之西法谓之畸零若夫隠杂重复参错难稽即显騐幽探赜穷深无例可比故西法别立借衰互徴以为用亦比例也在古九章则为粟布为衰分为均输为盈朒为方程此二者相需不可偏废虽然筭术可以济量法之穷而量法不可以尽筭术之变何也可量者其可见也天下之不可见者多矣非筭术何以御之故量法有穷而筭术不穷也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭术佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯谓九章出于句股葢以此也然吾观方程正负同异减并之用非句股所能御而能生比例愚故以筭术必不可废也言数学者亦有二家一古法一泰西泰西之说详明晓畅古人之法径捷简易可互明也然古书仅存筭术而略于测量泰西详于测量而或遗在筭术吾观泰西家言矩度三角八线割圆几何原本备矣谓其善用句股能有新意出于古率之外未为过也若所译同文筭指者大约用三率以变古法至于盈朒方程则其术不复可行于是取古人之法以传之非利氏之所传也算术之妙莫盈朒方程若而泰西皆无之是九章阙其二也尚谓之贤于古法乎且泰西家欲以其说易天下故必宛转笺疏以达其意以取信于学者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自谓超妙可废古法矣而终不能废盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不过取古人之仅存者具数而已不能别立术以代之也诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之详者别有専书而人不能习不传于世耳学士大夫既苦其难竟又无与进取弋获之利遂一切弃置不道浅猎焉者率得少以自多无所发明遂使古人之精意若存若亡不复可见今诸书所载方程法残缺错乱视盈朒尤甚其所仅存又多为后之不得其说者参以臆解而其㫖益晦非古人旧也使古之方程仅仅如此何必别立一章列于盈朒之后乎然以好变古率如泰西而不能变方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能尽其用不能正其沿误可见古人立法之深逺而决不可易向使习古法者尽见古人之书又能如泰西家群萃州处穷年累月研精覃思以为之引伸而推广又岂止如斯而已乎言之三叹
## 方程论发凡
方程论发凡一方程立法之始按周礼九数一曰方田以御田畴界域一曰粟米(一作)(粟布)以御交质变易一曰差分(一名衰分)以御贵贱廪税一曰少广以御羃积方程一曰商功以御功程积实一曰均输以御逺近劳费一曰盈朒(一云赢不足)以御隠襍互见一曰方程以御错糅正负一曰句股(一云旁要)以御髙深广逺是则方程者九数之一乃九章中之第八章也通雅以九数为周公之法盖自隶首作筭数以来有九章即有方程渊源逺矣一方程命名之义方者比方也程者法程也程课也数有难知者据现在之数以比方而程课者则不可知而可知即互乗减并之用一方程残缺之故按七十子身通六艺则九数在其中自汉以后史称卓茂刘歆马融郑𤣥何休张衡皆明筭术唐宋取士有明筭科六典筭学十经博士弟子五年而学成宋大儒若邵康节司马文正朱文公蔡西山元则许文正王文肃莫不精筭然则筭学之疎乃近代耳夫数学一也分之则有度有数度者量法数者筭术是两者皆由浅入深是故量法最浅者方田稍进为少广为商功而极于句股筭术最浅者粟布稍进为衰分为均输为盈朒而极于方程(详见末卷方程能御襍法)方程于筭术犹句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭学无闗进取皆视为贾人胥史之事而不屑从事又其用近小但于方田粟布取之亦无不足故近代诸刻多不具九章其列九章者不过寥寥备数学者虽欲推明古法孰从而求之此方程残缺之由也一方程谬误之故方程句股皆不为近用所需然句股测望自昔恒有専书近者西学骤兴其言句股尤备故九章所载虽简而不至大谬至若方程别无専书可证所存诸例又为俗本所乱妄増歌诀立为胶固之法印定后贤耳目而方程不复可用竟如赘疣周官九数几缺其一愚不自揆辄以管闚之见反复推论以明之务求其理众晓而不疑于用庶不致谬种流传以乱古法云尔(详第四卷刋误)一方程条件与旧不同之故旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然而和较之分疑未清法无画一所立假如仅可施之本例不可移之他处然如此则为无用之法而方程一章为徒设矣窃以古人立法决不如此今按方程有和有较有兼用和较有和较交变约法四端巳尽方程之用不论二色三色四色五色乃至多色其法尽同正不必每色立法反滋纷扰也然惟如此则有定法而方程为有用且其用甚多窃以古人立法必当如此夫古人往矣愚生千载之下蓬户山居耳目局隘不能尽见古人之书亦何以㫁其然哉夫亦惟是反之心而无疑措之事而可用则此心此理之同庶可共信非敢好为新奇以自炫也天下大矣邺架藏书岂无足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以证明其说而广其所未知则所深望巳(详见第一卷及第四卷刋误)一方程以论名篇之故算学书有例无论则不知作法根原一再传而多误盖由于此本书欲明筭理故论多于例每卷之首皆有总论以为之提网然后举例以实其说(即假如也)而例中或有疑似之端仍各有说以反复申明之令覧者彻底澄清无纎毫之凝滞凡为论者十之七而例居其三以论名篇著其实也一方程例有详略可以互明既欲推明其理则无取夸多故首卷和较襍变四端不过数例意在假此例以发吾论但求大义晓畅更不繁引多例以乱人思其后数卷举例稍繁然每设一例即明一义务求委曲尽变庶令用者不疑前详者后必略前略者后乃详更无重复细观自见一方程著论校刻縁起鼎性耽苦思书之难读者恒废寝食以求之必得其解乃巳有未能通则耿耿胸中虽厯岁时未敢忘也算数诸书尤性所嗜虽只字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而后快窃以方程算术古人既特立一章于诸章之后必有精理而中西各书所载皆未能慊然于懐疑之殆将二纪岁壬子拙荆见背𨸂户养疴子以燕偶有所问忽触胸中之意连类旁通若干门之乍启亟取楮墨次第录之得书六卷于是二十年之疑涣然冰释然后知古人立法之精深必非后世所能易书虽残缺全理具存苟能精思必将我吿管敬仲之言不余欺也论成后冀得古书为征而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯广文豫章王若先明府金陵蔡玑先上舍曾钞副墨而昆山徐扬贡明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲征君颇加鍳赏厥后吴江潘稼堂太史尤深击节岁丁夘薄逰钱塘同里阮于岳鸿胪付赀授梓属以理装北上未遂杀青续遇无锡顾景范北直刘继庄二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南阎百诗宁波万季野两征士于京师并蒙印可又得中州孔林宗学博杜端甫孝亷钱塘袁恵子文学共相质正乃重加缮录以为定本谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论撰以质同人获与介弟安卿孝亷晨夕酬对承其谬赏兹编录副以归手挍欹劂视余稿本倍觉清明向使湖上匆剧雕版反不能如是之精良矣感书成之非偶惊岁月之易流而良朋好我之殷受益宏多更仆难数爰兹略纪以志不忘
## 数学存古序
数学存古序(附录)
六艺古圣人用也所以开物成务垂泽将来虽然器久则毁声传而失彼其初非不穷神尽变而后稍湮没古圣人无如何也今不尽亡者数学耳数之为物不藉器而存稽实待虚其道如易故礼乐代更而方圆不易书契形名世殊方别而竒偶自如数之不亡不能亡也顾不能亡者数仅存者数之学尝稽汉艺文志许商算术二十六卷杜忠算术十六卷唐博士肄习具有十经今略不一覩又古人制浑仪往往有书说详徴其故又凡作厯皆有测验诸书与厯术并垂如史所载晋姜岌刘宋祖冲之隋刘焯唐李淳风一行宋沈括元郭守敬著撰皆富今其存逸皆不可得攷自汉赵氏周髀一经外无可广证他纬书占候傅㑹难信然则今九章者果周官旧邪周官之旧既以不可知近世儒者又略之弗讲九数之学益以荒芜于是泰西氏者乃始孤行其测圜三角诸术以矜奇创学其学者至以大衍填写九执未尽授时阴用回回法子云康节之书皆为臆说而隶首之术必有所穷嘻其果然邪夫谓西厯能兼古法之长是也而反谓古人阴用乎西法此其说非也不观之书御乎御用于骑书用于楷楷与骑日以习而古书御亡或者未考舆轮而辄以古御不如今骑未窥籕篆而谓古书不及今楷遂欲驾王武子于造父尊钟元常于苍颉过矣愚生晚不及见古人僻处山陬闻见固陋闲尝于世传九章者稍稍论列补葺遗缺而昰正其纰缪使读者晓然知九数之学果不尽于今所传而其仅存者犹能与泰西氏并行而不得以相废虽不知于古人万一有当然天下之大不乏其人尚其共出枕秘以昭明而光大之使古人之绪晦而复显或由是以发其端欤是愚之所望矣
## 卷四十
钦定四库全书厯算全书卷四十宣城梅文鼎撰方程论卷一正名名不正则言不顺诸本方程皆以二色三色四色等分欵立法而不分和较宜其端绪纷纠而说之滋谬也故先正其名正名有四一和数二较数三和较杂四和较交变和者无正负如只云某物如干某物如干共价如干以问每物各价者是也较者有正负如云以某物如干与某物如干相较多价如干或少价如干或相当适足者是也杂者半有正负半无正负如一行云某物某物各如干共价如干而其一行则又云以某物如干较某物如干差价如干或价相当适足者是也变者或先无正负而变为有正负或先有正负变而无正负三色以往重列减余兼用两行者是也总论曰万筭皆生于和较和较可以御万算分合之义也万物之未形一而已矣一且未有况万乎及其有也有一则有二有二则有三自此以至于无穷而数生焉矣和者诸数之合也较者诸数之分也分则有差故谓之较较与和相求而法立焉矣故一与一和则二也一与二和则三也一与二之较一也一与三之较二也万算虽多凖此矣故和较者万算之纲也算之用至于句股方程至矣尽矣窥髙致逺探赜穷幽无所不备然其用不出于和较且以方程言之凡方程列位皆以下位为之端如所列下一位为上中两位之总价则和也若下一位为上中两位相差之价则较也较故分正负和故不分正负虽不立正负然必以两和互乘对减以得其差然后其数可得而知矣故三色以往先无正负者有时而正负立焉故方程之法以和求较而已矣较者易知和者难知和之中有较较之中又有较此万数之所由生万法之所由起和数方程例方程用互乘对减与差分章贵贱相和法同但贵贱相和有总物总价又有每物每价不过以带分之故难用匿价分身而变为换影之术耳方程则有总物总价而无每数又有三色四色以至多色头绪纷然自非逓减何取之此古人别立一章之意也用法曰二色者任以一色列于上以一色列于中以总价列于下于是以列上者为乘法左右互乘又互遍乘中下得数左右对减其上一色必两相若而减尽其中一色对减必有相差之数下价对减亦必有相差之数数相差则减不能尽于是取其余数以为用一为法一为实以法除实而得中一色每价乃以中价乘原列中物得中物总价以中物总价减原列两色之总价得上物总价以原列上物除之得上一色每价(若更以中一色列于上依法求之亦先得上一色价矣故上中之位可以互更也详见后)假如有山田三亩塲地六亩共折输粮实田五亩七分又有山田五亩塲地三亩共折实田五亩五分问田地每亩折实科则各如干畣曰每山田一亩折实田九分每地一亩折实田三分亩之一法各列位上 中 下先以右上田三亩为法遍乗左行得数次以左上田五亩为法遍乗右行得数 上位各得田十五亩对减尽 中位左得地九亩去减右行三十亩余地二十一亩为法下位左折田得十六亩五分去减右行二十三亩五分余折田七亩为实 以法除实不满法约为三之一为地每亩折实田之数(地一亩折田三分三厘三毫不尽即地三亩折田一亩也) 就以右行折实田共四亩七分内除原地六亩折实田二亩余二亩七分以右上田三亩除之得九分为田每亩折实之数(或以)(左行折田内减左原地三亩该折实田一亩余四亩五分以左上田五亩除之亦得九分为田每亩折实)(之数)论曰以右上田三亩遍乘左行得数是各三之也为五亩田者三亩三亩地者三则为田地共折实五亩五分者亦三也以左上田五亩遍乘右行得数是各五之也为三亩田者五为六亩地者五则为田地折实共四亩七分者亦五也于以对减而上位田各十五亩减而尽则其数同也惟中位地余二十一亩在右行则是右行之地多于左行之地二十一亩也而下位折实数亦余七亩在右行则是右行折实之数亦多于左行折实之数七亩也合而观之此所余折实七亩者正是余地二十一亩之所折也此以田地问折数故以地二十一亩为法折七亩为实也若以折数问原田地则以折七亩为法地二十一亩为实法除实得每折一亩原地三亩于是以右地六亩折二亩减折四亩七分余二亩七分为法除右田三亩得每折一亩原田一亩又九分亩之一即一分一厘一毫一一不尽也若更置以地列于上则先得田折数如后图上 中 下先以左上地三亩遍乗右行得数次以右上地六亩遍乗左行得数 上位各得地十八亩对减尽 中位左得田三十亩内减去右得九亩余二十一亩为法 下位折田左得三十三亩内减去右得十四亩一分余十八亩九分为实 以法除实得九分为田每亩折实数就以右田三亩折二亩七分减右折实共四亩七分余二亩以右上地六亩除之不满法命为三分亩之一为地每亩折实数(或于左行折实五亩五分内减去左田五亩该折四亩五分余)(一亩以左地三亩除之亦得地折实每亩三之一)论曰以右上地六亩遍乗左行是各六之也为三亩地者六为五亩田者六为地三亩田五亩之折实田共五亩五分者亦六也以左上地三亩遍乗右行是各三之也为地六亩者三为田三亩者三为地六亩田三亩之折实共四亩七分者亦三也以之对减而地在上位者各十八亩既对减而尽则其各十八亩之折实在折实共数中者亦必对减而尽也田在中位者既对减去九亩而仅余左行之二十一亩则其各九亩之折实在共数中者亦必对减而尽也由是以观则其所余之左下折田十八亩九分正是左中余田二十一亩之所折也故以余田二十一亩为法而以余折田十八亩九分为实即田之折数可知知田数知地亩矣若以折问田亩则一十八亩九分折为法二十一亩田为实实如法而一得每折一亩原田一亩又九分之一于是以分母九通右行田三亩得二十七分而以一亩又九分之一共一十分为法除之得二亩七分以减共折四亩七分余折二亩以除右地六亩得每折一亩原地三亩(以上二色例也三色四色以至多色凡和数者皆同但须重例)(减余以求之今不悉具于后诸条中详之)较数方程例凡较数方程分正负之价与盈朒畧同但盈朒章有盈朒又有出率方程则但有总物与盈朒而无每出之率又兼数色所以不同又盈朒者是有每率而不知总所言盈朒适足是总计所出以与原立总价相较之数也方程正负则是两总物自相较之数若不立正负则下价之与上物不知其孰为同异矣此正负之法异于盈朒也(负与正对所以分别同异盖对数之所余即正数之所欠故谓之负)(与负责之负畧相似老子言万物负阴而抱阳盖正即正面负即反面也开方法有负隅言隅之空隙也)(郭太史厯经三差法有负减言反减也本于平差内减去立差今立差反多于平差故于立差内反减平)(差是为负减兼此数端而正负之义可见矣)法曰任以一色为正则以相当之一色为负(此据二色者言之三)(色以上或以一色与多色相当或以多色与多色相当其法皆同二色)正物之价多为正价负物之价多为负价正与负为异名异名相并正与正负与负为同名同名相减首位同名者仍其正负不变(首位同数同名即可减去此正法也)首位异名变其一一以相从(首位亦同数但不同名故变而同之则亦同数)(同名而可减尽矣首位既变则其行内皆从而变此通法也盖必如是则同减异加始归画一而于和较)(交变之用尤便也)其法皆于互乗时以得数变之盖减并只用得数也只变一行其相对之行不必再变二色三色以至多色并同何也三色以上行数虽多而乘并之用皆以各相对之一行论同异即同二色之理论曰和数方程有减无并皆同名故也较数方程有减有并或同名或异名也减并者方程之纲要正负淆则同异之名混而并减皆失矣今诸本所言正负同异誃离舛错虽加减得数皆偶合耳西人论句股三角八线割圜几何原本可谓详矣矣至方程增立诸率亦复草草未穷其故也用法曰以一色列于上以相当之一色列于中任以一色为主而分正负(此亦以二色为例三色以上皆以两相当者主其一以分正负皆与)(二色法同)以两色相较之价列于下以正物为主而分同异或正物所多之价命之为正或正物所少之价命之为负(正物之所少即负物之所多)或正物负物之价两相若命之适足则空位列之亦以列上位者为乘法左右互乘遍乘中下以首位为主而变正负得数对减其上一色必数相若且又同名而减尽中一色与下价或同名或异名异名者并之同名者对减取其减并之数以为用一为法一为实以法除实得中一色每价以原列中物乗之得中物总价以与原列下价同名相减异名相并得数以原列上物除之得上一色每价(其上)(中亦可互求)假如以研七枚换笔三矢研多价四百八十文若以笔九矢换研三枚笔多价一百八十文问笔研价各如干畣曰笔每矢价五十文 研每枚价九十文法各列位上 中 下先以左行研负三遍乗右行得数(首位异名须变一行以相从故研正)(变为负笔负变为正价正变为负皆于得数变之)次以右行研正七遍乗左行得数(右行既变则左行不必再变故研负)(笔正价正皆仍旧)于是以上研各负二十一同名相减尽 次以中笔两正同名相减余五十四为法 再以下价左正右负异名相并得二千七百为实 以法除实得五十文为笔价 以左行笔正九乘笔价得四百五十内减同名价一百八十余二百七十以左研负三除之得九十为研价或以右笔负三共价一百五十加异名价正四百八十共六百三十以右研七除之亦得研价九十论曰左行原是九笔多于三研一百八十文乘后得数则是六十三笔多于二十一研共一千二百六十文也右行原是七研多于三笔四百八十文乘后得数则是九笔少于二十一研一千四百四十文也于是以两行得数较之上位研负二十一两行尽同研之数同则其价亦同惟中位笔数左行多五十四枝则是左行笔多价一千二百六十文者以多此五十四笔而右行笔少价一千四百四十文者以少此五十四笔也夫右行笔价原少于二十一研者一千四百四十文以左行多五十四笔而反多于二十一研者一千二百六十文是此五十四笔既补却右行之所少而仍多此数也故并右行之所多共此二千七百以为五十四笔之价知笔价知研价矣若先求研价者以研列中为除法以笔列上为乗法如后图问者或云笔三矢换研七枚少价四百八十文又有研三枚以换笔九矢少价一百八十文则其下价为两负(四百八十是笔少于研之价一百八十是研少于笔之价)先以左行笔负九徧乗右行得数(首位异名宜变一行故其正负皆更)(之)次以右行笔正三徧乗左得数(右变则左不变故正负皆仍之)于是以得数较其同异而为之减并 笔各负二十七同名减尽研正同名相减余五十四为法 价正负异名并得四千八百六十为实 实如法而一得九十为研价 以研价乗左正研三得二百七十异加价负一百八十共四百五十以左负笔九除之得五十为笔价或以右研七价六百三十与价四百八十同减余一百五十以笔三除之亦得笔价五十论曰左行原是研三少于笔九者一百八十文乗后得数则是九研少于二十七笔者五百四十文也 右行原是三笔少于七研者四百八十文乗后得数则是六十三研多于二十七笔者四千三百二十文也夫两行笔皆二十七则其价同也而右行研价多于笔四千三百二十文左行研价反少于笔五百四十文是两行研价相差者共四千八百六十文也推求其说则只是两行中相差五十四研之故也故减去相同之笔用此相差之研以除此相差之研价而每研之价可知矣若如难题所列以研为正笔为负问者当云以七研换三笔研多价四百八十以三研换九笔研少价一百八十文则价右正左负(难题系书名)左右研正徧乗得数(首位本同名故其正负皆不变)研减尽笔余五十四为法价异并二千七百为实法除实得笔价以次得研价如前若以笔为正研为负则其价右负左正依法先得研价如第一图以前四图或以笔为正或以笔为负或以研为正或以研为负或以价为两正或以价为两负或以价为一正一负其所呼正负之名无一同者要其为同异加减之用则一也试以一行中同异言之其左行之价必与笔同名何也左行之价乃笔多于研之数也故与笔同名而与研异名也 其右行之价必与研同名何也右行之价乃研多于笔之数也故与研同名而与笔异名也试以两行中同异言之其上位皆减尽其中位皆相减为法其下价皆相并为实其减也皆以同名其研也皆以异名 此下价异并例也假如有大小余句不知数但云倍小余句以当三大余句则不及一丈五尺三寸若倍大余句则如七小余句畣曰大余句六尺三寸 小余句一尺八寸法以正负列位先以左小余句负七徧乗右得数(首位异名宜变以相从故小句变负)(大句下负数皆变正)次以右小余句正二徧乗左得数(右行既变则此行不变下适足无乗)(亦无正负) 乗讫乃较之 小余句各十四同减尽 大余句同减余一十七为法 下正数十丈零七尺一分无对不减就为实 以法除实得六尺三寸为大余句 乃置左行二大句该一丈二尺六寸以左行相当适足之七小句除之得一尺八寸为小余句(或用)(右行三大句该一丈八尺九寸以同名负一丈五尺三寸减之余三尺六寸以右行二小句除之亦得一)(尺八寸)合问论曰以左小句徧乗右是各七之也为小句二大句三者七其相较之数亦七也 以右小句徧乗左是各二之也为小句七大句二者二其相当适足者亦二也但以首位必同名然后可减故以右小句正变而为负以从左名也小句变为负则所与相较之大句不得不变而正矣 于是小句同减尽大句同名减去四余右行正十七下较数无减仍余十丈○七尺一寸然则此所余者正是减余大句之数矣何也小句十四左右皆同若只如左行四大句则与小句相当适足矣而今右行独余此较数者非以右多十七大句之故乎试以大句列于上则先得小句如后图如法左乗右更其正负 右乗左仍其正负 大句同减尽 小句同减余正一十七在左行为法 下较数负三丈○六寸在右行无对不减就用为实以法除实得一尺八寸为小句 就以左行小句七该一丈二尺六寸以左相当适足之大句二除之得六尺三寸为大句(或于右行正一丈五尺三寸加异名小句负二该三尺六寸共一丈八尺)(九寸以右大句三除之亦得六尺三寸)论曰左行原是小句七以当大句二适足今以右大句乗而各三之则是小句二十一以当大句六而亦适足也 右行原是大句三以当小句二而大句多一丈五尺三寸今以左大句乗而各二之则是大句六以当小句四而多三丈○六寸也 以两行之得数较之大句既减尽惟左行之小句余一十七则是左行得数所以相当适足者以多此十七小句之故而右行小句得数小于大句三丈○六寸者以少此十七小句之故也然则此三丈○六寸者正是十七小句之数也(依此论可见左行之所多即右行之所少故左行名正者用于右行即为负而)(隔行之异名即为同名)此下较无减例也假如有大小方积不知数但云一大方积以当二小方积多数八十九若以三大方积当七小方积仍多二百五十一畣曰大方积一百二十一 小方积一十六法以正负列位上 中 下先以右大积一徧乗左行皆如原数 次以左大积三徧乗右行得数(首位同名故两行正负皆不变) 大积同减尽小积同减余一为法较数同减余一十六为实 法除实仍得一十六为小积 以右行小积负二该三十二加异名正八十九共一百二十一为大积(或以左行)(小积负七该一百一十二加异名正二百五十一共三百六十三以左大积三除之亦得一百二十一为)(大积)论曰左行原是大积三多于七小积者二百五十一乗后得数亦同 右行原是大积一多于二小积者八十九乗后得数则是大积三多于六小积者二百六十七也 于是以两行对勘其大积既减尽惟小积左行余负一其下较数则右行余正十六夫此十六数者与大积同名是右行大积之数也右行少一小积而大积之盈数多十六左行多一小积而大积之盈数少十六然则此十六数者正是此一小积之数矣若以小方积为正则其下较数为两负(皆小积所少之数也)(故皆为负)上 中 下依法徧乗对减余大积一为法 余负一百二十一为实 法除实不动就以一百二十一为大积 右大积一该一百二十一同名减负八十九余三十二以小积二除之得一十六为小积此是右行多一大方积故多一同名之数一百二十一同在一行易知不须重论以上二图正负所呼迥异然所同者两行之较数皆与大方积同名何也皆大方积多于小方积之数故与大方积同名而与小方积异名也此下较同减例也总论曰凡较数方程原列较数是本行中正与负之较也其乗后得数同减异加而得者则是两行中正与正之较或负与负之较也故本行中以异名相较而两行对减或加是以两行之同名相较假如原列较数与正物同名是正多于负之较也若列较与负同名是负多于正之较也故曰本行中异名相较也假如乗后得数而两行之较数皆与正物同名则两较亦自同名乃以之对减而余在一行则知此一行正物必多于对行之正物而其所多之数即如此所余之较数矣假如两行较数皆与负物同名则两较亦自同名以之对减而余在一行则知此一行负物必多于对行之负物而其所多之数正是此所余之较数矣此同名相减之理也假如右行较数与正同名而左行较数却与负同名则一是正多于负之数而一是负多于正之数也夫正与负原相待负多于正之数即正少于负之数也于是用异名相加法以左行负多于正之数变为正少于负之数以相并则知右行之正数必多于左行之正物而其所多几何正是此两较之并数矣此异名相加之理也合同减异并而观之总是两行中同名相较也又论曰较数方程以两相较而为用虽有三色四色乃至多色其相较也必两此正负所由立也立正负以别同异犹彼我也夫彼我者岂有一定之称哉以此为正则以彼为负若以彼为正则此反为负矣正负之相呼犹彼我之相视也故曰无定虽然无定者正负有定者同异其无定者在未立正负之先其有定者在既立正负之后既以一为主则同乎此者皆同名异乎此者皆异名矣是故无定而实有定也今试以所列方程最下位观之其言正负者必上物之较数也不言正负者必上物之和数也较数有盈有朒有适足和则否假如下价盈则为正正与正同名试于正物价之中减去下同名正价之盈则所余之价必与负物之价相当矣 正与负异名试又取上负物之价以加下异名正价则又必与正物之价相当矣假如下价朒则为负(正物之朒负物之盈也)负与负同名试于负物价之中减去下同名负价则所余之价必与正物之价相当矣 负与正异名试又取上正物之何以加下异名负价又必与负物之价相当矣假如下价适足空位无盈朒则其上正负物价必自相当又论曰正负之术分别同异全在有交变之法以通其穷要其为用惟在使两行之首位同名而已何也方程以互乗递减立法每乗一次即减去一色然惟和数则一乗之后即可对减若较数则有同数而不同名之时若不减首位即不成方程若径以异名而减势必以同名而并法不画一而于后条和较交变之时益混淆而难用故以法变之使首位之同数者无不同名而仍为同名利减焉首位既以同名减则凡减者皆同名凡并者皆异名而其法画一矣故首位既变则行内之正负皆变何也从首位也行内之正负既皆从首位而变由是而原与首位同名者皆与隔行之首位同名也原与首位异名者即与隔行之首位异名也如此则隔行之同减异并亦清矣正负犹阴阳也牝牡也各行中各有正负犹两仪之生四象也乗而交变犹刚柔相推而生变化也隔行之正本行以为负隔行之负本行以为正真阴真阳互居其宅也同名相减者阴阳之偏不得其配也异名相并者阴阳得类雌雄相食也是皆有自然之理焉可以思古人立法之原矣(以上亦以二色者举例三色以上乃至多色正负之用尤显详具诸卷中兹不赘列然其理著矣)和较相襍方程例方程之用以御隠襍妙在襍与变知其襍则襍而不用矣知其变则变而不失其常矣诸书所论胥未及此故求之甚详去之愈逺也用法曰凡方程和较襍者和较从和法列之不立正负较数从较法列之明立正负 其偏乗得数后在较数行中者仍其正负之名在和较行中者皆变从乗法之名(和数原无正负则无可变但乗后得数取其与较数之首位同名而已首位既同名)(下不得不同名矣)凡两较者下价或有减有并而中物只同减若一和一较者下价亦有减有并而中物皆异并此以两色言之三色以上随数通变皆以同异名御之假如有大小句不知数但云三其大句倍其小句共三丈三尺若倍大句则如六小句问若干畣曰大句九尺 小句三尺法以一和一变列位(适足者以相较而得名即同较义)右行和数也不立正负 左行较数也明立正负右乗左而三之和乗较也故其正负皆如故左乗右而二之较乗和也故得数皆为正从乗法之名也 如法遍乗讫以两行对勘 大句同名相减尽 小句异名相并得二十二为法 正数六丈六尺无减就为实 法除实得三尺为小句 以左行小句六共一丈八尺为实以大句二为法除之得九尺为大句(或于右行共三丈三尺内同减小句二共六尺余二丈七尺以大句三除之亦得九)(尺)论曰右行大句三小句二共三丈三尺乗后得数则是六大句四小句共六丈六尺也 左行大句二小句六其数相当乗后得数则是六大句十八小句亦相当适足也 于以对减而两大句同减尽则其数同也而右行正数犹有六丈六尺左则无有其故何也右行正数中有小句四而左则无且不惟无之而已其相对之负数反有十八小句焉是左行正数又自除却十八小句之数也右行正数多四小句左行正数又自除却十八小句则是右行正数之多于左行正数者二十二小句也故并此二十二小句为右行所多之正物其六丈六尺则右行之正数也以正物除正数而小句可知知小句知大句矣又细攷之六大句合四小句共六丈六尺则以与六大句相当之十八小句合四小句亦必六丈六尺也此亦西儒比例之理而以同异名尽之可见古人用法之简快试更列之以小句居上则先得大句亦同上 中 下先以右小句二徧乗左行得数(和乗较也故仍其正负)次以左小句六徧乗右行得数(较乗和也故皆命为负与乗法同名)两小句同减尽 两大句异并二十二为法 负数十九丈八尺无减就为实法除实得大句九尺 以右行大句三该二丈七尺减共三丈三尺余六尺以小二句除之得小句三尺论曰小句互乗之后则其数同也小句数同则负数亦同而右行之负数独有十九丈八尺左则无有者以右之负数中有大句十八而左则无不惟无也其所对之正数中反有大句四是左行负数中又原少四大句也右负数多十八大句左负数少四大句是右之负数多于左之负数者共二十二大句也然则右之负数独有此十九丈八尺者正是此二十二大句之数也此和数与适足偕也假如有江湖两色船载物不知数但云江船五以较湖船一则江多二千八百石江船三湖船五则共载二千八百石问船力若干 畣曰江船六百石 湖船二百石法以一和一较列位如法左右徧乗得数江船同减尽 湖船异并二十八为法 载物同减余五千六百石为实 法除实得二百石为湖船数以湖船数加右行异名正二千八百共三千石以右江船五除之得江船数六百石(或以湖船五共一千石同减左行二)(千八百石余一千八百石以左江船三除之亦得六百石)论曰徧乗后江船数同则其载数亦同今以两正数相减而左多五千六百者以左正数中有湖船二十五而右则无不惟无也其所对之负数中反有湖船三是右行正数中又自少三湖船也左多二十五右少三是左正数多于右数者共二十八湖船也然则左之正数独多五千六百者正此二十八湖船之数也此和数偕一正也负亦同和变交变方程例凡方程三色以上以减余重列则有和变较较变和者不可不察也 若非和较之襍则二色方程之中物有减无并矣若非和较之变则三色四色方程和数者有减无倂矣夫和数较数非自我命之名也其下价之为和为较不可诬也用法曰和变较者但和数减余有分在两行者兼而用之即变较数也 和既变较即以较数法列之其法以一行之余数命为正以一行之余数命为负 其下余价以与中位余物同在一行者即为同名从其正负而命之 若下价减尽无余者命为适足若减余只在一行者无变也只用和数法较变和者但视较数减余或有一行内皆正或皆负者即变和数也即如和数法列之不立正负(其较数异并者)(以一行为主而以隔行之之异名从本行为同名)若减余行内有正负者无变也只用较数法若有两异并而一位左正右负一位右正左负亦仍为较数不变虽减余分在两行而一行余正物一行余负物亦和数也何也隔行之异名乃同名也若减余同名而分余于两行即仍为较数不变何也隔行之同名乃异名也若两异并皆左正右负或皆左负右正亦和数也和较重列有俱变为较者有只变一行为较而余行如故者较数重列有俱变为和者有只变一行为和而其余如故者皆如上法以和较襍列之若四色以上有和变较较复变和者有较变和和复变较者皆以前法御之假如以衡校弓弩之力但云大神臂弓二弩九小弓二共重七百一十斤又有神臂弓三弩二小弓八共五百二十五斤又有神臂弓五弩三小弓二共五百一十五斤问各力畣曰大神臂弓力五十五斤 弩力六十斤 小弓力三十斤法先以和较列位(凡三色者可任以一行为主与余二行数相乗而减并之故前后之行可)(互更也详见第三卷)先以中行神臂弓二为法徧乗左右得数(此以中行为主与左)(右互乗取其行间易为减并之用也)次以右行神臂三徧乗中行得数与中行对减 神臂弓中右各六对减尽 中弩二十七内减去右弩四余二十三(中行余也) 中小弓六去减右小弓十六余十(右行余也) 中力二千一百三十内减去右一千○五十余一千○八十斤(中行余也)以上减余分在两行已变较数矣即用较数之法分正负列之而以弩与力命为同名(弩与力同在中行故也)次以左行神臂五徧乗中行得数而以中左两行对减 神臂弓各十减而尽 中弩得四十五内减去左行弩六余三十九中行小弓得十内减去左小弓四余六 中力得三千五百五十内减去左一千○三十余二千五百二十斤以上减余俱在中行仍为和数也不分正负论曰此和数方程变为一和一较也何也中右得数两大弓减尽则其力相若也弩数相减而余在中行是中行之弩力多于右行也小弓相减而余在右行是右行小弓之力多于中行也弩力中多于右小弓力右多于中而今共力相减惟中多一千○八十斤则是此一千○八十斤者非余弩余弓之共数而余弩所多于余弓之较数也虽欲不分正负不可得也如中左对减而余弩余小弓俱在中行则中行之余力二千五百二十斤者仍为余弩余小弓共数无正负之可分也故以此两减余者依和较杂法重列而求之如前对减既于共力中清出首一色大神臂弓不与弩小弓杂矣然所余之力尚为弩小弓共数与其较数而未能分别此二色之每数也故必重测依和较杂法以左右余弩互徧乗得数(左乗右和乗较也故仍其)(正负右乗左较乗和也故变从乗法之名皆曰正)弩同减尽 小弓异并五百二十八为法 力同减余一万五千八百四十为实 法除实得三十斤为小弓力 以小弓力乗右行余小弓十得三百斤异如力正一千○八十斤共一千三百八十斤以余弩二十三除之得六十斤为弩力(或于左行共力二千五百二十斤内同减)(小弓六该一百八十斤余二千三百四十斤以余弩三千九除之得六十斤亦同即此可见两减余之为)(一和一较)乃于原列任取右行八小弓力二百四十斤二弩力一百二十斤以减共力五百二十五斤余一百六十五斤以大神臂弓三除之得五十五斤为大神臂弓力论曰两弩正数同而其力不同者小弓之故也左行和数也是弩偕小弓之力也右行较数也是弩力中减去小弓之力而余者也合而观之则是左行之弩力有小弓一百三十八以为之益而右行之弩力反减去小弓三百九十然则左行正数之多于右行者凡共差小弓五百二十八而左行正数所以多于右行一万五千八百四十斤者正是此小弓五百二十八之力也凡此减余之数亦可互求若更置之以小弓列上则先得弩力如后图上 中 下依法右左徧乗得数(左乗右和乗较也故仍其正负右乗左较乗和也故变从乗法)(之名皆名之曰负)小弓同减尽 弩异并得五百二十八为法 力异并得三万一千六百八十为实 法除实得六十斤为弩力 以弩力乗右行弩二十三得一千三百八十斤同减正一千○八十斤余三百斤以小弓十除之得小弓力论曰两小弓同名负其数既同而左行负数之力有若干右则无之而且反小于正数之力若干者何也以左行负数中有弩三百九十右则无之而其所对之正数反有弩一百三十八以为之除算则是左负数之多于右者共五百二十八弩也右负数少此五百二十八弩而正数力遂多六千四百八十斤左负数多此五百二十八弩则不但补却右行之所少而又自有力二万五千二百斤然则左行共多于右三万一千六百八十斤者正是此五百二十八弩之力也此三色和变较例也(四色以上襍见诸卷中)问有甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者倍乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其本数各几何 畣曰甲七 乙十七 丙廿三法先以较数列位先以中行甲正一遍乗右左得数皆如故(只变中行故两行之)(正负俱不变又是一数为乗法故数亦不变)次以右行甲负三徧乗中行次以左行甲负四徧乗中行各得数(左右既省不变故变中行以从之首位变负下三位俱变正)次以中右得数相减并 甲同减尽 中乙得正六同减左得正一余正五 中丙得正六异并右得负三共得正九中较数得正二百一十九异并右负七十三共得正二百九十二次以中左得数相减并 甲同减尽 中乙得正八异并左得负四共得正十二 中丙得正八同减左得正一余七正 中较数得正二百九十二异并左负七十三共得正三百六十五以上减并之数皆同名又皆在一行知已变为和数重列之不分正负(依此)(显虽同名而或乙正在中丙正在左即不得变和数也何也左行之正中行之负也)论曰此较数变为和数也以中右之得数言之中行六个乙六个丙共多于三个甲者二百一十九右行一个乙少于三个甲三个丙者七十三于是两相对较则两行之甲皆三个其数本同而中行之乙丙多于甲二百一十九者因中行之乙多于右行之乙者五个又有同名之丙六个以益之而中行之甲又非若右行之甲与三个丙同名是又少三个丙也夫甲股内少则乙丙股内多合而观之则是中行之乙丙股内共多五个乙九个丙而右行之乙股内共少此五个乙九个丙也夫中行之乙丙股内多五个乙九个丙便多于三个甲者二百一十九右行之乙股内少五个乙九个丙则不惟不多而反少于三个甲者七十三然则并此多二百一十九少七十三共二百九十二者正是此五个乙九个丙之共数而非其较数也故不分正负又以中左之得数言之中行正数是八个乙八个丙负数是四个甲而正数多者二百九十二左行正数是一个丙负数是四个甲四个乙而正数少者七十三于是两相对勘则两行负数之甲皆四个其数本同惟中行之正数内比左正数多七个丙又加八个乙而中行之负数又比左负数少四个乙合而观之是中行之正数比左行共多十二个乙与七个丙而左行之正数比中行共少十二个乙七个丙也然则中行正数之多于负数二百九十二者以多此十二个乙七个丙而左行正数之反少于负数七十三者以少此十二个乙七个丙也则是并此多二百九十二少七十三之数共三百六十五者正是此十二个乙七个丙之共数而非其较数也故亦不分正负如法以乙数左右互徧乗得数相减(无正负故有减无并)乙减尽 丙减余七十三为法 下位余一千六百七十九为实 法除实得二十三为丙数以丙数乗左行 丙七得一百六十一以减共三百六十五余二百○四以左乙十二除之得一十七为乙数又以乙数异加原列右行负七十三共九十内减原右行丙三该六十九余二十一以原右行甲三除之得七为甲数论曰此同文算指所立叠借互征设问之一也原法繁重今改用方程简易如此此所设问三色方程耳以西术求之已不胜其难况四色以往乃至多色乎此亦足见方程之不可废而古人别立一章之诚有实用也此三色较变和例也 四色以往至于多色则其变益多要不出于和较例具后诸卷中兹不详列厯算全书卷四十
## 卷四十一
钦定四库全书厯算全书卷四十一宣城梅文鼎撰方程论卷二极数吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚重审之法无以穷其致故极数次之极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术带分方程例法曰视原问中有云㡬分之㡬者则以分母通其全数而列之或云有物㡬数又㡬分之㡬者以分母通其全数而纳其子如法列位遍乗减并以求一法一实既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得一分之数分母乗之则为物之全数矣或云㡬分之㡬又㡬分之㡬者以两分母相乗为全数而列之又以两分母互乗其子为所用之分而列之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者不并也并之而所用之分反大于全数者以全数除之命为几全数又几分之几其入算乗除仍用所并之分得数后则只以全数之分乗之为全数(以上两法皆化整为零乗除竟用零分故先得一分之数)又法凡较数有以此之全数当彼之㡬分之㡬者则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉则其所得即为全数而非其一分也(如云乙得甲三分之二则以分母三乗乙全数得全乙者三乗)(甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳)若有正负之数亦以分母乗而列之(亦全数非零分也是为以零变)(整与化整为零之法不同故径得其全数所用乗除皆整数非分故也)得即为整(其所用分)(母只在本一行中如一物有两分母又分用于各行则各以其行中分母为用)凡和数中有一位带分而余只全数者亦可以分母通乗而列之其所得亦为全数而非分(如甲三乙二又三之一共十六则以分母三乗甲得)(九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也并得整七乗共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零)(为整径以整数乗除所得即为整数)又法凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也此外又有杂用零整之法亦所当知(如行中有几位或原带有零分)(者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列之但乗除得数后整列者所得即为整数零分列者)(所得只为零分之数仍须以分母乗之为全数)又法视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分秒附于整数而列之则其乗除后得数亦为所求之全数(若分母除其子不能尽者则不用此法)今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍数则四百四十万问各若干畣曰甲库金四十万 丁库银二百万法以分子甲之三分丁之二分列右以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左依和数法互乗对减余丁之分二十二为法余八百八十万为实法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百万为丁库银数 乃以丁库数倍之得四百万减四百四十万余四十万为甲库金数此化整从零法也(原列零分故得亦零分之数)又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以两分母(五四)相乗得二十为甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万列右乗四百四十万得八千八百万列左(分母相乗为母母互乗子只是通分之法)(妙在以分共母乗其和数而零数皆为整用矣此用法之妙)上 中 下依法乗减余丁四百四十为法 八亿八千万为实以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千八百万余八百万以甲二十除之得四十万为甲数此变零为整法也(原列整数故所得即为整数)又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之则其余数皆不变左甲一乗右行皆如原数 右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒尽减 丁余一一(上一整数下一一分乃十分之一)为法共数减余二百二十万为实 法除实得二百万为丁数 以丁数倍之减共数余四十万即为甲数此除零附整法也(零分既除为分秒则乗除之际皆以整数为主故所得亦即为)(整数)今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各㡬何畣曰甲本数一千○七十一 乙本数一千二百六十法以较数带分取之 本二色也却有三位以分母通之仍二位也 先以乙分母(五四)相乗得二十以当乙之全数 又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之分 是为乙二十分之十七以益甲也次以甲分母(三七)相乗得二十一以当甲之全数 又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四并之共二十以当甲所与乙较之分 是为甲二十一分之二十以与乙较也于是分正负列位依较数法乗减 乙余八十分为法 负数无减就以五千○四十为实 法除实得六十三为乙之一分 以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数 乙本数同减负二百四十余一千○二十即甲与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数乃细攷之 置乙本数(三)因(五)除之得七百五十六为五之三 又置一本数(四)除之得三百一十五为四之一 并两数共一千○七十一则与甲数同故以此益甲而甲倍也 置甲本数(二)因(三)除之得七百一十四为三之二 又置甲本数(二)因(七)除之得三百○六为七之二 并两数共一千○二十以此较乙则不及二百四十此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较故自不同合而观之则见今有寳泉寳源二局铸钱不知总但云取寳源五之四又四之三以益寳泉则寳泉之数倍 若取寳泉三之二以与寳源较则多于寳源四十二贯畣曰寳泉原数一千九百五十三贯 寳源原数一千二百六十贯法先以寳源分母(五四)相乗得二十分为全数 又以分母五互乗分子(三)得十五分母(四)互乗分子(四)得十六并之共三十一分为寳源所以益寳泉之分 全数二十分所用以益寳泉者反有三十一分是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉只一分母故不用乗并乃列位如法乗减 中位余二分为法 下位余一百二十六贯为实法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分 以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数 以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数(置寳源数四因五除之得一千○八为五)(分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如寳泉)(数以加寳泉是为宝泉者倍也)论曰乗得数后宝泉分数同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能与寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六贯然则此一百二十六贯者正是寳源之二分矣(知分数即知全数知寳源即知寳泉)此二则皆化整为零而分母不同也今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼刀布七之二则如货数也 若刀布七之三兼贝六之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九百七十则如刀布也 若货数自加九之一则其数如贝也问本数各㡬何畣曰货五千一百三十 泉九千六百八十刀布一万三千七百二十 贝五千七百法以各分母通其原数然后以正负列之 货分母九泉分母八 刀布分母七 贝分母六 (丁行货合数一)(又九分之一共十是为九分之十凡全数帯分者准此)先以甲行货正九分为法徧乗丁行得数 又以丁行货负十分为法徧乗甲行得数(因首位异名故变一行以相从而以)(丁从甲)乃以甲丁两行得数相减 货同减尽 甲行泉负十分刀布负二十分皆无对不减 丁行贝负五十四分亦无对不减 下适足无乗无减仍为适足乃以泉刀同名在甲行者为一类 贝同名在丁行者为一类分正负重列而求之(丁行之负甲行之正也)因余行已无货位当以泉为乗法寻乙行中有泉径用与减余相对如法徧乗得数乃相减并 泉同减尽 刀布异并得(正)一百九十分 贝同减余负三百九十二分以减余为主命其正负而重列之因余行又已无泉当以刀布为乗法寻丙行有刀布径用与减余相对上 中 下如法徧乗得数 刀布同减尽贝同减余一千七百九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为实 法除实得九百五十为负之一分 以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数 以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分 以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数(用乙行也)以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数(用甲行也)以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数(用丁行也)甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正(泉)益右之负(贝)而共为负以左之负(刀布贝)益右之正(泉刀布)而共为正则亦适足也于是以两者(右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类)对减其相同之物(泉各)(减八十分贝各减四十分)则其所余之物必亦适足也(左右刀布为正右贝)(减余为负)又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也此亦化整为零而又有整帯零(四色有空之例也)问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数原无分母故也(五品倍则为十六)先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数(余空)(位无乗) 次以乙行五品五分遍乗甲行得数 乃对减 五品各八十分同名对减尽 六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负物负数也为一类 分正负列之与丙行相对如法以减余六品分遍乗丙行六品七品分得数(余空)(无乗)又以丙行六品分遍乗减余得数 乃以对减 六品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减余四百三十五分丙行之负物也自为一类 其余三位无减皆减余之负物负数也共为一类 分正负列之与丁行相对又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位上 中 下如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故(首行同名故两行之)(正负亦皆不变)又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数 乃对减 八品同减尽 七品同减余二百四十分右行之正物也为一类 九品三十无减禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同名共为一类 乃分正负重列之与戊行相对如法以左右七品分互遍乗得数(首行同名故两行之正负皆不变)七品同减尽 九品同减余九十为法 禄米四百九十五石无减就为实 法除实得五石五斗为九品月俸 置九品俸以相当之七品之十一分除之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相当之十三乗之得六石五斗为八品月俸 又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗为七品月俸又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石五斗为六品四之一而以其分母四乗之得十石为六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之得二石为五品八之一而以其分母八乗之得十六石为五品月俸计开 五品毎月十六石 六品毎月十石 七品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品毎月五石五斗论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用分只用整 合而言之乃零整杂用之法也 零与整杂似不伦矣然乗除得数则同 但用分者所得数亦为一分之数故必以分母乗之乃合原数而其原不用分者得即原数更不湏乗能知此理则用分无误矣甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同之处则甲有诸品而乙惟六品之减余然则甲负之独多此较者乃甲诸品多于乙六品减余之较矣丙行乗减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍余七品之余分右仍余诸品之全分则是两行诸数皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品之较者正此二者之差数也丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟余九品于正数内减去相同之七品分惟余七品之余分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九品与其七品余分之较也何也与之对减者乃左行适足之数故于较数无闗也(重列三次皆然)戊行论曰右行内减去左行适足数惟余九品数则其下盈数必所余九品之数也 此条逓减归一其理较明学者玩之此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并可悟偶加竒减之非问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何畣曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十(甲数三因七除得四十八多于乙数六乙数三因七除之得十八少于丙数二)法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整(○) 乙之三分(正) 丙一(负)负二(此行无甲数存与减余重列)此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乗之和数甲全分七乗较行得数(依其正负)以较数甲正三分乗和行得数(从乗法皆命为正) 甲各二十一分同减尽乙异并七十分(正)丙三无减(正)下数同减余四百八十(正)皆同名不分正负以和数重列与第三行较数求之上 中 下如法互乗减并 乙同减尽 丙异并七十九为法下数异并一千五百八十为实 法除实得二十为丙数 丙数同减负二得一十八为乙七之三乃以三分除之得六为乙七之一以分母七乗之得四十二为乙数 乙数异加正六共四十八当甲七之三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二为甲数 此亦零整杂用之法也若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分母乗之乃与和数列而求之论曰倒位何也非倒位也分母遍乗则然也以分母七乗子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者七矣是乙以全数当甲七之三者七乗之则七乙当三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位正负亦分母乗何也乙一当甲七之三而少六则七乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也如法以前两行遍乗减并又重列之与第三行遍乗减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一千五百八十为实 法除实得二十为丙数七因丙数得一百四十同减负十四余一百二十六以乙三除之得四十二为乙数七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二为甲数此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用不必齐同如后条问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一总数分数各几何畣曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如乙 甲乙共十一其四之三则八义四之一以丙相较不足四又四之一也法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二)(之一又有三之二皆有两分母)宜用变零从整之法以不同同之(用分)(则不同变而用整则不同而同矣)以分母各遍乗其本行而列之右行分母二 中行三左行四如法互乗减并以三色较数变为二色而重列之(虽减)(并不同皆仍为较数不变宜玩)如法互乗 乙同减尽 丙同减余负三十四为法正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙数 六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也(甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母矣相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事)二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七(以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与)(四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七)问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也(推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之)首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦如法减并讫又重列之(两次减余皆和数可见立负之非)又取末行与之为耦而列之如法乗 丙减尽 丁并得四百八十为法 正二万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也 试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各㡬何畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对如法减并又列其余与季行相较如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二百三十为实 法除实得九十为丁数七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除之得三百一十五为甲数问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何因前问中有疉数故作此问以互明之乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也(又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也)在西法谓之连比例上 中 下首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲减尽乙异并得五(正)丙二(正)丁二(正)正一千四百八十二皆无减(皆仍为和同名在一行故也)次行乗三行因两首位同不用乗竟以对减 甲减尽乙三(次行负也)丙五(三行负也)皆无减命为正负适足(同名在两行故为较数)三行末行首位亦同亦径减 甲减尽 乙空 丙五(三行负也)丁七(末行负也)皆亦无减命为正负适足(亦同名在两行)乃以减余重列之如三色有空之法如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十为实 法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前问之数问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率则如上户六之四畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十户共一百九十五石二斗法以和较列位如法互乗得四 甲同减尽 乙异并三百一十六户为法 米一千五百四十二石○八升无减就为实 法除实得四石八斗八升为下等戸则例 以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各几何畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石乙每户二石一斗 三十户共六十三石丙每户一石四斗 四十户共五十六石丁每户六斗 五十户共三十石法列位首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十为单即如互遍乗而可以对减矣乃以减并之余重与第三行列之又以减并之余重与第四行列之依法求得六百三十四为法 三百八十石○四斗为实 法除实得六斗为丁户则例 七因丁则得四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则 六因丙则四除之得二石一斗为乙则 四因乙则得八石四斗为甲则(此条有省算法说见后卷)此上数条皆变零从整法也有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七差分也有二例见末卷璎珞方程例璎珞者言其聨缀而垂象璎珞也谓之疉脚凡算方程皆以多色逓减至一法一实以先知一色之数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一而实非一故以一总法而除多实非疉脚之法不可也(亦有以下为法上为实者则实一而法有多名在合问者之所求而定之详刋误条)今有大江南北两处粮艘载米不同因氷程逺近给耗米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百五十六石问各船正耗米数以便稽核畣曰北船每只正运米四百石 给耗米一百石共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升南船每只正运米三百九十石 给耗米一百五十六石 共正耗米五百四十六石每正米一石给耗米四斗法各列位先以左行南船一遍乗右行各得原数次以右行南船三遍乗左行得数 南船三与右减尽 北船十二减去右二余十只为总法正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石余四千石为运米实耗米一千六百六十八石减去六百六十八石余一千石为耗米实以总法除正运米实得四百石为北船每只运数以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数(总计)(正耗得北船毎只米五百石)任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只该运米一千六百石余三百九十石为南船一只运数(一故不除运或于右行运一千九百七十石内减北船二只 八百石余一千一百七十石以南船)(三只除之亦得三百九十石)于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石余一百五十六石为南船一只运数(或于右行耗六)(百六十八石内减北船二只耗二百石余四百六十八石以南船三只除之亦得一百五十六石)总计正耗得南船每只米五百四十六石以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石给耗四斗此问每船米数故以船为法米为实若问每米一万石该用几船则以减余船十只用异乗同除以一万乗得十万为总船实 以运米减余四千石为法 法除实得二十五为每运米一万石用北船之数 于是任以右行北船二只亦用异乗同除以一万石乗之二十五船除之得八百石以减共米一千九百七十石余一千一百七十石又用为法以右行原列南船三乗一万石得三万石为实法除实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除以五千石乘减余十只为北船实 以减余耗米一千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船之数 任以右行北船二只五千石乘之五十只除之得二百石以减共耗六百六十八石余四百六十八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石问各几何法以正负列位上 中 下如法乗减余北船一只为总法运米同减余四百石为运米实即为北船每只运数(总法一故不除下同)耗米异并得一百石为耗米实即为北船每只耗数任以右行北船三乗其运数得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石以南船二除之得三百九十石为南船运数以右行北船三乗其耗数得三百石异加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石为南船耗数若问毎米一万石须几船运者则以减余北船一以一万石乘之为船实 以减余四百石为运米法法除实得二十五只为北船每运一万石之数 又以一万石任乗右行北船三以二十五只除之得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石又为法以一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十九分船之二十五为南船毎运一万石之数若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减余北船一只为船实 以减余一百石为耗米法法除实得五十只为北船耗米五千石之船数 又以五千石乗右行北船三以五十只除之得三百石异加正十二石共三百一十二石又为法以五千石乗南船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船之二为南船耗米五千石之船数此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石为问则北船之实皆同今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚给与修史局二十四人校书局四十二人问各㡬何畣曰史局每人墨一锭又六分之四(六人十锭也)研四分之三(四人共三研)校书局毎人墨七分之三(七人共三锭)研三分之一(三人共一研)法各列位如法乗减余校书一千○○八人为总法墨余四百三十二为墨实研余三百三十六为研实以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数(七人得墨)(三锭) 就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘之得二十七锭以减总给一百二十七锭余一百锭以史局六十人除之得一锭又六分之四(六人得四锭并整数)(为六人十锭)为史局给墨数又以总法除研实得三分之一为校书局给研数(三人)(共一) 就以三除校书六十三人得二十一研以减总给研六十六余四十五研以史局六十人除之得四分之三(四人三研)为史局给研数问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤工两月有半其新旧船各㡬何畣曰每新船一只 用桐油六十斤 麻三十斤钉三斤 灰五十斤 每工一月修两只每旧船一只 用桐油一百斤 麻五十斤 钉七斤 灰八十斤 每工一月修一只法各列位先以左旧船一遍乗右行如故次以右旧船二遍乗左行得数 乃相减 上位旧船对减尽中位新船减余五为总法下位油相减余三百斤为新船油实(以总法除之得六十斤为新船油数)麻相减余一百五十斤为新船麻实(以总法除之得三十斤为新船麻数)钉相减余一十五斤为新船钉实(以总法除之得三斤为新船钉数)灰相减余二百五十斤为新船灰实(以总法除之得五十斤为新船灰数)任以左行新船三只乗其油数得一百八十斤以减总油二百八十斤余一百斤为旧船一只油数以新船三只乗其麻数得九十斤以减总麻一百四十斤余五十斤为旧船一只麻数以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤余七斤为旧船一只钉数以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百三十斤余八十斤为旧船一只灰数此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实乃以减余新船五只为总实以减余工两月半为法 法除实得二只为每工一月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月有半以减总工两月半余一月以除旧船一只如故得每工一月修旧船一只此以工求船故以工为法船为实与前相反重审方程例凡算方程皆以有总数无各数故逓减以求之然有并其总数亦隠者此当用两次求之故曰重审假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石问两品禄米各几何荅曰三品毎月俸三十五石四品每月俸二十四石法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸谓之重审先以带分法列位上 中 下左甲之一分遍乗右行如故右甲之十三分遍乗左行得数甲减尽 乙减余一百四十分为法 余俸四千二百石为实 法除实得三十石为乙之一分 以乙分母十一乗其一分得三百三十石为乙支过米数以乙支过米数减总三百五十石余二十石为甲之一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石为甲支过米数既得两家支过米数乃重列之以求品俸如法左右乗减 余四品十月为法 余俸米二百四十石为实 法除实得二十四石为四品每月俸以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石余一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石为三品每月俸假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙则八百六十五石 取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙则五百七十九石问各几何畣曰一品月俸八十七石内实支本色一半四十三石五斗 折色钞一半数同二品月俸六十一石内实支本色六分三十六石六斗 折钞四分二十四石四斗法当重审 先求本色依带分法列位上 中 下如法乗减 余乙之七分为法 余本色一千四百六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本色之一分以减右行共本色五百六十六石余三百五十七石为甲支过本色数 又以乙分母三乗其一分得六百二十七石为乙支过本色数计开甲支过本色三百五十七石(内一品俸四个月二品俸五个月)乙支过本色六百二十七石(内一品俸六个月二品俸十个月)次求折色 亦依带分列位如法左右乗减 乙余十八分为法 余折色一千八百一十八石为实 法除实得一百○一石为乙折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石为乙支过折色数 以乙之二分乗其一分得二百○二石以减共折色四百九十八石余二百九十六石为甲支过折色数计开 甲支过折色二百九十六石(内亦一品俸四个月二品)(俸五个月)乙支过折色五百○五石(内亦一品俸六个月二品俸十)(个月)既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸依叠脚法列其所得本折而重测之如法遍乗得数 上位一品减尽 中位二品余十个月为总法 下位本色余三百六十六石为本色实折色余二百四十四石为折色实乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品毎月俸本色数 以乙二品十个月计三百六十六石减乙共本色六百二十七石余二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折色五百○五石余二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色(其右行亦可互)(求则先得甲数也)于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石(本折各半)(支)以二品本折并之得毎月俸六十一石(四六支本色六分折色四)(分)厯算全书卷四十一
## 卷四十二
钦定四库全书厯算全书卷四十二宣城梅文鼎撰方程论卷三致用笇之用惟㨗其说惟详详说之斯能捷用省笇列位诸法由是以生也故致用次之致用有二一者省笇一者列位(例襍见诸卷中故不具列而备论其理)省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则省乗凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法一实而已矣故三色以上有空位则可径求若三色方程无空位者必湏乗减得数变为二色以求之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位列于首而先以其余两行不空者如法乗减得数即重列之与原有空位者相对如二色方程也(以两行无空者)(相乗对减则减去一色惟余二色其有空者原只二色故可相对如二色也)则省一笇(原法)(乗减三次今只两次故曰省一笇)凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则径可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空例襍见前卷凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求最为简㨗若中行无空则必如法乗减以五色变四色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此尽方程可乎凡四色方程有乗减六次者常也 若有一位空则省一算 一行中空两位或两行各空一位而相对则省二算 若一行空两位又一行空一位则省三算止矣 或有四行中各空一位而不相对亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下数位则乗减之后自然补实不能省矣 亦有两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乗后补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法乗减变为两行又将此两行如法乗并变为一行此减余一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未及也故详论之若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空之两行如法互乗而减去此不空之位变为一行与空位之两行同列如三色法而之尤为易见其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳其四色无空乗减六次者竟无其式故误以省算为常然既明其理亦不必一一为式矣凡五色方程无空则有乗减十次者常法也(五色变四色则有四)(算四色又变三色则有三算三色又变二色则有二算二色又一算乃得法实合之为十算)故五色而为四图者亦常法也(原列一图以减余重列为四色而三色而二色又各)(一图合之为四图)若有空一位则省一算 或空两位而省二算(湏两位空在一)(行或两行俱空首位乃可) 空三位而省三算(湏空在一行或三行同空首位或一)(行首位空一行首次两空则可) 空四位而省四算(湏一行空三位而一行又空一)(位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可) 空五位而省五算(湏两行空首位而一行空首次三位或两行空首次而一行空首位或一)(行空首次而一行空首次三之位乃可) 空六位而省六算(湏一行空首位一行)(空首次一行空首次三行位乃可)省至六算止矣六算以上虽多空位无闗省算也今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而不察也假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列于上而先以其无空之四行如法乗减变为四色者三行又以乗减变为三色者二行又以乗减变为二色者一行则恰与空位之行相对矣再乗减一次得所求矣故曰省三算也(变四色时省一算变三色时省一算变二色时省一算共)(省三算)假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乗减变为四色者二行又以乗减变为三色者一行则恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也(变四色时省二算变三色时亦省二算)假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之三位法当以无空之两行如法乗减变为四色者一行则恰与空首位之两行相对矣 乃以原数两行减余一行相并列之用相乗减变为三色者两行又相乗减变为二色者一行则又恰与空三位者相对矣 乃以原空三位者与减余列而求之即得之矣故曰省五算也(变四色时省三算变三色与二色又各省一算)若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位一行空三位也法以无空之三行先用乗减变为四色者两行又以乗减变为三色者一行则恰与空首位次位者对矣取出原空两位者与减余列而求之变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出与减余列而求之即得所问故亦省五算也(变四色三色时)(各省二算变二色时又省一算共五)其两行虽各空三位而不相对故也(若各空三位而相对即成二色方程矣)若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其余空位必不相对不能省算与无空同也其法先以不空之两行乗减得数变为四色与空首位者相对又乗减变为三色与空首次者相对又乗减变为二色与空三位者相对再乗减即得所求诸列不能悉具智者反隅可也论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省之算者欲穷其变先得其常也以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二十一算 八色者二十八算 九色者三十六算十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者六十六算以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至十算 七色者省十五算 八色有省二十一算九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一色有省四十五算 十二色有省五十五算以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十二色有只十一算总而言之 二色则只一算 三色则有二算或三算 四色则有三算以至六算 五色则有四算以至于十算 六色则有五算至十五算 七色则自六算至二十一算 八算则自七算至二十八算九色则自八算至三十六算 十色则自九算至四十五算 十一色自十算至五十五算 十二色则自十一算至六十六算扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之襍与变愚故不欲以四色五色等分为之目也 必如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正负也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而穷于问也岂古人立法之意哉此以上论空位省算省算者乗减并俱省之也非若省乗者但省互乗而不省减乗凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之数偶尔相同者法当径以对减而省其互乗此虽省其乗而不省其减并故与前论省算同而微异也假如和数方程首位同则径减矣 若较数者又湏论其正负之名 同数矣而又同名径对减矣 同数而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加减皆误矣若和较襍者首位之数同亦必以较数首位之名名其和数之一行而后减并之但省其互乗可也以上论同数省乗亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减省其互乗焉可矣若较数或和较襍皆如前法齐同其首位之名斯减并无误耳(较数首位同名则仍之异名者改一行以相从和较襍者以较首位之名名其和数)(之一行)假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互乗各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之之行可无乗而数亦简明殊散人怀也若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乗之使二十之一行皆为十之一 若为八为四亦倍数也 若为八与二是四之一也四除其八之行则得矣 若九与三则三之一也以三除九则亦三而其一行皆三除之则可减倂矣然三除多有不尽不如只以三因其三之行也 若为五与三则六因其五之行而退位 五与二则四因退位 五与四则八因退位皆同 若六十四与八则八之一也八除其六十四之行犹互乗也 若此类者不可枚举得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乗为无弊也省乗者为省事而设也强齐之反多事矣此以上论分数省乗此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色为宜盖二色方程只湏减去一色其所余即一法一实矣然亦湏同名方可减去若异名者改而齐之可也假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行皆与此一色同名乃减去之若和较则不湏尔但同数者即减去之此二色捷法合此三者省算之理备矣问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十亩皆粮五斗问各则若何法曰此方程㫁续法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田则则其中两色自知先以甲乙两行徧互乗减去上田 余上次田三亩上中田一亩 粮一石一斗 用与丙行乗减 上次田减尽 余上中田二亩为法 粮四斗为实法除实得二斗为上中田则例就以上中田则减丙粮五斗余三斗为上次田则例以上次田则减甲粮七斗余四斗为上田则例(以上三色)(法也)又以上中田则例乗丁田二亩得四斗以减丁粮五斗余一斗以二亩除之得五升为中田则例又以戊中田三亩乗其则例得一斗五升以减戊粮五斗余三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数因此处㫁而不属故又先求末两行再以二色法用己庚两行如法遍乗减去中下田余下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下田则例(以八因庚行而退位省乗法也)以庚下田十亩乗其则例得二斗以减庚粮五斗余三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例(以上二色法也)乃以戊中下田五亩乗其则例得一斗五升以减戊中下中次共三斗五升余二斗以戊中次五亩除之得四升为中次田则例计开 上田每亩粮四斗 上次田每亩粮三斗上中田每亩粮二斗 中田每亩粮五升中次田每亩粮四升 中下田每亩粮三升下田每亩粮二升论曰此虽七色因行中㫁续即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乗其势则然也以其疑于省算也故附之其末又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法一实者非省算也然亦省算之类故亦附录一条以见其例假如縀纱绢不知价但云以縀一匹纱五匹易绢九匹余价二两六钱又以縀二匹绢八匹易纱四匹余价六两八钱又以縀三匹易纱六匹绢七匹少价一两二钱畣曰縀每匹价银三两纱每匹一两 绢每匹六钱法列位因中左纱减尽只余一色即以绢十九为法 除十一两四钱得绢价每匹六钱 以绢余二十六匹乗价得十五两六钱同减负一两六钱余十四两纱价也以纱余十四匹除之得纱价每匹一两(用中右减余得之)以原左行纱六匹(价六两)绢七匹(价四两二钱)共价十两二钱同减负一两二钱余九两縀三匹价也三除之得縀价每匹三两论曰此方程之变例也一减之后即得其数 若多色方程除首位外有减尽者先虽无空而减余重列即成有空方程矣(例见本卷齐军列陈条)若三色俱减尽则不能成算 或三色方程中左三色俱减尽中右只减一色则所余者二色而无相较乗减无因不能别其二色亦不能成算也假有问水银三斤朱砂二斤共价四两四钱又水银九斤朱砂六斤共价十三两二钱问各价若干畣曰此不可以方程算何也彼虽两宗而其后一宗之物价皆三倍于先一宗互乗之后必湏减尽故也凡左行之物俱倍于右行或俱半俱四之一等互乗之后得数齐同不能分核具如前论方程立法正以诸物襍糅多寡错居同异参伍而得其端倪也又或三色方程而问只二宗则减余仍有二色不能分别故问三色必有三宗问四色必有四宗五色六色以上悉同何也方乗立法乗减一次始能分去一色若少一行则少一次乗减而不能得其一法一实矣故行中可有空位而不可有空行行中有空者分一行言之也若总列为图则位皆无空凡此皆治方程者所当知知其有不可算斯无疑于算知其有必不可省斯善为省矣列位之法亦有二一者更其上下之位以互求也 或为省算之计凡方程立法务湏首位齐同以便减去故每遍乗一次则减去一色逓减之则一法一实矣今行中有空则是不待遍乗而其一色已先减去也故取而列之于上位则能省算不则上位不空而下反空则对位无减补成不空而不能省算矣其法于列位时覆视之有横列中空位多者取作首位首位空一行则省一算矣若首位原有空位而欲更定次位者不必改列但于重列减余时检㸃更定之可也又横列中有数偶相同或可以分相命者取作首位亦省遍乗或横列中有单一数多者取作首位省乗(单一)(数则不湏乗故也)以上论上下之位一者更其前后之行也凡首位多空而其不空者隔逺则更而聨之便乗减也其各行空位不等者不必更列但以与减余相对者取出对列而乗减之(例见前诸卷)若各行首位有可以分相命或数偶相同而为他行所隔亦可更置使之相接又多色方程有各行中对位总空者取出另列而先乗其他行之不空者乃于重列之时渐次添入可免细书跼蹐(例见后卷)以上论前后之行法曰凡多色方程先任意列位竟乃覆视之若首位有空而下则无之此不必更置也或首位多空而下则少亦不必更置也惟首位不空而下反有或首位空少而下反多则更而置之故上下可以互居前后亦可易位或云以末行为主者非也问古今厯术屡更其所用日法无一同者如以汉太初厯日法十有一外加四十九则如殷厯日法也若以太初日法二殷厯日法三再加五十八则如唐大衍厯日法也若太初日法十有四大衍日法二相并以比宋纪元厯日法仍少七十六若太初日法九十倍之即纪元日法其各数若干法以正负列位甲太初十一(正)殷七一(负)○ ○ 负四十九乙太初二(正)殷六三(正)大衍一(负)○ 负五十八丙太初十四(正) ○ 大衍二(正) 纪元一(负) 负七十六丁太初九十(正) ○ ○ 纪元一(负) 适足如右图太初厯横列皆满须用遍乗对减者三而后能减去太初之一色其余虽多空位自然有无减之对位相补不能省算如法改列以最多不空之太初列下为第四位则殷厯居上而成有空位之方程矣先如法以甲乙两行互乗减并殷厯各正十五对减尽大衍负一无减太初异并负三十五下数异并正二百○五(因异并故并从甲行之名而大衍在乙行与下数同名亦改负为正)乃重列之(取出丙行与减余相对)如法互乗减倂 大衍各正二对减尽 纪元负一无减 太初异倂得正八十四下数异并得负四百八十六又重列之(以减余与丁行相对)首位同名同数省互乗 纪元各负一对减尽 太初同减余六为法 负四百八十六无减为实法除实得八十一分为太初日法 以丁行太初九十乗其日法(八十一分)得七千二百九十分为纪元日法 以甲行太初十一乗其日法(八十一分)得八百九十一异加负四十九得九百四十分为殷厯日法 以乙行殷厯三乗日法(九百四十)得二千八百二十又太初二乗日法得(一百六十二)又异加负(五十八)共得三千○四十分为大衍日法计开殷厯日法 九百四十分汉太初厯日法 八十一分唐大衍厯日法 三千○四十分宋纪元厯日法 七千二百九十分又按列位之法原与省乗省算之法相生故共为一卷合观之可也今以六色无空者为例如后问齐军千乗其陈有先驱申驱为前军有启与胠为两翼有戎车贰广为中军有大殿为后军各不知数但以前军居余陈七之三合两翼二广与殿多余陈四十乗合前军两翼与中后较则多二十乗前军合殿与翼中军较则少二十乗先驱大殿居与陈二之一而少五乗各若干畣曰前军共三乗内先驱一百四十乗申驱一百六十乗两翼共二百一十乗内启与胠各一百○五乗中军共三百乗内戎车一百八十乗(帅)贰广一百二十乗(副)后军一百九十乗是为大殿法以和较襍列位有七之三二之一依变零为整以分母各乗而后列之如法互乗减倂变为五色有空而重列之空者偶也若不空亦俨然变为五色矣前三行减余首位申驱皆空故不湏乗减但以末二行乗而减之减去申驱即变四色矣又以申驱数本同故不湏乗而竟以对减乃以四色法重列之四色无空法也虽有空而非首位不能省算与无空同因首末两行之翼数皆倍于中两行故省互乗但以首末两行皆半之使其翼数齐同乃原数对减而变为三色又重列之因次行末行戎车同但首行多于次行二之一故省互乗但以次行二分加一与首行对减其次行与末行竟以原数对减变为二色而重列之贰广同故省互乗竟以对减尽 大殿异名并得五为法 车同名减余九百五十乗为实 法除实得一百九十乗为大殿车数 以大殿车数异加正五十乗共二百四十乗以贰广二除之得一百二十乗为二广车数(用末次右行数) 二乗大殿车数同减负二十乗戎车二除之得一百八十乗为戎车公卒数(用第四次)(三色中行数也) 二乗戎车异加正六十乗两翼二除之得二百一十乗为两翼共数(用第三次所列四色之次行)又半之即启与胠数 合计两翼(二百一十)戎车(一百八十)贰广(一百二十)共数(五百一十)同减负三十乗余(四百八十)以申驱三除之得一百六十乗为申驱数(用第二次所列五色之第四行) 合计申驱(一百)(六十)两翼(二百一十)戎车(一百八十)贰广(一百二十)共(六百七十)同减负十乗余(六百六十)又减去大殿二计(三百八十)余(二百八十)以先驱二除之得一百四十乗为先驱之数(用原列六色之第五行数)试细攷之合计两翼(二百一十)戎路(一百八十)贰广(一百二十)大殿(一百)(九十)共七百乗合计先驱(一百四十)申驱(一百六十)共三百乗三七差分也故曰前军为余阵七之三合计两翼(二百一十)贰广(一百二十)大殿(一百九十)共五百二十乗其余前军(共三百)戎路(一百八十)共四百八十乗故曰翼广殿多余阵四十乗合计前军(共三百)两翼(二百一十)共五百一十乗以较中军(共三百)后殿(一百九十)共四百九十乗则多二十乗故正二十乗与前军翼同名合计前军(三百)大殿(一百九十)共四百九十乗以较两翼(二百)(一十)中军(三百)共五百一十乗则少二十乗故负二十乗与前军殿异名合计先驱(一百四十)后殿(一百九十)共三百三十乗又合计申驱(一百六十)中军(三百)两翼(二百一十)共六百七十乗其二之一为三百三十五乗故曰先驱大殿居余阵二之一而少五乗(以全当其半而少五乗则以倍当其全而少十乗矣此与)(第一行皆变零为整详见带分条)总计之则千乗矣故以和数参焉论曰此一例中能兼数法皆省算之捷诀也其第二图五色变四色当有互乗减并者四次今以申驱空位省其三次此空位径求省算之法也其申驱偶尔数同径以对减与第五图二色之贰广数同径以对减皆省乗定法也但皆和较之襍故虽不乗必以较行首位之正负补于和数之行不然则减并误矣此要诀也其第三图四色之首位偶有倍数故半其倍者以相从此亦省乗法也其第四图三色之首位为三与二故加二为三是二加一也故其下皆二分加一则如遍乗矣然亦首位正负偶同也若不同者湏更其一行以同之首位虽同数又必同名然后可减而去之尤省乗之要诀又论曰方程无空者常法也如第一图六色是也若不减并五次何以求之亦偶而多有首位相同者故亦能省乗然虽省乗不能省减并矣其有空位者偶然也如第二图五色有空是也空位多若更置列之所省尤多虽不更置而减倂之余自然能补其空亦可见方程之有常法矣若更置之则自五色起如后图因五色始有空也如此图则省六算 戎翼不空故更之下位后行不空者更之前行以先乗正负列位甲乙行如法减去申驱以其余四位重列之与丙行相对(一和一较也)重列如法减去贰广又重列之与丁行相对(皆较数也如后)如法半减余数以从丁行乃对减而重列之与戊行相对(又以翼同故更置之)上 中 下如法径以对减余戎路五为法倂得正负九百乗为实法除实得戎路数既得戎路数以次得余重之数合问又术以一图而为减并如后所列依法先得戎路亦同但其间和较交变错然襍陈非深知猝不能了不如前术之为安穏明白也歴算全书卷四十二
## 卷四十三
钦定四库全书厯算全书卷四十三宣城梅文鼎撰方程论卷四刋误古之为学也精故其立法也简而语焉不详阙所疑而敬存其旧无臆参焉斯善学也已不得其理而强为之解以乱其真古人之意乃不可见矣意不可见而讹谬相仍如金在沙淘之汰之沙尽而金以出故刋误次之方程之误厥有数端一曰立负之误(立负误也四色五色期于立负以为法误之误也自骡马逓借一问诸书沿讹)(而加减之误因之矣)一曰加减之误同加异减一误也(误沿于牛羊豕相易之一问由不知正负之有更也)竒减偶加二误也(误沿于桃梨问价以不知和较之交变也)一曰法实之误(以上为法下为实拘也以法必少实必多亦谬也)一曰倂分母之误一曰设问之误(如井不知深而以除法为井深问中先已大误)立负辨立负非古人法也何以知之有负则有正今立负而不言正非正负之本㫖也或曰有正则有负则言负可不言正矣是又不然凡和之变而较也有减其和数而尽者亦有减其和数而余者其减而尽者命为适足而无较数则但言此之为负以见彼之为正可矣若减而余者是有较数也而但言负不言正何以知其较数必与正物同名乎即使同名而竟不明言其为正何以分别同异而为加减乎至于以有空位而立之负则又不可何也和之或变而较也固不必以空位也但减余分在两行而兼用之即变较数矣今必以有空位者而立之负则无空位者即不立负乎然则和数之无空位者终于同减而无异并乎将进退失据矣故曰非古人法也凡言正负者分其物以相较也不言正负者合其物以言数也皆自然而有之名非立之也而立负乎哉夫不知正负之出于自然而强立之负则同异之㫖淆而加减之用失种种谬误縁之以生故谨为之辨今以诸书所载立负例攷定如左假如米四石二斗以马一骡二驴三载之皆不能上坡若马借骡一骡借驴一驴借马一则各能上坡问马骡驴力各几何畣曰马力二石四斗 骡力一石八斗 驴力六斗法各以和数列位(马借骡一则一马一驴也骡借驴一则二骡一驴也驴借马一则三驴一)(马也各以其本数加借数而列之干方程法则和数而已)此三色有空法也中行无马原只二色故不湏乗减但先以左右两行首位不空者对乗 又因两行马数皆一乗皆如故故径以对减马减尽 右骡一左驴三皆无对不减 米各四石二斗亦对减而尽乃视减余骡一在右行驴三在左行分在两行是有正负也 米亦减尽是正负适足也重列之论曰此和数变为较数也何以言之两行之马相若而其载物又相若则其所偕以共载之骡一与驴三其力亦自相若矣故命之适足适足者以两相较而成故曰变为较数也然谓之适足可也谓一行俱减尽则不可也减尽者同类之物而其数又同故物与数俱减尽也适足者物非同类而其物之积数则同故其物不能减尽而数则减尽也物不同而数同故曰适足也适足者存之为用也物数俱减尽者清出其一色而不复用也如此三色中虽不能遽知各力然已知驴三骡一之适相当矣则已清出马之一色而变为二色矣此逓减立法之意也又论曰减余适足则有正负矣其原列只是和数无正负也诸书以逓借一匹之故而列之曰借又别其本数曰正不知正与负对非与借对也虽逓借一匹其实是本有之头匹与所借之头匹共载此米故曰和数逮减余乃变为较耳故减余适足宜言正负也而诸书但立负原列和数无正负也而忽分正借又不立负于减之后而立于其先正也借也立负也三者相乱而靡有指实古人之法固如是乎哉次以中行原数与减余对列 因中行马空故径求也此和较杂也 减余分正负 中行原无正负以减余骡负一遍乗中行如故(较乗和也数虽如故但皆以乗法之名名之为负)又以中行骡二遍乗减余得数(和乗较也故仍其正负之名)骡同减尽 驴异并得七为法 四石二斗无减就为实 法除实得六斗为一驴之力 三因驴力得一石八斗为一骡之力(适足故也)以骡力一石八斗减四石二斗余二石四斗为一马之力(原右行数)论曰减余原是骡一与驴三力等乗后得数则骡二与驴六亦等也然则于中行共力中减去二骡而以相等之六驴益之其共之四石二斗亦必与原载等也故并此六驴与原列一驴共七为法以除此四石二斗而驴力可知也 驴三与骡一既等则三驴之所载即骡力也 骡与马各一共四石二斗则减骡力即马力也又论曰此因中行有空故径求也使其不空自当与左行或右行遍乗而减去其马与其数乃列两减余如二色求之此常法也今中行马空原只二色恰与减余之二色相对故径相乗减是省一算也诸书皆言因左行骡空故立负骡一与中行对乗不知左行骡空而右之骡一无减犹右之驴空而左之驴三无减也其与中行相对乃用此两色之减余非独用左行也盖左行有马中行无马原无对乗之理亦犹之右与中不可对乗惟减余是二色可以对乗虽云径求实自然之理势也而强立之负以用左行乎有正斯有负立负骡于左行为与何物相对耶以马一为正耶驴三为正耶其马一驴三皆正耶既无所指则负为徒立矣凡言正负者其下数必为正与负之较今所用左行之四石二斗者为是骡一与驴三相较之数耶骡一与马一相较之数耶将合马一驴三与骡一相较之数耶则皆无一合矣凡物有正负者其较数亦有正负此四石二斗者正耶负耶若无正负即是和数不应立负骡矣若以四石二斗为和数则更非理夫以马一驴三之共数加一骡力而其数如故理所无也若去一马用一骡而与驴三共此米抑又不能马与骡之力原不同乃去一马加一骡而其数如故理所无也然则此四石二斗安属耶彼惟不知四石二斗之减尽即为适足故误至此也又谓右行俱减尽不知减尽必两行数同如马一与米四石二斗也若骡一驴三固未尝有减也况尽乎方程立法原以对减有尽不尽而得其朕兆若三色俱减而尽其算不立矣惟不知有空位者可以径求而误以所用之减余为是左行之原数故也凡减尽者两俱减尽不应右减尽而左行独存若谓复用左行之原数何以不用原列之马一而加一负骡以为马一减去故不用则四石二斗何既减而复存耶故以立负骡减马一为用减余之法则四石二斗不宜存四石二斗为用原列之法则马一不宜减负骡不宜立破两法而叅用之一不成矣承譌者迁就多岐抑奚足怪今试以减余更置则先得骡力如后图如前法以一和一较遍乗得数 驴同名减尽 骡异并得七为法 正十二石六斗无减就为实 实如法而一得一石八斗为骡力以驴三除相当一骡之力得六斗为驴力(任于原列左行或右行如法减驴力或骡力得马力)论曰凡减余重列之数皆可更置互求何则皆实数也三色减去一色即二色法矣若干减余之适足加以四石二斗则不可以互求故知其误又试以原列更置之先减去骡如后图如法先以右中遍乗 骡减尽 中行驴一 右行马二皆无减分正负列之 载米余四石二斗在右行与马同名 左行骡空故径与减余相对 依和较杂法乗之 驴同减尽马异并七为法 载米异倂十六石八斗为实 法除实得二石四斗为马力以马力减四石二斗余一石八斗得骡力 以马力倍之同减四石二斗余六斗得驴力试又更之如后图如前法先以右中两行遍乗减去驴余马一骡六皆无减分正负载米余八石四斗在右与骡同名乃重列之如前法径与左行相对遍乗 马同减尽骡异并七为法 载米异并十二石六斗为实实如法而一得骡力以次得驴马力皆如前论曰凡诸色方程其上下皆可互更如上二图以空位径求之法求之无所不合也又试以原列无空而减余适足者为例如后假如有三车三槖驼七牛各欲载物六十四石而皆不能胜若车借驼牛各一驼借车牛各一牛借车驼各一则皆能载问三者力若干畣曰车二十四石 槖驼十二石 牛四石法以和数列位如法乗 车皆减尽 甲乙两行减余皆在乙行和数也 乙丙相减余乙驼二丙牛六是有正负也载物减尽适足也(乙丙载物减尽则不但对减去之物适相当而其减余之驼二牛六)(其力亦适相当也虽欲不命之适足不可得矣)乃以和较杂重列之依一和一较法求得牛三十二为法 载物一百二十八石为实 法除实得四石为牛力 牛六共力二十四石以相当之驼二除之得十二石为驼力以牛力驼力减六十四石余四十八石车二除之得二十四石为车力(用右行原数)论曰此亦以和变较而有适足之数也岂以有空位而立之负乎可以悟其非矣试更以较数求之假如运粮以象马牛车三种但云接运时以三象所载与四牛车二十四马载之则余三十六石以八牛车所载与二象十二马载之亦余三十六石以七十八马所载与二象二牛车载之亦余三十六石问各若干畣曰象七十二石 牛车二十七石 马三石法以较数列位如法互乗减并重列其余(中行每加二分一则首位象与右齐同可对减矣其)(中左象本同径以对减皆省算法也)依省算法求得马三十载九十石以马除载得三石为马力 马九十载二百七十石牛车十除之得二十七石为牛车力 合计牛车四马二十四共载一百八十石异加正三十六石象三除之得七十二石为象力(用右行原数)论曰此原列较数也而其较数亦有减而适足者然则先无适足减之而成适足者往往有之矣惟适足故分正负非以空位而立负也故知减余之亦有适足而复用左行者非矣知用减余而非用左行则立负之非不攻而破矣同加异减辨同名相减则异名相加矣诸书所载忽而同减者忽而异减忽而异加者忽而同加岂不谬哉又为之说曰以正为主则同减而异加以负为主则异减而同加又为之说曰同名相乗则其下同减而异并异名相乗则其下异减而同并言之缕然用之纷然而要之非是也夫同名相减即如盈朒章两盈两朒相减也异名相并即如盈不足相并也岂有同加异减之理乎所以误者不知正负交变之法也正负宜变而不变则首位之异名者何以能对减而尽乎不得不迁就其法同加异减矣苟知其变则首位必同名首位既同名则凡减皆同名凡加皆异名较若画一何必纷纷强为之说乎凡减余重列有仍其负正如故者亦有更其正负绝非其故者且有先无正负及其重列而有正负者有先分正负及其重列之而反不分者若但以初名为定则加减皆舛矣假如同减之余分在两行而为同名(或左余正右亦余正或左余负右亦)(余负)则重列必为异名矣必变其一行之名而列之而其下所余数必是此二异名物之较数也若无余数必是此二异名物相当适足也(此以三色言之若四色以上减余位数多)(者皆倣此论之)若同减之余分在两行而为异名(或左余正而右余负或左余负而右余正)则重列必为同名矣而其下所余数必是此二同名物之和数也(此亦以三色言之其减余只二色故也)则其原列正负之名皆不用矣若异倂者尤为易见何也凡异并者正与负并也正与负并则如一物矣故重列之际必以一行为主而定其名(或为正或为负或变和数则无正负)若但守初名而不知所变将一物而名之正又名之负乎必不然矣兼此数端知正负之交变出于自然非强名也(不知正负之变亦不知和较之变矣)(故又有竒减偶加之误也)今以诸书所载同加异减例考定如左假如以牛二羊五作价易猪十三剰价五两以牛一猪一易羊三适足以羊六猪八易牛五不足三两问价各若干畣曰牛价六两 羊价二两五钱 猪价一两五钱列所问数先以右行牛正二遍乗中左两行得数(中右首位同名故正负不)(变右左首位异名故变左行之正负以从右亦为以少从多)次以中行牛正一遍乗右行皆得原数 乃以中右两得数对减 牛各正二同名减尽 羊异名(右正五中)(负六)并得十一猪异名(右负十三中正二)并得十五 价无减(右正五两中适足)仍得五两 于是分正负以价与羊为同名而重列之(羊右正中负猪右负中正故仍为较数价与羊同为正于右行故仍为同名)次以左行牛负五遍乗右行得数(左行既变以从右则右行不变仍其)(正负)乃以左右两得数对减 牛各正十同名减尽羊异名(右正廿五左负十二)并得三十七 猪同名(右负六十五左负一)(十六)减余四十九(在右) 价同名减(右正二十五两左正六两)余十九两(亦在右) 于是亦分正负亦以价与羊同名而重列之 羊与余猪原分正负于右故仍为较数价与羊同为正于右故同名列两减余如法以两正羊遍乗得数 乃对减 羊同减尽猪同减余十六为法 价同减余二十四两为实法除实得一两五钱为猪价 以猪十五价二十二两五钱异加正价五两(共二十七两五钱)羊十一除之得二两五钱为羊价 任于原列中行羊三价七两五钱内减猪价一两五钱余六两为牛价论曰凡列正负可以任意呼之要在知下价之于正负孰为同名耳若乗后得数则其首列一位必以同名而相减故正负有时变而其价之正负从之变矣故同异加减必以乗后得数而定也如此所列左右行先为一正一负异名之价而乗后得数必为同名之价何也两价皆与牛同名而牛在首列得数必同名故也若以羊更置首列则两价得数必异名何也价与羊于右同名而于左异名也试更列之于后上 中上 中下 下如法以中行羊与左右两行互遍乗得数相减 羊同减皆尽 右中牛异并三十七 猪异并一百十八 价异并四十五两(价与牛同名)中左牛同减余九猪异并三十 价九两无减(与牛同名)乃以两减余各分正负而重列之如法以牛互遍乗而变左行之正负以相从 牛同减尽 猪同减余四十八为法 价同减余七十二两为实 法除实得猪价以次得牛羊价合问 试又更之如法以中行猪与左右两行互遍乗得数相减 猪同减皆尽右中羊异并一百十八(右负中正) 牛同减余四十九(余负)(在中) 价同减余一两(余负在右) 分正负(以价与羊同名) 左中羊异并三十(中正而左负) 牛异并十三(中负左正) 价三两无减(中之负数)亦分正负(以价与牛同名) 皆重列之如法互乗羊同减尽牛同减余六十四两为法价异并三百八十四两为实法除实得牛价六两以次得羊价猪价论曰反复求之皆同减异加别无他术可见古人立法之简快竒减偶加辨方程立法只同名相减异名相加尽之(和数有减无并皆同名也较数有减)(有倂或同名或异名也和较交变故减并相生)不论二色三色四色乃至多色皆一法也今诸书不察偶见瓜梨一例有竒减偶加之形不得其觧遂执为四色之定法而不知通变使方程一章之法为徒法而莫可施用深可惜也故𫌨缕辨之今将𤓰梨一问考定如后假如有𤓰二梨四共价四十文又梨二榴七共价四十文榴四桃七共价三十文𤓰一桃八共二十四文问各价几何畣曰𤓰八文 梨六文 榴四文 桃二文法以和数列位 依四色有空以省算法求之惟甲丁两行有𤓰如四色故先以相乗 𤓰减尽甲梨四丁桃十六皆无减 价余八文 分正负(梨甲)(桃丁故也)以价与桃同名(同在丁行故也) 𤓰减尽矣而余行皆无𤓰则只三色故径以减余之数与乙行相对如法互乗 梨同减尽 榴二十八(左正)桃三十二(右负)皆无减价异并一百七十六文(右负左正)隔行之异名乃同名也以和数列之不分正负又以余行无梨则只二色径以减余与丙行列之(于后)如法乗减榴减尽余桃六十八为法价一百三十六文为实法除实得桃价二文 以丙行桃七价十四文减共三十文余十六文悉榴价也榴四除之得榴价四文 以乙行榴七价二十八文减共四十二文悉梨价也梨二除之得梨价六文 以甲行梨四共二十四文减共四十文除十六文悉𤓰价也𤓰二除之得价八文论曰此和数变为较数而较数复变和数也何以言之初次减余价八文乃桃多于梨之价故曰变为较数也(桃十六价三十)(二文梨四价二十四文差八文)何以知之余数分在两行也(桃十六在丁行梨四在甲)(行)何以知桃多于梨桃与价同在丁行故同名也然所用分正负者是甲丁两行之减余非但以丁行空位而立负也又因乙丙𤓰位皆空故用此减余径与乙行相对是省二算也乃径求也非专用丁行为主也减余较也乙行和也一和一较故有异名相并而非以偶行故加也若第二次减余则复是和数何也其相并一百七十六文乃桃榴之共价(桃三十二价六十四文榴二十八价一百十二文共此数)而非其较数故曰复变和数也何以知之桃与榴虽分余于两行而异名然隔行之异名乃同名也(乙行榴正价亦正减余桃负价亦负兼而)(用之变为同名矣)至于立负之非此尤易见盖既变和数无正负矣虽两遇空而无减岂得谓之立负乎又因丙行梨亦空故径用减余与之对减是又省一算非以丁行对丙行也而顾曰立负榴于丁行误之误矣减余变和丙行相对是两和也故有减而无并也而岂以竒行之故而减也乎哉 今试以甲丁之行易之则加减全非矣如法以甲丁行对乗减𤓰尽 桃十六(甲)梨四(丁)皆无减 价相减余八文(甲) 乃分正负以价与桃同名而重列之与乙行相对如法乗 桃同减尽 榴六十四(左正)梨二十八(右负)皆无减 价同减余四百二十四文 依前论隔行之异名即同名也不分正负而重列之与丙行相对如法减榴 余梨六十八为法 四百○八文为实法除实得梨价六文以次得诸物价皆如前论曰此但更其前后之行耳而价皆同减无异并可见竒减偶加之非通法矣 又试以上下之位而更之如法以甲丁先乗减去梨尽 余榴二十八(甲)𤓰四(丁)皆无减 价相减余八十文(甲)依前论分正负以价与榴同名而重列之与乙行相对如法乗减榴尽 余桃一百九十六(左正)𤓰一十六(右负)皆无减 价相减余五百二十文(左正)依前论复变和数不分正负而径与丙行重列之如法减桃 余𤓰六十八为法 价五百四十四文为实 法除实得𤓰价八文以次得诸物价皆如前论曰此亦有同减无异加固不以竒偶之行而有别也若以甲丁减余更置之则亦有异并之用如后图论曰此下价何以倂异名故也何以异名凡一和一较方程在和数行者其得必与较首位同名故其较数之价与首位同名者则亦与和价同名也其与首位异名者与和价亦异名也先用丙行何也以有𤓰故可与余𤓰相减亦可见行次之非定也 理之不定乃其一定凡事尽然泥一端以定之转不定矣又论曰此亦复变为和数也何以知之正榴正价皆右负桃负价皆左以之并为一行则无正负矣盖隔行如法减桃 余榴六十八为法 价二百七十二文为实 法除实得榴价四文以次得诸物价皆如前论曰兼此数端知加减非闗行数矣统宗歌曰四色方程实可夸湏存末位作根芽若遇竒行湏减价偶行之价要相加诸书仍讹又推而至于五色六色皆云以末位为主而自首行以往皆与之加减至其所以加减者又皆以行之竒偶如一行三行五行竒数也则价与末行减二行四行偶数也则价与末行加而不言同异名将竒行者皆同名乎偶行者皆异名乎未可必也不知彼所设问各行逓空两位势必挨列虽云四色乃四色之有空者耳非四色之本法也(省算卷辨之极详可以互发)既挨列矣余行之首一色皆空不湏乗减惟末行首行相对可以互乗非用末行乃用上一色相对之行耳使上一色不空者在中二行而末行反空又当以中行先用矣虽欲以末行为主得乎至于第二次重列而乗减者乃用首行末行相减之余也非専用末行也葢两行相减乃生余数若谓之用末行亦可云用首行矣又因各行多空故径以减余与次行乗减得数又径以减余与三行乗减乃省算之法于末行毫不相渉也且方程之行次非有定也其前后可以互居左右中可以相易亦何从而定之为末行乎末行无定矣又安有竒偶之可言乎而以是为加减之定法乎然则恶乎定曰详和较以列减余别同异以定加减苟其和数也虽空无减不立正负也苟其较数也虽无空位分正负也此列减余之法也但同名者不论何行皆减但异名者不论何位皆加此定加减之法也如是而已法实辨算家法实皆生于问者之所求如有总物若干总价若干而问每物若干价则是以物为法价为实也或问每银一两得若干物则是以价为法以物为实也诸算尽然则方程可知矣算海说详曰中余为法除下实盖本统宗然其说非也同文算指曰以少除多其说亦非也何以明之曰方程法实犹诸算之法实也故必于问者之所求详之中下多少非可执也假如和数方程有物若干又物若干共价若干是物之位在上中而价之位在下也若问每物之价而以物为法银为实是中除下也固也或问每银一两之物而以银为法物为实又当以下除中矣不知问者之所求以物求价乎以价求物乎愚故曰中下难执也又物之价值莫可等计有贱于银之物以一两而得数千百斤有贵于银之物以数十百金而得一物假如有贵物若干又若干共价若干是物之数少而银之数多也而问每物之价谓之以少除多似也若问每银之物不又当以多除少乎又如有贱物若干又若干共价若干是物之数多而银之数少也而问每银物若干谓以少除多可也若问每物价若干不且以多除少乎惟以多除少故有不满法之实实不满法故有以法命之如云每银一两于物得几分之几者是也其物多除银少者则有退除为钱若分厘故曰多少难拘也多少中下既不足以定法实则法实安定曰亦惟于问意详之而已 今具例如后论曰方程法实只是以下一位与上中数位相湏为用耳故有实一而法二其三色者则有实一而法三若以下除中者则有法一而实二或法一而实三故用互乗之法以减之及其用也则只是一法一实而已二色者互乗而对减其一则一法一实也三色者对减其一又对减其一亦一法一实也四色五色其法悉同此方程立法之原也问河工方九百尺以当筑城八百尺城多一工以河工七百二十尺当城工七百尺城多二工问每工一日若干尺畣曰河工每日六十尺 城工每日五十尺如法乗减 余城工五万四千尺为实 工一千○八十为法法除实得每工五十尺为城工每日之数以城工五十尺除右行八百尺得十六工同减负一工余十五工以除河工九百尺得每工六十尺为河工每日之数论曰此以下除中也縁所问每工一日土若干尺以工求土也故以工为法土为实若拘中法下实则法实反矣若问每土千尺该用几工则当以五万四千尺为法一千○八十工为实法除实得百分工之二是为每城工一尺之数以所问每千尺乗之得二十工是为城工每千尺用工二十日也 若用异同除则以土千尺乗一千○八十工得一百○八万工为实以法五万四千尺除之得二十工为城工每千尺之数亦同于是以二十工乗八百尺(用右行原列)千尺除之得十六工减负一工余十五工河工九百尺数也以九百尺除十五工得百分工之一又三分之二河工每尺数也以问千尺乗之得十六工又三分工之二为河工千尺之数 用异乗同除以千尺乗十五工得一万五千工九百尺除之得十六工又九之六约为三之二亦同问开渠十七工筑堡二十工共以立方计者一千六百八十尺又渠三十工堡四十工共三千二百尺今欲计土续工则每百尺得几工畣曰开渠每土一百尺(二工半)筑堡每土一百尺二工如法乗减 余堡工八十为实 土四千尺为法法除实得每尺百分工之二以百尺乗之得二工为筑堡每百尺之工(或异乗同除以百尺乗八十工得八千为实以法四千尺除之亦得)(每百工二工) 以左行堡工四十乗百尺二工除之得二千尺以减共三千二百尺余一千二百尺渠土数也用除渠工三十得百分工之二半以百尺乗之得二工半为开渠每百尺之工(或异乗同除以百尺乗三十工得三千以一千二百)(尺除之亦得每百尺二工半)论曰此亦以下法除中实也縁所问以土求工故也又为以多除少盖土之数原多于工也故退除而得其分秒而所问者每百故又有异乗同除之用也并分母辨自方程笇失传有可以方程立算亦可以差分诸法立算者则皆收入诸法而不知用方程如愚末卷所载方程御襍法是也有实非方程法而列于方程如同文算指所収菽麦畦工诸互乗之法是也有可以方程算而不用方程漫以他法强合而漫谓之方程如并分母之法是也诸互乗法非方程易知不必辨故専辨分母问甲乙二窖不知数但云取乙三之一益甲取甲二之一益乙则各足二千石畣曰甲窖一千六百石 乙窖一千二百石原法曰列位互乗甲得六千石乙得四千石相减余二千石为实并两分母共五为法除之得四百石以乙分母三乗之得一千二百石为乙窖以乙窖减二千石余八百石以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖论曰此法不然乃偶合耳若分母为三与四即不可用或分子为之二之三亦不可用况方程法原无平列两色物之理而此独平列既平列矣又何以先得乙窖皆不合也今以方程本法御之则无所不合依带分化整为零法列位如法乗减 甲减尽 余乙五分为法 余二千石为实 法除实得四百石为乙之一分以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙窖 以乙之一分减二千石余一千六百石为甲窖论曰此亦用五分为法也然为得数相减之余非并分母也所用之实亦二千石然为甲分互乗之数相减非甲乙两分母互乗相减也亦先得四百石为乙三分之一然以乙列于中甲列于上故先减去甲而余乙为法以先得乙之分若列乙于上则亦先得甲分矣试更列之以先求甲窖如法乗减 乙减尽 甲余五分为法 余四千石为实 法除实得八百石为甲之一分以甲分母二乗之得一千六百石为甲窖以甲之一分减二千石余一千二百石为乙窖论曰凡方程有各色皆可更列其上下以互求而任先得其一色何也其互乗而对减者皆实数也若并分母为法则无实数可言故不可以互求愚于带分言之备矣或化整为零(如上所列二例是也)或变零从整或除零附整共有三法凡带分者皆可施用若并分母为法则多所不通矣 凡此皆诸书沿误而同文算指亦皆收入未尝驳正也试以分母非三与二者求之假如有句股不知数但云以股四之一益句以句三之一益股则皆二丈二尺问句股各若干畣曰句一丈八尺 股一丈六尺依化整法列位上 中 下如法乗减 余股十一分为法 四丈四尺为实法除实得四尺为股之一分以股分母四乗其一分得一丈六尺为股以股之一分减共二丈二尺余一丈八尺为句论曰此十一为法也若以股列于上则亦十一分为法也如并分母将以七为法其能合乎又试以分子非之一者求之假如有股与弦不知数但云若取弦六分之二以益股则五丈五尺若取股三分之二以当弦则少五丈五尺问若干畣曰股三丈 弦七丈五尺法以一和一较依化整法列位如法互乗 股同名减尽 弦异名并得二十二分为法 数异名并得二十七丈五尺为实 法除实得一丈二尺五寸为弦之一分以弦分母六乗其一分得七丈五尺为弦 以弦之二分二丈五尺减共五丈五尺余三丈为股论曰此以二十二为法也若以弦列于上则亦二十二为法也而并分母是将以九为法矣岂不毫厘千里乎以上数则皆不可并分母为法问者或云甲乙仓粟不知数但知共二千石其甲二之一与乙三之一等各若干畣曰甲八百石 乙一千二百石法以和较襍列位亦用化整为零徧乗甲同减尽 乙异并五分为法 二千石无减为实 法除实为乙之一分 以乙分母三乗其一分得一千二百石为乙仓 因适足故乙之一分犹甲之一分也以甲分母二乗之得八百石为甲仓论曰惟此有似于并母然实非并分母乃并得数之异名者也又按并母法与方程不同假如有仓粟取三之一又二之一共计二千石问原数若干畣曰原数二千四百石法以两母互乗其子而并之得五为法 以两母相乗得六以乗二千石得一万二千石为实 法除实得二千四百石为原仓之粟论曰此即并母法也因两分子皆一故并母用之实并两分母互乗其子之数也盖既曰三分二分其原数必可以三分之又二分之者也故以两分母相乗得六借为原数之衰原数六则三之一即二也二之一即三也并而用之借为所取之分如云取原数六分之五而二千石也六分之五为二千石则其全数必二千四百石矣此通分法非方程设问之误辨算家设问以为规式意虽引而不发数则实而可稽苟其稽之而无有真实可言之数则其意不能自明而何以为式乎至其立法之多违于古皆以不深知算理而臆见横生又相因而必至也故以设问为之目今将同文算指所载井不知深例考定如后余如此者尚多不能一一为辨也(钱塘吴信民九章比类亦载是例非同文创立也盖方程)(之沿误久矣)问井不知深以五等绳度之用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各若干原法曰列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位一甲二 乙一 ○ ○ ○ 七百二十一二○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○负一 ○负一 ○负一 戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗先以一行甲二遍乗五甲(甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百)五行甲一亦遍乗一行对减(甲得二减尽乙得一因五行乙空立负一积七)(七百二十一本数以减五行仍余七百二十一)次以二行乙三乗五行(乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二)五行乙负一亦乗二行(乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百)(二十一得本数并入五行积共二千八百八十四)再以三行丙四乗五行(丙负一得四戊正三十六得一百四十四积二千八百八)(十四得一万一千五百三十六)五行丙负一亦乗三行(丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数)(与五行对减余一万○八百一十五)又以四行丁五乗五行(丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万○八)(百一十五得五万四千○七十五)五行丁负一亦乗四行(丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七)(百二十一积得本数并入五行积五万四千○七十五共五万四千七百九十六)乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积(七百二十一)余六百四十五以丁五除之得丁绳一丈二尺九寸以减三行积(七百二十一后同)余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸以减二行积余五百七十三以乙三除之得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除之得甲绳二丈六尺五寸论曰此一例中有数误 一者以末行为主而以一二三四与之相乗此由不知和较交变而沿竒减偶加之失误一 一者谓末行有空故立负由不知有空径求而沿立负之非误二 一者以除法命为井深而设问不明言丈尺误三 又辄立母逓相乗加借子一之法误四 一例中误至数端将令学者何所措意乎前之两误(谓以未行为主而竒减偶加反立负之法)业于𤓰梨诸例辨之綦详可以互见今特明后两误之非具如后论凡言百十者皆虚位也其实数以单位为端故单位为寸则十者尺百者丈若单位为尺则十者丈百者十丈若单位为丈则十者十丈百者百丈七百二十一以为井深不知其所谓一者尺乎寸乎丈乎若七百二十一尺七百二十一寸七百二十一丈相去甚悬然其为七百二十一者不殊也先不明言尺寸虽得数何以命之详观问意乃借井深以知各绳故井深者和数也在各行中皆所列诸绳之共数必先知此共数然后以乗减之法求之而各数乃见矣而不先言井深转借各绳以求之方程中无此法也故其所得但为七百二十一之虚率而不能㫁其为丈尺何等亦固然耳七百二十一亦非井深定率何也倍七百二十一则一千四百四十二若三其七百二十一则二千一百六十三推之以至于无穷凡可以七百二十一除之而尽者皆可以五等绳相借而及泉也故使其井为一丈四尺四寸二分之深则戊绳必一尺五寸二分丁绳必二尺五寸八分丙绳必二尺九寸六分乙绳必三尺八寸二分甲绳必五尺三寸矣使其井为二十一丈六尺三寸之深则戊绳二丈二尺八寸丁绳三丈八尺七寸丙绳四丈四尺四寸乙绳五丈七尺三寸甲绳七丈九尺五寸矣皆甲二偕乙一若乙三则偕丙一若丙四则偕丁一若丁五则偕戊一若戊六则偕甲一而及泉故曰七百二十一非井深之定率也七百二十一者除法也以此为法除井深乗并之数而得一绳因以知各绳即不得以此命为井深除法法也井深实也而以法为实乎以七百二十一为除法乃绳也如所求先得戊绳之数则此七百二十一者即是戊绳也其五万四千七百九十六者乃七百二十一戊绳之共数也以戊绳七百二十一为法除其共数而得七十六则是一戊绳之数也故七百二十一者绳也五万四千七百九十六者井深也(假如一井深七丈二尺一寸则七十六井共深五百四十七丈九尺六寸井无)(此深乗并而有也数犹戊绳之七百二十一亦以乗并而得也)而顾以绳之积为井深之积乎假如井深一丈四尺四寸二分依法求之其为戊绳之共数必一百○九丈五尺九寸二分而其戊绳亦必七百二十一以七百二十一为法除一百○九丈五尺九寸二分得一尺五寸二分则一戊绳之数矣故曰七百二十一者非井深也乃除法也绳也绳之为除法者有定而其所除之井深无定也又辄立母子乗并之法夫以各绳为母而借绳为子未大失也盖于三绳中取一即是三之一于四绳取一亦即四之一也乃谓七百二十一为母相乗而加借子则非也盖位既迭空除首位减去外皆母与相乗乗子与相乗而不相遇至第四次乃相遇而又适当其变为一和一较之时异名相并故得此数以为除法耳固不得立此以为通法也假如问五色方程而各行不空则和较之变多端岂预知其减并即使各行有空如所列而或为较数则有减而无并亦将以借子加之乎又所加之一乃子相乗之数若遇借子为之二之三则皆不能径用其原借之子数也故曰非通法也今试以井深一丈四尺四寸二分者举例如后假如有井深一丈四尺四寸二分以甲乙丙丁戊五等绳汲之皆不及泉若甲借乙三之一乙借丙四之一丙借丁五之一丁借戊六之一戊借甲二之一皆及泉问绳各长若干法以带分和数列位上上 上下 中上 中下 下上 下下依空位省算先以一行与五行对乗 甲减尽 乙一戊十二皆无对不减 和数余一丈四尺四寸二分 乙在首行 戊与一丈四尺四寸二分在五行分正负列之 和变较也 余行无甲绳不湏减径以减余与次行相对依和较相襍法互乗 乙绳同减尽 丙一(左正)戊三十六(右负)皆无减 和较数异并五丈七尺六寸八分(右负左正) 复变和数不分正负(隔行异名并故也)依和数乗 丙绳减尽 丁绳一(左)戊绳一百四十四(右)皆无减 和数减余二十一丈六尺三寸(右)又复变和数也分正负列之余行又无丙绳径以减余与第四行相对上 中 下依和较相襍乗 丁同减尽 戊异并七百二十一为法 和较数异并一百○九丈五尺九寸二分为实 法除实得一尺五寸二分为戊绳六之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈二尺九寸为丁绳五除丁绳得二尺五寸八分为丁绳五之一 以减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺八寸四分为丙绳 四除丙绳得二尺九寸六分为丙绳四之一以减共一丈四尺四寸二分余一丈一尺四寸六分为乙绳 三除之得三尺八寸二分为乙绳三之一 以减共一丈四尺四寸二分得一丈○六寸为甲绳 二除之得五尺三寸为甲绳二之一 以减共一丈四尺四寸二分得九尺一寸二分为戊绳计开论曰此亦七百二十一为除法也减并之用与前无异而井深既别绳数迥殊不先言丈尺何以定之试又以较数明之今有数不知总其五人所分亦不知各数但云取乙三之一以当甲取丙四之一以当乙取丁五之一以当丙取戊六之一以当丁取甲二之一以当戊皆不足七百一十九问若干畣曰甲一千○三十四 乙九百四十五 丙九百○四 丁九百二十五 戊一千二百三十六法以较数列位依带分法化整为零如法乗 甲同减尽 乙一(左负)戊十二(右负)皆无减同名在隔行仍分正负 较数异并与戊同名 余行无甲径以减余对第三行如法乗 乙同减尽 丙一(左负)戊三十六(右负)皆无减以隔行同名分正负 较数异并与戊同名 余行无乙径以减余对第四行如法乗 丙同减尽 丁一(左负)戊一百四十四(右负)皆无减 以隔行同名分正负 较数异并仍与戊同名 余行无丙径以减余对末行如法乗 丁同减尽 戊同减余七百一十九为法较数异并一十四万八千一百一十四为实 法除实得二百○五为戊之一分加正七百一十九共九百二十五为丁数 五除丁数得一百八十五为丁之一分加正七百一十九共九百○四为丙数四除丙数得二百二十六为丙之一分加正七百一十九共九百四十五为乙数 三除乙数得三百一十五为乙之一分加正七百一十九共一千○三十四为甲数 二除甲数得五百一十七加负七百一十九共一千二百三十六为戊数 六除戊数仍得二百○六为戊之一分计开论曰此其母与母相乗子与子相乗与前略同但末后相遇为同减故不以七百二十一为法而以七百一十九为法无他较数也若依母相乗而并子岂不误哉且四次乗减其下较皆异倂亦足见竒减偶并之非又以法同而得数迥异者明之今有数五宗不知其总但云以乙三之一当甲以丙四之一当乙以丁五之一当丙以戊六之一当丁皆适足若以甲二之一偕戊则共数七百二十一问各若干法以和较带分列位 化整为零甲同减尽 乙一(左负)戊一十二(右正)皆无减 一千四百四十一亦无减 隔行异名即同名也变为和数重列之与次行对乙同减尽 丙一(左负)戊三十六(右正)四千三百二十六(右正)皆无减 皆隔行异名亦变和数重列与第三行对丙同减尽 丁一(左负)戊三十六(右正)一万七千三百○四(右正)皆无减隔行异名仍变和数重列与第四行对丁同减尽 戊异并七百二十一为法 八万六千五百二十无减就为实 法除实得一百二十为戊六之一即丁数 五除之得二十四为丁五之一即丙数 四除之得六为丙四之一即乙数 三除之得二为乙三之一即甲数 半之得一为甲二之一以减共七百二十一余七百二十为戊数计开甲二 乙六 丙二十四 丁一百二十 戊七百二十论曰此亦以七百二十一为法而其各数迥不相类则以下数之为和为较迥不相同也然则井深者即和数也而不先言其丈尺顾以除法命之可乎又试以分子逓借而非之一者明之今有甲乙丙丁船各十只以载盐九千七百七十六引俱不足若甲借乙一乙借丙二丙借丁三丁借甲四则各能载问各船若干法以和数列位列后甲减尽 乙四(右)丁一百(左)皆无减 以两行故分正负 载盐余五万九千八百五十六(左)与丁同名甲空与减余对次行乙同减尽 丙八(左正)丁一千(右负)俱无减 引异并六十三万八千四百六十四(右负左正)异名在隔行复变和数无正负 乙空以减余对三行丙减尽 丁余九千九百七十六为法 引余六百三十万○四千八百三十二为实 法除实得六百三十二引为丁船数 以丙借丁船三乗丁数得一千八百九十六以减共九千九百七十六引余八千○八十丙所载也以丙十除之得八百○八引为丙船数 以乙借丙船二乗丙数得一千六百一十六以减共九千九百七十六引余八千三百六十乙所载也以乙十除之得八百三十六引为乙船数以乙船数减共九千九百七十六余九千一百四十甲所载也以甲十除之得九百一十四引为甲船数计开各船每只载数甲船九百一十四引乙船八百三十六引丙船八百○八引丁船六百三十二引论曰此四色方程逓借法与诸书所载马骡载米同亦与同文算指井不知深同但彼误以除法为井深又误立各母逓乗加借子法故设此问以显其理此所用除法丁船九千九百七十六犹彼所用除法戊绳七百二十一也乃除法也非井深也除法有定而井深无定即如此问九千九百七十六之除法有定而盐之数无定也何言乎无定假如以九千九百七十六引而倍之则各船之所载亦倍矣以引数半之船所载亦半矣然其除法之九千九百七十六如故也若不先言引数何知之共载九千九百七十六引者盐数也以九千九百七十六为法而除者船数也船为法者算家虚立之率盐列位者问者现据之实数数虽偶同为用逈别以各原数为母借数为子是也如甲借乙船一而乙船原有十即十分之一也谓母相乗而加借子一则非法也如此所用除法九千九百七十六何以处之又如后条马歩舟师各借二分者又何以处之数虽似不可施之他数非通法矣又试以三色例亦用异加得除法者观之假如有马歩舟师不知数但云取骑兵五分之二益歩取歩卒三分之二益舟取舟师七分之二益骑则皆得六千七百八十名畣曰歩卒四千五百名 骑兵五千七百名舟师三千七百八十名法以和数带分列位依省笇以左行加二分之一 步卒减尽 骑二分(右)舟师十分○半(左)皆无减 共数减余三千三百九十(左)分余两行变较数也 以较数与舟师同名中行步卒原空径以减余作二色列之依省算四因左行而退位 骑同减尽 舟师异并十一分三厘为法 和较数异并六千一百○二为实 法除实得五百四十为舟师之一分 以分母七乗之得三千七百八十名为舟师数以舟师数减共数六千七百八十余三千所借步卒之二分也 二除之分母三乗之得四千五百为歩卒数以歩卒数减共数六千七百八十余二千二百八十所借骑兵之二分也 二除之分母五乗之得五千七百名为骑兵数论曰此虽以异加而得除法然不得竟以子之二加也故以分子一加者非通法也厯算全书卷四十三
## 卷四十四
钦定四库全书厯算全书卷四十四宣城梅文鼎撰方程论卷五测量测量非方程事也方程者算术算术恃计测量恃目实惟两途测量之不能兼算术犹算术之不能兼测量虽曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股诸法在测量在方程有二一曰隂云测量隂云者不见宿度而云影微薄之处犹能见五纬若见二星则有其相距之度而可以方程取之矣一曰宿度测量宿度者虽无隂翳而无仪器故借宿距一定之度以取之必有二星同见或星与太隂同见则成方程之算矣隂云测法假如隂云不见宿次但于云隙测得辰星在太白后一度又二日荧惑与二星同在一度又二日太白在荧惑前三度而辰星云翳又一日辰星在房初度余不可见又十二日荧惑始至房初问各行率若干畣曰辰星每日行二度 太白每日行一度有半荧惑每日行半度解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度荧惑与太白同行三日而太白多三度 辰星行四日荧惑十六日而行度相当也法曰以较数列位依省算以左行半之与右相减辰星同减尽太白二日(右负)荧惑八日(左负)皆无减分正负(同名在隔行即异名也)正 一度亦无减(与荧惑同名)重列减余与中行依省算以左行减三之一乃对减 太白同减尽荧惑同减余六日为法 行度异并三度为实 法除实得半度为荧惑每日行率 以右减余八日乗之得四度同减负一度余三度以太白二日除之得一度半为太白日行率 以右行太白二日行三度异加正一度共四度以辰星二日除之得二度为辰星每日行率假如测得辰星在金星后二度隂云不知宿次但于四日后见二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星云翳至第四日金星亦至房初而水星未见问两星每日行率若干解曰此两星各行四日而辰星多二度 辰星行三日金星行四日而其度相当法以较数列位二色者有一色偶同依省算径以对减 金星同减尽 辰星同减余一日为法 正二度无减为实法一省除径以二度为辰星每日行率 以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半若欲知前两测某宿度者以金星四日行六度为二星同度距房初之数 又加金星同行四日六度共十二度为前测金星距房之度 又加辰星在金星后二度为辰星前测距房之度 各以距度与房初度相求得前两测星躔宿度如顺行者前所测之宿在房后也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭减之不尽者以转减前宿之度得星所在宿度 如逆行者前所测之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓减之减不及者即命为后宿星所在之度假如甲子日金星夕见乙丑日水星夕见至丁卯日水星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以阴晦不能细知宿次问各率若干解曰此金星行四日水星三日相当金星行三日水星二日则水星不及半度法以较数列位依省算左行二分加一 水同减尽 金同减余半日为法空度七分半为实 法除实得金星日行一度半 金三日行四度半同减负半度余四度以水星二日除之得日行二度假如广福二船哨海福船先发行五日广船行三日遇于中途其泛地相距二千五百里遂又同往一岛广船行四日先至候六日福船始至问各船每日行率解曰此广船疾福船迟也 广船三日福船五日共行水面二千五百里 广船四日福船十日而水程相当畣曰广船日行五百里福船日行二百里法以一和一较列位如法遍乗 广船同减尽 福船异并五十日为法正一万里无减为实 法除实得二百里为福船毎日行率 福船十日行二千里以广船四日除之得五百里为广船每日行率又如自东徂西共二千里先乗车行五日换舟行八日至其国其舟与车复同往一处车先行六日舟乃发行四日逐及问舟车行率畣曰舟每日二百里 车每日八十里解曰舟疾车迟 舟八日车五日共行二千里 舟四日车十日行适相当依省算半右行数 舟同减尽 车异并十二日半为法 正一千里无减为实 法除实得八十里为车率 以舟四日除车十日所行八百里得二百里为舟行率假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字风东行但甲船先发解䌫七日乙船后行解䌫五日追及于一岛又自此岛用正子午字风南行但甲又先发解䌫九日泊于南洋乙后发解䌫七日泊于又南洋其二洋相距二百里问道里各数法以较数列位甲船同减尽 乙船余四日为法 负一千四百里为实 法除实得三百五十里为乙船每日率 以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里为甲船率 其一千七百五十里即山岛相去之程 以甲船九日行二千二百五十里为岛去南洋之程 又加二百里为又南洋之程合问计开甲船每日行二百五十里乙船毎日行三百五十里山岛之距一千七百五十里岛距南洋二千二百五十里距又南洋二千四百五十里自山至又南洋共水程四千二百里又假如二人同往西番公干一人车一人骑车自某山西行九日骑自某河西行十日及之于一城其河在山之东相距三百里又自此城西行八日骑先至一国驻劄候一日车至问道里各如干法以较数列位如法径减 余骑二日为法 三百里为实 法除实得一百五十里为骑行率 并骑前后共十八日行二千七百里为所驻西国距河之程骑所行也减河距山三百里余二千四百里为西国距山之程车所行也 并前后车行十八日除之得一百三十三里又三分里之一(即一百二十步也)为车行每日里率用车行里率乗九日得一千二百为城距山之程以减总距余亦一千二百里为西国距城之程计开骑日行一百五十里 前后共行二千七百里车日行一百三十三里又三分里之一 前后共行一千四百里城距山一千二百里 距河一千五百里国距城一千二百里 距山二千四百里 距河二千七百里此上数则近事易知用明测量之理宿度测法凡测量之法有测器又有水漏则虽阴云可以所见者得其度若但有测器而无水漏可以所见两星之距度取之如前所列隂云不知宿度之法是也乃又无测器而但据目见则当以宿度取之盖宿有一定之度借以为两星之和度较度因所知以求不知此则方程之法可为测量者助也至于诸星行率古今厯术不同学者通其意无拘其数焉其可若一星单行非仪器比量莫知其迟疾之度然晴雨难期则亦有因所见以测所不见之时故算术不可废也五星错行多有相遇则和度较度可施若太隂毎月经行廿八宿一次与五星相遇亦每月有之精于推步者虽非假此定星然用与厯术相参有不藉仪器而知迟疾使看者引騐见効亦算家之乐也其五星各有迟疾留逆故测量比例当于相近日数内求之则所差亦不多也其迟疾变行湏查七政厯以约其日则一星单行亦自可考其进退之数两星相较例假如两宿原有定距(如房距心)若干度有一纬星在其间(如金)(在房心间)以旁星记之越若干日纬星行至东宿(如心)又别一纬星(如火星)在西宿(如房)越若干日行至先所记旁星之处此因无仪细测故借宿度用之如上所举乃以宿距为二星和度也一纬星若干日(如金)一纬星若干日(如火)共行天若干度(如房度)故曰和度又如以一宿为主(如心)有纬星在其西(如木)以旁星记之越若干日纬星行过宿东至后一宿(如尾)又或异日别一纬星(如土)亦在前记纬星处所越若干日行至所借为主之宿(如心)此则以宿距为二星较度也一纬星若干日(如木)一纬星若干日(如土)相差若干度也(如心度)故曰较度凡此皆可以方程御之若得两较度或两和度或一和一较即二色方程术也若三星四星以上各得三两宗测数以三色四色等方程求之无不可见如木星在一宿之西(如井鬼之间)越若干日行至其宿(如鬼)火星原在木星之西越若干日行至木星原处金星又在火星之西而恰当西宿(如井)越若干日行至火星原处又若干日亦至木星原处此亦借宿度为用而中有二和一较如云金星若干日火星若干日木星若干日共行若干度也(如井度) 又金星若干日木星若干日共行若干(亦用井度) 此二者和度也 又金星若干日火星若干日而其行适等(用火星至木星元处之日及金星自火星元处至木星元处之日)此则较度也(适足即较)(数也度无较其日则有较)又如火星在房宿之西越若干日行过房抵心宿而木星自火星元处越若干日至房宿又有金星或先或后亦自火星元处越若干日行至房又若干日逐及木星于房心之间此以宿距为较度者三 如云以火星若干日较木星若干日而火星之行多一房度也 以火星若干日较金星若干日而火星亦多一房度 以金星若干日较木星若干日而行度相等(用两星逐及于房心之间日数)此上二则以三色取之 凡所测不必两星同在一度但欲有旁星可记异日有他星复至所记旁星之处即成同度之算右皆顺行星例又如一星顺行自房行几日一星逆行自心行几日相遇同度于房心间自此分行又几日其逆行星至氐此用一较度一和度也顺行星几日逆行星几日共行房宿度此为和度 顺行星几日逆行星几日而逆行星多一氐宿度此为较度(用逆行星相遇后至氐宿之日数)又如一星自建星顺行至几日遇逆行星又几日至牛宿其逆行星自相遇处行几日至建星又几日至斗宿距星此亦一和一较 顺行星几日逆行星几日而行度相当(用二星两相遇处至建星之日数)此较度也 顺行星几日逆行星几日而共行斗宿度(用两相遇后顺行星至牛逆行星至斗之日数)此和度也右逆行星例问金火二星在房宿之西同度越九日金星行过房东至一处有星可记又一日金星行至心宿又八日火星始至房又九日火星始至前所记金星之处其二星行度各若干解曰此金星行九日火星廿七日而行度相等金星行十日火星十八日而金星多六度(房宿六度故也)法以较数列位依省算以右行加九之一 乃对减 余火星一十二日为法 六度无减为实 法除实得半度为火星率 以金九日除火廿七日行十三度半得一度有半为金星率假如太隂自尾宿初度行三日遇木星于斗牛间又三十日木星行至牛此太隂三日木星三十日共行四十五度(借尾至牛之度约略)(其数后倣此)木星自牛初行三十日与罗㬋遇于牛女间又一百二十日罗㬋退至牛此木星行三十日罗㬋一百二十日而度等(罗㬋计都月孛)(有数无形借显逆行之用)罗㬋自牛初退行一百日遇土星于箕斗间又五十日土星行至牛此罗㬋一百日土星五十日行度等土星自牛初行三十日火星逐及遇于牛女间又三十日火星行至虚此土星三十日水星三十日而共行十八度火星自虚初行五十日水星逐及遇于危室间又十日水星行至奎此火星行五十日水星十日共行四十五度水星自奎初行十五日逐及金星遇于昴毕间又十七日金星行至毕此水星十五日金星十七日共行五十五度半金星自毕初行二十日遇计都于井鬼间又四十日计都退至井此金星二十日计都四十日而金星多二十八日(借毕至井之距为两星之较)计都自井初逆行二十日遇月孛于参井间又十日月孛行至井此计都二十日月孛十日而行度等月孛自井初行八十日太阴逐及遇于井鬼间又二日太阴行至栁此月孛八十日太隂二日共行三十四度问各行率若干(凡此所设不必其同日在一度谓之相遇但与宿值或有星可记即如同度之理)如法列位(九色和较之杂)因九色行中挤廹既多空位取出其行次相对者列而先乗此捷法也先以甲壬太隂对减(两行相对只三色余俱两空省不书俟重列时以次添入)用省算法以甲行三之一壬行二之一列之(因甲行可三除)(壬行可二除而除之则太隂皆一日故除而列之)径对减太隂尽 余木星十日(右)月孛四十日(左)减余二度(左)分正负太隂减去寻原列中乙行有木星径与减余对列用前法以左乙行三之一与减余列之 木星径同减 罗四十日(左负)孛四十日(右负)负二度(右负)皆无减(以隔)(行同名仍分正负)木星减尽寻丙行有罗㬋径与减余重列用前法以减余二之一丙行五之一列之 罗㬋同名径减 余三位无减 以隔行皆负分正负而孛与较同名罗㬋减尽寻丁行有土星径对余数和较列位用前法以丁行三之一列之而命之为正 土同减尽 余无减 度异并七度 皆左正右负复变和数土星减去寻戊行有火星径对余数用前法以戊行五之一列之 火径减 水(左)孛(右)无减分正负复为较 余二度(左)与水星同名火星减尽寻已行有水星以对余数(又因巳行不便省算改用辛行)(月孛相对)用前法以减余半而列之 孛同减 余俱无减隔行同名仍为较月孛减尽寻庚行有计都以对余数(水与较度皆右行负同名)用前法以庚行半而列之计同减 水(右负)金(左负)无减仍为较余十三度(左负)与金同名计都减尽寻巳行恰皆二色以相对如法乗 水同减尽 金余异倂一百六十七日为法 度异并二百五十○半度为实 法除实得每日一度半为金星率以巳行金星十七日行二十五度半减共五十五度半余三十度以水星十五日除之得每日二度为水星率以戊行水星十日行二十度减共四十五度余二十五度以火星五十日除之得毎日半度为火星率以丁行火星三十日行十五度减共十八度余三度以土星三十日除之得每日十分度之一为土星率以丙行土星五十日行五度以罗㬋一百日除之得每日二十分度之一为罗㬋率以乙行罗㬋一百二十日行六度以木星三十日除之得每日五分度之一为木星率以甲行木星三十日行六度以减共四十五度余三十九度以太隂三日除之得每日十三度为太阴率再以庚行金星二十日行三十度同减去正二十八度余二度以计都四十日除之得每日二十分度之一为计都率(与罗㬋同)以辛行计都二十日行一度以月孛十日除之得每日十分度之一为月孛率以壬行月孛八十日行八度减共三十四度余二十六度太阴二日除之仍得毎日十三度为太阴率论曰各星迟疾留逆每叚不同然其各叚中行率大约相等故可以方程立算亦湏稍查时厯以知其变若太近留叚行率甚微难见其在合伏左右行甚疾毎日不同难与他星相较则以一星迟疾之较取之具如后例一星迟疾相较例凡木火土三星虽有迟疾之行大约皆在一度以下而土木之变尤缓其数十日中行率仅差秒忽两星相较之法颇可施用惟金水二星迟疾之差悬逺其疾也有在一度以上而水星有二度其迟也不及一度迟之甚则留故可以其迟疾而自相较也假如金星疾叚测得甲乙丙三日共行四度二十九分己庚两日共行二度有半问各日行率(此因前测以隂云用仪得)(其度分而不知宿次故虽后测能知宿次而中数日不可知是惟方程能御之也)法以和数列所测以较数列中日(因挨日进退故倍中日为前后两日而命)(之适足盖已知测日同在一叚故也)如法互乗逓减 余庚廿七日为法 三十三度廿一分为实 法除实得一度廿三分为末日行率(庚)以庚日行率减共二度五十分余一度廿七分为第六日行率(己) 倍己日行率减去庚日行率余一度三十一分为第五日行率(戊) 倍戊日行率减去己日行率余一度三十五分为第四日行率(丁) 倍丁日行率减去戊日行率余一度三十九分为第三日行率(丙) 倍丙日行率减去丁日行率余一度四十三分为次日行率(乙) 倍乙日行率减去丙日行率余一度四十七分为初日行率(甲)累计甲乙丙日共四度廿九分己庚日共二度半合问或倍庚日行率共二度四十六分以减共二度半余○度○四分为日差以日差累加庚日得各日行率总论曰凡步五星既得其叚日以为日率则以其盈缩之厯加减星行而得其叚所行之宿次以为度率以日率除度率而得其平行则又以初末日率相求使之升降有等以为日差而加减之故日差者步五星之要事也右例不拘日数但在迟疾本叚则可用此法亦不拘定是宿次所见或仪器所测但有两宗宿度则其余日皆可倍中日以较其前后两日命为正负适足而求之何则其加减皆相挨而有序故知倍中日即同前后两日也假如金星晨疾测得甲日之寅距地平一度至丙日之卯距地平三十度○七十五分至己日之卯距地平三十度问各日行率解曰此是甲乙两日共行二度二十五分丙丁戊三日共行三度七十五分也法以丙日距三十度○七十五分减寅至卯差三十度余○度七十五分与甲日距一度相减余○度二十五分为金星疾行过平行一度之数加甲乙两日太阳行二度是为两日内金星行二度二十五分又以己日距三十度与丙日距度相减余○度七十五分为金星疾于平行之度加丙丁戊三日太阳行三度是为三日金星行三度七十五分论曰此因隂云不能细测每日之度故五日中仅有三测也或虽无隂云而仪器不具惟此三日有所当宿次可借以为行度之据则所得者皆为前两日后三日之和度也如法以两和三较列位(因逓差补作三适足而列之)如法乗减 得丁三日为法 共三度七十五分为实 法除实得一度二十五分为丁日行率(此因末两行减)(余三色减去二色只一法一实故径用以求也)以丁减余七日行八度七十五分同减负二度二十五分余六度五十分以戊减余五日除之得一度三十分为戊日行率(此用三四两行减余)以丁戊两日行率相减余○度○五分为日差以日差减丁日行率得丙日行率累减之得甲乙日行率计开甲日行一度十分乙日行一度十五分两日共行二度二十五分丙日行一度二十分丁日行一度二十五分戊日行一度三十分三日共行三度七十五分 合计之五日共行六度 此六度者乃金星行于黄道之度寔数也寔数者以宿度徴之如甲日之晨在某宿某度至己日之晨已进六度也 其距太阳之数则五日共差一度 此一度者乃金星渐近太阳之距亦即渐近于地平之距也目所见也谓之视差则以仪器度而知之如甲日之卯距地平三十一度至己日之晨卯刻则距地平三十度为较前相近一度也 今所测为甲日之寅寅与卯相差三十度故寅之星距地平一度者至卯则距三十一度也其时刻以水漏或中星得之 若寅正与卯初则只差十五度每刻则差三度太此以仪测星者所当知论曰凡加减日差湏明进退之理如戊日之行率多于丁日则其疾为进也而先得末日则以日差累减之而得初日若先得初日则当以日差累加之而得末日如前一例庚日之率少于己日则其疾为退也而先得庚日则以日差累加之而得初日 若先得甲日则当以日差减之而得末日其迟叚则皆反之 如末日多于初日其迟为退也则减末加初若初日多于末日其迟为进也则减初加末论曰凡七政盈缩古今厯术綦详所设立差平差之术尤宻至于太隂迟疾时刻逈异授时立法以三百三十六限更非逓加挨减所能定惟五星既得叚日定星其日差可以循次加减而方程测量之法可施也又方程测量为草泽不能具仪器而偶有所见设此御之使独见者可以共晓若从事推步则有厯学诸书幸勿以管窥为诮厯算全书卷四十四
## 卷四十五
钦定四库全书厯算全书卷四十五宣城梅文鼎撰方程论卷六方程御襍法算术之有方程犹量法之有句股必深知诸算术而后能言方程犹之必深知诸量法而后能治句股故以是终诸方田少广凡属量法者往往有可以句股立算而诸法不能治句股方程之于粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法例如后假如有粮一万九千石𣲖与甲乙丙三县各以其人戸多少米价贵贱僦值逺近舟车险易而均输之 甲县戸三万米价毎石一两四钱逺输二百里用车载二十石行一里僦值一钱三分 乙县戸二万米价一两二钱逺输五百里用舟载二十五石行一里僦值三分 丙县戸一万米价一两二钱逺输二百里道险可用负担每负六斗行五十里顾值一钱八分法曰各以其县米价并僦值之数命其户以方程较数列之 以甲县车载二十石除其僦值一钱三分得六厘五毫(每载一石行一里数也)以乗二百里得一两三钱并米价一两四钱共二两七钱 以乙县舟运二十五石除其僦值三分得一厘二毫以乗五百里得六钱倂米价一两二钱共一两八钱以丙县负担六斗除其顾值一钱八分以乗一石得三钱又以五十里除之二百里乗之得一两二钱并米价共二两四钱原法以各县米价并僦值之数以除其戸为衰列而并之并衰为法各衰乗总米为实法除实得各县米今用方程则不湏尔竟以二两七钱命甲县之衰为二十七戸以一两八钱命乙县之衰为一十八户以二两四钱命丙县之衰为二十四户以三县衰命为适足而列之如三色有空法乗 余丙县异倂一百一十四戸为法 正三十四石二斗为实 法除实得丙县每戸粮三斗 以丙一戸三斗减共一石九斗余一石六斗乙县四戸除之得每戸粮四斗以乙二戸八斗甲县三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其县之戸总得各县转计开甲县三万户 共粮八千石 共僦车值一万○四百两毎户粮二斗六升六合又三之二 每三户粮八斗每戸僦值三钱四分又三之二 每三户僦值一两○四分总计米价与其僦值每戸共银七钱二分乙县二万户 共粮八十石 其僦船值四千八百两每户粮四斗 僦值二钱四分总计米价僦值每户亦七钱二分丙县一万户 共粮三千石 共顾担夫银三千六百两毎户粮三斗 僦值三钱六分总计米价僦值每户亦七钱二分以米言之论曰此因米价不等加以僦值不同故以法均之粮虽不均而每户所出之银数则均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯谓能均问官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其则例各若干法以和较列位(依省算以和数十之一列之)如法乗减 得丙戸十八为法 二十一石六斗为实 法除实得一石二斗为下等每戸则例 加正五斗为中等则 又加七斗为上等则计开甲上等毎戸二石四斗 二十戸共四十八石乙中等毎戸一石七斗 五十戸共八十五石丙下等每戸一石二斗 一百一十戸共一百三十二石合计之共二百六十五石问有米六百七十四石以四等里甲输纳乙为甲十之八丙为乙十之七丁为丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户问各若干解曰十之八即非二八差分十之七十之六即非三七四六差分故与带分条所设不同合而观之可也法以和较列位如法乗减而重列其余与三行对又以余数与四行平列数益多用省算法四除减余然后列之如法乗减余丁六百七十四为法 五万六千六百一十六石无减为实 法除实得八十四石为丁共数 十因丁数六除之为丙共数 十因丙数七除之为乙共数 十因乙数八除之为甲共数计开甲共数二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗二升五合 乙共数二百石为甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗 丙共数一百四十石为乙十之七以七十戸除之得每户二石 丁共数八十四石为丙十之六以七十户除之得每户一石二斗总计之共六百七十四石论曰此所问是总数相差非毎户相差也故原列者总户而得亦总户之米若云问毎户之差则当以毎户列之而所得者亦毎户米也如后例假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六问各户则例法以戸细数列位依省算以首行退位十而一与次行对减而重列之又半其减余然后列之与三行对又列减余以对末行如法乗减异并一千二百九十二为法 一千四百一十五石四斗无减为实 法除实得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁毎戸则例(法实皆四)(约之)十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为丙每户则例十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙每户则例十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半为甲每戸则例计开甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 为甲每户十之八八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为乙每户十之七七十戸共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三之三百一十丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八为丙每户十之六七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六合计共六百七十四石(凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三)(収之为升得此数)问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数多于甲一百八十两原数几何法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之(庚与甲五之二庚自存五之三)相减余五之一(是为以庚五之一较甲全分而甲多一百)(六十八两也)(甲与庚廿一之九二甲自存廿一之十)相减余二十一之三(是为以甲二十一之三较庚全分而庚多)(一百八十两也)庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相减而余之一分与甲相较甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之九故以相减而余之三分与庚相较甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为甲之一分 二十一分共二百一十两 减负一百六十八两余四十二两为庚之一分 五分亦共二百一十两计开(庚甲)各原银二百一十两(庚五之二计八十四两其五之三仍一百二十六两 甲二十)(一之九计九十两其二十一之十二仍一百二十两)庚以八十四与甲(甲共有二百九十四庚仍余一百二十六)相较甲多一百六十八甲以九十与庚(庚共有三百二十甲仍余一百)相较庚多一百八十此设问之意也以(庚之一分四十二甲全分二百一十)相较甲亦多一百六十八以(甲之三分计三十庚全分二百一十)相较庚亦多一百八十此列位之理也论曰右例以此之分益彼而转与此之余分相较与帯分条所设不同 带分条此之分较彼全分其全分即是原数 今则一损一增以相较非原数也故曰不同及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数矣是之谓尾同而首异相减列位亦有变为和数者如后所设问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于甲二百六十两法亦以所与彼之分与其余分相减列之庚(与甲五之三自存五之二)相减余五之一(此为所用之分多于存分是变和数也)(庚五之一偕甲全分共二百五十二两也)甲(与庚二十一之十三自存二十一之八)相减余二十一之五(此亦用分多存)(分少是变和数也百甲二十一之五偕庚全分共二 六十两也)甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之分又多于庚之余分者一也故甲所多之数乃是甲全数偕庚之一分所共也庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之分又多于甲之存分者五也故庚所多数亦是庚全数偕甲之五分所共也甲一百分为法除实一千而得十两为一分 以甲五分计五十两减共二百六十两余二百一十两为庚原银 五除之得四十二两为一分 以减共二百五十二两亦得二百一十两为甲原银庚五之三计一百二十六两以加甲银共三百三十六两 内减去庚自存五之二计八十四两 仍多二百五十二两 即是甲全数偕庚一分之数也甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四十两 内减去甲自存二十一之八计八十两 仍多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和数同然以相减而得之亦是尾同首异 带分条和数较数据问而分 今则设问只是较数相减列位乃有和较之分依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与所存分相减而得之 列位时巳变不待其重列减余也故又与寻常较变和者异总论曰此二条者皆一损一益例也问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十三两其原重若干法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之较 银得较而增重故与金同名银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半 加正六两五钱得金每锭三十五两七钱半计开金每锭三十五两七钱五分 金九锭(得三百二十一两七钱五分)银每锭二十九两二钱五分 银十一锭(亦得三百二十一两七钱五分)金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二钱半银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两二钱半共多一十三两 若交易二锭而差二十六两则以二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较余可类推(或半相差二十六两为一十三两命为金二锭银二锭之较尤为平穏)论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所差者其半也问甲有朱砂银七锭壬有鑛银九锭相较甲原多十五两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两法以原多十五两今多二十七两相减余十二两半之得六两为甲二锭壬三锭之较(甲得较而增重故与壬同名)壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两 以九锭乗得二百一十六两加正一十五两共二百三十一两甲七锭除之得每锭三十三两计开甲以二锭与壬余五锭一百六十五两加易得壬三锭七十二两共二百三十七两壬以三锭与甲余六锭一百四十四两加易得甲二锭六十六两共二百一十两相较甲多二十七两此问意也问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相交易壬多三两法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九两为一锭之较(壬得之而变轻为重故与甲同名)壬二锭除四十八两得每锭二十四两 加九两得甲每锭三十三两计开甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两相较壬多三两 此交易一定之数 余同前问论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半之为较故三法一法也又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作问明之问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两湏令辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛存数四之三则其数适均法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今添三分共七通为两家适足数之分又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较(辛失之而减重故与辛同名)解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分则适足也辛一分得二十两 七分共一百四十两 五除之得庚之一分二十八两计开其相易(庚二分五十六两辛三分六十两)较之辛多四两即相易几锭之理总论曰此皆两相交易也又与庚甲损一益一者不同凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转以甲之既增者与庚之余数相较也 损庚益甲以相较是明有增损今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然后以既损且增之庚与亦增之辛相较也两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而增损隠寓于其中 以上四条皆同此论问两数不知总但云取甲之九加乙则乙与甲等若取乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干畣曰甲六十三 乙四十五解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有増数而所取者无损数如云以此之全数偕彼之几分而共得几何乃和数也今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数较今所列者是取彼几数加此而转与彼之余数较当细辨之又此是以数相增损而得其相较之分前数条则是以分相损增而得其相较之数二者大异不但与带分条别也法以所加之九数命甲乙所相当之数乗之为较数列位甲倍乙是甲二乙一合之则三以乗九得二十七为较甲得此而当倍乙故与乙同名甲乙等是各一也合之则二以乗九得十八为较乙得此而与甲等故与甲同名余乙一为法并四十五为实法一即以四十五命为乙数异加十八得六十三为甲数试更列之同减余甲一为法 异并六十三为实 法一即以六十三为甲原数 异加正二十七共九十乙二除之得四十五为乙原数论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算海说详推论借银相当加半倍者不可通用因别立术然复未确不如用方程之为无弊又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也 乙与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二九而甲又添九数岂非三九乎问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干法以甲一乙一有半并之共二半以乗六钱五分得一两六钱二分半为乙一有半多于甲之较以甲乙相等各一并之共二以乗六钱五分得一两三钱为甲多于乙之较乃列之同减余半乙为法异并二两九钱二分半为实 法除实得五两八钱五分为乙银 异加正一两三钱共七两一钱五分为甲银计开甲原银七两一钱五分乙原银五两八钱五分相差一两三钱 若损甲之六钱五分以加乙则各得六两五钱是相等也若损乙六钱五分余五两二钱 益甲六钱五分得七两八钱是甲之数如乙一有半也若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银相较则多一两六钱二分半论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有半是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也何也甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂非共差两个半六钱五分乎又论曰此即算海说详所设之问以驳统宗者彼自立术以为当矣不知其宜用方程也试更设问以明之今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙二数则丙如三丁问原数各若于依前术列位(合丙丁各一共二以乗二得四为丙多于丁之较 合丙一丁三共四以乗二)(得八为三丁多于一丙之较)同减余丙二为法 异并二十为实 法除实得一十为丙数 同减负四余六为丁数计开丙原数十 原多于丁者四丁原数六 三之则十八多于丙者八若损丙之二以益丁则各得八故相等若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也 丁以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也又论曰因算海说详立术未确故复设此以相攷用方程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍己以五十两与戊如三己依前术列位(并戊二己一共三以乗五十得一百五十为二戊多于一己之较 并戊一己)(三共四以乗五十得二百为三己多于一戊之较)同减余己五为法 异并五百五十两为实 法除实得一百一十两为己银 异加正一百五十两共二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银计开戊原银一百三十两 倍之二百六十两多于己一百五十两己原银一百一十两 三之得三百三十两多于戊二百两此列位之理戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则戊如三己 己加五十两得一百六十两戊损五十两得八十两则己如戊之倍此则问意问香炉二座不知重有一葢重百两以加甲炉则甲多于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若干解曰多乙两倍是三倍也甲得葢如三乙也 多甲一倍是两倍也乙得葢如两甲也法以葢重为较而列之 甲得葢如三乙是三乙之重于甲者如葢也故与乙同名 乙得葢如倍甲是两甲之重于乙者如葢也故与甲同名炉同减余乙炉五为法 较异并三百两为实法除实得六十两为乙炉重异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为甲炉重计开甲炉八十两 加葢共一百八十两则如乙炉重者三乙炉六十两 加葢共一百六十两则如甲炉重者倍论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以五十两损彼益此虽亦相差一百两然非真有一百两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加葢则实增一百两矣而于彼又无所损因炉葢乃两家公物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同若改问各铸炉而均铸葢则必于𬬻重各加半葢乃合原金得数与戊己银同矣问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三之一各若干法以南兵为西北之较而列之西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者数如南兵也北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北者亦如南兵也余北兵五为法 倂十六万为实 法除实得三万二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除之得二万四千为西兵数计开南兵四万西兵二万四千 偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也北兵三万二千 偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也论曰此与香炉借葢为较同 其所用较乃是南兵而非取于西北兵故得之有增而不得无损与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同问二人擕银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减甲三两与乙则相等其原数若干解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前术乗其较数而列之(合甲一乙二共三以乗六两得十八两为倍乙多于一甲之较合甲)(乙各一共二以乗三两得六两为甲多于乙之较)列位同减余乙一为法 异并二十四两为实 法一即以实为乙数 异加六两为甲数计开乙二十四两 倍之得四十八两多于甲一十八两甲三十两 原多于乙六两若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如乙之倍若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一依前术列位(并六与一共七以乗十二两得八十四两为六乙多于一甲之较 并十与一)(共十一以乗十五两得一百六十五两为十甲多于一乙之较)同减余甲五十九为法 异并一千○七十四两为实 法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数 异加正八十四两共一百○二两(又五十九之一十二)乙六除之得一十七两(又五十九之二)为乙数计开甲银一十八两(又五十九之一十二)十之则一百八十二两(又五十九)(之二)多于乙者一百六十五两乙银一十七两(又五十九之二)六之则一百○二两(又五十九之一十二)多于甲者八十四两若损乙一十二两与甲则甲有三十两(又五十九之一十二)乙仅有五两(又五十九之二)而乙于甲为六之一若损甲一十五两与乙则乙有三十二两(又五十九之二)甲仅三两(又五十九之一十二)而甲于乙为十之一(以五十九通二两得一百一十)(八加子二从之共一百二十是三十两又五十九之一百二十岂非十倍于甲乎)论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于六乙中各减十二两也一添一减共七个十二两是为八十四两也甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是为一百六十五两也损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以六乙当一甲而乙多八十四两矣损甲之十五两与乙而甲为乙十之一若其原数则以十甲当一乙而甲多一百六十五两矣问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二数得八而益之共五十为四甲多于三己之数(损甲六益)(己故较与甲同名其二数甲所多也故以之益数)以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五数得二十以相减余一百二十为四己多于三甲之较(损己二十益甲故较与己同名其五数巳所少也故以之减较)己同减余七为法 异并六百三十为实 法除实得九十为己原数四因己数同减一百二十余二百四十甲三除之得八十为甲原数计开甲八十己九十以列位之理言之甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百二十以问之意言之甲损六数余七十四 己加六数共九十六 以九十六四分之而取其三得七十二 是为甲如己四之三而多二数己损二十余七十 甲加二十共一百 以一百四分之而取其三得七十五 是为己如甲四之三而少五数论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增六共四十二也以甲当己四之三而多二数则以四甲当三己而共多八数也 合而观之此四十二者四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己之数也故皆与甲同名而列其较为五十也以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增二十共一百四十也 以己当甲四之三而少五数则以四己当三甲而共少二十也 合而观之此一百四十者四己多于三甲之数也与己同名也而其二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以相减而余者列为己同名之较也损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数则以四甲当三己而共多五十矣损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数则以四己当三甲而共多一百二十矣问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五十益丙则乙如丙十五之九若损丙三十益甲则甲如丙二之一而少五数各若干法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较(损甲益乙故与甲同名)以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百为十五乙当九丙之较(损乙益丙故与乙同名)以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五数共十而加之共一百为一丙当二甲之较(损丙益甲故与)(丙同名其甲所少五数即丙所多也故亦与丙同名)如法逓减余丙五十四为法 异并三万七千八百为实 法除实得七百为丙数 丙数同减一百余六百甲二除之得三百为甲数 六因甲数一千八百同减八百余一千乙二除之得五百为乙数 十五乗乙数得七千五百同减一千二百余六千三百丙九除之仍得七百为丙数(反复相求列位之理著矣)计开甲三百乙五百丙七百甲损一百余二百乙增一百得六百是甲为乙六之二乙损五十余四百五十丙增五十得七百五十是乙为丙十五之九丙损三十余六百七十其二之一则三百三十五甲增十得三百三十是甲为丙二之一而少五数问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与乙五之一相易则适均其原所得若干法以三分通甲数损一与乙而存其二分 又以五分通乙数损一与甲而存其四分乃以和数列之乙七为法 余五十为实 法除实得七又七之一为乙之一分 以乙分母五乗之得三十五又七之五(为乙数)以减一百得六十四又七之二为甲数计开甲六十四(又七之二)其三之一为二十一(又七之三)其三之二为四十二(又七之六)乙三十五(又七之五)其五之四为二十八(又七之四)其五之一为七(又七之一)以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五之一加甲三之二亦五十也论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓异彼是以其全数偕彼㡬分此则以所存之余数偕彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借增率而无损也问二人物数不均若于甲取三之一于乙取四之一以和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原数各若干法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙余五分以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲余七分以和数列位解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其数之半也 于三之一取其半是六之一以与乙而甲余其五也于四之一取其半是八之一以与甲而乙余其七也偏乗对减以得法实 法除实得五又十七分之十五为乙八之一 以乙分母八乗之得四十七又十七分之一为乙原数 以两五十共一百减乙原数余五十二又十七分之一十六为甲原数计开甲原数五十二(又十七分之十六)三除之得十七(又十七分之十一)为甲三之一 以三之一转减甲余三十五(又十七分之五)为甲所存三之二乙原数四十七(又十七分之一)四除之得十一(又十七分之十三)为乙四之一以四之一转减乙余三十五(又十七分之五)为乙所存四之三以甲三之一乙四之一和合之共二十九(又十七分之七)半之得十四(又十七分之十二)为和合平分之数以加甲乙存数各得五十论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以平分之数加之而适均又法以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分又总计各得五十六共一百为和数以甲取三之一余三之二乙取四之一余四之三命为适足(甲取三之一乙取四之一以和合平分而等则其所存者亦等也故命之适足)乃以和较杂列位如法乗甲同减尽 乙异并一十七分为法 正二百无减就为实 法除实得一十一又十七之十三为乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数 以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六按此所得与前无异而较捷故并存之问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百其原携金若干法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之(以七百为和数)和数列位如法减并 丙七分为法 二千一百为实 法除实得三百为丙之一分 以丙分母三乗之得九百为丙原金 以丙之一分减乙剰七百余四百为乙所余二之一 二因之得八百为乙原金 以乙二之一减甲剰金七百余三百为甲自剰四之三 三除之得一百为甲三之一 四乗之得四百为甲原金计开甲原金四百 加赢乙四百(二之一也)共八百 除丙又赢去甲一百(四之一也)仍余七百乙原金八百 加赢丙三百(三之一也)共一千一百 甲赢去四百(乙二之一也)仍余七百丙原金九百 赢甲一百(四之一也)共一千 乙赢去三百(丙三之一也)亦仍余七百论曰此与刋误条骡马逓借一匹同但马一骡二驴三即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三却是各所存之余分偕所赢之一分而为和数也得数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之于骡矣又论曰此三条皆是两相交易而又是和数与前数条金银交易几锭不同难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索子去量竿却比竿子短一托解曰一托者五尺也法以零整襍列位 因双折是二之一故以二通索法一即以实一丈命为绳之一分 分母二因之得绳长二丈 减负五尺余得竿长一丈五尺假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则短于竿八尺法二除实三丈得竿长一丈五尺 加正六尺得绳长二丈一尺论曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此问以明之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法不能御方程 此条统宗原入均输今改正问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干法以两母(三四)相乗得十二分为绳母数 以母(三四)互乗其子(之一之一)得(四三)是为以绳十二分之四汲水而长四尺以绳十二分之三汲水而长一尺也余一分为法 即以实三尺命为绳十二分之一以十二分乗一分得三十六尺为绳长 以绳之三分计九尺同减负一尺得八尺为井深计开井深八尺绳长三十六尺三折之得一十二尺 比井多四尺四折之得九尺 比井多一尺论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程能御杂法也试更之则先得井深法一省除即以八尺命为井深 加正四尺共十二尺绳之四分除之得三尺为一分 一十二分母乗之得绳长三十六尺论曰此余八尺者即物实也前以余三尺为绳长实者即人实即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳(人实物实不同而除法则同故皆可以互求)今有绢一疋欲作帐幅先折成六幅比旧帐长六寸改折作七幅却又短四寸其绢并旧帐幅各长若干(折作)(六幅以较长即六之一七幅即七之一)法如前以(六七)幅相乗得四十二分为总母 以(六七)互乗其(之一之一)得(之七分之六分)为所用之分而列之(以绢四十二之七则长于)(帐六寸短以绢四十二之六则 于帐四寸)为较数法一 实一尺即为绢之一分 以分母四十二乗之得绢长四丈二尺 以绢之七分计七尺减负六寸余六尺四寸为旧帐之长计开旧帐幅六尺四寸绢长四丈二尺均作六幅得七尺 比帐长六寸均作七幅得六尺 比帐短四寸论曰此与井不知深皆是以一物之细分与一整物较皆零整杂用之法也又以上三条盈朒章旧有求法然皆因所较之井深与旧帐幅皆为一数而不变故可用盈朒之法若亦有分数不同则非盈朒所能御此方程之用能包盈朒诸法而诸法不能御方程今有台不知髙从上以绳缒而度之及台三之二而余六尺双折其绳度之及台之半而不足三尺问台之髙及绳之长若何法以台(三二)之(二一)用母相乗为母之法通台为六分 又用母互乗子为子之法变台三之二为六之四台之半为六之三 又以双折通绳为二 皆以化整为零而列之余绳二分为法 并三十尺为实 因二为分母与法同省除与乗径以实三十尺为绳长 减负六尺余二十四尺以台之四分除之母六乗之得三十六尺为台髙计开台髙三十六尺绳长三十尺台三之二髙二十四尺 以绳度之余六尺台之半髙一十八尺 以半绳一十五尺比之短三尺今有井不知深以乙绳汲之余绳二尺以庚绳汲之亦余绳四尺双折庚绳三折乙绳以相续而汲之适足问井深及二绳各长若何法以乙绳通为三 庚绳通为二以三色列之 井整数乙庚用分以隔行之同名仍为较数列之 余较皆与庚同名余庚一分为法 即以实一丈命为庚二之一 倍之得庚绳二丈 减负二尺得乙绳一丈八尺(用减余之)(右行葢乙正三即全数也)又减负二尺得井深一丈六尺(用原列之右行亦以乙负三即全数故)计开井深一丈六尺乙绳一丈八尺 比井多二尺庚绳二丈 比井多四尺三折乙绳六尺加双折庚绳一丈共一丈六尺即同井深论曰此二条与前井深绢帐同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以绳折比量水面亦然今有直田欲截一段之积只云截长六歩不足积七步截长八步又多积九步问所截之积及原濶法以较数列之(其原濶即截长每一步之积)上 中 下长二步除积十六步得原濶八步 以截长六步乗濶得四十八步加不足七步得截积五十五步论曰此盈朒中方田也然无闗于方田之实用故入盈朒然不知宜入方程也试更作问今有方田欲截横头之积改为直田但云截濶五步则不足十二步截濶九步则如所截之积一有半问所截直田积并原田之方如法列位濶一歩半为法 积十八歩为实 法除实得原方一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩计开原方田方十二歩 积一百四十四歩截直田七十二歩 宜截濶六歩若此条则盈朒不能御今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及布价法列位上 中 下布二疋为法 四斗为实 法除实得布价每疋二斗 以九疋适足乗布价得原米一石八斗论曰此盈朒中粟布法也试更设问今有榖换绢十疋余三石以榖之半换绢六疋不足五斗问原榖若干及绢价法列位法一免除 得绢每疋价二石 以十疋乗价加余三石得原糓二十三石若此条则非盈朒所能御论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截积及糓换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也(如旧法芝蔴粜银是其例也)虽盈胸亦有求法颇多转折非其质矣不如用方程之省约今有芝蔴不知总但云取麻八分之三粜银十两不足二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及每银一两之麻法先以麻(八三) (之三之一)用母相乗得二十四为母母互乗子得(之九之八)为所用之分而列之 依省算左加九之一而径减法一两省除即以麻二石命为银每两之麻 以银八两麻八分适足省乗除径以二石为麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石计开原麻四十八石 银毎两麻二石其八之三计一十八石 银十两该二十石 故不足二石其三之一计一十六石 银八两恰该一十六石 故适足若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石价五钱按此条宜入方程旧列带分盈胸之末问者若云有银买麻以麻八之三与之则余二石以麻三之一与之适足问原麻及银所买依法求得二石为麻之一分 以总母廿四分乗之得原麻四十八石 以九分乗二石减负二石得银所买麻十六石论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以方程法求之亦同 观此益见前条之宜入方程也今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤法先以通分齐其分乃列位如法乗减 余木香二十二分为法 异并黄连二十二斤为实 法除实得每木香一分(即三十五分之一)换黄连一斤 以木香十分换黄连十斤异加正二斤共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一分 以分母十二乗之得总黄连三十六斤另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三斤得每黄连一斤换木香一斤半(原少连一斤减木香三斤而转多连)(一斤故知其数)此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半计开黄连三十六斤木香五十二斤半每黄连一斤换木香一斤半三分三十六斤而取其一得一十二斤为黄连三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤也若于木香五之四减三斤余三十九斤该换连二十六斤今连有二十七斤是连多一斤也论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用银若钱以权物价后世事耳问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共价绫比罗少三十六文畣曰绫每尺一百六十二文 罗每尺一百二十六文罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六文 加多三十六文得绫价每尺一百六十二文问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每疋多绢一两三钱五分 畣曰绫每疋四两三钱二分 罗每疋三两八钱五分 绢每疋二两半绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五钱 加多一两三钱半得罗价三两八钱半 又加多四钱七分得绫价四两三钱二分今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳法以带分别之 皆变零从整季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十六歳计开伯九十六歳 仲八十歳(为伯年六之五) 季七十二歳(为伯年四之三)今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁与丙差四文甲正五 乙负六 空 空 适足(此行不用乙无对故也)丁四除二百七十二得丁钱六十八文加四文得丙钱七十二文四乗丙钱三除之得甲钱九十六文五乗甲钱六除之得乙钱八十文计开甲九十六文乙八十文丙七十二文丁六十八文甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十四之一十七丁数也论曰此虽四色实三色也故径以三色取之今有七人逓差分钱但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各数亦不知余人数法以逓差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之重列减余与三行 减余变较重列减余与四行丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数倍丁数与六十五文相减得逓差三文 以差逓加得甲乙丙数以差逓减得戊己庚数 皆加减丁数得之计开 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文戊二十八文 己二十五文 庚二十二文今有银二百四十两以四人逓差分之只云甲多丁一十八两如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁 又依省算移甲于丁位和较列位重列两减余又重列减余与末行甲四除二百七十六两得甲数六十九两 甲数内减十八两得丁数五十一两 以甲数减二百四十两余一百七十一两丙三除之得丙数五十七两 并丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两计开甲六十九两 乙六十三两 丙五十七两 丁五十一两 逓差六两今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人与戊丁丙三人共数等如前法列位 依省算倒甲位自下而上重列减余与三行又重列减余与四行又重列减余与末行甲十五除九百六十得甲数六十四石 倍甲数减一百廿石余得逓差八石 以差逓减各数得乙丙丁戊数计开细分之逓差八石论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之兹不烦列厯算全书卷四十五
## 卷四十六
钦定四库全书歴算全书卷四十六宣城梅文鼎撰句股阐微卷一句股正义首题句股弦者横曰句纵曰股(亦可云勾纵股横)斜曰弦三线相聨而成句股弦形也如图甲乙丙形甲乙为股乙丙为句甲丙为弦亦可云(甲乙为句乙丙为股)也 凡三角形或三角俱锐或两锐一钝或两锐一正(锐钝正说具三角形算法中)句股弦形者两锐一正形也其句股两线纵横相遇而成者为正角如乙㸃句弦两线及股弦两线相遇而成者为锐角如甲丙两㸃 此三线者或三线俱不等其最大者必弦或两线等其等者必句股而无三线等何者以句股弦形一角正故也一题句股求弦法曰句股各自乘并之开方得弦如图甲乙句自乘得乙丁方乙丙股自乗得乙戊方两方相并即甲巳方开之得甲丙弦论曰试移庚实形补辛虚形移丑实形补卯虚形移壬实形补子虚形移卯午实形补壬辰虚形所移者恰尽所补者恰足得乙丁与乙戊两方并恰与甲巳方等又论曰更以句与股相等之形观之夫句与股既等则句股各自乗固方也即句股互相乗亦方也(凡句股不等则句股互相乗必是矩形)如丁戊大方平分方边于方形中纵横作线中分四小方形必等又句与股既等则弦上方边为句股各自乗两方之对角线亦为句股互相乗两方之对角线如于四小方形中作四对角线相聨而成一中方形也此中方形者割小方形四之半即涵小方形二之全就此图观之尤为明显又法曰句与股相乗倍之另以句股差自乗并入倍数开方得弦论曰甲乙股乙丙句相乗得乙丁矩形中分为庚戊两形夫庚形即辛形也倍之者再加癸卯两形也乙丙为句丙巳为股乙巳为句股差自乗得乙子方并入倍数共成甲壬方为甲丙弦上方也又法曰句自乗倍股依长濶相差法求之得股弦差加股为弦论曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁已亦弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即句自乗之数也而已壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦句自乗之数也此丙戊矩形中乙丙为股加乙壬为倍股曰长濶相差者丙午为长午戊为濶与壬午等即壬丙倍股为长濶之差也依法求之得壬午为股弦差二题句弦求股法曰弦自乗内减句自乗余开方得股论曰一题句股求弦苐一法句股各自乗并之即弦自乗数则弦自乗数中有句股各自乗之数也今于弦自乗数中减去句自乗所存者即股自乗数矣就一题之图观之自见又法曰句弦相并得数相减得数两数相乗得数开方得股如图甲乙丙句股形乙丙句甲乙股甲丙与乙丙相并即乙丁线相减即乙巳线(乙巳与乙子等)两线(乙丁乙子)相乗得子丁矩即甲乙股上方论曰己午方者已丙线上方即甲丙弦上方也内减子午形为乙丙句上方所存卯巳未磬折形即甲乙股上方矣而巳未矩又与丁卯矩等则丁子矩形即卯巳未磬折形矣亦即甲乙股上方矣又法曰句自乗倍弦依长濶相和法求之得股弦差用减弦得股论曰甲乙丙句股形甲丙弦也丁己亦弦也丁戊弦上方也乙丙股也乙壬亦股也乙子股上方也余乙戊子磬折形即甲乙句自乗之数也而己壬矩与乙丑矩等即丙戊矩亦甲乙句自乗之数也此丙戊矩形中乙午为弦乙丙并午戊为倍弦曰长濶相和者丙午为长午戊为濶即丙午午戊并为长濶相和也依法求之得壬午为股弦差三题股弦求句法同二题句弦求股附长濶相和法如图丁乙矩形积九百七十二尺丁甲为长乙甲为濶两边之和共六十三尺求甲丁甲乙二边各若干 法以和数自乗得三千九百六十九尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与和自乗相减存八十一尺开方得九尺(即丁甲乙甲二边之较数)以与和(六十三尺)相并折半得三十六尺为甲丁长边又与和相减折半得二十七尺为甲乙矩边长濶相差法(图同上)丁乙矩形积九百七十二尺甲乙为濶戊乙为长丙戊九尺(乙丙即甲乙)为长濶相差数甲乙戊乙二边各若干法以较数(九尺)自乗得八十一尺次以积四倍之得三千八百八十八尺与较自乗相并得三千九百六十九尺开方得六十三尺(即戊乙甲乙二边之和数)以与较九尺相并折半得三十六尺为戊乙长边又与较(九尺)相减折半得二十七尺为甲乙短边解曰甲午矩形作乙丙对角线成甲乙丙句股形甲丙长句也甲乙濶股也丙丑长濶和也(甲丑即乙甲)自乗得丙子大方四倍矩积也并大方内戊丁庚辛四矩形之积(大方内所容四矩俱与元形等如丙)(壬矩即甲午矩其八句股形亦俱等元形)相减存己壬小方开方得巳未边即甲乙甲丙二边之较数也(卯亥即甲乙股)(卯壬即甲丙句则壬亥为两边较数即长濶相差也)既得较数与所有和数相加减得甲乙甲丙二边矣若长濶相差法是先有巳未较数故以上法反用之求得丙丑和得丙丑亦得甲乙与甲丙矣四题弦与句股较求句股法曰弦自乗倍之较自乗用减倍数余开方得句股和于是和加较半之得长股和减较半之得短句论曰甲乙丙句股形甲乙句也乙丁句上方也乙丙股也丙戊股上方也两方并共为弦上方辛壬亦句上方庚已亦股上方两方并亦共为弦上方此即弦自乗倍之之数也而两句方两股方并为丙己大方则中间重叠庚戊方矣此何方乎曰戊子即句股较也庚戊方即较上方也减之而重叠者去矣所存者为句股和上方矣故开之得丙丑为句股和也又法曰弦自乗内减较自乗余半之以较为长濶相差法求之得短句加较得长股论曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也巳子较也己丑较上方也两方相减余壬辛午未四形半之余午未二形而午形又即戊形则是余未戊二形也此未戊二形者句股矩内形也故以巳子较用长濶相差法求之得子丙短句句加较得巳丙长股五题股与句弦较求句弦法曰股自乗内减较自乗余半之以较为法除之得句句加较得弦论曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也甲巳较也甲戊较上方也庚甲辛磬折形股自乗数也内减甲戊较上方所余丙戊戊壬两形即为句与句弦较矩内形者二矣取其一如丙戊形以戊己较除之得己丙句(或不用折半倍)(较为法除之亦同)又法曰股自乗以较为法除之得句弦和于是加较折半得弦减较折半得句论曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丙己亦句也丁戊句上方也所余庚甲辛 折形即股自乗数也而壬辛形与戊丙形等即壬己矩形亦股自乗数也以甲巳较除之得甲壬为句弦和也又法曰股自乗较自乗相并倍较为法除之得弦弦减较得句论曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲丁弦上方也丁己为句上方即戊甲辛磬折形为股上方矣又己丙矩与庚壬矩等即甲辛子磬折形亦股上方也加甲子较上方共得辛丑矩形其庚辛边即是倍较六题句与股弦较求股弦法同五题七题弦与句股和求句股法曰弦自乗倍之内减句股和自乗余开方得句股较于是较加和半之得长股较减和半之得短句论曰甲乙丙句股形丙丁句股和也丁子和上方也丁午未子两句上方丙丑壬巳两股上方此即弦自乗倍之之数也以较丁子和上方则其中重叠一壬丑方矣而此方之边即是句股较又法曰句股和自乗内减弦自乗余半之以句股和用长濶相和法求之得句股论曰丙丁为句股和丁巳为和上方午乙壬磬折形即弦上方两方相减余午丑壬磬折形分为午丑及丑壬两形形之两边即句股八题股与句弦和求句弦法曰句弦和自乗内减股自乗余半之以句弦和除之得句用减句弦和得弦(或不用折半倍句弦和除之亦同)论曰甲乙丙句股形甲丁为句弦和甲巳为和上方又甲午为弦上方甲子为句上方即未午壬磬折形为股自乗而子丙矩与午辛矩等即戊辛矩形亦股自乗也于和方中减之所存者为未丁及戊己两矩形矣形之一边如甲丁即句弦和其一邉如甲未即句又法曰股自乗得数以句弦和除之得句弦较于是用加句弦和半之得弦用减句弦和半之得句论曰甲乙丙句股形甲丁句弦和也甲戊弦上方也戊己句上方也即午甲未磬折形为股自乗矣而卯巳矩与午丁矩等即甲子矩形亦股自乗矣形之甲丁边即句弦和丁子边即句弦较又法曰句弦和自乗股自乗相并倍和为法除之得弦弦减和得句论曰甲丁为句弦和甲戊为和自乗戊丑为句今试依庚戊矩作丁卯矩即卯甲丑磬折形亦和自乗矣又甲巳为弦上方未壬为句上方即未己壬磬折形为股自乗矣而壬子矩与子丑矩等即未丑矩亦股自乗矣然此犹在和自乗数中也今另加一股自乗如丑卯矩并前卯甲丑磬折形共成一庚癸矩形即为两自乗相并之数形之甲癸邉即句弦和之倍形之甲庚边即是弦也九题句与股弦和求股弦法同八题十题句弦较股弦较求句股弦法曰先以两较相减得即为句股较次以两较各自乗相并内减句股较自乗余开方得弦和较(和句股和也)于是加股弦较得句加句弦较得股以句弦较加句或以股弦较加股得弦论曰甲乙丙句股形甲丙弦也甲巳即股也巳丙股弦较也甲壬即句也壬丙句弦较也壬己句股较也今试引甲壬句至丁令甲丁为句股和即丙丁为弦和较也次作甲戊为和上方午未为句弦较上方午子为股弦较上方(即庚辰方)两较上方相并共为午未辰磬折形内减未子句股较上方余辰午癸磬折形即戊午弦和较上方何则试观丑午已磬折形句上方也子戊形亦句上方也今于丑午已磬折形中减丑申及辛巳两矩形即是于子戊形中减卯子亥磬折形也然则所余之辰午癸磬折形非即戊午方乎又法曰两较相乗倍之开方亦得弦和较以下同前法论曰甲乙丙句股形试引甲丙至丁得甲丁为句股和甲戊为和上方(甲未股未丁句)丁子己子句也丁辛己壬弦也子辛子壬句弦较也未子亥子股也未申亥卯弦也子申子卯股弦较也然则卯辛与申壬两矩形即是两较相乘倍之之数也此两矩形者即戊午弦和较上方(丙丁为弦和较)何则未申亥磬折形句实也子戊方形亦句实也今试于未午亥磬折形减辛丙庚亥两矩形(辛未及亥壬皆是弦和较)及子午方即是于戊子方中减癸子丑磬折形也然则卯辛与申壬两矩形非戊午方乎十一题句股较句弦较求句股弦(句短股长看此题)法曰先以两较相减得即为股弦较次以两较各自乗相减余为实倍股弦较为法用长濶相差法求之得句句加句股较得股句加句弦较得弦论曰甲乙丙句股形丙乙股丙戊句丙巳弦戊乙句股较戊己句弦较乙巳股弦较乙丁亦为句丙丁为句股和丙庚为和上方辛壬为句股较上方辛子为句弦较上方两较上方相减余丑子午磬折形夫乙子卯磬折形句实也壬庚方亦句实也今于壬庚方中作未庚未申两矩形与己丑寅卯两矩形等即所余壬申形与丑子午磬折形等矣于是依壬申形作壬亥形此形壬酉为长壬癸为濶与壬辰等即辰未未酉为股弦较之倍为长濶之差按此法句股较句弦较相减得股弦较即三较皆备矣十题第一法句弦较股弦较相减得句股较即三较亦皆备矣既皆备三较则法可互用特以就题立法则法固各有攸属耳十二题句股较股弦较求句股弦(股短句长看此题)法同十一题十三题句弦和股弦和求句股弦法曰两和各自乗相并两和相减即为句股较自乗用减相并数余开方为弦和和(弦和弦也句股和也弦和和弦与句股和相并也)于是内减句弦和得股内减股弦和得句内减句股得弦论曰甲乙丙形甲乙股也丁乙股弦和也乙午股弦和上方也乙丙句也丙子句弦和也丙未句弦和上方也甲丙弦也丙丑股也丑巳句也甲己弦和和也甲壬弦和和上方也乙午丙未两方并较甲壬方则两方多一句股较自乗之数何则试观甲壬方中弦股句三方即乙午丙末两方中弦句股三方也甲壬方中股弦矩二句弦矩二即乙午丙未两方中股弦矩二句弦矩二也无或异也所异者惟甲壬方中余句股矩二与乙午丙未两方中余弦方一则弦方一与句股矩二其较为句股较上方何则试观另图甲丙弦也甲丁弦上方也甲乙股也乙丙勾也甲乙丙形句股矩形之半也而丙巳丁丁子丑丑午甲三形皆与甲乙丙形等共四形即得句股矩之二也中余乙巳子午方即句股较上方然则乙午丙未两方并较甲壬方不多一句股较上方乎故于两方中减之即得甲壬方也又法曰两和相乗倍之开方得弦和和以下同前法论曰甲乙丙形乙丁股弦和也丁午句弦和也乙午两和矩内形也丙子句弦和也丙辛股弦和也丙未两和矩内形也甲丙弦也丙丑股也丑巳句也甲己弦和和也甲壬弦和和上方也乙午丙未两矩形与甲壬方形等者两矩形中有两弦方甲壬形中有弦方一股方一句方一亦即两弦方也两矩形中有股弦矩二句弦矩二句股矩二甲壬形亦有股弦矩二句弦矩二句股矩二也然则乙午丙未两矩形不与甲壬方形等乎十四题句股和句弦和求句股弦法曰先以两和相减得即为股弦较次以两和各自乗相减余为实倍股弦较为法依长濶相差法求之得句句减句股和得股句减句弦和得弦论曰甲乙丙形甲丁句弦和也甲戊句弦和上方也巳丁句股和也子戊句股和上方也两和之较为甲巳两方之较为壬甲丑磬折形此形中午甲未磬折形句实也癸戊方形亦句实也夫癸戊方形与壬甲丑磬折形其余为辛未午丁两矩形今试作癸寅寅申两矩形与之等即戊申矩形与壬甲丑磬折形等矣此戊申矩形戊庚为濶即句与庚癸等癸卯卯申为倍数为长濶之差十五题句股和股弦和求句股弦法同十四题十六题句股弦形中求容方先论曰凡于句股形中依句股两边作方形或矩形则作形之外所余之角形二自相似亦与元形相似如图甲乙丙元形作壬丁乙子方形则此形之外所余甲丁壬及壬子丙两角形自相似何则谓甲丁与壬子相似丁壬与子丙相似也若作壬丁乙子矩形亦然又此两形之各两边与元形之两边相似何则谓甲丁壬子两边与甲乙边相似丁壬子丙两邉与乙丙边相似也于是遂生求容方之法如左(独不能生求容矩之法者以容方则甲丁丁壬两邉即甲乙邉壬子子丙)(两邉即乙丙邉也若容矩则否)法曰句股相乗为实并句股为法除之得方边论曰甲乙股乙丙句相乗得甲丙矩即未午矩矩之甲午边甲乙股乙午即句乙子即方边何则甲丙弦为甲丙矩形之对角线亦为甲壬壬丙矩形之对角线则甲乙丙与甲丑丙甲丁壬与甲未壬壬子丙与壬亥丙各角形自相等今于甲乙丙甲丑丙相等之两形中各减去相等之角形所余之乙壬方与壬丑方必等次于两方各加一同用之子亥矩则乙亥矩与子丑矩亦必等而子午矩与乙亥矩等亦即与子丑矩等然则甲丙矩不与未午矩等乎又法曰句自乗为实并句股为法除之得余句用减句余即方边论曰甲乙丙句股形乙丙句自乗得乙丁方即未已矩形形之戊丙即股丙巳即句丙子即余句乙子即方边何则丑丁形即子巳形也壬乙形即壬戊形也然则乙丁方即未巳矩也十七题句股弦形中求容圆法曰句股相乗倍之为实句股弦共为法除之得容圆径(或句股相乗为实句股弦共为法除之得容员之半径 或句股相乗半之为实句股弦并而半之为法)(除之得容圆之半径)论曰试于形之三边截取己子未三㸃令乙子与乙巳等甲巳与甲未等丙未与丙子等次于已子未三㸃各作己丁未丁子丁三线为形三边之垂线必相遇于丁而相等何则试先就己甲未丁四边形论之甲巳甲未两边等己未两角皆正即巳丁未丁两线必等依显未丁与子丁两线子丁与巳丁两线亦必各等然则丁即圆心三线即圆之半径矣果何术以求之乎曰试作甲丁丙丁乙丁三对角线平分甲乙丙三角及丁角因平分三个四边形为六个三边形各两相等次引乙丙至壬令丙壬与甲已等则乙壬线为甲乙丙三边之半何则乙子者乙子乙巳之半丙子者丙子丙未之半丙壬者甲未甲巳之半然则乙壬者甲乙丙三边之半矣次引长巳丁线至亥令己亥与乙壬等必相与为平行次作壬亥丙午两线与子丁线等而相与为平行末作丙亥对角线则乙亥矩形与甲乙丙元形等何则乙巳丁子方形在元形之内丙子丁角形亦在元形之内丁午丙角形虽不全在元形之内然即丙未丁形而倒置之凑合丙子丁形而成子午矩形者也至于壬午矩形全在元形之外然亦即甲巳丁甲未丁两形颠倒凑合而成者也然则乙亥矩形与甲乙丙元形等矣于是以句股相乗半之得甲乙丙元形即乙亥矩形以乙壬三边之半分之得子丁为圆半径或以三邉之全分元形之倍亦得圆之半径或三边之全分元形之四倍得全圆径也又法曰句弦股三边半之内减弦得圆之半径(或倍弦用减三邉之全得全圆径)论曰甲乙丙元形之乙角既是正角乙子丁乙已丁两角又是正角即子丁己亦必正角然则子丁己乙形必是正角方形而四边等矣即乙巳乙子两边必与丁己丁子圆之两半径等矣此乙已乙子之两边果何术以求之乎依前论乙壬线为三边之半而丙壬即甲未也丙子即丙未也则子壬线即甲丙弦也于是子壬弦减乙壬三边之半得乙子即圆之半径若倍弦数用减三边之全得全圆径又法曰句股并以弦减之得全圆径论曰如前图乙丙句也丙壬与乙巳并即甲乙股也何则以丙壬与甲巳等故也壬子即甲丙弦也何则以丙壬与甲未等丙子与丙未等故也于是以子壬弦减壬己句股并得子巳为圆之全径何则以乙子与子丁等乙巳又与乙子等故也巳上十七题除求方求圆二题余十五题已尽句股弦之蕴矣然论其题则不止于己上十五题也今反覆推之凡得一百四十四题虽究其归不出于己上十五题之法要亦不可不备使习者得以按题而索之逐类而通之也勾股较勾股和 句股较句弦和 句股较股弦和句弦较句弦和 句弦较句股和 句弦较股弦和股弦较股弦和 股弦较句股和 股弦较句弦和已上共九题(句)和和弦较较 句较较 股较较弦和较 句和较 股和较弦较和 句较和 股较和巳上十则各以(股)三则配之得三十题各以(股弦和)三则配之得三十题各以(股弦较)三则配之得三十题又巳上十则(股)和和为一则以下九则配之得九题弦较较为一则以下八则配之得八题句较较为一则以下七则配之得七题股较较为一则以下六则配之得六题弦和较为一则以下五则配之得五题句和较为一则以下四则配之得四题股和较为一则以下三则配之得三题弦较和为一则以下二则配之得二题句较和为一则以下一则配之得一题已上共一百四十四题学者按题而索之逐类而通之要不出于前所列之十五题也又一题(后十四题尽句股之变)容方与余句求余股与余股求余句因得全句全股法曰方边自乗以余句除之得余股以余股除之得余句各以所得加方边因得全句全股论曰乙丁方边也自乗得乙壬方即壬丑矩(论详前十六题)故以己壬(即丙未余)(句)除之得子壬(即甲丁余股)以子壬除之得己壬因以己壬加壬丁共已丁即句以子壬加壬未共子未即股又法曰以余句除方边(余句小于方邉)得数即用以乗方笾得余股或以方边除余股(余股大于方邉)得数即用以除方边得余句论曰方边为余句余股连比例之中率以前率余句比中率方边则方边为几倍大即以中率方边比后率余股则余股亦必为几倍大又以后率余股比中率方邉则方边为几倍小即以中率方边比前率余句则余句亦必为几倍小故得数者得其几倍大几倍小之数也大用乗小用除又二题余句余股求容方因得全句全股法曰余句股相乗开方得方边各以余句股加之得全句股论曰子壬即余股也己壬即余句也丑壬矩即乙壬方也(论详前十六题)因以甲丁(余股)丙未(余句)加之得全股(甲乙)全句(乙丙)又法曰以余句除余股(以小除大)得数开方得中率之比例于是以中率之比例除余股得方边或以中率之比例乗余句亦得方邉论曰余句余股之于方边为连比例之前后率今以己壬余句比子壬余股得子壬为几倍大即是以己壬线上方比己壬线与子壬线上矩得丑壬矩为几倍大也而丑壬矩又与乙壬方等开方得连比例之中率者以方则边等边等则比例连故也既得连比例之中率则方边可得而知矣右两题宜附前十六题之后又三题句股弦形句股较求句股弦法曰形四倍之另以较自乗相并开方得弦次依前四题法求句股论曰甲乙丙形四倍之即丁已甲子午丁丙未子与甲乙丙四形也乙巳为句股较乙午为较上方四形与一方相并成甲子方开方得甲丙弦又法曰形八倍之另以较自乗相并开方得句股和于是和加较折半得股和减较折半得句论曰甲乙丙形八倍之即甲丙丙丁丁己己甲四矩形也乙子为句股较乙午为较上方四矩形与一方并成丑未方开方得丑壬为句股和又法曰形倍之以句股较用长濶相差法求之得句句加较得股论曰甲乙丙句股弦形倍之得乙丁矩形甲乙股乙丙句已甲较即乙已与乙丙句等丙巳为句上方丁句为句与较矩内形今试商得乙丙为句乙巳加已甲为股又四题句股弦形句股和求句股弦法曰形四倍之另以句股和自乗相减开方得弦次依前七题法求句股论曰甲乙丙形四倍之者甲乙丙丙戊丁丁己辛辛壬甲四形并也乙壬为句股和乙巳为和上方内减四形并余甲辛丁丙方开方得甲丙弦又法形八倍之另以句股和自乗相减开方得句股较于是用加和折半为股用减和折半为句论曰甲乙丙形八倍之者即甲丙丙丁丁辛辛甲四矩形并也午戊为和戊壬为和上方内减四矩形并余子乙未丑方开方得子乙为句股较又法曰形倍之以句股和用长濶相和法求之得句句减和得股论曰甲乙丙句股弦形倍之得乙巳矩形甲乙股乙丙句并之为和今试商得乙丙为句用减和余甲乙即股又五题句股形中求从直角(句股相联处)至弦作垂线(与弦相交为直角)分元形为两句股形法曰弦上方句上方并之内减股上方余半之以弦除之得数为弦上作垂线之处于是以所得数与句依句弦求股法作垂线论曰甲乙丙元形求从直角作乙午线为甲丙之垂线甲丙弦也甲丑弦上方也乙丙句也乙己句上方也甲乙股也乙辛股上方也夫乙辛方中之子未方乙午线上方也乙巳方中之丁申方亦乙午线上方也即两方等矣又乙辛方中之子辛未磬折形甲丑方中之午壬方也今于甲丑乙巳两方中减乙辛方即于两方中减丁申方与午壬方也两方中所存者为申巳丁磬折形午丑壬磬折形矣而申巳丁磬折形又与丑卯方等半之即得午丑矩故以丙丑弦除之得丙午(若乙辛方与甲丑方并内减乙巳方余半之以弦除之得甲午同上论)(按此法不但可施诸句股直角形凡锐角钝角形俱可用此法求垂线)又法曰句股相并得数相减得数两得数相乗以弦除之得数用减弦余半之得数为弦上作垂线之处如图甲乙丙形甲乙股乙丙句相加得甲丁相减得甲巳甲丁与甲巳相乗得数以甲丙弦除之得甲子用减弦余丙子半之于午即午㸃为弦上作垂线之处一论曰甲丁偕甲已矩内形及乙巳上方形并与甲乙上方形等如图壬丁矩甲丁偕甲巳矩内形也(甲壬与甲巳等)辛甲未磬折形即壬丁矩也(壬未矩与辛丁矩等)未辛方乙巳上方也并之得甲戊方即甲乙上方二论丁已甲线贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲为直角夫丁甲偕巳甲矩内形与甲庚线上方形等何则乙庚庚甲两线上方形与乙甲线上方等而丁甲偕巳甲矩内形及乙已上方并亦与乙甲线上方等(一论之图可见)此两率者每减一相等之乙庚乙巳两线上方则甲丁偕甲巳矩内形与甲庚线上方形必等三论曰丙甲线不贯圜心于乙庚甲线切圜周于庚乙庚甲直角形乙午甲亦直角形两形合一乙甲弦则乙庚庚甲两线上方并与乙午午甲两线上方并必等又乙午子直角形则乙午午子两线上方并与乙子线上方等夫午甲上方形中原有(一论之图可见)丙甲偕子甲矩内形及午子上方形今于乙甲上方形中减乙庚上方形即减去同乙庚之乙子上方同乙子之乙午午子两线上方然则所余之丙甲偕子甲矩形与甲庚上方形必等四论曰前甲丁偕甲巳矩内形与庚甲上方等(二论之图)甲丙偕甲子矩内形与庚甲上方亦等(三论之图)则两矩形自相等而等角㫄之各两边彼此互相视何则试引戊子壬己两线相遇于丑而成甲丑形夫甲戊与甲丑两形同在戊丑丙己两平行线内等髙则两形之比例若其底甲丙与甲己之比例依显甲壬与甲丑两形之比例亦若其底甲丁与甲子之比例夫甲戊与甲壬两矩形元等则甲戊形与甲丑形即甲壬形与甲丑形也即甲丙与甲己之比例亦即甲丁与甲子之比例也更之则甲丙与甲丁之比例亦若甲己与甲子之比例于是以甲丙为一率甲丁为二率甲己为三率二三率相乗一率除之得四率甲子也既得甲子用减甲丙余丙子半之于午得午㸃为弦上作垂线之处何则试作乙子线与乙丙同为圜之半径即等而成乙丙子两边等角形则午点折丙子之半必是直角(此法不但可施)(诸句股形凡锐角钝角形俱可用此法求垂线)右既得乙午垂线即分甲乙丙原形为甲午乙乙午丙两句股形此两形者自相似亦与元形相似又六题句股弦形中求依弦一边容方法曰先依又五题法求形中垂线次以弦与垂线相乗得数并弦与垂线为法除之得方边论曰甲乙丙元形乙丁为垂线求依甲乙弦作方边如子丑而成子午方形夫甲乙丙元形与己乙午分形相似何则以己午与甲丙平行故也次观己午与未丁等即乙未与己午并是乙丁垂线也然则乙丁偕甲丙并而与甲丙若乙未偕己午并(即乙丁垂线)而与己午又法曰垂线自乗并弦与垂线为法除之得数用减垂线得方边论曰乙丁偕甲丙并(一率)而与乙丁(二率)若乙未偕己午并(三率即乙丁)而与乙未(四率)于是以乙未减乙丁余未丁即方边(此法不但可施诸句股形凡锐角钝角形俱可用)又七题句股形中求分作两边等三角形二法曰弦半之即是两边等之一边论曰甲乙丙形半弦于丁于是以丁为心甲丙为界作圜必切乙角得乙丁与半弦等因成乙甲丁乙丙丁两形皆两边等三角形也又八题斜三角形中求作中垂线分元形为两句股形法具又五题又九题斜三角形中求积先分别是锐角形或是钝角形(若是正角形法以句股相乗半之即得)法曰大中小三边用小中两边依句股求弦法求之若求得数小于大边即是锐角形大则是钝角形锐角形求积法曰任取一角依又五题求中垂线(锐角形求)(中垂线任取一角皆在形内)分元形为两句股形次以两分形句与股各相乗半之得积论曰甲乙丙锐角形先求得乙丁中垂线分为甲丁乙乙丁丙两句股形次以甲丁与丁乙丁乙与丁丙各相乗得丁戊与丁己两矩形各半之得甲乙丙形之积(或以乙丁因甲丙之半亦得或以甲丙因乙丁之半)(亦得)钝角形求积法(于钝角至对边作垂线则垂线在形内法同前)于锐角至对边作垂线则垂线在形外而引对边出形外凑之曰大边上方内减中小两边上方余半之以中边除之得引凑数与小边为股弦求句得垂线(或以小邉除半数得引凑数与中邉为句)(弦求股亦得垂线)既得垂线则与引凑数凑成一小句股形又以垂线与引凑数偕元形之边凑成一大句股形大小两句股形相减得所求论曰甲乙丙钝角形(乙为钝角)求从丙锐角作丙丁垂线而引乙丁线以凑之(从甲角作垂线亦在形外兹不备述)夫甲丙上方元包丙丁与甲丁两边上方今于甲丙上大方中减乙甲乙丙上两方即是减丙庚与子午两方为乙丙上方减甲子方为甲乙上方也而所存者为丁子子辛两矩形矣半之为子丁一矩形以中边乙子除之得乙丁为引数也丙丁乙为小句股形丙丁甲为大句股形两形相减得甲乙丙斜三角形积又法曰三边数并而半之以每边数各减之得三较数三较连乗(任以二较相乗得数又以一较乗之)得数又以半数乗之得数开方得积如后图甲乙丙元形求其积一图 一论曰壬乙矩形与元形等论同前十七题所论乙亥矩形与甲乙丙元形等二论曰丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗开方与乙二图 壬矩形等如图子壬二丑壬三相乗得六为子丑矩形今以子壬二自乗得四为子卯方即壬寅边以丑壬三乗之得十二为丑寅矩形又以三乗之得三十六为辰寅矩形即午丑方形故开方得辰午六与子丑三图 矩形等三论曰丁心偕戊庚矩形与乙丁相乗其所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等何则乙丁心形与乙戊庚形相似之形也戊庚与丁心若乙戊与乙丁则戊庚偕丁心矩形(即庚未矩形)与丁心方(即己戊方形)亦若乙戊与乙丁也四论曰丙丁偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等(就一图观)(之)何则心丁丙形与丙戊庚形相似之形也夫庚乙线平分丁乙甲角庚戊为丙戊之垂线则戊为直角次依丙戊线截取丙卯线作卯庚线为丙卯之垂线则卯为直角此庚乙庚戊庚卯三线必相交于庚㸃三线既相交于庚点则丙庚线必平分卯丙戊角而卯丙戊角又即己心丁角因得心丁丙形与丙戊庚形为相似之形也两形既相似则丁心与丁丙若丙戊与戊庚也解庚乙庚卯庚戊三线必相交于庚点所以然之故庚心乙界作圈 次依甲乙丙形作丙丁辛形 次引乙丁线至癸引辛甲线至壬乙庚线平分丙乙甲角则庚㸃必是圈心戊㸃折乙癸线之半则戊㸃必直角 卯㸃折壬辛线之半则卯㸃必直角 乙癸与乙己等 乙丙辛丙为大边甲丙丁丙为中边甲壬丁癸即小边总论曰二论丁心方与乙戊相乗又与乙戊相乗所得数开方与乙壬矩形等夫乙戊半数也亦既得之矣次欲求丁心与乙戊相乗而丁心不可得 三论丁心戊庚矩形与乙丁相乗所得数与丁心方偕乙戊相乗所得数等夫乙丁三较之一也则又得之矣次欲求丁心与戊庚两线而两线又不可得 四论丁丙偕丙戊矩形与丁心偕戊庚矩形等夫丁丙丙戊三较之二也则尽得之矣 今法于四论用丁丙偕丙戊二较相乗于三论用乙丁一较乗之于二论用乙戊半数乗之开方得数与乙壬矩形等又十题斜三角形中求容圆法曰先依又九题求积次取三边数并而半之用除积得员之半径(或置二较连乗数以半数除之得开方亦得圆半径)论曰先依又九题求得乙壬矩形为甲乙丙元形积次以乙戊除之(即三边数之半也)得丁心即圆之半径(若以三边之全除元形之倍亦得圆)(半径若以三边之全除元形之四倍得圆全径)又十一题斜三角形中求容方法同又六题又十二题斜三角形有三和数求三边法曰三和数相减得三较数各置三较数各以非所较之边加减之各半之其加而半者得大边或中边减而半者得小边或中边如图戊己庚为三和数(戊为大中两和数己为大小两和数庚为小中两和数)甲为戊庚两和之较乙为己庚两和之较丙为戊己两和之较于是置甲较数以己为非所较之边加而半之得大边减而半之得小边置乙较数以戊为非所较之边加而半之得大边减而半之得中边置丙较数以庚为非所较之边加而半之得中边减而半之得小边论曰戊者大中两和数也加减用乙者乙为己庚两和之较庚者小中两和数己者大小两和数此两和数中皆有相等之小数而余为大中两数矣此乙所以为大中两数之较也余倣此又十三题句股测髙(测逺测广测深同法)法曰先准地平(地平者必令所测地面自所测之处至髙之根如水之平也)次立表与地平为垂线退后立望竿令所测髙表尖竿头叅相直末自竿至髙根量得若干逺然后以表竿差与逺相乗而以表竿相去若干除之加竿长若干得所求之髙如图丙乙髙乙甲逺丁甲竿己戊表己子为表竿差戊甲为表竿相去夫丁子己形与丁辛丙形相似故丁子与己子若丁辛与丙辛也又十四题句股重测髙逺(测广测深同法)法曰若无髙根之可量者则用重测法谓一次立表竿令表竿与髙叅相直二次立表竿令表竿与髙㕘相直(两表两竿要各相等又要或前或后立成一直线)然后以表竿之较乗两表相去而以两表竿相去之较除之加表髙若干得所求之髙又以前表竿相去乗两表相去而以两表竿相去之较除之加前表竿相去得所求之逺如图甲乙髙乙丙逺各不知数用重表测之 丁子为前表己丙为望竿子丙为表竿相去甲丁己三㸃叅相直午壬为后表丑辛为望竿壬辛为表竿相去甲午丑三㸃叅相直丁亥为表竿之较子壬为两表相去未辛为两表竿相去之较己上用以测髙借丁卯(元是表竿相去)为表竿相差借卯己(元是表竿相差)为表竿相去辰戊亦借为表竿相差戊癸亦借为表竿相去甲辰癸三㸃亦叅相直丁辰亦借为两表相去与丁午等即庚癸亦为两表竿相去之较与辛未等以上用以测逺解庚癸线与辛未线必等所以然之故如图甲乙矩内形甲乙为对角线丙丁及戊己两线与矩形之边为平行而交角线于庚 次任作辛壬线亦交角线于庚 次截甲癸线与甲辛线等作癸子线亦交角线于庚则子乙线与壬乙线必等论曰试作午丑及午未两线与甲辛及甲癸相线为平行夫庚甲辛及庚午丑两角形相似之形也则庚甲与庚午若甲辛与午丑依显庚甲与庚午若甲癸与午未然则甲辛与甲癸亦若午丑与午未夫午丑与午未如是则子乙与乙壬亦如是矣先论甲乙矩形此形甲己为对角线寅卯申亥两线交于角线上之丁㸃则卯申矩形与亥寅矩形等次论甲丑矩形此形甲丑为对角线寅酉房壬两线交于角线之午点则房酉矩形与寅心矩形等末总论曰夫房酉矩形与寅心矩形既等而午井形又与卯申形等即亦与亥寅形等然则房酉矩形中所余之井酉形与寅心矩形中所余之丁心形必等于是以丁亥表竿相差乗丁午两表相去得丁心矩形即井酉形而以井女两表竿相去之较除之得女酉加酉辛表共女辛即甲乙髙先论甲己矩形同前次论甲癸矩形此形甲癸为对角线申氐戊亢两线交于角线之辰㸃则亢氐矩形与戊申矩形等末总论曰夫亢氐矩形与戊申矩形既等而辰牛形又与亥寅形等即亦与卯申形等然则亢氐矩形中所余之牛氐形与戊申矩形中所余之丁戊形必等于是以丁卯表竿相差乗丁辰两表相去得丁戊矩形即牛氐形而以牛危两表竿相去之较除之得危氐加氐癸表竿差共危癸即乙丙逺也求髙又法 既得危氐线即以亢牛乗之得牛辰形此形即寅亥矩形亦即申卯矩形也故以丁卯除之得丁申髙求逺又法 既得女酉线即以房井乗之得井午矩形此形即申夘矩形亦即寅亥矩形也故以丁亥除之得丁寅逺歴算全书卷四十六
## 卷四十七
钦定四库全书厯算全书卷四十七宣城梅文鼎撰句股阐微卷二句股积求句股弦句股积与弦较较求诸数第一法假如句股积(一百二十)弦较较(十二)法以积四之得(四百八十)弦较较自之(一百四十四)两数相减余(三百三十六)折半(一百六十八)为实弦较较(十二)为法除之得句股较(十四)以加弦较较(十二)共得(二十六)为弦(有弦有句股较即诸数可求)论曰甲乙丙丁合形为弦自乗大方幂甲小方为句股较幂弦幂内减句股较幂所余丙乙丁磬折形原与四句股积等于中又减去乙小方为弦较较自乗幂仍余丁丙二长方并以句股较为其长以弦较较为其濶故折半而用其一为实以弦较较为法除之得句股较矣(是以濶求长)第二法置四句股积(四百八十)与弦较较自幂(一百四十四)相加得共(六百)(二十四)折半(三百十二)为实弦较较(十二)为法除之得(二十六)为弦弦内减去弦较(十二)得余(十四)为句股较论曰乙丙丁磬折形原与四句股积等今加一小方形如己为弦较自乗幂与乙等又丁丙二长方原相等于是合丁己为一长方合乙丙为一长方必亦相等矣(并以)(弦较较为濶以弦为长)故折半而用其一为实以弦较较为法除之即得弦矣(亦是以濶求长)第三法置四句股积(四百八十)为实弦较较(十二)为法除之得(四十)为弦较和以弦较较(十二)加弦较和四十得(五十二)折半(二十六)为弦以弦较较(十二)减弦较和(四十)得(二十八)折半(十四)为句股较于前图乙丙丁磬折形即四句股积移丁长方置于戊为乙丙戊长方其长如弦较和其阔如弦较较故以弦较较除之得弦较和(若以)(弦较和除之亦得弦较较)又简法置句股积(一百二十)为实以弦较较(十二)半之得(六)为法除之得(二十)为半弦较和以半弦较较(六)加半弦较和(二十)得(二十)(六)为弦又以半较(六)减半和(二十)得(十四)为句股较论曰长方形濶(十二)如弦较较长(四十)如弦较和其积如四句股今只用一句股积是四之一也积四之一者其边必半观图自明句股积与弦较和求诸数第一法假如句股积(一百二十)弦较和(四十)法以积四之得四百八十弦较和自之得(一千六百)两数相减余(一千一百二十)折半得(五百六十)为实弦较和(四十)为法除之得(十四)为句股较以减弦较和得(二十六)为弦弦自乗(六百七十六)加四句股积(四百八十)得(一千一百五十六)平方开之得(三十四)为句股和以与句股较(十四)相加得(四十八)折半(二十四)为股又相减得(二十)折半得(一十)为句句(一十) 股(二十四) 弦(二十六)句股和(三十四) 句股较(十四) 弦较和(四十)弦较较(十二)论曰总方为弦较和(四十)自乗之幂内分甲戊己方为弦自乗幂乙小方为句股较自乗幂于弦幂内减去戊己磬折形即四句股积则所余者甲小方即句股较幂与乙方等以甲小方合丁长方即与乙丙长方等(以丁丙小长方原相等故)此二长方并以句股较(十四)为濶以弦较和为长(四十)故折半而用其一为实弦较和(四十)为法除之即得句股较(是为以长求濶)第二法弦较和自乗(一千六百)与四句股积(四百八十)两数相加(二千○八十)折半(一千○四十)为实弦较和(四十)为法除之得(二十六)为弦以减弦较和得(十四)为句股较余如前(观后图自明)第三法置四句股积(四百八十)为实弦较和(四十)为法除之得(十二)为弦较较余同弦较较第三法又简法句股积(一百二十)为实弦较和(四十)半之得(二十)为法除之得(六)为弦较较之半余并同弦较较简法论曰乙丁丙甲戊己合形为弦较和(四十)自乗之大方外加一庚辛长方为四句股积与戊己磬折形等于是中分之为两长方(乙丁庚辛合为左长方丙甲己戊合为右长方)并以弦为濶(二十六)弦较和(四十)为长故折半为实以弦较和除之得弦(亦为以长求濶)借此图可解第三法之理何则庚辛长方形既为四句股积而其濶(十二)如弦较较其长(四十)如弦较和是(十二)与(四十)相乗之积也故以弦较较除之得弦较和若以弦较和除之即复得弦较较若庚辛长方横直皆均剖之成四小长方则其濶皆(六)加半较其长(二十)如半和而其积皆(一百二十)为一句股积矣此又简法之理也句股积与弦和较求诸数第一法假如句股积(六千七百五十)弦和较(六十)法以弦和较自之得(三千六百)与四句股积(二万七千)相减余(二万)(三千四百)折半(一万一千七百)为实弦和较(六十)为法除之得(一百九十五)为弦加较(六十)得句股和(二百五十五)弦幂内减四句股积开方得句股较以加句股和折半得股以减句股和折半得句句(七十五) 股(一百八十) 弦(一百九十五)句股和(二百五十五) 句股较(百○五) 弦和和(四百五十)弦较和(三百) 弦和较(六十) 弦较较(九十)第二法以弦和较自乗(三千六百)与四句股积(二万七千)相加得(三万○六百)折半(一万五千三百)为实弦和较(六十)为法除之得(二百五十五)为句股和内减弦和较(六十)得(一百九十五)为弦论曰丁丙方为句股和自乗方幂内减甲戊方为弦自乗幂其余丁戊丙磬折形四句股积也内减戊乙小方为弦和较自乗积则所余丁戊长方与戊丙长方等而并以弦为长弦和较为濶故以弦和较除之得弦此第一法减四句股积之理也若于丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方与戊乙等乃并之为庚戊长方与辛乙等并以句股和为长弦和较为濶此第二法加四积之理也(两法并以濶求长)第三法置四句股积(二万七千)为实弦和较(六十)除之得(四百五十)为弦和和以与弦和较相加折半为句股和又相减折半为弦此如有句股积有容圆径而求句股弦乃还元之法也论曰前图中辛乙长方并戊丙长方是四句股积联之为辛丙长方则其濶丁辛弦和较也其长丁丙弦和和也又简法置句股积(六千七百五十)为实半弦和较(三十)除之得(二百二十五)为半弦和和以与半弦和较相加得二百五十五为句股和又相减得(一百九十五)为弦 此如有容圆半径以除句股积而得半弦和和句股积与弦和和求诸数第一法假如句股积(六千七百五十)弦和和(四百五十)法以积四之得(二万七千)弦和和自之得(二十○万二千五百)两数相减余(十七万五千五百)折半(八万七千七百五十)为实弦和和(四百五十)为法除之得(一百九十五)为弦以减弦和和得(二百五十五)为句股和第二法以四句股积与弦和和幂两数相加得(二十二万九千五百)折半得(十一万四千七百五十)为实弦和和(四百五十)为法除之得(二百五十五)为句股和以减弦和和得(一百九十五)为弦论曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也与丁丙方等丁乙方句股和自乗也于丁乙内减去丁丙弦幂则所余者四句股积即壬乙丙戊二小长方也而己辛小长方与丙戊等则己乙长方亦四句股积也今于甲乙大方内减去己乙则所余者甲戊己戊二长方并以弦为濶弦和和为长故以弦和和除之而得弦此第一法减四句股积之理也是为以长求濶又论曰若于甲乙大方外増一甲庚长方与己乙等而中分之于癸戊则癸乙与癸庚两长方等并以句股和为濶弦和和为长故以弦和和除之而先得句股和此苐二法加四句股积之理也亦是以长求濶第三法置四句股积(二万七千)为实弦和和(四百五十)除之得弦和较(六十)此如并句股弦除四倍积而得容员径又简法置句股积(六千七百五十)为实半弦和和(二百二十五)除之得半弦和较(三十)此如合半句半股半弦除积得容员半径欲明加减用四句股之理当观古图甲乙丙句股形 甲丙句六甲乙股八 乙丙弦十甲丁句股和十四 壬辛句股较二甲己大方句股和自乗幂也其积一百九十六 丙戊次方弦自乗幂也其积一百 壬庚小方句股较自乗幂也其积四 甲己和幂内减弦幂所余者四句股也 弦幂内减较幂所余者亦四句股也 句股之积并二十四甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股较二甲丙方为句股和自乗幂(一百九十六)内减癸辛弦幂(一百)余(九十六)为甲己丙磬折形(亦即四句股积)内分甲己直形移置于丙戊成乙戊长方即为弦(和较乗弦和和)又壬丁小方为句股较自乗其幂四以减弦幂一百余九十六为癸壬辛巳磬折形(亦即)(四句股积)内分癸壬直形移置于辛庚成己庚长方即为弦较较乗弦较和假如方环田有积有田之濶问内外方各若干法以积四之一为实田濶除之得数为内外二方半和与田濶相加得外方又相减得内方(葢田濶即如半较)若但知外方及内小方及环田积法即并大小方边为和以除积得数为较较与和相加折半为外周大方又相减折半为小方以两方之较折半为环田濶若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方边不能知濶总论曰弦较较乗弦较和之积与弦和较乗弦和和之积等为四句股乃立法之根也而其理皆具古图中学者所宜深玩又如有辛庚壬圆池不知其径法于乙作甲乙直线切员池于庚又乙丙横线切圆池于壬乙为正方角又自丙望甲作斜线切员池于辛乃自丙取乙丙之度截斜线于丁又自甲取甲乙之度截斜线于戊末但量丁戊有若干尺即圆池径解曰此即句股容员法也丙乙句截甲丙弦于丁则丁甲为句弦较甲乙股截弦于戊则戊丙为股弦较而丁戊为弦和较故即为圆径 其句股弦不必问其丈尺但取三直线并切员而乙为方角足矣故为测员简法(凡城堢墩台锥塔员柱之类形正员者并同一法也)句股容方(系鲍燕翌法)句股形引股线法即依正角作方形于形外 又即引小形成大形甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令乙丁与戊丁等法曰以乙丙分甲乙得数减一余用归甲乙得之解曰乙丙与甲乙原若丁戊与甲丁故以乙丙分甲乙与以丁戊分甲丁所得之分数等然则减一者虽似于甲乙分数内减乙丙之一分实于甲丁分数内减丁戊之一分也(即乙丁之一分)故以减余分甲乙而得(勿庵又法句股相乗为实句股较为法除之亦即得所引乙丁与乙戊同数)句股形截股法即依正角作方形于形内 又即截大形成小形甲丁戊句股形内今欲截甲丁股于乙甲戊弦于丙而令乙丁与乙丙等法曰以丁戊分甲丁得数加一共用归甲丁得之 (勿庵又法句股相乗为实句股)(和为法除之亦即得所截乙丁与丁丙同数即句股容方法)解曰丁戊与甲丁原若乙丙与甲乙故以丁戊分甲丁与以乙丙分甲乙所得之分数等然则加一者虽似于甲丁分数外加丁戊之一分实于甲乙分数外加乙丙之一分也(即乙丁之一分)故以加共分甲丁而得若欲令丙戊与丁戊等或欲令乙丙与丙戊等依法推之按后一法即句股容方也原法简易今鲍燕翼先生所设殊新要其理亦相通耳(勿庵补例)设甲乙股十六 乙丙句八 今引甲乙股长出至丁而令引出之乙丁股分与所当之丁戊句等问若干答曰乙丁十六法以乙丙句(八)甲乙股(十六)相乗得(一百)(廿八)为实句股相减得较(八)为法除之得乙丁引出一十六与丁戊句相等 若如鲍法以句(八)除股(十六)得(二)内减去一仍余一用为法以除股(十六)仍得(十六)为乙丁又设甲乙股(四十八)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(十)(六)与丁戊句等法以句十二乗股(四十八)得积(五百)(七十六)为实 句减股得较(三十六)为法除之得(十六)为乙丁或以句(十二)除股(四十八)得数(四)内减(一)余(三)为法以除股(四十八)亦得(十六)为乙丁又设甲乙股(六)乙丙句(四)依法引出乙丁股(十二)与丁戊句等法以句乗股得(二十四)为实 句股较(二)为法除之得(十二)为乙丁或以句(四)除股(六)得(一半)内减一余(半)为法以除股(六)亦得(十二)为乙丁解曰半为除法则得倍数此畸零除法也详别卷又设甲乙股(三十)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(二十)与丁戊句等法以句乗股得(三百六十)为实句股较(十八)为法除之得乙丁(二十)或以句(十二)除股(三十)得(二半)内减一余(一半)为法以除股(三十)亦得乙丁(二十)解两法相同所以然之故 葢此是依句股正角(即乙角)作正方形于形之外也本法以句弦较为法除句股形倍积(即句股相乗)今不用句股较之本数而用其除过之句股较为法(以句除股则股内所原带句数及句股较数并为句所除而减去其一即减去除过之句)(也用减余为法即是用其除过之句股较为法也)故亦不用句股形之倍积而用其除过之倍积为实(倍即是句股相乗之数若以句除之必仍得股今径以股数受)(除即是用其除过之倍积为实也)法实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第一条之例设甲丁戊形甲丁股(廿八)丁戊句(廿一)甲戊弦(三十五)欲截甲丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截之乙丁与乙丙等问其数若干答曰乙丁一十二法以甲丁股(二十八)丁戊句(二十一)相乗得(五百八十八)为实并句股得和(四十九)为法除之得(一十二)为所截乙丁与乙丙截句等如鲍法以句(二十一)除股(二十八)得一(又三之一)又外加一数共二(又三之一)为法(通作七)用以除股二十八(通作八十四)亦得(十二)为乙丁截股设甲丁股(三百四十五)丁戊句(一百八十四)弦甲戊(三百九十一)欲截乙丁与乙丙等该若干 答曰一百二十法以句(一百八十四)股(三百四十五)相乗得(六万三千)(四百八十)为实句股和(五百二十九)为法除之得所截乙丁(一百二十)与截句乙丙等或以句(一百八十四)除股(三百四十五)得一(又八之七)又外加一共二(又八之七)通作(二十三)为法以股(三百四十五)通作(二千)(七百六十)为实法除实亦得(一百二十)为乙丁截股解两法相同所以然之故 葢此是依句股形正角作方形于内(即句股容方)也本法以句股和为法除句股形倍积(即句股相乗)今不用句股和本数而用其除过之句股和为法(股被句除既变为除过之股而得数中之一其本数皆与句同今于得数又加一是又加一除过之)(句合之则共为除过之句股和矣)故即用股为实以当除过之倍积法与实并为除过之数则其理相同而得数亦同矣以上补第二条之例按数度衍有在逺测正方形之算立破句名色不穏图亦不真今于此第一例中生二法补之分角线至对边(亦系鲍法)甲乙丙句股形 今平分乙方角作乙丁线至对边弦欲知丁㸃之所在法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙弦或甲丁弦即得甲乙丙句股形 今平分乙锐角作线至甲丙股欲知丁㸃所在法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚长方亦即乙辛长斜方其辛戊小长斜方又即戊壬长斜方取甲子癸小句股形补壬寅丑虚句股形成甲寅长方此即句股相乗实以句弦和除之也(甲乙为弦乙壬即句)得壬寅边丙甲辛句股形中(即甲乙丙原设形)作甲卯垂线至丙辛弦(法另)(具)于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸(即丁己)成丁己乙戊四斜方形次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或丁甲即得按上鲍法此寅甲长方为句弦和除句股形倍积所得壬寅边必小于句股容方之边其内容丁己乙戊四斜方形之丁己边又必大于句股容方之边二者之间可以得容方边矣(容方邉除倍积得句股和以减句弦和得股弦较即其他可知)求丁己线法 一率甲丙股 二率甲乙弦 三率壬寅 四率丁己(即壬丑)甲乙丙锐角形 求分乙角作线至甲丙边之丁㸃法于形中求得辰丙垂线(丙辛甲形即甲乙丙)(形故其垂线等)用丙长线乗乙丙所得即辛乙长斜方形自此以下至成丁己乙戊四斜方(并同前法)次用比例法 一率甲乙 二率甲丙 三率丁戊四率得丁丙或一率甲乙 二率甲丙 三率甲己 四率甲丁甲乙丙钝角形 法先从形外求得甲辰外垂线 引乙丙线与之相遇 次以甲辰垂线乗乙丙得乙辛长斜方形 余同前法甲乙丙钝角形 甲辰垂线在形外与右图同法鼎按若依几何六卷三题法甚㨗句股容员甲乙丙句股形 求容员径卯戌(即丁辛)法于甲丙弦上截丁丙如句(乙丙)又截甲辛如股(乙甲)因得丁辛即容员之径试依所截丁丙为句作戊丁丙句股形(自丁作弦之垂线至戊又引乙)(丙句遇于戊即成此形)又依所截甲辛为股作甲辛氐句股形(自辛)(作弦之垂线长出至氐引甲乙股遇于氐)又作戊戌房句股形(引戊丁股至房如弦之度)(自房作垂线至戌即成)乃自甲自戊各为分角线遇于己成十字则己即容员心也又引十字线透出而以甲己为度截之于癸于女乃自癸作线与丙戊平行至辰又自女作辛氐及房戊之垂线穿而过之与癸辰线遇于辰又引氐辛线至癸引房戌线至女得女辰女房癸辰癸氐四线皆如甲丙弦女卯女亢癸丑癸未四线皆如甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四线皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形纵横相叠并以容员心己㸃为心此同心八句股形各线相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之弦而立即所谓弦和较也此两形者皆相等而其方边并与容员径等即容员径上之方幂也然则何以又为弦和较试即以原弦论之甲丙弦上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相并即重叠此丁辛一边是句股和多于弦之数古人以弦和较为容员径葢谓此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各有此重叠之线以成两四方形相等之八边可以观矣(因鲍图改作之彼原有八角形外小句股形辏成一等面八角形之论但图欠明显)相似两句股并求简法假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等则为相似之两句股形今欲求两形之两句合线(两句者一为己辛大句一为壬乙小)(句即辛甲也则己甲为两句合线)法以两弦(一癸己大弦一癸乙小弦)并之为三率以癸角之正弦(两癸)(角等只用其一)为二率二三相乗为实半径全数为法实如法而一得四率己甲即(己辛壬乙)两句之合数何以知之曰试引癸己弦至丁截己丁弦如癸乙则丁癸即两弦合数也乃以癸角之正弦乗之半径(全)除之即得丁丙而丁戊即壬乙(以己)(丁即癸乙也亦即甲辛)戊丙即己辛(同在直线限内也)则所得丁丙亦即己甲矣有句股和有弦求句求股(量法)乙甲句股和 丙甲弦原法以甲为心作乙己卯象限 又以丙甲弦半之于丁以丁为心作甲戊丙半圆次于丙戊半员上任以辛为心丙为界作丙己小员屡试之令小员正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二线则辛丙为句辛甲为股如所求按此法不误但己㸃正切处难真今别立法求己㸃法曰自丁㸃作垂线分半圆于戊以戊为心用丙为界作丙己庚丑甲全员全员与象限相割于己从己向甲作直线割半员于辛乃作辛丙为句即辛甲为股合问如此则径得辛㸃不用屡试得数既易且真确矣论曰凡平员内作两通弦至员径两端必为句股而员径常为弦今既以丙甲弦为半员径则其辛丙与辛甲两通弦必句与股也而己辛甲线与乙甲等即句股和也今以辛为心作小员而其边正切己则己辛与丙辛等为小员之半径即等为句线矣于己甲句股和内截己辛为句则辛甲必为股故此法不误也又论曰半员内所容句股形以半方形为最大(即甲戊丙也其)(余皆半长方形之句股故小)其句股和亦最大(丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚为最大)(其余股长者句反甚小故其和皆小于甲戊庚)即弦上方幂之斜径也(甲未庚丙为弦)(上平方幂甲戊庚为其斜径)以此为象限之半径(如辰庚亥象限其半径辰甲及亥甲)(并与庚戊甲等)则能容弦上平方(如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内)又戊心所作平方外切之平圆亦能容弦上平方(此员以戊为心以平方四)(角为界其全径甲戊庚即平方之斜径也)三者相切于庚㸃惟相切不相割其余句股和并小(如乙甲和必小于辰丙)不能包平方之角即不能外切平员而与之相割矣(如乙甲和为半径作乙己卯象限不能包庚㸃即与)(平员相割如己)其自庚至丙并可为相割之己㸃而四十五度之句股具焉(八线表所列之句股只四十五度互相为正余句为正弦股即余弦也分言正弦则)(初度小而九十度最大也若合正弦余弦为和数则初度与九十度皆最小惟四十五度最大)己足以尽句股之变态矣(若过庚向末亦四十五度己㸃至此余其和数反小而与前四十五度为正)句股和之最大者以略小于弦上斜线而止(凡句股有和有较皆)(长方形之半非正半方也若半方形则有和无较可无用算非句股所设)其最小者以稍大于弦线而止(若同弦线即无句股)无有不割平圆故可以己㸃取之也又论曰以方斜为半径作象限则能容平方以方斜为半径作半圆则能容方斜上平圆(如庚己丙甲未平圆其径甲戊庚方斜是)(即方斜上之平圆也若以甲戊庚半径作大半圆即能容之)凡半圆内所容之圆度每以两度当外周半圆之一度何则论度必以角惟在心之角一度为一度若在边之角则两度为一度(如辰庚亥)(半圆从甲心出两线一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度为一度也若庚己丙甲未圆从)(甲边出两线一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是两度当一度以同用甲角)(故也)凖此论之则弦上半圆所作之戊甲丙角亦必四十五度矣(既同用甲角则戊辛丙象限亦两度当一度)若是则庚己丙之度与戊辛丙等(并同用甲角以庚辰为度故也)而己㸃所割之己丙弧及辛丙弧亦必等度矣(己丙为方外切员之度辛)(丙为方内切员之度大小不同而同用甲角以己乙为其)(度角等者度亦等)又引辛丙至寅则寅丑甲与辛戊甲两弧亦必等度(以同)(用丙角故也)而同为甲角之余(丙角原为甲角之余乃甲角减象限是以己甲乙减象限)(得己甲卯角与辛丙甲角等也其度则两度为一度乃甲角之倍度减半周是以寅庚减半周得寅丑甲以丙)(辛弧减半周得辛戊甲也)又己庚丑未弧原为己丙减半周之余即与寅丑甲等于此两弧内各减寅丑未则己庚寅与未癸甲亦等于是作己寅线与未甲等亦即与丙甲等而寅己丙与甲丙己又等(于寅己及甲己各加一己丙)则丙辛寅及己辛甲两直线亦等(皆句股和也)两和线相交于辛则交角等(皆十字正角)又作己丙线成己辛丙三角形而己角丙角等(己甲丙三角形)(与己寅丙等则对丙甲之己角对己寅之丙角亦等)则角所对己辛边丙辛边亦等矣 凖上论己辛与丙辛必等故用己㸃以求辛㸃而和数中句股可分也又论曰凡句股和所作象限与斜方上平员相割有二㸃其一为己其一为丑自丑作直线至甲心(象限心也)割半员于壬作丙壬线即成丙壬甲句股形与甲辛丙等(丑甲)(丙角为丙甲壬角之余与壬丙甲角等而其度丑卯与己乙等是丙甲辛角与壬丙甲等也辛壬又皆正角又)(同以丙甲为弦是两句股形等也)凖此论之凡半员内所作句股皆两两相似(句股之正角必负员周亦两两相对如辛㸃在戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限与之相对)(皆与象限上己㸃丑㸃相应其所作句股形亦两相似)故四十五度能尽句股之变也(戊丙与戊甲两象限并两度当一度其真度在庚辰及庚亥两半象限中故皆四十五度)试以壬为心丑为界作员界必过丙是丙壬股即丑壬而丑甲为和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和数之大至庚甲而极也凖上论又足以证己庚丑癸员能尽割员句股之理句股和较弦与句股较(相和即弦较和) (加句即股弦和) (减股即句弦较) (内减弦存句股较)(相较即弦较较) (减句即股弦较) (加股即句弦和) (用减弦存句股较)弦与句股和(相和即弦和和) (减弦即句股和) (减股即句弦和) (减句即股弦和)(相较即弦和较) (加句弦较即股) (加股弦较即句) (加句弦较股弦较即弦)弦与句弦较相和 (加句即两弦) (减句即两句弦较) (减弦即句弦较)相较(即句)句与股弦较(相和即句较和) (加句股较即弦) (减股弦较即句) (加句弦较减股弦较即股)(相较即句较较) (加句股较股弦较即股) (加股弦较即句) (加句股较股弦较较即弦)句与股弦和(相和即句和和) (减弦即句股和) (减股即句弦和) (减句即股弦和)(相较即句和较) (减股即句弦较) (减弦即句股较) (加句即股弦和)句与句股较(相和即股)相较 (加句股较即句) (加两句股较即股)句与句股和相和相较(即股) (减股即两句) (加股即两句股和)句与句弦较相和(即弦)相较 (加句弦较即句) (加两句弦较即弦)句与句弦和相和相较(即弦)句股较句弦较(相较即股弦较) 句股较股弦较(相较即句弦和内减两句又两股弦较)(相和即股弦和内减两句) (相和即句弦较)句弦较股弦较(相较即句股较)(相和即两弦内减一句一股)句股和句弦和(相较即股弦较) 句股和股弦和(相较即句弦较)(相和即两句一股一弦) (相和即两股一句一弦)句弦和股弦和(相较即句股较)(相和即两弦一句一股)句股较与(句股)和(相和即两股) 句股较与(句弦)和(相和即股弦和) 句股较与股弦和相和(相较即两句) (相较即句弦和)句弦较句弦和(相和即两弦) 句弦较与(句股)和(相和即股弦和) 句弦较与股弦和相和(相较即两句) 相较 (相较即句股和)弦和较弦和和(相和半之为句股和) 弦和较弦较和(相和半之为股)(相较半之为弦) (相较半之为句弦较)弦和较弦较较(相和半之为句) 弦和较句较和(相和半之为句)(相较半之为股弦较) (相较半之为股弦较)弦和较句和较(相和半之为句) 弦和较句较较(相和半之仍为弦和较)(相较半之为股弦较) 相较即减尽弦和和弦较和(相和半之为股弦和) 弦和和弦较较(相和半之为句弦和)(相较半之为句) 相较(半之为股)弦和和句较和(相和半之为句弦和) 弦和和句和较(相和半之即股弦和)(相较半之为股) 相较(半之为句)弦和和句较较(相和半之即句股和) 弦较和弦较较(相和半之为弦)(相较半之为弦) (相较半之为句股较)弦较和句较和(相和半之为弦) 弦较和句和较(相和半之为股与句弦较或弦与句股较)(相较半之为句股较) 相较恰尽弦较和句较较(相和半之为股) 弦较较句较和(相和半之为句与股弦较)(相较半之为句弦较) 相较恰尽弦较较句和较(相和半之为弦) 弦较较句较较(相和半之为句)(相较半之为句股较) (相较半之为股弦较)句较和句和较(相和半之为弦) 句较和句较较(相和半之为句)(相较半之为句股较) (相较半之为股弦较)句和较句较较(相和半之为股)(相较半之为句弦较)厯算全书卷四十七
## 卷四十八
钦定四库全书厯算全书卷四十八宣城梅文鼎撰句股阐微卷三句股法解几何原本之根句股羃与弦羃相等图甲乙丙句股形 乙辛大方为弦羃 弦羃内兼有句股二羃论曰试于弦羃作对角之乙子线与甲丙股平行而等又作丙丁对角线与甲乙句平行与乙子线遇于子成十字正角则丙子与甲乙句相等成乙子丙句股形与甲乙丙句股形等又作辛癸及庚戊两线皆与丙丁等亦与乙子等而皆与甲丙股等又辛丁及癸庚及戊乙皆与丙子等即皆与甲乙句等则弦幂内所作四句股形皆与原设句股形等于是以丙丁辛形移作乙壬庚以癸庚辛形移作甲乙丙成甲丙丁癸庚壬磬折形末引丁癸至巳截成大小二方形则丙巳方形即股幂癸壬小方即句幂也若先有丙巳股幂癸壬句幂则联为磬折形而移乙壬庚句股补于丙丁辛之位移甲乙丙句股补于癸庚辛之位即复成乙辛大方而为弦幂又法甲乙丙句股形 乙丙弦 其幂乙戊丁丙甲丙股其幂甲壬辛丙 甲乙句其幂乙庚癸甲法于原形之甲正角作十字线分弦幂为两长方(一为丑子)(丁丙)凖股幂(一为丑子戊乙)凖句幂又引之至己又自庚癸自壬辛并引之至巳而成方角次移甲丑丙句股补巳子丁虚形又移巳壬甲句股补丁辛丙虚形即成股幂而与丑子丁丙长方等积又移甲丑乙句股补己子戊虚形再移己卯戊句股补戊癸寅虚形又移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形即成句幂而与丑子戊乙等积解几何二卷第五题 第六题甲丙为弦 丁丙为句丁甲句弦和 乙丁句弦较(丁甲同丁壬甲癸并同)庚辛戊己弦幂也 己句幂也 戊庚辛较乗和之长方幂也移戊补戊移庚辛补庚辛而弦幂内净多一己形即句幂也故弦幂内有和较相乗之长方又有句幂也论曰凡大小方形相减则其余必为两形边和较相乗之长方是故己形者句自乗之小方也戊庚辛句弦较乗句弦和之长方也合之成戊庚辛巳形即弦自乗之大方矣几何二卷第五题以倍弦为甲乙原线以甲丙弦为平分之线以甲丁和乙丁较为任分之两线以丁丙句为分内线其理一也第六题以子丁倍句为原线以丁丙句为平分线以句弦较乙丁(即子甲)为引増线以丁甲句弦和为全线其理亦同以数明之 甲丙弦八 丁丙句五 乙丁较三 丁甲和十三 和较相乗三十九 句自乗二十五 以句幂加和较长方共六十四与甲丙弦幂等又论曰用股弦和较亦同解几何二卷第七题甲丁股幂(即甲乙元线上方)子戊句幂(即甲乙方内所作已辛方乃任分线甲丙)(上方也)并之成癸寅弦幂(即所)(谓两直角方形并也)弦幂内有戊甲股(即甲乙原线)戊癸句(即任分之甲丙线)相乗长方形二(即己甲长方及丁辛长方亦即甲乙偕甲丙矩形二也)及句股较乙丙上方一(即壬丙小方亦即所谓分余线上方也)何以明之曰试于戊癸线引长至丑令丑癸如已丁较(即乙丙)遂作子丑小长方(与丁庚等)以益亥癸成亥丑长方(与丁)(辛等亦与已甲等)次于癸寅内作甲酉寅辰午未癸卯四线皆与甲乙股等 自然有甲卯寅酉午辰癸未四线皆与戊癸句等又自有未卯卯酉等句股较与乙丙较等 即显弦幂内有句股形四较幂一也试于弦鼏内移午辰寅句股补癸戊甲之位成戊卯长方(与己甲等)又移癸未午句股补甲戌寅之位成戌酉长方(与亥丑等)而较幂未酉小方元与壬丙等又子丑小长方元与丁庚等合而观之岂非丁甲股幂及子戊句幂并即与己甲亥丑两长方及壬丙小方等积乎解几何二卷第八题庚甲乙句股形 取丁乙如庚甲句则丁甲为句股和和之幂为丁己大方(即元线甲乙偕)(初分线上直角方也)于大方周线取戊丑己子皆与庚甲句等即丑丁戊子己庚皆与甲乙股等(即甲乙元线也句线则初分线)次作丑癸庚辛乙壬子卯四线皆与外周四股线平行而等自有丑壬子癸庚卯乙辛四线皆与外周四句线平行而等又有壬癸癸卯卯辛辛壬四句股较线自相等(即分余线也)丁已和幂内有长方形四皆句乗股之积(即元线偕初分线矩内形)(四也)又有句股较自乗幂一即分余线上方形也解几何二卷第九题甲丙为股 丁丙为句丁甲句股和 乙丁句股较 壬庚为句幂 辛丙为股幂 丑丁较幂 丁癸和幂 戊巳线上方为句幂之倍 戊甲上方为斜线上方倍于元方图 股幂之倍并和较幂倍大于句幂股幂之并古法倍弦幂内减句股和幂开方得较若减较幂亦开方得和即其理也论曰己丁较上方与丁甲和上方并之即己甲上方也戊巳线上方与戊甲线上方并亦即巳甲上方也 而戊巳为句幂斜线戊甲为股幂斜线凡斜线上方形倍于原方故较幂并和幂亦倍大于句幂股幂之并也而句幂股幂并之即弦幂古人所以用倍弦幂也此第十题与前题同法 甲丙即句 丁丙即股 丁甲全线即和 丁乙引増线即较准前论丁庚(即丁乙)较上方幂与丁甲和上方幂并成庚甲线上幂而庚甲幂内原兼有丙丁股(即巳戊亦即己庚)及丙甲句二幂(己壬为股幂辛丙为句幂)之倍数(庚戊为股斜线其幂必倍于股幂戊甲为句斜)(线其幂必倍于句幂)故庚甲幂内能兼戊庚及戊甲二幂丙丙线皆弦也丙丙方弦幂也甲丙之长者皆股也(亦即丙丁)(丁)甲丙之短者皆句也(亦即丙丁)丁丁线句股较也丁丁小方较幂也甲丙甲句股和也甲甲大方和幂也丁甲长方皆句股相乗即倍句股形积也合而观之则弦幂内有句股积四及较幂一也和幂内有句股积八及较幂一也 若倍弦幂则有句股积八及较幂二也故以和幂减倍弦幂得较幂 若以较幂减之亦得和幂矣以句股法解理分中末线之根即几何二卷第十一题 六卷第三十题四卷第十第十一题古法句弦较 癸庚弦 其鼏庚乙 丙癸乘句弦和开 句 其鼏丙戊方得股之图 引庚甲弦至壬使甲壬如丙癸句则庚壬为句弦和丙庚原为句弦较 以较乗和成丙壬长方 长方内截甲丁小长方与戊辛等 其余庚辛合而观之是弦鼏内兼有句弦较乗和之积及句鼏也夫弦鼏内原有句股二鼏而今以句弦较乗和之积可代股鼏是句弦较乗和即同股鼏也句弦和及股 用法及句弦较为 有句弦和 有句弦较连比例图 求股法以较乗和开方得股或有股有句弦和求句求弦法以股自乗为实以句弦和除之得较以较减和半之得句句加较得弦若先有较以除股鼏亦得和矣如图 丙戊丁句股形 丙丁弦与丁乙等(亦与丁庚等)丁戊句 亥戊为倍句 乙戊为句弦较与庚亥等戊庚为句弦和与亥乙等亥巳为句股和乗句弦较之积与戊癸等丙戊股 其方鼏甲丙准前论甲丙方与亥巳长方等积(戊癸亦同)则庚戊和与丙戊股若丙戊股与戊乙较也一 句弦和 庚戊二 股 丙戊三 股 丙戊四 句弦较 戊乙以戊乙较减亥乙和余亥戊倍句折半为句(丁戊或丁亥)或戊乙较与丙戊股若丙戊股与庚戊和也一 句股较 戊乙二 股 丙戊三 股 丙戊四 句股和 庚戊又论曰以二图合观之凡倍句加句弦较即句弦和以倍句减句弦和余即句弦较此不论句小股大如前图或句大股小如后图并同此可以明倍句与句弦较必为句弦和之两分线故以句弦和为全线则其内兼有倍句及句弦较之两线矣但倍句有时而大于较有时而小于较故不能自为连比例而必藉股以通之今于句弦和全线内取倍句如股则先以股线为和较之中率者今以如股之倍句当之而倍句原系句弦和全线之大分于是和与倍句之比例若倍句与较亦即为全与大分若大分与小分此理分中末线所由出也下文详之丙戊线上取理分中末线先以丙戊线命为股 以丙戊折半成丁戊命为句取丙丁弦与丁乙等则戊乙为句弦较变股为倍句成 亥戊倍句与丙戊股等 以理分中末线图 加较成亥乙即句弦和亥巳为和较相乗积与丙亥股鼏等(丙亥为丙戊股之方即为亥戊倍句之方)准前论亥乙和与丙戊股若丙戊股与戊乙较今亥戊即丙戊则又为亥乙和与亥戊倍句若亥戊倍句与戊乙较也夫亥乙者全线也亥戊其大分戊乙其小分也合之则是全线与其大分若大分与其小分论曰此以丙戊股线为理分中末之大分而求得其全线亥乙与其小分戊乙也而大分与小分之比例原若理分中末线 全线与大分故即可以丙戊比例图 大分为全线而以小分戊子(即戊乙也)为大分则子丙自为小分矣以亥乙为全线(亥戊大分即丙戊亦即乙)(甲即戊乙小分 戊子)亥乙与乙甲(即亥戊大分)若亥戊与子戊也(即亥戊与戊乙)理分中末线 此用亥乙甲大句股比亥戊相生不穷图 子小句股若丙戊为全线则又戊子为大分(亦即子巳)子丙为小分(亦即巳甲)为亥戊与戊子(即丙戊与戊子)若子巳与巳甲也(即子戊与子丙)此用亥戊子大句股比子巳甲小句股亥戊与戊乙若戊子与子丙又相视之理也又若子巳为全线则子庚又为大分 庚巳又为小分其法但于大分子巳内截取子庚如小分丙子作丙庚小方则戊子(即子巳)与子丙若子庚与庚巳似此推之可至无穷解几何三卷第二十七题甲乙丙句股形 以乙丙句折半于巳 作已戊线与股平行平分甲丙弦于戊 又作戊庚线与句平行平分甲乙股于庚成巳庚长方此即半句乗半股为句股积之半也凡句股形内依正角作长方惟此为大 若于形内别作长方皆小(皆不及句股半积也)今仍作卯丁形则小于巳庚何以知之曰试作丑戊线与丙巳半句平行而等又作丑丙线与戊巳半股平行而等又引壬辰至寅引壬卯至午即显壬丑形与壬巳形等又乙辰原与巳寅等则以巳寅加壬丑而成丑午壬辰巳之磬折形即亦与卯丁形等矣夫磬折形在丑巳方形内而缺午辰之一角即相同磬折之卯丁形以较已庚半积方形亦缺戊未之一角也葢丑巳等巳庚而所缺之午辰小方亦等戊未也 准此言之即凡作长方于丙戊界内者皆小于巳庚半积形也又作子癸形则亦小于巳庚何以知之曰试作戊乙对角线引之至酉即显癸未形与卯未形等即卯丁形与子癸形亦等而其小于巳庚形为所缺之戊未小方亦等矣 准此言之即凡作长方于甲戊界内者皆小于巳庚半积形也又知句股内容方之积亦皆小于半积惟句股相等如半方者容方即为半积论曰此磬折形依弦线而成葢即几何所谓有阙依形也所阙之小方午辰及戊未皆与丑巳形相似而体势等以有弦线为之对角也然以句股解之殊简又论曰若壬角在弦线上去戊角更逺则所缺之午辰小方亦更大而其形皆相似而体势等辛角亦然解几何三卷三十五题甲丙乙句股形 以甲乙弦为半径作员则甲丙股为正弦丙乙句为余弦己丙矢为句弦较丁丙大矢为句弦和依句股法 较乗和开方得甲丙股而丙戊亦甲丙也故甲丙乗丙戊与巳丙乗丁丙等积也几何三卷第三十五题言员内两线相交则其各分之线相乗等积即此理也巳丁过员心线有庚壬斜线相交于丙(分丙巳及丙丁又丙庚及)(丙壬)皆分为两法自员心乙作十字线至辛平分庚壬为两(辛庚辛壬)皆斜线之半辛庚半线内又分辛丙为小线以辛丙减辛庚余庚丙为较以辛丙加辛壬成丙壬为和以大小二方相较之理言之庚辛方内有庚丙较乗丙壬和之积及辛丙方乙辛庚句股形以乙庚为弦弦幂内兼有庚辛及乙辛句股二幂即兼有庚丙乗丙壬之积及辛丙乙辛二方也又乙辛丙小句股形以乙丙为弦则乙丙方内兼有辛乙辛丙二方而甲丙乙句股形以同庚乙之甲乙为弦弦幂内兼有甲丙及乙丙二方 此两弦者既等其幂必等而其所兼之辛丙乙辛二方又与乙丙方等则各减等率而其所余之庚丙乗丙壬积亦必与甲丙方等矣而已丙乗丙丁原与甲丙方等则巳丙乗丙丁亦必与庚丙乗丙壬等矣辛戊线 庚壬线相交于丙则戊丙乗丙辛与庚丙乗丙壬亦等何以知之曰试作一丁巳过心线与两线交于丙凖前论戊丙乗丙辛之积及庚丙乗丙壬之积皆能与丁丙乗乙丙之积等则亦必自相等矣丁巳员径 有庚壬斜线相交于丙则庚丙乗丙壬与巳丙乗丙丁等如法作乙辛及乙庚线成乙辛庚句股 又成乙辛丙小句股以丙辛句减庚辛句余庚丙为较 以同丙辛句之辛戊加庚辛句成庚戊为和(即丙壬)又以乙丙弦(即乙子亦即乙癸)减庚乙弦余子庚为较 又两弦相加成庚癸为和(即子丑)以庚子较乗庚癸和与庚丙较乗丙壬和之积必等(详后条)而巳丙即庚子丙丁即子丑(亦即庚癸)故巳丙乗丙丁与庚丙乗丙壬亦等又大小方相减之理 庚乙方内兼有庚子乗庚癸之积及乙子方即如兼有庚丙乗丙壬之积及乙丙方也(乙丙即乙子)而同庚乙之甲乙弦幂内原兼有甲丙方及乙丙方此庚乙甲乙两积内各减去乙丙方则所存者一为庚丙乗丙壬之积一为甲丙自乗积此所余两积亦必相同可知矣又巳丙乗丙丁之积原与甲丙方等则亦与庚丙乗丙壬等矣先解两方相减寅辛大方内减子巳小方(寅辰为两方边之较卯辰为两方之和即子辛)法以小方边(乙子)为度于大方边截取(乙长乙戊)作辰午线及戊未线成辰戊小方与巳子等为减去之积其余为寅午长方(即二方较线寅长乗大方邉之)(积)及未辛长方(即较线午未乗小方邉之积)末取未辛长方移补丑卯之位成卯寅长方(即较乗和之积)又庚甲大方内减己癸小方(丁辛为两方较已辛为两方和亦即辛丙)如法作丁壬癸戌二线减去丁癸小方与已癸等其余辛壬壬癸两长方又移癸壬为丙壬成丁丙长方即较乗和之积也凖此论之凡大小二方相减其所余者必皆为较乗和之积次解两句股形相减 凡两句股同髙即可相加减(谓股)(数同也)乙庚辛句股内减乙庚丁句股 则以丁庚句减辛庚句余(辛丁)为两句之较 又以同(丁庚)之巳庚句加辛庚句成辛已为两句之和 和乗较成丁丙长方又以乙丁弦减辛乙弦余辛戊为两弦之较 又两弦相加成辛子为两弦之和(戊乙子乙并同丁乙) 和乗较成卯寅长方此两长方者其积必等(无论乙为正角或钝角或锐角并同)何以明其然也曰依句股法乙辛弦上方兼有乙庚庚辛上二方又乙巳弦上方兼有乙庚庚巳上一方今既以乙巳上方减乙辛上方则各所兼之乙庚方巳相同而减尽故乙辛上方之多于乙巳上方者即是庚辛上方多于庚巳上方之数也又所用者是两分之乙庚辛句股及乙庚已句股(即乙庚丁)故不论乙角锐钝其法悉同也解几何三卷三十六三十七题甲乙丙句股形 以丙乙句为半径作员 则甲丙股为切线 甲乙弦为割线甲乙割线内减丁乙半径则甲丁为句弦较 甲乙割线加戊乙半径成甲戊为句弦和 和较相乗平方开之得甲丙股几何三卷第三十六题三十七题之理葢出于此若割员线不过乙心 如甲庚 则以他句股明之法自乙心向割员线作乙巳为十字正交线则割线之在员内者平分为两(子巳巳庚)并为员内线子庚之半又作乙子半径成子巳乙小句股则子乙小弦上方幂兼有子巳小股乙巳小句两幂又甲庚总线既分于巳则甲巳大线内减子巳小线其余甲子在员外者为较 以小线巳庚加大线甲巳成甲庚总为和凡大小二方相较则大方内兼有较乗和及小方之积则是甲巳幂内必兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方也又甲巳乙亦句股形其甲乙弦内原兼有甲巳及乙已句股二幂即是兼有甲子乗甲庚之长方及子巳方与乙巳方也而子巳及巳乙二方原合之成一子乙方子乙即丙乙也是合丙乙方与甲子成甲寅之长方而成甲乙方也又甲丙乙句股形 同以甲乙为弦原合丙乙方与甲丙方而成甲乙方两形之甲乙方内各去其相等之丙乙方则其余积一为甲子乗甲寅之长方一为甲丙自乗方是二者不得不等矣用法凡测平员形 既得甲丙切线 自乗为实 以甲丁之距为法除之得甲戊之距以甲丁距减之得丁戊员径若欲测庚物之在员周者亦以甲丙切线自乗为实以甲子为法除之即得甲庚之距又法用两句股相加减甲乙丙句股形 以乙丙句为半径作员 又以甲乙弦为半径作外员 自外员任取甲㸃作过心员径至戊 又任作一不过心斜线入内员至庚 则以两员间距线乗其全线皆与股幂等而亦自相等如以甲丁乗甲戊或甲壬乗甲庚其积皆等又皆与甲丙切线上方幂等法以两句股相加减先自乙心作乙辛十字正线平分壬庚线于辛成乙辛甲句股又作乙壬乙庚二线成乙辛壬小句股与乙辛庚等法以辛壬与甲辛相减余甲壬为两句之较又相加成甲庚全线为两句之和则以甲壬乗甲庚为句之较乗和也又以乙壬与甲乙相减余甲丁为两弦之较亦相加成甲戊全线为两弦之和则以甲丁乗甲戊为弦之较乗和也此句与弦之和较相乗两积必等而甲丁乗甲戊原与甲丙自乗等(以甲丙乙句股言之也)故三积俱等凖此论之凡自甲㸃任作多线入内员其法并同 不但此也但于外员周任作线入内员亦同如于丑作丑戊线则丑卯乗丑戊亦与甲丙幂等何以知之曰试于丑作丑寅过心线即诸数并同甲戊矣而丑卯戊之于丑辰寅犹甲壬寅之于甲丁戊故也简法庚壬斜线交丁巳员径于丙 如法作乙辛线 成乙辛庚句股形及乙辛丙小句股形又以丙辛小句与辛庚大句相减得庚戊较又相加成庚丙和再以乙丙小弦(即乙癸亦即乙子)与庚乙大弦相减得子庚较又相加成癸庚和依大小两句股相加减法庚戊较乗庚丙和与子庚较乗庚癸和同积而壬丙原同庚戊又巳丙原同子庚而丁丙亦同癸庚则壬丙乗庚丙亦必与巳丙乗丁丙同积矣又简法壬庚线斜交已丁员径于丙 依法作乙辛又作乙壬线 成乙辛壬句股及乙辛丙小句股皆如前今自庚别作一过乙心线如庚戊则乙辛庚与乙辛壬成相同之两句股即显壬丙为大小两句之较而丙庚为其和又显戊癸为两弦之较而与巳丙等则巳丙亦较也又癸庚为两弦之和而与丙丁等则丙丁亦和也是故壬丙乗丙庚较乗和也已丙乗丙丁亦较乗和也而其积必等厯算全书卷四十八
## 卷四十九
钦定四库全书歴算全书卷四十九宣城梅文鼎撰句股阐微卷四几何増解方斜较求原方(几何约论线第十四条有用法今解其理)甲乙丙丁正方形 甲乙其对角线 戊乙为方斜之较 于戊乙上作庚癸乙戊小方则丙庚与庚戊等论曰法于方之一角甲作员而以丙甲方径为员之半径则乙丙为切员线乙辛为自员外割员之全线乙戊较为割员在外之余线而两线皆出一㸃则乙戊乗乙辛之矩形与乙丙切线方形等夫乙丙即原设方也今以同乙戊之癸乙为横乙辛为直作乙已长方(即乙戊乗乙辛之矩)又移切甲己长方为子甲长方又移卯补午移辰补酉移丑补寅则复成乙丙甲丁方形矣而丑卯午酉等斜剖半方形皆以乙戊较为半方形之边是庚戊及丙庚皆与乙戊等而亦自相等又何疑焉用法 有方斜之较乙戊求原方形之一边法以乙戊较作小方形取其斜乙庚再引长之截丙庚如乙戊得乙丙如所求从此图生一测员之法 假有员城八面开门正西门如戊门外有塔如乙其距如乙戊西南门如丙距塔若干歩如乙丙问城径法以乙丙之距自乗得数为实以乙戊之距为法法除实得乙辛于乙辛内减去乙戊即员城之径 㨗法但倍乙丙即得城径有员城正西之门如戊西南之门如丙人立于庚可两见之而庚丙与庚戊皆等问城径法以庚戊自乗成戊癸小方以方斜之法求其斜距为乙庚以乙庚加庚丙为乙丙即城半径按此即几何约之用法也又以句股法解之又论曰试于庚丙上作丙子较线上方引庚戊至丁则丁庚又为丙子方之斜而丁戊与乙丙等从丁戊作丁壬甲戊为元方如所求又论曰此即句弦和较相乗开方得股也 乙甲丁甲皆如弦 戊甲甲辛(甲丙甲壬)皆如句 乙戊如句弦较(丁丙同)乙辛如句弦和 和较相乗成癸辛长方 开方得丁戊股(乙丙同)切线角与员周角交互相应(几何三卷三十二三十三増题)乙丙丁三角形在员内有甲乙切员线则所作丙乙甲角与丙丁乙角同大又丁乙戊角与丁丙乙角同大所谓交互相应也论曰丁角以乙丙弧分论度而丙乙甲角亦以乙丙弧分之度为度故丙乙甲角即丁角也丙角以丁乙弧分为度而丁乙戊角亦以丁乙弧分为度故丁乙戊角即丙角也 凡用员周度为角度皆以两度为一度详后第三増题若丁为钝角则丙乙甲亦钝角两钝角同以丙辛乙弧为度故也其丙锐角与丁乙戊锐角则同以丁乙弧为度又増题 员内三角形一角移动则余二角变而本角度分不变交互相应之角度亦不变如上图(三图)丁角移至辛则丙角加大而相应之辛乙戊角亦从之而大以辛丁乙弧大于丁乙弧也辛乙戊大则辛乙丙小矣其较皆为丁辛弧 若丁角虽移至辛而其度不变相应之丙乙甲角亦不变以所用之丙乙弧不变也又丙角移至壬则丁角加大相应之壬乙甲亦从之而大以壬丙乙弧大于丙乙弧也壬乙甲大则壬乙丁小矣其较皆为丙壬弧 若丙角虽移至壬其度不变相应之丁乙戊亦不变以所用之丁乙弧不变也此图同论但丁角移则丙角变小丙角移亦然又増题 切员线作角与员周弧度相应图有子甲戊员有干艮线相切于子从子㸃出线与切线作角必割员周之度其大小皆相应但皆以员周两度当角之一度如用子午正线则所作两㫄子角皆正角(百八十度分两正角各皆)(九十度)而亦剖员为半周(两半员并百八十度)是两度当一度又如用子辛线作辛子艮钝角(四十五度)而本线割员周于辛为九十度象限亦两度当一度又如用子辛线作辛子干钝角形(百三十五度)而线割辛午干员分(为二百七十度)三象限亦两度当一度又如于员内任作辛子乙角形乙辛子角所乗之子甲乙弧六十度干子乙角同用子甲乙弧亦六十度然其实度是坎寅弧实只三十度亦两当一也又子乙辛角乗子癸壬辛弧(一象限)艮子辛角亦割子癸壬辛弧(一象限)然其实度为震酉弧只四十五度亦两当一也所以者何曰试作辛乙线移角于辛则所乗弧(子甲)(乙)六十度皆实度也今也角在心是员周也非员心也凡员周之角小于员心一倍故也论曰员周至员心正得员径之半故所作角为折半比例试作乙丙线成辛乙丙句股形又从心作心周线与辛乙平行则所作周心丙角与乙辛丙等而此心周线平剖乙丙句亦平分乙周丙于周而正得其半矣系句股形平分弦线作点从此作线与股平行即平分句线为两又论曰查角度之法皆以切点为心作半员即见真度此不论半员大小或作于员内或作于员外并同 作于员外其度开明易于简查又论曰试于所切圈心作横径线与切线平行如辛丙线引长之出员外而以查角度之线割员周而过之则皆成大小句股形而所过横线上㸃皆即八线中之切线为句股形之股角度斜线为横线所截处即八线中割线常为弦而切点至员心之半径常为句如子辛角度线割横线于辛成辛心子句股形其所当角度为酉中四十五度则辛心即四十五度之切线辛子即四十五度之割线余并同 其子心即半径也又论曰角度半员有大小而子心半径常为句者以所作横线在员心欲用员度相较也若于半员之端(如中如外)作横线与切线平行其所作切线割线亦同比例而即以各半员之半径为句矣不但此也即任于子心外直线上任作一横线其所作句股并同但皆以十字交处距子㸃之度命为半径此八线割员之法所由以立也量无法四边形㨗法甲乙丙丁形求其容 先作乙丁对角线分为两三角形次自丙作丙戊横线与乙丁线相交于丑为十字正角而取戊㸃与甲齐平则戊丑即甲庚也次以丙戊㸃折半于己 次作壬癸线与乙丁平行而等 又作壬辛癸子二线皆与己丙平行而等 得辛癸长方即原形之容取平行线简法法曰乙丙线欲于甲㸃作线与之平行法于线外任取巳㸃为心甲㸃为界作辛甲丁庚圈分次以庚为心取甲辛之度为界截员分得丁㸃末自丁作戊丁甲线此线必与乙丙平行矣论曰凡圈内两直线相距之度等则其线必平行如(丁甲)与(庚辛)两线俱在一圈之内而所距之(甲辛)圈分与(庚丁)圈分等是相距之度等而其线平行也因读数度衍得此法似较他处为㨗补测量全义斜坡用切线法(系勿庵补)斜三角形有一角两边求余边法用切线分外角求得余角即以得边可不用垂线如甲乙己斜角形 有乙甲及己甲二边 有甲角求乙己边法以己甲线引长之成乙甲丙角为原有甲角之外角(以元有甲角减半周得)次分外角之度而半之为半外角而求其切线为三率并乙甲己甲二边为首率又以二边相较为次率次率乗三率为实首率为法除之得半较角之切线以查表得半较角之度以减半外角得己角末用正弦法得己乙边 法为己角正弦与乙甲若甲角正弦与乙己三率法一 两线之和 己丙二 两线之较 己丁三 半外角之切线 戊癸四 半较角之切线 壬戊用外角者乙己两角之和度而较角者乙己两角之较度(以用切线故半之也)论曰又如后图己甲引至丙而乙甲亦引至辛则乙甲丙及丁甲寅两角皆原有甲角之外角再作甲戊线平分外角则丁甲戊及寅甲戊皆半外角 又作甲壬线与乙已平行则壬甲癸角即同己角壬甲辛角即同乙角再于甲戊半径之端作癸戊辛十字线切员于戊则戊癸及戊辛皆半外角之切线也再以壬甲癸角减壬甲辛角其较为壬甲子角则壬甲戊即半较角而壬戊其切线也其比例为己丙(二边和)与己丁(二边较)若癸辛(外角全切线即乙己丁角)(和度之全切)与壬子(较角度之全切线)则亦若癸戊(半外角切线)与壬戊(即半较角之切线)何也全与全若半与半也理分中末线甲乙线求作理分中末线法以甲乙全线折半于庚乃作垂线于甲端为丙甲如半线甲庚之度为句全线为股次作丙乙线为弦次以丙为心乙为界作乙丁圈界 次引丙甲句至丁则丙丁即丙乙也 末以甲为心丁为界作丁戊己圈分则甲己为理分中末之大分己乙为小分其比例为甲乙与甲己若甲己与己乙也逓加法 借右图以乙为心甲为界运规截丁已圈分于戊自戊作线向甲成甲戊线与甲丁等乃自戊作戊乙线与乙甲等成甲乙戊三角形此形甲戊两角悉倍于乙角乃平分戊角作戊辛线此线与甲戊并大亦与乙辛同大成辛戊甲相似三角形则甲乙与乙辛(即戊辛)若乙辛与辛甲也又平分辛角作辛壬线与壬戊与辛甲皆同大则成甲辛壬三角形与辛戊甲相似则乙辛(即戊辛亦即戊甲)与辛甲(即辛壬戊壬)若辛甲与壬甲也如此逓半则其角比例并同一(乙甲) 二(乙戊即戊辛戊甲) 三(辛甲即辛壬戊壬) 四(辛癸即壬癸壬甲)五(癸甲即癸子壬子) 六(癸丑即丑子子甲) 七(丑甲即丑寅寅子) 八(丑卯即卯寅寅甲)九(卯甲) 若能知其数则以大分逓乗全数除之得细数先得甲乙为大分而求乙己全分及乙庚小分 用此图亦为半圆内求容方法则以乙巳全分加乙庚小分折半于戊得戊己为半径若先得戊己则以戊己(即戊丁)为弦作丁甲戊句股使戊甲句半于丁甲股则丁甲即为戊己理分中末之大分解曰甲庚(即乙己)全数与丁甲(大分)若丁甲(大分即甲乙)与甲己小分(即乙庚)也以量分甲乙线十数求作理分中末线先依甲乙线作甲乙丁丙正方形(四面皆十数) 次任用一面平分之如甲丙平分于壬(甲壬)(及壬丙皆五数)甲乙之半数也(甲丙与甲)(乙等其分亦等) 次自壬向乙角作乙壬斜线其数一十一(一八)(○三三九) 次自壬量甲壬或丙壬之度(即甲乙之一半)移置于乙壬线上截壬癸如甲壬则其余癸乙即理分中末之大分其数六(一八○三三九)末以癸乙之度移置于甲乙线上如乙戊则乙戊为大分戊甲为小分其数三(八一九六六○)简法作句股形 令甲壬句如甲乙股之半乃以壬为心甲为界作虚线圆分截乙壬弦于癸末以乙为心癸为界作圆分截甲乙线于戊则乙戊为大分甲戊为小分又简法以甲乙全线为半径作半圆形则乙庚乙辛皆与甲乙等次平分乙辛于己次以己为心庚为界运规割甲乙线于戊(戊己之度即同己庚)则乙戊为大分 甲戊为小分又简法作子寅丑卯十字线相交于乙次以乙为心甲为界运规截十字线于甲于庚于辛则乙庚乙辛皆与设线甲乙等乃折半(乙辛)于己以己为心庚为界运规截甲乙于戊 则乙戊大分甲戊小分皆得矣 此法可于平面圆器上求之附长方变正方法甲乙丙丁长方形欲变正方以长方形之横边(乙丙)直边(丙丁)二线取其中比例即所求取中比例法以丙丁乙丙(即戊)(丙)联为一直线(丁戊)而折半于己以己为心丁若戊为界作半圆次引乙丙横线至圆界截圆界于庚成丙庚线即乙丙及丙丁二线之中比例线次于丙庚线上作小方形其容与甲乙丙丁长方形等如右图丙庚线上方形为丙壬乃子壬癸句股形内之容方也而甲丙长方形则子壬癸句股外之余方也余方与容方等积简法先引丁丙边至午引乙丙边至未次以丙角为心乙为界作小员界虚线截引长线于戊次以丁戊线折半于己次引乙丙至未次以己为心戊为界运规作小圆界截引长线于庚 则丙庚即所变方形之一边 末依丙庚线作方形与甲乙丙丁长方形等积 其法以丙为心庚为界运规截丙辛与丙庚等理分中末线用法一用以分平圆为十平分法为半径与三十六度之分圆若全分与理分中末之大分也一用以分平圆为五平分歴书言以全分为股理分中末之大分为句求其弦即半径全数为股三十六度之分圆为句求得七十二度之分圆为弦一用以量十二等面体法为立方边与所容十二等面边若理分中末之全分与其小分也又十二等面体之边与内容立方边若理分中末之大分与其全分也又立方内容十二等面体其内又容小立方则外立方与内立方若理分中末之全与其大分也一用以量二十等面体法为立方边与所容二十等面边若理分中末之全与其大分也一用以量圆灯法为圆灯边与其自心至角线若理分中末之大分与其全分也此自心至角之线即为外切立方立圆及十二等面二十等面之半径又为内切八等面之半径圆灯为有法之形即此可见用理分中末线说言西学者以几何为第一义而传只六卷其有所秘耶抑为义理渊深翻译不易而姑有所待耶测量全义言有法之体五其面其积皆等其大小相容相抱与球相似几何十一十二十三十四卷诸题极论此理又几何六卷言理分中末线为用甚广量体所必需几何十三卷诸题全頼之古人目为神分线又言理分中末线求法见本卷三十题而与二卷十一题同理至二卷十一题则但云无数可解详见九卷其义皆引而未发故虽有此线莫适所用疑之者十余年辛未岁养病山阿游心算学于量体诸法稍得窥其奥爰证厯书之误数端于十二等面二十等面得理分中末之用及诸体相容之确数故以立方为主其内容十二等面边得理分线之末二十等面边得理分线之中反复推求了无凝滞始信几何诸法可以理解而彼之秘为神授及吾之屏为异学皆非得其平也其理与法详几何补编遥量平面法甲乙庚辛为所欲量之平面而不能到如仰视殿上承尘而人在殿外又如峭壁悬崖之上有碑若碣凡平面之物人从地面斜视灼然可见而不能到或平面在下如田池之类人从台上俯视可见或临深崖瞰谷底其理不异但倒用其图即是欲量甲乙庚辛平面而不能到可到者丙丁则先知丙丁之距及丙丁所作各角即可以知之先求甲乙线 法于丙于丁各安平圆仪各以指尺向甲向乙又自相向各作角成甲丙丁甲丁乙乙丁丙凡三角形者三依第一法用甲丙丁形此形有丙丁线(两测之距)有丙角有丁角自有甲角可求甲丁线法为甲角之正弦与丙丁若丙角之正弦与甲丁也次仍依第一法用乙丁丙形此形亦有丙丁线(两测之距)有丙角有丁角自有乙角可求乙丁线法为乙角之正弦与丙丁若丙角之正弦与乙丁也(此丙)(角与前形之丙角不同)次仍依第一法用甲丁乙形此形有甲丁乙丁两线及两线间所作之丁角(与前形丁角不同)可求甲乙线为所测之一边 法自甲角作甲戊垂线至戊分乙丁线为两而甲丁乙三角形分为两句股形 其一甲戊丁句股形有丁角 有甲丁线为弦可求甲戊句戊丁股法为全数与甲丁弦若丁角之正弦与甲戊句 又全数与甲丁弦亦若丁角之余弦与戊丁股也其一甲戊乙句股形有甲戊句 有乙戊股(戊丁减乙丁得之)可求甲乙弦法以甲戊句乙戊股各自乗而并之开方得甲乙即所测平面之一边第二求庚辛线 法亦于丙于丁各安平员仪(即先所安之元)(处)各以指尺向庚向辛又自相向各作角成庚丙丁庚丁辛 辛丙丁 凡三角形亦三依第一法用庚丙丁形 此形有丙丁线(两测之距)有丙角有丁角自有庚角可求庚丁线法为庚角之正弦与丙丁若丙角之正弦与庚丁也(此丙)(角与前两丙角不同)依上法用辛丙丁形 此形有丙角(此丙角又与上不同)有丁角自有辛角 可求辛丁线(丁角与前不同)法为辛角之正弦与丙丁若丙角之正弦与辛丁也仍依上法用庚丁辛形此形有庚丁辛丁两线及两线间所作丁角(此丁角又不同)可求庚辛线为所测之又一边法自庚角作庚己垂线至己分辛丁线为两而庚丁辛三角形分为两句股形其一庚己丁句股形有丁角有庚丁线为弦可求庚己句己丁股法为全数与庚丁弦若丁角之正弦与庚己句亦若丁角之余弦与己丁股也其一庚己辛句股形有庚己句有辛己股(己丁减辛丁得之)可求庚辛弦法以庚己句辛己股各自乗而并之开方得庚辛为所测平面之又一边(即甲乙之对邉)第三求甲庚线法于丁㸃侧安平仪以指尺向甲向庚作甲丁庚角成甲丁庚形此形有甲丁庚丁两线及两线所作之丁角(此丁角在甲丁庚丁两线间)可求甲庚线为所测形之侧边法自庚角作甲丁之垂线至壬分甲丁线为两而甲丁庚三角形分为两句股形其一庚壬丁句股形 有庚丁线为弦有丁角可求庚壬句壬丁股(法同前用丁角之正弦余弦)其一庚壬甲句股形 有庚壬句甲壬股(丁壬减甲丁得甲壬)依句股法可求甲庚弦线为所测平面之侧边第四求乙辛线法亦于丁㸃侧安平仪指尺向乙向辛作乙丁辛角成乙丁辛形 此形有乙丁辛丁两线及两线所作之丁角此(丁角在辛丁乙丁两线间)可求乙辛线为所测形之又一侧边法自辛角作乙丁之垂线至癸分乙丁线为两而乙丁辛三角形分为两句股形其一辛癸丁句股形有辛丁线为弦有丁角可求辛癸句癸丁股(法亦同前用丁角之正弦余弦)其一辛癸乙句股形有辛癸句乙癸股(癸丁减乙丁得乙癸)依句股法可求乙辛弦线为所测平面之又一侧边如此则所测形之四边皆具乃用后法求其幂第五求乙庚线法仍于丁㸃斜立平仪以指尺向乙向庚作乙丁庚角成乙丁庚形此形有庚丁乙丁两线及两线所作之丁角(此丁角又在乙丁庚丁两线间)可求乙庚线为所测形内之对角斜线乙庚丁角形内自庚角作乙丁之垂线至卯分乙丁线为两而乙庚丁三角形亦分为两句股形其一庚卯丁句股形 有庚丁线为弦有丁角可求庚卯句卯丁股(依上法用丁角之正弦余弦)其一庚卯乙句股形 有庚卯句有卯乙股(卯丁减乙丁得卯乙)依句股法可求乙庚弦线为所测平面形内对角之斜线既有乙庚线则所测甲乙辛庚平面形分为两三角形可以求其幂积其一乙甲庚形有乙庚底 有甲庚甲乙两腰 法以两腰相减为较相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙午以减乙庚得午庚半之得子庚乃用句股法以甲庚子庚各自乗相减为实开方得甲子垂线垂线半之以乗乙庚底得乙甲庚形平积其乙辛庚形有乙庚底 有乙辛辛庚两腰如上法以乙辛辛庚相减为较又相并为和和乗较为实乙庚底为法除之得乙辰为底较以减乙庚得辰庚半之得丑庚乃用句股法以丑庚庚辛各自乗相减为实开方得丑辛垂线垂线半之以乗乙庚底得乙辛庚形平积末以两三角形积并之为所测甲乙辛庚平面四不等形之总积右法可以不用丈量而遥知亩歩即有种种异态以三角御之足矣新法厯书言测量详矣然未著斯法意者其在几何后数卷中为未译之书欤庚午蜡月既望晤逺西安先生谈及算数云量田可以不用履亩初闻之甚不以为然归而思之得此法然未知其所用者即此与否而此法固己足用矣若用有纵衡细分之测器指尺一量即得无烦布算矣测量用影差义疏凡方形内从角剖成两句股形必相似而等(正方或长方并同)方形内作对角斜线分为两句股又于斜线上任取一㸃作直线纵横相交如十字而悉与方边平行分方形为大小四句股形此四句股形各两两相似而等(大形丙与)(丁等小形庚与辛等)则其四句股旁之两余方形虽不相似而其容必等解曰于原斜线所分相等句股内各减去相等之大小两句股则其余亦等(丙戊庚形内减去大形丙)(小形庚余戊又于丁己辛形内减去大形丁小形辛余己原形既等所减又等则其余必等故戊己两长方虽)(不相似而其容必等也)句股测逺有甲乙之距人在戊立表又立表于丁使戊丁乙为一直线再于丙立表使丙丁与乙戊如十字之半而与甲乙平行则丁戊小股与丙丁小句若丙庚大股与甲庚大句也法以丙丁小句为二率乙丁大股为三率(即丙庚)相乗为实戊丁小股为一率为法法除实得大句甲庚再以庚乙加之得甲乙假如丙丁两表相距(三歩)人在戊窥丁到乙逺(戊丁十)(二歩丁乙十八歩)欲求甲乙之距法以丙丁(三歩)乗乙丁(十八歩)得(五十四歩)为实戊丁(十二歩)为法除之得(四十五歩)为甲庚加丙丁(三歩即)(乙庚)共四十八歩为甲乙解曰此以乙丙长方形变为丙癸也依前论乙丙实形丙癸虚形不相似而容积等故也重测法有巽乙甲井方池欲遥望测其甲乙之一面方并乙丁之距法立表于丁望测方池之东北角乙至东南角巽使丁乙巽为一直线 再于丁横过立一表于丙使丙丁为乙丁之横立正线(丙丁横六歩四分)次从丁退而北行至(戊)量得(十二歩) 从戊斜望池西北隅(甲)不能当(丙)表而出其间如(戌)又于戌立表(戌丁)之距(四歩) 再退而北行至(己)从(己)窥(甲)正过(丙)表己丙甲为一直线量得己丁之距(三十六歩)法以(丙丁六歩四分)为一率(丁己三十六歩)为二率(戊)(丁四歩)为三率 二三相乗得(一百四十四歩)为实一率(六歩四分)为法除之得(二十二歩半)为辛己于辛己内减丁戊(十二歩)余(十歩半)为壬己是为景差次以(戌丁四歩)减(丙丁六歩四分)余(丙戌二歩四分)以戊丁(十二歩)乗之得(二十八歩八分)为句实 景差(十)(歩半)为法除句实得二歩(八分弱)为甲申大句之距加丙丁(六歩四分即申乙)得共(九歩二分弱)为甲乙即方池一面之濶次以辛己(二十二歩半)减丁己(三十六歩)余(十三歩半)辛丁为二率丁戊(十二歩)为三率相乗得(一百六十二歩)为股实 景差(十歩半)为法除之得(十五歩八分半弱)为乙丁大股之距解曰此以四表重测改为三表乃巧算也 若测髙则重测本为前后二表者亦改用一表故当先知本法然后明其所以然下文详之试先明四表本法有甲乙之濶先立(丁)表从戊测之戊(人目)丁(表)乙(逺物)(之末端)三者参相直 次于(丁)表横过与(甲乙)平行作戊丁乙直线之横直线此线上取戊立表人目从(戊)过(戌)表窥甲逺物之西端亦参相直但于戊丁乙线为斜弦成句股形 量得戌丁两表横距(四歩)丁戊(人目距)(东表)直距(十二歩)次于丁戊直线退而北行至己 又于西表戌作戌干癸直线与丁戊平行此平行线内取癸立西后表人目从(己)过(癸)至甲参相直成己甲癸斜弦 亦从(癸)横行至(丁己)线寻(辛)立东后表此后两表(癸辛)之距为前表(戌丁)等(四歩) 又量得(辛己)为东后表距人目之数(辛丁)(二十二歩半)次以丁戊(十二)减辛己(二十二半)得(十歩)(半)为壬己景差 末以己辛(二十二半)减(己丁三十六)余(十三歩半)为前后表间之距 以表横距(四歩)乗之得(五十四歩)为表间积(即丁癸长方) 置表间积为实以景差(十歩半)为法除之得(五歩一半弱)加表横距(四)(歩) 得共(九歩二分弱)为所测逺物甲乙之濶解曰前表测得成(戊乙甲)句股形内有戌乙余方与形外戌坤余方等积 后表测得(己乙甲)句股形内有癸乙余方与形外酉癸余方等积 于(癸乙)内减(戌乙)于(酉癸)内减(寅癸即丑戌)则所余之(癸丁)及(酉辰)两余方亦必等积也故以(丁癸)变(辰酉)而得(辰寅)亦即(甲庚)也次明改用三表之理用三表者于(丙丁)两表间増一(戌)表其实则于(戌丁)两表外増一(丙)表也前増一表而无后表则无从而得景差故以三率法求而得之其实(癸辛)即后表也其理与四表同然不用(癸子)形而用(戌子)形何也曰准前论(辰酉)形与(丁癸)形等积而(午癸)形与(丁癸)形亦等积(两余方在己丙丁句股形)(内外故等)则(酉辰)与(午癸)亦等积矣各减同用之(卯未)则所余之(酉卯)与(卯癸)二形亦自相等积而(卯癸)原与(戌子)等故用(戌子)变为(卯酉)而得(卯寅)即得(甲申)矣是故(戌)(子)可名句实也其以(辛丁)乗(戊丁)为股实何也曰此三率法也(丁乙)外加(丁辛)前后两测之表距故(辛壬即戊丁)外亦加(壬己)两测之景差法为壬己与辛丁若戊丁与丁乙也凖此测髙可用一表而成两测(即借前测逺之图而以横为直)假如有(甲乙)髙立(丙丁)表人目在(戊)测之则表之端不相值而参相直于表之若干度如(戊)退若干歩至(己)测之正对表端(丙)其法并同因看数度衍中破勾测逺条疑其图不真因作此以证明其说测量图说一测股六十四尺八寸(壬丁) 二测句四十三尺二寸(丙丁) 三大股三千六百八十五尺二寸(乙丁即丙午)四大句二千四百五十六尺八寸(甲午)加(午乙)得二千五百尺为甲乙之髙解曰癸丁长方形即古人所谓表间积也以景差壬辛(即丑子)除之变为寅子形是寅子与癸丁同积也 而申癸形原与癸丁同积则寅子与申癸亦同积也 于内各减同用之申子而寅未与未癸亦同积矣夫未癸即氐己也是戊丁(即亥己)乗丙己之积也故可命为句实而以景差壬辛(即申未)除之得甲午句也(甲午即戌酉)其取股实何也曰三率法也表在丁其景丁戊 后表在庚则其景庚壬后表之逺于前表者为庚丁故后景之大于前景者为辛壬则其比例为辛壬与庚丁若丁戊(即庚辛)与丁乙也试引癸庚至箕截庚箕如庚壬又截尾箕如壬辛于尾于箕各作与庚乙平行线而于乙作垂弧为乙牛联之作长方形又作丁心线截之作箕乙线斜分之则其理著矣三角形求外切圆法设如锐角形有甲丙边七十五尺甲乙边六十一尺乙丙边五十六尺 问外切圆径若干 畣曰外切圆半径三十八尺一寸二分五牦法先求得甲丁中长线六十尺为一率甲乙边六十一尺为三率甲丙边折半得戊甲三十七尺五寸为三率二率与三率相乗一率除之得四率(三八一二五)为甲乙圆半径解曰此甲丁乙三角形与甲己戊三角形同式故其线为相比例率也若甲为钝角其理亦同以甲丙折半为三率故四率亦为半径若以甲丙全线为三率则四率必得甲辛为全径矣葢甲辛丙形与甲乙丁形同式也何以见甲乙丁形与甲辛丙形同式葢两形之乙角辛角同当甲庚丙弧分则二角必相等而丁丙又同为直角则两甲角亦必等而为同式无疑矣又界角比心角所当之弧大一倍今己心角所当甲庚弧适当乙界角所对甲庚丙之一半则两角为等可知而戊为直角与丁角等则两甲角必等故甲己戊与甲乙丁亦为同式形也三角举要有量法未著算例因作此补之又如甲乙丙钝角形 求外切员径(甲辛) 半径(甲己)法先求得中长线(乙丁)得(乙丁丙)句股形次作(乙辛)线成(甲乙辛)大句股形又甲乙半之于戊从员心(己)作直线过戊至庚又成(甲戊己)句股形一率 乙丁股(形内垂线)三率 甲戊股(即甲乙之半)四率 甲辛弦(即外切员径) 四率 甲己弦(即切员半径)解曰三句股形皆相似故可以三率比例求之问何以知其为相似形也曰原设形之丙角与甲乙辛形之辛角所当者同为甲庚乙员分则两角等而乙丁丙形之丁角与甲乙辛大形之乙角又皆正角则余角亦等而为相似形又甲己为甲辛之半甲戊为甲乙之半戊正角与大形乙正角等又同用甲角则己戊亦乙辛之半而为相似形一系凡三角形求得形内垂线为法 垂线左右两原边相乗 为实 法除实得外切员径 锐钝同法假如甲乙丙钝角形求得中垂线乙丁六分为法 左右两斜边(甲乙十八分乙丙十分)相乗(一百八十分)为实 法除实得外切员径甲辛三十分 即可借用前图(分寸畸零稍为整顿)歴算全书卷四十九
## 卷五十
钦定四库全书厯算全书卷五十宣城梅文鼎撰三角形举要法卷一测算名义古用句股有割员弧背弦矢诸名今用三角其类稍广不可以不知爰摘纲要列于首简㸃㸃如针芒无长短濶狭可论然算从此起譬如算日月行度只论日月中心一点此㸃所到即为躔离真度线线有弧直二种皆有长短而无濶狭自一㸃引而长之至又一㸃止则成线矣如测日月相距度皆自太阳心算至太隂心是为弧线如测日月去人逺近皆自人目中一㸃算至太阳太隂天是为直线凡句股三角之法俱论线线两端各一㸃故线以㸃为其界面面有方员各种之形皆有长短有濶狭而无厚薄故谓之幂幂者所以冒物如量田畴界域只论土面之大小面之方员各类皆以线限之故面以线为界(面之线亦曰邉)惟员面是一线所成乃弧线也若直线必三线以上始能成形体体或方或员其形不一皆有长短有濶狭又有厚薄(或浅)(深髙下之类)员体如球如柱方体如柜如㪷或如员塔方塔皆以面为界(图后)以上四者(谓㸃线面体)略尽测量之事矣然其用皆在线如论㸃则有距线论面则有邉线论体则有棱线(面与面相得则)(成棱线)凡所谓长短濶狭厚薄浅深髙下皆以线得之三角法者求线之法也长短濶狭厚薄等类皆以量而得而量者必于一线正中若稍偏于两旁则其度不真矣故凡测量所求者皆线也三角形欲明三角之法必详三角之形两直线不能成形成形者必三线以上而三线相遇则有三角故三角形者形之始也多线皆可成形析之皆可成三角至三角则无可析矣故三角能尽诸形之理凡可算者为有法之形不可算者为无法之形三角者有法之形也不论长短斜正皆可以求其数故曰有法若无法之形析之成三角则可量故三角者量法之宗也角三角法异于句股者以用角也故先论角两线相遇则成角(平行两直线不能作角何也线既平行则虽引而长之至于无穷终无相)(遇之理角安从生是故作角者必两线相遇必不平行也)角有三类一正方角一锐角一钝角如右图以两线十字纵横相遇皆为正方角(亦曰直角亦曰方角)如右图以两线斜相遇则一为锐角一为钝角凡锐角必小于正方角凡钝角必大于正方角正方角止一锐角钝角则有多种而算法生焉弧角在小形与在大形无以异也故无丈尺可言必量之以对角之弧法以角之端为员心用规作员员周分三百六十度乃视本角所对之弧于全员三百六十度中得几何度分其弧分所对正得九十度者为正方角(九十度者全员四之一谓之象)(限)若所对弧分不满九十度者为锐角(自八十九度以至一度并锐角)(也)所对弧分在九十度以上者为钝角(自九十一度至百七十九度并)(钝角也)如图丁为角即用为员心以作员形其庚丁丙角(凡论角度并以中一字为所指之角此言庚丁)(丙即丁为角也)所对者庚丙弧在全员为四之一正得象限九十度是为正方角若乙丁丙角所对者乙丙弧在象限庚丙弧之内小于象限九十度是为锐角又乙丁壬角所对乙庚壬弧过于壬庚弧(壬庚亦象限九十度弧故)(庚丁壬亦方角)大于象限九十度是为钝角角之度生于割员割员弧矢有弧则有矢弧矢者古人割员之法也如图以乙子直线割平员则成弧矢形所割乙丙子员分如弓之曲古谓之弧背以弧背半之则为半弧背(如乙丙)通弦正弦割员直线如弓之弦谓之通弦(如乙子)通弦半之古谓之半弧弦今曰正弦(如乙甲)矢线正弦以十字截半径成矢(如丁丙横半径为乙甲正弦所截成甲丙矢)谓之正矢(以上二条俱仍前图)正弧余弧正角余角所用之弧度为正弧以正弧减象限为余弧(如庚丙象限内减乙丙正弧则其余乙庚为余弧)正弧所对为正角(如正弧乙丙对乙丁丙角则为正角)以正角减正方角为余角(如以乙丁丙正角去减庚丁丙方角则其余乙丁庚角为)(余角)正弦余弦正矢余矢有正弧正角即有正弦(如乙甲)有正矢(如甲丙)亦即有余弦(如乙己)有余矢(如己庚)正弦正矢余弦余矢皆乙丙弧所有亦即乙丁丙角所有自一度至八十九度并得为乙丙并得为正弧即正余弦矢毕具若用乙庚为正弧则乙丙反为余弧角之正余亦同割线切线每一弧一角各有正弦余弦正矢余矢己成四线于平员内(古人用句股割员即此法也盖此四线己成倒顺二句股)再引半径透于平员之外与切员直线相遇为割线切线而各有正余复成四线(正割正切余割余切复成倒顺二句股)共为八线故曰割员八线也如图庚乙丙平员切戊丙直线于丙又引乙丁半径透出员周外使两线相遇于戊则戊丙为乙丙弧之正切线亦即为乙丁丙角之正切线而戊丁为乙丙弧之正割线亦即为乙丁丙角之正割线又以平员切庚辛直线于庚与乙丁透出线相遇于辛则庚辛为乙丙弧之余切线亦即为乙丁丙角之余切线而辛丁为乙丙弧之余割线亦即为乙丁丙角之余割线割员八线凡用一弧即对一角用一角亦对一弧故可互求凡一弧即有八线(正弦正矢正割正切余弦余矢余割余切)角亦然凡一弧之八线即成倒顺四句股角亦然如图庚丙象弧共九十度庚丁丙为九十度十字正方角任分乙丙为正弧乙丁丙为正角则乙庚为余弧乙丁庚为余角正弦(乙甲己同丁) 正矢(甲丙)正切(戊丙) 正割(戊丁)余弦(乙己甲同丁) 余矢(庚己)余切(辛庚) 余割(辛丁)以上八线为乙丙弧所用亦即为乙丁丙角所用(自一度至)(八十九度并同)若用乙庚弧亦同此八线但以余为正以正为余乙甲丁句股形乙丁(半径)为弦乙甲(正弦)为股丁甲(余弦)为句 戊丙丁句股形戊丁(正割)为弦戊丙(正切)为股丙丁(半径)为句以上两顺句股形同用乙丁甲角故其比例等(凡句股形一角等则余角并等)乙己丁倒句股形乙丁(半径)为弦己丁(正弦)为股乙己(余弦)为句 辛庚丁倒句股形辛丁(余割)为弦丁庚(半径)为股辛庚(余切)为句 以上两倒句股形同用乙丁巳角故其比例亦等乙甲丁句股形乙丁(半径)为弦乙甲(正弦)为股甲丁(余弦)为句 丁己乙倒句股形乙丁(半径)为弦己丁(正弦)为股乙己(余弦)为句 此倒顺两句股形等邉又等角(倒形之丁角即顺形丁角之余倒形之乙角即顺形乙角之余)竟如一句股也凖此论之则倒顺四句股之比例亦无不等矣角度凡三角形并三角之度皆成两象限(共一百八十度)假如乙甲丁句股形其丁角五十五度(当乙丙弧)则乙角必三十五度(当乙庚余弧)两角共一象限九十度其甲角正方原系九十度合三角成一百八十度乙角何以必三十五度也试引乙丁弦过心至夘则夘丁丑角与丁乙甲角等(夘丁乙同为一线丁丑线又与乙甲平行则所作之角必等)而夘丁丑固三十度也则乙角亦三十度矣又假如丙乙丁三角形从乙角作乙甲直线至丁丙邉分为两句股形(乙甲)(丁乙甲丙)凖前论乙甲丁句股形以乙分角与丁角合之成一象限九十度又乙甲丙句股形以乙分角与丙角合之成一象限九十度然则以乙全角(即两分角之合)与丁丙两角合之必两象限一百八十度矣(乙为钝角并同)以此推知三角形有两角即知余角(并两角以减半周一百八十度得之)句股形有一角即知余角(句股原有正方角九十度则余两角共九十度故得一可知其二)相似形既知角可以论形有两三角形其各角之度相等则为相似形而两形中各邉之比例相等(谓此形中各邉自相较之比例亦如)(彼形中各邉自相较之比例也)比例两数相形则比例生比例者或相等或大若干或小若干乃两数相比之差数也有两数于此又有两数于此数虽不同而其各两数自相差之比例同谓之比例等或两小数相等又有两大数相等是为相等之比例数虽有大小其相等之比例均也或两小数相差三倍又有两大数亦相差三倍是为三倍之比例或两小数相差为一倍有半又有两大数相差亦一倍有半是为一倍有半之比例数虽有大小其为三倍之比例及一倍有半之比例均也论八线之比例有二一为八线自相生之比例乙甲丁小句股形与戊丙丁大句股形相似(见前条)故以半径乙丁比正弦乙甲若割线戊丁与切线戊丙之比例也(此为以小弦比小股若大弦与大股)股求弦亦同又以半径丙丁比正切戊丙若余弦甲丁与正弦乙甲之比例也(此为以大句比大股若小句比小股)股求句亦同余倣此以故凡八线中但得一线则余皆可求观图自明一为八线算他形之比例乙丁甲角所有八线为表中原设之数亢丁房句股形为今所算之数或先有丁角有亢丁弦而求房丁句则为以乙丁半径比甲丁余弦若亢丁弦与房丁句也(以角与句求弦亦同)以上是用八线以求他形或先有亢丁弦有亢房股而求丁角则为以亢丁弦比亢房股若乙丁半径与丁角之正弦乙甲也(得乙)(甲得丁角矣)或先有亢房股与房丁句而求丁角则为以亢房股比房丁句若丁庚半径与庚辛余切也(得庚辛亦得丁角)以上二者是用他形转求八线总而言之皆以先有两数之比例为后两数之比例其乗除之法皆依三率也三率三率算术古谓之异乗同除今以句股解之丁戊大股(十四尺)丙戊大句(十一尺二寸)截丁乙小股(十尺)问乙甲截句答曰八尺术以所截小股乗大句得数为实以大股为法除之即得截句若先以原股(十四尺)除原句(十一尺二寸)得八寸为每一尺之句再以截股(十尺)乗之亦得八尺但先除后乗多有不尽之数故改用先乗后除乃古九章中通用之纲要也先乗后除何以又谓之异乗同除曰今但有截股而不知句故以原有之句乗之股与句异名故曰异乗然后以原有之股除之股与股同名故曰同除然则又何以谓之三率曰本是以原有之股与句比今截之股与句共四件也然见有者只三件(原有)(之股与句及今截之股)故必以见有之三件相为乗除而得所不知之第四件故曰三率三率乗除图式一率 原有股十四尺 为法二率 原有句十一尺二寸(相乗)三率 今截股十尺 (为实)四率 所求截句八尺 法除实得所求术曰以原股比原句若截股与截句也凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率二率三率常相乗为实一率常为法法除实得四率四率乃所求之数其三率者所以求之也三率与异乗同除非有二理但以横列为异然数既平列即可以四率为法除二三相乗之实而得一率并可以一率四率相乗为实用二率为法除之而得三率或用三率为法除之亦得二率是故一四二三之位可以互居(四可为一二可为三)法实可以迭用(二与三可居一四之位一与四可居二三之位)变动不居惟用所适而各有典常于异乗同除之理尤深切而著明者也三率互用图反之 更之 又反之一句八尺 一股十尺 一句十一尺二寸二股十尺 二句八尺 二股十四尺三句十一尺二寸三股十四尺 三句八尺四股十四尺 四句十一尺二寸四股十尺右并以二率三率相乗为实一率为法除之而得四率八线表八线为各弧各角之句股所成故八线表者即句股形之立成数也古人用句股开方巳尽测量之理然句股弦皆邉线耳邉之数无方放之则弥四逺近之则陈几案故所传算术皆以一端示例而已不能备详其数也今变而用角则有弧度三百六十以限之而以象限尽全周有合于举一反三之㫖又析象限之度各六十分凡为句股形二千七百角度五千四百(九十度之分五千四百而句股形并)(有两角故其形二千七百而角数倍之)为正弦为切线为割线共一万六千二百(三项各五千四百正余互用也)而句股之形略备用之殊便也锐角分两句股钝角补成句股然惟有八线表中豫定之句股故但得其角度则诸数厯然可于无句股中寻出句股矣半径全数全数即半径也不言半径而言全数者省文也凡八线生于角度而有角有弧则有半径八线之数皆依半径而立也半径常为一(或五位则为一万或六位则为十万)则正弦常为半径之分(正弦必小于半径)而不得为全数惟半径可称全数也(割切二线皆依正弦而生亦皆有畸零不得为全数)用全数为半径有数善焉一立表时易于求数也一用表时便于乗除也(三率中全数为除法则但降位可省一除若全数为乗法则但升位可省)(一乗)厯书中多言全数(或但曰全)以从省便今算例中直云半径以欲明比例之理故质言之补遗正弦为八线之主割圜之法皆作句股于圜内以先得正弦故古人祗用正弦亦无不足今用割切诸线而皆生于正弦平圜径二尺(即戊壬)半之一尺(即戊丙庚)(丙等)为圜里六孤之一面(即乙戊)半径(戊丙)为弦半面(戊丁)为句句弦求股得股(丁丙)转减半径(庚丙)得余(庚丁)为小句半面(戊丁)又为小股句股求弦得小弦(戊庚)是为割六弧成十二弧之一面如是累析为二十四弧四十八弧至九十六弧以上定为径一尺周三尺一寸四分有竒论曰九章算经载刘徽割圜术大畧如此其以半径为六弧之一面与八线理合半径恒为一即全数半面为股则正弦也平方径十寸其积百寸内作同径之平圜平圜内又作平方正得外方之半其积五十寸平方开之得七寸○七有竒(即离震等四等面之通弦)乃自四隅之旁増为八角曲圜为第一次(即八等面通弦)至第二次则为曲十六(即十六等面通弦)第三次为曲三十二每次加倍至十二次则为曲一万六千三百八十四于是方不复方渐变为圜矣其法逐节以大小句股弦幂相求至十二次所得小弦以一万六千三百八十四乗之得三十一寸四分一牦五毫九丝二忽为径十寸之圜周与祖冲之径一百一十三周三百五十五合论曰元赵友钦革象新书所撰乾象周髀法大略如此所得周径与西术同其逐节所求皆通弦所用小股皆正弦也又论曰刘徽祖冲之以割六孤起数赵友钦以四角起数今西术作割圜八线以六宗率则兼用之可见理之至者先后一揆法之精者中西合辙西人谓古人但知径一围三未深攷也又论曰中西割圜之法皆以句股法求通弦通弦半之为正弦割圜诸率皆自此出总之为句股之比例而巳钝角正弦钝角不立正弦而即以外角之正弦为正弦钝角之正弦在形外即外角之正弦也故乙丙已钝角与乙丙甲外角同以乙丁为正弦(以钝角减半周得外角假如钝角一百二)(十度其所用者即六十度之正弦)乙丁线能为乙丙甲角正弦又能为乙丙已钝角正弦八线表止于象限以此(因钝角与)(外角同正弦故表虽一象限而实有半周之用)钝角余弦钝角既以外角之正弦为正弦即以外角之余弦为余弦如前图乙庚为外角(乙丙甲)余弦而即为钝角(乙丙己)余弦捷法以正角(戊丙巳)减钝角(乙丙巳)得余角(戊丙乙)即得余弦过弧钝角之弧为过弧巳戊为象限弧而乙戊巳为乙丙巳钝角之弧是越象限弧而过之也故曰过弧大矢钝角之矢为大矢如前图以乙丁辛弦分全圜即全径亦分为二则丁甲为小半圜(乙甲辛)之径谓之正矢丁巳为大半圜(乙已辛)之径谓之大矢大矢者钝角所用也 钝角与外角同用乙丁正弦乙庚余弦所不同者惟矢(乙丙巳角用大矢丁已乙丙甲角用正矢丁甲)捷法以乙庚(即丁丙)余弦加已丙半径即得(丁巳)大矢(若以余弦减半径亦得正矢)正角以半径全数为正弦八线起○度一分至八十九度五十九分并有正弦而九十度无正弦非无正弦也盖即以半径全数为其正弦故凡算三角有用半径与正弦相为比例者皆正角也(其法与锐角形钝角形用两正弦为比例同理并详后卷)八十九度竒之正弦至九九九九九而极迨满一象限始能成半径全数是故半径全数者正角九十度之正弦也其数为一○○○○○厯算全书卷五十
## 卷五十一
钦定四库全书厯算全书卷五十一宣城梅文鼎撰三角法举要卷二算例三角形有三类一曰句股形即直角三邉形也有正方角一余并锐角一曰锐角形三角并锐一曰钝角形三角内有钝角一余并锐角以上三类总谓之三角形其算之各有术句股形第一术 有一角一邉求余角余邉内分二支一先有之邉为弦一先有之邉为句(或先有股亦同)假如(壬癸丁)句股形有丁角(五十七度)壬丁弦(九十一)(丈八尺)求余角余邉一求癸丁邉术曰以半径全数比丁角之余弦若壬丁弦与癸丁句(半径即丁乙余弦即甲丁)(以丁乙比甲丁若壬丁比丁癸)一率(原设弦)半径 一○○○○○为法二率(原设句)丁角(五十七度)余弦 五四四六四(相乘)三率(今有弦)壬丁邉 九十一丈八尺(为实)四率(今所求句)癸丁邉 五十丈 法除实得所求一求壬癸邉术曰以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股一率(原设股)半径 一○○○○○ 为法二率(原设股)丁角(五十七度)正弦 八三八六七 (相乗)三率(今有弦)壬丁邉 九十一丈八尺 (为实)四率(今所求股)壬癸邉 七十七丈 法除实得所求一求壬角以丁角(五十七度)与象限九十度相减得余三十三度为壬角计开先有之三件癸正方角(九十度) 丁角(五十七度) 壬丁弦(九十一丈八尺)今求得三件癸丁旬(五十丈) 壬癸股(七十七丈) 壬角(三十三度)右例先得弦以求句股也是为句股形第一术之第一支假如(壬癸丁)句股形有丁角(六十二度)癸丁句(二十四)(丈)求余角余邉一求壬角以丁角(六十二度)与象限相减得余二十八度为壬角(戊丙丁句股形以戊丙切线为股丙丁半径为句戊丁割线为)(弦是丁角原有之线)(今壬癸丁句股形既同丁角则其比例等)一求壬丁邉术为以半径比丁角之割线若癸丁句与壬丁弦一(原设句)半径 一○○○○○ 为法二(原设弦)丁角(六十二度)割线 二一三○○五 (相乗)三(今有句)癸丁邉 二十四丈 (为实)四(所求弦)壬丁邉 五十一丈二尺 法除实得所求一求壬癸邉术为以半径比丁角之切线若癸丁句与壬癸股一(原设句)半径 一○○○○○为法二(原设股)丁角(六十二度)切线 一八八○七三 (相乗)三(今有句)癸丁邉 二十四丈 (为实)四(所求股)壬癸邉 四十五丈一尺 法除实得所求计开先有之三件癸正方角 丁角(六十二度) 癸丁句(二十四丈)今求得三件壬角(二十八度) 壬丁弦(五十一丈一尺) 壬癸股(四十五丈一尺)右例先得句以求弦及股也或先得股以求弦及句亦同是为句股形第一术之第二支句股形第二术 有邉求角亦分二支一先有二邉一先不知正方角而有三邉(新増)假如(壬癸丁)句股形有壬丁弦(一百零二丈二尺)癸丁句(四十八丈)求二角一邉一求丁角术为以壬丁弦比癸丁句若半径乙丁与丁角之余弦甲丁一 壬丁邉 一百○二丈二尺 今有之弦为法二 癸丁邉 四十八丈 今有之句(相乘)三 半径 一○○○○○ 原设之弦(为实)四 丁角余弦 四六九六六 法除实得所求原设句依术求得丁角六十二度(以所得余弦捡表即得)一求壬角以丁角(六十二度)与象限相减得余二十八度为壬角一求壬癸邉术为以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股一 半径 一○○○○○二 丁角(六十二度)正弦 八八二九五三 壬丁邉 一百○二丈二尺四 壬癸邉 九十丈○二尺三寸计开先有之三件壬丁弦(一百○二丈二尺) 癸丁句(四十八丈) 癸正方角今求得三件丁角(六十二度) 壬角(二十八度) 壬癸股(九十丈○二尺三寸)右例以邉求角而先知方角故只用二邉也是为句股形第二术之第一支(此先有二邉为弦与句故)(用正余弦若先有者是句与股则用切线其比例之理一也)假如(壬癸丁)三角形有壬丁邉(一百○六丈)壬癸邉(九)(十丈)癸丁邉(五十六丈)求角一求癸角术以壬丁大邉与丁癸邉相加得(一)(百六十二丈)为总又相减得(五十)(丈)为较以较乗总得(八千一百丈)为实以壬癸邉(九十丈)为法除之仍得(九十丈)与壬癸邉数等即知癸角为正方角依术求得癸角为正方角定为句股形一求丁角术为以丁癸邉比壬癸邉若半径与丁角之切线一 丁癸句 五十六丈二 壬癸股 九十丈三 半径 一○○○○○四 丁角切线 一六○七一四依术求得丁角五十八度○六分(以所得切线捡表即得)一求壬角以丁角(五十八度○六分)与象限相减得余三十一度五十四分为壬角计开先有三邉壬丁邉(一百零六丈) 壬癸邉(九十丈) 癸丁邉(五十六丈)求得三角癸正方角 丁角(五十八度零六分) 壬角(三十一度五十四分)右例亦以邉求角而先不知其为句股形故兼用三邉是为句股形第二术之第二支锐角形第一术 有两角一邉求余角余邉假如(乙丙丁)锐角形有丙角(六十度)丁角(五十度)丙丁邉(一百二十尺)先求乙角术以丙角(六十度)丁角(五十度)相并得(一百一十度)以减半周一百八十度余七十度为乙角次求乙丁邉术为以乙角正弦比丙丁邉若丙角正弦与乙丁邉一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁邉(即乙角对邉) 一百二十尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙丁邉(即丙角对邉) 一百一十尺○六寸次求乙丙邉术为以乙角正弦比丙丁邉若丁角正弦与乙丙邉一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁(乙角对邉) 一百二十尺三 丁角(五十度)正弦 七六六○四四 乙丙(丁角对邉) 九十七尺八寸计开先有之三件丙角(六十度) 丁角(五十度) 丙丁邉(一百二十尺)今求得三件乙角(七十度) 乙丁邉(一百一十尺零六寸) 乙丙邉(九十七尺八寸)右例先有之邉在两角之间也若先有之邉与一角相对亦同盖三角形有两角即有第三角故无两法锐角形第二术 有一角两邉求余角余邉此分二支一先有之角与一邉相对一先有之角不与邉相对假如(甲乙丙)锐角形有丙角(六十度)甲丙邉(八千尺)甲乙邉(七千零三十四尺)先求乙角术为以甲乙邉比甲丙邉若丙角正弦与乙角正弦一 甲乙(丙角对邉) 七千○三十四尺二 甲丙(乙角对邉) 八千尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙角 正弦 九八四九六捡正弦表得乙角八十度○三分次求甲角以丙角乙角相并得(一百四十度○三分)以减半周余三十九度五十七分为甲角次求乙丙邉术为以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙邉之与乙丙邉一 乙角(八十度○三分)正弦 九八四九六二 甲角(三十九度五十七分)正弦 六四二一二三 甲丙(乙角对邉) 八千尺四 乙丙(甲角对邉) 五千二百一十五尺计开先有之三件丙角(六十度) 甲丙邉(八千尺) 乙甲邉(七千○三十四尺)今求得三件乙角(八十度○三分) 甲角(三十九度五十七分) 乙丙邉(五千二百一十五尺)右例有两邉一角而角与一邉相对是为锐角形第二术之第一支假如(甲乙丙)锐角形有甲丙邉(四百尺)乙丙邉(二百六)(十一尺○八分)丙角(六十度) 角在两邉之中不与邉对求甲乙邉先求中长线分为两句股形术为以半径比丙角正弦若甲丙邉与甲丁中长线一 半径 一○○○○○二 丙角(六十度)正弦 ○八六六○三三 甲丙邉 四百尺四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分次求丙丁邉(即所分甲丁丙形之句而甲丙为之弦)术为以半径比丙角余弦若甲丙邉与丙丁邉一 半径 一○○○○○二 丙角(六十度)余弦 五○○○○三 甲丙邉 四百尺四 丙丁邉 二百尺次求乙丁邉(即所分甲丁乙形之句而甲丁为之股)以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁次求丁甲乙分角(即分形甲丁乙句股之甲角)术为以甲丁中长线比乙丁分邉若半径与甲分角切线一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分邉 六十一尺○八分三 半径 一○○○○○四 甲分角切线 一七六三三捡切线表得一十度为甲分角末求甲乙邉术为以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙邉一 半径 一○○○○○二 甲分角(十度)割线 一○一五四三三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分求甲全角以丙角(六十度)之余角三十度(即分形甲丁丙之甲分角)与求到甲分角(一十度)相并得四十度为甲全角求乙角以甲分角(一十度)减象限得八十度为乙角(或并丙甲二角减半)(周亦同)计开先有之三件甲丙邉(四百尺) 乙丙邉(二百六十一尺○八分) 丙角(六十度)今求得三件甲乙邉(三百五十一尺七寸五分) 甲角(四十度) 乙角(八十度)右例有两邉一角而角在两邉之中不与邉对故用分形以取句股是为锐角形第二术之第二支又术(新増) 用切线分外角假如(甲乙丙)锐角形有甲丙邉(四百尺)乙丙邉(二百六)(十一尺○八分)丙角(六十度) 此即前例但求甲角术以(甲丙乙丙)两邉相并为总相减为较又以丙角(六十度)减半周得外角(一百二十度)半之得半外角(六)(十度)捡其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角一 两邉总 六百六十一尺○八分二 两邉较 一百三十八尺九寸二分三 半外角切线 一七三二○五四 半较角切线 三六三九七捡切线表得(二十度)为半较角转与半外角(六十)(度)相减得甲角四十度次求乙角并甲丙二角共(一百度)以减半周得余八十度为乙角次求甲乙邉一 甲角(四十度)正弦 六四二七九二 丙角(六十度)正弦 八六六○三三 乙丙邉 二百六十一尺○八分四 甲乙邉 三百五十一尺七寸五分锐角形第三术 有三邉求角假如(甲乙丙)锐角形有乙丙邉(二十丈)甲丙邉(一十七)(丈五尺八寸五分)乙甲邉(一十三丈○五寸)术曰任以(乙丙)大邉为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两句股形一甲丁丙形以甲丙邉为弦丁丙为句一甲丁乙形以甲乙邉为弦丁乙为句两弦相并为总相减为较 两句相并(即乙丙邉原数)为句总求两句相减之数为句较术为以句总比弦总若弦较与句较也一 两句之总(即乙丙) 二十丈二 两弦之总 三十丈○六尺三寸五分三 两弦之较 四丈五尺三寸五分四 两句之较(即丙戊) 六丈九尺四寸六分求分形之两句以句较(六丈九尺四寸六分)减句总(二十丈即乙丙)余乙戊(一十三丈○五寸四分)半之得丁乙(即戊丁)六丈五尺二寸七分为(甲丁乙)分形之句又以戊丁(六丈五尺二寸七分)加句较(六丈九尺四寸六分 即戊丙)得丁丙一十三丈四尺七寸三分为(甲丁丙)分形之句求丙角术为以甲丙弦比丁丙句若半径与丙角之余弦一 甲丙邉 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分邉 一十三丈四尺七寸三分三 半径 一○○○○○四 丙角余弦 七六六一六捡余弦表得丙角四十度求甲角术先求分形大半之甲角以丙角(四十度)减象限余五十度为(丁甲丙)分形之甲角次求分形小半之甲角术为以甲乙弦比丁乙句若半径与分形甲角之正弦一 甲乙邉 一十三丈○五寸二 丁乙分邉 六丈五尺二寸七分三 半径 一○○○○○四 甲分角正弦 五○○一五捡正弦表得三十度为(丁甲乙)分形之甲角并分形两甲角(先得五十度后得三十度)得共八十度为甲全角求乙角倂丙甲二角共(一百二十度)以减半周得余六十度为乙角计开先有三邉甲丙邉(一十七丈五尺八寸五分) 乙丙邉(二十丈)乙甲邉(一十三丈○五寸)求得三角丙角(四十度) 甲角(八十度) 乙角(六十度)钝角形第一术 有两角一邉求余角余邉假如(乙丙丁)钝角形有丙角(三十六度半)乙角(二十四)(度)丁乙邉(五十四丈)先求丁角术以丙乙二角并之共(六十度半)以减半周得余一百一十九度半为丁钝角次求乙丙邉术为以丙角正弦比丁角正弦若乙丁邉与乙丙邉一 丙角(三十六度二十分)正弦 五九四八二二 丁角(一百十九度三十分)正弦 八七○三六三 乙丁邉 五十四丈四 乙丙邉 七十九丈○一寸右所用丁角正弦即六十度半正弦以钝角度减半周用之凡钝角并同求丁丙邉术为以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉与丁丙邉一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邉 五十四丈四 丁丙邉 三十六丈九尺二寸计开先有之三件丙角(三十六度半) 乙角(二十四度) 丁乙邉(五十四丈)今求得三件丁钝角(一百一十九度半) 乙丙邉(七十九丈○一寸) 丁丙邉(三十)(六丈九尺二寸)钝角形第二术 有一角两邉求余角余邉亦分二支一先有对角之邉一先有二邉皆角旁之邉而不对角假如(甲乙丙)钝角形有乙角(九十九度五十七分)甲丙对邉(四千尺)甲乙邉(三千五百一十七尺)求丙角术为以甲丙对邉比甲乙邉若乙角正弦与丙角正弦一 甲丙邉 四千尺二 甲乙邉 三千五百一十七尺三 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四九六(即八十度三分正弦)四 丙角 正弦 八六六○三捡表得丙角六十度求甲角并乙丙二角(共一百五十九度五十七分)以减半周得余二十度○三分为甲角求乙丙邉术为以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙对邉与乙丙邉一 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四六九二 甲角(二十○度三分)正弦 三四二八四三 甲丙邉 四千尺四 乙丙邉 一千三百九十二尺计开先有之三件乙钝角(九十九度五十七分) 甲丙邉(四千尺) 甲乙邉(三千五百一十)(七尺)今求得三件丙角(六十度) 甲角(二十度○三分) 乙丙邉(一千三百九十二尺)右例有两邉一角而先有对角之邉是为钝角形第二术之第一支假如(乙丁丙)钝角形有乙丁邉(一千零八十尺)乙丙邉(一千五百八十二尺)乙角(二十四度) 角在两邉之中不与邉对术先求形外之虚垂线补成正方角从不知之丙角作虚垂线于形外如丙戊亦引乙丁线于形外如丁戊两虚线遇于戊成正方角术为以半径比乙角正弦若乙丙邉与丙戊一 半径 一○○○○○二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丙邉 一千五百八十二尺四 丙戊邉(即虚垂线) 六百四十三尺又以半径比乙角之余弦若乙丙邉与乙戊一 半径 一○○○○○二 乙角(二十四度)余弦 九一三五五三 乙丙邉 一千五百八十二尺四 乙戊邉(即乙丁引长线) 一千四百四十五尺以原邉乙丁(一千○八十尺)与引长乙戊邉相减得丁戊(三百六十五尺)为形外所作虚句股形之句(则先得丙戊垂线为股而)(原邉丁丙为之弦)求丁丙邉依句股求弦术以丙戊股自乗(四十一万三千四百四十九尺)丁戊句自乗(一十三万三千二百二十五尺)并之得数(五十四万六千六百七十四尺)为实平方开之得弦七百三十九尺为丁丙邉求丙角术为以丁丙邉比丁乙邉若乙角正弦与丙角正弦一 丁丙邉 七百三十九尺二 丁乙邉 一千○八十尺三 乙角(二十四度)正弦 四○六七四四 丙角 正弦 五九四四二捡表得丙角三十六度二十九分求丁角并乙丙二角共(六十度二十九分)以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角计开先有之三件乙丁邉(一千零八十尺) 乙丙邉(一千五百八十二尺) 乙角(二十四度)今求得三件丁丙邉(七百三十九尺) 丙角(三十六度二十九分) 丁钝角(一百一十九度)(三十一分)右例有两邉一角而两邉并在角之两旁不与角对是为钝角形第二术之第二支又术(新增) 用切线分外角假如(乙丙丁)钝角形有丁乙邉(五百四十尺)丙乙邉(七)(百九十一尺)乙角(二十四度) 角在两邉之中不与邉对求丙角以(丁乙丙乙)两邉相并为总相减为较又以乙角(二十)(四度)减半周得外角(一百五十六度)半之得半外角(七十八度)捡其切线得四七○四六三术为以邉总比邉较若半外角切线与半较角切线一 两邉之总 一千三百三十一尺二 两邉之较 二百五十一尺三 半外角切线 四七○四六三四 半较角切线 八八七一九捡表得半较角(四十一度三十五分)以转减半外角(七十八度)得余三十六度二十五分为丙角求丁角并乙丙二角共(六十度二十五分)以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角求丁丙邉术为以丙角正弦比乙角正弦若乙丁邉与丁丙邉一 丙角(三十六度二十五分)正弦 五九三六五二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁邉 五百四十尺四 丁丙邉 三百六十九尺九寸八分计开先有之三件丁乙邉(五百四十尺) 丙乙邉(七百九十一尺) 乙角(二十四度)今求得三件丙角(三十六度二十五分) 丁钝角(一百一十九度三十五分) 丁丙邉(三百)(六十九尺九寸八分)钝角形第三术 有三邉求角(新式)假如(乙丙丁)钝角形有乙丙邉(三百七十五尺)乙丁邉(六百○七尺)丁丙邉(三百尺)术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方角则成乙甲丁句股形又引横线至辛使甲辛如丙甲成乙甲辛句股形则丁辛为两句之总而所设丁丙邉为两句之较又乙丁邉为大形(乙甲丁)之弦乙丙邉为小形(乙甲辛即)(乙甲丙)之弦两弦相并为总相减为较术为以句较比弦较若弦总与句总一 句较(即丁丙邉) 三百尺二 弦较(即乙丁内减乙丙之余) 二百三十二尺三 弦总(即乙丁乙丙二邉相并) 九百八十二尺四 句总 七百五十九尺四寸以句较(三百尺)减所得句总(七百五十九尺四寸)余数(五百二十九尺)(四寸)为大形之句甲丁求丁角(用乙甲丁大形)术为以乙丁弦比丁甲句若半径与丁角之余弦一 乙丁弦 六百○七尺二 甲丁句 五百二十九尺七寸三 半径 一○○○○○四 丁角余弦 八七二六五捡表得丁角二十九度一十四分求丙角(用乙甲丙小形)术为以甲丙句比乙丙弦若半径与丙角之割线一 甲丙句 二百二十九尺七寸二 乙丙弦 三百七十五尺三 半径 一○○○○○四 丙角割线 一六三二五六捡表得丙角(五十二度一十四分)为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分求乙角并丁丙二角所得度分(共一百五十七度)以减半周得余二十三度为乙角计开先有三邉乙丙邉(三百七十五尺) 乙丁邉(六百七尺) 丁丙邉(三百尺)求得三角丁角(二十九度一十四分) 丙钝角(一百二十七度四十六分) 乙角(二十)(三度)右例钝角形三邉求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大邉为底从钝角分中长线同锐角第三术厯算全书卷五十一
## 卷五十二
钦定四库全书厯算全书卷五十二宣城梅文鼎撰三角法举要卷三内容外切(三角测量之用在邉与角而其内容外切亦所当明故次于算例之后)内容有二曰本形曰他形一三角求积积谓之幂亦谓之面乃本形所有一三角容员一三角容方以上皆形内所容之他形外切惟一一三角形外切之员三角求积第一术底与髙相乗折半见积内分二支一句股形即以句股为底为髙一锐角钝角形任以一邉为底而求其垂线为髙假如句股形甲乙股(一百二十尺)乙丙句(三十五尺)求积术以甲乙股乙丙句相乗(四千二百尺)折半得积凡求得句股形积二千一百尺如图甲乙股与乙丙句相乗成甲乙丙丁长方形其形半实半虚故折半见积或以句折半(十七尺半)乗股亦得积(二千)(一百尺)如图乙丙句折半于戊以乙戊乗甲乙成甲乙戊丁形是移丙戊己补甲丁己也或以股折半(六十尺)乗句亦得积(二千)(一百尺)如图甲乙股折半于己以己乙乗乙丙成己乙丙丁形是移甲己戊补戊丁丙也右句股形以句为底以股为髙若以股为底则句又为髙可互用也句股形有立有平若平地句股以句为濶以股为长其理无二论曰凡求平积皆谓之幂其形如网目又似窓櫺之空皆以横直相交如十字亦如机杼之有经纬而成布帛故句股是其正法何也句股者方形斜剖之半也折半则成正剖之半方形矣其他锐角钝角或有直无横有横无直必以法求之使成句股然后可算故句股者三角法所依以立也假如锐角形甲乙邉(二百三十二尺)甲丙邉(三百四十尺)乙丙邉(四百)(六十八尺)求积术先求垂线用锐角第三术任以乙丙邉为底以甲丙甲乙为两弦两弦之较数(一百零八尺)总数(五百七十二尺)相乗(六万一千七百七十六尺)为实以乙丙底为法除之得数(一百三十二尺)转减乙丙余数(三百三十六尺)半之得乙丁(一百六十八尺)依句股法以乙丁自乗(二万八千二百二十四尺)与甲乙自乗(五万三千八百二十四尺)相减余数(二万五千六百尺)平方开之得甲丁垂线(一百六十尺)以甲丁垂线折半乗乙丙底得积凡求得锐角形积三万七千四百四十尺如图移辛补壬移庚补癸则成长方形即垂线折半乗底之积右锐角形任以乙丙邉为底取垂线求积若改用甲乙或甲丙邉为底则所得垂线不同而得积无异故可以任用为底假如钝角形甲乙邉(五十八步)甲丙邉(八十五步)乙丙邉(三十三步)求积术求垂线立于形外用钝角第三术以乙丙为底甲乙甲丙为两弦总数(一百四十三步)较数(二十七步)相乗(三千八百)(六十一步)为实乙丙底为法除之得数(一百一十七步)内减乙丙余数(八十四步)折半(四十二步)为乙丁(即乙丙引长邉)依句股法乙丁自乗(一千七百六十四步)甲乙自乗(三千三百六十四步)相减余数(一千六百步)平方开之得甲丁(四十步)为形外垂线以乙丙底折半(十六步半)乗之得积凡求得钝角形积六百六十步如图甲乙丙钝角形移戊补庚移庚己补壬癸又移壬子补辛成辛癸丑长方即乙丙底折半乗中长甲丁之积右钝角形以乙丙为底故从甲角作垂线若以甲乙为底则自丙角作垂线亦立形外而垂线不同然以之求积并同若以甲丙为底从乙角作垂线则在形内如锐角矣其垂线必又不同而其得积无有不同故亦可任用一邉为底凡用垂线之髙乗底见积必其线上指天顶底线之横下应地平两线相交正如十字故其所乗之幂积皆成小平方可以虚实相补而求其积数钝角形引长底线以作垂线立于形外则两线相遇亦成十字正方之角矣总论曰三角形作垂线于内则分两句股钝角形作垂线于外则补成句股皆句股法也三角求积第二术以中垂线乗半周得积谓之以量代算假如钝角形乙丙邉(五十八步)甲乙邉(一百一十七步)甲丙邉(八十五步)求积术平分甲乙两角各作线㑹于心从心作十字垂线至乙甲邉(如心庚)即中垂线也乃量取中垂线(心庚)得数(一十八步)合计三邉而半之(一百三十步)为半周以半周乗中垂线得积凡求得钝角形积二千三百四十步又术如前取中垂线(心庚)为濶半周为长(如乙癸及丁壬)别作一长方形(如乙壬丁癸)即与(甲乙丙)钝角形等积解曰凡自形心作垂线至各邉皆等故中垂线乗半周为一切有法之形所公用方员及五等面六等面至十等面以上并同故以中垂线为濶半周为长其所作长方形即与三角形等积又解曰中垂线至邉皆十字正方角即分各邉成句股形以乗半周得积即句股相乗折半之理附分角术 有甲角欲平分之术以甲角为心作虚半规截角旁两线得辛壬二㸃乃自辛自壬各用为心作弧线相遇于癸作癸甲线即分此角为两平分三角求心术如上分角术于甲角平分之于乙角又平分之两平分之线必相遇成一㸃此一㸃即三角形之心解曰试再于丙角如上法分之则亦必相遇于原㸃三角求积第三术以三较连乗又乗半总开方见积假如钝角形甲乙邉(一百一十六尺)甲丙邉(一百七十尺)乙丙邉(二百)(三十四尺)求积术合计三邉而半之(二百六十尺)为半总以与甲乙邉相减得较(一百四十四尺)与甲丙邉相减得较(九十尺)与乙丙邉相减得较(二十六尺)三较连乗(以两较相乗得数又以余一较)(乗之也)得数(三十三万六千九百六十尺)又以半总较之得数(八千七百六十)(万零九千六百尺)平方开之得积凡求得钝角形积九千三百六十尺若系锐角同法解曰此亦中垂线乗半周之理但所得为幂乗幂之数故开方见积详或问三角容员第一术以弦与句股求容员径(此术惟句股形有之凡句股相并为和以和与弦并为弦)(和和以和与弦相减为弦和较)假如(甲乙丙)句股形甲丙句(二十步)乙甲股(二十一步)乙丙弦(二十九步)求容员径术以句股和(四十一步)与弦相减得数为容员径凡求得内容员径一十二步解曰此以弦和较为容员径如图从容员心作半径至邉又作分角线至角成六小句股形则各角旁之两线相等(如丙戊丙庚两线在丙角旁则)(相等乙庚乙己在乙角旁甲戊甲己在甲角旁并两线相等)其在正方角旁者(甲戊甲己)乃弦和较也(于乙丙弦内分丙庚以对丙戊又分)(乙庚以对乙己则其余为甲戊及甲己此即句股和与乙丙弦相较之数也)然即为内容员径何也各角旁两线并自相等而正方角旁之两线又皆与容员半径等(正方角旁两小形之角皆平分方角之半则句股自相等而甲戊等心戊)(甲己等心己)然则弦和较者正方角旁两线(甲戊甲己)之合即容员两半径(心戊心己)之合也故弦和较即容员径也试以甲戊为半径作员则戊心亦半径而其全径(癸戊甲)与容员径(丁心)(己)等以甲己为半径作员则己心亦半径而其全径(辛己甲)与容员径(戊心壬)亦等三角容员第二术以周与积求容员径内分二支一句股形以弦和和为用(亦可用半)一锐角钝角形以全周半周为用假如(甲乙丙)句股形甲丙句(一十六步)甲乙股(三十步)乙丙弦(三十四步)求容员径术以句股相乗得数(四百八十步)为实并句股弦数(共八十歩)为法除之得数倍之为容员径凡求得容员径一十二步解曰此以弦和和除句股倍积得容员半径也如图从容员心作对角线分其形为三(一甲心丙一甲心乙一丙心乙)乃于甲丙句线两端各引长之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙弦则子丑线即弦和和也乃自员心作癸壬直线与丑子平行两端各聫之成长方又作辛丙线分为三长方形其濶并如员半径其长各如句如股如弦而各为所分三小形之倍积(甲辛长方)(如甲丙句之长而以心戊半径为濶即为甲心丙分形之倍甲癸长)(方如乙甲股之长而以同心己之半径为濶即为乙心甲形之倍丙)(壬长方如丙乙弦之长而以同心庚之半径为濶即为乙心丙形之)(倍)合之即为本形倍积与句股相乗同也(句股相乗为倍积见求积条)故以弦和和除句股相乗积得容员半径假如(甲乙丙)句股形甲丙句(八十八尺)甲乙股(一百零五尺)乙丙弦(一百三十七尺)求容员径术以句股相乗而半之得积(四千六百二十尺)为实并句股弦数而半之(一百六十五尺)为法除之得数倍之为容员径凡求得内容员径五十六尺解曰此以半周除句股形积而得容员半径也(半周即弦和和)(之半)如图从容员心分本形为六小句股则同角之句股各相等可以合之而各成小方形(同甲角之)(两句股成丁己小方形同丙角之两句股可合之成丁辛长方形以心辛)(丙形等丙戊心也同乙角之两句股可合之成己庚长方形以乙庚心形)(等心戊乙也)乃移己庚长方为辛癸长方则癸甲即同半周而癸己大长方即为半周乗半径而与句股积等也(六小形之句皆原形之周变为长方则两)(两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乗半径也)(辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设)(乙甲丙句股形等积矣)然则以句股相乗而半之者句股形积也故以半周除之即容员半径矣或以弦和和除四倍积得容员全径并同前论论曰句股形古法以弦和较为容员径与弦和和互相乗除乃至精之理测员海镜引伸其例以为测望之用其变甚多三角容员盖从此出故为第一支假如(甲乙丙)锐角形乙丙邉(五十六尺)甲丙邉(七十五尺)甲乙邉(六十一尺)求容员径术以乙丙邉为底求得甲丁中长线(六十尺○法见求积)以乗底得数(三千三百六十尺)倍之(六千七百二十尺)为实合计三邉(共一百九十二)(尺)为法除之得容员径凡求得内容员径三十五尺解曰此以全周除四倍积得容员径也如图自容员心作对角线分为小三角形三各以员半径为髙各邉为底若于各邉作长方而各以邉为长半径为濶必倍大于各小三角形(如壬丙长方倍大于丙心乙形)(丙丑长方倍大于丙心甲形甲丁长方倍大于甲心乙形)又作加一倍之长方则四倍大于各小三角(如未乙长方倍大于丙壬长方必四倍于)(丙心乙三角则夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙)于是而通为一大长方(移夘甲长方为亥丙移甲酉为乙辰则成亥午大长方形矣)必四倍原形之幂而以三邉合数为长以容员之径为濶然则以中长线乗底而倍之者正为积之四倍也以三邉除之岂不即得员径乎或以全周除倍积得容员半径或以半周除积得容员半径并同若钝角形亦同上法论曰锐角钝角并以周为法此与句股形用弦和和同但必先求中长线故为第二支三角容员第三术以中垂线为员半径曰以量代算假如(甲乙丙)三角形求容员径(既不用算故不言邉角之数)如求积术均分甲乙二角之度各作虚线交于己即己为容员之心次以己为心尽一邉为界运规作员此员界必切三邉于是从己心向三邉各作十字垂线必俱在切员之㸃而等为员半径知半径知全径矣(半径各如己庚线)论曰此容员心即三角形之心(故以容员半径乗半总即得积也)又案此术亦句股及锐钝两角通用三角容员第四术用三较连乗假如(甲乙丙)钝角形乙丙邉(四百三十二尺)甲丙邉(五百尺)甲乙邉(一百四十八尺)求容员径术以半总(五百四十尺)求得乙丙邉较(一百○八尺)甲丙邉较(四十尺)乙甲邉较(三百九十二尺)三较连乗得数(一百六十九万三千)(四百四十尺)以半总除之得数(三千一百三十)(六尺)四因之(一万二千五百四十四尺)为实平方开之得容员径凡求得内容员径一百一十二尺锐角同法解曰此所得者为容员径上之自乗方幂故开方得径三角容方第一术合底与髙除倍积得容方径内分二支一句股形即以句股为底为髙(即句股和也其容方依正方角)一三角形以一邉为底求其垂线为髙(句股形以弦为底锐)(角形三邉皆可为底钝角形以大邉为底其容方并依为底之邉)假如(甲乙丙)句股形甲丙股(三十六尺)乙丙句(一十八尺)求容方依正方角而以容方之一角切于弦术以句股相乗得数(六百四十八尺)为实以句股和(五十四尺)为法除之得所求求到内容方径一十二尺如图作寅乙线与股平行作寅甲线与句平行成寅丙长方为句股形倍积次引寅甲线横出截之于癸引乙丙句横出截之于夘使引出两线(甲癸及丙夘)皆如甲丙股仍作夘癸线聫之乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容方之邉又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙弦于己则己戊为所求容方之又一邉末从己作午辛立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对邉而四邉相等为句股形内所容之方解曰寅夘大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅戊与戊夘两长方等则寅丙长方与申夘长方亦等(寅丙)(内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘)夫寅丙者句股倍积而申夘者句股和乗容方径也(乙丙句丙夘股合之为申夘形之长申乙及未夘并同方径为濶)故以句股和除倍积得容方径又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长方等(寅己与己丙既等则于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙)而寅戊原等戊夘则午丙亦与戊夘等夫午丙形之丙甲与戊夘形之丙夘皆股也则两形等积又等邉矣其长等其濶亦等(甲丙与丙夘既等则辛丙与戊丙亦等)而对邉悉等即成正方形论曰此以句为底股为髙也若以股为底句为髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中长除积盖生于此是为第一术之第一支假如(甲乙丙)句股形乙丙弦二十八尺其积一百六十八尺求容方依弦线而以容方之两角切于句股术以弦除倍积(三百三十六尺)得对角线(一十二尺)与弦相并(四十尺)为法倍积为实法除实得所求求到容方径八尺四寸如图作寅丑线与乙丙弦平行又作寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成丑丙长方为句股形倍积次引乙丙弦至夘引寅丑线至癸使癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘线聫之次从癸向丙作斜线割丑乙线于子遂从子作申未线与乙丙弦平行割甲乙股于庚割甲丙句于己则庚己为容方之一邉末从庚作辰壬线从己作午辛线并与甲丁平行而割乙丙弦于壬于辛则辛壬及庚壬及己辛三线并与庚己等而成正方解曰寅子长方与子夘长方等积(癸丙线分寅夘形为两句股而等则两句)(股内所作之方必等)午壬长方又与寅子等(寅丁形以甲丙线分为两句股则寅己与)(己丁等又丑丁形以甲乙线分为两句股则丑庚与丁庚等若移寅己作己丁移丑庚作丁庚则午丁等寅戊)(而辰丁等丑戊合之而午壬等寅子)则午壬亦与子夘等而午壬之邉(午辛)(及辰壬)子夘之邉(夘乙及未子)并等甲丁对角线则两形(午壬子夘)等积又等邉矣其长等其濶亦等(辰壬既等夘乙则辛壬亦等子乙而庚壬)(及己辛亦不得不等)故四线必俱等也又解曰寅子既与子夘等则寅乙必与申夘等(于寅乙内移寅)(子居子夘之位即成申夘)而寅乙者倍积也申夘者底偕中长乗容方径也(乙丙弦也夘乙即甲丁对角中长线也合之为丙夘之长其两端之濶申丙及未夘并同方径)故合弦与对角线为法以除倍积得容方径论曰此以一邉为底中长线为髙也既以一邉为底其容方即依此一邉而以两方角切余二邉也句股形故以弦为底若锐角形则任以一邉为底但依大邉则容方转小亦如句股形依方角之容方必大于依弦线之容方也钝角形但可以大邉为底其求之则皆一法也是为第一术之第二支三角容方第二术以图算内分二支一以法截中长线得容方径(句股形即截其邉)一以法截两斜邉得容方边(句股形即截其弦)假如锐角形求容方任以一邉为底如图以乙丙最小邉为底先从对角甲作中长垂线至丁又从乙角作丑乙立线与甲丁平行而等乃从甲角作横线过丑至癸截丑癸亦如甲丁乃从癸向丙角作斜线割丑乙立线于子末以子乙之度截中长线(甲丁垂线)于戊即戊丁为容方之径(从戊作己庚又从己作线至辛从庚作线至壬成庚己辛壬即所求)(容方)解曰甲戊与戊丁若甲丁与乙丙(子丑癸句股与子乙丙形有子交角必相)(似则丑子句与子乙句若丑癸股与乙丙股而丑子原与甲戊等子乙与戊丁等丑癸与甲丁等则甲戊与戊)(丁亦若甲丁与乙丙)又甲戊与己庚若甲丁与乙丙(甲己庚三角为甲丙乙之)(截形必相似则甲戊与己庚若甲丁与乙丙)合两比例观之则甲戊与戊丁若甲戊与己庚而己庚即戊丁以上并锐角形凡锐角三邉并可为底而皆一法假如句股形求容方以股为底则于句端甲作横线与股平行而截之于癸使癸甲如甲乙句乃自癸向丙作斜线割甲乙句于戊则戊乙即容方之一邉末作己戊与股平行作己辛与句平行即成容方(或以句为底则从股端丙作丙)(癸横线与股等亦作癸甲斜线割丙乙股于戊其所得容方亦同图如左)论曰锐角钝角皆截中长线为容方径句股形以弦为底亦然惟句股形以句为底即截其股为容方径(用股为底)(即截句)不另求中长而与截中长之法并同是为第二术之第一支假如乙丙丁三角求容方 依乙丙邉为底如图以乙丙底作正方形(即甲乙丙戊方)又作丁辛对角线次作甲辛及戊辛两斜线割原形之两斜线于己于庚乃作己庚线为所求容方之一邉(末作己壬及庚癸两线成小方形于形内即所求)解曰甲戊与己庚若子辛与午辛也(己庚辛三角形为甲戊辛之切形则)(其横与直之比例相等)而甲戊与子辛同为方径而等则己庚与午辛亦同为小方径而等若底上方形大则其径亦大于对角线则如第二图引丁辛线至子其理亦同有此二法则三邉并可为底钝角形用大邉为底句股形用弦为底并同第二图若句股形以句为底求容方如图即用乙丙句作(丙辛庚乙)方形从方角庚向丙作斜线割丁乙弦于壬从壬作癸壬及甲壬二线即所容方(或用股上方则)(引出句邉如股)解曰庚丙线分丙角为两平分则其横直线自相等(壬癸与癸丙相等壬甲与甲丙)(相等则四线皆等)而成正方嘉禾陈䃤庵用分角法求容方与此同理论曰此皆以底上方形为法而得所求小方也故不论顶之偏正其所得容方并同惟句股容方依正方角则中长线与原邉合而为一法虽小异其用不殊是为第二术之第二支三角形外切平员第一术句股形以弦为径假如甲乙丙句股形乙丙弦长四尺五寸二分求外切员术以弦折半取心得半径二尺二寸六分其弦长四尺五寸二分即外切平员全径以平员周率三五五乗之径率一一三除之得员周一十四尺二寸如图乙丙员径即句股形之弦折半于丁即员心也以乙丁半径为度从丁心运规作员必过甲而句股形之角皆切员周矣论曰凡平员径上从两端各作直线至员周相㑹则成正方角(如乙丙径之两端于丙于乙各作直线㑹于甲则甲角必为正角)而为句股形(假令两线相遇于庚即成庚乙丙句股形于辛亦然以其皆正角故也)故不问句股长短而并以其弦为外切员之径又论曰径一百一十三而周三百五十五此郑端清世子所述祖冲之术也(见律吕精义)按古率周三径一李淳风等释古九章以为术从简易举大纲而言之诚为通论诸家所传径五十周一百五十七则魏刘徽所改谓之徽率径七周二十二则祖冲之所定谓之宻率由今以观冲之自有两率(一为七与二十二一为一一三与三五五)盖以其捷者为恒用之须而存其精者明测算之理亦可以观古人之用心矣三角形外切平员第二术分邉取员心内分二支并以图算一句股形但分一邉即得员心(其心在弦)一锐角形钝角形并分二邉可得员心(锐角形员心在形内)(钝角形员心在形外)假如甲乙丙句股形求外切员术任于句或股平分之作十字正线此线过弦线之㸃即为员心如图甲乙丙形以甲乙股平分于戊从戊作庚丁正十字线至乙丙弦即分弦为两平分而丁即员心从丁运规作外切员则甲乙丙三㸃并切员周而乙丁丙丁庚丁皆半径论曰若平分甲丙句于辛从辛作十字正线亦必至丁故但任分其一邉即可得心又论曰若依第一术先得丁心从丁心作直线与句平行即此线能分股线为两平分(如丁庚线与甲丙句平行过甲乙股即平分股)(线于戊)若与股平行而分句线亦然(如丁辛线与甲乙股平行即分句线于辛)右句股形外切平员之心在弦线中央假如锐角形求形外切员术任以两邉各平分之作十字线引长之必相遇于一㸃即为员心如图甲乙丙锐角形任以甲丙邉平分之于戊作庚戊丁十字线又任以乙丙邉平分之于壬作癸壬丁十字线两直线稍引长之相遇于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸丁庚皆半径论曰试于余一邉再平分之作十字正线亦必㑹于此㸃故此㸃必员心(如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字线亦必相遇于丁㸃)右锐角形外切平员之心在形之内假如钝角形求形外切员 术同锐角如图甲乙丙形甲为钝角任分甲丙于戊分甲乙于辛各作十字线㑹于丁心从丁作员则丁庚丁癸皆半径而三角并切员周若用大邉平分于壬作壬丁子线亦同论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也右钝角形外切平员之心在形之外总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三㸃串员之法也附三㸃串员有甲乙丙三㸃欲使之并在员周术任以甲为心作虚员分用元度以丙为心亦作虚员分两员分相交于戊于辛作戊辛直线又任以乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三㸃并在员周员周有三㸃不知其心亦用此法厯算全书卷五十二
## 卷五十三
钦定四库全书厯算全书卷五十三宣城梅文鼎撰三角法举要卷四或问(三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同学之好问事事必求其所以然故不惮为)(之详复以畅厥㫖)一三角形用正弦为比例之理一和较相求之理一用切线分外角之理一三较连乗之理附三较求角问各角正弦与各邉皆不平行何以能相为比例曰凡三角形一邉必对一角其角大者正弦大而所对之邉亦大角小者正弦小而所对之邉亦小故邉与邉之比例如正弦与正弦也两正弦为两邉比例图乙丙丁三角形丁乙邉大对丙角丁丙邉小对乙角术为以丁乙邉比丁丙邉若丙角之正弦与乙角之正弦解曰试以丁丙为半径作丁甲线为丙角正弦又截戊乙如丁丙半径作戊己线为乙角正弦丁甲正弦大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙问丁甲何以独为丙角正弦也曰此以丁丙为半径故也若以丁乙为半径则丁甲即为乙角之正弦如图用丁乙为半径作丁甲线为乙角正弦又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半径作戊己线为丙角正弦即见乙角之正弦丁甲小于戊己故丁丙邉亦小于丁乙解曰正弦者半径所生也故必两半径齐同始可以较其大小前图截戊乙如丁丙此图引丁丙如丁乙所以同之也三正弦逓相为三邉比例图乙丁丙钝角形丁钝角对乙丙大邉丙次大角对乙丁次大邉乙小角对丁丙小邉其各邉比例皆各角正弦之比例试以乙丁为半径作丁甲线为乙小角之正弦又引丙丁邉至戊使戊丙如乙丁作戊己线为丙角之正弦又展戊丙线至庚使庚丙如乙丙作庚辛线为丁钝角之正弦(如此则三邉皆若弦三正弦皆若股)其比例为以乙丙大邉(同庚丙)比乙丁次邉(同戊丙)若丁钝角之正弦庚辛与丙角之正弦戊己又以乙丁次大邉(同戊丙)比丁丙小邉若丙角之正弦戊己与乙角之正弦丁甲又以丁丙小邉比乙丙大邉(同庚丙)若乙小角之正弦丁甲与丁钝角之正弦庚辛问庚辛何以为丁角正弦曰凡钝角以外角之正弦为正弦试作乙癸线为丁角正弦(乙丁癸角外角也故其正弦即为丁钝角)(正弦)必与庚辛等何也庚丙辛句股形与乙丙癸形等(庚丙弦既同乙丙又同用丙角辛与癸又同为方角故其形必等)则庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正弦矣等乙癸之庚辛又安得不为丁角正弦乎(凡取正弦必齐其半径此以丁甲为乙角正弦是用乙丁为半径也而取丙角)(正弦戊己必引戊丙如乙丁其丁角正弦庚也辛又即外角之正弦乙癸是三半径皆乙丁)试取壬丙如丁丙作庚壬线即同乙丁半径则壬角同丁角壬外角即丁外角而庚辛正弦之半径仍为乙丁(庚壬同乙丁故)此以庚壬当乙丁易乙丁丙形为庚壬丙则庚辛正弦亦归本位与前图互明试以各角正弦同居一象限较其弧度如图甲乙丙形丙角最大其正弦乙丁亦最大所对甲乙邉亦最大甲角次大其正弦丑壬亦次大所对乙丙邉亦次大乙角最小其正弦丙夘亦小所对丙甲邉亦最小(丙乙)(二角正弦并乙丙为半径甲角取正弦截丑甲如乙丙亦以乙丙为)(半径)乃别作一象弧(如戊己)仍用乙丙为半径(取戊庚如乙丙)而以先所得各角之余弦取度于丁作乙丁为丙角之正弦于壬作丑壬为甲角之正弦于夘作丙夘为乙角之正弦即如元度而各角之差数覩矣(戊庚半径既同乙丙则丁庚即丁丙而为丙角)(余弦又壬庚即甲壬为甲角余弦夘庚即夘乙为乙角余弦)解曰角无大小以弧而知其大小今乙丁正弦其弧乙己是丙角最大也丑壬正弦其弧丑己是甲角次大也丙夘正弦其弧丙己是乙角最小也而对邉之大小亦如之故皆以正弦为比例也或疑钝角之度益大其正弦反渐小而其所对之邉则渐大何以能相为比例乎曰此易知也凡钝角正弦即外角之正弦而外角度原兼有余两角之度故钝角之正弦必大于余两角而得为大邉之比例也如乙丙甲钝角形丙钝角最大其正弦乙丁亦最大而所对乙甲邉亦最大乙角次大其正弦丙夘亦次大而所对甲丙邉亦次大甲角最小其正弦丑壬亦小而所对乙丙邉亦最小(截甲丑如乙丙从丑作丑壬即甲角正弦)乃从乙作乙庚弧(以丙为心乙丙为半径)为丙外角之度又作辛丙半径与甲乙平行分乙庚弧度为两则辛庚即甲角之弧度其余辛乙亦即乙角之弧度从辛作辛未正弦与丑壬等又自庚截癸庚度如辛乙则癸庚亦乙角之弧作癸子正弦与丙夘等此显丙外角之度兼有乙甲两角之度其正弦必大于两角正弦也虽丙钝角加大而外角加小则乙甲两角必又小于外角又何疑于钝角正弦必为大邉比例乎试更以各角切员观之则各角之对边皆为其对弧之通弦如图三角形以各角切员则乙丙邉为丙戊乙弧之通弦而对甲角甲丙邉为丙己甲弧之通弦而对乙角甲乙邉为乙庚甲弧之通弦而对丙角则是各角之对邉即各角对弧之通弦也夫通弦者正弦之倍数则三邉比例即三正弦之比例矣又试以各邉平分之则皆成各角之正弦于前图内更以各邉所当之弧皆平分之(丙戊乙弧平分于戊)(㸃丙己甲弧平分于己㸃乙庚甲弧平分于庚㸃)自员心(丁)各作半径至其㸃即分各边为两平分(以丁壬戊)(半径分乙丙边于壬以丁辛己半径分甲丙边于辛以丁)(癸庚半径分甲乙边于癸则所分之边皆为两平分)则弧之平分者即原设各角之度而边之平分者即皆各角之正弦(丙丁戊角以丙戊为弧丙壬为正弦而丙)(丁戊角原为丙丁乙角之半必与甲角同大故丙戊半弧)(即甲角之本度丙壬半边即甲角之正弦乙丁戊角亦然)(凖此论之则甲丁己角原为甲丁丙角之半必与乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半边)(即乙角之正弦己丁丙角亦然又乙丁庚角原为乙丁甲角之半必与丙角同大故乙庚半弧即丙)(角之本度乙癸半边即丙角之正弦庚丁甲角亦然)夫分其边之半即皆成正弦则边与边之比例亦必如正弦与正弦矣(全与)(全若半与半也)问三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角为员心真度乃见今三角皆切员边则所作通弦之弧皆倍度也故半之乃为角之本度如图以甲角为心甲丁为半径作员则其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙两弧并与丑丁子弧等(试作戊丙及乙戊两弦必相等又并与丑子弦等凡弦等者弧亦等)故乙戊丙弧必为甲角之倍度(余角类推)问三邉求角何以用和较相乗也曰欲明和较之用当先知和较之根凡大小两方以其邉相并谓之和相减谓之较和较相乗者两方相减之余积也如图甲癸小方丁癸大方于大方内依小方邉作己庚横线又取己辛如小方邉作辛壬线成己壬小方与甲癸等大方内减己壬小方则所余者为乙庚及庚壬两长方形夫乙己及丁庚及庚辛并两邉之较也甲己庚则和也若移庚壬长方为乙甲长方即成丁甲大长方而为较乗和之积故凡两方相减之余积为实以和除之得较以较除之亦得和矣依此论之若有两方形相减又别有两方相减而其余积等则为公积故以此两方之和较相乗为实而以彼两方之和为法除之得彼两方之较或以彼两方之较为法除之亦必得和(如图有方二十九之幂八百四十一与方二十七之幂七)(百二十九相减成较二乗和五十六之积)(又有方十六之幂二百五十六与方十二之幂一百四十)(四相减成较四乗和二十八之积)(两积同为一百一十二故以先有之较二和五十六相乗)(为实以今有之和二十八为法除之即得较四为今所求数)是故三角形以两弦之和乗较为实以两分底之和为法除之得较者为两和较相乗同积也两和较相乗同积者各两方相减同积也何以明之曰凡三角形以中长线分为两句股则两形同以中长线为股而各以分底线为句是股同而句不同也句不同者弦不同也弦大者句亦大弦小者句亦小故两弦上方相减必与两句上方相减之余积等而两和较相乗亦等如图甲乙丙三角形以甲丁中长线分为两句股形则丙乙为两句之和(未寅及子夘并同)丙戊为两句之较(未子及寅夘并)(同)未夘长方为两句之较乗和也又丙己为两弦之和(辰壬)(同)酉丙为两弦之较(辰癸及辛庚壬)(午并同)癸壬长方为两弦之较乗和也此两长方必等积问两弦上方大于两句上方何以知其等积曰依句股法弦上方幂必兼有句股上方幂是故甲丙弦幂内(即癸)(甲大方)必兼有甲丁股丙丁句两幂乙甲弦幂内(即辛己小方)亦兼有甲丁股乙丁句两幂则是甲丁股幂者两弦幂所同也其不同者句幂耳(股幂既同则弦幂相减时股幂俱对减而尽使非句幂不)(同巳无余积)然则两弦幂相减之余积(于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方)(所余者癸辛申丙两长方成磬折形)岂不即为两句幂相减之余积乎(于丁)(子方内减丁寅相同之戊丑小方所形所余者丑子及戊未两长方成磬折)由是言之两和较相乗之等积信矣(于弦幂相减之癸辛申丙磬折形内移申丙补庚壬即成和较相乗之癸)(壬长方又于句幂相减之丑子未戊磬折形内移戊未补丑夘即成和较相乗之未夘长方两磬折形既等积)(则两长方亦等积)问和较之列四率与诸例不同何也曰此互视法也同文算指谓之变测古九章谓之同乗异除乃三率之别调也何则凡异乗同除皆以原有两率之比例为今两率之比例其首率为法必在原有两率之中互视之术则反以原有之两率为二为三以自相乗为实其首率为法者反系今有之率与异乗同除之序相反故曰别调也然则又何以仍列四率曰以相乗同实也三率之术二三相乗与一四相乗同实故可以三率求一率(二三相乗以一)(除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二)互视之术以原有之两率自相乗与今有之两率自相乗同实故亦以三率求一率(原两率自相乗以今有之率除之得今有之余一率若今两率自相乗以)(原有之率除之亦即得原有之余一率)但三率之术以比例成其同实互视之术则以同实而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也如图长方形对角斜剖成两句股则相等而其中所成小句股亦相等(甲壬戊与甲己戊等则甲)(乙丙与甲辛丙等丙丁戊与丙庚戊等并长方均剖故也)即所成长方之积亦必相等(于甲壬戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊两小)(句股存乙丙丁壬长方又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊两小句股存辛己庚丙长方所)(减之数等则所存之数亦等故两长方虽长濶不同而知其必为等积)今以甲乙为首率乙丙为次率丙丁为三率丁戊为四率则乙丁长方(即乙)(丙丁壬形)为二三相乗之积(此形以乙丙二率为濶丙丁三率为长是二率三率相乗也)辛庚长方(即辛己庚丙形)为一四相乗之积(此形以辛丙为长丙庚为濶而辛丙)(原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也)既两长方相等则二三相乗与一四相乗等实矣此列率之理也一 甲乙二 丙乙三 丙丁四 戊丁在异乗同除本术则甲乙及丙乙为原有之数丙丁为今有之数戊丁为今求之数其术为以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股与戊丁句也故于原有中取丙乙句与今有之丙丁股以异名相乗为实又于原有中取同名之甲乙股为法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成两长方(二率乗三率成乙丁长方以首率除之必变为辛庚长方)故曰以比例成其同实也互视之术则乙丙与丙丁为原有之数甲乙为今有之数丁戊为今求之数术为以乙丙较乗丙丁和之积若丙庚较(即丁戊)乗丙辛和(即甲乙)之积故以原有之乙丙较丙丁和自相乗为实以今有之甲乙和(即辛丙)为法除之即得今所求之丁戊较(即丙庚)是先知两长方同积而以四率取之故曰以同实成其比例也然则又何以谓之互视曰三率之用以原有两件自相比之例为今有两件自相比之例是视此之差等为彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股(大句小于)(大股几倍小句亦小于小股几倍又大句大于小句几倍大股亦大于小股几倍)互视之用以原有一件与今一件相比之例为今又一件与原又一件相比之例是此视彼之所来以往彼亦视此之所往以来如互相酬报故弦之较比句之较反若句之和比弦之和(弦之和大于句故句之较反大于弦若和之数弦大于句几倍则较之数句大于弦亦几倍)是以别之为互视也如图以甲乙为一率丙乙为二率丙丁为三率丁戊为四率作甲戊弦成两句股次引甲乙及丁戊㑹于壬成乙丁长方为二三相乗之积亦引乙丙至庚引丁丙至辛作甲辛及戊庚线并引长之㑹于己成辛庚长方为一四相乗之积是先有比例而成同实之长方如图乙丙乗丙丁为乙丁长方辛丙乗丙庚为辛庚长方两长方以角相连于丙次引己辛及乙壬㑹于甲引己庚及壬丁㑹于戊乃作甲戊线则辛丙与丙丁若乙丙与丙庚是先知同实而成其比例也问三角形两又术用外角切线何也曰此分角法也一角在两邉之中则角无所对之邉邉无所对之角不可以正弦为比例今欲求未知之两角故借外角分之也然则何以用半较角曰较角者本形中未知两角之较也此两角之度合之即为外角之度必求其较角然后可分而较角不可求故求其半知半较知全较矣此用半较角之理也如图甲丙乙形先有丙角则甲丙丁为外角外角内作丙辛线与乙甲平行则辛丙丁角与乙角等辛丙甲角与甲角等其辛丙庚角为两角之较而辛丙己角其半较也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半较角与半外角相减成乙角(于丁丙己内减辛丙己其余丁丙辛即乙角度)若相加亦成甲角(于己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度)半较角用切线何也曰此比例法也角与所对之邉并以正弦为比例今既无正弦可论而有其所对之邉故即以邉为比例(角之正弦可以例邉则邉之大小亦可以例角)是故乙丁者两邉之总也乙癸者两邉之较也而戊己者半外角之切线也壬己者半较角之切线也以乙丁比乙癸若戊己与壬己故以切线为比例也然则何以不径用正弦曰凡一角分为两角则正弦因度离立不同在一线不可以求其比例其在一线者惟切线耳而邉之比例与切线相应切线比例又原与正弦相应故用切线实用正弦也如图甲丙丁外角其弧甲己丁于辛作辛丙线分其角为两则小角之弧丁辛其正弦夘丁大角之弧辛甲其正弦甲丑(小角正弦当乙角之)(对邉甲丙大角正弦当甲角之对邉乙丙)今欲移正弦之比例于一线先作甲丁通弦割分角线于子则子甲与子丁若甲丑与夘丁(甲丑子与丁夘子两句股形有子交)(角等丑夘皆正角即两形相似而比例等然则子甲者大形之弦子丁者小形之弦而甲丑者大形之股夘丁)(者小形之股也弦与弦若股与股故子甲比子丁若丑甲与夘丁)而甲丁即两正弦之总(甲丁为子甲子丁之总亦即为甲丑夘丁之总)辰子即两正弦之较(以子丁减子甲)(其较辰子是辰子为子甲子丁之较亦即为甲丑夘丁之较)平分甲丁半之于酉则酉丁为半总酉子为半较其比例同也(全与全若半与半故甲丁与辰)(子为两正弦之总与较则半之而为酉丁与酉子亦必若两正弦之总与较)于是作午戊切员线(引平分线丙酉至己分甲己丁弧于己自己作午戊线与己丙为十)(字垂线即此线为切员线)与甲丁平行引诸线至其上(引丙甲至午引丙丁至戊)(引丙辰割庚㸃至未引丙夘割辛㸃至壬)则午戊切线上比例与甲丁通弦等而正弦之比例在切线矣(先以甲丁与辰子当两正弦之总与较今午戊与未)(壬亦可当两正弦之总与较则先以酉丁与酉子为半总半较者今亦以己戊与己壬为半总半较矣)故曰用切线实用正弦也(切线与正弦所以能同比例者以有通弦作之合也)问三较连乗之理曰亦句股术也以句股为比例而以三率之理转换之则用法最精之处也故三较连乗即得容员半径上方乗半总之积假如甲乙丙三角形甲丙邉一百五十甲乙邉一百二十二乙丙邉一百一十二术以半总一百九十二较各邉得甲丙之较四十二甲乙之较七十乙丙之较八十三较连乗得数二十三万五千二百即容员半径自乗又乗半总之积也置三较连乗数以半总除之得数(一千二百二十五)平方开之得容员半径(三十五)倍之得容员径(七十)置三较连乗数以半总乗之得数(四千五百一十五万八千四百)平方开之得三角形积(六千七百二十)若如常法求得中长线(一百二十)以乗乙丙底而半之所得积数亦同然则何以见其为句股比例曰试从形心如法作线分为六句股形(形心即容员心)又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙则甲夘甲辰并半总(六小句股形之句各于其两相同者而取其一即成半总)而丙夘为甲丙邉之较(即乙戊或乙辛)乙辰为甲乙邉之较(即己丙或辛丙)甲己为乙丙邉之较(己丙同辛丙又丙夘同乙辛则夘己同乙丙而)(甲己为其较若用辰戊以当乙丙则甲戊为较亦同)又从夘作夘壬十字垂线至壬(此线与丁己员半径平行)引甲丁分角线出形外遇于壬成甲夘壬大句股形与甲己丁小句股之比例等(从辰作辰壬线成甲)(辰壬大句股与甲戊丁小句股为比例亦同)术为以丁己比壬夘若甲己与甲夘也次以丁己自乗方为一率以丁己乗壬夘之长方为次率则其比例仍若甲己三率与甲夘四率也(乗之者并丁己故所乗之丁己与壬夘比例不变也)以数明之甲己八十甲夘一百九十二为二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等又移辛㸃至癸截丙癸如丙夘则乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰(亦同乙癸)引乙辰至未使辰未同丙夘(亦同丙癸)则午丙及未乙并同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四线成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等(丙夘壬句股形与未辰壬等则丙壬必等未壬又午夘壬句股形与乙辰)(壬等则午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬两三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙与两三角形同)(底又同用丙壬乙壬两弦亦不得不等)于是自癸作癸壬垂线(夘壬辰壬并垂线故癸壬)(亦必垂线)成丙癸壬句股形与丙夘壬形等即成癸丙夘壬四邉形与丁己丙辛小四邉形为相似形(夘与癸俱方角而方小形之己与辛亦)(角则大形之丙角与壬角合之亦两方角也而小形之丙角原为大形丙角之外角合之亦两方角也则小形)(之丙角与大形之壬角等而小形之丁角亦与大形之丙角等是大小两形之四角俱等而为相似形)则丁己丙句股形与丙夘壬形亦相似而比例等(大小)(两四邉形各均剖其半以成句股则其相似之比例不变全与全若半与半也)术为以丁己比己丙若丙夘与夘壬也一 丁己二 己丙三 丙卯 即甲丙之较戊乙四 卯壬凡三率法中二三相乗一四相乗其积皆等则己丙乗丙卯之积即丁己乗卯壬之积可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己与甲卯今以三率之理通之为以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己与甲卯一 丁己自乗方 即容员半径自乗二 己丙乗丙卯长方 即甲乙之较乗甲丙之数三 甲己 即乙丙之较四 甲卯 即半总复以三率之理转换用之则三较连乗之积(以己丙较乗戊)(乙较为二率又以甲己较为三率乗之是二三相乗即三较连乗)即容员半径自乗方乗半总之积也(以丁己半径自乗为首率以甲卯半总为四率乗之是一四相乗也)(凡一四相乗必与二三相乗之积等)以数明之丁己(三十五)卯壬(八十四)相乗得二千九百四十己丙(七十)丙卯(四十二)相乗亦二千九百四十故可通用己丙乗丙卯(二千九百四十)又以甲己(八十)乗之得二十三万五千二百丁己自乗(一千二百二十五)又以甲卯(一百九十二)乗之亦二十三万五千二百故可通用问三较之术可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即锐钝通为一术矣术曰以三边各减半总得较各以所求角对边之较乗半总为法以余两较各与半径全数相乗又自相乗为实法除实得数平方开之为半角切线捡表得度倍之为所求角假如甲乙丙三角形甲丙边七十五甲乙边五十六乙丙边六十一与半总九十六各相减得甲丙之较二十一甲乙之较四十乙丙之较三十五今求乙角术以乙角所对边甲丙之较(二一)乗半总(九六)得数(二○一六)为法以余两较(甲乙较四○乙)(丙较三五)各乗半径全数又自相乗得数(一四○○○○○○○○○○○○)为实法除实得数(六九四四四四四四四四)平方开之得数(八三三三三)为半角切线捡表(三十九度四十八分一十九秒)倍之得乙角(七十九度三十六分三十八秒)次求丙角术以丙角所对边甲乙之较(四○)乗半总得数(三八四○)为法余两较(甲丙二一乙丙三五)各乗半径全数又自相乗得数(七三五○○○○○○○○○○)为实法除实得数(一九一四)(○六二五○○)平方开之得半角切线(四三七五○)捡表(二十三度三十)(七分五十二秒半)倍之得丙角(四十七度一十五分四十五秒)次求甲角术以甲角所对邉乙丙之较(三五)乗半总得数(三三六○)为法余两较(甲丙二一甲乙四○)各乗半径全数又自相乗得数(八四○○○○○○○○○○○)为实法除实得数(二五○○)(○○○○○○)平方开之得半角切线(五○○○○)捡表(二十六度三十)(三分五十三秒)倍之得甲角(五十三度○七分四十六秒)问前条用三较连乗今只用一较为除法何也曰前条求总积故三较连乗今有専求之角故以对邉之较为法也然则用对邉何也曰对邉之较在所求角之两旁为所分小句股形之句今求半角切线故以此小句为法也如求乙半角则所用者角旁小句股(心戊乙或心丁乙)其句(乙戊)(或乙丁)并二十一即对邉甲丙之较也术为以乙戊比心戊若半径与乙角(小形之角即半角也)之切线其与半总相乗何也曰将以半总除之又以小形句(即对邉之较)除之今以两除法(一半总一对邉之较即小形句)相乗然后除之变两次除为一次除也(古谓之异除同除)用两次除亦有说乎曰前条三较连乗必以半总除之而得容员半径之方幂今欲以方幂为用故亦以半总除也然则又何以对邉之较除曰非但以较除也乃以较之幂除也何以言之曰原法三较连乗为实今只以两较乗是省一乗也既省一对邉之较乗又以对邉之较除之是以较除两次也即如以较自乗之幂除之矣余两较相乗先又各乗半径何也曰此三率之精理也凡线与线相乗除所得者线也幂与幂相乗除所得者幂也先既定乙戊句为首率心戊股(即容员半径)为次率半径为三率乙角切线为四率而今无心戊之数惟三较连乗中有心戊(即容员半径)自乗之幂(即三较连乗半总除之之数)故变四率并为幂以乙戊句幂为首率(即对邉之较除两次)心戊股幂为次率(即半总除连乗数)半径之幂为三率(即半径自乗)得半角切线之幂为四率(即分形之乙角)一 乙戊 今用乙戊自乗二 心戊 心戊自乗三 半径 半径自乗四 乙角切线 切线自乗故得数开方即成切线又术以三较连乗半总除之开方为中垂线(即容员半径)以半径全数乗之为实各以所求角对边之较除之即得半角切线一 乙戊(乙角对边之较) 丙戊(丙角对边之较) 甲己(甲角对边之较)二 心戊中垂线 心戊中垂线 心己中垂线(亦即心戊)三 半径全数 半径全数 半径全数四 乙半角切线 丙半角切縁 甲半角切线此即用前图可解乃本法也论曰常法三边求角倘遇钝角必于得角之后又加审焉以钝角与外角同一八线也今所得者既为半角则无此疑实为求角之㨗法补遗问以邉求角(句股第二术)因和较乗除而知正角乃定其为句股形何也曰古法句弦较乗句弦和开方得股今大邉(壬丁)与小邉(癸丁)以和较相乗为实癸壬邉为法除之而仍得癸壬是适合开方之积也则大邉小邉之和较即句弦之和较而癸为正角成句股形矣(凡句股形弦为大邉而对正角)(今丁壬邉最大即弦也故所对之癸角为正角)试再以丁壬与壬癸之和较求之如法用丁壬壬癸相加得和(一百九十)(六丈)相减得较(一十六丈)较乗和(三千一百三十)(六丈)为实丁癸(五十六丈)为法除之亦仍得五十六丈何则股弦较乗和亦开方得句故也然则句股弦和较之法又安从生曰生于割圜试以丁壬弦为半径作戊丁丙己圜 全径二百一十二 半径一百○六 乙丁正弦九十(即癸壬股) 乙壬余弦五十六(即癸丁句) 丙乙正矢五十(即句弦较) 乙庚大矢一百六十二(即句弦和) 正矢乗大矢得数八千一百开方得正弦(即句弦和乗较开方)(得股)然则此八千一百者既为正矢大矢相乗之积又为正弦自乗之积故以正弦自乗为实而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢(即乙丁股自乗为实而以句弦较丙乙除之得乙庚为句)(弦和若以句弦和除之亦得句弦较)更之则正矢乗大矢为实以正弦除之仍得正弦矣(即句)(弦较丙乙乗句弦和乙庚为实以乙丁股为法除之而仍复得股)论曰句股形在平圜内其半径恒为弦若正弦余弦则为句为股可以互用故其理亦可互明(以丁壬及丁癸二邉取和较求)(壬癸邉为句弦求股以丁壬及壬癸二邉取和较求丁癸邉为股弦求句一而已矣)问数则合矣其理云何曰仍句股术也如上图于圜径两端(如丙如庚)各作通弦线至正弦(丁乙)之锐(如庚乙丙乙)成丙乙庚大句股形又因中有正弦成大小两句股形(乙丁庚为大形乙丙丁为小形)而相似(以乙丁线分正)(角为两则小形乙角为大形乙角之余而与庚角等即大形乙)(角亦与小形丙角等故两形相似)则乙丁正弦既为小形之股又为大形之句其比例为丙丁(小形句)与乙丁(小形股)若乙丁(大形句)与丁庚(大形股)也故正矢(丁丙)乗大矢(丁庚)与正弦(乙丁)自乗等积(丙庚全径为正弦所分其一丁丙正矢为小形之句而乙)(丁正弦为其股其一丁庚大矢为大形之股而乙丁正弦为其句)一 丁丙正矢 小形句 凡二率三率相乗与一二 乙丁正弦 小形股 四相乗等积故乙丁自三 乙丁正弦 大形句 乗即与丁丙丁庚相乗四 丁庚大矢 大形股 等积也论曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故论句股者必以割圜而论割圜者仍以句股如根株华实之相须乃本法非旁证也或疑切线分外角以正弦为比例恐不可施于钝角作此明之甲丙乙钝角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求余角一率丁乙(邉总)二率癸乙(邉较)三率己戊(半外角切线)四率壬己(半较角切线)论曰试作壬丙线与乙甲平行分外角为两则壬丙丁即乙角其正弦卯丁又甲丙壬即甲角其正弦甲丑以两句股(丑子甲卯子丁)相似之故能令两正弦(丑甲卯丁)之比例移于通弦以成和较(丑甲与卯丁既若子甲与子丁则丁甲即两正弦之和辰子即两正弦之)(较)而半外角半较角之算以生(半外角为和半较角为较并与两正弦之和较)(同比例即与两邉之和较同比例)并如锐角又论曰此所分大角为钝角故甲丑正弦作于形外然虽在形外而引分角线至丑适与之㑹即能成丑子甲句股形与卯子丁相似而生比例(丙乙甲形先有丙角求余角与法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线戊己 半较角切线未己)(此亦因所分为钝角故卯丁正弦在形外余又大邉为半径故乙癸较亦在形外而丁乙为和 并同前)(丙甲乙形先有丙角求余角半法为邉总丁乙与邉较乙癸若半外角切线己戊与 较角切线己壬 此因)(先得钝角故所分之内反无钝角而正弦所作之小句股并在外角之内同锐角法矣)(丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙弦如法作丙壬线与乙甲股平行分外角为两则句弦和丁乙与句弦较)(癸乙若半外角切线己戊与半较角切线己壬所此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正弦知 得为)(正角)(甲乙丙形先得丙角求余角辛如法作丙庚线与乙甲句平行次截辛丁如庚甲作 丙线分外角为两则小)(角之正弦卯丁大角之正弦即丙甲而成两句股相似为切线比例 法为句弦和丁乙与句弦较乙癸若半)(外角切线己戊与半较角切线己壬辛此以丙甲为半径作外角弧而即用丙甲为正弦知 丙甲为正角而)(丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙为正角矣以乙正角减外角余为甲角)论曰右并以先不知其为句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度别无正弦而即以半径全数为正弦得此明之(甲乙丙形先有正角求余角己法为句股和丁乙与句股较癸乙若半外角切线戊 与半较角切线己壬)论曰此因先得者为正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切线即同半径全数余并同前又论曰句股形求角本易不须外角而外角之用得此益明(以大邉为半径作外角弧分角线丙未与次大邉平行 邉总乙丁与邉较乙癸若半外角切线戊己与半较)(角切线壬己)(以次大邉为半径作外角弧分角线丙未与小邉乙甲平行大邉总丁癸与邉较乙癸若半外角切线己戊与)(半较角切线己壬)问平三角形以一邉为半径得三正弦比例不识大邉亦可以为半径乎(小邉次邉为半径已具前条故云)曰可如乙丙丁钝角形引乙丁至辰如乙丙大邉而用为半径以丁为心作丑辰亥半弧从辰作辰午为丁钝角正弦又作丁斗半径与乙丙平行则斗牛为丙角正弦又截女丑弧如辰斗作女丁半径则女亢为乙角正弦合而观之丁角正弦(辰午)最大故对邉乙丙亦大丙角正弦(斗牛)居次故对邉乙丁亦居次乙角正弦(女亢)最小故对邉丁丙亦小又问若此则三邉任用其一皆可为半径而取正弦是已然此乃同径异角之比例也若以三邉为弦三正弦为股则同角异邉之比例也两比例之根不同何以相通曰相通之理自具图中乃正理非旁证也试于前图用乙丁次邉为弦其股乙癸与斗牛平行而等则丙角正弦也又截酉丁如丁丙小邉为弦其股酉壬与女亢平行而等则乙角正弦也又辰丁大邉为弦(即乙)(丙)其股辰午原为丁大角正弦也于是三邉并为弦三对角之正弦并为股成同角相似之句股形而比例皆等可以相求矣一大邉(乙丙即辰丁) 一丁角正弦(辰午)二丁角正弦(辰午) 二大邉乙丙三次邉乙丁 小邉(丁丙即酉丁)三丙角正弦(乙癸)乙角正弦(酉壬)四丙角正弦(乙癸)乙角正弦(酉壬)四次邉乙丁 小邉丁丙此如先得大邉(乙丙即辰丁)与所对大角(丁)故用辰午丁大句股形为法求余二句股也(乙癸丁酉壬丁)皆同用丁角而形相似故法可相求其实三正弦皆大邉为半径所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁证也又试于乙丙丁形(或钝角或锐角同理)以丁丙小邉为半径作房箕壁象弧(以乙为心)如上法取三正弦(以尾壁弧为丁角度其正弦尾虚又箕壁)(弧为丙角度其正弦箕危又戍壁弧为乙角度其正弦戍申)成同径异角之比例又如法用三邉为弦三正弦为股(乙戍即丁丙小邉配乙角正弦戍申原如弦与)(股又本形乙丁次邉为弦则丁甲为股与箕危平行而等)(丙角正弦也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以为弦)(则子寅为股与尾虚平行而等丁角正弦也)则并为相似之句股形而比例等一小邉丁丙(即戍乙)二(乙角正弦)戍申三大邉乙丙(即乙子) 次邉丁乙四(丁角正弦)子寅(即尾虚) (丙角正弦)丁甲(即箕危)此如先得小邉(丁丙)与所对小角(乙)故以戍申乙小句股形为法求两大句股也(丁甲乙子寅乙)皆同用乙角而形相似又试以乙丁次邉为半径作象限如前(以丙为心)取三正弦(张娄为丁角弧度张井其正弦氐娄为丙角弧度氐参其正弦室娄为乙角弧度室奎其正弦)成同径异角之比例又仍用三邉为弦三正弦为股(引丁丙至翌与大邉乙丙等成翌丙弦其股翌胃与张井)(平行而等丁角正弦也又乙丁次邉成氐丙弦其股氐参原为丙角正弦)(又丁丙小邉为弦其股丁柳与室奎平行而等乙角正弦也)即复成相似之句股形而比例等一次邉乙丁(即氐丙)二(丙角正弦)氐参三大邉乙丙(即翌丙) 小邉丁丙四(丁角正弦)张井(即翌胃) (乙角正弦)丁柳(即室奎)此如先得次邉(乙丁)及所对丙角故以氐参丙句股为法求大小二句股也(求翌胃丙为以小求大求丁柳丙为以大求小)皆同用丙角而比例等问员内三角形以对弧为角倍度设有钝角小邉何以取之(或问内原设锐角两邉并大于半径故云)曰法当引小邉截大邉作角之通弦(如图乙甲丙钝角形在平员内以各角切员而乙甲邉小于半径则引乙甲出员周之外乃以)(甲角为心平员心丁为界作子丁丑弧截引长邉于子截大邉于丑则丑甲子甲并半径与丁甲等而丑子为)(通弦)又平分对邉作两通弦(从员心作)(丁乙丁丙两半径截乙戊丙员周为甲角对邉所乗之弧而半)(之于戊作乙戊丙戊二线成两通弦)则此两通弦自相等又并与丑子通弦等夫子丁丑弧甲角之本度也丙戊弧乙戊弧皆对弧之半度也而今乃相等(通弦等者弧度亦等)是甲角之度适得对弧乙戊丙之半而乙戊丙对弧为甲角之倍度矣厯算全书卷五十三
## 卷五十四
钦定四库全书厯算全书卷五十四宣城梅文鼎撰三角法举要卷五测量(三角用法算例已具兹则举髙深广逺以徴诸实事亦与算例互相补备也)一测髙一测逺一测斜坡一测深附隔水量田附解测量全义三角测髙第一术自平测髙假如有塔不知其髙距三十丈立表一丈用象限仪测得髙二十六度三十四分弱依切线术求得塔髙一十六丈一半径 一○○○○○二戊角切线 五○○○○三距塔根(丙乙即戊丁) 三十丈四塔顶髙(甲丁端是截算表 以上) 十五丈加戊丙表一丈(即丁乙)共得塔髙十六丈(甲乙)凡用象限仪以垂线作角与用指尺同理(指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩)若戊丙表立于髙所当更加立处之髙以为塔髙省算法从表根丙平安象限以一邉指塔根乙一邉指癸乃顺丙癸直线行至癸得三十丈与丙乙等复于癸平安象限作癸角与戊角等邉指丙尺指壬则壬丙逺即甲丁之髙(亦加丁乙为塔髙)论曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙与乙并正角则两句股形等立面与平面一也又术自丙向癸却行以象限平安邉指丙尺指乙求作戊之余角得己丙之距即同甲丁之髙又省算法用有细分矩度自戊数至癸令其分如丙乙之距(或两倍三倍)从癸数壬癸直线之分即甲丁之距也(先以二分为丈或三分为丈今)(亦同之)用矩度以垂线作角其用亦同三角测髙第二术平面则不知逺之髙法用重测假如有山顶欲测其髙而不知所距之逺依术立二表相距一丈二尺用象限仪测得髙六十度十九分退测后表得五十八度三十七分查其两余切线以相减得较数为法表距乗半径为实算得山髙三十一丈一 余切线较○○四○○○二 半径 一○○○○○三 表距戊己 一丈二尺四 山髙甲丁 三十丈加表一丈共三十一丈省算法用矩度假令先测指线交于辛后测指线交于庚成辛庚戊三角形法于两指线中间以两测表距(即戊己)变为分如壬癸小线引长之至丙即丙戊所当测髙论曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外测城内之山并同三角测髙第三术从髙测髙 又谓之因逺测髙假如人在山颠欲知此山之髙但知山左有桥离山半里用象限测桥得逺度一十八度二十六分强依切线法求得山髙一里半一 甲角切线 半径(一○○○○○)二 半径 甲角余切(三○○○二八)三 桥逺(戊丁) 一百八十步四 山髙(甲丁) 五百四十步(○五尺)省算法用矩度作壬癸线以当戊丁则己壬当甲丁三角测髙第四术从髙测不知逺之髙 法用重测假如人在山上欲知本山之髙然又无可㨿之逺但山有楼或塔量得去山二十一丈以象限仪指定一处于楼下测得五十五度二十六分又于楼上测得五十三度五十分用余切线求得山髙三百四十四丈五尺一 两余切较 四二二 下一测余切 六八九三 楼髙(两测之距) 二十一丈四 山髙 三百四十四丈五尺省算法用矩度上测交庚下测交辛成辛己庚三角形法于两指线中间以上下两测之距变为分如壬癸小线引长之至丙即壬丙当所测本山之髙三角测髙第五术若山上无两髙可测则先测其弦(但山上有两所可以并见此物即可)(测矣)甲乙为山上两所(不拘平斜但取直线)任指一处如戊于甲于乙用噐两测之成甲乙戊形此形有甲乙两角又有甲乙之距为两角一邉可求甲戊邉法为戊角之正弦与甲乙邉若乙角之正弦与甲戊再用甲戊丁句股形为半径与甲戊若甲角余弦与甲丁即山之高也三角测髙第六术借两逺测本山之髙有山不知其髙亦无距山之逺但山前有大树从此树向山而行相去一百八十五丈又有一树人在山上可见两树如一直线即于山上以象限仪测此二树一测逺树四十三度三十二分一测近树三十度○七分用切线较得本山髙五百丈一 切线较 三七○○○二 半径 一○○○○○三 两逺之较 一百八十五丈四 本山髙 五百丈省算作壬癸小线当两逺之距(己戊)而丙甲当本山髙(甲丁)三角测髙第七术用山之前后两逺测髙甲为山颠可见戊己两树其树与山参相直(如山南树直正子北树直正午)而不知其距但山外有路与此树平行为庚辛其长三里(如两树正南北)(此路亦自南向正北行)即借庚辛之距为两树之距以两切线并为法求之先从甲测巳得甲角一十七度○四分又从甲测戊得甲角三十四度三十四分法为两切线并与己戊若半径与甲丁也一率两切线并(○九九六○○)二率半径(一○○○○○)三率己戊即庚辛(三里)求得四率甲丁(三里○四步又三之一强)三角测髙第八术测山上之两髙甲山上有塔如乙欲测其髙如乙甲之距于戊安仪噐测乙测甲得其两戊角之度(一乙戊丁二甲戊丁)各取其切线相减得较法为半径比切线较若戊丁与乙甲省算法数戊丙之分以当戊丁作壬癸丙小线则壬癸之分即当乙甲用矩度亦同三角测髙第九术隔水测两髙之横距有甲乙两髙在水外欲测其相距之逺任于丙用仪噐以邉向丁窥筩指甲得甲丙丁角(一百二十)(五度)又指乙得乙丙丁角(五十度)次依丙丁直线行至丁(得一百步)再用仪噐以邉向丙窥筩指甲得甲丁丙角(三十九度)又指乙得乙丁丙角(一百零八度)又甲丁乙角(六十九度)得三角形三(一甲丁丙)(二乙丁丙三甲丁乙)今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉一率甲角(一十六度)正弦(二七五六四)二率丁丙(一百步)三率丙角(一百二十五度)正弦(八一九一五)求得四率甲丁邉(二百九十七步)次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉一率乙角(二十二度)正弦(三七四六一)二率丁丙邉(一百步)三率丙角(五十度)正弦(七六六○四)求得四率乙丁邉(二百○四步)末乙丁甲形有甲丁邉(二百九十七步)乙丁邉(二百○四步)丁角(六十)(九度)先求甲角一率两邉之总(五百○一步)二率两邉之较(九十三步)三率半外角(五十五度半)切线(一四五五○一)求得四率半较角切线(二七)(○○九)查表得一十五度○七分弱以减半外角得甲角四十度二十三分强次求甲乙邉一率甲角正弦(六四七九○)二率乙丁邉(二百○四步)三率丁角正弦(九三三五九)求得四率甲乙邉二百九十四步弱论曰此所测甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙两髙并在一山之上于山麓测之或甲乙分居两峰于两峰间平地测之或甲在水之东乙在水之西于一岸测之并同若用有度数之指尺并可用省算之法三角测髙第十术隔水测两髙之直距有两髙如乙与甲于戊于庚测之先以乙庚戊形求乙庚斜距次以甲庚戊形求甲庚斜距末以乙甲庚形(有乙庚邉甲庚邉及庚角)求乙甲邉即所求三角测髙第十一术若山之最髙颠为次髙所掩则用逓测山前后左右地势不同则用环测环测者从髙测下与测深同太髙之山则用屡测癸极髙为甲次髙所掩则先测甲复从甲测癸谓之逓测乙丁与子丑居癸山之下为地平而各不等则从癸四面测之如测癸辛之髙以辛乙为地平又测癸戍之髙以戌子丑为地平则乙丁与子丑之较为戍辛谓之环测若山太髙太大则于乙测甲又于甲测癸或先测卯又测寅又测丑测子再从子丑测癸细细测之则真髙自见而地之髙下亦从可知矣谓之屡测三角测逺第一术平面测逺有所测之物如乙于甲立表安象限以邉指乙余一邉对丁从甲乙直线上任取九歩如丁于丁复安象限以邉对甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切线算得乙距甲二十七步一 半径二 丁角切线三 丁甲四 乙甲若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗并而开方即得乙丁若径求乙丁则为以半径比丁角之割线若甲丁与丁乙也是为以句求弦省算用矩度自丁数自癸取丁癸之分如丁甲之距(或以)(分当步或二分或三分当一步皆可)作壬癸丁小句股则壬癸之分即乙甲也(或一)(分当步或二分三分并如丁癸之例)而丁壬亦即当丁乙(若尺上有分数即径取之)若先从丁测测以测噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直线行至甲务令测噐之一邉顺丁甲直线余一邉指乙则甲为正方角如前算之即得(若甲非正方角则于丁甲直线上或)(前或后移测求为正方角乃止)三角测逺第二术省算法人在甲欲测乙之逺于甲置仪噐一邉向乙一邉向丁成正方角乃依甲丁直线行至丁以邉向甲闚管指乙作四十五度角即甲丁与甲乙等若用矩度以乙丁线正对方角则丁角为正方角之半而甲丁等乙甲论曰丁角为正方角之半则乙角亦正方角之半而句与股齐故但量甲丁即知甲乙又省算法于甲置仪噐以邉向丁闚管指乙作六十度角顺甲丁直线行至丁复作六十度角则甲丁等甲乙论曰甲角丁角俱六十度则乙角亦六十度矣故三邉俱等若丁不能到则于甲丁线上取丙以仪噐二邉对甲对乙成正方角则甲丙为乙甲之半三角测逺第三术平面测逺用斜角人在甲测乙而两旁无余地可作句股则任指一可测之地如丁量得丁甲二十丈于丁安仪噐以邉向甲窥筩指乙得丁角(四十六度)又于甲安仪噐以邉指丁窥筩指乙得乙甲庚角(二十一度)加象限(九十度)得甲钝角(一百一十一度)法为以乙角之正弦(二十三度乃甲丁二角减半周之余)比丁甲若丁角之正弦与乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸若求乙丁则为以乙角之正弦比丁甲若甲角之正弦与乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸(甲为锐角法同)省算法于仪噐作壬甲线与乙丁平行作壬癸线与乙甲平行成壬癸甲小三角形与丁乙甲等则甲癸当甲丁而壬癸当甲乙又壬甲当乙丁用矩度同(但于象限内作横直)(分用同矩度)论曰壬角既同乙角(壬甲与乙丁平行壬癸与乙甲平行则作角必相等)癸钝角又同甲角则两三角相似而比例等锐角形于甲测乙用矩度之邉指丁作甲角另用一矩度(其矩须于两面纪度)从丁测之以邉向甲闚筩指乙作丁角末移丁角作癸角于噐上作壬癸线与乙丁平行则癸甲当丁甲而壬甲当乙甲壬癸当乙丁三角测逺第四术平面测逺借他线为比例甲乙为两所顺甲乙直线行任取若干步至丙又于丙任作直线至丁得若干步于丁安仪噐以邉对甲闚衡指丙作丁角顺此直线至戊复安仪噐邉对乙衡指丙作戊角令与丁角等则丙丁比丁戊若丙甲与甲乙省算法于乙甲直线上取丙又从丙作丙戊直线截丁丙如乙丙于丁用象限闚乙作丁角再于戊闚甲作戊角令与丁角等则丁戊即甲乙又法甲置仪噐指乙指丁作角以减半周成外角(己戊为甲角之)(度丙庚戊为外角之度)于丁置仪噐指甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙论曰凡外角能兼内余二角(乙丁)之度丁角既为外角之半则乙角亦外角之半矣角等者所对之邉亦等故甲丁等甲乙三角测逺第五术平面测逺借他形为比例法从甲测乙任立一表于丙从甲用仪噐以邉向乙闚管指丙得甲角复于丁加仪噐以邉向戊闚管指丙使丁丙甲为一直线而作丁角与甲角等乃顺仪噐邉取直线至戊令戊丙乙为一直线则丁丙与丁戊若丙甲与甲乙(钝角形句股形并同)(一理)论曰丙戊丁与丙甲乙两三角形相似以两形之丙角为交角必相等而丁角又等甲角则戊角亦等乙角矣故其比例等三角测逺第六术 省算有甲乙两所欲测其距如前立丙表以噐测得甲丙乙角之度又顺乙丙直线行至戊令丙戊之距同甲丙而止再从戊行至丁从丁闚丙至甲成一直线于此直线上进退移测使乙丁丙角为乙丙甲角之半则但量丁戊即同乙甲(甲为钝角或丙为钝角并)(同)论曰甲丙与丙戊既相等乙丁丙角为乙丙甲外角之半则丙乙丁角亦外角之半是乙丙与丁丙亦等也而丙交角又等是甲丙乙三角形与戊丙丁形等角等邉也故丁戊即乙甲三角测逺第七术 重测甲乙为两所欲测其距而俱不能到则两测之于戊于丁量得戊丁之距(十六步半)用噐测得戊角(五十度四十三)(分)丁角(三十六度一十分)两角之余切线较(五五○○○)为一率半径(一○○○○○)为二率戊丁(十六步半)为三率得四率为乙甲之距(三十步)若求戊甲之距以两测之余切较(五五○○○)为一率先测戊角之余切(八一八○○)为二率丁戊(十六步半)为三率得四率戊甲(二十四步五四)论曰此即古人重表测逺法也必丁戊甲直线与乙甲线横直相遇使甲为正角其算始真假如乙甲正南北距则丁戊甲必正东西斯能横直相交而成正角也三角测逺第八术分两处重测乙岸在河东欲测其距西岸之逺如甲则任于甲之左右取丁戊两所与甲参相直而距河适均测得丁角(五十度四十三分)戊角(五十五度四十三分)用两角度之余切线并(一五○○○○)为一率半径(一○○○○○)为二率丁戊之距(九十六步)为三率求得四率乙甲之距(六十四步)为两岸阔论曰此法但取丁戊直距与河岸平行则不必预求甲㸃而自有乙甲之距为丁戊之垂线尤便于测河视用切线较更简捷而穏当矣三角测逺第九术用髙测逺甲乙为两所不知其逺而先知丁乙之髙于甲用仪噐测丁乙之髙几何度分即知甲乙法为半径比甲角之余切若丁乙髙与甲乙之逺若人在髙处如丁用髙测逺则为半径比丁角之切线若丁乙与甲乙其理并同但于丁加仪噐而用正切三角测逺第十术用不知之髙测逺欲知丁乙之逺而不能至乙乙之上有庚又不知庚乙之髙法用重测先于丁测之得丁角(三十八度一十三分)又依丁乙直线进至甲测之得甲角(五十三度五十二分强)两余切较(○五四○○一)为一率丁角余切(一二七○○一)为二率丁甲之距(二十步)为三率得四率丁乙(四十七步○三) 或丁后有余地退后测之亦同省算作壬癸丙线以壬癸分当丁甲之距壬丙当丁乙之逺若人在髙处如庚于庚测丁测甲以求丁乙其法亦同但于庚施仪噐而用正切(法为以两庚角之切线较比丁庚乙之切线若丁甲与丁)(乙)三角测逺第十一术用髙上之髙测逺甲乙为两所而乙之根为物所掩(如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽亏或岛屿盘纠荻苇深阻)难得真距若用两测甲外又无余地但取其髙处如戊为山颠山上又有石台台上有塔如丁丁戊之髙原有定距以此为用从甲测丁又测戊得两角(一丁甲乙二戊)(甲乙)求其切线法为以切线较比半径若丁戊与乙甲省算作壬癸丙小线以壬癸当丁戊则甲丙当甲乙矩度同若从髙测逺则于丁于戊两用仪噐测甲用丁戊两角之余切较以当丁戊而半径当甲乙其理亦同三角测逺第十二术从髙测两逺甲乙两逺人从髙处测之于丁用仪器测甲测乙得两丁角(一甲丁丙二乙)(丁丙)法为以半径比两角之切线较若丁丙髙与乙甲也又法既得两角则移仪噐窥戊作戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窥己作己丁乙角如乙丁丙之倍度则但量己戊即知乙甲三角测逺第十三术连测三逺丙乙为跨水长桥甲乙为桥端斜岸今于丁测桥之长并甲乙岸阔及其距丁之逺近法于丁安仪噐以邉指戊衡指甲指乙指丙作丁角五(一甲丁戊二乙)(丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小)次顺仪噐邉直行至戊得丁戊之距于戊复用仪噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三(一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小)一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上并二角一邉求余邉得甲乙丙三处距丁之逺近一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上并二邉一角求余邉得岸阔与桥长三角测斜坡第一术斜坡上平面测两所之距斜坡上有甲乙两所欲量其相距之数任立丙表测得乙丙甲角度乃顺甲丙直线进退闚乙至戊得乙戊丙角为乙丙甲角之半又横过至丁从丁闚丙至乙成一直线顺此直线进退闚甲至丁得甲丁丙角亦为丙角之半则丁戊即乙甲又法不必立表但任指一㸃为丙而于甲丙直线上任取己㸃乙丙直线上任取庚㸃作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊两角为丙角之半即所求论曰此因乙甲在斜面髙处而不能到故借用丁丙戊形测之以丁丙戊乙丙甲两形相等故也何则丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙两角之度戊角既分其半乙角亦半则两角等而乙丙戊丙两邉亦等矣凖此论之则甲丁丙角为丙外角之半者丁甲丙角亦必为丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣两形之角既等各两邉又等则三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙两所在下而丁戊两测在上亦同三角测斜坡第二术斜坡测对山之斜髙对山之斜髙如甲戊乙于对山之斜坡测之如丙丁先量得丙丁之距于丙安仪噐得丙角二(一乙丙丁二戊丙丁)于丁安仪噐得丁角四(一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲)成各三角形先用乙丙丁形(有丙角丁角及丁丙邉)测乙丁邉 次用戊丙丁形(有丙丁二角及丁丙邉)测丁戊邉 三用乙丁戊形(有乙丁戊丁二邉及)(丁角)测乙角及乙戊邉 四用乙丁甲形(有乙角丁角及乙丁邉)测乙甲邉乙甲内减乙戊得戊甲邉(乙戊甲为垂线之髙法同)三角测斜坡第三术测对坡之斜髙及其岩洞从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊一乙丙丁形(有丙丁两测之距丙角丁角)可求乙丁邉 二戊丙丁形(有丙丁邉丁角丙角)可求丁戊丙戊二邉 三乙丁戊形(有乙丁邉戊丁邉丁)(角)可求乙戊邉为所测对山上斜入之岩 四丙丁甲形(有丁角丙角丙丁邉)可求丙甲邉五甲丙戊形(有丙戊邉丙甲邉丙角)可求戊甲邉为所测对坡斜髙或戊为髙处基址乙为房檐亦同三角测深第一术测井之深及濶甲乙为井口之濶于甲作垂线至丁(或用砖石投之以识其处)从乙测之得乙角成甲乙丁句股形即以甲乙井口为句得甲丁股为井之深 既得乙丙深(即甲丁)即可用乙己戊形得己戊为底濶法以半径当井深(乙丙)以两乙角(一戊乙丙二己乙丙)之切线并当井底之濶(己戊)若不知井口则立表于井口如庚甲求庚甲二角成庚甲丁形测之三角测深第二术登两山测谷深先于二山取甲乙之平而得其距数为横线即可用三角形求丙丁垂线为谷之深与测髙同理(亦可用以)(测髙也)法为甲乙两角之余切线并比半径若甲乙与丙丁论曰深与髙同理测深之法即测髙之法也存此数则以发其例有不尽者于测髙诸术详之可也附隔水量田法甲乙丙丁田在水中不可得量于岸上戊庚两处用仪噐测之得诸三角形算得其邉(一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲)次求乙丁对角线分为两三角形(一甲乙丁二丙乙丁)末用和较法求得分形之两垂线(一甲癸二)(壬丙)并两垂线而半之以乗乙丁即得田积或用三较连乗法求三角形积并之亦同凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观者并可以此法测之解测量全义一卷十二题加减法甲寅象限弧 甲乙半径全数为首率丙寅弧之正弦丙辛为一率丁寅弧之正弦丁庚为三率戊己为四率二三相乗为实首率为法法除实得四此本法也今以加减得之则不用乗除丙寅加丁寅(即辰丙)为辰寅总弧其余弦辰卯(即子癸)丙寅内减丁寅为丑寅(即丙丁)存弧其余弦癸丑以子癸减癸丑余子丑平分之于壬为壬子或壬丑即四率(其壬子壬丑皆与戊己等) 此因总弧不及象限故以两余弦相减甲寅象限弧甲乙半径全数为首率丙寅弧之正弦丙辛为二率丁寅弧之正弦丁庚为三率戊己为四率以上皆与前同丙寅加丁寅(即辰丙)为辰寅总弧(此总弧大于象限)其余弦卯辰(即子癸) 丙寅内减丁寅(即丙丑)余丑寅为存弧其余弦丑癸以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二线皆与戊己同即为四率如所求此因总弧过象限故以两余弦相加今订本书之譌甲寅皆象限弧 甲乙半径一○○○○○为首率丙辛○五九九九五为二率丁庚○二五○一○为三率以三率法取之得○一五○○四为四率今用加减法以丙辛线为正弦查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚线为正弦查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十一分其余弦○六二四五六如辰卯(即子癸)又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二十三分其余弦○九二四六六如丑癸因总弧小于象限当以两余弦相减其较○三○○一○如子丑(于丑癸内减子癸得之)乃平分子丑于壬其数○一五○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率 此所得与三率所推但有微差而不相逺按此以加减代乗除依其法宜如此今刻本相减相并讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相减之存弧讹为二十二度二十四分故其正弦皆讹而所得之四率只一四三一与三率所推不合矣又按以加减代乗除之法不过以明图法之妙其中又有此用耳若以入算终不如乗除之便何也设问毎多整数而正弦之数皆有畸零不能恰合一也先用设数求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二也弧度既有畸零则其查余弦又必用中比例三也两余弦有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论数学则宜造其㣲而施之于用则贵其简易若可以简易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乗除之便也观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以总存两余弦相加减而半之者即初得数也然彼以两正弦相乗得之此以加减得之而省一乗矣实弧三角中大法而彼但举例而隠其图姑示其端于此而又不直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳向后二图发明所以然之故甲寅象限弧 乙丙半径为首率丙寅弧之正弦丙辛为次率丙丑弧之正弦丑戊为三率(辰丙弧同丙丑其正弦辰戊亦同丑戊)得戊巳为四率(丑壬及壬子并同)论曰戊巳辰(或丑壬戊亦同)句股形与丙辛乙句股形相似故其比例等法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也(或辰戊与戊巳亦同)又论曰凡两十字垂线相交作句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正弦与丙乙半径相交于戊㸃一十字也辰午线(辰寅弧之正弦也)丑癸线(丑寅弧之余弦)相交于子㸃一十字也此两十字相交而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得不为相似之形矣解曰乙丙首率半径也丙辛正弦为次率其弧丙寅丑戊正弦为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑(三率之弧也)加丙寅(次率之弧)成辰寅总弧而辰卯则总弧之余弦也以丙丑(三率之弧)减丙寅(次率之弧)其余丑寅为存弧而丑癸则存弧之余弦两余弦相减其较为子丑(子癸同辰卯故以子)(癸减癸丑得较子丑)子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是为所求之四率也如此以量法代算法的确不易但细数难分耳若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总弧其正弦丑丁余弦丑癸(即丁乙)酉辰为存弧其正弦辰午余弦辰卯(即子癸)算法略同但先所用者存弧之正弦小于总弧今则总弧正弦小于存弧正弦大则余弦小正弦小则余弦反大加减之用以小从大其理无二故其图可通用也又按壬丑即初得数也两正弦相乗以半径除之者也乙亥即次得数也两余弦相乗以半径除之者也今改用加减则以两弧相并为总弧而相较之余为存弧存总两余弦相加减而半之成初得数省两正弦乗矣又以初得数去减余弦成次得数省两余弦乗矣两余弦加减例凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两余弦相减 若存弧在象限内总弧在象限外则两余弦相加初得数减余弧例凡存弧之正弦小于总弧即用存弧之余弦在位以初得数减之余为次得数 若总弧之正弦小于存弧即用总弧之余弦在位以初得数减之余为次得数盖弦小者余弦大其余弦内皆兼有初得次得两数详见环中黍尺甲寅象限弧 乙丙半径为首率丙寅弧之正弦(丙辛)为次率丙丑弧之正弦丑戊为三率(辰丙弧同丙丑其正弦辰戊亦同丑戊)求得戊巳为四率(丑壬壬子并同)以上皆与前图同论曰凖前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也(或辰戊与戊巳亦同)解曰乙丙首率半径全数也丙辛正弦为次率其弧丙寅丑戊正弦为三率其弧丙丑而丙丑(三率)即丙辰以加丙寅(次率之弧)成辰寅总弧而辰卯亦总弧之余弦也以丙丑(三率之弧)减丙寅(次率之弧)其余丑寅为存弧而丑癸则亦存弧之余弦也两余弦相加成子丑(子癸同辰卯皆总弧余弦)子丑折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也厯算全书卷五十四
## 卷五十五
钦定四库全书厯算全书卷五十五宣城梅文鼎撰解八线割圆之根八线割圆说天体至圆最中一㸃为心过心直线为径圆面诸圏为弧弧与径古用径一围三之比例(有宻术徽术各家不同)然终非弧度之真葢圆为曲线径为直线两者为异类亘古无相通之率夫日月星辰之道皆弧线也人目测视之线皆直线也苟非由直线以得曲线纵推算极精皆非确数于推歩测量诸用所关甚钜其可畧欤西儒几何等书别立数法求得弧与径相凖之率更以逐度之弧准逐度之线内用弦矢外用割切于是始则因弧而求线继则因线而知弧交互推求虽分秒之弧度尽得其准立法之善即𨽻首商髙复生无以易也苐割圆八线表虽乆传于世而立法之根未得専书剖晰大测中如十边五边形之理皆缺焉弗讲薛青州作正弦解亦仅依式推衍未能有所发明予于厯算生平癖嗜凡有奥义必欲直穷其所以然而后快窃思割圆八线乃厯算之本源岂可习焉不察因反复抽绎耿耿于心者数年积思之乆乃得渐次㑹通遂著其图衍其算理之隠赜者明之法之缺畧者补之㑹而成帙以备好学者之采择云尔立表之根有七一大圆中止有径线初无边角可寻乃作者慿空结撰求得七弧之通弦而全割圆表即从此推出又绝无假借纽合之病割圆之巧孰有加于是焉表根一 圆内作六等邉切形求得六十度之通弦法曰六十度之通弦与圈之半径等作表时命为十万亦曰全数解曰如图辛为心作甲丙丁圈甲丁为全径辛丁为半径次取丁为心辛为界作戊庚辛圈与原圈相交于丙于戊次引长丁辛线至庚必平分丙戊弧于丁亦平分戊丙弧于辛(以丁为戊庚圈心故)次作辛丙丙丁丁戊戊辛四线成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何则丁为心辛为界则丁辛与丁丙皆为戊庚圏之半径仍用辛丁为度辛为心丁为界则辛丁又为甲己圈之半径辛丙亦同则辛丁丁丙辛丙三线俱等而辛丁丙为三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也则丙丁弧为六十度丙丁即六十度之通弦与辛丁半径等矣丁戊辛形倣此次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱与丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈为六分次作丙丁等六线相连成六等邉内切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊两交角之弧既当六分圈之四则中间己戊乙丙二弧亦必各为六分圈之一故成六等邉形皆以半径为邉此天地自然之数也表根二 圈内作四等邉切形求得九十度之通弦法曰半径上方形倍之开方得九十度之通弦解曰圈内四等邉切形即内切直角方形也 如图甲癸丁圏庚为心作丁癸全径又作甲己全径与丁癸十字相交为凑心四直角即平分大圆为四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四线相连成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱为直角(以各角俱乗半圈故)所容之癸甲丁己为正方形甲癸等为九十度之通弦用甲庚癸直角形甲庚半径上方与庚癸半径上方并开方得甲癸弦句股求弦术也巳上二根并仍厯书之旧表根三 圈内作十等邉切形用理分中末线求得三十六度之通弦法曰圏径上作理分中末线其大分为十邉等形之一邉即三十六度之通弦今欲明十邉形之理先解理分中末线欲明理分中末线先解方形及矩形一解曰凡正方形内(如乙庚戊丙方)依一角复作正方形(如丁庚方)以小方之各邉引长之如甲午辛壬即分元方戊庚为四分小方之各邉与大方之各邉俱两两平行其与小方丁庚相对之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恒自相等一解曰任设一线如甲戊两平分之于乙又任引长之为戊庚(长短不论)其全线甲庚偕引长线戊庚(即子庚)矩内形(甲子矩)及半元线甲乙(癸丑等)上方形(癸辛方)并成子丑壬甲磬折形此形与半元线(乙戊)偕引长线乙庚上之乙丙方形等何则乙庚上方乙丙与磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今试以此两率各试去乙子矩形两所余为乙壬矩及丑丙矩夫此两矩形邉各相等(辛丙与乙辛等辛丑与壬辛亦等以壬丑)(为正方故)其幂亦必等则于乙子形加丑丙得乙丙方于乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦无不等矣 又己辛亦正方形以相对之己庚为正方故己辛方与壬丑方亦等以同在甲庚癸子两平行线内又甲乙乙戊相等故也分中末线解理分中末线 明上二图可论理分中末线矣法曰如图任作甲戊线两平分于乙以甲戊线自之作戊卯方从乙平分处向丁作乙丁线次以甲戊引至庚令乙庚与乙丁等于乙庚上作乙丙方又取庚子与戊庚等作癸子线分戊丁于己则戊己为戊丁元线之大分己丁为小分戊己丁己戊丁三线成连比例戊丁与戊己若戊己与己丁而戊己为中解曰依上二图之论甲庚线偕戊庚矩形及乙戊(即甲乙)上方形并与乙庚上方等今乙庚线既令与乙丁等则乙丁上方亦与乙庚上方等是甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方并与乙丁上方等而乙丁上方与乙戊丁戊上两方之并等此二率者共用乙戊上方试以此二率各减去乙戊上方则所存之戊卯方与甲子矩形必等矣夫戊卯方既与甲子矩等又共用甲己矩形试各减去甲己矩形则所存戊子方与卯巳矩形必等矣卯巳与戊子两矩形既等又以巳直角相连则两形之邉为互相似之比例癸己与巳子若戊己与己丁夫癸己即戊丁也则戊丁与戊己若戊己与己丁为连比例而戊己为中率戊己上方(二三率)与戊丁(一率)偕己丁(四率)矩形等戊丁全线为首率戊己大分为中率减戊丁(甲戊同)存己丁小分为末率葢理分中末线云者于一直线上作连比例之谓也求之法以所设甲戊半于乙为句甲戊为股(即戊丁)求乙丁弦即乙庚也减乙戊句存戊庚即戊己大分减戊丁元线存己丁小分又甲戊引长线止于庚者欲令乙庚等乙丁也若不为连比例戊庚可任意引长之如前二图之论然理分中末线法实从二图之理推出其关键全在乙庚乙丁二线等也解理分中末线大分为三十六度之通弦 观上诸论可明理分中末线之法然何以知其大分能为十等邉形之一边如图任作甲乙线用上法分之于内为理分中末线甲乙与甲丙若甲丙与丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全线为半径甲为心乙为界作圏又从乙作乙丁合圏线令与甲丙等末从圏心作甲丁线相连其甲乙甲丁两半径等即甲丙丁为两腰等三角形夫此三角形其腰间之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大于底上甲角何则试从丙作丙丁线于甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩内直角形与甲丙上方形等(因连比例等)亦即与至规外之乙丁上方等而乙丁切小圏于丁为切线即乙丁切线偕丁丙线所作乙丁丙角与负丁甲丙圏分之甲角交互相等(见几何三巻三)(十二)此二率者每加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角与丁甲相对之内两角并等即乙丙丁角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等夫乙丁原与甲丙等即丙丁与丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲两角亦等又甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙两角亦相等是甲丁乙倍大于丙丁甲亦即倍大于相等之丙甲丁角也而甲乙邉与甲丁等则甲乙丁角亦倍大于甲角也次解曰丙丁乙角何以知其与丙甲丁角交互相等试作未丁全径与乙丁为直角又作未丙线成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角并与一直角等乙丁未亦一直角此二率者各减去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁负圏角也丙甲丁亦负圏角也同负丙丁弧则丙甲丁角与丙未丁角等夫未角与丙丁乙角等也今既与丙甲丁等则丙甲丁角亦必与丙丁乙角等依上论显甲乙丁形之乙丁二角俱倍大于底上甲角形内之丙丁乙形与甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大于乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三线俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角并等两直角今乙丁二角既倍大于甲角是合乙甲丁角而为五分两直角矣则乙甲丁角该五分两直角之一为三十六度夫五分两直角之一与十分四直角(全周)之一等则乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各为半径则乙丁即十等边形之一边夫乙丁与丙丁等丙丁与甲丙等则甲丙与乙丁亦等而甲丙即理分中末线之大分故圏径上作理分中末线其大分为三十六度之通弦圏内作十等边切形法 先依上作甲丁乙两腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界为乙己丁戊其己戊弧与乙丁等次以戊乙弧半于庚作乙庚戊庚二线各半之于辛于壬又作癸丑子寅卯庚诸线俱过甲心各抵圏界即平分大圆为十分末作戊己等十线相连即所求十边形之理据厯书见几何十三卷九题而几何六卷巳后之书未经翻译不可得见考之他书未有发明其义者余特作此解之表根四 圈内作五等邉内切形求得七十二度之通弦法曰六邉形上方形及十邉形上方形并开方得七十二度通弦解内切五等邉形法 法曰甲乙丁圈于圈内作甲丙丁两腰等乗圈角形令腰间丙丁二角各倍大于甲角即甲角所乗之丙丁弧为全圈五分之一何则甲丙丁形之三角并等两直角今丙丁二角既各倍大于甲角则甲角为五分两直角之一又甲为乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大于甲角之度为全圏五之一矣(七十二度)夫丙于二角又倍大于甲角则其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大于丙丁为全圈五分之二即作丙戊丁乙二线平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈为五平分丙丁线即五等邉之一末作丁戊等四线相连成五等邉内切形等邉等角 此系歴书原法新増作五等邉形法甲庚壬平圆内作五邉等形法任作切圆直线如子丑切平圆于甲乃以切㸃甲为心任作半圈如子寅丑次匀分半圆周为五平分如子辰等次从半圆上取五平分之各㸃作直线至切㸃甲此直线必过半圆周(如甲辰线必过庚寅甲线必过戊余倣此)末于平圆内联各㸃作通弦即成五等邉形(庚甲乙甲本为通弦补作戊庚丁戊乙丁三线并与庚甲乙甲)(等皆七十二度通弦也)解曰卯甲寅负圈角正得丁心戊分圆角之半卯甲寅既为十等面凑心之角必三十六度也则丁心戊角必七十二度而为五等邉角矣 或作半圆于外如下图亦同前论解六邉十邉两方并等五邉上方形 法曰依前理分中末线法作己丁丁丙二邉为十分圏之一乙己乙丙甲乙三线俱为中末线之大分与十边形之一等乙丁其小分次取己丁弧之倍至丙作甲丙线得己丙七十二度为五分圏之一(己丁丙为十分圏之二即五分)(圏之一矣)作丙己线即五等形之一边也己甲丙为七十二度之角次取己为心己丁大分为界作丁未庚圏又以丙为心丙甲半径为界作子甲丑图两圏相交于辛末从丙心向交㸃(辛)作丙辛线从己心向交㸃(辛)作己辛线成丙己辛三角形此形辛为直角丙辛六边形之边(即子丙)为股己辛十边形之边(即己丁)为句己丙五边形之边为弦用句股术得己丙七十二度之通弦解曰丙辛己形何以知辛㸃必为直角试观乙己丁乙丙丁俱为两腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等邉斜方形则丙己线必平分乙丁小分于壬甲丁线因己丙弧为己丁之倍亦平分丙己弦于壬壬㸃为直角又形内所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形为壬己上方形之四倍(几何言全)(线上方形为半元线上方形之四倍)而壬己上方乃乙己上方减去乙壬上方之数(句弦求股)是以乙己上方四倍之(即己乙己丁丙丁丙乙四线上)(方之并)减去乙丁小分上方(乙丁上方为乙壬上方之四倍以乙壬为乙丁之半故也)(即乙壬等四小句方之并)所余即与丙己上方等矣而此四乙己方减乙丁上方之余又与全数上方及中末线大分之方并等(即十邉形之一)何则试观二图(即理分中末线图)甲丁为全数甲戊为全数上方丁乙为大分丁子为大分上方两方之并成甲壬子戊磬折形此形内容丁子大分方形之四则重一庚己小分之方(取丙丁与乙丁等则己丁壬乙俱为大分之方而庚壬矩与丁)(子方等甲壬矩又与庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方则重叠在内庚己乃辛己小分之方)(也)今试于磬折形内减去重叠之方(癸辛方)是即于四个大分方内减一小分上方亦犹之前图四乙己方内减去乙丁上方而所余必等矣夫此磬折形既与前四乙己方内减乙丁上方之余幂等而此余幂又与丙己上方等则此磬折形亦与五等边之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子两方之并也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛边丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛边今丙辛己辛上两方并既等于丙己上方是丙辛己为句股形而辛为直角矣丙辛半径股也己辛大分句也丙子弧六十度之边子丙即丙辛股己丁弧三十六度之边丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三边适凑成句股形故厯书言六边上方并十边上方与五边上方等葢以此也若作戊乙线成戊丁乙句股形与前丙辛己形等戊乙即五边形之一益可见辛之必为直角矣求七十二度通弦法取迳甚竒大测止具算术未著其理(据云见几何十三卷十题)薛书及孔林宗说殊多牵附余此图与原算脗合乃知古人立法之简奥也因更推衍四法如下如图午丁大圈依理分中末线法作十邉等内切形丁午等俱大分次从癸昴诸㸃(癸甲昴甲俱为大分)作癸昴昴壁等线俱为小分各连之则中末线之大小两分成内外两十邉等形俱各两两平行一切于周一切于径次任取戊为心甲为界作圈亦依上法用其大分小分作内外两十邉等形末作乙丙乙丑等五线为五邉形之各邉诸线交错得求乙丙邉之法有五一丁乙丙形有丁丙全径有丁卯全数及卯乙大分并为丁乙(丁乙与午戊必平行)乙为直角用股弦求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分为句有丙戊戌寅两大分并得丙寅为弦求得乙丙股三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全数有甲辛大分有辛壬为辛戊小分之半并为甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉四乙壬戊形有乙戊大分为弦有壬戊小分之半为句求乙壬股倍之得乙丙邉又形中两圈相交内有甲卯乙戊未为小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚为小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形与午丑乙丙氐大五邉形相似而体势等则其各邉俱成比例乙甲全数与甲卯大分若乙午与午丑则以甲卯与午乙相乗全数除之亦得五邉形之一其午乙线以乙亢午直角形用句弦求股术取之表根五 圈内作三等邉内切形求得一百二十度通弦半之为六十度正弦法曰全径上方形内减六边形上方形开方得一百二十度之通弦解曰甲为圏心甲乙为半径作圏次乙为心仍用乙甲为半径作弧与大圏相交于丁于戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何则依前六边形之论丁乙戊乙二弧俱为六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大于丁乙必三分圈之一矣(一百二十度)即作丁戊线为三等边形之边次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏于丙以丙乙为过心线既平分丁戊弧于乙亦必平分丁丙戊弧于丙也从丙作丙戊丙丁二线成丁丙戊三边等内切形求之用乙丁丙三角形丁为直角(以丁角乗丙戊乙半圏故)丁乙为六边形之一丙乙全径上方减去丁乙半径上方(丁乙即乙甲)余开方得丙丁边句弦求股术也表根六 圏内作十五等边内切形求得二十四度之通弦法曰三边等形与五邉等形之较即十五分圏之一可求二十四度通弦解曰戊丙大圈丑为心作丙子全径取丙㸃为宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五边等形丙甲弧为三分圈之一(一百二十度)丙戊乙弧为五分圈之二(七十二度)相较得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半于癸三邉形之邉甲辛半于壬得乙癸与甲壬相减(丁壬即乙癸)存甲丁为股次作乙丑甲丑两半径成乙丑癸甲丑壬二直角形以乙丑半径上方减乙癸半弦上方余开方得癸丑邉又以甲丑半径上方减甲壬半弦上方余开方得丑壬邉次以丑癸与丑壬相减得壬癸(即乙丁)为句末用甲丁乙直角形甲丁上方与丁乙上方并开方得甲乙为十五等邉内切形之边又解曰甲乙弧何以知为十五分圏之一凡一圏内作三边等形又作五边等形以其边数三与五相乗得十五即知可为十五等边切形其两弧之较必有十五分圏之一如甲乙也余倣此推 此亦厯书原法表根七 圈内作九等边内切形求得四十度之通弦(新増)求内切九等边形 法曰甲为圆心于圆内先作庚子辛三边等形(法见前)平分大圆为三分次用甲庚为度作庚己线与庚辛为直角庚为心己为界作己壬弧为全圏六之一(六十度)次于己壬弧上任取癸㸃向甲心作癸甲直线与庚辛交于戊其自癸至戊之度令与甲乙半径等次癸为心戊为界作圏与大圏相交于丙于庚(庚㸃为己壬弧)(圏心又癸戊半径与庚己等必相交于庚)从癸又作癸庚癸丙二线得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必为庚辛弧三之二辛丙为三之一即全圏九分之一也末作丙辛线为内切九等形之邉依此作丙乙乙庚诸线成九等邉内切形等邉等角解曰癸戊线既等甲乙半径则两圈相交之庚戊丙庚乙丙两弧必等又癸甲线既过两心(甲大圆心癸庚戊丙圈心)试作庚丙通弦必平分通弦于丁亦平分庚丙弧于乙与丙庚弧于戊而庚乙与丙乙等庚戊与丙戊等又两弧(庚乙)(丙庚戊丙)共用庚丙通弦则丙戊与丙乙庚戊与庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四线亦等又癸丙癸戊癸庚三线俱即半径(癸为庚戊丙圈心故)则癸庚戊癸丙戊为两腰等三角形而两癸角又等(庚戊丙戊二弧等故)则两形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何则戊角之余为丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸两角之并亦即癸丙戊癸戊丙两角之并(癸戊庚角与癸戊丙等因两形为等形亦与癸丙戊)(角等)是丙戊辛角必与戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧则辛角必得庚丙之半与乙丙弧等亦与丙戊等是丙辛戊角亦与戊癸两角等而辛丙戊为两腰等形因得戊丙与辛丙两邉亦等夫丙戊边本与戊庚等则丑丙与戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三线等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又为庚辛三之一即全圈九之一为四十度而庚乙即四十度通弦 按癸丙线必与庚甲平行其交己壬弧之丑㸃必居癸壬弧之中而壬丑丑癸癸己为三平分各得十二度求九边形之边 法曰取十边形相较可得九分圏之边如图乙辛戊圆甲为心取辛丙弧为十边形之一(三十六度)戊乙弧为九邉形之一(四十度)辛丙为十邉形之邉乙戊为九边形之边二线令平行则其较弧辛乙与丙戊相等(各二度)次作辛乙丙乙诸线成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛边(前第五根所得)有辛乙边(一度正弦之倍用后法所得)先求丙乙线用丙辛乙钝角形作辛丁垂线以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方减辛乙上方开方得乙丁又以减辛丙上方开方得丁丙并之得乙丙线与辛戊等次以乙丙自乗方内减去辛乙自乗方余以辛丙除之得乙戍为九边形之边即四十度通弦也(上图之庚乙线)解曰丙辛线既与戊乙平行则丙乙辛戊两线相等辛乙与丙戊亦等从辛从丙作辛己丙午二垂线所截戊乙线之戊午己乙为丙辛戊乙二线相较之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形(辛乙与丙戊等故)而丙乙上方乃丙午乙午上两方之并丙戊上方又丙午戊午上两方之并则试于丙乙上方减去丙午上方所余为乙亥方丙戊上方减去丙午上方所余为午未方而午未方即己子方也今于丙乙上方形减丙戊上方形是减去丙午上一方又减去巳子一方(即戊午上方形)所余为午卯丑亥磬折形夫午乙与己戊二线相等则午丑与巳酉两方形亦等因得卯午矩与申酉矩等移卯午补申酉则丑未矩形与午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之(子丑即丙辛以卯亥为正方故)得子未边即乙戊四十度通弦也按九边形法诸书所无然缺此则九十度之正弦不备壬寅秋客润州魏副宪官署时魏公锐意厯学因作此图补之附求一度之通弦(一度为全圆三百六十之一亦可名三百六十等邉内切形)法曰一度之通弦取相近之数用中比例法得之如图庚乙弧为一度先设甲庚一度三十分依前法(表根)(六及表法一)求其正弦甲癸○度○二六一七六八九又求其通弦得○度○二六一七九二半之得○度○一三○八九六为己庚四十五分弧正弦己辛也三分之得己寅○度○○四三六三三为十五分弧略大线加己辛(即未丑)得壬丑○度○一七四五二八为一度弧略大之正弦次于甲癸线内减己辛(即戊癸)余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四为十五分弧略小线加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也为丁庚一度略小弧之正弦夫大小两弦其差八数为壬亥半之得四壬申也(申亥同)加小减大得乙子○度○一七四五二四为乙庚一度之正弦若求其通弦用正弦与正矢为句股求之(此薛仪甫歴学㑹通法)再细求一度正弦(系作枚法)前四十五分弧之正弦○度○一三○八九六法以四十五分半之为廿二分三十秒求其正弦得六五四四九又半之为十一分十五秒求得正弦三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍于十一分十五秒而其弦亦倍则知二十分以内之弧正弦若平分数(纵有叅差非算所及)法以廿二分三十秒为一率正弦六五四四九为二率十五分为三率得四率十五分正弦○度○○四三六三二六次以十五分正弦与四十五分余弦○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六为先数以十五分余弦○度九九九九九○四八与四十五分正弦○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八为后数(相乗之理见表法六)两数相并得○度○一七四五二三六一四五为一度正弦与薛书略同但此法似宻论曰弧与弦非平分数然一度以内弧弦相切曲直之分所差极微故可以中比例法求也按上七根所求者皆各弧之通弦表中所列俱正弦葢论割圆必以通弦便算则惟正弦然正弦即通弦之半全与分之比例等其理一也作表之法有七用上根数于大圆中求七弧之通弦以为造端之始而各度之弦尚无从可得爰立六种公法或折半或加倍或相总或相较转辗推求以得象限内各度之正弦葢上诸法乃其体此则其用也二者相资表以成焉表法一 有一弧之正弦求其余弦及半本弧之正弦与余弦解曰如图甲为圈心乙丙戊弧为全圈四之一(九十)乙甲戊甲俱半径设有戊丁丙弧其正弦为丙庚即从丙作丙甲线成丙庚甲直角形法甲丙全数上方减丙庚正弦上方余开之得甲庚与丙辛等即丙戊弧之余弦也又用甲庚减甲戊半径得庚戊矢又作丙戊线成丙庚戊直角形法庚戊矢上方与丙庚上方并开方得丙戊为戊丁丙弧通弦半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正弦又以丙甲己形(戊甲己形同)用句弦求股术求己甲得半本弧之余弦(癸丙等)若再以丙己丁己二边求丙丁弦半之又得半丙丁弧之正弦余倣此逓求之论曰丙戊弧既平分于丁其丙戊弦亦必平分于巳故半丙戊为半本弧之正弦试作丁甲壬象限则丙己正弦己甲余弦尤了然矣表法二 有一弧之正余弦求其倍本弧之正弦与余弦解曰甲丙象限内设有甲戊弧其正弦戊己余弦己乙今求倍甲戊之甲丁弧正弦丁癸与余弦癸乙法先作丁甲线为丁戊甲倍弧之通弦此线必为乙戊线平分于壬则壬甲亦为甲戊弧正弦与戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊己则其余弦壬乙亦必等己乙法用己戊乙庚壬乙两形乙戊全数与戊巳正弦若乙壬余弦(即乙己)与壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸为倍弧甲丁之正弦论曰乙戊己乙壬甲两形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得为余弦又乙戊己乙壬庚两形相似故第四率可求壬庚(即辛癸)而壬庚必为丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲弦既平分于壬从壬作壬辛垂线亦必平分其股于辛也故倍癸辛得丁癸为倍弧甲戊丁正弦又壬庚线亦平分甲癸句于庚用甲壬庚形依句股术求甲庚倍之以减甲乙存癸乙或丁子即倍弧之余弦也表法三 求象限内六十度左右距等弧之正弦解曰六十度左右距等弧之正弦与其前后弧两正弦之较等如图乙丙象限内设丙戊为六十度(不动)有丙己小弧(须在三十度以上)丙巳丁大弧其大弧与丙戊六十度之较戊丁令与丙己小弧与戊丙六十度之较戊己等其大小两弧正弦一为己辛一为丁庚相较为丁癸此丁癸与己壬丁壬等则丁癸为戊丁戊己距等弧之正弦壬甲为余弦论曰试从巳向子作巳子线则丁巳子为三边等形何则形中壬子丁壬子己两形相等(丁子壬己子壬两角本等又同用壬子边)(则两形自等)而丁子壬角与乙甲戊角等(以丁庚与乙甲平行故)为三十度(乙甲戊为丙戊甲角六十度之余)则丁子巳角为丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬两角等则其余壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而与丁子巳角等则丁子巳为平边三角形夫丁子巳既为平边三角形其巳癸垂线必平分丁子于癸子壬垂线必平分丁巳于壬两分之丁癸与丁壬必等而丁癸乃己丙丁丙大小二弧两正弦(一巳辛一丁庚)之较按此须先求得象限内六十率之正弦依上法可求左右三十率之正弦外此即不可用以六十度之余止三十度故也表法四 任设两弧之正余弦求两弧并及较弧折半之正弦解曰戊壬象限内任设不齐之两弧一置在上如戊丙一置在下如丁壬中间所容丙丁弧即戊丙丁壬两弧并之余今求半丙丁弧丙乙(丁乙同)之正弦法作丁壬弧正弦丁辛余弦丁癸戊丙弧正弦丙壬(即癸己)余弦丙子又作丙丁线为较弧之通弦成丙己丁直角形次以丁壬弧正弦(丁辛巳子同)减戊丙弧余弦(丙子)得丙己为股丁壬弧余弦(丁癸)减戊丙弧正弦(癸己)得丁己为句句股求弦得丙丁邉半于庚得丙庚或庚丁为丙丁半弧丙乙之正弦巳上俱系厯书原法表法五 有一弧之正弦求倍本弧之矢因得余弦解曰设戊乙弧其正弦乙丁戊丙为戊乙弧之倍其正弦丙己正矢戊己丙戊为倍弧通弦半于辛其辛戊与乙丁等法用戊丙己戊辛甲两直角相似形(二形同用戊角故相似)甲戊与戊辛若丙戊与戊己倍弧矢夫四率之理二三相乗之矩内形与一四相乗之矩等则丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形为辛戊上方形之倍(戊辛自乗得辛庚方倍之为丙庚矩即丙)(戊与戊庚相乗之幂也戊庚即戊辛)而全数(甲戊也)又省一除故以乙丁正弦(即辛戊)自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用减半径得倍弧余弦己甲若反之以戊己矢折半进位开方即得半本弧之正弦(丁乙) 此孔林宗术勿庵称为正弦简法余作此图以著其理表法六 任设不齐之两弧求两弧相并之正弦及相较之正弦解曰寅巳未圏甲为心寅巳为一象限设寅已弧内有己辛弧若干度为前弧又有己戊弧小于己辛为后弧戊子为后弧正弦子甲其余弦午辛为前弧正弦午甲其余弦次取辛丑弧与己戊后弧等则己戊丑为前后两弧之并弧丑亥即并弧之正弦次作丑壬线为丑辛弧正弦与戊子等其余弦壬甲亦与子甲等辛壬亦与子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以后弧之余弦壬甲因前弧之正弦辛午全数(甲辛)除之得壬丁为初数(卯亥等)寄位 次用甲辛午丑壬卯二相似形(甲辛午形之辛角与丑乙辛角等因丑壬乙为直角)(其丑壬卯角亦与丑乙壬角等则亦与甲辛午角等又二形之卯午俱为直角则两形相似)甲辛与甲午若丑壬与丑卯则以前弧之余弦甲午因后弧之正弦丑壬全数(辛甲)除之得丑卯为次数末以五卯与初数卯亥相并得丑亥为已戊丑两弧相并之正弦 若求两弧相较之正弦法以后弧丑壬正弦引长之抵圈界于癸则丑癸为丑辛癸弧之通弦因壬㸃为直角其癸壬与丑壬必等因得丑辛癸辛两弧亦等夫丑辛弧原与戊巳后弧等则辛癸与戊己弧亦等即以辛癸减辛己前弧得癸己为两弧之较癸庚即较弧之正弦癸酉其余弦法用丑辰癸形此形内之癸申壬丑卯壬二直角形相等(丑癸辰句股形丑癸弦既平分于壬则从壬作壬卯壬申二垂线亦必平分丑辰句于卯癸辰)(股于申而癸申壬丑卯壬两形必等)因得壬申即丑卯次数(壬申等卯辰卯辰即丑卯)用以减初数壬丁存申丁即癸庚也为较弧癸巳之正弦亦与戊辛弧正弦等若两弧相并在象限外如次图巳寅丑弧理亦同(钤记同前)有不齐之两弧求相并相较弧正弦又法法曰两弧(小甲丙大甲戊)相并曰总弧(甲癸)相减曰多弧(戊丙)置大小两弧以大弧正弦(戊辛)因小弧较弦(子庚)曰先数(庚乙)以大弧较弦(辛庚)因小弧正弦(庚午)曰后数(午未) 视两弧在象限内者以后数(亥壬)减先数(亥丙也以午亥丙形与庚乙子形等故)为多弧正弦(壬丙)以后数卯丑加先数(丑已以庚巳丑形与庚乙子形等故)为总弧正弦(卯巳也以卯午巳形与庚酉癸形等故卯己即酉癸)若两弧过象限者加减各异又或置大小两弧(同上)以大弧正弦(戊辛)因小弧正弦午庚曰先数(庚未)以大弧较弦(庚辛)因小弧较弦(庚子)曰后数(子乙) 视两弧在象限下以后数(午亥)加先数得多弧较弦(壬庚)以后数(庚丑)减先数(庚未)得总弧较弦(丑未即午卯亦)(即庚酉)若两弧象限内外不等加减亦异此法详三角会编五卷梅勿庵先生环中黍尺亦著其法然彼所论者弧三角形此则平圆中求正弦也表法七 圆内有五通弦错互成四不等边形求不知一弧之通弦解曰甲为圆心戊庚为圆径戊丙丙丁丁庚俱为通弦成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚为对角线法丁戊偕丙庚相乗之矩形内减丁庚偕丙戊相乗之矩形余为戊庚与丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩与戊庚丁丙相乗之矩并与丁戊丙庚两对角线相乗之矩等也若有丙戊丁庚戊庚丙庚丁戊五通弦用此可得丙丁弧之通弦论曰庚戊丁形与庚丙丁形其戊丙两角等(同乗丁庚弧故)若以丙丁弦引至己作庚己丙直角形则庚戊丁庚己丙两直角形相似庚戊与戊丁若庚丙与丙己夫四率之理二三相乗矩形与一四相乗之矩等则庚丙与丁戊相乗所得即庚丙与丙己相乗之己壬矩也(取己癸与庚戊径等)次作丁辛线与己癸平行割圈于子其子庚弧与丙戊弧等何则戊丁庚为直角丙丁子亦为直角同用戊丁子角(子戊弧)则丙丁戊庚丁子两角必等其所乗之丙戊庚子两弧亦等矣因得庚子边即丙戊通弦又庚子丁角与庚戊丁角等(同乗丁庚弧故)于庚作庚乙垂线与己丙平行成子庚乙直角形与庚戊丁直角形相似戊庚与庚丁若子庚与庚乙依四率之理庚子(即丙戊)与丁庚相乗所得即庚戊与庚乙相乗之己辛矩也(丁辛即庚戊己丁即庚乙)用以减己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊与丁丙相乗之幂故以庚戊除之得丁丙为丁丙弧之通弦若戊丙丁庚非半圈(或大或小不论)则庚戊为戊丙庚弧之通弦理亦同但己壬为斜方形如上图戊丁庚为小半圈成己壬斜方其庚乙线不与丁己平行法作己庚乙角令与丁己庚角等则腰间相对丁乙二角亦等因得庚乙丁己为等边而庚乙子钝角为丁乙庚之余与丁己庚角自等亦即与圆内戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁为相似形庚乙即丁己此上古多罗某法诸书未有能言其故者得余此图庶不昧古人精意 已上二法系余所增用上七法交互推求可得象限内各度之正弦细推之又可每隔十五分(四分度之一)得一正弦十五分以下用中比例法以十五分正弦为实十五为法而一得一分之正弦逓加之得每度内各分之正弦立割圆表又此正弦算一象限巳足以适满一直角故也求切线角线矢线割圆正弦而外又有切割矢三线并正弦为四线合其余为八线葢以八线凖一弧弧之曲度得其真矣切线止切圈以一㸃全在圏外割线从圈心过规半在内半在外正弦与矢全在圈内如图甲为圈心庚丁为象限庚甲丁甲俱半径设有庚乙正弧即戊乙为正弦乙辛(戊甲同)为余弦次于圏外作庚己线与戊乙平行切圈于庚又从甲心过所截弧乙㸃作甲己线与庚己交于己成甲己庚直角形此己庚为乙庚弧正切线己甲其正割线也而甲己庚直角形与圆内戊甲乙形相似甲戊与戊乙若甲庚与庚己故以余弦除正弦半径因之得本弧正切又戊甲与甲乙若庚甲与甲己故以余弦除半径全数因之得本弧正割以戊甲余弦减甲庚半径得庚戊本弦正矢此皆庚乙弧相当之线也夫庚乙既为正弧则乙丁为余弧作乙辛线为余弧之弦作丙丁线切圏于丙为余弧之切甲乙引出之遇于丙甲丙为余弧之割成甲丙丁直角形与圆内甲乙辛形相似甲辛与辛乙若甲丁与丁丙得余切甲辛与甲乙若甲丁与甲丙得余割乙戊(即甲辛)正弦减甲丁半径得辛丁余矢此又丁乙余弧相当之线也一正一余共有八线若或以丁乙为正弧即庚乙反为余弧其八线正余之名亦互易葢此为正彼自为余耳论曰庚乙正弧之各线为甲庚己甲戊乙两句股形所成乙丁余弧之各线为甲丁丙甲辛乙两句股形所成而甲庚己形与甲丁丙形相似(一为顺句股一为倒句股)又圆内之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦与甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相当之线成相似之直角形四设算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八线此八线表所由名也按表中不列矢线者以矢线用正余弦减半径即得且不常用故省之 又按割圆之难全在求正弦若切割线俱以比例得之附求割线省法(用加减算)如乙己弧为二十度其切线乙戊求割线甲戊法先以余弦己丙七十度半于丁得丁己三十五度丁丙等次以戊乙切线引长之令与戊甲等作甲戊辛两腰等三角形而乙庚弧必与丁丙等即查乙庚弧之切乙辛并乙戊得戊辛即甲戊割也解曰乙庚弧何以与丁己弧等葢甲辛戊既为两腰等三角形则甲角之己庚弧必为丙己余弧(己壬也)之半壬庚与己庚等而庚㸃居己壬弧之中夫丙己与己壬并等两直角则己庚弧之不满直角者必为丙己之半今丙己既半于丁则以丁己益己庚丁甲庚必为直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角(或丁乙弧)则丙己与乙庚等求矢线 余弦减半径得正矢正弦减半径得余矢求切线 余弦除正弦半径因之得正切正弦除余弦半径因之得余切求割线 余弦除半径半径因之得正割正弦除半径半径因之得余割按圆内弦矢二线当正弧初度则无九十度极大即半径圈外切割二线切线当正弧初度亦无割线即半径至九十度俱极大且切与割平行不能相遇名曰无穷之度然至此亦无切割之可言矣惟将近九十度㸃有极大之切割线定八线正余之界庚戊丙半圆甲为心戊丙为象限设丙乙正弧在九十度内则乙壬为正弦壬丙为正矢甲丁为正割丙丁为正切其戊乙余弧乙己为余弦己戊为余矢甲辛为余割戊辛为余切若设庚戊乙为正弧在九十度外亦以乙壬为正弦丁丙为正切甲丁为正割壬丙为正矢而庚壬亦为正矢又名大矢其余弧仍用戊乙(非乙丙)在庚戊象限之外乙己为余弦戊己为余矢戊辛为余切甲辛为余割葢乙壬正弦为丙乙庚乙两弧共用故总以戊乙为余弧也凡算三角形取用正余诸线以此为凖厯算全书卷五十五
## 卷五十六
钦定四库全书歴算全书卷五十六宣城梅文鼎撰方圆幂积一卷方圆幂积说歴书周径率至二十位然其入算仍用古率(十一与十四之比例)(本祖冲之径七周二十二之宻率)岂非以乗除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例(径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂与员幂亦若四与三)(一四一五九二六五尾数八位并以表为用)亦即为立方立圆之比例(同径之立)(方与圆柱若四与二一四有竒则同径之立方与立员若六与三一四有竒)殊为简易直截癸未歳匡山隠者毛心易干干偕其壻中州谢野臣惠访山居共论周径之理因反复推论方员相容相变诸率庚寅在吴门又得锡山友人杨昆生定三方员订注圗说益觉精明甚矣学问贵相长也方圎相容新法厯书曰割圆亦属古法盖人用圭表等测天天圎而圭表直与圎为异类讵能合欤此所以有割圎之法也新法名为八线表云又云径一围三绝非相凖之率然径七围二十二则盈径五十围百五十七则朒或详绎之则径一万围三万一四五九虽亦小有竒零不尽然用之颇为相近今算得平方与同径之平圆其比例若四○○与三一四五九平方内容平员平员内复容平方则内方与外方内员与外员之幂皆加倍之比例假如戊己庚辛平方内容甲乙丙丁员员内又容甲乙丙丁小平方小方内又容壬丑癸子小平员如此逓互相容则其幂积皆如二与一也假外大平方(戊己庚辛)之积一百则内小平方之积(甲丁乙丙)必五十平员亦然若求其径则成方斜之比例大径如斜小径如方假如内小平方积一百以甲丁或丙乙为径(甲丙或丁乙并同)开方求一百之根得径一十其外大平方积二百以甲乙或丁丙为径(或用戊庚或己辛或己戊或辛庚为径并同)开方求二百之根得径一十四一四有竒甲乙为甲丁方之斜故斜径自乗之幂与其方幂若二与一而其径与斜径若一十与一十四(一四竒)也折半则为五与七(○七竒)故曰方五则斜七有竒也三邉形内容平员平员内又容三邉则其幂之比例为四与一甲乙丙三邉形内容丁戊己平员平员内又容丁戊己小三邉则内小三邉形为外大三邉形四之一内外两平员之幂其比例亦为四与一若有多层皆以此比例逓加浑员内容立方立方内又容浑员如此逓互相容则外员径上幂与内员径上幂为三倍之比例外立方与内立方之径幂亦然丙庚丁浑员内容丙甲丁乙立方丙戊及戊甲皆立方边(丙辛及甲辛并同丙乙及甲丁等亦同)丙戊甲辛为立方面(余六面并同)丙甲(为方面斜线)丙丁(为立方体内对角线)即浑员径(乙甲)(同其辛壬及己戊皆亦对角若作线亦同)丙乙及甲丁等又皆为立楞(戊壬及辛己同)解曰立方面上斜径之幂为方幂之倍(句股法也)(斜为弦方为句又为股并句股实成弦实故倍方幂即成斜径之幂)又以斜径为股立方之立楞为句求得立方体内両对角之斜径为弦此弦实内有股实(即面上斜径之幂为)(方幂者二)有句实(即立楞之幂立楞原即方邉故其幂即立方面幂)共得方幂三而此丙对角斜径即浑员之径内小员径又在立方体内即以方径为径其径之幂即立方面也故曰三倍比例也立方内又容立员则内员径即立方之径若求其径则外径大于内径若一十七有竒与一十内径之幂百开方得一十为径则外径之幂三百开方得一十七(又三十五之一十一)为径若有几层互容皆以此比例逓加即得若求其体积则为五倍有竒之比例(若有多层亦以此比例逓加)假如内容立方积一千则外大立方积五千一百九十四有竒解曰立积一千则其径幂一百而外大立积之径幂三百又以径一十七(又三十五之一十一)乗之得五千一百九十四(又七之二) 此言大方积又在圗上浑员之外积之比例立方同径之立员其比例为六○○与三一四立方同径之员柱其比例为四○○与三一四员柱与同径之立员其比例为三与二方圎周径相求同积较径 为方变员员变方之用凡方圎同积则员径大方径小其比例若一一二八三七九与一○○○○○○解曰员径一一二八三七九则方径一○○○○○○也法曰有员径求其同积之方径当以一○○○○○○乗以一一二八三七九除有方径求其同积之员径当以一一二八三七九乗以一○○○○○○除凡方员同积则员径上平方与方径上平方其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五解曰员径自乗四○○○○○○○○则方径自乗三一四一五九二六五法曰有员径求其同积之方径当以三一四一五九二六五乗之四○○○○○○○○除之得数平方开之得方径有方径求其同积之员径当以四○○○○○○○○乗三一四一五九二六五除得数平方开之得员径凡方员同积则员径与方径若一○○○○○○与○八八六二二六解曰员径一○○○○○○则方径八八六二二六也法曰有员径求同积之方径以八八六二二六乗员径一○○○○○○除之即得方径有方径求同积之员径以一○○○○○○乗方径八八六二二六除之即得员径约法以一一二八二七九乗方径去末六位得同积之员径以○八八六二二六乗员径去末六位得同积之方径同积较周凡方员同积则员周小方周大其比例若一○○○○○○与一一二八三七九亦若八八六二二六与一○○○○○○解曰员周一○○○○○○则方周一一二八三七九也方周一○○○○○○则员周八八六二二六也约法以一一二八三七九乗员周去末六位得同积之方周以○八八六二二六乗方周去末六位得同积之员周凡方员同积则其径与径周与周为互相视之比例解曰方周与员周之比例若员径与方径也论曰凡同积之周方大而员小同积之径则又方小而员大所以能互相为比例约法以方周乗方径为实员周除之得员径若以员径除实亦得员周以员周乗员径为实方周除之得方径若以方径除实亦得方周 皆用异乗同除例如左一 员周一○○○○○○ 一 方周一○○○○○○二 方周一一二八三七九 二 员周○八八六二二六三 方径○二八二○九四(七五) 三 员径○二八二○九四(七五)四 员径○三一八三○九(八八) 四 方径○二五○○○○积七九五七七(四四八○○○○○○) 积六二五○○○○○○○○一 员径一○○○○○○ 一 方径一○○○○○○二 方径○八八六二二六 二 员径一一二八三七九三 方周三五四四九○四 三 员周三五四四九○四四 员周三一四一五九二 四 方周四○○○○○○积七八五三九(八一六○○○○○○) 积一○○○○○○○○○○○○第四率并与一率乗得四倍积四除之得本积论曰以上皆方员周径互相求乃同积之比例方员交变用之即比例规变面线之理同径较积较周 即方内容员员外切方凡方员同径则方积大员积小周亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五方径一○○○○周四○○○○ 积一○○○○○○○○员径一○○○○周三一四一五竒积○七八五三九八一六方径二○○○○周四○○○○ 积四○○○○○○○○员径二○○○○周六二八三一竒积三一四一五九二六五凡径倍者周亦倍而其积为倍数之自乗亦谓之再加比例授时厯谓之平差径二倍周亦二倍而其积则四倍径三倍周亦三倍而其积九倍乃至径十倍周亦十倍而积百倍径百倍周亦百倍而积万倍皆所加倍数之自乗数亦若平方谓之再加也同周较积较径凡方员同周则员积大方积小径亦如之其比例若四○○○○○○○○与三一四一五九二六五方周一○○○○○○径○二五○○○○积六二五○○○○○○○○员周一○○○○○○径○三一八三○九八八积七九五七七四七○○○○方周四○○○○○○径一○○○○○○积一○○○○○○○○○○○○员周四○○○○○○径一二七三二三九五四积一二七三二三九五四○○○○论曰周四则径与积同数但其位皆升皆视周数之位今用百万为周则积升六位成万亿矣故虽同而实不同不惟不同而且悬绝定位之法所以当明也问位既大升而数不变何耶曰周径相乗得积之四倍于是四除其积即得所求平积此平幂之公法也兹方员之周既为四则以乗其径而复四除之即还本数矣惟周数之四或十或百或千万亿无定而除法之四定为单数故无改数而有进位也又论曰周四倍之径与周一之径为四倍其积则十六倍所谓再加之比例浑圎内容立方径一万寸求圎径 法以方斜一万四千一百四十二寸为股自乗得二亿为股实以方径一万寸为句自乗得一亿为勾实并勾股实为三亿为弦实开方得弦一万七千三百二十○半寸命为浑圎之径又以浑圎径求围得五万四千四百十四寸弱 周径相乗得九亿四千二百四十七万六九九四寸为浑幂以四除浑幂得二亿三千五百六十一万九千二百四十八寸竒为大平圎幂即立方一万寸外切浑圎之腰围平幂也圎柱积四万○千八百十○亿四三一八四九八四寸以浑圎径乗平圎幂得之倍圎柱积以三除之得浑圎积二万七千二百○六九五四五六六五六寸约法 立方径一千尺其积一十尺 外切之浑圎径一十七尺三二○五 浑圎积二千七百二十○尺六九五四 约为二千七百二十一尺弱试再用径上立方求浑圎积法(即立方内求所容浑圎)以浑圎径自乗再乗得浑圎径上立方以圎率(三一四竒)乗之得数六除之得浑积并同立方与员柱若四○○与三一四竒(同径之员柱也)立方为六方角所成员柱为六员角所成其所容角体并六而方与员异故其比例如同径之周 此条为积之比例员周上自乗之方与浑员面幂若三一四竒与一○○浑员面幂与员径上平方形亦若三一四竒与一○○皆员周与径之比例浑员面幂与员径上平员若四与一员柱面幂与员径上平员若六与一(六员角之底皆外向合成此数)平员并为一而员柱幂为其六倍浑员幂为其四倍浑员为员柱三之二即此可徴积之比例如其面也以上四条并面幂之比例浑员体与员角体若四与一浑员面既为平员之四倍从面至心皆成角体故体之比例亦四倍立方面与径上平方若六与一(六面故也)立方体与浑员体若六○○与三一四竒浑员面与径上平方既若三一四竒与一○○而立方面与径上平方若六与一平方同为一○○而立方面为其六倍浑员面为其三倍一四竒故立方之面与浑员之面亦若六○○与三一四竒也而体之比例同面故亦为六○○与三一四竒立员得员柱三之二论曰凡员柱之面及底皆立员径上平员也旁周似员筩亦如截竹周围并以员径为髙即员径乗员周幂也为径上平员之四倍与浑员面幂同积(半径乗半周得平员则全径乗全周必平员之四倍)合面与底共得平员之六倍而浑员面幂原系平员之四倍是员柱幂六而浑员幂四也而体积之比例凖此可知亦必为三之二矣(三之二即六之四之半)问体积之比例何以得如面幂曰试于员柱心作员角体至面至底成员角体二皆以半径为髙平员为底其余则外如截竹而内则上下并成虚员角于是纵剖其一邉而令员筩伸直以其幂为底以半径为髙成长方锥(底濶)(如全径直如员周髙如半径锥只一㸃)此体即同四员角(或纵剖为四方锥亦同皆以周四分之一为底濶以全径)(为底长以半径为髙其体并同员角何也以周四之一乗全径与半)(径乗半周同故方底同员底而其髙又同则方角同员角)合面底二员用共六员角矣而浑员体原同四员角(浑员面为底半径为髙作员锥即同四员)(角)是员柱浑员二体之比例亦三与二也员角体得员柱三之一 凡角体并同凖前论员柱有六员角试从中腰平截为两则有三员角而员筩体原当四员角今截其半仍为二员角或面或底原系一员角合之成三员角以为一扁员柱然则员角非员柱三之一乎若立方形各从方楞切至心则成六方角(皆以方面为底半径为髙)从半径平切之为扁立方则四周之四方角皆得一半成两方角而或底或面原有一方角亦是三方角合成一扁立方而方角体亦三之一矣浑员体分为四则所分角体各所乗之浑幂皆与员径上平员幂等甲戊丙丁浑员体 从丑乙辰乙癸乙子乙卯乙寅乙等各半径各自其浑幂透至乙心而以半径旋行而割切之则成上下两员角体一甲卯辰丑乙(以甲丑卯辰割浑员之面为底乙为其锐此割员曲径自)(丑而甲而辰居员周三之一)一丙癸寅子乙(以子丙寅癸浑员之割面为底乙为其锐此割员曲径亦)(三之一如三百六十之一百二十)此上下两角体相等皆居全浑体四之一中腰成鼓形而上下两面并穵空各成虚员角(其外则周遭皆凸面如丑戊子及辰丁癸之割员状此割)(员曲径自辰而丁而癸居员周六之一为三百六十之六十)此鼓形体倍大于上下两角体居浑员全体之半若从戊乙丁腰横截之为二则一如仰盂一如覆碗而其体亦浑员四之一也如此四分浑体而其割员之面幂即各与员径上之平员幂等故曰浑员面幂与径上平员若四与一也问何以知中腰鼓体能倍大于上下两角体曰试于子丙乙癸角体从子寅癸横切之则成子未癸午小员面为所切乙子寅癸小员角体之底乃子寅小半径乗子未癸小半周所成也然则以子寅小半径乗子未癸小半周又以乙寅半半径为髙乗之而取其三之一即小角体矣试又于中腰鼓体从丑子及卯寅及辰癸诸立线周遭直切之脱去其外鼓凸形即成员柱体之外周截竹形又从酉乙申横切之为两(一仰盂一覆碗)则此覆碗体举一式为例可直切断而伸之亦可成方角体此体以乙寅半半径乗子未癸午小员全周为底(其形长方)又以小半径子寅(子寅即乙申)为髙而乗之取三之一为长方角体此长方角体必倍大于小员角体何也两法并以小半径及半半径两次连乗取三之一成角体而所乗者一为小员全周一为小员半周故倍大无疑也又丙癸寅子亦可成角体与乙子寅癸等覆碗体既倍大则兼此两角体矣凖此而论仰盂体必能兼甲丑卯辰及乙辰卯丑两角体亦无疑也又角体内既切去一小角体又穵去一相同之小角体则所余者为丙癸寅子员底仰盂体鼓体内既穵去如截竹之体则所余者为内平(如丑子及辰癸)外凸(如子戊丑及辰)(丁癸)之空圈体而此体必倍大于员底仰盂体何以知之盖两体并以半径为平面(丑子与癸丙并同)并以员周六之一为凸面而腰鼓之平面以半径循员周行员底仰盂之平面则以半径自心旋转周行者两头全用旋转者在心之一头不动而只用一头则只得其半矣故决其为倍大也凖此而甲丑卯辰亦为穵空之员覆碗体而只得鼓体之半矣由是言之则上下角体各得中腰鼓体之半而鼓体倍大于角形浑体平分为四夫复何疑曰浑体四分如此真无纎芥之疑体既均分为四则其浑体外幂亦匀分为四亦无可复疑但何以知此所分四分之一必与径上平员相等耶曰此易明也凡割浑员一分而求其幂法皆从其所切平面员心作立线至凸面心而以其髙为股员面心至邉之半径为勾勾股求其斜弦用为半径以作平员即与所割圎体之凸面等幂假如前圗所论上下两角体从丑夘辰横线切之则以甲夘为股夘丑为句求得甲丑弦与半径同以作平员与丑夘辰甲凸面等然则此角体之凸面岂不与径上平员等幂乎甲亢半径与甲丑同以作丑亢平员与甲丑夘辰凸面等幂试又作甲戊线为半径之斜线(甲乙与戊乙皆半径为句为股故也)以为半径而作平员必倍大于半径所作之平员而浑员半幂与之等则浑员半幂不又为平员之倍乎(如图甲丑为半径作乙庚房平员与丙戊甲平员等亦与甲辰夘丑)(割员凸面等为浑幂四之一也)(甲戊为半径作戊心亥平员与甲丁乙戊半浑幂等而倍大于乙庚)(房亦倍大于丙戊甲平员则平员居浑幂四之一)如是宛转相求无不脗合则平员为浑员幂四之一信矣取浑幂四之一法当以半径为通弦以一端抵圎径之端为心旋而䂓之则所割浑幂为四之一而其浑幂与圎径上平员幂等甲辰(即丁乙)之自幂一百辰夘之自乗幂(七十五)如四与三则辰丑通弦为径以作平员亦丁戊全径上平员四分之三也大小两平员各为底以半径为髙而作员角体其比例亦四与三也今浑员径上平员(即下戊径上平员)所作之员角体既为浑积四之一则辰丑通弦径所作之员角体即浑体十六之三矣(即甲丑夘辰角体及乙丑夘辰角体之合)若以丑辰通弦上平员为底半半径为髙而作角体即浑体三十二之三分浑体为四又法甲乙丙浑员体 从员周分为三(一丑甲辰一辰癸丙一丙子丑各得周三)(之一)又从辰从丙从丑依各半径(辰乙丙乙丑乙皆是)至乙心旋而切之则成三角体者三各得浑体四之一(一辰甲丑乙一丑子丙乙一丙癸辰乙说见前)则其所余亦浑体四之一也(此余形有三平)(员面以辰丑丑丙辰丙为员径而并穵空至乙心如员锥之幂有两)(凸面以辰丑丑丙辰丙之员周为界以乙为顶皆弧三角形三角并锐)两凸面各得浑员幂八之一按辰丑即一百二十度通弦也凖前论以此通弦为圎径作平员为底半半径为髙而成员角体此员角体积即为浑员体积三十二分之三(即先所论员角体八之三)若依此切浑员体成半平半凸之体其积为浑积三十二之五(即员角体八之五)环堵形面幂 锥形面幂有正方正员面欲于周作立围之堵墙而幂积与之倍法于方面取半径为髙即得甲乙丙平方于其周作立起之方围形如环堵取平方乙丙半径为髙则方围面幂倍大于平方论曰从平方心乙对角分平方为四成四三角形并以方根为底半径为髙于是以此四三角形立起令乙锐上指则皆以乙丙半径为髙而各面皆半幂故求平方以半径乗周得幂也然则依方周作方墙而以半径为髙岂不倍大于平方幂乎凖此论之凡六等邉八等邉以至六十四等邉虽至多邉之面而从其各周作墙各以其半径为髙则其幂皆倍于各平幂矣然则平员者多邉之极也若于其周作立圈如环而以其半径为髙则环形幂积亦必倍大于平员有方锥员锥于其周作围墙而幂积与之倍法于锥形之各斜面取其至锐之中线(如乙丙)以为环墙之髙即得方墙如环堵底用方周髙如乙丙即斜面自锐至底之斜立中线解曰此以锥体之斜面较幂也论曰凡方锥皆有棱两棱交于锐各成三角面而斜立从此斜立之三角面自锐至根濶处平分之得中线(乙丙)于是自棱剖之成四三角面而植之则中线直指天顶而各面皆圭形为半幂故凡锥体亦可以中线乗半周得幂也然则于底周作方墙而以中线为髙四面补成全幂岂不倍大乎凖此论之凡五棱六棱以上至多棱多面之锥体尽然矣而员锥者多棱多面之极也则以其斜立线为髙而自其根作员环则其员环之幂亦必倍大于员锥之幂前条所论切浑员之算得此益明盖员仰盂员覆碗及穵空之鼓形其体皆一凸面一平面相合而成其凸面弧径皆割浑员圈六之一其平面之濶皆半径然而不同者其内面穵空之平幂一为锥形(仰盂覆碗之内空如笠)一为环形也(鼓体之内空如截竹)准前论穵空之环幂必倍大于锥形之幂则其所负之割浑员体亦必环形所负倍大于锥形而穵空之鼓体必能兼员覆碗员仰盂之二体撱圎算法(订厯书之误)偶查撱圎求体法见其截小分之法有误今以数考之假如撱圎形长径为一千四百尺短径七百尺大分截长径一千○五十尺甲己三百五十戊乙七百相并得一千○五十 以此乗己乙一千○五十尺 以此除两数相同右依厯书先求得庚壬甲圎角形为苐三率再用截大分轴己乙为法为苐一率以截小分轴甲己并戊乙半长径为苐二率求得小分之容与圎角形等夫小分之容形外为弧线圎角之容形外为直线小分必大于圎角而今等是不合也况自此而截小分渐小则乙己大分轴反大于甲己小轴及戊乙并之数而求小分之容反将更小于圎角矣有是理哉(小分渐小如辛癸甲则其甲己小于己戊而己)(乙者己戊与戊乙并也则其数亦大于甲己与戊乙并矣)又如截大分长七百二十分己乙为其轴甲己为其小分轴六百八十分依厯书法甲己小分轴(六百八十)为一率甲乙长径(一千四百)并戊乙短径(七百)共(二十一百)为二率求到庚壬乙圎角体为三率则所得四率为大分之容者比圎角容大三倍有竒亦恐无是理也何也圎角在圎柱形为三分之一而撱形必小于柱形不宜有三倍之比例也(虽壬庚畧小于丙丁在中腰相)(近可以不论)今试求之(用苐一圗)依勿庵改法假如截己乙大分轴一千○五十尺求庚己壬平圎面法先求庚己 依勿庵补法以己戊(三百五十尺)自乗(一十二万)(二千五百尺)与甲戊(七百尺)自乗(四十九万尺)相减余(三十六万七千五百尺)开方得己庚相当之原数 再以丙戊(三百五十尺)乗之甲戊(七百尺)除之为己庚实数倍之为庚壬线再以壬庚线上方变为平员今用简法(因长径甲乙与短径丙丁原是)(折半之比例故也)竟以减余(三十六万七千五百尺)命为庚壬线上方以十一乗之得(四百○四万二千五百尺)又以十四除之得(二十八万八千七百)(五十尺)为庚壬线上所截撱体之平圎面法以平圎面各乗其(大分小分)之轴(一千○五十尺三百五十尺)皆成圎柱形乃三除之为(大小)分内所容之(大小)圎角形再以长径(一千四百尺)乗大圎角为实小轴(三百五十尺)除之为所截撱形之大分以长径(一千四百尺)乗小圎角为实大轴(一千○五十尺)除之为所截撱形之小分今用简法 置平圎面三除之得(九万六千二百五十尺)以小分轴(三百五十)乗之得庚甲壬小圎角形(三千三百六十八万七千五百尺)置小圎角四因三除之得(四千四百九十一万六千六百六十六又三之二)为所截小圎分又置圎面三除之积(九六二五○)以大分轴(一千○五十尺)乗之得庚子乙大圎角形(一亿○一百○六万二千五百尺)置圎角形(一○一○六二五○○)用四因之得(四亿○四百二十五万尺)为所截大圎分小圎分大圎分两形并之(共四亿四千九百一十六万六六六六)为撱形全积另求撱形全积置短径(七百)自乗得(四十九万)以长径(一千四百)乗之得(六亿八千六百万)以十一因之二十一除之得(三亿五千九百三十三万三三三)为真撱圎全积以真撱圎积与两截形并相较其差为九十分之一而弱若用厯书法 求得截小分(二千三百六十八万七千五百尺)与小圎角同截大分(六亿○六百三十七万五千)为大圎角之六倍相并得(六亿四千○○六万二千五百尺)为撱圎全积 与撱圎真积相较其差更甚如是辗转推求则知撱体大截分不可算今别立法凡撱体皆先如法求其全积再如法求其小分截积以小分截积减全积余为大分截积此法无弊可存厯算全书卷五十六
## 卷五十七
钦定四库全书厯算全书卷五十七宣城梅文鼎撰㡬何补编卷一四等面形算法先算平三角形平三角形三边同者求中得中长线(乙甲)其三之一即内容平圆半径(心甲)其三之二即外切圆之半径(乙心或心丙)又法以边半之(丙甲)自乘得数(丙庚方)取其三之一开方(甲壬)(小方)得容圆之半径(壬癸或甲癸俱与心甲等)又取自乘数(丙庚方)三分加一(丙庚方加壬甲小方)并而开方得外切圆之半径(丙心)论曰三边角等则半边之角六十度(丙心甲角)其余角三十度(心丙甲角)内容圆半径为三十度之正弦(心甲)外切圆半径如全数(丙心)其比例为一与二故内容圆半径(心甲)正得外切圆半径(丙心)之半也(此论可解前一条)形内丙心甲与乙心丁两小句股形相等又并与乙甲丙大句股形相似(何则乙角丙角并分原等角之半丁甲等为正角则三角皆等而边之比)(例等)而大形之句(丙甲)既为其弦(乙丙)之半则小形之句(心丁亦即)(心甲)自必各为其弦(心乙亦即心丙)之半故知心甲(原同心丁)为乙甲之半也心甲既为心丙之半则心甲一心丙必二而丙戊必三矣(乙甲同)何也以乙心与丙心同为二心甲与心戊同为一也联心乙二与心甲一岂不成三今以内圆半径为股(心甲)外圆半径为弦(心丙)三边之半为句(丙甲)成心甲丙句股形则心丙自乘内(弦幂)有心甲(股幂)及甲丙(句幂)两自乘之积也而心甲股与心丙弦既为一与二之比例则心甲之幂一心丙之幂必四也以心甲股幂一减心丙弦幂四其余积三即丙甲句幂矣故心甲之幂一则丙甲之幂三心丙之幂四今先得边故以丙甲三为主而取其三之一为心甲股幂又于丙甲三加三之一为四即成心丙弦幂也(此论可解后一条)以上俱明三等边平面之比例今作四面等体求其心法自乙顶向子向甲剖切之成乙子甲三角面心者面之心中者体之心前图所谓心者面之心也今所求者体之心即后图所谓中也故必以剖而后见次求甲丑线乙子边平分于丑从丑向甲得垂线此丑甲垂线在体中必小于乙甲在外之垂线故乙甲如弦丑甲如股乙丑如句也法以甲乙弦自乘内减乙丑句幂余为股幂开方得丑甲又法凖前论乙丑之幂三(即丙甲皆半边故)则乙甲之幂九(乙甲)(三倍大于心甲故心甲幂一则乙甲幂九)以三减九余六亦即甲丑股幂矣以开方得甲丑捷法倍原半边(甲丙)自乘数以开方得(甲乙)中垂线 或半原边(丙己)自乘之数开方亦得(甲丑) 丙甲之幂三(乙丑同)则甲丑之幂六而丙己之幂十二也(甲丑与丙己幂积之比例为一与二)次求心中线捷法但半心甲自乘即心中幂论曰心甲与心中犹甲丑与乙丑也甲丑幂与乙丑幂为六与三则心甲与心中之幂亦如二与一又捷法心中之幂一心甲之幂二则乙丑之幂六(即丙甲)而心丙之幂八(亦即乙心)俱倍数但以半边(乙丑或丙甲)之幂取六之一即心中幂开方得心中即四等面形内容小浑圆之半径也(心中线者即各面之心至体心)(也故为内容小浑圆半径)以心中之幂一(句)加乙心之幂八(股)并之为弦幂九开方得中乙(或中子或用前总图则为甲丙为甲己并同)是即四等面形外切浑圆之半径也外切圆之幂九(中乙)内切圆之幂一(心中)得其根之比例为三与一故四等面形内容浑圆之径一则其外切浑圆之径三又捷法但以乙丑半边之幂加五(即二之一)为中乙(或中子等)幂开方得外切圆之半径(葢乙丑之幂六中乙之幂九其比例为一有半也)此四边不等形(又为三角立锥形)为四等面形四之一各自中切至边线成此形其底三边等即四等面形之一面其髙为中心即内容小浑圆之半径其中乙等三楞线三倍大于中心之髙即外切浑圆之半径取四等面形全积捷法先取面幂(即前图乙己丙平面依前比例求其幂)以内容圆半径(心中)乘之得数四因三归见积法曰丙甲半边之幂三则甲乙中长之幂九开方得中长(乙甲)以乘丙甲得乙己丙三等边之幂积即四等面形之一面也次求本积四之一(即各面辏心剖裂之形如右图)丙申半边之幂六则中心之幂一开方得中心髙以乗所得面幂而三分取其一即为四等面形四之一于是四乗之即为全积也又㨗法以丙甲乗心甲又以中心乗之即得本形四之一(即同三除以心甲为乙甲三之一故也)此带纵小立方形与右图四等面形四之一等积又㨗法以丙己全边(亦即丙乙)乗乙心再以中心乗即得本形全积(乙心为心甲之倍数丙己为丙甲之倍数用以)(相乗则得丙甲乗心甲之四倍数也)边设一百依上法求容丙己边一百其幂一万丙甲半边五十其幂二千五百三因之得七千五百为乙甲中垂之幂(丙甲股幂减丙己弦幂得句幂也丙己亦即丙乙) 平方开之得八十六(六○二五)为乙甲其三之一得二十八(八六七五)为心甲 其三之二得五十七(七三五○)为心乙 又置丙甲幂二千五百取六之一为心中幂得四百一十六六六不尽 开方得心中之髙二十零四一二四亦即内容浑圆之半径依上法以丙己全边一百乘乙心五十七(七三五○)得五千七百七十三半 又以心中二十零(四一二四)乘之得全积一十一万七千八百五十一弱(与厯书微不同)四等面体求心捷法准前论心中幂一则心甲幂二中乙幂九乙丑幂六以句股法考之则中甲与中丑之幂俱三也何也心中甲句股形以中甲为弦故心中句幂一心甲股幂二并之为中甲弦幂三也而乙中丑句股形以中丑为句故乙中弦幂九内减乙丑股幂六其余为中丑句幂亦三也由是徴之则中丑与中甲正相等但如法求得甲丑线折半得中㸃即为体心又捷法取乙丑幂(即原设边折半自乗)半之为中丑幂开方得中丑亦得甲中(或乙子全边自乘取八之一为甲中幂亦同)中丑即原边乙子距体心之度甲中即原边丙己距体心之度而中为体心想甲㸃在丙己边折半之处今从侧立观之则线化为㸃而丙己与甲成一㸃故从丙己原边依楞直剖至乙子对边即成甲丑线其线即所剖面之侧立形此图即前图甲丑线所切之面葢面侧视则成线矣原设四等面全形今依子丑乙楞剖至甲则成纵剖图故甲㸃内有丙己线若依丙甲己楞剖至丑则成横剖图故丑㸃内有子乙也纵剖有三依子乙楞剖至甲而平分丙己边于甲一也依丙乙楞剖而平分子巳边二也依己乙楞剖而平分子丙边三也横剖亦三依丙己楞剖至丑而平分子乙边于丑一也依子丙边剖而平分乙己边二也依子巳楞边剖而平分丙乙边三也其所剖之面并相似皆以中㸃为三对角垂线相交之心一率 一一七八五一 例容二率 一○○○○○○ 例边之立方积三率 一○○○○○○ 设容四率 八四八五二九○ 设边之立方积开方得根二百○四弱为公积一百万之四等面体楞与比例规解合若商四数则其平廉积四十八万长廉积九千六百其隅积六十四共得四十八万九千六百六十四不足四千三百七十四为少百分之一弱故比例规解竟取整数也计开四等面诸数边一百积一十一万七八五一积一百万边二百○三九六内容浑圆半径二十○(四一二四)内容浑圆全径四十○(八二四八)外切浑圆半径六十一(二一○○)外切浑圆全径一百念二(四二○○)互剖求心之图设边一百其幂一万(丙己乙子乙丙)(乙己子丙子己并同为外切浑圆径幂三之二)半边五十其幂二千五百(丙甲)(甲己乙丑丑子等并同为边幂四之一)斜垂线之幂七千五百(乙心甲子)(角甲丙亢丑己氐丑并同为边幂四之三)其根八十六六○二五斜垂线三之一二十八八六七五其幂八百三十三三三(即外切浑圆径幂十八之一为边幂十二之一)即各面内容平圆半径(心甲角甲亢丑氐丑并同)斜垂线三之二五十七七三五○其幂三千三百三十三三三(乙心子角丙亢己氐并同)内容浑圆半径二十○四一二四其幂四百一十六六六不尽(为边幂二十四之一即外切浑圆三十六之一)即分体中髙(心中角中亢中氐中)(并同) 若内圆全径之幂则一千六百六十六六六(为边幂六)(之一外切浑圆径幂九之一)外切浑圆半径六十一二三七二其幂三千七百五十即分体之立面楞(乙中子中丙中己中并同)四因之为浑圆全径幂一万五千其径一百二十二四七四四又外切正相容之立方其幂五千为四等面边幂之半即斜方之比例又为外切浑圆径幂三之一一率 外切浑圆径一百二十二四七四四二率 四等面之边一百三率 浑圆径一百四率 内容四等面边八十一六四九六又捷法浑圆径幂一万五千则内容四等面边幂一万或内容立方面之斜亦同为浑圆径幂三之二若设浑圆径一百其幂一万则内容四等面边之幂六千六百六十六六六亦三之二也平方开之得八十一六四九六为四等面边即内容立方之斜内容立方面幂三千三百三十三三三为浑圆径幂三之一即方斜之半幂亦即四等面边幂之半平方开之得五十七七三五○是为浑圆径一百内容立方之边亦即浑圆内容立方立方又容小圆之径若于四等面内又容浑圆则其径幂一千一百一十一一一为浑圆径幂九之一为四等面幂六之一立方面幂三之一开得平方根三十三三三不尽(幂九之一则其根必三之一也)为内容小浑圆之径以径乗幂得三万七千○三十七为径上立方积 以十一乗十四除得二万九千一百○○半为圆柱积 柱积取三之二得一万九千四百为小浑圆积得大浑圆二十七之一 以小浑圆积二十七因之得五十二万三千九百为四等面外切大浑圆积(即径一百)(之浑圆积也)互剖求心法凡四等面体任以一尖为顶则其垂线为自尖至相对之平面心(亦即平面容圆之心)而以余三尖为底其垂线至底之㸃旁距三尖皆等(即乙心丙心己心三线之距心皆等而以子尖为顶其垂线为子中心其)(底为乙丙己平三角面余倣此)此为正形(各尖皆可为顶其法并同)若以子中心垂线为轴而旋之则成圆角体凡四等面体任平分一边而平分之㸃为顶以作垂线则其垂线自此㸃至对边之平分㸃而以对边为底底无面但有边底边与顶边相午直正如十字形假如以子乙边平分于丑以线缀而悬之则其垂线至所对丙己边之平分正中为甲㸃其线为丑中甲而子乙边衡扵上则丙己边纵于下正如十字无左右之欹亦无髙下之微差也若以丑中甲垂线为轴旋之则成圆柱体凡四等面体以其边为斜线而求其方以作立方则此立方能容四等面体何以知之曰准前论以一边衡于上而为立方上一面之斜则其相对之一边必纵于下而为立方底面之斜矣又此二边之势既如十字相午直而又分于上下为立方上下两面之斜线然则自上面之各一端向底面之各一端联为直线即为四等面之余四边亦即立方余四面之斜如此则四等面之六边各为立方形六面之斜线而为正相容之体如前所论圆角体圆柱体虽亦能容四等面形而垂线皆小于圆径故不得为正相容捷法四等面之边自乘折半开方即正相容之立方根(即弦倍句股意)设边一百其幂一万折半五千即为立方一面之积求其立方根得七十○七一○六即丑中甲垂线之髙若以此作容四等面之圆柱则其髙七十○七一○六同立方之方根而其圆径一百同立方面之斜此圆柱内可函立方其乙中子中等为自四等面体心至各角之线又为立方心至各角之线又为外切浑圆之半径又为四等面分为四体之楞线又为立方分为六方锥之楞线又捷法以四等面之边幂加二分之一开方即外切正相容之浑圆径亦即立方体内对角线(如自乙至震)折半为自心至角线 四等面设边一百其幂一万用捷法二分加一得一万五千为外切正相容之浑圆全径幂开方得一百二十二四七四四为浑圆全径折半得六十一二三七二为浑圆半径立方内容四等面图设立方边一百其积百万内容四等面边一百四十一(四二)(一三)其积三十三万三千三百三十三(三三三三)为立方积三之一乾坤震㢲立方(干丙坤己乙㢲子震与中心之丑甲同髙)内容子乙丙己四等面为立方积三之一何以明之凡锥体为同底同髙之柱体三之一今自立方之乙角依斜线剖至丙巳成乙丙巳㢲三角锥以丙巳㢲立方之半底为底又自子角斜剖至丙巳成子丙巳震锥以丙巳震立方之半底为底合丙半底则与立方同底矣而子震与乙㢲之髙即立方髙也是此二锥得立方三之一矣又自子乙斜线斜剖至巳角成倒锥以子乙坤立方之半顶为底以坤巳立方髙为髙又自子乙斜剖至丙角亦成倒卓之锥以子乙干立方之半顶为底以干丙立方髙为髙与前二锥同亦三之一也合此二锥共得立方三之二则其余为子乙丙巳四等面体者必立方三之一矣准此论之凡同边之八等面积四倍大于四等面积何以知之以此所剖之四锥体合之则为八等面之半体皆以剖处为面而其边其面皆与四等面等是同边之体也而八等面之半体既倍大于四等面则其全体必四倍之矣设八等面边一百四十一(四二一三)与四等面同边则八等面之积一百三十三万三千三百三十三(三三不尽)为四等面之四倍若设四等面边一百则其外切之立方面幂五十立方根七十○(七一○六)以根乘幂得立方积三十五万三千五百五十三四等面积一十一万七千八百五十一为立方积三之一推得八等面边一百其积四十七万一千四百○四此同边之比例若立方内容之八等面则其积为立方内容之四等面二之一何以知之八等面与立方同髙则其积为立方六之一故也设立方边一百内容八等面边七十○(七一○六)其积一十六万六千六百六十六为四等面之半若设立方边七十○(七一○六)则内容八等面积五万八千九百二十五半其边五十四等面体又容小立方小立方内又容小四等面体则内容小立方径为外切立方三之一内小四等面在小立方内其径亦为四等面三之一而其积皆二十七之一何以知之凡三等边平面之心皆居垂线三之一假如子巳丙为四等面之一面其平面之心必在癸而子甲垂线分三之一为癸甲其余三面尽同而内容之小立方必以其下方之两角纵切子巳丙之癸心及乙己丙之壬心其上方之两㸃必横切于子乙己之卯心及子乙丙之申心而立方内容之小四等面亦必以其四角同切此四㸃也今壬癸两㸃既下距丙己线为其各斜垂线三之一而卯申两㸃又上距子乙线之斜垂线亦三之一则其中所余三之一必为立方所居也而内小立方不得不为子乙与丙己相距线三之一矣问癸㸃为三之一者斜面之垂线也小立方者直立线也何以得同为三之一乎答曰癸㸃所居三之一虽在斜面而子乙纵线与丙己横线上下相距必有垂线直立于其心此直立垂线即前图之甲丑与外切立方线同髙者也丑甲中垂线以上停三之一之上㸃与卯申平对以下停三之一之下㸃与壬癸平对依句股法弦与股比例同也然则丑甲线之中停即小立方之所居矣又丑甲者即外切立方之髙也故知小立方径为外切立方径三之一又小四等面在小立方内以其边为小立方之斜而纵横边相午对如十字其中心亦以丑甲线之中停为其轴其斜面之势一切皆与大四等面同而丑甲者亦大四等面之轴也小四等面之中轴既为丑甲三之一其余一切皆三之一矣夫体积生于边者也边为三之一者面必为九之一体必为二十七之一无疑也准此论之浑圆在四等面内者亦必为外切浑圆二十七之一其径亦三之一也何也浑圆之切㸃与小立方小四等面之切㸃并同也以此推知小立方与小四等面在大四等面内或居小浑圆内以居大四等面内其径积并同求体积浑圆径一百其径上立方一百万依立圆法以十一乘十四除得七十八万五千七百一十四为圆柱积仍三分取二得五十二万三千八百○九为浑圆积内容立方面幂三千三百三十三(三三)其边五十七(七三五○)以边为髙乘面得一十九万二千四百五十○为内容立方积内容四等面体边幂六千六百六十六(六六)其边八十一依前论四等面体为立方三之一得六万四千一百五十○为四等面积立方内容小浑圆以立方之边为径五十七(七三五○)依立圆法以立方积十一乘十四除得一十五万一千二百一十为圆柱积取三之二得一十○万○八百六十六为小立圆积四等面内容小浑圆径幂一千一百一十一(一一)其径三十三(三三)以径乘幂得径上立方积三万七千○三十七以十一乘十四除得二万九千一百○半为圆柱积又三分取一得一万九千四百为立方内之四等面内容小浑圆积为大浑圆积二十七之一若先有内小浑圆积但以二十七因之得大浑圆积依此论之凡浑圆内容立方立方内又容四等面体四等面内又容小浑圆其内外相似之大小二体皆二十七之比例也又捷法用方斜比例立方面之斜设一百其幂一万则其方幂五千用三因之得一万五千开方得立方对角斜线即为外切浑圆全径立方面之斜一百即立方内容四等面之边立方体对角斜线一百二十二(四七四四)即立方外切浑圆之全径亦即四等面外切浑圆全径半之得六十一(二三)(七三)即立方外切浑圆半径亦即立方体心至各角之线亦即四等面体心至各角之线八等面形图注第一合形甲丁 甲丙 甲己 甲戊丁丙 丙己 己戊 戊丁戊乙 己乙 丁乙 丙乙以上形外之楞凡十有二即根数也其长皆等或设一百为一楞之数则十二楞皆一百也甲丁戊 甲戊己 甲己丙 甲丙丁 丙丁乙己丙乙 戊己乙 丁戊乙以上形周之分面凡八皆等边平三角形也其容积其边皆等或设一百为边数则三边皆一百而形周之分面八皆三边边皆一百也第二横切形(二)甲丁丙己戊为上半俯形丁丙己戊乙为下半仰形右二形各得合形之半皆从丁戊楞横剖至己丙一俯一仰皆方锥扁形丁丙己戊为方锥之底其边皆等其从四角凑至顶之楞皆与底之边等第三直切形(四)从甲尖依前后楞直剖过丁己至乙尖成左右两形从甲尖依左右楞直剖过丙戊至乙尖成前后两形此四形者一切皆与仰俯二形同但彼为眠坐之体故为方锥(仰者即倒卓方锥)而此则立体即如打倒方锥之形也第四横切之面一直切之面二因横剖得正方平面在立方锥以此为底倒方锥以此为面在合形则为腰围其己丁及丙戊两对角斜线相交于心即两直切之界也(心即合形中心)因直剖得斜立方面二其己丁及戊丙横对角线即横切之界其从甲至乙垂线即直剖之界如立面在前后互剖之形则此线为左右直剖之界彼此互为之也亦即为全形之中髙径线以此知八等面之中髙线为方斜之比例第五分形因横剖及两直剖分总形为八皆三角锥形也皆以等边平三角形面为锥形之底而以横直剖线相交处之点为其锐顶即合形之中心也其自顶心至角之楞皆等皆边线之方斜比例也(底线为方则此线为其斜之半)而此楞线又即为八等面形之外切圆之半径设己戊边一百其幂一万则心戊楞之幂五千(倍戊庚半边之幂为半斜幂也)戊心之幂五千内减戊庚幂二千五百则其余二千五百为心庚之幂故心庚必与戊庚等从心顶对己庚楞直剖至庚分形为两则其中剖处成三角平面己庚者乙己戊等边三角平面之中垂线也其幂为边四之三设边一百之幂一万则己庚之幂七千五百庚辛者平面三角容圆之半径也得己庚三之一其幂则九之一也己庚之幂七千五百则庚辛之幂八百三十三(三三)辛㸃即各三角平面之中心以庚辛幂八百三十三(三三)减心庚幂二千五百得心辛幂一千六百六十六开方为心辛即分形之中髙也求得分形中髙四十○(八二四七)依平面三等边法设边一百其中长线八十六(六○二五)其幂积得四千三百三十○(一二五○) 取平幂三之一得一千四百四十三(三七五○)以乘中髙得分形积五万八千九百二十五(三五一三) 再以八因之得总积四十七万一千四百○二(八一○四)与总算合设八等面之边一百其幂一○○○○即横剖中腰之正方 半之为每角辏心之线之幂得○五○○○此线即分形自底角辏顶心之楞(如心戊心己心乙)又为八等面形外切浑圆之半径 又半之为分形每面自顶至边斜垂线之幂(即心庚)得○二五○○此线即设边之半其幂为设边四之一设半边之幂取其三之二为分形中髙线之幂(即心辛)得○一六六六不尽又为八等面形内容浑圆之半径㨗法取八等面设边之幂六而一为八分体中髙之幂开方得中髙假如设边一百其幂一万则分体中髙之幂一千六百六十六不尽 求其根得四十○(八二四八) 以中髙乘三角平面幂三除之得分体八因之得全积又捷法八等面设边之幂取三之二为体内容浑圆之径幂开方得内容浑圆径折半为八分体中髙假如设边一百其幂一万则内容浑圆之径幂六千六百六十六不尽 求其根得八十一(六四九六) 折半为分体中髙或竟以内容浑圆全径乘设面三角平幂四因三除之得全积又捷法 此方斜之比例八等面设边之幂倍之为体外切圆径幂开方得径以乘设边之幂(即腰广平方)得数三归见积假如设边一百其幂一万其斜如弦弦之幂倍方幂得二万求其根得一百四十一(四二一三) 以乘腰广一万得一百四十一万四千二百一十三 三除之得总积四十七万一千四百○四一系 八等面体之边上幂与其外切浑圆之径上幂其比例为一与二(方斜比例)一系 八等面体之边上幂与其内容浑圆之径上幂其比例为三与二一系 八等面体外切浑圆之径上幂与其内容浑圆之径上幂 其比例为三与一准此而知八等面内容浑圆浑圆内又容八等面其浑圆外切之八等面边或径上幂与内容之八等面边或径上幂其比例亦必为三与一也计开八等面形诸数设边一百 其积四十七万一四○四(与厯书所差甚微)其体外切浑圆之径一百四十一(内外两浑圆之径幂为三与一其根约为)(四与七而强)体内容浑圆之八十一八等面外切立方径一百四十一(方斜比例也与外切浑圆同)八等面内容立方径四十七内外切大小立方之径之比例为三与一内外两立方之积之比例为二十七与一若浑圆内容立方立方内容八等面体八等面体内又容浑圆则大小两浑圆之径亦若三与一其积亦若二十七与一一率 四七一四○四 例容二率 一○○○○○○ 例边之立方三率 一○○○○○○ 设积四率 二一二一三二二 设边之立积开立方得根一百二十八为公积一百万之八等面根(与比例规解合)㡬何补编卷二二十等面形自腰切之成十等边平面先求甲丁 乃十等边平面从心对角之线 亦即二十分形各三角立体一面之中垂斜线法为甲乙(即切形十等边之半在原设二十等面形边为四之一)与甲丁若十八度之正弦与全数也(十等边各三十六度其半十八度)设边一百 所切十等边平面之边五十 其半甲乙二十五一率 十八度正弦 ○三○九○二率 全数 一○○○○三率 甲乙 二五四率 甲丁 八○(九○六一)用等边三角求容圆法设边一百 其内容圆半径二十八(八六七五)为心甲以心甲为句二十八(八六七五)其幂八百三十三(三三二五)以甲丁为弦八十○(九○六一)其幂六千五百四十五(七九七○)句幂减弦幂余五千七百一十二(四六四五)为心丁股幂开方得心丁七十五(五八○八) 此即各面切形自各面之心至切体尖之髙也 其切体之尖即原设二十等面总形之体心为丁点用后法得乙己丙平面幂积四千三百三十○(一二五○)又依三等边角形设边一百(丙己) 其半五十(丙甲) 求到乙甲中长八十六(六○二五)用其三之一即心甲二十八(八六)(七五)以与丙甲五十相乘得一千四百四十三(三七五○)为各等面平积三之一(三因之得平面幂)又以丁心七十五(五八○八)乘之得一十○万九千○九十一(四三七二)为二十等面形分切每面至心之积又以二十乘之得全积依上法求到二十等面全积设边一百 其积二百一十八万一千八百二十八(查比)(例规解差不多惟测量全义差逺)按此法以本形分为二十各成三角立锥形而各以分形之髙乘底取三之一以为分形积然后以等面二十为法乘而并之得总积可谓的确不易矣然与厯书中比例规解及测量全义俱不合何耶计开二十等面形设边一百 其每面中长线八十六(六○二五)其每面幂积四千三百三十○(一二五○)其每面容平圆之心作线至形心之丁七十五(五八○八)即心丁 心丁即内容浑圆之半径其分形各以每面之幂积为底心丁为髙各得三角立锥积一十万九千○九十一(四三七二)其立锥积凡二十合之得总积二百一十八万一千八百二十八用上法求形内容浑圆其心丁七十五(五八○八)即内容浑圆半径(以心丁线与各平面作垂线而)(丁㸃即体心故)倍之得一百五十一(一六一六)为内容浑圆全径置小浑圆径一百五十一零自乘得二万二千八百○一以十一乘十四除得一万七千九百一十五为圆幂置内容浑圆之平圆幂一七九一五以圆径一百五十一取三之二得一百强以乘平圆幂得一百八十○万二千二百四十九为二十等面内容浑圆之积置内容圆径一百五十一自乘得(二万二千八百○一)再乘(三百四十)(四万二千九百五十一)以立员捷法(○五二三五九八七七)乘之得浑圆积一百八十○万二千七百二十五先用宻率(十四除十一乘)得浑圆一百八十万二千二百四十九以较立圆捷法所得少尾数四百七十六约为一万八千之五弱不足为差也依立圆法以圆率三一四一五九二乘立圆法六而一得五十二万三五九八为径一百之浑圆积依法求得立方边五十七(七三五○)立方积一十九万二四五○四等面积六万四千一百五十○并合前算小浑积一○○七六六 若用捷法以浑圆率五二三五九八乘立方积得数后去末六位亦得一十○万○七六六内容浑圆尚且如此之大况二十等面之形又大于内圆乎然则厯书之率其非确数明矣二十等面一率 二一八一八二八 例容二率 一○○○○○○ 例根一百之体积三率 一○○○○○○ 设容四率 ○四五八三三二 所求根立积如法算得二十等面之容一百万其根七十七比例规解作七十六尚差不多测量全义云二十等边设一百其容五二三八○九则大相悬绝矣乆知其误今乃得其确算己未年所定之率以两书酌而为之究竟不是今乃得之可见学问必欲求根也二十等面分体之图亥子戌为二十等面之一面亦即各分体之底亥子子戍戍亥皆其边即根也半之为亥甲甲乙丙为横边切处即横切成十等边形之一边丁为体心亦即切十等边平面之中心甲乙丙丁即横切十等边平面之分形 心为二十等面每面之正中 心丁为体周各平面至体心之垂线亦即分体之中髙亦即体内容浑圆之半径 丁亥丁子丁戌皆分体之楞线乃自各分面角辏体心之棱也亦即为外切浑圆之半径 丁甲丁丙皆横切平面各角辏心之线亦即分体各斜面之中垂斜线也求法以丁甲为股亥甲为句(即根之半)两幂相并开方得弦即丁亥也(丁子丁戌同)求二十等面外切浑圆之半径依句股法 以丁甲股八十○(九○六一)自乘幂六千五百四十五(七九七○) 亥甲句五十○自乘幂二千五百 相并为亥丁弦幂九千○四十五(七九七○) 平方开之得亥丁九十五(一○五二)为外切浑圆半径 亦即二十分形自其各角辏心之棱 倍之得一百九十○(二一○四)即外切浑圆全径计开二十等面体诸数设边一百 其容二百一十八万一千八百二十八其内容浑圆径一百五十一 其外切浑圆一百九十其每面中心至体心七十五半(即内容浑圆之半径)其每面各角至体心九十五(即外切浑圆之半径)计开二十等面体诸用数设边一百 外切立方之半径八十○(九○一七)为体心至边之半径(即寅中卯中辰中等)倍之为边至边一百六十一(八○三四)即外切立方全径外切浑圆之半径九十五(一○五六)为体心至各角尖之半径(即甲中戊中心中等)倍之为角尖至角尖一百九十○(二一一二)即外切浑圆全径内容浑圆及内容十二等面之半径七十五(五七六一)为体心至各面之半径(即己中庚中等)倍之为内容浑圆全径一百五十一(一五二二)为面至面内容十二等面之边五十三(九三四四)每面之幂四千三百三十○(一二五○)二十等面之幂共八万六千六百○二半分体积一十○万九千○八十四(六五)为二十等面体积二十之一合之得全积二百一十八万一千六百九十三内容小立方之边八十七(二六七七) (以内容立圆径自乘乏幂取三之一开方)(得之)内容灯体边五十(即原边之半)立方内容二十等边算法亢卯寅房为立方全径一百中寅中卯为半径五十寅卯二点为二十等面边折半之界寅卯线为二十等面边之半中为体之中心 寅中卯角为三十六度中寅半径当理分中末之全数 寅卯即理分中末之大分甲戊戊心心甲皆寅卯之倍数即二十等面之边其数六十一(八○三三九八)甲辰半边三十○(九○一六六九与寅卯同)心辰垂线五十三(五二三三) 半垂线心箕二十六(七六一六) 甲辰幂九百五十四(九一五○) 三因甲辰幂为心辰幂二千八百六十四(七四五○不尽)计开立方径设一百 半径五十理分中末线大分六十一(八○三三九八)即二十等面之边论曰以中寅半径五十求寅卯正得理分中末大分之半而甲戊边原倍于寅卯寅房全径亦倍于寅中是全数与大分皆倍也故径以全数当寅房全径以理分中末之大分当甲戊等二十等边之全边也又立方边设一百(即寅房径) 半之五十(即中寅)内容二十等面之边六十一(八○三三九八即甲戊等)面之中垂线五十三(五二三三即心辰)中垂线之半二十六(七六一六即心箕)面之幂一千六百五十三(九五七八甲戊心面)中垂线三之一得一十七(八四一一即心己)内容立圆半径四十六(七○八六即己中) 全径九十三(四一七二)二十等面全积五十一万五千○二十六(九五九七)约法立方根与所容二十等面之边若全数与理分中末之大分 面幂三之一以乘容圆全径得数十之为全积中垂线三之一心己为句(即平面容员半径)自乘得句幂三百一十八(三○四八四九)以减中寅弦幂二千五百○○余己中股幂二千一百八十一(六九五一五一)开方得己中根四十六(七○八六)二十等面边设一百用理分中末线求其外切之立方一率 二十等面边六十一(八○三三九八)二率 外切立方一百○○三率 二十等面边一百○○四率 外切立方一百六十一(八○三四)依法求得二十等面边一百其外切立方一百六十一(八○三四)与先所细算合半圆内容正方法以圆径为三率(丙丁) 理分中末之小分为二率(庚辛)理分中末全线加小分为首率(丁辛为全线再加庚辛为小分共得为丁庚总)(线也) 二三相乘一率除之得四率(丙乙即甲丁)为全径之小分以减全径余(乙丁)乃于乙作正十字线至圆界(如己乙)即以此线自乘作正方(己甲)如所求论曰己乙即丙乙与乙丁之中率而丙乙既为乙丁全径之小分则己乙即大分也而甲乙亦为大分 甲丁亦为小分矣若自甲作甲戊必与己乙甲乙等而其形正方半浑圆内容立方法以乙甲圆径自乘之幂取其六之一开方得容方根(丙丁方丙戊边)论曰试倍甲丙乙庚半浑圆为全浑圆体亦倍丙丁正方形作丙己长立方形亦必能容矣然则丙己线在长立方形之内为斜线者亦即浑圆之径也(与甲乙径等)试于长立方面作戊己斜弦则己壬为之句戊壬为之股而戊己弦幂内有己壬幂与戊壬幂矣而丙己线为弦则戊己又为股丙戊又为句而丙己自幂内又兼有戊己幂及丙戊幂矣(丙戊亦即己壬)又戊壬为己壬(即丙戊亦即戊癸)之四倍则戊壬股幂内有己壬句幂四合之为戊己弦幂则戊己幂内有己壬幂五矣而丙己弦幂内复兼有戊己股幂及丙戊句幂是丙己幂内有丙戊幂六也丙己既同圆径则取其幂六之一开方必丙戊容方边矣立方内容十二等面其内又容立方(此相容比例)立圆内容十二等面其内又容立方此立方之面幂为外圆径上面幂三之一而立方之各角即同十二等面角以切于立圆之面法以外切浑圆径上幂取三之一为十二等面内小立方幂平方开之得小立方根根乘幂见积又简法以十二等面之面幂求其横剖之大线此线即十二等面内容小方之边如图作甲乙线剖一面为二此线在面中最大即为内小立方根以此自乘而三之即小立方外切浑圆径幂凡立方内容二十等面二十等面内又容浑圆圆内又容小立方此小立方之各角能同浑圆之切点以切于二十等面之平面心法以内容浑圆径之幂取三之一为内小立方之幂平方开之得切点相距即小立方根以根乘幂见积简法取内容浑圆之内小立方边求其理分中末之大分为内容十二等面边又简法如前求得二十等面内容十二等面之一面乃求其横剖之大线即二十等面内容小立方之根 以根自乘而三之即二十等面内容浑圆之径幂 开方得根即内容浑圆径 折半为分体之中髙此二十等面之面作三分之一横剖此十二等面之面在二十等面内此五等面边即前横线所成凡五等边平面其边即七十二度之通弦横剖大线即一百四十四度之通弦各折半为正弦可以径求一率 三十六度正弦二率 七十二度正弦三率 五等边之一边四率 横剖之大线凡十二等面体与二十等面体可互相容而不穷十二等面体有二十尖二十等面体有十二尖其各尖之相距必均其互相容也皆能以其在内之尖切在外各面之中心而徧凡二十等面内容立圆仍可以容二十等面二十等面内容立圆仍可以容十二等面甲心乙 乙心丙 丙心丁丁心戊 戊心甲 皆二十等面之一面其各三边皆等各以庚辛壬癸己为其面之心若内容十二等面体则十二等面之各尖必切于庚辛壬癸己等心点今求内容十二等面之边则必以庚辛等心点聮为直线即成五等边面之边而与十二等面之形相似而可以相容矣法当以边(如甲戊)半之(如甲辰)作对心垂线(如辰心)成心辰甲句股形既得己卯倍之为己庚即内容十二等面之一边二十等面体内容十二等面之图第一图原形如五面扁锥心尖锐起甲心戊等三等边平面凡五共辏而成一心尖乃二十等面四之一其己庚辛壬癸五点皆三等边平面之中心亦即内容十二等面之棱尖所切故必先求此点简法曰以甲戊边半之于辰作辰心对角斜垂线又以心甲心戊各取三分之二为心子心丑乃聮子丑为线与甲戊边平行与辰心垂线十字交于己点则己点即甲心戊平面之心再从子至午作与边平行线线之半即庚点余三面尽如此作平行线则辛点在午未线壬点在未酉线癸点在酉丑线但半之皆得心矣第二图剖形是五等边平面因前图所作子丑等平行线横剖之去其中髙之尖成子午未酉丑五等邉平面此平面之心点在前图心顶之内惟子丑等邉线是原形所作平行线在体外可见余皆以剖而成乃从各角作线至心如子心等分形为五皆平面三角形而心子等线皆小于子丑邉因子己原邉及子心丑角求得心己垂线及子心对角线第三图正用之形即内容十二等面之一面因前第二图各平分其邉得己庚辛壬癸五点即原形之平面心又聮此点作己庚等直线则成此形以此形为内容十二等面之一面则己庚等五点为十二等面之锐角而皆切二十等靣之平面心矣求己庚线法因心子对角线及心己垂线子己原半边得己卯倍之为己庚第一图设二十等面边一百 甲戊等五边甲心等五辏顶线并同 则子心六十六(六六) 子丑平行线同 皆为原边三之二 心己斜垂线五十七(七三五○) 为心辰斜垂线三之二以上用第一图乃斜立面也第二图子己半边三十三(三三) 子心对角线五十六(七○九九)己心垂线四十五(八七九二)法为全数与五十四度之割线(一七○一三○)若子己边与子心也子己乘割线以全数十万而一得子心又全数与五十四之切线(一三七六三八)若子己边与己心也子己乘切线以全数十万而一得己心 凡全数除降五位第三图 仍从第二图生己庚等两平面心相距线五十三(五八一六) 其半己卯二十六(七九○八)法为子心对角线与己子半边若己垂线与己卯也倍己卯得己庚求得二十等面边一百 内容十二等面其边五十三㨗法但用法聮两平面之中心点即为内容十二等面之边 两平面心相聮为直线之图乙心甲及戊心甲两等边平三角面以甲心边为同用之边而甲心隆起如屋之山脊两平面之中心为己为庚聮为己庚线与甲心为十字然不𦂳相切何也甲心既隆起则甲心折半之卯在己庚折半之栁点上其距为卯栁试侧视之则甲心戊面变为戊卯线甲心乙面变为卯乙线而甲卯心线变为卯点己庚点在平面原近甲心点为卯戊卯乙三之一则卯栁之距亦为垂线三之一矣二十等面从腰横剖之图凡二十等面体其面之边皆等而皆斜交故边皆髙于面面之中心如己如庚是距体心最近之处故为内容浑圆及十二等面所切之点也边之两端又髙于其折半之处边所辏为尖如甲如戊如乙如心等是距体心最逺之处故为外切浑圆及外切十二等面之尖也 其各边折半之点如寅如卯其距体心在近逺酌中为外切立方之半径其内切之己庚外切之甲戊乙心等頼寅卯距心之线为用然后可知故其用最要横剖所成之面(十二等面从腰横剖其根亦同)问各边既髙于面而又斜交何以能横切成平面乎曰从右图观之甲戊尖最髙则其所对之乙心等边似平矣而乙心等尖亦髙则其所对之甲戊等边又平一髙一平彼此相制而成相等之距故寅卯等折半之处其距体心皆等联之为线即成相等之线而皆平行也然则何以知其为十等边平面曰准右图上下各五面其腰围亦上下各五面而尖牙相错成十面今各从其半边剖之则必为十边平面无疑也如图奎卯寅十等边平面以中为心中寅中卯皆原体心与其邉折中处相距之半径亦即为外切立方之半径也于前图作外切之奎角卯寅平图则寅卯等即为分圆线乃全圈十分之一当三十六度理分中末线图奎中为全径井中为半径以半径(设五十)为句全径(设一百)为股求其弦得一百一十一(八○三三)(九八)为井奎 以井为心中为界作圆分如中斗截井奎线于斗则井斗亦半径也 以井斗减井奎其余斗奎即为理分中末线之大分(亦即奎牛) 以奎牛为度作点于倍径之圈周而徧即成十平分圈周之点聮其点为线即成寅卯等十等边故十等边之寅卯等即木圈半径之理分中末大分也 若奎中为半径则井中为半半径亦同奎中全数(半径)设一百 寅卯必六十一(八○三三九八)即半径理分中末之大分(奎牛即奎斗)理分中末线 法以全数一百之幂一万为股幂其半五十之幂二千五百为句幂并得一万二千五百为弦幂开方求其根得一百一十一(八○三三九八)以半数五十减之得六十一(八○三三九八)为理分中末之大分即三十六度之分圆线也半之为十八度之正弦三○九○一六九九(八线表作二三○九○)二十等面分体之图甲戊心为二十等面之一面其三边等中为体心甲中戊中心中皆各面之锐角距体心之线又为体外切浑圆及外切十二等面之半径以甲戊心面为底依甲中戊中心中三线剖至体心中成三角锥体为二十等面体二十之一锥体之底各以其三边半之于寅于辰于卯从此三点作线而体心之中点皆为锥体各立面之斜垂线如辰中即为甲中戊立面之斜垂线寅中为甲中心立面之斜垂线卯中为戊中心立面之斜垂线并同又聮寅卯辰三点为寅卯卯辰辰寅三线成寅卯辰小等边平三角面以此为底依寅中卯中辰中三斜垂线剖至体心之中点成小三角锥体其积为大三角锥四之一其寅卯等边为原边二之一 原设边一百则寅卯五十其己点为三角面之中心(大小并同) 己中即分体之中髙(大小锥体同)是即内容浑圆之半径亦即内容十二等面体各尖距其体中心之半径其辰中卯寅中卯卯中辰皆立三角面皆为横剖成十等边平面之分形故寅卯与寅中之比例若理分中末线之大分与其全数也今求寅中线(即外切立方半径卯中亦同)一率 理分中末之大分 六十一(八○三三九八)二率 全数 一百三率 寅卯(剖形十等边之一即原边之半) 五十四率 寅中 八十○(九○一七)按寅中线为量体之主线既得此线即可以知余线而此线实生于理分中末线几何原本谓分中末线为用最广盖谓此也次求己中(即内容浑圆及十二等面之半径)甲戊原边设一百半之于寅作寅己垂线至己心(乃平靣心)己寅二十八(八六七五)为句其幂八百三十三(三三三三) 用㨗法以边幂一万取十二之一得之寅中八十○(九○一七)为弦其幂六千五百四十五(○八五○)句幂减弦幂余五千七百一十一(七五一七)开方得股为己中七十五(五七六一)订定寅中线一率 理分中未线大分 六十一(八○三三九八)二率 全数 一百三率 寅卯(剖形十等边之一即原边之半)五十四率 寅中(即外切立方之半径) 八十○(九○一七)订定己中线甲戊边原设一百(半之于寅作寅己线)己寅句二十八(八六七五) 幂八百三十三(三三三三)寅中弦八十○(九○一七) 幂六千五百四十五(○八五○)己中股幂五千七百一十一(七五一七) 根七十五(五七六一)末求己庚线(两平面心相聮即内容十二等面之边)一率 寅中八十○(九○一七) 为大弦二率 己中七十五(五七六一) 为大股三率 寅己二十八(八六七五) 为小弦四率 己星二十六(九六七二) 为小股倍己星得五十三(九三四四)为己庚解曰中寅己大句股形与己寅星小句股形同用寅角则其比例等而为相似之形故也己庚等线相聮成五等边平靣图准前论甲心戊等三角平面合二十面为二十等面体则甲心等边线皆髙于平面而边线之端五相辏即为尖角(如心)(点)依此推知甲乙丙丁戊点皆必与他线五相辏而成尖角矣其己庚辛壬癸各点为各平面之最中央在体为最平之处故内容之浑圆及内容之十二等面各尖必切此点今依前法求得己庚等点相联为直线则凡五平面相辏为尖必有各中央之点相联为线而皆成五等边平面形矣(此平面形正与心尖相应) 依此推知甲乙丙丁戊各点皆能为尖则其周围相辏之五平面亦必各以其中央之点相联为线而皆成五等边平面形 二十等面体以五边线相辏之尖凡十有二每一尖之周围皆有五平面即皆有中央之点相联而成五等边平面亦十有二如此而内容十二等平面体己成故曰但联己庚二点为线即内容十二等面之边也求甲中线(即外切浑圆及十二等面之半径心中戊中并同)寅甲为原边之半设五十其幂二千五百为句幂寅中为外切立方半径八十○(九○一七)其幂六千五百四十五(○八五○)为股幂并句股幂九千○四十五(○八五○)平方开之得甲中弦依法求得甲中九十五(一○六五)求体积设边一百其半五十 斜垂线八十六(六○二五) 相乗得面幂四千三百三十○(一二五○)又以己中髙七十五(五七六一)乗面幂得柱积三十二万七千二百五十三(九六○○)三除之得分体积一十○万九千○八十四(六五○○)以二十乗之得全积二百一十八万一千六百九十三十二等面分体之图戊辛庚己壬五等边形即十二等面立体之一面 亦即分体形之底(乃五面立锥形之底)丙为平面心丙丁为平面心至体心之垂线亦即分体形之中髙又为体内切浑圆之半径亦即为内切二十等面之半径丁为全体之中心又为十二分体之上锐即五等面立锥形之顶戊辛壬庚等皆各面之外周线(即边也)为体之棱亦名之为根自分面之心丙作垂线至边(如癸丙甲丙)分各边为两其分处为癸为甲(即各边折半处)乃自癸至甲聮为癸乙甲线又自此线向丁心平剖之成甲丁癸三角形面各分形俱如此切之成十等边平面形故丁癸丁甲皆分体形自顶锐至各边之斜垂线在所切之十等边平面形即为自丁心至平面角之线(甲癸等点在各边为折中在切形之平面则对角)又自丁至体周各角之线(如丁辛丁庚丁戊等)在分体即为自底角至顶锐之棱又为外切浑圆之半径又为外切二十等面之半径先算十二等面之面(即戊辛庚己壬)法为全数与五十四度之切线若甲辛与甲丙也 以甲丙乘甲辛又五乘之得戊辛庚己壬五角面积(甲丙辛角)(为五等边之半角三十六度其余角甲辛丙必五十四度)次算面上大横线(即甲癸)又全数三十六度之正弦若甲丙与甲乙也倍甲乙得甲癸次算中髙线(丙丁)法为全数与七十二度之割线若甲乙与甲丁也(因平切十)(等边为三十六度半之为十八度其余角七十二度即乙甲丁角)乃以甲丁为弦甲丙为句两幂相减开方得股即丙丁也次算分体之积法以中髙丙丁乘戊辛庚己壬底而取其三之一为分形积末以十二为法乘分形积得总积简法以分形中髙乘底又四乘之即得总积(三归三因对过省用)算甲丙一率 全数 一○○○○○二率 五十四度切线 一三七六三八(相乗得六八)三率 设根之半(甲辛) 五○(八一九○○)四率 甲丙 六八 (以全数除之减五位为畸零)算甲乙法为全数与三十六度之正弦若甲丙与甲乙也一率 全数 一○○○○○二率 三十六度正弦 ○五八七七九三率 甲丙 六八八一九○四率 甲乙 四○四五一一甲癸为横切十等边平面之一其半为甲乙丁即总形之心亦横切平面之心算甲丁法为全数与十八度之余割若甲乙与甲丁也一率 全数 一○○○○○二率 七十二度割线 三二三六○七三率 甲乙 四○四五一一四率 甲丁 一三○九○二五算丙丁中髙线法以甲丁为弦 甲丙为句 求得股为丙丁算得丙丁一百一十一(三五二六)为中髙线亦即十二等面形内浑圆之半径算五等邉面幂法以甲丙乘甲辛五十得三千四百四十○九半又五乘之得一万七千二百○四七五为五等边(边各一百)之平幂亦即十二等面分形之底积算总积用简法以底积一七二○四七五四因之得六八九九○以乘中髙得七百六十八万二千二百一十五八七四○为十二等面之积计开十二等面一率 七六八二二一五 例容二率 一○○○○○○ 例边上立积三率 一○○○○○○ 设容四率 ○一三○一七○ 求得设边上立积立方法开之得其根五十与比例规解合与测量全义差四千一百七十四为二百分之一算辛丁(庚丁戊丁并用) 又即为外切浑圆半径法以甲丁股幂(一七一三五)甲辛句幂(○二五○○)并为弦幂(一九)(六三五)求得弦数一百四十○为辛丁即外切圆半径计开十二等面之数设边一百 其容积七百六十八万二二一五内容浑圆径一百二十二 外切浑圆径二百八十㨗法十二等面边求外切内容之立方及外切之立圆置十二等面边为理分中末之小分求其大分为内容立方边内容立方边自乘而三之开方得外切立圆全径又置十二等面边为理分中末之小分求其全线为外切立方边一率 理分中末之小分(三十八一九六六○一) 理分中末之大分二率 理分中末之大分(六十一八○三三九八) 理分中末之全分三率 十二等面之边四率 内容小立方边 即大横线又一率 理分中末之小分二率 理分中末之全分三率 十二等面之边四率 外切立方边以十二等面边减外切立方边余为内容立方边以内容立方边加十二等面边即外切立方边又㨗法但以十二等面边加大横线(即小立方边) 即外切立方边立方内容十二等面算法 用理分中末线此五等边面为十二等面之一巳为平面心 中为体心寅卯为戌亥大横线之半(三十)(○九○一六九九)卯中寅中为外切立方半径(五十) 戌亥为面之大横线(六十一八○三三九八)为理分中末之大分亦即内容小立方之根巳寅巳卯俱平面容圆半径巳中为内容立圆半径即分体中髙丑中为外切立圆半径(亥中戌中并同)设立方根一百为径 半径五十为寅中卯中 理分中未大分之半为寅卯(三十○九○一六九九) 又半之为寅子(一十五四五○八四九五)为理分中末大分四之一一率 全数 一○○○○○二率 五十四度之割线 一七○一三○三率 寅子 (一十五四五○八四九五)四率 寅巳(即卯巳) 二六二八六五求得卯巳为平面中垂线一率 全数 一○○○○○二率 三十六度之切线 ○七二六五四三率 卯巳 二十六二八六五四率 卯丑(即半边) 一十九○九八二倍卯丑得丑亥边三十八(一九六四)即十二等面边乃理分中末大分之大分也以此知大横线与五等边为理分中末之全分与其大分之比例也卯巳句幂(○六九○九八) 卯中弦幂(二五○○○○)相减为股幂一八○九○二 开方得巳中(四十二五三二五)为内容浑圆半径卯丑句幂(○三六四七四一二四三) 卯中股幂(二五○○) 相并为弦幂(二八六四七四一二四三) 开方得丑中(五十三五二三二)为外切浑圆半径丑亥巳卯相乘五因二除为面幂以乘巳中而四因之得十二等面积简法十二等面内容小立方(六十一八○三三九八)即理分中末之大分葢戌亥大横线倍大于寅卯故也 大横线即小立方之边以大横线之幂三因之开方得亥中为外切浑圆半径(丑中同)又立方根与所容十二等面边若全数与理分中末之小分约法立方根与其所容十二等面体内小立方之根若全数与理分中末之大分凡立方外切浑圆则径上幂三倍于方幂计开立方设径一百内容十二等面边三十八(一九六六○一)内容小立方边六十一(八○三三九八)外切浑圆径一百○七(○四六六二五) 即丑中亥中倍数外切浑圆半径(五十三五二三三) 即丑中亥中内容浑圆半径四十二(五三二五) 即已中 为分体中髙内容浑圆全径八十三(○六五一)内容二十等面边四十四(七二一一)几何补编卷三十二等面体分图 用理分中末线辛戌亥五等边形为十二等面之一寅卯㸃为边折半处中为体心卯中为外切立方半径(设五十)卯亢为外切立方全径(设一百)寅卯线与卯中半径若理分中末之大分与其全数也在圆内为三十六度之分圆 辛癸辛戌等俱七十二度之分圆乙巳为半径(己丑同)乙癸为三十六度之通弦乙已半径与乙癸亦若理分中末一之全数与其大分也故乙已癸三角形与卯中寅相似若取乙丙切线如乙癸之度则丙巳必同亥癸边(即七十二)(度通弦)折半于甲则甲乙为十八度正弦再于寅卯线取子壬如乙甲取壬癸如乙己半径引已子至癸中末乃自卯作线至中与壬癸平行因得寅中与卯中等则寅中卯即为横切之半面一率 全数 一○○○○○二率 三十六度割线 一二三六○七三率 子寅 一十五(四五○八四九五)四率 丑寅半边 一十九(○九八三)倍丑寅得丑戌三十八(一九六六)与简法合论曰凡十二等面从其半边之㸃(如寅如卯)聮为线以剖至体之心(中㸃)则所剖成寅中卯三角形平面必为全圆十之一即寅中卯角必三十六度而中寅或中卯两弦与寅卯底若理分中末之全分与其大分矣又十二等面在立方形内必以卯中(或寅中)自心至边之线当立方之半径是立方半径与十二等面之寅卯线亦若理分中末之全与其大分也 若设立方半径一百则寅卯必六十一(八○三三九八)如理分中末之大分也今设立方全径一百其半径五十则寅卯亦必三十○(九○一六九九)如大分之半矣 寅卯二㸃既在(丑戌丑亥)两边之折半则戌亥大横线必倍大于寅卯而与理分中末大分之全相应为六十一(八○三三九八) 此皆设立方半径五十之数也而半径五十其全径必一百故知设径一百则十二等面之大横线必六十一(八○三三九八)而竟同理分中末大分之数也既得此大横线则诸线可以互知试先求边 法为酉戌(半大横线)与丑戌等边若全数与三十六度之余割线也一率 全数 一○○○○○二率 三十六度割线 一二三六○七三率 酉戌半大横线 三十○(九○一六九九)四率 丑戌全边 三十八(一九六六)论曰五等边各自其角作线至心分形为五则各得七十二度角(如丑巳戌等其巳角皆七十二度)其半必三十六度(如寅已丑之巳)(角得戊已丑之半正三十六度)而丑戌酉与丑巳寅皆句股又同用丑角则戌角与巳角等为三十六度十二等面求积平面中垂线(卯己)二十六(二八六五)边(即丑亥丑戌等)三十八一九(六六) 半边(即丑卯丑寅)一十九(○九八三)一面之平幂二千五百一十○(一三七○)内容浑圆半径四十二(四三二五) 即分体五面立锥之中髙(已中) 中髙三之一一十四(一四四一)分积三万五千四百九十五(八四七三) 其形为五面立锥其体积为十二之一全积四十二万五千九百五十○(一六七六)外切立方根一百 其积一百万外切浑圆径一百○七(○四六六)内容立方根六十一(八○三三九八)外切立方与体内容立方径之比例若理分中末之全分与其大分又若外切立方之外又切十二等面体体外又切大立方则大立方之径与今所算外切立方径亦若理分中末之全分与其大分而外切之十二等面与其内十二等面径亦必若理分中末之全分与其大分也孔林宗云外立方与内立方之径为理分中末线全分与大分之比例是矣若内立方之内又容立圆则小立圆之径与小立方之径同而外浑圆与外立方之径不似未可以前比例齐之若十二等面外切大立方大立方之外又切大立圆大立圆外又切十二等面则大立圆与内容小立圆亦必若理分中末之全分与其大分而外切十二等面与十二等面亦必若理分中末之全分与其大分何则皆外切立方与内容立方之比例也十二等面容二十等面图第一图割十二等面之三平面一尖成此形癸丑丙丑戊丑俱五等边平面皆十二等面之一(已庚辛各为其中心一㸃)丑为三平面棱所聚之尖 亥丑戌丑乙丑俱平面边各为两平面所同用之棱 中为体心 巳中辛中庚中皆内切浑圆半径亦内容二十等面自尖至体心半径 巳卯庚卯巳寅辛寅辛壬俱平面中垂线 寅卯壬皆平面边折半之㸃第二图内容二十等面体各自其边剖至心成此分体为内容体二十分之一 辛庚巳三角尖即十二等面之中心原㸃此㸃以外俱剖而得甲㸃与卯㸃同在卯中线而甲在卯之下丁在寅下辰在壬下俱同第三图自卯㸃起依卯己卯庚二线剖至体心中成此平面形卯即原边折半处卯中即原体外切立方之半径中即体心已庚即原两平面之中心㸃今联为(已庚)线即内容二十等面之一边已中庚即内切二十等面分体之立面乃三角锥体之一面 甲中为内切二十等面分体之斜垂线 观第二图可明(第二图角㸃居剖内三角之中心正对原体之丑尖而在其下故角中为内容分体之正)(髙而甲中为斜垂线也)今求已庚线(即内容二十等面之边)法于卯中(外切立方半径)内求甲中以相减得卯甲为股用与卯已弦(原体之面上中垂线)两幂相减开方得句为已甲倍之得巳庚卯已中三角形卯中即外切立方半径设五十为底卯已即原体之平面中垂线二十六(二八六五)巳中即内容浑圆半径亦即内容二十等面分体之斜棱四十二(五三二五)以卯巳巳中两弦相减为较相并为总以总乘较为实卯中底五十为法除之得亢中二十二(三六○六)以减卯中余二十七(六三九四)为亢卯折半得一十三(八一九七)为卯甲计开立方根设一百其半五十(即卯中)亦为十二等面自体心至边十二等面之平面中垂线(即卯巳)二十六(二八六五)十二等面内容浑圆半径(即已中)四十二(五三二五)亦为内容二十等面自尖角至体心分体以为锥体之棱卯巳已中之较一十六(二四六○) 总六十八(八一九○)较总相乘一千一百一十八(○三三四)为实 卯中五十为法除之得中亢二十二(三六○六) 以中亢减卯中五十余二十七(六三九四)为亢卯折半得一十三(八一九七)为卯甲以卯甲减卯中余三十六(一八○三)为甲中即内容二十等面分体之斜垂线卯巳自乘得六百九十○(九八○○)为弦幂卯甲自乘得一百九十○(九八)(四一)为股幂 相减余四百九十九(九九五九)为勾幂 开方得巳甲二十二(三六○五) 倍之得巳庚四十四(七二一一)即为内容二十等面边此法甚确亦且甚㨗无可疑者偶于枕上又思得一法借灯体分形之三角锥以求十二等面内容二十等面分体之三角锥是以锥体相截而知其所截之边即为内容二十等面之边第一图丑为三平面所聚之尖 丑戌丑亥丑乙皆两平面同用之棱 巳庚辛皆五等边平面之心 己寅己卯等皆平面心至边垂线 已牛丑为平面心对角线 寅卯壬皆平面边折半之㸃 寅中卯中壬中为体心至边线即外切立方半径 中为心第二图聮寅卯卯壬壬寅三线为平三角面横剖之又各依寅中卯中壬中线剖至体心中则成三角锥体二其一为丑寅卯壬体是三角锥而稍扁者也其一为寅卯壬中体是三角锥而稍长者也其寅卯壬三角平面为扁形之底又为长形之面其寅卯等线与寅中卯中之比例皆若理分中末之大分与其全分也其扁形锥既剖而去则成圆灯所存长锥即灯形分体之一平面心之㸃为斗在丑尖下与牛㸃平故丑牛为弦则斗牛如勾而丑牛之距如股也第三图又于圆灯分体剖去辰甲丁之一截则成甲丁辰中三角锥乃十二等面内容二十等面分体中之分体其辰甲丁面与巳庚辛脗合为一葢巳庚辛者内容二十等面之一面各于边折半为甲丁辰而聮之为线则成小三角于中故辰丁等线皆居巳庚线之半而甲中原为二十等面分体之斜垂线者今则为三角锥之楞第四图己牛丑即原平面从心至角尖之线丑斗角中即原体自尖至中心之线又为外切浑圆半径依第二图截丑巳于牛而横剖之亦截丑中于斗成丑斗牛勾股形 又依第三图截斗中于角成丑角巳勾股形此两勾股相似而比例等法为丑牛与丑斗若丑巳与丑角也第五图寅中卯三角形为圆灯分体之立面截为甲丁中三角形此两形相似而比例等 法为卯中与卯寅若甲中与甲丁也又斗中为圆灯分体之中髙其平面为寅卯壬角中为截体之中髙其平面为丁甲辰此两体相似而线之比例等 法为斗中髙与寅卯濶若角中髙与甲丁濶先求丑斗髙用截去扁三角锥以牛卯(即寅卯之半)自乗幂三分加一以减丑卯幂为丑斗幂开方得丑斗高次求丑角髙用巳丑对角线乗丑斗以丑牛除之得丑角髙 其丑牛线以牛卯幂减丑卯幂开方得丑牛 巳寅丑寅两幂并开方为己丑末求巳庚线用丑角减丑中得角中 又用丑斗减丑中得斗中以角中乘寅卯以斗中除之得甲丁倍甲丁得己庚为内容二十等面之边理分中末线 以量代算先以巳为心作图而匀分其边为五作甲庚乙丙丁五等边平面(即十二等面之一面)乙丁为大横线设一百甲庚等边必六十一(八○三三九八)为大横线理分中末之大分若乙丁大横线设六十一(八○三三九八)则甲庚等边必三十八(一九六六)亦为大横线理分中末之大分设立方一百 内容十二等面边三十八(一九六六)为理分中末之小分亦即大分之大分十二等面内又容小立方其边与十二等面之大横线等六十一(八○三三九八)为大立方边一百与十二等面边三十八(一九六六)之中率何也大立方一百乘十二等面边三十八(一九六六)开方得根即小立方及大横线六十一(八○三三)若大横线自乗之幂以十二等面边除之即仍得外立方根而以外立方根除大横线幂必仍得十二等面之边矣求理分中末线㨗法 用前图作五等边平面 求其大横线(乙丁) 聮两角为线即得之次以大横线之一端(如乙)为心其又一端(如丁)为界作丁戊圆分乃引五等边与圆分相遇(如引乙丙至戊与圆分遇于戊)则相遇处(如戊)至圆心(如乙)为全分(即乙戊亦即乙丁大横线)原边为大分(即乙丙)引出余边为小分(即丙戊)又法作平三角使两角(如戊如丁)俱倍大于一角(如乙)末乃破一倍角平分之作线至一边(如平分丁)(角为两作丁丙线至乙戊边)则其斜线即为理分中末之大分(即丁丙也)解曰倍破角则与小角等(如破丁角为两皆与乙角等)而乙丙丁形之乙丁两角同大则(乙丙丁丙)两弦亦同大而乙丙既为大分丁丙亦为大分矣准此又破丙角可以递求于无穷诸体比例凡诸体之比例有三一曰同边之比例可以求积一曰同积之比例可以求边一曰相容之比例可以互知内相容之比例亦有三一曰立圆内容诸体之比例 所容体又容立圆一曰立方内容诸体之比例 所容体又容立方一曰诸体自相容之比例(即同径同髙之比例)或或两体互相容或数体递相容等积之比例 比例规解所用今攷定立方积 一○○○○○○ 其边一百四等面积 一○○○○○○ 其边二百○四八等面积 一○○○○○○ 其边一百二十八十二等面积 一○○○○○○ 其边五十二十等面积 一○○○○○○ 其边七十七方灯圆灯凡方灯依楞剖之纵横斜侧皆六等边平面凡圆灯依楞剖之纵横斜侧皆十等边平面故皆有法形体等边之比例 测量全义所用今攷定立方边 一○○ 积一○○○○○○方灯体边 ○七○七一○六积○八三三三三三边 一○○ 积二三五七○二一八等面边 ○七○七一○六 积○一六六六六六边 一○○ 积○四七一四○四四等面边 一○○ 积○一一七八五一十二等面边一○○ 积七六八二二一五二十等面边一○○ 积二一八一八二二圆灯体边 ○三○九○一七 积○二九○九二九边 一○○ 积○九八五九一六等径之比例 皆立方所容立方径 一○○积一○○○○○○ 边(一○○)内容方灯径 一○○积○八三三三三三 边(○七○七一○六)内容四等面径 一○○积○三三三三三三 边(一四一四二一三)内容八等面径 一○○积○一六六六六六 边(○七○七一○六)内容立圆径 一○○积○五二三八○九内容二十等面径一○○积○五一五二二六 边(○六一八○三四)内容十二等面径一○○积○四二五九五○ 边(○三八一九六六)内容圆灯径 一○○积○二九○九二九 边(○三○九○一七)右以立方为主而求诸体内立方及灯体之径为自面至面四等面十二等面二十等面之径皆自边至边(以边折半处作)(垂线至对边折半处形如工字四等面则上下边遥相午错如十字)八等面之径为自尖至尖 然皆以其径之两端正切于立方方面之中心一㸃立方面其相切亦必六㸃求积约法凡立方内容诸体皆与立方之六面同髙同濶 则灯形积为立方积六之五 四等面积为立方积三之一八等面积为立方积六之一 以上三者皆方斜比例灯形及八等面皆以方求斜法以边自乘倍之开方得外切立方径以径再自乘得立方积取六之五为灯六之一为八等面积四等面则以方求其半斜法以边自乘半之开方得外切立方径以径再自乘为立方积取三之一为四等面积立圆在立方内则其积为立方积二十一之十一谨按方圆比例祖率圆径一百一十三圆周三百五十五见郑世子律学新说较径七周二十二之率为宻又今推平圆居平方四百五十二分之三百五十五较十四分之十一为宻又推得立圆居立方六百七十八分之三百五十五较二十一分之十一为宻准立方比例以求各体自相比 皆以同髙同阔同为立方所容者较其积灯内容同髙之八等面 为八等面得灯积五之一又立圆内容同髙之八等面 为八等面得圆积六十六之二十一(即二十二之七) 二者皆同髙而又能相容用课分法母互乘子得之准此而知立圆内容八等面其积之比例若围与径也又立方内容十二等面其内又容八等面 又立方内容二十等面其内又容八等面 二者亦同髙而能相容同髙之四等面积为灯积五之二(即十之四四以灯面四因退位得 等面积)同髙之八等面积为四等面积二之一同髙之四等面积为立圆积十一之七此三者但以同髙同为立方所容而不能自相容若相容则不同髙凡立方之灯形内又容立方则内小立方边与径得外立方三之二体积为二十七之八面幂为九之四凡灯容立方以其边为方而求其斜为外切之立方边取方斜三之二为内立方边立方边一○○ 面幂一○○○○ 体积(一○○○○○○)灯边 ○七○七一○六 面幂○五○○ 体积(○八三三三三三)小立方边○六六六六六六 面幂○四四四四四四 体积(○二九六二九六)凡方内容圆圆内又容方则内小方之幂得大方三之一㨗法以小方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线即外切立圆之径亦即为外大方之边如图三边既等则乙丙得甲丙之半若乙丙一其幂亦一而甲丙二其幂则四以乙丙句幂一减甲丙弦幂四所余为甲乙股幂三内方之幂一而外切浑圆之幂三故其根亦如乙丙与甲乙也 或以小立方之根为句倍根为弦求其股为外切浑圆径亦同(浑圆径即外方边)若以量代算则三角形便如以大方求小方者则以大方为中垂线而作等边三角形其半边即小方根也或用大方为股而作句股形使其句为弦之半即得之㨗法句股形使甲角半于丙角则弦倍于句而句与股如小立方根与大方根或以甲角作三十度而自乙作垂线引之与甲丙弦线遇于丙则乙丙即圆所容方之根又按先有大方求小方者取大方根倍之为等边三角形之边而求其中垂线以三归之即得凡立方内容方灯灯内又容立圆圆内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其外切于立方也皆同㸃(切立)(方有六处所同者皆在其方面之最中一㸃若从此一㸃刺一针则五层悉透内惟方灯以面切面不可言㸃)(若言㸃则有十二皆切在立方边折半处)凡立方内容方灯灯内又容十二等面体体内又容圆灯灯内又容八等面凡四重在内其切于立方也皆同处(凡六处皆在立方面内方灯体以面切面十二等面以边切余皆以尖切尖切者皆每面之最中㸃)凡立方内容方灯灯内又容二十等面体体内又容圆灯灯内又容八等面同上凡立方方灯立圆十二等面二十等面圆灯内所容之八等面皆同大凡立方内容四等面体体内又容八等面其切立方皆同处(四等面以边切为立方六面之斜八等面以尖切居立方各面中心即四等面边折半处)准此而知立方内所容之八等面与四等面所容之八等面亦同大且同髙各体中所容八等面皆同大因此可知凡立圆内容十二等面体 又容立方其立方之角同十二等面之尖而切于立圆故立圆内所容之立方与十二等面内所容之立方同大凡二十等面体内容立圆 内又容立方立方之角切立圆以切二十等面之面故立圆所容之立方与二十等面内所容之立方必同大凡二十等面体内容立圆 内又容十二等面体体内又容立方此立方之角切十二等面之角以切立圆而切于二十等面之面皆同处凡诸体能相容者其相容之中间皆可容立圆此立圆为外体之内切圆亦为内体之外切圆惟八等面外切二十等面十二等面四等面及圆灯其中间难著立圆何也八等面之切圆灯以尖切尖而其切四等面十二等面二十等面则以尖切边故其中间不能容立圆其他相切之中间能容立圆者皆以内之尖切外之面凡诸体在立方内即不能外切他体惟四等面在立方内能以其角同立方之角切他体故诸体所容四等面之边皆与其所容立方之面为斜线凡诸体相容其在内之体为所容其在外之体为能容能容与所容两体之相切必皆有一定之处凡相容两体之相切或以尖或以边(即体之棱)或以面浑圆在立方内为以面切面其相切处只一㸃皆在立方每面之中央(立方六面相切凡六㸃)立方在浑圆内为以尖切面(立方之角有八故相切有八㸃)有一㸃不相切者即非正相容也浑圆在诸种体内皆与在立方内同谓其皆以面切诸体之面而切处亦皆一㸃也然其数不同如四等面则切㸃有四方灯则切㸃有六八等面则切㸃有八十二等面及圆灯则切㸃有十二二十等面则切㸃有二十其切㸃之数皆如其面之数而皆在其面之中央也方灯则以其方面为数圆灯则以其五等边之面为数而不论三角之面者何也三角之面距体心逺故不能内切立圆也诸体在浑圆内皆与立方在浑圆内同谓其皆以各体之尖切浑圆之面也其数亦各不同如四等面则切㸃亦四方灯则切㸃十二八等面则切㸃六十二等面则切㸃二十二十等面则切㸃十二圆灯则切㸃三十皆如其尖之数也四等面在立方内以边棱切立方之面四等面有六棱以切立方之六面皆徧其四尖又皆切于立方之角十二等面二十等面在立方内皆以其边棱切立方之面两种各有三十棱其切立方只有其六以立方只有六面也此三者为以楞切面八等面在立方内以尖切面凡六㸃 圆灯在立方内亦以尖切面有六㸃皆在立方面中尖与八等面同方灯在立方内则以面切面皆方面也方灯之方面六亦与立方等也其十二尖又皆切于立方之十二边楞皆在其折半处为㸃十二等面与二十等面逓相容皆以内体之尖切外体之面十二等面在八等面内以其尖切八等面之面体有二十尖只用其八也方灯在八等面内亦以面切面而皆三角面方灯之三角面有八数相等也又其尖皆切于八等面各棱之中央折半处棱有十二与灯之尖正等也圆灯在十二等面内以面切面皆五等边平面也圆灯体之五等边平面原有十二故也又皆以其尖切十二等面之边楞而皆在其中半圆灯在二十等面内亦以面切面皆三角平面也圆灯体之三角平面原有二十故也又皆以其尖切二十等面之边楞而皆在其中半问十二等面与二十等面体势不同而圆灯之尖皆能切其楞边何也曰圆灯有三十尖而两等面体皆有三十楞故也凡能容之体皆可改为所容之体递相容者亦可递改如立方容圆即可刓方为圆浑圆容方即可削圆为方递相容者如立方内容浑圆圆内又容十二等面体体内又容二十等面即可递改凡所容之体皆可补为能容之体皆以数求之如立方外切立圆以其尖角则求立方心至角之线为立圆半径凡以面切面者其情相通如方灯以其方面切立方面又能以其三角切八等边面则此三者皆方斜之比例也又如圆灯以其五等边面切十二等面又能以其三角面切二十等面则此三者皆理分中末之比例也若反用之而令立方在方灯之内则立方之尖所切者必三角面若八等面在方灯之内则其尖所切又必方面也若令十二等面在圆灯内则所切者必三角面而二十等面居圆灯内所切者又必五等边面也故曰其情相通诸体相容凡立圆立方皆可以容诸体凡立圆内容立方立方内又可容立圆两者不杂他体可以相生而不穷凡立圆内容立方此立方内又可容四等面四等面又可容立圆三者以序进亦可以不穷凡立圆内容立方又容四等面四等面在立方内以其尖切立圆与立方尖所切必同㸃凡立圆容四等面在立圆所容立方内必以其楞为立方面之斜依此斜线衡转成圆柱形必为立圆之所容而此柱形又能含立方外圆者柱之底若面内方者立方之底若面直而斜者四等面之边凡四等面体在立圆内任以一尖为顶以所对之面为㡳旋而作圆锥此锥体必为立圆之所容而不能为立方之容此两体虽非正相容体然皆有法之体凡立方内可容八等面八等面又可容立方而相与为不穷凡立方有六等面八尖八等面有八等面六尖故二者相容则所容体之尖皆切于为所容大体之面之中央而等凡立方内容立圆此立圆内仍容八等面其八等面尖切立圆之㸃即可为切立方之㸃八等面内容立圆此立圆内仍容立方则立方尖切立圆之㸃亦即可为其切八等面之㸃凡立圆可为诸等面体所容其在诸体内必以圆面一㸃切诸体之各面此一㸃皆在其各等面之中心而等而徧凡八等面内容立圆仍容立方 立方内仍容四等面而四等面以其角切立方角即可同立方角切立圆以切八等面叠串四体皆一㸃相切必在八等面各面之中心立方设一百内容二十等面边六十一(八○三三九八)内又容立圆也十三(四一七二)简法取内容立圆径幂三之一开方得内容小立方再以小立方为理分中末之全分而求其大分得内容十二等面边凡十二等面二十等面皆能为立圆之所容皆以其尖切浑圆凡十二等面二十等面皆能容立圆皆以各面之中心一㸃正与浑圆相切凡十二等面与二十等面可以互相容皆以内体之尖切外体之各面中心一㸃凡十二等面内容浑圆浑圆内又容二十等面与无浑圆者同径二十等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦与无浑圆同径何也浑圆在各体内皆以其体切于外体各面之中心㸃而此㸃即各内体切浑圆之㸃故也以上皆可以迭串相生而不穷凡十二等面内容浑圆浑圆内又容十二等面亦可以相生不穷二十等面与浑圆递相容亦同凡立方内容十二等面皆以十二等面之边正切于立方各面之正中凡六皆遥相对如十字假如上下两面所切十二等面之边横则前后两面所切之边必纵而左右两面所切之边又横若引其边为周线则六处相交皆成十字立方内容二十等面边亦同凡各体相容皆以内之尖切外之面惟立方内容四等面则以角而切角立方内容十二等面二十等面则以边而切面厯算全书卷五十七
## 卷五十八
钦定四库全书厯算全书卷五十八宣城梅文鼎撰㡬何补编卷四方灯凡灯形内可容立方立方在灯体内必以其尖角各切于八三角面之心如图灯体者立方去其八角也平分立方面之边为㸃而联为斜线则各正方面内成斜线正方依此斜线斜剖而去其角则成灯体矣此体有正方面六三角面八而边线等故亦为有法之体凡灯体内可容八等面八等面在灯体内又以其尖角各切于六方面之心凡灯体内可容立圆此立圆内仍可容八等面此八等面在立圆内可以各角切立圆之㸃同㑹于灯体之六方面而成一㸃凡灯体容立圆其内仍可容诸体然惟八等面在立圆内仍能切灯体余不能也按圆灯在立圆内亦能切灯体与八等面同凡诸体相容皆有一定比例以其外可知其内灯体之边设一百其幂一万○倍之二万开方得一百四十一(四二一三)为灯之高及其腰广(边如方面高广如斜故倍幂求之)以高一百四十一(四二一三)乘方斜之面幂二万得二百八十二万八千四百二十六为方斜之立方积立方积五因六除得二百三十五万七千○二十一为灯积灯积为立方六之五以灯积减立积余四十七万一千四百○五为内容八等面积此八等面在立积内亦在灯积内皆同腰广同高 其积之比例为立积六之一为灯积五之一此相容比例八等面与灯积不惟同高广亦且同边故五之一亦即为八等面与灯积同边之比例也灯形内容立方其边为灯体高广三之二 设灯体边一百其高广一百四十一(四二一三)则内容立方边九十四(二八○八)立方积八十三万八千○五十一灯高广自乘之幂二万如左图甲乙方去其左右各六之一余三之二如丙丁矩又去其两端六之一余三之二如戊正方丙丁矩一万三千三百三十三(三三)戊正方八千八百八十八(八八)为内容正方之一面幂其根九十四(二八○八)以根乘面得八十三万八千○五十一凡等边平三角之心依边剖之皆近大边三之一灯内容立方之八角皆切于平三角之心灯改立方则所去者皆四围斜面三之一于前形为六之一四围皆六之一合之为三之一而所存必三之二矣凡立方体各自其边之中半斜剖之得三角锥八此八者合之即同八等面体依前算八等面体其边如方其中高如方之斜若以斜径为立方则中含八等面体而其体积之比例为六与一何以言之如己心辛为八等面之中高庚心戊为八等面之腰广己庚己戊戊辛辛庚则八等面之边也若以庚心戊腰广自乗为甲乙丙丁平面又以己辛心中高乗之为甲乙丙丁立方(立方一面之形与平面等)则八等面之角俱正切于立方各面之正中而为立方内容八等面体矣夫己心辛庚心戊皆八等面(己庚等面)为方之斜也故曰以其斜径为立方则中含八等面体也又用前图甲乙丙丁为立方之上下平面从己庚庚辛辛戊戊己四线剖至底则所存为立方之半而其所剖三角柱体四合之亦为立方之半也此方柱也其高之度如其方之斜立方之四隅各去一立三角柱则成此体 其积为立方之半为八等面之三倍其中仍容一八等面体八等面体在方柱体内柱形从对角斜线(如己辛戊庚)剖至底又从对边十字线(如丑尾卯)(箕)剖至底又从腰线(角申亢)横截则剖为三角柱一十六(即皆)(如心辛申未丑之体)三角柱眠视之则堑堵也堑堵从一尖(即心尖)斜剖至对底(未申)则鼈臑也鼈臑居堑堵三之一堑堵立则为三角柱鼈臑立则为三角锥八等面体从尖心剖至对角亦剖至对边而皆至底(子)又从腰(角申亢)横剖之则成三角锥十六夫方柱为堑堵十六而八等面为鼈臑亦十六则堑堵鼈臑之比例即方柱八等面之比例矣鼈臑为堑堵三之一则八等面亦方柱三之一矣方柱者立方之半也八等面既为方柱三之一不得不为立方六之一矣立方内容灯体甲庚立方体六面各平分其边(如壬丑癸卯及子未酉午辰诸㸃)而斜剖其八角(如从丑癸剖至子从从癸卯剖至酉从酉)(剖至午未则立方去其八角)成灯体灯体立方六之五何以知之立方所去之八角合之即成八等面八等面既为立方六之一则所存灯体不得不为立方六之五矣凡立方内容灯体皆以灯之边线为立方之半斜立方内之灯体又容八等面则以内八等面之边线为立方之半斜与立方竟容八等面无异推此灯内容八等面其边线必等其中径亦等剖立方之角成此以剖处为底则三边等以立方之角丁为顶成三角扁锥扁锥立起则成偏顶锥为八等面分体凡八等面容灯体皆以灯体之边线得八等面之半八等面内之灯体又容立方则亦方斜比例与八等面竟容立方无异也甲丙丁丙丁乙甲丁戊戊丁乙皆八等面之一己子卯等小三角在甲丁丙等大三角面内即灯体之八斜面正切于八等面者也其中央心㸃即内容立方角所切等径之比例立方径一 其边一 其积一 一○○○○○○内容灯径一 其边○七 其积六之五○八三三三○○内容八等面径一 其边○七 其积六之一○一六六六○○凡立方内容灯体灯内又容立圆圆内又容八等面其切于立方之面之中央凡六处皆同一㸃若立圆内容灯体灯内又容立方方内又容八等面其相切俱隔逺不能同在一㸃凡灯体皆可依楞横剖如方灯横剖成六等边面故其外切立圆之半径与边等 如圆灯横剖成十等边面故其外切立圆之半径与其边若理分中末之全分与其大分凡诸体改为灯皆半其边作斜线剖之凡灯体可补为诸体皆依其同类之面之边引之而㑹于不同类之面之中央成不同类之锥体乃虚锥也虚者盈之即成原体所以化异类为同体也如方灯依四等边引之补其八隅成八尖即成立方若依三等边引之补其六隅成六尖即成八等面如圆灯依五等边引之补其二十隅成二十尖即成十二等面若依三等边引之补其十二隅成十二尖即成二十等面増异类之面成锥则改为同类之面而异类之面隐此化异为同之道也凡灯体之尖皆以两线交加而成故棱之数皆倍于尖(方灯十二尖二十四棱圆灯三十尖六十棱)凡灯体之棱(即边)皆可以联为等边平面圏 如方灯二十四棱联之则成四圏每圏皆六等边如六十度分圆线 圆灯六十楞联之则成六圏每圏皆十等边如三十六度分圆线 此外惟八等边联之成三圏每圏四楞成四等面而十二棱成六尖有三棱八觚之正法其余四等面十二等面二十等面皆不能以边正相联为圏灯体亦有二其一为立方及八等面所变其体有正方之面六三角之面八有边棱二十四而皆同长棱尖凡十有二其一为十二等面二十等面所变其体有五等边之面十二有三角等边之面二十有边楞六十而皆同长棱尖凡三十立方及八等面所变是刓方就圆终𢃄方势谓之方灯十二等面及二十等面所变是削圆就方终带圆体谓之圆灯方灯为立方及八等面所变其状并同而比例同甲乙立方体丙丁戊己庚辛壬癸子皆其边折半处各于折半㸃联为斜线(如丙戊丙己等)依此灯体斜线剖而去其角则成灯形矣灯形之丁辛高丙丁濶皆与立方同径 其边得立方之半斜(假如立方边丁辛一百则灯体边丁壬七十有竒)其积得立方六之五(假如立方边一百其积百万则灯体边七十有竒其积八十三万三千三百三十三三三)此为立方内容灯体之比例也若灯与立方同边必反小于灯(假如)(灯体边亦一百则其积二百三十五万七千○二十一而立方一百之积只一百万是反小于灯也)解曰灯体边一百(如前图之丁壬)其外切立方必径一百四十一(四二一三如前图之丁辛)其自乘之幂二万以径乘幂得二百八十二万八四二六为立方积再五因六除得灯积二百三十五万七千○二十一又法以灯边自乘倍之开方得根仍以根乘倍幂再五因六除见积亦同甲乙为八等面体 甲乙丙丁戊皆其边棱所辏之尖甲丙丁面三边皆等其三边折半于辛于庚于己甲丁戊面其边折半于辛于壬于癸乙丙丁面其边折半于寅于己于丑乙丁戊面其边折半于丑于癸于子各以折半㸃联为斜线则各成小三等面如甲丙丁面内又成庚辛己三等边面其边皆半于原边如庚辛得丁丙之半余三边同各自其小三角之面之边剖之而去其锥角则成灯形矣如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角(以丁)(角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同)则所剖处成辛巳丑癸平方面(去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推)八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同灯形之高濶皆得八等面之半如辛丑高得甲乙之半己癸濶得丙戊之半其边亦为八等面原边之半其积得八等面八之五何以知之曰同类之体积以其边上立方积为比例故边得二之一其积必八之一也今所剖去之各尖俱以平方为底而成方锥两方锥合为一八等面体皆等面等边与原体为同类而其边正得原边二之一则其积为八之一也 原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一 丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一 通共剖去同类之形三假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五 以八等面积五因八归之见积或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同右法乃八等面内容灯体比例也若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之 此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一灯体内容八等面 五之一 (用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一)八等面内容灯体 八之五 (得八乘母数五得四十)外灯体四十 八等面体八 内灯体五 合之为内体得外体四十之五约为八之一又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一 其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八以三之二自乘再乘为三加之比例也六 之 五 一百三十五二十七之八 四十八准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八 若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体三角锥棱皆五十即原边之半(甲乙甲丙甲丁) 底之边皆七十○(七一○七)即灯体之边(丙乙乙丁丁丙)其半三十五(三五五三乙戊戊丁)求甲戊斜垂线法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五(三五五三)其幂皆一千二百五十求丙戊中长线以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一(二三七二)为丙丁乙等边三角形中长线求甲己中高线法以戊丁幂(一千二百五十)取三之一为己戊幂(四百一十六六六六六)与甲戊幂(即丁戊幂)相减余(八百三十三三三三三)为甲己中高幂开方得甲己中高二十八(八六七五)又以己戊幂开方得己戊二十○(四一二四)以己戊(二十○四一二)(四)乘戌丁(三十五三五五三)得(七百二十一六八六五)又三因之得(二千一百)(六十四○五七五)为乙丙丁三等边幂又以中高甲己(二十八八六七五)乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三(六六三五)又八乘之得一十六万六千五百八十七(三○)为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合(本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠)(然不过万分之一耳)圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面 依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同如图十二等面每面五边等今自其各边之半联为斜线则成小平面于内亦五等边为同类依此斜线剖之而去其角所去者皆成三角锥锥体既去即成三等面为异类原有十二面故所存小平面同类者亦有十二原有二十尖故所剖锥体而成异类之面者亦二十求灯体边法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边一率 理分中末之大分 六十一(八○三三九八)二率 理分中末全分之半 五十○三率 十二等面之边 一百○○四率 内容灯体之边 八十○(九○一七)灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣总乘较为实戊丙底为法法除实得丙辛以丙辛减戊丙得戊辛折半为戊己法当以所得戊己自乘为句幂用减甲戊幂余为甲己幂开方得一十七(八四一一)为中高今改用捷法(省求丙辛)取戊丙幂九之一为戊己幂(戊己为戊内三之一)(故其幂为九之一)得五百四十五(四二)或径用戊丁幂三之一亦同又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁(即甲丙或甲乙)幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力戊丁幂 一千六百三十六(二七一二)三之一 五百四十五(四二三七)并得 二千一百八十七(六九四九)甲丁(即甲丙幂)二千五百○○相减余(甲乙幂) 三百一十八(三○五一) 与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式订定三角锥法(圆灯所去)用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂甲丁(甲乙甲丙)皆设五十丙丁(丁乙乙丙)皆八十○(九○一七)其半(戊丁戊乙)四十○(四五○八半)丙戊七十○(○六二九)为底之垂线甲己一十七(八四一一)为中高丙乙丁底幂二千八百三十四(一○三八)法以半边(戊丁)乘中长(丙戊)得底幂(丙乙丁) 以中高(甲己)乘底幂(丙乙丁)得三角柱积五万○五百六十三(五二九三) 三除之得锥积一万六千八百五十四(五○九七) 又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○(一九四○)十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五 内容灯体边八十○(九○一七)依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体二十等面边设一百则灯体之边五十捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积一 灯体边八十○(九○一七)之立方五十二万九千○百○八(五)二 灯体积七百三十四万五千一百二十五三 灯体边五十之立方一十二万五千四 灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯边设三十○(九○一七即理分中末之大分乙丁)外切立圆半径五十(即理分中末之全分丁中乙中)外切立圆全径一百(即外切立方)体积四十○万三千三百四十九内有三角锥计二十共计一十二万八千七百五十二五棱锥计十二共积二十七万四千五百九十六丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一 乙丁丙三等边面巳为平面心 中为体心 中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱 戊中为斜垂线乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一 乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心 中庚为分体中高 其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明先算三角锥(共二十)半边一十五(四五○八五)戊丁幂二百三十八(七二八七)平面容圆半径(即戊巳)○八(九一○五)其幂七十九(五七六二用捷法取)(戊丁幂以三除得之)平面积(乙丙丁面)四百一十三(四八七九)中高(即己中)四十六(七○七五本法以戊丁幂减丁中幂为戊中幂又以戊丁幂三之一当戊)(己幂减之为巳中幂今径以戊丁幂加三之一减丁中幂为己中是捷法也)三角锥积六千四百三十七(六六二○)二十锥共积一十二万八千七百五十三(三四)次算五棱锥(共十二)半边一十五(四五○八五戊丁)半周七十七(二五四二五用半边五因得之)平面容圆半径二十一(二六六三戊庚)五等边平积一千六百四十二(九一二○)中高四十一(七八五三庚中)五棱锥积二万一千九百六十二(六六)十二锥共积二十七万四千五百九十六求戊庚半径一率 三十六度切线 ○七二六五四二率 全数 一○○○○○三率 半边戊丁 一十五(四五八五)四率 平面容圆半径(戊庚)二十一(二六六二)戊丁句幂二百三十八(七二八七)丁中弦幂二千五百○○戊中股幂二千二百六十一(二七一三)戊庚句幂四百五十二(二五五五)戊中弦幂二千二百六十一(二七一三)庚中股幂一千八百○九(○一五八)戊丁半边幂四因之为全边三十○(九○一七)之幂一 灯体边五十之立方一十二万五千二 灯体边五十之体积一百七十三万三千九百四十八三 灯体边三十○(九○一七)之立方二万九千五百○八四 灯体边三十○(九○一七)之体积四十○万九千三百二十九与细推者只差五千九百八十为八十分之一柱积六万八千六百四十九锥积二万二千八百八十三十二锥共积二十七万四千五百九十六孔林宗附记方灯可名为二十四等边体 圆灯可名为六十等边体四等面体又可变为十八等边体为六边之面四为三边之面四凡十二角又可变为二十四等面体面皆三边凸边二十四凹边十二十字之交六凡八角如蒺藜形六等面体又可变三十六等边体为八边之面六为三边之面八凡二十四角八等面体亦可变三十六等边体为六边之面八为四边之面六凡二十四角又可变四十八等边体为四边之面十八为三边之面八凡二十四角大圆容小圆法 平浑甲大圆内容乙戊丙三小圆法以小圆径(如乙戊戊丙)为边作等边三角形而求其心如丁乃于丁戊(三角形自心至角线)加戊甲(小图半径)为大圆半径(丁甲)凡平圆内容三平圆四平圆五平圆六平圆皆以小圆自相扶立 若平圆内容七平圆以上皆中有稍大圆夹之甲大浑圆内容丙戊乙己四小浑圆法以小浑圆径(如乙戊戊)(巳等)为边作四等面体而求其体心如丁 次求体心至角线(如丁戊丁己丁乙丁丙又为外切立圆半径)加小浑圆半径(即戊甲)为大圆半径(如丁甲)凡浑圆内容四浑圆或容六浑圆或容八浑圆十二浑圆皆直以小浑圆自相扶 若浑圆内二十浑圆则中多余空必内有稍大浑圆夹之甲大平圆内容乙戊丙己四小平圆法以小圆径(如乙戊等)为边作平方(如乙戊丙己方)而求其斜(如丁乙即方心至小圆心线)加小圆半径(如乙甲)为大圆半径(如丁甲)若先有大圆(甲)而求所容小圆则以三率之比例求之一率 方斜并数 二四一四二率 方根 一○○三率 所设之浑圆半径 丁甲四率 所容之小圆半径 乙甲推此而知五等边形于其锐角为心半其边为界作小圆而以五等边之心至角如半边以为半径而作大圆则大圆容五小圆俱如上法若六等边于其锐作小圆仍可于其心作圆共七小圆何也六等面之边与半径等也其法只以小圆径(即六等边)二分加一为大圆半径甲大浑圆内容乙丙等六小浑圆法以小浑圆之径为边作八等面虚体如乙己丙辛戊皆小立圆之心联为线则成八觚 乃求八等面心(丁)至角之度(如丁乙等)加小圆半径(如甲乙)为大浑圆半径(如甲丁)捷法以小浑圆径为方(即乙己丙)(辛平方)求其斜(如丁乙)加小圆半径(如甲乙)为大圆半径或以小浑圆径自乘而倍之开方得根加小圆半径为大圆半径亦同或先得大圆而求小圆径则用比例一率 方斜并 二四一四二率 方根 一○○三率 所设大浑圆之径四率 内容六小浑圆之径甲浑圆内容乙丙戊已庚壬辛及癸丑子寅卯十二小圆法以小立圆径(如乙丙等)作二十等面虚体之棱(如乙丙等俱小圆之心联)(为线则成二十等面之棱)次求体心(丁)至角(即小圆心)之线(如乙丁)加小圆半径(如甲乙)为大圆半径(如甲丁)按体心至角线即二十等面外切圆半径二十等面之例边一百(即小浑圆)(例径)外切浑圆例径二百八十八二十等面边一百者其外切浑圆径一百八十八奇又加小浑例径得此数若先有大浑圆而求所容之十二小浑圆则以二率为一率四率为三率一 外切浑圆之例径二百八十八(一三五五)二 二十等面之例边一百(即小浑圆例径)三 设浑圆之全径一百四 内容十二小浑圆之径三十八(六九四八) (其比例如全分与小分)甲庚大平圆内容七小圆法以甲庚圆径取三之一(如丁)(乙庚辛等)为小圆径若容八圆以上则其数变矣假如以七小圆均布于大圆周之内而切于边则中心一小圆必大于七小圆而后能相切(以上倣此)甲大浑圆内容八小立圆法以小圆径作立方(如乙庚方)求其立方心至角数(即外切浑圆半径如)(乙丁)再加小圆半径(如甲乙)为大浑圆半径(如甲丁)按八小员半径十(甲乙)则其全径二十内斜线(乙丁)十七加(甲乙)共二十七内减小圆径二十余七倍之得十四是比小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小圆在内乎又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之内而为所容又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容 四等面有四尖可作四小圆又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立圆以切大浑圆内有稍大浑圆夹之圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑圆径为所作虚体边如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径浑圆内容各种有法之体以查曲线弧面之细分公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆之面凡浑圆面与内容有法体之尖相切成㸃皆可以八线知其弧度所当内惟八等面皆以弧线十字相交为正角余皆锐角其十二等面则钝角十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三角形五则辏心之角皆七十二度半之三十六度即甲心乙角其余心乙甲角必五十四度倍之为甲乙丁角则百○八度故为钝角凡浑圆面切㸃依内切各面之界联为曲线以得所分浑体之弧面皆如其内切体等面之数之形如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四边弧形凡浑圆面上以内切两㸃联为线皆可以八线知其几何长其法以各体心到角之线命为浑圆半径以此半径求其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两㸃所当之度即知两㸃间曲线之长凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂积假如四等面外切浑圆依切㸃聨为曲线分浑圆面为四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以浑幂分为四即与浑圆中剖之平圆等幂矣推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平圆三之二八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分幂假如四等面所分为浑圆幂四之一而作三角弧面若中分其边而㑹于中心则一又剖为三为浑圆幂十二之一与十二等面所分正等但十二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如方胜而边不等若自各角中㑹于心成三边形其幂亦不等也再剖则一剖为六为浑圆面幂二十四之一(皆得十二等面所剖)(之半而边不等)若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等又非直角假如八等面所剖为浑幂八之一若一剖为二则十六之一剖为四则三十二之一可以剖为六十四至四千九十六 若以三剖则浑幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒㣲剖之可至无穷惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两弦㑹于极其形皆相似故剖之可以不穷又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆以平径为两弦以㑹于平圆之心则其幂为平圆四之一若浑体四面以腰围九十度为底两端各以曲线为两弦以㑹于浑圆之极则其幂为平圆二之一矣假如六等面(即立方)在浑圆内剖浑幂为六得浑幂六之一若一剖为二则与十二等面所剖等剖为四则二十四之一再剖则一为八而得四十八之一假如十二等面剖浑幂为十二各得浑幂十二之一若剖一为五则得六十之一再剖一为十则得百二十之一而与八等面所剖为十五之一假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必等也凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即分球体为若干分如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成三角锥其锥积亦为球体四之一推之尽然㡬何补编(补遗)平三角六边形之比例平三角等边形甲丁丙三边等形其边(丁甲)折半(丁乙)自乘而三之即为对角中长线幂开方得中长线丙乙既得中长线丙乙以乘丁乙半边即等边三角形积 若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积㨗法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积 或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也 又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六(理同前条)解曰甲戊庚丁为平方形丁丙甲为等边三角形其边同为甲丁题言丁甲线上所作三等边形与所作正方形其积之比例若平积三与十六之平方根也(即一七竒与四○)㨗法于分面线上取三点为等边三角形积其十六点即正方积 若以边问积则以边之方幂数于分面线之十六点为句置尺取三点之句即得三等边积其设数得数并于平分线取之(此用比例尺算)又法作癸卯辰半员辰癸为径于径上匀分十七分而尽一端取其四分如丑癸(丑癸为辰癸十七分之四则丑子为辰子十六分之三)折半于丁以丁为心丁癸为半径作癸壬丑小半员又以丁癸折半于子作卯子直线(与辰癸径为十字埀线)割小员于壬则壬子与卯子之比例即三等边幂与正方幂积比例用法有三等边形求积法以甲丁边上方形(即庚甲)积作卯子直线如句四倍之作横线如辰子为股次引横线取子癸为卯子四之一又取丁子如癸子次以丁癸为半径丁为心作半员截卯子于壬即得壬子为三等边积㨗法不作辰子线但于子作半十字线如癸丁次于子点左右取癸取丁各为卯子四之一乃任以丁为心癸为界作割员分即割卯子于壬而为三等边形之积论曰此借用开平方法也平方求根有算法有量法此所用者量法也量法有二其一以两方之边当句当股而求其弦是为并方法也其一用半员取中比例此所用者中比例也(详比例规觧)附三等边求容圆法曰以原边之幂十二除之为实平方开之得容圆半径解曰原边幂十二之一即半边三之一也附三等边形求外切圆法曰以原边之幂三除之为实平方开之得外切圆半径 一法倍容圆半径即外切圆半径新増求六等边法法曰六等边形者三等边之六倍也(以同边者言) 用前法得三等边积六因之即六等边积依前法边上方幂与三等边形幂若四○与一七竒因显边上方幂与六等边形幂若四○与十○二竒(亦若一○)(○与二五五)今有六等边形问积 法以六等边形之一边自乘得数再以二五五乘之降两位见积解曰置四○与一○二各以四除之则为一○○与二五五之比例也若问员内容六等边形者即用员半径上方幂为实以二五五为法乘之得数降二位见积亦同(降二位者一○○除也)依显平员积与其内容六等边形积之比例若三一四与二五五论曰六等边形之边与外切员形之半径同大故以半径代边其比例等(半径上方与六等边)(形亦若一与二五五)然则员全径上方形与内容六等边形必若四○○与二五五(全径上方原为半径上方)(之四倍)而员面幂积与六等边形积亦必若三一四与二五五矣(员径上方与员幂原若四○○与三一四故也)用尺算 用平分线 求同根之幂平方幂 四○○ 八十○ (皆倍而退位之数)平员幂 三一四 约为六十三弱(实六二八)六等边幂 二五五 五十一三等边幂 一七○ 三十四右皆方内容员员内又容六角之比例其六等边与员同径乃对角之径也于六等边之边则为倍数三等边则只用边若六等边形亦即用边与平方平员之全径相比则如后法平方 四○○ 平方 一○○○○平员 三一四 平员 七八五四六角 一○二○ 六角 二五五○○三角 一七○ 三角 四二五○论曰以平方平员之径六角三角之边并设二○则为平方四○○之比例若设一○○则如下方平方一○○○○之比例也量体细法四等面体求积法曰以原边之幂三除之得数以乘边幂得数副寘之又置边幂二十四除之得数以乘副平方开之即四等面积也又法置半边幂三除之得数以乗半边幂得数副寘之又以六为法除半边幂得数为实平方开之即四等面积四分之一也(即三角扁锥)算二十等面二十等面之棱线甲丁设一百七十八(原设一百一十因欲使外切立)(方与十二等面同故改此数) 心乙一百四十四(即原切十等边之半径又为外切立)(方之半径) 外切立方径二百八十八求中心为分体之高 法先求乙中(乃各棱折半处至三角面中央一点之距)依㡬何补编半甲丁得八十九为甲乙自乘(七千九百二十一)取三之一(得二千六百四十又三之一)为乙中句幂又以心乙(一四四)自乘(二○七三六)为弦幂相减余(一万八千○九十五又三之二)为股幂开方得心中一百三十四半强为分体锐尖之高倍之得二百七十九半弱为内容立员径求甲心为分体斜棱 法以甲乙为句其幂(七九二一)以乙心为股其幂(二○七三六)并之(二八六五七)为弦幂开方得甲心一百六十九二为分体自角至锐之斜棱 倍之三百三十八半弱为外切浑员之径或取理分中末线之大分(如心乙)为股小分(如甲乙或丁乙)为句取其弦(甲心或丁心)为二十等面自角至心之楞线合之成甲心丁形即二十等面分形之斜立面也甲丁则原形之楞也如(甲心丁)之面三皆以心角为宗以甲心等弦合之(三面皆有此弦)则甲丁等底(三底)(并同甲丁)以尖相遇而成三等边之面即二十等面之一面也以此为底则成三角尖锥矣 尖锥之立三角面皆等皆稍小于底解曰乙戊与甲乙等而甲心与戊心(即乙心)不等如弦与股(乙戊即十等边之一边乃二十等面横切之面之边)今欲求心中正立线中即二十等面一面之中自此至心成心中线则其正高也法先求甲中为句取其幂以减甲心弦幂即心中股幂开方得心中简法取乙甲(即原楞之半又即小分)自幂三之一以减乙心(即大分又)(即原楞均半处至形心即斜立面中线)之幂即心中幂又解曰原以甲乙半楞(又即二十等面中剖所成之楞即十等边之一边故为小分)为句(在形内为小分乃乙戊也今形外之甲乙与甲乙同大故亦为小分)乙心(即二十等面中切成)(十等边自角至心之弦故为大分又即为二十尖锥各立面三角形之中长线)为股则甲心为弦(自各角至体心之线)而甲心弦幂内有乙心股甲乙句两幂今求心中之高则又以甲中为句自各角至各面心也而仍以甲心为弦弦幂内减甲中句幂则其余心中股幂也 依㡬何补编甲乙幂三分加一为甲中幂故但于乙心幂内减去甲乙幂三分之一即成心中股幂又解曰若以乙心为弦则中乙为句而心中为股依补编中乙幂为甲乙幂三分之一故直取去甲乙幂三之一为句幂以减心乙弦幂即得心中股幂开方得心中此法尤㨗作法 以二十等面之楞(如甲丁)折半(如甲乙或丁乙亦即甲戊)为理分中末之小分求其大分(如乙心即二十等面各楞线当中一点至心之线亦即外)(切立方之半径) 再以大分为股(乙心)小分为句(甲乙亦即甲戊亦即戊乙)取其弦(甲心即二十等面自各角至心之线谓之角半径亦即切员半径) 再以原楞(甲丁)为底切员半径为两弦(甲心及丁心)成两等边之三角形即二十等面体自各角依各楞线切至体心而成立锥体之一面三面尽如是则成三角立锥矣 如是作立锥形二十聚之成二十等面体立锥体之中高线(心中)以乘三体面之幂而三除之得各锥积二十乘锥积得立积 其中高线(心中)即内容立员之半径立方内容二十等面体其根之比例若全分与大分立方内容十二等面体其根之比例若全分与小分二十等面体之分体并三楞锥以元体之面为底原体之楞(甲丁)折半(甲乙)为小分为句取其大分(心乙)为股句股求弦得自角至心为外切员之半径(心甲)假如(甲丁)原楞一百一十半之得甲乙半楞五十五自乘(三千○二十五)为句幂其大分乙心(即外切立方半径)八十九自乘(七千)(九百二十一)为股幂并二幂(一万○九)(百四十六)平方开之得弦(一○四又六二)(不尽约为一○四半强)为角至体心之线(心甲)即外切立员之半径算二十等面之楞于浑天度得㡬何分法以心甲为浑天半径甲乙为正弦法为心甲与甲乙若半径与甲心乙角之正弦查正弦表得度倍之为丁甲通弦所当之度算十二等面五等边面为十二等面之一 面有五边在体之面则为五楞锥其一楞设一百一十(甲丙)半之五十五(乙丙)以甲丙为小分求其大分得一百七十八丙戊也(即丙丁壬丁壬戊丁)(角为丙中甲角之半与平圆十等边之一面等)半之八十九已丙也(即乙辛以丙巳乙为)(两腰等形辛巳乙亦两腰等形故辛乙与巳丙等丙巳分乙乙形与元形丙戊甲形相似巳角即戊角而乙丙为小)(巳或辛乙为大分)为内作小五等边之一边(乙辛)亦即十二等面从腰围平切之十等边面也又以乙辛为小分求得大分一百四十四心乙也(分图辛心)(乙形即前图辛心乙形乙辛为心壬之小分心乙为大分乙心线即五等面一边折半处至体心之距丙㸃即)(五等面边两楞相凑之角丙辛形乙丙辛虚线形即前图乙)为甲丙半楞(乙丙)之全分何则前图之丙巳乙形乙丙为小分丙巳为大分试于辛乙心形内(分图)作庚辛乙形与丙巳乙形等(庚乙即乙丙五等面一边之半乙辛庚辛)(即丙巳乙巳为小五边形之一边)则乙庚为小分乙辛为大分(心庚同)今又以乙辛为小分求其大分壬癸而壬癸即心乙也(乙癸同)夫心乙乃庚乙(小分)辛乙(大分即心庚)之并则乙心为庚乙之全分矣其比例心乙与心庚若心庚与庚乙而乙心即外切立圆半径也右法杨作枚补今求心中线为五等边最中一㸃(中)至体心(心)之距亦即内容浑员半径先求乙中线为五等边各楞折半处至最中之距 法为甲乙比乙中若半径与五十四度之切线一 半径 一○○○○○二 乙甲中角(五十四度)切线一三七六三八三 半楞甲乙 五十五四 中乙 七十五(七○)用句股法以心乙(一百四十四)为弦中乙(七十五七)为句句弦各自乘相减得心中股幂平方开之得中高线(心中为容员半径)求得容员半径一百二十二半弱(心中)又求甲心线为各角至体心之距(即外切浑员半径) 用句股法以甲乙(五五)为句心乙(一四四)为股并句股幂求甲心弦求得外切圆半径一百五十四强(甲心)十二等面根一一○(甲丙)外切立员半径一四四(心乙)全径二八八○内容浑员半径一二二半(心中)全径二四五(弱)外切浑员半径一五四(甲心)全径三○八(强)十二等面之分体并五楞锥并以五等边面为底原体之楞甲丙设一百一十半之乙甲五十五为小分求其全分乙心一百四十四(即外切立方半径)乙甲(五十五)自乘(三千○二十五)为句幂心乙(一百四十四)自乘(二万○七百三十六)为股幂并之得(二万三千七百六十一)平方开之得弦(一百五十四强)为自角至心之线甲心即外切员半径作法 以五等面之一边为底楞(甲丙)以外切员半径(角至心之)(线)为两弦之楞(甲心及丙心)而㑹于心五边悉同则为十二分体之一如是十二枚则成十二等面体变体数求浑圆积设浑圆径一○○○自乘得一○○○○○○又十一(古法)乘之得一一○○○○○○为实十四除之得○七八五七一四为平圆面幂或用旧径七围念二之比例亦得圆面七八五七一四以四因之得浑圆之幂三一四二八五六置浑圆之幂以半径五○○因之得一五七一四二八○○○是为以浑圆面幂为底半径为高之圆柱形积置圆柱形积以三为法除之得五二三八○九三三三是为以浑圆面幂为底半径为高之圆角形积亦即浑圆之积浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公积立方置公积即浑圆积(五二三八○九三三三)立方开之得立方根八○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方方锥置公积(五二三八○九三三三)以三因之得数立方开之得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑圆等积之方锥方锥圆柱置公积(同上)十四因之十一除之为实立方开之得高濶相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之积之圆柱(圆柱)圆锥置公积(同前)以三因之(变圆锥形积为圆柱积)再以十四因之十一除之为实(变圆柱积为立方积)立方开之得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥 或置积以四十二因之十一除之立方开之亦同(圆锥)按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其余三形皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆长濶相等而不为浑圆立方者耳夫不为浑图立方而仍可以法求者以其长濶相等则仍为有法之形也然而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误耶或其所用非径七围二十二之率耶俟攷浑圆以径求积置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之见积解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一 径自乗则为平方形以十一乗十四除则平方变为平圆矣以平圆为㡳半径乗之成圆柱形再以三归之成圆角形(即圆锥)浑圆面幂为㡳半径为髙之角形四倍大于此圆角形故又四因之即成浑积也㨗法 径自乗以乗半径乃以四十四因四十二除见积 或径上立方形二十二因四十二除或用半数十一因二十二除见积并同浑圆以积求径置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方开之得圆径解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为髙全径之平圆为㡳今以十四乗十一除则变为全径之平方为㡳半径为髙矣故加一倍即成全径之立方㨗法 积倍之以四十二因四十四除立方开之得圆径 或用本积以八十四乗四十四除立方开之 或用半数以四十二乘二十二除立方开之 或又折半以二十一乗乗十一除立方开之得积并同按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似尚有盈朒然所差在㣲忽之间而已吾及锡山杨昆生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十二之率则其所得圆积亦必小于古率矣杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五约法立方与立圆之比例若二十一与十一 平圆与外方若十一与十四 平圆与内方若十一与七圆内容方之余(即四小弧矢形)若七与四圆外余方(即四角减弧矢)若十一与三准此则余圆(即小弧矢)与余方若四与三而小弧矢与其所减之余方角若一与七五亦若四与三也厯算全书卷五十八
## 少广拾遗序
少广拾遗序
少广为九章之一其开平方法为薄海内外测量家所需非隶首不能作也平方而外有立方以为凿筑土方之用课工作者犹能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣尝见九章比类厯宗算会算法统宗俱载有开方作法本原之图而仅及五乗竝无算例同文算指稍变其图具七乗方算法而不适于用诠释不无譌误西镜录演其图为十乗方而举数仅详平立三乗一式而已余皆未及康熙壬申余在都门有友人传逺问属询四乗方十乗方法葢诸乗方法独此二端不可以借用他法而问者及之窃喜朋侪中固自有留心学问之人遂稍取古图䌷绎发其指趣为作十二乗方算例颇觉详明然后知今日所用开平方法廼算数家径捷之用而不及古图之简括精深也宣城梅文鼎
## 卷五十九
钦定四库全书厯算全书卷五十九宣城梅文鼎撰少广拾遗开方求亷率作法本原图自开平方至开八乗方古图附说图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无乘除之可言而数从此起也次并列(一一)者方邉也西法谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即有平幂故第三层 者幂积也西法谓之面即一百二十一也左一百为初商自乗之幂即大方积也右单一为次商自乗之幂即隅积也小平方也中二十则两亷积也并长方也如图大小两方幂以一角相聫必得两亷以辅之而其方始全故平方亷积二也第四层 者立方积也西法谓之体积即一千三百三十一也左一千初商再乗之积大立方也右单一为次商再乗之积隅积也小立方也中三百三十皆亷积也三百为三平亷积扁立方也三十为三长亷积长立方也如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角必得三平亷之扁立方体补于大立方之三面又有三长亷之长立方体补于小立方之三面及三平亷之隙而方体始全故立方之亷积有二等而其数各三也第五层 者三乘方也即一万四千六百四十一也左一万者大三乗方也初商方积也右单一者小三乗方也次商隅积也大方积既以三乗之故而积升至万小隅虽三乘仍单一也其相隔已三位故必有第一亷(旧名)(方法)为千数第二亷(旧名上亷)为百数第三亷(旧名下亷)为十数以补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以上不可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者焉以其相生之序言之则皆加一筭法也初商次商如十与一而其幂则如百与一故于(一一)之下各加(一一)即成如十一之自乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成 即三乗方率四乗以上凖此加之皆加一法也曰若是则诸乗方皆以十一逓乗而得非十一者何以处之曰根非十一而其理皆如十与一何则凡増一乗积升一等而亦増一亷亷与亷之积亦皆如十与一也幂(音觅周礼幂人掌共巾幂说文覆也开平方四邉俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文)(故谓之幂亦谓之面)幂(同上省文也见张参五经文字算书或小写作□)亷率立成附说凡开方一位除尽者无亷隅也亷隅皆生于次商次商之根必小于初商一等而其小隅之体𫝑必与初商之大方同状(如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方)此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法则不然每増一乗则亷増一等(如平方但有亷立方则有平亷长亷三乗方则有三种亷四乘方则有四种亷其亷之等)(并与其乘数同増)而亷亦加多(如平方只二亷立方则平亷长亷各三三乗方则三种亷共有)(十四乗以上则更増而多如图所列)此亷率所由立也问亷既有等(如平方亷为十立方亷为十为百之类)而今亷率只作单数用何也曰此亷之数也非亷之积也亷积有等则既于其次序分之矣挨次乗之其等自见(如第一亷必小于初商大方一等第)(二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是)若同一等中应各有若干亷必先知之而后可用故立成中所列皆单数问古图以右为隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自右而左便于取用故也(亷法相生之序左右同数如立方平亷三长亷亦三也三乗方)(第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷则其近小隅亦有若干亷故左右并同可以左为初商大方右)(为小隅亦可以右为大方而左为小隅此亦见古图之妙也)问旧有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰开方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方与隅之间次商初商相乗而得者皆亷也旧以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四为序较画一耳问平方之亷皆平幂也立方之平亷长亷皆体积也不知三乗方以上之亷积亦能与方隅并状乎曰凡诸乗方之亷积无不与方隅之乗数等也试以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗积而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根数而又以次商之立积乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗积也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗积也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂积也又以乗次商再乗积其第四㢘有五皆初商根也又以乗次商之三乗积皆四乗也五乗方以上俱如是观后算例自明诸乗方根同而积不同本易知也惟根之一者积同为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三乗以上诸乗方之一虽曰积同为一其实不同也今以方根之为单一为一十为一百者为例如右因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无次商者去尾○用之则方根只为单数多(如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根)近小隅者次商乗之遍数多(如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立)(积)各乗方皆如是开诸乗方大法诸乗方法惟平方为用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至于多乗而通为一法是为大法(诸乗方大)(法可以开平方而平方専法不可以开诸乗方)总法 凡诸乗方皆先列实 次作㸃分段 次查表以定初商 次求亷隅以定续商列实之法 依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存其位作㸃分段之法 皆于原积末位单数作一㸃起(凡减隅积)(必至单位故分段之法以此为宗同文算指但言起末位殊混)依各乗方宜以若干位为一段即隔若干位㸃之(或作实㸃丶或作虚㸃□俱可然虚㸃尤便以减商积时有借)(上位之㸃免凌杂也)如平方以每两位为一段则隔一位㸃之立方以三位为一段则隔两位㸃之乃至十二乗方以十三位为一段则隔十二位㸃之并同一法谨案作㸃分段其用有二一以定开方有若干次也如有一㸃则只开一次有两㸃则开二次三㸃则开三次之类一以定开方所得为何等数也如只有一㸃则初商即单数二㸃则初商是十数三㸃则初商是百数之类是故初商减积必至于最上㸃而止也次商减积必至于次㸃而止也每开一次必减积一次而所减之数必各尽于其作㸃之位亦可以验开方之无误也又最上㸃以上初商实也次㸃以上次商实也每商皆以㸃位截实此法于初商尤为扼要又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类山隂周述学厯宗算㑹悉著其说而同文算指西镜录本其意以作㸃定之施于笔算为极善也(鼎于三十年前见同文算)(指作㸃之法惊叹其竒后读诸书始知其有所祖述非西人创也)初商之法 皆以最上一㸃截原积若干位为初商实乃查初商表视本乗方下数有与实相同或较小于实者录之纪于左线之左(皆以表数末位对右线上原实最上㸃纪之)是为初商应减之积 即于本表旁行查方根纪于左线之右(皆对所纪表数首位进一位纪之)是为初商数以初商应减之积(左行所纪)与初商实(右行最上㸃所截原实)对位相减(皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作㸃于上一位借十数)(减之)减不尽者为余实以待续商凡原实有二㸃则初商为十数而有次商有三㸃初商为百数而有次商及三商以上倣论如实只一㸃则初商即是单数无续商次商之法 皆以第二㸃截余实为次商实凡初商皆为方积次商以后则有亷积隅积先求亷率 查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干数平列之为若干行谓之定率(如平方只一种亷其定率二立方有)(二种亷曰平亷曰长亷其定率并三若三乗方则有三种亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四详)(后式)每増一乗即亷増一等而定率増一行(有亷之等有亷之数如平)(方有二亷立方有三平亷三长亷此亷之数也平方之两亷同积共为一等立方之三平亷同积为一等三长)(亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义)求亷泛积 以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积(有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛)(积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小)(一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上)(又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止)求㳄商数以泛积约余实得之求亷定积 以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积(凡第一亷泛积皆乗)(次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不)(得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣)求隅积 以次商数查初商表各依本乗方取之(以次商对)(横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之)列于亷积之后一行是为隅积(小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上)(并同故可借初商表用之)求亷隅共积 以所得各亷定积及隅积用并法并之即得求次商定数 以所得亷隅共积纪左线之左(又在表数之左)(以末位对第二㸃纪之为次商应减之数)与次商实(右行第二㸃所截)对位相减(以左)(减右)减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数 如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数三商以后并同上法不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商 其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商 余法并同次商审○位之法 凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一㸃余实为续商余实次商单一之法 凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商(惟单一则然若商得一十)(一百一千仍须如法乗之)开平方(即一乗方)设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干答曰五千七百八十三列实法(先作两直线次以方积三三四四三○八九列)(右线之右) 作㸃(法于实末位单数作一㸃起逆上每)(隔一位㸃之有四㸃宜商四次初商是千)初商法曰(用最上一㸃截原实两位三三为初商实查表有小于实三三)(者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之)(左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作㸃借上一数为十三减去五余八改书八于实三之)(右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹)(去减数二五)求次商 用第二㸃上余实八四四为次商实隅 次商自乗 四九○○○○亷隅共积 并 得 七四九○○○○次商法曰(置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以)(泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也)(俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九)(五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九)求三商 用第三㸃上余实九五三○为三商实隅 三商自乗 六四○○亷隅共亷 并 得 九一八四○○三商法曰(复置定率二以乗初商次商合数五千七百得一万一千四百为泛积乃约实作八)(十为三商即以泛积乗之得定积九十一万二千三商亦自乗为隅得积六千四百以并定积成九十一)(万八千四百为亷隅共积俱如式列之再将三商八十挨书次商七百之下而以其亷隅积九一八四对)(实九五三○书于左线之左去减实余三四六即改书之以待四商作线抹去九五三○左亦作线抺去)求四商 用第四㸃上余实三四六八九为四商实隅 四商自乗 九亷隅共积 并 得 三四六八九四商法曰(用定率二乗初商次商三商合数五千七百八十得一万一千五百六十为泛积乃)(约实可商三定为四商即以泛积乗之得定积三万四千六百八十四商三自乘得九为隅积并定积成三)(万四千六百八十九是为亷隅共积各如式列讫再将四商三挨书于三商八十之下而以其亷隅积三)(四六八九对第四㸃实书于左线之左就以减四商实恰尽乃作线抹去之左减数亦抺去)初商五千 有四㸃故初商是千位次商七百三商八十四商单三凡开得平方根五七千百八十三还原法 置方根五千七百八十三自乗得积三千三百四十四万三千○八十九合原积开立方(即再乗方)设立方积一千○○七万七千六百九十六尺问每面方若干答曰二百一十六尺依法列实 作㸃(自末位单数作一㸃起逆)(上每隔两位㸃之有三㸃宜商三次)求初商(用最上一㸃截原实两位一○为初商实查初)(商表有小于一○者是○八其方根二即以二定为初商对实)(首上一位书左线之右而以其积数○八对实一○书左线之左对减初商实余二改书之以待次商)初商二百尺(有三㸃初商是百)求次商 用第二㸃上余实二○七七为次商实依法求得次商一十尺(书于初商二百之下而以其亷隅共积一百二十六万一)(千减㳄商实余八一六改书之以待三商)求三商 用第三㸃上余实八一六六九六为三商实隅 三 商 再 乗 二一六亷隅共积 并 得 八一六六九六依法求得三商六尺(续书次商一十之下而以亷隅共积八十一万六千六百九十)(六减三商实恰尽)凡开得立方根二百一十六尺还原 置方根(二百一十六尺)自之得(四万六千六百五十六尺)为平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七万七千六百九十六合原数开三乗方设三乗方积一亿三千六百○四万八千八百九十六问方根若干答曰一百○八依法列实 作㸃(自末位单数作一㸃)(起逆上每隔三位㸃之)求初商 用最上一㸃截实首位一为初商实凡积一者其根亦一不必查表竟以一为初商(其积与实)(对减恰尽)初商一百(有三㸃初商是百)求次商 用第二㸃余实三六○四为次商实隅 次 商 三 乗 一○○○○亷隅共积 并 得 四六四一○○○○依法求得亷隅共积四千六百四十一万为次商一十之积大于次商实不及减是无次商也法于初商一百下书○求三商 用第三㸃合上第二㸃余实三六○四八八九六共八位为三商实(三商减积至末位第三㸃故合八位为其实)凡求三商当合初商次商两数乗定率以求泛积今次商 故只用初商数隅 三 商 自 乗 三 次 四○九六亷隅共积 并 得 三六○四八八九六依法求得三商八(续书次商○之下而以其亷隅共积三千六百○四万八千八百九)(十六与余实相减恰尽)凡开得三乗方根一百○八还原 置方根(一○八)自乗得(一一六六四)为平幂平幂又自乗得一亿三千六百○四万八千八百九十六合原积或以方根一百○八自乗三次亦同开方简法 置三乗方积(一三六○四八八九六)以平方法开之得(一一六六四)再置(一一六六四)以平方开之得方根一百○八合问开四乗方设四乗方积一十三亿五千○一十二万五千一百○七问方根若干答曰六十七依法列实 作㸃(自末位单数作一㸃)(起逆上每隔四位㸃之共两㸃宜商两次)求初商 用最上一㸃截原实一三五○一为初商实(查表有七)(七七六小于实其根六即以六为初商而以其积七七七六对减初商实余五七二五改书之以待次商)初商六十(有两㸃初商是十)求次商 用第二㸃上余实五七二五二五一○七为次商实隅 次 商 四 乗 一八六○七亷隅共积 并 得 五七二五二五一○七依法求得次商七(书于初商六十之下而以亷隅共积五亿七千二百五十二万五千)(一百○七减次商实恰尽) 凡开得四乗方根六十七还原 置方根(六十七)自乗四次得积一十三亿五千○一十二万五千一百○七合原数开五乗方设五乗方积一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万问方根若干答曰五百一十列实(数以单位)(为根今原积尾位是)(百万故补六○列之)作㸃(自末单位)(○上作一㸃起逆上每隔五位㸃之) 求初商(用最上一㸃截原实五位一七五九六为初商)(实入表得五为初商对实首上一位录左线右即以其积数对实列左线左相减余一九七一改书之以)(待次商) 初商求到五百(有三㸃故初商是百)求次商(用第二㸃上余实一九七一二八七八○一为次商实)隅 次 商 五 乗 一○○○○○○亷隅共积 并 得 一九七一二八七八○一○○○○○○依法求得次商一十(书初商五百之下再将亷隅共积一千九百七十一万二千七)(百七十八亿○一百万去减次商实恰尽)原实三㸃宜有三商而次商已减实尽无可商作○于次商下凡开得五乗方根五百一十○还原 置方根(五百一十○)自乗五次复得一兆七千五百九十六万二千八百七十八亿○一百万合原积开六乗方设六乗方积三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八问方根若干答曰三十二依法列实 作㸃(自末位单数作)(㸃起逆上每隔六位㸃之共两㸃宜商两次)求初商 用最上㸃截原实三四三五为初商实(查表)(得三为初商书左线右而以其积数二一八七书左线之左对减初商实余一二四八改书以待续续商)初商三十(有两㸃故初商是十)求次商 用第二㸃上余实(一二四八九七三八三六八)为次商实隅 次 商 六 乗 一二八亷隅共积 并 得 一二四八九七三八三六八依法求得次商二(书初商三十之下再以亷隅共积与次商实对减恰尽)凡开得六乗方根三十二还原 置方根(三十二)自乗六次得积(三四三五九七三八三六八)合原数开七乗方设七乗方积一千一百○○亿七千五百三十一万四千一百七十六问方根若干答曰二十四依法列实 作㸃(自末位单)(数作㸃起逆上每隔七位再作一㸃)求初商 用最上㸃截原实一一○○为初商实(查表得二为初商即以二书左线之右而以其积二五六书左线之左对减初商实余八四四改书)(之以待续商)初商二十(有两㸃初商是十)求次商 用第二㸃上余实(八四四七五三一四一七六)为次商实亷隅共积 并 得 八四四七五三一四一七六依法求得次商四(书初商二十之下再将亷隅共积八四四七五三一四一七六与次)(商实对减恰尽)凡开得七乗方根二十四还原 置方根(二十四)自乗七次复得(一一○○七五三一四一七六)合原数或以根(二十四)自乗得(五百七十六)为平幂平幂又自乗得(三十三万一千七百七十六)为三乗方积三乗方积又自乗得(一一)(○○七五三一四一七六)亦合原数开方简法 置设积(一一○○七五三一四一七六)以平方法开之得(三三一七七六)又置为实以三乗方法开之得方根二十四或置设积(一一○○七五三一四一七六)用平方法连开三次亦得方根二十四开八乗方设八乗方积一千六百二十八万四千一百三十五亿九千七百九十一万○四百四十九问方根答曰四十九列实(法同前)作㸃(自末位单数作)(㸃起逆上每隔八位㸃之)求初商(用最上一)(㸃截原实一六二八四一三为初商实查表得八乗线方积二六二一四四其根四即以四定为初商书左)(右而以其积数书左线左对减初商实余一三六六二六九以待次商)初商四十(有两㸃初商是十)求次商 用第二㸃上余实(一三六六二六九五九七九一○四四九)为次商实隅 次 商 八 乗 三八七四二○四八九亷隅共积 并 得 一三六六二六九五九七九一○四四九依法求得次商九(书初商四十之下再将亷隅共积对减次商实恰尽)凡开得八乗方根四十九还原 置方根(四十四)自乗八次复得(一六二八四一三五九七九一)(○四四九)合原积开九乗方设九乗方积八十三兆九千二百九十九万三千六百五十八亿六千八百三十四万○二百二十四问方根若干答曰六十二列实(法同前)作㸃(自末位单数作)(㸃起逆上每隔九位㸃之)求初商(如法用最上一㸃原积八位截为初商实查表得九乗方根六即以六为初商而以其积)(数六○四六六一七六减初商实余二三四六三七六○待续商各如法书之)初商六十(冇两㸃初商是十)求次商 用第二㸃上余实二三四六三七六○五八六八三四○二二四为次商实隅 次商九乗 一○二四亷隅共积 并得 二三四六三七六○五八六八三四○二二四依法求到次商二(书于初商六十之下乃以其亷隅共积二十三兆四千六百三十七)(万六千○五十八亿六千八百三十四万○二百二十四减次商实恰尽)凡开得九乗方根六十二又法 置九乗方积(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以平方法开之得(九一六一三二八三二)为四乗方积 再以四乗方法开之得方根(六十二)或置九乗方积(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以四乗方开之得(八三四四)再以平方开之得方根(六十二)并同还原 以方根(六十二)自乗九次得原积或以原根(六十二)自乗四次得(九一六一三二八三二)为四乗方积再以四乗积四乗得原积亦同开十乗方设十乗方积七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八问方根答曰一十二依法列实 作㸃(自末位单)(数作一㸃起逆上每隔十位再作一㸃)求初商(用最上㸃截实首位七为初商)(实查表得十乗方根一定为初商即以其积一)(减初商实七余六改书之以待续商)初商一十(有二㸃初商是十)求次商 用第二㸃上余实六四三○○八三七○六八八为实隅 次 商 十 乗 二○四八亷隅共积 并 得 六四三○○八三七○六八八依法求得次商二(书初商一十之下再将亷隅共积减次商实恰尽)还原 置方根(一十二)自乗十次复得七千四百三十○亿○八百三十七万○六百八十八合原积又法 置方根(一十二)自乗(一四四)为平幂平幂自乗(二○)(七三六)为三乗方积三乗方又自乗得(四二九九八一六九六)为七乗方积再以根再乗之立积(一七二八)乗之得十乗方积开十一乗方设十一乗方积七千三百五十五万八千二百七十五亿一千一百三十八万六千六百四十一问方根若干答曰二十一列实(法同前)作㸃(自末位单数作㸃起)(逆上每隔十一位㸃之)求初商 用最上一㸃截实七三五五为初商实查表得十一乗方根二定为初商(以其积四○九六对减初商实余三二五)(九以俟续商皆各如法书之)初商二十(有二㸃初商是十)求初商 用第二㸃上余实(三二五九八二七五一一三八六六四一)为次商实亷隅共积 并 得 三二五九八二七五一一三八六六四一依法求得次商一(书初商二十之下其亷隅共积三千二百五十九万八千二百七十)(五亿一千一百三十八万六千六百四十一减余实恰尽)凡开得十一乗方根二十一还原 用方根(二十一)自乗十一次复得原积又法 置方根自乗再乗得(九二六一)为立方积立方积自乗得(八五七六六一二一)为五乗方积五乗方积又自乗得十一乗方原积开方简法 置设积(七三五五八二七五一一三八六六四一)以平方法开之得五乗方积(八五七六六一二一)又置为实以五乗方法开之得根二十一开十二乗方设十二乗方积一十五兆四千四百七十二万三千七百七十七亿三千九百一十一万九千四百六十一问方根若干依法列实 作㸃(自末位单数作㸃起逆上隔十二位㸃之)求初商 用最上一㸃截原实一五四四七为初商实查表得十二乗积(八一九二)其方根二即以二定为初商(其积数与实对减余七二五五再俟续商)求初商 用第二㸃上余实七二五五三三七七七三九一一九四六一为次商实亷隅共积 并 得 七二五五二三七七七三九一一九四六一依法求得次商一(书于初商二十之下再将亷隅共积七兆二千五百五十二万三千)(七百七十七亿三千九百一十一万九千四百有六十一以减余实恰尽)凡开得十二乗方根二十一还原 置方根二十一自乗十二次复得原积或以方根(二十一)自乗得(四四一)再乗得(九二六一)三乗得(一九)(四四八一)为三乗方积即以三乗方积自乗得(三七八二二八五九)(三六一)再自乗得(七三五五八二七五一一三八六六四一)为十一乗方积又置为实而以方根(二十一)乗之得十二乗原积又法 以方根自乗再乗得(九二六一)为立方积就以立方积自乗三次得(七三五五八二七五一一三八六六四一)为十一乗方积如前再以方根乗之亦得原积又法 以根(二十一)自乗之平方(四四一)为法自乗四次得九乗方积(一六六七九八八○九七八二○一)再以根(二十一)再乗之立方(九二六一)乗之得十二乗原积并同论诸乗方简法凡开平方二次即三乗方也是为方之方开平方立方各一次五乗方也可名为立方之平方亦可名为平方之立方开平方三次七乗方也或三乗方平方各开一次亦同可名为平方之三乗亦可名为三乗方之平方开立方二次八乗方也可名为立方之立方开四乗方平方各一次九乗方也可名为四乗方之平方开平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名为三乗方之立方亦可名为立方之三乗方按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指谓四乗方开二次为六乗方又谓四乗方开三次为十乗方非也且四乗方平方各一次已为九乗方矣安得有开四乗方二次而反为六乗开四乗方三次而止为十乗乎必不然矣演诸乗方逓増通法平方积自乗为三乗方 立方积自乗为五乗方 三乗方积自乗为七乗方 四乗方积自乗为九乗方五乗方积自乗为十一乗方 六乗方积自乗为十三乗方 七乗方积自乗为十五乗方 八乗方积自乗为十七乗方 九乗方积自乗为十九乗方 十乗方积自乗为二十一乗方 十一乗方积自乗为二十三乗方 十二乗方积自乗为二十五乗方 十三乗方积自乗为二十七乗方 十四乗方积自乗为二十九乗方 十五乗方积自乗为三十一乗方(以上并超两位)平方积再自乗为五乗方 立方积再乗为八乗方三乗方积再乗为十一乗方 四乗方积再乗为十四乗方 五乗方积再乗为十七乗方 六乗方积再乗为二十乗方 七乗方积再乗为二十三乗方 八乗方积再乗为二十六乗方 九乗方积再乗为二十九乗 十乗方积再乗为三十二乗方(以上并超三位)平方积自乗三次为七乗方 立方积自乗三次为十一乗方 三乗方积自乗三次为十五乗方 四乗方积自乗三次为十九乗方 五乗方积自乗三次为二十三乗方 六乗方积自乗三次为二十七乗方 七乗方积自乗三次为三十一乗方(以上并超四位)平方积四乗为九乗方 立方积四乗为十四乗方三乗方积四乗为十九乗方 四乗方积四乗为二十四乗方 五乗方积四乗为二十九乗方(以上并超五位)平方积五乗为十一乗方 立方积五乗为十七乗方三乗方积五乗为二十三乗方 四乗方积五乗为五十九乗方(以上并超六位)平方积六乗为十三乗方 立方积六乗为二十乗方三乗方积六乗为二十七乗方 四乗方积六乗为三十四乗方(以上并超七位)平方积七乗为十五乗方 立方积七乗为二十三乗方 三乗方积七乗为三十一乗方(以上并超八位)平方积八乗为十七乗方 立方积八乗为二十六乗方 三乗方积八乗为三十五乗方(以上并超九位)平方积九乗为十九乗方 立方积九乗为二十九乗方(以上并超十位)(平方至十二乗方已有初商表其十三乗以后不及详列推以根之为二为三者演之至三十二乗以见)(其意)根二(至三十二乗则有十位) 根三(至三十二乗则有十六位)(十三乗) 一六三八四 四七八二九六九(十四乗) 三二七六八 一四三四八九○七(十五乗) 六五五三六 四三○四六七二一(十六乗) 一三一○七二 一二九一四○一六三(十七乗) 二六二一四四 三八七四二○四八九(十八乗) 五二四二八八 一一六二二六一四六七(十九乗) 一○四八五七六 三四八六七八四四○一(二十乗) 二○九七一五二 一○四六○三五三二○三(二十一乗) 四一九四三○四 三一三八一○五九六○九(二十二乗) 八三八八六○八 九四一四三一七八八二七(二十三乗) 一六七七七二一六 二八二四二九五三六四八一(二十四乗) 三三五五四四三二 八四七二八八六○九四四三(二十五乗) 六七一○八八六四 二五四一八六五八二八三二九(二十六乗) 一三四二一七七二八 七六二五五九七四八四九八七(二十七乗) 二六八四三五四五六 二二八七六七九二四五四九六一(二十八乗) 五三六八七○九一二 六八六三○三七七三六四八八三(二十九乗) 一○七三七四一八二四 二○五八九一一三二○九四六四九(三十乗) 二一四七四八三六四八 六一七六七三三九六二八三九四七(三十一乗) 四二九四九六七二九六 一八五三○二○一八八八五一八四一(三十二乗) 八五八九九三四五九二 五五五九○六○五六六五五五五二三附开多乗方求次商㨗法列实作㸃截实求初商如常法既得初商减一等自乗为亷积(加五乗方则用四乗)又以本乗方数加一为亷数(如五乗方则用)(六)亷数乗亷积得数为法以除余实为次商遂合初商次商数依本乗方数乗之(如五乗方亦自乗五次)得积合原数定所得为方根(如原积数少不及减则改次商及减而止)假如三乗方积五百七十六万四千八百○一问方根若干答曰四十九如法于初商表取三乗方积二五六减原实定初商为四十余实(三二○四八○)(一)为次商实 法置初商四○自乗再乗得(六四○○○)为亷积(本方三乗故亷积用再乗为减一等)又以四为亷数(三乗方故用四为亷数为加一数)亷数乗亷积得(二五六○○○)为法以除次商实得九为次商(得数可进一十因欲存第二亷以下亷隅积数不得)(满除只商作九数待酌)遂合初商次商共四十九依法自乗得(二四○一)又以(二四○一)自乗得(五七六四八○一)以较原实相同减尽即定四十九为三乗方根厯算全书卷五十九
## 卷六十
钦定四库全书厯算全书卷六十宣城梅文鼎撰壍堵测量二总论堑堵测量者句股法也以西术言之则立三角法也古九章以立方斜剖成堑堵其两端皆句股再剖之则成锥体而四面皆句股矣任以锥体之一面平寘为底则其锐上指环而视之皆成立面之句股而各有三角三边故谓之立三角也立三角之法以测体积方圆斜侧靡所不通其测浑圆之弧度则有二理其一用视法如弧三角所诠用三角三弧之正弦切线移于平面(谓浑圆立剖之平面)即成三层句股相似之比例今谓之浑圆容立三角也其一不用视法而用实数如句股锥形等法用三弧三角之割线余弦各于其平面自成相似之句股以为比例(三弧直剖至浑圆之心即)(各成句股形之面)今谓之堑堵测量也(浑圆内容之立三角亦堑堵之分形而堑堵测)(量所测亦浑圆之度因书匪一时所为而意各有属其名遂别二而一一而二者也)以上通论立三角及堑堵测量命名之意并其同异之处(因立三角有堑堵之名因浑圆内三层句股生堑堵之用故存此二者以为堑堵测)(量基本)凡数之可算者皆可作图以明之故浑圆可变为平圆如古者葢天之图是也数之可算可图者皆可制器以象之故浑圆可剖为锥体堑堵测量之仪器是也凡测算之器至今日大备且益精益简古者浑仪经纬相结为仪三重至郭太史之简仪立运仪则一环而已足今则更省之为象限仪是益简益精之效也至于浑象无与于测而有资于算所以证理也西法之简平浑葢以平写浑亦可谓工巧之至独未有器以证八线夫用句股以算浑圆其法莫便于八线然八线之在平圆者可以图明在浑圆者难以笔显(鼎)葢尝深思其故而见浑圆中诸线犁然有合于古人堑堵之法乃以坚楮肖之为径寸之仪而三弧三角各线所成之句股了了分明省笔舌之烦以象相告于作圆布算不无小补而又非若浑象之难成因名之曰堑堵测量从其质也堑堵形析浑象之一体亦如象限仪割浑仪之一隅环而测之则象限即浑仪之全周也周徧析之则堑堵即浑象之全体也是故堑堵形可析为两可合为一其析者一为句股锥(亦曰立三角仪)则起二分讫二至一为句股方锥(亦曰方直仪)则起二至讫二分起二分者西率起二至者古率也是两者九十度中皆可为之(自分讫至九十度并可为句股锥自)(至讫分九十度并可为句股方锥)然至半象以上割切三线太长溢出于方堑堵之外故又有互用之法也其合者近分度用句股锥近至度用句股方锥以黄道四十七度赤道四十五度为限过此者互用其余如是则两锥形合之成方堑堵矣方堑堵内又成圆堑堵二其一下为赤道圆象限而一为撱形之象限距度之割切二线所成也其一下为撱形象限而上为黄道之圆象限距度正弦黄道半径所成也(两圆堑堵之用已括于两锥形内)两圆堑堵内又以黄道正弦距度正弦成小方堑堵之象则郭太史圆容方直本法也于是又有圆容方直仪简法而立三角之仪遂有三式(一句股锥其形四锐一方直仪其底长方一圆容方直简法仪其底为浑圆幂之分)之三者或兼用割切或专用正弦而并不用角合浑圆内三层句股观之可以明立法之根以上论堑堵测量仪器(句股锥形及句股方锥形二种为堑堵测量正用而)(圆容方直形专用正弦成小堑堵尤正用中之正用也此小堑堵在两重圆堑堵内故兼论之又此)(小堑堵足阐授时弧矢之秘因遂以郭法附焉)问八线生于角用八线而不用角何也曰角与弧相应故用角即用弧也用弧即用角也明于斯理而后可以用角浑圆内三层句股是也明于斯理而后可以不用角堑堵三仪是也用角者西法也而用角即用弧则通于古法也不用角者古法也而用弧即用角则通于西法也于是而古法西法可以观其㑹通息其烦喙矣以上论角即弧解之理立三角法序立三角者量体之法也西学以几何原本言度数而所译六卷之书止于测面其测体法则未之及葢难之也余尝以句股法释几何而稍为推广其用谓之几何补编亦曰立三角法本为体积而设然其中义类颇有与浑圆弧度之法相通者故摘录之以明堑堵测量之理立三角法摘录总论一立三角为有法之形立三角之面皆平三角也平三角不拘斜正皆为有法之形故立三角亦不拘斜正而皆为有法之形一立三角为量体之宻率凡量体者必析之析之成立三角形则可以知其容积可得而量矣若不可以立三角析者则为无法之形不可以量一立三角即锥体立三角任以一面平安如底则余三面皆斜立(亦有一面)(正立者)而锐必在上即成三角立锥一各种锥体皆立三角之合形凡锥体必上尖下濶任取其一面观之皆斜立之平三角也凡锥形自其尖切至底则其中剖之立面亦平三角也锥体之底或四边五边以至多边若以对角线分其底又即皆成平三角也故四棱锥可分为两五棱锥可分为三六棱以上无不可分分之皆立三角形故知一切锥体皆立三角之合形也底之边多至于三百六十又析之为分为秒以此为底皆可成锥体再析之至于无数即成平员底可作员锥要之皆小平三角面无数以成之者也一各种有法之形亦皆立三角之合形如立方体依其棱剖至心成立分体皆扁方锥其斜面辏心皆成立三角长方体亦然四等面体从其棱剖至心成四分体八等面则成八分体二十等面成二十分体皆立三角锥十二等面依棱剖至心成十二分体皆五棱锥其立面五皆立三角浑员形以浑员面幂为底半径为髙作大员锥而成浑积凖前论皆无数立三角所成然则浑员亦立三角也浑员既为立三角所成则半之而为半浑员(一平员面一半)(浑员面如员𤓰中剖)或再分之而为一象限或更小于象限之浑员(细分弧面自象限以内至于一度内若干分秒如剖橘瓤并一弧面两半平员面)以浑员之理通之皆立三角所成一无法之形有面有棱即皆为立三角所成凖前论各依其楞线割之至底或依对角线斜剖之即皆成立三角而无法之形皆可为有法之形一立三角体之形不一而皆有三角三边非四面不能成体故立三角必四面非三角三边不能成面故立三角体之面皆三角三边约举其类有四面相等者即四等面形也(其面幂等其棱之长)(短亦等)有三面相等而一面不等者其不等之一面必三边俱等余三棱则自相等(以上皆形也四等面任以一面为底其雉尖正立居中三等面形以等边之一面为底锥尖亦正立居中)有二面两两相等者有二面相等余二面不等者有四面各不相等者有三面非句股而一面成句股者有两面成句股者(其句股或等或否)有四面并句股者句股立锥也(以上不皆正形而皆为有法之形)一立三角形有实体有虚体实者如台如墖如堤虚者如井如池又如隔水测物皆自其物之平面角作直线至人目即成虚立锥体以人目为其顶锐而所测平面则其底也所作直线皆为其棱若所测平面为四边五边以上皆可作对角线分为立三角锥形(虚体实体并同一法)立三角又有三平面一弧面者如自地心作三直线至星宿所居之度则此三星之相距皆弧度也三弧度为边即成弧三角形以为之底其三直线皆大员半径以为之棱而合于地心以为之顶锐亦立三角之虚形(即弧三角锥体)若于浑球体作三大圏相交成弧三角形从三角作直线至员心依此析之即成实体与上法并同一理一立三角形有立有眠有倒有倚立者以底平安则其锐尖上指如人之立眠者以底侧立如堵墙而锥形反横如人之眠此惟正形之锥则有之(既定一面为底则底在下者为立在旁者为眠)如虚形则不拘正斜皆以所测为底又如弧三角锥以浑员面上所成之弧三角为底以三直线辏于浑体之心为其顶锐则四面八方皆可为底而锐常在心不特能眠能立亦且能倒能欹(亦惟)(有底有锐之正形则然若他形底无定名随人所置)眠体倒体以及他形之欹侧不同而皆为有法之形者三角故也一古法有壍堵阳马鳖臑刍甍等法皆可以立三角处之(壍堵一作堑堵)凡立方体从其面之一棱依对角斜线剖至其底相对之一棱则其积平分而成壍堵形(甲乙为顶有袤无广丙丁戊己为方底或长方则丙丁同巳戊为袤丁己仝丙戊为广乙)(丙同甲丁为其髙甲丁乙丙为立面甲乙戊己为斜面皆长方乙丙戊同甲丁巳为两端)(立面皆句股形而相对相等)(壍堵形有如屋者甲乙顶袤如屋脊甲乙丙丁及甲乙戊巳两长方皆斜面而相等丙丁)(戊己为底乙丙戊与甲巳丁两圭形相对而等而以乙辛为其髙其辛丙及辛戊俱平分)(而等)(又或甲乙顶袤不居正中而近一边然甲乙与丁丙及巳戊俱平行而等其甲丁乙丙及)(甲巳乙戊两斜面虽有大小而并为长方形乙辛垂线不能分丙辛及辛戊为平分而必)(与丙戊底为十字正角则乙辛为正髙)以上三者皆壍堵之正形并以髙乘底折半见积何也皆立方之半体其两端皆立三角形也(第一形两端为句股)(第二第三皆以乙辛中剖成两句股)凡壍堵形亦可立可眠立者以甲乙为顶长丙丁戊己为底眠者以戊己为顶长反以甲乙丙丁为底如隔水测悬崖之类(又有斜壍堵形其各线不必平行底不必正方但俱直线则底与两斜面皆可作对角线)(以分为三角形而诸数可测实体虚体并有之于测量之用尤多)斜壍堵本为无法之形而亦能为有法之形者可析之成三角也凡壍堵形从顶上一角依对角线斜剖之为两则成一立方锥一句股锥(堑堵形从乙角作乙巳乙丁两对角线依线剖之则成两形)(立方锥一) (句股锥一)(名阳马) (名鳖臑)阳马形(以丙丁戊己方形为底以乙为顶锐而偏居一角故乙丙直立如垂线以为之髙其四立)(面皆成句股形故又名句股立方锥)论曰阳马形从壍堵第一正形而分故其髙线直立于一隅乃立方之楞线四面句股形因此而成是为句股方锥之正体若斜壍堵等形之分形则但可为斜立方锥而不得为句股方锥亦非阳马(斜立方锥者其顶不居正中然又不能正立一隅故非句股立锥而但为斜立方锥)(如上二形顶既偏侧底亦非方亦斜立锥形也然其立面皆三角故亦为有法之形)(斜立方锥亦可立可眠皆可以立三角法御之但不如句股立方锥之有一定)(比例)鳖臑形(以甲乙为上袤而无广以丁巳为下广而无袤故称鳖臑象形也其)(各面或句股或不为句股而皆三角故又名三角锥)句股立锥形(其上有袤而无广下有广而无袤并同鳖臑所异者甲角)(正方故乙甲丁立面乙甲巳斜面并成句股又丁角正方故甲丁已平面乙丁巳斜)(面并成句股又丁角正方故甲丁巳平面乙丁巳斜面并成句股是四面皆句股也)(故谓之句股方锥而不得仅名鳖臑)论曰鳖臑中有句股立锥犹斜立方锥中之有句股方雉也立三角皆有法之形而此二者尤可以明测量比例之理又论曰立三角所以为有法形者谓其可施八线也而八线原为句股之比例此二者既通体皆句股所成故在有法形中尤为有法矣又论曰若于句股方锥再剖之即又成二句股锥而皆等积故阳马为立方三之一句股锥则为六之一皆立方之分体也又论曰句股方锥及句股锥皆生于堑堵故堑堵形为测量之纲要(刍薨形亦如屋而两端渐杀故顶窄而底寛其丙丁戊己底或正方或长方甲乙顶小于丙丁或居)(正中或稍偏然皆与丙丁及戊己平行)刍甍葢取草屋之象乃壍堵形之一种亦可分为三鳖臑又有刍童者形如方台皆立方之变体方台面与底俱正方𫇴童则长方而面小底大则同亦皆可分为立三角凖前论方台作对角线并可为两刍甍即可再分为六鳖臑即皆立三角锥也论曰量面者必始于三角量体者必始于鳖臑皆有法之形也量面者析之至三角而止再析之仍三角耳量体者析之至鳖臑而止再析之仍鳖臑耳面之可以析为三角者即为有法之面体之可以析之为鳖臑者即为有法之体葢鳖臑即立三角之异名也量体者必以立三角非是则不可得而量算法凡算立三角体须求其正髙以正髙乘底以三而一见积其法有三其一顶居一角其棱直立即用为正髙其二顶锐不居一角而在三角之间其三顶斜出底三边之外并以法求其垂线为正髙假如巳甲乙丙立三角体甲乙丙为底已为顶锐正居丙角之上巳丙如垂线为髙先以乙丙五十六尺甲乙边(六十一尺)甲丙边(七十五尺)求其羃积(一千六百三十尺)以乘已丙髙(四十尺)得(六万七千二百尺)为实以三为法除之得(二万二千四百尺)为立三角锥体若欲知已乙甲已两斜弦依句股求弦即得(已丙既直立则恒为股以)(股自乘幂加乙丙句幂为弦幂开方得已乙弦又以股幂加甲丙句幂为弦幂开方得甲乙弦)若已顶不居一角而在三角之中则已丙非正髙乃斜棱也法当分为两形其法依丙已棱直剖至底以上二形乃中剖为二之象其中剖之立面亦成丁已丙三角形如平三角法求得已戊垂线即为正髙如上法先求甲乙丙羃以乘已戊髙得数为实三除见积又法不必剖形但于形外任依一楞如丙已于庚作垂线至丙以法取庚㸃与已顶平行即庚丙为正髙与己戊等(或量得庚已横距为)(句以己丙为弦求其股即得庚丙正髙亦同)立三角之顶有斜出者或在底外则于已顶作垂线至庚与甲乙丙底平行乃任用相近一棱如己乙为弦量庚乙之距为句依法求其股得己庚为其正髙以乘底三除见积问己顶既居形外己庚何以得为正髙也曰此易知也但补作甲庚虚线成四边形为底则为四棱立锥而己庚为其正髙甲乙丙底乃其底之分也亦必以己庚为正髙矣假如乙庚丙甲为底丙甲与乙庚等丙乙与甲庚等或斜方或正方其己庚一棱正立如垂则即为正髙正髙乘方底三除之即体积也若从甲乙对角线分其底为均半又依甲己甲乙二棱从顶直剖之至底则分为两三角形而各得其积之半矣(底既平分为两则其积亦平分为两)其己庚乙甲形与己甲乙丙形既皆半积则相等而庚乙甲底与甲乙丙底又等则其髙亦等而己庚乙甲形既以己庚为髙矣则己甲乙丙形之髙非己庚而何又论曰量体积者必先知面犹量面幂者必先知线也然则量体者亦先知线矣是故量体之法可转用之以求线也(量体者有先知之面幂有求而得之面幂夫求之而得面者必先求其面幂之)(界界即线也故量体之法可用之以求线也)何谓以量体之法求线曰测量是也前论立三角有虚体为测量之用夫虚体者无体者无体而有线如实体之有棱故可以量体之法求之也如所测之物有三㸃即成三边三角当以三直线测之则立三角锥形矣所测有四㸃当以四直线测之则四棱立锥形矣两测则又为堑堵形矣故测量之法可以求线也又论曰用立三角以量体者所用者仍平三角也而用三角以量面者所用者仍句股也吾㠯是而知圣人立法之精深广大浑圜内容立三角体法全形为堑堵分形为鼈臑即立三角体又为句股立锥西法所用若内切小堑堵则为圜容方直形即郭太史弧矢法先解全形 堑堵体亢戊乙夘为堑堵斜面 其形长方夘乙为浑圜半径(夘为浑圜之心)亢戊为四十五度切线与夘乙同度同为横边 亢夘为乙角割线与戊乙同度同为直边亢氐戊丁为堑堵立面 其形横长方亢氐者乙角切线也与戊丁同度以为之髙 亢戊及氐丁皆四十五度切线与半径同度以为之濶亢氐夘戊丁乙皆堑堵两和之墙 其形皆立句股氐夘同丁乙皆半径为句 亢氐同戊丁皆乙角切线为股 亢夘同戊乙皆乙角割线为弦夘乙丁氐为堑堵之底 其形正方夘乙及夘氐皆浑圜半径其对边悉同法曰先为立方体以容浑球使北极在上南极在下皆正切于立方底葢之中心则赤道平安而赤道之二分二至亦皆在立方四面之中心矣次依赤道横剖方体为均半而用其上半为半立方容半浑圜形则二分二至皆在半立方之底线各中心而赤道全圈居其底次依二分二至从北极十字剖之又成四小立方各得原立方八之一而小立方内各容浑圜分体八之一此小立方有一角之楞直立为北极之轴上为北极下即浑圜心夘角也其立方根皆浑圜半径次依黄赤道大距取切线为髙作横线于小立方夏至之一边即亢戊线次依亢戊横线斜剖至对边之足则成堑堵矣(对边之足即夘)(乙也本为黄赤道半径今在小立方体为方底之边故云足也)堑堵体有五面 其一斜面(亢戊乙夘长方) 其三立面(一亢氐戊)(丁长方二亢氐夘戊丁乙相等两句股) 其一方底(夘乙氐丁平方)堑堵形面 有赤道象弧在方底 有黄赤大距弧在立句股边 即两和之墙底形 底形正方 其夘角即黄赤道心氐甲乙为赤道一象限 乙为春分氐为夏至赤道 夘氐及夘乙皆赤道半径 其对边氐丁及乙丁皆四十五度切线立句股面形一 立句股之面有二(一亢氐夘一戊丁乙)皆同角同边 亢氐夘形内有氐癸弧为夏至黄赤大距二十三度半强 氐夘为赤道半径 癸夘为黄道半径夘角为黄赤大距角(氐癸弧之角) 亢氐者氐癸弧之切线(亦即夘角切线) 亢夘者氐癸弧之割线(亦即夘角割线)癸弧之割线(亦即夘角割线)立句股面形二 戊乙丁形即前图亢氐夘形之对面戊丁髙同亢氐切线(如股) 戊乙斜线同亢夘割线(如弦) 丁乙横线同氐夘(如句) 乙角同夘角又有黄道象弧在斜面斜面形 斜面形长方(其斜立之势依黄道) 其夘角为黄道心(即赤道心) 乙丙癸为黄道一象限 乙为春分(与赤道同用) 癸为黄道夏至 夘癸及夘乙皆黄道半径(内夘)(乙与赤道同用) 亢夘为二十三度半强之割线(夏至黄赤大距割线) 其相对戊乙边与亢夘割线同度亢戊边与夘乙半径相对同度乃四十五度之切线(与底)(上切线氐丁相应)立面形 立面形亦长方其势直立 亢戊及氐丁二边为其濶皆四十五度切线与半径同度 亢氐及戊丁为其高皆二十三度半之切线(夏至黄赤大距切线)以亢戊边庋起斜面之亢戊边而成角体仍以氐丁边联于方底之氐丁边则其形直立矣次解分形 立三角体(古谓鼈臑即句股锥)内含乙甲丙弧三角形及乙甲丙夘弧三角锥夘为浑圜心(黄赤同用) 夘乙浑圜半径(黄赤同用) 乙丙弧为黄道经度 丙夘为黄道半径 乙甲弧为赤道经度甲夘为赤道半径 丙甲弧为黄赤距纬 乙为春分㸃 酉乙未角为春分角二十三度半与二至大距之纬度相应此角不动 丙为所设黄道度距春分后之㸃此㸃移则丙之交角变而诸数皆从之而变法曰于前图全形堑堵斜面黄道象弧内寻所设黄道经度自春分(乙)起数设度至丙从丙向圜心夘作丙夘半径遂依半径引长至堑堵之边(酉)成酉夘直线依酉夘直线直剖至底(未夘线为底酉未线为边)成酉未乙夘立三角体此立三角体有四面而皆句股故又曰句股立锥立句股之锥尖为酉其斜面为酉乙夘句股形(乙正角句乙酉为股弦乙夘为 酉夘为)其立面二一为酉未乙句股形(未正角句酉未垂线为股未乙为 酉乙为弦)一为酉未夘句股形(未正角句酉未垂线为股未夘为 酉夘为弦)其底为未乙夘句股形(乙正角句未乙为股弦乙夘为 未夘为)以上四句股面凡楞线六夘乙半径也酉乙黄道丙乙弧之切线也而酉夘则其割线也未乙赤道乙甲弧之切线也而未夘则其割线也惟酉未垂线于八线无当今名之曰锥尖垂线亦曰锥尖柱亦曰外线以其离于浑圜之体也句股面有四而用者一酉未乙也以其能与乙角之大句股为比例也楞线六而用者二酉乙及未乙也以其为二道之切线为八线中有定数可为比例也第一层句股比例图酉未乙句股形以黄道切线(酉乙)赤道切线(未乙)相连于乙角(成锐角)则酉乙为弦未乙为句而戊丁乙及牛昴乙二句股形同在一立面又同用乙角故可以相为比例术为以赤道半径(丁乙)比乙角之割线(戊乙)若赤道切线(未乙)与黄道切线(酉乙)也(此为以句求弦)又以黄道半径(牛乙)比乙角之余弦(昴乙)若黄道切线(酉乙)与赤道切线(未乙)也(此为以弦求句)解曰丁乙与氐昴同大则皆赤道半径也戊乙与亢夘同大则皆乙角割线也牛乙与癸卯同大皆黄道半径昴乙与己夘同大皆乙角余弦也 从乙窥夘则成一㸃而乙角夘角合为一角其角之割线余弦尽移于堑堵之第一层而同在一立面为句若弦(观总图自明)以赤道求黄道 以黄道求赤道一 赤道半径 一 黄道半径二 乙角割线 二 乙角余弦三 赤道切线 三 黄道切线四 黄道切线 四 赤道切线若求角者反用其率 又法四 乙角割线 四 乙角余弦第二层句股比例图子甲丑句股形以黄赤距度之切线(子甲)赤道之正弦(甲丑)相连于甲成正角则子甲为股甲丑为句而与坎震丑及女娄丑二句股形同在一立面又同丑角故可相求术为以赤道半径(震丑)比乙角之切线(坎震)若赤道正弦(甲丑)与距度之切线(子甲)也(是为以句求股)又为以乙角之正弦(女娄)与乙角余弦(娄丑)若距度之切线(子甲)与赤道之正弦(甲丑)也(是为以股)(求句)解曰震丑即氐夘赤道半径也坎震即亢氐乙角之切线也女娄即癸己而娄丑即己夘乙角之正弦余弦也从乙窥夘则乙丑夘成一㸃而合为一角其角之切线正弦余弦尽移于堑堵第二层立面为句与股以赤道求距度 以距度求赤道 又法一 半径 一乙角正弦 一乙角切线 半径二 乙角切线 二乙角余弦 二半径 (乙角余切)三 赤道正弦 三距度切线 三 距度切线四 距度切线 四赤道正弦 四 赤道正弦若求角则反用其率 又法一 距道切线 半径 一 赤道正弦 半径二 赤道正弦 二 距度切线三 半径 (距度余切) 三 半径 (赤道余割)四 乙角余切 四 乙角切线第三层句股比例图丙辛壬句股形以距度正弦(丙辛)黄道正弦(丙壬)相连于丙而成锐角则丙壬为弦丙辛为股而与干艮壬及奎胃壬二句股同在一立面同用壬角故可相求术为以黄道半径(奎壬)比乙角之正弦(奎胃)若黄道正弦(丙壬)与距度之正弦(丙辛)也(是为以弦求股)又为以乙角之切线(干艮)比乙角之割线(干壬)若距度之正弦(丙辛)与黄道正弦(丙壬)也(是为以股求弦)解曰奎壬即癸夘黄道半径也奎胃即癸己距度正弦也干艮即亢氐而干壬即亢夘则乙角之切线割线也从乙窥夘则乙丑壬夘半径因直视成一㸃而合为为一角其角之正弦切割线尽移于堑堵之第三层立面以为弦为股以黄道求距度 以距度求黄道 又法一 半径 一 乙角切线 一 乙角正弦 半径二 乙角正弦 二 乙角割线 二 半径 (乙角余割)三 黄道正弦 三 距度正弦 三 距度正弦四 距度正弦 四 黄道正弦 四 黄道正弦若求角则反用其率 又法一 距度正弦 半径 一 黄道正弦 半径二 黄道正弦 二 距度正弦三 半径 (距度余割) 三 半径 (黄道余割)四 乙角正割 四 乙角正弦弧三角锥体(即割浑圜体之一分)法曰依前论从丙㸃对夘直割至底则截黄道于丙截赤道于甲得丙乙及甲乙二弧所剖浑圜之迹又成丙甲弧(为两道距纬)三弧相凑成丙甲乙弧三角面 丙夘甲夘乙夘同为半径三半径为楞辏于夘心夘为三角之尖乙甲丙弧三角面为底成乙甲丙夘弧三角锥体为割浑圜体之一分也此弧三角锥体含于句股立锥体内凖前论可以明之因此弧三角锥与句股锥同锐(夘尖)异底(一以弧三角面为底一以句股)(平面为底)故以弧三角变为句股以求其比例而有三法(即前)(条所论三层句股)其一为酉未乙句股形用酉乙弦(为黄道丙乙弧切线)未乙句(为赤道乙甲弧切线)以当乙角之弦与句其一为子甲丑句股形用子甲股(为距度丙甲弧切线)甲丑句(为赤道乙甲弧正弦)以当乙角之股与句其一为丙辛壬句股形用丙辛股(为距度丙甲弧在弦)丙壬弦(为黄道丙乙弧正弦)以当乙角之股与弦问两弧求一弧非句股锥乎与此所用同耶异耶曰形不异也乃法异耳何言乎法异曰句股锥一也而有用角不用角之殊此用角度其句股在锥形之底(以夘心为锥形)(之锐则三层句股皆为其底)而遥对浑体之心以视法成比例两弧求一弧不用角度其句股同在锥形之一面无假视法自成比例所以不同然其为句股之比例一而已矣然则两弧求一弧惟用割线余弦此所用者惟正弦切线又何不同若是耶曰角之句股在心(如夘亢氐等形皆依极至交圏)(平剖浑圜成平面其象始著是在浑圜之心)与为比例之句股在面(如酉未乙等形)(皆以一角连于浑圜之面)二者相离以视法相叠如一平面然惟正弦切线能与之平行(从凸面平视则设度之正弦切线皆与浑圜中割之平面诸线平行)若割线余弦皆非平行因视法而跻缩失其本象(或斜对则)(长线成短线或对视则直线成一㸃)不能为比例无所用之矣若两弧求一弧则其句股自相垜叠于一平面(平立斜三面各具三句股而如相垜)(叠并以一大句股横截成三)皆以本数自相为比例全不闗于视法故无跻缩而其算皆割线余弦所成于正弦切线反无所取所以不同 若以量体之法言之割线余弦为量立楞斜楞之法正弦切线则量底之法也(两弧求一弧法见二卷)如图 以卯为句股立锥之顶卯乙为直立之楞如浑圆半径夘未夘酉为斜面之楞并如割线酉乙未乙两底线并如切线若依底线平截之成大小三形则比例见矣剖浑圜用余度法乙丙黄道弧在四十五度以上求甲乙赤道弧(即同升度)依前法 半径(癸卯亦即庚乙)与乙角(春分)之余弦(乙壬亦即)(卯己)若乙丙(黄道)之切线(尾乙)与乙甲(赤道)之切线(箕乙)此法无误但如此则两切线大于堑堵须引之于形外是以小比例例大比例也若至八十度切线太大不可作图矣今改用余度 法自卯浑圜心遇黄道设弧丙作线至酉(剖至底)以乙丙黄道之余弧癸丙取其切线于斜面如癸斗又以乙甲赤道之余弧甲氐取其切线于底如氐未即以氐未移至斜面之楞如亢酉变立句股(尾箕乙)为平斜句股(酉亢卯及斗癸卯两形皆相似) 法为半径(癸卯)与乙角之正割线(乙角即卯角其割线戊乙亦即卯亢)若乙丙黄道之余切线(癸斗)与乙甲赤道之余切线也(亢酉亦即氐未)按此法从亢戊边剖堑堵成句股方锥之眠体其剖形以亢氐酉未长方形为底以卯为锥尖以斜面之卯亢酉句股形及平面之卯氐未句股形为相对之二边又以卯氐亢之立面句股形及卯未酉之斜立面句股形为相对之二边其四面皆句股其底长方而以卯为尖故曰眠形不直曰方锥者以面皆句股而卯氐线正立故不得仅云阳马谓之句股方锥可也亦如句股锥立三角不得仅谓鼈臑堑堵测量二句股锥形序(即两弧求一弧)正弧三角之法即郭太史侧视图也郭法以侧视取立句股又以平视取平句股故有圆容方直之法而不须用角西法専以侧视之图为用故必用角用角即用弧也惟其用角故所用者皆侧立之句股也余此法则兼用平立斜三种句股而其大小句股之比例并在一平面尤为明白易见而不更言角既与授时之法相通其兼用割线起算春分又西厯之理也葢义取适用原无中外之殊笇不违天自有源流之合敬存此稿以质方来其授时厯侧视平视之图详具别卷正弧三邉形以两弧求一弧法(句股锥形之理)用割线余弦以弧度求弧度而不言角其理与郭法相通丙甲乙三角弧形 甲为正角卯为浑员心丙乙为黄道距春分之一弧甲乙为赤道同升之弧丙甲为黄赤距度(即过极圈之一弧)丙卯为黄道半径甲卯为赤道半径卯乙为黄赤两道之半径壬卯为丙乙黄道之余弦(以丙壬为其正弦故)丑卯为甲乙赤道之余弦(以甲丑为其正弦故)辛卯为丙甲距度之余弦(以丙辛为其正弦故)子卯为丙甲割线(以子甲为切线知之)酉卯为丙乙割线(以酉乙为切线如之)未卯为甲乙割线(以未乙为切线知之)斜面酉乙卯及子丑卯及丙壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为丙乙黄道 平面未乙卯及甲丑卯及辛壬卯皆句股形乙丑壬皆正角又同用卯角角之弧为甲乙赤道 立面酉未卯及子甲卯及丙辛卯皆句股形未甲辛皆正角又同用卯角角之弧为丙甲距度(其又一立面酉未乙及子甲丑及丙辛壬三句股形为切线正弦所作兹不论)论曰因诸线成平面句股形为底两立面句股形为墙斜面句股形为面则四面皆句股形矣而酉未联线及子甲切线丙辛正弦皆直立上对天顶下指地心故谓之句股锥形也既成句股则其相等之比例可以相求用法半径与赤道之余弦若黄道之割线与距度之割线反之则赤道余弦与半径若距度割线与黄道割线一 甲乙余弦 丑卯小句 二 半径 乙卯大句三 丙甲割线 子卯小弦 四 丙乙割线 酉卯大弦又更之则黄道割线与半径若距度割线与赤道余弦一 丙乙割线 酉卯大弦 二 半径 乙卯大句三 丙甲割线 子卯小弦 四 甲乙余弦 丑卯小句右取斜面酉乙卯子丑卯两句股形以乙卯半径为比例偕一余弦两割线而成四率半径与距度之割线若黄道之余弦与赤道之余弦一 半径 丙卯小弦 二 丙甲割线 子卯大弦三 丙乙余弦 壬卯小句 四 甲乙余弦 丑卯大句反之则距度割线与半径若赤道余弦与黄道余弦一 丙甲割线 子卯大弦 二 半径 丙卯小弦三 甲乙余弦 丑卯大句 四 丙乙余弦 壬卯小句又更之则黄道余弦与半径若赤道余弦与距度割线一 丙乙余弦 壬卯小句 二 半径 丙卯小弦三 甲乙余弦 丑卯大句 四 丙甲割线 子卯大弦右取斜面丙壬卯子丑卯二句股形以丙卯半径偕一割线两余弦而成四率半径与赤道割线若距度割线与黄道割线更之则赤道割线与半径若黄道割线与距度割线一 甲乙割线 未卯大句 二 半径 甲卯小句三 丙乙割线 酉卯大弦 四 丙甲割线 子卯小弦又更之则距度割线与半径若黄道割线与赤道割线一 丙甲割线 子卯小弦 二 半径 甲卯小句三 丙乙割线 酉卯大弦 四 甲乙割线 未卯大句右取立面酉未卯子甲卯二句股形以甲卯半径偕三割线而成四率半径与黄道余弦若赤道割线与距弧余弦一 半径 乙卯大句 二 丙乙余弦 壬卯小句三 甲乙割线 未卯大弦 四 丙甲余弦 辛卯小弦更之则黄道余弦与半径若距弧余弦与赤道割线一 丙乙余弦 壬卯小句 二 半径 乙卯大句三 丙甲余弦 辛卯小弦 四 甲乙割线 未卯大弦又更之则赤道割线与半径若距弧余弦与黄道余弦一 甲乙割线 未卯大弦 二 半径 乙卯大句三 丙甲余弦 辛卯小弦 四 丙乙余弦 壬卯小句右取平面未乙卯辛壬卯二句股形以乙卯半径偕两余弦一割线而成四率半径与距度余弦若赤道余弦与黄道余弦更之则距度余弦与半径若黄道余弦与赤道余弦一 丙甲余弦 辛卯小弦 二 半径 甲卯大弦三 丙乙余弦 壬卯小句 四 甲乙余弦 丑卯大句又更之则赤道余弦与半径若黄道余弦与距度余弦一 甲乙余弦 丑卯大句 二 半径 甲卯大弦三 丙乙余弦 壬卯小句 四 丙甲余弦 辛卯小弦右取平面(甲丑卯辛壬卯)二句股以甲卯半径偕三余弦而成四率半径与黄道割线若距弧余弦与赤道割线更之则黄道割线与半径若赤道割线与距弧余弦一 丙乙割线 酉卯大弦 二 半径 丙卯小弦三 甲乙割线 未卯大句 四 丙甲余弦 辛卯小句又更之则距弧余弦与半径若赤道割线与黄道割线一 丙甲余弦 辛卯小句 二 半径 丙卯小弦三 甲乙割线 未卯大句 四 丙乙割线 酉卯大弦右取立面酉未卯丙辛卯二句股形以丙卯半径偕两割线一余弦而成四率作立三角仪法(即句股锥形)法以坚楮依各线画成句股而折辏之则各线之在浑员者具可覩矣 任取黄道之一弧为例则各弧并同底上甲乙弧赤道同升度也赤道各线俱在平面为底面上丙乙弧黄道度也黄道各线俱在斜面立面丙甲弧度黄赤距纬也距纬各线俱在立面 外立面为黄赤两切线之界论曰此即郭若思太史员容方直之理也太史法从二至起算先求大立句股依距至黄道度取其正半弦为界直切至赤道平面截黄赤道两半径成小立句股以此为法求得平面大句股则赤道之正半弦也其直切两端下垂之迹在二至半径者既成小立句股其在所求本度者又成斜立句股此斜立句股之股则本度黄赤距度之正半弦也于是直切之迹有黄道正半弦为其上下之横长有黄赤距度之正半弦为两端之直濶成直立之长方形而在浑体之中故曰弧容直濶也此侧立长方之四角各有黄赤道之径为其楞以直凑浑体之心成眠体之句股方锥句股方锥者底虽方而锥尖偏在一楞则其四面皆成句股此郭太史之法也今用八线之法以句股御浑体其意略同但其法主于用角故从二分起算遂成立句股锥形立句股锥形亦可以卯心为锥尖是为眠体锥形如此则两锥形之尖皆在员心(一郭法一今法)而可通为一法是故用郭太史法则以句股方锥为主而句股锥形其余度所成之余形今以句股锥形为主则员容直濶所成句股方锥又为余度余形矣然则此两法者不惟不相违而且足以相法古人可作固有相视而笑莫逆于心者矣余窃怪夫世之学者入主出奴不能得古人之深而轻肆诋诃者皆是也吾安得好学深思其人与之上下其议哉句股方锥序堑堵虚形以测浑员原有二法一为句股锥形一为句股方锥其句股锥之法向有〔？〕法方锥之法亦略见于诸篇而未畅厥㫖故复著之其法以弧求弧而不求角与句股锥同而起算二至则郭太史本法矣方锥与锥形互相为正余故亦可以算距分之度也筭黄赤道及其距纬以两弧求一弧又法(用句股方锥形亦堑堵形之分)以八线法立筭起数二至本郭法史员容方直之理而稍广其用亦不言角如图癸为二至黄道癸丙为距至黄道之一弧(如所设)氐为二至赤道氐甲为距至赤道之一弧(与癸丙黄道相应)癸氐为二至黄赤大距弧(二十三度半强)丙甲为所设各度之黄赤距纬(即过极圈之一弧)卯为浑圆心黄道癸丙之正弦丙张余弦张卯正矢癸张切线癸斗割线斗卯赤道氐甲之正弦甲庚余弦庚卯正矢氐庚切线氐室割线室卯大距度癸氐之正弦癸己余弦己卯正矢氐己切线氐亢割线亢卯距纬丙甲之正弦丙辛余弦辛卯正矢甲辛切线甲子割线子卯论曰因诸线成各句股形为句股方锥之面其锐尖皆㑹于卯心又成方直形以为之底遂成句股方锥之眠体一斜平面有黄道弧诸线成句股形二(一丙张卯一斗癸卯)又有相应之赤道诸线亦成句股形二(一壁亢卯一子房卯)四者皆形相似而比例等一平面有赤道弧诸线成句股二(一甲庚卯一室氐卯)又有相应之黄道诸线亦成句股二(一辛井卯一亥己卯)四者皆形相似而比例等一立面有大距弧诸线成句股二(一癸己卯一亢氐卯)又有相对之距纬诸线亦成句股二(一张井卯一房庚卯)四者皆形相似而比例等一斜立面有黄赤距度诸线成句股二(一丙辛卯一子甲卯)又有相对之大距度诸线亦成句股二(一斗亥卯一壁室卯)四者皆形相似而比例等论曰斜平面平面立面斜立面各具四句股而并为相似之形者皆以一大句股截之成四也其股与弦并原线而所截之句又平行其比例不得不等一内外两方直形(一在浑员形内即郭法所用乃黄道及距纬两正弦所成一在浑员形外)(乃赤道及大距两切线所成)有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等一不内不外两方直形(一跨黄道内外乃赤道正弦及距纬切线所成一跨赤道内外)(乃黄道切线及大距正弦所成)有平立诸线为各相似相连句股形之句亦即为相似两方锥之底而比例等论曰方锥眠体以平行之底横截之(即四种方直形皆方锥之底)成大小四方锥其锥体之顶锐(卯)与其四棱皆不动所截之底又平行故其比例相似而等又论曰黄道在斜平面赤道在平面而其线互居者以方直形故也大距度在立面距纬度在斜立面而其线毕具者亦以方直形故也葢形既方直则横线直线两两相对而等用法斜平面比例黄道半径与黄道正弦若距纬割线与赤道正弦更之黄道正弦与黄道半径若赤道正弦与距纬割线一丙张小股 二丙卯小弦 三子房大股 四子卯大弦又更之距纬割线与黄道半径若赤道正弦与黄道正弦一子卯大弦 二丙卯小弦 三子房大股 四丙张小股右取斜平面张丙卯房子卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正弦而成四率黄道半径与黄道切线若大距割线与赤道切线更之黄道切线与黄道半径若赤道切线与大距割线一癸斗小股 二癸卯小句 三亢壁大股 四亢卯大句又更之大距割线与黄道半径若赤道切线与黄道切线一亢卯大句 二癸卯小句 三亢壁大股 四癸斗小股右取斜平面斗癸卯壁亢卯二句股形以癸卯半径偕一割线两切线而成四率平面比例赤道半径与赤道正弦若距纬余弦与黄道正弦更之赤道正弦与赤道半径若黄道正弦与距纬余弦一甲庚大股 二甲卯大弦 三辛井小股 四辛卯小弦又更之距纬余弦与赤道半径若黄道正弦与赤道正弦一辛卯小弦 二甲卯大弦 三辛井小股 四庚甲大股右取平面井辛卯庚甲卯二句股形以甲卯半径偕一余弦两正弦而成四率赤道半径与赤道切线若大距余弦与黄道切线更之赤道切线与赤道半径若黄道切线与大距余弦一氐室大股 二氐卯大句 三己亥小股 四己卯小句又更之大距余弦与赤道半径若黄道切与赤赤道切线一己卯小句 二氐卯大句 三己亥小股 四氐室大股右取平面亥己卯室氐卯二句股形以氐卯半径偕一余弦两切线而成四率立面比例黄道半径与大距正弦若黄道余弦与距纬正弦更之大距正弦与黄道半径若距纬正弦与黄道余弦一癸己大股 二癸卯大弦 三张井小股 四张卯小弦又更之黄道余弦与黄道半径若距纬正弦与大距正弦一张卯小弦 二癸卯大弦 三张井小股 四癸己大股右取立面己癸卯井张卯二句股形以癸卯半径偕一余弦两正弦而成四率赤道半径与大距切线若赤道余弦与距纬切线更之大距切线与赤道半径若距纬切线与赤道余弦一氐亢大股 二氐卯大句三庚房小股 四庚卯小句又更之赤道余弦与赤道半径若距纬切线与大距切线一庚卯小句 二氐卯大句三庚房小股 四氐亢大股右取立面房庚卯亢氐卯二句股形以氐卯半径偕一余弦两切线而成四率斜立面比例黄道半径与距纬正弦若黄道割线与大距正弦更之距纬正弦与黄道半径若大距正弦与黄道割线一丙辛小股 二丙卯小弦 三斗亥大股 四斗卯大弦又更之黄道割线与黄道半径若大距正弦与距纬正弦一斗卯大弦 二丙卯小弦 三斗亥大股 四丙辛小股右取斜立面辛丙卯亥斗卯二句股形以丙卯半径偕一割线两正弦而成四率赤道半径与距纬切线若赤道割线与大距切线更之距纬切线与赤道半径若大距切线与赤道割线一甲子小股 二甲卯小句 三室壁大股 四室卯大句又更之赤道割线与赤道半径若大距切线与距纬切线一室卯大句 二甲卯小句 三室壁大股 四甲子小股右取斜立面子甲卯壁室卯二句股形以甲卯半径偕一割线两切线而成四率以上方锥形之四面每面有大小四句股形即各成四率比例者六合之则二十有四并以两弧求一弧而不言角方直形比例黄道正弦与距纬正弦若赤道切线与大距切线更之距纬正弦与黄道正弦若大距切线与赤道切线一张井小股 二井辛小句 三亢氐大股 四氐室大句又更之赤道切线与大距切线若黄道正弦与距纬正弦一氐室大句 二亢氐大股 三井辛小句 四张井小股再更之大距切线与赤道切线若距纬正弦与黄道正弦一亢氐大股 二氐室大句 三张井小股 四井辛小句右取浑体内所容方直形上黄道及距纬两正弦偕浑体外所作方直形上赤道及大距两切线而成四率赤道正弦与距纬切线若黄道切线与大距正弦更之距线切线与赤道正弦若大距正弦与黄道切线一房庚小股 二庚甲小句 三癸己大股 四己亥大股又更之黄道切线与大距正弦若赤道正弦与距纬切线一己亥大句 二癸己大股 三庚甲小句 四房庚小股再更之大距正弦与黄道切线若距纬切线与赤道正弦一癸己大股 二己亥大句 三房庚小股 四庚甲小句右取方直形上黄道切线大距正弦偕又一方直形上赤道正弦距纬切线而成四率以上大小方锥形之底各成方直形而两两相偕即各成四率比例者四合之则八并以三弧求一弧而不言角凡句股方锥形所成之四率比例共三十有二皆不言角内四率中有半径者二十四并两弧求一弧四率中无半径者八以三弧求一弧其不言角则同问各面之句股形并以形相似而成比例若方直形所用皆各形之大小句然不同居一面又非相似之形何以得相为比例曰句股形一居平面一居立面而能相比例者以有棱线为之作合也何以言之如亢卯割线为方锥形之一棱而此线既为斜平面句股形(壁亢卯)之股又即为立面句股形(氐亢卯)之弦故其比例在斜平面为亢卯与张卯若亢壁与张丙也而在立面为亢卯与张卯若亢氐与张井也合而言之则亢壁与张丙亦若亢氐卯与张井余倣此问此以方直相比非句股本法矣曰亦句股也试平置方锥(以方底著地使卯锐直指天顶而卯氐棱线正立如垂)而从其卯顶俯视之则卯井庚己氐棱线上分段之界因对视而成一㸃亢卯棱线与亢氐线相疉室卯线与室氐相叠皆脗合为一惟亢壁室氐直 形因平视而得正形其壁卯棱线则成壁氐而斜界于对角分直方形为两句股形矣又其分截之三方直形亦以平视得正形亦各以棱线分为两句股而大小相疉成相似之形而比例等矣如图亢氐室壁长方以壁氐线成两句股而张井辛丙长方(即张氐辛丙)亦以丙卯线(即丙井亦)(即丙氐)成两句股并形相似则亢壁与张丙若亢氐与张井(张井即张氐)又癸己亥斗长方(即癸氐亥斗)以斗卯线(即斗己又即斗氐)成两句股而房庚甲子长方(即房氐甲子)亦以子卯线(即子庚又即子氐)成两句股而形相似则癸斗与房子若癸己与房庚(癸己与房)(庚即癸氐与房氐)展形(展之成四句股面一方直底) 合形(合之则成句股方锥)作方直仪法(即句股立方锥)法以坚楮依黄赤大距二十三度半画成立面再任设赤道距至度画成平面再依法画距纬斜立面及黄道距至度斜平面并方直底然后依棱折辏即浑员上各线相为比例之故了然共见任指黄道或赤道之距至一弧为式即各弧可知其所用距至弧或在至前或在至后或冬至或夏至并同一理方堑堵内容员堑堵法先解方堑堵堑堵以正方为底(氐卯丁乙形)其上有赤道象限(氐干乙弧乙春分氐夏至)以长方为斜面(亢卯戊乙形)其上有黄道象限(癸巽)(乙弧乙春分巽夏至)底与而一邉相连(卯乙邉为)(底与斜面所同用故相连乃黄赤道之半径)一邉相离(氐丁邉在底与赤道平行亢戊邉在斜面故相离其距为亢氐为戊)(丁皆大距度癸氐弧之切线)其形似斧从斜面作戊卯对角线切至底(戊丁卯对角线于底)分堑堵为两则赤道为两平分(赤道平分于干干乙距春分干氐距夏至各得四十五度)而黄道为不平分(黄道分于巽则巽乙距春分四十七度二十强九分弱而巽癸距夏至四十二度三十一分)于是黄道切线(戊乙)与大距度割线(亢卯)等而方堑堵之形以成(亢卯为大距二十三度三十一分半之割线其数一○九○六五戊乙为黄道四十七度二十九分)(之切线其数亦一○九○六五两数既同故能作长方斜面而成堑堵)乃黄道求赤道用两切线之所赖也(若赤道求黄道则反用其率)法曰自黄道四十七度二十九分以前用正切是立面句股比例(戊丁乙句股比例即亢氐卯或用癸巳卯皆大句股也其酉未乙则为小句股)右黄道求赤道为以弦求句一 赤道半径氐卯 大句二 大距割线亢卯 大弦三 赤道切线未乙(甲乙赤道) 小句四 黄道切线酉乙(丙乙黄道) 小弦右赤道转求黄道为以句求弦自黄道四十七度二十九分以后用余切是斜平面句股比例(斜面亢虚卯为大句股癸斗卯为小句股在平面则为氐危卯大句股己心卯小句股)一 黄道半径癸卯 小股二 大距割线亢卯 大股三 黄道余切癸斗 小句 (牛乙黄道其余弧牛癸)四 赤道余切亢虚 大句 (女乙赤道其余弧女氐)右黄道求赤道为以股求句一 赤道半径氐卯 大股二 大距余弦己卯 小股三 赤道余切危氐(即亢虚) 大句 (女氐即女乙赤道之余)四 黄道余切心己(即癸斗) 小句 (牛癸即牛乙黄道之余)右以赤道转求黄道亦为以股求句论曰赤道求黄道用句股于赤道平面即郭太史员容方直之理但郭法起二至则此所谓余弧乃郭法之正弧又郭法只用正弦而此用切线为差别耳又论曰正切线法亦可用于半象限以上余切线亦可用于半象限以下此因方堑堵之底正方则所用切线至方角而止故各用其所宜(云半象限者主赤道而言若黄道以四十七度二十)(九分为断一平一斜故其比例如弦与句)又论曰正切线法即句股锥形也余切线法即句股方锥也以对角斜线分堑堵为两成此二种锥形遂兼两法次解员堑堵方堑堵内容割浑员之分体以癸牛丙乙黄道为其斜面之界以氐女甲乙赤道为其底之界而以癸氐大距弧及牛女丙甲等逐度距弧为其髙髙之势曲抱如浑员之分斜面平面皆为平员四之一(其髙自癸氐大距渐杀至春分乙角)(而合为一㸃)员堑堵者虽亦在方堑堵之内然又在所容割浑员分体之外与割浑员体同底亦以赤道为界而不同面其面自乙春分过子过奎至亢其形卯乙短而亢卯长如割平撱员面四之一其撱员邉之距心皆以逐度距纬(如丙甲牛女等)之割线所至为其界(如卯子为丙甲距弧割线卯奎为牛女距弧割线之)(类)而以逐度距纬之切线为其髙(如子甲为丙甲距弧切线奎女为牛女距)(弧切线之类)法以赤道为围作员柱置浑员在员柱之内对赤道横剖之则所剖员柱之平员底即赤道平面也又自夏至依大距二十三度三十分半之切线为髙斜对春秋分剖至心则黄道半周在所剖之斜面矣然黄道半周虽在所剖斜面而黄道自为半平员所剖斜面则为半撱员黄道平员在撱员内两端同而中广异(两端是二分如乙为平撱同用之㸃中广是夏至如黄道癸在撱面亢之内其距为癸亢)此员堑堵之全体也于是又从亢癸对卯心直剖到底则成员堑堵之半体即方堑堵所容也此员堑堵斜面之髙俱为其所当距纬弧之切线浑员上弧三角法以距纬切线与赤道平面之正弦相连为句股而生比例是此形体中所具之理此堑堵体与前图同惟多一亢奎子乙撱弧以此为撱员界立剖至底令各度俱至赤道而去其外方则成员堑堵真体此员堑堵为用子甲丑句股形之所頼子甲为距弧切线甲丑为赤道正弦也又子甲如股甲丑如句法为子甲与甲丑若亢氐与氐卯前图为从心眎邉此为从邉眎心盖因欲显圆堑堵内方直形故为右观之象与前图一理惟多一己庚辛乙撱弧(前图亢奎子乙撱弧在黄道斜面此图己庚辛乙撱弧在赤道平面)员堑堵有二若自斜面之黄道象限各度直剖至赤道平面亦成员堑堵象限然又在剖浑员体分之内其体以斜面为正象限但斜立耳其底在赤道者转成撱员此撱员形在赤道象限之内惟乙点相连此即简平仪之理其撱之法则以卯乙半径为大径癸氐距弧之余弦卯巳为小径小径当二至大径当二分与前法正相反然其比例等何也割线与全数若全数与余弦也此员堑堵以撱形为底象限为斜面以距度逐度之正弦为其髙乃黄道距纬相求用两正弦之所頼也此员堑堵内又容小方堑堵乃郭太史所用员容方直也浑员因斜剖作角而生比例成方员堑堵形其角自○度一分以至九十度凡五千四百则方员堑堵亦五千四百矣(乙角以春分为例则其度二十三度半强其实自一分至九十度并得为乙角合计之则五千)每一堑堵依度对心剖之成立句股锥及方句股锥之眠体自○度一分至大距止亦五千四百以五千四百自乗凡二千九百一十六万而浑员之体之势乃尽得其比例乌呼至矣每度分有方堑堵方堑堵内函赤道所生撱体赤道撱体内又函黄道所生撱体黄道撱体内又函小方堑堵每度分有此四者则一象限内为五千四百者四共二万一千六百(以乙角五四○○乗之则一一六六四○○○○)每度有正有余对心斜分则正度成句股锥余度成方底句股锥之眠体一象限凡四万三千二百(以五四○○乘之则)(二三三二八○○○○)员容方直简法序古未有预立算数以尽句股之变者有之自西洋八线表始古未有作为仪器以写浑员内句股之形者自愚所撰立三角始立三角之仪分之曰句股锥形曰句股方锥形合之则成堑堵形其称名也小其取类也大径寸之物以状浑员而弧三角之理如指诸掌即古法之通于弧三角者亦如指诸掌矣虽然犹无解于古法之不用割切也故复作此简法以互征之而授时厯三图附焉盖理得数而彰数得图而显图得器而真草野无诸仪象藉兹以自释其疑不敢自私故以公之同好云尔(句股锥形是以西法通国法句𨱁方锥形是以郭法通西法今此简法是専解郭法而两法相同之故自)(具其中)员容方直仪简法(即句股方锥之方直仪而不用割切线祗以各弧正弦矢度相求其用己)(足亦不须用角)立面中有句股形二其一大句股形(癸巳乙)以黄道半径(癸乙)为弦大距度正弦(癸巳)为股大距度余弦(巳乙)为句其一小句股形(壬戊乙)以黄道余弦(壬乙)为弦距纬正弦(壬戊)为股楞线(戊乙)为句平面中亦有句股形二其一小句股形(庚戊乙)以距纬丙甲之余弦(庚乙)为弦以黄道正弦(戊庚)为股楞线(戊乙)为句其一大句股形(甲辛乙)以赤道半径(甲乙)为弦以赤道正弦(甲辛)为股赤道余弦(辛乙)为句(戊乙线于弧度无取然平立二形并得此补成句股谓之楞线)黄道正弦本在斜平面而能移于平面者有相望两立线(丙庚壬戊)为之限也距度正弦本在斜立面而能移于立面者有上下两横线(丙壬)(庚戊)为之限也此四线(两立两横)相得成长方其立如堵故又曰弧容直濶也有大距有黄道而求距纬 更之可求大距 反之可求黄道一 半径 癸乙 一 黄道余弦 一 大距正弦二 大距正弦 癸己 二 距纬正弦 二 半径三 黄道余弦 壬乙 三 半径 三 距纬正弦四 距纬正弦 壬戊 四 大距正弦 四 黄道余弦有赤道有距纬而求黄道 更之可求赤道 反之可求距纬一 半径 甲乙 一 距纬余弦 一 赤道正弦二 赤道正弦 甲辛 二 黄道正弦 二 半径三 距纬余弦 庚乙 三 半径 三 黄道正弦四 黄道正弦 庚戊 四 赤道正弦 四 距纬余弦郭太史本法弧矢割员图(见授时厯草下并同)凡浑员中割成平员任割平员之一分成弧矢形皆有弧背有弧弦有矢割弧背之形而半之则有半弧背有半弧弦有矢 因弧矢生句股形以半弧弦为句(即正弦)矢减半径之余为股(即余弦)半径则常为弦 句股内又成小句股则有小句小股小弦而大小可以互求或立或平可以互用(平视侧视二图皆从此出)侧视之图横者为赤道(赤道一规因旁视如一直线黄)(道同)斜者为黄道因二至黄赤之距成大句股(即外圈)因各度黄赤之距成小句股平视之图外大员为赤道内撱者黄道(从两极平视则黄道在赤道内)(而成撱形)有赤道各度即各其有半弧弦以生大句股又各有其相当之黄道半弧弦以生小句股(此二者皆可互求)授时厯求黄赤内外度及黄赤道差法置黄道矢(本法用带从三乗方求各度矢)去减周天半径(即立面黄道半径)余为黄赤道小弦(即黄道余弦也半径为大弦故此为小弦)置黄赤道小弦以二至内外半弧弦(即二至大距度正弦当时实测为二十三度九十分)乘之为实黄赤大弦(即周天半径以其为立面大句股之弦故称大弦)为法除之得黄赤道内外半弧弦(即各度黄赤距度正弦也原法以矢度度半背弦差加入半弧弦得内外半弧)(背今省)又置黄赤道小弦以黄赤道大股(即二至内外度余弦也在立面大句股形)(为大股)乗之为实黄赤道大弦为法除之(解见前)得黄赤道小股(即立面平面两小句股同用之楞线在立面与大股相比故称小股)置黄道半弧弦(即黄道正弦也原法以黄道矢求半背弦差减黄道度得之)自乗为股幂黄赤小股自乗为句幂(即楞线也先在立面为小句股形之股今又为平面句股形之句故其幂称句幂)两幂并之为实开平方法除之为赤道小弦(即各度黄赤距度余)(弦也周天半径为平面上大句股之弦故称大弦则此为小句股弦当称小弦)置黄道半弧弦以周天半径乗之为实赤道小弦为法除之得赤道半弧弦(即赤道正弦也原法求半背弦差以加半弧弦得赤道今省)论曰弧矢割员者平员法也以测浑员则有四用一曰立弧矢势如张弓以量黄赤道二至内外度即侧立图也一曰平弧矢形如伏弩以量赤道即平视图也一曰斜弧矢与平弧矢同法而平面邉髙邉下其庋起处如二至内外之度以量黄道即平视图中小句股也一曰斜立弧矢与立弧矢同法而其立稍偏以量黄赤道各度之内外度即侧立图中小句股也自离二至一度起至近二分一度止一象限中逐度皆有之但皆小于二至之距邢台郭太史弧矢平立三图中具此四法即弧三角之理无不可通言简而意尽包举无穷好古者所当珤爱而?玩也又论曰割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台葢有所本厥后授时厯承用三百余年未加修改测箕之讲求益稀学士大夫既视为不急之务而台官株守成法鲜谙厥故骤见西术群相骇诧而不知旧法中理本相同也畴人子弟多不能自读其书又忌人之读而各私其本久之而书亦不可问矣攷元史厯成之后所进之书凡百有余卷(郭守敬传有修改源流及测騐等书齐履谦传有经串演撰诸书明厯法之所以然)今其存轶并不可攷良可浩叹然天下之人岂无有能藏弆遗文以待后学者庶几出以相证予于斯图之义类多通而深有望于同志矣问元初有回回厯法与今西法大同小异邢台葢㑹通其说而为之故其法相通若是与曰九章句股作于𨽻首为测量之根本三代以上学有専家大司徒以三物教民而数居六艺之一秦火以后吾中土失之而彼反存之至于流逺𣲖分遂以各名其学而不知其本之同也况东西共戴一天即同此句股测员之法当其心思所极与理相符虽在数万里不容不合亦其必然者矣攷元初有西域人进万年厯未经试用迨明洪武年间始命词臣吴伯宗西域大师马沙亦黒等译回回厯书三卷然亦粗具筭法立成并不言立法之原究竟不知其所用何法或即今三角八线或更有他法俱无可攷虽其子孙莫能言之攷元史所载西域人晷影堂诸制与郭法所用简仪髙表诸器无一同者或测量之理触类増智容当有之然未见其有㑹通之处也徐文定公言回回厯纬度凌犯稍为详宻然无片言只字言其立法之故使后来入室无因更张无术盖以此也又据厯书言新法之善系近数十年中所造则亦非元初之西法矣而与郭图之理反有相通岂非论其传各有本末而精求其理本无异同耶且郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乗方以先得矢西用八线故先得弦又西専用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用弦种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论东西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而启深思务集众长以观其㑹通毋拘名相而取其精粹其于古圣人创法流传之意庶几无负而羲和之学无难再见于今日矣角即弧解问古法只用弧而西法用角有以异乎曰角之度在弧故用角实用弧也何以明其然也假如辰庚己三角形有庚钝角有己庚辰庚二邉欲求诸数依垂弧法于不知之辰角打线线先补求辰辛及辛庚成辰辛庚三角虚形此必用庚角以求之而庚角之度为丙丁是用庚角者实用丙丁也其法庚丙九十度之正弦(即半径)与丙丁弧之正弧(即庚角正弦)若庚辰正弦与辰辛正弦是以大句股之例例小句股也又丙丁弧之割线(即庚角割线)与庚丁九十度之正弦(亦即半径凡角度所当弧)(其两边并九十度)若庚辰之切线与庚辛之切线亦是以大句股之例例小句股也既补成辰辛巳三角形可求巳角而巳角之度为乙甲是求巳角者实求乙甲也其法辛己弧之正弦与辰辛弧之切线若己甲象弧之正弦(即半径)与乙甲弧之切线(即己角切线)是以小句股例大句股也又如己辰庚形庚为锐角当自不知之辰角打线分为二形以求诸数其一辰辛庚分形先用庚角而庚角之度为丙丁用庚角实用丙丁也法为丙庚象弧之正弦(即半径)于丙丁弧之正弦(即庚角正弦)若辰庚之正弦与辰辛之正弦又丙庚象弧之正弧(即半径)与丙丁弧之余弦(即庚角余)(弦)若辰庚之切线与辛庚之切线是以大句股例小句股也其一辰辛己分形(以庚辛减己庚得己辛)有辰辛己辛二邉可求己角而己角之度为乙甲求己角实求乙甲也法为己辛之正弦与辰辛之切线若己甲象〔？〕之正弦(即半径)与乙甲弧之切线(即己角切线)是以小句股例大句股也一系 用角求弧是以大句股比例比小句股用弧求角是以小句股比例比大句股厯算全书卷六十◆ 《大统历志-清-》（KR3f0027）
## 提要
钦定四库全书 子部六
大统厯志 天文算法类二(推歩之属)提要(臣)等谨案大统厯志八卷国朝梅文鼎撰初元郭守敬作授时厯其法较古为宻明初所颁大统厯即用其旧法岁久渐差知厯者恒有异议至崇祯间徐光启推衍西法分局测騐疎舛益明钦天监正戈丰年无以复争乃诿其过于守敬孙承泽作春明梦余录又力辨守敬为厯中之圣惜不能尽用其法聚讼迄无定论康熙丙午开局纂修明史史官以文鼎精于算数就询明厯得失之源流文鼎因即大统旧法详为推衍注释辑为此编以持其平分原书为法原立成推步三部法原之目七曰勾股测量曰弧矢割圆曰黄赤道差曰黄赤道内外曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差漏刻立成之目四曰太阳盈缩曰太隂迟疾曰昼夜刻分曰五星盈缩推步之目六曰气朔曰日躔曰月离曰中星曰交食曰五星法源所以取数立成所以作数推步所以纪法皆剖析分明具有条理盖文鼎于象纬运行实能究极其所以然与畴人子弟沿世业而守成法者所见固不同也厯算之家测未来者当以新法推已往者则当各求以本法知其所以疎而后可以得其宻知其所以舛而后可以得其真知其所以渐差而后可以穷其至变则是书虽明郭氏之法亦测天者前事之师矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书大统厯志卷一宣城梅文鼎撰大统厯法一法源史载厯法必载其所以厯法之原如太初诸厯起数钟律一行大衍求端河洛是也古今厯法惟授时厯独以测验算术为宗以为与天既合则律吕之损益易象之竒偶悉在其中不必一一牵附矣攷郭守敬传有修改源流一卷仪像法式二卷厯议拟稿三卷二至晷景攷二十卷五星细行考五十卷古今交食考一卷新测二十八舍杂坐诸星入宿去极一卷新测无名星一卷并藏之官又齐履谦传之授时厯有经串经以著定法串以纪成数履谦又作经串演撰八法一卷以求其法之所以然数之所从出作元史者漫无采摭而仅存履谦之厯议录厯经之初稿及仪象大畧而已其三应改率及立成之数与夫黄赤道割圆弧矢之法日月五星平立定三差之原尽削不载使作者精意湮没识者憾焉今据大统厯及通轨及厯草诸书稍为铨次著于篇而仍以法原为首其目七曰勾股测望曰弧矢割圆曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏勾股测望北京立四丈表冬至日测得正午景长七丈九尺八寸五分 以简仪测到冬至日南至地平二十六度四十六分五十秒为半弧背 求得矢度五度九十一分半置周天半径截矢余五十四度九十六分为股乃本地去戴日下之度 以弦股别勾术求得勾二十六度一十七分六十六秒为日下至地度即冬至日出地半弧弦 北京立四丈表夏至日测得正午景长一丈一尺七十一分(按元史作一丈二尺三寸六分) 以简仪测到夏至日南至地平七十四度二十六分半为半弧背 求得矢度四十三度七十四分少 置周天半径截矢余一十七度一十三分二十五秒为勾乃本地去戴日下之度以勾弦别股术求得股五十八度四十五分半为日下至地度即夏至日出地半弧弦 以二至日度相并得一百度七十三分折半得五十度三十六分半为北京赤道出地度转减周天四之一余四十度九十四分九十三秒七十五㣲为北京北极出地度弧矢割圆周天径一百二十一度七十五分少半径六十○度八十七分半(又为黄赤道大弦)二至黄赤道内外半弧背二十四度(所测就整)二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒黄赤道大勾二十三度八十分七十秒黄赤道大股五十六度○二分六十八秒割圆求矢术 置半弧背度自之为半弧背羃周天径自之为径羃又为上廉 二羃相乗得数为正实 径羃乗径得数为益从方 半弧背倍之乗径得数为下亷置初商为上法以乗上亷得数以减益从方余为从方 置初商自之以减下廉余以初商乗之得数为从廉 从方从廉相并为下法 下法乗上法以减正寔而定初商有不尽者次第商除则次商又为上法 置初商倍之得数与次商相并以乗上廉得数以减益从方余为从方 并初商次商而自之又以初商自之并二数以减下亷余以初商倍数并次商乗之得数为从廉从方从廉相并为下法 下法乗上法以减余寔而定次商有不尽者如法商之皆以商得数为矢度之数(黄赤道同用)如以半弧背一度求矢度 术曰置半弧背一度自之得一度为半弧背羃 置周天径一百二十一度太自之得一万四千八百二十三度○六分二十五秒为径羃(又为上廉)二羃相乗得一万四千八百二十三度○六分二五为正寔 径羃又乗径得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方 半弧背一度倍之得二度以乗径得二百四十三度五十分为下廉初商八十秒(为上法) 置初商八十秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得一百一十八度五八四五以减益从方一百八十○万四千七百○七度八五九三七五余一百八十○万四千五百八十九度二七四八七五为从方 又置初商八十秒自之得六十四㣲以减下廉余二百四十三度四九九九九三六仍以八十秒乗之得一度九四七九九九四八八为从廉 以从廉从方并之共得一百八十○万四千五百九十一度二三二八七四四八八为下法 下法乗上法得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九○四以减正寔余寔三百八十六度三十三分二七一七○○四○九六次啇二秒(为上法) 置初啇八十秒倍之得一分六十秒加次啇二秒得一分六十二秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得一分六十二秒乗上廉一万四千八百二十三度○六二五得二百四十○度一二三六一二五以减益从方余一百八十○万四千四百六十七度七二五七六二五为从方 又置初次啇八十二秒自之得六十七㣲加初啇八十秒自之数得一秒三十一㣲以减下廉余二百四十三度四九九八六九以前所得一分六十二秒乗之得三度九十四分四六九七八七七八为从廉 以从廉从方并得一百八十○万四千四百七十一度六十七分○四六○三七七八为下法 下法乗上法得二百六十○度八九四三三四○九二○七五五六以减余寔仍余二十五度四三八三八二九一二○二○四四(不足一秒弃不用后同)凡求得矢度八十二秒如以半弧背二度求矢度用上法得矢三分二十八秒如以半弧背二十四度求矢度用上法得矢四度八十四分八十二秒如以半弧背四十四度求矢度用上法得矢一十六度五十六分八十二秒余度各如上法求到矢度以为黄赤相求及其内外度之根(数详后)黄赤道差求黄道各度下赤道积度术 置周天半径度分内减去黄道矢度余为黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股乗之(大股见割圆)为寔黄赤道大弦(半径)为法寔如法而一为黄赤道小股 置黄道矢自乗为寔以周天全径为法寔如法而一为黄道半背弦差 以差去减黄道积度(即黄道半弧背)余为黄道半弧弦 置黄道半弧弦自之为股羃黄赤道小股自之为勾羃二羃并之以开平方法除之为赤道小弦 置黄道半弧弦以周天半径(亦为赤道大弦)乗之为寔以赤道小弦为法而一为赤道半弧弦 置黄赤道小股(亦为赤道横小勾)以赤道大弦(即周天半径)乗之为寔以赤道小弦为法而一为赤道横大勾以减半径余为赤道横弧矢 横弧矢自之为寔以周天全径为法而一为赤道半背弦差 以差加赤道半弧弦为赤道积度 如黄道半弧背一度求赤道积度 术曰置周天半径六十○度八十六分五十秒(即黄赤道大弦)内减黄道矢八十二秒余六十○度八六六八为黄赤道小弦 置黄赤道小弦以黄赤道大股五十六度○二六八乗之得三千四百一十○度一七二○三○二四为寔以黄赤道大弦六十○度八七五为法寔如法而一得五十六度○一分九十二秒为黄赤道小股(又为赤道)(小勾) 置矢度八十二秒自之得六十七㣲以周天径一百二十二度七五为法除之得五十五纎为黄道半背弦差 置黄道弦背一度内减黄道半弧背差余为半弧弦因差在㣲以下不减即用一度为半弧弦 置黄道半弧弦一度自之得一度为股羃 黄赤道小股五十六度○一九二自之得三千一百三十八度一五○七六八六四为勾羃二羃并得三千一百三十九度空七六八六四为弦寔平方开之得五十六度○二八一为赤道小弦 置黄道半弧弦一度以周天半径(即赤道大)(弦)乗之得六十○度八七五为寔以赤道小弦五十六度○二八一为法除之得一度○八分六十五秒为赤道半弧弦 置黄赤道小股五十六度○一九二(又为赤道)(小勾)以赤道大弦半径六十○度八七五乗之得三千四百一十○度一六八八为寔以赤道小弦为法除之得六十○度八十六分五十三秒为赤道横大勾 置半径六十○度八十七分五十秒内减赤道大勾六十○度八十六分五十三秒余九十七秒为赤道横弧矢置赤道横弧矢九十七秒自之得九十四㣲○九以周天径为法除之得七十七纎为赤道背弦差 置赤道半弧弦一度○八分六十五秒加赤道背弦差为赤道积度今差在㣲以下不加即用半弧弦为积度 凡求得赤道积度一度○八分六十五秒如黄道二度下赤道积度二度一十七分二十八秒如求黄道二十四度下赤道积度用上法得赤道积度二十五度七十七分五十二秒如求黄道四十四度下赤道积度用上法得赤道积度四十六度三十○分八十五秒余度各如上法求到各黄道度下赤道积度乃至后之率其分后以赤道度求黄道及此求之得数并同黄赤道相求弧矢诸率立成按郭守敬创法五端内一曰黄赤道差此其根率也旧法以一百一度相减相乗授时立术以勾股弧矢方圆斜直所容求其差数合于浑象之理视古为密顾至元厯经所载甚畧又误以黄道矢度为积差黄道矢差为差率今正之按旧史无图然表亦图之属也今勾股割圆弧矢黄赤道推变诸法寔为厯家测算之本非图不明因存其要者数端大统厯志卷一
## 卷二
钦定四库全书大统厯志卷二宣城梅文鼎撰黄赤道内外度推黄道各度距赤道内外术 置周天半径内减去赤道小弦余为赤道二弦差(又为黄赤道小弧矢又为内外矢又为股弦差) 置半径内减去黄道矢度余为黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦乗之为寔以黄赤道大弦为法(即周天半径)法除寔为黄赤道小弧弦(即黄赤道内外半弧弦又为黄赤道小勾) 置黄赤道小弧矢自之(即赤道二弦差)以周天径除之为半背弦差以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背即黄赤道内外度求黄道各度去北极逺近术 置黄道各度所推黄赤道内外度视在盈初缩末限以加在缩初盈末以减皆加减象限度即各得太阳去北极度及分秒如冬至后四十四度求太阳去赤道内外及去极度术曰置周天半径六十○度八十七分半内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒余二度五十一分八十一秒为黄赤道小弧矢(即内外矢) 置半径六十○度八七五内减黄道四十四度矢一十六度五十六分八十二秒余四十四度三十○分六十八秒为黄赤道小弦 置黄赤道小弦以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乗之得一千○五十○度五十一分四二三八为寔以黄赤道大弦六十○度八七五为法除之得一十七度二十五分六十九秒为黄赤道小弧弦(即内外半弧弦) 置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为寔以圆径一百二十一度七十五分为法除之得五分二十一秒为背弦差以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒共得一十七度三十○分八十九秒为二至前后四十四度太阳去赤道内外度 置象限九十一度三十一分四十三秒七五以内外度一十七度三○八九加之得一百○八度六十二分三十二秒七五为冬至后四十四度太阳去北极度黄道每度去赤道内及去北极立成白道交周推白赤道正交距黄赤道正交极数 术曰置寔测白道出入黄道内外六度为半弧弦又为大圆弧矢又为股弦差 置周天半径六十○度八七五自之得三千七百○五度七六五六二五以矢六度而一得六百一十七度六十三分为股弦和加矢六度共六百二十三度六十三分为大圆径依法求得容阔五度七十分又为小勾 又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大勾 以大勾为法除大股五十六度○六分五十秒得二度三十七(就整)为度差 以度差乗小勾得小股一十三度四十七分八十二秒为容半长 置周天半径为大弦以乗小勾○五度七十分为寔以大勾二十三度七十一分为法除之得一十四度六十三分为小弦又为白赤道正交距黄赤道正交半弧弦 依法求得半弧背一十四度六十六分为白赤道正交距黄赤道正交极数里差刻漏北京北极出地四十度九十五分(寔测半弧背)二至黄赤道内外度二十三度九十分(寔测半弧背)二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分(又为黄赤道大)(勾又为小三斜中弦)北京二至出入差股一十五度二十九分(又为小三斜中股又为小)(股)二至出入差半弧弦一十九度八十七分(又为小弦)二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒度差八十四分一十九秒冬至去极一百一十五度二十一分七十三秒夏至去极六十七度四十一分一十三秒夏至昼冬至夜六十一刻八十四分冬至昼夏至夜三十八刻一十六分求二至差股及出入差 术曰置所测北极出地四十度九十五分为半弧背以前割圆弧矢法推得出地半弧弦三十九度二十六分为大三斜中股 置测到二至黄赤道内外度二十三度九十分为半弧背以前法推得内外半弧弦二十三度七十一分(又为黄赤道大勾大小三斜弦)置内外半弧弦自之为勾羃周天半径自之为弦羃二羃相减开方得股以股转减周天半径得余四度八十一分为二至出入矢即黄赤道内外矢 夏至日南至地平七十四度二十六分半为半弧背求得日下至地半弧弦五十八度四十五分 半圆径六十○度八十七分半为大三斜中弦 置大三斜中股三十九度二十六分以二至内外半弧弦二十三度七十一分乗之为寔以半径六十○度八十七分半为法除之得一十五度二十九分为小三斜中股(又为小股) 置小三斜中股一十五度二十九分去减日下至地半弧弦五十八度四十五分余四十三度一十六分为大股 以出入矢四度八十一分去减半径六十○度八十七分半余五十六度○六分半为大股法 置大股弦以小股一十五度一九乗之为寔大股四十三度一六为法除寔得一十九度八十七分为小弦即为二至出入差半弧弦 置二至出入差半弧弦依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒 置二至出入差半弧背一十九度九六一四以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分除之得八十四分一十九秒为度差分求黄道毎度昼夜刻 术曰置所求毎度黄赤道内外半弧弦以二至出入差半弧背乗之为寔二至黄赤道内外半弧弦为法除之为所求毎度出入差半弧背(又术)(置黄赤道内外半弧弦以度差八十四分一十九秒乗之亦得出入差半弧背) 置周天半径内减所求黄赤道内外矢(又术以赤黄道内外矢倍之以减周天全径余数三因加)(一度为日行百刻度亦同) 置毎度出入半弧背以百刻乗之为实日行百刻度为法除之得数为出入差刻 置二十五刻以出入差刻黄道在赤道内加之在赤道外减之得数为半昼刻倍之为昼刻以减百刻为夜刻如求冬至后四十四度昼夜刻 术曰置所求冬至后四十四度黄赤道内外半弧弦一十七度二十五分六十九秒(又为黄赤道小弧弦前立成中叙之)以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乗之为寔以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分为法除之得一十四度五十二分八十五秒为所求出入半弦背(又法置黄赤道内外半弧)(弦一十七度二五六九以度差○度八四一九乗之亦得一十四度五二八五为出入半弧背)置周天半径六十○度八七五以四十四度黄赤道内外矢二度五十一分八十一秒(又为赤道二弦差前条立成中贬之)减之余五十八度三十五分六十九秒(即赤道小弦)倍之得一百一十六度七十一分三十八秒三因之加一度得三百五十一度一十四分一十四秒为日行百刻度(又术倍黄赤道内外矢得五度)(○三分六十二秒以减周天全径一百二十一度七十五分亦得一百一十六度七十一分三十八秒三因加)(一为日行百刻度并同) 置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒以百刻乗之为寔以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒为法除之得四刻一十三分七十五秒为出入差刻 置二十五刻以出入差刻四刻一十三分七十五秒减之(因冬至后四十四度黄道在赤道外故减)余二十○刻八十六分二十五秒为半昼刻倍之得四十一刻七十二分半为昼刻以昼刻减百刻余五十八刻一十七分半为夜刻(又术置出入差刻四刻一十三分七十五秒倍之得八刻二十七分半以减春秋分)(昼夜五十刻得四十一刻七十二分半为昼刻以倍刻加五十刻得五十八刻二十七分半为夜刻昼减故夜加余倣此)大统厯志卷二
## 卷三
钦定四库全书大统厯志卷三宣城梅文鼎撰黄道毎度昼夜刻立成右厯草所载毎度昼夜刻分乃授时原定大都晷漏大都者燕京也夏至昼冬至夜极长六十一刻八十四分冬至昼夏至夜极短三十八刻一十六分元史有云六十二刻者就整数耳明既都燕不知遵用惟正统己巳年奏准颁厯用六十一刻而群然非之士大夫既未攷诸元史畴人子弟失其官守又不能执厯草以争遂旋行而罢终明之世皆用南京之轨漏而已太阳盈缩平立定三差之原冬至前后盈初缩末限八十八日九十一刻(就整)离为六段毎段各得一十四日八十二刻(就整)各段寔测日躔度数与平行相较以为积差各置其段积差以其段积日除之为各段日平差平差与后段日平差相减为一差 置一差与后段一差相减为二差日平差 一差 二差置第一段日平差四百七十六分二十五秒为泛平积第一段二差一分三十八秒去减第一段一差三十八分四十五秒余三十七分○七秒为泛平积差 另置第一段二差一分三十八秒折半得六十九秒为泛立积差以泛平积差三十七分○七秒加入泛平积四百七十六分二十五秒共得五百一十三分三十○一秒为定差以泛立积差六十九秒去减泛平积差三十七分○七秒余三十六分三十八秒为寔段日一十四日八十二刻为法除之得二分四十六秒为平差置泛立积差六十九秒为寔段日一十四日八十二刻为法除两次得三十一㣲为立差盈初缩末三差用数立差三十一㣲平差二分四十六秒定差五百一十三分夏至前后缩初盈末限九十三日七十一刻(就整)离为六段毎段各得一十五日六十二刻(就整)各段寔测日躔度数与平行相较以为积差推日平差一差二差术与盈初缩末同日平差 一差 二差置第一段日平差四百五十一分九十二秒为泛平积以第二差一分三十三秒去减第一段一差三十六分四十七秒余三十五分一十四秒为泛平积差 另置第一段二差一分三十三秒折半得六十六秒五十㣲为泛立积差以泛平积差三十五分一十四秒加入泛平积四百五十一分九十二秒共四百八十七分○六秒为定差以泛立积差六十六秒五十㣲去减泛平差三十五分一十四秒余三十四分四十七秒五十㣲为寔段日一十五日六二为法除之得二分二十一秒为平差置泛立积差六十六秒五十㣲为寔段日一十五日六二为法除二次得二十七㣲为立差缩初盈末三差用数立差二十七㣲平差二分二十一秒定差四百八十七分○六秒凡求盈缩皆以入厯初末日乗立差得数以加平差再以初末日乗之得数以减定差余数以初末日乗之为盈缩积凡盈厯以八十八日九○九二二五为限缩厯以九十三日七一二○二五为限在其限以下为初以上转减半岁周余为末 盈初八十八日九○九二二五是从冬至后顺推缩末亦八十八日九○九二二五是从冬至前逆溯其距冬至同故其盈积同 缩初九十二日七一二○二五是从夏至后顺推盈末亦九十三日七一二○二五是从夏至前逆溯其距夏至同故其缩积同凡布立成 盈初缩末置立差三十一㣲以六因之得一秒八十六㣲为加分立差 置平差二分四十六秒倍之得四分九十二秒加入加分立差得四分九十三秒八十六㣲为平立合差 置定差五百一十三分三十二秒内减平差二分四十六秒再减立差三十一㣲余五百一十○分八十五秒六十九㣲为加分缩初盈末置立差二十七㣲以六因之得一秒六十二㣲为加分立差 置平差二分二十一秒倍之得四分四十二秒加入加分立差得四分四十三秒六十二㣲为并立合差 置定差四百八十七分○六秒内减平差二分二十一秒再减立差二十七㣲余四百八十四分八十四秒七十三㣲为加分以上所推皆初日之数其推次日皆以加分立差累加平立合差为次日平立合差以平立合差减其日加分为次日加分盈缩并同其加分累积之即盈缩积其数并见立成太阴迟疾平立定三差之原太阴转周二十七日五十五刻四六测分四象象各七段四象二十八段毎段十二限毎象八十四限凡三百三十六限而四象一周以四象为法除转周日得毎象六日八八八六五以分七段毎段下实测月行迟疾之数与平行相较以求积差积限 积差各置其段积差 以其段积限为法除之为各段限平差 置各段限平差与后段相减为一差 置一差与后段一差相减为二差限平差 一差 二差第七段 六分四五六四置第一段限平差一十○分七二六为泛平积 置第一段一差四十七秒七六以第一段二差九秒三六减之余三十八秒四十㣲为泛平积差 另置第一段二差九秒三十六㣲折半得四秒六十八㣲为泛立积差以泛平积差三十八秒四十㣲加泛平积一十○分七二得一十二分一十一秒为定差置泛平积差三十八秒四十㣲以泛立积差四秒六十八㣲减之余三十三秒七十二㣲为寔以十二限为法除之得二秒十一㣲为平差置泛立积差四秒六十八㣲为寔十二限为法除二次得三㣲二十五纎为立差太阴迟疾三差用数立差三㣲二十五纎平差二秒八十一㣲定差一十一秒一十一凡求迟疾皆以入厯日乗十二限二十分以在八十四限以下为初以上转减一百六十八限余为末各以初末限乗立差得数以加平差再以初末限乗之得数以减定差 余以初末限乗之为迟疾积其初限是从最迟最疾处顺推至后末限是从最迟最疾处逆溯至前其距最迟疾处同故其积度同月与日立法同但太阳以定气立限故盈缩异数大阴以平行立限故迟疾同原布立成法 置立差三㣲二十五纎以六因之得一十九㣲五十纎为损益立差 置平差二秒八十一㣲倍之得五秒六十二㣲再加积益立差一十九㣲五十纎共得五秒八十一㣲为初限平立合差 自此以损益立差累加之即毎日平立合差至八十限下积至二十一秒四一五为平立合差之极八十一限下差一秒七八○九八十二限下一秒七八○八至八十二限下平立合差与益分中分为益分之终八十四限下差亦与损分中分为损分之始至八十六限下差亦二十一秒四一五自此以损益立差累减之即毎限平立合差至末限与初限周置定差一十一分一十一秒内减平差二秒八十一㣲再减立差三㣲二十五纎余一十一分○八秒一十五㣲七十五纎为加分定差即初限损益分 置损益分以其限平立合差益减损加之即为次限损益分以益分积之损分减之便为其下迟疾度以八百二十分为一限日率加八百二十分为毎限日率(以上俱详)(立成)五星平立定三差之原凡五星各以寔测分其行度为八段以求积差畧如日月法木星立差二㣲三十六纎加平差二秒五十九㣲一十二纎减定差一十○分八十九秒七十○㣲积日 积差各置其段所测积差度分为寔以段日为法除之为泛平差各以泛平差与次段泛平差相较为泛平较又以泛 较与次段泛平较相较为泛立较置第一段泛平较三十九秒(一六二一)减其下泛立较六秒二四二二余三十二秒九一九九为初段平立较加初段泛平差一十分五六七八○一共得一十○分八十九秒七十○㣲为定差(秒置万位)置初段平立较差三十二秒九十九九内减泛立较之半三秒一二一一余二十九秒七九八八以段一十一日五十刻除之得二秒五十九㣲一十二纎为平差置泛立差之半三秒一二一一以段日为法除二次得二㣲三十六纎为立差以上为木星平立定三差之原火星盈初缩末立差一十一㣲三十五纎减平差八十三秒一十一㣲八十九纎减定差八十八分四十七秒八十四㣲积日一段七日六十刻二段一十五日二十五刻三段二十二日八十七刻五十分四段三十○日五十○刻五段三十八日一十二刻五十分六段四十五日七十五刻七段五十三日三十七刻五十分八段六十一日积差一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五二段 一十一度六○○一七五七四三五九三七五三段 一十六度○二五九六三七九二五一九五(三一二五)四段 一十九度六六九○一三六二一二五五段 二十二度二七九八九一四七六○七四(二一八七五)六段 二十四度一六八二二八六○三二八一二五七段 二十五度三三一五五六二四九二六○(一五六二五)八段 二十五度六一九五一五六六泛平差一段 八十二分○六五七三四八四三七五二段 七十六分○六六七二六一六七五三段 七十○分○五八八五八一○九三七五四段 六十四分一八二九六九二五五段 五十八分四三九○五九六○九三七五六段 五十二分八二七一二九一八七五七段 四十七分三四七一七七九八四三七五八段 四十一分九九九二○六泛平较一段 六分一二九八四七二九六八七五二段 六分○○七八六八○七八一二五三段 五分八七五八八八八五九三七五四段 五分七四三九○九六四○六二五五段 五分六一一九三○四二一八七五六段 五分四七九九五一二○三一二五七段 五分三四七九七一九八四三七五泛立较一段 一十三秒一九七九二一八七五二段 一十三秒一九七九二一八七五三段 一十三秒一九七九二一八七五四段 一十三秒一九七九二一八七五五段 一十三秒一九七九二一八七五六段 一十三秒一九七九二一八七五泛平较前多后小应扣泛立较取初段下泛平较六分一三九八四七二九六八七五加泛立较一十三秒一九七九二一八七五得六分二七一八二六五一五六二五为初日下半立较置初段泛平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五加初日下立平较六分二七一八二六五一五六二五得八十八分四十七秒八十四㣲为盈初缩末定差置初日下平立较六分二七一八二六五一五六二五加泛立较之半六秒五九八九六○九三七五得六分三三七八一六一二五为寔以一段下积日而一得八十三秒一十一㣲八十九纎为盈初缩末平差置泛立较之半六秒五九八九六○九三七五以一段十七日六十二刻五十分为法除二次得一十一㣲三十五纎为盈初缩末立差火星缩初盈末立差八㣲五十一纎平差三秒○二㣲三十五纎损减定差二十九分九十七秒六十三㣲积日一段 一十五日二十五刻二段 三十○日五十刻三段 四十五日七十五刻四段 六十一日五段 七十六日二十五刻六段 九十一日五十刻七段 一百○六日七十五刻八段 一百二十二日积差一段 四度五三一二五一八五七九六八七五二段 九度一○二九六一四五一二五三段 十三度五三一六七○九○一七七三七五四段 一十七度四七八九七五○四五段 二十○度八四三六六三○六六四○六二五六段 二十三度四三一三三六二四一二五七段 二十五度○九二四三五二八三四六八七五八段 二十五度六一八三七四七二泛平差一段 二十九分七一三一二六九三七五二段 二十九分八四五七七五二五三段 二十九分五七八三五五○六二五四段 二十八分六五四○六四五段 二十七分三三三九五一五六二五六段 二十五分六一八○一七七五七段 二十三分五○六二六二五六二五八段 二十○分九九八六八六泛平较一段 一十三秒二六四八三一二五二段 二十六秒八四一八○八七五三段 九十二秒四二九一○六二五四段 一分三二○一一二四三七五五段 一分七一五九三三八一二五六段 二分一一一七五五一八七五七段 二分五○七五七六五六二五泛立较一段 一十三秒五七六九七七五二段 六十五秒五八七二九七五三段 三十九秒五八二一三七五四段 三十九秒四八二一三七五五段 三十九秒三八五一三七三六段 三十九秒五八二一三七五七段(阙)取泛立较均停者三十九秒五八二一三七五以较一段下泛平较一十三秒二六四八三一二五余二十六秒三一七三○六二五为较较以加一段下泛平差二十九分七一三一二六九三七五得二十九分九十七秒六十三㣲为缩初盈末定差置较较二十六秒三一七三○六二五以一段日一十五日二十五刻而一得一秒七二五七二五再置泛立较之半一十九秒七九一○六八七五以段日而一得一秒二九七七七五两数并得三秒○二㣲三十五纎为缩初盈末平差 置泛立较之半一十九秒七九一○六八七五以段日一十五日二五为法除二次得八㣲五十一纎为缩初盈末立差以上为火星平立定三差之原土星盈厯立差二㣲八十三纎扣平差四秒一十○㣲二十二纎减定差一十五分一十四秒六十一㣲积日 积差一段一十一日五十刻 一度六八三二四五八二(八七五)置第一段下泛平较内减其下泛立较余五十○秒九一七九七五为平立较以平立较加本段泛平差得一十五分一十四秒六十一㣲为盈定差置平立较内减泛立较之半三秒七四二六七五余四十七秒一七五三以一段日十一日五十刻而一得四秒一十○㣲二十二纎为盈平差置泛立数之半以一段日除二次得二㣲八十三纎为盈立差土星缩厯立差三㣲三十一纎加平差一秒五十一㣲二十六纎减定差一十一分○一秒七十五㣲积日置一段泛平较内减其下泛立较余二十一秒七七二三七五为平立较以平立较加入本段泛平差得一十一分○一秒七十五㣲为缩定差置平立较内减泛立较之半四秒三七七四七五余一十七秒三九四九以一段日一十一日五十刻为法除之得一秒五十一㣲二十六纎为缩平差置泛立较之半以一段日为法除得三㣲三十一纎为缩立差以上为土星平立定三差之原金星立差一㣲四十一纎加平差三纎减定差三分五十一秒五十五㣲积日 积差置一段下泛平较与其泛立较相减余一秒八六八一七五为平立较以加泛立差得三分五十一秒五十五㣲为定差置平立较与泛立数之半一秒八六四七二五相减余三十四纎以段日一十一日五十刻为法除之得三纎为平差置泛立较之半以段日为法除二次得一㣲四十一纎为立差以上为金星平立定三差之原水星立差一㣲四十一纎加平差二十一㣲六十五纎减定差三分八十七秒七十○㣲积日泛平差 泛平较 泛立较术同金星求得定差三分八十七秒七十㣲平差二十一㣲六十五纎立差一㣲四十一纎以上为水星平立定三差之原右五星皆以立差为秒平差为本定差为总五星各以段次因秒木土金水四星并本惟火星较本各以积日而积五星皆较总又各以积日乗之得各寔测之度分五星积日皆以度率除周日得三百六十五度二十五分太各以四分之一为象限惟火星用象限之一减象限为盈初缩末限加象限为缩初盈末限其命度为日者为各取盈缩厯乗除之便其寔积日之数即积度也大统厯志卷三
## 卷四
钦定四库全书大统厯志卷四宣城梅文鼎撰立成既有法原则数可纪矣故立成次之立成云者依法以日月五星盈缩迟疾之数预为排定以便推歩取用也元志厯经歩七政盈缩迟疾皆有二术其一术以三差立算者即布立成法也其又术云以其下盈缩分乗入限分万约之以加其下盈缩积者用立成法也而遗立成未载无从入算今依大统厯通轨具录之其目有四曰太阳盈缩曰太隂迟疾曰昼夜刻曰五星盈缩(余详法原及推歩二卷厯按元史至元十七年授时厯成十九年王恂卒时 虽颁然立成之数尚皆未)(有定稿郭守敬比类篇次整齐分秒裁为二卷而今钦天监本载嘉议大夫太史令臣王怐奉敕撰意者王先冇稿而郭卒成之者欤)大统厯依授时算立成上太阳冬至前后二象盈初缩末限(置八十七日下消息分六分五五六八内减初)(日四分九三八六余一分六一八二为寔八十七日为法除之得○一八六为每日之差)(置本限八十八度九○九二二五加入盈积度二度四千○一十四分恰合得九十一度三一○六二五为周岁一象之)(度)太阳夏至前后二象缩初盈末限(置九十二日下消息分五分九二六六内减初日四分四)(三六二余一分四九○四为寔九十二日为法除之得○一六二为每日之差)(置本限平行九十三度七一二○二五减去缩积度二度四千○一十四分亦恰合得九十一度三二○六二五为周岁)(一象之度)布立成法(先依厯经盈缩招差各以其日平差立差求到每日盈缩积次以相挨两日盈缩积相减余为每日盈缩)(加分以其日加分盈加缩减一度即每日日行度又以相挨两日加分相减余为每日消息分再置末日消息分以初日分减)(之余为寔求日日数为法法除寔即自然得每日消息之差也)覆騐法(各以其日消息分减其日加分以加其日加分加其日加分亦即得先日加分也累积每日加分得其日盈缩)(积以其日盈缩积减去先日加分亦即得先日盈缩积也各又法盈初置立差三十一缩初置立差二十七各六因之得 消)(息之差)勿庵补求盈缩末日法(既有初入末之日其次朔弦望但以望策累减即得次朔望以弦䇿减之亦得)(弦此法用之写算尤妙岁既逓减讫乃取所得末日加其原列盈缩日即合半 周则知不误也丙寅十月)髙丽史厯志扵授时厯经后载有日行盈缩月行迟疾五星盈缩立成俱同遂不细钞惟盈缩立成后有语二条今录于此盈初缩末限以初日行分至八十八日计得九十一度四○一四二七此盈初冬至 休初日行分自一日至后八十八日计得九十一度三五○三四二此缩末秋分缩初盈末限以初日行分至九十三日计得九十一度五九八七一七此缩初夏至 休初日行分自一日至后九十三日计得九十一度六四七二○一此盈末春分太隂限数迟疾度(十分定三子单分定二子十秒定一子单秒不定)(置月平行一十三度三六八七五以每限日行分八百二十分为法乗之又以万约之得数一度○九六二三七五是为)(每限月平行度也复置在位以各限损益分加减之如在疾厯则益者加之损者减之如在迟厯则益者减之损者加之)(即各得每限月行迟疾度数也数止秒秒以下有零数不拘多少俱收为秒) (勿庵注)(又法置小转中一十三日七七七三以月平行度为法乗之得数一百八十四度一八五二七九三七五为寔以一百六)(十八限为法除之得一度○九六三四○九四是为每限月平行度也复以各限损益分加减之即各得其限迟疾行度)(也数止秒秒以下弃不用) (此法较亲○加减同)布立成法(依厯经垜叠招差各以平差立差求到各限迟疾度次以相挨两限迟疾度相减余为每限损益分次各)(以其限损益分加减每限月平行一度○九六三四○九四得为各限疾迟行度也秒以下数不用其加减法在疾益加损减)(在迟反之其八十三四限另有变率求差之法)勿庵补求限数法(以所得迟疾日及今与立成日率相比而取其日率相似而畧少者用之即得所用限数)(也不必以十二限二十分乗此法甚㨗又免退一限减之烦 丙寅十月初十日记)钦天监秘本迟疾行度之法 ○度○○○ 歌曰天根一度○九分六三三九七五齐(法曰先置天根之数)损益加减为分秒各限行度自然知(法曰)(加者加入天根之内减者置天根之数减其损益分也)八十三限前皆益疾加迟减是端的八十四限后皆损疾减迟加更莫疑又加减差之法 ○十○百○○○○大统厯志卷四
## 卷五
钦定四库全书大统厯志卷五宣城梅文鼎撰大统厯依授时立成法下冬至日后每日日出晨分半昼分法以半昼分转减五十刻(即半日周五十分也)余为日出分 日出分内又减去二百五十分为晨分 以晨分减日周一万分余为昏分 昏分内又减二百五十分为日入分 若顺推者以半昼分加半日周为日入分又加二百五十分为昏分以昏分减日周为晨分晨分加二百五十分为日出分查表㨗法凡晨分昏分相并成日周一万 日出分日入分相并亦成日周一万 又晨分昏分之尾数四位相并成一百分日出分日入分之尾数四位相并亦成一百分(即一刻)若尾数三位则晨分同日出而昏分日入并同半昼皆尾数三位不变夏至日后每日日出入晨昏半昼分右立成所载日出入半昼夜晨昏分葢阳城晷刻也凡晷刻长短生于北极出地之髙下极髙则景长差多极卑则景短差平据元史所载当时四海测騐晷景之数二十有七其一为南京北极出地三十四度太强其一为河南府阳城北极出地三十四度太弱其一为岳台北极出地三十五度夏至昼六十刻夜四十刻今立成所载昼夜永短之数于六十则弱于四十则强故知为阳城或南京晷刻也今将元志晷差列后四海测騐南海北极出地一十五度夏至景在表南长一尺一寸六分昼五十四刻夜四十六刻衡岳北极出地二十五度夏至日在表端无景昼五十六刻夜四十四刻岳台北极出地三十五度夏至晷景长一尺四寸昼六十刻夜四十刻和林北极出地四十五度夏至晷景长三尺二寸四分昼六十四刻夜三十六刻铁勒北极出地五十五度夏至晷景长五尺一分昼七十刻夜三十刻北海北极出地六十五度夏至晷景长六尺七寸八分昼八十二刻夜一十八刻大都北极出地四十度太强夏至晷景长一大二尺三寸六分(通轨作一丈一尺七寸一分)昼六十二刻夜三十八刻河南阳城府北极出地三十四度太弱琼州北极岀地一十九度太大统厯依授时算立成北京日出入时刻昼夜长短大统歴依授时算立成 五星盈缩木星 盈缩同用火星 盈厯火星 缩厯土星 盈厯大统厯志卷五
## 卷六
钦定四库全书大统厯志卷六宣城梅文鼎撰释凡四则印心厯生于数数生于理理与气偕其中有神頥焉而不乱也变焉而有常也于是圣人以数纪之尧命羲和舜在玑衡皆是物也中遭秦炬先宪略亡自太初以后作者数十家人各效才王郭肇兴大成斯集夫天不变理亦不变故厯代贤者徃徃騐天以立法要皆积有毕生之精力始得其一法之合乎理有圣人虽起不复能易者而后垂之不刋以至今鼎何人也敢与于斯夫创起者难为功观成者易为力昔人縁理以立数今人因数以知理期以信吾心焉耳矣所不能信者不敢知也其或章句繁复徃复谆然夫必如是而后自信以信于古人僣越获罪既无所逃拘滞固陋贻诮通方幸有以教存疑大统厯法所以仍元法不变者谓其法之善可以永久也夫既仍辛巳之元合用授时之数乃以今所传较之厯经参伍多违岂别有说愚故不能无疑也按厯经上考徃古则岁实百年长一周天百年消一下騐将来则岁实百年消一周天百年长一此其据徃以知来自尧典𦙍征降而诸史所载可以数求者当时则既一一騐之矣而今所传岁实一无消长此其可疑一也又按厯经诸应等数随时推测不用为元固也今则气应仍是五十五日○六百分周应仍是箕十度至于闰应原是二十○万一千八百五十分今改为二十○万二千○五十分较授时后二百分转应原是一十三万一千九百○四分今改为一千三万○千二百○五分较授时先一千六百九十九分交应原是二十六万○千一百八十七分八十六秒今改为二十六万○千三百八十八分较授时后二百○○分一十四秒或差而先或差而后以之上考辛巳必与元筭不谐若据厯经以歩今兹亦与今筭不合然则定朔置闰月离交㑹之期又安所取衷也岂当时定大统厯有所测騐而改之欤夫改宪则必另立元今气应周应俱同而独于数者有更此其可疑二也又按厯经盈缩迟疾皆有二术其一术不用立成其一术用立成然只有用之之法而无其图其迟疾图则又仍如古式只二十八日日数而无逐限细率意者当时修史者之遗忽欤抑有所禁秘也今据此所载立成以求盈缩二术俱谐以求迟疾则自八十三限以至八十六限与前术有所不合意其所谓立成者有异欤据元史王恂先卒其立成之稿俱未成书郭公守敬为之整齐意者厯经前术为王公未定之稿欤此其可疑三也又如日月食开方数乃所求食分横过半径之数据厯经皆五千七百四十乗之今改月食者为四千九百二十乗是所测暗虚小于原所测者二十分也则其所测月轮圆径亦小于原所测者一十分也苟非实有测騐于天又何敢据此以非彼欤苟非于交食之际立浑比量周径纵横之数何从而定欤苟非于亏复之际下漏刻以騐之定用分之多少何自而知欤此其可疑四也又有自相背驰如立成所载日出入半昼分是自冬至夏至后顺数只问盈缩不言初末而通轨求日出入法又似有初末二图此皆不可意断者至于昼夜永短与元史所载大都刻数不同则以北极高下黄道因之所在而殊理固然也然篇首皆不言郡省撰名复载王恂岂当时九服晷漏之永短皆推有图而元史止载其一欤然毕竟此所列者据何地为则也此其可疑五也凡此数端同异出入未敢偏据姑即所传略附笺疏去取是非俟之君子刋误大抵一书传经数手多非其旧或誊冩鲁鱼或简编蠧蚀故君子慎阙疑也乃若専守残文习焉不察有所未解强入以己意参之遂使斵轮不传糟粕并失金根輙改燕郢何凭今于其尤谬乱者是正数条或据厯经或据本书非敢逞私凭臆以重获罪于古今也一者日月食限乃筭家所凭以定食不食者也而今所载或失而出或失而入失而入不过虚费筹策而已失而出则将据此以断不食其有不合将以疑立法之不详今皆据阴阳食限极之诸差所变以为常凖即据本书以定似为稍宻脱有不合其必非本筭所能御矣其日食夜刻月食昼刻亦据本书及厯经所载时差并定用分得之其月带食若据厯经定用分尚有微差亦不多也一者月食时差分据厯经为定葢厯考古厯皆与此所载不合故断以厯经一者黄道定积度原以岁差推变自大衍以后为法畧同今若定钤何异胶柱今断以厯经仍以天启辛酉一年歩定为式一者月食皆内分据厯经原以既内分与一十分相减相乗平方开之也今则讹为一十五分夫月食十分而既其既内五分倍之为十分而止矣安得有所谓既内十五分乎今以弦较求句股法求得既内小平圆积数皆与所求相应一如厯经原法故断从之别有图说以证其理一者日月带食凡日出入分在初亏已上复圆已下是为带食而出入也今则讹为初亏已上食甚已下是得其半而失其半求之厯经亦复仍讹故愚亦不敢全据厯经者谓有此等处也今据后已复光未复光条改为复圆分已下厥数实谐于理亦畅又月食通轨前所录数定望并晨昏分下注误又月食分秒定子法误又月食定用分并既内分定子俱误又月食更㸃归除法并定数法俱误又迳求次年天正交泛分条误多有闰无闰每月加数今皆刋正补遗算有所必不可畧句与字有所必不可无而或无之或畧之则非作法者之故为秘惜也如日食交前后条正交交定度在七度已下数虽在正交度下而实则阳厯交后度也法宜加交终度减之此筭之所必不可畧者也乃此书既不之载至元厯经亦复阙焉何也夫此亦数之易知当必非所甚秘岂非梨枣铅椠者之责乎将谓精于筭者自能知之而无所用书欤今輙断之以理重为补定古人而得见我何以幸教之也又如定子法为乗除后进退而设甚便于初学其立法立意不可谓不至也乃多有遗去言十定一不满法去一二语者夫定子所以御乗除之变而此二语又所以通定子之穷若无此二语则何如不定子之为愈乎又如求天正赤道黄道度二条皆不用定子夫赤道不定子知其所减者为度位乎为分位乎黄道乗除不用定子固也然何以处夫除不满法与夫减过积度只剰秒微者乎又如食甚入盈缩条遗食甚甚字夘酉前后条遗定望望字凡此皆字与句之所必不可无者也今皆补定日月交食通轨用数目录周天三百六十五度二十五分七十五秒按此即周天分浑然本体其数则亦以日度纪之也半周天一百八十二度六十二分八十七秒半按此即周天二象之数乃二分周天之一半岁周一百八十二度六十二分一十二秒半按此乃太阳行天半岁之数即不及半周天之七十五秒也周天象限九十一度三十一分四十三秒七十五微按此乃四分周天之一象者四象阴阳老少也交终度三百六十三度七十九分三十四秒一十九微六按此以月平行度乗交终之数月入交一转凡行天度有此数也交中度一百八十一度八十九分六十七秒○九八按此以月平行乗半交之数月入交一半凡行天度有此数也正交度三百五十七度六十四分按此于交终度内减去六度一五有竒也中交度一百八十八度○五分按此于交终度内加入六度一五有竒也○日食入交度有加减者日既高于月黄道在天亦高于月道故当其初入阴厯六度时月之行天虽在日北而人之见月尚在日南中交度所以有加也及其将入阳厯尚差六度时月之行天虽在日内而人之见月已出日外正交度所以有减也此古人测騐之宻也其所以然则亦中国地势为之前凖一百六十六度三十九分六十八秒按前者交前也入阴厯满此是在正交前也入阳厯满此是在中交前也以后凖减交中即得后凖一十五度五十分按后者交后也入阳厯在此数以下是正交后也入阴厯在此数以下是中交后也凖者定也凡月食在交前后以此为定葢无论交前交后皆以十五度五十分为定过此则不食也前凖数虽多以减交终度则亦十五度五十分也日周一万分按自子正初刻至夜子初四刻有此分(即授时日法也唐末民间)(曽有万分厯)半日周五千分按自子正初刻至午初四刻或自午正初刻至夜子初四刻皆有此分月平行分一十三度三十六分八十七秒半按置月行极迟极疾度数一转之积以月行一转之日平分之得此数日行分八分二十秒按此乃一限之日行分也月行一限在日周一万内得八百二十分也葢万分日之百即百分度之一分也刻已上日月皆食(案此句上有缺文后二已字下有脱字)在○日五千四百五五已 日月皆食 在二十五日六一五一已上日月不食在一十二日○○八九已上日月不食 在一十四日一五一六已下日月皆食阴食入交在一日二十五刻已下不食 在一十二日四十二刻已月食在一日一八七二已下日食 在二十六日○二四九已上日月皆食在一十二日四一八九已上 在一十四日七九三三已下又在交望一十四日七六五二九六五已下日月皆食又在交终二十七日二一二二二四已下日月皆食又在交中一十三日六○六一一二已下日月皆食右各日月食限如日食视其定朔小余在夜刻者如月食视其定望小余在昼刻者即同不食亦不必推算也又与各交泛者数同则食也不同者不食其已上已下皆指小余而言凡数自万已上为大余自千已下为小余○凡日食视其定朔小余在一千二四九已下八千八百已上皆在夜刻也起亥初初刻止丑正四刻○凡月食视其定望小余在三千○一六已上七千○八三已下皆在昼刻也起辰初初刻止申正四刻日食分二十分按此置日食十分倍之(并日体月影各十分即二十分)月食分三十分按此置月食一十五分倍之(倂月体十分暗虚二十分共三十分)阴食限八度 定法八十分按阴者月入阴厯是在黄道北在日内也在日内则易为揜故八度食也○阴食八度故阴定法亦八十分以八十分除八度即得阴食十分也阳食限六度 定法六十分按阳者月入阳厯是在黄道南在日外也在日外则难为揜故六度食较阴食近也○阳食六度故阳定法亦六十分除六度即得阳食十分也月食限一十三度○五分 定法八十七分按以月食定法八七除一十三度○五分即得月食一十五分也○月既小于暗虚暗虚所至即月所至无高小故不论阴阳厯皆十三度即食也暗虚者日之影倍大于月故月食十有五分所谓既内既外也日月食限数(凡数满万为日千为十刻百为单刻)阳食入交在○日五十刻已下日月不食 在二十六日○二刻已上日月皆食在一十三日○○刻已上日月皆食 在一十四日七十五按自定朔之法行而日食必在朔厯家以是騐其疎密者千有余年矣厯至授时法益密数亦简虽然月有交也逐交歩算虽简亦繁许学士之讥世医谓猎不知兎广络原野术已疎矣今通轨所载食限颠倒缪乱殆不可以数求其误后学将何已乎愚不自揣輙为订定如左今考定日月入交食限朔泛交入阳厯在○日五○一六已下为入食限已上者日不食(月平)(行乗之得六度七○五七六五为阳厯距正交后度)在一十三日一○四五已上为入食限已下者日不食(月平行乗之得一百七十五度一九○一八四三七五为阳厯距中交前度)朔泛交食阴厯在一十四日不问小余皆入食限(月平行一百八十七度一六二五)其小余在一五一六已下一三○七已上者的食在一十五日一七七九已下为入食限已上者不食在二十五日六四○四已上为入食限已下者日不食在二十六日不问小余皆入食限其小余在六六六七已上六八七六已下者的食又在交终二十七日二一二二二四已下为入食限又在交中一十三日六○六一一二已上为入食限望泛交不问阴阳厯在○日不问小余皆入食限其小余在七九六六已下者月的食在一日一五五六已下为入食限已上者不食在一十二日四五○五已上为入食限已下者不食其小余在八○九五已上者月的食在一十四日七六一七已下为入食限已上者不食其小余在四○二七已下者月的食在二十六日○五六六已上为入食限已下者不食其小余在四一五六已上者月的食又在交终二十七日二一二二二四已下月的食又在交中一十三日不问小余皆的食右日月食限皆视其朔望入交泛日其入不食限者即不必布算也其入的食限者必食也其入食限不言的者或食也或不食也是皆以筭御之也凡言已上已下者皆指小余有不问小余者则只以大余命之也又视其定朔小余如在日入分后及日出分前十分已上者夜刻也定望小余如在日入分前及日出分后七百三十分已上者昼刻也日食在夜刻月食在昼刻即不得见初亏复圆同不食限不必布筭也○按日食阴厯距交前后二十一度而止以月平行除之得一日五七一八日食阳厯距交前后六度七十一分而止以月平行除之得○日五○一六即各其食限也其阴厯距交前后七度○一三四至七度二九三四为日的食限月平行除之得○日五千二百四六至○日五千四百五五也其阳厯则无的食何也葢日食虽有阳食限六度阴食限八度其实总在阴厯阳厯本无蚀法也今所定阳厯食限以诸差得之皆或限也诸差者何一曰盈缩差加减之极至二度四十分一曰南北东西差加减之极至四度四十六分并二数六度八十六分内除未交阳厯前原空有一十五分余六度七十一分是为阳厯食限也其阴厯的食起七度○一至七度二九止者正交中交限距交皆六度一十五分而阳食限只六度是原空一十五分也加入盈缩差并南北东西差六度八十六分共七度○一而差变极矣故的限以此起置正交中交距交数加阴食限八度共一十四度一十五分内减去盈缩并减去东西南北差余七度二九而差变极矣故的限以此终不入此限度皆或限也置正交中交距交数加阴食限共一十四度一十五分又加入盈缩差又加入南北东西差共二十一度是为阴厯食限也葢极其变可以得其常执其常可以追其变今所订定食限皆要其变之极者言之而其常可知也又按月食不问阴阳厯只距交前后一十五度四十五分而止在月平行得一日一五五六为食限也其距交前后一十○度六十五分在月平行得○日七九六六为的食限也夫月食何以不问阴阳厯也月之掩日以形形则有所不周日之掩月以气气则无所不及故日必以阴厯食月不问阴阳厯皆食阳全阴半之理也又月虽掩日尚不能直至于日之所也故有东西南北差日以暗虚掩月则直至于月之所也故亦无东西南北差惟其不用东西南北差也故只以盈缩差二度四十分加其食限一十三度○五分而得食限一十五度四十五分或食之数止此而差变极也只以盈缩差二度四十分减其食限一十三度○五分而得的食限一十○度六十五分或不食之数亦至此而变极也又按夜刻不见日食以时差分与定用分相较知之大约日出入夘正酉正合朔当之时差之多至六百五十分若当二至日出入其差乃极亦不下六百三十分故定朔分若与日出入同者其食甚皆在日出前日入后六百三十分已上也假如日食十分当月行极迟之限定用分极多至六百三十五分止矣故知定朔在日出分前一十分以下者即不得见未复光定朔在日入分后一十分以上者即不得见初亏断为夜刻无疑也其昼刻不见月食亦以时差分与定用分相较知之依授时时差法望在夘酉正时差之多至一百三十分若当二至日出入其差为极亦不下八十九分故定望若与日出入分同者其食甚皆在日出前日入后八十九分已上也假如月食十五分当月行极迟之限定用分多至八百一十六分止矣故知定望在日出分后七百三十分已上者即不得见初亏定望在日入分前七百三十分已上者即不得见未复光断为昼刻无疑也(授时筭月食时差法见后时差)(条)又按大术厯有九服交食法庚午元厯有里差自宋以前厯皆有晷漏所在差数今所定只据授时厯经所载大都食法其日出入据立成所载或是顺天漏刻也余处再消息之大统厯志卷六
## 卷七
钦定四库全书大统厯志卷七宣城梅文鼎撰日食通轨(按轨者法也算月食者以此为通行必用之法也)录各有食之朔下算经朔全分 盈缩厯全分 盈缩差全分迟疾厯全分 迟疾限数 迟疾差全分加减差全分 定朔全分 交泛全分按有食之朔即所推其朔交泛日入食限者也故其下所有数如经朔等皆全录之以为算日食用也葢数以倚数参伍相求此所录皆母数原定朔时俱已推定更不必复算只全录取用也月食倣此推定入迟疾厯法置所推或迟厯或疾厯全分以本日下加减差加者加之减者减之得为定入迟疾厯分也按原所推迟疾厯是经朔下者今以加减差加减之则是定朔下迟疾厯也推定入迟疾厯限数法置所推定入迟疾厯全分依朔下限数法推之得为定入迟疾限数也按定朔迟疾厯既不同经朔则其入转限数亦异其月行迟疾行度之数亦异故复定之推定限行度法视所推定入迟疾限与太阴立成相同限下迟疾行度迟用迟行度疾用疾行度内减去日行分八分二十秒(按此于度下二位减)而得为定限行度也按定限行度者即定朔所入限月行迟疾之数也内减去八分二十秒者月行一限日行八百二十分于度下分即八分二十秒也葢日月并行于天皆自西而东其立成迟疾行度月所行于天之数此所推定限行度乃月行所过于日之数假如一限月行一度而日已行八分二十秒则月之合日而过只有九十一分八十秒也推日出入半昼分法视有食之朔下是盈初盈末者大余若干用立成内冬至后相同积日下日出入半昼分全录之是缩初缩末者大余若干用立成内夏至后相同积日下日出入半昼分全录之按日出入者所以定带食也以全昼之分半之为半昼分所以定午也只用经朔盈缩厯不加减者所差半日而极无甚差数也据此则日出入立成当亦如盈缩立成法皆始于二至顺逆推之今立成只是顺求故其图为二也若如盈初缩末缩初盈末法则以二图为四图推岁前冬至天正赤道宿次度分法置岁差一分五十秒(定二子)为实以所距积年减一算(十定)(一百定二)为法乗之(言十定一)得数(定有四子为度)以度率十度相减余为赤道箕宿度分也按岁差者日行黄道之度所每岁迁徙不常者也尧时冬至在虚一度至元冬至在箕十度渐差而西也岁差一分五十秒者凡六十六年有八月而差一度也原至元冬至在箕十度至今所求年又差㡬度故以距算乗岁差而得所差之数以减其宿十度便知退在箕宿㡬度也岁差之度自东而西其数为退故用减也推岁前冬至天正黄道宿次度分法置所推赤道度分内减去黄道立成相同积度下第三格积度全余分(有十定三子有分定二子十秒定一子)为实以下同度下第四格度率为法除之(不去子只不满法去一子)得数(定有三子为十分二子为)(单分一子为十秒于十分前一位加积度)万位前加入同度第一格积度得为天正黄道箕宿度分也按赤道之势平黄道较赤道其势有斜有平当其斜则宿度多于赤道当其平则宿度少于赤道故赤道终古不变而黄道宿度每岁不同要之以二至平二分斜则无不同也所积赤道度即箕宿度乃逆推今冬至所距箕宿初度之数也于是以第三格积度减之便知此所距箕宿度已满黄道有㡬度也其减不尽者以第四格度率除之便知此未满于黄道一度者在黄道为㡬十㡬分也于是加入第一格积度便知今冬至距箕初度之黄道凡有㡬度㡬十㡬分也第三格积度至后赤道也第一格积度至后黄道也凡至后赤道积㡬度㡬十㡬分于黄道为㡬度整数也第二格度率至后黄道也第四格度率至后赤道也凡至后赤道率一度零㡬分于黄道为一度整数葢至前后黄道平故其数少于赤道如此也原法以黄道度率乗减余然后以赤道度率除之今黄道率是一度乗过仍是本位故不用乗只用除也惟其不用乗故除亦不去子只不满法去一子也黄道立成按此图原有九十一度以二至二分为端葢二分之黄道与赤道相交故其度斜径而每度之数加多于赤道二至之黄道与赤道相逺故其度平直而每度之数加少于赤道此所存十度乃至后者故其黄道之率皆少于赤道也只用十度者因箕宿只十度故也此算家等按暂时省力之法葢至后黄赤道率与至前则同此图原是顺推今则用之逆溯其理同其数同也推交常度法置有交食之交泛全分(十日定五子单日定四子空日定三子空千定二子空百定一)(子空十不定子)以月平行一十三度三六八七五(定一)为法乗之(言十定一乗过定有四子为单度五子为十度六子为百度)即得所推交常度分也按交常度者以常数言之合朔去交凡有若干度也推交定度法置所推交常度全分盈加缩减其朔下盈缩差度分得为交定度分也如遇交常度数少不及减缩差者加交终度三百六十三度七九三四一九减之余为交定度分也遇满交终度去之按交定度者太阳所在距黄道白道相交之数凡㡬也以太阳为主故只用盈缩差加减之而得也月食求暗虚即日所冲是亦以日为主也如遇交常度数少不及减缩差者是以常数言之虽已在交后计日行盈缩则仍在交前故加入交终度减之即仍作交前算也 愚意交定度当以定朔入盈缩厯求之盈缩差分以加减交常度于理较亲也存之以质高明推日食在正交中交度视所推交定度全分如在七度已下三百四十二度已上者为食在正交也如在一百七十五度已上二百○二度已下者为食在中交也按正交者月自阴厯入阳厯交之始也中交者月自阳厯复入阴厯交之中也交终之度于此始即于此终故为正交也交终之度于此适半故为中交也七度已下三百四十二度已上者正交食限阳厯距交初七度阴厯距交终二十一度而止也一百七十五度者阳厯距交中亦七度而止为食限二百○二分者阴厯距交中亦二十一度而止为食限也(详见日月食限)(条)推中前中后分法视定朔小余如在半日周五千分已下者就置五千分内减去定朔小余而余为中前分也如在半日周已上者就于定朔小余内减去半日周余为中后分也按中前是以午逆推前所距分也故以小余减半日周中后是以午顺求后所距分也故以半日周减小余顺数逆推皆自午正起算也推时差分法置半日周内减去所推或中前或中后分余(千定三百定二)为实复以中前或中后(千三百二定之)为法乗之(言十定一)得数又以九十六分(去三子○按九十六分宜去一子今去三子者经所谓退二位也)为法除之(不满法去一子除过定有二子为百分一子为十分)得为时差分也中前为减差中后为加差按时差分者食甚之时刻有进退于定朔者也葢经朔本有一定之期既以月迟疾日盈缩加减之为定朔矣而犹有差者则以合朔加时有中前中后之不同者何也大约日在外月在内故能掩之人又在月内故见其掩而有食当其正相当一度谓之食甚如其合朔午正则以人当月以月当日相当绳直故无所差在午前以至于邜则渐差而早假如定朔夘正一刻日月合在一度是日月合朔本等时刻也人自地上观之则不待其月之至于此度也当其夘初初刻月未及日一度时已见其合于日是差而早六刻有竒也若在午后以至于酉则渐差而迟假如定朔酉正一刻日月合在一度是日月合朔本等时刻也人自地上观之则月虽已至此度尚未见其合也直至戌初一刻月行过于日将一度时始见其合于日是差而迟六刻有竒也其自夘而辰而已所差渐少至午正则复于无差也其自午而未而申积差以渐而多至酉则差而极于六刻有竒也葢天体至圆其行至健运乎四虚地在其中为气所团结而不散若卵之有黄夫卵既圆矣黄安得独方故地之方者其德其体则不必正方如碁局也夫日月并附天行而月在日下当其合时去日尚不知有㡬许人自地上左右窥之与天心所见不同故日月平合在夘酉皆不能见所见食甚日稍在下月稍在上斜弦所当差近一度在月平行为六百余分惟午则自下仰观所见正当绳直与在左右旁视者异故无差也昔人常云人能凌倒景以瞰日月则晦月之表光应如望吾亦云使人能逐景而行与日相偕则举头所见常如在午又使地如琉璃光人居其最中央旋而观日八靣皆平时差之法可以不设矣是其所差不问盈缩迟疾而只在本日之加时故曰时差推食甚定分法视时差分如是中前分推得者置定朔小余内减去时差分余为食甚定分也如是中后分推得者置定朔小余内加入时差分共得为食甚定分也满日周去之至入盈缩度再加之按食甚食而甚也食甚分是自亏至复之中日月正相当于一度之时刻也中前减小余者差而早也中后加小余者差而迟也若夜刻不算者恐无满日周去之之理末二句疑有误推距午定分法置所推中前或中后分内加入时差分共得为距午定分也按定距午定分是食甚时刻距午正之数也食甚以时差加减距午则不减只加者葢食甚原是顺推故有加减距午分则一自午顺推一自午逆溯总是差而渐逺于午正故也推食甚入盈缩定度法置前推或盈厯或缩厯初末全分加入定朔大余及食甚定分内减去经朔全分余为食甚入盈缩厯定度分也按原推盈缩歴是经朔下者故以定朔大余及食甚分加之减去经朔全分如以经朔大小余加减作食甚大小余故即得食甚所入盈缩厯数也推食甚入盈缩差度法置所推食甚盈厯或缩厯全分减去大余依朔下盈缩差法推入得食甚入盈缩差度分也如遇末限亦用反减半岁周之数数止秒按食甚盈缩厯既异经朔则其所积盈缩之差亦不同故复求也推食甚入盈缩厯行定度法置食甚入盈缩厯全分以万为度内盈加缩减其所推食甚入盈缩差得为食甚入盈缩厯行定度分也(末限不用)(数止秒)按凡盈厯若干日即是常数日行距冬至宿之度数也凡缩厯若干日即是常数日行距夏至宿之度数也以其差加减之即得所推食甚日躔距二至宿之度数也凡用末限者所以纪其差是逆从二至推至二分其差整齐易知也今不用末限者所以积其度是顺从冬至数至夏至从夏至数至冬至也推南北泛差度法视所推食甚入盈缩厯行定度如在周天象限九十一度三一四三七五已下者为初限也如在已上者置半岁周内减去行定度余为末限也或得初限或得末限俱自相乗之(初末限有十度上下各定三子单度各定二子言十加定一子)得数以一千八百七十度(去三子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十)(分○按上下各定二子则四子矣故四子为度)复置四度四十六分(按四度四十六分者)(即周天象限自乗复以一千八百七十度除之者)内减去得数条为南北泛差度分也推南北定差度法置所推南北泛差全分(度定四子十分定三)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)为法乗之(言十定一)得数复以其所录半昼分(去三子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十分也)仍置泛差减去得数余为南北定差也若遇泛差数少不及减者反减之而得也又视其盈缩厯及所推正交中交限度如是盈初缩末者食在正交为减差中交为加差也如是缩初盈末者食在正交为加差中交为减差也若遇反减泛差者应加作减应减作加不可忽畧也按南北差者古人所谓气差也易之曰南北所以著其差之理也葢日行盈初缩末限则在赤道南其逺于赤道也至二十三度九十分日行缩初盈末限则在赤道北其逺于赤道也亦二十三度九十分日之行天在月之上而高故月道与黄道相交之度有此差数以南北而殊也假如盈初缩末限一日空日间日行赤道外极南去人极逺去地益近日道所高于月道之中间人皆以旁观之易得而见故月道之出黄道而南也较常期(所谓常期皆主春秋分日道而言即所定中国正交度中交度)(也)早四度有竒其入黄道而北也较常期迟四度有竒由是以渐而至于盈初缩末八十八日行天渐满一象限之时黄道之在赤道南者去赤道以渐而近去地之数以渐而逺其日高月下相去之数人所从旁见者以渐而少故其所差四度有竒以渐而杀也又如缩初盈末限一日空日间日行赤道内极北去人益近去地益逺日道所高于月道之中间人仰靣视之难得而见故月道之出黄道南而为正交也较常期迟四度有竒其入黄道北而为中交也较常期早四度有竒由是以渐而至于缩初盈末九十三日行天渐满一象限之时黄道之在赤道北者去赤道以渐而近去地之数亦以渐而近其日高月下相悬之数人所从旁见者又以渐而多故其所差四度有竒亦以渐而杀也四度四十六分者据其极差者言也以得数减之便是今所有差也然此皆据午地而言故以距午分乗之以半昼分除之便知今距午之地应分得差数凡㡬许而今已距午㡬许则此所有之差已不可用故以减原得泛差而知其尚余㡬许之差为定差也葢于天则冬至夏至之黄道为南北于地则加时在正子午为南北今泛差之数近二至则多近二分则少是以天之南北而差定差之数近午正则多近日出没时刻则少是以加时之南北而差也故曰南北差○月自黄道北出黄道南谓之正交即经所谓交前阴厯交后阳厯也月自黄道南入黄道北谓之中交即经所谓交后阴厯交前阳厯也○其南北泛差不及减反减者此带食出入方有之何也此必是食甚定分在日入分已上或曰出分已下则其距午定分多于半昼分故乗除后得数亦多于泛差也不则以多除以少乗其数且不能与泛差相等况能多于泛差也愚故断其为带食也泛差数少不及减是距午定分已过于半昼是在夜刻故反筭其距子之数夫距子与距午其盈缩南北逺近并旁观仰视之理正相反故加者减之减者加之以为定差也推东西泛差度法置所推食甚入盈缩厯行定度就为初限也去减半岁周余为末限也以初末二限互相乗之(百度定四子十度定三子言十)(定一是也)得数复以一千八百七十度(去三子)为法除之(不满法去)(一子除过定有四子为度三子为十分)即得所推东西泛差也推东西定差度法置所推东西泛差全分(度定四子千定三子)以所推距午定分(千定)(三子百定二子)为法乗之(言十定一)得数以二千五百度(去三子)为法除之(不满法去一子除过定有四子为度三子为十分)视所推如在东西泛差以下者就为东西定差度分也如在已上者倍其泛差内减去得数余为东西定差度分也 又视其盈缩厯及中前中后分与正交中交限度若是盈厯中前缩厯中后者正交为减差中交为加差也若是盈厯中后缩厯中前者正交为加差中交为减差也按东西差即古所谓刻差也易其名曰东西者其差只在东西也于天则近二分之黄道为东西于地则近夘酉之时刻为东西葢日行在二至前后其势平直日行在二分前后则其黄道与赤道纵横交加其势斜径当其斜径加时又当夘酉则有差也假如春分日在盈厯九十余度其黄道之交于赤道自南而北势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道横也加时中后则是赤道倚而黄道纵也又如秋分日在缩厯九十余度其黄道之交于赤道自北而南势甚斜径若加时中前则是赤道倚而黄道纵与盈厯中后同也加时中后则是赤道倚而黄道横与盈厯中前同也黄道纵立于邜酉月道之出入亦从而纵正靣视之绳直相当其日内月外相去之中间人所见者少意与南北差缩初盈末正在人顶者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期迟四度有竒其入黄道北而为中交也较常期早四度有竒此盈厯中后缩厯中前皆于正交以差加中交以差减也黄道横偃于夘酉月道之出入亦从而横人在赤道之北斜而望之其日内月外相去之中间皆得而见意与南北差盈初缩末横偃南上渐近于地者同也故月道之出黄道南而为正交也较常期早四度有竒其入黄道北而为中交也较常期迟四度有竒此盈厯中前缩厯中后皆于正交以差减中交以差加也若盈缩厯当二分加时又在夘酉则其差之极四度有竒迨至二分前后黄道之斜径以渐而平故其差亦以渐而少由是而至于二至黄道之斜径依平而差亦复于平故曰二至无刻差也若加时不在夘酉则虽二分之黄道其差却与他气不殊葢其斜径之势亦以渐而平故也假如二分加时辰巳之间其定差则正与四立泛差等渐而至于午中则其差亦渐而复于平是其所差只在东西故曰东西差凡东西泛差近二分多是以天之东西而差也其定差以加时夘酉而多是以地之东西而差也以距午分乗之者距夘酉之数也以二千五百除之者日周四分之一乃夘酉距午之数也葢此所谓泛差乃距午二千五百分时所有之差也乗除后得数若多于泛差是食甚距午分其数亦多于日周四分之一其加时乃在夘前酉后也夘前酉后之差于正夘酉者其数正与夘后酉前等故倍泛差减得数即为定差也凡差于南北者复于东西差于东西者复于南北并二差加减数总无过四度四十六分以是为交度进退之极也葢原所谓正交中交限各损阴厯六度余为阳厯者乃是据中国地势所差于南戴赤道之下者言人在赤道之北故所见黄道交处皆差而近北六度余此常数也若黄道在冬至横于南上去人益逺故其交处差而北者又四度余而极是共差十度余矣若黄道在夏至去人反近正在中国人顶故其交处原差而北者乃复而南亦四度余而极是只差一度余矣此南北差之理据午上言也若移而至日岀入时则其横于南上者已斜纵于夘酉其正当人顶者巳横斜于夘酉所见差度以渐而平如常数故南北差近午多近日出没则少也若黄道在春分而加时夘黄道在秋分而加时酉其势皆横偃于东西而与地相依故其交处益差而北又四度余而极是亦共差十度余矣若黄道在春分而加时酉黄道在秋分而加时夘其势皆纵立于东西而与人相当故其交处原差而北者亦皆复而南四度余而极是亦只差一度余矣此东西泛差之理据夘酉而言也若移而至午则其横偃于夘酉者反斜纵于午上其纵立于夘酉者反横斜于午上所见差度自以渐而平如常数故东西差近夘酉多近午则少也假使人能正当赤道之下则两极平见相望子午赤道平分界平夘酉则凡正交只在交终中交只在交中其气刻之差减正交加中交者则差而北其加正交减中交者则差而南当亦各四度有竒也今中国地势则正在赤道之北故所见赤道皆斜倚于人之南其所见正交中交度常数亦皆因其赤道之斜倚者而断惟其黄道交在四五之宿加时在巽坤之维则黄道之势正自斜倚适如赤道之理而南北东西之差皆少与常数相依若黄道横则其势视赤道加偃故正交中交之度益差而北若黄道纵则其势视赤道反直㡬有类于南戴日下之赤道故正交中交之度虽曰复差而南其实乃复于无差也凡缩初盈末而加时午盈厯而加时中后缩厯而加时中前皆黄道纵之类也其缩初盈末当午虽横在天心然东西视之则亦纵也凡盈初缩末而加时午盈厯而加时中前缩厯而加时中后皆黄道横之类也其冬夏至黄道当日出入其二分黄道当子皆黄道斜倚之类也推日食在正交中交定限度视所推日食在正交中交限度如食在正交者置正交度三百五十七度六十四分在中交者置中交度一百八十八度○五分俱以所推南北东西定差是加者加之减者减之即为所推正交中交定限度分也按正交本在交终三百六十三度七十九分今曰三百五十七度六十四分者于阴厯本数内损六度余为阳厯也中交本在交中一百八十一度八十九分今曰一百八十八度○五分者于阳厯本数外増六度余侵入阴厯也葢黄道之于月道如大圆轮包小圆轮月在日内人又在月内而稍北日月交其南人自北斜而望之其月日相去中间独得而见故其交处皆差而北也惟其交处差而近北故其交而南也早六度其交而北也迟六度此据中国地势言在授时立法当只是据大都北极高度断之也若迤而渐南至于戴日之下所差当以渐而复其本度若迤而渐北以至于戴极之下所差当不知更有㡬许也又按此正交中交度増损六度者只是地势使然巳为常数其因时而差者又有南北东西二差于是复以加之减之而后乃今所推正交中交之度可得而定而后乃今交前交后阴阳厯可得而定矣推日食入阴阳厯去交前交后度法视所推交定度若在正交定限度已下者就于定限度内减去交定度余为阴厯交前度也若在正交定限度已上者于交定度内减去正交定限度余为阳厯交后度也又视其交定度若在中交定限度已下者就于定限度内减去交定度余为阳厯交前度也若在中交定限度已上者于交定度内减去中交定限度余为阴厯交后度也按若交定度在七度已下者数虽在正交定限度下而实则为阳厯交后度也法当置交定度加入交终度复减去正交定限度余为阳厯交后度也(勿庵补)按凡交定度在正交后中交前者阳厯也其在正交前中交后者阴厯也若以东西南北差定之而正交度有加中交度有减者是阳厯变为阴厯也其正交度有减中交度有加者是阴厯变为阳厯也正交阳变阴中交阴变阳是交后变为交前也正交阴变阳中交阳变阴是交前变为中后也故必以所推正交中交定限度为则与交定度相较而得合朔日躔距交前后的数也凡以交定度去减正交中交定限度者为交前是逆从交处数来也其于交定度内减去正交中交定限度者为交后是顺从交处数去也又按交定度在七度已下食在正交也若以减正交定限度其所余者当在三百五十度内外为阴厯交前度也勿庵曰非也若然则凡正交七度已下者永不入食限不必布筭矣况所谓阴阳厯者自正交中交而断(正交后为阳中交后为阴)所谓交前后者皆附近正交中交前后而断(正交后为阳厯交后正交前为阴厯交前中交后为阴厯交后中交前为阳厯)(交前)通交度分为阴阳厯阴阳厯又各分前后安得有阴厯交前度乃多至三百五十余度者乎此必无之理亦必不可通之数然则何以通之曰有法焉凡交定度在七度已下是其数不特在正交度下并在中交度下也然而又与中交数逺并亦不得减中交为交前也夫在中交数下是阳厯非阴厯也不在交前是交后也夫阳厯交后度法当置交定度内减去正交定限度而此交定度数少不及减故必加入交终度而后可以减之也加入交终度减之则阳厯交后之度复其本位也则凡距交七度已下者皆得入阳食之限也然则厯经何以不云通轨何以阙载也曰是偶尔之遗也或姑畧之以俟人之变通也或传之久而失其真所谓史有阙文也夫夏五传疑三豕徴信各行其是而已为其恐误后学也故订之然而古人不作吾亦安所取正乎可为长叹推日食分秒法视日食入阴阳厯交前交后度是阴者置阴食限八度是阳者置阳食限六度皆减去阴厯或阳厯交前交后度余(度定四十定三)为实各以其定法是阴者置八十分阳者置六十分去为法约之(不满法去一子所定有二子为单分一子为十秒)即得所推日食分秒也如阴阳食限不及减交前交后度者皆为不食也按阴食限八度者阴厯距交八度内有食也阳食限六度者阳厯距交六度内有食也凡合朔若正当交度其食十分渐离其处食亦渐少假如阳厯距交一度二十分则于食十分内减二分只食八分也又如阴厯距交二度四十分则于食十分内减三分只食七分也故合置阴阳食限以距交前后度减之即是于食十分内减去若干分秒也其减不尽者则正是今所推合食之数故各以定法除之而得也凡阴阳定法皆十分其食限之一也如食限不及减为不食者是距交前后之度多于阴阳食限其去交甚逺不能相掩断为不食也推日食定用分法置日食分二十分内减去推得日食分秒余(十分定三单分定二)为实即以日食分秒(单分定二)为法乗之(言十定一所定有六子为百分五子)(为十分)即为所推开方积也立天元一於单微之下依平方法开之得为开方数(有十定一)复以五千七百四十分(定五)为法乗开方数(言十定一)得数又以所推定限行度(去四子空度去)(三子)为法除之(不满法去一子所定有二子为百分一子为十分)即为所推定用分也按定用分者日食亏初复末中距食甚所定用之时刻也凡日食若干分则其所经厯凡有若干刻食分深者厯时久以月所行之白道长也食分浅者厯时暂以月所行之白道短也今所求开方之数即自亏至甚或自甚至复月行白道之率也月食只十分今用二十分者何也日月各径十分其半径五分凡两圆相切则两半径聨为一直线正得十分为两心之距以此两心之距为半径从太阳心为心运规作大圆其外周各距日之边五分为日月相切时太阴心所到之界其大圆全径正得二十分也以日食分秒相减相乗何也此句股术中弦较求股法也依前所论初亏时两圆相切其两心之距十分此大圆之半径常为勾股之弦食甚时两心之距如勾而太阴心侵入大圆边之数如勾弦较自亏至甚太阴心所行白道如股而太阴心侵入大圆边之数与食分正同葢月边掩日一分则月心亦移进一分也故即以日食分秒为勾弦较与大圆全径二十分相减其余即为勾弦和和较相乗为开方积即股实也其开方数即股亦即自亏至甚月心所行之白道矣其自食甚至复光理同五千七百四十分乗者何也先求日食分秒及勾股开方等率皆就日体分为十分其实日体不满一度大约为十之七耳五千七百四十者七因八百二十也月行一限得八百二十分其十之七则五百七十四分矣故以五百七十四分乗开方数为实以定限行度除之为定用分之时刻也一率 定限行度(为本限月行迟疾之定率)二率 五百七十四分(为十分八百二十而用其七)三率 开方数(即自亏至甚或自甚至复月所行白道)四率 定用分(即自亏至甚甚至复月行所厯之时刻)初亏时两心之距为弦即大圆二十分平径 食甚时两心之距为勾 食甚时月心侵入圆界三分为句弦较自亏至甚月心所行白道为股甚至复亦仝此以月在阳厯日食三分为例余可倣推(五千宜定三子㑹定五子者因此所谓分)(乃度下二位分故加定二子也立大元一)(子单㣲之下者如一子于实之微下一位)(也所以然者前所推数皆止于秒秒以下)(所弃者尚多故此于开积加之以凑平方)(整齐也月食倣此)推初亏复圆分法置所推食甚定分内减去定用分为初亏分不及减加日周(一万)减之复置食甚定分加入定用分为复圆分满日周去之时刻依合朔法推之按食甚者食之甚食之中也日月正相当于一度也初亏者亏之初食之始也月始进而掩日也复圆者复于圎食之终也月已掩日而退毕也凡言分者皆时刻也葢初亏在食甚前㡬刻故减小余复圆在食甚后㡬刻故加小余初亏距食甚时刻正与食甚距复圆数等故皆以定用分加减之也月食倣此又按据加日周减满日周去二语定用分当不止此数也推日食起复方位法视所推日食入阴阳厯如是阳厯者初起西南甚于正南复圆于东南也如是阴厯者初起西北甚于正北复圆于东北也若食在八分已上者无论阴阳厯皆初起正西复圎于正东也按日食起复方位主日体言之即人所见日之上下左右也以午位言则左为东右为西上为北下为南也日食入阴阳厯者主月道言之月在日道南为阳厯月在日道北为阴厯也如是阳厯食是月在日南掩而过故食起西南甚于正南复于东南也如是阴厯食是月在日北掩而过故食起西北甚于正北复于东北也其食在八分已上者是月与日相当一度正相掩而过故食起正西复于正东其食甚时正相掩覆而无南北不言可知也凡日月行天并自西而东日速月迟其有食也皆日先在东月自西追而及之既相及矣则又行而过于日出于日东故日食亏初皆在西复末皆在东也○又按厯经云此所定起复方位皆自午地言之其余处则更当临时消息也推带食分法视朔下盈缩厯与太阳立成同日之日出入分如在初亏分已上食甚分(按食甚当作复圆)已下为带食之分也若是食在晨刻者置日出分昏刻者置日入分皆与食甚分相减余为带食差也置带食差(百定六十定五)以所推日食分秒(十定五单定四)为法乗之(言十定一)得数以所推定用分(百去六子)为法除之(不满法去一子所定有五子为十分四子为单分三子为十秒)得数去减所推日食分秒余上下四处皆为带食也已见未见之分也按带食分者日出入时所见食分进退之数也假如日出分在初亏分已上是初亏在日未出前但见食甚不见亏初也日入分在初亏分已上是食甚在日入后但见亏初不见食甚也又如日出分在复圎分已下是食甚在日未出前不见食甚但见复末也日入分在复圆分已下是复圆在日入后不见复末但见食甚也见食甚不见亏初是食在未出已有若干尚有见食若干带之而出甚食为进也见初亏不见食甚是食在未入见有若干尚有不见食若干带之而入其食亦为进也不见食甚但见复末是食在未出前已复若干尚有见复光若干带之而出其食为退也不见复末但见食甚是食在未入前见复若干尚有未复光若干带之而入其食亦为退也凡此日出入所带进退分秒何以知之则视其带食而出为晨刻者置日出分其带食而入为昏刻者置日入分皆以食甚分与之相减而得带食之差也假如日出分在初亏分以上其食甚分又在日出分已上则以日出分减其食甚分其减不尽者则是日出已后距食甚之时刻也若日入分在初亏分已上其食甚分又在日入分已上则以日入分减其食甚分其减不尽者则是日入已后距食甚之时刻也又如日出分在复圆分已下其食甚分又在日出分已下则于日出分内减去食甚分其减不尽者则是日出以前距食甚之时刻也若日入分在复圆分已下其食甚分又在日入分已下则于日入分内减去食甚分其减不尽者则是日入已前距食甚之时刻也凡此带食差分用乗日食分秒又以定用分除之便知日出入时所距食甚时刻在定用分全数内占得㡬许即知日出入时所带食分于日食分秒全数内占得㡬许也以得数减食分所余分秒即是日出入前距亏初已过食分或日出入后距复末未见食分也上下两处者得数与减余两处之数也见未见之分即已复未复已食未食如后二条所列也推日有𢃄食例置日出入分内减去食甚分谓之已复光未复光将所推带食分录于前晨(日未出已复光若干日已出见复光若干) 昏(日未入见复光若干日已入未复光若干)置食甚分内减去日出入分谓之见食不见食将所推带食分录于后晨(日未出已食若干日已出见食若干) 昏(日未入见食若干干日已入不见食若)按置日出入分内减去食甚分者其日出入分皆在复圆分已下也故谓之已复光未复光假如日食甚五分在日出入前其带食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已复光三分日已出后见复光二分也若在昏刻是日未入前见复光三分日已入后未复光二分也此二端带食分皆是已复光数故录于前也其以带食分减之而余者则是未复光数故录于𢃄食之后也置食甚分内减去日出入分者其日出入分皆在初亏分已上也故谓之见食不见食假如日食甚五分在日出入后其𢃄食三分以之相减尚余二分若在晨刻是日未出前已食二分日已出后见食三分也若在昏刻是日未入前见食二分日已食后不见食三分也此二端带食分皆是未食数故录于后也其以带食分减之而余者则是已食数故录于𢃄食之前也月食倣此但以日之昏为月之晨以日之晨为月之昏葢日出于晨入于昏月出于昏入于晨也其余皆同推黄道定积度法置所推食甚入盈缩厯行定度如是盈厯者内加入天正黄道箕宿度共得为黄道定积度也如是缩厯者内加入半岁周及天正箕宿黄道度共得为黄道定积度也按黄道定积度者逆计食甚日躔度距天正冬至日躔宿度积数也盈厯加入天正黄道箕度者是逆从天正冬至所躔宿初度积筭起也缩厯复加半岁周者缩厯本数是以夏至度起筭今加入半岁周又加入天正箕宿度是变而加盈厯亦以天正冬至箕宿初度起筭也所得定积度即是今所躔宿度与箕宿初度相距逺近之数也推食甚日躔黄道宿次度法置所推黄道定积度无论盈缩厯皆以黄道各宿次积度钤挨及减之余为食甚日躔黄道某宿次度分也按所推黄道定积度无问盈缩皆是今食甚躔度前距箕宿初度之积数也然尚未知其为黄道何宿度也故以黄道各宿积度钤取其相挨及者减之其减去者是今积度内已满其宿之度日躔已过此宿断为前宿也其不及减而余者则是前宿筭外所余度分也是日躔正在此宿中未过故其积度亦未满当即以所减筭外之度分断为食甚日躔某宿㡬度㡬分也假如食甚定积十度则以箕宿积度九度五九减之余○度四十一分为箕宿筭外余数断为食甚日躔黄道斗宿初度四十一分也余倣此按黄道积度钤皆自箕初度积至其宿垜积之数也假如日躔斗二十三度四七加入箕宿九度五九则已共积得三十三度○六也又如日躔牛六度九十分加入斗二十三度四七又加入箕九度五九共积得三十九度九六也余倣此又按凡言钤者皆豫将所筭之数并其已前之数朶积而成以便临筭取用意同立成也虽然黄道不可以立钤筭者当知黄道度之所由生则可以断其是非矣葢黄道积度生于其宿黄道度各宿黄道度皆生于赤道赤道三百六十五度二五七五而其各宿度数不同者则以二至二分所躔不同也黄道近二至则其度视赤道损而少黄道近二分则其度视赤道益而多葢赤道平分天腹适当二极之中所纪之度故终古而不易黄道不然其冬至则近南极在赤道外二十三度九十分其夏至则近北极在赤道内亦二十三度九十分其自南而北自赤道外而入于其内也则交于春分之宿其自北而南自赤道内而出于其外也则交于秋分之宿交则斜所占分数多此处占多则二至之黄道所占数少理势然也黄道之损益既系于分至分至既以岁而差黄道积度是必毎岁不同古人则既言之矣此所载者犹据授时厯经所测黄道之度乃至元辛巳一年之数也上考下求数十年间则皆有所不合况距今三百八十余筭积差尤多安得海制此钤以尽古今之无穷乎今仍以授时厯经黄赤道差法求得天启辛酉年黄道积度如左依授时厯经求得天启辛酉年黄道积度天正冬至赤道箕宿四度九○赤道四象积度右夏至后一象之度已上度钤俱据辛酉岁差所在歩定俟岁差移一度时再改歩之又按厯经有増周天加岁差法因前所推俱依通轨故仍之大统厯志卷七
## 卷八
钦定四库全书大统厯志卷八宣城梅文鼎撰月食通轨录各有食之望下等数经望全分 盈缩厯全分 盈缩差全分迟疾厯全分 迟疾限数 迟疾差全分加减差全分 定望全分(某甲子将本日日出分推在夘时何刻望在何刻已)(下者退一日也○按说见定朔望条夘时者举例言其实即以日出分如发歛条求之便得某时刻又按其定)(望退一日法只据其小余在日出分已下者断之并不必求时刻也)交泛全分 定入迟疾厯 定入迟疾限(此限与前)(同者便不必书出损益分并行度○按其实此处损益分不言何用似总不必书出)定限行度 晨分(月出之时刻也先于复圆者有带食)日出分 日入分 昏分(月出之时刻也复于初亏)(有帯食○按载晨昏分者所以定更㸃也其带食分只用日出入分不用晨昏葢晨刻日未出月则犹见昏前)(日已入月则已见也○注误)天正赤道度 天正黄道度 交定度(以上诸法皆与日食同)推邜酉前后分法视定望小余如在二千五百分已下者就为邜前分也如在已上者去减半日周五千分余为邜后分也又如在七千五百分已下者内减去五千分就为酉前分也如在已上者去减一万分余为酉后分也(已上已下皆指定望小余)(而言)按凡邜酉前后分皆据子午言之邜前分是距子正后之分也故即以小余在夘前者定之邜后分是距午正前之分也故以小余减半日周其余则是自午正逆数以前距数也酉前分是距午正后之分也故以半日周减小余其减不尽者则是自午正顺数以后距数也酉后分是距子正前之分也故以小余减日周其余则是自子正逆数以前距数也推时差分法置日周一万内减去邜前邜后分或酉前后分(满千分者命为)(十分满百分者命为单分)得为时差分也推食甚定分法置所推时差分加入定望小余共得为食甚定分也按气刻时三差皆起于唐长庆中宣明厯于日食用之月食则皆不用后之诸厯或有用月食时差者其数大约与日食相倣皆于近邜酉则差稍多近子午则差渐少其以之定食甚分则皆子前减子后加以加减其定望小余而得也所异者朔食时差多望食时差少耳今依通轨所载推之则近邜酉者差反少近子午者差反多又不问子前子后皆以加定望小余而无减法种种皆与厯经相反则何如不用之为得乎且日食何以有时差以月之掩日去日尚逺也日光尚在但不见耳据所不见而言之故以时而差若月食则不然暗虚者日气所冲食则与月相著譬如呵气著镜光体尽亏一如晦朔安得有左右视之差乎此唐宋诸厯所以多不用也即曰用之所差不过九十余分然亦不至反其所用如此也窃依元史所载月食时差法定之如左依厯经求月食甚定分法置卯酉前后分(有千法实皆定三有百法实皆定二)自相乗(言十加定一子)退二位去二子如四百七十八而一(去二子不满法又去一子以所定二子为百分)(一子为十分)为时差子前以减子后以加皆加减定望分为食甚定分依发歛求之即食甚辰刻按卯酉前后分即前所推卯前卯后分或酉前酉后分自相乗者如求南北差法即以所得卯酉前后分为法与实也凡卯酉前后分皆自子午起筭以自相乗则近卯酉差多近子午差少矣退二位法同日食时差以得数后有百万退作万有十万退作千而后归除之也如四百七十八而一者是以四百七十八归除之如四百七十八分为一分也子前减子后加者凡望时之月在日所冲故日在子前月乃在午前其日食午前减故月食亦子前减也日在子后月乃在午后日食午后加故月食亦子后加也其差多者不过一百三十分有竒而止故以四百七十八为法归除之也推食甚入盈缩厯及食甚入盈缩差并食甚入盈缩厯行定度三法俱与日食同只换望日推月食入阴阳厯法视所推交定度如在交中度一百八十一度八九六七已下者便为入阳厯也如在已上者内减去交中度余为入阴厯也按交中度数原生于阴阳厯月入阳厯则在黄道南行一百八十一度有竒毕复入黄道北而行阴厯一百八十一度有竒毕则又复入阳厯矣行阳厯阴厯各一次谓之交终半之为交中今交定度在一百八十一度已下是月尚在黄道南就为入阳厯度数也其在已上者是月已在黄道北故于交定度内减去一百八十一度八九六七余者命为入阴厯度数也阳厯数自交初起筭阴厯数自交中起筭也推交前交后度法视所推月食入阴阳厯如在后凖一十五度五十分已下者便为交后度也如在前凖一百六十六度三九六八已上者置交中度内减去阴阳厯为交前度也按凡言交者皆月出入黄道十字相交之际也凡阴厯在后凖已下者是距阳厯交阴厯后未逺尚在十五度内故为阴厯交后度也凡阴厯在前凖已上者是逆距阴厯交阳厯前已近只在十五度内故为阴厯交前度也阳厯同十五度五十分者月食限一十三度○五分或有十五度五十分而入食限者葢以盈缩差加减之则亦十三度有竒故以十五度五十分为食凖也其前凖度虽多逆计其所距后交之数亦同也推月食分秒法置月食限一十三度○五分内减去交前或交后度(十度)(定三单度定二○按定子法疑有误若如所云则月食必无十分者安得有既内外之分乎愚意当是十度定)(五单度定四也)以定法八十七分(去一)为法除之(不满法去一子所定有三子为)(十分二子为单分)得为月食分秒也不及减者必不食也十分已下者用三限辰刻法十分已下者用五限辰刻法按月食限度多于日食者暗虚大而月小也故不问阴阳厯只距交前后一十三度○五分内即能相掩而有食也凡定望正当交度其食十五分渐离其处食分渐杀假如距交前后一度七十四分则于食十五分内减二分只食八分又如距交前后九度五十七分则于食十五分内减一十一分只食四分也故置食限一十二度○五分以距交前后度减之即如于食十五分内减去若干分秒也其减不尽者则正是今所合食之分秒故以定法除之而得盖月食定法即十五分其食限之一也如食限不及减为不食者是距交前后度多于月食限是已在十三度○五分之外暗虚虽大至此亦不能相掩断为不食也推月食定用分法置月食分三十分减去所推月食分秒余(十分定三单分定二)为实却以月食分秒(十分定三单分定二○按十分宜定一今加定三子者以分下有十有秒)(也故亦以定六子为百分法实共知定四子也)为法乗之(言十定一定有六子为百分五子为十分)得为开方积立天元一於单微之下依平方法开之得为开方数(有十定一)复以四千九百二十分(定五○按以六分乗八百二十)(分得四千九百二十食分又按元史数同日)为法乗开方数(有十定一)得数又以其前推得定限行度(去四子空度去三子)为法除之(不满法去一子定有二子)(为百分一子为十分)得为所推定用分也定用分者亦月食自初亏复距食甚之时刻也然日食只十分而月食则有十五分者暗虚大也暗虚之大几何曰大一倍何以知之以筭月食用三十分知之也依日食条论両圆相切法暗虚半径十分月半径五分両邉相切则両半径聨为一直线共十五分为両心之距以此距线用暗虚心为心运作大圆正得全径三十分也此大圆邉距暗虚邉四周各五分为両圆相切时月心所到之界其両之距十五分即大圆半径常用为弦而以食甚时両心之距为勾食甚时月心侵入大圆邉之数为勾弦较其数与月食分秒同以此与大圆全径相减余即勾弦和和较相乗为股实开方积也其开方数为股即自亏复至食甚月心所行之白道也四千九百二十乗者何也依日食条论又是十分八百二十而用其六也盖所得月体又小于日一分也然厯经所用与日食同此不同者盖改率也或亦改三应数时所定而作史时未入如盈缩立成等耳推三限辰刻等法置所推食甚定分内减去定用分余为初亏分也不及减者加日周减之复置食甚定分内加入定用分共得为复圆分也满日周去之时刻依合朔推之按三限辰刻同日食理不复赘初亏时两心之距为弦即大圆三十分半径食甚时月心侵入大圆界八分为勾弦较自亏至甚月心所行之度分为股甚至复亦同此以月食八分为例余可倣推又此系阳厯故月在暗虚南若阴厯反此论之推既内分法置月食限一十五分(按厯经作月食既一十分今从之)内减去所推月食分秒自单以下全分余(十分定二单分定三○句误按此处无十分当是有分定)(二十秒定一也)为实却以月食分秒自单分以下分秒(单分定二十秒)(定一)为法乗之(言十定一所定有五子为十分四子为单分)得为开方积立天元一於单微之下依平方法开之得为开方数就置开方数(十分定五单分定四○按十分定五句误此处开方数必无十分当作十秒定三有分定四也分加)(定四子者以有秒微也)复以四千九百二十分(定五)为法乗之(言十定一)得数又以所推定限行度(去四子空度去三子)为法除之(不满法去一子)(所定有六子为百分五子为十分)得为所推既内分也按厯经原是以既内分与一十分相减相乗此则改为一十五分今以大圆掩小圆率求得既内小平圆径一十分与厯经合故断从厯经也月食十分则既矣此时月体十分全入暗虚而月之边正切暗虚之心两心之距正得五分以此五分为半径自暗虚心作小平圆其全径十分其边各距暗虚心五分为食既时月心所到之界过此界则为既内矣假如月食十二分食既时月心正掩小圆之边食甚时月体则入暗虚内二分而月心亦侵入小平圆二分故即用此二分为勾弦较以与小平圆全径相减余为勾弦和和较相乗得积开方得股即月心从食既至食甚在暗虚内所行小平圆之白道也于是亦如前法变为度分而计其行率则知月入暗虚以后行至食甚所厯时刻之数而命为既内之分也此既内分食甚至复圆同论乙为暗虚心初亏时月心在甲以其边切暗虚于庚两心之距为乙甲与壬乙等大圆半径十五分也为大弦 食甚时月心行至丁丁甲度分为自亏至甚之行与甚至复丁戊之行等为大股丁乙三分食甚时两心之距也为勾 壬丁十二分食甚时月心侵入大圆内之数也为勾弦较 食既时月心在丙丙心之距乙丙与生光之时己乙之距等小平圆半径五分也为小弦 丙丁为月心自既至甚之行与自甚至生光己下之行等为小股 丁巳三分仍为勾 午丁二分为食甚时月心侵入小平圆之数为勾弦较 丙至丁所厯时刻与己丁时刻等是为既内分 甲至丙所厯时刻与已至戊等是为既外分 此以阴厯月食十二分为式余皆倣论开方数壬丁十二丁癸十八相乗二一六平方开之得丁甲十四(六九)午丁二分丁艮八分相乗十六平方开之得丁丙四分推既外分法置所推定用分内减去既内分余为既外分也按既外分者是月食初亏至食既生光至复圆所占时刻也原所推定用是自亏初复末中距食甚之数则是既内既外总数也故于其中减去既内所占时刻其余便是既外时刻也推五限辰刻等法置食甚定分内减去定用分为初亏分初亏分加既外分为食既分食既分加既内分为食甚分食甚分加既内分为生光分生光分加既外分为复圆分也不及减者加日周减之满日周去之推时刻同前按月食所以有五限辰刻异于日食者日食只十分故其食而既也即其食甚也才食而既其光即生则其生光之分亦即其食甚也若月食则十五分自食既以至生光厯时且乆为刻皆殊中折二数以知食甚縂计亏复故有五限也以定用减小余者所筭定用原是食甚距初亏之数也故以减食甚得初亏以既外加初亏及生光者所筭既外原是初亏距食既生光距复圆数也故以加初亏得食既以加生光得复圆至于所筭既内原是食既至生光折半之数即是食既生光中距食甚之数也故以加食既得食甚以加食甚得生光不及减加日周者是食甚在子正后初亏等在子正前也加满日周去之者是食甚等在子正前复圆等在子正后也凡言时刻同前者皆用发歛也推月食入更㸃法视望下盈缩厯与太阳立成同日之日晨分就加一倍得数用五千分而一(句误一按当作五而 下同)得为更法分也(定数)(满法得十分不满法得百分也)将更法又用五千分而一得为㸃法分也(定数满法得百分不满法得十分也○句误甚按当作满法者百已上不满法者二百已上也大约更法)(有千者则不满法)按更㸃倍晨分者凡日入后二刻半而昏日未出前二刻半而晨晨则辨色未昏则不禁行晨昏启闭以此为节是益昼五刻损夜五刻圣人扶抑之道无所徃而不存也其晨分皆自本日子正距异之数夜之有晨分犹日之有半昼分也逆推子正前距昏之数正与相等故倍其晨分即为全夜之刻也于是以五除之即其夜每更所占时刻之数也假如晨分二千五百倍之五千五除之则知毎一更分占有一十分也满法者是在五千分已上故知得数为千分不满法者是在五千分已下故知得数为百分于是又置更法以五除之即其夜毎㸃所占刻数也假如更法分一千五除之则知毎㸃中占有二百分也其㸃法得数无论满法不满法縂是百分不必定数盖千已上数则不满法岂有转少作十分之理十分句误又除法只是单五毎夜五更毎更五㸃五千分误当作五而一或以五除之也推初亏等更㸃法视初亏分如在晨分已下者就加入晨分共为初亏更分也如在昏分已上者内减去昏分余为初亏更分也却以元推更法分为法除之命起一更筭外得为初亏更数也将减余不及满更法数却以元推㸃法分为法除之命起一㸃筭外得为初亏㸃数也次四限更㸃倣此而推各得更㸃也(若在日入已上昏分已下者命为昏刻若在日出以下晨分以上者)(命为晨刻皆无更㸃)按初亏等分如在晨分已下者是在子后也加入晨分是逆从子前昏刻筭起也其在昏分已上是在昏后也故减去昏分即是减去昼刻截从初昏筭起也究之二者则搃是从初更初㸃起筭其加后减后则知此所得数距初更初㸃已若干数于是以本日更法为法除之其满过更法有几数便知已过几更故筭外命为更数也其不满更法而余者则正是初入此更已来未满之数故又以㸃法除之其满过㸃法有几数便知在此更中已过几㸃故筭外命为㸃数便知所推初亏等尚在第几更第几㸃中未满也其有搃不满更法数者则只是初更其有以㸃法除縂不满法者则只是初㸃也推月食起复方位法视月食入隂阳厯如是阳厯者初起东北食甚正北复圆于西北也如是隂厯者初起东南食甚正南复圆于西南也若食在八分已上者无论隂阳厯皆初起正东复圆于正南也按月食起复方位主月体言之即人所见月之上下左右也以卯位言之则东为下西为上北为左南为右也以酉位言之则东为上西为下南为左北为右也月食入隂阳厯亦主月道言之如是阳厯食是月在日道南暗虚掩之者在其北故食起东北甚于正北复于西北也如是隂厯食是月在日道北暗虚掩之者在其南故食起东南甚于正南复于西南也其食在八分已上者是月食暗虚正相掩而过故食起正东复于正西也凡暗虚在日所冲太阳毎日行一度暗虚随之而移月之行天既视暗虚为速故其食也皆暗虚光在东月自西来道有必经无所于避遂入其中而为所掩既受谪矣则始能行而出于暗虚之东却视暗虚又在月西故月食亏初皆在东复末皆在西也又按厯经此亦据午地言之推月有𢃄食分法同日食推月有𢃄食例昏(月未出已复光若干月已出见复光若干) 晨(月未入见复光若干月已入未复光若干)昏(月未出已食若干月已出见食若干) 晨(月未入见食若干月已食不见食若干)按月带食法同日食而只互易其晨昏书法者何也葢月食于望望者日月相望故日出则月入月出则日入故易日之昏为月之晨易日之晨为月之昏也其所以同者何也假如日入分在复圆分已下是复圆在日入月出后于日为见食甚不见复末者于月则见为复末不见食甚也若日出分在复圆分已下是复圆在日出月入后于日为见复末不见食甚者于月则为见食甚不见复末也之二者总是以食甚分减其日出入分其所推带食分则总是日月出入前距食甚之数其以减食分而余者亦总是日月出入后未复光之数故总谓之已复光未复光而以所推带食分录于前也又如日入分在初亏分已上是初亏在日入月出前于日为见亏初不见食甚者于月则为见食甚不见亏初也若日出分在初亏分已上是食甚在日出月入后于日为见食甚不见亏初者于月则为见亏初不见食甚也之二者总是以日出入分减其食甚分其所推带食分则总是日月出入后距食甚之数其以减食分而余者亦总是日月出入前已食之数故总谓之见食不见食而以所推带食分录于后也余详日食○又按厯经月食既者以既内分减带食差余进一位如既外分而一以减既分即月带食出入所见之分不及减者为带食既出入葢凡所推带食差是食甚所距日出入数今以既内分减之而余者即是日出入后距食既前或日出入前距生光后其间所有时刻也进一位者即是以既分乗之也又以既外分除之则知其食既生光距日出入时于既外全数中分得㡬许时刻即知其于食既全数内分得㡬许食分也故以减月食既十分即为月带食出入之分也不及减者是带食差少于既内分其日出入分已在既内分内故为带食既出入也推食甚月离黄道宿次度法置元推食甚入盈缩厯行定度全分如是盈厯者加半周天一百八十二度六二八七五及天正黄道箕宿度共得为黄道定积度也如是缩厯者正加天正黄道箕宿度内减去七十五秒余为黄道定积度也无论盈缩厯皆以其黄道各宿次积度钤挨及减之余为食甚月离黄道某宿次度分也按月食黄道之积度者逆计月离度前距天正日躔宿度之数也元推食甚入盈缩厯行定度则是所求日躔距天正宿度数乃月食所冲也如日在北正月食于南正故盈厯加半周天便是食甚月离宿度又加天正箕宿度便知食甚月离距天正黄道箕宿初度若干也其缩厯行定度则是日躔距夏至宿度数故即用其数为月离葢月食日冲日躔夏至宿后第㡬度月食亦即在冬至宿后第㡬度故不必加半周天也内减去七十五秒者盈厯缩厯相距半岁周不及半周天七十五秒其今岁缩厯以后距来岁盈厯亦止半岁周若论其后距本岁盈厯则反多一分五十秒即多于半周天七十五秒也减此益彼即各相距半周天平分天度而相望其冲也其止加天正箕宿度意同盈厯其不问盈缩皆减黄道积度钤是筭外命宿度同日食不赘依授时厯经黄赤道法(勿庵补定)求四正后赤道积度置天正冬至所在宿赤道全度以天正赤道减之余为距后度以赤道宿度累加之即得其宿距冬至后赤道积度加满象限去之为四正宿距后度亦以赤道宿度累加之满象限去之即各得其宿距春分夏至秋分后赤道积度按四正者四时正气即二至二分也凡天正赤道度是前距其宿初度之数故以减其宿全度即各得后距其宿末度之数也于是以后宿赤道累而加之即知各至后各宿距冬至度所积之度也满象限去之者加满象限是其宿当四正所在故减去象限即知四正所在后距其宿末度之数也于是又以赤道各宿度累而加之即各得四正后每象宿所距四正度之数也求赤道变黄道置各宿距四正后赤道积度用黄赤道立成视在至后者以第三格赤道积度相挨者减之余(有十定三有分定二)为实以上第二格黄道率乗之(不用乗只加定四子)以下第四格黄道率为法除之(有度去四有十去三不满法再去一视定有四子为度三子为十分)加入第一格黄道积度即为其宿距至后黄道积度其夏至后再加半周天即各得其宿距天正黄道积度也若在分后者以第一格赤道积度相同者减之只用小余(有十定三)(有分定二)为实以下第四格黄道率为法(有度定四空度定三)乗之(言十)(定一)得数以上第二格赤道率除之(不用除只去四子视定有四子为度三子)(为十分)加入第三格黄道积度即得其宿距分后积度其春分后再加一象限其秋分后再加三象限即各得其宿距天正黄道积度也于是各置其宿距天正黄道积度以其前宿黄道积度减之即各得其宿黄道本度也秒就近约为分按至后不用乗者其立成黄道率只是一度乗过数不动故只加定四子也分后不用除者其立成赤道率亦是一度除过数亦不动故只虚去四子也夏至后加半周天春分后加一象限秋分后加三象限者此所求黄道积度皆距四正起筭故各以四正距天正黄道数加之即其宿前距天正之数也葢至后黄道虽减于赤道分后黄道虽加于赤道其实至四立之后则加之极而反减减之极而反加总计一象皆得九十一度有竒此天道所以如环平陂徃复间不容髪也减前宿积度为其宿本度者积度既是距天正数原包有前宿在内故减之即得本度也(秒就近约为分)(者凡秒五十已上收为分已下弃之就整数也其七十五秒寄虚度)求天正冬至黄道度置周天度三百六十五度二五七五内减去天正前一宿距天正黄道积度余命为天正冬至宿黄道度分也若迳求者置象限以其年天正赤道度减之余为天正前宿距秋分后赤道积度依赤道变黄道法求出其宿距分后黄道积度以减象限余即命为天正黄道度按周天度是自天正后积至天正前黄道总数故减去前宿距天正黄道积度即得天正距所在宿初度之数也迳求法除象限者即是自天正前距秋分后赤道总数也内减去天正赤道度其余即是前宿距秋分后赤道积度也赤道变黄道法即是以立成第一格积度减余以第四格度率乗以第一格度率除加入第三格积度而命为前宿距秋分后黄道积度也又以减象限者此所为象限即是自天正前距秋分后黄道总数故减去前宿距秋分黄道积度其余即是天正冬至距其宿初度黄道之数也求黄道宿积度定钤置天正冬至宿黄道度及分如入其宿距至后黄道积度及分共得为天正冬至宿黄道定积度以各宿黄道度累加之即各得其宿黄道定积度按分至每岁有差黄道即因而易即不能毎岁歩之当于六十六年岁差一度时更定度钤始为无弊也凡冬至所在宿皆有前后距其黄道皆减于赤道今所推其宿至后积度是自冬至日躔后距其宿末度黄道数其天正黄道宿度则是自冬至日躔前距其宿初度黄道数也合二数则是自其宿初度距其宿末度总数故即命为天正宿定积度也于是以各宿黄道度累加之即各得其宿所距天正宿初度之数而命为定积度也求日月食甚宿次黄道度及分秒法同通轨又术置所推食甚盈缩厯缩厯加半周天为黄道定积度月食盈缩厯俱加半周天满周天分去之为黄道定积度皆迳以距天正黄道积度相挨者减之即各得日月食甚黄道宿度及分秒按此法不用定积度钤故亦不加天正黄道度然必毎年歩定黄道积度方可用之也赤道宿度角十二(一十) 亢九(二十) 氐十六(三十)房五(六十) 心六(五十) 尾十九(一十)箕十(四十)右东方七宿七十九度二十分斗二十五(二十) 牛七(二十) 女十一(三五)虚八(九十五太) 危十五(四十) 室十七(一十)壁八(六十)右北方七宿九十三度八十分太奎十六(六十) 娄十一(八十) 胃十五(六十)昴十一(三十) 毕十七(四十) 觜初(五)参十一(一十)右西方七宿八十三度八十五分井三十三(三十) 鬼二(二十) 栁十三(三十)星六(三十) 张十七(二十五) 翼十八(七十五)轸十七(三十)右南方七宿一百○八度四十分黄赤道立成积度 度率 积度 度率 积差 差率附郭守敬传初刘秉忠以大明厯自辽金承用二百余年浸以后天议欲修正而卒十三年江左既平世祖思用其言遂以守敬与王恂率南北日官分掌测騐推歩于下而命张文谦与枢宻张易为之主领裁奏于上左承许衡参预其事守敬首言厯之本在于测騐而测騐之器莫先仪表今司天浑仪宋皇祐中汴京所造不与此处天度相符比量南北二极约差四度表石年深亦复欹侧守敬乃尽考其失而移置之既又别图高爽地以木为重棚创作简仪高表用相比覆又以为天枢附极而动昔人尝展管望之未得其的作候极仪极辰既位天体斯正作浑天象象虽形似莫适所用作玲珑仪以表之矩方测天之正圜莫若以圜求圜作仰象古有经纬结而不动守敬易之作立运仪日有中道月有九行守敬一之作证理仪表高景虚罔象非真作景符月虽有明察景则难作闚几厯法之騐在于交㑹作日月食仪天有赤道轮以当之两极低昂标以指之作星晷定时仪又作正方案九表悬正仪座正仪为四方行测者所用又作仰规覆矩图异方浑葢图日出入永短图与上诸仪互相参考十六年改局为太史院以恂为太史令守敬为同知太史院事给印章立官府及奏进仪表式守敬当帝前指陈理数至于日晏帝不为倦守敬因奏唐一行开元间令南宫说天下测景书中见者凡十三处今疆宇比唐犹大若不逺方测騐日月交食分数时刻不同昼夜长短不同日月星辰去天髙下不同即日测騐人少可先南北立表取直测景帝可其奏遂设监候官一十四员分道而出东至高丽西极滇池南逾珠崖北尽铁勒四海测騐凡二十七所十七年新厯告成守敬与诸臣同上奏曰臣等窃闻帝王之事莫重于厯自黄帝迎日推䇿帝尧以闰月定四时成岁舜在璇玑玉衡以齐七政爰及三代厯无定法周秦之间闰余乖次西汉造三统厯百二十年而后是非始定东汉造四分厯七十年而仪式方备又百二十一年刘洪造乾象厯始悟月行有迟疾及魏黄初间始以日食课其疎宻魏杨伟作景初厯始立交食起亏术又百八十年姜岌造三纪甲子元厯始悟以月食推騐日宿度所在又五十七年何承天造元嘉厯始悟以朔望及弦皆定大小余及以晷景騐气又六十五年祖冲之造大明厯始悟太阳有岁差之数极星去不动处一度余又五十二年张子信始悟日月交道有表里五星有迟疾畱逆又三十三年张胄𤣥造大业厯始立五星入气加减法及月应食不食术刘焯造皇极厯始悟日行有盈缩及立推黄道月道又三十五年傅仁均造戊寅元厯颇采旧议始用定朔又四十六年李淳风造麟徳厯以古厯章蔀元首分度不齐始为总法用进朔以避晦晨月见又六十三年一行造大衍厯始以朔有四大三小定九服交食轨漏之异及创立岁星差合术又九十四年徐昂造宣明厯始悟日食有气刻时三差人七十二年邉冈造崇𤣥厯始立相减相乗法以求黄道月道又六十三年王朴造钦天厯始变五星法迟留逆行舒亟有渐又九十八年周琮造明天厯始悟日法积年自然之数又三十六年姚舜辅造纪元厯始悟食甚泛余差数以上计千一百八十二年厯经七十改其创法者十有三家自是又百七十四年圣朝専命臣等改修新厯臣等用创造简仪高表凭其测实数所考正者凡七事一日冬至自丙子年立冬后依每日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定丁丑夏至在庚子日夜半后七十刻又定戊寅冬至在癸邜日夜半后三十三刻巳邜冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻各减大明厯十八刻逺近相符前后应凖二曰岁余自大明厯以来凡测景騐气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁余考騐四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分其二十五分为今厯岁余合用之数三曰日躔用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔得冬至日躔赤道箕宿十度黄道箕九度有竒仍凭每日测到太阳躔度或凭星测月或凭月测日或迳凭星度测日立术推筭起自丁丑正月至巳邜十二月凡三年共得一百三十四事皆躔于箕与月食相符四曰月离自丁丑以来至今凭每日测到逐时太阴行度推算变从黄道求入转极迟疾并平行处前后凡若干转计五十一事内除去不真的外有三十事得大明厯入转后天又因考騐交食加大明厯三十刻与天道合五曰入交自丁丑五月以来凭毎日测到月道去极度数比拟黄道去极度得月道交于黄道出入度仍依日食法度推求皆有食分得入交时刻与大明厯所差不多六曰二十八宿距度自汉太初厯以来距度不同互有损益大明厯则于度下余分附以太半少皆私意牵就未尝实测其数今新仪皆细刻周天度分毎度为三十六分以距线代管窥宿度余分并依实测不以私意牵就七曰日出入昼夜刻大明厯日出入昼夜刻皆据汴京为凖其刻数与大都不同今更以本方北极出地高下黄道出入内外度立术推求毎日日出入昼夜刻得夏至极长日出寅正二刻日入戌初二刻昼六十二刻夜三十八刻冬至极短日出辰初二刻日入申正二刻昼三十八刻夜六十二刻永为定式所创法凡五事一曰太阳盈缩用四正定气立为升降限依立招差求得毎日行分初末极差积度比古为宻二曰月行迟疾古厯皆用二十八限今以万分日之八百二十分为一限凡析为三百三十六限依垜叠招差求得转分进退其迟疾度数逐时不同葢前所未有三曰黄赤道差旧法以一百一度相减相乗今依筭术勾股弧矢方圆斜直所容求到度数积差差数与天道实脗合四曰黄赤道内外度据累年实测内外极度二十三度九十分以圆容方直矢截勾股为法求毎日去极与所测相符五曰白道交周旧法黄道变推白道以斜求斜今用立浑比量得月与赤道正交距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分拟以为法推逐月毎交二十八宿度分于理为尽十九年恂卒时厯虽颁然其推歩之法与夫立成之数尚皆未有定稿守敬于是比次篇类整齐分秒裁为推歩七卷立成二卷厯议拟稿三卷转神选择二卷上中下三厯注式十二卷二十三年继为太史令遂上表奏进又有时候笺注二卷修改源流一卷其测騐书有像象法式二卷二至晷景考二十卷五星细行考五十卷古今交食考一卷新测二十八舍杂坐诸星入宿去极一卷新测无名诸星一卷月离考一卷并藏之官大统厯志卷八◆ 《勿庵历算书记-清-》（KR3f0028）
## 提要
钦定四库全书 子部六
勿庵歴算书记 天文算法类二(推歩之属)提要臣等谨案勿庵歴算书记一卷国朝梅文鼎撰文鼎有歴算全书已著录此乃合其已刻末刻之书各疏其论撰之意凡推步测騐之书六十二种算术之书二十六种虽亦目录解题之类而诸家之源流得失一一标其指要使本末厘然实数家之总汇也如古今歴法通考一条曰不读耶律文正之庚午元歴不知授时之五星不读统天歴不知授时之岁实消长不考王朴之钦天歴不知斜正升降之理不考宣明歴不知气刻时三差非一行之大衍歴不知岁自为岁天自为天非李淳风之麟徳歴不知用定朔非何承天祖冲之刘焯诸歴无以知岁差非张子信无以知交道表里日行盈缩非姜岌不知以月蚀检日躔非刘洪之乾象歴不知月行迟疾然非洛下闳谢姓等肇启其端虽有善悟之人亦无自而生其智又谓西法约有九家一为唐九执歴二为元扎玛里廸音万年歴三为眀马沙亦黒回回歴四为陈壤袁黄所述歴法新书五为唐顺之周述学所撰歴宗通议歴宗中经皆旧西法也六曰利玛窦天学初函汤若望崇祯歴书南懐仁仪象志康熈永年歴七曰穆尼阁天步真原薛凤祚天学㑹通八曰王锡阐晓庵新法九曰揭暄写天新语方中通揭方问荅皆新西法也非深读其书亦不能知其故又周髀补注一条曰观其所言里差之法是即西人之说所自出也回回歴补注一条曰回回歴即西法之旧率泰西本回歴而加精是皆于中西诸法融㑹贯通一一得其要领绝无争竞门户之见故虽有论无法仍录之术数类中为测算之纲领焉乾隆四十六年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 勿庵歴算书记
钦定四库全书勿庵歴算书记宣城梅文鼎撰一歴学骈枝二卷(已刻)顺治辛丑(鼎)始从同里倪竹冠先生受交食通轨归与(文鼐文鼏)两弟习之稍稍发明其所以立法之故并为订其讹误补其遗缺得书二卷以质倪师颇为之首肻自此遂益有学歴之志(是书少叅三韩金鐡山先生刻于保定)一元史歴经补注二卷因读交食通轨及台官气朔章窃疑其非全书也续得家诞生先生所藏二十一史读之始知许文正(衡)郭若思(守敬)诸公测騐之精制器之巧叹授时歴法之善但歴经简古作史者又缺载立成初学难通因稍为图注以发其意一古今歴法通攷(有魏叔子费燕峰二序)授时歴集古法之大成自改正七事创法五端外大率多因古术故不读耶律文正之庚午元歴不知授时之五星不读统天歴不知授时之岁实消长不考王朴之钦天歴不知斜升正降之理不考宣明歴不知气刻时三差非一行之大衍歴无以知岁自为歳天自为天非淳风之麟徳歴不能用定朔非何承天祖冲之刘焯诸歴无以知岁差非张子信无以知交道表里日行盈缩非姜岌不知以月蚀检日躔非刘洪之乾象歴不知月行迟疾然非洛下闳谢姓等肇启其端虽有善悟之人无自而生其智矣间尝于古歴七十余家详为叅校窃睹古人之用心勤也或矜新得而蔑弃前闻夫亦未之攷矣往读马贵与文献通攷于天文五行备矣顾独无歴法故作此以补其缺无何従亡友黄俞邰太史(虞稷)借读邢观察(云路)古今律厯攷惊其卷帙之多然细考之则于古法殊畧所疏授时法意亦多未得其旨则愚之一得似尚可存邢氏书但知有授时而姑援经史以张其说古歴之源流得失未能明也无论西术矣(鼎)此书盖兼古术西术攷其同异而求端于天不敢以已见少为轩轾古歴之踵事増华屡变益宻人多知之而愚攷西歴亦非一种也故在唐则有九执歴为西法之权舆其后有婆罗门十一曜经及都聿利斯经皆九执之属也在元则有扎玛里廸音西域万年歴在明则有马沙亦黒马哈麻之囘囘歴以算凌犯与大统同用者三百年修囘歴者则有陈星川(壤)増天地人三元而袁了凡(黄)本之为歴法新书唐荆川太史(顺之)亦深明西域之法而加之以论说周云渊处士(述学)因之为歴宗通议歴宗中经雷氏(宗)又有合璧连珠歴法以上数种皆㑹通囘歴以入授时而并在大西洋书未出之前乃西域之旧法也自利西泰(玛窦)来宾著天学初函至崇祯朝上海相徐文定公同西士汤道未(若望)等译崇祯歴书百余卷本朝时宪歴用之则西术之一变故曰西洋新法也虽同曰西洋新法而汤氏所译多本地谷与利氏之说亦多不同又有西士穆尼阁著天步真原与歴书规模又复大异青州薛仪甫(鳯祚)本之为天学㑹通又新法中之新法矣通歴书之理而自辟门庭则有吴江王寅旭(锡阐)其立议有精到之处可谓后来居上又广昌揭子宣(暄)著写天新语桐城方位伯(中通)相与质难著揭方问荅并多西书之所未发而监正南敦伯(懐仁)仪象志康熈永年歴与歴书亦微有出入总而计之约有九家前五家(九执一万年二囘歴三陈袁四唐周五)皆西之旧法即囘囘歴也后四家(利汤南共一穆薛二寅旭三揭方四)皆西之新法即欧逻巴歴也析而言之利与汤汤与南亦各不同愚故曰西法原非一种亦以踵事益精非深读其书亦不能知其故矣歴法新书亦载古歴不过寥寥数语歴宗通议仅录史志靡所阐发以絜邢书亦鲁卫之政也盖歴家有法无论理隐数中自非専家䍐能究悉惟歴书理数兼推颇称发复而枝柯繁衍约举斯难集腋成裘不无参错自外文人间有涉笔或美言可市而实测无徴崇议堪惊而运筹尠叶去数谭理聚讼徒纷举一废多抑扬失实又奚当矣(鼎)之为此既不敢附和偏辞亦不敢任情立异兼采旁搜详探浅说生平矢愿欲使幽㣲之㫖较若列眉寥廓之观近陈几案往往直言其立法之所以然庶以管蠡之见与天下学者共见共知而学与年迁前之所疑或为今之所信稿经数易㸃窜衡从拟分短帙以便省览庶望髙识为之是正也(原分五十八卷今卷数未定)一春秋以来冬至攷一卷(魏茘彤刻)歴元并起冬至自春秋书南至而左氏传有登观台书云物之礼周礼言日至之景尺有五寸遂为歴家测景之权舆然候景甚难史书中所据测景之真者可数而知也授时列六歴以攷古今之冬至合于古者或戾于今合于今者又差于古其后天也或差至一二日惟统天歴有古大今小之算以合前代所用之率而授时因之顾歴议欲尊授时遂取鲁献公冬至以证统天之疎兹为各依本率步算则虽上推至鲁献未尝违统天法也郭太史歳实消长不在创法五端之内意可知矣(按太史自有歴议拟稿不知作史者何以不收而用李谦之议)一宁国府志分野稿一卷(巳刻志中)分野之说本于周礼其来旧矣史书所载分野之法初非一说如论宿论宫既各不同而诸家歴法分宫又别且时日枝干亦各占其国而北斗五车天市及女宿下十二国星及五星之荧惑列舍之鸟衡并占南国之类具载天官书乃占家但据一端为说宜其疎矣康熈癸丑奉同侍讲施愚山先生纂修郡乘诸友人咸以此项见属因具录歴代宿度分宫之同异及各种分野之法皆以诸史为徴虽一郡之専书实冯相之公法也一宣城县志分野稿一卷(已刻志中)大体同府志一歴志赘言一卷康熈戊午愚山侍讲欲偕余入都不果行次年己未愚山奉 命纂修明史寄书相讯欲余为歴志属稿而余方应泉台金长真先生之召授经官署因作此寄之大意言明用大统实即授时宜于元史阙载之事详之以补其未备又囘囘歴承用三百年法宜备书又郑世子歴学已经进呈亦宜详述他如袁黄之歴法新书唐顺之周述学之㑹通囘歴以庚午元歴之例例之皆得附录其西洋歴方今现行然崇祯朝徐李诸公测騐改宪之功不可没也亦宜备载縁起盖歴志大纲畧尽于此一二年后担簦入都承史局诸公以歴志见商始见汤潜庵先生所裁定吴志伊之稿大意多与(鼎)同然不知其曽见余所寄愚山赘言与否亦承潜庵公屡次寄讯相招而未及搴裳比入都则作古久矣为之慨然一江南通志分野拟稿一卷康熈甲子制府于公檄修通志(鼎)以事辞未往𤾂江太史陈黙公先生(焯)専函致书以江南分野稿见商介家叔瞿山(清)督促至再余方病疟小愈力疾为之删润颇费经营无何黙翁亦辞志局矣聊存兹稿以俟方来著述者或取𠂻焉亦以志知巳之感云尔一明史歴志拟稿三卷(有先蠲斋序)明史歴志属稿者简讨钱塘吴志伊(任臣)总裁者中丞汤潜庵先生(斌)也潜庵歾后史事总属昆山志稿经嘉禾徐敬可(善)北平刘继庄(献廷)毘陵杨道声(文)(言)诸君子各有増定最后以属山隂黄梨洲先生(宗)(羲)岁巳巳(鼎)在都门昆山以志稿见属谨摘讹舛五十余处粘籖俟酌欲候黄处稿本到齐属笔而昆山谢事矣无何梨洲季子主一(百家)従余问歴法乃知(鼎)前所摘商者即黄稿也于是主一方受局中诸位之请而以授时表缺商之于余余出所携歴草通轨补之然写本多误皆手自步算凡篝灯不寝者两月始知此事之不易也歴志拟稿虽为大统而作实以阐明授时之奥补元史之缺畧也其总目凡三曰法原曰立成曰推步而法原之目凡七曰句股测望曰弧矢割员曰黄赤道差曰黄赤道内外度曰白道交周曰日月五星平立定三差曰里差刻漏立成之目凡四曰太阳盈缩曰太隂迟疾曰昼夜刻曰五星盈缩推步之目凡六曰气朔曰日躔曰月离曰中星曰交食曰五星一郭太史歴草补注二卷按元史本传郭太史(守敬)著撰极富并藏于官厥后畴人子弟皆以元统之通轨入算逐末忘源郭书存亡不可得而问所仅存者歴草一书而已其书有算例有图有立成歴经立法之根多在其中而深谙者希传写多误因稍为订正而于义之精微者特为拈出庶俾学者知其所以然而法非徒设矣授时测浑员之法从二至起算以至二分与西术起二分以至二至者不同要其剖析浑体于无句股中㝷出句股则无二理也于此而益知此理之同(鼎)注歴草或引八线三角以明之盖谓此耳一庚午元歴攷一卷据史元太祖以己夘亲征西域诸国次年庚辰夏五月驻跸也石的石河有西域人与耶律文正王(楚材)争月蚀而西说并诎故耶律作歴托始是年也又以太祖庚午始绝金次年伐之不五年天下畧定故推演上元庚午冬至朔旦七曜齐元为受命之符谓之西征庚午元歴西征者谓太祖庚辰也庚午元者上元起算之端也今歴志讹太祖庚辰为太宗则太宗无庚辰也(太宗在位共十有三年起己丑毕辛丑)又讹上元为庚子则于积年不合也(据演纪积年二千二十七万五千二百七十算外得庚辰则起算必庚午)故特攷而正之元之歴法实始耶律故庚午元歴之法授时多本而用之崇祯歴书乃谓授时隂用囘囘非也一大统歴立成注二卷有布立成之法有攷立成之法不得其说则有以传写鲁鱼而施之步算者矣(鼎)故于歴家用数必慎思之思之不得不敢妄用也据史立成之算皆太史令王公(恂)卒后经郭公之手而后成书今监本只载王名盖不敢以终事之勤没人创始之美古人让善之义令人起敬也一写算步歴式一卷友人潘锡畴(天成)从余学歴而苦于布算故作此授之殊便初学一授时步交食式一卷季弟尔素有累年算稿录存之以存旧法一步五星式六卷初学歴时未有五星通轨无从入算因取元史歴经以三差法布为五星盈缩立成然后算之盖与仲弟和仲(文鼐)共成之也和仲于此事甚勤能助予惜早卒其后十余年乃得通轨校之颇合恨仲弟未之见至于立成誊清从弟懐叔(瑾)与有劳焉而亦久为古人矣一荅李祠部问歴一卷(魏茘彤刻)礼部郎中李古愚先生(讳)焕斗豫章人也従余问皇极经世遂及歴法余有行笥中邢观察律歴攷书凡三㐩先生皆手自抄毕稍有所疑必手书致问故往复甚多今存数稿其实不止于是也既而余去天津先生亦擢陜邉道缺以去每思其勤学好问之诚有经生家所不能逮者犹依依如昨日一囘囘歴补注三卷囘囘歴法刻于贝琳然其布立成以太隂年而取距算以太阳年巧藏根数虽其子孙隷籍台官者亦不能言其故也唐荆川(顺之)论囘歴之语载王宇泰(肯)(堂)笔麈中颇有发明殊胜歴宗通议或反谓荆川歴学得之云渊者非定论也若天地人三元积年则陈星川(壤)之法非西域本色然回歴即西法之旧率泰西本回歴而加精焉耳故惟深知回歴而后知泰西之学有根源亦惟深知回歴而后知授时之未尝隂用其法也一西域天文书补注二卷此书与囘回歴经纬度及其算法共四卷并洪武时翰林吴伯宗李翀受诏与囘囘大师马沙亦赫马哈麻同译而天顺时钦天监正贝琳所刻也余尝于友人马徳称(儒骥)处见其全书盖今㤗西天文实用又本此书而加新意也不知者或谓此即天文实用而反谓囘回之冒窃其书岂不陋哉书首小序曰此书亦有不騐之时不可以其不騐而遂废此理其言类有道者非术数家所能及也一三十襍星攷一卷西域天文中有襍星三十之占然未译中土星名余尝以歳差度攷之得其二十余后见钱塘友人袁惠子(士龙)及青州薛仪甫(鳯祚)气化迁流并有斯攷不谋而同者十之七八余则以巨蟹第一星证之囘歴刻本似尤确也一四省表景立成一卷表景生于日轨之高下而日轨又因于里差独四省者陜西河南北直江南也今回囘所在多礼拜之寺不知何以只有此四处景表之传或当初只此四处耶然其中亦有传讹之处庚申岁余养疴白下西域友人马徳称(儒骥)以此致询遂为订定并附用法以补其缺一周髀算经补注一卷周髀即盖天也自汉人伸浑天而绌盖天书遂不传今惟有周髀一经又言之不详然观其所言里差之法谓北极之下以半年为昼夜是即西人之说所自出也因稍稍注之俾天下疑西说者知其说之有所自来一荅刘文学问天象一卷(文集内刻)刘文学(介锡)沧洲老儒也颇留心象数辛未壬申与余同客天津承有所问并据歴法正理告之一分天度里(图注各省直及䝉古各地南北东西之差)一卷自北齐张子信发明交道表里尔后歴家类能言里差今以地员之理徴之其故益显新法用北极髙度分地纬南北用月食早晩分地经东西故各省直及口外䝉古皆能得其距度盖地有南北故昼夜有长短地有东西故加时有后先若算交食则两差并用以为根数而后亏复时刻食分多寡可以预知矣时宪歴所载岁歳颁行或习而不察有望洋之叹兹为设一总图明之但及于正朔所颁之处裂浑幂之经纬各二十余度其形正平而地员之理亦在其中矣一七政细草补注三卷崇祯歴书之有细草以便入算亦犹授时歴之有通轨也盖即七政䝉引而有详畧尔然算者贪其简便而全部歴书或庋髙阁矣兹以歴指大意櫽括而注之使用法之意了然亦使学者知其所以然益有所据而不致有临时之误云尔一歴学疑问三卷(进巳刻 呈)(鼎)向有古今歴法通攷因时时増改讫无定本巳巳入都获侍诲于安溪先生先生曰歴法至 本朝大备矣经生家犹若望洋者无快论以发其意也宜畧倣元赵友钦革象新书体例作为简要之书俾人人得其门户则従事者多此学庶将益显(鼎)受命唯谨然自惟固陋雅不欲直袭诸家所已言又欲其望而辄解斟酌于浅深详畧之间屡涉笔而未果至辛未夏移榻于中街寓邸始克为之先生既门庭若水绝诸酬应退 朝则亟问今日所成何论有脱稿者手为㸃定如是数月得稿三十余篇授徒直沽又陆续成其半然尚有宜补之篇目及其图表拟至山中续完自癸酉南旋以后屡奉手书相勉亡友宁波万季野(斯)(同)亦复寄言谆复而鄙性特眈探索恒欲明其所疑襍撰盈笥率多未竟之绪心追笔步顾彼失此忽忽数年未有以应属先生视学大名遂以原稿付之雕版云(䠋壬午夏安溪公以抚臣扈 行河 进呈此书钦䝉)(御笔亲加评阅事 具安溪恭纪中)一交食䝉求订补二卷(内巳刻日食一卷月食一卷亦刻)歴书有交食䝉求七政䝉引二目今刻本并皆逸去兹以诸家所用细草攷其同异参之歴指而为是书以便初学交食细草原只十六求厥后复増为十七求者盖所以为东西异号之用也日食甚近黄平象限而或在限东则有减差而同于初亏异于复圆或在限西则有加差而同于复圆异于初亏歴指于此处语焉不详故以十七求补之不知作者谁氏要不可谓其无见但法止复圆尚缺其半似为未定之稿今依法为之订补始为完书授时歴东西南北差并有反减之用即东西异号之理但其法并以午正为限回囘歴及今西术则皆以黄道在地平上半周折半取中谓之九十度限又曰黄平象限而不用午正于理为亲然仍有可议者交食当兼论月道月道在地平上亦有半周亦即有九十度限而不与黄平限同度太隂既由白道行(月道古谓之九道授时歴谓之白道)则其东西加减之视差必以白道之九十度限为中若但论黄道之九十度限而不言月道则诸差皆误矣(新法有时不甚合盖由于此)今立一简法谓之定交角则十七求可以不用而其理尤确定交角者借黄道以求白道也黄道上两圏交角以白黄之交角损益之即成白道交角而东西异号之用亦于此定故不必更用十七求(㨗法但视定交角加满九十度以上)(成钝角即东变为西西变为东乃置半周度以此钝角减之而用其余为所变异号之交角度)一交食䝉求附说二卷(巳刻一卷)歴法可騐者莫如交食(如晷景之进退月光之消长中星之应候五星之伏见凌)(犯随地随时皆可测騐然惟交食则万目所共睹尤为易见)而最难者亦莫如交食(凡日躔月离之法黄道赤道岁差里差诸法至算交食则无所不备)故言之亦最不易古歴皆有法无说惟歴书说之甚详而义既渊微文复曼衍虽治歴畴人能通其说者或已尠矣今于䝉求各附浅显之说使用法者稍知立法根源庶可以益致其精耳(以上二书并安溪公刻于保定)一交食作图法误订一卷(已刻入前卷内)此有二端其一为分金环于食甚之悮凡算日食以两心正相对一度分时谓之食甚假如日食十分则正相掩见星时是也若食有金环太隂黑影侵入太阳而四面露光则其时正为两心相掩即食甚也今乃以金环与食甚分为二图而各具时刻其悮非小矣(图见杨监正不得已书)其一为图日月食不由月心起算之误凡月食以月入暗虚最深时为食甚假如月食九分则惟此刻见食九分与所算相符故谓之甚盖前此则未及过此则已退皆不能满九分也法当从月心作距线至暗虚心其距线与月道正如十字盖必如是而后食甚度分正居亏复之间今所图距线反従暗虚心打十字线至月心则食在交后者亏至甚必稍长甚至复必稍短食甚度分不居亏复之正中而所图必后天食在交前反此论之所图食甚又必先天矣且如此作图则食甚分数不能如所算安得谓之食甚乎(此姑)(据所见颁刻月食图言之其日食作图亦当从月心打十字其理无二详交食䝉求)一求赤道宿度法(原自为一卷今收入䝉求订补巳刻)古法赤道定而黄道有岁差故以赤求黄新法黄道有定纬惟经度移而赤道经纬时时改易故以黄求赤交食细草用仪象志八卷九卷表求之乃近年之法(仪象志成于康熈甲寅非䝉求本法)虽便初学固不如弧三角之为亲切也因特著之以明算理一交食管见一卷(巳刻)中西两家歴术求交食起亏等方位皆以东西南北为言(如日食八分以上者初亏正西复圆正东其食八分以下者阳歴则初亏西南食甚正南复圆)(东南隂歴则初亏西北食甚正北复圆东北若月食八分以上则亏正东而复正西八分以下者阳歴则)(亏于东北甚于正北而复于西北隂歴则亏于东南甚于正南而复于西南事事与日食相反)其法以日月体之中心为中而论其方位故其向北极处命之为北向南极处命之为南又即以向黄道东升处命之为东向黄道西没处命之为西此惟太阳太隂行至午规而又近天顶则东西南北各正其位矣自非然者则黄道度既有斜升正降之殊而自亏至复经歴时刻展转迁移皆从弧度之势而顷刻易向且北极出地有髙下则亏复方位又以日月距地之度而随处所见必皆不同然则月体之东西南北与人所见之东西南北必不相应(人之东西南北是以人立处命为中央日)(月之东西南北是以圆体最中处为中央故往往不相合)而何以施诸测騐乎然而古今歴家未有议及者不可谓之非缺事也愚今别立新术不用东西南北之号惟据人所见日月圆体分为八向以正对天顶处命之曰上对地平处命之曰下上下聨为直线(即地平经度髙弧)中分之作十字横线命之曰左曰右(依人之左右定之)此四正向也曰上左上右曰下左下右则四隅向也乃以法求得交食各限(亏甚复为三限月食既者则有五限)白道与髙弧所作之角而定其受蚀之所在则举目可见并如所图不可以丝毫假借(即不正当八向而少有偏侧亦可预知)诚为简易直㨗于测食之用不无小补向攷古歴惟隋刘焯皇极歴言交食方位颇详尝思作一简法而频年测交食方位不符所算屡欲为之不能得其领要今订䝉求作图之误始定此法实千年未发之袐也又从来言交食只有食甚分数未及其边惟王寅旭则以日月圆体分为三百六十度而论其食甚时所亏之边凡几何度今为推演其法颇为真确(寅旭言方位亦)(以东西南北然既知所亏边度可以余光两角折半取中即为食甚时所当方位之冲于是依法再以上)(下左右命之即食甚之方位亦定矣○初亏是初缺光处复圆是光欲满而尚有微缺畧如初亏并可以)(指定其处惟食甚方位难测故必以折半取中)一日差原理一卷歴有平时有用时平时者步算所得用时者测騐所徴太阳之有日差加减犹月离交食之有加减时也(月离表是改用时为平时交食表是改平时为用时故此之所减即彼之所加其用相反而积差之分秒)(并同)而日躔表所载之数独异据表说谓有二根(一黄赤之)(斜直一髙卑之盈缩)其说尤含糊支蔓月离交食二章弃而不用彼盖自知其非是矣(若日躔宜用日差表之法则交食等亦宜用之今所立加)(减时表秪以黄赤之斜直为根而不兼髙卑盈缩是不用日躔表说之法也)而日躔表仍误不改若以此入算则节气加时皆谬矣(据正理则节气加时亦宜)(用加减时表)余向疑日差既有二根即宜列二表(盖谓盈缩起髙冲在冬至后数)(日且每年有东移度分而黄赤斜直算起冬至故不宜合为一表)尝持是说以语刘季荘深以为然作蒙求时欲以此补交食章之缺方著论以明之而孙(㲄成)窃窃然疑之(以为定朔时既有髙卑盈缩之)(加减矣兹复用于此岂非复乎)余因其说而覆思焉然后知交食章之非缺而不须二表也(至理人人可知而执成见者昧之童乌九岁能与太𤣥于)(兹益信)一火纬本法图说一卷(解地谷立法之根以正歴书之误) (魏刻)荧惑一星最为难算至地谷而其法始宻图表具在可攷而知也何尝云火星天独以太阳为心不与余四星同法乎作歴书者突发此语遂令学者沿譌是执图以观图而不以算理观图也不知歴算家有实指之图有借象之图地谷之图火星所谓借象也非实指也钱塘友人袁惠子(士龙)受黄三和先生(𢎞宪)歴学以歴指为金科余故为作此以极论之而徴之切线分角之法以著其理袁子虚懐见从已复质诸睢州友人孔林宗(兴泰)亦以为然而手抄以去又旁证诸穆氏天步真原王氏晓庵歴法大旨亦多与余合一七政前均简法一卷(订火纬表说因及七政) (魏刻)西法用表如古法之用立成不得其列表之根表或笔误无从订改矣故有表说以发明之然或表说所用之数有与表中互异者则是作表者一人作表说者又一人也余因查火星之表而为之推演然后知立表之法甚简洵乎此心此理不以东海西海而殊一上三星轨迹成绕日圆象一卷(魏刻)五星本天并以地为心与日月同至若岁轮(即古法迟留逆)(㐲之段目)则惟金水二星绕太阳左右而行其岁轮直以日为心土木火三星则不然并以本天上平行度为岁轮心(金水以太阳为岁轮心亦以二星之平行与太阳同度也)然其轨迹所到并于太阳有一定之距故又成绕日左行之圆象西人所立新图不用九重天而五星并以太阳为心盖以此也然金水岁轮绕日其度右移上三星(土木火)轨迹其度左转若岁轮则仍右移耳一黄赤距纬图辩一卷凡图黄道纬度于赤道左右取二至所到度分联为横线而作小圏以拟黄道乃于小圈上匀分节气各作直线过赤道子午大圈即各节气之黄纬可得此法甚确今天问畧省去子午大圈惟取赤道左右四十七度(左右各二十三度半)尽其两端为边以作黄道小圈未为不可但此四十七纬度仍宜作大圈上弧度斯为得法今乃径作直线故其距纬皆不真而列表从之悮故具论之一太隂表影辩一卷月能掩日日逺月近其理明白而易见不在表影西人之测则谓太阳太隂各髙五十度时太阳表景必短而太隂表影必长以是为月近于日之徴夫表影既有长短矣又何以明其同髙五十度乎必不然矣初读天问畧窃疑其非㝷见西书稍多其说并同故谨为之辩按立表取影所得者皆光体上边之影故古人用景符取窍达日光仅如黍米宛然见横梁于其中是为中影今太隂之景既长于太阳而犹能知其为五十度之髙势必用他测器施闚筩而得之也然则闚筩所得者中景中景者实度也直表者边景非实度也太阳光盛故其光溢于边之外而影瘦太隂光微故其光敛于边之内而影肥此亦易见易知之理奈何以此言日月逺近乎一浑盖通宪图说订补一卷浑盖之器以盖天之法代浑天之用其制见于元史扎玛里廸音所用仪器中窃疑为周髀遗术流入西方者也法最竒理最确而于用最便行测之第一器也然本书中黄道分星之法尚缺其半故此器甚少盖无从得其制度也兹为完其所缺正其所误可以依法成造用之不疑矣一西国月日攷一卷歴书中七政算例多有言西某月某日者既非建寅建丑建子之法又非以节气为序如回回歴之用太阳年其纪日数既非以朔为初一然又非如囘囘之以见月为朔且其襍见于诸卷者又各自不同尝疑其各国自为正朔立法相悬也既而彚集详攷然后知其所用并以太阳㑹恒星为主即恒星岁也恒星东行有岁差度分则太阳㑹之以成月者亦渐不同故诸卷中所载互异而以年代徴之亦可见也今西教中斋日所谓正月一日者在今冬至后第四度间亦是此法至其一年十二月有一定大小(大者三十一日小者)(二十八日闰年则増一日)并以太阳行黄道三十度而成一月大致并同囘歴矣(尝于武林遇殷铎徳言彼国月目又与斋日互异岂彼中原有各国之正)(朔不同而歴书所举是其一法欤存之再攷)一七十二候太阳纬度一卷纬度以测日髙因知北极髙为用甚博古用二至二分今则逐日可测兹约之于七十二亦承友人之命而为之者一陆海针经一卷(又谓之里差㨗法)地既浑圆则所云二百五十里一度者纬度则然若经度离赤道逺则里数渐狭然惟其路正东西行与距等圈合自有一定算法路或斜行则其法不可用愚为立法若两地各有北极髙度又有相距之经度而无相距里数是为有两边一角而求余一边即可以知斜距之里若先有斜距之里数而求经度是为三边求角亦可以知相距之经度其法并用斜弧三角形立算可与月食求经度之法相参而且简易的确(月食不常有又须多人于各地同测视此为难)又按距赤道逺而里数渐狭者乃距等圈之算距等圈不惟渐狭而其势微曲以两极为心离赤道逺其曲益深去极益近则成绕极之圆圈矣故惟两地之北极同髙始能与渐狭之数相符若正东西行则为球上大圈不与距等同势故不论赤道逺近并以二百五十里为度但系斜度非对两极之经度耳○推此而知斜弧所算亦每度二百五十里(距等圈既不与正东西行)(之大圈相应则里数难定故月食只可以求经度不可以定里数亦从来未发)亦不论赤道逺近但须取直如鸟道海程乃相应耳一帝星句陈经纬攷异一卷余所见歴书刋本多有互异之处恒星经纬改处尤多二星亦然不知其既刻复改是何时更定今以弧三角推之有与所改合者有与先刻合而所改反离者故为之攷一星晷真度一卷定夜时之法多端而测星以知太阳其最确也测星定时法亦多端而用句陈大星及帝座其最简也然恒星既随黄道东移以生歳差则二星亦不能定于一度而何以定时故作星晷者必知现在二星之真度分而后其用不忒前条攷二星经纬亦以此也(二星)(与北极不动处正作弧三角形法于二星正南北时求其子午规上是何宫度即星晷真度也用极星亦)(可作星晷然极星离北极亦三度竒而句陈明显尤为便用)一测器攷二卷在璇玑玉衡以齐七政乃治歴之根本自唐虞以来未有不精测騐而能定歴者也歴法以踵事増华而益善测天之器亦然羲和旧器没于秦焰洛下闳鲜于妄人等始创为之谓之浑天仪但有赤道无黄道至东汉永元中始有黄道铜仪厥后李淳风梁令瓒之徒代有制作至唐一行元郭守敬使有行测之器而郭公简仪秪用赤道一环以二线代管闚诸星距度始有分秒可言最简且确其所制仰仪立运诸器或用浑圆之半或只平圆一规以视古器之重环掩映殊为简妙矣至今西法以象限仪测髙度秪用平圆四之一以纪限仪测两星之距又只平圆六之一其器益简其测益精行测之器有浑盖简平诸制随地随时皆可施用浑天浑地之理遂如列眉然则测器至今日诚大备矣故谨为之攷一自鸣钟说一卷测时之法昼占日景夜候星度其理已尽然无以处隂雨之际古所以有壶漏之制也西法入乃有自鸣之器盖亦行测所需乃至穷工极巧收其机牙于径寸之中聊供玩好无裨实用若其稍大者按候支更以节晨昏则为用亦大矣一壶漏攷一卷自周官有挈壶氏歴代用之史每言昼漏若干下是也五宣谯楼有宋制铜壶滴漏明天启间尚存而逺公在庐山有莲华漏宛陵集有田家水漏诗然则隐者之居东作之务盖亦有资之为用者故为之博攷以存古义(宋景濓先生有五轮沙漏铭今西人四刻沙与之同理故各附一则)一日晷备攷三卷吾郡日晷依赤道斜安实为唐制则日晷非始西人也西制有平晷立晷碗晷十字晷诸式广之不啻百十余种余所见自歴书浑天仪说比例规解外别有日晷耑书三种互为完缺而其中作法亦有似是而非之处则以所学有浅深抑倣而为者以臆叅和厥理遂晦天下事往往而然而歴学为甚日晷其一端耳一赤道提晷说一卷赤道提晷亦日晷之一其制甚巧友人有其器不知所用为补其说备攷中所无也故别为卷一思问编一卷(鼎)生平于难读之书不敢置也每手疏而携诸箧衍以待明者问之则于歴算尤多今虽稍有所窥如游名胜其入既深益多欲探之竒所愿有志者起而共图之也一勿庵揆日器一卷取里差以定髙度黍珠进退准乎节序用二至为端器溢于寸袤止于分而黄赤之理备焉乙夘年偶为斯制续得日晷诸书亦未有相同者也一诸方节气加时日轨髙度表一卷歴书目有诸方昼夜晨昏论及其分表今轶不传交食髙弧表非节气度(节气黄纬有竒零而髙弧表用整度故也)今依弧三角法算定为揆日之用(自北极二十度至四十二度)并余孙(㲄成)所步也一揆日浅说一卷日晷之书详于法法之理多未及也倣作多差不亦宜乎故择其尤难解者疏之所说多浑天大意故别为卷一测景㨗法一卷精于测景之法可以知南北之里差既知里差则随地随时可以预定其景之分寸约而言之惟切线一法而已切线者句股相求也表如半径直表之景如余切(为以股求句)横表之景如正切(为以句求股)并以极髙度取之(鼎)向在燕山有以此法问者作此应之书成仓猝殊觉简明也一璇玑尺解一卷浑盖通宪为行测占天之巧制然作之不易岁己未与山隂友人何奕美言测算之理为作浑盖地盘而苦乏铜工爰作此尺以代天盘尺有二皆同枢枢即北极尺以坚楮为之铜亦可其一具周岁节气所以测日也其一载大星十数所以测星也并以赤道纬度定之昼测日景得其髙度即可查节气以知时刻夜测星得其髙度亦可查星距太阳经度以知时刻善用者即此已足盖浑盖天盘之法畧具其中矣一测星定时简法一卷有日之时有星之时法用星之纬度于简平仪上查其星距子午规若干时刻再查此星距太阳若干时刻以相加减即得真时此法不拘何星可用故曰简法一勿庵侧望仪式一卷简平仪耑论日景故以二至为限(鼎)此制于二至外仍具纬度北至极南至地平如置身六合之外以望天体故曰侧望一勿庵仰观仪式一卷图星垣者以北极居中见界为边或分两极居中赤道为边此即经纬无差必所居之地以极为天顶则所见然耳其各地天顶之星与地平环上之星不可以拟诸形容也(鼎)此式各依本方极髙之度以规地平而安天顶于中央依距纬以安北极再从北极出弧线以定赤道又自北极依法作多圈以拟赤纬则某星在天顶某星在某方髙若干度某星在地平环二十四向可以周知又依分至节气各为一图则天盘经纬与地盘经纬相加之处可指而数毫无疑似虽从未知星者可以按图而得矣一勿庵浑盖新式一卷浑盖旧制以赤道外二十三度半为限止于昼短规今于短规外再展八度则太白所居南纬可以查其所加占测之用于是而全一勿庵月道仪式一卷月道出入于黄道犹黄道之出入于赤道也自古及今未有为之仪器者(惟大衍歴以篾作月道依二百四十九交钻孔于浑仪黄道每)(交移动以拟之然其法不传盖难用也)今依浑盖北宻南疎之度以黄极为枢而月道半在其内半在其外则月纬大小之理及正交中交交前交后之法可以众著(仪以铜为之畧如浑)(盖其上盘为月道亦如浑盖天盘之黄道圈其下盘黄道经纬分宫分度并以黄极为心而尽边以黄纬)(九十五度少半为限出黄道南五度少半月道所到也)一天步真原订注西士穆尼阁作天步真原与歴书有同有异其似异而实同者布算之图对数之表与歴书迥别然得数无二则虽异而实同也若夫黄道春分二差则根数大异此谓诚异然非测候之真亦无以断其是非原书剞劂多讹殆不可读故稍为订注以待后贤论定一天学㑹通订注青州薛仪甫(鳯祚)本天步真原而作㑹通以西法六十分通为百分従授时之法实为便用然仍以对数立算愚则以不如直用乘除为正法也以上二书向从金陵老友刘文学于弢(昭)借钞续遇颖州刘行人子端(淑因)慨然欲校刻青州遗书约(鼎)为之是正以事不果近承东藩梁先生(世勲)恵寄薛氏全书则气化迁流诸卷俱已续刋矣(颖州师弟之谊甚笃)(若见刋本必喜余所订注之处惜未获与之相质也)穆先生久居白门吾友六合汤圣𢎞(濩)与之善言其喜与人言歴而不强人入教君子人也仪甫初从魏玉山(文魁)主张旧法后复折节穆公受新西法尽传其术亦未尝入耶苏㑹中当其刻书南都(鼎)方株守穷山不相闻知歳乙夘晤马徳称诸君始知之则其归已久至庚申汪发若先生(灿)作宰淄川托致一书而薛先生方病革遂未奉其回示甚矣僻处之难为学而深自悔其因循也一王寅旭书补注吴江王寅旭先生(锡阐)深明歴术著撰极富初太史潘稼堂先生为(鼎)称述之巳巳入都始从嘉禾徐敬可(善)抄得其圜解一册为之订其缺误已复因阮于岳副宪寄讯稼堂抄到测食诸稿又因张简庵(雍敬)寄到歴法书二卷又于简庵处见其所定大统法及三辰仪晷窃亦稍有附论然寅旭之书不止于是也(鼎)尝评近代歴学以吴江为最识解在青州以上惜乎不能蚤知其人与之极论此事稼堂屡相期订欲尽致王书属余为之图注以发其义类而成虚约生平之憾事也一平定三差详说一卷授时歴于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷歴草并以盈缩日数离为六段各以段日除其段之积度得数乃相减为一差一差又相减为二差则其数齐同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定差矣若其布立成法则直以立差六因之以为每日平立合差之差此两法者若不相蒙而其术巧㑹从未有能言其故者余因李世徳孝亷之疑而试为思之其中原委亦自歴然爰命孙(㲄成)衍为垜积之图得书一卷(李世兄敏而好学事事必求其根本所谓胸中无膏)(肓之疾者也乃一病遽赴玉楼岂天不欲此学之明耶为之泫然)一写天新语钞存一卷广昌揭子宣(暄)深明西术而又别有悟入谓七政之小轮皆出自然亦如盘水之运旋而周遭以行急而生漩涡遂成留逆实为古今之所未发岁己巳始得奉寄一函承其不弃以写天新语草稿见寄因摘录存之(因见邸抄有章君顺节尉广昌以为颖叔也因属周星士致书焉次年得报函则余在京师矣)(然其为尉者亦山隂章氏而非颖叔乃此君仍能遣役逺㝷揭先生覔致此书有古人之义焉至今衔徳)(未有以报也○尔后揭先生翩然游𤾂住半年而返余方羁燕不相値也于是先生年逾八十有子有孙)(不以自随而只身携襆被行数千里不以为逺真竒士也)一古歴列星距度攷一卷西法言普天星宿并依黄道东行愚尝以唐书证之㫁其可从独恨古无信图而史志载距度亦只及于列宿距星而止无可广徴数十年前收得书肆中残壊刻本有普天星宿入宿去极度分而中缺二宿康熈己夘偶至闽中借抄林侗人(侗)写本始补完之然不审其谁作据写本往往标有古人名姓如谢姓张衡等不一而足然刻本无之不足为据也攷宋以前并以日法命度各有奇零无整用百分者百分为度实始授时今度下分有至九十余分其为授时之法无疑郭太史传有二十八舍襍坐入宿去极度分一卷新测无名星一卷并藏之官而书皆不传今得此为徴亦足与西测恒星互相参攷矣以上歴学书六十二种内已刻者七种一中西算学通序例一卷算数作于隶首见于周官吾圣门六艺之一也自利氏以西算鸣于是有中西两家之法𣲖别枝分各有本末而理实同归或専已守残而废兼收之义或喜新立异而缺稽古之功算数之所以无全学也夫理求其是事求适用而已中西何择焉虽然不为之各极其趣亦无以观其㑹通因不揣固陋著书九种而为之序例尔后论撰稍多因以此为初编云尔一勿庵筹算七卷(已刻)筹算之法盖始于作歴书时(歴引言算术古用觚棱近便珠算西法第资毫)(颖今复有筹算之创其简㨗更倍于畴昔诸术由是言之则筹算乃尔时新创非欧逻之旧术)其为术也本系直筹横写(鼎)此书则易之以横筹直写乃所以适中土笔墨之宜友人蔡玑先见而悦之为雕版于金陵(忆岁己酉桐城方位伯言筹算之善然未见其书无何家澹如兄至自都门有所携)(算筹一握而缺算例余为补之澹如大喜因问余曰能易之以直写不更便乎子彦姪亦以为然遂如言)(作之凡三易稿而后成)文人才士每病算书难读余此书颇觉详明是为初编之第一书(向在京师宫坊赵升符先生执信迟鼎言筹算寓处)(稍逺余行步舒缓赵不能待自取其书繙阅一时许则乘除之法尽了然矣)一勿庵笔算五卷(巳刻)余笔算亦用直写以便文人之用而定位一端视旧法尤㨗有二稿一作于金陵有蔡玑先序一作于天津初编之第二书也(是书少叅金鐡山先生刻于保定)一勿庵度算二卷(年允公刻)西人尺算即比例规觧所述也余初购歴书佚此卷岁戊午黄俞邰太史为借到𤾂江刘潜柱先生本乃钞得之颇多譌缺殊不易读盖携之行笈半年而通其旨趣(歳庚申晤桐城方素作中履见鼎所作尺惊问曰君何従得此盖家兄久欲为此而未能)(履游豫章拾得遗本寄之乃明厥制耳续见位伯书以三尺交加取数故秪能用平分一线且亦非比例)(规解本法也夫用规取数则两锐所到毫厘可辨而其数即徴之本尺执柯伐柯其则不逺所得无殊于)(横尺而为用加㨗不知位伯何故改法又不知素伯所拾遗本其立法何似惜未获与之深论也)书原本无算例今所用者并吾弟尔素所补而参之以陈䃤庵者也(嘉禾陈献可先生荩谟有尺算用法一卷然亦只平分一线尔素书则诸线皆)(备余亦时时涉笔聊以穷其作法之根通其用尺之变而未暇为例今得二书补塞遗缺中边备矣)又有矩算则(鼎)所创也西人用三角故两其尺今用句股故祇用一尺一方版其理无二(初晤位伯极言尺算之竒而未)(悉厥状思之屡日爰成斯制续从新安戴季黙得䃤庵书内有歛规取数之用然后疑前所悟之犹非也)(最后得比例规解其疑乃释盖比例即异乘同除之理故可以句股取之而原法以规当横尺本自灵妙)(并存两术用相叅校则比例之理益著矣)尺算矩算皆为度算则初编之第三书也一比例数解四卷比例数表者西算之别传也其法自一至万并设有他数相当谓之对数假令有所求数(或乘或除)但于本表简两对数相加减即得所求(乘者两对数相加得总除者两对数相减得较)(总较各以入表取其所对本数即各所求之乘得数除得数)中土习用珠盘西法用笔用筹用尺各有所长(垜积合总)(莫速于珠盘乘法位多莫稳于笔算开平方莫便于筹算制器作图莫良于尺算)然并须布算而知今则假对数以知本数不用乘除惟凭加减(加减者对数也求得者本数也所算在彼所得在此一对即知无所庸其推索)术之竒也前此无知者 本朝顺治间西士穆尼阁以授薛仪甫始有译本对数之竒尤在开方古开方术至三乘方以上委曲繁重积晷刻而后成今用对数俄顷可得(如平方但取对数折)(半立方取对数三之一三乘方则四之一四乘方则五之一五乘方以上并然并取其所对本数命为所)(求方根)神速简易殆非拟议所及又有四线比例数亦穆所授也八线割圆西歴旧法今只用正弦余弦正切余切故曰四线(旧八线表以正矢余矢即)(余弦正弦之余故列表止六而有八线之用今比例数又省去两割线故表只四线然亦实有六线之用)(矣)穆先生曰表有十万西来不戒于途仅存一万万以上以法通之(四线本数逾百万而亦列对数是即以法通之之数也○尝见薛刻别本数有)(二万)仪甫又有四线新比例用四线同惟度析百分(从古率也)穆有天步真原薛有天学㑹通并依此立算不知此则二书不可得而读故稍为诠次为初编之第四书一三角法举要五卷(进巳刻 呈)西法之用三角犹古法之用句股也而三角能通句股之穷要其理不出于句股故锐角形分之则二句股也锐角形以虚补实亦句股也(钝角形补其虚角则成半虚半实之)(句股形又即成一虚句股之形而所设钝角形又即为两句股相较之余形皆句股法也)至于弧三角则于无句股中㝷出句股其法最竒其理最确八线之用于是而神是故全部歴书皆三弧角之法也不明三角则歴书佳处必不能知其有缺误亦不能正矣故以是为初编之第五书也必先知平三角而后可以论弧三角犹之必先知句股而后可以论三角也平三角原止一卷今广之为五卷(曰测算名义曰算例曰内容外切曰或问曰测量)(南是书安溪公刻于保定乙酉 廵蒙)(恩召对御览) (进呈)一方程论六卷(巳刻)九章之第八曰方程以御错糅正负自明算者稀能举其名者或已尠矣今诸书所存数例率多臆说而厥旨益汶李水部括九章于西术至此一章亦仍其误也(鼎)疑之盖将二十年始得其解然后知算法之有方程犹量法之有句股皆其最精之事因作论明之盖必如是而方程始为有用即古人之别立一章不为徒设窃意天下之大岂无宋元以前之善本留至今日者庶几足以订余之说所望留心学问者相与博求而共证之也是为初编之第六书(初稼堂赏余此书阮)(副宪于岳为付刻赀而余未及为嘉鱼明府李安卿鼎徴乃刻于泉州彼教人或见李序言西法不知有)(方程愤然而争不知西术有借衰互征而无盈朒方程同文算指未尝自讳李序盖有所本耳)一几何摘要三卷几何原本为西算之根本其法以㸃线面体疏三角测量之理以比例大小分合疏算法异乘同除之理由浅入深善于晓譬但取径萦纡行文古奥而峭险学者畏之多不能终卷方位伯几何约又苦太畧今遵新译之意稍为顺其文句芟繁补遗而为是书于初编则为第七(柘城杜端甫孝亷知耕有几何论约吾弟尔素有几何类求并可与是书)(叅证)一句股测量二卷测量必用句股即戴记所谓絜矩也絜矩之道立少以观多即近以见逺故立矩可以测髙覆矩可以测深偃矩可以测逺然而方可测圆不可测于是而割圆之法立平可测险不可测于是而重差之术生古书虽不尽传然周髀开方之图海岛量山之算犹存什一于千百乃若测圆海镜(元栾城李冶著明大司㓂吴兴顾箬溪先生应)(祥为之著释者)实句股容圆之一术而引而伸之遂如五花八阵故具录其要以存古意焉于初编为第八也古测量家有専术缀术専术者谓以器测之而得其数如累矩重袤之类歴家则有浑仪窥管缀术者谓据所测之数而继之以算法句股旁要是也言测量至西术详矣然不能外句股以立算故三角即句股之精理八线迺句股之立成也平三角弧三角不离八线则皆句股之术而已一九数存古十卷算数之学初无古今也自学者避难好径古籍日以散亡或有踵事生新自矜创获辄轻古率为疎将此仅存者亦难终保矣(鼎)生也晩凡遇古人旧法虽片纸如拱璧焉家贫居僻不能多致典坟聊存此以见余之志惟冀好古博雅君子不吝邺架之藏以公同志庶前贤坠绪不致终湮可胜翘企初编之序以此为第九书九数即九章也一曰方田以御田畴界域二曰粟布以御交质变易(一名粟米)三曰差分以御贵贱禀税(一名衰分)四曰少广以御羃积方圆五曰商功以御功程积实六曰均输以御逺近劳费七曰盈朒以御隐襍互见(一名赢不足)八曰方程以御错糅正负九曰句股以御髙深广逺(一名旁要)隶首之法仅存者九章之目耳然后有作者靡或出其范围可谓规矩方圆之至矣古算书载程大位算法统宗者惟刘徽九章尚有宋版(鼎)尝于黄俞邰处见其方田一章算书中此为最古其钱塘吴信民九章比类西域伍尔章有其书余从借读焉书可盈尺在统宗之前统宗不能及也又山隂周述学著歴宗算㑹于开方弧矢颇详书亦在统宗前而程氏未之见然则古书之存者宜尚有之近代作者如李长茂之算海说详亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端甫数学钥图注九章颇中肯綮可为算家程式(余于)(诸家间有采撷必直书其所自不敢掠美亡儿以燕于此学颇有悟入能助余之思辩惜乎见其进未见)(其止)一少广拾遗一卷(自此以后并为续编) (巳刻)古有一乘方至九乘方相生之图而莫详所用同文算指演之具七乘方亦非了义西镜录増有亷积立成然譌乱不可读歳壬申余在都门有三韩林寄讯杨时可及丁令调属问四乘方十乘方法(诸乘方中)(惟此二者不可以借用他法摘此为问盖亦留心学问人也)因稍为推演至十二乘方亦有条而不紊一方田通法一卷 (巳刻)算家有㨗田二十三法稍广之为百二十有四聊存此以见数法之无所不通一几何补编四卷 (巳刻)天学初函内有几何原本六卷止于测面其七卷以后未经译出盖利氏既歾徐李云亡遂无有任此者耳然歴书中往往有襍引之处读者或未之详也壬申春月偶见馆童屈篾为灯诧其为有法之形(其制以六)(圈成一灯每圈匀为六折并周天六十度之通弦故知其为有法之形而可以求其比例然测量诸书皆)(未言及)乃覆取测量全义量体诸率实攷其作法根源(法皆自楞部至心即皆成锥体以求其分积则总积可知矣)以补原书之未备而原书二十等面体之算向固疑其有误者今乃征其实数(测量全义设二十等面体之边一百则其容积五十二万三八○九今以法求之得容积二百)(一十八万一八二八相差四倍)又几何原本理分中末线亦得其用法(几何原本理分中末线但有求作之法而莫知所用今依法求得十二等面及二十等面之体积因)(得其各体中棱线及辏心对角诸线之比例又两体互相容及两体与立方立圆诸体相容各比例并以)(理分中末线为法乃知此线原非徒设)则西人之术固了不异人意也爰命之曰几何补编(书系稿本李安卿手为誊清将以付梓而属余病李又赴任嘉)(鱼遂未获相为重校)一西镜录订注一卷西镜录不知谁作然其书当在天学初函之后知者同文算指未有定位之法而是书则有之其为踵事加精可见所立金法双法亦即借衰互征叠借互征之用然较同文算指尤觉简明但写本殊多鲁鱼因稍为之订一权度通篾一卷重学为西术一种然载于比例规解者譌误尤甚今以南勲卿仪象志互相订补其数稍真一竒器补诠二卷竒技淫巧古人所禁为其作无益害有益也若关中王公徴竒器图说所述引重转水诸制并有裨于民生日用而又本诸西人重学以明其意可谓有用之学矣间尝取书史所传(如汉杜诗作水鞴以便民及王氏农书诸水器之类)睹记所及(如刘继庄诗集载筒车灌田法近日吾乡亦有为之者)稍为辑录以补其所遗而图与说有不相应者为之是正其以西字为识者易之便观览也一正弦简法补一卷大测诸书言作八线表之法亦綦详矣续读薛仪甫书有用矢线求度法为之作图以发其意因得两法在六宗率三要法之外(两法者一曰正弦方幂倍而退位得倍弧之矢一曰正矢)(进位折半得半弧正弦上方幂)而为用加㨗不知作表何以不用也(薛书亦用六宗率三要法作表与歴书同○近见孔林宗大测精义求半弧正弦法与余说不谋而合可)(谓所见畧同矣)一弧三角举要五卷(巳刻)三角之用莫妙于弧度求弧度之法亦莫良于三角故测量全义第七第八第九卷耑明此理而举例不全且多错谬其散见诸歴指者仅存用数无从得其端倪天学㑹通圈线三角法作图草率往往不与法相应缺误处竟若残碑断碣弧三角遂成袐宻藏矣今一以正弧三角为纲仍用浑仪解之于歴书原图稍为増订而正弧三角之理尽归句股可指而数焉于是而参伍其变则斜弧三角之算亦归句股矣书凡五卷(其目曰弧三角体式曰正弧句股曰求余角法曰弧角比例曰垂弧曰次形曰垂弧捷法)(曰八线相当)盖自是而算弧度者有端绪可循读歴书者亦有涂径可入一环中黍尺五卷(巳刻)举要中弧度之法已详然更有简妙之用不可不知也测量全义原有斜弧用两矢较之例但所立图姑为斜望之形聊足以明其意象而无实度可言今一以平仪正形为主则凡可以算得者即可以器量浑仪真象陈诸片楮而经纬歴然无丝毫隐伏假借测算家一快事也至于加减代乘除之用歴书仅举其名不详其说意若有甚珍惜者盖尝疑之数十年而后乃今得其条贯即初数次数甲数乙数诸法并砉然以解书凡五卷(其目曰总论曰先数后数曰平仪论曰三极通几曰初数次数曰加减法曰甲数乙数曰加减捷法)(曰加减又法曰加减通法)(其又法与加减同理而取径特殊儿以燕于恒星歴指中摘出千里致书相询爰附末简以不没其用心)(之勤○甲数乙数用法甚竒本以黄道求赤道李世徳孝亷准其法以黄求赤作为图论又制器以象之)(世徳于此中有得其书原可専行故末附此)一堑堵测量二卷(巳刻)堑堵测量者借土方之法以量天度也其术以平圆御浑圆以方体测圆体以虚形准实形故托其名于堑堵也古法斜剖立方成两堑堵堑堵又部为三成立三角立三角为量体所必需然此义中西皆未发今以浑仪黄赤道之割切二线成立三角形(立三角本实形)(今诸线相遇成虚形与实形等)而四面皆句股即弧度可相求不须用角西法通于古法矣又于余弧取赤道及大距弧之割切线成句股方锥形亦四面皆句股即弧度可相求亦不言角古法通于西法矣二者并可用坚楮为仪以写其状则弧度中八线相为比例之理了如掌纹(作法详本书)而郭太史圆容方直矢接句股之法亦不烦言说而解书凡二卷(其目曰总论曰立三角摘录曰浑圆内容立三角曰)(句股锥曰句股方锥曰方堑堵容圆堑堵曰圆容方直仪简法曰郭太史本法曰角即弧解)以上三书(弧三角举要环中黍尺堑堵测量)并安溪相国刻于保定(世兄李世徳孝亷钟伦多所叅订而其群从世宪文学鉴及宿迁徐坛长用锡安溪陈对初万䇿景州魏)(君璧廷珍三孝亷河间王仲颖之锐交河王振声兰生二文学并有校订之功其中图象则君璧及余孙)(㲄成手笔也)一用句股解几何原本之根一卷几何不言句股然其理并句股也(此言句股西谓之直角三边形译书)(时未能㑹通遂分途径)故其最难通者以句股释之则明惟理分中末线似与句股异源今为游心于立法之初而仍出于句股信古九章之义包举无方(徐文定公译大测表名之)(曰割圆句股八线表其知之矣)一几何増解数则(本各自为书今附前条共卷)其目有四(曰以方斜较求斜方曰切线角与圆内角交互相应曰量无法四边形㨗法曰取平)(行线简法)并就几何各题而増故不入补编(补编専言体积并几何未)(有之题)一仰规覆矩一卷一查地平经度为日出入方位一查赤道经度为日出入时刻(并依里差用弧三角立算与歴书法微别秀水友人张简庵雍敬熟观余所制简平)(仪有所悟入因作此相质)一方圆幂积二卷歴书周径率至二十位然其入算仍用古率(十一与十四之)(比例木祖冲之径七周二十二之宻率)岂非以乘除之际难用多位欤今以表列之取数殊易乃为之约法则径与周之比例即方圆二幂之比例(径一则方周四圆周三一四一五九二六五而径上方幂)(与圆幂亦若四与三一四一五九二六五尾数八位并以表为用)亦即为立方立圆之比例(同径之立方与圆柱若四与三一四有竒则同径之立方与立圆若六与三一四有竒)殊为简易直㨗(岁癸未匡山隐者毛心易干干惠访山居偶论周径之理因复推论及方)(圆相容相变诸率益觉精明盖学问贵相长也○中州谢野臣廷逸毛先生壻也于数学甚有精思偕隐)(阳羡自相师友著述甚富多前人所未发)一丽泽珠玑一卷(鼎)生平得力于友朋之益故虽一言之惠示不敢忘也必谨录之久而成帙取其关于算学者别为一卷一古算器攷一卷今有笔算(今之筹算亦是笔书)遂以珠盘为古不知古用筹策故曰持筹其用珠盘盖起元末明初制度简妙天下习用之而遂忘古法故为之攷(作珠盘者甚巧惜逸其名氏)一数学星槎一卷初学莫易于笔算(减并乘除三日可了)然除法定位转易乘法定位稍难兹以本数大数小数三者别焉虽童子可知矣至于句股开方非图不解周髀算经有古图简质可玩歴书本几何立说亦足引人思致今稍广之为图者六以示余两孙(㲄成玕成)俾稍知其意数学如海非笃好精思鲜不自涯而返然而千里之行始于足下因命之曰数学星槎云尔以上算学书二十六种内巳刻者七种勿庵歴算书记◆ 《中西经星同异考-清-》（KR3f0029）
## 提要
钦定四库全书 子部六
中西经星同异考 天文算法类二(推歩之属)提要(臣)等谨案中西经星同异考二卷国朝梅文鼏撰文鼏字尔表宣城人与其兄文鼎皆精研厯算之学互相商㩁多所发明此其所订中西恒星名数也星经之最古者莫如巫咸甘石三家而其学失传虽残编尚存已不能知其端绪惟隋丹元子步天歌所列星象特为简括故自宋以来天官家多据为凖绳迨明季厯法不騐而欧逻巴之法始行利玛窦所撰经天该其名亦与中国相同而位座有无数目多寡与步天歌往往不合文鼏因据南懐仁仪象志所载星名依步天次序胪列其目而以有无多寡之故分行详注其下其古歌西歌亦各载原文于后以便检核南极诸星为古所未及者则并据汤若望厯书及仪象志为考证补歌附之于末盖七政之运行必凭恒星为考騐然在天成象天本无言随人所标目为指名即据人所指名为测候指名不一则测騐多岐矣文鼏此编独详稽异同叅考互证使名实不病于叅差是亦中西两法互相贯通之要领也乾隆四十六年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 原序
中西经星同异考原序
经星同异考一卷发凡九则吾季弟尔素之所手辑也歳在戊辰余归自武林武林友人张慎硕忱能制西器手锓铜字如书法之迅疾余乃依歳差考定平仪所用大星属硕忱施之浑葢而属吾弟为作恒星黄赤二星图因于星之经纬逐一详校乃知汤氏厯书图表与南氏仪象志互有得失自其本法固多违异不第与古传殊也因取其星名之同而数有多寡异于古人者别识之以成此书至其所为辨正经纬之度者尚存别卷不尽于是而吾弟之为此则已勤矣葢其时方有稿本次年巳巳余去京师五载至癸酉始归山中吾弟乃出其缮写重校之本示余视其年固己巳也甲戌中秋余乃为之序曰自尧典有四仲之星而斗牵牛织女参昴龙尾鸟帑天驷天鼋之属襍见于易诗春秋左传国语至礼记月令大戴之夏小正稍具诸星伏见之节葢星之有名其来逺矣古者观天文以察时变敬授人时有厯有象图书仪器宜莫不偹遭秦燔书弃先王之典羲和旧术无复可稽所仅遗者巫咸甘徳石申之残编而三家之传各别司马子长世为史官而天官厯书殊为阙畧迄于后汉有张衡灵宪而器与书并亡自唐以后言观象者率祖淳风晋隋两志及丹元子歩天歌今考其说又与天官书无不参错不待西学之兴而始多同异也西厯黄道十二象与中土异而回回厯与欧逻巴复自不同故双女或以为室女隂阳或以为双兄至黄道内外之星或以为六十象或以为六十二象而贯索一星回回厯以为缺椀欧逻巴以为冕旒其余星名亦多互异岂非以占测之家非一而所传异辞安得谓彼中厯学自上世以来永遵一术而初无更变哉今所传经天该之图与其歌皆因西象所列而变从中厯之星座星名即见界图之分形其出似在厯书未成之前图星以圆空去中法犹近然与步天歌仍有不同者或以西星合古图而有疑似不敢辄定遂并収之而有増附之星或以古星求西图而弗得其处不能强合遂芟去之而成古有今无之星要之皆徐李诸公译西星而酌为之非西传之旧余尝见元赵缘督友钦石刻图阁道六星在河中作磬折层阶之象自天官书于营室言离宫阁道步天歌及晋隋宋三史并言六星而今图表割其半为王良星别取河中杂小星聫缀附益之其星十余而形直绝异旧图又去营室更逺正抵奎娄而西象固原无所谓阁道也由是以推其意为更置者良已多矣且西厯言恒星有经度东行歳差而纬度终古如一然又言二至距纬古逺今近是黄极且有微移既言恒星之形畧无改易然又言王良之侧有万厯癸酉年新出之星其说亦未能归一也窃尝譬之地志陵谷岂无小易而岳渎之大致自如然其名之所起亦人则为之而已矣禹治水惟九州而舜受终时肇十有二州肇之为言始也又况后世秦分为三十六郡唐分十道宋分十五路疆域代更图志因之而改或者遂欲本桑钦之水经而驳禹贡亦见其惑矣然则宜何如君子于其所可知不厌求详其所不知阙之而已义所可求当归画一其所难㫁两存之而已无泥古以疑今无执一以废百谨守旧闻而无参意解此为学之方即著撰之法自古之学者莫不尽然而况天之髙星辰之逺哉是则吾弟为考之意也葢其义例已具发凡中矣而余于是重有叹也葢自束髪受经于先君子塾师罗王賔先生往往于课余晩步时指示以三垣列舎之状余小子自是知星之可识而天为动物寻以从事制义未遑䆒精然心窃好之不幸先君子见背营求葬地不暇以他为无何余小子忽忽年近三十始从倪观湖先生受台官通轨算交食法稍稍推广求之元史宋志溯唐及晋至于两汉是时余及仲弟和仲与季弟尔素三人而已夜则披图仰观昼则运筹推步考订前史三人者未尝不共也如是者凡数年及余得中西之书图稍多朋友之益渐广而仲弟不幸已前卒久矣尔素于余所有之书手钞畧偹多所撰定然食指益众家日益贫余两人频年授徙歳时相见不过数四顷余且为东西南北之人经年累岁羇栖于数百里数千里外欲如向者之相聚探讨何可得哉何可得哉而余又善病且老矣虽尝辑有古今厯法通考诸书妄自以为闚古人之意集诸家之长而性嬾楷书又好増改稿与年积讫尠定本其在京师感于李少司马之言努力作为厯论六七十篇颇抒独见其他算学新稿亦且盈尺而未能出以问世虚名之负累谬为四方学者所知而欲传之其人复求之不可得也窃不自揆欲畧倣蘓湖遗轨设为义塾约鄊党同学为读书之事此志果就即当息影却埽于山村庶几収拾累年杂稿次第成帙稍存一得之愚以待来学则数十年癖嗜苦思亦或将有所归著而凡事有天焉主之终不敢必其如何也且夫星同之学非小道也其事凌杂米盐近于卜祝之为而探厥源流乃根于天人理数之极雷同俚近之言既不足以行逺而义类稍深索解人正复寥寥天下之大敢曰无人然亦有同志数辈逺在天涯合并匪易助余成此者不吾弟之望更谁望乎因弟此书俯仰今昔而兼有冀幸于将来不觉其言之长也康熈甲戌中秋勿葊梅文鼏序
## 跋
中西经星同异考跋
去年冬余侍安溪夫子于常之督学署中安溪示以所新锓宣城梅定九先生厯学疑问三卷安溪学贯天人其推服定九先生以为治厯之学古今一人而已余云闻其弟尔素先生现授经于吾邑安溪跃然曰是能尽得定九之底蕴者余归甫弛装即造先生先生示余以定九先生所著筹算诸书余深叹其精要先生塾课之余覆玻璃于两眼作细楷虽大寒暑不辍视之皆所撰天文书也长夏无事先生携自著中西经星同异考一帙索题词于余乗暇披阅见其搜比括次星名星数参差异同了然若掌纹之可数夫厯学之切于世用大矣而经家辄外之诡自髙寄以为言理而略数实惮其难且繁而已治厯者推步必以算而考七政之运行必以恒星夫理数之自然尚可以想悟取之至于星之数与名皆人区别而指称之一彼一此所执各殊胶戾乖刺稍不辨章则梗于臆而碍于口初学者耳目不一心志为之不専遂至废业者多矣即检籍对核亦縻日耗力今睹先生之书详而不杂简而实尽殽列井然易以卒业虽以余之钝且嬾亦津津不倦焉真学厯者之梯航而通中西厯者之中馗也此当与定九先生之中西算学通如二曜双行于天地之间编之兰台不独为畴人星官所寳而吾儒之所借以通天地人者咸于是觅钥牡焉为书此以告吾党无徒溺于华虚之词而震于厯学之难且繁而不问业也至于作书之源流及纂辑之法则有定九先生之序与先生之发凡在何须浅学者之添足置喙哉戊寅立秋旦钟吾徐用锡跋
## 中西经星同异考
中西经星同异考发凡九则厯以齐七政也然非先定恒星即七政无从可齐故曰七政如乗传恒星其地志也七政如行棋恒星其楸局也曰恒者谓其终古不易也曰经者谓其不同纬星南北行也经亦有恒之义焉是编专以中西两家所传之星数星名考其多寡同异故曰经星星宫之书自黄帝始重黎羲和之后志天文者纷糅不一汉张衡云中外之宫常明者百有二十四可名者三百二十为星二千五百微星之数葢万一千五百二十至三国时太史令陈卓始列甘石巫咸三家所著星图总二百八十三宫一千四百八十四星自唐以来厯家以仪象考测而宋两朝志始能言某星去极若干度入某宿若干度为说较详此中国之学也西儒星学逺有端绪据厯书所译周赧王丙寅古地末一测汉永和戊寅多禄某一测明嘉靖乙酉尼谷老一测万厯乙酉第谷一测崇祯戊辰汤若望一测国朝康熈壬子南懐仁著仪象志又依东行歳差改定黄经及赤经纬今依南公志表稽其大小分为六等一等大星一十有六二等星六十有八三等星二百有八四等星五百一十有二五等星三百四十有二六等星七百三十有二总计一千八百七十八星其微茫小星则不能以数计焉此泰西之学也(按纪星数太西测算凡可见可状之星一千二十二若微小者或不常见者或䑃黒者不与焉凡四)(十八像其多寡大小不等在黄道北者二十一像一曰小熊二曰大熊三曰龙四曰皇帝五曰守熊)(人六曰北冕旒七曰熊人八曰琵琶九曰雁鹅十曰岳母十一曰大将十二曰御车十三曰医生又)(曰逐蛇十四曰毒蛇十五曰箭十六曰日鸟十七曰鱼将军十八曰驹十九曰飞马二十曰公主二)(十一曰三角形共在北者三百六十星一等三二等十八三等八十四四等一百七十四五等五十)(八六等十三昏者十在黄道中者十二像一曰白羊二曰金牛三曰双兄四曰巨蟹五曰狮子六曰)(列女七曰天秤八曰天蝎九曰人马十曰磨蝎十一曰寳瓶十二曰双鱼共在中者三百四十六星)(一等五二等九三等六十四四等一百三十四五等一百零六六等二十九昏者三在黄道南者十)(五像一曰海兽二曰猎户三曰天河四曰天鬼五曰大犬六曰小犬七曰船八曰水蛇九曰酒瓶十)(曰乌鸦十一曰半人牛十二曰豺狼十三曰大台十四曰南冕十五曰南鱼共在南者三百十六星)(一等七二等十八三等六十四等一百六十八五等五十三六等九昏者一三方共一千二十二星)(分其大小一等共十五二等共四十五三等共二百零八四等共四百七十四五等共二百十七六)(等共四十九昏者六十四)夹漈郑氏通志天文畧言汉晋诸志所载诸星名数灾祥丛杂难举惟隋丹元子作步天歌句中有图言下见象或丰或约无余无失今依宋史及文献通考于各垣各宿备采以志之曰古歌回回厯立成所载有黄道经纬者止二百七十八星其绘图者止十七座九十四星亦无赤道经纬西厯所测恒星黄赤二道经纬度分各各备具其歌相传为利玛窦所譔谓之经天该与古歌不同而其星体大小位置以及无名微星亦了若指掌大致与恒星表相为发明故亦附著古歌之后而别之曰西歌(按经天该一作经天诀薄子珏撰)古云北极出地三十六度南极入地三十六度者据伊洛一方而言也其实中土所见北极髙度自二十四度起至四十二度止则此两极出入度内诸星即皆中土所见之星是编诸星凡离南极二十三度以上者仍录各宿下以资仰观葢滇粤诸方在所必睹岂可泥前言而尽废乎至南极诸星虽中土所不见据泰西氏皆其游厯所经目睹详测著有图象今并录之但其歌偶阙因稍据图表以补之云(北直顺天府经一百三十度少纬四十度大名府经一百二十五度纬三十六度少)(山东济南府经一百二十八度太纬三十七度少青州府经一百三十一度少纬三十六度太)(泰山经一百三十度半纬三十六度度太登州府经一百三十二度纬三十七)(东平经一百二十八度纬三十六度十二度江南江寕府经一百二十八度纬三)(扬州府经一百二十九度纬三十三度太浙江杭州府经一百三十一度纬三十度)(山西太原府经一百二十二度纬三十七度恒山经一百二十五度纬三十九度)(河南开封府经一百二十四度纬三十四度河南府经一百二十二度纬三十四度)(嵩山经一百二十一度太纬三十三度二度湖广武昌府经一百二十四度纬三十)(洞庭湖经一百二十三度纬二十八度衡山经一百二十三度纬二十六度少)(江西南昌府经一百二十六度纬二十九度吉安府经一百二十六度纬二十八度)(鄱阳湖经一百二十七度纬二十九度度福建福州府经一百三十度纬二十六)(建寕府经一百二十九度纬二十五度三度广东广州府经一百二十四度纬二十)(雷州府经一百二十一度纬二十度半琼州府经一百二十一度纬十八度)(庾岭经一百二十四度纬二十六度十六度广西桂林府经一百二十一度纬二)(陜西西安府经一百十八度纬二十五度汉中府经一百十六度太纬三十三度)(洮州经一百十四度纬三十五度岷州经一百十四度纬三十五度)(四川成都府经一百十六度纬三十一度贵州贵阳府经一百十九度纬二十五度)(云南云南府经一百十五度纬二十四度)恒星在天终古不变原亦无名自观象者欲藉形以识星因取其与物相似者或一星或数十星分别立名联缀成象而中西之同异斯出焉西域星象原与中国迥别今恒星表所载及经天该犹是中国星名但位座有无数目多寡稍异耳是编各星下分注两行右中左西其中西名数并同者更不赘列其数虽不同而星名不异者即分注曰西几星其表内有称某星南某星北某星内外东西等字者俱以附近相从原非本星正数则亦附注曰西外増几星其古无而西有者曰古无其西无而古有者曰西无其西图虽有而西表则无者曰西表无古厯皆言尧时冬至日在虚汉唐在斗今在箕此黄道星有歳差之騐也西厯则谓黄道不动而七政恒星悉东行则普天经星皆依歳差迁改此各星入宿古今不同之故然步天歌原为初学仰观而设故附近三垣各宿之星连类而及入宿浅深无暇详求而亦非其所急也经天该作于利氏初入之时大致亦以三垣二十八宿为序畧同步天然于入宿之经度有加详矣而以歳差东行间与今表亦有出入今于古歌之原入某宿而今实不同者于各星下注明原属某宿以便稽考(按经星之动微渺难窥以全厯推之崇祯癸未上距帝尧甲辰三千九百二十年共差五十八度则)(以六十八年零七月十三日三时差一度二万五千一百有余年共差三百六十五度有竒为一周)(天㳺子六曰崇祯癸未上距帝喾甲子四千零二十年止差五十七度约一岁差一分少九秒七十)(年零六月差一度二万五千七百三十五年差一周天)合而观之中与西异中与中亦自有异西与中异西与西亦自有异或详于志或列于表或载于图或著于歌著撰之人不一占测之时各殊天度既有歳差步筭且多新智执古以疑今已为胶柱尊西而废古亦昩源流今以两说并存标其同异庶令仰观者有所依据则専家之业以参互而愈明于学厯者不无小补云尔康熈己巳夏五月宣城后学梅文鼏谨识
## 卷上
钦定四库全书中西经星同异考卷上宣城梅文鼏撰紫微垣(星序悉依古歌)帝星(一星) 庶子(一星)太子(一星) 后宫(一星)天枢(一星名北极外増一星西一)四辅(四星増一星西外)天一(一星) 太乙(一星)左枢(一星) 上宰(一星星西三)少宰(一星星西二) 上辅(一星上弼西名)少辅(一星少弼二星外増二星西名)上卫(一星)少卫(一星増一星西外) 少丞(一星少丞八以上左垣西作)右枢(一星) 少尉(一星増一星西外)上辅(一星) 少辅(一星増一星亦名隂徳西外)上卫(一星増三星西外) 少卫(一星少卫六外増二星西作)上丞(一星上丞七以上右垣西作)赞府(一星西无)隂徳(二星星其一増少辅星西一) 尚书(五星)女史(一星) 柱史(一星)御女(四星西无) 天柱(五星西无)太理(二星西无) 勾陈(六星一星外増三星西十)六甲(六星星西一) 天皇大帝(一星)五帝内座(五星西无) 华盖(九星星西四)杠(七星西无) 传舎(九星星西八)内阶(六星) 天厨(六星星外増二星西五)八糓(八星一星西十) 天棓(五星星外増二星西七)天床(六星西无) 内厨(二星西无)文昌(六星増一星西外) 三师(三星増三星西外)太尊(一星増一星属太微西外) 天牢(六星星属太微西一)太阳守(一星太微西属) 四势(四星西无)相(一星増二星属太微西外) 三公(三星増一星西外)𤣥戈(一星星外増二星属亢西三) 天理(四星)辅星(一星星西三) 天枢(一星増一星即文昌八西外)天璇(一星) 天玑(一星)天权(一星増一星西外) 玉衡(一星)闿阳(一星开阳西名) 揺光(一星七星为北斗以上)天枪(三星増二星西外) 客星(古无星万厯癸酉始见西一)近黄极六(古无星西一)古歌曰中元北极紫微宫 北极五星在其中大帝之坐第二珠 第三之星庶子居第一号曰皇太子 四为后宫五天枢左右四星是四辅 天乙太乙当门路左枢右枢夹南门 两面营卫一十五上宰少尉两相对 少宰上辅次少辅上卫少尉次上丞 后门东边大赞府门西唤作一少丞 以次却向门前数隂徳门里两黄聚 尚书以次其居五女史柱史各一户 御女四星五天柱大理两星隂徳边 勾陈尾指北极顚勾陈六星六甲前 天皇独在勾陈里五帝内座后门是 华盖并杠十六星杠作柄象葢伞形 盖上连连九个明名曰传舎如连丁 垣外左右各六珠右是内阶左天厨 阶前八星名八糓厨下五个天棓宿 天床六星左枢在内厨两星右枢对 文昌斗上半月形希疎分明六个星 文昌之下曰三师大尊只向三师明 天牢六星太尊边太阳之守四势前 一个宰相太阳侧更有三公相西偏 即是𤣥戈一星圆天理四星斗里暗 辅星近著闿阳淡北斗之星七宿明 第一主帝名枢精第二第三璇玑是 第四名权第五衡闿阳揺光六七名 揺光左三天枪星西歌曰垣髙先论极出地 北向须寻不动䖏欲知真极无本星 列宿皆旋斯独异近极小星强名极 后宫庶子遥相类帝星最明太子次 连极五星作斜势帝下隂徳横两乌 极下四辅承四细勾陈七星中甚明 离极三度认最易勾陈柄曲勾更曲 勾内微星天皇帝太子上有无名星 下方左枢少宰迎上宰少弼与上弼 少卫上卫连少丞其中五位皆朗朗 上下卫丞弼次明右边右枢与左对 太乙天乙显微精少尉上辅次少辅 上卫少卫共上丞右弼之内五尚书 一微一显三潜形尚书之后小明二 左柱右女皆史称上少丞间曰华盖 四黑两两遮北门弼外六星名天棓 其曲似斗光颇明扶筐四星三畧暗 天厨五星长方形二巨三小近少弼 后有一颗无能名六星仰承名天钩 迤北第三光独荧河中六星名造父 三暗三微错杂陈三隅累累曰王良 尖角一珠微逊明良傍一颗名为䇿 䇿后八星阁道称三暗下连奎宿角 二巨三细与䇿亲附路一颗王良下 适当壁宿上端停王良䇿星并阁道 内有五个光耀均五颗四在河虚䖏 一条阁道穿河身阁道尽䖏横传舎 六星隐现斜直形右下七星名北斗 天枪三星斗柄亲三公三㸃与枪类 斗柄之傍隐辅星天理四星斗内隐 三师小星少辅隣文昌六星如半月 东角下星光更清师昌之间名内阶 六星微茫两簇分八糓九星一最著 已尽紫微垣内星太微垣上相(一星西上相外増一星西名)次相(一星西次相外増一星西名)次将(一星西次将西名) 上将(一星西上将西名)右执法(一星以上西垣) 上将(一星东上将西名)次将(一星东次将外増二星西名)次相(一星东次相西名)上相(一星东上相西名) 左执法(一星以上东垣)谒者(一星) 三公(三星)九卿(三星) 五诸侯(五星西无)内屏(四星増四星西外) 五帝座(五星)幸臣(一星) 太子(一星)从官(一星) 郎将(一星)虎贲(一星) 常陈(七星星外増二星西一)郎位(十五星西十星) 明堂(三星増一星西外)灵台(三星星外増四星西四) 少微(四星増一星西外)长垣(四星) 上台(二星増一星一属张西外)中台(二星増六星属张西外) 下台(二星张西属)古歌曰上元天廷太微宫 昭昭列象布苍穹端门只是门之中 左右执法门西东门左皂衣一谒者 以次即是乌三公三黒九卿公背傍 五黒诸侯卿后行四个门西曰内屏 五帝内坐于中正幸臣太子并从官 乌列帝后从东定郎将虎贲分左右 常陈郎位居其后常陈七星不相误 郎位陈东一十五两面宫垣十星布 左右执法是其数宫外明堂布政宫 三个灵台候云雨少微四星西北隅 长垣双双微西居北门西外接三台 与垣相对无兵灾西歌曰北斗四星南向轸 翼轸之北太微垣垣中最巨五帝座 帝傍小星四㸃攒座前四黒内屏遶 座后三小横斜安正中稍明为太子 右后幸臣左从官谒者一黒在屏左 九卿三㸃三公三座隅数㸃名郎位 一簇连辉珠入绵郎将微星位之左 更与周鼎三小连位上常陈三可见 二微在上一巨悬三公三小与下应 相亦同之斗柄前座北一㸃太阳守 太尊天牢守右边左垣执法上次相 次上将星五位聫右垣执法上次将 次上相星亦复然虎贲一星右垣末 少微曲四虎西肩长垣亦四曲且暗 上与少微相后先三㸃灵台一稍白 正当右将长垣间右前三小称明堂 左外一小名进贤灵明之际一珠小 微茫可见难名言天市垣河中(一星増一星西外) 河间(一星)晋(一星増一星西外) 郑(一星増一星西外)周(一星増二星西外) 秦(一星増四星西外)巴(一星増二星其一即天乳西外)蜀(一星増三星西外)梁(一星増一星西外) 楚(一星増一星西外)韩(一星増一星以上右垣西外) 魏(一星)赵(一星) 九河(一星)中山(一星増六星西外) 齐(一星)吴越(一星増六星西外) 徐(一星増六星西外)东海(一星) 燕(一星増一星西外)南海(一星増一星西外) 宋(一星増一星以上左垣西外)市楼(六星星外増一星一名肆楼西二) 车肆(二星)宗正(二星増一星西外) 宗人(四星星外増二星西五)宗星(二星) 帛度(二星増二星西外)屠肆(二星名屠市西一) 候(一星星外増二星西二)帝座(一星) 宦者(四星)列肆(二星) 斗(五星)斛(四星星西六) 贯索(九星八星外増十二星西十)七公(七星増四星西外) 天纪(九星増一星西外)女床(三星星外増五星西四)古歌曰下元一宫名天市 两扇垣墙二十二当门六角黒市楼 门左两星是车肆两个宗正四宗人 宗星一双亦依次帛度两星屠肆前 候星还在帝座边帝座一星常光明 四个微茫宦者星以次两星名列肆 斗斛帝前依其次斗是五星斛是四 垣北九个贯索星索口横者七公成 天纪恰似七公形数著分明多两星 纪北三星名女床此座还依织女傍 三元之象无相侵二十八宿随其隂 水火木土并与金以次别有五行吟又歌曰河中河间晋郑周 秦连巴蜀细搜求十一星属十一国 梁楚韩邦在尽头魏赵九河与中山 齐越吴徐东海间燕连南海尽属宋 请君熟记又何难西歌曰房心尾箕宿之北 天市名垣列两行中有明星称帝座 候星一位在其傍阶下四微名宦者 宗正双星俱并光一颗无名宗之类 宗人四小入天横前左一细名车肆 肆楼二小逼河上后左连二名帛度 屠市连珠较帛长宗星二小在帛左 下与东齐相颉颃列肆二星右垣内 斗五斛四皆微茫左垣之星首称宋 南海与燕为雁行东海徐州吴越齐 中山九河赵魏疆右垣之星首称韩 楚梁巴蜀秦周乡郑晋河间与河中 星体微异光皆扬右上围八名贯索 索上七公首射芒左北曲九称天纪 纪上三星号女床中山之顚名织女 一巨二细三隅张其左四黒是辇道 道前四颗渐台方中西经星同异考卷上
## 卷下
钦定四库全书中西经星同异考卷下宣城梅文鼏撰东方苍龙七宿角宿(去大角十度去极八十八度大角在紫㣲垣南门外三十七度)角(二星増五星西外) 平道(二星)天田(二星増二星西外) 进贤(一星星外増五星属太微垣西三)周鼎(三星太微西属) 天门(二星増二星西外)平星(二星増一星一作屏星西外)库楼(十星星外増一星西八)柱(十五星西九星) 衡(四星作平衡西一)南门(二星一星属亢西分) 马腹(古无星外増一星西三)古歌曰两星南北正直著 中有平道上天田总是黒星两相连 别有一乌名进贤平道右畔独渊然 最上三星周鼎形角下天门左平星 双双横于库楼上库楼十星屈曲明 楼中柱有十五星三三相著如鼎形 其中四星别名衡南门楼外两星横西歌曰角宿两星南最巨 中间平道黒星二左右九㸃无名星 天田二小角上对其顶正向摇光星 天门两黒角下是平星两白不甚平 库楼七星展屏似楼内五小名平衡 楼间六小作三柱楼下马腹三星明 南门小星当腹处亢宿(去角十度去极九十一度)亢(四星増三星西外) 大角(一星増一星西外)折威(七星西无) 右摄提(三星星西四)左摄提(三星増一星西外) 顿颃(二星顿颃分一星属骑官西作)阳门(二星)古歌曰四星恰似弯弓状 大角一星直上明折威七个亢下横 大角左右摄提星二三相对如鼎形 折威下左顿颃星两个斜安黄色精 颃西二星号阳门色若顿颃直下存西歌曰亢宿四星两端黒 左边无名附两粒亢下大角悬明珠 角上𤣥戈与斗直𤣥戈斜带梗河三 惟有南星光欲滴角东四星左摄提 埀下一星芒熠熠角西四星右摄提 迤北第三独异色角下四小曰亢池 形如方胜欹斜立亢下遥遥此顿颃 四星微逊阳门白库楼东角右来侵 南门最明近南极氐宿(去亢五度去极九十八度)氐(四星増五星西外) 天乳(一星天市垣作巴増星西列)招摇(一星増一星西外) 梗河(三星星外増五星属亢西七)帝席(三星西无) 亢池(六星星属亢西四)骑官(二十七星内三车骑一顿颃西十四星)阵车(三星)车骑(三星骑官西入) 天辐(二星)骑阵将军(一星)古歌曰四星似斗侧量米 天乳氐上一黒星世人不识称无名 一个招摇梗河上梗河横列三星上 帝席三黒河之西亢池六星近摄提 氐下众星骑官出骑官之众二十七 三三相聚十欠一阵车氐下骑官次 骑官下三车骑位天幅两星立骑傍 将军阵里振威霜西歌曰氐宿四明侧斗形 无名五㸃杂来侵上与七公明耀对 类公北有招摇星两星上与𤣥戈友 下左复与贯索亲索外无名多累累 直下正当天市秦氐下二小阵车是 天幅亦与车同轮平三平二皆车骑 一明二暗骑将军房宿(去氐五度去极一百八度)房(四星増二星西外) 键闭(一星)钩钤(二星星西一) 罸(三星作伐西一)西咸(四星一名右咸池西五星外増三星) 东咸(四星一名左咸池西外増一星)日(一星増一星西外) 从官(二星)古歌曰四星直下主明堂 键闭一黄斜向上钩钤两个近其傍 罸有三星直钤上两咸夹罸似房状 房下一星号为日从官两个日下出西歌曰(房心尾共歌)谚传夏夜有星象 俨如巨人冠进贤口鼻四星即房宿 二三颇明下暗然当头一㸃钩钤是 钤畔一微键闭言头上双星近者日 冠前曲四是西咸冲冠三暗称为伐 冠后四黒名东咸当腹两㸃积卒是 稍前相似名从官心宿(去房三度十三度去极一百)心(三星増二星西外) 积卒(十二星属房西二星)古歌曰三星中央色最深 下有积卒共十二三三相聚心下是西歌曰更有心三最明显 中巨旁微当背肩尾宿(去心五度去极一百二十二度)尾(九星増一星西外) 龟(五星星西四)天江(四星星外増二星西五) 傅说(一星气西作)鱼(一星) 神宫(一星)古歌曰九星如钩苍龙尾 下头五㸃号龟星尾上天江四横是 尾东一星名傅说傅说东畔一鱼子 尾西一室是神宫所以列在后妃中西歌曰接星是尾九㸃曲 卓如衣角飘风前神宫一星尾内坐 傅说独立尾之尖天江六㸃当河隙 鱼星一㸃游江边龟星有五三畧见 西去三星河外縁巨人侧身向西北 其上正当天市垣箕宿(去尾四度去极一百十六度)箕(四星) 天舌(二星西无)木杵(三星星外増一星属尾西二)糠粃(一星)古歌曰四星其状似簸箕 天舌二星箕口是箕下三星木杵随 箕前一㸃是糠粃明则歳丰暗为饥西歌曰箕星有四明相等 大口如箕正向西当前一㸃糠粃黒 何年簸向河之湄北方𤣥武七宿斗宿(去箕阙度去极一百十度)斗(六星) 建星(六星増一星西外)天弁(九星) 鼈(十四星星西十三)天鸡(二星増一星西外) 天籥(八星西无)狗国(四星) 天渊(十星以中六星作气西图)狗(二星増一星西外) 农丈人(一星西无)古歌曰六星其状如北斗 魁上建星六相等天弁建上三三九 斗下圆安十四星虽然名鼈贯索形 天鸡建下双黒星天籥柄前八黄精 狗国四方鸡下生天渊十星鼈东边 更有两狗斗魁前农家丈人斗下眠 天渊十黄狗色𤣥西歌曰箕背六星名斗宿 北斗相方柄不如斗下曲围十三㸃 形肖其名鼈似龟天渊四微鼈所向 狗国小方渊上围国外双鸟名曰狗 其傍相似立天鸡斗背六星称作建 下五微星若仰盂河中九㸃天弁斜 两〔？〕中髙若髻堆弁上三星建河鼔 中星独巨三之魁鼔下四星天桴卧 鼔傍各竖左右旗左旗曲七星皆小 右旗亦七三扬辉奚仲四微临辇道 正在天津角上居牛宿(去箕半度去极一百十度)牛(六星増二星内三星作气西外)天田(九星西无)九坎(九星星属女西四) 河鼓(三星星外増七星西四)织女(三星星外増一星属天市西四)左旗(九星六星外増七星西十)右旗(九星星外増二星西八) 天桴(四星无西表)罗堰(三星星西二) 渐台(四星増二星属天西外)辇道(五星星属天市垣西四) 波斯(古无一星歌无西十)古歌曰六星近在河岸头 头上虽然有两角腹下从来欠一脚 牛下九黒是天田田下三三九坎连 牛上直建三河鼓鼔上三星号织女 左旗右旗各九星河鼔两畔右边明 更有四黄名天桴河鼔之下如连珠 罗堰三乌牛东居渐台四星似口形 辇道东足连五下辇道渐台在河浒 欲得见时近织女西歌曰牛宿六星大小半 一巨居中上下齐牛前二小名罗堰 堰上匏𤓰四粒珠匏下五星名败𤓰 一粒等匏余并微匏上跨河名天津 四明二小一更欹天津之下十三小 总属无名不必疑女宿(去牛五度去极一百度)女(四星亦曰媭女西外増二星) 赵(二星星西一)周(二星星西一) 秦(二星星西一)代(二星星西一) 韩(一星)魏(一星) 齐(一星)晋(一星无西歌) 楚(一星)燕(一星) 郑(一星)越(一星) 离珠(五星西无)匏𤓰(五星瓠𤓰属牛西作) 败𤓰(五星牛西属)天津(九星十八星外増五星属牛西二)奚仲(四星星属牛歌无西七)扶筐(七星星外増一星属紫微垣西四)平衡(古无星表无西三)古歌曰四星如箕主嫁娶 十二诸侯在下陈先从赵国向东论 东西两周次二秦雍州南下双雁门 代国向西二缙绅韩魏一齐晋北轮 楚之一国魏西屯楚城南畔独燕军 燕西一郡与齐隣齐北两邑平原君 欲知郑在越下存十六黄星细区分 五个离珠女上匀败𤓰之上匏𤓰生 两𤓰各五匏𤓰明天津九个弹弓形 两星入牛河中横四个奚仲天津上 七个仲侧扶筐星西歌曰女宿三微一稍白 非方非斜形不侔右方数起赵与越 周楚郑齐燕一流并楚为秦并周代 郑星方在魏之头魏韩相并望齐楚 十星皆晦此舒眸下为九坎四可见 平衡三白微难求离瑜三㸃均且直 坎下四微散不収虚宿(去女七度去极八十七度)虚(二星) 司命(二星)司禄(二星无西歌) 司危(二星星西一)司非(二星) 哭(二星危西属)泣(二星危西属) 天垒城(十三星外増二星西五星)败臼(四星星西二) 离瑜(三星星属女西二)古歌曰上下各一如连珠 命禄危非虚上呈虚危之下哭泣星 哭泣双双下垒城天垒团圆十三星 败臼四星城下横臼西三个离瑜明西歌曰虚宿两星南最明 南下围三天垒城城下四方壁垒阵 五颗独有四颗清壁阵东行十三㸃 彼端亦作小方形阵头之下天钱绕 稀微四㸃圆难成钱下二个名败臼 臼下双珠莫可名虚东一小名司命 司危司非虚上承人星只有三星确 六星车府射天津府上腾蛇六围一 两尾八星遥对分危宿(去虚六度去极八十三度)危(三星増一星西外) 人星(五星星属虚西四)杵(三星星西一) 臼(四星星西三)车府(七星星外増三星属虚西五)天钩(九星星属紫微垣西六)造父(五星星属紫微垣西六) 坟墓(四星)虚梁(四星) 天钱(十星虚西属)葢屋(二星星西一)古歌曰三星不直曲为之 危上五黒号人星人左三四杵曲形 人上七乌号车府府上天钩九黄精 钩下五鵶字造父危下四星号坟墓 墓下四星斜虚梁十个天钱梁下黄 墓傍两星名葢屋身著皂衣危下宿西歌曰危宿三星若罄折 中间一㸃光微夺危下微光葢屋名 屋西三星坟墓接三个晦明各自异 四小虚梁墓左贴墓下双乌哭泣临 一同土公坟后歇垒壁十二南横遮 羽林军士纵横列军前统御有天纲 北落师门光更烈危端臼杵四星悬 其南败臼半边缺室宿(去危十五度去极八十度)室(二星一作营室西外増一星) 离宫(六星)雷电(六星増一星一作电霆西外) 垒壁阵(十二星西属虚)羽林军(四十五星星内三𫓧钺属危西二十六)𫓧钺(三星羽林军西属)北落师门(一星危西属) 八魁(九星西无)天纲(一星危表无西属) 土公吏(二星星歌无西一)螣蛇(二十二星星外増一星属虚西一十六)古歌曰两星上有离宫出 绕室三双有六星下头六个雷电形 垒壁阵次十二星十二两头大似升 阵下分布羽林军四十五卒三为群 东西两下多难论仔细厯厯㸔区分 三粒黄金名𫓧钺一颗珍珠北落门 门东八魁九个子门西一宿天纲是 电傍两黒土公吏螣蛇室上二十二西歌曰室宿两个光耀同 无名一个顶上冲室傍双星共三座 或小或大皆离宫雷霆六星惟右大 霹雳曲五半朦胧云雨平方四㸃小 𫓧钺三小羽林中上头直与螣蛇接 其下复与火鸟逢壁宿(去室十五度去极七十九度)壁(二星一作东壁西外増三星) 霹雳(五星増三星西外)云雨(四星) 天廐(十星星西三)𫓧锧(五星星属奎西七) 土公(二星星西三)火乌(古无星表作火乌西十)古歌曰两星下头是霹雳 霹雳五星横著行云雨次之口四方 壁上天廐十圆黄𫓧锧五星羽林傍 土公两黑壁下藏西歌曰壁宿二明与室似 其上三星围天廐廐上一颗附路称 其中正与王良对阵上双乌有土公 火鸟十星两翼细西方白虎七宿奎宿(去壁上星四度去极七十七度奎娄在紫㣲北门外三十六度)奎(十六星一星外増四星西二十) 外屏(七星増二星西外)天溷(七星星西四) 土司空(一星星西二)军南门(一星娄西属) 阁道(六星星外増二星属紫微垣西九)附路(一星紫微垣西属) 王良(五星星属紫微垣西六)策(一星増一星属紫微垣西外) 水委(古无星西三)古歌曰腰细头尖似破鞋 一十六星绕鞋生外屏七乌奎下横 屏下七个天溷成司空右畔土之精 奎上一宿军南门河中六个阁道形 附路一星道傍明五个吐花王良星 良星近上一策名天策天溷与外屏 一十五星皆不明西歌曰奎宿十六连胜形 东北一星芒独异奎尖上与阁道通 奎下七星外屏树屏间五㸃不甚明 两个扬辉屏尽处六个天仓曲绕屏 天溷二黒仓右附溷下一明土司空 𫓧锧五小仓前地水委三星南极横 其左一星最明巨娄宿(去奎大星八度去极七十度)娄(三星星外増三星西五) 左更(五星星外増一星西六)右更(五星) 天仓(六星八星外増一星属奎西十)天庾(三星) 大将军(十一星星西作天大将军十九 外増三星)古歌曰三星不匀近一头 左更右更乌夹娄天仓六个娄下头 天庾三星仓东脚娄上十一将军侯西歌曰娄三不均光甚均 上疎下宻杂星临右更左更各五㸃 并若悬弧两翼分当头数㸃弦弧似 其名总曰天将军弧中一𣲖光殊显 弧背一黒军南门天庾三㸃天仓下 刍藁六星左独明胃宿(去娄八度去极七十度)胃(三星増二星西外) 天廪(四星星外増一星西七)天囷(十三星星西十七) 大陵(八星五星外増三星西十)天船(九星一星外増三星西十) 积尸(一星)积水(一星)古歌曰三星鼎足河之次 天廪左下斜四丁廪西十三天囷名 胃上一钩八大陵九个天船陵上生 两星背贴一般形积尸积水各中心西歌曰胃宿三星聚一隅 无名两㸃胃之余胃下左更四㸃小 更西天廪四星除天囷十三围乙状 右下三星光颇殊曲环十六当天苑 北显南微正背西更有天园十三㸃 东经五宿势尤纾天陵绕八中更朗 当陵之中名积尸天船杂七与陵背 船中积水看欲无昴宿(去胃十二度去极七十度)昴(七星) 河(一星天阿西作)月(一星) 太隂(五星天隂西作)刍〔？〕(六星四星入天苑属娄西分)天苑(十六星四西内四星即刍〔？〕西三十 星外増五星属胃)卷舌(六星星外増二星西九) 天谗(一星)砺石(四星増一星西外)古歌曰七星一聚实不少 河西月东各一星河下太隂五黄精 隂下六乌刍藁营营南十六天苑形 河里六星名卷舌舌中黒㸃天谗星 砺石舌傍斜四丁西歌曰昴宿七星天谗下 乱落圆珠一簇竒其上六个垂卷舌 天谗一㸃舌尖居天阿㸃附天隂上 天隂五星皆隐微昴东孤月光如晦 砺石四小拱舌疲廪囷积米堪饱胃 谗阿西去致横尸毕宿(大星去昴十二度去极七十八度)毕(八星) 附耳(一星)天街(二星増一星西外) 天节(八星一星外増一星西十)诸王(六星星外増一星西八) 天髙(四星増一星西外)九州殊域(九星九州七星外増二星西作)五车(五星一星外増六星西十)柱(九星西柱三星东柱三星南柱三星西作)天潢(五星)咸池(三星西无) 天关(一星星外増二星西二)参旗(九星一星外増一星西十) 九斿(九星星西八)天园(十三星西属胃)古歌曰恰似𤓰又八星出 附耳毕股一星光天街两星毕背傍 天节耳下八乌幢毕上横列六诸王 王下四皂天髙星节下团圆九州城 毕口斜对五车口东西三柱任纵横 车中五个天潢精潢畔咸池三黒星 天关一星车脚边参旗九个参车间 旗下直建九斿连斿下十三乌天园 九斿天园参脚边西歌曰毕宿八星如小网 左角一珠光独朗珠边一颗名附耳 天节九小毕居上九州殊域毕之南 团圆七㸃依稀像毕上天街三个斜 街上五车截河往五车皆明右左巨 天潢五星小中放潢傍三柱柱各三 河中细宻如指掌车下横六名诸王 天髙四小斜方状下垂九㸃曰参旗 旗下九斿与旗倣觜宿(去毕十四度去极八十三度 西序在参后)觜(三星一名觜觹西外増二星) 座旗(九星井西属)司怪(四星)古歌曰三星相近作参蘂 觜上座旗直指天尊卑之位九相连 司怪曲立座旗边四鵶大近井钺前西歌曰觜宿三小当参上 觜上天关一颗招司怪四星明晦半 水火相同莫混瞧参宿(去觜半度去极八十五度 西序在觜前)参(七星十四星外増五星西二) 伐(三星星外増二星西四)玉井(四星星外増一星西五) 军井(四星)屏星(二星星西六) 厕(四星星外増一星西六)屎(一星)古歌曰总有七星觜相侵 两肩双足三为心伐星三小足里深 玉井四星右足隂屏星两扇井南襟 军井四星屏上吟左足下四天厕临 厕下一物天屎沉西歌曰参宿七星明烛宵 两肩两足三为腰参伐下垂三四㸃 玉井四星右足交玉井下方曰军井 屏星二㸃井南标四颗厕星屏左立 屎星一㸃厕下抛丈人子孙各连二 老人最巨南望遥南方朱鸟七宿井宿(去参五度去极七十二度)井(八星) 钺(一星増一星属参歌无西外)北河(三星増五星西外) 南河(三星増九星西外)天罇(三星无西歌) 五诸侯(五星星西七)积水(一星无西表) 积薪(一星増四星西外)水府(四星増二星属觜西外) 水位(四星増五星西外)四渎(四星星外増一星西八) 军市(十三星外増四星西五星)野鸡精(一星星西二) 孙(二星増一星属参西外)子(二星増一星属参西外) 丈人(二星参西属)阙邱(二星増一星西外) 天狼(一星増四星西外)弧矢(九星増十八星西外) 老人(一星増二星西外)古歌曰八星行列河中净 一星名钺井边安两河各三南北正 天罇三星井上头罇上横列五诸侯 侯上北河西积水欲覔积薪东畔是 𫓰下四星名水府水位东边四星序 四渎横列南河里南河下头是军市 军市团圆十三星中有一个野鸡精 孙子丈人市下列各立两星从东说 阙邱三个南河东邱下一狼光蓬葺 左畔九个弯弧弓一矢拟射顽狼胷 有个老人南极中春秋出入夀无穷西歌曰井宿八星形似井 座旗六黒垂其顶旗东五小皆无名 贴旗斜下四星整左斜五㸃五诸侯 其上北河两明并河上一颗名积水 河左斜方爟星命河下一微名积薪 南河似与北河证水位四小若仰盂 上下数颗难考订井下四星名四渎 阙邱之一与河映天狼最巨当共南 一矢加弧一矢剩军市一白野鸡傍 老人独向天南炳弧矢十星俨张弧 内外无名难究竟鬼宿(去井二十度去极六十六度)鬼(四星一名舆鬼) 积尸气(一星气西作)爟(四星一名爟位星属井西七星外増二) 天狗(七星柳西属)外厨(六星星外増四星西五) 天社(六星星外増五星属柳西七)天纪(一星天记属星西作)古歌曰四星册方似木柜 中央白者积尸气鬼上四星名爟位 天狗七乌鬼下是外厨六间柳星次 天社六个弧东倚社东一宿名天纪西歌曰鬼宿四星方似柜 中间一白积尸气其下五小为外厨 五隅五小居其内柳宿(去鬼一度去极七十二度)柳(八星増一星西外) 酒旗(三星増七星西外)古歌曰八星曲头垂似柳 近上三星号为酒享宴大酺五星守西歌曰柳宿曲八名垂柳 其上无名三㸃系酒旗斜三宿上飘 其上却与文昌对天狗盘七当其南 天社七横星颇巨星宿(去柳七度去极八十八度)星(七星三星外増一星西十) 轩辕(十六星七西二十五星外増 星属张)御女(一星歌无西属张) 内平(四星星作内屏属张西三)天相(三星星属张西六) 稷(五星无西表)古歌曰七星如钩柳下生 星上十七轩辕形轩辕东头四内平 平下三个名天相相下稷星横五灵西歌曰星宿十星大小异 中间一巨首尾细垂头曲尾如蝎形 其上一白名天记记下天稷五个星 南隅一颗与记类张宿(去星六度去极九十九度)张(六星星外増五星西七) 天庙(十四星西无)古歌曰六星似轸在星傍 下头惟有天庙廊一十四星册四方 长垣少微虽向上数星倚在太微傍 太尊一星直上黄西歌曰张宿六星芒甚小 中如方胜两角吊轩辕大星当其颠 一十五星龙天矫小方内屏辕上居 辕下御女一星杳宿端天相有三星 向右一颗光颇皎三台三座上犹明 相与雁行行天道台北二小名天牢 一㸃太尊牢左照翼宿(去张一度去极九十七度)翼(二十二星) 东瓯(五星无西表)马尾(古无星外増一星西四)古歌曰二十二星最难识 上五下五横著行中星六个恰似张 更有六星在何处三三相连张畔附 必若不能分处所更请向前㸔野取 五个黒星翼下头欲知名字是东瓯西歌曰翼宿微星二十二 上横五星下无异其中六个似张星 两端各有三颗系东瓯五小在其南 青邱三个翼下寄邱南马尾横三星 上端一个尤明巨轸宿(去翼三度去极一百四度在太㣲南门外十六度)轸(四星増一星西外) 长沙(一星)左辖(一星) 右辖(一星)军门(二星西无) 土司空(四星西无)青邱(七星星属翼西三) 器府(三十二星西无)古歌曰四星似张翼相近 中有一个长沙星左辖右辖东西附 军门两黄近翼星门西四个土司空 门东七乌青邱从青邱之下名器府 器府之星三十二以上便是太微宫 黄道向上看取是西歌曰轸宿四珠不等方 长沙一黒中间藏左名二辖肩之附 一颗无名南向光南极诸星(据厯书及仪象志)鸟喙(古无星西七) 鹤(古无二星西十)孔雀(古无八星西十) 异雀(古无二星西十)三角形(古无星外増二星西三) 蜜蜂(古无星西四)十字架(古无星西四) 小斗(古无星西九)南船(古无星西五) 海石(古无星西五)海山(古无星西六) 夹白(古无星西三)附白(古无星外増一星西一) 金鱼(古无星西五)飞鱼(古无星西七) 蛇首(古无星西四)蛇腹(古无星西四) 蛇尾(古无星西七)补歌曰南极诸星中未志 壁奎之下鸟喙是鸟喙朗朗七星明 其上即是鹤十二喙东十八孔雀星 异雀十二近南极孔雀之上即波斯 三角形上房心次蜜蜂四星三角东 轸翼尽头架十字小斗九星南船南 南船五星海州识南船左右十一星 海石五星海山六附白夹白黄极边 夹白三星附白一金鱼五尾七飞鱼 蛇首蛇腹星各四欲知蛇尾又七星 上边即是娄奎壁此星原非见界星 利氏西来始能述经天该中亦未言 今据厯书为补足中西经星同异考卷下◆ 《全史日至源流-清-》（KR3f0030）
## 提要
钦定四库全书 子部六
全史日至源流 天文算法类二(推歩之属)提要(臣)等谨案全史日至源流三十二卷国朝许伯政撰伯政有易深已著录此书遵御制厯象考成前编之法溯稽经史传注所载至朔气闰质其合否纠其谬误首三卷皆论歩算之术如谓天周宜用三百六十度日法宜用九十六刻宫次非恒星一定之居岁实竒零积乆始觉损益不宜槩为四分日之一其论皆为确当惟所论岁实期以二百一十六年逓减二十秒及日在髙卑二日平行实行适等揆以厯理未免滞碍至后三十卷中排纂长厯分代纪年上起轩皇下迄明季四千年之中丝牵绳贯使星躔节候一一按谱而稽亦可为后来考测之资焉乾隆四十六年二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
## 卷首上
钦定四库全书全史日至源流卷首上山东道御史许伯政撰周天之度岁气日躔暨其岁差胥于是乎推旧法因岁气有三百六十五日四分日之一遂分天周为三百六十五度四分度之一以配之便于推算此大误也我朝时宪书择用新法始定天周为三百六十度度析六十分分析六十秒自秒以下微纎忽芒皆以六十析之新法云六十者半之则为三十三之一则二十四之一则十五余任剖析皆为自然而然之分又每日十二时时各八刻初正各四刻为二十四小时日凡九十六刻去旧术百刻计日之拘牵每刻十五分自分以下亦以六十析之如度法示易示简与天地合其德与日月合其明与四时合其序洵万世不易之章程也角一十度三十五分亢一十度四十分氐一十六度五十四分(按少一度)房四度四十六分心七度三十三分尾一十五度三十六分箕九度二十分以上东方苍龙七宿共七十六度二十四分斗二十三度五十一分牛七度四十一分女一十一度三十九分虚九度五十九分危二十度七分室一十五度四十一分壁一十三度一十六分以上北方元武七宿共一百零二度一十四分奎一十一度二十九分娄一十三度胃一十三度一分昴八度二十九分毕一十三度五十八分觜一度二十一分参一十一度三十三分以上西方白虎七宿共七十二度五十一分井三十度二十五分鬼五度三十分栁一十六度六分星八度二十三分张一十八度四分翼一十七度轸一十三度三分以上南方朱鸟七宿共一百零八度三十一分此新法黄道宿度也凡三百六十度恭读御制厯象考成曰天包地外圜转不息南北两极为运行之枢纽地居天中体圆而静人环地面以居随其所至适见天体之半中华之地面近北故北极常现南极常隠平分两极之中横带天腰者为赤道赤道距天顶之度即北极出地之度也赤道以北为内为隂以南为外为阳斜交赤道而半出其南半出其北者为黄道乃太阳一岁所躔之轨迹也黄赤道相交之两界为春秋分距赤道南二十三度半为冬至距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐惟恃黄赤二道以为推测之本又曰赤道均分三百六十度平分之为半周各一百八十度四分之为象限各九十度六分之为纪限各六十度十二分之为宫为时各三十度是为赤经从经度出弧线与赤道十字相交各引长之㑹于南北极皆成全圜亦分为三百六十度两极相距各一百八十度两极距赤道俱九十度是为赤纬又曰黄道之宫度并如赤道其与赤道相交之两㸃为春秋分相距皆半周平分两交之中为冬夏至距两交各一象限六分象限为节气各十五度是为黄经从经度出弧线与黄道十字相交各引长之周于天体即成全圜其各圜相凑之处不在赤道之南北两极而别有其枢心是为黄极黄极之距赤极即两道相距之度其距黄道亦皆九十度是为黄纬又新法云黄道规者从太阳旋周一岁之界而设也盖太阳行天一周轨迹旋以成规是名黄道本规斜络于赤道其半在南最南界为冬至其半在北最北界为夏至二道相交之两㸃为春秋分以故四平分之为象限限各九十度是即二至二分四正之限也总计为三百六十度十二剖之为宫二十四剖之为节气七十二剖之为候今按黄赤道经纬度详具厯书此编但推日躔黄道过宫度分故专列黄道宿度耳箕四度第一十七分起至牛一度第五分止共三十度为星纪之次是谓丑宫牛一度第六分起至危一度第四十六分止共三十度为元枵之次是谓子宫危一度第四十七分起至室十一度第三十九分止共三十度为娵訾之次是谓亥宫室十一度第四十分起至娄一度第一十三分止共三十度为降娄之次是谓戍宫娄一度第一十四分起至昴五度第一十二分止共三十度为大梁之次是谓酉宫昴五度第一十三分起至参十一度下余分二十四分止共三十度为实沈之次是谓申宫参十一度下余分二十五分起至井二十九度第五十一分止共三十度为鹑首之次是谓未宫井二十九度第五十二分起至星七度第五十分止共三十度为鹑火之次是谓午宫星七度第五十一分起至翼十一度第二十三分止共三十度为鹑尾之次是谓巳宫翼十一度第二十四分起至亢初度第四十五分止共三十度为寿星之次是谓辰宫亢初度第四十六分起至房二度第一十一分止共三十度为大火之次是谓夘宫房二度第一十二分起至箕四度第一十六分止共三十度为析木之次是谓寅宫此新法黄道交宫宿度也恭读御制厯象考成云虞书尧典曰钦若昊天厯象日月星辰楚辞天问曰圜则九重孰营度之后世厯家谓天有十二重非天实有如许重数盖言日月星辰运转于天各有所行之道即楚辞所谓圜也十二重天最外者为至静不动次为宗动南北极赤道所由分也次为南北岁差次为东西岁差此二重天其动甚微厯家姑置之而不论焉次为三垣二十八宿经星行焉次为填星所行次为岁星所行次为荧惑所行次为太阳所行黄道是也次为太白所行次为辰星所行最内者则太隂所行白道是也窃尝思夫天体浑圜宗动天以浑灏之气挈诸天左旋运转不息古人当创法之始周天之度何凴而分十二宫次何㨿而画哉今读御制厯象考成曰欲明诸圜之理必详诸圜之动欲考诸圜之动必以至静不动者准之然后得其盈缩盖天道静专者也天行动直者也至静者自有一天与地相表里故群动者运于其间而不息若无至静者以騐至动则圣人亦无所成其能矣大哉圣训乎洵乎万古开群䝉矣盖天之运行虽贞元递转混辟无竆然其贞下起元始于无始者必有所由始终于无终者必有所由终惟太古之圣人聪明睿知仰观天文俯察地理有以黙契乎化育之机缄爰探本于至静不动之天与地相表里者以为准则乃因其自然之法象分角亢氐房心尾箕为东方苍龙七宿分斗牛女虚危室壁为北方元武七宿分奎娄胃昴毕觜参为西方白虎七宿分井鬼栁星张翼轸为南方朱鸟七宿方位既分乃度各宿所占方位之广狭而析之为三百六十度天度既析乃自某宿至某宿均其所占度分之交界而画之为十二宫次各三十度于是黄赤二道经纬灿然楚辞所云孰营度之者殆指此发问欤其宫度必以宿分之者至静不动暨宗动天於穆在上无迹象可指惟三垣二十八宿切近宗动在天成象人所众仰爰立诸宿之名以为分度分宫之表识而后七政诸圜之运转溯群动之所由始及积岁之所由差其盈缩皆可得而推是宿之称名殆与信宿同义耳旧法见十二宫次依星宿而定因以为宫有一定之宿宿有常居之宫此大误也盖黄赤道之分度分宫系于宗动不系于恒星縁宗动之气浑浑灏灏无光象可求仪器仰测难以指名故因恒星天切近宗动而取其宿名为宫度之表识所以宫次谓之十二辰辰者凡无星之处皆是即宗动之气布濩于上而常无星之处透见于诸圜之下其色苍苍者也即如新法自箕四度之一十七分至牛一度之五分是谓星纪之次然谓星纪分宫正值箕斗牛本位因而为箕斗牛本宫则可若谓箕斗牛诸宿一定常居星纪宫则不可何也宗动天挈诸天以左旋其一日一周而又过一度宫度左旋列宿亦随之左旋似乎宿有常居之宫矣然使宿有常居之宫一定不移则当太古天行之始一阳气至日躔星纪宫初度即应值箕宿之四度第一十七分设使始初冬至日躔值箕宿四度则日躔之岁差尧时冬至日在虚今时冬至日在箕皆不可得而晓矣盖尝详求其故当古圣推本至静不动之天以分度分宫则苍龙七宿在东元武七宿在北白虎七宿在西朱鸟七宿在南所谓在天成象者也然天道至神而宗动者南北极赤道所由分其挈诸天以左旋圜转不息故当太古子半动而生阳之初娵訾宫末之室宿一十一度第三十九分正当星纪宫初度之初距其所分本宫相去九十度此盖考厯代恒星值日渐差之数而逆推其本始有其故之可求者也试观河图之天一生水成于正北即可知太极之动而生阳起自正北故中气之至始于子建中日躔之次始于丑宫初而宿度之值日亦始于亥宫末皆在北方㑹斯三者参伍以成文错综其数以定象而后日躔随中气过宫有不易之常分列宿之轮值日躔有积渐之差数皆由此以起算大抵一阳必生于子建中日躔必在于星纪初此不易者也若列宿值日躔之岁差犹之太初冬至起于子日子时而其后六甲循环不得每岁皆子日子时也然则列宿之随天左旋以至静者准之固各有本宫而以至动者运之究何尝一日安居其本宫乎新法厯书日躔以中气过宫人或谓其初变古法然本后天八卦分方推之而知其理数之不易也河图之位水北火南木东金西故后天卦气坎水北离火南震木东兑金西与河图相准此四者二至二分所由生故列于四正艮成终成始于东北巽齐东南坤养西南干战西北此四者二启二闭所由生故列于四隅然坎主冬至当子建之中而大雪即子建之首冬至一阳生而小寒即一阳之尾是坎主冬至则兼大雪小寒而离主夏至兼乎芒种小暑震主春分兼乎惊蛰清明兑主秋分兼乎白露寒露可以例推故卦之主中气者首尾必兼二节艮主立春于气为二阳而大寒乃二阳之首于寅为初气而雨水即寅建之尾是艮主立春则兼大寒雨水而巽主立夏兼乎谷雨小满坤主立秋兼乎大暑处暑干主立冬兼乎霜降小雪可以例推故卦之主初气者首尾必兼二中盖天之播五气于四时递嬗密运故正隅之交参伍以变非截然间㫁今新法冬至阳生子中而日躔星纪初度是谓丑宫所谓子与丑合也及小寒节至乃丑建初气而日躔过在星纪宫之中度仍属一阳其理数正与后天方位相准故新法脗合于天行由其得古法之精可考诸五帝三王而不谬也若旧称古法殆起自秦汉间岂古圣所传授者乎先儒尝称天行外运而舒岁气内转而缩今本新法求之其说似是而实非也何则天以阳职生而主日故日有东西南北之行成冬夏寒暑之节配天而育万物易传曰法象莫大乎天地变通莫大乎四时悬象著明莫大乎日月是也自宫度既分日躔星纪之初而冬至中气至改躔元枵之初而大寒中气至改躔娵訾之初而雨水中气至改躔降娄之初而春分中气至改躔大梁之初而榖雨中气至改躔实沈之初而小满中气至改躔鹑首之初而夏至中气至改躔鹑火之初而大暑中气至改躔鹑尾之初而处暑中气至改躔寿星之初而秋分中气至改躔大火之初而霜降中气至改躔析木之初而小雪中气至皆可按宫度推之亘古不爽焉十二宫之名见于尔雅然其名散见于左传国语及经史诸书者不少国语曰武王伐殷岁在鹑火日在析木之津尧典曰日中星鸟鹑火也日永星火大火也史曰神农以火纪官春官为大火夏官为鹑火可见宫次称名传自上古殆当包羲画八卦作甲厯以来即已有之吕氏春秋云伏羲始画八卦列八节即后天卦位是也迨秦灭古制汉承秦弊司厯者増天度以配岁气之五日四分日之一则十二宫次无复三十度之整齐故或问周天之度是自然之数是强分朱子曰天左旋一日一夜行一周而又过一度以其行过处一日作一度皆沿旧术之误今遵我国家岁颁时宪书所列节气求之乃悟岁气生于天行而主日非天行岁气舒缩各别也盖立天之道曰隂与阳以播五行以行四时以分二十四气祇此六阳六隂之消长迭运而岁气平分然而阳者隂之主日者阳之宗凡阳徳主于发生其气温和则其行舒徐故当冬至阳生之后至交小寒阳气浸长则天行以渐而徐节气亦以渐而长日之自南进北出地时刻多其昼亦以渐而长至于夏至而皆长极凡隂徳主于收敛其气严肃则其行迅利故当夏至隂生之后至交小暑隂气浸长则天行以渐而疾节气亦以渐而短日之自北旋南入地时刻多其昼亦以渐而短至于冬至而皆短极凡此节气之短长生于天行而日右循十二宫次㑹之以成岁功由上年一阳生距下年一阳生积其间之日时刻分即岁实也然隂行之疾不敌阳行之徐其徐行所多时刻秒于三百六十日外积五日四分日之一乃周三百六十度而复于原界是谓气嬴不得増天度以配之使节气平列也日本随天左旋而又循宫次右转者天行至健以其挈经星天左旋每一周天又过一度日循黄道虽天徐亦徐天疾亦疾而每日一周之外无分秒之过不及故天左旋所过度分之数即为日右转所循度分之数任节气之长短不齐其行阅三十度而改躔其间阅十五度而生节者恰与宫次㑹合而不爽此天道流行自然之妙也窃尝就时宪书所列每年节气长短之刻分畧尔诸方不同之数为岁实之中数乃本之以上考往古推岁差之数溯天行之始而纪其岁实焉日躔星纪初度之初冬至气至阅十四日八时三刻十四分二十秒之后交小寒以十五度分之每十一时六刻一分五十七秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外在天为左旋进一度在日为右行退一度退十五度而冬至气毕日过星纪十五度之初小寒节至阅十四日八时四刻五分十秒之后交大寒以十五度分之每十一时六刻二分二十秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而小寒节毕以上一阳日躔元枵初度之初大寒气至阅十四日九时一刻十分二十五秒之后交立春以十五度分之每十一时六刻七分四十一秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而大寒气毕日过元枵十五度之初立春节至阅十四日十时一刻六分二十五秒之后交雨水以十五度分之每十一时七刻零二十五秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而立春节毕以上二阳日躔娵訾初度之初雨水气至阅十四日十一时三刻四分二十五秒之后交惊蛰以十五度分之每十一时七刻十分一十七秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日左行退一度退十五度而雨水气毕日过娵訾十五度之初惊蛰节至阅十五日零七刻零二十秒之后交春分以十五度分之每十二时零七分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而惊蛰节毕以上三阳日躔降娄初度之初春分气至阅十五日二时三刻九分十秒之后交清明以十五度分之每十二时一刻四分三十六秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而春分气毕日过降娄十五度之初清明节至阅十五日四时零八分十秒之后交榖雨以十五度分之每十二时二刻二分三十二秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而清明节毕以上四阳日躔大梁初度之初榖雨气至阅十五日五时四刻八分十五秒之后交立夏以十五度分之每十二时二刻十四分三十三秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而榖雨气毕日过大梁十五度之初立夏节至阅十五日六时七刻零二十秒交小满以十五度分之每十二时三刻十分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而立夏节毕以上五阳日躔实沈初度之初小满气至阅十五日八时零三分十五秒交芒种以十五度分之每十二时四刻四分一十三秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而小满气毕日过实沈十五度之初芒种节至阅十五日八时三刻十分二十秒之后交夏至以十五度分之每十二时四刻七分四十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而芒种节毕以上六阳日躔鹑首初度之初夏至气至阅十五日八时七刻零二十秒之后交小暑以十五度分之每十二时四刻十一分一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而夏至气毕日过鹑首十五度之初小暑节至阅十五日八时五刻三分二十秒之后交大暑以十五度分之每十二时四刻九分十三秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而小暑节毕以上一隂日躔鹑火初度之初大暑气至阅十五日八时零八分二十秒之后交立秋以十五度分之每十二时四刻四分三十三秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而大暑气毕日过鹑火十五度之初立秋节至阅十五日七时零十一分二十秒之后交处暑以十五度分之每十二时三刻十一分四十五秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而立秋节毕以上二隂日躔鹑尾初度之初处暑气至阅十五日五时六刻六分二十秒之后交白露以十五度分之每十二时三刻一分二十五秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而处暑气毕日过鹑尾十五度之初白露节至阅十五日四时三刻九分二十五秒之后交秋分以十五度分之每十二时二刻五分三十七秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而白露节毕以上三隂日躔寿星初度之初秋分气至阅十五日二时四刻十一分三十秒之后交寒露以十五度分之每十二时一刻五分四十六秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而秋分气毕日过寿星十五度之初寒露节至阅十五日一时一刻八分二十五秒之后交霜降以十五度分之每十二时零九分三十三秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而寒露节毕以上四隂日躔大火初度之初霜降气至阅十四日十一时五刻五分二十秒之后交立冬以十五度分之每十一时七刻十二分二十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而霜降气毕日过大火十五度之初立冬节至阅十四日十时二刻十一分三十秒之后交小雪以十五度分之每十一时七刻一分四十六秒天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而立冬气毕以上五隂日躔析木初度之初小雪气至阅十四日九时二刻十二分二十五秒之后交大雪以十五度分之每十一时六刻八分四十九秒四十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而小雪气毕日过析木十五度之初大雪节至阅十四日八时五刻十分二十秒交冬至以十五度分之每十一时六刻三分四十一秒二十微天左旋三百六十一度日左旋三百六十度除天周外天左旋进一度即日右行退一度退十五度而大雪节毕以上六隂以上节气如自甲年冬至交乙年冬至乃日循黄道右行一周而复于原界之候积其岁实凡三百六十五日二时七刻十四分十秒此天行之始匝一期之本数盖本现行时宪书节气递加岁差推而上之有以得其数也上考甲厯之数天以六节地以五制五六之合得六十天地之体数也即如每期三百六十日又五日为六十时又四分日之一为三百六十分皆体数也设天用此数行岁气自甲年子正初刻一分冬至乙年交夘正初刻丙年交午正初刻丁年交酉正初刻戊年复交子正初刻分杪皆较若画一毫无盈缩曷由变而通之以尽利惟于其中虚五十秒而数之用以行焉今就前所积岁实伍之以五则为五十日者七为五十时者三为五十刻者五为五十分者四为五十秒者一十有一合日时刻分秒五者计之凡为五十者得三十参之以三也其间每节每气自时刻分秒至于纎微皆可以五十递数之而尽故五十者天地之用数也昔者圣人既则河图以作易又则洛书以生蓍其法以竒参天数之五为三十以耦两地数之四为二十邀得大衍之数五十其衍蓍之法虚一以象太极之动分二以象天地之分挂一以象人之配两大为三才因而揲四以象四时之流行归竒以象闰余之成岁孔子称其圆而神以其法天地之用数也新法厯书云太阳之行黄道每日五十九分八秒有竒所谓平行度分也每冬月一日计行一度一分有竒以较平行盈二分矣每夏月一日计行五十七分有竒以较平行缩二分矣终岁之间但逢最髙限最毕限二日平实二行度数惟一此外两行之较日日不等此盖总一岁之实行均为毎日之平行而日用整数度用散数算之今逐节逐气各纪其平行故冬至交小寒中积十四日八时三刻十四分二十秒日右行十五度因以知每十一时六刻一分五十七秒二十微行一度夏至交小暑中积十五日八时七刻零二十秒日右行十五度因以知每十二时四刻十一分一秒二十微行一度此特度用整数日用散数计之耳然其实则一也天左旋日月亦左旋其说发自横渠而朱子宗之以为天进一度则日为退一度所见至确矣但谓厯家以进数难算止以退数算之故谓之右行此则语焉似有未详者何也日兼昼夜𤾉谷出日在东昧谷纳日在西是日之随天左旋悬象著明亘古昭然矣再细推之由昧爽而平旦而日出而食时而正午而偏西而日入而黄昏而人定而夜半而鸡鸣而又昧爽此大明每日自行一周之数无论出夘入酉出寅入戌出辰入申其为左旋随时测验易见易知者也至若算日躔十二宫次所在之宿度则每日循黄道自西而东虽逐节逐气皆可测验安得不谓之右行且所称进数者天进一度之数非难算也尧典曰日中星鸟以殷仲春言春分时之初昏朱鸟当南方午位也由是夏至鸟转而西火转而南故曰日永星火以正仲夏由是秋分火转而西虚转而南故曰宵中星虚以殷仲秋由是冬至虚转而西昴转而南故曰日短星昴以正仲冬凡此皆以天左旋进数之中星验中气乃四正之限也虽若与日无涉然凡称昏旦者日中宵中日永日短之昏旦由太阳之出入为之于此测知中星何宿即可循周天宫度以推日躔所在何宿盖其一进一退之限分数如一而不逾也况中星之宿古今不同亦如日躔之值宿古今不同皆由恒星东行厯岁渐差使之然故中星岁差与日躔岁差二事一理可互相证验凡厯家于昏旦测中星则算进数于节气测日躔则算退数両者并用彼此互证不得参差乃治厯之要务其非进数难算止算退数亦甚明矣岁气之始行既定为三百六十五日二时七刻十四分十秒然则古今之岁气其积实所以渐差者何也天体浑圜包于地外健行不息其体气积渐而递𦂳测岁实亦积渐而递减以今推之每阅二百一十六期每节每气各减日之五十微合二十四气共减一千二百微以每秒六十微收之共减二十秒于日为一分三之一前所谓推减差之数以溯天行之始者本此言之也尝考厯学新说论节气岁差之法自统天授时二家始授时每年差二秒统天每年差二抄有竒其自立新法不及二秒而每年増损无定则是以人意为之于理数无所根据也今按衍蓍求卦之法四营而成一变每变于分二挂一之后揲四以象四时是以一揲象一年也如初变十一揲归竒四再变十揲归竒三三变九揲归竒亦三归竒三少者为干由三十揲得之即三十年初变十揲归竒八再变八揲归竒七三变六揲归竒亦七归竒三多者为坤由二十四揲得之即二十四年故乾坤之合五十四年初变十一揲归竒四再变九揲归竒七三变七揲归竒亦七归竒二多初一少者为震由二十七揲得之即二十七年初变十揲归竒八再变九揲归竒三三变八揲归竒亦三归竒二少初一多者为巽由二十七揲得之即二十七年故震巽之合五十四年初变十揲归竒八再变九揲归竒三三变七揲归竒七归竒二多中一少者为坎由二十六揲得之即二十六年初变十一揲归竒四再变九揲归竒七三变八揲归竒三归竒二少中一多者为离由二十八揲得之即二十八年故坎离之合五十四年初变十揲归竒八再变八揲归竒七三变七揲归竒三归竒二多末一少者为艮由二十五揲得之即二十五年初变十一揲归竒四再变十揲归竒三三变八揲归竒七归竒二少末一多者为兑由二十九揲得之即二十九年故艮兑之合五十四年凡三变成爻则归竒象卦总八卦揲四之数得二百一十六年今推天行阅二百一十六期恒星东行移三度而岁气一变然则易之三变成爻盖亦天地变化圣人效之之一端也且干为八卦之纲当十有八变归竒皆干则得干之策二百一十有六老阳之数用九而变者也天以阳职生阳数极于九故岁气流行积至二百一十六期凡为九者得二十有四与坤策合而岁气一变惟变乃通惟通乃久天之道也是以干之策亦象之且五十者天地之用数用数起于微秒故节气递减之数亦以五十微为率焉日躔所以岁差何也恭读御制厯象考成曰岁差者太阳每岁与恒星相距之分也如今年冬至太阳躔某宿度至明年冬至不能躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之觉至晋虞喜始知之因立差法厯代治厯者宗焉而所定之数各家不同喜以为五十年差一度刘宋何承天以百年差一度祖冲之以四十五年差一度隋刘焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋杨忠辅以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒约之得每年差五十二秒半元郭守敬因之较诸家为密今新法实测晷影验之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之数在古法为冬至西移之度新法为恒星东行之度徴之天象恒星原有动移则新法之理长也又曰古厯俱谓恒星不动而黄道西移今谓黄道不动而恒星东行盖使恒星不动而黄道西移则恒星之黄道经纬度宜每岁不同而赤道经纬度宜终古不变今测恒星之黄道经度每岁东行而纬度不变至于赤道经度则逐岁不同而纬度尤甚自星纪至鹑首六宫星在赤道南者纬度古多而今渐少在赤道北者纬度古少而今渐多自鹑首至星纪六宫星在赤道南者纬度古少而今渐多在赤道北者纬度古多而今渐少凡距赤道二十三度半以内之星在赤道北者皆可以过赤道南在赤道南者亦可以过赤道北则恒星循黄道东行而非黄道之西移明矣又曰新法厯书载西人第谷以前恒星东行之数或云百年而行一度或云七十余年而行一度或云六十余年而行一度随时修改讫无定数与古厯累改岁差之意同迨至第谷殚精推测方定恒星东行五十一秒约七十年有余而行一度而元郭守敬所定亦为近之至今一百余年验之于天虽无差忒但星行微渺必厯年多其差乃见然则第谷所定之数亦未可泥为定率惟随时测验依天行以定其数可也大哉圣训乎允夫至精又至慎矣折衷群议特采恒星东行之说明其理长此择之之至精也然星行微渺虽第谷之殚精推测定为东行五十一秒验无差忒犹未可泥为定率而必随时测验推合天行此行之之至慎也窃尝遵是思之日躔及岁气虽各有递差之故然揆诸天行之终则有始两者殆相为表里其理数可以互证盖五十者天之用数则恒星东行盖亦每年五十秒至七十二年而东行一度今先列天行之五运而详其说于后甲子年甲子月甲子日甲子时正初刻一分内一秒冬至起至次年冬至得岁实三百六十五日二时七刻十四分十秒此天行之始数也阅二百一十六期则岁实减二十秒凡厯二百一十六期者得一百二十囬每囬递减岁实二十秒则积二万五千九百二十期总其岁实得九百四十六万六千九百零八日无余分至甲子年甲子月辛亥夜庚子时初三刻止为甲子运甲子年甲子月壬子日庚子时正初刻一分内一秒冬至起如前积二万五千九百二十期总其岁实得九百四十六万六千九百零八日无余分至甲子年甲子月己亥夜丙子时初三刻止为壬子运甲子年甲子月庚子日丙子时正初刻一分内一秒冬至起如前积二万五千九百二十期总其岁实得九百四十六万六千九百零八日无余分至甲子年甲子月丁亥夜壬子时初三刻止为庚子运甲子年甲子月戊子日壬子时正初刻一分内一秒冬至起如前积二万五千九百二十期总其岁实得九百四十六万六千九百零八日无余分至甲子年甲子月乙亥夜戊子时初三刻止为戊子运甲子年甲子月丙子日戊子时正初刻一分内一秒冬至起如前积二万五千九百二十期总其岁实得九百四十六万六千九百零八日无余分至甲子年甲子月癸亥夜甲子时初三刻止为丙子运以上五运年月皆起甲子而日干不同故取日干之甲壬庚戊丙为五运之纲甲隔八生壬壬隔八生庚庚隔八生戊戊隔八生丙皆阳干也八卦纳甲之法干纳甲壬震纳庚坎纳戊艮纳丙阳卦纳阳干而隂卦即随之以具殆取诸此耳夫岁实小余昔多今少渐次改易厯家近测其分数亦甚晓然然前既由多以渐少则后必由少以返多而昔之多者其数于何而始今之少者其数于何而终此则诸家皆未尝有定论也窃见求厯元者每上推夫初时冬至岁月日时皆㑹甲子而七政悉由此起算者以为元其意亦欲溯天行之始耳今倣其意而取卲子一元之数分为五运每运中岁实如数递减恒星逐年东行日躔之值宿亦如数渐差至于岁气暨日躔之差皆无余分则前运之终即后运之始终始相嬗而得五运总五运计之得一十二万九千六百年即卲子所谓一元者也迨丙子运之终又隔八生甲而循环无竆矣卲子谓周天三百六十度毎度三百六十年因之得一元之数今以恒星七十二年差一度为主则三百六十年而差五度故五运即本是以分焉然所谓岁气暨日躔之差皆无余分者何也周天三百六十度度析六十分分析六十秒则每度三千六百秒当甲子岁子月子日子正初刻一分冬至之时日躔星纪初度之初其宿值室十一度之第三十九分此天行之始也由此起数阅一期交冬至恒星东行五十秒日躔所值之宿度即差五十秒故七十二期而差一度焉阅二百一十六期日躔差三度而岁实亦减二十秒是谓天气一小变积二百一十六期之数至一百二十囬得二万五千九百二十期恒星东行恰周三百六十度则日躔值宿之差既无余分总其岁实得九百四十六万六千九百零八日而一阳气至恰于甲子年甲子月壬子日子正初刻一分日躔星纪初度之初其宿仍值室十一度之第三十九分则岁气之差亦无余分矣余运同此推之故曰节气差与日躔岁差事相表里其理数可以互参而得之也今列甲子运百二十囬于后甲子运一(毎期三百六十五日二时七刻十四分十秒)甲子年甲子月甲子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日十时四刻至庚子年丙子月丁巳日戌正三刻止甲子运二(毎期三百六十五日二时七刻十三分五十秒)庚子年丙子月丁巳日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日九时七刻三分至丙子年戊子月辛亥日申正三刻五分止甲子运三(每期三百六十五日二时七刻十三分三十秒)丙子年戊子月辛亥日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日九时二刻六分至壬子年庚子月乙巳日午初一刻九分止甲子运四(每期三百六十三日二时七刻十三分十秒)壬子年庚子月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日八时五刻九分至戊子年壬子月己亥日寅正三刻二分止甲子运五(每期三百六十五日二时七刻十二分五十秒)戊子年壬子月己亥日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日八时零十二分至甲子年申子月壬辰日戊正三刻止甲子运六(每期三百六十五日二时七刻十二分三十秒)甲子年甲子月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日七时四刻至庚子年丙子月丙戌日午初三刻止甲子运七(每期三百六十五日二时七刻十二分十秒)庚子年丙子月丙戌日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日六时七刻三分至丙子年戊子月庚辰日丑初三刻三分止甲子运八(毎期三百六十五日二时七刻十一分五十秒)丙子年戊子月庚辰日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日六时二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子运九(每期三百六十五日二时七刻十一分三十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日五时五刻九分至戊子年壬子月丁卯日丑初三刻三分止甲子运十(毎期三百六十五日二时七刻十一分十秒)戊子年壬子月丁卯日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日五时零十二分至甲子年甲子月庚申日午初三刻止甲子运十一(每期三百六十五日二时七刻十分五十秒)甲子年甲子月庚申日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日四时四刻至庚子年丙子月癸丑日戊正三刻止甲子运十二(每期三百六十五日二时七刻十分三十秒)庚子年丙子月癸丑日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日三时七刻三分至丙子年戊子月丁未日寅正三刻三分止甲子运十三(每期三百六十五日二时七刻十分十秒)丙子年戊子月丁未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日三时二刻六分至壬子年庚子月庚子日午初一刻九分止甲子运十四(毎期三百六十五日二时七刻九分五十秒)壬子年庚子月庚子日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日二时五刻九分至戊子年壬子月癸巳日申正三刻三分止甲子运十五(每期三百六十五日二时七刻九分三十秒)戊子年壬子月癸巳日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日二时零十二分至甲子年甲子月丙戌日戌正三刻止甲子运十六(每期三百六十五日二时七刻九分十秒)甲子年甲子月丙戌日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日一时四刻至庚子年丙子月己卯夜子初三刻止甲子运十七(每期三百六十五日二时七刻八分五十秒)庚子年丙子月庚辰日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日零七刻三分至丙子年戊子月癸酉日丑初三刻三分止甲子运十八(毎期三百六十五日二时七刻八分三十秒)丙子年戊子月癸酉日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十三日零二刻六分至壬子年庚子月丙寅日丑正一刻九分止甲子运十九(每期三百六十五日二时七刻八分十秒)壬子年庚子月丙寅日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日十一时五刻九分至戊子年壬子月己未日丑初三刻三分止甲子运二十(毎期三百六十五日二时七刻七分五十秒)戊子年壬子月己未日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日十一时零十二分至甲子年甲子月辛亥夜子初三刻止甲子运二十一(每期三百六十五日二时七刻七分三十秒)甲子年甲子月壬子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日十时四刻至庚子年丙子月甲辰日戌正三刻止甲子运二十二(每期三百六十五日二时七刻七分十秒)庚子年丙子月甲辰日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日九时七刻三分至丙子年戊子月丁酉日申正三刻三分止甲子运二十三(毎期三百六十五日二时七刻六分五十秒)丙子年戊子月丁酉日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日九时二刻六分至壬子年庚子月庚寅日午初一刻九分止甲子运二十四(毎期三百六十五日二时七刻六分三十秒)壬子年庚子月庚寅日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日八时五刻九分至戊子年壬子月癸未日寅正三刻三分止甲子运二十五(每期三百六十五日二时七刻六分十秒)戊子年壬子月癸未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日八时零十二分至甲子年甲子月己亥日戌正三刻止甲子运二十六(毎期三百六十五日二时七刻五分五十秒)甲子年甲子月乙亥日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日七时四刻至庚子年丙子月戊辰日午初三刻止甲子运二十七(毎期三百六十五日二时七刻五分三十秒)庚子年丙子月戊辰日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日六时七刻三分至丙子年戊子月辛酉日丑初三刻三分止甲子运二十八(毎期三百六十五日二时七刻五分十秒)丙子年戊子月辛酉日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日六时二刻六分至壬子年庚子月癸丑日未正一刻九分止甲子运二十九(每期三百六十五日二时七刻四分五十秒)壬子年庚子月癸丑日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日五时五刻九分至戊子年壬子月丙午日丑初三刻三分止甲子运三十(毎期三百六十五日二时七刻四分三十秒)戊子年壬子月丙午日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日五时零十二分至甲子年甲子月戊戌日午初三刻止甲子运三十一(毎期三百六十五日二时七刻四分十秒)甲子年甲子月戊戌日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日四时四刻至庚子年丙子月庚寅日戌正三刻止甲子运三十二(毎期三百六十五日二时七刻三分五十秒)庚子年丙子月庚寅日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日三时七刻三分至丙子年戊子月癸未日寅正三刻三分止甲子运三十三(每期三百六十五日二时七刻三分三十抄)丙子年戊子月癸未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日三时二刻六分至壬子年庚子月乙亥日午初一刻九分止甲子运三十四(每期三百六十五日二时七刻三分十秒)壬子年庚子月乙亥日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日二时五刻九分至戊子年壬子月丁夘日申正三刻三分止甲子运三十五(每期三百六十五日二时七刻二分五十秒)戊子年壬子月丁卯日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日二时零十二分至甲子年甲子月己未日戌正三刻止甲子运三十六(毎期三百六十五日二时七刻二分三十秒)甲子年甲子月己未日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日一时四刻至庚子年丙子月辛亥日子初三刻止甲子运三十七(每期三百六十五日二时七刻二分十秒)庚子年丙子月壬子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日零七刻三分至丙子年戊子月甲辰日丑初三刻三分止甲子运三十八(每期三百六十五日二时七刻一分五十秒)丙子年戊子月甲辰日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十二日零二刻六分至壬子年庚子月丙申日丑正一刻九分止甲子运三十九(每期三百六十五日二时七刻一分三十秒)壬子年庚子月丙申日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日十一时五刻九分至戊子年壬子月戊子日丑初三刻三分止甲子运四十(每期三百六十五日二时七刻一分十秒)戊子年壬子月戊子日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日十一时零十二分至甲子年甲子月己卯夜子初三刻止甲子运四十一(每期三百六十五日二时七刻零五十秒)甲子年甲子月庚辰日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日十时四刻至庚子年丙子月辛未日戌正三刻止甲子运四十二(每期三百六十五日二时七刻零三十秒)庚子年丙子月辛未日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日九时七刻三分至丙子年戊子月癸亥日申正三刻三分止甲子运四十三(每期三百六十五日二时七刻零十秒)丙子年戊子月癸亥日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日九时二刻六分至壬子年庚子月乙卯日午初一刻九分止甲子运四十四(每期三百六十五日二时六刻十四分五十秒)壬子年庚子月乙卯日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日八时五刻九分至戊子年壬子月丁未日寅正三刻三分止甲子运四十五(每期三百六十五日二时六刻十四分三十秒)戊子年壬子月丁未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日八时十二分至甲子年甲子月戊戌日戌正三刻止甲子运四十六(毎期三百六十五日二时六刻十四分十秒)甲子年甲子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日七时四刻至庚子年丙子月庚寅日午初三刻止甲子运四十七(毎期三百六十五日二时六刻十三分五十秒)庚子年丙子月庚寅日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日六时七刻三分至丙子年戊子月壬午日丑初三刻三分止甲子运四十八(毎期三百六十五日二时六刻十三分三十秒)丙子年戊子月壬午日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日六时二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子运四十九(每期三百六十五日二时六刻十三分十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日五时五刻九分至戊子年壬子月乙丑日丑初三刻三分止甲子运五十(每期三百六十五日二时六刻十二分五十秒)戊子年壬子月乙丑日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日五时零十二分至甲子年甲子月丙辰日午初三刻止甲子运五十一(毎期三百六十五日二时六刻十二分三十秒)甲子年甲子月丙辰日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日四时四刻至庚子年丙子月丁未日戌正三刻止甲子运五十二(毎期三百六十五日二时六刻十二分十秒)庚子年丙子月丁未日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日三时七刻三分至丙子年戊子月己亥日寅正三刻三分止甲子运五十三(毎期三百六十五日二时六刻十一分五十秒)丙子年戊子月己亥日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日三时二刻六分至壬子年庚子月庚寅日午初一刻九分止甲子运五十四(每期三百六十五日二时六刻十一分三十秒)壬子年庚子月庚寅日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日二时五刻九分至戊子年壬子月辛巳日申正三刻三分止甲子运五十五(毎期三百六十五日二时六刻十一分十秒)戊子年壬子月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日二时零十二分至甲子年甲子月壬申日戌正三刻止甲子运五十六(毎期三百六十五日二时六刻十分五十秒)甲子年甲子月壬申日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日一时四刻至庚子年丙子月癸亥夜子初三刻止甲子运五十七(毎期三百六十五日二时六刻十分三十秒)庚子年丙子月甲子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日零七刻三分至丙子年戊子月乙卯日丑初三刻三分止甲子运五十八(毎期三百六十五日二时六刻十分十秒)丙子年戊子月乙卯日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十一日零二刻六分至壬子年庚子月丙午日丑正一刻九分止甲子运五十九(毎期三百六十五日二时六刻九分五十秒)壬子年庚子月丙午日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日十一时五刻九分至戊子年壬子月丁酉日丑初三刻三分止甲子运六十(每期三百六十五日二时六刻九分三十秒)戊子年壬子月丁酉日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日十一时零十二分至甲子年甲子月丁亥夜子初三刻止甲子运六十一(每期三百六十五日二时六刻九分十秒)甲子年甲子月戊子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日十时四刻至庚子年丙子月戊寅日戌正三刻止甲子运六十二(毎期三百六十五日二时六刻八分五十秒)庚子年丙子月戊寅日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日九时七刻三分至丙子年戊子月己巳日申正三刻三分止甲子运六十三(毎期三百六十五日二时六刻八分三十秒)丙子年戊子月己巳日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日九时二刻六分至壬子年庚子月庚申日午初一刻九分止甲子运六十四(每期三百六十五日二时六刻八分十秒)壬子年庚子月庚申日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日八时五刻九分至戊子年壬子月辛亥日寅正三刻三分止甲子运六十五(每期三百六十五日二时六刻七分五十秒)戊子年壬子月辛亥日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日八时零十二分至甲子年甲子月辛丑日戌正三刻止甲子运六十六(毎期三百六十五日二时六刻七分三十秒)甲子年甲子月辛丑日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日七时四刻至庚子年丙子月壬辰日午初三刻止甲子运六十七(毎期三百六十五日二时六刻七分十秒)庚子年丙子月壬辰日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日六时七刻三分至丙子年戊子月癸未日丑初三刻三分止甲子运六十八(毎期三百六十五日二时六刻六分五十秒)丙子年戊子月癸未日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日六时二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子运六十九(毎期三百六十五日二时六刻六分三十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日五时五刻九分至戊子年壬子月甲子日丑初三刻三分止甲子运七十每期(三百六十五日二时六刻六分十秒)戊子年壬子月甲子日丑初五刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日五时零十二分至甲子年甲子月甲寅日午初三刻止甲子运七十一(每期三百六十五日二时六刻五分五十秒)甲子年甲子月甲寅日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日四时四刻至庚子年丙子月甲辰日戌正三刻止甲子运七十二(毎期三百六十五日二时六刻五分三十秒)庚子年丙子月甲辰日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日三时七刻三分至丙子年戊子月乙未日寅正三刻三分止甲子运七十三(每期三百六十五日二时六刻五分十秒)丙子年戊子月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日三时二刻六分至壬子年庚子月乙酉日午初一刻九分止甲子运七十四(毎期三百六十五日二时六刻四分五十秒)壬子年庚子月乙酉日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日二时五刻九分至戊子年壬子月乙亥日申正三刻三分止甲子运七十五(每期三百六十五日二时六刻四分三十秒)戊子年壬子月乙亥日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日二时零十二分至甲子年甲子月乙丑日戌正三刻止甲子运七十六(每期三百六十五日二时六刻四分十秒)甲子年甲子月乙丑日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日一时四刻至庚子年丙子月乙卯夜子初三刻止甲子运七十七(毎期三百六十五日二时六刻三分五十秒)庚子年丙子月丙辰日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日零七刻三分至丙子年戊子月丙午日丑初三刻三分止甲子运七十八(每期三百六十五日二时六刻三分三十秒)丙子年戊子月丙午日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百九十日零二刻六分至壬子年庚子月丙申日丑正一刻九分止甲子运七十九每期(三百六十五日二时六刻三分十秒)壬子年庚子月丙申日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日十一时五刻九分至戊子年壬子月丙戌日丑初三刻三分止甲子运八十(毎期三百六十五日二时六刻二分五十秒)戊子年壬子月丙戌日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日十一时零十二分至甲子年甲子月乙亥夜子初三刻止甲子运八十一(每期三百六十五日二时六刻二分三十秒)甲子年甲子月丙子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日十时四刻至庚子年丙子月乙丑日戌正三刻止甲子运八十二(毎期三百六十五日二时六刻二分十秒)庚子年丙子月乙丑日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日九时七刻三分至丙子年戊子月乙夘日申正三刻三分止甲子运八十三(每期三百六十五日二时六刻一分五十秒)丙子年戊子月乙卯日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日九时二刻六分至壬子年庚子月乙巳日午初一刻九分止甲子运八十四(每期三百六十五日二时六刻一分三十秒)壬子年庚子月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日八时五刻九分至戊子年壬子月乙未日寅正三刻三分止甲子运八十五(每期三百六十五日二时六刻一分十秒)戊子年壬子月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日八时零十二分至甲子年甲子月甲申日戌正三刻止甲子运八十六(每期三百六十五日二时六刻零五十秒)甲子年甲子月甲申日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日七时四刻至庚子年丙子月甲戌日午初三刻止甲子运八十七(毎期三百六十五日二时六刻零三十秒)庚子年丙子月甲戌日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日六时七刻三分至丙子年戊子月甲子日丑初三刻三分止甲子运八十八(每期三百六十五日二时六刻零十秒)丙子年戊子月甲子日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日六时二刻六分至壬子年庚子月癸丑日未正一刻九分止甲子运八十九(每期三百六十五日二时五刻十四分五十秒)壬子年庚子月癸丑日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日五时五刻九分至戊子年壬子月癸卯日丑初三刻三分止甲子运九十(每期三百六十五日二时五刻十四分三十秒)戊子年壬子月癸卯日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日五时零十二分至甲子年甲子月壬辰日午初三刻止甲子运九十一(毎期三百六十五日二时五刻十四分十秒)甲子年甲子月壬辰日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日四时四刻至庚子年丙子月辛巳日戌正三刻止甲子运九十二(每期三百六十五日二时五刻十三分五十秒)庚子年丙子月辛巳日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日三时七刻三分至丙子年戊子月辛未日寅正三刻三分止甲子运九十三(毎期三百六十五日二时五刻十三分三十秒)丙子年戊子月辛未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日三时二刻六分至壬子年庚子月庚申日午初一刻九分止甲子运九十四(每期三百六十五日二时五刻十三分十秒)壬子年庚子月庚申日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日二时五刻九分至戊子年壬子月己酉日申正三刻三分止甲子运九十五(毎期三百六十五日二时五刻十二分五十秒)戊子年壬子月己酉日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日二时零十二分至甲子年甲子月戊戌日戌正三刻止甲子运九十六(毎期三百六十五日二时五刻十二分三十秒)甲子年甲子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日一时四刻至庚子年丙子月丁亥夜子初三刻止甲子运九十七(毎期三百六十五日二时五刻十二分十秒)庚子年丙子月戊子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日零七刻三分至丙子年戊子月丁丑日丑初三刻三分止甲子运九十八(毎期三百六十五日二时五刻十一分五十秒)丙子年戊子月丁丑日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十九日零二刻六分至壬子年庚子月丙寅日丑正一刻九分止甲子运九十九(毎期三百六十五日二时五刻十一分三十秒)壬子年庚子月丙寅日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日十一时五刻九分至戊子年壬子月乙卯日丑初三刻三分止甲子运一百(毎期三百六十五日二时五刻十一分十秒)戊子年壬子月乙卯日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日十一时零十二分至甲子年甲子月癸卯夜子初三刻止甲子运百有一(每期三百六十五日二时五刻十分五十秒)甲子年甲子月甲辰日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日十时四刻至庚子年丙子月壬辰日戌正三刻止甲子运百有二(毎期三百六十五日二时五刻十分三十秒)庚子年丙子月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日九时七刻三分至丙子年戊子月辛巳日申正三刻三分止甲子运百有三(毎期三百六十五日二时五刻十分十秒)丙子年戊子月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日九时二刻六分至壬子年庚子月庚午日午初一刻九分止甲子运百有四(毎期三百六十五日二时五刻九分五十秒)壬子年庚子月庚午日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日八时五刻九分至戊子年壬子月己未日寅正三刻三分止甲子运百有五(每期三百六十五日二时五刻九分三十秒)戊子年壬子月己未日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日八时零十二分至甲子年甲子月丁未日戌正三刻止甲子运百有六(每期三百六十五日二时五刻九分十秒)甲子年甲子月丁未日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日七时四刻至庚子年丙子月丙申日午初三刻止甲子运百有七(每期三百六十五日二时五刻八分五十秒)庚子年丙子月丙申日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日六时七刻三分至丙子年戊子月乙酉日丑初三刻三分止甲子运百有八(每期三百六十五日二时五刻八分三十秒)丙子年戊子月乙酉日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日六时二刻六分至壬子年庚子月癸酉日未正一刻九分止甲子运百有九(每期三百六十五日二时五刻八分十秒)壬子年庚子月癸酉日未正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日五时五刻九分至戊子年壬子月壬戌日丑初三刻三分止甲子运百一十(每期三百六十五日二时五刻七分五十秒)戊子年壬子月壬戌日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日五时零十二分至甲子年甲子月庚戌日午初三刻止甲子运百十一(毎期三百六十五日二时五刻七分三十秒)甲子年甲子月庚戌日午正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日四时四刻至庚子年丙子月戊戌日戌正三刻止甲子运百十二(毎期三百六十五日二时五刻七分十秒)庚子年丙子月戊戌日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日三时七刻三分至丙子年戊子月丁亥日寅正三刻三分止甲子运百十三(毎期三百六十五日二时五刻六分五十秒)丙子年戊子月丁亥日寅正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日三时二刻六分至壬子年庚子月乙亥日午初一刻九分止甲子运百十四(毎期三百六十五日二时五刻六分三十秒)壬子年庚子月乙亥日午初一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日二时五刻九分至戊子年壬子月癸亥日申正三刻三分止甲子运百十五(毎期三百六十五日二时五刻六分十秒)戊子年壬子月癸亥日申正三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日二时零十二分至甲子年甲子月辛亥日戌正三刻止甲子运百十六(毎期三百六十五日二时五刻五分五十秒)甲子年甲子月辛亥日亥初初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日一时四刻至庚子年丙子月己亥夜子初三刻止甲子运百十七(毎期三百六十五日二时五刻五分三十秒)庚子年丙子月庚子日子正初刻一分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日零七刻三分至丙子年戊子月戊子日丑初三刻三分止甲子运百十八(毎期三百六十五日二时五刻五分十秒)丙子年戊子月戊子日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十八日零二刻六分至壬子年庚子月丙子日丑正一刻九分止甲子运百十九(毎期三百六十五日二时五刻四分五十秒)壬子年庚子月丙子日丑正一刻十分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十七日十一时五刻九分至戊子年壬子月甲子日丑初三刻三分止甲子运百二十(毎期三百六十五日二时五刻四分三十秒)戊子年壬子月甲子日丑初三刻四分内一秒冬至阅二百十六期积七万八千八百八十七日十一时零十二分至甲子年甲子月辛亥夜子初三刻止以上甲子运一百二十回乃节气递差之全数也设以一百二十囘二百十六期之岁实为率以后不减则二万五千九百二十年共得岁实九百四十六万七千二百六十五日若如递减之数算之则得九百四十六万六千九百零八日较前数减三百五十七日所差不为不多矣然新法日数一千四百四十分今于一百二十囘内取末囘最少之岁实与首囘最多者相较终年仅减日之三十九分四十秒耳均摊于每节每气各减日之一分三十九秒十微耳人亦何由觉其节气之稍促乎此大造自然之妙也恒星东行每七十二年移一度凡为七十二年者得三百六十而天度一周即天运一大周亦犹岁气之一终也如运首岁月日时皆㑹甲子当子正初刻一阳气至日躔星纪宫初度之初其宿值室十一度第三十九分则每七十二年移一度者即从此起数而以甲子丙子戊子庚子壬子为序次周而复始本之以求日躔值宿之渐差分秒可得而推也以二百一十六期推之则甲庚丙壬戊五子年周而复始其每囘之首冬至阳生所值日辰总以运一之甲子日为纲乃取二百十六期所积之岁实而以甲子除之其季余五十四日不足此不足一日者即运二之首日也首日冬至在亥时则五十五日以起运三之首日迨岁气以渐而减日数亦以渐而减由五十四减至五十三五十二五十一以至五十及于四十有九则甲子运之终又起壬子运之始矣凡冬至阳生岁月日特其大纲而积实必以气至之时刻为主虽分秒不可得而畧庶差数乃可得而推然差数之行于天者皆自然之运今取百二十囘如象限之数而四分之各六千四百八十年为七十二年者得九十即恒星东行九十度之数也其一阳气至运一在子正初刻一分三十一在午正初刻一分六十一在子正初刻一分九十一在午正初刻一分子午者中气之正限也再如纪限之数而六分之各四千三百二十年为七十二年者得六十即恒星东行六十度之数也其一阳气至运一二十一四十一六十一八十一百有一皆在子正初刻一分子中者阳生之本纪也再如宫次之数而十二分之各二千一百六十年为七十二年者得三十即恒星东行三十度之数也其一阳气至运一子正初刻一分十一午正初刻一分以后循序求之皆相间得子午之中日躔过宫必当毎宫之首中气之所由生也再如节气之数而二十四分之各一千零八十年为七十二年者得十有五即恒星东行十五度之数也其间运六十六二十六三十六四十六五十六六十六七十六八十六九十六百有六百十六诸囘之首于宫次为日躔十五度之初而冬至皆在亥初初刻一分盖天心来复开于子半而干知大始起于亥初是亥者初气之母故以气至于亥初初刻者应之也且运一之岁实三百六十五日二时七刻十四分十秒乃天行之本数履端于始者也若其岁气递差则数始于运二故运二之首气至在亥初初而运七在午正初运十二之首气至亦在亥初初而运十七在子正初以后二十二三十二三十七以至百有二百十七莫不皆然亦如节气之例以亥初应初气子正午正当中气有条不紊也至于百十七囘之首则日数之减至四十有九者其日干由庚子戊子丙子各隔八相生以至于百二十囘首之甲子则下起壬子运矣其余回气至多在寅申丑未时而刻分有常井井不乱凡此皆天运自然之分数非人巧所能安排当分运推算之始初非意计所及迨每囘各冠以岁月日时甲厯之数乃见其条理如此故标明之以便阅焉宋史天文志序太阳一日行一度近岁纪元厯定岁差约退一分四十余秒盖太阳日行一度而迟缓一年周天而微差积累分秒而躔度见焉厯象考之万五千年之后所差半周天寒暑将易位世未有知其说者焉今按太阳日行一度而微迟缓即新法推太阳之行黄道其平行度分每日五十九分八秒有竒是也然其实行则每冬月一日计行一度一分有竒以较平行盈二分每夏月一日计行五十七分有竒以较平行缩二分又且两行之较日日不等此节气长短之所由定总计其长短之数即每年岁实之所由积也使但计平行则节气平列无长短之分而于太阳每日之实行未能测验以得其真矣盖十二宫次与十二月建相配亘古不易其常者也然中气生于月建之中则日躔过在宫次之初初气生于月建之初则日躔临于宫次之中此则参伍错综以通其变非截然各分界限故递嬗密运往来相续而不竆也且天惟每日一周而左旋进一度故在日即为随天一周而右行移一度此其一左一右乃二十四节气所由生而四时于是乎成焉设天与日当冬至阳生之时同起于星纪初度之初毎日一周而同复于原界天既不左进一度日亦不能右移一度每日如是以致终岁如是则日躔无由厯十二宫次右转以生节气而寒暑何以递更哉虽然天每日左进日每日右移以成岁功此亦亘古有常而不易者不得即于此中求差数也盖岁实小余之由多渐少旧术称曰岁差其实非岁岁而差也即如由冬至交小寒中积十四日八时三刻十四分二十秒以十五度分之每十一时六刻一分五十七秒二十微天左旋一周又进一度日惟左旋一周而以不及天之一度为右转此天行之始数也及阅二百十六期之后冬至交小寒中积减五十微则每十一时六刻一分五十七秒十六微四十纎天一周进一度日仅一周亦如之是较前数每年减三微二十纎故总计其岁实为每囘减二十秒以后每囘率是而递减之此岁实小余所以古多今少也设使岁实不以次递减则气运无所迁移何以绵古今之运㑹竆则变变则通通则久哉至于列宿各有本宫而不常居其本宫者天每日左旋一周而进一度列宿亦随之一周而进一度故日躔得以逐日右移其宿度周于十二宫以成岁然列宿之毎日进一度以较日躔东移度之八微二十纎以每节毎气计之各东移二秒五微故总终岁计之与日躔值宿相较为毎年东行五十秒惟其每年东行阅七十二年移一度故列宿以渐循行十二宫次阅二万五千九百二十年为一大周天乃能终则有始以成五运而循环于不已此其意象盖与十二律旋相为宫以成六十调者大畧相似也设列宿各安本宫无所移动不与岁气之递减相应则恒星之系于天不过块然之物物则不通而贞元何以迭转乎由斯观之日躔毎日右行以值宿度者所以成岁功岁气渐减恒星渐东而㑹于两无余分既周复始者所以成运㑹也然探乎其本则皆由于天之毎日左旋一周又进一度者以生之故易曰乾元亨利贞言元亨利贞之迭运近则岁月日时远则亿千万载皆此干干不息日进无疆者为之也今宋史纪元以为太阳一年周天而微差积累分秒而躔度见焉是以太阳每日之平行与节气日躔两差牵混为一事无惑乎谓岁差约退一分四十余秒更无惑乎日躔之差不识为恒星东行而指为黄道西移也若向来司厯者所定冬至其时刻分秒固多不协天行然使其积久或至后天五六日全差一候则窥之以仪器测之于晷影必能觉之如犹未觉而后天至于十五六日全差一节气不但窥仪测晷易于觉悟即验诸时物气候必有觉其谬者既觉而修改之纵不能切合天行不过如汉晋间后天三日之类耳又何忧于万五千年之后所差半周天而寒暑将易位乎此其持议迂愚颇类于杞人之忧且未明乎日躔值宿之差由一度数度以至于半周天皆自然之理必然之数而于寒暑两不相妨读宋史者不可不知也向来厯家每推太古冬至之时岁月日时皆㑹甲子而七政悉从此起算者以为厯元然六十年一甲子其本近测以推上古茫无畔岸类多迁就以求合故积年之久近各家不同亦各说不一此编先以恒星东行七十二年移一度者为主乃如一元之岁数而取其每度三百六十年者以五分之每度七十二年是谓五运其岁实则取小余五日四分日之一者如大衍之数虚其五十秒以为始行之本数其节气差则用干之策二百一十有六为递差之节次每节每气亦以五十微为率如大衍之数然后如纳甲法以甲壬庚戊丙纳于五子日为五运之纲冬至阳生皆以子正初刻一分内一秒为气至之始乃推其每囘之首气至之时岁月日时各循甲子之序纪其干枝故逐囘逐年之岁实先定刻分秒微不能丝毫增减以相就于是循五运之序先求现今之日至现今无不合乃本之以上推往古由百年及数百年再及数千年以上凡考之经传史书所载日至及一切晦朔日辰确然可据而自然相合者悉见于壬子运中是甲子运首年冬至虽属厯元然甲子运之终即壬子运之始自当以壬子运首年冬至为元尤为简捷其甲子运之世代事实壬子运由开辟厯羲农以至明季凡三十卷我朝岁颁时宪书又此编所遵奉以推上古之本谨录厯年所载日至为一卷故先叙所推天行之理数而次以甲子运于首为上卷再集壬子运所考全史之日至而提其要于首为下卷合之凡三十三卷全史日至源流卷首上
## 卷首下
钦定四库全书全史日至源流卷首下山东道御史许伯政撰壬子运提要邵子元㑹运世之法周天三百六十度每度得三百六十年则积十二万九千六百年为一元每年十二月凡为三百六十月者得三百六十则积十二万九千六百月合一万零八百年为一㑹每月三十日凡为三百六十日者得三百六十则积十二万九千六百日合三百六十年为一运每日十二时凡为三百六十时者得三百六十则积十二万九千六百时合三十年为一世其立筭可谓巧矣然不分五运而总计每度三百六十年验诸天行及岁差本非事实且易卦衍蓍之法分二以象两象天开地辟也挂一以象三象人之配两大为三才也于是揲四以象四时以一揲象一年也数揲之后必归竒于扐以象闰象岁气所余五日四分日之一积而为闰者也十九年七闰其中必有五岁再闰者二故再扐而后挂以象之然后计其在揲之䇿乾坤合三百六十当期之日当十二月各三十日之正数也盖衍蓍专象岁气之流衍以行鬼神故不计朔虚今元㑹运世每年岁实止于三百六十日并无闰余尤非事实又按先天十二月卦坤六隂于月建值亥后天八卦干战西北于方位亦值亥所以象动极而静乾元养贞于坤藏即邵子所谓隂含阳也由是静极复动子半阳生天心来复故曰天开于子由是至于丑半二阳浸长万物纽芽此地道承天含物化光之始故曰地辟于丑由是至于寅半三阳奋和万物发育故曰人生于寅人事之生生百为皆开于寅故别物穪人以配三才也古人以是为三统亦若乾元统天之义故三代建正迭用之邵子溯气化之初同世运于岁运其理本可相通但称子㑹一万八百年生天丑㑹一万八百年生地寅会一万八百年生人何造物之迟钝若此静轩周氏附㑹其说遂谓天开于子而天皇氏出地辟于丑而地皇氏出人生子寅而人皇氏出各一万八千年曷思天开地辟时人犹未生而已有天皇地皇其前且有盘古独非人乎设生人尚在寅㑹而此二皇先出则其君临天下虚无人物何所治理乎此其荒诞不经尤非事实又按文王序卦首乾坤孔子为之传曰有天地然后万物生焉初未尝索诸天地以前庄子所谓六合之外圣人存而不论是也今将索天于天之上上于何穷索地于地之下下于胡底理非思议所及虽圣人亦有所不知焉故凡语天地之道者惟中庸为物不贰一语直契本原解易有太极者惟通书无极而太极一解最为了当若夫生天生地之说大抵出于二氏未有子孙而有子孙虽庄叟亦讥之学者不察淫于异说不可为训且夫惟天之命於穆不已故始于无始终于无终安得有毁败之时今其说曰戌㑹则闭物而消天亥㑹则消天而消地悠谬无稽尤不可训窃谓天地设位贞元逓转当其贞也静以藏用群生蛰闭殆与岁运相似然极多不过千余年耳及其贞下起元乾元资始则坤元资生一始即无不始亦若雷雨之动满盈何待迟乆惟是气化之初天造草昧风气沕穆至于风气渐开群圣迭兴然后制作浸备斯为通论耳即如乾坤之后受之以屯者物之始生盈天地之间者唯万物也屯受以蒙蒙受以需者始生而穉饥必需食渇必需饮人物各率其性之自然故需者饮食之道也然道丽于气气之需养甚亟其情必至于相争而讼兴相争不已其势必至于相夺而众起盖人心危则道心灭矣于是师受以比而群隂统于一阳之尊所以象乎元后继天作君作师乃域中第一义也由是小畜以柔其刚暴之气率履以正其伦常之经而后礼义成俗天下大同故受之以泰焉凡此即天地开辟以后之真象也至于泰受以否则孟子所谓天下之生一治一乱盖若昼夜寒暑之循环不已也否受以同人又若所谓五百年必有王者兴其间必有名世者故曰与人同者物必归焉而受之以大有也然则遵羲之卦文之序孔之传以推论宇宙纷纷之说不俱可以息喙乎哉余解见序卦传昆山方氏曰太极动而生阳静而生隂既有太极即有隂阳既有隂阳即生万物既有万物即生圣人岂有一万余年阳始生而天开又一万余年隂始生而地辟又一万余年隂阳始交而万物生又四五万年隂阳始完而圣人出万无是理也夫自尧舜至今才三千余年耳三代已不如唐虞汉唐宋又不如三代世道升降不过二三百年则一变矣岂有开辟之后四五万年风气尚未开人文尚未著水土尚未平生民尚未粒直待羲农黄帝尧舜迭兴而后治耶窃谓羲农去盘古之时必不逺其年可以千计不可以万计也尧舜去羲农之世必甚近其年可以百计不可以千计也学者不可不察方氏此论见理正大故录其说而本之以上推太古自壬子运首之甲子岁至运六末之丁丑岁厯一千二百七十四年其即天地开辟以后盘古三皇之世欤窃见史家之纪盘古曰太极生两仪两仪生四象四象变化而庶类繁相传首出御世者曰盘古氏夫四象变化而庶类繁庶类繁而盘古首出御世其生人不待三万二千四百年之乆亦可见矣其纪三皇曰天皇氏继盘古氏以治澹泊无为而俗自化始制千支之名以定岁之所在十干曰阏逢旃蒙柔兆疆圉著雍屠维上章重光元黓昭阳十二支曰困敦赤奋若摄提格单阏执徐大荒落敦牂协洽涒滩作噩阉茂大渊献此其称名寓义最为古朴洵太初风味及后圣代十干以甲乙丙丁戊己庚辛壬癸代十二支以子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥则文字既兴从其简易矣夫干支定岁所以纪天之行也然则天行至此始著故尊其功而称天皇欤又称地皇氏继天皇以治爰定三辰是分昼夜以三十日为一月夫定三辰之行度分昼夜之短长乃知日躔循十二辰次右转每三十日为一月十二辰次即地之十二分野所由纪也然则地纪至此始著故尊其功而称地皇欤又称人皇氏继地皇以治相厥山川分为九区当是时万物群生淳风沕穆主不虚王臣不虚贵政教君臣所自起饮食男女所自始然则画九州辨疆域修道立教以兴人治实肇乎此故尊其功而称人皇欤以上四君惜史无在位之年数可稽然而干支既立月数既定故今逐岁详其天正冬至且纪其朔日于岁首至于闰法虽未制而天行可推故并推十九年七闰者以志之是亦易未作而画前原有易之意也丁丑之后岁次戊寅其包羲氏之元年乎何以知之凡百家之说不一则当折衷于至圣而至圣之说莫信于六经昔孔子删书首唐虞賛易则首包羲系辞传曰包羲氏没神农氏作神农氏没黄帝尧舜氏作此胡五峰本之以定五帝之称者也家语载孔子答宰我问五帝徳首黄帝次少昊次颛顼帝喾及尧舜与答季康子问五帝同今按易传于神农氏后统称黄帝尧舜氏作盖自黄帝厯少昊颛顼帝喾以及尧乃祖孙父子一姓相传而舜承尧禅亦受终文祖者也宰我康子所问者盖问此一代故孔子以此答之又考大戴礼之五帝篇史记之五帝纪亦同此而中无少昊或其纪录阙畧不全耳若自包羲以至尧舜则当以五峰遵易传所定为是又按编史者多谓唐尧元年起甲辰缘厯代帝王相传各有世次及在位年数载在诸史而散见于经传者又多符合所以康节经世温公通鉴考亭纲目皆主之今遵御批资治通鉴纲目所载帝王世次及在位年数上考太昊伏羲氏史称以木徳继天而王在位百十五年女娲氏与太昊同母太昊没诛共工氏以治天下在位百三十年炎帝神农氏史称以火徳代伏羲氏治天下在位百四十年子临魁立在位八十年子承立在位六十年子明立在位四十九年子宜立在位四十五年子来立在位四十八年子里立在位四十三年里之曽孙榆罔立在位五十五年诸侯尊轩辕为天子降封帝于潞轩辕黄帝有熊氏史称以土徳代神农氏以治天下在位百年子元嚣立以金徳王天下号少昊金天氏在位八十四年黄帝孙昌裔之子颛顼以水徳绍金天氏即帝位初国髙阳故号髙阳氏在位七十八年少昊孙桥极之子帝喾以木徳代髙阳氏为天子因其始受封于辛故号髙辛氏在位七十年子挚嗣立九年诸侯废之尊尧为天子是尧甲辰元年前上至戊寅凡一千一百零六年其间伏羲氏两主为一代神农氏传八主为一代黄帝至尧舜传六主为一代本与系辞传符合且神农黄帝两代世次相承中间不容参以他氏惟包羲氏一代二主本有在位年数可据而说者多以为相传十六氏盖由春秋元命苞谓自天地开辟至春秋鲁哀公蒋十四年获麟之岁分为十纪而列伏羲氏于禅通纪中妄称传十六氏之后乃及炎帝故说史者为其所惑而不察今特辨之于左禅通所称十六氏者女娲氏柏皇氏中央氏大庭氏栗陆氏昆连氏混敦氏赫胥氏尊卢氏昊英氏有巢氏朱襄氏葛天氏隂康氏无懐氏共工氏今按史称太昊以龙纪官朱襄为飞龙氏昊英为潜龙氏大庭为居龙氏浑敦为降龙氏隂康为土龙氏栗陆为水龙氏又称共工为上相柏皇为下相朱襄昊英常居左右栗陆居北赫胥居南昆连居西葛天居东隂康居下分理宇内是十五氏中自中央尊卢有巢无懐四氏外余皆太昊之臣内外分职共理天下者也夫有一代之君必有一代之臣史册因而纪载之后世皆然也其诸氏之治民各有治绩亦若太公治齐一年报政禽父治鲁三年报政则史册亦各因其政绩而纪之也且上古无国号天子诸侯皆以氏称如禹有天下曰夏后氏其列侯曰防风氏有穷氏有扈氏斟灌氏斟𬩽氏有仍氏有鬲氏良由其时近古故相沿耳然则十五氏皆国君有土者其为上相下相之类则以诸侯入为王朝卿士者耳商周以后始有国号然周之时列侯并纪各有传国世次见于春秋此封建之世皆然上古何独不然乎设十五氏相继为天子前有伏羲女娲后自神农以及帝挚皆纪在位年数何中间独遗十五氏而不纪乎今于女娲氏之后直接以神农既与易传合亦与史说合故推尧甲辰元载以前一千一百有六年而定戊寅为包羲元年也史纪天皇曰一姓十三人继盘古以治纪地皇曰一姓十一人继天皇以治纪人皇曰一姓九人继地皇以治又曰人居一方可见开辟之后虽人物群生而风气屯蒙其间才徳迈众者则共尊以为君殆若易之屯初建侯蒙二包蒙皆起于下而未统一四海也且上古结绳而治未有纪载之书故盘古三皇史无在位年数至包羲氏独称以木徳继天而王俨若前无所承者今读孔子系辞传论包羲始画八卦以通神明之徳类万物之情而先推本天地之大徳曰生言生生不已日新富有者天地之徳业也继之曰圣人之大寳曰位言中天下而立定四海之民所以参天地赞化育而成位乎其中故谓之大寳也何以守位曰仁言元后继天作民父母则天位乃圣人之官守惟体仁足以长人也何以聚人曰财若山林川泽田畴乃天地养万物自然之美利其财所由生即人所由聚也故理财正辞禁民为非必裁制之以义惟利物足以和义也盖立人之道曰仁与义然惟天下至圣为能以仁育万物以义正万民故下文接入古者包羲氏之王天下明夫躬膺大寳继天开治首自包羲惟其始作八卦乃万法创制之所从生也然后厯举群圣之制器尚象皆取法八卦以申明之然则史称伏羲以木徳继天而王不亦与经㫖符合欤况易以弥纶天地之道不但制器者尚其象也今具论于左天尊地卑南明北幽故先天八卦圜图首列干南坤北辨尊卑之分正子午之位也次以山泽通气与中庸论天地之生物不测即次及山水之生物不测正同盖山泽融结皆有脉络聨贯能酝酿英华辅佐天地发育万物是谓通气山末异而本同故艮居西北志山之所起水本异而末同故兑居东南志泽之所注此四者两间之定体也然后雷风管万物之出入日月主四时而运照者往来升降于其间而不已焉雷之启蛰必始于东北以震居之纪出物之始风之温凉应候莫盛于西南以巽居之纪入物之始而风以解冻出物雷以收声入物其相薄可互见矣积阳之气为火火气之精为日爰列离于木位以象日之东生积隂之气为水水气之精为月爰列坎于金垣以象月之西生昼夜代明错行不相射而两间之大局备于图矣然后取八卦之相错者布为圜方两圗圜图象天复一阳临二阳泰三阳大壮四阳夬五阳干六阳姤一隂遯二隂否三隂观四隂剥五隂坤六隂其序次自东而西所以著二气之阖辟随天运以左旋也方图象地复冬至临大寒泰雨水大壮春分夬榖雨干小满姤夏至遯大暑否处暑观秋分剥霜降坤小雪其序次自西而东所以著中气之生于十二日躔循地纪而右转也然探乎其本又皆出于横图盖河圗之位天一生水地六成之起自正北此天行之始阳变隂合而生水火木金土之本序也及包羲则之以作卦乃以五十为太极而画从中起雷以动之风以散之乃物所资以生雨以润之日以暄之乃物所资以长艮以止之兊以说之乃物所资以收干以君之坤以藏之乃物所资以藏本之以正四时之序木春生火夏长金秋收水冬藏若与天行之水始正北相悖故曰易逆数也然四时之序既正而圜图之二气左旋方图之日躔右转自合其序故后天八卦播五行于四时亦起于帝出乎震齐乎巽是易用逆数所谓先天而天不违后天而奉天时惟其能弥纶天地之道也自是百王迭起其若昊授时必不能违此五图之法少或违之必无以裁成天地之道而范围大化于不过矣史纪伏羲画八卦后继称作甲厯起于甲寅支干相配为十二辰六甲而天道周岁以是纪而年不乱月以是纪而时不易昼夜以是纪而人知度东西南北以是纪而方不惑今按作甲厯者纪作厯之始自包羲也日躔十二辰次周而复始故每岁定为十二月而起于甲寅是建寅为正月亦始自包羲也盖以地支言之寅夘辰为春巳午未为夏申酉戌为秋亥子丑为冬每岁相同而配以十干则戊年甲寅己年丙寅庚年戊寅辛年庚寅壬年壬寅故六甲而天道周者五岁为周也由是周而复始癸年仍起于甲寅故岁以是纪而年不乱月以是纪而时不易焉析一日为十二时如月法则昼夜之短长以是纪而人知度若甲日甲子时乙日丙子时之类亦六甲而周也配支干于八方如十二辰之次则东西南北以是纪而方不惑若甲夘乙为东庚酉辛为西之类而分野乃可推也盖日之数十起于甲周则为旬月之数十二起于寅周则为岁其法与易数相表里今推戊寅为包羲元年其正月建甲寅其朔日值甲子恰与史说符合且太昊以木徳王亦与卦首震巽符合故于包羲元年特以建寅为岁首明夫夏正得天百王所同而制法实自羲画始矣厥后商周虽改正而其敬授人时本周书武成篇一月壬辰旁死魄推之寅为一月本商书太甲元祀十有二月乙丑推之丑为十二月未尝改乎四时及月数盖推其日至可得而知也易传曰大衍之数五十其用四十有九自分二象两挂一象三之后揲之以四以象四时以一揲象一年也数揲之后归竒于扐以象闰象三年一闰六年两闰九年三闰之类也然其中间或十一年或八年必有五岁再闰者二因而得十九年七闰以成章故以再扐而后挂象之是闰法亦制自包羲尤有说卦传可据也史称女娲氏与太昊同母太昊没诛共工氏以治天下在位百三十年今推癸酉是其元年史又称其生而神灵佐太昊正昏姻以重万民之判是为神媒然则氏号女娲从其所掌之职亦若初教民畜牧充庖厨称曰包羲初教民萟五榖称曰神农皆从其所建之功且其称神媒以世祀之尤与称神农以世祀之相似盖男女饮食人之大欲所存而掌判以正昏姻耒耨以利稼穑首自二君立功者不朽此以没世不忘也周礼媒氏掌万民之判乃周官三百六十之一其设官分职以为民极必不使妇人为之况上古男女无别太昊始制嫁娶通媒妁以重人伦之本所以正人也设命女弟为媒氏又不及时遣嫁且使之继世有天下以临百官抚万民其身不正如正人何继天开治之圣人必不为此也又如人名女叔士名冯妇皆非妇女之谓何故氏号女娲即指为女主此与为神农之言者曰与民并耕而食同一诞妄大抵好事造言齐东野语其邪说诬民往往类此尝读程子易传解坤之六五曰妇居尊位女娲氏武氏是也非常之变不可言故有黄裳之戒而不尽言也伊川犹言若此况余子乎故此条本与日至无涉而特辨之附志于编以质髙明神农氏代伏羲氏治天下推得癸未是其元年传世八主享国五百二十年惜史无日至可稽惟志其以火纪官春官为大火夏官为鹑火可证十二辰次之称名神农之前已有之耳黄帝代神农氏有天下推得癸亥是其元年史称其设灵台立五官以叙五事命鬼臾蓲占星鬪苞授规正日月星辰之象于是乎有星官之书命羲和占日尚仪占月车区占风今按灵台为测候之所星官有纪数之书五官有分掌之职占星于昏旦占日于改躔占月于合朔占风于应律盖厯术较太昊时又加详宻矣又史称帝命大挠探五行之情占斗柄所建始作甲子甲乙丙丁戊己庚辛壬癸谓之干子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥谓之枝枝干相配以名日而定之以纳音可见太昊作甲厯其干支称名仍循天皇氏之旧至是始易之以甲乙子丑等称而所重尤在探五行之情占斗柄所建枝干相配定之以纳音其法同类娶妻隔八生子如甲子同位娶乙丑隔八下生壬申金之类此即律吕相生之法故曰纳音先儒论之详矣或谓鬼谷子王诩始作纳音盖世俗所传海中金炉中火之类附㑹于纳音者耳又史称帝命容成作盖天以象周天之形综六术以定气运因问于鬼臾蓲曰上下周纪其可数乎对曰天以六节地以五制周天气者六期为备终地纪者五岁为周五六合者岁三十七百二十气为一纪六十岁千四百四十气为一周太过不及斯以见矣事物纪原云盖天即浑天仪也六术者占日占星占月占风造律吕作甲子是也今按天干二五地枝二六天五以地六为节若六甲六乙至六壬六癸是也地六以天五为制若五子五丑至五戌五亥是也合之得六十六六则得三百六十所以应周天之度分为十二辰次以行岁气者也凡二十四气生于天行每期三百六十日以周天度又余五日四分日之一不足为气嬴除其四分不足之小数则每期余五日六期余三十日为一月整数故曰周天气者六期为备列宿分十二辰次即十二野之分星是谓地纪斗建左旋而日躔右转每月三十度即得三十日总十二月亦得三百六十日以合天度而月与日㑹推其平行得二十九日六时二刻十四分有竒十二交㑹则每岁虚六日不足为朔虚并不足余分五岁共虚三十日亦为一月整数故曰终地纪者五岁为周凡此气嬴朔虚即置闰之数故五六合者以每岁二十四气计之岁三十得七百二十气则气嬴得一百五十日而朔虚得一百八十日者即此可推合之得三百三十日应置一十一闰是谓一纪六十岁得千四百四十气则气嬴得三百日而朔虚得三百六十日者即此可推合之得六百六十日应置二十二闰是谓一周迨数周之后气嬴及朔虚余分所积必有二十九期即得十一闰者以起下纪故曰太过不及斯以见矣大抵甲子甲午周则起癸巳癸亥癸巳癸亥周则起壬辰壬戌而循环不已焉此即史称积余分以置闰配甲子而设蔀之法也盖置闰之法十九年必有七闰以成章者其纬也三十年必有十一闰六十年必有二十二闰以成周纪而其终必有二十九期十一闰以起下蔀者其经也此皆气朔嬴虚之所积自然而然非智巧所能安排旧来厯家不详周纪之说而分蔀以求厯元各出意见其误甚矣今逐章逐纪详具歴年之下阅者审焉又史称帝乃因五量治五气起消息察发歛以作调歴岁纪甲寅日纪甲子而时节定今按五量起于黄钟之龠积数于九而因之以治五气殆用九九之数推筭气运欤尝观后天八卦巽齐东南则阳盛极而隂胎干战西北则隂盛极而阳胎盖艮坤者隂阳阖辟之枢而巽干者动静互根之纽是以列之于四隅所以主四立而司启闭也故黄帝内经以斗柄所建辰巳戌亥为天地之门戸而以天五之迭至主之如甲巳之岁正月建丙寅则戊巳加于斗建辰巳之月为黅天之气而木气承之若甲乙加于斗建戌亥之月是也乙庚之岁正月建戊寅则庚辛加于斗建辰巳之月为素天之气而火气承之若丙丁加于斗建戌亥之月是也苍天元天之类即此可以类推此五气五运之说也然则所云起消息察发歛以作调厯殆后世司厯家年神岁徳之类所由权舆欤每岁十二月以甲寅为纪即寅建为正也每日十二时以甲子为纪即子半为朔也必称甲者今推癸亥为黄帝元年岁首建甲寅元日建甲子与太昊元年正同可见古帝王躬膺厯数其敬天勤民所以协时月正日者多推本受命之元年月正元日以起数缘其时无年号故以此示与民更始俾之共禀正朔于不越耳又史称是岁己酉朔旦日南至而获神䇿得寳鼎今考汉武帝元鼎五年六月得鼎后土祠旁其冬辛巳朔旦冬至齐人公孙卿称与黄帝等卿有札书内称黄帝得寳鼎神䇿问于鬼臾蓲蓲对以是岁己酉朔旦冬至得天之纪终而复始于是黄帝迎日推䇿后率二十岁得朔旦冬至凡二十推三百八十年黄帝仙登于天卿因所忠欲奏之所忠视其书不经疑其妄卿因嬖人奏之武帝大恱召问卿对以受此书申功申功与安期生通受黄帝言有此鼎书今申功已死是鼎书乃卿所伪造史迁目击其事纪述甚明而编史者亦采入黄帝纪谬矣又史称帝命大容作承云之乐是为云门中春之月乙夘之辰日在奎始奏之今莫知何年仲春亦莫知乙夘仲春何日但推黄帝时冬至日在危三度仲春不得在奎其说固不确耳少昊金天氏史称黄帝子在位八十四年今推癸卯是其元年颛顼髙阳氏史称昌意子黄帝孙继少昊即帝位在位七十八年今推丁夘是其元年竹书纪年颛帝十三年初作厯家大纪外纪诸编皆称帝作厯以孟春斗杓建寅之月为厯元是岁正月朔旦立春五星㑹于天厯营室冰冻始泮蛰虫始发鸡始三号今按冰泮蛰发是察物以验气之至否与尧典之孳尾希革月令之东风解冻土润溽暑相似也又推得帝之十三年岁次己夘正月建丙寅朔日亦得丙寅其日夘初一刻三分交立春又按鸡能时夜立春时日出夘正三刻则夘初一刻正鸡三号之始也又推得是年天正冬至日在危初度立春日在壁九度五星是否㑹营室不能知也在竹书但云十三年作厯象不及元旦立春在外纪等书虽云正月元旦立春未指何年正月愚不自揣分五运以推日至尤属悬空推筭无所依傍即本今推古上及数千年亦惟据编史家所纪各帝在位年数接筭之乃于此元旦立春不惟年月日皆合而时刻亦合此岂有丝毫迁就以求合者哉故愚于此编颇自信其不妄者頼有此类及春秋传所纪辛亥己丑两日南至之类为之证据故标之为提要云又按颛帝厯是以孟春斗杓建寅之月为厯元所推日月五星行度皆由立春起筭凡后代厯家称厯元者盖始于此故颛帝为厯宗非颛帝始以建寅为正月史文甚明周静轩乃谓五帝以来厯法未正颛帝始以建寅之月为岁首舛甚矣帝喾髙辛氏史称桥极子少昊孙佐颛帝受封于辛代髙阳氏为天子在位七十年今推乙酉是其元年史称帝抚万民而利诲之厯日月而迎送之明鬼神而敬事之今按日月迎送盖尧典之寅宾寅饯已创始于此而周礼之书迎暑夜迎寒月令之迎春东郊迎秋西郊一切典礼殆亦师此义而推广増修之耳帝挚史称帝喾子立九年而废诸侯尊尧为天子今推乙未是其元年帝尧陶唐氏邵子经世定为甲辰元年在位百载又居丧二载今按尧典曰日中星鸟以殷仲春日永星火以正仲夏宵中星虚以殷仲秋日短星昴以正仲冬自日中宵中日永日短观之可见当时纪昼夜之时刻分秒必极详明然以悬象著明之常分观之黄道不易古之日犹今之日不待考而后知也至于日至日躔虽各有岁差而其故可求故授时厯说本星昴之类推之尧时冬至日在虚七度今推得尧元年冬至日在虚八度六十九年后冬至日在虚七度盖旧法于天周多五度四分度之一而按宿分度亦多互异与今新法颇不合然本新法推古源流可合自是确不可易纵分度分宫或与天行小有未符大约不过分秒之差断不至于悬逺故此编推筭悉遵为法式焉既知冬至日所在之宿而夏至二分以及中星悉可推矣帝舜有虞氏经世定为丙戌元年在位五十载舜典在璇玑玉衡以齐七政正当尧老舜摄之时殆承黄帝盖天之制而増修之益加精宻焉此后世浑天气象之祖也或问子推天行分为五运岁实岁差既各有定数焉用玑衡答曰子何不思之甚也愚所推节气治厯之一事耳若日月有朔望薄蚀五星有迟留伏匿黄赤二道经纬交错纷然不齐使无玑衡曷从窥测以齐之须知尧典之厯象固不外日月星辰而以节气为主故承言钦若昊天敬授人时下文遂详言东作西成南讹朔易而终之以置闰其不析言五日四分日之一不足而但曰期三百有六旬有六日与易称七日来复相似自一隂至交一阳积实当言六日而称七日者子半交午半也岁实之余气称六日者如上年甲子冬至则下年己巳冬至也此可见岁实之积时刻分秒古人确有定数灼然共知不待𤨏述且如十九年七闰羲和岂不熟悉而尧必谆谆告戒者以定四时成岁为重也假如应闰二月而置于四月后则误季春为孟夏而四时不定矣应闰十一月而置于正月后则误今年之丑建为明年之寅建而岁不成矣先后一二月之间上悖天行下乱人事匪细故也况失误之甚者乎至于舜典之玑衡非不重节气而所主在朔望薄蚀迟留伏匿之故承之曰以齐七政二典之文原相备也大抵齐七政以授人时其归则一而其事之测騐各有条理现今时宪天文刻漏各有专官分掌其事而统于监正职是故耳且圣人之为天下后世虑至深逺矣当其既竭耳目之力方圎平直五音之理已了然于心必继之以规矩凖绳恊六律正五音而后不可胜用故曰智者创物巧者述焉自古上智少而中材多又况天至髙星辰至逺节气之至无形可见无声可闻非騐诸仪器确有徴据任其职事者何以昭法守颁之庶民者何以坚信从不寕惟是古圣作法非不大备矣迨周衰法弛延及秦人灭裂圣制置闰则概用后九月而汉初亦踵其弊月吉不识定朔则日食多在晦且在二日此人之失非天之变也而京房小术遂妄为之说曰凡日食不以晦朔者名曰薄汉书纪日食且述其言而传之以惑后世又如商周改正而陋识之士妄以为四时月数俱改由是作长厯者信之坚指春秋之春王正月为夏时十一月作三统者附㑹之更诬指太甲元祀之十二月乙丑为元旦冬至凡此横议贸乱莫可穷诘皆由上无道揆则下无法守而邪说遂乗之以浸作也自汉太初之后夏时虽行而下逮魏晋数百年间厯术未覩其真刘宋元嘉以来由唐及宋渐次讲求古制至元明而益宻犹未尽善欣逢圣人御宇灼知天地之化育而范围之乃尽复五帝三王之典则故虽愚之𦕈闻寡见亦得遵今推古因流溯源庶几一得之见或有合于天行之自然者而已而子乃曰焉用玑衡何不思之甚欤夏后氏大禹继舜有天下经世定为丙子元年传十七世各有在位年数享国四百三十九岁已详于歴年今按岁首建寅五帝皆然而后世独称夏正者帝降称王自禹始故夏商周称三王又称三代商周皆改建因近举三代而于寅正曰夏时其实夏正得天百王所同确论不可易也其夏小正一书仰测天象俯验物类所以察四时之变者至详矣即如春正月启蛰雉震呴大戴注云正月必雷雷不必闻唯雉闻之盖三阳气至雷虽未出地发声而已动于地下故土气震发蛰虫为之昭苏所以古称启蛰为正月中雨水为二月节自月令及汉初其纪时皆然也启蛰即今之惊蛰雨水即月令仲春之月始雨水盖冻释为水所谓春露既濡也及刘歆作三统厯乃移雨水为正月中惊蛰为二月节彼误以惊蛰为雷始发声蛰虫启戸而出耳唐大衍厯议云开元厯推得夏时立春日在营室之末昏东井二度中古㦄以参右肩为距方当南正故小正曰正月初昏斗柄悬在下魁枕参首所以著参中也季春日在昴十一度半去参距星十八度故曰三月参则伏立夏日在井四度昏角中南门右星入角距西五度其左星入角距东六度故曰四月初昏南门正昴则见五月节日在舆鬼一度半参去日道最逺以浑仪度之参体始见其肩股犹在浊中房星正中故曰五月参则见初昏大火中八月参中则曙失传也辰伏则参见非中也十月初昏南门见亦失传也定星方中则南门伏非昏见也窃思小正作于大禹禹在位仅八年其时冬至日在虚六度则立春当在壁四度季春节当在毕二度立夏当在井六度五月节当在舆鬼之末此缘大衍之列宿分度与今新法多寡不同因而推筭小有参差故录厯议以备叅考夏书𦙍征乃季秋月朔辰弗集于房月不系年朔不著日难以推考先儒据仲康肇位四海之文以为元岁于理近是今推仲康元年岁次壬戌其年正月甲寅朔应闰三月季秋月朔似是庚辰或以为庚戌朔则失闰矣陶氏古今录夏孔甲八年九月岁次甲辰采牛首山铁以铸剑按经世纪年甲辰孔甲即位之三年也且陶氏录以岁次甲辰叙于九月之下殊属倒乱意者岁次二字乃衍文欤今推孔甲八年岁次己酉其年正月丁夘朔应闰八月甲辰盖九月十二日始志以备考商王成汤在侯位之十有八年伐夏而有天下经世定为岁次乙未传二十八世各有在位年数享国六百四十四祀已详于厯年求诸经史有商一代无日至可稽索隠云孤竹君殷汤三月丙寅所封今考史记汤既绌夏命还亳维三月王自至于东郊告诸侯群后毋不有功于民勤力乃事云云未载孤竹受封事且商以十二月为岁首今推乙未岁十二月建丁丑壬子朔正月建戊寅壬午朔则三月内无丙寅日殆亦影附史记而为之说欤且其文月不系年果殷汤何年之三月欤此当阙疑商书伊训篇惟元祀十有二月乙丑伊尹祠于先王奉嗣王祇见厥祖按经世纪年定太甲元祀岁次戊申蔡氏书传十二月即太甲改元之首月此可为商正建丑但以季冬十二月为岁首而不改四时月数之明证今推戊申岁首十二月建癸丑朔日乙丑十七日辛巳夘正一刻四分交大寒本天行证之蔡传所见甚确矣若如改时改月数之说自丑建为一月数之则此十二月乃子建也推之于前当属汤崩年之季月纵迁就以乙丑为晦日而不得称太甲元祀推之于后则当为太甲元祀之季月而其月内亦不得有乙丑若如孔氏逾月即位改元之说不但乱世之事伊尹所不为蘓氏已辨其舛而且戊申为太甲二祀则在位之岁次亦乱或见刘歆三统歴说指乙丑为太甲元祀十二月朔旦冬至遂以为崩年改元之证今推其年子月辛亥日戌正初刻冬至在乙丑前十五日若以为在元祀之季月今推其月丁巳日丑正初刻冬至亦在乙丑前九日皆相去悬逺又不但月内不得有乙丑朔旦而已盖歆之妄诞欺世若此益以见蔡传所言确不可易但传称乙丑不系朔非朔日也此盖说经之慎耳孟子曰汤崩太丁未立外丙二年仲壬四年史记汤崩太子太丁未立而卒乃立太丁之弟外丙即位二年崩立外丙之弟仲壬即位四年崩伊尹乃立太丁之子太甲太甲元年作伊训今本伊训及太甲三篇观之桐宫者汤之塟所其地在今山西荣河县百祥村古今称汤陵不闻别有附𦵏太甲上篇曰营于桐宫宻迩先王其训其为营庐于汤之葬所事辞明显盖使嗣王庐于墓侧以宻迩先王竦其哀慕之心也继言王徂桐宫居忧其为往居汤丧更为明显若谓往汤之塟所营庐居仲壬之丧于事情文理皆不得为通顺也中篇首云惟三祀十有二月朔伊尹以冕服奉嗣王归于亳其为太甲既终汤丧之明年正朔尤无可疑且就诸篇中及覆伊尹告太甲之言一曰惟我商王布昭圣武代虐以寛兆民允懐即承言今王嗣厥徳罔不在初再曰先王顾𬤊天之明命天监厥徳用集大命惟尹躬克左右厥辟宅师即承言肆嗣王丕承基绪三曰先王惟是𢡟敬厥徳克配上帝即承言今王嗣有令绪当复政告归之际又追述夏王弗克庸徳惟尹躬暨汤咸有一徳克享天心爰革夏正云云即承言今嗣王新服厥命惟新厥徳而子篇终又叹息言之曰呜呼七世之庙可以观徳无非勉其继太祖为太宗以绍徳垂不祧之绪是信经则汤崩之后无外丙立二年仲壬立四年之事如有其事成汤肇造丕基嗣世二君皆不永年而继以太甲之败度是即国步艰难商运之不幸阿衡忠诲正宜兼此陈辞垂泣以道而绝不齿及何哉且丙壬相继即位虽不永年未闻颠覆典刑之咎商人七世之庙汤为太祖何得竟祧丙壬跻太甲为太宗即如鲁闵公即位二年耳鲁人跻僖公兄先于弟孔子犹讥其逆祀今太甲即克庸徳以姪继叔为之后者为之子而子先父食不亦名不正言不顺乎且就纪年推之汤崩之后増入外丙二祀仲壬四祀则太甲元祀岁次甲寅今推其年岁首十二月壬辰朔月内无乙丑则伊训之文转启疑端矣大抵孟子之外丙二年仲士四年当以程子古人谓岁为年之解为确商人世次当以经世纪年为正史迁于有商一代有世表无年表不过依傍孟子缪为之说惟其择焉不精故文胜灭质耳蔡传主吴氏之说以伊训有祇见厥祖之文遂谓汤已祔庙且谓此书初不废外丙仲壬之事窃谓汤有天下亦必如周人行追王上祀之礼丕新七庙即如濬哲大禘之诗所称元王桓发相土烈烈尊则先王亲则厥祖也今嗣王即位改元礼应告庙见祖而居忧不祭故伊尹先摄祀事以祠于先王而后奉嗣王祇见厥祖于伊尹摄祀称先王从其尊也于嗣王祇见称厥祖从其亲也文义明晰典礼分晓见祖礼毕伊尹乃明言烈祖之成徳以训于王烈祖指汤而言若商颂称嗟嗟烈祖有秩斯祜申锡无疆是也今不绎其文义察其典礼而以厥祖亦指成汤且以为此书不废外丙仲壬之事究竟茫如捕风且本之以尚论其世尤多龃龉不合不可从也周自武王为西伯之十有三年岁次己夘始克商而有天下传三十世享国八百六十七年周书泰誓惟十有三年春大㑹于孟津武成惟一月壬辰旁死魄越翼日癸巳王朝步自周于征伐商旧解春一月建子壬辰月二日今本新法推之此年周正十一月建甲子朔日癸巳三十日壬戌丑初二刻十分冬至十二月癸亥朔二十九日辛夘午初二刻十四分大寒一月壬辰朔三十日辛酉丑正一刻雨水二月壬戌朔三十日辛卯寅初初刻十二分春分闰二月壬辰朔三月辛酉朔申正初刻六分糓雨四月辛夘朔二日壬辰申正三刻十四分小满十七日丁未二十日庚戌设如旧说一月建子则月内不得有壬戌冬至若迁就以壬戌冬至属之则月首不得有壬辰癸巳若如刘歆三统厯以为己未晦冬至则先壬戌四日本大衍授时诸厯推之皆与天行悬逺不合也即此揆之周正不改四时月数事理既极昭然且节气有长短古法不用平气推筭亦即此可见盖用平气则壬戌冬至必是壬辰大寒当闰十一月而不闰二月矣或问一月建寅蔡传已言之何以不称正月壬辰既是朔日何以称旁死魄窃谓周人初改次一为岁首故寅建称一月著月数起于一即周礼称正岁之义也魄者月之体暗虚无光得日之光而明迨明尽而魄亦灭谓之晦故曰死魄朔之为言蘓也合朔之后死而复蘓明犹未生故曰旁死魄若以朔为死魄失其义矣且先记壬辰旁死魄后言癸巳伐商蔡传谓犹后世言某日必先言某朔是也若先言二日殊无谓矣凡月大二日月小三日曰哉生明日月相望谓之望常在十五或十六日望后曰哉生魄至于下弦魄体浸长逾半曰既生魄若二十二或二十三日是也此即厯家定月大小必详晦朔弦望之古法故史家用之以纪事且此篇叙事以大告武成为主自一月壬辰旁死魄至既生魄群后百工受命于周乃史家撮叙克商事定以为下文之缘起故先叙癸巳于征阅一百二十日届四月哉生明后自商至丰乃偃武修文放牛归马示天下之或有弗服者于是丁未祀庙以成功告祖庚戌柴望以成功告天及于百神所谓大告武成也至二十二日既生魄凡新封之庶邦冡君暨百工咸朝见新王祇受周命故自王若曰呜呼群后以下乃宣命之正文所以逺述先王建邦启土至于文王诞膺天命惟大统未集故兹承志伐商底商之罪以告皇天后土及名山大川于时神人顺应天下大定散财发粟大赉四海万姓恱服而大统既集矣故今列爵分土惟五惟三建官位事惟贤惟能所期群后百工相与重民五教惟食丧祭惇信明义崇徳报功庶垂拱而天下治此即奉天承运布告天下咸使闻知之新命惟宣命在武成告祖告天之后故文内于公刘以下统称先王而自称曰有道曽孙周王发体统然也读者不察既生魄与哉生魄时义各异又不详审其通篇之意理血脉遂指为简编错乱纷纷改窜不亦异乎成王元年岁次丙戌下逮平王四十八年戊午岁凡三百九十三年其中经史所载月日推之皆合者详具厯年其纪日至者惟前汉志称鲁献公十五年正月甲寅朔旦冬至殷厯以为乙夘唐大衍元授时诸厯说皆取之今考鲁献公十五年即周夷王十二年戊寅岁也本新法推之其年天正壬子月乙夘朔旦酉正初刻六分冬至与殷厯合其正月建甲寅其月朔旦亦值甲寅其日酉正三刻十一分交雨水非冬至也盖汉人皆谓周改夏正十一月为正月故纪载舛误惟殷厯以为乙夘之说必有所本耳春秋之世鲁僖公五年传称春王正月辛亥朔日南至其年即周惠王二十二年丙寅岁也今推丙寅岁天正戊子月辛亥朔旦申正二刻四分冬至与传纪日合昭公二十年传称王二月己丑日南至其年即周景王二十三年己夘岁也今推己夘岁天正甲子月辛酉朔二十九日己丑夘正二刻三分冬至亦与传纪日合有周一代日至可稽者惟以上三事传以辛亥朔日南至系于王正月己丑日南至系于王二月盖由分传附经者移就周正而为之说详于后及其本年周正以十一月为岁首蔡氏书传辨之明矣或嫌其引证无多难为确据今按史记厯书云夏正以正月殷正以十二月周正以十一月秦灭六国颇推五胜自以为得水徳之瑞而正以十月其纪述亦极明晓盖月数古今所同而纪歳者或以正月为正或以十二月为正或以十一月为正或以十月为正言各尊所建颁正朔故白正以某月非改首月之数为正月也凡称建者以斗建而言商周改建不但不改四时月数而于斗杓建寅仍通称正月即如周礼凌人正岁十有二月令斩冰即诗称二之日凿冰冲冲也必系以正岁者从寅起数以顺岁星是谓正月犹一日之称元日与三正之正字同义异也左传襄公三十年二月晋绛县老人称臣生之岁正月甲子朔今推其年天正丙子月丙寅朔春王正月甲子朔乃文公十一年乙巳岁也即此可证寅称正月周人未尝改则商可例知己又按史记及前汉书秦二世二年冬十月秦兵围沛公于丰十一月章邯追败楚军于渑池春正月赵将张耳陈余立赵歇为王夏六月项梁立楚懐王孙心为楚之懐王秋七月大霖雨此一年也三年冬十一月楚次将项籍矫杀宋义春二月沛公击昌邑夏四月沛公攻颍川秋七月南阳守𬺈降八月沛公入武闗九月子婴杀赵髙夷三族又一年也汉王刘邦元年冬十月沛公至霸上子婴降春正月项籍尊楚懐王为义帝二月项籍自立为西楚霸王夏四月诸侯罢兵就国五月齐田荣击走齐王郝秋七月使彭越击杀济北王安八月汉王还定三秦此又一年也可证孟春称正月秦人亦未之改而曲说之士乃指史记所纪月岁皆由太初正厯后追改之彼何所考据而云然不过见史记作于太初元年之后臆度而谬为之说耳余尝作春秋春王正月建寅辨引证凡五十余事见鄙著春秋深中兹不重载旧说相沿多称春秋再失闰今本经传所纪月日推之自桓王二年暨庄王六年二十八年间失两闰焉夫十九年七闰古法相沿厯家岂不熟知而至于失两闰此岂司厯推筭不精失之哉桓王失道号令不行于天下颁朔每不至于诸侯故其间有上年应闰而置于下年者皆由失颁于前补置于后又或失而不补积渐遂至于再失当是时列侯之㑹盟征伐朝聘继好无月不有而颁朔不至莫知闰在何月则其逐月纪事但依每年十二月之常例书之岂列侯皆不知其年应闰何月哉彼固外假尊王之名以为不敢擅置而失闰之实则又以为怠弃时政过在王朝非侯氏之咎也春秋于岁首正月无事则二三月必书王以尊正统其于四时阅时无事必书首月以成岁功独桓王十一年至庄王二年不书王者十有四年阙秋冬者二年其取义示人不亦深切著明欤自庄王六年以后前失既补迄于春秋之终闰法不大差殊闲或失之旋失旋补虽情事大畧亦类桓庄而不致乆悬若夫应闰之年或早数月或迟数月此则司厯之过求诸唐宋以来往往有之不独衰周为然也今逐闰详于厯年阅之自见左传终于哀公二十七年即周贞定王元年也自此至七国嬴秦之间求诸史䇿及传记不惟无日至可稽即日之系月者苦不多得其有可引据者备录于厯年以便考惜见闻不博未免遗漏耳自秦有天下至汉武帝太初元年以前置闰概用后九月本属非法但于十九年七闰之例亦不甚差则前此可知也前后汉四百二十有余年史称武帝元鼎五年己巳岁十一月辛巳朔旦冬至太初元年丁丑岁天正十一月甲子朔旦冬至章帝二年乙酉岁十一月壬辰日南至初闭闗梁灵帝熹平三年甲寅岁天正冬至丁丑日乃张衡铜仪测候所推凡汉时冬至见于史册传纪可据者惟此四事其由后人推论非当时见诸授民时之实者不录焉今推章帝乙酉岁十一月十七日壬辰戌初一刻二分冬至与史纪日合余皆不合尝稽自刘宋元嘉厯以后诸家厯说每云于冬至测晷知两汉暨魏晋间节气皆后天三日故唐一行以麟徳开元二厯推太初元年天正冬至当在辛酉日元授时推之颇同今推其年冬至得辛酉日未正一刻六分与诸厯纪合则后天三日之言确矣元鼎五年之辛巳熹平三年之丁丑其后天亦大畧相同已各具于本年窃尝据其合者以推其不合者汉承秦弊正厯始自太初今由太初丁丑岁天正甲子朔旦子正初刻一分起数下距元和乙酉岁十一月十七日壬辰戌初一刻二分止共一百八十九年连闰积六万九千零二十八日九时五刻十三分均摊于一百八十九年每年得岁实三百六十五日二时六刻三分四十八秒又由太初丁丑岁天正甲子朔旦子正初刻一分起数上距春秋鲁昭公二十年己夘岁天正月二十九日己丑夘正二刻三分内三十一秒止共四百一十八年连闰积一十五万二千六百七十四日八时五刻十二分三十秒均摊于四百一十八年每年得岁实三百六十五日三时零四十七秒夫节气之行于天岁差自有常分岂有六百余年闲岁实之前长后短相悬一至于此况自汉武太初元年上溯陶唐为时甚逺今推尧时两冬至相距每年岁实得三百六十五日二时七刻十分三十秒若昭公己夘岁在陶唐千有八百三十余年之后乃下逮太初其间四百余年岁实反较尧时而加増又由太初下逮明季为时尤逺今推崇祯年间每年岁实得三百六十五日二时七刻四分三十秒若元和乙酉岁在明季千有八百五十余年之前乃上距太初其间一百八十余年岁实反较明季而太减若如一行所推辛酉日而以未正一刻六分交冬至上下推筭不惟岁实之分数有常而岁气逓差之数亦厯厯可据由是观之太初厯术不本春秋传所纪辛交己丑两冬至就近推测以求其实而误解旧闻岁纪甲寅日纪甲子之说虚托上古茫茫不可知之太初甲寅岁甲子朔旦冬至为厯元荒渺已极史迁因之著厯术甲子篇不过纸上浮言最难〔？〕信其后刘歆三统著论华而不实亦犹乎是至于影附商书指太甲元祀十一月乙丑为朔旦冬至则作伪又有甚焉又按章帝纪元和二年二月始行四分厯则其年十一月壬辰日南至今推之而可合者殆由张盛杨岑等测验较宻故颇得其实但四分厯亦行之不乆遂废耳自宋元嘉厯以后及北宋间凡史书所纪冬至日颇多今推之而可合者亦多南宋以及元明间纪日至益多而推之可合者亦益多偶有不合或数时或数刻不至大相悬逺已各具于本年矣大抵自颛顼十三年丁夘岁正月丙寅朔旦夘初一刻立春以后至昭公己夘岁天正月己丑日冬至以前史纪节气虽极少而本新法兼岁差推之可得其合自元嘉厯以后至于明季史纪日至虽渐详而本新法兼岁差推之亦可得其合惟秦汉以下元嘉二十二年以上六百五六十年史纪日至既少而推之又不合则其厯术之乖谬大可见矣史家编年纪月而日必系月常例也今惟冬至纪日日食纪朔晦及因事纪朔晦者则悉登之亦不及悉登其所纪之事至于二十一史中凡日之系月推之不合者不可胜数或由编史者纪录之误或由繙刻者传冩之讹今不能详志于歴年之下阅者就每年正月朔日推之则其讹误自可得而见耳厯家推筭合朔得定朔为是泥平朔为非此编于每年正月必纪朔日者所以掲史家逐月纪日之纲于岁首以便阅者推考又可以推冬至日辰或在上旬或在中旬或在下旬则本年及次年或应闰或不应闰可即此而易见也但愚不精于厯术未能推定朔而平朔之数载在厯书人人可学而知因本平朔推而纪之盖逐月推筭拘拘平朔自不足用至于无闰之年三百五十四日间或五日有闰之年三百八十四日间或三日本有常分就此推岁首朔日自可百不失一惟五日者或七八年或三四年或逾年三日者或数年或十数年或数十余年每错出不齐今之所推极知未能脗合天行然每年正月朔日其已见史册者既据史以登之则其余纵不能悉合或亦若志目中眉不致大差耳此编遵今推古惟以冬至为主其余节气虽载在史册皆所不登缘其与今新法不合故也盖新法维太阳之行黄道其于周天度分计平行则终岁之间每日如一计实行则每节每气之间日日不等故于日躔十二宫次验其行度之盈缩以定二十四节气之长短乃总节气之长短计之得岁实若干此万古不易之定理即万世不易之定法也旧法取岁实之数均摊于每节每气各得十五日二时四刻十四分有竒殊于天行未覩其真今近举元明间之节气见于传记可据者论之宏简录元至元三十一年甲午岁正月一日壬子立春二月二日癸未惊蛰三月三日癸丑清明四月四日甲申立夏五月五日甲寅芒种六月六日乙酉小暑七月七日乙夘立秋八月八日乙酉白露九月九日丙辰寒露十月十日丙戌立冬十一月十一日丁巳大雪十二月十二日丁亥小寒今推本其年天正冬至刻分以起筭而用旧法平推之每节每气各十五日二时四刻十四分三十五秒有竒十一月癸丑朔十五日丁夘夘初一刻七分内一秒冬至十二月壬午朔巳正一刻六分小寒正月壬子朔亥初初刻五分立春二月壬午朔二日癸未辰初二刻四分惊蛰三月辛亥朔三日癸丑酉正初刻四分清明四月辛巳朔四日甲申寅正二刻三分立夏五月庚戌朔五日甲寅申初初刻二分芒种六月庚辰朔六日乙酉丑初二刻一分小暑七月己酉朔七日乙夘午初三刻立秋八月戊寅朔八日乙酉亥正一刻白露九月戊申朔九日丙辰辰正三刻十四分寒露十月丁丑朔十日丙戌戌初一刻十三分立冬十一月丁未朔十一日丁巳夘初三刻十二分大雪十二月丙子朔十二日丁亥申正一刻十一分小寒再用新法推之十一月癸丑朔(十五日丁夘夘初一刻七分内一秒冬至同前 二十九日辛巳亥正一刻五)(分小寒)十二月壬午朔三十日辛亥巳初三刻五分立春正月壬子朔三十日辛巳寅正三刻惊蛰二月壬午朔三月辛亥朔午初二刻九分清明四月辛巳朔二日壬午夘正三刻十分立夏五月庚戌朔四日癸丑午正二刻十三分芒种六月庚辰朔五日甲申夜子初一刻八分小暑七月己酉朔八日丙辰辰正三刻三分立秋八月戊寅朔十日丁亥巳正二刻五分白露九月戊中朔十一日戊午子正二刻十一分寒露十月丁丑朔十二日戊子丑正一刻九分立冬十一月丁未朔十一日丁巳酉初三刻二分大雪十二月丙子朔十二日丁亥寅正初刻十一分小寒又王敬哉冬夜笺记明万厯二十二年甲午岁中气正月一日雨水二月二日春分三月三日榖雨四月四日小满五月五日夏至六月六日大暑七月七日处暑八月八日秋分九月九日霜降十月十日小雪十一月十一日冬至十二月十二日大寒今推其年天正十一月三十日庚辰丑正一刻一分内一秒冬至又考厯学新说称其月二十九日己夘夜半前冬至与今所推先一时二刻兹就己夘夜子初三刻一分起筭而用旧法平推之每节每气各得十五日二时四刻十四分三十三秒有竒十一月辛亥朔二十九日己夘夜子初三刻一分内一秒冬至闰月辛巳朔十二月庚戌朔巳正初刻大寒正月庚辰朔戌正二刻十四分雨水二月庚戌朔二日辛亥辰初初刻十三分春分三月己夘朔三日辛巳酉初二刻十三分榖雨四月己酉朔四日壬子寅正初刻十一分小满五月戊寅朔五日壬午未正二刻十分夏至六月戊申朔六日癸丑丑初初刻九分大暑七月丁丑朔七日癸未午初二刻八分处暑八月丙午朔八日癸丑亥正初刻八分秋分九月丙子朔九日甲申辰正二刻七分霜降十月乙巳朔十日甲寅戌初初刻六分小雪十一月乙亥朔十一日乙酉夘初二刻五分冬至十二月甲辰朔十二日乙夘申正初刻四分大寒再用新法推之十一月辛亥朔三十日庚辰丑正一刻一分内一秒冬至十二月辛巳朔二十九日己酉午正一刻四分大寒正月庚戌朔三十日己夘寅初初刻五分雨水二月庚辰朔三十日己酉寅初二刻九分春分闰月庚戌朔三月己夘朔申正二刻十一分榖雨四月己酉朔二日庚戌酉初二刻三分小满五月戊寅朔五日壬午丑正二刻一分夏至六月戊申朔六日癸丑未初二刻四分大暑七月丁丑朔八日甲申戌初二刻八分处暑八月丙午朔十日乙夘申正一刻八分秋分九月丙子朔十日乙酉夜子初三刻十二分霜降十月乙巳朔十一日乙夘戌正初刻十三分小雪十一月乙亥朔十一日乙酉辰正初刻五分冬至十二月甲辰朔十一日甲寅酉正初刻八分大寒此上两年一记初节一记中气乃元明间所授人时兹以新法推之自上年冬至距下年冬至岁实无异每月朔日皆仍其旧而中间节气前却逈异以致置闰迟早亦复不同此由旧法于天周三百六十度外増五度四分度之一以配岁余则所分十二躔次既不合乎天度太阳不由中气改躔又不测其每日实行以定节气而但均岁实以平列之尤不协乎天行其法未知始自何时大抵秦废古制置闰既概用后九月则以天度配岁气节气概用平推亦可想见汉承秦弊不求正厯至于太初虽改建正朔而厯术未覩其真故弊法相沿迄元明而未革我朝择行新法惟就近实测顺天以求合既黙契夫钦若敬授之心源而晰理极精立法尽善初不假溯厯元于太古而本之以上考古初实与五帝三王之建法若合符节即如史称颛帝十三年作厯以孟春之月为元是岁正月朔旦立春鸡始三号今本唐尧甲辰元载由帝挚帝喾颛顼在位年数逆推得十三年岁次己夘因以新法所定现今每年冬至时日刻分为本而加岁差以推之其年天正冬至在壬午日子正三刻三分由此起数厯小寒大寒积四十四日二时一刻十四分于正月丙寅朔旦夘初一刻二分交立春设如旧法平推虽数起冬至之刻分如一而立春乃在丁夘日午正二刻不惟与鸡始三号无涉且后天一日有四时不得在朔旦又书称武王十三年一月壬辰旁死魄癸巳于征伐商四月丁未祀庙庚戌柴望故先儒皆谓其年闰二月今遵新法加岁差推得其年天正月三十日壬戌丑初二刻十分冬至由此起数歴小寒大寒立春雨水惊蛰积八十九日零六刻五分于二月辛夘晦寅初初刻五分交春分又积闰月内春分清明三十日六时四刻二分于三月朔日辛酉申正初刻七分交榖雨若用旧法平推壬戌日丑初冬至即壬辰日午正大寒应闰十一月而不得闰二月则一月又安得有壬辰癸巳乎即此证之可知新法上同乎古法惟其实测与天合符故若昊授时先圣后圣其揆一也慨自周道伤于厉极于幽史记称申侯与犬戎攻幽王弑之于骊山犬戎尽取周赂且夺岐丰当是时宫庙黍离则虽有古传厯象玑衡亦遭燹毁而平王仓卒播迁则畴人子弟流离分散又势所不免下至春秋之世王纲日颓治厯明时之道不复讲求古法遂浸以失传矣然而日南至之纪于春秋传者若僖公丙寅岁之辛亥昭公己夘岁之己丑迄今如法推之犹可坐致且求诸列国若鲁梓慎谓火出于夏为三月于商为四月于周为五月可以见古人推筭恒星岁差之法晋史墨因十二月辛亥朔日食追数日月在辰尾庚午之日日始有谪又传纪十一月乙亥朔食讥辰在申为司厯之过可以见古人推筭日食去交分若干日时及加时在昼之法鲁祝史论日食用币因当时失闰而以六月朔为过分未至可以见古人推筭节气必测太阳实行之法传因失闰纪先王之正时必履端于始举正于中归余于终可以见古人以闰定时成岁之法绛县人自谦不知纪年而言臣生之岁正月甲子朔至其季三之一亦可以见古人岁纪甲寅日纪甲子之法凡此皆识大识小之在人者是以古法虽废犹存什一未至若暴秦之灭裂也夫秦人尽举古法而灭裂之其志在舞智以愚黔首耳越二千余年以来累代厯术渐求渐宻而余弊未殄伏遇大圣人应运以兴革弊法而维新之于是分至启闭各协其时而五气和日月星辰悉循其轨而群生遂用厘百工恪共者允矣咸熈乎庶绩用颁正朔遵行者惟曰欲至于万年此率土臣民无疆之庆也伯政素不精于厯学此集推算已往日至悉遵新法推之惟二百十六期递减二十秒之说乃从前推节气差者所未发似乎千虑之一得然非新法至精至当而周天仍如旧法多五度四分度之一且度不定为六十分分不定为六十秒日躔差仍依旧法为黄道西移而不知为恒星东行日法仍为百刻每刻不定为十五分每分不定为六十秒节仍用平推而无短长之别则曷由引伸以起悟此犹之规矩为方圆之至虽拙工用之亦可以熟思而生其明巧也要之治厯明时之道务在理明器精随时测騐追合天行非恃有定之法以御无穷之数惟以之求己然之迹尚可无差故甲子运无事实可徴但浑举其大纲而壬子运则逐回详列之名曰全史日至源流云全史日至源流卷首下
## 卷一
钦定四库全书全史日至源流卷一山东道御史许伯政撰壬子运一(每期三百六十五日二时七刻十四分十秒)冬至十四日八时三刻十四分二十秒小寒十四日八时四刻五分十秒大寒十四日九时一刻十分二十五秒立春十四日十时一刻六分二十五秒雨水十四日十一时三刻四分二十五秒惊蛰十五日零七刻零二十秒春分十五日二时三刻九分一十秒清明十五日四时零八分十秒榖雨十五日五时四刻八分十五秒立夏十五日六时七刻零二十秒小满十五日八时零三分十五秒芒种十五日八时三刻十分二十秒夏至十五日八时七刻零二十秒小暑十五日八时五刻三分二十秒大暑十五日八时零八分二十秒立秋十五日七时零十一分二十秒处暑十五日五时六刻六分二十秒白露十五日四时三刻九分二十五秒秋分十五日二时四刻十一分三十秒寒露十五日一时一刻八分二十五秒霜降十四日十一时五刻五分二十秒立冬十四日十时二刻十一分三十秒小雪十四日九时二刻十二分二十五秒大雪十四日八时五刻十分二十秒甲子年甲子月壬子朔子正初刻一分内一秒冬至日躔在室十一度之三十九分乙丑年丙子月丙午朔丁巳日卯初三刻十五分内十一秒冬至丙寅年戊子月庚子朔壬戌日午初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰丁卯年庚子月甲子朔丁卯日酉初三刻十三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊午朔壬申夜子初三刻十二分内四十一秒冬至己巳年甲子月癸丑朔戊寅日卯初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰庚午年丙子月丁丑朔癸未日午初三刻十一分内一秒冬至辛未年戊子月辛未朔戊子日酉初三刻十分内十一秒冬至壬申年庚子月乙丑朔癸巳夜子初三刻九分内二十一秒冬至 应闰癸酉年壬子月己丑朔己亥日卯初三刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月甲申朔甲辰日午初三刻七分内四十一秒冬至 应闰乙亥年丙子月戊申朔己酉日酉初三刻六分内五十一秒冬至丙子年戊子月壬寅朔甲寅夜子初三刻六分内一秒冬至丁丑年庚子月丙申朔庚申日卯初三刻五分内一十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月庚申朔乙丑日午初三刻四分内二十一秒冬至己卯年甲子月乙卯朔庚午日酉初三刻三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月己酉朔乙亥夜子初三刻二分内四十一秒冬至 应闰辛巳年戊子月癸酉朔辛巳日卯初三刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月丁卯朔丙戌日午初三刻一分内一秒冬至 应闰一章癸未年壬子月辛卯朔日酉初二刻十五分内一十一秒冬至甲申年甲子月丙戌朔丙申夜子初二刻十四分内二十一秒冬至乙酉年丙子月庚辰朔壬寅日卯初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月甲辰朔丁未日午初二刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月戊戌朔壬子日酉初二刻十一分内五十一秒冬至戊子年壬子月壬辰朔丁巳夜子初二刻十一分内一秒冬至 应闰己丑年甲子月丙辰朔癸亥日卯初二刻十分内十一秒冬至庚寅年丙子月庚戌朔戊辰日午初二刻九分内二十一秒冬至辛卯年戊子月乙巳朔癸酉日酉初二刻八分内三十一秒冬至 应闰壬辰年庚子月己巳朔戊寅夜子初二刻七分内四十一秒冬至癸巳年壬子月癸亥朔甲申日卯初二刻六分内五十一秒冬至 应闰甲子年至此十一闰一纪甲午年甲子月丁亥朔己丑日午初二刻六分内一秒冬至乙未年丙子月壬午朔甲午日酉初二刻五分内一十一秒冬至丙申年戊子月丙子朔己亥夜子初二刻四分内二十一秒冬至 应閠丁酉年庚子月庚子朔乙巳日卯初二刻三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲午朔庚戌日午初二刻二分内四十一秒冬至己亥年甲子月戊子朔乙卯日酉初二刻一分内五十一秒冬至 应闰庚子年丙子月壬子朔庚申夜子初二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丙午朔丙寅日卯初一刻十五分内一十一秒冬至 应闰二章壬寅年庚子月庚午朔辛未日午初一刻十四分内二十一秒冬至癸卯年壬子月乙丑朔丙子日酉初一刻十三分内三十一秒冬至甲辰年甲子月己未朔辛巳夜子初一刻十二分内四十一秒冬至 应闰乙巳年丙子月癸未朔丁亥日卯初一刻十一分内五十一秒冬至丙午年戊子月戊寅朔壬辰日午初一刻十一分内一秒冬至丁未年庚子月壬申朔丁酉日酉初一刻十分内一十一秒冬至 应闰戊申年壬子月丙申朔壬寅夜子初一刻九分内二十一秒冬至己酉年甲子月庚寅朔戊申日卯初一刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲申朔癸丑日午初一刻七分内四十一秒冬至 应闰辛亥年戊子月戊申朔戊午日酉初一刻六分内五十一秒冬至壬子年庚子月癸卯朔癸亥夜子初一刻六分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月丁卯朔己巳日卯初一刻五分内一十一秒冬至甲寅年甲子月辛酉朔甲戌日午初一刻四分内二十一秒冬至乙卯年丙子月丙辰朔己卯日酉初一刻三分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月庚辰朔甲申夜子初一刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月甲戌朔庚寅日卯初一刻一分内五十一秒冬至戊午年壬子月戊辰朔乙未日午初一刻一分内一秒冬至 应闰己未年甲子月壬辰朔庚子日酉初初刻十五分内一十一秒冬至庚申年丙子月丙戌朔乙巳夜子初初刻十四分内二十一秒冬至 应闰三章辛酉年戊子月庚戌朔辛亥日卯初初刻十三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月乙巳朔丙辰日午初初刻十二分内四十一秒冬至癸亥年壬子月己亥朔辛酉日酉初初刻十一分内五十一秒冬至 应闰甲午年至此十一闰又一纪甲子年甲子月癸亥朔丙寅夜子初初刻十一分内一秒冬至乙丑年丙子月丁巳朔壬申日卯初初刻十分内一十一秒冬至丙寅年戊子月壬子朔丁丑日午初初刻九分内二十一秒冬至 应闰丁卯年庚子月丙子朔壬午日酉初初刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚午朔丁亥夜子初初刻七分内四十一秒冬至己巳年甲子月甲子朔癸巳日卯初初刻六分内五十一秒冬至 应闰庚午年丙子月戊子朔戊戌日午初初刻六分内一秒冬至辛未年戊子月癸未朔癸卯日酉初初刻五分内一十一秒冬至 应闰壬申年庚子月丁未朔戊申夜子初初刻四分内二十一秒冬至癸酉年壬子月辛丑朔甲寅日卯初初刻三分内三十一秒冬至甲戌年甲子月乙未朔己未日午初初刻二分内四十一秒冬至 应闰乙亥年丙子月己未朔甲子日酉初初刻一分内五十一秒冬至丙子年戊子月甲寅朔己巳夜子初初刻一分内一秒冬至日躔在室十度之三十九分丁丑年庚子月戊申朔乙亥日寅正三刻十五分内一十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月壬申朔庚辰日巳正三刻十四分内二十一秒冬至己卯年甲子月丙寅朔乙酉日申正三刻十三分内三十一秒冬至 应闰四章庚辰年丙子月庚寅朔日亥正三刻十二分内四十一秒冬至辛巳年戊子月甲申朔丙申日寅正三刻十一分内五十一秒冬至壬午年庚子月戊寅朔辛丑日巳正三刻十一分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月壬寅朔丙午日申正三刻十分内一十一秒冬至甲甲年甲子月丁酉朔辛亥日亥正三刻九分内二十一秒冬至乙酉年丙子月辛卯朔丁巳日寅正三刻八分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月乙卯朔壬戌日巳正三刻七分内四十一秒冬至丁亥年庚子月庚戌朔丁卯日申正三刻六分内五十一秒冬至戊子年壬子月甲辰朔壬申日亥正三刻六分内一秒冬至 应闰己丑年申子月戊辰朔戊寅日寅正三刻五分内一十一秒冬至庚寅年丙子月壬戌朔癸未日巳正三刻四分内二十一秒冬至 应闰辛卯年戊子月丙戌朔戊子日申正三刻三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚辰朔癸巳日亥正三刻二分内四十一秒冬至癸巳年壬子月乙亥朔己亥日寅正三刻一分内五十一秒冬至 应闰甲子年至此十一闰又一纪甲午年甲子月己亥朔甲辰日巳正三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月癸巳朔己酉日申正二刻十五分内一十一秒冬至丙申年戊子月丁亥朔甲寅日亥正二刻十四分内二十一秒冬至 应闰丁酉年庚子月辛亥朔庚申日寅正二刻十三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月乙巳朔乙丑日巳正二刻十二分内四十一秒冬至 应闰五章己亥年甲子月己巳朔庚午日申正二刻十一分内五十一秒冬至庚子年丙子月甲子朔乙亥日亥正二刻十一分内一秒冬至辛丑年戊子月己未朔辛巳日寅正二刻十分内一十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月癸未朔丙戌日巳正二刻九分内二十一秒冬至癸卯年壬子月丁丑朔辛卯日申正二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛未朔丙申日亥正二刻七分内四十一秒冬至 应闰乙巳年丙子月乙未朔壬寅日寅正二刻六分内五十一秒冬至丙午年戊子月己丑朔丁未日巳正二刻六分内一秒冬至丁未年庚子月甲申朔壬子日申正二刻五分内一十一秒冬至 应闰戊申年壬子月戊申朔丁巳日亥正二刻四分内二十一秒冬至己酉年甲子月壬寅朔癸亥日寅正二刻三分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月丙寅朔戊辰日巳正二刻二分内四十一秒冬至辛亥年戊子月庚申朔癸酉日申正二刻一分内五十一秒冬至壬子年庚子月甲寅朔戊寅日亥正二刻一分内一秒冬至应闰癸丑年壬子月戊寅朔甲申日寅正一刻十五分内一十一秒冬至甲寅年甲子月癸酉朔己丑日巳正一刻十四分内二十一秒冬至乙卯年丙子月丁卯朔甲午日申正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月辛卯朔己亥日亥正一刻十二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月乙酉朔乙巳日寅正一刻十一分内五十一秒冬至 应闰六章戊午年壬子月己酉朔庚戌日巳正一刻十一分内一秒冬至己未年甲子月甲辰朔乙卯日申正一刻十分内一十一秒冬至庚申年丙子月戊戌朔庚申日亥正一刻九分内二十一秒冬至 应闰辛酉年戊子月壬戌朔丙寅日寅正一刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丁巳朔辛未日巳正一刻七分内四十一秒冬至癸亥年壬子月辛亥朔丙子日申正一刻六分内五十一秒冬至 应闰甲午年至此十一闰又一纪甲子年甲子月乙亥朔辛巳日亥正一刻六分内一秒冬至乙丑年丙子月己巳朔丁亥日寅正一刻五分内一十一秒冬至丙寅年戊子月甲子朔壬辰日巳正一刻四分内二十一秒冬至 应闰丁卯年庚子月戊子朔丁酉日申正一刻三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月壬午朔壬寅日亥正一刻二分内四十一秒冬至 应闰己巳年甲子月丙午朔戊申日寅正一刻一分内五十一秒冬至庚午年丙子月庚子朔癸丑日巳正一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月甲午朔戊午日申正初刻十五分内一十一秒冬至 应闰壬申年庚子月戊午朔癸亥日亥正初刻十四分内二十一秒冬至癸酉年壬子月癸丑朔己巳日寅正初刻十三分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丁未朔甲戌日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 应闰乙亥年丙子月辛未朔己卯日申正初刻十一分内五十一秒冬至丙子年戊子月乙丑朔甲申日亥正初刻十一分内一秒冬至 应闰七章丁丑年庚子月己丑朔庚寅日寅正初刻十分内一十一秒冬至戊寅年壬子月甲申朔乙未日巳正初刻九分内二十一秒冬至己卯年甲子月戊寅朔庚子日申正初刻八分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月壬寅朔乙巳日亥正初刻七分内四十一秒冬至辛巳年戊子月丙申朔辛亥日寅正初刻六分内五十一秒冬至壬午年庚子月辛卯朔丙辰日巳正初刻六分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月乙卯朔辛酉日申正初刻五分内一十一秒冬至甲申年甲子月己酉朔丙寅日亥正初刻四分内二十一秒冬至乙酉年丙子月癸卯朔壬申日寅正初刻三分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月丁卯朔丁丑日巳正初刻二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月辛酉朔壬午日申正初刻一分内五十一秒冬至 应闰戊子年壬子月乙酉朔丁亥日亥正初刻一分内一秒冬至日躔在室九度之三十九分己丑年甲子月庚辰朔癸巳日寅初三刻十五分内一十一秒冬至庚寅年丙子月甲戌朔戊戌日巳初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰辛卯年戊子月戊戌朔癸卯日申初三刻十三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月癸巳朔戊申日亥初三刻十二分内四十一秒冬至癸巳年壬子月丁亥朔甲寅日寅初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰甲子年至此十一闰又一纪甲午年甲子月辛亥朔己未日巳初三刻十一分内一秒冬至乙未年丙子月乙巳朔甲子日申初三刻十分内一十一秒冬至 应闰八章丙申年戊子月己巳朔日亥初三刻九分内二十一秒冬至丁酉年庚子月癸亥朔乙亥日寅初三刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月戊午朔庚辰日巳初三刻七分内四十一秒冬至 应闰己亥年甲子月壬午朔乙酉日申初三刻六分内五十一秒冬至庚子年丙子月丙子朔庚寅日亥初三刻六分内一秒冬至辛丑年戊子月庚午朔丙申日寅初三刻五分内一十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月甲午朔辛丑日巳初三刻四分内二十一秒冬至癸卯年壬子月戊子朔丙午日申初三刻三分内三十一秒冬至甲辰年甲子月癸未朔辛亥日亥初三刻二分内四十一秒冬至 应闰乙巳年丙子月丁未朔丁巳日寅初三刻一分内五十一秒冬至丙午年戊子月辛丑朔壬戌日巳初三刻一分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月乙丑朔丁卯日申初二刻十五分内一十一秒冬至戊申年壬子月庚申朔壬申日亥初二刻十四分内二十一秒冬至己酉年甲子月甲寅朔戊寅日寅初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月戊寅朔癸未日巳初二刻十二分内四十一秒冬至辛亥年戊子月壬申朔戊子日申初二刻十一分内五十一秒冬至壬子年庚子月丙寅朔癸巳日亥初二刻十一分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月庚寅朔己亥日寅初二刻十分内一十一秒冬至甲寅年甲子月甲申朔甲辰日巳初二刻九分内二十一秒冬至 应闰九章乙卯年丙子月戊申朔己酉日申初二刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月癸卯朔甲寅日亥初二刻七分内四十一秒冬至丁巳年庚子月戊戌朔庚申日寅初二刻六分内五十一秒冬至 应闰戊午年壬子月壬戌朔乙丑日巳初二刻六分内一秒冬至己未年甲子月丙辰朔庚午日申初二刻五分内一十一秒冬至庚申年丙子月庚戌朔乙亥日亥初二刻四分内二十一秒冬至 应闰辛酉年戊子月甲戌朔辛巳日寅初二刻三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月戊辰朔丙戌日巳初二刻二分内四十一秒冬至癸亥年壬子月癸亥朔辛卯日申初二刻一分内五十一秒冬至 应闰甲午年至此十一闰又一纪甲子三周甲子年甲子月丁亥朔丙申日亥初二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月辛巳朔壬寅日寅初一刻十五分内一十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月乙巳朔丁未日巳初一刻十四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月己亥朔壬子日申初一刻十三分内三十一秒冬至戊辰年壬子月甲午朔丁巳日亥初一刻十二分内四十一秒冬至 应闰己巳年甲子月戊午朔癸亥日寅初一刻十一分内五十一秒冬至庚午年丙子月壬子朔戊辰日巳初一刻十一分内一秒冬至辛未年戊子月丙午朔癸酉日申初一刻十分内一十一秒冬至 应闰壬申年庚子月庚午朔戊寅日亥初一刻九分内二十一秒冬至癸酉年壬子月甲子朔甲申日寅初一刻八分内三十一秒冬至 应闰十章甲戌年甲子月戊子朔己丑日巳初一刻七分内四十一秒冬至乙亥年丙子月癸未朔甲午日申初一刻六分内五十一秒冬至丙子年戊子月丁丑朔己亥日亥初一刻六分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月辛丑朔乙巳日寅初一刻五分内一十一秒冬至戊寅年壬子月丙申朔庚戌日巳初一刻四分内二十一秒冬至己卯年甲子月庚寅朔乙卯日申初一刻三分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月甲寅朔庚申日亥初一刻二分内四十一秒冬至辛巳年戊子月戊申朔丙寅日寅初一刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月壬寅朔辛未日巳初一刻一分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月丙寅朔丙子日申初初刻十五分内一十一秒冬至甲申年甲子月辛酉朔辛巳日亥初初刻十四分内二十一秒冬至 应闰乙酉年丙子月乙酉朔丁亥日寅初初刻十三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月己卯朔壬辰日巳初初刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月癸酉朔丁酉日申初初刻十一分内五十一秒冬至 应闰戊子年壬子月丁酉朔壬寅日亥初初刻十一分内一秒冬至己丑年甲子月壬辰朔戊申日寅初初刻十分内一十一秒冬至庚寅年丙子月丙戌朔癸丑日巳初初刻九分内二十一秒冬至 应闰辛卯年戊子月庚戌朔戊午日申初初刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月甲辰朔癸亥日亥初初刻七分内四十一秒冬至 应闰十一章甲子年至此十一闰又一纪缩一年下起癸巳癸巳年壬子月戊辰朔己巳日寅初初刻六分内五十一秒冬至甲午年甲子月癸亥朔甲戌日巳初初刻六分内一秒冬至乙未年丙子月丁巳朔己卯日申初初刻五分内一十一秒冬至 应闰丙申年戊子月辛巳朔甲申日亥初初刻四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月乙亥朔庚寅日寅初初刻三分内三十一秒冬至戊戌年壬子月己巳朔乙未日巳初初刻二分内四十一秒冬至 应闰己亥年甲子月癸巳朔庚子日申初初刻一分内五十一秒冬至全史日至源流卷一
## 卷二
钦定四库全书全史日至源流卷二山东道御史许伯政撰壬子运二(每期三百六十五日二时七刻十三分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十九秒一十微小寒十四日八时四刻五分零九秒一十微大寒十四日九时一刻十分二十四秒一十微立春十四日十时一刻六分二十四秒一十微雨水十四日十一时三刻四分二十四秒一十微惊蛰十五日零七刻零一十九秒一十微春分十五日二时三刻九分九秒一十微清明十五日四时零八分零九秒一十微榖雨十五日五时四刻八分十四秒一十微立夏十五日六时七刻零十九秒一十微小满十五日八时零三分十四秒一十微芒种十五日八时三刻十分十九秒一十微夏至十五日八时七刻零十九秒一十微小暑十五日八时五刻三分一十九秒一十微大暑十五日八时零八分一十九秒一十微立秋十五日七时零十一分一十九秒一十微处暑十五日五时六刻六分十九秒一十微白露十五日四时三刻九分二十四秒一十微秋分十五日二时四刻十一分二十九秒一十微寒露十五日一时一刻八分二十四秒一十微霜降十四日十一时五刻五分一十九秒一十微立冬十四日十时二刻十一分二十九秒一十微小雪十四日九时二刻十二分二十四秒一十微大雪十四日八时五刻十分一十九秒一十微庚子年丙子月戊子朔乙巳日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在室八度之三十九分辛丑年戊子月壬午朔辛亥日丑正三刻十四分内五十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月丙午朔丙辰日辰正三刻十三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月庚子朔辛酉日未正三刻十二分内三十一秒冬至 应闰甲辰年甲子月甲子朔丙寅日戌正三刻十一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月己未朔壬申日丑正三刻十分内一十一秒冬至丙午年戊子月癸丑朔丁丑日辰正三刻九分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月丁丑朔壬午日未正三刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月辛未朔丁亥日戌正三刻六分内四十一秒冬至己酉年甲子月乙丑朔癸巳日丑正三刻五分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月己丑朔戊戌日辰正三刻四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月癸未朔癸卯日未正三刻三分内一十一秒冬至 应闰十二章壬子年庚子月丁未朔戊申日戌正三刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月壬寅朔甲寅日丑正二刻十五分内五十一秒冬至甲寅年甲子月丙申朔己未日辰正二刻十四分内四十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月庚申朔甲子日未正二刻十三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月乙卯朔己巳日戌正二刻十二分内二十一秒冬至丁巳年庚子月己酉朔乙亥日丑正二刻十一分内一十一秒冬至 应闰戊午年壬子月癸酉朔庚辰日辰正二刻十分内一秒冬至己未年甲子月丁卯朔乙酉日未正二刻八分内五十一秒冬至庚申年丙子月壬戌朔庚寅日戌正二刻七分内四十一秒冬至 应闰辛酉年戊子月丙戌朔丙申日丑正二刻六分内三十一秒冬至壬戌年庚子月庚辰朔辛丑日辰正二刻五分内二十一秒冬至 应闰癸巳年至此十一闰一纪癸亥年壬子月甲辰朔丙午日未正二刻四分内一十一秒冬至甲子年甲子月戊戌朔辛亥日戌正二刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月壬辰朔丁巳日丑正二刻一分内五十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月丙辰朔壬戌日辰正一刻十五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月庚戌朔丁卯日未正一刻十四分内三十一秒冬至戊辰年壬子月乙巳朔壬申日戌正一刻十三分内二十一秒冬至 应闰己巳年甲子月己巳朔戊寅日丑正一刻十二分内一十一秒冬至庚午年丙子月癸亥朔癸未日辰正一刻十一分内一秒冬至 应闰十三章辛未年戊子月丁亥朔戊子日未正一刻九分内五十一秒冬至壬申年庚子月壬午朔癸巳日戌正一刻八分内四十一秒冬至癸酉年壬子月丙子朔己亥日丑正一刻七分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月庚子朔甲辰日辰正一刻六分内二十一秒冬至乙亥年丙子月甲午朔己酉日未正一刻五分内一十一秒冬至丙子年戊子月戊子朔甲寅日戌正一刻四分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月壬子朔庚申日丑正一刻二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月丁未朔乙丑日辰正一刻一分内四十一秒冬至己卯年甲子月辛丑朔庚午日未正初刻十五分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月乙丑朔乙亥日戌正初刻十四分内二十一秒冬至辛巳年戊子月己未朔辛巳日丑正初刻十三分内一十一秒冬至 应闰壬午年庚子月癸未朔丙戌日辰正初刻十二分内一秒冬至癸未年壬子月丁丑朔辛卯日未正初刻十分内五十一秒冬至甲甲年甲子月辛未朔丙申日戌正初刻九分内四十一秒冬至 应闰乙酉年丙子月乙未朔壬寅日丑正初刻八分内三十一秒冬至丙戌年戊子月庚寅朔丁未日辰正初刻七分内二十一秒冬至丁亥年庚子月乙酉朔壬子日未正初刻六分内一十一秒冬至 应闰戊子年壬子月己酉朔丁巳日戌正初刻五分内一秒冬至己丑年甲子月癸卯朔癸亥日丑正初刻三分内五十一秒冬至 应闰十四章庚寅年丙子月丁卯朔戊辰日辰正初刻二分内四十一秒冬至辛卯年戊子月辛酉朔癸酉日未正初刻一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月乙卯朔戊寅日戌初三刻十五分内二十一秒冬至 应闰癸亥年至此十一闰又一纪癸巳年壬子月己卯朔甲申日丑初三刻十四分内一十一秒冬至甲午年甲子月甲戌朔己丑日辰初三刻十三分内一秒冬至乙未年丙子月戊辰朔甲午日未初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰丙申年戊子月壬辰朔己亥日戌初三刻十分内四十一秒冬至丁酉年庚子月丁亥朔乙巳日丑初三刻九分内三十一秒冬至戊戌年壬子月辛巳朔庚戌日辰初三刻八分内二十一秒冬至 应闰己亥年甲子月乙巳朔乙卯日未初三刻七分内一十一秒冬至庚子年丙子月己亥朔庚申日戌初三刻六分内一秒冬至 应闰辛丑年戊子月癸亥朔丙寅日丑初三刻四分内五十一秒冬至壬寅年庚子月戊午朔辛未日辰初三刻三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月壬子朔丙子日未初三刻二分内三十一秒冬至 应闰甲辰年甲子月丙子朔辛巳日戌初三刻一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月庚午朔丁亥日丑初二刻十五分内一十一秒冬至丙午年戊子月甲子朔壬辰日辰初二刻十四分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月戊子朔丁酉日未初二刻十二分内五十一秒冬至戊申年壬子月癸未朔壬寅日戌初二刻十一分内四十一秒冬至 应闰十五章己酉年甲子月丁未朔戊申日丑初二刻十分内三十一秒冬至庚戌年丙子月辛丑朔癸丑日辰初二刻九分内二十一秒冬至辛亥年戌子月乙未朔戊午日未初二刻八分内一十一秒冬至 应闰壬子年庚子月己未朔癸亥日戌初二刻七分内一秒冬至日躔在室七度之三十九分癸丑年壬子月甲寅朔己巳日丑初二刻五分内五十一秒冬至甲寅年甲子月戊申朔甲戌日辰初二刻四分内四十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月壬申朔己卯日未初二刻三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月丁卯朔甲申日戌初二刻二分内二十一秒冬至丁巳年庚子月辛酉朔庚寅日丑初二刻一分内一十一秒冬至 应闰戊午年壬子月乙酉朔乙未日辰初一刻十五分内一秒冬至己未年甲子月己卯朔庚子日未初一刻十三分内五十一秒冬至 应闰庚申年丙子月癸卯朔乙巳日戌初一刻十二分内四十一秒冬至辛酉年戊子月丁酉朔辛亥日丑初一刻十一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月壬辰朔丙辰日辰初一刻十分内二十一秒冬至 应闰癸巳年至此十一闰又一纪癸亥年壬子月丙辰朔辛酉日未初一刻九分内一十一秒冬至甲子年甲子月庚戌朔丙寅日戌初一刻八分内一秒冬至乙丑年丙子月甲辰朔壬申日丑初一刻六分内五十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月戊辰朔丁丑日辰初一刻五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月壬戌朔壬午日未初一刻四分内三十一秒冬至 应闰十六章戊辰年壬子月丙戌朔丁亥日戌初一刻三分内二十一秒冬至己巳年甲子月辛巳朔癸巳日丑初一刻二分内一十一秒冬至庚午年丙子月乙亥朔戊戌日辰初一刻一分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月己亥朔癸卯日未初初刻十四分内五十一秒冬至壬申年庚子月甲午朔戊申日戌初初刻十三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月戊子朔甲寅日丑初初刻十二分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月壬子朔己未日辰初初刻十一分内二十一秒冬至乙亥年丙子月丙午朔甲子日未初初刻十分内一十一秒冬至丙子年戊子月辛丑朔己巳日戌初初刻九分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月乙丑朔乙亥日丑初初刻七分内五十一秒冬至戊寅年壬子月己未朔庚辰日辰初初刻六分内四十一秒冬至 应闰己卯年甲子月癸未朔乙酉日未初初刻五分内三十一秒冬至庚辰年丙子月丁丑朔庚寅日戌初初刻四分内二十一秒冬至辛巳年戊子月辛未朔丙申日丑初初刻三分内一十一秒冬至 应闰壬午年庚子月乙未朔辛丑日辰初初刻二分内一秒冬至癸未年壬子月庚寅朔丙午日午正三刻十五分内五十一秒冬至甲申年甲子月甲申朔辛亥日酉正三刻十四分内四十一秒冬至 应闰乙酉年丙子月戊申朔丁巳日子正三刻十三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月壬寅朔壬戌日卯正三刻十二分内二十一秒冬至 应闰十七章丁亥年庚子月丙寅朔丁卯日午正三刻十一分内一十一秒冬至戊子年壬子月辛酉朔壬申日酉正三刻十分内一秒冬至己丑年甲子月乙卯朔戊寅日子正三刻八分内五十一秒冬至 应闰庚寅年丙子月己卯朔癸未日卯正三刻七分内四十一秒冬至辛卯年戊子月甲戌朔戊子日午正三刻六分内三十一秒冬至壬辰年庚子月戊辰朔癸巳日酉正三刻五分内二十一秒冬至 应闰癸亥年至此十一闰又一纪癸巳年壬子月壬辰朔己亥日子正三刻四分内一十一秒冬至甲午年甲子月丙戌朔甲辰日卯正三刻三分内一秒冬至乙未年丙子月辛巳朔己酉日午正三刻一分内五十一秒冬至 应闰丙申年戊子月乙巳朔甲寅日酉正二刻十五分内四十一秒冬至丁酉年庚子月己亥朔庚申日子正二刻十四分内三十一秒冬至 应闰戊戌年壬子月癸亥朔乙丑日卯正二刻十三分内二十一秒冬至己亥年甲子月丁巳朔庚午日午正二刻十二分内一十一秒冬至庚子年丙子月辛亥朔乙亥日酉正二刻十一分内一秒冬至 应闰辛丑年戊子月乙亥朔辛巳日子正二刻九分内五十一秒冬至壬寅年庚子月己巳朔丙戌日卯正二刻八分内四十一秒冬至癸卯年壬子月甲子朔辛卯日午正二刻七分内三十一秒冬至 应闰甲辰年甲子月戊子朔丙申日酉正二刻六分内二十一秒冬至乙巳年丙子月壬午朔壬寅日子正二刻五分内一十一秒冬至 应闰十八章丙午年戊子月丙午朔丁未日卯正二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月辛丑朔壬子日午正二刻二分内五十一秒冬至戊申年壬子月丙申朔丁巳日酉正二刻一分内四十一秒冬至 应闰己酉年甲子月庚申朔癸亥日子正一刻十五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲寅朔戊辰日卯正一刻十四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月戊申朔癸酉日午正一刻十三分内一十一秒冬至 应闰壬子年庚子月壬申朔戊寅日酉正一刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月丙寅朔甲申日子正一刻十分内五十一秒冬至甲寅年甲子月辛酉朔己丑日卯正一刻九分内四十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月乙酉朔甲午日午正一刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月己卯朔己亥日酉正一刻七分内二十一秒冬至 应闰丁巳年庚子月癸卯朔乙巳日子正一刻六分内一十一秒冬至戊午年壬子月丁酉朔庚戌日卯正一刻五分内一秒冬至己未年甲子月壬辰朔乙卯日午正一刻三分内五十一秒冬至 应闰庚申年丙子月丙辰朔庚申日酉正一刻二分内四十一秒冬至辛酉年戊子月庚戌朔丙寅日子正一刻一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月甲辰朔辛未日卯正初刻十五分内二十一秒冬至 应闰癸巳年至此十一闰又一纪癸亥年壬子月戊辰朔丙子日午正初刻十四分内一十一秒冬至甲子年甲子月壬戌朔辛巳日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在室六度之三十九分 应闰十九章乙丑年丙子月丙戌朔丁亥日子正初刻十一分内五十一秒冬至丙寅年戊子月辛巳朔壬辰日卯正初刻十分内四十一秒冬至丁卯年庚子月乙亥朔丁酉日午正初刻九分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月己亥朔壬寅日酉正初刻八分内二十一秒冬至己巳年甲子月甲午朔戊申日子正初刻七分内一十一秒冬至庚午年丙子月戊子朔癸丑日卯正初刻六分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月壬子朔戊午日午正初刻四分内五十一秒冬至壬申年庚子月丙午朔癸亥日酉正初刻三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月庚子朔己巳日子正初刻二分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月甲子朔甲戌日卯正初刻一分内二十一秒冬至乙亥年丙子月戊午朔己卯日午初三刻十五分内一十一秒冬至 应闰丙子年戊子月壬午朔甲申日酉初三刻十四分内一秒冬至丁丑年庚子月丁丑朔己丑夜子初三刻十二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月辛未朔乙未日卯初三刻十一分内四十一秒冬至 应闰己卯年甲子月乙未朔庚子日午初三刻十分内三十一秒冬至庚辰年丙子月庚寅朔乙巳日酉初三刻九分内二十一秒冬至辛巳年戊子月甲申朔庚戌夜子初三刻八分内一十一秒冬至 应闰壬午年庚子月戊申朔丙辰日卯初三刻七分内一秒冬至癸未年壬子月壬寅朔辛酉日午初三刻五分内五十一秒冬至 应闰二十章甲申年甲子月丙寅朔日酉初三刻四分内四十一秒冬至乙酉年丙子月庚申朔辛未夜子初三刻三分内三十一秒冬至丙戌年戊子月甲寅朔丁丑日卯初三刻二分内二十一秒冬至 应闰丁亥年庚子月戊寅朔壬午日午初三刻一分内一十一秒冬至戊子年壬子月癸酉朔丁亥日酉初二刻十五分内一秒冬至己丑年甲子月丁卯朔壬辰夜子初二刻十三分内五十一秒冬至 应闰庚寅年丙子月辛卯朔戊戌日卯初二刻十二分内四十一秒冬至辛卯年戊子月丙戌朔癸卯日午初二刻十一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚辰朔戊申日酉初二刻十分内二十一秒冬至 应闰癸亥年至此十一闰又一纪癸巳三周癸巳年壬子月甲辰朔癸丑夜子初二刻九分内一十一秒冬至甲午年甲子月戊戌朔己未日卯初二刻八分内一秒冬至 应闰乙未年丙子月壬戌朔甲子日午初二刻六分内五十一秒冬至丙申年戊子月丙辰朔己巳日酉初二刻五分内四十一秒冬至丁酉年庚子月辛亥朔甲戌夜子初二刻四分内三十一秒冬至 应闰戊戌年壬子月乙亥朔庚辰日卯初二刻三分内二十一秒冬至己亥年甲子月己巳朔乙酉日午初二刻二分内一十一秒冬至庚子年丙子月癸亥朔庚寅日酉初二刻一分内一秒冬至 应闰辛丑年戊子月丁亥朔乙未夜子初一刻十四分内五十一秒冬至壬寅年庚子月壬午朔辛丑日卯初一刻十三分内四十一秒冬至 应闰二十一章癸卯年壬子月丙午朔日午初一刻十二分内三十一秒冬至甲辰年甲子月庚子朔辛亥日酉初一刻十一分内二十一秒冬至乙巳年丙子月乙未朔丙辰夜子初一刻十分内一十一秒冬至 应闰丙午年戊子月己未朔壬戌日卯初一刻九分内一秒冬至丁未年庚子月癸丑朔丁卯日午初一刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月丁未朔壬申日酉初一刻六分内四十一秒冬至 应闰己酉年甲子月辛未朔丁丑夜子初一刻五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月乙丑朔癸未日卯初一刻四分内二十一秒冬至辛亥年戊子月庚申朔戊子日午初一刻三分内一十一秒冬至 应闰壬子年庚子月甲申朔癸巳日酉初一刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月戊寅朔戊戌夜子初初刻十五分内五十一秒冬至 应闰甲寅年甲子月壬寅朔甲辰日卯初初刻十四分内四十一秒冬至乙卯年丙子月丙申朔己酉日午初初刻十三分内三十一秒冬至丙辰年戊子月庚寅朔甲寅日酉初初刻十二分内二十一秒冬至 应闰丁巳年庚子月甲寅朔己未夜子初初刻十一分内一十一秒冬至戊午年壬子月戊申朔乙丑日卯初初刻十分内一秒冬至己未年甲子月癸卯朔庚午日午初初刻八分内五十一秒冬至 应闰庚申年丙子月丁卯朔乙亥日酉初初刻七分内四十一秒冬至辛酉年戊子月辛酉朔庚辰夜子初初刻六分内三十一秒冬至 应闰二十二章癸巳年至此十一闰一纪缩一年起壬戌壬戌年庚子月乙酉朔丙戌日卯初初刻五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月庚辰朔辛卯日午初初刻四分内一十一秒冬至甲子年甲子月甲戌朔丙申日酉初初刻三分内一秒冬至 应闰乙丑年丙子月戊戌朔辛丑夜子初初刻一分内五十一秒冬至丙寅年戊子月壬辰朔丁未日寅正三刻十五分内四十一秒冬至丁卯年庚子月丙戌朔壬子日巳正三刻十四分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月庚戌朔丁巳日申正三刻十三分内二十一秒冬至己巳年甲子月乙巳朔壬戌日亥正三刻十二分内一十一秒冬至庚午年丙子月己亥朔戊辰日寅正三刻十一分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月癸亥朔癸酉日巳正三刻九分内五十一秒冬至壬申年庚子月丁巳朔戊寅日申正三刻八分内四十一秒冬至 应闰癸酉年壬子月辛巳朔癸未日亥正三刻七分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丙子朔己丑日寅正三刻六分内二十一秒冬至乙亥年丙子月庚午朔甲午日巳正三刻五分内一十一秒冬至 应闰全史日至源流卷二
## 卷三
钦定四库全书全史日至源流卷三山东道御史许伯政撰壬子运三(每期三百六十五日二时七刻十三分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十八秒二十微小寒十四日八时四刻五分零八秒二十微大寒十四日九时一刻十分二十三秒二十微立春十四日十时一刻六分二十三秒二十微雨水十四日十一时三刻四分二十三秒二十微惊蛰十五日零七刻零一十八秒二十微春分十五日二时三刻九分八秒二十微清明十五日四时零八分零八秒二十微榖雨十五日五时四刻八分十三秒二十微立夏十五日六时七刻零一十八秒二十微小满十五日八时零三分一十三秒二十微芒种十五日八时三刻十分一十八秒二十微夏至十五日八时七刻零一十八秒二十微小暑十五日八时五刻三分一十八秒二十微大暑十五日八时零八分一十八秒二十微立秒十五日七时零十一分一十八秒二十微处暑十五日五时六刻六分十八秒二十微白露十五日四时三刻九分二十三秒二十微秋分十五日二时四刻十一分二十八秒二十微寒露十五日一时一刻八分二十三秒二十微霜降十四日十一时五刻五分一十八秒二十微立冬十四日十时二刻十一分二十八秒二十微小雪十四日九时二刻十二分二十三秒二十微大雪十四日八时五刻十分一十八秒二十微丙子年戊子月甲午朔己亥日申正三刻四分内一秒冬至日躔在室五度之三十九分丁丑年庚子月戊子朔甲辰日亥正三刻二分内三十一秒冬至戊寅年壬子月壬午朔庚戌日寅正三刻一分内一秒冬至 应闰己卯年甲子月丙午朔乙卯日巳正二刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月辛丑朔庚申日申正二刻十三分内一秒冬至 应闰二十三章辛巳年戊子月乙丑朔日亥正二刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月己未朔辛未日寅正二刻十分内一秒冬至癸未年壬子月甲寅朔丙子日巳正二刻八分内三十一秒冬至 应闰甲申年甲子月戊寅朔辛巳日申正二刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月壬申朔丙戌日亥正二刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月丙寅朔壬辰日寅正二刻四分内一秒冬至 应闰丁亥年庚子月庚寅朔丁酉日巳正二刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月甲申朔壬寅日申正二刻一分内一秒冬至己丑年甲子月己卯朔丁未日亥正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚寅年丙子月癸卯朔癸丑日寅正一刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月丁酉朔戊午日巳正一刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬戌年至此十一闰为一纪壬辰年庚子月辛酉朔癸亥日申正一刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月乙卯朔戊辰日亥正一刻八分内三十一秒冬至甲午年甲子月己酉朔甲戌日寅正一刻七分内一秒冬至 应闰乙未年丙子月癸酉朔己卯日巳正一刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月戊辰朔甲申日申正一刻四分内一秒冬至丁酉年庚子月壬戌朔己丑日亥正一刻二分内三十一秒冬至 应闰戊戌年壬子月丙戌朔乙未日寅正一刻一分内一秒冬至己亥年甲子月辛巳朔庚子日巳正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰二十四章庚子年丙子月乙巳朔日申正初刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月己亥朔庚戌日亥正初刻十一分内三十一秒冬至壬寅年庚子月癸巳朔丙辰日寅正初刻十分内一秒冬至 应闰癸卯年壬子月丁巳朔辛酉日巳正初刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛亥朔丙寅日申正初刻七分内一秒冬至乙巳年丙子月丙午朔辛未日亥正初刻五分内三十一秒冬至 应闰丙午年戊子月庚午朔丁丑日寅正初刻四分内一秒冬至丁未年庚子月甲子朔壬午日巳正初刻二分内三十一秒冬至戊申年壬子月己未朔丁亥日申正初刻一分内一秒冬至 应闰己酉年甲子月癸未朔壬辰日亥初三刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丁丑朔戊戌日寅初三刻十三分内一秒冬至 应闰辛亥年戊子月辛丑朔癸卯日巳初三刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月乙未朔戊申日申初三刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月己丑朔癸丑日亥初三刻八分内三十一秒冬至 应闰甲寅年甲子月癸丑朔己未日寅初三刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月戊申朔甲子日巳初三刻五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月壬寅朔己巳日申初三刻四分内一秒冬至 应闰丁巳年庚子月丙寅朔甲戌日亥初三刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月庚申朔庚辰日寅初三刻一分内一秒冬至 应闰二十五章己未年甲子月甲申朔乙酉日巳初二刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月己卯朔庚寅日申初二刻十三分内一秒冬至辛酉年戊子月癸酉朔乙未日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬辰年至此十一闰又一纪壬戌年庚子月丁酉朔辛丑日寅初二刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月辛卯朔丙午日巳初二刻八分内三十一秒冬至甲子年甲子月乙酉朔辛亥日申初二刻七分内一秒冬至 应闰乙丑年丙子月己酉朔丙辰日亥初二刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月甲辰朔壬戌日寅初二刻四分内一秒冬至丁卯年庚子月己亥朔丁卯日巳初二刻二分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月癸亥朔壬申日申初二刻一分内一秒冬至己巳年甲子月丁巳朔丁丑日亥初一刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚午年丙子月辛巳朔癸未日寅初一刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月乙亥朔戊子日巳初一刻十一分内三十一秒冬至壬申年庚子月己巳朔癸巳日申初一刻十分内一秒冬至 应闰癸酉年壬子月癸巳朔戊戌日亥初一刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丁亥朔甲辰日寅初一刻七分内一秒冬至乙亥年丙子月壬午朔己酉日巳初一刻五分内三十一秒冬至 应闰丙子年戊子月丙午朔甲寅日申初一刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月庚子朔己未日亥初一刻二分内三十一秒冬至 应闰二十六章戊寅年壬子月甲子朔乙丑日寅初一刻一分内一秒冬至己卯年甲子月己未朔庚午日巳初初刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月癸丑朔乙亥日申初初刻十三分内一秒冬至 应闰辛巳年戊子月丁丑朔庚辰日亥初初刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月辛未朔丙戌日寅初初刻十分内一秒冬至癸未年壬子月乙丑朔辛卯日巳初初刻八分内三十一秒冬至 应闰甲申年甲子月己丑朔丙申日申初初刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月甲申朔辛丑日亥初初刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月戊寅朔丁未日寅初初刻四分内一秒冬至 应闰丁亥年庚子月壬寅朔壬子日巳初初刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月丙申朔丁巳日申初初刻一分内一秒冬至日躔在室四度之三十九分 应闰己丑年甲子月庚申朔壬戌日戌正三刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月乙卯朔戊辰日丑正三刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月己酉朔癸酉日辰正三刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬戌年至此十一闰又一纪壬辰年庚子月癸酉朔戊寅日未正三刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月丁卯朔癸未日戌正三刻八分内三十一秒冬至甲午年甲子月辛酉朔己丑日丑正三刻七分内一秒冬至 应闰乙未年丙子月乙酉朔甲午日辰正三刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月庚辰朔己亥日未正三刻四分内一秒冬至 应闰二十七章丁酉年庚子月甲辰朔日戌正三刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月戊戌朔庚戌日丑正三刻一分内一秒冬至己亥年甲子月壬辰朔乙卯日辰正二刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚子年丙子月丙辰朔庚申日未正二刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月辛亥朔乙丑日戌正二刻十一分内三十一秒冬至壬寅年庚子月乙巳朔辛未日丑正二刻十分内一秒冬至 应闰癸卯年壬子月己巳朔丙子日辰正二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月癸亥朔辛巳日未正二刻七分内一秒冬至乙巳年丙子月戊午朔丙戌日戌正二刻五分内三十一秒冬至 应闰丙午年戊子月壬午朔壬辰日丑正二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月丙子朔丁酉日辰正二刻二分内三十一秒冬至 应闰戊申年壬子月庚子朔壬寅日未正二刻一分内一秒冬至己酉年甲子月甲午朔丁未日戌正一刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月戊子朔癸丑日丑正一刻十三分内一秒冬至 应闰辛亥年戊子月壬子朔戊午日辰正一刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月丙午朔癸亥日未正一刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月辛丑朔戊辰日戌正一刻八分内三十一秒冬至 应闰甲寅年甲子月乙丑朔甲戌日丑正一刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月己未朔己卯日辰正一刻五分内三十一秒冬至 应闰二十八章丙辰年戊子月癸未朔甲申日未正一刻四分内一秒冬至丁巳年庚子月丁丑朔己丑日戌正一刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月壬申朔乙未日丑正一刻一分内一秒冬至 应闰己未年甲子月丙申朔庚子日辰正初刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月庚寅朔乙巳日未正初刻十三分内一秒冬至辛酉年戊子月甲申朔庚戌日戌正初刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬辰年至此十一闰又一纪壬戌年庚子月戊申朔丙辰日丑正初刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月壬寅朔辛酉日辰正初刻八分内三十一秒冬至 应闰甲子年甲子月丙寅朔日未正初刻七分内一秒冬至乙丑年丙子月辛酉朔辛未日戌正初刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月乙卯朔丁丑日丑正初刻四分内一秒冬至 应闰丁卯年庚子月己卯朔壬午日辰正初刻二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月癸酉朔丁亥日未正初刻一分内一秒冬至己巳年甲子月戊辰朔壬辰日戌初三刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚午年丙子月壬辰朔戊戌日丑初三刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月丙戌朔癸卯日辰初三刻十一分内三十一秒冬至壬申年庚子月庚辰朔戊申日未初三刻十分内一秒冬至 应闰癸酉年壬子月甲辰朔癸丑日戌初三刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月戊戌朔己未日丑初三刻七分内一秒冬至 应闰二十九章乙亥年丙子月壬戌朔甲子日辰初三刻五分内三十一秒冬至丙子年戊子月丁巳朔己巳日未初三刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月辛亥朔甲戌日戌初三刻二分内三十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月乙亥朔庚辰日丑初三刻一分内一秒冬至己卯年甲子月庚午朔乙酉日辰初二刻十四分内三十一秒冬至庚辰年丙子月甲子朔庚寅日未初二刻十三分内一秒冬至 应闰辛巳年戊子月戊子朔乙未日戌初二刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月壬午朔辛丑日丑初二刻十分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月丙午朔日辰初二刻八分内三十一秒冬至甲申年甲子月庚子朔辛亥日未初二刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月甲午朔丙辰日戌初二刻五分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月戊午朔壬戌日丑初二刻四分内一秒冬至丁亥年庚子月癸丑朔丁卯日辰初二刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月丁未朔壬申日未初二刻一分内一秒冬至 应闰己丑年甲子月辛未朔丁丑日戌初一刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月丙寅朔癸未日丑初一刻十三分内一秒冬至辛卯年戊子月庚申朔戊子日辰初一刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬戌年至此十一闰又一纪壬辰年庚子月甲申朔癸巳日未初一刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月戊寅朔戊戌日戌初一刻八分内三十一秒冬至 应闰三十章甲午年甲子月壬寅朔甲辰日丑初一刻七分内一秒冬至乙未年丙子月丙申朔己酉日辰初一刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月庚寅朔甲寅日未初一刻四分内一秒冬至 应闰丁酉年庚子月甲寅朔己未日戌初一刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月己酉朔乙丑日丑初一刻一分内一秒冬至己亥年甲子月癸卯朔庚午日辰初初刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚子年丙子月丁卯朔乙亥日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在室三度之三十九分辛丑年戊子月辛酉朔庚辰日戌初初刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月乙酉朔丙戌日丑初初刻十分内一秒冬至癸卯年壬子月庚辰朔辛卯日辰初初刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月甲戌朔丙申日未初初刻七分内一秒冬至 应闰乙巳年丙子月戊戌朔辛丑日戌初初刻五分内三十一秒冬至丙午年戊子月壬辰朔丁未日丑初初刻四分内一秒冬至丁未年庚子月丙戌朔壬子日辰初初刻二分内三十一秒冬至 应闰戊申年壬子月庚戌朔丁巳日未初初刻一分内一秒冬至己酉年甲子月乙巳朔壬戌日酉正三刻十四分内三十一秒冬至庚戌年丙子月己亥朔戊辰日子正三刻十三分内一秒冬至 应闰辛亥年戊子月癸亥朔癸酉日卯正三刻十一分内三十一秒冬至壬子年庚子月丁巳朔戊寅日午正三刻十分内一秒冬至 应闰三十一章癸丑年壬子月辛巳朔癸未日酉正三刻八分内三十一秒冬至甲寅年甲子月丙子朔己丑日子正三刻七分内一秒冬至乙卯年丙子月庚午朔甲午日卯正三刻五分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月甲午朔己亥日午正三刻四分内一秒冬至丁巳年庚子月己丑朔甲辰日酉正三刻二分内三十一秒冬至戊午年壬子月癸未朔庚戌日子正三刻一分内一秒冬至 应闰己未年甲子月丁未朔乙卯日卯正二刻十四分内三十一秒冬至庚申年丙子月辛丑朔庚申日午正二刻十三分内一秒冬至 应闰壬辰年至此十一闰一纪缩一年下起辛酉辛酉年戊子月乙丑朔日酉正二刻十一分内三十一秒冬至壬戌年庚子月己未朔辛未日子正二刻十分内一秒冬至癸亥年壬子月癸丑朔丙子日卯正二刻八分内三十一秒冬至 应闰甲子年甲子月丁丑朔辛巳日午正二刻七分内一秒冬至乙丑年丙子月壬申朔丙戌日酉正二刻五分内三十一秒冬至丙寅年戊子月丙寅朔壬辰日子正二刻四分内一秒冬至 应闰丁卯年庚子月庚寅朔丁酉日卯正二刻二分内三十十一秒冬至戊辰年壬子月甲申朔壬寅日午正二刻一分内一秒冬至己巳年甲子月己卯朔丁未日酉正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚午年丙子月癸卯朔癸丑日子正一刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月丁酉朔戊午日卯正一刻十一分内三十一秒冬至 应闰三十二章壬申年庚子月辛酉朔癸亥日午正一刻十分内一秒冬至癸酉年壬子月乙卯朔戊辰日酉正一刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月己酉朔甲戌日子正一刻七分内一秒冬至 应闰乙亥年丙子月癸酉朔己卯日卯正一刻五分内三十一秒冬至丙子年戊子月戊辰朔甲申日午正一刻四分内一秒冬至丁丑年庚子月壬戌朔己丑日酉正一刻二分内三十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月丙戌朔乙未日子正一刻一分内一秒冬至己卯年甲子月庚辰朔庚子日卯正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月甲辰朔乙巳日午正初刻十三分内一秒冬至辛巳年戊子月己亥朔庚戌日酉正初刻十一分内三十一秒冬至壬午年庚子月癸巳朔丙辰日子正初刻十分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月丁巳朔辛酉日卯正初刻八分内三十一秒冬至甲申年甲子月壬子朔丙寅日午正初刻七分内一秒冬至乙酉年丙子月丙午朔辛未日酉正初刻五分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月庚午朔丁丑日子正初刻四分内一秒冬至丁亥年庚子月甲子朔壬午日卯正初刻二分内三十一秒冬至戊子年壬子月戊午朔丁亥日午正初刻一分内一秒冬至 应闰己丑年甲子月壬午朔壬辰日酉初三刻十四分内三十一秒冬至庚寅年丙子月丁丑朔丁酉夜子初三刻十三分内一秒冬至 应闰三十三章辛酉年至此十一闰为一纪辛卯年戊子月辛丑朔癸卯日卯初三刻十一分内三十一秒冬至壬辰年庚子月乙未朔戊申日午初三刻十分内一秒冬至癸巳年壬子月庚寅朔癸丑日酉初三刻八分内三十一秒冬至 应闰甲午年甲子月甲寅朔戊午夜子初三刻七分内一秒冬至乙未年丙子月戊申朔甲子日卯初三刻五分内三十一秒冬至丙申年戊子月壬寅朔己巳日午初三刻四分内一秒冬至 应闰丁酉年庚子月丙寅朔甲戌日酉初三刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月庚申朔己卯夜子初三刻一分内一秒冬至 应闰己亥年甲子月甲申朔乙酉日卯初二刻十四分内三十一秒冬至庚子年丙子月己卯朔庚寅日午初二刻十三分内一秒冬至辛丑年戊子月癸酉朔乙未日酉初二刻十一分内三十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月丁酉朔庚子夜子初二刻十分内一秒冬至癸卯年壬子月壬辰朔丙午日卯初二刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月丙戌朔辛亥日午初二刻七分内一秒冬至 应闰乙巳年丙子月庚戌朔丙辰日酉初二刻五分内三十一秒冬至丙午年戊子月甲辰朔辛酉夜子初二刻四分内一秒冬至丁未年庚子月戊戌朔丁卯日卯初二刻二分内三十一秒冬至 应闰戊申年壬子月壬戌朔壬申日午初二刻一分内一秒冬至己酉年甲子月丁巳朔丁丑日酉初一刻十四分内三十一秒冬至 应闰三十四章庚戌年丙子月辛巳朔壬午夜子初一刻十三分内一秒冬至辛亥年戊子月乙亥朔戊子日卯初一刻十一分内三十一秒冬至全史日至源流卷三
## 卷四
钦定四库全书全史日至源流卷四山东道御史许伯政撰壬子运四(每期三百六十五日二时七刻十三分一十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十七秒三十微小寒十四日八时四刻五分七秒三十微大寒十四日九时一刻十分二十二秒三十微立春十四日十时一刻六分二十二秒三十微雨水十四日十一时三刻四分二十二秒三十微惊蛰十五日零七刻零一十七秒三十微春分十五日二时三刻九分七秒三十微清明十五日四时零八分零七秒三十微榖雨十五日五时四刻八分十二秒三十微立夏十五日六时七刻零一十七秒三十微小满十五日八时零三分一十二秒三十微芒种十五日八时三刻十分一十七秒三十微夏至十五日八时七刻零一十七秒三十微小暑十五日八时五刻三分一十七秒三十微大暑十五日八时零八分一十七秒三十微立秋十五日七时零一十一分一十七秒三十微处暑十五日五时六刻六分一十七秒三十微白露十五日四时三刻九分二十二秒三十微秋分十五日二时四刻十一分二十七秒三十微寒露十五日一时一刻八分二十二秒三十微霜降十四日十一时五刻五分一十七秒三十微立冬十四日十时二刻十一分二十七秒三十微小雪十四日九时二刻十二分二十二秒三十微大雪十四日八时五刻十分一十七秒三十微壬子年庚子月己巳朔癸巳日午初一刻十分内一秒冬至日躔在室二度之三十九分 应闰癸丑年壬子月癸巳朔戊戌日酉初一刻八分内一十一秒冬至甲寅年甲子月戊子朔癸丑夜子初一刻六分内二十一秒冬至乙卯年丙子月壬午朔己酉日卯初一刻四分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月丙午朔甲寅日午初一刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月庚子朔己未日酉初初刻十五分内五十一秒冬至 应闰戊午年壬子月甲子朔乙丑日子初初刻十四分内一秒冬至己未年甲子月戊午朔庚午日卯初初刻十二分内一十一秒冬至庚申年丙子月癸丑朔乙亥日午初初刻十分内二十一秒冬至 应闰辛卯年至此十一闰又一纪辛酉年戊子月丁丑朔庚辰日酉初初刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月辛未朔乙酉夜子初初刻六分内四十一秒冬至癸亥年壬子月丙寅朔辛卯日卯初初刻四分内五十一秒冬至 应闰甲子年甲子月庚寅朔丙申日午初初刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月甲申朔辛丑日酉初初刻一分内一十一秒冬至丙寅年戊子月戊寅朔丙午日亥正三刻十四分内二十一秒冬至 应闰丁卯年庚子月壬寅朔壬子日寅正三刻十二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月丙申朔丁巳日巳正三刻十分内四十一秒冬至 应闰三十五章己巳年甲子月庚申朔壬戌日申正三刻八分内五十一秒冬至庚午年丙子月乙卯朔丁卯日亥正三刻七分内一秒冬至辛未年戊子月己酉朔癸酉日寅正三刻五分内一十一秒冬至 应闰壬申年庚子月癸酉朔戊寅日巳正三刻三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月丁卯朔癸未日申正三刻一分内三十一秒冬至甲戌年甲子月壬戌朔戊子日亥正二刻十四分内四十一秒冬至 应闰乙亥年丙子月丙戌朔甲午日寅正二刻十二分内五十一秒冬至丙子年戊子月庚辰朔己亥日巳正二刻十一分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月甲辰朔日申正二刻九分内一十一秒冬至戊寅年壬子月戊戌朔己酉日亥正二刻七分内二十一秒冬至己卯年甲子月壬辰朔乙卯日寅正二刻五分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月丙辰朔庚申日巳正二刻三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月辛亥朔乙丑日申正二刻一分内五十一秒冬至壬午年庚子月乙巳朔庚午日亥正一刻十五分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月己巳朔丙子日寅正一刻十三分内一十一秒冬至甲申年甲子月甲子朔辛巳日巳正一刻十一分内二十一秒冬至乙酉年丙子月戊午朔丙戌日申正一刻九分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月壬午朔辛卯日亥正一刻七分内四十一秒冬至丁亥年庚子月丙子朔丁酉日寅正一刻五分内五十一秒冬至 应闰三十六章戊子年壬子月庚子朔壬寅日巳正一刻四分内一秒冬至己丑年甲子月乙未朔丁未日申正一刻二分内一十一秒冬至庚寅年丙子月己丑朔壬子日亥正初刻十五分内二十一秒冬至 应闰辛酉年至此十一闰又一纪辛卯年戊子月癸丑朔戊午日寅正初刻十三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月丁未朔癸亥日巳正初刻十一分内四十一秒冬至癸巳年壬子月辛丑朔戊辰日申正初刻九分内五十一秒冬至 应闰甲午年甲子月乙丑朔癸酉日亥正初刻八分内一秒冬至乙未年丙子月己未朔己卯日寅正初刻六分内一十一秒冬至 应闰丙申年戊子月癸未朔甲申日巳正初刻四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月戊寅朔己丑日申正初刻二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月壬申朔甲午日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 应闰己亥年甲子月丙申朔庚子日寅初三刻十三分内五十一秒冬至庚子年丙子月辛卯朔乙巳日巳初三刻十二分内一秒冬至辛丑年戊子月乙酉朔庚戌日申初三刻十分内一十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月己酉朔乙卯日亥初三刻八分内二十一秒冬至癸卯年壬子月癸卯朔辛酉日寅初三刻六分内三十一秒冬至甲辰年甲子月戊戌朔丙寅日巳初三刻四分内四十一秒冬至 应闰乙巳年丙子月壬戌朔辛未日申初三刻二分内五十一秒冬至丙午年戊子月丙辰朔丙子日亥初三刻一分内一秒冬至 应闰三十七章丁未年庚子月庚辰朔壬午日寅初二刻十四分内一十一秒冬至戊申年壬子月甲戌朔丁亥日巳初二刻十二分内二十一秒冬至己酉年甲子月戊辰朔壬辰日申初二刻十分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月壬辰朔丁酉日亥初二刻八分内四十一秒冬至辛亥年戊子月丁亥朔癸卯日寅初二刻六分内五十一秒冬至壬子年庚子月辛巳朔戊申日巳初二刻五分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月乙巳朔癸丑日申初二刻三分内一十一秒冬至甲寅年甲子月己亥朔戊午日亥初二刻一分内二十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月癸亥朔甲子日寅初一刻十四分内三十一秒冬至丙辰年戊子月戊午朔己巳日巳初一刻十二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月壬子朔甲戌日申初一刻十分内五十一秒冬至 应闰戊午年壬子月丙子朔己卯日亥初一刻九分内一秒冬至己未年甲子月庚午朔乙酉日寅初一刻七分内一十一秒冬至庚申年丙子月乙丑朔庚寅日巳初一刻五分内二十一秒冬至 应闰辛卯年至此十一闰又一纪辛酉年戊子月己丑朔乙未日申初一刻三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月癸未朔庚子日亥初一刻一分内四十一秒冬至癸亥年壬子月丁丑朔丙午日寅初初刻十四分内五十一秒冬至 应闰甲子年甲子月辛丑朔辛亥日巳初初刻十三分内一秒冬至日躔在室一度之三十九分乙丑年丙子月丙申朔丙辰日申初初刻十一分内一十一秒冬至 应闰三十八章丙寅年戊子月庚申朔辛酉日亥初初刻九分内二十一秒冬至丁卯年庚子月甲寅朔丁卯日寅初初刻七分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊申朔壬申日巳初初刻五分内四十一秒冬至 应闰己巳年甲子月壬申朔丁丑日申初初刻三分内五十一秒冬至庚午年丙子月丙寅朔壬午日亥初初刻二分内一秒冬至辛未年戊子月辛酉朔戊子日丑正三刻十五分内一十一秒冬至 应闰壬申年庚子月乙酉朔癸巳日辰正三刻十三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月己卯朔戊戌日未正三刻十一分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月癸卯朔日戌正三刻九分内四十一秒冬至乙亥年丙子月丁酉朔己酉日丑正三刻七分内五十一秒冬至丙子年戊子月壬辰朔甲寅日辰正三刻六分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月丙辰朔己未日未正三刻四分内一十一秒冬至戊寅年壬子月庚戌朔甲子日戌正三刻二分内二十一秒冬至己卯年甲子月甲辰朔庚午日丑正二刻十五分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月戊辰朔乙亥日辰正二刻十三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月癸亥朔庚辰日未正二刻十一分内五十一秒冬至壬午年庚子月丁巳朔乙酉日戌正二刻十分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月辛巳朔辛卯日丑正二刻八分内一十一秒冬至甲申年甲子月乙亥朔丙申日辰正二刻六分内二十一秒冬至 应闰三十九章乙酉年丙子月己亥朔辛丑日未正二刻四分内三十一秒冬至丙戌年戊子月甲午朔丙午日戌正二刻二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月戊子朔壬子日丑正一刻十五分内五十一秒冬至 应闰戊子年壬子月壬子朔丁巳日辰正一刻十四分内一秒冬至己丑年甲子月丙午朔壬戌日未正一刻十二分内一十一秒冬至庚寅年丙子月辛丑朔丁卯日戌正一刻十分内二十一秒冬至 应闰辛酉年至此十一闰又一纪辛卯年戊子月乙丑朔癸酉日丑正一刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月己未朔戊寅日辰正一刻六分内四十一秒冬至 应闰癸巳年壬子月癸未朔日未正一刻四分内五十一秒冬至甲午年甲子月丁丑朔戊子日戌正一刻三分内一秒冬至乙未年丙子月辛未朔甲午日丑正一刻一分内一十一秒冬至 应闰丙申年戊子月乙未朔己亥日辰正初刻十四分内二十一秒冬至丁酉年庚子月庚寅朔甲辰日未正初刻十二分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲申朔己酉日戌正初刻十分内四十一秒冬至 应闰己亥年甲子月戊申朔乙卯日丑正初刻八分内五十一秒冬至庚子年丙子月癸卯朔庚申日辰正初刻七分内一秒冬至辛丑年戊子月丁酉朔乙丑日未正初刻五分内一十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月辛酉朔庚午日戌正初刻三分内二十一秒冬至癸卯年壬子月乙卯朔丙子日丑正初刻一分内三十一秒冬至 应闰四十章甲辰年甲子月己卯朔辛巳日辰初三刻十四分内四十一秒冬至乙巳年丙子月癸酉朔丙戌日未初三刻十二分内五十一秒冬至丙午年戊子月丁卯朔辛卯日戌初三刻十一分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月辛卯朔丁酉日丑初三刻九分内一十一秒冬至戊申年壬子月丙戌朔壬寅日辰初三刻七分内二十一秒冬至己酉年甲子月庚辰朔丁未日未初三刻五分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月甲辰朔壬子日戌初三刻三分内四十一秒冬至辛亥年戊子月戊戌朔戊午日丑初三刻一分内五十一秒冬至 应闰壬子年庚子月壬戌朔癸亥日辰初二刻十五分内一秒冬至癸丑年壬子月丁巳朔戊辰日未初二刻十三分内一十一秒冬至甲寅年甲子月辛亥朔癸酉日戌初二刻十一分内二十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月乙亥朔己卯日丑初二刻九分内三十一秒冬至丙辰年戊子月庚午朔甲申日辰初二刻七分内四十一秒冬至丁巳年庚子月甲子朔己丑日未初二刻五分内五十一秒冬至 应闰戊午年壬子月戊子朔甲午日戌初二刻四分内一秒冬至己未年甲子月壬午朔庚子日丑初二刻二分内一十一秒冬至庚申年丙子月丙子朔乙巳日辰初一刻十五分内二十一秒冬至 应闰辛卯年至此十一闰又一纪辛酉年戊子月庚子朔庚戌日未初一刻十三分内三十一秒冬至壬戌年庚子月乙未朔乙卯日戌初一刻十一分内四十一秒冬至 应闰四十一章癸亥年壬子月己未朔辛酉日丑初一刻九分内五十一秒冬至甲子年甲子月癸丑朔丙寅日辰初一刻八分内一秒冬至乙丑年丙子月戊申朔辛未日未初一刻六分内一十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月壬申朔丙子日戌初一刻四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月丙寅朔壬午日丑初一刻二分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚申朔丁亥日辰初初刻十五分内四十一秒冬至 应闰己巳年甲子月甲申朔壬辰日未初初刻十三分内五十一秒冬至庚午年丙子月戊寅朔丁酉日戌初初刻十二分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月壬寅朔癸卯日丑初初刻十分内一十一秒冬至壬申年庚子月丁酉朔戊申日辰初初刻八分内二十一秒冬至癸酉年壬子月辛卯朔癸丑日未初初刻六分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月乙卯朔戊午日戌初初刻四分内四十一秒冬至乙亥年丙子月己酉朔甲子日丑初初刻二分内五十一秒冬至丙子年戊子月甲辰朔己巳日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在室初度之三十九分丁丑年庚子月戊辰朔甲戌日午正三刻十四分内一十一秒冬至戊寅年壬子月壬戌朔己卯日酉正三刻十二分内二十一秒冬至己卯年甲子月丙辰朔乙酉日子正三刻十分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月庚辰朔庚寅日卯正三刻八分内四十一秒冬至辛巳年戊子月甲戌朔乙未日午正三刻六分内五十一秒冬至 应闰四十二章壬午年庚子月戊戌朔庚子日酉正三刻五分内一秒冬至癸未年壬子月癸巳朔丙午日子正三刻三分内一十一秒冬至甲申年甲子月丁亥朔辛亥日卯正三刻一分内二十一秒冬至 应闰乙酉年丙子月辛亥朔丙辰日午正二刻十四分内三十一秒冬至丙戌年戊子月乙巳朔辛酉日酉正二刻十二分内四十一秒冬至丁亥年庚子月庚子朔丁卯日子正二刻十分内五十一秒冬至 应闰戊子年壬子月甲子朔壬申日卯正二刻九分内一秒冬至己丑年甲子月戊午朔丁丑日午正二刻七分内一十一秒冬至 应闰辛酉年至此十一闰一纪缩一年下起庚寅庚寅年丙子月壬午朔日酉正二刻五分内二十一秒冬至辛卯年戊子月丙子朔戊子日子正二刻三分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚午朔癸巳日卯正二刻一分内四十一秒冬至 应闰癸巳年壬子月甲午朔戊戌日午正一刻十四分内五十一秒冬至甲午年甲子月己丑朔癸卯日酉正一刻十三分内一秒冬至乙未年丙子月癸未朔己酉日子正一刻十一分内一十一秒冬至 应闰丙申年戊子月丁未朔甲寅日卯正一刻九分内二十一秒冬至丁酉年庚子月辛丑朔己未日午正一刻七分内三十一秒冬至戊戌年壬子月丙申朔甲子日酉正一刻五分内四十一秒冬至 应闰己亥年甲子月庚申朔庚午日子正一刻三分内五十一秒冬至庚子年丙子月甲寅朔乙亥日卯正一刻二分内一秒冬至 应闰四十三章辛丑年戊子月戊寅朔庚辰日午正初刻十五分内一十一秒冬至壬寅年庚子月壬申朔乙酉日酉正初刻十三分内二十一秒冬至癸卯年壬子月丁卯朔辛卯日子正初刻十一分内三十一秒冬至 应闰甲辰年甲子月辛卯朔丙申日卯正初刻九分内四十一秒冬至乙巳年丙子月乙酉朔辛丑日午正初刻七分内五十一秒冬至丙午年戊子月己卯朔丙午日酉正初刻六分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月癸卯朔壬子日子正初刻四分内一十一秒冬至戊申年壬子月丁酉朔丁巳日卯正初刻二分内二十一秒冬至 应闰己酉年甲子月辛酉朔壬戌日午初三刻十五分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丙辰朔丁卯日酉初三刻十三分内四十一秒冬至辛亥年戊子月庚戌朔壬申夜子初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰壬子年庚子月甲戌朔戊寅日卯初三刻十分内一秒冬至癸丑年壬子月己巳朔癸未日午初三刻八分内一十一秒冬至甲寅年甲子月癸亥朔戊子日酉初三刻六分内二十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月丁亥朔癸巳夜子初三刻四分内三十一秒冬至丙辰年戊子月辛巳朔己亥日卯初三刻二分内四十一秒冬至丁巳年庚子月丙子朔甲辰日午初二刻十五分内五十一秒冬至 应闰戊午年壬子月庚子朔己酉日酉初二刻十四分内一秒冬至己未年甲子月甲午朔甲寅夜子初二刻十二分内一十一秒冬至 应闰四十四章庚寅年至此十一闰为一纪庚申年丙子月戊午朔庚申日卯初二刻十分内二十一秒冬至辛酉年戊子月壬子朔乙丑日午初二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丙午朔庚午日酉初二刻六分内四十一秒冬至 应闰癸亥年壬子月庚午朔乙亥夜子初二刻四分内五十一秒冬至甲子年甲子月甲子朔辛巳日卯初二刻三分内一秒冬至乙丑年丙子月己未朔丙戌日午初二刻一分内一十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月癸未朔辛卯日酉初一刻十四分内二十一秒冬至丁卯年庚子月丁丑朔丙申夜子初一刻十二分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月辛丑朔壬寅日卯初一刻十分内四十一秒冬至己巳年甲子月丙申朔丁未日午初一刻八分内五十一秒冬至庚午年丙子月庚寅朔壬子日酉初一刻七分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月甲寅朔丁巳夜子初一刻五分内一十一秒冬至壬申年庚子月戊申朔癸亥日卯初一刻三分内二十一秒冬至癸酉年壬子月壬寅朔戊辰日午初一刻一分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月丙寅朔癸酉日酉初初刻十四分内四十一秒冬至乙亥年丙子月辛酉朔戊寅夜子初初刻十二分内五十一秒冬至丙子年戊子月乙卯朔甲申日卯初初刻十一分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月己卯朔己丑日午初初刻九分内一十一秒冬至戊寅年壬子月癸酉朔甲午日酉初初刻七分内二十一秒冬至 应闰四十五章己卯年甲子月丁酉朔己亥夜子初初刻五分内三十一秒冬至庚辰年丙子月壬辰朔乙巳日卯初初刻三分内四十一秒冬至辛巳年戊子月丙戌朔庚戌日午初初刻一分内五十一秒冬至 应闰壬午年庚子月庚戌朔乙卯日申正三刻十五分内一秒冬至癸未年壬子月甲辰朔庚申日亥正三刻十三分内一十一秒冬至甲申年甲子月戊戌朔丙寅日寅正三刻十一分内二十一秒冬至 应闰乙酉年丙子月壬戌朔辛未日巳正三刻九分内三十一秒冬至丙戌年戊子月丁巳朔丙子日申正三刻七分内四十一秒冬至 应闰丁亥年庚子月辛巳朔日亥正三刻五分内五十一秒冬至全史日至源流卷四
## 卷五
钦定四库全书全史日至源流卷五山东道御史许伯政撰壬子运五(每期三百六十五日二时七刻十二分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十六秒四十微小寒十四日八时四刻五分零六秒四十微大寒十四日九时一刻十分二十一秒四十微立春十四日十时一刻六分二十一秒四十微雨水十四日十一时三刻四分二十一秒四十微惊蛰十五日零七刻零一十六秒四十微春分十五日二时三刻九分六秒四十微清明十五日四时零八分零六秒四十微谷雨十五日五时四刻八分一十一秒四十微立夏十五日六时七刻零一十六秒四十微小满十五日八时零三分一十一秒四十微芒种十五日八时三刻十分一十六秒四十微夏至十五日八时七刻零一十六秒四十微小暑十五日八时五刻三分一十六秒四十微大暑十五日八时零八分一十六秒四十微立秋十五日七时零一十一分一十六秒四十微处暑十五日五时六刻六分一十六秒四十微白露十五日四时三刻九分二十一秒四十微秋分十五日二时四刻十一分二十六秒四十微寒露十五日一时一刻八分二十一秒四十微霜降十四日十一时五刻五分一十六秒四十微立冬十四日十时二刻十一分二十六秒四十微小雪十四日九时二刻十二分二十一秒四十微大雪十四日八时五刻十分一十六秒四十微戊子年壬子月乙亥朔丁亥日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在危十九度之四十六分己丑年甲子月庚午朔壬辰日巳正三刻一分内五十一秒冬至 应闰自庚申年至此十一闰又一纪庚寅年丙子月甲午朔丁酉日申正二刻十四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月戊子朔壬寅日亥正二刻十二分内三十一秒冬至壬辰年庚子月壬午朔戊申日寅正二刻十分内二十一秒冬至 应闰癸巳年壬子月丙午朔癸丑日巳正二刻八分内一十一秒冬至甲午年甲子月庚子朔戊午日申正二刻六分内一秒冬至乙未年丙子月乙未朔癸亥日亥正二刻三分内五十一秒冬至 应闰丙申年戊子月己未朔己巳日寅正二刻一分内四十一秒冬至丁酉年庚子月癸丑朔甲戌日巳正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰四十六章戊戌年壬子月丁丑朔己卯日申正一刻十二分内二十一秒冬至己亥年甲子月辛未朔甲申日亥正一刻十分内一十一秒冬至庚子年丙子月丙寅朔庚寅日寅正一刻八分内一秒冬至 应闰辛丑年戊子月庚寅朔乙未日巳正一刻五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月甲申朔庚子日申正一刻三分内四十一秒冬至癸卯年壬子月戊寅朔乙巳日亥正一刻一分内三十一秒冬至 应闰甲辰年甲子月壬寅朔辛亥日寅正初刻十四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月丁酉朔丙辰日巳正初刻十二分内一十一秒冬至 应闰丙午年戊子月辛酉朔日申正初刻十分内一秒冬至丁未年庚子月乙卯朔丙寅日亥正初刻七分内五十一秒冬至戊申年壬子月己酉朔壬申日寅正初刻五分内四十一秒冬至 应闰己酉年甲子月癸酉朔丁丑日巳正初刻三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月丁卯朔壬午日申正初刻一分内二十一秒冬至辛亥年戊子月壬戌朔丁亥日亥初三刻十四分内一十一秒冬至 应闰壬子年庚子月丙戌朔癸巳日寅初三刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月庚辰朔戊戌日巳初三刻九分内五十一秒冬至甲寅年甲子月乙亥朔癸卯日申初三刻七分内四十一秒冬至 应闰乙卯年丙子月己亥朔戊申日亥初三刻五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月癸巳朔甲寅日寅初三刻三分内二十一秒冬至 应闰四十七章丁巳年庚子月丁巳朔己未日巳初三刻一分内一十一秒冬至戊午年壬子月辛亥朔甲子日申初二刻十四分内一秒冬至己未年甲子月乙巳朔己巳日亥初二刻十一分内五十一秒冬至 应闰庚寅年至此十一闰又一纪庚申年丙子月己巳朔乙亥日寅初二刻九分内四十一秒冬至辛酉年戊子月癸亥朔庚辰日巳初二刻七分内三十一秒冬至壬戌年庚子月戊午朔乙酉日申初二刻五分内二十一秒冬至 应闰癸亥年壬子月壬午朔庚寅日亥初二刻三分内一十一秒冬至甲子年甲子月丙子朔丙申日寅初二刻一分内一秒冬至 应闰乙丑年丙子月庚子朔辛丑日巳初一刻十三分内五十一秒冬至丙寅年戊子月乙未朔丙午日申初一刻十一分内四十一秒冬至丁卯年庚子月己丑朔辛亥日亥初一刻九分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月癸丑朔丁巳日寅初一刻七分内二十一秒冬至己巳年甲子月丁未朔壬戌日巳初一刻五分内一十一秒冬至庚午年丙子月辛丑朔丁卯日申初一刻三分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月乙丑朔壬申日亥初初刻十五分内五十一秒冬至壬申年庚子月庚申朔戊寅日寅初初刻十三分内四十一秒冬至癸酉年壬子月甲寅朔癸未日巳初初刻十一分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月戊寅朔戊子日申初初刻九分内二十一秒冬至乙亥年丙子月壬申朔癸巳日亥初初刻七分内一十一秒冬至 应闰四十八章丙子年戊子月丙申朔己亥日寅初初刻五分内一秒冬至丁丑年庚子月辛卯朔甲辰日巳初初刻二分内五十一秒冬至戊寅年壬子月乙酉朔己酉日未正三刻十五分内四十一秒冬至 应闰己卯年甲子月己酉朔甲寅日戌正三刻十三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月癸卯朔庚申日丑正三刻十一分内二十一秒冬至辛巳年戊子月戊戌朔乙丑日辰正三刻九分内一十一秒冬至 应闰壬午年庚子月壬戌朔庚午日未正三刻七分内一秒冬至癸未年壬子月丙辰朔乙亥日戌正三刻四分内五十一秒冬至 应闰甲申年甲子月庚辰朔辛巳日丑正三刻二分内四十一秒冬至乙酉年丙子月甲戌朔丙戌日辰正二刻十五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月戊辰朔辛卯日未正二刻十三分内二十一秒冬至 应闰丁亥年庚子月壬辰朔丙申日戌正二刻十一分内一十一秒冬至戊子年壬子月丁亥朔壬寅日丑正二刻九分内一秒冬至己丑年甲子月辛巳朔丁未日辰正二刻六分内五十一秒冬至 应闰庚申年至此十一闰又一纪庚寅年丙子月乙巳朔壬子日未正二刻四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月庚子朔丁巳日戌正二刻二分内三十一秒冬至壬辰年庚子月甲午朔癸亥日丑正一刻十五分内二十一秒冬至 应闰癸巳年壬子月戊午朔戊辰日辰正一刻十三分内一十一秒冬至甲午年甲子月壬子朔癸酉日未正一刻十一分内一秒冬至 应闰四十九章乙未年丙子月丙子朔戊寅日戌正一刻八分内五十一秒冬至丙申年戊子月庚午朔甲申日丑正一刻六分内四十一秒冬至丁酉年庚子月甲子朔己丑日辰正一刻四分内三十一秒冬至 应闰戊戌年壬子月戊子朔甲午日未正一刻二分内二十一秒冬至己亥年甲子月癸未朔己亥日戌正初刻十五分内一十一秒冬至庚子年丙子月丁丑朔乙巳日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在危十八度之四十六分 应闰辛丑年戊子月辛丑朔庚戌日辰正初刻十分内五十一秒冬至壬寅年庚子月丙申朔乙卯日未正初刻八分内四十一秒冬至 应闰癸卯年壬子月庚申朔日戌正初刻六分内三十一秒冬至甲辰年甲子月甲寅朔丙寅日丑正初刻四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月戊申朔辛未日辰正初刻二分内一十一秒冬至 应闰丙午年戊子月壬申朔丙子日未初三刻十五分内一秒冬至丁未年庚子月丙寅朔辛巳日戌初三刻十二分内五十一秒冬至戊申年壬子月辛酉朔丁亥日丑初三刻十分内四十一秒冬至 应闰己酉年甲子月乙酉朔壬辰日辰初三刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月己卯朔丁酉日未初三刻六分内二十一秒冬至辛亥年戊子月甲戌朔壬寅日戌初三刻四分内一十一秒冬至 应闰壬子年庚子月戊戌朔戊申日丑初三刻二分内一秒冬至癸丑年壬子月壬辰朔癸丑日辰初二刻十四分内五十一秒冬至 应闰五十章甲寅年甲子月丙辰朔戊午日未初二刻十二分内四十一秒冬至乙卯年丙子月庚戌朔癸亥日戌初二刻十分内三十一秒冬至丙辰年戊子月甲辰朔己巳日丑初二刻八分内二十一秒冬至 应闰丁巳年庚子月戊辰朔甲戌日辰初二刻六分内一十一秒冬至戊午年壬子月癸亥朔己卯日未初二刻四分内一秒冬至己未年甲子月丁巳朔甲申日戌初二刻一分内五十一秒冬至 应闰庚寅年至此十一闰又一纪庚申年丙子月辛巳朔庚寅日丑初一刻十四分内四十一秒冬至辛酉年戊子月丙子朔乙未日辰初一刻十二分内三十一秒冬至 应闰壬戌年庚子月庚子朔日未初一刻十分内二十一秒冬至癸亥年壬子月甲午朔乙巳日戌初一刻八分内一十一秒冬至甲子年甲子月戊子朔辛亥日丑初一刻六分内一秒冬至 应闰乙丑年丙子月壬子朔丙辰日辰初一刻三分内五十一秒冬至丙寅年戊子月丙午朔辛酉日未初一刻一分内四十一秒冬至丁卯年庚子月辛丑朔丙寅日戌初初刻十四分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月乙丑朔壬申日丑初初刻十二分内二十一秒冬至己巳年甲子月己未朔丁丑日辰初初刻十分内一十一秒冬至庚午年丙子月甲寅朔壬午日未初初刻八分内一秒冬至 应闰辛未年戊子月戊寅朔丁亥日戌初初刻五分内五十一秒冬至壬申年庚子月壬申朔癸巳日丑初初刻三分内四十一秒冬至 应闰五十一章癸酉年壬子月丙申朔戊戌日辰初初刻一分内三十一秒冬至甲戌年甲子月庚寅朔癸卯日午正三刻十四分内二十一秒冬至乙亥年丙子月甲申朔戊申日酉正三刻十二分内一十一秒冬至 应闰丙子年戊子月戊申朔甲寅日子正三刻十分内一秒冬至丁丑年庚子月壬寅朔己未日卯正三刻七分内五十一秒冬至戊寅年壬子月丁酉朔甲子日午正三刻五分内四十一秒冬至 应闰己卯年甲子月辛酉朔己巳日酉正三刻三分内三十一秒冬至庚辰年丙子月乙卯朔乙亥日子正三刻一分内二十一秒冬至 应闰辛巳年戊子月己卯朔庚辰日卯正二刻十四分内一十一秒冬至壬午年庚子月甲戌朔乙酉日午正二刻十二分内一秒冬至癸未年壬子月戊辰朔庚寅日酉正二刻九分内五十一秒冬至 应闰甲申年甲子月壬辰朔丙申日子正二刻七分内四十一秒冬至乙酉年丙子月丙戌朔辛丑日卯正二刻五分内三十一秒冬至丙戌年戊子月庚辰朔丙午日午正二刻三分内二十一秒冬至 应闰丁亥年庚子月甲辰朔辛亥日酉正二刻一分内一十一秒冬至戊子年壬子月己亥朔丁巳日子正一刻十四分内一秒冬至己丑年甲子月癸巳朔壬戌日卯正一刻十一分内五十一秒冬至 应闰庚申年至此十一闰又一纪庚寅年丙子月丁巳朔丁卯日午正一刻九分内四十一秒冬至辛卯年戊子月辛亥朔壬申日酉正一刻七分内三十一秒冬至 应闰五十二章壬辰年庚子月乙亥朔戊寅日子正一刻五分内二十一秒冬至癸巳年壬子月庚午朔癸未日卯正一刻三分内一十一秒冬至甲午年甲子月甲子朔戊子日午正一刻一分内一秒冬至 应闰乙未年丙子月戊子朔癸巳日酉正初刻十三分内五十一秒冬至丙申年戊子月壬午朔己亥日子正初刻十一分内四十一秒冬至丁酉年庚子月丁丑朔甲辰日卯正初刻九分内三十一秒冬至 应闰戊戌年壬子月辛丑朔己酉日午正初刻七分内二十一秒冬至己亥年甲子月乙未朔甲寅日酉正初刻五分内一十一秒冬至 应闰庚子年丙子月己未朔庚申日子正初刻三分内一秒冬至辛丑年戊子月癸丑朔乙丑日卯初三刻十五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月戊申朔庚午日午初三刻十三分内四十一秒冬至 应闰癸卯年壬子月壬申朔乙亥日酉初三刻十一分内三十一秒冬至甲辰年甲子月丙寅朔庚辰夜子初三刻九分内二十一秒冬至乙巳年丙子月庚申朔丙戌日卯初三刻七分内一十一秒冬至 应闰丙午年戊子月甲申朔辛卯日午初三刻五分内一秒冬至丁未年庚子月己卯朔丙申日酉初三刻二分内五十一秒冬至戊申年壬子月癸酉朔辛丑夜子初二刻十五分内四十一秒冬至 应闰己酉年甲子月丁酉朔丁未日卯初二刻十三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月辛卯朔壬子日午初二刻十一分内二十一秒冬至 应闰五十三章辛亥年戊子月乙卯朔丁巳日酉初二刻九分内一十一秒冬至壬子年庚子月己酉朔壬戌夜子初二刻七分内一秒冬至日躔在危十七度之四十六分癸丑年壬子月甲辰朔戊辰日卯初二刻四分内五十一秒冬至 应闰甲寅年甲子月戊辰朔癸酉日午初二刻二分内四十一秒冬至乙卯年丙子月壬戌朔戊寅日酉初一刻十五分内三十一秒冬至丙辰年戊子月丙辰朔癸未夜子初一刻十三分内二十一秒冬至 应闰丁巳年庚子月庚辰朔己丑日卯初一刻十一分内一十一秒冬至戊午年壬子月乙亥朔甲午日午初一刻九分内一秒冬至 应闰庚申年至此十一闰一纪缩一年下起己未己未年甲子月己亥朔日酉初一刻六分内五十一秒冬至庚申年丙子月癸巳朔甲辰夜子初一刻四分内四十一秒冬至辛酉年戊子月戊子朔庚戌日卯初一刻二分内三十一秒冬至 应闰壬戌年庚子月壬子朔乙卯日午初初刻十五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月丙午朔庚申日酉初初刻十三分内一十一秒冬至甲子年甲子月庚子朔乙丑夜子初初刻十一分内一秒冬至 应闰乙丑年丙子月甲子朔辛未日卯初初刻八分内五十一秒冬至丙寅年戊子月戊午朔丙子日午初初刻六分内四十一秒冬至丁卯年庚子月癸丑朔辛巳日酉初初刻四分内三十一秒冬至 应闰戊辰年壬子月丁丑朔丙戌夜子初初刻二分内二十一秒冬至己巳年甲子月辛未朔壬辰日寅正三刻十五分内一十一秒冬至 应闰五十四章庚午年丙子月乙未朔丁酉日巳正三刻十三分内一秒冬至辛未年戊子月庚寅朔壬寅日申正三刻十分内五十一秒冬至壬申年庚子月甲申朔丁未日亥正三刻八分内四十一秒冬至 应闰癸酉年壬子月戊申朔癸丑日寅正三刻六分内三十一秒冬至甲戌年甲子月壬寅朔戊午日巳正三刻四分内二十一秒冬至乙亥年丙子月丙申朔癸亥日申正三刻二分内一十一秒冬至 应闰丙子年戊子月庚申朔戊辰日亥正二刻十五分内一秒冬至丁丑年庚子月甲寅朔甲戌日寅正二刻十二分内五十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月戊寅朔己卯日巳正二刻十分内四十一秒冬至己卯年甲子月癸酉朔甲申日申正二刻八分内三十一秒冬至庚辰年丙子月丁卯朔己丑日亥正二刻六分内二十一秒冬至 应闰辛巳年戊子月辛卯朔乙未日寅正二刻四分内一十一秒冬至壬午年庚子月丙戌朔庚子日巳正二刻二分内一秒冬至癸未年壬子月庚辰朔乙巳日申正一刻十四分内五十一秒冬至 应闰甲申年甲子月甲辰朔庚戌日亥正一刻十二分内四十一秒冬至乙酉年丙子月戊戌朔丙辰日寅正一刻十分内三十一秒冬至丙戌年戊子月壬辰朔辛酉日巳正一刻八分内二十一秒冬至 应闰丁亥年庚子月丙辰朔丙寅日申正一刻六分内一十一秒冬至戊子年壬子月辛亥朔辛未日亥正一刻四分内一秒冬至 应闰五十五章己未年至此十一闰为一纪己丑年甲子月乙亥朔丁丑日寅正一刻一分内五十一秒冬至庚寅年丙子月己巳朔壬午日巳正初刻十四分内四十一秒冬至辛卯年戊子月癸亥朔丁亥日申正初刻十二分内三十一秒冬至 应闰壬辰年庚子月丁亥朔壬辰日亥正初刻十分内二十一秒冬至癸巳年壬子月壬午朔戊戌日寅正初刻八分内一十一秒冬至甲午年甲子月丙子朔癸卯日巳正初刻六分内一秒冬至 应闰乙未年丙子月庚子朔戊申日申正初刻三分内五十一秒冬至丙申年戊子月甲午朔癸丑日亥正初刻一分内四十一秒冬至 应闰丁酉年庚子月戊午朔己未日寅初三刻十四分内三十一秒冬至戊戌年壬子月壬子朔甲子日巳初三刻十二分内二十一秒冬至己亥年甲子月丁未朔己巳日申初三刻十分内一十一秒冬至 应闰庚子年丙子月辛未朔甲戌日亥初三刻八分内一秒冬至辛丑年戊子月乙丑朔庚辰日寅初三刻五分内五十一秒冬至壬寅年庚子月庚申朔乙酉日巳初三刻三分内四十一秒冬至 应闰癸卯年壬子月甲申朔庚寅日申初三刻一分内三十一秒冬至甲辰年甲子月戊寅朔乙未日亥初二刻十四分内二十一秒冬至乙巳年丙子月壬申朔辛丑日寅初二刻十二分内一十一秒冬至 应闰丙午年戊子月丙申朔丙午日巳初二刻十分内一秒冬至丁未年庚子月庚寅朔辛亥日申初二刻七分内五十一秒冬至 应闰五十六章戊申年壬子月甲寅朔丙辰日亥初二刻五分内四十一秒冬至己酉年甲子月己酉朔壬戌日寅初二刻三分内三十一秒冬至庚戌年丙子月癸卯朔丁卯日巳初二刻一分内二十一秒冬至 应闰辛亥年戊子月丁卯朔壬申日申初一刻十四分内一十一秒冬至壬子年庚子月辛酉朔丁丑日亥初一刻十二分内一秒冬至癸丑年壬子月丙辰朔癸未日寅初一刻九分内五十一秒冬至 应闰甲寅年甲子月庚辰朔戊子日巳初一刻七分内四十一秒冬至乙卯年丙子月甲戌朔癸巳日申初一刻五分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月戊戌朔日亥初一刻三分内二十一秒冬至丁巳年庚子月壬辰朔甲辰日寅初一刻一分内一十一秒冬至戊午年壬子月丙戌朔己酉日巳初初刻十四分内一秒冬至 应闰己丑年至此十一闰又一纪己未年甲子月庚戌朔甲寅日申初初刻十一分内五十一秒冬至庚申年丙子月乙巳朔己未日亥初初刻九分内四十一秒冬至辛酉年戊子月己亥朔乙丑日寅初初刻七分内三十一秒冬至 应闰壬戌年庚子月癸亥朔庚午日巳初初刻五分内二十一秒冬至癸亥年壬子月戊午朔乙亥日申初初刻三分内一十一秒冬至全史日至源流卷五
## 卷六
钦定四库全书全史日至源流卷六山东道御史许伯政撰壬子运六(每期三百六十五日二时七刻十二分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十五秒五十微小寒十四日八时四刻五分零五秒五十微大寒十四日九时一刻十分二十秒五十微立春十四日十时一刻六分二十秒五十微雨水十四日十一时三刻四分二十秒五十微惊蛰十五日零七刻零一十五秒五十微春分十五日二时三刻九分五秒五十微清明十五日四时零八分零五秒五十微谷雨十五日五时四刻八分一十秒五十微立夏十五日六时七刻零一十五秒五十微小满十五日八时零三分一十秒五十微芒种十五日八时三刻十分一十五秒五十微夏至十五日八时七刻零一十五秒五十微小暑十五日八时五刻三分一十五秒五十微大暑十五日八时零八分一十五秒五十微立秋十五日七时零一十一分一十五秒五十微处暑十五日五时六刻六分一十五秒五十微白露十五日四时三刻九分二十秒五十微秋分十五日二时四刻十一分二十五秒五十微寒露十五日一时一刻八分二十秒五十微霜降十四日十一时五刻五分一十五秒五十微立冬十四日十时二刻十一分二十五秒五十微小雪十四日九时二刻十二分二十秒五十微大雪十四日八时五刻十分一十五秒五十微甲子年甲子月壬子朔庚辰日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在危十六度之四十六分 应闰乙丑年丙子月丙子朔丙戌日丑正三刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月庚午朔辛卯日辰正三刻十一分内一秒冬至 应闰五十七章丁卯年庚子月甲午朔丙申日未正三刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月戊子朔辛丑日戌正三刻六分内一秒冬至己巳年甲子月壬午朔丁未日丑正三刻三分内三十一秒冬至 应闰庚午年丙子月丙午朔壬子日辰正三刻一分内一秒冬至辛未年戊子月辛丑朔丁巳日未正二刻十三分内三十一秒冬至壬申年庚子月乙未朔壬戌日戌正二刻十一分内一秒冬至 应闰癸酉年壬子月己未朔戊辰日丑正二刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月甲寅朔癸酉日辰正二刻六分内一秒冬至 应闰乙亥年丙子月戊寅朔日未正二刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月壬申朔癸未日戌正二刻一分内一秒冬至丁丑年庚子月丙寅朔己丑日丑正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月庚寅朔甲午日辰正一刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月乙酉朔己亥日未正一刻八分内三十一秒冬至庚辰年丙子月己卯朔甲辰日戌正一刻六分内一秒冬至 应闰辛巳年戊子月癸卯朔庚戌日丑正一刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月丁酉朔乙卯日辰正一刻一分内一秒冬至癸未年壬子月壬辰朔庚申日未正初刻十三分内三十一秒冬至 应闰甲申年甲子月丙辰朔乙丑日戌正初刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月庚戌朔辛未日丑正初刻八分内三十一秒冬至 应闰五十八章丙戌年戊子月甲戌朔丙子日辰正初刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月戊辰朔辛巳日未正初刻三分内三十一秒冬至戊子年壬子月壬戌朔丙戌日戌正初刻一分内一秒冬至 应闰己未年至此十一闰又一纪己丑年甲子月丙戌朔壬辰日丑初三刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月庚辰朔丁酉日辰初三刻十一分内一秒冬至辛卯年戊子月乙亥朔壬寅日未初三刻八分内三十一秒冬至 应闰壬辰年庚子月己亥朔丁未日戌初三刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月癸巳朔癸丑日丑初三刻三分内三十一秒冬至 应闰甲午年甲子月丁巳朔戊午日辰初三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月壬子朔癸亥日未初二刻十三分内三十一秒冬至丙申年戊子月丙午朔戊辰日戌初二刻十一分内一秒冬至 应闰丁酉年庚子月庚午朔甲戌日丑初二刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月甲子朔己卯日辰初二刻六分内一秒冬至己亥年甲午月戊午朔甲申日未初二刻三分内三十一秒冬至 应闰庚子年丙子月壬午朔己丑日戌初二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丁丑朔乙未日丑初一刻十三分内三十一秒冬至壬寅年庚子月辛未朔庚子日辰初一刻十一分内一秒冬至 应闰癸卯年壬子月乙未朔乙巳日未初一刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月己丑朔庚戌日戌初一刻六分内一秒冬至 应闰五十九章乙巳年丙子月癸丑朔丙辰日丑初一刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月戊申朔辛酉日辰初一刻一分内一秒冬至丁未年庚子月壬寅朔丙寅日未初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰戊申年壬子月丙寅朔辛未日戌初初刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月庚申朔丁丑日丑初初刻八分内三十一秒冬至庚戌年丙子月甲寅朔壬午日辰初初刻六分内一秒冬至 应闰辛亥年戊子月戊寅朔丁亥日未初初刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月癸酉朔壬辰日戌初初刻一分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月丁酉朔戊戌日子正三刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月辛卯朔癸卯日卯正三刻十一分内一秒冬至乙卯年丙子月乙酉朔戊申日午正三刻八分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月己酉朔癸丑日酉正三刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月甲辰朔己未日子正三刻三分内三十一秒冬至戊午年壬子月戊戌朔甲子日卯正三刻一分内一秒冬至 应闰己丑年至此十一闰又一纪己未年甲子月壬戌朔己巳日午正二刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月丙辰朔甲戌日酉正二刻十一分内一秒冬至 应闰辛酉年戊子月庚辰朔日子正二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月甲戌朔乙酉日卯正二刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月己巳朔庚寅日午正二刻三分内三十一秒冬至 应闰六十章甲子年甲子月癸巳朔乙未日酉正二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月丁亥朔辛丑日子正一刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月辛巳朔丙午日卯正一刻十一分内一秒冬至 应闰丁卯年庚子月乙巳朔辛亥日午正一刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月庚子朔丙辰日酉正一刻六分内一秒冬至己巳年甲子月甲午朔壬戌日子正一刻三分内三十一秒冬至 应闰庚午年丙子月戊午朔丁卯日卯正一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月壬子朔壬申日午正初刻十三分内三十一秒冬至 应闰壬申年庚子月丙子朔丁丑日酉正初刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月庚午朔癸未日子正初刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月乙丑朔戊子日卯正初刻六分内一秒冬至 应闰乙亥年丙子月己丑朔癸巳日午正初刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月癸未朔戊戌日酉正初刻一分内一秒冬至日躔在危十五度之四十六分丁丑年庚子月丁丑朔癸卯夜子初三刻十三分内三十一秒冬至 应闰戊寅年壬子月辛丑朔己酉日卯初三刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月乙未朔甲寅日午初三刻八分内三十一秒冬至 应闰庚辰年丙子月己未朔日酉初三刻六分内一秒冬至辛巳年戊子月甲寅朔甲子夜子初三刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月戊申朔庚午日卯初三刻一分内一秒冬至 应闰六十一章癸未年壬子月壬申朔乙亥日午初二刻十三分内三十一秒冬至甲申年甲子月丙寅朔庚辰日酉初二刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月辛酉朔乙酉夜子初二刻八分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月乙酉朔辛卯日卯初二刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月己卯朔丙申日午初二刻三分内三十一秒冬至戊子年壬子月癸酉朔辛丑日酉初二刻一分内一秒冬至 应闰己未年至此十一闰又一纪己丑年甲子月丁酉朔丙午夜子初一刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月辛卯朔壬子日卯初一刻十一分内一秒冬至 应闰辛卯年戊子月乙卯朔丁巳日午初一刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月庚戌朔壬戌日酉初一刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月甲辰朔丁卯夜子初一刻三分内三十一秒冬至 应闰甲午年甲子月戊辰朔癸酉日卯初一刻一分内一秒冬至乙未年丙子月壬戌朔戊寅日午初初刻十三分内三十一秒冬至丙申年戊子月丁巳朔癸未日酉初初刻十一分内一秒冬至 应闰丁酉年庚子月辛巳朔戊子夜子初初刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月乙亥朔甲午日卯初初刻六分内一秒冬至 应闰己亥年甲子月戊戌朔己亥日午初初刻三分内三十一秒冬至庚子年丙子月癸巳朔甲辰日酉初初刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月丁亥朔己酉日亥正三刻十三分内三十一秒冬至 应闰六十二章壬寅年庚子月辛亥朔乙卯日寅正三刻十一分内一秒冬至癸卯年壬子月丙午朔庚申日巳正三刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月庚子朔乙丑日申正三刻六分内一秒冬至 应闰乙巳年丙子月甲子朔庚午日亥正三刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月己未朔丙子日寅正三刻一分内一秒冬至丁未年庚子月癸丑朔辛巳日巳正二刻十三分内三十一秒冬至 应闰戊申年壬子月丁丑朔丙戌日申正二刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月辛未朔辛卯日亥正二刻八分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月乙未朔丁酉日寅正二刻六分内一秒冬至辛亥年戊子月己丑朔壬寅日巳正二刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月甲申朔丁未日申正二刻一分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月戊申朔壬子日亥正一刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月壬寅朔戊午日寅正一刻十一分内一秒冬至乙卯年丙子月丙申朔癸亥日巳正一刻八分内三十一秒冬至 应闰丙辰年戊子月庚申朔戊辰日申正一刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月甲寅朔癸酉日亥正一刻三分内三十一秒冬至 应闰己丑年至此十一闰一纪缩一年下起戊午戊午年壬子月戊寅朔己卯日寅正一刻一分内一秒冬至己未年甲子月癸酉朔甲申日巳正初刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月丁卯朔己丑日申正初刻十一分内一秒冬至 应闰六十三章辛酉年戊子月辛卯朔甲午日亥正初刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丙戌朔庚子日寅正初刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月庚辰朔乙巳日巳正初刻三分内三十一秒冬至 应闰甲子年甲子月甲辰朔庚戌日申正初刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月戊戌朔乙卯日亥初三刻十三分内三十一秒冬至丙寅年戊子月壬辰朔辛酉日寅初三刻十一分内一秒冬至 应闰丁卯年庚子月丙辰朔丙寅日巳初三刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月辛亥朔辛未日申初三刻六分内一秒冬至 应闰己巳年甲子月乙亥朔丙子日亥初三刻三分内三十一秒冬至庚午年丙子月己巳朔壬午日寅初三刻一分内一秒冬至辛未年戊子月癸亥朔丁亥日巳初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰壬申年庚子月丁亥朔壬辰日申初二刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月壬午朔丁酉日亥初二刻八分内三十一秒冬至甲戌年甲子月丙子朔癸卯日寅初二刻六分内一秒冬至 应闰乙亥年丙子月庚子朔戊申日巳初二刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月甲午朔癸丑日申初二刻一分内一秒冬至 应闰丁丑年庚子月戊午朔日亥初一刻十三分内三十一秒冬至戊寅年壬子月壬子朔甲子日寅初一刻十一分内一秒冬至己卯年甲子月丁未朔己巳日巳初一刻八分内三十一秒冬至 应闰六十四章庚辰年丙子月辛未朔甲戌日申初一刻六分内一秒冬至辛巳年戊子月乙丑朔己卯日亥初一刻三分内三十一秒冬至壬午年庚子月己未朔乙酉日寅初一刻一分内一秒冬至 应闰癸未年壬子月癸未朔庚寅日巳初初刻十三分内三十一秒冬至甲申年甲子月戊寅朔乙未日申初初刻十一分内一秒冬至乙酉年丙子月壬申朔庚子日亥初初刻八分内三十一秒冬至 应闰丙戌年戊子月丙申朔丙午日寅初初刻六分内一秒冬至丁亥年庚子月辛卯朔辛亥日巳初初刻三分内三十一秒冬至 应闰戊午年至此十一闰为一纪戊子年壬子月乙卯朔丙辰日申初初刻一分内一秒冬至日躔在危十四度之四十六分己丑年甲子月己酉朔辛酉日戌正三刻十三分内三十一秒冬至庚寅年丙子月癸卯朔丁卯日丑正三刻十一分内一秒冬至 应闰辛卯年戊子月丁卯朔壬申日辰正三刻八分内三十一秒冬至壬辰年庚子月辛酉朔丁丑日未正三刻六分内一秒冬至癸巳年壬子月乙卯朔壬午日戌正三刻三分内三十一秒冬至 应闰甲午年甲子月己卯朔戊子日丑正三刻一分内一秒冬至乙未年丙子月甲戌朔癸巳日辰正二刻十三分内三十一秒冬至 应闰丙申年戊子月戊戌朔日未正二刻十一分内一秒冬至丁酉年庚子月壬辰朔癸卯日戌正二刻八分内三十一秒冬至戊戌年壬子月丁亥朔己酉日丑正二刻六分内一秒冬至 应闰六十五章己亥年甲子月辛亥朔甲寅日辰正二刻三分内三十一秒冬至庚子年丙子月乙巳朔己未日未正二刻一分内一秒冬至辛丑年戊子月己亥朔甲子日戌正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰壬寅年庚子月癸亥朔庚午日丑正一刻十一分内一秒冬至癸卯年壬子月丁巳朔乙亥日辰正一刻八分内三十一秒冬至甲辰年甲子月辛亥朔庚辰日未正一刻六分内一秒冬至 应闰乙巳年丙子月乙亥朔乙酉日戌正一刻三分内三十一秒冬至丙午年戊子月庚午朔辛卯日丑正一刻一分内一秒冬至 应闰丁未年庚子月甲午朔丙申日辰正初刻十三分内三十一秒冬至戊申年壬子月戊子朔辛丑日未正初刻十一分内一秒冬至己酉年甲子月癸未朔丙午日戌正初刻八分内三十一秒冬至 应闰庚戌年丙子月丁未朔壬子日丑正初刻六分内一秒冬至辛亥年戊子月辛丑朔丁巳日辰正初刻三分内三十一秒冬至壬子年庚子月乙未朔壬戌日未正初刻一分内一秒冬至 应闰癸丑年壬子月己未朔丁卯日戌初三刻十三分内三十一秒冬至甲寅年甲子月癸丑朔癸酉日丑初三刻十一分内一秒冬至 应闰乙卯年丙子月丁丑朔戊寅日辰初三刻八分内三十一秒冬至丙辰年戊子月壬申朔癸未日未初三刻六分内一秒冬至丁巳年庚子月丙寅朔戊子日戌初三刻三分内三十一秒冬至 应闰六十六章戊子年至此十一闰又一纪戊午年壬子月庚寅朔甲午日丑初三刻一分内一秒冬至己未年甲子月甲申朔己亥日辰初二刻十三分内三十一秒冬至庚申年丙子月己卯朔甲辰日未初二刻十一分内一秒冬至 应闰辛酉年戊子月癸卯朔己酉日戌初二刻八分内三十一秒冬至壬戌年庚子月丁酉朔乙卯日丑初二刻六分内一秒冬至癸亥年壬子月壬辰朔庚申日辰初二刻三分内三十一秒冬至 应闰甲子年甲子月丙辰朔乙丑日未初二刻一分内一秒冬至乙丑年丙子月庚戌朔庚午日戌初一刻十三分内三十一秒冬至 应闰丙寅年戊子月甲戌朔丙子日丑初一刻十一分内一秒冬至丁卯年庚子月戊辰朔辛巳日辰初一刻八分内三十一秒冬至戊辰年壬子月癸亥朔丙戌日未初一刻六分内一秒冬至 应闰己巳年甲子月丁亥朔辛卯日戌初一刻三分内三十一秒冬至庚午年丙子月辛巳朔丁酉日丑初一刻一分内一秒冬至辛未年戊子月乙亥朔壬寅日辰初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰壬申年庚子月己亥朔丁未日未初初刻十一分内一秒冬至癸酉年壬子月癸巳朔壬子日戌初初刻八分内三十一秒冬至 应闰甲戌年甲子月丁巳朔戊午日丑初初刻六分内一秒冬至乙亥年丙子月壬子朔癸亥日辰初初刻三分内三十一秒冬至丙子年戊子月丙午朔戊辰日未初初刻一分内一秒冬至 应闰六十七章丁丑年庚子月庚午朔癸酉日酉正三刻十三分内三十一秒冬至 戊寅年天正壬子月乙丑朔己卯日子正三刻十一分内一秒冬至自丁丑年以上一千二百七十四年葢史称盘古及三皇之世惜无在位年数可纪自此以后推得戊寅为伏羲氏元年用寅正为岁首故其年天正冬至具于此年以便推算其说已详首卷又考经史纪年唐虞曰载夏曰岁商曰祀周曰年唐虞以前无考今姑以岁称之太昊伏羲氏史穪首以木徳继天而王在位一百十五岁戊寅元岁春正月甲子朔十一月甲申日卯正三刻八分内三十一秒冬至 正月建甲寅朔日建甲子说见首卷下己卯二岁正月己未朔十一月己丑日午正三刻六分内一秒冬至 应闰庚辰三岁正月癸未朔十一月甲午日酉正三刻三分内三十一秒冬至辛巳四岁正月丁丑朔十一月庚子日子正三刻一分内一秒冬至壬午五岁正月辛未朔十一月乙巳日卯正二刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸未六岁正月乙未朔十一月庚戌日午正二刻十一分内一秒冬至甲申七岁正月庚寅朔十一月乙卯日酉正二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙酉八岁正月甲寅朔十一月辛酉日子正二刻六分内一秒冬至丙戌九岁正月戊申朔十一月丙寅日卯正二刻三分内三十一秒冬至丁亥十岁正月壬寅朔十一月辛未日午正二刻一分内一秒冬至 应闰戊午年至此十一闰又一纪戊子十一岁正月丙寅朔十一月丙子日酉正一刻十三分内三十一秒冬至己丑十二岁正月辛酉朔十一月壬午日子正一刻十一分内一秒冬至庚寅十三岁正月乙卯朔十一月丁亥日卯正一刻八分内三十一秒冬至 应闰辛卯十四岁正月己卯朔十一月壬辰日午正一刻六分内一秒冬至壬辰十五岁正月癸酉朔十一月丁酉日酉正一刻三分内三十一秒冬至癸巳十六岁正月戊辰朔十一月癸卯日子正一刻一分内一秒冬至 应闰甲午十七岁正月壬辰朔十一月戊申日卯正初刻十三分内三十一秒冬至乙未十八岁正月丙戌朔十一月癸丑日午正初刻十一分内一秒冬至 应闰六十八章丙申十九岁正月庚戌朔十一月戊午日酉正初刻八分内三十一秒冬至丁酉二十岁正月甲辰朔十一月甲子日子正初刻六分内一秒冬至戊戌二十一岁正月戊戌朔十一月己巳日卯正初刻三分内三十一秒冬至 应闰己亥二十二岁正月壬戌朔十一月甲戌日午正初刻一分内一秒冬至日躔在危十三度之四十六分全史日至源流卷六
## 卷七
钦定四库全书全史日至源流卷七山东道御史许伯政撰壬子运七(每期三百六十五日二时七刻十二分一十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十五秒小寒十四日八时四刻五分零五秒大寒十四日九时一刻十分二十秒立春十四日十时一刻六分二十秒雨水十四日十一时三刻四分二十秒惊蛰十五日零七刻零一十五秒春分十五日二时三刻九分零五秒清明十五日四时零八分零五秒榖雨十五日五时四刻八分一十秒立夏十五日六时七刻零一十五秒小满十五日八时零三分一十秒芒种十五日八时三刻十分一十五秒夏至十五日八时七刻零一十五秒小暑十五日八时五刻三分一十五秒大暑十五日八时零八分一十五秒立秋十五日七时零一十一分一十五秒处暑十五日五时六刻六分一十五秒白露十五日四时三刻九分二十秒秋分十五日二时四刻十一分二十五秒寒露十五日一时一刻八分二十秒霜降十四日十一时五刻五分一十五秒立冬十四日十时二刻十一分二十五秒小雪十四日九时二刻十二分二十秒大雪十四日八时五刻十分一十五秒庚子二十三岁正月丁巳朔十一月己卯日酉初三刻十三分内一十一秒冬至辛丑二十四岁正月辛亥朔十一月甲申夜子初三刻十分内二十一秒冬至 应闰壬寅二十五岁正月乙亥朔十一月庚寅日卯初三刻七分内三十一秒冬至癸卯二十六岁正月己巳朔十一月乙未日午初三刻四分内四十一秒冬至 应闰甲辰二十七岁正月癸巳朔十一月庚子日酉初三刻一分内五十一秒冬至乙巳二十八岁正月戊子朔十一月乙巳夜子初二刻十四分内一秒冬至丙午二十九岁正月壬午朔十一月辛亥日卯初二刻十一分内一十一秒冬至 应闰丁未三十岁正月丙午朔十一月丙辰日午初二刻八分内三十一秒冬至戊申三十一岁正月辛丑朔十一月辛酉日酉初二刻五分内三十一秒冬至己酉三十二岁正月乙未朔十一月丙寅夜子初二刻二分内四十一秒冬至 应闰庚戌三十三岁正月己未朔十一月壬申日卯初一刻十四分内五十一秒冬至辛亥三十四岁正月癸丑朔十一月丁丑日午初一刻十一分内一秒冬至壬子三十五岁正月丁未朔十一月壬午日酉初一刻九分内一十一秒冬至 应闰癸丑三十六岁正月辛未朔十一月丁亥夜子初一刻六分内二十一秒冬至甲寅三十七岁正月乙丑朔十一月癸巳日卯初一刻三分内三十一秒冬至 应闰六十九章乙卯三十八岁正月己丑朔十一月戊戌日午初初刻十五分内四十一秒冬至丙辰三十九岁正月甲申朔十一月癸卯日酉初初刻十二分内五十一秒冬至丁巳四十岁正月戊寅朔十一月戊申夜子初初刻十分内一秒冬至 应闰戊子年至此十一闰又一纪戊午四十一岁正月壬寅朔十一月甲寅日卯初初刻七分内一十一秒冬至己未四十二岁正月丁酉朔十一月己未日午初初刻四分内一十一秒冬至庚申四十三岁正月辛卯朔十一月甲子日酉初初刻一分内三十一秒冬至 应闰辛酉四十四岁正月乙卯朔十一月己巳日亥正三刻十三分内四十一秒冬至壬戌四十五岁正月己酉朔十一月乙亥日寅正三刻十分内五十一秒冬至 应闰癸亥四十六岁正月癸酉朔十一月庚辰日巳正三刻八分内一秒冬至甲子四十七岁正月丁卯朔十一月乙酉日申正三刻五分内一十一秒冬至乙丑四十八岁正月壬戌朔十一月庚寅日亥正三刻二分内二十一秒冬至 应闰丙寅四十九岁正月丙戌朔十一月丙申日寅正二刻十四分内三十一秒冬至丁卯五十岁正月庚辰朔十一月辛丑日巳正二刻十一分内四十一秒冬至戊辰五十一岁正月甲戌朔十一月丙午日申正二刻八分内五十一秒冬至 应闰己巳五十二岁正月戊戌朔十一月辛亥日亥正二刻六分内一秒冬至庚午五十三岁正月癸巳朔十一月丁巳日寅正二刻三分内一十一秒冬至辛未五十四岁正月丁亥朔十一月壬戌日巳正一刻十五分内二十一秒冬至 应闰壬申五十五岁正月辛亥朔十一月丁卯日申正一刻十二分内三十一秒冬至癸酉五十六岁正月乙巳朔十一月壬申日亥正一刻九分内四十一秒冬至 应闰七十章甲戌五十七岁正月己巳朔十一月戊寅日寅正一刻六分内五十一秒冬至乙亥五十八岁正月甲子朔十一月癸未日巳正一刻四分内一秒冬至丙子五十九岁正月戊午朔十一月戊子日申正一刻一分内一十一秒冬至 应闰丁丑六十岁正月壬午朔十一月癸巳日亥正初刻十三分内二十一秒冬至戊寅六十一岁正月丙子朔十一月己亥日寅正初刻十分内三十一秒冬至己卯六十二岁正月庚午朔十一月甲辰日巳正初刻七分内四十一秒冬至 应闰庚辰六十三岁正月甲午朔十一月己酉日申正初刻四分内五十一秒冬至辛巳六十四岁正月己丑朔十一月甲寅日亥正初刻二分内一秒冬至 应闰壬午六十五岁正月癸丑朔十一月庚申日寅初三刻十四分内一十一秒冬至癸未六十六岁正月丁未朔十一月己丑日巳初三刻十一分内三十一秒冬至甲申六十七岁正月壬寅朔十一月庚午日申初二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙酉六十八岁正月丙寅朔十一月乙亥日亥初三刻五分内四十一秒冬至丙戌六十九岁正月庚申朔十一月辛巳日寅初三刻二分内五十一秒冬至丁亥七十岁正月甲寅朔十一月丙戌日巳初二刻十五分内一秒冬至 应闰戊午年至此十一闰又一纪戊子七十一岁正月戊寅朔十一月辛卯日申初二刻十二分内一十一秒冬至己丑七十二岁正月壬申朔十一月丙申日亥初二刻九分内二十一秒冬至庚寅七十三岁正月丁卯朔十一月壬寅日寅初二刻六分内三十一秒冬至 应闰辛卯七十四岁正月辛卯朔十一月丁未日巳初二刻三分内四十一秒冬至壬辰七十五岁正月乙酉朔十一月壬子日申初一刻十五分内五十一秒冬至 应闰七十一章癸巳七十六岁正月己酉朔十一月丁巳日亥初一刻十三分内一秒冬至甲午七十七岁正月甲辰朔十一月癸亥日寅初一刻十分内一十一秒冬至乙未七十八岁正月戊戌朔十一月戊辰日巳初一刻七分内二十一秒冬至 应闰丙申七十九岁正月壬戌朔十一月癸酉日申初一刻四分内三十一秒冬至丁酉八十岁正月丙辰朔十一月戊寅日亥初一刻一分内四十一秒冬至戊戌八十一岁正月庚戌朔十一月甲申日寅初初刻十三分内五十一秒冬至 应闰己亥八十二岁正月甲戌朔十一月己丑日巳初初刻十一分内一秒冬至庚子八十三岁正月戊辰朔十一月甲午日申初初刻八分内一十一秒冬至 应闰辛丑八十四岁正月癸巳朔十一月己亥日亥初初刻五分内二十一秒冬至壬寅八十五岁正月戊子朔十一月乙巳日寅初初刻二分内三十一秒冬至癸卯八十六岁正月壬午朔十一月庚戌日辰正三刻十四分内四十一秒冬至 应闰甲辰八十七岁正月丙午朔十一月乙卯日未正三刻十一分内五十一秒冬至乙巳八十八岁正月庚子朔十一月庚申日戌正三刻九分内一秒冬至丙午八十九岁正月甲午朔十一月丙寅日丑正三刻六分内一十一秒冬至 应闰丁未九十岁正月戊午朔十一月辛未日辰正三刻三分内二十一秒冬至戊申九十一岁正月癸丑朔十一月丙子日未正二刻十五分内三十一秒冬至己酉九十二岁正月丁未朔十一月辛巳日戌正二刻十二分内四十一秒冬至 应闰庚戌九十三岁正月辛未朔十一月丁亥日丑正二刻九分内五十一秒冬至辛亥九十四岁正月乙丑朔十一月壬辰日辰正一刻七分内一秒冬至日躔在危十二度之四十六分应闰七十二章壬子九十五岁正月己丑朔十一月丁酉日未正二刻四分内一十一秒冬至癸丑九十六岁正月甲申朔十一月壬寅日戌正二刻一分内二十一秒冬至甲寅九十七岁正月戊寅朔十一月戊申日丑正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰乙卯九十八岁正月壬寅朔十一月癸丑日辰正一刻十分内四十一秒冬至丙辰九十九岁正月丙申朔十一月戊午日未正一刻七分内五十一秒冬至丁巳一百岁正月庚寅朔十一月癸亥日戌正一刻五分内一秒冬至 应闰戊子年至此十一闰又一纪戊午百一岁正月甲寅朔十一月己巳日丑正一刻二分内一十一秒冬至己未百二岁正月己酉朔十一月甲戌日辰正初刻十四分内二十一秒冬至 应闰庚申百三岁正月癸酉朔十一月己卯日未正初刻十一分内三十一秒冬至辛酉百四岁正月丁卯朔十一月甲申日戌正初刻八分内四十一秒冬至壬戌百五岁正月辛酉朔十一月庚寅日丑正初刻五分内五十一秒冬至 应闰癸亥百六岁正月乙酉朔十一月乙未日辰正初刻三分内一秒冬至甲子百七岁正月庚辰朔十一月庚子日未初三刻十五分内一十一秒冬至乙丑百八岁正月甲戌朔十一月乙巳日戌初三刻十二分内二十一秒冬至 应闰丙寅百九岁正月戊戌朔十一月辛亥日丑初二刻九分内三十一秒冬至丁卯百十岁正月壬辰朔十一月丙辰日辰初三刻六分内四十一秒冬至戊辰百十一岁正月丙戌朔十一月辛酉日未初三刻三分内五十一秒冬至 应闰己巳百十二岁正月辛亥朔十一月丙寅日戌初三刻一分内一秒冬至庚午百十三岁正月乙巳朔十一月壬申日丑初一刻十三分内一十一秒冬至 应闰七十三章辛未百十四岁正月己巳朔十一月丁巳日辰初二刻十分内二十一秒冬至壬申百十五岁正月癸亥朔十一月壬午日未初二刻七分内三十一秒冬至女娲氏史与太昊同母生而神灵太昊没共工氏作乱女娲氏诛之以治天下在位百三十岁癸酉元岁正月丁巳朔十一月丁亥日戌初二刻四分内四十一秒冬至 应闰甲戌二岁正月辛巳朔十一月癸巳日丑初二刻一分内五十一秒冬至乙亥三岁正月丙子朔十一月戊戌日辰初一刻十四分内一秒冬至丙子四岁正月庚午朔十一月癸卯日未初一刻十一分内一十一秒冬至 应闰丁丑五岁正月甲午朔十一月戊申日戌初一刻八分内二十一秒冬至戊寅六岁正月戊子朔十一月甲寅日丑初一刻五分内三十一秒冬至 应闰己卯七岁正月壬子朔十一月己未日辰初一刻二分内四十一秒冬至庚辰八岁正月丁未朔十一月甲子日未初初刻十四分内五十一秒冬至辛巳九岁正月辛丑朔十一月己巳日戌初初刻十二分内一秒冬至 应闰壬午十岁正月乙丑朔十一月乙亥日丑初初刻九分内一十一秒冬至癸未十一岁正月己未朔十一月庚辰日辰初初刻六分内二十一秒冬至甲申十二岁正月癸丑朔十一月乙酉日未初初刻三分内三十一秒冬至 应闰乙酉十三岁正月丁丑朔十一月庚寅日酉正三刻十五分内四十一秒冬至丙戌十四岁正月壬申朔十一月丙申日子正三刻十二分内五十一秒冬至丁亥十五岁正月丙寅朔十一月辛丑日卯正三刻十分内一秒冬至 应闰戊午年至此十一闰又一纪戊子十六岁正月庚寅朔十一月丙午日午正三刻七分内一十一秒冬至己丑十七岁正月乙酉朔十一月辛亥日酉正三刻四分内二十一秒冬至 应闰七十四章庚寅十八岁正月己酉朔十一月丁巳日子正三刻一分内三十一秒冬至辛卯十九岁正月癸卯朔十一月壬戌日卯正二刻十三分内四十一秒冬至壬辰二十岁正月丁酉朔十一月丁卯日午正二刻十分内五十一秒冬至 应闰癸巳二十一岁正月辛酉朔十一月壬申日酉正二刻八分内一秒冬至甲午二十二岁正月乙卯朔十一月丙寅日子正二刻五分内一十一秒冬至乙未二十三岁正月己酉朔十一月癸未日卯正二刻二分内二十一秒冬至 应闰丙申二十四岁正月癸酉朔十一月戊子日午正一刻十四分内三十一秒冬至丁酉二十五岁正月戊辰朔十一月癸巳日酉正一刻十一分内四十一秒冬至 应闰戊戌二十六岁正月壬辰朔十一月己亥日子正一刻八分内五十一秒冬至己亥二十七岁正月丁亥朔十一月甲辰日卯正一刻六分内一秒冬至庚子二十八岁正月辛巳朔十一月己酉日午正一刻三分内一十一秒冬至 应闰辛丑二十九岁正月乙巳朔十一月甲寅日酉正初刻十五分内二十一秒冬至壬寅三十岁正月己亥朔十一月庚申日子正初刻十二分内三十一秒冬至癸卯三十一岁正月癸巳朔十一月乙丑日卯正初刻九分内四十一秒冬至 应闰甲辰三十二岁正月丁巳朔十一月庚午日午正初刻六分内五十一秒冬至乙巳三十三岁正月壬子朔十一月乙亥日酉正初刻四分内一秒冬至丙午三十四岁正月丙午朔十一月辛巳日子正初刻一分内一十一秒冬至 应闰丁未三十五岁正月庚午朔十一月丙戌日卯初三刻十三分内二十一秒冬至戊申三十六岁正月甲子朔十一月辛卯日午初三刻十分内三十一秒冬至 应闰七十五章己酉三十七岁正月戊子朔十一月丙申日酉初三刻七分内四十一秒冬至庚戌三十八岁正月癸未朔十一月辛丑夜子初三刻四分内五十一秒冬至辛亥三十九岁正月丁丑朔十一月丁未日卯初三刻二分内一秒冬至 应闰壬子四十岁正月辛丑朔十一月壬子日午初二刻十四分内一十一秒冬至癸丑四十一岁正月乙未朔十一月丁巳日酉初二刻十一分内一十一秒冬至甲寅四十二岁正月己丑朔十一月壬戌夜子初二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙卯四十三岁正月癸丑朔十一月戊辰日卯初二刻五分内四十一秒冬至丙辰四十四岁正月戊申朔十一月癸酉日午初二刻二分内五十一秒冬至 应闰戊子年至此十一闰一纪缩一年下起丁巳丁巳四十五岁正月壬申朔十一月戊寅日酉初一刻十五分内一秒冬至戊午四十六岁正月丙寅朔十一月癸未夜子初一刻十二分内十一秒冬至己未四十七岁正月庚申朔十一月己丑日卯初一刻九分内二十一秒冬至 应闰庚申四十八岁正月甲申朔十一月甲午日午初一刻六分内三十一秒冬至辛酉四十九岁正月戊寅朔十一月己亥日酉初一刻三分内四十一秒冬至壬戌五十岁正月癸酉朔十一月甲辰夜子初初刻十五分内五十一秒冬至 应闰癸亥五十一岁正月丁酉朔十一月庚戌日卯初初刻十三分内一秒冬至日躔在危十一度之四十六分甲子五十二岁正月辛卯朔十一月乙卯日午初初刻十分内一十一秒冬至乙丑五十三岁正月丙戌朔十一月庚申日酉初初刻七分内二十一秒冬至 应闰丙寅五十四岁正月庚戌朔十一月乙丑夜子初初刻四分内三十一秒冬至丁卯五十五岁正月甲辰朔十一月辛未日卯初初刻十分内四十一秒冬至 应闰七十六章戊辰五十六岁正月戊辰朔十一月丙子日巳正三刻十三分内五十一秒冬至己巳五十七岁正月壬戌朔十一月辛巳日申正三刻十一分内一秒冬至庚午五十八岁正月丙辰朔十一月丙戌日亥正三刻八分内一十一秒冬至 应闰辛未五十九岁正月庚辰朔十一月壬辰日寅正三刻五分内二十一秒冬至壬申六十岁正月乙亥朔十一月丁酉日巳正三刻二分内三十一秒冬至癸酉六十一岁正月乙巳朔十一月壬寅日申正二刻十四分内四十一秒冬至 应闰甲戌六十二岁正月癸巳朔十一月丁未日亥正二刻十一分内五十一秒冬至乙亥六十三岁正月丁亥朔十一月癸丑日寅正二刻九分内一秒冬至 应闰丙子六十四岁正月辛亥朔十一月戊午日巳正二刻六分内一十一秒冬至丁丑六十五岁正月丙午朔十一月癸亥日申正二刻三分内二十一秒冬至戊寅六十六岁正月庚子朔十一月戊辰日亥正一刻十五分内三十一秒冬至 应闰己卯六十七岁正月甲子朔十一月甲戌日寅正一刻十二分内四十一秒冬至庚辰六十八岁正月戊午朔十一月己卯日巳正一刻九分内五十一秒冬至辛巳六十九岁正月壬子朔十一月甲申日申正一刻七分内一秒冬至 应闰壬午七十岁正月丙子朔十一月己丑日亥正一刻四分内一十一秒冬至癸未七十一岁正月辛未朔十一月乙未日寅正一刻一分内二十一秒冬至甲申七十二岁正月乙丑朔十一月庚子日巳正初刻十三分内三十一秒冬至 应闰乙酉七十三岁正月己丑朔十一月乙巳日申正初刻十分内四十一秒冬至丙戌七十四岁正月癸未朔十一月庚戌日亥正初刻七分内五十一秒冬至 应闰七十七章丁巳年至此十一闰又一纪丁亥七十五岁正月丁未朔十一月丙辰日寅正初刻五分内一秒冬至戊子七十六岁正月壬寅朔十一月辛酉日巳正初刻二分内一十一秒冬至己丑七十七岁正月丙申朔十一月丙寅日申初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰庚寅七十八岁正月庚申朔十一月辛未日亥初三刻十一分内三十一秒冬至辛卯七十九岁正月甲寅朔十一月丁丑日寅初三刻八分内四十一秒冬至壬辰八十岁正月己酉朔十一月壬午日巳初三刻五分内五十一秒冬至 应闰癸巳八十一岁正月癸酉朔十一月丁亥日申初三刻三分内一秒冬至甲午八十二岁正月丁卯朔十一月壬辰日亥初二刻十五分内一十一秒冬至 应闰乙未八十三岁正月辛卯朔十一月戊戌日寅初二刻十二分内二十一秒冬至丙申八十四岁正月乙酉朔十一月癸卯日巳初二刻九分内三十一秒冬至丁酉八十五岁正月己卯朔十一月戊申日申初二刻六分内四十一秒冬至 应闰戊戌八十六岁正月癸卯朔十一月癸丑日亥初二刻三分内五十一秒冬至己亥八十七岁正月戊戌朔十一月己未日寅初二刻一分内一秒冬至庚子八十八岁正月壬辰朔十一月甲子日巳初一刻十三分内一十一秒冬至 应闰辛丑八十九岁正月丙辰朔十一月己巳日申初一刻十分内二十一秒冬至壬寅九十岁正月庚戌朔十一月甲戌日亥初一刻七分内三十一秒冬至癸卯九十一岁正月乙巳朔十一月庚辰日寅初一刻四分内四十一秒冬至 应闰甲辰九十二岁正月己巳朔十一月乙酉日巳初一刻一分内五十一秒冬至乙巳九十三岁正月癸亥朔十一月庚寅日申初初刻十四分内一秒冬至 应闰七十八章丙午九十四岁正月丁亥朔十一月乙未日亥初初刻十一分内一十一秒冬至丁未九十五岁正月辛巳朔十一月辛丑日寅初初刻八分内二十一秒冬至戊申九十六岁正月丙子朔十一月丙午日巳初初刻五分内三十一秒冬至 应闰己酉九十七岁正月庚子朔十一月辛亥日申初初刻二分内四十一秒冬至庚戌九十八岁正月甲午朔十一月丙辰日戌正三刻十四分内五十一秒冬至辛亥九十九岁正月戊子朔十一月壬戌日丑正三刻十二分内一秒冬至壬子一百岁正月壬子朔十一月丁卯日辰正三刻九分内一十一秒冬至癸丑百一岁正月丁未朔十一月壬申日未正三刻六分内二十一秒冬至 应闰甲寅百二岁正月辛未朔十一月丁丑日戌正三刻三分内三十一秒冬至乙卯百三岁正月乙丑朔十一月癸未日丑正二刻十五分内四十一秒冬至丙辰百四岁正月己未朔十一月戊子日辰正二刻十二分内五十一秒冬至 应闰丁亥年至此十一闰又一纪丁巳百五岁正月癸未朔十一月癸巳日未正二刻十分内一秒冬至戊午百六岁正月丁丑朔十一月戊戌日戌正二刻七分内一十一秒冬至己未百七岁正月壬申朔十一月甲辰日丑正二刻四分内二十一秒冬至 应闰庚申百八岁正月丙申朔十一月己酉日辰正二刻一分内三十一秒冬至辛酉百九岁正月辛卯朔十一月甲寅日未正一刻十三分内四十一秒冬至壬戌百十岁正月乙酉朔十一月己未日戌正一刻十分内五十一秒冬至 应闰癸亥百十一岁正月己酉朔十一月乙丑日丑正一刻八分内一秒冬至甲子百十二岁正月癸卯朔十一月庚午日辰正一刻五分内一十一秒冬至 应闰七十九章乙丑百十三岁正月丁卯朔十一月乙亥日未正一刻二分内二十一秒冬至丙寅百十四岁正月辛酉朔十一月庚辰日戌正初刻十四分内三十一秒冬至丁卯百十五岁正月乙卯朔十一月丙戌日丑正初刻十一分内四十一秒冬至 应闰戊辰百十六岁正月己卯朔十一月辛卯日辰正初刻八分内五十一秒冬至己巳百十七岁正月甲戌朔十一月丙申日未正初刻六分内一秒冬至庚午百十八岁正月戊辰朔十一月辛丑日戌正初刻三分内一十一秒冬至 应闰辛未百十九岁正月壬辰朔十一月丁未日丑初三刻十五分内二十一秒冬至壬申百二十岁正月丁亥朔十一月壬子日辰初三刻十二分内三十一秒冬至 应闰癸酉百二十一岁正月辛亥朔十一月丁巳日未初三刻九分内四十一秒冬至甲戌百二十二岁正月乙巳朔十一月壬戌日戌初三刻六分内五十一秒冬至乙亥百二十三岁正月己亥朔十一月戊辰日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在危十度之四十六分应闰全史日至源流卷七
## 卷八
钦定四库全书全史日至源流卷八山东道御史许伯政撰壬子运八(毎期三百六十五日二时七刻十一分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十四秒一十微小寒十四日八时四刻五分零四秒一十微大寒十四日九时一刻十分十九秒一十微立春十四日十时一刻六分十九秒一十微雨水十四日十一时三刻四分一十九秒一十微惊蛰十五日零七刻零一十四秒一十微春分十五日二时三刻九分零四秒一十微清明十正日四时零八分零四秒一十微榖雨十五日五时四刻八分零九秒一十微立夏十五日六时七刻零一十四秒一十微小满十五日八时零三分九秒一十微芒种十五日八时三刻十分一十四秒一十微夏至十五日八时七刻零一十四秒一十微小暑十五日八时五刻三分一十四秒一十微大暑十五日八时零八分一十四秒一十微立秋十五日七时零一十一分一十四秒一十微处暑十五日五时六刻六分一十四秒一十微白露十五日四时三刻九分十九秒一十微秋分十五日二时四刻十一分二十四秒一十微寒露十五日一时一刻八分一十九秒一十微霜降十四日十一时五刻五分一十四秒一十微立冬十四日十时二刻十一分二十四秒一十微小雪十四日九时二刻十二分一十九秒一十微大雪十四日八时五刻十分一十四秒一十微丙子百二十四岁正月癸亥朔十一月癸酉日辰初二刻十五分内五十一秒冬至丁丑百二十五岁正月丁巳朔十一月戊寅日未初二刻十二分内四十一秒冬至戊寅百二十六岁正月壬子朔十一月癸未日戌初二刻九分内三十一秒冬至 应闰己卯百二十七岁正月丙子朔十一月己丑日丑初二刻六分内二十一秒冬至庚辰百二十八岁正月庚午朔十一月甲午日辰初二刻三分内一十一秒冬至辛巳百二十九岁正月甲子朔十一月己亥日未初一刻十五分内一秒冬至 应闰壬午百三十岁正月戊子朔十一月甲辰日戌初一刻十一分内五十一秒冬至炎帝神农氏史以火徳代伏羲氏王天下在位百四十岁癸未元岁正月癸未朔十一月庚戌日丑初一刻八分内四十一秒冬至 应闰八十章甲申二岁正月丁未朔十一月乙卯日辰初一刻五分内三十一秒冬至乙酉三岁正月辛丑朔十一月庚申日未初一刻二分内二十一秒冬至丙戌四岁正月乙未朔十一月乙丑日戌初初刻十四分内一十一秒冬至 应闰丁巳年至此十一闰又一纪丁亥五岁正月己未朔十一月辛未日丑初初刻十一分内一秒冬至戊子六岁正月癸丑朔十一月丙子日辰初初刻七分内五十一秒冬至己丑七岁正月戊申朔十一月辛巳日未初初刻四分内四十一秒冬至 应闰庚寅八岁正月壬申朔十一月丙戌日戌初初刻一分内三十一秒冬至辛卯九岁正月丙寅朔十一月壬辰日子正三刻十三分内二十一秒冬至 应闰壬辰十岁正月庚寅朔十一月丁酉日卯正三刻十分内一十一秒冬至癸巳十一岁正月甲申朔十一月壬寅日午正三刻七分内一秒冬至甲午十二岁正月己卯朔十一月丁未日酉正三刻三分内五十一秒冬至 应闰乙未十三岁正月癸卯朔十一月癸丑日子正二刻十五分内四十一秒冬至丙申十四岁正月丁酉朔十一月戊午日卯正二刻十二分内三十一秒冬至丁酉十五岁正月辛卯朔十一月癸亥日午正二刻九分内二十一秒冬至 应闰戊戌十六岁正月乙卯朔十一月戊辰日酉正二刻六分内一十一秒冬至己亥十七岁正月庚戌朔十一月甲戌日子正二刻三分内一秒冬至庚子十八岁正月甲辰朔十一月己卯日卯正一刻十四分内五十一秒冬至 应闰辛丑十九岁正月戊辰朔十一月甲申日午正一刻十一分内四十一秒冬至壬寅二十岁正月壬戌朔十一月己丑日酉正一刻八分内三十一秒冬至 应闰八十一章癸卯二十一岁正月丙戌朔十一月乙未日子正一刻五分内二十一秒冬至甲辰二十二岁正月庚辰朔十一月庚子日卯正一刻二分内一十一秒冬至乙巳二十三岁正月乙亥朔十一月乙巳日午正初刻十四分内一秒冬至 应闰丙午二十四岁正月己亥朔十一月庚戌日酉正初刻十分内五十一秒冬至丁未二十五岁正月癸巳朔十一月丙辰日子正初刻七分内四十一秒冬至戊申二十六岁正月戊子朔十一月辛酉日卯正初刻四分内三十一秒冬至 应闰己酉二十七岁正月壬子朔十一月丙寅日午正初刻一分内二十一秒冬至庚戌二十八岁正月丙午朔十一月辛未日酉初三刻十三分内一十一秒冬至 应闰辛亥二十九岁正月庚午朔十一月丙子夜子初三刻十分内一秒冬至壬子三十岁正月甲子朔十一月壬午日卯初三刻六分内五十一秒冬至癸丑三十一岁正月戊午朔十一月丁亥日午初三刻三分内四十一秒冬至 应闰甲寅三十二岁正月壬午朔十一月壬辰日酉初二刻十五分内三十一秒冬至乙卯三十三岁正月丁丑朔十一月丁酉夜子初二刻十二分内二十一秒冬至丙辰三十四岁正月辛未朔十一月癸卯日卯初二刻九分内一十一秒冬至 应闰丁亥年至此十一闰又一纪丁巳三十五岁正月乙未朔十一月戊申日午初二刻六分内一秒冬至戊午三十六岁正月己丑朔十一月癸丑日酉初二刻二分内五十一秒冬至己未三十七岁正月甲申朔十一月戊午夜子初一刻十四分内四十一秒冬至 应闰庚申三十八岁正月戊申朔十一月甲子日卯初一刻十一分内三十一秒冬至辛酉三十九岁正月壬寅朔十一月己巳日午初一刻八分内二十一秒冬至 应闰八十二章壬戌四十岁正月丙寅朔十一月甲戌日酉初一刻五分内一十一秒冬至癸亥四十一岁正月庚申朔十一月己卯夜子初一刻二分内一秒冬至甲子四十二岁正月甲寅朔十一月乙酉日卯初初刻十三分内五十一秒冬至 应闰乙丑四十三岁正月戊寅朔十一月庚寅日午初初刻十分内四十一秒冬至丙寅四十四岁正月癸酉朔十一月乙未日酉初初刻七分内三十一秒冬至丁卯四十五岁正月丁卯朔十一月辛丑日子初初刻四分内二十一秒冬至 应闰戊辰四十六岁正月辛卯朔十一月丙午日卯初初刻一分内一十一秒冬至己巳四十七岁正月乙酉朔十一月辛亥日巳正三刻十三分内一秒冬至 应闰庚午四十八岁正月己酉朔十一月丙辰日申正三刻九分内五十一秒冬至辛未四十九岁正月甲辰朔十一月辛酉日亥正三刻六分内四十一秒冬至壬申五十岁正月戊戌朔十一月丁卯日寅正三刻三分内三十一秒冬至 应闰癸酉五十一岁正月壬戌朔十一月壬申日巳正二刻十五分内二十一秒冬至甲戌五十二岁正月丙辰朔十一月丁丑日申正二刻十二分内一十一秒冬至乙亥五十三岁正月辛亥朔十一月壬午日亥正二刻九分内一秒冬至 应闰丙子五十四岁正月乙亥朔十一月戊子日寅正二刻五分内五十一秒冬至丁丑五十五岁正月己巳朔十一月癸巳日巳正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五十六岁正月癸亥朔十一月戊戌日申正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰己卯五十七岁正月丁亥朔十一月癸卯日亥正一刻十一分内二十一秒冬至庚辰五十八岁正月壬午朔十一月己酉日寅正一刻八分内一十一秒冬至 应闰八十三章辛巳五十九岁正月丙午朔十一月甲寅日巳正一刻五分内一秒冬至壬午六十岁正月庚子朔十一月己未日申正一刻一分内五十一秒冬至癸未六十一岁正月甲午朔十一月甲子日亥正初刻十三分内四十一秒冬至 应闰甲申六十二岁正月戊午朔十一月庚午日寅正初刻十分内三十一秒冬至乙酉六十三岁正月癸丑朔十一月乙亥日己正初刻七分内二十一秒冬至丙戌六十四岁正月丁未朔十一月庚辰日申正初刻四分内一十一秒冬至 应闰丁巳年至此十一闰又一纪丁亥六十五岁正月辛未朔十一月乙酉日亥正初刻一分内一秒冬至日躔在危九度之四十六分戊子六十六岁正月乙丑朔十一月辛卯日寅初三刻十二分内五十一秒冬至 应闰己丑六十七岁正月己丑朔十一月丙申日巳初三刻九分内四十一秒冬至庚寅六十八岁正月甲申朔十一月辛丑日申初三刻六分内三十一秒冬至辛卯六十九岁正月戊寅朔十一月丙午日亥初三刻三分内二十一秒冬至 应闰壬辰七十岁正月壬寅朔十一月壬子日寅初二刻十五分内一十一秒冬至癸巳七十一岁正月丙申朔十一月丁巳日巳初二刻十二分内一秒冬至甲午七十二岁正月辛卯朔十一月壬戌日申初二刻八分内五十一秒冬至 应闰乙未七十三岁正月乙卯朔十一月丁卯日亥初二刻五分内四十一秒冬至丙申七十四岁正月己酉朔十一月癸酉日寅初二刻二分内三十一秒冬至丁酉七十五岁正月癸卯朔十一月戊寅日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊戌七十六岁正月丁卯朔十一月癸未日申初一刻十一分内一十一秒冬至己亥七十七岁正月辛酉朔十一月戊子日亥初一刻八分内一秒冬至 应闰八十四章庚子七十八岁正月乙酉朔十一月甲午日寅初一刻四分内五十一秒冬至辛丑七十九岁正月庚辰朔十一月己亥日巳初一刻一分内四十一秒冬至壬寅八十岁正月甲戌朔十一月甲辰日申初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸卯八十一岁正月戊戌朔十一月己酉日亥初初刻十分内二十一秒冬至甲辰八十二岁正月癸巳朔十一月乙卯日寅初初刻七分内一十一秒冬至乙巳八十三岁正月丁亥朔十一月庚申日巳初初刻四分内一秒冬至 应闰丙午八十四岁正月辛亥朔十一月乙丑日未正三刻十五分内五十一秒冬至丁未八十五岁正月乙巳朔十一月庚午日戌正三刻十二分内四十一秒冬至 应闰戊申八十六岁正月己巳朔十一月丙子日丑正三刻九分内三十一秒冬至己酉八十七岁正月癸亥朔十一月辛巳日辰正三刻六分内二十一秒冬至庚戌八十八岁正月丁巳朔十一月丙戌日未正三刻三分内一十一秒冬至 应闰辛亥八十九岁正月辛巳朔十一月辛卯日戌正二刻十五分内一秒冬至壬子九十岁正月丙子朔十一月丁酉日丑正二刻十一分内五十一秒冬至癸丑九十一岁正月庚午朔十一月壬寅日辰正二刻八分内四十一秒冬至 应闰甲寅九十二岁正月甲午朔十一月丁未日未正二刻五分内三十一秒冬至乙卯九十三岁正月己丑朔十一月壬子日戌正二刻二分内二十一秒冬至丙辰九十四岁正月癸未朔十一月戊午日丑正一刻十四分内一十一秒冬至 应闰丁亥年至此十一闰又一纪丁巳九十五岁正月丁未朔十一月癸亥日辰正一刻十一分内一秒冬至戊午九十六岁正月辛丑朔十一月戊辰日未正一刻七分内五十一秒冬至 应闰八十五章己未九十七岁正月乙丑朔十一月癸酉日戌正一刻四分内四十一秒冬至庚申九十八岁正月己未朔十一月己卯日丑正一刻一分内三十一秒冬至辛酉九十九岁正月甲寅朔十一月甲申日辰正初刻十三分内二十一秒冬至 应闰壬戌一百岁正月戊寅朔十一月己丑日未正初刻十分内一十一秒冬至癸亥百一岁正月壬申朔十一月甲午日戌正初刻七分内一秒冬至甲子百二岁正月丙寅朔十一月庚子日丑正初刻三分内五十一秒冬至 应闰乙丑百三岁正月庚寅朔十一月乙巳日辰初三刻十五分内四十一秒冬至丙寅百四岁正月乙酉朔十一月庚戌日未初三刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁卯百五岁正月己酉朔十一月乙卯日戌初三刻九分内二十一秒冬至戊辰百六岁正月癸卯朔十一月辛酉日丑初三刻六分内一十一秒冬至己巳百七岁正月丁酉朔十一月丙寅日辰初三刻三分内一秒冬至 应闰庚午百八岁正月辛酉朔十一月辛未日未初二刻十四分内五十一秒冬至辛未百九岁正月丙辰朔十一月丙子日戌初二刻十一分内四十一秒冬至壬申百十岁正月庚戌朔十一月壬午日丑初二刻八分内三十一秒冬至 应闰癸酉百十一岁正月甲戌朔十一月丁亥日辰初二刻五分内二十一秒冬至甲戌百十二岁正月戊辰朔十一月壬辰日未初二刻二分内一十一秒冬至乙亥百十三岁正月壬戌朔十一月丁酉日戌初一刻十四分内一秒冬至 应闰丙子百十四岁正月丙戌朔十一月癸卯日丑初一刻十分内五十一秒冬至丁丑百十五岁正月辛巳朔十一月戊申日辰初一刻七分内四十一秒冬至 应闰八十六章戊寅百十六岁正月乙巳朔十一月癸丑日未初一刻四分内三十一秒冬至己卯百十七岁正月己亥朔十一月戊午日戌初一刻一分内二十一秒冬至庚辰百十八岁正月甲午朔十一月甲子日丑初初刻十三分内一十一秒冬至 应闰辛巳百十九岁正月戊午朔十一月己巳日辰初初刻十分内一秒冬至壬午百二十岁正月壬子朔十一月甲戌日未初初刻六分内五十一秒冬至癸未百二十一岁正月丙午朔十一月己卯日戌初初刻三分内四十一秒冬至 应闰甲申百二十二岁正月庚午朔十一月乙酉日子正三刻十五分内三十一秒冬至乙酉百二十三岁正月甲子朔十一月庚寅日卯正三刻十二分内二十一秒冬至 应闰丁巳年至此十一闰一纪缩一年下起丙戌丙戌百二十四岁正月戊子朔十一月乙未日午正三刻九分内一十一秒冬至丁亥百二十五岁正月癸未朔十一月庚子日酉正三刻六分内一秒冬至戊子百二十六岁正月丁丑朔十一月丙午日子正三刻二分内五十一秒冬至 应闰己丑百二十七岁正月辛丑朔十一月辛亥日卯正二刻十四分内四十一秒冬至庚寅百二十八岁正月乙未朔十一月丙辰日午正二刻十一分内三十一秒冬至辛卯百二十九岁正月庚寅朔十一月辛酉日酉正二刻八分内二十一秒冬至 应闰壬辰百三十岁正月甲寅朔十一月丁卯日子正二刻五分内一十一秒冬至癸巳百三十一岁正月戊申朔十一月壬申日卯正二刻一分内一秒冬至甲午百三十二岁正月壬寅朔十一月丁丑日午正一刻十三分内五十一秒冬至 应闰乙未百三十三岁正月丙寅朔十一月壬午日酉正一刻十分内四十一秒冬至丙申百三十四岁正月庚申朔十一月戊子日子正一刻七分内三十一秒冬至 应闰八十七章丁酉百三十五岁正月甲申朔十一月癸巳日卯正一刻四分内二十一秒冬至戊戌百三十六岁正月己卯朔十一月戊戌日午正一刻一分内一十一秒冬至己亥百三十七岁正月癸酉朔十一月癸卯日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在危八度之四十六分应闰庚子百三十八岁正月丁酉朔十一月己酉日子正初刻九分内五十一秒冬至辛丑百三十九岁正月辛卯朔十一月甲寅日卯正初刻六分内四十一秒冬至壬寅百四十岁正月丙戌朔十一月己未日午正初刻三分内三十一秒冬至 应闰帝临魁史神农氏孙在位八十岁癸卯元岁正月庚戌朔十一月甲子日酉初三刻十五分内二十一秒冬至甲辰二岁正月甲辰朔十一月己巳夜子初三刻十二分内一十一秒冬至 应闰乙巳三岁正月戊辰朔十一月乙亥日卯初三刻九分内一秒冬至丙午四岁正月壬戌朔十一月庚辰日午初三刻五分内五十一秒冬至丁未五岁正月丁巳朔十一月乙酉日酉初三刻二分内四十一秒冬至 应闰戊申六岁正月辛巳朔十一月庚寅夜子初二刻十四分内三十一秒冬至己酉七岁正月乙亥朔十一月丙申日卯初二刻十一分内二十一秒冬至庚戌八岁正月己巳朔十一月辛丑日午初二刻八分内一十一秒冬至 应闰辛亥九岁正月癸巳朔十一月丙午日酉初二刻五分内一秒冬至壬子十岁正月丁亥朔十一月辛亥夜子初二刻一分内五十一秒冬至癸丑十一岁正月壬午朔十一月丁巳日卯初一刻十三分内四十一秒冬至 应闰甲寅十二岁正月丙午朔十一月壬戌日午初一刻十分内三十一秒冬至乙卯十三岁正月庚子朔十一月丁卯日酉初一刻七分内二十一秒冬至 应闰八十八章丙戌年至此十一闰为一纪丙辰十四岁正月甲子朔十一月壬申夜子初一刻四分内一十一秒冬至丁巳十五岁正月戊午朔十一月戊寅日卯初一刻一分内一秒冬至戊午十六岁正月癸丑朔十一月癸未日午初初刻十二分内五十一秒冬至 应闰己未十七岁正月丁丑朔十一月戊子日酉初初刻九分内四十一秒冬至庚申十八岁正月辛未朔十一月癸巳夜子初初刻六分内三十一秒冬至辛酉十九岁正月乙丑朔十一月己亥日卯初初刻三分内二十一秒冬至 应闰壬戌二十岁正月己丑朔十一月甲辰日巳正三刻十五分内一十一秒冬至癸亥二十一岁正月甲申朔十一月己酉日申正三刻十二分内一秒冬至 应闰甲子二十二岁正月戊申朔十一月甲寅日亥正三刻八分内五十一秒冬至乙丑二十三岁正月壬寅朔十一月庚申日寅正三刻五分内四十一秒冬至丙寅二十四岁正月丙申朔十一月乙丑日巳正三刻二分内三十一秒冬至 应闰丁卯二十五岁正月庚申朔十一月庚午日申正二刻十四分内二十一秒冬至戊辰二十六岁正月甲寅朔十一月乙亥日亥正二刻十一分内十一秒冬至己巳二十七岁正月己酉朔十一月辛巳日寅正二刻八分内一秒冬至 应闰庚午二十八岁正月癸酉朔十一月丙戌日巳正二刻四分内五十一秒冬至辛未二十九岁正月丁卯朔十一月辛卯日申正二刻一分内四十一秒冬至壬申三十岁正月壬戌朔十一月丙申日亥正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸酉三十一岁正月丙戌朔十一月壬寅日寅正一刻十分内二十一秒冬至甲戌三十二岁正月庚辰朔十一月丁未日巳正一刻七分内一十一秒冬至 应闰八十九章乙亥三十三岁正月甲辰朔十一月壬子日申正一刻四分内一秒冬至丙子三十四岁正月戊戌朔十一月丁巳日亥正初刻十五分内五十一秒冬至丁丑三十五岁正月壬辰朔十一月癸亥日寅正初刻十二分内四十一秒冬至 应闰戊寅三十六岁正月丙辰朔十一月戊辰日巳正初刻九分内三十一秒冬至己卯三十七岁正月辛亥朔十一月癸酉日申正初刻六分内二十一秒冬至庚辰三十八岁正月乙巳朔十一月戊寅日亥正初刻三分内一十一秒冬至 应闰辛巳三十九岁正月己巳朔十一月甲申日寅初三刻十五分内一秒冬至壬午四十岁正月癸亥朔十一月己丑日巳初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰癸未四十一岁正月丁亥朔十一月甲午日申初三刻八分内四十一秒冬至甲申四十二岁正月壬午朔十一月己亥日亥初三刻五分内三十一秒冬至乙酉四十三岁正月丙子朔十一月乙巳日寅初三刻二分内二十一秒冬至 应闰丙辰年至此十一闰又一纪丙戌四十四岁正月庚子朔十一月庚戌日巳初二刻十四分内一十一秒冬至丁亥四十五岁正月甲午朔十一月乙卯日申初二刻十一分内一秒冬至戊子四十六岁正月己丑朔十一月庚申日亥初二刻七分内五十一秒冬至 应闰己丑四十七岁正月癸丑朔十一月丙寅日寅初二刻四分内四十一秒冬至庚寅四十八岁正月丁未朔十一月辛未日巳初二刻一分内三十一秒冬至辛卯四十九岁正月辛丑朔十一月丙子日申初一刻十三分内二十一秒冬至 应闰壬辰五十岁正月乙丑朔十一月辛巳日亥初一刻十分内一十一秒冬至癸巳五十一岁正月己未朔十一月丁亥日寅初一刻七分内一秒冬至 应闰九十章甲午五十二岁正月癸未朔十一月壬辰日巳初一刻三分内五十一秒冬至乙未五十三岁正月戊寅朔十一月丁酉日申初初刻十五分内四十一秒冬至丙申五十四岁正月壬申朔十一月壬寅日亥初初刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁酉五十五岁正月丙申朔十一月戊申日寅初初刻九分内二十一秒冬至戊戌五十六岁正月庚寅朔十一月癸丑日巳初初刻六分内一十一秒冬至己亥五十七岁正月乙酉朔十一月戊午日申初初刻三分内一秒冬至 应闰庚子五十八岁正月己酉朔十一月癸亥日戌正三刻十四分内五十一秒冬至辛丑五十九岁正月癸卯朔十一月己巳日丑正三刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬寅六十岁正月丁卯朔十一月甲戌日辰正三刻八分内三十一秒冬至癸卯六十一岁正月辛酉朔十一月己卯日未正三刻五分内二十一秒冬至甲辰六十二岁正月乙卯朔十一月甲申日戌正三刻二分内一十一秒冬至 应闰乙巳六十三岁正月己卯朔十一月庚寅日丑正二刻十四分内一秒冬至丙午六十四岁正月甲戌朔十一月乙未日辰正二刻十分内五十一秒冬至丁未六十五岁正月戊辰朔十一月庚子日未正二刻七分内四十一秒冬至 应闰戊申六十六岁正月壬辰朔十一月乙巳日戌正二刻四分内三十一秒冬至己酉六十七岁正月丁亥朔十一月辛亥日丑正二刻一分内二十一秒冬至庚戌六十八岁正月辛巳朔十一月丙辰日辰正一刻十三分内一十一秒冬至 应闰辛亥六十九岁正月乙巳朔十一月辛酉日未正一刻十分内一秒冬至日躔在危七度之四十六分全史日至源流卷八
## 卷九
钦定四库全书全史日至源流卷九山东道御史许伯政撰壬子运九(毎期三百六十五日二时七刻十一分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十三秒二十微小寒十四日八时四刻五分零三秒二十微大寒十四日九时一刻十分一十八秒二十微立春十四日十时一刻六分一十八秒二十微雨水十四日十一时三刻四分一十八秒二十微惊蛰十五日零七刻零一十三秒二十微春分十五日二时三刻九分零三秒二十微清明十五日四时零八分零三秒二十微榖雨十五日五时四刻八分零八秒二十微立夏十五日六时七刻零一十三秒二十微小满十五日八时零三分零八秒二十微芒种十五日八时三刻十分一十三秒二十微夏至十五日八时七刻零一十三秒二十微小暑十五日八时五刻三分一十三秒二十微大暑十五日八时零八分一十三秒二十微立秋十五日七时零一十一分一十三秒二十微处暑十五日五时六刻六分一十三秒二十微白露十五日四时三刻九分一十八秒二十微秋分十五日二时四刻十一分二十三秒二十微寒露十五日一时一刻八分一十八秒二十微霜降十四日十一时五刻五分一十三秒二十微立冬十四日十时二刻十一分二十三秒二十微小雪十四日九时二刻十二分一十八秒二十微大雪十四日八时五刻十分一十三秒二十微壬子七十岁正月己亥朔十一月丙寅日戌正一刻六分内三十一秒冬至 应闰九十一章癸丑七十一岁正月癸亥朔十一月壬申日丑正一刻三分内一秒冬至甲寅七十二岁正月丁巳朔十一月丁丑日辰正初刻十四分内三十一秒冬至乙卯七十三岁正月壬子朔十一月壬午日未正初刻十一分内一秒冬至 应闰丙戌年至此十一闰又一纪丙辰七十四岁正月丙子朔十一月丁亥日戌正初刻七分内三十一秒冬至丁巳七十五岁正月庚午朔十一月癸巳日丑正初刻四分内一秒冬至戊午七十六岁正月甲子朔十一月戊戌日辰初三刻十五分内三十一秒冬至 应闰己未七十七岁正月戊子朔十一月癸卯日未初三刻十二分内一秒冬至庚申七十八岁正月癸未朔十一月戊申日戌初三刻八分内三十一秒冬至 应闰辛酉七十九岁正月丁未朔十一月甲寅日丑初三刻五分内一秒冬至壬戌八十岁正月辛丑朔十一月己未日辰初三刻一分内三十一秒冬至帝承史帝临魁子在位六十岁癸亥元岁正月乙未朔十一月甲子日未初二刻十三分内一秒冬至 应闰甲子二岁正月己未朔十一月己巳日戌初二刻九分内三十一秒冬至乙丑三岁正月甲寅朔十一月乙亥日丑初二刻六分内一秒冬至丙寅四岁正月戊申朔十一月庚辰日辰初二刻二分内三十一秒冬至 应闰丁卯五岁正月壬申朔十一月乙酉日未初一刻十四分内一秒冬至戊辰六岁正月丙寅朔十一月庚寅日戌初一刻十分内三十一秒冬至己巳七岁正月辛酉朔十一月丙申日丑初一刻七分内一秒冬至 应闰庚午八岁正月乙酉朔十一月辛丑日辰初一刻三分内三十一秒冬至辛未九岁正月己卯朔十一月丙午日未初初刻十五分内一秒冬至 应闰九十二章壬申十岁正月癸卯朔十一月辛亥日戌初初刻十一分内三十一秒冬至癸酉十一岁正月丁酉朔十一月丁巳日丑初初刻八分内一秒冬至甲戌十二岁正月辛卯朔十一月壬戌日辰初初刻四分内三十一秒冬至 应闰乙亥十三岁正月乙卯朔十一月丁卯日未初初刻一分内一秒冬至丙子十四岁正月庚戌朔十一月壬申日酉正三刻十二分内三十一秒冬至丁丑十五岁正月甲辰朔十一月戊寅日子正三刻九分内一秒冬至 应闰戊寅十六岁正月戊辰朔十一月癸未日卯正三刻五分内三十一秒冬至己卯十七岁正月壬戌朔十一月戊子日午正三刻二分内一秒冬至 应闰庚辰十八岁正月丙戌朔十一月癸巳日酉正二刻十三分内三十一秒冬至辛巳十九岁正月辛巳朔十一月己亥日子正二刻九分内一秒冬至壬午二十岁正月乙亥朔十一月甲辰日卯正二刻六分内三十一秒冬至 应闰癸未二十一岁正月己亥朔十一月己酉日午正二刻三分内一秒冬至甲申二十二岁正月癸巳朔十一月甲寅日酉正一刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十三岁正月戊子朔十一月庚申日子正一刻十一分内一秒冬至 应闰丙辰年至此十一闰又一纪丙戌二十四岁正月壬子朔十一月乙丑日卯正一刻七分内三十一秒冬至丁亥二十五岁正月丙午朔十一月庚午日午正一刻四分内一秒冬至戊子二十六岁正月庚子朔十一月乙亥日酉正初刻十五分内三十一秒冬至 应闰己丑二十七岁正月甲子朔十一月辛巳日子正初刻十二分内一秒冬至庚寅二十八岁正月戊午朔十一月丙戌日卯正初刻八分内三十一秒冬至 应闰九十三章辛卯二十九岁正月壬午朔十一月辛卯日午正初刻五分内一秒冬至壬辰三十岁正月丁丑朔十一月丙申日酉正初刻一分内三十一秒冬至癸巳三十一岁正月辛未朔十一月辛丑夜子初三刻十三分内一秒冬至 应闰甲午三十二岁正月乙未朔十一月丁未日卯初三刻九分内三十一秒冬至乙未三十三岁正月庚寅朔十一月壬子日午初三刻六分内一秒冬至丙申三十四岁正月甲申朔十一月丁巳日酉初三刻二分内三十一秒冬至 应闰丁酉三十五岁正月戊申朔十一月壬戌夜子初二刻十四分内一秒冬至戊戌三十六岁正月壬寅朔十一月戊辰日卯初二刻十分内三十一秒冬至 应闰己亥三十七岁正月丙寅朔十一月癸酉日午初二刻七分内一秒冬至庚子三十八岁正月庚申朔十一月戊寅日酉初二刻三分内三十一秒冬至辛丑三十九岁正月乙卯朔十一月癸未夜子初一刻十五分内一秒冬至 应闰壬寅四十岁正月己卯朔十一月己丑日卯初一刻十一分内三十一秒冬至癸卯四十一岁正月癸酉朔十一月甲午日午初一刻八分内一秒冬至甲辰四十二岁正月丁卯朔十一月己亥日酉初一刻四分内三十一秒冬至 应闰乙巳四十三岁正月辛卯朔十一月甲辰夜子初一刻一分内一秒冬至丙午四十四岁正月丙戌朔十一月庚戌日卯初初刻十二分内三十一秒冬至丁未四十五岁正月庚辰朔十一月乙卯日午初初刻九分内一秒冬至 应闰戊申四十六岁正月甲辰朔十一月庚申日酉初初刻五分内三十一秒冬至己酉四十七岁正月戊戌朔十一月乙丑夜子初初刻二分内一秒冬至 应闰九十四章庚戌四十八岁正月壬戌朔十一月辛未日寅正三刻十三分内三十一秒冬至辛亥四十九岁正月丁巳朔十一月丙子日巳正三刻十分内一秒冬至壬子五十岁正月辛亥朔十一月辛巳日申正三刻六分内三十一秒冬至 应闰癸丑五十一岁正月乙亥朔十一月丙戌日亥正三刻三分内一秒冬至甲寅五十二岁正月己巳朔十一月壬辰日寅正二刻十四分内三十一秒冬至乙卯五十三岁正月甲子朔十一月丁酉日巳正二刻十一分内一秒冬至 应闰丙戌年至此十一闰又一纪丙辰五十四岁正月戊子朔十一月壬寅日申正二刻七分内三十一秒冬至丁巳五十五岁正月壬午朔十一月丁未日亥正二刻四分内一秒冬至 应闰戊午五十六岁正月丙午朔十一月癸丑日寅正一刻十五分内三十一秒冬至己未五十七岁正月庚子朔十一月戊午日巳正一刻十二分内一秒冬至庚申五十八岁正月甲午朔十一月癸亥日申正一刻八分内三十一秒冬至 应闰辛酉五十九岁正月戊午朔十一月戊辰日亥正一刻五分内一秒冬至壬戌六十岁正月癸丑朔十一月甲戌日寅正一刻一分内三十一秒冬至帝明史帝承子在位四十九岁癸亥元岁正月丁未朔十一月己卯日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在危六度之四十六分 应闰甲子二岁正月辛未朔十一月甲申日申正初刻九分内三十一秒冬至乙丑三岁正月乙丑朔十一月己丑日亥正初刻六分内一秒冬至丙寅四岁正月庚申朔十一月乙未日寅正初刻二分内三十一秒冬至 应闰丁卯五岁正月甲申朔十一月庚子日巳初三刻十四分内一秒冬至戊辰六岁正月戊寅朔十一月乙巳日申初三刻十分内三十一秒冬至 应闰九十五章己巳七岁正月壬寅朔十一月庚戌日亥初三刻七分内一秒冬至庚午八岁正月丙申朔十一月丙辰日寅初三刻三分内三十一秒冬至辛未九岁正月庚寅朔十一月辛酉日巳初二刻十五分内一秒冬至 应闰壬申十岁正月甲寅朔十一月丙寅日申初二刻十一分内三十一秒冬至癸酉十一岁正月己酉朔十一月辛未日亥初二刻八分内一秒冬至甲戌十二岁正月癸卯朔十一月丁丑日寅初二刻四分内三十一秒冬至 应闰乙亥十三岁正月丁卯朔十一月壬午日巳初二刻一分内一秒冬至丙子十四岁正月壬戌朔十一月丁亥日申初一刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁丑十五岁正月丙戌朔十一月壬辰日亥初一刻九分内一秒冬至戊寅十六岁正月庚辰朔十一月戊戌日寅初一刻五分内三十一秒冬至己卯十七岁正月甲戌朔十一月癸卯日巳初一刻二分内一秒冬至 应闰庚辰十八岁正月戊戌朔十一月戊申日申初初刻十三分内三十一秒冬至辛巳十九岁正月壬辰朔十一月癸丑日亥初初刻十分内一秒冬至壬午二十岁正月丁亥朔十一月己未日寅初初刻六分内三十一秒冬至 应闰癸未二十一岁正月辛亥朔十一月甲子日巳初初刻三分内一秒冬至甲申二十二岁正月乙巳朔十一月己巳日未正三刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十三岁正月庚子朔十一月甲戌日戌正三刻十一分内一秒冬至 应闰丙辰年至此十一闰又一纪丙戌二十四岁正月甲子朔十一月庚辰日丑正三刻七分内三十一秒冬至丁亥二十五岁正月戊午朔十一月乙酉日辰正三刻四分内一秒冬至 应闰九十六章戊子二十六岁正月壬午朔十一月庚寅日未正二刻十五分内三十一秒冬至己丑二十七岁正月丙子朔十一月乙未日戌正二刻十二分内一秒冬至庚寅二十八岁正月庚午朔十一月辛丑日丑正二刻八分内三十一秒冬至 应闰辛卯二十九岁正月甲午朔十一月丙午日辰正二刻五分内一秒冬至壬辰三十岁正月己丑朔十一月辛亥日未正二刻一分内三十一秒冬至癸巳三十一岁正月癸未朔十一月丙辰日戌正一刻十三分内一秒冬至 应闰甲午三十二岁正月丁未朔十一月壬戌日丑正一刻九分内三十一秒冬至乙未三十三岁正月辛丑朔十一月丁卯日辰正一刻六分内一秒冬至 应闰丙申三十四岁正月乙丑朔十一月壬申日未正一刻二分内三十一秒冬至丁酉三十五岁正月庚申朔十一月丁丑日戌正初刻十四分内一秒冬至戊戌三十六岁正月甲寅朔十一月癸未日丑正初刻十分内三十一秒冬至 应闰己亥三十七岁正月戊寅朔十一月戊子日辰正初刻七分内一秒冬至庚子三十八岁正月壬申朔十一月癸巳日未正初刻三分内三十一秒冬至辛丑三十九岁正月丁卯朔十一月戊戌日戌初三刻十五分内一秒冬至 应闰壬寅四十岁正月辛卯朔十一月甲辰日丑初三刻十一分内三十一秒冬至癸卯四十一岁正月乙酉朔十一月己酉日辰初三刻八分内一秒冬至甲辰四十二岁正月己卯朔十一月甲寅日未初三刻四分内三十一秒冬至 应闰乙巳四十三岁正月癸卯朔十一月己未日戌初三刻一分内一秒冬至丙午四十四岁正月丁酉朔十一月乙丑日丑初二刻十二分内三十一秒冬至 应闰九十七章丁未四十五岁正月辛酉朔十一月庚午日辰初二刻九分内一秒冬至戊申四十六岁正月丙辰朔十一月乙亥日未初二刻五分内三十一秒冬至己酉四十七岁正月庚戌朔十一月庚辰日戌初二刻二分内一秒冬至 应闰庚戌四十八岁正月甲戌朔十一月丙戌日丑初一刻十三分内三十一秒冬至辛亥四十九岁正月己巳朔十一月辛卯日辰初一刻十分内一秒冬至帝宜史帝明子在位四十五岁壬子元岁正月癸亥朔十一月丙申日未初一刻六分内三十一秒冬至 应闰癸丑二岁正月丁亥朔十一月辛丑日戌初一刻三分内一秒冬至甲寅三岁正月辛巳朔十一月丁未日丑初初刻十四分内三十一秒冬至 应闰丙戌年至此十一闰缩一年下起乙卯乙卯四岁正月乙巳朔十一月壬子日辰初初刻十一分内一秒冬至丙辰五岁正月己亥朔十一月丁巳日未初初刻七分内三十一秒冬至丁巳六岁正月癸巳朔十一月壬戌日戌初初刻四分内一秒冬至 应闰戊午七岁正月丁巳朔十一月戊辰日子正三刻十五分内三十一秒冬至己未八岁正月壬子朔十一月癸酉日卯正三刻十二分内一秒冬至庚申九岁正月丙午朔十一月戊寅日午正三刻八分内三十一秒冬至 应闰辛酉十岁正月庚午朔十一月癸未日酉正三刻五分内一秒冬至壬戌十一岁正月乙丑朔十一月己丑日子正三刻一分内三十一秒冬至癸亥十二岁正月己未朔十一月甲午日卯正二刻十三分内一秒冬至 应闰甲子十三岁正月癸未朔十一月己亥日午正二刻九分内三十一秒冬至乙丑十四岁正月丁丑朔十一月甲辰日酉正二刻六分内一秒冬至 应闰九十八章丙寅十五岁正月辛丑朔十一月庚戌日子正二刻二分内三十一秒冬至丁卯十六岁正月乙未朔十一月乙卯日卯正一刻十四分内一秒冬至戊辰十七岁正月庚寅朔十一月庚申日午正一刻十分内三十一秒冬至 应闰己巳十八岁正月甲寅朔十一月乙丑日酉正一刻七分内一秒冬至庚午十九岁正月戊申朔十一月辛未日子正一刻三分内三十一秒冬至辛未二十岁正月壬寅朔十一月丙子日卯正初刻十五分内一秒冬至 应闰壬申二十一岁正月丙寅朔十一月辛巳日午正初刻十一分内三十一秒冬至癸酉二十二岁正月辛酉朔十一月丙戌日酉正初刻八分内一秒冬至 应闰甲戌二十三岁正月乙酉朔十一月壬辰日子正初刻四分内三十一秒冬至乙亥二十四岁正月己卯朔十一月丁酉日卯正初刻一分内一秒冬至日躔在危五度之四十六分丙子二十五岁正月癸酉朔十一月壬寅日午初三刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁丑二十六岁正月丁酉朔十一月丁未日酉初三刻九分内一秒冬至戊寅二十七岁正月辛卯朔十一月壬子夜子初三刻五分内三十一秒冬至己卯二十八岁正月丙戌朔十一月戊午日卯初三刻二分内一秒冬至 应闰庚辰二十九岁正月庚戌朔十一月癸亥日午初二刻十三分内三十一秒冬至辛巳三十岁正月甲辰朔十一月戊辰日酉初二刻十分内一秒冬至壬午三十一岁正月己亥朔十一月甲戌日子初二刻六分内三十一秒冬至 应闰癸未三十二岁正月癸亥朔十一月己卯日卯初二刻三分内一秒冬至甲申三十三岁正月丁巳朔十一月甲申日午初一刻十四分内三十一秒冬至 应闰九十九章乙卯年至此十一闰为一纪乙酉三十四岁正月辛巳朔十一月己丑日酉初一刻十一分内一秒冬至丙戌三十五岁正月乙亥朔十一月甲午夜子初一刻七分内三十一秒冬至丁亥三十六岁正月己巳朔十一月庚子日卯初一刻四分内一秒冬至 应闰戊子三十七岁正月癸巳朔十一月乙巳日午初初刻十五分内三十一秒冬至己丑三十八岁正月戊子朔十一月庚戌日酉初初刻十二分内一秒冬至庚寅三十九岁正月壬午朔十一月乙卯夜子初初刻八分内三十一秒冬至 应闰辛卯四十岁正月丙午朔十一月辛酉日卯初初刻五分内一秒冬至壬辰四十一岁正月庚子朔十一月丙寅日午初初刻一分内三十一秒冬至 应闰癸巳四十二岁正月甲子朔十一月辛未日申正三刻十三分内一秒冬至甲午四十三岁正月己未朔十一月丙子日亥正三刻九分内三十一秒冬至乙未四十四岁正月癸丑朔十一月壬午日寅正三刻六分内一秒冬至 应闰丙申四十五岁正月丁丑朔十一月丁亥日巳正三刻二分内三十一秒冬至帝来史帝宜子亦曰帝克在位四十八岁丁酉元岁正月壬申朔十一月壬辰日申正二刻十四分内一秒冬至戊戌二岁正月丙寅朔十一月丁酉日亥正二刻十分内三十一秒冬至 应闰己亥三岁正月庚寅朔十一月癸卯日寅正二刻七分内一秒冬至庚子四岁正月甲申朔十一月戊申日巳正二刻三分内三十一秒冬至辛丑五岁正月戊寅朔十一月癸丑日申正一刻十五分内一秒冬至 应闰壬寅六岁正月壬寅朔十一月戊午日亥正一刻十一分内三十一秒冬至癸卯七岁正月丁酉朔十一月甲子日寅正一刻八分内一秒冬至 应闰一百章甲辰八岁正月辛酉朔十一月己巳日巳正一刻四分内三十一秒冬至乙巳九岁正月乙卯朔十一月甲戌日申正一刻一分内一秒冬至丙午十岁正月己酉朔十一月己卯日亥正初刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁未十一岁正月癸酉朔十一月乙酉日寅正初刻九分内一秒冬至戊申十二岁正月戊辰朔十一月庚寅日巳正初刻五分内三十一秒冬至己酉十三岁正月壬戌朔十一月乙未日申正初刻二分内一秒冬至 应闰庚戌十四岁正月丙戌朔十一月庚子日亥初三刻十三分内三十一秒冬至辛亥十五岁正月庚辰朔十一月丙午日寅初三刻十分内一秒冬至 应闰壬子十六岁正月甲辰朔十一月辛亥日巳初三刻六分内三十一秒冬至癸丑十七岁正月己亥朔十一月丙辰日申初三刻三分内一秒冬至甲寅十八岁正月癸巳朔十一月辛酉日亥初二刻十四分内三十一秒冬至 应闰乙酉年至此十一闰又一纪乙卯十九岁正月丁巳朔十一月丁卯日寅初二刻十一分内一秒冬至丙辰二十岁正月壬子朔十一月壬申日巳初二刻七分内三十一秒冬至丁巳二十一岁正月丙午朔十一月丁丑日申初二刻四分内一秒冬至 应闰戊午二十二岁正月庚午朔十一月壬午日亥初一刻十五分内三十一秒冬至己未二十三岁正月甲子朔十一月戊子日寅初一刻十二分内一秒冬至庚申二十四岁正月戊午朔十一月癸巳日巳初一刻八分内三十一秒冬至 应闰辛酉二十五岁正月壬午朔十一月戊戌日申初一刻五分内一秒冬至壬戌二十六岁正月丙子朔十一月癸卯日亥初一刻一分内三十一秒冬至 应闰一百一章癸亥二十七岁正月庚子朔十一月己酉日寅初初刻十三分内一秒冬至甲子二十八岁正月乙未朔十一月甲寅日巳初初刻九分内三十一秒冬至乙丑二十九岁正月己丑朔十一月己未日申初初刻六分内一秒冬至 应闰丙寅三十岁正月癸丑朔十一月甲子日亥初初刻二分内三十一秒冬至丁卯三十一岁正月戊申朔十一月庚午日丑正三刻十四分内一秒冬至戊辰三十二岁正月壬寅朔十一月乙亥日辰正三刻十分内三十一秒冬至 应闰己巳三十三岁正月丙寅朔十一月庚辰日未正三刻七分内一秒冬至庚午三十四岁正月庚申朔十一月乙酉日戌正三刻三分内三十一秒冬至 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## 卷十
钦定四库全书全史日至源流卷十山东道御史许伯政撰壬子运十(毎期三百六十五日二时七刻十一分一十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十二秒三十微小寒十四日八时四刻五分零二秒三十微大寒十四日九时一刻十分一十七秒三十微立春十四日十时一刻六分一十七秒三十微雨水十四日十一时三刻四分一十七秒三十微惊蛰十五日零七刻零一十二秒三十微春分十五日二时三刻九分零二秒三十微清明十五日四时零八分零二秒三十微榖雨十五日五时四刻八分零七秒三十微立夏十五日六时七刻零一十二秒三十微小满十五日八时零三分零七秒三十微芒种十五日八时三刻十分一十二秒三十微夏至十五日八时七刻零一十二秒三十微小暑十五日八时五刻三分一十二秒三十微大暑十五日八时零八分一十二秒三十微立秋十五日七时零一十一分一十二秒三十微处暑十五日五时六刻六分一十二秒三十微白露十五日四时三刻九分一十七秒三十微秋分十五日二时四刻十一分二十二秒三十微寒露十五日一时一刻八分一十七秒三十微霜降十四日十一时五刻五分一十二秒三十微立冬十四日十时二刻十一分二十二秒三十微小雪十四日九时二刻十二分一十七秒三十微大雪十四日八时五刻十分一十二秒三十微戊子四岁正月乙巳朔十一月庚申日辰初二刻十五分内一十一秒冬至己丑五岁正月庚子朔十一月乙丑日未初二刻十一分内二十一秒冬至 应闰庚寅六岁正月甲子朔十一月庚午日戌初二刻七分内三十一秒冬至辛邜七岁正月戊午朔十一月丙子日丑初二刻三分内四十一秒冬至壬辰八岁正月癸丑朔十一月辛巳日辰初一刻十四分内五十秒冬至 应闰癸巳九岁正月丁丑朔十一月丙戌日未初一刻十一分内一秒冬至甲午十岁正月辛未朔十一月辛卯日戌初一刻七分内一十一秒冬至乙未十一岁正月乙丑朔十一月丁酉日丑初一刻三分内二十一秒冬至 应闰丙申十二岁正月乙丑朔十一月壬寅日辰初初刻十四分内三十一秒冬至丁酉十三岁正月癸未朔十一月丁未日未初初刻十分内四十一秒冬至戊戌十四岁正月戊寅朔十一月壬子日戌初初刻六分内五十一秒冬至 应闰己亥十五岁正月壬寅朔十一月戊午日丑初初刻三分内一秒冬至庚子十六岁正月丙申朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内一十一秒冬至 应闰百三章辛丑十七岁正月庚申朔十一月戊辰日午正三刻十分内二十一秒冬至壬寅十八岁正月甲寅朔十一月癸酉日酉正三刻六分内三十一秒冬至癸卯十九岁正月己酉朔十一月己卯日子正三刻二分内四十一秒冬至 应闰甲辰二十岁正月癸酉朔十一月甲申日卯正二刻十三分内五十一秒冬至乙巳二十一岁正月丁卯朔十一月己丑日午正二刻十分内一秒冬至丙午二十二岁正月辛酉朔十一月甲午日酉正二刻六分内一十一秒冬至 应闰丁未二十三岁正月乙酉朔十一月庚子日子正二刻二分内二十一秒冬至戊申二十四岁正月己卯朔十一月乙巳日卯正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰己酉二十五岁正月癸卯朔十一月庚戌日午正一刻九分内四十一秒冬至庚戌二十六岁正月戊戌朔十一月乙卯日酉正一刻五分内五十一秒冬至辛亥二十七岁正月壬辰朔十一月辛酉日子正一刻二分内一秒冬至 应闰壬子二十八岁正月丙辰朔十一月丙寅日卯正初刻十三分内一十一秒冬至癸丑二十九岁正月庚戌朔十一月辛未日午正初刻九分内二十一秒冬至甲寅三十岁正月乙巳朔十一月丙子日酉正初刻五分内三十一秒冬至 应闰乙酉年至此十一闰又一纪乙卯三十一岁正月己巳朔十一月壬午日子正初刻一分内四十一秒冬至丙辰三十二岁正月癸亥朔十一月丁亥日卯初三刻十二分内五十一秒冬至丁巳三十三岁正月丁巳朔十一月壬辰日午初三刻九分内一秒冬至 应闰戊午三十四岁正月辛巳朔十一月丁酉日酉初三刻五分内一十一秒冬至己未三十五岁正月乙亥朔十一月壬寅夜子初三刻一分内二十一秒冬至 应闰百四章庚申三十六岁正月己亥朔十一月戊申日卯初二刻十二分内三十一秒冬至辛酉三十七岁正月甲午朔十一月癸丑日午初二刻八分内四十一秒冬至壬戌三十八岁正月戊子朔十一月戊午日酉初二刻四分内五十五秒冬至 应闰癸亥三十九岁正月壬子朔十一月甲子日子初二刻一分内一秒冬至甲子四十岁正月丁未朔十一月己巳日卯初一刻十二分内一十一秒冬至乙丑四十一岁正月辛丑朔十一月甲戌日午初一刻八分内二十一秒冬至 应闰丙寅四十二岁正月乙丑朔十一月己卯日酉初一刻四分内三十一秒冬至丁卯四十三岁正月己未朔十一月甲申夜子初初刻十五分内四十一秒冬至 应闰帝榆罔史帝里生节茎节茎生克及戯皆不在帝位克生子榆罔立五十五岁为政束急诸侯擕贰尊轩辕为天子降封帝于潞戊辰元岁正月癸未朔十一月庚寅日卯初初刻十一分内五十一秒冬至己巳二岁正月丁丑朔十一月乙未日午初初刻八分内一秒冬至庚午三岁正月壬申朔十一月庚子日酉初初刻四分内一十一秒冬至 应闰辛未四岁正月丙申朔十一月乙巳日亥正三刻十五分内二十一秒冬至壬申五岁正月庚寅朔十一月辛亥日寅正三刻十一分内三十一秒冬至癸酉六岁正月甲申朔十一月丙辰日巳正三刻七分内四十一秒冬至 应闰甲戌七岁正月戊申朔十一月辛酉日申正三刻三分内五十一秒冬至乙亥八岁正月癸卯朔十一月丙寅日亥正二刻十五分内一秒冬至丙子九岁正月丁酉朔十一月壬申日寅正二刻十一分内一十一秒冬至 应闰丁丑十岁正月辛酉朔十一月丁丑日巳正二刻七分内二十一秒冬至戊寅十一岁正月丙辰朔十一月壬午日申正二刻三分内三十一秒冬至 应闰百五章己卯十二岁正月庚辰朔十一月丁亥日亥正一刻十四分内四十一秒冬至庚辰十三岁正月甲戌朔十一月癸巳日寅正一刻十分内五十一秒冬至辛巳十四岁正月戊辰朔十一月戊戌日巳正一刻七分内一秒冬至 应闰壬午十五岁正月壬辰朔十一月癸卯日申正一刻三分内一十一秒冬至癸未十六岁正月丙戌朔十一月戊申日亥正初刻十四分内二十一秒冬至甲申十七岁正月辛巳朔十一月甲寅日寅正初刻十分内三十一秒冬至 应闰乙卯年至此十一闰又一纪乙酉十八岁正月乙巳朔十一月己未日巳正初刻六分内四十一秒冬至丙戌十九岁正月己亥朔十一月甲子日申正初刻二分内五十一秒冬至 应闰丁亥二十岁正月癸亥朔十一月己巳日亥初三刻十四分内一秒冬至戊子二十一岁正月丁巳朔十一月乙亥日寅初三刻十分内一十一秒冬至己丑二十二岁正月壬子朔十一月庚辰日巳初三刻六分内二十一秒冬至 应闰庚寅二十三岁正月丙子朔十一月乙酉日申初三刻二分内三十一秒冬至辛卯二十四岁正月庚午朔十一月庚寅日亥初二刻十三分内四十一秒冬至壬辰二十五岁正月甲子朔十一月丙申日寅初二刻九分内五十一秒冬至 应闰癸巳二十六岁正月戊子朔十一月辛丑日巳初二刻六分内一秒冬至甲午二十七岁正月癸未朔十一月丙午日申初二刻二分内一十一秒冬至乙未二十八岁正月丁丑朔十一月辛亥日亥初一刻十三分内二十一秒冬至 应闰丙申二十九岁正月辛丑朔十一月丁巳日寅初一刻九分内三十一秒冬至丁酉三十岁正月乙未朔十一月壬戌日巳初一刻五分内四十一秒冬至 应闰百六章戊戌三十一岁正月己未朔十一月丁卯日申初一刻一分内五十一秒冬至己亥三十二岁正月癸丑朔十一月壬申日亥初初刻十三分内一秒冬至日躔在危三度之四十六分庚子三十三岁正月丁未朔十一月戊寅日寅初初刻九分内一十一秒冬至 应闰辛丑三十四岁正月辛未朔十一月癸未日巳初初刻五分内二十一秒冬至壬寅三十五岁正月丙寅朔十一月戊子日申初初刻一分内三十一秒冬至癸卯三十六岁正月庚申朔十一月癸巳日戌正三刻十二分内四十一秒冬至 应闰甲辰三十七岁正月甲申朔十一月己亥日丑正三刻八分内五十一秒冬至乙巳三十八岁正月己卯朔十一月甲辰日辰正三刻五分内一秒冬至 应闰丙午三十九岁正月癸卯朔十一月己酉日未正三刻一分内一十一秒冬至丁未四十岁正月丁酉朔十一月甲寅日戌正二刻十二分内二十一秒冬至戊申四十一岁正月辛卯朔十一月庚申日丑正二刻八分内三十一秒冬至 应闰己酉四十二岁正月乙卯朔十一月乙丑日辰正二刻四分内四十一秒冬至庚戌四十三岁正月庚戌朔十一月庚午日未正一刻十五分内五十一秒冬至辛亥四十四岁正月甲辰朔十一月乙亥日戌正一刻十二分内一秒冬至 应闰壬子四十五岁正月戊辰朔十一月辛巳日丑正一刻八分内一十一秒冬至癸丑四十六岁正月壬戌朔十一月丙戌日辰正一刻四分内二十一秒冬至甲寅四十七岁正月丙辰朔十一月辛卯日未正初刻十五分内三十一秒冬至 应闰乙酉年至此十一闰又一纪乙卯四十八岁正月庚辰朔十一月丙申日戌正初刻十一分内四十一秒冬至丙辰四十九岁正月乙亥朔十一月壬寅日丑正初刻七分内五十一秒冬至 应闰百七章丁巳五十岁正月己亥朔十一月丁未日辰正初刻四分内一秒冬至戊午五十一岁正月癸巳朔十一月壬子日未初三刻十五分内一十一秒冬至己未五十二岁正月戊子朔十一月丁巳日戌初三刻十一分内二十一秒冬至 应闰庚申五十三岁正月壬子朔十一月癸亥日丑初三刻七分内三十一秒冬至辛酉五十四岁正月丙午朔十一月戊辰日辰初三刻三分内四十一秒冬至壬戌五十五岁正月庚子朔十一月癸酉日未初二刻十四分内五十一秒冬至 应闰黄帝有熊氏史少典国君之妃曰附寳感电光绕斗而有身生帝于轩辕之邱因名轩辕姓公孙国于有熊故号有熊氏长于姬水故以姬为姓神农氏衰轩辕诛蚩尤于涿鹿还诸侯咸尊为天子以代神农氏因其有土徳之瑞故号曰黄帝在位百岁癸亥元岁正月甲子朔十一月戊寅日戌初二刻十一分内一秒冬至 正月建甲寅朔日建甲子说见首卷下甲子二岁正月戊午朔十一月甲申日丑初二刻七分内一十一秒冬至 应闰乙丑三岁正月壬午朔十一月己丑日辰初二刻三分内二十一秒冬至丙寅四岁正月丁丑朔十一月甲午日未初一刻十四分内三十一秒冬至丁卯五岁正月辛未朔十一月己亥日戌初一刻十分内四十一秒冬至 应闰戊辰六岁正月乙未朔十一月乙巳日丑初一刻六分内五十一秒冬至己巳七岁正月庚寅朔十一月庚戌日辰初一刻三分内一秒冬至庚午八岁正月甲申朔十一月乙卯日未初初刻十四分内一十一秒冬至 应闰辛未九岁正月戊申朔十一月庚申日戌初初刻十分内二十一秒冬至壬申十岁正月壬寅朔十一月丙寅日丑初初刻六分内三十一秒冬至癸酉十一岁正月丙申朔十一月辛未日辰初初刻二分内四十一秒冬至 应闰甲戌十二岁正月庚申朔十一月丙子日午正三刻十三分内五十一秒冬至乙亥十三岁正月乙卯朔十一月辛巳日酉正三刻十分内一秒冬至 应闰百八章丙子十四岁正月己卯朔十一月丁亥日子正三刻六分内一十一秒冬至丁丑十五岁正月癸酉朔十一月壬辰日卯正三刻二分内二十一秒冬至戊寅十六岁正月丁卯朔十一月丁酉日午正二刻十三分内三十一秒冬至 应闰己卯十七岁正月辛卯朔十一月壬寅日酉正二刻九分内四十一秒冬至庚辰十八岁正月丙戌朔十一月戊申日子正二刻五分内五十一秒冬至辛巳十九岁正月庚辰朔十一月癸丑日卯正二刻二分内一秒冬至 应闰壬午二十岁正月甲辰朔十一月戊午日午正一刻十三分内一十一秒冬至癸未二十一岁正月戊戌朔十一月癸亥日酉正一刻九分内二十一秒冬至 应闰乙卯年至此十一闰一纪缩一年下起甲申甲申二十二岁正月壬戌朔十一月己巳日子正一刻五分内三十一秒冬至乙酉二十三岁正月丁巳朔十一月甲戌日卯正一刻一分内四十一秒冬至丙戌二十四岁正月辛亥朔十一月己卯日午正初刻十二分内五十一秒冬至 应闰丁亥二十五岁正月乙亥朔十一月甲申日酉正初刻九分内一秒冬至戊子二十六岁正月己巳朔十一月庚寅日子正初刻五分内一十一秒冬至己丑二十七岁正月甲子朔十一月乙未日卯正初刻一分内二十一秒冬至 应闰庚寅二十八岁正月戊子朔十一月庚子日午初三刻十二分内三十一秒冬至辛卯二十九岁正月壬午朔十一月乙巳日酉初三刻八分内四十一秒冬至壬辰三十岁正月丙子朔十一月辛亥日子初三刻四分内五十一秒冬至 应闰癸巳三十一岁正月庚子朔十一月丙辰日卯初三刻一分内一秒冬至甲午三十二岁正月乙未朔十一月辛酉日午初二刻十二分内一十一秒冬至 应闰百九章乙未三十三岁正月己未朔十一月丙寅日酉初二刻八分内二十一秒冬至丙申三十四岁正月癸丑朔十一月辛未夜子初二刻四分内三十一秒冬至丁酉三十五岁正月丁未朔十一月丁丑日卯初一刻十五分内四十一秒冬至 应闰戊戌三十六岁正月辛未朔十一月壬午日午初一刻十一分内五十一秒冬至己亥三十七岁正月乙丑朔十一月丁亥日酉初一刻八分内一秒冬至庚子三十八岁正月庚申朔十一月壬辰夜子初一刻四分内一十一秒冬至 应闰辛丑三十九岁正月甲申朔十一月戊戌日卯初初刻十五分内二十一秒冬至壬寅四十岁正月戊寅朔十一月癸卯日午初初刻十一分内三十一秒冬至 应闰癸卯四十一岁正月壬寅朔十一月戊申日酉初初刻七分内四十一秒冬至甲辰四十二岁正月丁酉朔十一月癸丑夜子初初刻三分内五十一秒冬至乙巳四十三岁正月辛卯朔十一月己未日寅正三刻十五分内一秒冬至 应闰丙午四十四岁正月乙卯朔十一月甲子日巳正三刻十一分内一十一秒冬至丁未四十五岁正月己酉朔十一月己巳日申正三刻七分内二十一秒冬至戊申四十六岁正月癸未朔十一月甲戌日亥正三刻三分内二十一秒冬至 应闰己酉四十七岁正月丁卯朔十一月庚辰日寅正二刻十四分内四十一秒冬至庚戌四十八岁正月壬戌朔十一月乙酉日巳正二刻十分内五十一秒冬至辛亥四十九岁正月丙辰朔十一月庚寅日申正二刻七分内一秒冬至日躔在危二度之四十六分 应闰壬子五十岁正月庚辰朔十一月乙未日亥正二刻三分内一十一秒冬至癸丑五十一岁正月甲戌朔十一月辛丑日寅正一刻十四分内二十一秒冬至 应闰百一十章甲申年至此十一闰一纪甲寅五十二岁正月戊戌朔十一月丙午日巳正一刻十分内三十一秒冬至乙卯五十三岁正月癸巳朔十一月辛亥日申正一刻六分内四十一秒冬至丙辰五十四岁正月丁亥朔十一月丙辰日亥正一刻二分内五十一秒冬至 应闰丁巳五十五岁正月辛亥朔十一月壬戌日寅正初刻十四分内一秒冬至戊午五十六岁正月丙午朔十一月丁卯日巳正初刻十分内一十一秒冬至己未五十七岁正月庚子朔十一月壬申日申正初刻六分内二十一秒冬至 应闰庚申五十八岁正月甲子朔十一月丁丑日亥正初刻二分内三十一秒冬至辛酉五十九岁正月戊午朔十一月癸未日寅初三刻十三分内四十一秒冬至 应闰壬戌六十岁正月壬午朔十一月戊子日巳初三刻九分内五十一秒冬至癸亥六十一岁正月丙子朔十一月癸巳日申初三刻六分内一秒冬至甲子六十二岁正月庚午朔十一月戊戌日亥初三刻二分内一十一秒冬至 应闰乙丑六十三岁正月甲午朔十一月甲辰日寅初二刻十三分内二十一秒冬至丙寅六十四岁正月己丑朔十一月己酉日巳初二刻九分内三十一秒冬至丁卯六十五岁正月癸未朔十一月甲寅日申初二刻五分内四十一秒冬至 应闰戊辰六十六岁正月丁未朔十一月己未日亥初二刻一分内五十一秒冬至己巳六十七岁正月壬寅朔十一月乙丑日寅初一刻十三分内一秒冬至庚午六十八岁正月丙申朔十一月庚午日巳初一刻九分内一十一秒冬至 应闰辛未六十九岁正月庚申朔十一月乙亥日申初一刻五分内二十一秒冬至壬申七十岁正月甲寅朔十一月庚辰日亥初一刻一分内三十一秒冬至 应闰百一十一章癸酉七十一岁正月戊寅朔十一月丙戌日寅初初刻十二分内四十一秒冬至甲戌七十二岁正月壬申朔十一月辛卯日巳初初刻八分内五十一秒冬至乙亥七十三岁正月丁卯朔十一月丙申日申初初刻五分内一秒冬至 应闰丙子七十四岁正月辛卯朔十一月辛丑日亥初初刻一分内一十一秒冬至丁丑七十五岁正月乙酉朔十一月丁未日丑正三刻十二分内二十一秒冬至戊寅七十六岁正月己卯朔十一月壬子日辰正三刻八分内三十一秒冬至 应闰己卯七十七岁正月癸卯朔十一月丁巳日未正三刻四分内四十一秒冬至庚辰七十八岁正月丁酉朔十一月壬戌日戌正二刻十五分内五十一秒冬至 应闰辛巳七十九岁正月辛酉朔十一月戊辰日丑正二刻十二分内一秒冬至壬午八十岁正月丙辰朔十一月癸酉日辰正二刻八分内一十一秒冬至癸未八十一岁正月庚戌朔十一月戊寅日未正二刻四分内二十一秒冬至 应闰甲寅年至此十一闰又一纪甲申八十二岁正月甲戌朔十一月癸未日戌正一刻十五分内三十一秒冬至乙酉八十三岁正月己巳朔十一月己丑日丑正一刻十一分内四十一秒冬至丙戌八十四岁正月癸亥朔十一月甲午日辰正一刻七分内五十一秒冬至 应闰丁亥八十五岁正月丁亥朔十一月己亥日未正一刻四分内一秒冬至戊子八十六岁正月辛巳朔十一月甲辰日戌正初刻十五分内一十一秒冬至己丑八十七岁正月乙亥朔十一月庚戌日丑正初刻十一分内二十一秒冬至 应闰庚寅八十八岁正月己亥朔十一月乙卯日辰正初刻七分内三十一秒冬至辛卯八十九岁正月甲午朔十一月庚申日未正初刻三分内四十一秒冬至 应闰百一十二章壬辰九十岁正月戊午朔十一月乙丑日戌初三刻十四分内五十一秒冬至癸巳九十一岁正月壬子朔十一月辛未日丑初三刻十一分内一秒冬至甲午九十二岁正月丙午朔十一月丙子日辰初三刻七分内一十一秒冬至 应闰乙未九十三岁正月庚午朔十一月辛巳日未初三刻三分内二十一秒冬至丙申九十四岁正月乙丑朔十一月丙戌日戌初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉九十五岁正月己未朔十一月壬辰日丑初二刻十分内四十一秒冬至 应闰戊戌九十六岁正月癸未朔十一月丁酉日辰初二刻六分内五十一秒冬至己亥九十七岁正月丁丑朔十一月壬寅日未初二刻三分内一秒冬至 应闰庚子九十八岁正月辛丑朔十一月丁未日戌初一刻十四分内一十一秒冬至辛丑九十九岁正月乙未朔十一月癸丑日丑初一刻十分内二十一秒冬至壬寅一百岁正月庚寅朔十一月戊午日辰初一刻六分内三十一秒冬至 应闰少昊金天氏史黄帝之子元嚣也以金徳王天下能修太昊之法在位八十四年癸卯元岁正月甲寅朔十一月癸亥日未初一刻二分内四十一秒冬至甲辰二岁正月戊申朔十一月戊辰日戌初初刻十三分内五十一秒冬至乙巳三岁正月壬寅朔十一月甲戌日丑初初刻十分内一秒冬至 应闰丙午四岁正月丙寅朔十一月己卯日辰初初刻六分内一十一秒冬至丁未五岁正月辛酉朔十一月甲申日未初初刻二分内二十一秒冬至戊申六岁正月乙卯朔十一月己丑日酉正三刻十三分内三十一秒冬至 应闰己酉七岁正月己卯朔十一月乙未日子正三刻九分内四十一秒冬至庚戌八岁正月癸酉朔十一月庚子日卯正三刻五分内五十一秒冬至 应闰百一十三章辛亥九岁正月丁酉朔十一月乙巳日午正三刻二分内一秒冬至壬子十岁正月辛卯朔十一月庚戌日酉正二刻十三分内一十一秒冬至癸丑十一岁正月丙戌朔十一月丙辰日子正二刻九分内二十一秒冬至 应闰甲申年至此十一闰又一纪甲寅十二岁正月庚戌朔十一月辛酉日卯正二刻五分内三十一秒冬至乙卯十三岁正月甲辰朔十一月丙寅日午正二刻一分内四十一秒冬至丙辰十四岁正月戊戌朔十一月辛未日酉正一刻十二分内五十一秒冬至 应闰丁巳十五岁正月壬戌朔十一月丁丑日子正一刻九分内一秒冬至戊午十六岁正月丙辰朔十一月壬午日卯正一刻五分内一十一秒冬至 应闰己未十七岁正月庚辰朔十一月丁亥日午正一刻一分内二十一秒冬至庚申十八岁正月乙亥朔十一月壬辰日酉正初刻十二分内三十一秒冬至辛酉十九岁正月己巳朔十一月戊戌日子正初刻八分内四十一秒冬至 应闰壬戌二十岁正月癸巳朔十一月癸卯日卯正初刻四分内五十一秒冬至癸亥二十一岁正月丁亥朔十一月戊申日午正初刻一分内一秒冬至日躔在危一度之四十六分全史日至源流卷十
## 卷十一
钦定四库全书全史日至源流卷十一山东道御史许伯政撰壬子运十一(毎期三百六十五日二时七刻十分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分十一秒四十微小寒十四日八时四刻五分零一秒四十微大寒十四日九时一刻十分一十六秒四十微立春十四日十时一刻六分一十六秒四十微雨水十四日十一时三刻四分一十六秒四十微惊蛰十五日零七刻零一十一秒四十微春分十五日二时三刻九分零一秒四十微清明十五日四时零八分零一秒四十微榖雨十五日五时四刻八分零六秒四十微立夏十五日六时七刻零十一秒四十微小满十五日八时零三分零六秒四十微芒种十五日八时三刻十分一十一秒四十微夏至十五日八时七刻零十一秒四十微小暑十五日八时五刻三分一十一秒四十微大暑十五日八时零八分一十一秒四十微立秋十五日七时零一十一分一十一秒四十微处暑十五日五时六刻六分一十一秒四十微白露十五日四时三刻九分一十六秒四十微秋分十五日二时四刻十一分二十一秒四十微寒露十五日一时一刻八分一十六秒四十微霜降十四日十一时五刻五分一十一秒四十微立冬十四日十时二刻一十一分二十一秒四十微小雪十四日九时二刻十二分一十六秒四十微大雪十四日八时五刻十分一十一秒四十微甲子二十二岁正月壬午朔十一月癸丑日酉初三刻十一分内五十一秒冬至 应闰乙丑二十三岁正月丙午朔十一月己未日子初三刻七分内四十一秒冬至丙寅二十四岁正月庚子朔十一月甲子日卯初三刻三分内三十一秒冬至丁卯二十五岁正月甲午朔十一月己巳日午初二刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊辰二十六岁正月戊午朔十一月甲戌日酉初二刻十分内一十一秒冬至己巳二十七岁正月癸丑朔十一月庚辰日子初二刻六分内一秒冬至 应闰百一十四章庚午二十八岁正月丁丑朔十一月乙酉日卯初二刻一分内五十一秒冬至辛未二十九岁正月辛未朔十一月庚寅日午初一刻十二分内四十一秒冬至壬申三十岁正月乙丑朔十一月乙未日酉初一刻八分内三十一秒冬至 应闰癸酉三十一岁正月己丑朔十一月辛丑日子初一刻四分内二十一秒冬至甲戌三十二岁正月癸未朔十一月丙午日卯初初刻十五分内一十一秒冬至乙亥三十三岁正月戊寅朔十一月辛亥日午初初刻十一分内一秒冬至 应闰丙子三十四岁正月壬寅朔十一月丙辰日酉初初刻六分内五十一秒冬至丁丑三十五岁正月丙申朔十一月壬戌日子初初刻二分内四十一秒冬至 应闰戊寅三十六岁正月庚申朔十一月丁卯日寅正三刻十三分内三十一秒冬至己卯三十七岁正月乙卯朔十一月壬申日巳正三刻九分内二十一秒冬至庚辰三十八岁正月己酉朔十一月丁丑日申正三刻五分内一十一秒冬至 应闰辛巳三十九岁正月癸酉朔十一月壬午日亥正三刻一分内一秒冬至壬午四十岁正月丁卯朔十一月戊子日寅正二刻十一分内五十一秒冬至癸未四十一岁正月辛酉朔十一月癸巳日巳正二刻七分内四十一秒冬至 应闰甲寅年至此十一闰又一纪甲申四十二岁正月乙酉朔十一月戊戌日申正二刻三分内三十一秒冬至乙酉四十三岁正月庚辰朔十一月癸卯日亥正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌四十四岁正月甲戌朔十一月己酉日寅正一刻十分内一十一秒冬至 应闰丁亥四十五岁正月戊戌朔十一月甲寅日巳正一刻六分内一秒冬至戊子四十六岁正月壬辰朔十一月己未日申正一刻一分内五十一秒冬至 应闰百一十五章己丑四十七岁正月丙辰朔十一月甲子日亥正初刻十二分内四十一秒冬至庚寅四十八岁正月辛亥朔十一月庚午日寅正初刻八分内三十一秒冬至辛卯四十九岁正月乙巳朔十一月乙亥日巳正初刻四分内二十一秒冬至 应闰壬辰五十岁正月己巳朔十一月庚辰日申初三刻十五分内一十一秒冬至癸巳五十一岁正月癸亥朔十一月乙酉日亥初三刻十一分内一秒冬至甲午五十二岁正月丁巳朔十一月辛卯日寅初三刻六分内五十一秒冬至 应闰乙未五十三岁正月辛巳朔十一月丙申日巳初三刻二分内四十一秒冬至丙申五十四岁正月丙子朔十一月辛丑日申初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰丁酉五十五岁正月庚子朔十一月丙午日亥初二刻九分内二十一秒冬至戊戌五十六岁正月甲午朔十一月壬子日寅初二刻五分内一十一秒冬至己亥五十七岁正月戊子朔十一月丁巳日巳初二刻一分内一秒冬至 应闰庚子五十八岁正月壬子朔十一月壬戌日申初一刻十一分内五十一秒冬至辛丑五十九岁正月丁未朔十一月丁卯日亥初一刻七分内四十一秒冬至壬寅六十岁正月辛丑朔十一月癸酉日寅初一刻三分内三十一秒冬至 应闰癸卯六十一岁正月乙丑朔十一月戊寅日巳初初刻十四分内二十一秒冬至甲辰六十二岁正月己未朔十一月癸未日申初初刻十分内一十一秒冬至乙巳六十三岁正月甲寅朔十一月戊子日亥初初刻六分内一秒冬至 应闰丙午六十四岁正月戊寅朔十一月甲午日寅初初刻一分内五十一秒冬至丁未六十五岁正月壬申朔十一月己亥日辰正三刻十二分内四十一秒冬至 应闰百一十六章戊申六十六岁正月丙申朔十一月甲辰日未正三刻八分内三十一秒冬至己酉六十七岁正月庚寅朔十一月己酉日戌正三刻四分内二十一秒冬至庚戌六十八岁正月甲申朔十一月乙卯日丑正二刻十五分内一十一秒冬至 应闰辛亥六十九岁正月戊申朔十一月庚申日辰正二刻十一分内一秒冬至壬子七十岁正月癸卯朔十一月乙丑日未正二刻六分内五十一秒冬至癸丑七十一岁正月丁酉朔十一月庚午日戌正二刻二分内四十一秒冬至 应闰甲申年至此十一闰又一纪甲寅七十二岁正月辛酉朔十一月丙子日丑正一刻十三分内三十一秒冬至乙卯七十三岁正月乙卯朔十一月辛巳日辰正一刻九分内二十一秒冬至 应闰丙辰七十四岁正月己卯朔十一月丙戌日未正一刻五分内一十一秒冬至丁巳七十五岁正月甲戌朔十一月辛卯日戌正一刻一分内一秒冬至戊午七十六岁正月戊辰朔十一月丁酉日丑正初刻十一分内五十一秒冬至 应闰己未七十七岁正月壬辰朔十一月壬寅日辰正初刻七分内四十一秒冬至庚申七十八岁正月丙戌朔十一月丁未日未正初刻三分内三十一秒冬至辛酉七十九岁正月辛巳朔十一月壬子日戌初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰壬戌八十岁正月己巳朔十一月戊午日丑初三刻十分内一十一秒冬至癸亥八十一岁正月己亥朔十一月癸亥日辰初三刻六分内一秒冬至甲子八十二岁正月癸巳朔十一月戊辰日未初三刻一分内五十一秒冬至 应闰乙丑八十三岁正月丁巳朔十一月癸酉日戌初二刻十二分内四十一秒冬至丙寅八十四岁正月壬子朔十一月己卯日丑初二刻八分内三十一秒冬至 应闰百一十七章颛顼髙阳氏史祖黄帝父昌意昌意娶蜀山氏之女生帝于若水年十岁佐少昊年二十登帝位初国髙阳以水徳王在位七十八岁丁卯元岁正月丙子朔十一月甲申日辰初二刻四分内二十一秒冬至戊辰二岁正月庚午朔十一月己丑日未初一刻十五分内一十一秒冬至己巳三岁正月甲子朔十一月甲午日戌初一刻十一分内一秒冬至 应闰庚午四岁正月戊子朔十一月庚子日丑初一刻六分内五十一秒冬至辛未五岁正月壬午朔十一月乙巳日辰初一刻二分内四十一秒冬至壬申六岁正月丁丑朔十一月庚戌日未初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸酉七岁正月辛丑朔十一月乙卯日戌初初刻九分内二十一秒冬至甲戌八岁正月乙未朔十一月辛酉日丑初初刻五分内一十一秒冬至 应闰乙亥九岁正月己未朔十一月丙寅日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在危初度之四十六分丙子十岁正月甲寅朔十一月辛未日午正三刻十一分内五十一秒冬至丁丑十一岁正月戊申朔十一月丙子日酉正三刻七分内四十一秒冬至 应闰戊寅十二岁正月壬申朔十一月壬午日子正三刻三分内三十一秒冬至 十二月丙申朔酉初三刻二分内四十一秒小寒辛亥日巳正三刻七分内四十三秒大寒己卯十三岁正月丙寅朔十一月丁亥日卯正二刻十四分内二十一秒冬至 正月丙寅朔卯初一刻三分尽立春竹书纪年颛帝十三年初作厯象外纪帝以斗杓建寅之月为厯元是岁正月朔旦立春鸡始三号详具首卷庚辰十四岁正月庚申朔十一月壬辰日午正二刻十分内一十一秒冬至 应闰辛巳十五岁正月甲申朔十一月丁酉日酉正二刻六分内一秒冬至壬午十六岁正月己卯朔十一月癸卯日子正二刻一分内五十一秒冬至癸未十七岁正月癸酉朔十一月戊申日卯正一刻十二分内四十一秒冬至 应闰甲寅年至此十一闰又一纪甲申十八岁正月丁酉朔十一月癸丑日午正一刻八分内三十一秒冬至乙酉十九岁正月壬辰朔十一月戊午日酉正一刻四分内二十一秒冬至 应闰百一十八章丙戌二十岁正月丙辰朔十一月甲子日子正初刻十五分内一十一秒冬至丁亥二十一岁正月庚戌朔十一月己巳日卯正初刻十一分内一秒冬至戊子二十二岁正月甲辰朔十一月甲戌日午正初刻六分内五十一秒冬至 应闰己丑二十三岁正月戊辰朔十一月己卯日酉正初刻二分内四十一秒冬至庚寅二十四岁正月壬戌朔十一月乙酉日子初三刻十三分内三十一秒冬至辛卯二十五岁正月丙辰朔十一月庚寅日卯初三刻九分内一十一秒冬至 应闰壬辰二十六岁正月庚辰朔十一月乙未日午初三刻五分内一十一秒冬至癸巳二十七岁正月乙亥朔十一月庚子日酉初三刻一分内一秒冬至 应闰甲午二十八岁正月己亥朔十一月丙午日子初二刻十一分内五十一秒冬至乙未二十九岁正月癸巳朔十一月辛亥日卯初二刻七分内四十一秒冬至丙申三十岁正月戊子朔十一月丙辰日午初二刻三分内三十一秒冬至 应闰丁酉三十一岁正月壬子朔十一月辛酉日酉初一刻十四分内二十一秒冬至戊戌三十二岁正月丙午朔十一月丁卯日子初一刻十分内一十一秒冬至己亥三十三岁正月庚子朔十一月壬申日卯初一刻六分内一秒冬至 应闰庚子三十四岁正月甲子朔十一月丁丑日午初一刻一分内五十一秒冬至辛丑三十五岁正月己未朔十一月壬午日酉初初刻十二分内四十一秒冬至壬寅三十六岁正月癸丑朔十一月戊子日子初初刻八分内三十一秒冬至 应闰癸卯三十七岁正月丁丑朔十一月癸巳日卯初初刻四分内二十一秒冬至甲辰三十八岁正月辛未朔十一月戊戌日巳正三刻十五分内一十一秒冬至 应闰百一十九章乙巳三十九岁正月乙未朔十一月癸卯日申正三刻十一分内一秒冬至丙午四十岁正月己丑朔十一月戊申日亥正三刻六分内五十一秒冬至丁未四十一岁正月甲申朔十一月甲寅日寅正三刻二分内四十一秒冬至 应闰戊申四十二岁正月戊申朔十一月己未日巳正二刻十三分内三十一秒冬至己酉四十三岁正月壬寅朔十一月甲子日申正二刻九分内二十一秒冬至庚戌四十四岁正月丙申朔十一月己巳日亥正二刻五分内一十一秒冬至 应闰辛亥四十五岁正月庚申朔十一月乙亥日寅正二刻一分内一秒冬至壬子四十六岁正月甲寅朔十一月庚辰日巳正一刻十一分内五十一秒冬至 应闰甲申年至此十一闰一纪缩一年下起癸丑癸丑四十七岁正月戊寅朔十一月乙酉日申正一刻七分内四十一秒冬至甲寅四十八岁正月癸酉朔十一月庚寅日亥正一刻三分内三十一秒冬至乙卯四十九岁正月丁卯朔十一月丙申日寅正初刻十四分内二十一秒冬至 应闰丙辰五十岁正月辛卯朔十一月辛丑日巳正初刻十分内一十一秒冬至丁巳五十一岁正月丙戌朔十一月丙午日申正初刻六分内一秒冬至戊午五十二岁正月庚辰朔十一月辛亥日亥正初刻一分内五十一秒冬至 应闰己未五十三岁正月甲辰朔十一月丁巳日寅初三刻十二分内四十一秒冬至庚申五十四岁正月戊戌朔十一月壬戌日巳初三刻八分内三十一秒冬至辛酉五十五岁正月壬辰朔十一月丁卯日申初三刻四分内二十一秒冬至 应闰壬戌五十六岁正月丙辰朔十一月壬申日亥初二刻十五分内一十一秒冬至癸亥五十七岁正月辛亥朔十一月戊寅日寅初二刻十一分内一秒冬至 应闰百二十章甲子五十八岁正月乙亥朔十一月癸未日巳初二刻六分内五十一秒冬至乙丑五十九岁正月己巳朔十一月戊子日申初二刻二分内四十一秒冬至丙寅六十岁正月癸亥朔十一月癸巳日亥初一刻十三分内三十一秒冬至 应闰丁卯六十一岁正月丁亥朔十一月己亥日寅初一刻九分内一十一秒冬至戊辰六十二岁正月壬午朔十一月甲辰日巳初一刻五分内一十一秒冬至己巳六十三岁正月丙子朔十一月己酉日申初一刻一分内一秒冬至 应闰庚午六十四岁正月庚子朔十一月甲寅日亥初初刻十一分内五十一秒冬至辛未六十五岁正月甲午朔十一月庚申日寅初初刻七分内四十一秒冬至 应闰壬申六十六岁正月戊午朔十一月乙丑日巳初初刻三分内三十一秒冬至癸酉六十七岁正月癸丑朔十一月庚午日未正三刻十四分内二十一秒冬至甲戌六十八岁正月丁未朔十一月乙亥日戌正三刻十分内一十一秒冬至 应闰乙亥六十九岁正月辛未朔十一月辛巳日丑正三刻六分内一秒冬至丙子七十岁正月乙丑朔十一月丙戌日辰正三刻一分内五十一秒冬至丁丑七十一岁正月庚申朔十一月辛卯日未正二刻十二分内四十一秒冬至 应闰戊寅七十二岁正月甲申朔十一月丙申日戌正二刻八分内三十一秒冬至己卯七十三岁正月戊寅朔十一月壬寅日丑正二刻四分内二十一秒冬至庚辰七十四岁正月壬申朔十一月丁未日辰正一刻十五分内一十一秒冬至 应闰辛巳七十五岁正月丙申朔十一月壬子日未正一刻十一分内一秒冬至壬午七十六岁正月庚寅朔十一月丁巳日戌正一刻六分内五十一秒冬至 应闰百二十一章癸丑年至此十一闰为一纪癸未七十七岁正月甲寅朔十一月癸亥日丑正一刻二分内四十一秒冬至甲申七十八岁正月己酉朔十一月戊辰日辰正初刻十三分内三十一秒冬至帝喾髙辛氏史祖少昊父桥极年十五佐颛帝受封于辛年三十代髙阳氏为天子在位七十岁乙酉元岁正月癸卯朔十一月癸酉日未正初刻九分内二十一秒冬至丙戌二岁正月丁卯朔十一月戊寅日戌正初刻五分内一十一秒冬至丁亥三岁正月辛酉朔十一月甲申日丑正初刻一分内一秒冬至日躔在虚尾数之四十五分戊子四岁正月乙卯朔十一月己丑日辰初三刻十一分内五十一秒冬至己丑五岁正月己卯朔十一月甲午日未初三刻七分内四十一秒冬至庚寅六岁正月甲戌朔十一月己亥日戌初三刻三分内三十一秒冬至 应闰辛卯七岁正月戊戌朔十一月乙巳日丑初一刻十四分内二十一秒冬至壬辰八岁正月壬辰朔十一月庚戌日辰初二刻十分内一十一秒冬至癸巳九岁正月丁亥朔十一月乙卯日未初二刻六分内一秒冬至 应闰甲午十岁正月辛亥朔十一月庚申日戌初二刻一分内五十一秒冬至乙未十一岁正月乙巳朔十一月丙寅日丑初一刻十二分内四十一秒冬至丙申十二岁正月己亥朔十一月辛未日辰初一刻八分内三十一秒冬至 应闰丁酉十三岁正月癸亥朔十一月丙子日未初一刻四分内二十一秒冬至戊戌十四岁正月丁巳朔十一月辛巳日戌初初刻十五分内一十一秒冬至己亥十五岁正月壬子朔十一月丁亥日丑初初刻十一分内一秒冬至 应闰庚子十六岁正月丙子朔十一月壬辰日辰初初刻六分内五十一秒冬至辛丑十七岁正月庚午朔十一月丁酉日未初初刻二分内四十一秒冬至 应闰百二十二章壬寅十八岁正月甲午朔十一月壬寅日酉正三刻十三分内三十一秒冬至癸卯十九岁正月戊子朔十一月戊申日子正三刻九分内二十一秒冬至甲辰二十岁正月壬午朔十一月癸丑日卯正三刻五分内一十一秒冬至 应闰乙巳二十一岁正月丙午朔十一月戊午日午正三刻一分内一秒冬至丙午二十二岁正月辛丑朔十一月癸亥日酉正二刻十一分内五十一秒冬至丁未二十三岁正月乙未朔十一月己巳日子正二刻七分内四十一秒冬至 应闰戊申二十四岁正月己未朔十一月甲戌日卯正二刻三分内三十一秒冬至己酉二十五岁正月甲寅朔十一月己卯日午正一刻十四分内二十一秒冬至 应闰庚戌二十六岁正月戊寅朔十一月甲申日酉正一刻十分内一十一秒冬至辛亥二十七岁正月壬申朔十一月庚寅日子正一刻六分内一秒冬至壬子二十八岁正月丙寅朔十一月乙未日卯正一刻一分内五十一秒冬至 应闰癸未年至此十一闰又一纪癸丑二十九岁正月庚寅朔十一月庚子日午正初刻十二分内四十一秒冬至甲寅三十岁正月甲申朔十一月乙巳日酉正初刻八分内三十一秒冬至乙卯三十一岁正月己卯朔十一月辛亥日子正初刻四分内二十一秒冬至 应闰丙辰三十二岁正月癸卯朔十一月丙辰日卯初三刻十五分内一十一秒冬至丁巳三十三岁正月丁酉朔十一月辛酉日午初三刻十一分内一秒冬至戊午三十四岁正月丁卯朔十一月丙寅日酉初三刻六分内五十一秒冬至 应闰己未三十五岁正月乙卯朔十一月壬申日子初三刻二分内四十一秒冬至庚申三十六岁正月庚戌朔十一月丁丑日卯初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰百二十三章辛酉三十七岁正月甲戌朔十一月壬午日午初二刻九分内二十一秒冬至壬戌三十八岁正月戊辰朔十一月丁亥日酉初二刻九分内一十一秒冬至癸亥三十九岁正月壬戌朔十一月癸巳日子初二刻一分内一秒冬至 应闰甲子四十岁正月丙戌朔十一月戊戌日卯初一刻十一分内五十一秒冬至乙丑四十一岁正月庚辰朔十一月癸卯日子初一刻七分内四十一秒冬至丙寅四十二岁正月乙亥朔十一月戊申日酉初一刻三分内三十一秒冬至 应闰丁卯四十三岁正月己亥朔十一月甲寅日子初初刻十四分内二十一秒冬至戊辰四十四岁正月癸巳朔十一月己未日卯初初刻十分内一十一秒冬至 应闰己巳四十五岁正月丁巳朔十一月甲子日午初初刻六分内一秒冬至庚午四十六岁正月辛亥朔十一月己巳日酉初初刻一分内五十一秒冬至辛未四十七岁正月丙午朔十一月甲戌日亥正三刻十二分内四十一秒冬至 应闰壬申四十八岁正月庚午朔十一月庚辰日寅正三刻八分内三十一秒冬至癸酉四十九岁正月甲子朔十一月乙酉日巳正三刻四分内二十一秒冬至甲戌五十岁正月戊午朔十一月庚寅日申正二刻十五分内一十一秒冬至 应闰乙亥五十一岁正月壬午朔十一月乙未日亥正二刻十一分内一秒冬至丙子五十二岁正月丙子朔十一月辛丑日寅正二刻六分内五十一秒冬至 应闰丁丑五十三岁正月庚子朔十一月丙午日巳正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五十四岁正月乙未朔十一月辛亥日申正一刻十三分内三十一秒冬至己卯五十五岁正月己丑朔十一月丙辰日亥正一刻九分内二十一秒冬至 应闰百二十四章庚辰五十六岁正月癸丑朔十一月壬戌日寅正一刻五分内一十一秒冬至辛巳五十七岁正月戊申朔十一月丁卯日巳正一刻一分内一秒冬至壬午五十八岁正月壬寅朔十一月壬申日申正初刻十一分内五十一秒冬至 应闰癸丑年至此十一闰又一纪癸未五十九岁正月丙寅朔十一月丁丑日亥正初刻七分内四十一秒冬至甲申六十岁正月庚申朔十一月癸未日寅正初刻三分内三十一秒冬至乙酉六十一岁正月甲寅朔十一月戊午日巳初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰丙戌六十二岁正月戊寅朔十一月癸巳日申初三刻十分内一十一秒冬至丁亥六十三岁正月癸酉朔十一月戊戌日亥初三刻六分内一秒冬至 应闰戊子六十四岁正月丁酉朔十一月甲辰日寅初三刻一分内五十一秒冬至己丑六十五岁正月辛卯朔十一月己酉日巳初二刻十二分内四十一秒冬至庚寅六十六岁正月乙酉朔十一月甲寅日申初二刻八分内三十一秒冬至 应闰辛卯六十七岁正月己酉朔十一月己未日亥初一刻四分内二十一秒冬至壬辰六十八岁正月甲辰朔十一月乙丑日寅初一刻十五分内一十一秒冬至癸巳六十九岁正月戊戌朔十一月庚午日巳初一刻十一分内一秒冬至 应闰甲午七十岁正月壬戌朔十一月乙亥日申初一刻六分内五十一秒冬至帝挚史帝喾崩子挚嗣立荒淫无度在位九年诸侯废之尊尧为天子乙未元岁正月丙辰朔十一月庚辰日亥初一刻二分内四十一秒冬至 应闰丙申二岁正月己卯朔十一月丙戌日寅初初刻十三分内三十一秒冬至丁酉三岁正月甲戌朔十一月辛卯日巳初初刻九分内二十一秒冬至戊戌四岁正月戊辰朔十一月丙申日申初初刻五分内一十一秒冬至 应闰百二十五章己亥五岁正月壬辰朔十一月辛丑日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在虚八度之四十五分全史日至源流卷十一
## 卷十二
钦定四库全书全史日至源流卷十二山东道御史许伯政撰壬子运十二(毎期三百六十五日二时七刻十分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分零十秒五十微小寒十四日八时四刻五分零五十微大寒十四日九时一刻十分一十五秒五十微立春十四日十时一刻六分一十五秒五十微雨水十四日十一时三刻四分一十五秒五十微惊蛰十五日零七刻零一十秒五十微春分十五日二时三刻九分零五十微清明十五日四时零八分零五十微榖雨十五日五时四刻八分零五秒五十微立夏十五日六时七刻零十秒五十微小满十五日八时零三分零五秒五十微芒种十五日八时三刻十分十秒五十微夏至十五日八时七刻零十秒五十微小暑十五日八时五刻三分一十秒五十微大暑十五日八时零八分一十秒五十微立秋十五日七时零一十一分一十秒五十微处暑十五日五时六刻六分一十秒五十微白露十五日四时三刻九分一十五秒五十微秋分十五日二时四刻十一分二十秒五十微寒露十五日一时一刻八分一十五秒五十微霜降十四日十一时五刻五分一十秒五十微立冬十四日十时二刻一十一分二十秒五十微小雪十四日九时二刻十二分一十五秒五十微大雪十四日八时五刻十分零十秒五十微庚子六岁正月丁亥朔十一月丁未日丑正三刻十一分内三十一秒冬至辛丑七岁正月辛巳朔十一月壬子日辰正三刻七分内一秒冬至 应闰壬寅八岁正月乙巳朔十一月丁巳日未正三刻二分内三十一秒冬至癸卯九岁正月庚子朔十一月壬戌日戌正二刻十三分内一秒冬至帝尧陶唐氏史帝喾之子在位百载甲辰元载正月甲午朔十一月戊辰日丑正二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙巳二载正月戊午朔十一月癸酉日辰正二刻四分内一秒冬至丙午三载正月壬子朔十一月戊寅日未正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁未四载正月丙子朔十一月癸未日戌正一刻十分内一秒冬至戊申五载正月庚午朔十一月己丑日丑正一刻五分内三十一秒冬至己酉六载正月乙丑朔十一月甲午日辰正一刻一分内一秒冬至 应闰庚戌七载正月己丑朔十一月己亥日未正初刻十一分内三十一秒冬至辛亥八载正月癸未朔十一月甲辰日戌正初刻七分内一秒冬至壬子九载正月丁丑朔十一月庚戌日丑正初刻二分内三十一秒冬至 应闰癸未年至此十一闰又一纪癸丑十载正月辛丑朔十一月乙卯日辰初三刻十三分内一秒冬至甲寅十一载正月乙未朔十一月庚申日未初三刻八分内三十一秒冬至 应闰乙卯十二载正月己未朔十一月乙丑日戌初三刻四分内一秒冬至丙辰十三载正月甲寅朔十一月辛未日丑初二刻十四分内三十一秒冬至丁巳十四载正月戊申朔十一月丙子日辰初二刻十分内一秒冬至 应闰百二十六章戊午十五载正月壬申朔十一月辛巳日未初二刻五分内三十一秒冬至己未十六载正月丁卯朔十一月丙戌日戌初二刻一分内一秒冬至庚申十七载正月辛酉朔十一月壬辰日丑初一刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛酉十八载正月乙酉朔十一月丁酉日辰初一刻七分内一秒冬至壬戌十九载正月己卯朔十一月壬寅日未初一刻二分内三十一秒冬至癸亥二十载正月癸酉朔十一月丁未日戌初初刻十三分内一秒冬至 应闰甲子二十一载正月丁酉朔十一月癸丑日丑初初刻八分内三十一秒冬至乙丑二十二载正月壬辰朔十一月戊午日辰初初刻四分内一秒冬至 应闰丙寅二十三载正月丙辰朔十一月癸亥日午正三刻十四分内三十一秒冬至丁卯二十四载正月庚戌朔十一月戊辰日酉正三刻十分内一秒冬至戊辰二十五载正月甲辰朔十一月甲戌日子正三刻五分内三十一秒冬至 应闰己巳二十六载正月戊辰朔十一月己卯日卯正三刻一分内一秒冬至庚午二十七载正月癸亥朔十一月甲申日午正二刻十一分内三十一秒冬至辛未二十八载正月丁巳朔十一月巳丑日酉正二刻七分内一秒冬至 应闰壬申二十九载正月辛巳朔十一月乙未日子正二刻二分内三十一秒冬至癸酉三十载正月乙亥朔十一月庚子日卯正一刻十三分内一秒冬至 应闰甲戌三十一载正月己亥朔十一月乙巳日午正一刻八分内二十一秒冬至乙亥三十二载正月甲午朔十一月庚戌日酉正一刻四分内一秒冬至丙子三十三载正月戊子朔十一月丙辰日子正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰百二十七章丁丑三十四载正月壬子朔十一月辛酉日卯正初刻十分内一秒冬至戊寅三十五载正月丙午朔十一月丙寅日午正初刻五分内三十一秒冬至己卯三十六载正月庚子朔十一月辛未日酉正初刻一分内一秒冬至 应闰庚辰三十七载正月甲子朔十一月丁丑日子初三刻十一分内三十一秒冬至辛巳三十八载正月己未朔十一月壬午日卯初三刻七分内一秒冬至壬午三十九载正月癸丑朔十一月丁亥日午初三刻二分内三十一秒冬至 应闰癸丑年至此十一闰又一纪癸未四十载正月丁丑朔十一月壬辰日酉初二刻十三分内一秒冬至甲申四十一载正月辛未朔十一月戊戌日子初二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙酉四十二载正月乙未朔十一月癸卯日卯初二刻四分内一秒冬至丙戌四十三载正月庚寅朔十一月戊申日午初一刻十四分内三十一秒冬至丁亥四十四载正月甲申朔十一月癸丑日酉初一刻十分内一秒冬至 应闰戊子四十五载正月戊申朔十一月己未日子初一刻五分内三十一秒冬至已丑四十六载正月壬寅朔十一月甲子日卯初一刻一分内一秒冬至庚寅四十七载正月丙申朔十一月己巳日午初初刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛卯四十八载正月庚申朔十一月甲戌日酉初初刻七分内一秒冬至壬辰四十九载正月甲寅朔十一月己卯夜子初初刻二分内三十一秒冬至 应闰癸巳五十载正月戊寅朔十一月乙酉日寅正三刻十三分内一秒冬至甲午五十一载正月癸酉朔十一月庚寅日巳正三刻八分内三十一秒冬至乙未五十二载正月丁卯朔十一月乙未日申正三刻四分内一秒冬至 应闰百二十八章丙申五十三载正月辛卯朔十一月庚子日亥正二刻十四分内三十一秒冬至丁酉五十四载正月丙戌朔十一月丙午日寅正二刻十分内一秒冬至戊戌五十五载正月庚辰朔十一月辛巳日巳正二刻五分内三十一秒冬至 应闰己亥五十六载正月甲辰朔十一月丙辰日申正二刻一分内一秒冬至庚子五十七载正月戊戌朔十一月辛酉日亥正一刻十一分内三十一秒冬至辛丑五十八载正月癸巳朔十一月丁卯日寅正一刻七分内一秒冬至 应闰壬寅五十九载正月丁巳朔十一月壬申日巳正一刻二分内三十一秒冬至癸卯六十载正月辛亥朔十一月丁丑日申正初刻十三分内一秒冬至 应闰甲辰六十一载正月乙亥朔十一月壬午日亥正初刻八分内三十一秒冬至乙巳六十二载正月己巳朔十一月戊子日寅正初刻四分内一秒冬至丙午六十三载正月癸亥朔十一月癸巳日巳初三刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁未六十四载正月丁亥朔十一月戊戌日申初三刻十分内一秒冬至戊申六十五载正月壬午朔十一月癸卯日亥初三刻五分内三十一秒冬至己酉六十六载正月丙子朔十一月己酉日寅初三刻一分内一秒冬至 应闰庚戌六十七载正月庚子朔十一月甲寅日巳初二刻十一分内三十一秒冬至辛亥六十八载正月甲午朔十一月己未日申初二刻七分内一秒冬至日躔在虚七度之四十五分 应闰癸未年至此十一闰一纪缩一年下起壬子壬子六十九载正月戊午朔十一月甲子日亥初二刻二分内三十一秒冬至癸丑七十载正月癸丑朔十一月庚午日寅初一刻十三分内一秒冬至甲寅七十一载正月丁未朔十一月乙亥日巳初一刻八分内三十一秒冬至 应闰百二十九章乙卯七十二载正月辛未朔十一月庚辰日申初一刻四分内一秒冬至丙辰七十三载正月乙丑朔十一月乙酉日亥初初刻十四分内三十一秒冬至丁巳七十四载正月庚申朔十一月辛卯日寅初初刻十分内一秒冬至 应闰戊午七十五载正月甲申朔十一月丙申日巳初初刻五分内三十一秒冬至己未七十六载正月戊寅朔十一月辛丑日申初初刻一分内一秒冬至庚申七十七载正月壬申朔十一月丙午日戌正三刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛酉七十八载正月丙申朔十一月壬子日丑正三刻七分内一秒冬至壬戌七十九载正月庚寅朔十一月丁巳日辰正三刻二分内三十一秒冬至 应闰癸亥八十载正月甲寅朔十一月壬戌日未正二刻十三分内一秒冬至甲子八十一载正月己酉朔十一月丁卯日戌正二刻八分内三十一秒冬至乙丑八十二载正月癸卯朔十一月癸酉日丑正二刻四分内一秒冬至 应闰丙寅八十三载正月丁卯朔十一月戊寅日辰正一刻十四分内三十一秒冬至丁卯八十四载正月壬戌朔十一月癸未日未正一刻十分内一秒冬至戊辰八十五载正月丙辰朔十一月戊子日戌正一刻五分内三十一秒冬至 应闰己巳八十六载正月庚辰朔十一月甲午日丑正一刻一分内一秒冬至庚午八十七载正月甲戌朔十一月己亥日辰正初刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛未八十八载正月戊戌朔十一月甲辰日未正初刻七分内一秒冬至壬申八十九载正月壬辰朔十一月己酉日戌正初刻二分内三十一秒冬至癸酉九十载正月丁亥朔十一月乙卯日丑初三刻十三分内一秒冬至 应闰百三十章甲戌九十一载正月辛亥朔十一月庚申日辰初三刻八分内三十一秒冬至乙亥九十二载正月乙巳朔十一月乙丑日未初三刻四分内一秒冬至丙子九十三载正月己亥朔十一月庚午日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁丑九十四载正月癸亥朔十一月丙子日丑初二刻十分内一秒冬至戊寅九十五载正月戊午朔十一月辛巳日辰初二刻五分内三十一秒冬至己卯九十六载正月壬子朔十一月丙戌日未初二刻一分内一秒冬至 应闰庚辰九十七载正月丙子朔十一月辛卯日戌初一刻十一分内三十一秒冬至辛巳九十八载正月庚午朔十一月丁酉日丑初一刻七分内一秒冬至 应闰壬子年至此十一闰为一纪壬午九十九载正月甲午朔十一月壬寅日辰初一刻二分内三十一秒冬至癸未一百载正月戊子朔十一月丁未日未初初刻十三分内一秒冬至 尧崩甲申载正月癸未朔十一月壬子日戌初初刻八分内三十一秒冬至 应闰乙酉载正月丁未朔十一月戊午日丑初初刻四分内一秒冬至 以上二年居尧丧帝舜有虞氏受尧禅在位五十载丙戌元载正月辛五朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内三十一秒冬至丁亥二载正月丙申朔十一月戊辰日午正三刻十分内一秒冬至 应闰戊子三载正月庚申朔十一月癸酉日酉正三刻五分内三十一秒冬至己丑四载正月甲寅朔十一月己卯日子正三刻一分内一秒冬至 应闰庚寅五载正月戊寅朔十一月甲申日卯正二刻十一分内三十一秒冬至辛卯六载正月壬申朔十一月己丑日午正二刻七分内一秒冬至壬辰七载正月丙寅朔十一月甲午日酉正二刻二分内三十一秒冬至 应闰百三十一章癸巳八载正月庚寅朔十一月庚子日子正一刻十三分内一秒冬至甲午九载正月乙酉朔十一月乙巳日卯正一刻八分内三十一秒冬至乙未十载正月己卯朔十一月庚戌日午正一刻四分内一秒冬至 应闰丙申十一载正月癸卯朔十一月乙卯日酉正初刻十四分内三十一秒冬至丁酉十二载正月丁酉朔十一月辛酉日子正初刻十分内一秒冬至戊戌十三载正月壬辰朔十一月丙寅日卯正初刻五分内三十一秒冬至 应闰己亥十四载正月丙辰朔十一月辛未日午正初刻一分内一秒冬至庚子十五载正月庚戌朔十一月丙子日酉初三刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛丑十六载正月甲戌朔十一月壬午日子初三刻一分内一秒冬至壬寅十七载正月戊辰朔十一月丁亥日卯初三刻二分内三十一秒冬至癸卯十八载正月壬戌朔十一月壬辰日午初二刻十三分内一秒冬至 应闰甲辰十九载正月丙戌朔十一月丁酉日酉初二刻八分内三十一秒冬至乙巳二十载正月辛巳朔十一月癸卯日子初二刻四分内一秒冬至丙午二十一载正月乙亥朔十一月戊申日卯初一刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁未二十二载正月己亥朔十一月癸丑日午初一刻十分内一秒冬至戊申二十三载正月癸巳朔十一月戊午日酉初一刻五分内三十一秒冬至 应闰己酉二十四载正月丁巳朔十一月甲子日子初一刻一分内一秒冬至庚戌二十五载正月壬子朔十一月己巳日卯初初刻十一分内三十一秒冬至辛亥二十六载正月丙午朔十一月甲戌日午初初刻七分内一秒冬至 应闰百三十二章壬午年至此十一闰又一纪壬子二十七载正月庚午朔十一月己卯日酉初初刻二分内三十一秒冬至癸丑二十八载正月甲子朔十一月甲申日亥正三刻十三分内一秒冬至甲寅二十九载正月己未朔十一月庚寅日寅正三刻八分内三十一秒冬至 应闰乙卯三十载正月癸未朔十一月乙未日巳正三刻四分内一秒冬至丙辰三十一载正月丁丑朔十一月庚子日申正二刻十四分内三十一秒冬至丁巳三十二载正月辛未朔十一月乙巳日亥正二刻十分内一秒冬至 应闰戊午三十三载正月乙未朔十一月辛亥日寅正二刻五分内三十一秒冬至己未三十四载正月乙丑朔十一月丙辰日巳正二刻一分内一秒冬至 应闰庚申三十五载正月癸丑朔十一月辛酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至辛酉三十六载正月戊申朔十一月丙寅日亥正一刻七分内一秒冬至壬戌三十七载正月壬寅朔十一月壬申日寅正一刻二分内三十一秒冬至 应闰癸亥三十八载正月丙寅朔十一月丁丑日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在虚六度之四十五分甲子三十九载正月庚申朔十一月壬午日申正初刻八分内三十一秒冬至乙丑四十载正月乙卯朔十一月丁亥日亥正初刻四分内一秒冬至 应闰丙寅四十一载正月己卯朔十一月癸巳日寅初三刻十四分内三十一秒冬至丁卯四十二载正月癸酉朔十一月戊戌日巳初三刻十分内一秒冬至 应闰戊辰四十三载正月丁酉朔十一月癸卯日申初三刻五分内三十一秒冬至己巳四十四载正月辛卯朔十一月戊申日亥初三刻一分内一秒冬至庚午四十五载正月丙戌朔十一月甲寅日寅初二刻十一分内三十一秒冬至 应闰百三十三章辛未四十六载正月庚戌朔十一月己未日巳初二刻七分内一秒冬至壬申四十七载正月甲辰朔十一月甲子日申初二刻二分内三十一秒冬至癸酉四十八载正月戊戌朔十一月己巳日亥初一刻十三分内一秒冬至 应闰甲戌四十九载正月壬戌朔十一月乙亥日寅初一刻八分内三十一秒冬至乙亥五十载正月丙辰朔十一月庚辰日巳初一刻四分内一秒冬至禹王夏后氏受帝舜禅在位八岁禹始称载曰岁丙子元岁正月辛亥朔十一月乙酉日申初初刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁丑二岁正月乙亥朔十一月庚寅日亥初初刻十分内一秒冬至戊寅三岁正月己巳朔十一月丙申日寅初初刻五分内三十一秒冬至 应闰己卯四岁正月癸巳朔十一月辛丑日巳初初刻一分内一秒冬至庚辰五岁正月丁亥朔十一月丙午日未正三刻十一分内三十一秒冬至辛巳六歳正月壬午朔十一月辛亥日戌正三刻七分内一秒冬至 应闰壬子年至此十一闰又一纪壬午七岁正月丙午朔十一月丁巳日丑正三刻二分内三十一秒冬至癸未八岁正月庚子朔十一月壬戌日辰正二刻十三分内一秒冬至后启禹子在位九岁甲申元歳正月甲午朔十一月丁卯日未正二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙酉二岁正月戊午朔十一月壬申日戌正二刻四分内一秒冬至丙戌三岁正月壬子朔十一月戊寅日丑正一刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁亥四岁正月丙子朔十一月癸未日辰正一刻十分内一秒冬至戊子五岁正月辛未朔十一月戊子日未正一刻五分内三十一秒冬至己丑六岁正月乙丑朔十一月癸巳日戌正一刻一分内一秒冬至 应闰百三十四章庚寅七岁正月己丑朔十一月己亥日丑正初刻十一分内三十一秒冬至辛卯八岁正月甲申朔十一月甲辰日辰正初刻七分内一秒冬至壬辰九岁正月戊寅朔十一月己酉日未正初刻二分内三十一秒冬至 应闰太康后启子在位二十九岁癸巳元岁正月壬寅朔十一月甲寅日戌初三刻十三分内一秒冬至甲午二岁正月丙申朔十一月庚申日丑初三刻八分内三十一秒冬至乙未三岁正月庚寅朔十一月乙丑日辰初三刻四分内一秒冬至 应闰丙申四歳正月甲寅朔十一月庚午日未初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉五岁正月己酉朔十一月乙亥日戌初二刻十分内一秒冬至 应闰戊戌六岁正月癸酉朔十一月辛巳日丑初二刻五分内三十一秒冬至己亥七岁正月丁卯朔十一月丙戌日辰初二刻一分内一秒冬至庚子八岁正月辛酉朔十一月辛卯日未初一刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛丑九岁正月乙酉朔十一月丙申日戌初一刻七分内一秒冬至壬寅十岁正月庚辰朔十一月壬寅日丑初一刻二分内三十一秒冬至癸卯十一岁正月甲戌朔十一月丁未日辰初初刻十三分内一秒冬至 应闰甲辰十二岁正月戊戌朔十一月壬子日未初初刻八分内三十一秒冬至乙巳十三岁正月壬辰朔十一月丁巳日戌初初刻四分内一秒冬至 应闰丙午十四歳正月丙辰朔十一月癸亥日子正三刻十四分内三十一秒冬至丁未十五歳正月辛亥朔十一月戊辰日卯正三刻十分内一秒冬至戊申十六岁正月乙巳朔十一月癸酉日午正三刻五分内三十一秒冬至 应闰百三十五章己酉十七岁正月己巳朔十一月戊寅日酉正三刻一分内一秒冬至庚戌十八岁正月癸亥朔十一月甲申日子正二刻十一分内三十一秒冬至辛亥十九岁正月戊午朔十一月己丑日卯正二刻七分内一秒冬至 应闰壬午年至此十一闰又一纪壬子二十岁正月壬午朔十一月甲午日午正二刻二分内三十一秒冬至癸丑二十一岁正月丙子朔十一月己亥日酉正一刻十三分内一秒冬至甲寅二十二岁正月庚午朔十一月乙巳日子正一刻八分内三十一秒冬至 应闰乙卯二十三歳正月甲午朔十一月庚戌日卯正一刻四分内一秒冬至丙辰二十四岁正月戊子朔十一月乙卯日午正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁巳二十五岁正月壬子朔十一月庚申日酉正初刻十分内一秒冬至戊午二十六岁正月丁未朔十一月丙寅日子正初刻五分内三十一秒冬至己未二十七岁正月辛丑朔十一月辛未日卯正初刻一分内一秒冬至 应闰庚申二十八岁正月乙丑朔十一月丙子日午初三刻十一分内三十一秒冬至辛酉二十九歳正月庚申朔十一月辛巳日酉初三刻七分内一秒冬至仲康太康弟在位十三岁壬戌元岁正月甲寅朔十一月丁亥日子初三刻二分内三十一秒冬至 书𦙍征季秋月朔辰弗集于房唐大衍日度议在仲康元岁今推此年应闰三月九月朔葢是庚辰癸亥二歳正月戊寅朔十一月壬辰日卯初二刻十三分内一秒冬至甲子三岁正月壬申朔十一月丁酉日午初二刻八分内三十一秒冬至 应闰乙丑四岁正月丙申朔十一月壬寅日酉初二刻四分内一秒冬至丙寅五岁正月庚寅朔十一月戊申日子初一刻十四分内三十一秒冬至丁卯六岁正月乙酉朔十一月癸丑日卯初一刻十分内一秒冬至 应闰百三十六章戊辰七岁正月乙酉朔十一月戊午日午初一刻五分内三十一秒冬至己巳八岁正月癸卯朔十一月癸亥日酉初一刻一分内一秒冬至庚午九岁正月戊戌朔十一月己巳日子初初刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛未十岁正月壬戌朔十一月甲戌日卯初初刻七分内一秒冬至壬申十一岁正月丙辰朔十一月己卯日午初初刻二分内三十一秒冬至癸酉十二岁正月庚戌朔十一月甲申日申正三刻十三分内一秒冬至 应闰甲戌十三岁正月甲戌朔十一月己丑日亥正三刻八分内三十一秒冬至后相仲康子在位二十八岁乙亥元歳正月戊辰朔十一月乙未日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在虚五度之四十五分 应闰全史日至源流卷十二
## 卷十三
钦定四库全书全史日至源流卷十三山东道御史许伯政撰壬子运十三(每期三百六十五日二时七刻十分十秒)冬至十四日八时三刻十四分一十秒小寒十四日八时四刻五分大寒十四日九时一刻十分一十五秒立春十四日十时一刻六分一十五秒雨水十四日十一时三刻四分一十五秒惊蛰十五日零七刻零一十秒春分十五日二时三刻九分清明十五日四时零八分谷雨十五日五时四刻八分零五秒立夏十五日六时七刻零一十秒小满十五日八时零三分零五秒芒种十五日八时三刻十分一十秒夏至十五日八时七刻零一十秒小暑十五日八时五刻三分一十秒大暑十五日八时零八分一十秒立秋十五日七时零一十一分一十秒处暑十五日五时六刻六分一十秒白露十五日四时三刻九分一十五秒秋分十五日二时四刻十一分二十秒寒露十五日一时一刻八分一十五秒霜降十四日十一时五刻五分一十秒立冬十四日十时二刻十一分二十秒小雪十四日九时二刻十二分一十五秒大雪十四日八时五刻十分一十秒丙子二岁正月壬辰朔十一月庚子日巳正二刻十四分内一十一秒冬至丁丑三岁正月丁亥朔十一月乙巳日申正二刻九分内二十一秒冬至戊寅四岁正月辛巳朔十一月庚戌日亥正二刻四分内三十一秒冬至 应闰己卯五岁正月乙巳朔十一月丙辰日寅正一刻十四分内四十一秒冬至庚辰六岁正月己亥朔十一月辛酉日巳正一刻九分内五十一秒冬至辛巳七岁正月甲午朔十一月丙寅日申正一刻五分内一秒冬至 应闰壬子年至此十一闰又一纪壬午八岁正月戊午朔十一月辛未日亥正初刻十五分内一十一秒冬至癸未九岁正月壬子朔十一月丁丑日寅正初刻十分内二十一秒冬至 应闰甲申十岁正月丙子朔十一月壬午日巳正初刻五分内三十一秒冬至乙酉十一岁正月庚午朔十一月丁亥日申初三刻十五分内四十一秒冬至丙戌十二岁正月甲子朔十一月壬辰日亥初三刻十分内五十一秒冬至 应闰百三十七章丁亥十三岁正月戊子朔十一月戊戌日寅初三刻六分内一秒冬至戊子十四岁正月癸未朔十一月癸卯日巳初三刻一分内一十一秒冬至己丑十五岁正月丁丑朔十一月戊申日申初二刻十一分内二十一秒冬至 应闰庚寅十六岁正月辛丑朔十一月癸丑日亥初二刻六分内三十一秒冬至辛卯十七岁正月丙申朔十一月己未日寅初二刻一分内四十一秒冬至壬辰十八岁正月庚寅朔十一月甲子日巳初一刻十一分内五十一秒冬至 应闰癸巳十九岁正月甲寅朔十一月己巳日申初一刻七分内一秒冬至甲午二十岁正月戊申朔十一月甲戌日亥初一刻二分内一十一秒冬至 应闰乙未二十一岁正月壬申朔十一月庚辰日寅初初刻十二分内二十一秒冬至丙申二十二岁正月丙寅朔十一月乙酉日巳初初刻七分内三十一秒冬至丁酉二十三岁正月辛酉朔十一月庚寅日申初初刻二分内四十一秒冬至 应闰戊戌二十四岁正月乙酉朔十一月乙未日戌正三刻十二分内五十一秒冬至巳亥二十五岁正月己卯朔十一月辛丑日丑正三刻八分内一秒冬至庚子二十六岁正月癸酉朔十一月丙午日辰正三刻三分内一十一秒冬至 应闰辛丑二十七岁正月丁酉朔十一月辛亥日未正二刻十三分内二十一秒冬至壬寅二十八岁正月辛卯朔十一月丙辰日戌正二刻八分内三十一秒冬至 应闰少康史寒浞子浇弑后相相后缗逃于有仍生少康故大纪以其生之年为元岁并在位六十一岁癸卯元岁正月乙卯朔十一月壬戌日丑正二刻三分内四十一秒冬至甲辰二岁正月庚戌朔十一月丁卯日辰正一刻十三分内五十一秒冬至乙巳三岁正月甲辰朔十一月壬申日未正一刻九分内一秒冬至 应闰百三十八章丙午四岁正月戊辰朔十一月丁丑日戌正一刻四分内一十一秒冬至丁未五岁正月癸亥朔十一月癸未日丑正初刻十四分内二十一秒冬至戊申六岁正月丁巳朔十一月戊子日辰正初刻九分内三十一秒冬至 应闰己酉七岁正月辛巳朔十一月癸巳日未正初刻四分内四十一秒冬至庚戌八岁正月乙亥朔十一月戊戌日戌初三刻十四分内五十一秒冬至辛亥九岁正月己巳朔十一月甲辰日丑初三刻十分内一秒冬至 应闰壬午年至此十一闰又一纪壬子十岁正月癸巳朔十一月己酉日辰初三刻五分内一十一秒冬至癸丑十一岁正月戊子朔十一月甲寅日未初二刻十五分内二十一秒冬至 应闰甲寅十二岁正月壬子朔十一月己未日戌初二刻十分内三十一秒冬至乙卯十三岁正月丙午朔十一月乙丑日丑初二刻五分内四十一秒冬至丙辰十四岁正月庚子朔十一月庚午日辰初一刻十五分内五十一秒冬至 应闰丁巳十五岁正月甲子朔十一月乙亥日未初一刻十一分内一秒冬至戊午十六岁正月己未朔十一月庚辰日戌初一刻六分内一十一秒冬至己未十七岁正月癸丑朔十一月丙戌日丑初一刻一分内二十一秒冬至 应闰庚申十八岁正月丁丑朔十一月辛卯日辰初初刻十一分内三十一秒冬至辛酉十九岁正月辛未朔十一月丙申日未初初刻六分内四十一秒冬至 应闰壬戌二十岁正月乙未朔十一月辛丑日戌初初刻一分内五十一秒冬至癸亥二十一岁正月己丑朔十一月丁未日子正三刻十二分内一秒冬至甲子二十二岁正月甲申朔十一月壬子日卯正三刻七分内一十一秒冬至 应闰百三十九章乙丑二十三岁正月戊申朔十一月丁巳日午正三刻二分内二十一秒冬至丙寅二十四岁正月壬寅朔十一月壬戌日酉正二刻十二分内三十一秒冬至丁卯二十五岁正月丙申朔十一月戊辰日子正二刻七分内四十一秒冬至 应闰戊辰二十六岁正月庚申朔十一月癸酉日卯正二刻二分内五十一秒冬至己巳二十七岁正月乙卯朔十一月戊寅日午正一刻十三分内一秒冬至庚午二十八岁正月己酉朔十一月癸未日酉正一刻八分内一十一秒冬至 应闰辛未二十九岁正月癸酉朔十一月己丑日子正一刻三分内二十一秒冬至壬申三十岁正月戊辰朔十一月甲午日卯正初刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸酉三十一岁正月壬辰朔十一月己亥日午正初刻八分内四十一秒冬至甲戌三十二岁正月丙戌朔十一月甲辰日酉正初刻三分内五十一秒冬至乙亥三十三岁正月庚辰朔十一月庚戌日子初三刻十四分内一秒冬至 应闰丙子三十四岁正月甲辰朔十一月乙卯日卯初三刻九分内一十一秒冬至丁丑三十五岁正月戊戌朔十一月庚申日午初三刻四分内二十一秒冬至戊寅三十六岁正月癸巳朔十一月乙丑日酉初二刻十四分内三十一秒冬至 应闰己卯三十七岁正月丁巳朔十一月辛未日子初二刻九分内四十一秒冬至庚辰三十八岁正月辛亥朔十一月丙子日卯初二刻四分内五十一秒冬至 应闰壬子年至此十一闰一纪缩一年下起辛巳辛巳三十九岁正月乙亥朔十一月辛巳日午初一刻十五分内一秒冬至壬午四十岁正月己巳朔十一月丙戌日酉初一刻十分内一十一秒冬至 史此岁灭浇复禹之绩癸未四十一岁正月甲子朔十一月壬辰日子初一刻五分内二十一秒冬至 应闰百四十章甲申四十二岁正月戊子朔十一月丁酉日卯初初刻十五分内三十一秒冬至乙酉四十三岁正月壬午朔十一月壬寅日午初初刻十分内四十一秒冬至丙戌四十四岁正月丙子朔十一月丁未日酉初初刻五分内五十一秒冬至 应闰丁亥四十五岁正月庚子朔十一月癸丑日子初初刻一分内一秒冬至日躔在虚四度之四十五分戊子四十六岁正月乙未朔十一月戊午日寅正三刻十一分内一十一秒冬至己丑四十七岁正月己丑朔十一月癸亥日巳正三刻六分内二十一秒冬至 应闰庚寅四十八岁正月癸丑朔十一月戊辰日申正三刻一分内三十一秒冬至辛卯四十九岁正月丁未朔十一月癸酉日亥正二刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬辰五十岁正月辛未朔十一月己卯日寅正二刻六分内五十一秒冬至癸巳五十一岁正月乙丑朔十一月甲申日巳正二刻二分内一秒冬至甲午五十二岁正月庚申朔十一月己丑日申正一刻十二分内一十一秒冬至 应闰乙未五十三岁正月甲申朔十一月甲午日亥正一刻七分内二十一秒冬至丙申五十四岁正月戊寅朔十一月庚子日寅正一刻二分内三十一秒冬至丁酉五十五岁正月壬申朔十一月乙巳日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 应闰戊戌五十六岁正月丙申朔十一月庚戌日申正初刻七分内五十一秒冬至己亥五十七岁正月庚寅朔十一月乙卯日亥正初刻三分内一秒冬至 应闰庚子五十八岁正月甲寅朔十一月辛酉日寅初三刻十三分内一十一秒冬至辛丑五十九岁正月己酉朔十一月丙寅日巳初三刻八分内二十一秒冬至壬寅六十岁正月癸卯朔十一月辛未日申初三刻三分内三十一秒冬至 应闰百四十一章癸卯六十一岁正月丁卯朔十一月丙子日亥初二刻十三分内四十一秒冬至后杼史少康子季杼在位一十七岁甲辰元岁正月壬戌朔十一月壬午日寅初二刻八分内五十一秒冬至乙巳二岁正月丙辰朔十一月丁亥日巳初二刻四分内一秒冬至 应闰丙午三岁正月庚辰朔十一月壬辰日申初一刻十四分内一十一秒冬至丁未四岁正月甲戌朔十一月丁酉日亥初一刻九分内二十一秒冬至戊申五岁正月戊辰朔十一月癸卯日寅初一刻四分内三十一秒冬至 应闰己酉六岁正月壬辰朔十一月戊申日巳初初刻十四分内四十一秒冬至庚戌七岁正月丁亥朔十一月癸丑日申初初刻九分内五十一秒冬至 应闰辛巳年至此十一闰为一纪辛亥八岁正月辛亥朔十一月戊午日亥初初刻五分内一秒冬至壬子九岁正月乙巳朔十一月甲子日丑正三刻十五分内一十一秒冬至癸丑十岁正月己亥朔十一月己巳日辰正三刻十分内二十一秒冬至 应闰甲寅十一岁正月癸亥朔十一月甲戌日未正三刻五分内三十一秒冬至乙卯十二岁正月戊午朔十一月己卯日戌正二刻十五分内四十一秒冬至丙辰十三岁正月壬子朔十一月乙酉日丑正二刻十分内五十一秒冬至 应闰丁巳十四岁正月丙子朔十一月庚寅日辰正二刻六分内一秒冬至戊午十五岁正月庚午朔十一月乙未日未正二刻一分内一十一秒冬至 应闰己未十六岁正月甲午朔十一月庚子日戌正一刻十一分内二十一秒冬至庚申十七岁正月戊子朔十一月丙午日丑正一刻六分内三十一秒冬至后槐后杼子在位二十六岁辛酉元岁正月癸未朔十一月辛亥日辰正一刻一分内四十一秒冬至 应闰百四十二章壬戌二岁正月丁未朔十一月丙辰日未正初刻十一分内五十一秒冬至癸亥三岁正月辛丑朔十一月辛酉日戌正初刻七分内一秒冬至甲子四岁正月丙申朔十一月丁卯日丑正初刻二分内一十一秒冬至 应闰乙丑五岁正月庚申朔十一月壬申日辰初三刻十二分内二十一秒冬至丙寅六岁正月甲寅朔十一月丁丑日未初三刻七分内三十一秒冬至丁卯七岁正月戊申朔十一月壬午日戌初三刻二分内四十一秒冬至 应闰戊辰八岁正月壬申朔十一月戊子日丑初二刻十二分内五十一秒冬至己巳九岁正月丙寅朔十一月癸巳日辰初二刻八分内一秒冬至 应闰庚午十岁正月庚寅朔十一月戊戌日未初二刻三分内一十一秒冬至辛未十一岁正月乙酉朔十一月癸卯日戌初一刻十三分内二十一秒冬至壬申十二岁正月己卯朔十一月己酉日丑初一刻八分内三十一秒冬至 应闰癸酉十三岁正月癸卯朔十一月甲寅日辰初一刻三分内四十一秒冬至甲戌十四岁正月丁酉朔十一月己未日未初初刻十三分内五十一秒冬至乙亥十五岁正月壬辰朔十一月甲子日戌初初刻九分内一秒冬至 应闰丙子十六岁正月丙辰朔十一月庚午日丑初初刻四分内一十一秒冬至丁丑十七岁正月庚戌朔十一月乙亥日卯正三刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊寅十八岁正月甲戌朔十一月庚辰日午正三刻九分内三十一秒冬至己卯十九岁正月戊辰朔十一月乙酉日酉正三刻四分内四十一秒冬至庚辰二十岁正月壬戌朔十一月辛卯日子正二刻十四分内五十一秒冬至 应闰百四十三章辛亥年至此十一闰又一纪辛巳二十一岁正月丙戌朔十一月丙申日卯正二刻十分内一秒冬至壬午二十二岁正月辛巳朔十一月辛丑日午正二刻五分内一十一秒冬至癸未二十三岁正月乙亥朔十一月丙午日酉正一刻十五分内二十一秒冬至 应闰甲申二十四岁正月己亥朔十一月壬子日子正一刻十分内三十一秒冬至乙酉二十五岁正月癸巳朔十一月丁巳日卯正一刻五分内四十一秒冬至丙戌二十六岁正月戊子朔十一月壬戌日午正初刻十五分内五十一秒冬至 应闰后芒后槐子在位一十八岁丁亥元岁正月壬子朔十一月丁卯日酉正初刻十一分内一秒冬至戊子二岁正月丙午朔十一月癸酉日子正初刻六分内一十一秒冬至 应闰己丑三岁正月庚午朔十一月戊寅日卯正初刻一分内二十一秒冬至庚寅四岁正月甲子朔十一月癸未日午初三刻十一分内三十一秒冬至辛卯五岁正月戊午朔十一月戊子日酉初三刻六分内四十一秒冬至 应闰壬辰六岁正月壬午朔十一月甲午日子初三刻一分内五十一秒冬至癸巳七岁正月丁丑朔十一月己亥日卯初二刻十二分内一秒冬至甲午八岁正月辛未朔十一月甲辰日午初二刻七分内一十一秒冬至 应闰乙未九岁正月乙未朔十一月己酉日酉初二刻二分内二十一秒冬至丙申十岁正月己丑朔十一月乙卯日子初一刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁酉十一岁正月癸丑朔十一月庚申日卯初一刻七分内四十一秒冬至戊戌十二岁正月戊申朔十一月乙丑日午初一刻二分内五十一秒冬至己亥十三岁正月壬寅朔十一月庚午日酉初初刻十三分内一秒冬至日躔在虚三度之四十五分应闰百四十四章庚子十四岁正月丙寅朔十一月丙子日子初初刻八分内一十一秒冬至辛丑十五岁正月辛酉朔十一月辛巳日卯初初刻三分内二十一秒冬至壬寅十六岁正月乙卯朔十一月丙戌日巳正三刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸卯十七岁正月己卯朔十一月辛卯日申正三刻八分内四十一秒冬至甲辰十八岁正月癸酉朔十一月丙申日亥正三刻三分内五十一秒冬至后泄后芒子在位一十六岁乙巳元岁正月丁卯朔十一月壬寅日寅正二刻十四分内一秒冬至 应闰丙午二岁正月辛卯朔十一月丁未日巳正二刻九分内一十一秒冬至丁未三岁正月丙戌朔十一月壬子日申正二刻四分内二十一秒冬至 应闰戊申四岁正月庚戌朔十一月丁巳日亥正一刻十四分内三十一秒冬至己酉五岁正月甲辰朔十一月癸亥日寅正一刻九分内四十一秒冬至庚戌六岁正月戊戌朔十一月戊辰日巳正一刻四分内五十一秒冬至 应闰辛巳年至此十一闰又一纪辛亥七岁正月壬戌朔十一月癸酉日申正初刻十五分内一秒冬至壬子八岁正月丁巳朔十一月戊寅日亥正初刻十分内一十一秒冬至癸丑九岁正月辛亥朔十一月甲申日寅正初刻五分内二十一秒冬至 应闰甲寅十岁正月乙亥朔十一月己丑日巳初三刻十五分内三十一秒冬至乙卯十一岁正月己巳朔十一月甲午日申初三刻十分内四十一秒冬至 应闰丙辰十二岁正月癸巳朔十一月己亥日亥初三刻五分内五十一秒冬至丁巳十三岁正月丁亥朔十一月乙巳日寅初三刻一分内一秒冬至戊午十四岁正月壬午朔十一月庚戌日巳初二刻十一分内一十一秒冬至 应闰百四十五章己未十五岁正月丙午朔十一月乙卯日申初二刻六分内二十一秒冬至庚申十六岁正月庚子朔十一月庚申日亥初二刻一分内三十一秒冬至后不降后泄子在位五十九岁辛酉元岁正月乙未朔十一月丙寅日寅初一刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬戌二岁正月己未朔十一月辛未日巳初一刻六分内五十一秒冬至癸亥三岁正月癸丑朔十一月丙子日申初一刻二分内一秒冬至甲子四岁正月丁未朔十一月辛巳日亥初初刻十二分内一十一秒冬至 应闰乙丑五岁正月辛未朔十一月丁亥日寅初初刻七分内二十一秒冬至丙寅六岁正月乙丑朔十一月壬辰日巳初初刻二分内三十一秒冬至 应闰丁卯七岁正月己丑朔十一月丁酉日未正三刻十二分内四十一秒冬至戊辰八岁正月甲申朔十一月壬寅日戌正三刻七分内五十一秒冬至己巳九岁正月戊寅朔十一月戊申日丑正三刻三分内一秒冬至 应闰庚午十岁正月壬寅朔十一月癸丑日辰正二刻十三分内一十一秒冬至辛未十一岁正月丙申朔十一月戊午日未正二刻八分内二十一秒冬至壬申十二岁正月辛卯朔十一月癸亥日戌正二刻三分内三十一秒冬至 应闰癸酉十三岁正月乙卯朔十一月己巳日丑正一刻十三分内四十一秒冬至甲戌十四岁正月己酉朔十一月甲戌日辰正一刻八分内五十一秒冬至 应闰乙亥十五岁正月癸酉朔十一月己卯日未正一刻四分内一秒冬至丙子十六岁正月丁卯朔十一月甲申日戌正初刻十四分内一十一秒冬至丁丑十七岁正月辛酉朔十一月庚寅日丑正初刻九分内二十一秒冬至 应闰百四十六章戊寅十八岁正月乙酉朔十一月乙未日辰正初刻四分内三十一秒冬至己卯十九岁正月庚辰朔十一月庚子日未初三刻十四分内四十一秒冬至庚辰二十岁正月甲戌朔十一月乙巳日戌初三刻九分内五十一秒冬至 应闰辛亥年至此十一闰又一纪辛巳二十一岁正月戊戌朔十一月辛亥日丑初三刻五分内一秒冬至壬午二十二岁正月壬辰朔十一月丙辰日辰初二刻十五分内一十一秒冬至癸未二十三岁正月丁亥朔十一月辛酉日未初二刻十分内二十一秒冬至 应闰甲申二十四岁正月辛亥朔十一月丙寅日戌初二刻五分内三十一秒冬至乙酉二十五岁正月乙巳朔十一月壬申日丑初一刻十五分内四十一秒冬至 应闰丙戌二十六岁正月己巳朔十一月丁丑日辰初一刻十分内五十一秒冬至丁亥二十七岁正月癸亥朔十一月壬午日未初一刻六分内一秒冬至戊子二十八岁正月丁巳朔十一月丁亥日戌初一刻一分内一十一秒冬至 应闰己丑二十九岁正月辛巳朔十二月癸巳日丑初初刻十一分内二十一秒冬至庚寅三十岁正月丙午朔十一月戊戌日辰初初刻六分内三十一秒冬至辛卯三十一岁正月庚午朔十一月癸卯日未初初刻一分内四十一秒冬至 应闰壬辰三十二岁正月甲午朔十一月戊申日酉正三刻十一分内五十一秒冬至癸巳三十三岁正月己丑朔十一月甲寅日子正三刻七分内一秒冬至 应闰甲午三十四岁正月癸丑朔十一月己未日卯正三刻二分内一十一秒冬至乙未三十五岁正月丁未朔十一月甲子日午正二刻十二分内二十一秒冬至丙申三十六岁正月辛丑朔十一月己巳日酉正二刻七分内三十一秒冬至 应闰百四十七章丁酉三十七岁正月乙丑朔十一月乙亥日子正二刻二分内四十一秒冬至戊戌三十八岁正月己未朔十一月庚辰日卯正一刻十二分内五十一秒冬至己亥三十九岁正月甲寅朔十一月乙酉日午正一刻八分内一秒冬至 应闰庚子四十岁正月戊寅朔十一月庚寅日酉正一刻三分内一十一秒冬至辛丑四十一岁正月壬申朔十一月丙申日子正初刻十三分内二十一秒冬至壬寅四十二岁正月丙寅朔十一月辛丑日卯正初刻八分内三十一秒冬至 应闰癸卯四十三岁正月庚寅朔十一月丙午日午正初刻三分内四十一秒冬至甲辰四十四岁正月乙酉朔十一月辛亥日酉初三刻十三分内五十一秒冬至 应闰乙巳四十五岁正月己酉朔十一月丁巳日子初三刻九分内一秒冬至丙午四十六岁正月癸卯朔十一月壬戌日卯初三刻四分内一十一秒冬至丁未四十七岁正月丁酉朔十一月丁卯日午初二刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊申四十八岁正月辛酉朔十一月壬申日酉初二刻九分内三十一秒冬至己酉四十九岁正月乙卯朔十一月戊寅日子初二刻四分内四十一秒冬至庚戌五十岁正月庚戌朔十一月癸未日卯初一刻十四分内五十一秒冬至 应闰辛巳年至此十一闰又一纪辛亥五十一岁正月甲戌朔十一月戊子日午初一刻十分内一秒冬至日躔在虚二度之四十五分全史日至源流卷十三
## 卷十四
钦定四库全书全史日至源流卷十四山东道御史许伯政撰壬子运十四(每期三百六十五日二时七刻九分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分九秒一十微小寒十四日八时四刻四分五十九秒一十微大寒十四日九时一刻十分一十四秒一十微立春十四日十时一刻六分一十四秒一十微雨水十四日十一时三刻四分一十四秒一十微惊蛰十五日零七刻零九秒一十微春分十五日二时三刻八分五十九秒一十微清明十五日四时零七分五十九秒一十微谷雨十五日五时四刻八分零四秒一十微立夏十五日六时七刻零九秒一十微小满十五日八时零三分零四秒一十微芒种十五日八时三刻十分零九秒一十微夏至十五日八时七刻零九秒一十微小暑十五日八时五刻三分九秒一十微大暑十五日八时零八分九秒一十微立秋十五日七时零一十一分九秒一十微处暑十五日五时六刻六分九秒一十微白露十五日四时三刻九分一十四秒一十微秋分十五日二时四刻十一分一十九秒一十微寒露十五日一时一刻八分一十四秒一十微霜降十四日十一时五刻五分九秒一十微立冬十四日十时二刻十一分一十九秒一十微小雪十四日九时二刻十二分一十四秒一十微大雪十四日八时五刻十分九秒一十微壬子五十二岁正月戊辰朔十一月癸巳日酉初一刻四分内五十一秒冬至 应闰癸丑五十三岁正月壬辰朔十一月己亥日子初初刻十四分内四十一秒冬至甲寅五十四岁正月丙戌朔十一月甲辰日卯初初刻九分内十一秒冬至乙卯五十五岁正月辛巳朔十一月己酉日午初初刻四分内二十一秒冬至 应闰百四十八章丙辰五十六岁正月乙巳朔十一月甲寅日申正三刻十四分内一十一秒冬至丁巳五十七岁正月己亥朔十一月己未日亥正三刻九分内一秒冬至戊午五十八岁正月癸巳朔十一月乙丑日寅正三刻三分内五十一秒冬至 应闰己未五十九岁正月丁巳朔十一月庚午日巳正二刻十三分内四十一秒冬至后扃后不降弟在位二十一岁庚申元岁正月壬子朔十一月乙亥日申正二刻八分内三十一秒冬至辛酉二岁正月丙午朔十一月庚辰日亥正二刻三分内二十一秒冬至 应闰壬戌三岁正月庚午朔十一月丙戌日寅正一刻十三分内一十一秒冬至癸亥四岁正月甲子朔十一月辛卯日巳正一刻八分内一秒冬至 应闰甲子五岁正月戊子朔十一月丙申日申正一刻二分内五十一秒冬至乙丑六岁正月壬午朔十一月辛丑日亥正初刻十二分内四十一秒冬至丙寅七岁正月丁丑朔十一月丁未日寅正初刻七分内三十一秒冬至 应闰丁卯八岁正月辛丑朔十一月壬子日巳正初刻二分内二十一秒冬至戊辰九岁正月乙未朔十一月丁巳日申初三刻十二分内一十一秒冬至己巳十岁正月庚寅朔十一月壬戌日亥初三刻七分内一秒冬至 应闰庚午十一岁正月甲寅朔十一月戊辰日寅初三刻一分内五十一秒冬至辛未十二岁正月戊申朔十一月癸酉日巳初二刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬申十三岁正月壬申朔十一月戊寅日申初二刻六分内三十一秒冬至癸酉十四岁正月丙寅朔十一月癸未日亥初二刻一分内二十一秒冬至甲戌十五岁正月庚申朔十一月己丑日寅初一刻十一分内一十一秒冬至 应闰百四十九章乙亥十六岁正月甲申朔十一月甲午日巳初一刻六分内一秒冬至丙子十七岁正月己卯朔十一月己亥日申初初刻十五分内五十一秒冬至丁丑十八岁正月癸酉朔十一月甲辰日亥初初刻十分内四十一秒冬至 应闰戊寅十九岁正月丁酉朔十一月庚戌日寅初初刻五分内三十一秒冬至己卯二十岁正月辛卯朔十一月乙卯日辰正三刻十五分内二十一秒冬至庚辰二十一岁正月丙戌朔十一月庚申日未正三刻十分内一十一秒冬至 应闰辛亥年至此十一闰又一纪后厪后扃子在位二十一岁辛巳元岁正月庚戌朔十一月乙丑日戌正三刻五分内一秒冬至壬午二岁正月甲辰朔十一月辛未日丑正二刻十四分内五十一秒冬至 应闰癸未三岁正月戊辰朔十一月丙子日辰正二刻九分内四十一秒冬至甲申四岁正月壬戌朔十一月辛巳日未正二刻四分内三十一秒冬至乙酉五岁正月丙辰朔十一月甲戌日戌正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌六岁正月庚辰朔十一月壬辰日丑正一刻九分内一十一秒冬至丁亥七岁正月乙亥朔十一月丁酉日辰正一刻四分内一秒冬至戊子八岁正月己巳朔十一月壬寅日未正初刻十三分内五十一秒冬至 应闰己丑九岁正月癸巳朔十一月丁未日戌正初刻八分内四十一秒冬至庚寅十岁正月丁亥朔十一月癸丑日丑正初刻三分内三十一秒冬至 应闰辛卯十一岁正月辛亥朔十一月戊午日辰初三刻十三分内二十一秒冬至壬辰十二岁正月丙午朔十一月癸亥日未初三刻八分内一十一秒冬至癸巳十三岁正月庚子朔十一月戊辰日戌初三刻三分内一秒冬至 应闰百五十章甲午十四岁正月甲子朔十一月甲戌日丑初二刻十二分内五十一秒冬至乙未十五岁正月己未朔十一月己卯日辰初二刻七分内四十一秒冬至丙申十六岁正月癸丑朔十一月甲申日未初二刻二分内三十一秒冬至 应闰丁酉十七岁正月丁丑朔十一月己丑日戌初一刻十二分内二十一秒冬至戊戌十八岁正月辛未朔十一月乙未日丑初一刻七分内一十一秒冬至己亥十九岁正月乙丑朔十一月庚子日辰初一刻二分内一秒冬至 应闰庚子二十岁正月己丑朔十一月乙巳日未初初刻十一分内五十一秒冬至辛丑二十一岁正月甲申朔十一月庚戌日戌初初刻六分内四十一秒冬至 应闰后孔甲后不降子在位三十一岁壬寅元岁正月戊申朔十一月丙辰日丑初初刻一分内三十一秒冬至癸卯二岁正月壬寅朔十一月辛酉日卯正三刻十一分内二十一秒冬至甲辰三岁正月丙申朔十一月丙寅日午正三刻六分内一十一秒冬至 应闰乙巳四岁正月庚申朔十一月辛未日酉正三刻一分内一秒冬至丙午五岁正月乙卯朔十一月丁丑日子正二刻十分内五十一秒冬至丁未六岁正月己酉朔十一月壬午日卯正二刻五分内四十一秒冬至 应闰戊申七岁正月癸酉朔十一月丁亥日午正一刻十五分内三十一秒冬至己酉八岁正月丁卯朔十一月壬辰日酉正一刻十分内二十一秒冬至 应闰辛巳年至此十一闰一纪缩一年下起庚戌庚戌九岁正月辛卯朔十一月戊戌日子正一刻五分内一十一秒冬至辛亥十岁正月丙戌朔十一月癸卯日卯正初刻十五分内一秒冬至壬子十一岁正月庚辰朔十一月戊申日午正初刻九分内五十一秒冬至 应闰百五十一章癸丑十二岁正月甲辰朔十一月癸丑日酉正初刻四分内四十一秒冬至甲寅十三岁正月戊戌朔十一月己未日子初三刻十四分内三十一秒冬至乙卯十四岁正月癸巳朔十一月甲子日卯初三刻九分内二十一秒冬至 应闰丙辰十五岁正月丁巳朔十一月己巳日午初三刻四分内二十一秒冬至丁巳十六岁正月辛亥朔十一月甲戌日酉初三刻十四分内一秒冬至戊午十七岁正月乙巳朔十一月庚辰日子初二刻八分内五十一秒冬至 应闰己未十八岁正月己巳朔十一月乙酉日卯初二刻三分内四十一秒冬至庚申十九岁正月癸亥朔十一月庚寅日午初一刻十三分内三十一秒冬至 应闰辛酉二十岁正月丁亥朔十一月乙未日酉初一刻八分内二十一秒冬至壬戌二十一岁正月壬午朔十一月辛丑日子初一刻二分内一十一秒冬至癸亥二十二岁正月丙午朔十一月丙午日卯初初刻十三分内一秒冬至日躔在虚一度之四十五分应闰甲子二十三岁正月庚子朔十一月辛亥日午初初刻七分内五十一秒冬至乙丑二十四岁正月乙未朔十一月丙辰日酉初初刻二分内四十一秒冬至丙寅二十五岁正月己丑朔十一月辛酉日亥正三刻十二分内三十一秒冬至 应闰丁卯二十六岁正月癸丑朔十一月丁卯日寅正三刻七分内二十一秒冬至戊辰二十七岁正月丁未朔十一月壬申日巳正三刻二分内一十一秒冬至 应闰举要商王发生子履癸己巳二十八岁正月辛未朔十一月丁丑日申正二刻十二分内一秒冬至庚午二十九岁正月丙寅朔十一月壬午日亥正二刻六分内五十一秒冬至辛未三十岁正月庚申朔十一月戊子日寅正二刻一分内四十一秒冬至 应闰百五十二章壬申三十一岁正月甲申朔十一月癸巳日巳正一刻十一分内三十一秒冬至后臯后孔甲子在位一十一岁癸酉元岁正月戊寅朔十一月戊戌日申正一刻六分内二十一秒冬至甲戌二岁正月壬申朔十一月癸卯日亥正一刻一分内一十一秒冬至 应闰乙亥三岁正月丙申朔十一月己酉日寅正初刻十一分内一秒冬至丙子四岁正月辛卯朔十一月甲寅日巳正初刻五分内五十一秒冬至丁丑五岁正月乙酉朔十一月己未日申初三刻十五分内四十一秒冬至 应闰戊寅六岁正月己酉朔十二月甲子日亥初三刻十分内三十一秒冬至己卯七岁正月甲辰朔十一月庚午日寅初三刻五分内二十一秒冬至 应闰庚戌年至此十一闰为一纪庚辰八岁正月戊辰朔十一月乙亥日巳初二刻十五分内一十一秒冬至辛巳九岁正月壬戌朔十一月庚辰日申初二刻十分内一秒冬至壬午十岁正月丙辰朔十一月乙酉日亥初二刻四分内五十一秒冬至 应闰癸未十一岁正月庚辰朔十一月辛卯日寅初一刻十四分内四十一秒冬至后发后臯子在位一十九岁甲申元岁正月甲戌朔十一月丙申日巳初一刻九分内三十一秒冬至乙酉二岁正月戊辰朔十一月辛丑日申初一刻四分内二十一秒冬至 应闰丙戌三岁正月壬辰朔十一月丙午日亥初初刻十四分内一十一秒冬至丁亥四岁正月丁亥朔十一月壬子日寅初初刻九分内一秒冬至 应闰戊子五岁正月辛亥朔十一月丁巳日巳初初刻三分内五十一秒冬至己丑六岁正月乙巳朔十一日壬戌日未正三刻十三分内四十一秒冬至庚寅七岁正月庚子朔十一月丁卯日戌正三刻八分内三十一秒冬至 应闰百五十三章辛卯八岁正月甲子朔十一月癸酉日丑正三刻三分内二十一秒冬至壬辰九岁正月戊午朔十一月戊寅日辰正二刻十三分内一十一秒冬至癸巳十岁正月壬子朔十一月癸未日未正二刻八分内一秒冬至 应闰甲午十一岁正月丙子朔十一月戊子日戌正二刻二分内五十一秒冬至乙未十二岁正月庚午朔十一月甲午日丑正一刻十二分内四十一秒冬至丙申十三岁正月乙丑朔十一月己亥日辰正一刻七分内三十一秒冬至 应闰丁酉十四岁正月己丑朔十一月甲辰日未正一刻二分内二十一秒冬至戊戌十五岁正月癸未朔十一月己酉日戌正初刻十二分内一十一秒冬至 应闰己亥十六岁正月丁未朔十一月乙卯日丑正初刻七分内一秒冬至庚子十七岁正月壬寅朔十一月庚申日辰正初刻一分内五十一秒冬至辛丑十八岁正月丙申朔十一月乙丑日未初三刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬寅十九岁正月庚申朔十一月庚午日戌初三刻六分内三十一秒冬至后癸后发子在位五十二岁癸卯元岁正月甲寅朔十一月丙子日丑初三刻一分内二十一秒冬至甲辰二岁正月戊申朔十一月辛巳日辰初二刻十一分内一十一秒冬至 应闰乙巳三岁正月壬申朔十一月丙戌日未初二刻六分内一秒冬至丙午四岁正月丙寅朔十一月辛卯日戌初一刻十五分内五十一秒冬至 应闰丁未五岁正月庚寅朔十一月丁酉日丑初一刻十分内四十一秒冬至戊申六岁正月乙酉朔十一月壬寅日辰初一刻五分内三十一秒冬至己酉七岁正月己卯朔十一月丁未日未初初刻十五分内二十一秒冬至 应闰百五十四章庚辰年至此十一闰又一纪庚戌八岁正月癸卯朔十一月壬子日戌初初刻十分内一十一秒冬至辛亥九岁正月丁酉朔十一月戊午日丑初初刻五分内一秒冬至壬子十岁正月壬辰朔十一月癸亥日卯正三刻十四分内五十一秒冬至 应闰癸丑十一岁正月丙辰朔十一月戊辰日午正三刻九分内四十一秒冬至甲寅十二岁正月庚戌朔十一月癸酉日酉正三刻四分内三十一秒冬至乙卯十三岁正月甲辰朔十一月己卯日子正二刻十四分内二十一秒冬至 应闰丙辰十四岁正月戊辰朔十一月甲申日卯正二刻九分内一十一秒冬至丁巳十五岁正月壬戌朔十一月己丑日午正二刻四分内一秒冬至 应闰戊午十六岁正月丙戌朔十一月甲午日酉正一刻十三分内五十一秒冬至己未十七岁正月辛巳朔十一月庚子日子正一刻八分内四十一秒冬至庚申十八岁正月乙亥朔十一月乙巳日卯正一刻三分内三十一秒冬至 应闰辛酉十九岁正月己亥朔十一月庚戌日午正初刻十三分内二十一秒冬至壬戌二十岁正月癸巳朔十一月乙卯日酉正初刻八分内一十一秒冬至癸亥二十一岁正月戊子朔十一月辛酉日子正初刻三分内一秒冬至 应闰甲子二十二岁正月壬子朔十一月丙寅日卯初三刻十二分内五十一秒冬至乙丑二十三岁正月丙午朔十一月辛未日午初三刻七分内四十一秒冬至 应闰丙寅二十四岁正月庚午朔十一月丙子日酉初三刻二分内三十一秒冬至丁卯二十五岁正月甲子朔十一月壬午日子初二刻十二分内二十一秒冬至戊辰二十六岁正月己未朔十一月丁亥日卯初二刻七分内一十一秒冬至 应闰百五十五章己巳二十七岁正月癸未朔十一月壬辰日午初二刻三分内一秒冬至庚午二十八岁正月丁丑朔十一月丁酉日酉初一刻十一分内五十一秒冬至辛未二十九岁正月辛未朔十一月癸卯日子初一刻六分内四十一秒冬至 应闰壬申三十岁正月乙未朔十一月戊申日卯初一刻一分内三十一秒冬至癸酉三十一岁正月庚寅朔十一月癸丑日午初初刻十一分内二十一秒冬至甲戌三十二岁正月甲申朔十一月戊午日酉初初刻六分内一十一秒冬至 应闰乙亥三十三岁正月戊申朔十一月甲子日子初初刻一分内一秒冬至日躔在虚初度之四十五分丙子三十四岁正月壬寅朔十一月己巳日寅正三刻十分内五十一秒冬至 应闰丁丑三十五岁正月丙寅朔十一月甲戌日巳正三刻五分内四十一秒冬至戊寅三十六岁正月庚申朔十一月己卯日申正二刻十五分内三十一秒冬至 商汤嗣侯位元年己卯三十七岁正月乙卯朔十一月甲申日亥正二刻十分内二十一秒冬至 应闰庚戌年至此十一闰又一纪庚辰三十八岁正月己卯朔十一月庚寅日寅正二刻五分内一十一秒冬至辛巳三十九岁正月癸酉朔十一月乙未日巳正一刻十五分内一秒冬至壬午四十岁正月丁卯朔十一月庚子日申正一刻九分内五十一秒冬至 应闰癸未四十一岁正月辛卯朔十一月乙巳日亥正一刻四分内四十一秒冬至甲申四十二岁正月丙戌朔十一月辛亥日寅正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰乙酉四十三岁正月庚戌朔十一月丙辰日巳正初刻九分内二十一秒冬至丙戌四十四岁正月甲辰朔十一月辛酉日申正初刻四分内一十一秒冬至丁亥四十五岁正月戊戌朔十一月丙寅日亥初三刻十四分内一秒冬至 应闰百五十六章戊子四十六岁正月壬戌朔十一月壬申日寅初三刻八分内五十一秒冬至己丑四十七岁正月丙辰朔十一月丁丑日巳初二刻三分内四十一秒冬至庚寅四十八岁正月辛亥朔十一月壬午日申初二刻十三分内三十一秒冬至 应闰辛卯四十九岁正月乙亥朔十一月丁亥日亥初二刻八分内二十一秒冬至壬辰五十岁正月己巳朔十一月癸巳日寅初二刻三分内一十一秒冬至癸巳五十一岁正月癸亥朔十一月戊戌日巳初一刻十三分内一秒冬至 应闰甲午五十二岁正月丁亥朔十一月癸卯日申初一刻七分内五十一秒冬至 此年十一月壬子朔即汤十八祀之岁首元旦商成汤大纪以斗杓建丑冬十二月为岁首是谓地统改岁曰祀在位三十祀在王位十三祀乙未十八祀冬十二月壬子朔正月辛巳朔十一月戊申日亥初一刻二分内四十一秒冬至 商正建丑如改年始朝贺皆以丑月为岁首是也至于敬授人时以治民事仍用寅月为正岁此百王所同也故兼正月朔纪之应闰丙申十九祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月甲寅日寅初初刻十二分内三十一秒冬至丁酉二十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月己未日巳初初刻七分内二十一秒冬至戊戌二十一祀十二月甲子朔正月甲子朔十一月甲子日申初初刻二分内一十一秒冬至 应闰己亥二十二祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月己巳日戌正三刻十二分内一秒冬至庚子二十三祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月乙亥日丑正三刻六分内五十一秒冬至辛丑二十四祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月庚辰日辰正三刻一分内四十一秒冬至 应闰壬寅二十五祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月乙酉日未正二刻十一分内三十一秒冬至癸卯二十六祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月庚寅日戌正二刻六分内二十一秒冬至 应闰甲辰二十七祀十二月己未朔正月己丑朔十一月丙申日丑正一刻一分内一十一秒冬至乙巳二十八祀十二月癸丑朔正月癸未朔十一月辛丑日辰正一刻十一分内一秒冬至丙午二十九祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月丙午日未正一刻五分内五十一秒冬至 应闰百五十七章丁未三十祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月辛亥日戌正初刻十五分内四十一秒冬至太宗太甲汤嫡孙在位三十三祀戊申元祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月丁巳日丑正初刻十分内三十一秒冬至 书惟元祀十有二月乙丑蔡传曰乙丑不系朔非朔日也以今推之似是朔日若从史记世表添入外丙立二年仲壬立四年则甲寅为太甲元祀其岁首十二月不得有乙丑己酉二祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月壬戌日辰正初刻五分内二十一秒冬至 应闰庚辰年至至此十一闰又一纪庚戌三祀十二月甲申朔正月甲寅朔十一月丁卯日未初三刻十五分内一十一秒冬至辛亥四祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月壬申日戌初三刻十分内一秒冬至壬子五祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月戊寅日丑初三刻四分内五十一秒冬至 应闰癸丑六祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月癸未日辰初二刻十四分内四十一秒冬至甲寅七祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月戊子日未初二刻九分内三十一秒冬至 应闰乙卯八祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月癸巳日戌初二刻四分内二十一秒冬至丙辰九祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月己亥日丑初一刻十四分内一十一秒冬至丁巳十祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月甲辰日辰初一刻九分内一秒冬至 应闰戊午十一祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月己酉日未初一刻三分内五十一秒冬至己未十二祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月甲寅日戌初初刻十三分内四十一秒冬至庚申十三祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月庚申日丑初初刻八分内三十一秒冬至 应闰辛酉十四祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月乙丑日辰初初刻三分内二十一秒冬至壬戌十五祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月庚午日午正三刻十三分内一十一秒冬至 应闰癸亥十六祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月乙亥日酉正三刻八分内一秒冬至甲子十七祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月辛巳日子正三刻二分内五十一秒冬至乙丑十八祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月丙戌日卯正二刻十二分内四十一秒冬至 应闰百五十八章丙寅十九祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月辛卯日午正二刻七分内三十一秒冬至丁卯二十祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月丙申日酉正二刻二分内二十一秒冬至戊辰二十一祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月壬寅日子正一刻十二分内一十一秒冬至 应闰己巳二十二祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月丁未日卯正一刻七分内一秒冬至庚午二十三祀十二月己未朔正月己丑朔十一月壬子日午正一刻一分内五十一秒冬至辛未二十四祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丁巳日酉正初刻十一分内四十一秒冬至 应闰壬申二十五祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月癸亥日子正初刻六分内三十一秒冬至癸酉二十六祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月戊辰日卯正初刻一分内二十一秒冬至 应闰甲戌二十七祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月癸酉日午初三刻十一分内一十一秒冬至乙亥二十八祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月戊寅日酉初三刻六分内一秒冬至丙子二十九祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月甲申日子初三刻十五分内五十一秒冬至 应闰丁丑三十祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月己丑日卯初二刻十分内四十一秒冬至戊寅三十一祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月甲午日午初二刻五分内三十一秒冬至己卯三十二祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己亥日酉初一刻十五分内二十一秒冬至 应闰庚戌年至此十一闰又一纪庚辰三十三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月乙巳日子初一刻十分内一十一秒冬至沃丁太甲之子在位二十九祀辛巳元祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月庚戌日卯初一刻五分内一秒冬至 应闰壬午二祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月乙卯日午初初刻十四分内五十一秒冬至癸未三祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月庚申日酉初初刻九分内四十一秒冬至甲申四祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月丙寅日子初初刻四分内三十一秒冬至 应闰百五十九章乙酉五祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月辛未日寅正三刻十四分内二十一秒冬至丙戌六祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月丙子日巳正三刻九分内一十一秒冬至丁亥七祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月辛巳日申正三刻四分内一秒冬至日躔在女余数之二十四分 应闰全史日至源流卷十四
## 卷十五
钦定四库全书全史日至源流卷十五山东道御史许伯政撰壬子运十五(每期三百六十五日二时七刻九分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分八秒二十微小寒十四日八时四刻四分五十八秒二十微大寒十四日九时一刻十分一十三秒二十微立春十四日十时一刻六分一十三秒二十微雨水十四日十一时三刻四分一十三秒二十微惊蛰十五日零七刻零八秒二十微春分十五日二时三刻八分五十八秒二十微清明十五日四时零七分五十八秒二十微谷雨十五日五时四刻八分零三秒二十微立夏十五日六时七刻零八秒二十微小满十五日八时零三分零三秒二十微芒种十五日八时三刻十分零八秒二十微夏至十五日八时七刻零八秒二十微小暑十五日八时五刻三分八秒二十微大暑十五日八时零八分八秒二十微立秋十五日七时零一十一分八秒二十微处暑十五日五时六刻六分八秒二十微白露十五日四时三刻九分一十三秒二十微秋分十五日二时四刻十一分一十八秒二十微寒露十五日一时一刻八分一十三秒二十微霜降十四日十一时五刻五分八秒二十微立冬十四日十时二刻十一分一十八秒二十微小雪十四日九时二刻十二分一十三秒二十微大雪十四日八时五刻十分八秒二十微戊子八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月丙戌日亥正二刻十三分内三十二秒冬至己丑九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月壬辰日寅正二刻八分内一秒冬至庚寅十祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月丁酉日巳正二刻二分内三十一秒冬至 应闰辛卯十一祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月壬寅日申正一刻十二分内一秒冬至壬辰十二祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丁未日亥正一刻六分内三十一秒冬至 应闰癸巳十三祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月癸丑日寅正一刻一分内一秒冬至甲午十四祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月戊午日巳正初刻十分内三十一秒冬至乙未十五祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月癸亥日申正初刻五分内一秒冬至 应闰丙申十六祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月戊辰日亥初三刻十四分内三十一秒冬至丁酉十七祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月甲戌日寅初三刻九分内一秒冬至戊戌十八祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月己卯日巳初三刻三分内三十一秒冬至 应闰己亥十九祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月甲申日申初二刻十三分内一秒冬至庚子一十祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月己丑日亥初二刻七分内三十一秒冬至 应闰辛丑一十一祀十二月己未朔正月戊子朔十一月乙未日寅初二刻二分内一秒冬至壬寅二十二祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月庚子日巳初一刻十一分内三十一秒冬至癸卯二十三祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月乙巳日申初一刻六分内一秒冬至 应闰百六十章甲辰二十四祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月庚戌日亥初初刻十五分内三十一秒冬至乙巳二十五祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月丙辰日寅初初刻十分内一秒冬至丙午二十六祀十二月己未朔正月己丑朔十一月辛酉日巳初初刻四分内三十一秒冬至 应闰丁未二十七祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月丙寅日未正三刻十四分内一秒冬至戊申二十八祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月辛未日戌正三刻八分内三十一秒冬至己酉二十九祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丁丑日丑正三刻三分内一秒冬至 应闰庚辰年至此十一闰又一纪太庚沃丁弟在位二十五祀庚戌元祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月壬午日辰正二刻十二分内三十一秒冬至辛亥二祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月丁亥日未正二刻七分内一秒冬至 应闰壬子三祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月壬辰日戌正二刻一分内三十一秒冬至癸丑四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月戊戌日丑正一刻十一分内一秒冬至甲寅五祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月癸卯日辰正一刻五分内三十一秒冬至 应闰乙卯六祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月戊申日未正初刻十五分内一秒冬至丙辰七祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月癸丑日戌正初刻九分内三十一秒冬至丁巳八祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月己未日丑正初刻四分内一秒冬至 应闰戊午九祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月甲子日辰初三刻十三分内三十一秒冬至己未十祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月己巳日未初三刻八分内一秒冬至 应闰庚申十一祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月甲戌日戌初三刻二分内三十一秒冬至辛酉十二祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月庚辰日丑初二刻十二分内一秒冬至壬戌十三祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月乙酉日辰初二刻六分内三十一秒冬至 应闰百六十二章癸亥十四祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月庚寅日未初二刻一分内一秒冬至甲子十五祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月乙未日戌初一刻十分内三十一秒冬至乙丑十六祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月辛丑日丑初一刻五分内一秒冬至 应闰丙寅十七祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月丙午日辰初初刻十四分内三十一秒冬至丁卯十八祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月辛亥日未初初刻九分内一秒冬至戊辰十九祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月丙辰日戌初初刻三分内三十一秒冬至 应闰己巳二十祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月壬戌日子正三刻十三分内一秒冬至庚午二十一祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丁卯日卯正三刻七分内三十一秒冬至 应闰辛未二十二祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月壬申日午正三刻二分内一秒冬至壬申二十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月丁丑日酉正二刻十一分内三十一秒冬至癸酉二十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月癸未日子正二刻六分内一秒冬至 应闰甲戌二十五祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月戊子日卯正一刻十五分内三十一秒冬至小甲太庚子在位一十七祀乙亥元祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月癸巳日午正一刻十分内一秒冬至丙子二祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月戊戌日酉正一刻四分内三十一秒冬至 应闰丁丑三祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月甲辰日子正初刻十四分内一秒冬至戊寅四祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月己酉日卯正初刻八分内三十一秒冬至 应闰庚戌年至此十一闰一纪缩一年下起己卯己卯五祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月甲寅日午正初刻三分内一秒冬至庚辰六祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月己未日酉初三刻十二分内三十一秒冬至辛巳七祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月乙丑日子初三刻七分内一秒冬至 应闰百六十二章壬午八祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月庚午日卯初三刻一分内三十一秒冬至癸未九祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月乙亥日午初二刻十一分内一秒冬至甲申十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月庚辰日酉初二刻五分内三十一秒冬至 应闰乙酉十一祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月丙戌日子初一刻十五分内一秒冬至丙戌十二祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月辛卯日卯初一刻九分内三十一秒冬至丁亥十三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丙申日午初一刻四分内一秒冬至 应闰戊子十四祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月辛丑日酉初初刻十三分内三十一秒冬至己丑十五祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月丁未日子初初刻八分内一秒冬至 应闰庚寅十六祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月壬子日卯初初刻二分内三十一秒冬至辛卯十七祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月丁巳日巳正三刻十二分内一秒冬至雍巳小甲弟在位一十二祀壬辰元祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月壬戌日申正三刻六分内三十一秒冬至 应闰癸巳二祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月丁卯日亥正三刻一分内一秒冬至甲午三祀十二月辛巳朔正月辛亥朔十一月癸酉日寅正二刻十分内三十一秒冬至乙未四祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月戊寅日巳正二刻五分内一秒冬至 应闰丙申五祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月癸未日申正一刻十四分内三十一秒冬至丁酉六祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月戊子日亥正一刻九分内一秒冬至 应闰戊戌七祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月甲午日寅正一刻三分内三十一秒冬至己亥八祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月己亥日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在女十度之二十四分庚子九祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月甲辰日申正初刻七分内三十一秒冬至 应闰百六十三章辛丑十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月己酉日亥正初刻二分内一秒冬至壬寅十一祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月己卯日寅初三刻十一分内三十一秒冬至癸卯十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月庚申日巳初三刻六分内一秒冬至 应闰中宗大戊雍己弟在位七十五祀甲辰元祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月乙丑日申初二刻十五分内三十一秒冬至乙巳二祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月庚午日亥初二刻十分内一秒冬至丙午三祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月丙子日寅初二刻四分内三十一秒冬至 应闰丁未四祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月辛巳日巳初一刻十四分内一秒冬至戊申五祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月丙戌日申初一刻八分内三十一秒冬至 应闰己卯年至此十一闰为一纪己酉六祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月辛卯日亥初一刻三分内一秒冬至庚戌七祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月丁酉日寅初初刻十二分内三十一秒冬至辛亥八祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月壬寅日巳初初刻七分内一秒冬至 应闰壬子九祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月丁未日申初初刻一分内三十一秒冬至癸丑十祀十二月辛酉朔正月庚寅朔十一月壬子日戌正三刻十一分内一秒冬至甲寅十一祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月戊午日丑正三刻五分内三十一秒冬至 应闰乙卯十二祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月癸亥日辰正二刻十五分内一秒冬至丙辰十三祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月戊辰日未正二刻九分内三十一秒冬至 应闰丁巳十四祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月癸酉日戌正二刻四分内一秒冬至戊午十五祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月己卯日丑正二刻十三分内三十一秒冬至己未十六祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月甲申日辰正一刻八分内一秒冬至 应闰百六十四章庚申十七祀十二月丙戌朔正月己卯朔十一月己丑日未正一刻二分内三十一秒冬至辛酉十八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月甲午日戌正初刻十二分内一秒冬至壬戌十九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月庚子日丑正初刻六分内三十一秒冬至 应闰癸亥二十祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月乙巳日辰正初刻一分内一秒冬至甲子二十一祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月庚戌日未初三刻十分内三十一秒冬至乙丑二十二祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月乙卯日戌初三刻五分内一秒冬至 应闰丙寅二十三祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月辛酉日丑初二刻十四分内三十一秒冬至丁卯二十四祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丙寅日辰初二刻九分内一秒冬至 应闰戊辰二十五祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月辛未日未初二刻三分内三十一秒冬至己巳二十六祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月丙子日戌初一刻十三分内一秒冬至庚午二十七祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月壬午日丑初一刻七分内三十一秒冬至 应闰辛未二十八祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月丁亥日辰初一刻二分内一秒冬至壬申二十九祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月壬辰日未初初刻十一分内三十一秒冬至癸酉三十祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月丁酉日戌初初刻六分内一秒冬至 应闰甲戌三十一祀十二月己未朔正月戊子朔十一月癸卯日子正三刻十九分内三十一秒冬至乙亥三十二祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月戊申日卯正三刻十分内一秒冬至 应闰丙子三十三祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月癸丑日午正三刻四分内三十一秒冬至丁丑三十四祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月戊午日酉正二刻十四分内一秒冬至戊寅三十五祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月甲子日子正二刻八分内三十一秒冬至 应闰百六十五章己酉年至此十一闰又一纪己卯三十六祀十二月己丑朔正月己未朔十一月己巳日卯正二刻三分内一秒冬至庚辰三十七祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月甲戌日午正一刻十二分内三十一秒冬至辛巳三十八祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月己卯日酉正一刻七分内一秒冬至 应闰壬午三十九祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月乙酉日子正一刻一分内三十一秒冬至癸未四十祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月庚寅日卯正初刻十一分内一秒冬至甲申四十一祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月乙未日午正初刻五分内三十一秒冬至 应闰乙酉四十二祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月庚子日酉初三刻十五分内一秒冬至丙戌四十三祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丙午日子初三刻九分内三刻九分内三十一秒冬至应闰丁亥四十四祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月辛亥日卯初三刻四分内一秒冬至戊子四十五祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月丙辰日午初二刻十三分内三十一秒冬至己丑四十六祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月辛酉日酉初二刻八分内一秒冬至 应闰庚寅四十七祀十二月乙酉朔正月乙卯朔十一月丁卯日子初二刻二分内三十一秒冬至辛卯四十八祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月壬申日卯初一刻十二分内一秒冬至壬辰四十九祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丁丑日午初一刻六分内三十一秒冬至 应闰癸巳五十祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月壬午日酉初一刻一分内一秒冬至甲午五十一祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月戊子日子初初刻十分内三十一秒冬至 应闰乙未五十二祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月癸巳日卯初初刻五分内一秒冬至丙申五十三祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月戊戌日巳正三刻四分内三十一秒冬至丁酉五十四祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月癸卯日申正三刻九分内一秒冬至 应闰百六十六章戊戌五十五祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月戊申日亥正三刻三分内三十一秒冬至己亥五十六祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月甲寅日寅正二刻十三分内一秒冬至庚子五十七祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月己未日巳正二刻七分内三十一秒冬至 应闰辛丑五十八祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月甲子日申正二刻二分内一秒冬至壬寅五十九祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月己巳日亥正一刻十一分内三十一秒冬至癸卯六十祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月乙亥日寅正一刻六分内一秒冬至 应闰甲辰六十一祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月庚辰日巳正初刻十五分内三十一秒冬至乙巳六十二祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月乙酉日申正初刻十分内一秒冬至 应闰丙午六十三祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月庚寅日亥正初刻四分内三十一秒冬至丁未六十四祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月丙申日寅初三刻十四分内一秒冬至戊申六十五祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月辛丑日巳初三刻八分内三十一秒冬至 应闰己卯年至此十一闰又一纪己酉六十六祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月丙午日申初三刻三分内一秒冬至庚戌六十七祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月辛亥日亥初二刻十二分内三十一秒冬至辛亥六十八祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丁巳日寅初二刻七分内一秒冬至日躔在女九度之二十四分 应闰壬子六十九祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月壬戌日巳初二刻一分内三十一秒冬至癸丑七十祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丁卯日申初一刻十一分内一秒冬至 应闰甲寅七十一祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月壬申日亥初一刻五分内三十一秒冬至乙卯七十二祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月戊寅日寅初初刻十五分内一秒冬至丙辰七十三祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月癸未日巳初初刻九分内三十一秒冬至 应闰百六十七章丁巳七十四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月戊子日申初初刻四分内一秒冬至戊午七十五祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月癸巳日戌正三刻十三分内三十一秒冬至仲丁中宗子在位十三祀己未元祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月己亥日丑正三刻八分内一秒冬至 应闰庚申二祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月甲辰日辰正三刻二分内三十一秒冬至辛酉三祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月己酉日未正二刻十二分内一秒冬至壬戌四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月甲寅日戌正二刻六分内三十一秒冬至 应闰癸亥五祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月庚申日丑正二刻一分内一秒冬至甲子六祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月乙丑日辰正一刻十分内三十一秒冬至 应闰乙丑七祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月庚午日未正一刻五分内一秒冬至丙寅八祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月乙亥日戌正初刻十四分内三十一秒冬至丁卯九祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月辛巳日丑正初刻九分内一秒冬至戊辰十祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月丙戌日辰正初刻三分内三十一秒冬至己巳十一祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月辛卯日未初三刻十三分内一秒冬至庚午十二祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月丙申日戌初三刻七分内三十一秒冬至 应闰辛未十三祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月壬寅日丑初三刻二分内一秒冬至外壬仲丁弟在位一十五祀壬申元祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丁未日辰初二刻十一分内三十一秒冬至 应闰癸酉二祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月壬子日未初二刻六分内一秒冬至甲戌三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丁巳日戌初一刻十五分内三十一秒冬至乙亥四祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月癸亥日丑初一刻十分内一秒冬至 应闰百六十八章丙子五祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月戊辰日辰初一刻四分内三十一秒冬至丁丑六祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月癸酉日未初初刻十四分内一秒冬至戊寅七祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月戊寅日戌初初刻八分内三十二秒冬至 应闰己酉年至此十一闰又一纪己卯八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月甲申日丑初初刻三分内一秒冬至庚辰九祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月己丑日卯正三刻十二分内三十一秒冬至辛巳十祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月甲午日午正三刻七分内一秒冬至 应闰壬午十一祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月己亥日酉正三刻一分内三十一秒冬至癸未十二祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月乙巳日子正二刻十一分内一秒冬至甲申十三祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月庚戌日卯正二刻五分内三十一秒冬至乙酉十四祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月乙卯日午正一刻十五分内一秒冬至丙戌十五祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月庚申日酉正一刻九分内三十一秒冬至 应闰河亶甲外壬弟在位九祀丁亥元祀十二月甲申朔正月甲寅朔十一月丙寅日子正一刻四分内一秒冬至戊子二祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月辛未日卯正初刻十三分内三十一秒冬至己丑三祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月丙子日午正初刻八分内一秒冬至 应闰庚寅四祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月辛巳日酉正初刻二分内三十一秒冬至辛卯五祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丁亥日子初三刻十二分内一秒冬至 应闰壬辰六祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月壬辰日卯初三刻六分内三十一秒冬至癸巳七祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月丁酉日午初三刻一分内一秒冬至甲午八祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月壬寅日酉初二刻十分内三十一秒冬至 应闰百六十九章乙未九祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月戊申日子初二刻五分内一秒冬至祖乙河亶甲子在位一十九祀丙申元祀十二月壬戌朔正月壬辰朔十一月癸丑日卯初一刻十四分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月戊午日午初一刻九分内一秒冬至 应闰戊戌三祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月癸亥日酉初一刻三分内三十一秒冬至己亥四祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月戊辰夜子初初刻十三分内一秒冬至庚子五祀十二月己丑朔正月己亥朔十一月甲戌日卯初初刻七分内三十一秒冬至 应闰辛丑六祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月己卯日午初初刻二分内一秒冬至壬寅七祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月甲申日申正三刻十一分内三十一秒冬至 应闰癸卯八祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月己丑日亥正三刻六分内一秒冬至甲辰九祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月乙未日寅正二刻十五分内三十一秒冬至乙巳十祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月庚子日巳正二刻十分内一秒冬至 应闰丙午十一祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月乙巳日申正二刻四分内三十一秒冬至丁未十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月庚戌日亥正一刻十四分内一秒冬至戊申十三祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丙辰日寅正一刻八分内三十一秒冬至 应闰己卯年至此十一闰又一纪己酉十四祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月辛酉日巳正一刻三分内一秒冬至庚戌十五祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月丙寅日申正初刻十二分内三十一秒冬至 应闰辛亥十六祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月辛未日亥正初刻七分内一秒冬至壬子十七祀十二月己丑朔正月己未朔十一月丁丑日寅正初刻一分内三十一秒冬至癸丑十八祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月壬午日巳初三刻十一分内一秒冬至 应闰百七十章甲寅十九祀十二月丁未朔正月丁巳朔十一月丁亥日申初三刻五分内三十一秒冬至祖辛祖乙子在位一十六祀乙卯元祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月壬辰日亥初二刻十五分内一秒冬至丙辰二祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月戊戌日寅初二刻九分内三十一秒冬至 应闰丁巳三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月癸卯日巳初二刻四分内一秒冬至戊午四祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月戊申日申初一刻十三分内三十一秒冬至己未五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月癸丑日亥初一刻八分内一秒冬至 应闰庚申六祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月己未日寅初一刻二分内三十一秒冬至辛酉七祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月甲子日巳初初刻十二分内一秒冬至 应闰壬戌八祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月己巳日申初初刻六分内三十一秒冬至癸亥九祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月甲戌日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在女八度之二十四分全史日至源流卷十五
## 卷十六
钦定四库全书全史日至源流卷十六山东道御史许伯政撰壬子运十六(每期三百六十五日二时七刻九分十秒)冬至十四日八时三刻十四分七秒三十微小寒十四日八时四刻四分五十七秒三十㣲大寒十四日九时一刻十分一十二秒三十㣲立春十四日十时一刻六分一十二秒三十微雨水十四日十一时三刻四分一十二秒三十微惊蛰十五日零七刻零七秒三十微春分十五日二时三刻八分五十七秒三十㣲清明十五日四时零七分五十七秒三十微谷雨十五日五时四刻八分零二秒三十微立夏十五日六时七刻零七秒三十微小满十五日八时零三分零二秒三十微芒种十五日八时三刻十分零七秒三十微夏至十五日八时七刻零七秒三十微小暑十五日八时五刻三分零七秒三十微大暑十五日八时零八分七秒三十微立秋十五日七时零十一分七秒三十微处暑十五日五时六刻六分七秒三十微白露十五日四时三刻九分一十二秒三十㣲秋分十五日二时四刻十一分一十七秒三十微寒露十五日一时一刻八分一十二秒三十㣲霜降十四日十一时五刻五分七秒三十微立冬十四日十时二刻十一分一十七秒三十微小雪十四日九时二刻十二分一十二秒三十微大雪十四日八时五刻十分七秒三十微甲子十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月庚辰日丑正三刻十分内一十一秒冬至乙丑十一祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月乙酉日辰正三刻四分内二十一秒冬至丙寅十二祀十二月戊戌朔正月丁夘朔十一月庚寅日未正二刻十三分内三十一秒冬至丁卯十三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月乙未日戌正二刻七分内四十一秒冬至 应闰戊辰十四祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月辛丑日丑正二刻一分内五十一秒冬至己巳十五祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月丙午日辰正一刻十一分内一秒冬至 应闰庚午十六祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月辛亥日未正一刻五分内一十一秒冬至沃甲祖辛弟在位二十五祀辛未元祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丙辰日戌正初刻十四分内二十一秒冬至壬申二祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月壬戌日丑正初刻八分内三十一秒冬至 应闰百七十一章癸酉三祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月丁卯日辰正初刻二分内四十一秒冬至甲戌四祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月壬申日未初三刻十一分内五十一秒冬至乙亥五祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月丁丑日戌初三刻六分内一秒冬至 应闰丙子六祀十二月庚子朔正月己巳朔十一月癸未日丑初二刻十五分内一十一杪冬至丁丑七祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月戊子日辰初二刻九分内二十一秒冬至戊寅八祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月癸巳日未初二刻三分内三十一秒冬至 应闰己酉年至此十一闰又一纪己卯九祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月戊戌日戌初一刻十二分内四十一秒冬至庚辰十祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月甲辰日丑初一刻六分内五十一秒冬至 应闰辛巳十一祀十二月辛未朔正月庚子朔十一月己酉日辰初一刻一分内一秒冬至壬午十二祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月甲寅日未初初刻十分内一十一秒冬至癸未十三祀十二月己未朔正月己丑朔十一月己未日戌初初刻四分内二十一秒冬至 应闰甲申十四祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月乙丑日子正三刻十三分内三十一秒冬至乙酉十五祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月庚午日卯正三刻七分内四十一秒冬至丙戌十六祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月乙亥日午正三刻一分内五十一秒冬至 应闰丁亥十七祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月庚辰日酉正二刻十一分内一秒冬至戊子十八祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月丙戌日子正二刻五分内一十一秒冬至 应闰己丑十九祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月辛卯日卯正一刻十四分内二十一秒冬至庚寅二十祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丙申日午正一刻八分内三十一秒冬至辛卯二十一祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月辛丑日酉正一刻二分内四十一秒冬至 应闰百七十二章壬辰二十二祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月丁未日子正初刻十一分内五十一秒冬至癸巳二十三祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月壬子日卯正初刻六分内一秒冬至甲午二十四祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月丁巳日午初三刻十五分内一十一秒冬至 应闰乙未二十五祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月壬戌日酉初三刻九分内二十一秒冬至祖丁祖辛子在位三十二祀丙申元祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丁卯夜子初三刻三分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月癸酉日卯初二刻十二分内四十一秒冬至 应闰戊戌三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月戊寅日午初二刻六分内五十一秒冬至己亥四祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月癸未日酉初二刻一分内一秒冬至 应闰庚子五祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月己丑日夜子初一刻十分内一十一秒冬至辛丑六祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月甲午日卯初一刻四分内二十一秒冬至壬寅七祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月己亥日午初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸卯八祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月甲辰日酉初初刻七分内四十一秒冬至甲辰九祀十二月丁巳朔正月丁亥朔十一月己酉日夜子初刻二分内五十一秒冬至乙巳十祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月乙卯日寅正三刻十一分内一秒冬至 应闰丙午十一祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月庚申日巳正三刻五分内一十一秒冬至丁未十二祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月乙丑日申正二刻十四分内二十一秒冬至 应闰己卯年至此十一闰一纪缩一年下起戊申戊申十三祀十二月甲午朔正月癸亥朔十一月庚午日亥正二刻八分内三十一秒冬至己酉十四祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月丙子日寅正二刻二分内四十一秒冬至庚戌十五祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月辛巳日巳正一刻十一分内五十一秒冬至 应闰百七十三章辛亥十六祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月丙戌日申正一刻六分内一秒冬至壬子十七祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月辛卯日亥正初刻十五分内一十一秒冬至癸丑十八祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月丁酉日寅正初刻九分内二十一秒冬至 应闰甲寅十九祀十二月己未朔正月己丑朔十一月壬寅日巳正初刻三分内三十一秒冬至乙卯二十祀十二月癸丑朔正月癸未朔十一月丁未日申初三刻十二分内四十一秒冬至丙辰二十一祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月壬子日亥初三刻六分内五十一秒冬至 应闰丁巳二十二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月戊午日寅初三刻一分内一秒冬至戊午二十三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月癸亥日巳初二刻十分内一十一秒冬至 应闰己未二十四祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月戊辰日申初二刻四分内二十一秒冬至庚申二十五祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月癸酉日亥初一刻十三分内三十一秒冬至辛酉二十六祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月己卯日寅初一刻七分内四十一秒冬至 应闰壬戌二十七祀十二月癸卯朔正月壬申朔十一月甲申日巳初一刻一分内五十一秒冬至癸亥二十八祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己丑日申初初刻十一分内一秒冬至甲子二十九祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月甲午日亥初初刻五分内一十一秒冬至 应闰乙丑三十祀十二月乙卯朔正月乙酉朔十一月庚子日丑正三刻十四分内二十一秒冬至丙寅三十一祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月乙巳日辰正三刻八分内三十一秒冬至丁卯三十二祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月庚戌日未正三刻二分内四十一秒冬至南庚沃甲子在位二十五祀戊辰元祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月乙卯日戌正二刻十一分内五十一秒冬至己巳二祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月辛酉日丑正二刻六分内一秒冬至 应闰百七十四章庚午三祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月丙寅日辰正一刻十五分内一十一秒冬至辛未四祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月辛未日未正一刻九分内二十一秒冬至壬申五祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月丙子日戌正一刻三分内三十一秒冬至 应闰癸酉六祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月壬午日丑正初刻十二分内四十一秒冬至甲戌七祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月丁亥日辰正初刻六分内五十一秒冬至乙亥八祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月壬辰日未正初刻一分内一秒冬至日躔在女七度之二十四分 应闰丙子九祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丁酉日戌初三刻十分内一十一秒冬至丁丑十祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月癸卯日丑初三刻四分内二十一秒冬至 应闰戊申年至此十一闰为一纪戊寅十一祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月戊申日辰初二刻十三分内三十一秒冬至己卯十二祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月癸丑日未初二刻七分内四十一秒冬至庚辰十三祀十二月己未朔正月戊子朔十一月戊午日戌初二刻一分内五十一秒冬至 应闰辛巳十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月甲子日丑初一刻十一分内一秒冬至壬午十五祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月己巳日辰初一刻五分内一十一秒冬至癸未十六祀十二月辛亥朔正月辛丑朔十一月甲戌日未初初刻十四分内二十一秒冬至 应闰甲申十七祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月己卯日戌初初刻八分内三十一秒冬至乙酉十八祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月乙酉日丑初初刻二分内四十一秒冬至 应闰丙戌十九祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月庚寅日卯正三刻十一分内五十一秒冬至丁亥二十祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月乙未日午正三刻六分内一秒冬至戊子二十一祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月庚子日酉正二刻十五分内一十一秒冬至 应闰百七十五章己丑二十二祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月丙午日子正二刻九分内二十二秒冬至庚寅二十三祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月辛亥日卯正二刻三分内三十一秒冬至辛卯二十四祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月丙辰日午正一刻十二分内四十一秒冬至 应闰壬辰二十五祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月辛酉日酉正一刻六分内五十一秒冬至阳甲祖丁子在位七祀癸巳元祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月丁卯日子正一刻一分内一秒冬至甲午二祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月壬申日卯正初刻十分内一十一秒冬至 应闰乙未三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月丁丑日午正初刻四分内二十一秒冬至丙申四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月壬午日酉初三刻十三分内三十一秒冬至 应闰丁酉五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月戊子日夜子初三刻七分内四十一秒冬至戊戌六祀十二月甲辰朔正月癸酉朔十一月癸巳日卯初三刻一分内五十一秒冬至己亥七祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月戊戌日午初二刻十一分内一秒冬至 应闰盘庚阳甲弟改号曰殷在位二十八祀庚子元祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月癸卯日酉初二刻五分内一十一秒冬至辛丑二祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月己酉日子初一刻十四分内二十一秒冬至壬寅三祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月甲寅日卯初一刻八分内三十一秒冬至 应闰癸卯四祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月己未日午初一刻二分内四十一秒冬至甲辰五祀十二月己巳朔正月戊戊朔十一月甲子日酉初初刻十一分内五十一秒冬至 应闰乙巳六祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月己巳日夜子初初刻六分内一秒冬至丙午七祀十二月丁亥朔正月丁巳朔十一月乙亥日寅正三刻十五分内一十一秒冬至丁未八祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月庚辰日巳正三刻九分内二十一秒冬至 应闰百七十六章戊寅年至此十一闰又一纪戊申九祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月乙酉日申正三刻三分内三十一秒冬至己酉十祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月庚寅日亥正二刻十二分内四十一秒冬至庚戌十一祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月丙申日寅正二刻六分内五十一秒冬至 应闰辛亥十二祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月辛丑日巳正二刻一分内一秒冬至壬子十三祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丙午日申正一刻十分内一十一秒冬至癸丑十四祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月辛亥日亥正一刻四分内二十一秒冬至 应闰甲寅十五祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月丁巳日寅正初刻十三分内三十一秒冬至乙卯十六祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月壬戌日巳正初刻七分内四十一秒冬至 应闰丙辰十七祀十二月己丑朔正月己未朔十一月丁卯日申正初刻一分内五十一秒冬至丁巳十八祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月壬申日亥初三刻十一分内一秒冬至戊午十九祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月戊寅日寅初三刻五分内一十一秒冬至 应闰己未二十祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月癸未日巳初二刻十四分内二十一秒冬至庚申二十一祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月戊子日申初二刻八分内三十一秒冬至辛酉二十二祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月癸巳日亥初二刻二分内四十一秒冬至 应闰壬戌二十三祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月己亥日寅初一刻十一分内五十一秒冬至癸亥二十四祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月甲辰日巳初一刻六分内一秒冬至 应闰甲子二十五祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月己酉日申初初刻十五分内一十一秒冬至乙丑二十六祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月甲寅日亥初初刻九分内二十一秒冬至丙寅二十七祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月庚申日寅初初刻三分内三十一秒冬至应闰百七十七章丁卯二十八祀十二月乙酉朔正月乙卯朔十一月乙丑日辰正三刻十二分内四十一秒冬至小辛盘庚弟在位二十一祀戊辰元祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月庚午日未正三刻六分内五十一秒冬至己巳二祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月乙亥日戌正三刻一分内一秒冬至 应闰庚午三祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月辛巳日丑正二刻十分内一十一秒冬至辛未四祀十二月癸巳朔正月壬戊朔十一月丙戌日辰正二刻四分内二十一秒冬至壬申五祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月辛卯日未正一刻十三分内三十一秒冬至 应闰癸酉六祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丙申日戌正一刻七分内四十一秒冬至甲戌七祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月壬寅日丑正一刻一分内五十一秒冬至 应闰乙亥八祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月丁未日辰正初刻十一分内一秒冬至丙子九祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月壬子日未正初刻五分内一十一秒冬至丁丑十祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月丁巳日戌初三刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊申年至此十一闰又一纪戊寅十一祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月癸亥日丑初三刻八分内三十一秒冬至己卯十二祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月戊辰日辰初三刻二分内四十一秒冬至庚辰十三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月癸酉日未初二刻十一分内五十一秒冬至 应闰辛巳十四祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月戊寅日戌初二刻六分内一秒冬至壬午十五祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月甲申日丑初一刻十五分内一十一秒冬至癸未十六祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月己丑日辰初一刻九分内二十一秒冬至甲申十七祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月甲午日未初一刻三分内三十一秒冬至乙酉十八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月己亥日亥初初刻十二分内四十一秒冬至 应闰百七十八章丙戌十九祀十二月乙丑朔正月乙未朔十一月乙巳日丑初初刻六分内五十一秒冬至丁亥二十祀十二月己未朔正月己丑朔十一月庚戌日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在女六度之二十四分戊子二十一祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月乙卯日午正三刻十分内一十一秒冬至 应闰小乙小辛弟在位二十八祀己丑元祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月庚申日酉正三刻四分内二十一秒冬至庚寅二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丙寅日子正二刻十三分内三十一秒冬至辛卯三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月辛未日卯正二刻七分内四十一秒冬至 应闰壬辰四祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月丙子日午正二刻一分内五十一秒冬至癸巳五祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月辛巳日酉正一刻十一分内一秒冬至 应闰甲午六祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月丁亥日子正一刻五分内一十一秒冬至乙未七祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月壬辰日卯正初刻十四分内二十一秒冬至丙申八祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月丁酉日午正初刻八分内三十一秒冬至 应闰丁酉九祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月壬寅日酉正初刻二分内四十一秒冬至戊戌十祀十二月丙辰朔正月丙戌朔十一月戊申日子初三刻十一分内五十一秒冬至己亥十一祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月癸丑日卯初三刻六分内一秒冬至 应闰庚子十二祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月戊午日午初二刻十五分内一十一秒冬至辛丑十三祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月癸亥日酉初二刻九分内二十一秒冬至 应闰壬寅十四祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月己巳日夜子初二刻三分内三十一秒冬至癸卯十五祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月甲戌日卯初一刻十二分内四十一秒冬至甲辰十六祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月己卯日午初一刻六分内五十一秒冬至 应闰百七十九章乙巳十七祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月甲申日酉初一刻一分内一秒冬至丙午十八祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月庚寅日夜子初初刻十分内一十一秒冬至丁未十九祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月乙未日卯初初刻四分内二十一秒冬至 应闰戊寅年至此十一闰又一纪戊申二十祀十二月丁巳朔正月丁亥朔十一月庚子日巳正三刻十三分内三十一秒冬至己酉二十一祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月乙巳日申正三刻七分内四十一秒冬至庚戌二十二祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月庚戌日亥正三刻一分内五十一秒冬至 应闰辛亥二十三祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月丙辰日寅正二刻十一分内一秒冬至壬子二十四祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月辛酉日巳正二刻五分内一十一秒冬至癸丑二十五祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月丙寅日申正一刻十四分内二十一秒冬至甲寅二十六祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月辛未日亥正一刻八分内三十一秒冬至乙卯二十七祀十二月丁丑朔正月丁未朔十一月丁丑日寅正一刻二分内四十一秒冬至 应闰丙辰二十八祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月壬午日巳正初刻十一分内五十一秒冬至高宗武丁小乙子在位五十九祀丁巳元祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月丁亥日申正初刻六分内一秒冬至戊午二祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月壬辰日亥初三刻十五分内一十一秒冬至 应闰己未三祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月戊戌日寅初三刻九分内二十一秒冬至庚申四祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月癸卯日巳初三刻三分内三十一秒冬至辛酉五祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月戊申日申初二刻十二分内四十一秒冬至壬戌六祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月癸丑日亥初二刻六分内五十一秒冬至癸亥七祀十二月辛酉朔正月庚寅朔十一月己未日寅初二刻一分内一秒冬至 应闰百八十章甲子八祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月甲子日巳初一刻十分内一十一秒冬至乙丑九祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月乙巳日申初一刻四分内二十一秒冬至丙寅十祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月甲戌日亥初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰丁卯十一祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月庚辰日寅初初刻七分内四十一秒冬至戊辰十二祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月乙酉日巳初初刻一分内五十一秒冬至己巳十三祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月庚寅日未正三刻十一分内一秒冬至 应闰庚午十四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月乙未日戌正三刻五分内一十一秒冬至辛未十五祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月辛丑日丑正二刻十四分内二十一秒冬至 应闰壬申十六祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月丙午日辰正二刻八分内三十一秒冬至癸酉十七祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月辛亥日未正二刻二分内四十一秒冬至甲戌十八祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月丙辰日戌正一刻十一分内五十一秒冬至 应闰乙亥十九祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月壬戌日丑正一刻六分内一秒冬至丙子二十祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月丁卯日辰正初刻十五分内一十一秒冬至丁丑二十一祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月壬申日未正初刻九分内二十一秒冬至 应闰戊申年至此十一闰又一纪戊寅二十二祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月丁丑日戌正初刻三分内三十一秒冬至己卯二十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月癸未日丑初三刻十二分内四十一秒冬至 应闰庚辰二十四祀十二月壬子朔正月壬午朔十一月戊子日辰初三刻六分内五十一秒冬至辛巳二十五祀十二月丙午朔正月丙子朔十一月癸巳日未初三刻一分内一秒冬至壬午二十六祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月戊戌日戌初二刻十分内一十一秒冬至 应闰百八十一章癸未二十七祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月甲辰日丑初二刻四分内二十一秒冬至甲申二十八祀十二月己未朔正月戊子朔十一月己酉日辰初一刻十三分内三十一秒冬至乙酉二十九祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月甲寅日未初一刻七分内四十一秒冬至 应闰丙戌三十祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月己未日戌初一刻一分内五十一秒冬至丁亥三十一祀十二月壬申朔正月辛丑朔十一月乙丑日丑初初刻十一分内一秒冬至戊子三十二祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月庚午日辰初初刻五分内一十一秒冬至 应闰己丑三十三祀十二月己丑朔正月己未朔十一月乙亥日午正三刻十四分内二十一秒冬至庚寅三十四祀十二月甲甲朔正月甲寅朔十一月庚辰日酉正三刻八分内三十一秒冬至 应闰辛卯三十五祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月丙戌日子正三刻二分内四十一秒冬至壬辰三十六祀十二月壬寅朔正月壬申朔十一月辛卯日卯正二刻十二分内五十一秒冬至癸巳三十七祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月丙申日午正二刻六分内一秒冬至 应闰甲午三十八祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月辛丑日酉正一刻十五分内一十一秒冬至乙未三十九祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月丁未日子正一刻九分内二十一秒冬至丙申四十祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月壬子日卯正一刻三分内三十一秒冬至 应闰丁酉四十一祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月丁巳日午正初刻十二分内四十一秒冬至戊戌四十二祀十二月戊辰朔正月丁酉朔十一月壬戌日酉正初刻六分内五十一秒冬至 应闰己亥四十三祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月戊辰日子正初刻一分内一秒冬至日躔在女五度之二十四分全史日至源流卷十六
## 卷十七
钦定四库全书全史日至源流卷十七山东道御史许伯政撰壬子运十七(每期三百六十五日二时七刻八分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分六秒四十微小寒十四日八时四刻四分五十六秒四十微大寒十四日九时一刻十分一十一秒四十微立春十四日十时一刻六分一十一秒四十微雨水十四日十一时三刻四分一十一秒四十微惊蛰十五日零七刻零六秒四十微春分十五日二时三刻八分五十六秒四十微清明十五日四时零七分五十六秒四十微榖雨十五日五时四刻八分零一秒四十微立夏十五日六时七刻零六秒四十微小满十五日八时零三分零一秒四十微芒种十五日八时三刻十分零六秒四十微夏至十五日八时七刻零六秒四十㣲小暑十五日八时五刻三分六秒四十㣲大暑十五日八时零八分六秒四十微立秋十五日七时零一十一分六秒四十㣲处暑十五日五时六刻六分六秒四十㣲白露十五日四时三刻九分一十一秒四十微秋分十五日二时四刻一十一分一十六秒四十微寒露十五日一时一刻八分一十一秒四十微霜降十四日十一时五刻五分六秒四十微立冬十四日十时二刻十一分一十六秒四十微小雪十四日九时二刻十二分一十一秒四十微大雪十四日八时五刻十分六秒四十微庚子四十四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月癸酉日卯初三刻九分内五十一秒冬至辛丑四十五祀十二月庚辰朔正月庚戌朔十一月戊寅日午初三刻三分内四十一秒冬至 应闰百八十二章壬寅四十六祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月癸未日酉初二刻十二分内三十一秒冬至癸卯四十七祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月己丑日子初二刻六分内二十一秒冬至甲辰四十八祀十二月癸巳朔正月壬戌朔十一月甲午日卯初一刻十五分内一十一秒冬至乙巳四十九祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月己亥日午初一刻九分内一秒冬至丙午五十祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月甲辰日酉初一刻二分内五十一秒冬至丁未五十一祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月庚戌日子初初刻十一分内四十一秒冬至 应闰戊寅年至此十一闰又一纪戊申五十二祀十二月己巳朔正月己亥朔十一月乙卯日卯初初刻五分内三十一秒冬至己酉五十三祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月庚申日巳正三刻十四分内二十一秒冬至 应闰庚戌五十四祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月乙丑日申正三刻八分内一十一秒冬至辛亥五十五祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月庚午日亥正三刻二分内一秒冬至壬子五十六祀十二月丙子朔正月丙午朔十一月丙子日寅正二刻十分内五十一秒冬至 应闰癸丑五十七祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月辛巳日巳正二刻四分内四十一秒冬至甲寅五十八祀十二月乙未朔正月甲子朔十一月丙戌日申正一刻十三分内三十一秒冬至乙卯五十九祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月辛卯日亥正一刻七分内二十一秒冬至 应闰祖庚髙宗子在位七祀丙辰元祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月丁酉日寅正一刻一分内一十一秒冬至丁巳二祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月壬寅日巳正初刻十分内一秒冬至 应闰戊午三祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月丁未日申正初刻三分内五十一秒冬至己未四祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月壬子日亥初三刻十二分内四十一秒冬至庚申五祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月戊午日寅初三刻六分内三十一秒冬至 应闰百八十三章辛酉六祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月癸亥日巳初二刻十五分内二十一秒冬至壬戌七祀十二月戊寅朔正月戊申朔十一月戊辰日申初二刻九分内一十一秒冬至祖甲祖庚弟在位三十三祀癸亥元祀十二月癸酉朔正月壬寅朔十一月癸酉日亥初二刻三分内一秒冬至 应闰甲子二祀十二月丁酉朔正月丙寅朔十一月己卯日寅初一刻十一分内五十一秒冬至乙丑三祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月甲申日巳初一刻五分内四十一秒冬至丙寅四祀十二月乙丑朔正月乙卯朔十一月己丑日申初初刻十四分内三十一秒冬至 应闰丁卯五祀十二月己酉朔正月己卯朔十一月甲午日亥初初刻八分内二十一秒冬至戊辰六祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月庚子日寅初初刻二分内一十一秒冬至 应闰己巳七祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月乙巳日辰正三刻十一分内一秒冬至庚午八祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月庚戌日未正三刻四分内五十一秒冬至辛未九祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月乙卯日戌正二刻十三分内四十一秒冬至 应闰壬申十祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月辛酉日丑正二刻七分内三十一秒冬至癸酉十一祀十二月甲戌朔正月甲辰朔十一月丙寅日辰正二刻一分内二十一秒冬至甲戌十二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月辛未日未正一刻十分内一十一秒冬至 应闰乙亥十三祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月丙子日戌正一刻四分内一秒冬至丙子十四祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月壬午日丑正初刻十二分内五十一秒冬至 应闰戊申年至此十一闰一纪缩一年下起丁丑丁丑十五祀十二月辛亥朔正月庚辰朔十一月丁亥日辰正初刻六分内四十一秒冬至戊寅十六祀十二月乙巳朔正月乙亥朔十一月壬辰日未初三刻十五分内三十一秒冬至己卯十七祀十二月己亥朔正月己巳朔十一月丁酉日戌初三刻九分内二十一秒冬至 应闰百八十四章庚辰十八祀十二月癸亥朔正月癸巳朔十一月癸卯日丑初三刻三分内一十一秒冬至辛巳十九祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月戊申日辰初二刻十二分内一秒冬至壬午二十祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月癸丑日未初二刻五分内五十一秒冬至 应闰癸未二十一祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月戊午日戌初一刻十四分内四十一秒冬至甲申二十二祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月甲子日丑初一刻八分内三十一秒冬至乙酉二十三祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月己巳日辰初一刻二分内二十一秒冬至 应闰丙戌二十四祀十二月己丑朔正月戊午朔十一月甲戌日未初初刻十一分内一十一秒冬至丁亥二十五祀十二月癸未朔正月癸丑朔十一月己卯日戌初初刻五分内一秒冬至 应闰戊子二十六祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月乙酉日子正三刻十三分内五十一秒冬至己丑二十七祀十二月辛丑朔正月辛未朔十一月庚寅日卯正三刻七分内四十一秒冬至庚寅二十八祀十二月丙申朔正月乙丑朔十一月乙未日午正三刻一分内三十一秒冬至 应闰史记本纪是岁周亶父之子季厯生子昌与记称文王九十七及书称文王受命惟终身厥享国五十年皆可合辛卯二十九祀十二月庚申朔正月己丑朔十一月庚子日酉正二刻十分内二十一秒冬至壬辰三十祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月丙午日子正二刻四分内一十一秒冬至癸巳三十一祀十二月戊申朔正月戊寅朔十一月辛亥日卯正一刻十三分内一秒冬至 应闰甲午三十二祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月丙辰日午正一刻六分内五十一秒冬至乙未三十三祀十二月丁卯朔正月丙申朔十一月辛酉日酉正初刻十五分内四十一秒冬至 应闰廪辛祖甲子在位六祀丙申元祀十二月辛卯朔正月庚申朔十一月丁卯日子正初刻九分内三十一秒冬至丁酉二祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月壬申日卯正初刻三分内二十一秒冬至戊戌三祀十二月己卯朔正月己酉朔十一月丁丑日午初三刻十二分内一十一秒冬至 应闰百八十五章己亥四祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月壬午日酉初三刻六分内一秒冬至庚子五祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月戊子日夜子初二刻十四分内五十一秒冬至辛丑六祀十二月壬辰朔正月辛酉朔十一月癸巳日卯初二刻八分内四十一秒冬至 应闰庚丁廪辛弟在位二十一祀壬寅元祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月戊戌日午初二刻二分内三十一秒冬至癸卯二祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月癸卯日酉初一刻十一分内二十一秒冬至甲辰三祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月己酉日夜子初一刻五分内一十一秒冬至 应闰乙巳四祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月甲寅日卯初初刻十四分内一秒冬至丙午五祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月己未日午初初刻七分内五十一秒冬至 应闰丁丑年至此十一闰为一纪丁未六祀十二月丁亥朔正月丙辰朔十一月甲子日酉初初刻一分内四十一秒冬至戊申七祀十二月辛巳朔正月庚戌朔十一月己巳日亥正三刻十分内三十一秒冬至己酉八祀十二月乙亥朔正月甲辰朔十一月乙亥日寅正三刻四分内二十一秒冬至 应闰大雅曰文王嘉止大邦有子文定厥祥亲迎于渭当在此年葢世子二十而冠既冠而昏皆嘉礼也庚戌九祀十二月己亥朔正月戊辰朔十一月庚辰日巳正二刻十三分内一十一秒冬至辛亥十祀十二月癸巳朔正月癸亥朔十一月乙酉日申正二刻七分内一秒冬至日躔在女四度之二十四分壬子十一祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月庚寅日亥正一刻十五分内五十一秒冬至 应闰癸丑十二祀十二月壬子朔正月辛巳朔十一月丙申日寅正一刻九分内四十一秒冬至 以记称武王九十三计之应生于此年且与中庸称武王末受命之言亦相合甲寅十三祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月辛丑日巳正一刻三分内三十一秒冬至 应闰乙卯十四祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月丙午日申正初刻十二分内二十一秒冬至丙辰十五祀十二月甲子朔正月甲午朔十一月辛亥日亥正初刻六分内一十一秒冬至丁巳十六祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月丁巳日寅初三刻十五分内一秒冬至 应闰百八十六章戊午十七祀十二月壬午朔正月壬子朔十一月壬戌日巳初三刻八分内五十一秒冬至己未十八祀十二月丁丑朔正月丙午朔十一月丁卯日申初三刻二分内四十一秒冬至庚申十九祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月壬申日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 应闰辛酉二十祀十二月乙未朔正月乙丑朔十一月戊寅日寅初二刻五分内二十一秒冬至壬戌二十一祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月癸未日巳初一刻十四分内一十一秒冬至武乙庚丁子在位四祀癸亥元祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月戊子日申初一刻八分内一秒冬至 应闰甲子二祀十二月戊申朔正月丁丑朔十一月癸巳日亥初一刻一分内五十一秒冬至乙丑三祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月己亥日寅初初刻十分内四十一秒冬至 应闰丙寅四祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月甲辰日巳初初刻四分内三十一秒冬至太丁武乙子在位三祀丁卯元祀十二月庚申朔正月庚寅朔十一月己酉日未正三刻十三分内二十一秒冬至戊辰二祀十二月乙卯朔正月甲申朔十一月甲寅日戌正三刻七分内一十一秒冬至 应闰己巳三祀十二月己卯朔正月戊申朔十一月庚申日丑正三刻一分内一秒冬至帝乙太丁子在位三十七祀庚午元祀十二月癸酉朔正月癸卯朔十一月乙丑日辰正二刻九分内五十一秒冬至辛未二祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月庚午日未正二刻三分内四十一秒冬至 应闰壬申三祀十二月辛卯朔正月辛酉朔十一月乙亥日戌正一刻十二分内三十一秒冬至癸酉四祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月辛巳日丑正一刻六分内二十一秒冬至 应闰甲戌五祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月丙戌日辰正初刻十五分内一十一秒冬至乙亥六祀十二月甲辰朔正月甲戌朔十一月辛卯日未正初刻九分内一秒冬至丙子七祀十二月戊戌朔正月戊辰朔十一月丙申日戌正初刻二分内五十一秒冬至 史记是岁周公季厯薨子昌嗣应闰百八十七章丁未年至此十一闰一纪丁丑八祀十二月壬戌朔正月壬辰朔十一月壬寅日丑初三刻十一分内四十一秒冬至戊寅九祀十二月丁巳朔正月丙戌朔十一月丁未日辰初三刻五分内三十一秒冬至己卯十祀十二月辛亥朔正月辛巳朔十一月壬子日未初二刻十四分内二十一秒冬至 应闰庚辰十一祀十二月乙亥朔正月乙巳朔十一月丁巳日戌初二刻八分内一十一秒冬至辛巳十二祀十二月庚午朔正月己亥朔十一月癸亥日丑初二刻二分内一秒冬至壬午十三祀十二月甲子朔正月癸巳朔十一月戊辰日辰初一刻十分内五十一秒冬至 应闰癸未十四祀十二月戊子朔正月丁巳朔十一月癸酉日未初一刻四分内四十一秒冬至甲申十五祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月戊寅日戌初初刻十三分内三十一秒冬至 应闰乙酉十六祀十二月丙午朔正月乙亥朔十一月甲申日丑初初刻七分内二十一秒冬至丙戌十七祀十二月庚子朔正月庚午朔十一月己丑日辰初初刻一分内一十一秒冬至丁亥十八祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月甲午日午正三刻十分内一秒冬至 应闰戊子十九祀十二月戊午朔正月戊子朔十一月己亥日酉正三刻三分内五十一秒冬至己丑二十祀十二月癸丑朔正月壬午朔十一月乙巳日子正二刻十二分内四十一秒冬至庚寅二十一祀十二月丁未朔正月丁丑朔十一月庚戌日卯正二刻六分内三十一秒冬至 应闰辛卯二十二祀十二月辛未朔正月辛丑朔十一月乙卯日午正一刻十五分内二十一秒冬至壬辰二十三祀十二月丙寅朔正月乙未朔十一月庚申日酉正一刻九分内一十一秒冬至 应闰竹书纪年武王年五十四故先儒谓武应生于此年果尔则太姒非文王元妃与诗称文王初载天作之合在洽之阳在渭之涘文王嘉止大邦有子情事不合如系元配设文王三十而娶太姒二十而嫁至此年文王六十三则太姒亦五十三不能生育况武王同母弟八人说者但疑武不应八十一始生成王窃谓八十生儿后代亦每有之尚非事理所必无若文王六十三始生武王其后又生八人隔年生一子亦需十七八年则文亦八十余岁生子而太姒更以老妇诞育群儿何后儒疑武而独不疑文耶癸巳二十四祀十二月庚寅朔正月己未朔十一月丙寅日子正一刻三分内一秒冬至甲午二十五祀十二月甲申朔正月癸丑朔十一月辛未日卯正初刻十一分内五十一秒冬至乙未二十六祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月丙子日午正初刻五分内四十一秒冬至 应闰百八十八章丙申二十七祀十二月壬寅朔正月辛未朔十一月辛巳日酉初三刻十四分内三十一秒冬至丁酉二十八祀十二月丙申朔正月丙寅朔十一月丁亥日子初三刻八分内二十一秒冬至戊戌二十九祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月壬辰日卯初三刻二分内一十一秒冬至 应闰己亥三十祀十二月甲寅朔正月甲申朔十一月丁酉日午初二刻十一分内一秒冬至庚子三十一祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月壬寅日酉初二刻四分内五十一秒冬至辛丑三十二祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月戊申日夜子初一刻十三分内四十一秒冬至 应闰壬寅三十三祀十二月丁卯朔正月丁酉朔十一月癸丑日卯初一刻七分内三十一秒冬至癸卯三十四祀十二月壬戌朔正月辛卯朔十一月戊午日午初一刻一分内二十一秒冬至 应闰甲辰三十五祀十二月丙戌朔正月乙卯朔十一月癸亥日酉初初刻十分内一十一秒冬至乙巳三十六祀十二月庚辰朔正月己酉朔十一月己巳日夜子初初刻四分内一秒冬至丙午三十七祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月甲戌日寅正三刻十二分内五十一秒冬至 应闰丁丑年至此十一闰又一纪纣辛帝乙子在位三十二祀丁未元祀十二月戊戌朔正月丁卯朔十一月己卯日巳正三刻六分内四十一秒冬至戊申二祀十二月壬辰朔正月壬戌朔十一月甲申日申正二刻十五分内三十一秒冬至己酉三祀十二月丙戌朔正月丙辰朔十一月己丑日亥正二刻九分内二十一秒冬至 应闰庚戌四祀十二月庚戌朔正月庚辰朔十一月乙未日寅正二刻三分内一十一秒冬至辛亥五祀十二月乙巳朔正月甲戌朔十一月庚子日巳正一刻十二分内一秒冬至 应闰壬子六祀十二月己巳朔正月戊戌朔十一月乙巳日申正一刻五分内五十一秒冬至癸丑七祀十二月癸亥朔正月壬辰朔十一月庚戌日亥正初刻十四分内四十一秒冬至甲寅八祀十二月戊午朔正月丁亥朔十一月丙辰日寅正初刻八分内三十一秒冬至 应闰百八十九章乙卯九祀十二月壬午朔正月辛亥朔十一月辛酉日巳正初刻二分内二十一秒冬至丙辰十祀十二月丙子朔正月乙巳朔十一月丙寅日申初三刻十一分内一十一秒冬至丁巳十一祀十二月庚午朔正月庚子朔十一月辛未日亥初三刻五分内一秒冬至 应闰戊午十二祀十二月甲午朔正月甲子朔十一月丁丑日寅初二刻十三分内五十一秒冬至己未十三祀十二月戊子朔正月戊午朔十一月壬午日巳初二刻七分内四十一秒冬至庚申十四祀十二月癸未朔正月壬子朔十一月丁亥日申初二刻一分内三十一秒冬至 应闰辛酉十五祀十二月丁未朔正月丙子朔十一月壬辰日亥初一刻十分内二十一秒冬至壬戌十六祀十二月辛丑朔正月庚午朔十一月戊戌日寅初一刻四分内一十一秒冬至 应闰癸亥十七祀十二月乙丑朔正月甲午朔十一月癸卯日巳初初刻十三分内一秒冬至日躔在女三度之二十四分甲子十八祀十二月己未朔正月己丑朔十一月戊申日申初初刻六分内五十一秒冬至乙丑十九祀十二月甲寅朔正月癸未朔十一月癸丑朔戌正三刻十五分内四十一秒冬至 应闰丙寅二十祀十二月戊寅朔正月丁未朔十一月己未日丑正三刻九分内三十一秒冬至丁卯二十一祀十二月壬申朔正月壬寅朔十一月甲子日辰正三刻三分内二十一秒冬至 此周西伯发元年有秦誓十有三年春大㑹于孟津可据戊辰二十二祀十二月丙寅朔正月丙申朔十一月己巳日未正二刻十二分内一十一秒冬至 应闰己巳二十三祀十二月庚寅朔正月庚申朔十一月甲戌日戌正二刻六分内一秒冬至庚午二十四祀十二月乙酉朔正月甲寅朔十一月庚辰日丑正一刻十四分内五十一秒冬至 应闰辛未二十五祀十二月己酉朔正月戊寅朔十一月乙酉日辰正一刻八分内四十一秒冬至壬申二十六祀十二月癸卯朔正月癸酉朔十一月庚寅日未正一刻二分内三十一秒冬至癸酉二十七祀十二月丁酉朔正月丁卯朔十一月乙未日戌正初刻十一分内二十一秒冬至 应闰百九十章甲戌二十八祀十二月辛酉朔正月辛卯朔十一月辛丑日丑正初刻五分内一十一秒冬至乙亥二十九祀十二月丙辰朔正月乙酉朔十一月丙午日辰初三刻十四分内一秒冬至丙子三十祀十二月庚戌朔正月己卯朔十一月辛亥日未初三刻七分内五十一秒冬至 应闰丁未年至此十一闰又一纪丁丑三十一祀十二月甲戌朔正月癸卯朔十一月丙辰日戌初三刻一分内四十一秒冬至戊寅三十二祀十二月戊辰朔正月戊戌朔十一月即武王十三年岁首冬至见后周武王以建子为岁首改祀曰年在位十九年在王位七年己卯十三年冬十一月癸巳朔壬戌晦丑初二刻十分内三十一秒冬至十二月癸亥朔辛卯晦午初二刻十四分大寒正月壬辰朔辛酉晦丑正一刻雨水二月壬戌朔辛卯晦寅初初刻五分春分闰二月三月辛酉朔申正初刻七分榖雨四月辛卯朔十七日丁未二十日庚戌武成一月建寅蔡传甚明今详列晦朔以便览余详首卷庚辰十四年十一月丁巳朔丁卯日辰初二刻四分内二十一秒冬至正月丙辰朔辛巳十五年十一月辛亥朔壬申日未初一刻十分内一十一秒冬至正月庚戌朔 应闰壬午十六年十一月乙亥朔丁丑日戌初一刻七分内一秒冬至正月甲戌朔癸未十七年十一月己巳朔癸未日丑初初刻十五分内五十一秒冬至正月戊辰朔甲申十八年十一月癸亥朔戊子日辰初初刻九分内四十一秒冬至正月壬戌朔 应闰乙酉十九年十一月丁亥朔癸巳日未初初刻三分内三十一秒冬至正月丙戌朔 文王世子篇文王谓武王曰我百尔九十吾与尔三焉文王九十七武王九十三仁山金氏尝斥为俗传之附㑹窃谓文九十七武九十三实事也我百尔九十吾与尔三之说殆好事者附㑹言之但金氏遂谓如其言则文王十五而生武王前此已生伯邑考今按武后文而崩者十有九年加九十七得一百一十六年内除九十三尚余二十三年是文王二十四岁生武王邑考之生或在二十一二之间金氏葢误以十九年加于九十三年内又除去九十七年故云文王十五生武王仁山究心理学而尚论古人心气粗浮若此遂致踵谬者每袭其说以资口谈故特辨之成王在位三十七年丙戌元年十一月壬午朔戊戌日酉正三刻十二分内二十一秒冬至正月辛巳朔 家语武王崩成王年十有三而嗣立明年夏六月冠成王指此年而言今按管叔流言周公避居东都葢在此年丁亥二年十一月丙子朔甲辰日子正三刻六分内一十一秒冬至正月乙亥朔 应闰金縢周公居东二年罪人斯得为诗贻王葢在此夏及秋熟未获感风雷之变而迎公归是公居东虽阅二年实一年有余耳戊子三年十一月庚子朔己酉日卯正二刻十五分内一秒冬至正月己亥朔 管叔以殷畔及成王免丧朝庙当在此春观周颂嗣王谋于庙有桃虫维鸟未堪家多难之语可见则大诰东征亦在此年己丑四年十一月甲午朔甲寅日午正二刻八分内五十一秒冬至正月癸巳朔 应闰庚寅五年十一月戊午朔己未日酉正二刻二分内四十一秒冬至正月丁巳朔 本东山诗自我不见于今三年及仓庚于飞熠燿其羽观之东征旋师当在此春葢三年夏而往五年春而归阅三年也辛卯六年十一月壬子朔乙丑日子正一刻十一分内三十一秒冬至正月辛亥朔壬辰七年十一月丙午朔庚午日卯正一刻五分内二十一秒冬至正月乙巳朔 召诰惟二月既朢越六日乙未三月丙午朏越三日戊申汉志二月乙亥朔庚寅朢三月甲辰朔今同应闰五月百九十一章癸巳八年十一月庚午朔乙亥日午正初刻十四分内一十一秒冬至正月己巳朔 洛诰戊辰王在新邑烝祭岁又云王命周公后作册逸诰在十有二月葢在此年戊辰十二月晦日也又云周公诞保文武受命惟七年是自此年至十四年公乃薨也多士亦作于此年三月按前汉志成王元年正月己巳朔命伯禽俾侯于鲁之岁又云后三十年四月王作顾命自此年至成王崩实三十年是谓禽父以此年正月受封也今推正月己巳朔与汉志合窃思成王嗣立之元年二叔流言公将不利于孺子王年幼方疑周公故公避居东都当是时狼跋其胡载㚄其尾诗人咏之情事扰攘甚矣而王曰叔父建尔元子俾侯于鲁大启尔宇为周室辅恐不然也况记称周公抗世子之法于伯禽使禽父元年已就国何由抗法则谓鲁公受封在此年情理尤允但汉人惑于周公践祚朝诸侯之说又误解复子明辟及予小子退即辟于周之文遂指此为成王即位之元年耳甲午九年十一月乙丑朔庚辰日酉正初刻八分内一秒冬至正月甲子朔 多方云惟五月丁亥王来自奄至于宗周蔡传曰成王即政之明年商奄又叛成王征灭之所谓即政指即辟而言则明年者此年也今推丁亥五月二十六日或谓多方作于成王五年则其年五月无丁亥大抵多士所云昔朕来自奄大降尔四国民命述武庚叛之时事多方则商奄又叛之事其云今尔奔走臣我监五祀葢自五年东征旋师时迁殷民于洛故至此阅五年也乙未十年十一月己未朔丙戌日子正初刻一分内五十一秒冬至正月戊午朔 应闰丙申十一年十一月癸未朔辛卯日卯初三刻十分内四十一秒冬至正月壬午朔丁酉十二年十一月丁丑朔丙申日午初三刻四分内三十一秒冬至正月丁丑朔戊戌十三年十一月壬申朔辛丑日酉初二刻十三分内二十一秒冬至正月壬申朔 应闰己亥十四年十一月丙申朔丁未日夜子初二刻七分内一十一秒冬至正月乙未朔 据洛诰文周公薨应在此年庚子十五年十一月庚寅朔壬子日卯初二刻一分内一秒冬至正月己丑朔 应闰辛丑十六年十一月甲寅朔丁巳日午初一刻九分内五十一秒冬至正月癸丑朔壬寅十七年十一月戊申朔壬戌日酉初一刻三分内四十一秒冬至正月丁未朔癸卯十八年十一月壬寅朔戊辰日夜子初初刻十二分内三十一秒冬至正月辛丑朔甲辰十九年十一月丙寅朔癸酉日卯初初刻六分内二十一秒冬至正月乙丑朔乙巳二十年十一月辛酉朔戊寅日巳正三刻十五分内一十一秒冬至正月庚申朔丙午二十一年十一月乙卯朔癸未日申正三刻九分内一秒冬至正月乙卯朔 应闰丁丑年至此十一闰又一纪丁未二十二年十一月己卯朔戊子日亥正三刻二分内五十一秒冬至正月戊寅朔戊申二十三年十一月癸酉朔甲午日寅正二刻十一分内四十一秒冬至正月壬申朔 应闰己酉二十四年十一月丁酉朔己亥日巳正二刻五分内三十一秒冬至正月丙申朔庚戌二十五年十一月壬辰朔甲辰日申正一刻十四分内二十一秒冬至正月辛卯朔辛亥二十六年十一月丙戌朔己酉日亥正一刻八分内一十一秒冬至正月丙戌朔 应闰百九十二章壬子二十七年十一月庚戌朔乙卯日寅正一刻二分内一秒冬至正月己酉朔癸丑二十八年十一月乙丑朔庚申日巳正初刻十分内五十一秒冬至正月甲辰朔甲寅二十九年十一月己亥朔乙丑日申正初刻四分内四十一秒冬至正月戊戌朔 应闰乙卯三十年十一月癸亥朔庚午日亥初三刻十三分内三十一秒冬至正月壬戌朔丙辰三十一年十一月丁巳朔丙子日寅初三刻七分内二十一秒冬至正月丙辰朔丁巳三十二年十一月壬子朔辛巳日巳初三刻一分内一十一秒冬至正月辛亥朔 应闰戊午三十三年十一月丙子朔丙戌日申初二刻十分内一秒冬至正月乙亥朔己未三十四年十一月庚午朔辛卯日亥初二刻三分内五十一秒正月己巳朔 应闰庚申三十五年十一月甲午朔丁酉日寅初一刻十二分内四十一秒冬至正月癸巳朔辛酉三十六年十一月戊子朔壬寅日巳初一刻六分内三十一秒冬至正月丁亥朔壬戌三十七年十一月壬午朔丁未日申初初刻十五分内二十一秒冬至正月辛巳朔 应闰四月书顾命四月哉生魄王不怿甲子王命太保芮伯彤伯毕公衞侯毛公保元子钊乙丑王崩前汉志四月庚戌朔十五日甲子哉生霸是以哉生魄即甲子日与本文不合今推四月己酉朔十五日癸亥十六日甲子但月望十五而称哉生魄何也黄氏元镇曰月望在十五其常或进在十四或退在十六其变也意者此月望在十四欤其说未知是否姑识之以俟精厯术者康王在位二十六年癸亥元年十一月丙午朔壬子日亥初初刻九分内一十一秒冬至正月甲辰朔甲子二年十一月庚子朔戊午日寅初初刻三分内一秒冬至正月己亥朔乙丑三年十一月乙未朔癸亥日辰正三刻十一分内五十一秒冬至正月甲子朔 应闰丙寅四年十一月己未朔戊辰日未正三刻五分内四十一秒冬至正月戊午朔丁卯五年十一月癸丑朔癸酉日戌正二刻十四分内三十一秒冬至正月壬子朔 应闰戊辰六年十一月丁丑朔己卯日丑正二刻八分内二十一秒冬至正月丙子朔己巳七年十一月壬申朔甲申日辰正二刻二分内一十一秒冬至正月辛未朔庚午八年十一月丙寅朔己丑日未正一刻十一分内一秒冬至正月丙寅朔 应闰百九十三章辛未九年十一月庚寅朔甲午日戌正一刻四分内五十一秒冬至正月己丑朔壬申十年十一月甲午朔庚子日丑正初刻十三分内四十一秒冬至正月癸未朔癸酉十一年十一月戊寅朔乙巳日辰正初刻七分内三十一秒冬至正月戊寅朔 应闰甲戌十二年十一月壬寅朔庚戌日未正初刻一分内二十一秒冬至正月辛丑朔 毕命惟十有二年六月庚午朏今推六月戊辰朔三日庚午乙亥十三年十一月丁酉朔乙卯日戌初三刻十分内一十一秒冬至正月丙申朔全史日至源流卷十七
## 卷十八
钦定四库全书全史日至源流卷十八山东道御史许伯政撰壬子运十八(每期三百六十五日二时七刻八分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分五秒五十微小寒十四日八时四刻四分五十五秒五十微大寒十四日九时一刻十分一十秒五十微立春十四日十时一刻六分一十秒五十微雨水十四日十一时三刻四分一十秒五十微惊蛰十五日零七刻零五秒五十微春分十五日二时三刻八分五十五秒五十微清明十五日四时零七分五十五秒五十微榖雨十五日五时四刻八分零五十微立夏十五日六时七刻零五秒五十微小满十五日八时零三分零五十微芒种十五日八时三刻十分零五秒五十微夏至十五日八时七刻零五秒五十微小暑十五日八时五刻三分五秒五十微大暑十五日八时零八分五秒五十微立秋十五日七时零一十一分五秒五十微处暑十五日五时六刻六分五秒五十微白露十五日四时三刻九分一十秒五十微秋分十五日二时四刻一十一分一十五秒五十微寒露十五日一时一刻八分一十秒五十微霜降十四日十一时五刻五分五秒五十微立冬十四日十时二刻十一分一十五秒五十微小雪十四日九时二刻十二分一十秒五十微大雪十四日八时五刻十分五秒五十微丙子十四年十一月辛卯朔辛酉日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在女二度之二十四分正月辛卯朔应闰丁未年至此十一闰又一纪丁丑十五年十一月乙卯朔丙寅日辰初二刻十二分内三十一秒冬至正月乙卯朔戊寅十六年十一月庚戌朔辛未日未初二刻六分内一秒冬至正月己酉朔 应闰汉志鲁公伯禽即位四十六年至康王十六年薨子考公酋立今因其纪鲁事与春秋相接故以下备录之己卯十七年十一月甲戌朔丙子日戌初一刻十四分内三十一秒冬至正月癸酉朔庚辰十八年十一月戊辰朔壬午日丑初一刻八分内一秒冬至正月丁卯朔辛巳十九年十一月壬戌朔丁亥日辰初一刻一分内三十一秒冬至正月壬戌朔 应闰壬午二十年十一月丙戌朔壬辰日未初初刻十分内一秒冬至正月乙酉朔 汉志考公即位四年弟炀公熈立癸未二十一年十一月庚辰朔丁酉日戌初初刻三分内三十一秒冬至正月己卯朔甲申二十二年十一月乙亥朔癸卯日子正三刻十二分内一秒冬至正月甲戌朔 应闰乙酉二十三年十一月己亥朔戊申日卯正三刻五分内三十一秒冬至正月戊戌朔丙戌二十四年十一月癸巳朔癸丑日午正二刻十四分内一秒冬至正月癸巳朔 应闰丁亥二十五年十一月丁巳朔旦酉正二刻七分内三十一秒冬至正月丁巳朔戊子二十六年十一月壬子朔甲子日子正二刻一分内一秒冬至正月辛亥朔昭王在位五十一年己丑元年十一月丙午朔己巳日卯正一刻九分内三十一秒冬至正月乙巳朔 应闰百九十四章庚寅二年十一月庚午朔甲戌日午正一刻三分内一秒冬至正月己巳朔辛卯三年十一月甲子朔己卯日酉正初刻十一分内三十一秒冬至正月癸亥朔壬辰四年十一月戊午朔乙酉日子正初刻五分内一秒冬至正月戊午朔 应闰癸巳五年十一月壬午朔庚寅日卯初三刻十三分内三十一秒冬至正月壬午朔甲午六年十一月丁丑朔乙未日午初三刻七分内一秒冬至正月丙子朔乙未七年十一月辛未朔庚子日酉初二刻十五分内三十一秒冬至正月辛未朔 应闰丙申八年十一月乙未朔丙午日夜子初二刻九分内一秒冬至正月乙未朔丁酉九年十一月庚寅朔辛亥日卯初二刻二分内三十一秒冬至正月己丑朔 应闰戊戌十年十一月甲寅朔丙辰日午初一刻十一分内一秒冬至正月癸丑朔己亥十一年十一月戊申朔辛酉日酉初一刻四分内三十一秒冬至正月丁未朔庚子十二年十一月壬寅朔丁卯日夜子初初刻十三分内一秒冬至正月辛丑朔 应闰辛丑十三年十一月丙寅朔壬申日卯初初刻六分内三十一秒冬至正月乙丑朔壬寅十四年十一月辛酉朔丁丑日巳正三刻十五分内一秒冬至正月庚申朔癸卯十五年十一月乙卯朔壬午日申正三刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 应闰甲辰十六年十一月己卯朔丁亥日亥正三刻二分内一秒冬至正月戊寅朔乙巳十七年十一月癸酉朔癸巳日寅正二刻十分内三十一秒冬至正月壬申朔 应闰丁丑年至此十一闰一纪缩一年下起丙午丙午十八年十一月丁酉朔戊戌日巳正二刻四分内一秒冬至正月丙申朔 前汉志鲁炀公二十四年正月丙申朔旦冬至殷厯以为丁酉今推十一月丁酉朔戊戌日冬至丙申则正月朔丁未十九年十一月壬辰朔癸卯日申正一刻十二分内三十一秒冬至正月辛卯朔戊申二十年十一月丙戌朔戊申日亥正一刻六分内一秒冬至正月乙酉朔 应闰百九十五章己酉二十一年十一月庚戌朔甲寅日寅正初刻十四分内三十一秒冬至正月己酉朔庚戌二十二年十一月乙巳朔己未日巳正初刻八分内一秒冬至正月癸卯朔辛亥二十三年十一月己亥朔甲子日申正初刻一分内三十一秒冬至正月戊戌朔 应闰壬子二十四年十一月癸亥朔己巳日亥初三刻十分内一秒冬至正月壬戌朔癸丑二十五年十一月丁巳朔乙亥日寅初三刻三分内三十一秒冬至正月丙辰朔甲寅二十六年十一月壬子朔庚辰日巳初二刻十二分内一秒冬至正月辛亥朔 应闰乙卯二十七年十一月丙子朔乙酉日申初二刻五分内三十一秒冬至正月乙亥朔丙辰二十八年十一月庚午朔庚寅日亥初一刻十四分内一秒冬至正月己巳朔 应闰丁巳二十九年十一月甲午朔丙申日寅初一刻七分内三十一秒冬至正月癸巳朔戊午三十年十一月戊子朔辛丑日巳初一刻一分内一秒冬至正月戊子朔己未三十一年十一月壬午朔丙午日申初初刻九分内三十一秒冬至正月壬午朔 应闰庚申三十二年十一月丙午朔辛亥日亥初初刻三分内一秒冬至正月乙巳朔辛酉三十三年十一月辛丑朔丁巳日丑正三刻十一分内三十一秒冬至正月庚子朔壬戌三十四年十一月乙未朔壬戌日辰正三刻五分内一秒冬至正月甲午朔 应闰癸亥三十五年十一月己未朔丁卯日未正二刻十三分内三十一秒冬至正月戊午朔甲子三十六年十一月癸丑朔壬申日戌正二刻七分内一秒冬至正月癸丑朔 应闰乙丑三十七年十一月丁丑朔戊寅日丑正一刻十五分内三十一秒冬至正月丙子朔丙寅三十八年十一月壬申朔癸未日辰正一刻九分内一秒冬至正月辛未朔丁卯三十九年十一月丙寅朔戊子日未正一刻二分内三十一秒冬至正月乙丑朔 应闰百九十六章戊辰四十年十一月庚寅朔癸巳日戌正初刻十一分内一秒冬至正月己丑朔己巳四十一年十一月甲申朔己亥日丑正初刻四分内三十一秒冬至正月癸未朔庚午四十二年十一月戊寅朔甲辰日辰初三刻十三分内一秒冬至正月丁丑朔 应闰辛未四十三年十一月壬寅朔己酉日未初三刻六分内三十一秒冬至正月辛丑朔壬申四十四年十一月丁酉朔甲寅日戌初二刻十五分内一秒冬至正月丙申朔癸酉四十五年十一月辛卯朔庚申日丑初二刻八分内三十一秒冬至正月庚寅朔应闰甲戌四十六年十一月乙卯朔乙丑日辰初二刻二分内一秒冬至正月甲寅朔乙亥四十七年十一月庚戌朔庚午日未初一刻十分内三十一秒冬至正月己酉朔 应闰丙午年至此十一闰为一纪丙子四十八年十一月甲戌朔乙亥日戌初一刻四分内一秒冬至正月癸酉朔丁丑四十九年十一月戊辰朔辛巳日丑初初刻十二分内三十一秒冬至正月丁卯朔戊寅五十年十一月壬戌朔丙戌日辰初初刻六分内一秒冬至正月辛酉朔 应闰己卯五十一年十一月丙戌朔辛卯日午正三刻十四分内三十一秒冬至正月乙酉朔穆王在位五十五年庚辰元年十一月辛巳朔丙申日酉正三刻八分内一秒冬至正月庚辰朔辛巳二年十一月乙亥朔壬寅日子正三刻一分内三十一秒冬至正月甲戌朔 应闰壬午三年十一月己亥朔丁未日卯正二刻十分内一秒冬至正月戊戌朔 汉志鲁炀公在位六十年子幽公宰立癸未四年十一月癸巳朔壬子日午正二刻三分内三十一秒冬至正月壬辰朔 应闰甲申五年十一月丁巳朔旦酉正一刻十二分内一秒冬至正月丙辰朔乙酉六年十一月壬子朔癸亥日子正一刻五分内三十一秒冬至正月辛亥朔丙戌七年十一月丙午朔戊辰日卯正初刻十四分内一秒冬至正月乙巳朔 应闰百九十七章丁亥八年十一月庚午朔癸酉日午正初刻七分内三十一秒冬至正月己巳朔戊子九年十一月甲子朔戊寅日酉正初刻一分内一秒冬至日躔在女一度之二十四分正月癸亥朔己丑十年十一月戊午朔甲申日夜子初三刻九分内三十一秒冬至正月戊午朔 应闰庚寅十一年十一月壬午朔己丑日卯初三刻三分内一秒冬至正月辛巳朔辛卯十二年十一月丁丑朔甲午日午初二刻十一分内三十一秒冬至正月丙子朔壬辰十三年十一月辛未朔己亥日酉初二刻五分内一秒冬至正月庚午朔 应闰癸巳十四年十一月乙未朔乙巳日夜子初一刻十三分内三十一秒冬至正月甲午朔甲午十五年十一月己丑朔庚戌日卯初一刻七分内一秒冬至正月己丑朔 应闰乙未十六年十一月癸丑朔乙卯日午初初刻十五分内三十一秒冬至正月壬子朔丙申十七年十一月戊申朔庚申日酉初初刻九分内一秒冬至正月丁未朔 鲁幽公即位十四年弟微公㵒弑立即魏公丁酉十八年十一月壬寅朔丙寅日夜子初初刻二分内三十一秒冬至正月辛丑朔 应闰戊戌十九年十一月丙寅朔辛未日寅正三刻十一分内一秒冬至正月乙丑朔己亥二十年十一月庚申朔丙子日巳正三刻四分内三十一秒冬至正月己未朔庚子二十一年十一月甲寅朔辛巳日申正二刻十三分内一秒冬至正月癸丑朔 应闰辛丑二十二年十一月戊寅朔丙戌日亥正二刻六分内三十一秒冬至正月丁丑朔壬寅二十三年十一月癸酉朔壬辰日寅正一刻十五分内一秒冬至正月壬申朔 应闰癸卯二十四年十一月丁酉朔旦巳正一刻八分内三十一秒冬至正月丙申朔甲辰二十五年十一月辛卯朔壬寅日申正一刻二分内一秒冬至正月庚寅朔乙巳二十六年十一月乙酉朔丁未日亥正初刻十分内三十一秒冬至正月甲申朔 应闰百九十八章丙子年至此十一闰又一纪丙午二十七年十一月己酉朔癸丑日寅正初刻四分内一秒冬至正月戊申朔丁未二十八年十一月甲辰朔戊午日巳初三刻十二分内三十一秒冬至正月癸卯朔戊申二十九年十一月戊戌朔癸亥日申初三刻六分内一秒冬至正月丁酉朔 应闰己酉三十年十一月壬戌朔戊辰日亥初二刻十四分内三十一秒冬至正月辛酉朔庚戌三十一年十一月丙辰朔甲戌日寅初二刻八分内一秒冬至正月丙辰朔辛亥三十二年十一月辛亥朔己卯日巳初二刻一分内三十一秒冬至正月庚戌朔 应闰壬子三十三年十一月乙亥朔甲申日申初一刻十分内一秒冬至正月甲戌朔癸丑三十四年十一月己巳朔己丑日亥初一刻三分内三十一秒冬至正月戊辰朔 应闰甲寅三十五年十一月癸巳朔乙未日寅初初刻十二分内一秒冬至正月壬辰朔乙卯三十六年十一月丁亥朔庚子日巳初初刻五分内三十一秒冬至正月丙戌朔丙辰三十七年十一月壬午朔乙巳日未正三刻十四分内一秒冬至正月庚辰朔 应闰丁巳三十八年十一月丙午朔庚戌日戌正三刻七分内三十一秒冬至正月甲辰朔戊午三十九年十一月庚子朔丙辰日丑正三刻一分内一秒冬至正月己亥朔己未四十年十一月甲午朔辛酉日辰正二刻九分内三十一秒冬至正月癸巳朔 应闰庚申四十一年十一月戊午朔丙寅日未正二刻三分内一秒冬至正月丁巳朔辛酉四十二年十一月壬子朔辛未日戌正一刻十一分内三十一秒冬至正月壬子朔壬戌四十三年十一月丙子朔丁丑日丑正一刻五分内一秒冬至正月乙亥朔 汉志鲁微公二十六年正月乙亥朔旦冬至殷厯以为丙子今推十一月丙子朔丁丑冬至正月乙亥朔微公史记作魏公癸亥四十四年十一月辛未朔壬午日辰正初刻十三分内三十一秒冬至正月庚午朔甲子四十五年十一月乙丑朔丁亥日未正初刻七分内一秒冬至正月甲子朔 应闰百九十九章乙丑四十六年十一月己丑朔壬辰日戌初三刻十五分内三十一秒冬至正月戊子朔丙寅四十七年十一月癸未朔戊戌日丑初三刻九分内一秒冬至正月癸未朔丁卯四十八年十一月丁丑朔癸卯日辰初三刻二分内三十一秒冬至正月丁丑朔 应闰戊辰四十九年十一月辛丑朔戊申日未初二刻十一分内一秒冬至正月辛丑朔己巳五十年十一月丙申朔癸丑日戌初二刻四分内三十一秒冬至正月乙未朔庚午五十一年十一月庚寅朔己未日丑初一刻十三分内一秒冬至正月己丑朔 应闰辛未五十二年十一月甲寅朔甲子日辰初一刻六分内三十一秒冬至正月癸丑朔壬申五十三年十一月己酉朔己巳日未初初刻十五分内一秒冬至正月戊申朔 应闰癸酉五十四年十一月癸酉朔甲戌日戌初初刻八分内三十一秒冬至正月壬申朔甲戌五十五年十一月丁卯朔庚辰日丑初初刻二分内一秒冬至正月丙寅朔共王在位一十二年乙亥元年十一月辛酉朔乙酉日卯正三刻十分内三十一秒冬至正月庚申朔 应闰丙午年至此十一闰又一纪丙子二年十一月乙酉朔庚寅日午正三刻四分内一秒冬至正月甲申朔丁丑三年十一月庚辰朔乙未日酉正二刻十二分内三十一秒冬至正月己卯朔戊寅四年十一月甲戌朔辛丑日子正二刻六分内一秒冬至正月癸酉朔 应闰己卯五年十一月戊戌朔丙午日卯正一刻十四分内三十一秒冬至正月丁酉朔庚辰六年十一月壬辰朔辛亥日午正一刻八分内一秒冬至正月辛卯朔 应闰辛巳七年十一月丙辰朔旦酉正一刻一分内三十一秒冬至正月乙卯朔壬午八年十一月庚戌朔壬戌日子正初刻十分内一秒冬至正月己酉朔癸未九年十一月乙巳朔丁卯日卯正初刻三分内三十一秒冬至正月甲辰朔 应闰二百章甲申十年十一月己巳朔壬申日午初三刻十二分内一秒冬至正月戊辰朔乙酉十一年十一月癸亥朔丁丑日酉初三刻五分内三十一秒冬至正月壬戌朔丙戌十二年十一月丁巳朔癸未日夜子初二刻十四分内一秒冬至正月丙辰朔 应闰汉志微公即位五十年子厉公翟立懿王在位二十五年丁亥元年十一月辛巳朔戊子日卯初二刻七分内三十一秒冬至正月庚辰朔戊子二年十一月丙子朔癸巳日午初二刻一分内一秒冬至正月乙亥朔己丑三年十一月庚午朔戊戌日酉初一刻九分内三十一秒冬至正月己巳朔 应闰庚寅四年十一月甲午朔甲辰日子初一刻三分内一秒冬至正月癸巳朔辛卯五年十一月己丑朔己酉日卯初初刻十一分内三十一秒冬至正月戊子朔 应闰壬辰六年十一月癸丑朔甲寅日午初初刻五分内一秒冬至正月壬子朔癸巳七年十一月丁未朔己未日申正三刻十三分内三十一秒冬至正月丙午朔甲午八年十一月辛丑朔甲子日亥正三刻七分内一秒冬至正月庚子朔 应闰乙未九年十一月乙丑朔庚午日寅正二刻十五分内三十一秒冬至正月甲子朔丙申十年十一月己未朔乙亥日巳正二刻九分内一秒冬至正月戊午朔丁酉十一年十一月甲寅朔庚辰日申正二刻二分内三十一秒冬至正月壬子朔 应闰戊戌十二年十一月戊寅朔乙酉日亥正一刻十一分内一秒冬至正月丙子朔己亥十三年十一月壬申朔辛卯日寅正一刻四分内三十一秒冬至正月辛未朔 应闰庚子十四年十一月乙未朔丙申日巳正初刻十三分内一秒冬至日躔在女初度之二十四分正月乙未朔辛丑十五年十一月庚寅朔辛丑日申正初刻六分内三十一秒冬至正月己丑朔壬寅十六年十一月乙酉朔丙午日亥初三刻十五分内一秒冬至正月甲申朔 应闰二百一章癸卯十七年十一月己酉朔壬子日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月戊申朔甲辰十八年十一月癸卯朔丁巳日巳初三刻二分内一秒冬至正月壬寅朔乙巳十九年十一月丁酉朔壬戌日申初二刻十分内三十一秒冬至正月丙申朔 应闰自丙子年至此十一闰又一纪丙午二十年十一月辛酉朔丁卯日亥初二刻四分内一秒冬至正月庚申朔丁未二十一年十一月乙卯朔癸酉日寅初一刻十二分内三十一秒冬至正月甲寅朔戊申二十二年十一月庚戌朔戊寅日巳初一刻六分内一秒冬至正月己酉朔 应闰己酉二十三年十一月甲戌朔癸未日申初初刻十四分内三十一秒冬至正月癸酉朔庚戌二十四年十一月戊辰朔戊子日亥初初刻八分内一秒冬至正月丁卯朔 应闰辛亥二十五年十一月壬辰朔甲午日寅初初刻一分内三十一秒冬至正月辛卯朔孝王共王弟辟方在位十五年壬子元年十一月丁亥朔己亥日辰正三刻十分内一秒冬至正月丙戌朔癸丑二年十一月辛巳朔甲辰日未正三刻三分内三十一秒冬至正月庚辰朔 应闰甲寅三年十一月乙巳朔己酉日戌正二刻十二分内一秒冬至正月甲辰朔乙卯四年十一月己亥朔乙卯日丑正二刻五分内三十一秒冬至正月戊戌朔丙辰五年十一月癸巳朔庚申日辰正一刻十四分内一秒冬至正月壬辰朔 应闰丁巳六年十一月丁巳朔乙丑日未正一刻七分内三十一秒冬至正月丙辰朔戊午七年十一月辛亥朔庚午日戌正一刻一分内一秒冬至正月庚戌朔 应闰己未八年十一月乙亥朔丙子日丑正初刻九分内三十一秒冬至正月甲戌朔庚申九年十一月庚午朔辛巳日辰正初刻三分内一秒冬至正月己巳朔辛酉十年十一月甲子朔丙戌日未初三刻十一分内三十一秒冬至正月癸亥朔 应闰二百二章壬戌十一年十一月戊子朔辛卯日戌初三刻五分内一秒冬至正月丁亥朔癸亥十二年十一月癸未朔丁酉日丑初二刻十三分内三十一秒冬至正月壬午朔 汉志厉公即位三十七年弟献公具立甲子十三年十一月丁丑朔壬寅日辰初二刻七分内一秒冬至正月丙子朔 应闰乙丑十四年十一月辛丑朔丁未日未初一刻十五分内三十一秒冬至正月庚子朔丙寅十五年十一月乙未朔壬子日戌初一刻九分内一秒冬至正月甲午朔夷王懿王太子燮在位一十六年丁卯元年十一月己丑朔戊午日丑初一刻二分内三十一秒冬至正月己丑朔 应闰戊辰二年十一月癸丑朔癸亥日辰初初刻十一分内一秒冬至正月壬子朔己巳三年十一月戊申朔戊辰日未初初刻四分内三十一秒冬至正月丁未朔 应闰庚午四年十一月壬申朔癸酉日酉正三刻十三分内一秒冬至正月辛未朔辛未五年十一月丙寅朔己卯日子正三刻六分内三十一秒冬至正月乙丑朔壬申六年十一月庚申朔甲申日卯正二刻十五分内一秒冬至正月己未朔 应闰癸酉七年十一月甲申朔己丑日午正二刻八分内三十一秒冬至正月癸未朔甲戌八年十一月己卯朔甲午日酉正二刻二分内一秒冬至正月戊寅朔乙亥九年十一月癸酉朔庚子日子正一刻十分内三十一秒冬至正月壬申朔 应闰自丙午年至此十一闰又一纪丙子十年十一月丁酉朔乙巳日卯正一刻四分内一秒冬至正月丙申朔丁丑十一年十一月辛卯朔庚戌日午正初刻十二分内三十一秒冬至正月庚寅朔 应闰戊寅十二年十一月乙卯朔旦酉正初刻六分内一秒冬至正月甲寅朔 汉志献公十五年正月甲寅朔旦冬至殷厯以为乙卯今推乙卯冬至与殷厯合正月甲寅朔交雨水非冬至也明郑世子载堉厯议谓授时引用前汉志鲁献公戊寅岁正月甲寅朔旦冬至议其无据即此年也己卯十三年十一月己酉朔辛酉日夜子初三刻十四分内三十一秒冬至正月戊申朔庚辰十四年十一月甲辰朔丙寅日卯初三刻八分内一秒冬至正月癸卯朔 应闰二百三章辛巳十五年十一月戊辰朔辛未日午初三刻一分内三十一秒冬至正月丁卯朔壬午十六年十一月壬戌朔丙子日酉初二刻十分内一秒冬至正月辛酉朔厉王在位五十一年癸未元年十一月丙辰朔壬午日夜子初二刻三分内三十一秒冬至正月乙卯朔 应闰甲申二年十一月庚辰朔丁亥日卯初一刻十二分内一秒冬至正月己卯朔乙酉三年十一月乙亥朔壬辰日午初一刻五分内三十一秒冬至正月甲戌朔丙戌四年十一月己巳朔丁酉日酉初初刻十四分内一秒冬至正月戊辰朔 应闰丁亥五年十一月癸巳朔癸卯日夜子初初刻七分内三十一秒冬至正月壬辰朔戊子六年十一月丁亥朔戊申日卯初初刻一分内一秒冬至正月丙戌朔 应闰己丑七年十一月辛亥朔癸丑日巳正三刻九分内三十一秒冬至正月庚戌朔庚寅八年十一月丙午朔戊午日申正三刻三分内一秒冬至正月乙巳朔辛卯九年十一月庚子朔癸亥日亥正二刻十一分内三十一秒冬至正月己亥朔 应闰壬辰十年十一月甲子朔己巳日寅正二刻五分内一秒冬至正月癸亥朔癸巳十一年十一月戊午朔甲戌日巳正一刻十三分内三十一秒冬至正月丁巳朔甲午十二年十一月壬子朔己卯日申正一刻七分内一秒冬至正月辛亥朔 应闰乙未十三年十一月丙子朔甲申日亥正初刻十五分内三十一秒冬至正月乙亥朔丙申十四年十一月庚午朔庚寅日寅正初刻九分内一秒冬至正月己巳朔 应闰丁酉十五年十一月甲午朔乙未日巳正初刻二分内三十一秒冬至正月癸巳朔戊戌十六年十一月己丑朔庚子日申初三刻十一分内一秒冬至正月戊子朔己亥十七年十一月癸未朔乙巳日亥初三刻四分内三十一秒冬至正月壬午朔 应闰二百四章庚子十八年十一月丁未朔辛亥日寅初二刻十三分内一秒冬至正月丙午朔辛丑十九年十一月辛丑朔丙辰日巳初二刻六分内三十一秒冬至正月辛丑朔壬寅二十年十一月丙申朔辛酉日申初一刻十五分内一秒冬至正月乙未朔 应闰癸卯二十一年十一月庚申朔丙寅日亥初一刻八分内三十一秒冬至正月己未朔甲辰二十二年十一月甲寅朔壬申日寅初一刻二分内一秒冬至正月癸丑朔乙巳二十三年十一月戊申朔丁丑日巳初初刻十分内三十一秒冬至正月丁未朔 应闰丙子年至此十一闰又一纪丙午二十四年十一月壬申朔壬午日申初初刻四分内一秒冬至正月辛未朔 史记年表鲁真公元年即汉志慎公也真公以前传国世次与汉志同而在位之年数颇异此史记之讹也汉志或别有所本今本史记以推汉志献公在位葢四十二年而以为五十年武公在位本十年而以为二年自当以史记正汉志之误因而以汉志补史记之阙或亦可并存而于时世事理无所碍与丁未二十五年十一月丁卯朔丁亥日戌正三刻十二分内二十一秒冬至正月丙寅朔 应闰戊申二十六年十一月辛卯朔癸巳日丑正三刻六分内一秒冬至正月庚寅朔己酉二十七年十一月乙酉朔戊戌日辰正二刻十四分内三十一秒冬至正月甲申朔庚戌二十八年十一月己夘朔癸卯日未正二刻八分内一秒冬至正月戊寅朔 应闰辛亥二十九年十一月癸夘朔戊申日戌正二刻一分内三十一秒冬至正月壬寅朔全史日至源流卷十八
## 卷十九
钦定四库全书全史日至源流卷十九山东道御史许伯政撰壬子运十九(每期三百六十五日二时七刻八分一十秒)冬至十四日八时三刻十四分五秒小寒十四日八时四刻四分五十五秒大寒十四日九时一刻十分一十秒立春十四日十时一刻六分一十秒雨水十四日十一时三刻四分一十秒惊蛰十五日零七刻零五秒春分十五日二时三刻八分五十五秒清明十五日四时零七分五十五秒谷雨十五日五时四刻八分立夏十五日六时七刻零五秒小满十五日八时零三分芒种十五日八时三刻十分零五秒夏至十五日八时七刻零五秒小暑十五日八时五刻三分五秒大暑十五日八时零八分五秒立秋十五日七时零一十一分五秒处暑十五日五时六刻六分五秒白露十五日四时三刻九分一十秒秋分十五日二时四刻一十一分一十五秒寒露十五日一时一刻八分一十秒霜降十四日十一时五刻五分五秒立冬十四日十时二刻一十一分一十五秒小雪十四日九时二刻十二分一十秒大雪十四日八时五刻十分五秒壬子三十年十一月戊戌朔甲寅日丑正一刻十分内一秒冬至日躔在牛余分之五分正月丁酉朔癸丑三十一年十一月壬辰朔己未日辰正一刻三分内一十一秒冬至正月辛夘朔 应闰汉志献公即位五十年子慎公嚊立今本史记作慎公八年甲寅三十二年十一月丙辰朔甲子日未正初刻十一分内二十一秒冬至正月甲寅朔乙夘三十三年十一月庚戌朔己巳日戌正初刻四分内三十一秒冬至正月己酉朔 应闰丙辰三十四年十一月甲戌朔乙亥日丑初三刻十二分内四十一秒冬至正月癸酉朔丁巳三十五年十一月己巳朔庚辰日辰初三刻五分内五十一秒冬至正月戊辰朔戊午三十六年十一月癸亥朔乙酉日未初二刻十四分内一秒冬至正月壬戌朔 应闰二百五章己未三十七年十一月丁亥朔庚寅日戌初二刻七分内一十一秒冬至正月丙戌朔庚申三十八年十一月辛巳朔丙申日丑初一刻十五分内二十一秒冬至正月庚辰朔 史记共和元年鲁慎公十五年辛酉三十九年十一月乙亥朔辛丑日辰初一刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔 应闰壬戌四十年十一月己亥朔丙午日未初一刻一分内四十一秒冬至正月戊戌朔癸亥四十一年十一月甲午朔辛亥日戌初初刻九分内五十一秒冬至正月癸巳朔甲子四十二年十一月戊子朔丁巳日丑初初刻三分内一秒冬至正月丁亥朔 应闰乙丑四十三年十一月壬子朔壬戌日夘正三刻十一分内一十一秒冬至正月辛亥朔丙寅四十四年十一月丙午朔丁夘日午正三刻四分内二十一秒冬至正月乙巳朔 应闰丁夘四十五年十一月庚午朔壬申日酉正二刻十二分内三十一秒冬至正月己巳朔戊辰四十六年十一月乙丑朔戊寅日子正二刻五分内四十一秒冬至正月甲子朔己巳四十七年十一月己未朔癸未日夘正一刻十三分内五十一秒冬至正月戊午朔 应闰庚午四十八年十一月癸未朔戊子日午正一刻七分内一秒冬至正月壬午朔辛未四十九年十一月戊寅朔癸巳日酉正初刻十五分内一十一秒冬至正月丁丑朔壬申五十年十一月壬申朔己亥日子正初刻八分内二十一秒冬至正月辛未朔 应闰癸酉五十一年十一月丙申朔甲辰日夘正初刻一分内三十一秒冬至正月乙未朔宣王(在位四十六年)甲戌元年十一月庚寅朔己酉日午初三刻九分内四十一秒冬至正月己丑朔 应闰丙午年至此十一闰一纪缩一年下起乙亥乙亥二年十一月甲寅朔旦酉初三刻二分内五十一秒冬至正月癸丑朔 史记慎公五十年卒丙子三年十一月戊申朔庚申日子初二刻十一分内一秒冬至正月丁未朔 史记鲁武公敖元年丁丑四年十一月癸夘朔乙丑日夘初二刻四分内一十一秒冬至正月壬寅朔 应闰二百六章戊寅五年十一月丁夘朔庚午日午初一刻十二分内二十一秒冬至正月丙寅朔己夘六年十一月辛酉朔乙亥日酉初一刻五分内三十一秒冬至正月庚申朔庚辰七年十一月乙夘朔辛巳日子初初刻十三分内四十一秒冬至正月甲寅朔 应闰辛巳八年十一月己夘朔丙戌日夘初初刻六分内五十一秒冬至正月戊寅朔壬午九年十一月癸酉朔辛夘日巳正三刻十五分内一秒冬至正月壬申朔癸未十年十一月戊辰朔丙申日申正三刻八分内一十一秒冬至正月丁夘朔 应闰前汉志慎公即位三十年弟武公敖立在此年今从史记甲申十一年十一月壬辰朔辛丑日亥正三刻一分内二十一秒冬至正月辛夘朔乙酉十二年十一月丙戌朔丁未日寅正二刻九分内三十一秒冬至正月乙酉朔 前汉志武公即位二年子懿公戏立以下同史记丙戌十三年十一月庚戌朔壬子日巳正二刻二分内四十一秒冬至正月己酉朔丁亥十四年十一月乙巳朔丁巳日申正一刻十分内五十一秒冬至正月甲辰朔戊子十五年十一月己亥朔壬戌日亥正一刻四分内一秒冬至正月戊戌朔 应闰己丑十六年十一月癸亥朔戊辰日寅正初刻十二分内一十一秒冬至正月壬戌朔庚寅十七年十一月丁巳朔癸酉日巳正初刻五分内二十一秒冬至正月丙辰朔辛夘十八年十一月辛亥朔戊寅日申初三刻十三分内三十一秒冬至正月庚戌朔 应闰壬辰十九年十一月乙亥朔癸未日亥初三刻六分内四十一秒冬至正月甲戌朔癸巳二十年十一月庚子朔己丑日寅初二刻十四分内五十一秒冬至正月己巳朔 应闰甲午二十一年十一月甲午朔旦巳初二刻八分内一秒冬至正月癸巳朔 前汉志懿公九年正月癸巳朔旦冬至殷厯以为甲午今推十一月甲午朔旦冬至与殷厯同正月癸巳朔交雨水非冬至也是年懿公兄子柏御弑立乙未二十二年十一月戊子朔己亥日申初二刻一分内一十一秒冬至正月丁亥朔丙申二十三年十一月癸未朔甲辰日亥初一刻九分内二十一秒冬至正月壬午朔 应闰二百七章丁酉二十四年十一月丁未朔庚戌日寅初一刻二分内三十一秒冬至正月丙午朔戊戌二十五年十一月辛丑朔乙夘日巳初初刻十分内四十一秒冬至正月庚子朔己亥二十六年十一月乙未朔庚申日申初初刻三分内五十一秒冬至正月甲午朔 应闰庚子二十七年十一月己未朔乙丑日戌正三刻十二分内一秒冬至正月戊午朔辛丑二十八年十一月甲寅朔辛未日丑正三刻五分内一十一秒冬至正月癸丑朔壬寅二十九年十一月戊申朔丙子日辰正二刻十三分内二十一秒冬至正月丁未朔 应闰癸夘三十年十一月壬申朔辛巳日未正二刻六分内三十一秒冬至正月辛未朔甲辰三十一年十一月丙寅朔丙戌日戌正一刻十四分内四十一秒冬至正月乙丑朔 应闰乙亥年至此十一闰为一纪乙巳三十二年十一月庚寅朔壬辰日丑正一刻七分内五十一秒冬至正月己丑朔 前汉志柏御即位十一年宣王诛之叔父孝公称立丙午三十三年十一月乙酉朔丁酉日辰正一刻一分内一秒冬至正月甲申朔丁未三十四年十一月己夘朔壬寅日未正初刻九分内一十一秒冬至正月戊寅朔 应闰戊申三十五年十一月癸夘朔丁未日戌正初刻二分内二十一秒冬至正月壬寅朔己酉三十六年十一月丁酉朔癸丑日丑初三刻十分内三十一秒冬至正月丙申朔庚戌三十七年十一月壬辰朔戊午日辰初三刻三分内四十一秒冬至正月辛夘朔 应闰辛亥三十八年十一月丙辰朔癸亥日未初二刻十一分内五十一秒冬至正月乙夘朔壬子三十九年十一月庚戌朔戊辰日戌初二刻五分内一秒冬至正月己酉朔 应闰癸丑四十年十一月甲戌朔旦丑初一刻十三分内一十一秒冬至正月壬申朔甲寅四十一年十一月戊辰朔己夘日辰初一刻六分内二十一秒冬至正月丁卯朔乙夘四十二年十一月壬戌朔甲申日未初初刻十四分内三十一秒冬至正月辛酉朔 应闰二百八章丙辰四十三年十一月丙戌朔己丑日戌初初刻七分内四十一秒冬至正月乙酉朔丁巳四十四年十一月辛巳朔乙未日子正三刻十五分内五十一秒冬至正月庚辰朔戊午四十五年十一月乙亥朔庚子日夘正三刻九分内一秒冬至正月甲戌朔 应闰己未四十六年十一月己亥朔乙巳日午正三刻二分内一十一秒冬至正月戊戌朔幽王(在位一十一年)庚申元年十一月甲午朔庚戌日酉正二刻十分内二十一秒冬至正月癸巳朔辛酉二年十一月戊子朔丙辰日子正二刻三分内三十一秒冬至正月丁亥朔 应闰壬戌三年十一月壬子朔辛酉日夘正一刻十一分内四十一秒冬至正月辛亥朔癸亥四年十一月丙午朔丙寅日午正一刻四分内五十一秒冬至正月乙巳朔 应闰甲子五年十一月庚午朔辛未日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在牛六度之五分正月己巳朔乙丑六年十一月乙丑朔丁丑日子正初刻六分内一十一秒冬至正月乙丑朔 小雅十月之交朔日辛夘日有食之虞〔？〕厯议以来多谓在幽王六年今推十月朔得辛夘丙寅七年十一月庚申朔壬午日夘初三刻十四分内二十一秒冬至正月己未朔 应闰丁夘八年十一月癸未朔丁亥日午初三刻七分内三十一秒冬至正月壬午朔戊辰九年十一月丁丑朔壬辰日酉初二刻十五分内四十一秒冬至正月丙子朔己巳十年十一月辛未朔戊戌日子初二刻八分内五十一秒冬至正月庚午朔 应闰庚午十一年十一月乙未朔癸夘日夘初二刻二分内一秒冬至正月甲午朔平王(在位五十一年)辛未元年十一月己丑朔戊申日午初一刻十分内一十一秒冬至正月戊子朔 应闰壬申二年十一月癸丑朔旦酉初一刻三分内二十一秒冬至正月壬子朔 汉志孝公即位二十七年子惠公皇立癸酉三年十一月戊申朔戊午夜子初初刻十一分内三十一秒冬至正月丁未朔甲戌四年十一月壬寅朔甲子日夘初初刻四分内四十一秒冬至正月辛丑朔 应闰二百九章乙巳年至此十一闰又一纪乙亥五年十一月丙寅朔己巳日巳正三刻十二分内五十一秒冬至正月乙丑朔丙子六年十一月辛酉朔甲戌日申正三刻六分内一秒冬至正月庚申朔丁丑七年十一月乙夘朔己夘日亥正二刻十四分内一十一秒冬至正月甲寅朔 应闰戊寅八年十一月己夘朔乙酉日寅正二刻七分内二十一秒冬至正月戊寅朔己夘九年十一月癸酉朔庚寅日巳正一刻十五分内三十一秒冬至正月壬申朔庚辰十年十一月丁夘朔乙未日申正一刻八分内四十一秒冬至正月丙寅朔 应闰辛巳十一年十一月辛夘朔庚子日亥正一刻一分内五十一秒冬至正月庚寅朔壬午十二年十一月丙戌朔丙午日寅正初刻十分内一秒冬至正月乙酉朔 应闰癸未十三年十一月庚戌朔辛亥日巳正初刻三分内一十一秒冬至正月己酉朔甲申十四年十一月甲辰朔丙辰日申初三刻十一分内二十一秒冬至正月癸夘朔乙酉十五年十一月戊戌朔辛酉日亥初三刻四分内三十一秒冬至正月丁酉朔 应闰丙戌十六年十一月壬戌朔丁夘日寅初二刻十二分内四十一秒冬至正月辛酉朔丁亥十七年十一月丁己朔壬申日巳初二刻五分内五十一秒冬至正月丙辰朔戊子十八年十一月辛亥朔丁丑日申初一刻十四分内一秒冬至正月庚戌朔 应闰己丑十九年十一月乙亥朔壬午日亥初一刻七分内一十一秒冬至正月甲戌朔庚寅二十年十一月己巳朔戊子日寅初初刻十五分内二十一秒冬至正月戊辰朔 应闰辛夘二十一年十一月癸巳朔旦巳初初刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔壬辰二十二年十一月丁亥朔戊戌日申初初刻一分内四十一秒冬至正月丙戌朔癸巳二十三年十一月壬午朔癸夘日戌正三刻九分内五十一秒冬至正月辛巳朔 应闰二百十章甲午二十四年十一月丙午朔己酉日丑正三刻三分内一秒冬至正月乙巳朔乙未二十五年十一月庚子朔甲寅日辰正二刻十一分内一十一秒冬至正月己亥朔丙申二十六年十一月乙未朔己未日未正二刻四分内二十一秒冬至正月甲午朔 应闰丁酉二十七年十一月己未朔甲子日戌正一刻十二分内三十一秒冬至正月戊午朔戊戌二十八年十一月癸丑朔庚午日丑正一刻五分内四十一秒冬至正月壬子朔己亥二十九年十一月丁未朔乙亥日辰正初刻十三分内五十一秒冬至正月丙午朔 应闰庚子三十年十一月辛未朔庚辰日未正初刻七分内一秒冬至正月庚午朔辛丑三十一年十一月乙丑朔乙酉日戌初三刻十五分内一十一秒冬至正月甲子朔 应闰壬寅三十二年十一月己丑朔辛夘日丑初三刻八分内二十一秒冬至正月戊子朔癸夘三十三年十一月甲申朔丙申日辰初三刻一分内三十一秒冬至正月癸未朔甲辰三十四年十一月戊寅朔辛丑日未初二刻九分内四十一秒冬至正月丁丑朔 应闰乙亥年至此十一闰又一纪乙巳三十五年十一月壬寅朔丙午日戌初二刻二分内五十一秒冬至正月辛丑朔丙午三十六年十一月丙申朔壬申日丑初一刻十一分内一秒冬至正月乙未朔丁未三十七年十一月辛夘朔丁巳日辰初一刻四分内一十一秒冬至正月庚寅朔 应闰戊申三十八年十一月乙夘朔壬戌日未初初刻十二分内二十一秒冬至正月甲寅朔己酉三十九年十一月己酉朔丁夘日戌初初刻五分内三十一秒冬至正月戊申朔 应闰庚戌四十年十一月癸酉朔旦子正三刻十三分内四十一秒冬至正月壬申朔 前汉志惠公三十八年正月壬申朔旦冬至殷厯以为癸酉今推十一月癸酉朔冬至与殷厯同十二月壬寅朔大寒正月壬申朔雨水辛亥四十一年十一月丁夘朔戊寅日夘正三刻六分内五十一秒冬至正月丙寅朔壬子四十二年十一月壬戌朔癸未日午正二刻十五分内一秒冬至正月辛酉朔 应闰二百一十一章癸丑四十三年十一月丙戌朔戊子日酉正二刻八分内一十一秒冬至正月乙酉朔甲寅四十四年十一月庚辰朔甲午日子正二刻一分内二十一秒冬至正月己夘朔乙夘四十五年十一月甲戌朔己亥日夘正一刻九分内三十一秒冬至正月癸酉朔 应闰丙辰四十六年十一月戊戌朔甲辰日午正一刻二分内四十一秒冬至正月丁酉朔丁巳四十七年十一月壬辰朔己酉日酉正初刻十分内五十一秒冬至正月壬辰朔戊午四十八年十一月丁亥朔乙夘日子正初刻四分内一秒冬至 前汉志惠公即位四十六年子隠公息姑立凡伯禽至春秋三百八十六年隠公元年上距伐纣四百岁今推此年应闰三月闰月乙夘朔四月乙酉朔申初交小满己未四十九年十一月辛亥朔庚申日夘初三刻十二分内一十一秒冬至正月庚戌朔 鲁隠公元年春秋正月建寅巳详首卷此纪周正而附鲁十二公于厯年之下以便考但春秋每年十一月十二月事皆在下年岁首阅者勿误经考夏五月郑伯克段于鄢传五月辛丑太叔出奔共今推辛丑六月二十四日冬十月庚申改葬惠公今推庚申十一月十五日庚申五十年十一月丙午朔乙丑日午初三刻五分内二十一秒冬至正月乙巳朔 隠公二年经秋八月庚辰公及戎盟于唐月九日是月壬申朔三十日辛丑丑初交秋分闰八月壬寅朔九月辛未朔巳初交霜降杜注庚辰七月九日非是辛酉五十一年十一月庚午朔酉初二刻十三分内三十一秒冬至正月己巳朔 经十有二月乙夘夫人子氏薨月十七日是月二日庚子寅初交大寒此闰八月之明据隠公三年经二月己巳日有食之不书朔今推己巳未正月朔其日酉正交雨水三月庚戌天王崩本二月十三日是月二日己亥戌初交春分夏四月辛夘尹氏卒本五月二十五日是月六日壬申酉正交夏至秋武氏子来求赙八月庚辰宋公和卒本七月十六日是月十一日乙亥午初交处暑以上月误说见下年桓王(平王孙在位二十三年)壬戌元年十一月甲子朔乙亥夜子初二刻六分内四十一秒冬至正月癸亥朔 经冬十有二月齐侯郑伯盟于石门癸未葬宋穆公本十一月二十日是月十二日乙亥冬至传冬齐郑盟于石门庚戌郑伯之车偾于济十二月十八日也杜注十二月无庚戌非是隠公四年经春王二月莒人伐杞取牟娄戊申衞州吁弑其君完月十七日是月十四日己巳丑初交春分杜注三月十七日非是盖上年经文己巳日食由传写者误王正月为王二月故读者由己巳月朔推之移庚戌辛夘以下诸日皆后一月以相从此说虽无所考证但自姜岌及授时诸厯皆云是岁三月己巳朔加时在昼交分入食限彼所称三月就杜氏长厯周正改十月言之即建寅之月也况前有十二月乙夘后有十二月庚戌二月戊申具见于经传本足以为证据杜氏长厯于未入春秋前即阙一闰以就隠元年传之五月辛丑十月庚申故隠二年失八月庚辰乃于其年十二月后置闰以就三年之二月己巳以下诸日可谓巧矣究之前失八月庚辰后失十二月庚戌及二月戊申未为得之也窃谓闰余成岁古今常法在春秋时旧说相传固有失闰之事然必求诸经传月日置闰则不合失闰则皆合乃不得已以失闰推之设前后月日置闰既有合有离失闰仍有合有离此必日月之误非闗置闰之失与其移闰曲就使连年累月中凡日之合者不合者节气皆违于月分何若如法置闰使合者既可得月分之正而偶有不合者因可察其传写之误乎癸亥二年十一月戊午朔辛巳日夘初一刻十四分内五十一秒冬至正月丁巳朔 隠公五年今推得五月乙夘朔二十九日癸未夘初交夏至应闰五月而失之自此年为始延及庄王六年二十八年中全失两闰详见后甲子三年十一月壬子朔十二月辛巳朔丙戌日午初一刻八分内一秒冬至正月辛亥朔 经冬十有二月辛巳公子𫸩卒朔日也是月六日丙戌交冬至隠公六年经夏五月辛酉公㑹齐侯盟于艾月十二日是月八日丁巳丑正交小满此上年失闰五月之据乙丑四年十一月丙午朔十二月丙子朔辛夘日酉初一刻一分内一十一秒冬至正月丙午朔 隠公七年传秋宋及郑平七月庚申盟于宿月十八日是月二十三日乙丑寅正交大暑丙寅五年十一月辛丑朔十二月庚午朔丙申夜子初初刻九分内二十一秒冬至闰十二月庚子朔正月己巳朔 传十二月陈五父如郑涖盟壬申及郑伯盟月三日辛巳郑良佐及陈侯盟月十二日是月二十七日丙申冬至此皆前失闰之据盖补闰在十二月后隠公八年经三月郑伯来归祊庚寅我入祊月二十三日是月二十九日丙申未初交谷雨此十二月后已补闰之据但此年应闰三月置闰则闰月戊戌朔七日甲辰十四日辛亥十七日甲寅传四月甲辰郑公子忽如陈逆妇妫辛亥以妫氏归甲寅入于郑是以闰月为四月也经六月己亥蔡侯考父卒月二日辛亥宿男卒月十五日是月二日戊戌夜子初交夏至秋七月庚午宋公齐侯衞侯盟于瓦屋月四日其日巳正交大暑九月辛夘公及莒人盟于浮来月二十六日是月七日壬申未初交秋分又传称秋盟于瓦屋以释东门之役八月丙戌郑伯以齐人朝王杜注七月有庚午九月有辛夘八月不得有丙戌今推七月四日庚午盟瓦屋二十日丙戌朝王后人混加八月字耳盖经传中类此者多矣丁夘六年十一月乙丑朔十二月甲午朔壬寅日夘初初刻二分内三十一秒冬至正月甲子朔 隠公九年经三月癸酉大雨震电庚辰大雨雪今推是月九日辛未夘正交春分十一日癸酉十八日庚辰二十四日丙戌午初交清明其纪异已详首卷以上皆上年失闰三月之据盖补闰在十月后戊辰七年十一月己丑朔丁未日巳正三刻十分内四十一秒冬至正月戊子朔 传十一月甲寅郑人大败戎师月二十六日是月十九日丁未冬至此十月后补闰之据隠公十年经王二月公㑹齐侯郑伯于中丘传王正月公㑹齐侯郑伯于中丘癸丑盟于邓为师期杜注癸丑正月二十六日今同盖经文月误与前隠公三年己巳日食相似六月壬戌公败宋师于菅月七日也传于夏五月之后称六月戊申公㑹齐侯郑伯于老桃杜注戊申五月二十三日今同盖传文六月当如经在壬戌上而缮传者误移于戊申上耳传八月壬戌郑伯围戴月九日也九月戊寅郑伯入宋杜注戊寅八月二十四日盖九月字亦后人所混加耳此年应闰八月置闰则九月癸丑朔辰正交霜降二十六日得戊寅三十日得壬午经书冬十月壬午齐人郑人入郕是失闰八月故以九月为十月而戊寅不得有九月矣己巳八年十一月癸未朔十二月壬子朔申正三刻三分内五十一秒冬至正月壬午朔 隠公十一年传五月甲辰授兵于大宫月二十五日是月四日癸未辰正交小满经秋七月壬午公及齐侯郑伯入许月四日是月八日丙戌寅正交大暑传十月壬戌郑伯大败宋师月十五日是月十一日戊午未正交霜降庚午九年十一月丁丑朔十二月丙午朔丁巳日亥正二刻十二分内一秒冬至正月丙子朔 经十有一月壬辰公薨月十六日是月十二日戊子巳初交小雪桓公元年经夏四月丁未公及郑伯盟于越月三日是月十三日丁己未初交谷雨以上皆上年失闰八月之据盖闰在此年十月后如前例辛未十年十一月辛丑朔癸亥日寅正二刻五分内一十一秒冬至正月庚子朔 桓公二年经春王正月戊申宋督弑其君与夷月九日是月二十三日壬戌夘初交雨水此十月后已补闰之据夏四月取郜大鼎于宋戊申纳于太庙杜注戊申五月十日今同是月二十七日乙丑寅正交夏至应闰六月而失之若如法置闰得二百一十二章壬申十一年十一月乙未朔十二月乙丑朔戊辰日巳正一刻十三分内二十一秒冬至正月乙未朔 桓公三年经于春正月不书王自此年始讫于庄王二年今推自此年以后失闰浸甚至庄王四年以后乃连年补置之详具于后经秋七月壬辰朔日有食之既是月十日辛丑初交大暑癸酉十二年十一月庚寅朔十二月庚申朔癸酉日申正一刻六分内三十一秒冬至正月己丑朔 桓公四年经阙秋冬盖此年亦闰十月如前例但推闰月甲申朔是月二十六日己酉巳正交小雪则中气已在月尾后闰即至而乃闰是全阙一闰必无以定四时而成岁故特阙秋冬以著其失甲戌十三年十一月甲寅朔戊寅日亥正初刻十四分内四十一秒冬至正月癸丑朔 桓公五年经正月甲戌己丑陈侯鲍卒今推甲戌正月二十二日己丑二月七日此十月后已补一闰之据杜注甲戌前年十二月二十一日己丑此年正月六日是正月前亦不置闰失尤甚矣再推此年五月三十日庚辰亥正交夏至应闰五月而仍失之置闰则自乙巳年至此十一闰又一纪乙亥十四年十一月戊申朔十二月戊寅朔甲申日寅正初刻七分内五十一秒冬至正月戊申朔 桓公六年经秋八月壬午大阅月八日是月十四日戊子亥初交处暑九月丁夘子同生二十四日是月十六日己未酉正交秋分丙子十五年十一月癸夘朔十二月壬申朔己丑日巳正初刻一分内一秒冬至日躔在牛五度之五分正月壬寅朔 桓公七年经春二月己亥焚咸正月二十八日是月十七日戊子巳正交雨水以上皆前失闰五月之据盖亦此年闰十月如前例今推闰月丁酉朔二十九日乙丑寅初交小雪后闰又至而乃闰经所以再阙秋冬也丁丑十六年十一月丁夘朔甲子日申初二刻九分内一十一秒冬至正月丙寅朔 桓公八年经春正月己夘烝月十四日是月二十八日癸巳申正交雨水应闰五月而先之夏五月丁丑烝月十三日是月乙丑朔辰初交小满此失闰三月之据冬十月雨雪是月九日庚子未初方交霜降不宜雨雪戊寅十七年十一月辛酉朔十二月辛夘朔己亥日亥初三刻二分内二十一秒冬至正月庚申朔 桓公九年己夘十八年十一月乙夘朔十二月乙酉朔乙巳日寅初二刻十分内三十一秒冬至正月甲寅朔 桓公十年经春王正月庚申曹伯终生卒月七日是月二十一日甲戌未初交大寒孟陬殄灭正非其正矣又推八月辛巳朔二十九日己酉亥初交处暑已失一闰又值再闰而再失之时非其时矣蛊极必饬受之以临故正月书王以示意欤庚辰十九年十一月己酉朔十二月己夘朔闰十二月己酉朔庚戌日巳初二刻三分内四十一秒冬至正月戊寅朔 经冬十有二月丙午齐侯衞侯郑伯来战于郎月二十八日是月二日庚辰亥初交小雪此再失闰之据盖补闰在此十二月后桓公十一年经夏五月癸未郑伯寤生卒月八日是月六日辛巳子正交小满传九月丁亥昭公奔衞月十四日己亥厉公立月二十六日是月十二日乙酉夜子初交秋分此皆已补一闰仍失一闰之据辛巳二十年十一月癸酉朔十二月壬寅朔乙夘日申初一刻十一分内五十一秒冬至正月壬申朔 桓公十二年经夏六月壬寅公㑹杞侯莒子盟于曲池月三日是月十八日丁巳申初交夏至秋七月丁亥公㑹宋公燕人盟于谷丘月十九日是月二十一日己丑丑正交大暑八月壬辰陈侯跃卒杜注壬辰七月二十三日今推七月丁亥后五日得壬辰盖八月字当在下公㑹宋公于虚之上壬午二十一年十一月丁夘朔十二月丁酉朔庚申日亥初一刻五分内一秒冬至闰十二月正月丙申朔经十有一月丙戌公㑹郑伯盟于武父月二十日是月二十五日辛夘巳初交小雪十有二月及郑师伐宋丁未战于宋月十一日二十四日庚申冬至以上皆仍失一闰之据盖补闰在十二月后桓公十三年经春二月公㑹纪侯郑伯己巳及齐侯宋公衞侯燕人战月五日是月二十五日己丑亥正交春分此十二月后再补一闰之据本年应闰五月而仍失之癸未二十二年十一月辛夘朔十二月辛酉朔丙寅日寅初初刻十三分内一十一秒冬至正月辛夘朔桓公十四年经秋八月壬申御廪灾月十六日乙亥尝十九日是月十四日庚午戌正交处暑甲申二十三年十一月丙戌朔十二月丙辰朔辛未日巳初初刻六分内二十一秒冬至正月乙酉朔 经十有二月丁巳齐侯禄父卒月二日十六日辛未冬至桓公十五年经三月乙未天王崩月十一日是月十六日庚子巳正交春分夏四月己巳葬齐僖公月十六日是月十七日庚午夜子初交谷雨传六月乙亥昭公入月二十三日是月二十一日癸酉巳初交夏至以上皆前失闰五月之据庄王(桓王子在位十五年)乙酉元年十一月庚辰朔十二月庚戌朔丙子日未正三刻十四分内三十一秒冬至闰十二月己夘朔正月己酉朔 自前六月乙亥与下年正月丙辰相接推之其中必有闰盖亦闰十二月如前例桓公十六年推得正月二十七日乙亥申初交雨水应闰四月而仍失之丙戌二年十一月甲辰朔十二月甲戌朔辛巳日戌正三刻七分内四十一秒冬至正月癸夘朔 桓公十七年经春正月丙辰公㑹齐侯纪侯盟于黄月十四日是月九日辛亥夘正交大寒二月丙午公㑹邾仪父盟于趡杜注丙午三月四日今同夏五月丙午及齐师战于奚月五日是月十一日壬子午正交小满即此可证前二月丙午当为三月六月丁丑蔡侯封人卒月七日是月十三日癸未亥初交夏至秋八月癸巳葬蔡桓侯月二十四日是月十七日丙戌未正交处暑传冬十月辛夘髙渠弥弑昭公月二十三日是月十九日丁亥酉正交霜降丁亥三年十一月己亥朔十二月己巳朔丁亥日丑正二刻十五分内五十一秒冬至正月戊戌朔 桓公十八年经夏四月丙子公薨于齐月十日是月二十日丙戌酉初交谷雨丁酉公之丧至自齐杜注五月一日今同传七月戊戌齐人杀子亹月三日是月二十五日未正交大暑以上皆庄王元年失闰三月之据今推此年九月甲午朔二十九日壬戌申正交秋分已全失一闰又应闰八月而再失之戊子四年十一月癸巳朔十二月壬戌朔正月壬辰朔辰正二刻九分内一秒冬至 经冬十有二月己丑葬我君桓公月二十八日是月壬戌朔戌正交小雪庄公元年经冬十月乙亥陈侯林卒月十八日是月十日丁夘亥正交秋分此前再失闰八月之据己丑五年十一月丁亥朔十二月丁巳朔闰十二月丙戌朔丁酉日未正二刻二分内一十一秒冬至正月丙辰朔 上有冬十月乙亥下年有冬十二月乙酉相接推之其中必有闰莫知何月故亦如前例于十二月后置之但冬至在闰十二月十二日仍失一闰未补庄公二年庚寅六年十一月辛亥朔十二月辛巳朔壬寅日戌正一刻十分内二十一秒冬至闰十二月辛亥朔正月庚辰朔 经冬十有二月乙酉宋公冯卒月五日是月二十二日壬寅交冬至此上年十二月后已补一闰仍失一闰之据但以此月乙酉与下年六月乙丑相接推之其中必有闰莫知何月故亦如前例于此月后置之庄公三年今推得六月戊申朔二十九日丙子辰初交大暑应闰六月而又失之若以下年闰六月补之得二百一十三章辛夘七年十一月乙亥朔十二月乙巳朔戊申日丑正一刻三分内三十一秒冬至正月甲戌朔 庄公四年经六月乙丑齐侯葬纪伯姬月二十四日是月九日庚戌丑正交夏至此上年失闰六月之据盖于此年六月后补之自此至僖王季年闰法不大差失凡如法置闰而前后月日合者皆不复引载惟经传明纪晦朔及月日偶有不合或置闰偶有前却者则表出之壬辰八年十一月己亥朔癸丑日辰正初刻十一分内四十一秒冬至正月己亥朔 庄公五年癸巳九年十一月甲午朔戊午日未正初刻四分内五十一秒冬至正月癸巳朔 庄公六年应闰四月甲午十年十一月戊午朔癸亥日戌初三刻十三分内一秒冬至正月丁巳朔 庄公七年乙未十一年十一月壬子朔己巳日丑初三刻六分内一十一秒冬至正月辛亥朔 庄公八年经春王正月师次于郎以俟陈人蔡人甲午治兵今推甲午二月十四日杜氏因于正月前增闰以就之窃谓经文于一事连两月者其书日而不月往往有之如桓公二年夏四月取郜大鼎于宋戊申纳于太庙戊申五月十日而不月十八年夏四月丙子公薨于齐丁酉公之丧至自齐丁酉五月一日而亦不月皆与此同岂得添闰以就之丙申十二年十一月丁未朔甲戌日辰初二刻十四分内二十一秒冬至正月丙午朔 经冬十有一月癸未齐无知弑其君诸儿传冬十二月齐侯游于姑棼遂田于贝丘反贼遂弑之而立无知今推癸未十二月七日是月二十七日癸夘酉初交大寒以传为证则是写经者讹二为一耳杜氏长厯于上年正月前增闰以就甲午故讥传误不可从也庄公九年应闰三月丁酉十三年十一月辛未朔己夘日未初二刻七分内三十一秒冬至正月庚午朔 庄公十年戊戌十四年十一月乙丑朔甲申日戌初一刻十五分内四十一秒冬至正月甲子朔 庄公十一年应闰七月己亥十五年十一月己丑朔庚寅日丑初一刻八分内五十一秒冬至正月戊子朔 庄公十二年经秋八月甲午宋万弑其君捷及其大夫仇牧冬十月宋万出奔陈今推甲午九月十一日盖经文月误万十月出奔亦可据杜氏移上年闰七月于此年八月后以就之似不可从僖王(庄王子在位五年)庚子元年十一月癸未朔乙未日辰初一刻二分内一秒冬至正月壬午朔 庄公十三年辛丑二年十一月戊寅朔庚子日未初初刻十分内一十一秒冬至正月丁丑朔 庄公十四年应闰六月壬寅三年十一月壬寅朔乙巳日戌初初刻三分内二十一秒冬至正月辛丑朔 庄公十五年癸夘四年十一月丙申朔辛亥日子正三刻十一分内三十一秒冬至正月乙未朔 庄公十六年甲辰五年十一月庚寅朔丙辰日夘正三刻四分内四十一秒冬至正月已丑朔 庄公十七年应闰四月自乙亥年至此十一闰又一纪惠王(僖王子在位二十五年)乙巳元年十一月甲寅朔辛酉日午正二刻十二分内五十一秒冬至正月癸丑朔 庄公十八年经王三月日有食之不书朔日今推三月朔得壬子大衍授时诸厯皆云五月壬子朔入食限殆就杜氏长厯以周正改月数言之耳丙午二年十一月戊申朔丙寅日酉正二刻六分内一秒冬至正月丁未朔 庄公十九年传夏六月庚申楚子卒今推庚申五月十六日传文或系月误但自惠王元年至十九年应得七闰如法置闰则经传月日多不相符必早闰数月甚或早一年有余庶几可合即后例前此年本应闰九月而误置于五月后故六月十七日得庚申是月二十八日辛未午正交处暑由是壬寅日辰正秋分在七月二十九日壬申申正霜降在八月三十日至壬寅午正小雪乃在十月朔旦盖置闰先时似与失闰有间然后时则冬入于春先时则春来于冬其失一也当是时王室有子頺之乱则正朔乖宜殆有由欤丁未三年十一月壬申朔子正一刻十四分内一十一秒冬至正月辛未朔 庄公二十年戊申四年十一月丁夘朔丁丑日夘正一刻七分内二十一秒冬至正月丙寅朔 庄公二十一年置闰应在下年六月后然此年四月后无闰则经书五月辛酉七月戊戌及下年正月癸丑皆不合姑如杜氏长厯置之经夏五月辛酉郑伯突卒月二十九日是月十八日庚戌酉初交大暑秋七月戊戌夫人姜氏薨月七日是月二十日壬子戌正交秋分己酉五年十一月辛夘朔上年十月壬午日午正初刻十五分内三十一秒冬至正月庚寅朔 庄公二十二年经春王正月癸丑葬我小君文姜月二十四日是月二十二日辛亥未初交春分以上皆上年闰四月之据秋七月丙申及齐髙傒盟于防月九日如法置闰则此月当作闰七月八月丁巳朔二日戊午丑正交秋分此闰得二百二十四章庚戌六年十一月乙酉朔丁亥日酉正初刻八分内四十一秒冬至正月乙酉朔 庄公二十三年辛亥七年十一月庚辰朔癸巳日子正初刻一分内五十一秒冬至正月己夘朔 经十有二月甲寅公㑹齐侯盟于扈月六日是月十四日壬戌巳正交大寒庄公二十四年此年七月后必不得有闰然不闰七月则与经书八月丁丑戊寅及下年五月癸丑皆不合姑倣长厯置之经八月丁丑夫人姜氏入月三日戊寅大夫宗妇觌用币是月二十四日戊戌亥初交霜降此早闰七月之据壬子八年十一月甲辰朔前十月戊戌日夘初三刻十分内一秒冬至正月癸夘朔 庄公二十五年经夏五月癸丑衞侯朔卒月十三日今推是年四月二十九日庚子夘正交夏至此五月实是闰月六月辛未朔酉初交大暑经六月辛未朔日有食之鼓用牲于社传曰非常也唯正月之朔慝未作日有食之于是乎用币于社伐鼓于朝盖是日既交大暑二隂已生故传明其非正阳之月其说已见首卷癸丑九年十一月戊戌朔癸夘日午初三刻三分内一十一秒冬至正月戊戌朔 庄公二十六年甲寅十年十一月癸巳朔戊申日酉初二刻十一分内二十一秒冬至正月壬辰朔 经冬十有二月癸亥朔日百食之庄公二十七年乙夘十一年十一月丁亥朔癸丑夜子初二刻四分内三十一秒冬至正月丙戌朔 庄公二十八年经三月甲寅齐人伐衞晦日也先日癸丑未初交谷雨应闰三月四月甲申朔未正交小满经夏四月丁未邾子琐卒月二十四日此闰合法而最有据故特表之丙辰十二年十一月辛亥朔己未日夘初一刻十二分内四十一秒冬至正月庚戌朔 庄公二十九年丁巳十三年十一月乙巳朔甲子日午初一刻五分内五十一秒冬至正月甲辰朔 庄公三十年应闰七月传夏四月丙辰虢公入樊执樊仲皮今推丙辰五月十五日自闰七月后八月庚子朔丑初交秋分经八月癸亥葬纪叔姬月二十四日也九月庚午朔日有食之是日巳初交霜降戊午十四年十一月己巳朔旦酉初初刻十四分内一秒冬至正月戊辰朔 庄公三十一年己未十五年十一月癸亥朔甲戌夜子初初刻七分内一十一秒冬至正月壬戌朔 庄公三十二年今推六月庚寅朔十九日戊申己正交大暑此年必不得闰六月然不置闰则经书七月癸巳八月癸亥十月己未皆不合姑倣杜氏长厯置之经秋七月癸巳公子牙卒月五日是月二十二日庚戌未初交秋分八月癸亥公薨于路寝月六日是月二十三日庚辰戌正交霜降冬十月己未子般卒月三日是月二十四日庚辰寅正交冬至庚申十六年十一月丁亥朔前十月内庚辰日寅正三刻十五分内二十一秒冬至正月丙戌朔 闵公元年移上闰于此年应闰五月六月癸丑朔申正交大暑经六日辛酉葬我君庄公九日也辛酉十七年十一月壬午朔乙酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至正月辛巳朔 闵公二年经夏五月乙酉吉禘于庄公月七日是月九日丁亥午初交夏至此年必不得闰六月经书秋八月辛丑七月二十四日说见后壬戌十八年十一月丙子朔庚寅日申正三刻一分内四十一秒冬至正月乙亥朔 僖公元年经秋七月戊辰夫人姜氏薨于夷八月二十七日是月二十五日丙寅夘正交秋分冬十月壬子公子友败莒师于郦十一月十二日其月二十六日乙未亥正交冬至见下年首月癸亥十九年十一月辛未朔乙未日亥正二刻九分内五十一秒冬至正月己巳朔 经十有二月丁巳夫人氏之丧至自齐月十八日僖公二年夏五月辛巳葬我小君哀姜月十五日由此推之于前七月无戊辰十月无壬午设于闵二年五月乙酉后添闰六月则其年八月辛丑僖元年七月戊辰十月壬午皆可合而十二月无丁巳五月无辛巳是添闰曲就虽得三仍失二故今不从杜氏此年应闰四月而闰五月小误耳甲子二十年十一月甲午朔辛丑日寅正二刻三分内一秒冬至正月癸巳朔 僖公三年乙丑二十一年十一月戊子朔丙午日巳正一刻十一分内一十一秒冬至正月丁亥朔 僖公四年应闰九月丙寅二十二年十一月辛亥朔日申正一刻四分内二十一秒冬至正月辛亥朔 僖公五年传春王正月辛亥朔日南至今推至日得辛亥与传合但传不系四年冬而称五年王正月乃分传附经者移就周正而为之其说已见首卷经九月戊申朔日有食之丁夘二十三年十一月丙午朔丙辰日亥正初刻十二分内三十一秒冬至正月丙午朔 僖公六年戊辰二十四年十一月辛丑朔壬戌日寅正初刻五分内四十一秒冬至正月庚子朔 僖公七年应闰七月传闰月惠王崩本在经秋七月盟于宁母之下而传叙管仲对齐侯之言终以冬郑伯使请盟于齐乃叙闰月事是闰月在冬也此闰二百一十五章己巳二十五年十二月乙丑朔丁夘日巳初三刻十三分内五十一秒冬至正月甲子朔 僖公八年襄王(惠王子在位三十三年)庚午元年十一月己未朔壬申日申初三刻七分内一秒冬至正月戊午朔 僖公九年经秋七月乙酉伯姬卒盖晦日辛未二年十一月甲寅朔丁丑日亥初二刻十五分内一十一秒冬至正月癸丑朔 僖公十年应闰五月壬申三年十一月丁丑朔癸未日寅初二刻八分内二十一秒冬至正月丁丑朔 僖公十一年癸酉四年十一月辛未朔戊子日巳初二刻一分内三十一秒冬至正月辛未朔 僖公十二年经三月庚午日有食之不书朔甲戌五年十一月丙寅朔癸巳日申初一刻九分内四十一秒冬至闰十一月丙申朔正月乙未朔 冬至在十一月二十八日不宜月后置闰当时盖闰十一月经冬十有二月丁丑陈侯杵臼卒月十三日是月二十八日壬辰申正交雨水此早闰十一月之据后代厯家用平气推算其置闰多类此僖公十三年于法应闰三月乙亥六年十一月庚寅朔戊戌日亥初一刻二分内五十一秒冬至正月庚寅朔 僖公十四年经秋八月辛夘沙鹿崩今推八月十一日得丁夘九月六日得辛夘日月未知孰误杜氏于八月前增闰以就之但僖公十二年不早闰十一月则十二月无丁丑如已置闰此年八月前安得又闰耶丙子七年十一月乙酉朔甲辰日寅初初刻十一分内一秒冬至正月甲申朔 僖公十五年经夏五月日有食之不书朔日大衍授时皆推得四月癸丑朔入食限今推四月得癸丑朔殆官失朔日而月亦讹耶此年应闰八月九月庚戌朔子正交霜降经九月己夘晦震夷伯之庙月三十日今推己夘日戌正交小雪宜作十月朔意者误置大建耶然置闰后适值大月而中气前在朔后在晦者秋末冬间节气既短往往有之若用平气则免此然未得节气之真也十月震庙不宁不令甚矣丁丑八年十一月己酉朔日巳初初刻四分内一十一秒冬至正月戊申朔 僖公十六年经春王正月戊申朔陨石于宋五戊寅九年十一月癸夘朔甲寅日未正三刻十二分内二十一秒冬至正月壬寅朔 僖公十七年己夘十年十一月丁酉朔己未日戌正三刻五分内三十一秒冬至正月丙申朔 僖公十八年应闰五月闰月十六日得戊寅经五月戊寅宋师及齐师战于甗是先以五月为闰四月而以闰月为五月小失也秋八月丁亥葬齐桓公杜注八月无丁亥今推八月二十日得辛亥丁亥七月二十六日庚辰十一年十一月辛酉朔乙丑日丑正二刻十三分内四十一秒冬至正月庚申朔 僖公十九年辛巳十二年十一月丙辰朔庚午日辰正二刻六分内五十一秒冬至正月乙夘朔 僖公二十年经五月乙巳西宫灾今推五月十六日得己巳无乙巳壬午十三年十一月庚戌朔乙亥日未正一刻十五分内一秒冬至正月己酉朔 僖公二十一年应闰四月癸未十四年十一月甲戌朔庚辰日戌正一刻八分内一十一秒冬至正月癸酉朔 僖公二十二年甲申十五年十一月己巳朔丙戌日丑正二刻一分内二十一秒冬至正月戊辰朔 经冬十有一月己巳朔宋公及楚人战于泓僖公二十三年乙酉十六年十一月癸亥朔辛夘日辰正初刻九分内三十一秒冬至正月壬戌朔 僖公二十四年此年二月壬辰朔二十九日庚申巳初交春分应闰二月闰月辛酉朔三月庚寅朔亥正交谷雨传三月晋侯潜㑹秦伯于王城己丑晦公宫火是以闰月为三月而三月为闰月也其三月十五日乙亥未正交清明传称介之推隠而死文公以緜上为之田殆在斯时此西河旧俗为子推寒食所由来乎说具首卷丙戌十七年十一月丁亥朔丙申日未正初刻二分内四十一秒冬至正月丙戌朔 僖公二十五年丁亥十八年十一月辛己朔辛丑日戌初三刻十分内五十一秒冬至正月庚辰朔 僖公二十六年经王正月己未公㑹莒子衞宁速盟于向今推正月十六日得乙未己未二月十日应闰七月二百一十六章全史日至源流卷十九
## 卷二十
钦定四库全书全史日至源流卷二十山东道御史许伯政撰壬子运二十(每期三百六十五日二时七刻七分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分四秒一十微小寒十四日八时四刻四分五十四秒一十微大寒十四日九时一刻十分九秒一十微立春十四日十时一刻六分九秒一十微雨水十四日十一时三刻四分九秒一十微惊蛰十五日零七刻零四秒一十微春分十五日二时三刻八分五十四秒一十微清明十五日四时零七分五十四秒一十微谷雨十五日五时四刻七分五十九秒一十微立夏十五日六时七刻零四秒一十微小满十五日八时零二分五十九秒一十微芒种十五日八时三刻十分四秒一十微夏至十五日八时七刻零四秒一十微小暑十五日八时五刻三分四秒一十微大暑十五日八时零八分四秒一十微立秋十五日七时零一十一分四秒一十微处暑十五日五时六刻六分四秒一十微白露十五日四时三刻九分九秒一十微秋分十五日二时四刻一十一分一十四秒一十微寒露十五日一时一刻八分九秒一十微霜降十四日十一时五刻五分四秒一十微立冬十四日十时二刻一十一分一十四秒一十微小雪十四日九时二刻一十二分九秒一十微大雪十四日八时五刻十分四秒一十微戊子十九年十一日乙巳朔丁未日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在牛四度之五分正月甲辰朔 僖公二十七年经秋八月乙未葬齐孝公月二十六日乙巳公子遂帅师入杞杜注乙巳九月六日今同己丑二十年十一月己亥朔壬子日辰初二刻十一分内五十一秒冬至正月戊戌朔 僖公二十八年经冬天王狩于河阳壬申公朝于王所杜注壬申十月十日今在九日其有日无月盖与乙巳入杞同传五月癸亥宜遵经作癸丑庚寅二十一年十一月癸巳朔丁巳日未初二刻四分内四十一秒冬至正月癸巳朔 僖公二十九年应闰五月辛夘二十二年十一月丁巳朔壬戌日戌初一刻十二分内三十一秒冬至正月丙辰朔 僖公三十年经秋晋人秦人围郑传九月甲午晋侯秦伯围郑今推甲午八月十二日壬辰二十三年十一月壬子朔戊辰日丑初一刻五分内二十一秒冬至正月辛亥朔 僖公三十一年癸巳二十四年十一月丙午朔癸酉日辰初初刻十三分内一十一秒冬至正月乙巳朔 僖公三十二年应闰三月置闰则闰月甲戌朔十五日戊子辰正交立夏次日得己丑经夏四月己丑郑伯捷卒是以闰三月为四月其失闰明矣以四月己丑与十二月相接推之经有己夘传有庚辰则十二月以前无闰又明矣春秋失闰孟陬殄灭莫甚于桓王之世及庄王之初次则惠王时置闰每失之过早自惠王二十一年闰九月之后特纪辛亥朔日南至于传盖幸其反正也届此将三十年皆未失闰而此复失之然则文公元年传详举先王正时之法盖讥此年失闰三月之非礼其示人之意最著明矣乃分传附经者不察移置彼年改为闰三月非礼妄甚矣说见后甲午二十五年十一月辛丑朔十二月庚午朔戊寅日未初初刻六分内一秒冬至正月庚子朔 经冬十有二月己夘晋侯重耳卒月十日传庚辰将殡于曲沃是月九日戊寅冬至僖公三十三年经夏四月辛巳晋人及姜戎败秦师于殽月十三日癸巳葬晋文公二十五日是月十日戊寅寅初交谷雨传八月戊子晋侯败狄于箕月二十二日是月十七日癸未夘正交处暑以上皆上年失闰三月之明据盖补闰在此八月后乙未二十六年十一月甲子朔癸未日酉正三刻十三分内五十一秒冬至正月癸亥朔 经十有二月公至自齐乙巳公薨于小寝月十二日是月二十日癸丑夘初交大寒此八月后已补闰之明据杜注乙巳十一月十二日非是文公元年经王正月公即位二月癸亥日有食之自姜岌暨大衍授时诸厯皆云文公九年三月癸亥朔入食限据此是缮经者讹三月为二月盖与隠公三年己巳日食讹王正月为王二月襄公二十七年乙亥日食讹十一月为十二月正相类也分传附经者知癸亥日食必系朔日而不察其月误又见传称五月辛酉朔晋师围戚又见经书夏四月丁巳葬我君僖公在四月二十六日遂指为闰三月之确据因而移传讥癸巳岁失闰三月之非礼者故为讥此年闰三月之非礼杜氏为之说曰于厯法闰当在僖公末年误于今年三月置闰盖时达厯者所讥夫不于末年讥其失闰而于今年讥其补闰既非情理矣况本传称履端于始举正于中归余于终之定法推之僖公三十二年应闰三月而失之故补闰于末年八月后若僖之末年法不应闰天行有常达厯者所共知非杜氏所能迁就也且此年本应闰八月如法置闰则闰月庚申朔九月己丑朔交霜降十九日得丁未经书冬十月丁未楚世子商臣弑其君𫖳是置闰迟在十月后甚明也设谓十月后无闰则下年经书二月甲子丁丑三月乙巳四月己巳八月丁夘皆不合如十月后已置闰春闰三月冬闰十月果当时实事有之乎抑后人率臆言之乎读者自当察之丙申二十七年十一月戊子朔己丑日子正三刻六分内四十一秒冬至正月丁亥朔 文公二年经春王二月甲子晋及秦战于彭衙月八日丁丑作僖公主二十一日三月乙巳及晋处父盟月十九日传夏四月己巳晋人使阳处父盟公以耻之月十四自经八月丁夘大事于太庙跻僖公月十三日此皆上年十月后已置闰之明据则其无先闰三月之事可知已丁酉二十八年十一月癸未朔甲午日夘正二刻十四分内三十一秒冬至正月辛巳朔 文公三年戊戌二十九年十一月丙子朔己亥日午正一刻七分内二十一秒冬至正月乙亥朔 文公四年应闰六月己亥三十年十一月庚子朔甲辰日酉正一刻十五分内一十一秒冬至正月己亥朔 文公五年庚子三十一年十一月甲午朔庚戌日子正一刻八分内一秒冬至正月癸巳朔 文公六年法应下年闰四月经于十月后书闰月不告朔盖以十一月为闰月也据见后辛丑三十二年闰月己丑朔乙夘日夘正初刻十五分内五十一秒冬至正月丁巳朔 传十一月丙寅晋杀续简伯月九日寔十二月文公七年壬寅三十三年十一月壬子朔庚申日午正初刻八分内四十一秒冬至正月壬子朔 文公八年顷王(襄王子在位六年)癸夘元年十一月丁未朔乙丑日酉正初刻一分内三十一秒冬至正月丙午朔 文公九年应闰八月乙亥年至此十一闰又一纪缩一年下起甲辰经九月癸酉地震月三日甲辰二年十一月庚午朔夜子初三刻九分内二十一秒冬至正月庚午朔 文公十年乙巳三年十一月乙丑朔丙子日夘初三刻二分内一十一秒冬至正月甲子朔 文公十一年按襄公三十年传绛县老人曰臣生之岁正月甲子朔盖指此年丙午四年十一月庚申朔辛巳日午初二刻十分内一秒冬至正月己未朔 文公十二年应闰六月二百一十七章丁未五年十一月甲申朔丙戌日酉初二刻二分内五十一秒冬至正月癸未朔 文公十三年戊申六年十一月己夘朔辛夘日夜子初一刻十分内四十一秒冬至正月戊寅朔 经十有二月己丑公及晋侯盟杜注己丑十一月十一日文公十四年传秋七月乙夘夜齐商人弑舎而让元杜注七月无乙夘今并同匡王(顷王子在位六年)己酉元年十一月癸酉朔丁酉日夘初一刻三分内三十一秒冬至正月癸酉朔 文公十五年经六月辛丑朔日有食之应闰五月而闰六月庚戌二年十一月戊戌朔壬寅日午初初刻十一分内二十一秒冬至正月丁酉朔 文公十六年辛亥三年十一月辛夘朔丁未日酉初初刻四分内一十一秒冬至正月庚寅朔 文公十七年壬子四年十一月乙酉朔壬子日亥正三刻十二分内一秒冬至正月甲申朔 文公十八年应闰三月而闰六月癸丑五年十一月己酉朔戊午日寅正三刻四分内五十一秒冬至戊申朔 宣公元年甲寅六年十一月甲辰朔癸亥日巳正二刻十二分内四十一秒冬至正月癸夘朔 宣公二年经王二月壬子宋华元郑归生帅师战于大棘今推壬子三月十一日此年应闰八月置闰则闰月庚子朔二十六日乙丑九月己巳朔辰正交霜降四日壬申七日乙亥经书秋九月乙丑晋赵盾弑其君夷臯传逆公子黑臀于周而立之壬申朝于武宫经冬十月乙亥天王崩是以闰八月为九月九月为冬十月而十月为闰月也定王(匡王弟在位二十一年)乙夘元年十一月戊辰朔日申正三刻五分内三十一秒冬至正月丁夘朔 宣公三年经冬十月丙戌郑伯兰卒传冬郑穆公卒不月今推丙戌十一月二十五日丙辰二年十一月壬戌朔癸酉日亥正一刻十三分内二十一秒冬至正月辛酉朔 宣公四年经夏六月乙酉郑公子归生弑其君夷今推六月二十一日得己酉无乙酉传秋七月戊戌楚子与若敖氏战于臯浒今推戊戌八月十一日杜氏长厯移文公十八年闰六月于宣公元年二月后以就二月壬子再移宣公二年闰十月于此年七月后以就宣公三年之十月丙戌及此年之六月乙酉七月戊戌今不从之丁巳三年十一月丙辰朔己夘日寅正一刻六分内一十一秒冬至正月乙夘朔 宣公五年应闰五月戊午四年十一月庚辰朔甲申日巳正初刻十四分内一秒冬至正月己夘朔 宣公六年己未五年十一月甲戌朔己丑日申正初刻六分内五十一秒冬至正月甲戌朔 宣公七年庚申六年十一月己巳朔甲午日亥初三刻十四分内四十一秒冬至正月戊辰朔 宣公八年应闰四月经秋七月甲子日有食之既杜注月三十日食今同盖本八月朔而七月误置大建耳观经不书朔亦可见之但杜氏于文公十五年闰六月后阅六年至宣公二年乃闰二月又自宣公四年闰七月后至此年四月前五年中遂得三闰何其踈密之相悬若此谓宣公四年至此止置一闰则七月无甲子晦如竟不置闰则司厯再失闰当于此年甲子日食讥之何待五十六年后至襄公二十七年十一月乙亥日食始误之耶如法推筭其谬自见辛酉七年十一月癸巳朔庚子日寅初三刻七分内三十一秒冬至正月壬辰朔 宣公九年经辛酉晋侯黑臀卒于扈在九月㑹扈及伐陈后杜注九月无辛酉今同壬戌八年十一月戊子朔乙巳日巳初二刻十五分内二十一秒冬至正月丁亥朔 宣公十年经夏四月丙辰日食不书朔癸亥九年十一月壬午朔庚戌日申初二刻八分内一十一秒冬至正月辛巳朔 宣公十一年应闰二月经冬十月丁亥楚子入陈月十二日此闰二月之据甲子十年十一月丙午朔乙夘日亥初二刻一分内一秒冬至正月乙巳朔 宣公十二年经夏六月乙夘晋荀林父帅师及楚子战于邲传丙辰楚师重至于邲今推乙夘五月十三日冬十有二月戊寅楚子灭萧月九日杜注十一月九日盖杜于六月前增一闰则以七月为六月而得乙夘丙辰既得乙夘必失戊寅然此年于法必不宜置闰与其增闰以就乙夘丙辰何若如法不闰而得戊寅乎乙丑十一年十一月庚子朔辛酉日寅初一刻八分内五十一秒冬至正月己亥朔 宣公十三年应闰七月二百一十八章丙寅十二年十一月甲子朔丙寅日巳初一刻一分内四十一秒冬至正月癸亥朔 宣公十四年丁夘十三年十一月戊午朔辛未日申初初刻九分内三十一秒冬至正月丁巳朔 宣公十五年戊辰十四年十一月壬子朔丙子日亥初初刻二分内二十一秒冬至正月辛亥朔 宣公十六年经春王正月晋人灭赤狄甲氏及留吁传三月献狄俘晋侯请于王戊申以黻冕命士㑹将中军今推戊申二月二十八日应闰五月而闰二月己巳十五年十一月丙子朔壬午日丑正三刻十分内一十一秒冬至正月乙亥朔 宣公十七年经王正月庚子许男锡我卒月二十六日丁未蔡侯申卒杜注二月四日今在三日六月癸夘日有食之不书朔庚午十六年十一月辛未朔丁亥日辰正三刻三分内一秒冬至正月庚午朔 宣公十八年辛未十七年十一月乙丑朔壬辰日未正二刻十分内五十一秒冬至正月甲子朔 成公元年应闰三月壬申十八年十一月己丑朔丁酉日戌正二刻三分内四十一秒冬至正月戊子朔 成公二年经夏四月丙戌衞孙良夫帅师及齐师战于新筑四月晦日也杜注五月一日八月壬午宋公鲍卒月二十八日庚寅衞侯速卒杜注九月七日今同癸酉十九年十一月癸未朔癸夘日丑正一刻十一分内三十一秒冬至正月壬午朔 成公三年应闰七月甲辰年至此十一闰为一纪下起甲戌甲戌二十年十一月丙午朔戊申日辰正一刻四分内二十一秒冬至正月丙午朔 经冬十有一月丙午及荀庚盟月一日丁未及孙良夫盟月二日传十二日甲戌晋作六军今推甲戌十一月二十九日杜不闰七月故以十月作十一月却丙午丁未于月终以合经十二月戊申朔二十七日得甲戌以合传可谓巧矣成公四年经三月壬申郑伯坚卒月二十八日杜注二月二十八日夏四月甲寅臧孙许卒今推甲寅五月十一日杜仍不置闰故在四月然移闰曲就仍然此合后离何若如法置闰之为正乎乙亥二十一年十一月辛丑朔癸丑日未正初刻十二分内一十一秒冬至正月庚子朔 成公五年简王(定王子在位十四年)丙子元年十一月丙申朔戊午日戌正初刻五分内一秒冬至正月乙未朔 成公六年应闰六月丁丑二年十一月庚申朔甲子日丑初三刻十二分内五十一秒冬至正月己未朔 成公七年经八月戊辰同盟于马陵今推戊辰九月十三日戊寅三年十一月乙夘朔己巳日辰初三刻五分内四十一秒冬至正月甲寅朔 成公八年己夘四年十一月己酉朔甲戌日未初二刻十三分内三十一秒冬至正月戊申朔 成公九年应闰四月闰月丁未朔五月丙子朔未正交夏至经秋七月丙子齐侯无野卒月二日杜注丙子六月一日縁应闰四月而杜不闰故以五月为六月耳庚辰五年十一月癸酉朔己夘日戌初二刻六分内二十一秒冬至正月壬申朔 经冬十有一月葬齐顷公楚公子婴齐帅师伐莒庚申莒溃传冬十一月戊申楚入渠丘庚申莒溃杜注戊申六日庚申十八日今推十二月六日得戊申十八日得庚申縁杜移闰四月于十一月后以就庚申兼就经书城中丘于闰月故传曰书时但后得庚申前失丙子何若如法置闰之为正乎杜必就城中丘于闰月者彼以十一月为今之九月置闰于十一月后则立冬在闰月中旬庶于土功为得时耳成公十年经夏五月丙午晋侯獳卒传六月丙午晋侯欲麦杜注据传丙午六月七日经有日无月今同窃谓经之庚申莒溃其有日无月亦类此耳辛巳六年十一月丁夘朔乙酉日丑初一刻十四分内一十一秒冬至正月丙寅朔 成公十一年壬午七年十一月辛酉朔庚寅日辰初一刻七分内一秒冬至正月庚申朔 成公十二年应闰二月如法置闰则闰月庚申朔三月己丑朔亥初交谷雨四月二日庚申亥正交小满五日得癸亥传夏五月晋士夑㑹楚公子罢许偃癸亥盟于宋西门之外是以闰二月为三月故以四月为五月而五月为闰月也癸未八年十一月乙酉朔乙未日未初初刻十四分内五十一秒冬至正月甲申朔 成公十三年传夏四月戊午晋侯使吕相绝秦月七日是月十五日丙寅寅正交小满此上年五月后已置闰之据甲申九年十一月己夘朔庚子日戌初初刻七分内四十一秒冬至正月戊寅朔 成公十四年应闰七月八月二日丙子巳初交秋分二十四日得戊戌传八月郑子罕伐许败焉戊戌郑伯复伐许庚子入其郛此闰七月之明据二百一十九章乙酉十年十一月癸夘朔丙午日子正三刻十五分内三十一秒冬至正月壬寅朔 成公十五年丙戌十一年十一月戊戌朔辛亥日夘正三刻八分内二十一秒冬至正月丁酉朔 成公十六年经六月丙寅朔日有食之甲午晦晋侯及楚子郑伯战于鄢陵是月十九日甲申酉正交大暑丁亥十二年十一月癸巳朔丙辰日午正三刻一分内一十一秒冬至正月壬辰朔 成公十七年应闰五月置闰则闰月庚申朔二十六日得乙酉经六月乙酉同盟于柯陵是以闰五月为六月也九月辛丑用郊月十四日是月五日壬辰丑正交秋分传冬诸侯伐郑十月庚午围郑月十三日是月五日壬戌巳正交霜降戊子十三年十一月丁亥朔十二月丁巳朔辛酉日酉正二刻九分内一秒冬至闰十二月正月丙辰朔经十有一月公至自伐郑壬申公孙婴齐卒于貍脤杜注十一月无壬申今同十有二月丁巳朔日有食之是月五日辛酉冬至此上年失闰五月之据传闰月乙夘晦栾书中行偃杀胥童成公十八年经春王正月庚申晋弑其君州蒲月五日是日戌初交雨水传甲申晦齐侯使士华免以戈杀国佐于内宫之朝二月乙酉朔晋悼公即位于朝今推是月六日庚寅戌正交春分此已补闰之明据则自此至襄公二十七年并无再失闰之事详见于后己丑十四年十一月辛亥朔丁夘日子正二刻一分内五十一秒冬至正月庚戌朔 襄公元年经王正月公即位继书仲孙蔑㑹晋栾黡宋华元衞宁殖曹人莒人邾人滕人薛人围宋彭城传春己亥围宋彭城今推己亥二月二十日传以己亥系春而不系月史无此例明是中脱二月字而误置于下文齐太子光为质于晋之上杜注正月无己亥日误非也灵王(简王子在位二十七年)庚寅元年十一月乙巳朔壬申日夘正一刻九分内四十一秒冬至正月甲辰朔 襄公二年应闰三月四月壬寅朔亥初交小满五月三日甲戌夘正交夏至十九日庚寅经夏五月庚寅夫人姜氏薨此闰三月之明据六月庚辰郑伯㫻卒传秋七月庚辰郑伯㫻卒杜注庚辰七月九日今在十日辛夘二年十一月己巳朔丁丑日午正一刻二分内三十一秒冬至正月戊辰朔 襄公三年经六月公㑹单子晋侯宋公衞侯郑伯莒子邾子齐世子光己未同盟于鸡泽月二十四日陈侯使袁侨如㑹戊寅叔孙豹及诸侯之大夫及陈袁侨盟传秋及陈袁侨盟杜注戊寅七月十三日今同此亦经之有日无月者非误也壬辰三年十一月癸亥朔壬午日酉正初刻十分内二十一秒冬至正月壬戌朔 襄公四年经春王三月己酉陈侯午卒杜注三月无己酉今同应闰八月癸巳四年十一月丁亥朔戊子日子正初刻三分内一十一秒冬至正月丙戌朔 襄公五年传九月丙午盟于戚月二十五日是月十二日癸巳亥初交霜降必上年八月后已置闰乃合甲午五年十一月辛巳朔癸巳日夘初三刻十一分内一秒冬至正月庚辰朔 襄公六年乙未六年十一月丙子朔戊戌日午初三刻三分内五十一秒冬至正月乙亥朔 经十有二月齐侯灭莱传十一月丙辰而灭之今推丙辰十二月十二日是月二十三日丁夘亥初交大寒襄公七年应闰六月如法置闰则七月壬寅朔二日癸夘夘初交处暑九月辛丑朔四日甲辰巳初交霜降二十二日得壬戌经冬十月壬戌及孙林父盟是失闰六月故以九月为十月而十月为闰月也丙申七年十一月庚子朔癸夘日酉初二刻十一分内四十一秒冬至正月己亥朔 经十有二月㑹于鄬郑伯髠顽如㑹未见诸侯丙戌卒于鄵月十七日是月四日癸酉寅初交大寒此十月后已置闰之明据襄公八年丁酉八年十一月乙未朔戊申日夜子初二刻四分内三十一秒冬至正月甲午朔 襄公九年戊戌九年十一月己丑朔甲寅日夘初一刻十二分内二十一秒冬至正月戊子朔 经冬公㑹伐郑十有二月己亥同盟于戏杜注十二月无己亥传十一月己亥同盟于戏今推己亥十一月十一日盖经月误传十二月癸亥门其三门闰月戊寅济于隂阪杜注癸亥月五日戊寅二十日闰月当为门五日极是襄公十年应闰四月置闰则闰月丁亥朔四日庚寅八日甲午经夏五月甲午遂灭偪阳传庚寅攻偪阳是以闰月为五月也传六月庚午楚子围宋月十五日是月丙辰朔夘初交夏至七月围萧八月丙寅克之月十二日是月四日戊午夜子初交处暑九月己酉师于牛首月二十五日是月五日己丑戌初交秋分冬十月戊辰尉止帅贼晨攻执政于西宫之朝月十五日是月七日庚申寅初交霜降己亥十年十一月甲申朔闰十一月癸丑朔己未日午初一刻五分内一十一秒冬至正月壬子朔 传十一月己亥与楚师夹颍而军月十六日以上皆失闰四月之据盖补闰在此十一月后襄公十一年传四月诸侯伐郑己亥齐太子光宋向戌先至于郑月十九日是月十日庚寅丑正交小满此十一月后已补闰之明据庚子十一年十一月丁未朔甲子日酉初初刻十三分内一秒冬至日躔在牛三度之五分正月丙午朔襄公十二年辛丑十二年十一月辛丑朔己巳日夜子初初刻五分内五十一秒冬至正月庚子朔 襄公十三年应闰二月经秋九月庚辰楚子审卒月十五日是月十日乙亥戌正交霜降此二月后已置闰之明据壬寅十三年十一月乙丑朔乙亥日寅正三刻十三分内四十一秒冬至正月乙丑朔 襄公十四年经二月乙未朔日有食之癸夘十四年十一月庚申朔庚辰日巳正三刻六分内三十一秒冬至正月己未朔 襄公十五年经秋八月丁巳日有食之不书朔杜注丁巳七月一日今同此与隠公三年己巳日食讹王正月为王二月正同类是月二十九日乙酉寅正交处暑应闰七月而失之置闰得二百二十章甲戌年至此十一闰又一纪甲辰十五年十一月甲寅朔十二月甲申朔乙酉日申正二刻十四分内二十一秒冬至正月癸丑朔 经冬十有一月癸亥晋侯周卒月十日是月三日丙辰寅正交小雪襄公十六年经三月㑹于溴梁戊寅大夫盟月二十六日是月二日甲寅酉正交春分五月甲子地震月十三日是月五日丙辰辰正交小满传六月次于棫林庚寅伐许月十日是月七日丁亥酉初交夏至此皆上年失闰七月之明据盖补闰在六月后乙巳十六年十一月戊寅朔庚寅日亥正二刻七分内一十一秒冬至正月戊寅朔 襄公十七年经春王二月庚午邾子牼卒月二十四日是月十四日庚申子正交春分此上年六月后已补闰之明据丙午十七年十一月癸酉朔丙申日寅正一刻十五分内一秒冬至正月壬申朔 襄公十八年应闰五月而失之传冬十月㑹于鲁济同伐齐丙寅晦齐师夜遁是月五日壬寅丑正交霜降丁未十八年十一月丁夘朔十二月丁酉朔辛丑日巳正一刻七分内五十一秒冬至正月丙寅朔 传十一月丁夘朔入平隂是月五日辛未亥正交小雪十二月戊戌及秦周伐雍门之萩月二日五日卒丑冬至襄公十九年传夏五月壬辰晦齐灵公卒是月九日壬申丑初交小满经秋七月辛夘齐侯环卒月二十九日是月十二日甲戌亥初交大暑八月丙辰仲孙蔑卒月二十四日是月十四日丙午寅正交处暑以上皆上年失闰五月之据盖补闰在八月后戊申十九年十一月辛夘朔丙午日申正初刻十五分内四十一秒冬至正月庚寅朔 襄公二十年经春王正月辛亥仲孙速㑹莒人盟于向月二十二日是月十六日乙巳酉初交雨水此上年八月后已补闰之据冬十月丙辰朔日有食之己酉二十年十一月乙酉朔辛亥日亥正初刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔 襄公二十一年应闰四月经九月庚戌朔日有食之传冬十月庚辰朔日有食之此四月后已置闰之明据庚戌二十一年十一月己酉朔丁巳日寅正初刻一分内二十一秒冬至正月戊申朔 襄公二十二年辛亥二十二年十一月甲辰朔壬戌日巳初三刻九分内一十一秒冬至正月癸夘朔 传十二月郑游昄将如晋未出竟遭逆妻者夺之丁巳其夫攻子明杀之杜注丁巳十一月十四日今同襄公二十三年经春王二月癸酉朔日有食之应闰九月置闰则闰月己巳朔七日乙亥经冬十月乙亥臧孙纥出奔邾是以闰月为十月而十月为闰月也壬子二十三年十一月丁夘朔日申初三刻二分内一秒冬至正月丙寅朔 襄公二十四年经秋七月甲子朔日有食之既八月癸巳朔日有食之此上年十月后已置闰之明据癸丑二十四年十一月壬戌朔壬申日亥初二刻九分内五十一秒冬至正月辛酉朔 襄公二十五年经秋八月己巳诸侯同盟于重丘传秋七月己巳同盟于重丘杜注己巳七月十一日今同甲寅二十五年十一月丙辰朔戊寅日寅初二刻二分内四十一秒冬至正月乙夘朔 襄公二十六年传郑伯赏入陈之功三月甲寅朔享子展是月二十四日丁丑酉初交谷雨应闰六月如法置闰则闰月癸丑朔七月壬午朔亥初交处暑经八月壬午许男宁卒于楚是失闰六月故以七月为八月也乙夘二十六年十一月辛亥朔十二月庚辰朔癸未日巳初一刻十分内三十一秒冬至闰十二月正月己夘朔 传楚子伐郑十二月乙酉入南里月六日此失闰六月之明据盖补闰在十二月后襄公二十七年传五月甲辰晋赵武至于宋月二十八日丙午郑良霄至月三十日是月九日乙酉巳初交夏至六月丁未朔宋人享赵文子此前十二月后已补闰之明据盖自文公十一年至此中得二十六闰未尝阙一也丙辰二十七年十一月乙亥朔戊子日申初一刻三分内二十一秒冬至正月甲戌朔 经冬十有二月乙亥朔日有食之传十一月乙亥朔日有食之辰在申司厯过也再失闰矣杜注今长歴推乙亥十一月朔非十二月姜岌授时诸厯皆云十一月乙亥朔交分入食限则经文讹一为二明矣按昭公七年传曰日月之㑹是谓辰即日行一岁所厯十二躔次以日食言之即夏书所谓辰弗集于房也然则传云辰在申言日月之㑹在申时耳凡司厯推筭日食必加时在昼乃预详其日应食之时刻以诏救䕶毋或先时后时致于失误今推乙亥日食在大雪节内日入申正二刻虽食不见而当时司厯者以为日月之㑹在申故讥其过若七月虽斗建在申而日月合朔或尚值大暑中气或已交立秋初气皆躔鹑火之次于辰在午若以岁差推之其时七月合朔日躔所值于宿在轸皆与斗杓指申无渉设乙亥日食果系七月合朔当称建在申何以称辰在申盖再失闰矣四字乃解传者所妄注非传之本文杜氏信之抑又妄矣襄公二十八年景王(灵王子在位二十五年)丁巳元年十一月己巳朔癸巳日亥初初刻十一分内一十一秒冬至正月己巳朔 传十二月乙亥朔齐人迁庄公殡于大寝经十有二月甲寅天王崩乙未楚子昭卒杜注十二月戊戌朔乙亥误十二月无乙未今推传前称十一月乙亥尝于太公之庙月七日也则十二月必无乙亥朔盖己亥讹为乙亥而非戊戌朔明矣甲寅十二月十六日后五日己未经文乙未亦己未之讹盖乙与已形音皆相近故易讹写耳襄公二十九年经夏五月庚午衞侯衎卒月五日二十九日乙未亥初交夏至应闰九月经秋九月齐髙止出奔北燕传乙未出月一日也六日己亥酉正交霜降此五月后已置闰之据戊午二年十一月癸巳朔己亥日寅初初刻四分内一秒冬至正月壬辰朔 襄公三十年传夏四月己亥郑伯及其大夫盟今推四月十五日得乙亥经五月甲午宋灾月四日己亥九日己未三年十一月丁亥朔甲辰日辰正三刻十一分内五十一秒冬至正月丙戌朔 襄公三十一年庚申四年十一月辛巳朔己酉日未正三刻四分内四十一秒冬至正月庚辰朔 昭公元年传春楚公子围聘于郑且娶于公孙段氏正月乙未入逆而出月十六日是月二十九日戊申申初二刻交雨水应闰二月如法置闰则闰月庚辰朔二十五日得甲辰传三月甲辰盟是以闰月为三月也经六月丁巳邾子华卒月十日是月七日癸未丑正交夏至此失闰二月之据盖闰在六月后辛酉五年十一月甲辰朔甲寅日戌正二刻十二分内三十一秒冬至正月甲辰朔 经冬十有一月己酉楚子麇卒传冬楚公子围将聘于郑未出竟闻王有疾而还十一月己酉入问王疾缢而弑之月六日也此六月后已补闰之据杜注十二月六日非是附传十二月晋既烝赵孟适南阳甲辰朔烝于温庚戌卒今推十一月甲辰朔六日己酉七日庚戌盖此传别叙晋事其追纪晋既烝本系于十月浅人见其附讹于十一月后循次混改为十二月而杜氏不察宁舎传与经合之十一月己酉而特阙前闰以就甲辰朔于十二月谬已昭公二年壬戌六年十一月己亥朔庚申日丑正二刻五分内二十一秒冬至正月戊戌朔 昭公三年应闰七月二百二十一章癸亥七年十一月癸亥朔乙丑日辰正一刻十三分内一十一秒冬至正月壬戌朔 昭公四年传六月丙午楚子合诸侯于申月十七日是月九日戊戌戌初交大暑此上年七月后巳闰之据秋七月楚子使屈申围朱方八月甲申克之杜注八月无甲申今推甲申七月二十六日八月字衍甲子八年十一月戊午朔庚午日未正一刻六分内一秒冬至正月丁巳朔 昭公五年乙丑九年十一月壬子朔乙亥日戌正初刻十三分内五十一秒冬至正月辛亥朔 昭公六年七年传铸刑书之岁二月或梦伯有介而行曰壬子余将杀带也杜注壬子六年三月三日今同是月二十六日乙亥已正交榖雨应闰六月今推六月己夘朔八日丙戌传六月丙戌郑灾周时火以建未之月见午位故曰火见郑其火也丙寅十年十一月丙子朔辛巳日丑正初刻六分内四十一秒冬至正月丙子朔 昭公七年经春正月暨齐平传齐求之也癸巳齐侯次于虢月十八日是月四日庚辰丑正交雨水此上年六月后巳置闰之据夏四月甲辰朔日有食之丁夘十一年十一月辛未朔丙戌日辰初三刻十四分内三十一秒冬至正月庚午朔 昭公八年经冬十月壬午楚师灭陈传冬十一月壬午灭陈今推壬午十一月十八日见下年杜注十月十八日非是检推此年前后月日自见戊辰十二年十一月乙丑朔辛夘日未初三刻七分内二十一秒冬至正月甲子朔 昭公九年传二月庚申楚公子弃疾迁许于夷实城父月二十七日是日申初交春分应闰三月己巳十三年十一月己丑朔丙申日戌初二刻十五分内一十一秒冬至正月戊子朔 昭公十年传五月庚辰战于稷今推庚辰四月二十五日经七月戊子晋侯彪卒月四日是月十七日辛丑未初交处暑此可证上年三月后巳置闰且推此年正月戊子朔传称正月有星出于婺女郑禆灶言于子产曰七月戊子晋君将死尤可证戊子在七月而五月无庚辰也庚午十四年十一月癸未朔壬寅日丑初二刻八分内一秒冬至正月壬午朔 昭公十一年经九月己亥葬我小君齐归月二十一日是月二十九日丁未夜子初交霜降应闰十月置闰则闰月戊寅朔二十日得丁酉经冬十有一月丁酉楚师灭蔡是以闰月为十一月而闰在十一月后也见下年辛未十五年十一月戊寅朔闰十一月丁未朔日辰初一刻十五分内五十一秒冬至正月丙午朔 昭公十二年经三月壬申郑伯嘉卒月二十八日是月二日丙午亥初交谷雨此十一月后巳闰之据传冬十月壬申朔原舆人逐绞而立公子跪寻壬申十六年十一月辛丑朔壬子日未初一刻八分内四十一秒冬至正月庚子朔 昭公十三年癸酉十七年十一月丙申朔丁巳日戌初一刻一分内三十一秒冬至正月乙未朔 昭公十四年推得是年六月癸亥朔二十九日辛夘夘正交大暑应闰六月自甲辰年至此十一闰又一纪传九月甲午楚子杀鬭成然月四日先日癸巳已初交秋分盖失闰也甲戌十八年十一月庚寅朔十二月庚申朔癸亥日丑初初刻九分内二十一秒冬至正月己丑朔 昭公十五年经二月癸酉有事于武宫月十五日是月四日壬戌丑初交雨水六月丁巳朔日有食之大衍厯五月丁巳朔食失一闰今推是月九日乙丑丑初交夏至传秋八月戊寅王穆后崩月二十三日是月十二日丁夘酉正交处暑此皆上年失闰六月之据盖补闰在八月后乙亥十九年十一月甲寅朔戊辰日辰初初刻二分内一十一秒冬至正月癸丑朔 昭公十六年传二月丙申齐师至于蒲隧月十四日次日丁酉辰正交春分此上年八月后巳补闰之据丙子二十年十一月戊申朔癸酉日午正三刻十分内一秒冬至正月丁未朔 昭公十七年应闰四月如法置闰则闰月乙巳朔五月甲戌朔二日乙亥未初交夏至经夏六月甲戌朔日有食之是以闰四月为五月以五月为六月而日食尚在至前故传称祝史请所用币曰在此月也日过分而未至可见王朝颁朔虽闰不如法而当时列国太史未尝不推筭节气而知之也传九月丁夘晋荀吴帅师涉自棘津月二十五日是月七日己酉寅初交秋分此皆失闰四月之据盖闰在十月后丁丑二十一年十一月壬申朔戊寅日酉正三刻二分内五十一秒冬至正月辛未朔 昭公十八年传春王二月乙夘周毛得杀毛伯过月十五日是月七日丁未戌正交春分此上年十月后巳补闰之据戊寅二十二年十一月丁夘朔甲申日子正二刻十分内四十一秒冬至正月丙寅朔 昭公十九年己夘二十三年十一月辛酉朔己丑日夘正二刻三分内三十一秒冬至正月庚申朔 昭公二十年传王二月己丑日南至今推至日得己丑与传合但己丑冬至在十一月二十九日乃分传附经者以正月为建子又见传闰月在八月后知为失闰妄移己丑日南至属之王二月耳盖此年应闰三月而失之传六月丙辰衞侯在平寿丁己晦公入与北宫喜盟于彭水之上是月三日辛夘夘正交夏至秋七月戊午朔遂盟国人八月辛亥公子朝出奔晋月二十五日闰月戊辰杀宣姜月十二日是月八日甲子戌正交秋分庚辰二十四年十一月乙酉朔甲午日午正一刻十一分内二十一秒冬至正月甲申朔 昭公二十一年经秋七月壬午朔日有食之辛巳二十五年十一月己夘朔己亥日酉正一刻四分内一十一秒冬至正月戊寅朔 昭公二十二年经夏四月乙丑天王崩月十九日是月二十四日庚午已初交小满传四月王田北山乙丑崩于荣锜氏与经合经六月叔鞅如京师葬景王王室乱传六月丁巳葬景王王子朝与灵景之族作乱丁巳六月十二日亦与经合但是月二十八日癸酉夘初交大暑应闰七月得二百二十二章如法置闰则闰月乙巳朔十七日辛酉传八月辛酉司徒丑以王师败绩于前城是以闰七月为八月而闰在八月后也乃分传附经者妄移闰月于十二月后以致八月前传与经合八月后传与经异如经书秋刘子单子以王猛入于王城而称传冬十月丁巳纳于王城今推丁巳九月十四日经书冬十月王子猛卒而传称十一月乙酉王子猛卒今推乙酉十月十二日余见下年敬王(王子猛弟在位四十四年)壬午元年十一月癸夘朔乙巳日子正初刻十二分内一秒冬至正月壬寅朔 经十有二月癸酉朔日有食之授时厯是月癸酉朔加时在昼交分入食限杜预以长厯推之当为癸夘非是此未察杜氏之误由于作伪者妄移闰月于后盖传称十二月庚戌晋籍谈帅师军于隂本十一月八日闰月辛丑伐京本十二月二十九日今遵经改正读者审之昭公二十三年传春王正月壬寅朔二师围郊七月戊辰晦战于鸡父癸未二年十一月丁酉朔庚戌日夘正初刻四分内五十一秒冬至正月丙申朔 昭公二十四年经夏五月乙未朔日有食之秋八月大雩丁酉杞伯郁厘卒杜注丁酉九月五日今同甲申三年十一月壬辰朔乙夘日午初三刻十二分内四十一秒冬至正月辛夘朔 昭公二十五年推得是年六月三十日戊子夜子初交大暑应闰六月而失之经九月己亥公孙于齐月十二日是月四日辛夘丑正交秋分冬十月戊辰叔孙婼卒乙酉四年十一月丙戌朔十二月丙辰朔庚申日酉初三刻五分内三十一秒冬至闰十二月正月乙夘朔经十有一月己亥宋公佐卒于曲棘月十四日是月六日辛夘夘初交小雪传十二月庚辰齐侯围郓月二十五日是月五日庚申冬至以上皆失闰六月之据盖闰在十二月后昭公二十六年传王正月庚申齐侯取郓月六日先日巳未酉正交雨水此十二月后巳补闰之据丙戌五年十一月庚戌朔乙丑日夜子初二刻十三分内二十一秒冬至正月己酉朔 昭公二十七年丁亥六年十一月甲辰朔辛未日夘初二刻六分内一十一秒冬至正月癸夘朔 昭公二十八年经夏四月丙戌郑伯宁卒月十五日是月三十日辛丑戌正交小满应闰四月秋七月癸巳滕子宁卒月二十四日是月六日乙亥夜子初交处暑此闰四月之据戊子七年十一月戊辰朔丙子日午初一刻十四分内一秒冬至正月丁夘朔 昭公二十九年己丑八年十一月癸亥朔辛巳日酉初一刻六分内五十一秒冬至正月壬戌朔 昭公三十年推得是年应闰九月五月庚申朔二十一日庚辰二十四日癸未酉初交夏至经夏六月庚辰晋侯去疾卒殆误于五月后置闰故以七月为六月欤抑或夏六月即夏五月之讹欤此当阙疑庚寅九年十一月丙戌朔夜子初初刻十四分内四十一秒冬至正月丙戌朔 传冬十二月己夘吴灭徐月二十四日是月丙辰朔已初交大寒此五月后巳置闰之明据昭公三十一年辛夘十年十一月辛巳朔壬辰日夘初初刻七分内三十一秒冬至正月庚辰朔 经十有二月辛亥朔日有食之昭公三十二年壬辰十一年十一月乙亥朔丁酉日巳正三刻十五分内二十一秒冬至正月甲戌朔 定公元年经夏六月癸亥公之丧至自干侯月二十二日是月二十九日庚午亥正交大暑应闰六月如法置闰则闰月壬申朔二十二日癸巳经秋七月癸巳葬我君昭公是失闰也癸巳十二年十一月庚午朔十二月己亥朔壬寅日申正三刻八分内一十二秒冬至正月己巳朔 定公二年传夏四月辛酉巩氏之群子弟贼简公月二十四日是月五日壬寅辰初交谷雨经夏五月壬辰雉门及两观灾月二十六日是月七日癸酉辰正交小满此皆上年失闰六月之据盖补闰在五月后甲午十三年十一月甲午朔丁未日亥正三刻一分内一秒冬至正月癸巳朔 定公三年经二月辛夘邾子穿卒月二十九日是月十五日丁丑子正交春分此上年五月后巳补闰之据乙未十四年十一月戊子朔癸丑日寅正二刻八分内五十一秒冬至正月丁亥朔 定公四年经春王二月癸巳陈侯吴卒杜注癸巳正月七日今同夏四月庚辰蔡公孙姓帅师灭沈月二十五日是月二十八日癸未戌初交小满应闰四月丙申十五年十一月壬子朔戊午日已正二刻一分内四十一秒冬至正月辛亥朔 经冬十有一月庚午蔡侯以吴子及楚人战于柏举月十九日庚辰吴入郢二十九日是月七日戊午冬至此四月后巳闰之据定公五年经王三月辛亥朔日有食之丁酉十六年十一月丙午朔癸亥日申正一刻九分内三十一秒冬至正月乙巳朔 定公六年戊戌十七年十一月庚子朔戊辰日亥正一刻二分内二十一秒冬至正月庚子朔 定公七年应闰三月而失之己亥十八年十一月乙未朔十二月乙丑朔甲戌日寅正初刻十分内一十一秒冬至正月甲午朔 传冬十一月戊午单子刘子逆王于庆氏月二十四日是月十日甲辰申正交小雪己已王入于王城杜注巳巳十二月五日今同是月十日甲戌寅正交冬至定公八年传二月己丑单子伐谷城月二十六日辛夘伐简城二十八日是月十日癸酉寅正交雨水皆上年失闰三月之据盖补闰在二月后经秋七月戊辰陈侯栁卒月八日是月十八日戊寅亥初交处暑此二月后补闰之据庚子十九年十一月己未朔己夘日已正初刻一分内一秒冬至正月戊午朔 定公九年应闰七月二百二十三章辛丑二十年十一月癸未朔甲申日申初三刻十分内五十一秒冬至正月壬午朔 定公十年壬寅二十一年十一月丁丑朔己丑日亥初三刻三分内四十一秒冬至正月丙子朔 定公十一年癸夘二十二年十一月辛未朔乙未日寅初二刻十一分内三十一秒冬至正月庚午朔 定公十二年应闰五月自甲戌年至此十一闰又一纪经冬十月癸亥公㑹齐侯盟于黄月二十八日是月六日辛丑丑初交霜降是失闰五月也甲辰二十三年十一月丙寅朔闰十一月乙未朔庚子日巳初二刻四分内二十一秒冬至正月甲午朔 经十有一月丙寅朔日有食之授时厯是岁十月丙寅朔加时在昼入食限今推是月五日庚午亥正交小雪此亦失闰五月之据盖补闰在十一月后定公十三年乙巳二十四年十一月庚寅朔乙巳日申初一刻十二分内一十一秒冬至正月己丑朔 传冬十一月丁未荀寅士吉射奔朝歌月十八日十六日乙巳冬至十二月辛未赵鞅入于绛月十三日十七日乙亥丑初交大寒此上年十一月后巳补闰之据定公十四年丙午二十五年十一月甲申朔庚戌日亥初一刻五分内一秒冬至正月癸未朔 定公十五年应闰三月二月癸丑朔三月壬午朔二十日辛丑二十九日庚戌午初交谷雨经二月辛丑楚子灭胡是早闰正月故以三月为二月抑或经文二月即三月之讹未可知也夏五月辛亥郊一日也二日壬子亥初交夏至壬申公薨月二十二日此正月后巳置闰之据八月庚辰朔日有食之九月丁巳葬我君定公月九日辛巳葬定姒杜注十月三日今同丁未二十六年十一月戊申朔丙辰日寅初初刻十二分内五十一秒冬至正月丁未朔 哀公元年戊申二十七年十一月壬寅朔辛酉日巳初初刻五分内四十一秒冬至正月辛丑朔 哀公二年经秋八月甲戌晋赵鞅及郑罕达战于铁月七日二十九日丙申夜子初交秋分应闰八月己酉二十八年十一月丙寅朔日未正三刻十三分内三十一秒冬至正月乙丑朔 哀公三年经夏四月甲午地震月一日五月辛夘桓宫僖宫灾月二十九日此上年闰八月之据庚戌二十九年十一月庚申朔辛未日戌正三刻六分内二十一秒冬至正月庚申朔 哀公四年辛亥三十年十一月乙夘朔丁丑日丑正二刻十四分内一十一秒冬至正月甲寅朔 哀公五年应闰六月经秋九月癸酉齐侯杵臼卒月二十四日是月三日壬子申正交秋分是失闰六月故以八月为九月也冬叔还如齐闰月葬齐景公传秋齐景公卒冬十月公子嘉公子阳生来奔莱人歌之曰景公死乎不与埋盖闰十月壬子三十一年十一月己夘朔壬午日辰正二刻七分内一秒冬至日躔在牛二度之五分正月戊寅朔哀公六年癸丑三十二年十一月癸酉朔丁亥日未正一刻十四分内五十一秒冬至正月壬申朔 哀公七年甲寅三十三年十一月丁夘朔壬辰日戌正一刻七分内四十一秒冬至正月丙寅朔 哀公八年应闰四月乙夘三十四年十一月辛夘朔戊戌日丑正初刻十五分内三十一秒冬至正月辛夘朔 经冬十有二月癸亥杞伯过卒月三日七日丁夘午正交大寒此四月后巳闰之据哀公九年丙辰三十五年十一月丙戌朔癸夘日辰正初刻八分内二十一秒冬至正月乙酉朔 哀公十年丁巳三十六年十一月庚辰朔戊申日未正初刻一分内一十一秒冬至正月己夘朔 哀公十一年应闰二月经五月甲戌齐国书帅师及吴战于艾陵月二十八日是月四日庚戌未正交夏至此二月后巳置闰之明据戊午三十七年十一月甲辰朔癸丑日戌初三刻九分内一秒冬至正月癸夘朔 哀公十二年经夏五月甲辰孟子卒月四日是月十五日乙夘戌正交夏至是岁法不应置闰安有失不置闰之事杜氏长厯何妄也己未三十八年十一月戊戌朔己未日丑初三刻一分内五十一秒冬至正月丁酉朔 传宋向巢伐郑取锡遂围嵒十二月郑罕达救嵒丙申围宋师月二十九日是月二十一日午初交大寒安有火犹西流之事哀公十三年传六月丙子越子伐吴月十二日乙酉战丙戌复战丁亥入吴是月二十八日壬辰未初交大暑秋七月辛丑盟吴晋争先月七日是月二十九日癸亥戌初交处暑应闰七月得二百二十四章杜注前年失闰至此年谬极庚申三十九年十一月壬戌朔甲子日辰初二刻九分内四十一秒冬至正月辛酉朔 哀公十四年经夏四月庚戌叔还卒月二十一日五月庚申朔日有食之是月七日丙寅辰初交夏至传六月甲午齐陈恒弑其君壬于舒州月七日此上年七月后巳置闰之明据辛酉四十年十一月丙辰朔己巳日未初二刻二分内三十一秒冬至正月丙辰朔 哀公十五年壬戌四十一年十一月辛亥朔甲戌日戌初一刻十分内二十一秒冬至正月庚戌朔 哀公十六年传于哀公十五年冬及齐平之下纪蒯瞆入衞事云闰月良夫与太子入舎于孔氏之外圃昏二人蒙衣而乘寺人罗御如孔氏孔氏之老栾宁问之称姻妾以告遂入适伯姬氏今按闰月系冬可也昏系闰月而不日殊为蒙混且经书十有六年春王正月己夘衞世子蒯瞆自戚入于衞夏四月己丑孔丘卒今推己夘正月晦日其月二十四日癸酉戌正交雨水己丑四月十二日其月二十八日乙已已正交小满以节气推之上冬既不应有闰又自哀公十四年五月庚申朔日食与此年正月己夘四月己丑相接推之其间尤不得有闰盖传文自衞孔圉取太子蒯瞆之姊生悝以下乃追叙正月己夘自戚入衞之縁起其闰月即经之王正月昏即己夘晦乘月晦而入故蒙衣而乘称姻妾以告也分传附经者讹王正月为闰月遂移置十五年之冬杜氏不察移己夘于正月朔指己丑为五月十二日谬极矣此年应闰五月六月丁未朔二日戊申夘正交大暑癸亥四十二年十一月乙亥朔庚辰日丑初一刻三分内一十一秒冬至正月甲戌朔 哀公十七年传秋七月己夘楚公孙朝帅师灭陈月九日十四日甲申酉正交处暑此上年五月后巳闰之据甲子四十三年十一月己巳朔乙酉日辰初初刻十一分内一秒冬至正月戊辰朔 哀公十八年乙丑四十四年十一月癸亥朔庚寅日未初初刻三分内五十一秒冬至正月壬戌朔 哀公十九年应闰二月元王(敬王子在位七年)丙寅元年十一月丁亥朔乙未日酉正三刻十一分内四十一秒冬至正月丙戌朔 哀公二十年丁夘二年十一月辛巳朔辛丑日子正三刻四分内三十一秒冬至正月庚辰朔 哀公二十一年应闰八月戊辰三年十一月乙巳朔丙午日夘正二刻十二分内二十一秒冬至正月乙巳朔 哀公二十二年己巳四年十一月庚子朔辛亥日午正二刻五分内一十一秒冬至正月己亥朔 传冬十一月丁夘越灭吴月二十八日此亦二十一年八月后巳闰之据哀公二十三年庚午五年十一月甲午朔丙辰日酉正一刻十三分内一秒冬至正月甲午朔 哀公二十四年应闰六月传夏四月晋侯将伐齐使来乞师其下书闰月公如越辛未六年十一月戊午朔壬戌日子正一刻五分内五十一秒冬至正月戊午朔 哀公二十五年壬申七年十一月癸丑朔丁夘日夘正初刻十三分内四十一秒冬至正月壬子朔 哀公二十六年贞定王(元王子在位二十八年)癸酉元年十一月丁未朔壬申日午正初刻六分内三十一秒冬至正月丙午朔 哀公二十七年传夏四月己亥季康子卒月二十五日二十九日癸夘寅初交小满应闰四月五月甲戌朔午正交夏至七月癸酉朔二日甲戌五日丁丑夘初交处暑传秋八月甲戌公如公孙有陉氏是失闰四月故以七月为八月而闰在八月后矣自甲辰年至此十一闰又一纪甲戌二年十一月辛未朔丁丑日酉初三刻十四分内二十一秒冬至正月庚午朔乙亥三年十一月乙丑朔癸未日夜子初三刻七分内一十一秒冬至正月甲子朔丙子四年十一月己未朔戊子日夘初二刻十五分内一秒冬至正月戊午朔 应闰丁丑五年十一月癸未朔癸巳日午初二刻七分内五十一秒冬至正月壬午朔戊寅六年十一月丁丑朔戊戌日酉初二刻十五分内四十一秒冬至正月丙子朔 应闰二百二十五章己夘七年十一月辛丑朔甲辰日夜子初一刻八分内三十一秒冬至正月庚子朔庚辰八年十一月丙申朔己酉日夘初一刻一分内二十一秒冬至正月乙未朔辛巳九年十一月庚寅朔甲寅日午初初刻九分内一十一秒冬至正月己丑朔 应闰壬午十年十一月甲寅朔己未日酉初初刻二分内一秒冬至正月癸丑朔癸未十一年十一月戊申朔甲子日亥正三刻九分内五十一秒冬至正月丁未朔甲申十二年十一月癸夘朔庚午日寅正三刻二分内四十一秒冬至正月壬寅朔 应闰乙酉十三年十一月丁夘朔乙亥日巳正二刻十分内三十一秒冬至正月丙寅朔丙戌十四年十一月辛酉朔庚辰日申正二刻三分内二十一秒冬至正月庚申朔 应闰丁亥十五年十一月乙酉朔旦亥正一刻十一分内一十一秒冬至正月甲申朔戊子十六年十一月己夘朔辛夘日寅正一刻四分内一秒冬至正月戊寅朔己丑十七年十一月癸酉朔丙申日巳正初刻十一分内五十一秒冬至正月壬申朔 应闰庚寅十八年十一月丁酉朔辛丑日申正初刻四分内四十一秒冬至正月丙申朔辛夘十九年十一月壬辰朔丙午日亥初三刻十二分内三十一秒冬至正月辛夘朔壬辰二十年十一月丙戌朔壬子日寅初三刻五分内二十一秒冬至正月乙酉朔 应闰癸巳二十一年十一月庚戌朔丁巳日巳初二刻十三分内一十一秒冬至正月己酉朔甲午二十二年十一月甲辰朔壬戌日申初二刻六分内一秒冬至正月甲辰朔乙未二十三年十一月己亥朔丁夘日亥初一刻十三分内五十一秒冬至正月戊戌朔 应闰丙申二十四年十一月癸亥朔癸酉日寅初一刻六分内四十一秒冬至正月壬戌朔丁酉二十五年十一月丁巳朔戊寅日巳初初刻十四分内三十一秒冬至正月丙辰朔 应闰二百二十六章戊戌二十六年十一月辛巳朔癸未日申初初刻七分内二十一秒冬至正月庚辰朔己亥二十七年十一月乙亥朔戊子日戌正三刻十五分内一十一秒冬至正月甲戌朔庚子二十八年十一月庚午朔甲午日丑正三刻八分内一秒冬至正月己巳朔 应闰考王(在位十五年)辛丑元年十一月甲午朔己亥日辰正二刻十五分内五十一秒冬至正月癸巳朔壬寅二年十一月戊子朔甲辰日未正二刻八分内四十一秒冬至正月丁亥朔癸夘三年十一月壬午朔己酉日戌正二刻一分内三十一秒冬至正月辛巳朔 应闰自甲戌年至此十一闰又一纪甲辰四年十一月丙午朔乙夘日丑正一刻九分内二十一秒冬至正月乙巳朔乙巳五年十一月庚子朔庚申日辰正一刻二分内一十一秒冬至正月己亥朔 应闰丙午六年十一月甲子朔乙丑日未正初刻十分内一秒冬至正月癸亥朔丁未七年十一月己未朔庚午日戌正初刻二分内五十一秒冬至正月戊午朔戊申八年十一月甲寅朔丙子日丑初三刻十分内四十一秒冬至正月癸丑朔 应闰己酉九年十一月戊寅朔辛巳日辰初三刻三分内三十一秒冬至正月丁丑朔庚戌十年十一月壬申朔丙戌日未初二刻十一分内二十一秒冬至正月辛未朔辛亥十一年十一月丙寅朔辛夘日戌初二刻四分内一十一秒冬至正月乙丑朔 应闰壬子十二年十一月庚寅朔丁酉日丑初一刻十二分内一秒冬至正月己丑朔癸丑十三年十一月甲申朔壬寅日辰初一刻四分内五十一秒冬至正月癸未朔甲寅十四年十一月己夘朔丁未日未初初刻十二分内四十一秒冬至正月戊寅朔乙夘十五年十一月癸夘朔壬子日戌初初刻五分内三十一秒冬至正月壬寅朔威烈王(在位二十四年)丙辰元年十一月丁酉朔戊午日子正三刻十三分内二十一秒冬至正月丙申朔 应闰二百二十七章丁巳二年十一月辛酉朔癸亥日夘正三刻六分内一十一秒冬至正月庚申朔戊午三年十一月乙夘朔戊辰日午正二刻十四分内一秒冬至正月甲寅朔己未四年十一月庚戌朔癸酉日酉正二刻六分内五十一秒冬至正月己酉朔 应闰庚申五年十一月甲戌朔己夘日子正一刻十四分内四十一秒冬至正月癸酉朔辛酉六年十一月戊辰朔甲申日夘正一刻七分内三十一秒冬至正月丁夘朔壬戌七年十一月壬戌朔己丑日午正初刻十五分内二十一秒冬至正月辛酉朔 应闰癸亥八年十一月丙戌朔甲午日酉正初刻八分内一十一秒冬至正月乙酉朔全史日至源流卷二十
## 卷二十一
钦定四库全书全史日至源流卷二十山东道御史许伯政撰壬子运二十一(每期三百六十五日二时七刻七分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分三秒二十微小寒十四日八时四刻四分五十三秒二十微大寒十四日九时一刻十分八秒二十微立春十四日十时一刻六分八秒二十微雨水十四日十一时三刻四分八秒二十微惊蛰十五日零七刻零三秒二十微春分十五日二时三刻八分五十三秒二十微清明十五日四时零七分五十三秒二十微榖雨十五日五时四刻七分五十八秒二十微立夏十五日六时七刻零三秒二十㣲小满十五日八时零二分五十八秒二十微芒种十五日八时三刻十分三秒二十微夏至十五日八时七刻零三秒二十微小暑十五日八时五刻三分三秒二十微大暑十五日八时零八分三秒二十微立秋十五日七时零一十一分三秒二十微处暑十五日五时六刻六分三秒二十微白露十五日四时三刻九分八秒二十微秋分十五日二时四刻一十一分一十三秒二十微寒露十五日一时一刻八分八秒二十微霜降十四日十一时五刻五分三秒二十微立冬十四日十时二刻十一分一十三秒二十微小雪十四日九时二刻一十二分八秒二十微大雪十四日八时五刻十分三秒二十微甲子九年十一月庚辰朔庚子日子正初刻一分内一秒冬至日躔在牛一度之五分正月己夘朔乙丑十年十一月甲辰朔乙巳日夘初三刻八分内三十一秒冬至正月癸夘朔丙寅十一年十一月己亥朔庚戌日午初三刻一分内一秒冬至正月戊戌朔丁夘十二年十一月癸巳朔乙夘日酉初二刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔 应闰戊辰十三年十一月丁巳朔辛酉日夜子初二刻一分内一秒冬至正月丙辰朔己巳十四年十一月辛亥朔丙寅日夘初一刻八分内三十一秒冬至正月庚戌朔庚午十五年十一月丙午朔辛未日午初一刻一分内一秒冬至正月乙巳朔 应闰辛未十六年十一月庚午朔丙子日酉初初刻八分内三十一秒冬至正月己巳朔壬申十七年十一月甲子朔壬午日夜子初初刻一分内一秒冬至正月癸亥朔癸酉十八年十一月戊午朔丁亥日寅正三刻八分内三十一秒冬至正月丁巳朔 应闰甲辰年至此十一闰又一纪甲戌十九年十一月壬午朔壬辰日巳正三刻一分内一秒冬至正月辛巳朔乙亥二十年十一月丁丑朔丁酉日申正二刻八分内三十一秒冬至正月丙子朔 应闰二百二十八章丙子二十一年十一月辛丑朔壬寅日亥正二刻一分内一秒冬至正月庚子朔丁丑二十二年十一月乙未朔戊申日寅正一刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔戊寅二十三年十一月己丑朔癸丑日巳正一刻一分内一秒冬至正月戊子朔 应闰己夘二十四年十一月癸丑朔戊午日申正初刻八分内三十一秒冬至正月壬子朔安王在位二十六年庚辰元年十一月丁未朔癸亥日亥正初刻一分内一秒冬至正月丙午朔辛巳二年十一月壬寅朔己巳日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔 应闰壬午三年十一月丙寅朔甲戌日巳初三刻一分内一秒冬至正月乙丑朔癸未四年十一月庚申朔己夘日申初二刻八分内三十一秒冬至正月己未朔 应闰甲申五年十一月甲申朔旦亥初二刻一分内一秒冬至正月癸未朔乙酉六年十一月戊寅朔庚寅日寅初一刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔丙戌七年十一月壬申朔乙未日巳初一刻一分内一秒冬至正月辛未朔 应闰丁亥八年十一月丙申朔庚子日申初初刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔戊子九年十一月辛夘朔乙巳日亥初初刻一分内一秒冬至正月庚寅朔己丑十年十一月乙酉朔辛亥日丑正三刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔 应闰庚寅十一年十一月己酉朔丙辰日辰正三刻一分内一秒冬至正月戊申朔辛夘十二年十一月甲辰朔辛酉日未正二刻八分内三十一秒冬至正月癸夘朔壬辰十三年十一月戊戌朔丙寅日戌正二刻一分内一秒冬至正月丁酉朔 应闰癸巳十四年十一月壬戌朔壬申日丑正一刻八分内三十一秒冬至正月辛酉朔甲午十五年十一月丙辰朔丁丑日辰正一刻一分内一秒冬至正月乙夘朔 应闰二百二十九章乙未十六年十一月庚辰朔壬午日未正初刻八分内三十一秒冬至正月己夘朔丙申十七年十一月甲戌朔丁亥日戌正初刻一分内一秒冬至正月癸酉朔丁酉十八年十一月己巳朔癸巳日丑初三刻八分内三十一秒冬至正月戊辰朔 应闰史记秦献公元年戊戌十九年十一月癸巳朔戊戌日辰初三刻一分内一秒冬至正月壬辰朔己亥二十年十一月丁亥朔癸夘日未初二刻八分内三十一秒冬至正月丙戌朔庚子二十一年十一月壬午朔戊申日戌初二刻一分内一秒冬至正月辛巳朔 应闰史记正月庚寅秦孝公生辛丑二十二年十一月丙午朔甲寅日丑初一刻八分内三十一秒冬至正月乙巳朔壬寅二十三年十一月庚子朔己未日辰初一刻一分内一秒冬至正月己亥朔 应闰甲戌年至此十一闰缩一年下起癸夘癸夘二十四年十一月甲子朔旦未初初刻八分内三十一秒冬至正月癸亥朔甲辰二十五年十一月戊午朔己巳日戌初初刻一分内一秒冬至正月丁巳朔乙巳二十六年十一月壬子朔乙亥日子正三刻八分内三十一秒冬至正月辛亥朔 应闰烈王在位七年丙午元年十一月丙子朔庚辰日夘正三刻一分内一秒冬至正月乙亥朔丁未二年十一月辛未朔乙酉日午正二刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔戊申三年十一月乙丑朔庚寅日酉正二刻一分内一秒冬至正月甲子朔 应闰己酉四年十一月己丑朔丙申日子正一刻八分内三十一秒冬至正月戊子朔庚戌五年十一月甲申朔辛丑日夘正一刻一分内一秒冬至正月癸未朔辛亥六年十一月戊寅朔丙午日午正初刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔 应闰壬子七年十一月壬寅朔辛亥日酉正初刻一分内一秒冬至正月辛丑朔显王在位四十八年癸丑元年十一月丙申朔丁巳日夜子初三刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔 应闰二百三十章甲寅二年十一月庚申朔壬戌日夘初三刻一分内一秒冬至正月己未朔乙夘三年十一月乙夘朔丁夘日午初二刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔丙辰四年十一月己酉朔壬申日酉初二刻一分内一秒冬至正月戊申朔 应闰丁巳五年十一月癸酉朔戊寅日夜子初一刻八分内三十一秒冬至正月壬申朔戊午六年十一月丁夘朔癸未日夘初一刻一分内一秒冬至正月丙寅朔己未七年十一月辛酉朔戊子日午初初刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔 应闰庚申八年十一月乙酉朔癸巳日酉初初刻一分内一秒冬至正月甲申朔 史记秦孝公元年辛酉九年十一月己夘朔戊戌日亥正三刻八分内三十一秒冬至正月戊寅朔 应闰壬戌十年十一月癸夘朔甲辰日寅正三刻一分内一秒冬至正月壬寅朔癸亥十一年十一月戊戌朔己酉日巳正二刻八分内三十一秒冬至正月丁酉朔甲子十二年十一月壬辰朔甲寅日申正二刻一分内一秒冬至正月辛夘朔 应闰乙丑十三年十一月丙辰朔己未日亥正一刻八分内三十一秒冬至正月乙夘朔丙寅十四年十一月辛亥朔乙丑日寅正一刻一分内一秒冬至正月庚戌朔丁夘十五年十一月乙巳朔庚午日巳正初刻八分内三十一秒冬至正月甲辰朔 应闰戊辰十六年十一月己巳朔乙亥日申正初刻一分内一秒冬至正月戊辰朔己巳十七年十一月癸亥朔庚辰日亥初三刻八分内三十一秒冬至正月壬戌朔庚午十八年十一月丁巳朔丙戌日寅初三刻一分内一秒冬至正月丙辰朔 应闰辛未十九年十一月辛巳朔辛夘日巳初二刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔壬申二十年十一月丙子朔丙申日申初二刻一分内一秒冬至正月乙亥朔 应闰二百三十一章癸夘年至此十一闰为一纪癸酉二十一年十一月庚子朔辛丑日亥初一刻八分内三十一秒冬至正月己亥朔甲戌二十二年十一月甲午朔丁未日寅初一刻一分内一秒冬至正月癸巳朔乙亥二十三年十一月戊子朔壬子日巳初初刻八分内三十一秒冬至正月丁亥朔 应闰丙子二十四年十一月壬子朔丁巳日申初初刻一分内一秒冬至日躔在牛初度之五分正月辛亥朔丁丑二十五年十一月丁未朔壬戌日戌正三刻八分内三十一秒冬至正月丙午朔戊寅二十六年十一月辛丑朔戊辰日丑正三刻一分内一秒冬至正月庚子朔 应闰己夘二十七年十一月乙丑朔癸酉日辰正二刻八分内三十一秒冬至正月甲子朔庚辰二十八年十一月己未朔戊寅日未正二刻一分内一秒冬至正月戊午朔 应闰辛巳二十九年十一月癸未朔旦戌正一刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔壬午三十年十一月丁丑朔己丑日丑正一刻一分内一秒冬至正月丙子朔癸未三十一年十一月壬申朔甲午日辰正初刻八分内三十一秒冬至正月辛未朔 应闰甲申三十二年十一月丙申朔己亥日未正初刻一分内一秒冬至正月乙未朔 纲目秦惠文王元年乙酉三十三年十一月庚寅朔甲辰日戌初三刻八分内三十一秒冬至正月己丑朔丙戌三十四年十一月甲申朔庚戌日丑初三刻一分内一秒冬至正月癸未朔 应闰丁亥三十五年十一月戊申朔乙夘日辰初二刻八分内三十一秒冬至正月丁未朔戊子三十六年十一月癸夘朔庚申日未初二刻一分内一秒冬至正月壬寅朔己丑三十七年十一月丁酉朔乙丑日戌初一刻八分内三十一秒冬至正月丙申朔 应闰庚寅三十八年十一月辛酉朔辛未日丑初一刻一分内一秒冬至正月庚申朔辛夘三十九年十一月乙夘朔丙子日辰初初刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 应闰二百三十二章壬辰四十年十一月己夘朔辛巳日未初初刻一分内一秒冬至正月戊寅朔癸巳四十一年十一月甲戌朔丙戌日酉正三刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔甲午四十二年十一月戊辰朔壬辰日子正三刻一分内一秒冬至正月丁夘朔 应闰乙未四十三年十一月壬辰朔丁酉日夘正二刻八分内三十一秒冬至正月辛夘朔 史记秦初腊言始行腊祭即腊祭也丙申四十四年十一月丙戌朔壬寅日午正二刻一分内一秒冬至正月乙酉朔 史记秦惠文君十三年四月戊午称王丁酉四十五年十一月辛巳朔丁未日酉正一刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔 应闰戊戌四十六年十一月乙巳朔癸丑日子正一刻一分内一秒冬至正月甲辰朔己亥四十七年十一月己亥朔戊午日夘正初刻八分内三十一秒冬至正月戊戌朔 应闰庚子四十八年十一月癸亥朔旦午正初刻一分内一秒冬至正月壬戌朔慎靓王在位六年辛丑元年十一月丁巳朔戊辰日酉初三刻八分内三十一秒冬至正月丙辰朔壬寅二年十一月辛亥朔甲戌日夜子初三刻一分内一秒冬至正月庚戌朔 应闰癸酉年至此十一闰又一纪癸夘三年十一月乙亥朔己夘日夘初二刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔甲辰四年十一月庚午朔甲申日午初二刻一分内一秒冬至正月己巳朔乙巳五年十一月甲子朔己丑日酉初一刻八分内三十一秒冬至正月癸亥朔 应闰丙午六年十一月戊子朔乙未日夜子初一刻一分内一秒冬至正月丁亥朔赧王在位五十九年丁未元年十一月癸未朔庚子日夘初初刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔戊申二年十一月丁丑朔乙巳日午初初刻一分内一秒冬至正月丙子朔 应闰己酉三年十一月辛丑朔庚戌日申正三刻八分内三十一秒冬至正月庚子朔庚戌四年十一月乙未朔乙夘日亥正三刻一分内一秒冬至正月甲午朔 应闰二百三十三章辛亥五年十一月己未朔辛酉日寅正二刻八分内三十一秒冬至正月戊午朔壬子六年十一月癸丑朔丙寅日巳正二刻一分内一秒冬至正月壬子朔癸丑七年十一月戊申朔辛未日申正一刻八分内三十一秒冬至正月丁未朔 应闰甲寅八年十一月壬申朔丙子日亥正一刻一分内一秒冬至正月辛未朔乙夘九年十一月丙寅朔壬午日寅正初刻八分内三十一秒冬至正月乙丑朔 秦昭襄王元年丙辰十年十一月庚申朔丁亥日巳正初刻一分内一秒冬至正月己未朔 应闰丁巳十一年十一月甲申朔壬辰日申初三刻八分内三十一秒冬至正月癸未朔戊午十二年十一月戊寅朔丁酉日亥初三刻一分内一秒冬至正月丁丑朔 应闰己未十三年十一月壬寅朔癸夘日寅初二刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔庚申十四年十一月丁酉朔戊申日巳初二刻一分内一秒冬至正月丙申朔辛酉十五年十一月辛夘朔癸丑日申初一刻八分内三十一秒冬至正月庚寅朔 应闰壬戌十六年十一月乙夘朔戊午日亥初一刻一分内一秒冬至正月甲寅朔癸亥十七年十一月己酉朔甲子日寅初初刻八分内三十一秒冬至正月戊申朔甲子十八年十一月甲辰朔己巳日巳初初刻一分内一秒冬至正月癸夘朔 应闰乙丑十九年十一月戊辰朔甲戌日未正三刻八分内三十一秒冬至正月丁夘朔丙寅二十年十一月壬戌朔己夘日戌正三刻一分内一秒冬至正月辛酉朔丁夘二十一年十一月丙辰朔乙酉日丑正二刻八分内三十一秒冬至正月乙夘朔 应闰戊辰二十二年十一月庚辰朔庚寅日辰正二刻一分内一秒冬至正月己夘朔己巳二十三年十一月甲戌朔乙未日未正一刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔 应闰二百三十四章庚午二十四年十一月戊戌朔庚子日戌正一刻一分内一秒冬至正月丁酉朔辛未二十五年十一月癸巳朔丙午日丑正初刻八分内三十一秒冬至正月壬辰朔壬申二十六年十一月丁亥朔辛亥日辰正初刻一分内一秒冬至正月丙戌朔 应闰癸夘年至此十一闰又一纪癸酉二十七年十一月辛亥朔丙辰日未初三刻八分内三十一秒冬至正月庚戌朔甲戌二十八年十一月乙巳朔辛酉日戌初三刻一分内一秒冬至正月甲辰朔乙亥二十九年十一月庚子朔丁夘日丑初二刻八分内三十一秒冬至正月己亥朔 应闰丙子三十年十一月甲子朔壬申日辰初二刻一分内一秒冬至正月癸亥朔丁丑三十一年十一月戊午朔丁丑日未初一刻八分内三十一秒冬至正月丁巳朔 应闰戊寅三十二年十一月壬午朔旦戌初一刻一分内一秒冬至正月辛巳朔己夘三十三年十一月丙子朔戊子日丑初初刻八分内三十一秒冬至正月乙亥朔庚辰三十四年十一月辛未朔癸巳日辰初初刻一分内一秒冬至正月庚午朔 应闰辛巳三十五年十一月乙未朔戊戌日午正三刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔壬午三十六年十一月己丑朔癸夘日酉正三刻一分内一秒冬至正月戊子朔癸未三十七年十一月癸未朔己酉日子正二刻八分内三十一秒冬至正月壬午朔 应闰甲申三十八年十一月丁未朔甲寅日夘正二刻一分内一秒冬至正月丙午朔乙酉三十九年十一月壬寅朔己未日午正一刻八分内三十一秒冬至正月辛丑朔丙戌四十年十一月丙申朔甲子日酉正一刻一分内一秒冬至正月乙未朔 应闰丁亥四十一年十一月庚申朔庚午日子正初刻八分内三十一秒冬至正月己未朔戊子四十二年十一月甲寅朔乙亥日夘正初刻一分内一秒冬至日躔在斗二十二度之五十六分正月癸丑朔 应闰二百三十五章己丑四十三年十一月戊寅朔庚辰日午初三刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔庚寅四十四年十一月癸酉朔乙酉日酉初三刻一分内一秒冬至正月壬申朔辛夘四十五年十一月丁夘朔辛夘日夜子初二刻八分内三十一秒冬至正月丙寅朔 应闰壬辰四十六年十一月辛夘朔丙申日夘初二刻一分内一秒冬至正月庚寅朔癸巳四十七年十一月乙酉朔辛丑日午初一刻八分内三十一秒冬至正月甲申朔甲午四十八年十一月己夘朔丙午日酉初一刻一分内一秒冬至正月戊寅朔 应闰乙未四十九年十一月癸夘朔辛亥日夜子初初刻八分内三十一秒冬至正月壬寅朔丙申五十年十一月丁酉朔丁巳日夘初初刻一分内一秒冬至正月丙申朔 应闰丁酉五十一年十一月辛酉朔壬戌日巳正三刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔戊戌五十二年十一月丙辰朔丁夘日申正三刻一分内一秒冬至正月乙夘朔己亥五十三年十一月庚戌朔壬申日亥正二刻八分内三十一秒冬至正月己酉朔 应闰庚子五十四年十一月甲戌朔戊寅日寅正二刻一分内一秒冬至正月癸酉朔辛丑五十五年十一月己巳朔癸未日巳正一刻八分内三十一秒冬至正月戊辰朔壬寅五十六年十一月癸亥朔戊子日申正一刻一分内一秒冬至正月壬戌朔 应闰癸酉年至此十一闰又一纪癸夘五十七年十一月丁亥朔癸巳日亥正初刻八分内三十一秒冬至正月丙戌朔甲辰五十八年十一月辛巳朔己亥日寅正初刻一分内一秒冬至正月庚辰朔乙巳五十九年十一月乙亥朔甲辰日巳初三刻八分内三十一秒冬至正月甲戌朔 应闰周亡七国仍以十一月为岁首史记秦本纪始皇三年十月䝉骜攻𪽈有诡之下即接四年㧞𪽈有诡四年十月蝗蔽天及天下疫之下即接五年事十三年十月桓𬺈攻赵之下即接十四年葢可据也丙午年十一月己亥朔己酉日申初三刻一分内一秒冬至正月戊戌朔 通鉴纲目秦昭襄王五十二年楚考烈王八年燕孝王三年魏安厘王二十二年赵孝成王十一年韩桓惠十八年齐王建十年丁未年十一月甲午朔甲寅日亥初二刻八分内三十一秒冬至正月癸巳朔 燕王喜元年应闰二百三十六章戊申年十一月戊午朔庚申日寅初二刻一分内一秒冬至正月丁巳朔己酉年十一月壬子朔乙丑日巳初一刻八分内三十一秒冬至正月辛亥朔庚戌年十一月丁未朔庚午日申初一刻一分内一秒冬至正月丙午朔 应闰辛亥年十一月辛未朔乙亥日亥初初刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔 秦孝文王元年史记十月己亥即位辛丑卒壬子年十一月乙丑朔辛巳日寅初初刻一分内一秒冬至正月甲子朔 秦庄襄王楚元年癸丑年十一月己未朔丙戌日辰正三刻八分内三十一秒冬至正月戊午朔 应闰甲寅年十一月癸未朔辛夘日未正三刻一分内一秒冬至正月壬午朔乙夘年十一月丁丑朔丙申日戌正二刻八分内三十一秒冬至正月丙子朔 应闰秦王政元年史记五月丙午庄襄王卒葢闰四月丙辰年十一月辛丑朔壬寅日丑正二刻一分内一秒冬至正月庚子朔丁巳年十一月丙申朔丁未日辰正一刻八分内三十一秒冬至正月乙未朔 赵悼襄王偃元年戊午年十一月庚寅朔壬子日未正一刻一分内一秒冬至正月己丑朔 史记始皇四年十月庚寅蝗蔽天己未年十一月甲寅朔丁巳日戌正初刻八分内三十一秒冬至正月癸丑朔 魏景闵王增元年庚申年十一月己酉朔癸亥日丑正初刻一分内一秒冬至正月戊申朔辛酉年十一月癸夘朔戊辰日辰初三刻八分内三十一秒冬至正月壬寅朔 应闰壬戌年十一月丁夘朔癸酉日未初三刻一分内一秒冬至正月丙寅朔癸亥年十一月辛酉朔戊寅日戌初二刻八分内三十一秒冬至正月庚申朔 韩王安元年史记始皇九年四月己酉王冠带剑甲子年十一月丙辰朔甲申日丑初二刻一分内一秒冬至正月乙夘朔 应闰楚幽王悍元年乙丑年十一月庚辰朔己丑日辰初一刻八分内三十一秒冬至正月己夘朔丙寅年十一月甲戌朔甲午日未初一刻一分内一秒冬至正月癸酉朔 应闰二百三十七章赵幽缪王迁元年丁夘年十一月戊戌朔己亥日戌初初刻八分内一秒冬至正月丁酉朔戊辰年十一月壬辰朔乙巳日丑初初刻一分内一秒冬至正月辛夘朔己巳年十一月丙戌朔庚戌日夘正三刻八分内三十一秒冬至正月乙酉朔 应闰庚午年十一月庚戌朔乙夘日午正三刻一分内一秒冬至正月己酉朔辛未年十一月乙巳朔庚申日酉正二刻八分内三十一秒冬至正月甲辰朔壬申年十一月己亥朔丙寅日子正二刻一分内一秒冬至正月戊戌朔 应闰癸夘年至此十一闰又一纪癸酉年十一月癸亥朔辛未日夘正一刻八分内三十一秒冬至正月壬戌朔甲戌年十一月丁巳朔丙子日午正一刻一分内一秒冬至正月丙辰朔 应闰楚王负刍魏王假代王嘉俱元年乙亥年十一月辛巳朔辛巳日酉正初刻八分内三十一秒冬至正月庚辰朔丙子年十一月乙亥朔丁亥日子正初刻一分内一秒冬至正月甲戌朔丁丑年十一月庚午朔壬辰日夘初三刻八分内三十一秒冬至正月己巳朔 应闰戊寅年十一月甲午朔丁酉日午初三刻一分内一秒冬至正月癸巳朔己夘年十一月戊子朔壬寅日酉初二刻八分内三十一秒冬至正月丁亥朔秦始皇帝史记始皇推终始五徳之传以为周徳火徳秦代周徳从所不胜方今水徳之始改年始朝贺皆自十月朔是秦以亥建为岁首而不改四时月数即此可证且秦既灭六国初上尊号而仍称二十六年与汤革夏正仍称十八祀武革商正仍称十三年同也不可证古无改元之事哉庚辰二十六年十月癸丑朔十一月戊申日夜子初二刻一分内一秒冬至正月辛巳朔 应闰秦人置闰概用后九月辛巳二十七年十月丁丑朔十一月癸丑日夘初一刻八分内三十一秒冬至正月乙巳朔壬午二十八年十月壬申朔十一月戊午日午初一刻一分内一秒冬至正月庚子朔癸未二十九年十月丙寅朔十一月癸亥日酉初初刻八分内三十一秒冬至正月甲午朔 应闰葢后九月史记始皇东游刻石之罘其辞曰维二十九年时在中春阳和方起设秦改建亥为春正月则其中春乃今之十一月何以称阳和方起乎甲申三十年十月庚寅朔十一月己巳日夜子初初刻一分内一秒冬至正月戊午朔乙酉三十一年十月甲申朔十一月甲戌日寅正三刻八分内三十一秒冬至正月壬子朔 应闰葢后九月二百三十八章史记三十一年十二月更名腊曰嘉平注引茅盈内传云始皇三十一年九月庚子盈曾祖蒙于华山中白日乗云升天先是其邑谣歌云神仙得者茅初成驾龙上升入太清时下元洲戏赤城继世而往在我盈帝若学之腊嘉平始皇闻而欣然有寻仙之志因改腊曰嘉平盖腊与蜡同本周时旧名始皇惑于盈之谣歌更名嘉平以应之先儒或谓秦始称腊误矣庚子后九月二十三日然推此年应闰七月则庚子实在九月可见秦虽灭裂闰法当时之人未尝不知其舛也丙戌三十二年十月戊申朔十一月己夘日巳正三刻一分内一秒冬至正月丙子朔丁亥三十三年十月壬寅朔十一月甲申日申正二刻八分内三十一秒冬至正月庚午朔戊子三十四年十月丁酉朔十一月己丑日亥正二刻一分内一秒冬至正月乙丑朔 应闰盖后九月己丑三十五年十月辛酉朔十一月乙未日寅正一刻八分内三十一秒冬至正月己丑朔庚寅三十六年十月乙夘朔十一月庚子日巳正一刻一分内一秒冬至正月癸未朔辛夘三十七年十月己酉朔十一月乙巳日申正初刻八分内三十一秒冬至正月丁丑朔 应闰葢后九月史记十月癸丑始皇出游十月五日也十一月行至云梦七月丙寅崩于沙丘今推此年应闰三月丙寅七月二十三日但秦人概闰后九月丙寅当系八月二世皇帝在位三年壬辰元年十月癸酉朔十一月庚戌日亥正初刻一分内一秒冬至正月辛丑朔 史记年表十月戊寅大赦罪人月六日也此改元大赦之始见于史者癸巳二年十月戊辰朔十一月丙辰日寅初三刻八分内三十一秒冬至正月丙辰朔 应闰汉书髙帝纪秦二年后九月怀王并吕臣项羽军自将之以沛公为砀郡长甲午三年十月壬辰朔十一月辛酉日巳初三刻一分内一秒冬至正月庚申朔 史记八月己亥赵髙欲为乱持鹿献二世曰马也今推己亥八月十三日汉王刘邦 西楚覇王项籍先入闗受秦降如约王者为主自立为西楚覇王者附见乙未元年冬十月丙戌朔十一月丙寅日申初二刻八分内三十一秒冬至正月甲寅朔 史记元年十月沛公兵遂先诸侯至覇上秦王子婴封皇帝玺符节降轵道旁丙申二年冬十月辛巳朔十一月辛未日亥初二刻一分内一秒冬至正月己酉朔 史二月癸未立汉社稷应闰葢后九月丁酉三年冬十月乙巳朔十一月丁丑日寅初一刻八分内三十一秒冬至正月癸酉朔 髙帝纪十月甲戌晦日食十一月癸夘晦日食戊戌四年冬十月己亥朔十一月壬午日巳初一刻一分内一秒冬至正月丁夘朔汉太祖髙皇帝仍用冬十月为歳首置闰亦仍后九月己亥五年冬十月癸巳朔十一月丁亥日申初初刻八分内三十一秒冬至正月辛酉朔 史春正月诸侯疏上皇帝尊号二月甲午即位应闰史后九月治长乐宫全史日至源流卷二十一
## 卷二十二
钦定四库全书全史日至源流卷二十二山东道御史许伯政撰壬子运二十二(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻七分十秒)冬至十四日八时三刻十四分二秒三十微小寒十四日八时四刻四分五十二秒三十微大寒十四日九时一刻十分七秒三十微立春十四日十时一刻六分七秒三十微雨水十四日十一时三刻四分七秒三十微惊蛰十五日零七刻零二秒三十微春分十五日二时三刻八分五十二秒三十微清明十五日四时零七分五十二秒三十微榖雨十五日五时四刻七分五十七秒三十微立夏十五日六时七刻二秒三十微小满十五日八时零二分五十七秒三十微芒种十五日八时三刻十分二秒三十微夏至十五日八时七刻二秒三十微小暑十五日八时五刻三分二秒三十微大暑十五日八时零八分二秒三十微立秋十五日七时零十二分二秒三十微处暑十五日五时六刻六分二秒三十微白露十五日四时三刻九分七秒三十微秋分十五日二时四刻十一分十二秒三十微寒露十五日一时一刻八分七秒三十微霜降十四日十一时五刻五分二秒三十微立冬十四日十时二刻十一分十二秒三十微小雪十四日九时二刻十二分七秒三十微大雪十四日八时五刻十分二秒三十微庚子六年十月丁巳朔十一月壬辰日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在斗二十一度之五十六分正月乙酉朔 史春正月丙午立刘贾为荆王壬子立兄喜为代王汉书纪日甚畧故于十月正月录以为据辛丑七年十月壬子朔十一月戊戌日丑正三刻八分内一十一秒冬至正月庚辰朔壬寅八年十月丙午朔十一月癸夘日辰正二刻十五分内二十一秒冬至正月甲戌朔 应闰葢后九月癸酉年至此十一闰又一纪癸夘九年十月庚午朔十一月戊申日未正二刻七分内三十一秒冬至正月戊戌朔 史六月乙未晦日食甲辰十年十月乙丑朔十一月癸丑日戌正一刻十四分内四十一秒冬至正月癸巳朔 应闰葢后九月二百三十九章乙巳十一年十月己丑朔十一月己未日丑正一刻六分内五十一秒冬至正月丁巳朔丙午十二年十月癸未朔十一月甲子日辰正初刻十四分内一秒冬至正月辛亥朔 史四月甲辰帝崩孝惠皇帝丁未元年十月丁丑朔十一月己巳日未正初刻六分内一十一秒冬至正月乙巳朔 应闰葢后九月戊申二年十月辛丑朔十一月甲戌日戌初三刻十三分内二十一秒冬至正月己巳朔 史春正月癸酉两龙见兰陵井中己酉三年十月丙申朔十一月庚辰日丑初三刻五分内三十一秒冬至正月甲子朔庚戌四年十月庚寅朔十一月乙酉日辰初二刻十二分内四十一秒冬至正月戊子朔 史冬十月壬寅立皇后张氏应闰葢后九月辛亥五年十月甲寅朔十一月庚寅日未初二刻四分内五十一秒冬至正月壬午朔壬子六年十月戊申朔十一月乙未日戌初一刻十二分内一秒冬至正月丙子朔 置闰应在下年二月后七年正月辛丑朔是先于此年置后九月癸丑七年十月壬申朔辛丑日丑初一刻四分内一十一秒冬至十一月壬寅朔正月辛丑朔 史正月辛丑朔日食五月丁夘日食既五行志先晦一日髙皇后吕氏甲寅元年十月丁夘朔十一月丙午日辰初初刻十一分内二十一秒冬至正月乙未朔乙夘二年十月辛酉朔十一月辛亥日未初初刻三分内三十一秒冬至正月己丑朔 史六月丙戌晦日食应闰葢后九月丙辰三年十月乙酉朔十一月丙辰日酉正三刻十分内四十一秒冬至正月癸丑朔丁巳四年十月己夘朔十一月壬戌日子正三刻二分内五十一秒冬至正月丁未朔戊午五年十月甲戌朔十一月丁夘日夘正二刻十分内一秒冬至正月壬寅朔 应闰葢后九月己未六年十月戊戌朔十一月壬申日午正二刻二分内一十一秒冬至正月丙寅朔庚申七年十月壬辰朔十一月丁丑日酉正一刻九分内二十一秒冬至正月庚申朔 史正月己丑晦日食辛酉八年十月丙戌朔十一月癸未日子正一刻一分内三十一秒冬至正月乙夘朔 应闰史记后九月晦日己酉代王至长安舍代邸孝文皇帝壬戌元年十月庚戌朔十一月戊子日夘正初刻八分内四十一秒冬至正月己夘朔 史元年冬十月辛亥谒髙庙癸亥二年十月甲辰朔十一月癸巳日午初三刻十五分内五十一秒冬至正月癸酉朔 史十一月癸夘晦日食春正月丁亥诏开藉田应闰盖后九月二百四十章甲子三年十月戊辰朔十一月戊戌日酉初三刻八分内一秒冬至正月丁酉朔 史冬十月丁酉晦日食十一月丁夘晦日食乙丑四年十月癸亥朔十一月甲辰日子初二刻十五分内一十一秒冬至正月辛夘朔丙寅五年十月丁巳朔十一月己酉日夘初二刻七分内二十一秒冬至正月乙酉朔 应闰盖后九月丁夘六年十月辛巳朔十一月甲寅日午初一刻十四分内三十一秒冬至正月己酉朔戊辰七年十月丙子朔十一月己未日酉初一刻六分内四十一秒冬至正月甲辰朔己巳八年十月庚午朔十一月乙丑日子初初刻十三分内五十一秒冬至正月戊戌朔 应闰盖后九月庚午九年十月甲午朔十一月庚午日夘初初刻六分内一秒冬至正月壬戌朔辛未十年十月戊子朔十一月乙亥日巳正三刻十三分内一十一秒冬至正月丙辰朔壬申十一年十月癸未朔十一月庚辰日申正三刻五分内二十一秒冬至正月辛亥朔 应闰盖后九月癸夘年至此十一闰又一纪癸酉十二年十月丁未朔十一月乙酉日亥正二刻十二分内三十一秒冬至正月乙亥朔甲戌十三年十月辛丑朔十一月辛夘日寅正二刻四分内四十一秒冬至正月己巳朔 应闰盖后九月乙亥十四年十月乙丑朔十一月丙申日巳正一刻十一分内五十一秒冬至正月癸巳朔丙子十五年十月己未朔十一月辛丑日申正一刻四分内一秒冬至正月丁亥朔丁丑十六年十月癸丑朔十一月丙午日亥正初刻十一分内一十一秒冬至正月辛巳朔 应闰盖后九月戊寅后元年十月丁丑朔十一月壬子日寅正初刻三分内二十一秒冬至正月乙巳朔 改元自此创始己夘二年十月壬申朔十一月丁巳日巳初三刻十分内三十一秒冬至正月庚子朔 天文志正月壬寅天欃夕出西南庚辰三年十月丙寅朔十一月壬戌日申初三刻二分内四十一秒冬至正月甲午朔 应闰辛巳四年十月庚寅朔十一月丁夘日亥初二刻九分内五十一秒冬至正月戊午朔 五行志四月丙辰晦日食壬午五年十月甲申朔十一月癸酉日寅初二刻二分内一秒冬至正月壬子朔 应闰盖后九月二百四十一章癸未六年十月戊申朔十一月戊寅日巳初一刻九分内一十一秒冬至正月丙子朔甲申七年十月癸夘朔十一月癸未日申初一刻一分内二十一秒冬至正月辛未朔 五行志正月辛未朔日食孝景皇帝乙酉元年十月丁酉朔十一月戊子日亥初初刻八分内三十一秒冬至正月乙丑朔 应闰盖后九月丙戌二年十月辛酉朔十一月甲午日丑正三刻十五分内四十一秒冬至正月己丑朔丁亥三年十月乙夘朔十一月己亥日辰正三刻七分内五十一秒冬至正月癸未朔 史二月壬午晦日食戊子四年十月己酉朔十一月甲辰日未正二刻十五分内一秒冬至正月丁丑朔 应闰史记后九月更以弋阳为阳陵己丑五年十月癸酉朔十一月己酉日戌正二刻七分内一十一秒冬至正月辛丑朔庚寅六年十月丁夘朔十一月乙夘日丑正一刻十四分内二十一秒冬至正月乙未朔 置闰应在下年二月后史记后九月伐驰道树殖兰辛夘七年十月辛夘朔庚申日辰正一刻六分内三十一秒冬至十一月辛酉朔正月庚申朔 史十一月庚寅晦日食壬辰中元年十月乙酉朔十一月乙丑日未正初刻十三分内四十一秒冬至正月乙夘朔 天文志十二月甲寅晦日食癸巳中二年十月庚辰朔十一月庚午日戌正初刻五分内五十一秒冬至正月己酉朔 史九月甲戌晦日食应闰盖后九月甲午中三年十月甲辰朔十一月丙子日丑初三刻十三分内一秒冬至正月癸酉朔 史九月戊戌晦日食乙未中四年十月己亥朔十一月辛巳日辰初三刻五分内一十一秒冬至正月丁夘朔丙申中五年十月癸巳朔十一月丙戌日未初二刻十二分内二十一秒冬至正月辛酉朔 应闰盖后九月丁酉中六年十月丁巳朔十一月辛夘日戌初二刻四分内三十一秒冬至正月乙酉朔 史七月辛亥晦日食戊戌后元年十月辛亥朔十一月丁酉日丑初一刻十一分内四十一秒冬至正月己夘朔 史七月乙巳晦日食己亥后二年十月乙巳朔十一月壬寅日辰初一刻三分内五十一秒冬至正月甲戌朔 应闰盖后九月庚子后三年十月己巳朔十一月丁未日未初初刻十二分内一秒冬至正月戊戌朔 史记正月甲寅皇太子冠甲子帝崩孝武皇帝建元辛丑元年十月甲子朔十一月壬子日戌初初刻三分内一十一秒冬至正月壬辰朔 此建年号之始应闰盖后九月二百四十二章自癸酉年至此十一闰又一纪缩一年下起壬寅壬寅二年十月戊子朔十一月戊午日子正三刻十分内二十一秒冬至正月丙辰朔 史三月丙戌朔日食癸夘三年十月壬午朔十一月癸亥日夘正三刻二分内三十一秒冬至正月辛亥朔 史九月丙子晦日食甲辰四年十月丁丑朔十一月戊辰日午正二刻九分内四十一秒冬至正月乙巳朔 应闰盖后九月乙巳五年十月辛丑朔十一月癸酉日酉正二刻一分内五十一秒冬至正月己巳朔 五行志正月己巳朔日食丙午六年十月乙未朔十一月己夘日子正一刻九分内一秒冬至正月癸亥朔元光丁未元年十月己丑朔十一月甲申日夘正一刻一分内一十一秒冬至正月丁巳朔 五行志二月丙辰晦日食七月癸未日食应闰盖后九月戊申二年十月癸丑朔十一月己丑日午正初刻八分内二十一秒冬至正月辛巳朔己酉三年十月丁未朔十一月甲午日酉初三刻十五分内三十一秒冬至正月丙子朔庚戌四年十月壬寅朔十一月己亥夜子初三刻七分内四十一秒冬至正月辛未朔 应闰盖后九月但史称春三月乙夘丞相蚡薨疑置闰在上年九月后抑或三月乃二月之讹姑存以俟考辛亥五年十月丙寅朔十一月乙巳日夘初二刻十四分内五十一秒冬至正月乙未朔壬子六年十月庚申朔十一月庚戌日午初二刻七分内一秒冬至日躔在斗二十度之五十六分正月己丑朔 应闰盖后九月元朔癸丑元年十月甲申朔十一月乙夘日酉初一刻十四分内一十一秒冬至正月癸丑朔甲寅二年十月戊寅朔十一月辛酉日子初一刻六分内二十一秒冬至正月丁未朔 史三月乙亥晦日食乙夘三年十月癸酉朔十一月丙寅日夘初初刻十三分内三十一秒冬至正月壬寅朔 应闰盖后九月丙辰四年十月丁酉朔十一月辛未日午初初刻五分内四十一秒冬至正月丙寅朔丁巳五年十月辛夘朔十一月丙子日申正三刻十二分内五十一秒冬至正月庚申朔戊午六年十月乙酉朔十一月辛巳日亥正三刻五分内一秒冬至正月甲寅朔 五行志十二月癸丑晦日食应闰盖后九月元狩己未元年十月己酉朔十一月丁亥日寅正二刻十二分内一十一秒冬至正月戊寅朔 史五月乙巳晦日食庚申二年十月癸夘朔十一月壬辰日巳正二刻四分内二十一秒冬至正月壬申朔 应闰盖后九月二百四十三章辛酉三年十月丁夘朔十一月丁酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至正月丙申朔壬戌四年十月壬戌朔十一月壬寅日亥正一刻三分内四十一秒冬至正月辛夘朔癸亥五年十月丙辰朔十一月戊申日寅正初刻十分内五十一秒冬至正月乙酉朔 应闰盖后九月甲子六年十月庚辰朔十一月癸丑日巳正初刻三分内一秒冬至正月己酉朔元鼎乙丑元年十月甲戌朔十一月戊午日申初三刻十分内一十一秒冬至正月癸夘朔丙寅二年十月戊辰朔十一月癸亥日亥初三刻二分内二十一秒冬至正月丁酉朔 应闰盖后九月丁夘三年十月壬辰朔十一月己巳日寅初二刻九分内三十一秒冬至正月辛酉朔 史正月戊子阳陵园火戊辰四年十月丁亥朔十一月甲戌日巳初二刻一分内四十一秒冬至正月丙辰朔 置闰应在下年二月后当时盖后九月己巳五年十月辛亥朔己夘日申初一刻八分内五十一秒冬至十一月辛巳朔正月庚辰朔 史十一月辛巳朔旦冬至今推冬至在十月己夘日申初一刻后天约三日矣四月丁丑晦日食庚午六年十月乙巳朔十一月甲申日亥初一刻一分内一秒冬至正月甲戌朔元封辛未元年十月己亥朔十一月庚寅日寅初初刻八分内一十一秒冬至正月戊辰朔 应闰盖后九月壬寅年至此十一闰又一纪壬申二年十月癸亥朔十一月乙未日辰正三刻十五分内二十一秒冬至正月壬辰朔癸酉三年十月丁巳朔十一月庚子日未正三刻七分内三十一秒冬至正月丙戌朔甲戌四年十月辛亥朔十一月乙巳日戌正二刻十四分内四十一秒冬至正月辛巳朔 五行志六月己酉朔日食应闰盖后九月乙亥五年十月乙亥朔十一月辛亥日丑正二刻六分内五十一秒冬至正月乙巳朔丙子六年十月庚午朔十一月丙辰日辰正一刻十四分内一秒冬至正月己亥朔 置闰应在下年三月后当时盖于此年置后九月故十一月有甲子朔考之于史丁丑本元封七年缘其年五月正厯以正月为岁首乃改为太初元年今推此年后九月乙丑朔元封七年十月甲午朔二十八日辛酉未正一刻六分内一十一秒冬至十一月甲子朔十二月癸巳朔正月以后为太初元年其以十一月甲子朔为冬至大衍授时诸厯皆推得此年冬至在辛酉今推至日与诸厯合是其节气后天与元鼎五年十一月辛巳冬至相似而此乃后天将及四日可知方士唐都等之分部推筭厯衍最踈也史记太初元年岁名焉逢摄提格月名毕聚日得甲子夜半朔旦冬至是推本上古太初甲寅岁之甲子冬至为厯元故所列七十六年称厯术甲子篇其推测本属荒唐而后人又混注汉之太初元年至于建始四年先儒已尝辨其舛矣太初丁丑元年正月癸亥朔十一月丙寅日戌正初刻十三分内二十一秒冬至 此年以后寅正永为岁首戊寅二年正月丁巳朔十一月壬申日丑正初刻五分内三十一秒冬至 史春正月戊申丞相庆薨今推正月无戊申盖误己夘三年正月辛亥朔十一月丁丑日辰初三刻十二分内四十一秒冬至 应闰七月未知当时闰何月后多类此二百四十四章庚辰四年正月乙亥朔十一月壬午日未初三刻四分内五十一秒冬至天汉辛巳元年正月己巳朔十一月丁亥日戌初二刻十二分内一秒冬至壬午二年正月甲子朔十一月癸巳日丑初二刻四分内一十一秒冬至 应闰癸未三年正月戊子朔十一月戊戌日辰初一刻十二分内二十一秒冬至甲申四年正月壬午朔十一月癸夘日未初一刻三分内三十一秒冬至太始乙酉元年正月丙子朔十一月戊申日戌初初刻十分内四十一秒冬至 五行志正月乙巳晦日食应闰丙戌二年正月庚子朔十一月甲寅日丑初初刻二分内五十一秒冬至丁亥三年正月甲午朔十一月己未日夘正三刻十分内一秒冬至 应闰戊子四年正月戊午朔十一月甲子日午正三刻一分内一十一秒冬至 史十月甲寅晦日食政和己丑元年正月癸丑朔十一月己巳日酉正二刻九分内二十一秒冬至庚寅二年正月丁未朔十一月乙亥日子正二刻一分内三十一秒冬至 史闰四月辛夘三年正月辛未朔十一月庚辰日夘正一刻八分内四十一秒冬至壬辰四年正月乙丑朔十一月乙酉日午正初刻十五分内五十一秒冬至 史八月辛酉晦日食后元癸巳元年正月庚申朔十一月庚寅日酉正初刻八分内一秒冬至 应闰甲午二年正月甲申朔十一月丙申日子初三刻十五分内一十一秒冬至孝昭皇帝始元乙未元年正月戊寅朔十月辛丑日夘初三刻七分内二十一秒冬至十一月癸夘朔 史闰九月应于下年闰三月其失与元封六年之后九月同丙申二年正月壬寅朔十一月丙午日午初二刻十四分内三十一秒冬至丁酉三年正月丙申朔十一月辛亥日酉初二刻六分内四十一秒冬至 史十一月壬辰朔日食戊戌四年正月辛夘朔十一月丁巳日子初一刻十三分内五十一秒冬至 应闰二百四十五章己亥五年正月乙夘朔十一月壬戌日夘初一刻六分内一秒冬至庚子六年正月己酉朔十一月丁夘日午初初刻十三分内一十一秒冬至元鳯辛丑元年正月癸夘朔十一月壬申日酉初初刻五分内二十一秒冬至 应闰五月史七月己亥晦日食壬辰年至此十一闰又一纪壬寅二年正月丁夘朔十一月丁丑日亥正三刻十二分内三十一秒冬至癸夘三年正月壬戌朔十一月癸未日寅正三刻四分内四十一秒冬至甲辰四年正月丙辰朔十一月戊子日巳正二刻十一分内五十一秒冬至 应闰四月史五月丁丑孝文庙正殿火则闰在五月后但史称正月丁亥帝加元服甲戌丞相千秋薨今推甲戌正月十九日其前四十八日得丁亥不得在正月大抵史文讹舛类此者多矣乙巳五年正月庚辰朔十一月癸巳日申正二刻四分内一秒冬至丙午六年正月甲戌朔十一月戊戌日亥正一刻十一分内一十一秒冬至 应闰元平丁未元年正月戊戌朔十一月甲辰日寅正一刻三分内二十一秒冬至孝宣皇帝本始戊申元年正月癸巳朔十一月己酉日巳正初刻十分内三十一秒冬至己酉二年正月丁亥朔十一月甲寅日申正初刻二分内四十一秒冬至 应闰庚戌三年正月辛亥朔十一月己未日亥初三刻九分内五十一秒冬至 史正月癸亥皇后许氏崩戊辰五将军师发长安辛亥四年正月丙午朔十一月乙丑日寅初三刻二分内一秒冬至地节壬子元年正月庚子朔十一月庚午日巳初二刻九分内一十一秒冬至 应闰史十二月癸亥晦日食癸丑二年正月甲子朔十一月乙亥日申初二刻一分内二十一秒冬至甲寅三年正月戊午朔十一月庚辰日亥初一刻八分内三十一秒冬至乙夘四年正月壬子朔十一月丙戌日寅初初刻十五分内四十一秒冬至 应闰元康丙辰元年正月丙子朔十一月辛夘日巳初初刻七分内五十一秒冬至丁巳二年正月庚午朔十一月丙申日未正三刻十五分内一秒冬至 应闰二百四十六章戊午三年正月甲午朔十一月辛丑日戌正三刻七分内一十一秒冬至己未四年正月己丑朔十一月丁未日丑正二刻十四分内二十一秒冬至神爵庚申元年正月癸未朔十一月壬子日辰正二刻六分内三十一秒冬至 应闰辛酉二年正月丁未朔十一月丁巳日未正一刻十三分内四十一秒冬至 史诏曰正月乙丑鳯凰甘露䧏集京师壬戌三年正月辛丑朔十一月壬戌日戌正一刻五分内五十一秒冬至癸亥四年正月丙申朔十一月戊辰日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十九度之五十六分 应闰五鳯甲子元年正月庚申朔十一月癸酉日辰正初刻五分内一十一秒冬至 史十二月乙酉朔日食乙丑二年正月甲寅朔十一月戊寅日未初三刻十二分内二十一秒冬至 应闰丙寅三年正月丁丑朔十一月癸未日戌初三刻四分内三十一秒冬至 史正月癸夘丞相吉薨丁夘四年正月壬申朔十一月己丑日丑初二刻十一分内四十一秒冬至 史四月辛丑朔日食甘露戊辰元年正月丙寅朔十一月甲午日辰初二刻三分内五十一秒冬至 应闰六七月己巳二年正月庚寅朔十一月己亥日未初一刻十一分内一秒冬至庚午三年正月乙酉朔十一月甲辰日戌初一刻三分内一十一秒冬至辛未四年正月己夘朔十一月庚戌日丑初初刻十分内二十一秒冬至 应闰四五月史冬十月丁夘未央宫宣室阁火则闰乃在十月后壬寅年至此十一闰又一纪黄龙壬申元年正月癸夘朔十一月乙夘日辰初初刻二分内三十一秒冬至孝元皇帝初元癸酉元年正月戊戌朔十一月庚申日午正三刻九分内四十一秒冬至 史正月辛丑孝宣塟杜陵甲戌二年正月壬辰朔十一月乙丑日酉正三刻一分内五十一秒冬至 应闰三月史二月戊午地震于陇西郡盖闰正月乙亥三年正月丙辰朔十一月辛未日子正二刻九分内一秒冬至丙子四年正月庚戌朔十一月丙子日夘正二刻一分内一十一秒冬至 应闰二百四十七章丁丑五年正月甲戌朔十一月辛巳日午正一刻八分内二十一秒冬至永光戊寅元年正月戊辰朔十一月丙戌日酉正初刻十五分内三十一秒冬至己夘二年正月癸亥朔十一月壬辰日子正初刻七分内四十一秒冬至 史二月壬戌朔日食应闰庚辰三年正月丁亥朔十一月丁酉日夘初三刻十四分内五十一秒冬至辛巳四年正月辛巳朔十一月壬寅日午初三刻七分内一秒冬至 史六月戊寅晦日食壬午五年正月乙亥朔十一月丁未日酉初二刻十四分内一十一秒冬至 应闰建昭癸未元年正月己亥朔十一月癸丑日子初二刻六分内二十一秒冬至甲申二年正月癸巳朔十一月戊午日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 史闰月在六月后应闰九月乙酉三年正月丁巳朔十一月癸亥日午初一刻五分内四十一秒冬至丙戌四年正月壬子朔十一月戊辰日酉初初刻十二分内五十一秒冬至丁亥五年正月丙午朔十一月甲戌日子初初刻五分内一秒冬至 应闰史六月壬申晦日食竟宁戊子元年正月庚午朔十一月己夘日寅正三刻十二分内一十一秒冬至 史五月壬辰帝崩孝成皇帝建始己丑元年正月甲子朔十一月甲申日巳正三刻四分内二十一秒冬至 史正月乙丑悼庙灾庚寅二年正月己未朔十一月己丑日申正二刻十一分内三十一秒冬至 史闰正月辛夘三年正月癸未朔十一月甲午日亥正二刻三分内四十一秒冬至 史十二月戊申朔日食壬辰四年正月戊寅朔十一月庚子日寅正一刻十分内五十一秒冬至 置闰应在下年二月后下年正月壬寅朔则此冬有闰其闰十二月欤河平癸巳元年正月壬寅朔十一月乙巳日巳正一刻三分内一秒冬至 史正月壬寅朔日月俱在营室四月己亥晦日食甲午二年正月丙申朔十一月庚戌日申正初刻十分内一十一秒冬至乙未三年正月庚寅朔十一月乙夘日亥正初刻二分内一十一秒冬至 应闰史八月乙夘晦日食二百四十八章丙申四年正月甲寅朔十一月辛酉日寅初三刻九分内三十一秒冬至 史三月癸丑朔日食阳朔丁酉元年正月戊申朔十一月丙寅日巳初三刻一分内四十一秒冬至 史二月丁未晦日食戊戌二年正月癸夘朔十一月辛未日申初二刻八分内五十一秒冬至 应闰六月史八月甲申定陶王薨是闰在八月后己亥三年正月丁夘朔十一月丙子日亥初二刻一分内一秒冬至庚子四年正月辛酉朔十一月壬子日寅初一刻八分内一十一秒冬至十一月丙戌朔 置闰应在下年三月后史于九月后书闰月壬戌御史大夫于永卒天文志闰月庚午飞星入斗盖闰七月鸿嘉辛丑元年正月乙酉朔十一月丁亥日巳初初刻十五分内二十一秒冬至 移上闰于此年三月后自壬申年至此十一闰又一纪壬寅二年正月己夘朔十一月壬辰日申初初刻七分内三十一秒冬至癸夘三年正月癸酉朔十一月丁酉日戌正三刻十四分内四十一秒冬至 应闰史十一月甲寅皇后许氏废盖闰在十一月前甲辰四年正月丁酉朔十一月癸夘日丑正三刻六分内五十一秒冬至永始乙巳元年正月壬辰朔十一月戊申日辰正二刻十四分内一秒冬至 史正月癸丑凌室火五行志丁巳晦日食丙午二年正月丙戌朔十一月癸丑日未正二刻六分内一十一秒冬至 史二月乙酉晦日食应闰丁未三年正月庚戌朔十一月戊午日戌正一刻十三分内二十一秒冬至 正月己夘晦日食戊申四年正月甲辰朔十一月甲子日丑正一刻五分内三十一秒冬至 史七月辛未晦日食元延己酉元年正月己亥朔十一月己巳日辰正初刻十二分内四分一秒冬至 史正月己亥朔日食应闰庚戌二年正月癸亥朔十一月甲戌日未正初刻四分内五十一秒冬至辛亥三年正月丁巳朔十月己夘日戌初三刻十二分内一秒冬至十一月壬午朔 史正月丙寅岷山崩置闰应在下年四月后当时疑在此年十月后盖承阳朔四年之误姑志以俟考壬子四年正月辛巳朔十一月乙酉日丑初三刻四分内一十一秒冬至绥和癸丑元年正月乙亥朔十一月庚寅日辰初二刻十一分内二十一秒冬至甲寅二年正月己巳朔十一月乙未日未初二刻三分内三十一秒冬至 应闰二百四十九章孝哀皇帝建平乙夘元年正月癸巳朔十一月庚子日戌初一刻十分内四十一秒冬至 五行志正月丁未陨石北地十丙辰二年正月戊子朔十一月丙午日丑初一刻二分内五十一秒冬至丁巳三年正月壬午朔十一月辛亥日辰初初刻十分内一秒冬至 应闰戊午四年正月丙午朔十一月丙辰日未初初刻二分内一十一秒冬至元夀己未元年正月辛丑朔十一月辛酉日酉正三刻九分内二十一秒冬至 史正月辛丑朔日食庚申二年正月乙未朔十一月丁夘日子正三刻一分内三十一秒冬至 史四月壬辰晦日食六月戊午帝崩盖闰四月或五月史秋九月壬寅塟义陵由壬辰晦推之壬寅八月十一日孝平皇帝元始辛酉元年正月己未朔十一月壬申日夘正二刻八分内四十一秒冬至 史五月丁巳朔日食壬戌二年正月癸丑朔十一月丁丑日午正一刻十五分内五十一秒冬至 置闰盖在九月前史九月戊申晦日食实十月朔十一月丁丑朔十二月丙午朔当时节气既后天又不知推定朔故多误癸亥三年正月丙子朔十一月壬午日酉正一刻八分内一秒冬至甲子四年正月辛未朔十一月戊子日子正初刻十五分内一十一秒冬至乙丑五年正月丙寅朔十一月癸巳日夘正初刻七分内二十一秒冬至 应闰史闰月立梁孝王耳孙音为王孺子婴居摄丙寅元年正月庚寅朔十一月戊戌日午初三刻十四分内三十一秒冬至 史十月丙辰朔日食丁夘二年正月甲申朔十一月癸夘日酉初三刻六分内四十一秒冬至戊辰三年正月戊寅朔十一月己酉日子初二刻十三分内五十一秒冬至 此年应闰四分今推十一月己酉冬至史称王莽奏言十一月壬子直建冬至是其节气后天较太初尤甚又莽以此年十二月癸酉朔为建国元年正月朔今仍用汉之正朔推筭而附莽之伪朔以便考新室王莽簒国伪号始建国己巳元年正月壬寅朔十一月甲寅日夘初二刻六分内一秒冬至 凡王莽传称正月皆建丑此从汉正朔庚午二年正月丙申朔十一月己未日午初一刻十三分内一十一秒冬至 王莽传九月辛巳即汉八月十一月癸酉即十月辛未三年正月庚寅朔十一月甲子日酉初一刻五分内二十一秒冬至 应闰自壬寅年至此十一闰又一纪壬申四年正月甲寅朔十一月庚午日子初初刻十二分内三十一秒冬至癸酉五年正月乙酉朔十一月乙亥日夘初初刻四分内四十一秒冬至 应闰二百五十章天鳯甲戌元年正月癸酉朔十一月庚辰日巳正三刻十一分内五十一秒冬至 王莽传三月壬申晦日食二月晦日也乙亥二年正月丁夘朔十一月乙酉日申正三刻四分内一秒冬至日躔在斗十八度之五十六分全史日至源流卷二十二
## 卷二十三
钦定四库全书全史日至源流卷二十三山东道御史许伯政撰壬子运二十三(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻六分五十秒)冬至十四日八时三刻十四分一秒四十微小寒十四日八时四刻四分五十一秒四十微大寒十四日九时一刻十分六秒四十微立春十四日十时一刻六分六秒四十微雨水十四日十一时三刻四分六秒四十微惊蛰十五日零七刻一秒四十微春分十五日二时三刻八分五十一秒四十微清明十五日四时零七分五十一秒四十微谷雨十五日五时四刻七分五十六秒四十微立夏十五日六时七刻零一秒四十微小满十五日八时零二分五十六秒四十微芒种十五日八时三刻十分一秒四十微夏至十五日八时七刻零一秒四十微小暑十五日八时五刻三分一秒四十微大暑十五日八时零八分一秒四十微立秋十五日七时零十一分一秒四十微处暑十五日五时六刻六分一秒四十微白露十五日四时三刻九分六秒四十微秋分十五日二时四刻十一分一十一秒四十微寒露十五日一时一刻八分六秒四十微霜降十四日十一时五刻五分一秒四十微立冬十四日十时二刻十一分十一秒四十微小雪十四日九时二刻十二分六秒四十微大雪十四日八时五刻十分一秒四十微丙子三年正月辛酉朔十一月庚寅日亥正二刻十分内五十一秒冬至 应闰莽传五月庚寅朔本四月七月戊子晦日食本六月丁丑四年正月乙酉朔十一月丙申日寅正二刻二分内四十一秒冬至戊寅五年正月庚辰朔十一月辛丑日巳正一刻九分内三十一秒冬至己夘六年正月甲戌朔十一月丙午日申正一刻一分内二十一秒冬至 应闰地皇庚辰元年正月戊戌朔十一月辛亥日亥正初刻八分内一十一秒冬至 莽传正月乙未即上年十二月二十七日九月甲申八月二十日辛巳二年正月壬辰朔十一月丁巳日寅初三刻十五分内一秒冬至 应闰莽传闰月丙辰大赦在秋陨霜榖菽后盖闰十月壬午三年正月丙辰朔十一月壬戌日巳初三刻六分内五十一秒冬至 此年史书二月覇桥灾即汉正月但莽书称二月癸巳之夜甲午之辰火烧覇桥又称明旦即乙未立春之日当在上年编史者误入此年刘圣公世祖族兄下江兵将王常等共立为帝更始癸未元年正月辛亥朔十一月丁夘日申初二刻十三分内四十一秒冬至 史二月辛巳朔莽传在三月十月戊申朔实九月也甲申二年正月丙午朔十一月壬申日亥初二刻五分内三十一秒冬至 应闰世祖光武皇帝建武乙酉元年正月庚午朔十一月戊寅日寅初一刻十二分内二十一秒冬至 古今注建武元年正月庚午朔日食即更始三年此朔食正史未载丙戌二年正月甲子朔十一月癸未日巳初一刻四分内一十一秒冬至 史正月甲子朔日食丁亥三年正月己未朔十一月戊子日申初初刻十一分内一秒冬至 史闰正月五月乙夘晦日食戊子四年正月癸未朔十一月癸巳日亥初初刻二分内五十一秒冬至己丑五年正月丁丑朔闰十月己亥日丑正三刻九分内四十一秒冬至十一月辛丑朔 置闰应在次年三月后史八月己酉幸郯十一月壬寅伏湛免盖闰十月庚寅六年正月辛丑朔十一月甲辰日辰正三刻一分内三十一秒冬至 史九月丙寅晦日食辛夘七年正月乙未朔十一月己酉日未正二刻八分内二十一秒冬至 史三月癸亥晦日食壬辰八年正月己丑朔十一月甲寅日戌正一刻十五分内一十一秒冬至 史闰四月二百五十一章癸巳九年正月癸丑朔十一月庚申日丑正一刻七分内一秒冬至甲午十年正月丁未朔十一月己丑日辰正初刻十三分内五十一秒冬至乙未十一年正月壬寅朔十一月庚午日未正初刻五分内四十一秒冬至 史闰二月应闰五月丙申十二年正月丙寅朔十一月乙亥日戌初三刻十二分内三十一秒冬至丁酉十三年正月庚申朔十一月辛巳日丑初三刻四分内二十一秒冬至戊戌十四年正月乙夘朔十一月丙戌日辰初二刻十一分内一十一秒冬至 应闰盖闰三月史四月辛巳封孔子后己亥十五年正月己夘朔十一月辛夘日未初二刻三分内一秒冬至庚子十六年正月癸酉朔十一月丙申日戌初一刻九分内五十一秒冬至 史三月辛丑晦日食辛丑十七年正月丁夘朔十一月壬寅日丑初一刻一分内四十一秒冬至 应闰盖闰正月史二月乙未晦日食自壬申年至此十一闰又一纪壬寅十八年正月辛夘朔十一月丁未日辰初初刻八分内三十一秒冬至癸夘十九年正月乙酉朔十一月壬子日午正三刻十五分内二十一秒冬至 史闰四月应闰七月甲辰二十年正月己酉朔十一月丁巳日酉正三刻七分内一十一秒冬至乙巳二十一年正月甲辰朔十一月癸亥日子正二刻十四分内一秒冬至丙午二十二年正月戊戌朔十一月戊辰日夘正二刻五分内五十一秒冬至应闰史闰正月五月乙未晦日食丁未二十三年正月壬戌朔十一月癸酉日午正一刻十二分内四十一秒冬至戊申二十四年正月丙辰朔十一月戊寅日酉正一刻四分内三十一秒冬至己酉二十五年正月庚辰朔十一月甲申日子正初刻十一分内二十一秒冬至 史三月戊申晦日食应闰盖在三月后庚戌二十六年正月甲戌朔十一月己丑日夘正初刻三分内一十一秒冬至辛亥二十七年正月戊辰朔十一月甲午日午初三刻十分内一秒冬至 应闰二百五十二章壬子二十八年正月壬辰朔十一月己亥日酉初三刻一分内五十一秒冬至 史正月乙巳徙鲁王兴为北海王癸丑二十九年正月丁亥朔十一月乙巳日子初二刻八分内四十一秒冬至 二月丁巳朔日食甲寅三十年正月辛巳朔十一月庚戌日夘初一刻十五分内三十一秒冬至 应闰史二月甲子幸鲁闰月癸丑还宫盖闰三月乙夘三十一年正月乙巳朔十一月乙夘日午初一刻七分内二十一秒冬至 史五月癸酉晦日食中元丙辰元年正月庚子朔十一月庚申日酉初初刻十四分内一十一秒冬至 置闰应在次年四月后史十一月甲子晦日食下年正月辛未是此年闰十二月丁巳二年正月甲子朔十一月丙寅日子初初刻六分内一秒冬至 史正月辛未初立北郊祀后土二月戊戌帝崩孝明皇帝永平戊午元年正月戊午朔十一月辛未日寅正三刻十二分内五十一秒冬至未二年正月壬子朔十一月丙子日巳正三刻四分内四十一秒冬至 应闰庚申三年正月丙子朔十一月辛巳日申正二刻十一分内三十一秒冬至 八月壬申晦日食辛酉四年正月庚午朔十一月丙戌日亥正二刻三分内二十一秒冬至 古今注八月丙寅时加未日食盖晦日也壬戌五年正月乙丑朔十一月壬辰日寅正一刻十分内一十一秒冬至 古今注二月乙未朔日食应闰癸亥六年正月己丑朔十一月丁酉日巳正一刻二分内一秒冬至甲子七年正月癸未朔十一月壬寅日申正初刻八分内五十一秒冬至乙丑八年正月丁丑朔十一月丁未日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 应闰史十月壬寅晦日食丙寅九年正月辛丑朔十一月癸丑日寅初三刻七分内三十一秒冬至丁夘十年正月乙未朔十月戊午日巳初二刻十四分内二十一秒冬至十一月庚申朔 置闰应在次年二月后史闰四月戊辰十一年正月己未朔十一月癸亥日申初二刻六分内一十一秒冬至己巳十二年正月甲寅朔十一月戊辰日亥初一刻十三分内一秒冬至庚午十三年正月戊申朔十一月甲戌日寅初一刻四分内五十一秒冬至 应闰五行志古今注闰八月甲辰晦日食二百五十三章壬寅年至此十一闰又一纪缩一年下起辛未辛未十四年正月壬申朔十一月己夘日巳初初刻十一分内四十一秒冬至壬申十五年正月丁夘朔十一月甲申日申初初刻三分内三十一秒冬至癸酉十六年正月辛酉朔十一月己丑日戌正三刻十分内二十一秒冬至 应闰盖闰四月史五月戊午晦日食甲戌十七年正月乙酉朔十一月乙未日丑正三刻二分内一十一秒冬至 史记秦本纪后书孝明十七年十月十五日乙丑乙亥十八年正月己夘朔十一月庚子日辰正二刻九分内一秒冬至 置闰应在次年三月后史十一月甲辰晦日食十二月癸巳有司奏言孝明皇帝宜尊庙曰显宗是此年闰十一月孝章皇帝建初丙子元年正月癸夘朔十一月乙巳日未正一刻十五分内五十一秒冬至丁丑二年正月丁酉朔十一月庚戌日戌正一刻七分内四十一秒冬至戊寅三年正月壬辰朔十一月丙辰日丑正初刻十四分内三十一秒冬至 应闰史闰月在四月后十二月前己夘四年正月丙辰朔十一月辛酉日辰正初刻六分内二十一秒冬至庚辰五年正月庚戌朔十一月丙寅日未初三刻十三分内一十一秒冬至 史二月庚辰朔日食辛巳六年正月甲辰朔十一月辛未日戌初三刻五分内一秒冬至 应闰史五月辛酉赵王旰薨六月辛未晦日食盖闰五月壬午七年正月戊辰朔十一月丁丑日丑初二刻十一分内五十一秒冬至癸未八年正月癸亥朔十一月壬午日辰初二刻三分内四十一秒冬至元和甲申元年正月丁巳朔十一月丁亥日未初一刻十分内三十一秒冬至 应闰五月史闰正月乙酉二年正月辛巳朔十一月壬辰日戌初一刻二分内二十一秒冬至 史二月甲寅始用四分厯十一月壬辰日南至初闭闗梁今推至日合其时张盛等与杨岑共课岁余四分厯所中多盖较三统为胜惜施行不乆耳丙戌三年正月乙亥朔十一月戊戌日丑初初刻九分内一十一秒冬至章和丁亥元年正月己巳朔十一月癸夘日辰初初刻一分内一秒冬至日躔在斗十七度之五十六分应闰二月史八月乙未晦日食戊子二年正月癸巳朔十一月戊申日午正三刻七分内五十一秒冬至孝和皇帝永元己丑元年正月戊子朔十一月癸丑日酉正二刻十四分内四十一秒冬至 史闰七月二百五十四章庚寅二年正月壬子朔十一月己未日子正二刻六分内三十一秒冬至 史二月壬午日食辛夘三年正月丙午朔十一月甲子日夘正一刻十三分内二十一秒冬至壬辰四年正月庚子朔十一月己巳日午正一刻五分内一十一秒冬至 史闰三月六月戊戌朔日食癸巳五年正月甲子朔十一月甲戌日酉正初刻十二分内一秒冬至甲午六年正月戊午朔十一月庚辰日子正初刻三分内五十一秒冬至 史六月己酉初令伏闭尽日乙未七年正月壬子朔十一月乙酉日夘初三刻十分内四十一秒冬至 盖闰三月史四月辛亥朔日食丙申八年正月丙子朔十一月庚寅日午初三刻二分内三十一秒冬至丁酉九年正月辛未朔十一月乙未日酉初二刻九分内二十一秒冬至 史闰八月戊戌十年正月乙未朔十一月辛丑日子初二刻一分内一十一秒冬至己亥十一年正月庚寅朔十一月丙午日夘初一刻八分内一秒冬至庚子十二年正月甲申朔十一月辛亥日午初初刻十四分内五十一秒冬至 史闰五月七月辛亥朔日食辛未年至此十一闰又一纪辛丑十三年正月戊申朔十一月丙辰日酉初初刻六分内四十一秒冬至壬寅十四年正月壬寅朔十一月辛酉日亥正三刻十三分内三十一秒冬至癸夘十五年正月丁酉朔十一月丁夘日寅正三刻五分内二十一秒冬至 应闰四月史闰正月四月甲子晦日食甲辰十六年正月辛酉朔十一月壬申日巳正二刻十二分内一十一秒冬至元兴乙巳元年正月乙夘朔十一月丁丑日申正二刻四分内一秒冬至 置闰应在次年三月后史十二月辛未帝崩是此年盖闰十一月孝殇皇帝延平丙午元年正月己夘朔十一月壬午日亥正一刻十分内五十一秒冬至 史正月辛夘张禹为太傅孝安皇帝永初丁未元年正月癸酉朔十一月戊子日寅正一刻二分内四十一秒冬至 史正月癸酉朔大赦五行志三月二日癸酉日食戊申二年正月戊辰朔十一月癸巳日 正初刻九分内三十一秒冬至 史闰七月二百五十五章己酉三年正月壬辰朔十一月戊戌日申正初刻一分内二十一秒冬至 史正月庚子加元服庚戌四年正月丙戌朔十一月癸夘日亥初三刻八分内一十一秒冬至辛亥五年正月庚辰朔十一月己酉日寅初二刻十五分内一秒冬至 史正月庚辰朔日食闰月丁酉赦盖闰四月壬子六年正月甲辰朔十一月甲寅日巳初二刻六分内五十一秒冬至癸丑七年正月戊戌朔十一月己未日申初一刻十三分内四十一秒冬至 史四月丙申晦日食置闰应在次年三月后盖此年闰十二月元初甲寅元年正月壬戌朔十一月甲子日亥初一刻五分内三十一秒冬至 史正月甲子改元十月戊子朔日食乙夘二年正月丙辰朔十一月庚午日寅初初刻十二分内二十一秒冬至 五行志九月壬午朔日食丙辰三年正月庚戌朔十一月乙亥日巳初初刻四分内一十一秒冬至 五行志三月二日辛亥日食应闰丁巳四年正月乙亥朔十一月庚辰日未正三刻十一分内一秒冬至 史二月乙巳朔日食五行志其月十八日壬戌武库火戊午五年正月己巳朔十一月乙酉日戌正三刻二分内五十一秒冬至 八月丙申朔日食己未六年正月甲子朔十一月辛夘日丑正二刻九分内四十一秒冬至 应闰十二月戊午朔日食永宁庚申元年正月戊子朔十一月丙申日辰正二刻一分内三十一秒冬至 史七月乙酉朔日食建光辛酉元年正月壬午朔十一月辛丑日未正一刻八分内二十一秒冬至延光壬戌元年正月丙子朔十一月丙午日戌正初刻十五分内一十一秒冬至 应闰史三月丙午改元盖闰二月癸亥二年正月庚子朔十一月壬子日丑正初刻七分内一秒冬至 十二月四日戊辰见杨震疏甲子三年正月乙未朔闰十月丁巳日辰初三刻十三分内五十一秒冬至十一月己未朔 史九月庚申晦日食闰十月应在下年三月后乙丑四年正月己未朔十一月壬戌日未初三刻五分内四十一秒冬至 史三月戊午朔日食孝顺皇帝永建丙寅元年正月癸丑朔十一月丁夘日戌初二刻十二分内三十一秒冬至丁夘二年正月丁未朔十一月癸酉日丑初二刻四分内二十一秒冬至 应闰史七月甲戌朔日食盖闰六月二百五十六章戊辰三年正月辛未朔十一月戊寅日辰初一刻十一分内一十一秒冬至己巳四年正月乙丑朔十一月癸未日未初一刻三分内一秒冬至庚午五年正月己未朔十一月戊子日戌初初刻九分内五十一秒冬至 应闰史四月辛巳诏被灾者勿收责盖闰三月辛丑年至此十一闰又一纪辛未六年正月癸未朔十一月甲午日丑初初刻一分内四十一秒冬至阳嘉壬申元年正月戊寅朔十一月己亥日夘正三刻八分内三十一秒冬至 史秋七月史官始作候风地动铜仪置闰应在下年三月后史闰十二月癸酉二年正月壬寅朔十一月甲辰日午正二刻十五分内二十一秒冬至甲戌三年正月丙申朔十一月己酉日酉正三刻七分内一十一秒冬至乙亥四年正月庚寅朔十一月乙夘日子正一刻十四分内一秒冬至 应闰史闰月丁亥朔日食盖闰八月永和丙子元年正月甲寅朔十一月庚申日夘正一刻五分内五十一秒冬至丁丑二年正月己酉朔十一月乙丑日午正初刻十二分内四十一秒冬至戊寅三年正月癸夘朔十一月庚午日酉正初刻四分内三十一秒冬至 史闰四月十二月戊戌朔日食己夘四年正月丁夘朔十一月丙子日子初三刻十一分内二十一秒冬至庚辰五年正月壬戌朔十一月辛巳日夘初三刻三分内一十一秒冬至 史五月己丑晦日食辛巳六年正月丙辰朔十一月丙戌日午初二刻十分内一秒冬至 应闰史闰正月九月辛亥晦日食汉安壬午元年正月庚辰朔十一月辛夘日酉初二刻一分内五十一秒冬至癸未二年正月甲戌朔十月丙申夜子初一刻八分内四十一秒冬至十一月戊戌朔 置闰应在次年二月后史闰十月建康甲申元年正月戊戌朔十一月壬寅日夘初初刻十五分内三十一秒冬至孝冲皇帝永嘉乙酉元年正月壬辰朔十一月丁未日午初初刻七分内二十一秒冬至孝质皇帝本初丙戌元年正月丁亥朔十一月壬子日申正三刻十四分内一十一秒冬至 史闰六月二百五十七章孝桓皇帝建和丁亥元年正月辛亥朔十一月丁巳日亥正三刻六分内一秒冬至 史正月辛亥朔日食戊子二年正月乙巳朔十一月癸亥日寅正二刻十二分内五十一秒冬至己丑三年正月庚子朔十一月戊辰日巳正二刻四分内四十一秒冬至 应闰六月史三月甲申彭城王薨盖闰二月四月丁夘晦日食和平庚寅元年正月甲子朔十一月癸酉日申正一刻十一分内三十一秒冬至 史正月甲子大赦改元元嘉辛夘元年正月戊午朔十一月戊寅日亥正一刻三分内二十一秒冬至 置闰应在次年三月后史于十一月辛巳地震下书闰月庚午盖闰十二月壬辰二年正月壬午朔十一月甲申日寅正初刻十分内一十一秒冬至 史五行志七月二日庚辰日食永兴癸巳元年正月丙子朔十一月己丑日巳正初刻二分内一秒冬至甲午一年正月庚午朔十一月甲午日申初三刻八分内五十一秒冬至 史九月丁夘朔日食闰九月永夀乙未元年正月甲午朔十一月己亥日亥初二刻十五分内四十一秒冬至丙申二年正月戊子朔十一月乙巳日寅初二刻七分内三十一秒冬至丁酉三年正月癸未朔十一月庚戌日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 应闰史闰月庚辰晦日食盖闰五月延熹戊戌元年正月丁未朔十一月乙夘日申初一刻六分内一十一秒冬至 史五月甲戌晦日食己亥二年正月辛丑朔十一月庚申日亥初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十六度之五十六分庚子三年正月丙申朔十一月丙寅日寅初初刻四分内五十一秒冬至 应闰史闰三月辛未年至此十一闰又一纪辛丑四年正月庚申朔十一月辛未日辰正三刻十一分内四十一秒冬至壬寅五年正月甲寅朔闰月丙子日未正三刻三分内三十一秒冬至十一月己夘朔 置闰应在次年三月后盖闰十月如前例癸夘六年正月戊寅朔十一月辛巳日戌正二刻十分内二十一秒冬至甲辰七年正月壬申朔十一月丁亥日丑正三刻二分内一十一秒冬至乙巳八年正月丁夘朔十一月壬辰日辰正一刻九分内一秒冬至 史正月丙申晦日食史闰五月二百五十八章丙午九年正月辛夘朔十一月丁酉日未正初刻十五分内五十一秒冬至 史正月辛夘朔日食见五行传永康丁未元年正月乙酉朔十一月壬寅日戌正初刻七分内四十一秒冬至 史五月壬子晦日食孝灵皇帝建宁戊申元年正月己夘朔十一月戊申日丑初三刻十四分内三十一秒冬至 应闰史闰二月五月丁未朔日食十月甲辰晦日食己酉二年正月癸夘朔十一月癸丑日辰初三刻六分内二十一秒冬至 五行志十月戊戌晦日食庚戌三年正月戊戌朔十一月戊午日未初二刻十五分内一十一秒冬至 史三月丙寅晦日食置闰应在次年四月后盖闰十二月如前例辛亥四年正月壬戌朔十一月癸亥日戌初二刻五分内一秒冬至 史正月甲子加元服三月辛酉朔日食熹平壬子元年正月丙辰朔十一月己巳日丑初一刻十一分内五十一秒冬至癸丑二年正月庚戌朔十一月甲戌朔辰初一刻三分内四十一秒冬至 盖闰九月如前例史十二月癸酉晦日食本正月朔食误置大尽甲寅三年正月甲戌朔十一月己夘日未初初刻十分内三十一秒冬至 旧说汉灵帝熹平三年甲寅岁天正冬至丁丑日今在甲戌日辰初一刻其后天三日仍与太初元年同可见张衡铜仪测候之疎矣陶𢎞景推在乙亥亦非乙夘四年正月戊辰朔十一月甲申日戌初初刻二分内二十一秒冬至丙辰五年正月癸亥朔十一月庚寅日子正三刻九分内一十一秒冬至 史闰五月丁巳六年正月丁亥朔十一月乙未日夘正三刻一分内一秒冬至 史十月癸丑朔日食光和戊午元年正月辛巳朔十一月庚子日午正一刻七分内五十一秒冬至 史二月辛亥朔日食七月丙子晦日食己未二年正月乙亥朔十一月乙巳日酉正一刻十四分内四十一秒冬至 应闰史三月乙丑太尉桥元罢盖闰二月四月甲戌朔日食庚申三年正月己亥朔十一月辛亥日子正一刻六分内三十一秒冬至辛酉四年正月癸巳朔十一月丙辰日夘正初刻十三分内二十一秒冬至 史九月庚寅朔日食置闰应在次年三月后史闰九月壬戌五年正月丁巳朔十一月辛酉日午正初刻五分内一十一秒冬至癸亥六年正月壬子朔十一月丙寅日酉初三刻十二分内一秒冬至中平甲子元年正月丙午朔十一月壬申日子初三刻三分内五十一秒冬至 应闰史八月乙巳诏皇甫嵩北讨张角盖闰七月二百五十九章乙丑二年正月庚午朔十一月丁丑日夘初二刻十分内四十一秒冬至丙寅三年正月乙丑朔十一月壬午日午初二刻二分内三十一秒冬至 史五月壬辰晦日食丁夘四年正月己未朔十一月丁亥日酉初一刻九分内二十一秒冬至 应闰戊辰五年正月癸未朔十一月癸巳日子初一刻一分内一十一秒冬至 史正月丁酉大赦己巳六年正月丁丑朔十一月戊戌日夘初初刻八分内一秒冬至 史四月丙午朔日食置闰应在次年三月后史献帝即位后十一月癸酉董卓为相国十二月戊戌黄琬为太尉盖闰十一月孝献皇帝初平庚午元年正月辛丑朔十一月癸夘日巳正三刻十四分内五十一秒冬至 史正月辛亥大赦移上闰于此年辛丑年至此十一闰又一纪辛未二年正月乙未朔十一月戊申日申正三刻六分内四十一秒冬至壬申三年正月己丑朔十一月癸丑日亥正二刻十三分内三十一秒冬至 盖闰九月如前例癸酉四年正月甲寅朔十一月己未日寅正二刻五分内二十一秒冬至 史正月甲寅朔日食袁宏记曰未晡一刻而食兴平甲戌元年正月戊申朔十一月甲子日巳正一刻十二分内一十一秒冬至 史六月乙巳晦日食乙亥二年正月壬寅朔十一月己巳日申正一刻四分内一秒冬至 应闰史六月庚午张济自陜来和傕汜七月甲午车驾东归盖闰六月建安丙子元年正月丙寅朔十一月甲戌日亥正初刻十分内五十一秒冬至 史正月癸酉大赦改元丁丑二年正月辛酉朔十一月庚辰日寅正初刻二分内四十一秒冬至戊寅三年正月乙夘朔十一月乙酉日巳初三刻九分内三十一秒冬至 应闰己夘四年正月己夘朔十一月庚寅日申正一刻四分内二十一秒冬至庚辰五年正月癸酉朔十一月乙未日亥初二刻八分内一十一秒冬至 史九月庚午朔日食辛巳六年正月戊辰朔十一月辛丑日寅初一刻十五分内一秒冬至 史三月丁夘朔日食应闰壬午七年正月壬辰朔十一月丙午日巳初一刻六分内五十一秒冬至癸未八年正月丙戌朔十一月辛亥日申初初刻十三分内四十一秒冬至 应闰八月史七月己巳公卿初迎冬于北郊盖闰在十月后二百六十章甲申九年正月庚戌朔十一月丙辰日亥初初刻五分内三十一秒冬至乙酉十年正月甲辰朔十一月壬戌日丑正三刻十二分内二十一秒冬至丙戌十一年正月戊戌朔十一月丁夘日辰正三刻四分内一十一秒冬至 应闰旧说献帝建安十一年丙戌岁天正冬至乙丑日今在壬戌日丑正三刻其后天三日仍与前同丁亥十二年正月壬戌朔十一月壬申日未正二刻十一分内一秒冬至戊子十三年正月丁巳朔十一月丁丑日戌正三刻二分内五十一秒冬至 史十月癸未朔日食己丑十四年正月辛亥朔十一月癸未日丑正一刻九分内四十一秒冬至 应闰庚寅十五年正月乙亥朔十一月戊子日辰正一刻一分内三十一秒冬至 史二月乙巳朔日食辛夘十六年正月己巳朔十一月癸巳日未正初刻八分内二十一秒冬至 魏书曹操征马超八月至潼闗闰月北渡河则此年闰八月壬辰十七年正月癸巳朔十一月戊戌日戌初三刻十五分内一十一秒冬至 史六月庚寅晦日食癸巳十八年正月戊子朔十一月甲辰日丑初三刻七分内一秒冬至 史正月庚寅复禹贡九州甲午十九年正月壬午朔十一月己酉日辰初二刻十三分内五十一秒冬至 应闰吴书建安十九年五月权征皖城闰月克之盖闰五月乙未二十年正月丙午朔十一月甲寅日未初二刻五分内四十一秒冬至 史正月甲子立贵人曹氏为皇后丙申二十一年正月庚子朔十一月己未日戌初一刻十二分内三十一秒冬至 史五月己亥朔日食丁酉二十二年正月甲午朔十一月乙丑日丑初一刻四分内二十一秒冬至 应闰戊戌二十三年正月戊午朔十一月庚午日辰初初刻十一分内一十一秒冬至 史正月甲子耿纪韦晃起兵诛曹操不克己亥二十四年正月癸丑朔十一月乙亥日未初初刻三分内一秒冬至 史二月壬子晦日食置闰应在次年三月后史秋七月庚子刘备自称汉中王 盖此年闰六月庚子二十五年正月丁丑朔十一月庚辰日酉正三刻九分内五十一秒冬至 史二月丁未朔日食冬十月乙夘逊位曹丕改黄初元年移上闰于此年自辛未至此十一闰又一纪三国遵纲目蜀承正统魏吴附见蜀先主昭烈皇帝章武辛丑元年正月辛未朔十一月丙戌日子正三刻一分内四十一秒冬至 魏书二年六月戊辰晦日食壬寅二年正月丙寅朔十一月辛夘日夘正二刻八分内三十一秒冬至 吴主权黄武元年魏书正月丙寅朔日食闰月孙权破刘备于夷陵闰五月也十一月庚申晦日食此年应闰九月二百六十一章后主建兴癸夘元年正月庚寅朔十一月丙申日午正一刻十五分内二十一秒冬至甲辰二年正月甲申朔十一月辛丑日酉正一刻七分内一十一秒冬至 魏书十一月戊申晦日食乙巳三年正月戊寅朔十一月丁未日子正初刻十四分内一秒冬至 应闰魏书五月戊申幸谯壬戌荧惑入太微盖闰四月丙午四年正月壬寅朔十一月壬子日卯正初刻五分内五十一秒冬至丁未五年正月丙申朔十一月丁巳日午初三刻十二分内四十一秒冬至 魏明帝太和元年戊申六年正月辛夘朔十一月壬戌日酉初三刻四分内三十一秒冬至 应闰魏书正月丁未幸长安四月丁酉还洛阳宫盖闰二月吴书闰月韩当子琮以其众䧏魏在上年未详何月己酉七年正月乙夘朔十一月戊辰日子初二刻十一分内二十一秒冬至 吴黄龙元年庚戌八年正月己酉朔十一月癸酉日夘初二刻三分内一十一秒冬至 魏书八月乙未幸许昌宫十月乙夘还洛阳盖闰九月辛亥九年正月癸酉朔十一月戊寅日午初一刻十分内一秒冬至日躔在斗十五度之五十六分 魏书十一月戊戌晦日食全史日至源流卷二十三
## 卷二十四
钦定四库全书全史日至源流卷二十四山东道御史许伯政撰壬子运二十四(每期三百六十五日二时七刻六分三十秒)冬至十四日八时三刻十四分零五十微小寒十四日八时四刻四分五十秒五十微大寒十四日九时一刻十分五秒五十微立春十四日十时一刻六分五秒五十微雨水十四日十一时三刻四分五秒五十微惊蛰十五日零七刻零五十微春分十五日二时三刻八分五十秒五十微清明十五日四时零七分五十秒五十微榖雨十五日五时四刻七分五十五秒五十微立夏十五日六时七刻零五十微小满十五日八时零二分五十五秒五十微芒种十五日八时三刻十分零五十微夏至十五日八时七刻零五十微小暑十五日八时五刻三分五十微大暑十五日八时零八分五十微立秋十五日七时零十一分五十微处暑十五日五时六刻六分五十微白露十五日四时三刻九分五秒五十微秋分十五日二时四刻十一分十秒五十微寒露十五日一时一刻八分五秒五十微霜降十四日十一时五刻五分五十微立冬十四日十时二刻十一分十秒五十微小雪十四日九时二刻十二分五秒五十微大雪十四日八时五刻十分五十微壬子十年正月戊辰朔十一月癸未日酉初一刻一分内三十一秒冬至 晋史魏太和六年正月戊辰朔日食吴厯在嘉禾元年同此癸丑十一年正月壬戌朔十一月己丑日子初初刻八分内一秒冬至 魏青龙元年闰五月庚寅朔日食甲寅十二年正月丙戌朔十一月甲午日寅正三刻十四分内三十一秒冬至乙夘十三年正月庚辰朔十一月己亥日巳正三刻六分内一秒冬至 魏书正月戊子以司马懿为太尉丙辰十四年正月甲戌朔十一月甲辰日申正二刻十二分内三十一秒冬至 应闰晋书闰正月己巳填星犯井钺丁巳十五年正月戊戌朔十一月己酉日亥正二刻四分内一秒冬至 魏景初元年以建丑为正月改春三月为孟夏四月十二月壬子冬至始祀圜丘其改正又踵王莽故智真汉贼也今仍以夏正推之至日在己酉亥正二刻其后天三日仍与前同延熈戊午元年正月癸巳朔十一月乙夘日寅正一刻十分内三十一秒冬至 吴赤乌元年魏书闰十一月置闰应在下年三月后己未二年正月丁巳朔十一月庚申日巳正一刻二分内一秒冬至 魏书景初三年正月丁亥朔帝病甚指丑正言之其实乃寅月朔日縁上年不应闰也庚申三年正月辛亥朔十一月乙丑日申正初刻八分内三十一秒冬至 魏主芳正始元年仍以建寅为正月晋书七月戊申朔日食辛酉四年正月乙巳朔十一月庚午日亥初三刻十五分内一秒冬至 应闰吴书魏救樊六月军还闰月大将军瑾卒盖闰六月二百六十二章九月辛未朔二十五日乙未见髙贵乡公自叙文壬戌五年正月己巳朔十一月丙子日寅初三刻六分内三十一秒冬至 晋书四月戊戌朔日食癸亥六年正月癸亥朔十一月辛巳日巳初二刻十三分内一秒冬至 魏书五月朔日食不书日晋书以为丁丑朔今推五月壬戌朔十六日得丁丑其月食讹为日食欤甲子七年正月戊午朔十一月丙戌日申初二刻四分内三十一秒冬至 应闰蜀书闰二月魏书四月朔日食晋书称丙辰朔食乙丑八年正月壬午朔十一月辛夘日亥初一刻十一分内一秒冬至 晋书四月壬子朔日食十月戊申朔日食魏书十二月乙亥诏明日大会群臣令太傅乗舆上殿指正月丙子元日言也丙寅九年正月丙子朔十一月丁酉日寅初一刻二分内三十一秒冬至 置闰应在下年三月后当时盖闰十二月丁夘十年正月庚子朔十一月壬寅日巳初初刻九分内一秒冬至 晋书魏正始八年二月庚午朔日食戊辰十一年正月乙未朔十一月丁未日未正三刻十五分内三十一秒冬至 晋书正月乙未朔日食己巳十二年正月己丑朔十一月壬子日戌正三刻七分内一秒冬至 晋书魏嘉平元年二月己未日食置闰应在次年二月后魏书十二月辛夘以王凌为太尉庚子以孙礼为司空则月前有闰盖闰十一月庚午十三年正月癸丑朔十一月戊午日丑正二刻十三分内三十一秒冬至 移上闰于此年自辛丑至此十一闰又一纪辛未十四年正月丁未朔十一月癸亥日辰正二刻五分内一秒冬至 吴太元元年壬申十五年正月辛丑朔十一月戊辰日未正一刻十一分内三十一秒冬至 应闰吴书魏嘉平四年四月孙亮即位改元建兴闰月以恪为太傅十二月丙申朔大风雷电癸酉十六年正月乙丑朔十一月癸酉日戌正一刻三分内一秒冬至甲戌十七年正月庚申朔十一月己夘日丑正初刻九分内三十一秒冬至 十月后魏主髦正元元年吴五凤元年乙亥十八年正月甲寅朔十一月甲寅日辰正初刻一分内一秒冬至 应闰魏书吴书晋书皆闰正月丙子十九年正月戊寅朔十一月己丑日未初三刻七分内三十一秒冬至 魏甘露元年吴太平元年丁丑二十年正月壬申朔十一月甲午日戌初二刻十四分内一秒冬至 吴书九月己巳朔置闰应在次年三月后当时盖此年闰十二月景耀戊寅元年正月丙申朔十一月庚子日丑初二刻五分内三十一秒冬至 吴主休永安元年己夘二年正月庚寅朔十一月乙巳日辰初一刻十二分内一秒冬至 晋书髙贵乡公甘露四年七月戊子朔日食庚辰三年正月己酉朔十一月庚戌日未初一刻三分内三十一秒冬至 魏主奂景元元年正月乙酉朔日食见晋书应闰八月二百六十三章辛巳四年正月己酉朔十一月乙夘日戌初初刻十分内一秒冬至 晋书五月丁未朔日食壬午五年正月癸夘朔十一月辛酉日丑初初刻一分内三十一秒冬至 十一月己亥朔日食见晋书炎兴癸未元年正月丁酉朔十一月丙寅日夘正三刻八分内一秒冬至 应闰是冬蜀亡魏咸熈甲申元年正月辛酉朔十一月辛未日午正二刻十四分内三十一秒冬至 八月后吴主皓元兴元年乙酉二年正月乙夘朔闰十月丙子日酉正二刻六分内一秒冬至十一月庚辰朔 吴甘露元年十二月晋泰始元年置闰应在下年四月后魏史闰月大宛献名马在十二月前晋史九月戊午以何曽为丞相十一月乙未以六条举淹滞盖闰十月晋武皇帝泰始丙戌二年正月庚辰朔十一月壬午日子正一刻十二分内三十一秒冬至 史七月丙午晦日食十月丙午朔日食吴寳鼎元年丁亥三年正月甲戌朔十一月丁亥日夘正一刻四分内一秒冬至戊子四年正月戊辰朔闰十月壬辰日午正初刻十分内三十一秒冬至十一月癸巳朔 置闰应在下年正月后史六月丙申朔十一月己未日诏举贤良盖闰十月己丑五年正月壬辰朔十一月丁酉日酉正初刻二分内一秒冬至 史五月辛夘朔吴建衡元年庚寅六年正月丁亥朔十一月癸夘日子初三刻八分内三十一秒冬至 史正月丁亥朔辛夘七年正月辛巳朔十一月戊申日夘初二刻十五分内一秒冬至 应闰史闰五月十月丁丑朔日食壬辰八年正月乙巳朔十一月癸丑日午初二刻六分内三十一秒冬至 史十月辛未朔日食吴凤凰元年癸巳九年正月己亥朔十一月戊午日酉初一刻十三分内一秒冬至 史四月戊辰朔日食七月丁酉朔日食甲午十年正月甲午朔十一月癸亥夜子初一刻四分内三十一秒冬至 天文志正月乙未日食史闰正月三月癸亥朔日食厯书十一月甲子夜半冬至今推之在癸亥夜子初仍后天一日咸宁乙未元年正月戊午朔十一月己巳日夘初初刻十一分内一秒冬至 史正月戊午朔改元七月甲申晦日食吴天玺元年丙申二年正月壬子朔十一月甲戌日午初初刻二分内三十一秒冬至 置闰应在下年三月后史闰九月吴天纪元年丁酉三年正月丙子朔十一月己夘日申正三刻九分内一秒冬至 史正月丙子朔日食戊戌四年正月庚午朔十一月甲申日亥正二刻十五分内三十一秒冬至 史正月庚午朔日食己亥五年正月乙丑朔十一月庚寅日寅正二刻七分内一秒冬至 应闰二百六十四章辛未年至此十一闰又一纪缩一年下起庚子太康庚子元年正月己丑朔十一月乙未日巳正一刻十三分内三十一秒冬至 史正月己丑朔辛丑二年正月癸未朔十一月庚子日申正一刻五分内一秒冬至壬寅三年正月丁丑朔十一月乙巳日亥正初刻十一分内三十一秒冬至 史闰四月癸夘四年正月辛丑朔十一月辛亥日寅正初刻三分内一秒冬至 史三月辛丑朔日食甲辰五年正月丙申朔十一月丙辰日巳初三刻九分内三十一秒冬至 置闰应在次年三月后史闰十二月乙巳六年正月庚申朔十一月辛酉日申初三刻一分内一秒冬至 史正月庚申朔八月丙戌朔日食丙午七年正月甲寅朔十一月丙寅日亥初二刻七分内三十一秒冬至 史正月甲寅朔日食丁未八年正月戊申朔闰十月壬申日寅初一刻十四分内一秒冬至十一月癸酉朔 史正月戊申朔日食置闰应在下年正月后次年正月壬申朔此冬盖闰十月戊申九年正月壬申朔十一月丁丑日巳初一刻五分内三十一秒冬至 史正月壬申朔日食六月庚子朔日食己酉十年正月丙寅朔十一月壬午日申初初刻十二分内一秒冬至太熈庚戌元年正月辛酉朔十一月丁亥日亥初初刻三分内三十一秒冬至 史正月辛酉朔改元四月后恵帝即位改元永熈应闰孝恵皇帝元康辛亥元年正月乙酉朔十一月癸巳日丑正三刻十分内一秒冬至 史正月乙酉朔改元永平三月后又改元元康壬子二年正月己夘朔十一月戊戌日辰正三刻一分内三十一秒冬至癸丑三年正月癸酉朔十一月癸夘日未正二刻八分内一秒冬至 应闰甲寅四年正月丁酉朔十一月戊申日戌正一刻十四分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔乙夘五年正月辛夘朔十一月甲寅日丑正一刻六分内一秒冬至 置闰应在次年二月后史十二月丙戌新作武库盖闰十一月丙辰六年正月乙夘朔十一月己未日辰正初刻十二分内三十一秒冬至丁巳七年正月庚戌朔十一月甲子日未正初刻四分内一秒冬至戊午八年正月甲辰朔十一月己巳日戌初三刻十分内三十一秒冬至 应闰二百六十五章己未九年正月戊辰朔十一月乙亥日丑初三刻二分内一秒冬至 史十一月甲子朔日食永康庚申元年正月癸亥朔十一月庚辰日辰初二刻八分内三十一秒冬至 史正月癸亥朔大赦改元己夘日食盖月食之讹己夘月十七日四月辛夘朔日食永宁辛酉元年正月丁巳朔十一月乙酉日未初一刻十五分内一秒冬至 史闰三月丙戌朔日食大安壬戌元年正月辛巳朔十一月庚寅日戌初一刻六分内三十一秒冬至癸亥二年正月丙子朔十一月丙申日丑初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十四度之五十六分 史正月丙子朔置闰应在下年四月后盖此冬闰十二月永兴甲子元年正月庚子朔十一月辛丑日辰初初刻四分内三十一秒冬至 史正月丙午乐广卒七月丙申朔乙丑二年正月甲午朔十一月丙午日午正三刻十一分内一秒冬至 史正月甲午朔九月庚寅朔光熈丙寅元年正月戊子朔闰十月辛亥日酉正三刻二分内三十一秒冬至十一月壬子朔 史正月戊子朔日食六月丙辰朔七月乙酉朔日食置闰应在下年正月后十一月庚午帝崩盖闰十月十二月壬子朔日食孝懐皇帝永嘉丁夘元年正月壬子朔十一月丁巳日子正二刻九分内一秒冬至 史正月癸丑改元七月己酉朔八月己夘朔十一月戊申朔日食戊辰二年正月丙午朔十一月壬戌日夘正一刻十五分内三十一秒冬至 史正月丙午朔日食十二月辛未朔大赦己巳三年正月辛丑朔十一月丁夘日午正一刻七分内一秒冬至 应闰庚子年至此十一闰又一纪庚午四年正月乙丑朔十一月壬申日酉正初刻十三分内三十一秒冬至 史正月乙丑朔辛未五年正月己未朔十一月戊寅日子正初刻五分内一秒冬至壬申六年正月癸丑朔十一月癸未日夘初三刻十一分内三十一秒冬至 应闰史二月壬子朔日食盖闰正月孝愍皇帝建兴癸酉元年正月丁丑朔十一月戊子日午初三刻三分内一秒冬至甲戌二年正月辛未朔十一月癸巳日酉初二刻九分内三十一秒冬至乙亥三年正月乙未朔十一月己亥日子初二刻一分内一秒冬至丙子四年正月庚寅朔十一月甲辰日夘初一刻七分内三十一秒冬至 史六月丁巳朔日食十一月甲申朔日食丁丑五年正月甲申朔十一月己酉日午初初刻十四分内一秒冬至 史三月琅琊王睿承制改元建武称晋王于建康应闰二百六十六章元皇帝太兴戊寅元年正月戊申朔十一月甲寅日酉初初刻五分内三十一秒冬至 史正月戊申朔三月癸丑愍帝崩问至丙辰即位四月丁丑朔日食己夘二年正月壬寅朔十一月己未日亥正三刻十二分内一秒冬至庚辰三年正月丁酉朔十一月乙丑日寅正三刻三分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔应闰辛巳四年正月辛酉朔十一月庚午日巳正二刻十分内一秒冬至永昌壬午元年正月乙夘朔十一月乙亥日申正二刻一分内三十一秒冬至 史正月乙夘改元置闰应在次年四月后史闰十一月巳丑帝崩明皇帝太宁癸未元年正月己夘朔十一月庚辰日亥正一刻八分内一秒冬至 史正月己夘朔三月戊寅朔改元七月丙子朔甲申二年正月甲戌朔十一月丙戌日寅正初刻十四分内三十一秒冬至 史七月壬申朔乙酉三年正月戊辰朔十月辛夘日巳正初刻六分内一秒冬至十一月壬辰朔 置闰应在次年二月后史闰八月十一月癸巳朔日食成皇帝咸和丙戌元年正月壬辰朔十一月丙申日申初三刻十二分内三十一秒冬至丁亥二年正月丙戌朔十一月辛丑日亥初三刻四分内一秒冬至 史五月甲申朔日食戊子三年正月庚辰朔十一月丁未日寅初二刻十分内三十一秒冬至 应闰己丑四年正月甲辰朔十一月壬子日巳初二刻二分内一秒冬至庚寅五年正月戊戌朔十一月丁巳日申初一刻八分内三十一秒冬至辛夘六年正月癸巳朔十一月壬戌日亥初初刻十五分内一秒冬至 应闰盖闰二月史三月壬戌朔日食壬辰七年正月丁巳朔十一月戊辰日寅初初刻六分内三十一秒冬至 史十一月壬子朔癸巳八年正月辛亥朔十一月癸酉日辰正三刻十三分内一秒冬至 史正月辛亥朔置闰应在次年三月后当时盖闰十二月如前例甲午九年正月乙亥朔十一月戊寅日未正三刻四分内三十一秒冬至咸康乙未元年正月庚午朔十一月癸未日戌正二刻十一分内一秒冬至 史正月庚午朔改元十月乙未朔日食丙申二年正月甲子朔十一月己丑日丑正二刻二分内三十一秒冬至 应闰二百六十七章丁酉三年正月戊子朔十一月甲午日辰正一刻九分内一秒冬至 史正月辛夘立太学戊戌四年正月壬午朔十一月己亥日未正初刻十五分内三十一秒冬至己亥五年正月丙子朔十一月甲辰日戌正初刻七分内一秒冬至 应闰庚午年至此十一闰又一纪庚子六年正月庚子朔十一月庚戌日丑初三刻十三分内三十一秒冬至 史正月庚子庾亮薨辛丑七年正月甲午朔十一月乙夘日辰初三刻五分内一秒冬至 史二月甲子朔日食元经正月甲午朔日食未详孰是置闰应在下年四月后下年正月己未朔盖闰十二月壬寅八年正月己未朔十一月庚申日未初二刻十一分内三十一秒冬至 史正月己未朔日食康皇帝建元癸夘元年正月癸丑朔十一月乙丑日戌初二刻三分内一秒冬至甲辰二年正月丁未朔十月辛未日丑初一刻九分内三十一秒冬至十一月壬申朔 置闰应在次年二月后史闰月乙酉太白犯斗盖闰八月穆皇帝永和乙巳元年正月辛未朔十一月丙子日辰初一刻一分内一秒冬至丙午二年正月乙丑朔十一月辛巳日未初初刻七分内三十一秒冬至 史四月己酉日食今推己酉四月十六日殆月食之讹丁未三年正月庚申朔十一月丙戌日酉正三刻十四分内一秒冬至 应闰戊申四年正月甲申朔十一月壬辰日子正三刻五分内三十一秒冬至己酉五年正月戊寅朔十一月丁酉日夘正二刻十二分内一秒冬至庚戌六年正月癸酉朔十一月壬寅日午正二刻三分内三十一秒冬至 史闰正月辛亥七年正月丁酉朔十一月丁未日酉正一刻十分内一秒冬至 史正月丁酉日食壬子八年正月辛夘朔十一月癸丑日子正一刻一分内三十一秒冬至 史正月辛夘日食置闰应在下年三月后下年正月乙夘朔盖闰十二月癸丑九年正月乙夘朔十一月戊午日夘正初刻八分内一秒冬至 史正月乙夘朔大赦甲寅十年正月己酉朔十一月癸亥日午初三刻十四分内三十一秒冬至 史正月己酉朔乙夘十一年正月癸夘朔十一月戊辰日酉初三刻六分内一秒冬至 应闰二百六十八章丙辰十二年正月丁夘朔十一月甲戌日子初二刻十二分内三十一秒冬至史正月丁夘临轩十月癸巳朔日食升平丁巳元年正月壬戌朔十一月己夘日夘初二刻四分内一秒冬至 史正月壬戌朔改元戊午二年正月丙辰朔十一月甲申日午初一刻十分内三十一秒冬至 应闰天文志闰三月己亥月犯岁星己未三年正月庚辰朔十一月己丑日酉初一刻二分内一秒冬至庚申四年正月甲戌朔十一月乙未日子初初刻八分内三十一秒冬至 史八月辛丑朔日食置闰应在下年四月后下年正月戊戌朔盖闰十二月辛酉五年正月戊戌朔十一月庚子日寅正三刻十五分内一秒冬至 史正月戊戌大赦哀皇帝隆和壬戌元年正月癸巳朔十一月乙巳日巳正三刻六分内三十一秒冬至 史三月甲寅朔日食十二月戊午朔日食今推甲寅三月二十三日且十二月戊午朔三月安得甲寅朔舛甚兴宁癸亥元年正月丁亥朔十月庚戌日申正二刻十三分内一秒冬至十一月辛亥朔 置闰应在次年二月后史七月丁酉塟章太妃九月壬戌桓温北伐盖闰八月甲子二年正月辛亥朔十一月乙夘日亥正二刻四分内三十一秒冬至 史三月庚戌朔严法禁称庚戌制乙丑三年正月乙巳朔十一月辛酉日寅正一刻十一分内一秒冬至废帝海西公太和丙寅元年正月己亥朔十一月丙寅日巳正一刻二分内三十一秒冬至 应闰丁夘二年正月癸亥朔十一月辛未日申正初刻九分内一秒冬至戊辰三年正月丁巳朔十一月丙子日亥初三刻十五分内三十一秒冬至 史正月丁巳朔日食己巳四年正月壬子朔十一月壬午日寅初三刻七分内一秒冬至 应闰天文志闰月乙亥月晕盖闰二月庚子年至此十一闰又一纪庚午五年正月丙子朔十一月丁亥日巳初二刻十三分内三十一秒冬至 史七月癸酉朔日食辛未六年正月庚午朔闰十月壬辰日申初二刻五分内一秒冬至十一月乙未朔 置闰应在下年三月后史闰月荧惑守太微盖闰十月十一月己酉简文立改元咸安简文皇帝咸安壬申二年正月甲午朔十一月丁酉日亥初一刻十一分内三十一秒冬至孝武皇帝宁康癸酉元年正月己丑朔十一月癸夘日寅初一刻三分内一秒冬至 史正月己丑朔改元甲戌二年正月癸未朔十一月戊申日巳初初刻九分内三十一秒冬至 史正月癸未朔大赦应闰天文志闰月己未月奄牵牛南星盖闰六月二百六十九章乙亥三年正月丁未朔十一月癸丑日申初初刻一分内一秒冬至日躔在斗十三度之五十六分 史十月癸酉朔日食太元丙子元年正月壬寅朔十一月戊午日戌正三刻七分内三十一秒冬至 史正月壬寅朔十一月己巳朔日食今自正月壬寅朔推之八月己巳朔十月二日得己巳此日食天文志不载盖误丁丑二年正月丙申朔十一月甲子日丑正二刻十四分内一秒冬至 史闰三月壬午地震戊寅三年正月庚申朔十一月己巳日辰正二刻五分内三十一秒冬至己夘四年正月甲寅朔十一月甲戌日未正一刻十二分内一秒冬至 置闰应在下年天文志闰月己酉日食盖闰十二月庚辰五年正月戊寅朔十一月己夘日戌正一刻三分内三十一秒冬至辛巳六年正月壬申朔十一月乙酉日丑正初刻十分内一秒冬至 史六月庚子朔日食壬午七年正月丙寅朔十月庚寅日辰正初刻一分内三十秒冬至十一月辛夘朔 史八月癸夘大赦十月丙子雷盖闰九月癸未八年正月庚寅朔十一月乙未日未初三刻八分内一秒冬至甲申九年正月乙酉朔十一月庚子日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 史六月癸丑朔十月辛亥朔日食乙酉十年正月己夘朔十一月丙午日丑初二刻六分内一秒冬至 应闰天文志闰月戊辰天狗东北下有声盖闰五月丙戌十一年正月癸夘朔十一月辛亥日辰初一刻十二分内三十一秒冬至丁亥十二年正月戊戌朔十一月丙辰日未初一刻四分内一秒冬至戊子十三年正月壬辰朔十一月辛酉日戌初初刻十分内三十一秒冬至 应闰己丑十四年正月丙辰朔十一月丁夘日丑初初刻二分内一秒冬至庚寅十五年正月庚戌朔十一月壬申日夘正三刻八分内三十一秒冬至 史三月己酉朔地震置闰应在下年四月后史称十二月己未地震盖闰十一月辛夘十六年正月甲戌朔十一月丁丑日午正二刻十五分内一秒冬至 天文志四月癸夘朔太白昼见壬辰十七年正月己巳朔十一月壬午日酉正二刻六分内三十一秒冬至 史正月己巳朔大赦五月丁夘朔日食癸巳十八年正月癸亥朔十一月戊子日子正一刻十三分内一秒冬至 史正月癸亥朔地震闰七月二百七十章甲午十九年正月丁亥朔十一月癸巳日夘正一刻四分内三十一秒冬至乙未二十年正月辛巳朔十一月戊戌日午正初刻十一分内一秒冬至 史三月庚辰朔日食丙申二十一年正月乙亥朔十一月癸夘日酉正初刻二分内三十一秒冬至 应闰安皇帝隆安丁酉元年正月己亥朔十一月己酉日子初三刻九分内一秒冬至 史正月己亥朔改元戊戌二年正月癸巳朔十一月甲寅日夘初二刻十五分内三十一秒冬至 置闰应在次年四月后史十月有丙子十二月有己丑盖闰十一月己亥三年正月丁巳朔十一月己未日午初二刻七分内一秒冬至 移上闰于此年自庚午年至此十一闰又一纪庚子四年正月壬子朔十一月甲子日酉初一刻十三分内三十一秒冬至 史六月庚辰朔日食辛丑五年正月丙午朔闰月庚午日子初一刻五分内一秒冬至十一月辛未朔 置闰应在下年二月后天文志闰月癸丑天东南鸣盖闰十月元兴壬寅元年正月庚午朔十一月乙亥日夘初初刻十一分内三十一秒冬至 史正月庚午朔改元癸夘二年正月甲子朔十一月庚辰日午初初刻三分内一秒冬至 史四月癸巳朔日食甲辰三年正月戊午朔十一月乙酉日申正三刻九分内三十一秒冬至史闰五月义熈乙巳元年正月壬午朔十一月庚寅日亥正三刻一分内一秒冬至丙午二年正月丁丑朔十一月丙申日寅正二刻七分内三十一秒冬至丁未三年正月辛未朔十一月辛丑日巳正一刻十四分内一秒冬至 应闰七月戊戌朔日食戊申四年正月乙未朔十一月丙午日申正一刻五分内三十一秒冬至己酉五年正月庚寅朔十月辛亥日亥正初刻十二分内一秒冬至十一月乙夘朔 天文志闰月丁酉月犯昴盖闰八月置闰应在次年二月后庚戌六年正月甲寅朔十一月丁巳日寅正初刻三分内三十一秒冬至辛亥七年正月戊申朔十一月壬戌日巳初三刻十分内一秒冬至壬子八年正月壬寅朔十一月丁夘日申初三刻一分内三十一秒冬至 应闰二百七十一章癸丑九年正月丙寅朔十一月壬申日亥初二刻八分内一秒冬至 史正月丙寅刘裕害诸葛长民十二月辛夘朔甲寅十年正月辛酉朔十一月戊寅日寅初一刻十四分内三十一秒冬至 史九月丁巳朔日食乙夘十一年正月乙夘朔十一月癸未日巳初一刻六分内一秒冬至 应闰天文志闰月丙午填星入舆鬼盖闰三月七月辛亥晦日食丙辰十二年正月己夘朔十一月戊子日申初初刻十二分内三十一秒冬至丁巳十三年正月甲戌朔十一月癸巳日亥初初刻四分内一秒冬至 史正月甲戌朔日食戊午十四年正月戊辰朔十一月己亥日丑正三刻十分内三十一秒冬至 应闰恭皇帝元熙己未元年正月壬辰朔十一月甲辰日辰正三刻二分内一秒冬至 史正月壬辰朔改元十一月丁亥朔日食庚申二年正月丙戌朔十一月己酉日未正二刻八分内三十一秒冬至 此年禅位刘裕九月后宋永初元年宋史闰八月宋髙祖武皇帝永初辛酉二年正月庚戌朔十一月甲寅日戌正一刻十五分内一秒冬至 史四月己夘朔壬戌三年正月甲辰朔十一月庚申日丑正一刻六分内三十一秒冬至少帝景平癸亥元年正月己亥朔十一月乙丑日辰正初刻十三分内一秒冬至 史正月己亥朔改元南史闰四月太祖文皇帝元嘉甲子元年正月癸亥朔十一月庚午日未正初刻四分内三十一秒冬至 史二月癸巳朔日食魏始光元年乙丑二年正月丁巳朔十一月乙亥日戌初三刻十一分内一秒冬至丙寅三年正月辛亥朔十一月辛巳日丑初三刻二分内三十一秒冬至 史闰正月丁夘四年正月乙亥朔十一月丙戌日辰初二刻九分内一秒冬至 史正月乙亥朔曲赦六月癸夘朔日食戊辰五年正月己巳朔闰十月辛夘日未初一刻十五分内三十一秒冬至十一月乙未朔 置闰应在次年三月后史闰十月魏神䴥元年十一月乙未朔日食己巳六年正月癸巳朔十一月丙申日戌初一刻七分内一秒冬至 史五月壬辰朔十一月己丑朔并日食移上闰于此年自庚子年至此十一闰又一纪庚午七年正月戊子朔十一月壬寅日丑初初刻十三分内三十一秒冬至辛未八年正月壬午朔十一月丁未日辰初初刻五分内一秒冬至 史闰六月二百七十二章壬申九年正月丙午朔十一月壬子日午正三刻十一分内三十一秒冬至 魏延和元年癸酉十年正月庚子朔十一月丁巳日酉正三刻三分内一秒冬至甲戌十一年正月乙未朔十一月癸亥日子正二刻九分内三十一秒冬至 史闰三月乙亥十二年正月己未朔十一月戊辰日夘正二刻一分内一秒冬至 史正月己未朔日食十一月甲寅朔戊辰冬至今推至日合魏大延元年丙子十三年正月癸丑朔十一月癸酉日午正一刻七分内三十一秒冬至 史正月癸丑朔十一月己酉朔甲戌冬至今在癸酉日午正一刻魏史闰十二月置闰应在下年三月后丁丑十四年正月丁丑朔十一月戊寅日酉正初刻十四分内一秒冬至戊寅十五年正月辛未朔十一月甲申日子正初刻五分内三十一秒冬至 魏史十一月丁夘朔日食元嘉厯甲申冬至今同自汉武元鼎太初以来岁气后天三日何承天始悟其失提上三日自此以后虽不能尽合天行多者差数时少者差数刻较前逺胜矣己夘十六年正月乙丑朔十一月己丑日夘初三刻十二分内一秒冬至 史闰九月元嘉厯十一月辛酉朔己丑冬至今同但此年未用元嘉厯乃事后追算盖当时既闰九月则十一月不得有辛酉朔矣庚辰十七年正月己丑朔十一月甲午日午初三刻三分内三十一秒冬至 史四月戊午朔日食元嘉厯追算十一月甲午日冬至今同魏太平真君元年辛巳十八年正月甲申朔十一月己亥日酉初二刻十分内一秒冬至 元嘉厯追算十一月己亥冬至今同壬午十九年正月戊寅朔十一月乙巳日子初二刻一分内三十一秒冬至 史闰五月七月甲戌晦日食元嘉厯十一月乙巳日十一刻冬至今同癸未二十年正月壬寅朔十一月庚戌日夘初一刻八分内一秒冬至甲申二十一年正月丁酉朔十一月乙夘日午初初刻十四分内三十一秒冬至乙酉二十二年正月辛夘朔十一月庚申日酉初初刻六分内一秒冬至 史正月辛夘朔改用何承天元嘉新厯此年应闰五月魏史九月戊子朔日食丙戌二十三年正月乙夘朔十一月乙丑日亥正三刻十二分内三十一秒冬至 史六月癸未朔日食丁亥二十四年正月己酉朔十一月辛未日寅正三刻四分内一秒冬至日躔在斗十二度之五十六分全史日至源流卷二十四
## 卷二十五
钦定四库全书全史日至源流卷二十五山东道御史许伯政撰壬子运二十五(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻六分十秒)冬至十四日八时三刻十四分小寒十四日八时四刻四分五十秒大寒十四日九时一刻十分五秒立春十四日十时一刻六分五秒雨水十四日十一时三刻四分五秒惊蛰十五日零七刻春分十五日二时三刻八分五十秒清明十五日四时零七分五十秒榖雨十五日五时四刻七分五十五秒立夏十五日六时七刻小满十五日八时零二分五十五秒芒种十五日八时三刻十分夏至十五日八时七刻小暑十五日八时五刻三分大暑十五日八时零八分立秋十五日七时零十一分处暑十五日五时六刻六分白露十五日四时三刻九分五秒秋分十五日二时四刻十一分十秒寒露十五日一时一刻八分五秒霜降十四日十一时五刻五分立冬十四日十时二刻十一分十秒小雪十四日九时二刻十二分五秒大雪十四日八时五刻十分戊子二十五年正月甲辰朔十一月丙子日巳正二刻十分内一十一秒冬至 史闰二月己丑二十六年正月戊辰朔十一月辛巳日申正二刻一分内二十一秒冬至 魏史正月戊辰朔四月丙辰朔日食庚寅二十七年正月壬戌朔十一月丙戌日亥正一刻七分内三十一秒冬至 史闰十月二百七十三章辛夘二十八年正月丙戌朔十一月壬辰日寅正初刻十三分内四十一秒冬至 史正月丙戌朔魏延平元年同壬辰二十九年正月庚辰朔十一月丁酉日巳正初刻四分内五十一秒冬至 魏髙宗兴安元年十月丙午朔癸巳三十年正月乙亥朔十一月壬寅日申初三刻十一分内一秒冬至 史正月乙亥朔闰六月七月辛丑朔日食世祖孝武皇帝孝建甲午元年正月己亥朔十一月丁未日亥初三刻二分内一十一秒冬至 史正月己亥朔改元魏兴光元年七月丙辰朔日食乙未二年正月癸巳朔十一月癸丑日寅初二刻八分内二十一秒冬至 魏太安元年丙申三年正月丁亥朔十一月戊午日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史闰三月大明丁酉元年正月辛亥朔十一月癸亥日申初一刻五分内四十一秒冬至 史正月辛亥朔改元戊戌二年正月丙午朔十一月戊辰日亥初初刻十一分内五十一秒冬至 魏史正月丙午朔闰十二月置闰应在下年二月后元嘉厯推筭冬至虽不甚差但二十四节气用平行法自冬至及交雨水较今法将长两日故置闰亦早两月己亥三年正月庚午朔十一月甲戌日寅初初刻三分内一秒冬至 移上闰于此年自庚午至此十一闰又一纪庚子四年正月甲子朔十一月己夘日辰正三刻九分内一十一秒冬至 魏史和平元年正月甲子朔改元九月庚申朔日食辛丑五年正月戊午朔十一月甲申日未正二刻十五分内二十一秒冬至 史正月戊午朔雪九月甲寅朔日食闰九月十一月乙酉日冬至诸厯皆得甲申今同壬寅六年正月壬午朔十一月己丑日戌正二刻六分内三十一秒冬至 魏史二月壬子朔日食癸夘七年正月丙子朔十一月乙未日丑正一刻十二分内四十一秒冬至 史大明七年天正冬至庚寅日今在己丑日戌正二刻见上年甲辰八年正月辛未朔十一月庚子日辰正一刻三分内五十一秒冬至 宋史闰五月魏史闰四月前废帝永光乙巳元年正月乙未朔十一月乙巳日未正初刻十分内一秒冬至 史正月乙未朔改元十二月庚申朔是月又改泰始元年太宗明皇帝泰始丙午二年正月己丑朔十一月庚戌日戌正初刻一分内一十一秒冬至 史正月己丑朔魏宪文皇帝天安元年丁未三年正月癸未朔十一月丙辰日丑初三刻七分内二十一秒冬至 史闰正月魏皇兴元年闰月同十月己亥朔日食今推十月己夘朔二十一日己亥戊申四年正月丁未朔十一月辛酉日辰初二刻十三分内三十一秒冬至 史四月丙子朔日食十月癸酉朔日食七月乙巳朔己酉五年正月辛丑朔十一月丙寅日未初二刻四分内四十一秒冬至 史十月丁夘朔日食闰十一月二百七十四章庚戌六年正月乙丑朔十一月辛未日戌初一刻十分内五十一秒冬至辛亥七年正月庚申朔十一月丁丑日丑初一刻二分内一秒冬至 魏孝文延兴元年泰豫壬子元年正月甲寅朔十一月壬午日辰初初刻八分内一十一秒冬至 史正月甲寅朔改元三月癸夘朔闰七月后废帝元徽癸丑元年正月戊寅朔十一月丁亥日午正三刻十四分内二十一秒冬至 史正月戊寅朔改元十二月癸夘朔日食甲寅二年正月癸酉朔十一月壬辰日酉正三刻五分内三十一秒冬至乙夘三年正月丁夘朔十一月戊戌日子正二刻十一分内四十一秒冬至 史闰三月丙辰四年正月辛夘朔十一月癸夘日夘正二刻二分内五十一秒冬至 魏承明元年顺皇帝升明丁巳元年正月乙酉朔十一月戊申日午正一刻九分内一秒冬至 史闰十二月如前例魏太和元年十月辛亥朔日食戊午二年正月己酉朔十一月癸丑日酉正初刻十五分内一十一秒冬至 史九月乙巳朔日食又北史二月乙酉晦日食南史三月己丑朔日食皆舛甚己未三年正月癸夘朔十一月己未日子正初刻六分内二十一秒冬至 史三月癸夘朔日食五月后即齐建元元年改元嘉厯为建元厯齐太祖髙皇帝建元庚申二年正月戊戌朔十一月甲子日夘初三刻十二分内三十一秒冬至 魏史闰七月齐史九月甲午朔日食则闰在九月后辛酉三年正月壬戌朔十一月己巳日午初三刻三分内四十一秒冬至 齐史七月己未朔日食魏史二月辛夘朔三月辛酉朔七月庚申朔日食未详孰是壬戌四年正月丙辰朔十一月甲戌日酉初二刻九分内五十一秒冬至 史六月甲申朔魏史八月癸未朔世祖武皇帝永明癸亥元年正月庚戌朔十一月己夘夜子初二刻一分内一秒冬至 史闰四月十二月乙巳朔日食甲子二年正月甲戌朔十一月乙酉日夘初一刻七分内一十一秒冬至乙丑三年正月戊辰朔十一月庚寅日午初初刻十三分内二十一秒冬至 魏史七月丙寅朔丙寅四年正月癸亥朔十一月乙未日酉初初刻四分内三十一秒冬至 魏史正月癸亥朔四月辛酉朔南北史俱闰正月应闰三月丁夘五年正月丁亥朔十一月庚子日亥正三刻十分内四十一秒冬至戊辰六年正月辛巳朔十一月丙午日寅正三刻一分内五十一秒冬至 魏史正月辛巳朔二月辛亥朔日食九月癸巳夜月食闰十月齐史十月庚申立冬十一月丙戌土雾竟天如烟是闰在十一月后二百七十五章自庚子年至此十一闰又一纪缩一年下起己巳己巳七年正月乙巳朔十一月辛亥日巳正二刻八分内一秒冬至庚午八年正月庚子朔十一月丙辰日申正一刻十四分内一十一秒冬至 魏史二月己巳朔日食齐史四月戊辰朔辛未九年正月甲午朔十一月辛酉日亥正一刻五分内二十一秒冬至 魏史正月癸亥晦日食应闰壬申十年正月戊午朔十一月丁夘日寅正初刻十一分内三十一秒冬至 魏史正月戊午朔四月丁亥朔九月甲寅朔癸酉十一年正月壬子朔十一月壬申日巳正初刻二分内四十一秒冬至废帝郁林王海陵王隆昌甲戌元年正月丁未朔十一月丁丑日申初三刻八分内五十一秒冬至 史闰四月五月甲戌朔日食十一月壬辰朔日食七月郁林废海陵王立十一月海陵废明帝立改元建武魏史正月丁未朔闰二月十一月辛未朔十二月辛丑朔髙宗明皇帝建武乙亥二年正月辛未朔十一月壬午日亥初二刻十五分内一秒冬至 史四月己亥朔魏史十一月甲申祀圜丘十二月乙未朔今推冬至在壬午亥初二刻而魏在甲申后天约三日丙子三年正月乙丑朔十一月戊子日寅初二刻六分内一十一秒冬至史闰十二月魏史九月庚寅晦日食闰十一月置闰应在下年二月后丁丑四年正月己丑朔十一月癸巳日巳初一刻十二分内二十一秒冬至永泰戊寅元年正月癸未朔十一月戊戌日申初一刻三分内三十一秒冬至 史正月癸未朔魏史三月壬午朔十月己酉朔废帝东昏侯永光己夘元年正月戊寅朔十一月癸夘日亥初初刻九分内四十一秒冬至 史正月戊寅朔改元四月丙午朔闰八月魏史同庚辰二年正月辛丑朔十一月己酉日丑正三刻十五分内五十一秒冬至 魏宣武景明元年正月辛丑朔七月己亥朔并日食十月丁夘朔辛巳三年正月丙申朔十一月甲寅日辰正三刻七分内一秒冬至 史正月丙申朔日 魏史三月乙未朔七月癸巳朔日食此年三月后和帝中兴元年和帝中兴壬午二年正月庚寅朔十一月己未日未正二刻十三分内一十一秒冬至 史闰四月七月丁巳朔日食自四月后梁天监元年梁髙祖武皇帝天监癸未二年正月甲寅朔十一月甲子日戌正二刻四分内二十一秒冬至 魏史四月癸未朔六月壬午朔甲申三年正月戊申朔十一月庚午日丑正二刻十分内三十一秒冬至 魏正始元年五月丁未朔闰十二月癸夘朔置闰太早故以正月为闰月乙酉四年正月癸夘朔十一月乙亥日辰正一刻一分内四十一秒冬至 梁史正月癸夘下诏二月有壬午壬辰四月有丁巳盖闰三月当以此为正丙戌五年正月丁夘朔十一月庚辰日未正初刻七分内五十一秒冬至 史正月丁夘朔三月丙寅朔丁亥六年正月辛酉朔十一月乙酉日戌初三刻十四分内一秒冬至 魏史六月己丑朔闰九月梁史闰十月二百七十六章自是以后章法宜一变详见后戊子七年正月乙酉朔十一月辛夘日丑初三刻五分内一十一秒冬至 梁史正月乙酉朔魏永平元年八月壬子朔日食己丑八年正月己夘朔十一月丙申日辰初二刻十一分内二十一秒冬至 魏史八月丙午朔日食庚寅九年正月癸酉朔十一月辛丑日未初二刻二分内三十一秒冬至 史闰六月辛夘十年正月丁酉朔十一月丙午日戌初一刻八分内四十一秒冬至 魏史十二月壬戌朔日食壬辰十一年正月壬辰朔十一月壬子日丑初初刻十四分内五十一秒冬至 魏延昌元年五月己未晦日食癸巳十二年正月丙戌朔十一月丁巳日辰初初刻六分内一秒冬至 此年梁闰三月魏闰二月五月甲寅朔日食甲午十三年正月庚戌朔十一月壬戌日午正三刻十二分内一十一秒冬至 梁史二月庚辰朔乙未十四年正月乙巳朔十一月丁夘日酉正三刻三分内二十一秒冬至 魏史二月甲戌朔三月甲辰朔闰十一月丙申十五年正月戊辰朔十一月癸酉日子正二刻九分内三十一秒冬至 魏孝明熈平元年正月戊辰朔改元三月戊辰朔日食五月丁夘朔丁酉十六年正月壬戌朔十一月戊寅日夘正一刻十五分内四十一秒冬至戊戌十七年正月丁巳朔十一月癸未日午正一刻六分内五十一秒冬至 魏史闰八月魏神龟元年闰七月八月癸丑朔自己巳年至此十一闰又一纪己亥十八年正月辛巳朔十一月戊子日酉正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗十一度之五十六分魏史正月辛巳朔日食普通庚子元年正月乙亥朔十一月甲午日子正初刻四分内一十一秒冬至 梁史正月乙亥朔改元丙子日食魏正光元年正月乙亥朔日食未审孰是或梁人因正旦改元而以丙子书耶辛丑二年正月己巳朔十一月己亥日夘初三刻十分内二十一秒冬至 梁史四月有乙夘丙辰五月有癸夘魏史四月有庚子壬寅五月丁酉朔日食则同是闰四月梁史于五月癸夘后书闰月丁巳今推癸夘五月七日丁巳二十一日此史文之舛也壬寅三年正月癸巳朔十一月甲辰日午初三刻一分内三十一秒冬至 梁史五月壬辰朔日食魏史同十一月己丑朔日食天正冬至己亥日今同见上年癸夘四年正月戊子朔十一月己酉日酉初二刻七分内四十一秒冬至 梁史十一月癸未朔日食甲辰五年正月壬午朔十一月乙夘日子初一刻十三分内五十一秒冬至 应闰乙巳六年正月丙午朔十一月庚申日夘初一刻五分内一秒冬至 魏孝昌元年丙午七年正月辛丑朔十一月乙丑日午初初刻十一分内一十一秒冬至 梁史九月有己酉十一月有庚辰盖闰十月魏史闰十一月二百七十七章积五千二百六十三年岁气渐缩故置闰宜少迟此闰当在下年正月后乃章法变通之候也详玩以后各章自见大通丁未元年正月乙丑朔十一月庚午日酉初初刻二分内二十一秒冬至戊申二年正月己未朔十一月乙亥日亥正三刻八分内三十一秒冬至 魏武泰元年四月后孝庄立改元建义又改永安元年五月丁巳朔中大通己酉元年正月癸丑朔十一月辛巳日寅正二刻十四分内四十一秒冬至 梁史闰六月魏史五月壬子朔闰七月十月己酉朔日食庚戌二年正月丁丑朔十一月丙戌日巳正二刻五分内五十一秒冬至 魏史十月癸夘朔辛亥三年正月辛未朔十一月辛夘日申正一刻十二分内一秒冬至 魏节闵帝普泰元年六月己亥朔日食壬子四年正月丙寅朔十一月丙申日亥正一刻三分内一十一秒冬至 此年应闰魏闰二月自四月后魏孝武永熈元年六月癸亥朔十月辛酉朔日食十一月丁酉祀圜邱今推冬至在丙申亥正一刻癸丑五年正月庚寅朔十一月壬寅日寅正初刻九分内二十一秒冬至 魏史正月庚寅朔四月己未朔日食甲寅六年正月甲申朔十一月丁未日巳初三刻十五分内三十一秒冬至 梁史魏史皆闰十二月东魏孝静帝天平元年大同乙夘元年正月戊申朔十一月壬子日申初三刻六分内四十一秒冬至 史正月戊申朔改元西魏文皇帝大统元年丙辰二年正月癸夘朔十一月丁巳日亥初二刻十二分内五十一秒冬至 东魏史正月癸夘朔丁巳三年正月丁酉朔十一月癸亥日寅初二刻四分内一秒冬至 史闰九月戊午四年正月辛酉朔十一月戊辰日巳初一刻十分内一十一秒冬至 东魏元象元年正月辛酉朔日食己未五年正月乙夘朔十一月癸酉日申初一刻一分内二十一秒冬至 东魏兴和元年三月甲寅朔庚申六年正月庚戌朔十一月戊寅日亥初初刻七分内三十一秒冬至 史正月庚戌朔梁史闰四月东魏闰五月丁丑朔日食天正冬至甲戌日今推在癸酉申初一刻见上年辛酉七年正月甲戌朔十一月甲申日丑正三刻十三分内四十一秒冬至壬戌八年正月戊辰朔十一月己丑日辰正三刻四分内五十一秒冬至癸亥九年正月壬戌朔十一月甲午日未正二刻十一分内一秒冬至 此年梁史闰正月西魏同东魏正月壬戌朔改元武定甲子十年正月丙戌朔十一月己亥日戌正二刻二分内一十一秒冬至 东魏十一月庚子祀圜邱今推冬至在己亥戌正二刻乙丑十一年正月辛巳朔十一月乙巳日丑正一刻八分内二十一秒冬至 梁史盖闰十月二百七十八章然应下年闰正月中大同丙寅元年正月乙巳朔十一月庚戌日辰正初刻十四分内三十一秒冬至太清丁夘元年正月己亥朔十一月乙夘日未正初刻五分内四十一秒冬至 南北史正月己亥朔日食东魏五月丁酉朔戊辰二年正月癸巳朔十一月庚申日戌初三刻十一分内五十一秒冬至 史正月癸巳朔应闰史十一月戊午朔自己亥年至此十一闰又一纪己巳三年正月丁巳朔十一月丙寅日丑初三刻三分内一秒冬至太宗简文皇帝大寳庚午元年正月辛亥朔十一月辛未日辰初二刻九分内一十一秒冬至 史正月辛亥朔改元北齐文宣帝天保元年天正冬至丁夘日今在丙寅丑初三刻见上年辛未二年正月乙巳朔十一月丙子日未初一刻十五分内二十一秒冬至 史闰四月十月辛丑朔世祖孝元皇帝承圣壬申元年正月己巳朔十一月辛巳日戌初一刻六分内三十一秒冬至 西魏废帝钦元年癸酉二年正月甲子朔十一月丁亥日丑初初刻十二分内四十一秒冬至 置闰应在次年二月后东魏史闰十一月甲戌三年正月戊子朔十一月壬辰日辰初初刻三分内五十一秒冬至 魏恭帝廓元年敬皇帝绍泰乙亥元年正月壬午朔十一月丁酉日午正三刻十分内一秒冬至太平丙子元年正月丙子朔十一月壬寅日酉正三刻一分内一十一秒冬至 应闰魏恭帝逊位于周丁丑二年正月庚子朔十一月戊申日子正二刻七分内二十一秒冬至 十月后陈永定元年周闵帝元年陈髙祖武皇帝永定戊寅二年正月乙未朔十一月癸丑日夘正一刻十三分内三十一秒冬至己夘三年正月己丑朔十一月戊午日午正一刻四分内四十一秒冬至 陈史闰四月五月丙辰朔日食周明帝武成元年闰五月世祖文皇帝天嘉庚辰元年正月癸丑朔十一月癸亥日酉正初刻十分内五十一秒冬至 北齐闵悼王干明元年正月癸丑朔改元八月后孝昭帝又改元皇建辛巳二年正月丁未朔十一月己巳日子正初刻二分内一秒冬至 周武帝保定元年十月甲戌朔日食十一月后北齐武成帝大宁元年闰十二月次年二月乃河清元年之正月壬午三年正月辛丑朔十一月甲戌日卯初三刻八分内一十一秒冬至 陈史闰二月九月戊辰朔日食周闰正月北齐河清元年癸未四年正月乙丑朔十一月己夘日午初二刻十四分内二十一秒冬至 周史三月乙丑朔日食甲申五年正月庚申朔十月甲申日酉初二刻五分内三十一秒冬至十一月乙酉朔 北齐史正月庚申朔闰九月周史二月庚寅朔日食八月丁亥朔日食闰九月二百七十九章然应下年闰正月乙酉六年正月甲申朔十一月己丑夜子初一刻十一分内四十一秒冬至 四月后北齐后主天统元年周史正月甲申朔七月辛巳朔日食陈史十一月庚寅景长今在己丑夜子初一刻天康丙戌元年正月己夘朔十一月乙未日夘初一刻二分内五十一秒冬至 周武帝天和元年正月己夘朔日食天正冬至己丑日今同见上年废帝光大丁亥元年正月癸酉朔十一月庚子日午初初刻九分内一秒冬至 周史正月癸酉朔日食北齐史二月壬寅朔闰六月陈周闰月同戊子二年正月丁酉朔十一月乙巳日申正三刻十五分内一十一秒冬至 北齐史六月甲子朔周史十一月壬辰朔日食陈史十一月乙巳景长今同髙宗孝宣皇帝太建己丑元年正月辛夘朔十一月庚戌日亥正三刻六分内二十一秒冬至 周史正月辛夘朔庚寅二年正月乙酉朔十一月丙辰日寅正二刻十二分内三十一秒冬至 陈史闰五月北齐武平元年正月乙酉朔闰二月周史十月辛巳朔日食辛夘三年正月己酉朔十一月辛酉日巳正二刻三分内四十一秒冬至 周史正月己酉朔四月戊寅朔日食壬辰四年正月癸夘朔十一月丙寅日申正一刻九分内五十一秒冬至 史九月庚子朔日食十一月二十九日丁夘景长闰十一月今推冬至在丙寅周建徳元年三月癸夘朔日食癸巳五年正月戊辰朔十一月辛未日亥正一刻一分内一秒冬至 史九月壬辰晦夜明周史闰正月甲午六年正月壬戌朔十一月丁丑日寅正初刻七分内一十一秒冬至 史二月壬辰朔日食十一月二十日丁丑景长今同乙未七年正月丙辰朔十一月壬午日巳初三刻十三分内二十一秒冬至 陈齐史皆闰九月周史二月丙戌朔日食闰十月十二月辛亥朔日食丙申八年正月庚辰朔十一月丁亥日申初三刻四分内三十一秒冬至 齐史六月戊申朔日食丁酉九年正月甲戌朔十一月壬辰日亥初二刻十分内四十一秒冬至 陈史十一月二十三日壬辰景长今同周史十一月己亥晦日食北齐幼主承光元年戊戌十年正月己巳朔十一月戊戌日寅初二刻一分内五十一秒冬至 史正月己巳朔十一月五日戊戌景长今同闰六月周宣政元年自己巳年至此十一闰又一纪己亥十一年正月癸巳朔十一月癸夘日巳初一刻八分内一秒冬至 周宣帝大象元年四月壬戌朔史天正冬至戊戌日今同见上年庚子十二年正月丁亥朔十一月戊申日申初初刻十四分内一十一秒冬至辛丑十三年正月壬午朔十一月癸丑日亥初初刻五分内二十一秒冬至 周静帝大定元年二月后隋文帝开皇元年隋史三月有壬午四月有辛巳盖闰三月壬寅十四年正月丙午朔十一月己未日丑正三刻十一分内三十一秒冬至后主至徳癸夘元年正月庚子朔闰十月甲子晦辰正三刻二分内四十一秒冬至十一月乙丑朔隋史二月己巳朔日食八月丁夘朔日食闰十月十一月甲子朔冬至今推至日同陈史闰九月二百八十章然应下年闰二月甲辰二年正月甲子朔十一月己巳日未正二刻八分内五十一秒冬至 隋史正月甲子朔日食十一月己巳景长今同乙巳三年正月戊午朔十一月甲戌日戌正一刻十五分内一秒冬至 史正月戊午朔日食十一月乙亥日景长今在甲戌日戌正一刻丙午四年正月壬子朔十一月庚辰日丑正一刻六分内一十一秒冬至 陈史闰六月十一月三日庚辰景长今同祯明丁未元年正月丙子朔十一月乙酉日辰正初刻十二分内二十一秒冬至 隋史五月乙亥朔日食十一月十四日乙酉景长今同戊申二年正月庚午朔十一月庚寅日未正初刻三分内三十一秒冬至己酉三年正月乙丑朔十一月乙未日戌初三刻九分内四十一秒冬至 陈史正月乙丑朔闰四月隋髙祖文皇帝开皇庚戌十年正月己丑朔十一月辛丑日丑初二刻十五分内五十一秒冬至 史十一月辛丑祀南郊今推冬至日合辛亥十一年正月癸未朔十一月丙午日辰初二刻七分内一秒冬至日躔斗十度之五十六分 史二月辛巳晦日食十一月丙午冬至今同壬子十二年正月丁丑朔十一月辛亥日未初一刻十三分内一十一秒冬至 应闰史七月壬申晦日食十一月辛亥祀南郊今推冬至日合癸丑十三年正月辛丑朔十一月丙辰日戌初一刻四分内二十一秒冬至 史七月戊辰晦日食甲寅十四年正月丙辰朔十一月壬戌日丑初初刻十分内三十一秒冬至 史闰八月十一月辛酉朔旦冬至今在壬戌日丑初初刻乙夘十五年正月庚申朔十一月丁夘日辰初初刻一分内四十一秒冬至 史四月己丑朔丙辰十六年正月甲寅朔十一月壬申日午正三刻七分内五十一秒冬至丁巳十七年正月戊申朔十一月丁丑日酉正二刻十四分内一秒冬至 史四月戊寅颁新厯闰五月戊午十八年正月壬申朔十一月癸未日子正二刻五分内一十一秒冬至 史十一月癸未祀南郊今推冬至日合己未十九年正月丙寅朔十一月戊子日夘正一刻十一分内二十一秒冬至庚申二十年正月辛酉朔十一月癸巳日午正一刻二分内三十一秒冬至 隋史正月辛酉朔三月有辛夘二月有丁丑盖闰正月仁夀辛酉元年正月乙酉朔十一月戊戌日酉正初刻八分内四十一秒冬至 史正月乙酉朔改元二月乙夘朔日食十一月己亥祀南郊今推冬至在戊戌酉正初刻壬戌二年正月己夘朔闰十月癸夘夜子初三刻十四分内五十一秒冬至十一月甲辰朔 史闰十月二百八十一章然应下年闰正月癸亥三年正月癸夘朔十一月己酉日夘初三刻六分内一秒冬至 史甲子年天正冬至己酉日今同甲子四年正月戊戌朔十一月甲寅日午初二刻十二分内一十一秒冬至炀皇帝大业乙丑元年正月壬辰朔十一月己未日酉初二刻三分内二十一秒冬至 史正月壬辰朔改元闰七月丙寅二年正月丙辰朔十一月乙丑日子初一刻九分内三十一秒冬至丁夘三年正月庚戌朔十一月庚午日夘初初刻十五分内四十一秒冬至 皇极厯十一月庚午日五十二刻冬至今推至日同戊辰四年正月甲辰朔十一月乙亥日午初初刻六分内五十一秒冬至 史三月有辛酉壬戌四月有丙午癸丑盖闰三月天正冬至辛未日今在庚午夘初见上年己亥年至此十一闰又一纪己巳五年正月戊辰朔十一月庚辰日申正三刻十三分内一秒冬至庚午六年正月癸亥朔十一月乙酉日亥正三刻四分内一十一秒冬至 史正月癸亥朔置闰应在次年二月后史十月有壬辰壬子十二月有己未辛酉盖闰十一月辛未七年正月丁亥朔十一月辛夘日寅正二刻十分内二十一秒冬至壬申八年正月辛巳朔十一月丙申日巳正二刻一分内三十一秒冬至癸酉九年正月乙亥朔十一月辛丑日申正一刻七分内四十一秒冬至 应闰史闰九月甲戌十年正月己亥朔十一月丙午日亥正初刻十三分内五十一秒冬至 史十一月乙巳有事南郊今推冬至在丙午亥正初刻乙亥十一年正月甲午朔十一月壬子日寅正初刻五分内一秒冬至丙子十二年正月戊子朔十一月丁巳日巳初三刻十一分内一十一秒冬至 史五月丙戌朔日食闰五月丁丑十三年正月壬子朔十一月壬戌日申初三刻二分内二十一秒冬至 史十一月后改义宁元年恭皇帝(唐公所立即君也周恭帝倣此)义宁戊寅二年正月丙午朔十一月丁夘日亥初二刻八分内三十一秒冬至 史五月乙巳朔此月甲子日后即唐武徳元年十月壬申朔日食十一月戊辰日六十四刻冬至今在丁夘日亥初二刻十二月庚子晦唐髙祖皇帝武徳己夘二年正月辛丑朔十一月癸酉日寅初一刻十四分内四十一秒冬至 史闰二月庚辰三年正月乙丑朔十一月戊寅日巳初一刻五分内五十一秒冬至辛巳四年正月己未朔闰十月癸未日申初初刻十二分内一秒冬至十一月甲申朔 史八月丙戌朔日食闰十月十一月甲申有事南郊盖朔旦也今推冬至在癸未申初二百八十二章然应下年闰正月壬午五年癸未朔十一月戊子日亥初初刻三分内一十一秒冬至癸未六年正月戊寅朔十一月甲午日丑正三刻九分内二十一秒冬至 史十二月壬寅朔日食甲申七年正月壬申朔十一月己亥日辰正二刻十五分内三十一秒冬至 史闰七月乙酉八年正月丙申朔十一月甲辰日未正二刻六分内四十一秒冬至丙戌九年正月庚寅朔十一月己酉日戌正一刻十二分内五十一秒冬至 十月丙辰朔日食天正冬至乙巳日今在甲辰未正二刻见上年太宗皇帝贞观丁亥元年正月甲申朔十一月乙夘日丑正一刻四分内一秒冬至 史闰三月癸丑朔日食九月庚戌朔日食戊子二年正月戊申朔十一月庚申日辰正初刻十分内一十一秒冬至 史三月戊申朔日食八月甲戌十一月辛酉有事于南郊今推冬至在庚申辰正己丑三年正月壬寅朔十一月乙丑日未正初刻一分内二十一秒冬至 本纪八月己巳朔日食庚寅四年正月丁酉朔十一月庚午日戌初三刻七分内三十一秒冬至 天文志闰正月丁夘朔日食本纪日食在正月朔盖误七月甲子朔日食辛夘五年正月辛酉朔十一月丙子日丑初二刻十三分内四十一秒冬至 史十一月丙子有事南郊今推冬至日合壬辰六年正月乙夘朔十一月辛巳日辰初二刻四分内五十一秒冬至 史正月乙夘朔日食七月有己巳九月有己酉盖闰七八月癸巳七年正月己夘朔十一月丙戌日未初一刻十一分内一秒冬至甲午八年正月癸酉朔十一月辛夘日辰初一刻二分内一十一秒冬至 史五月辛未朔日食十二月有丁夘盖晦日乙未九年正月戊辰朔十一月丁酉日丑初初刻八分内二十一秒冬至 史闰四月丙寅朔日食丙申十年正月壬辰朔十一月壬寅日夘正三刻十四分内三十一秒冬至丁酉十一年正月丙戌朔十一月丁未日午正三刻五分内四十一秒冬至 史三月丙戌朔日食戊戌十二年正月庚辰朔十一月壬子日酉正二刻十一分内五十一秒冬至 史闰二月庚辰朔日食己巳年至此十一闰又一纪己亥十三年正月甲辰朔十一月戊午日子正二刻三分内一秒冬至 史八月辛未朔日食庚子十四年正月己亥朔闰十月癸亥日夘正一刻九分内一十一秒冬至十一月甲子朔 史闰十月十一月甲子朔旦日南至有事于南郊今推冬至在癸亥夘正一刻二百八十三章然应下年闰正月辛丑十五年正月癸亥朔十一月戊辰日午正初刻十五分内二十一秒冬至壬寅十六年正月丁巳朔十一月癸酉日酉正初刻六分内三十一秒冬至癸夘十七年正月辛亥朔十一月戊寅夜子初三刻十二分内四十一秒冬至 史六月己夘朔日食闰六月十一月己夘有事于南郊今推冬至在戊寅夜子初三刻李淳风言太史傅仁均以子初为朔遂差三刻盖言子初应属戊寅甲辰十八年正月乙亥朔十一月甲申日夘初三刻三分内五十一秒冬至 史十月辛丑朔日食十一月乙酉景长诸厯皆得甲申今同乙巳十九年正月庚午朔十一月己丑日午初二刻十分内一秒冬至丙午二十年正月甲子朔十一月甲午日酉初二刻一分内一十一秒冬至 史闰三月癸巳朔日食丁未二十一年正月戊子朔十一月己亥夜子初一刻七分内二十一秒冬至戊申二十二年正月壬午朔十一月乙巳日夘初初刻十三分内三十一秒冬至 史八月己酉朔日食闰十二月置闰应在次年二月后当时用平气故闰在此冬己酉二十三年正月丙午朔十一月庚戌日午初初刻四分内四十一秒冬至 史十一月辛亥景长诸厯皆得庚戌今同髙宗皇帝永徽庚戌元年正月辛丑朔十一月乙夘日申正三刻十分内五十一秒冬至辛亥二年正月乙未朔十一月庚申日亥正三刻二分内一秒冬至 史九月有癸夘十月有辛夘盖闰九月十一月辛酉有事南郊今推冬至在庚申亥正三刻壬子三年正月己未朔十一月丙寅日寅正二刻八分内一十一秒冬至癸丑四年正月癸丑朔十一月辛未日巳正一刻十四分内二十一秒冬至甲寅五年正月戊申朔十一月丙子日申正一刻五分内三十一秒冬至 应闰乙夘六年正月壬申朔十一月辛巳日亥正初刻十一分内四十一秒冬至显庆丙辰元年正月丙寅朔十一月丁亥日寅正初刻二分内五十一秒冬至丁巳二年正月庚申朔十一月壬辰日巳初三刻九分内一秒冬至 应闰三月史闰正月戊午三年正月甲申朔十一月丁酉日申初二刻十五分内一十一秒冬至己未四年正月己夘朔十一月壬寅日亥初二刻六分内二十一秒冬至 史闰十月二百八十四章然应下年闰二月庚申五年正月癸夘朔十一月戊申日寅初一刻十二分内三十一秒冬至 史六月庚午朔日食龙朔辛酉元年正月丁酉朔十一月癸丑日巳初一刻三分内四十一秒冬至 史五月甲子晦日食壬戌二年正月辛夘朔十一月戊午日申初初刻九分内五十一秒冬至 史七月有戊子八月有壬寅盖闰七月十一月四日戊午景长今同癸亥三年正月乙夘朔十一月癸亥日亥初初刻一分内一秒冬至日躔在斗九度之五十六分全史日至源流卷二十五
## 卷二十六
钦定四库全书全史日至源流卷二十六山东道御史许伯政撰壬子运二十六(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻五分五十秒)冬至十四日八时三刻十三分五十九秒十㣲小寒十四日八时四刻四分四十九秒十㣲大寒十四日九时一刻十分四秒十㣲立春十四日十时一刻六分四秒十㣲雨水十四日十一时三刻四分四秒十㣲惊蛰十五日零六刻十四分五十九秒十㣲春分十五日二时三刻八分四十九秒十㣲清明十五日四时七分四十九秒十㣲谷雨十五日五时四刻七分五十四秒十㣲立夏十五日六时六刻十四分五十九秒十㣲小满十五日八时零二分五十四秒十㣲芒种十五日八时三刻九分五十九秒十㣲夏至十五日八时六刻十四分五十九秒十㣲小暑十五日八时五刻二分五十九秒十㣲大暑十五日八时七分五十九秒十㣲立秋十五日七时十分五十九秒十㣲处暑十五日五时六刻五分五十九秒十㣲白露十五日四时三刻九分四秒十㣲秋分十五日二时四刻十一分九秒十㣲寒露十五日一时一刻八分四秒十㣲霜降十四日十一时五刻四分五十九秒十㣲立冬十四日十时二刻十一分九秒十㣲小雪十四日九时二刻十二分四秒十㣲大雪十四日八时五刻九分五十九秒十㣲麟徳甲子元年正月己酉朔十一月己巳日丑正三刻六分内五十一秒冬至 史天正冬至甲子日今在癸亥日亥初初刻见上年乙丑二年正月甲辰朔十一月甲戌日辰正二刻十二分内四十一秒冬至 史闰三月癸酉朔日食干封丙寅元年正月戊辰朔十一月己夘日未正二刻三分内三十一秒冬至 旧唐书正月戊辰朔丁夘二年正月壬戌朔十一月甲申日戌正一刻九分内二十一秒冬至 史八月己丑朔日食置闰应在次年三月后史次年正月有壬子二月有丁巳盖此冬闰十二月总章戊辰元年正月丙戌朔十一月庚寅日丑正初刻十五分内一十一秒冬至 移上闰于此年自己亥年至此十一闰又一纪己巳二年正月庚辰朔十一月乙未日辰正初刻六分内一秒冬至 史六月戊申朔日食咸亨庚午元年正月甲戌朔十一月庚子日未初三刻十一分内五十一秒冬至 史六月壬寅朔日食应闰九月辛未二年正月戊戌朔十一月乙巳日戌初三刻二分内四十一秒冬至 史十一月甲午朔日食壬申三年正月癸巳朔十一月辛亥日丑初二刻八分内三十一秒冬至 史十一月戊子朔日食癸酉四年正月丁亥朔十一月丙辰日辰初一刻十四分内二十一秒冬至 史闰五月上元甲戌元年正月辛亥朔十一月辛酉日未初一刻五分内一十一秒冬至 史三月辛亥朔日食乙亥二年正月乙巳朔十一月丙寅日戌初初刻十一分内一秒冬至仪鳯丙子元年正月庚子朔十一月壬申日丑初初刻一分内五十一秒冬至 应闰三月史十一月壬申景长今同丁丑二年正月甲子朔十一月丁丑日夘正三刻七分内四十一秒冬至 天文志正月甲子朔戊寅三年正月戊午朔十一月壬午日午正二刻十三分内三十一秒冬至 史闰十一月二百八十五章然应下年闰二月调露己夘元年正月壬午朔十一月丁亥日酉正二刻四分内二十一秒冬至永隆庚辰元年正月丙子朔十一月癸巳日子正一刻十分内一十一秒冬至 史十一月壬申朔日食开耀辛巳元年正月辛未朔十一月戊戌日夘正一刻一分内一秒冬至 史闰七月十月丙寅朔日食永淳壬午元年正月乙未朔十一月癸卯日午正初刻六分内五十一秒冬至 史四月甲子朔日食十月庚申朔日食十一月癸夘景长今同𢎞道癸未元年正月己丑朔十一月戊申日酉初三刻十二分内四十一秒冬至中宗皇帝嗣圣甲申元年正月癸未朔十一月癸丑夜子初三刻三分内三十一秒冬至 史闰五月此年武后废中宗二月后改元文明九月又改元光宅则天皇后武氏垂拱乙酉元年正月丁未朔十一月己未日夘初二刻九分内二十一秒冬至丙戌二年正月辛丑朔十一月甲子日午初一刻十五分内一十一秒冬至 史二月辛未朔日食丁亥三年正月乙未朔十一月己巳日酉初一刻六分内一秒冬至 史闰正月戊子四年正月己未朔十一月甲戌夜子初初刻十一分内五十一秒冬至 史六月丁亥朔日食永昌己丑元年正月甲寅朔十一月庚辰日夘初初刻二分内四十一秒冬至 史闰九月天授庚寅元年正月戊寅朔十一月乙酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至 此年以十一月为正月十二月为腊月正月为一月此编仍用唐之建寅为正月读史者须以其称一月者为建寅辛夘二年正月癸酉朔十一月庚寅日申正二刻十四分内二十一秒冬至 史四月壬寅朔日食如意壬辰元年正月丁夘朔十一月乙未日亥正二刻五分内一十一秒冬至 史四月丙申朔日食闰六月九月后又改长寿元年癸巳二年正月辛夘朔十一月辛丑日寅正一刻十一分内一秒冬至 史九月丁亥朔日食延载甲午元年正月乙酉朔十一月丙午日巳正一刻一分内五十一秒冬至 九月壬午朔日食天册万岁乙未元年正月己夘朔十一月辛亥日申正初刻七分内四十一秒冬至 史二月己酉朔日食闰二月万岁通天丙申元年正月癸夘朔十一月丙辰日亥初三刻十三分内三十一秒冬至神功丁酉元年正月戊戌朔闰十月壬戌日寅初三刻四分内二十一秒冬至十一月癸亥朔 史闰十月二百八十六章然应下年闰二月圣厯戊戌元年正月壬戌朔十一月丁夘日巳初二刻十分内一十一秒冬至 移上闰于此年己巳年至此十一闰又一纪己亥二年正月丙辰朔十一月壬申日申初二刻一分内一秒冬至乆视庚子元年正月庚戌朔十一月丁丑日亥初一刻六分内五十一秒冬至 史五月己酉朔日食闰七月自九月后复唐正月大足辛丑元年正月甲戌朔十一月癸未日寅初初刻十二分内四十一秒冬至 十月后改元长安长安壬寅二年正月己巳朔十一月戊子日巳初初刻三分内三十一秒冬至 史九月乙丑朔日食十一日戊子祀南郊今推冬至日合癸夘三年正月癸亥朔十一月癸巳日未正三刻九分内一十一秒冬至 史三月壬戌朔日食闰四月九月庚寅朔日食甲辰四年正月丁亥朔十一月戊戌日戌正二刻十五分内一十一秒冬至中宗复位神龙乙巳元年正月辛巳朔十一月甲辰日丑正二刻六分内一秒冬至 史天正冬至己亥日今在戊戌日戌正二刻见上年丙午二年正月丙子朔十一月己酉日辰正一刻十一分内五十一秒冬至 史闰正月景隆丁未元年正月庚子朔十一月甲寅日未正一刻二分内四十一秒冬至 史正月庚子朔六月丁夘朔日食十二月乙丑朔日食戊申二年正月甲午朔十一月己未日戌正初刻八分内三十一秒冬至 应闰己酉三年正月戊午朔十一月乙丑日丑初三刻十四分内二十一秒冬至 史十一月乙丑有事于南郊今推冬至日合庚戌四年正月壬子朔十一月庚午日辰初三刻五分内一十一秒冬至 五行志六月辛巳朔七月后改景云元年睿宗皇帝景云辛亥二年正月丁未朔十一月乙亥日未初二刻十一分内一秒冬至 史正月丁未朔盖闰九月见景龙观钟铭太极壬子元年正月辛未朔十一月庚辰日戌初二刻一分内五十一秒冬至 史九月丁夘朔日食五月戊寅有事北郊今推夏至在丁丑八月后改元先天𤣥宗皇帝开元癸丑元年正月乙丑朔十一月丙戌日丑初一刻七分内四十一秒冬至此年即先天二年甲寅二年正月己未朔十一月辛夘日辰初初刻十三分内三十一秒冬至 史闰二月乙夘三年正月癸未朔十一月丙申日未初初刻四分内二十一秒冬至 史七月庚辰朔日食丙辰四年正月丁丑朔十一月辛丑日酉正三刻十分内一十一秒冬至 史闰十二月二百八十七章然应下年闰正月丁巳五年正月辛丑朔十一月丁未日子正三刻一分内一秒冬至戊午六年正月丙申朔十一月壬子日夘正二刻六分内五十一秒冬至己未七年正月庚寅朔十一月丁巳日午正一刻十二分内四十一秒冬至 史五月己丑朔日食闰七月庚申八年正月甲寅朔十一月壬戌日酉正一刻三分内三十一秒冬至辛酉九年正月戊申朔十一月戊辰日子正初刻九分内二十一秒冬至 史九月乙巳朔日食壬戌十年正月癸夘朔十一月癸酉日夘初三刻十五分内一十一秒冬至 史闰五月十一月癸酉景长今同癸亥十一年正月丁夘朔十一月戊寅日午初三刻六分内一秒冬至 史十一月戊寅有事于南郊今推冬至日合甲子十二年正月辛酉朔十一月癸未日酉初二刻十一分内五十一秒冬至 史十一月癸未日冬至今同闰十二月丙辰朔日食置闰应在下年三月后殆司天者以避元旦日食乙丑十三年正月乙酉朔十一月戊子夜子初二刻二分内四十一秒冬至丙寅十四年正月己夘朔十一月甲午日夘初一刻八分内三十一秒冬至丁夘十五年正月癸酉朔十一月己亥日午初初刻十四分内二十一秒冬至 史闰九月大衍厯十一月己亥日七十二刻冬至今推至日同时刻不合己亥年至此十一闰一纪缩一年下起戊辰戊辰十六年正月丁酉朔十一月甲辰日酉初初刻五分内一十一秒冬至己巳十七年正月壬辰朔十一月己酉日亥正三刻十一分内一秒冬至 史十月戊午朔日食庚午十八年正月丙戌朔十一月乙夘日寅正三刻一分内五十一秒冬至 应闰辛未十九年正月庚戌朔十一月庚申日巳正二刻七分内四十一秒冬至壬申二十年正月乙巳朔十一月乙丑日申正一刻十三分内三十一秒冬至 正月乙巳朔见庐山志九天使者庙碑史二月甲戌朔八月辛未朔并日食癸酉二十一年正月己亥朔十一月庚午日亥正一刻四分内二十一秒冬至 史闰三月七日乙丑朔日食甲戌二十二年正月癸亥朔十一月丙子日寅正初刻十分内一十一秒冬至 史十二月戊子朔日食乙亥二十三年正月丁巳朔十一月辛巳日巳正初刻一分内一秒冬至日躔在斗八度之五十六分 史闰十一月壬午朔日食二百八十八章然应下年闰二月丙子二十四年正月辛巳朔十一月丙戌日申初三刻六分内五十一秒冬至丁丑二十五年正月乙亥朔十一月辛夘日亥初二刻十二分内四十一秒冬至戊寅二十六年正月庚午朔十一月丁酉日寅初二刻三分内三十一秒冬至 应闰史九月丙申朔日食己夘二十七年正月甲午朔十一月壬寅日巳初一刻九分内二十一秒冬至庚辰二十八年正月戊子朔十一月丁未日申初初刻十五分内一十一秒冬至 史三月丁亥朔日食辛巳二十九年正月壬午朔十一月壬子日亥初初刻六分内一秒冬至 应闰天寳壬午元年正月丙午朔十一月戊午日丑正三刻十一分内五十一秒冬至 史七月癸夘朔日食十二月有庚子盖晦日癸未二年正月辛丑朔十一月癸亥日辰正三刻二分内四十一秒冬至甲申三年正月乙未朔十一月戊辰日未正二刻八分内三十一秒冬至 史闰二月此年改年称载乙酉四年正月己未朔十一月癸酉日戌正一刻十四分内二十一秒冬至丙戌五年正月甲寅朔十一月己夘日丑正一刻五分内一十一秒冬至 史五月壬子朔日食应闰丁亥六年正月戊寅朔十一月甲申日辰正初刻十一分内一秒冬至戊子七年正月壬申朔十一月己丑日未正初刻一分内五十一秒冬至己丑八年正月丙寅朔十一月甲午日戌初三刻七分内四十一秒冬至 史闰六月庚寅九年正月庚寅朔十一月庚子日丑初二刻十三分内三十一秒冬至辛夘十年正月甲申朔十一月乙巳日辰初二刻四分内一十一秒冬至壬辰十一年正月戊寅朔十一月庚戌日未初一刻十分内一十一秒冬至 应闰癸巳十二年正月壬寅朔十一月乙夘日戌初一刻一分内一秒冬至甲午十三年正月丁酉朔十一月辛酉日丑初初刻六分内五十一秒冬至 史六月乙丑朔日食十月有乙酉十二月有戊午盖闰十二月二百八十九章然置闰宜在次年正月后乙未十四年正月辛酉朔十一月丙寅日夘正三刻十二分内四十一秒冬至丙申十五年正月乙夘朔十一月辛未日午正三刻三分内三十一秒冬至 七月后至徳元年十月辛巳朔日食肃宗皇帝至徳丁酉二年正月庚戌朔十一月丙子日酉正二刻九分内二十一秒冬至 史闰八月自戊辰年至此十一闰为一纪乾元戊戌元年正月甲戌朔十一月壬午日子正一刻十五分内一十一秒冬至己亥二年正月戊辰朔十一月丁亥日夘正一刻六分内一秒冬至上元庚子元年正月壬戌朔十一月壬辰日午正初刻十一分内五十一秒冬至 史闰四月辛酉朔辛丑二年正月丙戌朔十一月丁酉日酉正初刻二分内四十一秒冬至 史七月癸未朔日食寳应壬寅元年正月庚辰朔十一月壬寅夜子初三刻八分内三十一秒冬至 史天正冬至戊戌日今在丁酉日酉正初刻见上年代宗皇帝广徳癸夘元年正月甲戌朔十一月戊申日夘初二刻十四分内二十一秒冬至 应闰甲辰二年正月戊戌朔十一月癸丑日午初二刻五分内一十一秒冬至永泰乙巳元年正月癸巳朔十一月戊午日酉初一刻十一分内一秒冬至 史闰十月大厯丙午元年正月丁巳朔十一月癸亥夜子初一刻一分内五十一秒冬至丁未二年正月壬子朔十一月己巳日夘初初刻七分内四十一秒冬至戊申三年正月丙午朔十一月甲戌日巳正三刻十三分内三十一秒冬至 史三月乙巳朔日食闰六月己酉四年正月庚午朔十一月己夘日申正三刻四分内二十一秒冬至庚戌五年正月甲子朔十一月甲申日亥正二刻十分内一十一秒冬至辛亥六年正月戊午朔十一月庚寅日寅正二刻一分内一秒冬至 应闰壬子七年正月壬午朔十一月乙未日巳正一刻六分内五十一秒冬至癸丑八年正月丁丑朔十一月庚子日申正初刻十二分内四十一秒冬至 自乙未年至此十九年当时置闰疑在此冬十二月如前例得二百九十章然应下年闰二月甲寅九年正月辛丑朔十一月乙巳日亥正初刻三分内三十一秒冬至乙夘十年正月乙未朔十一月辛亥日寅初三刻九分内二十一秒冬至 史十月辛酉朔日食丙辰十一年正月己丑朔十一月丙辰日巳初二刻十五分内一十一秒冬至 史闰八月丁巳十二年正月癸丑朔十一月辛酉日申初二刻六分内一秒冬至戊午十三年正月戊申朔十一月丙寅日亥初一刻十一分内五十一秒冬至己未十四年正月壬寅朔十一月壬申日寅初一刻二分内四十一秒冬至 史闰五月七月戊辰朔日食十二月丙寅晦日食自七月后止一小尽余皆大尽故日食在晦毋亦避元旦日食而为之与徳宗皇帝建中庚申元年正月丁夘朔十一月丁丑日巳初初刻八分内三十一秒冬至辛酉二年正月辛酉朔十一月壬午日未正三刻十四分内二十一秒冬至壬戌三年正月乙夘朔十一月丁亥日戌正三刻五分内一十一秒冬至 史闰正月癸亥四年正月己夘朔十一月癸巳日丑正二刻十一分内一秒冬至兴元甲子元年正月癸酉朔十一月戊戌日辰正二刻一分内五十一秒冬至 史闰十月天正冬至癸巳日今同见上年贞元乙丑元年正月丁酉朔十一月癸夘日未正一刻七分内四十一秒冬至 史十一月癸夘有事于南郊今推冬至日合丙寅二年正月壬辰朔十一月戊申日戌正初刻十三分内三十一秒冬至丁夘三年正月丙戌朔十一月甲寅日丑正初刻四分内二十一秒冬至 史闰五月八月辛巳朔日食戊戌年至此十一闰又一纪戊辰四年正月庚戌朔十一月己未日辰初三刻十分内一十一秒冬至 五行志正月庚戌朔己巳五年正月甲辰朔十一月甲子日未初三刻一分内一秒冬至 史正月甲辰朔日食庚午六年正月戊戌朔十一月己巳日戌初二刻六分内五十一秒冬至 史闰四月十一月八日庚午日南至亲祀郊丘今推冬至在己巳戌初二刻辛未七年正月壬戌朔十一月乙亥日丑初一刻十二分内四十一秒冬至壬申八年正月丁巳朔十一月庚辰日辰初一刻三分内三十一秒冬至 史十一月壬子朔日食自甲寅至此十九年然史于本年十二月有甲辰次年正月有癸酉则此冬未置闰癸酉九年正月辛亥朔十一月乙酉日未初初刻九分内二十一秒冬至 史正月有癸酉四月有辛酉其置闰盖在二三月后十一月乙酉有事于南郊今推冬至日合自甲寅年至此二十年七闰而章法一变得二百九十一章甲戌十年正月乙亥朔十一月庚寅日酉正三刻十五分内一十一秒冬至 史四月癸夘朔赦乙亥十一年正月己巳朔十一月丙申日子正三刻六分内一秒冬至 应闰丙子十二年正月癸巳朔十一月辛丑日夘正二刻十一分内五十一秒冬至 史八月己未朔日食丁丑十三年正月丁亥朔十一月丙午日午正二刻二分内四十一秒冬至戊寅十四年正月壬午朔十一月辛亥日酉正一刻八分内三十一秒冬至 史闰五月三月辛巳朔见韩文己夘十五年正月丙午朔十一月丁巳日子正初刻十四分内二十一秒冬至庚辰十六年正月庚子朔十一月壬戌日夘正初刻五分内一十一秒冬至辛巳十七年正月甲午朔十一月丁夘日午初三刻十一分内一秒冬至 应闰三月史二月有丁酉己亥盖闰正月五月壬戌朔日食壬午十八年正月戊午朔十一月壬申日酉初三刻一分内五十一秒冬至癸未十九年正月壬子朔十一月丁丑夜子初二刻七分内四十一秒冬至 史闰十月甲申二十年正月丙子朔十一月癸未日夘初一刻十三分内三十一秒冬至顺宗皇帝永贞乙酉元年正月辛未朔十一月戊子日午初一刻四分内二十一秒冬至宪宗皇帝元和丙戌元年正月乙丑朔十一月癸巳日酉初初刻十分内一十一秒冬至 史闰六月丁亥二年正月己丑朔十一月戊戌夜子初初刻一分内一秒冬至日躔在斗七度之五十六分戊子三年正月癸未朔十一月甲辰日寅正三刻六分内五十一秒冬至 史七月辛巳朔日食己丑四年正月丁丑朔十一月己酉日巳正二刻十二分内四十一秒冬至 史闰三月庚寅五年正月辛丑朔十一月甲寅日申正二刻三分内三十一秒冬至 二月庚午见韩文盖朔日辛夘六年正月丙申朔十一月己未日亥正一刻九分内二十一秒冬至 史闰十二月自癸酉至此又十九年然前既于癸酉年三月后置闰则此闰亦应于下年二月后置之得二百九十二章今自甲戌年至此十八年得七闰是泥旧例而不知变通误巳壬辰七年正月庚申朔十一月乙丑日寅正初刻十五分内一十一秒冬至 昌黎息国夫人墓志铭元和七年甲子日南至今推之在乙丑寅正初刻又路公神道碑石本十月丙子朔癸巳八年正月乙夘朔十一月庚午日巳正初刻六分内一秒冬至甲午九年正月己酉朔十一月乙亥日申初三刻十一分内五十一秒冬至 史闰八月乙未十年正月癸酉朔十一月庚辰日亥初三刻二分内四十一秒冬至 史八月己亥朔日食丙申十一年正月丁夘朔十一月丙戌日寅初二刻八分内三十一秒冬至 韩文袁氏先庙碑注二月廿六日壬子春分盖十六日之讹丁酉十二年正月辛酉朔十一月辛夘日巳初一刻十四分内二十一秒冬至 应闰戊辰年至此十一闰又一纪戊戌十三年正月乙酉朔十一月丙申日申初一刻五分内一十一秒冬至 史六月癸丑朔日食己亥十四年正月庚辰朔十一月辛丑日亥初初刻十一分内一秒冬至庚子十五年正月甲戌朔十一月丁未日寅初初刻一分内五十一秒冬至 史闰正月应闰三月穆宗皇帝长庆辛丑元年正月戊戌朔十一月壬子日辰正三刻七分内四十一秒冬至 宣明厯十一月壬子日七十六刻冬至今推至日同壬寅二年正月壬辰朔十一月丁巳日未正二刻十三分内三十一秒冬至 史四月辛酉朔日食应闰十月癸夘三年正月丁巳朔十一月壬戌日戌正二刻四分内二十一秒冬至 五行传正月丁巳朔旦风霾九月壬子朔日食甲辰四年正月辛亥朔十一月戊辰日丑正一刻十分内一十一秒冬至敬宗皇帝寳厯乙巳元年正月乙巳朔十一月癸酉日辰正一刻一分内一秒冬至 应闰丙午二年正月己巳朔十一月戊寅日未正初刻六分内五十一秒冬至文宗皇帝太和丁未元年正月癸亥朔十一月癸未日戌初三刻十二分内四十一秒冬至戊申二年正月丁巳朔十一月己丑日丑初三刻三分内三十一秒冬至 应闰己酉三年正月辛巳朔十一月甲午日辰初二刻九分内二十一秒冬至 史十一月甲午有事于南郊今推冬至日合庚戌四年正月丙子朔十一月己亥日未初一刻十五分内一十一秒冬至 自壬辰年至此又十九年次年正月庚子朔则此冬必有闰得二百九十三章然应下年闰二月辛亥五年正月庚子朔十一月甲辰日戌初一刻六分内一秒冬至 五行志正月庚子朔壬子六年正月乙未朔十一月庚戌日丑初初刻十一分内五十一秒冬至 五行志正月乙未朔癸丑七年正月己丑朔十一月乙夘日辰初初刻二分内四十一秒冬至 史闰七月甲寅八年正月癸丑朔十一月庚申日午正三刻八分内三十一秒冬至 史二月壬午朔日食乙夘九年正月丁未朔十一月乙丑日酉正二刻十四分内二十一秒冬至开成丙辰元年正月辛丑朔十一月辛未日子正二刻五分内一十一秒冬至 史正月辛丑朔日食五行志闰五月丁巳二年正月乙丑朔十一月丙子日夘正一刻十一分内一秒冬至戊午三年正月己未朔十一月辛巳日午正一刻一分内五十一秒冬至己未四年正月甲寅朔十一月丙戌日酉正初刻七分内四十一秒冬至 史闰正月五行志十二月丁丑晦庚申五年正月戊寅朔十一月辛夘夜子初三刻十三分内三十一秒冬至 五行志正月戊寅朔十二月癸夘朔武宗皇帝㑹昌辛酉元年正月壬申朔十一月丁酉日夘初三刻四分内二十一秒冬至 史闰九月壬戌二年正月丙申朔十一月壬寅日午初二刻十分内一十一秒冬至癸亥三年正月庚寅朔十一月丁未日酉初二刻一分内一秒冬至 史二月庚申朔日食甲子四年正月乙酉朔十一月壬子夜子初一刻六分内五十一秒冬至 史二月甲寅朔日食闰七月乙丑五年正月己酉朔十一月戊午日夘初初刻十二分内四十一秒冬至 史七月丙午朔日食丙寅六年正月癸夘朔十一月癸亥日午初初刻三分内三十一秒冬至 史十二月戊辰朔日食宣宗皇帝大中丁夘元年正月丁酉朔十一月戊辰日申正三刻九分内二十一秒冬至 史闰三月戊戌年十一闰又一纪戊辰二年正月辛酉朔十一月癸酉日亥正二刻十五分内一十一秒冬至 史五月己未朔日食己巳三年正月乙夘朔十一月己夘日寅正二刻六分内一秒冬至 自辛亥至此又十九年史次年正月有庚辰盖亦此冬闰十二月二百九十四章然应下年闰正月庚午四年正月己夘朔十一月甲申日巳正一刻十一分内五十一秒冬至辛未五年正月甲戌朔十一月己丑日申正一刻二分内四十一秒冬至壬申六年正月戊辰朔十一月甲午日亥正初刻八分内三十一秒冬至 应闰癸酉七年正月壬辰朔十一月庚子日寅初三刻十四分内二十一秒冬至甲戌八年正月丙戌朔十一月乙巳日巳初三刻五分内一十一秒冬至 史正月丙戌朔日食乙亥九年正月辛巳朔十一月庚戌日申初二刻十一分内一秒冬至 史闰四月丙子十年正月乙巳朔十一月乙夘日亥初二刻一分内五十一秒冬至丁丑十一年正月己亥朔十一月辛酉日寅初一刻七分内四十一秒冬至戊寅十二年正月癸巳朔十一月丙寅日巳初初刻十三分内三十一秒冬至 史闰二月己夘十三年正月丁巳朔十一月辛未日申初初刻四分内二十一秒冬至懿宗皇帝咸通庚辰元年正月辛亥朔十一月丙子日戌正三刻十分内一十一秒冬至 史闰十月十一月丙子朔享于太庙丁丑有事于南郊今推冬至在丙子戌正三刻朔日也辛巳二年正月乙亥朔十一月壬午日丑正三刻一分内一秒冬至壬午三年正月庚午朔十一月丁亥日辰正二刻六分内五十一秒冬至癸未四年正月甲子朔十一月壬辰日未正一刻十二分内四十一秒冬至 史闰六月七月辛夘朔日食甲申五年正月戊子朔十一月丁酉日戌正一刻三分内三十一秒冬至乙酉六年正月癸未朔十一月癸夘日丑正初刻九分内二十一秒冬至丙戌七年正月丁丑朔十一月戊申日辰初三刻十五分内一十一秒冬至 史闰三月丁亥八年正月辛丑朔十一月癸丑日未初三刻六分内一秒冬至戊子九年正月乙未朔十一月戊午日戌初二刻十一分内五十一秒冬至 自庚午至此又十九年而以前后例之当时盖亦此冬闰十二月而置闰应在下年二月后得二百九十五章己丑十年正月己未朔十一月甲子日丑初二刻二分内四十一秒冬至庚寅十一年正月甲寅朔十一月己巳日辰初一刻八分内三十一秒冬至辛夘十二年正月戊申朔十一月甲戌日未初初刻十四分内二十一秒冬至 应闰壬辰十三年正月壬申朔十一月己夘日戌初初刻五分内一十一秒冬至癸巳十四年正月丙寅朔十一月乙酉日子正三刻十一分内一秒冬至僖宗皇帝干符甲午元年正月庚申朔十一月庚寅日夘正三刻一分内五十一秒冬至 应闰乙未二年正月甲申朔十一月乙未日午正二刻七分内四十一秒冬至丙申三年正月己夘朔十一月庚子日酉正一刻十三分内三十一秒冬至 史九月乙亥朔日食丁酉四年正月癸酉朔十一月丙午日子正一刻四分内二十一秒冬至 史闰二月四月壬申朔日食自戊辰年至此十一闰又一纪戊戌五年正月丁酉朔十一月辛亥日夘正初刻十分内一十一秒冬至己亥六年正月辛夘朔十一月丙辰日午正初刻一分内一秒冬至日躔在斗六度之五十六分 史四月庚申朔日食闰十月全史日至源流卷二十六
## 卷二十七
钦定四库全书全史日至源流卷二十七山东道御史许伯政撰壬子运二十七(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻五分三十秒)冬至十四日八时三刻十三分五十八秒二十㣲小寒十四日八时四刻四分四十八秒二十㣲大寒十四日九时一刻十分三秒二十㣲立春十四日十时一刻六分三秒二十㣲雨水十四日十一时三刻四分三秒二十㣲惊蛰十五日零六刻十四分五十八秒二十㣲春分十五日二时三刻八分四十八秒二十㣲清明十五日四时零七分四十八秒二十㣲榖雨十五日五时四刻七分五十三秒二十㣲立夏十五日六时六刻十四分五十八秒二十㣲小满十五日八时零二分五十三秒二十㣲芒种十五日八时三刻九分五十八秒二十㣲夏至十五日八时六刻十四分五十八秒二十㣲小暑十五日八时五刻二分五十八秒二十㣲大暑十五日八时零七分五十八秒二十㣲立秋十五日七时零十分五十八秒二十㣲处暑十五日五时六刻五分五十八秒二十㣲白露十五日四时三刻九分三秒二十㣲秋分十五日二时四刻十一分八秒二十㣲寒露十五日一时一刻八分三秒二十㣲霜降十四日十一时五刻四分五十八秒二十㣲立冬十四日十时二刻十一分八秒二十㣲小雪十四日九时二刻十二分三秒二十㣲大雪十四日八时五刻九分五十八秒二十㣲广明庚子元年正月乙夘朔十一月辛酉日酉初三刻六分内三十一秒冬至中和辛丑元年正月庚戌朔十一月丙寅夜子初二刻十二分内一秒冬至壬寅二年正月甲辰朔十一月壬申日夘初二刻二分内三十一秒冬至 应闰癸卯三年正月戊辰朔十一月丁丑日午初一刻八分内一秒冬至甲辰四年正月壬戌朔十一月壬午日酉初初刻十三分内三十一秒冬至光启乙巳元年正月丁巳朔十一月丁亥夜子初初刻四分内一秒冬至 应闰丙午二年正月辛巳朔十一月癸巳日寅正三刻九分内三十一秒冬至丁未三年正月乙亥朔十一月戊戌日巳正二刻十五分内一秒冬至 自己丑年至此又十九年本纪十一月有壬申十二月有癸巳盖闰十一月二百九十六章然应下年闰二月文徳戊申元年正月己亥朔十一月癸卯日申正二刻五分内三十一秒冬至 史三月戊戌朔日食昭宗皇帝龙纪己酉元年正月癸巳朔十一月戊申日亥正一刻十一分内一秒冬至 史十一月戊申朝享于太庙己酉有事于南郊今推冬至在戊申亥正一刻大顺庚戌元年正月戊子朔十一月甲寅日寅正一刻一分内三十一秒冬至 史闰九月辛亥二年正月壬子朔十一月己未日巳正初刻七分内一秒冬至景福壬子元年正月丙午朔十一月甲子日申初三刻十二分内三十一秒冬至 史天正冬至己未日今同见上年癸丑二年正月庚子朔十一月己巳日亥初三刻三分内一秒冬至 应闰干寜甲寅元年正月甲子朔十一月乙亥日寅初二刻八分内三十一秒冬至乙夘二年正月己未朔十一月庚辰日巳初一刻十四分内一秒冬至丙辰三年正月癸丑朔十一月乙酉日申初一刻四分内三十一秒冬至 史闰正月应闰三月丁巳四年正月丁丑朔十一月庚寅日亥初初刻十分内一秒冬至光化戊午元年正月辛未朔十一月丙申日丑正二刻十五分内三十一秒冬至 史闰十月己未二年正月乙未朔十一月辛丑日辰正三刻六分内一秒冬至庚申三年正月己丑朔十一月丙午日未正二刻十一分内三十一秒冬至天复辛酉元年正月甲申朔十一月辛亥日戌正二刻二分内一秒冬 史正月甲申朔应闰壬戌二年正月戊申朔十一月丁巳日丑正一刻七分内三十一秒冬至 五行志十一月丁巳日南至今同癸亥三年正月壬寅朔十一月壬戌日辰正初刻十三分内一秒冬至 史十二月有丙申盖晦日天祐甲子元年正月丁酉朔十一月丁夘日未正初刻三分内三十一秒冬至 史闰四月乙未朔十月辛夘朔日食昭宣皇帝(仍天祐年号)乙丑二年正月辛酉朔十一月壬申日戌初三刻九分内一秒冬至丙寅三年正月乙夘朔十一月戊寅日丑初二刻十四分内三十一秒冬至 史四月癸未朔日食闰十二月自戊申至此又十九年而置闰应在次年二月后二百九十七章丁夘四年正月己夘朔十一月癸未日辰初二刻五分内一秒冬至 史五月丁丑朔四月后梁开平元年辽太祖耶律阿保机元年四月丁未朔移上闰于此年戊戌年至此十一闰又一纪五代梁太祖皇帝开平戊辰二年正月癸酉朔十一月戊子日未初一刻十分内三十一秒冬至 史三月壬申朔辽史正月癸酉朔十月己亥朔己巳三年正月戊辰朔十一月癸巳日戌初一刻一分内一秒冬至 史闰八月十一月甲午日南至告谢于南郊今推冬至在癸巳戌初一刻辽史二月丁酉朔庚午四年正月壬辰朔十一月己亥日丑初初刻六分内三十一秒冬至 史正月壬辰朔辽史七月戊午朔干化辛未元年正月丙戌朔十一月甲辰日夘正三刻十二分内一秒冬至 五月甲申朔九月辛巳朔辽史七月壬午朔壬申二年正月庚辰朔十一月己酉日午正三刻二分内三十一秒冬至 应闰此年六月友珪弑立癸酉三年正月甲辰朔十一月甲寅日酉正二刻八分内一秒冬至 辽史正月甲辰朔此年二月友贞诛珪立甲戌四年正月戊戌朔十一月庚申日子正一刻十三分内三十一秒冬至 辽史七月丙申朔十月甲子朔贞明乙亥元年正月癸巳朔十一月乙丑日夘正一刻四分内一秒冬至 应闰丙子二年正月丁巳朔十一月庚午日午正初刻九分内三十一秒冬至 辽神册元年二月丙戌朔四月乙酉朔十月癸未朔丁丑三年正月辛亥朔十一月乙亥日酉初三刻十五分内一秒冬至 史闰十一月戊寅四年正月甲戌朔十一月庚辰夜子初三刻五分内三十一秒冬至 史十一月庚子朔辽史同己夘五年正月己巳朔十一月丙戌日夘初二刻十一分内一秒冬至 史八月乙未朔庚辰六年正月癸亥朔十一月辛夘日午初二刻一分内三十一秒冬至 辽史闰六月八月己未朔九月己丑朔末帝龙徳辛巳元年正月丁亥朔十一月丙申日酉初一刻七分内一秒冬至 史三月丁亥朔五月丙戌朔辽史同十月癸丑朔壬午二年正月壬午朔十一月辛丑夜子初初刻十二分内三十一秒冬至 辽天赞元年癸未三年正月丙子朔十一月丁未日夘初初刻三分内一秒冬至 史闰四月辽史同自四月后后唐同光元年十二月庚午朔后唐庄宗皇帝同光甲申二年正月庚子朔十一月壬子日巳正三刻八分内三十一秒冬至 史二月己巳朔辽史九月丙申朔十月丙寅朔十一月乙未朔乙酉三年正月甲午朔十一月丁巳日申正二刻十四分内一秒冬至 史闰十二月辽史同自丁夘年至此又十九年得二百九十八章然应下年闰二月丙戌四年正月戊午朔十一月壬戌日亥正二刻四分内三十一秒冬至 史四月丁亥朔五月丙辰朔八月乙酉朔自四月后天成元年辽天显元年明宗皇帝天成丁亥二年正月癸丑朔十一月戊辰日寅正一刻十分内一秒冬至 史正月癸丑朔二月壬午朔三月壬子朔辽太宗徳先仍称天显二年戊子三年正月丁未朔十一月癸酉日巳正初刻十五分内三十一秒冬至 史三月丁未朔应闰己丑四年正月辛未朔十二月戊寅日申正初刻六分内一秒冬至 史五月己巳朔辽史正月壬申朔十一月丙寅朔长兴庚寅元年正月乙丑朔十一月癸未日亥初三刻十一分内三十一秒冬至 史十一月庚申朔辛夘二年正月己未朔十一月己丑日寅初三刻二分内一秒冬至 史闰五月十二日甲寅朔壬辰三年正月癸未朔十一月甲午日巳初二刻七分内二十一秒冬至 辽史五月壬午朔癸巳四年正月戊寅朔十一月己亥日申初一刻十三分内一秒冬至 史十二月癸夘朔愍皇帝应顺甲午元年正月壬申朔十一月甲辰日亥初一刻三分内三十一秒冬至 史正月壬申朔闰正月自五月后改清泰元年废帝清泰乙未二年正月丙申朔十一月庚戌日寅初初刻九分内一秒冬至丙申三年正月庚寅朔十一月乙夘日辰正三刻十四分内三十一秒冬至 史闰十一月十一月后晋天福元年辽史十二月乙酉朔自戊辰年至此十一闰一纪缩一年下起丁酉晋髙祖皇帝天福丁酉二年正月甲寅朔十一月庚申日未正三刻五分内一秒冬至戊戌三年正月戊申朔十一月乙丑日戌正二刻十分内三十一秒冬至 辽会同元年正月戊申朔十月甲戌朔十一月甲辰朔己亥四年正月癸夘朔十一月辛未日丑正二刻一分内一秒冬至 史闰七月八月己亥朔庚子五年正月丁夘朔十一月丙午日辰正一刻六分内三十一秒冬至 史正月丁夘朔十一月丙午冬至始用二舞今推冬至日合辽史十二月壬辰朔辛丑六年正月辛酉朔十一月辛巳日未正初刻十二分内一秒冬至 史十二月丙戌朔辽史十一月壬午以冬至受贺著令今推至日在辛巳未正初刻壬寅七年正月丙辰朔十一月丙戌日戌正初刻二分内三十一秒冬至 辽史正月丙辰朔闰三月出帝(不改元仍称天福)癸夘八年正月庚辰朔十一月壬辰日丑初三刻八分内一秒冬至 史三月己夘朔八月丁未朔开运甲辰元年正月甲戌朔十一月丁酉日辰初二刻十三分内三十一秒冬至 史正月甲戌朔三月癸酉朔七月辛未朔八月辛丑朔九月庚午朔十二月己亥朔闰十二月己巳朔自丙戌年至此又十九年二百九十九章而置闰应在次年二月后乙巳二年正月戊戌朔十一月壬寅日未初二刻四分内一秒冬至 史五月丙申朔八月甲子朔辽史十二月癸亥朔丙午三年正月壬辰朔十一月丁未日戌初一刻九分内三十一秒冬至 辽史四月辛酉朔十一月戊子朔汉髙祖皇帝(初年无年号)丁未四年称天福十二年正月丁亥朔十一月癸丑日丑初初刻十五分内一秒冬至 史三月丙戌朔闰七月辽大同元年正月丁亥朔二月丁巳朔三月丙戌朔四月丙辰朔九月壬子朔改天禄元年干祐戊申元年正月辛亥朔十一月戊午日辰初初刻五分内三十一秒冬至 史七月戊申朔辽世宗天禄二年四月庚辰朔隐皇帝(不改元)己酉二年正月乙巳朔十一月癸亥日午正三刻十一分内一秒冬至 辽史九月辛丑朔庚戌三年正月己亥朔十一月戊辰日酉正三刻一分内三十一秒冬至 应闰十二月甲午朔辽史三月戊戌朔九月乙丑朔周太祖皇帝广顺辛亥元年正月癸亥朔十一月甲戌日子正二刻七分内一秒冬至日躔在斗五度之五十六分 辽史正月癸亥朔五月壬戌朔六月辛夘朔九月庚申朔改是年为应厯元年壬子二年正月戊午朔十一月己夘日夘正一刻十二分内三十一秒冬至 史三月丁巳朔六月乙酉朔辽穆宗应厯二年正月戊午朔五月丙辰朔九月甲寅朔十月甲申朔十一月癸丑朔己夘日南至今同十二月癸未朔癸丑三年正月壬子朔十一月甲申日午正一刻三分内一秒冬至 史闰正月辽史闰月壬午朔三月庚辰朔显徳甲寅元年正月丙子朔十一月己丑日酉正初刻八分内三十一秒冬至 辽史二月丙午朔十二月辛丑朔正月太祖崩世宗皇帝(不改元)乙夘二年正月庚午朔十月晦日甲午夜子初三刻十四分内一秒冬至 史九月丙寅朔闰九月十一月乙未朔辽史十二月乙丑朔丙辰三年正月甲午朔十一月庚子日夘初三刻四分内三十一秒冬至 史天正冬至乙未日今在甲午夜子初三刻见上年丁巳四年正月己丑朔十一月乙巳日午初一刻十分内一秒冬至 史正月己丑朔戊午五年正月癸未朔十一月庚戌日酉初一刻十五分内三十一秒冬至 史三月壬午朔应闰己未六年正月丁未朔十一月乙夘夜子初一刻六分内一秒冬至 辽史五月乙巳朔六月乙亥朔是月世宗崩恭皇帝庚申七年正月辛丑朔十一月辛酉日夘初初刻十一分内三十一秒冬至 即宋太祖建隆元年史正月辛丑朔五月己亥朔日食八月戊辰朔辽史七月己亥朔宋太祖皇帝建隆辛酉二年正月丙申朔十一月丙寅日午初初刻二分内一秒冬至 史正月丙申朔二月有辛酉四月癸巳朔日食盖闰三月壬戌三年正月庚申朔十一月辛未日申正三刻七分内三十一秒冬至 史三月戊午朔十月乙酉朔天正冬至丙寅日今同见上年辽史二月己丑朔干徳癸亥元年正月甲寅朔十一月丙子日亥正二刻十三分内一秒冬至 史十一月丙子有事于南郊今推冬至日合辽史七月辛亥朔九月庚戌朔宋史十二月有甲申次年正月又有甲申是此年闰十二月自乙巳年至此又一十九年得三百章然应下年闰三月甲子二年正月戊寅朔十一月壬午日寅正二刻三分内三十一秒冬至 辽史正月戊寅朔六月丙午朔十一月壬午日南至今推至日合乙丑三年正月癸酉朔十一月丁亥日巳正一刻九分内一秒冬至 史正月癸酉朔辽史二月壬寅朔丙寅四年正月丁夘朔十一月壬辰日申正初刻十四分内三十一秒冬至 辽史正月丁夘朔闰七月丁酉年至此十一闰为一纪丁夘五年正月庚寅朔十一月丁酉日亥正初刻五分内一秒冬至 史六月戊午朔日食辽史正月庚寅朔九月丙戌朔开寳戊辰元年正月乙酉朔十一月癸夘日寅初三刻十分内三十一秒冬至 史十一月癸卯南郊大赦今推冬至日合辽史正月乙酉朔三月甲申朔冬至与宋同己巳二年正月己夘朔十一月戊申日巳初三刻一分内一秒冬至 史正月己夘朔闰四月自三月后辽改保寜元年五月戊寅朔十一月甲辰朔庚午三年正月癸卯朔十一月癸丑日申初二刻六分内三十一秒冬至 史四月辛未朔日食九月己亥朔辛未四年正月戊戌朔十一月戊午日亥初一刻十二分内一秒冬至 史正月戊戌朔五月乙未朔十月癸亥朔日食十一月己未南郊今推冬至在戊午日亥初一刻壬申五年正月壬辰朔十一月甲子日寅初一刻二分内三十一秒冬至 史闰二月九月丁巳朔日食辽史四月庚寅朔十月丁亥朔癸酉六年正月丙辰朔十一月己巳日巳初初刻八分内一秒冬至 史三月乙夘朔辽史十一月辛亥朔甲戌七年正月庚戌朔十一月甲戌日未正三刻十三分内三十一秒冬至 史二月庚辰朔日食闰十月辽史七月丁未朔乙亥八年正月甲戌朔十一月己夘日戌正三刻四分内一秒冬至 史正月甲戌朔七月辛未朔日食丙子九年正月戊辰朔十一月乙酉日丑正二刻九分内三十一秒冬至 史十一月癸亥朔十二月改太平兴国元年太宗皇帝太平兴国丁丑二年正月壬戌朔十一月庚寅日辰正一刻十五分内一秒冬至 史正月壬戌朔闰七月十一月丁亥朔日食庚寅日南至今同戊寅三年正月丙戌朔十一月乙未日未正一刻五分内三十一秒冬至 史正月丙戌朔十一月丙申有事于圜邱今推冬至在乙未未正一刻己夘四年正月辛巳朔十一月庚子日戌正初刻十一分内一秒冬至 史三月庚辰朔五月己夘朔九月戊寅朔日食辽史十一月辛丑冬至大赦改元今推至日在庚子戌正初刻庚辰五年正月丙子朔十一月丙午日丑正初刻一分内三十一秒冬至 史闰三月乾元厯十一月丙午日六十三刻冬至今推至日合辽史干亨二年正月丙子朔十月辛未朔十一月庚子朔十二月庚午朔辛巳六年正月己亥朔十一月辛亥日辰初三刻七分内一秒冬至 史九月乙未朔日食十一月辛亥祀圜邱今推冬至日合壬午七年正月甲午朔闰十月丙辰日未初二刻十二分内三十一秒冬至十一月戊午朔 史三月癸巳朔十月己未朔十一月戊午朔日食盖闰十月自甲子年至此又十九年得三百一章然置闰应在次年三月后癸未八年正月戊午朔十一月辛酉日戌初二刻三分内一秒冬至 史二月戊子朔日食辽圣宗统和元年正月戊午朔二月戊子朔四月丙戌朔九月癸丑朔十月癸未朔十一月壬子朔雍熙甲申元年正月壬子朔十一月丁夘日丑初一刻八分内三十一秒冬至 辽史十月丁丑朔乙酉二年正月丙午朔十一月壬申日辰初初刻十四分内一秒冬至 史四月乙亥朔闰九月十二月庚子朔日食辽史二月丙子朔四月乙亥朔七月甲辰朔八月癸酉朔丙戌三年正月庚午朔十一月丁丑日未初初刻四分内三十一秒冬至 史六月戊戌朔日食辽史四月己亥朔十一月戊寅日南至今推至日在丁丑未初初刻丁亥四年正月甲子朔十一月壬午日酉正三刻十分内一秒冬至 史四月癸巳朔辽史三月癸亥朔端拱戊子元年正月己未朔十一月戊子日子正二刻十五分内三十一秒冬至 应闰己丑二年正月癸未朔十一月癸巳日夘正二刻六分内一秒冬至 辽史正月癸未朔二月壬子朔三月壬午朔六月庚戌朔淳化庚寅元年正月戊寅朔十一月戊戌日午正一刻十一分内三十一秒冬至 史正月戊寅朔辽史四月丙午朔辛夘二年正月壬申朔十一月癸夘日酉正一刻二分内一秒冬至 史闰二月辛未朔日食十二月丙寅朔壬辰三年正月丙申朔十一月己酉日子正初刻七分内三十一秒冬至 史二月乙丑朔日食癸巳四年正月庚寅朔十一月甲寅日夘初三刻十三分内一秒冬至 史二月己未朔日食八月丙辰朔日食闰十月甲午五年正月癸丑朔十一月己未日午初三刻三分内三十一秒冬至 辽史正月癸丑朔十二月戊寅朔日食辽史六月辛巳朔八月庚辰朔十一月戊申朔十二月戊寅朔至道乙未元年正月戊申朔十一月甲子日酉初二刻九分内一秒冬至 史十月甲戌朔辽史六月丙子朔丙申二年正月壬寅朔十一月己巳夜子初一刻十四分内三十一秒冬至 辽史闰七月丁夘年至此十一闰又一纪丁酉三年正月丙寅朔十一月乙亥日夘初一刻五分内一秒冬至 辽史三月乙丑朔四月乙未朔十月壬辰朔十一月壬戌朔真宗皇帝咸平戊戌元年正月辛酉朔十一月庚辰日午初初刻十分内三十一秒冬至 史五月戊午朔日食十月丙戌朔日食辽史六月戊子朔七月丁巳朔九月丁巳朔己亥二年正月乙夘朔十一月乙酉日酉初初刻一分内一秒冬至 史闰三月九月庚辰朔日食十一月乙酉飨太庙丙戌祀圜邱今推冬至在乙酉酉初初刻庚子三年正月己夘朔十一月庚寅日亥正三刻六分内三十一秒冬至 史正月己卯朔三月戊寅朔日食四月戊申朔仪天厯十一月辛卯五十三刻冬至今推至日在庚寅亥正三刻辽史十一月甲戌朔辛丑四年正月癸酉朔十一月丙申日寅正二刻十二分内一秒冬至 辽史闰十一月自癸未年至此又十九年三百二章然置闰应在次年二月后壬寅五年正月丁酉朔十一月辛丑日巳正二刻二分内三十一秒冬至 史七月甲午朔日食十一月辛丑享太庙壬寅祀圜邱今推冬至在辛丑巳正二刻辽史四月丙寅朔九月癸巳朔癸卯六年正月壬辰朔十一月丙午日申正一刻八分内一秒冬至景徳甲辰元年正月丙戌朔十一月辛亥日亥正初刻十三分内三十一秒冬至 史正月丙戌朔闰八月十二月庚辰朔日食辽史闰九月乙巳二年正月庚戌朔十一月丁巳日寅正初刻四分内一秒冬至 史正月庚戌朔十一月丙辰享太庙丁巳祀圜邱今推冬至日合丙午三年正月甲辰朔十一月壬戌日巳初二刻九分内三十一秒冬至 史五月壬寅朔日当食不亏丁未四年正月戊戌朔十一月丁夘日申初二刻十五分内一秒冬至 史五月丙申朔日食闰五月十月甲午朔日食十一月戊辰日南至诸厯推之得丁夘今同大中祥符戊申元年正月壬戌朔十一月壬申日亥初二刻五分内三十一秒冬至 辽史十月戊子朔己酉二年正月丙辰朔十一月戊寅日寅初一刻十一分内一秒冬至 史三月丙辰朔日食辽史四月丙戌朔七月甲寅朔十一月壬子朔庚戌三年正月辛亥朔十一月癸未日巳初一刻一分内三十一秒冬至 史闰二月八月丁未朔辽史正月辛亥朔十月丙午朔辛亥四年正月己亥朔十一月戊子日申初初刻七分内一秒冬至 史四月甲辰朔七月壬申朔辽史正月乙亥朔五月甲戌朔十一月庚午朔壬子五年正月己巳朔闰十月癸巳日戌正三刻十二分内三十一秒冬至十一月甲午朔 史八月丙申朔日食闰十月辽开泰元年五月戊辰朔十一月甲午朔此闰亦循前例然应移于下年正月后癸丑六年正月癸巳朔十一月己亥日丑正三刻三分内一秒冬至 史正月癸巳朔十二月戊午朔日食辽史十月己未朔甲寅七年正月丁亥朔十一月甲辰日辰正二刻八分内三十一秒冬至 二月丁巳朔见庐山志栖贤桥石崖十二月癸丑朔日当食不亏乙夘八年正月壬午朔十一月己酉日未正一刻十四分内一秒冬至 史正月壬午朔六月己酉朔日食闰六月丙辰九年正月丙午朔十一月甲寅日戌正一刻四分内三十一秒冬至天禧丁巳元年正月辛丑朔十一月庚申日丑正初刻十分内一秒冬至 辽史六月戊辰朔戊午二年正月乙未朔十一月乙丑日辰初三刻十五分内三十一秒冬至 史闰四月辽史二月乙丑朔己未三年正月己未朔十一月庚午日未初三刻六分内一秒冬至 史三月戊午朔日食十一月庚午飨太庙辛未祀圜邱今推冬至在庚午未初三刻庚申四年正月癸丑朔十一月乙亥日戌初二刻十一分内三十一秒冬至 辽史七月庚戌朔日食闰十二月自壬寅年至此又十九年宋史十一月有戊午十二月有乙亥盖闰十一月三百三章然置闰应在次年三月后辛酉五年正月丁丑朔十一月辛巳日丑初二刻二分内一秒冬至 史七月甲戌朔日食辽太平元年干兴壬戌元年正月辛未朔十一月丙戌日辰初一刻七分内三十一秒冬至 史正月辛未朔天正冬至辛巳日今同见上年仁宗皇帝天圣癸亥元年正月丙寅朔十一月辛卯日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在斗四度之五十六分史正月丙寅朔闰九月十一月壬辰冬至今在辛夘未初辽史十一月辛卯朔甲子二年正月庚寅朔十一月丙申日戌初初刻三分内三十一秒冬至 史五月丁亥朔八月丙辰朔十一月丙申飨太庙丁酉合祀圜邱今推冬至在丙申戌初初刻乙丑三年正月甲申朔十一月壬寅日子正三刻九分内一秒冬至 史十二月戊寅太白复见盖晦日丙寅四年正月己夘朔十一月丁未日夘正二刻十四分内三十一秒冬至 史闰五月十月甲戌朔日食辽史四月丁未朔自丁酉年至此十一闰又一纪丁夘五年正月壬寅朔十一月壬子日午正二刻五分内一秒冬至 史正月壬寅朔十一月壬子飨太庙癸丑合祀圜邱今推冬至在壬子午正二刻辽史七月己亥朔十月丁卯朔戊辰六年正月丙申朔十一月丁巳日酉正一刻十分内三十一秒冬至 史三月丙申朔日食辽史九月壬辰朔十二月辛酉朔己巳七年正月辛夘朔十一月癸亥日子正一刻一分内一秒冬至 史闰二月八月丁亥朔日食十一月癸亥冬至今同辽史十月丙戌朔庚午八年正月乙夘朔十一月戊辰日夘正初刻六分内三十一秒冬至 史十一月戊辰郊今推冬至日合辛未九年正月己酉朔闰十月癸酉日午初三刻十二分内一秒冬至十一月甲戌朔 史七月丙午朔辽史六月丁丑朔同闰十月然应下年闰二月自十月后辽兴宗景福元年明道壬申元年正月癸酉朔十一月戊寅日酉初三刻二分内三十一秒冬至 史十一月己夘冬至今在戊寅酉初三刻辽兴宗重熙元年三月壬申朔癸酉二年正月丁夘朔十一月癸未夜子初二刻八分内一秒冬至 史六月甲午朔日食景祐甲戌元年正月辛酉朔十一月己丑日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 应闰辽史七月戊子朔乙亥二年正月乙酉朔十一月甲午日午初一刻四分内一秒冬至 史十一月乙未南郊今推冬至在甲午日午初一刻辽史六月癸丑朔丙子三年正月庚辰朔十一月己亥日酉初初刻九分内三十一秒冬至丁丑四年正月甲戌朔十一月甲辰日亥正三刻十五分内一秒冬至 应闰辽史六月壬申朔七月辛丑朔寳元戊寅元年正月戊戌朔十一月庚戌日寅正三刻五分内三十一秒冬至 史三月戊戌朔十一月戊寅南郊今推十一月无戊寅盖传刻之讹辽史十月甲子朔己夘二年正月壬辰朔十一月乙夘日巳正二刻十一分内一秒冬至 自辛酉年至此又十九年史下年正月丙辰朔盖此冬闰十二月三百四章然应下年闰二月康定庚辰元年正月丙辰朔十一月庚申日申正二刻一分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔日食五月甲寅朔庆厯辛巳元年正月辛亥朔十一月乙丑日亥正一刻七分内一秒冬至 史十一月丙寅郊祀今推冬至在乙丑亥正一刻此月司天监上崇天万年厯辽史二月庚辰朔壬午二年正月丙午朔十一月辛未日寅正初刻十二分内三十一秒冬至 史闰九月辽史四月甲戌朔七月壬寅朔癸未三年正月庚午朔十一月丙子日巳正初刻三分内一秒冬至 史正月庚午朔五月丁夘朔日食甲申四年正月甲子朔十一月辛巳日申初三刻八分内三十一秒冬至 史十一月壬午郊今推冬至在辛巳日申初三刻辽史正月甲子朔五月壬戌朔乙酉五年正月戊午朔十一月丙戌日亥初二刻十四分内一秒冬至 史四月丁亥朔日食十一月丁亥冬至今在丙戌日亥初二刻辽史闰五月丙戊六年正月壬午朔十一月壬辰日寅初二刻四分内三十一秒冬至 史三月辛巳朔日食丁亥七年正月丙子朔十一月丁酉日巳初一刻十分内一秒冬至 史十一月戊戌朔今推冬至在丁酉巳初一刻戊子八年正月庚午朔十一月壬寅日申初初刻十五分内三十一秒冬至 史闰正月应闰三月十二月乙丑朔辽史十一月乙未朔皇祐己丑元年正月甲午朔十一月丁未日亥初初刻六分内一秒冬至 史正月朔日食不书日庚寅二年正月己丑朔十一月癸丑日丑正三刻十一分内三十一秒冬至 史三月戊子朔五月丁亥朔十一月三十日癸丑景长闰十一月今推至日合但当时用平气故闰十一月若如今法不宜置闰辽史六月丙辰朔辛夘三年正月癸丑朔十一月戊午日辰正三刻二分内一秒冬至 辽史十月己夘朔壬辰四年正月丁未朔十一月癸亥日未正二刻七分内三十一秒冬至 史十一月壬寅朔日食十二月壬申朔辽史七月甲辰朔癸巳五年正月辛丑朔十一月戊辰日戌正一刻十三分内一秒冬至 史十月丙申朔日食十一月己巳郊今推冬至在戊辰戌正一刻辽史闰七月至和甲午元年正月乙丑朔十一月甲戌日丑正一刻三分内三十一秒冬至乙未二年正月庚申朔十一月己夘日辰正初刻九分内一秒冬至 辽史二月己丑朔自八月后辽道宗清宁元年嘉祐丙申元年正月甲寅朔十一月甲申日未初三刻十四分内三十一秒冬至 史正月甲寅朔闰三月癸未朔四月壬子朔八月庚戌朔日食辽史十二月戊申朔丁夘年至此十一闰又一纪丁酉二年正月戊寅朔十一月己丑日戌初三刻五分内一秒冬至戊戌三年正月壬申朔十一月乙未日丑初二刻十分内三十一秒冬至 史八月己亥朔日食闰十二月辽史正月壬申朔五月庚午朔自庚辰年至此十九年置闰应在次年二月后三百五章己亥四年正月丙申朔十一月庚子日辰初二刻一分内一秒冬至 史正月丙申朔日食庚子五年正月辛夘朔十一月乙巳日未初一刻六分内三十一秒冬至 辽史五月戊子朔辛丑六年正月乙酉朔十一月庚戌日戌初初刻十二分内一秒冬至 史六月壬子朔日食闰八月壬寅七年正月己酉朔十一月丙辰日丑初初刻二分内三十一秒冬至 史二月己夘朔六月丙子朔癸夘八年正月癸卯朔十一月辛酉日夘正三刻八分内一秒冬至 史四月壬申朔辽史八月庚午朔十月戊辰朔英宗皇帝治平甲辰元年正月丁酉朔十一月丙寅日午正二刻十三分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔应闰天正冬至辛酉日今同见上年辽史十月壬辰朔乙巳二年正月辛酉朔十一月辛未日酉正二刻四分内一秒冬至 史十一月壬申南郊今推冬至在辛未酉正二刻辽咸雍元年正月辛酉朔十月丁亥朔丙午三年正月乙夘朔十一月丁丑日子正一刻九分内三十一秒冬至 史二月乙酉朔九月壬子朔日食丁未四年正月庚戌朔十一月壬午日夘正初刻十五分内一秒冬至 史正月庚戌朔闰三月八月丁未朔神宗皇帝熙宁戊申元年正月甲戌朔十一月丁亥日午正初刻五分内三十一秒冬至 史正月甲戌朔日食十一月丁亥朔今推至日合辽史二月甲辰朔己酉二年正月戊辰朔十一月壬辰日酉初三刻十一分内一秒冬至 史闰十一月若如今法宜在下年正月后庚戌三年正月壬辰朔十一月丁酉夜子初三刻一分内三十一秒冬至 史九月戊子朔辛亥四年正月丁亥朔十一月癸卯日夘初二刻七分内一秒冬至 史四月丙辰朔辽史七月甲申朔壬子五年正月辛巳朔十一月戊申日午初一刻十二分内三十一秒冬至 史闰七月癸丑六年正月乙巳朔十一月癸丑日酉初一刻三分内一秒冬至 史四月甲戌朔日食十一月癸丑日冬至今同甲寅七年正月己亥朔十一月戊午夜子初初刻八分内三十一秒冬至 史十一月己未朔今推冬至戊午夜子初初刻乙夘八年正月癸巳朔十一月甲子日寅正三刻十四分内一秒冬至 史闰四月八月庚寅朔日当食不见辽太康元年丙辰九年正月丁巳朔十一月己巳日巳正三刻四分内三十一秒冬至 史八月甲申朔辽史六月乙酉朔丁巳十年正月壬子朔十一月甲戌日申正二刻十分内一秒冬至 史十一月甲戌朔改元今推冬至日合辽史六月己夘朔闰十二月盖循前例元丰戊午元年正月丙午朔十一月己夘日亥正一刻十五分内三十一秒冬至 史闰正月六月癸卯朔日食自嘉祐己亥四年至此二十年七闰盖自梁天监戊子七年至此共三十章又宜移下一年于此乃变通之共三百六章此后章法当另数而周纪则如旧己未二年正月庚午朔十一月乙酉日寅正一刻六分内一秒冬至 史八月丙申朔庚申三年正月乙丑朔十一月庚寅日巳正初刻十一分内三十一秒冬至 史正月乙丑朔闰九月十一月己丑朔日食辽史十月己未朔辛酉四年正月己丑朔十一月乙未日申正初刻二分内一秒冬至 史十一月癸未朔日食壬戌五年正月癸未朔十一月庚子日亥初三刻七分内三十一秒冬至 史四月壬子朔日食癸亥六年正月丁丑朔十一月丙午日寅初二刻十三分内一秒冬至 史正月丁丑朔闰八月九月癸夘朔日食十一月丙午专祀昊天于圜邱今推冬至日合辽史四月丙午朔甲子七年正月辛丑朔十一月辛亥日巳初二刻三分内三十一秒冬至 厯志十一月辛亥景长今同辽史二月庚午朔乙丑八年正月乙未朔十一月丙辰日申初一刻九分内一秒冬至 史三月甲午朔辽大安元年哲宗皇帝元祐丙寅元年正月庚寅朔十一月辛酉日亥初初刻十四分内三十一秒冬至 史正月庚寅朔闰二月五月丁巳朔辽史六月丁亥朔自丁酉年至此十一闰又一纪丁夘二年正月甲寅朔十一月丁夘日寅初初刻五分内一秒冬至 辽史十二月己夘朔戊辰三年正月戊申朔十一月壬申日辰正三刻十分内三十一秒冬至 史十一月壬申景长今同闰十二月癸夘朔法应下年闰二月己巳四年正月壬申朔十一月丁丑日未正三刻一分内一秒冬至 史十一月丁丑日景长今同庚午五年正月丁夘朔十一月壬午日戌正二刻六分内三十一秒冬至 史十一月壬午景长今同辛未六年正月辛酉朔十一月戊子日丑正一刻十二分内一秒冬至 史五月己未朔日食闰八月是岁行元祐观天厯十一月戊子日冬至今同辽史七月戊午朔壬申七年正月乙酉朔十一月癸巳日辰正一刻二分内三十一秒冬至 史十一月癸巳冬至郊合祀天地今推至日合癸酉八年正月己夘朔十一月戊戌日未正初刻八分内一秒冬至 史七月丙子朔绍圣甲戌元年正月癸酉朔十一月癸卯日戌初三刻十三分内三十一秒冬至 三月壬申朔日食闰五月乙亥二年正月丁酉朔十一月己酉日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在斗三度之五十六分 辽寿隆元年五月乙未朔全史日至源流卷二十七
## 卷二十八
钦定四库全书全史日至源流卷二十八山东道御史许伯政撰壬子运二十八(共二百一十六期毎期三百六十五日二时七刻五分十秒)冬至十四日八时三刻十三分五十七秒三十㣲小寒十四日八时四刻四分四十七秒三十㣲大寒十四日九时一刻十分二秒三十㣲立春十四日十时一刻六分二秒三十㣲雨水十四日十一时三刻四分二秒三十㣲惊蛰十五日零六刻十四分五十七秒三十㣲春分十五日二时三刻八分四十七秒三十㣲清明十五日四时零七分四十七秒三十㣲谷雨十五日五时四刻七分五十二秒三十㣲立夏十五日六时六刻十四分五十七秒三十㣲小满十五日八时零二分五十二秒三十㣲芒种十五日八时三刻九分五十七秒三十㣲夏至十五日八时六刻十四分五十七秒三十㣲小暑十五日八时五刻二分五十七秒三十㣲大暑十五日八时零七分五十七秒三十㣲立秋十五日七时零十分五十七秒三十㣲处暑十五日五时六刻五分五十七秒三十㣲白露十五日四时三刻九分二秒三十㣲秋分十五日二时四刻十一分七秒三十㣲寒露十五日一时一刻八分二秒三十㣲霜降十四日十一时五刻四分五十七秒三十㣲立冬十四日十时一刻十一分七秒三十㣲小雪十四日九时二刻十二分零二秒三十㣲大雪十四日八时五刻九分五十七秒三十㣲丙子三年正月壬辰朔十一月甲寅日辰初二刻九分内一十一秒冬至丁丑四年正月丙戌朔十一月己未日未初一刻十四分内二十一秒冬至 史闰二月六月癸未朔日食辽史二月丙辰朔自元丰己未年至此为一章两年一闰又六年两闰又两年一闰又九年三闰故当另数通共三百七章元符戊寅元年正月庚戌朔十一月甲子日戌初一刻四分内三十一秒冬至 史五月戊申朔六月戊寅朔十一月甲子郊今推至日合辽史十一月乙巳朔己卯二年正月甲辰朔十一月庚午日丑初初刻九分内四十一秒冬至 史闰九月辽史十月己亥朔庚辰三年正月戊辰朔十一月乙亥日夘正三刻十四分内五十一秒冬至 史四月丁酉朔日食七月丙寅朔徽宗皇帝建中靖国辛巳元年正月壬戌朔十一月庚辰日午正三刻五分内一秒冬至 史正月壬戌朔四月辛夘朔日食五月辛酉朔十一月庚辰合祀天地今推至日合辽史二月壬辰朔天祚帝立改是年为干统元年六月庚寅朔崇寜壬午元年正月丁巳朔十一月乙酉日酉正二刻十分内一十一秒冬至 史闰六月甲寅朔癸未二年正月辛巳朔十一月辛卯日子正一刻十五分内二十一秒冬至 史天正冬至乙酉日今同见上年辽史正月辛巳朔甲申三年正月乙亥朔十一月丙申日夘正一刻五分内三十一秒冬至郊史六月壬寅朔十一月丙申今推至日合乙酉四年正月己巳朔十一月辛丑日午正初刻十分内四十一秒冬至 史闰二月纪天厯十一月辛丑日六十二刻冬至今推至日合丙戌五年正月癸巳朔十一月丙午日酉初三刻十五分内五十一秒冬至 史七月庚寅朔日当食不亏此年颁刘昺所造纪元新厯天正冬至辛丑日今同见上年大观丁亥元年正月戊子朔十一月辛亥夜子初三刻六分内一秒冬至 史正月戊子朔十一月壬子朔日食盖闰十月置闰应在次年正月后戊子二年正月壬子朔十一月丁巳日夘初二刻十一分内一十一秒冬至 史正月壬子朔五月庚戌朔日食十一月丁未朔己丑三年正月丙午朔十一月壬戌日午初二刻一分内二十一秒冬至 史二月丙子朔五月乙巳朔庚寅四年正月庚子朔十一月丁卯日酉初一刻六分内三十一秒冬至 应闰史九月丙寅朔日食十一月丁夘郊今推至日合政和辛卯元年正月甲子朔十一月壬申夜子初初刻十一分内四十一秒冬至 辽天庆元年壬辰二年正月戊午朔十一月戊寅日卯初初刻一分内五十一秒冬至 史正月戊午朔十一月戊寅日南至受圭于大庆殿今推至日合癸巳三年正月癸丑朔十一月癸未日巳正三刻七分内一秒冬至 史三月壬子朔日食闰三月十一月癸未郊今推至日合次年正月戊寅朔 此年五小月八大月辽史闰四月甲午四年正月戊寅朔十一月戊子日申正二刻十二分内一十一秒冬至 史正月戊寅朔乙未五年正月壬申朔十一月癸巳日亥正二刻二分内二十一秒冬至 史三月辛未朔七月戊辰朔日食辽史九月丁夘朔金太祖完颜旻収国元年五月庚午朔六月己亥朔丙申六年正月丙寅朔十一月己亥日寅正一刻七分内三十一秒冬至 辽史闰正月宋史九月辛卯朔十一月己亥郊今推至日合金史十二月庚申朔自丁夘年至此十一闰又一纪共三百八章丁酉七年正月庚寅朔十一月甲辰日巳正初刻十二分内四十一秒冬至 史十月乙夘朔金天辅元年重和戊戌元年正月甲申朔十一月己酉日申正初刻二分内五十一秒冬至 史正月甲申朔五月壬午朔日食闰九月十月己夘朔十一月己酉朔金史二月癸丑朔闰月庚戌朔宣和己亥元年正月戊申朔十一月甲寅日亥初三刻八分内一秒冬至 史四月丙子朔日食五月丙午朔九月甲辰朔十一月乙夘郊今推冬至在甲寅亥初三刻辽史三月丁未朔庚子二年正月壬寅朔十一月庚申日寅初二刻十三分内一十一秒冬至 史十月戊辰朔日食辛丑三年正月丁酉朔十一月乙丑日巳初二刻三分内二十一秒冬至 史闰五月十二月辛夘朔辽史正月丁酉朔改保大元年金史四月乙丑朔壬寅四年正月辛酉朔十一月庚午日申初一刻八分内三十一秒冬至 史十一月庚午郊今推至日合金史六月戊子朔十月丙戌朔癸卯五年正月乙夘朔十一月乙亥日亥初初刻十三分内四十一秒冬至 史八月辛巳朔日食统天厯宣和五年十二月丙午大寒盖用平气推筭辽史四月甲申朔金史二月乙酉朔六月壬午朔自八月后太宗天㑹元年甲辰六年正月己酉朔十一月辛巳日寅初初刻三分内五十一秒冬至 金史正月庚戌朔三月己酉朔闰三月戊寅朔五月丁丑朔八月乙巳朔十月甲辰朔乙巳七年正月癸酉朔十一月丙戌日辰正三刻九分内一秒冬至 史十一月丙戌郊今推至日合是年二月辽亡金史正月癸酉朔钦宗皇帝靖康丙午元年正月丁夘朔十一月辛夘日未正二刻十四分内一十一秒冬至 史二月丁酉朔闰十一月壬辰朔十二月壬戌朔金史正月丁夘朔六月丙申朔法应下年闰正月丁未二年正月辛卯朔十一月丙申日戌正二刻四分内二十一秒冬至 史四月庚申朔五月庚寅朔六月己未朔七月己丑朔十月丁巳朔自五月后改建炎元年金正月辛夘朔五月庚寅朔天正冬至辛夘日今同见上年髙宗皇帝建炎戊申二年正月丙戌朔十一月壬寅日丑正一刻九分内二十一秒冬至 史十一月壬寅冬至祀昊天上帝于圜邱今推至日合己酉三年正月庚辰朔十一月丁未日辰正初刻十四分内四十一秒冬至 史正月庚辰朔二月庚戌朔三月己夘朔四月戊申朔五月戊寅朔闰八月九月丙午朔日食庚戌四年正月甲辰朔十一月壬子日未正初刻四分内五十一秒冬至 史八月辛未朔十一月壬子日南至遥拜二帝今推至日合绍兴辛亥元年正月己亥朔十一月丁巳日戌初三刻十分内一秒冬至 金史正月己亥朔壬子二年正月癸巳朔十一月癸亥日丑初二刻十五分内一十一秒冬至 史正月癸巳朔闰四月癸丑三年正月丁巳朔十一月戊辰日辰初二刻五分内二十一秒冬至 史正月丁巳朔二月丁亥朔十二月辛巳朔甲寅四年正月辛亥朔十一月癸酉日未初一刻十分内三十一秒冬至 史正月辛亥朔四月庚辰朔十月丙子朔十一月癸酉冬至今同十二月乙亥朔乙夘五年正月乙巳朔十一月戊寅日戌初初刻十五分内四十一秒冬至 史正月乙巳朔日食闰二月十一月庚午朔戊寅有事南郊今推至日合此年布衣陈得一造新厯成赐名统元自丁酉年至此又一章共三百九章丙辰六年正月己巳朔十一月甲申日丑初初刻五分内五十一秒冬至 史正月己巳朔三月戊辰朔四月戊戌朔九月丙寅朔十二月丙午朔金熙宗初立不改元丁巳七年正月癸亥朔十一月己丑日夘正三刻十一分内一秒冬至 史正月癸亥闰二月癸巳朔日食三月癸亥朔闰十月此年五小月八大月戊午八年正月戊子朔十一月甲午日午正三刻一分内一十一秒冬至 史正月戊子朔七月乙酉朔金史天眷元年八月甲寅朔十月甲寅朔己未九年正月壬午朔十一月己亥日酉正二刻六分内二十一秒冬至 金史六月己酉朔九月戊寅朔庚申十年正月丙子朔十一月己巳日子正一刻十一分内三十一秒冬至 史闰六月癸酉朔八月壬申朔九月壬寅朔金史四月乙巳朔辛酉十一年正月庚子朔十一月庚戌日夘正一刻一分内四十一秒冬至 史三月庚子朔金皇统元年壬戌十二年正月乙未朔十一月乙卯日午正初刻六分内五十一秒冬至 史四月甲子朔金史五月癸巳朔癸亥十三年正月己丑朔十一月庚申日酉初三刻十二分内一秒冬至 史闰四月十一月庚申日南至合祀圜邱今推至日合十二月癸未朔日金史正月己丑朔五月丁巳朔甲子十四年正月癸丑朔十一月乙丑夜子初三刻二分内一十一秒冬至 史十二月丁丑朔金史正月癸丑朔五月辛亥朔乙丑十五年正月丁未朔闰十月辛未晦日夘初二刻七分内二十一秒冬至 史正月丁未朔六月乙亥朔日食八月甲戌朔闰十月应下年闰正月丙寅十六年正月辛未朔十一月丙子日午初一刻十三分内三十一秒冬至 史三月庚午朔十一月丙子合祀圜邱今推至日合金史四月庚子朔九月戊辰朔移上闰于此年自丁酉年至此十一闰又一纪丁夘十七年正月乙丑朔十一月辛巳日酉初一刻二分内四十一秒冬至 史十月辛卯朔日食十一月二十一日辛巳冬至见鲍彪战国策序今推之合戊辰十八年正月庚申朔十一月丙戌夜子初初刻七分内五十一秒冬至 史四月戊子朔日食闰八月十一月乙酉朔己巳十九年正月甲申朔十一月壬辰日寅正一刻十三分内一秒冬至 史正月甲申朔三月癸未朔日食十一月壬辰合祀圜邱今推至日合金史十二月己酉朔废帝天徳元年庚午二十年正月戊寅朔十一月丁酉日巳正三刻三分内一十一秒冬至 史八月甲辰朔金史二月戊申朔十二月癸卯朔辛未二十一年正月癸酉朔十一月壬寅日申正二刻八分内二十一秒冬至 史闰四月金史闰月辛未朔壬申二十二年正月丁酉朔十一月丁未日亥正一刻十三分内三十一秒冬至 史十一月戊申合祀圜邱今推冬至在丁未亥正一刻金史正月丁酉朔四月丙寅朔六月甲子朔八月癸亥朔十二月壬戌朔癸酉二十三年正月辛夘朔十一月癸丑日寅正一刻三分内四十一秒冬至 金史贞元元年正月辛夘朔十一月丙戌朔闰十二月宋史本年十一月有甲辰下年正月有戊寅盖亦闰十二月是自丙辰年至此十八年七闰内五年再闰者有三矣甲戌二十四年正月甲寅朔十一月戌午日巳正初刻八分内五十一秒冬至 金史正月甲寅朔宋史五月癸丑朔日食移上于此年三百十章乙亥二十五年正月己酉朔十一月癸亥日申初三刻十四分内一秒冬至 史五月丁未朔日食十一月乙巳朔癸亥合祀圜邱今推至日合十一月甲戌朔金史四月丁丑朔十一月乙巳朔丙子二十六年正月癸卯朔十一月戊辰日亥初三刻四分内一秒冬至 史十月己巳朔闰十月金史二月癸酉朔改正隆元年三月壬寅朔闰月己亥朔丁丑二十七年正月丁夘朔十一月甲戌日寅初二刻九分内二十一秒冬至戊寅二十八年正月壬戌朔十一月己夘日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史三月辛酉朔日食八月戊子朔十一月己夘合祀圜邱今推至日合金史二月壬辰朔己夘二十九年正月丙辰朔十一月甲申日申初一刻四分内四十一秒冬至 史正月丙辰朔金史三月丙辰朔应闰庚辰三十年正月庚辰朔十一月己丑日亥初初刻九分内五十一秒冬至 史七月丁丑朔日食八月丙午朔日食十二月乙巳朔辛巳三十一年正月甲戌朔十一月乙未日丑正三刻十五分内一秒冬至 史九月庚午朔十月庚子朔十一月己巳朔金史十月后世宗大定元年壬午三十二年正月戊辰朔十一月庚子日辰正三刻五分内一十一秒冬至 史正月戊辰朔日食二月戊戌朔闰二月六月乙未晦八月乙丑朔金史九月甲午朔十一月癸巳朔孝宗皇帝隆兴癸未元年正月壬辰朔十一月乙巳日未正二刻十分内二十一秒冬至 史正月壬辰朔三月壬辰朔六月庚申朔日食甲申二年正月丁亥朔十一月庚戌日戌正一刻十五分内三十一秒冬至 史三月丙戌朔六月甲寅朔日食闰十一月金史九月癸未朔十月癸丑朔闰月壬子朔应下年闰二月乾道乙酉元年正月辛亥朔十一月丙辰日丑正一刻五分内四十一秒冬至 史正月辛亥朔二月庚辰朔金史七月戊申朔十月丁丑朔十一月丙午朔丙戌二年正月乙巳朔十一月辛酉日辰正初刻十分内五十一秒冬至 史八月辛未朔十二月庚午朔此年改造大厯参新旧用之丁亥岁天正冬至辛酉日今推至日合金史四月甲戌朔八月辛未朔九月辛丑朔丁亥三年正月庚子朔十一月丙寅日未正初刻一分内一秒冬至日躔在斗二度之五十六分 史闰七月十月乙未朔十一月丙寅合祀圜邱今推至日合金史九月乙丑朔十月乙未朔十一月乙丑朔戊子四年正月甲子朔十一月辛未日戌初三刻六分内一十一秒冬至 金史二月甲午朔十月己丑朔十二月戊子朔己丑五年正月戊午朔十一月丁丑日丑初二刻十一分内二十一秒冬至 史八月甲申朔日食十一月癸丑朔金史七月乙夘朔庚寅六年正月壬子朔十一月壬午日辰初二刻一分内三十一秒冬至 史闰五月十一月壬午合祀圜邱今推至日合辛夘七年正月丙子朔十一月丁亥日未初一刻六分内四十一秒冬至 史三月乙亥朔金史八月癸夘朔十一月丁亥有事于圜邱今推至日合壬辰八年正月庚午朔十一月壬辰日戌初初刻十一分内五十一秒冬至癸巳九年正月甲子朔十一月戊戌日丑初初刻二分内一秒冬至 史闰正月五月壬辰朔日食十一月戊戌合祀圜邱今推至日合自甲戌年至此二十年七闰縁前章短一年也此章复旧共三百十一章淳熙甲午元年正月戊子朔十一月癸夘日夘正三刻七分内一十一秒冬至 史六月丙辰朔十一月甲申朔日食金史五月丙戌朔十月乙夘朔乙未二年正月癸未朔十一月戊申日午正二刻十二分内二十一秒冬至 史六月庚戌朔九月己夘朔闰九月十一月戊申朔冬至今同十二月甲午立春其推筭节气盖平行无长短也金史闰月己酉朔自丁夘年至此十一闰一纪缩一年下起丙申丙申三年正月丁未朔十一月癸丑日酉正二刻二分内三十一秒冬至 史三月丙午朔日食十一月癸丑合祀圜邱今推至日合金史十一月壬寅朔十二月壬申朔丁酉四年正月壬寅朔十一月己未日子正一刻七分内四十一秒冬至 史五月庚子朔九月丁酉朔日食是年颁淳熙厯戊戌五年正月丙申朔十一月甲子日夘正初刻十二分内五十一秒冬至 史闰六月十二月庚寅朔金史二月丙寅朔己亥六年正月己未朔十一月己巳日午正初刻三分内一秒冬至 史二月己丑朔十一月乙夘朔朱子书伊川易传后八月丙戌朔淳熙厯庚子岁天正冬至己巳日金大明厯大定十九年己巳日六十四刻冬至今推至日同庚子七年正月甲寅朔十一月甲戌日酉初三刻八分内一十一秒冬至 金史十月庚辰朔辛丑八年正月戊申朔十一月己夘夜子初二刻十三分内二十一秒冬至 朱子书象山讲喻义章后二月十日丁亥金史三月丁未朔壬寅九年正月壬申朔十一月乙酉日夘初二刻三分内三十一秒冬至 朱子古易后序六月庚子朔金史同癸卯十年正月丁夘朔十一月庚寅日午初一刻八分内四十一秒冬至 史十一月壬戌朔日食闰十一月应下年闰二月甲辰十一年正月辛夘朔十一月乙未日酉初初刻十三分内五十一秒冬至 史正月辛夘朔乙巳十二年正月乙酉朔十一月庚子夜子初初刻四分内一秒冬至 史十一月辛丑合祀圜邱今推冬至在庚子夜子初初刻十二月庚戌朔金史五月乙酉朔九月辛巳朔丙午十三年正月庚辰朔十一月丙午日寅正三刻九分内一十一秒冬至 史正月庚辰朔闰七月丙午朔八月乙亥朔十月甲戌朔金史九月甲辰朔十一月甲辰朔丁未十四年正月癸夘朔十一月辛亥日巳正二刻十四分内二十一秒冬至 史十一月辛亥冬至今推至日合金史九月己亥朔戊申十五年正月丁酉朔十一月丙辰日申正二刻四分内三十一秒冬至 史正月丁酉朔八月甲子朔日食金史三月丁酉朔己酉十六年正月壬辰朔十一月辛酉日亥正一刻九分内四十一秒冬至 史二月辛酉朔日食闰五月金史正月壬辰朔三月辛夘朔六月己丑朔八月戊子朔十二月丙戌朔光宗皇帝绍熙庚戌元年正月丙辰朔十一月丁夘日寅正初刻十四分内五十一秒冬至 史正月丙辰朔是年更造新厯名曰㑹元十一月丁夘日冬至今同金章宗明昌元年九月壬子朔辛亥二年正月庚戌朔十一月壬申日巳正初刻五分内一秒冬至 史二月庚辰朔十月丙子朔十一月壬申合祭圜邱今推至日合金史正月庚戌朔壬子三年正月乙巳朔十一月丁丑日申初三刻十分内一十一秒冬至 史正月乙巳朔闰二月十一月丙子日南至今推冬至在丁丑申初三刻金史九月庚午朔共三百十二章癸丑四年正月己巳朔十一月壬午日亥初二刻十五分内二十一秒冬至 史正月己巳朔王孝礼言此年十一月冬至在十九日壬午今推之合金史二月戊戌朔三月戊辰朔四月丁酉朔五月丙寅朔九月甲子朔十二月甲午朔甲寅五年正月癸亥朔十一月戊子日寅初二刻五分内三十一秒冬至 史正月癸亥朔闰十月金史四月壬辰朔闰月戊午朔宁宗皇帝庆元乙夘元年正月丁亥朔十一月癸巳日巳初一刻十分内四十一秒冬至 史三月丙戌朔日食金史二月丁巳朔丙辰二年正月辛巳朔十一月戊戌日申初初刻十五分内五十一秒冬至 金承安元年五月庚辰朔九月丁丑朔十一月戊戌南郊改元今推至日合丁巳三年正月乙亥朔十一月癸夘日亥初初刻六分内一秒冬至 史闰六月十一月甲辰日南至祀圜邱今推冬至在癸夘亥初初刻金史五月甲戌朔七月壬寅朔十月庚午朔十一月甲辰南郊十二月己巳朔戊午四年正月己亥朔十一月己酉日丑正三刻十一分内一十一秒冬至 此年宋造新厯成赐名统天推己未岁天正冬至在己酉日一十七刻今推日时皆合金史二月己巳朔十二月甲子朔己未五年正月甲午朔十一月甲寅日辰正三刻一分内二十一秒冬至 史十月庚申朔金史五月壬辰朔九月庚寅朔庚申六年正月戊子朔十一月己未日未正二刻六分内三十一秒冬至 应闰史六月乙酉朔日食五月乙夘朔七月乙夘朔十二月癸未朔改明年元嘉泰辛酉元年正月壬子朔十一月甲子日戌正一刻十一分内四十一秒冬至 金泰和元年九月戊申朔壬戌二年正月丙午朔十一月庚午日丑正一刻一分内五十一秒冬至 史五月甲辰朔日食闰十二月应下年闰二月癸亥三年正月庚午朔十一月乙亥日辰正初刻七分内一秒冬至 史四月己亥朔日食十一月乙亥祀圜邱今推至日合甲子四年正月乙丑朔十一月庚辰日未初三刻十一分内一十一秒冬至 史四月甲午朔金史二月乙未朔十二月己丑朔开禧己丑元年正月己未朔十一月乙酉日戌初三刻二分内二十一秒冬至 史四月戊子朔八月丙戌朔闰八月金史正月己未朔二月己丑朔丙申年至此十一闰为一纪丙寅二年正月癸未朔十一月辛夘日丑初二刻七分内三十一秒冬至 史五月辛巳朔金史六月辛亥朔十月戊申朔十二月丁未朔元太祖即帝位于干难河之元年丁夘三年正月丁丑朔十一月丙申日辰初一刻十二分内四十一秒冬至 史三月丙子朔天正冬至辛夘日今同见上年金史六月乙巳朔十二月壬寅朔嘉定戊辰元年正月壬申朔十一月辛丑日未初一刻二分内五十一秒冬至 史闰四月金史十一月丁酉朔己巳二年正月丙申朔十一月丙午日戌初初刻八分内一秒冬至 史十一月辛夘朔金衞绍王大安元年二月乙丑朔庚午三年正月庚寅朔十一月壬子日子正三刻十三分分内一十一秒冬至 史六月丁巳朔日食辛未四年正月乙酉朔十一月丁巳日夘正三刻三分内二十一秒冬至 史闰二月十一月己酉朔日食金史正月己酉朔三百十三章壬申五年正月戊申朔十一月壬戌日午正二刻八分内三十一秒冬至 史八月甲戌朔十一月壬戌合祀圜邱今推至日合金崇庆元年癸酉六年正月癸夘朔十一月丁夘日酉正一刻十三分内四十一秒冬至 史八月己巳朔闰八月金至寜元年宣宗立政贞祐元年闰九月戊辰朔十月丁酉朔十二月丁酉朔甲戌七年正月丁夘朔十一月癸酉日子正一刻三分内五十一秒冬至 史七月甲子朔九月壬戌朔日食十月壬辰朔乙亥八年正月辛酉朔十一月戊寅日夘正初刻九分内一秒冬至 金史正月辛酉朔七月戊午朔八月戊子朔九月丁巳朔十二月乙酉朔丙子九年正月乙夘朔十一月癸未日午初三刻十四分内一十秒冬至 史二月甲申朔日食金史五月癸丑朔闰七月九月辛巳朔十一月庚辰朔丁丑十年正月己夘朔十一月戊子日酉初三刻四分内二十一秒冬至 史七月丙子朔日食金兴定元年二月戊申朔十月甲辰朔戊寅十一年正月癸酉朔十一月癸巳夜子初二刻九分内三十一秒冬至己夘十二年正月戊辰朔十一月己亥日夘初一刻十四分内四十一秒冬至 史正月戊戌朔金史闰三月四月丙寅朔五月乙未朔六月甲子朔十一月癸巳朔授时推元太祖十五年庚辰岁天正冬至己亥日今同庚辰十三年正月壬辰朔十一月甲辰日午初一刻四分内五十一秒冬至 史三月辛夘朔五月庚寅朔十月丁巳朔金史正月壬辰朔八月戊午朔辛巳十四年正月丙戌朔十一月己酉日酉初初刻十分内一秒冬至 史正月丙戌朔三月丙戌朔五月甲申朔日食闰十二月辛巳朔金史二月丙辰朔八月壬子朔十二月辛亥朔闰月辛巳朔应下年闰二月壬午十五年正月庚戌朔十一月甲寅日亥正三刻十五分内一十一秒冬至 史正月庚戌朔金天光元年五月戊申朔六月戊寅朔九月丙午朔十二月乙亥朔癸未十六年正月甲辰朔十一月庚申日寅正三刻五分内二十一秒冬至 史九月庚子朔日食金史正月甲辰朔三月甲辰朔四月癸酉朔五月癸夘朔七月壬寅朔九月庚子朔十二月己巳朔甲申十七年正月戊戌朔十一月乙丑日巳正二刻十分内三十一秒冬至 史六月丁卯朔闰八月金哀宗正大元年正月戊戌朔改元理宗皇帝寳庆乙酉元年正月壬戌朔十一月庚午日申正一刻十五分内四十一秒冬至 史正月壬戌朔四月辛夘朔丙戌二年正月丁巳朔十一月乙亥日亥正一刻五分内五十一秒冬至 史十一月丙子日南至今在乙亥日亥正一刻丁亥三年正月辛亥朔十一月辛巳日寅正初刻十一分内一秒冬至 史正月辛亥朔三月庚戌朔闰五月己夘朔六月戊申朔日食十一月辛巳日南至郊今推至日合金史六月戊申朔绍定戊子元年正月乙亥朔十一月丙戌日巳正初刻一分内一十一秒冬至 史六月壬寅朔日食金史二月乙巳朔十二月庚子朔己丑二年正月庚午朔十一月辛夘日申初三刻六分内二十一秒冬至 元太宗元年庚寅三年正月甲子朔十一月丙申日亥初二刻十一分内三十一秒冬至 史闰二月十一月丙申日南至今同三百十四章辛夘四年正月戊子朔十一月壬寅日寅初二刻一分内四十一秒冬至 金史四月丁巳朔壬辰五年正月壬午朔十一月丁未日巳初一刻六分内五十一秒冬至 史闰九月十二月丙子朔金天兴元年正月壬午朔六月庚戌朔七月庚辰朔八月己酉朔九月戊寅朔十一月丁未朔十二月丙子朔癸巳六年正月丙午朔十一月壬子日申初初刻十二分内一秒冬至 史九月壬寅朔日食金史正月丙午朔二月丙子朔七月癸夘朔八月癸酉朔九月癸夘朔十一月辛丑朔端平甲午元年正月庚子朔十一月丁巳日亥初初刻二分内一十一秒冬至 史正月庚子朔六月戊辰朔是岁金亡乙未二年正月乙未朔十一月癸亥日丑正三刻七分内二十一秒冬至 史二月甲子朔日当食不亏应闰丙寅年至此十一闰又一纪丙申三年正月己未朔十一月戊辰日辰正二刻十二分内三十一秒冬至 史正月己未朔嘉禧丁酉元年正月癸丑朔十一月癸酉日未正二刻二分内四十一秒冬至 史十二月戊寅朔日食戊戌二年正月戊申朔十一月戊寅日戌正一刻七分内五十一秒冬至 史正月戊申朔闰四月己亥三年正月壬申朔十一月甲申日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在斗一度之五十六分 史八月戊戌朔庚子四年正月丙寅朔十一月己丑日辰正初刻三分内一十一秒冬至 史二月丙申朔六月甲午朔十二月有丙辰己未次年正月有甲辰丙午盖闰十二月应下年闰二月淳祐辛丑元年正月庚寅朔十一月甲午日未初三刻八分内二十一秒冬至壬寅二年正月甲申朔十一月己亥日戌初二刻十三分内三十一秒冬至 史九月庚辰朔日食十一月己亥日南至雷电交作今推至日合此元太皇后称制元年癸夘三年正月戊寅朔十一月乙巳日丑初二刻三分内四十一秒冬至 史三月丁丑朔日食闰八月甲辰四年正月壬寅朔十一月庚戌日辰初一刻八分内五十一秒冬至 史正月壬寅朔七月己亥朔乙巳五年正月丁酉朔十一月乙夘日未初初刻十四分内一秒冬至 史正月丁酉朔二月丙寅闰七月癸巳朔日食丙午六年正月辛夘朔十一月庚申日戌初初刻四分内一十一秒冬至 史正月辛夘朔日食闰四月元定宗元年丁未七年正月乙夘朔十一月丙寅日子正三刻九分内二十一秒冬至 史正月乙夘朔戊申八年正月己酉朔十一月辛未日夘正二刻十四分内三十一秒冬至己酉九年正月甲辰朔十一月丙子日午正二刻四分内四十一秒冬至 史闰三月四月壬寅朔日食十一月丙子日冬至今同三百十五章庚戌十年正月戊辰朔十一月辛巳日酉正一刻九分内五十一秒冬至 史十一月辛巳日南至今同辛亥十一年正月壬戌朔十一月丁亥日子正初刻十五分内一秒冬至 史九月有辛未十一月有丙申盖闰十月当时厯象推十二月十七日酉正一刻立春壬申日也盖用平气推筭则其冬至时刻殆在丁亥日寅初今在子正初刻元宪宗元年壬子十二年正月丙戌朔十一月壬辰日夘正初刻五分内一十一秒冬至 史二月乙夘朔日食五月甲申朔十二月丁丑立春雷考其立春在申正三刻盖亦用平气法是年新制㑹天厯寳祐癸丑元年正月庚辰朔十一月丁酉日午初三刻十分内二十一秒冬至 史正月庚辰朔二月己酉朔日食六月戊申朔天正冬至壬辰日今同见上年甲寅二年正月乙亥朔十一月壬寅日酉初二刻十五分内三十一冬至 史闰六月十一月壬寅冬至忠王冠今推至日合乙夘三年正月己亥朔十一月丁未夜子初二刻五分内四十一秒冬至丙辰四年正月癸巳朔十一月癸丑日夘初一刻十分内五十一秒冬至丁巳五年正月丁亥朔十一月戊午日午初一刻一分内一秒冬至 史闰四月戊午六年正月辛亥朔十一月癸亥日酉初初刻六分内一十一秒冬至 史正月辛亥朔三月辛亥朔五月庚戌朔十月丙子朔开庆己未元年正月乙巳朔十一月戊辰日亥正三刻十一分内二十一秒冬至 史正月乙巳朔五月甲辰朔十月辛未朔闰十一月十二月己亥朔应下年闰二月景定庚申元年正月己巳朔十一月甲戌日寅正三刻一分内三十一秒冬至 史三月戊辰朔日食六月丁酉朔七月丁夘朔十二月甲午朔元世祖中统元年四月戊戌朔五月戊辰朔辛酉二年正月癸亥朔十一月己夘日巳正二刻六分内四十一秒冬至 史正月癸亥朔三月壬戌朔日朔日食十一月己未朔元史七月辛酉朔十月庚寅朔壬戌三年正月戊午朔十一月甲申日申正一刻十一分内五十一秒冬至 史正月戊午朔闰九月元史二月丁亥朔四月丙戌朔六月乙酉朔闰月甲申朔癸亥四年正月壬午朔十一月己丑日亥正一刻二分内一秒冬至 史正月壬午朔十二月丁未朔元史二月壬子朔四月庚戌朔八月戊申朔十二月丁未朔甲子五年正月丁丑朔十一月乙未日寅正初刻七分内一十一秒冬至 史正月丁丑朔六月甲辰朔元世祖至元元年八月壬寅朔度宗皇帝咸淳乙丑元年正月辛未朔十一月庚子日巳初三刻十二分内二十一秒冬至 史正月辛未朔日食闰五月元史二月辛丑朔六月戊辰朔丙申年至此十一闰又一纪丙寅二年正月乙未朔十一月乙巳日申初三刻二分内三十一秒冬至 元史十月庚申朔丁夘三年正月己丑朔十一月庚戌日亥初二刻七分内四十一秒冬至 史正月己丑朔五月丁亥朔日食戊辰四年正月癸未朔十一月丙辰日寅初一刻十二分内五十一秒冬至 史十月戊寅朔日食元史闰正月五月辛亥朔今推此年应闰三月三百十六章己巳五年正月丁未朔十一月辛酉日巳初一刻三分内一秒冬至庚午六年正月辛丑朔十一月丙寅日申初初刻八分内一十一秒冬至 史三月庚午朔日食闰十月臧元震言此年闰十月三十日丙寅申初三刻冬至当在十一月朔盖讥闰月误置大建也今推其日时皆合元史二月辛未朔八月戊辰朔闰十一月丁夘朔十二月丙申朔辛未七年正月乙丑朔十一月辛未日戌正三刻十三分内二十一秒冬至 史八月壬辰朔日食元史二月乙未朔七月壬戌朔十一月辛酉朔十二月辛夘朔壬申八年正月庚申朔十一月丁丑日丑正三刻三分内三十一秒冬至 史八月丙戌朔日食元史五月戊午朔十月丙戌朔十二月乙酉朔癸酉九年正月乙夘朔十一月壬午日辰正二刻八分内四十一秒冬至 史闰六月元史四月癸未朔五月壬子朔八月庚戌朔十二月己酉朔甲戌十年正月己夘朔十一月丁亥朔未正一刻十三分内五十一秒冬至 正月己夘朔十二月癸夘朔元史二月戊申朔孝恭皇帝徳祐乙亥元年正月癸酉朔十一月壬辰日戌正一刻四分内一秒冬至 史三月壬申朔六月庚子朔日食七月庚午朔八月己亥朔十一月丁夘朔元史四月壬寅朔五月辛未朔十月戊戌朔丙子二年正月丁夘朔十一月戊戌日丑正初刻九分内一十一秒冬至 史二月丁酉朔闰三月四月乙丑朔五月乙未朔六月甲子朔九月壬辰朔十月壬戌朔十二月辛酉朔是年正月遣御史刘岊杨应奎等奉表称臣上大元皇帝尊号并上传国玺削去帝号三月帝及全太后福王并宗室驸马大臣庶僚诸生咸赴燕京朝于上都宋已亡矣故景炎祥兴年号不复录元史正月丁夘朔元世祖皇帝至元丁丑十四年正月辛夘朔十一月癸夘日辰初三刻十四分内二十一秒冬至 史七月戊子朔八月戊午朔十月丙辰朔日食授时厯以天正推算戊寅冬至在癸夘日夜半后三十三刻今同又云丁丑岁天正冬至在戊戌日夜半后八刻半即丙子年冬至今并同戊寅十五年正月乙酉朔十一月戊寅日未初三刻四分内三十一秒冬至 史五月癸未朔七月壬午朔八月壬子朔九月壬午朔闰十一月庚戌朔授时推此年冬至戊申日夜半后五十七刻半今推至日同己夘十六年正月己酉朔十一月癸丑日戌初二刻九分内四十一秒冬至 史二月戊寅朔三月戊申朔六月丁丑朔授时推冬至在癸丑日夜半后八十一刻今至日同庚辰十七年正月癸卯朔十一月己未日丑初一刻十四分内五十一秒冬至 史四月壬申朔六月辛未朔八月庚午朔十一月己亥朔是年朔厯成赐名授时十一月己未夜半后六刻冬至今在丑初一刻正合辛巳十八年正月戊戌朔十一月甲子日辰初一刻五分内一秒冬至 史七月甲午朔八月甲子朔闰八月癸巳朔十一月癸亥朔壬午十九年正月壬戌朔十一月己巳日未初初刻十分内一十一秒冬至 史正月壬戌朔二月辛夘朔五月己未朔六月己丑朔日食七月戊午朔九月丁巳朔十月丁亥朔癸未二十年正月丙辰朔十一月甲戌日酉正三刻十五分内二十一秒冬至 史七月癸丑朔甲申二十一年正月庚戌朔十一月庚辰日子正三刻五分内三十一秒冬至 史闰五月七月丁丑朔十二月甲辰朔乙酉二十二年正月甲戌朔十一月乙酉日夘正二刻十分内四十一秒冬至 史十一月己巳朔丙戌二十三年正月戊辰朔十一月庚寅日午正一刻十五分内五十一秒冬至 史正月戊辰朔六月丙申朔九月己丑朔十月甲午朔丁亥二十四年正月壬戌朔十一月乙未日酉正一刻六分内一秒冬至 史闰二月六月庚申朔十月戊午朔日食三百十七章戊子二十五年正月丙戌朔十一月辛丑日子正初刻十一分内一十一秒冬至 史七月甲申朔九月癸未朔己丑二十六年正月辛巳朔十一月丙午日夘正初刻一分内二十一秒冬至 史二月辛亥朔三月庚辰朔日食六月戊申朔七月戊寅朔闰十月十一月丙午朔庚寅二十七年正月乙巳朔十一月辛亥日午初三刻六分内三十一秒冬至 史二月乙亥朔四月癸酉朔六月壬申朔八月辛未朔日食辛夘二十八年正月庚子朔十一月丙辰日酉初二刻十一分内四十一秒冬至 史三月己亥朔六月丁夘朔七月丙申朔八月乙丑朔十月乙丑朔壬辰二十九年正月甲午朔十一月辛酉夜子初二刻一分内五十一秒冬至 史正月甲午朔日食二月甲子朔闰六月辛夘朔七月庚申朔十月戊子朔癸巳三十年正月戊午朔十一月丁夘日夘初一刻七分内一秒冬至 史五月丙辰朔九月癸丑朔十月癸未朔十一月壬子朔甲午三十一年正月壬子朔十一月壬申日午初初刻十二分内一十一秒冬至 史正月壬子朔五月庚戌朔六月庚辰朔日食十一月丁未朔考是岁节气正月一日壬子立春二月二日癸未惊蛰三月三日癸丑清明四月四日甲申立夏五月五日甲寅芒种六月六日乙酉小暑七月七日乙夘立秋八月八日乙酉白露九月九日丙辰寒露十月十日丙戌立冬十一月十一日丁巳大雪十二月十二日丁亥小寒是其推筭节气亦秦汉以来平行法也说具首卷下成宗皇帝元贞乙未元年正月丙午朔十一月丁丑日酉初初刻二分内二十一秒冬至 史三月乙巳朔闰四月丙寅年至此十一闰又一纪丙申二年正月庚午朔十一月壬午日亥正三刻七分内三十一秒冬至 史二月己亥朔五月戊辰朔八月丁酉朔大徳丁酉元年正月甲子朔十一月戊子日寅正二刻十二分内四十一秒冬至 史四月癸巳朔日食九月辛酉朔闰十二月应下年闰二月戊戌二年正月戊子朔十一月癸巳日巳正二刻二分内五十一秒冬至 史三月丁亥朔己亥三年正月癸未朔十一月戊戌日申正一刻八分内一秒冬至 史正月癸未朔二月癸丑朔十月己夘朔八月己酉朔奏日食不应庚子四年正月丁丑朔十一月癸夘日亥正初刻十三分内一十一秒冬至 二月丁未朔日食七月甲戌朔八月癸夘朔闰八月十一月壬寅朔辛丑五年正月辛丑朔十一月己酉日寅正初刻三分内二十一秒冬至 史七月戊戌朔十月丙寅朔壬寅六年正月乙未朔十一月甲寅日巳初三刻八分内三十一秒冬至 史四月乙丑朔六月癸亥朔日食七月癸巳朔十二月庚申朔癸夘七年正月庚寅朔十一月己未日申初二刻十三分内四十一秒冬至 史三月己丑朔闰五月戊午朔日食十一月甲寅朔十二月甲申朔甲辰八年正月甲寅朔十一月甲子日亥初二刻三分内五十一秒冬至 史五月癸丑朔日食乙巳九年正月戊申朔十一月庚午日寅初一刻九分内一秒冬至 史三月丁未朔六月丙子朔七月乙巳朔十一月庚午祀昊天上帝于南郊今推至日合丙午十年正月壬寅朔十一月乙亥日巳初初刻十四分内一十一秒冬至 史正月壬寅朔闰正月应闰三月四月庚子朔三百十八章丁未十一年正月丙寅朔十一月庚辰日申初初刻四分内二十一秒冬至 史正月丙寅朔六月癸巳朔七月癸亥朔十二月壬辰朔武宗皇帝至大戊申元年正月辛酉朔十一月乙酉日戌正三刻九分内三十一秒冬至 史正月辛酉朔闰十一月己酉二年正月乙酉朔十一月辛夘日丑正二刻十四分内四十一秒冬至 史九月庚辰朔十月庚戌朔十一月庚辰朔庚戌三年正月己夘朔十一月丙申日辰正二刻四分内五十一秒冬至 史三月己夘朔六月丁未朔十月甲辰朔十一月甲戌朔丙申有事于南郊今推至日合十二月甲辰朔辛亥四年正月癸酉朔十一月辛丑日未正一刻十分内一秒冬至日躔在斗初度之五十六分 史正月癸酉朔七月辛未朔闰七月九月己亥朔十月戊辰朔全史日至源流卷二十八
## 卷二十九
钦定四库全书全史日至源流卷二十九山东道御史许伯政撰壬子运二十九(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻四分五十秒)冬至十四日八时三刻十三分五十六秒四十微小寒十四日八时四刻四分四十六秒四十微大寒十四日九时一刻十分一秒四十微立春十四日十时一刻六分一秒四十微雨水十四日十一时三刻四分一秒四十微惊蛰十五日零六刻十四分五十六秒四十微春分十五日二时三刻八分四十六秒四十微清明十五日四时零七分四十六秒四十微谷雨十五日五时四刻七分五十一秒四十微立夏十五日六时六刻十四分五十六秒四十微小满十五日八时零二分五十一秒四十微芒种十五日八时三刻九分五十六秒四十微夏至十五日八时六刻十四分五十六秒四十微小暑十五日八时五刻二分五十六秒四十微大暑十五日八时零七分五十六秒四十微立秋十五日七时零十分五十六秒四十微处暑十五日五时六刻五分五十六秒四十微白露十五日四时三刻九分一秒四十微秋分十五日二时四刻十一分六秒四十微寒露十五日一时一刻八分一秒四十微霜降十四日十一时五刻四分五十六秒四十微立冬十四日十时二刻十一分六秒四十微小雪十四日九时二刻十二分一秒四十微大雪十四日八时五刻九分五十六秒四十微仁宗皇帝皇庆壬子元年正月丁酉朔十一月丙午日戌正初刻十四分内五十一秒冬至 史二月丁夘朔三月丁酉朔五月丙申朔六月乙丑朔日食癸丑二年正月辛夘朔十一月壬子日丑正初刻四分内四十一秒冬至 史六月己未朔七月己丑朔八月戊午朔延祐甲寅元年正月乙酉朔十一月丁巳日辰初三刻九分内三十一秒冬至 史闰三月四月甲申朔乙夘二年正月己酉朔十一月壬戌日未初二刻十四分内二十一秒冬至 史二月己夘朔四月戊寅朔日食五月戊寅朔十月丙子朔丙辰三年正月甲辰朔十一月丁夘日戌初二刻四分内一十一秒冬至 史四月癸酉朔丁巳四年正月己亥朔十一月癸酉日丑初一刻九分内一秒冬至 史闰正月三月丁夘朔十月甲午朔前此皆上年冬置闰至此乃移置之然授时用平气故闰正月今法当闰三月其章法两年一闰九年三闰又两年一闰六年两闰戊午五年正月癸亥朔十一月戊寅日辰初初刻十三分内五十一秒冬至 史二月癸巳朔日食五月辛酉朔七月己未朔己未六年正月丁巳朔十一月癸未日未初初刻三分内四十一秒冬至 史二月丁亥朔日食闰八月庚申七年正月辛巳朔十一月戊子日酉正三刻八分内三十一秒冬至 史正月辛巳朔日食八月丁未朔十一月丙子朔十二月乙巳朔英宗皇帝至治辛酉元年正月乙亥朔十一月甲午日子正二刻十三分内二十一秒冬至 史六月癸夘朔日食壬戌二年正月己巳朔十一月己亥日夘正二刻三分内一十一秒冬至 史二月己亥朔闰五月六月丁夘朔十一月甲午朔日食癸亥三年正月癸巳朔十一月甲辰日午正一刻八分内一秒冬至 史正月癸巳朔二月癸亥朔三月壬辰朔七月辛夘朔十一月己丑朔泰定皇帝泰定甲子元年正月戊子朔十一月己酉日酉正初刻十二分内五十一秒冬至 史二月丁巳朔三月丁亥朔六月乙夘朔十二月癸丑朔乙丑二年正月壬午朔十一月乙夘日子正初刻二分内四十一秒冬至 史闰正月壬子朔六月己夘朔七月戊申朔九月戊申朔十月戊寅朔三百十九章丙申年至此十一闰又一纪丙寅三年正月丙午朔十一月庚申日夘初三刻七分内三十一秒冬至 史正月丙午朔三月乙巳朔五月甲辰朔六月癸酉朔十月辛未朔丁夘四年正月庚子朔十一月乙丑日午初二刻十二分内二十一秒冬至 史九月丙申朔日食闰九月致和戊辰元年正月甲子朔十一月庚午日酉初二刻二分内一十一秒冬至 史七月辛酉朔九月庚申朔十月己丑朔十二月己丑朔是年九月后天歴元年文宗皇帝天厯己巳二年正月己未朔十一月乙亥夜子初一刻七分内一秒冬至 史正月己未朔三月戊午朔五月丁巳朔六月丁亥朔七月丙辰朔日食八月乙酉朔九月乙夘朔十月甲申朔至顺庚午元年正月癸丑朔十一月辛巳日夘初初刻十一分内五十一秒冬至 史二月壬午朔四月壬午朔六月辛巳朔闰七月庚辰朔十月戊申朔辛未二年正月丁丑朔十一月丙戌日午初初刻一分内四十一秒冬至 史三月丙子朔四月丙午朔六月乙巳朔七月甲戌朔八月甲辰朔九月癸酉朔十一月壬申朔日食壬申三年正月辛未朔十一月辛夘日申正三刻六分内三十一秒冬至 史二月辛丑朔三月庚午朔五月己巳朔六月己亥朔七月戊辰朔十月宁宗即位十一月崩无年号顺帝(癸酉年六月即位)元统癸酉元年正月丙寅朔十一月丙申日亥正一刻十一分内一十一秒冬至 应闰史十一月辛夘朔甲戌二年正月庚寅朔十一月壬寅日寅正二刻一分内一十一秒冬至 史正月庚寅朔二月己未朔三月己丑朔四月戊午朔日食八月丙辰朔十月乙夘朔至元乙亥元年正月甲申朔十二月丁未日巳正一刻六分内一秒冬至 史二月甲寅朔三月癸未朔四月癸丑朔五月壬午朔七月辛巳朔八月辛亥朔闰十二月此冬不应闰丙子二年正月戊申朔十一月壬子日申正初刻十分内五十一秒冬至 史四月丁丑朔五月丙午朔八月甲戌朔日食丁丑三年正月壬寅朔十一月丁巳日亥初三刻十五分内四十一秒冬至 史二月壬申朔日食戊寅四年正月丙申朔十一月癸亥日寅初二刻五分内三十一秒冬至 史八月癸亥朔日食闰八月己夘五年正月庚申朔十一月戊辰日巳初二刻十分内二十一秒冬至庚辰六年正月甲寅朔十一月癸酉日申初一刻十五分内一十一秒冬至至正辛巳元年正月己酉朔十一月戊寅日亥初一刻五分内一秒冬至 史正月己酉朔闰五月壬午二年正月癸酉朔十一月甲申日寅初初刻九分内五十一秒冬至 史八月庚子朔日食十月庚子朔日食癸未三年正月丁夘朔十一月己丑日辰正三刻十四分内四十一秒冬至 史四月丙申朔日食八月甲午朔甲申四年正月壬戌朔十一月甲午日未正三刻四分内三十一秒冬至 史闰二月七月戊子朔九月丁亥朔日食十一月丁亥朔三百二十章乙酉五年正月丙戌朔十一月己亥日戌正二刻九分内二十一秒冬至 史九月壬午朔日食丙戌六年正月庚辰朔十一月乙巳日丑正一刻十四分内一十一秒冬至 史二月庚戌朔日食闰十月丁亥七年正月甲辰朔十一月庚戌日辰正一刻四分内一秒冬至 史正月甲辰朔日食二月甲戌朔戊子八年正月戊戌朔十一月乙夘日未正初刻八分内五十一秒冬至 史正月戊戌朔五月丁酉朔六月丙寅朔七月丙申朔日食己丑九年正月壬辰朔十一月庚申日戌初三刻十三分内四十一秒冬至 应闰十一月戊午朔日食庚寅十年正月丙辰朔十一月丙寅日丑初三刻三分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔九月癸丑朔十一月壬子朔日食十二月壬午朔辛夘十一年正月辛亥朔十一月辛未日辰初二刻八分内二十一秒冬至 史五月己酉朔日食八月丁丑朔十二月丙子朔壬辰十二年正月丙午朔十一月丙子日未初一刻十三分内一十一秒冬至 史二月乙亥朔三月乙巳朔闰三月四月癸夘朔日食五月癸酉朔癸巳十三年正月庚午朔十一月辛巳日戌初一刻三分内一秒冬至 史正月庚午朔六月丙申朔九月乙丑朔日食甲午十四年正月甲子朔十一月丁亥日丑初初刻七分内五十一秒冬至史正月甲子朔三月癸亥朔日食四月癸巳朔六月辛夘朔九月己未朔乙未十五年正月戊午朔十一月壬辰日夘正三刻十二分内四十一秒冬至 史闰正月十二月壬子朔丙寅年至此十一闰又一纪丙申十六年正月壬午朔十一月丁酉日午正三刻二分内三十一秒冬至 史七月己夘朔十二月丙午朔丁酉十七年正月丙子朔十一月壬寅日酉正二刻七分内二十一秒冬至 史正月丙子朔日食三月乙亥朔六月甲辰朔闰九月戊戌十八年正月庚子朔十一月戊申日子正一刻十二分内一十一秒冬至 史二月己巳朔三月己亥朔五月戊戌朔六月戊辰朔日食七月丁酉朔九月丁酉朔十一月乙未朔十二月乙丑朔日食己亥十九年正月甲午朔十一月癸丑日夘正一刻二分内一秒冬至 史正月甲午朔三月癸巳朔四月癸亥朔五月壬辰朔七月壬辰朔八月辛酉朔十月庚申朔庚子二十年正月己丑朔十一月戊午日午正初刻六分内五十一秒冬至 史正月己丑朔二月戊午朔三月戊子朔五月丁亥朔日食闰五月九月乙夘朔十月甲申朔十一月甲寅朔辛丑二十一年正月癸丑朔十一月癸亥日酉初三刻十一分内四十一秒冬至 史正月癸丑朔二月癸未朔四月辛巳朔日食壬寅二十二年正月戊申朔十一月戊辰夜子初二刻一分内三十一秒冬至 史正月戊申朔四月丙子朔五月乙巳朔九月癸夘朔十月壬申朔癸夘二十三年正月壬寅朔十一月甲戌日夘初二刻六分内二十一秒冬至 史正月壬寅朔三月辛丑朔闰三月五月己巳朔六月戊戌朔七月戊辰朔八月丁酉朔十月丙申朔三百二十一章甲辰二十四年正月丙寅朔十一月己夘日午初一刻十一分内一十一秒冬至 史四月甲午朔八月壬辰朔日食九月辛酉朔乙巳二十五年正月庚申朔十一月甲申日酉初一刻一分内一秒冬至 史八月丁亥朔闰十月丙午二十六年正月甲申朔十一月己丑夜子初初刻五分内五十一秒冬至 史二月癸丑朔六月壬子朔七月辛巳朔日食丁未二十七年正月戊寅朔十一月乙未日寅正三刻十分内四十一秒冬至 史三月丁丑朔五月丙子朔六月丙午朔日食九月甲戌朔十月甲辰朔十二月癸夘朔日食明太祖髙皇帝洪武戊申元年正月壬申朔十一月庚子日巳正二刻十五分内三十一秒冬至 元史正月壬申朔二月壬寅朔五月庚午朔六月庚子朔七月己巳朔闰七月己亥朔十一月庚子始祀上帝于圜邱今推至日合行大统厯己酉二年正月丙申朔十一月乙巳日申正二刻五分内二十一秒冬至 史二月丙寅朔五月甲午朔日食十一月乙巳祀圜邱今推至日合庚戌三年正月辛夘朔十一月庚戌日亥正一刻十分内一十一秒冬至 史六月戊午朔十一月庚戌有事于圜邱今推至日合辛亥四年正月乙酉朔十一月丙辰日寅正初刻十五分内一秒冬至 史三月乙酉朔应闰天文志六月壬午朔九月庚戌朔日食十一月丙辰有事于圜邱今推至日合壬子五年正月己酉朔十一月辛酉日巳正初刻四分内五十一秒冬至 史十一月辛酉有事于圜邱今推至日合癸丑六年正月癸夘朔十一月丙寅日申初三刻九分内四十一秒冬至 史三月癸夘朔日食十一月戊戌朔丙寅冬至改小郊今推至日合闰十一月应次年闰二月甲寅七年正月丁夘朔十一月辛未日亥初二刻十四分内三十一秒冬至 史二月丁酉朔日食八月甲午朔十一月辛未有事于圜邱今推至日合乙夘八年正月辛酉朔十一月丁丑日寅初二刻四分内二十一秒冬至 史七月己未朔日食十一月丁丑有事于圜邱今推至日合丙辰九年正月丙辰朔十一月壬午日巳初一刻九分内一十一秒冬至 史七月癸丑朔日食闰九月十一月壬午有事于圜邱今推至日合丁巳十年正月庚辰朔十一月丁亥日申初初刻十四分内一秒冬至 史十一月丁亥合祀天地于奉先殿今推丁亥冬至日十二月乙夘朔日食此后南郊皆在正月戊午十一年正月甲戌朔十一月壬辰日亥初初刻三分内五十一秒冬至 五行志正月元旦甲戌九月庚午朔己未十二年正月戊辰朔十一月戊戌日丑正三刻八分内四十一秒冬至 史天文志三月戊辰朔闰五月庚申十三年正月壬辰朔十一月癸夘日辰正二刻十三分内三十一秒冬至 史二月壬戌朔辛酉十四年正月丁亥朔十一月戊申日未正二刻三分内二十一秒冬至 史九月壬午朔十月壬子朔日食壬戌十五年正月辛巳朔十一月癸丑日戌正一刻八分内一十一秒冬至 史闰二月九月丁未朔三百二十二章癸亥十六年正月乙巳朔十一月己未日丑正初刻十三分内一秒冬至日躔在箕余分之一十六分 史八月壬申朔日食甲子十七年正月己亥朔十一月甲子日辰正初刻二分内五十一秒冬至 史三月戊戌朔闰十月丙申年至此十一闰一纪缩一年下起乙丑乙丑十八年正月癸亥朔十一月己巳日未初三刻七分内四十一秒冬至丙寅十九年正月丁巳朔十一月甲戌日戌初二刻十二分内三十一秒冬至 史十月甲申朔十二月癸未朔日食丁夘二十年正月壬子朔十一月庚辰日丑初二刻二分内二十一秒冬至 史闰六月天文志二月壬午朔戊辰二十一年正月丙子朔十一月乙酉日辰初一刻七分内一十一秒冬至 史五月甲戌朔日食己巳二十二年正月庚午朔十一月庚寅日未初初刻十二分内一秒冬至 史九月丙寅朔日食庚午二十三年正月甲子朔十一月乙未日戌初初刻一分内五十一秒冬至 史闰四月九月庚寅朔日食辛未二十四年正月戊子朔十一月辛丑日子正三刻六分内四十一秒冬至 史三月戊子朔日食壬申二十五年正月癸未朔十一月丙午日夘正二刻十一分内三十一秒冬至 天文志九月己夘朔史闰十二月应下年闰二月癸酉二十六年正月丁未朔十一月辛亥日午正二刻一分内二十一秒冬至 史七月甲辰朔日食天文志二月丙子朔甲戌二十七年正月辛丑朔十一月丙辰日酉正一刻六分内一十一秒冬至乙亥二十八年正月乙未朔十一月壬戌日子正初刻十一分内一秒冬至 天文志闰九月丙子二十九年正月己未朔十一月丁夘日夘初三刻十五分内五十一秒冬至 天文志七月丙辰朔丁丑三十年正月甲寅朔十一月壬申日午初三刻五分内四十一秒冬至 史五月壬子朔日食天文志八月庚辰朔戊寅三十一年正月戊申朔十一月丁丑日酉初二刻十分内三十一秒冬至 史闰五月天文志五月丁未朔恭闵惠皇帝建文己夘元年正月壬申朔十一月壬午夜子初一刻十五分内二十一秒冬至庚辰二年正月丙寅朔十一月戊子日夘初一刻五分内一十一秒冬至 史正月丙寅朔三月丙寅朔日食辛巳三年正月辛酉朔十一月癸巳日午初初刻十分内一秒冬至 史正月辛酉朔闰三月三百二十三章壬午四年正月甲申朔十一月戊戌日申正三刻十四分内五十一秒冬至 史七月壬午朔天文志九月辛巳朔成祖文皇帝永乐癸未元年正月己夘朔十一月癸夘日亥正三刻四分内四十一秒冬至 史正月己夘朔四月丁未朔九月丙午朔十一月乙亥朔闰十一月甲申二年正月癸夘朔十一月己酉日寅正二刻九分内三十一秒冬至 史四月辛未朔五月辛丑朔乙酉三年正月丁酉朔十一月甲寅日巳正一刻十四分内二十一秒冬至 天文志三月丙申朔十一月癸巳朔丙戌四年正月壬辰朔十一月己未日申正一刻四分内一十一秒冬至 史三月辛夘朔五月庚寅朔六月己未朔日食闰七月丁亥五年正月丙辰朔十一月甲子日亥正初刻九分内一秒冬至 五行志十一月辛亥朔戊子六年正月庚戌朔十一月庚午日寅初三刻十三分内五十一秒冬至 天文志正月庚戌朔二月庚辰朔己丑七年正月甲辰朔十一月乙亥日巳初三刻三分内四十一秒冬至 史四月癸酉朔闰四月九月庚午朔日食庚寅八年正月戊辰朔十一月庚辰日申初二刻八分内二十一秒冬至辛夘九年正月壬戌朔十一月乙酉日亥初一刻十三分内二十一秒冬至 史闰十二月应下年闰二月壬辰十年正月丙戌朔十一月辛夘日寅初一刻三分内一十一秒冬至癸巳十一年正月辛巳朔十一月丙申日巳初初刻八分内一秒冬至 史正月辛巳朔日食六月戊申朔甲午十二年正月乙亥朔十一月辛丑日未正三刻十二分内五十一秒冬至 史四月甲辰朔八月辛丑朔闰九月乙丑年至此十一闰为一纪乙未十三年正月己亥朔十一月丙午日戌正三刻二分内四十一秒冬至 史五月丁酉朔日食天文志十月乙丑朔丙申十四年正月甲午朔十一月壬子日丑正二刻七分内三十一秒冬至丁酉十五年正月戊子朔十一月丁巳日辰正一刻十二分内二十一秒冬至 史五月有丙戌六月有丁酉闰五月也戊戌十六年正月壬子朔十一月壬戌日未正一刻二分内一十一秒冬至己亥十七年正月丙午朔十一月丁夘日戌正初刻七分内一秒冬至庚子十八年正月庚子朔十一月癸酉日丑初三刻十一分内五十一秒冬至 史闰正月应闰二月八月丁酉朔日食三百二十四章辛丑十九年正月甲子朔十一月戊寅日辰初三刻一分内四十一秒冬至 史正月甲子朔八月辛夘朔日食壬寅二十年正月己未朔十一月癸未日未初二刻六分内三十一秒冬至 史正月己未朔日食闰十二月自此年以后置闰应在下年正月后章法又当小变癸夘二十一年正月癸未朔十一月戊子日戌初一刻十一分内二十一秒冬至 史六月庚戌朔日食甲辰二十二年正月丁丑朔十一月甲午日丑初一刻一分内一十一秒冬至 史十一月壬申朔仁宗皇帝洪熙乙巳元年正月壬申朔十一月己亥日辰初初刻六分内一秒冬至 史正月壬申朔闰七月宣宗皇帝宣徳丙午元年正月丙申朔十一月甲辰日午正三刻十分内五十一秒冬至 史五月甲午朔丁未二年正月庚寅朔十一月己酉日酉正二刻十五分内四十一秒冬至 天文志八月丙辰朔戊申三年正月甲申朔十一月乙夘日子正二刻五分内三十一秒冬至 史闰四月己酉四年正月戊申朔十一月庚申日夘正一刻十分内二十一秒冬至庚戌五年正月壬寅朔十一月乙丑日午正初刻十五分内一十一秒冬至 史八月己巳朔日食闰十二月应下年闰二月辛亥六年正月丙寅朔十一月庚午日酉正初刻五分内一秒冬至壬子七年正月辛酉朔十一月乙亥夜子初三刻九分内五十一秒冬至 史正月辛酉朔日食癸丑八年正月乙夘朔十一月辛巳日夘初二刻十四分内四十一秒冬至 史闰八月甲寅九年正月己夘朔十一月丙戌日午初二刻四分内三十一秒冬至乙夘十年正月癸酉朔十一月辛夘日酉初一刻九分内二十一秒冬至 史正月癸酉朔十一月戊辰朔日食英宗皇帝正统丙辰元年正月丁夘朔十一月丙申夜子初初刻十四分内一十一秒冬至 史四月丁酉朔闰六月丁巳二年正月辛夘朔十一月壬寅日夘初初刻四分内一秒冬至戊午三年正月丙戌朔十一月丁未日巳正三刻八分内五十一秒冬至己未四年正月庚辰朔十一月壬子日申正二刻十三分内四十一秒冬至 史闰二月己夘朔三百二十五章庚申五年正月甲辰朔十一月丁巳日亥正二刻三分内三十一秒冬至 五行志十月庚午朔辛酉六年正月己亥朔十一月癸亥日寅正一刻八分内二十一秒冬至 史正月己亥朔日当食不见十一月甲午朔闰十一月应下年闰正月壬戌七年正月癸亥朔十一月戊辰日巳正初刻十三分内一十一秒冬至癸亥八年正月丁巳朔十一月癸酉日申正初刻三分内一秒冬至甲子九年正月辛亥朔十一月戊寅日亥初三刻七分内五十一秒冬至 史三月辛亥朔闰七月十月丙午朔日食乙未年至此十一闰又一纪乙丑十年正月乙亥朔十一月甲申日寅初二刻十二分内四十一秒冬至 史四月甲辰朔日食丙寅十一年正月己巳朔十一月己丑日巳初二刻二分内三十一秒冬至 五行志十月乙未朔丁夘十二年正月甲子朔十一月甲午日申初一刻七分内二十一秒冬至 五行志闰四月八月甲申朔日食戊辰十三年正月戊子朔十一月己亥日亥初初刻十二分内一十一秒冬至己巳十四年正月壬午朔十一月乙巳日寅初初刻二分内一秒冬至 天文志七月己夘朔十二月丁未朔景皇帝景泰庚午元年正月丁丑朔十一月庚戌日辰正三刻六分内五十一秒冬至 史正月丁丑朔闰正月辛未二年正月辛丑朔十一月乙夘日未正二刻十一分内四十一秒冬至 史六月戊辰朔日当食不见天文志二月庚午朔壬申三年正月乙未朔十一月庚申日戌正二刻一分内三十一秒冬至 史三月甲午朔五月癸巳朔闰九月十一月己未朔日食癸酉四年正月己未朔十一月丙寅日丑正一刻六分内二十一秒冬至甲戌五年正月癸丑朔十一月辛未日辰正初刻十一分内一十一秒冬至 史四月壬午朔日食乙亥六年正月丁未朔十一月丙子日未正初刻一分内一秒冬至日躔在箕八度之一十六分 史四月丙子朔日食五月乙巳朔闰六月丙子七年正月辛未朔十一月辛巳日戌初三刻五分内五十一秒冬至英宗复位天顺丁丑元年正月乙丑朔十一月丁亥日丑初二刻十分内四十一秒冬至 史二月乙未朔四月甲午朔六月癸巳朔戊寅二年正月庚申朔十一月壬辰日辰初一刻十五分内三十一秒冬至 史闰二月三百二十六章己夘三年正月甲申朔十一月丁酉日未初一刻五分内二十一秒冬至庚辰四年正月戊寅朔十一月壬寅日戌初初刻十分内一十一秒冬至 史七月乙亥朔日食闰十一月应下年闰正月辛巳五年正月壬寅朔十一月戊申日子正三刻十五分内一秒冬至 史七月己亥朔十一月丁酉朔日食壬午六年正月丙申朔十一月癸丑日夘正三刻四分内五十一秒冬至癸未七年正月庚寅朔十一月戊午日午正二刻九分内四十一秒冬至 史五月己丑朔日食闰七月戊午朔十一月乙夘朔天文志二月庚申朔甲申八年正月甲寅朔十一月癸亥日酉正一刻十四分内三十一秒冬至 史三月甲寅朔四月癸未朔日当食不见宪宗皇帝成化乙酉元年正月己酉朔十一月己巳日子正一刻四分内二十一秒冬至 史十二月有癸夘晦日也丙戌二年正月甲辰朔十一月甲戌日夘正初刻九分内一十一秒冬至 史闰三月丁亥三年正月戊辰朔十一月己夘日午初三刻十四分内一秒冬至 史二月丁酉朔日食戊子四年正月壬戌朔十一月甲申日酉初三刻三分内五十一秒冬至己丑五年正月丙辰朔十一月己丑夜子初二刻八分内四十一秒冬至 史天文志闰二月六月癸丑朔日食庚寅六年正月庚辰朔十一月乙未日夘初一刻十三分内三十一秒冬至 史六月戊申朔日食辛夘七年正月甲戌朔十一月庚子日午初一刻三分内二十一秒冬至 史闰九月壬辰八年正月戊戌朔十一月乙巳日酉初初刻八分内一十一秒冬至癸巳九年正月壬辰朔十一月庚戌日亥正三刻十三分内一秒冬至 史四月辛酉朔日食甲午十年正月丁亥朔十一月丙辰日寅正三刻二分内五十一秒冬至 史正月丁亥朔闰六月九月癸丑朔日食乙丑年至此十一闰又一纪乙未十一年正月辛亥朔十一月辛酉日巳正二刻七分内四十一秒冬至 史九月丁未朔日食丙申十二年正月乙巳朔十一月丙寅日申正一刻十二分内三十一秒冬至 史二月乙亥朔日食丁酉十三年正月己亥朔十一月辛未日亥正一刻二分内二十一秒冬至 史天文志闰二月九月乙丑朔十二月甲午朔三百二十七章戊戌十四年正月癸亥朔十一月丁丑日寅正初刻七分内一十一秒冬至 俞正巳推是年十一月丁丑子正初刻冬至今推在寅正初刻己亥十五年正月戊午朔十一月壬午日巳初三刻十二分内一秒冬至 天文志闰十月应下年闰二月庚子十六年正月壬午朔十一月丁亥日申初三刻一分内五十一秒冬至 五行志正月壬午朔辛丑十七年正月丙子朔十一月壬辰日亥初二刻六分内四十一秒冬至壬寅十八年正月庚午朔十一月戊戌日寅初一刻十一分内三十一秒冬至 史三月己巳朔闰八月癸夘十九年正月甲午朔十一月癸夘日巳初一刻一分内二十一秒冬至 天文志四月癸亥朔甲辰二十年正月己丑朔十一月戊申日申初初刻六分内一十一秒冬至 史九月乙酉朔日食乙巳二十一年正月甲申朔十一月癸丑日戌正三刻十一分内一秒冬至 史正月甲申朔天文志三月壬午朔闰四月八月己夘朔日食丙午二十二年正月戊申朔十一月己未日丑正二刻十五分内五十一秒冬至丁未二十三年正月壬寅朔十一月甲子日辰正二刻五分内四十一秒冬至孝宗皇帝𢎞治戊申元年正月丙申朔十一月己巳日未正一刻十分内三十一秒冬至 史闰正月六月癸巳朔日食己酉二年正月庚申朔十一月甲戌日戌正初刻十五分内二十一秒冬至 史十一月甲申朔日食庚戌三年正月甲寅朔十一月庚辰日丑正初刻五分内一十一秒冬至 史六月壬午朔闰九月天文志十二月戊申朔辛亥四年正月戊寅朔十一月乙酉日辰初三刻十分内一秒冬至壬子五年正月壬申朔十一月庚寅日未初二刻十四分内五十一秒冬至癸丑六年正月丁夘朔十一月乙未日戌初二刻四分内四十一秒冬至 史闰五月甲寅七年正月辛夘朔十一月辛丑日丑初一刻九分内三十一秒冬至乙夘八年正月乙酉朔十一月丙午日辰初初刻十四分内二十一秒冬至 史二月乙夘朔日食十一月有己酉葢晦日丙辰九年正月己夘朔十一月辛亥日未初初刻四分内一十一秒冬至 史天文志二月己酉朔闰三月三百二十八章丁巳十年正月癸夘朔十一月丙辰日酉正三刻九分内一秒冬至 天文志十二月戊辰朔俞正巳推是年十一月丙辰日酉正初刻冬至今在酉正三刻戊午十一年正月戊戌朔十一月壬戌日子正二刻十三分内五十一秒冬至 史闰十一月壬戌朔日食应下年闰二月己未十二年正月壬戌朔十一月丁夘日夘正二刻三分内四十一秒冬至 天文志九月戊午朔庚申十三年正月丙辰朔十一月壬申日午正一刻八分内三十一秒冬至 史五月甲寅朔日食辛酉十四年正月庚戌朔十一月丁丑日酉正初刻十三分内二十一秒冬至 史正月庚戌朔三月己酉朔闰七月九月丙子朔日食壬戌十五年正月甲戌朔十一月癸未日子正初刻三分内一十一秒冬至 史正月庚戌朔九月庚午朔日食癸亥十六年正月戊辰朔十一月戊子日夘初三刻八分内一秒冬至甲子十七年正月壬戌朔十一月癸巳日午初二刻十二分内五十一秒冬至 史闰四月乙未年至此十一闰又一纪乙丑十八年正月丙戌朔十一月戊戌日酉初二刻二分内四十一秒冬至武宗皇帝正徳丙寅元年正月辛巳朔十一月癸夘夜子初一刻七分内三十一秒冬至 金台记是年十一月二十八日冬至天文志十二月乙巳朔丁夘二年正月乙亥朔十一月己酉日夘初初刻十二分内二十一秒冬至 史正月乙亥朔日食闰正月天文志九月辛丑朔戊辰三年正月己亥朔十一月甲寅日午初初刻二分内一十一秒冬至己巳四年正月癸巳朔十一月己未日申正三刻七分内一秒冬至 史闰九月庚午五年正月丁巳朔十一月甲子日亥正二刻十一分内五十一秒冬至辛未六年正月辛亥朔十一月庚午日寅正二刻一分内四十一秒冬至壬申七年正月丙午朔十一月乙亥日巳正一刻六分内三十一秒冬至 史闰五月癸酉八年正月庚午朔十一月庚辰日申正初刻十一分内二十一秒冬至甲戌九年正月甲子朔十一月乙酉日亥正初刻一分内一十一秒冬至 史八月辛夘朔日食乙亥十年正月戊午朔十一月辛夘日寅初三刻六分内一秒冬至 史闰四月十二月癸丑朔日食三百二十九章 当时中官正周濓推得是年十一月辛夘日丑初初刻冬至较今所推先一时四刻丙子十一年正月壬午朔十一月丙申日巳初二刻十分内五十一秒冬至 史十月己酉朔丁丑十二年正月丁丑朔十一月辛丑日申初一刻十五分内四十一秒冬至 史六月乙巳朔日食闰十二月应下年闰正月戊寅十三年正月辛丑朔十一月丙午日亥初一刻五分内三十一秒冬至 史正月辛丑朔四月己巳朔五月己亥朔日食己夘十四年正月丙申朔十一月壬子日寅初初刻十分内二十一秒冬至 史正月丙申朔十一月壬子冬至受贺于太监张阳第今推至日合庚辰十五年正月庚寅朔十一月丁巳日辰正三刻十五分内一十一秒冬至 史正月庚寅朔闰八月辛巳十六年正月甲寅朔十一月壬戌日未正三刻五分内一秒冬至 史天文志正月甲寅朔三月癸丑朔日食十月己夘朔世宗肃皇帝嘉靖壬午元年正月戊申朔十一月丁夘日戌正二刻九分内五十一秒冬至癸未二年正月壬寅朔十一月癸酉日丑正一刻十四分内四十一秒冬至 五行志闰四月甲申三年正月丙寅朔十一月戊寅日辰正一刻四分内三十一秒冬至 史正月丙寅朔乙酉四年正月庚申朔十一月癸未日未正初刻九分内二十一秒冬至 史闰十二月乙夘朔日食其实乙夘乃丙戌岁正月元旦葢置闰应在下年二月后丙戌五年正月甲申朔十一月戊子日戌初三刻十四分内一十一秒冬至 史十月辛亥朔丁亥六年正月己夘朔十一月甲午日丑初三刻四分内一秒冬至日躔在箕七度之一十六分 史五月丁丑朔日食全史日至源流卷二十九
## 卷三十
钦定四库全书全史日至源流卷三十山东道御史许伯政撰壬子运三十(共二百一十六期每期三百六十五日二时七刻四分三十秒)冬至十四日八时三刻十三分五十五秒五十微小寒十四日八时四刻四分四十五秒五十微大寒十四日九时一刻十分五十微立春十四日十时一刻六分五十微雨水十四日十一时三刻四分五十微惊蛰十五日零六刻十四分五十五秒五十微春分十五日二时三刻八分四十五秒五十微清明十五日四时零七分四十五秒五十微谷雨十五日五时四刻七分五十秒五十微立夏十五日六时六刻十四分五十五秒五十微小满十五日八时零二分五十秒五十微芒种十五日八时三刻九分五十五秒五十微夏至十五日八时六刻十四分五十五秒五十微小暑十五日八时五刻二分五十五秒五十微大暑十五日八时零七分五十五秒五十微立秋十五日七时零十分五十五秒五十微处暑十五日五时六刻五分五十五秒五十微白露十五日四时三刻九分五十微秋分十五日二时四刻十一分五秒五十微寒露十五日一时一刻八分五十微霜降十四日十一时五刻四分五十五秒五十微立冬十四日十时二刻十一分五秒五十微小雪十四日九时二刻十二分五十微大雪十四日八时五刻九分五十五秒五十微戊子七年正月甲戌朔十一月己亥日辰初二刻八分内三十一秒冬至 史歴志闰十月己丑八年正月戊戌朔十一月甲辰日未初一刻十三分内一秒冬至 史十月癸亥朔日食庚寅九年正月壬辰朔十一月己酉日戌初一刻三分内三十一秒冬至辛夘十年正月丙戌朔十一月乙夘日丑初初刻七分内一秒冬至 史闰六月十一月甲寅祀天于南郊今推冬至在乙夘日丑初初刻壬辰十一年正月庚戌朔十一月庚申日夘正三刻十一分内三十一秒冬至 史十一月庚申祀天于南郊今推至日合癸巳十二年正月甲辰朔十一月乙丑日午正三刻一分内一秒冬至甲午十三年正月戊戌朔十一月庚午日酉正二刻五分内三十一秒冬至 五行志闰二月五月丁夘朔十一月庚午祀天于南郊今推至日合乙丑年至此十一闰又一纪三百三十章乙未十四年正月壬戌朔十一月丙子日子正一刻十分内一秒冬至 史十一月乙亥祀天于南郊今推冬至在丙子日子正一刻丙申十五年正月丁巳朔十一月辛巳日夘正初刻十四分内三十一秒冬至 史十一月辛巳祀天于南郊今推至日合闰十二月应下年闰二月丁酉十六年正月辛巳朔十一月丙戌日午正初刻四分内一秒冬至戊戌十七年正月乙亥朔十一月辛夘日酉初三刻八分内三十一秒冬至 史十一月辛未朔辛夘祀天于南郊今推至日合己亥十八年正月庚午朔十一月丙申夜子初二刻十三分内一秒冬至 史二月庚子朔闰七月十一月丙申祀天于南郊今推至日合庚子十九年正月甲午朔十一月壬寅日夘初二刻二分内三十一秒冬至 史厯志三月癸巳朔辛丑二十年正月戊子朔十一月丁未日午初一刻七分内一秒冬至壬寅二十一年正月壬午朔十一月壬子日酉初初刻十一分内三十一秒冬至 史闰五月七月己酉朔日食癸夘二十二年正月丙午朔十一月丁巳夜子初初刻一分内一秒冬至 史正月丙午朔日食甲辰二十三年正月庚子朔十一月癸亥日寅正三刻五分内三十一秒冬至乙巳二十四年正月乙未朔十一月戊辰日巳正二刻十分内一秒冬至 史五行志闰正月五月壬戌朔日食丙午二十五年正月己未朔十一月癸酉日申正一刻十四分内三十一秒冬至丁未二十六年正月癸丑朔十一月戊寅日亥正一刻四分内一秒冬至 史闰九月戊申二十七年正月丁丑朔十一月甲申日寅正初刻八分内三十一秒冬至己酉二十八年正月辛未朔十一月己丑日巳初三刻十三分内一秒冬至 史三月辛未朔日食八月丁酉朔庚戌二十九年正月乙丑朔十一月甲午日申初三刻二分内三十一秒冬至 史闰七月辛亥三十年正月己丑朔十一月己亥日亥初二刻七分内一秒冬至壬子三十一年正月甲申朔十一月乙巳日寅初一刻十一分内三十一秒冬至癸丑三十二年正月戊寅朔十一月庚戌日巳初一刻一分内一秒冬至 史正月戊寅朔日食闰三月三百三十一章甲寅三十三年正月壬寅朔十一月乙夘日申初初刻五分内三十一秒冬至 史正月壬寅朔乙夘三十四年正月丁酉朔十一月庚申日戌正三刻十分内一秒冬至 史正月丁酉朔十一月壬辰朔日食闰十一月天文志十二月庚申晦应下年闰二月丙辰三十五年正月辛酉朔十一月丙寅日丑正二刻十四分内三十一秒冬至 史十月丙戌朔日食丁巳三十六年正月乙夘朔十一月辛未日辰正二刻四分内一秒冬至 五行志十二月庚辰朔戊午三十七年正月己酉朔十一月丙子日未正一刻八分内三十一秒冬至 史闰七月己未三十八年正月癸酉朔十一月辛巳日戌正初刻十三分内一秒冬至庚申三十九年正月丁夘朔十一月丁亥日丑正初刻二分内三十一秒冬至 史七月乙丑朔辛酉四十年正月辛酉朔十一月壬辰日辰初三刻七分内一秒冬至 史二月辛夘朔日当食不见闰五月七月己丑朔日食壬戌四十一年正月乙酉朔十一月丁酉日未初二刻十一分内三十一秒冬至癸亥四十二年正月庚辰朔十一月壬寅日戌初二刻一分内一秒冬至甲子四十三年正月甲戌朔十一月戊申日丑初一刻五分内三十一秒冬至 史闰二月五月壬寅朔日食乙未年至此十一闰又一纪乙丑四十四年正月戊戌朔十一月癸丑日辰初初刻十分内一秒冬至丙寅四十五年正月癸巳朔十一月戊午日午正三刻十四分内三十一秒冬至 史四月壬戌朔日食闰十月穆宗庄皇帝隆庆丁夘元年正月丁巳朔十一月癸亥日酉正三刻四分内一秒冬至 史四月丙戌朔八月癸未朔十一月癸亥祀天于南郊今推至日合戊辰二年正月辛亥朔十一月己巳日子正二刻八分内三十一秒冬至 史十月丁丑朔十一月戊辰祀天于南郊今推冬至在己巳日子正二刻己巳三年正月乙巳朔十一月甲戌日夘正一刻十三分内一秒冬至 史天文志闰六月十一月甲戌祀天于南郊今推至日合庚午四年正月己巳朔十一月己夘日午正一刻二分内三十一秒冬至 史正月己巳朔日食十一月己夘祀天于南郊今推至日合辛未五年正月癸亥朔十一月甲申日酉正初刻七分内一秒冬至 五行志六月辛夘朔壬申六年正月戊午朔十一月己丑夜子初三刻十一分内三十一秒冬至 史闰二月六月乙夘朔日食三百三十二章神宗显皇帝万厯癸酉元年正月壬午朔十一月乙未日夘初三刻一分内一秒冬至甲戌二年正月丁丑朔十一月庚子日午初二刻五分内三十一秒冬至 史闰十二月应下年闰二月乙亥三年正月辛丑朔十一月乙巳日酉初一刻十分内一秒冬至 史夏四月朔日食既十一月乙巳祀天于南郊今推至日合丙子四年正月乙未朔十一月庚戌夜子初初刻十四分内三十一秒冬至丁丑五年正月己丑朔十一月丙辰日卯初初刻四分内一秒冬至 史闰八月乙酉朔日食十一月癸丑朔戊寅六年正月癸丑朔十一月辛酉日巳正三刻八分内三十一秒冬至 史十一月辛酉祀天于南郊今推至日合己夘七年正月丁未朔十一月丙寅日申正二刻十三分内一秒冬至庚辰八年正月辛丑朔十一月辛未日亥正二刻二分内三十一秒冬至 史二月辛未朔日食闰四月辛巳九年正月乙丑朔十一月丁丑日寅正一刻七分内一秒冬至 明郑世子推是年十一月冬至大统在丁丑授时在丙子今在丁丑壬午十年正月庚申朔十一月壬午日巳正初刻十一分内三十一秒冬至 史四月戊子朔六月丁亥朔日食癸未十一年正月乙夘朔十一月丁亥日申正初刻一分内一秒冬至 史闰二月八月庚戌朔十一月己夘朔日食甲申十二年正月己夘朔十一月壬辰日亥初三刻五分内三十一秒冬至 史厯志十一月癸酉朔十二月癸夘朔乙酉十三年正月癸酉朔十一月戊戌日寅初二刻十分内一秒冬至 史闰九月郑世子推是年十一月冬至大统在戊戌授时在丁酉今在戊戌丙戌十四年正月丙申朔十一月癸夘日巳初一刻十四分内三十一秒冬至 史十一月癸夘祀天于南郊今推至日合丁亥十五年正月庚寅朔十一月戊申日申初一刻四分内一秒冬至 史九月丁亥朔日当食不见戊子十六年正月乙酉朔十一月癸丑日亥初初刻八分内三十一秒冬至 史闰六月己丑十七年正月己酉朔十一月己未日丑正一刻十三分内一秒冬至 史正月己酉朔日食庚寅十八年正月甲辰朔十一月甲子日辰正三刻二分内三十一秒冬至 史正月甲辰朔七月庚子朔日食辛夘十九年正月戊戌朔十一月己巳日未正二刻十分内一秒冬至 史闰三月丙寅朔三百三十三章壬辰二十年正月壬戌朔十一月甲戌日戌正一刻十一分内三十一秒冬至癸巳二十一年正月丙辰朔十月庚辰日丑正一刻一分内一秒冬至十一月辛巳朔 史八月有丙戌十月有丙申葢闰九月但厯学新说推是年十一月二十九日己夘夜半前冬至今在庚辰丑正一刻乃三十日若闰九月则冬至在十月晦今且依史作闰九月其实应下年闰二月甲午二十二年正月庚辰朔十一月乙酉日辰正初刻五分内三十一秒冬至 史四月己酉朔日食移上闰于此年乙丑年至此十一闰又一纪乙未二十三年正月甲戌朔十一月庚寅日未初三刻十分内一秒冬至丙申二十四年正月戊辰朔十一月乙未日戌初二刻十四分内三十一秒冬至 史闰八月乙丑朔日食邢云路奏言此年十一月冬至应在乙未日未正一刻当时用大统推筭在申正二刻今推之在戌初二刻可见云路厯学之踈丁酉二十五年正月壬辰朔十一月辛丑日丑初二刻四分内一秒冬至 史正月壬辰朔五月辛夘朔七月庚寅朔戊戌二十六年正月丁亥朔十一月丙午日辰初一刻八分内三十一秒冬至 史志正月丁亥朔己亥二十七年正月壬午朔十一月辛亥日未初初刻十三分内一秒冬至日躔在箕六度之一十六分史闰四月庚子二十八年正月丙午朔十一月丙辰日戌初初刻二分内三十一秒冬至辛丑二十九年正月庚子朔十一月壬戌日子正三刻七分内一秒冬至壬寅三十年正月甲午朔十一月丁夘日夘正二刻十一分内三十一秒冬至 史闰二月九月己未朔癸夘三十一年正月戊午朔十一月壬申日午正二刻一分内一秒冬至 史四月丁亥朔日食甲辰三十二年正月壬子朔十一月丁丑日酉正一刻五分内三十一秒冬至 史四月辛巳朔日食闰九月乙巳三十三年正月丙子朔十一月癸未日子正初刻十分内一秒冬至丙午三十四年正月庚午朔十一月戊子日夘初三刻十四分内三十一秒冬至丁未三十五年正月乙丑朔十一月癸巳日午初三刻四分内一秒冬至 史闰六月八月辛酉朔戊申三十六年正月己丑朔十一月戊戌日酉初二刻八分内三十一秒冬至己酉三十七年正月甲申朔十一月癸夘夜子初一刻十三分内一秒冬至庚戌三十八年正月戊寅朔十一月己酉日夘初一刻二分内三十一秒冬至 史闰三月十一月壬寅朔日食郑世子推是年十一月冬至大统在己酉授时在戊申今在己酉三百三十四章辛亥三十九年正月壬寅朔十一月甲寅日午初初刻七分内一秒冬至壬子四十年正月丙申朔十一月己未日申正三刻十一分内三十一秒冬至 史五月甲午朔日食十月有甲申次年正月有庚申葢闰十二月应下年闰二月癸丑四十一年正月庚申朔十一月甲子日亥正三刻一分内一秒冬至甲寅四十二年正月甲寅朔十一月庚午日寅正二刻五分内三十一秒冬至 郑世子推是年十一月冬至大统在庚午授时在己巳今在庚午乙夘四十三年正月戊申朔十一月乙亥日巳正一刻十分内一秒冬至 史三月丁未朔日食闰八月丙辰四十四年正月壬申朔十一月庚辰日申正初刻十四分内三十一秒冬至 史三月辛未朔日食丁巳四十五年正月丁夘朔十一月乙酉日亥正初刻四分内一秒冬至 史七月癸亥朔日食戊午四十六年正月辛酉朔十一月辛夘日寅初三刻八分内三十一秒冬至 史闰四月郑世子推是年冬至大统在辛夘授时在庚寅今在辛夘己未四十七年正月乙酉朔十一月丙申日巳初二刻十三分内一秒冬至庚申四十八年正月庚辰朔十一月辛丑日申初二刻二分内三十一秒冬至 史八月丙午朔光宗即位九月乙亥朔崩八月后为泰昌元年熹宗慈皇帝天启辛酉元年正月甲戌朔十一月丙午日亥初一刻七分内一秒冬至 史闰二月四月壬申朔日食壬戌二年正月戊戌朔十一月壬子日寅初初刻十一分内三十一秒冬至 史三月丁酉朔九月甲午朔癸亥三年正月壬辰朔十一月丁巳朔巳初初刻一分内一秒冬至 史四月庚申朔闰十月十一月丁巳朔祀天于南郊今推至日合自乙未年至此十一闰一纪缩一年下起甲子甲子四年正月丙辰朔十一月壬戌日未正三刻五分内三十一秒冬至 史正月丙辰朔五月甲寅朔六月癸未朔乙丑五年正月庚戌朔十一月丁夘日戌正二刻十分内一秒冬至 史天文志正月庚戌朔丙寅六年正月乙巳朔十一月癸酉日丑正一刻十四分内三十一秒冬至 史五月壬寅朔闰六月七月辛未朔日当食不见丁夘七年正月己巳朔十一月戊寅日辰正一刻四分内一秒冬至 史七月乙丑朔十月甲午朔 此年冬至或称当时颁行节气在戊寅日夘初二刻今推在辰正一刻庄烈愍皇帝崇祯戊辰元年正月癸亥朔十一月癸未日未正初刻八分内三十一秒冬至 史十一月癸未祀天于南郊今推至日合或称当时推筭在午正二刻今在未正初刻己巳二年正月丁巳朔十一月戊子日戌初三刻十三分内一秒冬至 史闰四月五月乙酉朔日食十一月壬午朔十二月辛亥朔三百三十五章庚午三年正月辛巳朔十一月甲午日丑初三刻二分内三十一秒冬至 史十二月乙巳朔或谓此年冬至当时推筭在甲午日子正初刻今在丑初三刻辛未四年正月乙亥朔十一月己亥日辰初二刻七分内一秒冬至 史二月乙巳朔五月甲戌朔十月辛丑朔日食闰十一月当时徐光启推冬至在己亥日辰初一刻十八分则于法应下年闰二月葢当时节气用平推故闰亦不合法耳壬申五年正月己亥朔十一月甲辰日未初一刻十一分内三十一秒冬至 史二月己巳朔癸酉六年正月癸巳朔十一月己酉日戌初一刻一分内一秒冬至 史六月辛酉朔甲戌七年正月戊子朔十一月乙夘日丑初初刻五分内三十一秒冬至 史三月丁亥朔日食闰八月乙亥八年正月壬子朔十一月庚申日夘正三刻十分内一秒冬至 史十一月庚申祀天于南郊今推至日合丙子九年正月丁未朔十一月乙丑日午正二刻十四分内三十一秒冬至丁丑十年正月辛丑朔十一月庚午日酉正二刻四分内一秒冬至 史正月辛丑朔日食 史闰四月戊寅十一年正月乙丑朔十一月丙子日子正一刻八分内一十一秒冬至 史五月癸亥朔己夘十二年正月己未朔十一月辛巳日夘正初刻十三分内一秒冬至 史正月己未朔十月甲申朔十一月辛巳祀天于南郊今推至日得辛巳但当时冬至若果在夘正初刻则下年冬至不得在丁亥日必移下六时从酉正初刻十三分起数则下年可得丁亥日子正初刻二分冬至阅者惟遵我朝顺治元年十一月丁未日午初冬至为主而推之其失自见庚辰十三年正月癸丑朔十一月丙戌日午正初刻二分内三十一秒冬至 史闰正月二月壬子朔六月辛亥朔七月庚辰朔十一月丁亥祀天于南郊今推冬至在丙戌午正初刻十二月丁未朔辛巳十四年正月丁丑朔十一月辛夘日酉初三刻七分内一秒冬至 史三月丙子朔十月癸夘朔日食壬午十五年正月辛未朔十一月丙申夜子初二刻十一分内三十一秒冬至 史闰十一月癸未十六年正月丙申朔十一月壬寅日夘初二刻一分内一秒冬至 史二月乙丑朔日食五月癸巳朔八月壬戌朔十月辛酉朔十一月壬寅祀天于南郊今推至日合十二月辛酉朔星昼见甲申十七年三月李贼陷京城明亾全史日至源流卷三十◆ 《数学-清-江永》（KR3f0031）
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钦定四库全书 子部六
数学 天文算法类二(推歩之属)提要(臣)等谨案数学八卷续一卷国朝江永撰永有周礼疑义举要己著录是编因梅文鼎厯算全书为之发明订正而一准钦定厯象考成折𠂻其异同一卷曰厯学补论皆因文鼎之说而推阐所未言二卷曰岁实消长文鼎论岁实消长以为髙冲近冬至而岁余渐消过冬至而复渐长永则以为岁实本无消长消长之故在髙冲之行与小轮之改而岁节气相距近髙冲者岁实稍嬴近最髙者稍朒三卷曰恒气注厯文鼎论冬至加减谓当如西法用定气不用恒气而所作疑问补等书又谓当如旧法用恒气注厯永则以为冬至既不用恒气则诸节亦皆当用定气不用恒气故此二卷皆条列文鼎之说而以所见辨于下四卷曰冬至权度元史六厯冬至载晋献公以来四十九事文鼎因作春秋冬至考删去晋献公一事各以其本法推求其故永则以为算术虽明而未有折𠂻更因文鼎之法考证厯法史志之误五卷曰七政衍文鼎论七政小轮之动由本天之动七政之动由小轮之动永则以恭按钦定厯象考成五星有三小轮而月更有次均轮且更有圆图文鼎说虽精当而各轮之左旋右旋与帯动自动不动之异尚未能详剖因各为图说以明之六曰金水发微文鼎仍初旧法以金水二星伏见轮同于岁轮后因门人刘允恭悟得金水二星自有岁轮而伏见轮乃其绕日圆象因详为之说后杨学山乃颇以为疑永谓文鼎说是学山疑非因为图说以明之七曰中西合法拟草明徐光启酌定新法凡正朔闰月之类从中不从西定气整度之类从西不从中然因用定气遂以毎月中气时刻为太常过宫时刻系以中法十二宫之名而西法十二宫之名又用之于表永病其错互又整度一事永亦病其言之未尽故著此论以辨之亦多推文鼎之说八曰算賸则推衍三角诸法求其捷要续厯学一卷曰正弧三角疏义以补算賸所未尽故八卷各有小序此卷独无也文鼎厯算推为绝技此更因所已具得所未详踵事而増愈推愈密其于测騐亦可谓深有发明矣乾隆四十六年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆 费 墀
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钦定四库全书数学卷一婺源江永撰厯学补论(勿庵先生厯学疑问三卷五十二章又补二卷二十四章已为厯法疏通源流指示窔奥永熟味其书别有触悟随笔识之或赘说于本书之外或衍绎于本书之中泰山河海无俟一卷一勺聊自道其管蠡窥测云尔)论天地开辟问天地固当有始如陈星川壤天地人三元之说一元有二千四百一十九万二千年今当人元四百五十六万六千余年者固为荒唐矣邵子皇极经世书谓一元有十二万九千六百年分十二㑹一㑹一万八百年天开于子地辟于丑人生于寅禹即位后八年而入未㑹则自天开至今七万余年生人至今亦五万余年世以邵子精于数学也而信之自西士之书出则自开辟以来只五六千年何若是其不侔耶果孰非而孰是耶曰以理断之疑西说近是也中国有载籍始于唐虞尧至今四千余年尧以前略有传闻而难徴信度有人物之初距唐虞之世其年当不甚逺岂有遥遥五六万年晦冥如夜竟无纪载可稽耶又大西洋载其国古老所记亦似不过四千年夫中国相去数万里而年数符同若斯则四千年以前徧天地有人物者不过一二千年如今日之视秦汉已耳当不以万计也顾天地之开辟虽有最初之年而其酝酿于未开辟之先者必需积渐之久如人兽之胎虫鸟之卵草木之果实根荄皆含生于未生之前此则不知㡬何年耳曰西士之言固可信矣其纪年亦自不同天地仪书谓自开辟至崇祯庚辰五千六百三十余年圣经直解则云六千八百三十六年依稽古定仪推之则五千七百三十年月离厯指则谓崇祯戊辰为总期之六千三百四十一年诸说孰为是耶曰予尝推之矣其言五千余年是开辟之始太阳最高在春分也此则稽古定仪之年为近(元至元辛巳髙冲在冬至最髙在夏至开辟以来行一象限九十度以今厯一年行一分一秒一十微推之九十度有五千三百余年稽古定仪开辟至至元辛巳五千三百七十年)其言六千余年是开辟之始冬至日躔壁宿为亥末戌初也此则圣经直解之年为近(崇祯庚辰冬至日在箕四度溯前六千八百三十余年约退九十八度日在壁)二者皆有理不知果孰为确耳曰然则古厯家谓上元必是甲子岁前十一月甲子朔旦夜半冬至日月如合璧五星如连珠其说信然乎曰未必然也天地开辟如人之初生已属后天其始尚有胚胎之岁月则甲子日月五星不必皆从始处始也以为始于甲子岁安知其不始于他年乎(西书诸说皆非甲子)以为始于十一月朔安知其不始于十一月望乎(冬至为中气望为月半)以为始于冬至安知其不始于春分乎(天文实用云开辟初时适当春分又云中西皆以角为宿首因开辟首日昏时角为中星也)以为始于甲子夜半则时刻随方有里差西方见早东方见晩西以为子东以为丑东以为子西以为亥徧大地当以何处为正位而定其为夜半冬至乎日月果合璧则开辟之始必日食乎五星仅连珠不犹有未齐同者乎且日月五星各有性情以为始于聚安知其不始于散乎(如人身胚胎之始则聚及其成形脏腑官骸各有部位)达理者黙而观之毋泥前人之说可也以今岁周计之一岁小余一百二十八分日之三十一积一百二十八年四万六千七百五十一日无余分以六十乗一百二十八凡七千六百八十年积二百八十零万五千零六十日天正冬至得甲子年甲子日无余分使开辟之年果在甲子其冬至当自平者始以今日平冬至逆推终不能得甲子朔旦冬至在中国之夜半也而况五星又皆齐同乎以是知厯元不可推也开辟之年约略可知而不可定也论地圆问地为圆形周围九万里南北则以二极之低昻而知之(南北行二百五十里极高下差一度)东西则以月食之蚤晩而知之(地赤道经东西相距七千五百里则月食先后差一时)此惟知厯者能信又必如西人浮海数万里见南极出地数十度而后可騐若拘儒之见不出户牖囿于方隅终疑人不可侧立水不可倒悬告以地圆谓其言犹河汉也柰何曰地之緜亘甚广其圆也以渐人虽绕地行一周恒以足履地首戴天必无倒立之时水之附地而流亦犹是也今试泛舟于江湖登舟之高处望之水之来不见其端水之去不见其尾但觉微有湾环之形惟舟所到即是髙处此何也人目能望数十里此数十里即以渐而圆故也而地圆之最可见者如月食于地景月之亏必作湾形由地景圆故也使地不圆何以有此圆景乎曰地上山髙而海深形有凹凸安得圆曰地之厚二万八千余里山海虽极髙深如胡桃核之皱略有起伏终不碍为圆也或又设一难曰地诚圆矣地之下诚有人居之矣设使地有孔穴上下穿通人投石于穴中此地见石坠而下彼地之人不见石腾而上直至于天乎石惟能下岂能上乎曰此说不足以难地圆也万一有穿通之穴投石其中此石必至地心而止心者四面之极处气之所辏必不令此石得过也以地球之大尚为大气举之处于天心而况石乎梅先生谓周髀中即有地圆之理又谓周髀所传之说必在唐虞以前此皆笃论自古籍散亡中土厯家既失其说而又杂以臆度之见无理之谭如云地有八柱又云地是水载又云地有四㳺种种谬论涂人耳目即如王蕃言北极出地三十六度此不过就中土地中洛阳北一𢃄所见极髙言之非可以此㮣大地也唐一行尝四方测景未悟地圆郭若思测景尤广南至南海北尽北海凡二十七所各纪其方北极出地昼夜永短似已悟地圆之理而亦未能明白著论意其犹在疑信之间今地圆之说大显是数千年来失者复得厯家据以为测算之根而儒家亦藉为穷理之要可不谓厚幸乎(战国时邹衍谈天谓九州之外有大瀛海环之亦似本之于周髀)梅先生引大戴礼曾子答单离居之问以证地圆之论古已有之极确愚谓易大传曰坤至静而徳方中庸曰振河海而不泄皆地圆之证也方言其徳则形体非方可知矣水附于地而流地振之而不泄则地面四方有水非是水载可知矣梅先生又谓地实圆体而有背面中土笃生神圣继天建极垂世立教如人有面为一身精神所聚此真至之理非徒为尊中国之言昔有问于愚者谓列宿分野大地所共中国之地有限何得据之以为占愚思之梅先生此说亦可参悟葢五脏之精开窍于五官则天光下临其精气与中华相属者必尤切是以普天星宿皆有相闗之理也论天大地小问地球周九万里不为小矣而西儒谓天极大地在天中只一㸃其言果可信与仰而望之日月星辰皆在目天岂若是其寥廓与曰此不可以臆揣也唯精于三角八线割圆之术因七政之行度比次其髙下而各种之天去地之数可得即恒星以上无法可算者亦可想而知矣姑以太阳与土里两重天言之西史第谷后出最精厯算者测太阳行度得其高卑之中处距地一千一百五十地半径(此数仍未确今算一千一百四十二地半径弱)夫地半径一万四千一百三十余里(以周径密率算)以一一四二乗之则日去地有一千六百余万里有竒又地周九万里亦以一一四二乗之则日天之周一万零二百七十八万余里可谓大矣而犹未也火木土三星之天皆在日天之上而各星所行之岁轮(迟疾轮)皆与日天等大因其行岁轮一象限九十度视黄道上得㡬何度因以测其本轮均轮次轮之半径而知此星之天去地视日天得若干倍火星不及约半倍木星不及约五倍土星行岁轮九十度其视度五度半有竒其切线一万零四百有竒夫轮之半径十万而五度半有竒之切线一万零四百有竒则不止十之一其视日天之高十倍有竒矣又设土星行最髙而当合伏其距地心一十二万六千一百一十七有竒以太阳本天比例为十一倍又一三七三二四地半径有一万二千八百零八弱则土星最高而合伏距地盖一万八千零九十七万余里矣此以星行度实算得之非荒唐之比也土星之髙已如此矣而恒星之天又在土星之上虽无岁轮可测算而以右旋之迟速约略计之日一岁而一周火星二年弱一周髙于日天半倍弱木星十二年一周髙于日天不及五倍土星二十九年半一周髙于日天不啻十倍恒星右旋二万五千余年一周则髙于日天甚逺可知矣况宗动天又在恒星之上常静天又在宗动之上其髙不可思议其视地不犹一微尘乎或曰地小于天如此则日入地下其光当从四旁射上地上可不夜矣而深夜黑暗何也曰地为实体日光不照则成黑影人处地面正当黒影最深最濶之处(地径二万八千余里则影径亦如之渐高乃渐减)安得不夜且气无质不能受日光能受日光者唯月与星有月则能透日光返照而夜明有星则微明月星皆隐则地上之气全黒而夜甚暗矣故地虽小而自能成昼夜也问各星歳轮与日天等大土木火三星本天固可以日天半径略计倍数矣若日天半径倍于地半径者一千一百四十二何从得之曰太阳本轮均轮之半径既可以盈缩极差推而知则最髙时在均轮之底最卑时在均轮之顶亦可得其相距之数矣而最髙最卑太阳则有视径差又射地景至月天则有景径差又太阳近地平则有地面地心髙下差合兹数差参互推算而日天距地可得而知矣岂若旧说言天去地若干万里荒唐无稽者哉论日月地三体大小问人视日月其大似无㡬而西人言日大于地月小于地日之大于地与月者其相去悬绝得毋无徴不信乎何以知其然也曰此亦以三角八线割圆之术测其本天去地之髙下因以视径而知其实径与实体也日月之行因其盈缩迟疾而知小轮之径因小轮而知大轮之径故日去地一千一百四十二地半径月去地约五十八地半径凡去地半径一倍者其度亦濶一倍地一度二百五十里以一千一百四十二乗之则日天之度计二十八万五千余里日之视径半度有竒(约六十分度之三十一)约得一十五万里地之全径二万八千余里故西人言日径得地径者五又七十五之十四此日之实径也以五十八乗二百五十里则月天之度一万四千五百里月之视径比日视径稍大约六十分度之三十二分竒其径约八千里地径大于月径三倍半有竒此月之实径也若以日视月则日径大于月径约一十九倍凡此皆以实测实算得之非虚言也曰此有实据可考騐乎曰有月之食也食于地景景径约一度半(日月行度有高卑则景径有大小此以其中者言之)则日月地三者之大小可参考而知凡光体等于实体则其景等大而无穷光体小于实体则其景渐逺渐大而无穷唯光体大于实体则其景渐逺渐小而有尽地景能食月不能食星月天卑星天髙故也(张衡灵宪谓暗虚星值之则星亡者非是)观月所处之天地景一度有半约二万二千余里则日之大于地㡬何月之小于地㡬何皆可用法推算矣曰日径大于地径五倍有竒而西人又言日大于地球一百六十五倍竒日大于月径约十九倍而西人又言大于月六千五百三十八倍竒地径大于月三倍半有竒而西人又言大于月三十八倍竒何若是之不伦耶曰前以径相较者平圆也此以实体相较者浑圆也算浑圆实体之法以径自乗又以径乗之而得实体之圆分积两圆相较可得其差(借立方算浑圆详见算賸)今用法推算则日之实体大于地者一百四十九倍竒大于月者六千五百九十倍竒地之实体大于月者四十倍竒与西人之算或多或少葢利西泰测算里数小有不同耳(利氏说见天学初函)梅先生似以日大于地一百六十五倍者为径也故谓两数相悬不啻霄壤若以实体较论则了然矣(方宻之通雅不信日大扵地百余倍谓日光甚烈人在地上必死亦考之未详耳)论日月星皆有质问日月星皆气为之乎抑实有其质乎曰实有其质也其质非金非玉非石葢自有其质非人世所有者也若但有气无质岂能终古不改变乎西士以逺镜窥日月亦不正圆而月中之黒处古人妄谓蟾蜍顾兔宋人误以为山河大地之影者西人则名之为月驳谓由月体自生如地有岩洞日光照不到处则现黒影此非实有质而何日月如此星可知矣曰三光唯有气也故能浮空若实有质何以不坠曰日月星各有其本天其本天皆以地为心地即其所著之根而日月星又各著于小轮之上其根甚固安得坠如地球极重终古亦不坠素问所谓大气举之是也曰地球正当天心四面皆气辏之故能空悬于天中若日月星之重体在天上何以不坠曰物各有其性情三光之性情丽天者也天犹水也水不能浮沙石而能载大木木之性情自不沈也又何疑焉曰星有陨为石者岂非有质即不能浮空与曰陨石之星非天星也由地上火土之气上冲火际偶然融结而陨也岂有恒星天之星而或陨者哉(微茫之恒星亦大于地)论青蒙气问西人谓近地平有青蒙气其髙约九里泽国弥厚弥髙日月在蒙气内小可为大卑可为髙其说信然与曰信也凡彻体之物如气如水如玻璃水晶皆能变物之形逺可使近小可使大直可使曲深可使浅卑可使髙逺镜其显者也揷篙于水置钱于盂无不可验是以日月出地与将入地视径加大蒙气映之故也不唯加大而已更能升之使髙实未出地而已出地也虽已入地而犹未入也故西人论日食于髙卑南北东西三差之外更有青蒙气差青蒙径差此为𢃄食言之也有此二差则旦暮日食以东西差加减之而当食者蒙气或升之而不食矣其不当食者或升之而见食矣视径加大则能变食限与加时早晩食分多少矣此非台官所能预定必随方测候而后可知前史有书当食不食不当食而食者其故或由此与梅先生未尝言及青蒙气谓汤罗诸公已言之耳学者固不可不知○列子载两小儿辨日一谓日初出时如车盖日中如盘盂为近大而逺小此未知蒙气之故耳日何尝有逺近若论逺近之微者则日近地平时与近天顶时差一地半径初出较逺日中较近正与此小儿之说反又非近者热逺者凉之谓也论左旋右旋问天左旋日月五星右转厯家之说也谓日月五星亦左旋其说始于横渠张子与曰非也张子云天左旋处其中者顺之少迟则反右矣张子之意谓地亦是动物处于天中随天而左旋但少迟故觉地右而天左观其前两章云日月五星逆天而行并包乎地者也地在气中虽顺天左旋其所繋辰象随之稍迟则反移徙而右又云古今谓天左旋此直至粗之论尔恒星所行为昼夜者直以地气乗机左旋于中云云则张子之意可知矣朱子谓横渠说天左旋日月亦左旋其说极是是以处其中者为日月恐非张子之本意曰然则朱子谓天行过一度又谓厯家截其退数便于算又有大轮在外小轮载日月在内之喻若何曰愚向亦疑之谓日月果因行少迟而觉其右转则当循赤道而退无南北斜行之势何为日自行黄道斜交于赤道月五星各有道又斜交于黄道乎何为恒星亦循黄道而右行乎后见勿庵先生说乃始豁然先生以钧盘飞轮为喻谓如有小盘小轮附于大盘大轮之上而别为之枢则必相差而成动移以生逆度又必与本枢相应而成斜转之象焉夫其退逆而右也因其两轮相叠其退转而斜行也因于各有本枢而其所以能退逆而斜转者则以其随大轮之行而生此动移也此说极当朱子两轮之喻未及不同枢必得此论始为精密尽善耳左旋右旋之说愚前后有三见始也信朱子取正蒙之说后因细读正蒙觉张子之意不如是又见西人有随动自动之说谓七政自有性情力虽随天动却能自动而右旋深信之乃别为之说谓凡物之理有顺必有逆在天有气者皆左旋有形者皆右转一顺一逆所以能成造化若使皆顺而无逆则如水之无湾山之无转不能钟地脉而居人物矣古人有蚁行磨之喻然蚁虽随磨左旋而蚁之头足自向东而右行若使蚁亦向西则蚁之行不反速于磨乎后读梅先生书乃仍从左旋之说与始者所见却又不同此可验愚学识之进退消长而所得益于先生之书此尤其大者矣然则后之所见与顺逆之说不相妨乎曰无妨也造化之理即以顺而成逆如五行皆顺生而自有逆克也如山水皆顺行而自有逆转也天以层数生迟速以迟速成顺逆正造化之妙也然则磨蚁之说若相妨奈何曰日月在天非若蚁之行磨也轮载日月轮动而日月随之日月未尝动也此如别有轮附于磨与磨同转而不同枢因生退度蚁则定于轮上未尝行也大气之运如水逝风行恒星七政如有数舟同泛于江河得风多者行速得风少者行迟彼此相较迟者若退而上矣舟各斜迆不与岸平行(舟之斜迆犹行黄道岸犹赤道)斜迆又不同势则各舟捩柁定向不同也(如各曜自有道)右粗譬之如此细论之舟犹非七曜也本天载本轮本轮载均轮均轮载日而月五星更有次轮星体在次轮上月体在次均轮上然则水犹本天舟犹本轮均轮次轮等犹舟上复有转轮而日与六曜犹有球附于舟之轮上也论天极问自古只言北极西士始言有黄极而月与五星之道皆斜出入于黄道则月道又自有极五星道又各有极然则七政七极并北极而八并南方相对之极而十六何若是其纷错与曰七政各行一道即各有所宗之极北极为心黄极环绕而成一圈月与五星之极皆以黄极为心各环之而成小圈水星圈最大月次之金次之土次之火次之木次之皆载于黄极圏之上各有条理未尝纷错也(小圏自内而外由近而逺木火土金水似顺五行相生之序月亦水类在金水之间)曰天之有北极也如磨之脐如轮之毂太阳曷不宗之乃自为极以成斜出之道与赤道度龃龉不相当何也曰太阳若宗北极则恒行赤道无寒暑进退何以能生万物有北极赤道又有黄极黄道所以能成变化也葢北极体也黄极用也北极为心黄极绕之而成圏则又未尝不宗北极也曰月与五星之道何为斜络黄道曰日君也月与五星臣也不敢正行黄道而又不敢与之逺离君臣之义也问古人以恒星之天为天西士则谓恒星亦随黄道而东行夫恒星在七曜之上宗北极循赤道可矣何为亦宗黄极循黄道曰北极唯宗动天宗之恒星自为一重天则不得宗北极矣曰月五星各有道有极恒星天既自为一重宜亦自有其道与极何为皆宗黄极而循黄道(恒星距黄极有定距)曰六曜专而恒星散也六曜不惟自有道而已道之上且有数小轮以载曜体焉恒星不能逐星生小轮故普天星宿同宗黄极而循黄道也论七政小轮梅先生论小轮数章綦详因其言而推测之太阳小轮有二一为本轮一为均轮本轮之心在本天均轮之心在本轮而太阳之体实在均轮之上其大小则本轮半径三均轮半径一其行度则本轮之心右旋于本天而均轮之心左旋于本轮均轮虽左旋于本轮而太阳在均轮周实右旋均轮心左旋一度则均轮周左旋两度故最髙最卑两㸃虽常在本轮之顶与底而太阳之在最髙也不在均轮之顶而在均轮之底其在最卑也不在均轮之底而在均轮之顶葢不同心圏上所切之小轮非本轮也乃合本轮均轮两半径而为小轮之半径也又均轮实为太阳之体所居欲算太阳距地心得其径差景差必须以均轮行度算之葢本天载本轮本轮载均轮均轮载太阳此天上实象若并本轮均轮两半径以为不同心差规一大圏为不同心圏此则假借虚象耳(聨两半径边上虚迹而成圏)虽算加减均度与用本轮均轮立算者不殊(均轮上太阳所到与两半径并之小轮边上所切髙下不同而从地心出线穿太阳其角则同故所得之均度必无不同)而不可以此算视径之大小(太阳实体不在不同心圏上故也)观厯书太阳视半径表本以本轮均轮算得之若以不同心立算则其数不如此矣梅先生谓不同心之法生于小轮而小轮为本法此诚不易之论也太阴小轮递相负乗与太阳五星特异本天载本轮本轮载均轮犹之太阳而月之体不在均轮之上又五星次轮在均轮上者其心也若月次轮则以轮边与均轮相切而别有负圏合均轮全径次轮半径以为半径则负圏心在均轮上而次轮心在负圏上与五星异矣五星之体即在次轮之上而月则又有次均轮在次轮上月之实体则在次均轮上与五星又异矣细读厯象考成始知其故回回厯七政皆有中心行度似本轮行于本天而梅先生云小轮心非能自动小轮之动本天之动也七政亦非自动七政之动小轮之动也又云小轮心者小轮之枢也枢连于本天不动故轮能动而七政者又相连于小轮之周者也小轮动则七政动矣此皆发前人所未发若小轮之动有左旋有右旋有不动其起㸃有在轮底有在轮顶其行度有平有倍有再倍又七政虽连于小轮之周而七政之体上下却有定位不随轮而颠倒愚于七政衍详言之七政各有本天本天上各有小轮小轮又互有同异视之若无测之实有纷纶交错条贯秩然虽有大巧莫能摹肖是大圜中之至巧论日差问厯书日躔有日差表月离又有日差表交食有加减时表月离之日差表与加减时同但加减倒用(加减用时为平时)若日躔日差其数绝异何也曰梅先生尝疑日躔表说支离蒙混此事当究其源而论之凡云时者有二一为十二时之数太阳一日东升西没徧厯太虚常静之天均剖之为十二段所以纪出没永短节气朔望之节度者也一为十二时之位人所居之方必有正南正北之子午圏视太阳正当午位为午正其对冲为子正从此分十二宫者所以为测候七政之用者也此二者皆以赤道为宗平剖赤道一宫得三十度一时应之数与位其根本同所以有日差者一由太阳有平行视行而有均度之差一由赤道黄道正升斜升而又有升度之差是以厯家所算之时刻与太阳所到之方位略有不同所算者实时平时所到者视时用时也日躔日差表说亦明言日差之故有二一由太阳平视两行差一由两道正球升度差及其解说作表之法却不分明而所定各节气加减分数亦绝不可解(后详言之)宜勿庵先生讥之然月离交食二表只说黄赤升度差立算而不论太阳之加减差疑其法之未确先生始疑日差有二根当立二表后又自谓不确而别为之说谓西厯之传各有师授不同日躔表之兼用二根或是初说其平时定时乃测騐之实用必是后来之说宜只用月离交食二表为是愚向者亦未敢断其是非后考之厯象考成所以求用时者兼用均度升度二差而日躔日差表弃而不用则二根兼用者为是先生始谓当立二表者亦是而日躔之日差表立算未真解说支离洵不可承用也太阳平视两行差当从最卑最高起算至春分则积二度有竒减时当八分有竒而表以春分起算谓春分平视两行略等此时无加减分夫春分既无加减则秋分宜亦无加减表于秋分则加十六分时差十六分当天之四度此四度之差从何得之其不可解一也高卑加减之极在三宫九宫升度加减之极在四立节四立节之加减最大者不过九分五十六秒谓升度差最大者二度半稍弱也以此为限再以平视两行差加减之相去不甚逺表于立春减八分立夏加十一分立秋加三分立冬加二十四分何若是不均其不可解二也二根加减其数常均合之当亦必均表于初宫十九度后始有减分减至春分而极春分后则恒用加计一岁加减之数减者一而加者四其不可解三也合二根加减不过十八分有竒两大之限不同时又不能及此数而表之加分大者二十四分当天六度此数又从何得之其不可解四也升度差有定时而太阳髙卑有行度其两行之差不恒系于节气表乃合之为一若可恒用者然其不可解五也此表监中承用数十年近始遵用厯象考成岂久之始觉其未确乎厯象考成求用时之法云以本日太阳均数变时得均数时差(本注云均数为加者时差为减均数减者时差为加)又以本日太阳黄赤经度相减余数变时得升度时差(注云二分后为加二至后为减)乃以两时差相加减为时差总(注云两时差同为加者则相并为总其号仍为加同为减者亦相并为总其号为减两时差一加一减者则相减为总加数大为加号减数大为减号)若算太阴平行则以时差总化秒与一小时太阴平行相乗为实以一小时化秒为法除之得数为秒以分收之得时差行以加减太阴平行(时差总为加者则减为减者则加)为用时太阴平行若算交食求实朔实望用时则以时差总加减实朔实望为实朔实望用时按此求时差之法甚分明观此可知日躔表之误而月离交食二表仅得其半于理亦未尽矣究之亦不必立两表惟以交食加减时表为主而以均度变时差加减之盖变时之法甚易一度变时之四分十五分变时之一分一分变时之四秒可约而知不必须表也(加减时表当正其名曰黄赤升度时差表)黄赤升度之时差易见太阳均度之时差难知均度所以有时差者何也太阳在天终古平行厯家步算一切以平行为本一年之根起于冬至次日子正时此平时之平度也而有髙卑之轮太阳行其上则黄道上有视行加减之度而平行之度在本轮之心与人目所见太阳异处则时差生于此矣夫常静天之析为十二宫均剖者也一日之分为十二宫亦均剖者也以均剖者算行度则时刻之能应天者太阳本轮心所到之平度耳若本轮上有加减之度逐日所算太阳加时必与太阳所加之时位有微差(一度为时之四分)何也轮心与轮边所当不同也设平春分在丙寅日午正而定春分在甲子日午正相差约两度则甲子日欲测太阳正交赤道必于所算午正时减八分为午初三刻七分于正南之位偏东二度测之此时正当交㸃则所算甲子日午正初刻春分者真矣何也甲子日本为平行二宫二十八度之日距三宫初度有二度当未至午正二度之时而入交则本轮心岂不正当午位乎若再加时八分太阳正当午位则本轮心又移过午正西二度矣此均度所以有时差之理也论太阳右旋一昼夜行一度弱论太阳左旋一昼夜行三百六十度太阳既有加减差则右旋者差在日其极差二日有奇左旋者差在时其极差八分有奇本轮上九宫至三宫太阳行下半周右旋盈则左旋缩十二时行三百六十度而不足不足则时差当减矣三宫至九宫太阳行上半周右旋缩则左旋盈十二时行三百六十度而有余有余则时差当加矣然加时之始不于三宫而于六宫减时之始不于九宫而于初宫葢三九宫为缩与盈之极三宫至六宫盈其所缩九宫至初宫缩其所盈也总之轮心所到为平时太阳所到为视时故以本日均数变时而反其加减于理为尽(梅先生有日差原理一卷未刻愚以意推测如此)唯四正日但有均度时差过此则兼有升度时差故当合两时差相并相减以为时差总其法至今日始定论太阳倍离天以太阳为尊能摄月与五星西史第谷谓如磁石之引针确喻也月五星离日有逺近而生次轮之行五星次轮一度即为一度独太阴离日一度次轮上即有两度五星合伏至合伏次轮一周太阴朔至望望至朔次轮再周回厯谓之倍离其故何与此由月次轮与五星不同故也五星次轮心在均轮上而月次轮心在负圏上次轮与均轮以边相切其相切之㸃即初均割线所到谓之次轮最近㸃最近者最近于均轮之心也定朔定望起于此㸃由此左旋至上弦而最逺至望复于起㸃又至下弦而最逺至朔再复于起㸃㸃在轮周则度亦起于轮周凡割圆之理从轮心出线论度者一度为一度从轮周出线论度者两度为一度此月所以倍离也试从次轮最近㸃出一直线分次轮为两半又从㸃出一横线与直线十字相交夹次轮半周于中间夫十字相交者直角也直角所夹之度必九十度而次轮则已半周岂不两度当一度乎论太阴迟疾问授时分太阴为一百六十八限算其迟疾似密于古以今法较之授时犹未能与天密合也按月离加减表三宫九宫初度减均加均积度四度五十八分二十秒变为日度五度○四四五有奇耳而迟疾立成八十四限所益所损之积度五度四二九有奇则其数大于加减均度矣朔望后行次轮更有二三均加减大者二度四十八分并初均加减七度有奇而授时无此损益分则其积差有至二度有奇者矣安能与天密合曰授时之分限算迟疾葢由积候而得岂积差至一度有奇犹不之觉者乎曰月行最难测算者也三均之数甚纠纷地面地心视差又最大人所见在天之度往往非真度当时虽屡测亦只得其大㮣既不知有次轮之行又未得视差之真率是以不得不以近似者立法然则西法算太阴有二三均加减实胜中法之一大端也凡月近入转则疾近月孛则迟此本轮均轮上之迟疾也近朔望则疾近两弦则迟此次轮次均轮上之迟疾也朔望又近入转两弦又近月孛则疾者愈疾一日不啻十五度迟者愈迟一日行十一度有奇然则授时之迟疾法算定朔定望交食何以不甚差曰朔望无次均加减故也授时分太阴一转三百三十六限之表今载之明史其实为无用之法也论交食梅先生交食蒙求交㑹管见二书备论算交食之理无余蕴其以黄道交角变白道交角为定交角以定交角算日月光体之上下左右指其初亏复圆而不以东西南北为方位尤发前人所未发交食蒙求注云若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也按用弧三角求白道限即交㑹管见新立算白道九十度限髙法是也窃疑交前交后白道斜穿黄道而过不能与黄道平行则变黄道交角为白道交角似有微差然甚微可不论故今法径借黄道交角以朔望黄白交角加减之而白道交角不必立表旧法定日食限阴厯初宫十七度四十分以内五宫十二度二十分以外阳厯六宫八度二十分以内十一宫二十一度四十分以外实交周入此限者并有食今法定食限阴厯稍寛阳厯稍狭实交周自五宫十一度四十五分至六宫六度十四分又自十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分为的食不入限者不必算亦有入限而不食者则因三差故(西法罗㬋为正交交道自外而入内计都为中交交道自内而出外中厯反之名易而实不易)康熈四十三年五月十七日乙夘望月食监颁图梅先生谓图中所注食既至食甚时刻多食甚至生光时刻少相差十分谓其不应改法愚疑此颁图时字有脱误也(葢生光丑正二刻十一分脱十字误作一分)否则诚难解论中西法异者多端问梅先生谓中西二法本同新厯但兼用其长以补旧法之未备惟五星有交㸃有纬行是中厯缺陷之大端然则西法之异于中法止此一事与曰先生举其大者耳其他若中厯太阳盈缩常定于冬夏二至西法则最高最卑有行度中厯太阴迟疾但知有转终而不知更有二三均加减中厯交食时差但知以午正为加减之限而不知有黄平象限中厯太阳太阴之径暗虚之径恒为一定而不知有髙下大小之差法之异者固多端若三角立算中法只知有直角句股而不知有钝角锐角与弧三角弧矢割圆中法未尽其用而西法则有八线表预定无数句股以为一切测算之凖䋲此皆有补于中厯者也补论十二宫问梅先生论周天十二宫有直有衡有斜有百游不甚纷纭错杂欤曰是皆各有所宗各有所取用非杂也愚谓在天犹有不变之十二宫葢列宿之天分为四维析为十二次星纪鹑首等名西国则有磨羯巨蟹等名皆以星象定之古今不变者也此与黄道之十二宫同归而殊涂恒星天亦宗黄极是同归也列宿自布十二宫恒以虚六度为元枵之半斗四度为磨羯之初岁岁推移不与中气节气相直是殊涂也梅先生厯学疑问补中极论此理但未言其不变之十二宫耳又按七政小轮无论大小皆分十二宫此自厯家虚立之以便算故梅先生不数论西法六十分为度问囘囘厯虽以三百六十度为周天而一度用百分或万分与授时同(见袁氏厯法新书)欧逻巴独以六十分为度秒微以下皆用六十递析八线表亦分一度为六十何也曰其源葢由于时刻也中法一日百刻不便于分布西法以九十六刻齐之一时均得八刻又分一时为二时谓之小时分一刻为十五分凡加时与日出入皆有分数可纪(中法万分日虽甚细而发敛加时及日出入皆纪刻不纪分犹为粗疎西法则纪刻分分下之秒未过半弃之已过半收之)今四刻六十分为一小时此六十分所由来也而秒微以下皆用六十则作表甚便(第一格为时第二格为分第三格为秒第四格为微所列之数皆同)又如以度变时以时变度则以四分当一度一小时当半宫亦甚便日法如此度法亦因之八线表亦因之则各率通为一法此欧逻巴立法斟酌尽善者也彼百刻不便分布刻下不能纪分似不可谓无弊薛仪甫著天学㑹通改六十分为百分则当先改八线表而余诸表皆不可用亦觉更张多事谨案圣祖仁皇帝御制厯象考成度法用六十日法一千四百四十别以一万为日周通法其布算也以万分计余分而仍以日法通之如法收为时刻兼用授时而不用百刻之法此则万世可遵行者也论授时厯周天岁周自大衍厯分天自为天岁自为岁以著岁差之理厯代遵用至郭氏别出新意以万分为度即以万分为日周天三百六十五万二千五百七十五分岁周三百六十五万二千四百二十五分自当时观之立法若尽善矣由今日论之二者皆非至极之理也夫黄道与列宿天同为大圜虽髙下悬殊度之广狭迥异而度数则同非周天之度分多于周岁之度分也岁已周则黄道周矣而不能踵其星之故处非岁有不满之度分也星自移而东耳譬之太阴二十七日有奇即周天其不能逐及于日者日自行二十余度耳乃以三百六十五度二千五百七十五分为周天是并其移动之一百五十分亦算在周天之内则二十八宿之度不溢出一百五十分乎又岁实有平有泛论平岁实只有三百六十五万二千四百二十一分八十七秒五十微而当时以泛岁实定为岁周则又多出三分一十二秒五十微矣论正法当即以岁周为周天以三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十微分隶之于二十八宿别以今率恒星每歳东行五十一秒变为日度之分秒微以为岁差始尽善无弊当时最卑行与恒星行两窍未启是以立法甚难此不可不原其情亦不可不知其有未当处也论厯法随时修改厯取象于革久之不能不改非久亦不能改各平行率有积之数十年微觉其差而即改者(如最卑行)有通前后数百年或千余年测准之度分用以相距定为平行其尾数或有未真必甚久而后可改者(如七政平行)有前人立法未精改之而加密者(如日食加时东西差昔以午正为限后改用黄平象限近又以白道算定交角)有前人用法稍烦改之而径㨗者(如六曜求初均昔用平三角今直角算)若夫黄赤相距之纬古阔而今渐狭太阳本轮均轮之半径古大而今渐小此二差出于常理之外前不知若何而始后不知若何而极非法之所能驭惟随时密测改表以合天行耳黄赤相距西史第谷测得二十三度三十一分半今测得二十三度二十九分三十秒(康熈五十三年台官密测立表今又当稍减矣)太阳本轮均轮两半径并昔用十万分之三千五百八十四或以一千万为本天半径则为三十五万八千四百一十六日躔加减差表三宫九宫初度其均度二度三分一十秒平春分与定春分相距二日一小时有竒而今平春分与定春分相距一日二十二小时弱则最大之均度一度五十五分(比旧约少八分)本轮均轮两半径合得三十三万五千四百有竒耳黄道为诸道之宗太阳为众曜之君有此二差则六曜之出入于黄道离合于太阳者亦因之而小有改变两半径虽改算太阳均度旧表亦可借用(以三五八四为一率旧表均数化秒为二率今改三三五四有竒为三率求得四率为秒以度分收之为今时加减均数)数学卷一
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钦定四库全书数学卷二婺源江永撰岁实消长辨(岁实消长前人多论之者勿庵先生大约主授时而亦疑其百年消长一分以乘距算其数骤变殊觉不伦又谓今现行之岁实稍大于授时其为复长亦似有据因为高冲近冬至而岁余渐消过冬至而复渐长之说葢存此以俟后学之深思永别为之说谓平岁实本无消长而消长之故在高冲之行与小轮之改两岁节气相距近高冲者岁实稍嬴近最高者稍朒犹定朔定望定弦之不能均惟逐节气算其时刻分秒而消长可勿论也管见如斯遂不能强同爰引先生之言逐节疏论于下)勿庵先生曰(厯学答问)授时以万分为日故其岁实三百六十五万二千四百二十五分其数自至元辛巳岁前天正冬至积至次年壬午岁前天正冬至共得三百六十五日二十四刻二十五分若逆推前一年亦是如此(如自庚辰年十一月冬至逆推至己夘年十一月冬至亦是三百六十五日二十四刻二十五分)此岁实之数大统与授时并同永按岁实为厯法大纲领得其真确之数为难四分厯以前无论已魏晋以后渐知一岁小余不及四分日之一随时测验一厯必更一斗分不久即有差此何以故葢步厯者泥履端于始之义但以岁前冬至距今年冬至计其小余时刻并入大余以为岁实不知冬至距冬至所得者活泛之岁实而非经恒之岁实也欲得经恒岁实宜于近春分时测之(元至元时当测定气春分)今岁春分距来岁春分苟得真时刻则得真岁实又以前后逺年测凖之春分计其日时分秒均之各岁则岁实之恒率确矣此何也太阳因有高卑而生盈缩近数百年间春分则平行(当郭氏作厯时定气春分之日正当平行之处此以前以后虽有此亦甚微)故所得岁实为恒率得其恒乃可以求其定犹之月必有平朔之䇿而后可求定朔也郭太史改厯自言创造简仪高表凭所测实数考正者七事一曰冬至二曰岁余其于岁实考之详矣其求冬至也自丙子年立冬后依毎日测到晷景逐日取对冬至前后日差同者为凖得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半又定戊寅冬至在癸夘日夜半后三十三刻己夘冬至在戊申日夜半后五十七刻庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻辛巳冬至在己未日夜半后六刻(从甲子日始五十五日零六刻气应五十五万零六百分为厯元)其求岁余也自刘宋大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距各得其时合用岁余考验四年相符不差仍自宋大明壬寅年距至今八百一十九年毎岁各得三百六十五日二十四刻二十五分减大明厯一十一秒其二十五分为今厯岁余合用之数愚以此二条考之即郭氏当年所定之岁实已有微差稽之于史又多抵牾其可以是为消长之凖乎夫一岁小余二十四刻二十五分积之四岁正得九十七刻无余无欠丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半不应有六刻如以辛巳之六刻为确也则丁丑年宜在九刻不应只有八刻半此四年既皆实测所得则己亥半刻矣而云相符不差何也(丁丑年之八刻半虽约取整数未必正是半刻然已有数十分矣其本法上考已往百年而长一刻四年所长甚微不应有半刻以下然则当时冬至岁实刻下之小余不止二十五分矣)又考刘宋孝武帝大明五年辛丑祖冲之所测十月十日壬戌景长一丈七寸七分半十一月二十五日丁未一丈八寸一分太二十六日戊申一丈七寸五分强以壬戌戊申景相较余二分二厘半为实以丁未戊申景相较余六分五厘为法以法除实得三十四刻六十分以减距日四千六百刻余四千五百六十五刻四十分折取其日(二千二百八十二刻七十分)加半日刻(午正测景故加半日)得二千三百三十二刻七十分命壬戌算外得十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分(刘宋都建康比元大都里差应后五十七分则大都此日冬至三十二刻一十三分○按刘宋时太阳最高冲在冬至前几半宫则取冬至前后二十余日之景折取中数以求冬至仍有差详见冬至权度条)辰初三刻冬至(大都减半刻竒)大明壬寅(辛丑年之十一月即壬寅岁之始)下距至元辛巳八百一十九年以授时岁实积之凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分以乙酉辰初三刻距己未丑初一刻凡二十九万九千一百三十三日九十二刻较多三十三刻而云自大明壬寅距今毎岁合得此数何也(如郭氏百年长一之法以八百一十九总乗所长之数则壬寅冬至甲申日七十九刻太较当时所测算者又先五十余刻则失之愈逹矣○详冬至权度)又云减大明厯一十一秒考祖冲之大明厯纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒授时减去三分一十四秒亦非一十一秒也(邢士登律厯考谓金时赵知微重修大明厯小余二十四分三十六秒实多授时一十一秒郭所减者赵厯非祖厯也其说是)然则授时所定岁实犹是近似活泛之数而不可以为恒欲定经恒之岁实则西厯恒年表之恒率是矣按表一岁小余五小时三刻三分四十五秒(一日二十四小时一小时四刻一刻十五分一分六十秒)以分通之三百四十八分有竒以秒通之二万○九百二十五秒(一日八万六千四百秒)考其实则回回厯已如此回回厯法一岁三百六十五日岁有十二宫宫有闰日一百二十八年闰三十一日然则一岁闰一百二十八分日之三十一正西法之岁余也(以一百二十八乘二万○九百二十五得二百六十七万八千四百以八万六千四百除之得三十一是也)回回厯以春分为岁首其岁余由累测春分得之欧逻巴厯遂用之至今因之虽分下之四十五秒未必无脁朒当亦甚微矣以此平率为凖随其时之最高冲与最高之行而进退焉冬至近高冲则两岁冬至之距必多于平率(今时多一分弱)夏至近最高则两岁夏至之距必少于平率(今时少一分弱犹之太阴当朔时入转两朔相距之日时必多当望时近月孛两望相距之日时必少若朔时近月孛望时近入转两朔两望相距反是)又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日则加减均数亦大而冬至岁实当更增至元辛巳间高冲约与冬至同度则岁实尤大其小余刻下之分约有三十分而授时定为二十五分宜其自丁丑至辛巳四年之间即有半刻之差而郭氏未之觉也(一年少五分四年少二十分几于半刻之半矣丁丑年之八刻半本为约畧之数半刻以下固难测算真的也○以西法岁余依授时万分日较之只有二十四刻二十一分八十七秒半少授时岁余三分一十二秒半当时冬至为盈初小轮半径差又大其多于平率必不止三分有竒者也)然授时原有消长之法是其新意其法自辛巳元顺推至一百年则岁实当消一分(依法推至洪武十四年辛巳满一百年其歳实消一分为三百六十五日二十四刻二十四分)若自辛巳元逆推至一百年则岁实当长一分(依法推至宋孝宗淳熙八年辛丑满一百年岁实长一分为三百六十五日二十四刻二十六分)毎相距增一百年则岁实消长各增一分以是为上考下求之凖大统诸法悉遵授时独不用消长之法上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分此其异也永按冬至相距之岁实大于平率最高冲有行度而小轮均数又有大小宜其岁实有消长分数然必当时测定之岁实已真确又知其无可复加而后知将来之渐消若授时岁余刻下之二十五分尚非确数其差分已见端于丁丑辛巳四年之间则辛巳以后能必其果消乎郭太史厯考正者七事创法者五事皆不数岁实消长葢未能真知所以消长之故但暗用杨忠辅统天厯为活法以推往古意谓下考将来亦如是耳明大统厯悉遵授时独不用消长之法当时厯官元统非有确见实测知其不当用消分也以今观之犹幸大统不用消分冬至纵有先天尚未甚逺倘遽改二十五分为二十四分其先天不愈多乎(当至元时刻下小余约有三十分授时一岁少五分百年约先天五刻)岁实即一年之日数自一年以至千百年共积若干是为积日亦谓之中积(上考下求皆距至元辛巳立算)假如今康熙庚午岁相距四百零九算依授时法推得积日一十四万九千三百八十四日零一刻八十九分(因距算四百以上岁实当消四分为三百六十五日二十四刻二十一公以乘距算四百零九得如上数)大统不用消长则积日为一十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分两法相差一十六刻三十六分(以命冬至日辰授时得癸夘日丑初三刻大统得癸夘日夘初三刻)永按凡天行盈缩进退必以渐无骤増骤减之理郭氏百年消长一分则是百年之内皆无所差至一百零一年骤増减一分又越百年皆平差一分至二百零一年又骤増一分岂有此数与法乎即如其法算数百年后亦当逐节计其消分积而数之不当总计当消之分而以距算总乘之也如大统厯康熙庚午冬至癸夘日夘初三刻查时宪书乃是巳初一刻(大统先天一十四刻)授时大统用消分均之无当于天行其故何哉当年所测岁实刻下小余其数不真故也岁实已弱矣而又消之安得不先天乎使当改二十五分为三十分由辛巳以后渐而消之或庶几耳曰至元岁余若果二十四刻三十分则上考当长乎消乎曰上考亦消也葢至元时高冲与冬至同度小轮均数又最大故冬至岁实为长极之时而上考下考皆当消但消于三十分之内非消于二十五分之内也(今时高冲在冬至后七八度小轮又渐小冬至岁余以万分日计之约二十四刻二十八九分之间刘宋大明时高冲在冬至前半宫以祖冲之纪法除其岁周当时岁实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒可见至元前后皆消于三十分之内其消甚迟约四百余年始消一分葢小轮均数在初宫有若平差故也至一宫以外则渐疾矣)若以春分平岁实相较则冬至岁实上下数千年皆在长限之中而至元时尤为长之极必俟高冲行至春分则冬至岁实始平(如今之春分)又数千年高冲行至夏至最高行至冬至则冬至岁实始为消之极耳(如今之夏至)然冬至岁实消则春分岁实长冬至岁实消之极则夏至岁实又为长之极矣抑今日本轮差小古时差大则消长中复有消长苟知此理则后之治厯者但随时测高冲之行与小轮之差以算定气而岁实消长俱可勿论犹之太阴但实算定朔定望定弦不必复计此月与彼月多于朔䇿几何少于朔䇿几何也又曰(厯学疑问)问岁实既有一定之数授时何以有消长之法曰此非授时新法而宋统天之法然亦非统天亿创之法而合古今累代之法而为之者也永按统天厯宋宁宗时杨忠辅所造其岁实与授时正同以斗分乘距差为躔差暗藏加减之法约百年加减一分零六秒弱然行之未久鲍澣之造开禧厯臧元震造成天厯皆増岁实改各率纷纷竟无定论云葢古厯周天三百六十五度四分度之一一岁之日亦如之故四年而増一日其后渐觉后天皆以为斗分太强因稍损之永按古厯四年而増一日其术甚疎虽古斗分宜多亦百数十年即当后天一日何以自周迄汉久而后觉曰周之厯却失之先天僖公五年辛亥日南至昭公二十年己丑日南至皆先天二三日厯数百年以有余之岁实盈其所先之数乃适得其平(约在周秦间)厥后犹执四分之术渐失之后天故久而后觉耳自汉而晋而唐而宋毎次改厯必有所减以合当时实测之数故用前代之厯以顺推后代必至后天以斗分强也(斗分即岁余)若用后代之厯据近测以逆溯往代亦必后天以斗分弱也永按汉已前之冬至非实测先后天或至二三日后汉末刘洪始觉其后天而改斗分东晋虞喜始立岁差法后秦姜岌始知以月蚀冲检日宿度所在而刘宋之初冬至犹后天三日大明时祖冲之始解于测景以冬至前后二十余日之景比对取中而定冬至然后冬至日躔渐得其实犹不能尽合也故唐一行谓麟德厯已前实录所记乃依时厯书之非候景所得郭太史谓自大明厯以来测景验气得冬至时刻真数者有六然则实测之能合天者亦鲜矣统天厯见其然故为之法以通之于岁实平行之中加一古多今少之率则于前代诸厯不相乖戾而又不违于今之实测此其用法之巧也然统天厯藏其数于法之中而未尝明言消长授时则明言之今遂以为授时之法耳郭太史自述创法五端初未及此也永按授时厯实暗用统天之法者也其岁余二十四刻二十五分与统天同而上推百年长一之法亦相似故授时厯议谓自鲁献公戊寅至至元辛巳冬至日名共四十九事授时法合者三十九不合者十统天不合者惟献公戊寅与授时异余三十八与授时同二厯推冬至畧相似也然而刘宋大明壬寅岁前冬至乙酉夜半后三十二刻七十分则当时祖冲之测景推算所得者纵有未确亦不甚逺(当时所算约后天十六刻详见冬至权度)依授时统天法皆推甲申日戌初初刻先天甚多岂可谓大明非而授时统天是欤郭氏谓自大明以来测景验气得冬至时刻真数者有六用以相距既以大明壬寅之冬至为得真数之首矣及用法推算即失此至乃谓日度失常其可乎以今观之一由授时所定岁余本未真一由长数当渐积不当总计长分而以八百一十九距算总乘之也(统天距差乘差躔差咸泛积失亦畧同)然则大统厯何以不用消长曰此则元统之失也当时李德芳固已上疏争之矣然在洪武时去授时立法不过百年所减不过一分积之不过一刻故虽不用消长无甚差殊也崇祯厯书谓元统得之测验窃不谓然何也元统与德芳辨但言未变旧法不言测验有差又其所著通轨虽便初学殊昧根宗间有更张辄违经㫖(如月食时差既内分等俱妄改背理)岂能于冬至加时先后一刻之间而测得真数乎永按明初李德芳与元统争岁实消长为厯家一段公案闗系有明二百余年之厯法邢士登恨元统不用消分致万厯间节气后天九刻有竒愚有以断之据授时岁实上考固宜有长分矣然而授时之岁余本未确则所据以为长之端者亦未真既言毎百年长一分则当以渐而长乃总计长分以乘距算则又无此算法观其推至大明壬寅巳违当时之实测又何论春秋以前乎德芳所据者谓鲁献公十五年戊寅天正甲寅冬至依授时法推得甲寅日夜子初三刻依大统法推得己未日午正三刻(己未史误作丁巳)相差四日六时五刻当用至元辛巳为元及消长之法方合天道夫鲁献公之年史有舛错本难凭信汉志谓献公十五年甲寅冬至此自刘歆三统厯逆推当年冬至是甲寅耳岂有实测纪之信史哉而德芳以此驳元统其无卓识可知矣然元统之不用消长也初无实据但云上考下推不用消长以合天道又云天道无端惟数可以推其机天道至妙因数可以明其理理因数显数从理出故理数可相倚而不可相违夫既未尝实测而凭虚以言天道言理数宜其不能服德芳也今日厯学大明由后观之前此二百余年犹幸元统不用消分冬至加时先天尚未甚逺葢授时岁余一岁约少五分自至元辛巳至洪武甲子一百零三年固已先天五刻矣使大统减一分又越百年二百年而更减之先天不愈多乎邢士登谓万厯间大统厯后天九刻此非有所测验但据用消分与不用消分积算如此岂知明厯皆失之先天乎观前所举康熙庚午年时宪书癸夘日巳初一刻冬至依大统算夘初三刻先天一十四刻若依授时算丑初三刻则先天三十刻自辛酉溯戊辰五十余年约减二三刻则戊辰以前大统厯率先天十一二刻若用授时法先天遂至二十七八刻矣此岂可厚非大统乎然则消长必不可废乎曰上古则不可知矣若春秋之日南至固可考据而唐宋诸家之实测有据者史册亦具存也今以消长之法求之其数皆合若以大统法求之则皆后天而于春秋且差三日矣安可废乎永按春秋时厯法最疎置闰或疏或密日食或不在朔则步冬至违天可知僖公五年丙寅正月辛亥朔日南至以今法推此年平冬至乙夘日巳时定冬至在甲寅即令此时小轮均数大能使定气移前一日半亦不过癸丑日之夜刻辛亥实先天二三日且定朔壬子亦非辛亥也昭公二十年己夘二月己丑日南至以今法推此年平冬至壬辰定冬至辛夘当时推己丑亦先天二日且己丑为此年正月朔安得为二月也授时推僖五年冬至以岁余长十九分乘距算一千九百三十五加于中积得辛亥日寅初二刻是以总长分数乘距算而非积渐而长亦因𫝊有辛亥日南至之文强为此算以求合不知辛亥非实测也(唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天验非时史亿度愚谓传言书云未尝言测景)其推昭二十年冬至以十八乘距算一千八百零二则不得己丑而得戊子日戌初三刻其先天愈甚矣此二事一合一否皆不足为据且既能上合一千九百余年之冬至矣何以刘宋元嘉丙子十一月甲戌景长而推癸酉大明辛丑十一月乙酉冬至(即壬寅天正冬至)而推甲申此二事皆八百余年反先天一日岂非总分乘距算之法非法故失之乎然则统天授时之法同乎曰亦不同也统天厯逐年迭差而授时消长之分以百年为限则授时之法又不如统天矣永按统天以距差乘躔差其失亦与授时等(由其根数未确)夫必百年而消长一分未尝不是乃以乘距算其数骤变殊觉不伦郑世子黄钟厯法所以有所酌改也(假如康熙辛酉年距元四百算故消四分而其先一年庚申距算三百九十九只消三分是庚申年岁余二十四刻二十二分而辛酉年岁余二十四刻二十一分也以此所消之一分乘距算得四百分则辛酉岁前冬至忽早四刻而次年又只平运以实数计之庚申年反只三百六十五日二十刻二十二分辛酉年则又是三百六十五日二十四刻二十一分其法舛矣)永按授时之谬法勿庵先生亦既觉之矣抑不惟如此而已年愈逺则失愈甚如推至春秋时一千九百年则岁余二十四刻四十四分若一千九百零一年岁余増一分此一分乘距算一千九百零一前一岁忽増一十九刻有竒则岁实有三百六十五日四十三刻有竒岂不甚可笑乎况又有逺于此者乎问岁实消长之法既通于古亦宜合于今乃今实测之家又以为消极而长其说安在岂亦有所以然之故与曰授时虽承统天之法而用消长但以推之旧厯而合耳初未尝深言其故也惟厯书则为之说曰岁实渐消者由日轮之毂渐近地心也余尝窃疑其说今具论之夫西法以日天与地不同心疏盈缩加减之理其所谓加减皆加减于天周三百六十度之中非有所増损于其外也如最高则视行见小而有所减最卑则视行见大而有所加加度则减时矣及其加减既周则其总数适合平行畧无余欠也若果日轮之毂渐近地心不过其加减之数渐平耳加之数渐平则减之数亦渐平其为迟速相补而归于平行一也岂有日轮心逺地心之时则加之数多而减之数少日轮心近地心时则减之数少而加之数多乎必不然矣永按冬至相距之日时古今有多少不过泛岁实与平岁实相差其相差又有舒疾之渐耳若今冬至有平有定本不必言消长必欲言其消长则其故有二一由高冲离冬至有逺近一由日小轮古今有大小也高冲自秋分行至冬至此三宫定冬至皆在平冬至前自冬至行至春分此三宫定冬至皆在平冬至后总此六宫上下约万年(以今时最高冲行约之)皆在长限以其冬至泛岁实皆多于平岁实故也惟高冲正当秋分春分此两岁岁实皆平(即西法三百六十五日五小时四十八分四十五秒是也)离此则渐有差前三宫由平而渐増多是为长中之长至高冲与冬至同度则定冬至与平冬至同日同时是为长之极当郭太史作厯正其时也后三宫由极多而渐减以至于平是为长中之消今时高冲在冬至后八度其消尚未多也若高冲过春分而行至夏至此三宫定冬至亦在平冬至后自夏至行至秋分此三宫定冬至又在平冬至前总此六宫亦约万年皆在消限以其冬至泛岁实皆少于平岁实故也前三宫由平而渐减是为消中之消至高冲与夏至同度则定冬至亦与平冬至同日同时是为消之极后三宫由极少而渐増以至于平是为消中之长此通高冲行一周天而总论其消长也然而太阳两小轮半径三千五百八十四古多而今少多则小轮稍大日躔加减均亦稍大少则小轮稍小加减均亦稍小高冲之行一年一分一秒十微(西士后测)此一分一秒十微若在均数稍大之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍多若在均数稍小之中则度分变为时分之秒数以加减于平时者必稍少(如崇祯戊辰所立之加减差表初宫之初度十一宫之末度毎一十分均数二十二秒高冲一年行一分一秒十微约均数二秒有竒此二秒有竒变为时约五十七秒以加于平岁余五小时三分四十五秒得五小时四分四十二秒如小轮稍大则初度一十分之均不止二十二秒而一岁高冲之行不止得均二秒有竒其变时亦不止五十七秒矣如小轮稍小则初度十分不及二十二秒高冲之行得均数不及二秒则变时亦不及五十七秒矣此畧举初度之均以为例其他可类推)古今小轮之大小虽不可尽知以刘宋元嘉大明间屡年之实测算当时之不同心差葢四千有竒(详冬至权度)则均数必稍强至元授时厯冬至盈初加分多于今日之加分则当时小轮半径不止三千五百八十四自此以后至今日小轮渐小均数亦渐小高冲行度所得之均数以减度加时者亦稍弱焉此又因轮毂渐近地心而微有消分也又考日躔永表彼固原未有消长之说日躔厯指言平岁用授时消分定岁则用最高差及查恒年表之用则又只用平率是其说未有所决也永按厯书非出一手故有不相应处其岁实平率出回厯回厯得之实测春分此厯书最紧要处惜未明白剖析其日躔表说辨论从前言消长者之非则固有定说矣但小余微有不同耳(厯书平岁实小余五小时三刻三分四十五秒以万分通之是二四二一八七五也今厯象考成亦用之而日躔表说二四二一八八六四较多一一四)又厯书言日轮渐近地心数千年后将合为一点若前之渐消由于两心之渐近则今日之消极而长两心亦将由近极而逺数千年后又安能合为一点乎彼葢见授时消分有据而姑为此说非能极论夫消长之故者也永按七政皆有小轮独日之小轮有改变窃意久亦必复岂有与地心合为一点之理自至元辛巳以后正是长极而消非消极而长也曰今实测之冬至后于授时之中积分明是长而以为消何也曰前已言之矣授时岁余刻下之分当有三十分而郭氏定为二十五分也授时之岁实岂非出于实测然因其自述丁丑辛巳四年冬至得其自相乖违之处因以知至元时为长极而消之大界与日躔加减表十一宫末度以前均数渐减之理固相符也然则将何以求其故曰授时以前之渐消既徴之经史而信矣而今现行厯之岁实又稍大于授时其为复长亦似有据窃考西厯最高卑今定于二至后七度依永年厯毎年行一分有竒则授时立法之时最高卑正与二至同度而前此则在至前过此则在至后岂非高冲渐近冬至而岁余渐消及其过冬至而东又复渐长乎余观七政厯于康熙庚申年移改最高半度弱而其年岁实骤増一刻半强此亦一征也存此以竢后之知厯者(己未年最高在夏至后六度三十九分庚申年最高在夏至后七度七分除本行外计新移二十七分己未年冬至庚戌日亥正一刻四分庚申年冬至丙辰日寅正二刻二分实计三百六十五日二十四刻十三分前后各年俱三百六十五日二十三刻四分或五分以较庚申年岁实骤増一刻九分)永按岁实消长之故一由最高冲之有行度先生因最高改移岁实骤増而悟及此犹云存之以俟知者亦欲后人由此致思也然其所言消长若与实算相反何也日躔加减表初宫与十一宫同均而加减异号至元辛巳以前高冲行未及冬至则用初宫之均度分秒加度而减时辛巳以后高冲行已过冬至则用十一宫之均度分秒减度而加时前减时则定冬至在平冬至前后加时则定冬至在平冬至后初宫之初度与十一宫之末度其均最大则一岁高冲之行所得均数最多变为时以加减于平时者亦最多故此处岁实极大皆最长之时也初宫若离初度稍逺则均渐少而变时以减平时者亦稍少岁实亦稍减矣十一宫若离末度稍逺则均渐少而变时以加平时者亦稍少岁实亦稍减矣故高冲行渐近冬至其均由少而多岁实正渐増以至于极也而此谓岁余渐消高冲已过冬至其均由多而少岁实则由极多以渐减也而此谓复渐长岂非与实算相反乎葢先生论消长不主平岁实为根耳王寅旭曰岁实消长其说不一谓由日轮之毂渐近地心其数〔？〕消者非也日轮渐近则两心差及所生均数亦异以论定岁诚有损益若平岁岁实尚未及均数则消长之源与两心差何与乎识者欲以黄赤极相距逺近求岁差朓朒与星岁相较为节气消长终始循环之法夫距度既殊则分至诸限亦宜随易用求差数其理始全然必有平岁之岁差而后有朓朒之岁差有一定之岁实而后有消长之岁实以有定者纪其常以无定者通其变始可以永久而无弊永按古今言岁实消长者皆从冬至岁实言之非论平率岁实也因两心差及所生均数异而定气微有损益是亦消长之一根不可谓其无与若黄赤极相距逺近求差数此说恐未然其言有平岁之岁差而后有朓朒之岁差有一定之岁实而后有消长之岁实此数言极中肻綮一定之岁实从春分测定之平岁实是也苟知此则但言平冬至定冬至不必言消长亦可矣按寅旭此论是欲据黄赤之渐近以为岁实渐消之根葢见西赤黄赤之纬古大今小今又觉稍嬴故断以为消极复长之故然黄赤逺近其差在纬岁实消长其差在经似非一根又西测距纬复嬴者彼固自疑其前测最小数之未真则亦难为确据愚则以中厯岁实起冬至而消极之时高冲与冬至同度高冲离至而岁实亦增以经度求经差似较亲切愚与寅旭生同时而不相闻及其卒也乃稍稍见其书今安得起斯人于九原而相与极论以质所疑乎永按先生经纬之辨最确而谓高冲与冬至同度为消极之时永已论之于前又曰(考最高行及岁余)按日行盈缩细考之则春分距夏至夏至距秋分虽皆缩厯而其缩亦不同秋分距冬至冬至距春分虽皆盈厯而其盈亦不同又且年年不同细求之则节节不同又细求之其日日不同矣其故何也葢最高一点不在夏至而在其后数度又且年年移动此太阳盈缩之根而岁实所以有消长也永按以太阳盈缩之根推岁实所以有消长此先生之定见定说也按庚申年夏至至冬至一百八十三日十三刻六分辛未年夏至至冬至一百八十三日十四刻九分十二年中共长一刻○三分(中积只十一年)壬戌年冬至至次年夏至一百八十二日九刻九分庚午年冬至至次年夏至一百八十二日八刻十分九年中共消十四分(中积共只八年)又合计癸亥夏至至前半周一百八十二日九刻九分冬至前半周一百八十三日十三刻十分相较一日○四刻一分辛未夏至前半周一百八十二日八刻十分冬至前半周一百八十三日十四刻九分相较一日○五刻十四分八年中较数増一刻十三分永按此以半年之气前后相较验最高之东移若以两岁冬至春分夏至秋分及各节气两岁相距皆各有其岁实而冬至为最大夏至为最小春秋分为近平义越数十年而诸岁实亦微有不同矣前代只知冬至岁实不知逐节气皆有岁实也然二分之相距则无甚差何也葢最髙移而东则夏至后多占最高之度而减度加时之数益多故益长高冲移而东则冬至后多占最卑之度而加度减时之数益多故益消其近二至处皆为加减差最大之处故消长之较已极也乃若二分与中距虽亦岁移而中距皆为平度不系加减其最高前后视行小之度固全在春分后半周最高冲前后视行大之度亦全在春分后半周毫无移动故无甚消长也永按二分无甚差故欲得平岁实须于近二分时测之若高冲行至春分则二分之距又最大而二至反平矣按授时消分为不易之法今复有长者何也西法最高卑之点在两至后数度岁岁东移故虽冬至亦有加减不得以恒为定也此是西法中一大节目其法自回回厯即有之然了凡先生颇采用回回法而不知此熊䃪石先生亲与西儒论厯而亦不言及何也永按最高卑之有行度诚西法中一大节目袁氏新书不知有最高卑又何以能较论前代诸厯之先后天乎又曰(厯学疑问)袁了凡新书通回回之立成于大统可谓苦心然竟削去高卑之算又直用大统之岁余而弃授时之消长将逆推数百年已不效况数千万年之久乎永按袁书逆推数百年已不效诚然若弃授时之消长则无足论授时本非不刋之法也今时厯象考成推步只有求天正冬至与求定冬至之法而不言消长纷纷之论可定矣数学卷二
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钦定四库全书数学卷三婺源江永撰恒气注厯辨(改宪以来用定气注厯久矣勿庵先生尝举康熙己未以后厯年高行以及四正相距时日别为一卷而云治厯首务太阳太阳重在盈缩又云西法最高卑之点在两至后数度岁岁束移故虽冬至亦有加减不得以恒为定此是西法中一大节日则先生亦甚重定气矣而疑问补等书谓当如旧法之恒气注厯持论甚坚永深思之谓恒气与平气不同冬至既不得以恒为定则诸气节亦当用定不可用恒爰引先生之说疏论其下惜不获依门墙而质正也)勿庵先生曰(厯学疑问补)问旧法节气之日数皆平分今则有长短何也曰节气日数平分者古法谓之恒气(以岁用三百六十五日二十四刻竒平分为二十四气各得一十五日二十一刻八十四分竒)其日数有多寡者谓之定气(冬至前后有十四日竒为一气夏至前后有十六日为一气其余节气各各不同并以日行盈厯而其日数减行缩厯而其数増)二者之算古厯皆有之然各有所用唐一行大衍厯议曰以恒气注厯以定气算日月交食是则旧法原知有定气但不以之注厯耳永按七政在天皆有平行有视行平行为步算之根视行为人事之用故月必以定朔定望推交食五星必以岁轮视度察凌犯太阳尤为气化之主其用于人最大虽行于本天者一日一度(此古之日度)无盈缩进退而轮有高卑人视黄道上度有盈缩则气有短长一切分至启闭及诸节气皆当用其视行之定气不当用其平行之恒气也何以言之如云冬至夏至至者极也人视日极南极北立表测之景极长极短而昼夜之短长亦于此日为极也春分秋分黄道与赤道交日正当其交处阳厯阴厯于此分而昼夜时刻均亦于此日平分也若景非极长极短不得谓之至日不正当赤道不得谓之分故皆当用视度不用平度如史纪冬至有从测景得者书曰某日景长景长者定冬至非平冬至也平与定之差随高冲离冬至逺近而异元至元以前定冬至皆在平冬至前至元以后定冬至皆在平冬至后其相差之极亦如今之春秋分前后约二日有竒(日躔如减差表均数最多者二度有竒故平气定气能差二日有竒)而厯家纪冬至必据景长之日人事之最重大者如朝㑹园丘皆以是日为定则自古以来冬至皆用定气矣一岁节气独冬至用定其余二十三气皆用恒宁有是理况其所谓恒气者并非恒气也如欲定在天之恒气当以太阳本天界为二十四段一段均得十五度(据今法整度言之)又以一岁三百六十五日二十三刻三分四十五秒之平岁实(据今厯岁实平率言之)分为二十四气一气约得十五日二十刻一十四分三十一秒五十二微半(亦据今之刻分秒微言之)以年冬至起根而均𣲖之犹曰此在天太阳平行之平气也今乃以太阳视行之定冬至与来岁定冬至相距之时日折半以为夏至四折以为春秋分又均𣲖以为诸中气节气无论春秋分非交赤道之日即诸中气节气亦无一气合乎在天之均平者矣何也平冬至与定冬至起根不同也两岁冬至相距为活泛之岁实与平率岁实多寡不同也如月有平朔平望平弦有定朔定望定弦步算者必以月之经朔时日为根(即平朔)以朔䇿累加之为逐月经朔朔䇿折半为平望四折为平弦若以此月定朔与后月定朔之时日(多者二十九日九时少者二十九日三时)折半为望又折半为弦则平者皆非平矣古厯不知定朔自唐以来既用定朔定望推交食必无复用平朔平望注厯之理若以定朔为距折半为望又折半为弦无此理亦无此法恒气亦犹是也古厯家惟隋刘焯皇极厯始用定气其厯未颁行大衍厯以后诸家皆有推定气之法然一行之言曰凡推日月度及轨漏交蚀依定气注厯依常气则唐以后厯家必用恒气注厯者皆一行此言误之也何可复仍其误乎译西法者未加详考辄谓旧法春秋二分并差两日则厚诬古人矣夫授时厯所注二分日各距二至九十一日竒乃恒气也(厯经厯草皆明言恒气)永按授时之恒气与大衍之恒气虽若无异亦微有辨至元时平冬至与定冬至时刻畧同则其均𣲖之恒气以定冬至为根犹之以平冬至为根也若一行作厯在至元辛巳前五百五十余年高冲约在冬至前十度其时两心差又较大定冬至约在平冬至前四十余刻其所谓恒气者以定冬至为距非以平冬至为根则当年恒气二分加时或近夜半前后者与在天之平气二分相差亦可一日矣(春分先天秋分后天)此理一行固未知郭氏亦未晓(郭氏之时与天偶符)由太阳有高卑高卑又有行度两心又有微差重闗未启故也今日此理已明固可无疑于定气其所注昼夜各五十刻者必在春分前两日竒及秋分后两日竒则定气也定气二分与恒气二分原相差两日授时既遵大衍厯议以恒气二分注厯不得复用定气故但于昼夜平分之日纪其刻数则定气可以互见非不知也且授时果不知有定气平分之日又何以能知其日之为昼夜平分乎永按授时固明言四正定气矣然自小寒至大雪二十三气皆用恒气注厯由惑于一行之厯议亦由当时高冲与冬至同度最高与夏至同度冬至为盈初夏至为缩初意其盈缩之限常如此故以两冬至相距之时日均𣲖为二十四气以为合于天之平分时日也设当时早有西士之说发明最高最卑随时推移之理而告之曰今日之盈初在冬至缩初在夏至者由太阳高卑两点与二至同度故也向后五十余年两点各东移一度则平冬至与定冬至不相值而诸节气中气平定皆不同矣又细推之前后一岁半岁亦微有不同者矣及其极也平冬至与定冬至相差两日有竒当是时犹以两定冬至相距时日均𣲖为二十四气则小寒至大雪二十三气不皆与平气相差两日乎倘欲并冬至亦用平舎景长之日而用景未极长之日既有所未可或欲令二十三气皆从平冬至起根而均𣲖之则是冬至至小寒骤减两日只有十三日大雪至冬至骤増两日竟有十七日竒也宁有是理乎进退无所据则欲遵大衍常以恒气注厯者为舛矣郭氏闻此论亦当别立随时推定气之法不当以恒气注厯矣夫不知定气是不知太阳之有盈缩也又何以能算交食何以能算定朔乎(经朔犹恒气定朔犹定气望与上下弦亦然)永按经朔犹恒气定朔犹定气此理极是然恒气与经朔犹有辨何也以日月平行算其相㑹是以平为根今注厯之冬至由日躔加减表与日差表定其加时则是视行之定冬至非平行之平冬至矣上下数千年惟至元辛巳间定冬至即平冬至其他皆有差其相差之极至二日犹执算定之冬至以为根逐气均𣲖命为恒气而谓其犹经朔可乎夫西法以最高卑疏盈缩其理原精初不必为此过当之言良由译书者并从西法入手遂无暇参稽古厯之源流而其时亦未有能真知授时立法之意者为之援据古义以相与虚公论定故遂有此等偏说以来后人之疑议不可不知也永按厯书之言固过然使今日犹执一行之恒气注厯推其流失有如前条进退无据之云者又曰其所以为此说者无非欲以定气注厯使春秋二分各居昼夜平分之日以见古法授时之差两日以自显其长殊不知授时是用恒气原未尝不知定气不得为差而西法之长于授时者亦不在此以定气注厯不足为竒而徒失古人置闰之法欲以自暴其长反见短矣故此处宜酌改也后条详之永按授时虽知有定气未知盈缩二根之有推移今时冬至既不为盈初则据定气冬至为根均𣲖一岁之二十三气似不得为长矣(失古人置闰之法详见后辨)又曰问授时既知有定气何为不以注厯曰古者注厯只用恒气为置闰地也永按定气注厯亦正为密于置闰地也闰以无中气之月为的然必合算定朔定气视其无中气之月置闰于此乃为真闰月若只用定朔不用定气则无中气之月未必果无中气也譬之算定朔必合太阳盈缩太隂迟疾视其相㑹之日命为朔乃为真定朔若得其一遗其一则或有以晦为朔以二日为朔者矣古厯置闰疎谬后渐知用定朔置闰于无中气之月矣而不知用定气则无中气之月亦非真然则尧命羲和以闰定四时成岁之法至今日始精耳春秋传曰先王之正时也履端于始举正于中归邪于终(邪与余同谓余分也○永按左传本作余汉书引作邪)履端于始序则不愆举正于中民则不惑归邪于终事则不悖葢谓推歩者必以十一月朔日冬至为起算之端故曰履端于始而序不愆也永按履端于始先生说近是然不必朔日也一岁始冬至即履端于始也杜注步厯之始以为术之端首似后世之推厯元者非也又十二月之中气必在其月如月内有冬至斯为仲冬十一月月内有雨水斯为孟春正月月内有春分斯为仲春二月余月并同皆以本月之中气正在本月三十日之中而后可名之为此月故曰举正于中民则不惑也永按举正于中正即三正之正此正朔示民使民遵之故曰民则不惑正月为岁首而言举正于中者对冬至为始岁终为终则正朔在其中间也周之正虽与冬至同月而步厯犹以冬至为始故举正为中且言先王之正时亦通三正而言之也杜注云举中气以正月果尔何以不云举中而云举正乎且古厯节气亦由畧而详由疎而密上古少皞氏以鸟名官有司分司至司启司闭而左氏亦云凡分至启闭必书云物启者立春立夏闭者立秋立冬并二分二至为八节则古时只有八节未有二十四气也二十四气之名葢秦汉以来始有之其名义大约有所本如云惊蛰者今夏小正之启蛰月令之蛰虫始振也雨水者本月令之始雨水也芒种者本周礼泽草所生种之芒种也小暑者本月令小暑至也处暑者本楚语处暑之既至也白露者本月令白露降也霜降者本荀子霜降杀内月令霜始降也大寒者本鲁语大寒降也而中气节气汉以来亦有小异汉以惊蛰为正月中雨水为二月节而刘歆三统厯始改雨水为正月中惊蛰为二月节三统厯犹以榖雨为三月节清明为三月中而易纬通卦验则以清明为三月节榖雨为三月中然则左氏时尚未有中气节气如今厯之详密不得以举正为举中气右一月之内只有一节气而无中气则不能名之为何月斯则余分之所积而为闰月矣闰即余也前此余分累积归于此月而成闰月有此闰月以为余分之所归则不致春之月入于夏且不致冬之月入于明春故曰归邢于终事则不悖也永按左氏之意本谓闰月当在岁终今文公元年闰三月为非礼(文公元年本无闰三月永别有辨此未暇及)此左氏习见当时置闰常在岁终故为此言本非确论亦可见古厯未有中气节气如后世之详密不能定其当闰何月故不得已总归之岁末秦人以十月为岁首闰月则为后九月汉初犹仍其失太初厯以后始改之左氏归余于终之言信矣梅先生谓归余分于无中气之月则终字之义似无所指然先生于此句本有两说其答李祠部云闰月之义大㫖不出两端其一谓无中气为闰月此据左氏举正于中为说乃厯家之法也其一谓古闰月俱在岁终此据左氏归余于终为论乃经学家之诂也古今厯法原自不同推步之理踵事加密故自今日言厯则以无中气置闰为安而论春秋闰月则以归余之说为长何则治春秋者当主经文今考本经书闰月俱在年终此其据矣按归余于终当以此说为正然则上句举正于中非谓举中气以正月益明矣然惟以恒气注厯则置闰之理易明何则恒气之日数皆平分故其毎月之内各有一节气一中气(假如冬至在十一月朔则必有小寒在其月望后若冬至在十一月晦则必有大雪节气在其月望前余月并然)此两气䇿之日合之共三十日四十三刻竒以较毎月常数三十日多四十三刻竒谓之气盈又太阴自合朔至第二合朔实止二十九日五十三刻竒以较毎月三十日又少四十六刻竒谓之朔虚合气盈朔虚计之共余九十刻竒谓之月闰乃毎月朔策与两气策相较之差也(假如十一月经朔与冬至同时刻则大寒中气必在十二月经朔后九十刻而雨水中气必在次年正月经朔后一日又八十刻竒其余月弦准此求之)积此月闰至三十三个月间(即二年零九个月)其余分必满月䇿而生闰月矣闰月之法其前月中气必在其晦后月中气必在其朔则闰月只有一节气而无中气然后名之为闰月(假如闰十一月则冬至必在十一月之晦大寒必在十二月之朔而闰月只有小寒节气更无中气则不可谓之为十一月亦不可谓之为十二月即不得不名之为闰月矣)斯乃自然而然天造地设无可疑惑者也一年十二个月俱有两节气惟此一个月只一节气望而知为闰月永按造化之妙莫妙于均平与参差二者相为用也若无均平之数则无以为立算之根若无参差之行则无以为变化之用故七政各居一重天各有其本行而必有本轮均轮以生盈缩迟疾且复有最高最卑之行度焉又有两心差之改焉所以变动不穷也使太阳可用恒气何不去其小轮终古只一平行乎今以定气注厯则节气之日数多寡不齐故遂有一月内三节气之时又或有原非闰月而一月内反只有一中气之时其所置闰月虽亦以余分所积而置闰之理不明民乃惑矣永按一月三节气甚稀间有之今时必在冬月又必定朔最大然后有此其或首尾皆节气而中气在月中也则去闰月尚逺其或首尾皆中气而节气在月中也则置闰在此月之前不以后月为闰此于置闰之法初无所妨若一月之内只一中气更无妨于闰月矣然非西法之咎乃译书者之疎畧耳何则西法原只有闰日而无闰月其仍用闰月者遵旧法也亦徐文定公所谓镕西洋之巧算入大统之型模也永按定气注厯改宪之大者当时译书者之失惟在星纪等名系诸中气耳按尧典云以闰月定四时成岁乃帝尧所以命羲和万世不刋之典也今既遵尧典而用闰月即当遵用其置闰之法而乃不用恒气用定气以滋人惑亦昧于先王正时之理矣是故测算虽精而有当酌改者此亦一端也永按羲和之厯或用恒气与否不可考使当时惟知用恒气今改用定气犹平朔改为定朔其理益精益当耳又曰今但依古法以恒气注厯亦仍用西法最高卑之差以分昼夜长短进退之序而分注于定气日之下即置闰之理昭然众著而定气之用亦并存而不废矣永按定气之用甚大一切阴阳五行自干支出者或系于月建则交节气之日时为要(未交节气系前月既交系今月)或系于年岁则交立春之日时为要(未交立春系前年既交系今年)诸节气中气各方农家或以之占候有验而禄命三式诸术不可尽信亦不可尽废者年月干支为纲维其交界之际尤不可不确也定气恒气之差小者在时大者在日其极差两日有竒此岂可不辨其理之是非以定年月之交界而姑为并存之说使定气仅为分昼夜长短之用乎夫定气所以必当用者何也太阳有本轮均轮本轮之心恒平行于本天而太阳之体实旋行于轮上从地心出线至轮心其度皆平度若太阳行轮上有加减则人视黄道所当之度非轮心之度而气亦非均平之气日行卑时气策未满而度已盈故气短日行高时气策已满而度未盈故气长其积差在高卑之中两日有竒故定气之度即黄道上平剖为二十四段者太阳既到其上即为实度其气即为真气人生于地安得不禀于其所视而更从轮心之平行者乎况又不以平冬至为根而以定至起算天上原无此界限夫以本无之界限命为恒气而注之厯以为民用大者系一年次者系一月非前人之失乎又按恒气在西法为太阳本天之平行定气在西法为黄道上视行平行度与视行度之积差有一度半弱西法与古法畧同所异者最高冲有行分耳古法恒气注厯即是用太阳本天平行度数分节气永按定气时日不均而度均若恒气者时日均而度反不均矣且又以定冬至起算即非本天平行度数之分限(观后壬辰年节气图可见)又曰(厯学骈枝)按古厯毎日行一度原无盈缩言盈缩者自北齐张子信始也厥后隋刘焯唐李淳风僧一行言之綦详厯宋至元为法益密然不以之注厯者为闰月也大衍厯议曰以恒气注厯定气算日月食由今以观固不仅交食用盈缩也凡定朔定望定弦无处不用但毎月中节仍用恒气不似西洋之用定气耳西洋原无闰月祗有闰日故以定气注厯为便若中土之法以无中气为闰月故以恒气注厯为宜治西法者不谙此理辄诃古法为不知盈缩固其所矣永按定气注厯无妨于置闰而置闰得此始真前已辨之明矣若唐以来中土厯家知有定气而仍以恒气注厯者其故多端一由不知日之所以盈缩者生于小轮也一由不知盈缩之初限不恒系二至也一由不知冬至相距为活泛岁实而别有恒岁实也一由不知景长为定冬至而别有平冬至也由不知恒气起定冬至天上无此界限也种种机窍未启宜其贸贸然用之以注厯岂谓其宜于置闰哉治西法者不能明辨恒气之失而徒诃古法为不知盈缩此则徐李汤罗诸公之疎也康熙壬辰年节气图(恒气非即平气前辨虽明非图不显今以昔年所推康熙壬辰年平定节气分为两层别以一层载古法恒气以显平气恒气之异)右图第一层太阳黄道上视行定气注厯以为用者也第二层太阳本天平行平气以平冬至为立算之根诸气皆为定气加减之根不注诸厯者也此两行者在天实有此界限若第三层则冬至为视行定气小寒以后皆从定冬至为根以平气累加之其平气又非平岁实均剖但以两定冬至岁实平𣲖之(终岁有微差)谓之恒气在天实无此界限此年最高冲在冬至后七度三十八分四十四秒实减一十六分有竒变为时以加于平冬至者二十六刻有竒故诸恒气皆后于平气三时有竒后此数千年高冲行二三宫定冬至在平冬至后二日则诸恒气不皆后于平气二日乎或曰天体浑然本无界限界限皆人所分即恒气亦自古厯家所分何以知其实有而实无曰十二月建在天实有者也一月分为节气中气亦自然之理也太阳本轮心在本天上平行而黄道上有太阳实行因此两种行度各平分之则有两种界限虽人所分亦因理之实有者而分之若从定冬至起根均𣲖二十三气无此理即无此数矣从来推平望平弦者必无从定朔起算之理何独于恒气而疑之定气注厯遵行已久前此顺治康熙年间民间推步为禄命家用者或仍用恒气或兼存古法无识者将滋其惑尝邂逅先生门人犹有坚持师说者是以不得不辨数学卷三
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钦定四库全书数学卷四婺源江永撰冬至权度(履端于始序则不愆厯家详求冬至且求千岁以上冬至证之史传或离或合其故难言元史有六厯冬至开载鲁献公戊寅至元庚辰四十九事纪大衍宣明纪元统天重修大明授时时刻之异同勿庵先生因之作春秋以来冬至攷删去献公一事各以其厯本法详衍算术虽明而未有折衷永因先生所攷定者用实法推筭有不合者断其厯误史误名曰冬至权度俟知厯者攷焉)一论平岁实太阳本天有平行厯黄道一周为平岁实与月五星周率朔策合率同理别有本轮均轮最卑最高之行以视行加减平行二十四气时刻多少岁岁不同而古今冬至不能以一率齐之是为活泛之岁实犹之月有实㑹逐月不同五星有实合毎周不同也授时大统以前太阳高卑之理未明虽知一岁之行有盈缩不悟盈缩之中为平岁实但求岁实于活泛之冬至故一厯必更一周率与岁实然合今则戾古合古又违今统天厯遂立距差躔差之法暗藏消长以求上下两合授时厯本之有百年长一消一之说西厯本囘厯以春分相距测定岁周小余五小时三刻三分四十五秒以万分通之为二四二一八七五此为平行之岁实小余而各节气之定气则以均度加减定之此不易之法也欲攷往古冬至当以平岁实为本算当年平冬至时刻乃以定冬至较之知其距最卑之远近或与今法有不合则知其时本轮均轮之有半径差有相去之远者则知史传所记非实测所谓苟求其故千岁之日至可坐而致者此为庶几焉倘以授时之岁实为岁实而以百年长一消一为凖则非法矣一论最卑行太阳本轮最卑㸃为缩未盈初之端岁有推移与月入转五星入厯皆有行度同理平冬至之改为定冬至也视此㸃之前后逺近以加度而减时减度而加时焉至元辛巳间最卑与平冬至同度自是以前定冬至皆在平冬至前以后定冬至皆在平冬至后最卑有行度故也(郭氏时未悟此理恒以冬至为盈初大统承用数百年误矣)西法近率最卑岁行一分一秒十微以远年冬至攷之此率似微朒大约当加二秒上求古时定冬至以此为凖焉一论轮径差最卑既有行度矣而太阳之体在均轮均轮之心在本轮本轮之心在本天此两轮半径古今又有不同则距地远近两心有差西法始定两轮半径并千万分之三十五万八千四百一十六而今又渐减则古时必多于此半径大则加减差亦大而以均度变时分加减于平冬至者视今时必稍赢焉此差率出于恒差之外厯家亦不能定者也上攷又当以此消息之(余因刘宋大明五年测景求彼时两半径并详后)右三事者攷冬至之权度也大统以前厯家莫能知而勿庵先生言之未详永窃为补之春秋以来冬至攷勿庵先生云春秋以来冬至多矣而所攷只此者以其测騐之可据也厯议原载四十八事今攷献公在春秋前无信史可徴故删之而以左传僖公一条为首实四十七事也(并至元庚辰四十八事)永窃疑四十七事虽有信史可徴而厯筭与纪载未必无误若左传所记两冬至尤未可信其由于实测后详之鲁僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至唐开元大衍厯(辛亥亥正三刻)唐宣明厯(辛亥申正初刻)宋崇宁纪元厯(壬子戌正一刻)宋统天厯(辛亥寅正三刻)金重修大明厯(壬子亥初二刻)元授时厯(辛亥寅初二刻)按传载是年正月辛亥朔日南至公既视朔遂登观台以望而书古厯家皆谓至朔同日之年也今详推之谨按厯象考成康熈甲子天正冬至气应七日六五六三七四九二六为七日十五小时四十五分十一秒上距僖公丙寅二千三百三十八年中积八十五万三千九百三十六日五小时三十七分三十秒满纪法去之余一十六日五小时三十七分三十秒转减气应(加一纪减之)余五十一日十小时七分四十一秒平冬至乙夘巳正初刻八分又按至元辛巳前四年丁丑高冲(即最卑)与冬至同度上距此年一千九百三十一年约四百年行七度则此年高冲在冬至前一宫三度四十八分于今法当加均一度八分变时一日三小时三十七分减平冬至犹是甲寅日夘时再约计是时小轮并径加大其加减均或能至一度二三十分之间变时一日十余小时以减平冬至则定冬至亦止癸丑日亥子之间而已必不能减至辛亥则是时所推冬至先天两三日矣又算此月平朔定朔皆在壬子而当时误推辛亥亦先天一日(春秋纬命厯序壬子朔隋张賔张胄𤣥唐一行皆从之)实攷之此年正月壬子朔二日癸丑冬至耳至朔何尝同日乎(张賔依命厯序壬子朔冬至张胄𤣥谓三日甲寅冬至既不从传亦不从命厯序虽甲寅或稍后天然而胄𤣥之识卓矣)春秋时王朝未必颁厯各国自为推步闰余乖次月日参差日食或不在朔所以考求日至者必不能如后世之精宻差至二三日固无足怪(魏晋以后厯法渐明刘宋时景初厯冬至犹后天三日则春秋时无足怪)厯家过信左氏意谓此年特载日南至必当时实测(唐一行谓僖公登观台以望而书云物出于表晷天騐非时史亿度此一行之蔽也传言书云未尝言测景)作厯欲求合于古则多増斗分以就之大衍推辛亥亥正三刻宣明推辛亥申正初刻皆泥此至之过也(大衍号称善厯行之数年而即差由斗分大强之故)纪元与重修大明仅能得壬子与辛亥差一日知斗分不可过増宁失此至不强求合犹为近之若统天创为距差躔差之法巧合此至而授时遂暗用之有百年长一之率算此至皆得辛亥日寅时此无法之法最为乖谬夫总计距算乗而益之越百年则有骤増之时刻年愈逺则骤増之数愈多(勿庵先生亦尝疑之)授时以至元辛巳为元上距此年一千九百三十五算即以一九三五总乗所长之一九数而益岁余设减三十五算为辛丑当文公七年距算一千九百则岁余二十四刻四十四分矣前一年庚子距算一千九百零一岁余増一分此一分乗一千九百零一凡一十九刻有竒则当此庚子年骤増一十九刻有竒天道宁有此数乎况越二千年而骤増者愈多其长伊于胡底乎故消长之法断不可用而此年正月辛亥朔日南至当以实法考求决其为步算之误不可过信传文而舍法以求合也鲁昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至大衍(己丑巳正三刻)宣明(己丑寅正三刻)纪元(庚寅夘正初刻)统天(戊子亥正三刻)重修大明(庚寅辰初初刻)授时(戊子戌初三刻)按此年上距僖公五年一百三十三年平冬至二十八日十五小时一十一分二十六秒壬辰日申初初刻十一分约计加均及小轮径差减时不过一日八九小时定冬至不过辛夘日夘辰之间而已必不能减至己丑而传载己丑日南至以此知春秋时步冬至恒先天二三日也且鲁厯前年失闰此年日南至在二月夫周以子月为正日至必无在二月者当时梓慎辈徒知望氛祥占祸福于时月之易明者犹不能正何能实测冬至与天脗合乎大衍宣明纪元重修大明斗分有多少故日名有合有不合若统天授时皆以活法求之又先己丑一日失之愈逺矣同一左氏传也丙寅之冬至则合己夘之冬至则违亦可见活法之有时穷矣由今观之违者固非合者亦未尽是而元史厯议乃以此至为日度失行不亦诬乎刘宋文帝元嘉十二年乙亥岁十一月十五日戊辰景长大衍(戊辰辰正二刻)宣明(戊辰辰初三刻)纪元(戊辰巳初二刻)统天(戊辰午正三刻)重修大明(戊辰巳初三刻)授时(戊辰午初一刻)按史记冬至景长始此是时用景初厯推冬至率后天三日何承天上表言之太史令钱乐之言是年景初推十一月十八日冬至其十五日景极长今推此年平冬至五日九小时四十五分一十一秒己巳日巳初三刻(今 京师时刻刘宋都建康当减八分四秒后陈朝倣此)是时髙冲约在平冬至前十四度太又小轮半径差多于今加均减不啻半日定冬至宜在戊辰与史合然均度不过三十余分减时不能越十五小时戊辰日加时大约在酉半以后是以明年冬至当越六日甲戌景长六厯推此年平冬至非不得戊辰而加时皆蚤既在午刻以前则明年安得甲戌景长乎元嘉十三年丙子岁十一月二十六日甲戌景长(景初厯推二十九日冬至)大衍(癸酉未正一刻)宣明(癸酉未初三刻)纪元(癸酉申初一刻)统天(癸酉酉正二刻)重修大明(癸酉申初三刻)授时(癸酉酉初初刻)今推此年平冬至一十日十五小时三十三分五十六秒甲戌日申初二刻四分是时加均减时不能越十五时是以定冬至亦在甲戌史纪此日景长必是实测而六厯皆先一日癸酉其不能与天宻合此已见其端矣(乂按后四年庚辰甲午景长四年之间小余平积二十日二十三时一十五分庚辰定冬至未至乙未则甲午必是夜子初几刻逆推此年甲戌必是子正几刻)又按唐一行厯议云元嘉十三年十一月甲戌景长皇极麟德开元厯皆得之癸酉葢日度变常耳祖冲之既失甲戌冬至以为加时太早増小余以附㑹之而十二年戊辰景长得己巳十七年甲午景长得乙未十一年己亥景长得庚子合一失三其失愈多愚谓此年景长甲戌可推也而一行以为日度变常非是元嘉十五年戊寅岁十一月十八日甲申景长(景初厯推二十一日冬至)大衍(甲申丑正初刻)宣明(甲申丑初二刻)纪元(甲申寅初初刻)统天(甲申夘正一刻)重修大明(甲申寅初二刻)授时(甲申寅正三刻)今推此年平冬至二十一日三小时一十一分二十六秒乙酉日寅初初刻十一分定冬至以丙子岁甲戌子正几刻推之当在甲申午正前后之间六厯皆先天元嘉十六年己夘岁十一月二十九日己丑景长(景初厯推次月二日壬辰冬至)大衍(己丑辰初三刻)宣明(己丑辰初一刻)纪元(己丑辰正三刻)统天(己丑午正初刻)重修大明(己丑巳初一刻)授时(己丑巳正二刻)今推此年平冬至二十六日九小时零一十一秒庚寅日巳初初刻定冬至当在己丑酉正前六厯皆先天元嘉十七年庚辰岁十一月初十日甲午景长(景初厯推十二日冬至)大衍(甲午未初三刻)宣明(甲午未初初刻)纪元(甲午未正三刻)统天(甲午酉正初刻)重修大明(甲午申初初刻)授时(甲午申正二刻)今推此年平冬至三十一日十四小时四十八分五十六秒乙未日未正三刻四分而景长在甲午必在夜子初几刻减时几有十五小时则加均约三十六分以当时髙冲在冬至前十四度有竒推之而小轮半径之差亦大畧可知矣又按隋书律厯志刘孝孙等言此年厯法十三日冬至十一日景长则是乙未日矣元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥景长(景初厯推二十五日冬至)大衍(己亥戌初二刻)宣明(己亥酉正四刻)纪元(己亥戌正二刻)统天(己亥夜子初三刻)重修大明(己亥亥初初刻)授时(己亥亥正一刻)今推此年平冬至三十六日二十小时三十七分四十一秒庚子日戌正二刻八分厯攷元嘉间定冬至加均减时不能越十五时此年若己亥景长则减时二十有竒葢史文二十二日譌为二十一日唐一行厯议与元史沿误差一日也钱乐之谓寻校前后以景极长为冬至并差三日此年景初推二十五日冬至景长在二十二日是差三日若二十一日则差四日矣(定冬至宜在庚子日寅夘之间六厯虽皆推己亥未足为据)又按隋书刘孝孙等云此年阴无景可騐今厯二十二日冬至更可证是庚子元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳景长(景初厯推六日冬至)大衍(乙巳丑初二刻)宣明(乙巳子正四刻)纪元(乙巳丑正一刻)统天(乙己夘初三刻)重修大明(乙己丑正三刻)授时(乙巳寅正初刻)今推此年平冬至四十二日二小时二十六分二十六秒丙午日丑正一刻十一分定冬至乙巳午初孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至大衍(甲申申正四刻)宣明(甲申申正二刻)纪元(甲申酉初二刻)统元(甲申戌初初刻)重修大明(甲申酉正一刻)授时(甲申戌初初刻)按此年祖冲之详记测景推筭冬至乙酉日夜半后三十二刻七十分今细推之当时筭冬至稍后天而六厯推甲申皆先天也详推如左一推此年平冬至按大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中积四十四万六千三百二十五日二十二小时五十二分三十秒转减甲子气应(加一纪减之)余二十一日十六小时五十二分四十一秒平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒建康加八分四秒酉初初刻四十五秒一推此年高冲行按元至元辛巳前四年丁丑高冲与冬至同度上距此年八百一十五年若依今法一年行一分一秒十微则此年高冲在冬至前十三度五十分五十一秒如此率未的一年约加二秒四百年行七度则此年高冲在冬至前十四度十六分一推此年十月十日壬戌景长高弧距纬并经度按史此年祖冲之测景十月十日壬戌景长一丈七寸七分半○以三率法推筭(一率表八尺二率景一丈七寸七分半三率半径全数四率为余切线)求得一三四七以余切检八线表此日午正日高弧三十六度三十五分二十四秒○表所得者太阳上边之景宜减太阳半径一十五分二十九秒得太阳中心距地平三十六度一十九分五十五秒○日轨高视差二分二十三秒内减去青蒙气差二十七秒余视差一分五十六秒加于太阳中心距地平得实髙三十六度二十一分五十一秒距天顶五十三度三十八分九秒○建康极出地约三十二度以减距天顶度余二十一度三十八分九秒为本日午正黄赤距纬○设此时两道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法(两道大距正弦为一率本日午正黄赤距纬正弦为二率半径全数为三率得四率为余弦)求得余弦九一八九检表二十三度十四分为壬戌午正距冬至实经度减用时(七分二十九秒)为平时午初三刻七分半太阳距冬至实经度一推壬戌午时太阳平行度建康平冬至(见前)距壬戌午初三刻七分半二十三日五小时八分二十五秒太阳平行二十二度五十二分五十秒以减全周壬戌午初三刻七分半太阳平行十一宫七度七分一十秒一推十一月二十五日丁未景长高弧距纬并经度按史丁未景长一丈八寸一分太○以三率法推筭(一率表八尺二率景长一丈八寸一七五三率半径全数四率为余切线)求得余切一三五二二检表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒○减太阳半径一十五分二十六秒太阳中心距地平三十六度一十三分三十七秒○日轨高视差二分二十四秒减去青蒙气差二十七秒余视差一分五十七秒加于太阳中心距地平得实高三十六度一十五分三十四秒距天顶五十三度四十四分二十六秒○极高三十二度减距天顶度余二十一度四十四分二十六秒为本日午正黄赤距纬○设两道大距二十三度三十九分二十三秒用三率法求得余弦九二三一一检表二十二度三十七分六秒为本日午正距冬至实经度加用时二分三十五秒为平时午正初刻二分三十五秒太阳距冬至实经度一推丁未午时太阳平行度建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒二十一日十九小时一分五十秒太阳平行二十一度二十八分四十七秒一推此时小轮半径差以本年高冲冬至前十四度十六分减壬戌太阳平行距平冬至二十二度五十二分五十秒余八度三十六分五十秒查旧日躔加减差表减十八分四十八秒化作一千一百二十八秒为一率以旧表两心差三五八四为二率又于壬戌经度二十三度一十四分内减平行二十二度五十二分五十秒余二十一分十秒化作一千二百七十秒为三率求得四率四○三五二为此时两小轮半径并(太阳本天一百万本轮半径三万零三百六十四均轮半径一万零八十八由此可算其均数)一推乙酉日定冬至前壬戌日午正太阳平行十一宫七度七分一十秒至乙酉日子正二十二日半平行二十二度一十分三十八秒加入壬戌午正平行度此时平行十一宫二十九度一十七分四十八秒加高冲十四度十六分满周天去之余一十三度三十四分为引数以此时两小轮半径并筭之约加均度三十二分竒加入前子正平行在十一宫二十九度五十分未满周天者十分为时约四小时定冬至在子正后十六刻有竒当时以前后景折筭乙酉日子正后三十一刻冬至约后天十五刻按以冬至前后日景折筭取中求冬至时刻此法惟郭太史时可用其时高冲与冬至同度故也若大明时高冲在冬至前十四度有竒则冬至前之日近高冲太阳之行速而景之进退也疾冬至后之日远高冲太阳之行稍迟而景之渐短亦必稍缓虽前后之日景大畧相同而中间所厯之时刻必不均当时欲以均数求冬至宜其后天十五刻也(冬至前二十余日日行较连时刻宜减冬至后二十余日日行较迟时刻宜加若欲均之则折半处必在所减之后故后天)然刘宋之初厯法甚疎景初厯后天至三日犹幸祖氏用景长推筭违天尚未甚逺又幸史册纪载之详去今千有余年犹可细推其后天之时刻也郭太史改厯所定歳周小余二四二五者谓自大明壬寅距今每岁合得此数按此年下距至元辛巳八百一十九年以授时岁周积之二十九万九千一百三十三日六十刻七五五分以辛巳天正冬至己未日子正后六刻逆计之则当时冬至在乙酉日子正后五十四刻后天愈加多矣既不能与当时所测筭者宻合又为百年长一之法以求合于逺古之冬至以八百一十九总乗所长之数而益之则此年冬至又在甲申日七十九刻太不又先天三十七刻乎以此知授时之岁余非定率而统天之距差躔差授时之消长皆谬法也此年冬至所关者巨故攷论加详若大衍诸厯先天愈多则无足论而授时指为日度失行者总论之于后云陈文帝天嘉六年乙酉岁十一月庚寅景长大衍(庚寅寅初初刻)宣明(庚寅寅初初刻)纪元(庚寅寅初二刻)统天(庚寅夘初四刻)重修大明(庚寅丑初四刻)授时(庚寅寅正初刻)今推此年平冬至二十六日二十一时二十二分四十一秒庚寅亥初一刻八分定冬至葢在辰巳间诸厯推丑寅皆太蚤统天近之临海王光大二年戊子岁十一月乙巳景长大衍(乙巳戌正二刻)宣明(乙巳戌正三刻)纪元(乙巳戌初初刻)统天(乙巳夜子初二刻)重修大明(乙巳戌初二刻)授时(乙巳戌初二刻)此年平冬至丙午未正三刻九分定冬至葢在乙巳与丙午之间乙巳之景长于次日当亦甚微然以后四岁丁夘景长推之此年所纪犹可疑说见后宣帝太建四年壬辰岁十一月二十九日丁夘景长大衍(丙寅戌正初刻)宣明(丙寅戌正一刻)纪元(丙寅酉正二刻)统天(丙寅亥正三刻)重修大明(丙寅酉正三刻)授时(丙寅戌正四刻)今推此年平冬至三日一十四时三分五十六秒丁夘未正初刻四分史记丁夘景长则定冬至葢在子正初刻以前四岁乙巳景长较之殊可疑此年平冬至子正后一十四时四分而景长犹在本日是加均减时不能越十四时四分也光大二年之平冬至在丙午日子正后十四时四十五分乃能越之而景长在前一日乙巳不应四岁之间差殊如此此两岁定冬至皆在子初子正之间景长最难真确乙巳与丁夘当时测騐有一是必有一非窃疑乙巳之测未确太建九年丁酉岁十一月二十三日壬辰景长大衍(癸巳丑初一刻)宣明(癸巳丑初二刻)纪元(壬辰夜子初三刻)统天(癸巳寅正一刻)重修大明(癸巳子正初刻)授时(癸巳丑正初刻)今推此年平冬至二十九日一十九时七分四十一秒癸巳戌初初刻八分定冬至葢在本日寅夘之间统天近之二十三日壬辰景长此必史误太建十年戊戌岁十一月五日戊戌景长大衍(戊戌辰初一刻)宣明(戊戌辰初二刻)纪元(戊戌夘初二刻)统天(戊戌巳正初刻)重修大明(戊戌夘初四刻)授时(戊戌辰正初刻)此与丁酉岁相去一年平冬至己亥定冬至戊戌可考而知故不细推隋文帝开皇四年甲辰岁十一月十一日己巳景长大衍(己巳酉正二刻)宣明(己巳酉正三刻)纪元(己巳夜子初一刻)统天(己巳戌初初刻)重修大明(己巳酉初初刻)授时(己巳戌正二刻)今推此年平冬至六日一十一时四十八分五十六秒庚午日午初三刻四分(隋都长安早二刻后唐朝则倣此)定冬至己巳亥子之间(史云此年在洛川测冬至景与京师二处进退丝毫不差张賔厯推己巳冬至张胄𤣥厯推庚午冬至)开皇五年乙巳岁十一月二十二日乙亥景长大衍(乙亥子正一刻)宣明(乙亥子正二刻)纪元(甲戌亥正二刻)统天(乙亥寅初初刻)重修大明(甲戌戌正三刻)授时(乙亥丑正二刻)今推此年平冬至十一日一十七时三十七分四十一秒乙亥酉初二刻八分定冬至在本日寅时推甲戌者非是开皇六年丙午岁十一月三日庚辰景长大衍(庚辰夘正初刻)宣明(庚辰夘正一刻)纪元(庚辰寅正一刻)统天(庚辰辰正三刻)重修大明(庚辰寅正三刻)授时(庚辰辰正一刻)与前年相距一岁平定冬至皆在庚辰可攷而知开皇七年丁未岁十一月十四日乙酉景长大衍(乙酉午正初刻)宣明(乙酉午正一刻)纪元(乙酉巳正初刻)统天(乙酉未正三刻)重修大明(乙酉巳正二刻)授时(乙酉未正初刻)此年平冬至丙戌夘初一刻定冬至乙酉申时开皇十一年辛亥岁十一月二十八日丙午景长大衍(丙午午初二刻)宣明(丙午午初三刻)纪元(丙午巳初二刻)统天(丙午未正初刻)重修大明(丙午巳初四刻)授时(丙午未初二刻)此年平冬至四十三日四时三十分一十一秒丁未寅正二刻定冬至丙午申时开皇十四年甲寅岁十一月辛酉朔旦冬至大衍(壬戌夘初初刻)宣明(壬戌夘初二刻)纪元(壬戌寅初初刻)统天(壬戌辰初二刻)重修大明(壬戌寅初二刻)授时(壬戌辰初初刻)今推此年平冬至五十八日二十一时五十六分二十六秒壬戌亥初三刻十一分定冬至本日己午间而史记辛酉朔冬至当时厯误推先天唐太宗贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长大衍(甲申巳正一刻)宣明(甲申午初初刻)纪元(甲申辰初二刻)统天(甲申午正初刻)重修大明(甲申辰初三刻)授时(甲申巳正三刻)今推此年平冬至二十一日三十三分五十六秒乙酉子正二刻四分长安里差二刻平冬至已是子正初刻矣减时不啻十时定冬至当在甲申日未时而史谓乙酉景长误贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长大衍(庚戌申初二刻)宣明(庚戌申正一刻)纪元(庚戌午正三刻)统天(庚戌酉初一刻)重修大明(庚戌未初初刻)授时(庚戌申初三刻)今推此年平冬至四十七日五时三十七分四十一秒辛亥夘初二刻八分定冬至庚戌日酉戌之间而史谓辛亥景长亦误高宗龙朔二年壬戌十一月四日己未至戊午景长大衍(戊午戌正初刻)宣明(戊午戌正二刻)纪元(戊午申正三刻)统天(戊午戌正初刻)重修大明(戊午酉初初刻)授时(戊午戌初三刻)今推此年平冬至己未巳初初刻十一分长安辰正二刻十一分此时加均减时约十小时定冬至戊午夜子时是以戊午景长当时厯推冬至己未而实测景长在戊午今推之果不爽也高宗仪鳯元年丙子岁十一月壬申景长大衍(壬申夘正初刻)宣明(壬申夘正三刻)纪元(壬申丑正二刻)统天(壬申辰初初刻)重修大明(壬申丑正三刻)授时(壬申卯初一刻)今推此年平冬至八日一十八时三十三分五十六秒壬申酉正二刻四分定冬至辰时高宗永淳元年壬午岁十一月癸夘景长大衍(癸夘酉初一刻)宣明(癸夘酉正初刻)纪元(癸夘未初二刻)统天(癸夘酉正一刻)重修大明(癸夘未初四刻)授时(癸夘酉初三刻)此年平冬至甲辰夘初一刻十一分定冬至癸夘酉戌之间明皇开元十年壬戌岁十一月癸酉景长大衍(癸酉午初四刻)宣明(癸酉午正四刻)纪元(癸酉辰初二刻)统天(癸酉午初初刻)重修大明(癸酉辰初三刻)授时(癸酉午初初刻)此年平冬至癸酉亥初三刻十一分定冬至巳时开元十一年癸亥十一月戊寅景长大衍(戊寅酉初三刻)宣明(戊寅酉正三刻)纪元(戊寅未初三刻)统天(戊寅初初三刻)重修大明(戊寅未初二刻)授时(戊寅酉初初刻)此年平冬至己夘定冬至戊寅与前间一岁可攷而知开元十二年甲子岁十一月癸未冬至大衍(癸未夜子初二刻)宣明(甲申子正三刻)纪元(癸未戌初一刻)统天(癸未夜子初三刻)重修大明(癸未戌初二刻)授时(癸未亥正三刻)按此年僧一行阳城测景癸未最长今推此年平冬至二十九日时三十三分五十六秒甲申巳初二刻四分阳城约早一刻十分为巳初初刻九分此年距元至元丁丑五百五十二年高冲约行九度四十分以今加减表攷之加均二十分二十秒变时八时一十五分以减平时余五十四分为甲申子正三刻九分当时小轮半径大于今再减一时有竒则定冬至在癸未夜子刻而大衍厯推算癸未九十八刻太强此当年之实测今固可追步也按大衍厯以三千零四十为通法一百一十一万零三百四十三为策实一万五千九百四十三为䇿余以通法五减策余余七百四十三为小余以万分通之小余二千四百四十四又七九弱视授时之二四二五者多一十九太强当时小余虽大必不及此数是以自此年以前大衍推往古则先天推后来则后天(小余之太强由欲强合僖五年辛亥日南至故也)宋真宗景德四年丁未岁十一月戊辰日南至大衍(戊辰寅初三刻)宣明(戊辰夘正一刻)纪元(丁夘酉初三刻)统天(丁夘戌初一刻)重修大明(丁夘酉正初刻)授时(丁夘戌初一刻)今推此年平冬至三日二十二时三十分一秒丁夘亥正二刻宋都河南蚤八分其时高冲在冬至前约四度四十二分又有小轮半径差通减时约四时三刻有竒定冬至葢在丁夘酉初二刻纪元近之史记戊辰日南至斗分太多误推后天也仁宗皇祐二年庚寅岁十一月三十日癸丑景长大衍(癸丑申初二刻)宣明(癸丑酉正三刻)纪元(癸丑夘初一刻)统天(癸丑夘初初刻)重修大明(癸丑夘初一刻)授时(癸丑夘初三刻)今推此年平冬至四十九日八时二十六分一十六秒癸丑辰正一刻十一分定冬至寅时神宗元丰六年癸亥岁十一月丙午景长大衍(丙午酉初二刻)宣明(丙午戌正二刻)纪元(丙午夘正一刻)统天(丙午夘正一刻)重修大明(丙午夘正一刻)授时(丙午夘正一刻)今推此年平冬至四十二日八时一十五分一秒丙午辰正一刻定冬至寅夘之间元丰七年甲子岁十一月辛亥景长大衍(辛亥夜子初一刻)宣明(壬子丑正一刻)纪元(辛亥午正初刻)统天(辛亥午正一刻)重修大明(辛亥午正初刻)授时(辛亥午正一刻)此与前间一岁定冬至在辛亥巳时哲宗元祐三年戊辰岁十一月壬申景长大衍(壬申亥正三刻)宣明(癸酉丑初二刻)纪元(壬申午初二刻)统天(壬申午初二刻)重修大明(壬申午初二刻)授时(壬申午初二刻)此年平冬至壬申未初一刻四分定冬至巳时元祐四年己巳岁十一月丁丑景长大衍(戊寅寅正二刻)宣明(戊寅辰初三刻)纪元(丁丑酉初一刻)统天(丁丑酉初一刻)重修大明(丁丑酉初一刻)授时(丁丑酉初一刻)此与前间一岁定冬至丁丑申时元祐五年庚午岁十一月壬午冬至大衍(癸未巳正二刻)宣明(癸未未初二刻)纪元(壬午夜子初初刻)统天(壬午夜子初一刻)重修大明(壬午夜子初一刻)授时(壬午夜子初初刻)此与前间一岁定冬至壬午亥时元祐七年壬申岁十一月癸巳冬至大衍(癸巳亥正一刻)宣明(甲午丑初一刻)纪元(癸己巳正三刻)统天(癸己巳正三刻)重修大明(癸己巳正三刻)授时(癸己巳正三刻)此年平冬至癸巳午正二刻四分定冬至巳初哲宗元符元年戊寅岁十一月甲子冬至大衍(乙丑巳初二刻)宣明(乙丑午正二刻)纪元(甲子亥正初刻)统天(甲子亥初三刻)重修大明(甲子亥正初刻)授时(甲子亥初三刻)此年平冬至甲子二十三时二十六分一十六秒夜子初一刻十分定冬至戌时按授时百年长一之率年逺则所加分渐赢其所定岁余刻下二十五分又失之太弱是以推远年之冬至恒先天推近年之冬至恒后天徽宗崇宁三年甲申岁十一月丙申冬至大衍(丙申戌正二刻)宣明(丙申夜子初三刻)纪元(丙申巳初初刻)统天(丙申辰正三刻)重修大明(丙申巳初初刻)授时(丙申辰正二刻)此年平冬至丙申巳正一刻四分定冬至夘辰之间光宗绍熈二年辛亥岁十一月壬申冬至大衍(癸酉寅初初刻)宣明(癸酉夘正二刻)纪元(壬申未初三刻)统天(壬申午初一刻)重修大明(壬申未初三刻)授时(壬申午初一刻)此年平冬至壬申午正初刻都临安迟一刻午正一刻定冬至在己末宁宗庆元三年丁巳岁十一月癸夘日南至大衍(甲辰未正初刻)宣明(甲辰酉初三刻)纪元(甲辰子正三刻)统天(癸夘亥正一刻)重修大明(甲辰子正三刻)授时(癸夘亥正一刻)此年平冬至癸夘亥正三刻八分临安迟一刻夜子初初刻八分定冬至亥初三刻宁宗嘉泰三年癸亥岁十一月甲戌日南至大衍(丙子丑正一刻)宣明(丙子夘初初刻)纪元(乙亥午初三刻)统天(乙亥巳初初刻)重修大明(乙亥午初三刻)授时(乙亥巳初一刻)今推此年平冬至乙亥巳初三刻临安巳正初刻定冬至约减五刻有竒在辰正二刻当时推甲戌厯误也宁宗嘉定五年壬申岁十一月壬戌日南至大衍(癸亥夘正初刻)宣明(癸亥巳初四刻)纪元(壬戌申正二刻)统天(壬戌未初二刻)重修大明(壬戌申正初刻)授时(壬戌未初二刻)此年平冬至壬戌未正初刻四分临安迟一刻未正一刻四分定冬至午正一刻理宗绍定三年庚寅岁十一月丙申日南至大衍(丁酉申初二刻)宣明(丁酉戌初二刻)纪元(丁酉丑初三刻)统天(丙申亥正一刻)重修大明(丁酉丑初三刻)授时(丙申亥正一刻)此年平冬至丙申亥正二刻十一分临安亥正三刻十一分定冬至亥正初刻理宗淳祐十年庚戌岁十一月辛巳日南至大衍(壬午未初初刻)宣明(壬午酉初初刻)纪元(辛巳亥正三刻)统天(辛巳酉正二刻)重修大明(辛巳亥正一刻)授时(辛巳酉正三刻)此年平冬至辛巳酉正三刻十一分临安戌初初刻十一分定冬至酉正二刻元世祖至元十七年庚辰岁十一月己未夜半后六刻冬至大衍(己未亥初初刻)宣明(庚申丑初一刻)纪元(己未夘初初刻)统天(己未丑初初刻)重修大明(己未夘正初刻)授时(己未丑初一刻)今推此年平冬至五十五日一时一十八分四十六秒己未丑初一刻四分高冲在冬至后四分有竒约减均十二秒加时约五分定冬至丑初一刻九分与当时郭太史测算气应五十五日○六百分者宻合梅先生云以上自鲁僖公以来冬至日名共四十七并至元辛巳有刻为四十八事授时法合者三十八不合者昭公己夘刘宋元嘉丙子大明辛丑陈太建壬辰丁酉隋开皇甲寅唐贞观甲辰己酉宋景德丁未嘉泰癸亥共十统天厯同今按四十七事日名或有不合其间有厯误有史误今以实法攷之合者不约而符不合者亦灼然可见非厯误推即史误纪虽去之千百年犹旦暮也此如以有法之度度短长有凖之权权轻重故物莫能遁若大衍诸厯岁余或强或弱如权度未定既不可以称量而统天之距差躔差授时之百年长一又于执秤执尺之时参以智巧之私实为无理之法其不合者固不合其幸合者亦不知其实未尝合也近年冬至时刻可定去之远者不能细定刻分以小轮半径古多今少难得确率耳若其大致固可上下参攷而知当不违天甚逺孟子曰苟求其故千岁之日至可坐而致恒岁实最卑行小轮差皆其故也后之治厯者精求诸此而已若诸家立法虽不可不知要之皆已陈之刍狗不可再用者也元史云自春秋献公以来凡二千一百六十余年用六厯推筭冬至凡四十九事大衍合者三十二不合者十七宣明合者二十六不合者二十三纪元合者三十五不合者十四统天合者三十八不合者十一大明合者三十四不合者十五授时合者三十九不合者十事按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至授时得甲寅统天得乙夘后天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至授时统天皆得辛亥与天合下至昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至授时统天皆得戊子并先一日若曲变其法以从之则献公僖公皆不合矣以此知春秋所书昭公冬至乃日度失行之騐一也(永按献公之年史有参差所推甲寅朔旦冬至乃刘歆三统厯以四分之法逆推非有实测纪之信史不足为据若左氏传二至则当时之厯误乃欲曲法以求合合者一而违者一不悟其幸合者之非真而以其不合者诿之于日度失行此大惑也)大衍攷古冬至谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至大衍与皇极麟德三厯皆得癸酉各先一日乃日度失行非三厯之差今以授时攷之亦得癸酉二也(永按今以法推正得甲戌日度何尝失行)大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至诸厯皆得甲申殆亦日度之差三也(永按此年冬至祖冲之攷之特详正赖当年实测可騐高冲之所在与两心差之细数虽推筭时刻未甚亲亦可得其所以未亲之由今以法宻筭其为乙酉甚确郭氏不悟统天之活法不足凭献僖逺年之幸合未可据乃以祖氏当年实测指为日度失行不亦惑乎)陈太建四年壬辰岁十一月丁夘景长大衍授时皆得丙寅是先一日太建九年丁酉岁十一月壬辰景长大衍授时皆得癸巳是后一日一失之先一失之后若合于壬辰则差于丁酉合于丁酉则差于壬辰亦日度失行之騐五也(永按壬辰岁不误丁酉岁则史误也)开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长大衍统天授时皆得丙午与天合至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至而大衍统天授时皆得壬戌若合于辛亥则失于甲寅合于甲寅则失于辛亥其开皇十四年甲寅岁冬至亦日度失行六也(永按甲寅岁乃厯误)唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长诸厯皆得甲申贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长诸厯皆得庚戌大衍厯议以永淳开元冬至推之知前二冬至乃史官依时厯以书必非候景所得所以不合今以授时攷之亦然八也(永按此二至若非厯误即史误)自前宋以来测景騐气者凡十七事其景德丁未岁戊辰日南至统天授时皆得丁卯是先一日嘉泰癸亥甲戌日南至统天授时皆得乙亥是后一日一失之先一失之后若曲变其数以从景德则其余十六事多后天从嘉泰则其余十六事多先天亦日度失行之騐十也(永按此二至皆厯误非日度失行)前十事皆授时所不合以此理推之非不合矣葢类其同则知其中辨其异则知其变今于冬至畧其日度失行及史官依时厯书之者凡十事则授时三十九事皆中(永按日为七政之主万化之宗必无失行之理其两心差之有改变亦必有恒率非失行也郭氏于十事中以八事为日度失行其说原于僧一行亦近诬矣其三十九事自以为中未必果皆中也中其日矣未必中其时刻除至元庚辰岁宻合天外推近岁之冬至时刻恒后天推逺岁之冬至时刻恒先天其故甚微非以权度细推其谁觉之)以前代诸厯校之授时为宻庶几千岁之日至可坐而致云(永按授时固宻而有未宻者存郭氏不能知也不谓人误而曰天误此非常之差谬载之史册徒为后人作笑资耳)附测景余论(勿庵先生揆日候星纪要论测景法甚详尚有三事当论永为补之)一曰表端之景虚淡分厘难得真数当倣郭太史用景符之法取表端横梁中景为的郭氏用四丈长表颇不易制四方行测损其制度一丈亦可矣而表端为太阳上边之景虽以太阳半径减之可得中景而犹患其虚淡难真宜倣郭法长丈者只作九尺端为两岐(代二龙)以持横梁合之长一丈以薄铜叶为景符钻小窍以达日光顺其斜倚之势游移前却于虚景之中取横梁之景于圭面则所得者为中景而分数亦真一曰太阳离天顶稍逺则地面与地心有南北差太阳恒降而下当检气差表求太阳视纬高弧加于本纬一曰极高多度之方冬至太阳近地平有青蒙气差能升太阳使高景为之稍短此蒙气差难筭宜以夏至之景参校(夏至近天顶无蒙气而降下之南北差亦甚微)求黄赤北纬以知南纬(黄赤间纬度分古多今少)以本方冬至气差加于南纬以冬至景长推算高弧可得蒙气差○后二事景差之最微者试以元史证之元史授时厯议云今京师长表(四丈)冬至之景七丈九尺八寸有竒夏至之景一丈一尺七寸有竒(寸下之分不著者每岁二至加时不等故也)按京师观象台北极出地三十九度五十五分今所测定者也今时黄赤距纬二十三度半稍弱元时距纬则不止二十三度半姑以二十三度半计之加于极高以减象限其余二十六度三十五分为冬至高弧检二十六度三十五分之余切线一九九八四一以四乗之(表四丈故)已有七丈九尺九寸有竒之景再加距纬之大与太阳南北差则景当更长而当时所测定者七丈九尺八寸有竒以余切求高弧为二十六度三十七分减太阳下二分以减赤道高五十度五分若只二十三度三十分者岂非蒙气升卑为高乎 再以夏至攷之景长一丈一尺七寸有竒以四归之二九三有竒则七十三度四十分之余切以赤道高弧五十度○五分减之北纬有二十三度三十五分岂非近天顶无蒙气差而太阳降下之数又微故见其本纬之景乎○再以北纬二十三度三十五分减赤道高为高弧二十六度三十分又约减太阳降下二分则冬至高弧宜二十六度二十八分而景长之高弧二十六度三十七分是蒙气升太阳九分也郭太史时八线之筭法未备太阳南北差近地蒙气差机窍未启但能纪其表景尺寸不能详其冬至二至所得黄赤距度有微差今则一一可攷而知数学卷四
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钦定四库全书数学卷五婺源江永撰七政衍(勿庵先生论七政小轮之动由本天之动七政之动由小轮之动其说极当七政中月尤纷错按厯象考成五星有三小轮而月更有次均轮不惟次均轮而已且更有负圏是月之小轮独有五也今以七政各轮之左右旋与其带动自动不动之异本先生之说一一衍之且为绘图诸轮了然在目而七政之高下行度亦可知其梗概矣)太阳诸轮日有本天有本轮有均轮○本天以地为心随宗动天左旋而稍缓故渐右移(本勿庵先生之说)○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上(亦本勿庵先生说)其枢左旋带动均轮(本轮之顶为最高底为最卑轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高最卑之行)○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动日○日体定于均轮之上随均轮而右旋均轮旋而日体之上下不变(别有说见后)太阴诸轮月有本天有本轮有均轮有负圏有次轮有次均轮○本天以地为心随宗动天左旋而最缓故右移甚速○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮(本轮之顶为月孛其底为入转轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生月孛之行)○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动负圏(负圏所以负次轮其心在均轮上并均轮全径与次轮半径为负圏半径)○负圏之心定于均轮之上其枢不动随均轮而右旋带动次轮(若无负圏则次轮无为带动者矣)○次轮之心定于负圏之上随负圏而出入于本轮(有时在本轮内有时出本轮外)其周恒与均轮相切(与五星次轮心在均轮上者异)其枢左旋(与土木火三星次轮右旋者异)带动次均轮(月独有○次均轮)次均轮之心定于次轮之上其枢不动随次轮而左旋带动月(厯法西传谓月在次轮上右旋非也○他轮一左旋一右旋则其枢转动惟负圏与均轮同为右旋次均轮与次轮同为左旋是其枢不转动)○月体定于次均轮之上随次轮与次均轮而左旋(月在次均轮其详见后)轮旋而月体之上下不变(亦说见后)土木火三星诸轮土木火三星在日之上有本天有本轮有均轮有次轮有绕日圏○本天以地为心随宗动天左旋而差缓各以次第土最缓木次之火次之其右移皆迟(土约二十九年半一周木约十二年一周火约二年一周)○本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮(本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行)○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮(土木次轮与太阳本天等大惟火星次轮时时不同本轮高而太阳又高者最大本轮卑而太阳又卑者最小二者皆在高卑之中则与太阳本天等大)○次轮之心定于均轮之上其枢右旋带动星○星体各定在次轮之上随次轮而右旋○次轮亦名岁轮星在岁轮周左旋聨其行迹遂成绕日圆圏(与各星本天等大火星圏时时不等)其度左旋(与次轮右旋之度相应)金水二星诸轮金水二星在日之下(论其本天则然因有岁轮与日天等大有时负星出于日上)亦有本天有本轮有次轮又有伏见轮○本天皆小在日天之内(本勿庵先生晩年之说旧说即以太阳之天为金水本天)以地为心随宗动天左旋而稍缓遂右移其右移速于上三星(金二百二十四日竒周天水八十八日周天亦本勿庵先生说旧说以周次轮为周天)本天右移带动本轮○本轮之心定于本天之上其枢左旋带动均轮(本轮均轮皆在日天之下厯家以太阳天为本天伏见轮为次轮遂置本轮均轮于太阳天皆假设非本象○本轮之顶为最高轮枢左旋视本天之右移者稍缓因生最高之行)○均轮之心定于本轮之上其枢右旋带动次轮(次轮皆与日天等大)○次轮之心定于均轮之上其枢左旋带动星○次轮亦曰岁轮(犹上三星之歳轮厯家以伏见轮为次轮或曰歳轮勿庵先生非之详见五星纪要愚为发明详见金水发微)星体各定在岁轮上随之左旋(上三星在岁轮上右旋金水在岁轮上左旋皆向日也)○星在岁轮周左旋聨其行迹亦成绕日之轮为伏见轮(与本天等大犹上三星之绕日圏)其度右旋(与歳轮左旋之度相应)七政诸轮起㸃行度七政本天平行皆起冬至㸃太阳本轮起最卑㸃为初宫初度顺布十二宫最高㸃为六宫初度(因今时最卑㸃近冬至遂以此为始)○太阳均轮起最近㸃(谓最近于本轮心即均轮之顶在最高时为均轮之底)即最卑最高时日体所在其度恒以两度当一度本轮左旋一度均轮右旋两度本轮左旋一象限均轮右旋半周日在最逺之㸃(谓最逺于本轮心)本轮左旋半周均轮右旋一周复于最近㸃太阴本轮起最高㸃为初宫初度即月孛所在(中法以孛对冲为月入转是起最卑西法起月孛)顺布十二宫最卑㸃为六宫初度(即古法入转)○太阴均轮起最近㸃(谓最近于本轮心最高时为轮底最卑时为轮顶)即最高最卑时次轮最近㸃所到其度亦以两度当一度本轮左旋半周均轮右旋一周○太阴次轮朔望起最近㸃(此最近㸃谓最近于均轮心)与均轮邉相切(他星次轮心在均轮周月次轮独与均轮相切而轮心在负圈上)又为次均轮心所到其度亦以两度当一度本天右旋月离日一度则次轮左旋两度(囘厯谓之倍离度○左旋者左旋于负圈之上)次均轮心遂至其处两弦左旋半周次均轮心在最逺(谓最逺于均轮心)此轮惟顺布六宫朔至望一周望后复起初宫○太阴次均轮月体在其上从轮心出线距地心(惟最高最卑两㸃无初均此线正其余皆是斜线)作十字线于轮面(距线正则十字线皆正距线斜则十字线皆斜)朔望时月体当线上常在其下两弦时月体当线上常在其上朔弦与望弦间(初四初五十八十九)月体常在十字横线之左(东方)弦望与弦朔间(十一十二廿六廿七)月体常在十字横线之右(西方)亦一月而两周○土木火三星本轮起最高㸃为初宫初度顺布十二宫最卑㸃为六宫初度○三星均轮起最近㸃(谓最近于本轮心)即最高最卑时次轮心所到其度亦以两度当一度次轮心在其上本轮左旋半周均轮右旋一周○三星次轮星体在其上与太阳合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲太阳时在轮之底为六宫初度○三星绕日圏合伏在顶冲日在底与次轮同但顺布十二宫厯家不用金水二星本轮起最高㸃顺布十二宫与上三星同○金星均轮起最近㸃为最高最卑时岁轮心所到其度亦以两度当一度岁轮心在其上与上三星同○水星均轮起最逺㸃(谓最逺于本轮心即均轮之顶)为最高时岁轮心所到(最卑时岁轮心在最近㸃亦均轮之顶)其度以三度当一度岁轮心在其上本轮左旋四宫均轮右旋一周本轮一周均轮三周(七政均轮他皆起最近㸃倍引数惟水星均轮起最逺㸃三倍引数)○金星次轮本是岁轮星体在其上合伏时起轮之顶顺布十二宫厯家不用○金水伏见轮本是岁轮上星行之迹所成厯家用之合伏时起轮之顶为初宫初度逆布十二宫冲日在轮之底为六宫初度日月体上下有定日在均轮上月在次均轮上虽随轮转(日右转月左转)而日月之本体上下有定葢其底恒对地心也日之转动与否不可见而月则有黑影(西人谓之月驳)恒定不易则日体亦常定可知五星当亦然甲为地心乙丙丁为本天界戊己庚辛为本轮壬癸为均轮子为日体在均轮上○庚为最卑(亦曰髙冲)戊为最高此设均轮在最卑(初宫)则日体在子若到三宫(辛㸃)则日体当丑到最高(六宫)则日体在卯到九宫(已㸃)则日体当寅#甲为地心乙丙丁为本天界寅戌申酉为本轮壬子癸丑为均轮癸未辰午为次轮亥夘为次均轮戊庚己辛为负圈○寅为最高(即月孛)申为最卑此设均轮心在最高(初宫)则次轮与均轮相切于癸又设当朔望时癸即次均轮心所到而月体在夘若均轮到三宫(戌㸃)则次轮与均轮相切于心均轮在最卑(六宫)则次轮与均轮相切于角均轮到九宫(酉㸃)则次轮与均轮相切于房丙至氐初均减度之最大丙至亢初均加度之最大者也若均轮到三宫又当两弦时则月体在斗视度在牛均轮到九宫又当两弦时则月体在尾视度在箕亢至箕氐至牛二三均加减度之大者也(月有诸轮行度最多变态后分十二宫图之)○本天大于本轮半径约十七倍有竒月本轮初宫图次均轮行于次轮不能徧图每一图以四为率上次均轮朔望时○右次均轮朔弦望弦间下次均轮上下弦时○左次均轮弦望弦朔间子斗丑为本天界丙寅辰夘为未轮轮心在斗设当轮最高(丙㸃)为初宫初度则均轮(庚牛丁女)心在丙而负圈(辛癸甲壬)之心在庚次轮(丁牛未申)丁㸃与均轮相切如其正当朔望也则次均轮(戊乙)心在次轮均轮相切之处(丁)而月体在乙(次均轮之底)此时无加减度从丙乙斗辰巳线直下至地心(线长不能图只图其上截后倣此)为次轮最近㸃距地心线减去次均轮半径(丁乙)为月距地心线○如其行至朔弦望弦之间(初四初五十八十九)则次均轮(角酉)心到午午奎亥为轮心距地心线奎斗其减度(次均)月体在酉酉壁戌为距线奎壁其加度(三均)壁斗则减定度也○如其行至上下弦则次均轮(房心)心到未月体在房与朔望距地心线合为一(惟乙房为月体相距之差)亦无加减度○如其行至弦望弦朔之间(十一十二廿六廿七)则次均轮(亢氐)心到申申危箕为轮心距地心线危斗其加度(次均)月体在氐氐室尾为距线危室其减度(三均)室斗则加定度也○凡诸直线皆下至地心本轮心在本天甲房为最高设本轮行一宫则均轮心到未(房未三十度)负圈心在申(从房至申六十度)次轮与均轮相切于丁(求丁㸃之法先作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之即丁㸃所在丙丁弧六十度倍于庚未丙丁其通弦)丁酉寅为次轮最近㸃距地心线酉甲其减度(初均)朔望次均轮心在丁月体在癸丁癸酉寅与初均距线合为一故朔望无次均加减(后倣此)朔弦望弦间次均轮心在己巳戌午为距线酉戌其减度(次均)月体在庚庚亥辰为距线亥戌其加度(三均)亥酉为二三均减度亥甲减定度也上下弦次均轮心在辛角辛巳为距线角酉其减度(次均)月体在壬壬辛巳距线与次均同故上下弦即以次均为三均(后倣此)角甲减定度也弦望弦朔间次均轮心在戊氐戊丑为距线氐酉其加度(次均)月体在子亢子夘为距线亢氐为减度(三均)亢酉为二三均减度亢甲减定度也本轮心在本天甲亢为最高设本轮行二宫则均轮心到辛(亢壬辛六十度)负圈心在角(从尾至角一百二十度)次轮与均输相切于丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之为乙丙丁弧一百二十度倍于亢辛丙丁其通弦)丁亥夘为次轮最近㸃距地心线亥甲其减度(初均)朔望次均轮心在丁月体在癸无次均朔弦望弦间次均轮心在戊戊丑未为距线丑亥其减度(次均)月体在子子氐辰为距线氐丑其加度(三均)氐亥为二三均减度氐甲为减定度上下弦次均轮心在巳巳酉申为距线酉亥其减度(次均)月体在房同次均酉申减定度也弦望弦朔间次均轮心在庚戌庚心为距线戌亥其减度(次均)月体在寅午寅巳为距线午戌其减度(三均)午亥二三均减度午甲减定度本轮心在本天甲未为最高设本轮行三宫均轮心到丙(未氐丙九十度)负圈心在乙(从丁厯氐至乙一百八十度)次轮与均轮相切于丁(甲乙丙丁为直线无勾股甲乙亦三倍于甲乙乙心丁弧一百八十度倍于未丙乙丁为均轮全径)丁亢丑为距线亢甲其减度(初均)朔望次均轮心在丁月体在辛无次均朔弦望弦间次均轮心在戊戊酉夘为距线酉亢其减度(次均)月体在壬壬申寅为距线申酉其加度(三均)申亢为二三均减度申甲减定度也上下弦次均轮心在己巳戌午为距线戌亢其减度(次均)月体在癸同次均戌甲减定度也弦望弦朔间次均轮心在庚亥庚辰为距线亥亢其减度(次均)月体在子角子巳为距线角亥其减度(三均)角亢为二三均减度角甲减定度也本轮心在本天甲癸为最高设本轮行四宫均轮心到子(癸房子一百二十度)负圈心在辛(从壬厯丁丙至辛二百四十度)次轮与均轮相切于丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形以正弦比例求得乙丙三因之为乙丁丙辛壬丁弧二百四十度倍于癸房子丙丁其通弦)丑丁寅为次轮最近㸃距地心线上至本天丑丑甲其减度(初均)朔望次均轮心在丁月体在心无次均朔弦望弦间次均轮心在戊戊夘辰为距线夘丑其减度(次均)月体在己巳午未为距线午夘其加度(三均)午丑为二三均加度午甲减定度也上下弦次均轮心在己巳申酉为距线申丑其减度(次均)月体在尾同次均申甲减定度也弦望弦朔间次均轮心在庚庚亥为距线戌丑其减度(次均)月体在角亢角氐为距线亢戌其减度(三均)亢丑二三均减度亢甲减定度也本轮心在本天甲子为最高设本轮行五宫均轮心到壬(子尾壬一百五十度)负圈心在辛(从癸厯丁丙至辛三百度)次轮与均轮相切于丁(求丁㸃作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁丙辛癸丁弧三百度倍于子尾壬丙丁其通弦)丁申为次轮最近㸃距地心线上至本天午午甲其减度(初均)朔望次均轮心在丁月体在未无次均朔弦望弦间次均轮心在戊戊丑寅为距线丑午其加度(次均)月体在夘夘辰巳为距线辰丑其加度(三均)午辰为二三均加度辰甲减定度也上下弦次均轮心到己巳酉戌为距线酉午其减度(次均)月体在亥同次均酉甲减定度也弦望弦朔次均轮心到庚角庚亢为距线角午其减度(次均)月体在氐房氐心为距线房角其减度(三均)房午二三均减度房甲减定度也本轮心在本天甲乙为最高设本轮行六宫均轮心到丙(乙亥丙一百八十度)负圈心在辛(从辛厯角丁亢至辛一周)次轮均轮相切于丁(均轮心在最卑无勾股形从丁歴亢辛角至丁一周倍于乙亥丙)丁辛癸为次轮最近㸃距地心线上至本天甲为一直线无初均加减度朔望次均轮心在丁月体在壬同一直线亦无次均度朔弦望弦间次均轮心在戊子戊丑为距线子甲其加度(次均)月体在寅夘寅辰为距线夘子其加度(三均)夘甲二三均加度即加定度也上下弦次均轮在巳月体在午与朔望同一直线亦无次均弦望弦朔间次均轮心在庚未庚申为距线未甲其减度(次均)月体在酉子酉戌为距线子未其减度子甲二三均减度即减定度也本轮心在本天甲辛为最高设本轮行七宫均轮心到子(辛丑子二百一十度)负圈心在壬(从癸右旋一周复至壬六十度)次轮与均轮相切于丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁六十度丙丁其通弦)丁夘寅为次轮最近㸃距地心线上至本天午午甲其加度(初均)朔望次均轮心在丁月体在夘无次均朔弦望弦间次均轮心在戊辰戊巳为距线辰午其加度(次均)月体在未申未酉为距线申辰其加度(三均)申午二三均加度申甲加定度也上下弦次均轮心到巳巳亥角为距线亥午其加度(次均)月体在戌同次均亥甲加定度也弦望弦朔间次均轮心到庚庚亢氐为距线亢午其减度(次均)月体在房房心尾为距线心亢其减度(三均)心午二三均减度心甲加定度也本轮心在本天甲辛为最高设本轮行八宫均轮心到癸(辛壬癸 百四十度)负圈心在子(从丑右旋一周复至子一百二十度)次轮与均轮相切于丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁一百二十度丙丁其通弦)丁寅辰为次轮最近㸃距地心线上至本天夘夘甲其加度(初均)朔望次均轮心在丁月体在寅无次均朔弦望弦间次均轮心到戊午戊未为距线午夘其加度(次均)月体在申酉申戌为距线酉子其加度(三均)酉夘二三均加度酉甲加定度也上下弦次均轮心到巳巳亥亢为距线亥夘其加度(次均)月体在角同次均亥甲加定度也弦望弦朔间次均轮心到庚庚房心为距线房夘其加度(次均)月体在氐氐斗尾为距线斗房其减度(三均)斗夘二三均减度斗甲加定度也本轮心在本天甲壬为最高设本轮行九宫均轮心到丙(壬辛丙二百七十度)负圈心在乙(从丁右旋一周复至乙一百八十度)次轮与均轮相切于丁(甲乙丙丁为直线无勾股甲丁亦三倍于甲乙乙右旋一周复至丁一百八十度乙丁其通弦)丁子丑为次轮最近㸃距地心线子甲其加度(初度)朔望次均轮心在丁月体在癸无次均朔弦望弦间次均轮心在戊亢戊辰为距线亢子其加度(次均)月体在寅午寅未为距线午亢其加度(三均)午子二三均加度午甲加定度也上下弦次均轮心到己巳申酉为距线申子其加度(次均)月体在房同次均申甲加定度也弦望弦朔间次均轮心到庚庚夘氐为距线夘子其加度(次均)月体在戌戌角亥为距线角夘其减度(三均)角子二三均加度角甲加定度也本轮心在本天甲辛为最高设本轮行十宫均轮心到癸(辛壬癸三百度)负圈心在丑(从子右旋一周复至丑二百四十度)次轮与均轮相切于丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁二百四十度丙丁其通弦)丁夘辰为次轮最近㸃距地心线夘甲其加度(初均)朔望次均轮心在丁月体在寅无次均朔弦望弦间次均轮心到戊午戊未为距线午夘其加度(次均)月体在申酉申戌为距线酉午其加度(三均)酉夘二三均加度酉甲加定度也上下弦次均轮心到巳角巳氐为距线角夘其加度(次均)月体在亢同次均角甲加定度也弦望弦朔间次均轮心到庚庚心房为距线心夘其加度(次均)月体在尾尾斗箕为距线斗心其减度(三均)斗夘二三均加度斗甲加定度也本轮心在本天甲氐为最高设本轮行十一宫均轮心到尾(氐房心尾三百三十度)负圈心在斗(从箕右旋一周复至斗三百度)次轮与均轮相切于丁(作甲乙丙勾股形求得乙丙三因之为乙丁从丙右旋一周复至丁三百度丙丁其通弦)丁壬癸为次轮最近㸃距地心线壬甲其加度(初均)朔望次均轮心在丁月体在辛无次均朔弦望弦间次均轮心到戊申戊酉为距线申壬其减度(次均)月体在子戌子丑为距线戌申其加度(三均)戌壬二三均加度戌甲加定度也上下弦次均轮心到己夘己寅为距线夘壬其加度(次均)月体在辰同次均夘甲加定度也弦朔弦望间次均轮心到庚庚午未为距线午壬其加度(次均)月体在亥亥亢角为距线亢午其减度(三均)亢壬二三均加度亢甲加定度也甲为地心乙丙丁为太阳本天诸星次轮半径与之等戊己庚为火星本天辛壬癸子为火星次轮辛合伏癸冲日轮之下割入太阳本天丑寅夘为木星本天辰巳午未为本星次轮辰合伏午冲日申酉戌为土星本天亥角亢氐为土星次轮亥合伏亢冲日诸星皆有本轮均轮而次轮高下时时不同此设次轮心在平处图其大槩后分图以见之甲为地心乙丙丁为太阳本天壬子癸为土星本天戊巳庚辛为本轮午未为均轮丑夘寅辰为次轮○戊为最高庚为最卑设均轮在最高(初宫)则次轮心在未如合伏星在丑冲日星在寅次轮三宫星在夘九宫星在辰○均轮心在最卑(六宫)则次轮冲日时星在申○均轮到三宫(巳㸃)而次轮又为九宫则星到酉本天上在戌黄道上视之在氐氐丙其减度○均轮到九宫(辛㸃)而次轮又为三宫则星到亥本天上在角黄道上视之在亢亢丙其加度甲为地心乙丙丁为太阳本天壬癸子为木星本天戊巳庚辛为本轮亢氐为均轮丑夘寅辰为次轮○戊为最高庚为最卑设均轮在最高(初宫)则次轮心在氐如合伏星在丑冲日星在寅次轮三宫星在辛九宫星在巳○均轮心在最卑(六宫)则次轮冲日时星在酉○均轮到三宫(巳㸃)而次轮又为九宫则星到巳本天上在未黄道上视之在戌戌丙其减度○均轮到九宫(辛㸃)而次轮又为三宫则星到午本天上在申黄道上视之在亥亥丙其加度甲为地心乙丙丁为太阳本天戊己庚为火星本天壬子癸丑为本轮夘午为均轮寅辰申未为次轮○壬为最高癸为最卑设均轮在最高(初宫)则次轮心在午如合伏星在寅冲日星在申次轮三宫星在辰九宫星在未○均轮星在最卑(六宫)则次轮冲日时星在寅○次轮近太阳天留际加减度大均轮到三宫(子㸃)而次轮又为留顺之际星至酉本天在戌黄道上视之在亥亥丙其减度均轮到九宫(丑㸃)而次轮又为留退之际星至角本天上在亢黄道上视之在氐氐丙其加度○房心为次轮割入太阳天处○火星次轮半径时时不等此图其大小之中者○五星皆以太阳为心如磁石之引针但土木金水以太阳本轮之心为心而火星独以太阳实体为心次轮虽与日天等大而半径时时不同算法置本星于最卑兼太阳高卑算之得数加于最卑之数即次轮半径之数所以然者何也火与日同类故其精相摄也甲为地心乙戊己辛为太阳本天(即黄道厯家用伏见轮借为金星本天)庚子癸壬为星本天寅酉夘未为岁轮亢为本轮角为均轮最高时岁轮心在均轮之底合伏星在寅退合星在申两留际星当黄道之亥戌○本轮均轮设于本天岁轮心在其上本象也星在岁轮周成绕日圆象为寅辰申午伏见轮亦设本轮(丙)均轮(丁)于其上最高时伏见轮心在均轮之底星行伏见轮与岁轮不殊(详金水发微)甲为地心乙夘丑寅为太阳本天(厯家借为水星本天)戊癸庚辛为星本天午己子辰为岁轮己为本轮壬为均轮最高时岁轮心在均轮之顶合伏星在午退合星在未两留际星当黄道之戌亥○星在岁轮周成绕日圆象为(午申酉未)伏见轮亦设本轮(丙)均轮(丁)于其上最高时伏见轮心在均轮之顶星行伏见轮与歳轮不殊(详见金水发微)数学卷五#
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钦定四库全书数学卷六婺源江永撰金水𤼵微(勿庵先生五星纪要前数章论金水左旋右旋犹仍厯书之说以伏见轮同岁轮后因门人刘允恭悟得金水自有岁轮而伏见轮乃其绕日圆象因详为之说发前人所未发永初见此说颇疑之即杨学山记卷末一条亦疑而不敢质再三思之绘图试之果见伏见轮之绕日实由岁轮上星行轨迹所成而二星本天皆在日天之下厯家以太阳之天为金水天以伏见轮当次轮皆见其末而未及其本也此说悟于刘而勿庵先生发明之使五星高下迟速之原归于一贯即此一事已大有功于天学然非多作图象详为之说观者终难了然是以特为此卷以发先生之覆并可释学山之疑)勿庵先生曰问五星之法至西厯而详明然其旧说五星各一重天大小相函而皆以地为心其新说五星天虽亦大小相函而以日为心若是其不同何也曰无不同也西人九重天之说第一重宗动天次则恒星天又次土星次木星次火星次太阳次金次水次太阴是皆以其行度之迟速而知其距地有逺近因以知其天周有大小理之可信者也星之天有大小既皆以距地之逺近而知则皆以地心为心矣是故土木火三星距地心甚逺故其天皆大于太阳之天而包于外金水二星距地心渐近故其天皆小于太阳之天而在其内为太阳天所包是其本天皆以地为心无可疑者惟是五星之行各有岁轮岁轮亦圆象五星各以其本天载岁轮岁轮心行于本天之周星之体则行于岁轮之周以成迟疾留逆若以岁轮上星行之度聨之亦成圆象而以太阳为心西洋新说谓五星皆以日为心葢以此耳然此围日圈象原是岁轮周行度所成而岁轮之心又行于本天之周本天原以地为心三者相待而成原非两法故曰无不同也(上三星在岁轮上右旋金水在岁轮上左旋皆挨度平行)○夫围日圏象既为岁轮周星行之迹则迟留逆伏之度两轮皆有之故以岁轮立算可以得其迟留逆伏之度以围日圆轮立算所得不殊立法者溯本穷源用法者从简便算如厯书上三星用岁轮金水二星用伏见轮皆可以求次均立算虽殊其归一也或者不察遂谓五星之天真以日为星失其指矣○厯指又尝言火星天独以日为心不与四星同余甞断其非是作图以推明地谷立法之根原以地为本天之心其说甚明其金水二星厯指之说多淆亦久疑其非今得门人刘允恭悟得金水二星之有歳轮其理的确而不可易可谓发前人之未发矣○问金水二星之求次均也用伏见轮厯指谓其即岁轮其说非与曰非也伏见轮之法起于囘厯而欧逻因之若果即岁轮何为别立此名乎由今以观葢即岁轮上星行绕日之圆象耳(王寅旭书亦云伏见轮非歳轮)○然则伏见轮既为围日之迹上三星宜皆有之何以不用而独用之金水曰以其便用也葢五星行于岁轮起合伏终合伏皆从距日而生故五星之岁轮并与日天同大而岁轮之心原在本天周故其围日象又并与本天同大上三星之本天包太阳外其大无伦又其行皆左旋(所以左旋之故详具后论)颇费解说故只用岁轮也至于金水本天在太阳天内伏见轮既与之同大又其度顺行故用伏见轮(亦即绕日圆象)若用岁轮则金水之歳轮反大于本天(以歳轮与日天同大故皆大于本天)故不用岁轮非无岁轮也承用者未能深考立法之根辄谓伏见轮即岁轮其说似是而非不可不知也伏见亦起合伏终合伏有似岁轮然岁轮之心行于本天之周而伏见轮以太阳为心故遂以太阳之平行为平行皆相因而误者也○然则金水既非以太阳之平行为平行又何以求其平行曰歳轮之心行于本天是为平行乃实度也实度者周度也(以本天分三百六十度而以各星周率平分之则得其每日平行如土星二十九年竒而行本天一周则二十九日而行一度每日平行十九分度之一是为最迟木星十二年周天每日平行约为十二分度之一火星二年周天约为每日平行半度金星二百二十余日周天约每日平行一度半强水星八十八日弱而周天约每日平行四度皆平行实度)若岁轮及伏见轮虽亦各分三百六十度亦各有其平行然而非实度也(此非本天上平行之度又非从地心实测之平行度)乃各星之离度耳因此离度(下文详之)用三角法从地心测之则得其迟留伏逆之状亦为实度矣(此实度不平行与本天之平行实度不同)○本天之度平行实度也岁轮及伏见乃离度也离度为虚数故皆以半径之大小为大小○伏见轮上行度与岁轮同所不同者半径也伏见之半径皆同本天岁轮之半径皆同日天○问何以谓之离度曰于星平行内减去太阳之平行故曰离度乃离日之度也以太阴譬之其每日平行十三度竒者太阴平行实度每日十二度竒者太阴之离度也(于太阳平行内减太阳平行)是故金星每日行大半度竒水星每日约行三度皆于星平行内减太阳之平行○因金水行速其离度在太阳之前乃星离于日之度故其度右旋顺行与太阴同法也○若上三星则当于太阳平行内减去星行是为离度葢以上三星行迟在太阳之后乃星不及于日之度其度左旋而成逆行与太阴相反然其为离日之行度一而已矣(王寅旭五星行度解谓上三星左旋葢谓此也然竟以此为本天终非了义)○平行者对实行而言也然实行有二一是本天最高卑之行亦曰实行一是黄道上迟留逆伏实测亦曰视行是二者皆必以本天之平行为宗○若金水独以太阳之平行为平行是废本天之平行矣又何以求最高卑乎○围日之轮(即伏见轮)起合伏终合伏是即古法之合率也本天之行即古法之周率也最高卑即古法之厯率也又有正交中交以定纬度即如古法之太阴交率也(此一法是西法胜中法之一大端)是数者皆必以本天取之故不得以围日之轮为本天○厯指言金星正交定于最髙前十六度水星正交与最高同度其所指皆本天之度非伏见行之度则伏见轮不得为本天明矣○今以七政厯徴之不惟最高卑之盈缩有定度即其交南北亦有定度故金星恒以二百二十余日而南北之交一终水星则八十八日竒而交终此皆论本天实度原不论伏见行是尤其较著者矣永按七政皆有本天本天皆有平行之实度月与五星皆有次轮而五星次轮亦曰岁轮皆因离日逺近#而生离度月之离度起合朔终合朔五星离度起合伏终合伏土木火三星在日之上其本天大其右行之度迟则于太阳平行度内减其星之行度是为岁轮上离度合伏至冲日半轮星西而日东冲日至合伏半轮星东而日西金水二星在日之下其本天小其右行之度速则于本天平行度内减太阳平行度为岁轮上离度合伏至冲日星东而日西冲日至合伏星西而日东金水本天虽小而岁轮亦如上三星与日天等大星在岁轮上半周则岁轮负星出日上至下半周乃在日天下其绕日之圆象实由岁轮上星行轨迹所成与上三星成绕日大圆者同理而厯家别名为伏见轮但于伏见轮上离度筭其距日实行则与岁轮所得不殊又即以太阳之平行为二星之平行皆径捷之权法而承用者遂以伏见当岁轮以日天为二星本天且置本轮均轮于日天上而二星之本天与岁轮皆隐得勿庵先生发其蕴本象始明终疑金星二百二十四日竒周天水星八十八日周天何以能终古附日也乃多作图以显其象此设金星合伏时在岁轮之顶以为起算之端因及岁轮心行一象限也甲为地心亦为金星本天与黄道之心乙丁己戊为黄道午酉未申为本天庚辛心壬为岁轮庚辰寅夘为伏见轮岁轮心午在本天周乙为太阳庚为星合伏时星在日上从甲望之同在一直线此星在岁轮上本象也若设伏见轮绕日乙为轮心即太阳其合伏之㸃庚即岁轮之顶星在岁轮顶即在伏见轮顶也若向后五十六日有竒岁轮心行一象限(此姑以轮心行言之实因本天右旋故带动岁轮也又本天上更有本轮本轮上有均轮岁轮心在均轮上其差者微此姑勿论后倣此)至酉为辰子丑癸轮则太阳自乙行至丙(五十五度竒)而星在岁轮上自癸行至亥(三十四度竒癸即前之合伏㸃庚)其绕日之伏见轮(戌亥氐亢)心至丙其周与岁轮交于亥(亥为星所到)房至亥(房为合伏㸃)犹癸至亥也(同度)此又五十六日竒并前为一百十二日竒岁轮又行一象限心至未也(凡行象限)二太阳自乙至辰一百十度竒星自心至子六十九度竒若自伏见轮上观之轮心在辰其周与岁轮交于子子即星所到也丑至子犹心至子也(丑与心皆合伏㸃)黄道上角至辰即星离日次均度也此图有二行其一己庚辛壬岁轮心行至戊则太阳在丙星在癸而伏见轮(夘巳寅癸轮)亦交于癸其一子丑午未岁轮心行至乙则太阳在丁星在申而伏见轮(申亢酉氐轮)亦交于申○又五十六日竒并前为一百六十八日半强岁轮又行一象限心至戊(并前三象限)太阳自房心至丙一百六十六度强星自庚厯辛至癸(庚即第一图合伏庚㸃)一百○三度太强伏见轮自辰至癸亦如之(辰亦合伏㸃)○又五十六日竒并前二百二十四日半强岁轮又行一象限心至乙(并前一周)太阳自房心至丁二百二十一度半弱星自子丑至申一百三十八度半强伏见轮自戌氐至申亦如之(子戌皆合伏㸃)金星行岁轮图四此图亦有二行其一癸寅丑子岁轮心行至丙则太阳在夘星在申而伏见轮(酉申戌亥轮)亦交于申其一亢心氐房岁轮心行至丁则太阳在午星在未而伏见轮(尾箕未斗轮)亦交于未○又五十六日竒并前为二百八十一日弱岁轮又行一象限心至丙(并前一周外又一象限)太阳自辛庚至夘二百七十六度太强星自子歴癸至申(子即第一图合伏庚㸃)○又五十六日竒并前为三百三十七日强岁轮又行一象限心至丁(并前一周外又二象限)太阳自辛庚至午三百三十二度强星自氐厯房亢至未二百○七度太强(氐即第一图合伏庚㸃)伏见轮自牛厯尾箕至未亦如之(牛亦合伏㸃)此又五十六日竒并前为三百九十三日强岁轮(癸丑子寅)又行一象限(并前一周外又三象限)心至戊太阳行一周又自已至未二十七度半星自丑 子寅至酉二百四十二度半弱(丑即第一图合伏庚㸃)伏见轮自申 辰午至酉亦如之(申亦合伏㸃)此图有二行其一戊壬癸庚次轮心行至丙则太阳在房星在酉而伏见轮(酉巳亥未轮)亦交于酉其一辛斗亢牛岁轮心行至午则太阳在心星在辰而伏见轮(夘辰寅氐轮)亦交于辰○又五十六日竒并前为四百四十九日少强岁轮又行一象限心至丙(并前二周)太阳行一周又自丁至房八十二度太强星自戊厯壬癸至酉(戊即第一图合伏庚㸃)二百七十七度强伏见轮自申厯巳亥未至酉亦如之(申亦合伏㸃)又五十六日竒并前为五百○五日半强岁轮又行一象限心至午(并前二周又一象限)太阳行一周又自丁房至心一百三十八度强星自己厯辛斗亢至辰三百一十一度半强(己即第一图合伏庚㸃)伏见轮自午厯寅氐夘至辰亦如之(午亦合伏㸃)此图亦有二行其一子牛壬癸岁轮心行至丙则太阳在心星在戌而伏见轮(申酉戌亥轮)亦交于戌其一寅辰斗角岁轮心行至女则太阳在丑星在午而伏见轮(夘未巳午轮)亦交于午○又五十六日竒并前为五百六十一日太弱岁轮又行一象限心至丙(并前二周有半)太阳行一周又自丁厯戊庚至心一百九十三度半强星自壬厯癸子牛至戌三百四十六度强(壬即第一图合伏庚㸃)伏见轮自亢厯亥申酉至戌亦如之(亢亦合伏㸃)○又五十六日竒并前为六百一十七日太强岁轮又行一象限心至女(并前二周又三象限)太阳行一周又自丁 戊庚至丑二百四十九度稍强星自辰左旋一周至午二十一度稍弱(辰即第一图合伏庚㸃)伏见轮自房右旋一周至午亦如之(房亦合伏㸃)此设水星合伏时在岁轮之顶因及岁轮心行一象限也甲为地心丙申未午为黄道乙丁己辛为本天戊亥尾亢为岁轮戊己子癸为伏见轮岁轮心乙在本天周丙为太阳戊为星合伏时星在日上从甲视之同一直线此星在岁轮上本象若设伏见轮绕日丙为轮心即太阳其合伏之㸃戊即岁轮之顶星在岁轮顶即在伏见轮顶也(本天上更有本轮均轮岁轮心在均轮上其差皆微此勿论后倣此)○设合伏后二十二日弱岁轮行一象限(己角戌酉轮)心至丁则太阳自丙行至庚二十一度太弱星自酉至壬(酉即合伏戊㸃)六十八度少强自丑牛夘丙伏见轮上观之则自斗至壬亦六十八度少强也(斗亦合伏㸃)此图有二行其一己子丁己岁轮心行至乙则太阳在酉星在房而伏见轮(未戌房申轮)亦交于房其一午癸丑夘岁轮心行至辛则太阳在亥星在心而伏见轮(尾角斗心轮)亦交于心○又二十二日弱并前为四十四日弱岁轮又行一象限心至乙(并前二象限)太阳自庚至酉四十三度少强星自丁厯巳至房(丁即第一图合伏戊㸃)一百三十六度半强伏见轮自氐厯戌至房亦如之○又二十二日弱并前六十六日弱岁轮又行一象限心至辛(并前三象限)太阳自庚至亥六十五度强星自癸厯丑夘至心二百○五度弱(癸即第一图合伏戊㸃)伏见轮自亢厯角斗至心亦如之(亢亦合伏㸃)此图有三行其一戊寅庚夘岁轮心行至乙则太阳在午星在酉而伏见轮(酉栁女尾轮)亦交于酉其一辰子己房岁轮心行至氐则太阳在未星在戌而伏见轮(斗牛虚戌轮)亦交于戌其一丙亢壬角岁轮心行至巳则太阳在申星在亥而伏见轮(井室亥危轮)亦交于亥○又二十二日弱并前为八十八日弱岁轮又行一象限心至乙(并前一周)太阳自丁行至午八十六度太弱星自戊厯寅庚夘至酉(戊即第一图合伏戊㸃)二百七十三度少强伏见轮自心厯栁女#尾至酉亦如之(心亦合伏㸃) 又二十二日弱并前为一百一十日弱岁轮又行一象限心至氐(并前一周又一象限)太阳自丁行至未一百○八度少强星自房厯辰子巳至戌(房即第一图合伏戊㸃)三百四十一度半强伏见轮自壁厯虚牛斗至戌亦如之(壁亦合伏㸃)○又二十二日弱并前为一百三十二日弱岁轮又行一象限心至巳(并前一周半)太阳自丁至甲一百二十日强星自壬左旋一周又五十度弱至亥(壬即第一图合伏戊㸃)伏见轮自奎右旋一周复至亥亦如之(奎亦合伏㸃)锡山杨学山作枚曰(书五星纪要后)西法步五星土木火有岁轮金水有伏见轮虽两轮行度求角之法皆同然岁轮上为星离日之虚度轮心在本天伏见轮则有自行度轮心即太阳细按厯书之说葢谓上三星本天包太阳天外星离日而又与日有定距是生岁轮其半径恒与太阳天等若金水之本天即太阳天其平行与太阳同距等亦与太阳等(俱一千一百四十二地半径)而此伏见一轮以日为心绕日环转而为伏见使非此轮则星无所为伏见(以平行同太阳故也)故名伏见轮其轮之半径皆有定度(金星七千二百竒水星三千八百竒)是其意原非以伏见轮当岁轮若果即为岁轮则半径宜有大小何则火星因与太阳天近尚有日躔本天二差以变次均角岂金水在太阳天下而反无之今测不然是伏见轮另为一种行动为金水之所独故昔人别立伏见轮之名也其所云即岁轮者葢因行法相同而混言之耳今勿庵之说又异是谓五星皆同一法皆有岁轮上三星因本天大故用岁轮金水因岁轮大难用故用绕日圆象(即伏见轮如上三星围日之圏)如此可明金水自有本天因得自有高卑亦自有平行度因在日天下速于太阳本天斜倚黄道因有正交中交之名诸根底俱有著落且五星一贯但依此立算凡星平行自行之根数初均次均之度分南纬北纬之大小皆与厯书数迥异騐之于天未识合否余尝疑厯指论五星纬说多混淆金水尤畧因作五星纬行解一卷明之勿庵之说不敢遽定其是非存之以待参攷焉永按学山先生谓勿庵之说不敢遽定其是非今绘图试之岁轮上星所到与伏见轮上星所到一一相符则勿庵先生之说信矣然诸图皆设歳轮心于本天未设本轮均轮愚初犹疑本轮均轮设于本天未必能符伏见轮上所算之数也既而拟法算之(算例见后)虽平行自行初均次均与伏见算大异而以后均加减岁轮行则与伏见所算之实行不约而同于是前疑尽释而算例亦可立矣若南纬北纬之大小勿庵先生已详言之谓本天上岁轮心所行之周半在黄道北半在黄道南其势斜立星体行伏见轮周其势亦斜立与之相应故其交角等夫交角既等则岁轮上之纬与伏见轮之纬亦必等岂两轮事事相符而纬行一事独违异者况星之纬南纬北实由岁轮心所到乎(轮心到正交中交则无纬度)杨先生亦可无疑于此也永别有余论具于左凡星体皆载于岁轮上岁轮之心在均轮均轮之心在本轮本轮之心在本天其大迟速在本天之行其小盈缩在本轮均轮之转五星皆同歳轮由星为太阳所摄而生岁轮随本天旋转聨其行迹自成绕日之轮其轮各与本天等大若主太阳言之似星本绕日因星在绕日轮上旋转而成与太阳本天等大之岁轮(西士谓五星皆以日为心)若主本天言之则绕日轮生于岁轮勿庵先生始谓上三星之绕日为虚迹非实象后又谓金水伏见轮亦如围日之圆象实为歳轮周行度所成然则本天与岁轮犹表也绕日圏伏见轮犹景也置本轮均轮于金水岁轮上与伏见轮上所算之黄道度不殊然则上三星亦可置本轮均轮于绕日圏上立算此天能之巧妙若上三星用岁轮金水用伏见轮则步算之权宜也各星本轮均轮止一耳何以随人两置之而皆可由其本同故也其所以然者不出三角之理后有图明之厯家于金水何以不用岁轮立算伏见显而歳轮隐也然则厯家既便于伏见立算矣必不用歳轮之隐而曲勿庵先生之说亦可置勿论乎曰不然畴人之所便用者法也儒家所讲求者理也有勿庵之说而后知二星亦有本天有岁轮与上三星一贯因其本天在日天下故其左旋者渐迟右旋者渐速下至太阴上至恒星高下迟速各以其等而西人始言天有重数之说得此益明故愚以为甚有功也否则但以二星之行与日等其本天与日天混而为一乌覩所谓九重者乎梅先生恐人谓岁轮实有坚硬之物则有人持珠竿行于浮屠梯磴之喻门人刘著亦有风中放纸鸢之喻皆谓员周为虚设二喻皆妙永又思之使其只有一本天一岁轮则谓因相距之半径随天旋绕而成员象可也而本天之上有本轮本轮之上有均轮均轮之上乃有岁轮至太阴则小轮尤多诸轮又各有其左旋右转随动自动起㸃行度之异又火星之次轮时时不等水星之均轮一周三周一若实有诸轮相聨相贯相推相荡又且多其变态者则在天虽无轮之形质而有轮之神理虽谓之实有焉可也学山谓火星因与太阳天近故有日躔本天二差以变次均角愚始亦疑其然后细攷之此说未确使火星之次轮半径由近日天而致差则木星天距火星未甚逺岂得无些小之差土星天虽去日天甚逺而本轮比诸星独大亦岂得无微细之差厯家积候之久虽有小差必能立法以追其变使土木次轮亦如火星之例岂不依火星距日日差之法为活动之算以穷其变今攷之不然则次轮半径有二差惟火星则然金水虽最近日次轮半径有定尤可互证伏见轮虽曰以太阳为心其实亦非真以太阳之形体为心也乃是太阳本轮之心为之心耳故算次均角不因太阳之盈缩髙卑而改变惟算合伏与退合两日以太阳实行定其实合伏实退合之时刻以此例之土木二星绕日圏其真心亦是太阳本轮心非太阳之形体也惟火星不然耳梅先生云岁轮大小又因于太阳髙卑伏见轮既以日为心则太阳行最髙时伏见轮从之亦高而星去地逺太阳行最卑则伏见轮从之卑而去地近永思之金水近日使伏见半径果因太阳高卑而有改变则太阳行至三宫九宫平视两行差不啻两度伏见轮半径亦当大两度厯家有不觉者乎知其所谓心者为太阳本轮心非太阳形体则此疑冰释矣○梅先生又谓太阳有高卑则黄道半径有大小星亦能变纬度论视纬当兼用两种髙卑立算永谓算视纬必用星距地心线定其逺近此线即黄道上星距太阳本轮心之界线也算次均角即此线所界之度求次均不因太阳高卑而变则此线亦不因太阳高卑而改疑其无纬差五星纪要详于金畧于水永考水星与金星不同者有二事其一则均轮也他星均轮最高时起最近㸃右旋而倍引数独水星均轮最高时起最逺㸃右旋三倍引数(引数一度均轮三度)其一则交角也金星交角三度二十九分惟一耳水星交角则时时不同伏见轮心在大距与黄道交角五度四十分伏见轮心在正交当黄道北则减南则加伏见轮心在中交当黄道北则加南则减其加减各有与大距交角相较之数以距交实行逐度算其交角加减交角而得实交角此二事葢相因其理极精微又按厯书水星前后纬表南北之向与金星相反初不知其何故及考之厯象考成求金水正交行置最高平行金星则减十六度水星则加减六宫得正交平行乃知水星正交与最卑同度而旧法谓与最高同度是以正交为中中交为正故南北与金星相反当易其正中之名乃与诸曜一例金水算例从伏见轮立算二星皆以太阳之平行为平行轮上绕日之行为伏见平行求初均于本星平行内减最高行为引数金星用直角形水星用三角形(厯数考成之法)求得均角以加减本星之平行为初实行(初宫至五宫为减六宫至十一宫为加)又反用加减号以加减伏见平行为伏见实行(加星行则减伏见行减星行则加伏见行)求次均先求伏见轮心距地心线(求得初均角即用割线比例求之)以此线与伏见轮半径为两邉以伏见实行为所夹之外角(过半周者与全周相减用其余)用切线分外角法求半较角以减半外角余为次均角以加减初实行(伏见轮初宫至五宫为加六宫至十一宫为减)为黄道上实行右法厯家所用者也若用岁轮算法如后(永所推)从岁轮立算二星皆以行度(即本星平行与太阳同)离度(即伏见平行)并之为岁轮之平行置本轮均轮于各本天(与伏见法置于太阳本天者异)于岁轮平行内减最高行为引数亦用直角(金星)三角(水星)形法求均角以加减本星之行度为初实行又反用加减以加减本星之离度为定离度于定离度内求次均亦先求得岁轮心距地心线为一邉(此邉小)以岁轮半径为一邉(此边大)定离度为所夹之外角(过半周者伏见轮之半径小次均为对小邉之角故以半较角减半外角为对邉之小角岁轮半径大次均为对大邉之角故以半较角加半外角为对邉之大角)以次均加减岁轮平行(初宫至五宫为减六宫至十一宫为加)为黄道上实行与伏见轮所算实行同#算理金水本天与太阳本天高下不同其本轮均轮一置于伏见轮心一置于岁轮心各依本法算之所得之初均次均数亦迥不同而求黄道实行两者若合符节此必有所以然之理作图明之甲为地心丙为太阳乙为金星辰午丁弧为本天戊丙巳弧为黄道子辛丑弧为岁轮壬乙癸弧为伏见轮丁为岁轮心丙为伏见轮心此设太阳自戊行至丙而岁轮心自辰行至丁则星体必在乙乙㸃为岁轮与伏见轮相交之处也岁轮子乙弧与黄道戊丙弧同度亦即与伏见轮壬庚弧同度皆星本行之度与太阳行度等者也岁轮乙辛弧与黄道丙己弧同度亦即与伏见轮庚乙弧同度皆为星离合伏之度厯家所谓伏见行者也(岁轮左旋自辛至乙为离度伏见右旋自庚至乙为离度)夫辛乙与庚乙同度黄道上为丙夘巳之度而人从甲望乙见黄道上星在夘则夘丙为星距太阳之视度其角为夘甲丙角亦即庚甲乙角若从伏见立算当算庚甲乙角得丙夘加戊丙得戊夘为黄道上实行度若从岁轮立算则轮上辛乙从黄道上视之为巳夘其角为己甲夘亦即辛甲乙当算辛甲乙角得夘己以夘巳减戊巳亦得戊夘为黄道上实行度○然则两轮立算始异终同由辛乙与庚乙同度黄道上为丙己中间有星距地心线(乙甲)截丙巳于夘分为两甲角(一夘甲丙一夘甲己)算两甲角一加一减则必无不合也○两甲角成斜方形邉有四线丙甲为伏见轮心距地心线乙丙为伏见轮半径丁甲为岁轮心距地心线乙丁为岁轮半径两轮心所到各不同则斜方形亦不一皆此四线之伸缩其极也四线合为一线中线如两线之长(合伏与退合时)○此图未加本轮均轮则乙丙等丁甲乙丁等丙甲对边皆平行本非天上实象姑以此明立算之本设本轮均轮之四线图如左此图乙丙乙丁如前丙甲与乙丁丁甲与乙丙各微不等对边亦各不平行由丙丁二轮心有本轮均轮各有髙卑则丙甲丁甲二距地心线有改变乙㸃为心所在亦有移动而黄道上丙夘丙巳两视度亦有损益也而算两甲角以求实行度必无不合○凖前图论之丙甲丁甲二#距线若常如两轮半径则丙角与丁角同大(邉线平行同对乙甲线故也)丙甲乙角与丁乙甲角同大(同对半径小邉)丙乙甲角与丁甲乙角同大(同对半径大邉)如后图丙甲丁甲二距线既变则两形中无相等之角即丙丁二甲亦变矣角变而丙己之弧度不变是以其终必合也○丙丁二角何以变也依前图言之丙角之外角度为伏见轮上庚乙丁角之外角度为岁轮上辛乙庚乙与辛乙本同度也因两轮上各有初均加减则度不同而庚丙乙与乙丁辛两外角变矣外角变故内角必变也○丙己之弧度何以不变也凡初均数加星行者即减伏见加伏见者即减星行二者迭为损益而总数不改是以斜方形中但移其乙甲距线而黄道上丙己之度为戊丙之余原与庚乙乙辛等者未尝变是以次均算得夘巳减戊己犹之算得丙夘加戊丙也○由是观之任丙甲丁甲二邉时时改变乙甲线时时移动而得黄道上戊夘之实度必无不同○乙甲丙角所对者乙丙小邉故以半较角减半外角为甲角乙甲丁角所对者乙丁大边故以半较角加半外角为甲角自然之理也○两轮算黄道实度既同矣乙甲为星距地心线亦同乎曰此不待言也乙甲者丙角丁角同用之对边也以角算度既合矣边焉得不合右图就金星轮图之水星倣此数学卷六
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钦定四库全书数学卷七婺源江永撰中西合法拟草(明李之改宪也徐文定公尝言镕西人之精算入大统之型模固欲参合中西舍短取长以为不刋之典正朔闰月之类从中不从西定气整度之类从西不从中然因用定气遂以每月交中气时刻为太阳过宫时刻举中法十二次之名系之而西法十二星象之宫亦时用之于表此则既非中法复非西法虽相沿至今实可疑之端也余于辛亥年著厯法管见尝论及此后读勿庵先生厯学疑问补已畅言之固非余之私言又疑整度一事似未尽言中西当参酌者此亦其一端爰以此二事拟数表名曰中西合法拟草仍以梅先生之说冠于卷首且附愚之鄙见焉)厯学疑问补云问旧厯太阳过宫与中气不同今何以复合为一曰新厯之测算精矣然其中不无可商当俟后来详定者则此其一端也何则天上有十二宫宫各三十度每歳太阳以一中气一节气共行三十度(如冬至小寒共行三十度大寒立春又共行三十度其余并同)满二十四气则十二宫行一周故厯家恒言太阳一歳周天也永按天上十二宫当分为二有黄道上十二宫有列宿天十二宫黄道十二宫截黄道为十二段冬至到丑春分到戌夏至到未秋分到辰恒系于节气者也列宿天十二宫主以四兽(苍龙白虎朱鸟元武)分为四维(东西南北)元枵在北鹑火在南大火在东大梁在西恒系于星宿者也新法之误在去列宿十二宫専主黄道十二宫耳然而实考其度则一歳日躔所行必稍有不足虽其所欠甚㣲(约其差不过百分度之一有半)积至年深遂差多度(六七十年差一度六七百年即差十度)是为歳差厯家所以有天周歳周之名(天上星辰匀分十二宫共三百六十度是为天周每歳太阳十二中气共行三百六十度㣲弱是为歳周)永按黄道上十二宫亦三百六十度太阳一歳周徧未尝稍有不足较之列宿天似㣲欠者非太阳之不能周天也恒星自移而东耳此则西人恒星行之说为确中法分天周歳周未的也汉人未知歳差误合为一故即以冬至日交星纪而定之于牵牛永按周未冬至已在南斗而汉人犹谓起牵牛者汉厯之疎也唐一行已尝考定谓太初元年辛酉冬至日斗二十度而汉厯甲子冬至在斗二十四度其虗退之度适及牵牛之初云逮晋虞喜等始觉之五代宋何承天祖冲之隋刘焯等言之益详顾治厯者株守成说不敢辄用歳差也至唐初傅仁均造戊寅元厯始用歳差而朝论多不以为然(亦如今人之不信西法人情狃于习见大抵皆然)故李淳风麟德厯复去歳差不用直至元宗开元某年僧一行作大衍厯乃始博征广证以大畅厥㫖于是分天自为天(即周天十二次宫度其度终古不变)歳自为歳(即周歳十二中气日躔所行天度其度歳歳㣲移)厯代遵用(所定岁差年数㣲有不同而大致无异)元世祖时用授时厯郭守敬测定六十六年有八月而差一度回回参西差法略同(今定为七十年差一度数亦非逺)故冬至日一歳日躔之度已周尚不能复于星纪之元度必再行若干日时而至星纪(十二中气皆同一理)所以太阳过宫与中气必不同日其法原无错误其理亦甚易知徐李诸公深于厯术岂反不明斯事乃复合为一真不可解推原厥故盖译厯书时误仍回回厯太阳年之十二月名耳○问回回厯亦知歳差何以误用宫名为月名曰回回厯既以十二个月为太阴年而用之纪歳不用闰月然如是则四时之寒燠温凉错乱无次因别立太阳年以周歳日躔匀分三百六十度又均分为十二月以为耕敛之节而起算春分是亦事势之不得不然(尧典寅賔出日始于仲春即此一事亦足微而厯之本于义和)但彼以春分为太阳年之第一月第一日遂不得复用古人分至启闭之法及春夏秋冬正名(古者以立春立夏立秋立冬春分秋分冬至夏至为八节其四立并在四孟月之首以为四时之节谓之启闭二分二至并在四仲月之中居春夏秋冬各九十一日之半皆自然之序不可移易今回厯之太阳年既以春分为歳首则是以仲春之后半月为正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日有竒一并移之于歳终而孟春之前半改为十一月之后半孟春之后半合仲春之前半共三十日改为十二月即春夏秋冬之四时及分至启闭之八节孟仲季之月名无一与之相应名不正则言不顺遂不复可得而用矣)故遂借白羊等十二宫以名其太阳年之月彼非不知天度有歳差白羊不能板定于春分然以其时春分正在白羊姑借此名之以纪月数(即此而知回厯初起时其年代去今非逺)欧逻巴厯法因回厯而加精大致并同回厯故遂亦因之耳永按勿庵先生谓误仍回厯太阳年之十二月名固是一说愚则谓别有其故也观恒星厯指图星象一置北极南极于心分十二宫赤道为正黄道为斜一置黄极黄南极于心分十二宫黄道为正赤道为斜其宫界皆据当时中气所躔之度其意盖曰太阳者众曜之至也黄道者诸道之宗也一歳寒暑进退皆由太阳行黄道使然则黄道上自有一定之宫不惟月与五星逰厯其间虽普天星宿亦循黄道而行歴万余年赤道外二十三度之星且移至赤道内二十三度则安得不以黄道为主星宿为客乎若以列宿分宫太阳逰厯其间是列宿为主太阳为客矣且黄道十二宫二至则极南极北为之界二分则交赤道为之界若星宿则仰视茫茫无一定不可移之界中厯虽指虗六度为子半而度则有整度日度之不齐斗三度过丑女二度过子亦难定其宫界果当度之㡬分也是以遂置列宿之宫一以黄道之宫为主恐译书时意在于此若其以星纪元枵等为宫名盖以其名之古雅也用之以代丑子等字而不觉其将来名与实爽也徐文定公译厯书谓镕西洋之精筭入大统之型模则此处宜为改定使天自为天歳自为歳则歳差之理明而上星辰宫度各正其位矣(如昼夜平即为二分昼极长即为夏至不必问其日躔是何宫度是之谓歳自为歳也必太阳行至降娄始命为日躔降娄之次太阳行至鹑首始命为日躔鹑首之次不必问其为春分后㡬日夏至后㡬日是之谓天自为天也)永按勿庵先生之说极明白直㨗然使以此说告之当时译书诸公犹恐不足以服其心盖黄道上有十二宫不可没也太阳恒星主客之分又似不可易也列宿天宫界㣲茫难辨又若未易定也所疑难者有此三端则反若中气过宫者为顺天以日随星者为违天矣愚请为之条分而明辩之从来中厯皆以列宿天分宫不于黄道分宫是中厯之失也虚空中有一圏皆可分为十二宫况黄道为太阳所厯实有中气节气之分限又为诸道之宗主可谓无十二宫乎且冬至到丑与子月合大寒到子与丑月合月左旋而宫右旋当宫之半两支相合所谓地支六合者也(古人谓日躔斗建为地支六合非也日躔有歳差斗柄有推移只是十一月自当为子而冬至太阳到丑合之十二月自当为丑而大寒太阳到子合之耳)是宜于冬至之日注曰某时某刻太阳入丑宫于大寒之日注曰某时某刻太阳入子宫诸中气皆如是言入以别于躔言宫以别于次直称地支不混星纪等名则黄道之宫定而名称亦当矣又越㡬日太阳躔斗三则注曰太阳躔星纪之次躔女三则注曰太阳躔元枵之次如是岂不别白分明乎若谓太阳恒星有主客之分亦未尽然论恒星之宗黄极循黄道则太阳为主恒星为客论七政之躔列宿则列宿又为主七政为客盖黄道之宫虚而列宿之次实也七政之天在下而恒星之天在上也则亦互为主客耳观一歳七政厯不能虚纪宫度必以某宿某度记之则列宿岂不犹州县而七政岂不犹人之行程乎分列宿之宫犹分天下之省直也若列宿天之宫界虽若难辨而中厯与西厯皆以虚六度为子半当必有所传盖虚宿十度六度正当其半是虚危之间也以此为正北而各宫之畧皆可定矣顾乃因仍回厯之宫名而以中气日即为交宫之日则歳周与天周复混而为一于是歳差之理不明(如星纪之次常有定度而冬至之日度渐移是生歳差若冬至日即躔星纪歳歳相同安得复有歳差)而天上十二次宫度名实俱乱(天上十二宫各有定星定度若随节气移动则名实俱左后篇详之)是故厯法至今日推歩之法已极详明而不无有待商酌以求尽善者此其一端也问者曰厯所难者推歩耳若此等处改之易易(但于各中气后查太阳实躔某宫之度即过宫真日)但厯书中所作之表多用白羊金牛等宫名以为别识今欲通身改换岂不甚难曰否否厯书诸表虽以白羊金牛等为题而其中之进退消长并从节气起算今但将宫名改为节气即诸表可用不必改造有何难哉(如厯从白羊起者即改白羊初度为春分初度表从磨羯起者即改磨羯初度为冬至初度厯书诸表依旧可用但正其名不改其数更无烦于推算)永按如此改之诚易然用之已百年而未议改者盖亦各持所见与问天上十二宫亦人所名今随中气而移亦何不可之有曰十二宫名虽人所为然其来乆矣今考宫名皆依天上星宿而定非漫设者如南方七宿为朱鸟之象(史记天官书栁为鸟注注即咮咮者朱鸟之喙也七星颈为员官颈朱鸟颈也员官喉咙也张为素素即嗉鸟受食之处也翼为羽翮朱鸟之翼)故名其宫曰鹑首鹑火鹑尾(鹑即朱鸟乃凤也)东方七宿为苍龙(天官书东方苍龙房心心为明堂今按角二星象角故一名龙角氐房心象龙身心即其当心之处故心为明堂尾宿即龙之尾)故其宫曰寿星(封禅书武帝诏天下尊祀灵星正义灵星即龙星也张晏曰龙星在角曰天田则农祥也见而祀之)曰大火(心为大火)曰析木(一名析木之津以尾箕近天河也)北方七星为元武(天官书北宫元武)其宫曰星纪(古以斗牛为列宿之首故星自此纪也)曰元枵(枵者虚也即虚危也又象龟蛇为元武也○永按左传云元枵虚也枵耗名也)曰娵訾(一名娵訾之口以室壁二星各二星两两相对而形正方故象口也○永按娵訾似是古人之名氏如实沈之类盖封于卫地者也此宫别名豕韦豕韦亦古诸侯封于其野者也)西方七宿为白虎(天官书奎曰封豕参为白虎三星直者是为衡其外四星左右肩股也小三星隅置曰觜觽为虎首)其宫曰降娄(以娄宿得名也)曰大梁(永按鱼梁所以取鱼宫有毕宿象以毕取鱼也)曰实沈(永按宫有参宿左传髙辛氏季子曰实沈后帝迁之大夏主参是也)由是以观十二宫名皆依星象而取非漫设也尧典日中星鸟以其时春分昏刻朱鸟七宿正在南方午地也日永星火以其时夏至初昏大火宫正在午也(火即心宿)宵中星虚以其时秋分昏中者元枵宫也即虚危也日短星昴以其时冬至昏中者昴宿也即大梁宫也厯家以歳差考之尧甲辰至今已四千余歳歳差之度已及二宫(以西率七十年差一度约之凡差六十余度)然而天上二十八舍之星宿未尝变动故其十二宫亦终古不变也若夫二十四节气太阳躔度盖依歳差之度而移则歳歳不同七十年即差一度(亦据今西术推之)安得以十二中气即过宫乎试以近事征之元世祖至元十七年辛巳冬至度在箕十度至今康熈五十八年己亥冬至在箕三度其差盖已将七度而即以箕三度交星纪宫则是至元辛巳之冬至宿(箕十度)已改为星纪宫之七度再一二百年则今己亥之冬至宿(箕三度)为星纪宫之初度者又即为星纪宫之第三度而尾宿且浸入星纪矣积而乆之必将析木之宫(尾箕)尽变为星纪大火之宫(氐房心)尽变为析木而十二宫之星宿皆差一宫(凖上论之角亢必为大火翼轸必为寿星栁星张必为鹑㞑井鬼必为鹑火而觜参为鹑首胃昴毕为实沈奎娄为大梁而娵訾为降娄虚危为娵訾斗牛为元枵二十八宿皆差一宫)即十二宫之名与其宿一一相左又安用此名乎再积而乆之至数千年后东宫苍龙七宿悉变元武(歳差至九十度时角亢氐房心尾箕必尽变为星纪元枵娵訾并倣此)南方朱鸟七宿反为苍龙西宫白虎七宿反为朱鸟北宫元武七宿反为白虎国家颁厯授时以钦若昊天而使天上宿度宫名颠倒错乱如此其可以不亟为厘定乎○又试以西术之十二宫言之夫西洋分黄道上星为十二象虽与羲和之旧不同然亦皆依星象而名非漫设者如彼以积尸气为巨蠏第一星盖因鬼宿四星而中央白气有似蠏筐也所云天蝎者则以尾宿九星卷而曲其末二星相并如蝎尾之有岐也所云人马者谓其所图星象类人骑马上之形也其余如寳瓶如双鱼如白羊如金牛如阴阳如师子如双女如天秤以彼之星图观之皆依稀仿佛有相似之象故因象立名今若因节气而每歳移其宫度积而乆之宫名与星象相离俱非其旧而名实尽淆矣○又按西法言歳差谓是黄道东行未尝不是如今日鬼宿已全入大暑日躔之东在中法歳差则是大暑日躔退回鬼宿之西也在西法则是鬼宿随黄道东行而行过大暑日躔之东其理原非有二尾宿之行入小雪日躔东亦然夫既鬼宿已行过大暑东而犹以大暑日交鹑火之次则不得复为巨蠏之星而变为师子矣尾宿已行过小雪后而犹以小雪日交析木之次则尾宿不得为天蝎而变为人马宫星矣即询之西来知厯之人有不哑然失笑者乎永按此篇所论甚正昔著管见与此正同未能详晰若斯也窃谓此事乆逺后或有建议当改者与其使后人议改曷若早觉而改之之为愈乎问西法以太阳㑹恒星为歳谓之恒星年恒星既随黄道东行则其恒星年所分宫度亦必不能常与中气同日厯书何以不用曰恒星年即其所颁斋日也其法以日躔斗四度为正月朔故曰以太阳会恒星为歳也其斗四度盖即其所定磨羯宫之初度也(在今时冬至后十二日)自此日躔行满三十度即为第二月交宝瓶宫(余月并同皆以日躔行满三十度交一宫即又为一月而不论节气)然其十二月之日数各各不同者以黄道上有最髙卑差而日躔之行度有加减也(如磨羯宫日躔最卑宫行速故二十八日而行一宫即成一月若巨蠏宫日躔最髙行迟故三十一日而行一宫始成一月其余宫度各以其或近最卑或近最髙迟速之行不同故日数皆不拘三十日并以日躔交宫为月不论节气)是则其所用各月之第一日即太阳交宫之日原不与中气同日而且歳歳㣲差至六七十年恒星东行一度即其各宫并东行一度而各月之初日在各中气后若干日者又増一日矣(如今以冬至后十二日为歳首至歳差一度时必在冬至后十三日余尽然)此即授时厯中气后㡬日交宫之法乃歳差之理本自分晓而厯书中不甚发挥斯事者亦有故焉一则以月之为言本从太阴得名故必晦朔弦望而后谓之月今反以太阳所躔之宫度为月而置朔望不用是名为月而实非月大骇聼闻一也又其第一月既非夏正孟春亦非周正仲冬又不用冬至日起算非厯学履端于始之义事体难行二也又其所用斋日即彼国所颁行之正朔欧逻巴人私奉本国之正朔宜也中土之从其教者亦皆私奉欧逻之正朔谓国典何故遂隠而不宣三也(初造厯书事事关发以兾人之信从惟此斋日但每歳传单伊教不笔于书)然厯书所引彼中之旧测每称西月日者皆恒星年也其法并同斋日皆依恒星东行以日躔交磨羯宫为歳旦而非与冬至中气同日也此尤为太阳过宫非中气之一大证据矣永按此论考西法尤核昔见袁氏厯法新书多本回回法度用整度如欧逻巴而列宿积度起寳瓶宫虚六度疑袁氏搀入中法未必彼国亦以虚六度为子半今观西厯以日躔斗四度为正月朔为斋日为磨羯宫初度则虚六度为寳瓶之正中西国实用之矣中西异而宫界同其由来不已乆乎或曰厯书所引旧例多在千余年以前然则西月日之兴所从来乆矣曰殆非也唐始有九执厯元始有回回厯欧逻巴又从回厯加精必在回厯之后彼见回回厯之太阴年太阳年能变古法以矜竒创故复变此西月日立恒星年以胜之若其所引旧测盖皆以新法追改其月日耳永按回厯之太阳年以春分为歳首而列宿积度起寳瓶宫虚六度见于袁氏新书新书本于陈星川陈固传回法者则斗四度为磨羯宫初度回回与欧逻巴同且与中厯同矣厯书引旧测近者在明万厯时逺者在汉顺帝时梅先生谓以新法追改其日月余考厯书引万厯年间彼国之月日似以斗十四度为正月一日引汉顺帝时则以斗四度为正月一日盖后来或改宪而古法则无差至今日又复其旧矣(据康熈丁卯年传单以中国十一月二十八日癸卯应西厯正月一日是日躔斗四度二十六分)使欲追改月日何不画一言之且彼国既不如中国之正朔又不用回法之太阴年太阳年若非恒歳星之法将何以纪月日乎惟其言是日日躔鹑首宫㡬度大火宫㡬度之类乃是借中国次名言之且据戊辰改厯之恒星行追书之耳(汉顺帝时西国月一日太阳多在宫之七八度是用戊辰之宿钤)余又考磨羯宫初度若据斗初度数之当是三度而用四度为正月一日者西法日首用午正故加一度又考西厯算太阳虽有加减而各月初一日所躔之度则不依加减之算盖太阳行疾一宫只二十八日有竒行迟三十一日有竒则月小者二十九日月大者三十二日而西法不然月小者三十日月大者三十一日是以秋分以后月一日之宿度距中气渐加春分以后距中气渐减是亦其国旧俗使然略如中国知有定朔而犹用平朔(隋唐以前)知有定气而犹用恒气也(大衍授时)使其能改月大小之法増减一日则月一日之宿皆其交宫之初度矣(梅先生前言日躔之行度有加减日数不拘三十日并以日躔交宫为月者考之犹未详耳)再考梅先生辩太阳中气过宫之非者难详而不言黄道上自有十二宫于理未尽后作图明之#岁周图 一层虚中(即河图之五十洛书之五干之戊巳) 二层河图三层洛书 四层先天八卦 五层后天八卦 六层十二支 七层二十四位 八层四时九层八节 十层二十四气 十一层七十二候十二层月建 十三层黄道十二宫 十四层黄道三百六十整度此图备载岁周之理应乎图书卦位干支而布黄道宫度于外周黄道之宫与月建成六合恒以中气时刻入宫黄道之度皆虚度不系于列宿列宿度别载岁差图又此顺布节气故黄道宫随之黄道本右旋当逆布见太阳中气交宫图太阳黄道上右旋故此图逆布十二月节气中气外一层为黄道十二宫所谓中气交宫者交此宫也虽恒星亦游歴其间不可借星次之名以名其宫列宿别有十二次岁差图 圆外匀布三百六十整度分截二十八宿圆周第一层十二次名 次内一层尧冬至日在虚又次内一层殷冬至日在女 又次内一层周冬至日在牛○又次内一层周末冬至日在斗(自周至宋末一千六百余年皆在斗)又次内一层元冬至日在箕(至今皆在箕)○最内一层将来冬至日在尾右图自尧以来四千余年之歳差星次有定而节气所在无定二万五千余年而一周诚不可以星次之名系之于每月之中气中法谓之歳差西法则曰恒星行普天星宿皆循黄道东行约七十年有竒差一度(整度)然则黄道上节气有定而星宿无定若作一活动之盘置二十四气于外周为定盘而以十二次二十八宿度列于活盘之上中心穿纸轴可转动则肖星宿行度矣(如尧时则以虚四五度当冬至今时则以箕二三度当冬至)星宿虽无定而距度多少与次舍分界则有定盖列宿天有一定之东西南北动中之恒静者也附回回十二宫名白羊(即降娄)金牛(即大梁)阴阳(又曰双兄即实沈)巨蠏(即鹑首)师子(即鹑火)双女(即鹑尾)天秤(即寿星)天蝎(即大火)人马(即析木)磨羯(即星纪)寳瓶(即元枵)双鱼(即娵訾)总说#合三图观之黄道自有十二宫列宿自有十二次若并为一则名不当物而本有之十二次遂隐入宫与躔次分注之乃各当其实所当考求酌定者十二次分界之处耳论整度日度大统以前中厯皆用日度自改用西法则以三百六十整度纪七政之行而列宿亦用整度此古今厯法不同一大节目梅先生极称整度之善然则日度遂可废与愚尝思之天本无度因日之行而生度其不能以三百六十日周黄道必有竒零之日与分意其有不得不然者犹之径一围三只得六角之邉而围三之外有畸零是亦不得不然者也然则歳日之度岂不犹人身之穴自然而成不可増损者与西法以其不便于算也一以整度齐之齐之诚善矣然遂以此为周天之本数疑其渉于假借窃谓此一事当合中西而用之一切布算之法用整度为便及其分隶之于二十八宿以纪七政之躔离则当用日度为宜譬之尺度古今有短长医家量人孔穴必用同身寸度之始无误整度者后世改长之寸也日度者其人同身寸也或疑以整度布算又以日度纪躔离似多一畨布算曰始则假借后则纪实固不可惮其烦别立整度当日度及当日度分二表一查即得亦不为烦或又疑经度用日度纬度用整度同此一大圆岂可分両种度曰经度纪躔离用以纪厯者也纬度测极髙测両道相距测七政离地平以为布算之凖不用之以纪厯故纬度可假借而经度不可假借也整度当日度表说歳周三百六十五日二四二一八七五如古法一日为一度度有万分是周天三百六十五度二千四百二十一分八十七秒五十㣲半周一百八十二度六千二百一十○分九十三秒七十五㣲一象限九十一度三千一百○五分四十六秒八十七㣲五十纎一宫三十○度四千三百六十八分四十八秒九十五㣲八十三纎不尽以三百六十整度分之一整度当日度一度○一百四十五分六十一秒六十三㣲一十九纎四四不尽又一整度六十分一分当日度分一百六十九分○九秒三十六㣲○五纎三二四六六不尽依此立二表使宿度分归之于日度分(度下小数止于分分下有畸零及半者收之不及者弃之)整度当日度表整度 日度 整度 日度一度 一度(○一四六) 二度 二度(○二九一)三度 三度(○四三七) 四度 四度(○五八二)五度 五度(○七二八) 六度 六度(○八七四)七度 七度(一○一九) 八度 八度(一一六五)九度 九度(一三一一) 一十度 一十度(一四五六一十)一度 (一十)一度(一六 一○二 十)二度 (一十)二度(一七四七一十)三度 (一十)三度(一八 一九三 十)四度 (一十)四度(二○三九一十)五度 (一十)五度(二一 一八四 十)六度 (一十)六度(二三三○一十)七度 (一十)七度(二四 一七五 十)八度 (一十)八度(二六二一一十)九度 (一十)九度(二七六七) 二十度 二十度(二九一二二十)一度 (二十)一度(三○ 二五八 十)二度 (二十)二度(三二○四二十)五度 (二十)五度(三六 二四○ 十)六度 (二十)六度(三七八六二十)七度 (二十)七度(三九 二三二 十)八度 (二十)八度(四○七七二十)九度 (二十)九度(四二二三) 三十度 三十度(四三六八)整度 日度 整度 日度井宿有三十度畸故表止列三十度度下有零分查后表整度分当日度分表整度分 日度分 整度分 日度分一分 ○千(一六九) 二分 ○千(三三八)三分 ○千(五○七) 四分 ○千(六七六)五分 ○千(八四五) 六分 一千(○一五)七分 一千(一八四) 八分 一千(三五三)九分 一千(五二二) 一十分 一千(六九一一十)一分 一千(八六 一○ 十)二分 二千(○二九一十)三分 二千(一九 一八 十)四分 二千(三六七一十)五分 二千(五三 一六 十)六分 二千(七○五一十)七分 二千(八七 一四 十)八分 三千(○四三一十)九分 三千(二二)一 二十分 三千(三八二二十)一分 三千(五五 二一 十)二分 三千(七二○二十)三分 三千(八八 二九 十)四分 四千(○五八二十)五分 四千(二二 二七 十)六分 四千(三六九二十)七分 四千(五六 二五 十)八分 四千(七三四二十)九分 四千(九○三) 三十分 五千(○七三三十)一分 五千(二四 三二 十)二分 五千(四一一三十)三分 五千(五八 三○ 十)四分 五千(七四九三十)五分 五千(九一 三八 十)六分 六千(○八七三十)七分 六千(二五 三六 十)八分 六千(四二五三十)九分 六千(五九四) 四十分 六千(七四六四十)一分 六千(九三 四三 十)二分 七千(一○二四十)三分 七千(二七 四一 十)四分 七千(四四○四十)五分 七千(六○ 四九 十)六分 七千(七七八四十)七分 七千(九四 四七 十)八分 八千(一一六四十)九分 八千(二五八) 五十分 八千(四五五五十)一分 八千(六二 五四 十)二分 八千(七九三五十)三分 八千(九六 五二 十)四分 九千(一三一五十)五分 九千(三一 五○ 十)六分 九千(四六九五十)七分 九千(六三 五八 十)八分 九千(八○七五十)九分 九千(九七六) 六十分 一度○(一四六)整度分 日度分 整度分 日度分用表法先取宿若干度当日度若干度分次以宿度零分查日度若干分并之命为日度分表有两用二十八宿黄道度悉归诸日度一用也算得七政及罗㬋计都月孛躔某宿㡬度㡬分皆以日度归之二用也二十八宿整度变日度表整 度 分 日 度 分斗 二十三度(四十七分) 二十四度(一二九六)牛 七○度(四十六分) 七○度(八七九七)女 一十一度(三十八分) 一十一度(八○二七)虚 九○度(五十九分) 一十○度(一二八七)危 二十○度(○七分) 二十○度(四○九六)室 一十五度(四十一分) 一十五度(九一一七)壁 一十三度(○六分) 一十三度(二九○八)奎 一十一度(三十九分) 一十一度(八一九六)娄 一十三度 一十三度(一八九三)胃 一十二度(一十五分) 一十二度(四二八三)昴 九○度(一十五分) 九○度(三八四七)毕 一十三度(五十八分) 一十四度(一七○○)参 一○度(二十一分) 一○度(三六九七)觜 一十一度(三十三分) 一十一度(七一八二)井 三十○度(二十五分) 三十○度(八五九五)鬼 四○度(三十二分) 四○度(五九九三)栁 一十七度(○四分) 一十七度(三一五一)星 八○度(二十三分) 八○度(五○五四)张 一十八度(○四分) 一十八度(三二九七)翼 一十七度 一十七度(二四七五)轸 一十三度(○三分) 一十三度(二四○○)角 一十○度(三十七分) 一十○度(七七一二)亢 一十○度(三十八分) 一十○度(七八八一)氐 一十七度(五十○分) 一十八度(○九三○)房 四○度(五十○分) 四○度(九○三七)心 七○度(三十三分) 七○度(六五九九)尾 一十五度(五十六分) 一十六度(一六五三)箕 九○度 九○度(一三一一)整 度 分 日 度 分右黄道二十八宿度分以厯象考成康熈甲子年黄道经度钤定(前后有异同详见考异)因整度分变为日度分(与授时大统异者详见考异)拟分列宿天十二次界限列宿之天分十二次其界当有定度自西法行恒以太阳交中气为宫界则度随歳差推移而十二次之本界遂隐勿庵先生尝极论之愚考中法与囘厯皆以虚六度为子半意者虚宿有十度(九度五十九分仅少一分)六度正当虚危之间(有初度则六度是五度从一度即是六度)是为四维之正北元枵之最中乎又考西厯毎歳以日躔斗四度为斋日(从一度起是四度有初度则是三度)盖以磨羯(丑宫即星纪)之首为恒星年正月一日也斗四度为磨羯之初则虚六度不为寳瓶(子宫即元枵)之中乎中西不约而符意其由来已乆今拟虚六度之初(六度者第六度也)置于子半如罗金之定盘针因以求各宫之界谨按厯象考成康熈甲子年之黄道经度钤虚宿入一宫十九度一分加五度为子半当一宫二十四度一分减十五度为丑初当一宫九度一分皆以此年交宫后九度一分为各宫之界推得十二次之交界宿度又以整度分变为日度分列表如左整度分 日度分星纪(丑) 斗三度一十一分入 斗三度(二三)元枵(子) 女一度三十八分入 女一度(六六)娵訾(亥) 危十度 一 分入 危十度(一六)降娄(戌) 壁四度一十三分入 壁四度(二八)大梁(酉) 娄九度二十八分入 娄九度(六○)实沈(申) 毕四度五十八分入 毕五度(○四)鹑首(未) 井八度 六 分入 井八度(二二)鹑火(午) 栁三度 九 分入 栁三度(二○)鹑尾(巳) 张七度四十二分入 张七度(八二)寿星(辰) 轸二度三十八分入 轸二度(六七)大火(卯) 亢八度五十八分入 亢九度(一○)析木(寅) 心五度四十○分入 心五度(七五)右所定十二次之界未知果符天否存其梗概竢后来考定又中厯宫界与此不能尽合宿度多寡不同一也此以黄道度分宫而中厯以赤道度匀分黄道度各宫多寡不均二也附勿庵先生说(荅沧州刘介锡茂才)以星推命不知始于何时然吕才之辟禄命只及干支及韩潮州始有我生之时月宿南斗之说由是征之亦在九执以后耳毎见推五星者率用溪口厯则于七政躔度疎逺若依新法则宫度之迁改不常二者已如柄凿之不相入又安望其术之能验乎夫欲求至当则宜有变通然其故多端实难轻议或始以古法分宫而取今算之七政布之则既不违其本术亦不谬乎悬象虽未知验否何如而于理庶㡬可通矣按此说似有理然以古法分宫尚有㣲细之处先生亦只言其大略耳(界则有度度则有分授时大统之宫界既不可用于今而西国所定毎月初一日之宿度又似非一宫三十度者)宿度考异(黄道度)虚九度五十九分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同厯象考成康熈甲子宿钤同)危二十度○七分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)室一十五度四十一分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)壁一十三度一十六分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十三度六分○减十分)奎一十一度二十九分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十一度三十九分○加十分○盖减壁以益奎)娄一十三度(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戉辰同康熈甲子宿钤同)胃一十三度○一分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十二度一十五分○减四十六分)昴八度二十九分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤九度一十五分○加四十六分○盖减胃以益昴)毕一十三度五十八分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)参一度二十一分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)觜一十一度三十三分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)井三十度二十四分(崇祯戊辰测○康熈壬子三十度二十五分注云新测三十度二十四分○康熈戊辰三十度二十四分○康熈甲子宿钤三十度二十五分)鬼四度三十七分(崇祯戊辰测○康熈壬子五度三十分注云新测四度三十七分○康熈戊辰四度三十七分○康熈甲子宿钤四度三十二分)柳一十七度(崇祯戊辰测○康熈壬子十六度○六分注云新测十七度○康熈戊辰十七度○康熈甲子宿钤一十七度○四分○盖井加一分鬼减五分栁加四分互有损益)星八度二十三分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)张一十八度○四分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)翼一十七度(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)轸一十三度○三分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)角一十度三十五分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十度三十七分○加二分)亢一十度四十分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十度三十八分○减二分○盖损角益亢)氐一十七度五十四分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十七度五十分○减四分)房四度四十六分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤四度五十分○加四分○盖损氐益房)心七度三十三分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤同)尾一十五度三十六分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十五度五十六分○加二十分)箕九度二十分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤九度 减二十分○盖益尾损箕)斗二十三度五十一分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤二十三度四十七分○减四分)牛七度四十一分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰四十分康熈甲子宿钤七度四十六分○加五分)女一十一度三十九分(崇祯戊辰测○康熈壬子同○康熈戊辰同康熈甲子宿钤一十一度三十八分○减一分○盖斗牛女三宿互有损益)右黄道宿度据崇祯厯书戊辰宿钤算其度分灵台仪象志康熈壬子宿钤多同又康熈戊辰亦同而厯象考成以康熈甲子为元其宿度分小有损益意者后有密测较精于前与康熈戊辰在甲子后宿度多同前者盖据旧测逐年如其歳差之秒而宿度不改厯象考成成于康熈之季年刻于雍正三年盖以后测追溯甲子厯元宿钤当如此是以与戊辰稍异也损益之少者数分其多者胃昴四十六分尾箕二十分愚疑尾箕二宿最近地平有䝉气差意者前测未精差二十分或由此若胃昴距地髙当无蒙气差而改测差四十六分岂胃宿改距星与(差一分者盖因歳差秒数有弃有收)再考觜参二宿乾隆十七年十一月大臣议改仍依古法觜前参后参宿中三星昔以西一星为距今改东一星为距则觜前参后矣但二宿之度未有考○考授时厯黄道宿度与今黄道宿度同异(今宿度以整度变日度)箕(授时九度五九今九度一三) 斗(授时二十三度四七今二十四度一三)牛(授时六度九○今七度八八) 女(授时一十一度一二今一十一度八○)虚(授时九度○○太○今一十五度九一) 危(授时一十五度九四今二十度四一○)室(授时一十八度三三今一十五度九一) 壁(授时九度三四○今一十三度二九)奎(授时一十七度八七今一十一度八二) 娄(授时一十二度三六今一十三度一九)胃(授时一十五度八一今一十二度四三) 昴(授时一十一度○八今九度三八○)毕(授时一十六度五○今一十四度一七) 觜(授时觜在参前○度○五○今觜在参后一十一度七二)参(授时参在觜后九度二八今参在觜前一度三七)井(授时三十一度○三今三十度八六)鬼(授时二度一一今四度六○) 栁(授时一十三度○今一十七度三二)星(授时六度三一○今八度五○五四) 张(授时一十七度七九今一十八度三三)翼(授时二十度○九今一十七度二三) 轸(授时一十八度七五今一十三度二四)角(授时一十二度八七今一十度七七○) 亢(授时九度五六○今一十度七九)氐(授时一十六度四○今一十八度○九) 房(授时五度四八今四度九○)心(授时六度○七今七度六六) 尾(授时一十七度九五今一十六度一七)黄道宿度多寡古厯多不同授时以简仪密测宿度余分可考然以较之今时黄道宿度无一宿同者其故实多端据西士之说恒星循黄道东行赤道经纬度歳歳不同而黄道之宿则有定距本当以黄道度为主用弧三角法算毎歳赤道之经纬而郭氏法以赤道度为主由赤道度变黄道度其不同者一也黄赤本可相求而郭氏以弧矢割员之术求黄赤道之差与弧三角算不能宻合其不同者二也古今所用列宿距星不能画一其不同者三也觜参二宿易其前后其不同者四也宿近地平常有蒙气掩映之差须考求其真度前人未见及此其不同者五也有此五端宜其无一宿同当据今所测算者为正其觜参二宿则今仍改为觜前参后也数学卷七
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钦定四库全书数学卷八婺源江永撰算賸(勿庵先生论算极详观玩之余有得辄笔之此为賸义云尔)正弧三角㑹通弧三角以正者为宗举要第二卷论正弧其法散出有见于求余角法者有见于第四卷次形法者又有现于堑堵测量环中黍尺二书者今为荟萃总计求角求边凡若干正法别法附之胪列分明学者庶易㑹焉甲为正角乙酉春分角丙为交角乙甲犹赤道乙丙犹黄道丙甲犹距纬正弧随处有之不止黄赤道而以黄赤为喻诸法皆以甲乙丙为钤记求丙甲边法半径与乙角正弦若乙丙正弦与丙甲正弦(中二率相乘为实首#率为法除实得四率)半径与乙角正切若乙甲正弦与丙甲正切丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正弦半径与丙角余弦若乙丙正切与丙甲正切又法丙角余弦与半径若乙丙余切与丙甲余切乙甲余弦与半径若乙丙余弦与丙甲余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余弦与丙甲余弦又法半径与乙甲余弦若乙丙正割与丙甲正割又法乙丙余弦与半径若乙甲余弦与丙甲正割又法乙丙正割与半径若乙甲正割与丙甲余弦丙角正弦与半径若乙角余弦与丙甲余弦半径与丙角余割若乙角余弦与丙甲余弦又法不用四率但以加减法取初数即得丙甲正弦法为乙角度与乙丙边度相并为总弧相减为存弧各取余弦如法相加减(总弧过象限则两余弦相加不过象限则相减)折半为初数即为丙甲正弦求乙丙边法乙角正弦与半径若丙甲正弦与乙丙正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正弦与乙丙正弦乙角余弦与半径若乙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切丙角正弦与半径若乙甲正弦与乙丙正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与两角余割若乙甲正弦与乙丙正弦丙角余弦与半径若丙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切半径与丙甲余弦若乙甲余弦与乙丙余弦又法乙甲余弦与半径若丙甲正割与乙丙正割又法丙甲正割与半径若乙甲余弦与乙丙余弦又法半径与乙甲正割若丙甲正割与乙丙正割又法乙甲正割与半径若丙甲余弦与乙丙余弦又法丙甲余弦与半径若乙甲正割与乙丙正割乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余弦半径与乙角余切若丙角余切与乙丙余弦求乙甲边法乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正弦又法乙角正弦与乙角余弦若丙甲正切与乙甲正弦半径与乙角余弦若乙丙正切与乙甲正切又法乙角正割与半径若乙丙正切与乙甲正切半径与丙角正弦若乙丙正弦与乙甲正弦半径与丙角正切若丙甲正弦与乙甲正切甲丙余弦与半径若乙丙余弦与乙甲余弦又法乙丙正割与半径若丙甲正割与乙甲余弦又法半径与丙甲正割若乙丙余弦与乙甲余弦又法乙丙余弦与半径若丙甲余弦与乙甲正割又法半径与乙丙正割若丙甲余弦与乙甲正割又法丙甲正割与半径若乙丙正割与乙甲正割乙角正弦与半径若丙角余弦与乙甲余弦半径与乙角余割若丙角余弦与乙甲余弦求乙角法乙丙正弦与半径若丙甲正弦与乙角正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正弦与乙角正弦又法丙甲正弦与半径若乙丙正弦与乙角正割又法半径与丙甲余割若乙丙正弦与乙角正割又法乙丙正弦与丙甲正弦若乙角正割与乙角正切乙甲正弦与半径若丙甲正切与乙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切又法丙甲正切与半径若乙甲正弦与乙角余切乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余弦又法乙甲正切与半径若乙丙正切与乙角正割又法半径与乙甲余切若乙丙正切与乙角正割半径与丙甲余弦若丙角正弦与乙角余弦(永补)乙甲余弦与半径若丙角余弦与乙角正弦(永补)半径与乙甲正割若丙角余弦与乙角正弦(永补)乙丙余弦与半径若丙角余切与乙角正切(永补)半径与乙丙正割若丙角余切与乙角正切求丙角法乙丙正弦与半径若乙甲正弦与丙角正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正弦与丙角正弦又法半径与乙丙正割若乙角余切与丙角正切又法乙甲正弦与半径若乙丙正弦与丙角余割(永补)丙甲正弦与半径若乙甲正切与丙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切又法乙甲正切与半径若丙甲正弦与丙角余切(永补)乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余弦又法丙甲正切与半径若乙丙正切与丙角正割(永补)丙甲余弦与半径若乙角余弦与丙角正弦(永补)半径与丙甲正割若乙角余弦与丙角正弦#半径与乙角正弦若乙甲余弦与丙角余弦(永补)半径与乙角正切若乙丙余弦与丙角余切(永补)已上求边求角诸法具足有未备者永为补之一种有数法择用一焉可也(永所补者亦因他法隅反非臆测也用之可勿疑)垂弧法趋㨗举要第三卷论垂弧但言可求某边某角不详其求之之法以有正弧三角法可攷也然算以㨗为贵有可省者径省之诸形中各求㨗法以趋简易形内垂弧第一支(甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之乙丙甲丙二边求对边及余两角)作垂弧乙丁丁为正角○按两边夹一角求对角之边有环中黍尺专书备论可不作垂弧欲以垂弧算之第四卷有㨗法但求丁丙边(半径与丙角余弦若)(乙丙正切与丁丙正切)分甲丁边(丙丁之余为甲丁)即用两分之两边以径得乙甲(丁丙余弦与乙丙余弦若丁甲余弦与乙甲余弦)甚㨗也得乙甲则二角(乙甲)可求矣若按次求之先求丁丙次求乙丁次求丁乙丙分角次求乙甲次求甲角及丁乙甲分角末以两乙角并之成乙角较为烦曲形内垂弧第二支(甲乙丙形有丙锐角有角旁相连之乙丙边及与各相对之乙甲边求余两角一边)此当先求甲角(乙甲正弦与丙角正弦若乙丙正弦与甲角正弦)次求丁丙(半径与丙角余弦若乙丙正切与丁丙正切)甲丁(半径与甲角余弦若乙甲正切与甲丁正切)分边并得甲丙则乙角可得不必求垂弧与分角形内垂弧第三支(甲乙丙形有乙丙二角有乙丙边求甲角及余边)边在两角之间斜弧三角之难求者也若以垂弧法求之当求乙丁边(半径与丙角正弦若乙丙正弦与乙丁正弦)丁乙丙分角(乙丙余弦与半径若丙角余切与乙角正切)原设乙角内减丁乙丙得丁乙甲分角次求甲角(半径与乙分角正弦若乙丁余弦与甲角余弦)乙甲边(甲角正弦与半径若乙丁正弦与乙甲正弦)甲丙边(甲角正弦与乙丙正弦若原设乙角正弦与甲丙正弦)此不得不求垂弧与分角者也按次形法三角求边以角易为边边易为角此形虽止两角亦可弧角相易以次形求之葢在本形为两角夹一边次形即为两边夹一角在本形为求对边之角在次形即为求对角之边径用环中黍尺加减㨗法以求之一求而甲角可得矣此理隐于次形篇中永于三角求边悟得之形内垂弧第四支(甲乙丙形有丙甲二角有乙甲边求乙角及余二边)此当先求乙丙边(丙角正弦与甲角正弦若乙甲正弦与乙丙正弦)次求丙丁(半径与丙角余弦若乙丙正切与丙丁正切)丁甲(半径与甲角余弦若乙甲正切与丁甲正切)分边并得丙甲而乙角可得形内垂弧第五支(系二边相同求三角此形易求畧之)形外垂弧第一支(甲乙丙形有丙锐角有夹角之两边求乙甲边及余两角)自乙角作垂弧于形外补成正角(丁角)本法须求丙乙丁角(乙丙余弦与半径若丙角余切与乙角正切)乙丁边(半径与乙丙正弦若丙角正弦与乙丁正弦)丁丙边(半径与乙丙正弦若乙角正弦与丁丙正弦)乃可求乙甲边(丁丙内减丙甲得甲丁半径与甲丁余弦若乙丁余弦与乙甲余弦)甲角(乙甲正弦与半径若乙丁正弦与甲角正弦)及甲乙丁虚角(乙甲正弦与半径若甲丁正弦与虚)(乙角正弦○末以甲角减半周得原设甲角以甲乙丁虚角减丙乙丁角得原设丙乙甲角)若用环中黍尺加减㨗法则不用作垂弧一求可得乙甲边而甲乙两角皆可求矣形外垂弧第二支(甲乙丙形有甲钝角有角旁之二边求乙丙边及余二角)本法亦作垂弧于形外补成正角先求虚边虚角而后可求形内之边角今按此亦可用环中黍尺法角求对边(钝角用大矢)径得乙丙因以求二角则不必作垂弧形外垂弧第三支(甲乙丙形有丙锐角有角旁之乙丙边有对角之乙甲边求丙甲边及余二角)本法先求虚边虚角今按此可求甲角(乙甲正弦与乙丙正弦若丙角正弦与甲角正弦)乃求丁丙边(半径与丙角余弦若乙丙正切与丁丙正切)与甲丁边(半径与甲外角余弦若乙甲正切与甲丁正切)于丁丙内减甲丁得丙甲而乙角可求形外垂弧第四支(乙甲丙形有甲钝角有角旁之甲丙边及对角之乙丙边求乙甲边及余二角)本法亦先算虚形今按此亦可倣第三支先求乙角次求乙戊边与甲戊边于乙戊内减甲戊得乙甲因以求丙角形外垂弧第五支(乙甲丙形有丙甲二角一锐一钝有丙甲边在两角之中求一角)本法作垂弧先算虚边虚角今按两角夹一边求对边之角犹之两边夹一角求对角之边径易角为边易边为角用加减㨗法可得对丙甲边之乙角形外垂弧第六支(乙甲丙形有乙甲二角乙锐甲钝有丙甲边与乙锐角相对钝角相连)此当先求乙丙边(有本形弧角比例)次求乙戊虚边(半径与乙角余弦若乙丙正切与乙戊正切)次求甲戊虚边(半径与甲外角余弦若丙甲正切与甲戊正切)于乙戊内减甲戊得乙甲(因以求丙角)形外垂弧第七支(乙甲丙形有乙锐角甲钝角有丙乙边与甲钝角相对锐角相连)此当先求丙甲边余如六支之法垂弧又法第一支(乙甲丙形有乙丙边在两角之间而两角并钝求余二边及甲角)法引丙甲至己引乙甲至戊各满半周作戊己边与乙丙等而己与戊并乙丙之外角成甲戊己次形依法作垂弧于次形之内(如己丁)分为两形本法求乙甲边以己丁戊分形求到丁戊(半径与戊角余弦若己戊正切与丁戊正切)以己丁甲形求到甲丁(先于己丁戊形求得己角以减原有之巳角余为丁己甲分角又求得己丁垂弧乃求甲丁法为半径与己分角正切若己丁正弦与甲丁正切)合之成甲戊以减半周得乙甲求丙甲边以己丁甲分形求到己甲(丁己甲角余弦与半径若己丁正切与己甲正切)以减半周得丙甲乃以己丁甲分形求到甲交角(己甲正弦与半径若己丁正弦与甲角正弦)按此殊多曲折径易角为边易边为角(或用本形之乙丙两钝角易为边以乙丙边为角取矢或用次形之己戊两锐角易为边取己戊矢皆可)用加减㨗法求之即可得甲角(因以求二边)垂弧又法第二支(乙甲丙形有丙甲二角有乙甲边与丙角相对而两角俱钝求乙角及余边)如法引甲乙丙乙俱满半周㑹于己成丙甲己次形作己丁垂弧于次形内分次形为两本法求乙角惟求分形两己角合之为次形己角与乙对角等又求分形甲丁丁丙并之为甲丙以求到次形己丙减半周为乙丙今按此形当先求乙丙边(丙角正弦与乙甲正弦若甲角正弦与乙丙正弦)减半周余为己丙虚边次求甲丁(乙甲减半周得甲己半径与甲外角余弦若甲己正切与甲丁正切)丁丙(半径与丙外角余弦若己丙正切与丁丙正切)并得甲丙因以求乙角(有弧角比例)稍为直㨗若欲先知乙角如本法可矣(乙甲余弧与半径若甲外角余切与甲己丁分角正切又半径与甲己正弦若甲外角正弦与丁己正弦又丁己余弦与半径若丙外角余弦与丁己丙角正弦合两分形己角为次形己角即为本形乙角)垂弧又法第三支(乙甲丙形有乙丙乙甲两边有乙角在两边之中)本法用甲乙戊次形算之今按此亦可用加减㨗法径得丙甲垂弧又法第四支(乙甲丙形有丙角有甲丙边与角连有乙甲边与角对)法用甲己戊次形(甲己为甲乙减半周之余甲戊为甲丙减半周之余戊角为丙之外角)作垂弧于内求乙丙边及余两角按此形当先求乙角(乙甲正弦与丙角正弦若甲丙正弦与乙角正弦)因知己虚角(己为乙之外角)次求丁己(半径与己角余弦若甲己正切与丁己正切)戊丁(半径与戊角正切若甲戊正弦与戊丁正切)并得己戊即丙乙因以求甲角若欲先知甲角即于丁戊甲分形求之(半径与戊角正切若甲戊余弦与甲角余切)因以求乙丙边(丙角正弦与乙甲正弦若甲角正弦与乙丙正弦)垂弧又法第五支(乙甲丙形有三边内有乙甲丙甲二边相同而皆为过弧求三角)本法用次形作垂弧求之今按此亦可用加减㨗法用甲角角旁两弧同度则加减有变例检环中黍尺五卷补遗用垂弧又法第六支(乙甲丙形有丙甲二钝角有甲丙边在两角间)本法引乙丙乙甲满半周㑹于戊成甲戊丙次形作垂弧于次形外以求之今按此亦可易角为边易边为角依加减㨗法求之径得乙角(因以求二边)垂弧又法第七支(乙甲丙形有乙甲二钝角有甲丙边与角对)法引设边成丙戊甲次形(戊为乙对角与乙角等)作垂弧于次形外此或先求乙丙(乙角正弦与甲丙正弦若甲角正弦与乙丙正弦)减半周得丙戊或先求丙戊(戊角正弦与丙甲正弦若甲外角正弦与丙戊正弦)减半周得乙丙次求丁甲(甲外角余弦与半径若甲丙正切与甲丁正切)丁戊(戊外角正割与半径若丙戊正切与丁戊正切)以丁戊减丁甲余为戊甲以戊甲减半周余为乙甲因以求丙角(若欲先知丙角先求甲丁对边即可求得丙角)垂弧又法第八支(乙甲丙形有丙钝角有角旁之两边丙乙丙甲)本法用甲戊丙次形作甲丁垂弧引丙戊㑹于丁可求乙甲边及甲乙二角今按此亦可用加减㨗法径求乙甲对边以求二角垂弧又法第九支(乙甲丙形有甲钝角有乙丙边与角对丙甲边与角连)法用丙戊甲次形自丙角作垂弧与甲戊引长边㑹于丁此当先求乙角(本形有甲丙对边比例)即戊角(对角等)次求丁甲与丁戊(与第七支求法同)于丁甲内减丁戊为甲戊即得乙甲(法同七支)因以求丙角次形斜弧三角求边必弧角互易用次形求之图与算例皆详明矣然易角为边有用本角度有用外角度恐易混淆今为厘定开例如左庶用之无误凡三角俱锐者在圆周之两角用本角度其交角用外角度(凡三边必有一边就圆周凡三角必有两角在圆周余一角为交角)凡三角俱钝者皆用外角度凡两钝一锐钝在圆周锐在交角者亦犹三角俱钝皆用外角度凡两钝一锐锐在圆周者用本角度其两钝一在圆周者用外角度一在交角者用本角度凡两锐一钝锐在圆周者用本角度钝在交角者用外角度凡两锐一钝锐在圆周者用本角度在交角者用外角度钝在圆周者亦用外角度#方圆幂积比例补勿庵先生有方圆幂积一卷凡方圆周径面体比例详矣愚思之尚有方分圆分比例一法从来算家只言幂积不言圆分而范蜀公论律云古者以竹为律竹形本圆今以方分置算此律非是算法圆分谓之径围方分谓之方斜今圆分而以方法算之此算数非是圆分始见于此圆体用圆分置算亦有至理平圆有平圆分立圆有立圆分得其方分圆分之比例则有大小不等之浑圆欲得倍数之差但借立方算之其得数甚真亦甚㨗故为补此一法先论圆方算家命平方如棋局之罫者谓之幂合计之谓之积夫有平幂亦当有平员之分合众小员之分亦可谓平员之积由是而为立员亦可谓立员分立员积矣夫所谓员分者非若句股容员虚其四隅也非若方体圆体中容得几个圆球球间尚有空隙也大小相容全无隙罅但有圆之数而无圆之形是所谓员分员积也(如以分作九复碎丸成粉入大圆中谓此大员能容几个粉丸)平方平员方径一十 幂积一百员径一十 幂积七十八又五三九八一六员积一百方员有相应之理方员同径员者刓其四角故幂积七十八有竒若员中复容员必与同径之方等积大员与小员犹之大方与小方也此为浑员立方比例之根立方立员立方径一十 立方面幂六百立员径一十 立员面幂三百一十四又一五九二六五立员面员分六百立员即浑员浑圆面幂与员径上平幂若四与一故四倍平员面幂(七八五三九八一六)而得三一四一五九二六五立方有六面则有六百与浑员面幂若六与三一四一五九二六五而浑员面上之员分则又与立方面幂等立方径一十 立方积一千立员径一十 立员积五百二十三又五九八七七五立员员分积一千立方立员同径又刓去立方之八角则其积之比例若六与三一四一五九二六五故立方积一立员积五二三五九八七七五犹之立方面幂六而立员面幂三一四一五九二六五也积与幂既同比例矣则立员员分积亦必与立方积等犹之立员面员分与立方面幂等也然则平幂面幂体积方与方员与员其数皆等借立方可算立员而大小员球之差数睹矣借立方算立员立方径自乘又以径乘之得积○立员亦径自乘又以径乘之得立员员分积求大小员差几倍数大小员各算得积以积相较得差数若干倍假如今有大员径三十六小员径六径之差六倍实体差若干倍答曰大员比小员差二百一十六倍法以大员径自乘再乘得积四万六千六百五十六小员径自乘再乘得积二百一十六其差亦二百一十六倍(小员径自乘即大员径故差数与积数等二百一十六自乘亦即四万六千六百五十六)又法以两径差倍数自乘又以倍数乘之所得亦同今有大员径一十五万小员径八千径之差十九倍弱实体差若干倍答曰大员比小员差六千五百九十倍竒法以十五万自乘再乘大数三三七五以八千自乘再乘小数五一二大数为实小数为法除实得六千五百九十余实三三七四○八几尽故差六千五百九十倍竒(大小数相差甚逺借十九倍数自乘再乘得六千有竒故知首位是六千不用十九倍数算者不正得十九倍也)此日月实体约畧差数也利西泰云日大于月六千五百三十八倍竒亦相近今有大员径十五万小员径二万八千二百七十四径之差五倍有竒实体差若干倍答曰大员比小员差一百四十九倍竒法以小员自乘再乘得二二六○二七七五为小数大员大数如前以大数为实小数为法除实得一百四十九几尽故差一百四十九倍有竒此日与地实体约畧差数也利西泰云日大于地球一百六十五倍竒盖利算日径不啻十五万里今有大员径二万八千二百七十四小员径八千径之差三倍半有竒实体差若干倍答曰大员比小员差四十四倍竒法以大员积二二六○二七七五为实小员积五一二为法除之得四十四除实二二五二八不尽故差四十四倍竒此地与月实体约畧差数也利西泰云地大于月三十八倍竒盖利算月径不啻八千里右法算浑圆大小相较之差径㨗如此是亦少广之一法不可缺也西人言日大于地五倍有竒又云一百六十五倍有竒两数甚相悬今为补此一法则日大于地实体与圆径迥殊不足诧异矣授时弧矢割员论勿庵先生员容方直简法附授时厯弧矢割员图又附求黄赤内外度及黄赤道差法论之云割员之算始于魏刘徽至刘宋祖冲之父子尤精其术唐宋以算学设科古书犹未尽亡邢台盖有所本又云郭法用员容方直起算冬至西法用三角起算春分郭用三乘方以先得矢西用八线故先得弦又西专用角而郭只用弧西兼用割切而郭只用弦种种各别而不害其同有所以同者在耳且夫数者所以合理也厯者所以顺天也法有可采何论中西理所当明何分新旧在善学者知其所以异又知其所以同去中西之见以平心观理则弧三角之详明郭图之简括皆足以资探索而启深思务集众长以观其㑹通母拘名相而取其精粹永按员者径一围三古人之恒言算家之麤率精于算者觉其未密因有割员之术刘祖二家各有其率盖欲细求周径之数以究平员之理未甞剖之为度析之为分一一纪其纵横之线以为测天之用也而算家相承仍用粗疎之率立弧矢之法或欲以曲承直则用三乘方法求矢或欲以直求曲则因矢以求半背弦差夫弧背为曲线矢弦为直线亘古无相通之率不相通而强求之其所求得之数必非真数也甞读唐荆川先生弧矢论攷其求背弦差之法所得者犹是径一围三六边之周耳(古法求背弦差以矢自乘为实以径为法除实得半背弦差倍之得全背弦差假令半径五自乘二十五径十除之得二五倍之得五加于径则半周十五又如径十而矢一者通弦六余通弦八余矢二以矢一自乘以径除之得小数一倍之得二为背弦差又以余矢二自乘以径除之得小数四倍之得八为背弦差合两通弦十四加两差一半周亦得十五皆径一围三之半周)又攷邢氏律厯考衍三乘方求矢法迂曲烦难究其所得仍是围三径一耳此繇八线表未传不得不如此立算其得数之非真虽前人亦未甞觉也郭太史之求黄赤内外度也先用带从三乘方求各度矢则得矢不真矣其既得黄赤内外半弧弦也又以矢度求半背弦差加入半弧弦得内外半弧背则弧度亦非真其求黄赤差法以黄道矢求半背弦差减黄道度得黄道半弧弦则得弦不真矣其既得赤道半弧弦也又求半背弦差以加半弧弦得赤道则赤道度亦非真夫表端者景正源洁者流清径一围三其本先失而欲数之不谬也得乎八线之法至矣剖析大员细至分秒无非真数以此测天丝毫莫能遁勿庵先生与郭法相提而论谓种种各别不害其同有所以同者在愚谓郭图之弦矢犹八线之弦矢也其句股皆八线所有之句股也究之郭法西法终莫能同有所以不同者在耳先生谓当去中西之见平心以观理夫理有真亦有似使其似是而未真则与真者相提而论虽欲比而同之不可得矣先生于郭法各添注求黄道矢与弦则注云本法如此原法如此(见前)求内外半弧背及赤道则注云原法如此(见前)今省夫存其本法而不论其法之是与非岂不欲苛求古人与原法所有而今省岂微觉其法之未善与愚岂敢苛论古人哉亦谓理数精微不能两是宁割爱于古人耳授时平立定三差辩勿庵先生云授时厯于日躔盈缩月离迟疾并云以算术垜积(一作叠)招差立算而今所传九章诸书无此术也岂古有而今逸耶载攷厯草并以盈缩日数离为六段并以段目除其段之积度得数乃相减为一差一差又相减为二差则其数齐同乃縁此以生定差及平差立差定差者盈缩初日最大之差也于是以平差立差减之则为每日之定差矣若其布立成法则直以立差六因之以为每日平立合差之差此两法者若不相蒙而其术巧㑹从未有能言其故者余因李世德孝亷之疑而试为思之其中原委亦自厯然爰命孙㲄成衍为垜积之图得书一卷又云平立定差之法古无其术乃郭太史所创为以求七政盈缩之度所以造立成之根本也据云依立招差又云依垜叠立招差则似古算术中原有其法而今采用之然不可攷矣愚因李问为之衍算颇觉其用法之巧焉永按郭太史时八线表未传中土以三差法求七政盈缩固巧矣愚窃谓其数之不真凡圆体参差截为数段前后相较其畸零之数无时而尽今以段目除积度相较至再而即齐同无是理也凡相差之尾数前后疎密必不均用时有収有弃未有能截然齐一者今恒六因立差以为每日平立合差之差则其差有常尾数不变(如太阳盈初缩未限平立合差之尾数恒为八四○六二其较以六缩初盈末限平立合差之尾数恒为二四六八○其较以二则盈缩加分盈缩积度之尾数皆有定率太阳如此其他可知)平圆中亦必无此差率也以至圆之体而欲以平方立方之差求之圆凿方枘岂能相入哉或曰郭氏于七政各分段目测之其数盖得之积候未可谓其无凭也曰凡以仪器测天虽极精密亦及度分而止必不能得其秒微各段相较至二差而齐同皆秒微之数则其积度畸零之小数必有迁就于其间者矣观太隂迟疾立成其损益积度至于五度四二九三有竒较西法加减均数为赢而又不知有二三均加减则其日逐测到之度岂尽与天密合哉平圆中自然之差数八线表尽之矣使平立定三差之法果符天运则八线亦可不立既有八线之精算为一切测圆之凖绳则此外更无岐途别径亦无取乎三差之巧矣于古人之法深究其根存而勿用可也数学卷八
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钦定四库全书续数学卷一婺源江永撰正弧三角疏义目录(分支列目随其所欲求者因目以检后题)第一支有正角有余角有对正角之边而求两边一角(凡正弧三角钤记甲为正角乙为余角丙为交角乙丙为对正角之边丙甲为对余角之边乙甲为对交角之边)求对余角之边(第一题)求对交角之边(第二题)求交角(第三题)第二支有正角有余角有对余角之边而求两边一角求对正角之边(第四题)求对交角之邉(第五题)求交角(第六题)第三支有正角有交角有对正角之边而求两邉一角求对交角之邉(第七题)求对余角之邉(第八题)求余角(第九题)第四支有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角求对正角之邉(第十题)求对余角之邉(第十一题)求余角(第十二题)第五支有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角求对正角之邉(第十三题)求余角(第十四题)求交角(第十五题)第六支有正角余角夹一边而求两边一角求对正角之边(第十六题)求对余角之邉(第十七题)求交角(第十八题)第七支有正角交角夹一邉而求两邉一角求对正角之邉(第十九题)求对交角之邉(第二十题)求余角(第二十一题)第八支有正角有对正角交角之邉而求一邉两角求对余角之邉(第二十二题)求交角(第二十三题)求余角(第二十四题)第九支有正角有对正角余角之邉而求一邉两角求对交角之邉(第二十五题)求余角(第二十六题)求交角(第二十七题)第十支有三角求三邉求对正角之邉(第二十八题)求对余角之邉(第二十九题)求对交角之邉(第三十题)已上正法已具第十一支不用正角以余角交角二邉相对相求余角交角偕对余角之邉求对交角之邉(第三十一题)交角余角偕对交角之邉求对余角之邉(第三十二题)对余角交角之邉偕余角求交角(第三十三题)#对交角余角之邉偕交角求余角(第三十四题)正弧三角形甲为正角 乙为余角 丙为交角圆内全形图及解义详后分题举法第一支(有正角有余角有对正角之边求两边一角)第一题有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径(即甲角正弦后倣此)与乙角正弦若乙丙正弦与丙甲正弦(凡首举者为一率言与者为二率言若者为三率后言与者为四率凡数以二率三率相乘为实以一率为法除之而得第四率为所求之数凡二率可易为三三率可易为二凡半径为全数在首率者升位可省除在中间者升位可者乘后倣此)第二题有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲边法曰半径与乙角余弦若乙丙正切与乙甲正切第三题有甲角有乙角有对甲角乙丙邉求丙角法曰半径与乙角正切若乙丙余弦与丙角余切第二支(有正角有余角有对余角之邉而求两邉一角)第四题有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对甲角乙丙邉法曰乙角正弦与半径若丙甲正弦与乙丙正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余割若丙甲正弦与乙丙正弦第五题有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求对丙角乙甲邉法曰乙角正切与半径若丙甲正切与乙甲正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角余切若丙甲正切与乙甲正弦第六题#有甲角有乙角有对乙角丙甲邉求丙角法曰丙甲余弦与半径若乙角余弦与丙角正弦第三支(有正角有交角有对正角之邉而求两邉一角)第七题有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对丙角乙甲邉法曰半径与丙角正弦若乙丙正弦与乙甲正弦第八题有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求对乙角丙甲邉法曰半径与丙角余弦若乙丙正切与丙甲正切第九题有甲角有丙角有对甲角乙丙邉求乙角法曰乙丙余弦与半径若丙角余切与乙角正切(首率易半径则次率易乙丙正割)第四支(有正角有交角有对交角之邉而求两邉一角)第十题有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对甲角乙丙邉法曰丙角正弦与半径若乙甲正弦与乙丙正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余割若乙甲正弦与乙丙正弦第十一题有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角丙甲邉法曰丙角正切与半径若乙甲正切与丙甲正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角余切若乙甲正切与丙甲正弦第十二题有甲角有丙角有对丙角乙甲邉求对乙角法曰乙甲余弦与半径若丙角余弦与乙角正弦(首率易半径则次率易乙甲正割)第五支(有正角有角旁相连之两邉而求一邉两角)第十三题有甲角有乙甲邉丙甲邉求对甲角乙丙邉法曰半径与丙甲余弦若乙甲余弦与乙丙余弦第十四题有甲角有乙甲邉丙甲邉求乙角法曰乙甲正弦与半径若丙甲正切与乙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲余割若丙甲正切与乙角正切第十五题有甲角有乙甲邉丙甲邉求丙角法曰丙甲正弦与半径若乙甲正切与丙角正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲余割若乙甲正切与丙角正切第六支(有正角余角夹一邉而求两邉一角)第十六题有甲角有乙角有乙甲邉求对甲角乙丙邉法曰乙角余弦与半径若乙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与乙角正割若乙甲正切与乙丙正切第十七题有甲角有乙角有乙甲邉求对乙角丙甲邉法曰半径与乙角正切若乙甲正弦与丙甲正切第十八题有甲角有乙角有乙甲邉求丙角法曰半径与乙角正弦若乙甲余弦与丙角余弦第七支(有正角交角夹一邉而求两邉一角)第十九题有甲角有丙角有丙甲邉求对甲角乙丙邉法曰丙角余弦与半径若丙甲正切与乙丙正切若欲用半径为首率以省除则为半径与丙角正割若丙甲正切与乙丙正切第二十题有甲角有丙角有丙甲邉求对丙角乙甲邉法曰半径与丙角正切若丙甲正弦与乙甲正切第二十一题有甲角有丙角有丙甲邉求乙角法曰半径与丙角正弦若丙甲余弦与乙角余弦第八支(有正角有对正角交角之邉而求一邉两角)第二十二题有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙甲邉法曰乙甲余弦与半径若乙丙余弦与丙甲余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙甲正割若乙丙余弦与丙甲余弦第二十三题有甲角有乙丙邉乙甲邉求丙角法曰乙丙正弦与半径若乙甲正弦与丙角正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若乙甲正弦与丙角正弦第二十四题有甲角有乙丙邉乙甲邉求乙角法曰乙丙正切与半径若乙甲正切与乙角余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若乙甲正切与乙角余弦第九支(有正角有对正角余角之邉而求一邉两角)第二十五题有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙甲邉法曰丙甲余弦与半径若乙丙余弦与乙甲余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与丙甲正割若乙丙余弦与乙甲余弦第二十六题有甲角有乙丙邉丙甲邉求乙角法曰乙丙正弦与半径若丙甲正弦与乙角正弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余割若丙甲正弦与乙角正弦第二十七题有甲角有乙丙邉丙甲邉丙甲邉求丙角法曰乙丙正切与半径若丙甲正切与丙角余弦若欲用半径为首率以省除则为半径与乙丙余切若丙甲正切与丙角余弦第十支(有三角求三邉)第二十八题有甲角乙角丙角求乙丙邉法曰乙角正切与半径若丙角余切与乙丙余弦(首率易半径则次率易乙角余切)第二十九题有甲角乙角丙角求丙甲角法曰丙角正弦与半径若乙角余弦与丙甲余弦(首率易半径则次率易丙角余割)第三十题有甲角乙角丙角求乙甲邉法曰乙角正弦与半径若丙角余弦与乙甲余弦(首率易半径则次率易乙角余割)已上皆有甲角半径者正法已具其不用甲角者别为一支四题如左第十一支(不用正角以余角交角二邉相对相求)第三十一题有乙角丙角丙甲邉求乙甲邉法曰乙角正弦与丙甲正弦若丙角正弦与乙甲正弦第三十二题有丙角乙角乙甲邉求丙甲邉法曰丙角正弦与乙甲正弦若乙角正弦与丙甲正弦第三十三题有乙角有丙甲乙甲邉求丙角法曰丙甲正弦与乙角正弦若乙甲正弦与丙角正弦第三十四题有丙角有乙甲丙甲邉求乙角法曰乙甲正弦与丙角正弦若丙甲正弦与乙角正弦#平圆正弦三角图天上随处皆可作弧三角此姑以黄赤道图之己辛癸丁圆为极至交圈己为北极辛乙丁为赤道庚为黄极壬乙戊为黄道壬为冬至乙为春秋分戊为夏至丙者设太阳所在己丙甲者从北极出线过太阳抵赤道为过极圈之一象限(九十度)乙丙者太阳行过春分之经度乙甲赤道同升度丙甲距纬度戊丁者乙角之度也(凡角度皆在九十度之圆周上春分至夏至黄赤皆足九十度故戊丁为乙角度此角度为黄赤道距纬古今不同古时不止二十三度半今度不及二十三度半姑以二十三度半算之可也)庚己者黄极距北极之度亦与戊丁同度也甲为正角(即直角)其正弦满半径故即以半径为甲角此甲乙丙形即前图之湾曲形因侧视故黄赤道成直线稍转即成湾曲矣此图又有次形丙戊者黄道乙丙之余弧甲丁者乙甲赤道之余弧己丙者丙甲距纬之余弧己戊者乙角丁戊之余弧而甲丁弧又为己角之度是次形又有己戊丙之三角形戊为正角同甲角丙为交角同丙角己为余角似乙角也本形有不能以正弦比例者则以次形易之而别法生焉正弧形弧角相易又次形图甲乙丙正弧三角形既易为己丙戊次形又易为己庚子形图之己丙戊形即前图之己丙戊形丁与庚亦前图之丁及庚此引丙戊线至丑引丙己线至子皆满象限作丑子弧引之至庚与戊己庚弧会则戊庚丑庚亦皆一象限成己子庚形与甲乙丙形相当子为正角同甲角己为交角似丙角庚为余角似乙角也○乙丙邉易为庚角(乙戊及丙丑皆象限内减同用之丙戊则戊丑即乙丙而戊丑即庚角之弧)乙甲邉易为己角(乙甲之余度丁甲即己交角之弧)是又次形#之两角即元形之两邉也乙角易为己庚邉(前设乙甲丁戊为黄赤距度则己庚者黄极赤极距度故二邉相等)丙角易为子庚邉(丙交角之弧丑子其余弧为子庚)是又次形之两邉即元形之两角而子己即丙甲子角即甲角于是次形有不能比例者易为又次形而别法又生焉续数学卷一◆ 《九章算术-晋-》（KR3f0032）
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刘徽九章算术注原序
昔在包牺氏始画八卦以通神明之德以类万物之情作九九之术以合六爻之变曁于黄帝神而化之引而伸之于是建历纪协律吕用稽道原然后两仪四象精微之气可得而效焉记称隶首作数其详未之闻也按周公制礼而有九数九数之流则九章是矣往者暴秦焚书经术散坏自时厥后汉北平侯张苍大司农中丞耿寿昌皆以善算命世苍等因旧文之遗残各称删补故校其目则与古或异而所论者多近语也徽幼习九章长再详览观阴阳之割裂总算术之根源探𦣱之暇遂悟其意是以敢竭顽鲁采其所见为之作注事类相推各有攸归故枝条虽分而同本干者知发其一端而已又所析理以辞解体用图庶亦约而能周通而不黩览之者思过半矣且算在六艺古者以宾兴贤能教习国子虽曰九数其能穷纤入微探测无方至于以法相传亦犹规矩度量可得而共非特难为也当今好之者寡故世虽多通才逹学而未必能综于此耳周官大司徒职夏至日中立八尺之表其景尺有五寸谓之地中说云南戴日下万五千里夫云尔者以术推之按九章立四表望远及因木望山之术皆端旁互见无有超邈若斯之类然则苍等为术犹未足以博尽群数也徽㝷九数有重差之名原其指趣乃所以施于此也凡望极高测绝深而兼知其远者必用重差句股则必以重差为率故曰重差也立两表于洛阳之城令高八尺南北各尽平地同日度其正中之时以景差为法表高乘表闲为实实如法而一所得加表高即日去地也以南表之景乘表闲为实实如法而一即为从南表至南戴日下也以南戴日下及日去地为句股为之求弦即日去人也以径寸之筩南望日日满筩空则定筩之长短以为股率以筩径为句率日去人之数为大股大股之句即日径也虽天圆穹之象犹曰可度又况泰山之高与
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## SB03n0060-000九章算术-目录.
江海之广哉徽以为今之史籍且畧举天地之物考论厥数载之于志以阐世术之美辄造重差并为注解以究古人之意缀于句股之下度高者重表测深者累矩孤离者三望离而又旁求者四望触类而长之则虽幽遐诡伏靡所不入博物君子详而览焉目录(附)方田第一(凡三十八问补图二)粟米第二(凡四十六问)衰分第三(凡二十问)少广第四(凡二十四问补图一)商功第五(凡二十八问)均输第六(凡二十八问)盈不足第七(凡二十问)方程第八(凡十八问)句股第九(凡二十四问补图十)音义第十
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九章算术卷第一(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释方田(以御田畴界域)今有田广十五步从十六步问为田几何荅曰一亩又有田广十二步从十四步问为田几何荅曰一百六十八步(图从十四广十二)方田术曰广从步数相乘得积步(此积谓田羃凡广从相乘)(谓之羃臣淳风等谨按经云广从相乘得积步注云广从相乘谓之羃观斯注意)(积羃义同以理推之固当不尔何则羃是方面单布之名积乃众数聚居之称循名)(责实二者全殊虽欲同之窃恐不可今以凡言羃者据广从之一方其言积者举众)(步之都数经云相乘得积步即是都数之明文注云谓之为羃全乖积步之本意此)(注前云积谓田羃于理得通复云谓之为羃䌓而不当今者注释存善去非略为科)(简遗诸后学)以亩法二百四十步除之即亩数百亩为一顷(臣淳风等谨按此为篇端故特举顷亩二法余术不复言者从此可知一)(亩之田广十五步从而疏之令为十五行即每行广一步而从十六步又横而截之)(令为十六行即毎行广一步而从十五步此即从疏横截之步各自为方凡有二百)(四十步为一亩之地步数正同以此言之即广从相乘得积步验矣二百四十步者)(亩法也百亩者顷法也故以除之即得)今有田广一里从一里问为田几何荅曰三顷七十五亩又有田广二里从三里问为田几何荅曰二十二顷五十亩里田术曰广从里数相乘得积里以三百七十五乘之即亩数(按此术广从里数相乘得积里故方里之中有三顷)(七十五亩故以乘之即得亩数也)今有十八分之十二问约之得几何荅曰三分之二又有九十一分之四十九问约之得几何荅曰十三分之七约分(按约分者物之数量不可悉全必以分言之分之为数䌓则难用设有四)(分之二者繁而言之亦可为八分之四约而言之则二分之一也虽则异辞至于为)(数亦同归尔法实相推动有参差故为术者先治诸分)术曰可半者半之不可半者副置分母子之数以少减多更相减损求其等也以等数约之(等数约之即除也其所以相减者皆等数之重叠故以等数约之)今有三分之一五分之二问合之得几何荅曰十五分之十一又有三分之二七分之四九分之五问合之得几何荅曰得一六十三分之五十又有二分之一三分之二四分之三五分之四问合之得几何荅曰得二六十分之四十三合分(臣淳风等谨按合分者数非一端分无定凖诸分子杂互群母参差麄细)(既殊理难从一故齐其众分同其群母令可相并故曰合分)术曰母互乘子并以为实母相乘为法(母互)(乘子约而言之者其分麄繁而言之者其分细虽则麄细有殊然其实一也众分错)(杂非细不㑹乗而散之所以通之通之则可并也凡母互乘子谓之齐群母相乘谓)(之同同者相与通同共一母也齐者子与母齐势不可失本数也方以类聚物以群)(分数同类者无远数异类者无近远而通体者虽异位而相从也近而殊形者虽同)(列而相违也然则齐同之术要矣错综度数动之则谐其犹佩觽解结无往而不理)(焉乘以散之约以聚之齐同以通之此其算之纲纪乎其一术者可令母除为率率)(乘子为齐)实如法而一不满法者以法命之(今欲)(求其实故齐其子又同其母令如母而一其余以等数约之即得所谓同法为母实)(余为子皆从此例)其母同者直相从之今有九分之八减其五分之一问余几何荅曰四十五分之三十一又有四分之三减其三分之一问余几何荅曰十二分之五减分(臣淳风等谨按诸分子母数各不同以少减多欲知余几减余为实故曰)(减分)术曰母互乘子以少减多余为实母相乘为法实如法而一(母互乘子者知以齐其子也以少减多者齐故)(可相减也母相乘为法者同其母也母同子齐故如母而一即得)今有八分之五二十五分之十六问孰多多几何荅曰二十五分之十六多多二百分之三又有九分之八七分之六问孰多多几何荅曰九分之八多多六十三分之二又有二十一分之八五十分之十七问孰多多几何荅曰二十一分之八多多一千五十分之四十三课分(臣淳风等谨按分各异名理不齐一校其相多之数故曰课分也)术曰母互乘子以少减多余为实母相乗为法实如法而一即相多也(臣淳风等谨按此术母互)(乘子以少分减多分多与减分义同唯相多之数意共减分有异减分知求其余数)(有几课分知以其余数相多也)今有三分之一三分之二四分之三问减多益少各几何而平荅曰减四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于十二分之七又有二分之一三分之二四分之三问减多益少各几何而平荅曰减三分之二者一四分之三者四并以益二分之一而各平于三十六分之二十三平分(臣淳风等谨按平分者诸分参差欲令齐等减彼之多增此之少故曰平)(分也)术曰母互乘子(齐其子也)副并为平实(臣淳风等谨按)(母互乘子副并为平实者定此平实立限众子所当损益如限为平)母相乘为法(母相乘为法者亦齐其子又同其母)以列数乘未并者各自为列实亦以列数乘法(此当副并列数为平实若)(然则重有分故反以列数乘同齐臣淳风等谨按问云所平之分多少不定或三)(或二列位无常平三知置位三重平二知置位二重凡此之例一凖平分不可预定)(多少故直云列数而已)以平实减列实余约之为所减并所减以益于少以法命平实各得其平今有七人分八钱三分钱之一问人得几何荅曰人得一钱二十一分钱之四又有三人三分人之一分六钱三分钱之一四分钱之三问人得几何荅曰人得二钱八分钱之一经分(臣淳风等谨按经分者自合分已下皆与诸分相齐此乃直求一人之分)(以人数分所分故曰经分也)术曰以人数为法钱数为实实如法而一有分者通之(母互乘子者齐其子母相乘者同其母以母通之者分母)(乘全内子乘散全则为积分积分则与分子相通故可令相从凡数相与者谓之率)(率者自相与通有分则可散分重叠则约也等除法实相与率也故散分者必令两)(分母相乘法实也)重有分者同而通之(又以法分母乘实实)(分母乘法此谓法实俱有分故令分母各乘全分内子又令分母互乘上下)今有田广七分步之四从五分步之三问为田几何荅曰三十五分步之十二又有田广九分步之七从十一分步之九问为田几何荅曰十一分步之七又有田广五分步之四从九分步之五问为田几何荅曰九分步之四乘分(臣淳风等谨按乘分者分母相乘为法子相乘为实故曰乘分)术曰母相乘为法子相乘为实实如法而一(凡实不满法者乃有母子之名若有分以乘其实而长之则亦满法乃为全耳)(又以子有所乘故母当报除报除者实如法而一也今子相乘则母各当报除因令)(分母相乘而连除也此田有广从难以广谕设有问者曰马二十匹直金十二斤今)(卖马二十匹三十五人分之人得几何荅曰三十五分斤之十二其为之也当如经)(分术以十二斤金为实三十五人为法设更言马五匹直金三斤今卖四匹七人分)(之人得几何荅曰人得三十五分斤之十二其为之也当齐其金人之数皆合初问)(入于经分矣然则分子相乘为实者犹齐其金也母相乘为法者犹齐其人也同其)(母为二十马无事于同但欲求齐而已又马五匹直金三斤完全之率分而言之则)(为一匹直金五分斤之三七人卖四马一人卖七分马之四分子与人交互相生所)(从言之异而计数则三术同归也)今有田广三步三分步之一从五步五分步之二问为田几何荅曰十八步又有田广七步四分步之三从十五步九分步之五问为田几何荅曰一百二十步九分步之五又有田广十八步七分步之五从二十三步十一分步之六问为田几何荅曰一亩二百步十一分步之七大广田(臣淳风等谨按大广田者初术直有全步而无余分次术空有余分)(而无全步此术先见全步复有余分可以广兼三术故曰大广)术曰分母各乘其全分子从之(分母各乘其全分子)(从之者通全步内分子如此则母子皆为实矣)相乘为实分母相乘为法(犹乘分也)实如法而一(今为术广从俱有分当各自通)(其分命母入者还须出之故令分母相乘为法而连除之)今有圭田广十二步正从二十一步问为田几何荅曰一百二十六步又有圭田广五步二分步之一从八步三分步之二问为田几何荅曰二十三步六分步之五术曰半广以乘正从(半广者以盈补虚为直田也亦可半正从)(以乘广按半广乘从以取中平之数故广从相乘为积步亩法除之即得也)今有邪田一头广三十步一头广四十二步正从六十四步问为田几何荅曰九亩一百四十四步又有邪田正广六十五步一畔从一百步一畔从七十二步问为田几何荅曰二十三亩七十步术曰并两邪而半之以乘正从若广又可半正从若广以乘并亩法而一(并而半之者以盈补)(虚也)今有箕田舌广二十步踵广五步正从三十步问为田几何荅曰一亩一百三十五步又有箕田舌广一百一十七步踵广五十步正从一百三十五步问为田几何荅曰四十六亩二百三十二步半术曰并踵舌而半之以乘正从亩法而一(中分箕田则为两邪田故其术相似又可并踵舌半正从以乘之)今有圆田周三十步径十步(臣淳风等谨按术意以周三径一为)(率周三十步合径十步今依密率合径九步十一分步之六)问为田几何荅曰七十五步(此于徽术当为田七十一步一百五十七)(分步之一百三臣淳风等谨依密率为田七十一步二十二分步之一)又有圆田周一百八十一步径六十步三分步之一(臣淳风等谨按周三径一周一百八十一步径六十步三分步之一依密率径五十)(七步二十二分步之一十三)问为田几何荅曰十一亩九十步十二分步之一(此于徽术当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百一十三臣)(淳风等谨依密率当为田十亩二百五步八十八分步之八十七)术曰半周半径相乘得积步(按半周为从半径为广故)(广从相乘为积步也假令圆径二尺圆中容六觚之一面与圆径之半其数均等合)(径率一而外周率三也又按为图以六觚之一面乘半径二因而六之得十二觚之)(羃若又割之次以十二觚之一面乘一觚之半径四因而六之则得二十四觚之羃)(割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣觚面之)(外又有余径以面乘径则羃出觚表若夫觚之细者与圆合体则表无余径表无余)(径则羃不外出矣以一面乘半径觚而裁之每辄自倍故以半周乘半径而为圆羃)(此以周径谓至然之数非周三径一之率也周三者从其六觚之环耳以推圆规多)(少之较乃弓之与弦也然世传此法莫肯精核学者踵古习其谬失不有明据辩之)(斯难凡物类形象不圆则方方圆之率诚著于近则虽远可知也由此言之其用博)(矣谨按圆验更造密率恐空设法数昧而难譬故置诸捡括谨详其记注焉割六觚)(以为十二觚术曰置圆径二尺半之为一尺即圆里六觚之面也令半径一尺为弦)(半面五寸为句为之求股以句羃二十五寸减弦羃余七十五寸开方除之下至秒)(忽又一退法求其微数微数无名者以为分子以下为分母约作五分忽之二故得)(股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二以减半径余一寸三分三厘九毫九秒四)(忽五分忽之三谓之小句觚之半面又谓之小股为之求弦其羃二千六百七十九)(亿四千九百一十九万三千四百四十五忽余分弃之开方除之即十二觚之一面)(也割十二觚以为二十四觚术曰亦令半径为弦半面为句为之求股置上小弦羃)(四而一得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽余分弃之即句)(羃也以减弦羃其余开方除之得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四以)(减半径余三分四厘七秒四忽五分忽之一谓之小句觚之半面又谓之小股为之)(求小弦其羃六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽余分弃之开)(方除之即二十四觚之一面也割二十四觚以为四十八觚术曰亦令半径为弦半)(面为句为之求股置上小弦羃四而一得一百七十亿三千七百八万七千三百六)(十六忽余分弃之即句羃也以减弦羃其余开方除之得股九寸九分一厘四毫四)(秒四忽五分忽之四以减半径余八厘五毫五秒五忽五分忽之一谓之小句觚之)(半面又谓之小股为之求小弦其羃一百七十一亿一十二十七万八千八百一十)(三忽余分弃之开方除之得小弦一寸三分八毫六忽余分弃之即四十八觚之一)(面以半径一尺乘之又以二十四乘之得羃三万一千三百九十三亿四千四百万)(忽以百亿除之得羃三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四即九十六觚)(之羃也割四十八觚以为九十六觚术曰亦令半径为弦半面为句为之求股置次)(上弦羃四而一得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽余分弃之则句羃)(也以减弦羃其余开方除之得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九以减)(半径余二厘一毫四秒一忽十分忽之一谓之小句觚之半面又谓之小股为之求)(小弦其羃四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽余分弃之开方除之得小)(弦六分五厘四毫三秒八忽余分弃之即九十六觚之一面以半径一尺乘之又以)(四十八乗之得羃三万一千四百一十亿二千四百万忽以百亿除之得羃三百一)(十四寸六百二十五分寸之六十四即一百九十二觚之羃也以九十六觚之羃减)(之余六百二十五分寸之一百五谓之差羃倍之为分寸之二百一十即九十六觚)(之外弧田九十六所谓以弦乘矢之凡羃也加此羃于九十六觚之羃得三百一十)(四寸六百二十五分寸之一百六十九则出于圆之表矣故还就一百九十二觚之)(全羃三百一十四寸以为圆羃之定率而弃其余分以半径一尺除圆羃倍之得六)(尺二寸八分即周数令径自乘为方羃四百寸与圆羃相折圆羃得一百五十七为)(率方羃得二百为率方羃二百其中容圆羃一百五十七也圆率犹为微少按弧田)(图令方中容圆圆中容方内方合外方之半然则圆羃一百五十七其中容方羃一)(百也又令径二尺与周六尺二寸八分相约周得一百五十七径得五十则其相与)(之率也周率犹为微少也晋武库中汉时王莽作铜斛其铭曰律嘉量斛内方尺而)(圆其外庣旁九厘五毫羃一百六十二寸深一尺积一千六百二十寸容十斗以此)(术求之得羃一百六十一寸有奇其数相近矣此术微少而斛差羃六百二十五分)(寸之一百五以十二觚之羃为率消息当取此分寸之三十六以增于一百九十二)(觚之羃以为圆羃三百一十四寸二十五分寸之四置径自乘之方羃四百寸令与)(圆羃通相约圆羃三千九百二十七方羃得五千是为率方羃五千中容圆羃三千)(九百二十七圆羃三千九百二十七中容方羃二千五百也以半径一尺除圆羃三)(百一十四寸二十五分寸之四倍之得六尺二寸八分二十五分寸之八即周数也)(全径二尺与周数通相约径得一千二百五十周得三千九百二十七即其相与之)(率若此者盖尽其纤微矣举而用之上法仍约耳当求一千五百三十六觚之一面)(得三千七十二觚之羃而裁其微分数亦宜然重其验耳臣淳风等谨按旧术求)(圆皆以周三径一为率若用之求圆周之数则周少径多用之求其六觚之田乃与)(此率合会耳何则假令六觚之田觚闲各一尺为面自然从角至角其径二尺可知)(此则周六径二与周三径一已合恐此犹以难晓今更引物为喻设令刻物作圭形)(者六枚枚别三面皆长一尺攒此六物悉使锐头向里则成六觚之周角径亦皆一)(尺更从觚角外畔围绕为规则六觚之径尽达规矣当面径短不至外规若以六觚)(言之则为周六尺径二尺面皆一尺面径股不至外畔定无二尺可知故周三径一)(之率于圆周乃是径多周少径一周三理非精密盖术从简要举大纲略而言之刘)(徽特以为疎遂乃改张其率但周径相乘数难契合徽虽出斯一法终不能究其纤)(毫也祖冲之以其不精就中更推其数今者修撰攈摭诸家考其是非冲之为密故)(显之于徽术之下冀学者之所裁焉)又术曰周径相乘四而一(此周与上觚同耳周径相乘各)(当以半而今周径两全故两母相乘为四以报除之于徽术以五十乘周一百五十)(七而一即径也以一百五十七乘径五十而一即周也新术径率犹当微少据周以)(求径则失之长据径以求周则失之短诸据见径以求羃者皆失之于微少据周以)(求羃者皆失之于微多臣淳风等谨依密率以七乘周二十二而一即径以二十)(二乘径七而一即周依术求之即得)又术曰径自相乘三之四而一(按圆径自乘为外方)(三之四而一者是为圆居外方四分之三也若令六觚之一面乘半径其羃即外方)(四分之一也因而三之即亦居外方四分之三也是为圆里十二觚之羃耳取以为)(圆失之于微少于徽新术当径自乘又以一百五十七乘之二百而一臣淳风等)(谨按密率令径自乘以十一乘之十四而一即圆羃也)又术曰周自相乘十二而一(六觚之周其于圆径三与)(一也故六觚之周自相乘为羃若圆径自乘者九方九方凡为十二觚者十有二故)(曰十二而一即十二觚之羃也今此令周自乘非但若为圆径自乘者九方而已然)(则十二而一所得又非十二觚之类也若欲以为圆羃失之于多矣以六觚之周十)(二而一可也于徽新术直令圆周自乘又以二十五乘之三百一十四而一得圆羃)(其率三百一十四者周自乘之羃也置周数六尺二寸八分令自乘得羃三十九万)(四千三百八十四分又置圆羃三万一千四百分皆以一千二百五十六约之得此)(率臣淳风等谨按方面自乘即得其积圆周求其羃股率乃通但此术所求用三)(一为率圆田正法半周及半径以相乘今乃用全周自乘故须以十二为母何者据)(全周而求半周则须以二为法就全周而求半径复假六以除之是二六相乘除周)(自乘之数依密率以七乘之八十八而一)今有宛田下周三十步径十六步问为田几何荅曰一百二十步又有宛田下周九十九步径五十一步问为田几何荅曰五亩六十二步四分步之一术曰以径乘周四而一(此术不验故推方锥以见其形假令)(方锥下方六尺高四尺四尺为股下方之半三尺为句正面邪为弦弦五尺也令句)(弦相乘四因之得六十尺即方锥四面见者之羃若令其中容圆锥圆锥见羃与方)(锥见羃其率犹方羃之与圆羃也按方锥下六尺则方周二十四尺以五尺乘而)(半之则亦方锥之见羃故求圆锥之数折径以乘下周之半即圆锥之羃也今宛田)(上径圆穹而与圆锥同术则羃失之于少矣然其术难用故略举大较施之大广田)(也求圆锥之羃犹求圆田之羃也今用两全相乘故以四为法除之亦如圆田矣开)(立圆术说圆方诸率甚备可以验此)今有弧田弦三十步矢十五步问为田几何荅曰一亩九十七步半又有弧田弦七十八步二分步之一矢十三步九分步之七问为田几何荅曰二亩一百五十五步八十一分步之五十六术曰以弦乘矢矢又自乘并之二而一(方中)(之圆圆里十二觚之羃合外方之羃四分之三也方中合外方之半则朱实合外方)(四分之一也弧田半圆之羃也故依半圆之体而为之术以弦乘矢而半之则为黄)(羃矢自乘而半之为二青羃青黄相连为弧体弧体法当应规令觚面不至外畔失)(之于少矣圆田旧术以周三径一为率俱得十二觚之羃亦失之于少也与此相似)(指验半圆之弧耳若不满半圆者益复疎阔宜依句股锯圆材之术以弧弦为锯道)(长以矢为句深而求其径既知圆径则弧可割分也割之者半弧田之弦以为股其)(矢为句为之求弦即小弧之弦也以半小弧之弦为句半圆径为弧为之求股以减)(半径其余即小弦之矢也割之又割使至极细但举弦矢相乘之数则必近密率矣)(然于算数差繁必欲有所㝷究也若但度田取其大数旧术为约耳)今有环田中周九十二步外周一百二十二步径五步(此欲令与周三径一之率相应故言径五步也据中外周以徽术言之当径四)(步一百五十七分步之一百二十二也臣淳风等谨按依密率合径四步二十二分步之十)(七)问为田几何荅曰二亩五十五步(于徽术当为田二亩三十一步)(一百五十七分步之二十三臣淳风等谨依密率为田二亩三十步二)(十二分步之十五)又有环田中周六十二步四分步之三外周一百一十三步二分步之一径十二步三分步之二(此田环而不通匝故径十二步三分步之二若据上周求径者此径失之于多过周三径)(一之率盖为疎矣于徽术当径八步六百二十八分步之五十一臣淳风等谨按依周三径)(一考之合径八步二十四分步之一十一依密率合径八步一百七十六分步之一十三)问为田几何荅曰四亩一百五十六步四分步之一(于徽术当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十)(七也依周三径一为田三亩二十五步六十四分步之二十五臣淳风)(等谨按密率为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七)(也)术曰并中外周而半之以径乘之为积步(此田截齐中外之周周则为长并而半之者亦以盈补虚也此可令中外周各自为)(圆田以中圆减外圆余则环实也按此术置中外周步数于上分母子于下母乘子)(者为中外周俱有余分故以互乘齐其子母相乘同其母子齐母同故通全步内分)(子并而半之者以盈补虚得中平之周周则为从径则为广故广从相乘而得其积)(既合分母还须分母出之故令周径分母相乘而连除之即得积步不尽以等数除)(之而命分以亩法除积步得亩数也)密率术曰置中外周步数分母子各居其下母互乘子分母相乘通全步内分子并而半之又可以中周减外周余半之以益中周径亦通分内子以乘周为实分母相乘为法除之为积步余积步之分等数约之以亩法除之即亩数也九章算术卷一九章算术卷一订讹补图(算经十书之二)休宁 戴 震 东原臣淳风等谨按母互乘子副并为平实者定此平实立限众子所当损益如限为平(据首问第二数母三)(第三数母四互乘第一数子一得十二第一数母三第三数母四互乘第二数子二得二十四)(第一第二数母各三互乘第三数子三得二十七并之共六十三为平实母三三相乘又与四)(乘得三十六为法列数凡三即以三乘十二得三十六乘二十四得七十二乘二十七得八十)(一为列实亦以三乘法三十六得一百八平实六十三减列实三十六少二十七减七十二余)(九减八十一余十八约之九为一则十八为二而二十七为三平实六十三为七法一百八为)(十二命为十二分之七设以十二作三数三分之一则四也三分之二则八也四分之三则九)(也定平实七立限八减一九减二皆七所减之一二益于四亦七损多益少适如其限故云定)(此平实立限又云如限为平原本立讹作主如讹作知遂不可通)按半周为从半径为广故广从相乘为积步也假令圆径二尺圆中容六觚之一面(六觚原本讹作六弧)(考六角形其平而亦有六八角形其平面亦有八古人谓之六觚八觚若截圆形为六古人谓)(之弧背其弧即圆周不得云圆中容六弧之一面后或言弧或言觚义各不同原本觚皆讹作)(弧遂蒙混不可通)圆内容六觚之图以九十六觚之幂减之余六百二十五分寸之以百五谓之差幂倍之为分寸之二百一十(为分)(寸者蒙上省文谓六百二十五分寸之二百一十也)以此术求之得幂一百六十一寸有奇其数相近矣此术微少而斛差幂六百二十五分寸之一百五以十二觚之幂为率消息当取此分寸之三十六(取此分寸亦蒙上省文谓六百二十五分寸之三十六也)臣淳风等谨按依密率以七乘周二十二而一即径以二十二乘径七而一即周依术求之即
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九章算术卷第二(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释粟米(以御交质变易)粟米之法(凡此诸率相与大通其特相求各如本率可约者约之别术然也)粟率五十 粝米三十粺米二十七 糳米二十四御米二十一 小䵂十三半大䵂五十四 粝饭七十五粺饭五十四 糳饭四十八御饭四十二 菽荅麻麦各四十五稻六十 䜴六十三飧九十 熟菽一百三半糵一百七十五今有(此都术也凡九数以为篇名可以广施诸率所谓告往而知来举一隅而)(三隅反者也诚能分诡数之纷杂通彼此之否塞因物成率审辨名分平其偏颇齐)(其参差则终无不归于此术也)术曰以所有数乘所求率为实以所有率为法(少者多之始一者数之母故为率者必等之于一据粟率五粝率三是粟)(五而为一粝米三而为一也欲化粟为米者粝当先本是一一者谓以五约之令五)(而为一也讫乃以三乘之令一而为三如是则率等于一以五为三矣然先除后乘)(或有余分故术反之又究言之知粟五升为粝米三升分言之知粟一斗为粝米五)(分斗之三以五为母三为子以粟求粝米者以子乘其母报除也然则所求之率常)(为母也臣淳风等谨按宜云所求之率常为子所有之率常为母今乃云所求之)(率常为母知脱错也)实如法而一今有粟一斗欲为粝米问得几何荅曰为粝米六升术曰以粟求粝米三之五而一(臣淳风等谨按都术)(以所求率乘有所数以所有率为法此术以粟求米故粟为所有数三是米率故三)(为所求率五是粟率故五为所有率粟率五十米率三十退位求之故唯云三五也)今有粟二斗一升欲为粺米问得几何荅曰为粺米一斗一升五十分升之十七术曰以粟求粺米二十七之五十而一(臣淳)(风等谨按粺米之率二十有七故直以二十七之五十而一也)今有粟四斗五升欲为糳米问得几何荅曰为糳米二斗一升五分升之三术曰以粟求糳米十二之二十五而一(臣淳)(风等谨按糳米之率二十有四以为率太䌓故因而半之半所求之率以乘所有之)(数所求之率既减半所有之率亦减半是故十二乘之二十五而一也)今有粟七斗九升欲为御米问得几何荅曰为御米三斗三升五十分升之九术曰以粟求御米二十一之五十而一今有粟一斗欲为小䵂问得几何荅曰为小䵂二升一十分升之七术曰以粟求小䵂二十七之百而一(臣淳风等)(谨按小䵂之率十三有半半者二为母以二通之得二十七为所求率又以母二通)(其粟率得一百为所有率凡本率有分者须即乘除也他皆倣此)今有粟九斗八升欲为大䵂问得几何荅曰为大䵂一十斗五升二十五分升之二十一术曰以粟求大䵂二十七之二十五而一(臣淳风等谨按大䵂之率五十有四因其可半故二十七之亦如粟求糳米半其二)(率)今有粟二斗三升欲为粝饭问得几何荅曰为粝饭三斗四升半术曰以粟求粝饭三之二而一(臣淳风等谨按粝饭)(之率七十有五粟求粝饭合以此数乘之今以等数二十有五约其二率所求之率)(得三所有之率得二故以三乘二除)今有粟三斗六升欲为粺饭问得几何荅曰为粺饭三斗八升二十五分升之二十二术曰以粟求粺饭二十七之二十五而一(臣淳风等谨按此术与大䵂多同)今有粟八斗六升欲为糳饭问得几何荅曰为糳饭八斗二升二十五分升之一十四术曰以粟求糳饭二十四之二十五而一(臣淳风等谨按糳饭率四十八此亦半二率而乘除)今有粟九斗八升欲为御饭问得几何荅曰为御饭八斗二升二十五分升之八术曰以粟求御饭二十一之二十五而一(臣淳风等谨按此术半率亦与糳饭多同)今有粟三斗少半升欲为菽问得几何荅曰为菽二斗七升一十分升之三今有粟四斗一升太半升欲为荅问得几何荅曰为荅三斗七升半今有粟五斗太半升欲为麻问得几何荅曰为麻四斗五升五分升之三今有粟一十斗八升五分升之二欲为麦问得几何荅曰为麦九斗七升二十五分升之一十四术曰以粟求菽荅麻麦皆九之十而一(臣淳)(风等谨按四术率并四十五皆是为粟所求俱合以此率乘其本粟术欲从省先以)(等数五约之所求之率得九所有之率得十故九乘十除义由于此)今有粟七斗五升七分升之四欲为稻问得几何荅曰为稻九斗三十五分升之二十四术曰以粟求稻六之五而一(臣淳风等谨按稻率六十)(亦约二率而乘除)今有粟七斗八升欲为䜴问得几何荅曰为䜴九斗八升二十五分升之七术曰以粟求䜴六十三之五十而一今有粟五斗五升欲为飧问得几何荅曰为飧九斗九升术曰以粟求飧九之五而一(臣淳风等谨按飧率九十)(退位与求稻多同)今有粟四斗欲为熟菽问得几何荅曰为熟菽八斗二升五分升之四术曰以粟求熟菽二百七之百而一(臣淳风等)(谨按熟菽之率一百三半半者其母二故以母二通之所求之率既被二乘所有之)(率随而俱长故以二百七之百而一)今有粟二斗欲为糵问得几何荅曰为糵七斗术曰以粟求糵七之二而一(臣淳风等谨按糵率一百)(七十有五合以此数乘其本粟术欲从省先以等数二十五约之所求之率得七所)(有之率得二故七乘二除)今有粝米十五斗五升五分升之二欲为粟问得几何荅曰为粟二十五斗九升术曰以粝米求粟五之三而一(臣淳风等谨按上术)(以粟求米故粟为所有数三为所求率五为所有率今此以米求粟故米为所有数)(五为所求率三为所有率准都术求之各合其数以下所有反求多同皆准此)今有粺米二斗欲为粟问得几何荅曰为粟三斗七升二十七分升之一术曰以粺米求粟五十之二十七而一今有糳米三斗少半升欲为粟问得几何荅曰为粟六斗三升三十六分升之七术日以糳米求粟二十五之十三而一今有御米十四斗欲为粟问得几何荅曰为粟三十三斗三升少半升术曰以御米求粟五十之二十一而一今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四欲为粟问得几何荅曰为粟一十斗五升九分升之七术曰以稻求粟五之六而一今有粝米一十九斗二升七分升之一欲为粺米问得几何荅曰为粺米一十七斗二升一十四分升之一十三术曰以粝米求粺米九之十而一(臣淳风等谨按)(粺率二十七合以此数乘粝米术欲从省先以等数三约之所求之率得九所有之)(率得十故九乘而十除)今有粝米六斗四升五分升之三欲为粝饭问得几何荅曰为粝饭一十六斗一升半术曰以粝米求粝饭五之二而一(臣淳风等谨按)(粝饭之率七十有五宜以本粝米乘此率术欲从省先以等数十五约之所求之率)(得五所有之率得二故五乘二除义由于此)今有粝饭七斗六升七分升之四欲为飧问得几何荅曰为飧九斗一升三十五分升之三十一术曰以粝饭求飧六之五而一(臣淳风等谨按飧率)(九十为粝饭所求宜以粝饭乘此率术欲从省先以等数十五约之所求之率得六)(所有之率得五以此故六乘五除也)今有菽一斗欲为熟菽问得几何荅曰为熟菽二斗三升术曰以菽求熟菽二十三之十而一(臣淳风等)(谨按熟菽之率一百三半因其有半各以母二通之宜以熟菽数乘此率术欲从者)(先以等数九约之所求之率得一十一半所有之率得五也)今有菽二斗欲为䜴问得几何荅曰为䜴二斗八升术曰以菽求䜴七之五而一(臣淳风等谨按䜴率六十)(三为菽所求宜以菽乘此率术欲从省先以等数九约之所求之率得七而所有之)(率得五也)今有麦八斗六升七分升之三欲为小䵂问得几何荅曰为小䵂二斗五升一十四分升之一十三术曰以麦求小䵂三之十而一(臣淳风等谨按小䵂)(之率十三半宜以母二通之以乘本麦之数术欲从省先以等数九约之所求之率)(得三所有之率得十也)今有麦一斗欲为大䵂问得几何荅曰为大䵂一斗二升术曰以麦求大䵂六之五而一(臣淳风等谨按大䵂)(之率五十有四合以大䵂数乘此率术欲从省先以等数九约之所求之率得六所)(有之率得五也)今有出钱一百六十买瓴甓十八枚(瓴甓甎也)问枚几何荅曰一枚八钱九分钱之八今有出钱一万三千五百买竹二千三百五十个问个几何荅曰一个五钱四十七分钱之三十五经率(臣淳风等谨按今有之义以所求率乘所有数合以瓴甓一枚乘钱一百)(六十为实但以一乘不长故不复乘是以径将所买之率与所出之钱为法实也又)(按此今有之义出钱为所有数一枚为所求率所买为所有率而今有之即得所求)(数一乘不长故不复乘是以径将所买之率为法以所出之钱为实实如法得一枚)(钱不尽者等数而命分)术曰以所买率为法所出钱数为实实如法得一今有出钱五千七百八十五买漆一斛六斗七升太半升欲斗率之问斗几何荅曰一斗三百四十五钱五百三分钱之一十五今有出钱七百二十买缣一匹二丈一尺欲丈率之问丈几何荅曰一丈一百一十八钱六十一分钱之二今有出钱二千三百七十买布九匹二丈七尺欲匹率之问匹几何荅曰一匹二百四十四钱一百二十九分钱之一百二十四今有出钱一万三千六百七十买丝一石二钧一十七斤欲石率之问石几何荅曰一石八千三百二十六钱一百九十七分钱之一百七十八经率(此术犹经分臣淳风等谨按今有之义一斗为所求率出钱为所有数)(故以一斗乘钱数有分者通之又以分母乘之为实所买通分内子为所有率故以)(为法实如法而一得钱数不尽而命分者因法为母实余为子实见不满故以命之)术曰以所求率乘钱数为实以所买率为法实如法得一今有出钱五百七十六买竹七十八个欲其大小率之问各几何荅曰其四十八个个七钱其三十个个八钱今有出钱一千一百二十买丝一石二钧十八斤欲其贵贱斤率之问各几何荅曰其二钧八斤斤五钱其一石一十斤斤六钱今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱石率之问各几何荅曰其一钧九两一十二铢石八千五十一钱其一石一钧二十七斤九两一十七铢石八千五十二钱今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱钧率之问各几何荅曰其七斤一十两九铢钧二千一十二钱其一石二钧二十斤八两二十铢钧二千一十三钱今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱斤率之问各几何荅曰其一石二钧七斤十两四铢斤六十七钱其二十斤九两一铢斤六十八钱今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱两率之问各几何荅曰其一石一钧一十七斤一十四两一铢两四钱其一钧一十斤五两四铢两五钱其率(如欲令差分按出钱五百七十六买竹七十八个以除钱得七实余三十)(是为三十个复可増一钱然则实余之数即是贵者之数故曰实贵也本以七十八)(个为法今以贵者减之则其余悉是贱者之数故曰法贱也其求石钧斤两以积铢)(各除法实各得其积数余各为铢者谓石钧斤两积铢除实又以石钧斤两积铢除)(法余各为铢即合所问)术曰各置所买石钧斤两以为法以所率乘钱数为实实如法而一不满法者反以实减法法贱实贵今有出钱一万三千九百七十买丝一石二钧二十八斤三两五铢欲其贵贱铢率之问各几何荅曰其一钧二十斤六两十一铢五铢一钱其一石一钧七斤一十二两一十八铢六铢一钱今有出钱六百二十买羽二千一百翭(翭羽本也数羽)(称其本犹数草木称其根株)欲其贵贱率之问各几何荅曰其一千一百四十翭三翭一钱其九百六十翭四翭一钱今有出钱九百八十买矢簳五千八百二十枚欲其贵贱率之问各几何荅曰其三百枚五枚一钱其五千五百二十枚六枚一钱反其率(臣淳风等谨按其率者钱多物少反其率者钱少物多多少相反故)(曰反其率也其率者以物数为法钱数为实反之者以钱数为法物数为实不满法)(知实余也当以余物化为钱矣法为凡钱而今以化钱减之故以实减法法少知经)(分之所得故曰法少实多者余分之所益故曰实多乘实宜以多乘法宜以少故曰)(各以其所得多少之数乘法实即物数其求石钧斤两以积铢各除法实各得其数)(余各为铢者谓之石钧斤两积铢除实石钧斤两积铢除法余各为铢即合所问)术曰以钱数为法所率为实实如法而一不满法者反以实减法法少实多二物各以所得多少之数乘法实即物数(按其率出钱六)(百二十买羽二千一百翭反之当二百四十钱一钱四翭其三百八十钱一钱三翭)(是钱有二价物有贵贱故以羽乘钱反二率也臣淳风等谨按其率者以物数为)(法钱为实反之者以钱数为法物为实不满法者实余也当以余物化为钱矣法为)(凡钱而今以化钱减之故曰反以实减法也法少者知经分之所得故曰法少实多)(者知余分之所益故曰实多宜以多乘法少乘实故曰各以所得多少数乘法实即)(物数也)九章算术卷二终
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九章算术卷二订讹补图(算经十书之二)休宁 戴 震 东原粟率五十粝米三十粺米二十七糳米二十四御米二十一(诗大雅郑笺云米之率粝十粺九糳八侍御七疏云九章粟米之法)(粟率五十粝米三十粺二十七糳二十四御二十一言粟五升为粝米三升已下则米渐细故)(数益少)按其率出钱六百二十买羽二千一百翭反之当二百四十钱一钱四翭其三百八十钱一钱三翭(已上舛误不可通参考上注当云按其率钱多物少反之钱少物多出钱六百二十)(买羽二千一百翭当以除羽得三实余二百四十是谓三翭复可增一翭然则实余之数即是)(多者之钱故曰实多本以六百二十钱为法今以多者减之则其余三百八十悉是少者之钱)(故曰法少也二百四十钱一钱四翭乘得九百六十其三百八十钱一钱三翭乘得一千一百)九章算术卷三(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释衰分(以御贵贱禀税)衰分(衰分差也)术曰各置列衰(列衰相与率也重叠则可约)副并为法以所分乘未并者各自为实(法集而衰别数本一也今)(以所分乘上别以下集除之一乘一除适足相消故所分犹存且各应率而别也于)(今有术列衰各为所求率副并为所有率所分为所有数又以经分言之假令甲家)(三人乙家二人丙家一人并六人共分十二为人得二也欲复作逐家者则当列置)(人数以一人所得乘之今此术先乗而后除也)实如法而一不满法者以法命之今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共猎得五鹿欲以爵次分之问各得几何荅曰大夫得一鹿三分鹿之二不更得一鹿三分鹿之一簪褭得一鹿上造得三分鹿之二公士得三分鹿之一术曰列置爵数各自为衰(爵数者谓大夫五不更四簪褭)(三上造二公士一也墨子号令篇以爵级为赐然则战国之初有此名也今有术列)(衰各为所求率副并为所有率今有鹿数为所有数而今有之即得)副并为法以五鹿乘未并者各自为实实如法得一鹿今有牛马羊食人苗苗主责之粟五斗羊主日我羊食半马马主日我马食半牛今欲衰偿之问各出几何荅曰牛主出二斗八升七分升之四马主出一斗四升七分升之二羊主出七升七分升之一术曰置牛四马二羊一各自为列衰副并为法以五斗乘未并者各自为实实如法得一斗(臣淳风等谨按此术问意羊食半马马食半牛是谓四羊当一牛二)(羊当一马今术置羊一马二牛四者通其率以为列衰)今有甲持钱五百六十乙持钱三百五十丙持钱一百八十凡三人俱出关关税百钱欲以钱数多少衰出之问各几何荅曰甲出五十一钱一百九分钱之四十一乙出三十二钱一百九分钱之一十二丙出一十六钱一百九分钱之五十六术曰各置钱数为列衰副并为法以百钱乘未并者各自为实实如法得一钱(臣淳风等)(谨按此术甲乙丙持钱数以为列衰副并为所有率未并者各为所求率百钱为所)(有数而今有之即得)今有女子善织日自倍五日织五尺问日织几何荅曰初日织一寸三十一分寸之十九次日织三寸三十一分寸之七次日织六寸三十一分寸之十四次日织一尺二寸三十一分寸之二十八次日织二尺五寸三十一分寸之二十五术曰置一二四八十六为列衰副并为法以五尺乘未并者各自为实实如法得一尺今有北乡算八千七百五十八西乡算七千二百三十六南乡算八千三百五十六凡三乡发傜三百七十八人欲以算数多少衰出之问各几何荅曰北乡遣一百三十五人一万二千一百七十五分人之一万一千六百二十七西乡遣一百一十二人一万二千一百七十五分人之四千四南乡遣一百二十九人一万二千一百七十五分人之八千七百九术曰各置算数为列衰(臣淳风等谨按三乡算数约可半者)(为列衰)副并为法以所发傜人数乘未并者各自为实实如法得一人(按此术今有之义也)今有禀粟大夫不更簪褭上造公士凡五人一十五斗今有大夫一人后来亦当禀五斗仓无粟欲以衰出之问各几何荅曰大夫出一斗四分斗之一不更出一斗簪褭出四分斗之三上造出四分斗之二公士出四分斗之一术曰各置所禀粟斛斗数爵次均之以为列衰副并而加后来大夫亦五斗得二十以为法以五斗乘未并者各自为实实如法得一斗(禀前五人十五斗者大夫得五斗不更得四斗簪褭得三斗上)(造得二斗公士得一斗欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫即与前来大夫)(同据前来大夫已得五斗故言亦也各以所得斗数为衰并得十五而加后来大夫)(亦五斗凡二十为法也是为六人共出五斗后来大夫亦俱损折今有术副并为所)(有率未并者各为所求率五斗为所有数而今有之即得)今有禀粟五斛五人分之欲令三人得三二人得二问各几何荅曰三人人得一斛一斗五升十三分升之五二人人得七斗六升十三分升之十二术曰置三人人三二人人二为列衰副并为法以五斛乘未并者各自为实实如法得一斛返衰(以爵次言之大夫五不更四欲令高爵得多者当使大夫一人受五分不)(更一人受四分人数为母分数为子母同则子齐齐即衰也故上衰分宜以五四为)(列焉今此令高爵出少则当使大夫五人共出一人分不更四人共出一人分故谓)(之返衰人数不同则分数不齐当令母互乘子母互乘子则动者为不动者衰也亦)(可先同其母各以分母约其子为返衰副并为法以所分乘未并者各自为实实如)(法而一)术曰列置衰而令相乘动者为不动者衰今有大夫不更簪褭上造公士凡五人共出百钱欲令高爵出少以次渐多问各几何荅曰大夫出八钱一百三十七分钱之一百四不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十簪褭出一十四钱一百三十七分钱之八十二上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九术曰置爵数各自为衰而返衰之副并为法以百钱乘未并者各自为实实如法得一钱今有甲持粟三升乙持粝米三升丙持粝饭三升欲令合而分之问各几何荅曰甲二升一十分升之七乙四升一十分升之五丙一升一十分升之八术日以粟率五十粝米率三十粝饭率七十五为衰而返衰之副并为法以九升乘未并者各自为实实如法得一升(按此术三人所)(持升数虽等论其本率精麤不同米率虽少令最得多饭率虽多返使得少故令返)(之使精得多而麤得少于今有术副并为所有率未并者各为所求率九升为所有)(数而今有之即得)今有丝一斤价直二百四十今有钱一千三百二十八问得丝几何荅曰五斤八两一十二铢五分铢之四术曰以一斤价数为法以一斤乘今有钱数为实实如法得丝数(按此术今有之义以一斤价为所有)(率一斤为所求率今有钱为所有数而今有之即得)今有丝一斤价直三百四十五今有丝七两一十二铢问得钱几何荅曰一百六十一钱三十二分钱之二十三术曰以一斤铢数为法以一斤价数乘七两一十二铢为实实如法得钱数(按此术亦今有)(之义以丝一斤铢数为所有率价钱为所求率今有丝为所有数而今有之即得)今有缣一丈价直一百二十八今有缣一匹九尺五寸问得钱几何荅曰六百三十三钱五分钱之三术曰以一丈寸数为法以价钱数乘今有缣寸数为实实如法得钱数(臣淳风等谨按此术亦今)(有之义以缣一丈寸数为所有率价钱为所求率今有缣寸数为所有数而今有之)(即得)今有布一匹价直一百二十五今有布二丈七尺问得钱几何荅曰八十四钱八分钱之三术曰以一匹尺数为法今有布尺数乘价钱为实实如法得钱数(按此术亦今有之义以一匹尺数为)(所有率价钱为所求率今有布为所有数今有之即得)今有素一匹一丈价直六百二十五今有钱五百问得素几何荅曰得素一匹术日以价直为法以一匹一丈尺数乘今有钱数为实实如法得素数(按此术亦今有之义以价)(钱为所有率五丈尺数为所求率今有钱为所有数今有之即得)今有与人丝一十四斤约得缣一十斤今与人丝四十五斤八两问得缣几何荅曰三十二斤八两术曰以一十四斤两数为法以一十斤乘今有丝两数为实实如法得缣数(此术亦今有之)(义以一十四斤两数为所有率一十斤为所求率今有丝为所有数今有之即得)今有丝一斤耗七两今有丝二十三斤五两问耗几何荅曰一百六十三两四铢半术曰以一斤展十六两为法以七两乘今有丝两数为实实如法得耗数(按此术亦今有之义)(以一斤为十六两为所有率七两为所求率今有丝为所有数而今有之即得)今有生丝三十斤干之耗三斤十二两今有干丝一十二斤问生丝几何荅曰一十三斤一十一两十铢七分铢之二术曰置生丝两数除耗数余以为法(余四百二)(十两即干丝率)三十斤乘干丝两数为实实如法得生丝数(凡所谓率者细则俱细麤则俱麤两数相推而已故品物不同)(如上缣丝之比得相与乘焉三十斤凡四百八十两今生丝率四百八十两干丝率)(四百二十两则其数相通可俱为铢可俱为两可俱为斤无所归滞也若然宜以所)(有干丝斤数乘生丝两数为实今斤两错互而亦同归者使干丝以两数为率生丝)(以斤数为率譬之异类亦各有一定之势臣淳风等谨按此术置生丝两数除耗)(数余即干丝之率于今有术为所有率三十斤为所求率干丝两数为所有数凡所)(谓率者细则俱细麤则俱麤今以斤乘两者干丝即以两数为率生丝即以斤数为)(率譬之异物各有一定之率也)今有田一亩收粟六升太半升今有田一顷二十六亩一百五十九步问收粟几何荅曰八斛四斗四升一十二分升之五术曰以亩二百四十步为法以六升太半升乘今有田积步为实实如法得粟数(按此)(术亦今有之义以一亩步数为所有率六升太半升为所求率今有田积步为所有)(数而今有之即得)今有取保一岁价钱二千五百今先取一千二百问当作日几何荅曰一百六十九日二十五分日之二十三术曰以价钱为法以一岁三百五十四日乘先取钱数为实实如法得日数(按此术亦今有)(之义以价为所有率一岁日数为所求率取钱为所有数而今有之即得)今有贷人千钱月息三十今有贷人七百五十钱九日归之问息几何荅曰六钱四分钱之三术曰以月三十日乘千钱为法(以三十日乘千钱为)(法者得三万是为贷人钱三万一日息三十也)以息三十乘今所贷钱数又以九日乘之为实实如法得一钱(以九日乘今所贷钱为今一日所有钱于今有术为所有数息三十为所求率)(三万钱为所有率此又可以一月三十日约息三十钱为十分一日以乘今一日所)(有钱为实千钱为法为率者当等之于一也故三十日或可乘本或可约息皆所以)(等之也)
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九章算术卷四(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释少广(以御积羃方圆)少广(臣淳风等谨按一亩之田广一步长二百四十步今欲截取其从少以益)(其广故曰少广)术曰置全步及分母子以最下分母徧乘诸分子及全步(臣淳风等谨按以分母乘全步者通其分也以母乘)(子者齐其子也)各以其母除其子置之于左命通分者又以分母徧乘诸分子及已通者皆通而同之并之为法(臣淳风等谨按诸子悉通故可并之为法)(亦不宜用合分术列数尤多若用乘则算数至䌓故别制此术从省约)置所求步数以全步积分乘之为实(此以田广为法以亩)(积步为实法有分者当同其母齐其子以同乘法实而并齐于法今以分母乘全步)(及子子如母而一竝以并全法则法实俱长意亦等也故如法而一得从步数)实如法而一得从步今有田广一步半求田一亩问从几何荅曰一百六十步术曰下有半是二分之一以一为二半为一并之得三为法置田二百四十步亦以一为二乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一求田一亩问从几何荅曰一百三十步一十一分步之一十术曰下有三分以一为六半为三三分之一为二并之得一十一为法置田二百四十步亦以一为六乘之为实实如法得从歩今有田广一步半三分步之一四分步之一求田一亩问从几何荅曰一百一十五步五分步之一术曰下有四分以一为一十二半为六三分之一为四四分之一为三并之得二十五以为法置田二百四十步亦以一为一十二乘之为实实如法而一得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一亩问从几何荅曰一百五步一百三十七分步之一十五术曰下有五分以一为六十半为三十三分之一为二十四分之一为一十五五分之一为一十二并之得一百三十七以为法置田二百四十步亦以一为六十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一亩问从几何荅曰九十七步四十九分步之四十七术曰下有六分以一为一百二十半为六十三分之一为四十四分之一为三十五分之一为二十四六分之一为二十并之得二百九十四以为法置田二百四十歩亦以一为一百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一亩问从几何荅曰九十二步一百二十一分步之六十八术曰下有七分以一为四百二十半为二百一十三分之一为一百四十四分之一为一百五五分之一为八十四六分之一为七十七分之一为六十并之得一千八十九以为法置田二百四十步亦以一为四百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一亩问从几何荅曰八十八步七百六十一分步之二百三十二术曰下有八分以一为八百四十半为四百二十三分之一为二百八十四分之一为二百一十五分之一为一百六十八六分之一为一百四十七分之一为一百二十八分之一为一百五并之得二千二百八十三以为法置田二百四十步亦以一为八百四十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一亩问从几何荅曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四术曰下有九分以一为二千五百二十半为一千二百六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十五分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一为三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二百八十并之得七千一百二十九以为法置田二百四十步亦以一为二千五百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一亩问从几何荅曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九术曰下有一十分以一为二千五百二十半为一千二百六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十五分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一为三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二百八十十分之一为二百五十二并之得七千三百八十一以为法置田二百四十步亦以一为二千五百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一亩问从几何荅曰七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一术曰下有一十一分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百六十三分之一为九千二百四十四分之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一为四千六百二十七分之一为三千九百六十八分之一为三千四百六十五九分之一为三千八十一十分之一为二千七百七十二一十一分之一为二千五百二十并之得八万三千七百一十一以为法置田二百四十步亦以一为二万七千七百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一亩问从几何荅曰七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三术曰下有一十二分以一为八万三千一百六十半为四万一千五百八十三分之一为二万七千七百二十四分之一为二万七百九十五分之一为一万六千六百三十二六分之一为一万三千八百六十七分之一为一万一千八百八十八分之一为一万三百九十五九分之一为九千二百四十一十分之一为八千三百一十六十一分之一为七千五百六十十二分之一为六千九百三十并之得二十五万八千六十三以为法置田二百四十步亦以一为八万三千一百六十乘之为实实如法得从步(臣淳风等谨按凡为术之意约省为善宜云下有一十二)(分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百六十三分之一为九千二百四)(十四分之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一为四千六)(百二十七分之一为三千九百六十八分之一为三千四百六十五九分之一为三)(千八十十分之一为二千七百七十二十一分之一为二千五百二十十二分之一)(为二千三百一十并之得八万六千二十一以为法置田二百四十步亦以一为二)(万七千七百二十乘之以为实实如法得从步其术亦得知不繁也)今有积五万五千二百二十五步问为方几何荅曰二百三十五步又有积二万五千二百八十一步问为方几何荅曰一百五十九步又有积七万一千八百二十四步问为方几何荅曰二百六十八步又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一问为方几何荅曰七百五十一步半又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步问为方几何荅曰六万三千二十五步开方(求方羃之一面也)术曰置积为实借一算步之超一等(言百之面)(十也言万之面百也)议所得以一乘所借一算为法而以除(先得黄甲之面上下相命是自乘而除也)除已倍法为定法(倍之者豫张两面朱羃定袤以待复除故曰定法)其复除折法而下(欲除朱羃者本当副置所得成方倍之为定法以折议乘而以除如)(是当复步之而止乃得相命故使就上折下)复置借算步之如初以复议一乘之(欲除朱羃之角黄乙之羃其意如初之所得也)所得副以加定法以除以所得副从定法(再以黄乙之面加定法者是则张两青羃之袤)复除折下如前若开之不尽者为不可开当以面命之(术或有以)(借算加定法而命分者虽麤相近不可用也凡开积为方方之自乘当还复其积分)(令不加借算而命分则常微少其加借算而命分则又微多其数不可得而定故惟)(以面命之为不失耳譬犹以三除十以其余为三分之一而复其数可举不以面命)(之加定法如前求其微数微数无名者以为分子其一退以十为母其再退以百为)(母退之弥下其分弥细则朱羃虽有所乘之数不足言之也)若实有分者通分内子为定实乃开之讫开其母报除(臣淳风等谨按分母可开者竝通之积先合二母既开之后一母尚存故开分)(母求一母为法以报除也)若母不可开者又以母再乘定实乃开之讫令如母而一(臣淳风等谨按分母不可)(开者本一母也又以母乘之乃合二母既开之后亦一母存焉故令如母而一得全)(面也又按此术开方者求方羃之一面也借一算者假借一算空有列位之名而无)(除积之实方隅得面是故借算列之于下也步之超一等者方十自乘其积有百方)(百自乘其积有万故超位至百而言十至万而言百也议所得以一乘所借一算为)(法而以除者先得黄甲之面以方为积者两相乘故开方除之还令两面上下相命)(是自乘而除之也除已倍法为定法者实积未尽当复更除故豫张两面朱羃定袤)(以待复除故曰定除也其复除折法而下者欲除朱羃本当副置所得成方倍之为)(定法以折议乘之而以除如是当复步之而止乃得相命故使就上折之而下也复)(置借算步之如初以复议一乘之所得副以加定法以除者欲除朱羃之角黄乙之)(羃以所得副从定法者再以黄乙之羃加定法是则张两青羃之袤故如前开之即)(合所问)今有积一千五百一十八步四分步之三问为圆周几何荅曰一百三十五步(于徽术当周一百三十八步一)(十分步之一臣淳风等谨按此依密率为周一百三十八步五十分步)(之九)又有积三百步问为圆周几何荅曰六十步(于徽术当周六十一步五十分步之十九臣)(淳风等谨按依密率为周六十一步一百分步之四十一)开圆术曰置积步数以十二乘之以开方除之即得周(此术以周三径一为率与旧圆田术相返覆也于徽术以三百一十)(四乘积如二十五而一所得开方除之即周也开方除之即径是为据见羃以求周)(犹失之于微少其以二百乘积一百五十七而一开方除之即径犹失之于微多)(臣淳风等谨按此注于徽术求周之法其中不用开方除之即径六字今本有者衍)(賸也依密率八十八乘之七而一按周三径一之率假令周六径二半周半径相乘)(得羃三周六自乘得三十六俱以等数除羃得一周之数十二也其积本周自乘合)(以一乘之十二而一得积三也术为一乘不长故以十二而一得此积今还原置此)(积三以十二乘之复其本周自乘之数凡物自乘开方除之复其本数故开方除之)(即周)今有积一百八十六万八百六十七尺(此尺谓立方之)(尺也凡物有高深而言积者曰立方)问为立方几何荅曰一百二十三尺今有积一千九百五十三尺八分尺之一问为立方几何荅曰一十二尺半今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七问为立方几何荅曰三十九尺八分尺之七又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七问为立方几何荅曰一百二十四尺太半尺开立方(立方适等求其一面也)术曰置积为实借一算步之超二等(言千之面)(十言百万之面百)议所得以再乘所借一算为法而除之(再乘者亦求为方羃以上议命而除之则立方等也)除已三之为定法(为当复除故豫张三面以定方羃为定法也)复除折而下(复除者三面方羃以皆自乘之数须得折议定其厚薄尔开平羃者方百)(之面十开立羃者方千之面十据定法已有成方之羃故复除当以千为百折下一)(等也)以三乘所得数置中行(设三亷之定长)复借一算置下行(欲以为隅方立方等未有定数且置一算定其位)步之中超一下超二位(上方法长自乘而一折中亷法但有长故降一)(等下隅法无面长故又降一等也)复置议以一乘中(为三亷备)(羃也)再乘下(令隅自乘为方羃也)皆副以加定法以定法除(三面三亷一隅皆已有羃以上议命之而除去三袤之厚也)除已倍下并中从定法(凡再以中三以下加定法者三亷各当以两面)(之羃连于两方之面一隅连于三亷之端以待复除也言不尽意解此要当以棋乃)(得明耳)复除折下如前开之不尽者亦为不可开(术亦有以定法命分者不如故羃开方以微数为分也)若积有分者通分内子为定实定实乃开之讫开其母以报除(臣淳风等按分母可开者竝通之积先合三母既开之后)(一母尙存故开分母求一母为法以报除也)若母不可开者又以母再乘定实乃开之讫令如母而一(臣淳)(风等谨按分母不可开者本一母也又以母再乘之今合三母既开之后一母犹存)(故令如母而一得全面也按开立方者立方适等求其一面之数也借一算步之超)(二等者立方求积方再自乘就积开之故超二位言千之面十言百万之面百也议)(所得以再乘所借一算为法而以除者求为方羃以议命之而除则立方等也除已)(三之为定法者为积未尽当复更除故豫张三面已定方羃为定法也复除折而下)(者三面方羃皆已有自乘之数须得折议定其厚薄据开平方百之面十其开立方)(即千之面十而定法已有成方之羃故复除之当以千为百折卞一等也以三乘所)(得数置中行者设三亷之定长也复借一算置下行者欲以为隅方立方等未有数)(且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法长自乘而一折中亷法但有长)(故降一等下隅法无面长故又降一等也复置议以一乘中者为三亷借羃也再乘)(下者当令隅自乘为方羃也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有羃)(以上议命之而除去三袤之厚也除已倍下并中从定法者三亷各当以两面之羃)(连于两方之面一隅连于三亷之端以待复除也其开之不尽者折下如前开方即)(合所问有分者通分内子开之讫开其母以报除可开者并通之积先合三母既开)(之后一母尙存故开分母者求一母为法以报除若母不可开者又以母再乘定实)(乃开之讫令如母而一分母不可开者本一母又以母再乘今合三母既开之后亦)(一母尙存故令如母而一得全面也)今有积四千五百尺(亦谓立方之尺也)问为立圆径几何荅曰二十尺(依密率立圆径二十八尺计积四千一百九十)(尺二十一分尺之一十)又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺问为立圆径几何荅曰一万四千三百尺(依密率为径一万四千六)(百四十三尺四分尺之三)开立圆术曰置积尺数以十六乘之九而一所得开立方除之即丸径(立圆即丸也为术者盖依周三径一之率)(令圆羃居方羃四分之三圆囷居立方亦四分之三更令圆囷为方率十二为丸率)(九丸居圆囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六)(分之九也故以十六乘积九而一得立方之积丸径与立方等故开立方而除得径)(也然此意非也何以验之取立方棋八枚皆令立方一寸积之为立方二寸规之为)(圆囷径二寸高二寸又复横规之则其形有似牟合方盖矣八棋皆似阳马圆然也)(按合盖者方率也丸居其中即圆率也推此言之谓夫圆囷为方率岂不阙哉以周)(三径一为圆率则圆羃伤少令圆囷为方率则丸积伤多互相通补是以丸与十六)(之率偶与实相近而丸犹伤多耳观立方之内合盖之外虽衰杀有渐而多少不掩)(判合总结方圆相缠浓纤诡互不可等正欲陋形措意惧失正理敢不阙疑以俟能)(言者黄金方寸重十六两金丸径寸重九两率生于此未曾验也周官考工记㮚)(氏为量改煎金锡则不耗不耗然后权之权之然后凖之凖之然后量之言錬金使)(极精而后分之则可以为率也令丸径自乘三而一开方除之即丸中之立方也假)(令丸中立方五尺五尺为句句自乘羃二十五尺倍之得五十尺以为股羃谓平面)(方五尺之弦也以此弦羃为股亦以五尺为句并句股羃得七十五尺是为大弦羃)(开方除之则大弦可知也大弦则中立方之长邪邪即丸径也故中立方自乘之羃)(于丸径自乘之羃三分之一也令大弦还乘其羃即丸外立方之积也大弦羃开之)(不尽令其羃七十五再自乘之为面命得外立方积四十二万一千八百七十五尺)(之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得积一百二十五尺一百二十五尺自乘)(为面命得积一万五千六百二十五尺之面皆以六百二十五约之外立方积六百)(七十五尺之面中立方积二十五尺之面也张衡算又谓立方为质立圆为浑衡)(言质之与中外之浑六百七十五尺之面开方除之不足一谓外质积二十六也内)(浑二十五之面谓积五尺也今徽令质言中浑浑又言质则二质相与之率犹衡二)(浑相与之率也衡盖亦先二质之率推以言浑之率也衡又言质六十四之面浑二)(十五之面质复言浑谓居质八分之五也又云方八之面圆六之面圆浑相推知其)(复以圆囷为方率浑为圆率也失之远矣衡说之自然欲恊其阴阳奇耦之说而不)(顾疎密矣虽有文辞斯乱道破义病也置外质积二十六以九乘之十六而一得积)(一十四尺八分之五即质中之浑也以分母乘全内子得一百一十七又置内质积)(五以分母乘之得四十是为质居浑一百一十七分之四十而浑率犹为伤多也假)(令方二尺方四面并得八尺也谓之方周其中令圆径与方等亦二尺也丸半径以)(乘圆周之半即圆羃也半方以乘方周之半即方羃也然则方周知方羃之率也圆)(周知圆羃之率也按如衡术方周率八之面圆周率五之面也令方周六十四尺之)(面即圆周四十尺之面也又令径一尺方周四尺自乘得十六尺之面是为圆周率)(十二之面而径率一之面也衡亦以周三径一之率为非是故更著此法然增周太)(多过其实矣臣淳风等谨按祖暅之谓刘徽张衡二人皆以圆囷为方率丸为圆)(率乃设新法祖暅之开立圆术日以二十一乘积十一而一开立方除之即立圆径)(其意何也取立方棋一枚令立枢于左后之下隅从规去其右上之亷又合而横规)(之去其前上之亷右前之亷于是立方之棋分而为四规内棋一谓之内棋规外棋)(三谓之外棋规更合四棋复横断之以句股言之令余高为句内棋断上方为股本)(方之数其弦也句股之法以句羃减弦羃则余为股羃若令余高自乘减本方之羃)(余即内减棋断上方之羃也本方之羃即外四棋之断上羃然则余高自乘即外三)(棋之断上羃矣不问高卑势皆然也然固有所归同而涂殊者尔而乃控远以演类)(借况以析㣲按阳马方高数参等者列而立之横截去上则高自乘与断上羃数亦)(等焉夫叠棋成立积缘羃势既同则积不容异由此观之规之外三棋旁蹙为一即)(一阳马也三分立方则阳马居一内棋居二可知矣合八小方成一大方合八内棋)(成一合盖内棋居小方三分之二则合盖居立方亦三分之二较然验矣置三分之)(二以圆羃率三乘之如方羃率四而一约而定之以为丸率故曰丸居立方三分之)(一也等数既密心亦昭晰张衡放旧贻哂于后刘徽循故未暇校新夫岂难哉抑未)(之思也依密率立此圆积本以圆径再自乘十一乘之二十一而一约此积今欲求)(其本积故以二十一乘之十一而一凡物再自乘开立方除之复其本数故立方除)(之即丸径也)九章算术卷四祖暅之开立圆术曰以二十一乘积十一而一开立方除之即立圆径其意何也取立方棋一枚令立枢于左后之下隅从规去其右上之廉又合而横规之去其前上之廉右前之廉于是立方之棋分而为四规内棋一谓之内棋规外棋三谓之外棋更合四棋复横断之以句股言之令余高为句内棋断上方为股本方之数其弦也句股之法以句幂减弦幂则余为股幂若令余高自乘减本方之幂余即内减棋断上方之幂也本方之幂即外四棋之断上幂然则余高自乘即外三棋之断上幂矣不问高卑势皆然也(以上借立方棋以论立圆而所言仅及句股弦与平幂不足见圆术当有脱误)故曰丸居立方三分之一也(此句舛误据上言置三分之二以三)(乘之如四而一乃丸居立方二分之一非三分之一况以上眀祖氏圆术其率乃丸居立方二)(十一分之十一下云圆径再自乘十一乘之如二十一而一是也若二分之一于祖氏术不恊)(矣又祖氏方幂率十四圆幂率十一亦不得用方幂四圆幂三之疎率以解祖氏说自祖暅之)(开立方圆术曰至此似因传写既讹后人妄加窜改遂不可通今考立方与圆囷犹之平方与)(平圆也其率亦方积十四圆囷积十一而丸居圆囷三分之二与十四分之十一通之分母乘)
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九章算术卷第五(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释商功(以御功程积实)今有穿地积一万尺问为坚壤各几何荅曰为坚七千五百尺为壤一万二千五百尺术曰穿地四为壤五(壤谓息土)为坚三(坚为筑土)为墟四(墟谓穿坑此皆其常率)以穿地求壤五之求坚三之皆四而一(今有术也)以壤求穿四之求坚三之皆五而一以坚求穿四之求壤五之皆三而一(臣淳风等谨按此术竝今有之义也重张穿地积一万尺为所)(有数坚率三壤率五各为所求率墟率四为所有率而今有之即得)城垣隄沟壍渠皆同术术曰并上下广而半之(损广补狭)以高若深乘之又以袤乘之即积尺(按此术并上下广而半之者以盈补)(虚得中平之广以高若深乘之坚率三壤率五各为所求率墟率四为所有率而今)(有之得一头之立羃又以袤乘之者得立实之积故为积尺)今有城下广四丈上广二丈高五丈袤一百二十六丈五尺问积几何荅曰一百八十九万七千五百尺今有垣下广三尺上广二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸问积几何荅曰六千七百七十四尺今有隄下广二丈上广八尺高四尺袤一十二丈七尺问积几何荅曰七千一百一十二尺冬程人功四百四十四尺问用徒几何荅曰一十六人一百一十一分人之二术曰以积尺为实程功尺数为法实如法而一即用徒人数今有沟上广一丈五尺下广一丈深五尺袤七丈问积几何荅曰四千三百七十五尺春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四问用徒几何荅曰七人三千六十四分人之四百二十七术曰置本人功去其五分之一余为法(去其)(五分之一者谓以四乘五除也)以沟积尺为实实如法而一得用徒人数(按此术本置人功去其五分之一者谓以四乘之五)(而一除去出土之功取其定功乃通分内子以为法以分母乘沟积尺为实者法里)(有分实里通之实如法而一即用徒人数此以一人之积尺除其众尺故用徒人数)(不尽者等数约之而命分也)今有壍上广一丈六尺三寸下广一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸问积几何荅曰一万九百四十三尺八寸(八寸者谓)(穿地方尺深八寸此积余有方寸中二分四厘五毫乘之贵欲从易非其)(常定也)夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙砾水石之功作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四问用徒几何荅曰四十七人三千四百八十四分人之四百九术曰置本人功去其出土功五分之一又去沙砾水石之功太半余为法以壍积尺为实实如法而一即用徒人数(按此术置本人功去)(其出土功五分之一者谓以四乘五除又去沙砾水石作太半者一乘三除存其少)(半取其定功乃通分内子以为法以分母乘壍积尺为实法里有分实里通之实如)(法而一即用徒人数不尽者等数约之而命分也)今有穿渠上广一丈八尺下广三尺六寸深一丈八尺袤五万一千八百二十四尺问积几何荅曰一千七万四千五百八十五尺六寸秋程人功三百尺问用徒几何荅曰三万三千五百八十一一人功内少一十四尺四寸一千人先到问当受袤几何荅曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八术曰以一人功尺数乘先到人数为实(以一)(千人一日功为实立幂为功)并渠上下广而半之以深乘之为法(以渠广深之立幂为法)实如法得袤尺今有方堢壔(堢者堢城也壔音丁老切又音纛谓以土拥木也)方一丈六尺高一丈五尺问积几何荅曰三千八百四十尺术曰方自乘以高乘之即积尺今有圆堢壔周四丈八尺高一丈一尺问积几何荅曰二千一百一十二尺(于徽术当积二千一)(十七尺一百五十七分尺之一百三十一臣淳风等谨按依密率积二)(千一十六尺)术曰周自相乘以高乘之十二而一(此章诸术)(亦以周三径一为率皆非也于徽术当以周自乘以高乘之又以二十五乘之三百)(一十四而一此之圆羃亦如圆田之羃也求羃亦如圆田而以高乘羃也臣淳风)(等谨按依密率以七乘之八十八而一)今有方亭下方五丈上方四丈高五丈问积几何荅曰一十万一千六百六十六尺太半尺术曰上下方相乘又各自乘并之以高乘之三而一(此章有壍堵阳马皆合而成立方盖说算者乃立棋三品以效)(高深之积假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棋也中央立方一四面壍堵)(四四角阳马四上下方相乘为三尺以高乘之约积三尺是为得中央立方一四面)(壍堵各一上方自乘亦得中央立方一下方自乘为九以高乘之得积九尺是为中)(央立方一四面壍堵各二四角阳马各三也上方自乘以高乘之得积一尺又为中)(央立方一凡三品棋皆一而为三故三而一得积尺用棋之数立方三壍堵阳马各)(十二凡二十七棋十二与三更差次之而成方亭者三验矣为术又可令方差自乘)(以高乘之三而一即四阳马也上下方相乘以高乘之即中央立方及四面壍堵也)(并之以为方亭积数也)今有圆亭下周三丈上周二丈高一丈问积几何荅曰五百二十七尺九分尺之七(于徽)(术当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也按密率为积五)(百三尺三十三分尺之二十六)术曰上下周相乘又各自乘并之以高乘之三十六而一(此术周三径一之义合以三除上下周各为上下径)(以相乘又各自乘并以高乘之三而一为方亭之积假令三约上下周俱不尽还通)(之即各为上下径令上下径分母相乘又各自乘并以高乘之为三方亭之积此合)(分母三相乘得九分母各自乘亦得九为法除之又三而一得方亭之积从方亭求)(圆亭之积亦犹方羃中求圆羃乃令圆率三乘之方率四而一得圆亭之积前求方)(亭之积乃以三而一今求圆亭之积亦各三乘之二母既同故相凖折惟以方羃四)(乘分母九得三十六而连除之于徽术当上下周相乘又各自乘并以高乘之又二)(十五乘之九百四十二而一此方亭四角圆杀比于方亭二百分之一百五十七为)(术之意先作方亭三而一则此据上下径为之者当又以一百五十七乘之六百而)(一也今据周为之若于圆堢壔又以二十五乘之三百一十四而一则先得三圆亭)(矣故以三百一十四为九百四十二而一并除之臣淳风等谨按依密率以七乘)(之二百六十四而一)今有方锥下方二丈七尺高二丈九尺问积几何荅曰七千四十七尺术曰下方自乘以高乘之三而一(按此术假令方)(锥下方二尺高一尺即四阳马如术为之用十二阳马成三方锥故三而一得阳马)(也)今有圆锥下周三丈五尺高五丈一尺问积几何荅曰一千七百三十五尺一十二分尺之五(于徽术当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十)(三依密率为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七)术曰下周自乘以高乘之三十六而一(按此)(术圆锥下周以为方锥下方方锥下方令自乘以高乘之合三而一得大锥方之积)(大锥方之积合十二圆矣今求一圆复合十二除之故令三乘十二得三十六而连)(除于徽术当下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一圆锥比于方)(锥亦二百分之一百五十七令径自乘者亦当以一百五十七乘之六百而一其说)(如圆亭也臣淳风等谨按依密率以七乘之二百六十四而一)今有壍堵下广二丈袤一十八丈六尺高二丈五尺问积几何荅曰四万六千五百尺术曰广袤相乘以高乘之二而一(邪解立方得两)(壍堵虽复椭方亦为壍堵故二而一此则合所规羃推其物体盖为壍上叠也其形)(如城而无上广与所规棋形异而同实未闻所以名之为壍堵之说也)今有阳马广五尺袤七尺高八尺问积几何荅曰九十三尺少半尺术曰广袤相乘以高乘之三而一(按此术阳马之)(形方锥一隅也今谓四柱屋隅为阳马假令广袤各一尺高一尺相乘之得立方积)(一尺邪解立方得两壍堵邪解壍堵其一为阳马一为鼈臑阳马居二鼈臑居一不)(易之率也合两鼈臑成一阳马合三阳马而成一立方故三而一验之以棋其形露)(矣悉割阳马凡为六鼈臑观其割分则体势互通盖易了也其棋或修短或广狭立)(方不等者亦割分以为六鼈臑其形不悉相似然见数同积实均也鼈臑殊形然阳)(马异体则不纯合不纯合则难为之矣何则按邪解方棋以为壍堵者必当以半为)(分邪解壍堵以为阳马者亦必当以半为分一从一横耳设阳马为分内鼈臑为分)(外棋虽或随修短广狭犹有此分常率如殊形异体亦同也者以此而已其使鼈臑)(广袤各高二尺用壍堵鼈臑之棋各二皆用赤棋又使阳马之广袤高各二尺用立)(方之棋一壍堵阳马之棋各二皆用黑棋棋之赤黑接为壍堵广袤高各二尺于是)(中效其广又中分其高令赤黑壍堵各自适当一方高二尺方二尺每二分鼈臑则)(一阳马也其余两端各积本体合成一方焉是为别种而方者率居三通其体而方)(者率居一虽方随棋改而固有常然之势也按余数具而可知者有一二分之别即)(一二之为率定矣其于理也岂虚矣若为数而穷之置余广袤高之数各半之则四)(分之三又可知也半之弥少其余弥细至细曰微微则无形由是言之安取余哉数)(而求穷之者谓以情推不用筹算鼈臑之物不同器用阳马之形或随修短广狭然)(不有鼈臑无以审阳马之数不有阳马无以知锥亭之数功实之主也)今有鼈臑下广五尺无袤上袤四尺无广高七尺问积几何荅曰二十三尺少半尺术曰广袤相乘以高乘之六而一(按此术臑者臂)(骨也或曰半阳马其形有似鼈肘故以名云中破阳马得两鼈臑鼈臑之见数即阳)(马之半数数同而实据半故云六而一即得)今有羡除下广六尺上广一丈深三尺末广八尺无深袤七尺问积几何荅曰八十四尺术曰并三广以深乘之又以袤乘之六而一(按此术羡除实隧道也其所穿地上平下邪似两鼈臑夹一壍堵即羡除之形)(假令用此棋上广三尺深一尺下广一尺末广一尺无深袤一尺下广皆壍堵之广)(上广者两鼈臑与一壍堵相连之广也以深袤乘得积五尺鼈臑居二壍堵居三其)(于本棋皆以为六故六而一合四阳马以为方锥邪画方锥之底亦令为中方就中)(方削而上合全为中方锥之半于是阳马之棋悉中解矣中锥离而为四鼈臑焉故)(外锥之半亦为四鼈臑虽背正异形与常所谓鼈臑参不相似实则同也所云夹壍)(堵者中锥之鼈臑也凡壍堵上袤短者连阳马也下袤短者与鼈臑连也下两袤相)(等者亦与鼈臑连也并三广以高袤乘六而一皆其积也今此羡除之广即壍堵之)(袤也按此本是三广不等即与鼈臑连者别而言之中央壍堵广六尺高三尺袤七)(尺末广之两旁各一小鼈臑皆与壍堵等令小鼈臑居里大鼈臑居表则大鼈臑出)(椭皆方锥下广三尺袤六尺高七尺分取其半则为袤三尺以高广乘之三而一即)(半锥之积也邪解半锥得此两大鼈臑求其积亦当六而一合与常率矣按阳马之)(棋两邪棋底方当其方也不问旁角而割之相半可知也推此上连无成不方故方)(锥与阳马同实角而割之者相半之势此大小鼈臑可知更相表里但体有背正也)今有刍甍下广三丈袤四丈上袤二丈无广高一丈问积几何荅曰五千尺术曰倍下袤上袤从之以广乘之又以高乘之六而一(推明义理者旧说云凡积刍甍有上下广曰童甍谓其屋)(盖之茨也是故甍之下广袤与童之上广袤等正斩方亭两边合之即刍甍之形也)(假令下广二尺袤三尺上袤一尺无广高一尺其用棋也中央壍堵二两端阳马各)(二倍下袤上袤从之为七尺以高广乘之得羃十四尺阳马之羃各居一壍堵之羃)(各居三以高乘之得积十四尺其于本棋也皆一而为六故六而一即得亦可令上)(下袤差乘广以高乘之三而一即四阳马也下广乘上袤而半之高乘之即二壍堵)(并之以为甍积也)刍童曲池盘池冥谷皆同术术曰倍上袤下袤从之亦倍下袤上袤从之各以其广乘之并以高若深乘之皆六而一(按此术假令刍童上广一尺袤二尺下广三尺袤四尺高一尺其用棋也)(中央立方二四面壍堵六四角阳马四倍下袤为八上袤从之为十以下广乘之得积)(三十尺是为得中央立方各三两边壍堵各四两旁壍堵各六四角阳马亦各六复)(倍上袤下袤从之为八以高广乘之得积八尺是为得中央立方亦各三两端壍堵)(各二并两旁三品棋皆一而为六故六而一即得为术又可令上下广袤差相乘以)(高乘之三而一亦四阳马上下广袤互相乘并而半之以高乘之即四面六壍堵与)(二立方并之为刍童积又可令上下广袤互相乘而半之上下广袤又各自乘并以)(高乘之三而一即得也)其曲池者并上中外周而半之以为上袤亦并下中外周而半之以为下袤(此池环而不通匝形如盘虵而曲之亦云周者谓如委榖依垣之周耳引)(而伸之周为袤求袤之意环田也)今有刍童下广二丈袤三丈上广三丈袤四丈高三丈问积几何荅曰一万六千五百尺今有曲池上中周二丈外周四丈广一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺广五尺深一丈问积几何荅曰一千八百八十三尺三寸少半寸今有盘池上广六丈袤八丈下广四丈袤六丈深二丈问积几何荅曰七万六百六十六尺太半尺负土往来七十步其二十步上下棚除棚除二当平道五踟蹰之间十加一载输之间三十步定一返一百四十步土笼积一尺六寸秋程人功行五十九里半问人到积尺及用徒各几何荅曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二术曰以一笼积尺乘程行步数为实往来上下棚除二当平道五(棚阁除邪道有上下之难故使二当)(五也)置定往来步数十加一及载输之间三十步以为法除之所得即一人所到尺(按此)(术棚阁除邪道有上下之难故使二当五置定往来步数十加一及载输之间三十)(步是为往来求一返凡用一百四十步于今有术为所有行率笼积一尺六寸为所)(求到土率程行五十九里半为所有数而今有之即人到尺数以所到约积尺即用)(徒人数者此一人之积除其众积尺故得用徒人数为术又可令往来一返所用之)(步约程行为返数乘笼积为一人所到以此术与今有术相反复则乘除之或先后)(意各有所在而同归耳)以所到约积尺即用徒人数今有冥谷上广二丈袤七丈下广八尺袤四丈深六丈五尺问积几何荅曰五万二千尺载土往来二百步载输之间一里程行五十八里六人共车车载三十四尺七寸问人到积尺及用徒各几何荅曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六术曰以一车积尺乘程行步数为实置今往来步数加载输之间一里以车六人乘之为法除之所得即一人所到尺(按此术今有之)(义以载输及往来并得五百步为所有行率车载三十四尺七寸为所求到土率程)(行五十八里通之为步为所有数而今有之所得则一车所到欲得人到者当以六)(人除之即得术有分故亦更令乘法而并除者亦用以半尺数以为一人到土率六)(人乘五百步为行率也又可以五百步为行率令六人约半积尺数为一人到土率)(以载土术入之入之者亦可求返数也要取其会通而已术恐有分故令乘法而并)(除以所到约积尺即用徒人数者以一人所积尺除其众积故得射徒人数也)以所到约积尺即用徒人数今有委粟平地下周一十二丈高二丈问积及为粟几何荅曰积八千尺(于徽术当积七千六百四十三尺一百五十七分尺)(之四十九臣淳风等谨按依密率为积七千六百三十六尺十一分尺)(之四)为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六(于徽术当粟二千八百三十斛一千四百一十)(三分斛之一千二百一十臣淳风等谨按依密率为粟二千八百二十)(八斛九十九分斛之二十八)今有委菽依垣下周三丈高七尺问积及为菽各几何荅曰积三百五十尺(依徽术当积三百三十四尺四百七十一)(分尺之一百八十六也臣淳风等谨按依密率为积三百三十四尺十)(一分尺之一)为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八(依徽术当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛)(之十千七百七十一臣淳风等谨按依密率为菽一百三十七斛八百)(九十一分斛之四百三十三)今有委米依垣内角下周八尺高五尺问积及为米几何荅曰积三十五尺九分尺之五(于徽术当积三十二)(尺四百七十一分尺之四百五十七臣淳风等谨按依密率当积三十)(三尺三十三分尺之三十一)为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一(于徽术当米二十斛三万八千一百五十一分)(斛之三万六千九百八十臣淳风等谨按依密率为米二十斛二千六)(百七十三分斛之二千五百四十)委粟术曰下周自乘以高乘之三十六而一(此犹)(圆锥也于徽术亦当下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也)其依垣者(居圆锥之半也)十八而一(于徽术当令此下周自乘)(以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半于全周其自乘之羃居)(全周自乘之羃四分之一故半全周之法以为法也)其依垣内角者(角隅也居圆锥四分之一也)九而一(于徽术当令此下周自乘而倍之以)(高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半于依垣其自乘之羃居依)(垣自乘之羃四分之一当半依垣之法以为法法不可半故倍其实又此术亦用周)(三径一之率假令以三除周得径若不尽通分内子即为径之积分令自乘以高乘)(之为三方锥之积分母自相乘得九为法又当三而一约方锥之积从方锥中求圆)(锥之积亦犹方羃求圆羃乃当三乘之四而一得圆羃之积前求方积乃合三而一)(今求圆锥之积复合三乘之二母既同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而连)(除圆锥之积其圆锥之积与平地聚粟同故三十六而一臣淳风等谨依密率以)(七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六十六而一)(也)程粟一斛积二尺七寸(二尺七寸者谓方一尺深二尺七寸)(凡积二千七百寸)其米一斛积一尺六寸五分寸之一(谓积一千六百二十寸)其菽荅麻麦一斛皆二尺四寸十分寸之三(谓积二千四百三十寸此为以精麤为率)(而不等其槩也粟率五米率三故米一斛于粟一斛五分斛之三菽荅麻麦亦如本)(率云故谓此三量器为槩而皆不合于今斛当今大司农斛圆径一尺三寸五分五)(厘正深一尺于徽术为积一千四百四十一寸排成余分又有十分寸之三王莽铜)(斛于今尺为深九寸五分五厘径一尺三寸六分八厘二毫以徽术计之于今斛为)(容九斗七升四合有奇周官考工记㮚氏为量深一尺内方一尺而圆外其实一鬴)(于徽术此圆积一千五百七十六寸左氏传曰齐旧四量豆区釜钟四升曰豆各自)(其四以登于釜釜十则钟钟六斛四斗釜六斗四升方一尺深一尺其积一千寸若)(此方积容四斗二升则通外圆积成旁容十斗四合一龠五分龠之三也以数相乘)(之则斛之制方一尺而圆其外庣旁一厘七毫羃一百五十六寸四分寸之一深一)(尺积一千五百六十二寸半容十斗王莽铜斛与汉书律历志所论斛同)今有穿地袤一丈六尺深一丈上广六尺为垣积五百七十六尺问穿地下广几何荅曰三尺五分尺之三术曰置垣积尺四之为实(实穿地四为坚三垣坚也以坚)(求穿地当四之三而一也)以深袤相乘(为深袤之立实也)又以三之为法(以深袤乘之立实除垣积则阬广又三之者与坚率并除之)所得倍之(阬有两广先并而半之即为广狭之中平今先得其中平故又)(倍之知两广全也)减上广余即下广(按此术穿地四为坚三垣)(即坚也今以坚求穿地当四乘之三而一深袤相乘者为深袤立羃以深袤立羃除)(积即阬广又三之为法与坚率并除所得倍之者为阬有两广先并而半之为中平)(之广今此得中平之广故倍之还为两广并故减上广余即下广也)今有仓广三丈袤四丈五尺容粟一万斛问高几何荅曰二丈术曰置粟一万斛积尺为实广袤相乘为法实如法而一得高尺(以广袤之羃除积故得高按此术本)(以广袤相乘以高乘之得此积今还原置此广袤相乘为法除之故得高也)今有圆囷(圆囷廪也亦云圆囤也)高一丈三尺三寸少半寸容米二千斛问周几何荅曰五丈四尺(于徽术当周五丈五尺二寸二十分寸之)(九臣淳风等谨依密率为周五丈五尺一百分尺之二十七)术曰置米积尺(此即犹圆堢壔之积)以十二乘之令高而一所得开方除之即周(于徽术当置米积尺以三)(百一十四乘之为实二十五乘囷高为法所得开方除之即周也此亦据见羃以求)(周失之于微少也晋武库中有汉时王莽所作铜斛其篆书字题斛旁云律嘉量斛)(方一尺而圆其外庣旁九厘五毫羃一百六十二寸深一尺积一千六百二十寸容)(十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圜其外庣旁九厘五毫羃一尺六寸二分深一寸)(积一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上后有讃文与今)(律历志同亦魏晋所常用今祖疏王莽铜斛文字尺寸分数然不尽得升合勺之文)(字按此术本周自相乘以高乘之十二而一得此积今还元置此积以十二乘之令)(高而一即复本周自乘之数凡物自乘开方除之复其本周自乘之数故开方除之)(即得也臣淳风等谨依密率以八十八乘之为实七乘囷高为法实如法而一开)(方除之即周也)九章算术卷五九章算术卷五订讹(算经十书之二)休宁 戴 震 东原今有壍上广一丈六尺三寸下广一丈深六尺三寸袤十三丈二尺一寸问积几何荅曰一万九百四十三尺八寸(此积以立方一尺者计之余有方尺而深八寸二分)(四厘五毫实八十二万四千五百分也)今有穿渠上广一丈八尺下广三尺六寸深一丈八尺袤五万一千八百二十四尺问积几何荅曰一千七万四千五百八十五尺六寸(此六寸亦)(方尺而深六寸实积六百寸也)
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九章算术卷第六(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释均输(以御远近劳费)今有均输粟甲县一万戸行道八日乙县九千五百戸行道十日丙县一万二千三百五十戸行道十三日丁县一万二千二百戸行道二十日各到输所凡四县赋当输二十五万斛用车一万乘欲以道里远近戸数多少衰出之问粟车各几何荅曰甲县粟八万三千一百斛车三千三百二十四乘乙县粟六万三千一百七十五斛车二千五百二十七乘丙县粟六万三千一百七十五斛车二千五百二十七乘丁县粟四万五百五十斛车一千六百二十二乘均输(按此均输犹均运也令戸率出车以行道日数为均发粟为输)术曰令县戸数各如其本行道日数而一以为衰(据甲行道八日因使八戸共出一车乙行道十日因使十戸共出一)(车计其在道则皆戸一日出一车故可为均平之率也)甲衰一百二十五乙丙衰各九十五丁衰六十一副并为法以赋粟车数乘未并者各自为实(衰分)(科率)实如法得一车(各置所当出车以其行道日数乘之如戸数而)(一得率戸用车二百四十七分日之三十一故谓之均求此率以戸当各计车之衰)(分也臣淳风等谨按县戸有多少之差行道有远近之异欲其均等故各令行道)(日数约戸为衰行道多者少其戸行道少者多其戸故各令约戸为衰以八日约除)(甲县得一百二十五乙丙各九十五丁六十一于今有术副并为所有率未并者各)(为所求率以赋粟车数为所有数而今有之各得车数一旬除乙十三除丙各得九)(十五二旬除丁得六十一也)有分者上下軰之(軰配也车牛人)(之数不可分裂推少就多均赋之宜今按甲分既少宜从于乙满法除之有余从丙)(丁分又少亦宜就丙除之适尽加乙丙各一上下軰益以少从多也)以二十五斛乘车数即粟数今有均输卒甲县一千二百人薄塞乙县一千五百五十人行道一日丙县一千二百八十人行道二日丁县九百九十人行道三日戊县一千七百五十人行道五日凡五县赋输卒一月一千二百人欲以远近戸率多少衰出之问县各几何荅曰甲县二百二十九人乙县二百八十六人丙县二百二十八人丁县一百七十一人戊县二百八十六人术曰令县卒各如其居所及行道日数而一以为衰(按此亦以日数为均居所为输甲无行道日但以居所三十日)(为率言欲为均平之率者当使甲三十人而出一人乙三十一人而出一人出一人)(者计役则皆一人一日是以可为均平之率)甲衰四乙衰五丙衰四丁衰三戊衰五副并为法以人数乘未并者各自为实实如法而一(各置所当出人数以)(其居所及行道日数乘之如县人数而一得戸率人役五日七分日之五臣淳风)(等谨按为衰于今有术副并为所有率未并者各为所求率以赋卒人数为所有数)(此术以别考则意同以广异闻故存之也)有分者上下軰之(軰配)(也今按丁分最少宜就戊除不从乙者丁近戊故也满法除之有余从乙丙分又少)(亦就乙除有余从甲除之适尽从甲丙二分其数正等二者于乙远近皆同不以甲)(从乙者方以下从上也)今有均赋粟甲县二万五百二十戸粟一斛二十钱自输其县乙县一万二千三百一十二戸粟一斛十钱至输所二百里丙县七千一百八十二戸粟一斛十二钱至输所一百五十里丁县一万三千三百三十八戸粟一斛十七钱至输所二百五十里戊县五千一百三十戸粟一斛十三钱至输所一百五十里凡五县赋输粟一万斛一车载二十五斛与僦一里一钱欲以县戸赋粟令费劳等问县各粟几何荅曰甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七乙县二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十丙县一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六丁县一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三戊县九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三术曰以一里僦价乘至输所里(此以出钱为均也问)(者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知僦一)(车到输所所用钱也甲自输其县则无取僦价也)以一车二十五斛除之(欲知僦一斛所用钱)加一斛粟价则致一斛之费(加一斛之价于一斛僦直即凡余粟取僦钱也甲一斛之费二十乙丙各)(十八丁二十七戊十九也)各以约其戸数为衰(言使甲二十戸)(共出一斛乙丙十八戸共出一斛计其所费则皆戸一钱故可为均赋之率也)甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十副并为法所赋粟乘未并者各自为实实如法而一(各置所当出粟以其十斛之费乘之如戸数而一得率戸)(出三钱二千八百七十三分钱之一千三百八十一臣淳风等谨按此以出钱为)(均问者曰一车载二十五斛与僦一里一钱一钱即一里僦价也以乘里数者欲知)(僦一车到输所用钱甲自出其县则无取僦之价以一车二十五斛除之者欲知僦)(一斛所用钱加一斛之价于一斛僦直即凡余粟取僦钱甲一斛之费二十乙丙各)(十八丁二十七戊十九各以约其戸为衰甲衰一千二十六乙衰六百八十四丙衰)(三百九十九丁衰四百九十四戊衰二百七十言使甲二十戸共出一斛乙丙十八)(戸共出一斛计其所费则皆戸一钱故可为均赋之率也于今有术副并为所有率)(未并者各为所求率赋粟一万斛为所有数此今有衰分之义也计经赋之率既有)(戸算之率亦有远近贵贱之率此二率者各自相与通通则甲二十乙十二丙七丁)(十三戊五一斛之费为之钱率钱率约戸率者则钱为母戸为子子不齐令母互乘)(为齐即衰也若其不然以一斛之费约戸数取衰竝有分当通分内子约之于算甚)(䌓此一章皆相与通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此从其简易而已)(又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸数乘之)(亦可得一县凡所当输俱为衰也乘之者乘其子母报除之以此观之则以一斛之)(费约戸数者其意不异矣然则可置一斛之费而反衰之约戸以乘戸率为衰也合)(分注曰母除为率率乘子为齐反衰注曰先同其母各以分母约其子为反衰以施)(其率为算既约且不妨处下也)今有均赋粟甲县四万二千算粟一斛二十佣价一日一钱自输其县乙县三万四千二百七十二算粟一斛十八佣价一日十钱到输所七十里丙县一万九千三百二十八算粟一斛十六佣价一日五钱到输所一百四十里丁县一万七千七百算粟一斛十四佣价一日五钱到输所一百七十五里戊县二万三千四十算粟一斛十二佣价一日五钱到输所二百一十里已县一万九千一百三十六算粟一斛一十佣价一日五钱到输所二百八十里凡六县赋粟六万斛皆输甲县六人共车车载二十五斛重车日行五十里空车日行七十里载输之间各一日粟有贵贱佣各别价以算出钱令费劳等问县各粟几何荅曰甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六术曰以车程行空重相乘为法并空重以乘道里各自为实实如法得一日(臣淳风等谨按)(此术重往空还一输再行道也置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分)(日之一齐而同之空重行一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百)(七十五里之路往返用六日也故并空重者齐其子也空重相乘者同其母也于今)(有术至输所里为所有数六为所求率齐一百七十五为所有率而今有之即各得)(输所用日也)加载输各一日(欲得几日也)而以六人乘之(欲知致一车用人也)又以佣价乘之(欲知致车人佣直几)(钱)以二十五斛除之(欲知致一斛之佣直也)加一斛粟价即致一斛之费(加一斛之价于致一斛之佣直即凡输一)(斛余粟取佣所用钱)各以约其算数为衰(今按甲衰四十二乙)(衰二十四丙衰十六丁衰十五戊衰二十已衰十六于今有术副并为所有率未并)(者各自为所求率所赋粟为所有数此今有衰分之义也)副并为法以所赋粟乘未并者各自为实实如法得一斛(各置所当出粟以其一斛之费乘之如算数而一得率算出九钱一百三十三)(分钱之三又载输之间各一日者即二日也)今有粟七斗三人分春之一人为粝米一人为粺米一人为糳米令米数等问取粟为米各几何荅曰粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三为米各一斗六百五分斗之一百五十一术曰列置粝米三十粺米二十七糳米二十四而反衰之(此先约三率粝为十粺为九糳为八欲令米等者其)(取粟粝率十分之一粺率九分之一糳率八分之一当齐其子故曰反衰也臣淳)(风等谨按米有精麤之异有多少之差据率粺糳少而粝多用粟则粺糳多而粝少)(米若依本率之分粟当倍率故今反衰之使精取多而麤得少)副并为法以七斗乘未并者各自为取粟实实如法得一斗(于今有术副并为所有率未并者各为所求率粟七斗为所有数而)(今有之故各得取粟也)若求米等者以本率各乘定所取粟为实以粟率五十为法实如法得一斗(若径求为米等数者置粝米三用粟五粺米二十七用粟五十糳米十二)(用粟二十五齐其粟同其米并齐为法以七斗乘同为实所得即为米斗数)今有人当禀粟二斛仓无粟欲与米一菽二以当所禀粟问各几何荅曰米五斗一升七分升之三菽一斛二升七分升之六术曰置米一菽二求为粟之数并之得三九分之八以为法亦置米一菽二而以粟二斛乘之各自为实实如法得一斛(臣淳风等)(谨按置粟率五乘米一米率三除之得一三分之二即是米一之粟也粟率十以乘)(菽二菽率九除之得二九分之二即是菽二之粟也并全得三齐子并之得二十四)(同母得二十七约之得九分之八故云并之得三九分之八米一菽二当粟三九分)(之八此其粟率也于今有术米一菽二皆为所求率当粟三九分之八为所有率粟)(二斛为所有数凡言率者当相与通之则为米九菽十八当粟三十五也亦有置米)(一菽二求其为粟之率以为列衰副并为法以粟乘列衰为实所得即米一菽二所)(求粟也以米菽本率而今有之即合所问)今有取佣负盐二斛行一百里与钱四十今负盐一斛七斗三升少半升行八十里问与钱几何荅曰二十七钱十五分钱之十一术曰置盐二斛升数以一百里乘之为法(按此术以负盐二斛升数乘所行一百里得二万里是为负盐一升行二万里得钱)(四十于今有术为所有率升数乘所行里为法于今有术为所有数也)以四十钱乘今负盐升数又以八十里乘之为实实如法得一钱(以今负盐升数乘所行里今负盐一升凡所行)(里也于今有术以所有四十钱为所求率也衰分章贷人千钱与此同)今有负笼重一石一十七斤行七十六步五十返今负笼重一石行百步问返几何荅曰五十七返二千六百三分返之一千六百二十九术曰以故所行步数乘故笼重斤数为法(此法谓负一斤一返所行之积步也)今笼重斤数乘今步又以返数乘之为实实如法得一返(按此法负一斤)(一返所行之积步此实者一斤一日所行之积步故以一返之课除终日之程即是)(返数也臣淳风等谨按此术所行步多者得返少所行步少者得返多然则所行)(者今返率也故令所得返乘今返之率为实而以故返之率为法今有术也按此负)(笼又有轻重于是为术者因令重者得返少轻者得返多故又因其率以乘法实者)(重今有之义也然此意非也按此笼虽轻而行有限笼过重则人力遗力有遗而术)(无穷人行有限而笼轻重不等使其有限之力随彼无穷之变故知此术率乖理也)(若故所行有空行返数设以问者当因其所负以为返率则今返之数可得而知也)(假令空行一日六十里负重一斛行四十里减重一斗进二里半负重三斗以下与)(空行同今负笼重六斗往还行一百步问返几何荅曰一百五十返术曰置重行率)(加十里以里法通之为实以一返之步为法实如法而一即得也)今有程传委输空车日行七十里重车日行五十里今载太仓粟输上林五日三返问太仓去上林几何荅曰四十八里十八分里之十一术曰并空重里数以三返乘之为法令空重相乘又以五日乘之为实实如法得一里(此亦如上术率一百七十五里之路往返用六日也于今有术则五日为所有)(数一百七十五里为所求率六日为所有率以此所得则三返之路今求一返当以)(三约之因令乘法而并除也为术亦可各置空重行一里用日之率以为列衰副并)(为法以五日乘列衰为实实如法所得即各空重行日数也各以一日所行以乘为)(凡日所行三返约之为上林去太仓之数臣淳风等谨按此术重往空还一输再)(还道置空行一里用七十分日之一重行一里用五十分日之一齐而同之空重行)(一里之路往返用一百七十五分日之六定言之者一百七十五里之路往返用六)(日故并空重者并齐也空重相乘者同其母也于今有术五日为所有数一百七十)(五为所求率六为所有率以此所得则三返之路今求一返者当以三约之故令乘)(法而并除亦当约之也)今有络丝一斤为练丝十二两练丝一斤为靑丝一斤十二铢今有靑丝一斤问本络丝几何荅曰一斤四两十六铢三十三分铢之十六术曰以练丝十二两乘靑丝一斤十二铢为法以靑丝一斤铢数乘练丝一斤两数又以络丝一斤乘之为实实如法得一斤(按练丝一斤为靑丝一斤十二铢此练率三百八十四靑率三百九十六也又络丝)(一斤为练丝十二两此络率十六练率十二也置今有靑丝一斤以练率三百八十)(四乘之为实实如靑丝率三百九十六而一所得靑丝一斤练丝之数也又以络率)(十六乘之所得为实以练率十二为法所得即练丝用络丝之数也是谓重今有也)(虽各有率不用中间故令后实乘前实后法乘前法而并除也故以练丝两数为实)(靑丝铢数为法一曰又置络丝一斤两数与练丝十二两约之络得四练得三此其)(相与之率又置练丝一斤铢数与靑丝一斤十二铢约之练得三十二靑得三十三)(亦其相与之率齐其靑丝络丝同其二练络得一百二十八靑得九十九练得九十)(六即三率悉通矣今有练丝一斤为所有数络丝一百二十八为所求率靑丝九十)(九为所有率为率之意犹此但不先约诸率耳凡率错互不通者皆积齐同用之放)(此虽四五转不异也言同其二练者以明三率之相与通耳于术无以异也又一术)(今有靑丝一斤铢数乘练丝一斤两数为实以靑丝一斤十二铢为法所得即用练)(丝两数以络丝一斤乘所得为实以练丝十二两为法所得即用络丝斤数也)今有恶粟二十斗春之得粝米九斗今欲求粺米十斗问恶粟几何荅曰二十四斗六升八十一分升之七十四术曰置粝米九斗以九乘之为法亦置粺米十斗以十乘之又以恶粟二十斗乘之为实实如法得一斗(按此术置今有求粺米十斗以粝米率十)(乘之如粝率九而一即粝亦化为恶粟矣此亦重今有之义为术之意犹络丝也虽)(各有率不问中间故令后实乘前实后法乘前法而并除之也)今有善行者行一百步不善行者行六十步今不善行者先行一百步善行者追之问几何步及之荅曰二百五十步术曰置善行者一百步减不善行者六十步余四十步以为法以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实实如法得一步(按此术以六十步减一百步余四十步即不善行者先行率也善行者行)(一百步追及率约之追及率得五先行率得二于今有术不善行者先行一百步为)(所有数五为所求率二为所有率而今有之得追及步也)今有不善行者先行十里善行者追之一百里先至不善行者二十里问善行者几何里及之荅曰三十三里少半里术曰置不善行者先行十里以善行者先至二十里增之以为法以不善行者先行十里乘善行者一百里为实实如法得一里(按此术不善行者既先行十里后不及二十里并之得三十里也谓之先行率)(善行者一百里为追及率约之先行率得三三为所有率而今有之即得也其意如)(上术)今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止问犬不止复行几何步及之荅曰一百七步七分步之一术曰置兔先走一百步以犬走不及三十步减之余为法以不及三十步乘犬追步数为实实如法得一步(按此术以不及三十步减先走一百)(步余七十步为兔先走率犬行二百五十步为追及率约之先走率得七追及率得)(二十五于今有术不及三十步为所有数二十五为所求率七为所有率而今有之)(即得也)今有人持金十二斤出关关税之十分而取一今关取金二斤偿钱五千问金一斤値钱几何荅曰六千二百五十术曰以十乘二斤以十二斤减之余为法以十乘五千为实实如法得一(按此术置十二斤以)(一乘之十而一得一斤五分斤之一即所当税者也减二斤余即关取盈金以盈除)(所偿钱即金値也今术既以十二斤为所税则是以十为母故以十乘二斤及所偿)(钱通其率于今有术五千钱为所有数十为所求率八为所有率而今有之即得也)今有客马日行三百里客去忘持衣日已三分之一主人乃觉持衣追及与之而还至家视日四分之三问主人马不休日行几何荅曰七百八十里术曰置四分日之三除三分日之一(按此术置)(四分日之三除三分日之一者除即减也减之余有十二分之五即是主人追客还)(用日率也)半其余以为法(去其还存其往率之者子不可半故倍母)(二十四分之五是为主人与客均行用日之率也)副置法增三分日之一(法二十四分之五者主人往追用日之分也三分之一者客去主人)(未觉之前独行用日之分也并连此数得二十四分日之十三则主人追及前用日)(之分也是为客用日率也然则主人用日率者客马行率也客用日率者主人马行)(率也母同则子齐是为客马行率五主人马行率十三于今有术三百里为所有数)(十三为所求率五为所有率而今有之即得也)以三百里乘之为实实如法得主人马一日行(欲知主人追客所行里者)(以三百里乘主人均行日分子十三以母二十四而一得一百六十二里半以此乘)(主人均行日分母二十四如客马与主人均行用日分子五而一亦得主人马一日)(行七百八十里也)今有金箠长五尺斩本一尺重四斤斩末一尺重二斤问次一尺各重几何荅曰末一尺重二斤次一尺重二斤八两次一尺重三斤次一尺重三斤八两次一尺重四斤术曰令末重减本重余即差率也又置本重以四间乘之为下第一衰副置以差率减之每尺各自为衰(按此术五尺有四间者有四差也令本末)(相减余即四差之凡数也以四约之即得每尺之差以差数减本重余即次尺之重)(也为术所置如是而已今此率以四为母故令母乘本为衰通其率也亦可置末重)(以四问乘之为上第一衰以差重率加之为次下衰也)副置下第一衰以为法以本重四斤徧乘列衰各自为实实如法得一斤(以下第一衰为法以本重乘其分母之数而又)(反此率乘本重为实一乘一除势无损益故惟本存焉众衰相推为率则其余可知)(也亦可副置末衰为法而以末重二斤乘列衰为实此虽迂廽然是其旧故就新而)(言之也)今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何荅曰甲得一钱六分钱之二乙得一钱六分钱之一丙得一钱丁得六分钱之五戊得六分钱之四术曰置钱锥行衰(按此术锥行者谓如立锥初一次二次三次四)(次五各均为一例者也)并上二人为九并下三人为六六少于九三(数不得等但以五四三二一为率也)以三均加焉副并为法以所分钱乘未并者各自为实实如法得一钱(此问者令上二人与下三人等上下部差)(一人其差三均加上部则得二三均加下部则得三三下部犹差一人差得一以通)(于本率即上下部等也于今有术副并为所有率未并者各为所求率五钱为所有)(数而今有之即得等耳假令七人分七钱欲令上二人与下五人等则上下部差三)(人并上部为十三下部为十五下多上少下不足减上当似上下部列差而后均减)(乃合所问耳此可倣下术令上二人分二钱半为上率令下三人分二钱半为下率)(上下二率以少减多余为实置二人三人各半之减五人余为法实如法得一钱即)(衰相去也下衰率六分之五者丁所得钱数也)今有竹九节下三节容四升上四节容三升问中间二节欲均容各多少荅曰下初一升六十六分升之二十九次一升六十六分升之二十二次一升六十六分升之一十五次一升六十六分升之八次一升六十六分升之一次六十六分升之六十次六十六分升之五十三次六十六分升之四十六次六十六分升之三十九术曰以下三节分四升为下率以上四节分三升为上率(此二率者各其平率也)上下率以少减多余为实(按此上下节各分所容为率者各其平率上下以少减多)(者余为中间五节半之凡差故以为实也)置四节三节各半之以减九节余为法实如法得一升即衰相去也(按此术上下节所容已定之节中间相去节数也实者中间五节半之凡)(差也故实如法而一则每节之差也)下率一升少半升者下第二节容也(一升少半升者下三节通分四升之平率平率即为中分)(节之容也)今有凫起南海七日至北海鴈起北海九日至南海今凫鴈俱起问何日相逢荅曰三日十六分日之十五术曰并日数为法日数相乘为实实如法得一日(按此术置凫七日一至鴈九日一至齐其至同其日定六十三日凫)(九至鴈七至令凫鴈俱起而问相逢者是为共至并齐以除同即得相逢日故并日)(数为法者并齐之意日数相乘为实者犹以同为实也一日凫飞七分至之一鴈飞)(九分至之一齐而同之凫飞定日行六十三分至之九鴈飞定日行六十三分至之)(七是为南北海相去六十三分凫日行九分鴈日行七分也并凫鴈一日所行以除)(南北相去而得相逢日也)今有甲发长安五日至齐乙发齐七日至长安今乙发已先二日甲乃发长安问几何日相逢荅曰二日十二分日之一术曰并五日七日以为法(按此术并五日七日为法者犹)(并齐为法置甲五日一至乙七日一至齐而同之定三十五日甲七至乙五至并之)(为十二至者用三十五日也谓甲乙与发之率耳然则日化为至当除日故以为法)(也)以乙先发二日减七日(减七日者言甲乙俱发今以发)(为始发之端于本道里则余分也)余以乘甲日数为实(七者)(长安去齐之率也五者后发相去之率也今问后发故舍七用五以乘甲五日为二)(十五日言甲七至乙五至更相去用此二十五日也)实如法得一日(一日甲行五分至之一乙行七分至之一齐而同之甲定日行三十五分至之七乙)(定日行三十五分至之五是为齐去长安三十五分甲日行七分乙日行五分也今)(乙先行发二日巳行十分余相去二十五分故减乙二日余令相乘为二十五分)今有一人三日为牡瓦三十八枚一人二日为牝瓦七十六枚今令一人一日作瓦牝牡相半问成瓦几何荅曰二十五枚少半枚术曰并牝牡为法牝牡相乘为实实如法得一枚(此术亦与凫鴈术同牝牡瓦相并犹如凫鴈日飞相并也臣淳风)(等谨按此术并牝牡为法者并齐之意牝牡相乘为实者犹以同为实也故实如法)(即得也)今有一人一日矫矢五十一人一日羽矢三十一人一日筈矢十五今令一人一日自矫羽筈问成矢几何荅曰八矢少半矢术曰矫矢五十用徒一人羽矢五十用徒一人太半人筈矢五十用徒三人少半人并之得六人以为法以五十矢为实实如法得一矢(按此术言成矢五十用徒六人一日工也此同功共作犹凫鴈)(共至之类亦以同为实并齐为法可令矢互乘一人为齐矢相乘为同今先令同于)(五十矢矢同则徒齐其归一也以此术为凫鴈者当鴈飞九日而一至凫飞七日而)(一至七分至之二并之得二至七分至之二以为法以九日为实实如法而一得一)(人日矫矢之数也)今有假田初假之岁三亩一钱明年四亩一钱后年五亩一钱凡三岁得一百问田几何荅曰一顷二十七亩四十七分亩之三十一术曰置亩数及钱数令亩数互乘钱数并以为法亩数相乘又以百钱乘之为实实如法得一亩(按此术令亩互乘钱者齐其钱亩数相乘者同其亩同于)(六十则初假之岁得钱二十明年得钱十五后年得钱十二也凡三岁得钱一百为)(所有数同亩为所求率四十七钱为所有率今有之即得也齐其钱同其亩亦如凫)(鴈术于今有术百钱为所有数同亩为所求率并齐为所有率臣淳风等谨按假)(田六十亩初岁得钱二十明年得钱十五后年得钱十二并之得钱四十七是为得)(田六十亩三岁所治于今有术百钱为所有数六十亩为所求率四十七为所有率)(而今有之即合问也)今有程耕一人一日发七亩一人一日耕三亩一人一日耰种五亩今令一人一日自发耕耰种之问治田几何荅曰一亩一百一十四步七十一分步之六十六术曰置发耕耰亩数令互乘人数并以为法亩数相乘为实实如法得一亩(此犹凫鴈术也)(臣淳风等谨按此术亦发耕耰种亩数互乘人者齐其人亩数相乘者同其亩故)(并齐为法以同为实计田一百五亩发用十五人耕用三十五人种用二十一人并)(之得七十一工治得一百五亩故以为实而一人一日所治故以人数为法除之即)(得也)今有池五渠注之其一渠开之少半日一满次一日一满次二日半一满次三日一满次五日一满今皆决之问几何日满池荅曰七十四分日之十五术曰各置渠一日满池之数并以为法(按此)(术其一渠少半日满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是一日五分满)(之二也次三日满者是一日三分满之一也次五日满者是一日五分满之一也并)(之得四满十五分满之十四也)以一日为实实如法得一日(此犹矫矢之术也先令同于一日日同则满齐自凫鴈至此其为同齐有二术)(焉可随率宜也)其一术列置日数及满数(其一渠少半日)(满者是一日三满也次一日一满次二日半满者是五日二满次三日一满次五日)(一满此谓之列置日数及满数也)令日互相乘满并以为法日数相乘为实实如法得一日(亦如凫鴈术也)(臣淳风等谨按此其一渠少半日满池者是一日三满池也次一日一满次二日)(半满者是五日再满次三日一满次五日一满此谓列置日数于右行及满数于左)(行以日互乘满者齐其满日数相乘者同其日满齐而日同故并齐以除同即得也)今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问本持米几何荅曰十斗九升八分升之三术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二四六互相乘为法实如法得一斗(此亦重今有术也所税者谓今所当税之定三五七皆为)(所求率二四六皆为所有率置今有余米五斗以七乘之六而一即内关未税之本)(米也又以三乘之二而一即外关未税之本米也今从末求本不问中间故令中率)(转相乘而同之亦如络丝术)(又一术外关三而取一则其余本米三分之二也求外关所税之余则当置三分乘)(之二而一欲知中关以四乘之五而一欲知内关以六乘之七而一凡余分者乘其)(母而以三五七相乘得一百五为分母二四六相乘得四十八为分子约而言之则)(是余米于本所持三十五分之十六也于今有术余米五斗为所有数分母三十五)(为所求率分子十六为所有率也)今有人持金出五关前关二而税一次关三而税一次关四而税一次关五而税一次关六而税一并五关所税适重一斤问本持金几何荅曰一斤三两四铢五分铢之四术曰置一斤通所税者以乘之为实亦通其不税者以减所通余为法实如法得一斤(此意犹上术也置一斤通所税者谓令二三四五六相乘为分母七百二十也)(通其所不税者谓令所税之余一二三四五相乘为分子一百二十也约而言之是)(为余金于本所持六分之一也以子减母凡五关所税六分之五也于今有术所税)(一斤为所有数分母六为所求率分子五为所有率此亦重今有之义又虽各有率)(不问中间故令中率转相乘而连除之即得也置一以为持金之本率以税率乘之)(除之则其率亦成积分也)九章算术卷第六终九章算术卷六订讹(算经十书之二)休宁 戴 震 东原臣淳风等谨按为衰于今有术副并为所有率未并者各为所求率以赋卒人数为所有数此术以别考则意同以广异闻故存之也(为衰二字上有)(脱文当云各令居所及行道曰数约县卒为衰)计经赋之率既有戸算之率亦有远近贵贱之率此二率者各自相与通通则甲二十乙十二丙七丁十三戊五一斛之费谓之钱率钱率约戸率者则钱为母戸为子子不齐令母互乘为齐即衰也若其不然以一斛之费约戸数取衰并有分当通分内子约之于算甚繁此一章皆相与通功共率畧相依似以上二率下一率亦可放此从其简易而巳又以分言之使甲一戸出二十分斛之一乙一戸出十八分斛之一各以戸数乘之亦可得一县凡所当输俱未衰也乘之者乘其子母报除之以此观之则以一斛之费约戸数者其意不异矣然则可置一斛之费而反衰之约戸以乘戸数为衰也合分注曰母除为率率乘子为齐反衰法曰先同其母各以分母约其子为反衰施其率为算既约且不妨处下也(计经赋之率至此多舛误不可通)术曰以下三节分四升为下率以上四节分三升为上率(谓之率者以四节三节为分母三升四升为分子母互乘子得上率九下)(率十六母相乘得十二)上下率以少减多余为实(十六减九余七)置四节三节各半之以减九节余为法实如法得一升即衰相去也(以十二通五节半得六十六为一升之率)
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九章算术卷七(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释盈不足(以御隐杂互见)今有共买物人出八盈三人出七不足四问人数物价各几何荅曰七人物价五十三今有共买鸡人出九盈十一人出六不足十六问人数鸡价各几何苔曰九人鸡价七十今有共买琎人出半盈四人出少半不足三问人数琎价各几何荅曰四十二人琎价十七今有共买牛七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十问家数牛价各几何荅曰一百二十六家牛价三千七百五十(按此术并盈不足者为众家之)(差故以为实置所出率各以家数除之各得一家所出率以少减多者得)(一家之差以除即家数以出率乘之减盈故得牛价也)盈不足(按盈者谓之朓不足者谓之朒所出率谓之假令盈朒维乘两设者)(欲为齐同之意)术曰盈不足相与同共买物者置所出率盈不足各居其下令维乘所出率并以为实并盈不足为法(据共买物人出八盈三人出七不足四齐其假)(令同其盈朒盈朒俱十二通计齐则不盈不朒之正数故可并以为实并盈不足为)(法齐之三十二者是四假令有盈十二齐之二十一者是三假令亦朒十二并七假)(令合为一实故并三四为法)有分者通之(若两设有分者齐其子同)(其母此问两设俱见零分故齐其子同其母)副置所出率以少减多余以约法实实为物价法为人数(令下)(维乘上讫以同约之不可约故以乘同之所出率以少减多者余谓之设差以为少)(设则并盈朒是为定实故以少设约法则为人数约实则为物价盈朒当与少设相)(通不可徧约亦当分母乘设差为约法实)其一术曰并盈不足为实以所出率以少减多余为法实如法得一人以所出率乘之减盈增不足即物价(此术意谓盈不足为众人之差以所)(出率以少减多余为一人之差以一人之差约众人之差故得人数也)今有共买金人出四百盈三千四百人出三百盈一百问人数金价各几何荅曰三十三人金价九千八百今有共买羊人出五不足四十五人出七不足三问人数羊价各几何荅曰二十一人羊价一百五十两盈两不足术曰两盈两不足相与同共买物者置所出率盈不足各居其下令维乘所出率以少减多余为实两盈两不足以少减多余为法有分者通之副置所出率以少减多余以约法实实为物价法为人数(按此术两盈者)(两设皆逾于正数两不足者两设皆不足于正数其所以变化则两不足亦犹两盈)(而或有势同而情违者当其为实俱令不足其相乘减则遗其所不足焉故其余所)(以为实者无朒数以损焉葢出而有余两盈两设皆逾于正数假令与共买物人出)(八盈三人出九盈十齐其假令同其两盈两盈俱三十举齐则兼去其余所以为实)(者无盈数两盈以少减多余为法齐之八十者是十假令而凡盈三十是三以十齐)(之齐之二十七者是三假令而凡盈三十是十以三齐之两盈共十三以三减十余)(七假令为一实故令以三减十余七为法所出率以少减多余谓之设差因设差为)(少设则两盈之差是为定实故以少设约法则为人数约实则得物价)其一术曰置所出率以少减多余为法两盈两不足以少减多余为实实如法而一得人数以所出率乘之减盈増不足即物价(置所出率以少减多得一人之差两盈两不足相减余为众人之差故以一人)(之差除之得人数以所出率乘之减盈增不足即物价)今有共买豕人出一百盈一百人出九十适足问人数豕价各几何荅曰一十人豕价九百今有共买犬人出五不足九十人出五十适足问人数犬价各几何荅曰二人犬价一百盈适足不足适足术曰以盈及不足之数为实置所出率以少减多余为法实如法得一人其求物价者以适足乘人数得物价(盈不足数为实者数单见即众)(人差故以为实所出率以少减多者余即一人差故以为法以除众人差得人数以)(适足乘人数即得物价也此术意谓所出率以少减多者余是一人不足之差不)(足数为众人之差以一人差约之故得人之数也)今有米在十斗桶中不知其数满中添粟而舂之得米七斗问故米几何荅曰二斗五升术曰以盈不足术求之假令故米二斗不足二升令之三斗有余二升(按桶受一斛若使故米二)(斗须添粟八斗以满之八斗得粝米四斗八升课于七斗是为不足二升若使故米)(三斗须添粟七斗以满之七斗得粝米四斗二升课于七斗是为有余二升以盈不)(足维乘假令之数者欲为齐同之意实如法即得故米斗数乃不盈不朒之正数也)今有垣高九尺瓜生其上蔓日长七寸瓠生其下蔓日长一尺问几何日相逢瓜瓠各长几何荅曰五日十七分日之五瓜长三尺七寸十七分寸之一瓠长五尺二寸十七分寸之十六术曰假令五日不足五寸令之六日有余一尺二寸(按假令五日不足五寸者瓜生五日下垂蔓三尺五寸瓠生五)(日上延蔓五尺课于九尺之垣是为不足五寸令之六日有余一尺二寸者若使瓜)(生六日下垂蔓四尺二寸瓠生六日上延蔓六尺课于九尺之垣是为有余一尺二)(寸以盈不足维乘假令之数者欲为齐同之意实如法而一即设差不盈不朒之正)(数即得日数以瓜瓠一日之长乘之故各得其长之数也)今有蒲生一日长三尺莞生一日长一尺蒲生日自半莞生日自倍问几何日而长等荅曰二日十三分日之六各长四尺八寸十三分寸之六术曰假令二日不足一尺五寸令之三日有余一尺七寸半(按假令二日不足一尺五寸者蒲生二日长四)(尺五寸莞生二日长三尺是为未相及一尺五寸故曰不足令之三日有余一尺七)(寸半者蒲增前七寸半莞增前四尺是为过一尺七寸半故日有余以盈不足乘除)(之又以后一日所长各乘日分子如日分母而一者各得日分子之长也故各增二)(长即得其数)今有垣厚五尺两鼠对穿大鼠日一尺小鼠亦日一尺大鼠日自倍小鼠日自半问几何日相逢各穿几何荅曰二日十七分日之二大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二小鼠穿一尺五寸十七分寸之五术曰假令二日不足五寸令之三日有余三尺七寸半大鼠日倍二日合穿三尺小鼠日自半合穿一尺五寸并大鼠所穿合尺五寸课于垣厚五尺是为不足五寸令之三日大鼠穿得七尺小鼠穿得一尺七寸半并之以减垣厚五尺有余三尺七寸半以盈不足术求之即得以后一日所穿乘日分子如日分母而一即各得日分子之中所穿故各増二日定穿即合所问也今有醇酒一斗直钱五十行酒一斗直钱一十今将钱三十得酒二斗问醇行酒各得几何荅曰醇酒二升半行酒一斗七升半术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有余一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二(据醇酒五升直钱二十五行酒一斗五升直钱十五课于三十是为有余十据)(醇酒二升直钱一十行酒一斗八升直钱一十八课于三十是为不足二以盈不足)(术求之此问已有重说及其齐同之意也)今有大器五小器一容三斛大器一小器五容二斛问大小器各容几何荅曰大器容二十四分斛之十三小器二十四分斛之七术曰假令大器五斗小器亦五斗盈十斗令之大器五斗五升小器二斗五升不足二斗(按大器容五斗大器五容二斛五斗以减三斛余五斗即小器一所容故)(曰小器亦五斗小器五容二斛五斗大器一合为三斛课于两斛乃多十斗令之大)(器五斗五升大器五合容二斛七斗五升以减三斛余二斗五升即小器一所容故)(曰小器二斗五升大器一容五斗五升小器五合容一斛二斗五升合为一斛八斗)(课于二斛少二斗故曰不足二斗以盈不足维乘之各并为实并盈不足为法除之)今有漆三得油四油四和漆五今有漆三斗欲令分以易油还自和余漆问出漆得油和漆各几何荅曰出漆一斗一升四分升之一得油一斗五升和漆一斗八升四分升之三术曰假令出漆九升不足六升令之出漆一斗二升有余二升(按此术三斗之漆出九升得油一斗二升)(可和漆一斗五升余有二斗一升则六升无油可和故曰不足六升令之出漆一斗)(二升则易得油一斗六升可和漆二斗于三斗之中已出一斗二升余有一斗八升)(见在油合和得漆二斗则是有余二升以盈不足维乘之为实并盈不足为法实如)(法而一得出漆升数求油及和漆者四五各为所求率四三各为所有率而今有之)(即得也)今有玉方一寸重七两石方一寸重六两今有石立方三寸中有玉并重十一斤问玉石重各几何荅曰玉十四寸重六斤二两石十三寸重四斤十四两术曰假令皆玉多十三两令之皆石不足十四两不足为玉多为石各以一寸之重乘之得玉石之积重(立方三寸是一面之方计积二十七寸玉)(方一寸重七两石方一寸重六两是为玉石重差一两假令皆玉合有一百八十九)(两课于十一斤有余十三两玉重而石轻故有此多即二十七寸之中有十三寸寸)(损一两则以为石重故言多为石言多之数出于石以为玉假令皆石合有一百六)(十二两课于十一斤少十四两故曰不足此不足即以重为轻故令减少数于石重)(即二十七寸之中有十四寸寸增一两则以为玉重也)今有善田一亩价三百恶田七亩价五百今并买一顷价钱一万问善恶田各几何荅曰善田十二亩半恶田八十七亩半术曰假令善田二十亩恶田八十亩多一千七百一十四钱七分钱之二令之善田十亩恶田九十亩不足五百七十一钱七分钱之三(按善田二十亩直钱六千恶田八十亩直钱五千七百一十四)(七分钱之二谓于一万是多一千七百一十四钱七分钱之二令之善田十亩直钱)(三千恶田九十亩直钱六千四百二十八七分钱之四课于一万是为不足五百七)(十一钱七分钱之三以盈不足术求之也)今有黄金九枚白银十一枚称之重适等交易其一金轻十三两问金银一枚各重几何荅曰金重二斤三两十八铢银重一斤十三两六铢术曰假令黄金三斤白银二斤十一分斤之五不足四十九于右行令之黄金二斤白银一斤十一分斤之七多十五于左行以分母各乘其行内之数以盈不足维乘所出率并以为实并盈不足为法实如法得黄金重分母乘法以除得银重约之得分也(按此术假令黄金九白银十一俱重二十七斤金九约之得三斤银十一)(约之得二斤十一分斤之五各为金银一枚重数就金重二十七斤之中减一金之)(重以益银银重二十七斤之中减一银之重以益金则金重二十六斤十一分斤之)(五银重二十七斤十一分斤之六以少减多则金轻十七两十一分两之五课于十)(三两多四两十一分两之五通分内子言之是为不足四十九又令之黄金九一枚)(重二斤九枚重十八斤白银十一亦合重十八斤也乃以十一除之得一枚一斤十)(一分斤之七为银一枚之重数今就金重十八斤之中减一枚金以益银复减一枚)(银以益金则金重十七斤十一分斤之七银重十八斤十一分斤之四以少减多即)(金轻十一分斤之八课于十三两少一两十一分两之四通分内子言之是为多十)(五以盈不足术求之实如法得金重分母乘法以除者谓银两分母同须通法而后)(乃除得银重余皆约之者术省故也)今有良马与驽马发长安至齐齐去长安三千里良马初日行一百九十三里日增十三里驽马初日行九十七里日减半里良马先至齐复还迎驽马问几何日相逢及各行几何荅曰十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六驽马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五术曰假令十五日不足三百三十七里半令之十六日多一百四十里以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法实如法而一得日数不尽者以等数除之而命分(求良马行者十四乘益疾里数而半之加良马初日之行里数以乘日分)(子如日分母而一所得及其不尽而命分加于前良马凡行里数即得求驽马行者)(以十四乘半里以减驽马初日之行里数余以并初日之行又半之乘十五日得驽)(马十五日之凡行又以十五日乘半里以减驽马初日之行余以乘日分子如日分)(母而一所得加前里即驽马定行里数其奇半里者为半法以半法增残分即得其)(不尽者而命分按令十五日不足三百三十七里半者据良马十五日凡行四千二)(百六十里除先去齐三千里定还迎驽马一千二百六十里驽马凡十五日凡行一)(千四百二里半并良驽二马所行得二千六百六十二里半课于三千里少三百三)(十七里半故曰不足令之十六日多一百四十里者据良马十六日凡行四千六百)(四十八里先除去齐三千里定还迎驽马一千六百四十八里驽马十六日凡行一)(千四百九十二里并良驽二马所行得三千一百四十里课于三千里余有一百四)(十里故谓之多也以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法实如法而一)(得日数者即设差不盈不朒之正数以二马初日所行里乘十五日为十五日平行)(数求初末益疾减迟之数者并一与十四以十四乘而半之为中平之积又令益疾)(减迟里数乘之各为减益之中平里故各减益平行数得十五日定行里若求后一)(日以十六日之定行里数乘日分子如日分母而一各得日分子之定行里数故各)(并十五日定行里即得其驽马奇半里者法为全里之分故破半里为半法以增残)(分即合所问也)今有人持钱之蜀贾利十三初返归一万四千次返归一万三千次返归一万二千次返归一万一千后返归一万凡五返归钱本利俱尽问本持钱及利各几何荅曰本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七术曰假令本钱三万不足一千七百三十八钱半令之四万多三万五千三百九十钱八分(按假令本钱三万并利为三万九千除初返归留余加利为三万二)(千五百除二返归留余又加利为二万五千三百五十除第三返归留余又加利为)(一万七千三百五十五除第四返归留余又加利为八千二百六十一钱半除第五)(返归留合一万钱不足一千七百三十八钱半若使本钱四万并利为五万二千除)(初返归留余加利为四万九千四百除第二返归留余又加利为四万七千三百二)(十除第三返归留余又加利为四万五千九百一十六除第四返归留余又加利为)(四万五千三百九十钱八分除第五返归留合一万余三万五千三百九十钱八分)(故曰多又术置后返归一万以十乘之十三而一即后所持之本加一万一千又以)(十乘之十三而一即第四返之本加一万二千又以十乘之十三而一即第三返之)(本加一万三千又以十乘之十三而一即第二返之本加一万四千又以十乘之十)(三而一即初持之本并五返之钱以减之即利也)九章算术卷七终九章算术卷七订讹(算经十书之二)休宁 戴 震 东原副置所出率以少减多余以约法实实为物价法为人数(此术前列四问本通为一徽注辞不达意据第二问人出九盈十一人出)(六不足十六以十六互乘九得一百四十四以十一互乘六得六十六并之二百一十为实所)(谓相与同共买物者置所出率盈不足各居其下令维乘所出率并以为实也盈十一及不足)(十六并之二十七为法所谓幷盈不足为法也于出九减出六余三以三约实二百一十得价)(七十以三约法二十七得九人所谓副置所出率以少减多余以约法实实为物价法为人数)(也其第一问所出率相减余一则法实无庸约故维乘并之径得物价并盈不足径得人数偶)(省一算耳第三问人出半盈四人出少半不足三半即二分之一少半即三分之一也又即为)(二人共出一盈四三人共出一不足三以二分通三之一得二以三分通二之一得三是齐其)(子也二分三分相乘得六是同其母也以盈四互乘二得八以不足三互乘三得九并之十七)(为实是盈不足维乘所出率并以为实也盈四及不足三并而为七以分母相乘所得六通而)(齐之得四十二为法是并盈不足为法也二三相减余一以约法实亦无庸约故径得物价人)(数第四问七家共出一百九十不足三百三十九家共出二百七十盈三十以九家互乘一百)(九十得一千七百一十以七家互乘二百七十得一千八百九十犹之齐其子也七家九家相)(乘得六十三犹之同其母也以盈三十互乘一千七百一十得五万一千三百以不足三百三)(十互乘一千八百九十得六十二万三千七百并之六十七万五千为实是盈不足维乘所出)(率并以为实也盈三十及不足三百三十并而为三百六十以六十三通而齐之得二万二千)(六百八十为法是并盈不足为法也于一千八百九十减一千七百一十余一百八十以一百)(八十约实六十七万五千得价三千七百五十以一百八十约法二万二千六百八十得一百)(二十六家是副置所出率以少减多余以约法实也三四两问皆所谓有分者通之也)按此术两盈者两设皆逾于正数两不足者两设皆不足于正数其所以变化则两不足亦犹两盈而或有势同而情违者当其为实俱令不足其相乘减则遗其所不足焉故其余所以为实者无朒数以损焉葢出而有余两盈两设皆逾于正数(以上讹舛不可通)术曰以盈不足术求之假令故米二斗不足二升令之三斗有余二升(此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并)(为实并盈不足为法实如法而一得故米斗数)术曰假令五日不足五寸令之六日有余一尺二寸(此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法实如法而一得)(日数)术曰假令二日不足一尺五寸令之三日有余一尺七寸半(此下有脱文当云以盈不足维乘假令之数并为实并盈不足为法)(实如法而一得日数不尽者等数约之而命分以后一日所长乘日分子如日分母而一各增)(二长为二物共长齐等之数)术曰假令醇酒五升行酒一斗五升有余一十令之醇酒二升行酒一斗八升不足二(此下有脱文当)(云各以盈不足维乘之并为实并盈不足为法实如法而一得二酒之数)术曰假令一十五日不足三百三十七里半令之一十六日多一百四十里以盈不足维乘假令之数并而为实并盈不足为法实如法而一得日数不尽者以等数除之而命分(此下有脱文当云求)(二马各行里数以一十五日初末之行并而半之一十五乘之又以后一日之定行乘日分子)(日分母为法而一各加于前破半里为半法以入残分)求良马行者一十四乘益疾里数而半之加良马初日之行里数(此下有脱文当云以乘一十五日得一十五日之凡行又)(以一十五日乘益疾里数加良马初日之行)
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九章算术卷八(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释方程(以御错糅正负)今有上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗上禾二秉中禾三秉下禾一秉实三十四斗上禾一秉中禾二秉下禾三秉实二十六斗问上中下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉九斗四分斗之一中禾一秉四斗四分斗之一下禾一秉二斗四分斗之三方程(程课程也群物总杂各列有数总言其实令每行为率二物者再程三物)(者三程皆如物数程之并列为行故谓之方程行之左右无所同存且为有所据而)(言耳此都术也以空言难晓故特系之禾以决之又列中行如右行也)术曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗于右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除(为术之意令少行减多行)(反复相减则头位必先尽上无一位则此行亦阙一物矣然而举率以相减不害余)(数之课也若消去头位则下去一物之实如是叠令左右行相减审其正负则可得)(而知先令右行上禾乘中行为齐同之意为齐同者谓中行上禾亦乘右行也从简)(易虽不言齐同以齐同之意观之其义然矣)又乘其次亦以直除(复去左行首)然以中行中禾不尽者(徧乘左行)而以直除(亦令两行相乘去行之中禾也)左方下禾不尽者上为法下为实实即下禾之实(上中禾皆去故余数)(是下禾实非但一秉欲约众秉之实当以禾秉数为法列此下禾之秉实乘两行以)(直除则下禾之位自决矣各以其余一位之秉除其下实即斗数矣用算繁而不省)(实合中下禾之实其数并见以中下禾先见之实令乘右行中下禾秉数以减之故)(亦如前各求列实以减下实也)余如上禾秉数而一即上禾之实实皆如法各得一斗(三实同用不满法者以法)(命之母实皆当除之)今有上禾七秉损实一斗益之下禾二秉而实十斗下禾八秉益实一斗与上禾二秉而实十斗问上下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉实一斗五十二分斗之十八下禾一秉实五十二分斗之四十一术曰如方程损之曰益益之曰损(问者之辞虽以)(损益为说今按实云上禾七秉下禾二秉实十一斗上禾二秉下禾八秉实九斗也)(损之日益言损一斗余当十斗今欲全其实当加所损也益之曰损言益实一斗乃)(满十斗今欲加本实当减所加即得也)损实一斗者其实过十斗也益实一斗者其实不满十斗也(重谕)(损益数者各以损益之数损益之也)今有上禾二秉中禾三秉下禾四秉实皆不满斗上取中中取下下取上各一秉而实满斗问上中下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉实二十五分斗之九中禾一秉实二十五分斗之七下禾一秉实二十五分斗之四术曰如方程各置所取(置上禾二秉为右行之上中禾三秉)(为中行之中下禾四秉为左行之下所取一秉及实一斗各从其位诸行相借取之)(物皆依此例)以正负术入之正负术曰(今两算得失相反要令正负以名之正算赤负算黑否则以邪)(正为异方程自有赤黑相取左右数相推求之术而其并减之势不得交通故使赤)(黑相消夺之于算或减或益同行异位殊为二品各有并减之差见于下焉著此二)(条特系之禾以成此二条之意故赤黑相杂足以定上下之程减益虽殊足以通左)(右之数差实虽分足以应同异之率然则其正无入负之负无入正之其率不妄也)同名相除(此为以赤除赤以黑除黑行求相减者为法头位也然则头位)(同名者当用此条头位异名者当用下条)异名相益(益行减行当各以其)(类矣其异名者非其类也非其类者犹无对也非所得减也故赤用黑对则除黑无)(对则除赤赤黑并于本数此为相益之皆所以为消夺消夺之与减益成一实也术)(本取要必除行首至于他位不嫌多少故或令相减或令相并理无同异一也)正无入负之负无入正之(无入为无对也无所得减则使消夺)(者居位也其当以列实或减下实而中行正负杂者亦用此条此条者同名减实异)(名益实正无入负之负无入正之也)其异名相除同名相益正无入正之负无入负之(此条异名相除为例故亦与上)(条互取凡正负所以记其同异使二品互相取而已矣言负者未必负于少言正者)(未必正于多故毎一行之中虽复赤黑异算无伤然则可得使头位常相与异名此)(条之实兼通矣遂以二条反复一率观其毎与上下互相取位则随算而言耳犹一)(术也又本设诸行欲因减数以相去耳故其多少无限令上下相命而已若以正负)(相减如数有旧増法者每行可均之不但数物左右之也)今有上禾五秉损实一斗一升当下禾七秉上禾七秉损实二斗五升当下禾五秉问上下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉五升下禾一秉二升术曰如方程置上禾五秉正下禾七秉负损实一斗一升正(言上禾五秉之实多减其一斗一升余是与下)(禾七秉相当数也故互其算令相折除以一斗一升为差为差者上禾之余实也)次置上禾七秉正下禾五秉负损实二斗五升正以正负术八之(按正负之术本设列行物程之数不)(限多少必令与实上下相次而以每行各自为率然而或减或益同行异位殊为二)(品并减之差见于下也)今有上禾六秉损实一斗八升当下禾十秉下禾十五秉损实五升当上禾五秉问上下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉实八升下禾一秉实三升术曰如方程置上禾六秉正下禾十秉负损实一斗八升正次置上禾五秉负下禾十五秉正损实五升正以正负术入之(言上)(禾六秉之实多减损其一斗八升余是与下禾十秉相当之数故亦互其算而以一)(斗八升为差实差实者下禾之余实)今有上禾三秉益实六斗当下禾十秉下禾五秉益实一斗当上禾二秉问上下禾实一秉各几何荅曰上禾一秉实八斗下禾一秉实三斗术曰如方程置上禾三秉正下禾十秉负益实六斗正次置上禾二秉负下禾五秉正益实一斗正以正负术入之(言上禾三秉之实少)(益其六斗然后于下禾十秉相当也故亦互其算而以六斗为差实差实者下禾之)(余实)今有牛五羊二直金十两牛二羊五直金八两问牛羊各直金几何荅曰牛一直金一两二十一分两之十三羊一直金二十一分两之二十术曰如方程(假令为同齐头位为牛左右行相乘定更置牛十羊四直)(金二十两左行牛十羊二十五直金四十两牛数等同金多二十两者羊差二十一)(使之然也以少行减多行则牛数尽惟羊与直金之数见可得而知也以小推大虽)(四五行不异也)今有卖牛二羊五以买十三豕有余钱一千卖牛三豕三以买九羊钱适足卖羊六豕八以买五牛钱不足六百问牛羊豕价各几何荅曰牛价一千二百羊价五百豕价三百术曰如方程置牛二羊五正豕十三负余钱数正次置牛三正羊九负豕三正次置牛五负羊六正豕八正不足钱负以正负术入之(此中行买卖相折钱适足但互买卖算而已故下无钱直也设欲以)(此行如方程法先令牛二徧乘左行而以右行直除之是终于下实虚缺矣故注日)(正无实负负无实正方为类也方将以别实加不足之数与实物作实盈不足章黄)(金白银与此相当假令黄金九白银十一称之重适等交易其一金轻十三两问金)(银一枚各重几何与此同)今有五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀一燕交而处衡适平并燕雀重一斤问燕雀一枚各重几何荅曰雀重一两十九分两之十三燕重一两十九分两之五术曰如方程交易质之各重八两(此四雀一燕与)(一雀五燕衡适平并重一斤故各八两列两行程数左行头位其数是一可省乘令)(右行徧乘左行而取其法实于左左行数多以右行取其数左头位减尽中法下实)(即每枚当重宜可知也按此四雀一燕与一雀五燕其重等是三雀四燕重相当雀)(率重四燕率重三也诸再程之率皆可异术求之即其数也)今有甲乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十乙得甲太半而亦钱五十问甲乙持钱各几何荅曰甲持三十七钱半乙持二十五钱术曰如方程损妓之(此问者言一甲半乙而五十太半甲一乙)(亦五十也各以分母乘其全内子行定二甲一乙而钱一百二甲三乙而钱一百五)(十于是乃如方程诸物有分者倣此)今有二马一牛价过一万如半马之价一马二牛价不满一万如半牛之价问牛马价各几何荅曰马价五千四百五十四钱十一分钱之六牛价一千八百一十八钱十一分钱之二术曰如方程损益之(此一马半与一牛价直一万也二牛半与)(一马亦直一万也一马半与一牛通分内子右行为三马二牛直钱二万二牛半于)(一马通分内子左行为二马五牛直钱二万也)今有武马一匹中马二匹下马三匹皆载四十石至阪皆不能上武马借中马一匹中马借下马一匹下马借武马一匹乃皆上问武中下马一匹各力引几何荅曰武马一匹力引二十二石七分石之六中马一匹力引十七石七分石之一下马一匹力引五石七分石之五术曰如方程各置所借以正负术入之今有五家共井甲二绠不足如乙一绠乙三绠不足如丙一绠丙四绠不足如丁一绠丁五绠不足如戊一绠戊六绠不足如甲一绠各得所不足一绠皆逮问井深绠长各几何荅曰井深七丈二尺一寸甲绠长二丈六尺五寸乙绠长一丈九尺一寸丙绠长一丈四尺八寸丁绠长一丈二尺九寸戊绠长七尺六寸术曰如方程以正负术入之(此率初如方程为之名各)(一逮井其后法得七百二十一实七十六是为七百二十一绠而七十六逮井而戊)(一绠逮之数定逮七百二十一分之七十六是故七百二十一为井深七十六为戊)(绠之长举率以言之)今有白禾二步靑禾三步黄禾四步黑禾五步实各不满斗白取靑黄靑取黄黑黄取黑白黑取白靑各一步而实满斗问白靑黄黑禾实一步各几何荅曰白禾一步实一百一十一分斗之三十三靑禾一步实一百一十一分斗之二十八黄禾一步实一百一十一分斗之十七黑禾一步实一百一十一分斗之十术曰如方程各置所取以正负术入之今有甲禾二秉乙禾三秉丙禾四秉重皆过于石甲二重如乙一乙三重如丙一丙四重如甲一问甲乙丙禾一秉各重几何荅曰甲禾一秉重二十三分石之十七乙禾一秉重二十三分石之十一丙禾一秉重二十三分石之十术曰如方程置重过于石之物为负(此问者言)(甲禾二秉之重过于一石也其过者几何如乙一秉重矣互其算令相折除以石为)(之差实差实者如甲禾余实故置算相与同也)以正负术入之(此入)(头位异名相除者正无入正之负无入负之也)今有令一人吏五人从者十人食鸡十令十人吏一人从者五人食鸡八令五人吏十人从者一人食鸡六问令吏从者食鸡各几何荅曰令一人食一百二十二分鸡之四十五吏一人食一百二十二分鸡之四十一从者一人食一百二十二分鸡之九十七术曰如方程以正负术入之今有五羊四犬三鸡二兔直钱一千四百九十六四羊二犬六鸡三兔直钱一千一百七十五三羊一犬七鸡五兔直钱九百五十八二羊三犬五鸡一兔直钱八百六十一问羊犬鸡兔价各几何荅曰羊价一百七十七犬价一百二十一鸡价二十三兔价二十九术曰如方程以正负术入之今有麻九斗麦七斗菽三斗荅二斗黍五斗直钱一百四十麻七斗麦六斗菽四斗荅五斗黍三斗直钱一百二十八麻三斗麦五斗菽七斗荅六斗黍四斗直钱一百一十六麻二斗麦五斗菽三斗答九斗黍四斗直钱一百一十二麻一斗麦三斗菽二斗荅八斗黍五斗直钱九十五问一斗直几何荅曰麻一斗七钱麦一斗四钱菽一斗三钱荅一斗五钱黍一斗六钱术曰如方程以正负术入之(此麻麦与均输少广章之)(重衰积分皆为大事其拙于精理徒按本术者或用算而布氊方好烦而喜误曾不)(知其非反欲以多为贵故其算也莫不暗于设通而专于一端至于此类苟务其成)(然或失之不可谓要约更有异术者庖丁解牛游刅理间故能历久其刅如新夫数)(犹刅也易简用之则动中庖丁之理故能和神爱刅速而寡尤凡九章为大事按法)(皆不尽一百算也虽布算不多然足以算多世人多以方程为难或尽布算之象在)(缀正负而已未暇以论其设动无方斯胶柱调瑟之类聊复恢演为作新术著之于)(此将亦启导疑意网罗道精岂传之空言记其施用之例著䇿之数每举一隅焉)(方程新术曰以正负术入之令左右相减先去下实又转去物位求其一行二物正)(负相借者易其相当之率又令二物与他行互相去取转其二物相借之数即皆相)(当之率也各据二物相当之率对易其数即各当之率也更置减行及其下实各以)(其物本率今有之求其所同并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名)(相消余以为法以下实为实实如法即合所问也一物各以本率今有之即皆合所)(问也率不通者齐之其一术曰置群物通率为列衰更置减行群物之数各以其)(率乘之并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消余为法以减行)(下实乘列衰各自为实实如法而一即得以旧术为之凡应置五行今欲要约先置)(第三行以减第四行及减第三行次置第二行以第二行减第三行去其头位次置)(右行去其头位次以第四行减左行头位次以左行去第四行及第二行头位次以)(第五行减第二行头位余可半次以第二行去第四行头位余约之为法实如法而)(一得空即有黍价以法减第二行得荅价左行得麦价第三行麻价右行得菽价如)(此凡用七十七算以新术为此先以第四行减第三行次以第三行去右行及第二)(行第四行下位又以减右行下位不足减乃止次以左行减第三行下位次以第三)(行去左行下位讫废去第三行次以第四行去左行下位右行当左行下位次以右)(行去第二行及第四行下位次以第二行减第四行及左行愿位次以第四行减右)(行菽位不足减乃止次以左行减第二行头位余可再半次以第四行去右行及第)(二行头位次以第二行去右行头位余约之上得五下得三是菽五当荅三次以左)(行去第三行菽位又以减第四行及右行菽位不足减乃止次以右行减第二行头)(位不足减乃止次以第三行去左行头位次以左行去右行头位余上得六下得五)(是为荅六当黍五次以右行去左行荅位余约之上为二下为三次以左行去第二)(行下位以第二行去第四行下位又以减左行下位次右行去第二行下位余上得)(三下得四是为麦三当菽四次以第二行减第四行下位次以第四行去第二行下)(位余上得四下得七是为麻四当麦七是为相当之率举矣据麻四当麦七即为麻)(价率七而麦价率四又麦三当菽四即为麦价率四而菽价率三又荅六当黍五即)(为荅价率五而黍价率六而率通矣更置第三行以第四行减之余有麻一斗菽四)(斗荅三斗负下实四正求其同为麻之数以菽率三荅率五各乘菽荅斗数如麻率)(七而一菽得一斗七分斗之五正荅得二斗七分斗之一负则菽荅化为麻以并之)(令同名相从异名相消余为定麻七分斗之四以为法置下实四为实以分母乘之)(实得二十八而分子化为法矣以法除得七即麻一斗之价置麦率四菽率三荅率)(五黍率六皆以其斗数乘之各自为实以麻率七为法所得即同为麻之数亦可使)(置本行实与物同通之各以本率今有之求其本率所得并以为法如此则无正负)(之异矣择异同而已又可以一术为之置五行通率为麻七麦四菽三荅五黍六以)(为列衰减行麻一斗菽四斗正荅三斗负各以其率乘之讫令同名相从异名相消)(余为法又置下实乘列衰所得各为实此可以实约法则不复乘列衰各以列衰如)九章算术卷八订讹休宁 载 震 东原术曰置上禾三秉中禾二秉下禾一秉实三十九斗于右方中左禾列如右方以右行上禾徧乘中行而以直除(古字直値通用直除犹言对减也以右行上禾徧乘中行)(复以中行上禾徧乘右行然后可相对减古人文省故但举一以该之)又乘其次亦以直除(此谓右行上禾徧乘左行复以左行上禾徧乘右行)(亦相对减古人文多省畧)然以中行中禾不尽者(古人单用然字不曰然后者然犹乃也)徧乘左行(此以中行左行所减之余如前徧乘文亦从省)用算繁而不省所以别为法约也然犹不如自用其旧广异法也(用法繁而不省以下讹舛衍文)益行减行当各以其类矣其异名者非其类也非其类者犹无对也非所得减也故赤用黑对则除黑无对则除赤赤黑并于本数此为相益之皆所以为消夺消夺之与减益成一实也(此注)(多讹舛据方程术无论物有几品递减至一物乃止又以赤黑别正负首位赤减赤黑减黑者)(同名伯除也次位以下遇赤用黑对则相益此条是也首位赤减黑黑减赤者异名相除也次)(位以下遇皆赤皆黑则相益后条是也由此言之注之谬显然葢传写失真后人复妄加改窜)(遂不可通)正无入负之(入字原本讹作人下文及注并同据注云无入为无对也无对之说)(亦未分晓释方程者专为遇空位起例而左右两行相对减或正宜变为负或负宜变为正往)(往不得其义例今考同名相除异名相益者如下实左右俱正所减之余属左行则去右行属)(右行则去左行其物品以正减正余在所去之行为正无入以负减负余在所去之行为负无)(入以正从负为正无入以负从正为负无入负对空位而负数在所去之行与以负减负同例)(正对空位而正数在所去之行与以正从负同例此皆所谓正无入负之负无入正之也异名)(相除同名相益者如下实左右俱正并为一数则无分于左右其物品以负减正余或左或右)(为正无入以正减负余或左或右为负无入以正从正为正无入以负从负为负无入正对空)(位与以负减正同例负对空位与以负从负同例此皆所谓正无入正之负无入负之也由是)(言之在所去之行则其数无入而或左或右以与无分于左右合为一行因亦谓之无入人字)(乃传写之误明矣今悉改正)无入为无对也无所得减则使消夺者居位也其当以列实或减下实(此句讹舛据后注内方程新术以列衰乘下实)(又以列衰乘群物之数并为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消似即此所举)此条异名相除为例故亦与上条互取凡正负所以记其同异使二品互相取而已矣言负者未必负于少言正者未必正于多故每一行之中虽复赤黑异算无伤然则可得使头位常相与异名此条之实兼通矣遂以二条反复一率观其每与上下互相取位则随算而言耳犹一术也又本设诸行欲因减数以相去耳故其多少无限令上下相命而已若以正负相减如数有旧增法者每行可均之不但数物左右之也(此注皆不分晓当由传写失真后人又妄加改窜遂不可通)此中行买卖相折钱适足但互买卖算而已故下无钱直也设欲以此行如方程法先令牛二徧乘左行而以右行直除之是终于下实虚缺矣故注曰正无实负负无实正方为类也方将以别实加不足之数与实物作实(此注讹脱不分晓据术意)(应列三行先令右行牛二徧乘中行复令中行牛三徧乘右行而以直除得羊三十三正豕四)(十五负余钱三千正此同名相除异名相益正无入负之负无入正之也次令右行牛二徧乘)(左行复令左行牛五徧乘右行而以直除得羊三十七正豕四十九负余钱三千八百正此异)(名相除同名相益正无入正之负无入负之也重列为左右两行先令右行羊三十三徧乘左)(行复令左行羊三十七徧乘右行而以直除得豕四十八正以为法钱一万四千四百正为实)(实如法而一得豕价三百转减而上得羊价五百牛价一千二百此亦同名相除异名相益正)(无入负之负无入正之也中行下实虚缺本无庸论葢注文传写失真后人又妄加改窜遂不)(可通)此四雀一燕与一雀五燕衡适平并重一斤故各八两列两行程数左行头位其数是一可省乘令右行徧乘左行而取其法实于左左行数多以右行取其数左头位减尽中法下实即每枚当重宜可知也按此四雀一燕与一雀五燕其重等是三雀四燕重相当雀率重四燕率重三也诸再程之率皆可异术求之即其数也(此即末条所言新术以下实俱重八两徧乘上雀燕以左雀八减右雀三十二余二十四以右)(燕八减左燕四十余三十二是为二物正负相借因而约之雀得三燕得四乃三雀当四燕也)(对易其数即雀率重四而燕率重三注于此突入异术几不解其所谓)今有五家共井甲二绠不足如乙一绠乙三绠不足如丙一绠丙四绠不足如丁一绠丁五绠不足如戊一绠戊六绠不足如甲一绠各得所不足一绠皆逮问井深绠长各几何荅曰井深七丈二尺一寸甲绠长二丈六尺五寸乙绠长一丈九尺一寸丙绠长一丈四尺八寸丁绠长一丈二尺九寸戊绠长七尺六寸(此问不言丈尺无由知井)(深绠长于丈尺几何使井深半之为三丈六尺有半寸则甲绠一丈三尺二寸半乙绠九尺五)(寸半丙绠七尺四寸丁绠六尺四寸半戊绠三尺八寸使井深倍之为十四丈四尺二寸则甲)(绠五丈三尺乙绠三丈八尺二寸丙绠二丈九尺六寸丁绠二丈五尺八寸戊绠一丈五尺二)(寸皆合所问由是言之问既不定以丈尺依术推求先得七百二十一无以定百为丈十为尺)(也问井深绠长之率各几何荅以井深之率七百二十一甲绠长率二百六十五乙绠长率一)(百九十一丙绠长率一百四十八丁绠长率一百二十九戊绠长率七十六于义乃通)此率初如方程为之名各一逮井其后法得七百二十一实七十六(此上讹舛不可通据术先得七百二十一为所列五)(行之通率即井深率也以此率列各行下为各行之下实重求之法得七百二十一实得五万)(四千七百九十六以法除实得用逮之数七十六)此麻麦与均输少广章之重衰积分皆为大事其拙于精理徒按本术者或用算而布氊方好烦而喜误曾不知其非反欲以多为贵故其算也莫不暗于设通而专于一端至于此类苟务其成然或失之不可谓要约更有异术者庖丁解牛游刃理闲故能历久其刃如新夫数犹刃也易简用之则动中庖丁之理故能和神爱刃速而寡尤凡九章为大事按法皆不尽一百算也虽布算不多然足以算多世人多以方程为难或尽布算之象在缀正负而已未暇以论其设动无方斯胶柱调瑟之类聊复恢演为作新术著之于此将亦启导疑意网罗道精岂传之空言记其施用之例著䇿之数每举一隅焉(以上)(字句多误又皆属虚辞非有实义可考无从订正姑仍之)其一术曰置群物通率为列衰更置减行群物之数各以其率乘之并以为法其当相并而行中正负杂者同名相从异名相消余为法以减行下实乘列衰各自为实实如法而一即得以旧术为之凡应置五行今欲要约先置第三行以减第四行及减第三行次置第二行以第二行减第三行去其头位次置右行去其头位次以第四行减左行头位次以左行去第四行及第二行头位次以第五行减第二行头位余可半次以第二行去第四行头位余约之为法实如法而一得空即有黍价以法减第二行得荅价左行得麦价第三行麻价右行得菽价如此凡用七十七算(以上所言旧术讹舛不可通据方程术凡五物及总价求其各)(物之价者应列五行行五位及价直以上一位互乘因徧乘次位以下及价直两两相对减去)(其头位所减之余重列之减至一物一价乃止物为法价为实实如法而一得一物之价转减)(而上以知各价先化五为四次化四为三次化三为二次化二为一凡用十算兼乘减除言之)(则一百四十五算凡上一位互乘其数必同可省乘若遇上一位数同则省徧乘或上一位遇)(一则省其与对行徧乘考问意左行上一位是一先以左行减右行次减第二行次减第三行)(次减第四行所减之余重列为四行其左行上一位又是一以左行减右行次减第二行次减)(第三行所减之余重列为三行其上一位数皆同即以本数减之余列为两行依术得荅价转)(而上求得菽价及麦价麻价凡用九十九算)以新术为此先以第四行减第三行次以第三行去右行及第二行第四行下位又以减右行下位不足减乃止次以左行减第三行下位次以第三行去左行下位讫废去第三行次以第四行去左行下位右行当左行下位次以右行去第二行及第四行下位次以第二行减第四行及左行头位次以第四行减右行菽位不足减乃止次以左行减第二行头位余可再半次以第四行去右行及第二行头位次以第二行去右行头位余约之上得五下得三是菽五当荅三次以左行去第三行菽位又以减第四行及右行菽位不足减乃止次以右行减第二行头位不足减乃止次以第三行去左行头位次以左行去右行头位余上得六下得五是为荅六当黍五次以右行去左行荅位余约之上为二下为三次以左行去第二行下位以第二行去第四行下位又以减左行下位次右行去第二行下位余上得三下得四是为麦三当菽四次以第二行减第四行下位次以第四行去第二行下位余上得四下得七是为麻四当麦七是为相当之率举矣(以上)(所言新术亦讹舛不可通据其术求之先以左行减第三行去其次位次并右行左行亦并第)(三行第四行以减之去其次位次倍左行以第二行减之去其次位所减之余重列之为三行)(次以第四行减第二行去次位及下位次以重列之中行减右行去其下位次以重列之左行)(减右行去其下位所减之余又重列之为三行次以此右行减中行去其头位次以此右行减)(左行去其头位所减之余两行两物减去下实余约之上得五下得三是菽五当荅三前云令)(左右相减先去下实又转去物位求其一行二物正负相借者易其相当之率谓菽五当荅三)(即菽价率三荅价率五也或先减下实乃减物位或先减物位乃减下实各从省便本无一定)(之先后其先求菽与荅相当之率次求荅与黍相当之率次求麦与菽相当之率次求麻与麦)(相当之率亦无一定之先后然非遇正负相借者则二物相当之率不可得往往穷而复推辗)(转滋繁远不若旧术之究归易简也)九章算术卷八终
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九章算术卷九(算经十书之二)魏 刘 徽 注唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勅注释句股(以御高深广远)今有句三尺股四尺问为弦几何荅曰五尺今有弦五尺句三尺问为股几何荅曰四尺今有股四尺弦五尺问为句几何荅曰三尺句股(短面日句长面日股相与结角日弦句短其股股短其弦将以施于诸率)(故先具此术以见其源也)术曰句股各自乘并而开方除之即弦(句自)(乘为朱方股自乘为靑方令出入相补各从其类因就其余不移动也合成弦方之)(幂开方除之即弦也)又股自乘以减弦自乘其余开方除之即句(臣淳风等谨按此术以句股幂合成弦幂句方于内则句短于股令股自乘以)(减弦自乘余者即句幂也故开方除之即句也)又句自乘以减弦自乘其余开方除之即股(句股幂合以成弦幂令去其一则余在者皆可得而知之)今有圆材径二尺五寸欲为方版令厚七寸问广几何荅曰二尺四寸五分术曰令径二尺五寸自乘以七寸自乘减之其余开方除之即广(此以圆径二尺五寸为弦版厚七寸)(为句所求广为股也)今有木长二丈围之三尺葛生其下缠木七周上与木齐问葛长几何荅曰二丈九尺术曰以七周乘三围为股木长为句为之求弦弦者葛之长(据围广木长求葛之长其形葛卷里袤以笔管)(靑线宛转有似葛之缠木解而观之则每周之间自有相间成句股弦则其间木长)(为股围之为句葛长为弦弦七周乘三围是并合众句以为一句则句长而股短故)(术以木长谓之句围之谓之股言之倒互句与股求弦亦如前图句三自乘为朱幂)(股四自乘为靑幂合朱靑二十五为弦五自乘幂出上第一图句股幂合为弦幂明)(矣然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已可更相里者则成方幂其居表者则成矩)(幂二表里形讹而数均又按此图句幂之矩靑卷白表是其幂以股弦差为广股弦)(并为袤而股幂方其里股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差为广句弦并为袤而)(句幂方其里是故差之与并用除之短长互相乘也)今有池方一丈葭生其中央出水一尺引葭赴岸适与岸齐问水深葭长各几何荅曰水深一丈二尺葭长一丈三尺术曰半池方自乘(此以池方半之得五尺为句水深为股葭长为)(弦以句及股弦差求股弦故令句自乘先见矩幂也)以出水一尺自乘减之(出水者股弦差减此差幂于矩幂余为倍股弦差乘股长之矩幂)余倍出水除之即得水深(倍差为矩幂之广水深是股欲)(先见葭长者出水一尺自乘以加于半池方自乘倍出水除之即得令此幂得出水)(一尺为袤故为矩而得葭长也)加出水数得葭长(臣淳风等谨按)(此葭本出水一尺既见水深故加出水尺数而得葭长也)今有立木系索其末委地三尺引索郤行去本八尺而索尽问索长几何荅曰一丈二尺二十一分尺之一术曰以去本自乘(此以去本八尺为句所求索者弦也引而索尽)(与开门去阃者句及股弦差求股弦同一术去本自乘者先张矩幂)令如委数而一(委地者股弦差也以除矩幂即是股弦并也)所得加委地数而半之即索长(子不可半者倍其母加差于并则成两索)(长故又半之其减差于并而半之得木长也)今有垣高一丈倚木于垣高与垣齐引木郤行一尺其木至地问木几何荅曰五丈五寸术曰以垣高十尺自乘如郤行尺数而一所得以加郤行尺数而半之即木长数(此以)(垣高一丈为句所求倚木者为弦引郤行一尺为股弦差其为术之意与系索问同)(也)今有圆材埋在壁中不知大小以鐻鐻之深一寸鐻道长一尺问径几何荅曰材径二尺六寸术曰半鐻道自乘(此术以鐻道一尺为句材径为弦鐻深一寸为)(股弦差之一半故鐻长亦半之也臣淳风等谨按下鐻深得一寸为半股弦差注)(云为股弦差者鐻道也)如深寸而一以深寸增之即材径(亦以半增之如上术去本当半之今此皆同半差不复半也)今有开门去阃一尺不合二寸问门广几何荅曰一丈一寸术曰以去阃一尺自乘所得以不合二寸半之而一所得增不合之半即得门广(此去)(阃一尺为句门广为股不合二寸以半之得一寸为股弦差求弦故当半之今即以)(两弦为广数故不复半之也)今有戸高多于广六尺八寸两隅相去适一丈问戸高广各几何荅曰广二尺八寸高九尺六寸术曰令一丈自乘为实半相多令自乘倍之减实半其余以开方除之所得减相多之半即戸广加相多之半即戸高(令戸广为句高)(为股两隅相去一丈为弦高多于广六尺八寸为句股差按图为位弦幂适满万寸)(倍之减句股差幂开方除之其所得即高广并数以差减并而半之即戸广加相多)(之数即戸高也今此术先求其半一丈自乘为朱幂四黄幂一半差自乘又倍之为)(黄幂四分之二减实半其余有朱幂二黄幂四分之一其于大方弃四分之三适得)(四分之一故开方除之得高广并数之半减差半得广加得戸高又按此图幂句股)(并自乘加差幂为两弦幂半之开方得弦今倍弦幂减差幂求句股并葢先见其弦)(然后知其句与股也句股适等者并而自乘即为两弦幂皆各为方先见其弦然后)(知其句与股者倍弦幂即为句股适等者并而自乘之幂半相多自乘倍之又半股)(并自乘亦倍之合为弦幂其无差数者句股各自乘并之为实与句股相乘倍之为)(实皆开方得弦弦幂半之为实开方即得句股及股长句短同源而分流焉假令句)(股各五弦幂五十开方除之得七尺有余一不尽假令弦十其幂有百半之为句股)(二幂各得五十当亦不可开故曰圆三径一方五斜七虽不正得尽理亦可言相近)(耳其句股合而自乘之幂令弦自乘倍之为两弦幂以减之其余开方除之为句股)(差加差于合而半之为股减差于合而半之为句股弦即高广袤其出此图也其倍)(弦为广袤合矩句即为幂得广即句股差其矩句之幂倍为从法开之亦句股差其)(余以句股幂减半其余差为从法开方除之即句也)今有戸不知高广竿不知长短横之不出四尺从之不出二尺邪之适出问戸高广袤各几何荅曰广六尺高八尺衺一丈术曰从横不出相乘倍而开方除之所得加从不出即戸广(此以戸广为句戸高为股戸袤为弦凡并句股)(之幂即为弦幂或矩于表或方于里连之者举表矩而方之又从句方里令为靑矩)(之表未满黄方满此方则两端之亷重于隅中各以股弦差为广句弦差为袤故两)(端差相乘又倍之则成黄方之幂开方除之得黄方之面其外之靑知亦以股弦差)(为广故以股弦差加之则为句也)加横不出即戸高两不出加之得戸袤今有竹高一丈末折抵地去本三尺问折者高几何荅曰四尺二十分尺之十一术曰以去本自乘(此去本三尺为句折之余高为股末折抵地为)(弦以句及股弦并求股故先令句自乘见矩幂)令如高而一(竹高一丈)(为股弦并以除此幂得差)所得以减竹高而半其余即折者之高也(此术与系索者之类更相反复也亦可如上术令高自乘)(为股弦并幂去本自乘为矩幂减之余为实倍高为法则得折之高数也)今有二人同所立甲行率七乙行率三乙东行甲南行十步而邪东北与乙会问甲乙行各几行荅曰乙东行十步半甲邪行十四步半及之术曰令七自乘三亦自乘并而半之以为甲邪行率邪行率减于七自乘余为南行率以三乘七为乙东行率(此以南行为句东行为股邪行)(为弦句弦并七欲知弦者当以股自乘为幂如并而一所得为句弦差加差于并而)(半之为弦以弦减差余为句如是或有分当通而约之乃定术以句弦并为分母差)(为分子故令句弦并自乘为朱黄相连之方股自乘为靑幂之矩令其矩引之直加)(损同之以句弦并为袤差为广其图大体以两弦为袤句弦并为广引黄断其半为)(弦率七自乘者句弦并之率故弦减之余为句率同立处是中停也列用率皆句弦)(并为袤弦与句各为之广故亦以股率同其袤也)置南行十步以甲邪行率乘之副置十步以乙东行率乘之各自为实实如南行率而一各得行数(南行十步者所有见句求见弦股故以弦股率如句率而一)今有句五步股十二步问句中容方几何荅曰方三步十七分步之九术曰并句股为法句股相乘为实实如法而一得方一步(句股相乘为朱靑黄幂各二令黄幂连于下隅朱靑)(各以类合共成修幂中方黄为广并句股为袤故并句股为法幂图方在句中则方)(之两亷各自成小句股而其相与之势不失本率也句面之小股股面之小句从横)(相连合而成中方令股为中方率并句股为广率据见句五步而今有之得中方也)(复令句为中方率以并句股为袤率据股十二步而今有之则中方又可知此则虽)(不效而法实有法由生矣不容圆率以今有衰分言之可以见之也)今有句八步股十五步问句中容圆径几何荅曰六步术曰八步为句十五步为股为之求弦三位并之为法以句乘股倍之为实实如法得径一步(句股相乘为图之本体朱靑黄幂各二则倍之为各四可用画)(于小𥿄分裁邪正之会令颠倒相补各以类合成修幂圆径为广并句股弦为袤故)(并句股弦以为法又以图之大体言之股中靑必令立规于横广句股又邪三径均)(而复连规从横量度句股必合而成小方矣又画中弦以观其会则句股之中成小)(句股弦者四句面之小股股面之小句皆小方之面皆圆径之半其数故可衰以句)(股弦为列衰副并为法以小句乘未并者各自为实实如法而一得句面之小股可)(知也以股乘列衰为实则得股面之小句可知言虽异矣及其所以成法之实则同)(归矣则圆径又可以句乘之差并句弦差减股为圆径又弦减句股并余为圆径以)(句弦差乘股弦差而倍之开方除之亦圆径也)今有邑方二百步各中开门出东门十五步有木问出南门几何步而见木荅曰六百六十六步太半步术曰出东门步数为法(以句率为法也)半邑方自乘为实实如法得一步(此以出东门十五步为句率东门南)(至隅一百步为股率南门东至隅一百步为见句步欲以见句求股以为出南门数)(正合半邑方自乘者股率当乘见句此二者数同也)今有邑东西七里南北九里各中开门出东门十五里有木问出南门几何步而见木荅曰三百一十五步术曰东门南至隅步数以乘南门东至隅步数为实以木去门步数为法实如法而一(此以东门南至隅四里半为句率出东门十五里为股率南门东至隅三里半)(为见股所问出南门即见股之句为术之意与上同也)今有邑方不知大小各中开门出北门三十步有木出西门七百五十步见木问邑方几何荅曰一里术曰令两出门步数相乘因而四之为实开方除之即得邑方(按前术半邑方自乘出东门步数除之即)(出南门步数今两出门相乘为半方邑自乘居一隅之积分因而四之即得四隅之)(积分故以为实开方除之即邑方也)今有邑方不知大小各中开门出北门二十步有木出南门十四步折而西行一千七百七十五步见木问邑方几何荅曰二百五十步术曰以出北门步数乘西行步数倍之为实(此以折而西行为股自木至邑南十四步为句以出北门二十步为句率北门)(至西隅为股率即半广数故以出北门句率乘西行股得半广股率乘句之幂然此)(幂居半以西故又倍之合半以东也)并出南门步数为从法开方除之即邑方(此术之幂东西广如邑方南北自木尽邑南十)(四步为袤合南北步数为广袤差故连并两步数为从法以为隅外之幂也)今有邑方十里各中开门甲乙俱从邑中央而出乙东出甲南出出门不知步数邪向东门磨邑适与乙会率甲行五乙行三问甲乙行各几何荅曰甲出南门八百步邪东北行四千八百八十七步半及乙乙东行四千三百一十二步半术曰令五自乘三亦自乘并而半之为邪行率邪行率减于五自乘者余为南行率以三乘五为乙东行率(求三率之意与上甲乙同)置邑方半之以南行率乘之如东行率而一即得出南门步数(邑半方自南门至东隅五里以为小股求出南门步)(数为小股之句以东行为股率南行为句率故置邑方半之以南行句率乘之如股)(率而一)以增邑方半即南行(半邑者谓从邑心中停也)置南行步求弦者以邪行率乘之求东者以东行率乘之各自为实实如南行率得一步(此术与上甲乙同)有木去人不知远近立四表相去各一丈令左两表与所望参相直从后右表望之入前右表三寸问木去人几何荅曰三十三丈三尺三寸少半寸术曰令一丈自乘为实以三寸为法实如法而一(此以入前右表三寸为句率右两表相去一丈为股率左右两表相)(去一丈为见句所问木去人者见句之股股率当乘见句此二率俱一丈故曰自乘)(以三寸为法实如法得一寸)有山居木西不知其高山去木五十三里木高九丈五尺人立木东三里望木末适与山峰斜平人目高七尺问山高几何荅曰一百六十四丈九尺六寸太半寸术曰置木高减人目高七尺余以乘五十三里为实以人去木三里为法实如法而一所得加木高即山高(此术句股之义以木高减人目高七)(尺余有八丈八尺为句率去人目三里为股率山去木五十三里为见股以句率乘)(见股如股率而一得句加木之高故为山高也)今有井径五尺不知其深立五尺木于井上从木末望水岸入径四寸问井深几何荅曰五丈七尺五寸术曰置井径五尺以入径四寸减之余以乘立木五尺为实以入径四寸为法实如法得一寸(此以入径四寸为句率立木五尺为股率井径四尺六寸为见)(句问井深者见句之股也)九章算术卷之九终 钱唐莫潍校字大淸乾隆三十八年癸巳秋阙里孔氏依汲古阁影宋刻本重雕秘书省九章算术一 部共九册元丰七年九月 日校定降授宣德郎秘书省校书郞(臣)叶祖洽上进校定承议郎行秘书省校书郎(臣)王仲修校定朝奉郎行秘书省校书郎(臣)钱长卿奉议郎守秘书郞丞(臣)韩宗古朝请郎试秘书少监(臣)赵彦若元丰七年九月二十八日进呈奉御宝批宐依已校定镂板朝奉郎秘书丞上骑都尉赐绯鱼袋(臣)韩 治朝散郎试秘书少监上骑都尉赐绯鱼袋(臣)顾临朝议大夫守秘书少监上䕶军赐紫金鱼袋(臣)刘攽中大夫守尙书右丞䕶军东平郡开国侯食邑贰千叁百戸赐紫金鱼袋(臣)吕大防通议大夫守尙书左丞上柱国平原郡开国公食邑贰千捌百戸食实封伍伯戸(臣)李淸臣正议大夫守中书侍郞上柱国冯翊郡开国公食邑贰千叁百戸食实封伍伯戸(臣)张 璪正议大夫守门下侍郎上柱国南阳郡开国公食邑贰千壹百戸食实封壹阡戸(臣)韩 维金紫光禄大夫守尙书右仆射兼中书侍郎上柱国东平郡开国公食邑六千二百戸食实封壹阡玖伯戸(臣)吕公著正议大夫守尙书左仆射兼门下侍郎上柱国河内郡开国公食邑四千一百戸食实封壹阡伍伯戸(臣)司马光九章算术卷九订讹补图(算经十书之二)休宁 戴 震 东原句股弦互求图(注云句自乘为朱方股自乘为)(靑方令出入相补合成弦方之)(幂又李淳风等释云句方于内)(则句短于股据此则刘徽注此)(章旧有图而缺今并按注补图)据围广木长求葛之长其形葛卷里袤以笔管靑线宛转有似葛之缠木解而观之则每周之闲自有相闲成句股弦则其闲木长为股围之为句葛长为弦弦七周乘三围是并合众句以为一句则句长而股短故术以木长谓之句围之谓之股言之倒互句与股求弦亦如前图句三自乘为朱幂股四自乘为靑幂合朱靑二十五为弦五自乘幂出上第一图句股幂合为弦幂明矣然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已可更相里者则成方幂其居表者则成矩幂二表里形讹而数均又按此图句幂之矩靑卷白表是其幂以句股弦差为广股弦并为袤而股幂方其里股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差为广句弦并为袤而句幂方其里是故差之与并用除之短长互相乘也(据赵君卿注周髀算经云凡并句股)(之实即成弦实或矩于外或方于内形诡而量均体殊而数齐句实之矩以股弦差为广股弦)(并为袤而股实方其里股实之矩以句弦差为广句弦并为袤而句实方其里君卿汉人此注)(葢用其说而传写失真加以后人窜改遂不可通)句股差句股并与弦互求之图(据注意满大方即句股并自乘之幂)(有朱幂八黄幂一内小方即弦实有)(朱幂四黄幂一倍弦实满外大方而)(多一黄幂于弦实内减黄幂四分之)(二半其余适得外大方四分之一朱)(幂者句股积也黄幂之面即句股差)股实之矩图(赵君卿云股实之矩以句弦差为广)(句弦并为袤而句实方其里刘注用)(句弦差句弦并与句股弦互求本此)句实之矩图(赵君卿云句实之矩以股弦差为广)(股弦并为袤而股实方其里刘注用)(股弦差股弦并与句股弦互求本此)臣淳风等谨按下鐻深得一寸为半股弦差注云为股弦差者鐻道也(案此言下鐻深得一寸为半股弦差即注所谓)(鐻深一寸为股弦差之一半也更缀注云为股弦差者鐻道也十字舛误不可通据割圆术鐻)(深一寸即可为股弦差半鐻道五寸为句材半径为弦若以此言之尤合术意)股弦即高广袤其出此图也其倍弦为广袤合矩句即为幂得广即句股差(股弦即高广袤以下讹舛据赵君卿)(注周髀算经云其倍弦为广袤合而令句股见者自乘其为实四实以减之开其余所得为差)(以差减合半其余为广减广于弦即所求也此注似用其说而传写舛讹后人又妄加改窜遂)(不可通就君卿说考之倍弦自乘得弦实四内有句实股实各四减四句实余即四股实开之)(得倍股减四股实余即四句实开之得倍句所谓开其余所得为差也减倍股于倍弦半其余)(为股弦差减倍句于倍弦半其余为句弦差所谓以差减合半其余为广也减股弦差于弦即)(股减句弦差于弦即句所谓减广于弦即所求也凡股弦差为广股弦并为袤其幂即句幂句)(弦差为广句弦并为袤其幂即股幂合广袤皆成倍弦故曰倍弦为广袤合而倍句倍股即广)(袤差)其矩句之幂倍为从法开之亦句股差其余以句股幂减半其余差为从法开方除之即句也(据赵君卿云减矩句之实于弦实开其余即股倍股在两边为从法开矩句之角即股弦)(差减矩股之实于弦实开其余即句倍句在两边为从法开矩股之角即句弦差此注亦用其)(说而残缺失次遂不可通)句实广袤合图(据注意句实以股弦差为)(广股弦并为袤广袤合亦)(即倍弦减四句实于倍弦)(自乘之幂余为四股实开)(方得倍股即句实之广袤)(差也)股实广袤合图(据注意倍弦自乘之幂容)(句实股实各四股实以句)(弦差为广句弦并为袤广)(袤合即倍弦减四股实于)(倍弦自乘之幂余为四句)(实开方得倍句即股实之)(广袤差也)句弦差股弦差求句股弦之图(句弦差乘股弦差倍之为)(两亷其幂与黄方相等故)(开方除之得黄方之面加)(股弦差即句加句弦差即)(股加两差即弦)术曰令七自乘三亦自乘并而半之以为甲邪行率邪行率减于七自乘余为南行率以三乘七为乙东行率(据问意甲行率七者设句弦并七也乙行率三者设股三也术)(令七自乘三亦自乘并而半之为甲邪行率者句弦并自乘加股自乘半之即弦乘句弦并所)(得数以为弦率邪行率减于七自乘余为南行率者句弦并自乘减弦乘句弦并余即句乘句)(弦并所得数以为句率弦率句率皆通之以句弦并则股三亦以乘句弦并七乃为股率句股)(弦三率皆句弦并通句股弦所得数然则七自乘即句弦并之率三自乘即句弦差之率合差)(于并而半之为弦减弦于并为句其义一而已矣)股与句弦并求句弦之图(据注意句弦并自乘加股)(自乘成长方以两弦为袤)(句弦并为广故半之为弦)(率减股自乘于弦率余为)(句率股自乘之矩损上横)(幂益于下以句弦并为袤)(差为广)句股相乘为朱靑黄幂各二令黄幂连于下隅朱靑各以类合共成修幂中方黄为广并句股为袤故并句股为法幂图方在句中则方之两亷各自成小句股而其相与之势不失本率也句面之小股股面之小句从横相连合而成中方令股为中方率并句股为广率据见句五步而今有之得中方也复令句为中方率以并句股为袤率据股一十二步而今有之则中方又可知此则虽不效而法实有法由生矣(此十三字舛误)(据上以粟米章今有术及衰分章列衰之意解此术大小句股互求并句股即所有率中方率)(即所求率见句见股即所有数于事虽不同而意相倣效实术所由生也注意当是如此)句股容方图(据注意句股相乘得两黄幂两朱幂两靑)(幂令黄幂从黄幂朱幂从朱幂靑幂从靑)(幂两朱在上两黄在中两靑合而横之在)(下则句股并为幂容方之面为广其朱幂)(靑幂各成小股皆如大句股本率互求)句股相乘为图之本体朱靑黄幂各二则倍之为各四可用画于小𥿄分裁邪正之会令颠倒相补各以类合成修幂圆径为广并句股弦为袤故并句股弦以为法又以图之大体言之股中靑必令立规于横广句股又邪三径均而复连规(此二十一字舛误据容圆之径即减弦于句股并之余也取半径规之又以半径减)(句股其余并之适为弦如是截句股弦各为二三半径均而复连于规之中央注意葢以此为)(言而残缺失次遂不可通)从横量度句股必合而成小方矣又画中弦以观其会则句股之中成小句股弦四者句面之小股股面之小句皆小方之面皆圆径之半其数故可衰以句股弦为列衰副并为法以小句乘未并者各自为实实如法而一得句面之小股可知也以股乘列衰为实则得股面之小句可知(以小句乘未并者至此讹舛不可通或后人妄加改窜又)(援衰分章之文入于此遂漫无辨别当是言令股为列衰以见句乘之为实实如法而一则句)(面之小股可知也令句为列衰以见股乘之为实实如法而一则股面之小句可知此在粟米)(章即今有术以所求率乘所有数所有率除之古算家谓之异乘同除注以解大小句股互求)(句率股率谓所有率及所求率见句或见股为所有数不可以见句乘句率见股乘股率也)言虽异矣及其所以成法之实则同归矣则圆径又可以句乘之差并(此句亦讹舛当云则又可以股弦差减句为圆)(径)句弦差减股为圆径(此下有脱文当补云句弦差股弦差并之以减)(弦余为圆径)(据术意句股相乘半之为句股积有朱靑)(黄幂各一则倍之有朱靑黄幂各四截朱)(靑幂各成小句股者二令倒顺相补各成)(小长方合四朱四靑四黄而成大长方以)(容圆半径为广并句股弦为袤)九章之术乃算术之鼻祖囊括后贤胥不能度越范围焉犹六经之临百氏也周官保氏九数郑君以九章之方田粟米衰分少广商功均输方程嬴不足旁要释之缀曰今有重差夕桀句股也钱晓征学士以为夕桀乃互椉之脱误良然盖九章句股篇末有望远度高测深七术或析之名曰九章重差互椉即方程术所谓维椉是也句股即旁要疏所云今九章以句股替旁要旁要云者不必实有是形可自旁假设以要取之祖冲之谓之缀术疏又引马氏融注今有重差夕桀马氏不连及句股者以句股替旁要故不重举刘徽序云汉张苍耿寿昌因旧文遗残各称删补故校其目与古或异而所论多近语所谓目与古异者则句股替旁要是也至唐王孝通云校其条目颇与古术不合则妄而敢矣夫古今岂有异术哉刘徽因其有望远诸术遂造重差缀于句股之下即今海岛算引而申之触类而长之事之宜也旧有图今缺余友休宁东原戴先生补之今分附诸篇之末亦犹刘徽之缀重差于句股焉干隆癸巳阙里孔继涵识于京师寿云簃之敏事斋九章算术卷九终
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九章算术音义(算经十书之二)假承务郎秘书省钩考算经文字臣李籍撰序九九之术(食律切术者有所述也前汉梅福传臣闻齐桓之时有以九九见者桓公)(不逆欲以致大也师古曰九九算术若今九章五曹之軰隋书经籍志九九算术二卷杨淑撰)隶首(郎计切世本曰黄帝时隶首作数)九数(色具切即九章是也以算言之故曰)(九数以篇言之故曰九章周官保氏教国子以六艺一曰礼二曰乐三曰射四曰驭五曰书六)(曰数郑康成注云九数方田粟米差分少广商功均输方程赢不足旁要今有重差夕桀句股)(隋书律历志云一曰方田以御田畴界域二曰粟米以御交质变易三曰衰分以御贵贱禀税)(四曰少广以御积幂方圆五曰商功以御功程积实六曰均输以御远近劳费七曰盈朒以御)(隠杂互见八曰方程以御错糅正负九曰句股以御高深广远)探赜(上吐南切下士革切)(赜者含蓄含蓄者探之可及故易曰探赜)索隐(上色白切下于谨切隐者隐匿隐匿者索)(之可得故易曰索隐)重差(上直容切下楚佳切重复也差不齐也句股名也)率(所律)(切数相与也又音律约数也)可度(徒各切揆也)考论(卢敦切)孤离(吕支)(切)九章第一方田(徒年切田者围周之以为疆横从之以为理平夷著见兴作利养之地也方田者田)(之正也诸田不等以方为正故曰方田)以御(牛倨切理也)田畴(直留切耕治之)(田也)界域(雨逼切疆也)广(如字阔也)从(即容切长也)几何(上起居切下如)(字几何数之疑也)相乘(食陵切登也登之使其数多隋书曰乘以散之)淳风(并如)(字李淳风岐州雍人㓜爽秀通群书明步天历算贞观初与傅仁均争历法议者多附淳风故)(以将仕郎直太史局制浑天议诋摭前世得失著法象书七篇上之擢承务郎迁太常博士改)(太史丞与诸儒修书迁为令于占候吉凶若节契然当世术家意有鬼神相之非学习可致终)(不能测也以劳封昌乐县男奉诏与算博士梁述助教王真儒等是正五曹孙子等书刋定注)(解立于学官九章即其一也)亩法(莫厚切司马法六尺为步步百为亩秦孝公之制二)(百四十步为一亩)除之(直鱼切去也去之使其少隋书曰除以聚之)一顷(去颖)(切百亩也)约分(于畧切约者欲其不烦分之为数烦则难用设有言四分之二者烦而言)(之则可为八分之四约而言之则二分之一也虽则异辞至于为数亦同归耳)副置(上敷)(救切别也下陟吏切设也别设算位有所分也)合分(古沓切合分者欲其不离数非一端)(分无定凖分子杂互群母参差麤细既殊理难从一故齐其众分同其群母分可相并故曰合)(分)参差(上楚金切下楚宜切不齐也三相参为参两相差为差)觿(音觿所以解结)(诗曰童子佩觿)减分(古斩切减损也减分者欲知其余诸分子母数各不同以少减多欲)(知余几以余为实故曰减分)课分(苦卧切校也欲知其相多分各异名理不齐一校其)(相多之数故曰课分)平分(符兵切均也平分者欲减多增少而至于均诸分参差欲令齐)(等减彼之多増此之少故曰平分)副并(卑政切兼也别兼算位有所合也)经分(如字释名曰经者径也经分者欲径求一人而至于径自合分已下皆于诸分相齐此乃径求)(一人之分以人数分所分故曰经分下经率同)乘分(如字乘分者欲知其所积分母相乘)(为法子相乘为积故曰乘分自合分已下独乘言田而皆列于方田者欲其学数者不可后也)(故说算者以谓为术者先治诸分能治诸分则数学之能事尽矣)大广田(竝如字初)(术有全步而无余分次术有余分而无全步此术先见全步复有余分可以广兼三术故曰大)(广田)圭田(古携切圭田者其形上锐有如圭然白虎通曰圭者上锐象物皆生见于上也)箕田(居之切箕田者有舌有踵其形哆侈有如箕然诗曰哆兮侈兮成是南箕)圆田(王权切圆田之率有三一曰古率周三径一是也二曰徽率周一百五十七径五十是也三曰)(密率周二十二径七是也为算之术有四一曰半周半径相乘得积步二曰周径相乘四而一)(三曰径自相乘三之四而一四曰周自相乘十二而一)徽术(许归切徽术以五十乘周)(一百五十七而一即径以一百五十七乘径五十而一即周此率本于刘徽故曰徽术)密率(美毕切密率以七乘周二十二而一即径以二十二乘径七而一即周此率本于宋南徐)(州从事史祖冲之冲之以圆径一亿为一丈圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九豪二秒七)(忽朒数三丈一尺四寸一分五厘九豪二秒六忽正数在盈朒二限之间密率圆径一百一十)(三圆周三百五十五约率圆径七周二十二此乃率之最密也)秒忽(上亡沼切下呼骨切)(忽者数之始也一蚕所吐谓之忽孙子算术云蚕所生吐丝为忽十忽为秒十秒为豪十豪为)(厘十厘为分)亿(于力切十万曰亿万者物数也以人之意数为足以胜物数故也或曰万)(万曰亿黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者谓亿兆京垓秭壤沟涧正载也三等)(者谓上中下之数也下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京中数者万万变之)(若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰)(京诗云不稼不穑胡取禾三百亿兮毛氏曰万万曰亿郑氏曰十万曰亿据如此言则郑用不)(数毛用中数也)嘉量(音亮周礼考工记㮚氏为量鬴深尺内方尺而圆其外其实一鬴其)(臋一寸其实一豆其耳三寸其实一升重一钧其声中黄钟之宫槩而不税其铭曰时文思索)(允臻其极嘉量既成以观四国永启厥后兹器维则春秋左氏传曰齐旧四量豆区鬴钟四升)(曰豆各自其四以登于鬴六斗四升也鬴十则钟六十四斗也郑康成以为方尺积千寸比九)(章粟米法少二升八十一分升之二十二祖冲之以算术考之积凡一千五百六十二寸半方尺)(而圆其外减旁一厘八豪其径一尺四寸一分四厘七秒二忽有奇而深尺即古斛之制也王)(莽作铜斛名曰律嘉量其意盖本于此铜斛之法方尺而圆其外旁有庣焉其上为斛其下为)(斗左耳为升右耳为合龠其状似爵以縻爵禄上三下二参天两地圆而函方左一右二阴阳)(之象也圆象规其重二钧备气物之数各万有一千五百二十也声平黄钟始于黄钟而反复)(焉其斛铭曰律嘉量斛方尺而圆外庣旁九厘五毫幂百六十二寸深一尺积一千六百二十)(寸容十斗祖冲之以圆率考之此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽庣旁一分九毫)(有奇刘歆庣旁少一厘四毫有奇㰴数术不精之所致也魏陈留王景元四年刘徽注九章商)(功曰当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘深一尺积一千四百四十一寸十分寸之三王)(莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘径一尺三寸六分八厘七毫以术计之于今斛为容九斗)(七升四合有奇此魏斛大而尺长王莽斛小而尺短也)庣(吐雕切不满之貌也)奇(居宜)(切余数也)攈摭(上居运切下之石切攈摭取拾也攈或作捃当作宛字之误也)(宛田者中央隆高尔雅曰宛中宛邱又曰邱上有邱为宛邱皆中央隆高之义也)弧田(戸吴切弧田者有弧有矢如弧之形)环田(戸关切环田者有肉有好如环之形尔雅曰肉)(好若一谓之环或作镮)九章第二粟米(上相玉切下莫礼切粟者禾之米之未春米者谷实之无壳粟者米之率也诸米不)(等以粟为率故曰粟米)交质(陟利切又如字)变易(羊益切)粝米(卢达切麤)(也凡粟五斗得粝米三斗故粟率五十而粝率三十)粺米(傍卦切精于粝也凡粟五斗得)(粺米二斗七升故粟率五十而粺率二十七诗曰彼疏斯粺郑康成注云米之率粝十粺九糳)(八侍御七)糳米(音作精于粺也凡粟五斗得糳米二斗四升故粟率二十四春秋左氏传)(曰粢食不糳俗作凿)御米(牛倨切精于糳也供王膳之米也蔡邕独断曰所进曰御御者)(进也凡衣服加于身飮食入于口皆曰御)小䵂大䵂(音敌麦屑也细曰小䵂麤曰大)(䵂)菽(音叔大豆也)荅(都合切小豆也)豉(是义切盐豉也广雅云苦李作豉)飧(音孙说文曰𫗦也)糱(鱼列切曲糱也说文曰米牙)瓴甓(上音灵下扶历切甎也)个(古贺切数也数竹曰个)缣(古甜切说文曰并丝缯也)钧(居匀切三十斤也)铢(音殊八铢为锱二十四铢为两)翭(音侯说文曰羽本也数羽称其本犹数草木称其根株也)干(古按切干茎也一本作簳)九章第三衰分(楚宜切衰差也以差而平分故曰衰分)禀(笔锦切供谷曰禀或作廪非是)大夫(上如字下甫无切爵名也夫以智率人者也大夫则以智率人之大者也)不更(古衡)(切爵名也次大夫取其不与戌更)簪褭(上侧吟切下奴了切爵名次不更取其缨冠乘)(马)上造(音皂爵名也次簪褭取其为造士而居上)公士(并如字爵名也次上造取)(其为士而在公)爵数(色具切爵数者谓大夫五不更四簪褭三上造二公士一也墨子号)(令篇以爵级为赐然则战国之初有此名也)偿之(市羊切还也)北乡算(苏贯)(切算者计口出钱汉律人出一算一算百二十钱贾人与奴婢倍算)傜(音遥役也)匹(譬吉)(切说文四丈也)耗(呼到切减也)干(古寒切燥也)保(音宝佣也如所谓酒家保)贷(吐代切以物假人也)九章第四少广(上书沼切不多也下古莽切阔也广少从多截从之多益广之少故曰少广)积幂(上资昔切下莫狄切积者聚也众数聚居之称幂者覆也方而单布之名积幂之义不同)(如此)半(博漫切物中分也凡言半者以二为分母言太半少半者以三为分母)约省(所景切)折法(旨热切折者屈而有降意折法即退位也)内子(如字入也既以分母)(通之必入其分子故曰内子所谓齐同以通之也又音纳)中行(戸刚切列也下行同)丸径(故官切丸即立圆也)牟合(上莫浮切下胡合切)㮚氏(力质切㮚氏铸量之官也)(一本作栗)为浑(胡昆切)祖暅之(古邓切暅之字景铄冲之之子也少传家业究)(极精微亦有巧思入神之妙般倕无以过也当其诣微之时电霆不能入尝行遇仆射徐勉以)(头触之勉呼乃悟父所改何承天历时尚未行梁天监初暅之更修之于是始行焉位至大舟)(卿)昭晰(音晳明也)咍哂(上呼开切下式忍切笑也)九章第五商功(式羊切商度也以度其功庸故曰商功)穿地(昌缘切掘地也凡穿地四尺为)(壤五尺为坚三尺)坚(古贤切坚谓筑土诗曰筑之登登)壤(如两切壤谓息土书曰厥)(土惟白壤)墟(苦虚切墟谓穿坑)垣(音园墉也)隄(都奚切防也俗作堤)沟(古侯切释)(名曰田间之水曰沟沟构也纵横相交构)壍(七艳切长于沟也水之遶城者)冬程人功(程课程也唐六典凡役有轻重功有短长以四五六七月为长功二三月八九月为中功)(以十十一十二正月为短功中功以十分为率长功加一分短功减一分)渠(强如切长于壍)(也水之通运者)袤(莫侯切袤长也)砾(郎击切释名日小石曰砾)堢壔(上音宝小城也)(下音岛以土拥木也)方亭(特丁切释名曰亭停也人所停集也方亭者其积之形如亭之)(方者圆亭亦然)方锥(职谁切方锥者其积之形如锥之方者圆锥亦然)壍堵(当古)(切壍堵壍上叠也以立方一邪解得二壍堵其积居立方二分之一将一壍堵邪解得一阳马)(一鼈臑求壍堵之积以广长相乘又以高乘之二而一)阳马(莫下切阳马之形方锥一)(隅也今以四柱屋隅为阳马以立方一邪解得三阳马其积居立方三分之一将一阳马邪解)(得二鼈臑求阳马之积以广长相乘又以高乘之三而一)鼈臑(那到切臂节也鼈臑之积)(半阳马其形有似鼈肘故以名云以立方一邪解得六鼈臑其积居立方六分之一求鼈臑之)(积以广长相乘又以高乘之六而一臑或作腝非是)羡除(上以浅切下直鱼切羡延也除)(道也羡除乃隧道也其所穿地上平下邪似鼈臑夹一壍堵即羡除之形求其积并三广以深)(乘之又以长乘之六而一)刍甍(上测隅切刈草也俗作𫇴下莫耕切屈栋也刍甍之形似)(屋盖上苫也求其积倍下长上长从之又以广乘之又以高乘之六而一正解方亭两边合之)(即其形也)刍童(徒红切如倒置砑石求其积倍上长并入下长以上广乘之又倍下长并)(入上长以下广乘之并二位以高乘之六而一曲池盘池冥谷皆同术)曲池(邱玉切)盘池(薄官切)冥谷(莫经切冥谷之形如正置砑石)棚除(上薄耕切张挹广雅)(栖载棚阁㮖碊攱也下迟据切诗曰何福不除传云开也棚者下有物扬之使高除者旁有物)(开之使避)踟蹰(上直离切下直诛切行不进也)载输(上作代切下式朱切)一笼(力董切)委粟(于诡切积也)程粟(直诚切课也程粟一斛积二千七百寸米一斛)(积一千六百二十寸菽荅麻麦一斛积二千四百三十寸此据精麤为率使价齐而不等其器)(之积寸也以米斛为正则同于汉志孙子算术曰六粟为圭寸圭为抄十抄为撮十撮为勺十)(勺为合应劭曰圭者自然之形阴阳之始四圭为撮孟康曰六十四黍为圭汉志曰量者龠合)(升斗斛也所以量多少也本起于黄钟之龠用度数审其容以子谷秬中者千有二百实其龠)(以井水凖其槩十龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣)圆囷(去伦切仓)(圆曰囷)九章第六均输(式朱切均平也输委也以均平其输委故曰均输)劳费(芳未切耗也)乘(绳证切数车曰乘一本作量)衰出(楚危切次也不齐等也管子曰相地衰征)薄塞(上补各切廹也下先代切边也薄或作博非是)辈之(补妹切配也俗作軰)僦(即就切赁)(也)佣(余封切赁也)重车(直陇切轻对也)春(书容切世本曰雍父作春吕氏春秋)(曰赤冀作春)程传(张恋切传邮)络(卢各切)恶(乌各切不善也)金箠(之累)(切策也)四间(古闲切中间也)锥行(戸刚切锥行衰者下多上少如立锥之形)凫(防无切野鸭也)牝瓦(毗忍切)牡瓦(莫厚切)矫矢(居天切说文曰揉箭箝也)(俗作挢)筈(括同箭足受弦处)假田(古雅切借也史记北假中裴骃云北假北方田)(官主以田假与贫人故云北假)发(方伐切伐也诗曰骏发尔私)耕(古茎切犁也诗曰亦)(服尔耕)耰种(音忧覆种也孟子曰播种而耰之)九章第七盈不足(以成切盈者满也不足者虚也满虚相推以求其适故曰盈不足)朒(女六)(切不足也或作朏非是)琎(将邻切美石次玉曰琎一本作准)适足(施只切恰也)桶(他孔切)瓠(胡误切瓜属也)蔓(无贩也瓜蔓也)莞(九完切白蒲也诗曰下莞上簟)(笺小蒲之席也)醇酒(常伦切厚酒也)行酒(胡刚切市酒也)和漆(如字又胡卧切)易油(羊益切交易也)恶田(鸟各切不善也)驽马(音奴字林曰骀也)之蜀贾(音古商贾一本作价)返(府远切还也)九章第八方程(直成切方者左右也程者课率也左右课率总统群物故曰方程)错糅(女救)(切杂也)正负(上之盛切下房乆切本数为正非本数为负正与正同名负与负同名同)(名相除则异名者相益异名相除则同名者相益一正一负相反而相为用术之至也)秉(兵永切刈禾盈手为秉)称(昌孕切正斤两也俗作秤)课(苦卧切程也)衡(戸庚切权)(衡也)武马(莫下切武马戎马也戎马言武马者犹曲礼谓戎车为武车也取其健猛而善)(行)阪(府远切不平也诗曰瞻彼阪田笺阪田崎岖墝埆之处俗作坂)借(资者切从人假)(物也)引(余忍切引重也易曰引重致远)绠(古杏切汲木索)令(力正切官名也)从者(疾用切随也)庖(薄交切)恢演(上苦回切大也下以浅切广也)九章第九句股(上苦侯切下公戸切句短面也股长面也短长相推以求其弦故曰句股)围之(雨非切周也)缠(持碾切缠绕物也俗作缠)葛长(直良切)葭(古牙切说文曰苇之)(未秀者)阃(苦本切门限也)鐻(求于切亦作锯)横(戸肓切从横也)折(常列切断也)抵(都礼切)磨邑(莫禾切言切近过之摩靡通春秋左氏传曰靡垒而还战国䇿摩燕)(乌集阙)参(仓含切谓三相参列也俗作叅)九章算术音义终◆ 《孙子算经--》（KR3f0033）
## 提要
钦定四库全书 子部六
孙子算经 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案隋经籍志有孙子算经二卷不著其名亦不著其时代唐艺文志称李淳风注甄鸾孙子算经三卷于孙子上冠以甄鸾葢如淳风之注周髀算经因鸾所注更加辨论也隋书论审度引孙子算术蚕所生吐丝为忽十忽为秒十秒为毫十毫为牦十牦为分本书乃作十忽为一丝十丝为一毫又论嘉量引孙子算术六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮为勺十勺为合本书乃作十圭为一撮十撮为一抄十抄为一勺攷之夏侯阳算经引田曹仓曹亦如本书而隋书中所引与史传往往多合葢古书传本不一校订之儒各有据证无妨参差互见也唐之选举算学凡十书孙子五曹共限一岁习肄于后来诸算术中特为近古第不知孙子何许人朱彞尊集五曹算经跋云相传其法出于孙武然孙子别有算经攷古者存其说可尔又有孙子算经跋云首言度量所起合乎兵法地生度度生量量生数之文次言乗除之法设为之数十三篇中所云廓地分利委积逺输贵卖兵役分数比之九章方田粟米差分商功均输盈不足之目往往相符而要在得算多多算胜以是知此编非伪托也彞尊之意葢以为确出于孙武今攷书内设问有云长安洛阳相去九百里又云佛书二十九章章六十三字则后汉明帝以后人语孙武春秋末人安有是语乎旧本久佚今从永乐大典所载裒集编次仍为三卷冠以原序其甄李二家之注则不可复攷是则姚广孝等割裂刊削之过矣乾隆四十三年七月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 原序
孙子算经原序
孙子曰夫算者天地之经纬群生之元首五常之本末阴阳之父母星辰之建号三光之表里五行之准平四时之终始万物之祖宗六艺之纲纪稽群伦之聚散攷二气之降升推寒暑之迭运步逺近之殊同观天道精微之兆基察地理从横之长短采神祇之所在极成败之符验穷道徳之理究性命之情立规矩准方圆谨法度约尺丈立权衡平重轻剖毫厘析泰絫厯亿载而不朽施八极而无疆散之不可胜究敛之不盈掌握向之者富有余背之者贫且窭心开者幼冲而即悟意闭者皓首而难精夫欲学之者必务量能揆已志在所専如是则焉有不成者哉
## 卷上
钦定四库全书孙子算经卷上度之所起起于忽欲知其忽蚕吐丝为忽十忽为一丝十丝为一毫十毫为一牦十牦为一分十分为一寸十寸为一尺十尺为一丈十丈为一引五十引为一端四十尺为一匹六尺为一步二百四十步为一畆三百步为一里称之所起起于黍十黍为一絫十絫为一铢二十四铢为一两十六两为一觔三十觔为一钧四钧为一石量之所起起于粟六粟为一圭十圭为一撮十撮为一抄十抄为一勺十勺为一合十合为一升十升为一斗十斗为一斛斛得六千万粟所以得知者六粟为一圭十圭六十粟为一撮十撮六百粟为一抄十抄六千粟为一勺十勺六万粟为一合十合六十万粟为一升十升六百万粟为一斗十斗六千万粟为一斛十斛六亿粟百斛六兆粟千斛六京粟万斛六陔粟十万斛六秭粟百万斛六穰粟千万斛六沟粟万万斛为一亿斛六涧粟十亿斛六正粟百亿斛六载粟凡大数之法万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京万万京曰陔万万陔曰秭万万秭曰穰万万穰曰沟万万沟曰涧万万涧曰正万万正曰载周三径一方五邪七见邪求方五之七而一见方求邪七之五而一黄金方寸重一觔白银方寸重一十四两玉方寸重一十两铜方寸重七两半铅方寸重九两半铁方寸重七两石方寸重三两凡算之法先识其位一从十横百立千僵千十相望万百相当(案万百原本讹作百万今据夏侯阳算经改正)凡乗之法重置其位上下相观头位有十步至十有百步至百有千步至千以上命下所得之数列于中位言十即过不满自如头位乗讫者先去之下位乗讫者则俱退之六不积五不只上下相乗至尽则已凡除之法与乗正异乗得在中央除得在上方假令六为法百为实以六除百当进之二等令在正百下以六除一则法多而实少不可除故当退就十位以法除实言一六而折百为四十故可除若实多法少自当百之不当复退故或步法十者置于十位百者置于百位(头位)(有空绝者法退二位)余法皆如乗时实有余者以法命之以法为母实余为子以粟求粝米三之五而一以粝米求粟五之三而一以粝米求饭五之二而一以粟米求粝饭六之四而一以粝饭求粝米二之五而一以糳米求饭八之四而一十分减一者以二乗二十除减二者以四乗二十除减三者以六乗二十除减四者以八乗二十除减五者以十乗二十除减六者以十二乗二十除减七者以十四乗二十除减八者以十六乗二十除减九者以十八乗二十除九分减一者以二乗十八除八分减一者以二乗十六除七分减一者以二乗十四除六分减一者以二乗十二除五分减一者以二乗十除九九八十一自相乗得几何答曰六千五百六十一术曰重置其位以上八呼下八八八六十四即下六千四百于中位以上八呼下一一八如八即于中位下八十退下位一等收上头位八十(案原本脱上字今补)以上位一(案上)(位原本讹作头位今改正)呼下八一八如八即于中位下八十以上一呼下一一一如一即于中位下一上下位俱收中位即得六千五百六十一六千五百六十一九人分之问人得几何答曰七百二十九术曰先置六千五百六十一于中位为实下列九人为法上头位置七百(案原本脱上字今补)以上七呼下九七九六十三即除中位六千三百退下位一等即上位置二十(案上)(位原本讹作头位今改正)以上二呼下九二九一十八即除中位一百八十又更退下位一等即上位更置九(案上位原本亦讹作头位)(今改正)即以上九呼下九九九八十一即除中位八十一中位竝尽收下位头位所得即人之所得自八八六十四至一 一如一竝准此八九七十二自相乗得五千一百八十四八人分之人得六百四十八七九六十三自相乗得三千九百六十九七人分之人得五百六十七六九五十四自相乗得二千九百一十六六人分之人得四百八十六五九四十五自相乗得二千二十五五人分之人得四百五四九三十六自相乗得一千二百九十六四人分之人得三百二十四三九二十七自相乗得七百二十九三人分之人得二百四十三二九一十八自相乗得三百二十四二人分之人得一百六十二一九如九自相乗得八十一一人得八十一右九九一条得四百五自相乗得一十六万四千二十五九人分之人得一万八千二百二十五八八六十四自相乗得四千九十六八人分之人得五百一十二七八五十六自相乗得三千一百三十六七人分之人得四百四十八六八四十八自相乗得二千三百四六人分之人得三百八十四五八四十自相乗得一千六百五人分之人得三百二十四八三十二自相乗得一千二十四四人分之人得二百五十六三八二十四自相乗得五百七十六三人分之人得一百九十二二八十六自相乗得二百五十六二人分之人得一百二十八一八如八自相乗得六十四一人得六十四右八八一条得二百八十八自相乗得八万二千九百四十四八人分之人得一万三百六十八七七四十九自相乗得二千四百一七人分之人得三百四十三六七四十二自相乗得一千七百六十四六人分之人得二百九十四五七三十五自相乗得一千二百二十五五人分之人得二百四十五四七二十八自相乗得七百八十四四人分之人得一百九十六三七二十一自相乗得四百四十一三人分之人得一百四十七二七一十四自相乗得一百九十六二人分之人得九十八一七如七自相乗得四十九一人得四十九右七七一条得一百九十六自相乗得三万八千四百一十六七人分之人得五千四百八十八六六三十六自相乗得一千二百九十六六人分之人得二百一十六五六三十自相乗得九百五人分之人得一百八十四六二十四自相乗得五百七十六四人分之人得一百四十四三六一十八自相乗得三百二十四三人分之人得一百八二六一十二自相乗得一百四十四二人分之人得七十二一六如六自相乗得三十六一人得三十六右六六一条得一百二十六自相乗得一万五千八百七十六六人分之人得二千六百四十六五五二十五自相乗得六百二十五五人分之人得一百二十五四五二十自相乗得四百四人分之人得一百三五一十五自相乗得二百二十五三人分之人得七十五二五一十自相乗得一百二人分之人得五十一五如五自相乗得二十五一人得二十五右五五一条得七十五自相乗得五千六百二十五五人分之人得一千一百二十五四四一十六自相乗得二百五十六四人分之人得六十四三四一十二自相乗得一百四十四三人分之人得四十八二四如八自相乗得六十四二人分之人得三十二一四如四自相乗得一十六一人得一十六右四四一条得四十自相乗得一千六百四人分之人得四百三三如九自相乗得八十一三人分之人得二十七二三如六自相乗得三十六二人分之人得一十八一三如三自相乗得九一人得九右三三一条得一十八自相乗得三百二十四三人分之人得一百八二二如四自相乗得一十六二人分之人得八一二如二自相乗得四一人得四右二二一条得六自相乗得三十六二人分之人得一十八一 一如一自相乗得一一乗不长右从九九至一一总成一千一百五十五自相乗得一百三十三万四千二十五九人分之人得一十四万八千二百二十五以九乗一十二得一百八六人分之人得一十八以二十七乗三十六得九百七十二一十八人分之人得五十四以八十一乗一百八得八千七百四十八五十四人分之人得六十二以二百四十三乗三百二十四得七万八千七百三十二一百六十二人分之人得四百八十六以七百二十九乗九百七十二得七十万八千五百八十八四百八十六人分之人得一千四百五十八以二千一百八十七乗二千九百一十六得六百三十七万七千二百九十二一千四百五十八人分之人得四千三百七十四以六千五百六十一乗八千七百四十八得五千七百三十九万五千六百二十八四千三百七十四人分之人得一万三千一百二十二以一万九千六百八十三乗二万六千二百四十四得五亿一千六百五十六万六百五十二一万三千一百二十二人分之人得三万九千三百六十六以五万九千四十九乗七万八千七百三十二得四十六亿四千九百四万五千八百六十八三万九千三百六十六人分之人得一十一万八千九十八以一十七万七千一百四十七乗二十三万六千一百九十六得四百一十八亿四千一百四十一万二千八百一十二一十一万八千九十八人分之人得三十五万四千二百九十四以五十三万一千四百四十一乗七十万八千五百八十八得三千七百六十五亿七千二百七十一万五千三百八三十五万四千二百九十四人分之人得一百六万二千八百八十二孙子算经卷上
## 卷中
钦定四库全书孙子算经卷中今有一十八分之一十二问约之得几何答曰三分之二术曰置十八分在下一十二分在上副置二位以少减多等数得六为法约之即得今有三分之一五分之二问合之二得几何答曰一十五分之十一术曰置三分五分在右方之一之二在左方母互乗子五分之二得六三分之一得五并之得一十一为实右方二母相乗得一十五为法不满法以法命之即得今有九分之八减其五分之一问余几何答曰四十五分之三十一术曰置九分五分在右方之八之一在左方母互乗子五分之一得九九分之八得四十以少减多余三十一为实母相乗得四十五为法不满法以法命之即得今有三分之一三分之二四分之三问减多益少几何而平答曰减四分之三者二三分之二者一并以益三分之一而各平于一十二分之七术曰置三分三分四分在右方之一之二之三在左方母互乗子副并得六十三置右为平实母相乗得三十六为法以列数三乗未并者及法等数得九约讫减四分之三者二减三分之二者一并以益三分之一各平于一十二分之七今有粟一斗问为粝米几何答曰六升术曰置粟一斗十升以粝米率三十乗之得三百升为实以粟率五十为法除之即得今有粟二斗一升问为粺米几何答曰一斗一升五十分升之一十七术曰置粟数二十一升以粺米率二十七乗之得五百六十七升为实以粟率五十为法除之不尽以法而命分今有粟四斗五升问为糳米几何答曰二斗一升五分升之三术曰置粟四十五升以二约糳米率二十四得一十二乗之得五百四十升为实以二约粟率五十得二十五为法除之不尽以等数约之而命分今有粟七斗九升问为御米几何答曰三斗三升一合八勺术曰置七斗九升以御米率二十一乗之得一千六百五十九升为实以粟率五十除之即得今有屋基南北三丈东西六丈欲以甎砌之凡积二尺用甎五枚问计几何答曰四千五百枚术曰置东西六丈以南北三丈乗之得一千八百尺以五乗之得九千尺以二除之即得今有圆窖下周二百八十六尺深三丈六尺问受粟几何答曰一十五万一千四百七十四斛七升二十七分升之一十一术曰置周二百八十六尺自相乗得八万一千七百九十六尺以深三丈六尺乗之得二百九十四万四千六百五十六以一十二除之得二十四万五千三百八十八尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有方窖广四丈六尺长五丈四尺深三丈五尺问受粟几何答曰五万三千六百六十六斛六斗六升三分升之二术曰置广四丈六尺长五丈四尺相乗得二千四百八十四尺以深三丈五尺乗之得八万六千九百四十尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有圆窖周五丈四尺深一丈八尺问受粟几何答曰二千七百斛术曰先置周五丈四尺相乗得二千九百一十六尺以深一丈八尺乗之得五万二千四百八十八尺以一十二除之得四千三百七十四尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有圆田周三百步径一百步问得田几何答曰三十一畆奇六十步术曰先置周三百步半之得一百五十步又置径一百步半之得五十步相乗得七千五百步以畆法二百四十步除之即得又术曰周自相乗得九万步以十二除之得七千五百步以畆法除之得畆数又术曰径自乗得一万以三乗之得三万步四除之得七千五百步以畆法除之得畆数今有方田桑生中央从角至桑一百四十七步问为田几何答曰一顷八十三畆奇一百八十步术曰置角至桑一百四十七步倍之得二百九十四步以五乗之得一千四百七十步以七除之得二百一十步自相乗得四万四千一百步以二百四十步除之即得今有木方三尺高三尺欲方五寸作枕一枚问得几何答曰二百一十六枚术曰置方三尺自相乗得九尺以高三尺乗之得二十七尺以一尺木八枕乗之即得今有索长五千七百九十四步欲使作方问几何答曰一千四百四十八步三尺术曰置索长五千七百九十四步以四除之得一千四百四十八步余二步以六因之得一丈二尺以四除之得三尺通计即得今有堤下广五丈上广三丈高二丈长六十尺欲以一千尺作一方问计几何答曰四十八方术曰置堤上广三丈下广五丈并之得八丈半之得四丈以二丈乗之得八百尺以长六十尺乗之得四万八千以一千尺除之(案除原本讹作乗今改正)即得今有沟广十丈深五丈长二十丈欲以千尺作一方问得几何答曰一千方术曰置广一十丈以深五丈乗之得五千尺又以长二十丈乘之得一百万尺以一千除之即得今有积二十三万四千五百六十七歩问为方几何答曰四百八十四歩九百六十八分歩之三百一十一术曰置积二十三万四千五百六十七歩为实次借一算为下法歩之超一位至百而止上商置四百于实之上(案上)(商原本脱上字今补)副置四万于实之下下法之上名为方法命上商四百除实除讫倍方法方法一退(案原本脱方法二字今补)下法再退复置上商八十以次前商副置八百于方法之下下法之上名为亷法方廉各命上商八十以除实(案原本脱实字今补)除讫(案原本脱除字今补)倍廉法从方法方法一退下法再退复置上商四以次前副置四于方法之下下法之上名曰隅法方廉隅各命上商四以除实除讫倍隅法从方法(案原本讹此六字今据术补)上商得四百八十四下法得九百六十八不尽三百一十一是为方四百八十四歩九百六十八分歩之三百一十一今有积三万五千歩问为圆几何答曰六百四十八歩一千二百九十六分歩之九十六(案六分歩原本讹作七分脱歩字今补正)术曰置积三万五千歩以一十二乘之得四十二万为实次借一算为下法歩之超一位至百而止上商置六百于实之上副置六万于实之下下法之上名为方法命上商六百除实除讫倍方法方法一退下法再退复置上商四十以次前商副置四百于方法之下下法之上名为廉法方廉各命上商四十以除实(案原本脱四十二字今补)除讫倍廉法从方法方法一退下法再退复置上商八次前商副置八于方法之下下法之上名为隅法方廉隅各命上商八以除实除讫倍隅法从方法上商得六百四十八(案原本脱得字今补)下法得一千二百九十六(案六原本讹作七今改正)不尽九十六是为方六百四十八歩一千二百九十六分歩之九十六(案九十六分原本讹作九十七分今改正)今有邱田周六百三十九歩径三百八十歩问为田几何答曰二顷五十二畆二百二十五歩术曰半周得三百一十九歩五分半径得一百九十歩二位相乗得六万七百五歩以畆法除之即得今有筑城上广二丈下广五丈四尺高三丈八尺长五千五百五十尺秋程人功三百尺问须功几何答曰二万六千一十一功术曰并上下广得七十四尺半之得三十七尺以高乗之得一千四百六尺又以长乗之得积七百八十万三千三百尺以秋程人功三百尺除之即得今有穿渠长二十九里一百四步上广一丈二尺六寸下广八尺深一丈八尺秋程人功三百尺问须功几何答曰三万二千六百四十五功(案原本讹作三万二百六十五人今据术改正)不尽六十九尺六寸术曰置里数以三百步乗之内零步六之得五万二千八百二十四尺并上下广得二丈六寸半之以深乗之得一百八十五尺四寸以长乗得九百七十九万三千五百六十九尺六寸以人功三百尺除之即得今有钱六千九百三十欲令二百一十六人作九分分之八十一人人与二分七十二人人与三分六十三人人与四分问三种各得几何答曰二分人得钱二十二三分人得钱三十三四分人得钱四十四术曰先置八十一人于上七十二人次之六十三人在下头位以二乗之得一百六十二次位以三乗之得二百一十六下位以四乗之得二百五十二副并三位得六百三十为法又置钱六千九百三十为三位头位以一百六十二乗之得一百一十二万二千六百六十又以二百一十六乗中位得一百四十九万六千八百八十又以二百五十二乗下位得一百七十四万六千三百六十各为实以法六百三十各除之头位得一千七百八十二中位得二千三百七十六下位得二千七百七十二各以人数除之即得今有五等诸侯共分橘子六十颗人别加三颗问五人各得几何答曰公一十八颗侯一十五颗伯一十二颗子九颗男六颗术曰先置人数别加三颗于下次六颗次九颗次一十二颗上十五颗副并之得四十五以减六十颗余人数除之得人三颗各加不并者上得一十八为公分次得一十五为侯分次得一十二为伯分次得九为子分下得六为男分今有甲乙丙三人持钱甲语乙丙各将公等所持钱半以益我钱成九十乙复语甲丙各将公等所持钱半以益我钱成七十丙复语甲乙各将公等所持钱半以益我钱成五十六问三人元持钱各若干答曰甲七十二乙三十二丙四术曰先置三人所语为位以三乗之各为积甲得二百七十乙得二百一十丙得一百六十八各半之甲得一百三十五乙得一百五丙得八十四又置甲九十乙七十丙五十六各半之以甲乙减丙以甲丙减乙以乙丙减甲即各得元数今有女子善织日自倍五日织通五尺问日织几何答曰初日织一寸三十一分寸之一十九次日织三寸三十一分寸之七次日织六寸三十一分寸之一十四次日织一尺二寸三十一分寸之二十八次日织二尺五寸三十一分寸之二十五术曰各置列衰副并得三十一为法以五尺乗未并者各自为实实如法而一即得今有人盗库绢不知所失几何但闻草中分绢人得六匹盈六匹人得七匹不足七匹问人绢各几何答曰贼一十三人绢八十四匹术曰先置人得六匹于右上盈六匹于右下后置人得七匹于左上不足七匹于左下维乗之所得并之为绢并盈不足为人孙子算经卷中
## 卷下
钦定四库全书孙子算经卷下今有甲乙丙丁戊己庚辛壬九家共输租甲出三十五斛乙出四十六斛丙出五十七斛丁出六十八斛戊出七十九斛己出八十斛庚出一百斛辛出二百一十斛壬出三百二十五斛凡九家共输租一千斛僦运直折二百斛外问家各几何答曰甲二十八斛乙三十六斛八斗丙四十五斛六斗丁五十四斛四斗戊六十三斛二斗己六十四斛庚八十斛辛一百六十八斛壬二百六十斛术曰置甲出三十五斛以四乗之得一百四十斛以五除之得二十八斛乙出四十六斛以四乗之得一百八十四斛以五除之得三十六斛八斗丙出五十七斛以四乗之得二百二十八斛以五除之得四十五斛六斗丁出六十八斛以四乗之得二百七十二斛以五除之得五十四斛四斗戊出七十九斛以四乗之得三百一十六斛以五除之得六十三斛二斗己出八十斛以四乗之得三百二十斛以五除之得六十四斛庚出一百斛以四乗之得四百斛以五除之得八十斛辛出二百一十斛以四乗之得八百四十斛以五除之得一百六十八斛壬出三百二十五斛以四乗之得一千三百斛以五除之得二百六十斛今有丁一千五百万出兵四十万问几丁科一兵答曰三十七丁五分术曰置丁一千五百万为实以兵四十万为法实如法即得今有平地聚粟下周三丈六尺高四尺五寸问粟几何答曰一百斛术曰置周三丈六尺自相乗得一千二百九十六尺以高四尺五寸乗之得五千八百三十二尺以三十六除之得一百六十二尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有佛书凡二十九章章六十三字问字几何答曰一千八百二十七术曰置二十九章以六十三字乗之即得今有棋局方一十九道问用棋几何答曰三百六十一术曰置一十九道自相乗之即得今有租九万八千七百六十二斛欲以一车载五十斛问用车几何答曰一千九百七十五乗奇一十二斛术曰置租九万八千七百六十二斛为实以一车所载五十斛为法实如法即得今有丁九万八千七百六十六凡二十五丁出一兵问兵几何答曰三千九百五十人奇一十六丁术曰置丁九万八千七百六十六为实以二十五为法实如法即得今有绢七万八千七百三十二匹令一百六十二人分之问人得几何答曰四百八十六匹术曰置绢七万八千七百三十二匹为实以一百六十二人为法实如法即得今有绵九万一千一百三十五觔给与三万六千四百五十四户问户得几何答曰二觔八两术曰置九万一千一百三十五觔为实以三万六千四百五十四户为法除之得二觔不尽一万八千二百二十七觔以一十六乗之得二十九万一千六百三十二两以户除之即得今有粟三千九百九十九斛九斗六升凡粟九斗易豆一斛问计豆几何答曰四千四百四十四斛四斗术曰置粟三千九百九十九斛九斗六升为实以九斗为法实如法即得今有粟二千三百七十四斛斛加三升问共粟几何答曰二千四百四十五斛二斗二升术曰置粟二千三百七十四斛以一斛三升乗之即得今有粟三十六万九千九百八十斛七斗在仓九年年斛耗三升问一年九年各耗几何答曰一年耗一万一千九十九斛四斗二升一合九年耗九万九千八百九十四斛七斗八升九合术曰置三十六万九千九百八十斛七斗以三升乗之得一年之耗又以九乗之即九年之耗今有贷与人丝五十七觔限岁出息一十六觔问觔息几何答曰四两五十七分两之二十八术曰列限息丝一十六觔以一十六两乗之得二百五十六两以贷丝五十七觔除之不尽约之即得今有三人共车二车空二人共车九人步问人与车各几何答曰一十五车三十九人术曰置二人以三乗之得六加步者九人得车一十五欲知人者以二乗车加九人即得今有粟一十二万八千九百四十斛九斗三合出与人买绢一匹直粟三斛五斗七升问绢几何答曰三万六千一百一十七匹三丈六尺术曰置粟一十二万八千九百四十斛九斗三合为实以三斛五斗七升为法除之得匹余四十之所得又以法除之即得今有妇人河上荡桮津吏问曰桮何以多妇人曰家有客津吏曰客几何妇人曰二人共饭三人共羮四人共肉凡用桮六十五不知客几何答曰六十人术曰置六十五桮以十二乗之得七百八十以十三除之即得今有木不知长短引绳度之余绳四尺五寸屈绳量之不足一尺问几何答曰六尺五寸术曰置余绳四尺五寸加不足一尺共五尺五寸倍之得一丈一尺减余四尺五寸即得今有器中米不知其数前人取半中人三分取一后人四分取一余米一斗五升问米几何答曰六斗术曰置余米一斗五升以六乗之得九斗以二除之得四斗五升以四乗之得一斛八斗以三除之即得今有黄金一觔直钱一十万问两直几何答曰六千二百五十钱术曰置钱一十万以一十六两除之即得今有锦一匹直钱一万八千问丈尺寸各直几何答曰丈四千五百钱尺四百五十钱寸四十五钱术曰置钱一万八千以四除之得一丈之直一退再退得尺寸之直今有地长一千步广五百步尺有鹑寸有鷃问鹑鷃各几何答曰鹑一千八百万鷃一亿八千万术曰置长一千步以广五百步乗之得五十万以三十六乗之得一千八百万尺即得鹑数上十之即得鷃数今有六万口上口三万人日食九升中口二万人日食七升下口一万人日食五升问上中下口共食几何答曰四千六百斛术曰各置口数以日食之数乗之所得并之即得今有方物一束外周一市有三十二枚问积几何答曰八十一枚术曰重置二位左位减八余加右位至尽虚加一即得今有竿不知长短度其影得一丈五尺别立一表长一尺五寸影得五寸问竿长几何答曰四丈五尺术曰置竿影一丈五尺以表长一尺五寸乗之上十之得二十二丈五尺以表影五寸除之即得今有物不知其数三三数之賸二五五数之賸三七七数之賸二问物几何答曰二十三术曰三三数之賸二置一百四十五五数之賸三置六十三七七数之賸二置三十并之得二百三十三以二百一十减之即得凡三三数之賸一则置七十五五数之賸一则置二十一七七数之賸一则置十五一百六以上以一百五减之即得今有兽六首四足禽二首二足上有七十六首下有四十六足问禽兽各几何答曰八兽七禽术曰倍足以减首余半之即兽以四乗兽减足余半之即禽今有甲乙二人持钱各不知数甲得乙中半可满四十八乙得甲大半亦满四十八问甲乙二人元持钱各几何答曰甲持钱三十六乙持钱二十四术曰如方程求之置二甲一乙钱九十六于右方置二甲三乙钱一百四十四于左方以右方二乗左方上得四中得六下得二百八十八钱以左方二乗右方上得四中得二下得九十六(案近刻脱此十八字今据术补)以右行再减左行左上空中余四乙为法下余九十六钱为实上法下实得二十四钱为乙钱以减右下九十六余七十二为实以右上二甲为法上法下实得三十六为甲钱也今有百鹿入城家取一鹿不尽又三家共一鹿适尽问城中家几何答曰七十五家术曰以盈不足取之假令七十二家鹿不尽四令之九十家鹿不足二十置七十二于右上盈四于右下置九十于左上不足二十于左下维乗之所得并为实并盈不足为法除之即得今有三鸡共啄粟一千一粒雏啄一母啄二翁啄四主责本粟三鸡主各偿几何答曰鸡雏主一百四十三鸡母主二百八十六鸡翁主五百七十二术曰置粟一千一粒为实副并三鸡所啄粟七粒为法除之得一百四十三粒为鸡雏主所偿之数递倍之即得母翁主所偿之数今有雉兔同笼上有三十五头下有九十四足问雉兔各几何答曰雉二十三兔一十二术曰上置三十五头下置九十四足半其足得四十七以少减多再命之上三除下三上五除下五下有一除上一下有二除上二即得又术曰上置头下置足半其足以头除足以足除头即得今有九里渠三寸鱼头头相次问鱼得几何答曰五万四千术曰置九里以三百步乗之得二千七百步又以六尺乗之得一万六千二百尺上十之得一十六万二千寸以鱼三寸除之即得今有长安洛阳相去九百里车轮一帀一丈八尺欲自洛阳至长安问轮帀几何答曰九万帀术曰置九百里以三百步乗之得二十七万步又以六尺乗之得一百六十二万尺以车轮一丈八尺为法除之即得今有出门望见九堤堤有九木木有九枝枝有九巢巢有九禽禽有九雏雏有九毛毛有九色问各几何答曰木八十一枝七百二十九巢六千五百六十一禽五万九千四十九雏五十三万一千四百四十一毛四百七十八万二千九百六十九色四千三百四万六千七百二十一术曰置九堤以九乗之得木之数又以九乗之得枝之数又以九乗之得巢之数又以九乗之得禽之数又以九乗之得雏之数又以九乗之得毛之数又以九乗之得色之数今有三女长女五日一归中女四日一归少女三日一归问三女几何日相㑹答曰六十日术曰置长女五日中女四日少女三日于右方各列一算于左方维乗之各得所到数长女十二到中女十五到少女二十到又各以归日乗到数即得今有孕妇行年二十九岁难九月未知所生答曰生男术曰置四十九加难月减行年所余以天除一地除二人除三四时除四五行除五六律除六七星除七八风除八九州除九其不尽者奇则为男耦则为女孙子算经卷下◆ 《数述记遗-汉-》（KR3f0034）
## 提要
钦定四库全书 子部六提要数术记遗 天文算法类二(算书之属)(臣)等谨按数术记遗一卷旧题汉徐岳撰北周甄鸾注岳东莱人晋书律厯志所称呉中书令阚泽受刘洪乾象法于东莱徐岳者是也隋书经籍志具列岳及甄鸾所撰九章算经七曜术算等目而独无此书之名至唐艺文志始著于录书中称于泰山见刘会稽博识多闻徧于术数余因受业时问曰数有穷乎会稽曰吾曽游天目山中见有隐者云云大抵言其传授之神秘然案后汉志注引袁山松书曰刘洪泰山蒙阴人延熹中以校尉应太史徴拜郎中后为会稽东部都尉征还未至领丹阳太守卒官是洪官会稽后未尝家居不得言于泰山见之且洪在会稽乃官都尉其为太守实在丹阳而注以为官㑹稽太守错互殊甚又旧本皆题汉徐岳撰据晋书所载岳当魏黄初中与太史丞韩诩论难日月食五事则岳已仕于魏不得系之于汉考古尤为疎谬至中列黄帝三等数及积算太一算之类皆绝无义蕴其天门金虎等语乃道家诡诞之说甚为隐僻不经注所言算式数位按之正文多不相蒙殆非一手所撰唐代选举之制算学九章五曺之外兼习此书此必当时购求古算好事者因依托为之而嫁名于岳耳然流传既久学者或以古本为疑故仍录存之而详斥其伪以祛后人之惑焉海岛算经 天文算法类二(算书之属)(臣)等谨案海岛算经一卷晋刘徽撰唐李淳风等奉诏注据刘徽序九章算术有云徽寻九数有重差之名凡望极高测绝深而兼知其逺者必用重差辄造重差并为注解以究古人之意缀于句股之下度高者重表测深者累矩孤离者三望离而又旁求者四望据此则徽之书本名重差初无海岛之目亦但附于句股之下不别为书故隋志九章算术増为十卷下云刘徽撰葢以九章九卷合此而十也而隋志唐志又皆有刘徽九章重差图一卷葢其书亦另本单行故别著于录一书两出至唐志兼列刘向九章重差一卷则徽之重差既自为卷因遂讹刘徽为刘向而一书三出耳今详为攷证定为刘徽之书至海岛之名虽古无所见不过后人因卷首以海岛立表设问而改斯名然唐选举志称算学生九章海岛共限习三年试九章三条海岛一条则改题海岛自唐初已然矣其书世无传本惟散见永乐大典中今裒而辑之仍为一卷篇帙无多而古法具在因宜与九章算术同为表章以见算数家源流之所自焉乾隆四十六年二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 数术记遗
钦定四库全书巻数术记遗余以天门金虎呼吸精泉按星经云昴者西方白虎之宿太白者金之精也太白入昴金虎相薄法有兵乱周宣王时有人采薪于郊间歌曰金虎入门呼长精吸𤣥泉时人莫能知其义老子曰太白入昴兵其乱徐氏名岳东莱人葢以汉室板荡又谲诡见于天将访名山自求多福也羽檄星驰郊多走马按汉征天下兵必露檄插羽也老子曰天下有道却走马以粪天下无道戎马生于郊也遂负帙游山跖迹志道跖迹者两足共蹑一足迹也汉文帝时河上公跖迹为士备厯邱岳林壑必过乃于太山见刘㑹稽博识多闻徧于数术余因受业颇染所由余时问曰数有穷乎㑹稽曰吾曽游天目山中㑹稽官号汉中人也按厯志称灵帝光和中谷城守门候太山刘洪造乾象厯又制月行迟疾隂阳厯自洪始也方于太初四分转精密矣洪后为㑹稽太守刘洪付乾象于东莱徐岳又授吴中书令阚泽泽甚重焉为注解今按地记天目山在吴兴之界见有隐者世莫知其名号曰天目先生余亦以此意问之先生曰世人言三不能比两乃云捐闷与四维艺经云捐闷者周公作也先本位以十二时相从其文曰同有文章虎不如龙豕者何为来入兎宫王孙出卜乃造黄钟犬就马廐非类相从羊奔蛇穴牛入鸡笼徐援称捐闷乃是竒两之术发首即竒一后乃竒两者即为疑更调曰大猪东行遁虎坑兎子欲宿入马廐羊来入村狗所屯大牛何知乗龙上蛇徃西方入猴乡鸡鸟不止夜䑕藏其言三不能比两者孔子所造也布十干于其方戊已在西南维其文曰火为木生甲呼丁夫妇义重已随壬贵夷则统领辛参南丙乙妻则须守后火戊子天癸就庚四维东莱子所造也布十二时四维之一其文曰天行星纪石随龙渊风吹羊圏天门地连兎居蛇穴马到猴边鸡飞猪乡䑕入虎躔挚亦有四维之戯与此异焉数不识三妄谈知十三者上中下也十数昻一数也于先之意非止十等之名将闗大衍之㫖事一也犹川人事迷其指归乃恨司方之手爽司方者指南车也狐疑论称黄帝将见大隗于具茨之山至襄城之野川谷之山率多斜曲川人曰积数之常乃固以之非指南车之为爽乃指谓(阙)擢司方所指者乃为我等之西也然则指车岂其谬也乃行数里川人又曰司方所指我等之东也众共论之为疑笑于时容成子怪而问之川人以其状白对容成曰在此望之具茨之山于汝住所复在何方川人又曰在我之东容成曰汝向言在西今更在东何言不常也此非山川之移川曲之斜人心之惑耳川人乃请于斜曲之中定东西南北之术容成曰当竖一木为表以索系之表端引索绕表画地为规日初出影长则出圆规之外向中影渐短入规之中候西北隅影初入规之处则记之乃过中影渐长出规之外候东北隅影初出规之处又记之取二记之所即正东西也折半以指表则正南北也川人志之以为知方之术未识刹那之赊促安知麻姑之桑田按楞伽经云称量长短者积刹那数以成日夜刹那量者壮夫一弹指日过顷遥六十四刹那二百四十刹那名一恒刹那三十恒刹那名一婆罗三十婆罗名一摩㬋罗多三十摩㬋罗多子为一日一夜其一日一夜有六百四十八万刹那神仙传称麻姑谓王方平曰自接侍以来见东海三变为桑田向到蓬莱水乃浅于往者略半也岂复将为陵陆乎方平乃曰东海行复扬尘耳不辨积微之为量讵晓百亿与大千按楞伽经云积微成一阿耨七阿耨为一铜上尘七铜上尘为一水上尘七水上尘为一兎毫上尘七兎毫上尘为一羊毛上尘七羊毛上尘为一牛毛上尘七牛毛上尘为一向中由尘七向中由尘成一虮七虮成一虱七虱成一麦横七麦横成一指节二十四指节为一肘四肘为一弓去肘五百弓为阿兰惹据若摩羯国人一拘卢舍为五里八拘卢舍为一由旬一由旬计之为四十里也及以算校之正得一十七里何者计二尺为一肘四肘为一弓弓长八尺也计五百弓有四千尺也八拘卢舍则有三万二千尺以步法六尺除之得五千三百三十三步以里法三百步除之得一十七里余二百三十三步华严经云四天下共一日月为一世界有千世界有一小铁围山遶之名曰小千世界有一小千世界有中铁围山遶之名曰中千世界有中千世界有大铁围山遶之名曰大千世界此三千大千世界之中有百亿须弥山乃今校之世有十亿日月十亿须弥山何者置小千世界之中有一千日月以一千乗之得一百万即中千世界中日月数也置中千世界日月之数以一千乗之即得大千世界日月之数也又云四天下者须弥山南曰阎浮提山北曰郁丹越山东曰(阙)提山西曰俱瞿耶尼山其日月一日一夜照四天下山南日中山北夜半山东日中山西夜半及以成事验之则有疑矣何者按阎浮提人在须弥山南及至二月八月春秋分昼夜停以漏刻度之则昼夜各五十刻也然则日初出时东向视日之当我之东即漏刻及其日浸当我之西五十刻其一日一夜之中遶三天下而来所以至晓亦得五十刻也胡以十万为亿有百倍日月四天下等事有所未详也黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也按诗云胡取禾三百亿兮毛注曰万万曰亿此即中数也郑注云十万曰亿此即下数也徐援受记云亿亿曰兆兆兆曰京也此即上数也郑注以数为多故合而言之从亿至载终于大衍按易经大衍之数五十其用四十有九又云天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天数五地数五天数二十有五地数三十凡天地之数五十有五也下数浅短计事则不尽上数宏廓世不可用故其传业惟以中数耳余时问曰先生之言上数者数穷则变既云终于大衍大衍有限此何得穷先生笑曰盖未之思耳数之为用言重则变以小兼大又加循环循环之理岂有穷乎小兼大者备加董氏三等术数加更载为烦故略焉余又问曰为算之体皆以积为名为复更有他法乎先生曰隶首注术乃有多种及余遗忘记忆数事而已其一积算 其一太乙 其一两仪 其一三才 其一五行 其一八卦 其一九宫 其一运算 其一了算 其一成数 其一把头 其一龟算 其一珠算 其一计算此等诸法随须更位唯有九宫守一不移位依行色并应无穷从积以来至珠算从一至于百千已上位更不变改位依行色者位依五行之色北方水色黒数一东方木色青数三南方火色赤数二西方金色白数四中央土色黄数五言位依行色也一位第一用𤣥珠十位第二用赤珠百位第三用青珠千位第四用白珠万位第五用黄珠十万位以赤𫄧系黄珠百万位以青𫄧系黄珠千万位以白𫄧系黄珠万万位曰亿以黄𫄧系黄珠自余诸位唯兼之故曰并应无穷也余慕其术虑恐遗忘故与好事后生记之云尔积算今之常算者也以竹为之长四寸以效四时方三分以象三才言算法是包括天地以烛人情数始四时终于大衍犹如循环故曰今之常算是也太乙算太乙之行去来九道刻板横为九道竖以为柱柱上一珠数从下始故曰去来九道也两仪算天气下通地禀四时刻板横为五道竖为位一位两珠上珠色青下珠色黄其青珠自上而下第一刻主五第二刻主六第三刻主七第四刻主八第五刻主九其黄珠自下而上第一刻主一第二刻主二第三刻主三第四刻主四而已故曰天气下通地禀四时也三才算天地和同随物变通刻板横为三道上刻为天中刻为地下刻为人竖为算位有三珠青珠属天黄珠属地白珠属人又其三珠通行三道若天珠在天为九在地主六在人主三其地珠在天为八在地主五在人主二人珠在天为七在地主四在人主一故曰天地和同随物变通按三元上元甲子一七四中元甲子二八五下元甲子三六九随物变通也五行算以生兼生生变无穷五行之法水𤣥生数一火赤生数二木青生数三金白生数四土黄生数五今为五行算色别九枚以五行色数相配为算之位假令九亿八千七百六十五万四千三百二十一者则以白算配黄为九亿以青算配黄为八千以赤算配黄为七百以𤣥算配黄为六十以一黄算为五万以一白算为四千以一青算为三百以一赤算为二十以𤣥算为一也故曰以生兼生生变无穷八卦算针刺八方位阙从天算为之法位用一针锋所指以定算位数一从离起指正南离为一西南坤为二正西兑为三西北干为四正北坎为五东北艮为六正东震为七东南巽为八至九位阙即在中央竖而指天故曰位阙从天也九宫算五行参数犹如循环九宫者即二四为肩六八为足左三右七戴九履一五居中央五行参数者设位之法依五行已注于上是也运筹算小往大来运于指掌此法位别须算筹一枚令长五寸其一筹上各为五刻上头一刻近一头刻之其下四刻迭相去一寸令去下头亦一寸入手取四指三间间有三节初食指上节间为一位第二节间为十位第三节间为百位至中指上节间为千位中节间为万位下节间为十万位无名指上节间为百万位中为千万位下为亿也他皆倣此至算刻近头者一刻主五其逺头者一刻之别从下而起主一主二主三主四若一二三四头则向下于掌中中若其至五则回取上头向掌中故曰小往大来也回游于手掌之间故曰运于指掌也了知算首惟秉五腹背两兼了算之法一位为一了字其了有三曲其下股之末内主一外主九下次第一曲内主二外主八当二曲内主三外主七其第三曲内主四外主六当了字之首则主五故曰首唯秉五腹背两兼也成数算春夏生养秋收冬成算之法位别须五色算一枚其一算之象头各以黄色为本以生数也余色为首其五行各配土为成数也水𤣥生数一成数六火赤生数二成数七木青生数三成数八金白生数四成数九若以首向东及南为生数向西及北为成数假令有九亿八千七百六十五万四千三百二十一者则以白算首向北为九亿以青算首向西为八千以赤算首向北为七百以𤣥算首向西为六十以黄算一枚竖为五万以白算首向东为四千以青算首向南为三百以赤算首向东为二十以𤣥算首向南为一也故首向东向南为生数向西向北为成数故云春夏生养秋收冬成也把头算以身当五目视四方把头之法别须算二枚一漫一齿者一面刻为一其一面为二一面为三其一面为四也漫者为把为犹即当五算生齿者为把头一目当一算故曰以身当五目视四方也龟算春夏秋成遇冬则停为算之法位别一龟龟之四面为十二时以龟首指寅为一指卯为二指辰为三指已为四指午为五指未为六指申为七指酉为八指戌为九指亥为十龟头指不以为数故云遇冬则停也珠算控𢃄四时经纬三才刻板为三分其上下二分以停游珠中间一分以定算位位各五珠上一珠与下四珠色别其上别色之珠当其下四珠珠各当一至下四珠所领故云控𢃄四时其珠游于三方之中故云经纬三才也计数既舍数术宜从心计言舍数术者谓不用算筹宜以心计之或问曰今有大水不知广狭欲不用算筹度而知之假令于水北度之者在水北置三表令南北相直各相去一丈人在中表之北平直相望水北岸令三相直即记南表相望相直之处其中表人目望处亦记之又从中相望处直望水南岸三相直㸔南表相直之处亦记之取南表二记之处髙下以等北表㸃记之还从中表前望之所北望之北表下记三相直之北即河北岸也又望上记三相直之处即河北岸中间则水广狭也或曰今有长竿一枝不知髙下既不用筹算云何计而知之答曰取竿之影任其长短画地记之假令手中有三尺之物亦竖之取杖下之影长短以量竿影得矣或问曰今有深坑在上㸔之可知尺数已否答曰以一杖极意长短假令以一丈之杖掷著坑中人在岸上手提之一杖舒手望坑中之杖遥量知其寸数即令一人于平地捉一丈之杖渐令却行以前者遥望坑中寸量之与望坑中数等者即得或问曰今甲乙各驱羊一群人各问多少而甲曰更得乙一口即加五多于甲问各几何答曰甲九口乙十一口或问曰甲乙各驱羊行人问其多少甲曰我得乙一口即与乙等乙曰我得甲一口则倍多于甲问各几何答曰甲二乙四或问曰今有鸡翁一只直五文鸡母一只直四文鸡儿一文得四只今有钱一百文买鸡大小一百只问各几何答曰鸡翁十五只鸡母一只鸡儿八十四只合大小一百只计数多少略举其例或问曰今有鸡翁一只直四文鸡母一只直三文鸡儿三只直一文今有钱一百文还买鸡大小一百只问各几何答曰鸡翁八只鸡母十四只鸡儿七十八只合一百只或问鸾曰世人乃云算位者算子则竖信有之乎鸾答之曰依如针算则以针锋指八卦之位一从离起右行周帀至巽八位既合及其至九无位可指是以在中竖而指天故曰有位合算子竖之名也又问鸾曰昔有吴人赵逹用一算之法头乗尾除其有此术乎鸾答之曰此乃传之失实犹(阙)公获夔一足丁氏穿井而获一人也何者按乗之法重张其位以上呼一置得于中置所除之数于下又置得于上亦三重张位然则乗之与除法用不同欲以一算上下当六重之身増损为众位之实若其神也则藉一算之功如其凢也理不可尔问者又曰若如来指为妄矣此言何从而至鸾答之曰此亦传之过实也何者积一算者盖一位用一算也头乗尾除者欲使乗别位乗时以针锋指之除时则用针尾㧑之故有头乗尾除之名也数术记遗◆ 《海岛算经-晋-》（KR3f0035）
## 海岛算经
钦定四库全书海岛算经 晋 刘 徽 撰唐 李淳风 注今有望海岛立两表齐高三丈前后相去千步令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步人目著地取望岛峰与表末参合从后表却行一百二十七步人目著地取望岛峰亦与表末参合问岛高及去表各几何答曰岛高四里五十五步去表一百二里一百五十步术曰以表高乗表间为实相多为法除之所得加表高即得岛高淳风等按此术意宜云岛谓山之顶上两表谓立表木之端直(案此句讹舛据术意言立两表齐高三丈相去千步者谓立木为表两表各高三丈)(其地相去千步必准之使平则表端齐平然后可测望也又言令后表与前表参相直者自海岛至前表)(自前表退至后表三者令其参相当也非木之端直)以人目于木末望岛参平人去表一百二十三步为前表之始后立表末至人目于木末相望去表一百二十七步二表相去为相多以为法(案此亦讹舛据术意人去前表一百二十三步以目著地望表末斜与岛峰参合又)(去后表一百二十七步以目著地望表末亦与岛峰参合非于木末望岛也前后去表相减余四步为相)(多非二表相去也当由传写失真后人妄加改窜遂不可通)前后表相去千步为表间以表高乗之为实以法除之加表高即是岛高积步得一千二百五十五步以里法三百步除之得四里余五十五步是岛高之步数也求前表去岛逺近者以前表却行乗表间为实相多为法除之得岛去表数淳风等按此术意宜云前去表乗表间得一十二万三千步以相多四步为法除之得三万七百五十步又以里法三百步除之得一百二里一百五十步是岛去表里数今有望松生山上不知高下立两表齐高二丈前后相去五十步令后表与前表参相直从前表却行七步四尺薄地遥望松末与表端参合又望松本入表二尺八寸复从后表却行八步五尺薄地遥望松末亦与表端参合问松高及山去表各几何答曰松高一十二丈二尺八寸山去表一里二十八步七分步之四术曰以入表乗表间为实相多为法除之加入表即得松高淳风等按此术意宜云前后去表相减余七尺是相多以为法表间步通之为尺以入表乗之退位一等以为实以法除之更加入表(案原本讹作加表高据术意乃加入表二尺八)(寸不得加表高二丈也今改正)得一百二十二尺八寸以为松高退位一等得一十二丈二尺八寸也求表去山逺近者置表间以前表却行乗之为实相多为法除之得山去表淳风等按此术意宜云表间以步尺法通之得三百尺以前去表四十六尺(案四原本讹作二今改正)乗之为实以相多七尺为法实如法而一得一千九百七十一尺七分尺之三以里尺法除之得一里不尽以步尺除之得二十八步不尽三还以七因之得数内子三得二十四复置步尺法以分母七乗六得四十二为步法俱半之副置平约等数即是于山去前表一里二十八步七分步之四也(案去前表原本讹作去后表据术以前表却行乗表间以相多)(除之得山去前表若后表却行乗表间以相多除之则得山去后表今改正)今有南望方邑不知大小立两表东西去六丈齐人目以索连之令东表与邑东南隅及东北隅参相直当东表之北却行五步遥望邑西北隅入索东端二丈二尺六寸半又却北行去表一十三步二尺遥望邑西北隅适与西表相参合问邑方及邑去表各几何答曰邑方三里四十三步四分步之三邑去表四里四十五步术曰以入索乗后去表以两表相去除之所得为景差以前去表减之不尽以为法置后去表以前去表减之余以乗入索为实实如法而一得邑方淳风等按此术置入索乗后去表得一千八百一十二尺以两表相去除之得三丈二寸为景差以前去表减之余二寸以为法前后相去表减之余以乗入索得一万一千三百二十五寸为实以法除之得五千六百六十二尺不尽二分尺之一以里法除之得三里不尽尺以步法除之得四十三步不尽四以分母乗之内子一得九以分母乗六得十二以三约母得四约子得三即得邑方三里四十三步四分步之三也求去表逺近者置后去表以景差减之余以乗前去表为实实如法而一得邑去表淳风等按此术置后去表以景差尺数减之余尺以乗前去表得一千四百九十四尺为实以法除之得七千四百七十尺以步里法除之得四里不尽二百七十尺以步法除之得四十五步即是邑去前表四里四十五步也今有望深谷偃矩岸上令句高六尺从句端望谷底入下股九尺一寸又设重矩于上其矩间相去三丈更从句端望谷底入上股八尺五寸问谷深几何答曰四十一丈九尺术曰置矩间以上股乗之为实上下股相减余为法除之所得以句高减之即得谷深淳风等按此术置矩间上股乗之为实又置上下股尺寸相减余六寸以为法除实得数退位一等以句高减之余四十一丈九尺即是谷深又一法置矩间以下股乗之为实置上下股尺数相减余六寸以为法除之得四百五十五尺以句高并矩间得三十六尺减之余退位一等即是谷深也今有登山望楼楼在平地偃矩山上令句高六尺从句端斜望楼足入下股一丈二尺又设重矩于上令其间相去三丈更从句端斜望楼足入上股一丈一尺四寸又立小表于入股之㑹复从句端斜望楼岑端入小表八寸问楼高几何答曰八丈术曰上下股相减余为法置矩间以下股乗之如句高而一所得以入小表乗之为实实如法而一即是楼高淳风等按此术置下股以上股相减余六寸以为法又置矩间以下股乗之得三万六千寸以句高六尺除之得六百寸以入小表乗之得四千八百寸以法除之得八百寸退位一等即是楼高八丈也今有东南望波口立两表南北相去九丈以索薄地连之当北表之西却行去表六丈薄地遥望波口南岸入索北端四丈二寸以望北岸入前所望表里一丈二尺又却后行去表一十三丈五尺(案却后行原本讹作却行后今改正)薄地遥望波口南岸与南表参合问波口广几何答曰一里二百步术曰以后去表乗入索如表相去而一所得以前去表减之余以为法复以前去表减后去表余以乗入所望表里为实实如法而一得波口广淳风等按此术置后去表以乗入索四百二寸得五十四万二千七百寸以两表相去除之得六百三寸又以前去表六百寸减之(案原本脱去字今据正文补入)余有三寸为法又置前后却行去表寸数相减余以乗入望表里一百二十寸得九万寸以法除之得三万寸为实以步里除之得一里余以步法除之得二百步即是波口广一里二百步也今有望清渊渊下有白石偃矩岸上令句高三尺斜望水岸入下股四尺五寸望白石入下股二尺四寸又设重矩于上其间相去四尺更从句端斜望水岸入上股四尺以望白石入上股二尺二寸问水深几何答曰一丈二尺术曰置望水上下股相减余以乗望石上股为上率又以望石上下股相减余以乗望水上股为下率两率相减余以乗矩间为实以二差相乗为法实如法而一得水深又术列望水上下股及望石上下股相减余并为法以望石下股减望水下股余以乗矩间为实实如法而一得水深淳风等按此术以望水上下股相减余五寸以乗望石上股二十二寸得一百一十寸即是上率又置望石上股减望石下股余有二寸以乗望水上股四十寸得八十寸即是下率二率相减余有三十寸以乗矩间四十寸得一千二百寸为实又以二差二五相乗得十为法除实退位二等即是水深一丈二尺也又术置望水上股以望水下股减之余有五寸置望石下股以望石上股减之余有二寸并之得七寸以为法又以望石下股以望水下股减之余有二十一寸以乗矩间四十寸得八百四十寸以为实以七寸为法除之得一百二十寸退之得一丈二尺即是水深也今有登山望津津在山南偃矩山上令句高一丈二尺从句端斜望津南岸入下股二丈三尺一寸又望津北岸入前望股里一丈八寸更登高岩北却行二十二步上登五十一步偃矩山上更从句端斜望津南岸入上股二丈二尺问津广几何答曰二里一百二步术曰以句高乗下股如上股而一所得以句高减之余为法置北行以句高乗之如上股而一所得以减上登余以乗入股里为实实如法而一即得津广淳风等按此术置句高乗下股得二百七十七尺二寸以上股除之得一丈二尺六寸以句高一丈二尺(案此下原本衍六寸以句高一丈二尺九字)减之余有六寸以为法又置北行步展为一百三十二尺以句高乗之得一千五百八十四尺以上股除之得七十二尺又置上登五十一步以每步六尺通之得三百六尺以前数减之余二百三十四尺以乗入股里尺数得二千五百二十七尺二寸为实实如法而一得四千二百一十二尺以步里法除之得二里余一百二步即是津广也今有登山临邑邑在山南偃矩山上令句高三尺五寸令句端与邑东南隅及东北隅参相直从句端遥望东北隅入下股一丈二尺又施横句于入股之㑹从立句端望西北隅入横句五尺望东南隅入下股一丈八尺又设重矩于上令矩间相去四丈更从立句端望东南隅入上股一丈七尺五寸问邑广长各几何答曰南北长一里一百步东西广一里三十三步少半步术曰以句高乗东南隅入下股如上股而一所得减句高余为法以东北隅下股减东南隅下股余以乗矩间为实实如法而一得邑南北长也求邑广以入横句乗矩间为实实如法而一即得邑东西广淳风等按此术以句高乗东南隅下股得六千三百寸又以东南隅上股一百七十五寸除之得三十六寸以句高减之余有一寸以为法又置东北隅下股以减东南隅下股余有六十寸以乗矩间得二万四千寸为实实如法而一即不盈不缩以寸里法除之得一里不尽以寸步法除之得一百步即是邑南北长一里一百步也求东西广步者置入横句之数以乗矩间得二万寸为实实如法而一即得不盈不缩以里法除之得一里余以步法除之得三十三步不尽二十与法俱退半之即是三分步之一也海岛算经◆ 《五曹算经--》（KR3f0036）
## 目录
钦定四库全书 子部六
五曹算经目录 天文算法类二(算书之属)卷一田曹卷二兵曹卷三集曹卷四仓曹卷五金曹(臣)等谨案隋书经籍志有九章六曹算经一卷而无五曹之目其六曹篇题亦不传唐书艺文志始有甄鸾五曹算经五卷韩延五曹算经五卷李淳风注五曹孙子等算经二十卷鲁续新集五时时要术三卷甄韩二家皆注是书者也其作者则不知为谁攷汉书梅福传福上书言臣闻齐桓之时有以九九见者颜师古注云九九算术若今九章五曹之辈葢算学虽多不出乗除二者而乗除不出自一至九因而九之之数故举九九为言而师古即以其时所有九章五曹等书实之非梅福时有是书也朱彞尊曝书亭集有五曹算经䟦云相传其法出于孙武然彞尊第曰相传无所引证葢不足据观唐书选举志称孙子五曹共限一岁既曰共限则五曹不出孙子明矣姑断以甄鸾之注则其书确在北齐前耳自元明以来久无刻本藏书家传写讹舛殆不可通今散见永乐大典内者甄鸾韩延李淳风之注虽亦散佚而经文则逐条完善今参互攷校俾还旧观遂为绝无仅有之善本攷夏侯阳算经引田曹仓曹者二引金曹者一而此书皆无其文然此书首尾分明脉络通贯亦不似有所亡失疑隋志之九章六曹其目亦同阳所引田曹仓曹金曹等名乃彼书之文故不敢据以补入以溷其真焉乾隆四十七年四月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书五曹算经卷一田曹生人之本上用天道下分地利故田曹为首今有方田广从各五十六步问为田㡬何答曰一十三亩竒十六步术曰列田五十六步自相乗得三千一百三十六步以亩法除之即得(案亩法二百四十步)今有方田广从各六十八步问为田㡬何答曰一十九亩竒六十四步术曰列田六十八步自相乗得四千六百二十四步以亩法除之即得今有直田广八十步从一百九十步问为田㡬何答曰六十三亩竒八十步术曰列广八十步以从一百九十步乗之得一万五千二百步以亩法除之即得今有圭田从三十步一头广二十四步一头无步问为田㡬何答曰一亩竒一百二十步术曰列一头广二十四步半之得一十二步以从三十步乗之得三百六十步以亩法除之即得今有腰鼓田从八十二步两头各广三十步中央广十二步问为田㡬何答曰八亩竒四十八步术曰并三广得七十二步以三除之得二十四步以从八十二步乗之得一千九百六十八步以亩法除之即得(案此术踈舛当倍中央广得二十四步并入两头广得八十四步以四除之得二十一步以从八十二步)(乗之得一千七百二十二步以亩法除之得七亩竒四十二步)今有鼓田两头各广四十步中央广五十二步从八十五步问为田㡬何答曰一十五亩竒一百四十步术曰并三广得一百三十二步以三除之得四十四步以从八十五步乗之得三千七百四十步以亩法除之即得(案此术亦踈舛当倍中央广得一百四步并入两头广得一百八十四步以四除之得四十六步以)(从八十五步乗之得三千九百一十步以亩法除之得一十六亩竒七十步)今有弧田弦八十步矢五步问为田㡬何答曰二百步术曰列弦八十步半之得四十步以矢五步乗之即得今有蛇田头广三十三步胷广五十七步尾广十八步从九十二步问为田㡬何答曰一十三亩竒一百九十二步术曰并三广得一百八步以三除之得三十六步以从九十二步乗之得三千三百一十二步以亩法除之即得今有墙田方周一千步问为田㡬何答曰二顷六十亩竒一百步术曰列田方周一千步以四除之得二百五十步自相乗得六万二千五百步以亩法除之即得今有箫田从四十八步一头广二十五步一头广三十五步问为田㡬何答曰六亩术曰并二广得六十步半之得三十步以从四十八步乗之得一千四百四十步以亩法除之即得今有田桑生中央从隅至桑一百四十七步问为田㡬何答曰一顷八十三亩竒一百八十步术曰列一百四十七步以二乗之得二百九十四步以五乗之得一千四百七十步以七除之得二百一十步自相乗得四万四千一百步以亩法除之即得今有邱田周六百四十步径三百八十步问为田㡬何答曰二顷五十三亩竒八十步术曰列周六百四十步(案原本讹作四百六十步今改正)半之得三百二十步又列径三百八十步半之得一百九十步二位相乗得六万八百步以亩法除之即得今有箕田一头广八十六步一头广四十步从九十步问为田㡬何答曰二十三亩竒一百五十步术曰并二广得一百二十六步半之得六十三步以从九十步乗之得五千六百七十步以亩法除之即得今有四不等田东三十五步西四十五步南二十五步北一十五步问为田㡬何答曰三亩竒八十步术曰并东西得八十步半之得四十步又并南北得四十步半之得二十步二位相乗得八百步以亩法除之即得今有覆月田从三十步径十步问为田㡬何答曰一百五十步术曰列径十步半之得五步以从三十步乗之即得今有田形如牛角从五十步口广二十步问为田㡬何答曰二亩竒二十步术曰列口广二十步半之得十步以从五十步乗之得五百步以亩法除之即得今有圆田周七十八步径二十六步问为田㡬何答曰二亩竒二十七步术曰先列周七十八步半之得三十九步又列径二十六步半之得一十三步二位相乗得五百七步以亩法除之即得今有环田外周三十步内周一十二步径三步问为田㡬何答曰六十三步术曰并内外周得四十二步半之得二十一步以径三步乗之即得今有田从一百步广四十二步中有圆池周三十步径一十步问池占外为田㡬何答曰一十七亩竒四十五步术曰列从一百步以广四十二步乗之得四千二百步为田积又列池周三十步半之得一十五步列径一十步半之得五步二位相乗得七十五步为池积以减田积余四千一百二十五步以亩法除之即得五曹算经卷一
## 卷二
钦定四库全书五曹算经卷二兵曹既有田畴必资人功故以兵曹次之今有丁二万三千六百九十二人责兵五千九百二十三人问㡬何丁出一兵答曰四丁出一兵术曰列二万三千六百九十二人以五千九百二十三除之即得今有丁八千九百五十八人凡三丁出一兵问出兵㡬何答曰二千九百八十六人术曰列八千九百五十八人以三除之即得今有兵九百七十人人给米七升问计㡬何答曰六十七斛九斗术曰列兵九百七十人以七升乗之即得今有兵三千八百三十七人人给钱五百五十六文问计㡬何答曰二千一百三十三贯三百七十二文术曰列兵三千八百三十七人以五百五十六文乗之即得今有兵三千一百四十八人人给布一丈二尺三寸问计㡬何答曰七百七十四端二丈四寸术曰列兵三千一百四十八人以布一十二尺三寸乗之得三万八千七百二十尺四寸以五十尺除之即得今有兵一千三百六十二人人给绢二丈八尺五寸问计㡬何答曰九百七十疋一丈七尺术曰列兵一千三百六十二人以绢二十八尺五寸乗之(案原本讹作以绢二丈尺八寸乗之今改正)得三万八千八百一十七尺以四十尺除之即得今有一万人大将十人裨将二十人队将一百人散兵九千八百七十人给绢有差大将人给三丈裨将人给二丈队将人给一丈五尺散兵人给九尺问计㡬何答曰二千二百七十五疋竒三文术曰列大将十人以三十尺乗之得三百尺又列裨将二十人以二十尺乗之得四百尺又列队将一百人以一十五尺乗之得一千五百尺又列散兵九千八百七十人以九尺乗之得八万八千八百三十尺并四位得九万一千三十尺以疋法除之即得今有城周四十八里欲令御贼每三步置一兵问用兵㡬何答曰四千八百人术曰列城周四十八里以三百步乗之得一万四千四百步以三步除之即得今有军粮米三千二百四十六斛八斗七升每斛直钱四百八十二文问计㡬何答曰一千五百六十四贯九百九十一文三分四牦术曰列米三千二百四十六斛八斗七升以四百八十二文乗之即得今有车二万三千九百乗欲作方营每乗占地三步问计㡬何答曰七万一千七百步术曰列车二万三千九百乗以三步乗之即得今有马六千二百四十三匹匹给粟五升三合问计㡬何答曰三百三十斛八斗七升九合术曰列马六千二百四十三匹以五升三合乗之即得今有牛六千五百头头给刍七束问计㡬何答曰四万五千五百束术曰列牛六千五百头以七束乗之即得五曹算经卷二
## 卷三
钦定四库全书五曹算经卷三集曹既有人众必用食饮故以集曹次之今有粟七百五十斛问为粝米㡬何答曰四百五十斛术曰列粟七百五十斛以三十乗之得二万二千五百斛以五十除之即得今有粟二百九十斛问为粺米㡬何答曰一百五十六斛六斗术曰列粟二百九十斛以二十七乗之得七千八百三十斛以五十除之即得今有粟五百六十斛问为糳米㡬何答曰二百六十八斛八斗术曰列粟五百六十斛以二十四乗之得一万三千四百四十斛以五十除之即得今有粟三百六十二斛问为御米㡬何答曰一百五十二斛四升术曰列粟三百六十二斛以二十一升乗之得七千六百二斛以五十除之即得今有粟五百六十斛凡粟八斗易麦五斗问得麦㡬何答曰三百五十斛术曰列粟五百六十斛以五十乗之得二万八千斛以八千除之即得今有豆八百四十九斛凡豆九斗易麻七斗问得麻㡬何答曰六百六十斛三斗三升三合竒三升术曰列豆八百四十九斛以七十乗之得五万九千四百三十斛以九十除之即得今有钱二十七贯八百三十三文凡五文买棃三枚问得棃㡬何答曰一万六千六百九十九枚竒四文术曰列钱二十七贯八百三十三文以三乗之得八万三千四百九十九以五除之即得今有米一千五百七十七斛斛别加八斗三升问讣㡬何答曰二千八百八十五斛九斗一升术曰列米一千五百七十七斛以加米一斛八斗三升乗之即得今有席一领坐客一十二人有席一千五百三十八领问客㡬何答曰一万八千四百五十六人术曰列席一千五百三十八领以一十二人乗之即得又有席一领坐客二十三人有席一千五百领问客㡬何答曰三万四千五百人术曰列席数一千五百领以二十三人乗之即得今有席一领坐客二十三人有客五十三万三千六百八十人问席㡬何答曰二万三千二百三领竒十一人术曰列五十三万三千六百八十人以二十三人除之即得又有席一领坐客一十五人有客四万四千六百二十五人问席㡬何答曰二千九百七十五领术曰列四万四千六百二十五人以一十五人除之即得今有凡酱二升饲五人有酱三百二十斛问人㡬何答曰八万人术曰列三百二十斛每上十之得三万二千升以五人乗之得一十六万升以二升除之即得今有凡钱五文买雉三只有钱一万七千五百二十五文问得雉㡬何答曰一万五百一十五只术曰列钱数一万七千五百二十五文以雉三只乗之得五万二千五百七十五文以五文除之即得五曹算经卷三
## 卷四
钦定四库全书五曹算经卷四仓曹众既㑹集必务储蓄故仓曹次之今有二千七百户户责租米一十五斛问计㡬何答曰四万五百斛术曰列二千七百户以一十五斛乗之即得今有官田九百亩凡一步收粟三升二合问计㡬何答曰六千九百一十二斛术曰列田九百亩以二百四十步乗之得二十一万六千步以三升二合乗之即得今有粟七百斛欲雇车运之每一斛雇七升问车主粟主各㡬何答曰车主四十九斛粟主六百五十一斛术曰列粟七百斛以雇粟七升乗之得四十九斛为车粟以减本粟七百斛余为主粟今有粟九百斛斛别加二斗五升问加㡬何答曰二百二十五斛术曰列九百斛以二斗五升乗之即得今有圆囷周三丈髙一丈六尺问受粟㡬何答曰七百四十斛竒一尺二寸术曰列周三丈自相乗得九百尺以髙一丈六尺乗之得一万四千四百尺以十二除之得一千二百尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有方窖从一丈三尺广六尺深一丈问受粟㡬何答曰四百八十一斛四斗竒七寸八分术曰列从一丈三尺以广六尺乗之得七十八尺以深一丈乗之得七百八十尺以斛法除之即得今有仓从一丈三尺广六尺髙一丈中有从牵二枚方五寸从一丈三尺又横牵三枚方四寸从六尺又柱一枚周三尺髙一丈问受粟㡬何答曰四百七十一斛竒一百寸术曰列从一丈三尺上十之得一百三十寸以广六十寸乗之得七千八百寸又列髙一丈上十之为一百寸以乗之得七十八万寸为都积又列从牵二枚方五寸自相乗得二十五寸以从一百三十寸乗之得三千二百五十寸以从牵二枚乗之得六千五百寸又列横牵三枚方四寸自相乗得十六寸以从六十寸乗之得九百六十寸以横牵三枚乗之得二千八百八十寸又列柱一枚周三尺上十之得三十寸自相乗得九百寸以髙一百寸乗之得九万寸以十二除之得七千五百寸并从横牵及柱等三位得一万六千八百八十寸以减都积余七十六万三千一百二十寸为实以斛法一千六百二十寸除之即得又有仓从一丈九尺广一丈五尺髙一丈三尺问受粟㡬何答曰二千二百八十七斛三升竒一分一牦四毫术曰列从一丈九尺以广一十五尺乗之得二百八十五尺又以髙一十三尺乗之得三千七百五尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有平地聚粟下周三丈髙四尺问粟㡬何答曰六十一斛七斗二升竒一分三牦六毫术曰列下周三十尺自相乗得九百尺以髙四尺乗之得三千六百尺以三十六除之得一百尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有内角聚粟下周五十四尺髙五尺问粟㡬何答曰一千斛术曰列下周五十四尺自相乗得二千九百一十六尺以髙五尺乗之得一万四千五百八十尺以九除之得一千六百二十尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有半壁聚粟下周三十六尺髙四尺五寸问粟㡬何答曰二百斛术曰列下周三十六尺自相乗得一千二百九十六尺以髙四尺五寸乗之得五千八百三十二尺以十八除之得三百二十四尺以斛法一尺六寸二分除之即得今有外角聚粟下周四十八尺髙六尺问粟㡬何答曰三百一十六斛竒八分术曰列下周四十八尺自相乗得二千三百四尺以髙六尺乗之得一万三千八百二十四尺以二十七除之得五百一十二尺以斛法一尺六寸二分除之即得五曹算经卷四
## 卷五
钦定四库全书五曹算经卷五金曹仓廪货币交质变易故金曹次之今有五百六十五户户责丝一斤十一两八铢问计丝㡬何答曰八石五斤三两八铢术曰列一斤通作十六两纳十一两得二十七两以二十四铢乗之纳八铢得六百五十六铢以乗户五百六十五得三十七万六百四十铢以二十四铢除之得一万五千四百四十三两竒八铢又以十六两除之得九百六十五斤竒三两以三十斤除之得三十二钧竒五斤又以四钧除之即得今有五百六十五户共责丝八石五斤三两八铢问户出丝㡬何答曰一斤十一两八铢术曰列丝八石五斤三两八铢以四乗八石得三十二钧以三十斤乗之纳五斤得九百六十五斤以十六两乗之纳三两得一万五千四百四十三两以二十四铢乗之纳八铢得三十七万六百四十铢以五百六十五户除之得一户六百五十六铢以二十四铢除之得二十七两竒八铢以十六除之即得今有七百三十八户共请丝二十七斤五两问户得㡬何答曰一十四铢二絫一黍竒一铢二黍术曰列丝二十七斤以十六两乗之纳五两得四百三十七两又以二十四铢乗之得一万四百八十八铢以七百三十八户除之即得今有丝一两直钱五文有丝一百八十八斤一十两问计直㡬何答曰一十五贯九十文术曰列丝一百八十八斤以一十六两乗之纳十两得三千一十八两以五文乗之即得今有丝九两得绢一疋有丝三百二十四斤问计得㡬何答曰五百七十六疋术曰列三百二十四斤以十六两乗之得五千一百八十四两以九两除之即得今有生丝一斤为练丝一十二两有练丝一千五百八十七两问生丝㡬何答曰二千一百一十六两术曰列练丝一千五百八十七两以十六两乗之得二万五千三百九十二两以十二两除之即得今有贵丝一两直钱五十六文贱丝一两直钱四十二文有钱一百三十一贯八百一十文问各得㡬何答曰各二钧二十四斤一两术曰列钱一百三十一贯八百一十文为实并丝贵贱价得九十八文为法以法除实得丝一千三百四十五两以十六两除之得八十四斤余一两次置之以三十斤除之即得今有锦一疋直钱八贯问一丈一尺一寸各直㡬何答曰一丈二贯文一尺二百文一寸二十文术曰列钱八贯以四十尺除之即尺价进位即丈价退位即寸价今有金二斤令九十六人分之问人得㡬何答曰八铢术曰列金二斤以十六两乗之得三十二两又以二十四铢乗之得七百六十八铢(案原本脱得字今补)以九十六人除之即得今有钱二百三十八贯五百七十三文足欲为九十二陌问得㡬何答曰二百五十九贯三百一十八文竒足钱四分四牦术曰列钱二百三十八贯五百七十三文足以九十二除之即得五曹算经卷五◆ 《五经算术-北周-》（KR3f0037）
## 目录
钦定四库全书 子部六
五经算术目录 天文算法类二(算书之属)卷上尚书定闰法推日月合宿法求一年定闰法求十九年七闰法尚书孝经兆民注数越次法诗伐檀毛郑注不同法诗丰年毛注数越次法周易策数法论语千乘之国法周官车葢法仪礼丧服绖带法丧服制食米溢数法礼记王制国及地法求经云古者百里当今一百二十一里六十步四尺二寸二分法求郑氏注云古者百亩当今一百五十六亩二十五步依郑计之法求郑注云古者百里当今一百二十五里法卷下礼记月令黄钟律管法礼记礼运注始于黄钟终于南吕法礼运一本注始于黄钟终于南事法汉书终于南事算之法礼记投壶法推春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法推积日法求次月朔法推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法求次气法推文公元年岁在乙未閠当在十月下而失在三月法推閠余十三在何月法推文公六年岁在庚子是岁无閠而置閠法推襄公二十七年岁在乙卯再失閠法推绛县老人生经四百四十五甲子法推文公十一年岁在乙巳夏正月甲子朔绛县老人生月法推积日法推昭公十九年闰十二月后而以闰月为正月故以正月为二月法推积日法推昭公十九年岁在戊寅闰在十二月下法推昭公十九年岁在戊寅月朔法推昭公二十年岁在己卯月朔法推昭公二十年岁在己卯正月己丑朔旦冬至而失云闰二月己丑冬至法推哀公十二年岁在戊午应置闰而不置故书十二月有螽法求十二年闰月法(臣)等谨案五经算术二卷北周甄鸾撰唐李淳风为之注鸾长于步算仕北周为司隶校尉汉中郡守尝撰周天和年厯及注九章五曹孙子周髀等算经不闻其有是书而隋书经籍志有五经算术一卷五经算术录遗一卷皆不著撰人姓名唐艺文志则有李淳风注五经算术二卷亦不言其书为谁撰今攷是书举尚书孝经诗易论语三礼春秋之待算乃明者列之而推算之术悉加甄鸾按三字于上则是书当即鸾所撰又攷淳风当贞观初奉诏与算学博士梁述助教王真儒等刋定算经立于学官唐选举志及百官志竝列五经算为算经十书之一与周髀共限一年习肄及试士各举一条为问此书注端悉有臣淳风等谨按字然则唐时算科之五经算即是书矣是书世无传本惟散见于永乐大典中虽割裂失次尚属完书据淳风注于尚书推定闰条自言其解释之例则知发端于此又如论语千乘之国周官葢弓宇曲竝用开方之术详于前而略于后循其义例以各经之叙推之其旧第尚可以攷见谨依唐艺文志所载之数厘为上下二卷其中采摭经史多唐以前旧本如引司马彪志序论十二律各统一月当月者各自为宫今本后汉志统讹作终月讹作日革木之声今志讹作草木阳下生阴阴上生阳始于黄钟终于中吕今志脱始于黄钟四字律为寸于准为尺律为分于准为寸下文承准寸言不盈者十之所得为分今志脱律为分于准为寸二句礼记义疏引志脱误亦然又两引上生不得过黄钟之浊下生不得不及黄钟之清申之曰是则上生不得过九寸下生不得减四寸五分与蔡邕月令章句谓黄钟少宫管长四寸五分者合且足证中央土律中黄钟之宫乃黄钟清律不得溷同于仲冬月律中黄钟为最长之浊律吕氏春秋先制黄钟之宫次制十有二筒亦黄钟有清律之证今志作上生不得过黄钟之清浊下生不得及黄钟之数实因清字讹衍在上后人改窜其下揆诸律法遂不可通葢是书不特为算家所不废实足以发明经史核订疑义于攷证之学尤为有功焉乾隆四十五年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总校 官 (臣)陆 费 墀
## 卷上
钦定四库全书五经算术卷上周 甄 鸾 撰唐 李淳风 注尚书定闰法帝曰咨汝羲暨和朞三百有六旬有六日以闰月定四时成岁孔氏注云咨嗟曁与也帀四时曰朞一岁十二月月三十日(案原本脱一月字今据书孔传补)正三百六十日除小月六为六日是为一岁(案原本作是为岁脱一字今据书孔传补)有余十二日未盈三岁足得一月则置闰焉以定四时之气节成一岁之厯象甄鸾按一岁之闰惟有十日九百四十分日之八百二十七而云余十二日者理则不然何者十九年七闰今古之通轨以十九年整得七闰更无余分故以十九年为一章今若一年有余十二日则十九年二百二十八日若七月皆小则賸二十五日若七月皆大犹余十八日先推日月合宿以定一年之闰则十九年七闰可知推日月合宿法置周天三百六十五度于上四分度之一于下又置月行十三度十九分度之七除其日一度余十二度以月分母十九乘十二度积二百二十八内子七(案内郎纳字古通用)得二百三十五为章月以度分母四乘章月得九百四十为日法又以四分乘度三百六十五内子一得一千四百六十一乃以月行分母十九乘之得二万七千七百五十九为周天分以日法九百四十除之得二十九日不尽四百九十九即是一月二十九日九百四十分日之四百九十九与日合宿也求一年定闰法置一年十二月以二十九日乘之得三百四十八日又置十二月以日分子四百九十九乘之得五千九百八十八以日法九百四十除之得六日从上三百四十八日得三百五十四日余三百四十八以三百五十四日减周天三百六十五度不尽十一日又以余分三百四十八减章月二百三十五而章月少不足减上减一日加下日法九百四十分得一千一百七十五以实余三百四十八乃减下法余八百二十七是为一岁定闰十日九百四十分日之八百二十七臣淳风等谨按此五经算一部之中多无设问及术直据本条畧陈大数而已今竝加正术及问仍旧数相符其有泛说事由不须术者竝依旧不加据此问宜云注一岁有余十二日未盈三岁足得一月则置闰焉按十九年为一章有七闰问一年之中定闰几何曰十日九百四十分日之八百二十七其术宜云置十二月以章法十九乘之纳七闰为章月以四乘之为蔀月又置周天分以十九乘之为蔀日以蔀月除之得一月之日及分以十二乘之所得以减周天分余即一年闰数也求十九年七闰法置一年闰十日以十九年乘之得一百九十日又以八百二十七分以十九年乘之得一万五千七百一十三以日法九百四十除之得十六日余六百七十三以十六加上日得二百六日以二十九除之得七月余三日以法九百四十乘之得二千八百二十以前分六百七十三加之得三千四百九十三以四百九十九命七月分之适尽是谓十九年得七闰月月各二十九日九百四十分日之四百九十九臣淳风等谨按其问宜云一年闰十日九百四十分(案原本讹作九百四分脱十字今补)日之八百二十七一月二十九日九百四十分日之四百九十九问一章十九年凡闰日及月数各几何曰闰二百六日九百四十分日之六百七十三闰月有七其术宜云置一年闰日通分内子以章法十九乘之为实以日法九百四十除之得闰日数以一月之分二万七千七百五十九除之得闰月之数尚书孝经兆民注数越次法天子曰兆民诸侯曰万民甄鸾按吕刑云一人有庆兆民頼之注云亿万曰兆天子曰兆民诸侯曰万民又按周官乃经土地而井牧其田野九夫为井四井为邑四邑为邱四邱为甸四甸为县四县为都以任地事而令贡赋凡税敛之事所以必共井者存亾更守入出相伺嫁娶相媒有无相贷疾病相忧缓急相救以所有易以所无也兆民者王畿方千里自乘得兆井(案原李作得之兆井衍之)(字今删)王畿者因井田立法(案原本讹作因井田之立法衍之字今删)故曰兆民若言兆井之民也如以九州地方千里者九言之则是九兆其数不越于兆也诸侯曰万民者公地方百里自乘得一万井故曰万民所以言侯者诸侯之通称也按注云亿万曰兆者理或未尽何者按黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者谓亿兆京垓秭壤沟涧正载也三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变者言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也若以下数言之则十亿曰兆若以中数言之则万万亿曰兆若以上数言之则亿亿曰兆注乃云亿万曰兆者正是万亿也若从中数其次则须有十万亿次百万亿次千万亿次万万亿曰兆三数竝违有所未详按尚书无此注故从孝经注释之(案今孝经亦无此注考天子曰兆民诸侯曰万民本左氏春秋闵公元年)(卜偃之语郑康成注内则降徳于众兆民云万亿曰兆天子曰兆民诸侯曰万民然则此所引尚书及孝经注)(皆郑氏说也)诗伐檀毛郑注不同法不稼不穑胡取禾三百亿兮不狩不猎胡瞻尔庭有县特兮注云万万曰亿兽三岁曰特笺云十万曰亿三百亿禾秉之数也甄鸾按黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者谓亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也据此而言郑用下数毛用中数矣诗丰年毛注数越次法丰年多黍多稌亦有髙廪万亿及秭毛注云丰大稌稲廪所以藏齍盛之穗数万至万曰亿数亿至亿曰秭笺云丰年大有之年万亿及秭以言榖数多也甄鸾按毛注云数万至万曰亿者此即是中数万万曰亿也又云数亿至亿曰秭者或有可疑何者按黄帝数术云中数者万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京万万京曰垓万万垓曰秭此应云数亿至垓曰秭而言数亿至亿曰秭者有所未详周易策数法凡天地之数五十有五此所以成变化而行鬼神也干之策二百一十有六坤之策百四十有四凡三百有六十当朞之日二篇之策万有一千五百二十当万物之数也是故四营而成易十有八变而成卦八卦而小成引而伸之触类而长之天下之能事毕矣甄鸾按天以一生水地以二生火天以三生木地以四生金天以五生土天数竒二十五地数耦三十并天地之数合五十五谓之大衍之数揲蓍得干者三十六策然后得九一爻爻有三十六策合二百一十六揲蓍得坤者二十四策然后得六一爻爻有二十四策合一百四十四并干坤之策三百六十当一朞之日者举全数也上下经有六十四卦卦有六爻合三百八十四爻阴阳各半阳爻称九阴爻称六九六各百九十二也阳爻以三十六策乘之得六千九百一十二阴爻以二十四策乘之得四千六百八并阴阳之策合得一万一千五百二十也四营者仰象天俯法地近取诸身远取诸物也十八变者三变而成爻十八变而六爻也八卦而小成者言虽成易犹未备也论语千乘之国法子曰道千乘之国注云司马法六尺为步步百为畆畆百为夫夫三为屋屋三为井井十为通通十为成成出革车一乘然则千乘之赋其地千成也今有千乘之国其地千成计积九十亿步问为方几何答曰三百一十六里六十八步一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六术曰置积步为实开方除之即得按千乘之国其地千成方十里置一成地十里以三百步乘之得三千步重张相乘得九百万步又以千成乘之得积九十亿步以开方除之即得方数也开方法曰借一算为下法步之常超一位至万而止置上商九万于实之上又置九亿于实之下下法之上名曰方法命上商九万以除实毕倍方法九亿得十八亿乃折之方法一折下法再折又置上商四千于上以次前商之后又置四百万于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商四千以除实毕倍隅法得八百万上从方法得一亿八千八百万乃折之方法一折下法再折又置上商八百于上以次前商之后又置八万于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八百以除实毕倍隅法得十六万上从方法得一千八百九十六万乃折之方法一折下法再折又置上商六十于上以次前商之后又置六百于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商六十以除实毕倍隅法得一千二百上从方法得一百八十九万七千二百乃折之方法一折下法再折又置上商八于上以次前商之后又置八于方法之下下法之上名曰隅法方隅皆命上商八以除实毕倍隅法得一十六上从方法下法一亦从之得一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六以里法三百步除之得三百一十六里不尽六十八步即得方三百一十六里六十八步一十八万九千七百三十七分步之六万二千五百七十六也周官车葢法参分弓长以其一为之尊注云尊高也六尺之弓近部平者二尺(案原本脱此六字今据周礼注补)爪末下于部二尺二尺为句(案此四字原本讹作为句也三字今据周礼注补正)四尺为弦求其股股十二(案此六字原本讹作其股十二四字今据周礼注补正)开方除之面三尺几半甄鸾按句股之法横者为句直者为股邪者为弦若句三则股四而弦五此自然之率也今此车葢句二弦四则股三此亦自然之率矣求之法句股各自乘并而开方除之即弦也股自乘以减弦自乘其余开方除之即句也句自乘以减弦自乘其余开方除之即股也假令句三自乘得九股四自乘得十六倂之得二十五开方除之得五弦也股四自乘得十六弦五自乘得二十五以十六减之余九开方除之得三句也句三自乘得九弦五自乘得二十五以九减之余十六开方除之得四股也今车葢崇二尺弓四尺以崇下二尺为句弓四尺为弦为之求股求股之法句二尺自乘得四弦四尺自乘得十六以四减十六余十二开方除之得三即股三尺也余三倍方法三得六又以下法一从之得七即股三尺七分尺之三故曰几半也臣淳风等谨按其问宜云车葢之弓长六尺近上二尺连部而平(案部原本讹作步考周礼注云六尺之弓近部平者二尺即此所本今订正)为高四尺邪下宇曲为弦爪末下于部二尺为句欲求其股问股几何曰三尺七分尺之三术曰句自乘以减弦自乘其余开方除之即得股也仪礼丧服绖带法苴绖大搹左本在下(案原本讹作左平在下今据仪礼改正)去五分一以为带齐衰之绖斩衰之带也去五分一以为带大功之绖齐衰之带也去五分一以为带小功之绖大功之带也去五分一以为带缌麻之绖小功之带也去五分一以为带注云盈手曰搹搹㧖也中人之㧖围九寸以五分一为杀者象五服之数今有五服衰绖迭相差减五分之一其斩衰之绖九寸问齐衰大功小功缌麻绖各几何答曰齐衰七寸五分寸之一大功五寸二十五分寸之十九小功四寸一百二十五分寸之七十六缌麻三寸六百二十五分寸之四百二十九甄鸾按五分减一者以四乘之以五除之置斩衰之绖九寸以四乘之得三十六为绖实以五除之得齐衰之绖七寸五分寸之一以母五乘绖七寸得三十五内子一得三十六以四乘之得一百四十四为实以五乘下母五得二十五为法除之得大功绖五寸二十五分寸之十九以母二十五乘绖五寸得一百二十五内子十九得一百四十四以四乘之得五百七十六为实以五乘下母二十五得一百二十五为法以除之得小功绖四寸一百二十五分寸之七十六以母一百二十五乘绖四寸得五百内子七十六得五百七十六又以四乘之得二千三百四为实以五乘下母一百二十五得六百二十五为法以除之得缌麻之绖三寸六百二十五分寸之四百二十九臣淳风等谨按其术宜云置斩衰之绖九寸以四乘之丘而一得齐衰之绖其求大功已下者准此有分者同而通之即合所问丧服制食米溢数法朝一溢米夕一溢米注云二十两曰溢一溢为米一升二十四分升之一甄鸾按一溢米一升二十四分升之一法置一斛米重一百二十斤以十六乘之为积一千九百二十两以溢法二十两除之得九十六溢为法以米一斛为百升为实实如法得一升不尽四升与法俱再半之名曰二十四分升之一称法三十斤曰钧四钧曰石石有一百二十斤也所以名斛为石者以其一斛米重一百二十斤故也臣淳风等谨按其问宜云丧服朝一溢米夕一溢米郑注云二十两曰溢为米一升二十四分升之一欲求其指如何术曰置一斛升数为实又置一斛米重斤数以斤法十六两乘之所得以溢法二十除之为法实如法得一升不尽者与法俱再半之即得分也礼记王制国及地法凡四海之内有九州大界方三千里三三而九计方一千里者有九也今为里田之法方一千里为广一里则长一百万里也分方一千里为畿内余为八州州各得方一千里各以方里自乘为积里诸国皆倣方一百里国三十一国万里(方百里自相乘)三十国合三十万里方七十里国六十一国四千九百里六十国合二十九万四千里方五十里国一百二十一国二千五百里一百二十国合三十万里上法一州有二百一十国合地八十九万四千里以减一州之地大数一百万里余一十万六千里为闲田此据一州而言若八州则地七百一十五万二千里以减八州八百万里余八十四万八千里为闲田臣淳风等谨按其问宜云今有州方千里其中封百里之国三十七十里之国六十五十里之国百二十问三等国别及当色总数并都合积里余为闲田得地几何曰百里之国一国得积万里总积三十万里七十里之国一国得积四千九百里总积二十九万四千里五十里之国一国得积二千五百里总积三十万里都合得积八十九万四千里闲田积十万六千里术宜云置方里各自乘为一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之即都合积里以减一州方里自乘大数余即闲田也畿内方百里国九一国万里九国合九万里方七十里国二十一一国四千九百里二十一国合十万二千九百里方五十里国六十三一国二千五百里六十三国合十五万七千五百里上法畿内有九十三国计地三十五万四百里以减一百万里余六十四万九千六百里为闲田以八州之地七百一十五万二千里并畿内三十五万四百里九州之国合地七百五十万二千四百里以减九州之地大数九百万里余一百四十九万七千六百里为闲田此商制也臣淳风等谨按其问宜云今有畿内方千里其中封百里之国九七十里之国二十一五十里之国六十三问三等国别及当色总数并畿内都合积里余为闲田各几何曰百里之国一国得积万里总九万里七十里之国一国积四千九百里总十万二千九百里五十里之国一国积二千五百里总十五万七千五百里都合积三十五万四百里闲田积六十四万九千六百里其术宜云方里各自乘为一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之即都合积里以减畿内方里自乘大数余即闲田也郑注云周公制礼九州大界方七千里七七四十九即四千九百万里计方一千里者四十九也分方千里为畿内余为八州州各得一千里者六一州合地六百万里方五百里国四一国二十五万里四国合一百万里方四百里国六一国十六万里六国合九十六万里方三百里国十一一国九万里十一国合九十九万里方二百里国二十五一国四万里二十五国合一百万里方一百里国一百六十四一国一万里一百六十四国合一百六十四万里上法一州二百一十国计地五百五十九万里以减一州之地大数六百万里余四十一万里为附庸闲田按周礼据千里为法则公国四侯国六伯国十一子国二十五男国一百六十四合二百一十国者非周之数矣据地方一千里为地一百万里五国合为地五百万里方百里者五十九方百里为地一万里五十九国合为地五十九万里上二法计得地五百五十九万里容前二百一十国余方百里者四十一方百里为地一万里百里之国四十一为地四十一万里上据地以下三法合地六百万里一州之大数臣淳风等谨按其问宜云今有一州方千里者六其中封方五百里之国四四百里之国六三百里之国十一二百里之国二十五一百里之国一百六十四问五等国别及当色总数并都合积里余为附庸闲田各几何曰五百里之国四一国得积二十五万里总积一百万里四百里之国六一国十六万里总九十六万里三百里之国十一一国九万里总九十九万里二百里之国二十五一国四万里总一百万里一百里之国一百六十四一国一万里总一百六十四万里都合二百一十国总积五百五十九万里附庸间田积四十一万里术宜云置五等方里各自乘得一国之积里各以本方国数乘之得当方总数并之得都合积里以减一州方里自乘积一百万里余四十一万里即附庸闲田古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步古者百亩当今东田百四十六亩三十歩古者百里当今百二十一里六十歩四尺二寸二分注云周尺之数未之详闻按礼制周犹以十寸为尺盖六国时多变乱法度或言周尺八寸则歩更为八八六十四寸以此计之古者百亩当今百五十六亩二十五歩古者百里当今百二十五里也甄鸾按古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为歩古者一百亩当今东田一百四十六亩三十步计之法置古步八尺以八寸乘之为六十四寸自相乘得四千九十六寸为古步法又置今步六尺以八寸乘之内四寸得五十二寸自相乘得二千七百四寸为今步法置田一百亩以百步乘之得一万步以古步法乘之得四千九十六万寸为实以今歩法二千七百四寸除之得一万五千一百四十七步不尽二千五百一十二寸约之得一百六十九分步之一百五十七以亩法一百步除积步得一百五十一亩余四十七步及分以经中东田一百四十六亩三十步减之计賸五亩一十七步及分此即经自不合臣淳风等谨按其问宜云古者以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步周制八寸为尺问古者百亩当今几亩又与经中当今亩数所较几何曰一百五十一亩四十七步一百六十九分步之一百五十七多于经中五亩一十七步一百六十九分步之一百五十七术宜云置古步尺数以八寸乘之又自相乘为古步法又置今步尺数亦以八寸乘之内子自相乘为今步法列田百亩步数以古步法乘之今步法除之所得以经中当今亩数减之余即所多之数求经云古者百里当今一百二十一里六十步四尺二寸二分法置百里以三百步乘之得三万步以古一步六十四寸乘之得一百九十二万寸以今步法五十二寸除之得三万六千九百二十三步余四寸以里法三百步除积步得一百二十三里不尽二十三步四寸以经中一百二十一里六十步四尺二寸二分减之计賸一里二百六十二步一尺三寸八分亦经自不合臣淳风等谨按其问宜云周制八寸为尺古以周尺八尺为步今以周尺六尺四寸为步问古者百里当今几里又与经中当今里数所较几何曰一百二十三里二十三步四寸多于经中一里二百六十二步一尺三寸八分术宜云置百里步数以古步寸数乘之以今步寸数除之以里法三百步除之即得以经中当今里数减之余即所多之数求郑氏注云古者百亩当今一百五十六亩二十五步依郑计之法置经中古者八十寸今六十四寸相约古步率得五今步率得四古步率五自乘得二十五为古步法今步率四自乘得十六为今步法置田一百亩为一万步以古步法二十五乘之得二十五万以今步法十六除之得一万五千六百二十五步以亩法一百步除之得一百五十六亩不尽二十五步臣淳风等谨按其问宜云郑注礼王制周犹以十寸为尺或言周尺八寸则步更为八八六十四寸以此计之古者百亩当今一百五十六亩二十五步欲求其旨趣如何术宜云置古步寸数与今步寸数相约所得各自为率二率各自乘为步法又列田百亩步数以古步法乘之今步法除之即得求郑注云古者百里当今一百二十五里法置一百里以三百步乘之得三万步以古步率五乘之得一十五万为实以今步率四乘里法三百步得一千二百为法实如法而一得一百二十五里按经自不合郑注又不与经同未详所以臣淳风等谨按其问宜云郑意以周犹以十寸为尺或谓周尺八寸以此计之古者百里当今一百二十五里求其旨趣如何术宜云以今步寸数等约古步寸数各自为率古步率得五今步率得四置百里步数以古步率乘之以今步率四而一以里法三百步除之即得五经算术卷上
## 卷下
钦定四库全书五经算术卷下周 甄 鸾 撰唐 李淳风 注礼记月令黄钟律管法黄钟术曰置一算以三九徧因之为法置一算以三因之得三又三因之得九又三因之得二十七又三因之得八十一又三因之得二百四十三又三因之得七百二十九又三因之得二千一百八十七又三因之得六千五百六十一又三因之得一万九千六百八十三为法即是黄钟一寸之积分重张其位于上以三再因之为黄钟之实以法除之得黄钟十一月管长九寸置黄钟一寸积分一万九千六百八十三以三因之得五万九千四十九又置五万九千四十九以三因之得十七万七千一百四十七为黄钟之实以寸法一万九千六百八十三除实得黄钟之管长九寸律管之法隔八相生子午已东为上生子午已西为下生上生者三分益一下生者三分损一益者四乘三除损者二乘三除黄钟下生林钟六月管长六寸置黄钟管长九寸以二乘之得十八以三除之得林钟管长六寸林钟上生太蔟正月管长八寸置林钟管长六寸以四乘之得二十四以三除之得太蔟管长八寸太蔟下生南吕八月管长五寸三分寸之一置太蔟之管八寸以二乘之得十六以三除之得南吕之管长五寸三分寸之一南吕上生姑洗三月管长七寸九分寸之一置南吕管长五寸以分母三乘之内子一得十六以四乘之得六十四以三乘法三得九为法以除之得姑洗之管长七寸九分寸之一姑洗下生应钟十月管长四寸二十七分寸之二十置姑洗管长七寸以分母九乘之内子一得六十四以二乘之得一百二十八以分母九乘法三得二十七为法以除之得应钟之管长四寸二十七分寸之二十应钟上生蕤宾五月管长六寸八十一分寸之二十六置应钟管长四寸以分母二十七乘之内子二十得一百二十八以四乘之得五百一十二以分母二十七乘法三得八十一为法除之得蕤宾管长六寸八十一分寸之二十六蕤宾上生大吕十二月管长八寸二百四十三分寸之一百四置蕤宾管长六寸以分母八十一乘之内子二十六得五百一十二以四乘之得二千四十八为实以分母八十一乘法三得二百四十三为法除之得大吕之管长八寸二百四十三分寸之一百四大吕下生夷则七月管长五寸七百二十九分寸之四百五十一置大吕管长八寸以分母二百四十三乘之内子一百四得二千四十八以二乘之得四千九十六为实以分母二百四十三乘法三得七百二十九为法除之得夷则管长五寸七百二十九分寸之四百五十一夷则上生夹钟二月管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五置夷则管长五寸以分母七百二十九乘之内子四百五十一得四千九十六以四乘之得一万六千三百八十四为实以分母七百二十九乘法三得二千一百八十七为法除之得夹钟管长七寸二千一百八十七分寸之一千七十五夹钟下生无射九月管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四置夹钟管长七寸以分母二千一百八十七乘之内子一千七十五得一万六千三百八十四以二乘之得三万二千七百六十八为实以分母二千一百八十七乘法三得六千五百六十一为法除之得无射管长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四无射上生中吕四月管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四置无射管长四寸以分母六千五百六十一乘之内子六千五百二十四得三万二千七百六十八以四乘之得十三万一千七十二为实以分母六千五百六十一乘法三得一万九千六百八十三为法除之得中吕之管长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四礼记礼运注始于黄钟终于南吕法五行之动迭相竭五行四时十二月还相为本五声六律十二管还相为宫五味六和十二食还相为滑(案今礼记)(正文作质郑注云五味酸苦辛咸甘也和之者春多酸夏多苦秋多辛冬多咸皆有滑甘是谓六和盖五味加)(滑而六据内则曰滫㵦以滑之疏云滫㵦之令柔滑也食味言还相为滑衣色言还相为质质如凡画者丹质)(之质食味衣色二者语宜有别此所引在唐以前应是古本作滑仍之以备参考)五色六章十二衣还相为质注云竭犹负载也言五行运转更相为始五声宫商角徵羽其管阳曰律隂曰吕布在十二辰始于黄钟九寸下生者三分去一上生者三分益一终于南吕更相为宫凡六十律甄鸾按五声六律十二管还相为宫终于南吕黄钟为宫林钟为征太蔟为商南吕为羽姑洗为角林钟为宫太蔟为征南吕为商姑洗为羽应钟为角太蔟为宫南吕为征姑洗为商应钟为羽蕤宾为角南吕为宫姑洗为征应钟为商蕤宾为羽大吕为角姑洗为宫应钟为征蕤宾为商大吕为羽夷则为角应钟为宫蕤宾为征大吕为商夷则为羽夹钟为角蕤宾为宫大吕为征夷则为商夹钟为羽无射为角大吕为宫夷则为征夹钟为商无射为羽中吕为角夷则为宫夹钟为征无射为商中吕为羽黄钟为角夹钟为宫无射为征中吕为商黄钟为羽林钟为角无射为宫中吕为征黄钟为商林钟为羽太蔟为角中吕为宫黄钟为征林钟为商太蔟为羽南吕为角甄鸾按礼记注一本乃有云始于黄钟终于南事者更显之于后礼运一本注始于黄钟终于南事法甄鸾按司马彪律厯志黄钟下生林钟林钟上生太蔟太蔟下生南吕南吕上生姑洗姑洗下生应钟应钟上生蕤宾蕤宾上生大吕大吕下生夷则夷则上生夹钟夹钟下生无射无射上生中吕中吕上生执始执始下生去灭去灭上生时息时息下生结躬结躬上生变虞变虞下生迟内迟内上生盛变盛变上生分否分否下生解形解形上生开时开时下生闭掩闭掩上生南中南中上生丙盛丙盛下生安度安度上生屈齐屈齐下生归期归期上生路时路时下生未育未育上生离宫离宫上生凌隂凌隂下生去南去南上生族嘉族嘉下生邻齐邻齐上生内负(案原本讹作内贠下同今据后汉书改正)内负上生分动分动下生归嘉归嘉上生随期随期下生未卯未卯上生形始形始下生迟时迟时上生制时制时上生少出少出下生分积分积上生争南争南下生期保期保上生物应物应上生质末质末下生否与否与上生形晋(案原本讹作下生形晋今据后汉书改正)形晋下生夷汗夷汗上生依行依行上生色育色育下生谦待谦待上生未知未知下生白吕白吕上生南授南授下生分乌分乌上生南事南事不生汉书终于南事算之法甄鸾按司马彪志序云汉兴北平侯张苍首治律厯孝武正乐置协律之官至元始中博征通知钟律者攷其意义刘歆典领条奏前史班固取以为志而元帝时郎中京房知五声之音六律之数上使太子太傅元成谏议大夫章杂试问房于乐府房对受学故小黄令焦延夀六十律相生之法以上生下皆三生二以下生上皆三生四阳下生隂阴上生阳始于黄钟(案后汉书今本及见于礼记疏)(者皆无始于黄钟四字此所引乃全文可补二书脱误)终于中吕而十二律毕矣中吕上生执始执始下生去灭上下相生终于南事六十律毕矣夫十二律之变至于六十犹八卦之变至于六十四也宓羲作易纪阳气之初以为律法建日冬至之声以黄钟为宫太蔟为商姑洗为角林钟为征南吕为羽应钟为变宫蕤宾为变徵此声气之元五音之正也故各统一月(案后汉书今本讹作各终一日下当月者讹作当日者攷律法十二律分十二)(月各自为宫而商征以类从是一律统一月也礼记疏引作各统一日下仍作当月者惟此所引无舛误可据)(以订正二书)其余以次运行当月者各自为宫而商征以类从焉礼运篇曰五声六律十二管还相为宫此之谓也以六十律分朞之日黄钟自冬至始及冬至而复阴阳寒燠风雨之占生焉所以检摄群音考其高下苟非革木之声(案革木后汉书今本讹作草木当以此所引为正)则无不有所合作声不可以度调故作准以定数准之状如瑟长丈而十三弦隐间九尺以应黄钟之律九寸中央一弦下有画分寸以为六十律清浊之节律术曰阳以圆为形其性动阴以方为节其性静动者数三静者数二以阳生阴倍之以阴生阳四之皆三而一阳生阴曰下生阴生阳曰上生上生不得过黄钟之浊下生不得不及黄钟之清(案后复引此二语下云是则上生不得过九寸下生不得减四寸五分攷蔡邕月令章句云黄钟之宫谓黄钟)(少宫也半黄钟九寸之数管长四寸五分盖九寸者黄钟全律四寸五分者黄钟半律后汉书今本作上生不)(得过黄钟之清浊下生不得及黄钟之数实讹谬不可通当是传写致舛校书者因有所窜改此所引犹善本)(未讹者也)皆参天两地圆盖方覆六耦承竒之道也黄钟律吕之首而生十二律者也其相生也皆三分而损益之是故十二律之得十七万七千一百四十七是为黄钟之实如前置一算以三九徧因之得一万九千六百八十三为黄钟一寸之积分即为一寸之法即以三再因之得一十七万七千一百四十七为黄钟之实以寸法除之得黄钟之管长九寸又以二乘而三约之是谓下生林钟之实置黄钟之实一十七万七千一百四十七以二因之得三十五万四千二百九十四以三除之得一十一万八千九十八为林钟之实以寸法一万九千六百八十三除之得林钟之管长六寸又以四乘而三约之是谓上生太蔟之实置林钟之实十一万八千九十八以四因之得四十七万二千三百九十二以三除之得十五万七千四百六十四为太蔟之实以寸法一万九千六百八十三除之得太蔟之管长八寸自余诸管上下相生皆倣此推此上下以定六十律之实以九三之数(案数原本讹作得今据后汉书改正)万九千六百八十三为法实如法于律为寸于准为尺(案尺字原本讹作寸今据后汉书改正)于律为分于准为寸(案后汉书今本无此二语攷下云不盈者十之所得为分正承于准为寸句谓不盈)(寸也当是后汉书脱落此所引乃全文)不盈者十之所得为分又不盈十之所得为小分以其余正其强弱子黄钟实十七万七千一百四十七律九寸下生林钟臣淳风等谨案此六十律上下相生之法空有都术而无问目今于此下附一都问自余诸律问皆准此其问宜云黄钟实一十七万七千一百四十七律长九寸下生林钟实律各㡬何曰实一十一万八千九十八律长六寸色育实十七万六千七百七十六律八寸九分(小分八微强)下生谦待执始实十七万四千七百六十二律八寸八分(小分七太强)下生去灭丙盛实十七万二千四百一十律八寸七分(小分六微弱)下生安度分动实十七万八十九律八寸六分(小分四微强)下生归嘉质末实十六万七千八百律八寸五分(小分二半强)下生否与丑大吕实十六万五千八百八十八律八寸四分(小分三弱)下生夷则分否实十六万三千六百五十四律八寸三分(小分一强)下生解形凌阴实十六万一千四百五十二律八寸二分(小分一弱)下生去南(案此句之上原本脱小分一弱四字今据后汉书补)少出实十五万九千二百八十律八寸(小分九少强)下生分积寅太蔟实十五万七千四百六十四律八寸下生南吕未知实十五万七千一百三十四律七寸九分(小分八强)下生白吕时息实十五万五千三百四十四律七寸八分(小分九少强)下生结躬屈齐实十五万三千二百五十三律七寸七分(小分九弱)下生归期随期实十五万一千一百九十律七寸六分(小分八微强)下生未卯形晋实十四万九千一百五十六(案六后汉书作五据否与上生形晋所得)(数末位为六今本后汉书盖流传之讹当以此所引为正)律七寸五分(小分八弱)下生夷汗卯夹钟实十四万七千四百五十六律七寸四分(小分九微)(强)下生无射开时实十四万五千四百七十律七寸三分(小分九微强)下生闭掩族嘉实十四万三千五百一十三律七寸二分(小分九微强)下生邻齐争南实十四万一千五百八十二律七寸一分(小分九强)下生期保辰姑洗实十三万九千九百六十八律七寸一分(小分一微)(强)下生应钟南授实十三万九千六百七十四(案后汉书无四字据白吕上生南授所得)(数末二位为七十四今本后汉书盖脱去四字当以此所引为正)律七寸(小分九太强)下生分乌变虞实十三万八千八十四律七寸(小分一半强)下生迟内路时实十三万六千二百二十五律六寸九分(小分二微强)下生未育形始实十三万四千三百九十二律六寸八分(小分三弱)下生迟时依行实十三万二千五百八十二律六寸七分(小分三半强)上生色育巳中吕实十三万一千七十二律六寸六分(小分六微弱)上生执始南中实十二万九千三百八律六寸五分(小分七微弱)上生丙盛内负实十二万七千五百六十七律六寸四分(小分八微强)上生分动物应实十二万五千八百五十律六寸三分(小分九强)上生质末午蕤宾实十二万四千四百一十六律六寸三分(小分二微)(强)上生大吕南事实十二万四千一百五十四律六寸三分(小分一弱)不生(案不今本后汉书讹作下据六十律终于南事故下文云南事穷无商征不为宫所以明其不生也又甄)(鸾按以下复两引后汉志注云不生而辨论之足证今本后汉书流传之误)盛变实十二万二千七百四十一律六寸二分(小分三半强)上生分否离宫实十二万一千八百一十九(案原本讹作一千八十九脱百一二字今)(据后汉书补)律六寸一分(小分五微强)上生凌阴制时实十一万九千四百六十律六寸(小分七微弱)上生少出未林钟实十一万八千九十八律六寸上生太蔟谦待实十一万七千八百五十一律五寸九分(小分九弱)上生未知去灭实十一万六千五百八律五寸九分(小分四微弱)上生时息安度实十一万四千九百四十律五寸八分(小分四微弱)上生屈齐归嘉实十一万三千三百九十三律五寸七分(小分六微强)上生随期否与实十一万一千八百六十七律五寸六分(小分八强)上上形晋(案原本脱此四字今据后汉书补)申夷则实十一万五百九十二律五寸六分(小分二弱)上生夹钟解形实十万九千一百三(案十万后汉书作十一万据分否下生解形所得数首位)(为十万次位空今本后汉书误衍一字耳若十一万九千一百三则律六寸矣当以此所引为正)律五寸五分(小分四强)上生开时去南实十万七千六百三十五律五寸四分(小分六太强)上生族嘉分积实十万六千一百八十七(案七后汉书作八据少出下生分积所得数末)(位六六六不尽故约之为七不得有八也今本后汉书讹舛当以此所引为正)律五寸三分(小分)(九强)上生争南酉南吕实十万四千九百七十六律五寸三分(小分三强)上生姑洗白吕实十万四千七百五十六律五寸三分(小分二少强)上生南授结躬实十万三千五百六十三律五寸二分(小分六微强)上生变虞归期实十万二千一百六十九律五寸一分(小分九微强)上生路时未卯实十万七百九十四律五寸一分(小分二微强)上生形始夷汗实九万九千四百三十七律五寸(小分五微强)上生依行戌无射实九万八千三百四律四寸九分(小分九强)上生中吕闭掩实九万六千九百八十律四寸九分(小分三弱)上生南中邻齐实九万五千六百七十五律四寸八分(小分六微强)上生内负期保实九万四千三百八十八律四寸七分(小分九半强)上生物应亥应钟实九万三千三百一十二律四寸七分(小分四微强)上生蕤宾分乌实九万三千一百一十六(案六后汉书作七据南授下生分乌所得数末)(为六今本后汉书讹舛当以此所引为正)律四寸七分(小分三微强)上生南事迟内实九万二千五十六律四寸六分(小分八强)上生盛变未育实九万八百一十七律四寸六分(小分一强)上生离宫迟时实八万九千五百九十五律四寸五分(小分五微强)上生制时(案以上小分以强弱少强微强微弱半强太强七等约言之未育之小分一强尾数一三有竒)(今本后汉书讹作一少强分积之小分九强尾数九三有竒今本后汉书讹作九半强少出之小分九少强尾)(数九二有竒白吕之小分二少强尾数二二有竒今本后汉书竝脱少字分动之小分四微强尾数四一有竒)(随期内负之小分八微强尾数八一有竒夹钟之小分九微强尾数九一有竒夷汗迟时之小分五微强尾数)(五一有竒今本后汉书竝脱微字结躬之小分六微强尾数六一有竒今本后汉书讹作六少强中吕之小分)(六微弱尾数五九有竒增而为六制时之小分七微弱尾数六九有竒增而为七安度之小分四微弱尾数三)(九有竒增而为四今本后汉书竝脱微字开时之小分九微强九之外尚竒零不尽今本后汉书讹作九微弱)(质末之小分二半强尾数二五有竒今本后汉书脱半字依行盛变之小分三半强尾数三五有竒今本后汉)(书竝讹作太强期保之小分九半强尾数九五有竒今本后汉书讹作九微强皆当以此书所引为正惟去灭)(之小分二微弱尾数一九有竒今本后汉书脱微字此所引二讹作四可以互相补正)甄鸾按刚柔殊节清浊异伦五音六律理无相夺隔八相生又如合契按司马彪志序云上生不得过黄钟之浊下生不得不及黄钟之清是则上生不得过九寸下生不得减四寸五分且依行者辰上之管也长六寸七分上生色育然则色育者亥上之管也长四寸四分减黄钟之清其名仍就下生之名其算变取上生之实乃越亥就子编于黄钟之下律长八寸九分非直名与实乖抑亦违例隔凡志又云始于黄钟终于南事注云不生且南事午上管也计南事之律次得上生八寸四分之管便是上生不过黄钟之浊乃注云不生此乃苟欲充六十之数其于义理未之前闻礼记投壶法壶颈修七寸腹修五寸口径二寸半容斗五升注云修长也腹容斗五升三分益一则为二斗得圆囷之象积三百二十四寸以腹修五寸约之所得求其圆周圆周二尺七寸有竒(案此句原本脱圆周二字今据礼记注补)是为腹径九寸有余甄鸾按斛法一尺六寸二分上十之得一千六百二十寸为一斛积寸下退一等得一百六十二寸为一斗积寸倍之得三百二十四寸为二斗积寸以腹修五寸约之得六十四寸八分乃以十二乘之得积七百七十七寸六分又以开方除之得圆周二十七寸余四十八寸六分倍二十七从方法得五十四下法一亦从方法得五十五以三除二十七寸得九寸又以三除不尽四十八寸六分得一十六寸二分与法俱上十之是为壶腹径九寸五百五十分寸之一百六十二母与子亦可俱半之为二百七十五分寸之八十一臣淳风等谨按其问宜云今有壶腹修五寸容斗五升三分益一则为二斗得圆囷之象问积寸之与周径各㡬何曰积三百二十四寸周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三径九寸二百七十五分寸之八十一术宜云置二斗以斗法乘之得积寸以腹修五寸除之所得以十二乘之开方除之得周数三约之即得径数推春秋鲁僖公五年正月辛亥朔法经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至(案此乃左氏传文后文公)(六年又㐮公二十七年两条皆称传与经别此作经云误也)南至冬至也冬至之日南极至(案此三字似有舛误周髀算经云日夏至在东井极内衡日冬至在牵牛极外衡也一岁一内)(极一外极)故谓之日南至也日中之时景最长以是表之(案此)(句有舛误当作以景度之)知其南至周官以土圭度日景以求地中夏至之日景尺有五寸冬至之日立八尺之木以为表度而知之公既视朔遂登观台以望云气而书礼也凡分至启闭必书云物为备故也(案此下或援经而不列算或仅有题题之下即)(淳风注似唐时正文已残缺矣)臣淳风等谨按此经皆有术无问今竝准其术意而加问焉其问宜云从周厯上元丁巳至僖公五年丙寅积二百七十五万九千七百六十九算(案原本脱算字今补)元法四千五百六十章岁十九章月二百三十五岁中十二闰余七周天分二万七千七百五十九日法九百四十问僖公五年正月朔闰余及大小余各㡬何并二月复是何朔曰闰余尽大余四十七小余二百三十五正月辛亥朔二月庚辰朔术曰置周厯上元丁巳至僖公五年岁在丙寅积二百七十五万九千七百六十九算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽九百六十九以章月二百三十五乘之得二十二万七千七百一十五以章岁十九除之得一万一千九百八十五为积月不尽为闰余闰余十二以上其岁有闰今闰余尽则知五年无闰推积日法置积月一万一千九百八十五以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿三千二百六十九万一千六百一十五为朔积分以日法九百四十除之得三十五万三千九百二十七为积日不尽二百三十五为小余以六十除积日得五千八百九十八弃之取不尽四十七为大余命以甲子算外即正月辛亥朔求次月朔法置正月朔大小余加朔大余二十九小余四百九十九若小余满日法九百四十除之从大余一满六十除之命以甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小余满四百四十一以上其月大减者小也推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法经云僖公五年春王正月辛亥朔日南至臣淳风等谨按术意其问宜云一年二十四气气有大余十五三十二分之七从周厯上元至僖公五年元余有九百六十九算度余五日四分度之一欲求此年朔旦冬至及算此气之法其术如何曰辛亥朔术曰置前推月朔积年九百六十九算以余数二十一乘之得二万三百四十九为实以度分母四除之得五千八十七为积日不尽一为小余以六十除积日得八十四弃之取不尽四十七为大余命以甲子算外辛亥冬至与正月朔同故曰朔旦冬至臣淳风等谨按术朞三百六十五日四分日之一以六十除之余五日四分日之一通之得二十一故名余数即与四为度法也求次气法加大余十五小分二十一小分满气法二十四从小余一小余满四从大余一大余满六十去之命以甲子算外次气日如是一加得一气臣淳风等谨按一年之中有二十四气欲求一气度者以二十四气除周天之分即得也然周天分母有四须以四乘之二十四气得九十六为法以除之得一气十五日九十六分日之二十一等数约之得三十二分之七也术曰小分二十一满气法从小余小余满四从大余者乃是不约其分不出分母虽合其数无所由来若求次气者宜云加大余十五小分七小分满三十二(案原本此句脱小字今补)从大余一如是一加得一气推文公元年岁在乙未闰当在十月下而失在三月法经云文公元年于是闰三月非礼也先王之正时也履端于始举正于中归余于终履端于始序则不愆举正于中民则不惑归余于终事则不悖(案此亦左氏传文作经云者误)臣淳风等谨按术意其问宜云从周厯上元丁巳至鲁文公元年岁在乙未积二百七十五万九千七百九十八算岁中十二闰余七问其年有闰与不若有闰复在何月下曰其年有闰在十月下术曰置周厯上元丁巳至鲁文公元年岁在乙未积二百七十五万九千七百九十八算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽九百九十八以章月二百三十五乘之得二十三万四千五百三十以章岁十九除之得一万二千三百四十三为积月不尽十三为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今有十三即知文公元年有闰也推闰余十三在何月法置章岁十九以闰余十三减之不尽六以岁中十二乘之得七十二以章闰七除之得十命从正月起算外闰十月下而尽闰三月者非也推文公六年岁在庚子是岁无闰而置闰法经云文公六年闰月不告朔犹朝于庙传曰闰月不告朔非礼也闰以正时时以作事事以厚生生民之道于是乎在矣不告闰朔弃时正也何以为民臣淳风等谨按术意问宜云从周厯上元至文公元年元余九百九十八算问文公六年合有闰不曰无闰术曰置文公元年算九百九十八更加五得一千三算以章月二百三十五乘之得二十三万五千七百五以章岁十九除之得一万二千四百五为积月不尽十为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今止有十即知六年无闰也推㐮公二十七年岁在乙卯再失闰法襄公二十七年岁在乙卯九月乙亥朔是建申之月也鲁史书十二月乙亥朔日有食之(案左传注疏明监本及别本经文皆讹作)(乙卯朔惟此所引不误)传曰冬十一月乙亥朔日有食之于是辰在申司厯过也再失闰矣言时实以为十一月也不察其建不考之于天也臣淳风等谨按术意问宜云从文公十一年至襄公二十七年合七十一年以何术推求得知再失闰术曰置文公十一年岁在乙巳会于承匡之岁至襄公二十七年岁在乙卯合七十一年闰余七即以七乘七十一年得四百九十七以章岁十九除之得二十六闰以长厯校之正二十四闰故云再失闰推綘县老人生经四百四十五甲子法襄公三十年岁在戊午二月癸未注二月一日丁卯朔癸未十七日也晋悼夫人食舆人之城杞者绛县人年长矣无子而徃与于食有与疑年使之年曰臣小人也不知纪年臣生之岁正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也吏走问诸朝师旷曰鲁叔仲惠伯会却成子于承匡之岁也七十三年矣史赵曰亥有二首六身下如二身是其日数也士文伯曰然则二万六千六百有六旬也甄鸾按四百四十五甲子其季于今三之一者计四百四十五甲子有二万六千七百日其季三之一者谓不满四百四十五甲子于未满一甲子六十日之中三分取一谓去四十日止留二十日也是以注云三分六甲之一得甲子甲戌尽癸未谓止有四百四十四甲子竒二十日合二万六千六百六十日以应史赵亥有二首六身之数也术曰置积日二万六千六百六十日以四乘之得十万六千六百四十日为实又置周天三百六十五日四分日之一以四乘之内子一得一千四百六十一为一岁之日法以除实得七十二岁一千四百四十八少十三分不满法计四分为一日更少三日不终季年算法半法以上收成一为七十三年据多而言也推文公十一年岁在乙巳夏正月甲子朔绛县老人生月法襄公三十年绛县人曰臣小人不知纪年臣生之岁正月甲子朔四百四十五甲子矣其季于今三之一也臣淳风等谨按术意问宜云(案原本脱宜云二字今据注内前后体例增补)从周厯上元至绛县老人生年元余有一千八算正月既甲子朔问正月以前十二月十一月大小又各是何朔及大余小余之数当月各有㡬何曰夏之十一月小乙丑朔大余一小余一百一十三十二月大甲午朔大余三十小余六百一十二正月小甲子朔大余尽小余一百七十一术曰置文公元年九百九十八算更加十得一千八算以章月二百三十五乘之得二十三万六千八百八十以章岁十九除之得一万二千四百六十七为积月不尽七为闰余推积日法置积月一万二千四百六十七以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿四千六百七万一千四百五十三为朔积分以日法九百四十除之得三十六万八千一百六十一为积日不尽一百一十三为小余以六十余积日不尽一为大余命以甲子算外乙丑推次月朔法如前僖公五年中术臣淳风等谨按此术所推得乙丑朔者是夏之十一月朔也欲求十二月朔者置前月小余一百一十三加朔小余四百九十九又置前月大余一加朔大余二十九命以甲子算外十二月大甲午朔次求正月朔者置前月小余六百一十二加朔小余四百九十九又置前月大余三十加大余二十九小余满日法从大余满六旬除之适得尽命以甲子算外正月小甲子朔(案原本脱朔字今补)是老人所生之岁也推昭公十九年闰十二月后而以闰月为正月故以正月为二月法臣淳风等谨按术意问宜云从周厯上元至昭公十九年岁在戊寅积二百七十五万九千九百一算问此年合有闰以不并正月复是何朔曰有闰正月乙丑朔术曰置周厯上元丁巳至昭公十九年岁在戊寅积二百七十五万九千九百一算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百一以章月二百三十五乘之得二十五万八千七百三十五以章岁十九除之得一万三千六百一十七为积月不尽十二为闰余经云闰余十二已上其岁有闰今闰余有一十二则知十九年有闰也推积日法置积月一万三千六百一十七以周天分二万七千七百五十九乘之得三亿七千七百九十九万四千三百三为朔积分以日法九百四十除之得四十万二千一百二十一为积日不尽五百六十三为小余以六十除积日得六千七百二弃之不尽一为大余命以甲子算外正月乙丑朔推昭公十九年岁在戊寅闰在十二月下法臣淳风等谨按术意问宜云昭公十九年闰余十二既有闰当在何月下曰在十二月下术曰置章岁十九以闰余十二减之不尽七以十二乘之得八十四以章闰七除之得十二命从正月起算外即闰在十二月下也推昭公十九年岁在戊寅月朔法臣淳风等谨按昭公十九年依前求之正月大乙丑朔大余一小余五百六十三问其年十二月及闰月大小余月朔甲子并当月大小余各㡬何曰正月大乙丑朔大余一小余五百六十三二月小乙未朔大余三十一小余一百二十二三月大甲子朔大余尽小余六百二十一四月小甲午朔大余三十小余一百八十五月大癸亥朔大余五十九小余六百七十九六月小癸巳朔大余二十九小余二百三十八七月大壬戌朔大余五十八小余七百三十七八月小壬辰朔大余二十八小余二百九十六九月大辛酉朔大余五十七小余七百九十五十月小辛卯朔大余二十七小余三百五十四十一月大庚申朔大余五十六小余八百五十三十二月小庚寅朔大余二十六小余四百一十二闰月大己未朔大余五十五小余九百一十一淳风等推求朔甲乙及月大小并当月大小余之法术曰置前月大小余各加朔大小余满日法从大余一大余满六十去之余命起甲子算外即次月朔如是一加得一月朔若小余满四百四十一以上其月大不满者小其昭公二十年推月朔法亦准此推昭公二十年岁在己卯月朔法正月大己丑朔大余二十五小余四百七十二月小己未朔大余五十五小余二十九三月大戊子朔大余二十四小余五百二十八推昭公二十年岁在己卯正月己丑朔旦冬至而失云闰二月己丑冬至法臣淳风等谨按术意问宜云从周厯上元丁巳至昭公二十年己卯积二百七十五万九千九百二十算欲求此正月朔旦冬至及大小余各㡬何曰大余二十五小余二术曰置周厯上元丁巳至昭公二十年岁在己卯积二百七十五万九千九百二算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百二以二十一乘之得二万三千一百四十二以度分母除之得五千七百八十五不尽二为小余以六十除积日得九十六弃之不尽二十五为大余命以甲子算外己丑冬至与正月朔旦同甄鸾按周厯昭公十九年岁在戊寅其年闰十二月其月大己未朔二十年岁在己卯正月大己丑朔即以己丑朔旦为冬至而昭公十九年不置闰乃以闰十二月为正月故以为二月也推哀公十二年岁在戊午应置闰而不置故书十二月有螽法经云哀公十二年冬十有二月螽季孙问诸仲尼仲尼曰丘闻之火伏而后蛰者毕今火犹西流司邱过也臣淳风等谨按术意问宜云从周厯上元丁巳至哀公十二年岁在戊午积二百七十五万九千九百四十二算有闰与不若有闰复在何月之下曰有闰在八月之下术曰置周厯上元丁巳至哀公十二年岁在戊午积二百七十五万九千九百四十二算以元法四千五百六十除之得六百五弃之取不尽一千一百四十二以章月二百三十五乘之得二十六万八千三百七十以章岁十九除之得一万四千一百二十四为积月不尽十四为闰余经云闰余十二已上有闰其岁有余十四则知十二年有闰也求十二年闰月法置章岁十九以闰余十四减之不尽五以岁中十二乘之得六十以章闰七除之得八命从正月起算外即闰在八月下甄鸾按周十二月夏之十月也哀公十二年闰在夏八月下当时实是夏之九月而失以闰月为九月以九月为十月故书冬十有二月螽也五经算术卷下◆ 《夏侯阳算经-北周-》（KR3f0038）
## 提要
钦定四库全书 子部六
提要 天文算法类二(算书之属)夏侯阳算经三卷(臣)等谨案隋经籍志有夏侯阳算经二卷唐艺文志列夏侯阳算经一卷甄鸾注又韩延夏侯阳算经一卷韩延似作注者姓名而直斋书录觧题载元丰京监本乃云三卷无注盖传冩互有分合故卷帙各异也然皆不言阳为何代人考阳自序有云五曹孙子述作滋多甄鸾刘徽为之详释则其人在甄鸾后唐书甄鸾注三字殆因序文而误欤书内又称宋元嘉二年徐受重铸铜斛至梁大同元年甄鸾校之则阳疑隋初人去梁稍逺故目梁时斗尺为古所用其辩度量衡云在京诸司及诸州各给称尺并五尺度斗升合等様皆铜为之仓库令诸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一斛以铁为縁勘平印书然后给用及课租庸调章称赋役令论步数不等章称杂令田令之属皆据隋制言之则阳为隋人盖无可疑唐书选举志所列算书十种此居其一盖当时本悬之令甲肄习考课今传本久佚惟永乐大典内有之然逐条割裂分附九章算术各类之下几扵治丝而棼猝不得其端绪幸尚载原序原目犹可以寻绎编次条贯其文今裒辑排比仍依元丰监本厘为三卷其十有二门亦从原目其书务切实用虽九章古法非官曹民事所必需者亦畧而不载扵诸算经中最为简要且扵古今制度异同多资考证尤足宝重云乾隆四十年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 原序
夏侯阳算经原序
夫博通九经为儒门之首学该六艺为伎术之宗若非材性通眀孰能与于此也然算数起自伏牺而黄帝定三数为十等隶首因以著九章逮乎有虞乃同律度量衡孔子曰谨权量审法度汉备五数纪于一协于十长于百大于千衍于万度长短者不失毫牦量多少者不失抄撮权轻重者不失黍絫五曹孙子述作滋多甄鸾刘徽为之详释稽之往古妙绝其能储校今时少有闻见余以总角志好其文畧寻古今备览差互其如眀数造术讵晓端倪寻考遗言颇知梗㮣且课租庸调无术可凭步数奇残苦难销尽求变米谷经旨未赡正耗共升何由剖析三分五分取一法理为眀焉况今令式与古数不同奚能则定代相沿革互议短长经术尤深难可意测是以跋涉川陆参㑹宗流纂定研精刋繁就省袪荡疑惑括诸古法烛尽毫芒谨录异同列之于左
## 卷上
钦定四库全书夏侯阳算经卷上眀乘除法夏侯阳曰夫算之法约省为善有分者通之分不均者同之位髙者下之可约者约之耦则半之五则倍而折之一三七九商用所宜于此不得乃为之命分分母入者湏出之然后为定子可半者半之不可半者倍母而入之此算之要道也凡除分者全数易了竒残难用心意之劳正在于此后当随事释之其物残分求尺尺之求寸皆上十之斤之求两二而八之两之求铢三而八之铢之求絫黍皆上十之斗之求升合抄撮皆上十之里之求步三百之步之求尺六之牦毫丝忽可以意知夫乗除之法先眀九九一从十横百立千僵千十相望万百相当满六已上五在上方六不积算五不单张上下相乗实居中央言十自过不满自当以法除之宜得上商从算相似横算相当以次右行极于左方言法之上见十步至十见百步至百见千步至千见万步至万悉观上数以安下位上不满十下不满一步随多少以为楷式以少呼多因法为母积实为子二分之一为中半三分之二为太半三分之一为少半四分之一为弱半此漏刻之数也凡算者有五乗五除(除者散繁除约乃以除减为名乗者令少乗多乃以乗长为称乗盈)(除缩故曰乗除也)一曰法除(上下置位以少呼多言十自过不满自当实居中央故曰法除也)二曰步除(如斛中求斗斗中求升升中求合合中求勺勺中求抄及丈中求尺尺中求寸寸中求分)(皆言上十之上百之故曰步除也)三曰约除(如等数所得者约实约法各得分数故曰为除也)四曰开平方除(借一算为下法步之超一位幂方十其积有百幂方百其积有万至百言十至)(万言百故曰开平方除也)五曰开立方除(借一算为下法步之超二位立方十其积有千立方)(百其积有百万至千言十至百万言百故曰开立方除也)时务云十乗加一等百乗加二等千乗加三等万乗加四等十除退一等百除退二等千除退三等万除退四等辩度量衡田曹云度之所起起于忽十忽为一丝十丝为一毫十毫为一牦十牦为一分十分为一寸十寸为一尺十尺为一丈十丈为一引四丈为一匹五丈为一端六尺为一步二百四十步为一畞三百步为一里仓曹云量之所起起于粟十粟为一圭十圭为一撮十撮为一抄十抄为一勺十勺为一合十合为一升十升为一斗十斗为一斛金曹云称之所起起于黍十黍为一絫十絫为一铢二十四铢为一两十六两为一斤三十斤为一钧四钧为一石汉书律厯志曰度者所以度长短本起于黄钟之长以子谷秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一黍为分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣量者所以量多少本起于黄钟之龠用度数审其容以子谷秬黍中者千二百实其龠十龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣权者所以称物平施知轻重本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢二十四铢为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣(两者黄钟之重二十四铢象二十四气十六两)(为斤象四时乗四方三十斤为钧象一月四钧为石象四时也)权与物均而生衡(谓重与物)(均所称适停时衡平也)衡运生规规圆生矩矩方生绳绳直生准(立凖以望䋲以水为平也)是为五则规者所以规圆器械令得其类也矩者所以矩方器械令不失其形也规矩相须阴阳位序圆方乃成准者所以揆平取正也绳者上下端直经纬四通也准绳连体权衡合徳百工繇焉以定法式(以上古法)在京诸司及诸州各给称尺并五尺度斗升合等様皆铜为之仓库令诸量函所在官造大者五斛中者三斛小者一斛以铁为縁勘平印书然后给用(以上今时用之也)言斛法不同仓曹云古者凿地方一尺深一尺六寸二分受粟一斛至汉王莽改铸铜斛用深一尺九寸二分至宋元嘉二年徐受重铸用二尺三寸九分至梁大同元年甄鸾校之用二尺九寸二分然时异事变斗尺不同以古就今临时校定始可行用若欲审之以掘地作穴方广三尺已下以今时用斗量米一斛置诸穴中㮣令平满如有少賸临时増减取米适平然后出之径量以知深浅乃可以为斛法定数今有方窖长一丈三尺广六尺深一丈问受粟几何答曰四百八十一斛四斗八升二十七分升之四术曰置长尺数以广尺数乗之又以深乗之得积尺以斛法除之即粟数(凡斛法一尺六寸二分)今有圆篅周三丈髙一丈六尺问受粟几何答曰七百四十斛七斗四升二十七分升之二术曰置周尺数自相乗以髙数乗之十二而一得积尺以斛法除之即粟数今有平地聚粟下周三丈髙四尺问受粟几何答曰六十一斛七斗二升八十一分升之六十八术曰置周尺数自相乗以髙乗之三十六而一得积尺以斛法除之即粟数今有仓南北一丈五尺东西三丈五尺髙八尺问受粟几何答曰二千五百九十二斛五斗九升二十七分升之七术曰以东西南北丈尺相乗又以髙乗之得积尺以斛法除之即粟数今有仓广二丈六尺长三丈四尺深一丈二尺中有二柱长一丈二尺圆三尺牵二枚长二丈六尺方五寸梁二枚长二丈六尺方三尺问受粟几何答曰六千二百四十斛一斗二升八十一分升之二十八术曰置广长相乗以其深乗得一万六百八尺柱圆三尺自相乗得九尺以乗其长得一百八尺倍之得二百一十六尺以十二除之得一十八尺牵方自相乗退位得二寸五分复乗其长得六尺五寸倍之得一十三尺梁方自乗得九尺复乗其长得二百三十四尺倍之得四百六十八尺并柱牵梁(案原本脱梁字今据上文补)得四百九十九尺以减大数余一万一百九尺以斛法除之即粟数今有方仓长三十一丈六尺广七十二尺髙一十七尺中有九柱各圆三尺五寸长十七尺又有六柱各方二尺八寸长十七尺梁三枚长三十二尺厚广二尺牵三枚(案牵下原本衍方字今删)长三十二尺各方七寸问受粟几何答曰二十三万七千八百九十九斛四十三升五十四分升之五十三术曰置长广相乗以髙乗为实圆柱自乗以乘长十二而一九因之为实方柱自乗以乗长六因之为实梁厚广相乗以乗长三因之为实牵方自乗以乗长三因之为实并柱梁牵等减仓实尺以斛法除之即粟数课租庸调赋役令诸戸一丁租粟二斛其调各随乡土所出绢䌳各二丈布二丈五尺输绢䌳者绵三两输布者麻三斤若当戸不成端匹屯𫄫者皆丈尺折半之求庸七尺五寸法置丁数三因之折半丈尺折半之又法置丁数以七尺五寸为法乗之以五丈除之不满为竒丁丈尺他皆倣此又法重张丁数下位退一等五因之以添上位丈尺折半又法置丁数三而五之丈尺折半之凡年终除闰月外有二月谓五月十月(一云九月)为农事之月免庸若役五十日租庸调竝免他皆放此求毎丁闰有二尺五寸法(案毎丁下原本有布二端二尺五字系下文讹衍在此又)(脱闰有二字今据术删补)置丁数五因之丈尺折半之求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸法置丁数(案此下原)(本有五因之丈尺折半之求有闰年毎丁布二端二丈二尺五寸置丁数凡二十六字即上文衍复在此今删)(正)七而七之退一等折半丈尺折半之(案原本脱丈尺折半四字今据)(术补)又法(案原本脱法字今补)置丁数以二百四十五乗之退二等丈尺折半之求庸闰布毎丁一端三丈二尺五寸法重置丁数各三因之下位退一等添头位讫半之其丈尺以下更半之求无闰年毎丁布二端一丈五尺法重置丁数上位二因之下位退一等三因之丈尺折半添上位又法置丁数以二十三乗退一等丈尺折半之求毎丁调𫄫布四丈法置丁数八因退一等丈尺折半之求毎丁闰年庸调布二端二丈二尺五寸(案此即上求有闰年毎丁)(布二端二丈二尺五寸法而立术各异又求毎下原本衍年字今删正)列置丁数之位头位二因(端也)中位退一等四因(丈也)下位退二等五因(尺也)丈尺半之百丁已上不折半并三位即都数(案此下原本有若毎丁因)(一位端也中退一等二因丈也下位退二等五因尺也奇丁丈尺折半三位即得凡三十六字系上下文衍复)(在此今删正)若毎丁庸调并賸布二丈五尺都当二端二丈五尺亦列丁数二位头位二因(端也)下位退一等五因(丈也)奇丁丈尺折半之并二位得都数若毎丁庸调并賸布一尺六寸七分都当二端一丈六尺六寸七分亦列丁数五位头位二因(端也)次位退一等三因(丈也)次位退二等三因(尺也)次位退三等三因(寸也)下位退四等四因(分也)奇丁丈尺折半之并得都数凡算布从丈尺以下皆倍本因之数论步数不等田曹以六尺为步三百步为一里(此古法)杂令诸度地以五尺为一步三百六十步为一里田令诸田广一步长二百四十步为畞畞百为顷(此今用之)方田(四方平等名曰方田)术曰方自乗为积步以畞法除之直田(从长而广狭故曰直田)术曰以从广相乗为积步以畞法除之腰鼓田(形似腰鼓细)术曰并三广以三而一乗长为积步以畞法除之圆田(形如鼓面)术曰周自乗以十二而一得积步又术周乗径四而一亦得又术半周乗半径亦得各得积步竝以畞法除之环田(此外周而心空如环)术曰并外内周而半之以径乗为积步以畞法除之丸田(形如覆半弹丸)术曰径乗周四而一得积步以畞法除之圭田(三角之田)术曰半长乗广为积步以畞法除之弓田(形如弓样)术曰矢乗弦矢又自乗并之二而一以畞法除之箕田(一头广一头狭)术曰并二广而半之以乗长为积步以畞法除之四不等田(二广二长不齐也)术曰并二长而半之又并二广而半之相乗为积步以畞法除之今有田二十一顷七十八畞一百八十步问为方几何答曰七百二十三步奇百七十一步术曰先置顷畞于上以二百四十步乗之得五十二万二千七百二十步内零一百八十步以开方除之借一算为下法步之超一位至百止万上置上商七百下亦置七万于实位之下下法之上命上商除实讫倍方为一十四万方法一退下法再退又置上商二十于前商后又置二百于方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商以除实讫倍隅法为四百从上方法一退下法再退又置上商三扵前商二十之后又置三步于方法之下下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商除实讫倍隅法得六从上方法得一千四百四十六即是上方得七百二十三步奇一百七十一步变米榖仓库令云其折糙米者稻三斛折纳糙米一斛四斗若榖求米法十四乗三除(除毕以米数折退一等)又法四二乗九除一四乗三除(案此句即上十四乗三除句复出)二八乗六除若米求谷法三乗十四除又法九乗四二除三乗一四除(案此句即上三乗十四除句复出)六乗二八除粟五斗为粝米三斗三十乗之五十而一为粺米二斗七升二十七乗之五十而一为糳米二斗四升二十四乗之五十而一为御米二斗一升二十一乗之五十而一今有粟五千五百一十斛九斗欲毎斛为粝米六斗粺米五斗四升糳米四斗八升御米四斗二升问各几何答曰粝米三千三百六斛五斗四升粺米二千九百七十五斛八斗八升六合糳米二千六百四十五斛二斗三升二合御米二千三百一十四斛五斗七升八合术曰置粟退一等以六斗乗为粝米以五斗四升乗为粺米以四斗八升乗为糳米以四斗二升乗为御米返求粟法置粝米数以五因之三除之置粺米数以上十之以五斗四升除之糳米各以本米数除之皆得本粟今有榖一千八百四十三斛八斗三升欲依租变米毎谷三斛为米一斛四斗问合得米几何答曰八百六十斛四斗五升四合术曰置谷数以一斛四斗为法乗之以三斛为法除之得米数
## 卷中
钦定四库全书夏侯阳算经卷中求地税今有田三百七十九畞畞出税谷三升纳官毎斛加二升耗问输正及耗各几何答曰正一十一斛三斗七升耗二斗二升七合四勺术曰置田畞数以三升因之得一十一斛三斗七升为正又二因之得二斗二升七合四勺为耗今有田一畞计税谷三升问一步合计几何答曰一步一勺二抄五撮术曰置谷三升再上十之为三百勺以二百四十步为法除之即得今有地收谷一千二百六十三斛九斗六升七合三勺斛别加二升耗问正耗共计几何答曰一千二百八十九斛二斗四升六合六勺四抄六撮术曰置谷以隔位加二即得(案二原本讹作之今改正)今有上官田七十四亩一百五十三步畞别计米六斗输官官令纳谷三斛准米一斛四斗问米及谷各几何答曰米四十四斛七斗八升二合五勺谷九十五斛九斗六升二合五勺(案二合原本讹作三合今改正)术曰置畞数以二百四十步乗之内余步得一万七千九百一十三步为实以上田斛法四百步除之得米数欲求谷者以三斛因米为一百三十四斛三斗四升七合五勺以米一斛四斗除之欲知上田一斛计步数者置田一畞二百四十步以米六斗为法除得四十步计米一斗以斗法上十之为四百步即斛法上田一步计米二合五勺欲知者置米六斗再上十之以二百四十步除之见毎步之数今有次官田五十七畞一百五十步畞别计米五斗输官官亦令纳谷三斛准米一斛四斗问米及谷各几何答曰米二十八斛八斗一升二合五勺谷六十一斛七斗四升二十八分升之三术曰置畞数以二百四十步乗之内一百五十步得一万三千八百三十步为实以次田法四百八十步除之得米数欲求谷以三斛因米得八十六斛四斗三升七合五勺以米一斛四斗除之得谷数不尽者与法俱倍之命分何以知次田四百八十步为法术曰置二百四十步于上米五斗为法而一得四十八步以为一斗之法上十之为四百八十步即斛法欲知田一步计米二合一十二分合之一术曰置米五斗再上十之为五百合为实以二百四十步除之得二合不尽者退位与法俱半之命分即见毎步之法今有下官田八十九畞一百九十五步畞别计米四斗输官官亦令纳榖三斛准米一斛四斗问合计米及谷几何答曰米三十五斛九斗二升五合谷七十六斛九斗八升一十四分升之三术曰置田畞数以二百四十步乗之内一百九十五步得二万一千五百五十五步为实以下田斛法六百步除之得米数欲求谷者以三斛因米得一百七斛七斗七升五合为实以一斛四斗除为谷数不尽者命分何以知下田六百步为法术曰置二百四十步以米四斗为法除得六十步为一斗之法上十之为六百步乃为一斛之法欲知下田一步计米一合三分合之二术曰置米四斗再上十之为四百合为实以二百四十步除之得一合不尽者与法俱八约之命分分禄料今有官本钱八百八十贯文毎贯月别收息六分计息五十二贯八百文内六百文充公廨食料五十二贯二百文逐官髙卑共分太守十分别驾七分司马五分录事参军二人各三分司仓参军三分司法参军三分司户参军三分参军二人各二分问各钱几何答曰太守十分计十二贯七百三十一文四十一分文之二十九别驾七分计八贯九百一十二文四十一分文之八司马五分计六贯三百六十五文四十一分文之三十五录事参军二人各三分各得三贯八百一十九文四十一分文之二十一二人共七贯六百三十九文四十一分文之一司仓参军三分计三贯八百一十九文四十一分文之二十一司法参军三分计三贯八百一十九文四十一分文之二十一司戸参军三分计三贯八百一十九文四十一分文之二十一参军二人各二分各二贯五百四十六文四十一分文之十四二人共五贯九十二文四十一分文之二十八术曰置本钱八百八十贯文以六因之退二位为息数先除六百文公廨食料余令诸官均分并诸分得四十一分为法除之得一贯二百七十三文不尽四十一分文之七副置之各以所求分乗之各得其钱及分数今有县令毎月课料七贯三百六十一文五分二牦寻即交承旧官任六日新官任二十四日问新旧官各得几何答曰旧官得一贯四百七十二文三分四毫新官得五贯八百八十九文二分一牦六毫术曰置钱数以三十日为法除之得一日之钱二百四十五文三分八牦四毫六因之得旧官数又四因之得新官数计给粮今有兵九千五百六十七人人给绢二匹问绢几何答曰一万九千一百三十四匹术曰置兵数以二因之即得今有兵六千七百九十二人人给米二升问一日一月一年各几何答曰一日一百三十五斛八斗四升一月四千七十五斛二斗一年四万八千九百二斛四斗术曰置兵数以二因之得一日之数上十之得十日之数以三因之得一月之数以十二因之得一年之数今有马七千六百八十匹匹日给料五升问一日几何答曰一日三百八十四石术曰置马匹数以五因之得三万八千四百升再退为石数(案原本脱石字今补)今有粟三千八百四十斛欲给马毎匹五升问给几何答曰给马七万六千八百匹术曰置粟数再上十之为升以五升除之得马匹数今有酒五百六十五斛八斗三升欲给兵毎人三升问给几何答曰给兵一万八千八百六十一人术曰置酒数再上十之为升以三除之得兵数今有兵八万人凡五兵共给醤二升问日给几何答曰日给三百二十斛术曰置兵数以二因之得一十六万以五兵除之得醤数今有醤二升给五兵见有三百二十斛问给几何答曰给兵八万人术曰置醤数再上十之为升以五因之得一十六万以二升为法除之即得今有兵四万八千六百二十五人人凡五日给盐二升问一月几何答曰一月五千八百三十五斛术曰置兵数以二因之退二等得五日盐数九百七十二斛五斗求一月数以六因之今有醋三升给七兵见有四百五十七斛问给几何答曰给兵十万六千六百三十三人三分人之一术曰置醋数再上十之为升以七因之又以三升除之即得定脚价今有租布一万三千七百九十五端三丈七尺送纳洛州计从州到彼别一十八文充水脚又抽一文充积叠并于数内抽给其布准时估端别一百五十文问正及水脚积叠等三色各几何答曰正布一万二千二百四十四端三丈六尺九寸一百六十九分寸之一百三十九水脚一千四百六十九端一丈八尺四寸一百六十九分寸之六十四积叠八十一端三丈一尺五寸一百六十九分寸之一百三十五术曰置元布数倍丈尺以估一百五十文乗得二百六万九千三百六十一文为实置一百五十文加水脚一十八文又加积叠一文得一百六十九文为法除实得正布一万二千二百四十四端不尽一百二十五文进位五因之得六千二百五十以下法除之得三丈六尺九寸不尽者与法俱退位得一百六十九分寸之一百三十九为命分也欲知水脚先置元布数倍丈尺寸以水脚一十八文乗之得二十四万八千三百二十三文三分二牦为实以法一百六十九除得一千四百六十九端不尽六十二文三分二牦进位五因之得三千一百一十六以下法除之得一丈八尺四寸不尽一百六十九分寸之六十四为命分也欲求积叠置元布数倍丈尺寸讫所得以一文因之得一万三千七百九十五文七分四牦以法除之得八十一端不尽一百六文七分四牦进位以五因之得五千三百三十七以下法除得三丈一尺五寸不尽者与法俱退位得一百六十九分寸之一百三十五为命分也(案命字原本讹在为字上今改正)今有布三百九十六端二丈五尺端别一百八十文充脚其布准时估端三百六十文竝扵数内抽给问正脚各几何答曰正二百六十四端一丈六尺六寸三分寸之二脚一百三十二端八尺三寸三分寸之一术曰置布数倍丈尺以一百八十文乗之得七万一千三百七十文为实列脚钱一百八十文并入价钱三百六十文得五百四十文为法实如法得脚端不尽九十文进位因之得四千五百以下法除得八尺三寸不尽者与法俱一十八约之得三分寸之一为命分以减都数余即正今有布二万五千四百二十八端二丈七尺欲折布为轻货绢其绢匹价三贯八百七十文其布端价二贯六百文问为绢几何答曰绢一万七千八十三匹三丈九寸一百二十九分寸之五十九术曰置布数倍丈尺以价二贯六百文乗之得六万六千一百一十四贯二百四文以绢价三贯八百七十文除之得绢匹不尽二千九百九十四文进位四因之得一十一万九千七百六十(案原本脱十一二字今补)以下法除之得三丈九寸不尽者与法俱三约之得一百二十九分寸之五十九今有两税米一千五百七十八斛九斗送州每斗脚一十三文竝于身内抽充时估斗别一百三十文问正及脚各几何答曰正米一千四百三十五斛三斗六升一十一分升之四脚米一百四十三斛五斗三升一十一分升之七术曰置米数以毎石一百三十文乗之为实又置一百三十文加脚一十三文得一百四十三文为法除得正米数欲求脚米数以毎斗一十三文乗税数为实以一百四十三文为法除之即脚数今有两税钱一千五百二十四贯二百四十文送州毎贯一十七文七分充脚于身内抽给问正钱及脚价各几何答曰正钱一千四百九十七贯七百三十文一万一百七十七分文之一千七百九十脚价二十六贯五百九文一万一百七十七分文之八千三百八十七术曰置税钱数以一贯文加一十七文七分为一贯一十七文七分为法除之得正钱数欲求脚价以一十七文七分为法乗正钱得脚价称轻重今有戸五百六十五戸别纳丝一斤一十一两八铢问得丝几何答曰八石五斤三两八铢术曰置户数下列二十七两以二十四铢乗之内八铢为六百五十六铢以乗戸数得三十七万六百四十铢以二十四铢为法除得一万五千四百四十三两零八铢以一十六两为法除得九百六十五斤三两以三十斤为法除得三十二钧五斤三两以四钧为法除得八石五斤三两八铢今有丁一千八百六十五人人纳丝一斤一十三两一十七铢问丝几何答曰丝三千四百六十二斤一十四两一铢术曰置丁数又以丝一斤二而八之为一十六两内十三两三而八之内一十七铢为七百一十三铢以乗丁数得一百三十二万九千七百四十五铢以二十四铢为法除得五万五千四百六两一铢以一十六两为法除得三千四百六十二斤一十四两一铢今有生铁六千二百八十一斤欲炼为黄铁毎斤耗五两问为黄铁几何答曰黄铁四千三百一十八斤三两术曰置生铁数以一十一两乗以一十六除之即得今有黄铁四千三百一十八斤三两欲炼为钢铁毎斤耗三两问钢铁几何答曰钢铁三千五百八斤八两一十铢五絫术曰置黄铁数以一十三两乗之一十六两除之即得今有钢铁二千五百斤依前所耗数却求为黄铁问得几何答曰黄铁三千七十六斤一十四两一十三分两之一十术曰置钢铁数一十六乗之一十三除之即得今有黄铁三千七十六斤一十四两一十三分两之一十却求钢铁问得几何答曰二千五百斤术曰置黄铁数一十三乗之一十六除之即得今有官银三千四百六十二斤一十四两一铢充赏赐兵一千八百六十五人问人得几何答曰人得一斤一十三两一十七铢术曰置银斤以二而八之内一十四两又三而八之内一铢得一百三十二万九千七百四十五铢以兵数除之得七百一十三铢以二十四铢为法除之得二十九两一十七铢以一十六两为法除之得一斤一十三两一十七铢
## 卷下
钦定四库全书夏侯阳算经卷下说诸分今有黄金一斤直绢一千二百匹问毎两直绢几何答曰一两直绢七十五匹术曰置绢数以一十六两除之即得今有丝一百九十二两问为铢几何答曰四千六百八铢术曰置丝数以二十四乗之即得今有锦一匹直钱十八贯问丈尺寸各得几何答曰一丈四贯五百文一尺四百五十文一寸四十五文术曰置钱数以四丈除之得丈价一退为尺价再退为寸价今有金一斤直钱一百贯问一两几何答曰一两六贯二百五十文术曰置钱数以十六两除之即得今有金一斤令五十人分之问人得几何答曰人得七铢六絫八黍术曰置金一斤二而八之为两三而八之为铢以人数除之即得今有丝三百二十四斤欲九两为绢一匹问绢几何答曰五百七十六匹术曰置丝斤数二而八之以九而一即得今有下戸欠钱一百二十三贯五百文准条扵上戸均摊今有上戸见在钱三万一千二百五十贯文问合毎贯均著几何答曰毎贯三文九分五牦二毫术曰置下戸钱数以上戸见在钱除之即得今有钱一十七贯五百二十五文欲五文买鸡三只问得几何答曰得鸡一万五百一十五只术曰置钱数以三因之五而一即得今有钱二贯四百文买锡一斤问两铢絫各几何答曰两一百五十文铢六文二分五牦絫六分二牦五毫术曰置钱数以十六除之得两价欲知铢价即置两价以二十四除为铢价退铢价一等为絫价今有十五家共纳两税钱一十贯文甲三人人各一贯文乙五人人各七百文丙七人人各五百文续奉符令都却还七贯三百问随元纳数给付各几何答曰甲三人各还七百三十文(各有二百七十文在)乙五人各还五百一十一文(各有一百八十九文在)丙七人各还三百六十五文(各有一百三十)(五文在)术曰置却还数以百除之所得为毎百还钱之数置百文减之余为毎百钱在库之数各置此数以各人所纳钱数乗之各得其数今有绢一千二百二十五匹三丈七尺五寸欲送州每匹一十五文充脚竝于身内抽给其绢时估毎匹一贯一百文问正及脚各几何答曰正一千五百五匹一丈六尺三寸二百二十三分寸之一百五十一脚二十匹二丈一尺一寸二百二十三分寸之七十二术曰置绢数于丈尺已下折半五因以时估一贯一百文乗得一千六百七十八贯五百三十一文二分五牦复置一贯一百文加一十五文为法除得一千五百五匹不尽四百五十六文二分五牦进位四因之得一万八千二百五十以下法除之得一丈六尺三寸不尽者与法退位倍之得二百二十三分寸之一百五十一欲知脚价者置元绢数丈尺寸折半五因又以脚钱一十五文乗之得二万二千八百八十九文六牦二毫半以一贯一百一十五文为法除得二十匹不尽五百八十九文六牦二毫半进位四因之得二万三千五百六十二文半以下法除之得二丈一尺一寸不尽者如前约之得二百二十三分寸之七十二今有绢一匹当脚一十五文问丈尺寸各几何答曰丈三文七分五牦尺三分七牦五毫寸三牦七毫五丝术曰置脚价一十五文以四丈除之得一丈脚数退一等得尺再退得寸脚数今有绢一匹直一贯一百文问丈尺寸各几何答曰丈二百七十五文尺二十七文五分寸二文七分五牦术曰置钱数以四丈除之得丈价一退得尺价再退得寸价今有米二千五百六十七斛五斗其米麤欲再舂毎八升耗一升问合得熟米几何答曰熟米二千二百四十六斛五斗六升二合五勺术曰置米数以七因八除得数返求米以八因七除今有米一千五百三十二斛七斗欲贷与人毎八升加息一升问本息共几何答曰一千七百二十四斛二斗八升七合五勺术曰置米数以九因八除之若求元数八因九除之今有两税钱二千贯文欲送州毎贯数内抽一十文充脚问正及脚各几何答曰正一千九百八十贯一百九十八文一百一分文之二脚一十九贯八百一文一百一分文之九十九术曰置钱数下置一贯文又加脚十文为法除之得正数却减都钱余即脚钱今有䌷五千六百二十五匹匹欲作复七条问合几何答曰三万九千三百七十五条术曰置䌷数以七因之即得今有金方一寸重一斤有金方六寸问重几何答曰二百一十六斤术曰置金寸数再乗之即得今有绢二千四百五十四匹每匹直钱一贯七百文问计钱几何答曰四千一百七十一贯八百文术曰先置绢数七添之退位一等即得今有布一万三千四百六十三端二丈五尺六寸毎端直钱一贯八百文问计钱几何答曰二万四千二百三十四贯三百二十一文六分术曰先置布数丈尺倍之从下八添直至数首退一等即得又术退位减一余以二因之即得今有布积尺一万八千四百六十三尺四寸二分问为端几何答曰三百六十九端一丈三尺四寸二分术曰先置尺数以五十尺除之即得今有绢三千四百六十三匹一丈三尺四寸毎匹三贯五百文问计钱几何答曰一万二千一百二十一贯六百七十二文五分术曰先置绢数丈尺已下折半五因(案原本脱此二字据四丈为一匹丈)(尺已下应以四丈除之书内用省算竝云折半五因今订补)以五七因之即得又术从头七因讫折半即得今有绢积尺一万三千四百六十三尺五寸四分问为匹几何答曰三百三十六匹二丈三尺五寸四分术曰先置积尺数以匹四十尺为法除之即得今有丝一千五百二十五斤毎两一百七十文问钱几何答曰四千一百四十八贯术曰先置丝数以二八因之以两价乗之即得又术添七亦得今有丝三千四百八十五两令织纱一匹用丝五两问得纱几何答曰六百九十七匹术曰先置丝数以二因之退位一等即得又术以五两除之即得今有丝一万三千四百六十七两问斤几何答曰八百四十一斤一十一两术曰置丝两数四折半即是斤逢零六添之归实又术以十六两除之亦得今有两税钱四万三千六百七十五贯二百文抽身内充脚每贯二百文问正及脚各几何答曰正三万六千三百九十六贯文脚七千二百七十九贯二百文术曰先置原钱折半六除是正钱数将正钱二因即得脚又术但置钱数身外减二得正倍之得脚今有钱三千四百六十三贯五百文欲毎贯垫四十二文问垫几何答曰一百四十五贯四百六十七文术曰先置钱数以六七因之退位即得今有绢四十二匹毎匹当钱四贯三百六十六文四分七牦八毫九丝四忽问钱几何答曰一百八十三贯三百九十二文一分一牦五毫四丝八忽术曰先置绢匹之价以七六因之即得今有钱五千四百六十三贯四百五十文准例毎贯纳五十文充垫陌问合垫几何答曰二百七十三贯一百七十二文五分术曰先置钱折半退位即得又术五因之亦得今有糯米三千四百六十三斛六斗毎斗酝酒一斗四升问酒几何答曰四千八百四十九斛四升术曰先置米数以二七因之即得又术以四添之亦得今有大豆一万三千四百五十四斛五斗毎斗造䜴一斗五升问豉几何答曰二万一百八十一斛七斗五升术曰先置豆数以五添之即得又术以一斗五升乗之亦得今有小麦五万六千四百七十三斛五斗毎斗造曲五斤问曲几何答曰二百八十二万三千六百七十五斤术曰先置麦数从下五因之即得今有米一万三千四百六十四斛五斗毎斗粜钱一百二十文问钱几何答曰一万六千一百五十七贯四百文术曰先置米数二六因之即得又术以二添之亦得今有米一万三千四百六十五斛四斗三升毎斗粜钱一百三十五文问钱几何答曰一万八千一百七十八贯三百三十文五分术曰先置米数三九因之折半即得又术九因五添亦得今有糙米八千四百六十七斛五斗毎一斗五升碾熟米八升问米几何答曰米四千五百一十六斛术曰先置糙米数以八因之十五升除之即得今有米三千四百六十三斛四斗四升七合一勺毎斗身内抽三合充脚问正脚各几何答曰正三千三百六十二斛五斗七升脚一百斛八斗七升七合一勺术曰先置米数以一斗三合除之得正米以三因之得脚米今有糙米三千四百六十四斛五斗七升三合四勺毎斗舂得熟米九升问熟米几何答曰三千一百一十八斛一斗一升六合六抄术曰先置米数九因退之即得又术但从下内减一亦得今有麻三千四百七十五斛四斗五升毎三斛三斗作油一斛问油几何答曰一千五十三斛一斗六升三分升之二术曰以三斛三斗除得油数不尽约之为命分今有米三千四百五十六斛毎斗身内抽二升充脚问正脚各几何答曰正二千二百八十八斛脚五百七十六斛术曰先置米数去二得正米以二因退位得脚米今有兵一万四千五百七十五人毎人给钱一贯四百四十文问钱几何答曰二万九百八十八贯文术曰先置人数添四四即得又术以人数乗一人所给之数得都钱今有兵三千四百八十五人毎人赐绢一丈三尺问绢几何答曰一千一百三十二匹二丈五尺术曰先置人数添三得丈数以四为法除之得匹今有开城濠深二丈阔三丈长一里毎三尺用一功问功几何答曰四万功术曰先置深阔相乗又以长里通尺乗之为实以功数方三尺再自乗为法除之即得今有筑城髙三丈上阔一丈五尺下阔二丈五尺长一百丈毎方二尺用一功问功几何答曰七万五千功术曰先置上下阔并之折半以髙乗之又以长乗之为实以功数方二尺再自乗为法除之即得◆ 《张邱建算经-北周-》（KR3f0039）
## 提要
钦定四库全书 子部六
张邱建算经 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案张邱建算经三卷原本不题撰人时代今据邱建自序署曰清河而序中引及夏侯阳孙子之术则当为隋初人也隋志载此书二卷唐志一卷甄鸾注而别有李淳风注张邱建算经三卷郑樵通志艺文畧张邱建算经二卷又三卷李淳风注宋艺文志中兴书目俱作三卷此本乃毛晋汲古阁影抄宋椠云得之太仓王氏首题汉中郡守前司𨽻甄鸾注经朝议大夫行太史令上轻车都尉李淳风等奉勅注释算学博士刘孝孙撰细草盖犹北宋时秘书监赵彦若等校定刋行之本其中称术曰者乃鸾所注草曰者孝孙所増其细字夹注称臣淳风等谨案者不过数十处盖有疑则释非节节为之注也其书体例皆设为问答以㕘校而申明之凡一百条简奥古质颇类九章与近术不同而条理精宻实能深究古人之意故唐代颁之算学以为颛业今详加校勘其上卷起自乘除之数至第十二问为勾股测望十三问为勾股和较十四问为重勾股颠倒测望十五问为卧勾股左右进退测望此四问皆籍图以明旧本所无今特依义补入自十六问以下皆取差分和较均输㕘杂为目间附以方圆幂积至中卷之六问乃入商功后复及贵贱差分倍半衰方田诸分术惟弧矢一问原本不完未可以他术増补姑仍其缺下卷首问失题又细草下亦脱二十余字以有后文可据谨为补足其鹿垣仓三条亦各为之图系诸原问之左俾学者得以考见其端委焉干隆四十六年四月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣)陆 费 墀
## 序
张邱建算经序
夫学算者不患乗除之为难而患通分之为难是以序列诸分之本元宣明约通之要法上实有余为分子下法从而为分母可约者约以命之不可约者因以名之凡约法髙者下之耦者半之竒者商之副置其子及其母以少减多求等数而用之乃若其通分之法先以其母乗其全然后内子母不同者母乗子母亦相乗为一母诸子共之约之通分而母入者出之则定其夏侯阳之方仓孙子之荡杯此等之术皆未得其妙故更造新术推尽其理附之于此余为后生好学有无由以至者故举其大㮣而为之法不复烦重庶其易晓云耳清河张邱建谨序张邱建算经原序
## 卷上
钦定四库全书
张邱建算经卷上 周 甄 鸾 注经唐 李淳风 注释刘孝孙 撰细草以九乗二十一五分之三 问得几何答曰一百九十四五分之二草曰置二十一以分母五乗之内子三得一百八然以九乗之得九百七十二却以分母五而一得合所问以二十一七分之三乗三十七九分之五 问得㡬何答曰八百四二十一分之十六草曰置二十一以分母七乗之内子三得一百五十又置三十七以分母九乗之内子五得三百三十八二位相乗得五万七百为实以二分母七九相乗得六十三而一得八百四余六十三分之四十八各以三约之得二十一分之一十六合前问以三十七三分之二乗四十九五分之三七分之四问得㡬何答曰一千八百八十九一百五分之八十三草曰置三十七以分母三乗之内子二得一百一十三又置四十九于下别置五分于下右之三在左又于五分之下别置七分三分之下置四维乗之以右上五乗下左四得二十以右下七乗左上三得二十一并之得四十一以分母相乗得三十五以三十五除四十一得一余六以一加上四十九得五十又以分母三十五乗之内子六得一千七百五十六以乗上位一百一十三得一十九万八千四百二十八为实又以分母三母相乗得一百五为法除实得一千八百八十九余一百五分之八十三合所问(臣淳风等谨按以前三条虽有设问而无成术可慿宜云分母乗全内子令相乗为实分母相乗为)(法若两有分母各乗其全内子令相乗为实分母为法实如法而得一)以十二除二百五十六九分之八 问得㡬何答曰二十一二十七分之十一草曰置二百五十六以分母九乗之内子八得二千三百一十二为实又置除数十二以九乗之得一百八为法除实得二十一法与余俱半之得二十七分之十一合所问以二十七五分之三除一千七百六十八七分之四问得㡬何答曰六十四四百八十三分之三十八草曰置一千七百六十八以分母七乗之内子四得一万二千三百八十又以除分母五乗之得六万一千九百为实又置除数二十七以分母五乗之内子三得一百三十八又以分母七乗之得九百六十六为法除之得六十四法与余各折半得四百八十三分之三十八得合所问以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三 问得㡬何答曰一百一十二七百二分之四百三十七草曰置六千五百八十七于上又别置三分于下右之二于左又置四分于三下之三于左维乗之分母得十二子得一十七以分母除子得一余五加一上位得六千五百八十八以分母十二乗之内子五得七万九千六十一又以除数分母二因之得一十五万八千一百二十二又置除数五十八于下以二因之内子一得一百一十七又以乗数分母十二乗之得一千四百四为法以除实得一百一十二法与余俱半之得七百二分之四百三十七(臣淳风等谨按此术以前三条亦有问而无术宜云置所有之数通分内子为实置所除之数以三)(分乗之为法实如法得一若法实俱有分及重有分者同而通之)今有官猎得鹿赐围兵初围三人中赐鹿五头次围五人中赐鹿七头次围七人中赐鹿九头并三围赐鹿一十五万二千三百三十三头少半头 问围兵㡬何答曰三万五千人术曰以三赐人数互乗三赐鹿数并以为法三赐人数相乗并赐鹿数为实实如法而得一草曰置三人于右上五鹿于左上五人于右中七鹿于左中七人于右下九鹿于左下以右中乗左上五得二十五又以右下七乗左上二十五得一百七十五又以右上三乗左中七得二十一又以右下七乗左中二十一得一百四十七又以右上三乗左下九得二十七又以右中五乗左下二十七得一百三十五将左三位并之得四百五十七为法以右三位相乗得一百五别置一十五万二千三百三十三头少半头位于上先以三乗之内子一得四十五万七千以一百五乗之得四千七百九十八万五千置除法四百五十七以三因之得一千三百七十一为法除之得三万五千人合问今有猎围周四百五十二里一百八十步布围兵十步一人今欲缩令通身得地四尺 问围内缩㡬何答曰三十里五十二步术曰置围里步数一退以四因之为尺以步法除之即得缩数草曰置四百五十二里以里法三百步乗之内子一百八十得一十三万五千七百八十步退一等得一万三千五百七十八尺四因之得五万四千三百一十二尺以六尺除之为步得九千五十二步以里法三百除之得三十里五十二步合问今有围兵二万三千四百人以布围周各相去五步今围内缩除一十九里一百五十步而止 问兵相去㡬何答曰四步四分步之三术曰置人数以五乗之又以十九里一百五十步减之余以人数除之不尽平约之草曰置围兵二万三千四百人以五乗之得一十一万七千步置一十九里以三百通之内子一百五十步得五千八百五十步以减上位得一十一万一千一百五十步以围兵二万三千四百除之得四步余以围兵数再折除余得三除法得四今有封山周栈三百二十五里甲乙丙三人同遶周栈行甲日行一百五十里乙日行一百二十里丙日行九十里 问周行㡬何日㑹答曰十日六分日之五术曰置甲乙丙行里数求等数为法以周栈里数为实实如法而得一草曰置甲乙丙行里数甲行一百五十乙行一百二十丙行九十各求等数得三十为法除周栈数得十日法余二十五各以五除之法得六余得五各以三十约之甲乙丙行数乃甲得五周乙得四周丙得三周合前问今有内营周七百二十步中营周九百六十步外营周一千二百步甲乙丙三人值夜甲行内营乙行中营丙行外营俱发南门甲行九乙行七丙行五 问各行㡬何周俱到南门答曰甲行十二周乙行七周丙行四周术曰以内中外周步数互乗甲乙丙行率求等数约之各得行周草曰置内营七百二十步于左上中营九百六十步于中外营一千二百步于下又各以二百四十约之内营得三中营得四外营得五别置甲行九于右上乙行七于右中丙行五于右下以求整数以右位再倍上得三十六中得二十八下得二十以左上三除右上三十六得十二周以左中四除右中二十八得七周以左下五除右下二十得四周是甲乙丙行数合前问案此下今有津今有葮今有木今有城四问俱各有形式髙下进退俯仰线法视法毫不可紊非依问绘图无以阐其立意之妙将转疑其字句舛讹谨凖测量法义为补四图各冠原问之右庶图问㕘观不至失其本义云今有津不知其广东岸髙一丈坐岸东去岸五十步遥望岸上及津西畔适与人目㕘合人目去地二尺四寸问津广㡬何答曰二百八步三分步之一术曰以岸髙乗人去岸为实以人目去地为法实如法而一草曰置岸髙一丈又别置五十步于上以六乗之得三百尺又以十尺乗之得三千尺为实以人眼去地二尺四寸为法除三千尺得一千二百五十尺又以六尺为步除之得二百八步法六余二各折半得三分之一合前问今有葮生于池中出水三尺去岸一丈引葮趋岸不及一尺 问葮长及水深各㡬何答曰葮长一丈五尺水深一丈二尺术曰置葮去岸尺数以不及尺数减之余自相乗以出水尺数而一所得加出水而半之得葮长减出水尺数即得水深草曰置去岸一丈减不及一尺余有九尺自乗之得八十一尺以出水三尺除之得二丈七尺加出水三尺共得三丈半之得葮长一丈五尺减出水三尺余水深一丈二尺合问今有木不知逺近髙下立一表髙七尺人去表九步立望表头适与木端邪平人目去地七尺二寸又去表三十步薄地遥望表头亦与木端邪平 问木去表及髙㡬何答曰去表三百一十五步木髙八丈五寸术曰以表髙乗人立去表为实以表髙减人目去地为法而一得木去表以表髙乗木去表为实以人目薄地去表为法实如法而一所得加表髙即木髙草曰置表髙七尺以去表九步乗之得六十三为实以表髙七尺减人目去地七尺二寸余有二寸为法除实得去表三百一十五步又以表髙七尺乗去表三百一十五步得二千二百五以去表三十步除之得七丈三尺五寸如入表髙七尺得木髙八丈五寸合问今有城不知大小去人逺近于城西北隅而立四表相去各六丈令左两表与城西北隅南北望参相直从右后表望城西北隅入右前表一尺二寸又望西南隅亦入右前表四寸又望东北隅亦入左后表二丈四尺问城去左后表及大小各㡬何答曰城去左后表一里二百步东西四里四十步南北三里一百步术曰置表相去自乗以望城西北隅入数而一得城去表又以望城西南隅入数而一所得减城去表余为城之南北以望城东北隅入左后表数减城去表余以乗表相去又以入左后表数而一即得城之东西草曰置表相去六丈自乗之得三千六百尺以西北隅入表一尺二寸除之得三千尺以六尺除之得五百步又以里法三百步除之得一里余二百步为城去表步数又别置三千六百尺以望城西南隅入表四寸除之得九千尺以减城去表三千尺余有六千尺以六除之得一千步里法而一得三里余有一百步为城南北步数又置望城东北隅入左后表二丈四尺以减城去表三千尺余有二千九百七十六尺以表相去六丈乗之得一十七万八千五百六十尺以入左后表二丈四尺除之得七千四百四十尺以六尺除之得一千二百四十步里法而一得四里余四十步为城东西步合问今有甲日行疾于乙日行二十五里而甲发洛阳七日至邺乙发邺九日至洛阳 问邺洛阳相去㡬何答曰七百八十七里半术曰以甲乙所至日数相乗又以甲日行疾里数乗之为实以甲至日减乙至日数余为法实如法而一草曰置甲乙所至七日九日相乗得六十三又以甲疾行二十五里乗之得一千五百七十五为实以甲至七日减乙至九日余有二日为法除实得七百八十七里半合问今有官出库金五十九斤一两赐王九人公十二人侯十五人子十八人男二十一人王得金各多公五两公得金各多侯四两侯得金各多子三两子得金各多男二两 问王公侯子男各得金㡬何答曰王一斤六两公一斤一两侯十三两子十两男八两术曰置王公侯子男数王位十四之公位九之侯位五之子位二之并之以减出金两数余以凡人数而一所得各以本差之数加之得王公侯子男各所得金之数不加即男之得金草曰置王九人公十二人侯十五人子十八人以王位十四之得一百二十六公位九之得一百八侯位五之得七十五子位二之并之得三百四十五以减出金五十九斤一两余六百为实倂五等人数得七十五为法除实得八两乃加十四两为王加九得十七两为公加五得十三两为侯加二得十两为子男不加如数加满斤法而一不满者命为两合问今有十等人大官甲等十人官赐金依等次差降之上三人先入得金四斤持出下四人后入得金三斤持出中央三人未到者亦依等次更给 问各得金㡬何及未到三人复应得金㡬何答曰甲一斤七十八分斤之三十三乙一斤七十八分斤之二十六丙一斤七十八分斤之十九丁一斤七十八分斤之十二戊一斤七十八分斤之五己七十八分斤之七十六庚七十八分斤之六十九辛七十八分斤之六十二壬七十八分斤之五十五癸七十八分斤之四十八未到三人共得三斤七十八分斤之十五术曰以先入人数分所持金数为上率以后入人数分所持金数为下率二率相减余为差实并先后入人数而半之以减凡人数余为差法实如法而一得差数倂一二三以差数乗之以减后入人所持金数余以后入人数而一又置十人减一余乗差数并之即第一人所得金数以次每减差数各得之矣并中央未到三人得应持金数草曰先置入人数于左上置得金数于右上又置后入人数于左下置后得金数于右下以后入人数乗先得金数得十六以先入人数乗后得金数得九以九直减十六得七为差实又并先后入人数七半之得三半以减十人数余六半又以先后人数率分母三与分母四相乗得十二以乗六半得七十八为差法(七十八是一斤也)置后入所得金数三以乗差法得二百三十四又置一二三得差以七因之得四十二直减二百三十四余有一百九十二以后入四人数除之人得四十八乃是癸得之数累加差七乃合前问今有圆材径头二尺一寸欲以为方问各㡬何答曰一尺五寸(淳风等谨按开方除之为一尺四寸二十五分寸之二十一)术曰置径尺寸数以五乗之为实以七为法实如法而一草曰置二尺一寸以五乗之得一百五寸以七除之得一尺五寸合前问今有泥方一尺欲为弹丸令径一寸 问得㡬何答曰一千七百七十七枚九分枚之七术曰置泥方寸数再自乗以十六乗之为实以九为法实如法得一草曰置一尺为十寸再自乗得一千以十六乗之得一万六千为实以九为法除实得一千七百七十七枚九分之七合前问(臣淳风等谨按密率为丸一千九百九枚十一分枚)(之一)依密率术曰令泥方寸再自乗以二十一乗之为实以十一为法实如法而一即得又依密率草曰置泥方十寸再自乗得一千寸以二十一乗之得二十一万为实以十一为法除之得一千九百九枚十一分枚之一合问今有客不知其数两人共盘少两盘三人共盘长三盘问客及盘㡬何答曰客三十人十三盘术曰以二乗少盘三乗长盘倂之为盘数倍之又以二乗少盘数增之得人数草曰置二人于右上少两盘于右下置三人于左上置剰三盘于左下各以人乗盘右下得四左下得九并之得一十三盘数别置少盘二以剰盘三乗之得六更并少剰盘乗之得三十人合前问今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九疋三丈 问日益㡬何答曰五寸二十九分寸之十五术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之余为法实如法得一草曰置九疋以疋法乗之内三丈得三百九十尺以一月三十日除之毎日得一丈三尺倍之得二丈六尺又倍初日尺数得一丈减之余一丈六尺为实又置一月三十日减一日得二十九日为法除之得五寸二十九分寸之十五合前问今有女子不善织日减功迟初日织五尺末日织一尺今三十日织讫 问织㡬何答曰二疋一丈术曰并初末日织尺数半之余以乗织讫日数即得草曰置初日五尺讫日一尺并之得六半之得三以三十日乗之得九十尺合前问今有绢一疋买紫草三十斤染绢二丈五尺今有绢七疋欲减买紫草还自染余绢 问减绢买紫草各㡬何答曰减绢四疋一丈二尺十三分尺之四买草一百二十九斤三两一十三分两之九术曰置今有绢疋数以本绢一疋尺数乗之为减绢实以紫草三十斤乗之为买紫草实以本绢尺数并染尺为法实如法得一其一术盈不足术为之亦得草曰置绢七疋以疋法乗之得二百八十尺又以买草绢一疋四十尺乗之得一万一千二百尺为减绢实以本绢尺数六十五尺为法除实得一百七十二尺法与余皆倍之得一十三分尺之四又置二百八十尺以紫草三十斤乗之得八千四百斤为买草实亦以六十五尺为法除之得一百二十九斤余不尽者十六乗之得二百四十又以法除之得三两余与法皆倍之得一十三分两之九合前问今有生丝一斤练之折五两练丝一斤染之出三两今有生丝五十六斤八两七分两之四 问染得㡬何答曰四十六斤二两四百四十八分两之二百二十三术曰置一斤两数以折两数减之余乗今有丝斤两之数又以出两数并一斤两数乗之为实一斤两数自乗为法实如法得一两数草曰置五十六斤以两法十六乗之内子八两得九百四两又以分母七乗之内子四得六千三百三十二两为实又以练率十一染率十九相乗得二百九以乗其实得一百三十二万三千三百八十八为积以十六相乗得二百五十六又以分母七乗之得一千七百九十二为法除积得七百三十八两余与法皆再折得四十八分两之二百二十三若求练丝折法置积两以十六乗以十一除得丝数今有铁十斤一经入炉得七斤今有铁三经入炉得七十九斤一十一两 问未入炉本铁㡬何答曰二百三十二斤五两四铢三百四十三分铢之二百八十四术曰置铁三经入炉得斤两数以十斤再自乗乃乗上为实以七斤再自乗为法实如法而得一草曰置三经入炉得七十九斤以十六乗之内一十一两得一千二百七十五两以十斤再自乗得一千以乗之得一百二十七万五千为实以七斤再自乗七两得三百四十三为法以除实得三千七百一十七两余六十九以二十四乗之得一千六百五十六又以法除之得四铢三百四十三分铢之二百八十四又以十六除所得两数得二百三十二斤五两并前铢零合前问今有丝一斤八两直绢一疋今持丝一斤禆钱五十得绢三丈今有钱一千 问得绢㡬何答曰一疋二丈六尺六寸大半寸术曰置丝一斤两数以一疋尺数乗之以丝一斤八两数而一所得以减得绢尺数余以一千钱乗之为实以五千钱为法实如法得一草曰置丝一十六两以四十尺乗之得六百四十以一斤八两通为二十四两为法除之得二丈六尺六寸大半寸为丝所得之绢以减三丈余三尺三寸少半寸为钱之所直以三尺三寸三因之内子一得十尺以乗一千钱得一万尺又以禆钱五十以三因之得一百五十为法除实得六丈六尺六寸大半寸合前问今有甲贷乙绢三疋约限至不还疋日息三尺今过限七日取绢二疋偿钱三百 问一疋直钱㡬何答曰七百五钱十七分钱之十五术曰以过限日息尺数减取绢疋尺数余为法以偿钱乗一疋尺数为实实如法而一草曰置七日三疋绢日息三尺共九尺以乗七日得六十三尺以减八十尺余一十七尺为法又置偿钱三百以四十尺乗之得一万二千钱以一十七为法除之得七百五文余十七分钱之十五合前问今有金方七银方九秤之适相当交易其一金轻七两问金银各重㡬何答曰金方重十五两十八铢银方重十二两六铢术曰金银方数相乗各以半轻数乗之为实以超方数乗金银方数各自为法实如法而一草曰置金方七银方九相乗得六十三以半轻数三两半乗得二百二十两半又以金银超方数二以乗金方数得一十四为法除实得一十五两余不尽者以二十四乗之得二百五十二铢再以前法除之得一十八铢若求银方又置前二百二十两半以银方九二因得一十八为法除之得一十二两余二十四乗之得一百八以法除之得六铢为银方合前问今有器容九㪷中有米不知其数满中粟舂之得米五㪷八升 问满粟㡬何答曰八㪷术曰置器容九㪷以米数减之余以五之二而一得满粟斗数草曰置九㪷以米五㪷八升减之得三㪷二升以粟数五因之得一石六㪷以糠率二㪷除之得八㪷为粟合前问今有七百人造浮桥九日成今增五百人 问日㡬何答曰五日四分日之一术曰置本人数以日数乗之为实以本人数今増人数并之为法实如法而一草曰置七百人以九百因之得六千三百又以増五百人加七百人得一千二百人为法除之得五日余四分日之一合前问今有与人钱初一人与三钱次一人与四钱次一人与五钱以次与之转多一钱与讫还歛聚与均分之人得一百钱 问人㡬何答曰一百九十五人术曰置人得钱数以减初人钱数余倍之以转多钱数加之得人数草曰置人得钱一百减初人钱三文得九十七倍之加初人得一百九十五合前问张邱建算经卷上
## 卷中
钦定四库全书
张邱建算经卷中 周 甄 鸾 注经唐 李淳风 注释刘孝孙 撰细草今有戸出银一斤八两一十二铢今以家有贫富不等令戸别作差品通融出之最下戸出银八两以次戸差各多三两 问戸㡬何答曰一十二戸术曰置一戸出银斤两铢数以最下戸出银两铢数减之余倍之以差多两铢数加之为实以差两铢数为法实如法而一草曰置二十四两以二十四乗之内一十二铢得五百八十八铢减最下戸八两数一百九十二铢余三百九十六倍之得七百九十二又加差多三两数七十二铢共得八百六十四为实以差多两数七十二为法除实得一十二戸合前问今有人盗马乗去已行三十七里马主乃觉追之一百四十五里不及二十三里而还今不还追之 问㡬何里及之答曰二百三十八里一十四分里之三术曰置不及里数以马主追里数乗之为实以不及里数减已行里数余为法实如法而一草曰置马不及里数二十三里以马主追去一百四十五里乗之得三千三百三十五为实以不及二十三里减已行三十七里余一十四为法除实得二百三十八里一十四分里之三合前问今有马行转迟次日减半疾七日行七百里 问日行㡬何答曰初日行三百五十二里一百二十七分里之九十六次日行一百七十六里一百二十七分里之四十八次日行八十八里一百二十七分里之二十四次日行四十四里一百二十七分里之一十二次日行二十二里一百二十七分里之六次日行一十一里一百二十七分里之三次日行五里一百二十七分里之六十五术曰置六十四三十二一十六八四二一为差副并为法以行里数乗未并者各自为实实如法而一草曰置七日为七位以次倍之得一二四八十六三十二六十四为差以副并之得一百二十七为法以七日行七百里乗未并者初日得四百四十八里次得二百二十四里次得一百一十二里次得五十六里次得二十八里次得十四里次得七里各自为实实如法而一各合问今有驽马日初发家良马日以七分之一发家日乃五分之二行四十五里及驽马 问良驽马一日不止各行㡬何答曰良马日行一百七十五里驽马日行一百一十二里一百五十步术曰置五分之二七分之一相减余为良马行率増七分日之一为驽马行率各以为法以及里数乗二母为实实如法而一草曰置七分于右上一于左上五分于右下二于左下以右上乗左下得十四以右下乗左上得五减十四得九为良马率法以五加九得十四为驽马率法以七分五分相乗得三十五以乗追及四十五里得一千五百七十五里为实以良马九法除之得一百七十五里为良马行又以十四除实得一百一十二里余七里以里法三百通之得二千一百步再以十四除之得一百五十步合前问今有迟行者五十步疾行者七十歩迟行者以先发疾行者以后发行八十七里一百五十步乃及之 问迟行者先发行㡬何里答曰二十五里术曰以迟行步数减疾行步数余以乗及步数为实以疾行步数为法实如法而一草曰置疾行七十步以迟行五十步减之余二十步以乗及八十七里半得一千七百五十里以疾行七十步为法除实得二十五里合前问今有甲日行七十里乙日行九十里甲日以五分之一乃发乙日以三分之二乃发 问乙行㡬何里及甲答曰一百四十七里术曰以五分日之一减三分日之二余以甲日行里数乗之又以乙日行里数乗之为实以甲乙行里数相减余以乗二分母为法实如法而一草曰置五分于右上置之一于左上又置三分于右下之二于左下以右上五乗左下二得一十以右下三乗左上一得三以减十余七以甲行七十里乗之得四百九十又以乙行九十里乗之得四万四千一百以甲行里数减乙行里数余二十里以二分母乗之得三百以除实得一百四十七里乃合前问今有筑城上广一丈下广三丈髙四丈今已筑髙一丈五尺 问已筑上广㡬何答曰二丈二尺五寸术曰置城下广以上广减之又置城髙以减筑髙余相乗以城髙而一所得加城上广即得草曰置城下广三十尺以上广减之余二十尺别以城髙四十尺以筑髙一丈五尺减之得二丈五尺以乗二十尺得五百尺以城髙四十尺为法除之得一丈二尺五寸所得加城上广一丈得二丈二尺五寸合前问今有筑墙上广二尺下广六尺髙二丈今已筑上广三尺六寸 问已筑髙㡬何答曰一丈二尺术曰置已筑上广及下广各减墙上广以筑上广减余以减下广减余余乗墙髙为实以墙上广减下广余为法实如法而一草曰置墙下广六尺以筑髙上广三尺六寸减之余二尺四寸以墙髙二十尺乗之得四十八尺又以墙上广二尺减下广六尺余四尺为法除之得一丈二尺合前问今有方锥下方二丈髙三丈欲斩末为方亭令上方六尺 问斩髙㡬何答曰九尺术曰令上方尺数乗髙尺数为实以下方尺数为法实如法而一(臣淳风等谨按此术下方为勾率髙为股率上方为今有见勾数以见勾乗股率如勾率而一即得)草曰置上方六尺以乗髙三十尺得一百八十尺以下方二十尺为法实如法得九尺合前问今有方亭下方三丈上方一丈髙二丈五尺欲接筑为方锥 问接筑髙㡬何答曰一丈二尺五寸术曰置上方尺数以髙乗之为实以上方尺数减下方尺数余为法实如法而一草曰置上方十尺以髙二十五尺乗之得二百五十尺以上方一丈减下方三丈余二丈为法除实得一丈二尺五寸乃合前问今有堢壔方四丈髙二丈欲以塼四靣单垒之塼一枚广五寸长一尺一寸厚二寸 问用砖㡬何答曰一万四千七百二十七砖一十一分砖之三术曰置堢壔方丈寸数以塼广增之而以四乗之以髙乗之为实以塼长厚相乗为法实如法而一草曰置四百寸加五寸以四因之得一千六百二十寸又以髙二百寸乗之得三十二万四千寸以塼长厚相乗得二十二寸为法除之得一万四千七百二十七枚一十一分塼之三合前问今有筑圆堢壔周九丈六尺髙一丈三尺 问用壤土㡬何答曰一万六千六百四十尺术曰周自相乗以髙乗之又以五乗为实以三乗十二为法实如法而一草曰以周九丈六尺自相乗得九千二百一十六尺又以髙一丈三尺乗之得一十一万九千八百八又以五乗之得五十九万九千四十为实以三乗十二得三十六为法除实得一万六千六百四十尺合前问今有率戸出绢三疋依贫富欲以九等出之令戸各差除二丈今有上上三十九戸上中二十四戸上下五十七戸中上三十一戸中中七十八戸中下四十三戸下上二十五戸下中七十六戸下下一十三戸 问九等戸各应出绢㡬何答曰上上戸戸出绢五疋上中戸戸出绢四疋二大上下戸戸出绢四疋中上戸戸出绢三疋二丈中中戸戸出绢三疋中下戸戸出绢二疋二丈下上戸戸出绢二疋下中戸戸出绢一疋二丈下下戸戸出绢一疋术曰置上八等戸各求积差上上戸十六上中戸十四上下戸十二中上戸十中中戸八中下戸六下上戸四下中戸二各以其戸数乗而并之以出绢疋丈数乗凡戸所得以并数减之余以凡戸数而一所得即下下戸递加差各得上八等戸所出绢疋丈数草曰置上上戸三十九以十六乗之得六百二十四列于上又置上中户二十四以十四因之得三百三十六并上又置上下戸五十七以十二因之得六百八十四并上位又置中上戸三十一以十因之得三百一十并上位又置中中戸七十八以八因之得六百二十四并上位又置中下戸四十三以六因之得二百五十八并上位又置下上戸二十五以四因之得一百并上位又置下中戸七十六以二因之得一百五十二并上位都得三千八十八又并九等戸三百八十六以十二丈因之得四千六百三十二丈以减三千八十八丈余一千五百四十四丈以为平率以众戸数三百八十六而一除之得四丈为一疋是最下之戸所出绢以次各加二丈至上上戸出五疋皆合前问今有粟米三千斛六百人食之其一百人日食糳米八斛二百人日食粺米十四斛三百人日食粝米十八斛问粟得㡬何日食之答曰四十一日四十九分日之一十六术曰置粟数为实以三等日食米积数各求为粟之数并以为法实如法而一草曰置糳米八斛以五十乗之以糳米二十四除得一十六斛余一十六以二十四八约之得三余得二又置粺米十四斛以五十乗之得七十斛以粺米率二十七除得二十五斛余二十七分之二十五又置粝米十八斛以五十乗之三十除之得三十斛并三位得七十一斛又置余分三于右上二于左上二十七于右下二十五于左下以右上三乗左下二十五得七十五以右下二十七乗左上二得五十四并之得一百二十九又以分母三乗二十七得八十一为法除得一斛加上位七十一得七十二余四十八分母八十一各三约之得二十七分之一十六又以二十七分乗七十二斛内子一十六得一千九百六十为法乃置粟三千斛以母二十七乗之得八万一千为实以一千九百六十为法除得四十一日法与余俱再折得四十九分日之十六合前问今有三女各刺文一方长女七日刺讫中女八日半刺讫小女九日太半刺讫今令三女共刺一方 问㡬何日刺讫答曰二日一千二百五十六分日之九百三十九术曰置日数以㸦乘方数并为法日数相乘为实实如法而一草曰置大女七日于右上一于左上中女八日半是二分之一以分母通分内子一得十七于右中一于左中小女九日太半以分母三因之内子二得二十九于右下一于左下乃㸦乗之以右中十七乗左上一得十七又以右下二十九乗之得四百九十三又以右上七乗左中一得七又以右下二十九乗之又以分母二因之得四百六又以右上七乗左下一又以右中十七乗之又以分母三因之得三百五十七并之得一千二百五十六为法又以右上七乗中一十七得一百一十九又以右下二十九乗之得三千四百五十一为实以法除之得二日一千二百五十六分日之九百三十九合前问今有车运麦输太仓去三十七里十六分里之十一重车日行四十五里七日五返 问空车日行㡬何答曰日行六十七里术曰置麦去太仓里数以返数乗之以重车日行里数而一所得为重行日数以减凡日数余为空行日数以为法以返数乗麦去太仓里数为实实如法而一草曰置去太仓里数三十七里以十六乗之内子一十一得六百三里又以返数五乗之得三千一十五以重车日行四十五以分母十六乗之得七百二十为法除三千一十五得四日不尽二因九约约得十六分日之三为重车日行里又置七日以十六乗之得一百一十二又置四日以十六乗之内子三得六十七以减一百一十二余四十五为法以除去太仓里数三千一十五得六十七里合前问今有人持钱之洛贾利五之初返归一万六千第二返归一万七千第三返归一万八千第四返归一万九千第五返归二万凡五返归本利俱尽 问本钱㡬何答曰三万五千三百二十六钱一万六千八百七分钱之五千九百一十八术曰置后返归钱数以五乗之以七乗第四返归钱数加之以五乗之以四十九乗第三返归钱数加之以五乗之以三百四十三乗第二返归钱数加之以五乗之以二千四百一乗初返归钱数加之以五乗之以一万六千八百七而一得本钱数一法盈不足术为之亦得草曰置最后返钱数以五乗之得十万又以第四返钱一万九千以七乗之得一十三万三千并上位得二十三万三千又以五因之得一百一十六万五千又置第三返一万八千以四十九乗之得八十八万二千又加上位得二百四万七千又以五乗之得一千二十三万五千又置第二返一万七千以三百四十三乗之得五百八十三万一千加上位得一千六百六万六千又以五乗之得八千三十三万又置初返日一万六千以二千四百一乗之得三千八百四十一万六千加上位得一亿一千八百七十四万六千又以五乗之得五亿九千三百七十三万为实又以一万六千八百七为法除实得三万五千三百二十六文一万六千八百七分钱之五千九百一十八今有清酒一㪷直粟十㪷醑酒一㪷直粟三㪷今持粟三斛得酒五㪷 问清醑酒各㡬何答曰醑酒二㪷八升七分升之四清酒二㪷一升七分升之三术曰置得酒㪷数以清酒直数乗之减去持粟㪷数余为醑酒实又置得酒㪷数以醑酒直数乗之以减持粟㪷数余为清酒实各以二直相减余为法实如法而一即得以盈不足为之亦得草曰置得五㪷以清酒十量乗之得五斛减持去粟三斛余二斛为醑酒实又置酒五㪷以醑酒三量乗之得一斛五㪷以减三斛余一斛五㪷为清酒实以三减十余七为法除醑酒实得二㪷八升七分升之四又以法除清酒实得二㪷一升七分升之三合前问今有田积一十二万七千四百四十九步 问为方㡬何答曰三百五十七步术曰以开方除之即得草曰置前积步数于上借一算子于下常超一位步至百止以上商置三百于积步之上又置三万于积步之下下法之上名曰方法以方命上商三三如九除九万又倍方法一退下法再退又置五十于上商之下又置五百于下法之上名曰隅法以方隅二法除实余有四千九百四十九又倍隅法以并方得七千退一等下法再退又置七于上商五十之下又置七于下法之上名曰隅法以方隅二法除实得合前问今有田方一百二十一步欲以为圆 问周几何答曰四百一十九步八百二十九分步之一百三十一术曰方自相乗又以十二乗之为实开方除之即得草曰以一百二十一步自相乗得一万四千六百四十一又以十二乗之得一十七万五千六百九十二借一算子于下常超一位步至百止上商得四百下置四万为方法命上商除一十六万倍下方法退一位得八千下法退二等又置上商得一十又置下法之上一百名曰隅法以方隅除实八千一百又置倍隅法从方法退一等得八百二十又置九于一十之下又置九于下法之上名隅法以方命上商八九七十二除七千二百又以方法二命上商九除一百八十又以隅法九命上商九除八十一余一百三十一即四百一十九步八百二十九之一百三十一合前问今有圆田周三百九十六步欲为方 问得几何答曰一百一十四步二百二十九分步之七十二术曰周自相乗十二而一所得开方除之即得方草曰置三百九十六自相乗得一十五万六千八百一十六以十二而一得一万三千六十八以开方法除借一算子于下常超一位至百止上商置一百下置一万于下法之上名曰方法以方法命上商除实一万退方法倍之下法再退又置一十于上商之下又置一百于下法上名曰隅法以方隅二法皆命上商除实二千一百又隅法倍之以从方法退一位下法再退又置四于上商一十之下又置四于下法之上名曰隅法以方隅二法皆命上商除实八百九十六余得合前问今有弧田弦六十八步五分步之三为田二亩三十四步四十五分步之三十二 问矢几何答曰矢一十二步三分步之二术曰置田积步倍之为实以弦步数为从(案此下原本阙)张邱建算经卷中
## 卷下
钦定四库全书
张邱建算经卷下 周 甄 鸾 注经唐 李淳风 注释刘孝孙 撰细草今有甲乙丙丁戊五人共猎获鹿约以甲六乙五丙四丁三戊二分之今获鹿五 问各得几何答曰甲得一鹿四分鹿之二乙得一鹿四分鹿之一丙得一鹿丁得四分鹿之三戊得四分鹿之二术曰列置甲六乙五丙四丁三戊二各自为差副并为法以鹿数乘未并者各自为实实如法而一草曰置六五四三二并之得二十为法又以甲六乘五鹿得三十鹿以二十除之得一鹿余一与法俱倍之得四分鹿之二以乙五乘五鹿得二十五复以二十除得一鹿四分之一又以丙四乘五鹿得二十为一鹿又以丁三乘五鹿得一十五鹿乃得四分鹿之三又以戊一乘五鹿得一十乃得四分鹿之二合前问案此下今有鹿今有垣今有仓三问亦仅有术而无图未足显其立意所在谨依勾股测望少广堆垜各义为补三图于问右用便参观今有鹿直西走马猎追之未及三十六步鹿囘直北走马俱斜逐之走五十步未及一十步斜直射之得鹿若鹿不回马猎追之 问几何里而及之答曰三里术曰置斜逐步数以射步数增之自相乘以追之未及步数自相乘减之余以开方除之所得以减斜逐步数余为法以斜逐步数乘未及步数为实实如法而一草曰置斜逐步五十增未及步数十步共六十步自乘得三千六百又置追之未及步数三十六步自相乘得一千二百九十六以减斜自乘步二千三百四步以开方除之得四十八步以减斜逐步数五十余二为法又置未及三十六以斜逐步数五十乘之得一千八百以法除之得九百步乃合前问今有垣髙一丈三尺五寸材长二丈二尺五寸倚之于垣末与垣齐 问引材却行几何材末至地荅曰四尺五寸术曰垣髙自乘以减材长自乘余以开方除之所得以减材余即却行尺数草曰置垣髙数自相乘得一百八十二尺二寸五分又以材长数自相乘得五百六尺二寸五分以垣髙自乘减之余三百二十四以开方法除之得一丈八尺以减材长二丈二尺五寸余四尺五寸合前问今有仓图今有仓东西袤一丈二尺南北广七尺南壁髙九尺北壁髙八尺 问受粟几何荅曰得四百四十斛二十七分斛之二十术曰并南北壁髙而半之以广袤乘之为实实如斛法而一得斛数草曰置南北壁髙并之得一十七半之得八尺五寸又置长一十二尺以广七尺因之得八十四尺又以髙八尺五寸乘之得七百一十四尺以斛法一尺六寸二分除之得四百四十斛余一十二并法各以六除之得二十七分之二十合前问今有圆圌上周一丈八尺下周二丈七尺高一丈四尺问受几何答曰三百六十九斛四㪷九分㪷之四术曰上下周相乘又各自乘并以高乘之以三十六而一所得为实实如斛法而一得斛数草曰置上周一丈八尺自相乘得三百二十四尺以下周二丈七尺自相乘得七百二十九尺又上下周相乘得四百八十六尺并三位得一千五百三十九又以高一丈四尺乘之得二万一千五百四十六尺以三十六除之得五百九十八尺五寸为实以斛法除之得三百六十九斛四㪷余与法各折半皆以九除之法得九余得四即合前问今有窖上广四尺下广七尺上袤五尺下袤八尺深一丈 问受粟几何答曰得二百二十五斛三㪷八十一分㪷之七术曰倍上袤下袤从之亦倍下袤上袤从之各以其广乘之并以深乘之六而一所得为实实如斛法而一得斛数草曰置上长五尺倍之得十尺加下长八尺倍下长八尺得一十六尺加上长五尺为二十一尺以上广四尺乘上长一十八尺得七十二尺又以下广七乘下长二十一尺得一百四十七尺并之得二百一十九尺又以深十尺乘之得二千一百九十以六除之得三百六十五尺以斛法除之得二百二十五斛三㪷法余各半之得八十一分㪷之七即合前问今有窖上方五尺下方八尺深九尺 问受粟几何答曰二百三十八斛九分斛之八术曰上下方相乘又各自相乘并以深乘之三而一所得为实实如斛法而一得斛数草曰置上方五尺自相乘得二十五尺置下方八尺自相乘得六十四尺又以上下方相乘得四十尺并三位得一百二十九又以深九尺乘之得一千一百六十一又以三而一得三百八十七尺以斛法除得二百三十八斛余与法皆半之九约得九分斛之八合前问今有仓东西袤一丈四尺南北广八尺南壁高一丈受粟六百二十二斛九分斛之二 问北壁高几何答曰八尺术曰置粟积尺以仓广袤相乘而一所得倍之减南壁高尺数余为北壁高草曰置六百二十二斛以九因之得五千六百又以斛法一尺六寸二分乘之得九千七十二尺是粟积数却以九除之得一千八尺以长广相乘得一百一十二尺以除一千八尺得九尺倍之得一十八尺减南壁高一丈余即北壁高数合前问今有圆圌上周一丈五尺高一丈二尺受粟一百六十八斛五㪷二十七分㪷之五 问下周几何答曰一丈八尺术曰置粟积尺以三十六乘之以高而一所得以上周自相乘减之余以上周尺数从而开方除之所得即下周草曰置粟一百六十八斛五㪷以分母二十七乘之内子五得四千五百五十又以斛法乘之得七千三百七十一又以三十六乘得二十六万五千三百五十六又以二十七除之得九千三百二十八又以高一丈二尺除之得八百一十九又以上周自乘得二百二十五以减上数余五百九十四又以上周一丈五尺为从法开方合前问今有窖上方八尺下方一丈二尺受粟九百三十八斛八十一分斛之二十二 问深几何答曰一丈五尺术曰置粟积尺以三乘之为实上下方相乘并又各自乘并以为法实如法而一草曰置粟九百三十八斛以分母八十一乘之内子二十二得七万六千以斛法乘之得一十二万三千一百二十又以三因之得三十六万九千三百六十以八十一除之得四千五百六十为实又以上方自相乘得六十四以下方自相乘得一百四十四以上下方相乘得九十六三位并之得三百四为法除实得一丈五尺合前问今有窖上广五尺上袤八尺下广七尺深九尺受粟三百一斛八㪷八十一分㪷之四十二 问下袤几何答曰一丈术曰置粟积尺以六乘之深而一所得倍上袤以上广乘之又以下广乘上袤并以减之余以倍下广上广从之而一得下袤草曰置三百一斛八㪷以分母八十一乘之内子四十二得二万四千四百五十又以斛法乘之得三万九千六百九又以六乘之得二十三万七千六百五十四以分母八十一除之得二千九百三十四又以深九尺除之得三百二十六为实又以倍上袤除之得一十六以上广五尺乘之得八十又以下广乘上袤得五十六并之得一百三十六以减实余一百九十又倍下广七尺得一十四又加上广五尺共一十九除实得一丈合前问今有上锦三疋中锦二疋下锦一疋直绢四十五疋上锦二疋中锦三疋下锦一疋直绢四十三疋上锦一疋中锦二疋下锦三疋直绢三十五疋 问上中下锦各直绢几何答曰上锦一疋直绢九疋中锦一疋直绢七疋下锦一疋直绢四疋术曰如方程(臣淳风等谨案此宜云以右行上锦徧乘中行而以直除之又乘其左亦以直除以中行中锦不尽)(者徧乘左行又以直除左行下锦不尽者上为法下为实实如法得下锦直绢求中锦直绢者以下)(锦直绢乘中行下锦而减下实余如中锦而一即得中锦直绢求上锦直绢者亦以中下锦直绢各)(乘右行锦数而减下实余如上锦而一即得上锦之数列而别之价直匹数杂而难分价直匹数者)(一行之下实今以右行上锦徧乘中行者欲为同齐而去中行上锦同齐者谓同行首齐诸下而以)(直减中行术从简易虽不为同齐以同齐之意观之其宜然矣又转去上锦中锦则其求者下锦一)(位及实存焉故以上为法下为实实如法得下锦一匹直绢其中行两锦实今下锦一匹直数先见)(乘中行下锦匹数得一位别实减此别实一于下实则其余专中锦一位价直匹数故以中锦数而)(一其右行三锦实今中下锦直匹数并见故亦如前右行求别实以减中下实一余如上锦数而一)(即得)草曰置上锦三疋于右上中锦二疋于右中下锦一疋于右下直绢四十五疋于右下又置上锦二疋于中上中锦三疋于中中下锦一疋于中下直绢四十三疋于下又置上锦一疋于左上中锦二疋于左中下锦三疋于左下直绢三十五疋于下然以右上锦三疋遍乘中行上得六中得九下得三直绢一百二十九又以右上锦三遍乘左行得上三中六下九直绢一百五乃以右上中下并直绢再减中行一减左行余有中行中五下一绢三十九左行中四下八直绢六十又以中行中五遍乘左行中得二十下得四十直绢三百以中行四度遍减左行余只有下锦三十六直绢一百四十四以下锦为法除绢一百四十四得四疋是下锦一疋之直求中锦以下锦绢乘中行下锦一疋得四以减下绢三十九余三十五以中锦五疋除之得七疋是中锦之直求上锦以中锦价乘右行中锦得一十四以下锦直乘下锦得四共一十八以减下直四十五余二十七以上锦三除之得九疋合前问今有孟仲季兄弟三人各持绢不知疋数大兄谓二弟曰我得汝等绢各半得满七十九疋中弟曰我得兄弟绢各半得满六十八疋小弟曰我得二兄绢各半得满五十七疋 问兄弟本持绢各几何答曰孟五十六疋仲三十四疋季一十二疋术曰大兄二中弟一小弟一合一百五十八疋大兄一中弟二小弟一合一百三十六疋大兄一中弟一小二合一百一十四疋如方程而求即得草曰置大兄二于右上中弟一于右中小弟一于右下绢一百五十八疋于下又置大兄一于中上中弟二于中中小弟一于中下绢一百三十六疋于下又置大兄一于左上中弟一于左中小弟二于左下绢一百一十四疋以方程锦法求之(以右行上)(二遍因左行孟得二仲得四合得二百二十八以左行直减之仲余一季余三合余七十又以右行)(上二遍因中行孟得二仲得四季得二合得二百七十二以右行直减之仲得三季得一合余一百)(一十四又以中行仲三遍因左行仲得三季得九合得二百一十以中行直减之季余得八合余得)(九十六为实以季余八为法除之得季一十二疋又中行合一百一十四减一十二余一百二以仲)(三除之得仲三十四疋又右行合一百五十八减季一十二疋仲三十四疋外余一百一十二以孟)(二除之得孟五十六疋合前问)今有甲乙丙三人持钱不知多少甲言我得乙大半得丙少半可满一百乙言我得甲大半得丙半可满一百丙言我得甲乙各大半可满一百 问甲乙丙持钱各几何答曰甲六十乙四十五丙三十术曰三甲二乙一丙钱三百四甲六乙三丙钱六百二甲二乙三丙钱三百如方程即得草曰置三甲于右上二乙于右中一丙于右下钱三百于下又置四甲于中上六乙于中中三丙于中下钱六百于下又置二甲于左上二乙于左中三丙于左下钱三百于下以右行上三遍因左行甲得六乙得六丙得九钱得九百以右行再减之余乙二丙七钱三百又以右行上三遍因中行得甲一十二乙一十八丙九钱一贯八百以右行四遍减之余乙一十丙五钱六百左行进一位得乙二十丙七十钱三贯以中行再减之余得丙六十钱一贯八百以六十除之得丙三十又中行钱六百减一百五十余四百五十以乙一十除之得乙四十五又去右行钱减一百二十余一百八十以甲三除之得甲六十合前问今有甲乙怀钱各不知其数甲得乙十钱多乙余钱五倍乙得甲十钱适等 问甲乙怀钱各几何答曰甲三十八钱乙钱十八术曰以四乘十钱又以七乘之五而一所得半之以十钱增之得甲钱数以十钱减之得乙钱数草曰置多钱五倍除十钱余四因之得四十又以七乘之得二百八十却以五除之得五十六半之得二十八加得乙十钱共三十八钱为甲怀钱又以二十八钱减十钱为乙怀钱合问今有车五乘行道三十里雇钱一百四十五今有车二十六乘雇钱三千九百五十四四十五分钱之十四问行道几何答曰一百五十七里少半里术曰置今有雇钱数以行道里数乘之以本车乘数乘之为实以本雇钱数乘今有车数为法实如法得一草曰置今雇钱三千九百五十四四十五分钱之十四通分内子得一十七万七千九百四十四又以三十里乘之得五百三十三万八千三百二十又以本车五乘之得二千六百六十九万一千六百为实又以本雇钱一百四十五乘今有车二十六得三千七百七十又分母四十五乘之得一十六万九千六百五十为法除实得一百五十七里余五万六千五百五十与法各约之得三分里之一合问今有恶粟一斛五㪷舂之得粝米七㪷今有恶粟二斛问为粺米几何答曰八㪷四升术曰置粝米之数求为粺米所得之数以乘今有恶粟为实以本粟为法实如法得一(臣淳风等谨按此术置粝)(米十斗以粺米率九乘之以十而一得六斗十分斗之三是为恶粟十五斗得作粺米六斗十分斗)(之三此今有术恶粟二十斗为所有数粺米六斗十分斗之三为所求率恶粟十五斗为所有率)草曰置粝米七斗以九因得六十三又以一十除得六斗一十分斗之三却通分内子得六百三十又以二斛因得一万二千六百为实又置一斛五斗以十分因之得一十五斛为法除之得八斗四升合问今有好粟五斗舂之得糳米二斗五升今有御米十斗问得好粟几何答曰二斛二斗八升七分升之四术曰置糳米数求御米之数为法(臣淳风等谨按问意宜云置糳)(米数求御米之数为法其术直云置糳米数为法者错也)又置今御米数以本粟乘之为实实如法得一(臣淳风等谨按此术置糳米二十五升以御米)(率七乘之以糳米率八而一得二斗十六分斗之三为好粟五得作御米二斗十六分斗之三于今)(有术御米十斗为所有数好粟五斗为所求率御米二斗十六分斗之三为所有率)草曰置糳米二斗五升以御米率七因之得一百七十五八而一得二斗十六分之三又却通分内子得三十五为法又置一十斗以十六乘之得一百六十为实以法除之得二斛二斗八升七分之四合问今有差丁夫五百人合共重车一百一十三乘 问各共重几何答曰六十五乘乘各四人共重四十八乘乘各五人共重术曰置人数为实车数为法而一得四人共重又置一于上方命之实余返减法讫以四加十一方一得五人共重法余即四人共重车数实余即五人共重车数草曰置五百人以一百一十三乘除之得四人余四十八以减法余六十五为四人共一车以四因六十五人得二百六十减五百余二百四十以四十八除之得五人共重一车量合问今有甲持钱二十乙持钱五十丙持钱四十丁持钱三十戊持钱六十凡五人合本治生得利二万五千六百三十五欲以本钱多少分之 问各人得几何答曰甲得二千五百六十三钱四分钱之二乙得六千四百八钱四分钱之三丙得五千一百二十七钱丁得三千八百四十五钱四分钱之一戊得七千六百九十钱四分钱之二术曰各列置本持钱数副并为法以利钱乘未并者各自为实实如法得一草曰置甲等五人所持钱并之得二百为法又以甲持钱二十乘利钱二万五千六百三十五得五十一万二千七百以法除之得二千五百六十三余与法皆五除得法四余二是四分钱之二求乙钱以乙五十乘利钱得一百二十八万一千七百五十又以法除之得六千四百八钱余与法皆倍之得四分钱之三求丙持钱以四十乘利钱得一百二万五千四百以法除之得五千一百二十七钱求丁钱以三十乘利钱得七十六万九千五十以法除之得三千八百四十五钱四分钱之一求戊钱以六十乘利钱得一百五十三万八千一百以法除之得七千六百九十钱四分钱之二乃合前问今有甲乙丙三人共出一千八百钱买车一辆欲与亲知乘之为亲不取还卖得钱一千五百各以本钱多少分之甲得五百八十三钱三分钱之一乙得五百钱丙得四百一十六钱三分钱之二 问本出钱各几何答曰甲出钱七百乙出钱六百丙出钱五百术曰置甲乙丙分得之数副并为法以置车钱数乘未并者各自为实实如法得一草曰置甲得钱五百八十三以分母三乘之内子乙得一千七百五十又以本置车钱一千八百乘之得三百一十五万又置求分钱一千五百以分母三因之得四千五百为法以除实得七百是甲钱求乙置分得钱数五百以一千八百乘之得九十万以一千五百为法除之得六百求丙置分得钱数四百一十六以钱分母三因之内子二得一千二百五十又以八千八百乘之得二百二十五万又置未分钱一千五百三因之得四千五百为法除实得五百合前问今有雀一只重一两九铢燕一只重一两五铢有雀燕二十五只并重二斤一十三铢 问燕雀各几何答曰雀十四只燕十一只术曰置假令雀一十五只燕十只盈四铢于右行又置假令雀十二只燕十三只不足八铢于左行以盈不足维乘之并以为实并盈不足为法实如法得一草曰置雀一十五只于右上置盈四铢于右下又置雀一十二只于左上置不足八铢于左下维乘之以右下四乘左上一十二得四十八以左下八乘右上一十五得一百二十并之得一百六十八以盈不足并之得一十二为法除实得一十四雀求燕置燕十于右上四于右下又置燕十三于左上置八于左下以左下八乘右上十得八十以右下四乘左上十三得五十二并之得一百三十二并盈不足为法除实得一十一燕得合前问今有七人九日造成弓十二张半今有十七人造弓十五张 问几何日讫答曰四日八十五分日之三十八术曰置今造弓数以弓日数乘之又以成弓人数乘之为实以今有人数乘本有弓数为法实如法得一草曰置今造弓十五张以成弓日数九乘之得一百三十五又以成弓人数七乘之得九百四十五为实又置本造弓十二张半以今造弓十七人乘之得二百一十二半为法除之得四日法与余皆退位四因得八十五分之三十八合前问今有城周二十里欲三尺安鹿角一枚五重安之 问凡用鹿角几何答曰六万一百枚城若圆凡用鹿角六万六十枚术曰置城周里尺数三而一所得五之又置五以三乘之又自相乘以三自乘而一所得四之并上位即得凡数 城若圆者置城周里尺数三而一所得五之又并一二三四凡得一十以六乘之倂之得凡数草曰置二十里以三百步乘之得六千步法六因之得三万六千以三尺除之得一万二千以重数五乘之得六万于上位又以五乘三得一十五又自相乘得二百二十五又以三自乘得九为法以除二百二十五得二十五四因之得一百 若求圆者置城围尺数三而一得一万二千所得五因之为六万于上位又以一二三四并之得一十以六因之得六十从上位得六万六十是圆也今有粟二百五十斛委注平地下周五大四尺 问高几何答曰五尺术曰置粟积尺以三十六乘之为实以下周自乘为法实如法得一草曰置粟二百五十以斛法一尺六寸二分乘又以三十六乘之得一万四千五百八十置下周五丈四尺自相乘得二千九百一十六为法除实得五尺合前问今有客岁作(臣淳风等谨按问意三百五十四日)要与粟一百五十斛已与之粟先五十八日归 问折粟与粟各几何答曰折粟二十四斛五㪷五十九分㪷之四十五与粟一百二十五斛四㪷五十九分㪷之十四术曰置归作日数以与粟乘之各自为实以一岁三百五十四日为法实如法得一草曰置归作日五十八日以粟一百五十斛乘之得八千七百又以岁三百五十四除得二十四石五㪷余与法皆六除之得五十九分㪷之四十五求与粟数以作日二百九十六以一百五十斛乘之得四万四千四百以岁三百五十四除之得一百二十五斛四斗五十九分㪷之十四合前问今有廪人人日食米六升今三十五日食米七千四百九十二斛八㪷 问人几何答曰三千五百六十八人术曰置米数为实以六升乘三十五日为法实如法得一草曰置米七千四百九十二斛八㪷以六乘三十五日得二斛一㪷为法以除积数得三千五百六十八人合前问今有五十八人二十九日食面九十五斛三㪷一升少半升 问人食几何答曰五升太半升术曰置面斛斗升数为实以人日食相乘为法实如法得一草曰置面数以三因之内子一得二万八千五百九十四置人数五十八以二十九乘之得一千六百八十二又以三因之得五千四十六为法除得五升余皆三约之得三分之二为太半升合前问今有二人三日锢铜得一斤九两五铢今一月日锢铜得九千八百七十六斤五两四铢少半铢 问人功几何答曰一千二百五十三人三百六十三分人之二百六十二术曰置二人三日所得锢铜斤两铢通之作铢以二人三日相乘除之为一人一日之铢二十四而一还以一人一日所得两铢通分内子复以一月三日乘一人积分所得复以铢分母三通之为法又以今锢铜斤两通为铢以少半铢者三分之一以三通内一以六乘之为实实如法而一得人数不尽约之为分草曰置二人三日所得铜一斤九两以十六通斤得二十五两又以铢数二十四乘之入五铢得六百五以二人乘三日得六为法除得一百铢六分之五是一日所得之数以二十四除之一人所得四两四铢六分铢之五却通分内子得六百五以一月三十日乘之得一万八千一百五十又以通分母三因之得五万四千四百五十为法置今锢铜以十六两乘之内五两得一十五万八千二十一两又以二十四铢乘之内四铢得二百七十九万二千五百八铢又以通分母三因之内子一得一千一百三十七万七千五百二十五又以法分母六因之得六千八百一十六万五千一百五十为实以法除之得一千二百五十三人法与余皆一百五十约之法得三百六十三余得二百六十二合前问今有立方九十六尺欲为立圆 问径几何答曰一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八术曰立方再自乘又以十六乘之九而一所得开立方除之径得圆径草曰置九十六再自乘得八十八万四千七百三十六又以十六乘之得一千四百一十五万五千七百七十六以九除之得一百五十七万二千八百六十四以立方法除借一算子于下常超二位步至百而上商置一百下置一百万于法之上名曰方法以法命上方一百除实一百万方法三因之得三百万又置一百万于方法之下名曰廉法三因之方法一退廉法再退下法三退又置一十于上商一百之下又置一千于下法之上名曰隅法以方廉三法皆命上商一十除十毕又倍廉法三因之隅法皆从方法又置一百一十于方法之下三因之名曰廉法方法一退廉法再退隅法三退又置六于上商之下又置六于下法之上名曰隅法乃自乘得三十六又以六乘廉法得一千九百八十五方廉隅三法皆命上商六除之除实毕倍廉法三因隅法皆从方得一百一十六尺四万三百六十九分尺之一万一千九百六十八合前问今有立圆径一百三十二尺 问为立方几何答曰二百八尺三万四千九百九十三分尺之三万四千二十术曰令径再自乘九之十六而一开立方除之得立方草曰置径一百三十二尺再自乘得二百二十九万九千九百六十八又以九因之得二千六十九万九千七百一十二又以十六除之得一百二十九万三千七百三十二以开立方法除之得合前问今有立方材三尺锯为方枕一百二十五枚 问一枚为立方几何答曰一枚方六寸术曰以材方寸数再自乘以枚数而一所得开立方除之得枕方草曰以三十寸再自相乘得二万七千寸以枕一百二十五枚除之得二百一十六以开方除之置上六于上借一算子于下置六于下法之上以自乘得三十六名曰方法以方法命上商除之得六寸乃合前问今有亭一区五十人七日筑讫今有三十人 问几何日筑讫答曰十一日三分日之二术曰以本人数乘筑讫日数为实以今有人数为法实如法得一草曰置七以五十人乘之得三百五十以三十人为法除得十一日三分之二合前问今有负他钱转利偿之初去转利得二倍还钱一百第二转利得三倍还钱二百第三转利得四倍还钱三百第四转利得五倍还钱四百得毕凡转利倍数皆通本钱今除初本有钱五千九百五十 问初本几何答曰本钱一百五十术曰置初利还钱以三乘之并第二还钱又以四乘之并第三还钱又以五乘之并第四还钱讫并余钱为实以四转得利倍数相乘得一百二十减一余为法实如法得一草曰置初还钱一百以三乘之得三百又并第二还钱得五百以四乘之得二千又并第三还钱得二千三百以五乘之得一万一千五百又并第四还钱并今有钱得五千九百五十共得一万七千八百五十以四转利二三四五相乘得一百二十除一余一百一十九为法除实得一百五十本合前问今有三人四日客作得麦五斛今有七人一月日客作问得麦几何答曰八十七斛五㪷术曰以七人乘一月三十日又以五斛乘之为实以三人乘四日为法实如法而得一草曰以七人乘三十日得二百一十又五斛乘之得一千五十为实以三人乘四日得一十二为法除实得八十七斛五㪷即合前问今有人举取他绢重作劵要过限一日息绢一尺二日息二尺如是息绢日多一尺今过限一百日 问息绢几何答曰一百二十六疋一丈术曰并一百一日息以乘百日而半之即得草曰置一百一尺以一百日乘之得一万一百尺半之得五千五十尺以疋法四十尺除之得一百二十六疋一丈合前问今有妇人于河上荡杯津吏问曰杯何以多妇人答曰家中有客不知其数但二人共酱三人共羮四人共饭凡用杯六十五 问人几何答曰六十人术曰列置共杯人数于右方又共置共杯数于左方以人数互乘杯数并以为法令人数相乘以乘杯数为实实如法得一草曰置人数二三四列于右行置一一一杯数左行以右中三乘左上一得三又以右下四乘之得一十二又以右上二乘左中一得二又以右下四乘之得八以右上二乘左下一得二又以右中三乘左下二得六三位并之得二十六为法又以二三四相乘得二十四以乘六十五杯得一千五百六十以二十六除之得六十人数合前问今有鸡翁一直钱五鸡母一直钱三鸡雏三直钱一凡百钱买鸡百只 问鸡翁母雏各几何答曰鸡翁四直钱二十鸡母十八直钱五十四鸡雏七十八直钱二十六又答鸡翁八直钱四十鸡母十一直钱三十三鸡雏八十一直钱二十七又答鸡翁十二直钱六十鸡母四直钱十二鸡雏八十四直钱二十八术曰鸡翁每增四鸡母每减七鸡雏每益三即得(所以然者其多少互相通融于同价则无术可穷尽其理)此问若依上术推算难以通晓然较之诸本并同疑其从来脱漏阙文盖流传既久无可考证自汉唐以来虽甄鸾李淳风注释未见详辨今将算学教授并谢察微拟立术草剏新添入其术曰置钱一百在地以九为法除之(以九除之既雏三直)(钱一则是每雏直三分钱之一宜以鸡翁母各三因并之得九)得鸡母之数不尽者返减下法为鸡翁之数别列鸡都数一百只在地减去鸡翁母数余即鸡雏得合前问若鸡翁每增四鸡母每减七鸡雏每益三或鸡翁每减四鸡母每增七鸡雏每损三即各得又答之数草曰置钱一百文在地为实又置鸡翁一鸡母一各以鸡雏三因之鸡翁得三鸡母得三并鸡雏三并之共得九为法除实得一十一为鸡母数不尽一返减下法九余八为鸡翁数别列鸡都数一百只在地减去鸡翁八鸡母一十一余八十一为鸡雏数置翁八以五因之得四十即鸡翁直钱又置鸡母一十一以三因之得三十三即鸡母直又置鸡雏八十一以三除之得二十七即鸡雏直合前问又草曰置鸡翁八增四得一十二鸡母一十一减七得四鸡雏八十一益三得八十四得百鸡之数如前求之得百钱之数亦合前问又草曰置鸡翁八减四得四鸡母一十一增七得一十八鸡雏八十一损三得七十八如前求之各得百鸡百钱之数亦合前问张邱建算经卷下◆ 《缉古等经-唐-》（KR3f0040）
## 提要
钦定四库全书 子部六
缉古算经 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案缉古算经一卷唐王孝通撰其结衔称通直郎太史丞其始末未详惟唐书律厯志戊寅厯条下有武徳九年校厯人算厯博士臣王孝通题盖即其人也是书一名缉古算术唐书艺文志崇文总目俱称李淳风注今案此本卷首实题孝通撰并注则唐志及总目为误又宋志作一卷唐志郑樵艺文畧俱作四卷王应麟玉海谓今亡其三案孝通原表称二十术检勘书内条目相同并无缺佚不知应麟何所据而云然也书中大㫖以九章商功篇有平地役功受袤之术其于上寛下狭前髙后卑阙而不论世人多不达其理因于平地明其法凡推朔夜半时月之所离者一术推仰观台及羡道高广袤者一术推筑堤授工上下广及髙袤不同者一术推筑龙尾堤者一术推穿河授工斜正袤上广及深并漘上广不同者一术推四郡输粟窖上下广袤余郡别出人及窖深广者一术推亭仓上下方髙者一术推刍甍圆囤者各一求推方仓圆窖对待者五术推勾股边积亘求者六术共合二十术之数中间毎以人户道里大小逺近及材物之轻重工作之时日乗除进退叅伍以得其法颇不以深浅为次第故读者或不能骤通而卒篇以后由源竟委端绪足寻洵为思极毫芒曲尽事理唐代明算立学习此书者以三年为限亦知其术之精妙非旦夕所克竟其义矣其书世罕流播此乃宋元丰七年秘书监赵彦若等校定刋行旧本常熟毛扆得之章邱李氏而影抄传之者今详加勘正其文间有脱阙不敢妄补谨撮取其义别加图说附诸本文之左以便观览云乾隆四十六年十一月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 上缉古算经表
上缉古算经表
臣孝通言臣闻九畴载叙纪法著于彛伦六艺成功数术参于造化夫为君上者司牧黔首布神道而设教采能事而经纶尽性穷源莫重于筭昔周公制礼有九数之名窃寻九数即九章是也其理幽而㣲其形秘而约重句聊用测海寸木可以量天非宇宙之至精其孰能与于此者汉代张苍删补残缺校其条目颇与古术不同魏朝刘徽笃好斯言博综纎隠更为之注徽思极毫芒触类増长乃造重差之法列于终篇虽即未为司南然亦一时独步自兹厥后不继前踪贺循徐岳之徒王彪甄鸾之辈㑹通之数无闻焉耳但旧经残駮尚有阙漏自刘已下更不足言其祖暅之缀术时人称之精妙曾不觉方邑进行之术全错不通刍亭方亭之问于理未尽臣今更作新术于此附伸臣长自闾阎少小学算镌磨愚钝迄将皓首鑚寻秘奥曲尽无遗代乏知音终成寡和伏蒙圣朝收拾用臣为太史丞比年已来奉勅校勘傅仁均厯凡駮正术错三十余道即付太史施行伏寻九章商功篇有平地役功受袤之术至于上寛下狭前高后卑正经之内阙而不论致使今代之人不达深理就平正之门同欹邪之用斯乃圎孔方柄如何可安臣昼思夜想临书浩叹恐一旦瞑目将来莫覩遂于平地之余续狭斜之法凡二十术名曰缉古请访能算之人考论得失如有排其一字臣欲谢以千金轻用陈闻伏深战悚谨言
## 缉古筭经
钦定四库全书缉古筭经唐 王孝通 撰假令天正十一月朔夜半日在斗十度七百分度之四百八十一章岁为母朔月行定分九千朔日定小余一万日法二万章岁七百亦名行分也今不取加时度问天正朔夜半之时月在何处(推朔夜半月度旧术要须加时日度自古先儒虽复)(修撰改制意见甚众竝未得筭妙有理不尽考校尤难臣毎日夜思量常以此理屈滞恐后代无人知者今奉)(勅造厯因即改制为此新术旧推日度之术已得朔夜半日度仍须更求加时日度然知月䖏臣今作新术但)(得朔夜半日度不须加时日度即知月处此新术比于旧术一年之中十二倍省功使学者易知)荅曰在斗四度七百分度之五百三十术曰(推朔夜半月度新术不复加时日度月蚀乃可用之)以章岁减朔月行定分余以乘朔日定小余满日法而一为先行分不尽者半法已上收成一已下者弃之若先行分满日行分而一为度分以减朔日夜半日所在度分若度分不足减加往宿度其分不足减者退一度为行分而减之余即朔日夜半月行所在度及分也(凡入厯当月行定分即是月一日之行分但此定分满章岁而一为度凡日一日行一度)(然则章岁者即是日之一日行分也今按九章均输篇有犬追兔术与此术相似彼问犬走一百步)(兔走七十步令兔先走七十五步犬始追之问几何步追及荅曰二百五十步追及彼术曰以兔走)(减犬走余者为法又以犬走乘兔先走为实实如法而一即得追及步数此术亦然何者假令月行)(定分九千章岁七百即是日行七百分月行九千分令日月行数相减余八千三百分者是日先行)(之数然月始追之必用一日而相及也令定小余者亦是日月相及之日分假令定小余一万即相)(及定分此乃无对为数其日法者亦是相及之分此又同数为有八千三百是先行分也斯则异矣)(但用日法除之即四千一百五十即先行分故以夜半之时日在月前月在日后以日月相去之数)(四千一百五十减日行所在度分即月夜半所在度分也)假令太史造仰观台上广袤少下广袤多上下广差二丈上下袤差四丈上广袤差三丈髙多上广一十一丈甲县差一千四百一十八人乙县差三千二百二十二人夏程人功常积七十五尺限五日役台毕羡道从台南面起上广多下广一丈二尺少袤一百四尺髙多袤四丈甲县一十三乡乙县四十三乡毎乡别均赋常积六千三百尺限一日役羡道毕二县差到人共造仰观台二县乡人共造羡道皆从先给甲县以次与乙县台自下基给髙道自初登给袤问台道广髙袤及县别给髙广袤各几何荅曰台髙一十八丈上广七丈下广九丈上袤一十丈下袤一十四丈甲县给髙四丈五尺上广八丈五尺下广九丈上袤一十三丈下袤一十四丈乙县给髙一十三丈五尺上广七丈下广八丈五尺上袤一十丈下袤一十三丈羡道髙一十八丈上广三丈六尺下广二丈四尺袤一十四丈甲县乡人给髙九丈上广三丈下广二丈四尺上袤七丈下袤一十四丈乙县乡人给髙九丈上广三丈六尺下广三丈下袤七丈术曰以程功尺数乘二县人又以限日乘之为台积又以上下袤差乘上下广差三而一为隅阳羃以乘截髙为隅阳截积羃又半上下广差乘斩上袤为隅头羃以乘截髙为隅头截积所得并二积以减台积余为实以上下广差并上下袤差半之为正数加截上袤以乘截髙所得増隅阳羃加隅头羃为方法又并截髙及截上袤与正数为亷法从闻立方除之即得上广各加差得台下广及上下袤髙求均给积尺受广袤术曰以程功尺数乘乙县人又以限日乘之为乙积三因之又以髙羃乘之以上下广差乘袤差而一为实又以台髙乘上广广差而一为上广之髙又以台髙乘上袤差而一为上袤之髙又以上广之髙乘上袤之髙三之为方法又并两髙三之二而一为㢘法从开立方除之即乙髙以减本髙余即甲髙此是从下给台甲髙又以广差乘乙髙以本髙而一所得加上广即甲上广又以袤差乘乙髙如本髙而一所得加上袤即甲上袤其甲上广袤即乙下广袤台上广袤即乙上广袤其后求广袤有増损者皆放此(此应三因乙积)(台髙冄乘上下广差冄乘袤差而一又以台髙乘上广为上广之髙又以台髙乘上袤为上袤之髙)(为小羃二因下袤之髙为中羃一凡下袤下广之髙即是截髙与上袤与上广之髙相连并数然此)(有中羃定有小羃一又有上广之髙乘截髙为羃之各一又下广之髙乘下袤之髙为大羃二乘上袤)(髙为中羃一其大羃之中又小羃一复有上广上袤之髙为中羃各乘截髙为中羃各一又截髙自)(乘为羃一其中羃之内有小羃一又上袤之髙乘截髙为羃一然则截髙自相乘为羃二小羃六又)(上广上袤之髙各三以乘截髙为羃六令皆半之故以三乘小羃又上广上袤之髙各三令但半之)(各得一又二分之一故三之二而一诸羃截为积尺)求羡道广袤髙术曰以均赋常积乘二县五十六乡又六因为积又以道上广多下广数加上广少袤为下广少袤又以髙多袤加下广少袤为下广少髙以乘下广少袤为隅阳羃又以下广少上广乘之为鼈隅以减积余三而一为实并下广少袤与下广少高以下广少上广乘之为鼈从横亷羃三而一加隅羃为方法又以三除上广多下广以下广少袤下广少高加之为亷法从开立方除之即下广加广差即上广加袤多上广于上广即袤加广多袤即道髙求羡道均给积尺甲县受广袤术曰以均赋常积乘甲县一十三乡又六因为积以袤再乘之以道上下广差乘台髙为法而一为实又三因下广以袤乘之如上下广差而一为都亷从开立方除之即甲袤以广差乘甲袤本袤而一以下广加之即甲上广又以台髙乘甲袤本袤除之即甲髙假令筑隄西头上下广差六丈八尺二寸东头上下广差六尺二寸东头髙少于西头髙三丈一尺上广多东头髙四尺九寸正袤多于东头髙四百七十六尺九寸甲县六千七百二十四人乙县一万六千六百七十七人丙县一万九千四百四十八人丁县一万二千七百八十一人四县毎人一日穿土九石九斗二升毎人一日筑常积一十一尺四寸十三分寸之六穿方一尺得土八斗古人负土二斗四升八合平道行一百九十二步一日六十二到今隔山渡水取土其平道只有一十一步山斜髙三十步水寛一十二步上山三当四下山六当五水行一当二平道踟蹰十加一载输一十四步减计一人作功为均积四县共造一日役毕今从东头与甲其次与乙丙丁问给斜正袤与髙及下广并每人一日自穿运筑程功及隄上下髙广各几何荅曰一人一日自穿运筑程功四尺九寸二分西头髙三丈四尺一寸上广八尺下广七丈六尺二寸东头髙三尺一寸上广八尺下广一丈四尺二寸正袤四十八丈斜袤四十八丈一尺甲县正袤一十九丈二尺斜袤一十九丈二尺四寸下广三丈九尺髙一丈五尺五寸乙县正袤一十四丈四尺斜袤一十四丈四尺三寸下广五丈七尺六寸髙二丈四尺八寸丙县正袤九丈六尺斜袤九丈六尺二寸下广七尺髙三丈一尺丁县正袤四丈八尺斜袤四丈八尺一寸下广七丈六尺二寸髙三丈四尺一寸求人到程功运筑积尺术曰置上山四十步下山二十五步渡水二十四步平道一十一步踟蹰之间十加一载输一十四步一返计一百二十四步以古人负土二斗四升八合平道行一百九十二步以乘一日六十二到为实却以一返步为法除得自运土到数也又以一到负土数乘之却以穿方一尺土数除之得一人一日运功积又以一人穿土九石九斗二升以穿方一尺土数除之为法除之得穿用人数复置运功积以毎人一日常积除之得筑用人数并之得六人共成二十九尺七寸六分以六人除之即一人程功也求隄上下广及髙袤术曰一人一日程功乘总人为隄积以髙差乘下广差六而一为鼈羃又以髙差小头广差二而一为大卧壍头羃又半髙差乘上广多东头髙之数为小卧壍头羃并三羃为大小壍鼈率乘正袤多小髙之数以减隄积余为实又置半髙差及半小头广差与上广多小头髙之数并三差以乘正袤多小头髙之数以加率为方法又并正袤多小头并上广多小髙及半髙差而増之兼半小头广差加之为亷法从开方立除之即小髙加差即各得广袤髙又正袤自乘髙差自乘并而开方除之即斜袤求甲县髙广正斜袤术曰以程功乘甲县人以六因取积又乘袤羃以下广差乘髙差以法除之为实又并小头上下广以乘小髙三因之为垣头羃又乘袤羃如法而一为垣方又三因小头下广以乘正袤以广差除之为都亷从开立方除之得小头即甲袤又以下广差乘之所得以正袤除之所得加东头下广即甲广又以両头髙差乘甲袤以正袤除之以加东头髙即甲髙又以甲袤自乘以隄东头髙减甲髙余自乘并二位以开方除之即得斜袤求髙广以本袤及髙广差求之若求乙丙丁各以本县人功积尺毎以前大髙广为后小髙广凡亷母自乘为方母亷母乘方母为实母(此平隄在)(上羡除在下两髙之差即除髙其余両边各一鼈腝中一壍堵今以袤再乘积广差乘袤差而一得)(截鼈腝袤再乘为立方一又壍堵袤自乘为羃三又三因小头下广大袤乘之广差而一与羃为髙)(故为亷法又并小头上下广又三之意同六除然此头羃本乘截袤又袤乘之差相乘而一今还依)(数乘除一头羃为从得截袤为广)求隄都积术曰置西头髙倍之加东头髙又并西头上下广半而乘之又置东头髙倍之加西头髙又并东头上下广半而乘之并二位积以正袤乘之六而一得隄积也假令筑龙尾隄其隄从头髙上阔以次低狭至尾上广多下广少隄头上下广差六尺下广少髙一丈二尺少袤四丈八尺甲县二千三百七十五人乙县二千三百七十八人丙县五千二百四十七人各人程功常积一尺九寸八分一日役毕三县共筑今从隄尾与甲县以次与乙丙问龙尾隄从头至尾髙袤广及各县别给髙袤广各多少荅曰髙三丈上广二丈四尺下广一丈八尺袤六丈六尺甲县髙一丈五尺袤三丈三尺上广二丈一尺乙县髙二丈一尺袤一丈三尺二寸上广二丈二尺二寸丙县髙三丈袤一丈九尺八寸上广二丈四尺求龙尾隄广袤髙术曰以程功乘总人为隄积又六因之为虚积以少髙乘少袤为隅羃以少上广乘之为鼈隅羃以减虚积余三约之所得为实并少髙袤以少上广乘之为鼈从横亷羃三而一加隅羃为方法又三除少上广以少袤少髙加之为亷法从开立方除之得下广加差即髙广袤求逐县均给积尺受广袤术曰以程功乘当县人为积尺各六因积尺又乘袤羃广差乘髙为法除之为实又三因末广以袤乘之广差而一为都亷从开立方除之即甲袤以本髙乘之以本袤除之即甲髙又以广差乘甲袤以本袤除之所得加末广即甲上广其甲上广即乙末广其甲髙即垣髙求都亷如前又并甲上下广三之乘甲髙以乘袤羃以法除之得垣方从开立方除之即乙袤余放此(此龙尾犹羡除也其壍堵一鼈腝一并而相连今以袤再乘积广差乘髙而一所得截鼈腝袤)(再自乘为立方一又各一鼈腝截袤再自乘为立方一又壍堵袤自乘为羃三又三因末广以袤乘)(之广差而一与羃为髙故为亷法)假令穿河袤一里二百七十六步下广六步一尺二寸北头深一丈八尺六寸上广十二步二尺四寸南头深二百四十一尺八寸上广八十六步四尺八寸运土于河西岸造漘北头髙二百二十三尺二寸南头无髙下广四百六尺七寸五牦袤与河同甲郡二万二千三百二十人乙郡六万八千七十六人丙郡五万九千九百八十五人丁郡三万七千九百四十四人自穿负筑各人程功常积三尺七寸二分限九十六日役河漘俱了四郡分共造漘其河自北头先给甲郡以次与乙合均赋积尺问逐郡各给斜正袤上广及深并漘上广各多少荅曰漘上广五丈八尺二寸一分甲郡正袤一百四十四丈斜袤一百四十四丈三尺上广二十六丈四寸深一十一丈一尺六寸乙郡正袤一百一十五丈二尺斜袤一百一十五丈四尺四寸上广四十丈九尺二寸深一十八丈六尺丙郡正袤五十七丈六尺斜袤五十七丈七尺二寸上广四十八丈三尺六寸深二十二丈三尺二寸丁郡正袤二十八丈八尺六寸斜袤二十八丈八尺六寸上广五十二丈八寸深二十四丈一尺八寸术曰如筑隄术入之(覆隄为河彼注甚明髙深稍殊程功是同意可知也)以程功乘甲郡人又以隄日乘之四之三而一为积又六因以乘袤羃以上广差乘深差为法除之为实又并小头上下广以乘小头深三之为垣头羃又乘袤羃以法除之为垣方三因小头上广以乘正袤以广差除之为都亷从开立方除之即得小头为甲袤求深广以本袤及深广差求之为法以両头上广差乘甲袤以本袤除之所得加小头上广即甲上广以小头深减南头深余以乘甲袤以本袤除之所得加小头深即甲深又正袤自乘深差自乘并而开方除之即斜袤若求乙丙丁毎以前大深广为后小深广准甲求之即得求漘上广术曰以程功乘总人又以限日乘之为积六因之为实以正袤除之又以髙除之所得以下广减之余又半之即漘上广假令四郡输粟斛法二尺五寸一人作功为均自上给甲以次与乙其甲郡输粟三万八千七百四十五石六斗乙郡输粟三万四千九百五石六斗丙郡输粟二万六千二百七十石四斗丁郡输粟一万四千七十八石四斗四郡共穿窖上袤多于上广一丈少于下袤三丈多于深六丈少于下广一丈各计粟多少均出丁夫自穿负筑冬程人功常积一十二尺一日役问窖上下广袤深郡别出人及窖深广各多少荅曰窖上广八丈上袤九丈下广一十丈下袤一十二丈深三丈甲郡八千七十二人深一十二尺下袤一十丈二尺广八丈八尺乙郡七千二百七十二人深九尺下袤一十一丈一尺广九丈四尺丙郡五千四百七十三人深六尺下袤一十一丈七尺广九丈八尺丁郡二千九百三十三人深三尺下袤一十二丈广一十丈求窖深广袤术曰以斛法乘总粟为积尺又广差乘袤差三而一为隅阳羃乃置壍上广半广差加之以乘壍上袤为隅阳羃及隅头羃加之为方法又置壍上袤及壍上广并之为大广又并广差及袤差半之以加大广为亷法从开立方除之即深各加差即合所问求均给积尺受广袤深术曰如筑隄术入之以斛法乘甲郡输粟为积尺又三因以深羃乘之以广差乘袤差而一为实深乘上广广差而一为上广之髙深乘上袤袤差而一为上袤之髙上广之髙乘上袤之髙三之为方法又并两髙三之二而一为亷法从开立方除之即甲深以袤差乘之以本深除之所得加上袤即甲下袤以广差乘之本深除之所得加广即甲下广若求乙丙丁毎以前下广袤为后上广袤以次皆准此求之即得若求人数各以程功约当郡积尺假令亭仓上小下大上下方差六尺髙多上方九尺容粟一百八十七石二斗今已运出五十石四斗问仓上下方髙及余粟深上方各多少荅曰上方三尺下方九尺髙一丈二尺余粟深上方俱六尺求仓方髙术曰以斛法乘容粟为积尺又方差自乘三而一为隅阳羃以乘截髙以减积余为实又方差乘截髙加隅阳羃为方法又置方差加截髙为亷法从开立方除之即上方加差即合所问求余粟髙及上方术曰以斛法乘出粟三之以乘髙羃令方差羃而一为实(此是大小髙各自乘又相乘各乘取髙是大髙)(者即是取髙与小髙并)髙乘上方方差而一为小髙令自乘三之为方法三因小髙为亷法从开立方除之得取出髙以减本髙余即残粟髙置出粟髙又以方差乘之以本髙除之所得加上方即余粟上方(此本)(术曰上下方相乘又各自乘并以髙乘之三而一今还元三之又髙羃乘之差羃而一得大小髙相)(乘又各自乘之数何者若髙乘下方方差而一得大髙也若髙乘上方方差而一得小髙也然则斯)(本下方自乘故湏髙自乘乘之差自乘而一即得大髙自乘之数小髙亦然凡大髙者即是取髙与)(小髙并相连今大髙自乘为大方大方之内即有取髙自乘羃一隅头小髙自乘羃一又其两边各)(一以取髙乘小髙为羃二又大小髙相乘为中方中方之内即有小髙乘取髙羃一又小髙自乘即)(是小方之羃又一则小髙乘大髙又各自乘三等羃皆以乘取髙为立积故三因小羃为方及三小)(髙为亷也)假令刍甍上袤三丈下袤九丈广六丈髙一十二丈有甲县六百三十二人乙县二百四十三人夏程人功当积三十六尺限八日役自穿筑二县共造今甲县先到问自下给髙广袤各多少荅曰髙四丈八尺上广三丈六尺袤六丈六尺求甲县均给积尺受广袤术曰以程功乘乙县人数又以限日乘之为积尺以六因之又髙羃乘之又袤差乘广而一所得又半之为实髙乘上袤袤差而一为上袤之髙三因上袤之髙半之为亷法从开立方除之得乙髙以减甍髙余即甲髙求广袤依率求之(此乙积本倍下袤上袤从之以下广及髙乘之六而一为一甍积今还元)(须六因之以髙羃乘之为实袤差乘广而一得取髙自乘以乘二上袤之髙并大广袤相连之数则)(三小髙为亷法各以取髙为方仍有取髙为立方者故半之为立方一又须半亷法)假令圆囤上小下大斛法二尺五寸以率径一周三上下周差一丈二尺髙多上周一丈八尺容粟七百五斛六斗今已运出二百六十六石四斗问残粟去口上下周髙各多少荅曰上周一丈八尺下周三丈髙三丈六尺去口一丈八尺粟周二丈四尺求圆囤上下周及髙术曰以斛法乘容粟又三十六乘之三而一为方亭之积又以周差自乘三而一为隅阳羃以乘截髙以减亭积余为实又周差乘截髙加隅阳羃为方法又以周差加截髙为亷法从开立方除之得上周加差而合所问求粟去口术曰以斛法乘出斛三十六乘之以乘髙羃如周差羃而一为实髙乘上周周差而一为小髙令自乘三之为方法三因小髙为亷法从开立方除之即去口(三十六乘讫即是截方亭之前方窖不别)置去口以周差乘之以本髙除之所得加上周即粟周假令有粟二万三千一百二十斛七斗三升欲作方仓一圆窖一盛各满中而粟适尽令髙深等使方面少于圆径九寸多于髙二丈九尺八寸率径七周二十二问方径深多少荅曰仓方四丈五尺三寸(容粟一万二千七百二十二斛九斗五升八合)窖径四丈六尺二寸(容粟一万三百九十七石七斗七升二合)髙与深各一丈五尺五寸求方径髙深术曰十四乘斛法以乘粟数二十五而一为实又倍多加少以乘少数又十一乘之二十五而一多自乘加之为方法又倍少数十一乘之二十五而一又倍多加之为亷法从开立方除之即髙深各加差即方径(一十四乘斛法以乘粟为积尺前一十四除今)(还元一十四乘为径自乘者是一十一方自乘者是一十四故并之为二十五凡此方圆二径长短)(不同二径各自乘为方大小各别然则此壍方二丈九尺八寸壍径三丈七寸皆成立方此应壍方)(自乘一十四乘之壍径一十一乘之二十五而一为隅羃即方法也但二隅皆以壍数为方面今此)(术就省倍小隅方加差为短以差乘之为短羃一十一乘之二十五而一又小隅方自乘之数即是)(方圎之隅同有此此数若二十五乘之还湏二十五除直以小隅方自乘加之故不复乘除又湏倍)(二亷之差一十一乘之二十五而一倍二亷加之故为亷法不复二十五乘除之也)还元术曰仓方自乘以髙乘之为实圆径自乘以深乘之一十一乘一十四而一为实皆以斛法除之即得容粟(斛法二尺五寸)假令有粟一万六千三百四十八石八斗欲作方仓四圆窖三令髙深等方面少于圆径一丈多于髙五尺斛法二尺五寸率径七周二十二问方髙径多少荅曰方一丈八尺髙深一丈三尺圆径二丈八尺术曰以一十四乘斛法以乘粟数如八十九而一为实倍多加少以乘少数三十三乘之八十九而一多自乘加之为方法又倍少数以三十三乘之八十九而一倍多加之为亷法从开立方除之即髙深各加差即方径(一十四乘斛法以乘粟为径自乘及方自乘数与前同今)(方仓四即四因十四圆窖三即三因十一并之为八十九而一此壍径一丈五尺壍方五尺以髙为)(立方自外意同前)假令有粟三千七十二石欲作方仓一圆窖一令径与方等方多于窖深二尺少于仓髙三尺盛各满中而粟适尽(圆率斛法竝与前同)问方径髙深各多少荅曰方径各一丈六尺髙一丈九尺深一丈四尺术曰三十五乘粟二十五而一为率多自乘以并多少乘之以乘一十四如二十五而一所得以减率余为实并多少以乘多倍之乘一十四如二十五而一多自乘加之为方法又并多少以乘一十四如二十五而一加多加之为㢘法从开立方除之即窖深各加差即方径髙(截髙五尺壍径及方二尺以深为立方十)(四乘斛法故三十五乘粟多自乘并多少乘之为截髙隅积减率余即二方亷各二尺长五尺自外)(意㫖皆与前同)假令有粟五千一百四十五石欲作方窖圆窖各一令口小底大方面于圆径等两深亦同其深少于下方七尺多于上方一丈四尺盛各满中而粟适尽(圆率斛法竝与前同)问方径深各多少荅曰上方径各七尺下方径各二丈八寸深各二丈一尺术曰以四十二乘斛法以乘粟七十五而一为方亭积令方差自乘三而一为隅阳羃以截多乘之减积余为实以多乘差加羃为方法多加差为亷法从开立方除之即上方加差即合所问(凡方亭上下方)(相乘又命自乘并以乘髙为虚命三而一为方亭积若圆亭上下径相乘又各自乘并以乘髙为虚)(又十一乘之四十二而一为圆亭积今方圆二积并在一处故以四十二复乘之即得圆虚十一方)(虚十四凡二十五而一得一虚之积又三除虚积为方亭实乃依方髙覆问法见上下方差及髙差)(与积求上下方髙术入之故三乘二十五而一)假令有粟二万六千三百四十二石四斗欲作方窖六圆窖四令口小底大方面与圆径等其深亦同令深少于下方七尺多于上方一丈四尺盛各满中而粟适尽(圆率斛法并与前同)问上下方深数各多少荅曰方窖上方七尺下方二丈八尺深二丈一尺圆窖上下方深与方窖同术曰以四十二乘斛法以乘粟三百八十四而一为方亭积尺令方差自乘三而一为隅阳羃以截多乘之以减积余为实以多乘差加羃为方法又以多加差为亷法从开立方除之即上方加差即合所问(今以四十二乘圆虚十一者四方虚十四者六合一百二十八虚除之为一虚之积)(得者仍三而一为方亭实积乃依方亭见差覆问求之故三乘一百二十八除之)假令有句股相乘羃七百六五十分之一弦多于句三十六十分之九问三事各多少荅曰句十四二十分之七股四十九五分之一弦五十一四分之一术曰羃自乘倍多数而一为实半多数为㢘法从开立方除之即句以弦多句加之即弦以句除羃即股(句股相乘羃自乘与句羃乘股羃积等故以倍句弦差而一得一句与半差之共乘句羃)(为方故半差为亷从开立方除之三按此术原本不全今依句股义拟补十 字)假令有句股相乘羃四千三十六五分之○股少于弦六五分之一问弦多少(按此问原本缺二字今依文补一股字其股字上之○系所设)(分数未便悬拟今姑阙之)荅曰弦一百一十四十分之七术曰羃自乘倍少数而一为实半少为亷法从开立方除之即股加差即弦假令有句弦相乘羃一千三百三十七二十分之一弦多股一十分之一问股多少荅曰九十二五分之二术曰羃自乘倍多而一为立羃又多再 乘半之减立羃余为实又多数自乘 为方法又置多数五之二而一为亷 开立方除之即股(句弦相乘)(羃自股与半羃乘弦羃之得一 差) (为方令股弦差而一 多再自乘半)(之为隅) (倍之为横虚二立㢘 从隅)(故五多为上广即二多术原本不全今加案于法 之二而一○案此 后)(并别立一术绘图加说以补其阙)案此术脱简既多法亦烦扰冝云羃自乘多数而一所得四之为实多为亷法从立方开之得减差半之即股(羃自乘与勾羃弦羃相乘积等令勾羃变为股弦并乘股弦差故差)(而一所得乃股弦并乘弦羃)如圗之甲乙丙丁戊戊巳为股弦并乘弦羃(甲巳与丙丁䓁为股弦并庚丁戊巳)(为弦羃)即差而一所得四之成甲乙丙辛壬癸子丑立方实其庚壬癸子为四弦羃甲乙寅夘辰午未形为股弦并再自乘实故丑未或寅辛类皆股弦差为亷实之从开得甲己类股弦并减差半之得股矣假令有股弦相乘羃三句少于弦五十荅曰六术曰羃自乘再自乘半之以矣乘倍之为方法亷法从开立方羃即股假令有股弦相乘羃七问股多少荅曰股二十术曰羃自除之所得(数亦是股为长以股)(得股羃又开股北分母常)假令有股十六二分十四二十五分荅曰术曰羃自乘除之所得又开方缉古算经
## 跋
缉古算经䟦
按唐书选举志制科之目明算居一其定制云凡算学孙子五曹共限一岁九章海岛共三岁张邱建夏侯阳各一岁周髀五经算共一岁缀术四岁缉古三岁记遗三等数皆兼习之窃惟数学为六艺之一唐以取士共十经周髀家塾曾刋行之余则世有不能举其名者扆半生求之从太仓王氏得孙子五曹张邱建夏侯阳四种从章邱李氏得周髀缉古二种后从黄俞邰又得九章皆元丰七年秘书省刋板字画端楷雕镂精工真世之寳也每卷后有秘书省官衔姓名一幅又一幅宰辅大臣自司马相公而下俱列名于后用见当时郑重若此因求善书者刻画影摹不爽毫末什袭而藏之但焉得海岛五经缀术三种竟成完璧并得好事者刋刻流布俾数学不绝于世所深愿也康熙甲子仲秋汲古后人毛扆谨识◆ 《数学九章-宋-》（KR3f0041）
## 提要
钦定四库全书 子部六
数学九章 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案数学九章十八卷宋秦九韶撰九韶始末未详惟据原序自称其籍曰鲁郡然序题淳祐七年鲁郡已久入于元九韶葢述其祖贯未详实为何许人也是书分为九类一曰大衍以奇零求总数为九类之纲二曰天时以步气朔晷影及五星伏见三曰田域以推方圆羃积四曰测望以推髙深广逺五曰赋役以均租税力役六曰钱榖以权轻重出入七曰营建以度土功八曰军旅以定行阵九曰市易以治交易虽以九章为名而与古九章门目迥别葢古法设其术九韶则别其用耳宋代诸儒尚虚谈而薄实用数虽圣门六艺之一亦鄙之不言即有谈数学者亦不过推演河洛之奇偶于人事无闗故乐屡争而不决厯亦每变而愈舛岂非算术不明惟凭臆断之故欤数百年中惟沈括究心是事而自梦溪笔谈以外未有成书九韶当宋末造独崛起而明绝学其中如大衍类蓍卦发微欲以新术改周易揲蓍之法殊乖古义古厯㑹积题数既误且谓设问以明大衍之理初不计前后多少之厯过尤非实据天时类缀术推星本非方程法而术曰方程复于草中多设一数以合方程行列更为牵合所载皆平气平朔凡晷影长短五星迟疾皆设数加减不过得其大㮣较今之定气定朔用三角形推算者亦为未密然自秦汉以来成法相传未有言其立法之意者惟此书大衍术中所载立天元一法能举立法之意而言之其用虽仅一端而以零数推总数足以尽奇偶和较之变至为精妙苟得其意而用之凡诸法所不能得者皆随所用而无不通后元郭守敬用之于弧矢李冶用之于勾股方圆欧逻巴新法易其名曰借根方用之于九章八线其源实开自九韶亦可云有功于算术者矣至于田域测望赋役钱榖营建军旅市易七类皆扩充古法取事命题虽条目纷纭曲折往复不免瑕瑜互见而其精确者居多今即永乐大典所载于其误者正之疎者辨之颠倒者次序之各加案语于下庶得失不掩俾算家有所稽考焉乾隆四十九年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 序
数学九章序
周教六艺数实成之学士大夫所从事尚矣其用本太虚生一而周流无穷大可以通神明顺性命小足以经世务类万物距容以浅近窥哉若昔推䇿以迎日定律而和气髀距濬川土圭度咎天地之大囿焉而不能外况其间总总者乎爰自河图洛书闿发幽秘八卦九畴错综精㣲极而至于大衍皇极之用而人事之变无不该鬼神之情莫能隐矣圣人神之言而遗其粗常人昧之由而莫之觉要其归则数与道非二本也汉去古未逺有张苍许商马延年耿夀昌郑𤣥张衡刘洪之伦或明天道而法传于后或计功䇿而效验于时后世学者自高鄙不之讲此学殆绝惟治厯畴人能为乘除而弗通于开方衍变若官府会事则府史一二絫之算家位置素所不识上之人亦委而听焉持算者惟若人则鄙之也宜矣呜呼乐有制氏仅记铿锵而谓与天地同和者止于是可乎今数术之书尚三十余家天象厯度谓之缀术太乙壬甲谓之三式皆曰内算言其秘也九章所载及周官九数击于方圆者为专术皆曰外算对内而言也其用相通不可岐二独大衍法不载九章未有能推之者厯家演法颇用之以为方程者误也且天下之事多矣古之人先事而计计定而行仰观俯察人谋鬼谋无所不用其谨是以不愆于成载籍章章可覆也后世兴事造始鲜能考度〔？〕〔？〕乎天纪人事之殽缺矣可不求其故哉九韶愚陋不闲于艺然早岁侍亲中都因得访习于太史又尝从隐君子受数学时际兵难歴岁遥塞不自意全于矢石之间更险离忧荏苒十禩心槁气落信知失物莫不有数也乃肆意其间旁诹方能探索杳𦕈粗若有得焉所谓通神明顺性命固肤末于见若其小者窃尝设为问荅以拟于用积多而惜其弃因取八十一题厘为九类立术具草间以图发之恐或可备博学多识君子之余观曲艺可遂也愿进之于道傥曰艺成而下是惟畴人府史流也乌足尽天下之用亦无瞢焉时淳祐七年九月鲁郡秦九韶叙且系之曰昆仑旁薄道本虚一圣有大衍㣲寓于易竒余取䇿郡数皆捐衍而䆒之探隐之原数术之传以实为体其书九章惟兹弗纪厯家虽用用而不知小试经世姑推所为述大衍第一 七精回穹人事之纪追缀而求宵星画晷厯乆则踈惟智能革不寻天道模袭何益三农务穯厥施自天以滋以生雨膏雪零司牧闵马尺寸验之积以噐移忧喜皆非述天时第二 魁隗粒民甄度四海苍姫井之仁政攸在代逺庶蕃恳菑日广步度庀赋版图是掌方圆异状袤窳殊形专术精㣲熟䆒厥真差之毫厘谬乃千里公私共弊盖谨其籍述田域第三莫高匪山莫濬匪川神禹奠之积矩攸传智创巧述重差夕桀求之既详揆之冈越崇深广逺度则靡容形格势禁㓂垒仇墉欲知其数先望以表因差施术坐悉㣲𣺌述测望第四 邦国之赋以待百事畦田经入取之有度未免力役先商厥功以衰以率逸乃同汉犹近古租税以算调均钱榖何菑之扞惟仁隐民犹已溺饥赋役不均寜得勿思述赋役第五 物等歛赋式时府庾粒粟寸丝褐夫红女商征边籴后世多端立縁为欺上下俱殚我闻理财如智治水澄原濬流惟其深矣彼昧弗察惨急烦刑去理益逺吁嗟不仁述钱榖第六 斯城斯池乃栋乃宇宅坐寄命以保以聚鸠功雉制竹个本章匪䆒匪度财蠧力伤围蔡而裁如子西素匠计露台俾汉文惧惟武图功惟俭昭德有国有家兹焉取则述营建第七 天生五材兵去未可不教而战维上之过堂堂之阵鹅鹳为行营应规矩其将莫当师中之吉惟智仁勇夜算军书先计攸重我闻在昔轻则寡谋殄民以幸亦孔之忧述军旅第八 日中而市万民所资贾贸墆鬻利析铢锱蹛财役贫封君低首豕末兼并非国之厚述市易第九
## 卷一上
钦定四库全书
数学九章卷一上 宋 秦九韶 撰大衍按大衍术以各分数之竒零求各分数之总数大而天行小而物数皆可御之其法有求元求定求术求竒求乘求用之目大约以数之竒偶为根而以诸数相度之尽不尽为用有求彼此不能度尽之诸数者元数定数是也有求诸数皆能度尽之一数者衍母数是也有求诸数皆能度尽而一数不能度尽之数者各衍数是也其不尽之数即竒数也有求二数相度余一之数者乘数是也有求二数相度余一而诸数又能度尽之数者用数是也求元数定数初与约分法相似终变二数务使其等数为一盖以一为等数始能度尽二数是他数俱不能度尽二数而二数相度益不能尽也以定数竒数求乘数之法名曰大衍求一中有立天元一于左上之语下载立天元一算式按立天元一法见于元郭守敬之厯源李冶之测圆海镜及四海之借根方者皆虚设所求之数为一与所有实数反复推求归于少广诸乘方得其积数与边数或正负亷隅数而止次用除法或开方法得所求数此数命定数为一与竒数反复商较至余一实数而止其竒数所积即为乘数盖其用不同而法则无二也然其极和较之用穷竒偶之情则有为元法西法所未及者但原本法解烦杂图式譌舛今详加改定并释其义俾学者易见焉大衍数术大衍总数术曰置诸问数(类名有四)一曰元数(谓尾位见单零者本门揲)(蓍酒息斛粜砌甎失米之类是也)二曰牧数(谓尾位见分厘者假令冬至三百六十五日二十五)(刻欲与甲子六十日为一会而求积日之类)三曰通数(谓诸数各有分子母者本门问一会积年)(是也)四曰复数(谓尾位见十或百及千以上者本门筑隄并急足之类是也)按此言问题有是四类元数者先以两连环求等约竒弗约偶(或约得五而彼有十乃约偶而)(弗约竒)或元数俱偶约毕可存一位见偶或皆约而犹有类数存姑置之俟与其他约徧而后乃与姑置者求等约之或诸数皆不可尽类则以诸元数命曰复(按复应作定)数以复(按同上)数格入之按此以元数求定数法也连环求等者于诸数中逐次取二数相度得一数可以度尽者为等数为法只约一数约竒弗约偶专为等数为偶者言之若等数为竒者则约偶弗约竒而等数为五与十者又有或约竒或约偶者矣皆约而犹有类俟约徧求等约之者逐条两两取约毕犹有二数可约者求得等数为续等(见后)续等约一数必复乘一数盖等数为二数之较(或二数展转之)(较)可约续等乃已约之较不可冄约不可约而两数又不可使有等故约一数乘一数犹之不约也术内未详收数者乃命尾位分厘作单零以进所问之数定位讫用元数格入之或如意立数为母收进分厘以从所问用通数格入之按收数者单位下有竒零之数也进位者以竒零之末位为单位也若立分母通之反不如用原数为简通数者置问数通分内子互乘之皆曰通数求总等不约一位约众位得各原法数用元数格入之或诸母数繁就分从省通之者皆不用元各母仍求总等存一位约众位亦各得原法数亦用元法数格入之按通数与收数相似但单数有分母竒零为分子耳通分纳子即进尾数为单位之义因加互乘一次故加总等一约然后为元数也又按求总等不拘通数复数但题中有三数可以一等数度尽者即可用总等法存一数约众数然后为元数凡度之后等数仍可约者此数必当存之复数者问数尾位见十以上者以诸数求总等存一位约众位始得元数两两连环求等约竒弗约偶复乘偶或约偶或约竒复乘竒(按此四语有误应作约竒弗约偶复乘偶或约偶弗约竒弗乘)(竒然皆续等下用之此处可省)或彼此可约而犹有类数存者又相减以求续等以续等约彼则必复乘此乃得定数所有元数收数通数三格皆有复乘求定之理悉可入之按复数者诸问数皆至十或百或千而止也右各叚皆云以某格入之此又云三格悉可入之大约古算必有其程式也求定数勿使两位见偶勿使见一太多见一多则借用繁不欲借则任得一按勿使两位见偶者盖众数连乘中有两偶数则所得总数以一偶数除之必仍得偶数不能求余一之乘数也勿使见一太多见一多则借数繁者盖见一多因数本如此且见一即不必推乃云勿使太多又云借数皆涂人之耳目也故曰不欲借则任得一以定相乘为衍母以各定约衍母得各衍数(或列各定数于右行)(各立天元一为子于左行以母互乘子亦得衍数)诸衍数各满定母去之不满曰竒以竒与定用大衍求一入之以求乘率(或竒得一即为乘率)按诸定数连乘为衍母即为诸定数皆能度尽之数亦为总数最大之限凡总数在限内者各定数之差皆不等若过限外则各定数之差有与限内相等者其两总数之差必为衍母之倍数各衍母者即诸数度尽一数度不尽之数也竒数者定数度衍数不尽之数也定数原为彼此不能度尽之数衍数为他定数连乘之数以此一定数度之必不能尽也大衍求一数云置竒右上定居右下立天元一于左上先以右上除右下所得商数与左上一相生入左下然后乃以右行上下以少除多递互除之所得商数随即递互累乘归左行上下须使右上末后竒一而止乃验左上所得以为乘率或竒数已见单一者便为乘率(按此)(二语重上)按此以定数竒数求乘数也其法必使以定数度竒数仅余一数而竒数之倍数即乘数也置竒右上定右下者初次以定为实竒为法也立天元一于左上者以一为竒之倍数也得商数与左上相生入左下者以竒商定得商数即竒之倍数以乘天元一而书于下也随以竒数与商数相乘以减定数为余实次以竒为实减余为法置前左下于左上以法约实得商乘左上又并前之左上为左下随以法乘商减实又为余实次又以前余为实次余为法置前左下于左上得商数乘左上又倂前左上为左下随以法乘商减实如此展转相求合两次为一算至余实一乃视左下天元数即乘数也若未至两次余实一者仍以一为法上余数为实实二则商一实三则商二如上求之复得余一其天元数方为乘数原文递互乘除之语未详置各乘率对乘衍数得泛用并泛课衍母多一者为正用或泛多衍母倍数者验元数竒偶同者损其半倍(或三)(处同类以三约衍母于三处损之)同衍母者为无用当验元数同类者而正用至多处借之以元数两位求等以等约衍母为借数以借数损有以益其无为正用或数处无者如意立数为母约衍母所得以如意子乘之均借补之或欲从省勿借任之为空可也按此求各用数法也其各乘率乘各衍数得用数者即一数余一诸数度尽之数也其云并泛用过衍母倍数验元数同类损之此语似有误当云验问数同偶而用数相并过衍母者损之盖取用皆问数非元数也凡偶数减偶仍余偶减竒仍余竒其数有定竒数减竒则余偶又或余竒减偶则余竒又或余偶其数无定故惟偶数可验也定数一者即无用数必虚为借数未免徒滋烦扰然后以其余各乘正用为各总并总满衍母去之不满为所求率数按此既得各用数以题中所问之竒零求总数也以各余数乗各用数者盖用数为诸数度尽一数余一之数以几数乘之必为诸数度尽一数余几数之数也并各条而以各数度之必各数仍余几数也余数悉合则总数必合矣然衍母为诸数度尽之数累加一衍母众余数皆不变故满衍母去之得在衍母内者其数最小为第一数若大于此数者递加一衍母数无不合者按右大衍本法也原书入于蓍䇿发㣲题问荅之后殊失其序今修冠于卷首蓍卦发㣲问易曰大衍之数五十其用四十有九又曰分而为二以象两卦一以象三揲之以四以象四时三变而成爻十有八变而成卦欲知所衍之术及其数各几何按揲蓍之法载于易传启蒙言之甚明算术以竒偶相生取名大衍可也竟欲以此易古法则过矣荅曰衍母十二衍法三一元衍数二十四二元衍数一十二三元衍数八四元衍数六 已上四位衍数计五十一楪用数一十二二楪用数二十四三楪用数四四揲用数九 已上四位用数四十九按此附会五十四十九之数与本衍已牵强不合观后可知水 火 木 金 (始此四数以揲)隂阳象数图老阳 少隂 少阳 老隂(终此四者为爻)按此条与数无取义可删本题术曰置诸元数两两连环求等约竒弗约偶徧约毕乃变元数皆曰定母列右行各立天元一为子列左行以诸定母互乘左行之子各得名曰衍数次以各定母满去衍数各余名曰竒数以竒数与定母用大衍术求一(大衍求一术云以竒于右上定母于右下立天元一于左上先以右行上)(下两位以少除多所得商数乃递互乘归左行使右上得一而止左上为乘率)得各乘率以乘衍数各得用数验次所揲余几何以其余数乘诸用数并之名曰总数满衍母去之不满为所求数以为实易以三才为衍法以法除实所得为象数如实有余或一或二皆命作一同为象数其象数得一为老阳得二为少隂得三为少阳得四为老隂得老阳画重爻得少隂画拆爻得少阳画单爻得老隂画交爻凡六画乃成卦按此即前大衍法末以三归取爻象亦属附会草曰一二三四列右行立天元一列左行元数右行天元左行以右行一二三四互乘左行异子一弗乘对位本子各得衍数元数右行上 副 次 下衍数左行 并之得五十乃并左行衍数四位共计五十故易曰大衍之数五十算理不可以此五十为用葢分之为二则左右手之数竒偶不同见隂阳之伏数必须复求用数先名此曰衍数以为限率遂乃复以一二三四之元数求等数约定按前术以两两相连环求等约之先以一与二求等一与三求等一与四求等皆得一各约竒弗约偶数不变次以二与三求等亦得一约竒弗约偶数亦不变及以二与四求等乃得二此二只约副数二变为一而弗约四次以三与四求等亦得一约竒亦不变所得一一三四各为定数母列右行仍各立天元一为子列左行定母右行天行左行以右行定母一一三四互乘左行各子一惟不对乘本子毕左上得一十二左副得一十二左次得四次下得三皆曰衍数定母右行 以右定母满去左衍数左行 衍衍余各为竒数次以各母去衍数其一母去衍一十二竒一其副母一亦去副子一十二亦各竒一其次母三去次衍四亦竒一其下母四欲去下子三则不满便以三为左下竒数定母右行竒数左行凡竒数得一者便为乘率今左下衍是三乃与本母四用大衍求一术入之列衍竒三于右上定母于右下立天元一于左上空其左下(衍竒) (定母) (商)(天元)先以右上少数三除右下多数四得一为商以商一乘左上天元一只得一归左下其右下余一(商) (衍竒) (定母余)○(天元) (归数)次以右下少数一除右上多数三须使右上必竒一算乃止遂于右行最上商二以除右衍必竒一乃以上商命右下定余一除之右衍余一(商) (衍竒余) (定母余)(天元) (归数)次以商二与左下归数相乘得二加入左上天元一内共得三今验右上衍余得一当止乃以左上三为乘率与前三者乘率各一与衍定图衍数对列之通计三行定母衍数乘率以乘率对乘左行毕左上得一十二左副得一十二左次得四左下得九皆曰泛用数定母 衍母泛用次以右行一二三四相乘得一十二名曰衍母复推元用等数二约副母二为一今乃复归之为二遂用衍母一十二益于左副一十二内共为二十四元数定用今验用数图右行之一二三四即是所揲之数左行一十二并二十四及四与九并之得四十九名曰用数用为蓍草数故易曰其用四十有九是也假今用蓍四十九信手分之为二则左手竒右手必偶左手偶右手必竒欲使蓍数近大衍五十非四十九或五十一不可二数信手分之必有一竒一偶故所以用四十九取七七之数始有左副二十四内益十二就其三十七泛为用数但三十七无意义兼蓍少太露是以用四十有九凡揲蓍求一爻之数欲得一二三四岀于无余必令揲者不得知故以四十九蓍分之为二只用左手之数假令左手分得三十三自一一楪之必竒一故不繁楪乃径挂一故易曰分而为二以象两挂一以象三次后又令筮人以二二揲之其三十三亦竒一故归奇于㧅又令之以三三揲之其三十三必奇三故归奇于㧅又令之以四四揲之又奇一亦归奇于㧅与前挂一并三度揲通有四㧅乃得一一三一其挂一者乘用数图左上用数一十二其二揲㧅一者乘左副用数二十四其三揲㧅三者乘左次用数四得一十二其四揲一者乘左下用数九用数左行三㧅谓之三变挂一得一十二㧅一得二十四㧅三得一十二又㧅一得九并为总数并此四总得五十七不问所握几何乃满衍母一十二去之得不满者九(或使知其所握五十七亦满衍母去之亦只得九数)以为实用三才衍法约之得三乃画少阳单爻(或不满得八得七为)(实皆命为三)他皆倣此 术意谓揲二楪三楪四者凡三度复以三十三从头数揲之故曰三变而成爻既卦有六爻必有十八变故曰十有八变而成卦按此条强援蓍卦牵附衍数致本法反晦今以本法列于前则其弊自见矣古厯会积问古厯冬至以三百六十五日四分日之一朔䇿以二十九日九百四十分日之四百九十九甲子以六十日各为一周假令至淳祐丙午十一月丙辰朔初五日庚申冬至初九日甲子欲求古厯气朔甲子一会积年积月积日及厯过未至年数各几何按此题岁实朔䇿皆古法用数淳祐丙午岁合朔冬至干支乃宋开禧法所步题数已不相蒙即推算无误亦未合况不能无误耶荅曰一会积一万八千二百四十年二十二万五千六百月六百六十六万二千一百六十日 厯过九千一百六十三年未至九千七十七年按荅数皆不合术曰同前置问数(有分者通之互乘之得通数)求总等不约一位约众位各得元法连环求等约竒弗约偶各得定母(本题欲求一会不复乘偶)以定相乘为衍母定除母得衍数满定去衍得竒以大衍入之得乘率以乘衍数得泛用数并诸泛以课衍母如泛内多倍数者损之乃验元数竒偶同类处各损半倍(或三位同类者三约衍母损泛)各得正用然后推气朔不及或所遇甲子日数乘正用加减之为总满衍去之余为所求厯过率实如纪元法而一为厯过以气元法除衍母得一会积年以气周日刻乘一会年得一会积日以朔元法除衍母得一会积月数按如纪元法而一以气元法除衍母二语皆误故得数不合皆当以气分为法葢气分即岁实分也右本题问气朔甲子相距日数系开禧厯推倒或甲子日在气朔之间及非十一月前后者其总数必满母赘去之所得厯过年数尾位虽伦首位必异今设问以明大衍之理初不计其前多后少之厯过按此数语葢因得数不合而自解之然算家终以得数为凖得数不合则无以取信于人矣草曰置问数冬至三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日各通分内子互乘之列三等位具图如后冬至得一千四百六十一朔实得二万七千七百五十九甲子无母只是六十列三行互乘之具图如后(气通) (母) (总等不约纪分)以三行互乘右得一百三十七万三千三百四十为气分中得一十一万一千三十六为朔分左得二十二万五千六百为纪分先求总等得一十二(按十二乃朔分)(纪分所求等数亦可为气分等数故为总等)乃存纪分一位不约只以等一十二约气分得一十一万四千四百四十五又约朔分得九千二百五十三皆为元法乃以连环求等次以纪元二十二万五千六百与朔元九千二百五十三求等得一不约又以纪元与气元一十一万四千四百四十五求等得二百三十五只约气元得四百八十七次以气元四百八十七与朔元九千二百五十三求等得四百八十七只约朔元九千二百五十三得一十九约偏毕得四百八十七为气定得一十九为气定得二十二万五千六百为纪定以三定相乘得二十亿八千七百四十七万六千八百为衍母具图如后各以定数约衍母各得衍数气得四百二十八万六千四百朔得一亿九百八十六万七千二百纪得九千二百五十三寄左行各满定数去之各得竒数气竒得三百一十三朔竒得四纪竒得九千二百五十三各与定数用大衍求一各得乘数列右行对寄左行衍数具图如后各以大数入之气乘率得四百七十三朔乘率得五纪乘率得一十七万二千七百一十七对左行衍数以右行乘率对乘左行衍数气泛得二十亿二千七百四十六万七千二百朔泛得五亿四千九百三十三万六千纪泛得一十五亿九千八百一十五万四百一十具图如后右列用数并之共得四十一亿七千四百九十五万三千六百一为泛用数与衍母二十亿八千七百四十七万六千八百验之在衍母以上就以衍母除泛得二乃知泛内多一倍母数当于各用内损去所多一倍按术验法元图内诸元数奇偶同类者各损其半今验法元图气元尾数是五纪元尾数是六百为俱五同类乃以术母二十亿八千七百四十七万六千八百折半得一十亿四千三百七十三万八千四百以损泛用图内气泛纪泛毕其朔泛不损各得气朔纪正用数其气正用得九亿八千三百七十二万八千八百朔正用五亿四千九百三十三万六千纪正用五亿五千四百四十一万二千一列为正用图在前既得正用数次验问题十一月朔日丙辰冬至初五日庚申初九日甲子乃以初一减初九甲子余八日为朔不及次以初五亦减初九甲子余四日为气不及以二不及各乘正用得数具图如后先以气不及甲子四日以乘气正用数九亿八千三百七十二万八千八百得三十九亿三千四百九十一万五千二百为气总次以朔不及甲子八日数以乘其朔正用数五亿五千九百三十三万六千得四十三亿九千四百六十八万八千为朔总并之得八十三亿二千九百六十万三千二百为总数满母二十亿八千七百四十七万六千八百去之不满二十亿六千七百一十七万二千八百为所求率实具图如后按求积岁应以甲子距冬至前之日分乘纪用数为纪总以合朔距冬至前之日分乘朔用数为朔总并纪总朔总满衍母去之以岁实分除之即已过积年草内以冬至距甲子前之日分乘气用数合朔距甲子前之日分乘朔用数并之乃求纪周法非求岁周法也故不合置所得率实二十亿六千七百一十七万二千八百如法元图纪元法二十二万五千六百而一得九千一百六十三年为厯过年数次置衍母二十亿八千七百四十七万六千八百为实如法元图气元一十一万四千四百四十五为法而一得一万八千二百四十年为气朔甲子一会积年内减厯过九千一百六十三年余九千七十七年为未至年数次以冬至周日三百六十五日二十五刻乘积一会年一万八千二百四十得六百六十六万二千一百六十日为一会积日又以术母为实如法元图朔元法九千二百五十二而一得二十二万五千六百月为一会积月合问按此纪元即纪分以纪分除率实乃纪周数非已过年数也求一会积年当以气分为法以气元为法亦误此二数既误余数无是者矣然题已不合既法合数亦不能合也今改设一题于后以明其法焉设古法岁实三百六十五日四分日之一朔䇿二十九日九百四十分日之四百九十九甲子六十日假令十一月平朔辛巳日四百七十分日之一百一十三冬至癸夘日子正初刻问距前后甲子日子正初刻合朔冬至之年数各几何荅曰距前八百七十六年距后六百四十四年法按前法求至正用乃以冬至癸夘距甲子后三十九日为纪余以日法(即气分母朔分母相乘之数)三千七百六十分通之得十四万六千六百四十为纪余分以乘纪正用得纪总八十一兆二千九百八十九亿七千五百八十二万六千六百四十次以平朔辛巳距甲子十七日又四百七十分之一百一十三与冬至距甲子三十九日相减得二十一日又四百七十分日之三百五十七以日法三千七百六十通之得八万一千八百一十六为朔余分以乘朔正用得朔总四十四兆九千四百四十四亿七千四百一十七万六千并二总数满衍母去之得率实十二亿零三百零四万五千八百四十为实以岁实一百三十七万三千三百四十为法除之得八百七十六年为距前气朔甲子会积之年数又以衍母为实以岁实分为法除之得一千五百二十年为前会积距后会积之年数减去距前会积之年数余六百四十四年为距后会积之年数既得积年若欲还原求题中干支时刻则以前会之积年与岁实相乘得三十一万九千九百五十九为积日满纪法六十去之余三十九日自初日起甲子得冬至为癸夘日子正初刻又置积日以朔䇿日分九百四十通之为实以朔䇿通分纳子为法除之得一万零八百三十四为积朔余二万零四百五十四又为实以朔䇿日分九百四十为法除之得二十一日又九百四十分之七百一十四约之为四百七十分日之三百五十七为距冬至前日数与甲子距冬至前三十九日相减得一十七日又四百七十分日之一百一十三为距甲子后日数自初日起甲子得辛巳为平朔干支悉与题合推库额钱问有外邑七库日纳息足钱适等递年成贯整纳近縁见钱稀少听各库照当处市陌凖解旧会其甲库有零钱一十文丁庚二库各零四文戊库零六文余库无零钱甲库所在市陌一十二文递减一文至庚库而止欲求诸库日息原纳足钱展省及今纳旧会并大小月分各几何按题意系七邑日纳共钱同数以各邑市陌数计之或适足或有余多寡不同甲陌十二则余十乙陌十一丙陌十则无余丁陌九则余四戊陌八则余六己陌七则无余庚陌六则余四以求共钱同数此本术也又问展省旧会按草中展省乃官省陌以七十七为一百所展日息共钱之数旧会乃以各陌数为一百所升日息共钱之数二者在本术中已赘且不明言展省旧会用数求法皆故为溟涬也荅曰诸库纳日息足钱二十贯九百五十文展省三十五贯文甲库日息旧会二百二十四贯五百一十文(按应作五百文又六分文之五)大月旧会六千七百三十七贯五百文(按少二十五文)小月旧会六千五百一十二贯九百二文(按应作六千五百一十贯五百又六分文之一)乙库日息旧会二百四十五贯文 大月旧会七千三百五十贯文 小月旧会七千五百贯文(按应作七千一百五贯)丙库日息旧会二百六十九贯五百文 大月旧会八千八十五贯文 小月旧会七千八百一十五贯五百文丁库日息旧会二百九十九贯四百四文(按应)(作四百四十四文又九分文之四)大月旧会八千九百八十三贯三百三文(按少三十文又三分文之一) 小月旧会八千六百八十三贯八百八文(按少八十文又九分文之)(八)戊库日息旧会三百三十六贯八百六文(按应作七十五文) 大月旧会一万一百六贯二百四文(按应作二百五十文) 小月旧会九千七百六十九贯三百六文(按应作七十五文)己库日息旧会三百八十五贯文 大月旧会一万一千五百五十贯文 小月旧会一万一千一百六十贯文(按少五贯)庚库日息旧会四百四十九贯一百四文(按应)(作一百六十六文又分三文之二) 大月旧会一万三千四百七十五贯文 小月旧会一万三千二十四贯八百二文(按应作二万三千二十五贯一八百三十三文又三分文之)术曰以大衍求之置甲库市陌以库减库减之各得诸库原陌连环求等约竒弗约偶(按此特为等数为偶者言之若等数)(为竒者则约偶弗约竒)得定母诸定相乘为衍母以定约衍母得衍数衍数同衍母者去之为无(无者借之同类)其各满定母去余为竒数以竒定用大衍求乘率乘衍数为用数无者则以原数同类者求等约衍母得数为借数次置有零文库零钱数乘本用数并为总数满衍母去之不满为诸库日息足钱各大小月日数乘之各为实各以原陌约为旧会草曰置甲库市陌一十二递减一得一十一为乙库陌十一为丙库陌九为丁库陌八为戊库陌七为己库陌六为庚库陌得诸库原陌甲 乙 丙 丁 戊 己 庚以连环求等约讫甲得一乙得十一丙得五丁得九戊得八己得七庚得一各为定母立各一为子按此法之要在于求定而术中独畧之今详其式于后法列七库陌数于前先以甲与乙相约无等数与丙数相约得等数二(偶)约丙十得五(竒)与丁数相约得等数三(奇)约甲十二得四(偶)与戊数相约得等数四(偶)约甲四得一(奇)甲数既为一不能冄约即为与诸数徧约毕次以乙与下五数相约俱无等次以丙与下四数相约亦俱无等次以丁与戊己二数相约俱无等与庚数相约得等数三(奇)约庚六得二(偶)次以戊与己相约无等与庚相约得等数二(偶)约庚二得一(奇)庚既为一己亦不能与之相约乃为连环求等毕得定数为甲一乙十一丙五丁九戊八己七庚一也后凡求定数倣此(定母)先以诸定相乘得二万七千七百二十为衍母次以诸定互乘诸子甲得二万七千七百二十乙得二千五百二十丙得五千五百四十四丁得三千八百戊得三千四百六十五己得三千九百六十庚得二万七千七百二十各为衍数定母右行次验诸衍数有同衍母者皆去之为无衍数次各满定母去各本衍各得奇数甲无乙得一丙得四丁得二戊得一己得五庚无各为竒数次验有奇数者得一便以一为乘率或得二数以上者各以奇数于右上定母于右下立天元一于左上用大衍求一之数入之验乘除至右上余一而止皆以左上所得为乘率甲无乙得一丙得四丁得五戊得一己得四庚无各为乘率列右行以对寄左衍数以两行对乘之为用数甲无乙得二千五百二十丙得二万二千一百七十六丁得一万五千四百戊得三千四百六十五巳得一万一千八百八十庚无次推无用数者惟甲庚合于同类处借之其同类谓原陌列而视之今视甲一十二庚六皆与丙一十戊八俱偶为同类其戊用数三千四百六十五其数少不可借惟丙一十之用数系二万二千一百七十六为最多当以借之乃以甲一十二丙一十庚六求等得二以等数二约衍母二万七千七百二十得一万三千八百六十为借数乃减丙用二万二千一百七十六余八千三百一十六为丙用数乃以所借岀之数一万三千八百六十为实以原等二为法除之得六千九百三十为甲用数以甲用数减借岀数余亦得六千九百三十为庚用数今不欲甲庚之借数同乃验得岀数一万三千八百六十可用几约如意乃立三取三分之一得四千六百二十为甲用取三分之二得九千二百四十为庚用列右行一 ○ ○ ○ (零数) 左行乃视诸库有无零钱数验得乙丙己三库无先去其用数乃以甲子戊庚四库零钱列左行对乘本用甲得四万六千二百丁得六万一千六百戊得二万七百九十庚得三万六千九百六十合为总并此四总得一十六万五千五百五十满衍母二万七千七百二十去之不满二万六千九百五十为所求率以贯约为二十六贯九千五十文为诸库日息等数以官省七十七陌展得三十五贯文(按官省陌以七十七)(为一百故二十六贯余展为三十五贯)各以其库陌纽计(按库陌纽计即以各陌数)(为一百)各得旧会零钱各以三十日乘为大月息以日息减大月息余为小月息合问分粜推原问有上农三人力田所收之米系用足斗均分各徃他处岀粜甲粜本郡官塲余三斗二升乙粜与吉安乡民余七斗丙粜与平江揽戸余三斗欲知共米及三人所分各粜石几何荅曰共米七百三十八石 三人各分米二百四十六石甲粜官斛二百九十六石 乙粜安吉斛二百二十三石 丙粜平江斛一百八十二石术曰以大衍求之置官塲斛率安吉乡斛率平江市斛率(官私共知者官斛八斗三升安吉乡斛一斗一升平江市斛一石三斗五升)为原数求总等不约一位约众位连环求等约竒不约偶或犹有类数存者有求等约彼为复乘此各等定母相乘为衍母互乘为衍数满定去之得竒大衍求一得乘率乘衍数为用数以各余米乘用并之为总满衍母去之不满为所分以原人数乘之为共米草曰置文思院官斛八十三升吉安州乡一百一十升平江府市斛一百三十升各为其斛原率先以三率求总等得一不约(按此题只一数见十不必用复数求总等)次以连环求等其安吉率一百一十与平江率一百三十五求等得五以约平江率得二十七(按五为中数或约偶或约)(奇皆可但不约可以冄约者)余皆求等得一不约各得原数以定相乘得二十四万六千五百一十为衍母各以原率约之得二千九百七十为官斛衍数得二千二百四十一为安吉州衍数得九千一百三十为平江斛衍数官斛 安吉 平江 衍母次以定母满法去衍数得不满六十五为官斛奇不满四十一为安吉奇不满四为平江奇数定母奇数各以大衍入之求得乘数得二十三为官斛乘率得五十一为安吉乘率得七为平江乘率以乘率各乘寄左行衍数得六万八千三百一十为官斛用数得一十一万四千二百九十一为安吉用数得六万三千九百一十为平江用数次以甲余三十二升乘官斛用数六万八千三百一十得二百一十八万五千九百二十升于上次以乙余七十升乘安吉用数一十一万四千二百九十一得八百万三百七十升于中次以丙余三十升乘平江用数六万三千九百一十得一百一十九万七千三百于下各为总并之得一千二百一十万三千五百九十升为总数满衍母二十四万六千五百一十升去之不满二万四千六百升为所求率展为二百四十六石为三人各分米以兄弟三人因之得七百三十八石为共米置分米二百四十六石各以官斛八斗三升安吉斛一石一斗平江斛一石三斗五升约之甲得二百九十六石余三斗二升乙得二百二十三石余七斗丙得一百八十二石余三斗各为粜过及余米合问数学九章卷一上
## 卷一下
钦定四库全书
数学九章卷一下 宋 秦九韶 撰大衍积足寻原问欲砌基一叚见管大小方甎六门城甎四色令匠取便或平或侧只用一色甎砌湏要适足匠以甎量地计料称用大方料广多六寸深少六寸(按即多七寸)用小方广多二寸深少三寸(按即多八寸)用城甎长广多三寸深少一寸(按即多一尺一寸)以阔深少一寸(按即多五寸)广多三寸以厚广多五分深多一寸用六门甎长广三寸深多一寸以阔广多三寸深多一寸用厚广多一寸深多一寸皆不匼匝未免修破甎料禆补其四色甎大方方一尺三寸小方方一尺一寸城甎长一尺二寸阔六寸厚二寸五分六门长一尺阔五寸厚二寸欲知基深广㡬何按题意谓以一尺三寸量基之广未余六寸以一尺一寸量之余二寸以一尺二寸量之余三寸以六寸量之亦余三寸以二寸五分量之余五分以一尺量之余三寸以五寸量之亦余三寸以二寸量之余一寸以求广也其求深之意亦同答曰深三丈七尺一寸 广一丈二尺三寸术曰以大衍求之置甎方长阔厚为元数以小者为单起一先求总等存一位约众位(列为多者随意立号)乃为元数连环求等约为定母以定相乗为衍母各定约衍母得衍数满定去之得竒竒定大衍得乗率以乗衍数得用数次置广深多少数多者乘用少者减元数余以乘用并为总满衍母去之不满得广深草曰置四甎方长阔厚系八数城甎厚有分为小者皆通之为单大方得一百三十分小方得一百一十分城甎长得一百二十分阔得六十分厚得二十五分六门甎长得一百分阔得五十分厚得二十分锥行置之右列位稍多甎名相互今假八音为号位先以最少者自木二十与革二十五求等得五乃反约木二十为四木四与土五十求等得二以约五十为二十五木四与匏六十求等得四约六十为一十五木四与竹一百求等得四约一百为二十五木四与丝一百一十求等得二约一百一十为五十五木四与石一百二十求等得四反约木四为一以木一与金求等得一不约为木与诸数求等约讫为一变得数具图如后次以革二十五与土五十(按前巳约土为二十五次变不应复用原数然于得)(数却无碍)求等得二十五约五十为二以革二十五与匏一十五求等得五约匏一十五为三以革二十五与竹二十五求等得二十五约竹二十五为一又以革二十五与丝五十五求等得五约丝五十五得一十一以革二十五与石一百二十求等得五约一百二十为二十四以革二十五与金一百三十求等得五约金一百三十得二十六革与诸数徧约讫为二变具图如后乃以土二与匏三竹一丝一十一求等皆得一不约以土二与石二十四求等得二及约土二得一又不土一与金二十六求等得一不约土与诸数约讫为三变具图如后乃以匏三与竹一丝十十一求等皆得一又以匏三与石二十四求等得三约石二十四为八又匏三与金二十六求等得一不约匏与诸数约讫以为四变次以竹一与丝一十一与石二十四(按巳约为八云二十四误)与金二十六求等皆得一竹与诸数约讫为五变次以丝一十一与石二十四(按误同上)与金二十六求等皆得一不约为六变复以石二(十)四(按误同上)与金二十六求等得二约金二十六为一十三至此七变连环求等约俱毕得数为定母列图如后右定母列右行以相乗得八万五千八百为衍母以各定母约衍母各得衍数其竹木土定得一者为无金定一十三得衍数六千六百石定八得衍数一万七百二十五丝定一十一得衍数七千八百竹定一无衍匏定三得衍数二万八千六百土定一无衍数革定五五得衍数三千四百三十二木定一无衍数各满定母去之得竒数金得竒九石得竒四丝得竒一匏得竒一草得竒七其丝匏得竒数一者便以一为乗率其金石革三处竒数皆与本定母用大衍求一入之各得乘率列右行金得三石得五丝得一革得一革得一十八各为乘率寄左行衍数各得为用数凡诸用数同类者类必多可互借以补无者先验革元数二十五与木元数二十为同类求等得五以等五约衍母八万五千八百得一万七千一百六十乃于革用数内减出以补木位为木用余四万四千六百一十六为革用次验竹元数一百与土五十为同类以求等得五十以等五十约衍母八万五千八百得一千七百一十六亦于革用内各借与竹土为用数革止余四万一千一百八十四为用得诸定用数按无用数则此条可省借数转生烦扰非法也其所以可用借补者盖以同类之元数其较余之竒偶必同故一数可分用也然惟元数同偶者为然同竒则有不可用者此题可用因题中余数未过小元数也右行定用始列锥行假号求得今照甎色迁次列之既照甎次序列用数于右行乃验问题所谓大方甎砌广多六寸小方多二寸城甎长多三寸城甎阔多三寸厚多五分六门长多三寸阔多三寸厚多一寸对本用列左行各对乘之具图如后两行乗毕金得一百一十八万八千丝得一十五万六千石得一百六十万八千七百五十匏得八十五万八千革得二十万五千九百二十竹得五万一十四百八十土亦得五万一千四百八十木得一十七万一千六百乃并前八位数共得四百二十九万一千二百三十分为总满衍母八万五千八百去之不满一千二百三十分约之为一丈二尺三寸为基元广数 乃求其深验问题大方砌少六寸小方砌少三寸城甎长砌少一寸阔砌少一寸厚砌多一寸六门长砌多一寸六门阔砌多一寸六门厚砌多一寸列为中行次置诸甎元数列为左行课减之具图如后今以中行多者存之少者用减左行存者左行元数去之所减者左行余数存之金得七十丝得八十石得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本一十具图如后列为左行以对右行定用数具图如后以左行多余数对乘右行用数金得一百三十八万六千丝得六十二万四千石得五百八十九万八千七百五十匏得一百四十三万革得四十一万一千八百四十竹得一万七千一百六十土得一万七千一百六十木得一十七万一千六百具图如后并八位得九百九十五万六千五百一十分为总满衍母八万五千八百去之不满三千七百一十分展为三丈七尺一寸为基地深推计土功问筑堤起四县夫分给里歩皆同齐阔二丈里法三百六十歩歩法五尺八寸人夫以物力差定甲县物力一十三万八千六百贯乙县物力一十四万六千三百贯丙县物力一十九万二千五百贯丁县物力一十八万四千八百贯每力七百七十贯科一名春程人功平方六十尺先到县先给今甲乙二县俱毕丙县余五十一丈丁县余一十八丈不及一日全功欲知堤长及四县夫所筑各㡬何按题意以四县修堤总长相同毎日所修之长不同以各每日所修之长计总长或适足或有余以求总长也但不正言其数而设堤阔数各县物力数一夫力数一夫平方数以取每日所修堤长数故令人不能骤觧答曰堤长一十九里二百三十五歩五尺 甲县夫筑一千二十六丈(乙丙丁同) 乙县夫筑一千七百六十八歩五尺六寸(甲丙丁同) 丙县夫筑四里三百二十八歩五尺六寸(甲乙丁同) 丁县夫筑(同前三县数)按四县所筑堤长等则丈数歩数里数皆同今以三数分载三县下而复注以与某县同殊混人目术曰置各县力以程功程为实以力率乗堤齐阔为法除之得各县日筑复数(有分者通之互乗之得通数)求总等不约一位约众位曰元数连环求等约竒得定母陆续求衍数竒数乗率用数以丙丁县不及数乘本用并为总数以定母相乘为衍母满母去总数得各县分给里歩积尺数以县数因之为堤长各以里法歩法约之为里歩草曰置甲县力一十三万八千六百贯乙县力一十四万六千三百贯丙县力一十九万二千五百贯丁县力一十八万四千八百贯以程功六十尺徧乗之皆以贯黙(按贯黙乃以一贯千文为法之名与前官陌市陌名相似)约之甲得八百三十一万六千尺乙得八百七十七万八千尺丙得一千一百五十五万尺丁得一千一百八万八千尺各为实次以力率七百七十贯乗堤齐阔二十尺亦以贯黙约之得一万五千四百尺为法徧除诸各实甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各为四县众夫每日筑长率按大衍术命曰复数列右行以复数(按前术以尾数在十以上者为复数此数不合)求总等得三大(按此条原)(本皆以丈为寸于义无取今皆改正)以约三位多者不约其少者甲得五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍为元数次以两两连环求等各约之按四县每日筑长数皆以丈为单位非位数也但一等数可以度尽四数必先求总等约之然后可以为元数即此可见总等法不独用于通数复数也先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不约次以丁甲求等得六只约甲五十四得九不约丁次以丙与乙求等又以丙与甲九求等皆得一不约后以乙与甲九求等得一不约复验甲九与丁二十四犹可再约又求等得三以约丁二十四得八复乘甲为二十七次以定母四位相乗求得一十万二千六百为衍母各以定母约衍母甲得三千八百乙得五千四百丙得四千一百四丁得一万二千八百二十五为衍数满定母各去衍数甲不满二十乙不满四丙不满四丁不满一各为竒数以各定母与本竒数用大衍求一术入之各得乘率甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一以右行乗率对乘寄左行衍数甲得八万七千四百乙得二万七千丙得七万七千九百七十六丁得一万二千八百二十五各为用数次验四县所筑有无不及零丈尺寸今甲乙俱毕为无丙余五十一丈丁余一十八丈为有以丙丁二县余丈各乗丙丁二用数其丙五十一丈乗丙用七万七千九百七十六得三百九十七万六千七百七十六丈为丙总以丁余一十八乗丁用一万二千八百二十五得二十三万八百五十丈为丁总并二总得四百二十万七千六百二十六丈为总数亦以丈通衍母得一十万二千六百丈仍为衍母满去总数不满一千二十六丈为所求长率以四县因之得四十一百四丈为实以歩法五尺八寸除之得七千七十五歩五尺为堤长歩以里法三百六十歩约之得一十九里二百三十五歩五尺为堤通长置长率一千二十六丈以歩法约之得一千七百六十八歩五尺六寸又以里法约之得四里三百二十八歩五尺六寸为各县所给道里歩尺数余米推数问有米铺诉被盗去米一般三箩皆适满不记细数今左壁箩剰一合中间箩剰一升四合右壁箩剰一合后获贼系甲乙丙三名甲称当夜摸得马杓在左壁箩舀入布袋乙称踢着木履在中箩舀入袋丙称摸得漆椀在左邉箩舀入袋将归食用日乆不知数索到三器马杓满容一升九合木履容一升七合漆椀容一升二合欲知所失米数计赃结㫁三盗各㡬何答曰共失米九石五斗六升三合环甲米三石一斗九升二合 乙米三石一斗七升九合丙米三石一斗九升二合术曰以大衍求之列三器所容为元数连环求等约为定母以相乘为衍母以定各约衍母得衍数各满定母去之得竒以竒定用大衍求得乘率以乘衍数得用数次以各剰米乗用并之为总满衍母去之不满为毎箩米各以剰米减之余为甲乙丙盗米并之为共失米草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合为元数连环求等皆得一不约便以元数相乗得三千八百七十六为衍母以各元数为定母以定约衍母得衍数甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二十三各为衍数列左行以三定母甲十九乙十七丙十二列右行具图如后各满定母去衍数得竒数甲得一十四乙得七得七丙得一十一各以竒定用大衍求一各得乗率甲得十五乙得五丙得一十一各为乘率列右行对寄在行衍数具图如后以丙行对乗之得用数甲得三千六十乙得一千一百四十丙得三千五百五十三列右行具图如后既得用数始验问题三箩剰米列左行对三人所用以两行对乗之甲得三千六十乙得一万五千九百六十丙得三千五百五十三并三数得二万二千五百七十三为总数满衍母三千八百七十六去之不满三千一百九十三合展为三石一斗九升三合为三箩适满细数以左箩剰一合减之余三石一斗九升二合为甲盗米又为丙盗米以中箩剰米一升四合减之余三石一斗七升九合为乙盗米并三人共得九石五斗六升三合为所失总米合问程行计地问军师获㨗当早㸃差急足三名徃都下节节走报具甲于前数日申末到乙后数日未正到丙于今日辰未到据供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日行一百八十里问自军前至都里数及三人各行日数㡬何答曰军前至都三千三百里 甲行一十一日乙行一十三日四时半 丙行一十八日二时术曰以大衍求之置各行里先求总等存一约众得原里次以连环求等约竒复乘偶得定母以定相乘为衍母满定除衍衍得乘率以乘衍数得用数 次置辰刻正末乗各行里为实以昼六时约之得余里各乗用数并为总满衍母去得所求至都里以各日行约之得日辰刻数草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里先求总等得六十只存甲三百勿约乃约乙二百四十得四次约丙一百八十得三各为元数连环求等先以丙乙求等得一不约次以丙甲求等三于术约竒不约偶盖以等三约三因得一为竒卢无衍数乃便径先约甲三百为一百复以等三兼丙三为九既丙九为竒甲百为偶此即是约竒弗约偶次以一四与甲百求等得四以四约一百得二十五为甲复以四乗乙四得一十六为乙各为定母以定母相乗得三千六百为衍母以各定约衍母为衍数甲得一百四十四乙得二百二十五丙得四百术数各满衍母去之不满为竒数甲得一十九乙得一丙得四以各竒数与定母用大衍入之各得乘数甲得四乙得一丙得七各为乗率列右行以乗率对乘寄左行衍数甲得五百七十六乙得二百二十五丙得二千八百各为用数次置甲申末到者其酉初为夜此是甲以全日到为无余里次置乙于未正到乃于卯时数至未正得四个半时以四半乗乙行二百四十里得一千八十为实以画六时约之得一百八十里为乙行不及全日之余里次置丙于辰未到自卯初数至辰未得二时以因丙行一百八十里得三百六十为实以六时除之得六十里为丙行不及全日之余里以乙余一百八十乗乙用二百二十五得四万五百于中以丙余六十乗丙用二千八百得十六万八千加中共得二十万八千五百为总满衍母三千六百去之不满三千三百里为军前至都里以甲三百除之得一十一日以乙二百四十除之得一十三日四时半以丙一百八十除之得一十八日二时合问按凡总等数必小于连环等数若甚大即为连环等数此题数是也故再约即用求续等法不然不能合也程行相及问有急足三名甲日行三百里乙日行二百五十里丙日行二百里先差丙徃他处下文字既两日又有文字遣乙追付已半日复有文字续令甲赶付乙三人偶不相及乃同时俱至彼所先欲知乙果及丙甲果及乙得日并里次问彼处去此里数各㡬何按题意谓三行迟疾不同乙后丙两日甲后乙半日问㡬日㡬里可以追及又既及之后三人不能同行及各至彼处之时刻皆与各起程之时刻相同盖言自此至彼所行皆为整日数也答曰乙果追及丙八日行二千里 甲果追及乙二日半行七百五十里 彼处去此三千里术曰以均输求之大衍入之置乙己去日数乗乙行里为实以甲乙行里差为法除之得甲及乙日数辰刻以乗甲行得里次置丙既去日乗丙行里为实以丙乙行里差为法除之得乙及丙日数以乗乙行得里然后置三人日行求总等约得原数以连环求等约得定母以定相乗得衍母各定约衍得衍数满定去衍得竒竒定大衍得乗率以乗寄衍得用数视甲及乙里为乙率乙及丙里为丙率以乙日行满去乙率不满为乙余以丙日行满去丙率不满为丙余以二余各乗本用并之为总满衍去之不满为彼去此里草曰置乙己去日乘乙日行二百五十里得一百二十五里为实次置甲日行三百里减去乙行二百五十里余五十里为差法除实得二日五十刻甲果及乙数以乗甲行三百里得七百五十为甲及乙里数次置丙既行二百乗丙日二百里得四百里为实次置乙行二百五十里减丙行二百里余五十里为差法除实得八百为乙及丙日数以乗乙行二百五十里得二千里为乙得及丙之里数已上为先欲知果及数次列甲乙丙三名日行求总等得五十先约甲丙存得甲六乙二百五十丙四以甲六丙四求等得二以二约甲为三复以二因丙为八次将乙二百五十与丙八相约得二乃约乙为一百二十五复以二因丙为十六定得甲三乙一百二十五两十六为定母以定相乗得六千为衍母以各定约衍母得衍数甲得二千乙得四十八丙得三百七十五求竒数左上二千以甲三去之竒二左中四十八即为乙竒左下三百七十五丙十六去之竒也各以大衍求得甲二乙一百一十二丙七各为乘率以乗率对乗衍数甲得四千乙得五千三百七十六丙得二千六百二十五为泛用数并三泛得二万二千一乃多衍母一倍当半衍母六千得三千以消甲四千余一千又消乙五千三百七十六余二千三百七十六丙不消各为定用数既得用数次视前草中甲及乙七百五十里为乙率乙及丙一千里为丙率各满乙丙日行里去之今乙丙二人所行各皆适满去之无余虽称同时俱至乃各系全日所行便以乙丙二人约六千里得三千里为彼去此里数合问按复数求元数用总等法尚属未密盖总等约后有当连环求等者有当即求续等者其法不能定也今少为变通凡复数皆见十者先以十为总等徧约之(百千万同)为元数俟连环求等毕复以总等十乗一数(百千万同)然后再求续等以得定数爰依题数具式于后法列三数于上以十为总等徧约之得甲三十乙二十五丙二十即为元数连环求等以甲与乙约得等数五(竒)约甲得六(偶)以甲与丙约得等数二(偶)约甲得三(竒)为甲数徧约毕次以乙与丙约得等数五(竒)约丙得四(偶)为乙丙二数徧约毕乃以总等十乗乙数得二百五十次求续等以甲与乙与丙相约俱无续等以乙与丙约得续等二(偶)约乙数得一百二十五(竒)复乗丙得八则甲三乙一百二十五丙八即为各定数也以三定数连乗得三千为衍母即所问彼处去此之里数较旧术算省而数亦确矣数学九章卷一下
## 卷二上
钦定四库全书
数学九章卷二上 宋 秦九韶 撰天时推气治厯问太史测验天道庆元四年戊午岁冬至三十九日九十二刻四十五分绍定三年庚寅岁冬至三十二日九十四刻一十二分欲求中间嘉泰甲子岁气骨岁余斗分各得几何按绍定三年庚寅之冬至实绍定四年辛夘之始辛夘距戊午三十四年积年为三十三答曰气骨十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分余岁五日二十四刻二十九分三十杪三十小分斗分空日二十四刻二十九分三十杪三十小分术曰先距前后年数为法置前测曰刻分减后测曰刻分余为率(不足减则加纪䇿)以纪䇿累加之今及天道合用五日以上数为实以法除实得岁余去全日余为斗分以所求中间年上距前测年数乘岁余益入前测日刻分满纪䇿去之余为所求气骨草曰置前测戊午岁距前岁庚寅岁得三十三为法置前测戊午岁冬至三十九日(日辰癸夘)九十二刻四十五分减后测绍定三年庚寅岁冬至三十二日(日辰丙申)九十四刻一十二分今后测者少不及前测者以减乃加纪法六十日于后测日内得九十二日九十四日一十二分然后用前测者减之余五十三日一刻六十七分为率按术当以法三十三余率须使啇数必得五日以上乃可今率未得五日乃两度累加纪法一百二十入率内共得一百七十三日一刻六十七分为刻实如法除之得五日二十四刻二十九分三十杪三十小分(不尽弃之)为岁余乃去全五日得二十四刻二十九分三十杪三十小分为斗分次推嘉泰甲子上距庆元戊午岁得六以乘岁余五日二十刻刻二十九分三十杪三十小分得三十一日四十五刻七十五分八十一杪八十小分益入前测戊午岁三十九日九十二刻四十五分得七十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分满纪法六十去之余一十一日三十八刻二十分八十一杪八十小分为所求甲子 气骨之数合问按气骨者年冬至时距甲子日子正初刻后之日分也岁余者岁实去六甲子之余日分也斗分者岁实去三百六十五日之余分也此未知岁实之法故先以前后两气骨相减余数为实以积年为法除之岁余约五日余纪日六十故实数内累加六十日至啇得五日上而止则实数为积岁余之数以积年除之得岁余日分既得岁余以甲子积年六乘之得甲子积岁余与前测气骨相加满纪法去之余即甲子气骨也治厯推闰问开禧厯以嘉泰四年甲子岁天正冬至为一十一日(日辰乙亥)四十四刻六十一分五十四杪十一月经朔一日(日辰乙丑)七十五刻五十五分六十二杪问闰骨闰率各几何答曰闰骨九日六十九刻五分九十一杪(不尽一百六十)(九分杪之一百二十一)闰骨率十六万三千七百七十一术曰以日法各通气朔日刻分杪各为气骨朔骨分其气骨分如约率而一约尽者为可用(或收弃余分在一刻以下)(者亦可用)然后与朔骨分相减余为闰骨率以日法约之为闰骨䇿草曰置本厯曰法一万六千九百先通冬至一十一日四十四刻六十一分五十四杪得一十九万三千四百四十分二十六小分为实其歴约率系三千一百二十以约之得六十二可用其余小分二十六乃弃之只用一十九万三千四百四十为气骨分次置朔一日七十五刻五十五分六十二杪以本厯日法一万六千九百乘之得二万九千六百六十八分九十九杪七十八小分将近一分故于气骨内所弃二十六小分借二十二小分以补朔内收上得二万九千六百六十九为朔然后以朔骨分减气骨分余有一十六万三千七百七十一为闰骨率复以日法除之得闰骨䇿九日六十九刻五分九十一杪不尽一百二十一筭直命之为一百六十九分杪之一百二十一合问按此题若置冬至日分内减经朔日分余九日六十九刻五分九十二杪得闰骨䇿此原草仅多一百六十九分杪之四十八尽草中气骨内弃小分二十六朔骨分内进二十二并之为一百六十九分杪之四十八其不径相减而必用通分约分累乘累除者为向后推筭用耳治厯演纪问开禧歴积年七百八十四万八千一百八十三欲知推演之原调日法求朔余朔率斗分岁率岁闰入元岁入闰朔定骨闰泛骨闰缩纪率气元率元闰元数及气等率因率蔀率朔等数因数蔀数朔积年二十三事各几何答曰日法一万六千九百朔余八千九百六十七朔率四十九万九千六十七斗分四千一百八岁率六百一十七万二千六百八岁闰一十八万三千八百四入元岁九千一百八十入闰四十七万四千二百六十朔定骨二万九千六百六十九闰泛骨一十六万三千七百七十一闰缩一十八万八千五百七十八纪率一百一万四千气元率一万九千五百元闰三十七万七千八百七十三元数四百二气等率五十二因率一百四十四蔀率三百二十五朔等数一因数四十五万七千九百九十九蔀数四十九万九千六十七朔积年七百八十三万九千积年七百八十四万八千一百八术曰以厯法求之大衍入之调日法如何承天术用强弱母子互乘得数并之为朔余以二十九日通日法增入朔余为朔率又以日法乘前厯所测冬至气刻分收弃末位为偶数得斗分与日法用大衍术入之求等数因率蔀率以纪乘等数为约率置所求气定骨如约率而一得数以乘因率满蔀率去之不满以纪法乘之为入元岁次置岁日以日法通之并以斗定分为岁率以十二月乘朔率减岁率余为岁闰以岁闰乘入元岁满朔率去之不满为入闰与闰骨相减之得差(或适足便以入元岁为积年后术并不用或差在刻分法半数以下者亦以入)(元岁为积年)必在刻分法半数以上却以闰泛骨并朔率得数内减入闰余与朔率求闰缩(在朔率以下便为闰缩以上用朔率)(减之亦得)以纪法乘日法为纪率以等数约之为气元率以气元乘岁闰满朔率去之不满为元闰虗置一亿减入元岁余为实元率除之得乘限乃以元闰与朔率用大衍入之求得等数因数蔀数以等约闰缩得数以因数乘之满蔀数去之不满在乘限以下以乘元率为朔积年并入元岁为演纪积年又加成厯年今人相乘演积年其术如调日法求朔余朔率立斗分岁余求气骨朔骨闰骨及衍等数约率因率蔀率求入元岁岁闰入闰元率元闰已上皆同此术但其所以求朔积年之术乃以闰骨减入闰余为之闰赢却与闰缩朔率列号甲乙丙丁四位除乘消减谓之方程乃求得元数以乘元率所得为之积年加入元岁共为演纪岁积年所谓方程正是大衍术(今人少知)非特置筭繁多初无定法可传甚是惑悮后学易失古人之术意故今术不言闰赢而曰入闰差者盖本将来可用入元岁便为积年之意故今止将元闰朔率二项以大衍先求等数因数蔀者仍倣前前求入元岁之术理假闰骨如气骨以等数为约数及求乘数蔀数以等约闰缩得因乘数满蔀去之不满在限下以乘元率便为朔积年亦加入元岁共为演纪积年此术非惟止用乘除省便又且于自然中取见积年不惑不差矣新术敢不用闰赢而求者实知闰赢已存于入闰之中但求朔积年之竒分与闰缩等则自与入闰相合必满朔率所去故也数理精微不易窥识穷年致志感于梦寐幸而得知谨不敢隐草曰本厯以何承天术调得一万六千九百为日法系三百三十九强一十七弱先以强数三百三十九乘强子二十六得八千八百一十四于上次以弱数一十七乘弱子九得一百五十三并上共得八千九百六十七为朔余次以日法通朔䇿二十九日得四十九万一百增入朔余得四十九万九千六十七为朔率又以日法乘统天厯所测毎岁冬至周日下二十四刻三十一分得四千一百八分三十九杪为斗泛分验八分既偶遂弃三十九杪只以四千一百八分为斗定分与日法以大衍术入之□得五十二为等数一百四十四为因率三百二十五为蔀率以甲子六十为纪法乘等数得三千一百二十为约率却置本厯上课所用嘉泰甲子岁气骨一十一日四十四刻六十一分五十一杪以乘日法得一十九万三千四百四十分二十六杪为气泛骨欲满约率三千一百二十而一故就近乃弃微杪只以一十九万三千四百四十为气定骨然后以约率三千一百二十除之得六十二以因率一百四十四乘之得八千九百二十八满蔀率三百二十五去之不满一百五十三以纪法六十乘之得九千一百八十年为入元岁次置岁 三百六十五以日法乘之得六百一十六万八千五百并斗定分四千一百八得六百一十七万二千六百八为岁率却以十二月乘朔率四十九万九千六百七得五百九十八万八千八百四率内减去此数余一十八万三千八百四为岁闰以岁闰乘入元岁九千一百八十得一十亿八千七百三十二万七百二十满朔率去之不满四十七万四千二百六十为入闰次置本厯所用嘉泰甲子岁天正十一月朔一日七十五刻五十五分六十二杪以日法乘之得二万九千六百六十八分九千九百七十八杪为朔泛骨就近收杪为一分共得二万九千六百六十九为朔定骨数然后乃以朔定骨减气骨一十九万三千四百四十余一十六万三千七百七十一为闰泛骨置日法以二百归除之得八十四半为半刻法次以入闰数内减去闰泛骨与入闰相课减之余三十一万四百八十九(此是闰赢)为差半刻法以上乃以闰泛骨并朔率共得六十六万二千八百三十八以入闰四十七万四千二百六十减之余一十八万八千五百七十八在朔率下便为闰缩次以纪䇿六十乘日法得一百一万四千为纪率以等数五十二归除纪率得一万九千五百(按即六十乘三百二数十五之数为一蔀年)为气元率以气元率乘岁闰一十八万三千八百四得三十五亿八千四百一十七万八千满朔率去之不满三十七万七千八百七十三为元闰次置一亿(按此数似虗设不过取一亿之数为限耳此所求过限又将改率数以迁就之矣)以入元岁元千一百八十减之余九千九百九十九万八百二十为实以元率一万九千五百为法除之得五千一二十七为乘元限数乃以元闰三十七万七千八百七十三余与朔率四十九万九千六十七用大衍术求之得等数一因等四十五万七千九百九十九蔀数四十九万九千六十七然后以等数一约闰缩只得一十八万八千五百七十八以因数四十五万七千九百九十九乘之得八百六十三亿六千八百五十三万五千四百二十二满蔀数四十九万九千六百七十去之不满四百二在乘元限数以下为可用以乘元率一万九千五百得七百八十三万九千年为数积年并入元岁九千一百八十共得七百八十四万八千一百八十为嘉泰四年甲子岁积算本厯系于丁夘岁进呈又加丁夘三年共为七百八十四万八千一百八十三年为本厯积年合具绘图如后按此术草内竒定相求有等数又有因数蔀数之异盖等数即度尽定竒两数之数因数为竒数之倍数任倍定竒二数相较但得一等数则竒之倍数即为因数蔀数者竒数最大之倍数也任倍竒定至两边相等无较数则竒数之倍数即谓之蔀数也等数甚小者因数不患其甚大有蔀数以限之也草中尚多讹舛正之于后按此题术草皆曰何承天调日法而宋书所载何承天法并无甚率且各用数亦与此不同今细按其草日法已有定数所调者朔䇿余分也然从来朔䇿余分皆以实测之朔䇿分岁实分两母子互乘相通即得并无所谓调法今所载强弱母子四数大约已有朔䇿余分与日法分相约而得非别有所本乃故设曲折以为竒也试以朔余分八千九百六十七分为第一条置日法分内减朔䇿余分余七千九百三十三为第二条以此二数数取之先置第一条减第二条余一千零三十四为第三条七因第三条以减第二条余六百九十五为第四条以第四条减第三条余三百三十九为第五条二因第五条以减第四条余一十七为第六条是第五条即强母数第六条即弱母数矣次用第五条第六条转求第一条以取两子数置第六条于上二因第五条加之得第五条者二第六条者一共六百九十五为第四条以第四条加第五条得第五条者三第六条者一共一千零三十四为第三条七因第三条以加第四条得第五条者二十三第六条者八共七千九百三十三为第二条以第二条加第三条得第五条者二十六第六条者九共八千九百六十七为第一条是第五条倍数即强子数第六条倍数即弱子数矣至算式中以日法取强母数者则又以第五条第六条再约而得者如以第五条为实第六条为法为法商之初商得十以法乘初商得一百七十为初商积减实余一百六十九恰与百分日法分之一等故百除日法分为一数又三乘之得五百零七为实以四十九为法初商得十初商积为四百九十减实余十七乃以商十乘十七得一百七十与前初商积等故加与前余积等之百分日法分之一得三百三十九为五条之数名之曰强数也次以日法乘朔䇿日得数并朔余为朔率斗分见偶则弃见竒则收为偶按此系弃分以下数不用也分为偶数即用其数分为竒数则杪微进一分并为偶数如无杪微即加一分又按算中用数以日法分一万六千九百分为主斗分定为四千一百零八为偶数气骨分亦定为偶数其各时刻分皆由日分比例而得故变时刻分为日分求之无不合按求入元岁法用斗分与日法分求等率乘率盖以六十年之岁实积分与纪法分相约后以六十除纪法分得日法分为定以六十除岁实积分得斗分为竒求得蔀数乘数皆与六十年之岁实积分与纪法分所求者同惟等数则为六十之一故以六十乘之为乘分以约气骨分然后以乘数乘之满蔀数去之所得用数为六十年之周数故以六十乘之始为年数此立法之意也然以六十年为周数则六十年之间其气骨数有合者则不可得故所得年数较以岁实分纪分相求者为逺也按气元一万九千五百乃前蔀数三百二十五以六十乘之之数盖求入元岁用六十倍者故此仍用六十倍也又按此皆用六十年岁实分求得之数与用一岁实分求得之数同盖因积年数为六十度尽之数若非六十度尽之数则得数必逺也今依其数另设一题以明其法设宋开禧厯日法一万六千九百分岁实分六百一十七万二千六百零八法纪率分一百零一万四千分朔率分四十九万九千零六十七分嘉泰甲子岁天正冬至距甲子日子正后十九万三千四百四十分(古名气骨)十一月朔距甲子日子正后二万九千六百六十九分(古名朔骨)问距歴元甲子子正初刻冬至朔之积年几何答曰七百八十四万八千一百八十年法以纪率为纪定纪率除岁率(即岁实分)余八万八千六百零八分为纪竒依大衍术求至竒一百零三余分六百二十四余分可以度尽上数则命六百二十四为等数一百零三为乘数又求得竒一千六百二十五无余分则命一千六百二十五为蔀数乃以等数约气骨分得三百一十以乘数乘之得三万一千九百三十满蔀数去之余一千零五十五即专以气骨分求得距厯年之积年数也旧法以斗分(岁余分四千一百零八)为竒日法为定求得等数一纪法六十乘之以约气骨得数以乘数乘之蔀数除之余数又以六千乘之为积年名入元岁其术未密(详前)故所得积年为九千一百八十其数亦较逺也次以蔀数(即岁实纪法满一会年数)乘岁率得一百亿三千四十八万八千满朔率去之余二十三万九千四百三十四旧名气元闰为朔竒朔率为朔定依前法求得等数一乗数六千二百五十一蔀率四十九万九千零六十七次以前所得积年乗岁率满朔率去之余二十七万五千二百二十四为前朔距至前分数旧名入元闰以嘉泰甲子气骨朔骨相减得十六万三千七百七十一为后朔距至前分数旧名闰骨夫十一月朔常在冬至前退行今前逺后近是已退过一朔䇿则于后闰骨内加一朔䇿再减去入元闰余三十八万七千六百一十四为后朔前朔相差之分数旧名闰缩乃以等数约闰缩仍得原数以乘数乘之满蔀数去之余四千八百二十九为会数乃以一会年数(即前蔀数)乗之得七百八十四万七千一百二十五为朔积年加入前积年得七百八十四万八千一百八十为嘉泰甲子积年又法仍按本法求之先以岁率纪率朔率求总等朔率不尽无总等各率朔即为各元数次连环求等朔元不尽岁元等数等数为六百二十四留岁元不约约纪元得一千六百二十五分为纪泛定岁元朔元即为岁泛定朔泛定次求续等纪泛定岁泛定等数为十三约岁泛定乗纪泛定得四十七万四千八百一十六为岁定二万一千一百二十五为纪定朔泛定即朔定三定数连乗得五○○五八八五五五四六九六○○○为衍母纪定朔定相乗得八一○九八三八七五为岁衍岁定朔定相乗得二三六九六四九九六六七二为纪衍岁定纪定相乗得一○○三○四八八○○○为朔衍置各衍数满各定数去之余岁竒四七二九六三纪竒二○○四七朔竒二三九四三四次以各定各竒求各乗数得岁乗数(此题不用岁乗数求之以备其数)二四九六七纪乗数二○○○八朔乗数六二五一以各乘数乗各衍数得各泛用数岁泛用二○一九八九三二○七九四六二五纪泛用四七四一一九五六五四四一三三七六朔泛用六二七○○五八 四八八○○○并三泛用与衍母数等则泛用即为定用乃以气骨乗纪定用得九一七一三六八八七一九六二八三四五五三四四○置气骨减去朔骨余十六万三千七百七十一以乘朔定用得一○二六八五三六七六七一○○二四八○○○并数得九二七四○五四二三九六三三八三七○一四四○满衍母去之余四八四四三七三八六五三四四○为实以岁实分为法除之得七百八十四万八千一百八十即嘉泰甲子积年之数也此法较前法数繁然其理可互相发明后复设一法兼二法用之三法先以岁率纪率求等数得六百二十四专约纪率得一六二五分为纪元岁率即为岁元又求续等数得十三以约岁元得四七四八一六为岁定以乘纪元得二一一二五为纪定纪定岁定相乘得一○○三○四八八○○○为衍母以纪定二一一二五为岁衍以岁定四七四八一六为纪衍岁衍小于岁定即为岁竒纪衍满纪定去之余一○○六六为纪竒次以各定各竒求各乘数得岁乗数二五四八六一纪乗数九七八六以各乗数乗各衍数得各用数岁用数五三八三九三八六二五纪用数四六四六五四九三七六乃以气骨乗纪用数得八九八八二八五一一二九三四四○满衍母去之余六五一二一○一四四○为通积分为实以岁实分为法除之得一千零五十五即专以气骨求次以前衍母分(即岁率纪率一会一千六百二十五年之积分)一○○三○四八八○○○与朔率分求等数得一即以前衍衍母分为岁纪元亦即为岁纪定以朔率分四九九○六七为朔元亦即为朔定二定数相乗得五○○五八八五五五四六九六○○○为衍母以朔定为岁纪衍以岁纪定为朔衍岁纪衍小于岁纪定即以岁纪衍为岁纪竒明衍满朔定去之余二三九四三四为朔竒各以定竒求乗数得岁纪乗数九九○四八五二四○三朔乗数六二五一以各乗数乗各衍数得岁纪泛用数四九四三一八四九七四二○八○○一朔泛用数六二七○○五八○四八八○○○并二泛数与衍母等则泛用数即为定用数乃置前通积分六五一二一○一四四○满朔率去之余二七五二二四为入元第一千零五十五年之闰分又置嘉泰甲子气骨减去朔骨余一六三七七一为嘉泰甲子之闰分闰分每岁渐加今后数小于前数是知已加过一朔率乃于后闰分内加一朔率分减去前闰分得三八七六一四为前后闰分差以乗朔定用数得二四三○三六二二八○五二七五六三二○○○满衍母去之余四八四三七二二六五五二○○○为实以岁率为法收之得七百八十四万七千一百二十五为后积年数并前积年数共得七百八十四万八千一百八十年为嘉泰甲子积年与前数合按右竒定相求其上层竒一数即大衍术中所谓立天元一也其逐层数即术中所谓递互乗余也其下层竒得数即术中所谓乗数也(有等数者)(求蔀数)古无笔算旧式所载不详兼多重复舛伪之处集中惟此问甚繁故既设题以明其法复备录加减乗除之数以详其算式俾观者易见焉缀术推星问岁星合伏经一十六日九十分行三度九十分去曰一十三度乃见后顺行一百一十三日一十十七度八十三分乃留欲知合伏段晨疾初段常度初行率末行率平行率各几何按此以两积曰之递差积度求各行率也盖合伏初日其行最疾以次渐迟迟极则留总其积度略如递减差分故古法皆以其术歩之答曰合伏一十六日九十分 常度三度九十度初行率二十三分九十七杪 平行率二十三分二杪 末行率二十二分七杪晨疾初三十日 常度六度一十三分 初行率二十一分九十六杪 平行率二十分三十三杪 末行率一十八分七十杪术曰以方程法求之置见日减一余半之为见率以伏日并见日为初行法以法半之如见率共为伏率以伏日乘伏率为伏差以见日乘见率为见差以伏日乘见差于上以见日乘伏差减上余为法以见日乘伏度为泛以伏日乘见度减泛余为实实满法而一为度不满退除为分杪即得日差按此求逐日之递差为日差也术曰方程非也其所谓见数者乃徒设一数宛转附会使合于方程之行列也如 见日减一折半为见率并伏见日折半为半总日既以半总日加见率先以伏日乘之后以见日乗之复置见率先以见日乘之后以复日乘之相减然后为法岂非半总日不用加见率但以伏日见日连乘之即可为法乎特多立名目故为曲折颠倒使人不易办耳今去其见率另为歩算于后以明其立法之本意焉法以合伏日除伏行度得二十三分(九七六 二三)为合伏日折中第八日四十五分一日之行度(即第七日九十)(五分至第八日九十五分之行度)以顺行日除顺行度得十五分(七七八七六一)为顺行日折中第五十六日五十分一日之行度两一日之行度相减行七分(一九八一六二)为合伏第八日四十五分与顺行第五十六日五十分两一日之行度较为实并合伏顺行两日数而半之得六十四日(九五)为合伏第八日四十五分至顺行五十六日五十分之积日为法除之得十一杪(二三六五八五)为一日递差之数即日差若不先用除则以两日数与两行度互乘相减为实两日数相乘又并两日数而半之再乘为法得数亦同求初行率置初法减一余乘日差为寄以半初行法乘寄得数又加伏见度共为初行实以法退除之得合伏日初行率按此求合伏第一日最疾之行也其法即递减差分有总数有次数有毎次差数求初次最大之数也初行法减一乘日差为寄者合伏初日与顺行末日两行率之差也半法乗寄与积差等故加共度为实以共日为法除之为合伏初日行率二十三分九十七杪也求未行率以段日乘日差减初行率余为末行率按此求合伏末日之行率也以段日乘日差求合伏初末日两行率之较也既得初末日两行率之较以减初行率即末行率也求平行率以初行率并未行率而半之为平行率按此即均分合伏度为毎日之平行率也与递加递减有首尾数求中数者同应与伏日除伏度数同不同者本非递差之数也求交段差以各段常日下分数减全日一百分余乗末日行率为交段差按此即各段日下分数不及一日所差之行分也求之以备后数加减累减前段积度以益后段积度各为常度按常度即各段积度也求晨疾初段常度见常中专解于后草曰以伏日随伏度为右行以见日随见度为左行以度对度日对日其度于上日于中空其下列之置见日一百一十三减一余一百一十二以半之得五十六为见率以伏日一十六日九十分并见日一百一十三得一百二十九日九十分为初行法以初行法半之得六十四日九十五分并见率五十六日得一百二十日九十五分为伏率以初行法寄之以伏率归右下以对见率仍分左右两行为首图以首图伏日一十六日九十分乗伏率一百二十日九十五分得二千四十四日五分五十杪为伏差于右下以首图见日一百一十三乘见率五十六得六十三百二十八日为见差于左下乃成次图 凡方程之术先欲得者存之以未欲得者互偏乘两行诸数今验此图先欲得日差故存其左右之上下以左右之中伏见日数互偏乘两行乃以次图右中伏日一十六日九十分先偏乘左行毕左上得三百一度三十二分七十杪左中得一千九百九日七十分左下得一十万六千九百四十三日二十分又以次图左中见日一百一十三偏乗右行毕右上得四百四十日七十分右中亦得一千九百九日七十分右下得二十三万九百七十八日二十一分五十杪以两行 得变名泛积法而成才图乃验才图左上下皆少用减右行毕行上余一百三十九度三十七分三十杪为日差实右中空右下得一十二万四千三十五日一分五十杪为日差法今维图法多实少除得空度空分十一杪二十三小分六十五小杪不尽十杪五十五小分三十九小杪五十二微分五十微杪收为一小杪为日定差一十一杪二十三小分六十六小秒既得日差乃行初行率置法图内初行法一百二十九日九十分内减去一日余一百二十八日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得空度一十四分四十八杪三十九小分七十七小杪四十微分为寄次置(按此下脱三十一字应作次置寄以半法乗之得九度四十分七十三杪)(四十三小分三十二小杪一十三微杪)以得数加伏度三度九十分见度一十七度八十三分共得三十一度一十三分七十三杪四十三小分三十二小杪一十三微分为初行实如初行法一百二十九日九十分而一乃行空度二十三分九十七杪为伏合初日行率余三杪一十三分分三十二小杪一十三微分弃之求末行率置合伏段日数一十六日九十分乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一分八十九杪八十九小分八十五小杪四十微分为得数乃以得数减初行率二十三分九十七杪余二十二分七杪一十小分一十四小杪六十微分为合伏末日行求平行率置初行率二十三分九十七杪并末行率二十三分七杪得四十六分四杪以半之得二十三分二杪为平行率求交段差置合伏日下减全日一百分余一十分乘末行率二十二分七杪得二分二十杪七十小分为交段差求晨疾初段常度置合伏日一十六日九十分乃收九十分作一日通为一十七日并旧厯所注晨疾初段常日三十得四十七为共日乗合伏初行率二十三分九十七杪得一十一度二十六分五十九杪为寄上按此有第一日行度有逐日递减之差有前后各段日数有前段积度求后段积也先以共日乗初行率者以最疾为率之共积也下求递差以减之故为寄乃副置共日四十七减一余四十六以半之得二十三乗副四十七得一千八十一以乗日差一十一杪二十三小分六十六小杪得一度二十一分四十六杪七十六小分四十六小杪以减上寄一十一度一十六分五十九杪余一十度五分一十二杪二十三小分五十四小杪为合伏晨疾初两段共积度按此乃求积差以减上数得共日之积庆也法应于共日内减一日以乘日差得数为共日数初末日行率之较再以共日数乘之得数折半为积差此先折半次连乘得积差其理亦同置共积内减合伏三度九十分余六度一十五分一十二杪二十三小分五十四小杪为泛次以交段差二分二十杪七十小分减泛余六度一十二分九十一杪五十三小分五十四小杪为晨疾初段常度注厯乃收八杪五(按应作四)十六小分四十六小杪为全分常定度按此于共积内减去合伏段积尚有合伏九十分不及一日所差之行分即交段差未减故为泛数再减交段差为晨疾初段常泛度再收为六度十三分始为定常度也求晨疾初段初行率以日差一十一杪二十三小分六十六小杪减合伏末行率二十二分七杪余二十一分九十六杪为晨疾初段初行率行泛收之为定者也按此以合伏末日之次日为晨疾初段之初日也故置合伏之末行率减一日之差即为晨疾初段之初行率五杪余收为六杪凡寄零未收名泛数已收名定数下倣此求晨疾初末行率置晨疾初常日三十减一余二十九日乗日差一十一杪二十三小分六十六十小杪得三分二十五杪八十六小分一十四小杪以减晨疾初段初行率泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪余一十八分六十九杪九十小分二十小杪为晨疾初末行率按此求晨疾初段末日之行率也常日减一日乗日差得数为晨疾初段初末二日行率之较也故减初行率得末行率求平行率以晨疾初初行泛二十一分九十五杪七十六小分三十四小杪并晨疾初末泛一十八分六十九杪九十小分二十小分得四十分六十五杪六十六小分五十四小杪以半之得二十分三十二杪八十三小分二十七小杪为晨疾初平行泛乃以三泛收弃为之定按此与求合伏平行率同其言泛弃为定者盖截去杪下竒零过半则收为一杪也然语意欠明又按五星行度迟疾差廻非递加递减之数术中仅以合伏与顺见二段各取中数至推遂日行度仍用递加递减之法故古法之疎五星尤甚原文语多隠晦令悉为解之可以见古今疎宻之所在焉数学九章卷二上
## 卷二下
钦定四库全书
数学九章卷二下 宋 秦九韶 撰天时揆日究微问厯代测景惟唐大衍厯最宻本朝崇天厯阳城冬至景一丈二尺七寸一分五十杪夏至景一尺四寸七分七十杪九系与大衍厯同今开禧厯临安府冬至景一丈八寸二分二十五杪夏至景九寸一分欲求临安府夏至后差㡬日而景与阳城夏至日等较以大衍厯晷景所差尺寸各㡬何答曰大暑后五日午中景长一尺四寸八分八十五杪按旧本答数后有二图舛错潦草传冩者失其真也细考图内所载之数皆与今法颇合知此悉当时实测所定非同臆说也因取其数改正于后置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五杪以夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十五杪为景差以为实置象限度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪五十小分命度为寸得一百二寸五十六百七十一分五十杪为法以除前差实得空寸九十六百六十四分四十杪不尽弃之自乗得节泛数九千三百四十分不尽弃之先以小暑节乗率二十五乗节率九千三百四十分得二十三寸三千五百分于上次以临安夏至九寸一分自乗得八十二寸八千一百分为夏至幂乃以夏至幂加上得一百六寸一千六百分为小暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三分为临安小暑节景不尽七百分即寸下七毫弃之按各节气影长皆当时实测所定本不待求今所设求法乃故为溟涬使人不可觧也细查其数首以象限加十一度余为法以除影差得数自乗为节率四每节下又有乗率以乗率节率相乗与夏至影幂相加即为本节影幂是知节率乃强取之数盖以此数先除各节影幂与夏至影幂之较名为乗率故以此与节率相乗加夏至影幂即各节影幂也数家设术误人往往如此又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于头位仍以夏至幂八十二寸八千一百分加头位一百一寸八千六十分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实以一寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑不尽弃之又置立秋乗率二百八十九乗节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上仍置夏至幂八十一寸八千一百分加于上二百六十九寸九千二百六十分得三百五十二寸七千三百六十八为立秋幂置立秋幂为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一杪为立秋景不尽弃之乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃置大暑一尺三寸五分八十七杪并立秋景一尺八寸七分八十一杪得三尺二寸三分六十八杪以半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景 又以九日景并大暑景得二尺九寸七分七千一杪以半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日景乃以大暑景得五日景得二尺八寸四分七十二杪半以半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景又以五日景得三日景得二尺九寸一分二十一杪大以半之得一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪为大暑后四日景今验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪为入临安府大暑后四日景一尺四寸五分六十杪太强乃以四日减五日景余三分二十四杪太弱为景差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法乃置阳城夏至景一尺四寸七分七十九抄减临安大暑后四日景一尺四寸五分六十杪八十七小分五十小杪余二分一十八杪一十二小分五十小杪为实后以法二十七杪五小分二十小杪除之实如法而一得商数八有余命大暑四日午后数八辰得大暑五日寅时景与阳城夏至之日午景等求较以大衍厯晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为次暑后九日午中景置九日景复并大暑景一尺九寸五分七十六抄得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日景今验开禧厯所推临安府大暑后五日午中景一尺四寸八分八十五杪半与阳城大暑后五日午中景尺一寸一十四杪太课之乃以临安府五日景减阳城五日景差六寸一分二十九杪少按此法不过以临安前后两节气影长比例一影长之日数时刻复以所得节气日数时刻比例一阳城影长与之相较耳题内引大行崇天开禧诸法名目又称其较同异差数皆故为张皇之语且影差逐日不同皆以平派求之法亦未宻也草曰置临安府所测冬至景一丈八寸二分二十五抄以夏至景九寸一分减之余九尺九寸一分二十五抄为景差以为实置象度九十一度三十一分四十四杪加一十一度二十五分二十七杪半命度为寸得一百二寸五千六百七十一分半为法除实得空寸九千六百六十四分四十杪以自乗之得空寸九千三百四十分为节率先以小暑乗率二十五乗之得二十三寸三千五百分于上次以临安夏至景九寸一分自乗得八十二寸八千一百分为夏至景幂以加上得一百六寸一千六百分为小暑景幂开平方以一寸为隅开之得一尺三分为小暑景又以大暑乗率一百九乗节率九千三百四十分得一百一寸八千六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分得一百八十四寸六千一百六十分为大暑幂以为实一寸寸为隅开平方得一尺三寸五分八十七杪为大暑景又置立秋乗率二百八十九乗节率九千三百四十分得二百六十九寸九千二百六十分于上仍加夏至幂八十二寸八千一百分共得三百五十二寸七千三百六十为立秋幂以为实以一寸为隅开平方得一尺八寸七分八十一抄为立秋景乃验阳城夏至景一尺四寸七分七十九杪在大暑后立秋前乃并大暑立秋二景半之得一尺六寸一分八十四杪为大暑后九日景又并大暑景半之得一尺四寸八分八十五杪半为大暑后五日午中景又并大暑景得数半之得一尺四寸二分三十六杪少为大暑后三日景又并五日景一尺四寸八分八十五杪半得数半之得一尺四寸五分六十杪强为大暑后四日景验得阳城夏至景入临安大暑后四日乃以四日景减五日景余三分二十四杪太弱为差以十二时除之得二十七杪五小分二十小杪为法复除阳城景与本日景差二分一十八杪一十二小分五十小杪得八命外为在初五日寅时景等求较以大衍厯晷景所差乃置阳城大暑景长一尺九寸五分七十六杪并阳城立秋景二尺五寸三分三十一杪得四尺四寸九分七杪以半之得二尺二寸四分五十三杪半为大暑后九日午中景复并暑景一尺九寸五分七十六杪得四尺二寸二十九杪半以半之得二尺一寸一十四杪太为大暑后五日暑以较今开禧厯当日景一尺四寸八分八十五杪半差少六寸一分二十九杪少合问接集中皆术在前草次之图在后此条之例不同天池测雨问今州郡多有天池盆以测雨水但知以盆中之水为得雨之数不知器形不同则受雨多少亦异未可以所测便为平地得雨之数假今盆口径二尺八寸底径一尺二寸深一尺八寸接雨水深九寸欲求平地雨䧏㡬何答曰平地雨䧏三寸术曰盆深乗底径为底率二径差乗水深并底率为靣率以盆深为法除靣率得面径以二率相乗又各自乗三位并之乗水深为实盆深乗口径以自之又三因为法除之得平地水深草曰以盆深及径皆通为寸盆深得一十八寸底径得一十二寸相乗得二百一十六寸为底率置口径二十八寸减底径一十二寸余一十六寸为差以乗水深九寸得一百四十四寸并底率二百一十六寸得三百六十寸为靣率以盆深一十八寸为法除靣率得二十寸展为二尺为水靣径以底率二百一十六寸乗靣率三百六十寸得七万七千七百六十寸于上以底率二百一十六寸自乗得四万六千六百五十六寸加上又以靣率三百六十寸自乗得一十二万九千六百并上共得二十五万四千一十六以乗水深九寸得二百二十八万六千一百四十四寸为实以盆深一十八寸乗口径二十八寸得五百四寸自乗得二十五万四千一十六寸又三因得七十六万二千四十八寸为法除实得三寸为平地雨深合问竹器验雪问以圆竹箩验雪箩口径一尺六寸深一尺七寸底径一尺二寸雪䧏其中髙一尺箩体通风受雪多则平地少欲知平地雪髙㡬何按箩体通风一语与算术不相涉或箩口所降之雪归于箩底与前天池测雨题相同然依上步算平地雪深只七寸余今其数又不合殆故为是语以误人也答曰平地雪厚九寸三千四百二十九分之七百六十四术曰口径减底径余乗雪深半之自乗为隅以箩深幂乗雪深幂并隅又乗雪深幂为实隅实可约约之开连枝三乗方得平地雪厚草曰列问数各通为寸置口径一十六寸减底径一十二寸余四寸乗雪深一十寸得四十寸以半之得二十寸自乗得四百寸为隅以箩深一十七寸自乗得二百八十九寸为箩深幂次置雪深一十寸自乗得一百寸为雪深幂以乗箩深幂数加隅又乗深幂得二百九十三万寸为实隅实求等得四百俱约之得七千三百二十五为实得一为隅开三乗方歩法不可超乃约实置商九寸与隅一相生得九为下亷又与商相生八十一寸为上亷又与商相生得七百二十九为从方乃命上商除实不尽七百六十四已而复以商生隅入二亷至方陆续又生毕以方亷隅共并之得三千四百三十九分寸之七百六十四为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问按此法之意不可见然以数考之非通法也设原题雪深为一寸以口径底径较四寸乗雪深一寸仍得四寸半之得二寸自之得四寸为隅以箩深一十七寸自之得二百八十九寸为箩深幂雪深一寸自之仍得一寸为雪深幂二深幂相乗仍得二百八十九寸并隅得二百九十三寸再以雪深幂乗之仍得二百九十三寸为实隅实相约得七十四寸二十五百分为实一为隅开三乗方得二寸又六千四百分寸之五千七百二十五是平地雪反深于箩内矣列问数各通为十口径得一十六寸深一十七寸底径一十二寸箩中雪髙一十寸乃以底径减口径余四寸乗雪深一十寸得四十寸以中得数二十寸自乗得四百寸为隅以箩深一十七寸自乗得二百八十九寸为箩深幂次置雪深一十寸自乗得一百寸为雪深幂以雪深幂一百寸乗箩深幂二百八十九寸得二万八千九百寸并隅四百寸得二万九千三百寸为上置头位数二万九千三百寸又乗雪深幂一百寸得二百九十三万寸为实开三乗方以隅实求等得四百俱为约之得七千三百二十五为实一为隅开之歩法不可超乃约实置商九寸与隅相生得九为下亷下亷九又与商九相生得八十一为上亷上亷又与商相生得七百二十九为从方乃以从方七百二十九命上商九除实七千三百二十五讫实余七百六十四既而后以商生隅入下亷下亷得一十八又与啇九相生入上亷上亷得二百四十三又与商相生入方得二千九百一十六又以商九生隅一入下亷一十八内得二十七又以商九生下亷二十七入上亷二百四十三内得四百八十六又以商生隅入下亷二十七内得三十六为求图乃以末圆方亷隅四者并之得三千四百三十九为母以实余七百六十四为子命为平地雪厚九寸三千四百三十九分寸之七百六十四合问圆罂测雨问以圆罂接雨口径一尺五寸腹径二尺四寸底径八寸深一尺六寸并里明接得雨水深一尺二寸圆法用宻率问平地雨水深㡬何按此题问平地雨深无闗圆法宻率句赘若求罂中雨积数则当加此语答曰平地雨深一尺八寸七万四千八十八分寸之六万四千四百八十三按答数误改正见后术曰底径与腹径相乗又各自乗并之乗半罂深以一十一乗之为下率以四十二为下法除得下积以半罂深并雨深减元罂深余为上深以口径减腹径余乗上深为次以半罂深乗口径加次为靣率以半深除靣率得水靣径以半深乗腹径为腹率置靣率与腹率相乗又各自乗并之以一十一乗之为上率以半深自乗为幂以乗下法为上法上法除上率得上积半深幂乗下率并上率为总实口径幂乗上法为总法除实得平地雨髙草曰置底径八寸与腹径二十四寸相乗得一百九十二寸于上又底径八寸自乗得六十四寸加上又腹径二十四寸自乗得五百七十六寸并上共得八百三十二寸以乗半罂深八寸得六千六百五十六寸又以一十一乗之得七万三千二百一十六寸为下率(按此下法不合皆为题中图法句所误)置宻率法一十四以所并三因之得四十二为下法以半深八寸并雨深一十二寸得二十寸以减元深一十六寸余四寸为上深以口径一十寸五分减腹径二十四寸余一十三寸五分以乗上深四寸得五十四寸为次以半罂深八寸乗口径一十寸五分得八十四寸加次共得一百三十八寸为靣率以半深八寸乗腹径二十四寸得一百九十二寸为腹率置靣率一百三十八寸与腹率一百九十二寸相乗得二万六千四百九十六寸于上又以靣率一百三十八寸自乗得一万九十四十四加上又以腹率一百九十二寸自乗得三万六千八百六十四并上共得八万二千四百四寸(按此条内)(落以上髙四寸乗之一层)以一十一乗之得九十万六千四百四十四寸为上率以半深八寸自乗得六十四寸为半深幂以乗下法四十二得二千六百八十八为上法以半深幂六十四寸乗下率七万三千二百一十六寸得四百六十八万五千八百二十四寸并上率九十万六千四百四十四共得五百五十九万二千二百六十八寸为总实以口径一十寸五分自乗得一百一十寸二分五厘以乗上法二千六百八十八寸得二十九万六千三百五十二寸为总法除实得一尺八寸不尽二十五万七千九百三十二与法求等得四俱约之为一尺八寸七万四千八十八分寸之六万四千四百八十三为平地雨深合问按此法有二误法实皆当用圆幂或皆用方幂今以圆幂率乗实方幂率乗法法实不同类一误也罂内雨自腹径截之为雨圆䑓体下髙八寸上髙四寸于下体并三幂以髙乗之于上体只并三幂未以髙乗之二误也有此二误故得平地雨深少三十五分之十七今依本法改正于后法以腹径底径相乗又各自乗并三积以半罂深八寸乗之得六千六百五十六寸为三倍方罂内腹下雨积又以口径腹径相减余一十三寸五分以雨深减罂深余四寸相乗以半罂深除之得六寸七分五厘与口径相加得一十七寸二分五厘为雨靣径与腹径相乗又各自乗并三积以雨上深四寸乗之得五千一百五十寸二五为方罂内三倍腹上雨积并二雨积得一万一千八百零六寸二五为方罂内三倍共雨积为实口径自乗三因得三百三十寸七五为法除实得三尺五寸又一千三百二十三分寸之九百二十为平地雨深若不先用除则以口径腹径较与罂深雨深较相乗之五十四寸为雨靣径口径较加一半罂乗之数(应以半罂除之得雨径较今不除即如雨径较以半罂乗之)即为雨靣径口径较此数既加一半罂乗则诸数皆以半罂乗之得口径八十四寸腹径一百九十二寸以口径与雨靣径口径较相加得雨靣径一百三十八寸与腹径相乗又各自乗并三幂以腹上雨深四寸乗之得三十二万九千六百一十六寸为三倍上雨积又以半罂深幂乗前三倍下雨积得四十二万五千九百八十四寸为三倍下雨积并二积得七十五万五千六百寸为三倍共雨积为实以半罂深幂乗三因口径幂得二万一千一百六十八寸为法除之得数亦同峻积验雪问验雪占年墙髙一丈二尺倚木去址五尺梢与墙齐木身积雪厚四寸峻积薄平积厚欲知平地雪厚㡬何答曰平地雪厚一尺四分术曰以少广求之连枝入之以去址自乗为隅以墙髙自乗并隅于上以雪厚自之乗上为实(可约者约而开之)开连枝平方得地雪厚草曰以问数皆通为寸置去址五十寸自乗得二千五百为隅以墙髙一百二十寸自乗得一万四千四百寸并隅得一万六千九百寸于上以雪厚四寸自之得一十六乗上得二十七万四百寸为实开连枝平方今隅实可求等得一百俱约之得二千七百四为实得二十五为隅开平方得一十寸四分展为一尺四分为平地雪厚合问按此术理法皆确然实用勾股不曰勾股而曰少广曰连枝者犹有所闭匿而不肯尽发也试以圗明之甲乙为墙上雪厚即平地雪厚乙丙为木上雪厚甲乙丙勾股形与木倚墙所成勾股形同式墙髙为大股木为大弦木去址为大勾甲乙为小弦甲丙为小股乙丙为小勾以墙髙大股自乗木去址大勾自乗并之为大弦幂为实以木上雪厚乙丙小勾幂乗之以木去址大勾幂除之得甲乙小弦幂开平方即为平地雪厚也数学九章卷二下
## 卷三上
钦定四库全书
数学九章卷三上 宋 张九韶 撰田域按此卷以方圆斜直幂积相求即方田少广勾股诸法而术中累乘累除错综变换与常法回然其本则出于立天元一法今择其难解者以立天元一法明之皆不攻自破矣古池推元问有方中古圆池堙圮北余一角从外方隔斜至内圆边七尺六寸欲就古迹修之欲求圆方方斜各几何荅曰池圆径三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二方面三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二 方斜五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二术曰以少广求之投胎术(按即益积之名)入之斜自乘倍之为实倍斜为益方以半寸为从隅开投胎平方得径又为方面以隅并之共为方斜草曰以斜七十六寸自乘得五千七百七十六倍之得一万一千五百五十二寸为实倍斜七十六寸得一百五十二为益方(按有长方积先求长其长濶较名益方)以半寸为从隅开平方置实一万一千五百五十二于上益方一百五十二于中从隅五分于下于下起歩约得百古池图 乃于实上商置三百寸方再进为一万五千二百(按再)(进者以百乘之也)隅五进为五千(按隅五分以百再乗得五千)以商隅相生得一万五千为正方以消益方一万五千二百其益方余二百以与商相生得六百投入实得一万二千一百五十二又商隅相生又得正方一万五千内消负方二百讫余一万四千八百为从方(按倍正方减益方之数)一退为一千四百八十以隅再退为五十乃于上商之次续商置六十寸与隅相生増入正方得一千七百八十乃命续商除实讫实余一千四百七十四次以商生隅増又正方为二千八十方一退为二百八隅再退为五分乃于续商之次又商置六寸与隅相生増入正方为二百一十一乃命商除实讫实不尽二百六寸不开为分子乃以商生隅増入正方又并隅共得二百一十四寸五分为分母以分母分子求等得五分为等数皆以五分约其分母分子之数为四百二十九分寸之四百一千二通命之得池圆径及方面皆三丈六尺六寸四百二十九分寸之四百一十二又倍隅斜七尺六十得一丈五尺二寸并径三丈六尺六寸共得五丈一尺八寸四百二十九分寸之四百一十二为方斜按此术以立天元一法明之法立天元一为池径即方边自之得一平方为方幂倍之得二平方为斜幂寄左次倍斜至歩加天元一得一百五十二寸多一元为方斜自之得二万三千一百零四寸多三百零四元多一平方亦为斜幂与左相消雨边各减一平方得二万三千一百零四寸多三百零四元与一平方等寸数为实元数为较或两边各半之得一万一千五百五十二寸多一百五十二元多半平方与一平方等寸数为实元数半方数共为较术中所用葢次数也然不如前数之便至开方法即有长方积有长濶𨐅带纵先求长之法也尖田求积问有两尖田一叚其尖长不等两大斜三十九歩两小斜二十五歩中广三十歩欲知其积几何荅曰曰积八百四十歩术曰以少广求之翻法入之置半广自乘为半幂与小斜幂相减相乘为小率以半幂与大斜幂相减相乘为大率以二率相减余自乘为实并二率倍之为从上亷以一为益隅开翻法三乘方得积(一位开尽者不用翻法)草曰置广三十歩以半之得一十五自乘得二百二十五为半幂以小斜二十五歩自乘得六百二十五为小斜幂与半幂相减余四百与半幂二百二十五相乘得九万歩为小率置大斜三十九歩自乘得一千五百二十一为大斜幂与半幂二百二十五相减余一千二百九十六与半幂二百二十五相乘得二十九万一千六百为大率以小率九万减大率余二十万一千六百自乘得四百六亿四千二百五十六万为实以小率九万并大率二十九万一千六百得三十八万一千六百倍之得七十六万三千二百为从上亷(按从上亷平方和数也)以一为益隅开玲珑翻法三乘方歩法乃以从亷超一位益隅超三位约商得十今再超进乃商置百其从上亷为七十六亿三千二百万其益隅为一亿约实置商八百为定商以商生益隅得八亿为益下亷又以商生下亷得六十四亿为益上亷与从上亷七十六亿三千二百万相消从上亷余十二亿三千二百万又与商相生得九十八亿五千六百万为从方又与商相生得七百八十八亿四千八百万为正积与元实四百六亿四千二百五十六万相消正积余三百八十二亿五百四十四万为正实又以益隅一亿与商相生得八亿増入益下亷为一十六亿又以益下亷与商相生得一百二十八亿为益上亷乃以益上亷与从上亷一十二亿三千二百万相消余一百一十五亿六千八百万为益上亷又与商相生得九百二十五亿四千四百万为益方与从方九十八亿五千六百万相消益余八百二十六亿八千八百万为益方又以商生益隅一亿得八亿増入益下亷得二十四亿又以商相生得一百九十二亿入益上亷得三百七亿六千八百万为益上亷又以商生益隅一亿得八亿入益下亷得三十二亿毕其益方一退为八十二亿六千八百八十万益上亷再退得三亿七百六十八万益十亷三退得三百二十万益隅四退为一万毕乃约正实续置置四十歩与益隅一万相生得四万入益下亷为三百二十四万又与商相生得一千二百九十六万入益上亷内为三亿二千六十四万又与商相生得一十二亿八千二百五十六万入从方内为九十五亿五千一百三十六万乃命上续啇四十除实适尽所得八百四十歩为田积今列求率开方图于后按此术以立天元一法明之法立天元一为尖积即大小两三角积和自之得一平方为和自乘以半广幂减大斜幂与余积相乘得二十九万一千六百歩为大三角积自乘以坐广幂减小斜幂与余数相乘得九万歩为小三角积自乘二自乘数并而倍之内减去和自乘得七十六万三千二百歩少一平方为较自乘与和自乘再相乘得七十六万三千二百平方少一三乘方寄左次以大小两三角积相减余二十万零一千六百歩为和较相乘数自之得四百零六亿四千二百五十六万歩与左相等则后歩数为实前平方数为从上亷三乘方数即益隅与草中所取之数悉合又按此苦以小率九万歩开平方得三百歩即小三角积以大率二十九万一千六百歩开平方得五百四十歩即大三角积并之得八百四十歩即尖积其法甚易然必如此费算者殆欲用立天元一法不求分积即得所问之总积也正负开三乘方图术曰商常为正 实常为负 从常为正 益常已上系开三乘方翻法图后篇效此三斜求积问沙田一叚有三斜其小斜一十三里中斜一十四里大斜一十五里里法三百歩欲知为田几何荅曰田积三百一十五顷术曰以少广求之以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上余四约之为实一为从隅开平方得积草曰以斜一十三里自乘得一百六十九里为小斜幂以大斜一十五里自乘得二百二十五里为大斜幂并小斜幂得三百九十四里于上以中斜一十四里自乘得一百九十六里为中斜幂减上余一百九十八里以半之得九十九里自乘得九千八百一里于上以小斜幂一百六十九乘大斜幂二百二十五得三万八千二十五减上余二万八千二百二十四以四约之得七千五十六里为实以为一隅开平方以隅超歩为一百乃于实上商置八十以商生隅得八百为从方乃命上商除实余六百五十六又以商生隅入方得数退一位为一百六十隅退二位为一乃于实上续商四里生隅入从方内得一百六十四乃命续商除实适尽所得八十四里为田积其形长八十四广一里以里法三百歩自乘得九万歩乘八十四里得七百五十六万歩以亩法二百四十除之得三万一千五百畆又以顷法一百畆约之得三百一十五顷按此术以立天元一法明之法立天元一为三角积倍之得二元自之得四平方为中长幂乘底幂以大斜为底寄之又以小斜幂与大斜幂相加内减中斜幂得一百九十八里半之得九十九里为小分底与底相乘长幂自之得九千八百零一里为小分底幂乘底幂之数又以小斜幂大斜幂相乘得三万八千零二十五里为小分底幂乘底幂中长幂乘底幂各一内减小分底幂乘底幂之数余二万八千二百二十四里为中长幂乘底幂之数与寄数等两边各以四约之得七千零五十六里与一平方等里数为实方数即从隅也从二题同此斜荡求积问有荡一所正北濶一十七里自南尖穿径中长二十四里东南斜二十里东北斜一十五里西斜二十六里欲知畆积几何荅曰荡积一千九百一十一顷六十畆术曰以少广求之置中长乘北濶半之为寄以中长幂减西斜幂余为实以一为隅开平方得数减北濶余自乘并中长幂共为内率以小斜幂并率减中斜幂余半之自乘于上以小斜幂乘率减上余四约之为实以一为隅开平方得数加寄共为荡积草曰以中长二十四里乘北濶一十七里得四百八乃半之得二百四里为寄以中长自乘得五百七十六为长幂以西斜二十六里自乘得六百七十六为大斜幂以减长幂余一百里为实开平方得一十里以减北濶数一十七里余七里自乘得四十九里并长幂五百七十六得六百二十五为内率次置东小斜一十五里自乘得二百二十五为小斜幂又置东南中斜二十里自乘得四百为中幂却以小斜幂并率得八百五十以减中幂四百余四百五十乃半之得二百二十五自乘得五万六百二十五里于上又以小斜幂二百二十五乘率六百二十五得一十四万六百二十五减上余九万里以四约得二万二千五百为实开平方得一百五十并寄二百四里得三百五十四里为泛以里法三百六十自乘得一十二万九千六百歩乘泛得四千五百八十七万八千四百歩以畆法二百四十歩约之得一千九百一十一顷六十畆为荡积计地容民问沙洲一叚形如棹力广一千九百二十歩从三十六百歩大斜二千五百歩小斜一千八百二十歩以安集民每户给一十五畆欲知地积容民几何荅曰池积一百四十九顷九十五畆 容民九百九十九戸 余地一十畆术曰以少广求之置广乘长半之为寄以广幂并从幂为中幂(按实大斜幂)以小斜幂并中幂减大斜幂(按实中斜)(幂)余半之自乘于上以小斜幂弃中幂减上余以四约之为实以一为隅开平方得数加寄共为积以每户给数除积得容民戸数草曰置广一千九百二十歩乘从三千六百歩得六百九十一万二千歩乃半之得三百四十五万六千歩为寄以广自乘得三百六十八万六千四百歩为广幂又以从自乘得一千二百九十六万步为从幂并广幂得一千六百六十四万六千四百步为中幂次以小斜一千八百二十歩自乘得三百三十一万二千四百歩为小斜幂又以大斜二千五百歩自乘得六百二十五万歩为大斜幂却以小〔？〕幂并中幂得一千九百九十五万八千八百歩以大斜幂减之余一千三百七十万八千八百歩乃半之得六百八十五万四千四百歩自乘得四十六万九千八百二十七亿九千九百三十六万歩于上次以小斜幂乘中幂得五十五万一千三百九十五亿三千五百三十六万歩减上余八万一千五百六十七亿三千六百万为实以四约之得二万三百九十一亿八千四百万为实以一为隅开平方得一十四万二千八百歩并寄三百四十五万六千歩共得三百五十九万八千八百歩以畆法二百四十歩除之得一万四千九百九十五畆次以顷法一百畆约之为一百四十九顷九十五畆为地积又为实以每户所给一十五畆为法除实得九百九十九户不尽一十畆不及一戸所给数以为余地一十畆蕉田求积问蕉叶田一叚中长五百七十六歩中广三十四歩不知其周求积畆合几何荅曰田积四十五畆一角(按六十歩为一角葢四分畆之一也)十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三术曰以长并广再自乗又十乘之为实半广半长各自乘所得相减余为从方一为从隅开平方半之得积草曰以长五百七十六歩并广三十四歩得六百一十两度自乘(按即自乘再乘)得二亿二千六百九十八万一千歩进一位即是以十乘之得二十二亿六千九百八十一万歩定得此数以为实置长五百七十六以半之得二百八十八自乘得八万二千九百四十四于上又置广三十四歩以半之得一十七自乘得二百八十九减上余八万二千六百五十五为从方以一为从隅开平方得二万一千七百四十二歩不尽一万四百二十六歩以商生隅入方又并隅算共得一十二万六千一百四十为母与不尽及开方田积数皆半之田积定得一万八百七十一步六万三千七十分歩之五千二百一十三以畆法二百四十约之得四十五畆一角一十一歩六万三千七十分歩之五千二百一十三按此术以长与广相加自乘再乘又以十乘之为长方积以半长自乘半广自乘相减为长濶较求得阔折半为田积非法也此题中广甚小故得数较古法多七百余较密法少二千七百余若设长为七百零七广为二百九十三亦以此法求之长广相加自之再之又十乘之得一百亿为实半长半广各自之相减得十万零三千五百为长阔较求得阔折半得三万零四百二十六歩余为田积依宻法求之实十四万四千九百余歩所差甚逺其术之不合显然矣葢数必三乘而后可以平方求之今再乘之后仅以十进之宜其不可用也漂田堆积问三斜田被水冲去一隅而成四不等直田之状元中斜一十六步如多长水直五歩如少濶残小斜一十三歩如弦残大斜二十歩如元中斜之弦横量径一十二歩如残田之广又如元中斜之勾亦是水直之股欲求元积残积水积元大斜元中斜二水斜各几何荅曰元积一百三十八歩一十一分歩之八水积一十二歩一十一分歩一八(按应一十三歩一十)(一分歩之七)残积一百二十六歩元大斜二十九歩一十一分歩之一元小斜一十八歩一十一分歩之一(按应一十一分歩之十)水大斜九歩一十一分歩之一水小斜五歩一十一分歩之一(按应一十一分歩之一)术曰以少广求之连枝入之又勾股入之置水直减中斜余为法以中斜乘大残为大斜实以法除实得元大残以残大斜减之余为水大斜以法乘径又自之为小斜隅以水直幂并径幂为弦幂又乘径幂又乘中斜幂为小斜实与隅可约约之闭连枝平方得元小斜以残小斜减之余为水小斜以水直乘之为水实倍水小母为法除之得水积(按此处法踈)以水直并中斜乘径为实以二为法除之得残积以残积并水积共为元积分者通之重有者重通之草曰以水直五减中斜一十六余一十一为法以中斜一十六乘大残二十得三百二十为大斜实以法除之得二十九歩一十一分歩之一为元大斜内减残大斜二十歩余九歩一十一分歩之一为水大斜以法一十一乘径一十二(按乘径可省)得一百三十二自之得一万七十四百二十四为小斜隅以水直五自乘得二十五为水直幂以径一十二自之得一百四十四为径幂并水直幂得一百六十九为弦幂以乘径幂(按此乘径幂亦可省葢以此乘)(复以此除徒为多筭耳)一百四十四得二万四千三百三十六于上又以中斜一十六自乘得二百五十六为中斜幂以乘上得六百二十三万一十六为小斜实开平方与隅求等得一百四十四俱约之实得四万三千二百六十四隅得一百二十一开方不尽以连枝术入之用隅一百二十一乘实四万三千二百六十四得五百二十三万四千九百四十四为定实以一为定隅开平方得二千二百八十八为实以约隅一百二十一除之得一十八歩不尽一百一十一(按一百一十整)与法一百二十一俱以一十一约之得一十一分歩之十为元小斜减残小斜一十三歩余五歩一十一分歩之一(按十讹一故下数误)为水小斜通歩内子得五十六以水直五歩乘之得二百八十为水实倍水小母一十一得二十二为法除之得一十二歩不尽一十六与法俱以二约之为一十二歩一十一分歩之八(按应一十)(二歩一十一分步之七)水积置中斜一十六并水直五得二十一乗径一十二得二百五十二以半之得一百二十六为残积以水并积共得一百三十八歩一十一分歩之八为元积(按应一百三十九步一十一分步之七)数学九章卷三上
## 卷三下
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数学九章卷三下 宋 秦九韶 撰田域环田三积问环田大小圆田共三段环田外周三十步虗径八步大圆田径一十步小圆田周三十步欲知三田积及环田周通实径大圆周小圆径各㡬何答曰环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五通径九步一十九分步之九 实径一步一十九分步之九 内周二十五步一十七分步之五大圆田积七十九步五十三分步之三 周三十一步二十一分步之十三小圆田积七十一步二百八十六分步之四十三 径九步一十九分步之九术曰以方田及少广率变求之各置圆环径自乗为幂进位为实以一为隅开平方得周各置环圆周自乗为幂退位为实以一为隅开平方得径以周幂或径幂乗各实以一十六约之为实以一为隅开平方得圆积置环周幂乘径实十六约之为大率置虚径幂乗内周实十六约之为小率以二率相减之余以自乗为实并二率倍之为从上亷一为益隅开三乗方得环积置环周自乗退位为实一为隅开平方得通径以虚径减通径余为实径其有开不尽者约而命之草曰置大圆径一十步自乗得一百为径幂进位得一千为实以一为隅开平方得三十一步不尽三十九为分子乃以隅生方又益隅共得六十三为分母以分子与母求等得三俱以三约之母子得二十一分步之一十三为大圆周三十一步二十一分步之一十三次以径幂一百乗前实一千得一十万以十六约之得六千二百五十为实以一为隅开平方得七十九步不尽九为分子乃以隅生方又增隅得一百五十九为分母以分子母求等得三俱以三约母子得五十三分步之三为大圆积七十九步五十三分步之三次置小圆田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为径实以一为隅开平方得九步不尽九以隅生方又益隅得一十九步之九为小圆径九步一十九分步之九次以周幂九百乗前实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为实以一为隅开平方得七十一步有不尽数二十一步五分为子以隅生方又益隅得一百四十三为分母以分子母求等得五分俱约之得二百八十六分步之四十三为积次置环田周三十步自乗得九百为周幂退位得九十为实以一为隅开平方得九步不尽九为分子以隅生方并隅得一十九为分母直命之为环田通径九步一十九分步之九次以环周幂九百乗环实九十得八万一千以十六约之得五千六十二步五分为大率次置环田虗径八步自乗得六十四为虗幂进位得六百四十为实以一为隅开平方得二十五步不尽一十五为分子以隅生方又并隅得五十一为分母与子求等得三俱约之得一十七分步之五为环田内周二十五步一十七分步之五次以虗幂六十四乗周实六百四十得四万九百六十以十六约之得二千五百六十为小率以小率减大率余二千五百二步五分自乗得六百二十六万二千五百六步二分五厘为实以大小二率并之得七千六百二十二步五分倍之得一万五千二百四十五为从上亷以一为益隅开玲珑三乗方得二十步不尽三十二万四千五百六步二分五厘为分子续啇无数乃以益隅一益下亷八十并之得八十一为减母次以从上亷一万二千八百四十五并从方五十七万七千八百得五十九万六百四十五以母八十一减之余五十九万五百六十四为分母以分子求等得二分五厘俱约之得二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五为环田积二十步二百三十六万二千二百五十六分步之一百二十九万八千二十五次置环田通径九步一十九分步之九以虚径八步减之余一步一十九分步之九为环田实径合问按周径相求以进位退位为实者盖以径一周三有竒径一自之仍得一周自之略与十等故径幂升一位为周幂周幂降一位为径幂以省算亦法之巧者其径求周较宻率约大一百五十七分之一周求径约小一百五十九分之一然较古率则已宻矣其周幂径幂相乗十六约之开平方得圆积者盖周径相乗四归得圆积径自乗为方积故四归亦展为自乗十六之数约之得四分径之幂乗周幂之数故开方得圆积至求环积与前求尖田积同但彼立天元一为两积之和此立天元一为两积之较耳其式如左法立天元一为环田积即内外两圆积之较自之得一平方为较自乗以大小率(即二圆积各自乗)并而倍之得一万五千二百四十五步内减较自乗得一万五千二百四十五步少一平方为和自乗与较自乗再相乗得一万五千二百四十五平方少一三乗方寄之次以大小率相减余二千五百零二步五分为和较相乗再自之得六百二十六万二千五百零六步二分五厘与寄数等即为实寄数内平方数即从上亷三乗方数即益隅此圗照问列位以后照草运算乃先置次大径以上副自乗得中以中进位为次实以一为下隅凡九变至此得大圆径次求大圆积上副自乗得中以次约之得下为实凡十一变至此得大圆积次求小圆径一十一变得小圆积次求环田通径当求环田通径盖环田之外周三十步与小圆田外周同则不遇与前七变诸圗一理兹不复繁乃求实径凡九变得环田内周次求环积开三乗方凡二十变至此得环田积数求实径但以虚径减通径余一步一十九分步之九为环田实径均分梯田问户业田一段若梯之状南广小三十四步北广大五十二步正长一百五十步合系兄弟三人均分其田邉道各欲出入其地形难分经官乞分南甲乙北内欲知其田共积各人合得田数及各段正长大小广㡬何答曰田共积二十六畆二百一十步甲得八畆三角五十步 小广三十四步系元南广 大广四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四大约百分步之八十九 正长五十七步二千四十五分步之 百五十三大约一百分步之四十一分乙得八畆三角五十步 小广同甲大广大广四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三计大率约百分步之七十七分半强 正长四十九步四亿一千二百四十万六千二百九分步之二千二十七万六千三百一十九大约百分步之四分九厘丙得八畆三角五十步 小广同乙大广大广五十二步系元北广 正长四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六大约百分步之五十三分强术曰以少广及从法求之并两广乗长得数以分田人数约之为通率半之为各积以长乗各积为共实以长乗南广为甲从方二广差半之为共隅开连枝平方得甲截长以甲长除通率得数减小广余为甲广即为乙小广以元长乗乙小广为乙从方置共隅共实开连枝平方得乙截长以乙长除通率得数减乙小广余为乙大广即为丙小广倂甲乙长减元长余为丙长以元大广为丙大广各有分者通之草曰置小广三十四并大广五十二得八十六乗长一百五十得一万二千九百为实以兄弟三人约之得四千三百为通率半之得二十一百五十为各积以 法二百四十步约之得八畆不尽二百三十步以角法六十步约之得三角五十步是三人各得八畆三角五十步以元长一百五十步乗各积二千一百五十得三十二万二千五百为共实以长一百五乗小广三十四得五千一百为甲从方以小广大广余一十八乃半之得九为共隅开连枝平方(开方革更不繁)(具)得五十七步不尽三约为二千四十五分步之八百五十三为甲截长乃以分母二千四十五通全步内子共得一十一万七千四百一十八为法又以分母乗通率四千三百得八百七十九万三千五百为实以法除之得七十四步不尽一十万四千五百六十八与法求等得二俱约之为五万八千七百九分步之五万二千二百八十四乃以小广三十四步于所得全步七十四步内减之余四十步五万八千七百九分步之五万二千二百八十四为甲大广即为乙小广今次求乙长乃以分母五万八千七百九通乙小广四十步得二百三十四万八千三百六十内子五万二千二百八十四得二百四十万六百四十四又元长一百五十乗之得三亿六千九万六千六百为乙从方又以分母五万八千七百九通共实三十二万二千五百得一百八十九亿三千三百六十五万二千五百为乙实又以分母通共隅九得五十二万八千三百八十一为乙从隅开连枝平方(更不立草)得四十九步不尽二千二十七万六千三百十九隅并方共得四亿一千二百四十万六千三百九为母与不尽求等单一不可约乃定为四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九为乙截长以乙长母通全步内子得二百二亿二千八百一十八万五千四百六十为法以乙长七千七百三十三亿四千七百一十二万八千七百为实以法除之得八十七步不尽一百三十四亿九千四百九十九万三千六百八十与法求等得一百四十俱约之为八十七步一亿四千四百四十八万七千三十九分步之九千六百三十九万二千八百一十二为得数乃以乙小广母五万八千七百九乗得数子九千六百三十九万二千八百一十二得五万六千五百九十一亿二千五百五十九万九千七百八为泛却以得数母一亿四千四百四十八万七千三十九分乗乙小广子五万二千二百八十四得七万五千五百四十三亿六千三十四万七千七十六为寄数于上乃以小广母五万八千七百九乗得数母一亿四千四百四十八万七千三十九得八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一以寄减泛今不及减乃破全步一为分并泛得八十六步十四万一千四百一十八亿一千五百一十七万二千三百五十九减去小广四十步及分余四十六步八万四千八百二十六亿八千九百五十七万二千六百五十一分步之六万五千八百七十四亿五千四百八十二万五千二百八十三为乙大广亦丙小广求丙长置甲长五十七步二千四十五分步之八百五十六乙长四十九步四亿一千二百四十万六千三百九分步之二千二十七万六千三百一十九以甲乙分母互乗子甲乙分母相乗得甲正长五十七步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之三千五百三十亿一千九百八十万五百四亿乙正长四十九步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四百一十四亿六千五百七万二千三百五十五并甲乙长及分共长一百六步三千九百四十四亿八千四百八十七万二千八百五十九分用减元长一百五十步先破一步通分母作八千四百三十三亿七千九十万一千九百五减去甲乙长长余四十三步八千四百三十三亿七千九十万一千九百五分步之四千四百八十八亿八千六百二万九千四十六为丙正长按此术以立天元一法明之法立天元一为甲正长南北广差折半得九以乗天元得九元以共正长除之得一百五十分天元之九为甲之半广差与小广相加得三十四步多一百五十分元之九再以天元乗之得三十四元多一百五十分平方之九即与每人分田二千一百五十步等两数各以分母一百五十乗之得三十二万二千五百步与九平方多五千一百元等步数为实元数为从方平方数为隅得甲正长求乙丙长广同此但多一带分故其数较繁数学九章卷三下
## 卷四上
钦定四库全书
数学九章卷四上 宋 秦九韶 撰测望按测望之法见于晋刘徽海岛算经原名重差其书一卷九题法简数宻此卷本其法而扩充之于古人之意实多所发明然其中譌舛之处较他卷尤甚今悉为正之至术有未合者更设法以附其后焉望山高逺问名山去城不知高逺城外平地有木一株高二丈三尺假为前表乃立后表与木齐高相去一百六十四歩先退前表三丈九寸次退后表三丈一尺三寸斜望山峰各与其表之端参合人目高五尺里法三百六十歩歩法五尺欲知山高及逺各㡬何答曰髙二十里半零三歩五分歩之三 逺二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七按术数误后入目距山系三十五里二百三十九歩一尺三寸其故详后术曰以勾股求之重差入之置二退表相减余为高法通表间并法于上以目高减表高余乗上为寔寔如法而一得山高以法乗表高为逺法(按此条法误应以法)(乗表高与人目去地之较)以退后表乗髙寔为逺寔寔如法而一得山逺望山髙逺图(按旧图画山木在术前今山改移于此)草曰置后退表三丈一尺三寸减前退表三丈九寸余四寸为高法置表去木一百六十四歩以歩法五十寸通得八千二百寸为表间并法四寸得八千二百四寸于上以目髙五尺减表高二丈三尺余通之为一百八十寸乗上得一百四十七万六千七百二十寸为髙实实如髙法四寸而一得三十六万九千一百八十寸为积寸次以歩法五十寸约之得七千三百八十三寸五分歩之三次以里法三百六十歩约之得二十里一百八十三歩五分歩之三为山髙(按此所得系人目上之山高若加人目高则多一歩)次以法四寸乘表高二丈三尺得九百二十为逺法(按误同前)以退后表三丈一尺三寸乗髙实一百四十七万六千七百二十寸得四亿六千二百二十一万三千三百六十寸为逺实实如逺法九百二十寸而一得五十万二千四百五寸二十三分寸之一十九为积寸乃以歩法五十寸乗逺法九百二十得四万六千寸为法亦除逺实得一万四十八歩不尽五千三百六十与法求等得八十俱以约之得五百七十五分歩之六十七又以里法三百六十歩约得二十七里三百二十八歩五百七十五分歩之六十七为山去后表入立望处等图如后按术中求山髙法合其求逺以表髙乗高法为逺法则误葢本法应即以高法为逺法以退后表乗表问并法为寔即得后人目距山之逺今以退后表乗髙寔为寔而髙寔乃目高减表高乗表减并法之数则逺法亦当以目髙减表髙乗髙法今即以表髙乗之则法数大故得数小也乃以头位八千二百四寸乗中一百八十寸得一百四十七万六千七百二十寸为髙寔乃以歩法五十寸乗中位逺法九百二十寸得下位四万六千寸为后图中位歩寸法乃以中除上得下位里数及零歩其不尽寸与法求得八十俱约之为歩分母子之数临台测水问临水城台立髙三丈其上架楼其下址侧脚濶二尺謢岸排沙下桥去址一丈二尺外椿露土髙五尺与址下平遇水涨时浸至址今水退不知多少人从楼上栏杆腰中驾一竿出外斜望水际得四尺一寸五分乃与竿端参合人目髙五尺欲知水退立深涸岸斜长自台址至水际各几何按算题固不厌其难然必简而不漏繁而不赘始为合作如此题本意谓竿端与台址上下悬直则侧脚阔二尺句已赘又不明言人目距台边逺近皆故为黯黮也术曰以勾股变法兼少广求之求涸岸斜长置出竿乘台髙为叚以去基乘叚为阔泛以岸髙乘叚为浅泛以目髙乘去基为约泛三泛可约者约之为定率不可约径为率以阔率自乘为阔幂以浅率自乘为浅幂并阔浅二幂共为竣幂复乘阔幂于上以台髙幂乘上为竣实次以阔率乘浅率为寄以台髙数乘阔率又乘约率得数内减寄余自乘为竣隅騐峻实峻隅两者可约求等约之为峻定实峻定隅开同休连枝平方得峻岸斜长(同休格先以隅开平方得数名同隅以同隅乘定实开之)(得数为寔以同隅为法除之得竣斜除按此条误草中乃即以定实开平方得数以同隅 之为竣斜也)求水退深基岸髙幂乘竣定实为深实以去岸幂并岸为幂乗竣定为深隅(其深实深□可约约之仍以同休格入之)开连枝平方得水退深临䑓测水图(按旧图画楼䑓不画正髙在术前今改正移于此)草曰以出竿四十一寸五分乘䑓髙三十尺得一百二十四尺五寸为段以去址一十二尺乘叚得一千四百九十四以为阔泛以䕶岸髙五尺乘段一百二十四尺五寸得六百二十二尺五寸为浅泛以目髙五尺乗去址一十二尺得六十尺为约泛以阔泛浅约泛三者求等等得一尺五寸皆以约其阔泛得九百九十六尺为阔率其浅泛得四百一十五尺为浅率其约泛得四十尺为约率以阔率九百九十六自乗得九十九万二千一十六尺为阔幂以浅率四百一十五自乗得一十七万二千二百二十五尺为浅幂倂阔浅二幂得一百一十六万四千二百四十一为竣幂以阔幂九十九万二千一十六尺乘竣幂得一万一千五百四十九亿四千五百六十九万九千八百五十六尺于上又以台髙三十尺自乘得九百尺为台髙幂乗上得一千三十九万四千五百一十一亿二千九百八十七万四百尺为竣实次以阔率九百九十六乘浅率四百一十五得四十一万三千三百四十为寄以台髙三十乘阔率九百九十六得二万九千八百八十文乘约率四十得一百一十九万五千二百内减寄余七十八万一千八百六十尺自乗得六千一百一十三亿五百五万九千六百尺为隅以隅与竣实求等得二千四百八十万四百俱以约之得四千一百九十一万二千六百七十六尺为竣定实得二万四千六百四十九为竣定隅开同休连枝平方得竣岸至水际斜长验同休格乃以定隅二万四千六百四十九万为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺为实亦以一为隅开平方得六千四百七十四尺为同休实实如同休法一百五十七而一求等得一俱以一各约之其法与余只得此数乃直命之得四丈一尺一百五十七分尺之三十七为涸岸斜长至水际求退水深置岸髙五尺自乗得二十五为岸髙幂乗竣定实四千一百九十一万二千六百七十六尺得一十亿四千七百八十一万六千九百为深泛以去岸一十二尺自乗得一百四十四尺为去岸幂并岸髙幕二十五尺得一百六十九尺以乗竣定隅二万四千六百四十九得四百一十六万五千六百八十一为隅泛置二泛求等得一百六十九俱约二泛得六百二十万一百为定实得二万四千六百四十九为深定隅开连枝平方得水退立深验同休格乃以深定隅二万四千六百四十九为实先以一为隅开平方得一百五十七为同休法次以深实实六百二十万一百为实亦以一为隅开平方得二千四百九十为同休实实如法一百五十七而一得一十五尺不尽一百三十五与法求等得一俱以一各约法与只得此数乃直命之得一丈五尺一百五十七分尺之一百三十五为水退立深数也按此条术虽甚繁理数皆极精宻非兼通于勾股通分之法者不能立也但累乗累除错综变换皆未尝明言其不能无金针不度之疑今绘图以之并条拆其乘除各数于后如图甲乙为䑓正髙乙丙为桩去䑓址丙丁为岸髙乙戊为台址至水际即为峻斜己庚为人目髙甲庚为出竿戊癸为水面正深题有甲乙䑓髙乙丙桩去址丙丁去桩甲庚出竿己入庚目髙求乙辛竣斜自丁㸃与丙丁平行相等作丁辛线自乙㸃与丙丁并行作丁作乙辛线自丁㸃与戊甲平行作丁壬㸃得壬丁辛勾股形内有乙丁辛勾股形一与乙丙丁辛等有乙丁壬三角形一与甲乙戊形同式法当以己庚小股乗庚辛大勾以甲庚小勾除之得壬辛大股次以乙丁三小角形下斜邉乗甲乙戊形直邉以乙辛减壬辛余壬乙为乙丁壬形直邉为法除之得乙戊为甲乙戊形下斜邉即所求䑓址至水际之峻斜其法只用丨除两次甚属易简即遇数不尽者以通分御之冄加一二次乗除可以乃必增至十余次多者始欲穷数之变就一题以为诸法之例非徒为繁难也试依术内逓次乗除之数逐条细论之出竿(甲庚)乗髙䑓(甲乙)为段去址(乙丙)乗段为阔率(原名阔泛约之)(为阔率今即为阔率)为去址乗䑓髙出竿长幂之数阔率自乗为阔幂即如去址幂乗䑓髙出竿长幂自乗之数又即如去址幂乗䑓髙幂又乗出竿幂之数岸髙(丙丁)乗段为浅率(原名浅泛约之为浅令即浅浅率)为岸髙乗䑓髙出竿长幂之数浅率自乗为浅幂即如岸髙幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如岸髙幂乗䑓髙幂又乗出竿幂之数并阔幂浅幂为浅幂为竣幂 (乙丁)幂乗台髙出竿长幂自乗之数又即如小斜幂乗䑓幂又乗出竿竿幂之数阔幂峻幂相乗为上数即如小斜幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数阔率浅率相乗为寄数即土去址岸髙相乗又乗䑓髙幂又乗出竿幂之数去址目髙(己庚)相乗为约率即如出竿乗壬辛台髙乗阔率即如去址乗台髙幂又乗出竿之数又以约率乗之即如去址壬辛相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之数内减寄数余去址壬乙相乗幂又乗台髙幂又乗出竿幂之再自乗之隅数即如壬乙幂乗去址幂又乗台髙幂自乗又乗出竿幂自乗之数上数隅数内去址幂台髙幂自乗出竿幂自乗各数皆同则用上数乗隅数除即如用小斜幂乗壬乙幂除矣以䑓髙幂乗上数若以隅数除之即得竣斜(乙戊)幂但数不能尽故约之带隅数开平方所谓连枝同休法也至阔泛浅用于乗数约泛用于除数故可两邉同约又为省算也求水立深同此陟岸测水问行师遇水须计篾䌫搭造浮桥今垂绳量陟岸髙山丈人立其上欲测水面六阔以六尺为矩平持去目下五今矩本抵颐遥望水彼岸与矩端岸相合又望水此岸沙际入矩端三尺四寸人目髙五尺其水面阔几何答曰水阔二十三丈四尺六寸(按应二十三丈八尺)术曰以勾股重差求之置短去目下寸为法以人目并岸髙减去法(按减法误)余乗人矩端为实如法而一得水阔陡岸测水圗(按旧圗画岸水视绿不能在术前令改正移于此)草曰置矩本去目下五寸为法以入目髙五尺并岸髙三丈得三丈五尺通为寸得三百五十寸减去五寸余三百四十五寸乗沙际入矩端三十四寸得一万一千七百三十寸为实实如法五寸而一得二千三百四十六寸展为二十三丈四尺六寸为水阔合问按测望诸线皆合于人目之一㸃其髙正当自人目计之今减去人目距矩自矩下计之不得其理矣表望方城问敌城不知广逺傍城南山原林间房之林际有木二株南北相去一百六十步遥与城东方面参相直乃于二水之东相对立两表表间与木四方平人目以绳维之人自东后表向西行一十步望城东北隅入东前表一十五步又望城东南隅入东前表四十八歩强半歩里法三百六十欲知其方广及相去几何答曰城东广各一十二里三百二十步城去木九里三百二十歩按答数皆误今推得城方广各一十一里二百二十歩又三十一分步之二十城东南隅至北木一里九十九歩又三十一分歩之一十二术曰以勾股重差求之置城东南隅景入表减表间余乗表间为城去木寔以西方歩减城东北隅景入表余为法(按此句法误)得城去木数以城东北隅景入表减表间余乗表间为广实实如前法而一得城广(按此所得乃城东北隅至前木之逺以为城广数误也)表望方城图(按旧图画城南二木与城东面不城一直线在术前今改正移于此)草曰以西行一十步减东北隅入表一十五步余五歩为法以城东南隅景入表四十八步七分半减表间一百六十步余一百一十一歩二分半乗表间一表六十歩得一万七千八百为城去木寔以法五歩除之(按误同上)得三千五百六十歩以里法三百六十约之得九里三百二十步为城去木里及步数 次置城东北隅京十表一十五步减表间一百六十余一百四十五歩乗表间一百六十得二万三千二百为减实以以前法五步除之得四千六百四十歩以里法三百六十约之为一十二里三百二十歩即城方广里及歩数(按误亦同上)合问按此题之要在二本与城东面成一直面方城与表木方形各邉俱平西行减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表间表间之表与城东南隅至前木成大勾股形此二形同式可以相比故术草中第二求以城东北隅入表减表间之余乗表间为实以西行步减城东北隅入表之余为法除实是也但所得为城东北隅至前木之逺以为城广则误矣又西行步减城东南隅入表之较与表间成小勾股形城东南隅入表减表间之较与城东南隅至前木成大勾股形此二形亦同式可以相比以城东南隅入表减表间之余乗表间为实应以西行步减城东南隅入表之为法除之即得城东南隅之前木之逺术草中以西行步减城东北隅入表之余为法故得数大七倍余既得城东面南北二隅距前木之逺则相减为城广可知矣遥度城问有圆城不知周径四门中开北外三里有乔木出南门便折东门九里乃见木欲知城周径各几何(圆用故法)答曰径九里 周二十七里术曰以勾股夕桀求之一为从隅五因北外里为从七亷置北里幂八因为从五亷以北里幂为正率以东行幂为负率二率差四乗北里为益从从三亷倍负率成五亷为益上亷以北里乗上亷为实开玲珑九乗方得数自乗为径以三因径得周遥度圆城(图旧图画城挂在术 前今删改移于此)草曰以一为从隅以五因北三里得一十五里为从七亷以北三里自乗得九里为正率以八因率得七十二为从五亷以西行见里自乗得八十一为负率以正率九减负率余七十二位负差以四因之得二百八十八以乗北三里得八百六十四系负差所乗者为益三亷倍负率八十一得一百六十二乗五㢘七十二得一万一千六百六十四为益上亷以北三里乗上亷得三万四千九百九十二为实置实亷隅玲珑空隅位方亷以约实众法不可超进乃于实上定商三里其隅与商相生得三为从下亷又与商相生入从七亷共得二十四为星亷又与商相生得七十二为从六亷又与商相生入五 内共得二百八十八又与商相生得八百六十四为从四亷又与商相生得二千五百九十二为正三亷内消益三亷八百六十四讫余一千七百二十八为从三亷又与商相生得五千一百八十四为从二亷又与商相生得一万五千五百八十二为从上亷内消益上亷一万一千六百六十四讫余三千八百八十八为正上亷又与商相生得一万一千六百六十四为从方乃命上商三里除实适尽得三里以自乗之得九里为城圆径之里数又以故法圆率三因之得二十七为城周以上求率图以后开方图实与益皆负画黑商与从皆正画朱按商实负字旁书已明今皆用黒按凡勾股难题用立天元一法取之多至三乗方而至元李冶测圆海镜一百七十问仅一题取至五乗方犹自以为烦此题非甚难者乃取至九乗方盖未得其要也细校术草中亷隅积实之数与立天元一法自然相生者廻殊且凡立天元一法开方后未有不得所求之数者今得数自乗始为所之数尤于古人立法之意不合爰另立取法并歩算之式于后法立天元一为圆城径加三里得三里多一元为大股自之得九里多六元多一平方为大股幂九里为大勾自得之八十一里为大勾幂相并得九十里多六元多一年方为大弦幂又以大股为小勾弦和三里为小勾弦较和较相乗得九里多三元为小股幂二分天元之一为小勾加小勾三里得三里多二分元之一为小弦自得之九里多三元多四分平方之一为小弦幂乃以小幂与大股幂相乗得八十一里多八十一元多二十九平方又四分平方之一多四立方又二分之一多四分三乗方之一寄之又以大弦幂与小股幂相乗得八百一十里多三百二十四元二十七平方三立方与寄数等両邉各减八十一里三百二十四元二十七平方三立方得四分三乗方之一多一立方二平方又四分平方之一少二百四十三元与七百二十九里等各以四乗之得一三乗方多六立方九平方九百七十二元与二千九百一十六里等乃以里数为实以元数为益方平方数为从上亷立方数为从下亷三乗方数为隅开帯纵三乘方得九里为城径开方式附后法列寔及方亷隅数约商九里乃以隅生商得九入下亷得一十五又以下亷生商得一百三十五入上亷得一百四十四又以商生上亷得一千二百九十六以消益方得二百二十四为从方以商生从方得二千九百一十六减实恰尽为开得三乘方为九里即城径也数学九章卷四上
## 卷四下
钦定四库全书
数学九章卷四下 宋 秦九韶 撰测望望敌圆营问敌临河为圎营不知大小自河南岸至其地七里于其地立两表相去二步其西表与敌营南北相直人退西表一十二步遥望东表适与敌营圆邉参合圆法用密率里法三百六十欲知其营周及径各㡬何答曰营周六里一百二步七分步之六 径二里按答数有误营周系六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八径系一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九术曰以勾股夕桀求之置表间自乗为勾幂以退表自乗为股幂并二幂为弦幂置里通步自之乗勾幂为率自乗为泛实(按此数当即为实开𢃄从方今不开平方乃以合此数自乗并以此数升他数开𢃄从三乗方不)半弦幂乗率为泛从上亷(按半弦幂即半弦自乗又倍之之数)以勾幂减股幂余四约之(按此即半勾半股各自乗相减之数)自乗为泛益隅(三泛可约之为定)开连枝三乗玲珑方得营径以密率二千二乗七除为周草曰置表间二步自乗得四为勾幂以退表一十二步自乗得一百四十四为股幂以勾股二幂并之得一百四十八为弦幂置七里以里法三百六十步通之得二千五百二十步自乗得六百三十五万四百乗勾幂四得二千五百四十万一千六百为率以率自乗得六百四十五万二千四百一十二亿八千一百五十六万为之实乃半弦幂得七十四乗率二千五百四十万一千六百得一十八亿七千九百七十一万八千四百为泛从上亷以勾幂四减股幂一百四十四余一百四十以四约之得三十五以自乗得一千二百二十五为泛益隅置三泛求等得一千二百二十五(按即泛益隅)俱以约之得五千二百六十七亿二千七百五十七万七千六百为定实一百五十三万四千四百六十四为从上亷一为定益隅开玲珑三乗方乃以亷隅超二度约啇置七百上亷为一百五十三亿四千四百六十四益隅为一亿乃以上啇生隅得七亿为益下亷又以上啇生益亷减从亷余一百四亿四千四百六十四万为从上亷又以上啇生从亷得七百三十一亿一千二百四十八万为从方乃命上啇除实实余一百四十九亿四千二十一万七千六百又以上啇生益隅入下亷得一十四亿为益下亷又以上啇生益亷得益上亷减从亷余六亿四千四百六十四万为上亷又以上啇生上亷入方得七百七十六亿二千四百九十六万为方又以上啇生益隅入下亷得二十一亿又以上啇生下亷为益上亷减从亷余一百四十亿五千五百三十六万为益上亷又以上啇生益隅入下亷得二十八亿诸法皆退方一退为七十七亿六千二百四十九万六千益上亷再退为一亿四千五十五万三千六百益下亷三退为二百八十万益隅四退为一万乃于上啇之次续啇置二十步以续啇生隅入下亷为二百八十二万又以续啇生下亷入上亷为一亿四千六百一十九万三千六百又以续啇生上亷减从方余七十四亿七千一十万八十八百乃命续啇除实适尽所得七百二十步以里法约之得二万为营径次以密率二十二乗七百二十得一万五千八百四十为实以七除之得二千二百六十二步七分步之六以里法约之得六里一百二步七分步之六为营周按此题用平方可矣术中所谓率者即平方实也乃复加自乗开三乗方徒为繁冗耳且乗从亷用半弦自乗之倍数乗隅数应用半股自乗之数今用勾股幂较四分之一即用半股幂半勾幂之较比半股自乗数小一半勾自乗数故得数较大若转求表间及退步必与原数不合试以相去七里为大勾弦和营径三里为倍大勾相减得五里为大勾弦较和相乗得较三十五为大股幂大勾弦里自之仍得一为大勾幂置小勾幂四步以大股幂乗之得百百四十步以大勾幂除之仍得一百四十步为小股幂比原小股幂少四步其术之疎可知矣设用平方法如左法立天元一为营径相去七里通为二千五百二十步为大勾弦和相减得二千五百二十步少一元为大勾弦较和较相乗得六百三十五万零四百步二千五百二十元为大少股幂天元一半之以减相去步得二千五百二十步少二分天元之一为大弦自之得六百三十五万零四百步少二千五百二十元多四分平方之一为大弦幂退步十二为小股自之得一百四十四步为小股幂表间二步为小勾自之得四步为小勾幂相并得一百四十八步为小弦幂以小弦幂乗大股幂得九亿三千九百八十五万九千二百步少三十七万二千九百六十元寄之又以小股幂乗大弦幂得九亿一千四百四十五万七千六百步少三十六万二千八百八十元多三十六平方与寄数为相等两邉各减九亿一千四百四十五万七千六百步各加三十七万二千九百六十元得二千五百四十万零一千六百步(即术中率数)与三十六平方多一万零八十元等三数求总等得三十六约步数得七十万零五千六百为长方积为实约元数得二百八十为从方为长阔较约平方数得一为隅用𢃄从平方法开得阔七百一十一步又一千七百零三分步之九百九十九为营径步以密率用二十二乗之径七除之得二千二百三十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八为营周步各以里率収之得营周六里七十六步又一万一千九百二十一分步之四千九百四十八营径一里三百五十一步又一千七百零三分步之九百九十九还原之法置营径步数通分纳子得一二一一八三二分为倍大勾分数又以分母通相去步得四二九一五六 分为大勾弦和分数二数相减余三 七九七二八分为大勾弦较分数和较分数相乗得一三二一六八三七四五九六八分为大股幂分倍大勾分折半得六 五九一六自之得三六七一三四一九九 五六分为大勾幂分及以小勾幂四步乗大股幂分得五二八六七三四九九八二七二 分以大勾幂分除之得一百四十四步为小股幂与原数合此犹用西表相去步也若细较之当用人目相去步则营周当多十二步余营径当多四步不足也望知敌众问敌为圆营在水北平沙不知人数谍称彼营布卒占地方八尺我军在水南山原于下立表髙八丈与原山腰等平自表端引䋲虚量平至人足三十步人立其处望彼营北陵与表端参合又望营南陵入表端八尺人目髙四尺八寸以圆密率入重差求敌众合得㡬何答曰敌众八百四十九人按数不合应二百七十三人其故详草后术曰以勾股乗之置人退表步(按此条误法应置表髙)乗入表为实以人目髙为法除之得径以密周率乗径得数为实以密径率因人立为法约之得外周人数余収为一副置加六以乗副得数为实如一十二而一余亦収为全望知敌众图(按旧图画山水在术前今删改移于此)草曰置人立退表三十步以步法五尺展为五十寸通之得一千五百寸乗入表八尺得一十二万寸为实以人目髙四十八寸为法除之以密率周法二十二乗径二千五百得五万五千寸为实以密率径法七因谍称人立八尺得五百六十为法以法五百六十寸约实五万五千寸得九十八人为外周人数不尽一百二十寸弃之副置外周九十八人加六得一百四人乗副为实按此术应置表髙加人目髙以入表弃之误置退步以入表乗之故人数差多二倍盖思省偶未至耳至求人数先用密率次用束箭法亦未尽合题问今依其数各步于后求营径置表髙八丈加人目髙四尺八寸得八丈四尺八寸以入表八尺乗之得六万七千八百四十寸以人目髙除之得一十四丈一尺三寸又三分寸之一为营径盖以表髙加人目髙为大股营径为大勾较人目髙为小股入表为小勾较置大股以小勾较乗之以小股除之即得大勾较也求人数用密率置径为实倍每人占地八尺得一十六尺为法除实得八为外层数加最内一层得九为共层数余一十三尺三寸又三分寸之一为最内径以最内径与最外径(即营陉)相加以九层乗之折半得六百九十六尺为九层共径数以密周率二十二乗之得一万五千三百一十二尺为实以密率七乗每人占地八尺得五十六尺为法除之得二百七十三人余三尺又七分尺之三弃之此法应先求得内外圆周再求九层共周数今先求九层共径数然后变为圆周其理一也望敌逺近问敌军处北山下原不知相去逺近乃于平地立一表髙四尺人退表九百步(步法五尺)遥望山原适与表端参合人目髙四尺八欲之敌军相去㡬何答曰一十二里半术曰以勾股求之重差入之置人目髙以表髙减之余为法置退表乗表髙为实实如法而一草曰置人目髙四尺八寸减表髙四尺余八寸为法置退表九百步以步五十寸通之得四万五千寸乗表髙四十寸得一百八十万寸为实如法八寸而一得二十二万五千寸以步法五十寸约之得四千五百步为相去步以里法三百六十步约之得一十二里半为敌去表所合问表望浮图问有浮图欹侧欲换塔心木不知其髙去塔六丈有刹竿亦不知其髙竿本去地九尺二寸始钉锔(按锔原本作钩)(今改正)锔一十四枚枚长五寸每锔下股相去二尺五寸就竿为表人退竿三丈遥望浮图尖适与竿端斜合又望相轮之本影锔第七枚上股人目入去地四尺八寸心木放三尺为㔼(按㔼原本作□今改正)卯剪截欲求塔髙轮髙合用塔心木长各㡬何答曰塔髙一十一丈七尺 相轮髙三丈 塔身髙八丈七尺 竿髙四丈二尺二寸 塔心木九丈内三尺为剪截穿凿㔼卯按塔髙竿髙二数合相轮髙塔身髙塔心木长三数俱误相轮髙四丈五尺塔身髙七丈二尺塔心木长七丈五尺说详草后术曰以勾股求之重差入之置锔数减一余乗锔相去数并一枚长数加竿本共为表竿髙以退表为法以人目髙减表竿髙余乗竿去塔为实实如法而一得数加表竿髙共为塔髙置相轮入本锔数减一余乗锔相去又乗竿去塔为实实如法而一得相轮髙(按未加入锔人数法误)以减塔髙余为塔身髙以益㔼卯尺数为塔心木长草曰置锔一十四枚减一余一十三以乗锔相去二尺五寸得三百二十五寸并最上锔一枚长五寸得三百三十寸又加竿本九尺二寸共得四百二十二尺为表竿髙以人退表三丈通为三百寸为法次以人目髙四尺八寸减表竿髙四百二十二寸余三百七千四寸以乗竿去塔六丈得二十二万四千四百寸为实实如法三百两一得七百四十八寸加表竿髙四百二十二寸得一千一百七十寸以十约之为一十一丈七尺为塔髙置相轮本入第七锔减一余六以乗锔相去二尺五寸得一百五十寸又乗竿去塔六丈得九万寸为实实如前法三百寸而一得三百寸约为三丈得相轮髙(按不加入锔即为相轮髙误)以相轮髙三丈减塔髙一十一丈七尺余八丈七尺为塔身髙(按此数及塔心木数皆因上数而误)益三尺为剪截㔼卯共得九丈为塔心木长合前问按此皆大小形同式相求法也人目去塔为总勾人目上塔尖髙塔身皆为总股髙相轮髙为总股较人目去竿为分小勾人目上竿髙及相轮本入竿髙俱为分小股相轮本入竿为小股较竿去塔为分大勾术以竿去塔分大勾与小勾股乗除得大股数加小股为总股故塔尖髙数合以大勾与小勾小股较乗除得大股较数即为总股较故相轮髙数少一小股较一丈五尺也塔身髙塔心木长皆本此数加减而得故误数相等数学九章卷四下
## 卷五上
钦定四库全书
数学九章卷五上 宋 秦九韶 撰赋役按赋役一章即古九章中差分粟米诸法但从来算书设题之数未有如此卷之多者如首题答数至一百七十五条毎条歩算之数至十余位而得数皆无不合亦可谓能广其用矣且诸问皆足以明贵贱廪税及交质变易之同异使公私各得其平诚治民之要务也但题语多晦术草中间有与所问不相应者亦于各条下指出俾观者无惑焉复邑修赋问有海坍县地今有复涨歳乆乡井再成申诸剏邑称土排到六乡以附郭为甲最逺为已各有田九等开具下项甲乡共计田十四万一百九十三亩三角一十二步上等上田五千六百七十八亩一角四十八歩中田四千八百九十二亩三十歩 下田六千六百二十一亩五十四歩中等上田八千二百二十五亩二十四歩 中田一万三十五亩六歩 下田一万六千五百三十亩下等上田二万一千九十亩二十四歩 中田三万二千六十亩三歩 下田三万五千六十一亩三角三歩乙乡田共计八万四千一十亩二角二歩上等上田六千七百八十九亩一角三十六歩中田五千九百八十七亩二角 下田八千一十亩三角三歩中等上田七千五百四十一亩 中田九千一百二十一亩二角一十二歩 下田一万九千六十歩下等上田一万八千三十七亩一角六歩 中田九千四百五十六亩三角五十九歩 下田无丙乡田共计一十二万九百三十五亩五十八歩五分上等上田四千八百六十八亩二角三歩 中田五千九百七十九亩三角六歩 下田六千八百八十八亩二角六歩中等上田七千九百八十四亩一角 中田一万四千五十六亩一十二歩 下田二万三千三百三十三亩一十二歩下等上田二万七千七百五十五亩一十六歩五分 中田无 下田三万七十亩三歩丁郷田共计八万九千六十六亩二歩三分上等上田一万一千一百二亩一歩 中田九千八百七十六亩一角 下田八千七百六十五亩一角三十歩中等上田七千五百三十九亩三十四歩三分中田无 下田一万二千九百八十七亩四十二歩下等上田无 中田五千四百三十二亩一角六歩 下田三万三千三百六十三亩三角九歩戊乡田共计二十万四千四百七十四亩一角二十四歩四分上等上田二万四千六百三十二亩三十九歩中田一万三千五百二十一亩二十七歩下田九千九百八十八亩三角三歩中等上田八千八百七十七亩五十六歩四分中田一万一千三百三十三亩三角 下田二万七千六十七亩下等上田一万九千八百七十六亩三角六歩中等田七万九千一百三十五亩三角四十三歩 下田一万四十一亩二角三十歩已乡田共计一十五万八千四百六十亩三角一十八歩二分上等上田无 中田七千七百八十八亩三角五十一歩 下田无中等上田九千九百九十九亩二角三歩 中田一万八百三十六亩五十六歩 下田无下等上田三万二千八十九亩一角四十五歩六分 中田四万三千六百七十八亩二角五十七歩 下田五万四千六十七亩三角四十五歩六分照得昨来本县原科苗米一十万三千五百六十七石八斗四升四合三勺和买一万三千四百九十八匹一丈七尺三寸七分六厘夏税九千八百七十六匹三丈二尺六寸五分八厘其六乡田系三色甲为上乙丙为次丁戊己又为次先令官物为三差使上比中中比下皆十分外差一次令各乡九等皆于十分内差一抛科用合租额其乙乡田最肥次丁次甲次丙次己次戊欲知三色九等毎亩等则及共科数各乡几何按题内言田有三色甲为上云云又言乙乡田最肥云云语若相左葢前言三色者六乡共科之等后言田肥者每亩所出之异也若易田系三色为科有三差则语意明矣答曰甲乡上等上田苗三斗二升三合二勺 和一尺六寸九分 税一尺二寸三分中田苗二斗九升九勺 和一尺五寸二分 税一尺一寸一分下田苗二斗五升八合六勺 和一尺三寸五分 税九寸九分中等上田苗二斗二升六合二勺 和一尺一寸八分 税八寸六分中田苗一斗九升三合九勺 和一尺一分 税七寸四分下田苗一斗六升一合六勺 和八寸四分 税六寸二分下等上田苗一斗二升九合三勺 和六寸七分 税四寸九分中田苗九升六合九勺 和五寸一分税三寸七分下田苗六升四合六勺 和三寸四分税二寸五分乙乡上等田苗三斗六升三合三勺 和一尺八寸九分 税一尺三寸九分中田苗三斗二升六合九勺 和一尺七寸 税一尺二寸五分下田苗二斗九升六勺 和一尺五寸二分 税一尺一寸一分中等上田苗二斗五升四合三勺 和一尺三寸三分 税九寸七分中田苗二斗一升八合 和一尺一寸四分 税八寸三分下田苗一斗八升一合六勺 和九寸五分 税六寸九分下等上田苗一斗四升五合三勺 和七寸六分 税五寸五分中田苗一斗九合 和五寸七分 税四寸二分下田苗七升二合七勺 和三寸八分税二寸八分丙乡上等上田苗三斗三合五勺 和一尺五寸八分 税一尺一寸六分中田苗二斗七升三合一勺 和一尺四寸二分 税一尺四分下田苗二斗四升二合八勺 和一尺二寸七分 税九寸三分中等上田苗二斗一升二合四勺 和一尺一寸一分 税八寸一分中田苗一斗八升二合一勺 和九寸五分 税六寸九分下田苗一斗五升一合七勺 和七寸九分 税五寸八分下等上田苗一斗二升一合四勺 和六寸三分 税四寸六分中田苗九升一合 和四寸七分 税三寸五分下田苗六升七勺 和三寸二分 税二寸三分丁乡上等上田苗三斗四升三合二勺 和一尺七寸九分 税一尺三寸一分中田苗三斗八合九勺 和一尺六寸一分 税一尺一寸八分下田苗二斗七升四合六勺 和一尺四寸三分 税一尺五分中等上田苗二斗四升二勺 和一尺二寸五分 税九寸二分中田苗二斗五合九勺 和一尺七分税七寸九分下田苗一斗七升一合六勺 和八寸九分 税六寸五分下等上田苗一斗三升七合三勺 和七寸二分 税五寸二分中田苗一斗三合 和五寸四分 税三寸九分下田苗六升八合六勺 和三寸六分税二寸六分戊乡上等上田苗一斗五升三合八勺 和八寸 税五寸九分中田苗一斗三升八合四勺 和七寸二分 税五寸三分下田苗一斗二升三合一勺 和六寸四分 税四寸七分中等上田苗一斗七合七勺 和五寸六分 税四寸一分中田苗九升二合三勺 和四寸八分税三寸五分下田苗七升六合九勺 和四寸 税二寸九分下等上田苗六升一合五勺 和三寸二分 税二寸三分中田苗四升六合一勺 和二寸四分税一寸八分下田苗三升八勺 和一寸六分 税一寸二分已乡上等上田苗二斗八升二合二勺 和一尺四寸七分 税一尺八分中田苗二斗五升三合九勺 和一尺三寸二分 税九寸七分下田苗二斗二升五合七勺 和一尺一寸八分 税八寸六分中等上田苗一斗九升七合五勺 和一尺三分 税七寸五分中田苗一斗六升九合三勺 和八寸八分 税六寸五分下田苗一斗四升一合一勺 和七寸四分 税五寸四分下等上田苗一斗一升二合九勺 和五寸九分 税四寸三分中田苗八升四合六勺 和四寸四分税三寸二分下田苗五升六合四勺 和二寸九分税二寸二分甲乡苗米一万九千五百五十石二斗四升八合三勺和买一万一百九十二丈二尺六寸五分六厘夏税七千四百五十七丈六尺八寸九分八厘乙乡苗米一万七千七百七十二石九斗五升三合和买九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分丙乡苗米一万七千七百七十二石九斗五升三合和买九千二百六十五丈六尺九寸六分夏税六千七百七十九丈七尺一寸八分丁乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸戊乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸己乡苗米一万六千一百五十七石二斗三升和买八千四百二十三丈三尺六寸夏税六千一百六十三丈三尺八寸术以衰分求之先列本县色位自下锥行列之又以乡数对列而乗之副并为法以除官物数得一分之率以率数乗未并者各得诸乡之数次列各乡等位自上等置十分每以内分锥行九折之至九等止又各以亩歩乗之副并为乡法以除诸各乡所得官物数所得为一分之率以乗未并者各得毎亩税色草曰列本县色位三自下色例十分中十一分上比中身外加一上得一百二十一中得一百一十下得一百为上中下三率列之右行乃列甲一对上率乙丙共二对中率丁戊己共三对下率列左行乃以左行列数各相对乗右行率数其上得一百二十一其十得二百二十其下得三百乃副置而并之得六百四十一为法置元科苗米一万三千五百六十七石八斗四升四合三勺为寔以法除之得一百六十一石五斗七升二合三勺为一分之率以未并下率一百乗率得一万六千一百五十七石二斗三升为丁戊己三乡各科数以于身下加一得一万七千七百七十二石九斗五升三合为乙丙二乡各科数又于身下加一得一万九千五百五十石二斗四升八合三勺为甲合科数求和买亦用六百四十一为法置元科和买一万三千四百九十八匹以匹法四丈通之得五万三千九百九十二丈内零一丈七尺三寸七分六厘得五万三千九百九十三丈七尺三寸七分六厘为寔以法除之得八十四丈二尺三寸三分六厘为一分之率亦以未并下率一百乗之得八千四百二十三丈三尺六寸为丁戊己三乡各科数次于身下加一得九千二百六十五丈六尺九寸六分为乙丙二乡各科数又于身下加一得一万一百九十二丈二尺六寸五分六厘为甲乡合科数求夏税亦置六百四十一为法置元科九千八百七十六匹以匹法四丈通之得三万九千五百四丈内零三丈二尺六寸五分八厘得三万九千五百七丈二尺六寸五分八厘为寔以法除之得六十一丈六尺三寸三分八厘为一分率亦以未并下率一百乗之得六千一百六十三丈三尺八寸为丁戊己三乡各科数次于身下加一得六千七百七十九丈七尺一寸八分为乙丙二乡各科数又于身下加一得七千四百五十七丈六尺八寸九分八厘为甲乡数次列九等上以十次九八七六五四三二各对乗六乡九等田亩其田亩下角歩以亩法除之得分厘毫丝忽于亩上对乗之各得率按题内云各乡九等皆于十分内差一则是逓次九折也术内亦云列各乡等位自上等置十分每以内分锥行九折之至九等止则其法当为逓次九折益明矣乃草中则云上以十次九八七六五四三二则是逓次减一而非逓次九折矣以此得答数既与题问未合而术与草亦不相应也甲上等上田率五万六千七百八十四分五厘中田率四万四千二十九分一厘二毫五丝下田率五万二千九百六十九分八厘 中等上田率五万七千五百七十五分七厘中田率六万二百一十分一厘五毫下田率八万二千六百五十分下等上田率八万四千三百六十分四厘中田率九万六千一百八十分三毫七丝五忽下田率七万一百二十三分五厘二毫五丝乙上等上田率六万七千八百九十四分中田率五万三千八百八十七分五厘下田率六万四千八十六分一厘 中等上田率五万二千七百八十七分中田率五万四千七百二十九分三厘下田率九万五千三百三十分一厘二毫五丝 下等上田率七万二千一百四十九分一厘中田率二万八千三百七十分九厘八毫八丝下田无丙上等上田率四万八千六百八十五分一厘二毫五丝中田率五万三千八百一十七分九厘七毫五丝下田率五万五千一百八分二厘 中等上田率五万五千八百八十九分七厘五毫中田率八万四千三百三十六分三厘下田率一十一万六千六百六十五分二厘五毫 下等上田率一十一万一千二十分二厘七毫五丝中田无下田率六万一百四十分二毫五丝丁上等上田率一十一万一千二十分五毫(按五毫数)(误应四厘一毫又三分毫之二)中田率八万八千八百八十六分二厘五毫下田率七万一百二十三分 中等上田率五万二千七百七十四分(按尚有四忽余)中田无下田率六万四千九百三十五分八厘七毫五丝下等上田无中田率一万六千二百九十六分八厘二毫五丝下田率六万六千七百二十七分五厘七毫五丝戊上等上田率二十四万六千三百二十一分六厘二毫五丝中田率一十二万一千六百九十分一毫二丝五忽下田率七万九千九百一十分一厘 中等上田率六万二千一百四十分六厘四毫五丝中田率六万八千二分五厘下田率一十三万五千三百三十五分 下等上田率七万九千五百七分一厘中田率二十三万七千四百七分七厘八毫七丝五忽下田率二万八十三分二厘五毫已上等上田无中田率七万一百分六厘六毫二丝五忽下田无 中等上田率六万九千九百九十六分五厘八毫七丝五忽中田率六万五千一十七分四厘一毫(按四厘整)下田无 下等上田率一十二万八千三百五十七分七厘六毫中田率一十三万一千三十六分二厘一毫二丝五忽下田率一十万八千一百三十五分八厘八毫并六乡之九率为九乡之法 甲法六十万四千八百八十三分二厘三毫七丝五忽 乙法四十八万九千二百三十四分一厘一毫三丝 丙法五十八万五千六百六十二分九厘 丁法四十七万七百六十三分五厘七毫五丝(按丁法差三厘余一等尾数差故也) 戊法一百五万三百九十八分二毫 己法五十七万二千六百四十四分五厘一毫二丝五忽(按多一毫五等分多一毫)(故也) 以六乡法各除诸乡官物得一分之率(米至圭帛至忽)(止半巳上收巳下弃)甲乡苗米三升二合三勺二抄一撮和买一寸六分八厘五毫四忽(按数多四忽)夏税一寸二分三厘二毫八丝(按系九丝)乙乡苗米三升六合三勺二抄八撮和买一寸八分九厘三毫九丝二忽夏税一寸三分八厘五毫八丝(按应七丝八忽)丙乡苗米三升三勺四抄八撮(按应六撮七圭余)和买一寸五分八厘二毫一丝夏税一寸一分五厘七毫五丝(按应六丝)丁乡苗米三升四合三勺二抄一撮四圭(按多四圭分数)(少三厘余故也)和买一寸七分八厘九毫三丝夏税一寸三分九毫二丝三忽戊乡苗米一升五合三勺八抄二撮和买八分一毫九丝二忽夏税五分八厘六毫七丝七忽己乡苗米二升八合二勺一抄五撮一圭和买一寸四分七厘九丝六忽夏税一寸七厘六毫三丝各用乡锥行数九八七六五四三二一各乗一分之率为各乡毎亩等则泛数或自上等上田之则以一分之率累减之亦得甲乡上等上田苗米三斗二升三合二勺一抄和买一尺六寸八分五厘四丝(按多四丝因一分之率多四忽故也下同)(此)夏税一尺二寸三分二厘八毫(按少一毫同上) 中田苗米二斗九升八勺八抄九撮(按少一撮)和买一尺五寸一分六厘五毫三丝六忽(按多三丝六忽)夏税一尺一寸九厘五毫二丝(按少九丝) 下田苗米二斗五升八合五勺六抄八撮和买一尺三寸四分八厘三丝二忽(按多三丝二忽)夏税九寸八分六厘二毫四丝(按少八丝)中等上田苗米二斗二升六合二勺四抄七撮和买一尺一寸七分九厘五毫二丝八忽(按多二丝八忽)夏税八寸六分二厘九毫六丝(按少七丝)中田苗米一斗九升三合九勺二抄六撮和买一尺一寸一厘二丝四忽(按多二丝四忽)夏税七寸三分九厘六毫八丝(按少六丝)下田苗米一斗六升一合六勺五撮和买八寸四分一厘五毫二丝(按多二丝)夏税六寸一分六厘四毫(按多五丝) 下等上田苗米一斗二升九合二勺八抄四撮和买六寸七分四厘一丝六忽(按多一丝六忽)夏税四寸九分三厘一毫二丝(按少四丝)中田苗米九升六合九勺六抄三撮和买五寸五厘五毫一丝二忽(按多一丝二忽)夏税三寸六分九厘八毫四丝(按少三丝)下田苗米六升四合六勺四抄二撮和买三寸三分七厘八忽(按多八忽)夏税二寸四分六厘五毫六丝(按少二丝)乙乡上等上田苗米三斗六升三合二勺八抄和买一尺八寸九分三厘九毫二丝夏税一尺三寸八分五厘八毫(按多二丝)中田苗米三斗二升六合九勺五抄二撮和买一尺七寸四厘五毫二丝八忽夏税一尺二寸四分七厘二毫二丝(按多一丝七忽)下田苗米二九升六勺二抄四撮和买一尺五寸一分五厘一毫三丝六忽夏税一尺一寸八厘六毫四丝(按多一丝四忽) 中等上田苗米二斗五升四合二勺九抄六撮和买一尺三寸二分五厘七毫四丝四忽夏税九寸七分六丝(按多一丝三忽)中田苗米二斗一升七合九勺六抄八撮和买一尺一寸三分六厘三毫五丝二忽夏税八寸三分一厘四毫八丝(按多一丝一忽)下田苗米一斗八升一合六勺四抄和买九寸四分六厘九毫六丝夏税六寸九分二厘九毫(按多一丝) 下等上田苗米一斗四升五合三(勺)一抄二撮和买七寸五分七厘五毫六丝八忽夏税五寸五分四厘三毫二丝(按多七忽)中田苗米一斗八合九勺八抄四撮和买五寸六分八厘一毫七丝六忽夏税四寸一分五厘七毫四丝(按多五忽)下田苗米七升二合六勺五抄六撮和买三寸七分八厘七毫八丝四忽夏税二寸七分七厘一毫六丝(按多)(四忽)丙乡上等上田苗米三斗三合四勺八抄(按多一抄三撮)和买一尺五寸八分二厘一毫夏税一尺一寸五分七厘五毫(按少一毫六丝)中田苗米二斗七升三合一勺三抄二撮(按多一抄一撮)和买一尺四寸二分三厘八毫九丝夏税一尺四分一厘七毫五丝(按少一毫)下田苗米二斗四升二合七勺八抄四撮(按多一抄)和买一尺二寸六分五厘六毫八丝夏税九寸二分六厘(按少九丝) 中等上田苗米二斗一升二合四勺三抄四撮(按多七撮)和买一尺一寸七厘四毫七丝夏税八寸一分二毫五丝(按多八丝)中田苗米一斗八升二合八抄八撮(按多八撮)和买九寸四分九厘二毫六丝夏税六寸九分四厘五毫(按少七丝)下田苗米一斗五升一合七勺四抄(按多六撮)和买七寸九分一厘五丝夏税五寸七分八厘七毫五丝(按少六丝) 下等上田苗米一斗二升一合三勺九抄二撮(按多六撮)和买六寸三分二厘八毫四丝夏税四寸六分三厘(按少四丝)中田苗米九斗一合四抄四撮(按多四撮)和买四寸七分四厘六毫三丝夏税三寸四分七厘二毫(按多八丝)下田苗米六升六勺九抄六撮(按多三撮)和买三寸一分六厘四毫二丝夏税二寸三分一厘五毫(按少二丝)丁乡上等上田苗米三斗四升三合二勺一抄四撮(按多四撮)和买一尺七寸八分九厘三毫夏税一尺三寸九厘二毫三丝中田苗米三斗八合八勺九抄二撮六圭(按多三撮余)和买一尺六寸一分三毫七丝夏税一尺一寸七分八厘三毫七忽下田苗米二斗七升四合五勺七抄一撮二圭(按多三撮余)和买一尺四寸三分一厘四毫四丝夏税一尺四分七厘三毫八丝四忽 中等上田苗米二斗四升二勺四抄九撮八圭(按多二撮八圭)和买一尺二寸五分二厘五毫一丝夏税九寸一分六厘四毫六丝一忽中田苗米二斗五合九勺二抄八撮四圭(按多二撮四圭)和买一尺七分三厘五毫八丝夏税七寸八分五厘五毫三丝八忽下田苗米一斗七升一合六勺七撮(按多二撮)和买八寸九分四厘六毫五丝夏税六寸五分四厘六毫一丝五忽 下等上田苗米一斗三升七合二勺八抄五撮六圭(按多一撮六圭)和买七寸一分五厘七毫二丝夏税五寸二分三厘六毫九丝二忽中田苗米一斗二合九勺六抄四撮二圭(按多一撮二圭)和买五寸三分六厘七毫九丝夏税三寸九分二厘七毫六丝九忽下田苗米六升八合六勺四抄二撮八圭(按多八圭)和买三寸五分七厘八毫六丝夏税二寸六分一厘八毫四丝六忽戊乡上等上田苗米一斗五升三合八勺二抄和买八寸一厘九毫二丝夏税五寸八分六厘七毫七丝中田苗米一斗三升八合四勺三抄八撮和买七寸二分一厘七毫二丝八忽夏税五寸二分八厘九丝三忽下田苗米一斗二升三合五抄六撮和买六寸四分一厘五毫三丝六忽夏税四寸六分九厘四毫一丝六忽 中等上田苗米一斗七合六勺七抄四撮和买五寸六分一厘三毫四丝四忽夏税四寸一分七毫三丝九忽中田苗米九升二合二勺九抄二撮和买四寸八分一厘一毫五丝二忽夏税三寸五分二厘六丝二忽下田苗米七升六合九勺一抄和买四寸九毫六丝夏税二寸九分三厘三毫八丝五忽 下等上田苗米六升一合五勺二抄八撮和买三寸二分七毫六丝八忽夏税二寸三分四厘七毫八忽中田苗米四升六合一勺四抄六撮和买二寸四分五毫七丝六忽夏税一寸七分六厘二丝一忽下田苗米三升七勺六抄四撮和买一寸六分三毫八丝四忽夏税一寸一分七厘一三毫五丝四忽己乡上等上田苗米二斗八升二合一勺五抄一撮和买一尺四寸七分九毫六丝夏税一尺七分六厘三毫中田苗米二斗五升三合九勺三抄五撮九圭和买一尺三寸二分三厘八毫六丝四忽夏税九寸六分八厘六毫七丝下田苗米二斗二升五合七勺二抄八圭和买一尺一寸七分六厘七毫六丝八忽夏税八寸六分一厘四丝 中等上田苗米一斗九升七合五勺五撮七圭和买一尺二分九厘六毫七丝二忽夏税七寸五分三厘四毫一丝中田苗米一斗六升九合二勺九抄六圭和买八寸八分二厘五毫七丝六忽夏税六寸四分五厘七毫八丝下田苗米一斗四升一合七抄五撮五圭和买七寸三分五厘四毫八丝夏税五寸三分八厘一毫五丝 下等上田苗米一斗一升二合八勺六抄四圭和买五寸八分八厘三毫八丝四忽夏税四寸三分五毫二丝中田苗米八升四合六勺四抄五撮三圭和买四寸四分一厘二毫八丝八忽夏税三寸二分二厘八毫九丝下田苗米五升六合四勺三抄二圭和买二寸九分四厘一毫九丝二忽夏税二寸一分五厘二毫六丝已上田则苗至勺绢至分收归为等则定数答在前按右各条下有不合之数者皆在寄零尾数至答数收之勺及分以下俱不用故数无不合也围田租亩问有兴复围田已成共计三千二十一顷五十一亩一十五歩分三等其上等毎畆起租六斗中等四斗五升下等四斗中田多上田弱半不及下田太半欲知三色田亩及各租㡬何按题言中田多上田弱半不及下田太半盖以弱半为三分之一太半为三分之二也多上田弱半者即比上田多三分之一也不及下田太半者即比下田少三分之二也是上田加三分之一为中田即下田三分之一也转言之则中田为下田三分之一上田为中田四分之三也答曰上田四百七十七顷八亩一十五歩米二万八千六百二十四石八斗三升七合五勺 中田六百三十六顷一十亩三角米二万八千六百二十四石八斗三升七合五勺 下田一千九百八顷三十二亩一角米七万六千三百三十二石九斗术曰以衰分求之列母子求田率副并为法以共田为寔寔如法而一得一分之率以徧乗未并者得三等田各以起租乗之各得米草曰置弱半母四为中率子三为上率以太半子二减母三余一以乗中率四只得四为中泛又以余一乗上率三只得三为上泛次以太半母三乗中泛四得一十二为下泛副并三泛得一十九为法置田三千二十一顷五十一畆以亩法二百四十通之得七千二百五十一万六千二百四十歩内子一十五歩得七千二百五十一万六千二百五十五歩为寔以法一十九除之得三百八十一万六千六百四十五歩为一分之数以上泛三因之得一千一百四十四万九千九百三十五歩为上积又以中泛四因之一分数得一千五百二十六万六千五百八十歩为中积又以下泛一十二乗一分数得四千五百七十九万九千七百四十歩为下积其三积各以亩法二百四十约之为畆其上田得四百七十七顷八亩一十五歩其中田得六百三十六顷一十亩三角其下积得一千九百八顷三十二亩一角各以起租三积为三寔其上积一千一百四十四万九千九百三十五歩乗上积六斗得六百八十六万九千九百六十一石为寔以亩法二百四十除之得二万八千六百二十四石八斗三升七合五勺为上田租其中积一千五百二十六万六千五百八十歩乗中田租四斗五升得六百八十六万九千九百六十一石为寔以亩法二百四十除之得二万八千六百二十四石八斗三升七合五勺其下积四千五百七十九万九千七石四十歩乗下租四斗得一千八百三十一万九千八百九十六石为寔以亩法二百四十除之得七万六千三百三十二石九斗为下田米按草内求各衰数意谓以三分为上田衰数加弱半三分之一得四分为中田衰数三因中田衰数得一十二分为下田衰数并之得一十九分为总衰数其法本属显明但语中参入母子副泛等名目其意反晦矣数学九章卷五上
## 卷五下
钦定四库全书
数学九章卷五下 宋 秦九韶 撰赋役户税移割问某县据甲称本户田地原纳苗三十五石七斗和买本色一十一匹二丈二尺九寸四分八厘七毫五丝折帛二十七匹二寸一分三厘七毫五丝䌷绢折帛八匹三丈九寸七寸三分九厘䌷绢本色二十匹二丈八尺九寸三分九厘已将田四百七畆出与乙五百十六畆出与丙讫乞移割本户所出田上税赋归并乙丙两户送纳㑹到乙原有田三百七十五畆两原有田四百六十三畆并系本乡本等毎畆苗三升五合税一尺一寸五分物力一贯二百本等田䌷一尺三寸四分物力九百物力及三十二贯数和买一匹内三分本色七分折帛夏税七分本色三分折帛䌷五分本色五分折帛并绢䌷欲知甲田地及甲乙丙分割合纳苗米和买夏税折帛本色畸零各几何按此题科税分田地二项田有科米税绢物力三色地只有税䌷物力二色绢与䌷折色不同物力和买合田地总计之又甲户有田者地乙丙二户有田无地此等皆不可不明言者题中殊未分晰答曰甲原有田一千二十畆 地一十一畆二角四十八步甲今有田九十七畆 苗米三石三斗九升五合夏税折帛三丈三尺四寸六分五厘本色一匹畸零三丈八尺八分五厘物力一百一十六贯四百文 地一十一畆二角四十八步税䌷折帛七尺八寸三分九厘税䌷畸零七尺八寸三分九厘物力一十贯五百三十文田地共物力一百二十六贯九百三十文和买折帛二匹三丈一尺六分三厘七毫五丝本色一疋畸零七尺五寸九分八厘七毫五丝乙今有田七百八十二畆苗米二十七石三斗七升夏税折帛六匹二丈九尺七寸九分本色一十五匹畸零二丈九尺五寸一分物力九百三十八贯四百文和买折帛二十匹二丈一尺一寸本色八匹畸零三丈一尺九寸丙今有田九百七十九畆苗米三十四石二斗六升五合夏税折帛八匹一丈七尺七寸五分五厘本色一十九匹畸零二丈八尺九分五厘物力一千一百七十四贯八百文和买折帛二十五匹二丈七尺九寸五分本色一十一匹畸零五寸五分术曰以粟米及衰分求之置甲原纳米为实以毎畆苗为法除之得甲原有田以乗毎畆税得田绢次以甲䌷绢本色折帛并之内减田绢余为地䌷以毎䌷约之得甲原有地次以甲出田并乙丙原有田各得三户今有田地各以等则乗之各得物力苗税次以毎畆物力率约各户共物力得和买副之三分因之退位为和本七分因之退位为和折夏税反其分而因之退之䌷以半之并入税各得草曰置甲原纳米三十五石七斗为实以毎畆苗三升五合为法除之得一千二十畆为甲原有田以乗毎畆税一尺一寸五分得一百一十七丈三尺为绢积尺次以甲原纳绢䌷折帛八匹三丈九尺七寸三分九厘并䌷绢本色二十匹二丈八尺九寸三分九厘得二十九匹二丈八尺六寸七分八厘以匹法四丈通匹数内零丈得一百一十八丈八尺六寸七分八厘内减田绢积丈尺一百一十七丈三尺余一丈五尺六寸七分八厘为甲地䌷以毎畆䌷一尺三寸四分纳之得一十一畆七分其畆下七分倍之得一百四十身下加二得一百六十八步以六十步纳之得二角零四十八步得一十一畆二角四十八步为甲原有地乃以甲所出四百七畆及五百一十六畆并得九百二十三畆减原有一千二十畆余九十七畆为甲今有田并原地(按三字误葢地一十一畆余不在田一千二十畆之内也)次以甲出田四百七畆并乙原有田三百七十五畆共得七百八十二畆为乙令有田次以甲所出田五百一十六畆并丙原有田四百六十三畆共得九百七十九畆为丙今有田各列三户今有田地数于右行副之先以毎畆苗三升五合徧乗右行甲得三石三斗九升五合乙得二十七石三斗七升两得三十四石二斗六升五合为本户苗米次以毎畆税一尺一寸五分徧乗左副行甲得一十一丈一尺五寸五分乙得八十九丈九尺三寸丙得一百一十二丈五尺八寸五分各为丈积各列二位皆以三分因头位七分因下位并退一位即是自下三七折之又各以四大约丈积成匹其甲得三丈三尺四寸六分五厘为夏税折帛又得一匹三丈分尺八分五厘为夏税本色其一得六匹二丈九尺七寸九分为夏税折帛又得一十五匹二丈九尺五寸一分为夏税本色其丙得八匹一丈七尺七寸五分五厘为夏税折帛得一十九匹二丈分尺九分五厘为夏税本色次以田力一贯二百徧乗右副行并以地物力乗甲原地及纳甲得一百一十六贯四百乙得九百三十八贯四百丙得一千一百七十四贯八百各为田物力其甲又置一十一畆七分以乗地䌷一尺三寸四分得一丈五尺六寸七分八厘为甲地䌷半之得七尺八寸三分九厘各为折䌷本色又以甲地乗物力九百得一十贯五百三十为甲地乗力并田物力一百一十六贯四百共得一百二十六贯九百三十文为甲物力列甲乙丙三户共物力各为贯皆以物力和买率三十二贯为法除之甲得三匹九分六厘六毫五丝六忽二㣲五尘乙得二十九匹三分二厘五毫丙得三十六匹七分一厘二毫五丝各为和买率亦各列二位各以七三折之其头位七折者为和买折帛下位三折者为和买本色折讫其甲得二匹七分七厘六毫五丝九忽三㣲七尘五沙为和买折帛率又得一匹一分八厘九毫九丝六忽八㣲七尘五沙为和买本色率乙得二十匹五分二厘七毫五丝为和买折帛率又得八匹七分九厘七毫五丝为和买本色率丙得二十五匹六分九厘八毫七丝五忽为和买折帛率又得一十一匹一厘三毫七丝五忽为和买本色率各率除端匹外乃以定下分毫皆以四因之收为丈尺寸分甲得和买折帛二匹三丈一尺六分三厘七毫五丝本色一匹七尺五寸九分八厘七毫五丝乙得和买折帛二十匹二丈一尺一寸本色八匹三丈一尺九寸丙得和买折帛二十五匹二丈七尺九寸五分本色一十一匹五寸五分为各户和买数及分本色下畸零数合问均科绵税问县科绵有五等户共一万一千三十三户共科绵八万八千三百三十七两六钱上等一十二户副等八十七户中等四百六十四户次等二千三十五户下等八千四百三十五户欲令上三等折半差下二等此中等六四折差科率求之问各户纳及各等几何按题言下二等比中等六四折差是次等为中等六分之四下等又为次等六分之四也乃术草中皆以十分之四收之是四分折差而非四六折差矣集中题与术不相应者多类此岂成书之后未能重加校正欤答曰上等一户一百二十四两一十二户计一千四百八十八两副等一户六十二两八十七户计五千三百九十四两中等一户三十一两四百六十四户计一万四千三百八十四两次等一户一十二两四钱二千三十五户计二万五千二百三十四两下等一户四两九钱六分八千四百三十五户计四万一千八百三十七两六钱术曰列五等户数先以四折下等数加次等户又以四折之加中等户数却以半折之加二等户又以半折之加上等户数不折便为法除科绵得上等一户之绵复半之为副等又半之为中等又四折之为次等又四折之为下等各一户绵却各以户数乗之各得五等共出绵具图折之上 副 中 次 下草曰先置下等户八千四百三十五以四折之得三千三百七十四乃以得数折入次户二千三十五内得五千四百九户讫又以四折次数五千四百九户得二千一百六十三户六分乃以得次数并入中户四百六十四内共得二千六百二十七户六分次以五分折中数二千六百二十七户六分得数次以得数一千三百一十三户八分并副户八十七得一千四百户八分又以五折副数一千四百户八分得七百户四分既得数乃以副数七百户四分并上户一十二户得七百一十二户四分不折便以为法为法累折至等共得七百一十二户四分以为总法乃置科绵八万八千三百三十七两六钱为实法法七百一十二户四分而一得一百二十四两为上等一户所出绵以五折之得六十二两为副等一户所出绵又五折之得三十一两为副等一户所出绵乃以四折之得一十二两四钱为次等一户所出绵又以四折之得四两九钱六分为下等一户所出绵乃以各等户数各乗一户所出即各得每等共数之绵均定劝分问欲劝粜赈济据甲民户物力畆步排定共计一百六十二户作九等上等三户第二等五户第三等七户第四等八户第五等十三户第六等二十一户第七等二十六户第八等三十四户第九等四十五户今先观谕第一等上户愿粜五千石第九等户愿粜二百石欲知各等抛差石数并数认米数各几何答曰认该米二十三万七千六百石上等一户米五千石三户计一万五千石二等一户米四千四百石五户计二万二千石三等一户米三千八百石七户计二万六千六百石四等一户米三千二百石八户计二万五千六百石五等一户米二千六百石一十三户计三万三千八百石六等一户米二千石二十一户计四万二千石七等一户米一千四百石三十六户计三万六千四百石八等一户米八百石三十四户计二万七千二百石九等一户米二百石四十五户计九千石术曰以衰分求之置上下户米减余为实列等数减一余为法除之得抛差石数以差累减上等米各得诸等米以各等户乗之并之为总数草曰置上等户米五千石减下等户二百石余四千八百石为实以九等减一余八为法除实得六百石为每等抛差用减上等余四千四百石为二等米又减六百得三千八百石为三等米又减六百得三千二百石为四等米又减六百得二千六百石为五等米又减六百得二千石为六等米又减六百得一千四百石为七等米又减六百得八百石为八等米又减六百得二百石为九等米又各乗户数并之得总认米石数二十三万七千六百石合问均定合解(按原本此问无题今増)问州郡合解诸司窠名钱户部九十六万五千四百二十一贯文总所六十四万三千六百一十四贯文运司一万六千九十贯三百五十文今诸窠名先催到九千二百五十三贯六百二十文欲照原额分数均定桩收候解合各几何答曰户部五千四百九十七贯二百文 总所三千六百六十四贯八百文 运司九十一贯六百二十文术曰以衰分求之置诸原率可约约之副并为法以催到钱乗未并者各为实实如法而一合问草曰列户部九十六万五千四百二十一贯总所六十四万三千六百一十四贯运司一万六千九十贯三百五十文各为原率今原率可约求等得一万六千九十贯三百五十为等数俱约之户部得六十总所得四十运司得一各为率副并得一百一为法以催到钱九千二百五十三贯六百二十文乗未并数六十四十及一毕得五十五万五千二百一十七贯二百文为户部之实三十七万一百四十四贯八百文为总所之实九千二百五十三贯六百二十文为运司之实三实皆如法一百一而一其户部得五千四百九十七贯二百文总所得三千六百六十四贯八百文运司得九十一贯六百二十各为侯解钱按此法今名和数比列即用合解为率亦可増一约分取其数简也寛减屯租问屯租欲议寛减仍聴以夏麦折纳分数官牛种者与减二分私牛种者与减四分每岁租榖以三分之一许夏折二麦内四分大六分小折色每大麦三石折小麦二石小麦二石折榖三石五斗屯租旧额官种一石纳租五石私种一石纳租三石今某州屯田去年计官私种共九千七百八十二石共合收租榖三万九千五百八十六石欲知官私种各数原额今减合催成年夏麦秋榖几何按此题有官私共种数租数有种一石租数求各种数租数古谓之差分今谓之和较比例折色亦差分也今谓之和数比例大小麦与榖相易古谓之异乗同乗今谓之和率比列答曰请官种五千一百二十石私出种四千六百六十二石 原租额共三万九千五百八十六石官种二万五千六百石私种一万三千九百八十六石 今减一万七百一十四石四斗官种五千一百二十石私种五千五百九十四石四斗 合催二万八千八百七十一石六斗官种租二万四百八十石 一分折麦计榖六千八百二十六石六斗六升零三分升之二 四分折大麦二千三百四十石五斗七升七分升之一系折榖二千七百三十石六斗六升三分升之二 六分折小麦二千三百四十石五斗七升七分升之一系折榖四千九十六石二分正色榖一万三千六百五十三石三斗三升之一私种租八千三百九十一石六斗 一分折麦计榖二千七百九十七石二斗 四分折大麦九百五十九石四升系折榖一千一百一十八石八斗八升 六分折小麦九百五十九石四升系折榖一千六百七十八石三斗二升 二分正色榖五千五百九十四石四斗成年共收夏折榖(按即官种私种一分折榖共数)九千六百二十三石八斗六升三分升之二 大麦三千二百九十九石六斗一升七分升之一小麦三千二百九十九石六斗一升七分升之一 秋正榖一万九千二百四十七石七斗三升三分升之一术曰以粟米求之互易入之列共租共种各以租种率数依本色对之先以各种率互乗诸租騐租数之少者以乗共种得数覆减共租余为实以二租数相减余为官种法实如法而一得官种以减共种余为私种各以租率对乗官私种各得官私种所纳租次以减分对乗各纳租乃得各减数以减所纳余为合催租乃分别之先以总折分子乗之各为实并以总分母除之各得折色正色数次置折色数二位用夏折大小麦乗之各得与毎折诸率如雁翅列常以多一事者相乗为实以少一事者相乗为法各得所折大小麦其正色数如故为并本色得成年夏折二麦秋收正榖草曰列共租三万九千五百八十六石并共种九千七百八十二石次各以官种一石纳租五石私种实石纳租三石各为率对租种本色列之先以种率各一石互乗租数只得共榖次騐租数率三石系少者以乗共种九千七百八十二石得二万九千三百四十六石为种覆减共租余一万二百四十石为种实以租率三减租率五余二石系官租者为官种法除种实得五千一百二十石为官种以减共种九千七百八十二余四千六百六十二石为私出种以官租率五石私租率三石各对乗官私种得二万五千六百石为官租所纳租得一万三千九百八十六石为私种所纳租并之得原额租次列官牛种与减二分私牛种与减四分各对乗所纳租数得五千一百二十石为官种减租数得五千五百九十四石四斗为私种减租数并之得一万七百一十四石四斗为今减数乃以官种减租五千一百二十石减官种租二万五千六百余二万四百八十石为合催次以私种减租五千五百九十四石四斗减私种租一万三千九百八十六石余八千三百九十一石六斗亦是合催租乃以二等合催租分列之先以毎岁三分之一以子一减分母三得二乃以一及二皆为子各乗各催租其官种者一分租得二万四百八十石二分租得四万九百六十石其私种者一分租得八千三百九十一石六斗二分租得一万六千七百八十三石二斗并为实此四实并如母三而一其官种一分折得六千八百二十六石六斗六升零三分升之二及二分正色榖得一万三千六百五十三石三斗三升三分升之一其私种一分折色得二千七百九十七石二斗二分正色榖得五千五百九十四石四斗次置官私种各一分折色数各二位乃用夏折四分大六分小对乗之通系四位乃并四六得一十分约之是并退一位其官种四分大麦者置折榖六千八百二十六石六斗六升三分升之二通分内子得二万四百八十列二位头位以四分折之得八千一百九十二石为大麦实下位以六分折之得一万二千二百八十八石为小麦实次置私种折榖二千七百九十七石二斗列二位头位以四分折之得一千一百一十八石八斗八升为大麦率下位以六分折之得一千六百七十八石三斗二升为小麦率其图如后次列折色每大麦三石折小麦二石小麦二石折榖三石五斗为诸率与大小麦实率四数如雁翅列之其六分折小麦勿置大麦折率有母者列母官种者先以大麦率三乗小麦率二得六又乗榖实八千一百九十二石得四万九千一百二十五石为大麦实乃以小麦率二乗榖率三石五斗得七石又乗母得二十一石为法除实得二千三百四十石五斗七升七分升之一为官种折大麦数仍以母三约本实八千一百九十二石得二千七百三十石六斗六升三分升之二为所折上得大麦榖数次以小麦折二乗榖实一万二千二百八十八石得二万四千五百七十六石为小麦实乃以榖率三石五斗乗母三得十石五斗为法除实得二千三百四十石五斗七升七分升之一为官种折小麦榖仍以母三约本实一万二千二百八十八石得四千九十六石为所折上得小麦榖数私种者先以大麦三乗小麦率二得六又乗榖数一千一百一十八石八斗八升得六千七百一十三石二斗八升为实乃以小麦率二乗榖率三石五斗得七石为法除之得九百五十九石四升为私种折大麦数次以小麦率二乗榖率一千六百七十八石三斗二升得三千三百五十六石六斗四升为实以榖率三石五斗为法除之得九百五十九石四升为私种榖折小麦数次以官种四分大麦二千三百四十石五斗七升七分升之一并私种四分大麦九百五十九石四升得三千二百九十九石六斗一升七分升之一为成年夏折大麦数次以官种六分小麦二千三百四十石五斗七分七分升之一并私种六分小麦九百五十九石四升得三千二百九十九石六斗一升七分升之一为成年夏折小麦数次以官种二分正色榖一万三千六百五十三石三斗三升三分升之一并私种正色榖五千五百九十四石四斗得一万九千二百四十七石七斗三升三分升之一合问户税均寛问州郡寛恤近将某县下三等税户秋科余欠钱米已与蠲放共钱一千三百五十五贯七百六文米五千二百七十二石一斗九升某本县下三等物力计三万七千六百五十八贯五百文今来官员陈述本县多有乐输无欠之户今䝉蠲放税尾似反寛润顽输之户于理未均遂议将乐输三等户于明年两税与照昨来体例减免契勘得三等无欠户物力二十二万八百一十五贯三百二十一文欲知每百文合减免钱米及共减各几何答曰毎物力一百文放钱三文六分放米一升四合明年两税放免钱七千九百四十九贯三百五十一文五分五厘六毫米三万九百一十四石一斗四升四合九勺四抄术曰以粟米衰分求之置原物力为法除原放钱米得毎百文物力所放钱米率以各率乗今来物力各得钱米为明年两税合放数草曰以原物力三万七千六百五十八贯五百文为法先除原放钱一千三百五十五贯七百六文定法百文上得一文为商除得三文六分为物力百文所放钱率次除原放米五千二百七十二石一斗九升得一升四合为物力百文所放米率以今三等户物力二十二万八千一十五贯三百二十一文徧乗所放钱米二率得钱七千九百四十九贯三百五十一文五分五厘六毫得米三万九百一十四石一斗四升四合九勺四抄为明年两税合放数米榖粒分问开仓受约有甲户米一千五百三十四石到廊验得米内夹榖乃于様内取米一捻数计二百五十四粒内有榖二十八颗凡粒米率每勺三百今欲知米内杂榖多少以折米数科贵及粒各几何答曰米一千三百六十四石八斗九升七合六勺一百二十七分勺之四十八榖一百六十九石一斗二合三勺一百二十七分勺之七十九 合折米八十四石五斗五升一合一勺一百二十七分勺之一百三 原米折米共计四十三亿四千八百三十四万六千四百五十六粒术曰以粟米求之衰分入之置様米粒数为法以常榖颗数减之余与榖为列衰可约约之以共米乗列衰为各实实如法而一各得米数榖数置榖数以粟率折之为榖所折米次以勺率遍乗米数折米得粒数草曰置一捻様粒数二百五十四为法以带榖二十八颗为榖衰以减法余二百二十六为米衰此二衰与法皆可约求等得二俱以约之法得一百二十七米衰得一百一十三榖衰得一十四以米米一千五百三十四石遍乗二衰得一十七万三千三百四十二石为米实得二万一千四百七十六石为榖实皆如法一百二十七而一米得一千三百六十四石八斗九升七合六勺一百二十七分勺之四十八榖得一百六十九石一斗二合三勺一百二十七分勺之七十九以粟率五十折之得八十四石五斗五升一合一勺一百二十七分勺之一百三为榖折纳米数并二米得一千四百四十九石四斗四升八合八勺一百二十七分勺之二十四先通分纳子一十八万四千八十石以勺率三百粒乗之得五千五百二十二亿四千万粒为实以母一百二十七除之得四十十亿四千八百三十四万六千四百五十六粒不尽八十八弃之合问数学九章卷五下
## 卷六上
钦定四库全书
数学九章卷六上 宋 秦九韶 撰钱榖课籴问差人五路和籴据浙西平江府石价三十五贯文一百三十五合至镇江水脚钱每石九百文安吉州石价二十九贯五百文一百一十合至镇江水脚钱每石一贯二百文江西隆兴府石价二十八贯一百文一百一十五合至建康水脚钱每石一贯七百文吉州石价二十五贯八百五十文一百二十合至建康水脚钱每石二贯九百文湖南潭州石价二十七贯三百文一百一十八合至鄂州水脚钱每石一贯七百文(按草中系二贯一百文此此讹)其钱并十七界官㑹其米并用文思院斛交量纽数欲皆以官解计石钱相比贵贱几何(文思院解每斗八十三合)答曰文思院斛石钱安吉州二十三贯一百六十四文一十一分文之六平江府二十二贯七十一文二十七分文之二十三隆兴府二十一贯五百七文二十三分文之一十九潭州二十贯六百七十九文五十九分文之四十九(按三十九讹四十九)吉州一十九贯八百八十五文十二分文之五术曰以粟米互换求之置石价并水脚乗石数又乗官斗合数为实各如本州合数而一各得官解石钱以课贵贱草曰置安吉州石价二十九贯五百文平江石价三十五贯文隆兴石价二十八贯一百文吉州石价二十五贯八百五十文潭州石价二十七贯三百文列右行次置水脚安吉一贯二百文平江九百文隆兴一贯七百文吉州二贯九百文潭州二贯一百文列左行各对本州石价以两行数并之得数安吉三十贯七百文平江三十五贯九百隆兴二十九贯八百潭州二十九贯四百吉州二十八贯七百五十仍于右行次以文思院官斗八十三合遍乗之安吉州得二千五百四十八贯一百文平江府得二千九百七十九贯七百文江西隆兴得二千四百七十三贯四百文湖南潭州得二千四百四十贯二百文江南吉州得二千三百八十六贯二百五十文各为实于右得次列安吉斗一百一十合平江斗一百三十五合隆兴斗一百一十五合潭州斗一百一十八合吉州斗一百二十合于左行为法以对除右行之实安吉得二十三贯一百六十四文一十一分之六平江得二十三贯七十一文二十七分文之二十三除兴得二十一贯五百七文二十三分文之一十九潭州得二十贯六百七十九文五十九文分之四十九(按三十九)(讹四十九)吉州得一十九贯八百八十五文一十二分文之五相课石价其安吉州最贵平江次之隆兴又次之潭州又次之吉州最贱折解轻赍问有甲乙丙丁四郡各合起上供银绢甲郡银三千二百两每两二贯二百文足绢六万四千匹每匹二贯文足去京一千里每担一里佣钱六文足其时旧㑹每贯五十四文足乙郡银二千七百两每两二贯三百文足绢四万九千二百匹每匹二贯四百二十文足云京九百八十里每担一里佣钱四文二分足旧㑹价五十九文足丙郡银四千两每两新㑹九贯三百文绢七万三千六百匹每匹新㑹一十贯三百文去京二千里每担一里佣钱八十文旧㑹丁郡银二千六百两每两五十一贯文旧㑹绢三万二千三十五匹每匹五十八贯文旧㑹去京一千五百里每担一里佣钱一百文旧㑹诸郡银每五百两绢每六十匹新㑹每五千贯为担欲并折新㑹均作三限起解求各郡每限及本色原理折解实用寛余佣钱各新㑹几何按此题贯数分三项其一足数每千文为一贯其一旧㑹数如甲以五十四文为一贯乙以五十九文为一贯是也其一新㑹数为旧㑹数之五倍如甲以二百七十文为一贯乙以二百九十五文为一贯是也四郡或言足数或言旧㑹数新㑹数并折新㑹数佣钱原以银五百两或绢六十匹各为一担今皆折新㑹数以五千贯为一担故有寛余钱数题语多未详而并为一担句尤混略为分析而术草之意大概可见矣答曰甲郡合解五十万一百四十八贯一百四十八文初限一十六万六千七百一十六贯四十九文次限一十六万六千七百一十六贯四十九文未限一十六万六千七百一十六贯五十文佣钱原理二万三千八百四十五贯九百二十五文二十七分文之二十五实用二千二百二十二贯八百七十七文二十七分文之二十一寛余二万一千六百二十三贯四十八文二十七分文之四乙郡合解四十二万四千六百五十七贯六百二十七文初限一十四万一千五百五十二贯五百四十二文初限一十四万一千五百五十二贯五百四十二文末限一十四万一千五百五十二贯五百四十三文佣钱原理一万一千五百一十六贯四百二十八文五十九分文之二十八实用一千一百八十五贯一十文二百九十五分文之五寛余一万三百三十一贯四百一十八文五十九分文之二十七(按实用分子五十讹为五寛余分子一十八讹为二十七)丙郡合解七十九万五千二百八十贯文初限二十六万五千九十三贯三百三十三文次限二十六万五千九十三贯三百三十三文末限二十六万五千九十三贯三百三十四文佣钱原理三万九千五百九贯三百三十三文三分文之一实用五千八十九贯七百九十二文寛余三万四千四百一十九贯五百四十一文三分文之一丁郡合解三十九万八千一百二十六贯文初限一十三万二千七百八贯六百六十六文次限一十三万二千七百八贯六百六十六文末限一十三万二千七百八贯六百六十八文 佣钱原理一万四千一百七十三贯五百文实用二千三百八十八贯七百五十六文寛余一万一千七百八十四贯七百四十四文(按佣钱原理六千讹为四千寛余三千讹为一千)术曰以均输求之置各郡银绢乗各价并之归足原展足为旧㑹次以五约旧㑹为新㑹各得合解钱以限数除之得每限钱不尽并归末限次置里数乗每里佣价为率以率乗原银及原绢各为佣实以每担银绢率各为法实如法而一不满者亦为担并之为原理佣钱次以率乗合觧钱为实乃以钱物毎担率为法实如法而一各得实用佣钱以减原理佣钱余为寛余佣钱合问数图草曰置各郡银绢乗各价甲郡银三千二百两乙郡银二千七百两郡银四千两丁郡银二千六百两贯于右行甲郡银两价二贯二百足乙郡银两价二贯三百足丙郡银两价九贯三百新㑹丁郡银两价五十一贯旧㑹于左行对乗之甲得七千四十贯足乙得六千二百一十贯足丙得三万七千二百贯新㑹丁得十三万二千六百贯旧㑹又列置各郡绢甲六万四千匹乙四万九千二百匹丙七万三千六百匹丁三万二千三十五匹于右行各郡绢匹价甲二贯足乙二贯四百二十足丙新㑹十贯三百丁五十八贯旧㑹于左行亦对乗之甲得一十二万八千贯足乙得一十一万九千六十四贯足丙得七十五万八千八十贯新㑹丁得一百八十五万八千三十贯旧㑹乃并各郡银绢价甲共一十三万五千四十贯足乙共一十二万五千二百七十四贯足丙共七十九万五千二百八十贯新㑹丁共一百九十九万六百三十贯旧㑹甲以旧㑹价五十四文展足钱得二百五十万七百四十贯七百四十文乙以旧㑹价五十九文展足钱得二百一十二万三千二百八十八贯一百三十六文丙系新㑹丁系旧㑹今甲乙丁俱以五除之皆为新㑹甲得五十万一百四十八贯一百四十八文乙得四十二万四千六百五十七贯六百二十七文丙得七十九万五千二百八十贯文丁得三十九万八千一百二十六贯各为合解钱以限数三除之甲得一十六万六千七百一十六贯四十九文为初限次限数不尽一文増入次限数内共得一十六万六千七百一十六贯五十文为末限数乙得一十四万一千五百五十二贯五百四十二文为初限次限数不尽一文増入得一十四万一千五百五十二贯五百四十三文为末限数丙得二十六万五千九十三贯三百三十三文为初限次限数不尽一文増入得二十六万五千九十三贯三百三十四文为末限数丁旧一十三万二千七百八贯六百六十六文为初限次限数不尽二文増入得一十三万二千七百八贯六百六十八文为末限数各以里数乗佣钱各为率置甲郡一千里乙郡九百八十里丙郡二千里丁郡一千五百里于右行次置甲郡佣钱六文足乙郡佣钱四文二分足丙郡佣钱八十文旧㑹丁郡佣钱一百旧㑹于左行与右行对乗之甲得率六置足乙得率四贯一百一十六足丙得率一百六十贯旧丁得率一百五十贯旧于右行以率乗原银数各为佣实次置甲原银三千二百两乙银二千七百丙银四千丁银二千六百两于左行与右行对乗之甲得一万九千二百贯乙得一万一千一百一十三贯二百文丙得六十四万贯旧丁得三十九万贯旧皆银佣置于右行次置甲乙丙丁每担率银五百两为法遍除左行甲得三十八贯四百足乙得二十二贯二百二十六文四分足丙得一千二百八十贯旧丁得七百八十贯旧为各郡银佣钱列实寄别行次置甲原绢六万四千匹乙绢四万九千二百匹丙绢七万三千六百匹丁绢三万二千三十五匹为左行与右行各率对乗之甲得三十八万四千贯足乙得二十万二千五百七贯二百足丙得一千一百七十七万六千贯旧丁得四百八十万五千二百五十贯各为绢佣实次以四郡每担绢率六十匹为法除之甲得六千四百贯足乙得三千三百七十五贯一百二十足丙得一十九万六千二百六十六贯六百六十六文三分文之二旧丁得八万八十七贯五百旧为各郡绢佣钱并入寄别行甲得六千四百三十八贯四百足乙得三千三百九十七贯三百四十六文四分足丙得一十九万七千五百四十六贯六百六十六文三分文之二旧丁得八万八百六十七贯五百旧列右行其甲旧㑹价五十四文五因之得二百七十文足乙旧㑹价五十九文亦五因之得二百九十五文丙以五丁亦以五于左行以对约右行皆为新㑹甲得二万三千八百四十五贯九百二十五文二十七分文之二十五乙得一万一千五百一十六贯四百二十八文五十九分文之二十八丙得三万九千五百九贯三百三十三文三分文之一丁得一万六千一百七十三贯五百文并新㑹系四郡原佣价钱次以原四郡率对乗四郡合解新㑹各为实其甲率六贯足乗甲合解钱五十万一百四十八贯一百四十八文得三十亿八十八万八千八百八十贯其乙率四贯一百一十六足乗乙合解钱四十二万四千六百五十七贯六百二十七文得一十七亿四千七百八十九万七百九十二贯七百三十二文足其丙率一百六十贯旧乗丙合解钱七十九万五千二百八十贯得一千二百七十二亿四千四百八十万贯旧其丁率一百五十贯旧乗丁合解钱三十九万八千一百二十六贯得五百九十七亿一千八百九十万贯旧各为实乃以每担率五千贯为法而一甲得六百贯一百七十七文足不尽三千八百八十贯文乙得三百四十九贯五百七十八文足不尽七百九十二贯七百三十二文丙得二万五千四百四十八贯九百六十文旧㑹丁得一万一千九百四十三贯七百八十文旧㑹为各郡实用甲以二百七十文约乙以二百九十五文约丙丁皆五约为新㑹甲二千二百二十二贯八百七十七文不尽二百一十文乙一千一百八十五贯一十文不尽五百丙五千八十九贯七百九十二文丁二千三百八十八贯七百五十六文各减原理甲余二万一千六百二十三贯四十八文乙余一万三百三十一贯四百一十八文丙余三万四千四百一十九贯五百四十一文丁余一万一(按二讹一)千七百八十四贯七百四十四文合问今欲变右行足钱旧㑹皆为新㑹故以五遍乗甲陌五十四得二百七十乙陌五十九得二百九十五按右数实用佣钱内第二层乙条下子数□讹□原理佣钱内末层丁条左第二数丅讹□寛余佣钱内第二层乙条下子数□讹□末层丁条左第二数川讹丨余数俱合数学九章卷六上
## 卷六下
钦定四库全书
数学九章卷六下 宋 秦九韶 撰钱谷僦直推原问房廊数内一户日纳一百五十六文八分足为准指挥未曽经减者减三分已曽经减三分者减二分已曽经减二分者更减二分今本户累经减者欲知原额房钱几何答曰原额三百五十文术曰以衰分求之列一十分两行各三位列减分对减右行以余者相乘为法以左行原列相乘得纳钱为实实如法而一得原额钱草曰列一十三位于左行又列一十分三位于右行其右上减去初减三分右中减去次减二分右下减去更减二分右行余七八八以相乗得四百四十八为法乃以左行三位一十分相乘得一千为乗率以乘见日纳钱一百五十六文八分得一百五十六贯八百文为实实如法而一得三百五十文为本户原额戸钱推求本息问三库息例万贯以上一厘千贯以上二厘五毫百贯以上三厘甲库本四十九万三千八百贯乙库本三十七万三百贯丙库本二十四万六千八百贯今三库共约到息钱二万五千六百四十四贯二百文其典率甲反锥差乙方锥差丙蒺藜差欲知原典三例本息各几何按此即衰分题也其差有反锥方锥蒺藜之名盖以一二三递减如立锥为反锥以一四九平方递加为方锥以一三六三数递加为蒺藜是必古有其名也至以各差求各本则因各本原依各差入之也答曰甲库共纳息九千五十三贯文一厘息二千四百六十九贯文二厘半息四千一百一十五贯文三厘息二千四百六十九贯文乙库共纳息一万五十一贯文一厘息二百六十四贯五百文二厘半息二千六百四十五贯文三厘息七千一百四十一贯五百文丙库共纳息六千五百四十贯二百文一厘息二百四十六贯八百文二厘半息一千八百五十一贯文三厘息四千四百四十二贯四百文术曰置诸库诸色之差照厘率为三行纵并之为约率横命之为乗率以约率各约自库之本各得以遍乗未并乗率然后各以厘率横乗之次以纵并之为各库共息草曰置甲库反锥差自下置三二一于右行次置乙库方锥差自上置一四九于中行次置丙库蒺藜差自上置一三六于左行各为三库上中下三等乘率乃纵并甲差三二一得六为甲约率纵并乙差一四九得一十四为乙约率纵并丙差一三六得一十为丙约率直命九位数各为上中下乗率乃先以约率各约自库之本乃以甲约率六约甲本四十九万三千八百贯得八万二千三百贯为甲得次以乙约率一十四约乙本三十七万三百贯得二万六千四百五十贯为乙得次以丙约率一十约丙本二十四万六千八百贯得二万四千六百八十贯为丙得以各得乗未并乗率其甲所得八万二千三百贯乘反锥乗率三二一得二十四万六千九百贯为上率得一十六万四千六百贯为中率得八万二千三百贯为下率其乙所得二万六千四百五十贯以乗方锥差一四九得二万六千四百五十贯为上率得一十万五千八百贯为中率得二十三万八千五十贯为下率其丙所得二万四千六百八十贯以乗蒺藜差一三六得二万四千六百八十贯以乘蒺藜七万四千四十贯为中率得一十四万八千八十贯为下率然后各以息厘数乘各库三乗(此是变文为库)其甲以一厘乗上率二十四万六千九百贯得二千四百六十九贯为上息以二厘五毫乘中率一十六万四千六百贯得四千一百一十五贯为中息以三厘乘下率八万二千三百贯得二千四百六十九贯为下息并上中下三息得九千五十三贯文为甲库共息其乙库以一厘乗上率二万六千四百五十贯得二百六十四贯五百文为上息以二厘五毫乗中率一十万五千八百贯得二千六百四十五贯为中息以三厘乗下率二十三万八千五十贯得七千一百四十一贯五百为下息并上中下三息得一万五十一贯文为乙库共息其丙库以一厘乗上率二万四千六百八十贯得二百四十六贯八百为上息以二厘五毫乘中率七万四千四十贯得一千八百五十一贯为中息以三厘乗下率一十四万八千八十贯得四千四百四十二贯四百文为下息并上中下三息得六千五百四十贯二百文为丙库共息并三库共息得二万五千六百四十四贯二百文为总息易牒知原(按旧本此问无题今増入)问出度牒差人营运毎三道易盐一十三袋盐二袋易布八十四疋布一十五疋易绢三疋半绢六疋易银七两二钱今趂到银九千一百七十二两八钱欲知原闗度牒道数几何答曰度牒一百八十道术曰以粟米互乘易法求之列各数以本色相对如鴈翅以多一事者相乗为实以少一事者相乘为法除之草曰先以度牒三道乗盐二袋得六以乘布一十五得九十文乗绢六疋得五百四十乃乗银九万一千七百二十八钱得四千九百五十三万三千一百二十钱为实次以盐一十三袋乗布八十四得一千九十二以乗绢三疋五分得三千八百二十二乃乘银七两二钱得二十七万五千一百八十四钱为法除实得一百八十道为原闗度牒粟米交易(按旧本此问无题今増)问菽三升易小麦二升小麦一升五合易油麻八合油麻一升二合易粳米一升八合今将菽一十四石四斗欲易油麻又将小麦二十一石六斗欲易粳米问各几何答曰油麻五石一斗二升 粳米一十七石二斗八升术曰以粟米换易求之置原易率本色对列如鴈翅以多一事者相乘为实以少一事者相乗为法除之各得或问数不干其率者不置草曰置四色六数列六位率如鴈翅皆化为合先将菽一十四石四斗化作一万四千四百合乃对前二句率数四位如鴈翅至欲易油麻止共五事为上图次将小麦二十一石六斗化为二万一千六百合乃对后两句率四位鴈翅至欲粳米止共五事为下图下图其上图以菽一万四千四百合乘麦二十得二十八万八千又乗油麻八合得二百三十万四千合为油麻实次以菽三十合乘麦一十五合得四百五十合为法除之得五千一百二十合展为五石一斗二升为油麻其下图以小麦二万一千六百合乗油麻八合得一十七万二千八百合又乗粳米一十八合得三百一十一万四百合为粳米实以小麦一以五合乗油麻一十二合得一百八十合为法除之得一万七千二百八十展作一十七石二斗八升为粳米计米易曲(按旧本此问无题今增)问库率粳榖七石出米三石糯米一斗易小麦一斗七升小麦五升踏曲二斤四两曲一百一十斤酝糯米一石三斗今有糯谷一千七百五十九石三斗八升欲出谷做米易麦踏曲还自酝余谷之米须令适足各合几何答曰共谷一千七百五十九石三斗八升出谷九百二十四石得米三百九十六石易麦六百七十三石二斗踏曲三万二百九十四斤余榖八百三十五石三斗八升酝米三百五十八石二升术曰以粟米换易求之置诸率随本色对列如鴈翅有分者通之异类者变之以头位者进乗之以下位退乗之得合数有对者相乗之无对者直命之为诸率并上下无对者为法率(诸率可约者又约之)以今有物徧乘诸率(不乗法率)各为实诸实并如法而一各得其已变者复互易乗除之即得所求草曰置糯谷七出米三于右行上副两位次置糯米一斗麦一斗七升于副行副中两位次置小麦五升踏麦二斤四两于次行中次两位次置麦一百一十觔酝米一石三斗于左行次下两位随本色对列如鴈翅讫乃验次行二斤四两是四分斤之一以母四通次行两位以子一内次行次位具中位得二次位得九又验左行下位是糯米是异类于糯米合变为糯谷乃以问中首句率谷七米三变之以七因米一石三斗得九石一斗于左下为谷却以米三因曲一百一十斤为三百三十斤曲于左行得变图数以左行三百三十乗次行二得六百六十次以六百六十乘副行一十得六千六百次以六千六百乗右上七得四万六千二百各于原位却以右行副位三因副行一斗七升得五斗一升又以五斗一升乗次行九得四百五十九又以四百五十九乗左下九十一得四万一千七百六十九列为合图数乃验合图四行其副中次三位有对以对相乗合之其右上左下无对者直命之皆为率列右行上得四万六千二百为出糯谷率副位得一万九千八百为得糯米率中得三万三千六百六十为易得麦率次得一万五千一百四十七为踏到曲率下得四万一千七百六十九为余下糯榖率并上下率共得八万七千九百六十九为法率今六率共求等得一约之只得原率为率图始用今有谷一千七百五十九石三斗八升皆化为升徧乘五率不乗法率得八十一亿二千八百三十三万五千六百升为出谷实得三十四亿八千三百五十七万二千四百升为糯米实得五十九亿二千二百七万三千八十升为易麦实得二十六亿六千四百九十三万二千八百八十六为踏曲实得七十三亿四千八百七十五万四千三百二十二升为余谷实其五实皆如法八万七千九百六十九而一得九百二十四石为出谷得三百九十六石为做到糯米得六百七十三石二斗为易到小麦得三万二百九十四斤为踏到曲得八百三十五石三斗八升为余下谷今将余下谷变为米乃以乗率三因余谷八百三十五石三斗八升得二千五百六石一斗四升为实以糯谷率七为法除之得三百五十八石二升为酝米按术中互乗进乗退乗对乗皆通分法也张邱建云学者不患乗除之为难而患通分之为难此术曲尽其妙今各释于后第一图互乗以右上谷七乗左下米一十三得九十一应以右下米三除之方得谷数今不除便如得谷数又以米三乗之矣故以米三乗曲一十一得三十三与谷数九十一相当仍同于曲一十一与米一十三相当也第二图左进乗自下而上右退乗自上而下左四位连乗至谷应以右上三位连乗之数除之得踏曲三十三所用谷数今不除为寄右上三位连乗之数为分母右四位连乘至谷即如曲三十三所酝谷数同寄右上三位连乗之数为分母也并之即如踏曲用谷曲所酝谷总数同寄右上三位连乗之分也第三图对乗左下一位曲数以前寄分母右上三位连乗之数乗之即同寄一分母也左下二位相乗应以右上第三位除之得踏曲所用麦数不除为寄右上第三位曲数又以右上二位相乘之数乗之是应用麦数内同寄右上三位连乘之分母也左下三位连乘应以右中二位相乗之数除之得易麦应用米数不除为寄右中二位相乗之数又以右上第一位米数乗之是应用米数内同寄右上三位连乗之分母也右总谷出谷余谷易米易麦踏曲六数皆同寄一分母则用以乗除求得数即与本数无异故以题中总谷数乗寄分母各数以寄分母总数除之即得所求各数也再此术不独法之巧即图式布置亦皆皆具精义熟玩之可以得其往来变通之故原第三合图仍斜排为上图第四率图即各寄寄母数直列为下图今合图改为正图列于右各得寄母数并列于左算囘运费问有江西水运米一十二万三千四百石原系镇江交卸计水程二千一百三十里每石水脚钱一贯二百文今截上件米就池州安顿池州至镇江八百八十里欲收囘不该水脚钱几何答曰收囘钱六万一千一百七十八贯五百九十一文术曰以粟米互易求之置池州至镇江里数乗水脚钱得数又乗运米为实以原至镇江水程为法除实得收囘钱草曰置池州至镇江八百八十里乗毎石水脚钱一贯二百得一千五十六贯文又乗运米一十二万三千四百石得一亿三千三十一万四百贯文为实以原至镇江水程二千一百三十里为法除实得六万一千一百七十八贯五百九十一文为收囘钱三合均价(按旧本此问无题今増)问库有三色金共五千两内八分金一千二百五十两两价四百贯文七分五厘金一千六百两两价三百七十五贯文八分五厘金二千一百五十两两价四百二十五贯文并欲炼为足色每两工食药炭钱三贯文耗金九百七十二两五钱欲知色分及两价各几何答曰色十分两价五百三贯七百二十四文五百三十七分文之二百一十二术曰以方田及粟米求之置共数以耗减之余为法以三色分数各乗两数并之为色分实以三色价数各乗两数为寄以工药价乗共金并寄共为价实二实皆如法而一即各得草曰置共金五千两减耗九百七十二两五钱外余四千二十七两五钱为法次置一千二百五十两乘八分得一万分于上置一千六百两以七分五厘乗之得一万二千分加上置二千一百五十两乗八分五厘得一万八千二百七十五分又加上共得四万二百七十五分为分实次置一千二百五十两乗四百贯得五十万贯为寄次置一千六百两乘价三百七十五贯得六十万贯加寄次置二千一百五十两乗价四百二十五贯得九十一万三千七百五十贯又加寄次置共金五千两乗工药钱三贯得一万五千贯又加寄共得二百二万八千七百五十贯为贯实二实并如法四千二十七两五钱而一得其色一十分其价每两得五百三贯七百二十四文不尽一贯五百九十与法求等得七十五俱约之为五百三十七文之二百一十二其色实余尽得一十分为金色其价除得五百三贯七百二十四文为十分金毎两价不尽一贯五百九十文与法求等得七半俱以约之为五百三十七分文之二百一十二数学九章卷六下
## 卷七上
钦定四库全书
数学九章卷七上 宋 秦九韶 撰营建计作清台问剏筑清台一所正高一十二丈上广五丈袤七丈下广一十五丈袤一十七丈其袤当东西广当南北秋程人日行六十里里法三百六十步镢土锹土每工各二百尺筑土每工九十尺每担土壤一尺三寸徃来一百六十步内四十步上下棚道筑高至少半其棚道三当平道五至中半三当七至太半二当五踟蹰之间十加一载输之间二十步定一返今甲乙丙三县差夫甲县附郭税力一十三万三千八百六十六乙县去台所一百二十里税力二十三万七千九百八十四丙县去台所一百八十里税力三十一万二千三百五十四俱以道里逺近税力多少均科之台下舖石脚七层先用甎砌台身次用甎叠砌转道周围五带并濶六尺须令南北二平道东西三峻道相间始自台之艮隅于东外道向南顺升由巽隅以西左转周回厯北复东再升东里道至巽隅乃登台顶其东里道艮隅与北平道两隅及西道干隅之高皆以强半其西道坤隅与南道两隅东外道异隅之高皆以五分之二峻道毎级履高六寸其东里道级数取弱半东外道级数取五分之二西道级数取强半石长五尺濶二尺厚五寸甎长一尺二寸濶六寸厚二寸五分欲知土积定一返步毎工人到土及总用功各县起夫甎石峻平道髙长级数踏踪各几何答曰土积一百五十四万尺 定一返二百步一十八分步之五(按此条起共十一条数皆误)毎工人到土一百四十尺七百二十一分尺之一百四十八 总用工四万五千六百八十六工 甲县差一万七千一百三十二工乙县差一万五千二百二十九工 丙县差一万三千三百二十五工 石四千三百一十七片 甎一百一十四万二千二十四片 东里道峻艮隅高九丈巽隅高一十一丈九尺四寸级五十踏踏踪二尺二寸九分 东外道峻艮隅高六寸巽隅高四丈八尺级八十踏踏踪二尺一寸五分 西峻道坤隅高四丈八尺干隅高九丈级七十踏踏踪二尺一寸四分寸之九南平道高四丈八尺 北平道九丈按右答数中惟第一条土积未二条南北平道高三数无误余数俱有误处其所以不合之故具详草后术曰以啇功求之均输入之倍台上袤加下袤乗上广为寄倍下袤加上袤乗下广并寄乗高为土率如六而一得坚积以筑工尺为法除坚积得筑工以穿率乗坚积为实以坚率乗镢锹工尺半之为锹法除实得镢锹共工以壤率因坚积如坚率而一为壤积求负土者先列全分及等至高诸母子以母互乗诸子为寄左行以诸母相乗为寄母次列棚道全分及所当鲜母衍子以鲜母互乗衍子为左行以鲜母相乗以乗寄得数又以列位乗之为总母以左右两行诸子对乗之并之为总子其总母求等约之为定母子以定子乘棚道为次以定母乗平道加次义以踟蹰之数身下加之又以载输步乗定母并次为统数以定母除统得定一返步亦为列土法(有分复通为法)置程里通步乗担土尺有歩母则又以步母乗之为到实实如法而一得每工人到土亦为壤法以除壤积得负土工并前锹筑二工为总用工以各县日程数约税力各得力率副并为科法以共用工乗未并者各为科实实如法而一各得县夫求甎者倍转道濶遍加台上下广袤变名上下濶长以甎厚加台高为台直次列甎石长濶厚各相乗为甎石积法通广袤如法乃倍上长加下长乗上濶为寄次倍下长加上长乗濶并寄共乗直得数减土率除如六而一为泛置南北道高子各乗台高为实如各母而一得五道诸隅高以北道高减台余为上停高以南道高减北道高余为中停高命南道高为下停高以履寸除诸高得级数以上长减下长余半之为勾以勾乗南道高为实如台高而一得底率以底率减下长余为底股以外道级数约底股得外道踏踪又以底率减底股余为中股以勾乗中停高为实如台高而一得中率以中率减中股余为上股以西道级除上股得西道踏踪以勾乗上停高为实如台高而一得中率以中率减中股余为上股以西道级除上股得西道踏级以勾乗上停高为实如台高而一得上率以上率并中率共减上股余为实如里道级而一得里道踏踪次以道濶并下长为补以南北道高并台高乗补为需次上广减下广余为址以址乗南道高为实以台高除之得数减下广余为南道长以南长并下广乗南道高加需又以址乗北道高为实以台高除之得数减下广余为北道长以北道长并下广乗北道高又加需共乗半道濶得数并泛为共率以基脚层数乗石版厚为基高次倍道濶并下濶乗下长为基率次以下广乗下袤减基率余乗基高为石率以石率减共率余为甎率以甎积法除甎率得甎数以石级积法除石率得石版数草曰倍上袤七丈得一十四加下袤一十七丈得三十四丈加上袤七丈得四十一乗下广一十五丈得六百一十五并寄得七百七十乗高一十二丈得九千二百四十丈为土率以六除率一千五百四十丈以千尺通之(按旧本误为十八通之今改正)为一百五十四万尺坚积以筑工九十尺除之得一万七千一百一十一工九分工之一为筑工次以穿率四因坚积得六百一十六万尺为实以坚率三因镢锹工二百尺得六百尺为法除实得一万二百六十六工三分工之二为穿工次以壤率五因坚积得七百七十万尺为壤积以三为母具图如后乃以右行母互乗左行子左上得一十二副位得九次得六下得一十八乃变右行名为寄子以诸母相乗得一十八为寄母具图如后次以棚道全分及所当鲜母衍子三当五及三当七并二当五乃以右行鲜母互乗左行衍子上得四十五副得四十二次得三十下得一十八为右行以鲜母相乗得一十八乃对寄左图列之乃以左右两行母子对乗之上得五百四十副得三百七十八次得一百八十下得三百二十四母得三百二十四今以平分术入之并四子得一千四百二十二为总子以列位四乗乗母三百二十四得一千二百九十六为总母乃以总母子求等得一十八俱约之总子得七十九为定子总母得七十二为定母以定子七十九乗棚道四十步得三千一百六十于次以棚道一四十步减徃来一百六十步余一百二十为平道以乗定七十二得八千六百四十加次共得一万一千八百又以踟蹰十加一放身下加一得一万二千九百八十仍于次又以载二十歩乗定母七十二得一千四百四十并次得一万四千四百二十为统数以定母七十二除统数得二百步不尽约为一十八分步之五为定一返步乃复通分内子得三千六百五为到法乃置程里六十以三百六十通之得二万一千六百步乗担上一尺三寸得二万八千八十尺以到母一十八乗之得五十万五千四百四十尺为到实实如法除得一百四十尺不尽七百四十与法求等得五约之为七百二十一分尺之一百四十八为到土复通分内子得一十万一千八十八又以壤母三因得三十万二千二百六十四尺为壤法次以到土母七百二十一乗壤积七百七十万尺得五十五亿五千一百七十万尺为壤实实如法而一得一万八千三百六工不尽一十四万九千二百一十六与法求等得三十二俱约之为一万八千三百六工九千四百七十七分工之四千六百六十三为担土工次列前土工图筑一万七千一百一十一工九分工之一及穿工一万二百六十六工三分工之二各通分内子筑率得一十五万四千穿率得三万八百担率一亿七千三百四十九万六百二十五按术当以通率图诸母互乗诸率令騐担母九千四百七十七可用筑母九约亦可用穿母三约故从省以筑母九约担母九千四百七十七得一千五十三为筑率乗数又以穿母三约担母九千四百七十七得三千一百五十九为穿率乗数各以乗数乗本率名曰就母图乃以九千四百七十七变名曰就母先以筑率一十五万四千乗乗数一千五十三得一亿六千二百一十六万二千为筑分次以穿率三万八百乗乗率三千一百五十九得九千七百二十九万七千二百为穿分就以担率一亿七千三百四十九万六百二十五为担分并三分共得四亿三千二百九十四万九千八百二十五为总工分实以就母九千四百七十七除之得四万九千六百八十五工九千四百七十七分工之三千八十为总用功具图如后置各县日程约税力得力率副并为科法工置甲县力一十三万三千八百六十六以一日程为之只得此为甲率又置乙县力二十三万七千九百八十四以二日约得一十一万八千九百九十二为乙率又置丙县力三十一万二千三百五十四以三日约得一十万四千一百一十八为内率列三求等得一万四千八百七十四俱约之甲得九乙得八丙得七各为定率副并得二十四具图如后乃以总分四亿三千二百九十四万九千八百二十五遍乗三县定率为各实以就母九千四百七十七乗并率二十四为科法甲得三十八亿九千六百五十四万八千四百二十五乙得三十四亿六千三百五十九万八千六百丙得三十亿三千六十四万八千七百七十五各为实法得二十二万七千四百四十八为科法除各实具图如后乃以科法除各实甲得一万七千一百三十一工不尽一十三万六千七百三十七为甲县工乙得一万五千二百二十八不尽二万四百五十六为乙县工丙得一万三千三百二十四不尽一十三万一千六百二十三为丙县工诸县不尽皆辈为一工甲合科一万七千一百三十二工乙合科一万五千二百二十九工丙合科一万三千三百二十五工按此以上所求担土定一返数误其到土工数及总用工数三县合科工数皆误盖题言筑台至少半至中半至太半当自平地至三分之一三分之一至二分之一二分之一至三分之二三分之二至台顶共四段其分数自下而上逐层数应取两分数之较草中所列诸分子下设一数上即列三分数其段数既不确又即用各分子全数故求得棚道七十二仅当平道七十九与题中所言二当五三当七当五之数显然不合矣今推歩改正于后法先求分子较以三之一为第一段分数以三之一与二之一分母对乗得六分母互乗分子三之一得六之二二之一得六之三相减余六之一得第二段分数以二之一与三之二分母对乗得六分母互乗分子二之一得三三之二得四相减余六之一为第三段分数以三分之二与全台三分之三相减余三之一为第四段分数然后列四段母数于右子数于左以各分母连乗又互乗分子得三百二十四为总分母第一段一百零八第二段五十四第三段五十四第四段一百零八为各分子求等数得五十四徧约之总母得六分子第一段得二第二段得一第三段得一第四段得二为各段分母子次列棚道一当平道一为下第一段三当五为第二段三当七为第三段二当五为第四段以棚道数为分母以平道数为分子分母连乗又互乗分子得一十八为总分母第一段得一十八第二段得三十第三段得四十二第四段得四十五为各分子求等数得三徧约之总母得六分子第一段得六第二段得十第三段得一十四第四段得一十五次列前后两分母分子(已约之数)各对乗得总母三十六分子第一段得一十二第二段得一十第三段得一十四第四段得三十并诸子得六十六为总子又求等得六各约之得定母六为棚道数定子一十一为平道数此即合全台数总计凡棚道六当平道一十一也乃以定子一十一乗棚道四十步得四百四十步为次以棚道四十步减一百六十步余一百二十步为平道以定母六乗之得七百二十步加次共得一千一百六十步以踟蹰加一于身得一千二百七十六步又以载输二十步乗定母六得一百二十步义加次共得一千三百九十六歩为统数以定母六除之得二百三十二步又三分步之二为定一返步乃复通分内子得六百九十八为到法乃置程里六十以三百六十步通之得二万一千六百步乗上一尺三寸得二万八千零八十尺以到法分母三乗之得八万四千二百四十尺为到实以到法除之得一百二十尺不尽四百八十约之为三百四十九分尺之二百四十旧名到土复到土复者一工每日所担之坚土数也通分内子得四万二千一百二十以壤母三因之得一十二万六千 百六十尺为壤法次以到土复母乗壤积七百七十万尺得二十六亿八千七百三十万尺为壤实实如法而一得二万一千二百六十七工不尽一千八百八十约之得三千一百五十九分工之四十七为担土工次列筑工穿工担工三数及分母分子互乗以齐之列三工数各通分内子得筑率一十五万四千穿率三万零八百担率六千七百一十八万二千五百验担母数筑穿二母数皆可度尽用就母法以筑母除担母得三百五十一为筑东率以穿母除担母得一千零五十三为穿乗率各以乗率乗本率得筑分五千四百零五万四千穿分三千二百四十三万二千四百担率六千七百一十万二千五百即为担分同以担分母为总分母乃并三分数得一亿五千三百六十六万八千九百分为实以总分母为法除之得四万八千六百四十四工不尽二千五百零四约之不变即命为三千一百五十九分二之二千五百零四为总用工数次置三县力役以里数远近通之先以乙丙二里数求等得六十各约之乙得二丙得三以乙二徧乗甲丙以丙三徧乗甲乙得甲率八十万零三千一百六十九乙率七十一万三千九百五十二丙率六十二万四千七百零八三率求等得八万九千二百四十四徧约之甲得乙得八丙得七各为率并率得二十四乃以工总分一亿五千三百六十六万八千九百分乗三县各率得甲实一十三亿八千三百零二万零一百乙实一十二亿二千九百三十五万一千二百丙实一十亿零七千五百六十八万二千三百以就母三千一百五十九乗并率二十四得七万五千八百一十六为科法除各实不尽者各进一工得甲县合科一万八千二百四十二工乙县合科一万六千二百一十五工丙县合科一万四千一百八十九工求甎者倍转道并濶六尺得一丈二尺遍加台上下广袤变各为上下濶长以甎厚六寸加台高先以甎长一尺二寸濶六寸厚二寸五分相乗之得一百八十寸为甎积法次列石版长五尺濶二尺厚五寸相乗得五千寸为石积法具图如后騐得诸法皆寸乃以变各图上下长濶直按术求率倍上长八百二十寸得一千六百四十寸加下长一千八百二十寸得三千四百六十乗上濶六百二十得二百一十四万五千二百为寄次倍下长一千八百二十得三千六百四十加上长八百二十得四千四百六十乗下濶一千六百二十得七百二十二万五千二百并寄得九百三十七万四百乗台直一千二百六寸得一百一十三亿七十万二千四百寸仍为寄乃騐土积图土率九千二百四十丈以一百万寸通之得九十二亿四千万寸以减寄余二十亿六千七十万二千四百寸如六而一得三亿四千三百四十五万四百寸为泛次置南道高五分之二北道高强半系四分之三及台原高一千二百寸具图如后乃以南道高子二乗原台高得二千四百寸为南寔以南道高子三乗原台高得三千六百寸为北寔各如本母而一得四百八十寸约为四丈八尺为南道两隅又为东外道巽隅高又为西道坤隅高所得九百寸约为九丈为北道两隅高又为西道干隅高又为东里道艮隅高具图如后以北道高九丈减台高一十二丈余三丈为上停高以南道高四丈八尺减北道高九丈余四丈二尺为中停髙命南道高四丈八尺为下停高三停高皆如履级寸而一得五十为东里道级数得七十为西道级数得八十为东外道级数次以上长八百二十寸减下长一千八百二十寸余一千寸以半之得五百寸为勾以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一半之(按上下长)(较已半得数又半之误)得一百寸为底率以率减下长一千八百二十余一千七百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺一寸五分为外道踏踪又以底率一百寸减底股一千七百二十寸余一千六百二十寸为中股乃以勾五百寸乗中停高四丈二尺得二十一万寸为实如台高一千二百寸而一得一百七十五寸为中率以中率减中股一千六百二十寸余一千四百四十五寸为上股以西道级七十除上股一千四百四十五寸得二尺一寸四分寸之九为西道踏踪又以勾五百寸乗上停高三百寸得一十五万寸为实如台高一千二百寸而一得一百二十五寸为上率并中率一百七十五寸得三百减上股一千四百四十五寸余一千一百四十五寸为实如里道级五十而一得二尺二寸九分为里道踏踪各得具图以见如后次以道濶六尺并下长一千八百二十寸得一千八百八十寸为补以南北道高并台高共得二千五百八十寸乗补得四百八十五万四百寸为需(按此二数不合)(其法太疎故也)次以上广五百寸减下广一千五百寸余一千寸为址乗南道高四百八十寸得四十八万寸为实以台高一千二百寸除之得四百寸为减率以减下广一千五百寸余一千一百寸为南道长并下广一千五百寸得二千六百乗南道高四百八十寸得一百二十四万八千寸加需又以址一千寸乗北道高九百寸得九十万寸为实亦如台高一千二百而一得七百五十以减下广一千五百寸余七百五十寸为北道长并下广一千五百得二千二百五十寸乗北道九百寸得二百二万五千寸又加需共得八百一十二万三千四百以半道濶三尺乗之得二亿四千三百七十万二千寸并泛三亿四千三百四十五万四百得五亿八千七百一十五万二千四百寸为共率次以基脚七层乗石版厚五寸得三十五寸为基高次倍道濶得一百二十并下濶一千六百二十寸得一千七百四十乗下长一千八百二十得二百一十六万六千八百为基率次以下广一千五百寸乗下袤一千七百寸得二百五十五万减基率余六十一万六千八百寸乗基高三十五寸得二千一百五十八万八千寸为石率以石率减共率余五亿六千五百五十六万四千四百寸为甎率以甎积法一百八十寸除之得一(按三讹一)百一十四万二千二十四片九分片之四乃以石积法五千寸除石率二千一百五十八万八千寸得四千三百一十七片为石版不尽三十寸弃之不辈合问按右草自求甎砌台身积至级数皆无误求踏踪数有误至求补数需数其法更多未合如题内云先用甎砌台身次用甎砌转道周围五带并濶六尺南北二平道东西三峻道如自台下艮隅南升至巽西折行至坤北升至干东折行至艮复南升至巽乃登台顶是南北二平道至台址皆如一面平堆形西峻道至台址东里峻道至台址皆上如一面三角斜堆下如一面平堆形东外峻道至台址如一面三角斜堆形法当按各形取积草中取二平道皆如法至取峻道乃以道濶并下长为补以南北道高台高三数并乗之为需然后以半道濶乗之为积其意殊不可解然以数考之有差至三之一者又台身外四面甎砌各加六尺转道东面加二层三面各加一层是台基长一十九丈四尺濶一十八丈草中以下濶为一千七百四十寸差少六尺下长仍用一千八百二十寸差少一丈二尺皆疎漏之误今自求踏踪至末皆另步之法以台上长减下长余一千寸半之得五百寸为勾率以乗南道高四百八十寸得二十四万寸为实如台高一千二百寸而一得二百寸为底率以减下长得一千六百二十寸为底股以外道级八十约之得二尺零二分半为东外道踏踪又以底率减底股余一千四百二十寸为中底以勾率五百乗中停高四百二十寸得二十一万寸如台高寸而一得一百七十五寸为中率以减中底余一千二百四十五寸为中股以西道级七十约之得一尺七寸七分又七分分之六为西道踏踪以中率减中股余一千零七十寸为上底以勾率五百乗上停高三百寸得一十五万寸如台高而一得一百二十五寸为上率以减上底余九百四十五寸为上股以里道五十约之得一尺八寸九分为里道踏踪次以道濶加下长与下停高相乗得九十万二千四百寸为倍东外峻道三角形立面中底与中停高相乗得五十九万六千四百寸为倍上下外濶相减余一千寸以北道高乗之得九十万以台高寸数除之得七百五十寸以减北下外濶得九百九十寸为北道上濶与北下外濶相加以北道乗之得二百四十五万七千寸为倍北道至台址平堆形立面并倍二面数得三百九十九万三千寸又并前五数之共数得九百九十六万九千寸以半道濶三十寸乗之得二亿九千九百零七万寸为共道峻道积又并前砌台身积三亿四千三百四十五万零四百寸得总积六亿四千二百五十二万零四百寸为共率次二因道濶与下长相加得一千九百四十寸与南道下外濶一千八百寸相乗得三百四十九万二千寸又以原下广一千五百寸下袤一千七百寸相乗得二百五十五万寸以减外长濶相乗余九十四万二千寸以石基三十五寸乗之得三千二百九十七万寸为西峻道上三角形立面中底下底并与下停高相乗得一百五十五万五千二百寸为倍西峻道下平堆形立面上底上停高相乗得三十二万一千寸为倍东里道上三角形立面上底下底并与中停高下停高并相乗得二百六十万零一千寸为倍东里道下平堆形立面倂五数共得五百九十七万六千寸比旧草所用需数大一百一十二万五千六百寸次求南北平道立面先以上下濶俱加三道濶得上外濶八百寸下外濶一千八百寸上下外濶相减余一千寸以南道高乗之得四十八万寸以台高寸除之得四百寸为减率以减下外濶得一千四百寸为南道上濶与下外濶相并以南道高乗之得一百五十三万六千寸为倍南道至台址平堆形立面又以上下濶各加倍道濶得北上外濶七百四十寸北下外濶一千七百四十寸北石率以石率减共率余六亿零九百五十五万零四百寸为甎率以甎长濶厚连乗得一百八十寸为甎法以石长濶厚连乗得五千寸为石法以甎法除甎率得三百三十八万六千三百九十一片九分片之一为共用甎数以石法除石率得六千五百九十四片为共用石数堂隍程筑问有营造地基长二十一丈濶一十七丈先令七人筑坚三丈计功二日今涓吉立木有日欲限三日筑了每日合收杵手几何答曰日收五百五十五工三分工之一术曰以长乗濶又乗原日原人为实以限日乗筑丈数为法除之得人夫草曰以长二十一丈乗濶一十七丈得三百五十七丈又乗原二日得七百一十四又乗原七人得四千九百九十八为工实以限三日乗原筑三丈得九为法除实得五百五十五工不尽三与法俱三约之为三分工之一为日收五百五十五工三分工之一合问砌甎计积问有交到六门甎一十五垜每垜高五尺濶八尺长一丈其甎毎片长八寸濶四寸厚一寸欲砌地面使用堂屋三间各深三丈共濶五丈二尺书院六间各深一丈五尺各濶一丈二尺后合四间各深一丈三尺内二间濶一丈次二间濶一丈五尺亭子地面之长濶几何答曰见有一十八万七千五百片今用一万六千四百六片四分片之一外余一十七万一千九十三片四分片之三术曰以少广求之置各地面深濶相乗以间数若所数乗之共为实甎长濶相乗为甎平法除得今用甎数次以甎垜高长濶相乗为实却以甎法乗厚得数为甎积法除之得毎垜甎数次以垜数乗之得见有甎以减今用甎得余甎草曰置堂濶五丈二尺乗深三丈得一十五万六千寸于上又置书院深一丈五尺乗濶一丈二尺得一万八千寸又以六间乗之得一十万八千寸加上共得二十六万四千寸并上又置后合濶一丈并濶一丈五尺得二丈五尺又以各二间乗之得五百寸以乗各深一丈三尺得六万五千寸加上得三十二万九千寸并上次置亭基一丈四尺自乗得一万九千六百寸以一十所乗之得一十九万六千寸又并上共得五十二万五千寸为实以甎长八寸乗濶四寸得三十二寸为甎平法除之得一万六千四百六片四分片之一为共用甎次置毎垜高五尺乗濶八尺得四千寸又乗长一丈得四十万寸为毎垜实却以甎平法三十二寸乗厚一寸只得三十二寸为甎积法除之得一万二千五百片又以十五垜乗之得一十八万七千五百片为见有甎内减今用甎余有一十七万一千九十三片四分片之三为外余瓦数合问数学九章卷七上
## 卷七下
钦定四库全书
数学九章卷七下 宋 秦九韶 撰营廷计定城筑问郡筑一城围长一千五百一十丈外筑羊马墙开壕长与城同城身髙三丈靣阔三丈下阔七丈五尺羊马墙髙一丈靣阔五尺下阔一丈开壕靣阔三十丈下阔二十五丈女头鹊䑓共髙五尺五寸共阔三尺六寸共长一丈鹊台长一丈髙五寸阔五尺四寸座子长一丈髙二尺二寸五分阔三尺六寸肩子髙一尺二寸五分阔三尺六寸长八尺四寸㡌子髙一尺五寸阔三尺六寸长六尺六寸箭窻三眼各阔六寸长七寸五分外眼比内眼斜低三寸取土用穿四坚三为率周廻石版铺城脚三层每片长五尺阔二尺厚五寸通身用甎包砌下一丈九幅(按九幅即九层)中一丈七幅上一丈五幅甎每片长一尺二寸阔六寸厚二寸五分䕶崄墙髙三尺阔一尺二寸(按此句赘盖下既论幅则不用)(阔下当云每幅之阔为甎之长数)下脚髙一尺五寸铺甎三幅上一尺五寸铺甎二幅每长一丈用木物料永定柱二十条长三丈五尺径一尺每条栽埋工七分串凿工三分爬头拽后木共八十条长二丈径七寸每条作工三分串凿工二分抟子木二百条长一丈径三寸每条作工二分搬扛工二分𫟃橛二千个每个长一尺方一寸每个工七毫𫟃索二千条长一丈径五分每条工九毫石版一十片匠一工搬一工每片灰一十觔搬灰千觔用一工甎匠每工砌七百片石灰每甎一觔芦席一百五十领青茅五百束丝竿筀竹五十条笍子水竹一十把每把二尺围镢手锹手担土杵手每工各六十尺火头一名受六十工部押壕寨一名管一百二十工每工日支新会一百文米二升五合欲知城墙坚积壕积壕深共用木竹橛索甎石灰芦茅人工钱米数各㡬何按题意掘土为壕以筑城城身及羊马墙身共积即壕身积语中未详羊马墙及壕周遶城外当长于城周题中未载距城尺数城墙用甎包砌当计三靣题中只计一靣皆属疎漏䕶险墙应以甎长为阔题中复言阔之尺数柱木䋲橛等径方长短术草不用其数题中亦皆开载未免冗繁然古啇功之略犹可见焉故于草中就其所问之意而改正之答曰城积二千三百七十八万二千五百尺坚积墙积一百一十三万二千五百尺坚积壕积三千三百二十二万尺穿积 壕深八丈 永定柱三万二百条每条长三丈五尺径一尺 爬头拽后木一十二万八百条每条长二丈径七寸 抟子木三十万二千条毎条长一丈径三寸𫟃橛子三百二万个每个长一尺方一寸 𫟃索三百二万条每条长一丈径五分 芦席二十二万六千五百领 青茅七十五万五千束每束六尺围筀竹七万五千五百竿 水竹一万五千一百把毎把二寸围 石版一万五千一百片城甎一千二百八十三万三千四百九十片 石灰一千二百九十八万四千四百九十觔 用工二百万三千七百七十工 新会二十万三百七十七贯文 支米五万九十四石二斗五升按右答数石版城甎石灰三数俱误余数亦多偶合具详草后术曰以啇功求之置城及墙上下广各并之乘髙进位半之各得每丈积率并之为共率先以每功尺除之又以诸色工各数乘之为土功丈率次置柱木橛索乘其每条叚功得各共功次置城方一丈自之乘用甎总幅数为实以甎长乘厚为则法除实得城身用甎次置鹊台座子肩子㡌子各髙阔长相乘为寄并之于上次箭窻眼髙依差寸求斜深虚积减寄余为女头甎实以则法乘甎阔为甎积法除之得女头台用砖又置䕶险墙髙以丈乘而半之又乘上下幅共数为实以砖阔厚相乘为法除之得䕶险墙用甎并三项用甎为都实以毎功片为法除之得甎匠功以每丈用石叚数求石匠工以搬每丈石求搬石工以片用灰数乘都甎得甎用灰以每丈石版数乘片用灰得石用灰并之为甎石共灰以每工搬灰数除之得搬灰工并诸作工为实以火头壕寨每管人数各为法除之得各数又并之为都工然后以城围通长偏乘诸项毎丈率积灰各工料得共数女头围(按旧图在术前其尺数多未合今改正移于此)草曰置城上广三丈并下广七丈五尺得一十丈五尺乘髙三丈得三千一百五十尺进位(按即)(十尺乘之)得三万一千五百尺半之得一万五千七百五十尺为每丈城积率置羊马墙阔五尺并下阔一丈得一十五尺乘髙一丈得一百五十尺进位得一千五百尺以半之得七百五十尺为羊马墙每丈积率并城墙二率得一万六千五百尺为共率以为实以镢锹担工杵手各六十尺为法除实得二百七十五工以四色因之得一千一百工为镢锹担土杵手工置永定柱二十条乘每条栽埋工七分得一十四工又乘串凿工三分得六工计二十工为永定柱工置爬头拽后木八十条乘作工三分得二十四工又乘串凿工二分得一十六工计四十工为爬头拽后木工置抟子木二百条乘作工二分得四十工又乘搬扛工二分得四十工计八十工为抟子木工置𫟃撅二千个乘作工七毫得一十四工𫟃索二千条乘作工九毫得一十八工计三十二工为橛索共工乃以城墙女头甎积求甎匠工置城身方一丈自乘一百尺于上次置下九幅中七幅上五幅并之得二十一幅乘上得二千一百尺甎长有寸以寸通之为二十一万寸为实(按此条误应减去三)(层石脚积余为甎实方合)以甎长一十二寸乘厚二寸五分得三十寸为则法(按则法即甎立长靣数葢论幅数则不用求积也)除实得七千片为城身甎数又置鹊台髙五寸乘阔五尺四寸得二百七十寸又乘长一丈得二万七千寸寄上又置座子髙二尺二寸五分乘阔三尺六寸得八百一十寸又乘长一丈得八万一千寸加寄又置肩子髙一尺二寸五分乘阔三尺六寸得四百五十寸又乘长八尺四寸得三万七千八百寸又加寄又置㡌子髙一尺五寸乘阔三尺六寸又乘长六尺六寸得三万五千六百四十寸又加寄共得一十八万一千四百四十寸共为寄其箭窻内外眼虽差三寸于斜深虚积将盈补亏与直深等以窻阔六寸乘长七寸五分得四十五寸又乘座阔三尺六寸得一千六百二十寸为窻积(按箭眼三当三因之此用一眼数误)以减寄余一十七万九千八百二十寸为实置甎则法三十寸乘甎阔六寸得一百八十寸为甎则法除实得九百九十九片为女头鹊台共甎又置䕶险墙髙三尺乘每丈得三千寸以墙法当半折之得一千五百寸又乘上下五幅得七千五百寸为实次以甎厚二寸五分乘阔六寸得一十五寸为甎法除实得五百片为䕶险墙甎次并三项甎八千四百九十九片为毎丈用甎都实以每工七百片为法除实得一十二工七百分工之九十九为甎工每丈用石版十片(按此条误应用一十六片二分)计一工搬石十片计一工甎每片用灰一觔命都甎即甎用灰之数又置每丈用石版一十片每片用灰一十觔相乘之得一百觔为石版用灰并甎用灰八千四百九十九得八千五百九十九觔为甎石用灰数为实以毎工搬一千觔为法除之得八工一千分工之四百九十九为搬灰工并石匠搬石二工通前列土工一千一百定柱工二十爬头拽后木工四十抟子木工八十橛索工三十二甎工一十二工七百分工之九十九(按此数误)搬灰八工千分工之四百九十九(按此)(数误)石匠搬石共二工(按此数误)并诸作工余分不同者合分术入之共得一千二百九十四工七千分工之一千四百八十九(按甎工差多一工石工差少一工故相并之工数无差分子则差少四千)(八百五十二分)通分内子得一百二十九万五千四百八十九为众工实置火头每管六十人分母乘之得六万为法(按数误分母七千乘六十应得四十二万)除都工实得火头二十一人六万分之三万五千四百八十九壕寨每部一百二十人就倍火头法六万为十二万亦除众工实得壕寨十人十万分之九万五千四百八十九列两余分及前诸作工余七千分之一千四百八十九三项以合分术入之得一工不尽五十万四十亿分之三十万二千三百六十九亿四千万分求等又约之为八十四万分之五十万三千九百四十九分乃又并之共得一千三百二十六工其余分大约百分中之五十九在半以上收为一工共定得一千三百二十七工(按此数偶合)为每丈都工然后以城通长徧乘乘诸项置城长一千五百一十丈乘城率一万五千七百五十尺得二千三百七十八万二千五百尺为城坚积又以城长乘墙率七百五十尺得一百一十三万二千五百尺为墙坚积并城墙二积得二千四百九十一万五千尺又以墟率四因之得九千九百六十六万尺为实以坚率三约得三千三百二十二万尺为壕积以为实以壕阔三十丈并下阔二十五丈得五十五丈以半之得二百七十五尺乘壕长一千五百一十丈得四十一万五千二百五十尺为壕法除实得八丈为壕深求工料共数如术以城通长徧乘丈率工永定柱爬头拽后木抟子木橛子木𫟃索芦席筀竹水竹青茅城甎石版石灰各得以共工乘日支钱米得共钱米更不立革按草中法数有不合者逐条改正如左一题言城脚周廻铺石版三层通身用甎包砌应于先求得一丈自乘幅数再乘之二十一万寸数内减去三层石脚之一万三千五百寸余一十九万六千五百寸为甎实以甎则三十寸除之得六千五百五十觔为甎数草中即以全积为甎实故得数差多四百五十片一女头鹊台全积一十八万一千四百四十寸一箭窻虚积一千六百二十寸三眼应三因之得四千八百六十寸以减全积余一十七万六千五百八十寸为实以一甎积一百八十寸除之得九百八十一片为甎数草中只减一眼虚积故得数差多一十八片一并城墙鹊台䕶险墙三甎数得共用甎八千零三十一片草中差多四百六十八片一题言城脚铺石版三层应以甎阔六寸乘九幅得五十四寸以一丈乘之得五千四百寸三因之得一万六千二百寸为实以石之长阔相乘得一千寸为法除之得一十六片二分草中并无求法但云毎丈用石版十片差少六片二分一石每片用灰十觔甎每片用灰一觔毎丈石用灰一百六十二觔甎用灰八千零三十一觔二共用灰八千一百九十三觔草中石用灰差少六十二觔甎用灰差多四百六十八觔二共用灰差多四百零六觔一石十片二工甎七百片一工灰千觔一工每丈应用石工三工二分四厘甎工一十一工七百分工之三百三十一灰工八工千分工之一百九十三并之又并土工一千一百工定柱工二十工爬头木工四十工抟子木工八十工橛索工三十二工共得一千二百九十四工七千分之六千三百四十一草中分子为一千四百八十九差少四千八百五十二分一求大头工应以共工分母通工数内子为实以分母通所受六十人为法除实得火头二十一工又一十四万分工之八万一千四百四十七草中误以千分通之故分母子数不合求壕寨应仍用前实以分母七千通所管一百二十人为法除实得壕寨十工又二十八万分之二十二万一千四百四十七草中同前误分母子数不合一前共工火头壕寨三分数通而并之得二工又二十八万分之七万七千九百八十一然后总并之得一千三百二十七工又二十八万分工之七万七千九百八十一其分子不及分母十之三弃之即以一千三百二十七工为定数草中分子仅进一工余数及十之六又进一工故所得定工数亦同一共用石版二万四千四百六十二觔答数内差少九千三百六十二觔一共用甎一千二百一十二万六千八百一十觔答数内差多七万零六百六十八觔一共用灰一千二百三十七万一千四百三十觔答数内差多六十一万三千六十觔右十余条皆依旧草正其舛讹至立法之疎密未暇论也楼橹功料问筑城合葢楼橹六十处每处一十间䕶险髙四尺长三丈厚随甎长卧牛木一十一条长一丈六尺径一尺一寸搭脑木一十一条长二丈径一尺㸔壕柱一十一条长一丈六尺径一尺二寸副壕柱一十一条长一丈五尺径一尺二寸挂甲柱一十一条长一丈三尺径一尺一寸虎蹲柱一十一条长七尺五寸径一尺仰艎板木四十五条长一丈径一尺二寸平靣板木三十五条长一丈径一尺二寸串挂枋木七十三条长五尺径一尺仰板四八甎结砌三层计六千片每片用灰半觔共用纸觔一百觔墙甎长一尺二寸阔六寸厚二寸半中板瓦七千五百片一尺钉八个八寸钉二百七十个五寸钉一百个四寸钉五十个丁环二十个用工三百九十六人欲知共用工料各几何(按䕶险墙每甎一片用灰一觔题内缺)答曰卧牛木六百六十条 搭脑木六百六十条㸔壕柱六百六十条 副壕柱六百六十条挂甲柱六百六十条 虎蹲柱六百六十条 串挂枋四千三百八十条 仰板木二千七百条 平板木二千一百条 城甎四万八千片 四八甎三十六万片 石灰二十万八千觔 纸觔六千觔 中板瓦四十五万片 丁环一千二百个 一尺钉四百八十个 八寸钉一万六千二百个 五寸钉六千个 四寸钉三千个 用工二万三千七百六十人术曰以啇功求之置墙髙乘长得寸为实以甎阔乘厚为法除之得用甎及用灰以处数并乘诸工料得总用工料草曰置墙髙四尺通为四十寸置长三丈通为三百寸相乘得一万二千寸为实以甎阔六寸乗厚二寸五分得一十五寸为法除之得八百片为墙甎又为灰并四八甎灰三千觔共灰三千八百觔乃以六十处徧乗总用工料卧牛木搭脑木㸔壕柱副壕柱挂甲柱虎蹲柱仰板木平板木串挂枋木四八甎城甎石灰纸觔中板瓦一尺钉八寸钉五寸钉四寸钉钉环工数各项总数在前计造石坝问创石坝一座长三十丈水深四丈二尺令靣阔三丈石版每片长五尺阔二尺厚五寸用灰一十觔每层髙二尺差阔一尺石匠每工九片搬扛五片用工四人搬灰兼用每工一百一十觔火头每名管六十人部押每名管一百二十人所用石湏依原叚不许凿动欲知坝下阔及用石并灰共工各几何答曰坝下阔五丈 石版一十万八千片 石灰一百万八千觔 用夫一十万三千五百二十八工十一分工之八术曰以啇功求之招法入之置层髙尺数乗靣阔及长为初率次以差阔尺数乗髙又乗长为次率却以石版长阔厚相乗为法以除二率各得石版为上积及次积置深以层髙尺数约之得层数对二积列之一行各添一拨天地数各以累乗对约之得乗率以对上次积并之为石版以每觔用灰乗石为灰数以匠工片数约版得石匠以搬夫数乗石版为实以扛片数为法除之得人数以搬用灰数除灰得人数并诸工以火头管数约之为火头半之为部草曰置层髙二尺靣阔三丈相乘得六十尺又乘长三十又得一万八千尺为初率次以差阔一尺乘髙二尺又乘长三十丈得六百尺为次率却以石版长五尺阔二尺厚五寸相乘得五尺为法以除二率得三千六百片为初积一百二十片为次积列右行置深四丈二尺以每层二尺约之得二十一层乘初积三千六百片得七万五千六百片于上次置二十一层减一余二十以乘二十一层得四百二十半之得二百一十乗次积一百二十觔得二万五千二百片加入上共得一十万八百片为石版数次置二十一层减去一余二十以差阔一尺乗之得二丈并上阔三丈共得五丈为下阔之数又置石一十万八百片以每工九约得一万一千二百置石版数以搬扛四人乗之得四十万三千二百为实以五片为法除之得八万六百四十工又置石版数以每片用灰一十觔乗之得一百万八千觔为灰实以毎人担用一百一十觔约之得九千一百六十三工一十一分工之七为灰工于上又并石版工一万一千二百及并搬扛工八万六百四十工加上共得一十万一千三工一十一分工之七通分内子得一百一十一万一千四十为实置火头每名管六十工以乗分母一十一得六百六十为法除实得一千六百八十三工不尽二百六十与法约之为三十三分工之一十三为火头工数半之得八百四十一工三十三分工之二十三为部押壕寨数今众工下十一分工之七以母十一除火头分母三十三得三以三因众工下母子为一十万一千三工三十分工之二十一并三项母子得一十万三千五百二十九工分子五十七满母三十三收一工余二十四与母各三约为十一分工之八为共用一十万三千五百二十八工十一分工之八筑埂均功问曰县共兴筑圩埂长三十六里半甲县出二千七百八十人乙县出一千九百九十人丙县出一千六百三十人丁县出一千三百二十人其甲县先差到一千五百四十四丙县先差到九百六十五夫欲知各合赋役埂长几何(里法三百六十歩)筑曰甲先到人筑二千六百二十八歩(计七里一百八歩)丙先到人筑一千六百四十二歩半(计四里二百二)(歩半)术曰以啇功求之置里通歩作尺为积率并诸县人数为均法法与率可约者约之以科率各乗先到人为实皆法而一各得先筑里歩为先赋埂长续到人合赋功凖此求之草曰置三十六里五分以里法三百六十歩通之得一万三千一百四十歩又以歩五尺乗之得六万五千七百尺为长率并甲乙丙丁县四县合科人得七千七百二十为均法合法与率可求等得二十以约之率得三千二百八十五法得三百八十六以长率三千二百八十五尺乗甲县先到人一千五百四十四夫得五百七万二千四十人为甲实实如法三百八十六而一得一万三千一百四十尺以歩五尺约之得二千六百二十八歩为甲县先到人所筑积歩又以长率三千二百八十五乗丙县先到人九百六十五夫得三百一十七万二十五尺为丙实实如法三百八十六而一得八千二百一十二尺五寸以歩法五尺约之得一千六百四十二歩半为丙县先到人所筑歩计浚河渠问开通运河就土筑堤令面广六丈底广四丈上流深八尺下流深一丈六尺长四十八里其堤下广二丈四尺上广一丈八尺与河等未知髙以墟四坚三为率秋程入功每名自开运筑墟坚共积常六十尺筑堤至半为棚道取土上下工减五分之一限一月毕欲知河积及堤积尺共用工并日役工数及堤髙各几何答曰河积六千二百二十万八千尺 堤积四千六百六十五万六千尺 堤髙二丈一尺七分尺之三 共用工二十四万四千九百四十四 日役工八千一百六十四五分工之四按共用工日用工二数俱误若以共工分工积则每工各得四百四十四尺余其不合明矣辨详草后术曰以啇功求之并河上下广于上并河上下流深乗之又以长乗为实以四为法除得河积以坚率乗河积为实以墟率为法除得堤积并堤上下广乗堤长半之为法除堤积得堤髙并河堤二积以棚道母半之副置以棚道减工子乗之以棚道减工母除之得数以并其副共为寄以子减母余乗常尺为増子以母乗常尺为増分并増分増子乗寄倍为用工实以増分乗増子又乗限月日为法除实得用人工数草曰置河上广六丈并底广四丈通之折半得五十尺于上又置河上流深八尺并下流深一丈六尺并之折半得一十二尺以乗上数得六百尺为次置长四十八里以尺里法二千一百六十通之得一十万三千六百八十尺得堤河长以乗次得六千二百二十万八千尺为河积以坚率三因河积得一亿八千六百六十二万四千尺为实以穿率四为法除之得四千六百六十五万六千尺为堤积置上广一丈八尺下广二丈四尺并之为四十二尺以乗堤长一十万三千六百八十尺得四百三十五万四千五百六十尺以半之得二百一十七万七千二百八十尺为法除堤积得二十一尺为堤髙不尽九十三万三千一百二十与法求等得三十一万一千四十俱约之为七分尺之三次置河积六千二百二十万八十尺并堤积四千六百六十五万六千尺得一亿八百八十六万四千尺以棚道筑至半是二除之得五千四百四十三万二千尺副之先以减工之子一(按此以下法皆)(误)乗之只得此数为实乃后以减工母五为法除之得一千八十八万六千四百尺并副五千四百四十三万二千尺共得六千五百三十一万八千四百尺为寄以折减工五分之一以子一减母五余四以乗常尺六十得二百四十尺为増子以母五乗常尺六十得三百尺为増分以二増并之得五百四十乗寄得三百五十二亿七千一百九十三万六千尺以半之得一百七十亿三千五百九十六万八千尺为用工实(按此下又有脱误)得八千一百六十四为每日人工数不尽一百七十二万八千与法求等四十三万二千俱约之为五分工之四得每日用工八千一百六十四工五分工之四复通分内子得四万七百二十四以三十日乗之得一百二十二万一千七百二十为寔仍以母五约之得二十四万四千三百四十四工为共用工合问按草中求堤积至宻至㨗诚数家之要法也至减工子母乗除而下则法与数皆有误焉葢题言棚道减工五分之一是棚道为平道四分之五也四为分母五为分子应以分子五乗上下积五千四百四十三万二千尺得二亿七千二百一十六万尺以分母四乗副半积得二亿一千七百七十二万八千尺并之得四亿八千九百八十八万八千尺为实以分母四乗常尺六十得二百四十尺为法除实得二百零四万一千二百工为共工数以一月三十日除之得六万八千零四十工为每日工数或置分子五乗上半积之得数于上又并分子母得九乗常尺六十得五百四十尺乗上数得一千四百六十九亿六千六百四十万尺为实以分母四乗六十尺得二百四十尺为增母以分子五乗六十尺得三百尺为増子増母子相乗得七万二千尺为法除实得共工数亦与前同此特不用副半积数然不若前法之省草中以五为分母以一为分子母子既以颠倒而又以余分为分子后虽易一为四而母子之名未正故其中累乗累除之数漫无可据而所差甚逺也围田先计问有草荡一所广三里纵一百一十八里夏日水深二尺五寸与溪靣等平溪阔一十三丈流长一百三十五里入湖冬日水深一尺欲趁此时围里成田于荡中顺纵开大港一条磬折通溪顺广开小港二十四条其深同其小港阔比大港六分之一大港深比大港靣三分之一大小港底各不及靣一尺取土为埂髙一丈上广六尺下广一丈二尺荡纵当溪其岸髙广倍其埂数上下流各立斗门一所湏令田内止容水八寸遏余水复溪入湖里法三百六十歩歩法五尺欲知田积埂土积大小港底靣深阔冬夏积水田港容水过水溪靣泛髙几何按题意掘土为港即以其土四邉为埂当溪者髙阔倍之余三邉等语皆未详答曰田积一千八百六十六顷八畆二十四歩埂土积九百六十五亿五千二百万立方寸大港靣阔六丈一尺七寸 底阔六丈七寸 深六尺八寸 小港靣阔一丈二寸六分寸之五 底阔九尺二寸六分寸之五深六尺八寸 夏积水二万八千六百七十四亿立方寸 冬积水一万一千四百六十九亿六千万立方寸 田容水九千七十二亿六千九百一十二万立方寸 港容水九百六十五亿五千二百万立方寸(港上者在田内)遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万立方寸溪靣泛髙一尺三寸一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一按题言大港深比大港靣三分之一答数中大港靣六丈一尺七寸深六尺八寸是九之一不足而非三之一矣此数与题不合以下俱误草曰先通歩法为五十寸通三百六十歩得一万八千寸为里法以里法通荡广三里得五万四千为广率又通荡纵一百一十八里得二百一十二万四千为纵率以纵并广率得二百一十七万八千为和以纵率乗广率得一千一百四十六亿九千六百万为寄三因纵率二百一十二万四千得六百三十七万二千于上倍和二百一十七万八千得四百三十五万六千加上得一千七十二万八千为叚次以埂上广六尺并下广一丈二尺得一十八尺乗半埂髙五十寸得九千寸又乗叚一千七十二万八千得九百六十五亿五千二百万为土积亦为港容水以港阔母六因土积得五千七百九十三亿一千二百万为实以阔子一乗小港二十四条又乗广率五万四千得一百二十九万六千为泛以阔母六因纵率二百一十二万四千得一千二百七十四万四千并泛得一千四百四万为隅开平方(按大港阔六分差一尺小港阔一分差一尺故)(此法不免有差)得二百三寸不尽七百三十七万六千四百收为所得一寸乃得二百四寸为堢以深子一乗之以深母三除得六尺八寸为大小港等深次以深母三因堢二百四寸得六百一十二寸为实如深子一而一得六丈一尺二寸为中以不及一尺半之得五寸加中得六丈一尺七寸(按如此则不成分数矣)为大港靣阔如母六而一得一丈二寸六分寸之五为小港靣以不及一尺各减大小港靣得六丈七寸为大港底得九尺二寸六分寸之五为小港底次以埂下广一丈二尺乗叚一千七十二万八千寸得一十二亿八千七百三十六万为址以大港靣六丈一尺七寸乗隅一千四百四万得八十六亿六千二百六十八万为实以阔母六除之得一十四亿四千三百七十八万为港平以并址一千二亿八千七百三十六万得二十七亿三千一百一十四万减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百一十九亿六千四百八十六万为田积寸以歩法五十寸自乗得二千五百除积寸得四千四百七十八万五千九百四十四歩为田积歩以畆法二百四十歩约之得一千八百六十六顷八畆不尽二十四歩为田积以址一十二亿八千七百三十六万减寄一千一百四十六亿九千六百万余一千一百三十四亿八百六十四万乗令容水八寸得九千七十二亿六千九百一十二万为田容水次以夏水深二尺五寸乗寄一千一百四十六亿九千六百万得二万八千六百七十四亿寸为夏积水次以冬水深一尺乗寄得一万一千四百六十九亿六千万寸为冬积水乃以田容水九千七十二亿六千九百一十二万并港容水九百六十五亿五千二百万得一万三十八亿二千一百一十二万减夏积水二万八千六百七十四亿寸余一万八千六百三十五亿七千八百八十八万为遏出水当以八节乗之岁日三百六十除之为实今从省先以八节约岁日三百六十得四十五为率次以里法一万八千寸通流长一百三十五里得二百四十三万又乗溪阔一十三丈得三十一亿五千九百万以乗除率四十五得一千四百二十一亿五千五百万为法除遏出水一万八千六百三十五亿七千八百八十八万得一尺三寸为溪靣泛髙不尽一百五十五亿六千三百八十八万与法一千四百二十一亿五千五百万求等得一百八万俱以约之为一十三万一千六百二十五分寸之一万四千四百一十一为泛髙寸下分母之数合问按草中自求大小港阔深以后既与题问不合且法多疎漏今以立天元一术推明求大小港阔深之法于后至田积水积等不过幂积体积相较初无深义可无论也法立天元一为一分六因之得六元为大港阔减十寸得六元少十寸为大港底阔并之得十二元少十寸以半深一元乗之得十二平方少十元以纵率因之得二千五百四十八万八千平方少二千一百二十四万元又以天元一为小港阔减十寸得一元少十分为小港底阔并之得二元少十寸以半深一元因之得二平方少十元以二十四广率因之得二百五十九万二千平方少一千二百九十六万元并二数得二千八百零八万平方少三千四百二十万元与土埂共积等而邉各以一万除之得二十八百零八平方少三千四百二十元与九百六十五万五千二百寸等三数又求等得三十六徧约之得七十八平方少九十五元与二十六万八千二百寸等乃以寸数为实以元数为纵以方数为隅开带纵平方得方邉为一分数五尺九寸(二五○五三二九)即小港阔减一尺得四尺九寸(二五○五三二九)为小港底阔六因一分数得三丈五尺五寸(五三○一九七三)为大港阔减一尺得三丈四尺五寸(五○三一九七三)为大港底阔二因一分数得一丈一尺八寸(五○一○六五八)为同深以此转求共港容水数乃与共土埂原积数相合数学九章巻七下
## 卷八上
钦定四库全书
数学九章巻八上 宋 秦九韶 撰军旅计立方营问一军三将将三十三队队一百二十五人遇暮立营人占立地方八尺须令队间容队师居中央欲知营方几何答曰方营一百七十一丈 队方九丈术曰以少广求之置人占方幂乗每队人为队实以一为隅开平方所得为队方图(或开不尽就为全尽)次置队数乗将数又四因之増三为寔以二为从隅开平方得率以乗队方面为营方面(开不尽为全数)按旧图各队四眼内每人作一小圆为识今去之总图内各队仍画四眼今只以一小方为一队旧总图太大难于捡阅今收入半页内又按总图内系百队筭内只有九十九队图中应虚一队旧本未详草曰置人占八尺自乗得六十四尺为人占方幂以乗每队一百二十五人得八千尺为寔以一为隅开平方歩法常超一位今隅超一度至寔之百下约寔置啇八十尺以啇八十生隅一得八十为方乃命上啇除寔讫实余一千六百次以啇生隅入方得一百六十毕方一退隅再退之复于上啇之次续啇九尺乃以续啇九生隅一入方得一百六十九乃命续啇除寔讫得八十九尺不尽七十九尺就为九十尺得队方面次置三十三队乗三将得九十九又四因得三百九十六増三得三百九十九为寔以二为从方一为从隅开平方歩法以从方进一位至寔之十下隅隅超一位至寔之百下乃约寔置啇一十生隅一入方得一十二乃命上啇除寔讫余二百七十九又以啇一十生隅入方得二十二毕方一退隅再退之续于寔上啇九队以续啇九生隅入方得三十一乃命续啇除寔适尽得一十九乗队方面九十得一千七百十尺展为营方一百七十一丈合问方变锐阵问歩兵五军军一万二千五百人作方阵人立地方八尺欲变为前后锐阵阵后阔令多原方面半倍阵间仍容骑路五丈以上顺锐形出入求方阵面锐阵长及前后锐阵各布兵几何答曰方面二百丈 方面布兵二百五十人 锐后广二百丈 锐广列共三百六十二人锐通正长三百丈 骑路二条各阔五丈三尺 内锐阵广一百四十五丈六尺列一百八十二人长一百四十五丈六尺计布兵一万六千六百五十三人 外锐两广各七十二丈列九十人计布兵四万五千八百四十七人按锐阵数惟内锐数合外锐通广丈数及布兵数皆不合详见草后术曰以少广求之置兵开平方得方面人数(开不尽方为补)(队)以人立尺数乗之为原方面置原方面以欲多数加之为锐后阔亦为通长倍马路减之余为实以人立尺约为阔布兵不尽半归马路以四约阔布兵得外锐一邉人倍一邉人并不归为内锐长阔人数副置减一余乗其副得数半之为内锐布兵以减总兵余为外锐布兵计立六万二千五百人锐后广通长各三百丈内锐立一万六千六百五十三人外锐立四万五千八百四十七人(按旧图式不细且在题后今改正移于此)草曰置一军一万二千五百以五军因之得总兵六万二千五百人为寔开平方得二百五十人以人立八尺乗之得方面二百丈置二百丈加半倍一百丈得三百丈为锐阵后阔亦为锐阵道长先倍骑路五丈得一十丈以减后阔二百丈余二百九十丈为实以人立八尺约之得三百六十二为锐后阔布兵不尽四尺以半之得二尺軰归骑路作五丈二尺以四约锐后阔布兵三百六十二人得九十人为外锐一邉人倍一邉九十得一百八十并不尽二人共得一百八十二人为内锐广布兵数亦为长布兵副置加一得一百八十三乗副一百八十二得三万三千三百六以半之得一万六千六百五十三人为内锐阵布兵以减总兵六万二千五百余四万五千八百四十七人为外锐兵按草中以内锐阵兵数减前方阵兵数余为外锐阵兵数非是盖无以知两总数为相等也试以数明之依束箭法以总阔求得总三角数七万零五百以锐阔求得内三角数一万六千六百五十三又以每人八尺除两骑路濶十丈零四尺得一十三人与内锐阔相加得阔二百求得内外间三角数二万零一百置总三角数减内外间三角数加内三角数得六万七千零五十三与前方阵兵数相较多四千五百五十三安得谓之等乎今另设歩法于后法设骑路之阔当二十人先以总三角数与前方阵数相减得今多八千人乃倍骑路阔人数得四十人为截骑路上小三角之阔求得小三角数八百二十以减今多数余七千一百八十为寔以四十为法除之得一百七十九人为内锐阔余二十人依术内不尽者为补队兵次置总阔减去内阔余一百九十六人再减并骑阔四十人余一百五十六人半之得七十八人为外后阔是内锐阔长皆为一百七十九人外锐长为三百七十五人后两阔共一百五十六人骑路阔二十人乃以内锐阔求得内三角数一万六千一百一十人以内阔并两骑阔得二百一十九人为阔求得内外间三角数二万四千零九十人未置总三角数内减去内外间三角数余四万六千四百一十人加内三角数得六万二千五百二十人再减补队兵二十人得六万二千五百人与方阵总兵原数脗合圆营敷布问周制一军欲布圆营九重毎卒立圆邉六尺重间相去比立尺数倍之于内摘差兵四分之一出竒不可缩营示弱须令仍用原营布满余兵欲知原营内外周及立人数并出竒后每卒数立尺数外周人数各几何答曰周制一军一万二千五百人出竒三千一百二十五人 原内周八百四丈立一千三百四十人原外周八百六十一丈六尺立一千四百三十六人 出竒后原外周立一千八十九人原内周立一千一十六人内外周人立七尺九寸一分术曰以啇功求之置重数减一余为叚以叚乗圆差为衰以衰乗重数为率求圆周以率减兵余如重数而一得内周人数不满为余兵以人立圆邉乗内周人得内周尺倍衰乗圆邉为泛以泛并内周尺得外周尺为实如圆邉而一得外周人求出竒后以率加存兵如重数而一得外周人不满为余兵以外周人约原外周尺得后立尺以后立尺约原内周得内周人按求圆阵草中用圆束法圆束实六等邉形非图形也盖圆形重数相距等则弧邉上相距不等弧邉上相距等则重数相距不等惟圆束可并取相等故用其法至次阵减人数不减营周尺数则各重周上相距不能相等故草中又以尺数求内周人数然未免与圆束逐层相差数不合亦仅取其大畧也又旧用二图各㸃为圆周九重今用一图㸃为六等邉形三重惟取易见则二图九重其理一也草曰置九重减一余八为叚以乗圆束差六得四十八为衰(按圆束每层差不今内外重数相距倍于人立相距则每层差一十二为倍差常法重数)(减一与半差相乗为衰今倍差故即与差数相乗为衰也)九重得四百三十二为率求原周以率四百三十二减周制一军一万二千五百余一万二千六十八为实如重数九而一得一千三百四十人为内周人数不满八人为余兵次以人立圆邉六尺乗内周人一千三百四十得八千四十尺收作八百四丈为内周尺数倍衰四十八得九十六乗圆邉六尺得五百七十六尺为泛以泛五百七十六尺并内周八千四十尺得八千六百一十六尺为外周尺以外周尺八千六百一十六为实如圆邉六尺而一得一千四百三十六人为外周人数求出竒后以竒母四约一万二千五百得三千一百二十五为竒兵以减总军余九千三百七十五为存兵次以率四百三十二加之得九千八百七十为实加重数九而一得一千八十九为外周人不尽六次以原外周八千六百一十六尺为实以外周人一千八十九约之得七尺九寸一分不尽二尺一分与法求等得三俱约之为分下三百六十三分之六十七置原内周八千四十尺为实以后立尺七尺九寸一分约之得一千一十六为内周人数不尽三尺四寸四分为寛地本术所求内外周之人数既定不拘竒出竒入皆以六人为重差或累差加减各得诸重围数或并九重人课总军存兵计布圆阵问歩率二千六百人为图阵人立圆九尺形如车辐无丽布阵阵重间倍人立圆邉尺数须合内径七十二丈圆法用周三径一之率欲知阵重几数及内外周通径并所立人数各几何答曰内周二百一十六丈立二百四十人 外周三百二丈四尺立三百三十六人 通径一百丈八尺阵计九重(不尽八人)术曰以啇功求之以圆率因内径为内周以人立尺约之为内周人数乃以圆求差率为隅次置内周人减隅余约从方列兵数为寛开平方得重数不尽为余兵置重数减一余四因又乗圆邉尺数并内径共为通径以圆率因通径得外周按旧本有图前题同今删去草曰以圆率三因内径七十二丈得二千一百六十尺为内周以圆邉九尺约内周得二百四十为内周人数乃以圆束差六为从隅次置内周二百四十人减隅余二百三十四为从方列兵二千六百为寔开平方歩法从方进一位隅法超一位今方隅皆不可超进乃于寔约啇置九重以啇生隅六得五十四増入从方内共得二百八十八乃命上啇九重除寔讫寔余八人为余兵副置九重减一余八以四因之(按九)(重八间径両端应二因之间倍于立歩又应二因之今合为四因)得三十二又乗图邉九尺得二百八十八尺并内径七百二十尺得一千八尺为通径又以圆率三因通径得三千二十四尺为外周次以圆邉九尺为法除外周尺数得三百三十六人为外周人数合问按圆束环积有内周求重数法置积为寔圆束差半之为从隅又以半差减内周余为从方开平方得重数此圆束环积每层为倍差故即以圆束差为从隅减内周为从方也又按周三径一正与六邉形相合故人数尺俱无竒零也数学九章卷八上
## 卷八下
钦定四库全书
数学九章卷八下 宋 秦九韶 撰军旅军器功程问今欲造弓刀各一万副箭一百万只据工程七人九日造弓八张八人六日造刀五副三人二日造箭一百五十只作院见管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人欲知毕日㡬何答曰造弓一万张三百九十三日四分日之三造刀一万副一百七十七日九分日之七造箭一百万只一百四十四日二百七分日之一百八十二(按六十九分之六十四讹二百七分之一百八十二)术曰以粟米求之互换入之置各功程原人率于右行置原日数于中行置欲求数为左行以三行对之为各实列右行置原物数于中行置见𬋩人为左行以左行乘中行各为法以对除右行各得日数草曰置原造弓七人造刀八人造箭三人于右行次置造弓九日造刀六日造箭二日列中行又置于造弓一万欲造刀一万欲造箭一百万列左行以三行对乗次列原造弓八张刀五副箭一百五十只放中又列见管弓作二百人刀作五百四十人箭作二百七十六人于左行以两行对乗之上得一千六百中得二千七百下得四万一千四百各为法先以上法一千六百除寄右行弓日实六十三万日得三百九十三日为造弓一万张日数不尽一千二百与法求等得四百俱约之为四分日之三次以中得二千七百除寄右行刀日实四十八万日得一百七十七日为造刀一万副日数不尽二千一百与法求等得三百俱约之为九分日之七次以下法四万 百除寄右行箭日实六百万日得一百四十四日为造箭一百万只日数不尽三万六千四百日与法四万一千四百求等得二百俱以约之得二百七分日之一百八十二为造箭日分合问(按不尽数三万八千四百误为三万六千四百分母六十九讹二百零七分子六十四讹一百八十二)计造军衣问库有布绵絮三色计料欲制军衣其布六人八疋少一百六十疋七人九疋剰五百六十疋其绵八人一百五两剰一万六千五百两九人一百七十两剰一万四千四百两其絮四人一十三斤少六千八百四斤五人一十四斤适足欲知军士及布绵絮各几何答曰兵士一万五千一百二十人 布二万疋绵三十万两 絮四万二十三百二十六斤术曰以盈拙求之置人数于左右之中置所给物各于其上置盈拙各于其下令维乘之先以人数互数乘其所给率相减余为法次以人数相乘为寄后以盈拙互乘其上未减者是谓未乘騐其下系一盈一拙以上下皆并之为物其上并之实其下并之乘寄为兵寔如法而一各得騐其系两盈或两拙者以上下皆相减之其上减之余为物寔其下减之余乘寄为兵寔二寔皆如法而一各得騐其或一盈一足或一拙一足者其适足乃以空互乘其上未减者去之只以所用盈拙数互乘其上为物寔以盈或拙一数乘寄为兵寔皆如法而一各得求布草曰置布于六人左中八疋于左朏上一百六十四疋于左下置七人于右中九疋于右上盈百五六十于布下先以左右之中六七互乘左右之上讫左上得五十五右上得五十四以相减之余二为法次以左右中六七相乘得四十二为寄于中次以左下亏一百六十乘右上未减五十四得八十六百四十又以右下盈五百六十乘左上未减五十六得三万一千三百六十验得左右之下系一盈一朏当并之以三万一千三百六十并右上八千六百四十得四万为布实次以左下朏一百六十并左下盈五百六十得七百二十乗寄四十二得三万二百四十为兵实二实皆如法二而一得二万疋为布得一万五千一百二十为兵求布图求绵草曰置八人于左中绵一百五十两于左上余一万六千五百两于左下次置九人于右中一百七十两于右上余一万四千四百两于右下以左右中八九五乘各上讫左上得一千三百五十右上得一千三百六十相减余一十为法次以中八九相乘得七万二为寄于中次以左下一万六千五百乘右上一千三百六万得二千二百四十四万却以右下一万四千四百乘左上一千三百五十得一千九百四十四万验其下系两盈当相减之其右上余三百万为绵实其左右之下亦相减之余二千一百乘寄七十二得二十五万一千二百为兵实二实皆如法一十而一绵得三十万两兵得一万五千一百二十人求绵图求絮草曰置四人于左中一十三觔于左上少六千八百四觔于左下又置五人于右中一十四觔于右上适足为空于右下以左右之中四五互乘其上讫左上得六十五右上得五□六利减余九为法以中四五相乘得二十为寄于中先以左下六千八百四互乘右上五十六得三十八万一千四百二十却以右适足之空乘左上六十五亦为空乃去之只以右上三十八万一千二十四觔为絮实只以左下六千八百四乘寄二千人得一十三万六千八十为兵实二实皆如法九而一具絮得四万二千三百三十六觔其兵得一万五千一百二十人合问求絮图已上布绵絮三项求人兵数皆同今仍于各图立算求之以合本术先计军程问一军三将三十队队七十五人每将分左右傔作九行爬头拽行每日六十里明日路狭以军拽行至晚欲知先宿程里数几何答曰六里二百四十歩术曰以均输求之置行数为法以单数一行乘日程为寔寔如法两一得宿程里歩草曰置行数九为法以单傔数一行用乘六十里为寔寔如法而一得六十不尽六里以里法三百六十歩通之得二千一百六十歩又为寔仍如法九而一得二百四十歩为六里二百四十歩宿程按此草易见旧有算式今删移运均劳(分郡县郷科均)问今起夫移运县饷于某郡交纳合起一万二千夫甲州有三县上县力五十七万三千二百五十九贯五百文至输所九百二十五里中县力五十万四千九百八十三贯七百八十文至输所六百五十二里下县力四十九万八千七百六十贯九百五十文至输所四百六十五里乙军倚郭一县五郷仁郷力一百二万八千三百七十一贯九百八十文至输所七百六里义乡力一 六百文至输所七百九十五里礼郷力一十万八千四百六十三贯五十文至输所七百九十里智乡力八万四千千二百三十六贯二百八十五文至输所七百十九里信乡力九千三百四十五贯一百六十六文至输所八百四里欲知以物力多寡道里逺近均运之令费劳等各合科夫几何答曰甲州上县差二千四百三十夫中县差三千三十七夫下县差四千二百六夫 乙军郭县仁乡七百一十三夫义乡五百八十九夫礼乡五百三十八夫智乡四百四十一夫信郷四十六夫术曰以均输求之置各县及乡力皆如里而一不尽者约之复通分内子互乘之或就母迁退之各得变力可约约之为定力副并为法以合起夫徧乘未并定力各得为实并如前法而一各得夫其余分軰之草曰置甲州三县及乙军五乡物力里数作八行列之具图于后置上县力五十七万三千二百五十九贯五百文如九百二十五里而一得力六十一万九千七百四十置中县五十万四千九百八十三贯七百八十文如六百五十二里而一得力七十七万四千五百一十五置下县四十九万八千七百六十贯九百五十如四百六十五里而一得力一百七万二千六百四不尽九十文与法求等得十五约之得三十一分之六置仁郷一十二万八千三百七十一贯九百八十如七百里而一得力一十八万一千八百三十置义乡乡一十一万九千四百七十二贯六百文如七百九十五里而一得力一十五万二百八十置礼乡一十万八千四百六十三贯五十文如七百九十而一得力一十三万七千二百九十五置智乡八万四千二百三十六贯二百八十五文如七百四十九里而一得力一十一万二千六百四十五置信乡九千三百四十五贯一百六十文如八百四里而一得力一万一千二百六十三不尽二百六十八文与法求等得二百六十八约为三分之一其下县信乡二处带母子者各以母互徧乘八处所得毕二处各内本子上得五千七百六十三万五千八百二十中得七千二百二万九千八百九十五下得九千九百七十五万二千一百九十仁得一千六百九十一万一百九十义得一千三百九十七万六千四十礼得一千二百七十六万八千四百三十五智得一千四十五万九千二百四十五信得一百八万九百七十已上为三郷五县变力率可约者复求等约之求得五故俱以五约之上得一千一百五十二万七千一百六十四中得一千一百四十万五千九百七十九下得一千九百九十五万四百三十八仁得三十八万二千五十八(按三十八讹五十八)义得二百七十九万五千二百八礼得二百五十五万三千六百七十八智得二百九万一千八百四十九信得二十一万六千一百九十四已上并为定力副并八处定力得五千六百九十二万二千五百七十七为法(按法多二十仁乡定力多二十故也)以合起一万二千夫遍乘定力讫上得一千三百八十三亿二千五百九十六万八千为实中得一千七百二十八亿七千一百四十七万八千为中实下得二千三百九十四亿五百二十五万六千为下实(按)得四百五亿八千四百六十九万六千(按多二十四万定力多二十故也)为仁实义得三百三十五亿四千二百四十九万六千为义寔礼得三百六亿四千四百二十万万四千为礼寔智得三百五十一亿二百一十八万八千为智寔信得二十五亿九千四百三十二万八千为信寔已上八寔皆如前法而一余分軰之各得夫数合均敷径役问军戍差坐烽摆舖切虑差径不均今诸军共合差一千二百六十人契勘诸军见管前军六千一百七十人右军四千九百三十六人中军七千四百四人左军三千七百二人后军二千四六十八人各军合差几何答曰前军差三百一十五人 右军差二百五十二人 中军差三百七十八人 军差一百八十九人 后军差一百二十六人术曰以均输求之置各军见管人騐可求约等以约之为衰副并为法以共合差数乘列衰各为寔寔如法而一各得草曰置诸军见管求等得一千二百三十四俱以约见管前军得五右军得四中军得六左军得三后军二列为各衰副并诸衰得二十为法以共差一千得二百六十人乘诸衰前军得六千三百右军得五千四十中军得七千五百六十左军得三千七百八十后军得二千五百二十各为寔皆如法二十而一前军合差三百一十五人右军合差二百五十二人中军合差三百七十二人左军合差一百八十九人后军合差一百二十六人数学九章卷八下
## 卷九上
钦定四库全书
数学九章卷九上 宋 秦九韶 撰市易积木计余问原管杉木一尖垜偶不记数从上取用至中间见存九条为靣问原木及见存各几何荅曰原木一百五十三条 见存木一百一十七条术曰商功求之堆积入之倍中靣副置减一以乘其副得数半之为原木副置上层减一以乘其副得数半之用减原木余为见存(其非中一层数者各以自地上至面层数立数求之)草曰倍中靣九条得一十八副置减一余一十七以乘副一十八得三百六条以半之得一百五十三条为原木之数副置中靣九条减一余八以乘副九得七十二以半之得三十六以减原木一百五十三余一百一十七条为见存木数合问按此即一靣平堆形中层为九上下必各有八层共十七层即原尖堆形上八层即用过尖堆形其义甚明旧余木图今删竹围芦束问受给场交收竹二千三百七十四把内筀竹一千一百五十一把每把外围三十六竿水竹一千二百二十三把每把外围四十二竿芦三千六十五束每束围五尺其芦原様五尺五寸今纳到围小合凖原芦几束及水筀竹各几何荅曰筀竹一十四万六千一百七十七竿水竹二十万六千六百八十七竿合凖原芦二千五百三十三束(一百二十一分束之七)术曰以方田及圆率求之置原束差并竹外围竹数以乘外围又乘把数为竹实倍圆束差为竹法除之各得二竹数皆以把数为心加入各得竹条数置芦围尺数自乘以乘芦束为芦实以芦原尺数自乘为芦法除实得所凖芦束数草曰置围束差六并筀竹外围三十六竿得四十二竿以乘外围三十六竿得一千五百一十二竿又乘筀竹一千一百五十一把得一百七十四万三百一十二竿为筀竹实倍圆束差六得一十二为竹法除实得一十四万五千二十六竿以把数一千一百五十一并之得一十四万六千一百七十七竿为筀竹又置原差六并水竹外围四十二竿得四十八竿以乘水外围四十二竿得二千一十六竿又乘水竹一千二百二十三把得二百四十六万五千五百六十八竿为水竹实亦以竹法一十二除之得二十万五千四百六十四竿以水竹把数一千二百二十三并之得二十万六千六百八十七竿为水竹数次置芦围五尺通为五十寸以自乘得二千五百寸又乘芦束数三千六十五得七百六十六万二千五百寸为芦实以原様芦围五尺五寸亦通为五十五寸以自乗得三千二十五寸为芦法除实得二千五百三十三束不尽一百七十五寸与法求等得二十五俱以约之得一百二十一分束之七为芦二千五百三十三束一百二十一分束之七合问寄仓知总(按旧本此问无题今増)问和籴米运借仓权顿计五十厫毎厫濶一丈五尺深三丈米高一丈二尺又借寺屋四十间内二十五间濶一丈二尺深二丈五尺米高一丈内一十五间各濶一丈三尺深三丈米高一丈二尺欲知寺屋及仓容米共计几何答曰共计米一十六万六千八十石 仓五十厫米一十万八千石 寺屋四十间米五万八千八十石术曰啇功求之置厫并屋深濶米高相乗并之为实如斛法而一草曰先以厫深三丈通为三十尺乗濶十五尺得四百五十尺又乗高一十二尺得五千四百尺以乗五十厫得二十七万尺为实以斛法二尺五寸除之得一十万八千石为仓五寸厫共容米次置寺屋深二十五尺乗濶一十二尺得三百尺乗米高一十尺得三千尺以二十五间乗之得七万五千尺于上次置深三十尺乗濶一十三尺得三百九十尺又乗米高十十二尺得四千六百八十尺以乗一十五间得七万二百尺加上共得一十四万五千二百尺以斛法二尺五寸除之得五万八千八十石为寺屋四十间共容米以并厫米共得一十六万六千八十石为共和籴到米方圆同积(按旧本此问无题今増)问有圆囤米二十五个内有大囤一十二个上径一丈下径九尺高一丈二尺小囤一十三个上径九尺下径八尺高一丈今出租斗一只口方九寸六分底方七寸正深四寸并裹明凖尺令凖数造五斗方斛及圆斛各二只湏令二斛口径正深大小不同各得多少及囤积米几何答曰方斛一只口方六寸四分底方一尺二寸深一尺五寸九分二厘又一只口方一尺底方一尺二寸深一尺一寸四分五厘 圆斛一只口径一尺二寸七分底径一尺二寸深一尺二寸一分四厘又一只口径一尺三寸底径一尺二寸深一尺一寸八分五厘囤米计八千六十七石四升七合四勺一抄八撮按共囤米数误应得二千零一十六石七斗六升一合八勺五抄草内少一四归故差多三倍术曰以啇功及少广求之置出斗上下方相乗之又各自乗并之乗深又以五斗乗之为积于上求方斛先自如意立数为斛深又如意立数为底方置深为从隅以底方乗隅为从方又以底乗从方为减率以减上积余为实开连枝平方得方斛口方不尽以所得数为基增损求之以口底方相乗又各自求并之为法除前上积得深余分収弃之求图斛置四数以因前积为寄如意立数为斛深别如意立数为底径以三因深为从隅以底径乗隅为从方以底径乗从方为减率以减寄余为实开连枝平方得口径不尽以所得数为基如意求差以口底径相乗又各自乗并之为法除寄得深余分収弃之求囤米置各囤上径下径相乗又各自乗并之乗高又乗囤数所得之数为积(囤有大小以类)并之为共积如四而一为实以斛求之得米草曰置出租斗口方九寸六分与底方七寸相乗得六十七寸二分于上又于口方九寸六分自乗之得九十二寸一分六厘加上又以底方七寸自乗得四十九寸又加上共得二百八寸三分六厘乗深四寸得八百三十三寸四分四厘又以五斗乗之得四千一百六十七寸二分为三叚斛积于上求方斛如意立一尺六寸为斛深又加意立一尺二寸为斛底以深一十六寸为从隅以底一十二寸乗隅得一百九十二寸为从方又以底一十二寸乗从方一百九十二寸得二千三百四寸为减率以减上积四千一百六十七寸二分余一千八百六十三寸二分为实开连枝平方得六寸三分五厘为基其积不及一寸一分六厘系有亏数其基数为米可用湏合损益基数今益作六寸四分为口方以原立一尺二寸为底方以口方乗底方得七十六寸八分以上又以口方六寸四分自乗得四十寸九分六厘又以底方十二寸自乗得一百四十四寸并以上共得二百六十一寸七分六厘为法以除前积四千一百六十七寸二分得一尺五寸九分二厘为方斛深其积不及一厘九毫二丝収为闰又累増至一十寸为口方仍以一十二寸为底方乃以口方一十寸乗底方一十二寸得一百二十寸于上又口方自乗得一百寸加上又以底方自乗得一百四十四寸又加上共得三百六十四寸为法亦除前实积四千一百六十七寸二分得一十一寸四分五厘为方斛深其积不及六分収为闰此是求出両等斛数在人择而用之求圆斛置四数以因前积四千一百六十七寸二分得一万六千六百六十八寸八分为寄如意立一尺二寸为圆斛深又如意立一尺为底径以三因深得三十六寸为从隅以底一十寸乗隅得三百六十寸为从方又以底一十寸乗从方得三千六百寸为减率以减寄一万六千六百六十八寸八分余一万三千六十八寸八分为实开连枝平方得一尺四寸七分为基其实不及二寸四分四厘収为闰次以原立底径一尺并基一尺四寸七分得二尺四寸七分只减七分为差以余三尺四寸以半之得一尺二寸为底径以差七分并底径得一尺二寸七分为口径始以口径一尺二寸七分乗底径一尺二寸得一百五十二寸四分于上次以口径自乗得一百六十一寸二分九厘加上又以底径自乗得一百四十四寸又加上共得四百五十七寸六分九厘以三因之得一千三百七十三寸七厘为法除前寄一万六千六百六十八寸八分得一尺二寸一分四厘为圆斛正深其实不及二毫六丝九忽八微収为闰又以基一尺四寸七分增三分得一尺五寸并底径一尺得二尺五寸减一寸为差余二尺四寸以半之得一尺二寸为底径以差一寸并底径一尺二寸得一尺三寸为口径始以口径一十三寸乗底径一尺二寸得一百五十六寸于上又以口径一十三寸自乗得一百六十九寸加上又以底径一十二寸自乗得一百四十四寸又加上共得四百六十九寸以三因之得一千四百七寸为法除前寄一万六千六百六十八寸八分得一尺一寸八分四厘七毫为圆斛深寄余七厘一毫却収深七毫作一厘通得一尺一寸八分五厘为圆斛深此是求出両等圆斛在人择而用之 求囤米置大囤上径一丈通为百寸乗下径九十寸得九千于上又以上径自乗得一万寸加上又以下径九十寸自乗得八千一百寸加上共得二万七千一百寸乗高一百二十寸得三百二十五万二千寸又乗大囤一十二个得三千九百二万四千寸为寄次置小囤上径九十寸下径八十寸相乗得七千二百寸于次又上径自乗得八千一百寸加次又下径自乗得六千四百寸加次共得二万一千七百寸又乗高一百寸得二百一十七万寸又乗小囤一十三个得二千八百二十一万寸并寄共得六千七百二十三万四千寸为实(按应四归为实草中遗漏故得数误)倍前斛积四千一百六十七寸二分为法除之得八千六十七石四升七合四勺一抄四撮按求方斛积法以上下径相乗又各自乗并而以深再乗三除之得积求径深法三因积有二径以二径相乗各自乗数并而除之得深有一深一径以深除积得数内减径自来余为实径为纵开带纵平方得又一径或径自乗深再乗减积除为实以深为纵隅深径相乗为纵方开连枝平方得又一径草中求斗积不加三除为三倍斗积五因之为三倍斛积故设正深底径二数开连枝平方以求口径既得口径复设二径数以求正深也求圆斛径即如求圆外切方边当以方圆幂率变圆积为方积故四因前积而以三因正深代三除也求圆囤米尺积先用方斛求积法次变方为圆方斛法用三除变圆法用三因四除合之则三因四除合之则三除并可省惟以四除之即得圆囤积术中详言之而草中歩算遗漏四除故得数误为四倍也数学九章卷九上
## 卷九下
钦定四库全书
数学九章卷九下 宋 秦九韶 撰市易推求典本问典库今年二月二十九日有人取觧一号主家听得当事共筭本息一百六十贯八百三十二文称系前岁头腊月半觧去月息二分二厘欲知原本几何答曰本一百二十贯文术曰以粟米求之置积日乘息分数增三百为法以三百乘共钱为寔寔如法而一得本草曰置前年头腊月半系四十五日并去年三百六十又加今年五十九日共得四百六十四日为积日乘息二分二厘得一百二十文八厘增三百文得四百二文八厘为法以三百文乘共钱一百六十贯八百三十二文得四万八千二百四十九贯六百文为寔如法而一得一百二十贯文为原本按题意谓前年十一月半典钱去年未取今年二月二十九日取去按日计利共合本息钱一十六千八百三十二文月息每千二十二文问本钱若干法当以积日乗息二十二文以三十日除之得一千文之共息加一千文为一千文之本息共数然后置今本息共数以一千乗之一千之本息共数除之即得今本钱数草中以十文为本以二分二厘为息不以三十除之为共息而以三十乗十文得三百为本其理一也推知籴数问和籴三百万贯求石数闻每石牙钱三十文籴埸量米折支牙人所得毎石出牵钱八百牙人量米四石六斗八合折与牵头欲知米数石价牙钱米牵钱各几何按题意买米共用钱三十亿每石牙钱三十文共牙钱折米给之共折米每石牵钱八百文共牵钱牙人又折米四石六斗零八合给之求各数答曰籴到米一十二万石 石价二十五贯文牙钱三千六百贯文 折米一百四十四石牵钱一百一十五贯二百文术曰以商功求之率变入之置籴本牙钱牵钱相乘为寔以牵米为隅开连枝立方得石价以价除本得籴到米以牙钱乘米得縂牙钱以价除之得牙米以牵钱乘牙米得共牵钱草曰置籴本三百万贯乘牙钱三十文得九千万贯文乘牵钱八百文得七百二十亿万贯(按七百二十亿贯万字误)(后余寔内万字同此)为价寔置牵米四石六斗八合于寔数零文之下为立方从隅起歩歩法常超二位每超一度商进之今隅凡超四度当于寔上约定首商二十贯乃以商生隅超四石六斗八合得九十二贯一百六十文乃以为亷又以商生亷得一百八十四万三千二百贯为方乃以方命上商二十贯除寔讫寔余三百五十一亿三千六百万贯复以商生隅四石六斗八合入亷得一百八十四贯三百二十文又以商生亷加入方内得五百五十二万九千六百贯为方法复以商又生隅四石六斗八合加入亷得二百七十六贯四百八十文为亷法其方法一退亷法二退从隅三退乃于首商之次约寔续商五贯以续商生隅四石六斗八合入亷得二百九十九贯五百二十文又以续商生亷入方得七百二万七千二百贯乃命续商五贯除寔适尽所得二十五贯为毎石米价以为法以籴本三百万贯为寔寔如法而一得一十二万石为籴到米数以米数乘牙钱三十得三千六百贯为牙钱以石价二十五贯除牙钱三千六百贯文得一百四十四石为籴埸量米折牙钱以牵钱八百乘牙米一百四十四石得一百一十五贯二百文为牵头得牙人所与牵钱之数以石价二十五贯文约牵钱一百一十五贯二百文得四石六斗八合为牵米折钱合问按此术之意以立天元一觧之法立天元一为米每石之价以折牵米四石六斗零八合乘之得四元(六○八)为共牵钱应以每石牵钱八百除之寄分母代除得八百分元之四分(六○八)为共折给牙人米数又以天元一乘之得八百分平方之四分(六○八)为共牙钱应以每石牙钱三十除之寄分母代除得三十分又八百分平方之四分(六○八)为共米数又以天元一乗之得三十分又八百分立方之四分(六○八)为共米价与三百万贯相等两邉各以三十乗之又以八百乗之得四立方(六○八)与七百二十亿贯等以立方数除两邉得一立方与一百五十六亿二千五百万贯等置贯数为寔开立方得二十五贯为米每石价数草中不除开连枝立方为除之不能尽者便于用也累收库本问有库本钱五十万贯月息六厘半今令掌事每月带本约息共还一十万欲知几何月而纳足并末复畸钱多少答曰本息纳足共七个月末后一月畸钱二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微七沙三莽一轻二清五烟术曰以盈朏变法求之置原本以息数退位乗归本位每出共纳累得月数以末后不及数为足月钱数草曰置本五十万贯以六厘五毫乘之入共本内得五十三万二千五百贯文内减初月一十万余四十三万二千五百贯文又以六厘五毫乘之余本内得四十六万六百一十二贯五百文又减次月一十万贯余三十六万六百一十二贯五百文又以六厘五毫乘之入余本内得三十八万四千五十二贯三百一十二文五分又减第三月钱一十万贯文余二十八万四千五十二贯三百一十二文五分又以六厘五毫乘之得三十万二千五百一十五贯七百一十二文八分一厘二毫五丝内减第四月钱一十万贯余二十万二千五百一十五贯七百一十二文二分一厘二毫五丝又以六厘五毫乘之入余本内得二十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘内减第五月钱一十万贯余一十一万五千六百七十九贯二百三十四文一分四厘五毫三丝一忽二微五尘又以六厘五毫乘之入余本内得一十二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二𣺌五莾减第六月钱一十万贯余二万三千一百九十八贯三百八十四文三分六厘四毫七丝五忽七微八尘一沙二𣺌五莾又以六厘五毫乘之入余本内得二万四千七百六贯二百七十九文三分四厘八毫四丝六忽七微无尘七沙无𣺌三莾一轻二清五烟为第七月纳足本息畸钱均货推本问海舶赴务抽毕除纳主家货物外有沉香五千八十八两胡椒一万四百三十包(包四十觔)象牙二百一十二合(以大小为合觔两俱等)系甲乙丙丁四人合本博到縁昨来凑本互有假借甲分到官供称甲本金二百两盐四袋钞一十道乙本银八百两盐三袋钞八十八道丙本银一千六百七十两度蝶一十五道丁本度蝶五十二道金五十八两八铢已上共估值四十二万四千贯甲借乙钞乙借丙银丙借丁度蝶丁借甲金今合拨各借物归原主名下为率均分上件货物欲知金银袋盐度牒原价及四人各合得香椒牙几何按题意谓甲金乙盐丙银丁牒原本不同互借为同本买得香椒牙三色今有互借各物及同本贯数求原本以分所买之物葢方程而亷衰分之法也甲乙二条内盐钞二色寔即一色先言盐袋数乃一钞之数以钞数乘之始为盐数是钞数既赘又不明言其故皆故为隠晦也答曰甲金每两四百八十贯文本一十二万四十贯文 合得沉香一千四百八十八两胡椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七象牙六十二合乙盐每袋二百五十贯文本七万六千贯文合得沉香九百一十二两胡椒一千八百六十九包二十一觔二两五十三分两之六象牙三十八合丙银每两五十贯文本一十二万三千五百贯文 合得沉香一千四百八十二两胡椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三象牙六十一合四分合之三丁度牒每道一千五百贯文本一十万五百贯文 合得沉香一千二百六两胡椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之十七象牙五十合分合之一术曰以方程求之衰分入之正负入之置共钱以人数约之得数列入人数各为行积次置诸色各物数为叚子对本色有分者通之可约者约之为定率以第一行为右以第二行为副以第三行为次第四行为左每以下位互遍乘之每騐其积以少减多如同名相减异名相加正无人负之负无人正之如同名相加异名相减正无人正之负无人负之得一叚为法以余积为寔除之各得诸价以诸价列右行以各物数列左行以两行对乘各得本率以诸色求等约之得列衰并诸衰为总法以列衰遍乘各物诸数各为寔诸寔并如总法而一各得其物除不尽者以觔两通而除之或又分母命之草曰置估值四十二万四千贯以四人约之得一十万六千贯为各积以人数列四位次置甲金二百两于右上以四袋乘钞一十道得四十袋(按此条以四袋为一钞相)(乘为塩数是二色止为一色不如即用塩为正) 于右副为右行次置乙钞八十八道以三袋乘之得盐二百六十四袋(按此条以三袋)(为一钞)及银八百两为副行次置丙银一千六百七十两度牒一十五道为次行次置丁度牒五十二道金五十八两八铢为左行验得首图左行上叚金带八铢是三分两之一乃以分母遍乘左行诸数只以分子一内入左上金内其左积得三十一万八千贯左金得一百七十五两左度牒得一百五十六道为次图验次图四行皆可求等右行求得四十约之副行求得八约之次行求得五约之左行求得一约之各得数为定率图定率图右积得二千六百五十贯金五两盐一袋副积得一万三千二百五十贯盐三十三袋银一百两次积得二万一千二百贯银三百三十四两度牒三道左积得三十一万八千贯金一百七十五两度牒一百五十六道乃以定图次行度牒三因左行左积得九十五万四千贯金五百二十五两度牒四百六十八道次以定图左下度牒一百五十六乗次行积得三百三十万七千二百贯银五万二千一百四两(按此下落度牒四百六十八道八字)定率图 维图乃验维图左及次行之下度牒等当相减之以积为端当以左之少积减次之多积按术曰同名相减其次行之金空而左行之金五百二十五两有为正次空为无按术曰正无人负之即以左行之金正加入次行金位为负名成音图仍置定图左行诸数乃验音图次行积得二百三十五万三千二百贯正金五百二十五两负银五万二千一百四两为正余三行皆正音图 驳图今验音次行之负金当以右行之正金补之而其数不等先以右金五约次金五百二十五得一百五以乗音图右行毕其右积得二十七万八千二百五十贯金二百五十五两正盐一百五袋正其副次左三行如音图故乃成爻图今视爻图右行之金正与次行之金负适等即用右行直加次行按术以同名相加乃以右之金正减其次之金负为空按术以异名相减之其次盐空为无人按术以正无人正之乃以爻图右积二十七万八千二百五十贯加次积二百三十五万三千二百贯内得二百六十三万一千四百五十贯其次金空次盐一百五袋正次银五万二千一百四两正仍置定图右行数而成政图政图 卜图今视政图从者乃择其诸行本色可求等首金可盐亦可盖金多盐少乃以政图副次两行盐数三十三与一百五求等得三故以三约三十三得一十一以乗次行又以三约一百五得三十五以乗副行毕其副积得四十六万三千七百五十贯盐一千一百五十五袋银三千五百两次积二千八百九十四万五千九百五十贯盐一千一百五十五袋银五十七万三千一百四十四两皆正列成卜图宫图及视上图副行积少次行积多即以副行求减次行皆是同名相减之既毕仍置定图副行数其次行乃得积二千八百四十八万二千二百贯银得五十六万九千六百四十四两列为宫图验宫图次行下只有银五十六万九千六百四十四两独一数以为法以次积二千八百四十八万二千二百贯为寔寔如法而一得五十贯为银一两价而成千图千图乃以千图副行银一百两乗两价五十贯得五千贯以减千图副行之积一万三千二百五十贯讫副积余八千二百五十贯其下盐得三十三袋银空而成曜图曜图 支图乃以曜图副行之积八千二百五十贯为盐寔以其下盐三十三袋为法除之得二百五十贯为盐一袋价而成支图乃以支图右行盐一袋徧乗副行毕其副积只得二百五十贯次以副行直减右行毕右积余二千四百贯金五两盐空而成闰图 乃以闰图右积二千四百贯为寔金五两为法除之得四百八十贯为金一两价成定图次以左金一百七十五两徧乗右行直减左行讫左积得二十三万四千贯度牒一百五十六道左金空而成定图闰图 定图今验定图左积二十三万四十贯为寔以左下度牒一百五十六道为法除之得一千五百贯为度牒一道价而成终图既得金银每两钞盐每袋度牒每各色之价次列甲乙丙丁四人乗之终图后以首图右金二百两并左金五十八两八铢得二百五十八两以八铢为三分两之一通分内子得七百七十五于左甲其右价四百八十贯乃以左甲母三约之为一百六十贯于左甲次以右盐四千袋并副盐二百六十四袋得三百四袋于左乙以盐价二百五十贯于右乙次以副银八百两并银一千六百七十两得二千四百七十两于左丙以银价五十贯于右丙又以次行度牒一十五道并左度牒五十二道得六十七道于左丁以度牒价一千五百贯于右丁两行对乗之以右甲一百六十乗左甲七百七十五两得一十二万四千贯为甲原本以右乙二百五十贯乗左乙三百四袋得七万六千贯为乙原本以右丙五十贯乗左丙二千四百七十两得一十二万三千五百贯为丙原本以右丁一千五百贯乗左丁六十七道得一十万五百贯为丁原本列四人各得原本求等得五百贯皆以五百贯为法除之甲行二百四十八乙得一百五十二丙得二百四十七丁得二百一各为列衰于右行并右行列衰得八百四十八为总法次置博到沉香五千八十八两遍乗列衰各为沉香寔次置胡椒一万四百三十包亦遍乗列衰为椒寔次置象牙四百二十四条以大小各半之得二百一十二合亦遍乗列衰为牙寔甲得一百二十六万一千八百二十四乙得七十七万三千三百七十六丙得一百二十五万六千七百二十六丁得一百二万三千六百八十八各为沉香寔以总法八百四十八除之甲得沉香一千四百八十八两乙得沉香九百一十二两丙得沉香一千四百八十二两丁得沉香一千二百六两甲得二百五十八万六千六百四十乙得一百五十八万五千三百六十丙得二百五十七万六千二百一十丁得二百九万六千四百三十各为椒寔以总法八百四十八除之甲得三千五十包不尽二百四十包以包率四十觔乘之得九千六百觔又以法除之得一十一觔不尽二百七十二觔以十六两通之得四千三百五十二两又以法除之得五两不尽一百一十二求等得一十六约之得五十三分两之七约甲得椒三千五十包一十一觔五两五十三分两之七乙得一千八百六十九包不尽四百四十八包以四十觔乘之得一万七千九百二十又以法除之得二十一觔不尽一百一十二觔以十六两通之得一千七百九十二两又以法除得二两不尽九十六两求等得十六约之得五十三分两之六为乙合得椒一千八百六十九包二十一觔二两五十三分两之六丙得三千三十七包不尽八百三十四以四十觔通之得三万三千三百六十觔又以法除之得三十九觔不尽二百八十八以十六两通之得四千六百八两又以法除之得五两不尽三百六十八两求等得十六约之得五十三分两之二十三为丙合得椒三千三十七包三十九觔五两五十三分两之二十三丁得二千四百七十二包不尽一百七十四以四十觔通之得六千九百六十觔又以法除之得八觔不尽一百七十六以十六两通之得二千八百一十六又以法除之得三两不尽二百七十二求等得十六约之得五十三分两之一十七为丁合得椒二千四百七十二包八觔三两五十三分两之一十七甲得五万二千五百七十六合乙得三万二千二百二十四合丙得五万二千三百六十四合丁得四万二千六百一十二合各为牙寔皆以总法八百四十八除之甲合得牙六十二合乙合得牙三十八合丙合得牙六十一合不尽六百三十六求等得二百一十二约之得四分合之三丁合得牙五十合不尽二百十二求等得二百一十二约之得四分合之一按此条于方程正负之用通分乗除之变多所发明歩筭虽繁寔有条而不紊也推求物价问推货务三次支物凖钱各一百四十七万贯文先拨沉香三千五百裹瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五套次拨沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一后拨沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套欲求沉乳瑇瑁裹觔套各价几何答曰沉香每裹三百贯文 乳香毎套六十四贯文 瑇瑁每斤一百八十贯文术曰以方程求之正负入之列积及物数于下布行数各对本色有分者通之可约者约之为定率积列数每以下项互徧乘之毎视其积以少减多其下物数各随积正负之类如同名相减异名相加正无人负之负无人正之其如同名相加异名相减正无人正之负无人负之使其下项物数得一数者为法其积为寔寔如法而一所得不计遍损或益诸积各得法寔除之余倣此草曰置凖钱一百四十七万贯为三次拨钱为三行积数次置先拨沉香三千五百里瑇瑁二千二百觔乳香三百七十五觔为右行物数又列次拨沉香二千九百七十裹瑇瑁二千一百三十觔乳香三千五十六套四分套之一为中行物次列沉香三千二百裹瑇瑁一千五百觔乳香三千七百五十套为左行之物各以本色相对列之率图 定率图其中行乳香有四分套之一便以母四通中行诸数只内子一入乳香叚内积得五百八十八万贯沉香得一万一千八百八十裹瑇瑁得八千五百二十觔乳香得一万二千二百二十五套 以右行求等得二十五俱约之积得五万八千八百贯沉香得一百四十裹瑇瑁得八十八觔乳香得一十五套以中行求等得一十五约之积得三十九万二千贯沉香得七百九十二裹瑇瑁得五百六十八觔乳香得八百一十五套以左行求等得五约之积得二万九千四百贯沉香得六十四裹瑇瑁得三十觔乳香得七十五套列为定率图三行副置求之今先欲去定图下位乳香套数一十五与左下七十五互乘左右两行右积得四百四十一万贯沉香一万五百裹瑇瑁得六千六百觔乳香得一千一百二十五套左积得四十四万一千贯沉香得九百六十一裹瑇瑁得四百五十觔乳香得一千一百二十五套验左积少右积多当以左行直减右行毕仍置定图左行数维图(按以上三图名旧本未载今依前题补之以便检阅)右积得三百九十六万九千贯沉香得九千五百四十裹瑇瑁得六千一百五十觔次验中左两行各有下位叚又以左下七十五互乗中行乃以中行下八百一十五互乗左行毕中积得二千九百四十万贯沉香得五万九千四百裹瑇瑁得四万二千六百觔乳香得六万一千一百二十五套左积得二千三百九十六万一千贯沉香得五万二千一百六十觔瑇瑁得二万四千四百五十觔乳香得六万一千一百二十五套验左积少中积多以左行同名直减中行毕仍置定图左行数卜图 宫图中积得五百四十三万九千贯沉香得七千二百四十裹瑇瑁得一万八千一百五十觔今验右中两行数多又求约之其右行求得三十约之右积得一十三万二千三百贯沉香得三百一十八裹瑇瑁得二百五觔中行求得一十约之中积得五十四万三千九百贯沉香得七百二十四裹瑇瑁得一千八百一一十五觔今又欲去中左行之瑇瑁乃以中行瑇瑁一千八百一十五互乗右行右积得二亿四千一十二万四千五百贯沉香得五十七万七千一百七十裹瑇瑁得三十七万二千七十五套以卜右瑇瑁二百五觔互乗中行中积一亿一千一百四十九万九千五百贯沉香得一十四万八千四百二十裹瑇瑁得三十七万二千七十五觔今验宫右积多中积少乃以中行直减右行毕仍置卜图中行数干图 支图今验干图右行叚数只有沉香四十二万八千七百五十裹以为法以右上积一亿二千八百六十二万五千贯为寔寔如法而一得三百贯为沉香一裹价便以中行沉香七百二十四乗三百贯得二十一万七千二百贯减中行五十四万三千九百贯余三十二万六千七百贯为中积便减去中行沉香叚之数次以左上沉香六十四乗三百贯得一万九千二百贯减左积二万九千四百贯余一万二百贯为左积便减左上沉香裹数去之今验支图中行其下只有瑇瑁一千八百一十五觔以为法中积三十二万六千七百贯为寔寔如法而一得一百八十贯为瑇瑁价闰图(按此图旧本亦未载名今补)今验闰图左行有瑇瑁三十觔以乘价一百八十贯得五千四百贯减左积一万二百贯余四千八百贯为左积其下只有乳香七十五套以为法以积四千八百贯为寔寔如法而一得六十四贯为乳香套价此题并系俱正补草数学九章巻九下◆ 《测圆海镜-元-》（KR3f0042）
## 提要
钦定四库全书 子部六
测圆海镜 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案测圆海镜十二卷元李冶撰冶字镜斋栾城人金末登进士入元官翰林学士事迹具元史本传其书以勾股容圆为题自圆心圆外纵横取之得大小十五形皆无竒零次列识别杂记数百条以穷其理次设问一百七十则以尽其用探赜索隐参伍错综虽习其法者不能骤解而其草多言立天元一按立天元一法见扵宋秦九韶九章大衍术中厥后授时草及四元玉鉴等书皆屡见之而此书言之独详其法关乎数学者甚大然自元以来畴人皆株守立成习而不察至遂无知其法者故唐顺之与頋应祥书称立天元一漫不省为何语頋应祥演是书为分类释术其自序亦云立天元一无下手之术则是书虽存而其传已泯矣明万厯中利玛窦与徐光启李之藻等译为同文算指诸书扵古九章皆有辨订独于立天元一法阙而不言徐光启扵勾股义序中引此书又谓欲说其义而未遑是此书已为利玛窦所见而犹未得其解也迨我国朝𬪩化翔洽梯航鳞萃欧逻巴人始以借根方法进呈圣祖仁皇帝授蒙养斋诸臣习之梅㲄成乃悟即古立天元一法扵赤水遗珍中详解之且载西名阿尔热巴拉(案原本作阿尔热巴逹谨据西洋借根法改正)即华言东来法知即冶之遗书流入西域又转而还入中原也今用以勘騐西法一一脗合瑴成所说信而有徴特录存之以为算法之秘钥且以见中法西法互发益明无容设畛域之见焉干隆四十六年二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 原序
原序
数本难穷吾欲以力强穷之彼其数不惟不能得其凡而吾之力且惫矣然则数果不可以穷耶既已名之数矣则又何为而不可穷也故谓数为难穷斯可谓数为不可穷斯不可何则彼其冥冥之中固有昭昭者存夫昭昭者其自然之数也非自然之数其自然之理也数一出于自然吾欲以力强穷之使隶首复生亦末如之何也已苟能推自然之理以明自然之数则虽逺而干端坤倪幽而神情鬼状未有不合者矣予自幼喜算数恒病夫考圆之术例出于牵强殊乖于自然如古率徽率密率之不同截弧截矢截背之互见内外诸角析剖支条莫不各自名家与世作法及反复研究卒无以当吾心焉老大以来得洞渊九容之说日夕玩绎而向之病我者使爆然落去而无遗余山中多暇客有从余求其说者于是乎又为衍之遂累一百七十问既成编客复目之测圆海镜盖取夫天临海镜之义也昔半山老人集唐百家诗选自谓废日力于此良可惜明道先生以上蔡谢君记诵为玩物丧志夫文史尚矣犹之为不足贵况九九贱技能乎嗜好酸咸平生每痛自戒勅竟莫能已类有物慿之者吾亦不知其然而然也故尝私为之解曰由技兼于事者言之夷之礼夔之乐亦不免为一技由技进乎道者言之石之斤扁之轮非圣人之所与乎览吾之编察吾苦心其悯我者当百数其笑我者当千数乃若吾之所自得则自得焉耳宁复为人悯笑计哉李冶序
## 卷一
总率名号
天之地为通弦 天之干为通股干之地为通勾天之川为边弦 天之西为边股西之川为边勾日之地为底弦 日之北为底股北之地为底勾天之山为黄广弦 天之金为股金之山为勾月之地为黄长弦 月之泉为股泉之地为勾天之日为上髙弦 天之旦为股旦之日为勾日之山为下髙弦 日之朱为股朱之山为勾月之川为上平弦 月之青为股青之川为勾川之地为下平弦 川之夕为股夕之地为勾天之月为大差弦 天之坤为股坤之月为勾山之地为小差弦 山之艮为股艮之地为勾日之川为皇极弦 日之心为股心之川为勾月之山为太虚弦 月之水为股水之山为勾日之月为明弦 日之南为股南之月为勾山之川为□弦 山之东为股东之川为勾今问正数通弦六百八十 勾三百二十 股六百勾股和九百二十较二百八十勾弦和一千较三百六十股弦和一千二百八十较八十弦较和九百六十较四百弦和和一千六百较二百四十边弦五百四十四 勾二百五十六 股四百八十勾股和七百三十六较二百二十四勾弦和八百较二百八十八股弦和一千零二十四较六十四弦较和七百六十八较三百二十弦和和一千二百八十较一百九十二底弦四百二十五 勾二百 股三百七十五勾股和五百七十五较一百七十五勾弦和六百二十五较二百二十五股弦和八百较五十弦较和六百较二百五十弦和和一千较一百五十黄广弦五百一十 勾二百四十(即城径也) 股四百五十勾股和六百九十较二百一十勾弦和七百五十较二百七十股弦和九百六十较六十弦较和七百二十较三百弦和和一千二百较一百八十黄长弦二百七十二 勾一百二十八 股二百四十(即城径也)勾股和三百六十八较一百一十二勾弦和四百较一百四十四股弦和五百一十二较三十二弦较和三百八十四较一百六十弦和和六百四十较九十六髙弦二百五十五(上下同) 勾一百二十(即半径) 股二百二十五勾股和三百四十五较一百零五勾弦和三百七十五较一百三十五股弦和四百八十较三十弦较和三百六十较一百五十弦和和六百较九十平弦一百三十六(上下同) 勾六十四 股一百二十(即半径也)勾股和一百八十四较五十六勾弦和二百较七十二股弦和二百五十六较十六弦较和一百九十二较八十弦和和三百二十较四十八大差弦四百零八 勾一百九十二 股三百六十勾股和五百五十二较一百六十八勾弦和六百较二百一十六股弦和七百六十八较四十八弦较和五百七十六较二百四十弦和和九百六十较一百四十四小差弦一百七十 勾八十 股一百五十勾股和二百三十较七十勾弦和二百五十较九十股弦和三百二十较二十弦较和二百四十较一百弦和和四百较六十皇极弦二百八十九 勾一百三十六 股二百五十五勾股和三百九十一较一百一十九勾弦和四百二十五较一百五十三股弦和五百四十四较三十四弦较和四百零八较一百七十弦和和六百八十较一百零二太虚弦一百零二 勾四十八 股九十勾股和一百三十八较四十二勾弦和一百五十较五十四股弦和一百九十二较一十二弦较和一百四十四较六十弦和和二百四十较三十六明弦一百五十三 勾七十二 股一百三十五勾股和二百零七较六十三勾弦和二百二十五较八十一股弦和二百八十八较一十八弦较和二百一十六较九十弦和和三百六十较五十四□弦三十四 勾十六 股三十勾股和四十六较一十四勾弦和五十较一十八股弦和六十四较四弦较和四十八较二十弦和和八十较十二识别杂记天之于日与日之于心同心之于川与川之于地同日之于心与日之于山同故以山之川为小差 川之于心与川之于月同故以月之日为大差明勾□股相得名为内率求虚积 明股□勾相得名为外率求虚积 虚勾虚股相得名为虚率求虚积凡勾股和即弦黄和 凡大差即股黄较 凡小差即勾黄较髙股平勾差名角差(又)名逺差此数即髙平二差共也又为明和□和较也(又)为通差内去极差(又)为极差虚差共 明□二差共名次差(又)名近差(又)名戾(音列)和此数(又)为明大差□小差较也 勾圆差之股股圆差之勾相并名混同和此数(又)为一径一虚弦共也 明□二差较名傍差此数又为髙平二差较(又)为极双差内减虚和(又)为极和内减城径也 虚差不及傍差名蓌差此数又为大差差内去角差(又)为极差内去二之平差(又)为次差内去小差差(又)为明股□勾共内去二之明勾也 虚差傍差共为蓌和(蓌音剉)凡大差股小差勾相乘为半段径幂 大差勾小差股相乘亦同上 虚勾乗大股得半段径幂 虚股乘大勾亦同上 边股□股相乘得半径幂明勾底勾相乘亦同上 黄广股黄长勾相乗得径幂 髙股平勾相乗得半径幂 明弦明股并与□弦□勾并相乘得半径幂 明弦明勾并与□弦□股并相乘亦同上 髙弦平弦相乘为一段皇极积 明勾□股相乘倍之为一段太虚积明股□勾相乘亦同右诸杂名目通弦上勾股和即一城径一通弦也其较即勾圆差之勾股圆差之股相较也 勾弦和即二勾一大差其较则大差也 股弦和即二股一小差其较则小差也 弦较和为一径三差共其较则大勾小差共也 三事和即边弦三事和上带大勾也(又)为底弦三事和上带大股也其较则城径也边弦上勾股和为通股平弦共其较则大差股内去平弦也 勾弦和即通股底勾共其较则明股明弦共也 股弦和即通股通弦和内少个边勾也其较则平勾也 弦较和为大差上股弦和其较则大勾也 三事和即通弦上股弦和(又)为黄广三事和上带勾圆差也其较则大差勾也(又)为平弦上弦较和(又)为太虚弦上股弦和也底弦上勾股和为通勾髙弦共其较则髙弦内去小差勾也 勾弦和为通弦上弦较较与髙股共其较则髙股也 股弦和为半个通弦上三事和其较则□弦上勾弦和也 弦较和为大差上勾弦和也其较则小差上勾弦和也 三事和即通弦上勾弦和(又)为黄长三事和上带股圆差其较则小差股也(又)为髙弦上弦较较(又)为太虚弦上勾弦和黄广弦上勾股和为大股虚股共(又)为通勾通股共内少个小差上勾股和其较则两个髙差也 勾弦和为二髙弦一圆径共其较则二明股也 股弦和为通弦上弦较和其较则二□股也 弦较和即两个大差股也其较即两个小差股也 三事和两大股也其较则两虚股也黄长弦上勾股和为大勾虚勾共(又)为通和内少个大差上勾股和也其较则两个平差也 勾弦和为通弦上弦较较其较则两个明勾也 股弦和为二圆径二□勾其较则二□勾也 弦较和为两个大差勾也其较则两个小差勾也 三事和为两大勾其较则两虚勾也髙弦上勾股和为髙弦虚股共(又)为一径及髙勾髙股差也其较则底弦内减大勾也(又)为边股内减底股也 勾弦共则底股其较则明股也 股弦共即边股其差则□股也 弦较共则大差股其较则小差股也 三事和即大股其较则虚股也(又)为小差上勾弦较(又)为明弦上弦较较平弦上勾股共即平弦虚勾共也其较则大股内减边弦也 勾弦共即底勾其差则明勾也 股弦共即边勾其较则□勾也 弦较共即大差勾其较则小差勾也 三事和即大勾其较则虚勾也(又)为大差上股弦较(又)为□弦上弦较和大差上勾股和即大股内去虚勾其差则大差弦内去圆径也 弦勾共即大股其差则大差股内去二之明勾也 股弦和为大股上加个大中差也(按大)(中差乃明股弦和与半径之较)其较则虚勾也 弦较和为两个边弦上勾弦较其较即城径也 三事和即大股与股圆差共(又)为大弦大较共(又)为二边股其较则太虚上弦较和也小差上勾股和即大勾内去虚股也其较则圆径内去小差弦也 勾弦和为大勾上减个小中差也(按小中差乃□勾弦和与半径之较)其较则虚股也 股弦共即大勾其较则小差勾内去两个□股也 弦较和为圆径其较则为两个底弦上股弦较(又)为两个□弦上勾弦和也 三事和即大勾与勾圆差共也又为大弦大较较(按即通弦又上弦较较)为二底勾其较则太虚上弦较较也皇极勾股和即髙弦平弦共其较则明股内去□勾也 勾弦共即底弦其较则明弦也 股弦共则边弦其较则□弦也 弦较和为髙弦明弦共(又)为大股内减大差勾(又)为大差弦其较则小差弦也 三事和即通弦其较则太虚弦也(又)为明勾□股共(又)为髙弦内减明弦(又)为平弦内减□弦(又)为大差勾上减虚股(又)为小差股上减虚勾也太虚勾股和即圆径内减虚弦(又)为虚弦虚黄方共(又)为皇极弦内去明股□勾共其差则大差勾内减个小差股也 勾弦共即小差股也其较则虚股内减个小黄方也 股弦共即大差勾其较则虚勾内减个小黄方也 弦较和为大差弦上弦和较(又)黄长弦上勾弦较(又)为两个明勾其较小差弦上黄方面也 三事和即大黄方其较则为两个明弦上股弦较(又)为□弦上两个勾弦较(又)为明弦上小差与□弦上大差共也明弦勾股和即大差股内减明弦其较则明弦内减虚股也 勾弦并即髙股其较则髙股内少二之明勾也 股弦和即边股内减大差勾(又)为边勾边弦差其较则半个虚黄方也 弦较和即大差上勾弦较其较则虚股也 三事和即股圆差其较则太虚上勾弦较(又)为虚股内减虚黄方也□弦上勾股和即小差内减□弦其较则虚勾内减□弦也 勾弦和即底勾内减小差股(又)为底股底弦差其较则半个虚黄方也 股弦和即平勾其较则平勾内少二个□股也 弦较和即虚勾其较则小差上股弦较也 三事和即勾圆差其较则太虚上股弦较(又)为虚勾内减虚黄方也前黄广勾股下 其勾股较(又)为大差股上少个小差股(又)为中差(按中差系通勾股较)内少个小差较(又)为黄广股内少一径 勾弦共(又)为两个底股(又)为大股与小差股共 股弦和(又)为大弦中差共(又)为两个边股 股弦差(又)为小差上黄方面前黄长勾股下 其勾股较(又)为大差勾上少个小差勾也(又)为圆径内少个黄长勾 勾弦共(又)为两个底勾(又)为大勾与小差勾共 勾弦较(又)为大差上黄方靣 股弦共(又)为两个边勾右五和五较大弦为大勾与股圆差共(又)为大股与勾圆差共边弦乃边股平勾共(又)为大股内减平弦上勾股较 底弦乃底勾髙股共(又)为大勾内加一个髙差 黄广弦为大股内减虚股(又)为边股□股共黄长弦乃大勾内减虚勾(又)为底勾明勾共髙弦乃大差弦内减明弦(又)为明弦虚弦共 平弦乃小差弦内减□弦(又)为□弦虚弦共 大差弦乃大股内减大差勾(又)为髙弦明弦共(又)大弦内去黄长弦 小差弦为大勾内减小差股(又)为平弦□弦共(又)为大弦内去黄广弦 极弦乃髙股平勾共(又)为平弦明弦共(又)为髙弦□弦共(又)为大差弦内减髙平二弦较(又)为小差弦内加髙平二弦较 虚弦乃皇极黄方靣(又)为明勾□股共(又)为髙弦内减明弦(又)为平弦内减□弦 明弦乃髙弦内减虚弦 □弦乃平弦内减虚弦黄广弦黄长弦相并为大弦虚弦共也以此数减于大和余即虚和 若以二弦相减余即虚弦平弦共也(按虚弦平弦共此题数偶合当云二极差) 黄广弦(又)为大差弦虚弦共 黄长弦(又)为小差弦虚弦共 以黄长弦减于大勾余即虚勾 以黄广弦减于大股余即虚股边弦底弦相并为大弦皇极弦共也于此并数内减大和余为皇极弦内减圆径也 若以二弦相减余即皇极差也此数同者最多故(又)为皇极弦内少个小差弦(又)为髙弦平弦较(又)为明股内少□勾(又)为大差弦内少皇极弦(又)为次差虚差共也边弦(又)为皇极股弦共(又)为黄广弦□弦共底弦(又)为皇极勾弦共(又)为黄长弦明弦共也以边弦减大股余为半径内减平勾(又)为平弦内减小差勾也 底弦内减大勾余为髙股内减半径(又)为大差股内减髙弦也黄广弦内减边股即□股 黄长弦内减底勾即明勾也髙弦髙股共即边股 平弦平勾共即底勾 髙弦髙勾共即底股 平弦平股共即边勾上髙弦减于通股余即边股内减□股也 下平弦减于通勾余即边勾内减明勾也 髙弦平弦相并即大弦内少个皇极弦也若以相并数减于大和余为皇极弦圆径共也 髙弦平弦相减余即皇极差也(又)为皇极弦上减小差弦也若以相减数却加于相并数即黄广弦也髙弦内减明股得半径 平弦内减□勾亦同上皇极勾上加明弦为皇极弦 皇极股上加□弦亦同上皇极弦 得极勾即底弦 得极股即边弦 内去极勾即明弦 去极股即□弦 减于通弦即极和 得虚弦亦同上 内去虚弦即明弦□弦共去虚黄即明和□和共也 去城径即傍差内加极差即大差弦 去极差即小差弦 加角差即两个髙股 减角差即二平勾太虚弦 加入极弦为极和 极弦内去之即明□二弦共 再去之则明大差□小差并也 加于大差弦即黄广弦 加于小差弦即黄长弦 内去明勾则□勾 加明勾为圆径内少虚黄□股共 加入明股为明和□股共 减于明股即明较内去□股 加入明弦为极股 减于明弦为明大差□小差内少个□弦 加于明和即两个虚弦一个髙差共也 减于明和即髙差也 内去□勾即明勾□较共(又)为□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股为二虚弦内少明勾(又)为圆径内少虚黄明勾共 内减□股即明勾 内加□弦即极勾 减于□弦为明勾内少个□小差 加入□和即两个虚弦内少个平差也 内减□和即平差也 加入明□二和共即极和内少个虚黄也 若减于明□二和共即明股□勾共也 减于髙弦即明弦减于平弦即□弦加于角差即二明勾一极差也 减于角差即一极差二□股较也 得傍差即明股□勾共内减傍差即太虚三事和内去了极双差也(按双)(差系勾弦差股弦差) 内加虚差即二明勾 内减虚差即二□股 内加虚黄方即虚和 内减虚黄方即太虚大小差并也右诸弦大差弦小差弦共即两个极弦也以两个极差为之较 大差差小差差共即两个极差也以两个傍差为之较 大差上大差小差上大差共即两个明弦也以两个明差为之较 大差上小差小差上小差共即两个□弦也以两个□差为之较大差黄(按即二明勾)小差黄(按即二□股)数共即两个极黄(按即二虚弦)也以两个虚差为之较 大差勾小差勾共即两个极勾也以两个平差为之较 大差股小差股共即两个极股也以两个髙差为之较二和共为二极和以二角差为之较大差上弦较较即圆径 小差上弦较和亦同上大差上小差即虚勾 小差上大差即虚股也大差弦与明勾共即边股 小差弦与□股共即底勾也 大差弦内减中差即黄长勾(按勾应作股)小差弦内加中差即黄广股也(按股应作勾)大股内减小差股即黄广股 大勾内减大差勾即黄长勾也虚弦得虚股即大差勾 虚弦得虚勾即小差股也 明段弦较和即大差上勾弦较 明段弦较较即小差上勾弦较也 □段弦较和即大差上股弦较 □段弦较较即小差上股弦较也大差勾内减虚弦余即虚股 小差股内减虚弦余即虚勾也 以大差和减大股即虚勾 以小差和减大勾即虚股也 以大差差减圆径即明勾此差若多于圆径则内减圆径余即虚勾也(按此)(条因题数偶合而误若勾股差甚大甚小者皆不能合) 以小差差减圆径即小差弦也 大差弦上加一径即大股上加虚勾也 小差弦上加一径即大勾上加虚股也大差股内减髙弦余即髙股内减半径 平弦内减小差勾余即半径内减平勾也 大差内减虚差即二明差 小差内减虚差即二□差也大弦内减大差股小差勾共即圆径 三事和内减二之大差股小差勾共即三个圆径也大差勾小差股相并名混同即一圆径一虚弦也若以相减即虚差也大差和小差和二数相并即大弦虚弦共也 二数相减即中差虚差共也(又)半之并数即为极弦虚弦共也(又)为髙弦平弦共(又)为皇极勾股共也大差差小差差二数相并即两个皇极差(又)为大差弦内减小差弦也 二数相减而半之即是皇极弦上减圆径也(即傍差)右大小差大差差小差差虚差共为一个通差 髙平极三差共亦同上 明□虚三差共为一个极差也 诸黄方面亦倣此边黄内减底黄即虚差 黄广黄内减黄长黄即二虚差 髙黄内减平黄即虚差盖髙黄即虚股平黄即虚勾也 大差黄内减小差黄即二虚差盖大差黄即二明勾小差黄即二□股也 明黄内减□黄余即虚差 □弦上三差合成一个虚黄方髙差内减平差为傍差 边差内减底差亦同上明差内减□差亦同上 大差差内减小差差为二旁差 黄广差内减黄长差亦同上极双差即明□二弦共 内加虚双差即明□二和共 内减虚双差即明双差□双差共也 内加旁差即极弦内少个虚弦旁差差 内减旁差即虚和也 内加虚差即极弦内少二□股 内减虚差则极弦内少二明勾也极差内加旁差为大差差 内减旁差为小差差也内加虚差即角差 内减虚差即次差也 倍极差为大差差小差差共则倍旁差为之较 倍极弦为大差弦小差弦共倍极差为之较 以极差为明差平差共则以蓌差为之较 以极差为髙差□差共则以蓌和为之较 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 减蓌差而半之则虚差也 极差内减二之平差得蓌差角差内加旁差为二髙差 内减旁差即二平差也内加明□二差并而半之得极差 内减明□二差而半之则虚差也 内加极差则通差 内减极差则虚差也以虚差减于明和为明□二股共 以虚差加于□和为明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 减次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以髙差为之较 明□二勾共以平差为之较以髙差减明和即虚弦 以平差加□和亦同上以髙差减髙股即半径 以平差加平勾亦同上以髙差减大差差即明差 以平差减小差差即□差也 以髙差减大差即髙弦 以平差加小差即平弦也 二之平差内去虚差余即小差差 去二虚差即两个□差髙股即半径上股方差 平勾即半径上勾方差故髙勾平股共为全径也 黄广股即全径上股方差 黄长勾即全径上勾方差 故黄广勾黄长股共数为两个全径也边弦内减底弦即皇极差 边股内减底股即髙差(又)为底弦内减大勾 边勾内减底勾即平差(又)为大股内减边弦也大勾减底弦余即半径为勾之中差也 大股内减边弦余即半径为股之中差也 边股底勾相并即大弦 若以相减即通中差也二髙股一虚差合成一个股圆差 二平勾一虚差合成一个勾圆差(按此二条误当云二明股一虚股合成一个股圆差 二□勾)(一虚勾合成一个勾圆差也)明双差亦为明□二大差其较则明差也 □双差亦为明□二小差其较则□差也 明双差内减明差即虚黄 □双差上加□差亦同上 以明双差加明和即两明弦 以□双差加□和则两□弦也 以明双差减明和而半之即明黄(又)为虚大差 以□双差减于□和而半之即□黄(又)为虚小差也 以虚大差减明和即为明弦 以虚小差减□和即□弦也 明双差□双差相较则次差也 明双差□双差相并加于明□二和共则为两个极双差 若以减于明□二和共则为两个虚双差也 明双差上加虚双差即明□二股共 □双差上加虚双即明□二勾共也以明□二股共为明弦□黄共则髙差虚黄共为之较(按明弦又□黄较)为明大小差虚大小差共则明□二股共内去两个虚双差为之较也(按明大小差虚大小差之较)以明□二勾共为□弦明黄共则以平差虚黄较为之较(又)为□大小差虚大小差共则明□二勾共内减两个虚大小差为之较也(按虚大小差□大小差之)(较)明□二和共内减旁差即二虚弦 虚弦内加旁差明股□勾共也明和内去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和内去髙差即虚弦 □和上加平差亦同上 明弦内去髙差即虚勾 □弦上加平差即虚股也 明股内去□股即髙差 去□勾则极差也 明勾内去□股即虚差 去□勾则平差也明□二股并内减虚弦即明差 明□二勾并减于虚弦即□差明□二和共(又)为明□二弦共与明□二黄共数也其较则明双差□双差共数也 其明□二和共数内减旁差即二虚弦也 若内减虚双差即明□二弦共也极弦得极差为大差弦大差弦内减明和则髙弦内减虚大差也 内减极差则为小差弦小差弦内减□和则是平弦内减虚小差也 又大差弦内减明和与髙股共余则为虚勾不及明勾数 小差弦内减□和与平勾共余则为□股不及虚股数也右诸差边勾边股差(又)为皇极差与髙差共也(又)为边弦内去大勾也 边勾边弦共(又)为大勾边股共 边勾边弦较(又)为大差弦内减半径也 边股边弦较(又)为□股弦和底勾底股差(又)为皇极差平差共(又)为大股内去底弦(又)为髙股内去底小差 底勾底弦共为大弦内少个底股大勾差 底勾底弦较(又)为明弦上勾弦和 底股底弦共与边勾边弦共同 底股底弦较(又)为底勾内少小差股也边股内减髙弦余则髙股 内减大差弦余则明勾内减底弦即底股内减大勾也(又)为髙弦内减底勾也底勾内减平弦余即平勾 内减小差弦余即□股以底勾减于边弦余即大股内减边勾也(又)为边股内减平弦也边弦内减底股与底弦内减边勾同为皇极弦内减半径也皇极勾内减明勾余即平勾也若减□勾即半径也倍之则为底勾明勾共 皇极股内减□股余即髙股也若减明股余即半径也倍之则为边股□股共也明股得虚股即髙股 明勾得虚勾即半径 □股得虚股即半径 □勾得虚勾即平勾也 髙弦内减髙股即□股 平弦内减平勾即明勾也明弦内减明差即虚股 □弦内加□差即虚勾也 髙股即虚明二股共 平勾即虚□二勾共也 明弦明勾并数与髙股同 □弦□股并数与平勾同也明股□勾相倂减于极弦即虚和(又)为极黄虚黄共数也明□二弦并 内减□双差即明□二股并 内减明双差即明□二勾并 内加虚弦即极弦 内减虚弦即明大差□小差并也以明和为明弦明黄共则明双差为之较 以□和为□弦□黄共则□双差为之较也 明和(又)为髙差虚弦共(又)为极差与明□二勾共数 □和(又)为平差少于虚弦数(又)为极差少于明□二股数半之三事和内加半黄方即勾股共 若减之则弦也 半圆径内加半虚黄即虚和 减半虚黄即虚弦也(又)以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也 加明股则明弦 加□股则□弦也 减明勾则明黄 减□股则□黄也 以虚黄加明黄则为虚股 以加□黄则虚勾也右诸率弦见髙弦□弦共为极弦其差即虚弦极差共也 髙股□股共为髙弦其差即虚股髙差共也 髙勾□勾共为平弦其差即半径内减□勾也 髙和□和共为极和其差即极和内少二□和也 髙差□差共为极差其差即虚差旁差共也 髙黄□黄共为虚弦其差即□黄不及虚股数也(髙黄即虚股)髙大差□大差共即明弦其差即半虚黄不及明股数也此髙大差即明股此□大差即半虚黄也髙小差(即□股)□小差共即□弦其差即□小差不及□股数也 明平二弦共亦为极弦其较即虚弦不及极差数也 明平二股共亦为髙弦其较即明股内减半径也 明平二勾共亦为平弦其较即平差内去虚勾也 明平二和共亦为极和其较即极和内少二之平和也 明平二差共亦为极差其较即虚差不及旁差数也 明平二黄共亦为虚弦其较则虚勾(按虚勾即平黄)不及明黄数也 明平二大差共亦为明弦其较即明勾不及明大差数(平大差即明勾) 明平二小差共亦为□弦其较则□勾不及半虚黄数也此明小差即半虚黄此平小差即□勾右四位相套边弦 自减其股为平勾 自减其勾为明股明弦并 减于通弦余平弦 减于通股余平差 内减通勾余边差 内减底弦余极差 内减底股为半径旁差共(又)为极弦内少半径 内减底勾即大股内去边勾也 内减黄广弦余□弦 内减黄广股即小差股内去平差 内减黄广勾即大差股内去平差 内减黄长弦(又)得黄长弦(按此)(条误) 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾即大股内去极勾虚勾共 内减皇极弦余髙弦底弦 自减其股为□勾□弦并 自减其勾为髙股 减于通弦余髙弦 减于通股余底差 内减通勾余髙差 减于边弦余极差 减于边股即底差内去半径 内减边勾即髙差平勾共减于黄广弦余为明大差□小差并(按此条亦系数偶合)减于黄广股即底差内去小差股 内减黄广勾即一个明弦一个黄长股弦较 内减去黄长弦余明弦 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾余为髙股明勾共 内减极弦为平弦减于边股(又)为底股内去大勾髙差平差共(又)为平勾髙股差 以半径减髙股即髙差 半径内减平勾即平差 明勾内减□勾与平差同 明股内减□股与髙差同 股圆差内减极股即髙差也 勾圆差减于极勾即平差正股内去边弦即平差也 底弦内去正勾即髙差也 大差勾内去极勾即平差也 极股内去小差股即髙差也 极差内去□差即髙差也内去明差即平差也旁差即城径极弦较也(又)为明差□差较(又)为髙差平差较 极差得之为大差差也去之则为小差差也又髙差平差下 明和内去虚弦即髙差 虚弦内去□和即平差大差弦内加虚差即黄广股 小差股内减虚差即黄长勾通差内去髙差即底差 内去平差即边差也虚大差得二虚勾即勾圆差之股 虚小差得二虚股即股圆差之勾也明股弦较与勾共即虚股也 □勾弦较与股共即虚勾也半虚黄 □勾得之即□弦也减于此数即虚黄内去□弦也 □股得之虚勾也去之即□黄方也□弦得之即平勾内去□黄也去之则□勾也明勾内得之即虚股也去之则明黄方也 明股得之即明弦也去之则明弦内去个虚黄方也明弦得之即髙股内去明黄也去之则明股也右拾遗按识别杂记约五百条皆随时录其所得未经审定者故难易浅深不拘先后要皆精思妙义足以开示数理之蕴奥者徐光启亟𫝊新法而于勾股义中独推是书其必有所见矣测圆海镜卷一
## 卷二
钦定四库全书测圆海镜卷二元 李冶 撰正率一十四问假令有圆城一所不知周径四面开门门外纵横各有十字大道其西北十字道头定为干地其东北十字道头定为艮地其东南十字道头定为㢲地其西南十字道头定为坤地所有测望杂法一一设问如后或问甲乙二人俱在干地乙东行三百二十步而立甲南行六百步望见乙问径几里答曰城径二百四十步法曰此为勾股容圆也以勾股相乗倍之为实并勾股幂以求弦复加入勾股共以为法草曰置甲南行六百步在地以乙东行三百二十步乘之得一十九万二千步倍之得三十八万四千步为实以乙东行步自之得一十万零二千四百步为勾幂以甲南行步自之得三十六万步为股幂二幂相并得四十六万二千四百步为弦方实以平方开之得六百八十步则弦也以弦加勾股共共得一千六百步以为法如法而一得二百四十步则城径也合问或问甲乙二人俱在西门乙东行二百五十六步甲南行四百八十步望见乙问答同前法曰此为勾上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂以求弦加入股以为法草曰置甲南行四百八十步在地以乙东行二百五十六步乘之得一十二万二千八百八十步倍之得二十四万五千七百六十步为实以乙东行步自之得六万五千五百三十六步为勾幂以甲南行步自之得二十三万零四百步为股幂勾股幂相并得二十九万五千九百三十六步为弦方实以平方开之得五百四十四步为弦也以加入南行步共得一千零二十四步以为法而一得二百四十步则城径合问或问甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲南行三百七十五步望见乙问答同前法曰此为股上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股幂求弦加入勾以为法草曰置甲南行三百七十五步以乙东行二百步乘之得七万五千步倍之得一十五万步为实以乙东行自之得四万步为勾幂以甲南行自之得一十四万零六百二十五步为股幂勾股幂相并得一十八万零六百二十五步为弦方实如平方而一得四百二十五步则弦也加入乙东行二百步共得六百二十五步以为法以法除之得二百四十步则城径也合问或问甲乙二人俱在圆城中心而立乙穿城向东行一百三十六步而止甲穿城南行二百五十五步望见乙问答同前法曰此为勾股上容圆也以勾股相乘倍之为实并勾股幂如法求弦以为法草曰以二行步相乘得三万四千六百八十步倍之得六万九千三百六十步为实置乙东行自之得一万八千四百九十六步为勾幂又以甲南行自之得六万五千零二十五步为股幂二幂相并得八万三千五百二十一步为弦方实以平方开之得二百八十九步即弦也便以为法如法除实得二百四十步即圆城之径也合问或问甲乙二人同立于干地乙东行一百八十步遇塔而止甲南行三百六十步回望其塔正居城径之半问答同前法曰此为弦上容圆也以勾股相乘倍之为实以勾股和为法草曰以二行步相乘得六万四千八百步倍之得一十二万九千六百步为实并二行步得五百四十步以为法除实得二百四十步即城径也合问或问甲乙二人俱在坤地乙东行一百九十二步而止甲南行三百六十步望乙与城㕘相直问答同前法曰此为勾外容圆也以勾股相乘倍之为实以弦较和为法草曰以二行步相乘得六万九千一百二十步倍之得一十三万八千二百四十步为实置乙东行自之得三万六千八百六十四步为勾幂又置甲南行自之得一十二万九千六百步为股幂二幂相并得一十六万六千四百六十四步为弦方实以平方开之得四百零八即弦也又置甲南行步内减乙东行步余一百六十八步即较也以较加弦共得五百七十六步以为法实如法而一得二百四十步为城径也合问按此题用勾股求得弦即可加减得弦较较为城径今必以勾股相乘倍积为实求得弦加减得弦较和为法而后始得弦较较为城径者盖欲因此并明勾股相乘之倍积为弦较较弦较和相乘之积非故为纡廻也或问甲乙二人同立于艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城㕘相直问答同前法曰此为股外容圆也以勾股相乘倍之为实以弦较较为法草曰二行步相乘得一万二千倍之得二万四千步为实以甲南行自之得二万二千五百步为股幂又以乙东行步自之得六千四百步为勾幂勾股幂相并得二万八千九百步为弦方实以平方开之得一百七十步即弦也以二行步相减余七十步为勾股较也以此较又减弦余一百步即弦较较也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问按此题系弦较和为城径其用法实以较取和之意与上题同或问甲乙二人同立于㢲地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙与城㕘相直问答同前法曰此为弦外容圆也勾股相乘倍之为实以弦和较为法草曰以二行步相乘得四千三百二十步倍之得八千六百四十步为实以甲北行自之得八千一百步为股幂又以乙西行自之得二千三百零四步为勾幂并二幂得一万零四百零四步为弦方实以平方开之得一百零二步为弦也又并二行步得一百三十八步为和以弦减和余三十六步得黄方以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问按此题弦和和即城径其以勾股相乘倍积为实黄方为法者亦以明弦和和黄方相乘之积与勾股相乘之倍积为相等也或问甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙与城㕘相直问答同前法曰此为勾外容圆半也以勾股相乘倍之为实以大差为法草曰以二行步相乘得九千七百二十步倍之得一万九千四百四十步为实又以乙东行自之得五千一百八十四步为勾幂又以南行自之得一万八千二百二十五步为股幂二幂相并得二万三千四百零九步为弦方实以平方开之得一百五十三步即弦也以乙东行七十二步为勾以减弦余八十一步即勾弦差也便以为法实如法而一得二百四十步即城径也合问或问甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十六步回望甲与城㕘相直问答同前法曰此为股外容圆半也以勾股相乘倍之为实以小差为法草曰以二行步相乘得四百八十步倍之得九百六十步为实又以乙东行自之得二百五十六步为勾幂又以甲南行自之得九百步为股幂二幂相并得一千一百五十六步为弦方实以平方开之得三十四步即弦也以甲南行三十步为股以减弦余四步以为法以法除实得二百四十步即城径也合问或问甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行三十步望见甲问答同前法曰此为半矮梯也以二行步相乘为实如平方而一得半径草曰以二行步相乘得一万四千四百步为实以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问又问甲乙二人乙出南门折而东行七十二步而止甲出北门折而东行二百望见乙问答同前法曰以二行步相乘得数四之为实如平方而一得城径草曰二行步相乘得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问又假令乙出南门折东行二十步甲出北门折东行七百二十步如此之类亦同上法(以上三问是以半矮梯求之)按右三题通为一问或问甲乙二人乙在艮地东行八十步而立甲在坤地南行三百六十步望见乙问答同前法曰此为两差求黄方也以二行步相乘倍之为实以平方开得城径草曰二行步相乘得二万八千八百步倍之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问 别得甲南行即股圆差也乙东行即勾圆差也或问甲出东门四十八步而立乙出南门四十八步见之问答同前法曰此当以方五斜七求之每出门二步管径十步草曰置出门步在地以五之得二百四十步即城径也据此法合置出门步在地以十之二而一以二数相折故五因便是合问按方五斜七古率非密率也设问以尽此题之变故率之踈密勿论或问出西门南行四百八十步有树出北门东行二百步见之问答同前法曰以二行步相乗为实二行步相并为从二步常法得半径草曰立天元一为半径置南行步在地内减天元半径得□□为股圆差(按斜画者少之记也□□是为四百八十步少一元也下倣此)又置乙东行步在地内减天元得下式□□为勾圆差以勾圆差乘股圆差得丨□□(按丨□□为一平方少六百八十元)(多九万六千步)为半段黄方幂即城幂之半也(寄左)又置天元幂以倍之得□□亦为半段黄方幂与左相消得丨□□如带纵法之得半径合问(按相消者取上两相等之数同加减相等)(之数使一为步数一为方元数仍相等也如寄数内减一平方加六百八十元则得九万六千步又数内)(亦减一平方加六百八十元则得一平方六百八十元是为一平方六百八十元与九万六千步等故其)(式为丨□□旧稿方元数皆作斜画以别之然遇方元数有多少异号者殊混人目今不用)又法识别得二行并即大弦也立天元一为半径置甲南行步加天元一得□□为大股又置乙东行步加天元得□□为大勾也勾股相乘得丨□□为一个大直积以天元除之得下式□□□为三事和(寄左黄方)(除倍积得三事和今以半黄方除直积亦为三事和也)然后并二行步又并入勾股共得□□为同数与左相消得□□□以带纵平方开之得一百二十步倍之得全径也合问按是书皆先法后草草者以立天元一推衍而得其方元积数者也法者又取推衍中之支节条目融㑹而归于简约者也草者法之本法者草之用法使人易于推步而草则存其义以俟知者二者相须不可偏废顾应祥仅演其开方乘除之数而去其细草盖亦不得其理矣按元时未有笔算故加减乘除之式不能详载观者遂以为无下手处今借根方法既明视此则涣如氷释矣测圆海镜卷二
## 卷三
钦定四库全书测圆海镜卷三元 李冶 撰边股一十七问或问乙出东门南行不知歩数而止甲出西门南行四百八十歩望见乙复就乙行五百一十步与乙相㑹问答同前法曰倍相减步以乘二之甲南行步为平方实得城径草曰识别得二行相减余三十步即乙出东门南行步也倍相减步得六十步以乘二之甲南行步九百六十步得五万七千六百步为平方实如法开之得二百四十步即城径也合问或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅东行八十步望见甲问答同前法曰倍南行步以东行步乘之为实东行歩为从方一步常法得全径草曰立天元一为全径以减于二之甲南行步得□□为两个大差也以乙东行步乘之得□□为圆径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得丨□□以带纵平方开之得二百四十步即城径也合问又法半之乙东行步乘南行步为实半之乙东行步为从一步常法得半径草曰立天元一为半城径减甲南行步得□□为大差也以半之东行步乘之得□□即半径幂(寄左)然后以天元幂为同数与左相消得丨□□开带纵平方得一百二十步倍之即城径也合问或问甲出西门南行四百八十步而止乙从艮隅亦南行一百五十步望见甲问答同前法曰两行步相乘为实南行步为从方一为隅得半径草曰立天元一为半城径以减乙南行步得□□为半梯头以甲行步为梯底以乘之得□□为半径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得丨□□开带纵平方得一百二十步倍之即城径也合问或问甲出西门南行四百八十步乙出东门直行一十六步望见甲问答同前法曰以四之东行步乗南行幂为实从空东行为亷一步为隅法得全径草曰立天元一为圆径加乙东行步得□□为中勾其甲南行即中股也置东行步为小勾以中股乘之得□合以中勾除今不受除便以为小股也(内寄中勾分母)乃复以中股乗之得三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十四万五千六百为一段圆径幂(寄中勾分母寄左)然后以天元径自之又以中勾乘之得□□为同数与左相消得丨□□□以𢃄纵立方开之得二百四十步为城径也合问按不受除者无可除之理也凡二数此数于彼数有可除之理则受除无可除之理则不受除也盖除有法有实实可二法不可二此题以中勾为法而中勾内有一元又有十六步其为数已二矣又何以均分不一之数乎故曰不受也寄分者姑寄其应除之数也俟求得两相等数而此数内尚少一除不除此而转乘彼则两数仍相等犹之受除者也此所谓以乘代除也或问乙出南门东行七十二步而止甲出西门南行四百八十步望乙与城㕘相直问答同前法曰以乙东行幂乗甲南行为实乙东行幂为从方甲南行步内减二之东行步为益亷一步常法得半径草曰立天元一为半城径以减南行步得□□为小股又以天元加乙东行步得□□为小勾又以天元加南行步得□□为大股乃置大股在地以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以为大勾(内寄小股分母)又置天元半径以分母小股乘之得□□以减大勾得□□□为半个梯底于上以乙东行七十二步为半个梯头以乘上位得□□□为半径幂(内寄小股分母)寄左然后置天元幂又以分母小股乘之得□□□为同数与左相消得□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问又法曰以二数相乘为实相减为从一虚法平开得半径草曰别得二数相并为大股内少一虚勾其二数相减为大差弦也立天元一为半径副置之上位减于四百八十得□□为股圆差(即大差股也)下位加七十二得□□与股圆差相乘得下式□□□为一大差积(寄左)再以大差勾减于大差股余□□为较又加入大差弦四百单八共得□□为弦较共也以天元乘之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步即半径合问 前法太烦故又立此法以就简也或问乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望见乙与城㕘相直又就乙行四百零八步与乙相㑹问答同前法曰二行步相减以乘甲南行步为实甲东行步内减相减步为益方一步常法得半径草曰识别得二行相减余七十二步即是乙出南门东行数也更不湏用弦遂立天元一为半城径加乙东行得□□为小勾也副置南行步上减天乙得□□为小股下加天元得□□为大股乃置大股以小勾乘之得下式丨□□合以小股除之今不受除便以此为大勾也(内带小股分母)又倍天元以小股乘之得下式□□以减于大勾得□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁此勾圆差内已带小股分母(小股即股圆差也)更不湏乘便以此为半段黄方幂(更无分母也)寄左乃以天元自之又倍之得□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出东门直行不知歩数而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相会问答同前法曰半南行步减半斜行步以乘南行步为实从方空半斜行半南行相减得数加入南行步为隅法得半径草曰识别得二行相减余六十四步即半径为股之勾也立天元为半径就以为小股其二行相减余六十四步即小勾也乃置甲南行步加天元得下式□□为大股以小勾乘之得□□又以小股除之得□□为大勾又倍天元一减之得下式□□□为勾圆差也半之得□□□于上乃以天元减甲南行步得□□为股圆差以乘上位得丨□○□为半径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得下式□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问按此问以小股为除法盖因小股只一天元其数不二犹有可除之理也然得数降于实数之下者皆不可以命名至开方时仍湏各升一位以计之是两边各加一乘犹是寄分之理也又法以二数差乘二数并开方得边勾复以边股乘之为实并二数而半之为法实如法得二百四十步即城径(此盖用前勾上容圆法也)或问乙从干地东行不知几步而止甲出西门南行四百八十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相㑹问答同前法曰并二行数以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行差为从方二步常法得半径草曰识别得二行相减余二百步即半圆径与小差勾之共数也立天元一为半城径加于二百步得□□为大勾也又以天元加于甲南行步四百八十得□□即大股也乃以大勾自之得丨□□为勾幂(寄左)乃置乙斜行六百八十步为大弦加入大股共得□□于上再置二行差内减天元得□□为小差勾即股弦较以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问又法求小差二行相减以自之又四之为实二行相减八之于上二之南行步内减二之二行相减数又以加上位为益方二步常法草曰立天元一为小差减二行差得□□为半城径以自之得丨□□又四之得□□□为圆径幂(寄左)然后以半城径减于甲南行得□□又倍之得□□为两个大差也又以天元乘之得□□○为同数与左相消得下式□□□以平方开之得八十步为小差也或问乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城㕘相直复就乙斜行二百五十五步与乙相㑹问答同前法曰甲南行内减二之两行差余以乘甲南行又倍之为实二步为隅得半径草曰别得二行步相减余二百二十五步乃是半径为勾之股也立天元一为半城径就以为小勾率其二行差二百二十五步即为小股率乃置甲南行步加入天元得□□为大股以天元小勾乘之得丨□合以小股除今不受除(按此所谓不受除乃其数竒零不能尽非无可除之理也)(与前辞同而意异)便以此为大勾(内寄小股分母)乃倍天元以小股乘之得□以减大勾余丨□为一个小差于上(内寄小股)(分母)乃以天元减甲南行步得□□为大差也以乘上位得□□□又倍之得□□□为圆径幂(内寄小股分母)寄左然后倍天元以自之又以小股乘之得□□为同数与左相消得□○□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问按此题止用股弦求勾法即得城半径其必展转数次而后始得者益见其为发明立天元一之术使人易晓也后多有倣此者或问乙出南门直行一百三十五步而止甲出西门南行四百八十步望乙与城㕘相直问答同前法曰二行步相减余以自乘内减乙行幂为实二之甲南行为益从一步常法得半径草曰立天元一以为半径便以为勾率又以天元加乙行步并以减于甲行步得□□为股率乃置乙南行步一百三十五步为小股以勾率乘之得□合以股率除之今不受除乃便以此为小勾(内寄股率分母)又置乙南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□合以股率除之今不受除便以此为大勾(内寄股率)(分母)以小勾大勾相乘得□□□为半径幂(内带股率幂为分母)寄左然后置天元以自乘又以股率幂乘之得丨□□□为同数与左相消得□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问按此草得数为九百六十立方少一三乘方与十万零八百平方等皆虚数也各降二位即如各以平方除之乃为九百六十元少一平方与十万零八百步等两数等所降之位又等则两数仍相等而实积步数乃出矣故可以带纵平方开之也此系降位而得实数者与前升位而得实数者其理互相发明草中不言盖以为不待于言也或问甲乙二人同出西门向南行至西南十字道口分路乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望乙与城㕘相直问答同前法曰两行相乘得数又以乙东行乘之为实二行相乘于上位又置乙东行以二行相减数乘之得数加上位为法草曰立天元一为半城径副置上位加南行步得□□为大股也下位减于甲行步得□□为小股也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也置天元以母通之得□□减于大勾得丨□□为半个矮梯底于上再置乙东行内减天元得下式□□为半个矮梯头以乘上位得下式□□□□为半径幂寄左再置天元以自之为幂又以分母乘之得□□□为如积与左相消得□□上法下实得一百二十步即城之半径也合问按草中相消法皆得两边数此独得一边二数盖此条共数比彼条共数少一数又多一数为相等则多少二数其必为相等无疑矣多少数多者亦倣此此又相消法中之一变也又法二行步相乘为实倍甲南行内减乙东行为法草曰立天元一为半城径副置上位加甲南行得□□为大股下位减甲行步得□□为小股便是股圆差也其乙东行即小勾也置大股以小勾乘之得□□内寄小股□□为母便以为大勾也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大勾余□□□为勾圆差也合以股圆差乘之縁内已有小股分母不湏乘便以此为两段之半径幂也更无分母(寄左)然后置天元幂以二之得□□为如积以左相消得□□上法下实得一百二十步即半城径也合问或问见边股四百八十步□弦三十四步问答同前(此题)(在甲乙二人同出西门南行至十字道乙折东行一百九十二步而立甲又南行甲通行四百八十步望)(见乙与城㕘相直之后)法曰□弦乘边股半之为实半□弦半边股相并为从半步隅法平方得□股草曰立天元一为□股加□弦得□□为平勾也又以天元减边股而半之得□□为髙股也平勾髙股相乘得□□□为半径幂(寄左)然后以天元乘边股得□为同数与左相消得下式□□□开平方得□股三十步以乘边股开平方倍之即圆城径也合问按此问原稿在三卷末或问见边股四百八十明弦一百五十三问答同前法曰二云数相减复倍之内减边股复以边股乘之于上又以明弦幂乘上位为实以边股乘明弦幂又二之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减又倍之为第二益亷一常法开三乘方得明勾草曰立天元一为明勾加明弦得□□为髙股也以髙股减边股余□□为髙弦以倍之得□□为黄广弦也内减边股得□□为□股复以边股乘之得□□于上又以明弦自乘得二万三千四百零九为分母以乘上位得□□为𢃄分半径幂(寄左)然后置黄广弦以天元乘之得□□复合以明弦除之不除寄为母便以此为全径又半之得□□为半径以自之得□□□为同数与左相消得下式丨□□□□开三乘方得七十二步即明勾也余各依法求之合问又法边股内减二明弦以边股乘之复以明弦幂乘之为三乘方实亷从并同前草曰识别得二数相减余为髙股虚弦共又为髙弦明勾共此余数内又去半径即明和也明和明弦相并即股圆差相减则明黄方也又倍明弦加明黄亦得股圆差也边股内减明勾余即大差弦也立天元一为明勾减于云数相减数得□□即髙弦也以髙弦减边股得□□即髙股也以髙股减于云数相减数得□□即虚弦也以天元又减虚弦得□□即□股也乃置髙弦以天元乘之得□□合明弦除之不受除便以此为髙勾也(即半径)髙勾自之得丨□□□为半径幂(内带明弦幂分母)寄左然后置边股以□股乘之得□□为半径幂又以明弦幂二万三千四百零九分母通之得□□为同数与左相消得实从亷隅五层如前式或问边股四百八十步髙弦二百五十五步问答同前法曰以边股减于二之髙弦复以边股乘之开平方得半径草曰立天元一为半径先倍髙弦内减边股余□复以边股乘之得□□寄左以天元幂与左相消得丨□□开平方得数倍之即城径也合问或问边股四百八十步平弦一百三十六步答问同前法曰置平弦以边股再乘之为实以边股自之为益从平弦为益亷一虚隅开立方得半径草曰别得平弦即皇极勾也立天元一为半径副之上位加平弦得□□即边勾也下位减于平弦得□□即□勾也置□勾以边股乘之得□□合边勾除今不受除寄为母便以此为□股乃以此边股乘之得□□为半径幂(内𢃄边勾分母)寄左然后以天元为幂以分母边勾乘之得丨□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问边股四百八十步明股明弦和二百八十八步问答同前法曰以云之云数相减余加边股复以减余乘之讫又折半于上又以减余自之减上位为实并云数半之为法得明勾草曰别得二数相减余为大差勾立天元一为明勾减于大差勾得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚勾于上又以半径加边股得□□为通股于下上下相乘得□□□折半得丨□□为半径幂(寄左)然后以半径幂丨□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问或问见边股四百八十步□勾□弦和五十步问答同前法曰半边股半和步相并得为泛率以泛半减边股以自之又二之于上以和步乘泛率减上位为实以泛率减边股六之于上内又加半个边股三个和步为益从三步常法得□股草曰别得和步得□股即小差也小差边股共即二中差(按此句误)立天元一为□股加和步得□□即小差也以小差加边股而半之得□□即中差也中小差相并得□□即大差也以小差乘之得□□□为半段径幂(寄左)然后置边股内减大差得□□为半径以自之得□□□又倍之得下式□□□与左相消得下式□□□开平方得三十步即□股也合问按草云以小差边股共即二中差有误盖中差即勾股较小差即股弦较边股即勾弦较与容圆半径和若设勾二十股二十一弦二十九则勾弦较九容圆半径六并之得十五为边股股弦较八为小差小差边股共得二十三勾股较一为中差倍之仅得二则相差二十一矣是知细草乃因题数之偶合而误非正法也今依其术另设法草于后以补其阙法曰以□勾弦和自之边股再乘为实倍边股加□勾弦和再以□勾弦和乘之为从又倍□勾弦和减边股余为益亷一为隅𢃄纵立方开之得□股草曰别得边股即髙股弦和□股即髙股弦差□股弦和即平勾也立天天一为□股自之得丨□应以□勾弦和除之不除便以为□勾弦较(内寄□勾弦和分母)转以□勾弦和自之得□为□勾弦和加□勾弦较得丨○□为倍□弦又以□勾弦和分母乘倍□股得□为倍□股与倍□弦相加得丨□□为倍□股弦和即倍平勾又于边股内减□股得□□为倍髙股倍髙股倍平勾相乘得□□□□为圆径幂寄左又以边股□股相乘得□为半径幂四因之得□为圆径幂又以□勾弦和分母乘之得□为同数与左相消得丨□□□开带纵立方得□股三十步合问测圆海镜卷三
## 卷四
钦定四库全书测圆海镜卷四元 李冶 撰底勾一十七问或问乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之就乙斜行二百七十二步与乙相㑹问答同前法曰二行差数乘甲东行又四之为平方实得全径草曰识别得二行相减余即乙出南门东行数也以甲东行减于就乙斜行余七十二步以乘甲东行歩得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问或问乙从坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问答同前法曰二行步相乘倍之为实乙南行为从一步常法得城径草曰立天元一为城径以减于二之甲东行步得(□)□为两个小差以乙南行步乘之得□□为城径幂(寄左)然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得二百四十步即城径也合问又法半之乙南行步乘甲东行为实半乙南行为从一步常法得半径草曰立天元一为半城径减甲东行得□□为小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□为半径幂(寄左)然后以天元幂丨□与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问乙从坤隅东行一百九十二歩而止甲出北门东行二百步见乙问答同前法曰两行步相乘为实甲东行为从乙为隅得半径草曰立天元一为半径减于乙东行得□□以甲行步乘之得□□为半径幂(寄左)然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见乙问答同前法曰以乙南行步乘甲东行幂又四之为实从空乙行为亷一步常法得城径草曰立天元一为城径加乙南行得□□为股率其甲东行即勾率也其乙南行□为小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此为小勾(寄股率为母)乃以甲东行步乘之得□ 又四之得□为一段城径幂(寄左)然后以天元城径自之又以股率分母通之得丨□□为同数与左相消得下式丨□□□以立方开之得二百四十步即城径也合问又法二行相乘又以自乘为实以二行相乘倍之为益方南行幂为亷八步益隅立方开得小勾七十二草曰立天元一为小勾以南行为小股以东行二百步为大勾也置大勾内减天元得□□为中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□为中股即城径也以自之得□□□为城径幂也(寄左)又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□为同数与左相消得□□□□开立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步为实平方开得一百二十步倍之即城径也合问又法求半径以南行步乘东行幂为实从空东行步为亷二步常法得半径草曰立天元一为半径以二之加南行步得□□为股率以东行□为勾率以南行为小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此为小勾也又以勾率乘之得下式□为半径幂(寄左)再立天元半径以自之又以分母股率乘之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出东门南行三十步而止甲出北门东行二百步望乙与城㕘相直问答同前法曰以甲东行步乗乙南行幂为实以乙南行幂为从甲东行内减二之乙南行为益亷一步隅得半径草曰立天元一为半城径减于甲东行步得□□为小勾以天元加于乙南行步得□□为小股乃以天元加东行步得□□为大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此为大股(内带)(小勾分母)又置天元半径以分母小勾乘之得□□减于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□为半径幂(内有小勾分母)寄左然后以天元为幂又以小勾通之得□□□为同数与左相消得下式□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问(翻法在记)又法乙南行乘甲东行为平实二数相减为法一隅翻开得半径草曰别得二数相并为大勾内少一虚股其二数相减为小差弦也 立天元一为半径副置之上位减于二百步得□□为勾圆差(即小差勾也)下位加三十步得□□为小差股勾股相乘得□□□为一段小差积(寄左)再以小差勾减小差股余□□为一较也又以此较减于小差弦得下式□□为一个弦较较以天元一乘之得下式□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即半城径也合问(翻法在记)再立此法者盖从简也按此乃以小差勾为平弦上弦较较半径为平股故以小差弦上弦较较与半径相乘等于平弦上弦较较与小差股相乘为一段小差积也或问乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城㕘相直复就乙斜行一百七十步与乙相㑹问答同前法曰以二行差乘甲东行为实甲就乙斜行为方一步常法得半径草曰识别得二行相减余三十步即乙出东门南行步也(更不湏用弦)立天元一以为半城径加乙南行得□□为小股副置甲东行步上位减天元得下式□□为小勾下位加天元得□□为大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此为大股(内𢃄小勾分母)又倍天元以小勾乘之得□□以减于大股得□□□又倍之得下□□□为两个股圆差合以勾圆差乘之縁为其中已带小勾分母更不须乘便以此为黄方幂(更无分母)寄左然后倍天元以自之得□□为同数与左相消得□□□上下俱半之(俱半之者盖从简也)得□□□以平方开之得一百二十步倍之即半径也合问或问乙出南门直行不知步数而止甲出北门东行二百步见之复就乙斜行四百二十五步与乙相㑹问答同前法曰倍两行差以乘二之甲东行为实从空四之甲东行于上倍两行差加上位为隅得半径草曰识别得二行差二百二十五步即半径为勾之股也立天元一以为半径便是小勾其二行差便是小股乃置甲东行步加天元得□□为大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□为大股又倍天元以减之得□□□为股圆差又倍之得□□□为两个股圆差于上乃以天元减甲东行得□□为勾圆差以乘上位得下式□□○□为城径幂(寄左)然后倍天元一以自之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问(按此系得数各升一位然后开平方)又法并二数以二数差乗之开方得底股复以甲东行二百步乘之为实并二数而半之以为法如法得二百四十步即城径也合问(此用股上容圆求之比前法极为简易)或问乙从干隅南行不知步数而止甲出北门东行二百步望见之复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前法曰并二行以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行相减数(按即倍乙斜行)为从二步常法得半径草曰识别得斜行六百八十步即大弦也其二行相减余四百八十步即乙南行步内减半径也立天元一为半城径副置之上位加二行相减数得□□为大股也下位加甲东行步得□□为大勾也乃以大股自增乘得丨□□为大股幂(寄左)乃并大勾大弦得□□于上又以大勾减大弦得□□为大差以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问又法求大差法曰二行差自乘为实置二之二行差于上乃以甲东行步减二行差又半之以减于上为益方(按三因斜行步)(二因东行步相减折半亦同)半步常法草曰立天元一为大差减于二行差得□□为半城径以自之得丨□□为半径幂(寄左)乃以半城径减于甲东行得下式丨□为小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□为同数与左相消得下式□□□以平方开之得三百六十步即大差也合问或问乙出东门不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城叅相直复就乙斜行一百三十六步与乙相㑹问答同前法曰甲东行步内减二之二行差(按倍斜行步内减东行步亦同)余以乘甲东行为实一步常法得半径草曰别得二行相减余六十四步即半径为股之勾立天元一为半城径就以为股率其二行差即勾率也乃置甲东行步加天元得□□为大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此为大股(内𢃄勾率分母)乃倍天元以勾率乘之得□以减大股得丨□为一个大差于上(内𢃄勾率分母)乃以天元减甲东行得□□为小差以乘上位□□□为半段黄方幂(内寄勾率)(为母)寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□为同数与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出东门直行一十六步而止甲出北门东行二百步望见乙与城叅相直问答同前法曰二行步相减余以自乘内减乙东行幂为实二之甲东行为益从一步隅法得半径草曰立天元一以为半城径加乙行步并以减于甲行步得□□为平勾率其天元半径即平股率也乃置乙东行一十六步为小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此为小股(内带勾率分母)又置乙东行加二天元得□□为大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此为大股(内寄勾率为母)以此小股大股相乘得□□□为半径幂(内寄勾率幂为母)寄左然后以勾率幂乘天元幂得丨□□□为相同数相消得□□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问(按此系得数各降二位然后开平方)或问甲乙二人同出北门向东行至东北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向东行甲前后通行了二百步廻望乙恰与城相直问答同前法曰以二行步相乘于上又以南行步乗之为实二行步相乘于上又以乙南行减于甲东行得数复以乙南行乘之加上位共为法得半径草曰立天元一为半城径副之上位加甲行步得□□为大勾也下位减于甲行步余□□为小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以母乘之得□□减于大股余丨□□为半个矮梯底于上(内寄小勾为母)再置乙折行步内减天元得□□为半个矮梯头以乘上位得□□□□为半径幂(寄左)乃以小勾分母乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实如法而一得一百二十步即城之半径也合问又法 法曰二行步相乘为实倍甲东行内减乙南行为法草曰立天元一为半圆径副之上位加甲东行得□□为大勾下位减甲东行得□□为小勾此小勾便是勾圆差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大股余得□□□为股圆差也合以勾圆差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此为两段之半径幂也更无分母(寄左)再置天元以自之又二之得□□为同数与左相消得□□上法下实一百二十步即半城径也合问或问见底勾二百步明弦一百五十三步问答同前法曰半底勾乘明弦为平实并二云数而半之为从五分常法得明勾草曰立天元一为明勾加明弦得□□为髙股也又以天元减底勾而半之得下式□□为平勾也勾股相乘得□□□为半径幂(寄左)然后以天元乘底勾得下式□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明弦也以明弦乗底勾为平方实如法开之得一百二十步倍之即城径也合问或问见底勾二百步□弦三十四步问答同前法曰底勾□弦相减余倍之内减去底勾(按倍□弦减底勾亦)(同)复以底勾乗之于上又以□弦幂乘上位为三乗方实倍底勾以□弦幂乗之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减余又倍之为第二益亷一步隅法得□股草曰立天元一为□股加□弦得□□为平勾以平勾减底勾余□□为平弦以倍之得□□为黄长弦也此弦内却减底勾余得下式□□为明勾也复以底勾乘之得□□于上又□弦自乘得一千一百五十六为分母以乗上位得□□为带分半径幂(寄左)然后置黄长弦以天元乗之得□□合以□弦除之不除寄为母便以此为全径也以半之得□□为半径(内带□弦分母)以自之得丨□□□为同数与左相消得丨□□□□开三乗方得三十步即□股也余各依数求之合问又法底勾内减二□弦复以底勾乘之复以□弦幂乘之为三乗方实余亷从并与前同草曰识别得二数相减余一百六十六为平勾虚弦共又为平弦□股共于此余数内又去半径即□和也□和□弦相并即勾圆差也相减则□黄方也又倍□弦加□黄亦得勾圆差也底勾内减□股余即小差弦也 立天元一为□股减于云数相减数得□□为平弦以平弦减底勾得□□即平勾以平勾减于云数相减数得□□即虚弦以天元又减虚弦得□□即明勾也乃置平弦以天元乘之得□□合□弦除不除寄为母便以此为平股也(即半径)平股自之得丨□□□○为半径幂(内带□弦幂分母)寄左然后置底勾以明勾乗之得□□又以□弦幂一千一百五十六通之得下式□□为同数与左相消得丨□□□□亷从一一如上或问见底勾二百步平弦一百三十六步问答同前法曰倍平弦内减底勾复以底勾乗之开平方得半径草曰立天元为半径先倍平弦内减底勾余□为明勾复以底勾乗之得□为半径幂(寄左)然后以天元幂为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步又倍之即城径也合问或问底勾二百步髙弦二百五十五步问答同前法曰底勾幂乗髙弦为立实底勾幂为从髙弦为亷一为隅得半径草曰识别得髙弦即皇极股也立天元一为半径副之上位加髙弦得□□即底股也下位减于髙弦得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄为母便以此为明勾又以底勾乗之得□□为半径幂(内带底股分母)寄左然后以天元幂乗底股得丨□□与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问底勾二百步□勾□弦和五十步问答同前法曰以二云数相减余加底勾复以减余乗之半之于上以减余自之减上位为实并云数半之为法得□股草曰别得二数相减余为小差股立天元一为□股减于小差股得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚股于上又以半径加底勾得□□为通勾于下上下相乗得□□□折半得丨□□为半径幂(寄左)然后以半径自之得下式丨□□为同数与左相消得□□上法下实得三十步即□股也合问或问见底勾二百步明股明弦和二百八十八步问答同前法曰二数相减又半之得数又减于底勾余为泛率以泛率自之又倍之于上位又二数相减而半之以乗和步所得减于上倍为实倍泛率于上位又半底勾减和步加上位为法得明勾草曰别得和步得明勾为大差也大差得底勾为二中差 立天元一为明勾加和步得□□为股圆差也(即大差)内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也(此即中差)置大差减中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□为半段圆径幂(寄左)乃置底勾内减小差得□□为半径以自之得□□□倍之得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问按此条法草与三卷末以小差边股共为二中差者同误依问另设于后法曰以底勾乘明股弦和幂为实倍底勾以明股和乗之加入明股弦和幂为从倍明股弦和内减底勾为亷一为隅开带纵立方得明勾草曰别得明弦得明勾为髙股髙勾即半径也底勾为平勾弦和明勾为平勾弦较平股即半径也立天元一为明勾自之得丨□应以明股弦和除之不除便以为明股弦较(内寄明股弦和分母)明股弦和自之得□为股弦和以加股弦较得丨□□为倍明弦以分母乗倍天元得□为倍明勾与倍明弦相加得丨□□为倍髙股置底勾减天元得□□为倍平勾与倍髙股相乘得□□□□为城径幂(内寄明股弦和分母)寄左又倍天元与倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□为相同数与左相消得丨□□□开立方得明勾合问测圆海镜卷四
## 卷五
钦定四库全书测圆海镜卷五元 李冶 撰大股一十八问或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前法曰倍二行差内减甲南行步复以乗甲南行步为实(倍二行差减甲南行步即是甲南行步内减二之乙南行也)四之甲南行步内减二之乙南行为从方四为益隅开平方得半径草曰立天元一为半径以二之加乙南行步得□□为中股以中股又减于甲南行步得□□为股率其天元半径即勾率也置甲南行为大股以勾率乗之得□合以股率除之不受除便以此为大勾(内𢃄股率分母)再置天元以二之以股率乘之得□□减于大勾余□□为勾圆差于上(内有股率分母)又以二之天元减甲南行得□□为大差以乘上位得□□□为半段黄方幂(内寄股率分母)然后以天元自之又以股率乘之又倍之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出南门东行七十二步而止甲从干隅南行六百步望乙与城叅相直问答同前法曰云数相乘为平实甲南行为从二益隅得半径草曰别得虚勾乗通股得半段圆径幂此与虚股乗通勾同立天元一为半径内减乙东行得□□为虚勾以乘甲南行得□□为半段径幂(寄左)再以天元为幂又倍之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问或问乙出东门直行一十六步甲从干隅南行六百步望见乙问答同前法曰以乙东行乘甲南行幂为实二之乙东行乘甲行为从方亷空二步隅法得半径草曰立天元一以为半城径以二之加于乙东行得□□为勾率又以天元减甲南行得□□为股率乃置乙东行以股率乗之得□□合以勾率除不除便以此为小股此小股即半梯之头也(内带勾率分母)又以股率乗之(此股率即半梯之底也)得□□□为半径幂(内带勾率分母)寄左然后置天元幂以勾率通之得□□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出东门南行三十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前法曰二行步相乗为寳以南行为从一步常法得半径草曰立天元一为半径以减于甲南行得□□为半梯底以乙南行三十步为半梯头以乗之得□□为半径幂(寄左)乃以天元幂与左相消得丨□□开平方得一百二十步即半城径也合问或问乙从艮隅南行一百五十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前法曰二行步相乗为实并二行步为法得半径草曰立天元一为半径副置之上以减于乙南行得□□为半梯头下以减于甲南行得□□为半梯底上下相乗得丨□□为半径幂(寄左)乃以天元幂与左相消得下式□□上法下实如法而一得一百二十步倍之即城径也合问或问乙从艮隅东行八十步而立甲从干隅南行六百步望见乙问答同前法曰二行步相乘又倍之为实二之乙东行为从一步常法得全径草曰别得乙东行八十步即小差也立天元一为城径减于甲南行步得□□为大差以乙东行步乘之得□□又倍之得□□为城径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问南门东不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城㕘相直复就树斜行四百八步至树问答同前法曰南行步幂内减两段两行相乘数为实二之南行步为从一步益隅得城径草曰别得南行步内减城径即小股也其斜行步即小弦也又二行相减即大差为股之勾也立天元一为圆径以减南行步得□□为股圆差也(合为小股)置南行步以斜行步乘之得□合以小股除之不受除便以此为大弦(内带小股分母)再置南行步以小股乗之得□□为大股(亦带小股分母)以大股减大弦得□□为小差也合以大差乘之縁于内带大差分母更不湏乘便以为半段黄方幂(更无分母)又二之得□□为一段黄方幂(寄左)然后以天元幂为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问依前问假令乙出南门东行不知步数而立甲从干南行六百步望乙与城相直复就乙斜行四百八步(按此)(即前问以明又法)法曰二行差幂乗甲南行为实二之二行差以乗南行步为益方二之二行差为隅得半径草曰识别得二行相减即半城径与乙东行共也得此数更不须用斜立天元为半径减于二行差一百九十二得□□即半梯头也又以二天元减甲南行步得□□为股率又以一百九十二为勾率乃置甲南行以勾率乘之得□合股率除不除便以此为大勾(内寄股率分母)再置天元以股率乘之得□□以减于大勾得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□为半城径幂(内寄股率分母)寄左然后以股率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问东门南不知逺近有树甲从干隅南行六百步见树复向树斜行五百一十步至树问答同前法曰二行差步乘甲南行步为实二行之差步并甲南行步为从二益隅(若欲从简上下俱折半)草曰别得二行相减数即虚积之股也立天元一为半径内减二行之差步得□□为梯头于上又以天元减于甲之南行步得□□为梯底上下相乗得□□□为圆径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得□□□开平方得一百二十步即城径也合问或问乙出东门直行不知步数而立甲从干隅南行六百步望见乙复就乙斜行五百四十四步与乙相㑹问答同前法曰以二行步相减乘甲南行步得数又半之南行步以乘之为实以二行差乘南行步于上又以半之南行步乘南行步加于上为从方二之南行步为益亷一步常法得半径草曰别得二行相减即半径上勾股较(此股即半径也)又别得是大勾圆差不及平弦数立天元一以为半城径以减南行步得□□为中股其斜行步即中弦也乃立半城径以斜步乘之得□合以中股除今不受除便以此为平弦(内带中股分母)又以二行步相减余五十六步为勾圆差不及平弦数置此数以中股乗之得□□复以减平弦余得□□为小差(内带中股分母)乃以二天元减甲南行步得□□为大差又半之得□□以乘小差得□□□为半径幂(寄左)然后以天元自乗又以中股通之得□□□为同数与左相消得丨□□□开立方得一百二十歩倍之即城径也合问(翻法在记)或问甲乙二人俱在干隅乙东行不知步数而立甲南行六百步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前法曰以二行差乘二行并开平方得数内复减二行差得全径草曰别得二行相减即勾圆差也先求大勾立天元一为大勾以二行相减余八十步以乘二行相并数一千二百八十步得□为勾幂开平方得三百二十步即大勾也大勾内减去勾圆差余二百四十步即城径也合问或问南门外不知逺近有树甲从干隅南行六百步望树与城㕘相直复就树斜行二百五十五步至树问答同前法曰倍二行相减数内减甲南行得数复以乘甲南行为实倍二行相减数为从二步益隅得半径草曰识别得斜行步乃是树至城心之数也立天元一为半径加斜行步得□□为树至城北门之步也乃以减于甲南行得□□为小股率其天元半径即小勾率其斜步即小弦数也再置甲南行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小股率得□□即梯头也复以乘上位得□□□为半径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得一百二十歩倍之即城径也合问或问东门外不知步数有槐树一株甲从干隅南行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了一千一百四十四步乙从艮隅东行望见槐树与城相直复斜行至槐树下乙自云我东行少不及斜行五十六步问答同前法曰甲斜行减于甲南行以乘甲南行得数复以乘二之甲南行为实半之甲南行以乘二之甲南行于上甲斜行减于甲南行余复以乘甲南行又倍之加上位为从方二之甲南行为益亷五分隅法(按五分隅法即)(半个立方)草曰识别得五十六步是小差不及平弦数(此小差即勾圆)(差也)又为平弦上勾股差又为甲斜行不及大股乃副置甲共行在地其上位加五十六步而半之得六百步即大股也其下位减五十六步而半之得五百四十四步即今弦也立天元一为圆径以半之减于甲南行步得□□为中股其斜行五百四十四步即中弦也乃立半天元以斜步乘之得□合以中股除之今不受除便以此为平弦(内寄中股分母)又置勾圆差不及平弦数以中股乘之得□□复以减于平弦□□为小差(内带小股分母)又以天元减甲南行倍之得□□为两个大差以乘小差得□□□为圆径幂(寄左)然后以中股乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问(翻法)(在记)或问出东门向南行不知步数有柳树一株甲从干隅南行六百步望见柳树而止乙出东门直行不知步数望柳树与甲相直却斜行三十四步至柳树下问答同前法曰乙斜行乘甲南行数以乗甲南行幂为实斜行乗甲南行幂又三之为从方甲行幂内减两段斜行南行相乘数(按甲南行内减二之乙斜行以甲南行乘之)为第一亷二之南行步为第二益亷二步常法得半径草曰立天元一为半径以二之减甲南行得□□为大差以自之得□□□为大差幂加于南行幂得□□□又半之得□□□为大弦也内带大差□□分母别寄又置乙斜行以大股六百步乘之得□合大弦除不除便以此为小股也(内带大弦分母)乃以天元减甲南行得□□即半梯底也以乗小股半梯头得□□为半径幂于上此半径幂内有大弦分母縁别寄大弦分母元带大差分母故又用大差分母□□乘上半径幂得□□□为带分半径幂也所带之分谓只带大弦分母也(寄左)然后以大弦乘天元幂得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百二十步即半城径也合问按此条寄分内又带寄分则以所带之分乘本条仍以寄分乘次条者盖寄分为应除本条之数而寄分内所带之分又为应除寄分之数今不除寄分而乘本条则犹是寄分乘次条之理也乗除之变至斯而极矣又法置甲南行幂于上又置甲行幂半之以乗上位为实以斜行乗甲行幂倍之于上位又以甲行再自乗加上位为益方置甲行幂于上以斜行乗甲南行倍之以减上位为第一亷甲南行步为第二亷半步常法得股圆差草曰立天元一为股圆差(即大差)以自之为幂以加甲南行幂得丨□□半之又以天元除之得□□□为大弦其甲南行即大股也别置乙斜行三十四步以大股乗之得□合大弦除不除便以为小股(内寄大弦分母)乃以天元加甲南行步得□□为全梯底也以乗小股半梯头得□□又倍之得□□为城径幂(内寄大弦为母)寄左置天元大差减甲南行余□□为圆径以自之得丨□□又以大弦分母乗之得□□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得三百六十步即股圆差也以股圆差减甲南行余二百四十步即城径也合问或问甲从干隅南行六百步而止丙出南门直行乙出南门东行各不知步数而立甲望乙丙悉与城㕘相直既而乙就丙斜行一百五十三步相㑹问答同前法曰以甲南行步再自之于上以斜行步乘甲南行幂又倍之减上位为立方实南行步自之又四之于上以斜步乗甲南行又倍之减上位为益从六之甲行步为从亷四步虚常法得半径草曰立天元一为半径以二之减于甲南行得□□为大差也以自之得□□□为大差幂也乃置甲南行幂内加大差幂而半之得□□□为大弦也(内寄大差)(分母)又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□为大勾也(亦带大差分母)乃置斜行步在地以大勾乗之得□□合以大弦除不除便以此为小勾内带大弦为母(其大)(勾内元有大差分母不用)即半梯头也(寄上位)再寄天元半径以大差乘之得□□以减于大勾得□为半梯底也以乘上位得□□□为半径幂也(内带大差及大弦为母)寄左然后置天元幂以大差通之又以大弦通之得□□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问依前问假令南门外有树乙出南门东行不知步数而立(只云乙东行步少于树去城步)甲从干隅向南行六百步望树与乙悉与城㕘相直乙就树斜行一百五十三步至问答同前法曰以斜行步乗甲行幂为立方实以甲行幂半之于上以斜行步乘甲行步减上位为益从亷空五分隅得大勾大弦差草曰别得斜步即小弦小弦得小和即勾弦差也立天元一为股圆差以自之为幂副之上以加甲南行幂而半之得□□□为大弦也(寄大差分母)下以减于甲南行幂而半之得下式□□□为大勾也(寄大差分母)乃置斜步以大勾乗之得下□□□合以大弦除不除便以此为小勾(寄大弦分母)又置斜步以甲南行乗之得□合以大弦除为小股不除而又以同母分通之得□○为同分小股也(内只寄大弦分母)注(大股乘时无大差分母故今通之以)(齐大勾上所有大差分母也)又置斜步以大弦通之得□□□为通分小弦也三位相并得□□为股圆差(寄左)然后置天元大差以大弦分母通之得□○□为同数与左相消得□○□□开立方得三百六十步即股圆差也以股圆差减于甲南行步即城径也合问或问东门外不知步数有树甲从干南行六百步而止乙出北门东行斜望树及甲与城㕘相直却就树斜行一百三十六步问答同前法曰二行步相乘于上又半甲南行乘之为实二行相乗于上又半甲南行以乘甲南行加上位为益从甲南行为从亷一步益隅开立方得半径草曰立天元一为半径便以为小股其斜行步即小弦也乃以甲南行为大股以小弦乘之复以天元除之得□□即大弦也又倍天元减甲南行余□□为大差以减大弦余□□□为大勾也又倍天元以减勾得□□□为小差也却以半大差□□乘之得□□□为半径幂(寄左)乃以天元幂相消得下式丨□□□开立方得一百二十步即半径合问或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数有柳树一株槐柳二树相去二百八十九步有人从干南行六百步而止斜望槐柳与城㕘相直问答同前法曰云数相乘得又自增乗为三乗方实斜步幂乘南行步又云之为益从二云数相乘又倍之(按此下脱内减)(斜步幂五字)为益亷二之斜步为第二从亷二法常法得槐至城心步草曰别得槐树至城心步即人所止至槐树步也乃立天元一为槐树至城心步(即人至槐处)加于斜步得□□为边弦也以天元乗之得丨□合斜步除不除便以此为边股(寄斜步分母)又以斜步乗南行步得□为大股以边股减之余□□□为半城径(寄斜步分母)以自之得丨□□□□为半径幂(内带斜步为母)寄左又以天元减斜歩得□□为□弦以天元乘之得□□○合斜步除不除寄为母便以此为半梯头以边股半梯底乗之得□○□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得二百五十五步即槐树至城心之步也亦为皇极正股又自之得数以减斜幂余如平方而一得城心至柳树步又为皇极正勾也勾股相乘倍之为实如斜步而一即城径也合问或问甲从干南行六百步而立乙出南门直行丙出东门直行三人相望俱与城相直而乙丙共行了一百五十一步问答同前法曰甲南行为幂折半又以自之为实倍共步加甲南行以乘半段甲行幂为从方甲行乘共数为从亷一个半甲南行为第二益亷二分五厘为三乘方隅草曰识别得共步加城径即皇极和也又是半径为勾之弦与半径为股之弦相和步也二之此数内减去大弦即皇极勾股内黄方面也亦为太虚弦乃立天元一为大差以自之副置二位上位减于甲行幂以天元除之又折半得□□□为大勾也下位加甲南行以天元除之又折半得□□□为大弦也其甲南行即大股也并勾大股得下式□□□即大和也再以天元减甲南行得□□即圆径也加共步得□□即皇极和又是半径为勾之弦及半径为股之弦共数也又倍之得□□即全径为勾之弦及全径为股之弦共数也内减大弦得□□□即小和内黄方面也乃置大和□□□以小黄方面乘之得□□□□□合以小和除之不除便以此为大黄方也(内寄小和)(为母)寄左然后以天元减甲南行得□□为大黄方以小和乗之得丨□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得三百六十步即股圆差也以股圆差减于甲南行余二百四十步即城径也合问或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从干隅南行六百步斜望乙丙悉与城叅相直乙就丙斜行一百二步相㑹问答同前法曰以斜步乘甲南行幂又倍之为实倍甲行幂于上又以斜步乘二之甲南行加于上为从方四之甲南行为益亷四步常法开立方得半径草曰别得斜步为小弦也以斜步减圆径余为小和也乃立天元为半径以二之减于甲南行得□□为大差也以自之得□□□为大差幂也置甲南行幂□内加大差幂而半之得□□□为大弦也(内带大差为分)(母)又置甲南行幂内减大差幂而半之得□□○为大勾也(带大差分母)又以大差乘股六百步得□□并入大勾得□□□为大和也(带大差分母)乃先以小弦乘大和得下式□□□寄左又以倍天元减斜步得□□为小和以乘大弦得□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半径也合问依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立(只云丙行步多于乙行步)甲从干隅南行六百步望乙丙与城叅相直乙复斜行就丙行了一百二步与丙相㑹问答同前法曰以斜步乘甲行幂又倍之为立方实甲行幂内加斜行南行相乗数为从方甲南行为益亷半步为隅得全径草曰别得相就步即小弦也小弦得小和为直径也立天元一为城径以减于甲南行步得□□为大差以自之得丨□□为太差幂也置甲南行步以自之为幂副之上以加大差幂而半之得□□□为大弦也(内寄大差分母)下以减大差幂而半之得□□○为大勾也(内寄大差分母)乃置相就步在地以大勾乗之得□□合大弦除不除寄为母便以此为小勾也寄大弦母又置斜步(即相就步也)以甲南行乘之得□合以大弦除之不除寄为母便以此为小股而又以元分母大差乗之得□□为同分小股也只寄大弦为母(其大勾内元有大差)(分母其大股内却无分母故今乘过复以大差通之齐分母也)又置斜行步以大弦通之得□□□为小弦也上三位相并得□□为城径也(内寄大弦分母)寄左然后置天元以大弦通之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问测圆海镜卷五
## 卷六
钦定四库全书测圆海镜卷六元 李冶 撰大勾一十八问或问乙从东门直行一十六步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅相直问答同前法曰甲东行内减二之乙南行复以乘甲东行为实四之东行内减二之乙东行为从四益隅得半径草曰立天元一为半径以二之加乙东行得□□为中勾以中勾减于甲东行得□□为勾率也其天元半径即股率也置甲东行为大勾以股率乗之得□合以勾率除之不受除便以此为大股(内带勾率分母)再置天元以二之以勾率乗之得□□减于大股余□□为股圆差于上(内有勾率分母)又以二之天元减甲东行得□□为小差以乗上位得□□□为半段黄方幂(内有)(勾率分母)寄左然后以天元自之又以勾率乘之又就分倍之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出东门南行三十步而立甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅相直问答同前法曰甲乙相乘为实甲东行为从二虚法得半径草曰识别具见大股第二问中立天元为半径内减乙南行得□□为虚股以乘通勾甲东行得□□为半段城径幂(寄左)然后以天元自之又就分二之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出南门直行一百三十五步而立甲从干隅东行三百二十步望见乙问答同前法曰以乙南行乘甲东行幂为实二之乙南行乘甲东行为从方亷空二步常法得半径草曰立天元一为半城径以二之加于乙南行得□□为股率以天元减甲东行得□□为勾率乃置乙南行以勾率乘之得□□合股率除不除便以此为小勾此即半梯之头(内带股率分母)又以勾率乘之得□□□为半径幂(内𢃄股率分母)寄左乃以股率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□○□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问乙出南门东行七十二步甲从西北隅取直行三百二十步见乙问答同前法曰二行相乘为实以东行为从一步常法得半径草曰立天元一为半城径以减甲东行步得□□为梯底以乙东行七十二步为梯头以乘之得□□为半径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问乙从西南隅直东行一百九十二步甲从西北隅直东行三百二十步望见乙问答同前法曰二行步相乘为实二行相并为法得半径草曰立天元一为半径副置之上以减于乙东行得□□为梯头于上下位减于甲东行得□□为梯底以乘上位得丨□□为半径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得□□上法下实即半径也合问或问乙从坤隅直南行三百六十步而止甲从干隅直东行三百二十步望见乙问答同前法曰二行步相乗倍之为实二之甲东行为从一步常法得城径草曰立天元一以为城径加一南行得□□为股二行步相并得六百八十步为弦甲东行为勾勾股相乘得□□又倍之得□□为二直积(寄左)然后以勾股弦相并得□□为三事和以天元乘之得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问东门南不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步望树与城叅相直复就树斜行一百七十步至树问答同前法曰两段东行步幂内减两段东行斜行相乗数为实(按或云倍东行步以二行差东之亦同)二之东行为从一益隅得城径草曰别得东行步即大勾斜行步即小弦也乃立天元一为城径减东行步得□□为勾圆差也(今为小勾)置东行步以斜步乘之得□合以小勾除之今不受除便以此为大弦(内带小勾分母)再置东行步以小勾乘之得□□为大勾以减大弦得□□为大差合以小差乗之(縁内带小差分母)更不湏乗便以此为半段黄方幂(更无分母)又二之得□□为一段黄方幂(寄左)然后以天元幂与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问依前问假令乙出东门南行不知步数而止甲从干东行三百二十步望乙与城相直复就乙斜行一百七十步法曰以甲东行乘二行差幂为实以甲东行乘二之二行差为从方二之二行差为隅法得半径草曰识别得二行相减余一百五十即半城径与乙南行共数也得此数更不湏用斜立天元一为半径减于二行差得□□即半梯头也又以二天元减甲东行步得□□为勾率又以一百五十为股率乃置甲东行以股率乘之得□合勾率除不除便以此为大股(内寄勾率分母)再置天元以勾率乘之得□□以减于大股得□□□为半梯底也头底相乘得下□□□□为半径幂也(内带勾率分母)寄左然后以勾率乘天元幂得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问南门东不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步见树复向树斜行二百七十二步至树问答同前法曰二之二行差乘二之甲东行为实并二之二行差及二之甲东行为从二步益隅得城径草曰别得二行相减余四十八步即虚积之勾也立天元一为城径内减二之二行差得□□为梯头于上置甲东行步以二之内减天元得□□为梯底以乘上位得□□□为城径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲从干隅东行三百二十步而止乙出南门直行不知步数望见甲复就甲斜行四百二十五步与甲相㑹问答同前法曰二行步相减以乘东行幂得数半之为实以半之东行步乗东行步于上二行步相减余乗东行步减上位为从二之东行步为益亷一步常法得半径草曰识别得二行相减是髙积上勾股较(此勾即半径也)又别得是髙弦不及股圆差数乃立天元为半城径以减东行步得□□为中勾其斜行步即中弦也又置半城径以斜步乗之得□合以中勾除之不受除便以此为髙弦(内寄中勾为母)又以二行步相减余一百五步为髙弦不及股圆差数置此数以中勾乘之得□□加入髙弦得□□为大差于上(内带中勾分母)又倍天元减东行步得□□为小差又半之得□□以乘上位得□□□为半径幂(内有中勾分母)寄左乃以天元自乗又以中勾乘之得□□□为同数与左相消得□□□□以立方开得一百二十步倍之即城径也合问或问甲乙二人俱在干隅乙直南行不知步数而立甲直东行三百二十步望见乙复就乙斜行六百八十步与乙相㑹问答同前法曰以二行差乘甲东行步又二之为实以二之二行差为从一步常法得城径草曰别得二行步相减余三百六十步即股圆差也乃立天元一为圆径以减于甲东行步得□□为小差以东行斜行差三百六十步乘之得□□倍之得□□为一段城径幂(寄左)乃以天元幂与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问东门外不知逺近有树甲从干隅东行三百二十步望树与城叅相直复就树斜行一百三十六步至树问答同前法曰倍二行相减数内减甲东行得数复以乘甲东行为实(按或云倍斜步以减甲东行余以甲东行乗之亦同)倍二行差为从二步虚常法得半径草曰识别得斜行步乃树至城心步也立天元一为半径加斜行步得□□即树至城西门之步也乃以减于甲东行得下□□为小勾率其天元半径即小股率其斜步即小弦数也再置甲东行步内减天元得□□为梯底于上又置梯底内减二之小勾率得□□(按倍小勾得三百六十八步少二元以少二元减梯底之少一元反为多一元以三百六十八)(步减梯底之三百二十步反为少四十八步也)以乘上位得□□□为半径幂乃以天元幂与左相消得下式□□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问或问南门外不知步数有槐一株甲从干隅直东行至柳树下望见槐树复斜行至槐树下甲自云我共行了七百四十五步乙从坤隅南行望见槐柳与城叅相直复斜行至槐树下乙自云我南行步多于斜行步一百五步按此问下有草无法今依细草补之法曰置甲共步内减乙较步余数折半自之再倍乙较步乗之为立方实置上减余折半数又减二之乙较步复以减余折半数乗之为从甲共步内减乙较步为亷五分为负隅开立方得城径草曰识别得一百五步是大差多于髙弦数又为髙弦上勾股差数又别得是甲斜行多于东行数也乃副置甲共行七百四十五步在地其上位加一百五步而半之得四百二十五步即甲斜行也其下位减一百五步而半之得三百二十步即甲东行也乃立天元一为圆径以半之减于甲东行步得□□为中勾其甲斜行四百二十五步即中弦也再置天元以半之为小勾以中弦乘之得□合以中勾除不除便以为髙弦于上(内𢃄中勾分母)别置乙多步一百五步以中勾乘之得□□为大差多于髙弦数也以加入上位得下式□□为一个大差也置甲东行以天元减之又倍之得□□为二个小差以乗大差得下□□□为一段黄方幂(内带中股分母)寄左然后置天元幂丨□以中勾通之得□□□与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问或问出东门直行不知步数有槐树一株出南门东行不知步数有柳树一株槐栁斜相距一百五十三步甲从干东行三百二十步望槐柳与城㕘相直问答同前法曰二行相乘讫又以乗甲东行幂为实斜行乗甲东行幂又三之为从方甲东行幂内减两段二行相乘数为第一亷二之甲东行为益二亷二步常法开三乗方得半径草曰立天元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差以自之得□□□加于甲东行幂复半之得□□□为大弦(内寄小差分母)又置斜相距步以大勾乘之得□合大弦除不除便以此为小勾(内𢃄大弦分母)乃以天元减甲东行数得□□为半梯底以乘小勾半梯头得□□为半径幂于上此半径幂内有大弦分母此大弦分母元𢃄小差分母故先用小差分母以乗上半径幂得□□□为半径幂也内𢃄本大弦分母(寄左)然后以大弦乘天元幂得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得一百二十步即半城径也合问或问甲从干隅东行三百二十步而止丙出东门南行乙出东门直行各不知步数而立甲廻望乙丙悉与城叅相直既而乙就丙斜行三十四步相㑹问答同前法曰甲东行再自之于上以二之斜行步乘甲东行幂减上位为立方实两段南行幂内减东行斜行相乘数为益从以甲东行加五(按加五即加半)为从亷五分虚隅得全径草曰立天元一为城径以减于甲东行步得□□为小差以自之得丨□□为小差幂也乃置甲东行幂内加小差幂而半之得□□□为大弦也(内带小差分母)又置甲东行幂乃减小差幂而半之得□□○为大股也(内带小差分母)乃置斜行步在地以大股乘之得□□合以大弦除之不除而又倍之得□□为梯头也(即两个小)(股内寄大弦为母权寄)乃置天元圆径以半之以小差分母通之得□□以减于大股余得□又倍之得□为梯底也(即两个边股内亦有小差分母)以乘权寄得□□□为城径幂也(内寄大弦及小差分母)寄左然后以天元自之为幂以大弦通之又以小差通之得□□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问依前问假令东门外有树乙出东门南行不知步数而立(只云树去城步少于乙南行步)甲从干隅向东行三百二十步望乙与树悉与城叅相直乙复就树斜行三十四步到树问答同前法曰甲东行自之又以斜步乘之为立方实置半段甲东行幂于上以斜步乗甲东行减上位为从亷空半步常法得勾圆差草曰别得乙斜行即□弦也□弦得小勾股即大股弦较也乃立天元一为勾圆差以自之为幂副之上以加于甲东行幂而半之得□□□为大弦也(寄小差分)(母)下以减于甲东行幂而半之得□□□为大股也(寄小差分母)乃置斜步以大股乘之得□□□合大弦除不除便以此为小股(寄大弦分母)又置斜步以甲东行乗之得□合大弦除不除便以此为小勾而又以通母分通之得□为同分小勾也(寄大弦分母)注(大股乘时有小差分母今)(大勾无母故又以齐同之)又置斜步以大弦通之得□□□为同分小弦也三位相并得□□为勾圆差也(寄左)然后置天元以大弦通之得□○□为同数与左相消得□○□□开立方得八十步即勾圆差也以勾圆差减于甲东行步余二百四十步即城径也合问或问南门外不知步数有树甲从干东行三百二十步而立乙出西门便南行望树及甲与城叅相直却就树斜行二百五十五步至树问答同前法曰二行相乘于上以半之甲东行乗之为实二行相乘于上又半之甲东行以乘甲东行加上位为益从甲东行为从亷一步虚法开立方得半径草曰立天元一为半径便以为小勾其斜行即小弦也乃以甲东行为大勾以小弦乘之复以天元除之得□□即大弦也又倍天元减东行余□□为小差以减大弦余□□□为大股也又倍天元以减股余□□为大差也却以半小差□□乗之得下式□□□为半径幂(寄左)乃以天元幂与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问或问南门外不知步数有槐树一株东门外不知步数有柳树一株槐柳相距二百八十九步甲从干东行三百二十步斜望槐柳与城叅相直问答同前法曰二行相乗得数又自增乘为实斜行幂乘甲东行又倍之为益从两行相乘又倍之为益亷二之斜步为第二亷二步常法开三乘方得栁至城心步草曰别得柳至城心步即甲立处柳树步也立天元一为柳至城心步加斜步得□□为底弦以天元乘之得丨□○合斜步除不除便以此为底勾(寄斜步分母)乃再置通勾以斜步乘之得□为带母通勾内减底勾余□□□为半径以自之得丨□□□□为半径幂内带斜步幂分母(寄左)乃以天元减斜步得□□为明弦以天元乘之得□□合斜步除不除便以此为半梯头(寄斜步为母)复以底勾半梯底乘之得□□□□为同数与左相消得□□□□□开三乘方得一百三十六步即柳至城心步也合问或问甲从干隅东行三百二十步而立乙出城东行丙出城南行三人相望俱与城相直乙丙共行了一百五十一步问答同前法曰以甲东行为幂折半又以自之为三乘方实倍共步加甲东行以乗半段甲行幂为从方甲行乗共数为从亷甲东行加五为第二益亷二分五厘常法得小差草曰别得乙丙共行步即明股□勾共也立天元一为小差以自之副置二位上位减于甲东行幂以天元除之又折半得□○□即大股也下位加甲行幂以天元除之又折半得□○□为大弦也其甲东行即大勾也并大勾大股得□□□即大和也再立天元以减甲东行步得□□即圆径也以圆径加共行步得□□即皇极和也(即小和又为髙弦平弦共数)又倍之得□□即黄长弦黄广弦共也内减大弦得下式□□□为皇极内小黄方也(亦为虚弦)再置大和□□□以小黄方乘之得下式□□□□□合以小和除之不除便以为城径内寄小和为母(寄左)然后天元减甲东行得□□为大黄方以小和乘之得丨□□为同数与左相消得□□□□□开三乗方得八十步即小差也以小差减甲东行余二百四十步即城径也合问或问丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从干隅东行三百二十步望乙丙悉与城㕘相直乙就丙斜行一百二步相㑹问答同前法曰甲东行自之于上倍斜行步乘之为立方实倍斜行步乘甲东行于上加两段甲东行幂为从四之甲东行为益亷四为隅法得半城径草曰别得斜步即虚弦减于全径即小和也乃立天元一为半径以二之减于甲东行得□□为小差也以自之得□□□为小差幂也置甲东行幂内加小差幂而半之得下□□□为大弦(内带小差分母)置甲东行幂内减小差幂而半之得□□为大股也内亦带小差为母又以小差乘大勾得□□并入大股得□□□为大和也(带小差母)乃先以小弦乗大和得下□□□寄左次以斜步减于二天元得□□为小和以乗大弦得下式□□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步即半城径也合问依前问假令乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立(只云丙行多于乙行步)甲从干隅东行三百二十步望乙丙与城㕘相直其乙丙共行一百二步问答同前法曰倍共步以乗甲东行幂为立方实共步乗甲东行于上又以甲东行自之加上位为益从甲东行为从亷五分隅常法得城径草曰别得共步便为小弦得小勾小股即与圆径同立天元为城径以减乙东行得□□为小差以自之得□□□为小差幂也乃置甲东行以自之为幂副之上以加小差幂而半之得□□□为大弦也(内寄小差)(分母)下以减小差幂而半之得□□○为大股也(内寄小差)(分母)乃置共步在地以大股乘之得□□合大弦除不除便以此为小股也(寄大弦分母)又置共步以甲东行乘之得□合以大弦除不除便以此为小勾而又以元分母小差乘之得□□为同分小勾(只寄大弦分母)注(其大弦内)(元带小差分母其大勾内却无分母故母故今复以小差通之齐同其分母也)又置共步以大弦通之得□□□同分小弦也三位相并得□□为城径也(内有大弦分母)寄左然后置天元城径□以大弦分母通之得□□□○为同数与左相消得□□□□开立方得二百四十步即城径也合问测圆海镜卷六
## 卷七
钦定四库全书测圆海镜卷七元 李冶 撰明□前一十八问或问出南门东行七十二步有树出东门南行三十步见之问答同前法曰倍南行以乘倍东行为平实并二行又倍之为从一虚隅得城径草曰识别得此问名为弦外容圆又为内率求虚积其二行步相并为虚弦若以相减即虚较也又倍东行为弦较和倍南行即弦较较此二数相乘则两虚积也若直以二行相乘则半个虚积也又倍东行减于城径余即二虚勾也倍南行减于城径则二虚股也虚积上三事和即城径也乃立天元一为圆径便以为三事和也倍二行步减之得□□为黄方一天元乘之得□□为二虚积(寄左)然后倍东行以乗倍南行得八千六百四十为同数与左相消得丨□□益积开平方得二百四十步即城径也合问又法二行步相乘为实二行步相并为从一步虚法得半径草曰立天元一为半径副置二位上加东行步得□□为大差勾下加□股得□□为小差股此二数相乘得下式丨□□为半段黄方幂(寄左)然后立天元以自之又二之与左相消得丨□□益积开平方得一百二十步即半城径也又法二云数相乘倍之于上加云数差幂权寄并二云数又自增乗得数内减上位为平实并云数而倍之为从二步益隅得半径草曰立天元一为半径副之上减明勾得下□□为虚勾下减□股得□□为虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差幂□得□□□为弦幂(寄左)然后并云步以自之得□为同数与左相消得□□□益积开平方得一百二十步即半城径也又法云数相乘又倍之为平实云数相减为从一常法得虚勾草曰立天元一为虚勾以南行减东行余四十二步为虚较也以虚较加天元得丨□为虚股以天元乘之得下丨□为直积(寄左)然后倍南行乘东行得□与左相消得丨□□开平方得四十八步即虚勾也以勾除积得九十步即虚股也并勾股得□为虚和也内加入二行并□得□即圆径也又法并两行步以自乘于上又倍南行乘倍东行加上位为平实一隅法得小和草曰立天元一为小和并二行步加之得□□为三事和也倍二行步而并之得□以减三事和余□□为黄方却以三事和乘之得下丨□□为二虚积也(寄左)乃倍南行以乘倍东行得□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城径也合问或问丙出南门直行一百三十五步而立甲出东门直行一十六步见之问答同前法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六万零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙行幂一万八千二百二十五得二十九万一千六百以乘上位得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之数得一百六亿二千八百八十二万为益从第一亷空以甲行乘丙行幂得二十九万一千六百又倍之得五十八万三千二百于上四之甲行幂一千零二十四以乘丙行步得一十三万八千二百四十减上位余四十四万四千九百六十为第二亷二行步相乘得二千一百六十为虚常法得丙行步上勾弦差八十一按法中载数自此始亦择其数繁者详之使人易晓也草曰识得二数相并以减于皇极弦余即虚勾虚股并也若以二数相减余为髙弦内减平弦又为皇极弦内少个小差弦又为大差弦内减个皇极弦也立天元一为丙行大差数置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□为勾弦并也上减天元得□□□为二丙勾也复用丙南行乘之得□□□为二积也又以天元除之得□□○□为丙勾外容圆径(泛寄)别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此为甲股(内寄二丙勾为分母)复用二甲勾三十二乘之得□为二个甲直积也又置丙南行内减天元得□□为黄方以自乘得丨□□为丙上勾弦差乘股弦差二段以天元除之得□□□为两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□复用丙南行除之得□□□又折半得□□□为一个甲步股弦差也内亦带前二丙勾分母复置二个甲直积内已寄此甲股弦差分母便为甲步股外容圆径(寄左)乃再置先求到泛寄(按即前所寄□□○□之数)用甲股弦差分母乘之得□□○□□为同数与左相消得下式□□○□□开三乗方得八十一步即丙步上勾弦差也钤经载此法以勾弦差率幂减丙行差幂复以丙行乘之为实以差率幂为法如法得径此法只是以勾外求容圆半合以大差除陪积而今皆以大差幂为分母也依法求之勾弦差八十一自之得六千五百六十一以减于丙行幂一万八千二百二十五余一万一千六百六十四复以丙行一百三十五乘之得一百五十七万四千六百四十为实以大差幂六千五百六十一为法如法得二百四十步即城径也又法二行相乘得数又自之为三乘方实并二行步以乗二行相乘数又倍之为从二行相并数以自乘于上又二行相减数自乗减上位为第一亷第二亷空一益隅益积开之得半径(其第一亷只是四段二行相乗数)草曰立天元一为半城径副置之上加南行步得□□为股下位加东行步得□□为勾勾股相乘得丨□□为直积一段以天元除之得丨□□为弦以自之得丨□□□□为弦幂(寄左)乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相并得□□□为同数与左相消得丨○□□□益积开三乘方得一百二十步即半城径也又法条段同前草曰以前求得勾股率置出南门步为小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄为母便以此为半梯头于上又置南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄为母便以此为梯底以乘上位得□□□□为半径自乘数内带股率幂为母(寄左)然后置天元以自之又以股率幂乘之得下丨□□□为同数与左相消得数一如前答又法以二行差幂数自乗又倍之为实并二行步以乘二行差幂又四之为益从四段南行幂内减二段差幂于上又二段差幂内减四段东行幂余以减上位(按并二行幂减二行差幂四因之亦同)为第一亷四之二行共为第二亷二步虚法益积开之得皇极弦二百八十九草曰立天元一为皇极弦以自之为弦幂于上以二行步相减余□以自之得□为较幂以减上得丨□□为二直积复以天元除之得□○□为一个城径也副置之上位加二之东行步得□□□为二勾也以自增乘得丨□□□□为四段勾幂于上下位加二之南行得□□□为二股也以自增乘得丨□□□□为四段股幂也并入上位得下式□□□□□为四段弦幂(寄左)然后以天元为幂四之为同数与左相消得下式□□□□□益积开三乘方得二百八十九步即皇极弦也 欲见城径者别立天元半径副之加东行为勾加南行为股勾股各为幂并之与弦幂相消开方得城径也又法以二行差一百一十九自乘得一万四千一百六十一为差幂以东行步乘之得二十二万六千五百七十六为泛率又自增乗得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为五乘方实倍东行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八为小泛以乘泛率又倍之得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六为从方并两行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二万五千九百五十二于上位以小泛幂一千四百五十万○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二万六千八百一十六为第一亷并两行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五万○○一十六为寄数倍二行差以乘差幂得三百三十七万零三百一十八内减寄数余二百二十二万零三百零二为第二亷六段二行差幂八万四千九百六十六内减二行并数幂二万二千八百一余六万二千一百六十五为第三益亷六之二行差七百一十四为第四益亷二步虚法得□弦三十四步草曰立天元一为皇极弦上股弦差(即东行步上斜也亦谓□斜)以元加二行差得□□即明弦也(此即皇极弦上勾弦差也)以天元乗之又倍之得□□□即皇极内黄方幂也(泛寄)置皇极弦上勾弦差以东行步乘之得□□以天元除之得□□为明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明弦除不除寄为母便以此为□股于上(寄明弦母)乃再置明勾以明弦乘之得□□□亦为带分明勾加入上位得□□□即是一个虚弦也以自增乘得下式□□□□□为一段虚弦幂也内带明弦幂分母(寄左)然后置明弦以自之得丨□□为明弦幂以乘泛寄得□□□□为同数与左相消得下式□□□□□□□开五乗方得三十四步为东行步上斜步也(即□弦)其东行十六步即□勾也勾弦各自为幂以相减余九百步开方得三十步即□股也既各得此数乃以股外容圆半法求圆径得二百四十步即城径也合问按此草又法求□弦至开带纵五乘方法愈繁数愈赜而天元一之用愈见其妙苐所得带纵五乘方亷隅积数虽具而未习其法者不能信其数之必然今姑取已得之□弦数按亷隅数推其积数以明其数之无可疑焉置五乘方数二以□弦三十四乘之得六十八与四乘方数七百一十四相加得七百八十二又以□弦乘之得二万六千五百八十八与三乘方数六万二千一百六十五相加得八万八千七百五十三又以□弦乘之得三百零一万七千六百零二与立方数二百二十二万零三百零二相加得五百二十三万七千九百零四又以□弦乘之得一亿七千八百零八万八千七百三十六内减所少平方数八千二百九十二万六千八百一十六余九千五百一十六万一千九百二十又以□弦乘之得三十二亿三千五百五十万零五千二百八十内减所少元数十七亿二千五百六十万零二千八百一十六余十五亿零九百九十万零二千四百六十四又以□弦乗之得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为积数与草中积数合(此即无次商带纵五乘方)(法)或问出东门一十六步有树出南门东行七十二步见之问答同前法曰二行步相减得数以自之于上又以出东门步自之减上位为平方实二之出南门东行步为益从一步常法翻开得半径草曰别得人到树即平弦也半圆径即平股也其东行七十二步则平勾平弦差也乃立天元一为半径加一十六减七十二得□□为勾也以自之得丨□□为勾幂又加入天元股幂得□□□为弦幂(寄左)再立天元一为半径加出东门步得□□即弦也以自之得丨□□为同数与左相消得□□□翻法开之得一百二十步即半城径也合问或问出南门一百三十五步有树出东门南行三十步见之问答同前法曰树去城步内减南行步余以为幂于上又以树去城步为幂内减上位为平实倍树去城步为从一虚隅翻法得半城径草曰别得人距树即髙弦也半圆径即髙勾也其南行三十步即髙弦上小差也乃立天元一为半径加树去城步为弦内减小差□得□□即股也以自之得丨□□为股幂内加入天元幂得□□□为弦幂(寄左)再置弦□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□翻开得一百二十步即半城径也合问或问乙出东门不知逺近而立甲出南门东行七十二步望见乙就乙斜行一百三十六步与乙相会问答同前法曰以斜行步自之于上以二行相减余自为幂减上位为平实从空一步常法得半径草曰别得七十二步即大差也斜行即弦半径即股也立天元一为半径以自之为股幂又以二行差六十四以自之得□为勾幂并二幂得丨□□为弦幂(寄左)然后以斜行步自之得□为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问或问甲出南门不知逺近而立乙出东门南行三十步望见甲却就甲斜行二百五十五步与甲相㑹问答同前法曰二行差自之为幂以减于斜行幂为平实一虚隅得半径草曰别得南行步即股弦差也斜步即弦也半径即勾也乃立天元一为半城径以自之为幂以二行相减余二百二十五以自之得□为股幂二幂相并得丨□□为弦幂(寄左)然后以斜行自之得□为同数与左相消得下丨□□开平方得一百二十步即半径也合问或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行三十步望见甲斜行一百二步相㑹问答同前法曰二行相乘四之于上又加入斜行幂为平实得虚和一百三十八草曰别得斜步内减南行为甲东行步也此问以弦外容圆入之以二行相减数乘乙南行三十步得□又四之得□为二直积也又加入斜步幂□共得□即和幂也平方而一得一百三十八步即虚和也又加斜步得二百四十步即城径也合问或问乙出东门南行不知步数而立甲出南门东行七十二步望见乙斜行一百二步与乙相㑹问答同前法曰倍相减步以乘倍东行得数复以减于斜步幂余为实平方而一得较也又以二行相减数乘倍东行为平实以较为从方得勾勾较共为长又以斜步并入勾股共即城径草曰别得二行相减余□为乙南行步也以此数又减于甲东行余四十二步即较也乃以二行相减数□乘倍东行得□为平实以较为从平方开得四十八即勾也勾内加较得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城径也合问或问乙出南门东行甲出东门南行两相望见既而乙云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不及城径二百一十问答同前法曰半甲不及步以自之为幂半甲不及步内减云数差以自之为幂二幂相并内却减差幂为平实二之乙不及为益从三步半虚法得甲南行草曰别得乙不及为虚勾半径共又为径内减明勾也甲不及为虚股半径共又为径内减□股也又二云数相并为虚和圆径共也云数相减即虚较也乃立天元一为甲南行以减于甲不及步又半之得□□为虚股也虚股内减虚较得□□为虚勾勾自之得□□□为勾幂也又股自之得下式□□□为股幂也二幂相并得□□□为弦幂(寄左)然后以天元加虚较得□□为乙东行又加入天元甲南行得□□为虚弦以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十步即甲南行也内加少步即城径也合问或问丙出南门直行甲出东门直行两相望见既而丙云我行少于城径一百五步甲云我行少于城径二百二十四步问答同前法曰二少歩相乘讫又自乗为实六之共步乘云数相乘数为益从十八之云数相乘数于上又三之共步自乘加上位内复减丙少步幂甲少步幂为从亷四十八之共步为益二亷六十三步常法翻法开三乗方得一百二十步即半径草曰别得云数共减于倍城径为甲丙共数又云数相减即皇极差亦为甲行不及丙行数立天元一为半城径以三之副置二位上位减丙少步得□□为皇极股也下位减甲少步得□□为皇极勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□为弦也弦自之得□□□□□为弦幂(寄左)然后以股自之得下□□□为股幂于上又以勾自之得□□□为勾幂并以加入上位得□□□为同数与左相消得□□□□□翻法开三乘方得一百二十步即半城径也合问或问甲出东门直行丙出南门直行各不知步数而立乙望见甲就甲斜行了二百八十九步与甲相㑹其二直行共一百五十一步问答同前法曰斜幂内减共步幂为平实倍共步内减斜步为从一常法得径草曰别得共数城径并即皇极和也立天元一为圆径加共步得□□为皇极和以自之得丨□□于上以斜行幂□减上位余丨□□为二直积(寄左)然后以天元乘斜步得□□与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲出东门直行乙出东门南行丙出南门直行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望悉与城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步问答同前法曰共步距步相减得数自之于上以共步为幂内减上为平实二之距步内减共步距步差为从一步虚法得城径草曰别得共步得城径即皇极和也相距步即虚弦也皇极和内减虚弦即皇极弦也又共步距步差□即皇极弦内减城径也(此名旁差)乃立天元一为城径加共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上以共步距步差□加天元得□□为皇极弦也以自之得下式丨□□减上位余得□□为二直积(寄左)然后以天元径乘皇极弦得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复就甲斜行与甲相㑹乙通计行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲东行多于乙南行问答同前法曰倍不及步在地以不及步减通步以乗之为实以四之不及步为法得乙南行三十步草曰别得乙南行即□股也以减通步即虚弦也以减不及步即虚较也其不及步即甲东行也立天元一为乙南行置不及步以天元乘之又四之得□为二直积(寄左)然后倍不及步以为弦较和于上□以不及步减通步得□为弦较较以乗上位得□为同数与左相消得□□上法下实得三十步为乙南行也余各以数求之又法别得通行步为两个乙南行一个甲东行共也其不及步即东行步也云步相并即两个虚弦相减即两个乙南行也或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复斜行与甲相㑹二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二(按甲不及乙六十步非一百三十二步当云甲行不)(及共步方合)问答同前法曰别得二行共即两个虚弦也其不及步即乙南行与一虚弦共也置不及步内减一弦余三十步即乙南行也以乙南行反以减虚弦余七十二步即甲东行也以乙南行减甲东行余即虚较也 此问无草按右二问语若浅近然以发明加减乘除相通之义最为深切集中倣此者可类推之或问乙出东门南行甲出西门南行甲望见乙斜行五百一十步相㑹乙云我南行少于城径二百一十步问答同前法曰少步幂为平实四斜步内减二少步为益从五步常法得乙南行草曰别得少步为径内减叀股立天元一为乙南行以二之减于倍斜行步得□□为梯底也以二之天元乘之得□□为径幂(寄左)再置天元加少步得下式□□为城径以自之得丨□□与左相消得□□□开平方得三十步即乙南行也加少步即城径也合问或问乙出南门东行甲出北门东行甲望见乙斜行二百七十二步与乙相㑹乙云我东行不及城径一百六十八步问答同前法曰以不及步幂之为实四斜内减二之不及步为虚从五常法平实开得乙东行七十二草曰别得不及步为城径减明勾也立天元一为乙东行以倍之减于二之斜行步得下□□为梯底也倍天元乘之得□□为径幂(寄左)再置天元加不及步得□□为城径以自之得丨□□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即乙东行也加入少步即城径也合问或问乙出南门东行丁出东门南行却有甲丙二人共在西北隅甲向东行丙向南行四人遥相望见俱与城叅相直既而相㑹甲云我多乙二百四十八步丙云我多于丁五百七十步问答同前法曰二多步相乗为平实并二多步而半之为从七分半常法得城径草曰别得甲多步为大勾内减明勾也丙多步为大股内少叀股也又乙东行得一虚勾为半径丁南行得一虚股为半径又二多数相并得□为大和内少虚弦也又二多数相减余□为两个角差又甲多步内减半径即勾方差也丙多步内减半径即股方差也立天元一为城径以半之减于甲多步得□□为勾方差又以半径减于丙多步得□□为股方差二差相乘得□□□为径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行丙向南行又乙出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人遥相望见悉与城叅相直既而相㑹甲云我与乙共行了三百九十二步丙云我与丁共行六百三十步问答同前法曰甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂二幂又相乘为三乘方实甲乙共自之为幂以丙丁共乘之于上又以丙丁共自之为幂以甲乙共乘之加上位为益从甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂并以七分半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得数减上位为第一益亷并二共数以七分半乘之为第二亷以七分半自之得五分六厘二毫五丝于上位以一步内减上位余四分三厘七毫五丝为虚隅得城径草曰别得甲为大勾乙为明勾丙为大股丁为叀股也甲乙共内减半径即是黄长弦也丙丁共内减半径即黄广弦也黄长弦黄广弦二数相减余为两个皇极差也乃立天元为城径半之副置二位上以减于甲乙共数得□□即黄长弦也以自之得□□□为黄长弦幂也内减天元一幂余得下式□□□为勾方差幂也下位以减于丙丁共得下式□□即黄广弦也以自之得□□□为黄广弦幂也内减天元一幂余得□□□为殷方差幂也再以勾方差幂股方差幂相乘得□□□□□为径幂(寄左)然后以天元为幂又以幂自之与左相消得下式□□□□□开三乘方得二百四十步即城径也合问测圆海镜卷七
## 卷八
钦定四库全书测圆海镜卷八元 李冶 撰明叀后一十六问或问出南门向东有槐树一株出东门向南有柳树一株丙丁俱出南门丙直行丁往至槐树下甲乙俱出东门甲直行乙往至柳树下四人遥相望见各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立处相距二百八十九步问答同前法曰以二共相减数又以减距数为实二为法得平勾草曰识别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即极弦也二共相并即极弦内少个虚黄也又为极和内少个虚和也二共相减余为平勾髙股差也又为虚差极差共也又为通差内减极差也立天元为平勾加入二共相减数得□□为髙弦又加天元得□□为极弦(寄左)以相距步二百八十九与左相消得□□上法下实如法得六十四即平勾也以二共相减数加平匀得二百二十五为髙股复以平勾乘之得一万四千四百步开平方得一百二十步即城半径也合问又法二共数并以减相距数余者半为泛率以泛率加丙丁共为长以泛率加甲乙共为阔长阔相乘为平方实得半径草曰置极弦内减二共并数余三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步为髙股也下以加叀和得六十四步为平勾也二位相乘得一万四千四百步开平方得一百二十步即半径也合问或问依前见丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二树相去一百二步问答同前法曰以甲乙共乘树相去步得数又以自之为平实从空并二共数为幂于上内减甲乙共自之数丙丁共自之数(按或云二共数相乘倍之亦同)为益隅得叀弦草曰识别得两树相去步即虚弦也余数具前立天元一为叀弦置明和以天元乘之合叀和除不除便以□为明弦也(内带□和分母)乃置虚弦以分母叀和乘之得□加入明弦得□□为极股也内带叀和分母以自之得下式□□□为极股幂(内寄叀和羃为分母)又以天元加虚弦得□□为极勾以自之得丨□□又以叀和幂□乘之得□□□为勾幂也勾股相并得□□□为两积一较幂也内有叀和幂分母(寄左)然后置明弦□于上以叀和乘天元得□加上位得□为二弦并又置虚弦以叀和乘之得□并入上位得下式□□为极弦以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十四步即叀弦也又法以树相去步自之又以甲乙共乘之为平实从空倍丙丁共为虚隅得叀弦草曰立天元一为叀弦依前术求得明弦□便以为皇极勾弦差也(内带叀和分母)以天元□弦便为皇极股弦差以乘之又倍之得□□为虚弦幂(内有叀和分母寄左)然后以虚弦自之又以分母□乘之得四十七万八千五百八十四为同数与左相消得□○□开平方得三十四步即叀弦也合问或问皇极大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步问答同前法曰后数自乘为实前后数相减余为法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二弦共也其六十六即太虚大小差共也又二数相并得□即明叀二和共若以相减余□即明叀四差共也立天元一为太虚黄方面加二黄共得□□即虚弦也倍虚弦又加天元得□□即城径也又以虚弦加皇极大小差得□□即极弦也以极弦乘城径得□□□为两段皇极勾股积(寄左)再以极弦虚弦相并得□□即皇极勾股共也自之得□□□内减皇极弦幂丨□□得□□□为同数与寄左相消得□□上法下实如法得三十六步即太虚黄方靣也合问或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出东门直行甲丙槐柳悉与城㕘相直既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下问答同前法曰云数相乘倍之便为平方实开方得虚弦一百二步以此弦加甲行步即极勾以此弦加丙行步即极股余各依法求之 识别甲斜行即叀弦也丙斜行即明弦也 无草或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐栁与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云丙共行了二百八十八步甲斜行与柳至东门步共得六十四步问答同前法曰二云数相乘于上以六十四步自之又二之减上位为平实十四之六十四于上倍丙行减上位为从(按倍丙行乃数偶合当云九个半六十四内减丙行为从)二十常法得甲直行步草曰别得丙共步即明股明弦和也六十四即平勾也内甲斜行即叀弦也柳至东门步即叀股也又云二数相并即明差与极弦共也二云数相减即明差与平勾髙股差共也又平勾内减叀勾即虚勾也立天元一为叀勾置丙共步以天元乘之复以六十四除之得□□呔为明勾也又以天元减于六十四得□□为虚勾也并虚明二勾□□为半径也以自之得□□□□倍之得□□□□为半段圆城径幂(寄左)乃以天元加六十四得□□为勾圆差于上又以明勾加丙共步得□□□为股圆差于下上下相乘得□□□□为同数与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出东门直行步也余皆依数求 合问或问东门南有柳树一株南门东有槐树一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云甲共行五十步丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步问答同前法曰以二百二十五步自之为幂又以此幂自为幂于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得数复折半减上位为平实置二百二十五步自之数以二云数相减数乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之数乘之复折半加上位为益从云数相减自乘于上以云数相乘复折半减上位为常法得明股草曰识别得甲共步即叀勾叀弦共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明弦槐至南门步即明勾也又二云数相并即极弦内减一个叀差也云数相减即叀差与髙股平勾差共也又髙股内减明股即虚股也立天元一为明股即丙出南门直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□为叀股也内带髙股□分母再置髙股内减天元得□□为虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半径也以自增乘得下□□□为半径幂也内带髙股幂为母(寄左)然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□为勾圆差于上(内带髙股分母)又以天元加髙股得□□为股圆差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□复折半得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百三十五步即明股也合问或问通勾通弦共一千步叀勾叀弦共五十步问答同前法曰置一千减二之五十步为泛率以自乘复半之于上又置泛率复以五十乘之加上位为平实二十二之泛率于上(按二十二乃此题叀和除通和所得通倍叀数加二数之数易题则数不)(同矣当直云通倍叀数加二数乘泛率)以四十二(按四十二乃此题倍通倍叀数加二数之)(数当直云倍通倍叀数加二数)乘五十得数内减泛率加上位为益从二百(按二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半于上又倍通倍叀数并二数以减上位之数)(当同上不必载数)为常法得叀股草曰立天元一为叀股置一千以天元乘之以五十除之得□为通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通弦也以通弦减一千得□□即通勾也以小差减通勾得□□即圆径也以圆径减通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□(寄左)然后置圆径以自之得□□□折半得□□□与左相消得□□□开平方得三十步即叀股也合问按此题通勾弦和为叀勾弦和度尽之数则不用寄分而用除法以从省便作者盖举一以例其余也或问通勾通弦共一千步明勾明弦共二百二十五步问答同前法曰以后数再自乘又以前数乘之为平实以后数为幂又以前数乘之为从以前数幂为常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一为明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□为通股(内带髙股为母)以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即带分大差也以此减于通股余□□即圆径也以自增乘得□□□寄左(内𢃄髙股幂分母)然后置一千以髙股分母通之得□内减带分大差得□□为两个通勾也内减两个圆径得□□为两个小差也以带分大差乘之得下式□□□为同数与左相消得□□开平方得一百三十五步即明股也合问或问通股通弦共一千二百八十步叀股叀弦共六十四步问答同前法曰云数相乘为平实前数为益从置前数以后数除之得二十为泛率泛率减一以自乘于上又倍泛率减一加上位为常法倒积开得叀勾草曰别得六十四步即平勾也立天元一为叀勾置前数以天元乘之以后数除之得□即通勾也又置天元加后数得□□即小差也以小差减通勾余□□即圆径也以自之得□□□(寄左)然后以小差减于前数得□□为二通股内减两个圆径得□□为二大差也以小差乘之得下□□□与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也合问或问通股通弦共一千二百八十步明股明弦共二百八十八步问答同前法曰二数相减以后数乘之内减后数幂又半之为泛率以自乘为平实(按或云前数内减二后数余以后数乘之折半自之亦同)置前数加二之后数而半之为次率以乘泛率于上以后数乘泛率减上位(按或云二数相加以乘前折半数亦同)为益从次率自乘之于上以前数加次率复以后数乘之减上位(按或云前数折半内减后数又以半前数乘之亦同)为隅法得明勾草曰别得二数相减余□为通勾通股及明勾共也立天元一为明勾置前数以天元乘之合以后数除之不除便以此□为通勾也(内寄后数分母)又以二数相减得数内又减天元得□□为通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内减通勾余□□为通股也又以天元加后数又以分母(即后数也)通之得□□为大差也以此大差减于通股得下式□□为一个圆径也半之得□□以自得之□□□为半径幂(寄左)然后以半圆径减通勾得□□为底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明勾也合问或问明股明弦并二百八十八步叀勾叀弦并五十步又云明股叀勾并多于虚弦四十九步问答同前法曰前二数相并内减二之多步即圆径又只以前二数相乘便是半径幂草曰识别得前二数相减而半之即极差也其多步名傍差又圆径不及极弦数或问平差髙差共一百六十一步明股叀勾并多于虚弦四十九步问答同前法曰二数相减又半之以自乘为实后数为法得平勾草曰立天元一为平勾以加前数得□□为髙股也又以天元加髙股得□□为极弦内减后数得□□又半之得□□为半径以自之得丨□□(寄左)然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得□□上法下实得六十四步即平勾也合问或问平勾髙股差一百六十一步明差叀差并七十七步又云极弦多于城径四十九步问答同前法曰并上二位而半之为平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下减旁率以相乘为实倍旁差为法得勾圆差(按求实数有误当云并上二位而半之内减后数于上又置上前数内减)(后数以乘上位为实方合)草曰识别得平勾髙股差名为角差副置角差上加七十七而半之得□即极差也下减七十七而半之得□即虚差也角差加极差得□即通差也又极弦多于城径步名为旁差副置角差上加旁差得□为两个髙段上勾股较下减傍差得□为两个平段上勾股较也又副置极差上加傍差得□为股圆差上勾股较下减旁差□为勾圆差上勾股较也立天元一为勾圆差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□为半段圆径幂(寄左)乃置大差□□内减股圆差上勾股较□余有□□为股圆差之勾于上再置天元内加勾圆差上勾股较□得□□为勾圆差之股以乘上位得丨□□为同数与左相消得□□上法下实得八十歩即勾圆差也又依前问见角差一百六十一步见明差叀差并七十七步又见太虚弦较较六十步问答同前法曰前二数相减而半之得数加入半之太虚弦较较为泛率以自乘为平实置一百六十一内减二之泛率为从一常法得平勾草曰别得□即二叀股也立天元一为平勾先以前二数相减而半之得□为虚差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□为平弦以自之得丨□□内减天元幂得□□为半径幂(寄左)然后以天元加一百六十一为髙股以天元乘之得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得六十四步即平勾也又法曰前数内加半之太虚弦较较以自乘(按此语内有误当云)(倍角差加半太虚较以半太虚较乘之)为实前数内减太虚弦较较为从一常法开平方得平勾此更不用明差叀差并也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□为髙弦也以自之得丨□□于上位内减髙股幂丨□□余得□□为半径幂(寄左)然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得下丨□□开平方得六十四步即平勾也合问或问髙差平差并一百六十一步明差叀差并七十七步问答同前法曰以前数自乘于上二数相并而半之以自乘减上位得数复自增乘为平实前数自之于上又以四之前数乘之寄位以前数自之于上并二数而半之以自乘减上位得数又以四之前数乘之(按此下落又倍之三)(字)减于寄位为从前数自之又四之于上又以四之前数为幂加上位权寄以前数为幂于上并二数而半之以自乘减上位得数复八之加上位又以四之前数为幂加入上位并以减于权寄为常法(按或云二和并)(而自之又半之以减髙平共差幂又四之为常法亦同)得平勾草曰识别得二位相并而半之得□即极差也立天元一为平勾加一百六十一得□□为髙股髙股内又加天元得□□为极弦以自之得□□□于上内减极差幂一万四千一百六十一余□□□为两段极积合以极弦除不除寄为母便以此为城径以自增乘得□□□□□为圆径幂(内有极弦幂分母寄左)然后以天元乘髙股又四之得□□又以分母极弦幂□□□通之得□□□□呔为同数与左相消得□□□开平方得六十四步即平勾也合问或问见明和二百七步叀和四十六步问答同前法曰二和上下相减数同则止名为泛率又以二和直相减余为泛实(此则角差也)乃以泛率除泛实所得为差率也以差率加减泛率若半讫与勾股相应者其泛率便为和率其泛实便为较率乘和率也若不相应则直取差率以消息之定为相管和率(其勾股数少得见弦)(黄而相为率者勾三股四则其和七而其较一也勾五股十二则其和一十七而其较七也勾八股十五)(则其和二十三而其较亦得七七勾七股二十四则其和三十一而其较一十七也勾九股二十则其和)(二十九而其较一十一也此消息之大畧也余皆倣此)乃以和率约二和其明和所得为明垒率其叀和所得为叀垒率也又副置和率上加差率而半之则为股率也下位减差率而半之则为勾率也既见勾股及差三率各以垒率乘之即各得勾股及差之真数也按此用约分以勾股率数求之甚为省便然必两数度尽而得数最小者方可用若两数不能度尽或虽度尽而得数尚大者转属繁难故又设后法又法二云数相并以自乘于上二之云数相乘又四之以相并以四分半乘之又四之以并入上位为从方以七十步零四分三厘七毫五丝为常法得叀小差四步按此法未求实数其求从隅皆用本题数不可通用今依细草意另演一法于后亦惟二和数可以度尽者用之若不能度尽者仍用寄分为便法曰二和数相减自之为平方实叀和除明和得数自而倍之内减四之除得数再加二单数以乘二和相并之数为从除得数自而四之于上又以除得数自乘内减四之除得数外加一单数自之以减上位为常法得叀小差草曰以二和相约命得叀率一明率四步半其两数大小差率并同又别得明小差叀大差俱为半虚黄也立天元为叀小差以四歩半乘之得□元为□大差也又为明小差又为半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□为明大差也其四差相并得□减于二和并得□□即两段太虚大小差并也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圆城径也以自增乘得□□□为径幂(寄左)乃置叀和加半虚黄得□□为平勾又置明和内加半虚黄得□□为髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得四步即叀小差也合问或问明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步问答同前法曰先识别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘为实以四差共为法如法得半之虚黄方草曰先置前后云数以约法约之得一十一即垒率也复各置前后数如垒率而一前得八即勾率也后得一十五即股率也再以勾股率求得较率七和率二十三弦率一十七黄方率六大差率九小差率二即见诸率各以垒率乘之其二和共得□二较共得□二弦共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆为明叀所得之共数也乃立天元一为半虚黄便为明小差又为叀大差也以减于大差共得□□即明大差也又以减于小差共得□□即叀小差也以二数相增乘得丨□□(寄左)以天元幂与寄左相消得□□上法下实得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加于二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又为极黄方又为虚弦也又以三十六减于一百八十七余一百五十一即明股叀勾共也此数内减虚弦余□为明叀二差较也此名傍差以旁差减二弦共一百八十七余得□即太虚和也却加入虚弦一百二并得□为太虚三事和即圆城径也合问又或以虚黄方加于上和共二百五十三得□为极弦也以旁差减极弦余二百四十步亦同又或前后副置勾股较和弦黄六率在地前以小差率二因之则勾得□股得□较得□和得□弦得□黄得□即叀段各数也后以大差率九因之则勾得□股得□较得□和得□弦得□黄得□即明段各数也既得明叀各数余可知(按此因明弦即皇极形勾弦差叀弦即皇极形股弦)(差故以小差率乘各率即得叀段各数以大差率乘各率即得明段各数也)按右二卷明叀前十八问后十六问在集中尤为神妙惜其中有偶尔思省未至者亦未暇修饰故耳测圆海镜卷八
## 卷九
钦定四库全书测圆海镜卷九元 李冶 撰大斜四问或问甲丙俱在中心丙望南门直行不知步数而止甲出东门直行不知步数望见丙斜行与丙相㑹二人共行了六百八十步仍云甲直行少于丙直行一百一十九步问答同前法曰二数相减余以为幂内却减差幂为平实二数相减又四之于上又加入二之差步为益从二步常法得皇极勾草曰别得共步即皇极三事和少步即勾股差也立天元一为皇极勾加少步得□□为股也又以天元加股得□□为和也以和减共步得□□为弦也弦自之得□□□为一段弦幂(寄左)然后置股以天元乘之又倍之得□□为二直积加入少步幂□共得□□□为同数与左相消得□□□平方而一得一百三十六即勾也勾加差为股勾股相乘倍之为实勾股和减共步为法得城径又法云数并与云数差相乘(按此句有误当云和数与倍差相加相减二得数相)(乘)为平实云数并与二数差相并得数以减于八之共步为益从(按此只云六因和步为益从亦同)一步常法得皇极黄方草曰立天元一为黄方(即虚弦也)副置之上位加共步得□□为二和也下位减共步得□□为二弦也先以二和自乘得丨□□为四段和幂又以二弦自乘得丨□□为四段弦幂二数相减余得□又倍之得下式□为十六段直积于天元位(寄左)然后副置二和上位加二之少步得□□为四股下位减二之少步得□□为四勾勾股相乘得丨□□为同数与左相消得□□□平方而一得一百二步即皇极黄方也余各依法求之合问或问甲丙俱在西北隅起丙向南行不知步数而立甲向东行望见丙就丙斜行六百八十步与丙相㑹丙云我南行步多于甲东行二百八十步问答同前法曰以云数差乘云数并为实倍多步为从二为平隅得大勾草曰立天元为大平(按大平即大勾)加差得□□为股倍天元乘之得□□为二积(寄左)然后以斜步多步并□与斜步多步较□相乘得□为同数与左相消得□□□开平方得三百二十步即大勾也合问或问甲乙二人共立于艮隅乙南行过城外而立甲东行望乙与城叅相直而止丙丁二人共立于坤隅丁向东行过城门而立丙向南行望丁及甲乙悉与城俱相直丙复就甲斜行六百八十步与甲相㑹乙丁又云吾二人直行共得三百四十二问答同前法曰二云数相乘倍之为实倍斜行于上以二云数相减加上位为从一步常法开平方得城径草曰别得斜步即大弦也其共步则一径一虚弦共也其二数相并为一大和一虚弦共数也立天元为径减于共步得□□为虚弦也以虚弦复减于天元得□□为虚和以斜步乘之得□□(寄左)乃以天元加斜步得□□为大和以虚弦乘之得□□□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲从北门向东直行庚从西门穿城东行丙从西门向南直行壬从北门穿城南行四人遥相望悉与城叅相直只云丙相望处六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步问答同前法曰共步自之得数以共步减斜余自乘以减上为实二之斜步加入共步减斜余数为从一步常法得城径草曰共行步为一径与皇和共也又为大和皇弦差也甲丙相望即大弦也以共步减大弦余□为皇极弦上减一径也立天元一为圆径减于共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上弦内减共步余□又以天元加之得□□为皇极弦以自之得丨□□减上位余得□□为两个皇直积(寄左)乃以天元乘皇弦得下式丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问大和八问或问庚从西门穿城东行二百五十六步而立壬从北门穿城南行三百七十五步而立又有甲丙二人俱在干隅甲向东行丙向南行各不知步数而立四人遥相望只云甲丙共行了九百二十步问答同前法曰庚东行幂壬南行幂相并于上并庚壬步而倍之内减大和余复减于庚壬共得数(按或云并庚壬步以减大和亦)(同)以自乘减上位为平实并庚壬步为益从半步为隅法得城径草曰立天元一为圆径以半之副置二位上以减于庚东行得□□为平弦也下以减于壬南行得□□为髙弦也二弦相并得□□为皇弦虚弦共也倍此数得□□为大弦虚弦共也以大弦虚弦共减于大和余□□为虚勾虚股共也天元内减虚勾虚股共余□□即虚弦也复置皇弦虚弦共内减虚弦余□□即皇极弦也以自之得□□(寄左)然后以平弦自之得下式□□□为勾幂也又以髙弦自之得□□□为股幂也二幂相并得□□□为同数与左相消得□□□平方而一得二百四十步即城径也合问或问丙甲俱在西北隅甲向东行不知步数而立丙向南行望见甲就甲斜行与甲相㑹甲直行丙直行共九百二十步(甲步少于丙步)又出东门南行有柳树一株出南门东行有槐树一株戊己二人同在巽隅戊就柳树已从槐树亦与甲乙遥相望只云已行少于戊行数与两树相距数相并得一百四十四步其二数相减余六十步问答同前法曰二云数相并而半之为虚弦以乘大和九百二十步于上以一百四十四减大和以虚较乘之减上位为平实以一百四十四减大和又二之于上以二之虚较减上位(按或云倍甲丙直行共加己戊较与两树距之较减三之己戊较与两树)(距之和亦同)为从四虚隅得太虚勾草曰别得甲丙直行共即大和也戊就柳树步即虚股也已就槐树步即虚勾也其一百四十四步即二明勾其六十步即二叀股也立天元一为虚勾加明勾得□□为半径也倍之得□□即城径也(又为虚弦上三)(事和)二云数相并而半之得□即小弦也相减而半之得□即小较也以天元加较得□□即小股也小勾股共得□□即小和也以小三事减大和得□□即大弦也乃先置小和以大弦乘之得下式□□□(寄左)次以小弦乘大和得□□与左相消得下式□□□开平方得四十八步即虚勾也加明勾又倍之得二百四十步即城径也合问或问甲从干隅东行乙从艮隅南行丙从干隅南行丁从坤隅东行四人遥相望见既而甲还至艮隅就乙丙还至坤隅就丁甲丙直行共九百二十步甲还就乙共二百三十步丙还就丁共五百五十二步问答同前法曰并就数以减直行共复以所并就数乘之为实并就数减直行共得数复加入直行共为法得虚弦草曰别得甲丙直行共为大和也甲还就乙步为小差勾股共也丙还就丁步为大差勾股共也以大差勾股共减于大股余即虚勾也以小差勾股共减于大勾余即虚股也二数相并得□为大弦虚弦共也二数相减余□为通差及大虚勾股差共也又并二数而半之得□为太极弦虚弦共又为太极勾股共也立天元一为虚弦先以二共数减于大和余□为虚勾虚股和于上次以虚弦减于二共数余□□为大弦以乘上位得下□□(寄左)然后以天元乘大和得□为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城径也合问又法并云数减大和复以二数相减乘之为实并云数减大和得数复加入大和为法得虚差草曰立天元一为虚较先以并云数减大和余□为虚和于上次以天元减于二就步较□得□□为通差以乘之得□□(寄左)然后以天元乘大和得□为同数与左相消得□□上法下实得四十二步即虚差也副置虚和为二位上加虚差而半之得九十即虚股也下减虚差而半之得四十八即虚勾也勾幂股幂相并得□开平方得一百二步即虚弦也加入虚和得二百四十步即城径也合问或问依前见大和只云股圆差上勾弦差二百一十六勾圆差上股弦差二十步问答同前法曰以云数二十步减通和复以二十步乘之于上以云数二百一十六减九百步(按即并二差以减大和)而半之乘上位为立实三因二十步以减通和得八百六十以二百一十六减通和而半之得二百四十二二数相乗讫内减二十之九百步又以三百四十二及二百一十六共得五百五十八又以之以减之为从方(按取)(从方内语有误当云三因小差减大和并二差减大和半之相乘于上三因大和加大差减三之小差半)(之以小差乘之得数减上位为从方)以二百一十六减通和又以三之二十步减通和相并于上以二之五百五十八内却减二十步余以减上位为益亷(按取益亷内语亦有误当云三因大和减)(六之小差为益亷)四步常法得小差股草曰别得小差上股弦差□加二股为大勾也大差上勾弦差□加二勾为大股也立天元一为小差股加□得□□为小差弦也小差弦上又加天元得□□为通勾以减于和步得□□为通股也通股内减大差上勾弦差□得□□半之得下式□□即大差之勾也大差勾上又加勾弦差□得□□为大差弦也再置通股以小差弦乘之得□□□以天元除之得□□□为一个大弦也(泛寄)再置通勾以大差弦乘之得□□□合以大差勾除不除寄母便以为大弦(寄左)乃以大差勾乘泛寄得□□□□为同数与左相消得□□□□益积开立方得一百五十步为小差股也合问或问依见前大和只云髙弦平弦共得三百九十一步髙弦平弦相较得一百一十九步问答同前法曰以较数幂减于共数幂又半之为实以共数减大和为益从一步常法开平方得圆径草曰别得髙数减于通股为边股内减明股也平弦减于通勾为边勾内减明勾也其共数即大弦内减皇极弦又为皇极勾股共也其相较步即皇极差也二云数相并即黄广弦也二云数相减余即黄长弦也以共数减于大和余□为皇极弦与圆径共立天元一为圆径以减皇极弦与圆径共得□□为皇极弦也以共数自之得□于上以相较数自之得□减上位余□又半之得□为两段皇极积(寄左)乃以天元乘皇极弦得卜□为同数与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问依前见大和只云大差弦四百八步小差弦一百七十步问答同前法曰以并云数减大和复以乘大和又倍之为平实三之通和于上又以并云数减大和加上位为从二步虚法得圆径草曰大差弦减和步余□为大勾大差勾共也以小差弦减大和余□为大股小差股共也云数相并□即大弦内减虚弦也云数相减得□为虚弦平弦共也(按此二语因数偶合而误见前)以相并数减于大和余□为大差勾小差股共又为圆径虚弦共也立天元一为圆径减于□得□□为虚弦也返以减于圆径得□□为小和也以天元减大和得□□为大弦以乘小和得□□□(寄左)乃再置虚弦以通和乘之得□□与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问依前见大和只云黄广弦五百一十步黄长弦二百七十二步问答同前法曰云数相并减大和复以相并数乘之为实云数相并减大和得数复以加大和为法得虚弦草曰别得黄广弦又为大差弦虚弦共又为边股叀股共也黄长弦又为小差弦虚弦共又为底勾明勾共也以黄广弦减于大股余即虚股以黄长弦减于大勾余即虚勾故并数以减于大和余□为虚和也以虚和减径□□即虚弦也二云数相并得□为大弦虚弦共也云数相减余□为虚弦平弦共(按此句误同上)立天元一为虚弦以减于七百八十二得□□为大弦也以小和乘之得□□(寄左)乃以天元虚弦乘大和得□呔为同数与左相消得□□上法下实得一百二步即虚弦也合问或问依前见大和只云边弦五百四十四步底弦四百二十五问答同前法曰云数相减自之为实以大和减并数为法得皇极弦草曰别得以边弦减大股余为半径内减平勾又为平弦内减勾圆差也以底弦减于大勾余为髙股内少半径又为股圆差内少髙股也二云数相并得九百六十九为大弦皇极弦共也二云数相减□为皇极勾股差也并数内减通和余□为皇极弦内减圆径也立天元一为皇极弦以自之于上以一百一十九自之减上位得丨□□为二皇积(寄左)复置天元内减四十九得下式□□为黄方复以天元乘之得丨□与左相消得□□上法下实得二百八十九步即皇极弦也内减四十九余即城径也合问按右大和八问每问于大和外复设二数然多有大和外设一数即可求者细考其法草所载皆三数并用婉转求之盖意在发明三数取用之理非不知其可省也测圆海镜卷九
## 卷十
钦定四库全书测圆海镜卷十元 李冶 撰三事和八问或问甲乙同立于干隅乙向东行不知步数而立甲向南直行多于乙步望见乙复就东北斜行与乙相㑹二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步问答同前法曰共步内减四之小差复以自之于上以十八个小差幂减于上为实四之共步内减十六个小差于上却以十八小差加上为益从四步常法开平方得中差草曰别得共步为三事和也不及步即小差也立天元一为中差加二之小差得□□为大小差并以加入三事和得□□为三弦也倍三事得三千二百内去大小差并得□□为三和也内减三弦余□□为三个黄方以自之得□□□为九段黄方幂(寄左)再置天元中差加小差得□□为大差以小差□乘之得□□为半个黄方幂就一十八之得□□为同数与左相消得□□□开平方得二百八十步即中差也其余各依法求之合问或问以前三事和又云大差三百六十步问答同前法曰倍云数以云数乘之又九之于上倍云数加三事和为前数倍云数减二之三事和为后数二数又相减余一百六十为泛率以自乘减上位为平实十八之云数内又加四之泛率为从四常法得中差草曰立天元一为中差置云步倍之内减天元得□□为大小差共数加于三事和得□□为三弦也倍三事内减大小差共数得下式□□为三和也内减三弦得□□为三个黄方靣也以自之得□(□□)□为九段黄方幂(寄左)再以天元减大差得下式□□为小差又倍之得□□以云数乘之得下式□□又就分九之得下式□□与左相消得下式□□□开平方得二百八十步即中差也合问或问依前见三事和又云中差二百八十步问答同前法曰和步加差步以自乘于上又和步内减差步以自乘加上位为平实四之和步为从二步益隅得大弦草曰立天元一为大弦减共步得□□为和副置之上位减差步得□□为二勾以自之得丨□□为四段勾幂也下位加差步得□□为二股以自之得丨□□为四段股幂也二位相并得□□□为四段弦幂(寄左)然后以天元自之又四之得□□为同数与左相消得□□□开平方得六百八十步即大弦也倍之以减于三事和余即城径也合问或问依前见三事和又云小差大差并四百四十步问答同前法曰并前后二数三而一为弦反以减共步得数又以减弦得城径草曰二数相并得□三而一得□即弦也以弦减三事和得□即和也弦和又相减余二百四十步即城径也合问或问依前见三事和又云小差中差大差共七百二十问答同前法曰半云数自之又三之于上以三事减上位为平实(按以三事减上位有误此系偶合三事之数耳当云加半段三事幂又倍三事和加大差复以大差)(乘之减上位为平实)倍三事于上半云数而五之加上位为益从二常法得小差草曰别得三差共为二大差也立天元一为小差并大差加入三事和得□□为三弦也以自之得丨□□为十八积九较幂(寄起)又以共三事步自之得□方于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□□为十二积四较幂又加五(按即三因二归)得□□为十八个直积六个较幂以减寄起余得丨□□为三个较幂(寄左)然后以天元小差减大差得□□为中差以自之得丨□□又三之得下式川□□为同数与寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也余各依数求之合问或问依前见三事和又云明黄方叀黄方共六十六问答同前法曰二事内加二之共步复以二之共步乘之于上位三事内减二之共步复以二之共步乘之得数减上位为平实三事内加二之共步又倍之于上又三(按三当作六)之共步加上位为泛寄三事内减二之共步又四之于上又三(按三亦当作六)之共步减上位得数以减泛寄为从作十八段虚平方开之得虚黄方草曰别得共步即虚大小差也立天元一为虚黄方以三之加入倍之共步得□□为圆径也以圆径加三事得□□为二通和以圆径减三事得□□为二通弦又副置圆径上加天元得□□为二虚和下减天元得□□为二虚弦乃置二大和以二小弦乘之得下□□□(寄左)然后置二大弦以二小和乘之得下式□□□与左相消得□□□平方开之得三十六步即虚黄方也其余各依法求之合问或问依前见三事和又云皇极弦二百八十九步问答同前法曰二数相乘为实从空一益隅得大弦草曰立天元一为通弦内减皇弦余□□为皇极勾股和以自之得丨□□于上以皇极弦幂减上位得丨□为二直积合于皇极除之不除寄为母便以此为城径(寄左)乃以二之天元弦减共步得□□为黄方面以皇弦通之得□□与左相消得丨□□开平方得六百八十步即大弦也合问或问依前见三事和又云见太虚弦一百二步问答同前法曰半虚弦乘三事为实三事为从四虚隅翻开之得半大弦草曰识别得以虚弦减大弦半之为皇极弦以虚弦加大弦半之为皇极勾股共也立天元一为半大弦以二之内减虚弦得□□折半得□□为皇极弦也又以虚弦加大弦而半之得□□为皇极和也和自之得丨□□于上又以弦自之得丨□□减上位余得下□为二直积合以皇极弦除之不除寄为分母便以此为城径(寄左)然后以四之天元减三事共余□□又以皇极弦分母通之得□□□为同数与左相消得□□□倒积开得三百四十步倍之即大弦也合问测圆海镜卷十
## 卷十一
钦定四库全书测圆海镜卷十一元 李冶 撰杂糅一十八问或问城南有槐树一株城东有柳树一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐柳悉与城叅相直既而丙就柳行五百四十四步至柳树下甲就槐行四百二十五步至槐树下问答同前法曰甲就步自之于上以二行相减数自之减上位为实二之二行相减数并入二之甲就步为从一步常法得平弦草曰别得丙就步为边弦也甲就步为底弦也边弦即皇弦髙弦共也底弦即皇弦平弦共也二行相并即大弦皇弦共也二行相减即皇极勾股较也倍皇弦以减于大弦余即虚弦也倍皇弦内减边弦余即叀弦也倍皇弦内减底弦余即明弦也皇极弦加一差(按一差即皇极勾股较)则大差弦也内减一差则小差弦也立天元一为平弦加一皇极勾股差得□□即髙弦也髙弦自之得丨□□内加天元幂得□□□为皇弦幂(寄左)然后以天元减底弦得下式□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十六步即平弦也余各依法求之合问或问出南门东行有槐树一株甲出北门东行斜望槐树与城相直就槐树行二百七十二步出东门南行有柳树一株丙出西门南行斜望柳树与城相直就柳树行五百一十步问答同前法曰云数相并而半之以自乘于上半丙斜行以为幂半甲斜行以为幂并二幂减上位为实并云数为益从一步平隅得虚弦草曰别得丙斜行为黄广弦也亦为两个髙弦也此勾则城径也甲斜行即黄长弦也亦为两个平弦也此股则城径也二数相并得□即大弦虚弦共也二数相减余□即两个皇极差也二数相并而半之得□即皇极和也立天元一为虚弦以减于皇极和得□□即皇极弦也以自之得丨□□为皇弦幂(寄左)然后以髙弦自之得□以平弦自之得□二自乘数相并得□与左相消得□□□开平方得一百二即虚弦也合问或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅南行一百五十步望见甲复斜行五百一十步与甲相㑹问答同前法曰斜行自之于上倍南行减斜余自之以减上为实倍南行减斜又四之为从八步常法平方得半径草曰别得南行即小差股斜行即黄广弦也小差股内减半径余即半个黄广积上股弦差也全径即其勾也立天元一为半城径减于乙南行倍之得□□即一个黄广即上股弦差也以减于斜行步余□□即股也自之得□□□为股幂也又倍天元以自之得□□为大勾幂加入大股幂得□□□(寄左)然后以斜行幂□与寄左相消得下式□□□开平方得一百二十步即半径也合问或问乙从艮隅东行不知逺近而止甲从坤隅东行一百九十二步望见乙复斜行二百七十二步与乙相㑹问答同前法曰倍东行减斜行得数自为幂以减于斜行幂为平实倍东行减斜行又四之为从八益隅翻法开平方得半径草曰别得甲东行即大差勾也斜行则黄长弦也大差勾内减半径余即半个黄长积上勾弦差也全径即其股也立天元一为半径减于东行倍之得□□即一个黄长积上勾弦差也以减于斜行步得□□即黄长勾也以自之得□□□为勾幂于上倍天元以自之得□□加上位得下式□□□为弦幂(寄左)然后以斜行幂□为同数与左相消得□□□平开得一百二十步即半城径也合问或问甲从坤东行一百九十二步丙从艮南行一百五十步望见之问答同前法曰二行相乘倍之为平实如法得圆径草曰别得甲行即大差勾丙行即小差股此二数相乘恰与大小差相乘正同如法相乘讫倍之得□为圆径幂(寄左)然然立天元为圆径以自之与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问又法以二行相减数减于二行相并数余者半之于上复以二行相减数加于上即城径草曰别得甲东行减于径为虚勾也丙南行减于径为虚股也二行共为一径一虚弦共也二行相减即虚和也以相并数相减数又相减即两个虚弦也如法求得虚和□虚弦□相并得□即城径也合问按又法未合盖以二行相减为虚较而草中误以为虚和也其义甚浅非难知者是殆偶尔之遗忘然亦可以决其为当日未定之稿矣或问出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四步望塔正当城径之半问答同前法曰二行相乘为平实一步常法得半径草曰别得二百二十五步为髙股此乃半径为勾之股也其六十四步为平勾此乃半径为股之勾也二数相并即太极弦也二数相减即中差内去皇极差也又别得二行相乘恰是半径幂一段此与半梯头相乘其意正同今且以弦上容圆取之立天元一为半径副之上加南行得□□为股也下加东行步得□□为勾也勾股相乘得丨□□为大直积以天元半径除之得□□□为勾股和(寄左)然后并勾股得□□与左相消得丨○□开平方得一百二十步即半径也合问或问丙从干隅南行丁从艮隅亦南行甲从干隅东行乙从坤隅亦东行各不知步数四人悉与城相直只云丙行内减丁行余四百五十步甲行内减乙行余一百二十八步问答同前法曰二行相乘为实一步常法得城径草曰别得丙行即大股丁行即小差之股也甲行即大勾乙行即大差之勾也其□即黄广股其□即黄长之勾也立天元一为城径先置黄广股□为股方差以□为勾方差以乘之得□为城径幂(寄左)然后以天元幂与左相消得下式丨□□开平方得二百四步合问或问出南门东行有槐树一株出东门南行有柳树一株丙丁二人同立于坤隅甲乙二人同立于艮隅丁直东行至槐而止乙直南行至柳而止丙直南行甲直东行四人遥相望见只云丙行多于丁行一百六十八步乙行多于甲行七十步问答同前法曰云数相乘为实二数相减又半之为法得城径草曰别得□即大差勾股较也其□即小差上勾股较也二数相并为大差弦内减小差弦也二数相较又半之皇极弦与城径差也二数相并而半之即皇极差也立天元一为圆径二云相减数又半之加天元得□□为极弦也并二数而半之得□为极差也副置极弦上位加极差得□□为弦较和也下位内减极差得□□为弦较较也上下相乘得丨□□为二直积(寄左)然后以天元一乘极弦得下式丨□为同数与左相消得□□上法下实而一得二百四十步即城径也合问或问甲从坤东行丙从艮南行适相见斜行一百二步甲丙相㑹丙云我南行不及汝四十二步问答同前法曰二数相并以斜行乘于上二数相并而半之以乘相并数减上位为平实不及步为从一步常法得虚勾草曰别得一百二步即虚弦四十二步即虚较也又斜行得虚股为乙东行此便为大差勾也斜行步得虚勾为丙东行此便是小差股也立天元一为虚勾加斜行步得□□为小差股也以不及步加于小差股得下式□□为大差勾也勾股相乘得丨□□为半段黄方幂(寄左)然后再置虚勾加不及步得□□为虚股又加入天元得□□为虚和又加入虚弦得□□为圆径以自之得□□□又半之得□□□与寄左相消得丨□□平方开得四十八步即虚勾也合问或问甲从城心东行丙从城心南行庚从巽隅西行壬从巽隅北行四人遥相望见各不知步数只云甲丙共行了三百九十一庚壬共行了一百三十八问答同前法曰云数相乘为实相并为法得虚弦草曰别得甲丙共为皇极和也又为极弦极黄共庚壬共为太虚和也又为虚弦虚黄共立天元一为皇极黄方靣(亦为虚弦也)减于甲丙共得□□即极弦也又以天元减于庚壬共得□□即太虚黄方靣也以太虚黄方靣乘极弦得丨□□(寄左)然后以天元幂与左相消得□□上法下实如法得一百二步即皇极黄方靣也合问(按此亦系相消后得一边之二数者)或问甲从干隅东行不知步数而止丙向南行亦不知步数望见甲就甲斜行七百八十步与甲相㑹甲云我行地虽少于汝以我东行步为法除汝南行步则汝止得二步四分问答同前法曰斜步自之为平实除步自之又加一步为隅得甲东行草曰此问所求城径与诸问并同其勾股则与前后诸率不同今特为此草者欲使后学有以考较诸率当否也立天元一为甲东行(即大勾)以乗二步四分得□为长以自之得□□为股幂又并入天元幂得□□为弦幂(寄左)乃以斜行自之得□为同数与左相消得□□□开平方得三百即甲东行也以二步四分乘之得七百二十步即丙南行也倍丙东行以甲东行乘之得四十三万二千为实以三事和一千八百为法除之得二百四十步即城径也合问或问小差黄方靣少于大差黄方靣八十四步太虚黄方靣少于皇极黄方靣六十六步问答同前法半八十四为中差以中差减六十六为二小差半之为小差又中小差相并为大差乃以小差乘大差为平实半步常法得虚黄草曰别得八十四为两个虚积中差其六十六为虚积大小差并半八十四得□为虚中差也以中差减六十六余二十四半之得□即虚小差也以小差反减六十六余□即虚大差也又别得小差黄方为两叀股大差黄方为两明勾也立天元一为虚黄方置三位上加小差得□□为虚勾也中加大差得下□□为虚股也下加大小差并得□□为虚弦也三位并之得□□即城径也倍虚勾减城径得□□为大差黄方靣也又倍虚股减城径得□□为小差黄方靣也半小差黄方靣得□□以乘大差黄方得□□□为一个虚直积(寄左)乃以虚勾虚股相乘得丨□□为同数与左相消得□□□平方开得三十六步即虚黄方靣也其余依法求之合问据此问既别得大小差正数自可以求得黄方靣也诸如此数实不湏草今特为细草者庶使后学知其来歴或问大差弦较较减皇极弦余四十九步小差弦较和减太虚弦余一百三十八步又皇极差一百一十九步问答同前法曰并前二数为幂内减极差幂为平实从空二益隅得虚弦草曰别得大差弦较较与小差弦较和皆同为圆径也又二数相并得□为明弦叀弦共又为极和内少两个虚弦也其一百三十八即虚和也□则旁差也立天元一为虚弦加入一百三十八得□□为圆径也又加入□得□□为极弦以自之得丨□□又倍之得□□□内却减极差幂□得下式□□□为和幂(寄左)乃倍天元加并数得□□为极和以自增乘得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二步即虚弦也加入一百三十八得二百四十步为圆径合问(前二数相并加虚弦便是极弦)或问小差不及平弦五十六步髙弦不及大差一百五步问答同前法曰以前数自之为实二数相减为法得平勾草曰别得云数相并得□为平勾不及髙股也此数得极差则通差也此数内减虚差则极差也云数相减余□即城径不及极弦也以前数减于半径余即平勾以后数加于半径即髙股也倍前数加小差则为股圆差之勾也此与前数加平弦同倍后数减于大差则为勾圆差之股也此与后数减于髙弦同立天元一为平勾加相并数得□□即髙股也又加天元得□□即极弦也内减二云数差得□□为城径也半之得□□以自之得丨□□为半径幂(寄左)然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得□□上法下实得六十四步即平勾也合问又法云数相得为实相减为法得半径草曰立天元为半径副之上内减五十六得□□为平勾下加一百五得□□为髙股上下相乘得丨□□为半径幂(寄左)以天元幂与左相消得下式□□上法下实得一百二十步即半径也合问或问通勾通弦共一千步大差小差共得四百四十步问答同前法曰以二差共减于一千又半之以自乘为平实以二差共减于一千又半之加入二之前数为纵(前数谓一)(千也数按此语有误应加入二之后 后数谓大小差共也)二步二分五厘益隅得勾圆差草曰立天元一为小差数加入后数得□□却以减于前数得□□折半得□□为一个圆径也以自之得下式□□□(寄左)然后以天元减后数得□□为大差以天元乘之又倍之得□□与左相消得□□□开平方得八十步即勾圆差也或问皇极三事和六百八十步太虚弦和较三十六问答同前法曰二数相得为实半之后数为益从五分常法平开得城径草曰别得皇极三事和即大弦也立天元一为城径减三个后数□而半之得□□为太虚大小差并也却加入两个后数□得下□□为虚和也又以虚和减天元得下□□为虚弦也置通弦(即皇极三事和也)内加天元得下式□□即通和也乃置通和以虚弦乘之得下式□□□(寄左)再置虚和以通弦乘之得下□□为同数与左相消得□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问出南门行一百三十五步有树出北门行一十五步折而东行二百八步望见问答同前法曰以东行步乘南行步得数又自乘为实以东行步自乘乘南行步又倍之为从东行步自乘于上并南北二行步以减于东行步余数自之为幂以减上再寄位又并南北二行步以东行步乘而倍之内减再寄为第一益亷四之东行步于上又并南北二行步减于东行步又四之减上位为第二益亷四步虚隅开三乘方得半径草曰立天元一为半径(即髙勾也)置南行步加天元得□□为髙弦也置大勾□以髙弦乘之得□□复以髙勾除之得下式□□为大弦也令之自乘得□□□(寄左)又置二之天元加南北行并得□□为大股复用大勾二百八减之得□□为较也以自乘得□□□为较幂以减寄左得□□□□□为二直积(寄左)再置大股□□以大勾□乘之得□□为直积又倍之得□□为同数与左相消得□□□□□翻法开三乘方得一百二十步即城径之半也合问或问出北门一十五步折而东行二百八步有树出西门八步折而南行四百九十五步见之问答同前法曰先置南行步内减一东二西并步余二百七十一为前泛率次并一南二北内减东行步余三百一十七为中泛率次并东西步以南行步乘之于上位又以西行乘南北并得数减上位余一十万二千八百四十为后泛率乃以后泛率自乘得一百五亿七千六百六万五千六百为三乘方实以前中二泛相减余四十六以乘后法数为从前中二泛相乘得八万五千九百七加入二之后泛数共得二十九万一千五百八十七于上位又并东西行以乘南北并得二十二万三百二十加上位通得五十一万一千九百七为第一亷二之前泛数加入四之东西并得一千四百五十二于上位又以前中二泛相减于四十六减上位余一千四百六为第二亷一步常法得半径(按此法乃取于又法草中其求第二亷云二之前泛数句误当云二之四数并若二之前泛数加入)(四之东西并便得第二亷一千四百零六更不待再减然原文之意不如是也)草曰立天元一为半城径加入东行西行并得□□为大勾也又置天元加入南行北行并得□□为大股也置西行八步以大股乘之得下式□□合以大勾除之不除寄为母便以此为股尖也置南行四百九十五步减天元得□□用分母大勾乘之乘讫得下式□□□内减了股尖余□□□为小股也(内带大勾)(分母)置小股合以大勾乘了复以大股除之为小勾今为小股内已有大勾为母更不湏乘只以小股□□□便为小勾也(内带大股为母)小勾小股相乘得数为一个小勾股相乘直积内带大勾股相乘直积为分母也乃以半城径(即天元也)除之为一个弦较和也丨□□□□此法本取勾外容圆合以弦较和除二积为勾外所容之圆今用天元半径除一个积则却得一个弦较和也内依旧带大积分母也(寄左)然后再置小股□□□合用大积乘之縁内已带大勾分母今只用大股□□乘之得□□□□为大积所乘小股于上再置小勾合用大积乘之縁内已带大股分母合只用大勾□□乘之得□□□□为大积所乘之小勾也以此小勾减上小股得□□□即带分小较也又二因小较得下式□□□为带分二较也又以大勾股直积丨□□乘二之天元半径得□□□为一个带分弦较较也(弦较较乘弦较和为二直积既以圆径除二百积为弦较和则是圆径为弦较)(较也今又为半天元圆径除一积为弦较和故倍天元半径作一个弦较较也)遂将此弦较较加入前二较得□□□□亦为一个弦较和也与寄左相消得下式丨□□□□开三乘方得一百二十步即城半径也合问又法此问系是洞渊测圆门第一十三前答亦依洞渊细草用勾外容圆术以入于弦较和然其数烦碎宛转费力今别草一法其亷从与前不殊而中间段络迳捷明白方之前术极为省易学者当自知也 立天元一为半径副之上并加东西行得□□为通勾率下并加南北行得□□为通股率乃置西行八步以通股乘之得下□□合通勾除不除寄为母便以此为南小股也又置南行四百九十五步内减天元得□□用通勾乘之得□□□内减了南小股下式卜□□为股圆差也内带通勾分母又置北行一十五步以通勾乘之得□□合通股除不除寄为母便以此为北小勾也又置东行二百八步内减天元得□□用通股乘之得□□□内减了北小勾余□□□为勾圆差也(内带通股分母)乃以二差相乘得下式丨□(□□)□(□□)为半段圆径幂也内带通积为母(寄左)然后以通勾通股相乘得丨□□以天元幂乘之得丨□□□又倍之得下式□□□□为同数与左相消得亷从一与前同合问按洞渊疑为古之精于算者序中谓老大以来得洞渊九容之说而于此问又明其为洞渊测圆门第十三题前答亦依其细草大抵是书之作皆师其意而演之者也今洞渊之为人与书虽不可考而即此一草观之其取径遥深而惟变所适亦可见文豹之一班矣至谓其数烦碎宛转费力特为初学难易而言读者宜善㑹也测圆海镜卷十一
## 卷十二
钦定四库全书测圆海镜卷十二元 李冶 撰之分一十四问或问甲乙二人俱在西北隅乙向直东行不知步数而止甲向直南行望见乙复向乙斜行甲告乙云我直行斜行共一千二百八十步汝东行步居我南行步十五分之八法曰十六之共步幂为实二百五十七之共步为益从一十六步常法得勾圆差草曰别得共步即股弦共也立天元一为小差以乘共步得□为勾幂就分以二百二十五通之得□为二百二十五段勾幂(寄左)然后再置共步内减小差得□□为二股就分四之得□□为一十五勾以自之得□□□为同数与左相消得□□□平方开之得八十步即小差也既得小差加共步而半之得六百八十步即弦也若以减共步而半之得六百步即股也以股幂减弦幂余一十万二千四百步开平方得三百二十步即勾也勾股相乘倍之得三十八万四千步为实以弦和和一千六百步为法实如法而一得二百四十步即城径也合问或问甲乙二人俱在西北隅乙直南行不知步数而立甲直东行望见乙复向乙斜行与乙相㑹甲云我共行了一千步又云我东行步居汝南行步十五分之八法曰二百二十五段共步幂为实七百六之共步为益从二百二十五步常法得股圆差草曰别得共步即勾弦共也立天元一为大差以乘共步得□又就分以二百五十六通之得□为二百五十六个股幂(寄左)然后再置共步内减天元大差得□□为二勾就分以一十五之得□□为十六个股也以自之得□□(□□)为同数与左相消得□□□开平方得三百六十即大差也副置共步上位减大差而半之得三百二十步即勾也下位加大差而半之得六百八十步即弦也余数各依法求之合问或问甲乙俱在城西北隅甲南行不知步数而立乙东行亦不知步数望见甲就甲斜行与之相㑹乙云我东步少于城周九分之五甲云我南行却多于汝东行二百八十步问答同前法曰别得周居九分径居三分乙东行居四分(按此法未)(详当加倍较步为实径分数自之内减二分数为法得数三之即城径二十四字)草曰立天元一为一分之数以三之得□为径以四之得□为勾以径减勾余□为小差(只天元便是小差)再置小差加入甲多步得□□为大差倍大差以天元乘之得□□为一段圆径幂(寄左)再置城径以自之得下式□□为同数与左相消得□□上法下实得八十步即一分之数也以三之得二百四十步即城径也合问或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望见甲既而乙云我所行居城径六分之五甲云然则我所行却多于汝二百八十步问答同前法曰四之却多步为实分自之于上半分母减子得数倍之又以减数乘之减上位为法得一分之数草曰别得却多步即勾股差也乃立天元一为一分数以六之为城径以五之为乙行置乙行内减半城径得□为小差也又加入却多步得□□又二之得□□为二大差又以小差乘之得□□为径幂(寄左)然后以径幂□□与左相消得下□□上法下实得四十步即一分之数也六之则为城径五之则为乙行又以却多步加乙行即甲行步也合问或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行不知步数而立丙向南行望见甲与之相㑹丙语甲云我行既多于汝又城径少于我四十分之十六(按四十为股分十六为径当云径少)(于我为四十分之十六原文脱为字似十六为股圆差分矣)甲云然则吾二人共行了九百二十步问答同前法曰倍子以减倍母又乘共行步为实倍子减倍母以乘子母并数于上又以子幂加上位为法如法得一十五步即一分之数也草曰别得共行步即通和也又别得四十分之十六或作二十分之八或作十分之四亦得但所得分数不同耳乃立天元一为一分之数以十六之为城径以四十之为丙行丙行减和步得□□为通勾勾内减径余得□□为小差于上以分母分子相减余□又倍之得□为两个大差以乘上位得□□为圆径幂(寄左)然后以分子十六分自之得下□□与左相消得□□上法下实得一十五步即一分之数也以十六之得二百四十步即城径也合问或问甲乙俱立于城中心乙出东门直行不知步数而立甲出南门直行亦不知步数望见乙向乙斜行与之相㑹乙云我居汝南行十五分之八又云斜行步内若减甲直行余三十四步若减乙直行余一百五十三步问答同前法曰以云数二减步为小差大差以相乘倍之开平方加入大小差并以自之于上又以大小差相较数以自之减上位为实甲行分乙行分相乘又倍之为隅法得一分之数草曰别得云步相并得一百八十七是于皇极弦内少一个皇极黄方靣也又别得三十四步是个小勾圆差其一百五十三步是一个小股圆差此二差又相减余一百一十九即中差也乃立天元一为一分之数以八之得□为乙东行数以十五之得□为甲南行数以二数相乘又倍之得□□为二直积于上(寄左)然后以云步三十四乘一百五十三得五千二百二又倍之得一万四百四为平方实开之得一百二步即小黄方也加入相并数一百八十七得二百八十九为小弦也以自之得八万三千五百二十一为弦幂于上以中差幂一万四千一百六十一减上位余□与左相消得□□□平方开之得一十七步即一分之数也副置一分之数上位以八之得一百三十六即乙东行也下位以十五之得二百五十五即甲东行也二位相乘得三万四千六百八十又倍之得六万九千三百六十为实以弦二百八十九为法如法得二百四十步即城径也合问或问甲出西门南行乙出北门东行各不知逺近两相望见复相斜行各行了三百四十步相㑹甲云城径居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五问答同前法曰以二之斜行步自之为实以各行分数自之为幂(按此语未详当云以城径六分乘甲南行二分得十二分加半城径三分得十五分为大股分乙东)(行五分加半城径三分得八分为大勾分各自之为幂)又相并为隅法开平方得一分之数草曰别得倍斜行为大弦又别得乙行五分城径六分甲行十二分乃立天元一为一分之数以六之得□为城径以五之得□为乙行分以十二之得□为甲行分乃副置半城径上位加甲行步得□以自之得□□为甲行幂下位加乙行步得□以自之得□□为乙行幂二幂又相并得□□为大弦幂(寄左)然后置大弦六百八十步以自之得□与左相消得□□□平方开之得四十步即一分之数也以六之得二百四十步即城径也合问或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之乙斜行与甲相㑹甲乙二人共行了一千三百六十步其甲南行居斜十七分之十二其乙东行居斜十七分之五问答同前法曰别得共步即二弦也半共步得六百八十步副置上位以五之得三千四百以十七而一得二百步即乙东行也下位以十二之得八万一千六百以十七而一得四百八十即甲南行也二行相减余二百八十即勾股差也其余各依法求之合问或问甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行望见之既而乙谓甲云我取汝六分之五得六百步甲谓乙云我取汝五分之三亦得六百步问答同前法曰求得各行步(按见后草)相并以自之于上并甲南行幂乙东行幂以减上为实并各行为从半步常法得全径草曰置(乙取甲六分之五六百步甲取乙五分之三六百步)以上六分五分各自直乗步数讫得人(六分五分) (之五之三) (三千六百步三千步)别得左行三千六百步为六乙行五甲行也右行三千步为五甲行三乙行也以方程法入之乃再置(五甲行五甲行) (六乙行三乙行) (三千六百步三 千 步)先以左行直减右行右上空中余三乙行下余六百步上法下实得二百步即乙行也却以今右行减于元左行上余五甲行空中下余二千四百步上法下实得四百八十步即甲行也既得此数乃立天元一为城径以半之副置二位上以加甲行得□□为通股以自之得□□□为大股幂下位加乙行得□□为通勾以自之得□□□为大勾幂二幂相并得□□□为大弦幂(寄左)乃并甲行乙行以自乗得下式□亦为大弦幂与左相消得下□□□开平方得二百四十步即城径也合问或问甲从坤隅南行不知步数而立乙从艮隅东行望见之既而乙谓甲云我所行取汝所行三分之一得二百步甲谓乙云我所行内减汝所行四分之三得三百步问答同前法曰如法求得各行(按见后草)以相乗又二之开平方得全径草曰置(乙取甲三分甲减乙四分) (之一之三) (二百步三百步)以上三分四分置乗步数讫得(三分之一四分之三) (六百步百步一千二)别得右行六百步为三乙行一甲行也左行一千二百步为四甲行内少三之乙行步也以方程法入之乃再置(一甲行四甲行) (三乙行负三乙行) (六千百百步一 二 步)先以左行直加右行右上得五甲行中空下一千八百步上法下实得三百六十步即甲行也次以一甲行减元右行六百步余二百四十步以中三除之得八十步即乙行步也甲行乙行二数相乘得数又倍之开平方即城径也合问或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又云其大小差相减余二百八十步问答同前法曰二之中差为实置股子以勾母乗之内减股母为法得小差草曰别得勾圆差即小差股圆差即大差云步即中差乃立天元一为小差以四之得□为勾勾上加中差得□□为股又三之得□□为五个大差也内减五个天元得□□为五个中差也(寄左)乃以五之相减步□与左相消得□□上法下实得八十步即小差也合问或问股圆差如股五分之三勾圆差如勾四分之一又云勾母每分少于股母每分四十步问答同前法曰二之少步实以股子母相减数减勾子母相减数为法如法得小差草曰立天元一为勾圆差便为勾母每分数以天元加四十步得□□为股母每分数于上乃以股子减股母余二分以乘上位得□□为城径(寄左)再置天元在地以勾子减勾母余三分以乗之得□□为同数与左相消得下丨□上法下实得八十步即勾圆差也合问或问甲出南门直行乙出东门直行望见甲斜行与甲相㑹甲云我行不及股圆差二十四分之十五乙云我行不及勾圆差五分之四又云甲行多于乙行一百一十九股圆差多于勾圆差二百八十问答同前法曰以大差母分二十四以乘甲多一百一十九得数倍小差母五得一十以乘之于上以小差母五乗二之二差相较数又九之减上位为实倍小差母得一十却以小差乗之又九之于上倍甲分母以小差母乗之得数减上位以为法得小差一分之数草曰立天元一为小差一分之数(此一分之数便是乙直行之数也)以五之得□为小差加二百八十得下□□为大差又倍之得□□以小差乗之得下式□□为一个圆径幂又九之得□□(寄左)乃又置乙行步加一百一十九□□即甲行步也以二十四之得□□为九个大差也倍小差母得□以乘之得□□为同数与左相消得□□上法下实得一十六步即小差一分之数也既得此数余各如法求之合问或问大勾大股大弦三事和一千六百步以明勾除大股得八步三分之一以□股除大勾得一十步三分之二以虚勾明勾相减余二十四步以虚股□股相减余六十步问答同前法曰六十步加入大三事和又三之二而一为实并二云数分母分子内减六步为法如法得□股草曰别得六十步与二十四步二数相并而半之得□即明勾□股差也又为虚勾虚股差也若以二数直相减即虚黄方也其二十四步得二虚勾即半径也其六十步得二□股亦为半径也立天元一为□股加差步得□□为明勾也以乗八步三分之一得□□为大股也以天元乗一十步三分之二得□为大勾也勾股相并得下□□为大和也(寄左)然后四之天元加入二之六十步得□□为小三事和以小三事和加入大三事和得□□为二个大和也合折半为大和了又就三分之为前数今不折半三因但身外加五得□□为同数与左相消得□□上法下实得三十步即□股也四之□股加入二之六十步得二百四十步即城径也合问按之分即通分也张邱建谓学者不患乘除之为难而患通分之为难又谓夏侯阳之方仓孙子之荡杯皆未尽其妙于是作为算经三卷以发其义是书末设十四问皆以立天元一之法御之尤为简妙殆所以明立天元一之法其用无不周也又按问中两言以方程入之张邱建算经内数问亦然盖有通分而乗除不穷有方程而通分益便此又因通分及之非立天元一本法也秦九韶谓时人误以大衍法为方程者盖此类也按右书十二卷皆为立天元一法而作也其法神明变化不可端倪今略举数端言之如诸法中有求之不可得者此法求之可得若此法求之不可得者则必不可求矣又诸法中有难求者虽强探力索毫厘未至则不可得此法但知大意不待深思加以步算即可得矣又诸法中有所求或先得彼而后得此者不能移易此法任其所求或先得此或先得彼无不如志又诸法有数始可求一数不具则不可求此法数不具亦可求且有无数即可求者又诸法遇甚繁甚密者湏次第步算或累日累月其功不能再省此法有经年步算可约之顷刻而得者凡此皆寻常智虑所不能及要皆自然之理数易知易从然自不习者观之盖有茫然莫解其故者矣是书之作殆深忧𫝊习者难其人而其法遂泯于后世也其誊写鲁鱼算式舛讹今悉正之测圆海镜卷十二
## 后序
后序
敬斋先生病且革语其子克修曰吾平生著述死后可尽燔去独测圆海镜一书虽九九小数吾尝精思致力焉后世必有知者庶可布广垂永乎先生于六艺百家靡不贯串文集近数百卷常谦谦不自伐惟于此书不忘称异于易箦之间想有𤣥妙内得于心者予以先生与先人同牓之故素常兄事克修克修兄命予重为序之予不敢诡论艳藻刻画无盐唐突西子直以所闻语意载之于后至元二十四年春三月朔翰林修撰承直郎广平王德渊后序◆ 《测圆海镜分类释术-元-》（KR3f0043）
## 提要
钦定四库全书 子部六
测圆海镜分类释术 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案测圆海镜分类释术十卷明顾应祥撰应祥有人代纪要已著录李冶测圆海镜所设一百七十问中皆有草有法(按前数十题中)(甚易者或无草后皆有草)草用立天元一为虚数合问数推之法専用问数推之皆归于𢃄纵诸乗方而止应祥得治书于唐顺之于立天元一语互相推求不得其解遂去其细草専演算法改为是书自谓便于下学殊不知立天元一之妙能使诸法不能求者可以得其法若无其草即冶已有不能得其法者而徒沾沾于加减开方之数可谓循枝叶而失本故唐顺之与应祥书云此书形下之数太详而形上之义或畧使观之者尚不免其数可陈而义难知有与人以鸳鸯枕而不度人以金针之疑仆意欲明公于𦂳要处提掇一二作法源头出来使后世为数学者识其大者得其义识其小者得其数则此书尤更觉精采耳其不足于应祥诚是第作法源头即立天元一一语应祥既去之又将何以为提掇乎然九章之中惟少广诸乗方之数为甚繁故立方𢃄纵之法古已不见有和较者冶所用有至三乗方四乗方及五乗方者且兼加减诸乘方亷隅不为之详其算式初学诚有难于取数者冶虽専为发明立天元一术得应祥所演诸乗方之式亦可为求立天元一法者之一助云乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷一元 李 冶 撰明 顾应祥 释术圆城不知周径四面居中开门城外四隅各有十字大街西北隅曰干东北隅曰艮西南曰坤东南曰巽随地逺近测望以知城径通勾股求容圆一甲乙二人俱在城外西北隅干地乙东行三百二十步甲南行六百步望乙与城相叅直问城径荅曰城径二百四十步释曰此勾股求容圆径也东行为通勾南行为通股以通勾股求通弦和较弦和较即容圆径也术曰勾股相乗倍之为实勾股求弦并勾股为弦和和为法除之勾股求弦曰勾自之得一十○万二千四百为勾筭股自之得三十六万为股筭并二筭得四十六万二千四百为弦筭平方开之得弦六百八十并勾股得一千六百为弦和和后凡言勾股求弦者俱倣此甲乙二人俱在城西北隅干地甲直南行不知步数而立乙直东行三百二十步望见乃斜行六百八十步与甲相㑹测城径释曰此勾弦求容圆径也东行为通勾斜行为通弦术曰勾弦求股勾股相乗倍为实弦和和除之勾弦求股曰勾自乗得一十○万二千四百为勾筭弦自乗得四十六万二千四百为弦筭相减余三十六万为股筭平方开之得股又术勾弦较乗勾倍之得二十三万○四百为实倍较为从作带从开平方法除之带从开平方曰列实于左倍较得七百二十为从约初商得二百 置一于左上为法 置一为隅法带从方共九百二十为下法除实一十八万四千余实四万六千四百 倍隅法得四百为廉法约次商得四十置一于左次为上法 置一为隅法并从方廉法共一千一百六十为下法与上次法相乗除实尽后凡言带从开平方法者俱倣此甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行不知步数而立乙南行六百步见之复斜行六百八十步与甲㑹测城径释曰此股弦求容圆也南行为通股斜行为通弦术曰股弦求勾以乗股倍之为实弦和和除之股弦求勾曰弦筭减股筭开其余即勾后凡言股弦求勾者俱倣此又术股弦相减余八十为股弦较相并得一千二百八十为股弦和以较乗和得一十○万二千四百即勾筭平方开之得勾三百二十减较即城径既有勾股求圆径之法则勾弦求圆股弦求圆可以例见不必立法因原夲有此二问载于后卷故移附于此边勾股求容圆二甲乙二人俱在城西门甲南行四百八十步乙穿城东行二百五十六步见之测城径释曰此勾上容圆也南行边股也东行边勾也以边勾边股求通圆术曰勾股相乗倍之得二十四万五千七百六十为实勾股求弦得五百四十四并股共一千○二十四为股弦和为法除之乙出东门直行不知步数而止甲出西门南行四百八十步见之乃斜行五百四十四步相㑹问城径释曰此边股边弦求边勾以求通容圆也南行为边股斜行为边弦术曰股弦求勾以乗股得一十二万二千八百八十为实半股弦和得五百一十二为法除之甲出西门南行不知步数而立乙穿城东行二百五十六步见之乃斜行五百四十四步相㑹问城径释曰此边勾边弦求边股以求通圆径也东行为边勾斜行为边弦术曰勾弦求股以乗勾半股弦和除之底勾股求容圆三甲乙二人俱在北门乙东行二百步而止甲穿城南行三百七十五步见之问城径释曰此股上容圆也东行为底勾南行为底股以底勾股求通圆术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦以勾弦和为法除之乙出南门直行不知步数而立甲出北门东行二百步见之复斜行四百二十五步就乙问城径释曰此底勾底弦求底股以求通圆径也东行为底勾斜行为底弦术曰弦筭减勾筭余平方开之得股与勾相乗得七万五千为实 勾弦和为法除之得半径又术倍勾弦较以乗勾筭得一千八百万为实 四勾加倍较得一千二百五十为隅法作负隅开平方法除之得半径负隅开平方法曰布实于左以隅法约初商一百置一于左上为法 置一乘隅法得一十二万五千为隅法与上法相乘除实一千二百五十万余实五百五十万倍隅法得二十五万为廉法约次商得二十 置一于左次为上法 置一乘隅算得二万五千 并廉法共二十七万五千为下法与上法相乘除实尽后如此类者倣此问底股弦求通圆径术曰弦筭减股筭开其余得勾如前法求之皇极勾股求容圆四甲乙二人俱在城中心立乙穿城东行一百三十六步甲穿城南行二百五十五步望见问城径释曰此勾股上容圆以半圆勾股求全圆径也东行皇极勾也南行皇极股也术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦为法实如法而一得全径皇极勾弦求圆股弦求圆止以勾弦求股股弦求勾依上推之不必立法大差勾股以下倣此通勾股折中弦上求圆五甲乙二人俱在城西北隅干地乙东行一百八十步斜视城中有塔甲南行三百六十步与乙斜对视塔正居城径之半问城径释曰此弦上容圆也东行为勾南行为股此以勾股求半容圆径即勾股容方术术曰勾股相乘为实相并为法实如法而一得半径大差勾股求容圆六甲乙二人俱在城外西南隅坤地乙东行一百九十二步甲南行三百六十步望乙与城叅直问城径释曰此勾外容圆也东行大差勾也南行大差股也术曰勾股相乘倍之得一十三万八千二百四十为实勾股相减余一百六十八为勾股较勾股求弦得四百○八并较共五百七十六为弦较和以为法除之得全径小差勾股求容圆七甲乙二人俱在城外东北隅艮地甲南行一百五十步而止乙东行八十步望乙与城叅直问城径释曰此股外容圆也东行小差勾也南行小差股也术曰勾股相乘倍之得二万四千为实相减余七十为较勾股求弦得一百七十减较余一百为弦较较以为法除之得全径太虚勾股求容圆八甲乙二人俱在城外东南隅巽地乙西行四十八步而止甲北行九十步望乙与城叅直问城径释曰此弦外容圆也西行即太虚勾北行即太虚股以太虚勾股反而内向求圆故曰弦外容圆术曰勾股相乘倍之得八千六百四十为实相并得一百三十八为勾股和勾股求弦得一百○二以减和余三十六为弦和较以为法除之得全径明勾股求容圎九甲乙二人俱在南门乙东行七十二步而止甲南行一百三十五步望乙与城叅直问城径释曰此勾外容半圆也东行为明勾南行为明股术曰勾股相乗倍之得一万九千四百四十为平实勾股求弦得一百五十三减勾余八十一为勾弦较以为法除之□勾股求容圆十甲乙二人俱在东门甲南行三十步而止乙东行一十六步望甲与城相叅直问城径释曰此股外容半圆也南行为□股东行为□勾术曰勾股相乘倍之为实勾股求弦以股弦较为法除之或问黄广勾股黄长勾股无求圆之法何也曰黄广之勾黄长之股即圆径也故不立法曰上下高勾股上下平勾股何以不立法曰上高去城逺下高与上平俱不当城半下平亦不附城故不立法测圆海镜分类释术卷一
## 卷二
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷二元 李 冶 撰明 顾应祥 释术两勾求容圆一(凡七条)圆城不知周径甲从城外西北隅干地东行三百二十步乙从城外西南隅坤地东行一百九十二步见之问城径释曰甲东行通勾也乙东行大差勾也此以城南北长短二勾求城径(与通股小差股同法)术曰二行相乗倍为实相并为法除之乙出南门东行七十二步甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径释曰甲东行通勾也乙东行明勾也此以城北大勾与城南半勾求城径(与通股□股同法)术曰二行相乗得二万三千○四十为实以乙行步七十二为从方作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷乙出东门直行一十六步而止甲从城外干隅东行三百二十步望乙与城相叅直问城径释曰甲东行通勾也乙东行□勾也此以城北大勾与城东小余勾求城径术曰甲行内减二之乙行余二百八十八以乘甲行得九万二千一百六十为平实 四之甲东行减二之乙东行余一千二百四十八为从方 四为隅法作负隅减从开平方法开之得半径负隅减从开平方曰布实于左从于右约初商得一百 置一于左上为法 置一隅因得四百为隅法以减从方余八百四十八为下法与上法相乘除实八万四千八百余实七千三百六十 倍隅法得八百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一隅因得八十为隅法 并廉法共八百八十以减原从余三百六十为下法与上次法相乘除实尽后凡言负隅减从开平方法者俱倣此乙出南门折东行七十二步而止甲出北门折东行二百步见之问城径释曰甲从北门东行底勾也乙从南门东行明勾也此以城北半大勾城南半短勾求半城径术曰二行相乘得半径筭平方开之(与边股□股同法)如乙出南门东行二十步甲出北门东行七百二十步术同乙从城外西南坤隅东行一百九十二步而止甲出北门东行二百步见之问城径释曰甲从北门东行底勾也乙从坤隅东行大差勾也此以城北半大勾城南全短勾求城径(与边股小差股同法)术曰二行相乘得三万八千四百为实以甲东行二百为从作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷乙出东门直行一十六步甲出北门东行二百步望乙与城叅直问城径释曰甲行底勾也乙出东门直行□勾也此以城北半大勾城东小余勾求城径术曰二行相减余一百八十四为底勾□勾较 乙东行自之得二百五十六为□勾筭较自之得三万三千八百五十六减□勾筭得三万三千六百为实倍甲东行得四百为从方作减从开平方法除之得半径减从开平方法曰布实于左从于右约初商一百置一于左上为法 置一为隅法以减从方余三百为下法与上法相乘除实三万余实三千六百 倍隅法得二百为廉法 约次商得二十置一于左次为上法置一为隅法 并廉法共二百二十以减原从余一百八十为下法与上法相乘除实尽或于初商除实三万讫 于从内再减一百余二百为从方 次商二十于余从内减二十余一百八十为下法亦通后凡言减从开平方法者俱倣此乙出东门直行一十六步甲出南门东行七十二步望乙与城相叅直问城径释曰甲行明勾也乙之直行□勾也此以城南半勾与城东余勾求城径术曰二行相减余五十六为明勾□勾较自之得三千一百三十六为较筭东门直行自之得二百五十六为□勾筭二筭相减余二千八百八十为平实倍明勾得一百四十四为从作减从 翻法开平方开之得半径减从翻法开平方曰布实于左从于右约初商得一百 置一于左上为法 置一为隅法以减从方余四十四为下法与上法相乘 应除实四千四百实不满法就于应除数内反减实二千八百八十余一千五百二十为负积 倍初商得二百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法置一为隅法 并廉法共二百二十 从不及减反减从一百四十四余七十六为下法与上次法相乘除实尽 或于初商反减实二千八百八十余一千五百二十为负积 又以初商一百反减余从四十四余五十六为负从次商二十并负从共七十六为下法亦通后凡言减从翻法开平方者俱倣此两股求容圆二(凡七条)乙出南门直行一百三十五步而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙与城相叅直问城径释曰甲从干隅南行通股也乙出南门直行明股也此以城西大股与城南余股求城径(与通勾□勾同)术曰甲行内减二乙行余三百三十以乘甲行得一十九万八千为实三甲行内减二乙行余一千五百三十为从方作带从开平方法除之得半径(法见一卷)乙出东门南行三十步甲从干隅南行六百步见之问城径释曰甲南行为通股乙出东门南行三十步为□股此以西大股与东短股求城径(通勾明勾同法)术曰二行相乘得一万八千为实以乙南三十为从作带从开平方法除之得半径(法见一卷)乙居城外东北艮隅南行一百五十步甲从城外西北南行六百步望乙与城叅直问城径释曰甲南行通股也乙从艮隅南行小差股也此以城西长股与城东短股求城径(与通勾大差勾同法)术曰二行相乘倍之得一十八万为实相并得七百五十为法除之得全径甲出西门南行四百八十步而止乙出东门南行三十步望乙与城叅直问城径释曰甲出西门南行四百八十步边股也乙出东门南行三十步□股也此以城西半股与城东短股求圆径俗云半〔？〕梯(与底勾明勾同法)术曰二行相乘得半径筭平方开之甲出西门南行四百八十步而立乙从城外东北艮隅南行一百五十步见之问城径释曰甲南行边股也乙从艮隅南行小差股也此以城西南半股与城东北半股求圆径(与底勾大差勾同法)术曰二行相乘得七万二千为实以甲南行四百八十为从方作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷甲出西门南行四百八十步乙出南门直行一百三十五步相望与城叅直问城径释曰甲南行边股也乙出南门直行明股也此以城西大半股与城南余股求圆径(底勾□勾同法)术曰二行相减余自之得一十一万九千○二十五为差筭乙行自之得一万八千二百二十五为明股筭以减差筭余一十○万○八百为实 倍甲行得九百六十为益从作减从开平方法除之得半径(法见)(前)乙出东门南行三十步而立甲出南门直行一百三十五步望乙与城叅直问城径释曰乙出东门南行□股也甲直行明股也此以城中余股与城东小股求圆径(明勾□勾同法)术曰二行相减余自之得一万一千○二十五为差筭甲直行自之得一万八千二百二十五为明股筭减差筭余七千二百为正实 倍乙行得六十为从方作以从减法开平方法除之得半径以从减法开平方曰布实于左从于右约初商得一百 置一于左上为法 置一于右下为隅法以从减隅余四十为下法与上法相乘除实四千余三千二百为实 倍隅法得二百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一为隅法 并廉法共二百二十减去从方余一百六十为下法与上次法相乘除实尽后凡言减法开平方者俱倣此又为添积带从开平方法初商一百 置一于左上为法 置一于右下为隅法对上法相乘得一万为益实添入积内共一万七千二百为实 置一带从得一百六十为下法与上法相乘除实一万六千余一千二百为实倍隅法得二百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法置一为隅法 并廉法共二百二十与上次法相乘得四千四百为益实添入余积共五千六百为实置一并廉法从方共二百八十为下法与上次法相乘除实尽又术明股筭减差筭余七千二百为实六之□股得一百八十为从方作减从翻法开平方法开之得半径减从翻法开平方法见前条两弦求容圆三城南有槐一株城东有栁一株甲出北门东行丙出西门南行甲丙槐栁悉与城相叅直既而甲斜行四百二十五步至槐下丙斜行五百四十四步至栁下问城径释曰甲斜行向西南至槐树下底弦也丙斜行向东北至栁树下边弦也此以边弦底弦互测圆径术曰二斜行相减余自之得一万四千一百六十一为差筭甲斜行自之得一十八万○六百二十五为底弦筭二筭相减余一十六万六千四百六十四为平实 倍边弦得一千○八十八为从方作带从开平方法开之得一百三十六为平弦带从开平方法见一卷出城南门之东有槐甲出北门东行斜望槐树与城叅直乃斜行二百七十二步至槐下休止东门之南有栁丙出西门南行斜望栁树亦与城相叅直乃斜行五百一十步至栁下休止问城径释曰槐在南门东七十二步明勾也甲出北门东行二百步望见槐与城相叅直此底勾也斜行至槐下黄长弦也栁在东门之南三十步□股也丙出西门南行四百八十步望栁与城叅直边股也斜行至栁树下黄广弦也此以黄长黄广二弦立法测望术曰半甲斜行自之得一万八千四百九十八为黄广弦半筭半丙斜行自之得六万五千○二十五为黄长弦半筭并二行折半自之得一十五万二千八百八十一以二筭减之余六万九千三百六十为实并二行共七百八十二为从 作减从开平方法开之得一百○二为太虚弦减从开平方法见二卷(底勾□勾条)东门之南有栁南门之东有槐俱不知步甲出东门直行乙出南门直行立定二人相望视槐栁与城相叅直既而甲斜行三十四步至栁下乙斜行一百五十三步至槐下问城径释曰此明弦□弦立法测望甲斜行至栁为□弦乙斜行至槐为明弦术曰二弦相乘倍得一万○四百○四平方开之得太虚弦加□弦即皇极勾加明弦即皇极股以皇极勾股求之得城径皇极勾股求容圆见一卷测圆海镜分类释术卷二
## 卷三
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷三元 李 冶 撰明 顾应祥 释术通勾与别股测望一(凡三条)圆城不知周径乙从城外西南坤隅南行三百六十步而立甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径释曰乙从坤南行大差股也甲从干东行通勾也此以通勾大差股测望通勾为城北大勾大差股为城西南之虚股术曰二行相乘得一十一万五千二百为实 倍乙行得七百二十为从作减从开平方法除之得全径减从开平方法见二卷又曰二行相并得六百八十为通弦以通勾弦求容圆法求之即得南门外一百三十五步有树甲从城外西北干隅东行三百二十步见之问城径释曰此以通勾明股立法树距南门明股也甲之东行通勾也通勾乃城北大勾明股乃城南余股术曰东行自之又以树距南门步乘之得一千三百八十二万四千为立实 倍树距南门步以乘东行步得八万六千四百为从方二为隅算作带从负隅开立方法除之得半径带从负隅开立方曰布实于左从尾数至首常超二位又以从方约之定首位得一百 置一于左上为法 置一自之隅因得二万为隅法并从方得一十○万六千四百为下法与上法相乘除实一千○六十四万余实三百一十八万四千 三因隅法得六万为方法 三因初商得三百又以隅筭因之得六百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一乘廉法得一万二千置一自之隅因得八百为隅法并方法从方廉隅共一十五万九千二百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从负隅开立方法者俱倣此乙出东门南行三十步甲从干隅东行三百二十步望乙与城叅直问城径释曰此以通勾□股测望甲东行通勾也乙出东门南行三十步□股也术曰二行相乘得九千六百为实 以东行三百二十为从方二为隅算作减从负隅翻法开平方除之得半径减从负隅翻法开平方曰初商一百 置一于左上为法 置一隅因得二百为隅法以减从方余一百二十为下法与上法相乘除实一万二千实不满法反减实九千六百余二千四百为负积倍余法得四百为廉法次商二十 置一于左次为上法 置一隅因得四十为隅法并廉隅共四百四十减从不足反减从方三百二十余一百二十为下法与上次法相乘除实尽后凡言带从负隅翻法开平方者俱倣此底勾与别股测望二城西门南四百八十步有树出北门东行二百步见之问城径释曰此底勾边股立法测望西门南四百八十步边股也出北门东行二百步底勾也底勾居城北勾之半边股居城西股之半术曰二行相乘得九万六千为实 相并得六百八十为从二为隅筭 作负隅减从开平方法除之得半径负隅减从开平方法见二卷(通勾□勾条)圆城出北门北行一十五步折而东行二百○八步有树出西门西行八步折而南行四百九十五步见之问城径释曰此以底勾过步带短股边股过步带短勾立法测望出北门北行为短股折而东为长勾过于底勾出西门西行为短勾折而南为长股过于边股术曰西行为短勾东行为长勾北行为短股南行为长股短勾并长勾以长股乘之得一十○万六千九百二十 短股并长股以短勾乘之得四千○八十相减余一十○万二千八百四十为勾股维乘差又自之得一百○五亿七千六百○六万五千六百为三乘方实 长股内减二短勾余与长勾相减余二百七十一为股减勾差 长勾内减二短股余与长股相减余三百一十七为勾减股差 股减勾差与勾减股差复相减余四十六以乘勾股维乘差得四百七十三万○六百四十为从方 股减勾差与勾减股相乘得八万五千九百○七 长短勾并与长短股并相乘又倍之得二十二万○三百二十倍勾股维乘差得二十○万五千八百六十 三数相并得五十一万一千九百○七为从一廉长短勾并得二百一十六又四之得八百六十四 倍股减勾差得五百四十二 二数相并得一千四百 六为从二廉作带从方廉开三乘方法除之得半径带从方廉开三乘方曰置所得三乘方积为实以从方廉约之初商得一百 置一于左上为法置一乘从一廉得五千一百一十九万○七百置一自之以乘从二廉得一千四百○六万置一自乘再乘得一百万为隅法 并从方廉隅共七千○九十八万一千三百四十为下法与上法相乘除实七十○亿九千八百一十三万四千余积三十四亿七千七百九十三万一千六百为次商之实倍从一廉得一亿○二百三十八万一千四百三因从二廉得四千二百一十八万 四因隅法得四百万 初商自之 六因得六万 初商三之以乘下廉得四十二万一千八百相并加入从一廉得九十九万三千七百○七为上廉 初商四之带从二廉得一千八百○六为下廉次商二十 置一为法 置一乘上廉得一千九百八十七万四千一百四十 置一自之以乘下廉得七十二万二千四百并方廉隅共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法与上法相乘除实尽或作初商一百 置一为法 置一乘从一廉置一自之以乘从二廉 置一自乘再乘为隅法并从方廉隅共七千○九十八万一千三百四十为下法与上法相乘除实七十○亿九千八百一十三万四千余实三十四亿七千七百九十三万一千六百为次实 四因隅法得四百万为方法 初商自之 六因得六万为上廉 初商四之得四百为下廉 次商二十 置一于左次为上法 倍初商加次商得二百二十以乘从一廉得一亿一千二百六十一万九千五百四十初商三之并初次商因之得三万六千 次商自之得四百共三万六千四百以乘从二廉得五千一百一十七万八千四百 以两从廉并入从方共一亿六千八百五十二万八千五百八十为从置一乘上廉得一百二十万 置一自之以乘下廉得一十六万 置一自乘再乘得八千为隅法并方廉隅共五百三十六万八千带从共一亿七千三百八十九万六千五百八十为下法与上法相乘除实尽此法分别从方从廉明白故重录附之出西门南行二百二十五步有塔出北门东行六十四步望塔正居城之半问城径释曰此以不及底勾与不及边股测望南行二百二十五步与高股同即半径为勾之股东行六十四步与平勾同即半径为股之勾也当以平勾高股立法为是但其望塔当城之半故附底勾边股条下术曰二行相乘即半径筭乙从城外西南坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问城径释曰此以底勾大差股立法测望乙从坤隅南行大差股也甲东行底勾也底勾为城北东半勾大差股为城西南虚股术曰二行相乘得七万二千倍之得一十四万四千为实以南行三百六十为从方作带从开平方法除之得全径带从开平方法见一卷乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见之问城径释曰此底勾明股立法测望乙出南门直行明股也甲出北门东行底勾也底勾为城北半勾明股为城南余股术曰东行自之以南行乘之得五百四十万又四之得二千一百六十万为立方实 以南门余股一百三十五为从廉作带从廉开立方法除之得全径带从廉开立方曰置所得立积为实 以从廉约之初商二百 置一于左上为法 置一乘从廉得二万七千置一自之得四万为隅法 并从廉共六万七千为下法与上法相乘除实一千三百四十万余实八百二十万 倍从廉得五万四千三因隅法得一十二万相并得一十七万四千为方法 三因初商带从廉得七百三十五为廉法约次商得四十 置一于左次为上法置一乘廉法得二万九千四百置一自之得一千六百为隅法 并方廉隅共二十 万五千为下法与上法相乘除实尽后凡言带从廉开立方法者俱倣此乙出南门南行一百三十五步而立甲出北门北行一十五步折而东行二百○八步见之问城径释曰此底勾带短股与明股立法测望乙出南门南行明股也甲出北门北行北门外短股也折而东行类底勾而过之术曰以东行乗南行得二万八千○八十自之得七亿八千八百四十八万六千四百为三乘方实 东行自之得四万三千二百六十四以乘南行得五百八十四万○六百四十倍之得一千一百六十八万一千二百八十为从方 北行自之于上 并南北二行以减东行余自之减上位余数减上寄位 并南北二行 以东行乘之倍之以减寄位 余五万六千九百八十八为从一廉 四之东行得八百三十二于上 并南北二行减东行余五十八四之得二百三十二以减上位余六百为从二廉 四为虚隅作带从二廉减从翻法开三乘方开之得半径带一廉以从二廉益从减从为法翻法开三乘方曰列所得三乘方实从一廉从二廉隅法约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从一廉得五百六十九万八千八百为益隅之廉 置一自之以乘从二廉得六百万为益从之廉并入从方共一千七百六十八万一千二百八十为通法置一自乘再乘以隅因之得四百万为隅法并益隅之廉共九百六十九万八千八百为减实以减通法余七百九十八万二千四百八十为下法与上法相乘除实七亿九千八百二十四万八千实不满法翻减实七亿八千八百四十八万六千四百余九百七十六万一千六百为负积二因乘出从一廉得一千一百三十九万七千六百为益隅之廉 三因乘出从二廉得一千八百万为益从之廉 又三之初商乘从二廉得一十八万为益从次廉 四因隅法得一千六百万为方法 初商自之六因又以隅因得二十四万为上廉 初商四之隅因得一千六百为下廉次商二十 置一于左上为法 置一乘从一廉得一百一十三万九千七百六十并益隅之廉共一千二百五十三万七千三百六十共为益隅置一乘益从次廉得三百六十万 置一自之以乘从二廉得二十四万并二数加入益从之廉共二千一百八十四万为益从 并入从方共三千三百五十二万一千二百八十为通法 置一乘上廉得四百八十万 置一自之以乘下廉得六十四万 置一自乘再乘隅因得三万六千为隅法 并方法上下廉隅法得二千一百四十七万二千 并益隅共三千四百○○万九千三百六十为减实 以减通法不及减反减通法三千三百五十二万一千二百八十余四十八万八千○八十为负法与上法相乘除负积尽后凡言带一廉以二廉益从减从翻法开三乘方法者俱倣此甲乙二人同出北门行至东北隅艮地分路乙往南行一百五十步而立甲又东行连前共二百步望乙与城相叅直问城径释曰此底勾小差股立法测望甲前后共东行底勾也乙往南行小差股也术曰二行相乘又以乙南行乘之得四百五十万为实二行相减以乘乙南行得七千五百二行相乘得三万 二数相并得三万七千五百为法实如法而一得半径又曰二行相乘得三万为实 倍底勾减小差股余二百五十为法乙出东门南行三十步而立甲出北门东行二百步望乙与城相叅直问城径释曰此底勾□股立法测望乙出东门南行□股也甲出北门东行底勾也术曰二行相乘得六千为平实 相减得一百七十为从方作减从翻法开平方法除之得半径减从翻法开平方法见二卷又曰乙南行自之得九百为□股筭以乘东行得一十八万为立实 □股筭为从方 东行内减二之乙南行余一百四十为益廉作带从减益廉翻法开立方法除之得半径带从减益廉翻法开立方曰置所得积一十八万以从方廉约之 初商一百 置一于左上为法置一乘从廉得一万四千置一自之得一万为隅法带从方共一万 九百以减益廉余三千一百为下法与上法相乘除实二十一万实不满法反减实一十八万余一十三万为负积 倍益廉得二万八千三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一乘益廉得二千八百并入倍益廉得三万○八百 置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方从方廉隅共三万七千三百反减益廉三万○八百余六千五百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从减廉翻法开立方法者倣此大差勾与别股测望三甲乙二人俱在城西门南行至西南坤隅分路乙往东行一百九十二步而立甲复南行计前后共四百八十步望乙与城相叅直问城径释曰此大差勾与边股立法测望乙自坤隅东行大差勾也甲自西门往南共行边股也术曰二行相乘得九万二千一百六十 又以乙东行乘之得一千七百六十九万四千七百二十为实二行相减余二百八十八亦以东行乘之得五万五千二百九十六 加二行相乘之数共一十四万七千四百五十六为法实如法而一得半径又曰二行相乘为实 倍甲南行减乙东行余为法甲从城外西南坤隅东行一百九十二步乙从东北艮隅南行一百五十步望甲与城相叅直问城径释曰此大差勾与小差股立法测望甲东行大差勾也乙南行小差股也(与小差勾大差股同)术曰二行相乘倍之即全径筭小差勾与别股立法测望四乙从城外东北艮隅东行八十步甲从城外西北干隅南行六百步见之问城径释曰此小差勾与通股立法测望乙从艮隅东行小差勾也甲从干隅南行通股也(与通勾大差股同法)术曰二行相乘倍之得九万六千为实 二之东行得一百六十为从 作带从开平方法除之得半径带从开平方法见一卷乙从城外东北艮隅往东行八十步甲出西门南行四百八十步见之问城径释曰此小差勾与边股立法测望乙东行小差勾也甲南行边股也术曰二行相乘倍之得七万六千八百为实以乙东行为从作带从开平方法除之得全径带从开平方法见一卷乙从艮隅东行八十步而立甲从城外西南坤隅南行三百六十步见之问城径释曰此以小差勾大差股立法测望乙东行小差勾也甲南行大差股也术曰二行相乘倍之即圆径筭明勾与别股测望五乙出南门东行七十二步而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙与城相叅直问城径释曰此明勾通股立法测望乙出南门东行明勾也甲从干隅南行为通股术曰二行相乘得四万三千二百为实 以甲南行六百为从方 二为隅法作负隅减从开平方法除之得半径负隅减从开平方法见二卷乙出南门东行七十二步而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直问城径释曰此明勾边股立法测望乙东行明勾也甲南行边股也术曰乙东行自之得五千一百八十四为明勾筭以南行乘之得二百四十八万八千三百二十为立方实 明勾筭为从 南行内减二东行余三百三十六为益廉 作带从减廉开立方法除之得半径带从减廉开立方曰置所得立方实以从方从廉约之 初商一百 置一于左上为法 置一乘益廉得三万三千六百 置一自之得一万为隅法带从方共一万五千一百八十四 以减益廉余一万八千四百一十六为下法与上法相乘除实一百八十四万一千六百余实六十四万六千七百二十为次商之实 倍益廉得六万七千二百 三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左上为法 置一乘益廉得六千七百二十加入前倍廉共七万三千九百二十 置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方法从方廉隅共四万一千五百八十四以减益廉余三万二千三百三十六为下法与上法相乘除实尽后凡言带从减廉开立方法者俱倣此又曰明勾边股相乘得三万四千五百六十为实明勾边股相减余四百○八为从方 一虚法作减从开平方除之尤捷甲出南门东行七十二步而立乙出东门南行三十步望乙与城相叅直问城径释曰此明勾□股立法测望甲出南门东行明勾也乙出东门南行□股也术曰二行相乘得二千一百六十为实 相并得一百○二为从 作以从减法开平方除之得半径以从减法翻法开平方曰置实于左从于右 约初商得一百 置一于左上为法 置一为隅法以从减隅隅不及减从内翻减隅一百余二为负从以负从为下法与上法相乘得二百 反増入实内共二千三百六十四为次商之实 倍隅法得二百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一为隅法并廉隅共二百二十 以从减之余一百一十八为下法与上法相乘除实尽后凡如此类者俱倣此通变随宜又术二行相并得一百○二为太虚弦相减余四十二即太虚勾股较 倍弦筭减较筭余一万九千○四十四平方开之得一百三十八为太虚勾股和 加较半之为股减较半之为勾 以太虚勾股求圆径又曰二行相乘倍为实 相减余为从 作带从开平方法除之得虚勾二行相并即虚弦以勾弦求股以得圆径□勾与别股立法测望四乙出东门直行一十六步甲从城外西北干隅南行六百步见之问城径释曰此以□勾通股立法测望乙出东门直行□勾也甲从干隅南行通股也术曰甲南行自之又以乙东行一十六乘之得五百七十六万为立方实 倍东行以乘南行得一万九千二百为从方 二为隅作带从负隅开立方法除之得半径带从负隅开立方法见前通勾明股乙出东门直行一十六步甲出西门南行四百八十步见之问城径释曰此□勾边股立法测望乙出东门直行□勾也甲出西门南行边股也术曰二行相乘得七千六百八十又以南行乘之得三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十四万五千六百为立方实 以东行一十六步为从廉作带从廉开立方法除之得全径带从廉开立方法见前底勾明股条圆城不知周径南门外一百三十五步有树出东门直行一十六步见之问城径释曰此□勾明股立法测望出东门外一十六步为□勾城东之余勾也树在城南一百三十五步为明股城南之余股也以余勾余股测城径术曰余勾余股相乘为勾乘股筭自之得四百六十六万五千六百为三乘方实 勾乘股筭倍之得四千三百二十又以余勾余股并乘之得六十五万二千三百二十为从方 余勾余股相并自之得二万二千八百○一余勾余股相减自之得一万四千一百六十二数相减余八千六百四十为益廉 作带从廉添积开三乘方法除之得半径带从益廉添积开三乘方曰置所得三乘方积以从方廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从益廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十为益积之法与上法相乘得一亿五千一百六十三万二千为益实添入原积共一亿五千六百二十九万七千六百为通实置一自乘再乘得一百万为隅法与上法相乘除实一亿余五千六百二十九万七千六百为次实 二因益廉得一百七十二万八千 四因隅法得四百万为方法 初商自之 六因得六万为上廉 初商四之得四百为下廉 约次商得二十置一于左次为上法 置一乘益廉得一十七万二千八百并前倍廉共一百九十○万○八百 并从方共二百五十五万三千一百二十为益积之法与上法相乘得五千一百○六万二千四百为益实添入次实共一亿○七百三十六万为通实置一乘上廉得一百二十万 置一自之以乘下廉得一十六万置一自乘再乘得八千为隅法并方廉隅共五百三十六万八千为下法与上法相乘除实尽又为带从方廉减隅翻法开三乘方其法曰初商一百 置一于左上为法 置一自乘再乘得一百万为隅法 置一乘从廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十以减隅法不及反减隅法一百余五十一万六千三百二十为负隅与上法相乘得五千一百六十三万二千加原实共五千六百二十九万七千六百为次商之实 四因隅法得四百万为方法初商自之六因得六万为上廉 初商四之得四百为下廉 次商二十置一于左次为上法置一乘上廉得一百二十万置一自之以乘下廉得一十六万 置一自乘再乘得八千为隅法并方法廉隅共五百三十六万八千为通隅 倍初商加次商得二百二十以乘从廉得一百九十○万○八百并从方共二百五十五万三千一百二十以减通隅余二百八十一万四千八百八十为下法与上法相乘除实尽后凡言如此类立法者倣此又术曰以树去南门步自之得一万八千二百二十五为余股筭副置二位一以余股乘之得二百四十六万○三百七十五为余股立筭一以余勾乘之得二十九万一千六百为勾乘股立筭相乘得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实 余勾余股相乘得二千一百六十为勾股相乘筭倍之以乘余股立筭得一百○六亿二千八百八十二万为从方 余勾自之得二百五十六为余勾筭四之以乘余股得一十三万八千二百四十 倍勾乘股立筭得五十八万三千二百 二数相减余四十四万四千九百六十为从二减廉 以勾股相乘筭为隅筭 作从廉减从方负隅开三乘方法除之得八十一为明勾弦较以除明股筭得二百二十五为明勾弦和 加较半之为弦减较半之为勾 勾股相乘倍为实 以较除之得通弦和较通弦和较即城径也从㢘减从方负隅开三乘方曰约初商八十置一于左上为法 置一自之以乘从廉得二十八亿四千七百七十四万四千以减从方余七十七亿八千一百○七万六千 置一自乘再乘得五十一万二千以隅筭因之得一十一亿○五百九十二万为隅法 并从方共八十八亿八千六百九十九万六千为下法与上法相乘除实七千一百○九亿五千九百六十八万余实六十四亿八千五百六十七万为次实 四因隅法得四十四亿二千三百六十八万为方法 初商自之六因又以隅因得八千二百九十四万四千为上廉 初商四之隅因得六十九万一千二百为下廉 约次商得一 置一于左次为上法 倍初商加次商得一百六十一又并初次商为八十一乘之得一万三千○四十一以乘从廉得五十八亿○二百七十二万三千三百六十以减余从余一十九亿七千八百三十五万二千六百四十为从方 置一乘上廉 置一自之以乘下廉俱如旧 置一自乘再乘仍得一为隅法并方法从方廉隅共六十四亿八千五百六十七万为下法与上法相乘除实尽测圆海镜分类释术卷三
## 卷四
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷四元 李 冶 撰明 顾应祥 释术通勾与别弦测望一圆城南门之南有树甲从城外西北干隅东行三百二十步乙出西门南行望树及甲与城相叅直乃斜行二百五十五步至树下问城径释曰此以通勾上高弦立法测望甲东行通勾也乙斜行乃天之日上高弦也乙从西门南行四百八十步为边股树在南门外一百三十五步为明股术曰二行相乘又以半甲东行乘之得一千三百○五万六千为立方实 二行相乘得八万一千六百半甲东行乘甲东行得五万一千二百相并得一十三万二千八百为益从甲东行三百二十为减从廉减从开立方法除之得半径带从以廉减从开立方曰布实于左从于右别置减从廉 约初商得一百 置一于左上为法置一乘从廉得三万二千 以减从方余一十○○八百置一自之得一万并余从共一十一万○八百为下法与上法相乘除实一千一百○八万余一百九十七万六千 倍减廉得六万四千三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法置一乘减廉得六千四百并倍廉共七万○四百以减原从余六万二千四百 置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方廉隅共三万六千四百带余从共九万八千八百为下法与上法相乘除实尽得半径一百二十后凡言带从以廉减从开立方法者倣此甲从城外西北干隅东行三百二十步而立乙出南门直行不知步数望见甲与城相叅直遂斜行四百二十五步与乙相㑹问城径释曰此以通勾底弦立法测望甲东行通勾也乙自南门外斜行就甲为底弦乃日之地也术曰二行相减余一百○五为通勾底弦差以乘通勾得三万三千六百 又以半通勾乘之得五百三十七万六千为立方实 半通勾乘通勾得五万一千二百与差乘通勾之数相减余一万七千六百为从方 倍东行得六百四十步为益廉作带从减益廉开立方法除之带从减益廉开立方法见三卷(明勾边股下)圆城南门外有槐树一株东门外有栁树一株两树斜相距二百八十九步甲从城外西北隅向东行三百二十步望槐栁与城相叅直问城径释曰此以通勾皇极弦立法测望甲东行通勾也两树斜相距皇极弦也原法先求出皇极勾即栁至城心步后以勾弦求股以皇极勾股求容圆即是术曰通勾与皇极弦相乘得九万二千四百八十自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乘方实 皇极弦自乗得八万三千五百二十一为皇极弦筭以通勾乘之得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方 倍通勾皇极弦相乘之数得一十八万四千九百六十为第一从廉 倍皇极弦得五百七十八为第二益廉 以二为隅筭作带从廉负隅以廉隅添积开三乘方法除之得一百三十六为皇极勾求城径以皇极勾弦求皇极股二百五十五 勾股相乘倍为实以弦除之即得容圆全径(勾弦求股见一卷)带从廉负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方积为实 列从方从一廉从二益廉约商首一位得一百置一于左上为法 置一自之以乘益廉得五百七十八万 置一自乘再乘以隅筭因之得二百万为隅法益廉共七百七十八万与上法相乘得七亿七千八百万为益实添入积内共九十三亿三千○五十五万○四百为通实置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从并入从方共七千一百九十四万九千四百四十为下法与上法相乘除实七十一亿九千四百九十四万四千余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉次商三十置一于左次为上法 倍初商加次商得二百三十并初次商为一百三十相乘得二万九千九百又加初商自之一万共三万九千九百以乘从二益廉得二千三百○六万二千二百为益廉之实 置一乘上廉得三百六十万 置一自之得九百以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘得二万七千隅因得五万四千为隅法并方廉隅共一千二百三十七万四千为益隅之实与益廉之实相并得三千五百四十三万六千二百为益积之法与上次法相乘得一十○亿六千三百○八万六千为益积之实添入余实共三十一亿九千八百六十九万二千四百为通实 倍初商加次商得二百三十 以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从并入从方共九千五百九十九万四千二百四十为下法 与上次法相乘除实二十八亿七千九百八十二万七千二百尚余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万 三因下廉得二百一十六万 四因隅法得二十一万六千并入方法共一千七百五十七万六千为方法 并初次商自之 又六因得一十○万一千四百以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 并初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十为下廉 三商得六 置一于左上为法 倍初次商加三商得二百六十六 并初次商加三商得一百三十六 相乘得三万六千一百七十六又以初次商并自之得一万六千九百加之共五万三千○七十六以乘从二益廉得三千○六十七万七千九百二十八为益廉之实 置一乘上廉得一百二十一万六千八百 置一自之以乘下廉得三万七千四百四十相并得一百二十五万四千二百四十为廉法 置一自乘再乘得二百一十六 以隅因之得四百三十二为隅法并方法廉法隅法共一千八百八十三万○六百七十二为益隅之实 并益廉之实共四千九百五十○万八千六百为益积之法 与上法相乘得二亿九千七百○五万一千六百为益积 添入余实共六亿一千五百九十一万六千八百为通实 倍初次商加三商得二百六十六 以乘从一廉四千九百一十九万九千三百六十为益从 并从方共一亿○二百六十五万二千八百为下法与上法六相乘除实尽得一百三十六为皇极勾此法以二廉与隅添积以第一廉益从为法又为带从负隅以廉隅减从开三乘方法其法曰以八十五亿五千二百五十五万○四百为正实 以五千三百四十五万三千四百四十为从方 以一十八万四千九百六十为从一廉以五百七十八为从二减廉 二为隅算 约初商得一百 置一于左上为法 置一自之得一万以乘从二廉得五百七十八万为减廉置一自乘再乘 又以隅因得二百万为隅法 并减廉隅法得七百七十八万为减从 置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从 以益从加入原从得七千一百九十四万九千四百四十以减从减之余六千四百一十六万九千四百四十为下法 与上法相乘除实六十四亿一千六百九十四万四千 余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉 约次商得三十置一于左上为法 倍初商加次商得二百三十 并初次商得一百三十相因得二万九千九百又加初商自乘一万共三万九千九百以乘从二廉得二千三百○六万二千二百为减廉 置一乘上廉得三百六十万 置一自之以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘隅因得五万四千为隅法 并方廉隅共一千二百三十七万四千为减隅 并减廉减隅共三千五百四十三万六千二百为减从 倍初加次商得二百三十以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从以加原从得九千五百九十九万四千二百四十以减从减之余六千○五十五万八千○四十为下法 与上法相乘除实一十八亿一千六百七十四万一千二百 余实三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万三因下廉得二百一十六万四因隅法得二十一万六千并入方法共一千七百五十七万六千为方法 初次商并自之六因又以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 初次商并四之隅因得一千○四十为下廉约三商得六置一于左次为上法 倍初次商加三商得二百六十六 并初次三商共一百三十六相因得三万六千一百七十六又加初次商相并自之一万六千九百共五万三千○七十六以乘从二廉得三千○六十七万七千九百二十八为减廉 置一乘上廉得一百二十一万六千八百 置一自之以乘下廉得三万七千四百四十置一自乘再乘以隅因得四百三十二为隅法并方廉隅共一千八百八十三万○六百七十二为减隅 减廉减隅相和得四千九百五十○万八千六百为减从倍初次加三商得二百六十六以乘从一廉得四千九百一十九万九千三百六十为益从 以加原从得一亿○二百六十五万二千八百 以减从减之余五千三百一十四万四千二百为下法 与上法相乘除实尽此法以第一廉为益从第二廉与隅为减从以从为法后凡如此类者俱倣此圆城南门外往东有树甲从城外西北隅东行三百二十步望树与城叅直复斜行二百七十二步至树下问城径释曰此以通勾黄长弦立法测望南门外往东七十二步有树明勾也甲东行通勾也斜行至树下地之月黄长弦也术曰二行相减余四十八为差 倍差倍东行相乘得六万一千四百四十为实 倍差倍东行步相并得七百三十六为益从 二为隅法 作负隅减从翻法开平方法除之得全径负隅减从翻法开平方法见三卷通勾□股条下前以半径此以全径推广即是丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步望乙丙俱与城相叅直既而乙欲就丙乃斜行一百○二步相㑹问城径释曰此以通勾太虚弦立法测望丙出南门东行七十二为明勾乙出东门南行三十步为□股甲东行通勾也乙斜行太虚弦也以此勾弦立法术曰甲东行自之得一十○万二千四百为东行筭倍斜行乘之得二千○八十八万九千六百为立方实 倍斜行乘东行得数又加倍东行筭得二十七万○○八十为从方四之东行得一千二百八十为益廉 四为隅法 作带从负隅以廉添积开立方法除之得半径带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实于左 以从方益廉隅筭约之 初商一百 置一于左上为法 置一乘益廉得一十二万八千与上法相乘得一千二百八十万为益实 添入积内得三千三百六十八万九千六百为通实 置一自之又以隅筭因之得四万为隅法 并从方共三十一万○○八十为下法与上法相乘除实三千一百○○万八千余实二百六十八万一千六百为次实 二因乘过益廉得二十五万六千为益廉 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为廉法 次商二十 置一于左上为法 置一乘原益廉得二万五千六百并入乘过益廉得二十八万一千六百与上法相乘得五百六十三万二千为益实 添入次实共八百三十一万三千六百为通实 置一乘廉法得六千隅因得二万四千 置一自之隅因得一千六百为隅法 并方廉隅共一十四万五千六百带从方共四十一万五千六百八十为下法与上法相乘除实尽后凡言带从负隅以廉添积开立方法俱倣此又为带从廉半翻法减从负隅开立方法法曰初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉得一十二万八千以减从方余一十四万二千○八十 置一自之隅因得四万为隅法并减余从方共一十八万二千○八十为下法与上法相乘除实一千八百二十○万八千余实二百六十八万一千六百为次商之实 二因从廉得二十五万六千 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一乘从廉得二万五千六百并入前二因从廉得二十八万一千六百 以减从方不及反减从方二十七万○○八十余一万一千五百二十为负从 置一乘廉法以隅因得二万四千 置一自之隅因得一千六百为隅法并方廉隅共一十四万五千六百反减负从余一十三万四千○八十为下法与上法相乘除实尽后凡如此类者俱倣此又术曰斜行乘东行筭半之得五百二十二万二千四百为实 斜行乘东行如东行筭半之得六万七千五百二十为从方 东行三百二十为从廉如前法求之得半径不用隅算 添积减从随意又曰四之斜行以乘东行筭得四千一百七十七万九千二百为正实 倍斜行乘东行加二之东行筭得二十七万○○八十为从方 倍东行得六百四十为从廉 如前法开之得全径二百四十 添积减从俱同乙出城东门上南不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步望乙与城相叅直复斜行一百七十步与乙相㑹问城径释曰此以通勾小差弦立法测望甲东行通勾也斜行小差弦也术曰二行相减余一百五十为差自之得二万二千五百以乘东行得七百二十万为实 倍差以乘东行得九万六千为从方 倍差得三百为隅算 作负隅减从开平方法除之得半径负隅减从开平方法见二卷(通勾□勾条)又术倍东行筭得二十三万四千八百 倍二行相乘数得一十○万八千八百 相减余九万六千为实 倍东行得六百四十为从作减从开平方法除之得全径二百四十减从开平方法曰列实于左从于右 约初商得二百置一于左上为法 置一为隅法以减从方余四百四十为下法与上法相乘除实八万八千余八千为次商之实余从内再减二百余二百四十为从 次商四十 置一于左上为法 置一为隅法以减从方余二百为下法与上法相乘除实尽法见二卷底勾□勾条下因从有重位故重出圆城南门外直南不知步数有槐树一株南门外东行不知步数有栁树一株槐栁斜相距一百五十三步甲从城外西北隅东行三百二十步望槐栁与城相叅直问城径释曰此以通勾明弦立法测望二树斜相距明弦也甲东行通勾也术曰通勾自之得一十○万二千四百为通勾筭二行相乘得四万八千九百六十 又以二数相乘得五十○亿一千三百五十○万四千为三乘方实明弦乘通勾筭三之得四千七百○○万一千六百为从方 倍二行相乘数以减通勾筭余四千四百八十为第一廉 倍通勾得六百四十为第二益廉二步为隅法 作带从负隅以二廉减从方开三乘方法除之得半径带上廉负隅以下廉减从开三乘方法曰置所得三乘方实以㢘隅从方约之初商一百 置一于左上为法 置一自之以乘从二廉得六百四十万为减廉以减从方 余四千○六十○万一千六百为从方 置一乘第一廉得四十四万八千为益廉 置一自乘再乘得一百万又以隅因之得二百万为隅法 并从方益廉隅法共四千三百○四万九千六百为下法与上法相乘除实四十三亿○四百九十六万 余实七亿○八百五十四万四千为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉 约次商得二十 置一于左上为法 倍初商加次商得二百二十以乘从二廉得一十四万○八百并初次商得一百二十因之得一千六百八十九万六千为减廉 以减余从余二千三百七十○万五千六百为从方 倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八万五千六百为益廉置一乘上廉得二百四十万 置一自之以乘下廉得三十二万 置一自乘再乘又以隅因之得一万六千为隅法 并方法从方廉益上下廉隅法共三千五百四十二万七千二百为下法与上法相乘除实尽丙出东门南行乙出东门直行各不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步回望乙丙与城相叅直既而乙欲就丙乃斜行三十四步相㑹问城径释曰此以通勾□弦立法测望甲东行通勾也乙斜行三十四步就丙□弦也术曰通勾自之得一十○万二千四百为通勾筭又以通勾増乘得三千二百七十六万八千 倍□弦乘通勾筭得六百九十六万三千二百 二数相减余二千五百八十○万四千八百为立方实 □弦乘通勾得一万○八百八十以减二之通勾筭得一十九万三千九百二十为从方 通勾加五得四百八十为益廉 五分为隅法 作带从负隅以廉添积开立方法除之得全径带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实及从方益廉 约初商得二百 置一于左上为法置一乘益廉得九万六千与上法相乘得一千九百二十万为益实添入积内得四千五百○○万四千八百为实 置一自之得四万 以隅算五分因之得二万为隅法 并从方共二十一万三千九百二十为下法与上法相乘除实四千二百七十八万四千余实二百二十二万○八百倍益廉得一十九万二千○三因隅法得六万为方法 三因初商得六百以隅因得三百为廉法约商次位得四十 置一于左上为法 置一乘原益廉得一万九千二百 并入倍廉得二十一万一千二百与上法四十相乘得八百四十四万八千为益实加入余实得一千○六十六万八千八百为实 置一乘廉法得一万二千 置一自之隅因得八百为隅法 并方法从方廉隅共二十六万六千七百二十为下法与上法相乘除实尽此法已见前通勾太虚弦条下因隅算不同故又重出又为带从以廉减从负隅开立方法其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从廉得九万六千以减从方余九万七千九百二十为从 置一自之隅因得二万为隅法 并从方共一十一万七千九百二十为下法与上法相乘除实二千三百五十八万四千 余实二百二十二万○八百 从方内再减从廉九万六千余一千九百二十为从方 三因隅法得六万为方法 三因初商隅因得三百为廉法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从廉得一万九千二百 以减余从不及减于从廉内反减余从一千九百二十余一万七千二百八十为负从置一乘廉法得一万二千 置一自之隅因得八百为隅法并方廉隅共七万二千八百反减负从余五万五千五百二十为下法与上法相乘除实尽又术斜步乘东行筭得三百四十八万一千六百为立方实斜步乘东行以减半东行筭得四万○三百二十为从方 半步为隅法 作负隅带从开立方法除之得勾圆差八十步以减通勾即半径负隅带从开立方法见三卷(通勾明股条)东门外不知步数有树甲从城外西北干隅东行三百二十步见之复斜行一百三十六步至树下问城径释曰此以通勾下平弦立法测望甲东行通勾也斜行至树下乃川之地下平弦也术曰二行相减余一百八十四为差 倍差减东行以其余乘东行得一万五千三百六十为实 倍差得三百六十八为从方 二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径减从负隅翻法开平方见三卷(通勾□股条下)底勾与别弦测望二乙从城外西北干隅南行不知步数而立甲出北门东行二百步见之复斜行六百八十步与乙㑹释曰此以底勾通弦测望甲出北门东行二百步底勾也斜行六百八十步通弦也术曰二行相减余四百八十曰差 相并得八百八十曰和 差和相乘得四十二万二千四百减去差筭余一十九万二千为实 差和相并得一千三百六十为从 二为隅算 作带从负隅开平方除之得半径带从负隅开平方法曰置实于左从于右约初商得一百 置一于左上为法 置一乘隅算得二百为隅法 并从方共一千五百六十为下法与上法相乘除实一十五万六千余实三万六千倍隅法得四百为廉法 约次商二十 置一于左上为法置一乘隅算得四十为隅法 并从方廉隅共一千八百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从负隅开平方法者俱倣此又术以差筭二十三万○四百为实以东行步减差余二百八十为从方 作带从开平方法除之得三百六十为通勾弦较以较减弦即通勾以通勾弦求容圆法求之得城径此法以半勾全弦求股以求弦和较勾弦求容圆见一卷南门外不知步数有塔一座东门外往南不知步数有树甲出北门东行二百步望树与塔俱与城相叅直及量树斜距塔二百五十五步释曰此以底勾下高弦立法测望出北门东行二百底勾也塔距树即日之山下高弦也术曰底勾筭与下高弦相乘得一千○二十万为立方实 以底勾筭四万为从方 高弦为从廉 作带从方廉开立方法除之得半径带从方廉开立方曰置实于左以从方从廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉得二万五千五百 置一自之得一万为隅法并从方从廉隅共七万五千五百为下法与上法相乘除实七百五十五万 余实二百六十五万二因从廉得五万一千 三因隅法得三万相并得八万一千为方法 三因初商得三百带从廉得五百五十五为廉法 次商二十 置一于左上为法 置一乘廉法得一万一千一百置一自之得四百为隅法 并方法从方廉隅共一十三万二千五百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从方廉开立方法者俱倣此南门外不知步数有树乙从南门东行亦不知步数而立甲出北门东行二百步望树与乙与城相叅乙复斜行一百五十三步至树下与甲相望问城径释曰此以底勾明弦立法测望甲出北门东行底勾也乙斜行至树下明弦也术曰半底勾乘明弦得一万五千三百为实二行相并半之得一百七十六步半为从方半为隅算 作带从负隅开平方法除之得七十二为明勾带从负隅开平方法见前底勾通股条求城径以明勾乘底勾平方开之得半径又曰勾弦求股以明勾股求容圆法求之得全径东门外往南有树乙出东门直行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与树俱与城相叅直乙遂斜行三十四步至树下释曰此以底勾□弦立法测望甲出北门东行底勾也乙斜行至树下□弦也术曰底勾减二□弦余一百三十二以底勾乘之得二万六千四百 又以□弦筭一千一百五十六乘之得三千○五十一万八千四百为三乘方实 倍底勾以□弦筭乘之得四十六万二千四百为从方底勾减□弦 余自之得二万七千五百五十六为从一廉底勾减□弦余倍之得三百三十二为从二廉 作带从方上廉以下廉减从开三乘方法除之得□股三十求城径以□勾股求容圆法求之带从方廉以下廉减从开三乘方曰约初商得三十 置一于左上为法 置一自之得九百以乘从二廉得二十九万八千八百为减廉以减从方余一十六万三千六百为从方 置一乘第一廉得八十二万六千六百八十为益廉 置一自乘再乘得二万七千为隅法 并从方益廉隅法共一百○一万七千二百八十为下法与上法相乘除实尽得三十为□股后凡如此类者俱倣此乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之乃斜行二百七十二步与乙相㑹释曰此以底勾黄长弦立法测望东行底勾也斜行黄长弦也术曰二行相减余七十二为差以乘甲东行得半径筭四之即全径筭各以平方开之乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步见之斜行一百七十步与乙㑹释曰此以底勾小差弦立法测望乙出东门行三十步乃东之山甲出北门东行底勾也斜行与乙㑹乃山之地小差弦也术曰以二行差三十乘甲东行得六千为平实以斜行一百七十为从方 作减从翻法开平方法除之得半径减从翻法开平方法见二卷及三卷底勾□股条乙出东门东行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城相叅直乃斜行一百三十六步与乙㑹释曰此以底勾下平弦立法测望甲东行底勾也斜行与乙㑹下平弦也术曰倍二行差以减东行步余七十二以乘东行得半径筭倍平弦减底勾以底勾乘之亦同大差勾与别弦测望三乙从城外东北艮隅东行不知步数而立甲从城外西南坤隅东行一百九十二步望乙与城角相叅直复斜行二百七十二步与乙㑹释曰此以大差勾黄长弦立法测望甲从坤隅东行为坤之月大差勾也斜行与乙㑹乃月之地黄长弦也术曰倍大差勾减黄长弦余一百一十二为倍勾减弦差自之得一万二千五百四十四 黄长弦自之得七万三千九百八十四 相减余六万一千四百四十为平实 以倍勾减弦差四之得四百四十八为从 八为益隅 作负隅减法开平方法除之得半径负隅以从减法开平方曰置实于左以从约之初商一百 置一于左上为法 置一乘隅法得八百以减去从方四百四十八余三百五十二为下法与上法相乘除实三万五千二百 余实二万六千二百四十 倍隅法得一千六百为廉法次商二十 置一于左上为法 置一乘隅法得一百六十 并入廉法共一千七百六十减去从方四百四十八余一千三百一十二为下法与上法相乘除实尽后凡言负隅以从减法开平方法者倣此又为以从添积负隅开平方法详见八卷皇极弦和和与太虚勾股较条下明勾与别弦测望四乙出东门不知步数而立甲出南门东行七十二步见之又斜行一百三十六步就乙释曰此以明勾平弦测望甲出南门东行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平弦也术曰斜行自之得一万八千四百九十六为平弦筭二行相减余六十四自之得四千○九十六为差筭即平勾筭以减弦筭余为平股筭开之得股平股即圆半径也乙出东门南行不知步数而立甲出南门往东七十二步见乃斜行一百○二步与乙㑹问城径释曰此以明勾太虚弦立法测望甲出南门东行明勾也斜行就乙太虚弦也术曰二行相减余三十为差斜行自之为斜筭 倍差乘东行又倍之为八千六百四十以减斜筭余一千七百六十四平方开之得四十二为较 倍差乘东行得四千三百二十为实 较为从方 平方开之得四十八为虚勾 加较为股 并弦为弦和和即城径测圆海镜分类释术卷四
## 卷五
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷五元 李 冶 撰明 顾应祥 释术通股与别弦测望一圆城乙出东门东行不知步数而立甲从城外西北干隅南行六百步见之复斜行五百四十四步与乙相㑹释曰此以通股边弦立法测望甲从干隅南行六百步通股也斜行乃天之川边弦也术曰二行相减余五十六为差 差乘南行得三万三千六百又以半南行乘之得一千○○八万为立方实 半南行以乘南行得一十八万与差乘南行相并得二十一万三千六百为从方 倍南行得一千二百为从廉作带从廉减从方翻法开立方法除之得半径带从廉减从翻法开立方曰置所得实于左以从方从廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉得一十二万以减从方余九万三千六百为从 置一自之得一万为隅法并从方共一十○万三千六百为下法 与上法相乘应除实一千○三十六万实不满法反除实一千○○八万余二十八万为负积 倍从廉得二十四万三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商二十 置一于左上为法 置一乘从廉得二万四千并入倍廉共二十六万四千以减从方不及反减从方二十一万三千六百余五万 四百为负从 置一乘廉法得六十 置一自之得四百为隅法 并方廉隅共三万六千四百以减负从余一万四千为下法与上法相乘除实尽 此术改为以从廉添积开立方亦可后凡言带从廉减从方翻法开立方法者俱倣此出城东门外往南有树甲从西北干隅南行六百步见树斜行五百一十步至树下问城径释曰此以通股黄广弦测望南行通股也斜行乃天之山黄广弦也术曰二行相减余九十为差倍差以乘倍南行得二十一万六千为实 差并南行倍之得一千三百八十为从二为隅算 作减从负隅开平方法除之得全径减从负隅开平方法见二卷通勾□勾条又曰倍差乘南行得一十○万八千为实 差并南行共六百九十为从方作减从开平方法除之得全径不用隅算减从开平方法见二卷底勾□勾条出城南门外往东不知步数有树甲从城外西北干隅南行六百步望树与城相叅直乃斜行四百○八步至树下问城径释曰此以通股大差弦立法测望南行通股也斜行乃天之月大差弦也术曰南行自之得三十六万为南行筭两行相乘得二十四万四千八百倍之内减南行筭余一十二万九千六百为实 倍南行得一千二百为从作减从开平方法除之得半径减从开平方法见二卷(底勾□勾条)又术两行相乘得二十四万四千八百以减南行筭余一十一万五千二百为实 二为隅算 作负隅开平方法除之得全径负隅开平方法见一卷(底勾底弦条下)圆城南门外不知步数有树甲从城外西北干隅南行六百步望树与城叅直斜行二百五十五步至树下问城径释曰此以通股上高弦立法测望甲南行为通股斜行为天之日上高弦也术曰二行相减余三百四十五为差倍之减甲南行余九十以乘南行得五万四千为实以倍差六百九十为从方 以二为隅算 作负隅减从开平方法除之得半径负隅减从开平方法见二卷(通勾□勾条)圆城南门外不知步数有槐一株东门外不知步数有栁一株有人从城外西北隅南行六百步望二树与城东南角相叅直其槐栁斜相距二百八十九步问城径释曰此以通股皇极弦立法测望南行为通股二树斜相距步即皇极弦日之川也术曰南行步与二树相距步相乘又自之得三百○○亿六千七百五十六万为三乘方实 通股乘皇极弦筭倍之得一亿○○二十二万五千二百为从方 通股皇极弦相乘倍之得三十四万六千八百为从一廉 倍皇极弦得五百七十八为从二廉 二为隅算 作带从负隅以廉隅添积开三乘方法除之得二百五十五为皇极股求城径以皇极股弦求皇极勾得一百三十六 勾股相乘倍为实以弦除之得容圆全径带从负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方实从方从廉隅算约之 初商二百 置一于左上为法 置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从加从方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法 置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅 置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百万为隅法 并益隅共三千九百一十二万为益积之法以初商因之得七十八亿二千四百万为益实添入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以下法上法相乘除实三百三十九亿一千七百○四万 余三十九亿七千四百五十二万为次商之实 二因益从得一亿三千八百七十二万为益从方 三因益隅得六千九百三十六万为益隅之方 三之初商乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉 四因隅法得六千四百万为方法 初商自之六因又隅因之得四十八万为上廉 初商四之隅因得一千六百为下廉 约次商得五十置一于左上为法 置一乘从廉得一千七百三十六万为益从廉并益从方共一亿五千六百○六万为益从之实加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为下法 置一乘益隅之廉得一千七百三十四万 置一自之以乘从二廉得一百四十四万五千为益隅之隅 并益隅方廉隅共八千八百一十四万五千为益隅之实 置一乘上廉得二千四百万 置一自之以乘下廉得四百万 置一自乘再乘隅因得二十五万为隅法 并方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之实共一亿八千○三十九万五千为益积之法以次商乘之得九十○亿一千九百七十五万为益实 添入余积共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以下法与上法相乘除实一百二十八亿一千四百二十六万余一亿八千○○一万为二商之实 二因益从廉得三千四百六十八万并入益从方得一亿七千三百四十万为益从方 二因益隅之廉得三千四百六十八万三因益隅之隅得四百三十三万五千俱并入益隅方得一亿○八百三十七万五千为益隅方并初次商三之以乘从二廉得四十三万三千五百为益隅之廉 二因上廉得四千八百万三因下廉得一千二百万四因隅法得一百万并入方法共一亿二千五百万为方法 并初次商自之六因又隅因之得七十五万为上廉 并初次商四之隅因得二千为下廉 约三商得五 置一于左上为法 置一乘从一廉得一百七十三万四千为益从廉并益从方得一亿七千五百一十三万四千为益从之实 加入从方共二亿七千五百三十五万九千二百为下法 置一乘益隅之廉得二百一十六万七千五百 置一自之以乘从二廉得一万四千四百五十为益隅之隅并益隅方廉隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅之实 置一乘上廉得三百七十五万 置一自之以乘下廉得五万 置一自乘再乘隅因得二百五十为隅法 并方上下廉隅共一亿二千八百八十○万○二百五十 加益隅之实得二亿三千九百三十五万七千二百为益积之法以三商因之得一十一亿九千六百七十八万六千为益实 添入余积得一十三亿七千六百七十九万六千为通实 下法与上法相乘除尽又为以二廉隅减一廉从方开三乘方其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从方并从方共一亿六千九百五十八万五千二百为从 置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅之实置一自乘再乘隅因得一千六百万为隅法 加益隅之实得三千九百一十二万为减实 以减从余一亿三千○四十六万五千二百为下法与上法相乘除实二百六十○亿九千三百○四万 余三十九亿七千四百五十二万为次商之实二因益从之实得一亿三千八百七十二万为益从方 三因益隅之实得九千六百三十六万为益隅之方三之初商以乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉 初商自之六因又隅因得四十八万为上廉 初商四之隅因得一千六百为下廉 次商五十 置一于左上为法 置一乘从一廉得一千七百三十四万为益从之廉并益从方得一亿五千六百○六万为益从之实加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为从置一乘益隅之廉得一千七百三十四万置一自之以乘从二廉得一百四十四万五千为益隅之隅 并益隅方廉隅共八千八百一十四万五千为益隅之实 置一乘上廉得二千四百万 置一自之以乘下廉得四百万 置一自乘再乘隅因得二十五万为隅法 并方廉隅得九千一百二十五万加益隅之实得一亿八千○三十九万五千为减实 以减从余七千五百八十九万○二百为下法与上法相乘除实三十七亿九千四百五十一万余一亿八千○○一万为三商之实二因益从方廉得三千四百六十八万并入益从方得一亿七千三百四十万为益从方 二因益隅之廉得三千四百六十八万三因益隅之隅得四百三十三万五千俱并入益隅之方得一亿○八百三十七万五千为益隅之方 并初次商三之以乘从二廉得四十三万三千五百为益隅之廉 二因上廉得四千八百万三因下廉得一千二百万四因隅法得一百万并入方法共一亿二千五百万为方法 并初次商自之十二因得七十五万为上廉 并初次商八因得二千为下廉三商得五 置一于左上为法 置一乘从一廉得一百七十三万四千为益从廉并益从方得一亿七千五百一十三万四千为益从之实 加入从方共二亿七千五百三十五万九千二百为从 置一乘益隅之廉得二百一十六万七千五百 置一自之以乘从二廉得一万四千四百五十为益隅之隅 并益隅方廉隅共一亿一千○五十五万六千九百五十为益隅之实 置一乘上廉得三百七十五万 置一自之以乘下廉得五万 置一自乘再乘隅因得二百五十为隅法并方廉隅共一亿二千八百八○万○二百五十 加益隅之实得二亿三千九百三十五万七千二百为减实 以减从余三千六百○○二千为下法与上法相乘除实尽右二法已见四卷通勾皇极弦下因其头绪太繁故重出以便学者丙出南门南行乙出南门东行各不知步数而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙丙悉与城相叅直既而丙欲就乙乃斜行一百五十三步相㑹问城径释曰此以通股明弦立法测望丙出南门而南为明股乙出南门而东为明勾丙之斜行就乙则明弦也甲南行六百通股也术曰通股自之得三十六万为通股筭又以通股乘之得二亿一千六百万 明弦乘通股筭倍之得一亿一千○一十六万 二数相减余一亿○五百八十四万为立方实 倍通股筭得七十二万 明弦通股相乘倍之得一十八万三千六百 二数相减余五十三万六千四百为从方 通股六之得三千六百为从廉 六为隅筭 作带从廉负隅以隅减从开立方法除之得半径带从廉负隅以隅减从开立方曰置所得立实以从方廉约之初商一百 置一于左上为法置一乘从廉得三十六万 置一自之又以隅因之得六万为隅法 以减从方余四十七万六千四百 并从廉共八十三万六千四百为下法与上法相乘除实八千三百六十四万余实二千二百二十万 倍从廉得七十二万 三因隅法得一十八万为方法 三因初商得三百以隅因之得一千八百为廉法 次商二十 置一于左上为法 置一乘从廉得七万二千加入倍廉得七十九万二千 置一自之又隅因得二千四百为隅法 置一乘廉法得三万六千 并方法廉隅共二十一万八千四百以减原从方余三十一万八千 并入从廉共一百一十一万为下法与上法相乘除实尽又为带从方廉负隅以隅添积开立方法其法曰初商一百 置一于左上为法 置一自之以隅因得六万与上法相乘得六百万为益实添入积内共一亿一千一百八十四万为实 置一乘从廉得三十六万并从方共八十九万六千四百为下法与上法相乘除实八千九百六十四万 余实二千二百二十万 三因隅法得一十八万为方法 三因初商以隅因得一千八百为廉法 次商二十 置一于左次为上法 置一乘廉法得三万六千 置一自之隅因得二千四百为隅法 并方廉隅共二十一万八千四百与上法相乘得四百三十六万八千为益实添入余积共二千六百五十六万八千为实 倍初商加次商得二百二十以乘从廉得七十九万二千并从方共一百三十二万八千四百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从廉负隅以隅减从开立方法俱倣此或减从或添积随意又术通股自之得三十六万为通股筭又以斜行乘之得五千五百○八万为立方实 通股明弦相乘得九万一千八百与半通股筭相减余八万八千二百为从方 五分为隅法 作带从负隅开立方法除之得三百六十为股圆差以减通股得城径带从方负隅开立方曰置实于左从于右约初商得三百 置一于左上为法 置一自之得九万以隅算五分因得四万五千为隅法 并从方共一十三万三千二百为下法与上法相乘除实三千九百九十六万余实一千五百一十二万 三因隅法得一十三万五千 并从方共二十二万三千二百为方法 三因初商得九百隅因得四百五十为廉法 次商六十 置一于左上为法置一乘廉法得二万七千 置一自之隅因得一千八百为隅法并方廉隅共二十五万二千为下法与上法相乘除实尽后凡言带从方负隅开立方法者俱倣此丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从城外西北干隅南行六百步望乙丙与城相叅直既而乙欲就内乃斜行一百○二步相㑹问城径释曰此以通股太虚弦立法测望甲南行通股也丙斜行一百○二步就乙太虚弦也术曰南行自之得三十六万为通股筭以斜步乘之得三千六百七十二万倍之得七千三百四十四万为立方实 倍南行乘斜行得一十二万二千四百倍南行筭得七十二万 二数相并得八十四万二千四百为从方 四之南行得二千四百为益廉四步为隅算 作带从负隅以从廉减从方开立方法除之得半径带从负隅以廉减从方开立方法见四卷通勾□弦条下又为带从负隅以廉添积开立方法法见四卷通勾太虚弦条下又术通股筭乘太虚弦倍之得七千三百四十四万为立实 通股虚弦相乘得六万一千二百 加通股筭得四十二万一千二百为从方 以通股六百为益廉 五分为隅算 作带从负隅以廉减从开立方法除之得全径法与前同或减从或添积随意东门外往南不知步数有石柱一个乙出东门直行不知步数而立甲从城外西北干隅南行六百步望石柱与乙与城相叅直乙乃斜行三十四步至石柱下问城径释曰此以通股□弦立法测望甲南行通股也乙斜行□弦也术曰通股□弦相乘得二万○四百 又以通股筭三十六万乘之得七十三亿四千四百万为三乘方实 □弦乘通股筭三之得三千六百七十二万为从方 通股筭内减去两个通股□弦相乘之数余三十一万九千二百为从一廉 倍通股得一千二百为第二廉 二为隅算 作带从方廉负隅以二廉减从开三乘方法除之得半径带从方廉负隅以二廉减从开三乘方曰置所得三乘方实以从方廉隅算约之 初商一百 置一于左上为法 置一自之以乘二廉得一千二百万为减廉以减从方余二千四百七十二万为从方 置一乘从一廉得三千一百九十二万为益廉 置一自乘再乘又以隅法因之得二百万为隅法 并从方益廉隅法得五千八百六十四万为下法与上法相乘除实五十八亿六千四百万 余实一十四亿八千万 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二万为上廉 初商四之又以隅因之得八百为下廉 约次商得二十 置一于左次为上法倍初商加次商得二百二十以乘二廉得二十六万四千又并初次商得一百二十因之得三千一百六十八万为减廉以减余从不及减反减余从二千四百七十二万 余六百九十六万为负从倍初商加次商为二百二十以乘从一廉得七千○二十二万四千为益廉 置一乘上廉得二百四十万 置一自之以乘下廉得三十二万置一自乘再乘又以隅因之得一万六千为隅法并方法益廉上下廉隅法共八千○九十六万减去负从六百九十六万余七千四百万为下法与上法相乘除实尽此术已见四卷通勾明弦条下因后有翻减从不同故重出又为带从方负隅以二廉添积开三乘方如前约初商一百 置一于左上为法 置一自之以乘从二廉得一千二百万 与上法相乘得一十二亿为益积添入原积共八十五亿四千四百万为实 置一乘从一廉得三千一百九十二万为益廉 置一自乘再乘又以隅算因之得二百万为隅法 并从方益廉隅法共七千○六十四万为下法与上法相乘除实七十○亿六千四百万 余实一十四亿八千万倍益廉得六千三百八十四万 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又隅因得一十二万为上廉 初商四之又隅因得八百为下廉 约次商得二十置一于左次为上法 倍初商加次商为二百二十并初次商得一百二十相因得二万六千四百又加初商自之一万共三万六千四百以乘从二廉得四千三百六十八万与上法相乘得八亿七千三百六十万为益实添入余积共二十三亿五千三百六十万为实 置一乘从一廉得六百三十八万四千并倍益廉共七千○二十二万四千置一乘上廉得二百四十万 置一自之以乘下廉得三十二万 置一自乘再乘以乘隅算得一万六千为隅法并方法从方益廉上下廉隅法共一亿一千七百六十八万为下法与上法相乘除实尽又术曰半通股筭以乘通股筭得六百四十八亿为三乘方实 通股自乘再乘得二亿一千六百万□弦乘通股筭得一千二百二十四万倍得二千四百四十八万 二数相并得二亿四千○四十八万为从方 □弦乘通股倍之为四万○八百以减通股筭余三十一万九千二百为从一廉 以通股六百为从二廉 半步为隅算 作带从廉负隅减从以二廉益从开三乘方法除之得三百六十为股圆差以减通股即圆径带一廉负隅减从以二廉益从开三乘方曰置所得三乘方实以从方廉隅约之 初商三百 置一于左上为法 置一乘从一廉得九千五百七十六万为益隅之廉 置一自乘再乘以隅算半步因得一千三百五十万为隅法算并益隅之廉共一亿○九百二十六万以减从方余一亿三千一百二十二万为从 置一自之得九万以乘从二廉得五千四百万为益从 并入余从共一亿八千五百二十二万为下法与上法三百相乘除实五百五十五亿六千六百万 余实九十二亿三千四百万 倍益隅之廉得一亿九千一百五十二万 四因隅法得五千四百万为方法 初商自之六因又以隅算因之得二十七万为上廉初商四之又以隅算因之得六百为下廉 约次商得六十 置一于左次为上法 置一乘从一廉得一千九百一十五万二千 并入倍益隅之廉得二亿一千○六十七万二千为益廉置一乘上廉得一千六百二十万 置一自之以乘下廉得二百一十六万 置一自乘再乘又以隅因之得一十○万八千 并方法廉隅共七千二百四十六万八千加益廉得二亿八千三百一十四万以减原从不及翻减从方二亿四千○四十八万余四千二百六十六万为负从 倍初商加次商得六百六十并次商得三百六十相因得二十三万七千六百又加初商自之九万共三十二万七千二百以乘二廉得一亿九千六百五十六万减去负从四千二百六十六万余一亿五千三百九十万为下法与上次法六十相乘除余实尽若不翻减乘出二廉并从方以从一廉隅法减之亦是东门外不知步数有树甲从城外西北干隅南行六百步立定乙出北门东行斜望树及甲与城相叅直遂斜行一百三十六步至树下问城径释曰此以通股下平弦立法测望甲南行通股也乙之斜行下平弦也术曰通股平弦相乘得八万一千六百 又以半通股乘之得二千四百四十八万为立方实 半通股乘通股得一十八万并通股平弦相乘之数得二十六万一千六百为从方 六百为从廉 作以从廉减从开立方法除之得半径带从以廉减从开立方法见四卷通勾上高弦条下边股与别弦测望二乙从城外西北干隅东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直复斜行六百八十步与乙相㑹问城径释曰此以边股通弦立法测望甲出西门南行边股也斜行通弦也术曰二行相减余二百为差 相并得一千一百六十为和 以差乘和减去差筭四万余一十九万二千为实 和差相并得一千三百六十为从方 二为隅法作带从负隅开平方法除之得半径带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直又斜行四百○八步与乙相㑹问城径释曰此以边股大差弦立法测望甲出西门南行边股也又斜行就乙乃天之月大差弦也术曰二行相减余七十二为差以乘甲南行得三万四千五百六十为实 以斜行四百○八步为益从方作减从开平方法除之得半径减从开平方法曰初商一百 置一于左上为法置一减从方余三百○八为下法与上法相乘除实三万○八百 余实三千七百六十 从方内再减一百 商次位得二十 置一于左次为上法 置一减余从 余一百八十八为下法与上法相乘除实尽此法已见二卷底勾□勾下因从有重位故重出乙出南门直行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直复斜行二百五十五步与乙㑹问城径释曰此以边股上高弦立法测望甲出西门南行边股也斜行就乙乃天之日上高弦也术曰倍斜行减南行余三十以乘南行得半径筭又曰斜行减南行余自之得五万○六百二十五为上高股筭斜行自之为弦筭二筭相减开其余亦半径南门外往南不知步数有树乙出南门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与树正与城相叅直乙乃斜行一百五十三步至树下问城径释曰此以边股明弦立法测望甲出西门南行边股也乙斜行至树下明弦也术曰边股内减二明弦余一百七十四以乘边股得八万三千五百二十 明弦自之得二万三千四百○九 二数相乘得一十九亿五千五百一十一万九千六百八十为三乘方实 边股乘明弦筭倍之得二千二百四十七万二千六百四十为从方 边股减明弦余自之得一十○万六千九百二十九为从一廉 边股减明弦余倍之得六百五十四为从二廉 作带从益廉以二廉减从开三乘方法除之得明勾七十二以勾弦求股得一百三十五以明勾股求容圆术求之得城径带从益廉以二廉减从开三乘方曰以所得三乘方实以从方廉约之初商七十 置一于左上为法 置一自之以乘二廉得三百二十○万四千六百为减从之廉以减从方余一千九百二十六万八千○四十为从 置一乘一廉得七百四十八万五千○三十为益从之廉 置一自乘再乘得三十四万三千为隅法 并从方益廉隅法共二千七百○九万六千○七十为下法与上法相乘除实一十八亿九千六百七十二万四千九百余实五千八百三十九万四千七百八十为次商之实 四因隅法得一百三十七万二千为方法初商自之六因得二万九千四百为上廉 初商四之得二百八十为下廉 次商得二 置一于左上为法 倍初商加次商得一百四十二以乘二廉得九万二千八百六十八 又并初次商得七十二因之得六百六十八万六千四百九十六为减从以减余从尚余一千二百五十八万一千五百四十四为从方 倍初商加次商得一百四十二以乘从一廉得一千五百一十八万三千九百一十八为益从廉 置一乘上廉得五万八千八百 置一自之以乘下廉得一千一百二十置一自乘再乘得八为隅法 并方法从方益廉上下廉隅法共二千九百一十九万七千三百九十为下法与上法相乘除实尽此法已见四卷底勾□弦条因此有重位故重出又为带从方廉以二廉添积开三乘方法 法以类推东门之南不知步数有树乙出东门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望树与乙与城相叅直乙复斜行三十四步至树下问城径释曰此以边股□弦立法测望甲出西门南行边股也乙斜行至树□弦也术曰半□弦乘边股得八千一百六十为实□弦边股和半之得二百五十七为带从方半步为隅法以带从负隅开平方法求得□股三十 以□股乘边股即半径筭带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条乙出东门南行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与城相叅直复斜行五百一十步㑹乙问城径释曰此以边股黄广弦立法测望甲出西门南行边股也斜行乃天之山黄广弦也术曰斜行减南行余三十为差差乘南行即半径筭东门外不知步数有树乙从城外西北干隅东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步见乙与树与城相叅直既而乙斜行一百三十六步至树下问城径释曰此以边股下平弦立法测望甲出西门南行边股也乙斜行至树下为川之地下平弦也术曰边股自之得二十三万○四百为筭 以平弦乘之得三千一百三十三万四千四百为立方实以边股筭为从方 平弦为从廉作带从方廉开立方法除之得半径带从方廉开立方法见四卷底勾下高弦条下小差股与别弦测望三甲从城外西南坤隅复往南行不知步数而立乙从城外东北艮隅南行一百五十步望见之乃斜行五百一十步就乙相㑹问城径释曰此以小差股黄广弦立法测望乙从艮隅南行小差股也斜行与甲㑹黄广弦也术曰斜行自之得二十六万○一百为黄广弦筭倍南行以减斜行余二百一十自之得四万四千一百○二数相减余二十一万六千为实 倍南行以减斜行 余四之得八百四十为从 八为隅筭作带从负隅开平方法除之得半径带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条下□股与别弦测望四甲出南门南行不知逺近而立乙出东门南行三十步见之却斜行二百五十五步与甲同立问城径释曰此以□股下高弦立法测望乙南行□股也斜行至甲处乃日之山下高弦也术曰斜行自之得六万五千○二十五为高弦筭斜行减南行余二百二十五自之得五万○六百二十五即高股筭 二筭相减余一万四千四百即高勾筭 即半径筭甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行三十步见之遂斜行一百○二步与甲㑹问城径释曰此以□股太虚弦立法测望乙出东门南行□股也斜行就甲太虚弦也术曰二行相减余七十二为差以乘南行 又四之得八千六百四十 斜行自之得一万○四百○四为虚弦筭 二数相并得一万九千○四十四为平实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加斜步即城径又曰倍虚筭减平实平实即和筭也余一千七百六十四平方开之得较四十二减和半之为勾加和半之为股以虚勾股求容圆亦通测圆海镜分类释术卷五
## 卷六
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷六元 李 冶 撰明 顾应祥 释术勾与和测望一甲乙俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行三百二十步见之甲又斜行与相会计甲直行斜行共一千二百八十步问城径释曰此通勾与通股弦和测望乙东行通勾也甲直斜共行通股弦和也术曰勾自之得一十○万二千四百 以和除之得八十为股弦较 以较减和半之为股 以勾股求容圆术求之得城径又曰勾和各自乘相减为实倍和除之得股相并为实倍和除之得弦邉勾以下俱以类推即是乙出东门南行丙出南门东行各不知步数而立只云丙行多于乙步甲从干隅东行三百二十步望乙丙与城相叅直计乙丙共行一百○二步问城径释曰此以通勾与明勾□股和测望甲东行通勾也乙出东门南行为□股丙出南门东行为明勾共计一百○二步明勾□股和也术曰倍共步乘东行筭得二千○八十八万九千六百为立方实 共步乘东行加东行筭得一十三万五千○四十为从方 东行为从亷 五分为隅算作带从负隅以亷减从开立方法除之得全径带从负隅以亷减从半翻法开立方曰置所得实以从方约之初商二百 置一于左上为法 置一乘从亷得六万四千以减从方存七万一千○四十为从 置一自之得四万以隅算五分因之得二万为隅法 并从共九万一千○四十为下法与上法相乘除实一千八百二十○万八千余实二百六十八万一千六百 从方内再减六万四千止余七千○四十为从三因隅法得六万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十置一于左次为上法 置一乘从亷得一万二千八百以减余从不及减反减余从七千○四十余五千七百六十为负从 置一乘亷法以隅因得一万二千 置一自之隅因得八百为隅法 并方亷隅共七万二千八百减去负从余六万七千○四十为下法与上法相乘除实尽法已见四卷通勾太虚弦条因以五分为隅故重出又为带从负隅以亷添积开立方法法见四卷通勾虚弦条下乙出东门东行丙出南门南行各不知步数而立甲从干隅东行三百二十步望乙丙二人俱与城相参直计乙丙共行一百五十一步问城径释曰此以通勾与□勾明股和立法测望甲东行通勾乙东行□勾丙南行明股也术曰通勾自之得一十万○二千四百半之得五万一千二百又自之得二十六亿二千一百四十四万为三乘方实以三百六十二乘半通勾筭得一千八百五十三万四千四百为从方 通勾乘和步得四万八千三百二十为从一亷 五之通勾得一千六百为从二亷 二分五厘为常法作带从方亷三乘方法开之得八十为小差小差者通股弦较也以减通勾即城径带从方亷负隅单位开三乘方曰置所得三乘方实以亷隅约之 商得八十置一于左上为法置一乘从一亷得三百八十六万五千六百置一自之以乘从二亷得一千○二十四万 置一自乘再得五十一万二千以二分五厘因之得一十二万八千为隅法 并从方一亷二亷隅法得三千二百七十六万八千为下法与上法相乘除实尽东门外徃南有树乙出东门徃东不知步数而立甲出北门东行二百步斜望乙与树正与城相叅直既而乙复折而斜行至树下与甲相望计乙直行斜行共五十步释曰此以底勾与□勾弦和立法测望甲出北门东行底勾也乙一直一斜□勾□弦也术曰底勾与和相减余一百五十为差 差加底勾复以差乘之得数半之得二万六千二百五十 差自之得二万二千五百 二数相减余三千七百五十为实 并勾和半之得一百二十五为法实如法而得一南门外往东不知步数有树乙出南门南行不知步数而立甲出北门东行二百步见树与乙与城相叅直乙复斜行至树下与甲相望计乙一直一斜共二百八十八步问城径释曰此以底勾与眀股弦和立法测望甲出北门东行底勾也乙出南门南行明股也斜行明弦也术曰勾和相减余半之得四十四为半差 以减底勾余一百五十六为汛率泛率自之又倍之得四万八千六百七十二半差乘和步得一万二千六百七十二 二数相减余三万六千为实 半底勾减和步得一百八十八 倍泛率得三百一十二 二数相并得五百为法实如法而一得明勾勾与较测望二甲乙俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行三百二十步见之甲又斜行与乙相㑹计甲直行不及斜行八十步释曰此以通勾与股弦较测望乙东行通勾也甲直行不及斜行股弦较也术曰较除勾筭得一千二百八十为股弦和减较半之为股加较半之为弦邉勾以下俱即此类推股与和测望三甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行六百步而立乙东行不知步数见之又斜行与甲相㑹计乙直斜共行一千步问城径释曰此以通股勾弦和测望甲南行通股也乙直东行与斜行共勾弦和也术曰股自之得三十六万 和除之得三百六十为勾弦较 减和半之为勾 加和半之为弦邉股以下推此甲从干隅南行六百步而立乙出南门直行丙出东门直行三人相望俱与城相叅直计其行步则乙与丙共行一百五十一步释曰此以通股□勾明股和立法测望甲行通股乙行眀股丙行□勾也共之和也术曰通股为筭半而自之得三百二十四亿为三乘方实倍和加通股以乘半通股筭得一亿六千二百三十六万为从方 通股乘和步得九万○六百为从一亷 通股加半股得九百为从二亷 二分五厘为隅算作带从方亷负隅以二亷减从翻法开三乘方法除之得三百六十为股圆差 以减通股即圆径带从方亷负隅以二亷减从翻法开三乘方曰置所得三乘方实以从方亷隅约之初商三百 置一于左上为法 置一自之以乘二亷得八千一百万以减从方余八千一百三十六万 置一乘从一亷得二千七百一十八万 置一自乘再乘以隅算二分五厘因之得六百七十五万为隅法 并从方从一亷隅法共一亿一千五百二十九万为下法 与上法相乘除实三百四十五亿八千七百万实不满法反减实三百二十四亿余二十一亿八千七百万为负积 四因隅法得二千七百万为方法初商自之六因又以隅因之得一十三万五千为上亷 初商四之隅因之得三百为下亷 商次位得六十 置一于左次为上法 倍初商加次商得六百六十以乘从二亷得五十九万四千又并初次商得三百六十因得二亿四千三百八十四万以减余从亦不及减反减从八千一百三十六万余一亿三千二百四十八万为负从 置一倍初商加次商得六百六十以乘从一亷得五千九百七十九万六千 置一乘上亷得八百一十万 置一自之以乘下亷得一百○八万 置一自乘再乘隅因之得五万四千为隅法 并方法从一亷上下亷隅法共九千六百○三万 以减负从余三千六百四十五万与上次法除负积二十一亿八千七百万又为带从方负隅以二亷添积开三乘方其法曰初商三百 置一于左上为法 置一自之以乘从二亷得八千一百万与上法相乘得二百四十三亿为益实加入原实共五百六十七亿为实 置一乘从一亷得二千七百一十八万为益亷 置一自乘再乘得二千七百万以隅算二分五厘因之得六百七十五万为隅法 并从方从益亷隅法共一亿九千六百二十九万为下法与上法相乘除实五百八十八亿八千七百万实不满法反除实五百六十七亿余二十一亿八千七百万为负积 四因隅法得二千七百万为方法初商自之六因又以隅因之得一十三万五千为上亷 初商四之隅因得三百为下亷 次商六十 置一于左次为上法 置一倍初商加次商得六百六十又并初次商相因得三百六十得二十三万七千六百 又加初商自之九万共三十二万七千六百以乘从二亷得二亿九千四百八十四万与上次法六十相乘得一百七十六亿九千○四十万减去负积存一百五十五亿○三百四十万为实 倍初加次共六百六十以乘从一亷得五千九百七十九万六千为益从亷 置一乘上亷得八百一十万置一自之以乘下亷得一百○八万 置一自乘再乘隅因得五万四千为隅法 并方法益亷上下亷隅法共九千六百○三万 并从方共二亿五千八百三十九万为下法与上法相乘除实尽右开三乘方内俱带翻法后如此类者倣此南门之东不知步数有树乙出南门南行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望乙与树俱与城相叅直乙复斜行至树下与甲相望计乙直行斜行共二百八十八步问城径释曰此以邉股及明股弦和立法测望甲出西门南行邉股也乙出南门直行明股斜行至树明弦也共步明股弦和也术曰股和相减余一百九十二为差 加股复以差乘之折半得六万四千五百一十二差自之得三万六千八百六十四 二数相减余二万七千六百四十八为实 并股和半之得三百八十四为法 实如法而一得明勾七十二以明勾股求圎径东门外往南有树乙出东门东行不知步数而立甲出西门南行四百八十步望树与乙俱与城相叅直既而乙斜行至树下与甲相望计乙直斜行共五十步释曰此以邉股及□勾弦和立法测望甲出西门南行邉股也乙直行□勾斜行□弦也术曰股和相并半之得二百六十五为汛率以泛率减邉股余二百一十五自之得四万六千二百二十五 和步乘泛率得一万三千二百五十半之得六千六百二十五 二数相减余三万九千六百为平实 以泛率减邉股六之得一千二百九十为从方作带从开平方法开之得□股三十𢃄从开平方法见一卷股与较测望四甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行六百步而立乙东行不知步数见之又斜行与甲相㑹计乙行直步不及斜三百六十步问城径释曰此以通股勾弦较测望甲南行通股也乙东行不及斜行勾弦较也术曰股自乘较除之得勾弦利减较半之为勾加较半之为弦邉股以下推此弦与和测望五甲乙二人俱在城外西北干隅乙向南行不知步数而立甲向东行亦不知步数望见之遂斜行六百八十步与乙㑹计甲之东与乙之南共九百二十步问城径释曰此以通弦与勾股和测望甲斜行与乙㑹弦也甲之东为勾乙之南为股共步和也术曰倍弦筭与和筭相减余为实平方开之得勾股较减和半之为勾加和半之为股邉弦以下推此甲从北门向东直行庚从西门穿城东行丙从西门向南直行壬从北门穿城南行四人遥相望悉与城相叅直只云甲丙相望处斜量六百八十步庚壬穿城共行了六百三十一步问城径释曰此通弦与邉勾底股和立法测望甲丙相望通弦也庚从西门穿城东行邉勾也壬从北门穿城南行底股也共步和也术曰共步自之得三十九万八千一百六十一为和筭共步减相望处步余自之得二千四百○一为差筭 差筭减和筭余三十九万五千七百六十为平实 倍斜步加差四十九共一千四百○九为从作带从开平方法除之得全径带从开平方法见一卷甲乙二人共立于城外东北艮隅乙南行过城门而立甲东行望乙与城相叅直而止丙丁二人共立于城外西南坤隅丁向东过城门而立丙向南行望丁及甲乙悉与城相叅直丙复斜行六百八十步与甲相㑹计乙之南与丁之东共三百四十二步问城径释曰此通弦与大差勾小差股和立法测望乙从艮隅而南过城门而立山之艮小差股也以甲东行为勾丁从坤隅东行过城门而立坤之月大差勾也以丙南行为股丙斜行与甲相会通弦也乙丁直行共步大差勾与小差股和也术曰斜步共步相乘倍之得四十六万五千一百二十为实 斜步共步相减余三百三十八为差 倍斜行加差共一千六百九十八为从 作带从开平法除之得全径带从开平方法见前甲出东门东行乙出南门南行各不知步数相望与城相叅直甲复斜行二百八十九步与乙相㑹乙直行长甲直行短共计一百五十一步问城径释曰此以皇极弦□勾明股和立法测望甲东行为□勾乙南行为明股甲之斜行皇极弦也术曰斜行自之得八万三千五百二十一为弦筭共步自之得二万二千八百○一为和筭 和筭减弦筭余六万○七百二十为实 倍共步减斜行余一十三步为从 作带从开平方法除之得全径带从开平方法见前甲乙二人同出东门甲东行乙南行丙丁二人同出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望悉与城相叅直问其步数则曰甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百○二步问城径释曰此太虚弦与□勾明股和立法测望甲出东门直行为□勾而乙南行为股丙出南门南行为明股而丁东行为勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太虚弦也术曰共步相距步相减余四十九为差 自之得二千四百○一为差筭 共步自之得二万二千八百○一为和筭 差筭减和筭余二万○四百为实倍距步减差余一百五十五为从 作以从减法开平方法除之得全径以从减法开平方法见前又为以从添积开平方其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从得三万一千为益积 添入原积共五万一千四百为实 置一为隅法与上法相乘除实四万余实一万一千四百 倍隅法得四百为亷法次商四十 置一于左上为法 置一乘从方得六千二百为益实 添入余积共一万七千六百为实 置一并亷法共四百四十为下法与上法相乘除实尽后凡言以从添积开平方法俱倣此岀南门向东有槐树出东门向南有栁树丙丁俱出南门丙直往南丁往东至槐树下立甲乙俱出东门甲直往东乙往南至桞树下立四人遥相望见各不知歩数只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十六步其甲丙立处相距二百八十九步问城径释曰此以皇极弦与明勾股和□勾股和立法测望槐在南门之东为南之月明勾也丁直行往南为日之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在东门之南为山之东□股也甲直行往东为东之川□勾也共行四十六步□勾股和也甲丙立处相距为日川皇极弦也术曰二和相减余以减相距余半之得六十四为平勾 以加二和相减为平股 相乘为实平方开之即半径又曰二和相并以减相距余半之得一十八为泛率加明和为长加□和为广长广相乘得半径筭南门之东有槐东门之南有栁丙出南门直行丁出南门东至槐下甲出东门直行乙出东门南至栁下相望俱与城相叅直计丙南丁东共行二百○七步甲东乙南共行四十六步其二树相距一百○二步问城径释曰此与前问同前以逺相距言此以近相距言近相距太虚弦也以太虚弦与明叀二和立法测望术曰叀和乘虚弦又自之得二千二百○一万四千八百六十四为平实 并二和自之得六万四千○○九为二和筭 □和自之得二千一百一十六为□和筭 明和自之得四万二千八百四十九为明和筭 并明和筭叀和筭以减二和筭 余一万九千○四十四为益隅作负隅开平方法除之得叀弦倍弦筭与和筭相减开其余得叀勾股较加和半之为股减和半之为勾负隅开平方曰置所得平实以益隅约之初商三十 置一于左上为法 置一乘益隅得五十七万一千三百二十为下法与上法相乘除实一千七百一十三万九千六百 余实四百八十七万五千二百六十四 倍下法得一百一十四万二千六百四十为亷法 约次商得四 置一于左上为法 置一乘益隅得七万六千一百七十六并入亷法共一百二十一万八千八百一十六为下法与上法相乘除实尽此法已见一卷底勾弦条下因隅算多故重出又曰隅算除平实即得叀弦筭又曰明和乘虚弦又自之得四亿四千五百八十○万○○九百九十六为平实 如前法为负隅平方开之得明弦 若以益隅除平实径得明弦筭又术虚弦自之得一万○四百○四为虚弦筭 以叀和乘之得四十七万八千五百八十四为平实倍明和得四百一十四为益隅开之得叀弦 若以益隅除平实径得叀弦筭虚弦自之以明和乘之得二百一十五万三千六百二十八为平实 倍叀和为益隅开之得明弦 若以益隅除平实径得明弦筭三位负隅开平方曰置平实四亿四千五百八十○万○九百九十六于左 以益隅一万九千○四十四约之 初商一百置一于左上为法 置一于右下乘益隅得一百九十○万四千四百为下法与上法相乘除实一亿九千○四十四万余实二亿五千五百三十六万○九百九十六倍下法得三百八十○万八千八百为亷法 次商五十 置一于左上为法 置一乘益隅得九十五万二千二百为隅法 并亷法共四百七十六万一千为下法 与上次相乘除实二亿三千八百○五万 余实一千七百三十一万○九百九十六 倍隅法得一百九十○万四千四百并入亷法共五百七十一万三千二百为亷法约三商得三 置一于左为法 置一右下乘益隅得五万七千一百三十二为隅法 并入亷法共五百七十七万○三百三十二为下法与上法相乘除实尽弦与较测望六甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲东行各不知步数隔城相望既而甲斜行六百八十步与丙相㑹问其东行步数则曰我少于丙南行二百八十步问城径释曰此通弦与通勾股较立法测望甲东行为勾丙南行为股甲少于丙步数勾股较也斜行弦也术曰弦自乘倍之得九十二万四千八百较自乘得七万八千四百相减余八十四万六千四百为实平方开之得勾股和九百二十加较半之为股减较半之为勾又曰弦较相减得四百为弦较较 相并得九百六十为弦较和 弦较较弦较和相乘得三十八万四千为实 倍较得五百六十为从 二为隅筭 作以从减法负隅开平方法除之得通股 作带从负隅开平方法除之得通勾带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条带从负隅以从减隅开平方法见四卷大差勾黄长弦条下又为以从添积负隅开平方以六百乘从益实倍六百得一千二百为法即是邉弦以下类推乙出东门南行不知步数而立甲出西门直徃南行回望乙与城相叅直又斜行五百一十步与乙相㑹问乙行步则曰少于城径二百一十步不知城径㡬何释曰此黄广弦与叀股黄广勾较立法测望乙出东门南行为叀股城径即黄广勾少于城径即叀股黄广勾较也斜行黄广弦也术曰较自之得四万四千一百为较筭以为实 斜歩四之减二较余一千六百二十为从 五为隅算作负隅减从开平方法除之得叀股三十加较为黄广勾即城径负隅减从开平方法见二卷通勾叀勾条乙出南门东行不知步数而立甲出北门直徃东行望乙与城相叅直又斜行二百七十二歩与乙相㑹问乙东行步则曰少于城径一百六十八步不知城径㡬何释曰此黄长弦与明勾黄长股较立法测望乙出南门东行为明勾城径即黄长股少于城径即明勾黄长股较也斜行黄长弦也术曰较自之得二万八千二百二十四为实四斜行减二较余七百五十二为从方五为隅算作负隅减从开平方法除之得明勾七十二加较为黄长股即城径负隅减从开平方法见二卷测圆海镜分类释术卷六
## 卷七
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷七元 李 冶 撰明 顾应祥 释术通勾股和与别勾股弦测望一丙从城西门穿城东行二百五十六步而立丁从城北门穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲向东乙向南各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直只云甲东乙南共步九百二十问城径释曰此以通勾股和与邉勾底股立法测望甲东行为勾乙南行为股共步为通勾股和丙穿城东行邉勾丁穿城南行底股也术曰丙东行自之得六万五千五百三十六为邉勾筭 丁南行自之得一十四万○六百二十五为底股筭 相并得二十○万六千一百六十一为二筭和 倍邉勾底股和与通勾股和相减余三百四十二又减于邉勾底股和余二百八十九自之得八万三千五百二十一 以减二筭和余一十二万二千六百四十为平实 以邉勾底股和六百三十一为从 半步为隅算作负隅减从开平方法除之得全径负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条丙出东门不知步数而立丁出南门不知步数而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各立定四人遥相望俱与城相叅直既而丁从立处向东北斜行四百二十五步与甲㑹丙从立处向西南斜行五百四十四步与乙㑹问甲乙行步则曰共行九百二十问城径释曰此通勾股和与邉弦底弦立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十通勾股和也丙从丁处斜行就甲底弦也丁从立处斜行就乙邉弦也术曰二弦相减余自之得一万四千一百六十一为实 二弦相并减共行步余四十九为法实如法而一得二百八十九减法为全径丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向东北斜行二百七十二步与甲会丁从立处向东南斜行五百一十步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二十步不知城径㡬何释曰此通勾股和与黄广弦黄长弦立法测望甲东行为勾乙南行为股共行九百二十步为通勾股和也丙之就甲黄长弦也丁之就乙黄广弦也术曰并二弦以减通勾股和余一百三十八为差以并二弦乘差得一十○万七千九百一十六为实又以差加通勾股和得一千○五十八为法实如法而一得一百○二为太虚弦加差为全径丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向西南斜行四百○八步与乙会丁从立处向东北斜行一百七十步与甲会问甲乙行步则曰共行九百二十不知城径㡬何释曰此通勾股和与大差弦小差弦立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共歩和也丙就乙大差弦也丁斜就甲小差弦也术曰二弦相并共五百七十八为二弦和以减通和余三百四十二为中率 以乘通和倍之得六十二万九千二百八十为实 三之通和得二千七百六十 加中率得三千一百○二为从 二为隅算作负隅减从开平方除之得全径负隅减从开平方法见二卷通勾股和与诸和较立法测望二甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行四人遥相望而立俱与城相叅直既而甲还至艮隅复南行一横一直共行二百三十步与乙会丙还至坤隅复东行一横一直共行五百五十二步与丁㑹问城径释曰此通勾股和与大差勾股和小差勾股和立法测望甲东行为勾丙南行为股共行九百二十步通勾股和也甲还至艮为小差勾复南行与乙会为小差股共行二百三十步小差勾股和也丙还至坤为大差股东行与丁会为大差勾共行五百五十二大差勾股和也术曰二差勾股和相并得七百八十二为大小差和和以减通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○万七千九百一十六为平实 以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八为法实如法而一得一百○二为虚弦加虚和即城径又曰并二差和减通和得一百三十八为虚勾股和二差和相减余三百二十二乘之得四万四千四百三十六如前术得一千○五十八为法除之得四十二为虚勾股较 以加和半之为股减和半之为勾甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行各不知步数而立与甲丙共四人遥相望俱与城相叅直既而乙复向东北斜行与甲㑹丁复向西南斜行与丙会问其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我东行不及斜行二百一十六步问城径释曰此通勾股和与大差勾弦较小差股弦较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共行九百二十步通勾股和也乙从艮隅南行为小差股斜行就甲为小差弦不及二十步小差股弦较也丁从坤隅东行为大差勾斜行就丙为大差弦不及二百一十六步大差勾弦较也术曰以小差股弦较减通和余九百步复以二十步乘之得一万八千于上 又以大差勾弦较减九百余六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五万六千为立实 三因小差股弦较得六十以减通和余八百六十于上 以半之大差勾弦较一百○八减三百四十二余二百三十四乘上位得二十○万一千二百四十为从方 以大差勾弦较减通和余七百○四 三之小差股弦较减通和余八百六十 相并得一千五百六十四于上 又以大差勾弦较并三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六减去小差股弦较二十余一千○九十六以减上位余四百六十八为益亷 四为常法作负隅带亷减从开立方法除之得一百五十为小差股加较为弦 弦较各自乘相减开其余为勾负隅带益亷减从开立方曰初商一百 置一于左上为法 置一乘益亷得四万六千八百 置一自之得一万以隅法因之得四万为隅法 并益亷共八万六千八百以减从方余一十一万四千四百四十为下法与上法相乘除实一千一百四十四万四千实不满法反除实六百一十五万六千 余五百二十八万八千为负积 倍益亷得九万三千六百 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为亷法 次商五十 置一于左上为法 置一乘从亷得二万三千四百并入倍亷共一十一万七千为益亷 置一乘亷法得一万五千隅因得六万 置一自之得二千五百隅因得一万为隅法并方亷隅共一十九万加益亷共三十○万七千以减从方不及减反减从方二十○万一千二百四十余一十○万五千七百六十为负从与上法相乘除负积尽此法虽已见前因有翻法故重出又为带从负隅添积开立方法甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙出东门东行丁出南门南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙从立处斜行与甲会丁从立处斜行与丙㑹以二斜行相和共三百九十一步相较得一百一十九步问城径释曰此通勾股和与上高下平弦和上高下平弦较立法测望甲东行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平弦丁斜就丙上高弦共步和也相较较也术曰二弦和自之得一十五万二千八百八十一为和筭 二弦较自之得一万四千一百六十一为较筭 较筭减弦筭余半之得六万九千三百六十为实 以二弦和减通和余五百二十九为从 作减从开平方法除之得二百四十为全径减从开平方法见二卷底勾□勾条又曰和较相并半为高弦相减半之为平弦甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外东南巽隅乙北行丁西行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行至丁立处相㑹问其行步则曰乙直行比丁直行较多其多步与斜行步相并共一百四十四步相减余六十步问城径释曰此通勾股和与太虚弦较和弦较较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共步通勾股和也乙从巽隅北行乃㢲之山与月之泛同太虚股也丁从巽隅西行乃㢲之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚弦也乙直行多于丁直行数太虚勾股较也以多步并斜行一百四十四弦较和也多歩减斜行六十弦较较也术曰弦较较减弦较和余半之得四十二为太虚勾股较 以减弦较和得弦自之得一万○四百○四倍之减较自乘一千七百六十四余一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加较半之为股减较半之为勾通勾弦和与诸和较测望三甲丙二人俱在城外西北干隅甲直往东丙直往南乙丁二人俱在城之南门乙向东行丁向南行俱不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲向西南斜至丙立处乙亦斜行至丁立处问其行步则甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步问城径释曰此以通勾弦和明勾弦和立法测望甲在干往东为通勾斜行就丙为通弦直斜共步勾弦和也乙在南门东行为明勾斜行就丁为明弦直斜共步勾弦和也术曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九万○六百二十五为平实 乙共歩自之得五万○六百二十五为从 甲共步一千为隅算 作负隅以从减法开平方法除之得明股一百三十五负隅以从减法开平方曰置实以从隅约之 初商一百 置一于左上为法 置一乘隅算得一十万减去从方 余四万九千三百七十五为下法与上法相乘除实四百九十三万七千五百余实六百四十五万三千一百二十五为次实下法再加十万共一十四万九千三百七十五为方法次商三十 置一于左次为上法 置一乘隅算得三万并入方法共一十七万九千三百七十五为下法与上法相乘除实五百三十八万一千二百五十余实一百○七万一千八百七十五为次实 下法内再加三万共二十○万九千三百七十五为方法 次商五 置一于左次为上法 置一乘隅算得五千并入方法共二十一万四千三百七十五为下法相乘除实尽得明股一百三十五明股自之以勾弦和除之得勾弦较八十一加和半之为股减和半之为勾负隅以从减法开平方已见四卷大差勾黄长弦下因此法有三位故重出而小变之又为以从添积开平方其法曰初商一百置一于左上为法 置一乘从得五百○六万二千五百为益积添积共一千六百四十五万三千一百二十五为实 置一乘隅得一十万与上法相乘除实一千万余实六百四十五万三千一百二十五 倍隅法得二十万为方法约次商三十 置一于左次为上法 置一乘从得一百五十一万八千七百五十为益实 添余积共七百九十七万一千八百七十五为实 置一乘隅得三万并方法共二十三万为下法与上法相乘除实六百九十万 余实一百○七万一千八百七十五 下法内再加三万共二十六万为方法 次商五 置一于左上为法置一乘从方得二十五万三千一百二十五为益积 添入余积共一百三十二万五千为实 置一乘隅得五千并方法共二十六万五千为下法与上法相乘除实尽法已见前卷甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步问城径释曰此通勾弦和与□勾弦和立法测望甲东行为通勾斜行就丙为通弦共步和也乙出东门而东□勾也斜行就丁□弦也和为共步术曰通勾弦和内减二之□勾弦和余九百为泛率泛率自之得八十一万半之得四十○万五千 □勾弦和乘泛率得四万五千二数相并得四十五万为平实 二十二乘泛率得一万九千八百 四十二乘□和得二千一百减泛率得一千二百 二数相并得二万一千为益从 四之□勾弦和得二百为隅法作负隅减从开平方法除之得□股三十负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立遥望与城相叅直既而甲复向西南斜行与丙相会问其行步甲一直一斜共一千步甲斜直相较与甲之斜丙之直相较共四百四十步问城径释曰此通勾弦和与勾弦较股弦较和立法测望甲东行为通勾丙南行为通股甲斜行为通弦一直一斜勾弦和也直斜相较为勾弦较甲斜丙直相较为股弦较两相较共四百四十步二较和也术曰以二较和减勾弦和余五百六十半之自乘得七万八千四百为平实 以和一千为从方 二分五厘为常法 作减从开平方法开之得八十为小差勾负隅减从开平方法见二卷又曰以二较和减勾弦和余五百六十自之得三十一万三千六百为平实 四之勾弦和得四千为从方 作减从开平方除之得八十不用负隅通股弦和与诸和较测望四甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出南门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步则甲之斜与丙之直共一千二百八十步乙之斜与丁之直共二百八十八步问城径释曰此通股弦和与明股弦和立法测望甲东行为通勾丙南行通股也甲斜行与丙㑹通弦也甲之斜丙之直共步通股弦和也乙出南门东行为明勾丁南行明股也乙斜行与丁会明弦也乙之斜丁之直共步明股弦和也术曰二和相减余九百九十二 以明和乘之得二十八万五千六百九十六减明和筭余二十○万二千七百五十二半之得一十○万一千三百七十六为泛率 以五万七千六百乘泛率得五十八亿三千九百二十五万七千六百为平实 通和加二之明和又半之得九百二十八为次率 次率乘泛率得九千四百○七万六千九百二十八 明和乘泛率得二千九百一十九万六千二百八十八 二数相减余六千四百八十八万○六百四十为从方次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十三万五千九百○四 二数相减余二十二万五千二百八十为隅法 作带从平方开之得明勾七十二 勾自乘和除之得股弦较以加和半之为弦减和半之为股带从隅开平方曰置实从隅约之初商七十置一于左上为法 置一乘负隅得一千五百七十六万九千六百为隅法并从方共八千○六十五万○二百四十为下法 与上法相乘除实五十六亿四千五百五十一万六千八百余一亿九千三百七十四万○八百为次实 二因隅法得三千一百五十三万九千二百为亷法 次商二置一于左上为法 置一乘隅法得四十五万○五百六十为隅法并从方亷法共九千六百八十七万○四百为下法与上法相乘此条平实原系一百○二亿七千七百○九万三千三百七十六数多故减之甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出城东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而丙复斜行与甲相㑹丁亦斜行与乙相㑹问其行步则曰丙一直一斜共一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步问城径释曰此通股弦和与□股弦和立法测望甲东行为通勾丙南行通股也丙又斜行与甲会通弦也一直一斜共步通股弦和也乙出东门为□勾丁南行□股也丁又斜行与乙会□弦也一直一斜共步□股弦和也术曰二共步相乘得八万一千九百二十为平实以通股弦和一千二百八十为从 以□和除通和得二十为泛率减一自之得三百六十一 倍泛率减一得三十九相并共得四百为隅算作以从减泛负隅开平方法除之得□勾一十六步 勾自乘得二百五十六以□勾股和除之得□股弦较四加和半之为弦减和半之为股负隅以从减法开平方见四卷大差勾黄长弦条又为以从添积开平方法通弦和和与诸和较测望五甲乙同在城外西北干隅甲南行较逺乙东行较近隔城斜望与城相叅直甲复向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十歩问城径释曰此通弦和和与股弦较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行与乙相会为通弦二人共行一千六百步通弦和和也甲南行不及斜行八十步股弦较也术曰四之股弦较以减弦和和余自之得一百六十三万八千四百 股弦较自之得六千四百义十八因之得一十一万五千二百 相减余一百五十二万三千二百为平实○四之弦和和得六千四百减十六较加十八较得六千五百六十为从 四为隅法作负隅减从开平方法除之得勾股较二百八十加股弦较即勾弦较三百六十 股弦较乘勾弦较倍为实平方开之得弦和较二百四十负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条甲乙同在干隅甲南行乙东行隔城相望与城叅直甲向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步乙东行不及甲斜行三百六十步问城径释曰此通弦和和与勾弦较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行为通弦共行一千六百步通弦和和也乙东行不及甲斜行勾弦较也术曰倍较以较乘之得二十五万九千二百又九之得二百三十三万二千八百寄于左 倍较以加和得二千三百二十 倍较以减倍和得二千四百八十 二数相减余一百六十为泛率自之得二万五千六百以减左位余二百三十○万七千二百为平实 十八因较得六千四百八十减四泛率得七千一百二十为从方 四为隅筭作带从负隅开平方法除之得二百八十为勾股较 以减勾弦较余八十为股弦较 勾弦较乘股弦较倍之为实平方开之得弦和较带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条甲乙二人俱在干隅甲南行乙东行遥相望与城相叅直甲复向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步乙东行不及甲南行二百八十步问城径释曰此通弦和和与勾股较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行与乙会为通弦共行一千六百步通弦和和也乙东行不及甲南行二百八十步勾股较也术曰并和较自之得三百五十三万四千四百 和较相减自之得一百七十四万二千四百 二数相并共五百二十七万六千八百为平实 四之和步得六千四百为从 二为隅法 作带从负隅开平方法除之得六百八十为通弦减较得勾带从负隅开平方法见四卷底勾通弦条甲乙二人俱在干隅甲南行乙东行遥相望与城相叅直甲复向东北斜行与乙会二人共行一千六百步甲南行不及斜行与乙东行不及甲斜行共四百四十步问城径释曰此通弦和和与勾弦较股弦较并立法测望二人共步通弦和和也甲南行不及斜行为股弦较乙东行不及斜行为勾弦较共四百四十步勾弦较与股弦较并也术曰并和及二差并以三归之即通弦甲乙二人俱在干隅甲南行逺乙东行近遥相望与城相叅直既而甲复向东北斜行与乙会二人共行一千六百步甲南行不及斜行乙东行不及甲南行乙东行不及甲斜行三事共七百二十步问城径释曰此通弦和和与勾股较勾弦较股弦较并立法测望甲南行通股斜行通弦乙东行通勾共一千六百步通弦和和也乙东行不及甲南行为勾股较不及甲斜行为勾弦较甲南行不及斜行为股弦较三较相并共七百二十术曰三较和半之自乘又三之得三十八万八千八百减弦和和余三十八万七千二百为平实 倍弦和和半三较和五之 二数相倂得五千为从 二为隅算作负隅减从开平方法除之得股弦较八十负隅减从开平方见二卷通勾□勾条通弦和和与别弦测望六甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱在城中心乙穿城往东门外丁穿城往南门外直行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而丙向东北斜行与甲会甲东行与丙一南一斜共一千六百步丁亦从南门外立处斜行二百八十九步与乙会问城径释曰此通弦和和与皇极弦立法测望甲东行通勾丙南行通股斜行通弦共步弦和和也乙从城心出东门为皇极勾丁从城心出南门为皇极股丁斜行会乙则皇极弦也术曰以皇极弦乘通弦和和平方开之即通弦甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙出东门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步则曰甲一东一斜与丙之南共一千六百步乙斜行一百○二步问城径释曰此通弦和和与太虚弦立法测望甲东行为通勾斜行为通弦丙南行为通股共步一千六百通弦和和也乙斜行与丁会即月之山太虚弦也术曰半乙斜行以乘甲丙共步得八万一千六百为实 以共步一千六百为从 四为隅算作负隅减从翻法开平方法除之得三百四十为半通弦倍之以减弦和和余九百二十为勾股和再减通弦即弦和较负隅减从翻法开平方曰置所得平实以从约之初商三百置一于左上为法置一隅因得一千二百为隅法以减从方余四百为下法与上法相乘得一十二万除实不足反减实八万一千六百余三万八千四百为负积 倍隅法得二千四百为亷法 次商四十置一于左上为法 置一隅因得一百六十为隅法并亷法共二千五百六十减从不足反减从一千六百余九百六十为下法与上法相乘除实尽得半通弦三百四十后凡言负隅减从开平方法俱倣此测圆海镜分类释术卷七
## 卷八
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷八元 李 冶 撰明 顾应〔？〕 释术诸和立法测望一甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直既而相会各言步数甲云我与乙共行了三百九十二步丙云我与丁共行了六百三十步问城径释曰此通勾明勾和与通股□股和立法测望甲从干东行为通勾乙从南门外东行为明勾共行三百九十二步通勾明勾和也丙从干隅南行为通股丁出东门南行为□股共行六百三十步通股□股和也术曰甲乙共步自之得一十五万三千六百六十四为通勾明勾和筭丙丁共步自之得三十九万六千九百为通股□股和筭 二筭相乘得六百○九亿八千九百二十四万一千六百为三乘方实 丙丁共步互乘通勾明勾和筭得九千六百八十○万八千三百二十 甲乙共步互乘通股□股和筭得一亿五千五百五十八万四千八百 二数相并得二亿五千二百三十九万三千一百二十为从方 又以二筭相并得五十五万○五百六十四步以七分半因之得四十一万二千九百二十三 二共步相乘得二十四万六千九百六十 二数相减余一十六万五千九百六十三为从一亷 二共步相并得一千○二十二以七分半因之得七百六十六步半为第二亷 以七分半因七分半得五分六厘二毫五丝以减全步余四分三厘七毫五丝为隅筭作带从方亷隅以二亷减从开三乘方法除之得全径带从方亷隅筭以二亷减从开三乘方曰置所得三乘方实以亷隅约之 初商二百置一于左上为法置一自之得四万以乘从二亷得三千○六十六万以减从方余二亿二千一百七十三万三千一百二十为从 置一乘从一亷得三千三百一十九万二千六百 置一自乘再乘得八百万以隅筭因之得三百五十万为隅法 并从方从亷隅法共二亿五千八百四十二万五千七百二十为下法与上法相乘除实五百一十六亿八千五百一十四万四千余实九十三亿○四百○九万七千六百为次商之实四因隅法得一千四百万为方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十○万五千为上亷 初商四之又以隅筭因之得三百五十为下亷 约次商得四十置一于左上为法倍初商加次商得四百四十以乘从二亷得三十三万七千二百六十又并初次商得二百四十因之得八千○九十四万二千四百为减亷以减余从余一亿四千○七十九万○七百二十为从 倍初商加次商得四百四十以乘从一亷得七千三百○二万三千七百二十为益亷 置一乘上亷得四百二十万 置一自之以乘下亷得五十六万 置一自乘再乘得六万四千又以隅筭因之得二万八千为隅法并方法从方益亷上下亷隅法共二亿三千二百六十○万二千四百四十为下法与上法相乘除实尽又为带从方亷隅以二亷添积开三乘方法甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行与甲会丙复斜行与丁会问其行步乙云我一直一斜共六十四步丙云我一直一斜共二百八十八步问城径释曰此明股弦和与□股弦和立法测望甲出东门东行为□勾乙南行为□股斜行会甲为□弦共行六十四步股弦和也丁出南门东行为明勾丙南行为股斜行会丁为弦共行三百八十八歩股弦和也术曰二和相乘得一万八千四百三十二为二和相乘筭 □和自之得四千○九十六为□和筭 倍之以减二和相乘筭余一万○二百四十为实 一十四乘□和得八百九十六 以二十为隅筭作带从负隅开平方法除之得一十六为□勾 勾自乘和除之得股弦较四 加和半之为弦减和半之为股十四即□勾股较二十即□弦较较带从负隅开平方法见二卷底勾通弦条甲乙二人俱出东门甲东行乙南行丙丁二人俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与乙会丁复斜行与丙会询其行步甲云我直斜共五十步丁云我直斜共二百二十五步问城径释曰此明勾弦和与□勾弦和立法测望甲出东门直行为□勾斜行就乙为□弦共歩和也丁出南门东行为明勾斜行就丙为明弦共步和也术曰以丁共步自之得五万○六百二十五为明和筭 又自之得二十五亿六千二百八十九万○六百二十五于上 二共步相乘得一万一千二百五十半之得二亿八千四百七十六万五千六百二十五以减上位余二十二亿七千八百一十二万五千为平实 二共步相减余一百七十五为二和差以乘明和筭倍之得一千七百七十一万八千七百五十于上 倍甲共步得一百以乘明和筭又半之得二百五十三万一千二百五十并上共二千○二十五万为从 以二行相减差自之得三万○六百二十五于上 又以二共步相乘数半得五千六百二十五减上位余二万五千为隅法作负隅减从开平方法除之得明股负隅减从开平方法曰初商一百置一于左上为法置一乘隅法得二百五十万以减从方余一千七百七十五万为下法与上法相乘除实一十七亿七千五百万余实五亿○三百一十二万五千为实余从内再减二百五十万余一千五百二十五万为从 次商三十 置一于左上为法置一乘隅法得七十五万以减从方余一千四百五十万与上法相乘除实四亿三千五百万余实六千八百一十二万五千为实 余从内再减七十五万余一千三百七十五万为从 次商五 置一于左上为法 置一乘隅法得一十二万五千以减余从余一千三百六十二万五千为下法 与上法相乘除实尽负隅减从开平方法已见二卷通勾□勾下因有三位故重出明股与勾弦和求勾弦股自乘和除之得勾弦较减和半之为勾加和半之为弦甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲乙共四十六步丙丁共二百○七步问城径释曰此明勾股和与□勾股和立法测望甲东行□勾乙南行□股丁出南门东行明勾丙南行明股甲乙共步□勾股和也丙丁共步明勾股和也术曰二共步相并得二百五十三自之得六万四千○○九 二共步相乘四之得三万八千○八十八二数相减余二万五千九百二十一为实 二共步相并以六步半因之得一千六百四十四步半二共步相并以四步半因之又四之得四千五百五十四步 二数相并得六千一百九十八步半为从方 以七十○步四分三厘七毫五丝为隅法作负隅带从开平方法除之得四步为□股弦较负隅带从开平方法曰置实从方隅约之商得四置一于左上为法 置一乘隅得二百八十一步七分五厘带从方共六千四百八十○步二分五厘与上法相乘除实尽又曰副置二和以约分法约之得二十三为平率以除明和得九除□和得二 二和相减余一百六十一以平率除之得七为较率九因得明较六十三二因得□较一十四以较加和半之为股减和半之为勾甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步甲与丁共八十八步乙与丙共一百六十五步问城径释曰此明勾□勾和与明股□股和立法测望甲出东门东行为□勾丁出南门东行为明勾共行八十八步二勾和也乙出东门南行为□股丙出南门南行为明股共行一百六十五步二股和也术曰二和相减约得一十一相平为垒率以除勾和得八为勾率 除股和得一十五为股率勾股相并得二十三为和率相减得七为较率勾股求弦得一十七为弦率以勾减弦得九为大差率大差者勾弦较也以股减弦得二为小差率小差者股弦较也六为黄方率各以垒率乘二和共得二百五十三二较共得七十七二弦共得一百八十七二黄方共得六十六二大差共得九十九二小差共得二十二四差共一百二十一 二大差共与二小差共相乘得二千一百七十八为实 四差共为法除之得一十八即半虚黄方倍之加二黄共得一百○二即明勾□股共也减二弦共得一百五十一即明股□勾共也二数相减余四十九即明较□较较也名为旁差旁差减二弦共余一百三十八为太虚和 加虚弦即城径虚弦与明勾□股共同数又曰虚黄方加二和共得二百八十九减旁差即城径甲丙二人俱从城中心甲东行出城直行丙南行出城直行乙丁二人俱在城外东南巽隅乙西行丁北行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行则甲东丙南共三百九十一步乙西丁北共一百三十八步问城径释曰此皇极勾股和与太虚勾股和立法测望甲从城心东行至川一百三十六为皇极勾丙从城心南行至日二百五十五步为皇极股共步勾股和也乙从巽隅西行至月四十八步即泛之山为太虚勾丁从巽隅北行九十步至山即月之泛为太虚股共步勾股和也术曰二和相乘得五万三千九百五十八为实相并得五百二十九为法实如法而一得太虚弦一百○二圆城西门外往南二百五十五步有塔甲乙二人俱在塔下甲南行乙东行丙丁二人俱在城外东北艮隅丙东行丁南行戊巳二人俱出南门戊南行巳东行庚辛二人俱出东门庚东行辛南行各不知步数而八人遥相望俱与城相叅直问其行步则乙之东不及甲之南与丙之东不及丁之南二不及数共一百六十一步己之东不及戊之南庚之东不及辛之南二不及数共七十七步问城径释曰此上高勾股较下平勾股较和与明勾股较□勾股较和立法测望西门外往南有塔乃西之旦与日之心同甲乙从塔下分行甲往东乃旦之日为上高勾乙复往南即天之旦为上高股勾不及股一百○五为高差丙丁从城外东北艮隅分行丙往东乃艮之地为下平勾丁往南即山之东为下平股勾不及股五十六为平差二不及共数高差平差和也戊己从南门分行己往东乃南之月为明勾戊往南即日之南为明股勾不及股六十三步为明差庚辛从东门分行庚往东乃东之川为□勾辛往南即山之东为□股勾不及股一十四步为□差二不及共步明差□差和也诸和与较参互立法测望二南门外不知步数有槐一株甲从城外西北干隅直往东行至一栁树下望见槐树遂斜行至槐自云我直斜共行了七百四十五步乙从城外西南坤隅南行望见槐栁与城相参直亦斜行至槐自云我斜行不及直行一百○五步释曰此通勾底弦和与大差股上高弦较立法测望南门有槐乃日之南为明股甲从干东行至栁乃干之地为通勾斜行至槐下乃日之地为底弦共行七百四十五步者通勾底弦和也乙从坤隅南行至望处乃天之坤为大差股亦斜行至槐乃天之日为上高弦不及直行一百○五步者大差股上高弦较也术曰甲知步内减乙较步半之为通勾加乙较步半之为底弦用通勾底弦测城径法求之得半径又曰四较步乘通勾筭得四千三百○○八千为立实 倍通勾乘通勾得二十○万四千八百 四较乘通勾得一十三万四千四百 相减余七万○四百为从方 四之通勾得一千二百八十为益亷作带从减廉开立方法除之得全径带从减从亷开立方曰列置所得立实方亷初商二百置一于左上为法 置一乘从亷得二十五万六千 置一自之得四万为隅法并从方共一十一万○四百以减从亷余一十四万五千六百为下法 与上法相乘除实二千九百一十二万余一千三百八十八万○八千为次实 倍从亷得五十一万二千 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得五万一千二百并入倍亷共五十六万三千二百为益亷 置一乘亷法得二万四千 置一自之得一千六百为隅法 并方法从方亷隅共二十一万六千以减益亷余三十四万七千二百与上法相乘除实尽诸和与较参互立法三圆城西门外直上南有栁树一株东门外往东有槐树一株俱不知步数甲从城外西北干隅南行至栁树下望见槐树又斜行至槐树下直斜共行了一千一百四十四步乙从城外东北艮隅东行望槐柳与城相叅直复斜行至槐树下与甲㑹乙东行不及斜行五十六步问城径释曰此通股边弦和与小差勾下平弦较立法测望甲从干隅南行至柳下为通股斜行至槐为边弦共行一千一百四十四步通股边弦和也乙从艮隅东行乃艮之地为小差勾斜行至槐乃地之川为下平弦不及五十六步小差勾与下平弦较也术曰如乙直行不及斜行五十六即甲斜行不及直行差也副置甲共步其一加五十六而半之得甲直行六百步为通股其一减五十六而半之得甲斜行五百四十四步为边弦以五十六乘甲南行又倍南行得一千二百乘之得四千○三十二万为立方实 又以五十六乘南行倍之得六万七千二百 半甲南行乘二之甲南行得三十六万相并得四十二万七千二百为从方倍南行得一千二百为从亷 五分为隅法作从负隅以亷减从翻法开立方法除之得全径带从负隅以亷减从翻法开立方曰置所得立方实以从方亷隅约之初商二百 置一于左上为法置一乘从亷得二十四万以减从方余一十八万七千二百为从 置一自之得四万隅因得二万并从方共二十○万七千二百为下法与上法相乘除实四千一百四十四万实不满法反除实四千○三十二万余一百一十二万为负积 余从内再减从亷二十四万亦不及减反减余从一十八万七千二百余五万二千八百为负从 三因隅法得六万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得四万八千反并负从得一十○万○八百俱为负从 置一乘亷法隅因得一万二千置一自之隅因得八百为隅法 并方亷隅共七万二千八百反减负从余二万八千为下法四千相乘除实尽此法已见四卷通勾□弦条因用法不同故重出又为带从负隅以亷添积开立方亦可甲出南门东行乙出东门南行各不知步数而立相望与城相参直既而乙复斜行与甲㑹计乙行步一直一斜共一百三十二步直行不及斜行七十二步问城径释曰此□股虚弦和与□股虚弦较立法测望甲出南门东行为明勾七十二乙出东门南行为□股三十斜行与甲㑹为太虚弦一百 二直行不及斜行七十二为□股虚弦较适与明勾同数直斜相并则□股虚弦和也即两个乙南行一个甲东行去共二数相并即两个虚弦相减即两个乙南行也术曰倍不及得一百四十四以不及减共步余六十乘之得八千六百四十为实 四之不及得二百八十八为法除之得乙直行三十为□股以减共步余为虚弦求城径倍虚弦筭减和筭余为实平方开之即太虚较四十二加和半之为股减和半之为勾以虚勾股求容圆即得又为带从负隅以亷添积开立方法甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行相望与城相叅直乙复斜行与甲㑹二人共行了二百○四步甲东行不及共步一百三十二步释曰此明勾□股太虚弦和又与明勾相较立法测望甲出南门东行七十二步为明勾乙出东门南行三十步为□股斜行一百○二步与甲会为太虚弦共步明勾□股太虚弦和也甲行不及共步和与明勾相较之数也术曰以不及减共步余七十二为明勾即甲东行步半共步减明勾余三十为□股即乙南行步 半共步得一百○二为太虚弦即乙斜行步 乙南行减甲东行余四十二即太虚较 较自之与弦自之相减余为实 平方开之即勾股和 加较半之为股减较半之为勾以虚勾股求容圆得城径圆城南门之东有槐一株东门之南有柳一株甲出南门直行往南乙出东门直行往东各不知步数而立相望槐柳俱与城相叅直甲复向东北斜行至槐树下乙复向西南斜行至柳树下问其行步则甲直斜共行二百八十八步乙直斜共行五十步甲直行乙直行相并多于槐柳相距四十九步问城径释曰此明股弦和□勾弦和又明股□勾和与太虚弦较立法测望槐在南门之东七十二步为明勾甲出南门直行为明股斜行至槐柳下为明弦共行二百八十八步明股弦和也柳在东门之南三十步为□股乙出东门直行为□勾斜行至柳树下为□弦共行五十步为□勾弦和也槐柳斜相距一百○二步为太虚弦甲直行与乙直行相并得一百五十一步为明股□勾和多于虚弦四十九步是明股□勾和与太虚弦较也术曰二和相并减二之多于太虚弦步即城径又曰二和相乘即半径筭圆城中心往南有大石塔一座城外东北艮隅往东有小石塔一座东门外正东有柳树一株东门外往南有大槐树一株其大槐树正与城中大石塔相对不差尺寸南门往东有榆树一株甲从石塔下起程出南门直行往南不知步数而立乙从东门起程直行至柳树下折而北至小石塔下又往东不知步数而立望柳槐榆与甲立处俱与城相叅直问其步数则曰甲从南门至立处乙从东门至柳树下相并多于榆槐斜相距四十九步石塔穿城至甲立处多于石塔与槐相距栁树北往小石塔步数多小石塔下复往东步数二较相并一百六十一步问城径释曰此明股□勾和与太虚弦较下髙勾股较与下平勾股较和立法测望南门外往东有榆乃南之月为明勾甲出南门复南行为明股东门外往南有槐乃山之东为□股乙从东至柳乃东之川为□勾榆与槐斜相距乃月之山为太虚弦甲南门至立处乙东门至栁下共步为明股□勾和多于槐榆相距四十九步乃明股□勾和与太虚弦较也城中有大石塔至南门外甲立处乃日之朱为下髙股塔距槐乃朱之山为下髙勾甲穿城南行步多于塔去槐步乃下髙勾股较也城东柳树北至小石塔乃川之夕为平股石塔复东行至立处乃夕之地为下平勾南行多于东行步下平勾股较也二较相并一百六十一步髙差平差和也术曰二数相减半之又自之得三千一百三十六为实 以四十九为法除之得平勾六十四又曰二数相减余自之得一万二千五百四十四为实如四十九而一得平股弦和二百五十六勾自之和除之得平股弦较一十六加和半之为弦减和半之为股城心上南有大石塔城南门往东有榆一株东门往南有大槐一株与城中石塔东西相对东门直东有栁一株城外东北艮隅往东有小石塔与城东栁树南北相对甲从城中塔下起程穿城出城直往南不知步数而立乙从东门起程直行至柳树下折而北往小石塔下又往东亦不知步数望甲与柳槐榆俱与城相参直甲复斜行向东北直至柳树下问其行步则曰甲从大石塔穿城南行立处多于大石塔与槐相去步数乙从栁树北行至小石塔多于从石塔东行步数二较相并共一百六十一步甲从南起程至立处多于南门距榆树步数东门南至槐多于东至栁步数二较相并共七十七步斜行至栁下多于城径四十九步问城径释曰此髙较平较和与明较□较和并皇极弦与城径较立法测望甲从城中石塔下穿城往南而立乃日之朱下髙股也大石塔与城外槐树相距乃朱之山下髙勾也多步乃下髙勾股较也乙从城东门栁树下折而往北至小石塔下乃川之夕下平股也复往东乃夕之地下平勾也多步乃下平勾股较也二较相并共一百六十一步乃平差髙差和也又名角差甲自南门往南立处乃日之南明股也南门往东至榆树乃南之月明勾也多步明勾股较也东门往南至槐乃山之东□股也直东门至栁乃东之川□勾也多步□勾股较也二较相并七十七步明差□差和也甲从直南立处斜行至栁树下乃日之川皇极弦也多城径四十九步为皇极弦与城径较即皇极弦黄广勾较也术曰二和相并半之得一百十九为平率副置平率一加四十九一减四十九相乘得一万一千七百六十为实 四十九为法实如法而一得城径城心往南有大石塔一座东门外往南有大槐一株与塔相对南门外往东有榆树一株东门外正东有栁树一株城外东北艮隅往东有小石塔一座甲从城中石塔下穿城直往南不知步数而立乙从东门直行至栁树下转往北至石塔复往东亦不知步数而立丙从城外东南巽隅往西至榆树下立三人遥相望与槐树俱与城相叅直既而丙又斜行至槐树下复南行回还巽隅讫问其行步则曰甲从大石塔穿城往南立处多于槐距塔步数乙从东门外栁树下北至小石塔多于复东行歩数二较相并共一百六十一步甲自南门起至立处多于南门距榆步数东门外往南至槐多于往东至栁步数二较相并共七十七步丙从巽隅西至榆步数与从栁南还步又少于斜行六十步问城径释曰此髙差平差和明差□差和与太虚弦较较立法测望甲从城中石塔穿城往南而立为下高股石塔距槐为下高勾勾股相较为下高较亦曰高差乙从东门外栁树下北至小石塔为下平股又东行至立处为下平勾勾股相减为下平较亦曰平差共一百六十一步高差平差和也南门至甲立处为明股南门东至榆树为明勾勾股相减为明较即明差东门南至槐为□股东至栁为□勾勾股相减为□较即□差共七十七步明差□差和也丙从巽隅西至榆乃巽之月与泛之山同为太虚勾斜行至槐树下为太虚弦复南行还巽地与月之泛同为太虚股西行不及南行为太虚勾股较较步不及斜行六十为太虚弦较较也术曰二和相减余八十四加太虚弦较较半之得七十二为泛率自之得五千一百八十四为实 角差内减二泛率余一十七为从作带从开平方法除之得六十四为平勾 角差即高差平差并也甲丙二人俱在城中心丙望南门直行出城不知步数而立甲望东门出城亦不知步数望见之丙复斜行与甲相会问其行步则曰甲丙直斜共行了六百八十步又曰甲东直行少于丙南直行一百一十九步问城径释曰此皇极弦和和与勾股较立法测望甲从城中心东行为皇极勾丙从中心南行为皇极股斜行与甲会为皇极弦共行六百八十步为皇极弦和和也甲东行不及丙南一百一十九步为皇极勾较也术曰二数相减余五百六十一为差差自之得三十一万四千七百二十一为差筭 较自之得一万四千一百六十一为较卑 二筭相减余三十○万○五百六十为平实 四其差二其较相并得二千四百八十二为从方 二为隅筭 作负隅开减从开平方法除之得一百三十六为皇极勾负隅减从开平方曰置所得平实以从方隅筭约之初商一百 置一于左上为法 置一乘隅筭得二百以从减方余二千二百八十二为下法与上法相乘除实二十三万八千二百 余实七万二千三百六十 从方内再减二百余二千○八十二次商三十置一于左上为法置一隅因得六十以减从方余二千○二十二为下法与上法相乘除实六万○六百六十余实一万一千七百为实 余从内再减六十余一千九百六十二 次商六 置一于左上为法 置一隅因得一十二以减余从余一千九百五十为下法与上法相乘除实尽此法已见二卷通勾□勾条因有三位故重出圆城南门往东有槐东门往南有栁甲乙二人俱在城中心甲出南门直行乙出东门各不知步数而立丙丁二人俱在城外东南巽隅丙西行至槐下丁北行至栁下四人遥相望俱与城叅直既而甲复斜行与乙会丙复斜行与丁会问其行步则甲一直一斜与乙直行共六百八十步丙西丁北二直行较丙斜行多三十六步问城径释曰此皇极弦和和与太虚弦和较立法测望乙从城中心东行为皇极勾甲从城中心南行为皇极股斜行与乙会为皇极弦共步为皇极弦和和也丙从巽隅西至槐树下即太虚勾丁从巽隅北至栁树下即太虚股丙斜行与丁会为太虚弦丙西丁北相并即太虚勾股和多于斜行为太虚弦和较也术曰和较相乘得二万四千四百八十为实半较得一十八为从 半步为隅筭 作以从添积负隅开平方法除之得全径以从添积负隅开平方曰置所得平实以从约之初商二百置一于左上为法 置一乘益从得三千六百为益实添入积内共二万八千○八十为实 置一以隅因之得一百为下法与上法相乘除实一万余八千○八十为实倍下法得二百为亷法 次商四十置一于左上为法 置一乘益从得七百二十为益实添入余积得八千八百为实 置一以隅因得二十并亷法共二百二十与上法相乘除实尽又为负隅以从减法开平方法法见四卷大差勾黄长弦条下测圆海镜分类释术卷八
## 卷九
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷九元 李 冶 撰明 顾应祥 释术诸较参互立法丙出南门直行甲出东门直行各不知步数相望与城相叅直问其行步甲云我东行少于城径二百二十四步丙云我南行少于城径一百○五步问城径释曰此明股城径较与□勾城径较立法测望甲出东门直行□勾也丙出南门直行明股也术曰二少步相乘又自之得五亿五千三百一十九万○四百为三乘方实 二少步相乘得二万三千五百二十六之共步得一千九百七十四二数相乘得四千六百四十二万八千四百八十为从方 以五十六万二千五百二十为从一亷 四十八之共步得一万五千七百九十二为从二亷六十三为隅法作带从亷隅添积开三乘方法除之得半城径带从方一亷添积以二亷为法开三乘方曰置所得三乘方实以从方从亷隅法约之 初商一百置一于左上为法 置一乘从一亷得五千六百二十五万二千为益亷置一自乘再乘以隅算因得六千三百万为隅法并从方益亷得一亿六千五百六十八万○四百八十以初商因之得一百六十五亿六千八百○四万八千为益积 添入原积共一百七十一亿二千一百二十三万八千四百为通实 置一自之以乘从二亷得一亿五千七百九十二万为下法 与上法相乘除实一百五十七亿九千二百万 余一十三亿二千九百二十三万八千四百为次商之实 二因益亷得一亿一千二百五十○万四千为从一亷之方三因从二亷得四亿七千三百七十六万为从二亷之方 三之初商以乘元从二亷得四百七十三万七千六百为从二亷之亷 四因隅法得二亿五千二百万并从方共二亿九千八百四十二万八千四百八十为方法 初商自之六因又隅因之得三百七十八万为上亷 初商四之隅因得二万五千二百为下亷 次商二十 置一于左上为法 置一乘原从一亷得一千一百二十五万○四百为从一亷之亷并从一亷之方共一亿二千三百七十五万四千四百为益亷之实置一乘上亷得七千五百六十万 置一自之以乘下亷得一千○○八万 置一自乘再乘得八千隅因得五十○万四千为隅法 并方上下亷隅共三亿八千四百六十一万二千四百八十又加益亷之实得五亿○八百三十六万六千八百八十以次商因之得一百○一亿六千七百三十三万七千六百为益实 加入次实得一百一十四亿九千六百五十七万六千为通实 置一乘从二亷之亷得九千四百七十五万二千 置一自之以乘从二亷得六百三十一万六千八百为从二亷之隅 并从二亷之方亷隅共五亿七千四百八十二万八千八百为下法与上法相乘除实尽丙出南门东行甲出东门南行各不知步数相望俱与城相叅直丙云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不及城径二百一十步问城径释曰此明勾与城径较与□股城径较立法测望丙出南门东行为明勾甲出东门南行为□股术曰二不及相减余四十二为差自之得一千七百六十四为差筭 半甲不及自之得一万一千○二十五 半甲不及减差余六十三自之得三千九百六十九 二数相并内减差筭得一万三千二百三十为平实 二之内不及得三百三十六为益从三步半为隅法 作带从负隅开平方法除之得□股三十带从负隅开平方法见四巻底勾通弦甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙出东门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直问其行步则甲东多于丁东二百四十八步乙南多于丙南五百七十步问城径释曰此通勾明勾较与通股□股较立法测望甲从干隅东行为通勾丁从南门东行为明勾甲多于丁步通勾明勾较也丙出东门南行为□股乙自干隅南行为通股乙多于丙步通股□股较也术曰二较相乘得一十四万一千三百六十为实并二较半之得四百○九为从 以七分半为隅法作带从负隅开平方法除之得全径带从负隅开平方法见前甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙从城外西南坤隅东行丁从城外东北艮隅南行各不知步数四人遥相望俱与城相叅直问其行步则曰甲东行多于丙东行一百二十八步丁南行不及乙南行四百五十步问城径释曰此通勾大差勾较与通股小差股较立法测望甲从干隅东行为通勾丙从坤隅东行为大差勾甲多一百二十八步即为通勾大差勾较与黄长勾同乙从干隅南行为通股丁从艮隅南行为小差股丁不及乙四百五十步为通股小差股较与黄广股同术曰二较相乘即城径筭南门迤东有槐一株东门迤南有栁一株甲乙二人俱在城外西南坤隅甲直往南不知步数而立乙往东径过南门至槐下立丙丁二人俱在城外东北艮隅丙直往东不知步数而立丁往南径过东门至栁下立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲多于乙一百六十八步丙少于丁七十步问城径释曰此大差勾股较与小差勾股较立法测望甲从坤往南之天为大差股乙往东至槐下为大差勾甲多一百六十八步大差勾股较也丙从艮隅往东之地为小差勾丁往南至栁下为小差股丙不及丁七十步小差勾股较也术曰二较相乘得一万一千七百六十为实 相减半之得四十九为法 实如法而一得全径甲从坤隅东行过南门不知步数而立乙从艮隅南行过东门不知步数见甲而止甲乃斜行一百○二步与乙会乙曰我南行不及汝东行四十二步问城径释曰此大差勾小差股较与太虚弦立法测望甲从坤隅东行乃坤之月为大差勾乙从艮南行乃艮之山为小差股不及四十二步为大差勾与小差股较也斜行一百○二步太虚弦也术曰以较减弦余六十以乘弦较并半之得四千三百二十为实 以较四十二为从作带从开平方法除之得虚勾四十八又曰大差勾减小差股即太虚较也弦自乘倍之与较自乘相减余为实平方开之得勾股和加较半之为股减较半之为勾圆城南门外正南有塔一座南门之东有槐树一株东门外正东有望竿一根东门之南有栁树一株甲乙二人俱在城中心甲南行出城直至塔下立乙东行出城至望竿下立丙丁二人俱在城外西南坤隅丙南行不知步数而立丁东行至槐树下立戊己二人俱在城外东北艮隅戊东行不知步数而立己南行过东门南栁树下立六人遥相望俱与城相叅直既而甲斜行至东门外望竿下与乙相会丙斜行经过塔直至南门东槐树下与丁相会戊斜行向西南至东门之南栁树下与己相会问其行步则曰以丁东行减丙南行又与丙斜行相较余步比甲斜行少四十九步以戊从艮隅东行减己从艮隅南行至栁余步与戊斜行至栁步数相并内减槐栁斜相距步余一百三十八步其乙东行比甲南行至塔却少一百一十九步问城径释曰此大差弦较较与皇极弦较小差弦较和与太虚弦较并皇极勾股较立法测望甲从城中心出南门至石塔下乃日之心为皇极股乙从城中心出东门至望竿下乃心之川为皇极勾甲斜行与乙会乃日之川为皇极弦 丙从坤隅南行不知步数而立乃天之坤为大差股丁从东行至槐树下乃坤之月为大差勾丙斜行与丁会乃天之月为大差弦丁东行减丙南行为大差勾股较又与丙斜行相较为大差弦较较不及甲斜行四十九步是大差弦较较与皇极弦较也戊从艮隅东行乃艮之地为小差勾己从艮隅南行至栁树下乃山之艮为小差股戊斜行至栁下与己会乃山之地为小差弦戊东行减己南行为小差勾股较 又与戊斜行相并为小差弦较和槐栁斜相距步即太虚弦以减小差弦较和余一百三十八步是小差弦较和与太虚弦较也乙东行不及甲南行一百一十九步为皇极勾股较也术曰并二较自之得三万四千九百六十九皇极较自之得一万四千一百六十一 相减余二万○八百○八为实 二为隅算 平方开之得太虚弦一百○二 加小差弦较和与虚弦相较之数即城径负隅开平方法见一卷底勾底弦条南门外不知步数有槐东门外不知步数有桞甲乙俱在干隅甲东行遇一小塔而立乙南行遇一大石塔而立二人遥相望槐栁俱与城相叅直计其行步则乙南行不及二塔斜相距步数少于小塔与栁相距五十六步甲东行不及二塔斜相距步数多于大塔与槐相距一百○五步问城径释曰此通股弦较与下平弦较通勾弦较与上高弦较测望二塔相距通弦也丙南行通股不及二塔相距为股弦较小塔距栁下平弦也甲东行通勾也不及二塔相距勾弦较也槐距大塔上高弦也术曰以股弦较不及平弦自之为实 二较相减为法除之得平勾六十四若以勾弦较多高弦自之为实 二较相减为法除之得高股二百二十五测圆海镜分类释术卷九
## 卷十
钦定四库全书测圆海镜分类释术卷十元 李 冶 撰明 顾应祥 释术和较参互带分测望圆城甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立相望与城相叅直丙复斜行七百八十步与甲会以甲东行步除丙南行得二步四分释曰此弦与勾除股数立法测望斜行七百八十步弦也二步四分乃以勾除股所得之数术曰斜步自之得六十○万八千四百为平实 以二步四分自之得五步七分六厘加一步得六步七分六厘为隅算平方开之得三百为勾勾弦求股得七百二十甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行隔城见之甲复斜行与乙相会告乙曰我直行斜行共行了一千二百八十步汝东行步居我南行步十五分之八释曰此通股弦和与通勾股相较分立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行为通弦共行通股弦和也乙东行既居甲南行十五之八是股得十五勾得八术曰股弦和自之得一百六十三万八千四百又以十六因之得二千六百二十一万四千四百为实以二百五十七因和步得三十二万八千九百六十为益从 以一十六为隅算作减从负隅开平方法除之得股弦较八十加和半之为弦减和半之为股负隅减从开平方法见二卷又曰勾居股十五分之八宜以八为勾率十五为股率各自乘并为实平方开之得一十七为弦率并股弦率得三十二为法置和步一千二百八十为实置二位一位以股率乘之以法除之得六百为股一位以弦率乘之以法除之得六百八十为弦此差分之法简易明白甲乙二人俱在城外西北干隅乙直徃南行不知步数而立甲往东行见之甲复斜行与乙会甲云我直斜共行了一千步东行得汝南行十五分之八释曰此通勾弦和与通勾股相较分立法测望甲东行为勾斜行与乙会为弦乙南行为股术曰和步自之得一百万为和筭分母自之得二百二十五以乘和筭得二亿二千五百万为实 分母并分子以分母乘之加入分子得三百五十三倍之得七百○六以乘共步得七十○万六千为益从分母自之得二百二十五为隅法 作负隅减从开平方法除之得三百六十为勾弦较以较减和得勾负隅减从开平方法见二卷又曰勾居股十五之八就以八为勾率十五为股率勾股求弦得一十七为弦率并勾弦二率共二十五为法以和一千为实 副置二位一位以勾率乘之以法除之得勾一位以弦率乘之以法除之得弦甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行亦不知步数望见之又斜行与甲相㑹乙云我东行不及城周九分之五甲云我南行多与汝东行二百八十步问城径释曰此通勾股较与通勾城周相较分数立法测望乙东行通勾甲南行通股南行多与乙东行为勾股较乙东行不及城周九分之五则城周得九通勾得四术曰东行步少城周九分之五则城径得三东行得四 四勾股较得一千一百二十为实 城径得东行四分之三以四为分母分母自之得一十六于上分母减子余一倍之得二以分母减子乘之仍得二以减上倍余一十四为法 除实得八十为一分之数 二之为城径四之为勾加较即股甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之乙云我东行居城径六分之五甲云我南行多于乙二百八十步问城径释曰此底勾邉股较与底勾城径相较分数立法测望乙出北门东行为底勾甲出西门南行为邉股多于乙行步为勾股较乙东行居城径六分之五为底勾城径相较步数术曰四之较步得一千一百二十为实分母自之得三十六于上半之分母减分子得二倍之得四又以减子余二乘之得八以减上位余二十八为法除实得四十为一分之数五之为东行六之为城径甲乙二人俱在城外西北干隅乙南行不知步数而立甲东行不知步数见之问其行步则甲乙共行了九百二十步问城径居乙南行四十分之一十六释曰此通勾股和与通股城径较分数立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十为勾股和城径得南行四十分之十六为通股城径相较分数术曰以分子减母余倍之得四十八以乘共行得四万四千一百六十为实 分子减母倍之以乘母子和得二千六百八十八子自之得二百五十六相并得二千九百四十四以为法实如法而一得一十五为一分之数又曰列四十与一十六以约分法约之城径得南行五分之二分母减子余三倍之得六以乘共行得五千五百二十为实 分母减子倍之以乘母子并得四十二 分子自之得四相并得四十六为法 除实得一百二十为一分之数五之为通股二之为城径约分法曰副置分母子以少减多得八为等八除分母得五除分子得二甲乙二人俱在城中心甲穿城往南不知步数乙出东门不知步数见之复斜行与甲会计其行乙东行较甲南行得十五分之八乙斜行减甲南行余三十四减乙东行余一百五十三步问城径释曰此皇极勾弦较股弦较与皇极勾股较分数立法测望甲南行为皇极股乙东行为皇极勾斜行为皇极弦斜行减南行余三十四股弦较也斜行减东行余一百五十三勾弦较也东行得南行十五分之八勾股较分数也术曰二余数相乘得五千二百○二倍之得一万○四百○四平方开之得一百○二复加二余得二百八十九自之得八万三千五百二十一于上 又以二余数相减余一百一十九自之得一万四千一百六十一以减上位余六万九千三百六十为实 分母子相乘得一百二十倍之得二百四十为隅算作负隅开平方法除之得一十七为一分之数八之为勾十五之为股各加余步得弦甲出西门南行乙出北门东行各不知步数相见复相向斜行各三百四十步相会甲云城径居我南行二分之一乙云我东行居城径六分之五问城径释曰此通弦与底勾城径较分数邉股城径较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行各三百四十步共为通弦城径居南行二分之一邉股城径较分数也东行居城径六分之五底勾城径较分数也术曰并斜行自之得四十六万二千四百为实 即弦筭东行居城径六分之五城径得南行二分之一是城径为六东行为五南行为十二半城径加南行为十五自之得二百二十五 半城径加东行为八自之得六十四 相并得二百八十九为隅算作负隅平方开之得四十为一分之数十二之为邉股五之为底勾六之为城径负隅开平方法见一卷甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行不知步数见之又斜行与甲会二人共计行一千三百六十步南行得斜行十七分之十二东行得斜行一十七分之五问城径释曰此邉股底勾通弦和与底勾通弦较分数邉股通弦较分数立法测望甲出西门南行为邉股乙出北门东行为底勾斜行与甲会为通弦共行一千三百六十邉股底勾通弦和也东行得斜行十七分之五底勾通弦较分数也南行得斜行十七分之十二邉股与通弦较分数也术曰此用差分法各列置衰弦十七股十二勾五副并得三十四为法 置共步一千三百六十为实以十七因之以法除之得通弦 以十二因之以法除之得邉股 以五因之以法除之得底勾 求城径用底勾邉股求容圆法甲出西门南行不知步数而立乙出北门东行见之既而乙谓甲云我取汝六分之五得六百步甲谓乙云我取汝五分之三亦六百步释曰此底勾边股错揉立法测望甲出西门南行为边股乙出北门东行为底勾术曰此法用方程术以乙取甲分母六乘六百步得三千六百 甲取乙分母五乘六百步得三千 乙取甲六分之五是五个甲行六个乙行也甲取乙五分之三是五个甲行三个乙行也置甲五 乙六 三千六百步于右 甲五乙三三千步于左 以右甲五互乘左乙三得一十五左甲五互乘右乙六得三十二正相减 余一十五为法 右甲五互乘左三千得一万五千左甲五互乘右三千六得一万八千相减余三千为乙行之实 右乙六互乘左三千得一万八千左乙三互乘右三千六百得一万○八百相减余七千二百为甲行之实 法除乙实得乙行二百步法除甲实得甲行四百八十步 二行步相并自之得四十六万二千四百于上 二行各自之甲得二十三万○四百乙得四万 相并得二十七万○四百以减上位 余一十九万二千为实 二行相并得六百八十为从方半步为隅算 作负隅带从开平方法除之得全径负隅𢃄从开平方法见四卷底勾通弦条又曰二行相乘得九万六千为实 相并得六百八十为从作𢃄从开平方法除之得半径𢃄从开平方法见前卷甲从城外西南坤隅往南不知步数而立乙从城外东北艮隅往东望见之既而乙谓甲云我取汝所行三分之一得二百步甲谓乙云我减汝所行四分之三得三百步问城径释曰此大差股小差勾错揉立法测望甲从坤隅南行为大差股乙从艮隅东行为小差勾术曰此用方程术先以甲取乙分 三乘二百步得六百步乃三个乙行一个甲行也 又以乙减甲分母四乘三百步得一千二百乃四个甲行内减三个乙行也 置甲一乙三六百步于右 甲四乙三一千二百步于左 以右甲一互乘左乙三仍得三左甲四互乘右乙三得一十二一正一负相并得一十五为法 以右甲一互乘一千二百如旧左甲四互乘六百得二千四百 相减余一千二百为乙行之实 右乙三互乘一千二百得三千六百左负乙三互乘六百得一千八百 正负相并得五千四百为甲行之实 法除乙实得乙行八十 法除甲实得甲行三百六十求城径以二行相乘倍之得五万七千六百平方开之甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行不知步数而立乙东行不知步数见之问其行步则甲南行与城径相较其余步居南行五分之三乙东行与城径相较其余步居东行四分之一又云二余步相减余二百八十步问城径释曰此股圆差与股较分数勾圆差与勾较分数及股圆差勾圆差较立法测望甲南行为通股城径相较余步为股圆差股圆差居股五分之三乙东行为通勾城径相较余步为勾圆差勾圆差居勾四分之一二差相减余二百八十步为股圆差与勾圆差相较也术曰倍二余步相减数得五百六十步为实 勾母乘股子减股母得七为法除之得勾圆差八十 三之为城径四之为勾甲乙二人俱在城外西北干隅甲南行乙东行各不知步数相望问其行步但云甲南行与城径相较余步居南行步五分之三乙东行与城径相较余步居东行步四分之一 又记得东行分母每分不及南行每分四十步问城径释曰此亦股圆差与股较分数勾圆差与勾较分数及二差分母相较数立法测望甲南行为股城径不及股步为股圆差差得股五分之三乙东行为勾城径不及勾步为勾圆差差得勾四分之一勾分母与股分母相较得四十也术曰置少步倍之得八十为实 以股母子相减得二 勾母子相减得三 相减余一为法除之仍得八十为勾圆差三之为城径四之为勾 求股圆差以勾圆差加少步四十得一百二十为一分 二之为城径三之为股圆差五之为股甲出南门直行不知步数而立乙出东门直行见之甲云我行不及股圆差二十四分之一十五乙云我行不及勾圆差五分之四又云甲直行多于乙直行一百一十九步二差相较二百八十步问城径释曰股圆差三百六十通股与圆径较也甲出南门直行为明股明股与股圆差相较不及二十四分之一十五勾圆差八十通勾与圆径相较也乙出东门直行为□勾□勾与勾圆差相较不及五分之四甲行多于乙行一百一十九步明股□勾较也二差相较二百八十步勾圆差不及股圆差数也测圆海镜分类释术卷十◆ 《益古演段-元-》（KR3f0044）
## 提要
钦定四库全书 子部六提要益古演段三卷 天文算法类二(算书之属)(臣)等谨案益古演段三卷元李冶撰据至元壬午砚坚序称冶测圆海镜既巳刻梓其亲旧省掾李师徴复命其弟师珪请冶是编刋行是书在测圆海镜之后矣其曰益古演段者盖当时某氏算书(案冶序但称近世有某是冶已不知作者名氏)以方圆周径幂积和较相求定为诸法名益古集冶以为其蕴犹匿而未发因为之移补条目厘定图式演为六十四题以阐明奥义故踵其原名其中有草有条段有图有义草即古立天元一法条段即方田少广等法图则绘其加减开方之理义则随图解之盖测圆海镜以立天元一法为根此书即设为问答为初学明是法之意也所列诸法文皆浅显盖此法虽为诸法之根然神明变化不可端倪学者骤欲通之茫无门径之可入惟因方圆幂积以明之其理犹属易见故冶于方圆相求各题下皆以此法步之为草俾学者得以易入自序称今之为算者未必有刘李之工而褊心跼见不肯晓然示人惟务隐互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得窥其仿佛云云可以见其著书之㫖矣至其条段图义触类杂陈则又以必习于诸法而后可以通此法故取以互相发也其书世无𫝊本顾应祥唐顺之等见测圆海镜而不解立天元一法遂谓秘其机以为竒则明之中叶业已散佚今检永乐大典尚载有全编特录存之俾复见于世以为筭家之圭臬永乐大典所载不分卷数砚坚序称三卷今约畧篇页仍厘为三卷其𫝊写讹谬者各以本法推之咸为校正焉乾隆四十六年七月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 序
益古演段序
算数之学其来尚矣率自九章支分派委刘徽李淳风又为之注后之学者咸祖其法敬斋先生天资明敏世间书凡所经见靡不洞究至于薄物细故亦不遗焉近代有移补方圆自成一家号益古集者大小七十问(按书)(中六十四问)先生一寓目见其用心之勤惜其秘而未尽剖露繙图式绎条段可移则移之可补则补之祥(按祥字有脱误)(应作说之详)非若溟涬黯黮之不可晓析之明非若浅近觕俗之无足观厘为三卷目曰益古演段颇晓十百披而览之辟如登坦途前无滞碍旁蹊曲径自可纵横而通嘉恵后来为视隠互杂糅惟恐人窥其仿佛者相去大有迳庭矣先生又尽摅已见辑为测圆海镜一编二百问(按今本一百七十问)同出一原致宻纎悉备而不䌓叅考互见真学者之指南也海镜既命工刻梓省掾李师征其亲旧也嘱弟师珪请是编刋而行之将与众共推善及人良可尚也已数学在六艺为未求之人最为切要迩来精其能者殊鲜自非先生学有余力诚能搜剔轩辕隶首之奥有不暇矣虽然是特大烹之一脔耳若夫先生胷中浑涵停蓄测之愈深挹之不穷时发于翰墨昭不可揜者则大全集在当嗣此出愿肃袵以观至元壬午仲秋二十六日郧城砚坚序
## 自序
自序
术数虽居六艺之末而施之人事则最为切务故古之博雅君子马郑之流未有不研精于此者也其撰著成书者无虑百家然皆以九章为祖而刘徽李淳风又加注释而此道益明今之为算者未必有刘李之工而褊心跼见不肯晓然示人惟务隠互错糅故为溟涬黯黮惟恐学者得闚其仿佛也不然则又以浅近觕俗无足观者致使轩辕隶首之术三五错综之妙尽堕于市井沾沾之儿及夫荒村下里蚩蚩之民殊可悯悼近世有某者以方圆移补成编号益古集真可与刘李相颉颃予犹恨其闭匿而不尽发遂再为移补条段细繙图式使粗知十百者便得入室啗其文顾不快哉客有订愚曰子所述果能尽轩隶之秘乎愚应之曰吾所述虽不敢追配作者诚令后生軰优而柔之则安知轩隶之秘不于是乎始客退因书以为自序时大元己未夏六月二十有四日栾城李冶序
## 卷上
钦定四库全书
益古演段卷上 元 李冶 撰第一问今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记内圆外方只云从外田楞至内池楞四边各二十步问内圆外方各多少答曰外田方六十步 内池径二十步法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨(按太即真数此)(即四十步并一池径)为田方靣(按方靣即每边)以自增乗得□□丨(按此即一千六百步八十)(池径一平方并)为方积于头再立天元一为内池径以自之又三因四而一得(太○)○□(按此即百分平方之七十五上二○存步与池之位)为池积以减头位得□□□(按此即一千六百步八十池径二分半平方)为一段虚积寄左然后列直积以亩法(按亩法二百四十步)通之得三千三百步与左相消(按相消者两边同减一千六百歩后凡言相消者皆两邉加减一数也)得□□□(按此即一千七百歩与八十池径二分半平方等)开平方得二十步为圆池径也倍至步加池径即外方靣也按今借根方法即立天元一法详见御制数理精蕴兹不尽释以条段求之真积内减四段至步幂为实四之至步为从二分半常法义曰真积内减四段至步幂者是减去四隅也以二分半为常法者是于一步之内占却七分半外有二分半也第二问今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩七分半并不记径面只云从外田南楞通内池北楞四十步问内圆外方各多少答曰同前法曰立天元为池径减倍通步得□丨(按此即八十步少一圆径)为田方靣以自増乗得□□丨(按此即六千四百步)(少一百六十径多一平方)为方田积于头又以天元池径自之三因四而一得(太○○)□(按此即百分平方之)(七十五)为池积以减头位得□□□(按此即六千四百步少一百六十径)(多二分半平方)为一段虚积寄左然后列真积三千三百步与左相消得□□□(按此即三千一百步与一百六十径少二分半平方等)开平方得二十歩即内池径也倍通步内减池径为方靣也依条段求之倍通步自乗于头位以田积减头位余为实四之通步为从二分半虚常法义曰倍通步者是于方靣之外引出一圆也用二分半虚常法者是一个虚方内却有减余圆池补了七分半外欠二分半故以之为虚隅也第三问今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八歩只云从外田角斜至内池楞各五十二步问靣径外方各多少答曰外田方一百二十步 内池径六十四步法曰立天元一为内池径加倍至步得□丨为方斜以自増乗得□□丨为方斜幂于头(其方斜上)(本合身外减四今不及减便是寄一步四分为分母也今此方斜幂乃)(是变斜为方靣以自乘之数又别得是展起之数也)又立天元为池径自之又三因四而一为池积今为方田积既以展起则此池积亦须展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦为一个展起底圆池积也(以一步九分六厘乘之者葢为)(分母十四以自之得一步九分六厘也)以池积减田积余□□□为一段虚积寄左然后列真积一万一千三百二十八步亦用分母幂一步九分六厘乗之(或两度不加四亦同)得二万二千二百○二步八分八厘与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也倍至步加池径身外除四见方靣也 一法求所展池积以径自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只于径幂上以一步四分七厘(按此即三因四除一步九分六厘之数)乗之便为所展之池积也依条段求之展积内减四段至步幂余为实四之至步为从四分七厘益隅义曰凡言展积者是于正积上以一步九分六厘乗起之数元法本是方靣上寄一步四分分母自乗过于每步上得一步九分六厘故今命之为展起之数也诸变斜为方者皆凖此所展之池积是于一步圆积上展出九分六厘若以池径上取斜为外圆径则一步上止生得四分七厘也故以四分七厘为虚常法又取方幂一步九分六厘四分之三亦得圆积一步四分七厘也按法内皆以径一周三方五斜七为率故各靣积分数与宻率不合葢此书専为明理而作宻率数繁碍于讲解故用古率以从简且其法既明即用宻率亦无不可第四问今有方田一段内有圆池水占之外计地一万一千三百二十八步只云从外田角斜通池径得一百一十六步问靣径外方各多少答曰外田方一百二十步 内池径六十四步法曰立天元一为圆径减倍通步得下□丨为方斜以自之得□□丨便为所展方田积于上再立天元一为池径以自之又以一步四分七厘乗之得(太○○)□(步)便为所展圆池积也以池积减上田积余得□□□为一段如积寄左然后列真积如法展之得二万二千二百○二步八分八厘与左相消得□□□平方开之得六十四步为内池径也以池径减倍通步即是方田斜身外除四为方靣也以条段求之四段通步幂内减展积为实四之通步为从四分七厘常法义曰四之通步为从其减积外实欠一个方今即有展池减时所剰之积补却一个虚方外犹剰一个四分七厘为常法也第五问今有方田一段内有圆池水占之外计地一十三亩二分只云内圆周不及外方周一百六十八步问方圆各多少答曰外方周二百四十步 内圆周七十二步法曰立天元一为内圆周加一百六十八步得□丨为外方周以自増乗得□□丨为一十六个方田积又三因之得□□□为四十八段方田积于头(所以三因)(为四十八者就为四十八分母也)再立天元圆周以自之(元○)丨为十二段圆池积(圆周幂为九个圆径幂每三九个圆径幂为四个圆池积今)(个圆径幂共为十二个圆池积也)又就分四之得(元○)□为四十八个圆池积以减头位得□□丨为四十八段如积寄左然后列真积一十三亩二分以亩法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五万二千○六十四步与寄左相消得□□丨平方开之得七十二步为内圆周也三而一为池径依条段求之四十八段田积内减三段不及步幂为实六之不及为从一虚隅义曰每一个方周方为十六段方田积今三之为四十八段方田积也内除了三个圆周幂外于见积上虚了一个圆周幂也今求圆周故以一步为虚隅法旧术曰以十六乗田积为头位(以合方周之积)以不及步自乗减头位余三之为实六之不及步为从法㢘常以一步为减从法第六问今有方田一段内有圆池水占之外计地二千六百七十三步只云内圆周与外方靣数等问各多少答曰外方靣内圆周各五十四步法曰立天元一为方靣(便是圆周)以自之得元丨便为十二段池积也再立天元方靣以自之又十二之得(元○)□为十二段方田积也二数相减余(元○)□为十二段如积寄左然后列真积就分母十二之得□与左相消得□□平方开之得五十四步为方靣亦为圆周径也依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法义曰一个方田积便是一个圆周积也一个圆周积便是十二个圆池积今将一十二个圆池积减于十二个方田积通有十一段方田积也旧术曰以十二乗田如十一而一所得开方除之合前问也又法立天元一为等数以自之为外田积又就分母九之得(元○)□为九个方田积于头又立天元等数以自之为十二个圆池积也三之四而一得(元○)□为九个圆池以减头位得(元○)□为九段如积寄左然后列真积就分九之得二万四千○五十七步与左相消得□○□平方开得五十四步为等数也依条段求之九之积为实无从八步二分半为常法义曰每一个方幂为十二个圆池今将见有底九个圆池去了七分半余二分半并实有八个方恰是八个二分半也又法立天元一为径以三之为外方靣以自之得(元○)□为外方积于上再立天元圆径以自之三之四而一得(元○)□为圆池积也以此圆积减方积得(元○)□为一段如积寄左然后列真积与左相消得下式□○□平方开得一十八步为圆径也以条段求之积为实八步二分半为常法义曰中间一方除圆池四分之三外有四分之一即是一步内得二分半也旧术曰列积步以八步二分半为法除之所得再开方见内圆径第七问今有方田一段内有圆池水占之外计地一千三百五十七步只云外方靣不及内池周一十四步问方圆各多少答曰方靣四十步 圆周五十四步法曰立天元一为外方加不及一十四步得□丨为内周以自増乗得□□丨为十二个圆池积于头再立天元方靣以自之又十二之为十二个方田积内减头位得□□□为十二段如积寄左然后列见积一千三百五十七步就分母十二通之得一万六千二百八十四步与左相消得□□□开平方得四十步为外方靣也依条段求之十二之积内加入不及步幂为实二之不及步为虚从十一步常法义曰其十二段积内𢃄起十二个圆池其十二个圆池补成一个圆周方其圆周多于方靣十四步故自之为幂加入所欠之一角又二之为虚从恰得十一个方也第八问今有方田一段内有圆池水占之外有地一十三亩七分半只云内外方圆周共相和得三百步问方圆周各多少答曰外方周二百四十步 内圆周六十步法曰立天元一为圆径以三之为圆周以减共步得□□为方周以自増乗得□□□为十六段方田积于头再立天元圆径以自之又十二之得(太○)○□为十六个圆池积以减头位得□□□为十六段如积寄左然后列真积一十三亩七分半以亩法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五万二千八百步与左相消得□□□开平方得二十步为圆池径又三之为圆周也依条段求之和步幂内减十六之见积为实六之和步为从三步常法义曰十六个圆池该十二个方内从步合除去九个方外犹剰三个方故以三步为常法也旧术曰列相和步自乗为头位又以十六之田积减头位又六而一为实以相和步为从法廉常置五分第九问今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外周与实径共相得三百三十步问三事各多少答曰外方周二百四十步 实径十八步 圆周七十二步法曰立天元一为池径以五之减倍之相和步得□□为九个方靣以自増乗得□□□为八十一段方田积于头位(二之相和步别)(得是八方面六圆径二实径今将二实径与一圆径就成一方靣共前数计九方靣五圆径却更无实径)(也)再立天元池径以自之又以六十步七分半乗之得(元○)□为八十一个圆池(所以用六十步七分半乘之者欲齐其八十一分母)(也每个圆池七分半以八十一通之得六十步七分半也)以此减头位余□□□为八十一段如积寄左然后列真积三千一百六十八步以八十一通之得二十五万六千六百○八与左相消得下□□□(步)开平方得二十四步为池径也五因池径减倍相和余九而一得方田靣以池径减方余折半为实径依条段求之倍共步自乗于头以八十一之田积减头位余为实二十之共步为从三十五步七分半为常法义曰八十一个方田内𢃄起八十一个圆池每个圆池七分半此八十一个计该六十步七分半其从步内合除去二十五个外犹剰三十五个七分半故以之为常法也旧术曰倍相和步自乗为头位又以八十一乗田积减头位余退一位为实倍相和步为从法廉常置三步五分七厘半第十问今有方田一段内有圆池水占之外计地三千一百六十八步只云内外方圆周与斜径共相和得三百四十二步问三事各多少答曰外方周二百四十步 内圆周七十二步斜三十步法曰立天元一为池径以二十五之减于十之相和三千四百二十步得□□为四十七个外方靣以自増乗得□□□为二千二百九段方田积于头位(十之相和步三千四百二十为方靣四十个内)(池径三十个斜至步一十个以一十个斜至步合入五个池径共得五斜此五斜却便是七个方靣计总)(数该四十七个方靣二十五个圆径外更无斜至步也)再立天元池径以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得(元○) □为二千二百○九个圆池积也(所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲)(齐其二千二百○九分母也每一个圆池积七分半今有二千二百○九个圆池积以七分半乘之该一)(千六百五十六步七分半也)以此减头位得□□□为二千二百九段如积数寄左然后列真积三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九万八千一百一十二步与左相消得□□□开平方得二十四步即池径也以二十五之圆径减十之和步余四十七而一得为外方靣身加四内减了圆池径余折半为斜径也按法内所用四十七方靣之数亦由立天元一法取出但截去前段恐初学不能无疑兹仍依其法补之法立天元一为池径五因之以减倍和得□□为八方靣一斜共数以方五因之得□□为实又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七为法除实得方靣不除便为四十七个方靣也依条段求之相和步进一位自乗于头位以二千二百九之真积减头位余为实五百之和步为益从一千三十一步七分五厘为益隅义曰减数系是二千二百九段方靣幂内却漏下二千二百九个圆池此数该一千六百五十六个七分圆径幂却于从步上叠用了六百二十五个池径幂外犹剰一千三十一个七分五厘故以之为隅法其从法元有五十个圆径今命为之五百者縁相和步进一位也旧术曰列相和步进一位自相乗为头位以二千二百九之积减头位余以三之为实又以一千五百之相和步为从法廉常置三千九十五步二分半开平方见池径第十一问今有圆田一段内有方池水占之外计地二十五亩余二百四步只云从外田楞至四边各三十二步问外圆内方各多少答曰外圆径一百步 内方靣三十六步法曰立天元一为内方靣加倍至步为外田径以自之得下式□□丨又三之得□□□为四段圆田积于头再立天元方靣以自之又就分母四之得(元○)□为四池积以减头位得□□丨为四段如积数寄左然后列真积又就分四之得二万四千八百一十六步与左相消得□□丨开平方得三十六步为方池靣也加倍至步即圆径也依条段求之四之积步于头位(作三个外圆径幂内出了四个方池积也)内减十二之至步幂为实十二之至步为从一虚隅义曰四个外圆田内减了十二段至步幂复以十二之至步为从又合去四个方池今元积内有三个虚池外犹欠一个虚池故以一步为虚隅常减从以为法又有圆田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圆边其一尖至圆边三步问圆径方靣各若干答曰径十歩 靣五步法曰立天元一为方斜加三步为圆径以自之又以一步九分六厘乗之得□(步)□□(按此为一平方)(九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘诸条皆步)(数在上此条独步数在下)又三之得□(步)□□内减四之天元幂得上层□中下云云(按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘)寄左然后置五十步两度加四得□(步)又四之得□(步)与左相消得下层三百三十九步○八厘(按此下当加与一平)(方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明)负开平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圆径下位身外减四即方靣也合问依条段求之四段展起见积内减三段展起至步幂为实六之至步展起为从一步八分八厘为常法也此问若求方靣则其法甚易今求方斜故其图须细分之义曰三个九分六厘共计二步八分八厘其元初作四段如积时合有四个所展之池今来只见三个故于二步八分八厘内去却一步有余只有一步八分八厘为常法也(此法于别纸上抄得故录于此)第十二问今有圆田一段内有方池水占之外有地二十五亩零二百四步只云从外田楞通内方方靣六十八步问各数若干答曰外圆径一百步内方靣三十六步法曰立天元一为内方靣减倍通步得□丨为外圆径以自之得□□丨为圆径幂以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分母四之得(元○)□为四段方池积以减头位得□□丨为四段如积数寄左然后以四之见积二万四千八百一十六步与左相消得□□丨平方开之得三十六步为内方靣也减倍通步即圆径依条段求之十二段至步幂内减四之见积为实十二之通步为从一常法义曰所减数内剰下四个方池叠补了三个外犹剰一个故以之为常法第十三问今有圆田一段内有方池水占之外计地五千步只云从外田楞至内池角四边各一十五步问方圆各多少答曰外圆径一百步 内方靣五十步法曰立天元一为内方靣身外加四为内方斜又加倍至步得□□为外圆径也以自増乗得□□□为外径幂以三之得□□□为四段外圆积于头再立天元内方靣以自之又四之得(元○)□为四段方池积也以减头位余□□□为四段如积数寄左然后列四之见积二万步与左相消得□□□开平方得五十步为池方靣也身外加四又加入倍至步即为外田径也依条段求之四之积步内减十二段至步幂为实十二之至步身外加四为从一步八分八厘为常法义曰三个九分六厘计二步八分八厘其四个圆田内有四个方水池除从步合占三个外犹剰一个水池却于数内取了一步余一步八分八厘故以之为常法也其从步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能见方靣而但得方斜也旧术曰四因积步为头位又倍去角步自乗三之减头位余折半为实又倍去角步三因加四为从法廉常置九分四厘第十四问今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云从田外楞通内池斜三十五步半问外圆内方各多少答曰外圆径三十六步 内方靣二十五步法曰立天元一为内方靣加四得(元□)为方斜以减倍通步得(太□)□为外圆径以自増乗得□□□为外田径幂也以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分四之得(元○)□为四段方池以减头位得□□□为四段如积寄左然后列四之见积一千三百八十八步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也方靣加四减于倍通步得圆径也依条段求之十二段通步幂内减四之田积为实十二之通步加四为益从一步八分八厘常法义曰此式元系虚从今以虚隅命之四段圆田减积时剰下四段方池于从步内用讫三个外犹剰一个却于二步八分八厘虚数内补了一歩外虚一步八分八厘故以之为法(从负隅正或从正隅负其实皆同故因此廉从以别之)旧术曰倍通步自乗三之为头位四因田积减头位余为实又十二通步加四为从法廉常置一步八分八厘减从开方(新旧廉从不同开时则同故两存之)第十五问今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内方周不及外圆周一百五十二步问外圆内方各多少答曰外圆周三百六十步 内方周二百八步法曰立天元一为内方靣以四之为内方周加不及一百五十二步得□□为外圆周以自増乗得□□□为十二段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得(元○)□为十二段方池积以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积八千○九十六步又就分十二之得九万七千一百五十二步与左相消得□□□平方开得五十二步为内池方靣也以四之为内方周加不及步为圆周也依条段求之十二段积步内减不及步幂为实八之不及步为从四步为常法也义曰十二段圆积该九段圆径幂九段圆径幂便是九个圆周幂也据十二段圆积内元少十二个方池今于周幂内除折筭外剰四个池积故以四步为常法也旧术曰十二之积步为头位以不及步自乗减头位余八而一为实以不及步为从法廉常置半步开平方(新旧二术不同者旧术从简耳算术本贵简易而犹立新术者縁旧术难画条段也余倣此)第十六问今有圆田一段内有方池水占之外计地三千五百六十四步只云内方周与外圆径等问等数各若干答曰内方周外圆径各七十二步法曰立天元一为等数便以为方周以自之为十六个方池于头(元○)丨再立天元等数便以为圆径以自之又十二之得(元○)□为十六段圆田积内减头位余(元○)□为十六段如积寄左然后列真积三千五百六十四步又就分十六之得五万七千○二十四步与左相消得□○□平方开得七十二步即等数也按法后落条段一条依前例补之依条段求之十二之真积为实无从一十一步常法义曰十六个圆积乃十二段圆径幂也其十六个圆积内有十六个方池恰是一个方也此一个方便是等数幂也旧术曰列田积从十一段平方开之得内方靣四之即等数也乂法以十六乗田积如十一而一所得开方即等数第十七问今有圆田一段内有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圆径不及内方周四十二步问方圆各若干答曰外圆径五十四步 内方周九十六步法曰立天元一为外圆径加不及四十二步得为内方周以自増乗得下式□□丨为十六段池积于头再立天元外圆径以自之又十二之得(元○)□为十六段田积也内减头位余□□□为十六段如积寄左然后列真积一千六百一十一步就分母十六之得二万五千七百七十六步与左相消得□□□平方开得五十四步为外圆径也加不及步为内方周也依条段求之置十六之积加不及步幂为实倍不及步为虚从一十一步为常义曰十二个圆径幂该十六个圆田积十六个圆田积内有十六个方池其十六个方池于实积内侵过所加一角并二段虚从之数也第十八问今有圆田一段内有方池水占之外计地三百四十七步只云外圆周内方周共得二百八步问内外周各多少答曰外圆周一百八步 内方周一百步法曰立天元一为内方靣以四之为内方周减于相和二百八步得□□为外圆周以自增乗得□□□为圆周幂便为十二段圆田积于头再立天元内方靣以自之又就分十二之得(元○)□为十二段方池积也以减头位余□□□为十二段如积寄左然后列见积三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为内方靣也四之为内方周减于相和步为圆周也依条段求之以十二之积步减和步幂为实八之和步为虚从四常法义曰十二段圆田内有十二个方池于方周幂内补了十二池外犹欠四个故以四为隅法此式元系虚从今却为虚隅命之故以四为虚常法旧术曰相和步自乗于头位以十二之积步减头位余八而一为实相和步为从法廉常置半步减从第十九问今有圆田一段内有方池水占之外计地三十三亩一百七十六步只云内外周与实径共相和得六百二步问三事各多少答曰外圆周三百六十步 内方周二百八步实径三十四步法曰立天元一为内方靣以减一百七十二得□丨为外田径也(倍云数得一千二百四步别得是六个圆径八个方靣两个实径今将一个方)(靣两个实径合成一个圆𠇹并前数而计是七个方靣七个圆径也今置一千二百四步在地以七约之)(得一百七十二步为径靣共也便是一个方靣一个圆径更无)(实径也)以自增乘得□□丨为圆径幂也以三之得□□□为四段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分四之得(元○)□为四池积以减头位得□□丨为四段如积寄左然后列见积八千九十六步又就分四之得三万二千三百八十四步与左相消得□□丨开平方得五十二步为内方靣也以七之方靣减于倍和步余以七而一即圆径也圆径内减方靣余者又半之即实径也依条段求之径靣共一百七十二也自之为幂又三之于头位内减四之见积余为实六之径靣共步为从一常法义曰四之真积内有四个方池于从法内叠周了三个外剰一个故以一步为常法旧术曰倍相和步自乗三之为头位以一百九十六步(按此即四与四十九相乗之数)之田积减头位余以十四而一为实又六之相和步为从法廉常置三步半开平方见内方靣第二十问今有圆田一段内有方池水占之外计地二千四百七十五步只云内外周与斜径相和得二百五十九步半问三事各多少答曰外圆周一百八十步 内方周六十步 斜十九步半法曰立天元一为内方靣以三十三之减于十之云数二千五百九十五步得□□为三十五个圆田径(十之云数内有外圆径三十个内方靣四)(十个角斜十个今将七个方靣并入十个角斜为五个圆径也总别得十之云数是方靣三十三个圆径)(三十五个外更无斜径角也)乃以三十五之圆径自増乗得下式□□□为一千二百二十五段圆径幂也以三因之得□□□合以四除之今不除便为四千九百段圆田积于头再立天元内池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□为四千九百段方池积以减头位得□□□为四千九百段如积数寄左然后列真积二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二万七千五百步与左相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方(三十三之方靣以减于十之相和二千五)(百九十五步余三十五而一即圆径以方靣加四减圆径余半之即斜径也)依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从内叠用了三千二百六十七个方池外犹剰一千六百三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也第二十一问今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小方靣一十五步法曰立天元一为方差以减中方靣(置并数三而一即得中方靣)得□丨为小方靣也以自之得□□丨为小方积于头再立天元方差加入中方靣得□丨为大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也(置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也)依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步常法旧术又折半止得一个方也第二十二问今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少答曰田方靣三十五步法曰立天元一为水占斜加入云数四十五步半得□(元丨)为田斜以自増乗得□步□丨为田斜幂于头再立天元一水占斜以自之为水占得小方积就分以一步九分六厘乗之得(元○)□(步)为所展得水占积也以减头位得□□□(步)为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六厘虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以自乗减头位余为实二之直至为从以九分六厘为廉从开平方得二步半加直至步三十二步半得三十五步即田方靣也此图即旧术条段也旧术减云步为直至步入法而求得二步半为直至不及方靣步新术展积入法而求得三步半为水占斜益古演段卷上
## 卷中
钦定四库全书
益古演段卷中 元 李冶 撰第二十三问今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步 圆径二十一步法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□(○二)丨为方田积以十四之得下式□□□为十四叚方田积于头又立天元圆径以自乗为幂又以十一之得(太○)□便为十四叚圆田积(依密率合以径)(自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母)(也)以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法义曰将此十四个方幂之式只作一个方幂求之自见隅从也第二十四问今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步 圆径四十二步法曰立天元一为圆径减穿步五十四步得□丨为方田面以自増乗得下式□□丨为方田积于头位再立天元圆径以自之又三之四而一得(元○)□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍㢘常减従步此独以従步减倍㢘乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为长与一濶又七分半之和即从数求濶初商四十步以一濶七分半乗之得七十步以减和数余三十八步以初商乗之得一千五百二十步为初商积大扵原积反减之余实七十一步乃二因一濶七分半所乗初商之数得一百四十步大扵和数反减之余三十二步为次商㢘次商二步以一濶七分半乗之得三步半为次商隅凡和数㢘隅相减此反相加得三十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法义曰二之従步内元减了七分半又叠了一步计虚却一步七分半也第二十五问今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少(圆依密率)答曰方周一百二十四步 圆周六十六步法曰立天元一为圆周加周差五十八步得□丨为方田周以自増乗得下式□□丨为方周幂便是十六个方田积又就密率分母一十一之得□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得(元○)□为一百七十六叚圆田积(依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积)(也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数)以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法义曰一百七十六之积步内有一十一个方周方一十四个圆周方也今画此式其一十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也(按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周)(长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也)第二十六问今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步 圆周七十二步法曰立天元一为圆周减于相和二百步得□丨为方周以自乗得□□丨为方周幂(是十六个方积也)就分三之得□□□为四十八叚方田积扵头再立天元圆周以自之又就分四之得(元○)□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅第二十七问今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步 圆径四十二步法曰立天元一为方面加不及一十二步得□丨为圆径以自之得□□丨为圆径幂以一十一之得下式□□□便为十四个圆积于头再立天元方面以自之又就分一十四之得(元○)□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法义曰十四之积步内有一十一个圆径方与一十四个方面方此式与第二十五问畧同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也第二十八问今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干(圆依密率)答曰方周一百二十步 圆周一百三十二步法曰立天元一为方周加不及步一十二得(太□)丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□为一百七十六叚密率积扵头再立天元方周以自之为方积一十六叚又就分一十一之得(元○)□便为一百七十六叚方田积并入头位得下式□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法义曰所减数乃十四叚不及步幂也第二十九问今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少答曰方周九十六步 圆周一百二步法曰立天元一为方周减共步一百九十八得□丨为圆周以自増乗得□□丨为十二叚圆田积四之得下□□□为四十八叚圆田积扵头再立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得(元○)□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也第三十问今有圆田二叚(一叚依圆三径一率一叚依密率)共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数答曰密径一十四步 古径二十六步法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□□□合以四约之又就分母七之得□□□为二十八叚古圆积于头再立天元密圆径以自之又二十二之得(元○)□为二十八叚密圆积也并入头位得□□□为二十八叚如积寄左然后列真积六百六十一步就分二十八乗之得一万八千五百八步与左相消得□□□平方开之得一十四步为密圆径以减和步即古径也依条叚求之二十一叚和步幂内减二十八之田积为实四十二之和步为从四十三步虚常法义曰其二十八之田积内有古积二十一叚密积二十二叚元初减时减过一叚又并从步内合除之数计虚却四十三个方也第三十一问今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云从外田角斜通内池径七十一步外田阔不及长九十四步问三事各多少答曰圆池径一十二步 田长一百二十六步阔三十二步法曰立天元一为内圆径以减倍通步一百四十二步得□丨为直田斜以自乗得□□丨为两叚直田并一叚较幂扵头再置阔不及长九十四步自之得八千八百三十六步以减头位得□□丨为两叚直积数寄左再立天元圆径以自之为圆径幂三之二而一得(元○)□为两个池积数加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为二叚真积与寄左相消得□□□平方开之得一十二步为圆径也依条叚求之倍通步为幂内减二之见积一个较幂为实四之通步为从半步常法义曰従步内少一个圆径幂其漏下底二个圆池共一步半今将一步补了従步合除之数外犹剰半步故以为常法第三十二问今有圆田一叚中心直池水占之外计地五千三百二十四步只云并内池长阔与外圆径等内池阔不及长三十六步问三事各多少答曰外田径一百步 内池长六十八步 濶三十二步法曰立天元一为外圆径以自乗三因四而一得(元○)□为圆积内减了见积五千三百二十四步余得□○□为水池直积也以四之得□○□为四叚水池直积寄左再立天元圆径命为直积和步以自之得(元○)丨为四积一较幂内减了池较幂一千二百九十六步得□○丨亦为四叚池积与左相消得□○□平方开之得一百步为外圆径也阔不及长减圆径余折半见阔却以不及步加之即长也依条叚求之四积内减较幂为实从空二步常法义曰四之圆积内有四个水池又扵见积内减了一个池较幂相并恰是一个和幂也今来池和与圆等共和幂恰是一个圆径幂也除外有两个方第三十三问今有圆田一叚中心有直池水占之外计地七千三百步只云并内池长濶少田径五十五步阔不及长三十五步问三事各多少答曰田径一百步 内池长四十步 阔五步法曰立天元一为外圆径自之得数又三之四而一得(元○)□为外圆田积也减见积七千三百步得□○□为内池积也以四之得□○□为四叚池积寄左再立天元圆径内减少径步五十五得□丨为池和也以自之得□□丨为四池一较幂内减池较幂一千二百二十五步得□□丨亦为四池积也与左相消得□□□平方开之得一百步为圆径也内减少径即水池和步内加一差即为二长若减一差即为二阔也依条叚求之四之积步内减池较幂却加入少径幂为实二之少径为从二步常法义曰四池并所减底个较幂恰是一个和自之旧术下积步四之于头位又以少径步自乗加头位内却减阔不及长幂余折半为实用少径为従一步常法第三十四问今有圆田一叚内有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池阔不及长三十五步问三事各若干答曰圆田径一百步 池长六十步 濶二十五步法曰立天元一为外径内减倍至步三十五步得□丨为池斜以自之得□□丨为二积一较幂于头又列阔不及长三十五步以自之得□减头位得○□□为四池积寄左又立天元圆径以自之又三之便为四叚圆积内减四之见积二万四千步得下式□○□亦为四个池积也与左相消得□□丨平方开得一百步为外田圆径也圆径自之又三之四而一内减见积余为内池积也又用差步为従开方见池阔也依条叚求之四之见积内加八叚至步幂却减两叚阔不及长幂为实八之至步为従一步常法义曰四个圆积内有四个虚直池于积内又减了两叚阔不及长幂合成两个池斜幂也八个従步内贴入八个斜至步幂其数与圆径正相应也外恰有一步方第三十五问今有圆田一叚中心有直池水占之外计地五千七百六十步只云从外田东南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池阔不及长三十四步问三事各多少答曰外圆田径一百二十步 池长九十步 阔五十六步法曰立天元一为角斜加通步得□丨为圆径以自之得□□丨为圆径幂又三之得□□□为四叚圆田积也内减了四之见积二万三千四十步得□□□为四叚内直池寄左再立天元角斜以减通步为池斜以自之得□□丨为池斜幂于头又列长平(按平即阔)较三十四步以自之得一千一百五十六步以减头位余□□丨为二池积也又倍之得□□□亦为四直池与左相消得□□丨开平方得七步为角斜也依条叚求之四之积步内减两叚阔不及长幂又减一叚通步幂为实十之通步为従一步隅法义曰两个较幂并四个池积该两个斜幂也于四个圆积内减此两个斜幂外更减了一个通步幂恰是十之从外有一步常法也第三十六问今有圆田一叚中心有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池长阔共相和得八十五步问三事各多少答曰外田径一百步 池长六十步 阔二十五步法曰立天元一为内池斜加入倍至步三十五得□丨为外圆径以自之又三之得□□□为四叚圆积也内减四之见积二万四千步得下□□□为四个池积寄左乃置内池和八十五步以自之得□为四积一较幂于头再立天元内池斜以自之得(元○)丨为二池积一较幂以减于头位得□○丨为二池积也又倍之得□○□亦为四池积与左相消得□□□平方开得六十五步为内池斜加倍至步即圆径也径自之又三之四而一内减去田积余实以和步为从一虚隅开平方见阔也依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减十二叚至步幂为实十二之至步为从五步常法义曰所加两个和幂该八积二较幂数内元有四虚池外有四积二较幂其实只是添了两个池斜幂也于四圆积内除従步占外元有三个方今又加入两个池斜幂共得五步故五为常法第三十七问今有圆田一叚中心有直池水占之外计地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池长阔共相和得一百二十七步问三事各多少答曰圆田径一百二十步池长一百一十二步阔一十五步法曰立天元一为角斜加通步一百一十六步半□步丨为圆径以自之得□□丨为圆径幂以三之得□□□为四叚圆田也内减四之见积三万六千四百八十步得□步□□为四叚内池积寄左再立天元角斜以减通步得□步丨为内池斜以自乗得□步□丨为二积一较幂于头又列池和步以自乗得□内减头位余得□(元)□丨为二池积也倍之得下□步□□亦为四池积与左相消得□步□□平方开之得三步半为角斜也加通步为圆径依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减五个通步幂余为实二之通步为从五步为常法义曰两个和幂内虚了四池只是两个池斜幂今将两个池斜幂减于两个通步幂止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步幂并以减于四之见积外实在两个通步从五个方也第三十八问今有水旱田各一叚共计积二千六百二十五步只云水田长阔共一百步其旱地阔不及长三十五步而不及水地阔十步问水旱地长阔各若干答曰水地长七十五步 阔二十五步 旱地长五十步 阔一十五步法曰立天元一为旱地阔加旱阔不及水阔一十步得□丨为水地阔以减水田长阔共一百步得□丨为水田长也以水田长阔相乗得□□丨为水田积扵头再置天元旱地阔加不及三十五步得□(兀丨)为旱田长也以天元乗之得(太○)□丨为旱田积也加入头位得□□为一叚如积寄左然后列真积二千六百二十五步与左相消得□□下法上实如法得一十五步为旱田阔也加阔不及长三十五步为旱田长也又扵旱阔内加不及水地阔一十步为水地阔也以水地阔减于水田长阔一百步余为水田长也依条叚求之以水田共步乗二阔差于头位以二阔差幂减头位得数复以减于田积为实列水田共步加入旱地长阔差内却减两个二阔差为法义曰其水田阔二十五步为法内元多一个水旱二阔差数又积步内减了一叚旱阔为长二阔差为平底直积是又虚了一个水旱二阔差数故于法内减去两个阔差也按此条圗与义不合盖𫝊写之误也今仍存旧式另拟图义扵后以明之义曰水田长阔共步乗二阔差内减差幂即附水田周一磬折积也以减共积余同旱阔之两长方共积为实其水田长阔比原数各减一阔差扵此长阔和内加旱田长阔较即两长方之共长故为法即得旱田阔也第三十九问今有直田一叚内有圆池水占之外计地三十九畆一分半只云従田两头至池各一百五步两畔至池各九步问三事各多少答曰田长二百三十四步 阔四十二步 池径二十四步法曰立天元一为内池径加二之边至一十八步得□丨为田阔又置天元池径加二之头至二百一十步得□丨为田长长阔相乗得下式□□丨为直田积于头再置天元径以自之又三之四而一得○□为内池积以减头位得□□□为一叚如积数寄左然后列真积三十九亩一分半以亩法通之得九千三百九十六步与左相消得□□□开平方得二十四步为内池径也加二之邉至步为田阔若加二之头至步即田长依条叚求之倍头至步与倍边步相乗以减田积为实并一头一边步又倍之为从二分半常法义曰此问与第一问条叚颇同但所减者为四个小池积(按池当作隅)第四十问今有直田一叚中心有圆池水占之外计地四亩五十三步只云外田长平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步问外田水池径各多少答曰田长五十步 阔二十六步太 池径二十步太法曰立天元一为内池径加倍角至步三十六得□丨为直田斜以自之得□□丨为田斜幂(便是二积一较幂也)又九之得下式□□□为十八积九较幂也寄左列和步七十六步太(按太)(即三分步之二)通分内子得□以自之得五万二千九百步为九叚和幂于头(为九)(叚和幂者元带三分母以自之得九也此九叚和幂该三十六直积九个较幂也)又置天元圆径以自之又三之四而一得(元○)□为一叚圆积也加入见积一千一十三步得□○□共为直积一叚又十八之得□○□为十八叚直积以减头位得□○□亦为九叚田斜幂与左相消得□□□合以平方开之今不可开(按不可开者谓㢘隅数多而得数又不能尽也)先以隅法二十二步半乗实二万三千单二步得五十一万七千五百四十五步正为实元従六百四十八负依旧为従一益隅平方开之得四百六十五步以元隅二十二步半约之得二十步三分之二为内池径也加倍至步为田斜以自之为二积一较幂又二之于头位以和步幂减头位余以平方开之即田较也加入和步折半为长若减于和步折半为阔也依条叚求之列相和步自乗为幂内减倍积及四叚至步幂为实四之至步为从二步半常法义曰和步幂内减了二直积只有一叚斜幂也减二直积时漏下两个圆池该一步半又正有一步共计二步半常法也 求较者先置池径二十步太□带三分母便为三个径也加入六之至步一百八步得□便为三个田斜也以自之得□为九叚斜幂(便是十八个直积九个较幂)倍之得□为三十六叚田积一十八叚较幂于头再置和步七十六步太□亦带三分母便为三个和也以自之得□为九叚和幂(便是三十六直积九较幂也)以减头位余□为九叚较幂也平方开之得七十步以三约之得二十三步三分步之一为田较也欲见田长阔及斜者准此法求之 又法求圆池径者立天元一为三个内池径以自之得(元○)丨为九叚池径幂便是十二叚圆积也加十二叚见积得□○丨为十二叚直积又身外加五得□○□为十八叚直田积扵头又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□为和幂九叚(便是直积三十六叚较幂九叚也)内减头位得下式□○□为九叚斜幂数寄左再置天元圆径加六之角至步一百八步得□丨为三个田斜以自之得□□丨亦为九叚斜幂也与左相消得□□□开平方得六十二步为三个圆池径也以三约之得一个圆径二十步三分之二此名之分天元一术前法乃连枝同体术也(按分天元一术即天元一内带分求之得数而后约之连枝同体术即通分开方得数而后约之皆)(兼通分之法也)第四十一问今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云従外田角斜通池径七十一步外田长阔相和得一百五十八步问三事各多少答曰圆径十二步 田长一百二十六步 阔三十二步法曰立天元一为内圆径以减倍通步一百四十二步得□丨为田斜以自之得□□丨为二积一较幂于头又立和步一百五十八步以自之得□为四积一较幂以减头位得□□丨为二直积寄左又立天元池径以自之又三之二而一得(元○)□为两个池积也加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为一叚直积与左相消得□□□平方开之得一十二步为内池径也依条叚求之二之积步内加四叚通步幂却减一叚和步幂为实四之通步为従二步半虚常法义曰减一和步幂是减四积一较幂也四之通步幂内减了一个斜幂却又减过二个直积故二之积步加之従内欠一个方减二积时漏下二个圆池又该欠一个半方共欠二步半虚常法也第四十二问今有直田一叚中心有圆池水占之外计地一万八百步只云从外田角至水池楞六十五步其外田阔不及长七十步问二事各多少答曰田长一百五十步 阔八十步 圆池径四十步法曰立天元一为内池径加倍至一百三十步得□丨为田斜以自之得□□丨为田斜幂于头又置田较七十步以自之得□为较幂以减头位得□□丨为二田积寄左再立天元池径以自之身外加五得(元○)□为两个池积也加二之见积二万一千六百步□○□亦为二直积与左相消得□□□开平方得四十步即池径也以径自之三之四而一加入见积为实以阔不及长为従开方得田阔依条叚求之二之田积内加较幂却减四叚至步幂为实四之至步为従半步虚常法义曰二积内加一个较幂恰补就一个斜幂也其二积内有两个圆池是元虚了一步半方也扵积内却实有一步除外止虚了半步也益古演段卷中
## 卷下
钦定四库全书
益古演叚卷下 元 李冶 撰第四十三问今有圆田三叚(一依古法一依宻率一依徽率)共计地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻径多于古径九步徽径多于宻径九步问三径各多少答曰古径三十六歩 宻径四十五步 徽径五十四步法曰立天元一为古径加多九步得□丨为宻径以自之得下□□丨为宻径幂又以十一乗之得□□□为十四叚宻圆积于头又立天元古径加二之多步一十八步得□丨为徽径以自之得□□丨为徽径幂也又以一百五十七乗之得□□□为二百叚徽圆积于中(按徽率周一百五十七径五十径乗)(周四归为圆幂今以径幂乗周当以径五十除之再四归之为圆幂不除便为五十乗之又四乗之之二)(百圆幂也)又置天元古径以自之又三之得(元○)□为四叚古圆积于下乃求三积齐同分母而并之先以分母一万七千五百(按此即十四除二十四万五十之数)乗十四叚宻圆积得□□□为二十四万五千叚宻圆积于头位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽积得□□□为二十四万五千叚徽积于中位次以分母六万一千二百五十乗四叚古积得○○□为二十四万五千叚古积于下位三位相并得□□□为二十四万五千叚如积数寄左然后列见积通分内子得八十四万九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一亿八千八百七十七万二千二百与左相消得下式□□□平方开之得三十六步为方径也各加多步见徽宻二径也 义曰所以齐同于二十四万五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此数依条叚求之以一千四百乗田积于头位置徽径多古径自之为幂又以一千九十九(按置一千四百分以徽圆幂率一百)(五十七乗之方幂率二百除之即得)乗之减头位续置宻径多古径自之为幂又以一千一百(按置幂十)一(千四百分以宻率圆乗之方幂十四除之)(即得)乗之复减头位余为实又倍徽径多古径以千九十九乗之为徽从又倍宻径多古径以一千一百乗之为宻从并二从得五万九千三百六十四为从法亷常置三千二百四十九义曰以一千四百乗积者取其三率皆可以除之也齐同分母湏至于二十四万五千叚者葢以分母一百七十五元乗积数一千四百此二数相乗得二十四万五千也此问求真积实数 古径三十六得积九百七十二步 宻径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一 徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二并三积全步四千八百五十二步外(宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二)以上维乗下位(宻子得二百分八徽子得一百六十 分)相并得三百六十八分为子实又上二位相乗得二千八百分为母法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三 一千四百乗田积来厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一为一千一百积 若以古率三之四而一则得一千五十积 若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九积所以用一千四百乗积者縁古法四徽法二百皆可以除之也 求三积齐同分母元分母数一百七十五元乗积数一千四百此二数相乗二十四万五千即大分母也三积总率皆齐同于此既得此齐同分母乃各以先求到叚数约之徽率得一千二百二十五宻率得一万七千五百古率得六万一千二百五十故反以乗叚数皆齐同于二十四万五千也按条叚分母数简于前法者用旧术也然各分母之数犹有可省者盖众数取分母数必得最小者方为确凖其义见秦九韶数学九章大衍术中今附其法于后以发明前法所未尽者法列四数先以元母一百七十五与宻方率十四相度得度尽二数之数为七次以二数相乗以度尽数除之得三百五十为二数总母又以二数总母与徽方率数相度得度尽二数之数为五十以二数相乗度尽数除之得一千四百为三数总母又以三数总母与古方率数相度则古方率四即为度尽二数之数二数相乗度尽数除之仍得一千四百即为四数总母然后以宻方率十四除之得一百为宻分母以徽方率二百除之得七为徽分母以古方率四除之得三百五十为古分母以元分母一百七十五除之得八为原积分母以此数与各叚幂积相乗除较原数所省多矣第四十四问今有梯田一叚长二百四十步并不知东西两濶只云从东头截长五十步计地三畆从西头截长三十步计地五畆问二濶各多少答曰东头元濶一十一步二分 西头元濶四十一步九分二厘法曰此问先湏求见两头各截之停广求东截停广者置东头所截三畆之积七百二十步以截长五十步除之得一十四步四分为东截地之停广也求西截停广者置西头所截五畆之积一千二百步以截长三十步除之得四十步为西头所截停广也乃立天元一为毎步之差以东头截长五十步乗之折半得□以减东停广一十四步四分得□(分)□为东头元小濶于上再置天元差步以西头截长三十步乗之得□折半得□加入西头停广四十步得□□为西头大濶也内减东头小濶余□步□为二濶总差也寄左再立天元毎步差以正长二百四十步乗之得□亦为二濶总差与左相消得□步□下法上实如法而一得一分二厘八毫为毎步之差也置毎步之差以西头截长三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西头停广四十步得四十一步九分二厘为西头元大濶也又置毎步之差以东头截长五十步乗之得六步四分折半得三步二分以减于东头停广一十四步四分余一十一步二分为东头元小濶也此问止求毎步之差更不湏以条叚明之旧术依法求得东停广与西停广数乃以二停广相减余以二百而一(谓东截长五十步其停广当二十五步余去了二十五步也西截长)(三十步其停广当一十五步余去了一十五步也两头计去了四十步以减于正长二百四十步余二百)(步)所得为毎步之差乃副置半步之差左以东截长乗之以减东停广余为东元濶也右以西截长乗之以加西停广并为西元濶也又法置一步之差以正长二百四十乗之所得为都濶差也以都濶差加于小头濶则为大头濶也第四十五问今有方田一叚中心有方田池占之外计地一畆只云从外田东南隅至内池西南隅一十三步问内外田方各多少答曰内池方七步 外田方一十七步法曰立天元一为内池方以自乗倍之得(元○)□加入见积得□□寄左又列至步自之得一百六十九步又倍之得三百三十八步与左相消得□○□开平方得七步即内池方也池方自之加入见积再开平方即外田方面也依条叚求之只据前式便是更不湏重画也只是将见积打作四叚小直田以池面为较以外田方面为和以斜至步为弦然此问惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏侧则不能用也 旧术列去角步自乗为二位头位减半田积开平方见内池面下位加半田积开平方见外田面也第四十六问今有方圆田各一叚共计积一百二十七步只云其方面大如圆径圆径穿方斜共得二十步问面径各多少答曰方面一十步 圆径六步法曰立天元一为圆径减穿步得□丨为方斜以自之得□□丨为方斜幂于头再置天元圆径以自之又以一步四分七厘乗之得□□步为展起圆田也并入头位得□□□步为展数如积一叚寄左然后列见积一百二十七步两度下加四(两度下加四止是以一步九分)(六厘乗之也以一步九分六厘乗之者变方田为斜田也)得二百四十八步九分二厘与左相消得下式□□□开平方得六步即圆径也以径减穿步即方斜也依条叚求之穿步幂内减去展起见积为实二之穿步为从二步四分七厘虚隅义曰下式乃展起之圆积也亦俱是减数也此数该一步四分七厘之方又从步内叠出一步虚隅计得二步四分七厘常法也旧术曰以一步九分六厘乗田积为头位又列穿步自乗内减去头位余为实倍穿歩为从亷常置二歩四分七厘减从开方第四十七问今有直田一叚中心有小方池结角占之外计地二千七十九步只云从田二头至池角二十一步半两邉至池角七步半问三事各多少答曰长六十四步 濶三十六步 池方一十五步法曰立天元一为内方面身外加四又加二之头至步四十三得□□为田长也又置池方面身外加四又加入二之邉至步一十五得□□为田濶也长濶相乗得下式□□□为直田积于头又置天元池方面以自之得(元○)丨为内方池以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列见积二千七十九步与左相消得□□□开平方得一十五步即内池方面也方面外加四副二位若加两头至池步见长若加两邉至池步即见濶也依条叚求之积步内减四叚邉至与头至步相乗数为实并至头至步倍之又身外加四为从九分六厘常法义曰水池外有九分六厘常法从步皆加四者盖于斜上求方面也第四十八问今有方田一叚内有直池水占之外有地三百四十步只云其池广不及长四步又云从田楞通池长一十五步问三事各多少答曰田方二十步 内池长一十步 广六步法曰立天元一为池长减于倍通步□丨为田方面以自之得□□丨为田方积于头再置天元池长内减较四步□丨为池濶以天元乗之得□丨为直池积以减头位得□□○为如积一叚寄左然后列直积三百四十步与左相消得□□下法上实如法而一得一十步即池长也以长减于倍通步即方田面也依条叚求之四叚通步幂内减田积为实四之通步内减池较为法如法得池长义曰四之通步为法内欠一个池长幂却用所漏之池补之犹差一池较为法合除之数也既于实积内虚了此数故作法时于四之通步内减去一数也第四十九问今有方田一叚内有小方池结角占之外计地一万八百步只云从外田楞至内池角各一十八步问内外方各多少答曰外田方一百二十步 内池方六十步法曰立天元一为内方面身外加四又加倍至步三十六得□□为田方面以自乗得□□□为外方积于头再置天元内方面以自之得(元○)丨为内池积也以减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□开平方得六十步为内池方面也内方面身外加四又加倍至步即方面也依条叚求之见积内减四叚至步幂为实四之至步身外加四为从九分六厘常法义曰从步内加四者是于一个方面上求第五十问今有方田一叚自有小方池结角占之外计地九千三百七十五步只云从外方角至内池面各五十七步半问内外方各多少答曰外田方一百步 内池方二十五步法曰立天元一为内方面加倍至步一百一十五步得□丨为外田斜以自之得□□丨为所展方积于头再置天元内池面以自之得(元○)丨为内池积又就分以一步九分六厘乗之得下(元○)□亦为所展之池积也以减头位得□□□为一叚所展如积寄左然后列真积九千三百七十五步以一步九分六厘乗之得一万八千三百七十五与左相消得□□□开平方得二十五步即内方面也依条叚求之展积内减四叚至步幂为实四之至步为从九分六厘虚常法义曰展积时其池亦展得虚了九分六厘也第五十一问今有方田一叚内有小方池结角占之外计地四十五畆只云从外田南邉斜通池北角一百二步问内外方各多少答曰外田方一百二十步 内池方六十步法曰立天元一为内方面身外加四为池斜以减于倍通步二百四步得□□为外方面以自之得□□□为方田积于头又置天元内池面以自之得下(元○)丨为内方池也以内方池减头位得□□□为如积一叚寄左然后列真积一万八百步与左相消得□□□平方开之得六十步为池方面也依条叚求之四叚通步幂内减见积为实四之通步加四为从九分六厘虚隅法义曰从步身外加四者盖是于池斜上求池面也旧术曰倍通步自乗以田积减之余折半为实倍通步加四为从亷常置四分八厘减从开方见内方面第五十二问今有方田一叚内有方池结角占之外计地三十九畆零一十五步只云从田东南角至内池西北面八十二步半问内外方面各多少答曰外田方面一百步 内池方面二十五步法曰立天元一为内方面减于倍通步一百六十五步得□丨为外田斜也以自之得□□丨为所展外田积于头再置天元池方面以自之为方池积又就分以一步九分六厘乗之得(元○)□为所展方池积也以减头位得□□□为展起底如积一叚寄左然后列真积三十九畆一十五步通纳得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六厘乗之得一万八千三百七十五步与左相消得□□□平方开之得二十五步即内池面也以池面减于倍通步又身外去四即外方面也依条叚求之四叚通步幂内减展积为实四之通步为从九分六厘常法义曰元以展积减四叚通步幂时漏下一步九分六厘池积今来于从步内叠用了一个方外剰九分六厘第五十三问今有方田一叚内有直池结角占之外计地八百五十步只云从田角通水长三十七步通水濶三十二步问三事各数答曰池长二十五步 濶一十五步 外田方三十五步法曰立天元一为内池长减于倍通步七十四步得□丨为外田斜也以自之得□□丨为所展外田积于头再置倍通长七十四步内减倍通濶六十四步余一十步乃池长濶差也(或直以通长通濶相减于者倍)(之亦为长濶差也)再置天元池长内减长濶差得□丨为濶也以天元长乗之得□丨为直池积也又就分以一步九分六厘乗之得□□为展起底直池积也以减头位得下式□□□为所展如积一叚寄左然后列真积八百五十步就分以一步九分六厘乗之得一千六百六十六步与左相消得□□□开平方得二十五步为内池长也(以减倍通长步又身)(外去四即外田方面也)依条叚求之四叚通长幂内减展积为实四之通长于头以一步九分六厘乗长濶差以减头位为从九分六厘常法义曰据从步合用之积于叠起处少了一方今将减积时漏下所展水池补了一甲之地若更得一乙之地则共补成一步九分六厘之地方也(按原)(图仍用正方今易为直方庶为简明)今不可补故于从步内减去所展差步便是于从法合用之积内借了一乙之地恰补就一步九分六厘之方也除补了叠起的一步方外犹剰九分六厘故以之为常法也第五十四问今有方田一叚内有直池结角占之外计地一千一百五十步只云从田角至水两头各一十四步至水两邉各一十九步问三事各多少答曰方四十五步 池长三十五步 濶二十五步法曰立天元一为池濶加二之邉至步三十八得□丨为外田斜以自之得□□丨为所展外田积于头二之邉至步内减二之头至步余一十步为池长濶差也再置天元池濶加差一十步得□丨为池长也用天元池濶乗之得□丨为直池积也又就分以一步九分六厘乗之得□□步为所展之池积也以减头位得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为池濶也(又加)(二之邉至步又身外去四即外方面也)依条叚求之展积内减四叚邉至步幂为实四之邉至步于头以一步九分六厘乗长濶差减头位余为从九分六厘虚常法义曰所展池积内将四叚红(按原)(图应减者以红色别之)积恰补作九分六厘虚常法其两个所占半差于减从时又以一步九分六厘乗之者葢欲合身外加四所乗积也按展积义多未备此条尤略今具图说以详之义曰外四隅方所减之四至幂也中十字积为实则池濶为隅四之至步为从也附直池外斜方展池积也平分上下二尖形附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正长之直方展池正长为原池长之一步九分六厘十字积与展池积之较为实是前从隅内应少原池长之一步九分六厘又为少原池长濶较之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展较减前从以为从展隅反减前隅为虚隅也第五十五问今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云内外周径共相和得四百二十四步问内外周径各多少(图依宻率)答曰外周二百八十六步径九十一步 内周一百一十步径三十五步 实径二十八步法曰立天元为实径以减相和步四百二十四得□丨为内外周共步用天元实径乗之得□丨为如积两叚寄左然后列二之真积一万一千八十八步与左相消得□□丨开平方得二十八步为实径也以径步除田积于头位又二十二乗径步如七而一得数若加头位即外周若减头位即内周也义曰以径步除田积所得乃半内周半外周共步也又据古率三个实径即是半个外内周差步也縁此问系是宻率故以二十二乗径以七约之也即得半差以加共步即是外周以减共步即是内周也又据古率三之实径以加减共步者縁共步便三空径三实径共数也于此共数内加三实径则恰是三个大圆径故为一个外周也若共数内减去三实径则正有三个小圆径故为一个内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此数以求内外周也依条叚求之倍积步为实和步为从一益隅义曰以和步为从是于内外周数外又引出一步虚常法也第五十六问今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云从外田通内池径六十三步问同前答同前法曰立天元为实径加通步六十三得□丨为外田径以自之得下□□丨为外圆径幂又十一之得下式□□□为十四叚外圆积于头再置天元实径以减通步得□丨为内圆径以自之得□□丨为内圆径幂又十一之得□□□为十四叚内圆积也以减头位得下式□步为十四叚如积寄左然后列真积二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七万七千六百一十六与左相消得□□下法上实如法而一得二十八步为实径也以实径加通步即外径若减通步即内池径也依条叚求之十四之积为实四十四之通步为法求得实径此问难以为式强立此式以推之毎积之长乃三个通步今十四之积合以四十二个通步除之今用四十四之通步为法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七个积即合用二十一个通步为法若依宻率七个积即合用二十二个通步为法此问乃并十四之积为实是合用四十四个通步为法也旧术曰二十二之通步如七而一为法除田积见径又法倍通步自之又十一之于上以十四之积减上余为实四十四之通步为法见池径按条叚皆于立天元一内取出而于方圆变积之义或未暇深思故谓难以为式若以方环圆环解之固易易耳今増一图义于后而旧术又法先求池径更可互相发明因并附焉义曰圆幂率十一方幂率十四以十四乗圆环积便为十一方环积毎环为实径乗通步之直方四故以十一方环积为实四十四通步为法即得实径也义曰倍通步即大小径并其幂内有大小径幂各一大小径相乗直方二内减圆环积所变之方环积余小径幂二大小径相乗之直方二又为小径乗大小径并之直方二又为小径乗通步之直方四故以十一倍之积较为实四十四之通步为法即得小径也第五十七问今有圆田一叚内有直池水占之外计地八千七百四十四步只云两头至田楞各二十一步两畔至田楞各四十五步问三事各数答曰田径一百二十四步 池长八十二步 濶三十四歩法曰立天元一为池濶加二之畔至步得□丨为外田径以自之得□□丨为田径幂以三之得□□□为四叚圆田积于头二至歩相减余二十四步又倍之得四十八步为池长濶差也再立天元池濶加差得□丨为池长以天元濶乗之得□丨为池积又就分四之得□□为四叚直池积以减头位得□□丨为如积四叚寄左然后列真积八千七百四十四步就分四之得三万四千九百七十六步减头位得□□丨平方开之得三十四步为池濶也依条叚求之四之见积内减十二叚畔至步幂为实十二之畔至步内减四个长濶差余为从一步虚常法义曰八处以红志之者共是从内所减之数也旧术曰四之积步于上又倍一畔步自乗三之减上余为实又并一头一畔步六之内减了长濶之差余为从亷常置一步减从开方见池濶也第五十八问今有圆田一叚内有直池占之外计地一千五百八十七步只云从田楞通地长四十二步通地濶三十七步问三事各数答曰田径五十四步 池长三十步 濶二十步法曰立天元一为内池长以减倍通长八十四步得□丨为田径以自之得□□丨为田径幂以三之得□□□为四叚圆田于头再立天元一为池长内减长濶差得□丨为池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□为四叚池积(求长濶差者倍通长内减)(倍通濶即是也)以减头位得下式□□丨为四叚如积寄左然后列四之真积六千三百四十八步与左相消得□□丨开平方得三十步为内池长也以长减倍通长即田径也依条叚求之十二之通步幂内减四之见积为实十二之通步内减四差为从一步常法义曰十二之从步内减去了三个差又以三个漏下池积补了叠起底三步虚方外犹剰一池更用一差减从并上所剰之一池恰补成一步常法也第五十九问今有二方夹一圆失却圆水占外有田积一十一畆五分五厘其方圆相去重重径等问方圆各多少答曰内方面一十二步 圆径三十六步 外方面六十步法曰立天元一为等数五之得□为外方面自之得(元○)□为外方积于头一次立天元一为等数以三之得□为中圆径以自之得(元○)□为圆径幂又三之四而一得(元○)□为池积以减头位得(元○)□为外田积内减了中圆积之数于次位一再立天元等数便为内方面以自之得(元○)丨为内方积却加入次位得下□为如积一叚寄左然后列真积一十一畆五分五厘以畆法通得二千七百七十二步与左相消得□□步下法上实如法而一得一百四十四步再开平方得一十二步为等数也便是内方面也三之为中圆径五之为外方面 此问更无条叚旧法以十九步二分半除积步得内方幂只是以一步推之也假令内方一步则圆径三步外方面五步也于外方积二十五步之内减了中圆积六步七分半却加入内方积一步计得十九步二分半也第六十问今有二圆夹一方失却中方水占外有田积一十四畆一分七厘半其方圆相去重重径等问方圆各几何答曰内圆径一十八步 方面五十四步 外圆径九十步法曰立天元一为等数以五之为外圆径以自之得(元○)□为外径幂又三之四而一得□为外田积于头再立天元等数以三之为中方面又自之得(元○)□为中方幂以减头位得(元○)□为外圆积内减了中方幂之数于次位又置天元等数便为内圆径以自之得(元○)丨为内径幂又三之四而一得(元○)□为内圆积也却加入头位得(元○)□为如积一叚寄左然后列真积一十四畆一分七厘半以畆法通得三千四百二步与左相消得□□下法上实如法而一得三百二十四步再开平方得一十八步为等数便是内圆径也副置之三因为中方面五因为外圆径也 此问与前问意同更无条叚旧法以十步半除积步得内径幂亦只是以一步推之假令内圆径一步则是中方面三步外圆径五步先置外圆积一十八步七分半内减了中方积九步却加内圆积七分半共得一十步半也第六十一问今有方田一叚靠西北隅有圆池水占之外计地九百二十五步只云从外田东南隅至池楞二十五步问面径各多少答曰外田方面三十五步 内池径二十步法曰立天元一为内池径身外加二得□为池东南楞至田西北角也又加斜至步二十五步得□□为外田斜以自之得□□□为田斜幂于头再立天元圆径以自之为幂又以一步四分七厘乗之得(元○)□为所展圆池积以减头位得□□□为所展如积一叚寄左(初立天元身外加二者以方求斜合加四今求)(一半故加二也斜按加二系以方求半方半 和之数也)然后列真积九百二十五步就分以一步九分六厘乗之得一千八百一十三步与左相消得□□□平方开得二十步为池径也池径外加二又添入斜至步却身外除四即外方面也依条叚求之展积内减斜至幂为实倍至步身外加二为从三厘虚常法减从开平方义曰于一方外虚了四分七厘从上带了四分外虚七厘又于从上乗起四厘外犹虚三厘故以三厘为常法此图内二分合画作极细形状与四分七厘外圆邉正自相应今不应者但二分差濶耳所以画作差濶之状者正欲易辩二分之数也按原图式有附斜至幂外磬折形无附池径幂外磬折形且二形相离皆𫝊本之误也故义中所论亦不知其何指今订补此图二分不必加濶未尝不易辨也第六十二问今有方田二叚靠西北隅有方池结角占外计地四畆一十五步只云从田东南隅斜至水方面一十九步问内外面各多少答曰外方面四十步 内方面二十五步法曰立天元一为池方面身外加四八又加入斜至步一十九步得□□为外田斜也(先将池斜变为方故加四后又)(将池方变为斜复合加四两度加四于一步上合得一步九分六厘今求一半故身外止加四八也 按)(方一步求斜身外加四又以斜为方求斜再身外加四是原方求再斜为身外加九六今求半方半再斜)(之和数故加四八也)以自之得□□□为外田斜幂于上再立天元一为池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得(元○)□为展起方池积以减上得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积四畆一十五步以畆法通内得九百七十五步又随分以一步九分六厘乗之得一千九百一十一步与左相消得□□□平方开得二十五步为内池方面也于此方面上两次求斜合得一步九分六厘以除元方一步外有九分六厘半之则得四分八厘故此方面上加四八更加入斜至步为大方斜也以条叚求之展积内减至步幂为实二之至步以一步四分八厘乗之为从二分三厘四丝为常法义曰此一问其展起积时于一池之外虚了九分六厘却于一个从步内加四分八厘二个从步计加了九分六厘恰就了所展虗数除外有一叚四分自乗数该一分六厘于上又有两叚四分乗八厘数(按附自乗方外)该六厘四毫于次又有一叚八厘自乗数(按小方隅)该六毫四丝于下三位并得二分三厘四丝此数系是于展积内实有之数故以常法也旧术以四十九乗田积如二十五而一于头位以至水步自乗减头位为实余与条叚同按原图式四分八厘方内按分厘数细分之因其数甚微又以分数厘数作等数分之终不免混淆今以亷隅线易之第六十三问今有大圆田一叚大小方田二叚其小方田内有圆池水占之外共计积六万一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多于小方田面五十步其圆田径又多于大方田面五十步问四事各多少答曰小方田面一百步 池径四十步 大方田面一百五十步 圆田径二百步法曰立天元一为内池径加二之至水六十步为小方面于小方面上又加入大小方面差五十步即大方面也于大方面上又加入大圆径大方面差五十步即大圆径也具图于左一内圆径(太○)丨 一小方面□丨一大方面□丨 一大圆径□丨乃先置天元内圆径以自之义三之得(元○)□为四叚圆池积于上又置小方面□丨以自之得□□丨为小方积以四之得下式□□□为四叚小方积于次又置大方面以自之得□□丨为大方积四之得□□□为四叚大方积于下又置大圆径下式□丨以自之得□□丨为大圆径幂以三之得下式□□□为四叚大圆积于下位之次并下三位得下式□□□于右以四池积(元○)□减于右得□□□为如积四叚寄左然后列真积六万一千三百步就分四之得二十四万五千二百步与左相消得□□□平方开之得四十步为内池径也各加差步即各得方面与圆径也依条叚求之四之田积于头位内减三叚(按落大圆径三字)多池径幂又减四叚大方面多池径幂又减十六叚至水步幂为实六之圆田多池径步又八之大方田面多池径步又十六之至水步三位并之得二千三百二十步为从法亷常置八步开平方义曰三叚圆径幂乃四个圆田积此数内有三个方也其四叚大方田积内有四个方也其四叚小方积毎个圆池外余二分半四池计余一步方也三位上并带八步方第六十四问今有方田一叚中心有环池水占之外计地四十七畆二百一十七步只云共环水内周不及外周七十二步又从田四角至水各五十步半问内外周及田方方各多少答曰外周一百八十步 内周一百八步 田方一百一十五步法曰立天元一为池内径先以六除内外周差七十二步得一十二步为水径倍之得二十四步加入天元池内径得□丨为池外径又加倍至步一百一步得下式□丨为外田斜以自之得□□丨为田斜幂于头位再立天元池内径加入二之水径得□丨为池外径以自之得□□丨为外径幂又以一步四分七厘乗之得下式□□□步为展起底外圆积于次上再立天元一池内径以自之(元○)丨亦以一步四分七厘乗之得(元○)□(步)为展起底内圆积以减次上得□步□○为所展底池积也以此池积减头位得下式□步□丨为展起如积一叚寄左然后列真积四十七畆二百一十七步以畆法通纳之得一万一千四百九十七步又就分以一步九分六厘乗之得二万二千五百三十四步一分二厘与左相消得下式□步□丨开平方得三十六步即池内径也三之为内周又加差为外周置内径加二之水径又加倍至步为外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依条叚求之以一步九分六厘乗田积于头位以水径加至步以自之为幂又四之以减头位又倍水径自乗又以一步四分七厘乗之却加入头位为实又水径加至步四之于头位又三之水径以一步九分六厘乗之减头位为从一步常法此问图式有三第一式即所画原様是也以一步九分六厘乗之变为斜幂其式如后右第二式也黒者为元问㸃者尽是展数恐糢糊难辩再具加减图式于下更不见旧式也右第三式也其圆环以条叚命之只是一个方环内取四分之三也却加入三叚展起底水径幂外只有三叚展起底水径乗内圆径直田积也此系展环之虚数也今以至步并水径共为从故于内却除去水径之虚步也必湏以一步九分六厘乗水径而去从者縁二停虚环并是展起之积故减从时将水径亦展起而减之也(按展水径展内圆径皆于原数身外加四今以内圆径为不动则水径必)(两度加四故以一步九分六厘乗之也)益古演段卷下◆ 《弧矢筭术-明-》（KR3f0045）
## 提要
钦定四库全书 子部六
弧矢筭术 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案弧矢算术一卷明顾应祥撰应祥有人代纪要巳著录弧矢之法始于元郭守敬授时厯草其有弧背求矢草立天元一为矢云云反复求之至得三乘方积数及廉隅纵数而止不载开方筭式大抵开诸乗方法尚为当时畴人所习抑或别有専书皆不可知其弦矢相求及弧容直濶诸法皆以勾股法御之明唐顺之谓为步日躔月离源头作弧矢论以示顾应祥应祥遂演为是书名其编曰弧矢算术应祥未明立天元一法故置之不论惟补其开带纵三乗之式并详各弦矢相求之法与测圆海镜分类释术之作相同亦専备其数使学者可考而已乾隆四十六年二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 序
弧矢算术序
弧矢一术古今算法所载者绝少钱唐呉信民九章法止载一条四元玉鉴所载数条皆不言其所以然之故沈存中梦溪笔谈有割圆之法虽自谓造微然止于径矢求弦而于弧背求矢截积求矢诸法俱未备予每病之南曹讼牒颇暇乃取诸家算书间附己意各立一法名曰弧矢算术藏诸箧笥俟高明之士取正焉未敢谓尽得其阃奥也嘉靖壬子春三月吉吴兴顾应祥识
## 弧矢论说
弧矢论说
弧矢者割圆之法也割平圆之旁状若弧矢故谓之弧矢其背曲曰弧背其弦直曰弧弦其中衡曰矢而皆取法于径径也者平圆中心之径也背有曲直弦有修短系于圆之大小圆大则径长圆小则径短非径无以定之故曰取则于径而其法不出于勾股开方之术以矢求弦则以半径为弦半径减矢为股股弦各自乗相减余为实平方开之得勾勾即半截弦也以弦求矢亦以半径为弦半截弦为勾勾弦各自乗相减余为实平方开之得股股乃半径减矢之余也以减半径即矢或以矢减全径为勾股和以矢为勾股较乘之亦得勾筭即半截弦筭也矢自乗圆径除之得半背弦差倍以加弦即弧背以半背弦差除矢筭亦得圆径半截弦自乗为实以矢除之得矢径差加矢即圆径以矢加弦以矢乗而半之即所截之积也倍截积以矢除之减矢即弦倍截积以弦为从方开之即矢惟弧背与径求矢截积与径求矢开方不能尽用三乗方法开之弧背求矢以半弧背筭与径筭相乗为实径乗径筭为从方径筭为上亷全背与径相乗为下亷约矢乗上亷以减从方以矢自乗以减下亷又以矢乗余下亷与减余从方为法除实得矢曷为以矢乗上㢘减从方也盖从方乃径与径筭相乗其中多一矢乗径筭之数故减之曷为又以矢自乗以减下亷也下亷乃背径相乗其中多一矢自乗之数故亦减之减之则法与实相合矣以截积求矢则倍积自乗为实四因积为上亷四因径为下亷五为负隅约矢以隅因之以减下亷又以矢一度乗上亷两度乗下亷并而为法矢减下亷者何也矢本减径而得故减径以求之五为负隅者何也凡以方为圆毎一寸得虚隅二分五厘四其虚隅与四其矢合而为五也四其亷者何也倍积则乗出之数为积者四故亦四其亷以就之升法以就实也若以截弦与截余外周求矢则以弦筭半弦筭相乗四而三之为实并弦及余周为益方半弦乗弦加弦筭为从上亷并亷及余周为下亷以约出之矢乗上亷又以矢自乗再乗为隅法并上亷以减益方矢自之以乗下亷并减余从方为法除实得矢方圆论说(附)世之习算者咸以方五斜七围三径一为凖殊不知方五则斜七有奇径一则围三有奇故古人立法有勾三股四弦五之论而不能使方斜为一定之法有割圆矢弦之论而不能使方圆为一定之法试以勾股法求之勾股各自乗并为弦实平方开之此施之于长直方则可若一整方勾五股五各自乗并得五十平方开之得七而又多一筭矣割圆之法求矢求弦固是至于求弧背则恐未尽也何以知之试以平圆径十寸者例之中心剖开矢阔五寸自乗得二十五寸以径除之得二寸五分为半背弦差倍之得五寸以加弦得一十五寸与围三径一之论正合然径一则围三有竒奇数则不能尽矣以是知弧背之说犹未尽也不特是也凡平圆一十二立圆三十六皆不过取其大较耳或曰宻率径七则围二十二徽率径五十则围一百五十七何不取二术酌之以立一定之法曰二术以圆为方以方为圆非不可但其还原与原数不合数多则散漫难收故算厯者止用径一围三亦势之不得已也曰厯家以径一围三立法则其数似犹未精然郭守敬之厯至今行之无弊何也曰厯家以万分为度秒以下皆不录纵有小差不出于一度之中况所谓黄赤道弧背度乃测验而得止以径一围三定其平差立差耳虽然行之日久安保其不差也窃尝思之天地之道隂阳而已方圆天地也方象法地静而有质故可以象数求之圆象法天动而无形故不可以象数求之方体本静而中斜者乃动而生阳者也圆体本动而中心之径乃静而根隂者也天外阳而内隂地外隂而内阳隂阳交错而万物化生其机正在于奇零不齐之处上智不能测巧厯不能尽者也向使天地之道俱可以限量求之则化机有尽而不能生万物矣余因论方圆之法而并著其理如此
## 弧矢算术
钦定四库全书弧矢筭术 明 顾应祥 撰圆径与截矢求截弦术曰半径为弦半径减矢为股各自乗相减余为勾筭平方开之得勾即半截弦又曰以矢减径以矢乗之即半截弦筭圆径十寸从旁截一弧矢阔一寸问截弦答曰六寸术曰半径自之得二十五 半径减矢自之得一十六寸相减余九平方开之得三倍之即截弦又曰圆径自之得一百为弦筭圆径减倍矢自之得六十四为股筭相减余三十六为勾筭平方开之得全弦圆径十三步截矢阔四歩问截弦答曰十二歩术曰半径筭四十二步(二五)减矢半径筭六歩(二五)相减余三十六歩为勾筭又曰全径筭一百六十九 减倍矢径筭二十五相减余一百四十四平方开之得全截弦圆径九十歩截矢九歩问截弦答曰五十四步术同圆材径二尺五寸锯板欲厚七寸问阔几何答曰板阔二尺四寸术曰圆径为弦自之得六十二尺五寸 板厚为勾自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸为股筭平方开之(阙)商得一寸 置一于左上为法 置一乗上亷仍得一十四寸 置一隅因得五以减下亷余三十五寸 置一自之以乗下亷仍得三十五寸并上亷得四十九为下法圆径九十歩从旁截积二百八十三歩半问截矢答曰矢九歩术曰倍积自之得三十二万一千四百八十九歩为正实 四因积得一千一百三十四为上亷 四因径得三百六十为下亷 五为负隅 商得九 置一于左上为法 置一乗上亷得一万○二百○六置一隅因得四十五以减下亷余三百一十五 置一自之以乗余下亷得二万五千五百一十五并上亷共二万五千七百二十一为下法圆径九十歩从旁截积八百一十歩问矢荅曰矢一十八歩术曰倍积自之得二百六十二万四千四百为正实四因截积得三千二百四十为从上亷 四因圆径得三百六十为从下亷 五为负隅 初商一十置一于左上为法 置一乗上亷得三万二千四百 置一以隅因之得五十以减从下亷余三百一十 置一自之以乗余下亷得三万一千 并上亷共六万三千四百为下法与上法相乗除实六十三万四千 余实一百九十九万○四百未尽 倍上亷得六万四千八百初商自之三因得三百为下亷方法 初商三之得三十为下亷亷法 初商自乗再乗隅因得五千为下亷减隅 次商八 置一于左上为法 置一乗上亷得二万五千九百二十并倍上亷共九万○七百二十 置一并入初商得一十八以隅因之得九十以减从下亷余二百七十以方法乗之得八万一千 置一乗亷法得二百四十以乗余下亷得六万四千八百 置一自之得六十四以乗余下亷得一万七千二百八十减去减隅五千止存一万二千二百八十 下亷方亷隅共一十五万八千○八十并上亷共二十四万八千八百为下法与上法相乗除实尽又术次商八 置一于左上为法 倍初商加次商得二十八以乗上亷得九万○七百二十 置一隅因得四十以减余下亷止存二百七十倍初商加次商并初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乗二百七十得一十六万三千○八十以初商自乗再乗隅因得五千减之止存一十五万八千○八十并上亷共二十四万八千八百为下法又为添积开三乗方法术曰倍积自之得二百六十二万四千四百为正实四因截积得三千二百四十为上亷 四因圆径得三百六十为下亷 五为负隅初商一十 置一于左上为法 置一自之又自之得一万为三乗方面以隅因之得五万为益实加入正实得二百六十七万四千四百为通实 置一乗上亷得三万二千四百 置一自之以乗下亷得三万六千并上亷共六万八千四百为下法与上法相乗除实六十八万四千 余实一百九十九万○四百未尽为次商正实次商八 置一于左上为法 置一加初商自之又自之得一十○万四千九百七十六为三乗方面以隅法因之得五十二万四千八百八十内减初益实五万余四十七万四千八百八十为益实加入次正实共二百四十六万五千二百八十为通实 倍初商加次商得二十八以乗上亷得九万○七百二十倍初商加次商得二十八并初次商一十八相因加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一万七千四百四十 并上亷共三十○万八千一百六十与上法相乗除实尽圆径八十九歩从旁截积一千三百一十二歩半问截矢答曰矢二十五歩不用倍积术曰积自之得一百七十二万二千六百五十六歩(二五) 截积一千三百一十二歩半为上亷径八十九歩为下亷以一歩二分五厘为负隅初商二十 置一于左上为法 置一乗上亷得二万六千二百五十 置一以隅因之得二十五以减下亷余六十四 置一自之以乗余下亷得二万五千六百并上亷得五万一千八百五十为下法与上法相乗除实一百○三万七千 余实六十八万五千六百五十六歩二五未尽次商五 置一于左上为法 置一以隅因之得六歩二分五厘以减余下亷余五十七歩七分五厘倍初商加次商得四十五以乗上亷得五万九千○六十二半 倍初商加次商并初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乗余下亷得八万八千○六十八歩七五 内减初商自乗再乗隅因一万 止存七万八千○六十八歩七五并上亷共一十三万七千一百三十一歩二五 与上法相乗除实尽解曰弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一弦而又一矢以矢乗积倍之恰得一弦一矢之数因未知矢故以积自乗为实约矢一度乗积以为上亷两度乗径以为下亷并之为法而后可以得矢用三乗者何也积本平方以积乗积是两度平方矣故用三乗方法开之上亷下亷俱用四因者何也倍积则乗出之数为积者四故上下亷俱四以就之减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢五为负隅者何也凡平圆之积得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺该虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意如不倍积亷不用四因以一二五为隅法亦通 或不减径作添积三乗方法亦通圆径与截积求截弦术曰倍积以矢除之减矢即弦又法用矢径求弦术圆径八十九歩从旁截积一千三百一十二歩半问截弦答曰弦八十歩术曰倍积得二千六百二十五歩以求出矢二十五除之得一百○五歩乃一弦一矢减矢即弦又曰倍矢减径余三十九自之得一千五百二十一为勾筭全径自之得七千九百二十一为弦筭相减余六千四百为股筭平方开之若求弧背以径除矢筭即半背弦差圆径与弧背求矢术曰半弧筭径筭相乗为实径乗径筭为从方径筭为上亷径背相乗为下亷以上亷减从以隅减下亷三乗方法开之平圆径十尺从旁截处弧背八尺八寸问矢答曰矢二尺术曰半弧背自之得一十九尺三寸六分 径自之得一百尺 相乗得一千九百三十六尺为正实径乗径筭得一千尺为从方 径筭一百尺为上亷全背乗径得八十八尺为下亷约商二尺 置一于左上为法 置一乗上亷得二百尺以减从方余八百尺 置一自之得四以减下亷余八十四尺 又以二乗余下亷得一百六十八尺 并从方共九百六十八尺为下法又术商矢减径存八尺以矢乗之得十六平方开之即得半弦平圆径九十歩旁截边弧背五十五歩八分问矢答曰九歩术曰半背筭七百七十八歩四一 径筭八千一百二筭相乗得六百三十○万五千一百二十一为正实 径乗径筭得七十二万九千为从方 径筭八千一百为上亷 径背相乗得五千○二十二为下亷如前法求之平圆径九十歩旁截弧背七十九歩二分问矢答曰矢一十八歩术曰半弧筭一千五百六十八歩一六 径筭八千一百 二筭相乗得一千二百七十○万二千○九十六为正实 径乗径筭得七十二万九千为益从方 径筭八千一百为上亷 径背相乗得七千一百二十八为下亷初商一十 置一于左上为法 置一乗上亷得八万一千以减从方余六十四万八千 置一自之得一百以减下亷余七千○二十八 置一乗余下亷得七万○二百八十并减余从方共七十一万八千二百八十为下法与上法相乗除实七百一十八万二千八百余实五百五十一万九千二百九十六未尽次商八 置一于左次为上法 倍初商加次商得二十八以乗上亷得二十二万六千八百以减益从方余五十○万二千二百为从方 并初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百为四百二十四以减下亷余六千七百○四 倍初商加次商得二十八因之得一十八万七千七百一十二并入从方共六十八万九千九百一十二为下法与上法相乗除实尽解曰径除矢筭得半背弦差今以弧背求矢故亦用半背筭与径筭相乗为实以径乗径筭为从方而从方内多一矢乗径筭之数故以径筭为上亷以矢乗而减之然从方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背与径相乗为下亷而下亷之中又多一矢自乗之数故又约矢以减之而以余数乗矢为下亷并从方以为法假如周天径一百二十一度七十五分二十五秒(厯书中不)(用秒故因之)黄赤道内外弧背二十四度 问矢度答曰四度八十四分八十二秒术曰半弧背自之得五百七十六度为半弧背筭周天径自之得一万四千八百二十三度○六分二十五秒为径筭 二筭相乗得八百五十三万八千○八十四度为正实 径乗径筭得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方 以径筭为上亷 倍半弧背得四十八度以乗周径得五千八百四十四度为下亷初商四度 置一于左上为法 置一乗上亷得五万九千二百九十二度二十五分以减益从方余一百七十四万五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以减下亷余五千八百二十八度又以四度因之得二万三千三百一十二度为从亷并从方共一百七十六万八千七百二十七度六十○分九十三秒七五为下法与上法相乗除实七百○七万四千九百一十○度四十三分七十五秒余实一百四十六万三千一百七十三度五十六分二十五秒次商八十分 置一于左上为法 置一倍初商共八度八十分以乗上亷得一十三万○四百四十三度九十五分以减益从方余一百六十七万四千二百六十四度九十○分九十三秒七五为从方 置一并初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以减下亷余五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五万一千○八十三度六十四分八十秒为从亷 并从方共一百七十二万五千三百四十八度五十五分七十三秒七五为下法与上(阙)度九十九分一十八秒五二七六又以九度六十九分六十二秒乗之得五万六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二为从亷 并从方共一百七十一万七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二为下法与上法相乗除实三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四余实一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之数圆径与弧背求截弦术曰求得矢用矢求弦术圆径与弧背求截积术曰求得矢用矢径求积截积与截矢求截弦术曰倍积减矢筭余如矢而一即弦又曰倍积以矢除之减矢圆不知径从旁截积二百八十三歩二分歩之一矢阔九歩问截弦答曰截弦五十四歩术曰倍积得五百六十七歩减矢筭八十一余四百八十六以矢除之得五十四为弦圆不知径从旁截积八百一十步矢阔一十八步问截弦答曰截弦长七十二歩术同截积与截弦求截矢术曰倍积以弦为从方平方开之圆不知径从旁截积二百八十三歩二分歩之一截弦长五十四步问矢答曰九歩术曰倍积得五百六十七为实 以五十四为从方约商九 置一于左上为法 置一带从得六十三为下法与上法相乗除实尽圆不知径从旁截积八百一十歩弦长七十二歩问矢答曰矢一十八歩术曰倍积得一千六百二十为实 以七十二为从方初商一十 置一于左上为法 置一带从方共八十二为下法与上法相乗除实八百二十 余实八百 倍初商得二十带从方共九十二为方法次商八 置一于左上为法 置一带方法共一百为下法与上法相乗除实尽截积与截矢求圆径术曰先求出弦半之为筭如矢而一即矢径差又曰积自乗减矢自乗乗积余为实矢自乗再乗为法除之加虚隅即径圆不知径从旁截积六十二歩半矢五歩问径术曰积自之得三千九百○六歩二五 矢自之乗积得一千五百六十二步五相减余二千三百四十三步七五为实矢自乗再乗得一百二十五为法除之得一十八步七五矢乗虚隅一步二分五厘得六步二分五厘加入即圆径二十五截积与截弦求圆径术曰先求得矢矢除半弦筭加矢即径圆不知径从旁截积一千三百一十二步半截弦长八十步问圆径几何答曰圆径八十九步术曰先倍积以弦为从方平方开之得矢二十五步后用半弦自之得一千六百步以矢除之得六十四为矢径差加矢即圆径截积与截矢求截弧背(弦求弧背同)术曰先求得径以除矢筭得半背弦差截矢与弦求圆径术曰半弦自之如矢而一为矢径差圆不知径从旁截一弧矢阔九步弦长五十四步问圆径答曰圆径九十步术曰半弦自之得七百二十九以矢除之得八十一为矢径差加矢即径截矢与弦求截弧背术曰先求得径以除矢筭为半背弦差截矢与截弦求截积术曰以矢加弦以乗矢得二积截弦与外周求截矢(外周乃割残之周也)术曰弦筭半弦筭相乗四而三之为实并弦及残周乗半弦筭为益方倍半弦筭加弦筭为从上亷并弦及残周为下亷以隅并上亷减从以余从并下亷为法三乗方法开之平圆旁割一弧截处弦五十四步外残周二百一十四步二分问截矢几何答曰矢九步术曰弦自之得二千九百一十六为弦筭 半弦自之得七百二十九为半弦筭 二筭相乗得二百一十二万五千七百六十四四而三之得一百五十九万四千三百二十三为正实 弦并残周共二百六十八步二分以半弦筭乗之得一十九万五千五百一十七步八分为益方 倍半弦筭加全弦筭得四千三百七十四为从上亷 弦并残周得二百六十八步二分为下亷一为隅法商得九 置一于左上为法 置一乗上亷得三万九千三百六十六为减亷 置一自之为八十一以乗下亷得二万一千七百二十四步二分为益亷置一自乗再乗得七百二十九为隅法并入减亷共四万○○九十五 以减从方余一十五万五千四百二十二步八分并入下亷共一十七万七千一百四十七步为下法圆田一段西边被水浸入一弧弦长二十步外残周五十三步问矢阔田径田积答曰截矢阔五步圆径二十五步 弧背二十二步术曰如积求之得三万为正实 七千三百为益方六百为从上亷七十三为益下亷 一为正隅 三乗方开之得矢阔 矢除半弦筭加矢得径 倍矢筭以径除之得背弦差加弦即弧背 径自之四而三之得田积圆田水浸一弧弦长七十二步外有残周一百九十○步八分问矢阔答曰矢阔一十八步 弧背七十九步二分圆径九十歩 原田二十五畆三分一厘二毫五丝术曰先求矢阔 弦筭五千一百八十四 半弦筭一千二百九十六相乗得六百七十一万八千四百六十四步四归三因得五百○三万八千八百四十八为正实 并弦及残周共二百六十二步八分以半弦筭乗之得三十四万○五百八十八步八分为益从方 倍半弦筭加全弦筭得七千七百七十六为减上亷 弦并残周二百六十二步八分为益下亷初商一十 置一于左上为法 置一乗减上亷得七万七千七百六十为减亷 置一自之以乗益下亷得二万六千二百八十为益亷 置一自乗再乗得一千为减隅并入减亷共七万八千七百六十为减从之算以减益方余二十六万一千八百二十八步八分为从方并益亷共二十八万八千一百○八步八分为下法 与上法相乗除实二百八十八万一千○八十八 余实二百一十五万七千七百六十未尽二因减上亷得一十五万五千五百二十三因益下亷得七万八千八百四十为益亷之方四因隅法得四千为方法又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四为益亷之亷 初商自之六因得六百为隅上亷初商四之得四十为隅下亷次商八 置一于左上为法 置一乗初减上亷得六万二千二百○八加入前二因上亷得二十一万七千七百二十八为减亷 置一乗益亷之亷得六万三千○七十二步并益亷之方共一十四万一千九百一十二为益亷之筭 置一自之以乗初益下亷得一万六千八百一十九步二分并入益亷之筭共一十五万八千七百三十一步二分为益亷 置一乗隅上亷得四千八百 置一自之以乗隅下亷得二千五百六十 置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方法上下亷隅法共一万一千八百七十二为减隅 并减亷共二十二万九千六百为减从之筭以减原从余一十一万○九百八十八步八分加益亷共二十六万九千七百二十为下法与上法相乗除实尽矢除半弦筭得七十二为矢径差加矢即圆径倍矢筭以圆径除之得七步二分为弦背差加弦即弧背 圆径自之四而三得六千○七十五步以畆约之为畆解曰求矢者起于弦与径今不知径而有残周故以弦自乗半弦自乗相乗为实方中取圆故四而三之为三乗方实以弦并残周与半弦筭相乗为从方而从方之中又多一弦筭两半弦筭及矢自乗再乗之数故以全弦筭与倍半弦筭为上亷并求出矢自乗再乗之数以减之却以弦并残周为益下亷以求出矢两度乗之并余从以为法盖隅与上亷专主于减从而下亷所以益从也弦筭为平方以弦乗之为立方又以半弦筭乗是为三乗方正实五百○三万八千八百四十八乃三乘方数内下亷该除一百五十三万二千六百四十九步六分从方该除三百五十○万六千一百九十八步四分从方三十四万○五百八十八步八分乃立方之数内上亷减一十三万九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九万四千七百八十八步八分以矢十八因之以除实上亷减从除实用减从开平方法从方带上亷一度矢乗之数共三十三万四千七百五十六步八分以十八因之该正实六百○二万五千六百二十二步四分欠二百五十一万九千四百二十四乃上亷减去之数初商一十 置一为上法 置一乗上亷得七万七千七百六十以减从方余二十五万六千九百九十六步八分与上法相乗除实二百五十六万九千九百六十八余实九十三万六千二百三十○步四分 倍上㢘得一十五万五千五百二十为亷法次商八 置一为上法 置一乗上亷得六万二千二百○八并亷法共二十一万七千七百二十八以减原从余一十一万七千○二十八步八分为下法与上法相乗除实尽从方假作平方形长一十九万四千七百八十八步八分濶一十八步带十八因上亷共长三十三万四千七百五十六步八分 初商十步十因上亷止除七万七千七百六十少减六万二千二百○八步计多除正实六十二万二千○八十 次商濶八步如从方原长该除实一百五十五万八千三百一十○步八分今止余实九十三万六千二百三十○步四分欠六十二万二千○八十正合初商多除之数 次商倍亷法多减七万七千七百六十以八因之其数适合此自然之妙凡用减从者俱如此隅减从用减从开三乗方法隅立方并从共二十○万○六百二十○步八分以十八因该正实三百六十一万一千一百七十四步四分欠一十○万四千九百七十六乃隅减之数初商一十 置一为上法 置一自乗再乗得一千为方法以减从方余一十九万九千六百二十○步八分为下法与上法相乗除实一百九十九万六千二百○八步余实一百五十○万九千九百九十○步四分 四因方法得四千为方法 初商自之六因得六百为上亷初商四之得四十为下亷次商八 置一为上法 置一乗上亷得四千八百 置一自之以乗下亷得二千五百六十置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方亷隅共一万一千八百七十二为减从以减原从余一十八万八千七百四十八步八分为下法与上法相乗除实尽初商多存长四千八百三十二濶十步共四万八千三百二十次商多减六千○四十以八因之相合下亷除实下亷二百六十二步八分十八因之得四千七百三十○步四分为平方积又十八因得八万五千一百四十七步二分为立方积又十八因得一百五十三万二千六百四十九步六分为三乗方积初商一十 置一为上法 置一自之以乗下亷得二万六千二百八十为下法与上法相乗除实二十六万二千八百余实一百二十六万九千八百四十九步六分 三因下法得七万八千八百四十为方法 三因初商以乗下亷得七千八百八十四为亷法 次商八置一为上法 置一乗亷法得六万三千○七十二步置一自之以乗下亷得一万六千八百一十九步二分并方亷共一十五万八千七百三十一步二分为下法除尽方圆术(附)圆求容方术曰方径即圆径若求圆积四而三之不必立法惟以圆求方其法不一姑录于此盖径一则围不止于三所谓围三径一者举其大较耳圆周五尺中容一斗斗方面几何答曰斗靣一尺一寸六分六厘(三分厘之二)术曰七因周得三尺五寸以三归之此术载呉信民筭法以周为弦以方为股然七因五尺为三十五未是圆材径二尺一寸为方靣几何答曰方径一尺四寸五十八分寸之四十九术曰径为股自之得四百四十一寸折半平方开之又曰三因径得六尺三寸七分因之三归得方靣一尺四寸一十分寸之七圆径十尺问容方面几何答曰容方面七尺术曰三其径得三十尺以七寸因之得二十一尺三归得七尺方圆之术径一则围三有竒方五则斜七有竒难以一定之法例之(径自之折半平方开之多一筭)圆径折变圆周求径古法围三径一 徽术周一百五十七径五十宻术周二十二径七周八十四问径古术答曰二十八术用三归徽答曰二十六步(一百五十七分步之一百一十八)术曰周五十因如一百五十七而一宻答曰二十六步(一十一分步之八)术曰周七因如二十二而一周八十七(二十五分步之二十三)问径古术答曰二十九步(七十五分步之二十三)术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八为实三因分母得七十五为法徽答曰二十八步术曰分母通其全分子从之以五十因之得一十○万九千九百为实 一百五十七因分母得三千九百二十五为法宻答曰二十七步(二百七十五分步之二百六十八)术曰分母乗其全分子从之七因得一万五千三百八十六置分母以二十二因得五百五十为法不尽者法实俱半约之假如厯法周天三百六十五度二十五分七十五秒问周天径几何答曰一百二十一度七十五分二十五秒此以围三径一求之以徽术求之为径几何答曰径一百一十六度三十二分四十秒(一百五十七分秒之)术曰五十因周得一万八千二百六十二度八十七分五十秒以一百五十七除之以宻术求之为径几何答曰一百一十六度二十一分八十二秒(二十二分秒之二十)术曰七因周得二千五百五十六度八十○分二十五秒以二十二除之圆径求周圆径二十八问周古法答曰八十四术用三因徽答曰八十七步(二十五分步之二十三)术曰径一百五十七因得四千三百九十六如五十而一宻答曰八十八步术曰径二十二因如七而一圆径二十六步(一百五十七分步之一百一十八)问周古法答曰八十步(一百五十七分步之四十)术曰分母通其全分子从之三因得一万二千六百为实如分母而一徽答曰八十四步术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得六十五万九千四百为实 分母五十因得七千八百五十为法又曰分母通其全分子从之得四千二百如五十而一宻答曰八十四步(一百五十七分步之一十二)术曰分母通其全分子从之又二十二因得九万二千四百为实 七因分母得一千○九十九为法圆径二十六歩(一十一分步之八)问周古法答曰八十步(一十一分步之二)术曰分母通其全分子从之得二百九十四又三因得八百八十二为实如分母而一徽答曰八十三步(二百七十五分步之二百五十四)术曰分母通其全分子从之又一百五十七因得四万六千一百五十八为实 五十因分母得五百五十为法宻答曰八十四步术曰分母通其全分子从之又二十二因得六千四百六十八为实 七因分母得七十七为法又曰分母通其全分子从之倍之得五百八十八如七而一圆周求积周八十四问积古术答曰五百八十八步术曰周自之得七千○五十六如圆法十二而一徽答曰五百六十一步(一百五十七分步之一百二十三)术曰周自之又二十五因得一十七万六千四百为实如三百一十四而一宻答曰五百六十一步(一十一分步之三)术曰周自之七因得四万九千三百九十二为实如八十八而一圆周八十七步(二十五分步之二十三)问积古法答曰六百四十四步(一千八百七十五分步之三百○一)术曰分母通其全分子从之得二千一百九十八自之得四百八十三万一千二百○四为实 分母自之得六百二十五又十二因得七千五百为法徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一)术曰分母通其全分子从之自乗又以二十五乗之得一亿二千○七十八万○一百为实 分母自乗又以三百一十四乗之得一十九万六千二百五十为法除之不尽八万六千三百五十法实皆七千八百五十约之宻答曰六百一十四步(一万三千七百五十分步之一万二千一百○七)术曰分母通其全分子从之自乗又七因得三千三百八十一万八千四百二十八为实 分母自乗又八十八因得五万五千为法除之不尽四万八千四百二十八法实皆四约之周八十八步问积古法答曰六百四十五步(三分步之一)术曰周自之得七千七百四十四如十二而一徽答曰六百一十六步(一百五十七分步之八十八)术曰周自乗二十五因得一十九万三千六百为实如三百一十四而一宻答曰六百一十六步术曰周自之七因得五万四千二百○八为实如八十八而一圆径求积圆径二十八步问积古术答曰五百八十八步术曰径自乗四归三因徽答曰六百一十五步(二十五分步之一十一)术曰径自乗以七十八步半因之得六万一千五百四十四如百而一宻答曰六百一十六步术曰径自乗一十一因得八千六百二十四如一十四而一圆径二十六步(一百五十七分步之一百一十八)问积古法答曰五百三十六步(二万四千六百四十九分六步之一万八千一百三十)术曰分母通其全分子从之自乗四归三因得一千三百二十三万为实分母自之得二万四千六百四十九为法徽答曰五百六十一步(二万四千六百四十九分步之一万九千三百一十一)术曰分母通其全加分子自乗又以七十八步半乗之得一十三亿八千四百七十四万为实 分母自乗百因得二百四十六万四千九百为法宻答曰五百六十二步(二万四千六百四十九分步之七千二百六十二)术曰分母通其全加分子自乗得数又以一十一因之得一亿九千四百○四万为实分母相乗又十四因之得三十四万五千○八十六为法除之未尽一十○万一千六百六十八法实皆一十四约之圆径二十六步(一十一分步之八)问积古法答曰五百三十五步(一百二十一分步之九十二)术曰分母通其全加分子自乗得数四而三之得六万四千八百二十七为实分母相乗为法徽答曰五百六十步(六千○五十分步之四千六百一十三)术曰分母乗其全加分子自乗又以一百五十七乗之得一千三百五十七万○四百五十二为实 分母自乗二百因之得二万四千二百为法宻答曰五百六十一步(一十一分步之三)术曰分母通其全加分子自乗又一十一因之得九十五万○七百九十六为实 分母自之又十四因之得一千六百九十四为法圆积求周圆积五百八十八步问周古法答曰周八十四步术曰十二因积平方开之徽答曰八十五步(一万七千一百分步之一万六千五百二十八)术曰积三百一十四因得一十八万四千六百三十二以二十五除之得七千三百八十五步二八平方开之宻答曰八十五步(一百七十一分步之一百六十七)术曰积八十八因得五万一千七百四十四七除之得七千三百九十二平方开之平方还原方自乗以分母乗之得一百二十三万五千四百七十五 分母子相乗得二万八千五百五十七为益实并得一百二十六万四千○三十二为实分母为法除之还原圆积六百一十六步问周古法答曰周八十五步(一百七十一分步之一百六十七)术曰十二因积得七千三百九十二为实平方开之徽答曰八十七步(一万七千五百分步之一万六千七百九十六)术曰积三百一十四因得一十九万三千四百二十四以二十五除之得七千七百三十六步九六平方开之不尽者以百因约之宻答曰八十八步术曰积八十八因得五万四千二百○八以七除之得七千七百四十四平方开之圆积五百六十一步(一百五十七分步之一百二十三)问周几何古法答曰周八十二步(二万五千九百○五分步之二千七百三十二)术曰分母乗其全加分子得八万八千二百以圆法十二因之得一百○五万八千四百为实 以一百五十七为隅法作𢃄从隅开平方法除之初商八十 置一于左上为法 置一乗从隅得一万二千五百六十为隅法与上法相乗除实一百○○万四千八百余五万三千六百未尽 倍隅法得二万五千一百二十为亷法 约次商二 置一于左次为上法 置一乗从隅得三百一十四并入亷法共二万五千四百三十四为下法与上法相乗除实五万○八百六十八 尚余二千七百三十二倍八十二加一筭以分母乗之为母约之又术分母通其全加分子十二因之得一百○五万八千四百又以母乗之得一亿六千六百一十六万八千八百平方开之得一万二千八百九十 余实一万六千七百未尽另寄 将开出之数以分母约之得八十二 仍未尽一十六以分母乗之得二千五百一十二加入寄位共一万九千二百一十二为不尽之数 倍八十二加一筭得一百六十五以分母乗之得二万五千九百○五徽答曰八十四步术曰分母通其全加分子得八万八千二百以三百一十四因得二千七百六十九万四千八百以二十五因分母得三千九百二十五为法除之得七千○五十六平方开之宻答曰八十四步(二千○四十一分步之一百○八)术曰分母通其全加分子得八万八千二百又八十八因得七百七十六万一千六百 七因分母作一千○九十九除之得七千○六十二 余实四百六十二未尽置七千○六十二平方开之得八十四 余六未尽以分母通之得九百四十二加前未尽共一千四百○四倍八十四加一筭得一百六十九以分母乗之得二万六千五百三十三是谓二万六千五百三十三分步之一千四百○四 法实皆十三约之得二千○四十一分步之一百○八积四十五步(一十一分步之九)为宻圆周几何答曰二十四步术曰分母乗其全加分子得五百○四以八十八因之得四万四千三百五十二以七因分母为七十七除得五百七十六平方开之右四元玉鉴所载不用从隅圆积求径圆积五百八十八步问径古法答曰二十八步积三归四因平方开之徽答曰二十七步(八千六百三十五分步之三千一百四十七)术曰积百因得五万八千八百以七十八步半为从隅平方开之 初商二十置一于左上为法置一乗从隅得一千五百七十为隅法与上法相乗除实三万一千四百余实二万七千四百未尽 倍隅法得三千一百四十为亷法 约次商七 置一于左次为上法 置一乗从隅得五百四十九步半并亷法共三千六百八十九步半为下法与上法相乗除实二万五千八百二十六步半 余实一千五百七十三步半 倍二十七加一筭得五十五以七十八步半因之得四千三百一十七步半法实皆倍命之宻答曰二十七步(六百○五分步之二百一十三)术曰积一十四因得八千二百三十二以一十一为从隅平方开之 初商二十 置一于左上为法置一乗从隅得二百二十为隅法与上法相乗除实四千四百余实三千八百三十二 倍隅法得四百四十为亷法 约次商七 置一于左次为上法置一乗从隅得七十七为隅法 并亷隅共五百一十七为下法与上法相乗除实三千六百一十九余实二百一十三未尽如前法约之积六百一十五步(二十五分步之一十一)问径古法答曰二十八步(四千二百七十五分步之二千七百四十四)术曰分母乗其全加分子得一万五千三百八十六以四因之得六万一千五百四十四分母三之为七十五为从隅平方开之余实二千七百四十四倍开出之数加一算得五十七以从隅因之得四千二百七十五为母约之徽答曰二十八步术曰以积分母除分子得四分四厘加全步得六百一十五步四分四厘百之得六万一千五百四十四为正实以七十八步五分为从隅平方开之宻答曰二十七步(一万五千一百二十五分步之一万四千九百二十九)术曰置积以分母通之加分子得一万五千三百八十六以一十四因之得二十一万五千四百○四为正实以二百七十五为从隅平方开之 余实一万四千九百二十九 倍径加一算以从隅乗之为分母约之平圆积四十五步(一十一分步之九)问宻圆径几何答曰七步(一十一分步之七)术曰分母乗其全加分子以一十四乗之得七千○五十六平方开之得八十四以一十一除之不尽七还原法曰分母乗七加分子自之又一十一因得七万七千六百一十六为实 分母自之又一十四因得一千六百九十四为法 除之得四十五余一千三百八十六法实皆一百五十四约之还原数黄钟算附假如黄钟之管空容九分问围圆几何答曰围圆一十○分三厘(二百○七分厘之一百九十一)此以围三径一求之十二因积得一百○八平方开之以徽术推之得几答曰围一十○分七厘(二百一十五分厘之五十五)术曰积三百一十四因得二千八百二十六以二十五除之得一百一十三○四平方开之以宻术推之得几答曰围一十○分(一百四十七分分之九十二)术曰积八十八因得七百九十二如七而一得一百一十三(七分之一)平方开之不尽一十三以七因加一为子倍十分加一七因为母命之黄钟之管空容九分问径答曰径三分四厘六毫(六百九十三分毫之二百八十四)此用三归四因平方开之以徽术求之答曰径三分三厘八毫(五十三万一千四百四十五分毫之三万一千八百四十六)术曰百因积得九百分以七十八分半为从隅平方法开之 初商三分 置一于左上为法 置一乗从隅得二百三十五分五厘为下法与上法相乗除实七百○六分半余实一百九十三分半倍隅法得六分为㢘法 次商三厘 置一于左上为法 置一并亷法共六十三厘以乗从隅得四千九百四十五厘五毫与上法相乗除实一百四十八分三厘六毫五丝余实四十五分一厘三毫五丝 倍初次商得六分六厘为亷法三商八毫 置一于左上为法置一并亷法共六分六厘八毫以乗从隅得五百二十四分三厘八毫与上法相乗除实四十一分九厘五毫○四忽余实三分一厘八毫四丝六忽 倍商加一算以从隅乗之为分母命之以宻术求之得径几答曰径三分三厘(七百三十七分厘之六百二十一)术曰一十四因积得一百二十六以一十一为从隅平方开之 初商三分 置一于左上为法 置一乗从隅得三十三分与上法相乗除实九十九分余实二十七分 倍下法得六分为亷法 次商三厘置一为上法 置一并亷法乗从隅得六百九十三厘与上法相乗除实二十○分七厘九毫余实六分二厘一毫 倍商加一算以从隅因之得七百三十七为分母命之还原曰径相乗得一十○分八厘九毫以一十一因得一百一十九分七厘九毫加不尽四分二厘一毫得原数黄钟之大小不系于此但假此以明数之㣲妙耳尝观儒者之论律管徃徃泥于数而不察夫理假如黄钟之实乃十一度三因以起十一律之数律管以三分为损益故十一度三之非实有数也实乃算法中之实耳虽蔡九峰亦谓仲吕之实数不可三其数不行此律之所以止于十二也殊不知五音六律乃天地隂阳自然之理圣人因之制管以宣其声而又三分损益以定其管之长短使其无相夺伦顾乃以数为造律之本岂不谬哉律管算附律管以三分损益故止立二三四乗除之法二一如二 二二如四 二三如六二四如八 二五作一一 二六作一三二七作一五 二八作一七 二九作二三一如三 三二如六 三三作一三四作一三 三五作一六 三六作二三七作二三 三八作二六 三九作三四一如四 四二如八 四三作一三四四作一七 四五作二二 四六作二六四七作三一 四八作三五 四九作四 右因二归逢一作四一逢二进一三归逢一作三 逢二作六 逢三进一四归逢一作二一逢二作四二 逢三作六三逢四进一 右归黄钟管长九寸 三归二因
## 弧矢算术
林钟管长六寸 三归四因太簇管长八寸 三归二因南吕管长五寸三分 三归四因姑洗管长七寸一分 三归二因应钟管长四寸六分六厘 三归四因㽔賔管长六寸二分八厘 三归四因大吕管长八寸三分七厘六毫 三归二因夷则管长五寸五分五厘一毫 三归四因夹钟管长七寸四分三厘七毫三丝 三归二因无射管长四寸八分八厘四毫八丝 三归四因仲吕管长六寸五分八厘三毫四丝六忽右术止用九寸损益以定十一律管不必用十一度三因若求变黄钟就以仲吕之管三归四因即是不必更用七百二十九乗之数弧矢算术◆ 《同文算指-明-李之藻》（KR3f0046）
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钦定四库全书 子部六
同文算指 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案同文算指前编二卷通编八卷明李之藻演西人利玛窦所译之书也前编上下二卷言笔算定位加减乗除之式及约分通分之法通编八卷以西术论九章卷一曰三率凖测即古异乗同除曰变测即古同乗异除曰重测即古同乗同除卷二卷三曰合类差分曰和较三率曰洪衰互徴即古差分又谓之衰分卷四曰叠借互徴即古盈朒卷五曰杂和较乗即古方程巻六曰测量三率即古勾股曰开平方曰竒零开平方即古少广巻七曰积较和开平方卷八曰𢃄纵诸变开平方曰开立方曰广诸乗方曰竒零诸乗方皆即古少广按九章乃周礼之遗法其用各殊为后世言数者所不能易西法惟开方(即古少广)勾股各有専术余皆以三率御之若方田粟布差分商功均输五章本可以三率御之至于盈朒以御隠杂互见方程以御错糅正负则三率不可御矣葢中法西法固各有所长莫能相掩也是书欲以西法易九章故较量长短俱有増补其论三率比例视中土所𫝊方田粟布差分诸术实为详悉至盈朒方程二术则皆仍旧法少广畧而未备且法与数多出入之处梅文鼎方程余论曰㡬何原本言勾股三角备矣同文算指于盈朒方程取古人之法以𫝊之非利氏之所𫝊也又曰诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣诚确论也然中土算书自元以来散失尤甚未有能起而搜辑之者利氏独不惮其烦积日累月取诸法而合订是编亦可以为算家考古之资矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀同文算指前编序古者教士三物而艺居一六艺而数居一数于艺犹土于五行无处不寓耳目所接已然之迹非数算纪闻见所不及六合而外千万世而前而后必然之验非数莫推巳然必然总归自然乘除损益神智莫増矞诡莫掩颛蒙莫可诳也惟是巧心濬发则悟出人先功力研熟则习亦生巧其道使人心心归实虚憍之气潜消亦使人跃跃含灵通变之才渐启小则米盐凌杂大至画野经天神禹赖矩测平成公旦从周髀窥验谁谓九九小数致逺恐泥尝试为之当亦贤于博奕矣乃自古学既邈实用莫窥安定苏湖犹存告饩其在于今士占一经耻握从衡之算才高七步不娴律度之宗无论河渠厯象显忒其方寻思吏治民生隂受其弊吁可慨已徃游金台遇西儒利玛窦先生精言天道旁及算指其术不假操觚第资毛颖喜其便于日用退食译之久而成帙加减乘除总亦不殊中土至于竒零分合特自𤣥畅多昔贤未发之㫖盈缩句股开方测圜旧法最囏新译弥捷夫西方逺人安所窥龙马龟畴之秘𨽻首商高之业而十九符其用书数共其宗精之入委㣲高之出意表良亦心同理同天地自然之数同欤昔婆罗门有九执厯写字为算开元摈为繁琐遂致失传视此异同今亦无从参考若乃圣明在宥遐方文献何嫌并蓄兼收以昭九译同文之盛矧其禆实学前民用如斯者用以鼓吹休明光阐地应比夫献琛辑瑞傥亦前此希有者乎仆性无他嗜自揆寡昧游心此道庶补㓜学洒扫应对之阙尔复感存忘之永隔幸心期之尚存荟辑所闻厘为三种前编举要则思已过半通编稍演其例以通俚俗间取九章补缀而卒不出原书之范围别编则测圜诸术存之以俟同志今庙堂议兴厯学通算与明经并进传之其人傥不与九执同湮至于縁数寻理载在几何本本元元具存实义诸书如第谓艺数云尔则非利公九万里来苦心也万厯癸丑日在天驷仁和李之藻振之书于龙泓精舍
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钦定四库全书同文算指前编巻上明 李之藻 撰定位第一古法用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍累纪于一协于十长于百大于千衍于万算之原也后世乃为珠算而其法较便然率以定位为难差毫厘失千里矣兹以书代珠始于一究于九随其所得而书识之满一十则不书十而书一于左进位乃作○于本位(○一)曰一十由十进百由百进千由千进万皆倣此假如四万三千二百一十作何排列自左方写起平行大数列左小数列右若从小数起积者每满十则进位一十者书一二十者书二余倣此若大数积多则于左方渐进加字如后图万亿兆京是也若小数积余则于右方渐退加字如两下有钱钱下有分分下有厘又有毫有丝有忽之类是也大衍式几度十丈曰引五丈曰端四丈曰疋十尺曰丈十寸曰尺十分曰寸而计田则横一丈纵六十丈为亩(即濶一步长二百四十步)四分其亩为一角角得方丈者十五十分其亩为一分分得方丈者六得方尺者六百分以下厘毫析之而以百亩为顷五项四十亩为丘凡量六粟为圭十圭为撮十撮为抄十抄为勺满十而进之为合为升为斗为石亦曰斛凡衡以两为君两有十钱钱有十分自分以下十而析之曰厘曰毫曰丝曰忽曰微曰纎曰沙曰尘曰埃曰𣺌曰漠至细之倪惟所立名而十六两为斤二百斤为引今公私通用之则也古法之衡则十黍为累十累为铢八铢为锱六铢为分二十四铢为两两即四分也两又四之自乘一十六以象四时是命曰斤计铢三百八十有四当朞之月又以十五斤为称二称为钧四钧为石度则古尺长短不一丈尺而外别以七尺为施八尺为仞亦为寻倍寻为常量则六十四黍为圭又有四升之豆四豆之区四区之釡十釡之钟十六斗之庾十六斛之秉今皆不用 凡钱千文为缗五缗为绽凡钞五贯为锭锭当钱千里法三百六十步步法今用五尺厯法每度百分每分百秒西厯则积六十秒为分积六十分为度秒以下俱以六十析之右式三位而成百五位而成万九位而成亿十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以极于正于载皆以万万递加是谓中数昔者黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍下数浅短计事不尽上数宏廓世不可用故其𫝊业惟以中数举一中数而天地鬼神人物之纪思议之所不及者皆尽之矣况更有上数在乎由旬刹那吾无取焉尔加法第二凡数惟加法最易加之不已至于无算故算首论加加也并也积也一也少曰并多曰积皆加也列散数于上各横置以类相比(如十从十百从百及两从两斗从斗之类)先从小数并之而以所得数纪本位下遇十则进一位遇百则进二位第一图 系进一位式(倂四七九得二十下纪○ 二进位)(并五八八又并前二得二十三下纪三二进位)(并六九七八又倂前二得三十二下纪二三进位)(并八六又并前三得一十七下纪七一进位)(并一五又并前一得七下纪七)(只七下纪七)右式散数四项列格上并总得数七十七万七千二百三十列格下第二图 系进二位式(初并一百零二下纪二以一百进二位)(次并五下纪五)(再并一十六前一得一十七下纪七一进位)(终并连前共得二十三下纪三二进位)右式散数一十二项并总得数二万三千七百五十二以上二图尽加法矣另有试法具后一法先自上数下得若干复自下数上得若干然后纪总一法以减法试加随意减一行得若干再加所减仍得若干又有将散数总数错综核之者有九减七减二法先减散数余若干次减总数余若干以其所余两数对列相较同则无差异则有差第一图用九减此法不论进位只以见数为准累用九减去○不用先以散数九减之余置于左次以总数九减之余置于右俱得八故知不差又用七减此法与九减者稍异乃以实数七七减之从左起连○算者如首行首七竞减净 次(○一)减七余三 次即作(六三)减七余一 次作(五一)减七余一 次作(四一)七减无余乃于首行之左格外纪○ 又以次行之首(九八)七减余五 次即作(○五)七减余一 次作(七一)七减余三乃于次行之左格外纪三 其第三行依法减之余得五第四行依法减之亦余得五各以纪于其左 次将总数七减如前法余得六 乃合四项散数所七减而余者据见数更七减之三五五余得六纪于□左以总数所余之六纪于右六六相合固知不差第二图用九减(先减散去九不用六个八共四十八余三加次行五得八又加次行得二十四又加末行得四十六九减余一纪左次阅总数共一十九九减亦余一纪右)又用七减照前七减法先将散数逐减纪左累而减之余一次将总数亦以七减余一相合无差右九减七减法繁碎难用然出巧思具至理录之备玩减法第三减与加反用稽所余其法先较数之多寡多中减寡亦自右方小数减起以渐进位其辨多寡之法于左方首位辨之首位相等乃视次位次复相等逐位退求则多寡分焉(此数首位视之相等然退至三位上系一千下系九百九十九)既审多寡乃以原数列上减数列下依法右起所余逐纪于下如就多中减少者不须别立借法如后第一图若少内减多须立借法以通其变如后第二图云此上下相减俱系以少减多不须更立借法第二图(亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法)右借法乃借大数兼小数以便总减者又法直于借数一十用减却加入本数尤为便捷假如二不能减九当借作一十二内减九得三今却不作一十二只就所借一十之内先减九余一次乃加二仍得三也先减后加比前较易以上二图减法尽矣其间有差与否何以核之一法用加法验之以减数合减余数得原数(如三加六合原九之类)又法以减余数减其原数应与所减数合(如原数七减二余五今却减五合余二为不差)亦有用九减七减二法者俱以第一行原数为一项第二行减数第三行余数共为一项而较零之同否同即不差九减 七减(减数首作六十七余四次作四十八余六又作六十二余六又作六十三无零其余数首作三十九余四次作四十三余一次作一十二余五次作五十三余四次作四十一余六次作六十一余五纪右五五相合无差)乘法第四既知加减当论因乘单位曰因位多曰乘通谓之乘凡乘之数妙于九九作九九图九九相乘图首横一行自上读下右直一行自右读左其相值处即是乘得数指掌可尽也附九九相乘歌一一如一 一二如二 二二如四 一三如三二三如六 三三如九 一四如四 二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五 二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七 二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一又法就小乘得大乘不用九而用十假如二数并列因其数大难乘未知乘得若干且连注二数而取十数与较看所不足若干因连注不足数于本数右平衡相对其所不足数必其小于原数者也小者易乘乃以不足数上下相乘注乘得数于下为单数又以不足数与原数上下互减注减余数于其下为进位数即得所求大乘数右法专为未熟大乘者设也若小数相乘不必用此盖以小数减十则不足之数反多而乘出亦多但多出十数外者以十外之数寄于进位就于互除还之其数未尝不合(左七俱得三合 三三如九所寄进位一共得四是为六七四十二)既知乘数乃列乘位凡乘亦从右小数乘起次第进位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位(十数)三位(百数)及数十位者有以二位乘一位或二位三位以至数十百位者其变无穷其法一定若以几位乘几位者无拘上下随意互乘上图位数相近随意互乘如第一图者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得数置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置于七本位下以乘九所得置于七进一位下以乘三所得置于七进二位下其余徧乘倣此毕乘诸位仍以加法通并详具于后二位乘(此以三十八乘三百九十四者是为二位乘)先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置于三本位下而其进位及进乘所得皆以次递进一位不可紊乱 如三乘四者得(二一)纪二于三下一进位 如三乘九者得(七二)加前一共(八二)纪八于三之次位二又进位 如三乘三者得九加前二得(一一)纪一于又次位一又进位 两位所乘鱼鳞相比毕则总并其数以上二图乘法之大略也核其差否须以除法还原列乘出总数为实如以第一行为法除之必得第二行数(如前一万四千九百七十二为实以三百九十四为法除之必得三十八)如以第二行为法除之必得第一行数(如前实以三十八为法除之各得三百九十四数)合即不差又有九除七除法列原数所余于左列乘数所余于右左右相乘列乘出数于上乃以乘积总数依法除之余数列下上下相比同即不差中间逐位乘出散数俱不用(首行余七列左次行余二列右二七乘得一十四以九除余五列上其积出总数亦余五列下依法实除原数首三十九余四次作四十四余二纪左乘数三十八余三纪右二三乘得六纪上次除总数一十四除尽次九十七余六次六十二余六纪下)六位乗挨身下次以九乘上诸位尾位亦挨本身下余以渐进位排列 次以三乘上诸位挨身进位如前 次以○徧乘上位无乘各挨身照位作○纪之或空其本位亦可 次以六徧乘上位尾位所得就挨六之本身其余以渐而进云七位乘此即前数上下易位为乘故散数不同而总数同○无所乘姑空本位试上图用九除用七除(依法按实七除首行余四列左次行余四列右四四一十六仍除余二列上总数余二列下)亦有原数乘数并除而一有零一无零照无乘例只作○用九除首行原数无余列左次行乗数余五列右以五遇○无乗只作○列上次除总数无余亦只作○列下比同亦有左右上下俱无零数者用九除原数乗数俱无余左右上俱○其总数又无余亦作○比同凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已乘得一十六也右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘(共得七○为尾)上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数除法第五凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层(旧以原数为实除数为法)从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左列位图凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余倣此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数一位除(假如七万六千○四十八数以八除之)格右为除得数第一除得九第二除得五未毕先看八除(六七)得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四(冩四于六上)削去首七亦削去次行除数之八挨身另下八以八除(○四)依乘法五八四十格右再纪五其上层(○四)俱削亦削八同前第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽第一次除得九削去(六七)及八以六变四 第二次除得五削去(○四)及八尽 另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八 另挨身下八以八除(八四)得六八四十八恰尽纪六于格右削去(八四)及下八毕若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地(如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类)务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除(此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图)右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也若除法未熟不妨小注于下假上层(三六)下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余倣此(另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三千三百八十七数再除如后图)(复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九皆削去 又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九为母数以一百○四为子数法别详)右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差(只就除过本位上下相较)亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便(先以二除一十六当用五却误用四是宜多反少者且如二因四得八六变八削一与六亦削下首位二嗣以四因八四八三十二八上二变○进位八变五下削八嗣以四因九四九三十六九上三变七进位○变六系借除进位五变四下位削九谛视之则余数反多于分数其数可知悉抹之而另注原数于上另注除数于下而用五以除之二五除首位一十五八得四十进位六变二五九四十五九上三变八进位二变七又进位二变一再列二八九用六除二六一十二二上七变五进位削一六八四十八八上八变○进位五变一六九五十四九上一变七进位○变四进位削一 再列二八九用一)右误除乃宜多反少者亦 (除二上四变二八上七变九进位二变一九上)有宜少反多者具后 (四变五进位九变八又列二八九用六除二六一十二二上八变六进位削一八上五变七进位六变一六九五十四九上九变五进位七变二外余一百二十五数以法命之)六有竒(此不当用六却误以六除二六一十二二上六变四进削一次位六八四十八却不足抹削另起另列二八九于下一六于上而以五分之二五除一十五八得四十进位六变二余如前式不差 再列不当用七而误用七二七一十四二上七变三进削一七八五十六即不足削三另列一七于上又列用六二六一十二二上七变五进削一六八四十八八上八变○进位五变一六九五十四九上一变七进位○变四进削一不差次用一次用六俱不差)右式第二次误用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已误矣傥不知还原如何其法只以下位见除二字与所用七字相乘而加上见乘之三即是还原二七一十四加三得一十七也举此一端以例其余凡三位四位误分改正俱用此法该进位者照前法进位乘后加之式具后(先用一除之二上四变二三上○变七进位二变一 次该用七却误用六二六一十二二上七变五进削一三六一十八三上四变六进位五变三谛视之余数反多于除数误也欲还原者先以下层三乗所用六三六一十八加上余数六得二十四知本位还四而以二寄于进位次以进位下面二乗六二六一十二加上余数三再加原寄二共得一十七知本位还七进位再还一合正数)既已还其正数另以七除之二七一十四二上七变三进削一三七二十一二上四变三进位三变一另列二三用六除之二六一十二三上三变一进削一三六一十八削尽若原数既已除尽或未尽有零而欲试其误否亦用九除七除二法用九除者只据见积将下层除数除余列左以格右用数除余列右以左右互乘九除余数列上又以原总数除余列下如有未尽零数者于左右乘后并入总除列上与原数除余者相比除毕 六无零 七 用数一七六余五列右除数二三共五列左乘得五五二十五九除余七列上原数四四八以九除亦余七列下无差(用数余四列右除数余二列左相乘得八加上零数一三共得一十二以九除之余三列上总数九除亦余三列下相比无差)用七除者实积细除同前乘法其除数列左用数列右相乘除余列上有零者亦并入乘数列上总数余列下(用数一百七十六以七除余一列右除数二十三以七除余二列左左右相乘一二如二列上又将原数四千○四十八以七除余二列下正同)(用数一百九十三以七除余四列右除数二百三十六以七除余五列左相乘得二十以七除余六若无竒零则纪六于上是己今有零数一百三十再七除余四并六得一十以七除余三列三于上又将原数四万五千六百七十八亦以七除余三列下正合)又法将除数用数相乘以合原数如竒零不尽者乘后并入假如前式原数四万五千六百七十八者以除数之二百三十六乘用数之一百十三共四万五千五百四十八并入零数之一百三十合原数若归除至半欲订其误照前以除数之减余列左以用数减余列右相乘又取本位以上除賸位(只至已抹本位而止其未除到者不用)亦减之以并所乘列上以抹过原数减余列下相比其九法减见数七法减实积数俱同前(此是用二除过一徧者截至左第四位止试之用数二列右除数二八九八无余左列○以○乘二无乘却有零九一三除九余四上列四原数除过四位以九除亦余四相合)(用数二列二于右除数二千八百九十八以七除无余列○于左以二乘○无乘却有零数九百一十三以七除余三列上其原数已除四位六千七百○九以七除亦余三相合)凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止此外虽有未除零数总系余分但可以法命之为几分之几以其除数多零数少故也(多者为母少者为子)若除数尾带 此以三千八多○而原数 百万而除一首尾系数中 百三十九亿叚系○者但 四千六百万看尾隔几位 零七千八百用数该几位 九十三数其絫只须撞尾而 甚多而谛视止就截去余 尾位相值只○且尽实数 该以三位除除讫嗣以余 尽乃姑截去○加之以法 余○只以三命之式具下 八而除一三九四六每各得三百六十七其数已穷其余皆竒零不尽之数乃于三八之尾照位填○为母以零数为子命之云若除数首位数中位○次又有数次又有○者不可便以中○为止务须尽其实数而止惟尾后之○如前法用四除之 三四一十二三上三变一 进削一 次○○皆无可除者故置不论径除第四位之八 四八三十二 八上六变四进位四变一 更列三○○八用六除之 三六一十八 三上九变一进削一置○○不分 六八四十八 八上○变二 进位四变九 又进一变○尚余一○九二为不尽零数乃以除数余○缀除数之尾为母以原数○七六九三附零数一○九二之尾为子是为三亿八十万之一亿九百二十万七千六百九十三云凡除数首位只一其余俱○者不必另寻用数即以原数为用至撞除数尾位而止此外皆系竒零不尽之数以除数尾寻至原数尾该得五位除尽亦只自原数首尾起照取五位为用数其余皆系小数不能除矣故作零数首列一除四得四 又列一除七得七 一除八得八一除○还○ 一除九得九若原数余○虽多而实数归除已尽则其数外之○无复可除虽不撞到尾位亦只据未抹○位逐加用数之后如左图假如有数一亿八千六百三十万而以三百四十五除之每各得五十四万首用五除 三五一十五 三上八变五 三进削一 五四得二十 进位三○ 变一 五五二十五 五上三变八○ 进位六变三 又列用四除 三四一○ 十二 三上三变一 进削一 四四○ 一十六 四上八变二 进削一 五四得二十 五上削○ 进削二毕既已除完其余不复可除照○位加于格外用数之右右加减乘除四法共一卷算学纲领习熟自精变化之妙详载别卷同文算指前编卷上
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钦定四库全书同文算指前编卷下明 李之藻 撰竒零约法第六凡数除之不尽者以法命之曰几分之几除数为母(法)列上竒数为子(实)列下假如列实四十六以七为法除之尚余四是谓七之四余倣此列位式若竒零有二项辨其孰多孰寡以子母二数互参母数相同则但据子数若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大若子母数俱不等别其多寡者并列以彼此母子互乘得数各注其子数下有差逺者 有稍差者有相同者四之三与八之六同则八之六即四之三假如欲知何以皆为四分之三但将子母两数立通数乘之且如(八四)之(六三)有六数可以通乘六八四十八六六三十六母系六八子系六六便知(八四)之(六三)即是八之六此系有见成乘法可用者其积数已多而既难折半又无通数可乘则须另立纽数归除其法以小减大减尽而止以最后减尽数为用以除子母二数其所除得数即是约数假如四十八之三十二即三之二于(八四)内减(二三)余(六一)即以(六一)再减(二三)二次尽乃以一十六为纽数以除(八四)得三是母约数以除(二三)得二是子约数假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子减母余二百八以二百八减子数用二转余五十二以五十二减二百八恰尽即以五十二为纽数以除六百七十六得一十三是母约数以除四百六十八得九是子约数(凡以小减大者即系除法数相近名减若大小相逺减几徧者名除)其以寡减多终不能尽者不复可约只就见数为则以(七四)减(九五)余(二一) 以(二一)减(七四)余(一一) 以(一一)减(二一)余一不尽以(○二)减(三六)余三 以三减(○二)余二 以二减三余一不尽 以上不尽无纽竒零并母子法第七凡两子母数不等须先并母较之以两母相乘得共母数次以两母互乘两子各得子数又有三四母子不同并较多寡者亦以各母次第徧乘归并作一共母(为实)乃以各母之数(为法)除之即以各子乘之得各子数先并母数二乘三得六又以六乘四得二十四又以二十四乘五得一百二十为共母乃以首母二除得六十以首子一乘仍六十为其子数以次位母三除得四十以子数二乗得八十为其子数以三位母四除得三十以子数三乘得九十为其子数以四位母五除得二十四子一乘仍二十四为其子数若每数相乗遇有纽数可用(一数两分是为纽数即前法)即用纽数除之以其所得相乘以省约法右用一纽数而前之乘得一百二十者约为六 ○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六乃以首母二除得三十子一乘亦三十以次母三除得二十子二乘得四十以第三母四除得一十五子三乘得四十五以第四母五除得一十二子一乘仍一十二凡两数母子俱殊但有纽数可用皆可以此推之二三为六故注二于六下四三一十二故注四于(二一)下乃即以二十四为共母数而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子数五乘得二十为二十四之二十以第二母一十二除此二十四得二以其子数七乘得一十四为二十四之一十四竒零絫析约法第八竒数有析之又析者如母七子四是为七之四又析其四作五以为母而五中余三是为五分四之三子中出子相联而成则名七之四又五分四之三也又有母二子一是二之一又以子一 (此三即进位之三)析为六而六中余一(母六子一)又以子一析 (此四即进位一所化)为四而四中余三(母四子三)又即以子三为 (此六即进位一所化)母而三中余二连析四次总名二之一又六分一之一又四分一之三三之二右法须取捷归并以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二母数五七得三十五子数三四得一十二如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六母数三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四为共母数子数二乘三得六又一六只六又一六只六为共子数右一百四十四之六依约法乃即二十四之一以六除一百四十四得二十四恰尽故六为纽数二十四为母约数以六除六得一尽故一为子约数假如连析三次者五之三又三之二又四分二之三并之乃六十之一十八母数四乘三得一十二又一十二乘五得六十为共母数 子数三乘二得六又六乗三得一十八为共子数右六十之一十八约之即一十之三用子数一十八除母数六十余六即以六除一十八恰尽是六为纽数以六除六十得一十故一十为母约数以六除一十八得三故三为子约数右絫析乃厯家所常用者粟米方田诸家鲜用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一两析之为五(每析二钱)五之三乃六钱也又析为三之二则四钱矣又析为四分之三则三钱矣总是一十分之三化法第九凡整数后带竒零难于归除须将整数尽依母数化之其法以母数乗整数以乗得数并入子数却以母数除之假如有整六数零五分一之三者列六于左列五之三于右每数皆剖为五分五乗六得三十并入子数三是为五之三十三列下假如有整七数零五分一之四者列七于左列五之四于右每数皆剖为五分五七三十五并入子数四是为五之三十九于是乃化零数为整数其法以母除子此为一剖七之五十六以母数除子数用八除尽知是整八数此为一剖九之四十七以母除子用五余二知是整五数又零九之二竒零加法第十数有竒零或两零数或三四零数以至百千零数加并为一法具后若母数异则先并母数但有纽数者依纽数求其共母无纽数者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子数乃视其子数多寡总而积之又以共母除积子以归本数又法求其子数径用母子互乘亦得(三三是九二四是八)但积数多者未便须用母除子乘之法若既有整数又有零数则先加积整数次乃加积零数其零数同母者只并子数其零数异母者依前法且并母数而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗以上系不同母数者若欲试加法之有差则用竒零减法竒零减法第十一凡以竒数减竒数者审其多寡而于多中减寡其母数同者第就子数相减若母数异则先以其母相乗并为一母而依母除子乘求各得子乃以相减以上系不同母者若于整数内减零数者以零母化原整数就以作子相减次合全数总计假如整数一十内减一十一之六者(此一十一之六未满整一数)就将一数拈出依竒母化为一十一以作子数于内减六(一十一之六)余一十一 之五总为九零一十一之五以上是只减零数者假如整数一十内减四零五之三者一十减四余六又动一数以零母化之作子于内减去三(五分之三)尚余五之二是为五零五之二以上是既减整又减零者又有原数以整带零减数亦以整带零者先以整数相减次将各零母依法并合为一次乃子母互乘为子各系本子位下相减于整九内借一数以化母为三百六十三并入一十一则三百六十三之一十一为三百六十三之三百七十四以上是零整杂减者若原数减数不止二位相并有三四零数以上者照前逐并母数互乘减之若欲试减法之当否则用加法补前章以减法试加法假如不同母加积者试之两母相除得母数将所互乘之数互减之其减余者除以本母得子数竒零乘法第十二凡两零相乘者皆以母乘母子乘子凡零数与整数相乘者置整数与零子数并列其上立一数为母与零母并列照前母乘母子乘子凡整数带零数与整数相乘或与零数相乘者先以整数与所带零数之母相乘得若干并入零子列子位(化法)乃以整数照前法列于子位其上立一为母而母子相对乘之右系整兼零与零数相乘者若两数俱以整数兼零数者照前先化整数或问乘法乘少为多今或乘多为少何也曰立法如此乃是借虚驭实与除法相㕘为用非整乘也若欲试乘法之有差则用竒零除法竒零除法第十三凡竒零数又以竒零数归除者列原数于右列除数于左却将除数倒列子母(原数母上子下除数子上母下)两平对乘其乘出数即归得数假如以竒零除竒零者右法假如一年十二个月今曰二之一则六个月也六之一则二个月也以二剖六各得三个月假如以零数除整数者以整数作子上立一为母假如以整带零而除整数者原数只借一为母不动若除数则以所带零母化其整数并子数假如以整数除零数者假如以整带零而除零数者原零数不动其除数之整假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整数若欲试零除之差否则用零乗法以乗出之数为主以对除数相乗仍合原数则不差重零除尽法第十四归除不尽曰竒零然有原数之内本来先带竒零者(如原数系二十零四分之一之类)是大竒零数内又有小竒零也若欲除之使尽当先归之使一列小竒零于右列大竒零于左两母相乘为总母又以小竒母乗大竒子并入小子为共子数即是除尽之数若数繁者约之假如四人剖一十五零三之二其不尽者整三数零三之二也三之二为小竒列右四之三为大竒列左如法乘之即得四母除尽之数若小竒零之内复有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相并得母数及子数次乃递互并完假如七除不尽而余四数是为七之四矣而又以此四中之一剖为五停内得二又以此二中之一剖为四停内得三又剖此三中之一为三停内得二此乃大竒数内又带三小竒数愈析愈繁最易淆乱者法具后以上用七除尽者每分得八十四之五十五假如以一十二人剖二十整数零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不尽以一十二之八列左以四右系捷法若依前章竒零加除二法者从小竒数除起以一十二除之借一为母倒列对乘先得小竒乘数次以大竒数与对乘又依加法互乘求总子数约之得除尽数通问第十五前算法一十四章总归加减乘除四术临时制用存乎其人今设一十四问由浅入深由易入难精之躔度厯术麤之米盐凌杂皆可类见问减二十三余四十七原是几数又问减一十一之四余八零三之二原是几数答曰此用加法以二十三加四十八原是七十数也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也问八十七内减几何该余二十六又问一十三之八内减几何该余七之二答曰即用减法就八十七内且减二十六余六十一得余数就一十三之八内且除七之二余九十一之三十得余数问加三十八得八十三原是若干又问加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用减法于八十三内减三十八尚余四十五其原数也于二十零二之一内减四零九之八尚余一十五零一十八之一十一其原数也问一百与三百四十九差几何又问六零二之一与二十零四之三差几何曰此即减法于三百四十九内减一百是为二百四十九于二十零四之三内减六零二之一是为一十四零四之一问何数除之以九而各得三十四又问何数除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其实数也三之二乘四零三之一得整二零九之八其实数也问有三十于此其五之三是何数又问有四零七之五于此其二之一是何数曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也(依法以子数三乗三十得九十以母数五除之得一十八合问)以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也(依法化四并五为七之三十三以与二之一对乘得一十四之三十三约之为二零一十四之五合问)问除四十八各得一十其除数若干又问除七之三各得三之二其除数若干曰此于除法求之只以一十除四十八该得四零五之四是其除数(以四零五之四为除数者依法化整及倒位对乘之子数五乘四十八得二百四十母数二十四除之得一十合问)只以三之二而除七之三该得一十四之九是其除数(以一十四之九为除数者以九对七以三对一十四乘得六十三之四十二约之三之二也)问一十七与何数相乘而得一百又问三零二之一与何数相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百当各得五零一十七之一十五以得数乘除数还原一百矣以整三零二之一而除四之一当各得一十四之一以得数乘除数还原四之一矣(一十四之一乘三零二之一得二十八之七约之四之一也)问两数相乘得四十八是何数又问两零数相乘得二之一又或得六零四之三者各是何数曰熟于除法则随变用之其除四十八者随意立一数如以六数除则各得其八乗之则六八四十八也如以一十除则各得其四零五之四乘之乃五之二百四十还原四十八也(母五乘整四并子得二十四以一十乘得二百四十数以母五归整是四十八)其除二之一者亦随立一数如以三之二为除则各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六约之则二之一矣其六零四之三者亦随立一数如用三零二之一为除则各得一零一十四之一十三乘之则六零二十八之二十一约之六零四之三也如用二零四之三为除则各得四十四之一百零八乘之则一百七十六之一千一百八十八约之亦六零四之三也问两数除之得二十八又问两零数除之得六之五其数几何曰此用乘法亦随意立一数乗之如二十八数以六数乘之得一百六十八即以六除之仍归二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一为除仍归六之五矣问何数以七为乘而所乘出之数归之以八而得三又问何数以五之二为乘而所乘出之数除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除数乗除得之数而以所云乘数除之其所除得数即所求数也假如三与八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三与四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣问六在五十四之内约是几分之几又问五之三在一十之九内约是几分之几曰此用约分零除法以小除大其所除得数即是也以六除五十四各得九则六于五十四乃九之一也(假如以五十四除六者依零除法各立一数为母倒位对乘乃五十四分之六即以六数而除五十四于此可明零除倒位之义)以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也问六数是何数中九之一又问五之三是何数中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六数依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也问化法假如一化为八今七数共化几分又问以一化四见有四分之三设以一化一十二此四之三者得一十二中之几又问以一化七见有七之三设以一化八则此七之三者是八中之几曰此用乘法以前后数相乘得之问化八者以七乗八得五十六是所求其化数矣问以化四较化一十二者以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数(三十六)以前母除归本数(四个九)即后母之子数也(一十二之九)问以化七较化八者亦然以前子七中之三与后母八倒位相乘得数(二十四)以前母除归本数(三七二十一得整三数余三不尽是零七之三)即后母之子数也(后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也)譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中国计日以百刻西洋以九十六刻今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻即以西洋九十六为母三十一为子却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百是为九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再寻纽数四约之乃是二十四分刻之七也同文算指前编卷下
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钦定四库全书同文算指通编卷一明 李之藻 撰三率准测法第一数有显隐必頼显以徴隐故列前三率求后一率先定三率之位大都取其相准如货准货钱准钱之类凡第三率必与第二率相乗而以第一率除之因得第四率为所求旧名异乗同除假如钱四贯得货十二斤今问钱二十贯当得货几斤则以二十为三率以十二为二率与相乗以四贯为一率第一率 四贯 二率三率乗得二百四十数以一第二率 十二斤 率之四除之每分得六十数为所第三率 二十贯 求盖第一率与第三率相准也而第四率 六十斤 第二率又与未知之第四率相准相准故以相推妙在相准假如米六十石足支五月今问有米一百三十二石足支几月此以六十石为一率五月为二率今有一百三十二石为三率以与二率相乗以第一率六十除之第一率 六十石第二率 五月 (以五乗一百三十二得六百六十数乃以六十除之得一)第三率 一百三十二石(十一月)第四率 一十一个月右试法二率三率相乗如前却以第四率除之仍得第一率则所推不误又法移第三率为第一率第四率为第二率却以第一为第三如前二三乗之以一除之所得第四率必合第二率第一率 二十贯 一百三十二石第二率 六十斤(四乗六十得二百四十以)十一月(十一乗六十得六百六十以一)第三率 四贯 (二十除之得十二)六十石(百三十二除得五)第四率 十二斤 五月又有化多为寡之法先寻纽数凡一数可以除尽两数者为纽数其两数亦取相准者为用因以相对乃取纽数所得置本位下乗除如前若无纽数者则否三率 二十 二十(四以三代十二仍依法乗得六)五 (十故以一代四以五代二)四率 六十 六十(十) 六十(十依法乗之得六十如前)又式三率六十三 六十三(八故以四更之依前乗除仍得)七 (也七九六十三故代之以七也)四率 八十四 八十四(八十四) 八十四(仍前乗除亦得八十四)又三率准测之法以一率除二率得数乃以乗第三率所得第四率不异前法一率 六十 (先以一率除二率得六以乘第三率推得第四率)二率 三百六十三率 一百三十二四率 七百九十二乂法先以第一率除第三率得数以乗第二率乗出数为第四率亦如前一率 六十 (以一率除第三率得二零六十之十二约之乃五分之一为用数以)二率 三百六十 (乗第二率仍得七百九十二如前)以上二法皆用三率 一百三十二 先除后乗但除之不尽必用零乗四率 七百九十二 之法故不若从前先乗后除为捷右准测法之变凡三而吃𦂳在于定位孰为第一率孰为第二三率应前者前应后者后又或前者反后后者反前畧具凡例如左问用银四十四两买绢五十二疋今买二百六十疋该银几何此所问者二百六十疋则以二百六十为第三率以原买绢五十二为第一率相当而以四十四为第二率以当所测之第四率一 五十二疋二 四十四两三 二百六十疋四 二百二十两问买绢五十二疋用过价四十四两今有银二百二十两该绢几疋此所指者银数则以今有银为三率原价为一率与相当而以买过绢为二率乗之一 四十四两二 五十二疋三 二百二十两四 二百六十疋问用银四十四两不知籴米若干曽见有人以银二百二十两籴米二百六十石一 二百二十两二 二百六十石三 四十四两四 五十二石问有人粜米五十二石不知得银几何曾见有人粜米二百六十石得银二百二十两一 二百六十石二 二百二十两三 五十二石四 四十四两右四问总是一法所问不同以辨三率之位问有人七日行二百一十里今行一千六百里须几日一 二百一十里二 七日三 一千六百里四 五十三日又二百一十分日之七十(刻法每日一百依法以乗子数七十得七千以母数二百一十除之得三十三刻又三分刻之一)问椒一斤不知其价见人买六十斤用价二十两一 六十斤二 二十两(二率乗三率仍得二十却以一率之六十除之系以多除少者说在前编竒零除法)三 一斤 (立一为母倒位互乗以除之)四 (约之乃三分两之一也求分厘法依前编以两化之子乗母除得三钱三分三厘三三)问榖每石价银一两七钱五分米每石价银二两五钱今有榖三百九十六石照价折米该若干一 二两五钱二 一两七钱五分三 三百九十六石四 二百七十七石二斗若问米二百七十七石二斗照价该准谷若干者即以一两七钱五分为第一率二两五钱为第二率以二百七十七石二斗为第三率问有八成金五十两价银二百两今有九成金四十两该银若干此因有成色有两数有价数法当取成色折足色后用准测推之五八四十为第一率二百两为第二率四九三十六为第三率一 四十两二 二百两三 三十六两四 一百八十两问银一百两零七钱八分雇工筑堤四百丈零四分今欲筑堤一千丈零四分三厘该银几何此法化两为分化丈为厘以列三率一 四万四十厘 (化四百丈四分)二 一万七十八分 (化一百两七钱八分)三 一十万四十三厘四 二百五十一两八钱六厘又四千零四分厘之二千一百三十(约之乃二千二之一千六十五以毫归整乃五毫三丝一忽九微六纎)问住居七个月零十五日已支银二百两七钱八分又七分分之二若住六年该费若干此化年月为日化两为分以列三率一 二百二十五日二 二万七十八分又七分分之二三 二千一百九十日四 一十九万五千四百二十八分又一千五百七十五分分之一千二十(即一千九百五十四两二钱八分六厘四毫七丝六忽八㣲七纎不尽)问有蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一共价银二两六钱今有银九钱买蜡几何曰此谓三不同类之率(因蜡有斤有两又有零分银亦有两有钱故云)取一最细数为君以大数化之取原价二两六钱为二十六钱取原蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一为一百七十三两零十分两之九(即一千七百三十九钱也每斤十六两先以十斤乗得一百六十数次以五之二乗得五之三十二乃共得一百六十六两零斤之二也次加七两得一百七十三两其所零二之一倂前所零五之二用并母法互乗积之为十分两之九总之如上数)一 二十六钱 (二率乘三率依前编零乗之法归整得一)二 一百七十三两一十分两之九(千五百六十五又一十之一乃以第一率用零)三 九钱 (除之法则一十乗二十六得二百六十为四率)四 六十两又二百六十之五十一(约之如上照斤法得三斤十二两一钱九分又六十五之四在前通问十四)问欲买䳘氄八分丈之七价若干曰曾买三分丈之一原价四分两之三算之问炼矿求银初火炼得三之二再火得七之五又入火得五之四凡三火共得足银一十六两原矿若干此并子并母求之以三子相乗(二五得一十又四乗得四十)为首率以三母相乗(三七二十一又以五乗得一百零五)为次率一十六为三率问筑墙上广一尺下广四尺高一丈二尺今上广如故下广仅二尺一寸可高若干法以较求之取原上广较原下广所差为一率以原高数为二率今筑下广较原下广差为三率一 三十寸(上广不及下广数)二 一百二十寸(高)三 一尺九寸(今下广减原下广)四 七十六寸右法若以筑高七尺六寸问上广若干者以筑高数乗原上下广较而以原高数除之问筑墙上广二尺下广六尺高二丈今已筑至上广三尺六寸量高若干亦以上下广较为一率原高为二率今所筑中广以较下广差数为三率一 四十寸(原上下广较)二 二百寸(原高)三 二十四寸四 一百二十寸右法若问筑至高一丈二尺问上广者以筑至数乗原上下广较而以原高数除之问筑墙上广十尺下广三十尺高四丈今欲筑至上广九尺该接高几何以今上广较原上广余一尺为主置第三率置原高四丈为二率以原上广不及下广二十尺为首率一 二十尺(原上下广较)二 四十尺(原高数) 又法以原上下广较减三 一尺(今上广较原上广数)原高为实以今上广与四 二尺 原上广较得数为法除之亦同右法若问再加二尺上广几何者以再加数与原上下广较相乗而以原高数除之问驿使先发三十七里别以一骑追之驰一百四十五里尚不及二十三里须追几里可及此以先发及追去未及之里推之知驰一百四十五里只追上一十四里以追上数为第一率疾驰数为二率不及数为三率一 一十四里二 一百四十五里三 二十三里四 二百三十八里又十四分里之三问甲乙二人同步甲疾乙迟甲行百步乙才行六十步假使乙先行百步甲方举步追之该几步可及一 甲行疾四十步二 甲日行一百步三 乙先去一百步四 乙㑹甲二百五十步问商人籴米三千五百石每石价银六钱五分外用脚价银五分就籴处以米准脚价则原数内该脚夫若干商存若干此以每石籴价为首率总米为次率脚价为三率依法乗除先得脚价米为四率以减总米余为存商之数一 六钱五分二 三千五百石三 五分(脚价)四 二百六十九石二斗三升○七勺又六十五分勺之四十五(约之为一十三之九)以减总米余三千二百三十石○七斗六升九合二勺又六十五分勺之二十(约之为一十三之四)为存商之数右系初籴未运送者故以原籴价算若已搬运到仓则倂籴价雇值每石共值七钱矣以七分为首率依衰分法求之只该脚米二百五十石问蚕茧二百五十斤换绵八十八斤若茧百斤十斤一斤一两各该绵几何此求斤两法茧数为首率绵为次率列茧百斤等为三率有零分者以斤法十六化之再除一 二百五十斤二 八十八斤三 一百斤 一十斤 一斤 一两四 三十五斤五之一(即三两二钱)三斤八两(三钱二分)五两六钱(三分二厘)三钱五分二厘以上十五问见三率布置之序余可触类而通变测法第二前准测法皆以二率乗三率而以一率除之盖以三率视四率犹以一率视二率多寡相等可例推也又有变测之法假如第一率多于第三率而其第二率反少于第四率或一率少于三率而二率反多于四率者此当审其不相准之数而变法测之则以第一率乗第二率以第三率除之旧名同乗异除问布长九丈阔三尺作衣一袭今有布但阔二尺亦欲作衣一袭増布若干此以三尺为一率以九丈为二率乗之以二尺为三率除之一 三尺二 九丈三 二尺 (若欲复前准测之法则移三率为一率移一率为二率却以二)四 一十三丈五尺(三率而仍以二三相乗以一率除)问原借九成金五十四两今以八成金抵还照成色该还若干一 九成二 五十四两三 八成 (若欲复前准测法则以八成为首率九成为二率而以原借五)四 六十两七钱五分(十四为三率)问母银四千两生息三年今母银七千四百八十两数多于前只须几年即可当前三年之息此以四千为一率三年为二率乗之今母为三率除之一 四千两二 三年三 七千四百八十两四 一年二百二十日六时四刻又三百七十四分刻之八十六 (若复前准测法则以今母为一率原母为二率三年为三率)问荒年麦半石价钱六百文作麦饼每饼重十两值十文今麦价四百文或贵至八百文而价仍每饼十文则其饼该増减若干一 钱六百二 饼十两三 钱四百 钱八百 (移三率为一率移一率为二率而以二率为第)四 饼十五两 饼七两五钱(三率乗之即前准测法)问二百四十方步为一亩合阔八步长三十步今阔只六步或阔至十二步各该长几何一 八步二 三十步三 六步 十二步四 四十步 二十步问方仓贮米三百八十四石原高八尺阔一丈二尺深一丈今另建一仓照前米数亦高一丈但减深八尺或増深一丈六尺各该阔几何一 一丈二 一丈二尺三 八尺 一丈六尺四 一丈五尺 七尺五寸问筑一台每日用夫三十工四年而成今每日用夫五十工或减至二十工各该几时而成或不待四年于二年一百四十六日而成又或迟至四年零二百九十二日而成每日各应用夫若干此四难俱用一法而化年为日以一率乗二率以三率除(每年作三百六十五日)一 三十工 三十工 一千四百六十日 一千四百六十日二 四年 四年 三十工 三十工︵字位过密 无法显示︶四 八百(七十六日)六年 五十工 二十五工问以兵八千五百共守一隘其粮仅支十一月若待餽运至日尚须二十五个月计当撤兵几何留兵几何而后可供二十五月之食一 十一月二 八千五百人三 二十五月四 三千七百四十人当留 四千七百六十人当撤(以除得数为留数余为撤数)问象牙一枝因无大枰用小秤称之不及其锤重一斤十两外加一锤重一斤四两八钱称得六十七斤依小秤算该几斤法并原加锤数为首率以称得数为次率原锤数为三率一 四十六两八钱二 六十七斤三 二十六两四 一百二十斤(又五)之三(用加六求之即九两六钱)问原秤称物重八斤二两失去原锤欲另铸锤配用不知轻重另借别锤以较原称之物只六斤则原锤若干此须化斤为两以加六通后称数(九十六两)为首率以所借锤(三十七两)为次率原称数(一百三十两)为三率得所求原锤数以斤法除之(按别锤下脱重三十七两五字)一 九十六两二 三十七两三 一百三十两四 二十七两三钱又一十三分钱之三(以斤法除得一斤十一两三钱二分七毫不尽)问空车日行七十里若重载即日行五十里今载粮到仓五日三返路逺若干法以五日为首率以空车重车日行数相乗为次率并空车重车日行数以三返乗之为三率一 五日二 五百三十里(按数误应作三千五百里)三 三百六十四 四十八里又三十六之二十二重准测法第三凡数两相较者皆两两相准故以巳然为一二率见在为三率以测四率若巳然者先有杂数见在者又有杂数此当以类次第归并而叠用三率之法推之准而又准测而又测为重准测法问每人每月织绢六疋若八人四年该几疋此以一人为第一率以六疋为第二率以八人为第三率八六乗得四十八为第四率又以四十八为所问第二率化四年作四十八个月为第三率依法乗得第四率一 一人 (先以人数测绢数) 一月 (即八人之一月次以月数测绢数)二 六疋 四十八疋三 八人 四十八月(即四年)四 四十八疋 二千三百四疋又倂法以一人乗一月为第一率以六疋为第二率以八人乗四十八个月为第三率而二三相乗以一除之一 一人一月乗只是一数(凡不同数者用此乗法倂之如人与月不同是也若)二 六疋 (月与年则同数者竟当化一年为十二月不必相乘)三 三百八十四 (矣)四 二千三百四疋问雇役一千里运货二百斤给值四两今货三百斤运四千里该值几何此以一千里乗二百斤为一率以四两为二率以三百乗四千为三率一 二十万并 二 四两法 三 一百二十万四 二十四两用 一 二百斤(先测货价) 一千里(次测里价)重 二 四两 六两准 三 三百斤 四千里法 四 六两 二十四两问三人用米五石值银三两计食五旬每人每日该银米几何此以三人乗五十日为第一率以三两及五石各为第二率以一人乗一日为第三率二三相乗一率除之一 一百五十(三乗五十)并 二 三两(三百分)五石(五百升)法 三 一 (一乗一)四 二分 三升三合零三之一一 三人(先以人准银米)五十日(次以日准银米)重 二 三两 五石 一两 一石三一二准 三 一人 一日四 一两 一石三一二 二分 三升又三一一问母银三百两四年得子银一百两今有母银一千五百八十两七年该出子银几何此以三百乗四年为一率以一百为二率以一千五百八十乗七为三率一 一千二百并 二 一百法 三 一万一千六十四 九百二十一两又三分两之二一 三百 四年(次以四年子母相算)重 二 一百 五百二十六两又三之二准 三 一千五百八十 七年四 五百二十六两又三之二 九百二十一两又三之二问母银十两三个月得子银四两若母银一百两欲得子银二千两须几年此因有月在内湏作重准测法先知百两三月所得然后再测若只如前并法以四乗十共作一率则所差多矣式具后一 一十两(此未言三个月但十两之得四) 四十两(既得上数乃以银准月而推)二 四两 (两以三月则百两之得四十两) 三月三 一百两(亦是三月𦂳要在此便可再测) 二千两四 四十两 一百五十月右法试之以十两乗三月为第一率以四两为第二率以一百两乗一百五十月为三率而以二三相乗以一率除之(此系倒法盖带月作一率三率者)一 三十(以一十乗三)二 四三 一万五千(以一百乗一百五十)四 二千问有夏布四十五疋以换绵布两价不等夏布每三疋价二钱绵布每七疋价七钱五分该换若干疋法先以三率法求夏布四十五疋共价若干次即以所获价为第三率以七钱五分配为第一率七疋为第二率推之一 三疋 一 七钱五分二 二钱 二 七疋三 四十五疋 三 三两四 三两 四 二十八疋问将银二十三两买布七十五疋每疋长四丈阔二尺今另买布阔一尺六寸长与前等该减前价若干此先求每尺之价以四丈乗全布又以阔二尺乗(六千尺)为首率价银为二率另立一尺为三率求得四率为尺价次求应减之价乃移三四率为一二率以两阔相减余四寸乗原长三千尺(一千二百尺)为三率一 六千尺 一尺二 二十三两 三厘八毫三丝又三之一三 一尺 一千二百尺四 三厘八毫三丝又三之一 四两六钱问重舟日行八十里轻舟日行一百里今重舟先去一十五日轻舟几日追及先求重舟一十五日行若干里得数用为重测之三率而以轻舟每日多行二十里为首率推之得四率为追及之日一 一日 一 二十里二 八十里 二 一日三 一十五日 三 一千二百里四 一千二百里 四 六十日问车轮半径一尺九寸五分假令一日转二万周该几里此因有里有尺又有寸有分须用再测先倍半径得三尺九寸为全径数三因得一百一十七寸为一周数以一周为一率一百一十七寸为二率二万周为三率推得尺寸共数乃以其数为第三率以里法一千八百尺除之一 一周 一 一千八百尺二 一百一十七寸 二 一里三 二万周 三 二十三万四千尺四 二十三万四千尺 四 一百三十里问用砖砌满九里每砖阔六寸每层该砖若干此以里求寸当化里为寸每里一万八千寸九里得一十六万二千寸乃求砖数一 一里 一 六寸二 一万八千寸 二 一砖三 九里 三 一十六万二千寸四 一十六万二千寸 四 二万七千○砖问拨夫一百名筑城二百丈八个月工完今仍用夫一百名给银一百两欲筑城二万丈几月完工此以二百为一率以八为二率以二万为三率不用银数以与夫数相同不算一 二百丈二 八月三 二万丈四 八百月问用夫三百名七个月修过墩台四十五座今有夫一千七百八十名亦七个月可修墩台若干座此与前法相同除月不用一 三百名二 四十五座三 一千七百八十名四 二百六十七座问选锋兵一名每月给银四两今有选锋兵一万三千名九个月该给几何此以一名乗一月为一率以四两为二率以九乗一万三千为第三率一 一二 四三 十一万七千四 四十六万八千问马十匹每一日用料七斗今有马百匹养二十日用料几何此以十匹乗一日为一率以七斗为二率以百乗二十为三率一 一十匹二 七斗三 二千匹四 一千四百斗问开河长七百五十五丈上广五丈四尺下广四丈深一丈二尺每夫每日开二百尺问几工可完即以二百尺为首率并上下广折半得四十七尺以深乗之得五百六十四尺为次率以长为第三率一 二百尺二 五百六十四尺三 七千五百五十尺四 二万一千二百九十一工问开濠下广七尺上广九尺深四尺长一千八百尺每夫每日穿一百四十四尺今用夫二百名几日毕工此以二百人乗一百四十四尺得二万八千八百为法置第一率并上下广折半以深乗得三十二尺为二率以长为第三率一 二万八千八百二 三十二三 一千八百四 二日问十二人九日共刈麦二十亩今有三十人刈麦四十五亩该几日此因有人数又有日数又有亩数当用重准法又以一率小于三率而四率反少于二率兼用变准法而重准则仍用准测法一 十二人(先以人较日一率二率相) 二十亩(次以日较亩二三相乗)变 二 九日 (乗三率除之)重 三日又五分日之三准 三 三十人 准 四十五亩四 三日又五分日之三 八日又十分日之一问负米一石一斗二升行三十步日五十次今负米一石二斗行四十步日可几次此全用变准法以三十步乗一石二斗二升为首率五十次为二率今负米一石二斗以乗四十步为三率一 三百三十六二 五十次三 四百八十四 三十五次问金钱一文值银一两一钱五分今有银一千两该金钱几文此用化法二率乗三率以一率除一 一百一十五分二 一文三 十万分四 八百六十九文又二十三分钱之一十三问金钱每文得银一两一钱五分今金钱四千文银几何一 一文 一百分二 一百一十五分 一两三 四千文 四十六万分四 四十六万分 四千六百两问烹砂炼金每日所得重三十铢今积得七斤八两已采几日法先化斤为铢每斤三百八十四铢先求七斤八两得铢若干乃以共铢求数(此是斤称法)一 一斤 三十铢二 三十铢 一日三 七斤八两 二千八百八十铢四 二千八百八十铢 九十六日问炼铜入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三两四钱四分原生铜若干此用化法化八斤(一万二千八百分)为首率化十斤(一万六千分)为次率化三火铜(一十二万一千三百四十四分)为三率得四率为二火铜数乃即用四率为三率以求一火铜得数又用为三率以求生铜其一率二次不动依法乗除得数乃以斤法一十六除之一 一万二千八百分二 一万六千分三 一十二万一千三百(四十四分)一十五万一千六百八十一十八万九千六百四 一十五万一千六百(八十分)一十八万九千六百 二十三万七千分(即一百四 十八斤二两)又捷法以八斤自乗(六十四)再乗(五百一十二)为法以除三火铜亦得二三七因有再乗各再进位以七为两亦同前法问将银雇匠采石不知银数石数只云每石六十丈价七两七钱船价三钱总用锻铁炭火银二百两是六十分之二则原银几两买石几丈石价船价总若干各若干法据锻铁炭火银二百两为六十分之二已知原银是六千两内减二百两只以五千八百两为实在之银起算作第三率以六十丈为第二率相乗得数乃以七两七钱并船价三钱共八两为第一率除之得四率为买石总数再置石总为第三率以七钱七分为二率乗之六十丈为一率除之得石总价以减总银余得船价一 八两 六十丈二 六十丈 七钱七分三 五千八百两 四万三千五百丈四 四万三千五百丈 五千五百八十二两五钱(此系石价以减总银余二百一十七两五钱为船价加锻铁炭火二百两仍足六千两)问母银六十两置货卖得六十四两或只卖得五十七两今有银一百两置货卖之依前算该得多银几何或折银几何此以六十为一率以所卖二数较之一増四两一减三两各为二率以一百两为三率一 六十两 六十两二 四两(多数) 三两(折阅数)三 一百两 一百两四 六两又三分两之二 五两问有货一百斤卖得子银六十四两不知母银几何兹母银一百两欲得子银六两零三分两之二其法以子并母为一率以母为二率以所问六十四为三率(所问六十四兼有子母故相准第一率亦兼子母配之所求第四率系原买母银故第二率亦以母银配之)一 一百六两又三分两之二(除货一百斤不用只以银数相准)二 一百两三 六十四两四 六十两(每六十两得子四两则一百两得子六两零三分两之二矣然则以六十四两卖者必以六十两买也)问寳石一颗卖银二百两以其母银较之每百两折银一十两原买母银若干此因百两之内折一十当以九十两为一率以一百为二率以二百为三率一 九十两(欲以二百之子推求二百二十二两有零之母先以九十两之子及一百两之母为)二 一百两(一率二率)三 二百两四 二百二十二两零九分两之二问玉石一驼卖价三千六百两今欲每母一百两得利一十两必须于买价内原减得三两方获此利试问原买价几何此与前法相同以一百一十为第一率(因所问在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所减三两不用)以一百为第二率(求母数故以母数配之)以三千六百两为第三率一 一百一十两二 一百两三 三千六百两四 三千二百七十二两又十一分两之八(再加三两即原买数)问纻丝一千疋卖银三千六百两若原买价多六两即每百两折十两欲知原价几何此因百两内已折一十两以九十两为一率以一百两为二率以三千六百两为三率一 九十两二 一百两三 三千六百两四 四千两(再减六两即原价)问货每一斤卖银二钱即母银百两已得息三十两设若每斤卖至二钱四分则百两获息几何其法先求每斤二钱之内母银子银各若干然后再据子母推之先列所知子母全数一百三十为第一率以母银一百两为第二率知母一百三十之内以三十为子以推二钱之内以若干为子乃以二十分为第三率依法乗除得二钱之母银亦即二钱四分之母银也次乃以母银为一率以二钱四分内之子银为二率以一百为三率一 一百三十两 一十五分又十三之五(二钱内母数)二 一百两 八又十三之八(二钱四分内除去第一率得此数)三 二十分 一百两四 十五分又十三之五(此是母数外皆利息)五十六两问货一百斤卖银十两总计每母百两内已折十两若使每百斤只卖银八两则百两之内所折几何此须先知一百斤之货原值若干乃可重推先从百两折十两得九十为第一率以一 百为第二率以所折十两为第三率依法乗除得百斤原本之数为第四率即以此为重准之第一率内推只卖八两所折为第二率以总数一百为第三率一 九十两 十一两九之一二 一百两 三两九之一(第一率内只卖八两则所折者此数)三 一十两 一百两四 十一两又九之一(此得百斤正价未折之数)二十八两问买布五万疋用银一万两纳过课银五百两费过车脚三百两又纳课银二百两又雇船一百两又过闗一百两又食费一千两其费如此必每疋卖银几何然后每疋获息银二钱法以五万为第一率以本价及诸费共一万二千二百两化钱数为第二率以一疋为第三率一 五万疋二 十二万二千钱三 一疋四 二钱零五十分钱之二十二(此系每疋本银费过之价此外再加二钱其须四钱零五分之十二方得利二钱)问布每疋长四十尺内该抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外贴钱六百文其布价每疋几何此已知抽税者为二十取一也先求三百疋应抽之数数外皆应贴钱此所贴者半疋二十尺之价也倍之得每疋价 一 二十疋 一 二十尺(即半疋)二 一疋 二 六百文三 三百疋 三 四十尺四 一十五疋 四 一千二百文问有客贩参不记母银几何但云每参六斤价银七钱七分车脚三分又用过牙银二百两是原母三十之一其母银数及参数价数各若干此以价(七钱七分)并车脚(三分)得八钱为首率参六斤为次率其牙银(二百)系母银三十之一以加二倍得母银六千内减牙银余五千八百两为三率得第四率为参总率另以六斤为首率减车价(三分)以七钱七分为次率参总为三率求得第四率为共价其参总率及参价乃六斤所推各以六除得参斤数及每斤价数一 八钱 六斤(径以首率除二率得每斤价一钱二分八厘三 毫三之一以首率除三率得共参七千二百五十斤)二 六斤 七钱七分三 五千八百两 四万三千五百四 四万三千五百 五千五百八十二两五钱(以减五千八百余二百一十七两五钱是车价)问以银二十二两八钱买黄白蜡均平其黄蜡每三斤价四钱白蜡每一斤价五钱二色之价各若干此以两母子互乗(三五一十五一四如四)并得一十九为首率两母相乗为次率总银为三率求得二色各斤数一 一两九钱二 三斤三 二十二两八钱四 三十六斤(以价乗白蜡得一十八两以价乗黄蜡四除之得四两八钱)问饭僧不知人数初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米与僧各若干法用重测先置子母互乗(九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十)并之(一千七十)为首率两母相乗(四千五百)为次率共米为三率得僧数乃以僧数为三率各以子乗母余得二日米数一 一千七十 五 九二 四千五百 八 七三 三十二石一斗 一千三百五十 一千三百五十四 一千三百五十僧 二十一石六斗 一十石五斗同文算指通编卷一
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钦定四库全书同文算指通编卷二明 李之藻 撰合数差分法第四上总数一也而分之糅襍不齐者亦以准测齐之大抵以总数为第一率以总数所得为第二率(如以母得子或以银得年月之类)分布而各为之宗为第三率若三率不尽者亦用重准之法测之问四商共贩得子银六千两而各出母银不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人该分子银若干先以四人共母为第一率以所获共子为第二率分置四母各一宗为第三率以第二递乗第三以一率除一 四百八十二 六千三 六十(甲) 一百(乙) 一百二十(丙) 二百(丁)四 七百五十 一千二百五十 一千五百 二千五百问三商置货同舟甲货值三百两乙货值五百两丙货值一百八十两遭风共弃货値四百两各照原值摊认法并三人值为第一率以所弃值为第二率分三人货值为第三率叠以三率法乗除一 九百八十二 四百三 三百(甲) 五百(乙) 一百八十(丙)四 一百二十二两又九百 二百四两又九百 七十三两又九百八八十分两之四百四十 八十分两之八十 十分两之四百六十问三人共买货四千斤值银五百两甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各该认价若干此以总货为第一率以总价为第二率以各人所取数分三宗为第三率一 四千斤二 五百两三 一千三百(甲) 一千四百六十(乙)一千二百四十(丙)四 一百六十二两又二(分两之一) 一百八十二两又二(分两之一)一百五十五两问三商共得子银一千两所出母银多寡不一先后亦不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月此子银一千者每人应分若干其法以各母乗各月(以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百)总彚之为第一率以所获总子为第二率以各母及月分所乗出三宗为第三率一 九千三百二 一千三 一千六百(甲) 二千七百(乙) 五千(丙)四 一百七十二两又 二百九十两又九 五百三十七两又九九十三分两之四 十三分两之三十 十三分两之五十九问三商共贩得子银一千两甲母三百两十个月乙母七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得分五百两乙得三百两丙得二百两要知丙丁二人出过母银几月其法先取甲之知母知子知月者为算以所分五百为第一率以一十月乗三百两为第二率(共三千)已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗为第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙丙母银乗月之数次乃各以其母除之仍得月数此于四率外加一率兼重准测法云一 五百(甲之子)二 三千(甲月与母乗)三 三百(乙之子以乗三千得九十万以五百除)二百(丙之子以乗三千得六十万以五百除)四 一千八百(此兼乙母 乗乙月之数)一千二百(此兼丙母乗丙月之数)二月又七分月之四(以乙母七百除得乙月)一月又二分月之一(以丙母八百除得丙月)问四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月先取出一千两至满十九个月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六个月取出八百两至满十五个月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收囘至满一十七个月别出母一千六百两丁初不出母六个月后方出一千八百两又过四个月取出九百两至满十六个月又増入一千五百两此四人者于所𫉬息一万两内计母计月各该分若干其法以四母各乗其月甲作三段乗(三千两乗八个月得二万四千数八月之后取去一千只存二千至十九月满共十一个月以十一乗二千得二万二千数其十九月之后又加一千二百共三千二百自第二十个月起到底计五月以五乗三千二百得一万六千共得六万二千)乙作三段乗(二千四百两乗六个月得一万四千四百两此后除去八百两只存一千六百两至满十五月实九个月以九乗一千六百得一万四千四百两其十五个月之后又加入一千四百两共本银三千两到底计九个月以九乗三千得二万七千共得五万五千八百数)丙作二段乘(二千两乗七个月得一万四百两自满十七个月以后出本至二年止共七个月以七乘一千六百得一万一千二百共得二万五千二百数)丁作三段乘(自六个月以后出本一千八百两满四个月以四乘一千八百得七千二百此后取去九百实在九百至第十六个月满计六个月以六乘九百得五千四百此后又出本一千五百共二千四百到底计八个月以八乘二千四百得一万九千二百共得三万一千八百数)四人共计一十七万四千八百为第一率以所𫉬息为第二率分各母乘月数为四宗作第三率一 一十七万四千八百问三商同伙甲母四百两乙三百两八钱六分丙一千两零七钱九分三商共折银一百两各认若干此皆化两为分(甲四万乙三万八十六丙十万七十九)并三人总分数为第一率以所折为第二率分各母数三宗为第三率一 一十七万一百六十五二 一万三 四万(甲) 三万八十六(乙) 十万七十九(丙)四 (二千三百五十又 一千七百六十八 五千八百八十一十七万一百六十 又十七万一百六 又十七万一百六)(五之十一万二千 十五之八千二 十五之四万九千二百五十 百八十 六百三十五)问三商甲出母银二百两经十二月乙出母银二百四十两不知月丙出金若干不出银经十个月共得子银一百三十八两甲分六十乙得四十八丙得三十今问乙该几个月丙之金值几何此以甲银乘甲月(共二千四百)而知子银六十出自二千四百也以六十为第一率以二千四百为第二率以乙丙各子为第三率二三相乘各以一除之其所得数(乙一千九)兼乙丙之母与月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值银一百二十两一 六十二 二千四百(以上俱甲)三 四十八(乙) 三十(丙)四 一千九百二十 一千二百八月(以本银除之得此数)一百二十两(以月分除得此数)问三贾共贩一年甲先出母银一千两乙母后二个月方出丙母后四个月方出俱不知其数几何但所得子银则均分要知乙丙各母之数此以所已知甲母甲月相乗为第一率乙丙准此为算而各以其月除之(乙十月丙八月)即各得其母之数一 一万二千(甲母乗月)二 一千二百(乙母) 一千五百(丙母)右试法合三总数为三万六千作第一率随意立一数为子数作第二率又以总数分为三宗(各万二千)作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同一 三万六千二 九百 (随意立此数)三 一万二千四 三百问三商共得子银一百九十两其分息则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一其母银则甲出八十两十二个月乙不知几何但知八个月丙亦不知几何但知四个月要知三人各息若干丙丁各母若干此须再用重准测法求之先以甲母及月相乘(九百六十)为第一率以其三之一(乙三百二十)四之一(丙二百四十)兼各母与月者为第二率既得母月兼数即以乙丙各月除之知各母数然后可以察其分息之数矣另并三人所乗母数月数为第一率以总子为第二率分甲乙丙母所乗得为第三率二三相乗以一除之各得第四率为所分子银数一 九百六十(甲母乗甲月)二 三百二十(乙得甲三之一)二百四十(丙得甲四之一)三 四十两 (乙以八除得此)六十两 (丙以四除得此)右已知乙丙之母银再测如左一 一千五百二十(甲九百六十乙三百二十丙二百四十并此数)二 一百九十三 九百六十(甲) 三百二十(乙) 二百四十(丙)四 一百二十 四十 三十问三商共母一千五百二十两得子一百九十两照母分之甲得一百二十两乙得四十两则丙所得若干又甲乙丙各母若干法就总子银内减去甲乙所得子剩三十为丙之子仍以总子为第一率以共母为第二率以各分子银三宗为第三率二三相乗以一除之得第四率为各母一 一百九十二 一千五百二十三 一百二十(甲之子)四十(乙之子) 三十(丙之子)四 九百六十(甲之母)三百二十(乙之母)二百四十(丙之母)问三商总母一千五百二十两总得子一千七百十两子母共分甲分一千八十两乙分三百六十两丙分二百七十两则每人各母若干其法并三人子数为第一率母为第二率以各人所分得三宗为第三率依准测法得四率为各母数就各以四率之数减其第三率之数余者为各子数一 一千七百一十二 一千五百二十三 一千八十(甲) 三百六十(乙) 二百七十(丙)四 九百六十 三百二十 二百四十问二商共得子银二百两甲分五十两乙分一百五十两其母则乙多甲一倍又零八两二人各出母几何其法置甲五十乙倍之该得一百今分一百五十则知已赢母八两故于一百数外多获五十也依法列三率知五十之出于八则知一百五十之出于二十四矣一 五十二 八三 五十(甲) 一百五十(乙)四 八 二十四问二商共贸甲母一百二十两乙母一百八十两共一牙侩每子银一百两与牙银十两后得子银一千两各该分几何其法于一千内除去牙银一百两以实在子银九百两为算乃并甲乙母为第一率实在子银为第二率分甲乙母二宗为第三率一 三百二 九百三 一百二十(甲母) 一百八十(乙母)四 三百六十 五百四十问三商共得子银一千五百二十两其母银则甲出一千八十两乙出三百六十两丙不知所出几何只言分得子银二百四十两今欲知丙母几何甲乙所得子几何其法先就总子数内减去丙子一千二百八十为甲乙共得子数乃倂甲乙母为第一率以甲乙共子为第二率分甲乙二母数为第三率法得第四率为甲乙子数一 一千四百四十(并甲乙母)二 一千二百八十(并甲乙子)三 一千八十 (甲母) 三百六十(乙母)四 九百六十 (甲子) 三百二十(乙子)已知甲乙子母之数即可因丙子以求丙母乃并甲乙子为一率并甲乙母为二率丙子为三率一 一千二百八十(倂甲乙子)二 一千四百四十(并甲乙母)三 二百四十(丙子)四 二百七十(丙母)问三商母银各等一年内共得子银一千两但甲母阅七月乙母阅六月丙母则满一年各该分子银若干其法积甲乙丙总月为第一率以总子为第二率列三人各月数为第三率一 二十五月(并甲乙丙)二 一千两三 七(甲) 六(乙) 十二(丙)四 二百八十两 二百四十两 四百八十两问织绢每疋用丝一斤工价即与丝四两今有丝四十三斤一十二两其织丝工丝各若干法当化斤为两然后归两作斤并工丝绢丝共二十两置首率总丝为七百两置次率列工丝绢丝置第三率依法乗除一 二十两二 七百两三 四两(工价) 一十六两(织绢)四 一百四十两(归之乃八斤一十二两)五百六十两(归之为三十五斤)问甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩各役几时此并三人田(共八百亩)置首率以一年为三百六十日置次率列三人田数置第三率一 八百亩二 三百六十日三 三百五十亩(甲) 二百八十亩(乙) 一百七十亩(丙)四 一百五十七日半 一百二十六日 七十六日半问派粮八百四十石四县照田地多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩各纳若干亦并总亩置首率总粮置次率列四县各田数置第三率一 一万四千亩二 八百四十石三 三千六(百三十五亩甲) 二千四(百六十六亩乙) 三千五(百七十七亩丙) 四千三(百二十二亩丁)四 二百一十 一百四十七 二百一十四 二百五十九八石一斗 石九斗六升 石六斗二斗 石三斗二升问五县输榖二万石照依人户多少道里逺近价值上下而均输之毎车载二十五石行一里僦值一钱甲县二万零五百二十户榖石价二两乙县一万二千三百十二户榖石价一两逺输二百里丙县七千一百八十二户榖石价一两二钱逺输一百五十里丁县一万三千三百三十八户榖石价一两七钱逺输二百五十里戊县五千一百三十户榖石价一两三钱逺输一百五十里各该若干先求各衰(惟甲县自输本县无僦里以榖价二两为法除甲户得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乗所输里数而以每车二十五石除之得各运价以乘各户而求各衰乙县行道二百里乘除之得八钱倂榖价一两八钱以除乙户得六百八十四衰丙县行一百五十里乗除得六钱并价共一两八钱除丙户得三百九十九衰丁县行二百五十里乗除得一两并价共二两七钱除户得四百九十四衰戊县行一百五十里乘除得六钱并价共一两九钱除户得二百七十衰)并五衰(共二千八百七十三)为首率以总榖为次率列各衰为三率一 二千八百七十三二 二万石三 一千二百六(甲)六百八十四(乙)三百九十九(丙)四百九十四(丁)二百七十(戊)四 (七千一百 四千七百 二千七百 三千四百 一千八百四十二石 六十一石 七十七石 三十八石 七十九石三斗五升 五斗七升 五斗八升 九斗一升 五斗六升九合九勺 三合二勺 四合四勺 四合零勺 八合三勺)僦价无 二十两 一十五两 二十五两 一十五两问有田一万八千八十八亩三子递分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各该若干此倍増倍减法也以一二四为衰分(季一仲二伯四)合总为第一率田数为第二率分各衰为三率一 七二 一万八千八十八亩三 四(伯) 二(仲) 一(季)四 一万三百三十六 五千一百六十八 二千五百八十四问有银九十二两四子挨次递分各几何并各衰(伯四仲三叔二季一共得一十)为首率银数为二率各衰为三率一 一十二 九十二三 一(季) 二(叔) 三(仲) 四(伯)四 九两二钱(季)一十八两四钱(叔)二十七两六钱(仲)三十六两八钱(伯)问官银一千一百零七两令五等户减半出办甲户一十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户数并(甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰并得七百三)为首率总银为次率列各衰为三率推得各等共数再以各户除之得各户数一 七百三十八二 一千一百零七两三 二百五十六(十)二百(八)一百四十二(甲)九十六(乙) 六十二(丙)四 三百八十四两 三百两一百八十六两 一百四十四两 九十三两二十四两 一十二两六两 三两 一两五钱问用金八十一两造杯一套五个毎杯重若干此挨次衰分并各衰(五四三二一共一十五)为首率总金为次率列各衰为三率一 一十五二 八十一两三 五 四 三 二 一四 二十七两 二十一两(六钱)一十六两(二钱)一十两八钱五两四钱问派粮一千一百三十四石令五等户挨次上纳甲户二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六十各等各户各若干法亦以各等户数乗各衰并为首率粮数为次率分各衰列三率推得各等人户所纳再以户数乗之得各等共数一 五百四十二 一千一百三十四石三 一(戊) 二(丁) 三(丙) 四(乙) 五(甲)四 二石一斗 四石二斗 六石三斗 八石四斗十一石五斗一百(二十六石)二百(一十四石二斗)二百(六十四石六斗) 二百(七十七石二斗)二百五十二石问𣲖粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六办纳甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四六衰者就身六乗四除(首位四以六乗得二十四即以四除得六后多数倣此)此先以六乗甲户四乘乙户(六乗二十六得一百五十六数四乗四十得一百六十数)并为首率总粮为次率列各衰(十六下四)为三率推得每户应纳之数再以甲乙各户数乗之得各共数(若先以总衰除总粮得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同)一 三百一十六二 三百八十五石五斗二升三 六(上) 四(下)四 七石三斗二升(甲一户) 四石八斗八升(乙一户)一百九十石三斗二升 一百九十五石二斗问徴银一千七百一十六两以四等人作四六派出各该若干法并各衰(丁四丙六乙九甲一十三零二之一)为首率银数为次率列各衰为三率求得各衰数(此四六衰是一倍有半加之若先以总衰除总银得五十二两八钱后以各衰乗之亦同)一 三十二又二之一二 一千七百一十六两三 四(丁) 六(丙) 九(乙) 一十三又二之一(甲)四 二百一十(一两二钱)三百一十(六两八钱)四百七十(五两二钱)七百一十(二两八钱)问徴粮一千二百六十六石令五等人作四六纳之各该若干法并各衰(戊四丁六丙九 乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六)为首率(其甲与乙须用竒零并子母法并之増至多等皆然)总粮数为次率列各衰为三率测得各衰数(若先以总衰除总粮得二十四石后以各衰数乗之亦同)一 五十二又八之六二 一千二百六十六石三 四(戊) 六(丁) 九(丙) 一十三(又二之一 乙)二十(又四之一 甲)四 九十六石 一百(四十四石)二百(一十六石)三百(二十四石)四百(八十六石)问派粮二百六十一石令三等户三七出办甲户二十一乙户三十二丙户四十三各等几何每户几何凡求三七衰分者用三除七乘递求若零分多者就首衰之数以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九为首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七为首衰如五位者又以二十七三因得八十一为首衰凡此皆以省零分也此问法以各等乗各衰并之(甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十)为首率以总粮为次率列各衰为三衰推得第四率是各户应出之数再以数乘之得各等共数一 二千○八十八二 二百六十一石三 四十九(甲) 二十一(乙) 九(丙)四 六石一斗二升五合二石六斗二升五合一石一斗二升五合一石二十八石(六斗二升五合) 八十四石 四十(八石三斗七升五合)问制钱三万八千二百八十文四人作三七分之各若干法先并各衰(丁二十七丙六十三乙一百四十七甲三百四十三共五百八十)为首率以总银为次率列各衰为三率推得四率一 五百八十二 三万八千二百八十文三 二十七(丁) 六十三(丙) 一百四十七(乙) 三百四十三(甲)四 一千(七百八十二文)四千(一百五十八文)九千七百二文 二万(二千六百三十八文)问派银八百二十八两二钱令五人三七纳之每人应若干先倂各衰(戊八十一丁一百八十九丙四百四十一乙一千零二十九甲二千四百零一共四千一百四十一)为首率以总银为次率列各衰为三率一 四千一百四十一二 八百二十八两二钱三 二千四(百○一甲)一千○(二十 九 乙)四百(四十 一 丙)一百(八十 九 丁)八十一(戊)四 四百八(十两二钱)二百○(五两八钱)八十(八两二钱)三十(七两八钱)一十(六两二钱)问官银二千六百三十五两令四等人二八出之各若干凡求二八衰分者用四乘之递求次衰比问法先并各衰(丁二丙八乙三十二甲一百二十八共一百七十)为首率总银为次率列各衰为三率得各银数(此二八衰分是四倍加之若先以总衰除总银得一十五两五钱后以各衰乗之亦同)一 一百七十二 二千六百三十五两三 二(丁) 八(丙) 三十二(乙) 一百二十八(甲)四 三十一两(丁)一百二十四两(丙)四百九十六两(乙)一千(九百八十四两 甲)问𣲖粮二千六百五十五石九斗令五等户二八办纳甲户三十乙户四十丙户五十丁户六十戊户七十各等每户该若干法置五等衰以各户数乗之并(甲三十户乗衰五百一十二得一万五千三百六十乙四十户乗衰一百二十八得五千一百二十丙五十户乗衰三十二得一千六百丁六十户乗衰八得四百八十戊七十户乗衰二得一百四十并共二万二千七百)为首率总粮为次率列各衰为三率推得四率是各等每户纳数再以各等户数乗之得各等共粮数(若先以并衰除总粮得一斗一升七合为最下衰然后以各衰乘之亦同)一 二万二千七百二 二千五百六十五石三 五百一十二(甲)一百二十八(乙)三十二(丙)八(丁) 二(戊)四 (五十九石九斗一十四石九 三石七斗 九斗三 二斗三○四合 斗七升六合 四升四合 升六合 升四合)以上四六三七二八俱増衰法问官绢四百七十丈零一尺八寸四分令三等人户办纳以一十分之六递减其上等计二十五户中等三十户下等四十八户每等每户若干法先置各衰以各等户乘并之(上等户数乗一百衰得二千五百中等户数乘六十衰得一千八百下等户数乗三十六衰得一千七百二十八共六千零二十八)为首率以总绢为次率列各衰为三率推得第四率为各等一户所出数再以各户数乗之得各等数一 六千零二十八二 四百七十丈一尺八寸四分三 一百 六十 三十六四 七丈八尺(上等户)四丈六尺八寸(中等户)二丈八尺八分(下等户)一百九十五丈 一百四十丈四寸 (一百三十四丈七尺八寸四分)问官粮一百六十八石四斗八升八合令四等户办纳递减十分之七甲户二十二乙户三十六丙户四十二丁户四十八每等每户各几何立各衰以各户数乘并(甲户数乘一千衰得二万二千乙户数乘七百衰得二万五千二百丙户数乗四百九十衰得二万五百八十丁户数乘三百四十三得一万六千四百六十四通共八万四千二百四十四)为首率总粮为次率列各衰为三率推得第四率各等一户所出数再以户数乘之得各等数一 八万四千二百四十四二 一百六十八石四斗八升四合三 一千 七百 四百九十 三百四十三四 二石(甲) 一石四斗(乙)九斗八升(丙)六斗八升六合(丁)四十四石 五十(石零 四十一石 三十二石九四斗 一斗六升 斗二升八合)右并衰系减衰法凡十之五十之九之类倣此问榖二百四十石作五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数等各几何此递差偏多偏寡法先并各衰为二宗较之用余数増入各衰并甲乙二衰(甲五乙四)得九又并丙丁戊三衰(丙三丁二戊一)得六以减九余三却于五等衰各増三数(甲得八乙得七丙得六丁得五戊得四共三十)并之为首率总米为次率推得第四率递差八石其甲乙二人所分得数与丙丁戊三人正相当(此是以八递加)一 三十二 二百四十石三 四(戊) 五(丁) 六(丙) 七(乙) 八(甲)四 三十二石 四十石 四十八石 五十六石 六十四石右増衰凡増衰偏多偏寡者倣此如三人分要甲数与乙丙数同者七人分要甲乙丙数与戊己庚辛数同之类问四商共得子银三百四十两其母以四递加(如乙五则丙九丙七则丁十一丁九则甲十三是也系衰分递加)但知甲原母二百八十六两余递减各该若干须知十三之于九与二百八十六之于某数相同按衰母递测之由甲母以推丁母由丁推丙由丙推乙法以甲衰十三为第一率甲母二百八十六为第二率以丁衰九为第三率依准测法得丁母数余倣此以甲知丁 以丁知丙 以丙知乙一 十三(甲衰) 十一(丁衰) 九(丙衰)二 二百八十六(甲母)一百九十八(丁母)一百二十六(丙母)三 九(丁衰) 七(丙衰) 五(乙衰)四 一百九十八(丁之母)一百二十六(丙之母)七十(乙母)右法已知各母再欲知其应分子银以四递加之数则并甲乙丙丁母为第一率总子为第二率分四母为第三率一 六百八十(倂母)二 三百四十(总子)三 二百八十六(甲)七十(乙) 一百二十六(丙)一百九十八(丁)四 一百四十三 三十五 六十三 九十九问三商共银七百六十两分之则甲得十分乙得七分丙得二分各若干其法并甲乙丙衰为第一率以银数为第三率一 一十九(甲一十乙七丙二共此数)二 七百六十三 一十(甲) 七(乙) 二(丙)四 四百 二百八十 八十问应徴粮七十三石二斗派令三等人户照分摊出上等二十五户每户作五分办中等四十户每户三分办下等六十户每户一分办各户若干各等共若干法以各分各户相乗倂之(以五乗二十五得一百二十五以三乗四十得一百二十下等六十无乗共三百零五)为一率以总粮为二率以各衰(五三一)为三率推得三等户所应出分数再以各户数乗之得各等共数一 三百零五二 七十三石二斗三 五 三 一四 一石二斗 七斗二升 二斗四升三十石(上) 二十八石八斗(中)一十四石四斗(下)问朱砂每斤三两六钱石青每斤二两四钱今有银一千二百两议买朱青二色朱数比青増一倍各斤数与价若干法因朱砂加倍即倍其价(三两六钱)为七两二钱倂青价(二两四钱)共九两六钱为一率以总银为二率以各价为三率推得斤数为四率再各以价乘之一 九两六钱二 一千二百两三 三两六钱 二两四钱四 二百五十斤价九百两 一百二十五斤价三百两问绫毎尺价银九分二厘罗毎尺八分五厘绢每尺三分六厘今有银一百二十一两一钱七分五厘买绫一停罗二停绢三停各实数与价若干法用二乘罗价(一钱七分)三乘绢价(一钱八厘)并绫价共三钱七分为一率总银为二率各价为三率得四率为各实数各以原价乘之一 三钱七分二 一百二十一两一钱七分五厘三 九分二厘 八分五厘 三分六厘四 三十二丈七(尺五寸绫)六十五丈五尺(罗)九十八丈二(尺五寸绢)三十两一钱三分 五十五两六钱(七分五厘)三十五两(三钱七分)问芝蔴每三斗换米五斗每米五斗抵豆七斗今有芝蔴四百五十石换米豆共九百一十石各用芝蔴若干所换米豆各若干法用重准先并米五豆七共一十二为首率以芝蔴总数为二率分列米五豆七为三率求得芝蔴合换米 各数以为重准之第三率以米 共数为二率芝蔴总数为首率求得米 各数一 一十二 四百五十石二 四百五十石 五 七三 五 七 一百 (八十七石五斗)二百 (六十二石五斗)四 一百八十七(石五斗以换米)二百六十二(石五斗以换豆)二百九十(七石五斗)六百一十(二石五斗)问银一千零八两买丝三停绵二停线一停共三百六十两其价线一两抵绵一两六钱抵丝二两欲知三色并价各若干者并各衰(丝三绵二线一共六)置第一数以总银为第二率分各衰列第三率推得第四率是各色数乃照前价取丝(一百八十两)以二十除之得九十衰取绵(一百二十两)以一十六除之得七十五衰并线六十衰共二百二十五为法除总银得线价以一十六除线价得绵价以二十除线价得丝价一 六二 三百六十两三 三(丝) 二(绵) 一(线)四 一百八十两 一百二十两 六十两二两二钱四分(丝价)二两八钱(绵价) 四两四钱八分(线价)问氷片毎两价二两七钱五分沉香每两价银三钱五分竒南每两价银八钱有人以沉香一十七斤三两又有人以竒南一十三斤十二两各欲换氷片若干法置氷片价为首率化沉香竒南斤数为两置次率各价为三率一 二两七钱五分二 二百七十五两 二百二十两三 三钱五分 八钱四 三十五两(沉香所换) 六十四两(竒南所换)问养军二万五千二百名月粮米麦豆兼支米每四名支三石麦每九名支五石豆每七名支八石各几何即以七九四各列第一率以军总数为二率以八五三列三率一 七 九 四二 二万五千二百名三 八(豆) 五(麦) 三(米)四 二万八千八百石 一万四千石 一万八千八百石问刻漏一壶贮水令漏开三孔其一孔最大漏水二时而尽一孔次之三时而尽一孔最细六时而尽假如三孔俱泄则几刻水尽其法先以三孔与时刻相较以各时为第一率以一壶为二率以最小时为第三率要见大孔二时漏尽一壶则六时漏尽三壶其余倣此而推一 二时(大) 三时(次) 六时(小)二 一壶三 六时四 三壶 二壶 一壶又法总而计之凡六时漏尽六壶知三孔俱开则其水一时漏尽只以分数算之一 二时 三时 六时二 一壶三 一时四 二分水之一 三之一 六之一(积之共一壶即是一时尽一壶也)右三数偶满一时其法易算若并有竒零者另法求之假如累台一座甲六年完工乙九年完工丙十八年方完今三人同累须几时可完此先知每人每年所为之工得若干而总算之六年者每年得六分之一其九年者每年得九分之一其十八年者毎年得十八分之一依并法毎年共得三分之一约计三年通完三年之内甲成二分之一乙成三分之一丙成六分之一共足十分之数问漏壶一座上有渇乌注水下有天池泄水今塞其下窍注水于壶四时而水满开其下窍泄水壶外六时而泄尽若使上注下泄相并则此壶须几时可满法以四时为一率以一壶为二率以一时为三率测之而得一时之所注(四分壶之一)又以六时为一率一壶为二率一时为三率亦得一时之注(六分壶之一)乃以四之一减六之一得十二之一于是又以十二之一为第一率以一时为第二率以一壶为第三率得四率(以十二时注满)凡用准测法者三一 四时 六时 十二分壶之一二 一壶 一壶 一时三 一时 一时 一壶四 四分壶之一 六分壶之一 十二时问塞下窍四时水满通下窍六时水尽今上注下泄则四个时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶余三分之一为水满数又问如此则几时可满一壶曰依前法当以十二时满又问假如塞下窍注上窍三时而满塞上窍开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一余二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满假如四时又五分时之三可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除前壶余八分之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四同文算指通编卷二
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钦定四库全书同文算指通编卷三明 李之藻 撰合数差分法第四下问四人共分金七百八十五两多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各实数㡬何其法先并各衰杂数(甲一十则乙七乙十四则丙三丙十二则丁九)并各子以乘各母从小数并起除丁九无并其丙衰系十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十为甲衰已得各衰并数(丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七数)为第一率以银总数为第二率以各衰为第三率一 一百五十七数(并衰)二 七百八十五两(总银)三 九(丁衰) 十二(丙衰) 五十六(乙衰)八十(甲衰)四 四十五两 六十两 二百八十两 四百两问发兵百人外有领队四人旗牌六人共破一寨得器械七万二千四百件即以充犒旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三各该得若干其法衰作八五三(兵三旗牌五又合三五成八得领队之衰)各以本数乗本衰(领队四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百)合总数为第一率所获数为第二率各衰所乘三宗为第三率一 三百六十二(并各衰乘数)二 七万二千四百三 三十二(领队) 三十(旗牌) 三百(兵)四 六千四百 六千 六万问三人共拾得遗钱三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各该若干(此问并其分数反浮总数盖曰甲视乙则二一之视三一乙视丙则三一之视四一也)其法当先并母寻其通四分三分二分之一者为主依法二三乘得六又乘四并得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通(甲二之一则用六乙三之一则用四丙四之一则用三)乃并甲乙丙衰(甲六乙四丙三)共十三为第一率以钱数为第二率分甲乙丙衰作三宗为第三率乗除得数乙得甲三之二丙得甲二之一一 十三二 三千四十二文三 六(甲衰) 四(乙衰) 三(丙衰)四 一千四百四 九百三十六 七百二问三县共𣲖粮一千四百七石小县𣲖二分之一次县𣲖五分之三大县𣲖十一分之八各该纳若干(衰法同前)其法亦以各母相乗以求通数以二乘五又乘十一得一百一十(二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小县分得五十五次分得六十六大分得八十)则三县之母数皆通而并之为第一率以粮数为第二率分三县各衰为第三率一 二百一(并各衰)二 一千四百七石三 五十五(甲衰) 六十六(乙衰) 八十(丙衰)四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石问四人共分银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两每人实数㡬何此将总数内除去加数(实在三百七十八两)加上欠数(共得四百零四两)乃依前法并其母数(二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十)约之得六十为通数而各以其所得子数通之(甲二之一为三十乙五之三为三十六丙二之一为二十丁四之一为一十五)并为第一率以加除所得银数为第二率以甲乙丙丁各衰四宗为第三率依准测法得第四率再照数或加或减其所分即总合前数矣一 一百一两(并各衰)二 四百四两三 三十(甲) 三十六(乙) 二十(丙) 一十五(丁)四 一百二十 一百四十四 八十 六十问兄弟三人不知岁数但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八岁各㡬何此带母子差分也已知两母为伯衰用并法先并其母四六相乘得二十四为伯衰之实乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十为仲衰以六乘三得一十八为季衰列三率而仲季相去较八岁为二率以仲季二衰之较(一十八减二十余二)为首率(此以所已知之衰较及岁较求各衰之岁实故用较为首率后皆倣此)一 二二 八岁三 二十四 二十 一十八四 九十六岁(伯) 八十岁(仲) 七十二岁(季)问四人分钱不知数但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁与丙差四文每人㡬何此同上法已知三母即甲衰用并母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六为甲衰之实乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰列三率以丙丁较四为二率以丙丁二衰之较二十四为首率(不用约法览之易晓)一 二十四二 四三 五百七十六(甲)四百八十(乙)四百三十二(丙)四百零八(丁)四 九十六 八十 七十二 六十八右二法以借衰互征求之亦同问大小船数相等共载盐四千三百五十引大船毎三只载盐五百小船毎四只载盐三百该船㡬只每船载㡬引此用重准测法以四之三百及三之五百子母互乘(一得九百一得二千)并得二千九百为首率两母相乘得十二为次率总盐为三率求得四率是大小船数即以为第三率分置所载率(五百三百)为次率与相乘又分置两母(三四)为首率除之得各盐数一 二千九百 三 四二 一十二 五百 三百三 四千三百五十 一十八四 一十八(大小各船数)二千 一千三百五十问鼇灯一座大小灯毬二等大灯三琖油四两小灯四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两大小灯各若干此用重准测法因有二之一立大母二小母三通斤为两(共二百九十五两)又通两为铢(每两二十四铢共七千八十铢)以先求大小每琖油数取每三每四为首率二十四铢为次率分四两三两为三率得第四率为大小每琖油数一 三 四二 二十四铢三 四(大) 三(小)四 三十二铢 一十八铢乃以母二乘三十二得六十四铢为大总以母三乘一十八得五十四为小总并得一百一十八为首率以总油(七千八十)为次率分母二母三为三率得第四率是大小琖各数而各以油铢数乘之又以每斤三百八十四铢除之一 一百一十八二 七千八十铢三 二(大) 三(小)四 一百二十琖(三十二铢乘得三千八百四十铢是十斤)一百八十琖(一十八乘得三千二百四十铢是八斤七两)问大船三桅六桨小船一桅八桨今望见桅五十七桨二百零四其大小船各㡬艘法并大小船每艘桅桨凡九共一十八为第一率以大小共二艘为第二率并桅桨全数得二百六十一为第三率推得大小船共二十九艘减小船之一补大船合问一 一十八二 二艘三 二百六十一四 二十九艘(内大船一十五小船一十四)问有银一万七千六百九十两买骡三百匹马七百匹其每匹价马多于骡七两七钱各价㡬何此匿价差分法当先除所差而后凖测之以所多七两七钱乗七百匹得五千三百九十两以减原银余一万二千三百两乃并骡三百马七百共一千匹置首率以减余银数置次率一匹为三率推得四率为骡价加七两七钱即马价再以各匹数乘之合总一 一千匹二 一万二千三百两三 一匹四 十二两三钱(骡价) 二十两(马价)又法以所差七两七钱乘三百匹得二千三百一十两加入总银共得二万两为次率如法凖测得二十两为马每匹之价减较七两七钱亦得骡价一 一千匹二 二万两三 一匹四 二十两(马价) 十二两三钱(骡价)问以银二万九千二百八十两买上田三百亩中田一百五十亩下田四百五十亩其上价比中价每亩多四两七钱中价比下价每亩多一十三两五钱各㡬何此亦匿价差分法当除两差之积而后算之以一十三两五钱乘三百得四千○五十两以一十八两二钱乘一百五十得二千七百三十两并得六千七百八十两以减原银余二万二千五百两即以置次率却并三等田数得九百亩置首率一亩为第三率推得每亩二十五两为第四率是下田价加一十三两五钱为中田价再加四两七钱为上田价再以各数乘之合总一 九百二 二万二千五百两三 一亩四 二十五两(下)又法增差积算之以四两七钱乘三百得一千四百一十两又以两差一十八两二钱乘四百五十得八千一百九十两并得九千六百两加入原总银得三万八千八百八十两为次率与三率一亩相乘首率九百除之得上田每亩价四十三两二钱减十三两五钱即中田价再减四两七钱即下田价问官银一万七百七十八两六钱五厘籴米麦豆三色均平其每一石价米二两三钱五分麦一两九钱五分豆一两四钱五分各价㡬何各石㡬何并三价共五两七钱五分为法置第一率总银为第二率列三色每石价为第三率推得第四率是各价数其各石数以法径除总银即得一 五两七钱五分二 一万○七百七十八两六钱○五厘三 二两三钱五分 一两九钱五分 一两四钱五分四 四千四百○五两 三千六百五十五两 二千七百一十八两 一钱六分九厘(米) 三钱五分三厘(麦) 两○八分三厘(豆)三色共一千八百七十四石五斗四升和较三率法第五凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之凡两数三数多数悉与中率相较而互置较位为第三率以较积为第一率诸如前问上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂并二酒每斗立价一钱五分则此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立价(一钱五分)次连列上中二价与较而列上差数于中左列中差数于上左互对次并两差列左下而以并差为第一率以一斗为第二率以各差为第三率(一十五)上中二价上(二十)中(十二)相较差 中(三) 上(五) 差积(八)一 八二 一斗三 三(上) 五(中)四 八分斗之三 八分斗之五问甲金一两准银一十五两乙金一两准银一十二两今欲镕为一处使母金一两准银一十四两则甲乙金各该㡬两亦列法如左较之并差为首率一两为次率各差为三率(一十四)价甲(十五) 乙(十二)较 (二 一) 差积(三)一 三二 一两三 二(甲) 一(乙)四 三分两之二 三分两之一问玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两内玉石各若干法以见方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石(玉该一百八十九两石该一百六十二两)各列右立总重数互较得数列左并差为首率开方寸为二率分差为三率(一百七十六)玉(一百八十九)石(一百六十二)(一十四 一十三) 差积(二十七)一 二十七(差)二 二十七(寸)三 一十四(玉) 一十三(石)四 一十四(乘重九十八两)一十三(乗重七十八两)问银裹金方四寸共重九百零四两每银方寸重十二两金方寸重十六两各若干以四寸自乘再乘得开方六十四寸以通金银(银一千二十四两金七百六十八两)以总重互较三率如前(九百四)银(一千二十四)金(七百六十八)(一百三 一百二十六 十) 差积(二百五十六)一 二百五十六二 六十四(寸)三 一百三十六(银) 一百二十(金)四 三十四(乘得五百四十四两)三十(乘得三百六十两)问椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤则每色该得若干列法如左立七钱为主余物以次列之较其所差而依次互列须易其位大抵有对者对互(椒砂互丁魏互)无对者另求一对(桂无对借砂作对而互又列桂较之一于砂较三之旁)而增系之凡相对互位者务取一大于立价一小于立价如砂数大对椒数之小亦以差倂为第一率一斤为第二率并各物较为三率(七钱)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(一 三 一 四 三乙) 差积(十三)一 一十三二 一斤三 一(椒) 三(丁香) 一(桂皮) 四(阿魏) 四(砂)四 十三(分斤之一)十三之三 十三之一 十三之四 十三之四又列法但取一大一小杂互更位(椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互)凡六互得差积二十八(椒丁桂俱四魏砂俱八)若俱大数俱小数者则不可互耳(椒丁桂俱小魏砂俱大)其与立数等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八为第一率分各差积为第三率 (七钱)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(一 一 三 三 三三 三 一 四 四) 差积(二十八)一 二十八 (一 一)二 一斤三 四(椒) 四(丁) 四(桂) 八(魏) 八(砂)四 二十八(分斤之四)二十八(之四)二十八(之四)二十八(之八)二十八(之八)又法随意易位亦以大数互小数比前稍异亦得差积十三(七钱)椒(四)丁(三)桂(六)魏(十)砂(八)(三 一 一 三 四一) 差积(十三)一 十三二 一斤三 三(椒) 一(丁) 一(桂) 三(魏) 五(砂)四 十三(分斤之三)十三之一 十三之一 十三之三十三之五问鹅氄段大绿者每丈四两天青每丈六两大红每丈十两今以银四百八十两买氄八十丈则各色各该㡬丈其法先以总价和总丈之数而匀之(每丈得六两)立六为中数依前互法列之(四 六 一十四十互六十又互六两四 四 二)差积一 一十二 八十丈三 四(绿) 四(青) 二(红)四 三十二丈 三十二丈 一十六丈问有酒四等甲酒毎瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分则每酒若干瓶依法列之但此以三十三为主数(即三钱三分)而其余惟四十(即四钱)为大其二十一(即二钱一分)二十七(即二钱七分)三十(即三钱)皆小数则此三小数皆与四十之大数相互云共积四十二为第一率(二钱 二钱 三钱 四三钱三分 一分 七分)(七 七 七 十二六)差积(四十二)一 四十二 (三)二 三百瓶三 七 七 七 二十一四 五十瓶 五十 五十 一百五十问银四百两买药四百斤内丁香每斤该六钱胡椒每斤该七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱每色各该㡬斤方合总数其法亦先折中价如四百斤需四百两则每一两得一斤其中价乃依互法参之(一十)丁(六)椒(七)桂(九)合(十一)砂(十二)魏(十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互)(六 二 二 四 三 四 桂砂互一 六 一 三 差积三十二)一 三十二二 四百斤三 七(丁) 八(椒) 二(桂) 四(合) 四(砂) 七(魏)四 (八十七斤又二之一)一百 二十五 五十 五十 八十(七斤又二之一)又法(一十)丁(六)椒(七)桂(九)合(十一)砂(十二)魏(十六此以丁互合又互砂又互魏以)(一 一 一 四 四 四 椒互合亦互砂二 二 二 三 三 三 互魏以桂互合六 六 六 一 一 一 亦互砂互魏以上三位徧互下)一 五十一 (三位差积五十一)二 四百斤三 九 九 九 八 八 八四 (七十斤又五十一分斤之三十)同上 同上 (六十二斤又五十一之三十八)同上 同上(右五十一分斤之三十以求两者化一斤为一千六百分以子数三十乘之以母数五十一除之得九两四钱一分又五十一之九也)问金铸编钟一口计重三百两俱九六成色今见有九九成色及九三成色二等金约该每用若干此以九六为中价依法互之(九六)甲金(九九) 乙金 (九一)(五 三)差积(八)一 八二 三百两三 五(甲) 三(乙)四 一百七十七两五钱 一百一十二两五钱问米麦五百石共价四百零五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五厘其各石数价数若干先以米麦每石之价乘五百石(米得四百三十两麦得三百六十二两五钱)即以总价立为中率先得石数次得价数(四百三四百五 十两)麦(三百六十二两五钱)(两七钱 四十三 二十四两两二钱 三钱)差积(六十七两五钱)一 六十七两五钱二 五百石三 四十三两二钱(米) 二十四两三钱(麦)四 三百二十石(乘石价得二百七十五两二钱)一百八十石(乗石价得一百三十两五钱)问银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分此三物各该若干此贵贱衰分三色者以总物归总银立九分四厘为中价总疋除总银立五钱八分一厘二毫五丝为中价一 一十六万二 一百六十疋三 三千六百二十五(绫罗同) 四千三百七十五(纱绢同)四 三十六疋又四之一 四十三疋又四之三(以各疋价乘之合总)又法(先以四约总疋得罗纱各四十疋以减总疋余八十疋为绫绢共数又于总价内减罗价二十八两纱价二十两余四十五两为绫绢共价乃以叠借互征之法推之前铜锡铁三色亦然)借衰互征法第六数有隠伏非衰分可得者则别借虚数以类征之或合率增减或母子射复如藏阄然借彼征此借虚征实大抵即三率之法而触类长之问三人共买宅一区用价二千七百两其捐价则乙视甲加倍丙视甲乙又加倍各若干此倍增法也随意立一数为甲衰但用小数而以乙丙衰递加之(如甲衰一则乙衰二丙衰六也如甲衰六则乙衰十二丙衰三十六也余倣此)并各衰为第一率(甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也余倣此)随取一衰为第二率(且用甲)以总价为第三率依互测法得甲数倍之得乙数二倍之得丙数一 五十四二 六(此只借甲衰用乙用丙皆同)三 二千七百四 三百(甲) 六百(乙) 一千八百(丙 乙丙皆从甲倍出)问贮绢不知㡬何但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实数㡬何曰此寻一通数可以兼三之一及四之一及五之一者而测之如用六十以通各分(三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也)并之(共四十七)为第一率即以六十为第二率(四十七出于六十)绢总数为第三率一 四十七二 六十三 四千七百四 六千疋问廐马不知㡬匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算实㡬匹可用前法否曰此有最后所加一数即不同前法当先减一数只以一百十一算之次立通数可兼各衰者如用十二为通数加一倍(二十四)又加二之一(六)及三之一(四)四之一(三)共得三十七为第一率即以十二为第二率就前一百十二数内减一为第三率(一百十一)凖而测之知三十七出于十二则知一百十一出于何数矣再加一合问一 三十七二 一十二三 一百一十一四 三十六 再加一乃三十七匹问牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原数若干此亦除去加一数只用九十九为第三率而另借一数为通数如用一十二为次率以加一倍(二十四)加二之一(六)四之一(三)并得三十三为首率依法推之知一十二出于十三则知九十九所出也再加一合问一 三十三二 一十二三 九十九四 三十六(倍之为七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百)问价银五千两买骏马一匹园宅一区园价比马多三倍宅比园多四倍各价几何此与首问法同随意立一数通各衰假如立马衰三十园宅以次增衰(园多三倍得一百二十宅又多园四倍该六百)并为第一率(七百五十)于各衰随取一数为第二率(且用马衰)总银为第三率(五千两)如凖测法得第四率(如用马则得马价余依倍推之)一 七百五十两二 三十(马) 一百二十(园) 六百(宅)三 五千两四 二百(马) 八百(园) 四千(宅)问入园摘𤓰摘过三分之二又五分之一尚剰三十六𤓰此园原有㡬𤓰法先求一通数内除三之二及五之一而剰三十六数者假如借立三百内减三之二除二百亦于三百内减五之一除六十通减二数只余四十为第一率以三百为第二率知四十出于三百则知三十六出于何数矣一 四十 (右所云三之二又五之一者倂之未满原数故可以右法推之若云三之一又五之三则)二 三百 (浮于原数知为虚设不必算矣)三 三十六四 二百七十(原𤓰数)问二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二数其原数㡬何先立一通数可剖为二分之一以至四五六分皆可者如借六十为主依法分之(其二之一为三十其三之一为二十其四之一为十五其五之一为十二其六之一为一十)并各率(共八十七)为第一率以六十为第二率知八十七出于六十则五百二十二出于何数可推也以五百二十二为第三率一 八十七二 六十三 五百二十二(其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之)四 三百六十 (一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二数)问仓中有粟㡬石不言其数但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟㡬何其法先减一百石在外只就二百起算乃随借一数可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四为通数外加二之一(一十二)又加三之一(八)四之一(六)并之(五十)为第一率所借二十四为第二率知五十出于二十四则二百出于何数可推也以二百为第三率而得第四率外加所减(一百)合问一 五十二 二十四三 二百四 九十六石(外加二之一为四十八加三之一为三十二加四之一为二十四又加一百共三百)问水碓五副大小不等共舂麦五十石甲碓每一时舂七斗乙碓每一时舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齐舂须㡬时可完完时每碓各舂得㡬何其法随意立一时数假如借四个时毕之以计各碓所舂(甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十)并为第一率四时为第二率知八石毕于四时则五十石可推也以五十石为第三率一 八石二 四时三 五十石四 二十五时(以各碓乗甲以七乗得一十七石五斗乙五乗得一十二石五斗丙四乗得一十石丁三乗得七石五斗戊一乗得二石五斗共五十石)问贷赀商贩三次俱获倍息每次归还三百两三次母子适尽原贷若干先借一为母赀以加三次倍息(初一次二其三得四)并得八为首率减母赀之一只并三次倍息(一二四)并得七为次率知七出于八则知三百原母所出矣以三百为第三率一 八二 七三 三百两四 二百六十二两五钱问商贩四次俱获倍息每次费银九十六两四次子母俱尽原母若干亦借一为母加四次倍息(一二四八)并得一十六为首率减母赀之一只并四次倍息(一二四八)并得一十五为次率知十五原于十六则知九十六原于何数也以九十六为三率一 一十六二 一十五三 九十六两四 九十两问有商挟赀赴集初次所获比母银多三之二以并入母银再往获五之四三次往又获四之三实计所获并母银共四百两所原挟赀若干其法先借一数以递乗各母而例推之假如借一十为通数以乘各母(乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百)并之为第一率以所借一十为第二率知六百出于一十而四百之所从出可知也以四百为第三率(按此条法误置子数不用只以母数逓乗与题问不合)一 六百二 一十两三 四百四 六两又三分两之二(此系初贩原赀三乗得二十两又五乗得一百两又四乗得四百两)问携酒郊游三入肆中俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽原携若于法借一为原酒加三次倍率(一二四)并得八为首率减原酒之一只三次倍率七为次率以所饮一斗九升为三率知七出于八则知一斗九升所自出矣一 八二 七三 一斗九升四 一斗六升八之五(即六合二勺五抄)又法并三次倍率七以乗所饮(一斗九升)得一石三斗三升减半三次得原携数同前问载米赈济不言其数每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米之数五赈恰尽无余原米若干法立一为原数加五次倍率(一二四八十六)并得三十二为首率减原数一只并五倍率三十一为次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原一 三十二二 三十一 (二三相乘得四万六千五百石以减半五次亦同四率)三 一千五百石四 一千四百五十三石三十二之四(即一斗二升五合)问立一虚数以乘四得数又以乘三得数又以乘六得数外加一十共八百前所立虚数㡬何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通数假如借一十为主以递乘得数(乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十)并之为第一率(七百二十)以所借为第二率(一十)知七百二十之出于一十而七百九十之所从出可知也以七百九十为第三率而得第四率乃以一十加之(按此条内并之二字衍末六字应删)一 七百二十二 一十三 七百九十四 一十又三十六之三十五(以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十一又三之二又乗六得七百九十加一十合问)问老人不知其年但云加二之一又减四之一得九十九岁实年㡬何其法借一虚数外加二之一又减四之一而例之假如借八十为算依法加减(加二之一得一百二十又减四之一得九十)得数为第一率八十为第二率知九十之出于八十而九十九之所从出可凖也以九十九为第三率一 九十二 八十三 九十九四 八十八问逺望一塔上露出二丈四尺其下有树遮之云尚有三分之一又五分之二共该髙㡬何亦借立一数以其三之一及五之二类凖之如借立三十为主酌减余分(三之一乃一十五之二乃一十二)以其所剩数(该剩八即所露)为第一率以三十为第二率知八之出于三十而二十四尺可测也以二十四为第三率一 八尺二 三十尺三 二十四尺四 九十尺 (此塔髙之数内减三之一乃三丈减五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺)问旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚余十二尺红色竿长㡬何亦借一数以通各数而观其所剰以类征之假如借四十五数以减各分(减三之一得十五减五之一得九减九之二得一十)其余(四十五内减前各数剩十一)为第一率以所借为第二率(四十五)知十一之出于四十五而十二之所从出可推也一 一十一二 四十五三 一十二尺四 四十九尺又十一分尺之一(其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也)问白布三十疋青布四十疋共价六百六十两青布毎疋比白布价多一倍各价㡬何法借一虚数为白价倍之为青价而以前疋数乘之假如借立四两倍得八各乘青白(四乘白得一百二十八乗青得三百二十)并之(四百四十)为第一率以所借四为第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十为第三率一 四百四十二 四两三 六百六十四 六两 (此系白价倍之得青价十二两各乗疋数白得一百八十两青得四百八十两)同文算指通编卷三
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钦定四库全书同文算指通编卷四明 李之藻 撰叠借互征第七(附盈朒)借虚征实其术精矣又有子母杂互隠奥难知者则两借虚数以征之征之于实尚逺也或两浮而盈或两缩而不足或一盈一不足俱以借数列上以较原数以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差数相减余为法以乗数相减余为实若一盈一不足者以差数相并为实而以法除实则二法相同旧有盈朒一章大都类此而此则于未有盈朒之先借数推出盈朒以求隠数故曰借征其显有盈不足实数者但依旧法求之诸盈不足者两盈者两不足者盈适足者不足适足者及叠互母子者各具数条见例问设一虚数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总数几何其法先另借一通数以分其半而通各分先借二十四为数列左上(其半为十二其三之一为四其四之一为三尚余五)以比三百则不足二百九十五列左下另借九十六为数列右上(其半为四十八其三之一为十六其四之一为十二尚余二十)以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得数附注其下以少减多其余为实而以左下右下相减其余为法除之除得一千四百四十合原总以减半为七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之数假如借四千八百为通数列左上(其半为二千四百其三之一为八百其四之一为六百余一千)以比三百则盈七百列左下又借二千四百为通数列右上(其半为一千二百其三之一为四百其四之一为三百余五百)以比三百盈二百列右下亦以二数相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实而以法除之以法除实亦得一千四百四十合原总数又假如借二千四百为通数列左上(即前第二式右上者尚余五百)盈二百列左下再借九十六列右上(即前第一右上者余二十)不足二百八十列右下此系一盈一不足者相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实以法除实仍得一千四百四十问三人共银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两每人实数㡬何(此大约当以四分分之而算)先借一十为通数列左上(甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二数又加六得四十)共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上(甲六乙倍之加四得十六丙兼二数加六得二十八)共五十以比四十四盈六列右下以相减余为法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相减余为实以法除之得五为所求之甲数倍之又加四得一十四为乙数兼之又加六得二十五右图以甲之左数一十乘六及以右数六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙数以丙之四十乘六及二十八乘三十者亦得丙数以共数七十四乘六及五十乘三十者亦得共数问甲乙各不知数取乙九与甲则甲倍于乙取甲九与乙则甲乙正等原数各若干借一百为等数乙既得甲九则甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九则甲一百十八而乙八十二以视甲之半盈二十三(因甲取乙九当倍乙数故)列左下另借五十为等数乙既得甲九则甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九则甲得六十八而乙三十三以视甲之半不足二列右下盈不足相并二十五为法左上乘右下右上乘左下相并为实以法除实系甲乘者除得六十三为甲数系乙乘者除得四十五为乙数问携酒游山到处沽増一倍俱饮六升至第四处饮讫无余原携若干借五升四合列左上倍之(一斗八合)减六(四升八合)又倍之(九升六合)减六(三升六合)三次倍之(七升二合)减六(一升二合)四次倍之(二升四合)以减六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之(一斗二升四合)减六(六升四合)又倍减至四次(倍得一斗二升八合减存六升八合复倍得一斗三升六合减存七升六合又倍得一斗五升二合减存九升二合)盈九升二合列右次盈不足相并为法以左上乘右下右上乘左下并为实以法除实得五升六合二勺五抄问贷榖不知数每年加息一倍一年还榖五斗至五年本利俱完其原贷若干先借四十三石列左上倍之(八十六)减所还(余三十六)又倍之(七十二)又减(余二十二)仍倍之(四十四)不足六石列左下又借四十四石列右上倍之(八十八)减所还(余三十八)又倍之(七十六)又减(余二十六)仍倍之(五十二)盈二石列右下并盈不足为法左上乘石下右上乘左下得数并为实以法除实得原榖四十三石七斗五升或依三率置五十为实置三年之倍(一二四)并得七乘之加母(一)为法除之亦同问逐兔百只每三人得四只该㡬人先借七十二人列左上以四乘三除(九十六)盈四只列下另借九十人列右上以四乘三除(一百二十)不足二十列下盈不足并为法左上乘右下右上乘左下得数并为实以法除实得七十五人此问依三率三乘四除即得借此见例云问甲乙丙共数六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙数外加六各该㡬何先借六为甲通乙丙数列左上(甲六乙十六丙二十八)共得五十比正数不足一十列左下又借八为甲通乙丙数列右上(甲八乙二十丙三十四)共六十二比正数盈二列右下相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实依法除得七零三之二为甲数倍之加四得十九零三之一为乙数兼甲乙加六得三十三为丙数总合六十数问试以三十数随手剖为二以其一加六十以其一加二十而加六十者为加二十者之三之二其剖分之数各㡬何此取三十而随意剖之且借二十为甲数列左上列乙一十于次而各如问加焉察其数(甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十)甲视乙固不足三之二(乙三十则甲之三分二者该九十今却八十)以不足一十列左下又借二十四为甲数列右上亦列乙六于其次各加如问而察其数(甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六)甲又盈乙三之二(乙二十六则甲之三分二者该七十八今却八十四)以盈六列右下盈不足积并为法次以左上乘右下以右上乘左下并为实以法除实得二十二又二之一为甲数然后求三之一则七零二之一为乙数也问甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其实数各㡬何此因有三之二及四之三当借竒数为通数以求甲数而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一乃奇数也以当甲列左上(左图)加七十三(共七十四)当兼乙丙而倍之(既以七十四为兼乙丙且倍之则乙丙当仅得其半共得三十七)因以折半三十七为乙丙数而乙与丙又衰分焉(乙加七十三又得甲丙三之二因寻乙所衰于丙者)依前法随意衰之为两如借二为乙衰另列于左上(右图)则丙系三十五矣列左次乃以二加七十三(得七十五)以较甲丙合数未足三之二(甲一丙三十五共三十六则其三之二乃该一百零八今乙衰二加七十三只有七十五)尚缩三十三列左下又借五当乙(三十七中之五)列右上则丙系三十二矣列右次乃以五加七十三(得七十八)以较甲丙有三之二否不足二十一(甲一丙三十二共三十三则其三之二该九十九今乙衰五加七十三只七十八)列右下两不足相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实法除实得一十零四之一为乙实乃列乙实于左图初借立一之次既已得乙实即得丙实(乙丙共三十七也乙得一十零四之一则丙得二十六零四之三)列于又次又另借三为甲衰列右上加七十三(共七十六)以其半为乙丙衰(得三十八)而随意分之为两另作一法如前焉如以二为乙衰列左上其余三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三(得七十五)与甲丙相较是三之二否不足四十二(甲三丙三十六共三)(十九其三分之二乃一百十七)(也今乙衰加之只七十五)即以不足列左下另借二十三为乙衰列右上其半十五为丙衰列右次以乙衰二十三加七十三(得九十六)与甲丙相较是三之二否又盈四十二(甲三丙十五共十八其三分之二当是五十四今乙衰之数与加数却有九十六)以盈列右下盈与不足相并为法仍以左上乘右下以右上乘左下而相并为实以法除实得一十二零二分之一为乙实乃列乙实于前所借甲三之次因得丙实(乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一则丙得二十五零二分之一)亦列于又次俱照前式乃依所问察之甲加七十三要兼乙丙数又多一倍乙加七十三要得甲丙数者三丙加七十三要得甲乙数者四如右图左上甲衰及所加(共七十四)已兼乙丙之数与其倍数(乙丙共三十七兼而倍之则七十四也)左次乙衰所加(共八十三又四之一)亦兼甲丙数之三(甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰)俱合原问惟左又次丙衰及所加(共九十九零四之三)以合甲乙(共十一零四之一)如原问但欲得甲乙数者四只须四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加(共七十六)亦合乙丙兼数与倍数(乙丙共三十八兼倍之则七十六也)右次乙衰及所加(共八十五半)合甲丙亦具三因(甲丙共二十八半三因之得八十五半)惟右又次之丙衰及所加(共九十八零半)以合甲乙(共十五又二之一)以四因之当得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原问仍依互乘之法求之 于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相减余为实以左下右下相减余为法除之得七为甲衰如欲得乙衰则以乙之左右上下互乘相减以法除之得一十七为乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘减除得二十三为丙衰问设有一数以与三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原设数㡬何其法先借二为主列左上以乘三(得六)外加十(共十六)又与四相乘(六十四)加二十(共八十四)又与五相乘(四百二十)加三十(共四百五十)又与六相乘(二千七百)加四十(共二千七百四十)以此所问数(六千七百)不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三(九)外加十(共十九)又乘四(七十六)外加二十(共九十六)又乘五(四百八十)外加三十(五百一十)又乘六(三千六十)外加四十(共三千一百)以比所问数(六千七百)不足三千六百列右下两不足相减余为法除之得一十三系原设右法已除得十三者与三相乘(三十九)加一十(四十九)又与四相乘(一百九十六)加二十(共二百一十六)以乘五(一千八十)加三十(共一千一百一十)以乘六(六千六百六十)加四十实得六千七百合问问二人共分银一百两不得其均若均分则每人当五十两然须甲还所得银三之一乙又还所得银五之一方得每人五十两其不均之分各得若干先借三十两为甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃减甲三之一(减一十存二十)亦减乙五之一(一十四)而以乙减归甲(甲二十加乙十四共三十四)以比五十不足一十六列左下另借六十为甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃减甲三之一(减二十存四十)亦减乙五之一(八)而以乙减归甲(甲四十加乙八共四十八)不足二列右下两不足相减余为法以左上乘右下以右上乘左下相减余为实以法除实得六十四两零七分两之二为甲衰就一百两内减甲衰余三十五两又七分两之五为乙衰合原分不均之数问二人共分银一百两未得其均须甲损所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十两其未均之数各若干先借六十为甲衰列左上亦列乙四十于左次乃减甲三之一(减二十存四十)减乙四之一(减一十存三十)和所减(甲二十乙一十共三十)而均分之(各得十五)以甲所得十五合减存四十之数(甲原存四十加十五得五十五)以比五十盈五数列左下另借二十四为甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃减甲三之一(减八存一十六)减乙四之一(减一十九)和所减(甲八乙一十九共二十七)而均分之(各得十三零二之一)以甲所得一十三半之数合减存一十六数(共二十九半)以比五十不足二十半列右下盈不足相并为法右上乘左下左上乘右下相并为实以法除实得五十二两零十七分两之一十六为甲衰其余四十七两又十七分两之一为乙衰问以一千剖为二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百为甲衰列左上亦列乙四百于次相较差二百以比四十九则盈一百五十一列左下另借五百五十为甲衰列右上亦列乙四百五十于次相较差一百以比四十九则盈五十一列右下两盈相减余为法以左上乘右下右上乘左下相减余为实以法除实得五百二十四零二分两之一为甲衰余为乙衰问香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏则多于乙二倍以葢加乙罏则与甲罏正等此二罏各重若干其法借三十为甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一为乙衰得六十以乙加葢(得二百一十)比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十为甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一为乙衰得八十以乙加葢(二百三十)比甲衰九十盈一百四十列右下两盈相减余为法左右上下互乘仍相减余为实以法除实得三百斤为甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙罏问香罏二座有一葢其葢重百两加甲罏则其重比乙多二倍加乙罏则其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十为甲衰列左上葢数一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十为一衰(因甲加葢多乙二倍故)加葢(得一百五十)比甲衰(五十)盈五十列左下(既倍甲五十只该一百今却一百五十故盈五十)另借一百一十为甲衰列右上葢数一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一为乙衰(七十)加葢(一百七十)比甲衰(一百一十)不足五十列右下(倍甲一百一十即该二百二十今却一百七十故不足五十)盈不足相积为法左右互乘积为实以法除实得八十两为甲罏其加葢三分之一得六问有人买鹌鹑不知其数但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是㡬何其法借一通数可以二三四分之者为主先借十二列左上而以二之一(六)三之一(四)四之一(三)并之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一(三十)三一(二十)四一(十五)并之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下两不足相减为法左右互乘相减为实以法除实得七十二为所问之数以其二之一(三十六)三之一(二十四)四之一(一十八)再加二十二共一百只问二商各擕毋银未知其数但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其实数若干法从乙起算先借二十两为乙衰列左上内减十二(余八)以当甲六之一用六因求甲(六八四十八)内还乙所加(十二)存数三十六又捐十五与乙(甲剩二十一其乙原余八又取甲十二共二十今又加得三十五)以甲剩数较乙加数甲是乙十之一否(甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五)不足一百七十五列左下另借一百为乙衰列右上内减十二(得八十八)以六因求甲衰(五百二十八)亦还所加(十二)存数五百一十六内除十五与乙(甲剩五百一乙原余八十八又取甲十二 共一百今加十五该一百一十五)以乙较甲甲是乙十之一否(甲五百一则乙当五千一十今乙只一百一十五)不足四千八百九十五列右下两不足相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得十七两零五十九之二为乙毋内捐十二两与甲则实得五两又五十九之二以六因求甲得三十两零五十九之十二内亦减十二实得十八两零五十九之十二再捐十五两与乙加乙原数十七两又五十九之二共得三十二两零五十九之二以十之一约问二人所各携银不知其数但云减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则与乙正等各实数几何从乙多数起算先借一十五两为乙衰列左上内减六存九以当甲之半则甲该一十八内又除所加六得十二为甲衰正数内减三与乙则甲剩者九以甲所剩九较乙衰十五及所加之三乃盈九(甲九乙十八也)列所盈于左下另借二十为乙衰列右上内减六存十四倍之为甲衰当是二十八亦减所加六实得二十二为甲衰正数若取三与乙则甲剩十九以甲之十九较乙之二十及所加之三又盈四(甲十九乙二十三)列盈数于右下两盈相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得二十四为乙衰内减六与甲余倍之得三十六甲先借六与乙则甲之本数只三十矣就三十之内减其三两并入乙二十四两为二十七甲三十减三亦二十七故其数正等问漏壶一座注水其中下有三孔其甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则㡬时水尽且借四时为用列左上而各据其孔之大小流水之迟速测之(甲二时一壶则四时当尽二壶乙三时尽乙壶则四时当尽一壶零三之一丙六时尽一壶则四时当尽三分壶之二)得数并计之共以四时尽四壶而所问者一壶也为盈三列左下另借十时为用列右上亦以时推其多寡(甲二时一壶则十时该五壶乙三时一壶则十时该三壶零三之一丙六时一壶则十时该一壶零三之二)得数并计共以十时尽十壶比原问一壶又盈九列右下两盈相减剩六为法上下左右互乘相减亦得六为实以法除实得一是二孔俱开则壶水一时泄尽也问漏壶一具上有渇乌注水凡十二时而满下有窍通天池泄水凡十八时而水尽若上注水下泄水当几时水可满且借二十为满候列上以推注泄之时已知下泄十八时尽一壶则二十时当尽一壶零九分壶之一而其上注二十时必能满至二壶九之一方与此合乃且注且泄只有一壶三之二不足九分壶之四列左下另借三十时为满候列右上而各推其时已知下泄十八时尽一壶则三十时当尽一壶零三之二而其上注三十时必须满至二壶三之二方与此合而又不然只满二壶半亦不足六分壶之一列右下两不足相减余为法乃以右上乗左下以左上乗右下减余为实以法除之问甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三则知乙匠十八日之工乃其五分之二也试借四十日为乙衰列左上以十八日完五之二推之则四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日为乙衰列右上亦以十八日五之二推之则六十日完全工外又溢九之三列右下两盈不足相并得九之四为法次以左上乗右下右上乘左下相并得九之一百八十为实以法除实得四十五日完工右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算该二十七日完以二十七加一十八是四十五也问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两三人原携母金若干法已知三人原共金二千一百两(三个七百)三分之当于甲衰七百内与丙四之一又得乙二之一于乙衰当加入丙三之一又与甲二之一于丙衰当得甲四之一又与乙三之一乃先借一百两为甲衰列左上内除四之一(二十五)该存七十五而总有七百两是所赢于乙者为六百二十五两而乙衰当为一千二百五十两矣列左次内输去二之一则所剰当亦为六百二十五两又赢丙三之一而为七百两则亦得丙七十五两而丙所携母为二百二十五两矣又列其次内输与乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一(二十五)共得一百七十五两以较原问不足五百二十五列左下别借二百为甲衰列右上内除四之一(五十)剰一百五十而总有七百以乙二之一足之则知乙衰二之一该五百五十两而乙总数为一千一百两矣列右次内输与甲二之一当剰五百五十两又以丙三之一足之而为七百两则亦得丙一百五十两而丙所携母为四百五十两矣又列其次内输与乙三之一尚存三百两加所得甲四之一(五十)仅得三百五十两比原问不足三百五十列右下两不足相减剰为法左右上下互乘相减剩为实以法除实得四百为甲母推知乙母八百(以甲四百减四之一存三百加入乙二之一该増四百是知乙母八百)丙母九百(以乙八百减二之一存四百加入丙三之一该増三百是知丙母九百也甲母四百赢四百输一百乙母八百输四百赢三百丙母九百输三百赢一百俱剰七百而三人所携与所赢所输皆得矣)问甲乙丙三商共贩得子银四百两依母银分之乙比甲多分十二两丙比乙多分十六两要知各分若干先借一两为甲衰列左上推得乙该十三两丙该二十九两共四十三两以视四百不足三百五十七两以次列左下别借二两为甲衰列右上推得乙该十四两丙该三十两共四十六两以视四百不足三百五十四两以次列右下两不足相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得一百二十为甲衰以推乙衰一百三十二丙衰一百四十八合问问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵四万北兵为南兵及西兵二分之一西兵为南兵北兵三分之一要知北兵与西兵各若干并南兵共若干先借三万为北衰列左上推得南西二兵共该六万而西兵仅该二万列左次若为南北三之一则南北共只六万而实七万是盈一万也列左下又借二万四千为北衰列右上推得南西二兵共该四万八千而西兵仅该八千列右次若为南北三之一则南北共只二万四千而实六万四千又盈四万也列右下以盈相减剰数为法上下左右互乘得数亦相减剰为实以法除实得三万二千为北衰推知西兵二万四千总共九万六千而北得南西二之一西得南北三之一问黄金百斤制罏一座既成虑匠人盗金和银销毁验之恐伤工本欲知和银若干法以器贮水令满已知水㡬斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令满别以纯金百斤入之溢水六十斤另贮满水以银百斤入之溢水九十斤今借银四十斤为匠所换数列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以纯金只溢六十斤推之实在罏内之金六十斤只该出水三十六斤又以纯银溢水九十斤推之所和之银四十斤亦该出水三十六斤共该溢七十二斤今视原数(六十五斤)盈七斤列左下又借银三十斤为匠所换数列右上存金七十斤列右次以纯金溢水六十斤推之则罏金七十斤该出水四十二斤又以纯银溢水九十斤推之则和银三十斤该出水二十七斤共该溢六十九斤今视原数(六十五斤)又盈四斤列右下两盈相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得一十六斤零三分斤之二为匠人盗和银数其实在纯金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤则八十三斤及三分斤之一该出水五十斤银百斤溢水九十斤则一十六斤及三分斤之二该出水一十五斤合之得六十五斤合问问绫七尺罗九尺两价适等其每尺之价罗少于绫者其较三十六文此绫罗各价若干是为匿价衰分法先借七十二文为绫价列左上则罗价当三十六文列左次各以尺数乘之(绫七尺得五百○四文罗九尺得三百二十四文)罗视绫不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文为绫价列右上则罗价当六十四文列右次各以尺数乘之(绫七尺得七百文罗九尺得五百七十六文)罗视绫不足一百二十四文亦不相等也又列其下以两不足相减余为法乃以左上乘右下右上乘左下得数亦相减余为绫实以法除之得绫每尺价一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得数相减余为罗实以法除得罗每尺价一百二十六文又各以尺数乘之绫七尺共一千一百三十四文罗九尺亦一千一百三十四文正等问金九锭银十一锭其重适等互换一锭则金轻十三两金银每锭重若干此因互换一锭而金轻十三两因知金银之轻为六两五钱也乃先借一十三两为金衰列右上则银该六两五钱列右次各以锭乘(金九锭得一百一十七两银一十一锭得七十一两五钱)金视银盈四十五两五钱列下另借二十四两为金衰列左上则银该一十七两五钱列左次各以锭乘(金九锭得二百一十六两银十一锭得一百九十二两五钱)金视银盈二十三两五钱又列其下两盈相减余为法而以左上乘右下右上乘左下得数相减余为金实左次乘右下右次乘左下得数相减余为银实俱以法除得金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十九两二钱五分而各以锭乘金九锭共三百二十一两七钱五分银十一锭亦三百二十一两七钱五分正等问牛羊共一百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫一两五钱欲知牛羊各数各价若干此于大总内又立小总法先以三归十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而化两及钱分皆为厘算之先借六十为牛衰列左上则羊该四十列左次而以各价乘之(牛六十头乘四千厘得二十四万羊四羫乗三百七十五厘得一万五千并共得二百五十五两)以视共价盈八十七两列左下又借三十为牛衰列右上则羊该七十列右次而以各价乘之(牛得一十二万厘羊得二万六千二百五十厘并共得一百四十六两二钱五分)以视共价不足二十一两七钱五分列右下并盈不足为法依式互乘乃以左右上数互乘下并为牛实左右次数互乘下并为羊实以法除得牛三十六羊六十四以各价乘得总问鸡兎同笼不言其数但云九十六头三百零八足其鸡兎各㡬何法以九十六头为主先借到鸡四十八只列右上兎亦四十八只列右次而以各足乘之(鸡二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足)并二百八十八足以较三百○八足不足二十列右下又借作鸡六十只列左上则兎该三十六只列左次而以各足乘之(鸡二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四)并二百六十四足以较三百○八足不足四十四列左下两不足相减余二十四为法又以左上乘右下右上乘左下各得数相减余为鸡实以法除之得鸡三十八只其左次右次亦如法乘减余为兎实以法除得兎五十八只各以两足四足乘之合三百○八足之数又法置九十六头倍之得一百九十二以减总足余一百一十六足以二归之得五十八为兎数却以四足乘之得二百三十二又以减总足余七十六以二归之得三十八为鸡数葢以两物皆借作两足起算者以上原二十二条补七条与旧法盈朒畧似然本无盈朒而借立一数以求盈朒乃以盈朒推之者与前借衰互征之法俱极超妙虽至隠至奥之数用此推求未有不涣然氷释者学人熟此二法于算义思过半矣其旧法盈朒章人所恒习亦附数条于后相比拟旧法未知借推之妙只立盈与不足或两盈两不足为母两母相减为法以母子互乘之数求其物实以两子或并或减之数求其人实大抵一盈一不足者相并为实两盈两不足者减余为实俱如前法耳又有叠数盈朒(如㡬人分㡬许盈几数㡬人分㡬许不足几数之类)列作上中下三位所求人实亦取下层盈不足并减同前而取两上相乘以为通法更乘人实然后乃以上中互乘减余为法除之又以上中乘出之数互乘下层仍前并减以为物实以法除之与人实同问醵金买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干左列五之六右列三之四互乘并之为物实另并两子(六四)为人实两母相减余二为法除人实得人数五除物实得物价一十九两或先得人数以乘出率五内减盈六及以乘三外加不足四皆同右法若依借衰者且借立一数与五相乘内减六得若干又与三相乘外加四得若干如相同即所求之数若不同者则依盈朒推之假如借四人列左上以乘五减盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六两数相较不足二列左下又借七人列右上以乘五减盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相较盈四列右下以并左下共六为法左右上下互乘并得三十为实以法除实得五人以乘出率五内减盈六得一十九两若以乘三加不足亦同(此并子数为法并乘数为实以求人数与前两母减余为法而除人实物实及以乘出为物实而以母较除之者法稍异耳)问众人分榖每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人榖各若干以五之三十列左六之四十列右互乘并之为榖实并两子(三十四十)为人实两母(五六)相减余一为法除人实得人数七十除榖实得三百八十石或先得人数即以乘分率五外加盈三十及以人数乘分率六内减不足四十亦同(前条系出率故减盈增不足此条系入率故增盈减不足)右法若用借衰者试借三十人列左上以乘五(一百五十)加三十(共一百八十石)亦以三十乘六(一百八十)减四十(一百四十)以前数较盈四十列左下另借一百人列右上以乘五(五百)加三十(五百三十)即以一百乘六(六百)减四十(五百六十)亦以前数较不足三十列右下盈不足相并为法左右上下互乘并之为实以法除实得七十为人数乃以人数乘五(得三百五十)外加盈三十为三百八十石又以人数乘六(四百二十)内减不足四十亦三百八十石问以绢一匹作帐先折成六幅比旧帐长六寸后折成七幅比旧帐短四寸新绢旧帐幅各长若干此先以幅数乘盈不足数求之置六幅列左上以乘盈六寸得三尺六寸列左下置七幅列右上以乘不足四寸得二尺八寸列右下左右上下互乘并之为绢实另并盈不足(三尺六寸二尺八寸)为旧帐幅实而以七幅六幅相减余一为法除之得绢长四丈二尺旧帐幅长六尺四寸问直田一段欲截一半另佃第云截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干列六之七及八之九互乘并之为截积之实并子数为原濶之实而以两母相较余二为法除之得原濶之步八得截积之步五十五问每人出银三两五钱盈六两每人出银三两三钱盈二两八钱人数物价各若干此以两出率左右列及以两盈各置出率之下互乘得数相减余为物实以两盈相减余为人实又以出率相减余二为法除物实得价五十两除人实得一十六人问每人出银五两不足四两每人出五两四钱不足二两人数物价各若干列两出率及两不足互乘得数亦相减余为物实以两不足相减余为人实又以两出率相减余四为法除人实得五人除物实得价二十九两问井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺次将绳折作四股入井绳余一尺井深绳长各若干置三股四股为母各以所盈数乘之(以三乗四尺得一十二尺以四乘一尺得四尺)左右列位互乘得数相减余为绳实以前所乗出两盈数相减余为井深之实乃以二母相减余一为法除绳实得绳长三丈六尺除井实得井深八尺问每人出银二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干置出率各以盈适足系之除适足无乘只以左盈乘右出率为物实以盈数为人实仍以两出率相减余二为法除物实得物价六十九两除人实得三十人或不乘盈数径求人数而以所得之人数乘适足之出率者亦得物价同前问每人出银七两不足一十四两每人出九两适足人数物价各若干仍前列位以右九乘左不足为物实以不足为人实两出率减余二为法除人实得七人除物实得价六十三两或不以乘法求物实径求人数而以人数乘适足之出率亦得物价同前问以米换布换九匹适足换七匹多米四斗其米数布价各若干置出率及盈适足以盈数为实以两出率减余为法除之得每匹值米二斗乃以适足之九匹乘之得总米一十八石问每八人共出银七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干此叠数盈朒也布位三层先立通数以乘人率法取左上右上相乘为之(七十二)乃以上中二位左右互乘得数(左六十三右四十八)相减以其余数(一十五)为后除人实物实之法而各以乘得之数与下位左右互乘(左二百一十六右一百八十九)并之(四百零五)为物实以法除得价二十七两仍并盈不足数为人实之率(七十五)而以前求通法(七十二)乘之得数(五百四十)为人实亦以法除得三十六人此法与前数条大畧相同但物实则以上中乘出之数乘其下位盈朒之数而人实则増二上相乘通数以与再乘其所除人实物实之法则前条直以出率减余为之此以上中互乘得数相减余数为之此其小异耳上 中 下问每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两人数物价各若干法以左上右上乘得数为通法(二十四)次以上中互乗(左得三十六右得四十二)相减余(六)为除人实物实之法(六)又以互乘所得之数与下两盈数互乘(左得二百一十六右得一百二十六)相减余为物实(九十两)以法除得价一十五两以两盈相减余(三)为人实之率而以通法(二十四)乘之得人实(七十二)以法除得一十二人 其叠数两不足倣此上 中 下问每三人共出银五两多一十两每五人共出银九两适足人数物价各若干法以左上右上相乘得数为通法(一十五)次以左上乘右中(二十七)右上乘左中(二十五)相减余(二)为除人实物实之法次以右中得数乘左下盈(得二百七十两)为物实以法除得价一百三十五两就以左下盈(一十)为人实率而以通法(一十五)乘之为人实(一百五十)以法除得七十五人上 中 下 其叠数不足适足倣此问银未知数以买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干法取子母互乘以通盈朒之数如子数二互乘母五得一十以通朒一两得一十两列左子数三互乘母三得九以通盈三两得二十七两列右乃以左中乘右下(二百七十)右下乘左下(九十)并之(三百六十)而以两子相乘(六)为法除之(得六十)为银实而以左上右上减余(一)为法除之仍得总银六十两次并盈朒二数(三十七)为物实而以法除得价三十七两上 中 下问银未知数取六分之四买物盈二两取四分之三买物盈三两五钱银数物价各若干以子数四互乘母四得一十六以通盈三两五钱得五十六两列左以子数三互乘母六得一十八以通盈二得三十六列右乃以左中乘右下(五百七十六)以右中乘左下(一千零八)减余(四百三十二)亦以两子相乘(一十二)为法除之(得三十六)为银实以左中右中减余(二)为法除之得总银一十八两别以两盈相减余(二十)为物价之实仍以法除得物价一十两上 中 下问𣲖纳官银不言其数但知有甲乙二等户乙户所办当甲户十之八先令甲等八户乙等五户纳之不足五两后令甲等六户乙等八户纳之不足三两其𣲖银数及各户则例若干法以甲乙二衰乘户数各并之列位(甲衰一十以乗八得八十乙衰八以乘五得四十并得一百二十户列左又以甲衰十乗六得六十以乙衰八乗八得六十四并得一百二十四户列右)以两不足数系之互乘相减余为银实(二百六十两)乃以上相减余为法(四)得官𣲖银六十五两别以两不足数相减余(二两)为则例之实以法除之得五钱而以各衰乘之甲衰一十乘得五两为甲等一户办数乙衰八乘得四两为乙等一户办数问钱未知数以买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干先取母子互乘一乘七得七列右三乘二得六列左而以六互乘盈四得二十四列右下即以为物价之实两母减余为法(一)除得物价二十四文又以适足之母(七)乘盈数(二十四)得数为钱实(一百六十八)而以原子一三相乘得数为法(三)除之得钱五十六文问粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦石数若干每银一两粜麦若干法取两子母互乘得数各通粜银(以母三互子三得九通八两得七十二以母八互子一得八通十一两得八十)另以所通得数七十二列左八十列右乃以适足银(八)乘不足之麦(二)得数(一十六石)列右下如不足适足例而取适足所通出之银率(七十二)以乘不足所乘出之麦率(一十六)得数(一千一百五十二)又以两子相乘(三)为法除之以为麦实左中右中相减余八为法除得总麦四十八石另以不足乘出(一十六)为银实亦以法除(八)得麦二石价银实一两同文算指通编卷四
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钦定四库全书同文算指通编卷五明 李之藻 撰杂和较乗法第八诸物互和未易缕析必取互乗之数较余为用以少除多得一数以推其他而纎悉见矣若条缕多者别立正负为算别同异以分加减总归于去烦就简故率除首列同乗减尽一数而其余则名类相同者减之相异者加之其最繁者亦视首列所主为用如首以同名减则其下同减而异并首以异名减则其下异减而同并大要与盈朒相近而又济盈朒之穷(旧名方程用前叠借互征亦同头绪多者用此为便)问鼎三彞二共重一百五十五两又鼎四彞五共重二百六十五两鼎彞各重若干将二项左右对列各作三段递互徧乗之又相对较之视其余数以少除多而互得其重如以彞乗则反得鼎重以鼎乘则反得彞重且如以右鼎徧乗左行(鼎四得一十二彞五得一十五重二百六十五得七百九十五)以左鼎徧乗右行(鼎三得一十二彞二得八重一百五十五得六百二十)各得数相减两鼎数相等减尽不用两彞数减余七又两重减余一百七十五以少除多七为法一百七十五为实除得彞重二十五两以右中彞二乗之得五十两以减右总余一百零五两亦以右鼎三除得每鼎重三十五两鼎三(以乗左行得一十二)彞二(得八)重一百五十五两(得六百二十)鼎四(以乗右行得一十二)彞五(得一十五)重二百六十五两(得七百九十五)右法若以彞徧乗其以七为法亦同所得减余之实凡二百四十五以法除之先得每鼎三十五两以右鼎三乗之得共鼎一百五两以减右行重数余一百两为二彞重数若以左彞四乗之得共鼎一百四十两以减左行重数余一百二十五两为五彞重数问纱三匹绢四疋共价四两八钱又纱七疋绢二疋共价六两八钱纱绢各价若干亦将二项左右列之各三段徧乗如以右纱徧乗左行(纱七得二十一绢二得六价六两八钱得二十两四钱)左纱徧乗右行(纱三同上绢四得二十八价四两八钱得三十三两六钱)各得数对减其两纱减尽不用两绢减余二十二为法两总减余一十三两二钱为实以法除实得绢每疋价六钱就以右绢四乘得共价二两四钱以减右总价尚余二两四钱为右纱三疋之价得每疋价八钱纱三(与左乗得二十一)绢四(得二十八)共四两八钱(得三十三两六钱)纱七(与右乘得二十一)绢二(得六)共六两八钱(得二十两四钱)右式若以绢徧乘其法同前但减余之实一百七十六以法除之亦得八钱为疋纱之价以右纱三乘得二两四钱以减右总价余二两四钱为四绢之价若以左纱七乘得五两六钱就减左总价余一两二钱为二绢之价问笔三管换砚七个贴砚价四百八十文别以砚三个换笔九管贴笔价一百八十文笔砚各价㡬文依前左右三行列之而以砚为正笔为负互乘得数却于正负同名者对减异名者对加求之砚正七(正二十一)笔负三(负九)价正四百八十文(正一千四百四十)砚正三(正二十一)笔负九(负六十三)价负一百八十文(负一千二百六十)右砚正七乘左(砚正二十一笔负六十三价负一千二百六十)左砚正三亦乘右(砚正同上笔负得九价正一千四百四十)得数两砚正同名减尽两笔负同名减余五十四为法两价正负异名加并得二千七百为实以法除实得五十文为一笔之价取右行笔负之三乘之得一百五十加入价正四百八十共六百三十即右砚七个总价以七除得九十文为一砚之价若取一笔之价以左行笔负之九乘之得四百五十则当就内减总一百八十余二百七十即左行三砚之价若移置笔负为法徧乘者得异并之实四千八百六十文以法除之(五十四)得九十文为砚价问七钏九钗共重九两四钱钏重钗轻于中互换其一轻重适等不知各重若干此依互换者列位一系六钏一钗一系一钏八钗而中分其总重之数钏六 钗一 四两七钱钏一 钗八(四千八) 四两七钱(二十八两二钱)先以右钏六徧乘左行(钗八得四十八价四两七钱得二十八两二钱)次以左钏一徧乘右行(钏一价四两七钱)对减余四十七者为法余二十三两五钱者为实以法除实得五钱为一钗数以减右行总重(四两七钱)余四两二钱即六钏共数六除之得每钏重七钱若移用右行钏一左行钗八为法徧乘者得减余之实三十二两九钱以法除之(四十七)先得七钱为一钏之重问钱一万文以卖二马一牛则不足半马之价以卖一马二牛则余半牛之价其牛马价各若干此当以不足半马者损为一马零二分马之一及一牛以余半牛者益之为一马及二牛零二分牛之一依法列之而以整带零之法乘除之马一匹二之一 牛一头 价一万文马一匹(一匹二之一) 牛二头二之一(三头四之三)价一万文(一万五千)先以右马徧乘左行(马一匹二之一牛三头四之三价一万五千)次以左马徧乘右行(马如上牛二价一万文)其两马减尽两牛减余二头又四之三为法两价减余五千文为实以法除实得一千八百一十八文又十一之二为牛价以减右行总价(一万文)余八千一百八十一文又十一之九以马一匹又二之一除之得五千四百五十四文又十一之六为马价问甲乙二窖积粟不知各㡬何但云取乙三之一与甲及取甲二之一与乙则各满二千石其原窖㡬何此零法照前列位互乘甲得六千乙得四千减余二千为实而以两母相倂得五为法除之得四百以乙母之三乘之得一千二百石为乙窖原粟余八百石以甲母二乘得一千六百石为甲粟其必各以母乘者盖前所除得只是子数必归母见整故也甲二之一 二千石(六千)乙三之一 二千石(四千)问治地不知亩数每工种麦三畦种菽四畦共三百零一工其菽麦数并工数各若干此为双头单脚互乘取三四左右列之并得七为法其下列工数麦三畦菽四畦若求菽数者右三乘总工(九百三)以法除得一百二十九为菽畦以四乘得工五百一十六即以右三除得麦畦数若求麦数者左四乘总工(一千二百四)以法除得一百七十二为麦畦以三乘得工数如前亦以左四除得菽畦问犒夫不知数但云二人共饭三人共酒四人共肉总用饭酒肉六十五分计夫若干列三位维乘(二乗三得六又三乗四得一十二又四乘二得八)并得二十六为法另用乘并之法(二乘三得六以乗四得二十四)得数以乘总分(六十五) 二人得一千五百六十为实 三人 六十五分以法除得六十为夫数 四人问银二百六十四两买牛羊共一百牵每牛三头价二十两每羊四羫价一两五钱内牛羊倂价各若干以牛羊各价依子母左右列之互乘得数(牛乘羊四两五钱羊乘牛八十两)减余七十五两七钱为法另列总牵总价于下如求牛数者先以羊四乗总价(一千五十六)以羊价乘总牵(一百五十)减余(九百零六)为实以法除得一两二钱为牛衰以右位牛三乘得三十六头以二十乘得共价二百四十两就总内减牛数余为羊数牛三 二十两羊四 一两五钱若先求羊数者以牛三乗总价(七百九十二)以牛价乗总牵(二千)减余(一千二百零八)为实亦以法除之得一十六为羊衰以左位羊四乘得六十四羫以一十五乘得二十四两就总内减羊亦得牛数问用匠五千名包砖板隄共四千九百九十五方定限每日匠九名包板隄十一方匠七名包砖隄四方砖板堤匠各若干以母子左右对列互乘得数(九乗四得三十六七乘十一得七十七)减余四十一为法另列总匠总隄于下九名 十一方七名 四方若求板隄数者左七乘总方(三万四千九百六十五)四乘总匠(二万)减余(一万四千九百六十五)为实以法除之得三百六十五为板衰以乘右九得板匠三千二百八十五名以乘十一得板隄四千一十五方于总内除板隄余皆砖数或求砖隄数者右九乗总方(四万四千九百五十五)十一乘总匠(五万五千)减余(一万零四十五)为实以法除之得二百四十五为砖衰以乘左七得砖匠一千七百一十五方以乘四得砖隄九百八十方于总内除砖隄余即板数问七人醵金不知总数亦不知各数第云甲乙共二十三两七钱戊己庚共二十六两一钱亦不知丙丁共数此七人各若干法先求隔母且以甲乙二列左戊己庚三列右取右衰三增一为四(与后章求隔母法同)仍以右衰(三)乘之得数(十二)减半(六)又减去右衰(三)余三为右中率取左衰(二)乘总位(七人)得数(十四)内减右衰(三)余十一为左中率而各以共金数列其下右三 三 二十六两一钱左三 一十一 二十三两七钱乃以左二徧乘右(中三得六下二十六两一钱得五十二两二钱)以右三徧乘左(中十一得三十三下二十三两七钱得七十一两一钱)各得数相减中余二十七为法下余一十八两九钱为实以法除实得七钱为隔母之数别取甲乙共数(二十三两七钱)并入隔母七(得二十四两七钱)减半得一十二两二钱为甲金数内减差数七得十一两五钱为乙金数其余以七递减各得(丙十两八钱丁十两一钱戊九两四钱己八两七钱庚八两)问竹筩一茎九节下大上细下三节共盛粟三升九合上四节共盛粟三升中二节不知数要见每节盛粟若干亦先求隔母数为逐节相较之率取上三列左下四列右以右四加一为五与右四相乘得数(二十)减半(一十)又减右四得六为右中率别以左三乘总位(九)得数(二十七)内减右中率六得二十一为左中率各以所共盛之数从之右四 六 三升左三 二十一 三升九合乃以左三徧乘右(中六得一十八下三得九分)以右四徧乘左(中二十一得八十四下三升九合得一十五分六厘)得数相减中余六十六为法下余六十六为隔母率别以左三共粟为实(三升九合)以法(六十六)乘之(得二百五十七分四厘)以三除之(因系三节故也)得八十五分八厘是第八节数加母率(六分六厘)得九十二分四厘是第九节数若减母数(六分六厘)得七十九分二厘是第七节数其余递减母率(第六节得七十二分六厘第五节得六十六分第四节得五十九分四厘第三节得五十二分八厘第二节得四十六分二厘第一节得三十九分六厘)而仍以法除之(第一节六合第二节七合第三节八合第四节九合第五节一升第六节一升一合第七节一升二合第八节一升三合第九节一升四合)其以中余(六十六)为法下余为实以法除实者得一合为隔母率以三除左总(三升九合)得一升三合为第八节数以一合加减之亦得第七节第九节数以次推之同前问四雀六燕七鹪共集于衡重八钱九分又三雀五燕九鹪共重八钱一分又五雀七燕八鹪共重一两六分三禽各重若干法置左右中三行三色及总重作四段列之先以右行五雀徧乘中行(雀一十五燕二十五鹪四十五共重四两零五)再置前图减余而以右燕四徧乘左行左燕二亦乗右行余四燕 余廿一鹪(四十二)共余八钱七分(一两七钱四分)余二燕 余三鹪(十二) 共余二钱一分(八钱四分)乘讫对减鹪余三十为法共重余九钱为实以法除实得三分为一鹪之衡就以乘左余鹪三得九分以减左重余一钱二分为二燕之衡即知每燕重六分也(既得一鹪之衡以乗右余鹪二十一及减右重亦得每燕六分)乃于前左行原价八钱九分之内减去原鹪七(二钱一分)原燕六(三钱六分)各重数其余三钱二分以雀四除之得雀重八分(或于前右行中行原数内减乘皆同)问牛一头马一匹驴三匹皆载物七百斤上坡皆不能上牛借马一匹马借驴一匹驴借牛一匹方上其三等力各若干列左中右三行以三畜及总物为四段正牛一 借马一 ○ 七百斤○ 正马二(二) 借驴一(一) 七百斤借牛一 ○负一(二) 正驴三(六) 七百斤(一千四百斤)先右行正牛一徧乘左行得数又以左行借牛一徧乘右行得数(乘借马一一如一乘物仍七百斤)对减尽因左行中○无减乃倣右马乘出之数为立负马一以俟另乘次以中行正马二徧乘左行中下得数(负一得二原驴得六下物一千四百斤)复以左行负一为法徧乘中行中下得数(正马得二借驴得一下物仍七百斤)以对减正负马同名减尽正借驴异名相并得七为法下物同名相减余七百斤为实以法除实得驴力一百斤取中行物实(七百)内减一驴之力余六百即二马之力以二除得每马三百斤又于右行物实(七百)亦减一马之力余四百即一牛力右法或更置其位先求一马之力借驴一 正马二(左六)○ 七百(二千一百左减余一千四百)○ 借马一(六)正牛一(六)七百(四千二百左减余三千五百)正驴三 ○负六(六)借牛一(一)七百(七百)先以右行借驴一徧乘左行中下得数亦即以左行正驴三徧乘右行中下得数(正马得六下物二千一百)因左马空○乃如右马乘得之数亦置负六相减三畜俱减尽下物余一千四百次以中行借马一徧乘左行中下得数而以左行负六徧乘中行中下(借马六正牛六下物四千二百)牛数正借异名以相并得数七为法下物中左同名相减得三千五百又以右下余物减之得二千一百为实以法除实得三百斤为一马之力然后取右行物实减二马力余一百见一驴之力又取左行物实减三驴之力余四百见一牛之力问朱二斤黄三斤价钱二千四十文又黄五斤碌六斤价六百四十文朱三斤碌七斤价二千九百八十文三色各价若干依式左右中列之朱二 黄三(九) ○ 价二千四十文(六千一百二十)○ 黄五(四十五)碌六 价六百四十文朱三 ○负九(四十五)碌七(一十四)价二千九百八十文(五十九百六十)先以右行朱二徧乘左行得数(碌得一十四价得五千九百六十)次以左行朱三徧乘右行得数(黄得九价得六千一百二十文)于左行○位照右立负九而与右行相对三色俱减尽其价余一百六十文又以中行黄五另列右徧乘左行(碌七十价得八百)以左行负九另列左徧乘右行(碌得五十四价得五千七百六十)黄五(四十五)碌六(五十四) 价六百四十(五千七百六十)○负九(四十五)碌余一十四(七十)价余一百六十(八百)以相减黄与○同数减尽碌系正负异名并得一百二十四为法两价同名相减余四千九百六十为实以法除实得四十文为碌一斤之价乃于前图中行原价内减碌六斤价(二百四十)余四百文悉黄价以黄五除之得每斤价八十文又于右行原价减黄三斤价(二百四十)余一千八百文悉朱价以二除之得每斤九百文问鴈二雉三换谷五斗七升鴈五兎四换谷一石雉二兎二换谷五斗三升每色每个价谷若干先以右行鴈二徧乘左行得数(鴈一十兎八谷二石)亦以左行鴈五徧乘右行(鴈一十雉十五谷二石八斗五升)以相减鴈尽系○照立负十五兎无减仍八谷余八斗五升鴈二 雉三(左一十五)○ 谷五斗七升(左二石八斗五升)○ 雉三(左四十五)兎二(左三十)谷五斗三升(左七石九斗五升)鴈五○负十五(中四十五)兎四(右八中二十四)谷一石(右二减余八斗五升中乘二石五斗五升)另以中行雉三徧乘左行中下(雉负四十五兎二十四谷二石五斗五升)左行雉负徧乗中行中下(雉四十五兎三十谷七石九斗五升)以相对雉减尽兎系正负异并得五十四为法价榖同名相减余五石四斗为实以法除实得一斗为一兎价就于中行谷内减二兎价余三斗三升悉雉价以中雉三除之得每雉一斗一升即于右行谷内减三雉价余二斗四升悉鴈价以右鴈二除之得每鴈一斗二升问卖二牛五羊买十三豕余价银五两卖一牛一豕买三羊适足卖六羊八豕买五牛不足三两各价若干此以卖为正买为负余为正不足为负而正为主则同减异并负为主则同并异减如前求之列左右中三行以右行牛二徧乗中行得数(牛正二羊负六豕正二)其中行牛一亦徧乗右行(牛二同正减尽羊正五与中行负六异名并得负十一豕负十三与中行豕正二系异名并得正十五价正五中空无减)又右行牛二徧乗左行(牛十羊十二豕十六价六)其左行牛五亦徧乗右行(牛十正负异名减尽羊正二十五与左正十二同名并得正三十七豕负六十五异减豕正余得负四十九价正二十五异减左负余负一十九)依法或减或并讫牛正二(中二 左一十)羊正五(中五 左二十五)豕负十三(中十三 左六十五)正五两(中五 左二十五)牛正一(右二)羊负三(右六)豕正一(右二) ○足牛负五(右一十)羊正六(右十二)豕正八(右一十六)负三两(右六)乃别列减并之数仍分正负互乘之如后图羊负十一为法以乘左行中下(羊正得四百零七豕负得五百三十九价负得二十两九钱)亦以羊正三十七而乘右行中下(羊负同数异名减尽豕正得五百五十五与左豕负异名减余一十六价正一十八两五钱与左异减余二两四钱)以减余豕正一十六为法价正二百四十为实以法除实得豕价一两五钱就以右行豕正十五乘(二十二两五钱)加正价(五两)共二十七两五钱俱羊价以十一除之得每羊二两五钱复以前图右行豕负十三乘豕价得数(一两五钱)加入正价(五两)共二十四两五钱为牛羊总价内减右行五羊之价(一十二两五钱)余一十二两悉牛价以牛二除之得每牛六两羊负一十一 豕正一十五(五百五十五)价正五(一十八两五钱)羊正三十七(四百七)豕负四十九(五百三十九)价负一十九(二十两九钱)问买柰二梨四共钱四十文梨二桃七亦共钱四十文桃四榴七共钱三十文梨八柰一共钱二十四文各价㡬文列甲乙丙丁四行每行五段先以甲丁柰为法彼此互乘以甲柰二徧乘丁(梨空桃空榴一十六钱四十八文)丁柰一徧乘甲(桃榴俱空钱仍四十文对减余八文)因丁梨空当照甲立负四次当以乙丁柰互乘乙无柰取梨二徧与丁乘(梨负得八桃空榴三十二钱一十六文)丁亦以负梨四徧乘乙(梨八减尽桃二十八榴空钱一百六十文并得一百七十六文)因丁桃空亦照乙立负二十八次以丙桃徧乗丁(桃一百一十二榴一百二十八钱七百零四文)丁亦以桃负二十八徧乘丙(桃一百一十二减尽榴一百九十六减余六十八钱八百四十文减余一百三十六)相减讫取此余榴六十八为法余钱一百三十六文为实其甲乙与丁互乘之数但求应立负数以为乘母而减并之数皆置不用者也以法除实得二文为榴价乃就丙价三十文内减七榴之价(十四)余钱一十六文俱桃价以四除得每桃四文又于乙价四十文内减七桃之价(二十八文)余钱一十二文俱梨价以二除得每梨六文又于甲价四十文内减四梨之价余一十六文俱柰价以二除得每柰八文甲柰二 梨四 ○ ○ 四十文乙○ 梨二桃七(二十八) ○ 四十文丙○ ○ 桃四 榴七(一百九十六)三十文(八百四十文)丁柰一 ○负四(八)○负二十八 榴八(一十六 一百二十八)二十四文(四十八文)问井不知深用甲绳二不及泉借乙绳一补之及泉用乙绳三则借丙一用丙绳四则借丁一用丁绳五则借戊一用戊绳六条则借甲一乃俱及泉其井深若干五等绳各长若干列五行以五绳之数为母借绳一为子先取甲二乗乙三得六以乗丙得二十四以乗丁得一百二十以乗戊得七百二十并入子一共七百二十一为井深积列位一 甲二 乙一 ○ ○ 七百二十一二 ○ 乙三 丙一 ○ ○ 七百二十一三 ○ ○ 丙四 丁一 ○ 七百二十一四 ○ ○ ○ 丁五 戊一 七百二十一五甲一 ○(负一) ○(负一)○(负一)戊六 七百二十一乃取五行为主而以一二三四俱与相乗先以一行甲二为法徧乘五行(甲一得二戊六得十二积七百二十一得一千四百四十二)五行甲一亦乘一行对减(甲二得二减尽乙一得一因五行乙空立负一积七百二十一得本数以减五行仍余七百二十一)次以二行乙三为法乘五行(乙负一得负三戊正十二得三十六积七百二十一得二千一百六十三)五行乙负一亦乘二行(乙三得三对减尽丙一得一因五行丙空立负一积七百二十一得本数并入五行积二十一百六十三共二千八百八十四)再以三行丙四为法乘五行(戊正三十六得一百四十四积二千八百八十四得一万一千五百三十六)五行丙负一亦乘三行(丙四得四减尽丁一得一因五行丁空立负一积得本数与五行积一万一千五百三十六对减余一万八百一十五)又以四行丁五为法乘五行(丁负一得五戊正一百四十四得七百二十积一万八百一十五得五万四千七十五)五行丁负一亦乘四行(丁五得五减尽戊一得一并入五行戊正七百二十共七百二十一积得本数并入五行积五万四千七十五得五万四千七百九十六)乃以最后所得求之以积五万四千七百九十六为实戊七百二十一为法除之得戊绳七尺六寸以减四行总积(七百二十一)余六百四十五以丁五除之得一百二十九为丁绳一丈二尺九寸以减三行积(七百二十一后同)余五百九十二以丙四除之得丙绳一丈四尺八寸亦减二行积余五百七十三以乙三除得乙绳一丈九尺一寸以减一行积余五百三十以甲二除得甲绳二丈六尺五寸递加法第九数始于微积于巨渐加渐赜览之茫如然有定数可推如人数物数有分有总但知一隅亦可例推也为立法如左右超位加各审其母如超一超二超三四之类各以所超为母其间少者易知多者难定大率以退位减之余数即母凡超位数截取三位较之其前后二位数必倍于中位数若截四位较之则前后二位与中二位数等以上皆取位置匀列超母相同者论之虽所超多位如超五超六至千万位但同超母者截取前后逺数相并较其进内挨身两位相并其数皆等右凡加数以求总积之实不论累加超加及超二超三等但系递加者只除首位单一不用外取次位与末位数并为实其中间亦不拘㡬位但察自前至后布位之数为法乘之所得之数皆倍各位实积之数以减半得总数如右式以前四后三十七并之共四十一数系一十二位以一十二乘四十一得四百九十二减半为二百四十六即其十二位之全数若以前四后十六并之共二十数系五位乘得一百减半得五十即五位全数也(如欲连首位算则再加一云)此超八递加者右式假如方箭一束外周六十四枝问中积数㡬何者凡方物必以八包一每层超八递加今置中心一枝不算(即首位之一)以内层之八并外周六十四共七十二以八位乘之得数(五百七十六)减半得八位之总数加中心之一为二百八十九枝凡平方面有中心之一者倣此此超六递加者右式假如圆箭一束外周三十六枝问中积者凡圆物必以六包一每层以六递加今置中心一枝不算外以内层之六并外周三十六共四十二以六位乘之得数(二百五十二)减半得六位之总数再加中心之一为一百二十七枝凡平圆面倣此此超九递加者右式假如有三棱物一束外周七十二枝问积者凡三棱物必以外九包中一每层超九递加置中心一枝不算外以内层之九并外周七十二共八十一以八位乘之得数(六百四十八)减半得八位之总数再加中一为三百二十五枝凡三棱面者倣此若顺数而加自一而二而三而四以递相加者另是一法但取最后二大数相乘得数亦以减半即得最后第二位以至首位之数惟余最后第一位在外又并入得全数右式假如有物倚墙一面尖堆最下一行濶十五枚问总积若干取最下二行(一十五一十四)相乘得数(二百一十)减半(一百○五)又加入下行十五得一百二十枚合总一法取下行加一为法以乘下行得数减半亦同若首位不系一数而自二数或三或四为首者并首尾二位为实而以首位数减尾位数其余数加一为法乘之减半合总假如有物倚墙一面平堆下濶十四枚上濶四枚问总积者并首尾二位得一十八为实就尾位减首位得一十外加一共一十一乘之葢原系十一位也以乘得数(一百九十八)减半得九十九枚合总又假如众人醵钱首位出八文末位出六十文问总数总人者以首位减末位余五十二外加一系五十三位乃并首尾二位钱数以乘五十三得三千六百四文合总若自一而三而九俱以阳数超加者但看位数以自乘得全数此皆阳位但据位数自乘如系一十位自乘得一百之类其阳数超加已知首尾两位之数而未知中间若干位者但取尾位之数外加一以减半得位数如右式尾位十九加一得二十减半则十位也但系阳数虽至百千万位皆同此法若自二而四而六俱以阴数超加者取最后一位之数减半即得位数再以减半数外加一而与位数相乘即得自首至尾全数四 取二十四减半见位数又减半加一为十三二 以乘位数十二得一百五十六见全数又若自二数起递加至一百数止但取一百减半知是共五十位再加一为五十一以乘位数五十得二千五百五十即五十位之全数若多中起数超位递加但知位数及首位数及所超母数而未知最后一位数者但审布位若干于内减一以乘超母(如超一则一为母超八则八为母之类)得数加入首位数即得尾位之数既得首尾二位乃照前首尾相并而以位乘减半得全数此超八递加者计十位减一为九与八相乘得七十二再加首位三得七十五为末位数又以七十五加三得七十八以乘十位得七百八十减半三百九十合全数假如有牛四十区但云第一区是三十头余区递加二十头今问第四十区㡬头依前法就四十减一为三十九与超母二十相乘得七百八十再加首区三十知是八百一十乃最后一区之数也再问各区总数㡬何照法以首区三十加末区共八百四十以乘区数四十得三万三千六百减半得一万六千八百头为各总数若但知末区数及母数位数而不知首区数者照前以区数减一与母数相乘得数而以末区数减之即得首区之数(如前乘得七百八十而末区系八百一十相差三十即知首区系三十头)假如发兵破一贼巢有二十人先登以登城先后叙赏其第二十人赏银一百两第十九人赏一百三十两其余递加三十两问第一人该银㡬何此以二十为位减一为十九以乘超母三十得五百七十再加尾位一百得六百七十两为第一人所赏之数也若问此二十人共银几何照法并首尾二数得七百七十与位数二十相乘减半得七千七百两见全数若但举总数及超数及首尾共数而不知系几位亦不知首尾二位数各若干者以总数为实以首尾数减半为法除之得位数又以位数减一乘超母得数即用此数为主若以并首尾共数减其半即尾数若以较首尾共数减其半即首数右式假如贷钱起息每日増钱六文共积子母钱三百二十文不言每日细数但云并初末日共钱一百六十文问初末日各㡬文其起息计几日者以日为位立总钱三百二十为实并初末减半得八十除之得四日依法减一为三乘増母之六得一十八以并初末数得一百七十八减半是末数若以较初末数余一百四十二减半是初数若但举中积及位数及首尾之较若干以求首尾各㡬何者倍中积为实以位为法除之得数以较减之半其余得首数乃以较加之得尾数右假如织布自冬至始厯十三日共织一千三百五十二寸因晷渐长其功日加六寸末日视首日多织七十二寸问首日末日各织㡬许者倍中积得二千七百四寸为实以积日十三为法除之得二百零八以较减之得数又减半合首数六十八以较并入亦减半合末数一百四十若但知位数总数及超母数而未知每位得若干数者取位数列之去尾数余并之(如系九位则但用一二三四五六七八共三十六数除九不用)以乘超母得数减总乃以位数归其余得首位数乃以超母递加得各位细数假如兄弟九人递差三岁共二百○七岁欲知每人㡬何者照右法置母数(三)乃取位数内除去尾数九只以八位细数并之得三十六以乘母得数(一百零八)以减总数余九十九以九除之得最幼一人岁数(一十一)乃以三递加之得诸人岁数共八位以一十七为超母总数九百九十六假如钞九百九十六锭分给八人递差一十七锭各若干取位数除去尾八并自一至七之数共二十八以乘超母一十七得数(四百七十六)以减总余五百二十以八除得最少一人数(六十五)仍以一十七递加得诸人数若超位递加但知系㡬位及各位总数而未知超母㡬位亦未知各位细数与首尾二位数第云前㡬位共若干后㡬位共若干以求各位细数者依母子互乘法求之以所知前㡬位后㡬位为母以前共若干后共若干为子互乘得数相较为实又并其母减半以较总位余若干而以两母相乘之数乘之得数为法以法除实得超母加入所知之数如系二位者加入折半得多者数如系三位者加入三归得中数乃依超母递加递减得全数假如八人差等分钱但知甲乙共七十七文己庚辛共六十六文问每人㡬文者以二人乘六十六(得一百三十二)以三人乘七十七(得二百三十一)以相较余九十九为实并分母(二三)得五减半得二零二之一以减总位(八)余五零二之一仍以分母所乘之六乘之得三十三为法以法除实得三为超母之数并入甲乙减半得四十为甲衰若求己庚辛则三归之得中间之庚衰乃以超母递加递减得全数○外如系戊己庚辛四位者三归之得己庚共数又加减超母之半得己庚数倍加法第十数有挨次递加者以一数为递母而絫加之其母不易焉另有以倍而加者右法皆取乘法如第一式倍一加者以二一见二以二二见四以二四见八以二八见十六也第三式倍一加者以二三见六以二六见十二也第二式倍三加者以三三见九以三九见二十七以三个二十七见八十一也此由少进多之法假如欲寻其母则取挨身小数减其大数知之以二减尽者倍一也以三减尽者倍二也凡挨次递加者由少加多其多至于无穷葢凡数从多减少其减至于单数而止无复零分之可减也惟此倍加之数则进而加之无穷减而约之亦无穷剖之又剖细微毫忽按法而约求焉岂可以数尽乎此以倍一约之其数无穷余法皆同右数假如截取三位以首尾二位相乘其所得数与中一位数之自乘者等(假如八四二共三位以二八相乘得十六以中间之四自乘亦十六)若截取四位而以首尾二位相乘其所得数与中二数相乘者亦等(假如十六○八○四○二○共四位以十六乗二得卅二以中间之八与四乘亦得卅二)虽至许多位但以首尾二位相乘其所得数与挨身次二位俱相等步步乘入皆无不同至于最中若有单位以之自乘亦复如是此外乘与进内乘皆同中单自乘亦同凡倍加之数不论㡬位欲知总数但取首尾二位为主以首最小数减尾最大数而以其所剰大数依后法求之如系加一倍者(即二因)先取尾大数倍之内减首数得全数如一二四八(六二四一三六)此七位者取尾六十四倍得一百二十八数减首位一得一百二十七即此七位之细数(加一倍者自一起手用此法其加二加三者虽亦自一起手但各另有倍母则另如后法以倍母为首位不以一为首位云)如系加二倍者(即三因法)取尾后最多数内先减首位之数而以余数二归(縁三因者系加二倍故以二为倍母而用二)取其所得之数并入尾位大数即得中间㡬位细数凡四因五因以至六七等类皆同此法而四因三归五因四归(各减因数之一者依所倍之数为母也)余皆同此系四因者三倍于本数以相加也用尾位数内减首位数实剰四万九千一百四十九以倍母之三除之得一万六千三百八十三加入四万九千一百五十二共得六万五千五百三十五是八位全数又有加一倍又二之一递进者即四六衰分法也此一因半右四六衰分倍加系一因有半者若欲求其各位总数亦取尾位数(四十五又十六之九)内减首位数(除四得四十一又十六之九)如前法亦减除法一数(十一因半减其一也如前三因者用二及四因用三之类)而用半以除之(以半为倍母以除之者是一化为二)得八十三零八之一以并尾数总共得一百二十八零十六分之十一也为七位细数凡二因半三因半等类倣此其除法俱只减其一数凡倍加数不论共有㡬位但就中抽取一位自乘但看自首挨来是㡬位假如第五位其前有四位矣今以五位自乘其所得之数即与此后第四位之数相同(即九位)不特此也又如取第五位与第七位相乘其五位前凡有四位则其第七位后亦管四位其五位七位乘得之数即与第十一位之数相同如后式假如后式十六系第五位前有四位后亦管到四位今以十六自乘得二百五十六恰与后四位之数相同又假如三十二系第六位前有五位今以三十二自乘得一千二十四即合后第五位之数一又假如八系第四位与七位之六十四相乘以八前凡有三位则六十四之后亦管到三位今以八乘六十四得五百十二数亦与第十位之数相合其相离亦三位故也又法不必算其前后之位但看所自乘数为第㡬位以本位数加一倍内减一即得同数之位假如第六位倍六得十二内减一为十一位则第六位自乘所得之数正合第十一之数与前法理同而更为捷径又法不必减一但先排倍数于右次排位数于左相对而于位前加一(即以○见所减之一)其余以次察之凡所得位数但系自乘者只一位以位数倍之但系互乘者有两位以两位数积之右式假如以四自乘得十六矣其四之本位是二位倍二得四则十六之数即第四位之数也此一位自乘之法又假如八乘三十二得二百五十六数其八之本位系三位三十二之本位系五位三与五并共得八即系第八位数 以上乃首位起一者若首位非自一起(如二或三或四五之类)则自乘互乘皆先取首位之数分之(如首位四则以四分其所得)而后倍位积位如前法假如以八十自乘得六千四百因首位非从一起而从五起先以首位之五而分之得一千二百八十数仍取列位之四倍之为八则对八之数又假如以四十与六百四十相乘得二万五千六百以首位之五分之得五千一百二十次以两位相积其一是三其一是七合对十之数凡倍一加者(即二因)就中随意截取一位以其本数减一即合此位以前各位之细数此除本身而言然必从一数起者合此假如截取一百二十八数内减一得一百二十七数即合第六位以前之总数葢自六位之六十四以前各位细数总得此又假如右式以对八位之二百五十六数而求本位以前各位之总依前法以次位求之次位减一得五百一十一乃对八以前各位细总也若就以此八位为主外加一作五百一十二以自乘得二十六万二千一百四十四数内再减一此何数乎按实对八之位乃系第九位此前既有九位此后亦管九位乃是第十八位以前各位细数也葢以倍位所对之本数自乘则得对位加倍之本数此用倍位法看之如不以本数乘而以积出本位以前诸位之全数乘则又推得本位以后相对若千位之全数此则不用倍位而用实位得之者实位者如本位前实有九位则本位后再管十位即其相对之位之全数也须减一数始合不减一数则进越一位矣假如借银一忽每日加息一倍至第六十四日该息㡬何依前法推之试如一二四八此四位共十五数加一自乘得二百五十六内减一余二百五十五即系八位之数盖自首位一至第八位之一百二十八其细数乃二百五十五数也再以此加一(二百五十六)自乘得六万五千五百三十六内减一余六万五千五百三十五即知其为第十六位之数再以此数加一得六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六内减一即知其为第三十二位之数凡四十二亿九千四百九十六万七千二百九十五数又以之加一自乘得一千八百四十四兆六千七百四十四万零七百三十七亿又九百五十五万一千六百一十六忽内减一即知其为第六十四值之数凡一十八兆四千四百六十七亿四千四百零七万三千七百九两五钱五分一厘六毫一丝六忽也同文算指通编卷五
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钦定四库全书同文算指通编卷六明 李之藻 撰测量三率法第十一凡测山岳楼台城郭之髙川谷之深土田道里之逺旧名勾股法立表或立重表参望相直乃以开方求之今立器以代表名曰矩度而以三率代开方之算勾股者植立地上为股其影横地上为勾今半矩木尺其制也矩度之形平方而取横直二边各刻为度互为勾股立为直影倒影二算义同勾股而法稍捷制矩度法以坚木或铜版其制平方上画甲乙丙丁四直角方形(务取极方详具几何原本)用甲乙边立两耳平对各通一窍名曰通光以便窥望以甲角为矩极系线任其垂下以权镇之次自甲至丙斜界一线分矩面为两平分乃并乙至丙及并丙至丁各依原边线又平行二线俱匀分十二度其度各自其边界望矩极分之近极为虚线#外用为实线或每度更分三分五分六或分至十二皆随版体大小为分愈细则法愈密矣用时甲昻乙低以目射两窍与所望之物参相直视其绳之所值何度何分以算推之或不设两窍只立相等两小表亦可凡测望必以所求物与立矩度处为直角形取平(解在㡬何)有不平者须先准平然后测量次论直倒二景直影者绳在乙丙界内即勾影也如立表地中影落地面者是倒影者绳在丁丙界内即股影也如立表墙上影射墙面者是凡有所窥测而望者前却其步使其绳适在甲丙是为勾股平等知勾即得股知股即得勾其不然者须将倒直互变推求且如求髙求深所求在股即权绳宜在直度而却在倒度则当变倒为直若求逺求近所求在勾其权绳宜在倒度而却在直度则当变直为倒各以通二度之穷其互变之术皆以矩全度为准(少者用十二多者用一百四十四)假如绳在倒影三度今欲变为直影度者法以矩度为实三度为法除之得四十八为直影度假如绳在倒影五度三分度之二欲变直度者因有三之二每度以三通之得一十七为法亦以三通其矩度得四百三十四为实以法除之得二十五度余十七分度之七为直度也其绳在直度而欲变为倒度者亦如之(详见徐太史测量法义)量影测髙已知影长若干欲测其髙者如测日影即以矩度向日目切于乙甲耳在前日光透于耳之两窍权线与矩度相切任其垂下审值何度何分若在十二度之中正对角线丙际则影与物必正相等知影㡬何长即得物㡬何髙矣若权线在直影边则影小于物而直影上所值度分为第一率以矩度十二为第二率以物影度为第三率二三相乘一除之得第四率为其物髙假如欲测己庚之髙线在直影乙戊得八度正其庚辛影长三十步即以矩度十二乘庚辛之三十得三百六十为实以乙戊八度为法除之得四十五即己庚髙四十五步若权线在倒影边则影大于物以矩度为第一率以倒影上所值度分为二率以物影度为三率算之得物之髙假如欲测己庚之髙线在倒影丁戊得七度五分度之一庚辛影六十步即以丁戊七度五之一乘庚辛之六十得二千一百六十为实以矩度六十分为法除之得己庚之髙三十六步(因权值有零分五分度之一故以分母五通七度通作三十五分以分子一从之为三十六分其表)(度十二亦通作六十分)从髙测影若已知物髙若干欲测其影者以矩度承曰审值度分若权线在丙则影与物等若权线在直影边即物大于影以矩度十二为第一率直影度分为第二率物髙度为第三率算之得数为影度若权线在倒影边即物小于影以倒影度分为第一率矩度为第二率物髙度为第三率算之得数为影度以目测髙已知庚辛之逺欲测己庚之髙人目在辛先量自目至足其髙㡬何乃以矩度向所测物顶甲耳在前目切乙后目与矩耳及髙相参直细审权线值何度分假如权线在直影乙戊以乙戊度为第一率矩度为第二率次量庚距辛之逺㡬何为第三率二三相乘以一除之得物之髙假如权线在倒影丁戊即以矩度为第一率丁戊倒影为第二率庚辛为第三率照前算之若权线不在丙而有平地可前可却即任意前却至权线值丙而止不必推算既知辛庚即知己庚若人目在辛求己庚之髙而为山水林木屋舍所隔或地非平面不欲至庚或不能至者则用两直影之较起算其法依前以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影即以所值度分依法变作直影次从所立之辛依地平取直线或前或却任意逺近至癸仍以矩窍向物顶审权线在直影否如在倒影亦以所值度分变作直影乃以两直影度分相减之较为首率以矩度为二率辛癸大小两矩之较为三率依法算之得己壬之髙又加自目至足乙癸之数得己庚之髙假如欲测己庚之髙如前图先从辛立望得直影小乙戊为五度次却立于癸得直影大乙戊为十度丙影之较五度为首率矩度为次率次量足距之较从癸至辛十步为三率依法算得二十四步加目至足之乙辛或乙癸试作一步即知己庚之髙二十五步 如后图先于辛得直影小乙戊为十一度次退立于癸得倒影九度当如前变法作大乙戊直影十六度得景较五度以为首率矩度为次率次量距之较癸辛二十步为三率依法算得四十八步加自目至足或一步即知己庚之髙四十九步地平测逺欲于已测己庚之逺先除自目至足之髙为甲己若量极逺则立楼台或山岳之上以目下至地平为甲己(测髙法见前)次以矩极甲角切于目以乙向逺际之庚如前法稍移就之俾甲乙庚相参直细审权线值何度分如权线在丙则髙与逺等若权在乙丙直影边即逺数不及髙数以矩度十二为首率直景乙丙为二率甲己为第三率算之得己庚逺若权在丁丙倒影边即逺过于髙以倒影丁丙为首率以矩度十二为次率甲己为三率算之此所置一率二率视前测髙之法互换云测深凡从井上测深者井口或径为己庚井面为辛壬欲测己壬之深用矩极甲角切目以乙从己向对面水际之辛如前法稍移就之令目与窍与辛相参直垂下权线假如线在直影乙戊三度为首率矩度为次率次量己庚井口十二尺为三率算得四十八尺为己壬之深若权线在倒影三度则依法变为直影得四十八度而以矩度十二为首率变得直影度为次率井口乘之归除数同以上用矩度者如无矩度另有用镜用表用尺诸法(具后)平镜测髙(用盂水亦同)欲知甲乙之髙置平镜于丙人立于丁其丙丁取平人目在戊向物顶之甲稍移就之令目见甲在镜中心而甲影从镜心射目乃量自丁至丙之度为首率丁戊为次率乙丙为三率算之得甲乙髙以表测髙(凡立表必三面垂线以取端直)已知乙戊之逺而欲测甲乙之髙立表于丙为丁丙退立于戊置乙丙戊为极平线人目在己视表末丁至物顶甲相参直次量目至足数移置表上为辛以截取丁辛之数其辛己线与乙丙戊为平行若其表仅与身等或小于身另立一小表为己戊而以目切之为己亦可乃以丙戊为首率丁辛为次率乙戊为三率算之得甲庚之髙加目至足之数己戊即得甲乙之髙若戊不欲至乙或不能至则用两表之较为算如前图立于戊目在己望丁至甲移己置辛得丁辛数乃或前或却又立一表(或即用前表或两表等)为癸壬目在丑王癸至甲亦移丑至寅得癸寅数此癸寅与丁辛之度相同而丑寅度必小于己辛度以相减截己辛于卯得卯辛较为首率以表目相减之较癸寅或丁辛为二率以两目相距之较己丑或戊子为三率算之得甲庚加自目至足之数得甲乙之髙(前图为进步立重表者后图为退步立重表者)以表测地平逺欲于甲测甲乙之逺依地平立丙甲表此表稍矬于身以便窥望次却立于戊目在丁视表末丙与逺际乙相参直次移丙度于己截取丁己之度为首率以丙己或甲戊为次率丙甲表度为三率算之得甲乙之逺以矩尺测逺欲于甲测地平逺者先立一表为甲丁与地平为直角次以矩尺之内直角置表末丁上以丁戊尺向所望逺际之乙稍移就之使丁戊与乙相参直次回身从丁丙尺上亦望地平之己使丁丙与己相参直乃量己至表下甲为首率表身丁甲为次率又为第三率依法算之得甲乙逺以重矩兼测无广之深无深之广有甲乙丙丁壁立深谷不知甲乙之广欲测乙丙之深则用重矩法先于甲岸上依垂下直线立戊甲己勾股矩尺其甲己勾长六尺人从股尺上视勾末己与谷底丙相参直以目截取戊甲股上之庚庚甲之髙得五尺次又于甲上依垂下直线取壬壬去甲一丈五尺于壬上亦依垂直线更立一辛壬癸勾股矩尺壬癸勾亦长六尺从股尺上视勾末癸与谷底丙相参直而以目截取辛壬股上之辛辛壬之髙八尺如欲求深者以前股所得庚甲五尺与两勾间壬甲十五尺相乘得七十五尺为实以两股所得庚甲辛壬相减之较辛子三尺为法除之即得乙丙深二十五尺如欲求广者以勾六尺与两勾间十五尺相乘得九十尺为实以辛子三尺为法除之即得甲乙之广三十尺(测深法与重表测逺同测逺法与重表测髙同)移测地平逺及水广凡测江河谿壑之广逺身不能至而其傍近有平地与彼相当者立表于乙际为甲乙与地平为直角次用一小尺或竹木等为丙丁斜加表上稍移就所望之戊使丙丁戊相参直次以表带尺旋转向平地以目视丙丁尺端所直得己次自乙量至己即得乙戊之数 如不用表即以身代作甲乙表不用尺或以笠覆至目代作丙丁亦便以四表测逺(前测逺诸法不依极髙不得极逺此法能于平地测极逺)逺望一山或城或台为甲欲测其逺择平旷处立表(前云依地平线必依直线取平此不必拘)为乙次任却后若干步更立一表为丁望两表与甲一直线次从乙丁各横行若干步取平方为四角形其二角为丙为己就丙上更立一表又从丁己直行若干尺望丙与甲一直线此际立表为戊乃以乙丙减丁戊之较为首率乙丁为次率乙丙为三率算之得乙逺假如丁戊三十六乙丙三十相减余六乙丁四十以六为首率四十为次率三十为三率算之得二百四十为甲乙逺测髙深逺近不谐布算而得其度凡测量必先得三率而推第四率三率者其一直影度或倒影度其二所立处距所测物之底若不能至者则其影较度或两测较度也其三表度或距较度也设如测一髙其影较八而距较十步其影较八(一率)与表十二(二率)之比例若距较十步(三率)与其所求之髙(四率)如不谙算法则于平面画作甲乙甲丙两直线任和交于甲从甲向乙用规作八平分为影较甲丁次用元度从丁向乙规取十二平分为矩度丁乙次从甲向丙规取十平分为矩较甲戊(此用度与前两率度任等不等)乃从戊至丁画一直线次从乙亦画一直线与戊丁平行而截甲丙线于丙次取甲戊元规度从丙向戊画得若干分即所求之髙又法若景较七度有半距较八度三分度之一即物髙度十三步三分步之二如后图加目至足髙即得全髙附勾股畧测量之法専用半矩则勾股所必藉也故补入勾股以显测望原本旧法勾三股四弦五葢勾自乘股自乘并之即弦自乘数故得勾股可以求弦得勾弦可以求股得股弦可以求勾而引伸其义可以求勾股中容方容圆可以各较求勾求股求弦可以各和求勾求股求弦其变无穷今撮其要者十五则著于篇句股求弦甲乙股四乙丙勾三求弦以股自乘得十六勾自乘得九并得二十五为实开方得甲丙弦五(开方法见后编)勾弦求股如前图乙丙勾三自乘得九甲丙弦五自乘得二十五相减得较十六开方得甲乙股四股弦求勾如前图甲乙股四自乘得十六甲丙弦五自乘得二十五相减得较九开方得乙丙勾三勾股求容方甲乙股三十六乙丙勾二十七求容方以勾股相乘得甲乙丙丁方形为实并勾股得甲戊长线六十三为法除之得庚戊长方其辛乙乙癸各边俱一十五零六十三之二十七约之为七之三为勾股内所容方形余勾余股求容方求勾求股甲丁余股七百五十戊丙余勾三十求丁乙戊己容方边以丙戊勾甲丁股相乘为辛壬己庚方形得二万二千五百为实开方得容方乙丁丁己各边俱一百五十加余股得股九百加余勾得勾一百八十(辛壬己庚形与丁乙己戊方形等说见㡬何原本六卷其羃相同故开方即容方)容方与余勾求余股与余股求余勾容方丁乙己丁各边俱一百五十戊丙余勾三十求甲丁余股以容方边自乘为实以余勾为法除之得甲丁余股七百五十以容方与余股求余勾法同(辛己方之羃既等丁戊方之羃矣开方即容方矣加余股非全股乎加余勾非全勾乎)勾股求容圜甲乙股六百乙丙勾三百二十求容圜以勾股相乘得一十九万二千为甲乙丙丁方形倍之得三十八万四千为丙丁戊己方形以为实别以勾股求弦得甲丙边六百八十并勾股弦得甲辛长线一千六百为法除实得辛壬癸甲长方形其辛壬边相等之乙子二百四十即容圜径半径为圜心(于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与弦等得甲辛为弦和和为法除实即成辛壬癸甲长方形与丙丁戊己方形之羃等而壬癸边截乙丙勾于子次作子丑寅乙小角方形此各边名弦和较皆容圜径亦皆切圜线也详著徐太史勾股义)又法甲乙股六百乙丙勾三百二十并得九百二十与甲丙弦六百八十相减亦得乙子二百四十勾股较求股求勾甲丙弦四十五甲乙股甲丙勾之较为甲丁九求股求勾以弦自乘得二千○二十五为甲戊方形倍之得四千○五十为己丙方形较自乘得八十一为甲庚小方形以减己丙之两弦羃存三千九百六十九为实开方得勾股和六十三即丑辰大方形四边之一也以之加较九得七十二半之得三十六为甲乙股即以减较得二十七为乙丙勾(丑辰方形内之丑寅方及卯辰方两股羃也丙壬方癸子方两勾羃也以比甲己方形只中心多一个较羃耳故减此开方即得勾股和矣再加较得两股故折半得股以减较得勾)勾弦较求勾求弦(附弦较和求勾求弦弦和较求勾求弦)甲乙股三十六乙丙勾甲丙弦之较为甲丁十八求勾求弦以股自乘得一千二百九十六为甲戊方形较自乘得三百二十四为庚丁小方形两方形相减(于甲戊方内去其等庚丁 方之辛癸 方即得甲壬戊之磬折形)存九百七十二为实倍较乙寅为法除之得乙子长方形其丙乙之边二十七为勾以加较得四十五为甲丙弦(乙子方何以等于甲壬戊形之实也葢加一同较羃之乙丑形以成子卯癸之磬折形即与股羃甲戊方形等也又甲辰方形弦羃也内兼勾股二羃试照庚丁较羃分作庚未未午午丁三形其申未及酉戌较也庚申及未戌及未辰及午酉及丁丙股也庚未形未午形相并勾羃也庚丁形丁午形相并股羃也各加较羃则甲戊午之磬折形与子卯癸之磬折形 等亦与甲戊股羃等内各减较羃则乙子方形即甲壬戌磬折形矣)又法股自乘得甲己方形一千二百九十六为实以勾弦较甲丁十八(即同乙癸)为法除之得甲壬之勾弦和七十二加较得九十半之得弦四十五减较得勾二十七(甲壬何以知为勾弦和葢弦羃甲丑形内既兼)(勾股羃矣试以甲丁之度移于子卯又移于丑辰于卯寅分为三方形其丙丁寅辰形勾羃也则甲卯卯辰两形并即股羃也亦即甲辛长方形也子卯也卯寅也甲庚也皆较也甲子弦也卯丑勾也故甲辛形内之甲壬线为勾弦和)若以股与弦较和求勾求弦者股自乘为实次以股减弦较和余即勾弦较除实得勾弦和乃以加减同前若以股与弦和较求勾求弦者股自乘为实以股减弦和较余即勾弦较除实加减同前股弦较求股求弦(附弦和较求股求弦弦较较求股求弦)乙丙勾二十七甲乙股甲丙弦之较为丙丁九求股求弦以勾自乘得乙己方形七百二十九较自乘得丙丑方形八十一(丙庚同)相减存乙庚己磬折形得六百四十八为实乃倍丙丁较为辛乙线以为法除实得辛壬方形其乙辛边三十六即甲乙股数以加较得甲丙弦四十五(弦羃甲癸方形内兼勾股二羃试依丙丑较羃线分作甲丑形丑癸形丑子形即丑子为股羃而余为勾羃之实也甲丑与丑癸并固与乙庚己磬折之形等亦与辛壬长方之形等而辛乙兼丁丑丑寅之两较甲丁及寅癸均为两股合并成乙壬之股)又法勾自乘得丙戊方形七百二十九为实以丙丁较九为法除之得丙己方形其丙庚边八十一为股弦和加较得九十半之得弦四十五减较得股三十六(丙庚线何以为股弦和也甲丙弦羃内兼有勾股二羃试依丙丁较截作丁辛形丁癸形癸壬形即壬癸)(方形为股羃而余为勾羃亦即丙己长方形之实也夫甲癸也壬辛也庚己也均较也而甲丁之股丙辛之弦并之非丙庚乎故云股弦和)若勾与弦和较求股求弦者勾自乘为实次以勾减弦和较余即股弦较除实得股弦和乃以加减同前又勾与弦较较求股求弦者勾自乘为实以勾减弦较较余即股弦较除实加减同前勾股和求股求勾甲丙弦四十五甲乙乙丙勾股和六十三求勾求股以弦自乗倍之得四千○五十勾股和作甲丁线自乘得甲己方形三千九百六十九相减得八十一开方得勾股较甲卯九加和得七十二半之得甲乙股三十六减较得乙丙勾二十七(勾股和自乘为甲己方形此形内函甲辛及癸己之两股羃乙寅及庚壬之两勾羃而中间重借一癸辛小方形正其较羃若以弦自乘只得一勾一股羃倍之当得两勾两股羃今以减甲)(己方形少一较羃之癸辛形故以癸辛开方得较也)勾弦和求勾求弦(附弦和和求勾求弦弦较较求勾求弦)甲乙股三十六乙丙甲丙勾弦和七十二求勾求弦以股自乘得一千二百九十六又以勾弦和作乙己线自乘得五千一百八十四为乙戊方形次用股羃减之(就乙戊大方内减去庚壬长方)余三千八百八十八(即丁辛及丙己两长方形)半之得一千九百四十四为实以勾弦和乙己为法除之得乙丙勾二十七以减和得甲丙弦四十五(何以知庚壬长方为股羃也试于乙戊方之乙己线以勾度截之取子寅二㸃作子)(癸线寅丑线又照取丙庚二㸃作丙壬庚辛二线则一形内四隅有勾羃四中央有较羃一而四正又有庚未辰壬未寅癸辰为勾较相乗之羃亦四也夫一勾一较相并为弦则卯己之方形为弦幂而弦幂之内存一午己之勾幂而此外子午辛之磬折形即为所减之股羃兹以庚未形代子午形则庚壬固所减之股羃矣此丁辛丙己两形所以为减余形也半之即丙已形次以乙己线除之)又法股自乗得一千二百九十六以勾弦和七十二为法除之得十八为勾弦较加勾弦和得九十半之得四十五为弦减较得二十七为勾(此与前勾弦较求勾求弦又法同理)若以股与弦和和求勾求弦者既得股自乗之数乃以股减弦和和余即勾弦和除之得勾弦较加减如前因多一股故用一减又股与弦较较求勾求弦者股自乘为实以股并弦较较即得勾弦和除实加减同前股弦和求股求弦(附弦和和求股求弦弦较和求股求弦)乙丙勾二十七甲乙乙丙股弦和八十一求股求弦以勾自乗得七百二十九股弦和自乘为乙丁方形得六千五百六十一乃以勾羃相减去戊己长方形存乙戊方及丁己方得五千八百三十二半之得二千九百一十六为实以和为法除之得甲乙股三十六以减和得甲丙弦四十五(大方形内之戊乙句羃也余论同前)又法勾自乘得七百二十九以股弦和八十一为法除之得九为股弦较加股弦和得九十半之得四十五为弦减较得三十六为股(此与勾弦较求勾求弦又法同理)若以勾与弦和和求股求弦者勾自乘为实以勾减弦和和仍得股弦和除之余如前亦因多一勾故用一减若以勾与弦较和求股求弦者勾自乗为实勾和相并即股弦和除之股弦较勾弦较求勾求股求弦甲乙股甲丙弦较二乙丙勾甲丙弦较九求勾求股求弦以二较相乘得十八倍之得三十六为实平方开之得六为弦和较加勾弦较九得甲乙股十五加股弦较二得乙丙勾八以勾弦较加勾或股弦较加股得十七为甲丙弦(此最要者在求弦与勾股和之较法以二九互乘是乘两次也故倍之戊癸及子丑长方形是也倍之而开方得六即弦和较矣然所以三十六开方为弦和较者何也葢一弦之羃常兼有勾股两羃今试于甲乙股线引之加甲辰之弦亦于丙乙勾线引之加乙午之弦于甲丙弦引之加丙艮之股艮申之勾此三线者各以自乘为三大羃则弦兼勾股之羃比诸股弦与勾相并之羃共欠四十九数而此四十九为合减之数就于多羃中心减之所余三十六即开方之弦和较何者试取三大羃而各以元设之勾股弦分之为诸小羃相当相抵其甲酉羃内多勾股矩之形凡二其丙戌或乙亥羃内多弦羃一以此两多之形又相当抵所差者有四十九数而原设股弦较二勾弦较九相减余七自乗之数亦相符焉至于中心减之而余三十六葢又有说试以股弦较二自乘得四为己庚方形以勾弦较九自乘得八十一为辛壬方形并得八十五而以四十九减之减去干兑形其余形之干离离壬及己庚形合三十六即前二九互乘戊癸子丑之数也用此开方得六以作寅卯方形令于甲酉方减此寅卯而丙戊方亦减辛壬而乙亥方亦减己庚则其弦兼勾股之羃不等于股弦勾弦之二羃乎葢甲酉四隅四弦羃也乙亥四隅四股羃也丙戊四隅四勾羃也所谓弦羃兼勾股羃者既相当抵而甲寅辛坎两形并亦与寅㢲方形相当中心除出干兑之四十九而干离离壬及己庚又与寅卯相当故以寅卯开方求之而弦和较得焉夫丙巽即寅卯边也在甲丙巽申两弦之间者也丙距申为勾股和则丙截巽为弦和较明矣已得弦和较即以元设两较相加而勾股弦皆可得矣加九者巽距艮也艮申为勾而艮丙为股也加二者丙距坤也坤甲为股而巽坤为勾也)(以巽艮益艮申以丙坤益坤申皆弦也)勾弦和股弦和求勾求股求弦甲丙乙丙勾弦和七十二甲乙甲丙股弦和八十一求勾求股求弦以两和相乘得五千八百三十二为乙己长方形倍之得一万一千六百六十四为丁戊大方形以为实平方开之得己庚形其边一百○八为弦和和求乙丙勾者以股弦和减之得勾二十七求甲乙股者以勾弦和减之得股三十六欲求弦者以勾股和减之得弦四十五(己庚形与丁戊形等其开方边为弦和和者葢丁戊全形内有弦羃二股弦矩形及勾弦矩形各二与己庚方形内诸形比各等其丁戊形内余一弦羃己庚形内亦余一句羃一股羃又相等故己庚形之各边皆弦和和)论曰勾股弦三合成形错综立义勾股相减其差曰较勾股相并其名曰和股弦之差曰股弦较勾弦之差曰勾弦较并勾股与弦较其差曰弦和较勾股之差与弦相减其差曰弦较较股弦相并曰股弦和勾弦相并曰#勾弦和勾股之差并弦曰弦较和勾股弦并曰弦和和勾股各自乘并之为弦实故开之得弦勾弦各自乘减余为股实故开之得股股弦各自乘减余为勾实故开之得勾勾股和自乘倍弦实相减开其余即勾股较也勾股较自乘以减倍弦实开其余即勾股和也并勾弦以除股实得勾弦较若以勾弦较除股实即得勾弦和矣并股弦以除勾实得股弦较若以股弦较除勾实即得股弦和矣勾股和自乗减弦实除以弦较较得弦较和矣除以弦较和非即弦较较乎勾股较自乘减弦实除以弦和和则得弦和较矣除以弦和较非即弦和和乎勾乘股为实并勾股为法除得容方径勾乘股倍之勾股求弦并之除得容圜径容圜之径即弦和较也又错综论之勾为主以加股弦较即弦较较以减股弦较即弦和较若加弦较和又即股弦和也股为主以加勾弦较即弦较和以减勾弦较即弦和较若加弦较较又即勾弦和也勾股较为主以加股弦较即勾弦较若减股弦和亦即勾弦和也勾股和为主以加股弦较复得勾弦和若减股弦和亦得勾弦较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取勾股较以加勾股和半之得股以减勾股和半之得勾若取股弦较以加股弦和半之得弦以减股弦和半之得股取勾弦较者以加勾弦和半之得弦以减勾弦和半之得勾取弦和较者以加弦和和半之得和以减弦和和半之得弦取弦较较者以加弦较和半之得弦以减弦较和半之得较加减乘除圜变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圜弧矢准此而推亦在乎熟之而已开平方法第十二凡平方开者依除法列位先审当以几位除尽列实自末位下㸃记之每隔位一㸃每一㸃即定开下一位乃从左位起用自乘开除凡㸃在左首位下者以一字取数自乘(如系九数则用三除三三见九除尽之类)若㸃在左次位下者以二字共取一数自乘各除之(如系一六则用四除四四一十六除尽之类)是为初商以纪格右亦注首㸃之下两相呼除不尽者作余数再商(如系二十者用五则廿五矣是不可也须用四自乘得十六外剩四作余数以再商除之)倍初商为亷法注初㸃初商之次位若干以除上位视其可得㡬转以定次商若干注次㸃之下为隅法亦纪于格右先与亷呼除若干再与隅呼除若干有不尽者再倍亷法商除如前若剩数仅及开数一倍以下以法命之(开者一面数也加倍又加一数乃得二面是于小平方外添一勾股为大平方若不及加倍増一总是不满方面即以加倍増一为母余数为子命曰几分之㡬)列式列实二千一百一十七万八千四百○四凡八位従末位㸃起每隔一位用一㸃共四㸃知用四字开尽此首位无㸃而㸃在次位者以二一相连且作二十一数只一字开之初商用四除注㸃下亦纪格右四四乘之除一十六尚剩五 四上一变五完首段既用四自乘除剩五矣第二段所㸃従五至七凡三位且只作五百八十四而商以从简便先立亷法须倍前商数前系四则此倍作八注八于次位之下如以八而除五十一者然也乃商五十一有㡬个八该得六纪六于格右四字之次亦注次㸃下为隅法如八十六者然乃与次商相呼先呼六八除四十八剩三数八上一变三尚剩三十七又以六六相呼要见六于三十七内恰好否若可除则用六如总数不足则宁减一数以就之如前除法相似所谓商也此呼六六三十六尚剩一六上七变一完次段除实二千一百一十六万余实一万八千次于所剩之一除起因此第三㸃管到四字止则自一到四作一百八十四除之其格右四六乃四十六倍作九十二列次下为亷法列式且让四下之㸃不填以待所商之隅法而列二于八下列九于一下凡亷法商法冩式皆倣此九不可除一作○于格右四六之次以存虚位余皆抺之另商第四㸃所用仍剩一万八千四百四竟以一数开毕前所用四六○是四百六十仍再倍为亷法当作九百二十数让空四下所㸃一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也当用二为再商右纪二亦注于所㸃四下为隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二减四次○不必除次又以二乘二除四恰尽凡开方每面四千六百零二若欲还原用自又有开方不尽者具式于后假如列实四亿五千六百七十八万九千○ 首㸃左第一位下只以本一十二数凡九位 一位开之首位系四当用从小数间㸃至大 二盖二之自乘四也系二数共五㸃该以五 于四下右纪二为初商相位开尽 呼二二除四完初段除实四亿余实五千六百七十八万九千一十二俟再商次除五六且作五十六以从简便倍初商二作四为亷法让㸃下一位系四于五下所商以四除五得㡬转四除五只一转右纪一亦注一于㸃下先呼一四如四五除四剩一四上五变一次呼一一如一六除一剰五也一上六变五完二段除实四亿四千一百万余实一千五百七十八万有竒另商次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是为二十一今倍作四十二为亷法空有㸃之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡几转计得三转即用三数为再商纪格右亦系三于有㸃八字之下先呼三四一十二于十五内除十二则抺五改三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九○之一段因前用二一三是为二百一十三今又倍其数作四二六为亷法空有㸃之○而于九下系六于进位九下系二于○下系四先以四商上三○看四除三十凡㡬转该七转则用七纪七于格右亦系于有㸃○下以相呼先呼四七二十八于三十内除二十八尚剩二数四上○变二进抺三次呼二七一十四于廿九内除十四二上九变五进位二变一次呼六七四十二六上九变七进位五变一次呼七七四十九依借法七上○变一进位七变二完四段余实一十一万二千一百一十二另开次除一一二一一二总作一段前已用二一三七是为二千一百三十七今倍之当作四二七四为亷法空有㸃之二而于进位一下系四于又进之一下系七于进二下系二于进一下系四先以四商上一十一看除该二转则用二纪格右亦系二于末位㸃下而先呼二四为八以除一十一余数三乃抺一改三进抺一次呼二二为四依借法二上二变八进位三变二又呼二七一十四依借法七上一变七进位八变六再呼二四为八依借法四上一变三进位七变六又呼二二为四依借法二上二变八进位三变二完第五段除实四亿五千六百七十六万二千三百八十四余二万六千六百二十八为不尽数右开方二万一千三百七十二以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四并入余数二万六千六百二十八得原数开平竒零法第十三凡开方法有可尽者如十六用四除尽如二十五用五除尽是也亦有必不可尽者假如列实二十者用四除去十六尚余四此所余之四将何术以开之其法依除法立子母数倍用数为亷法外加一为隅法并为母而以余数为子乃以原所用开之数依母数化之而并子数俱以为子乃以母自乘子亦自乘以取开方而以小数除其大数视其所得之数若干即开尽数若原数内更有未尽者再法开之 倍用数得八加一为母共九而以余数四为子次以用数乘母共三十六并子四共四十以八十一而除一千六百得一十九零八十一之六十一为开方之数尚有未尽另法具后右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一比前但开除一十六者所得多矣然尚余八十一之二十未尽另立一法开焉用盈不足对稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不足五对前四又九 五内除四余一依前之四而以少除多 法化一为九内又除(以五为实以四又九之四为法除之) 四余五是九之五也乃以前四零九之四者而 五八并得十三倍之为八零九之八并入今 除一九是一整余九之五共得九零九之四 数尚剰九之四(其倍之为亷法也并入今余又用盈不足相并)次取九零九之四以除前所余未尽八十一之二十依化法整九与母九相乘得八十一并入子四共八十五是为九之八 两母乘得六十五又倒位 千八百八十对相母乘母 五两子乘得子乘子 一百八十又以母子乘 两母数以九乘出之数与原 六千八百八十五存九之四十 得六万一千九百对列而以两 六十五为共母其母相乘为母 子数以六千八百次以子母互 八十五乘四十得乘各为子而 二十七万五千四并之(原存盈数也今) 百以九乘一百八(乘出数不足也亦相并) 十得一千六百二九百六十五之二万九千一百六十约之即十七分之八也为开方𢃄零数若欲知其已于二十数内除过㡬许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方(母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六)而以母数除子数即见依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五较前十九零八十一之六十一逺矣尚余二百八十九之四未尽欲尽之再依前法开除又法以四开二十因用四开之不尽乃用四零二之一数加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之(八化三十六得二百八十八并入三十四得三百二十二)为三十六之三百二十二若用约法则为八零十八之十七亦依法化之(八化十八得一百四十四并入十七共得一百六十一)为一十八之一百六十一此倍出亷数也以之倒位而对前所余数母子俱自乘仍对前所化亷数求之次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母次以两子各乗总母得数对减余为实乃取所并此为开方不足之数比前则所剩微矣欲开尽依法再推同文算指通编卷六
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钦定四库全书同文算指通编卷七明 李之藻 撰积较和相求开平方诸法第十四凡平方长濶不等以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和凡以积和求较者以和自乗以积四因相减开其余得较假如直田积八百六十四步长濶和六十步求长多濶几步者用和自乗(得三千六百)又四因直积(得三千四百五十六)以少减多余一百四十四平方开之得差一十二步右开法见前不重列所以和自乗又四因直积者葢和自乗有四段直田积一段差方积故以四积减和乃剰下差方一段以取方面见步(有图在后)比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与各得银数共六十其差几何银数为濶人数为长得三十六人毎人二十四两凡以积较求和者四因实积又以差自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因(得三千四百五十六)以较自乗(一百四十四)相并(三千六百)开方得长濶和六十歩右四因积有四长四濶纵(长三十六步)横列之于外又较自之一段居中故开方得和其用和自乗者得此图全数外兼四积内兼较自乗故除积得较比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求锭与两共若干两数为长锭数为濶得锭与两共六十若夫积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为减积以方乗减谓之减积开平方积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乗上商以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以负纵减方法谓之带减纵开平方积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅或益负隅于积或减负隅于纵皆可以求其濶也其益隅于积者乗负隅为方法又乗方法以益积是为带纵益隅开平方其减隅于纵者乗负隅以减纵命余纵以除实是为带纵负隅减纵开平方积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余积纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷也此外有积与二濶较及长濶较求濶者则有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至于匿其积实而虚张长濶和较之数互求长濶者则又有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带纵廉负隅乗纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途而取今每则畧著数例以便初学带纵开平方法(积较求濶)有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法带除其股积余为开方名带纵开平方法列实点定开位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并纵数列首点下(有小数者照常退位排之)次第呼乗以除实数但所商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之假如有直田积八百六十四步濶不及长一十二步求濶几步列实定位以带纵(二一)随首位列之初商二纪格右亦列首点下以并带纵(一)共三乃变壹贰注三 相呼二三除六 三上捌变二二二除四 贰上陆变二完首段余实二百二十四步次倍二作四为廉法挨退位下亦列带纵以廉四并纵一其下列五次商四纪格右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得濶二十四步比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银多为长人少为濶得银两数二十四人数三十六假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为隅以并带纵七共九乃变二七作九是为(二九)与右二疉呼除之 二九一十八 九上叁变五进削贰本位下削九 次以右二乗二除四用借法 二上○变六 进位五变四本位下削二次倍二作四为廉法列次点之进位○下另列带纵数于廉下以待商除次商四纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入除之四七并一十一廉下变一 进位亦加一 四二并得六隅下变六乃以右四呼首一 一四除四 一上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六变二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 进位除二恰尽因尚余一点于右加一○右平方二百四十带纵共九百六十若实数首位寡而带纵数多不能并累开方者虽点段在首位亦退一位列商及列带纵而减一商假如列实一万六千一百卄八带纵七十二点段该将左首位商起因带纵是七即减一商置次点下 初商九纪格右亦注次点之下并带纵七共一十六乃改七九作六进位置一为方法与商九相呼 一九除九 一上陆变七进抹一六九五十四 六上壹变七进位七变一 二九一十八 二上贰变四进位七变五次倍九得一十八为廉法叧退一位置带纵再商六纪右亦注末点下为隅法而并廉法带纵呼除如前得濶九十六带纵七十二共长一百六十八其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点段位开起假如列实三万八千四百带纵二百首位三自为一段初商一纪右亦纪一于首位下并带纵二得三乃以贰变三与右一相呼一三如三径除叁次倍一作二为廉法以注初商之次位以并带纵得四注纵下如前再商二以纪右亦以注第二点下俱与右二相呼先呼二四如八径除捌又呼二二如四径除肆外尚剰一点该于格右加○右开方一百二十纵三百二十若点段开位少而带纵之位反多(如开位三点只该百而带纵乃至千之类)以初商置首点下而以带纵大数进位列之必首段系二位者方有此例假如列实一十九万八千带纵一千五百三十只点作三段其开数止有三位初商只是百数而所带乃逾至千此其并纵亦须以百随百以千进一位 初商一纪右亦注首点之下并带纵五得六另改注其下先以右一与纵一呼之一一除壹次以右一呼并六 一六如六六上玖变三 次以右一呼纵三三上捌变五完首段 乃倍初商之一作二为廉法注初商之次其带纵亦于次位列之(列五百于廉下二五并得七另注七于下一千进位)再商二纪右亦注次点下以并三得五另注五乃以递呼 先呼一二如二 一上三变一 再呼二七一十四 七上五变一 进除一 又呼二五得一十恰尽外尚余一点右加○右开方一百二十纵一千六百五十带纵并商数有共一十者进位照式呼除(第一图亦有此)假如列实七万二千带纵四百八十点在首位初商一纪右亦注点下并纵四得五注于下以呼一五除五四上㭍变二 再呼一八除八 八上贰变四进位二变一乃倍初商之一作二为廉法注次位其下另列带纵以二并四得六注于下次商二纪右亦注次点之下以相呼除 二六除一十二 六上四变二进削一商二并纵八得一十进位注一本位注○以相呼除一二除二恰尽外余一点加○于右右开方一百二十纵六百若实数纵数商除数俱多杂糅易淆者务须先将带并之数逐一归并停当各注其本位之下乃以呼除大抵只据最下一字为准则不淆乱假如列实一十六万六千四百六十四带纵一千○八十八先点定该开三位讫其带纵低二行列之以便填商置初商于第二位点下以带纵之千进一位列之(初商是百故带纵之千进位与前法同)初商一并入为一千一百八十八以初商一纪右相呼首位呼一一如一以削壹 次位呼一一如一 一上陆变五三位呼一八如八 八上陆变八 进位五变四 四位呼一八如八 八上肆变六进位八变七毕一段(以上甚简)倍初商之一作二为廉法注次位下另列带纵数(并得一千二百八十八)次商三纪右亦注次点下并入以商(三)并纵(八)得一十一注一于八下又注一于进位廉二之下以商纵(一)并廉(二)得三另注三于廉(二)之下并毕其并注数多认定最下字为主以与右相呼首位呼一三如三一上四变一次位呼三三如九三上七变八进削一第三位呼一三如三 一上六变三第四位呼三八二十四 八上陆变二进位三变一毕二段以上除过一十五万八千三百四十余实八千一百二十四未尽又倍前商之一三作二六为廉法空末位之点以待隅法而以六注(二)下(右第二位)以二注(一)下(右第三位)另列带纵数以相并乃以廉六并纵八共一十四系四于八下一进位又以一并廉二共得三系于其下乃商六纪右亦注末位下又以并纵八共一十四注四于末位下一进位四下改作五并讫以最下字与右相呼一六除六 一上八变二 三六一十八 三上一变三进除二 五六三十进除三四六二十四除恰尽右开方一百三十六纵一千二百二十四减积开平方法(积较求濶)勾股积若干勾不及股亦有减积法减积者于实内减股之积以就其方也列实定位另列不足数为减积以商乗减积以所乗出之数列原积下对减视余实若干以所商依法除之有未尽者倍方为廉约得再商别置为隅亦乗减积以减余实乃倂廉隅除之假如直田八百六十四步濶不及长一十二步求濶几何列实点位如前另列不及一十二为减积以初商乗之初商可用三因有乗数故约用二纪右亦注首位下以乗减积得二十四随位列之相对减原积二上捌变六 四上陆变二余实六百二十四乃以方法呼除 二二除四二上六变二余实二百二十四次倍二作四为廉法注退位再商得四纪右亦纪末位为隅法以乗减积得四十八亦相对减余实四上二变八进位二变一 八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除 四四除十六 四上七变一进削一又以方隅呼除四四除一十六恰尽得濶二十四步假如直积一千七百五十濶不及长一十五问濶几何列实定位叧列不及为减积初商三纪右亦注首点之下为方法以乗减积得(五四)随方法之位列之以减原积四上㭍变三 五上伍变○ 乃以方法除之 三三除九 四上三变四进削壹余实四百次倍三作六为廉法注退位再商五纪右亦注末位为隅法以乗减积得七十五对注以减余实五上○变五 七上○变二 进位四变三尚余三百二十五皆与次商相呼五六进除三 五五二十五恰尽得广三十五假如直积一十六万七千四十濶不及长一百三十二求濶几何列实定位另置不及为减积初商三纪格右亦注首点下以乗减积得三百九十六随首点列位对减 六上○变四因有借故进位仍七 三上陆变二余实一十二万七千四百四十乃以方法开之三三除九 三上二变三进削壹余实三七四四○次倍三作六为廉法注退位商实得四纪右亦注次段点下为隅法亦乗减积得五百二十八退前积一位列之对减八上肆变六二上四变一五上七变二仍余三二一六却以廉隅呼除四六二十四六上二变八进削三四四一十六 四上一变五进位八变六尚余六五六○乃倍三四作六八为廉法挨尾点一位列之再商得八纪右亦注尾下为隅法又乗减积得一千五十六挨尾位列之对减六上○变四 五上六变○一上六变五仍余五五○四乃以廉隅呼除六八四十八 六上五变七进削五 八八六十四 八上○变六进削七又八八六十四恰尽得濶三百四十八负纵益积开平方法(积较求长)有勾股积若干勾不及股为较以积及较求股而勾少于股则益积以补勾名负纵益积开平方列实定位另置所不及数为负纵以商乗负纵虚增其积而后以方法开除不尽者倍方为廉又以再商乗负纵増积而另置一算为负隅以再商乗负隅为隅法置于廉次以商呼廉隅除尽假如直积八百六十四濶不及长一十二求长几何列实定位叧列不及十二为负纵而初商则约所増负纵之乗命之如首位捌开法宜用二因有负纵之乗乃商三纪右亦注首位下为方法而以乗负纵得三十六注三于首位注六于次位以并原积六上陆变二 三上捌变二 进位置一益积得数一千二百二十四乃以方法呼除三三除九 三上二变三余积三二四又倍三作六为廉法另商六纪右以乗负纵得七十二退位列之添积二上肆变六七上二变九共积三九六而另置一算为负隅以次商(六)乗之仍得六为隅法乃并廉隅呼除六六三十六 六上九变三进削三又呼六六三十六恰尽得长三十六假如直积二十三万四百长濶较七百二十求长几何列实亦列较为负纵初商九纪右亦注首点下为方法以乗负纵得六四八以益积 八上○变八 四上叁变七六上贰变八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七变六进削八余实六八肆○○乃倍九作(八一)为廉法注八于次隅之进位又注一于进位次商六亦乗负纵得四三二以益余积二上肆变六 三上八变一 四上六变一 进位置一共得一一一六○○又以次商六乗负隅一仍得六注本段点下为隅法乃以廉隅呼除一六除六 一上一变五进削一 六八四十八 八上一变三进削五 六六三十六恰尽得长九百六十带减纵开平方(积较求长)凡以较及积求股者股长于勾亦有损股之长以就其方者名减纵开平方列实定位列较为减纵以减初商而以所减之余即乗初商以开之其次商又即以初商并入为廉法而商之置隅如常假如直积八百六十四濶不及长一十二求长若干列实叧置不及一十二为负纵初商三十(因有二点故知三十)置右另以负纵减之余一十八挨注首位点下为方法以呼所商三八二十四 八上陆变二 进位捌变六 一三除三一上六变三 余积三百二十肆乃于右三加○以并方法一十八共四十八为廉法注退位再商六纪右亦注隅而并入廉法共五十四而六八并改四进位四改五以呼次商五六三十五上进位削三 四六二十四恰尽得长三十六 其次商若不以隅相并亦同前法六 次商六并前(八一)为四十八退位注之以呼四六二十四 四上二变八 进位削三 六八四十八 八上肆变六进位八变三 又置隅法于尾位六六三十六恰尽只就本段积比类以金换绢八百六十四匹不知金一两换绢几匹但云原金总两多于绢数十二今求原金几何如长绢匹如濶得金三十六两其所换匹数即直积也假如直积三千四百五十六濶不及长二十四求长几何列实定位另置较二十四为负纵初商七十(因有二点故知七十)纪右以负纵减之余四十六挨注首位为方法(四多于三照例退位)与商相呼 四七二十八 四上肆变六进削叁 六七四十二 六上伍变三进位六变二 余实二百三十陆乃于右七加○以并四十六共一百一十六为廉法列于下续商得二改右○为二亦注尾位为隅法并入廉法呼除一二为二 一上削二又一二为二 一上三变一 二八一十六恰尽得长七十二又有两方共积若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干问大小方面各几何者倍乗积以减共积以所余积为实开方得较再置二方乗数为实以较为减纵开平方除之得大方面以较减之得小方面假如大小方田二段共积六千五百二十九步以小方大方各一边相乗得三千一百二十步求大小方面几何者倍二方乗积(得六千二百四十步)以减共积余二百八十九为实以开平方法除之得较一十七步再置二方乗数三千一百二十步为实以较为负纵初商六十纪右以负纵减之余四十三注下为方法以呼所商四六二十四 四上壹变七进削叁三六一十八 三上贰变四进位七变五余实五百四十乃于六右加○以并方法共得一百零三为廉法列下续商五纪右亦注尾位为隅法并入廉法共一百零八以相呼 一五除五五八四十恰尽得大方面六十五步以较一十七减之得小方面四十八步带纵益隅开平方法(积和求濶)凡积和求濶者用其和为带纵则已兼长濶而积有长无濶故虚置一积为负隅而以负隅益积即以带纵开之得濶数名带纵益隅开平方列实定位另置带纵数以初商纪右用自乗以益原积是为负隅而以所商呼纵方除之不尽者倍商为廉注退位又再商纪右亦注廉次为隅法廉隅并数以乗所商益积乃用商呼纵方若不尽须再商者则以后廉并前廉余如前法除尽得濶数假如直积八百六十四长濶和六十求濶几何置积为实以和为带纵初商二纪右亦注首位下自乗得四以益积共一千二百六十四乃以初商乗带纵二六一十二 二上削二进削一余实六十四倍方为廉得四注次位次商四纪右亦注尾位为隅法以乗廉法得一十六并入余实四上陆变二进加二亦以乗隅法尾位肆变○进位二变四共二百四十而以次商呼带纵恰尽得濶二十四二积共一千四百四十步以带纵六十除之得濶二十四步假如直积二万一千六百四十八长濶和二百九十六求濶几何列实定位置和为带纵初商一列右为方法亦注首位下自乗仍得一以益积首位贰变三乃以方法与带纵相呼除实首位三变一 次位壹变二进削一退位陆变○余实二千○四十八倍方为廉得二注退位次商三纪右为方法亦注廉次为隅法共(三二)以乗方法得六十九益入本段余积三上○变九 二上二变八共得八九四八乃以方法呼带纵除之二三除六二上八变二 三九二十七 三上九变二进削二 三六一十八退位四变六进削二余实六十八又倍方法之三为六作廉法注退位倂入前廉(二)共二百六十(所以倂入前廉者盖一方外必具两廉故)为方法再商二纪右亦注尾位为隅法并入方法共 以乗所商(二)得五百二十四以并余积尾位八变二进位六变九进位加五乃以所商(二)与带纵呼除恰尽得濶一百三十二歩假如直积三千四百五十六步长濶和一百二十步求濶几何列实以和为带纵初商四纪右为方法亦注首点下自乗得一十六益积四上肆变○进位叁变五乃以方法呼带纵一四除四首位五变一二四除八退位○变二进削一尚剰二百五十六次倍方四得八为廉注次位续商得八为方法纪右亦注尾位为隅并入廉法得(八八)而与方法(八)相乗共七百四以益余实尾位陆变○进位伍变六 进位二变九乃以所商(八)呼带纵恰尽得濶四十八步带纵负隅减纵开平方(积和求濶)积濶求和若难以益隅开之者即用减隅法而减负隅于纵名带纵负隅减纵开平方列实定位列和为带纵置一为负隅初商纪右乗负隅以减带纵列减余于实下而乗所商以开之不尽者倍方为廉以廉减纵次再商纪右亦减余纵而以其减余乗商除尽得濶数假如直积八百六十四长濶和六十求濶列实定位另列和为纵方初商二纪右亦纪首点下以乗负隅一仍得二为方法以减纵数陆剰四随首位注之以呼初商二四为八二上削捌余实二十四倍方法之二作四为廉法注初商之次位亦乗负隅得四以减纵剰二十注退位次商四纪右亦注末位为隅以减余纵之二十余一十六附注乃与右四相呼先呼一四除四 一上陆变二再呼四六二十四恰尽得濶二十四亦有初商除实讫即以初商再减剰纵以所余为纵方而即以再商再减为下法者(前法倍初商为廉以减原纵此即以初商减剰纵不立廉数然已将原纵再减以应两廉之数与倍商同)初商除实八百讫即将初商之二十再减余纵(四十)剰二十退位列之次商四以减余纵(二十)尚剰一十六呼除如前右得广二十四以除实积得纵三十六若欲还原以广纵相乗长濶和变作通长六十濶二十四共负四百八十假如列实三万三千六百长濶和四百列实亦列和为减纵初商一乗负隅仍得一以减纵(四)余三百随首位列注以呼所商一三除叁讫 次倍初商一作二为廉法以减纵四仍余二注退位再商二亦以减纵变二○为一八而以次商呼之 一二除二一上叁变一又呼二八一十六恰尽 格右加○以结末位得濶一百二十右法同前但减纵有借法进位故录为式假如列实六万九千三百六十长濶和七百八十二列如前初商一以乗负隅仍得一减纵(七)余六相呼 一六除陆 一八除八玖变一 一二除二叁变一讫次倍一作二为廉法以减纵仍剰五附列而纵数多于原数无可商除则纪○于右并初次商得一十另倍一十作二十为廉法挨注退位以二减纵七是为 挨尾段列之续商二以相呼 二五除一十 进削一 二八一十六除尽得濶一百二(初商除讫即以先减纵数亦然)假如列实九万六千长濶和六百四十初商二以乗负隅一仍得二纪右亦注首位以减六 余四以相呼 二四除八 四上玖变一又呼二四除八 四上陆变八 进削一讫乃倍二作四为廉法以减纵六剰二亦随退位注之 次商四纪右亦注退位为隅以减纵(只剰二)乃以四变○以商相呼 二四除八恰尽 因有余位 右加○得濶二百四十右法已见因纵有重位故录备例若以积与虚长濶共若干而欲求其濶者及欲求其长者皆以共若干为带纵方而求濶则以濶为负隅以长乗积为实求长则以长为负隅以濶乗积为实列例如左假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求濶几何以三乗积步得二千五百九十二为实(三长原有三积故以三乗)五为负隅(已用三长尚少五濶故用为负隅暗添五段濶方之积)以共步为带纵列实定位初商二纪右以乗负隅(五)得(○一)以一减纵首 贰变一 余纵一百二十八挨注首位与商相呼一二除二二二除四退位伍变一 二八一十六退位玖变三进削一余实三十二再以所商(二)乗负隅得(○一)以(一)减余纵剰二十八(即前倍方为廉之法)续商(四)以乗负隅得(○二)再减余纵二十剰八以呼所商四八三十二恰尽得濶二十四步假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求长几何以五乗积步得四千三百二十为实(五濶原有五积故五乗之)以三为负隅(于原纵减去二长故)以共步为带纵初商三以乗负隅三得九减纵注其退位九上贰变三 进位贰变一余纵一三八挨注首位以呼初商一三除三 一上肆变一 三三除九退位叁变四进削一 三八二十四 八上贰变八 进位四变一余积一百八十复以初商三乗负隅(三)得九以减纵九上三变四进削一剰四十八次商六又乗负隅(三)得十八亦以减纵剰三十与商相呼恰尽得长三十六步又有以积与虚长濶和较共若干求濶者及求长者约和得长濶几何并濶与较得长几何而视其所求为长为濶如前法以别实积及负隅而皆以共数为带纵假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一十二步求濶几何约三和自具三长三濶以并一长二濶共四长五濶又以四较益濶为四长共得八长而余一濶应八乗积步得数六千九百一十二为实以余一为负隅以共步为带纵初商二以乗负隅(一)仍得二(因点为二段此为二十)以置纵次位减之二上壹变九 进位叁变二余纵二百九十二列原积之下以呼所商二二除四二上陆变二 二九一十八次位玖变一 进位二变一 二二除四 二上壹变七 进位一变○ 余实一○七贰复以初商二又乗负隅以减纵二上九变七 剰纵二七贰续商四又乗隅减纵四上贰变八 进位七变六是为二六八以乗所商(四)除尽得濶二十四步又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶若干者法以长母乗濶子为濶率以濶母乗长子为长率又两母相乗以乗共数为带纵而约带纵为几长几濶以一乗原积为实以一为负隅如前法为减纵开平方除之假如直积二千三百五十二步只云长取八之五濶取三之二并得六十三步求濶者两母(三八)互乗得二十四以乗相并(六十三)共一千五百一十二为带纵而以长母(八)乗濶子(二)得一十六为濶率以濶母(三)乗长子(五)得一十五为长率则知此带纵数内具有长十五濶十六也以长十五乗直积得三万五千二百八十为实以濶一十六为负隅初商四纪右(有二点即作四十)以乗负隅得六百四十以减纵四上壹变七六上伍变八 进削壹 余纵八百七十二以注实下与商呼除四八三十二 八上伍变三进削三四七二十八七上贰变四进削三二四除八 尾位变○余实四百再以初商所乗隅算(六百四十)减余纵四上七变三 六上八变二余纵二百三十二续商二纪右以乗负隅得三十二亦以减纵尾位除贰进位三变○剰纵二百与续商二相呼恰尽得濶四十二以除直积得长五十六带纵负隅减纵翻法开平方法(积和求长)凡积与勾股和求股者原积但有长乗濶数而负长自乗之数法须损濶益长求之先立一为负隅以和为纵方而以负隅减纵方初商令稍浮常法以乗负隅减纵次呼余纵开积而原积不及翻以原积减商除之积而以余负积为实复以初商乗隅以减余纵如余纵不及即以余纵翻减以为负纵而隅积纵三者俱负乃以负纵约余负积以得次商命负隅以除负积为带纵负隅减纵翻法开平方假如直积八百六十四长濶和六十求长几何列实以和为纵方一为负隅初商三(有二段即系三十正得长濶之平损濶益长)纪右以乗负隅(一)仍得三以减纵剰三十与商相呼三三得九(即九百)而原积不及乃翻列九百于原积之上而以原积减之尾位○变六进位○变三 首位削九得余负积三十六为实再以初商(三)命负隅(一)以减余纵(三十)减尽乃约余实得次商六纪右以乗负隅(一)仍得六注尾位呼除负实六六三十六恰尽得长三十六假如直积三千四百五十六长濶和一百二十求长几何列实定位列和为纵方立一为负隅初商七(有二段即七十)乗负隅(一)仍得七纪右以减纵方余纵(五即五十)以呼初商合除三千五百而原积不足乃翻以原积除之列三五于原积之上反以原积除之尾位○变四进位○变四 进位削五又进位削三 剰负积四十四为实仍以初商七十乗负隅减余纵(五十)而余纵不足乃以余纵(五十)反减初商(七十)余二十为廉法挨注次位而纵又为负次商二纪右亦注二于尾位为隅法共二十二皆与所商之二呼除恰尽得长七十二亦有虚立长濶和较求长者假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一十二步求长若干依前法演得八长一濶以一濶为实八长为负隅共步为纵方列实初商三纪右(即三十)以乗隅(八)得二百四十以减纵一变七进削三余纵七十二以呼所商(三)除积合除二千一百六十而积反不足乃翻以积除之列二一六○于上 肆上○变六 进位六变九 进位一变二 进位二变一 尚余负积一二九六复以初商(三)乗负隅(八)合减纵二百四十而余纵(七十二)不足翻以余纵减之剰负纵一百六十八是余纵积算俱负次约负积商六纪右以乗负隅八又并负纵共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二 二上削二进削一 一六除六 一上九变三 六六三十六恰尽得长三十六假如直积三千四百五十六步一长二濶三和四较共六百二十四步求长几何仍前八长一濶以一为实八为负隅共步为纵方初商七纪右以乗负隅(八)得五百六十以减纵方剰六十四注首位合除四千四百八○列原积上以视原积不足翻以原积减之尾位○变四 四上八变二六上四变○ 进位四变一 余负一千二十四为实再以初商(七十)乗负隅(八)得五百六十者减余纵而纵又不足则翻以纵减之余纵四百九十六而隅法纵法积法俱负续商二纪右以乗隅(八)得一十六并入负纵共五百一十二挨尾注之与所商二相呼恰尽得长七十二步同文算指通编卷七
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钦定四库全书同文算指通编卷八明 李之藻 撰带纵诸变开平方第十五开方带纵其变无穷更绎其要有十一种余可神而明之若积与二濶较及长濶较求濶用带纵减积开平方假如三广田积二千四百六十五步第云中广不及南广八步亦不及北广三十六步又不及正长六十七步问广并长各几何列积为实并不及二广(共四十四)以四而一得一十一为纵方以不及正长(六十七)为减积初商一纪右(即一十)以并带纵共二十一列注首点下为方法以乗减积得一千四百七先以减积所乗呼商一七除七尾位伍变八 进位陆变五 一四除四 进位肆变○一一除一首位贰变一 次以所注方法呼商一二除二二上○变八进削一 一一除一 一上五变四余实八四八乃倍方一作二为廉法(即二十)并减积(六十七)又并带纵(一十一)共九十八为方法注退位续商八纪右以并方法得一百六呼除一八除八 一上削八 六八四十八恰尽得中广一十八步各加不及得南广二十六步北广五十四步正长八十五步右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以积求长广者俱以此法求之凡大小二方和积求径者用减积带纵负隅并纵开平方假如大小方田二段共积七千五百九十二步大方面较小方面多二十八步求大小方面各几何用较自乗(得七百八十四)以减积余六千八百零八为实倍较(二十八)得五十六为带纵叧置二为负隅初商四(即四十)乗负隅(二)得八十并纵方共一百三十六为方法注积下以呼所商一四除四 一上陆变二 三四一十二 三上捌变六进位二变一 四六二十四 六上○变六进位六变三余实一三六八次倍商得八并初方(一百三十六)共二百一十六为廉法注退位续商六纪右亦乗负隅得一十二为隅法并入廉法共二百二十八与次商呼除尽得小方面四十六步加较得大方面七十四步又假如大小方田三段共积四千七百八十八步大方面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方面几何以大方面较小面数(三十)自乗得(九百)以中方面较小面数(十二)自乗得(一百四十四)相并共一千四十四以减共积余三千七百四十四为实并二较倍之得八十四为纵方以三为负隅初商二纪右(即二十)以乗负隅(三)得六十并纵方共一百四十四为方法列首位以呼所商二四除八 四上肆变六 二四除八 四上㭍变八进位叁变二 一二除二 一上削二余实八百六十四倍方法(六十)作一百二十为廉法以并纵方(八四)得二百四注退位为方法次商四纪右以乗负隅(三)得一十二为隅法并方法共二百一十六与次商呼除二四除八 二上削八 一四除四 一上六变二 四六二十四恰尽得小方面二十四步以较加之得中方面三十六步大方面五十四步凡方田圆田径相似以其共积求相似之径几何者用隅算开平方凡圆者之四可当方者之三并方圆之率为七用七为隅算用四乗原积开方假如方圆田共积二千二百六十八步只云方面圆径相等求方面圆径者四乗原积得九千七十二步为实叧列七为隅算初商三纪右(即三十)乗隅(七)共二百一十为方法与商相呼二三除六 二上玖变三一三除三一上○变七进位三变二余实二七七二乃倍三十作六十为廉法注退位次商六以乗隅(七)得四十二为隅法又以乗廉六十得三百六十并共四百○二仍并入廉法共四六二与商相呼恰尽得方面圆径俱三十六步又法四乗原积得九千○七十二步并方四圜三得七为法除之得一千二百九十六为实乃以开平方法求得方面圜径三十六步更简易凡匿其原积只云一长二濶三和四较更以长乗之共数若干其长濶之较若干以求其长几何者用益积以补濶则有带纵隅益积开平方假如田不知积但以长乗一长二濶三和四较共得四万四千九百二十八步其长濶之较二十四步求长者列实叧置较为益纵约三和得三长三濶并一长二濶得四长五濶又并四较入濶为长得八长一濶共九段以九为隅算初商七十乗隅算(九)得六百三十为隅法又以初商(七)乗益纵(二十四)得一千六百八十注原积之下以益原积 八上贰变○进加一六上玖并一变六进加一 一上肆并一变六共四万六千六百○八却以隅法(六百三十)注退位与商相呼六七四十二六上六变四进削四 三七二十一 三上六变五进位四变二余实二五○八乃倍隅法(六百三十)得一千二百六十为方法注退位以商余实得二纪右又乗隅算(九)得一十八为隅法另以所商二乗益纵(二十四)得四十八并入余实八上八变六 四上○变五共得二五五六却以方隅二法并共一千二百七十八皆与所商(二)呼除恰尽得长七十二步又同前田不知实用长数乗一长二濶三和四较共若干及其较若干以求长者或损长以就之用带纵负隅减纵开平方假如一长二濶三和四较以长乗之得四万七千二百一十二其较二十八步而不知其积求其长列长乗之积为实较为纵方仍前法推得(九)为负隅初商七十纪右乗负隅得六百三十为方法内减纵法(二十八)剰六百二退位注实下以呼所商六七四十二六上㭍变五进削肆 二七一十四二上壹变七进位贰变○余实五○七二次倍方法得(一千二百六十)内减纵法(二十八)得一千二百三十二为廉法列余实之下约实续商得四纪右乗负隅得三十六为隅法并廉法共一二六八改注尾位与续商相呼恰尽得长七十四步又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方假如设为一长二濶三和四较以濶数乗之得二万九千九百五十二其较二十四问长几何置较自乗(五百七十六)以减原积余二万九千三百七十六为实(以较自乗减其原积故曰减积)较为益纵六为隅算初商七十纪右乗隅(六)得四百二十为隅法注实下又以商(七十)乗益纵(二十四)得一千六百八十以益原积尾次七变五进位叁变○ 又进玖变一又进贰变三得三一○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八 四上一变三进削三 二七一十四 二上○变六 进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商(二)以乗隅(六)得一十二为隅法另以所商(二)乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅(共得九长)初商七纪右(即七十)以乗负隅得六百三十为方法内减纵方(二八)得六百二注实下又以乗纵方得一万六千八百五十六以益实六上捌变四五上肆变○ 八上叁变二 六上玖变六 一上贰变四乃以所商(七)呼除所注之下法(六百二)二上○变六进位二变○ 六上六变四进削四余实四○六四次倍方法(一千二百六十)减纵方得一千二百三十二为廉法次商四纪右以乗负隅(九)得三十六为隅法以乗纵方得一千零八为益实并入余积八上四变二进位六变七 一上四变五以廉(一千二百三十二)隅(三十六)相并(一千二百六十八)呼商恰尽得长七十四步右法以濶求长积欠一较故乗较为益实以补其缺亦有同前不知积而以濶乗长濶和较共数及较求濶者用带纵廉开平方假如直田不云积步只云一长二濶三和四较以濶乗得二万九千九百五十二步濶不及长二十四步求濶者置乗积为实减较之半(一十二)为纵廉而以初商乗之初商四(即四十)纪右为方法以乗纵廉得四十八即与商相并共五十二注实下照式退位以呼初商(四)五四二十进削贰 二四除八 二上玖变一余实九一五二次倍所乗纵廉得(九十六)及方法(八)共一百四进位得一千四十为方法再置纵方一十二为廉以相并共一千五十二商实得八纪右亦注尾位为隅以乗纵方得九十六并方廉隅共一千一百四十四注实下以呼次商恰尽得濶四十八步又有同前匿积和较又以濶乗长濶和较共数求濶用带纵廉负隅开平方者假如田不知积只云一长二濶三和四较以濶乗之共二万九千三百四十八其较二十八以求濶者置濶乗数为实推得共八较九濶用九为负隅以较八乗得二百二十四为纵廉以初商乗负隅为方法初商四(即四十)纪右乗隅得三百六十并纵廉共五百八十四注实下呼商五四除二十进削贰 四八三十二八上叁变一进位玖变六 四四一十六 四上肆变八进位一变九 进位六变五余积五九八八次倍方法得七百二十为廉法并纵廉九百四十四为实续商六纪右以乗负隅(九)得五十四为隅法并廉法纵廉共九百九十八注实下呼商恰尽得濶四十六步若同前不知积步第置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵方廉开平方假如一长二濶三和四较以长乗之得四万四千九百二十八步较二十四步求其濶若干列实以较为纵方推得八长一濶共九段倍之得一十八为纵廉以乗初商而并计之又兼纵方乃以呼商除之初商四纪右(即四十)为方法乗纵廉(一十八)得七百二十并入方法(四十)共七百六十又并纵方(二十四)共七百八十四以呼商四七二十八 七上肆变六进位肆变一 四八三十二八上玖变七进位六变三四四一十六 四上贰变六进位七变五余实一三五六八乃倍四得八为方法倍纵廉得一千五百二十并入纵方(二十四)共一千五百四十四为廉法以商余实得八纪右以乗纵廉(一十八)得一百四十四为隅法乃并方入廉(一千五百四十四)隅(一百四十四)三法共一千六百九十六注实下呼商恰尽得濶四十八步又同前不知积及置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵廉负隅乗纵减实开平方者假如一长二濶三和四较长乗得四万七千二百一十二步濶不及长二十八步求濶几何列实推得八长用八乗较得二百二十四为纵廉推得九段用九为负隅又以较为减纵方初商四(即四十)纪右以乗负隅得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法乗减纵得一万六千三百五十二为减实注实下变为三○八六○乃以初商四呼下法照常注退位五四得二十进位三变一 四八三十二 八上八变六进位○变七进削一 四四一十六 四上六变○进位六变五余实七千五百乃倍方法得(七百二十)并纵廉(二百二十四)共九百四十四为廉法约商得六纪右以乗负隅得五十四为隅法即以隅法乗减纵得一千五百一十二以减实余五九八八以廉隅二法相并得(九百九十八)与次商相乗开之恰尽得濶四十六开立方法第十六凡数自乗平列一面为平方更以原数再乗则四面皆方中积充实为立方矣凡立方点段俱隔二超三而首段寻其原数以自乗再乗如适合见数者即为方法开讫如少于见数则挨身减数寻原而以其再乗所得列首段下除之以为方法(若再乗之数反浮见数即非其原)余实三倍其方为廉叧置而以方法进一十(如系一则作一十系二则作二十之类)与相乗得数以较余实约得几何分之几何假如已得二之一者即以二为次商亦以乗廉法得数若干以并前所乗数共若干而以次商数总乗之即得三面之廉复以次商数自乗再乗为隅法并入开尽有不尽者以法命之依法分为四段先开首位之捌寻原系二乃以二自乗再乗得八恰尽 抹捌右纪二 次开叁陆伍除点上之伍未用且作(六三)开之乃三倍其二为六另置于方法之上试加一为(一二)以六乗之得一百二十六以除原积叁陆其数反浮乃只作○纪格右为(○二)次求第三位更三倍其(○二)为(○六)置于方法(○二)之上随意加一位且如只加○为 以与(○六)相乗得一万二千以视原积叁陆伍肆贰约得三之一乃商三纪格右为 以乗(○六)得一百八十并前(一万二千)共得一万二千一百八十又以三乗之得三万六千五百四十又以三自乗再乗得(二十七)为隅法并入恰尽 凡隅法皆以尾位挨本位所点之下尚余尾段三个○再加一○于格右假如列实一千七百二十八首位一自乗再乗只得一以一为方法纪右抹壹次倍一为三作廉法另置乃以方法加○为(○一)以乗廉法三得(○三)约得原积(二十七)内二之一矣乃改○作二为次商纪格右以乗廉法三得六并(○三)共得三十六而以次商之(二)乗之得七十二又以二自乗再乗得八为隅法并入是为七百二十八开尽假如列实三万二千七百六十八数首位寻原系三以三为方法自乗再乗得(七二)二变五抹叁次倍三作九为廉法加○于方法之右为(○三)以乗九得二百七十以视余实(五千七百六十)为二之一乃商二纪二于三右以二乗九得一十八并前乗共得二百八十八以二总乗得五百七十六符三廉之数又以二自乗再乗得八为隅法并入尽若次商以方法进位乗廉法而乗得之数适符余实或于余实相近不足二之一及三之一以上者只以一为次商之数假如列实九千二百六十一数先开首位玖寻原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖变一以二为方法纪右次倍二得六为廉法另置次以二为(○二)与相乗得一百二十适近本积只以一为次商数以乗所置六仍得六并前乗共得一百二十六又以一自乗再乗为隅依法并入是为一千二百六十一恰尽广诸乗方法第十七凡积数若干以平面开之适得自乗之数者为开平方其立方乃开平再乗积也(四面皆方中积满布)三乗方长立方也(如以二自乗起者得两立方以三自乗起者得三立方之类但以平面一边之数为准)四乗方平面立方也(如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方又如长立方系九方数则进作八十一立方之类倣此以至无穷俱系平面)五乗方大立方也(如系二自乗起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乗起者有二十五立方则进并一百二十五方为大方之类)自此推之六乗方视三乗形七乗方视四乗形八乗方视五乗形余乗倣此可至无穷旧法繁碎且仅止于五乗此立捷法由平面至诸乗总一机轴先以诸乗原委布为一图乗母为原乗出之子为开凡开方列位以点分段者平方每二位点作一段再乗方每三位一段三乗方每四位一段倣此推之至九乗方则十位一段矣皆自尾小数起而先以最大数之首段检上图以寻其原即以原数开之假如平方开者检知首段数四十九即知七是原数用七自乗可开若首段数系六十四者即知八是原数用八自乗可开若系六十三者不及六十四尚以七数开之余积另求再乗三乗以上皆同此法假如再乗首段系二十七检知其原系三即以三开之若是六十三以下亦以三开又假如七乗方首段系二五六原数是二以二开之若原数是六五六不及三数之六五六一仍以二开之也上图系乗出之数已得乗出之数开方之时第以此数注首段下以除为开右法已得首位方法余实倍方为廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之数倣此倍之别立通率凡平方只一率为(○二)再乗立方有二率为 (○三)三乗方有三率为四十为六百为四千自此以上诸乗倣此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乗之以乗出之数较余实约得几何母之几何而即以其母为廉法此图以首行所列之二为平方三为立方四为三乗至十七则十六乗方也余乗倣此首行顺列其第二行数悉承首行上格二数积之如(三三)为六(四六)为(○一)之类数穷则挨加一数如第二行第五格为(○一)其第三行第五格亦为(○一)是也右格内数以检各乗合用通率而各视其乗法多寡于本位叠加虚○凡平方一乗者用一率为二以加○为(○二)以与方法相乗其立方再乗者用两率为三三而左小数加一○为(○三)右大数加两○为 而以 乗方法若三乗方者则用三率为四六四于末位之四加一○为(○四)进位之六加二○为 首位之四加三○为四千亦以大数乗方法右图只具四六两位而乗法却宜三位则回用右方之四以足三率若并位之数相重如四乗方之连用(○○一一)者回转减其重数竟以首位之五用之末位为五(○○一一)五照前依位增○其数则为五十为一千为一万为五万而以五万乗方法也至六乗方八乗方以上皆然一乗开平方假如列实六百七十六万五千二百○一以平方开之初商得二为方法以求廉法立(○二)为通率列中位亦列方法于左位以相乗得(○四)以较余实(七二)约得六之一乃立六为廉法列于右位以自乗得(六三)为隅法附列乃以廉数(六)乗四十得二百四十以并自乗之三十六共二百七十六尽第二段余实五二○一另置通率并廉入方为(六二)置左位以乗(○二)得数五百二十以较余实得一又以一为廉法置右位自乗仍得一为隅法并入恰尽若已得廉法而以乗通率反浮余实或廉法相合而隅法又浮余实者皆减其廉法以乗之假如列实二百八十九初商一除实一百余实一百八十九次商以方法乗通率只系(○二)以较余积可用九除实一百八十而乗出隅法八十一则浮原积又试用八除实一百六十而乗出隅法六十四亦浮原积惟再减用七为廉法乗得一十四以除余积尚余四十九而以廉法自乗得四十九为余法并入恰尽凡诸乗所用廉法有浮原积者皆照递减求之再乗开立方假如列实二十三万八千三百二十八以立方开之寻原以六为母以六自乗再乗得二一六除积 六上捌变二一上叁变二 进抹贰以六为方法以求廉法凡立方皆用二数为通率为三十为三百自下而上叠位而以方法(六)对(○三)以方法自乗得(六三)对□各列于左初乗乃以(六三)乗□得一万八百以视余积约得二之一乃立二为廉法以对□复以廉法(二)自乗得(四)以对□各列于右又以(二)乗(四)得(八)为隅法附列于下乃以廉二乗一万八百得二万一千六百再乗以六对(○三)乗之得一百八十又以四乗得七百二十以上二次乗出数并之得二万二千三百二十加入隅法之八恰尽凡方法之乗皆在通率位左以方法数对尾位其乗数自下而上凡廉法之乗皆在通率位右以廉法数对首位其乗数自上而下四乗五乗以上皆倣此右再乗方法若以还原则以二十六自乗再乗若初商方法只系一数者通率无乗须并诸率位除之一而净即以一为廉法假如列实一千三百三十一以再乗立方开之初商以一为方法除净首位(一千)次并中位两通率一除可净以一为廉法对通率三百次以自乗仍得一对次通率三十又以再乗亦得一为隅法系其下而以隅法之一并入三千三百恰尽右式可例其余凡以一为方法者不论几乗方皆以诸位通率并求三乗方假如列实一千四百七十七万六千三百三十六以三乗方开之寻原以六为母自乗再乗得一二九六除积 六上㭍变一 九上㭍变捌 二上肆变一 一上削壹次以六为初商方法以求廉法凡三乗皆叠用通率三位为四十为六百为四千先列通率于中位乃列方法于左尾位自乗(六三)再乗二一六自下而上对列初乗以二百一十六乗四千得数八十六万四千较原积约二之一以二为廉法列右首位自乗(四)再乗八三乗(六一)聨列乃以(二)乗八十六万四千得数一百七十二万八千再乗以(六三)乗□得数二万一千六百又以右(四)乗之得数八万六千四百三乗以(六)乗(○四)得数二百四十以右八乗之得数一千九百二十乃合三乗数积之并入隅法(六一)共得一百八十一万六千三百三十六恰尽右三乗方法若以还原则以六十二之数自乗再乗三乗 一法以开平方法所得数更以平方开之四乗方假如列实九亿一千六百一十三万二千八百三十二数以四乗方开之寻原六为初商除积七亿七千七百六十万余实一亿三千八百五十三万二千八百三十二以求廉法凡四乗方通率叠用四位为五十为一千为一万为五万中列自下而上而以方法(六)对尾位(○五)列之又自乗再乗三乗四乗亦自下而上对列于左初乗首位左乗得六千四百八十万以较余实约得二之一以二为廉法对首位五万列之亦自乗再乗三乗自上而下对列又四乗得(二三)为隅法系于其下而以首位二数乗左乗所得之数计得一亿二千九百六十万次乗次位左乗得二百一十六万而以右(四)乗之得八百六十四万三乗第三位左乗得三万六千而以右(八)乗之得二十八万八千四乗尾位左乗得三百而以右(六一)乗之得四千八百以上四乗之积并入右廉四乗所得隅法三十二恰尽右四乗方若以还原则以六十二数自乗再乗以至四乗五乗方假如列实五百六十八亿○○二十三万五千五百八十四数以五乗方开之寻原六为初商除积四百六十六亿五千六百万余积一百一亿四千四百二十三万五千五百八十四数以求廉法凡五乗方皆叠用通率五位为六十为一千五百为二万为一十五万为六十万中列自下而上而以方法六对尾位(○六)列之又自乗再乗三乗四乗自下而上皆列于左位初乗首位左乗得四十六亿六千五百六十万以较余实约得二之一以二为廉法对首位六十万列之亦自乗再乗三乗四乗自上而下对列于右又(五)乗得(四六)为隅法系下而以首位(二)数乗左乗所得之数共得九十三亿三千一百二十万次乗次位左乗得数一亿九千四百四十万而以右(四)乗之得七亿七千七百六十万三乗三位左乗得四百三十二万而以右(八)乗之得三千四百五十六万四乗四位左乗得五万四千而以右(六一)乗之得八十六万四千五乗五位左乗得三百六十以右(二三)乗之得一万一千五百二十并上五乗积又并右廉所乗隅法六十四恰尽右五乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至五乗六乗方假如列实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八以六乗方开之寻原六为初商除实二万七千九百九十三亿六千万余实七千二百二十二亿五千四百六十万六千二百○八数以求廉法凡六乗方通率叠用六位为七十为二千一百为三万五千为三十五万为二百一十万为七百万中列而以方法(六)对尾位(○七)列之又自乗再乗三乗四乗五乗自下而上皆列其左初乗首位左位得数三千二百六十五亿九千二百万以较余积约得二之一以二为廉法对首位七百万列之亦自乗再乗三乗四乗五乗对列于右又以六乗得一二八为隅法系下而以首位(二)数乗左乗所得之数共得六千五百三十一亿八千四百万次乗次位左乗得一百六十三亿二千九百六十万以右(四)乗之得六百五十三亿一千八百四十万三乗三位左乗得四亿五千三百六十万以右(八)乗之得三十六亿二千八百八十万四乗四位左乗得七百五十六万以右(六一)乗之得一亿二千○九十六万五乗五位左乗得七万五千六百以右(二三)乗之得二百四十一万九千二百六乗六位左乗得四百二十以右(四六)乗之得二十六万八千八百并上六乗之积又并隅法一百二十八恰尽右六乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至六乗七乗方假如列实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一数以七乗方开之首位四其原一以一为方法余实三兆五千九百四十九万七千二百九十八亿共求一廉法因方法一数无乗当并下位以较余实而惟首次两数同位为大数其余小数不足为多寡且从省只并首次两位开之(若不相并者以首率八千万较余实试用四为廉法乗之似可除然次率八乗即浮原数矣试减用三亦浮原数见后注)此二数并得一亿○八百万以较余实约可用三数然缘次乗之六以乗中列之第二位其数反浮(初以三乗中首位固可除至次乗六以乗次位得一亿六千八百万并初乗共四亿有奇反浮余实)当减用二为廉法自乗再乗至七乗依式列右凡乗数多于原数者减法倣此初乗以廉二乗八千万得一亿六千万再乗以廉再乗数(四)乗二千八百万得一亿一千二百万三乗以廉三乗数(八)乗五百六十万得四千四百八十万四乗以廉四乗数(六一)乗七十万得一千一百二十万五乗以廉五乗数(二三)乗五万六千得一百七十九万二千六乗以廉六乗数(四六)乗二千八百得一十七万九千二百七乗以廉七乗数 乗八十得一万○三百六十八右并前七乗之积共得三亿二千九百九十八万一千四百四十并入隅法二百五十六以除余积尚剰二千九百五十一万五千六百二亿六千三百五十七万二千一百六十一数再商自首至尾共以一段开之乃并廉法入方法共一十二为三商之数以对尾位(○八)列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上对列一 初乗首位左乗得二千八百六十六万五千四百四十六亿四千万以较余积只可一乃以一为廉法乗无可乗故自乗至七乗皆只一照式列右其对中末位之下仍系一为隅法再乗次位左乗得八十三万六千○七十五亿五千二百万三乗三位左乗得一万三千九百三十四亿五千九百二十万四乗四位左乗得一百四十五亿一千五百二十万五乗五位左乗得九千六百七十六万八千六乗六位左乗得四十万三千二百七乗尾位左乗得九百六十并七乗之积増入隅法之一恰尽右七乗开方若欲还原则以一百二十一数自乗再乗以至七乗以上开方则例共七乗衍至十乗百乗亦复如是妙在寻原变在通率熟玩自得难以备述若夫寻原之法固与还原不同还原者依本乗之数以还实积耳寻原者用前列乗图以寻下手方法凡寻原惟平方最易以每段只二位也次则立方亦易以每段只三位也三乗则四位为一段寻原难矣自是而上位置愈多寻原愈难矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法开之得数又以平方法开之得数即原矣若五乗方者先以平方开之得数乃以立方开之或先以立方开之得数乃以平方开之即原矣若六乗方者作四乗方开二次即得其原若七乗方者作开平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方开一次又以四乗方开之或先以四乗方开一次又以平方开之即得其原若十乗方者作四乗开方三次亦得其原错综变化总由自然进退开阖具有定法孰谓开方诸乗迂逺难冀者乎神而明之从积正负带减加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思过半也奇零诸乗开方法第十八凡开方诸法不惟全数可开即奇零之数亦各有法大都皆以寻原为第一义有母数子数俱有原数可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方(七二)之八亦以三之二为原以三自乗得九再乗得(七二)以二自乗得四再乗得八也又如三乗方(一八)之(六)以三之二为原谓三再乗得(七二)三乗得(一八)谓二再乗得八三乗得(六一)也如五乗方者 之(四六)以三之二为原谓三数以五乗则得 二数以五乗则得(四六)也有二数并列于母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乘法两母乗得三十六两子乗得一十六是为(六三)之(六一)其平方之原为九之四以四九三十六与夫四四一十六用四为钮数者也有以全数带奇数而亦有原可寻者如有全数二又(七二)之(○一)依化法乃为(七二)之(四六)寻其立方之原为三之四以三再乗为(七二)四再乗为(四六)归其整数即一零三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开寻原之术数之多者约之以至于寡如(五四)之(○二)必约之为九之四其开平方之原即三之二也如(一八)之(四二)必约之为(七二)之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六无原不可开矣又如(○二)之(一二)者命分数与得分数俱无原不可开矣然则终不可开乎又非也数穷则变变则通虽无原有数之最相近者可借之以为原吾以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥密其原亦弥近也弥近之数或稍多干所求或稍约于所求然而皆可以为原者也假如以五数为开平方是为无原而任借(○一)为 之原以自乗得一百以五乗得 虽(○一)不为 之原乃其原之最近者有两数其一为 以(二二)为原(二十二自乗得四百八十四)此近而朒者其一为 以(三二)为原(二十三自乗得五百二十九)此近而盈者何也试以所借(○一)为命分之母以(二二)为得分之子以(○一)之(二二)自乗(此 整二零 之二)得 之 内除四百为四整数而(四八)为 之(四八)夫四零 之(四八)以视二零(○一)之二犹五百与(二二)之比例也试以所借(○一)为母以(三二)为子以(○一)之(三二)自乗(此系整二零二之三)得 之 内除五百为五整数而(九二)为 之(九二)夫五零 之(九二)以视二零(三二)犹五百与(三二)之比例也故(○一)可以为五借也假如以九数为开立方亦为无原而任借(○一)为 之原(以自乗再乗故)以九乗得 虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为 以(○二)为原(自乗再乗)此近而朒者一为九二六一以(一二)为原(自乗再乗)此近而盈者则何也试以(○一)为母(○一)之(○二)系整二数以自乗再乗即得(○一)之八试以(○一)为母(○一)之(一二)系整二数零(○一)之一以自乗再乗即得九零 之 也(母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十并入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千归元得整九余为一千之二六一)故(○一)可以为九借也假如列实(○四)以四乗方开之为无原任借一数为(○一)以自乗至四乗得一十万以(○一)乗之得四百万用前法推衍其原之近者有两数其一为(○二)其一为(一二)何也以(○一)为(○二)之母此(○一)之(○二)系整二数以二自乗再乗三乗四乗为(○一)之(二三)以视(○四)其近而朒者以(○一)为(一二)之母此(○一)之(一二)系整二数零(○一)之一以二零(○一)之一自乗再乗(化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一)三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一(二十一以三乗得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还元得整四十数其零为八四二○一)以视四十其近而盈者故(○一)可以为(○四)借也以上三论姑借(○一)见例若进至百千万数其数弥多其析愈精则原愈近矣同文算指通编卷八◆ 《几何原本-明-》（KR3f0047）
## 提要
钦定四库全书 子部六
几何原本 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案几何原本六卷西洋欧几里得撰利玛窦译而徐光启所笔受也欧几里得未详何时人其原书十三卷五百余题利玛窦之师丁氏为之集解又续补二卷于后共为十五卷今止六卷者徐光启自谓译受是书此其最要者也其书每卷有界说有公论有设题界说者先取所用名目解说之公论者举其不可疑之理设题则据所欲言之理次第设之先其易者次其难者由浅而深由简而繁推之至于无以复加而后已又每题有法有解有论有系法言题用解述题意论则发明其所以然之理系则又有旁通者焉卷一论三角形卷二论线卷三论圆卷四论圆内外形卷五卷六俱论比例其余三角方圆边线面积体积比例变化相生之义无不曲折尽显纎㣲毕露光启序称其穷方圆平直之情尽规矩准绳之用非虚语也且此为欧逻巴算学専书前作后述不绝于世至欧几里得而为是书盖亦集诸家之成故自始至终毫无疵颣加以光启反复推阐其文句尤为明显以是弁冕西术不为过矣乾隆四十六年十二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 序
几何原本序
唐虞之世自羲和治厯暨司空后稷工虞典乐五官者非度数不为功周官六艺数与㞐一焉而五艺者不以度数从事亦不得工也襄旷之于音般墨之于械岂有他谬巧哉精于用法尔已故尝谓三代而上为此业者盛有元元本本师𫝊曹习之学而毕丧于祖龙之𦦨汉以来多任意揣摩如盲人射的虚发无效或依儗形似如持萤烛象得首失尾至于今而此道尽废有不得不废者矣几何原本者度数之宗所以穷方圆平直之情尽规矩准绳之用也利先生从少年时论道之暇留意艺学且此业在波中所谓师𫝊曹习者其师丁氏又绝代名家也以故极精其说而与不佞游久讲谈余晷时时及之因请其象数诸书更以华文独谓此书未译则他书俱不可得论遂共翻其要约六卷既平业而复之由显入微从疑得信盖不用为用众用所基真可谓万象之形囿百家之学海虽实未竟然以当他书既可得而论矣私心自谓不意古学废绝二千年后顿获补缀唐虞三代之阙典遗义其裨益当世定复不小因偕二三同志刻而传之先生曰是书也以当百家之用度几有羲和般墨其人乎犹其小者有大用于此将以习人之灵才令细而确也余以为小用大用实在其人如邓林伐材栋梁榱桷恣所取之耳顾惟先生之学略有三种大者修身事天小者格物穷理物理之一端别为象数一一皆精实典要洞无可疑其分解擘析亦能使人无疑而余乃亟传其小者趋欲先其易信使人绎其文想见其意理而知先生之学可信不疑大㮣如是则是书之为用更大矣他所说几何诸家借此为用略具其自叙中不备论吴淞徐光启书
## 卷一之首
钦定四库全书几何原本卷一之首西洋利玛窦译界说三十六则凡造论先当分别解说论中所用名目故曰界说凡厯法地理乐律算章技艺工巧诸事有度有数者皆依頼十府中几何府属凡论几何先从一㸃始自㸃引之为线线展为靣靣积为体是名三度第一界㸃者无分无长短广狭厚薄 如下图(凡图十干为识干尽用十二支支尽用八卦八)(音)(甲)第二界线有长无广试如一平靣光照之有光无光之间不容一物是线也真平真圆相遇其相遇处止有一㸃行则止有一线线有直有曲第三界线之界是㸃(凡线有界者两界必是㸃)第四界直线止有两端两端之间上下更无一㸃两㸃之间至径者直线也稍曲则绕而长矣直线之中㸃能遮两界凡量逺近皆用直线甲乙丙是直线甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲线第五界靣者止有长有广体所见为靣凡体之影极似于靣(无厚之极)想一线横行所留之迹即成靣也第六界靣之界是线第七界平靣一靣平在界之内平靣中间线能遮两界平靣者诸方皆作直线试如一方靣用一直绳施于 角绕靣运转不碍于空是平靣也若曲靣者则中间线不遮两界第八界平角者两直线于平靣纵横相遇交接处凡言甲乙丙角皆指平角如上甲乙乙丙二线平行相遇不能作角如上甲乙乙丙二线虽相遇不作平角为是曲线所谓角止是两线相遇不以线之大小较论第九界直线相遇作角为直线角平地两直线相遇为直线角本书中所论止是直线角但作角有三等今附著于此一直线角二曲线角三杂线角 如下六图第十界直线垂于横直线之上若两角等必两成直角而直线下垂者谓之横线之垂线量法常用两直角及垂线垂线加于横线之上必不作锐角及钝角若甲乙线至丙丁上则乙之左右作两角相等为直角而甲乙为垂线若甲乙为横线则丙丁又为甲乙之垂线何者丙乙与甲乙相遇虽止一直角然甲线若垂下过乙则丙线上下定成两直角所以丙乙亦为甲乙之垂线(如今)(用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线)凡直线上有两角相连是相等者定俱直角中间线为垂线反用之若是直角则两线定俱是垂线第十一界凡角大于直角为钝角如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大于甲乙丁则甲乙丙为钝角第十二界凡角小于直角为锐角如前图甲乙丁是通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等乃至无数是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指角也 如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角第十三界界者一物之终始今所论有三界㸃为线之界线为靣之界靣为体之界体不可为界第十四界或在一界或在多界之间为形一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 图见后卷第十五界圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱等若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与乙至丁丙至丁其线俱等外圆线为圜之界内形为圜一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲丁复元处其中形即成圜第十六界圜之中处为圜心第十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜两平分甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线为圜径第十八界径线与半圜之界所作形为半圜第十九界在直线界中之形为直线形第二十界在三直线界中之形为三邉形第二十一界在四直线界中之形为四邉形第二十二界在多直线界中之形为多边形(五邉以上俱是)第二十三界三边形三边线等为平边三角形第二十四界三边形有两边线等为两边等三角形(或锐或钝)第二十五界三边形三边线俱不等为三不等三角形第二十六界三边形有一直角为三边直角形第二十七界三边形有一钝角为三边钝角形第二十八界三邉形有三锐角为三邉各锐角形凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰第二十九界四边形四边线等而角直为直角方形第三十界直角形其角俱是直角其边两两相等如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相等甲丙与乙丁自相等第三十一界斜方形四边等俱非直角第三十二界长斜方形其边两两相等俱非直角第三十三界以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形第三十四界两直线于同靣行至无穷不相离亦不相逺而不得相遇为平行线第三十五界一形每两边有平行线为平行线方形第三十六界凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形求作四则求作者不得言不可作第一求自此㸃至彼㸃求作一直线此求亦出上篇葢自此㸃直行至彼㸃即是直线自甲至乙或至丙至丁俱可作直线第二求一有界直线求从彼界直行引长之如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直行第三求不论大小以㸃为心求作一圜第四求设一度于此求作彼度较此度或大或小(凡言度者或线或面或体)(皆是)或言较小作大可作较大作小不可作何者小之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数减半成五十减之又减至一而止一以下不可损矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半万世不竭亦此理也何者自有而分不免为有若减之可尽是有化为无也有化为无犹可言也令巳分者更复合之合之又合仍为尺棰是始合之初两无能并为一有也两无能并为一有不可言也公论十九则公论者不可疑第一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等第二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等第三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等第四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等第五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等第六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等第七论有多度俱半于此度则彼多度亦等第八论有二度自相合则二度必等(以一度加一度之上)第九论全大于其分(如一尺大于一寸寸者全尺中十分中之一分也)第十论直角俱相等(见界说十)第十一论有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长愈相近必有相遇之处欲明此理宜察平行线不得相遇者(界说卅四)加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣第十二论两直线不能为有界之形第十三论两直线止能于一㸃相遇如云线长界近相交不止一㸃试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一㸃当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁丙亦如之(界说十七)夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也(界说十七)甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也(本篇九)第十四论有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大于丁己亦如之第十五论有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之第十六论有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之第十七论有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣第十八论全与诸分之并等第十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较(相减之余曰较)如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七几何原本卷一之首
## 卷一
钦定四库全书几何原本卷一西洋利玛窦撰第一题于有界直线上求立平边三角形法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形论曰以甲为心至圜之界其甲乙线与甲丙甲丁线等以乙为心则乙甲线与乙丙乙丁线亦等何者凡为圜自心至界各线俱等故(界说十五)既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙(公论一)三边等如所求(凡论有二种此以是为论者正)(论也下倣此)其用法不必作两圜但以甲为心乙为界作近丙一短界线乙为心甲为界亦如之两短界线交处即得丙诸三角形俱推前用法作之(详本篇卄二)第二题一直线线或内或外有一㸃求以㸃为界作直线与元线等法曰有甲㸃及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界(乙为心丙为界)(亦可作)作丙乙圜(第三求)次观甲㸃若在丙乙之外则自甲至丙作甲丙线(第一求)如上前图或甲在丙乙之内则截取甲至丙一分线如上后图两法俱以甲丙线为底任于上下作甲丁丙平边三角形(本篇一)次自三角形两腰线引长之(第二求)其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊线其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线末以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等论曰丁戊丁庚线同以丁为心戊庚为界故等(界说十五)于丁戊线减丁丙丁庚线减丁甲其所减两腰线等则所存亦等(公论三)夫丙戊与丙乙同以丙为心戊乙为界亦等(界说十五)即甲庚与丙乙等(公论一)若所设甲㸃即在丙乙线之一界其法尤易假如㸃在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求第三题两直线一长一短求于长线减去短线之度法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先以甲为度从乙引至别界作乙丁线(本篇二)次以乙为心丁为界作圜(第三求)圜界与乙丙交于戊即乙戊与等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜故(界说十五)第四题两三角形若相当之两腰线各等各两腰线间之角等则两底线必等而两形亦等其余各两角相当者俱等解曰甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两角等甲丙与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底线必等而两三角形亦等甲乙丙与丁戊己两角甲丙乙与丁己戊两角俱等论曰如云乙丙与戊己不等即令将甲角置丁角之上两角必相合无大小甲丙与丁己甲乙与丁戊亦必相合无大小(公论八)此二俱等而云乙丙与戊己不等必乙丙底或在戊己之上为庚或在其下为辛矣戊己既为直线而戊庚己又为直线则两线当别作一形是两线能相合为形也辛倣此(公论十二 此)(以非为论者驳论也下倣此)第五题三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等解曰甲乙丙三角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又自甲丙线任引至戊甲乙线任引至丁其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等论曰试如甲戊线稍长即从甲戊截取一分与甲丁等为甲己(本篇三)次自丙至丁乙至己各作直线(第一求)即甲己乙甲丁丙两三角形必等何者此两形之甲角同甲己与甲丁两腰又等甲乙与甲丙两腰又等则其底丙丁与乙己必等而底线两端相当之各两角亦等矣(本篇四)又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等何者此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等(本论)而甲己甲丁两腰各减相等之甲丙甲乙线即所存丙己乙丁两腰又等(公论三)丙丁与乙己两底又等(本论)又乙丙同腰即乙丙丁与丙乙己两角亦等也则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣(本篇四)次观甲乙己与甲丙丁两角既等于甲乙己减丙乙己角甲丙丁减乙丙丁角则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等(公论三)増从前形知三边等形其三角俱等第六题三角形若底线两端之两角等则两腰亦等解曰甲乙丙三角形其甲乙丙与甲丙乙两角等题言甲乙与甲丙两腰亦等论曰如云两腰线不等而一长一短试辩之若甲乙为长线即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线而乙丁与甲丙等(本篇三)次自丁至丙作直线则本形成两三角形其一为甲乙丙其一为丁乙丙而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也是全与其分等也(公论九)何者彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙两线既等丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙丙又同线而元设丁乙丙与甲丙乙两角等则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也(本篇四)是全与其分等也故底线两端之两角等者两腰必等也第七题一线为底出两腰线其相遇止有一㸃不得别有腰线与元腰线等而于此㸃外相遇解曰甲乙线为底于甲于乙各出一线至丙㸃相遇题言此为一定之处不得于甲上更出一线与甲丙等乙上更出一线与乙丙等而不于丙相遇论曰若言有别相遇于丁者即问丁当在丙内邪丙外邪若言丁在丙内则有二说俱不可通何者若言丁在甲丙元线之内则如第一图丁在甲丙两界之间矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙与甲丁等也是全与其分等也(公论九)若言丁在甲丙乙三角顶间则如第二图丁在甲丙乙之间矣即令自丙至丁作丙丁线而乙丁丙甲丁丙又成两三角形次从乙丁引出至己从乙丙引出至戊则乙丁丙形之乙丁乙丙两腰等者其底线两端之两角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外两角己丁丙戊丙丁宜亦等也(本篇五)而甲丁丙形之甲丁甲丙两腰等者其底线两端之两角甲丙丁甲丁丙宜亦等也(本篇五)夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而为其分今言甲丁丙与甲丙丁两角等则甲丁丙亦小于戊丙丁矣何况己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外两角等乎若言丁在丙外又有三说俱不可通何者若言丁在甲丙元线外是丁甲即在丙甲元线之上则甲丙与甲丁等矣即如上第一说驳之若言丁在甲丙乙三角顶外即如上第二说驳之若言丁在丙外而后出二线一在三角形内一在其外甲丁线与乙丙线相交如第五图即令将丙丁相联作直线是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也(本篇五)夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而为其分据如彼论则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也(本篇五)夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分据如彼论则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二说者岂不自相戾乎第八题两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等解曰甲乙丙丁戊己两三角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙与戊己两底亦等题言甲与丁两角必等论曰试以丁戊己形加于甲乙丙形之上问丁角在甲角上邪否邪若在上即两角等矣(公论八)或谓不然乃在于庚即问庚当在丁戊线之内邪或在三角顶之内邪或在三角顶之外邪皆依前论驳之(本篇七)系本题止论甲丁角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等则角必等不可疑也第九题有直线角求两平分之法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁(本篇三)次于甲丙亦截甲戊与甲丁等次自丁至戊作直线次以丁戊为底立平边三角形(本篇一)为丁戊己形末自己至甲作直线即乙甲丙角为两平分论曰丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等甲己同是一线戊己与丁己两底又等(何言两底等初)(从戊丁底作此三角平形此二线为腰各等戊丁故)则丁甲己与戊甲己两角必等(本篇八)用法如上截取甲丁甲戊即以丁为心向乙丙间任作一短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处得己(本篇一)第十题一有界线求两平分之法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形(本篇一)次以甲丙乙角两平分之(本篇九)得丙丁直线即分甲乙于丁论曰丙丁乙丙丁甲两三角形之丙乙丙甲两腰等而丙丁同线甲丙丁与乙丙丁两角又等(本篇九)则甲丁与乙丁两线必等(本篇四)用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙丁直线即分甲乙于戊第十一题一直线任于一㸃上求作垂线法曰甲乙直线任指一㸃于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度各截一界为丁为戊(本篇)(二)次以丁戊为底作两边等角形(本篇一)为丁己戊末自己至丙作直线即己丙为甲乙之垂线论曰丁己丙与戊己丙两角形之己丁己戊两腰等而己丙同线丙丁与丙戊两底又等即两形必等丁与戊两角亦等(本篇五)丁己丙与戊己丙两角亦等(本篇)(八九)则丁丙己与戊丙己两角必等矣等即是直角直角即是垂线(界说十角此后三角形多称 形省文也)用法于丙㸃左右如上截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处即己又用法于丙左右如上截取丁与戊即任用一度以丁为心于丙上下方各作短界线次用元度以戊为心亦如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙㸃即得是用法又为尝巧之法増若甲乙线所欲立垂线之㸃乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一㸃为丙如前法于丙上立丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之(本篇)(九)为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线(本篇三)次于戊上如前法立垂线与己丙线相遇为庚末自庚至甲作直线如所求论曰庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙戊丙两线既等庚丙同线戊丙庚与甲丙庚两角又等即甲庚戊庚两线必等(本篇四)而对同边之甲角戊角亦等(本篇四)戊既直角则甲亦直角是甲庚为甲乙之垂线(界说十)用法甲㸃上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界作丙㸃次用元度以丙为心作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求(此法今未)(能论论见第三卷第三十一题)第十二题有无界直线线外有一㸃求于㸃上作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙㸃求从丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙次两平分丁戊于己(本篇十)末自丙至己作直线即丙己为甲乙之垂线论曰丙己丁丙己戊两角形之丙丁丙戊两线等丙己同线则丙戊己与丙丁己两角必等(本篇八)而丁丙己与戊丙己两角又等则丙己丁与丙己戊等皆直角(本篇四)而丙己定为垂线矣用法以丙为心向直线两处各作短界线为甲为乙次用元度以甲为心向丙㸃相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末自丙至丁作直线则丙戊为垂线又用法于甲乙线上近甲近乙任取一㸃为心以丙为界作一圜界于丙㸃及相望处各稍引长之次于甲乙线上视前心或相望如前图或进或退如后图任移一㸃为心以丙为界作一圜界至与前圜交处得丁末自丙至丁作直线得戊(若近界作垂线无可截取亦用此法)第十三题一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角解曰甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙与甲乙丁作两角题言此两角当是直角若非直角即是一锐一钝而并之等于两直角论曰试于乙上作垂线为戊乙(本篇十一)令戊乙丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两锐角并之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两锐角又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁两直角等也(公论十八)次于甲乙戊又加戊乙丙并此锐直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙锐直两角又加甲乙丁锐角并此三角定与甲乙丁甲乙丙锐钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两直角等(公论一)第十四题一直线于线上一㸃出不同方两直线偕元线每旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线解曰甲乙线于丙㸃上左出一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线论曰如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲丙丁两角此两角宜与两直角等(本篇十三)如此即甲丙戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙己两角较之果相等乎(公论三)夫甲丙己本小于甲丙戊而为其分今曰相等是全与其分等也(公论九)若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等(本篇十三)如此即甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等乎(公论三)夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰相等是全与其分等也(公论九)两者皆非则丁丙戊是一直线第十五题凡两直线相交作四角每两交角必等解曰甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等论曰丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与两直角等(本篇十三)甲戊线至丙丁线上则甲戊丙甲戊丁两角与两直角等(本篇十三)如此即丁戊乙甲戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等(公论十)试减同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等(公论)(三)又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与两直角等(本篇十三)乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊乙两角与两直角等(本篇十三)如此即甲戊丁丁戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角(公论十)试减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推显两直线相交于中㸃上作四角与四直角等二系一㸃之上两直线相交不论几许线几许角定与四直角等(公论十八)増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线解曰甲乙线内取丙㸃出丙丁丙戊两线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直线论曰甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两角等(公论二)而甲丙戊戊丙乙与两直角等(本篇十三)则丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一直线(本篇十四)第十六题凡三角形之外角必大于相对之各角解曰甲乙丙角形自乙甲线引之至丁题言外角丁甲丙必大于相对之内角甲乙丙甲丙乙论曰欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两平分于戊(本篇十)自乙至戊作直线引长之从戊外截取戊巳与乙戊等(本篇三)次自甲至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙戊丙两交角又等(本篇十五)则甲己与乙丙两底亦等(本篇)(四)两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛(本篇)(十)自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙辛等(本篇三)次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等(本篇十五)则甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎其余乙丙上作外角俱大于相对之内角依此推显第十七题凡三角形之每两角必小于两直角解曰甲乙丙角形题言甲乙丙甲丙乙两角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两角皆小于两直角论曰试用两边线丙甲引出至戊丙乙引出至丁即甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣(本篇十六)此两率者每加一甲乙丙角则甲乙丁甲乙丙必大于甲丙乙甲乙丙矣(公论四)夫甲乙丁甲乙丙与两直角等也(本篇十三)则甲丙乙甲乙丙小于两直角也余二倣此第十八题凡三角形大边对大角小边对小角解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙角论曰甲丙边大于甲乙边即于甲丙线上截甲丁与甲乙等(本篇三)自乙至丁作直线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣(本篇五)夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角(本篇十六)则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不又大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则乙甲丙角亦大于甲丙乙角依此推显第十九题凡三角形大角对大边小角对小边解曰甲乙丙角形乙角大于丙角题言对乙角之甲丙边必大于对丙角之甲乙边论曰如云不然令言或等或小若言甲丙与甲乙等则甲丙角宜与甲乙角等矣(本篇五)何设乙角大于丙角也若言甲丙小于甲乙则甲丙边对甲乙大角宜大(本篇十八)又何言小也如甲角大于丙角则乙丙边大于甲乙边依此推显第二十题凡三角形之两边并之必大于一边解曰甲乙丙角形题言甲丙甲乙边并之必大于乙丙边甲丙丙乙并之必大于甲乙甲乙乙丙并之必大于甲丙论曰试于丙甲边引长之以甲乙为度截取甲丁(本篇)(三)自丁至乙作直线令甲丁甲乙两腰等而甲丁乙甲乙丁两角亦等(本篇五)即丙乙丁角大于甲乙丁角亦大于丙丁乙角矣夫丁丙边对丙乙丁大角也岂不大于乙丙边对丙丁乙小角者乎(本篇十九)又甲丁甲乙两线各加甲丙线等也则甲乙加甲丙者与丙丁等矣丙丁既大于乙丙则甲乙甲丙两边并必大于乙丙边也余二倣此第二十一题凡三角形于一边之两界出两线复作一三角形在其内则内形两腰并之必小于相对两腰而后两线所作角必大于相对角解曰甲乙丙角形于乙丙边之两界各出一线遇于丁题言丁丙丁乙两线并必小于甲乙甲丙并而乙丁丙角必大于乙甲丙角论曰试用内一线引长之如乙丁引之至戊即乙甲戊角形之乙甲甲戊两线并必大于乙戊线也(本篇二十)此二率者每加一戊丙线则乙甲甲戊戊丙并必大于乙戊戊丙并矣(公论四)又戊丁丙角形之戊丁戊丙线并必大于丁丙线也此二率者每加一丁乙线则戊丁戊丙丁乙并必大于丁丙丁乙并矣(公论四)夫乙甲甲戊戊丙既大于乙戊戊丙岂不更大于丁丙丁乙乎(本篇二十)又乙甲戊角形之丙戊丁外角大于相对之乙甲戊内角(本篇十六)即丁戊丙角形之乙丁丙外角更大于相对之丁戊丙内角矣而乙丁丙角岂不更大于乙甲丙角乎第二十二题三直线求作三角形其每两线并大于一线也法曰甲乙丙三线其第一第二线并大于第三线(若两线比第三线或等或小即不能作三角形见本篇二十)求作三角形先任作丁戊线长于三线并次以甲为度从丁截取丁巳线(本篇三)以乙为度从己截取己庚线以丙为度从庚截取庚辛线次以己为心丁为界作丁壬癸圜以庚为心辛为界作辛壬癸圜其两圜相遇下为壬上为癸末以庚巳为底作癸庚癸巳两直线即得己癸庚三角形(用壬亦可作线若丁壬癸圜不到子辛壬癸圜不到丑即是两 或等或小于第三线不成三角形)(矣)论曰此角形之丁己己癸线皆同圜之半径等(界说十五)则己癸与甲等庚辛庚癸线亦皆同圜之半径等则庚癸与丙等己庚元以乙为度则角形三线与所设三线等用法任以一线为底以底之一界为心第二线为度向上作短界线次以又一界为心第三线为度向上作短界线两界线交处向下作两腰如所求若设一三角形求别作一形与之等亦用此法第二十三题一直线任于一㸃上求作一角与所设角等法曰甲乙线于丙㸃求作一角与丁戊己角等先于戊丁线任取一㸃为庚于戊巳线任取一㸃为辛自庚至辛作直线次依甲乙线作丙壬癸角形与戊庚辛角形等(本篇卄二)即丙壬丙癸两腰与戊庚戊辛两腰等壬癸底与庚辛底又等则丙角与戊角必等(本篇八)第二十四题两三角形相当之两腰各等若一形之腰间角大则底亦大解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁巳两腰各等若乙甲丙角大于戊丁己角题言乙丙底必大于戊巳底论曰试依丁戊线从丁㸃作戊丁庚角与乙甲丙角等(本篇卄三)则戊丁庚角大于戊丁己角而丁庚腰在丁巳之外矣次截丁庚线与丁巳等(本篇三)即丁庚丁巳俱与甲丙等又自戊至庚作直线是甲乙与丁戊甲丙与丁庚腰线各等乙甲丙与戊丁庚两角亦等而乙丙与戊庚两底必等也(本篇四)次问所作戊庚底今在戊巳底上邪抑同在一线邪抑在其下邪若在上即如第二图自己至庚作直线则丁庚己角形之丁庚丁巳两腰等而丁庚己与丁己庚两角亦等矣(本篇五)夫戊庚己角乃丁庚己角之分必小于丁庚己亦必小于相等之丁巳庚而丁巳庚又戊己庚角之分则戊庚己益小于戊巳庚也(公论九)则对戊庚己小角之戊己腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也(本篇十九)若戊巳与戊庚两底同线即如第四图戊己乃戊庚之分则戊己必小于戊庚也(公论九)若戊庚在戊巳之下即如第六图自己至庚作直线次引丁庚线出于壬引丁巳线出于辛则丁庚丁巳两腰等而辛巳庚壬庚己两外角亦等矣(本篇五)夫戊庚己角乃壬庚己角之分必小于壬庚己亦必小于相等之辛巳庚而辛巳庚又戊己庚角之分则戊庚巳益小于戊己庚也(公论九)则对戊庚己小角之戊巳腰必小于对戊己庚大角之戊庚腰也(本篇)(十九)是三戊巳皆小于等戊庚之乙丙(本篇四)也第二十五题两三角形相当之两腰各等若一形之底大则腰间角亦大解曰甲乙丙与丁戊己两角形其甲乙与丁戊甲丙与丁巳各两腰等若乙丙底大于戊巳底题言乙甲丙角大于戊丁巳角论曰如云不然令言或小或等若言等则两形之两腰各等腰间角又等宜两底亦等(本篇四)何设乙丙底大也若言乙甲丙角小则对乙甲丙角之乙丙线宜亦小(本篇廿四)何设乙丙底大也第二十六题(二支)两三角形有相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对先解一边在两角之内者曰甲乙丙角形之甲乙丙甲丙乙两角与丁戊己角形之丁戊巳丁巳戊两角各等在两角内之乙丙边与戊巳边又等题言甲乙与丁戊两边甲丙与丁巳两边各等而乙甲丙角与戊丁巳角亦等论曰如云两边不等而丁戊大于甲乙令于丁戊线截取庚戊与甲乙等(本篇三)次自庚至己作直线即庚戊巳角形之庚戊戊巳两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与庚巳宜等(本篇四)而庚巳戊角与甲丙乙角宜亦等也(本篇四)既设丁己戊与甲丙乙两角等今又言庚己戊与甲丙乙两角等是庚己戊与丁己戊亦等全与其分等矣(公论)(九)以此见两边必等两边既等则余一角亦等后解相等边不在两角之内而在一角之对者曰甲乙丙角形之乙角丙角与丁戊己角形之戊角丁己戊角各等而对丙之甲乙边与对己之丁戊边又等题言甲丙与丁己两边丙乙与己戊两边各等而甲角与戊丁己角亦等论曰如云两边不等而戊己大于乙丙令于戊己线截取戊庚与乙丙等(本篇三)次自丁至庚作直线即丁戊庚角形之丁戊戊庚两边宜与甲乙乙丙两边等矣夫乙角与戊角元等则甲丙与丁庚宜等(本篇四)而丁庚戊角与甲丙乙角宜亦等也既设丁巳戊与甲丙乙两角等今又言丁庚戊与甲丙乙两角等是丁庚戊外角与相对之丁巳戊内角等矣(本篇十六)可乎以此见两边必等两边既等则余一角亦等第二十七题两直线有他直线交加其上若内相对两角等即两直线必平行解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛而甲庚辛与丁辛庚两角等题言甲乙丙丁两线必平行论曰如云不然则甲乙丙丁两直线必至相遇于壬而庚辛壬成三角形则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角矣(本篇十六)乃先设相等乎若设乙庚辛角与丙辛庚角等亦依此论若言甲乙丙丁两直线相遇于癸亦依此论第二十八题(二支)两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等即两直线必平行先解曰甲乙丙丁两直线加他直线戊己交于庚于辛其戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等题言甲乙丙丁两线必平行论曰乙庚辛角与相对之内角丙辛庚等(本篇)(卄七)戊庚甲与乙庚辛两交角亦等(本篇十五)即两直线必平行后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等题言甲乙丙丁两线必平行论曰甲庚辛丙辛庚两角与两直角等而甲庚戊甲庚辛两角亦与两直角等(本篇十三)试减同用之甲庚辛即所存甲庚戊与丙辛庚等矣既外角与同方相对之内角等即甲乙丙丁必平行(本题)第二十九题(三支)两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等先解曰此反前二题故同前图有甲乙丙丁二平行线加他直线戊巳交于庚于辛题言甲庚辛与丁辛庚内相对两角必等论曰如云不然而甲庚辛大于丁辛庚则丁辛庚加辛庚乙宜小于辛庚甲加辛庚乙矣(公论四)夫辛庚甲辛庚乙元与两直角等(本篇十三)据如彼论则丁辛庚辛庚乙两角小于两直角而甲乙丙丁两直线向乙丁行必相遇也(公论十一)可谓平行线乎次解曰戊庚甲外角与同方相对之庚辛丙内角等论曰乙庚辛与相对之丙辛庚两内角等(本题)则乙庚辛交角相等之戊庚甲(本篇十五)与丙辛庚必等(公论一)后解曰甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等论曰戊庚甲与庚辛丙两角既等(本题)而每加一甲庚辛角则庚辛丙甲庚辛两角与甲庚辛戊庚甲两角必等(公论二)夫甲庚辛戊庚甲本与两直角等(本篇十三)则甲庚辛丙辛庚两内角亦与两直角等第三十题两直线与他直线平行则元两线亦平行解曰此题所指线在同面者不同面线后别有论如甲乙丙丁两直线各与他线戊巳平行题言甲乙与丙丁亦平行论曰试作庚辛直线交加于三直线甲乙于壬戊巳于子丙丁于癸其甲乙与戊巳既平行即甲壬子与相对之己子壬两内角等(本篇廿九)丙丁与戊巳既平行即丁癸子内角与己子壬外角亦等(本篇廿九)丁癸子与甲壬子亦为相对之内角亦等(公论一)而甲乙丙丁为平行线(本篇廿七)第三十一题一㸃上求作直线与所设直线平行法曰甲㸃上求作直线与乙丙平行先从甲㸃向乙丙线任指一处作直线为甲丁即乙丙线上成甲丁乙角次于甲㸃上作一角与甲丁乙等(本篇)(廿三)为戊甲丁从戊甲线引之至己即己戊与乙丙平行论曰戊己乙丙两线有甲丁线联之其所作戊甲丁与甲丁乙相对之两内角等即平行线(本篇廿七)増从此题生一用法设一角两线求作有法四边形有角与所设角等两两边线与所设线等法曰先作己丁戊角与丙等次截丁戊线与甲等己丁线与乙等末依丁戊平行作己庚依己丁平行作庚戊即所求本题用法于甲㸃求作直线与乙丙平行先作甲丁线次以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己次取戊己圜界为度于庚辛圜界截取庚辛末自甲至辛作直线各引长之即所求又用法以甲㸃为心于乙丙线近乙处任指一㸃作短界线为丁次用元度以丁为心于乙丙上向丙截取一分作短界线为戊次用元度以戊为心向上与甲平处作短界线又用元度以甲为心向甲平处作短界线后两界线交处为己自甲至己作直线各引长之即所求第三十二题(二支)凡三角形之外角与相对之内两角并等凡三角形之内三角并与两直角等先解曰甲乙丙角形试从乙丙边引至丁题言甲丙丁外角与相对之内两角甲乙并等论曰试作戊丙线与甲乙平行(本篇三一)令甲丙为甲乙戊丙之交加线则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等(本篇卄九)又乙丁线与两平行线相遇则戊丙丁外角与相对之甲乙丙内角等(本篇廿九)既甲丙戊与乙甲丙等而戊丙丁与甲乙丙又等则甲丙丁外角与内两角甲乙并等矣后解曰甲乙丙三角并与两直角等论曰既甲丙丁角与甲乙两角并等更于甲丙丁加甲丙乙则甲丙丁甲丙乙两角并与甲乙丙内三角并等矣(公论二)夫甲丙丁甲丙乙并元与两直角等(本篇)(十三)则甲乙丙内三角并亦与两直角等増从此推知凡第一形当两直角第二形当四直角第三形当六直角自此以上至于无穷每命形之数倍之为所当直角之数(凡一线二线不能为形故三边)(为第一形四边为第二形五边为第三形六边为第四形倣此以至无穷)又视每形边数减二边即所存边数是本形之数论曰如上四图第一形三边减二边存一边即是本形一数倍之当两直角(本题)第二形四边减二边存二边即是本形二数倍之当四直角欲显此理试以第二形作一对角线成两三角形每形当两直角并之则当四直角矣第三形五边减二边存三边即是本形三数倍之当六直角欲显此理试以第三形作两对角线成三三角形每形当两直角并之亦当六直角矣其余依此推显以至无穷又一法每形视其边数每边当两直角而减四直角其存者即本形所当直角论曰欲显此理试于形中任作一㸃从此㸃向各角俱作直线令每形所分角形之数如其边数每一分形三角当二直角(本题)其近㸃之处不论几角皆当四直角(本篇十五之系)次减近㸃诸角即是减四直角其存者则本形所当直角如上第四形六边中间任指一㸃从㸃向各角分为六三角形每一分形三角六形共十八角今于近㸃处减当四直角之六角所存近边十二角当八直角余倣此一系凡诸种角形之三角并俱相等(本题増)二系凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间锐角则余两角俱大于半直角三系平边角形每角当直角三分之二四系平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线之下两旁则垂线之上两旁角每当直角三分之一其余两角每当直角三分之二増从三系可分一直角为三平分其法任于一边立平边角形次分对直角一边为两平分从此边对角作垂线即所求如上图甲乙丙直角求三分之先于甲乙线上作甲乙丁平边角形(本篇一)次平分甲丁于戊(本篇九)末作乙戊直线第三十三题两平行相等线之界有两线联之其两线亦平行亦相等解曰甲乙丙丁两平行相等线有甲丙乙丁两线联之题言甲丙乙丁亦平行相等线论曰试作甲丁对角线为甲乙丙丁之交加线即乙甲丁丙丁甲相对两内角等(本篇卄九)又甲丁线上下两角形之甲乙丙丁两边既等甲丁同边则对乙甲丁角之乙丁线与对丙丁甲角之甲丙线亦等(本篇卄九)而乙丁甲与丙甲丁两角亦等也(本篇四)此两角者甲丙乙丁之内相对角也两角既等则甲丙乙丁两线必平行(本篇廿七)第三十四题凡平行线方形每相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分解曰甲乙丁丙平行方形(界说三五)题言甲乙与丙丁两线甲丙与乙丁两线各等又言乙与丙两角乙甲丙与丙丁乙两角各等又言若作甲丁对角线即分本形为两平分论曰甲乙与丙丁既平行则乙甲丁与丙丁甲相对之两内角等(本篇廿九)甲丙与乙丁既平行则乙丁甲与丙甲丁相对之两内角等(本篇廿九)甲乙丁角形之乙甲丁乙丁甲两角与甲丁丙角形之丙丁甲丙甲丁两角既各等甲丁同边则甲乙与丙丁甲丙与乙丁俱等也而丙角与相对之乙角亦等矣(本篇廿六)又乙丁甲角加丙丁甲角与丙甲丁角加乙甲丁角既等即乙甲丙与丙丁乙相对两角亦等也(公论二)又甲乙丁甲丁丙两角形之甲乙乙丁两边与丁丙丙甲两边各等腰间之乙角与丙角亦等则两角形必等(本篇四)而甲丁线分本形为两平分第三十五题两平行方形若同在平行线内又同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲与丙丁乙巳两平行方形同丙丁底题言此两形等等者不谓腰等角等谓所函之地等后言形等者多倣此先论曰设己在甲戊之内其丙丁戊甲与丙丁乙己皆平行方形丙丁同底则甲戊与丙丁巳乙与丙丁各相对之两边各等(本篇三四)而甲戊与己乙亦等(公论一)试于甲戊己乙两线各减己戊即甲己与戊乙亦等(公论三)而甲丙与戊丁元等(本篇三四)乙戊丁外角与己甲丙内角又等(本篇廿九)则乙戊丁与己甲丙两角形必等矣(本篇四)次于两角形每加一丙丁戊己无法四边形则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形等也(公论二)次论曰设己戊同㸃依前甲戊与戊乙等乙戊丁与戊甲丙两角形等(本篇四)而每加一戊丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙戊两平行方形必等(公论二)后论曰设己㸃在戊之外而丙己与戊丁两线交于庚依前甲戊与己乙两线等而每加一戊己线即戊乙与甲己两线亦等(公论二)因显己甲丙与乙戊丁两角形亦等(本篇四)次每减一己戊庚角形则所存戊庚丙甲与乙己庚丁两无法四边形亦等(公论三)次于两无法形每加一庚丁丙角形则丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形必等(公论二)第三十六题两平行线内有两平行方形若底等则形亦等解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形而丙戊与辛丁两底等题言两形亦等论曰试自丙至庚戊至乙各作直线相联其丙戊庚乙各与辛丁等则丙戊与庚乙亦等(本篇卅四)庚乙与丙戊既平行线则庚丙与乙戊亦平行线(本篇卅三)而甲丙戊己与庚丙戊乙两平行方形同丙戊底者等矣(本篇三五)庚辛丁乙与庚丙戊乙两平行方形同庚乙底者亦等矣(本篇三五)既尔则庚辛丁乙与甲丙戊己亦等(公论一)第三十七题两平行线内有两三角形若同底则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两角形同丙丁底题言两形必等论曰试自丁至戊作直线与甲丙平行次自丁至己作直线与乙丙平行(本篇三一)夫甲丙丁戊乙丙丁己两平行方形在甲乙丙丁两平行线内同丙丁底既等(本篇三五)则甲丙丁角形为甲丙丁戊方形之半与乙丙丁角形为乙丙丁己方形之半者(甲丁乙丁两对角线平分两方形见本篇卅四)亦等(公论七)第三十八题两平行线内有两三角形若底等则两形必等解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊与乙己丁两角形而丙戊与己丁两底等题言两形必等论曰试自庚至戊辛至丁各作直线与甲丙乙己平行(本篇卅一)其甲丙戊庚与乙己丁辛两平行方形既等(本篇卅六)则甲丙戊与乙己丁两角形为两方形之半者(本篇卅四)亦等(公论七)増凡角形任于一边两平分之向对角作直线即分本形为两平分论曰甲乙丙角形试以乙丙边两平分于丁(本篇十)自丁至甲作直线即甲丁线分本形为两平分何者试于甲角上作直线与乙丙平行(本篇卅一)则甲乙丁甲丁丙两角形在两平行线内两底等两形亦等(本题)二増题凡角形任于一边任作一㸃求从㸃分本形为两平分法曰甲乙丙角形从丁㸃求两平分先自丁至相对甲角作甲丁直线次平分乙丙线于戊(本篇十)作戊己线与甲丁平行(本篇卅一)末作己丁直线即分本形为两平分论曰试作甲戊直线即甲戊己己丁戊两角形在两平行线内同己戊底者等而每加一己戊丙形则己丁丙与甲戊丙两角形亦等(公论二)夫甲戊丙为甲乙丙之半(本题増)则己丁丙亦甲乙丙之半第三十九题两三角形其底同其形等必在两平行线内解曰甲乙丙与丁丙乙两角形之乙丙底同其形复等题言在两平行线内者葢云自甲至丁作直线必与乙丙平行论曰如云不然令从甲别作直线与乙丙平行(本篇卅一)必在甲丁之上或在其下矣设在上为甲戊而乙丁线引出至戊即作戊丙直线是甲乙丙宜与戊丙乙两角形等矣(本篇卅七)夫甲乙丙与丁丙乙既等而与戊丙乙复等是全与其分等也(公论)(九)设在甲丁下为甲己即作己丙直线是己丙乙与丁丙乙亦等如前驳之第四十题两三角形其底等其形等必在两平行线内解曰甲乙丙与丁戊己两角形之乙丙与戊己两底等其形亦等题言在两平行线内者葢云自甲至丁作直线必与乙己平行论曰如云不然令从甲别作直线与乙己平行(本篇卅一)必在甲丁之上或在其下矣设在上为甲庚而戊丁线引出至庚即作庚己直线是甲乙丙宜与庚戊己两角形等矣(本篇三八)夫甲乙丙与丁戊己既等而与庚戊己复等是全与其分等也(公论九)设在甲丁下为甲辛即作辛己直线是辛戊己与丁戊己亦等如前驳之第四十一题两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形解曰甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁戊方形乙丁丙角形同丙丁底题言方形倍大于角形论曰试作甲丁直线分方形为两平分则甲丙丁与乙丁丙两角形等矣(本篇卅七)夫甲丙丁戊倍大于甲丙丁(本篇卅三)必倍大于乙丁丙第四十二题有三角形求作平行方形与之等而方形角有与所设角等法曰设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而有丁角先分一边为两平分如乙丙边平分于戊(本篇十)次作丙戊己角与丁角等(本篇廿)次自甲作直线与乙丙平行(本篇卅一)而与戊己线遇于己末自丙作直线与戊己平行为丙庚(本篇卅一)而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等论曰试自甲至戊作直线其甲戊丙角形与己戊丙庚平行方形在两平行线内同底则己戊丙庚倍大于甲戊丙矣(本篇四一)夫甲乙丙亦倍大于甲戊丙(本篇卅八)(増)即与己戊丙庚等(公论六)第四十三题凡方形对角线旁两余方形自相等解曰甲乙丙丁方形有甲丙对角线题言两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两余方形(界说卅六)必等论曰甲乙丙甲丙丁两角形等(本篇卅四)甲戊庚甲庚辛两角形亦等(本篇卅四)而于甲乙丙减甲戊庚于甲丙丁减甲庚辛则所存乙丙庚戊与庚丙丁辛两无法四边形亦等矣(公论三)又庚壬丙己角线方形之庚丙己庚丙壬两角形等(本篇三四)而于两无法四边形每减其一则所存乙壬庚戊与庚己丁辛两余方形安得不等(公论三)第四十四题一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等法曰设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙角形等而有丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等(本篇四二)次于庚己线引长之作己辛线与甲等次作辛壬线与戊己平行(本篇三一)次于丁戊引长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作对角线引出之又自丁庚引长之与对线角遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑即己丑子辛平行方形如所求论曰此方形之己辛线与甲等而辛己丑角为戊己庚之交角(本篇十五)则与丙等又本形与戊己庚丁同为余方形等(本篇四三)则与乙角形等第四十五题有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等法曰设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等而有丁角先分五边形为甲乙丙三三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角(本篇四二)次于戊辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等而有丁角(本篇四四)末复引前线作壬癸子丑平行方形与丙等而有丁角(本篇四四)即此三形并为一平行方形与甲乙丙并形等而有丁角自五以上可至无穷俱倣此法论曰戊己庚与辛庚癸两角等而每加一己庚辛角即辛庚癸己庚辛两角定与己庚辛戊己庚两角等夫己庚辛戊己庚是两平行线内角与两直角等也(本篇廿九)则己庚辛辛庚癸亦与两直角等而己庚庚癸为一直线也(本篇十四)又戊辛庚与戊己庚两对角等而辛壬癸与辛庚癸两对角亦等则戊己庚辛庚辛壬癸皆平行方形也(本篇卅四)壬癸子丑依此推显(本篇三十)即与戊己癸壬并为一平行方形矣増题两直线形不等求相减之较几何法曰甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等(本题)即得辛庚戊己为相减之较矣何者丁丙己戊之大于丁丙辛庚较余一辛庚戊己也则甲大于乙亦辛庚戊己也第四十六题一直线上求立直角方形法曰甲乙线上求立直角方形先于甲乙两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲乙线等(本篇十一)次作丁丙线相联即甲乙丙丁为直角方形论曰甲乙两角俱直角则丁甲丙乙为平行线(本篇廿八)此两线自相等则丁丙与甲乙亦平行线(本篇三三)而甲乙丙丁四线俱平行俱相等又甲乙俱直角则相对丁丙亦俱直角(本篇卅四)而甲乙丙丁定为四直角方形第四十七题凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等解曰甲乙丙角形于对乙甲丙直角之乙丙边上作乙丙丁戊直角方形(本篇四六)题言此形与甲乙边上所作甲乙己庚及甲丙边上所作甲丙辛壬两直角方形并等论曰试从甲作甲癸直线与乙戊丙丁平行(本篇卅一)分乙丙边于子次自甲至丁至戊各作直线末自乙至辛自丙至己各作直线其乙甲丙与乙甲庚既皆直角即庚甲甲丙是一直线(本篇十四)依显乙甲甲壬亦一直线又丙乙戊与甲乙己既皆直角而每加一甲乙丙角即甲乙戊与丙乙己两角亦等(公论二)依显甲丙丁与乙丙辛两角亦等又甲乙戊角形之甲乙乙戊两边与丙乙己角形之己乙乙丙两边等甲乙戊与丙乙己两角复等则对等角之甲戊与丙己两边亦等而此两角形亦等矣(本篇四)夫甲乙己庚直角方形倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形(本篇四一)而乙戊癸子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形则甲乙己庚不与乙戊癸子等乎(公论)(六)依显甲丙辛壬直角方形与丙丁癸子直角形等则乙戊丁丙一形与甲乙己庚甲丙辛壬两形并等矣一増凡直角方形之对角线上作直角方形倍大于元形如甲乙丙丁直角方形之甲丙线上作直角方形倍大于甲乙丙丁形二増题设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等法曰先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁线与乙等次作戊丁线相聨末于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半于直角己戊己丁两腰遇于己(公论十一)而等(本篇六)即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁上所作两直角方形并等论曰己丁戊己戊丁两角既皆半于直角则丁己戊为直角(本篇卅二)而对直角之丁戊线上所作直角方形与两腰线上所作两直角方形并等矣(本题)己戊与己丁既等则其上所作两直角方形自相等矣又丁戊线上所作直角方形与丙丁丙戊线上所作两直角方形并既等则己戊己丁上两直角方形并与丙戊丙丁上两直角方形并亦等三増题多直角方形求并作一直角方形与之等法曰如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任等不等求作一直角方形与五形并等先作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线题言己子线上所作直角方形即所求论曰己辛上作直角方形与甲乙两形并等(本题)己壬上作直角方形与己辛及丙两形并等余倣此推显可至无穷四増三边直角形以两边求第三边长短之数法曰甲乙丙角形甲为直角先得甲乙甲丙两边长短之数如甲乙六甲丙八求乙丙边长短之数其甲乙甲丙上所作两直角方形并既与乙丙上所作直角方形等(本题)则甲乙之羃(自乘之数曰羃)得三十六甲丙之羃得六十四并之得百而乙丙之羃亦百百开方得十即乙丙数十也又设先得甲乙乙丙如甲乙六乙丙十而求甲丙之数其甲乙甲丙上两直角方形并既与乙丙上直角方形等则甲乙之羃得三十六乙丙之羃得百百减三十六得甲丙之羃六十四六十四开方得八即甲丙八也求甲乙倣此 此以开方尽实者为例其不尽实者自具筭家分法第四十八题凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角解曰此反前题如甲乙丙角形其甲丙边上所作直角方形与甲乙乙丙边上所作两直角方形并等题言甲乙丙角必直角论曰试于乙上作甲乙丁直角而乙丁与乙丙两线等次作丁甲线相联其甲乙丁既直角则甲丁上直角方形与甲乙乙丁上两直角方形并等(本篇四七)而甲乙乙丁上两直角方形并与甲乙乙丙上两直角方形并又等(甲乙同乙丁乙丙等故)即丁甲上直角方形与甲丙上直角方形必等夫甲乙丁角形之甲乙乙丁两腰与甲乙丙角形之甲乙乙丙两腰既等而丁甲甲丙两底又等则对底线之两角亦等(本篇八)甲乙丁既直角即甲乙丙亦直角几何原本卷一
## 卷二之首
钦定四库全书几何原本卷二之首西洋利玛窦译界说二则第一界凡直角形之两边函一直角者为直角形之矩线如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此两边即知直角形大小之度今别作戊线已线与甲乙乙丙各等亦即知甲乙丙丁直角形大小之度则戊偕已两线为直角形之矩线此例与筭法通如上图一边得三一边得四相乘得十二则三偕四两边为十二之矩数凡直角诸形之内四角皆直故不必更言四边及平行线止名为直角形省文也凡直角诸形不必全举四角止举对角二字即指全形如甲乙丙丁直角形止举甲丙或乙丁亦省文也第二界诸方形有对角线者其两余方形任偕一角线方形为磬折形甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙对角线从庚点作戊己辛壬两线与方形边平行而分本形为四方形其辛己庚乙两形为余方形辛戊己壬两形为角线方形(一卷界说三六)两余方形任偕一角线方形为磬折形如辛己庚乙两余方形偕己壬角线方形同在癸子丑圜界内者是癸子丑磬折形也用辛戊角线方形倣此几何原本卷二之首
## 卷二
钦定四库全书几何原本卷二西洋利玛窦撰第一题两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内诸直角形并等解曰甲与乙丙两线如以乙丙三分之为乙丁丁戊戊丙题言甲偕乙丙矩线内直角形与甲偕乙丁甲偕丁戊甲偕戊丙三矩线内直角形并等论曰试作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩线内(作法于乙界作庚乙丙界作己丙两垂线俱与甲等为平)(行次作庚己直线与乙丙平行)次于丁戊两点作辛丁壬戊两垂线与庚乙己丙平行(一卷卅三)其辛丁与庚乙壬戊与己丙既平行则辛丁与壬戊亦平行而辛丁壬戊与己丙等即亦与甲等(一卷卅四)如此则乙辛直角形在甲偕乙丁矩线内丁壬直角形在甲偕丁戊矩线内戊己直角形在甲偕戊丙矩线内并之则三矩内直角形与甲偕乙丙两元线矩内直角形等注曰二卷前十题皆言线之能也(能者谓其上能为直角形也如)(十尺线其上能为百尺方形之类)其说与筭数最近故九卷之十四题俱以数明此十题之理今未及详因题意难显畧用数明之如本题设两数当两线为六为十以十任三分之为五为三为二六乘十为六十之一大实与六乘五为三十及六乘三为十八六乘二为十二之三小实并等第二题一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并等解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙两矩线内直角形并等论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形从丙点作己丙垂线与甲戊乙丁平行(一卷卅一)其甲戊与甲乙既等(一卷卅四)则甲己直角形在甲乙甲丙矩线内乙丁与甲乙既等则丙丁直角形在甲乙丙乙矩线内而此两形并与甲丁直角方形等又论曰试别作丁线与甲乙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形(即甲乙上直角方形)与甲丙偕丁丙乙偕丁两矩线内直角形并等(本篇一)注曰以数明之设十数任两分之为七为三十乘七为七十及十乘三为三十之两小实与十自之百一大羃等第三题一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等解曰甲乙线任两分于丙题言元线甲乙任偕一分线如甲丙矩内直角形(不论)(甲丙为长分为短分)与分余丙乙偕甲丙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等论曰试作甲丁直角方形从乙界作乙巳垂线与甲戊平行(一卷卅一)而于戊丁引长之遇于己其甲戊与甲丙等则甲己直角形在元线甲乙偕一分线甲丙矩内丙丁与甲丙等则丙己直角形在一分线甲丙偕分余线丙乙矩内而甲己直角形与甲丙丙乙矩线内丙己直角形及甲丙上甲丁直角方形并等又论曰试别作丁线与一分线甲丙等其甲乙线既任分于丙则甲乙偕丁矩线内直角形(即甲)(乙偕甲丙矩线内直角形)与丁偕丙乙(即甲丙偕丙乙)丁偕甲丙(即甲)(丙上直角方形)两矩线内直角形并等(本篇一)注曰以数明之设十数任两分之为七为三如前图则十乘七为七十与七乘三之实二十一及七自之羃四十九并等如后图十乘三为三十与七乘三之实二十一及三之羃九并等第四题一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内两直角形并等解曰甲乙线任两分于丙题言甲乙线上直角方形与甲丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等论曰试于甲乙线上作甲丁直角方形次作乙戊对角线次从丙作丙己线与乙丁平行遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行而分本形为四直角形即甲乙戊角形之甲乙甲戊两边等而甲乙戊与甲戊乙两角亦等(一卷五)夫甲乙戊形之三角并与两直角等(一卷卅二)而甲为直角即甲乙戊甲戊乙皆半直角(一卷卅之二系)依显丁乙戊角形之丁乙戊丁戊乙两角亦皆半直角则戊己庚外角与内角丁等为直角(一卷卅九)而己戊度既半直角则己庚戊等为半直角矣角既等则己庚己戊两边亦等(一卷)(六)庚辛辛戊亦等(一卷卅四)而辛巳为直角方形也依显丙壬亦直角方形也又庚辛与甲丙两对边等(一卷卅四)而乙丙与庚丙俱为直角方形边亦等则辛己为甲丙线上直角方形丙壬为丙乙线上直角方形也又甲庚及庚丁两直角形各在甲丙丙乙矩线内也则甲丁直角方形与甲丙丙乙两线上两直角方形及两线矩内两直角形并等矣系从此推知凡直角方形之角线形皆直角方形又论曰甲乙线既任分于丙则元线甲乙上直角方形与元线偕各分线矩内两直角形并等(本篇二)又甲乙偕甲丙矩线内直角形与甲丙偕丙乙矩线内直角形及甲丙上直角方形并等(本篇三)甲乙偕丙乙矩线内直角形与丙乙偕甲丙矩线内直角形及丙乙上直角方形并等(本篇三)则甲乙上直角方形与甲丙丙乙上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩线内两直角形并等注曰以数明之设十数任两分之为七为三十之羃百与七之羃四十九三之羃九及三七互乘之实两二十一并等第五题一直线两平分之又任两分之其任两分线矩内直角形及分内线上直角方形并与平分半线上直角方形等解曰甲乙线两平分于丙又任两分于丁其丙丁为分内线(丙丁线者丙乙所以大于丁乙之较又甲丁所)(以大于甲丙之较故曰分内线)题言甲丁丁乙矩线内直角形及分内线丙丁上直角方形并与丙乙线上直角方形等论曰试于丙乙线上作丙己直角方形次作乙戊对角线从丁作丁庚线与乙己平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙乙平行次从甲作甲子线与丙戊平行末从壬癸线引长之遇于子夫丁壬癸庚皆直角方形(本篇四之系)而辛丁与丁乙两线等(一卷卅四)癸辛与丙丁两线等则甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩线内而癸庚为分内线丙丁上直角方形也今欲显甲辛直角形及癸庚直角方形并与丙己直角方形等者于丙辛辛己相等之两余方形(一篇四三)每加一丁壬直角方形即丙壬及丁己两直角形等矣而甲癸与丙壬两形同在平行线内又底等即形亦等(一卷)(卅六)则甲癸与丁巳亦等也即又每加一丙辛直角形则丑寅卯罄折形岂不与甲辛等次于罄折形又加一癸庚直角方形岂不与丙巳直角方形等也而甲辛癸庚两形并亦与丙己等也则甲丁丁乙矩线内直角形及丙丁上直角方形并与丙乙上直角方形等注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之为八为二则三为分内数(三者五所以大于二之较又八所以大于五之)(较)二八之实十六三之羃九与五之羃二十五等第六题一直线两平分之又任引増一直线共为一全线其全线偕引増线矩内直角形及半元线上直角方形并与半元线偕引増线上直角方形等解曰甲乙线两平分于丙又从乙引长之増乙丁与甲乙通为一全线题言甲丁偕乙丁矩线内直角形及半元线丙乙上直角方形并与丙丁上直角方形等论曰试于丙丁上作丙戊直角方形次作丁己对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从辛作壬癸线与丙丁平行次从甲作甲子线与丙己平行末从壬癸线引长之遇于子夫乙壬癸庚皆直角方形(本篇四之系)而乙丁与丁壬两线等(一卷卅四)癸辛与丙乙两线等则甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩线内而癸庚为丙乙上直角方形也今欲显甲壬直角形及癸庚直角方形并与丙戊直角方形等者试观甲癸与丙辛两直角形同在平行线内又底等即形亦等(一卷卅六)而丙辛与辛戊等(一卷四三)则辛戊与甲癸亦等即又每加一丙壬直角形则丑寅卯磬折形与甲壬等夫磬折形加一癸庚形本与丙戊直角方形等也即甲壬癸庚两形并亦与丙戊等也则甲丁乙丁矩线内直角形及丙乙上直角方形并岂不与丙丁上直角方形等注曰以数明之设十数两平分之各五又引増二共十二二乘之为二十四及五之羃二十五与七之羃四十九等第七题一直线任两分之其元线上及任用一分线上两直角方形并与元线偕一分线矩内直角形二及分余线上直角方形并等解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙上及任用一分线如甲丙上两直角方形并(不论甲丙为长分为短分)与甲乙偕甲丙矩内直角形二及分余线丙乙上直角方形并等论曰试于甲乙上作甲丁直角方形次作乙戊对角线从丙作丙己线与乙丁平行遇对角线于庚末从庚作辛壬线与甲乙平行夫辛己丙壬皆直角方形(本篇四之系)而辛庚与甲丙等(一卷卅四)即辛己为甲丙上直角方形也又甲戊与甲乙等即甲己直角形在甲乙偕甲丙矩线内也又戊丁丁壬与甲乙甲丙各等即辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩线内也夫甲己己壬两直角形(即癸子丑罄折形)及丙壬直角方形并本与甲丁直角方形等今于甲己辛丁两直角形并加一丙壬直角方形即与甲丁直角方形加一辛巳直角方形等矣则甲乙甲丙矩线内直角形二及丙乙上直角方形并与甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十之羃百及六之羃三十六并与十六互乘之两实百二十及四之羃十六等如后图十之羃百及四之羃十六并与十四互乘之两实八十及六之羃三十六等第八题一直线任两分之其元线偕初分线矩内直角形四及分余线上直角方形并与元线偕初分线上直角方形等解曰甲乙线任分于丙题言元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四(不论丙乙为长)(分为短分)及分余线甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等论曰试以甲乙线引増至丁而乙丁与丙乙等于全线上作甲戊直角方形次作丁巳对角线从乙作乙庚线与丁戊平行遇对角线于辛次从丙作丙壬线与甲巳平行遇对角线于癸次从辛作子丑线与甲丁平行遇丙壬于寅末从癸作卯辰线与戊己平行遇乙庚于巳其卯壬寅巳乙丑俱角线方形(一卷卅四之系)而卯癸与甲丙两线等(一卷卅四)即卯壬为甲丙上直角方形又寅辛与丙乙两线等(一篇卅四)即寅巳为丙乙上直角方形与乙丑等(丙乙与乙)(丁等故)又乙辛辛巳两线亦各与丙乙等而甲辛子巳两直角形各在甲乙丙乙矩线内即等(子辛与甲乙等故)寅庚辛戊两直角形亦各在甲乙丙乙矩线内即又等(寅辛辛丑与丙乙乙丁等辛庚丑戊与等甲乙之子辛等故)寅巳既与乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚并与寅庚又等是甲辛一子巳二辛戊三乙丑四癸庚五五直角形并为午未申磬折形与元线甲乙偕初分线丙乙矩内直角形四等而午未申磬折形及卯壬直角方形本与甲戊直角方形等则甲乙乙丙矩线内直角形四及甲丙上直角方形并与甲乙偕丙乙上直角方形等注曰以数明之设十数任分之为六为四如前图十六互乘之实四为二百四十及四之羃十六共二百五十六与十六之羃等如后图十四互乘之实四为一百六十及六之羃三十六共一百九十六与十四之羃等第九题一直线两平分之又任两分之任分线上两直角方形并倍大于平分半线上及分内线上两直角方形并解曰甲乙线平分于丙又任分于丁题言甲丁丁乙上两直角方形并倍大于平分半线甲丙上分内线丙丁上两直角方形并论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等次作甲戊戊乙两腰次从丁作丁己垂线遇戊乙于己从己作己庚线与甲乙平行遇戊丙于庚末作甲己线其甲丙戊角形之甲丙丙戊两腰等即丙戊甲丙甲戊两角亦等(一卷五)而甲丙戊为直角即余两角皆半直角(一卷卅二之系)依显丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之戊庚己角为戊丙乙之外角即亦直角(一卷廿九)而庚戊己半直角即庚己戊亦半直角(一卷卅二之系)又庚戊己庚己戊两角等即庚戊庚己两腰亦等(一卷六)依显丁乙己角形之丁乙丁己两腰亦等夫甲丙戊角形之丙为直角即甲戊线上直角方形与甲丙丙戊线上两直角方形并等(一卷四七)而甲丙丙戊上两直角方形自相等即甲戊上直角方形倍大于甲丙上直角方形矣又戊庚己角形之庚为直角即戊己线上直角方形与庚戊庚己线上两直角方形并等(一卷四七)而庚戊庚己上两直角方形自相等即戊己上直角方形倍大于等庚己之丙丁上直角方形矣(庚己丙丁为丙己直)(角形之对边故见一卷卅四)则是甲戊戊己上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲己上直角方形既等于甲戊戊己上两直角方形并又等于甲丁丁己上两直角方形并(一篇四七)则甲丁丁己上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并矣而丁己与丁乙等则甲丁丁乙上两直角方形并岂不倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也注曰以数明之设十数两平分之各五又任分之为七为三分内数二其七之羃四十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及二之羃四第十题一直线两平分之又任引増一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引増线上两直角方形并解曰甲乙直线平分于丙又任引増为乙丁题言甲丁线上及乙丁线上两直角方形并倍大于甲丙线上及丙丁线上两直角方形并论曰试于丙上作丙戊垂线与甲丙等自戊至甲至乙各作腰线次从丁作己丁垂线引长之又从戊乙引长之遇于庚次作戊己线与丙丁平行末作甲庚线依前题论推显甲戊乙为直角丙戊乙为半直角即相对之戊庚己亦半直角(一卷廿九)又己为直角(一卷卅四)即己戊庚亦半直角(一卷卅二)而己戊己庚两腰必等(一卷)(六)依显乙丁丁庚两腰亦等夫甲戊上直角方形等于甲丙丙戊上两直角方形并(一卷四七)必倍大于甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等于戊己己庚上两直角方形并(一卷四七)必倍大于对戊己边之丙丁上直角方形(一卷卅四)则甲戊戊庚上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也又甲庚上直角方形等于甲戊戊庚上两直角方形并亦等于甲丁丁庚上两直角方形并则甲丁丁庚上两直角方形并亦倍大于甲丙丙丁上两直角方形并也而甲丁乙丁上两直角方形并倍大于甲丙丙丁上两直角方形并矣(丁庚与乙丁等故)注曰以数明之设十数平分之各五又任増三为十三十三之羃一百六十九及三之羃九倍大于五之羃二十五及八之羃六十四也第十一题一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等法曰甲乙线求两分之而元线偕初分小线矩内直角形与分余大线上直角方形等先于甲乙上作甲丙直角方形次以甲丁线两平分于戊次作戊乙线次从戊甲引増至己而戊己线与戊乙等末于甲乙线截取甲庚与甲己等即甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等如所求论曰试于庚上作壬辛线与丁己平行次作己辛线与甲庚平行其壬庚与丙乙等即与甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩线内也又甲庚与甲己等而甲为直角即己庚为甲庚上直角方形也(一卷卅四)今欲显庚丙直角形与己庚直角方形等者试观甲丁两平分于戊而引増一甲己是丁己偕甲己矩线内直角形(即丁辛直角形)及甲戊上直角方形并与等戊己之戊乙上直角方形等(本篇六)夫戊乙上直角方形等于甲戊甲乙上两直角方形并(一卷四七)即丁辛直角形及甲戊上直角方形并与甲戊甲乙上两直角方形并等矣次各减同用之甲戊上直角方形即所存丁辛直角形不与甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各减同用之甲壬直角形则所存己庚直角方形与庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等也注曰此题无数可解说见九卷十四题第十二题三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二解曰甲乙丙三边钝角形甲乙丙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙之引増线遇于丁为直角题言对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩线内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并与甲丙上直角方形等论曰丙丁线既任分于乙即丙丁上直角方形与丙乙乙丁上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等(本篇四)此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁甲丁上两直角方形并与丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等也夫甲丙上直角方形等于丙丁甲丁上两直角方形并(一卷四七)即亦等于丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并也又甲乙线上直角方形既等于乙丁甲丁上两直角方形并(一卷四七)即甲丙上直角方形与甲乙丙乙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二并等矣第十三题三边锐角形之对锐角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二解曰甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁题言对甲丙乙锐角之甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等论曰乙丙线既任分于丁即乙丙丁丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁上直角方形并等(本篇七)此二率者每加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等也又甲丙上直角方形等于丁丙甲丁上两直角方形并(一卷四七)即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及乙丁甲丁上两直角方形并等也又甲乙上直角方形等于乙丁甲丁上两直角方形并(一卷四七)即乙丙甲丙上两直角方形并与乙丙偕丁丙矩线内直角形二及甲乙上直角方形并等反说之则甲乙上直角方形小于乙丙甲丙上两直角方形并者为乙丙偕丁丙矩线内直角形二也注曰题中止论锐角形不言直角钝角形而直角钝角形中俱有两锐角(一卷十七卅二)即对锐角边上形亦同此论(如第二第三图是)但三锐角形所作垂线任用一角而直角形必用直角钝角形必用钝角此为异耳(直角钝角形不用直角钝角不能作垂线)第十四题有直线形求作直角方形与之等法曰甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙丁形与甲等而直角(一卷四五)次任用一边引长之如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次以丁巳两平分于庚其庚点或在丙点或在丙点之外若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣(葢丙己与乙丙等又与丙)(丁等而余边俱相等故乙丁为直角方形见一卷卅四)若庚在丙外即以庚为心丁巳为界作丁辛巳半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等论曰试自庚至辛作直线其丁巳线既两平分于庚又任两分于丙则丁丙偕丙巳矩内直角形(即乙丁直角形)(葢丙己与乙丙等故)及庚丙上直角方形并与等庚巳之庚辛上直角方形等(本篇五)夫庚辛上直角方形等于庚丙丙辛上两直角方形并(一卷四七)即乙丁直角形及庚丙上直角方形并与庚丙丙辛上两直角方形并等次各减同用之庚丙上直角方形则丙辛上直角方形与乙丁直角形等増题凡先得直角方形之对角线所长于本形边之较而求本形边法曰直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如所求论曰试于乙戊作戊己垂线从乙甲线引长之遇于己其乙戊己既直角而戊乙己为半直角(一卷卅二)即戊己乙亦半直角而戊乙与戊己两边等(一卷六)次作己庚与戊乙平行作乙庚与戊己平行即戊庚形为戊乙边上直角方形也末作戊甲线即丁戊甲丁甲戊两角等也(一卷五)夫乙戊己丁甲己既两皆直角试每减一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊两角必等而己戊己甲两边必等(一卷六)则乙己对角线大于乙戊边之较为甲乙矣 此増不在本书因其方形故类附于此几何原本卷二
## 卷三之首
钦定四库全书几何原本卷三之首西洋利玛窦译界说十则第一界凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜三卷将论圜之情故先为圜界说此解圜之等者如上图甲乙乙丙两径等或丁己戊庚从心至圜界等即甲己乙乙庚丙两圜等若下图甲乙乙丙两径不等或丁己戊庚从心至圜界不等则两圜亦不等矣第二界凡直线切圜界过之而不与界交为切线甲乙线切乙己丁圜之界乙又引长之至丙而不与界交其甲丙线全在圜外为切线若戊己线先切圜界而引之至庚入圜内则交线也第三界凡两圜相切而不相交为切圜甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一图或切于内如第三图其第二第四图则交圜也第四界凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度凡一点至一直线上惟垂线至近其他即逺垂线一而已逺者无数也故欲知点与线相去逺近必用垂线为度试如前图甲点与乙丙线相去逺近必以甲丁垂线为度为甲丁一线独去直线至近他若甲戊甲己诸线愈大愈逺乃至无数故如后图说甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两线其去戊心逺近等为己戊庚戊两垂线等故若辛壬线去戊心近矣为戊癸垂线小故第五界凡直线割圜之形为圜分甲乙丙丁圜之乙丁直线任割圜之一分如甲乙丁及乙丙丁两形皆为圜分凡分有三形其过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者为圜小分又割圜之直线为弦所割圜界之一分为弧第六界凡圜界偕直线内角为圜分角以下三界论圜角三种本界所言杂圜也其在半圜分内为半圜角在大分内为大分角在小分内为小分角第七界凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙点出两直线作甲乙丙角形其甲乙丙角为负甲乙丙圜分角第八界若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角甲乙丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁两线其乙甲丁角为乘乙丙丁圜分角圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜或两圜相切其两圜相切者又或内或外如上图甲乙线切丙丁戊圜于丙即甲丙丁乙丙戊两角为切边角又丙丁戊己戊庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱为切边角第九界凡从圜心以两直线作角偕圜界作三角形为分圜形甲乙丙丁圜从戊心出戊甲戊丙两线偕甲丁丙圜界作角形为分圜形第十界凡圜内两负圜分角相等即所负之圜分相似甲乙丙丁圜内有甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负甲乙丁己与丁丙甲戊两圜分相似又有两圜或等或不等其负圜分角等即圜分俱相似如上三图三圜之甲乙丙丁戊己庚辛壬三负圜分角等即所负甲乙丙丁戊己庚辛壬三圜分相似(相似者如云同为几分圜之几也)几何原本卷三之首
## 卷三
钦定四库全书几何原本卷三西洋利玛窦撰第一题有圜求寻其心法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分之于戊(一卷)(十)次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜心论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚戊丙两角宜亦等(一卷八)而为两直角矣(一卷界说十)夫乙戊甲既直角而庚戊甲又为直角可不可也系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直角即圜心在其内第二题圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直线相聨题言甲丙线全在圜内论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊心(本篇一)次作戊甲戊丙两直线次于甲丁丙线上作戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙甲两角宜等(一卷五)而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角(一卷十六)则对戊丁甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣(一卷十九)夫戊甲与戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而在圜界依前论令戊甲大于戊乙亦不可通也第三题直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分于己题言甲己必是垂线而己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙丁必两平分先论曰试从甲作甲乙甲丁两线即甲乙己角形之乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边之甲己乙甲己丁亦等(一卷八)而为两直角矣后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等(一卷五)又甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁两边又等则己乙己丁两边亦等(一卷廿六)欲显次论之㫖又有一说如甲丁上直角方形与甲己己丁上两直角方形并等(一卷四七)而甲乙上直角方形与甲己乙己上两直角方形并亦等即甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而两边亦等第四题圜内不过心两直线相交不得俱为两平分解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心(若一过心一不过心即两线不得俱为两平分其理易显)而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱为两平分论曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊试令寻本圜心于己(本篇一)从己至戊作甲乙之垂线其己戊既分甲乙为两平分即为两直角(本篇三)而又能分丙丁为两平分亦宜为两直角是己戊甲为直角而己戊丙亦直角全与其分等矣第五题两圜相交必不同心解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁题言两圜不同心论曰若言丙为同心令自丙至乙至甲各作直线其丙乙至圜交而丙甲截两圜之界于戊于甲夫丙既为戊乙丁圜之心则丙乙与丙戊等而又为甲乙丁圜之心则丙乙与丙甲又等是丙戊与丙甲亦等而全与其分等也第六题两圜内相切必不同心解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙题言两圜不同心论曰若言丁为同心令自丁至乙至丙各作直线其丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既为甲乙圜之心则丁乙与丁甲等而又为丙乙圜之心则丁乙与丁丙又等是丁甲与丁丙亦等而全与其分等也第七题圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等解曰甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一点为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁止可出两线等先论曰试从已心出三线至丙至丁至戊其丙己庚角形之丙己己庚两边并大于丙庚一边(一卷二十)而丙己己庚等于甲己己庚则庚甲大于庚丙依显庚丁庚戊俱小于庚甲是庚甲最大次论曰己庚戊角形之己戊一边小于己庚庚戊两边并(一卷二十)而己戊与己乙等则己乙小于己庚庚戊并矣次各减同用之己庚则庚乙小于庚戊依显庚戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小三论曰丙己庚角形之丙己与丁己庚角形之丁己两边等己庚同边而丙己庚角大于丁己庚角(全大于分)则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边(一卷廿四)依显庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小后论曰试依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界为己辛线次从庚作庚辛线其戊己庚角形之戊己腰与庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰间角又等则对等角之庚戊庚辛两底亦等(一卷四)而庚乙两旁之庚戊庚辛等矣此外若有从庚出线在辛之上即依第三论大于庚辛在辛之下即小于庚辛故云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两线等第八题圜外任取一㸃从㸃任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等解曰乙丙丁戊圜之外从甲㸃任出几线其一为过癸心之甲壬其余为甲辛为甲庚为甲己皆至规内(规内线者如车辐之指牙)题先言过心之甲壬最大次言近心之甲辛大于离心之甲庚甲庚又大于甲己三反上言规外之甲乙为乙壬径余者(规外)(线者如车辐之凑毂)最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线等先论曰试从癸心至丙丁戊己庚辛各出直线其甲癸辛角形之甲癸癸辛两边并大于甲辛一边(一卷二十)而甲癸癸辛与甲壬等则甲壬大于甲辛依显甲壬更大于甲庚甲己而过心之甲壬最大次论曰甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚两边等甲癸同边而甲癸辛角大于甲癸庚角(全大于分)则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边(一卷廿四)依显甲庚大于甲己而规内线愈离心愈小三论曰甲癸丙角形之甲癸一边小于甲丙丙癸两边并(一卷二十)次每减一相等之乙癸丙癸则甲乙小于甲丙矣依显甲乙更小于甲丁甲戊而规外甲乙最小四论曰甲丁癸角形之内从甲与癸出甲丙丙癸两边并小于甲丁丁癸两边并(一卷廿一)此二率者每减一相等之丙癸丁癸则甲丙小于甲丁矣依显甲丙更小于甲戊而愈近径余甲乙者愈小后论曰试依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作甲子线其甲子癸角形之甲癸癸子两腰与甲癸丙角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰间角又等则对等角之甲子甲丙两底亦等也(一卷四)此外若有从甲出线在子之上即依第四论小于甲丙在子之下即大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两线等第九题圜内从一㸃至界作三线以上皆等即此㸃必圜心解曰从甲㸃至乙丙丁圜界作甲乙甲丙甲丁三直线若等题言甲㸃为圜心三以上等者更不待论论曰试于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直线相聨此两线各两平分于戊于己从甲出两直线为甲戊为甲己其甲乙戊角形之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰乙戊戊丙两底又等即甲戊乙与甲戊丙两角亦等(一卷八)为两直角依显甲己丙甲己丁亦等为两直角则甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分为直角而此两线俱为函心线(本篇一之系)定相遇于甲甲为圜心矣又论曰若言甲非心心在于戊者令戊甲相聨引作己庚径线即甲是戊心外所取一㸃而从甲所出线愈近心者宜愈大矣(本篇七)则甲丁宜大于甲丙而先设等何也第十题两圜相交止于两㸃论曰若言甲乙丙丁戊己圜与甲庚乙丁辛戊圜三相交于甲于乙于丁令作甲乙乙丁两直线相联此两线各两平分于壬于癸次从壬癸作子壬子癸两垂线其子壬分甲乙子癸分乙丁既皆两平分而各为两直角即子壬子癸两线俱为甲庚乙丁辛戊圜之函心线(本篇一之系)而子为其心矣依显甲乙丙丁戊己圜亦以子为心也夫两交之圜尚不得同心(本篇五)何縁得有三交又论曰若言两圜三相交于甲于乙于丁令先寻甲庚乙丁辛戊圜之心于壬(本篇一)次从心至三交界作壬甲壬乙壬丁三线此三线等也(一卷界说十五)又甲乙丙丁戊己圜内有从壬出之壬甲壬乙壬丁三相等线则壬又为甲乙丙丁戊己圜之心(本篇九)不亦交圜同心乎(本篇五)第十一题两圜内相切作直线联两心引出之必至切界解曰甲乙丙甲丁戊两圜内相切于甲而己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心题言作直线聨庚己两心引抵圜界必至甲论曰如云不至甲而截两圜界于乙丁及丙戊令从甲作甲己甲庚两线其甲己庚角形之庚己己甲两邉并大于庚甲一邉(一卷二十)而同圜心所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大于庚丁矣此二率者各减同用之庚己即己甲亦大于己丁矣夫己甲与己乙是内圜同心所出等线则己乙亦大于己丁而分大于全也可乎若曰庚为甲乙丙心己为甲丁戊心亦依前转说之甲己庚角形之己庚庚甲两邉并大于甲己一邉(一卷二十)而同圜心所出之己甲己戊宜等即己庚庚甲大于己戊矣此二率者各减同用之己庚即庚甲大于庚戊矣夫庚甲与庚丙是内圜同心所出等线则庚丙亦大于庚戊而分大子全也可乎第十二题两圜外相切以直线联两心必过切界解曰甲乙丙丁乙戊两圜外相切于乙其甲乙丙心为己丁乙戊心为庚题言作己庚直线必过乙论曰如云不然而己庚线截两圜界于戊于丙令于切界作乙己乙庚两线其乙己庚角形之己乙乙庚两边并大于己庚一边而乙庚与庚戊乙己与己丙俱同心所出线宜各等即庚戊丙己两线并亦大于庚己一线矣(一卷二十)夫庚己线分为庚戊丙己尚余丙戊而云庚戊丙己大于庚己则分大于全也故直线聨己庚必过乙第十三题(二支)圜相切不论内外止以一㸃先论曰甲乙丙丁与甲戊丙己两圜内相切若云有两㸃相切于甲又于丙令作直线函两圜心庚辛引出之如前图宜至相切之甲之丙(本篇十一)则甲丙为两圜之同径矣而此径线者两平分于庚又两平分于辛何也(一直线止以一㸃两平分)若云庚辛引出直线一抵甲一截两圜之界于癸于壬即如后图令从两心各作直线至又相切之丙次问之甲乙丙丁圜之心为庚邪辛邪如曰庚也而辛为甲戊内己之心则丙庚辛角形之庚辛辛丙两边并大于庚丙一边(一卷)(二十)而庚辛辛丙与庚癸宜等(辛癸辛丙同圜心所出故)即庚癸亦大于庚丙矣夫庚丙与庚壬者外圜同心所出等线也将庚癸亦大于庚壬可乎如曰辛也而庚为甲戊丙己之心则丙庚辛角形之辛庚庚丙两边并大于辛丙一边(一卷二十)而辛丙与辛甲宜等即辛庚庚丙亦大于辛甲矣此二率者各减同用之辛庚即庚丙亦大于庚甲也夫庚甲与庚丙者亦同圜心所出等线也而安有大小后论曰甲乙与乙丙两圜外相切于已从甲乙之丁心丙乙之戊心作直线相聨必过已(本篇十三)若云又相切于乙令自乙至丁至戊各作直线其丁乙乙戊并宜与丁戊等而为角形之两腰又宜大于丁戊(一卷二十)则两圜相切安得两㸃又后论曰更令于两相切之乙之己作直线相聨其直线当在甲乙圜内(本篇二)又当在乙丙圜内何所置之第十四题(二支)圜内两直线等即距心之逺近等距心之逺近等即两直线等先解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内甲乙丁丙两线等题言两线距戊心逺近亦等论曰试从戊心向甲乙作戊己向丁丙作戊庚各垂线次自丁自甲至戊各作直线其戊己戊庚既各分甲乙丁丙线为两平分(本篇三)而甲乙丁丙等则平分之甲己丁庚亦等夫甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等(一卷四七)等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等而甲己丁庚上两直角方形既等即戊己戊庚上两直角方形亦等则戊己戊庚两线亦等是甲乙丁丙两线距心之度等(本卷界说四)后解曰甲乙丁丙两线距戊心逺近等题言甲乙丁丙两线亦等论曰依前论从戊作戊己戊庚两垂线既等(本卷界说四)而分甲乙丁丙各为两平分(本篇)(三)其甲戊上直角方形与甲己己戊上两直角方形并等(一卷四七)等甲戊之丁戊上直角方形与丁庚庚戊上两直角方形并等即甲己己戊上两直角方形并与丁庚庚戊上两直角方形并亦等此二率者每减一相等之己戊戊庚上直角方形即所存甲己丁庚上两直角方形亦等是甲己丁庚两线等也夫甲乙倍甲己丁丙倍丁庚其半等其全必等第十五题径为圜内之大线其余线者近心大于逺心解曰甲乙丙丁戊己圜其心庚其径甲己其近心线为辛壬逺心线为丙丁题言甲乙最大辛壬近心大于丙丁逺心论曰试从庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂线其丙丁距心逺于辛壬即庚癸大于庚子(本卷界说四)次于庚癸线截庚丑与庚子等次从丑作乙戊为庚癸之垂线末于庚乙庚丙庚丁庚戊各作直线相联其庚丑既等于庚子即乙戊与辛壬各以垂线距心逺近等(本卷界说四)而两线亦等(本篇十四)夫庚乙庚戊并大于乙戊(一卷二十)而与甲己等即甲己大于乙戊亦大于辛壬矣依显甲己大于他线则甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戊两腰与丙庚丁角形之丙庚庚丁两腰等而乙庚戊角大于丙庚丁角则乙戊底大于丙丁底(一卷廿四)故等乙戊之辛壬亦大于丙丁也是近心线大于逺心线也第十六题(三支)圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角先解曰甲乙丙圜丁为心甲丙为径从甲作甲丙之垂线题言此线全在圜外论曰若言在内如甲乙令自丁至乙作直线即丁甲乙与丁乙甲两角等(一卷五)丁甲既为直角丁乙又为直角乎夫角形三角并等两直角(一卷十七)岂得形内自有两直角也则垂线必在圜外若己戊必不在圜内若甲乙又不在圜界之上(如云在界亦依此论)故曰全在圜外次解曰题又言戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角不得更作一直线入其内论曰若云可作如庚甲令从丁心向庚甲作丁辛为庚甲之垂线(一卷十二)夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲两角并小于两直角(一卷十七)而丁辛甲为直角即对小角之丁辛线小于对大角之甲丁线矣(一卷十九)甲丁者与丁壬为同圜相等者也将丁壬亦大于丁辛乎则戊甲乙角之内不得更作一直线而戊甲之下但有直线必入本圜之内也后解曰题又言丁甲垂线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲垂线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角论曰依前论甲戊下有直线既云必入圜内即此直线偕戊甲所作各直线锐角皆小于圜分角而切边角小于各直线锐角系己甲线必切圜以一㸃増先解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙从甲作戊甲为甲丙之垂线题言戊甲全在圜外増正论曰试于甲戊线内任取一㸃为庚自庚至丁作直线其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲两角小于两直角(一卷十七)而丁甲庚为直角即丁庚甲小于直角对大角之丁庚线大于对小角之丁甲线矣(一卷十九)则庚㸃在圜之外也凡戊甲以内作㸃皆依此论故戊甲线全在圜外増次解曰从甲作甲辛线在戊甲之下题言甲辛必割圜为分増正论曰试作甲丁壬角与戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁两角并等于戊甲丁直角必小于两直角而丁壬甲辛两线必相遇(分论十一)其相遇又必在圜之内如壬何者壬甲丁壬丁甲两角既与一直角等即甲壬丁必为直角(一卷卅二)而对大角之甲丁线必大于对小角之丁壬线矣(一卷十九)夫甲丁线仅至圜界则丁壬不能抵圜界必在圜之内也后支前已正论或难曰切边角有大有小何以毕不得两分向者闻几何之分不可穷尽如庄子尺棰之义深著明矣今切边之内有角非几何乎此几何何独不可分邪又十卷第一题言设一小几何又设一大几何若从大者半减之减之又减必至一处小于所设小率此题最明无可疑者今言切边之角小于直线锐角是亦小几何也彼直线锐角是亦大几何也若从直线锐角半减之减之又减何以终竟不得小于切边角邪既本题推显切边角中不得容一直线如此著明便当并无切边角无角则无几何此则不可得分耳且几何原本书中无有至大不可加之率无有至小不可减之率若切边角不可分岂非至小不可减乎答曰谬矣子之言也有圜有线安得无切边角且既言直线锐角大于切边角即有切边角矣苟无角安所较大小哉且子言直线与圜界并无切边角则两圜外相切亦无角乎曰然曰试如作甲己乙圜其心丙而丁戊为切线即丁甲己为切边角次移心于庚又作甲辛癸圜即丁甲辛为切边角而小于丁甲己次移心于子又作甲丑寅圜即丁甲丑为切边角而又小于丁甲辛如是小之又小疑无角焉次又于切线之外以辰为心作甲己午圜而与前圜外相切于甲依子所说疑无角焉然两圜外相切而以丁戊线分之不可分乎更自辰至寅作直线截两圜之界而分丁戊为两平分不可分乎两圜两直线交罗相遇于甲也能不皆以一㸃乎如以一㸃也即此一㸃之外不能无空即不能不为四切边角矣子所据尺棰之分无尽又言几何原本书中无至小不可减之率也是也夫切边角但不可以直线分之耳若用圜线则可分矣如甲乙庚圜与丙甲丁直线相切于甲作丁甲庚切边大角若移一心作甲戊辛圜又得丁甲辛切边角即小于丁甲庚也又移一心作甲己壬圜又得丁甲壬切边小角即又小于丁甲辛也如此以至无穷则切边角分之无尽何谓不可减邪若十卷第一题所言元无可疑但以圜角分圜角则与其说合矣彼所言大小两几何者谓夫能相较为大能相较为小者也如以直线分直线角以圜线分圜线角是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉増题有两种几何一大一小以小率半増之递増至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小解曰戊甲乙切边角为小率壬庚辛直线锐角为大率今别作甲丙甲丁等圜俱切戊己线于甲其切边角愈増愈大如前论别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小然直线角恒大切边角恒小乃至终古不得相比又増题旧有一说以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相离逐线渐移之必至一相等之处又一说有率大于此率者有率小于此率者则必有率等于此率者昔人以为皆公论也若用以律本题即不可得故今斥不为公论解曰甲乙丙圜其径甲丙令甲丙之甲界定在于甲而引丙线逐线渐移之向已其所经丁戊己及中间逐线所经无数然依本题论则甲丙所经凡割圜时皆为锐角即小于半圜分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线可见前一旧说未为公论又直线锐角皆小于半圜分角直角与钝角皆大于半圜分角是有大者有小者终无等者可见后一旧说未为公论也第十七题设一㸃一圜求从㸃作切线法曰甲㸃求作直线切乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截乙丙圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜次从乙作甲丁之垂线而遇甲戊圜于戊次作戊丁直线而截乙丙圜于丙末作甲丙直线即切乙丙圜于丙论曰乙戊丁角形之戊丁丁乙两腰与甲丙丁角形之甲丁丁丙两腰各等(一卷界说十五)丁角同即甲丙乙戊两底亦等(一卷四)而戊乙丁为直角即甲丙丁亦直角则甲丙偕乙丙圜之半径丁丙为一直角矣岂非圜之切线(本篇十六之系)第十八题直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线解曰甲乙直线切丙丁圜于丙从戊心至切界作戊丙线题言戊丙为甲乙之垂线论曰如云不然令从戊别作垂线如至已而截丙丁圜于丁其丙戊己角形之戊己丙既为直角即宜大于己丙戊角(一卷十七)而对大角之戊丙边宜大于对小角之戊己边矣(一卷十九)夫戊丙与戊丁等也戊丙大于戊已则戊丁亦大于戊己乎又论曰若云丙非直角即其两旁角一锐一钝令乙丙戊为锐角则锐角乃大于半圜分角乎(本篇十六)第十九题直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙圜内作戊丙为甲乙之垂线题言圜心在戊丙线内论曰如云不然心在于已令从已作己丙直线即己丙亦为甲乙之垂线(本篇十八)而已丙甲与戊丙甲等为直角是全与其分等矣第二十题负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角解曰甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底题言乙丁丙角倍大于乙甲丙角先论分圜角在乙甲甲丙之内者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其甲丁乙角形之丁甲丁乙等即丁甲乙丁乙甲两角等(一卷五)而乙丁戊外角与内相对两角并等(一卷卅二)即乙丁戊倍大于乙甲丁矣依显丙丁戊亦倍大于丙甲丁则乙丁丙全角亦倍大于乙甲丙全角次论分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙线过丁心者曰如上图依前论推显乙丁丙外角等于内相对之丁甲丙丁丙甲两角并(一卷卅二)而丁甲丁丙两腰等即甲丙两角亦等(一卷)(五)则乙丁丙角倍大于乙甲丙角后论分圜角在负圜角线之外而甲乙截丁丙者曰如上图试从甲过丁心作甲戊线其戊丁丙分圜角与戊甲丙负圜角同以戊乙两圜分为底如前次论戊丁丙角倍大于戊甲丙角依显戊丁乙分圜角亦倍大于戊甲乙负圜角次于戊丁丙角减戊丁乙角戊甲丙角减戊甲乙角则所存乙丁丙角必倍大于乙甲丙角増若乙丁丁丙不作角于心或为半圜或小于半圜则丁心外余地亦倍大于同底之负圜角论曰试从甲过丁心作甲戊线即丁心外余地分为乙丁戊戊丁丙两角依前论推显此两角倍大于乙甲丁丁甲丙两角第二十一题凡同圜分内所作负圜角俱等解曰甲乙丙丁圜其心戊于丁甲乙丙圜分内任作丁甲丙丁乙丙两角题言此两角等先论函心大分所作曰试从戊作戊丁戊丙线其丁戊丙分圜角既倍大于丁甲丙角丁乙丙角(本篇十二)即甲乙两角自相等(公论七)后论半圜分不函心小分所作曰丁甲乙丙或为半圜分或为不函心小分俱从甲从乙过戊作甲己乙庚两线若不函心更从戊作戊丁戊丙两线其丁戊己分圜角既倍大于丁甲己负圜角(本篇二十)依显丙戊己分圜角亦倍大于丙甲己负圜角而丁戊庚庚戊己两角与丁戊己一角等则丁戊庚庚戊己己戊丙三角必倍大于丁甲丙依显此三角亦倍大于丁乙丙则丁甲丙丁乙丙两角自相等又后论曰二十题増言分圜不作角其心外余地倍大于同底各负圜角即各角自相等又后论曰甲丙乙丁线交罗相遇为已试作甲乙线相联其甲丁己角形之三角并与乙丙己角形之三角并等(一卷卅二)次每减一交角相等之甲己丁乙己丙(一卷十五)即己甲丁己丁甲两角并与己丙乙己乙丙两角并等矣而甲丁乙乙丙甲两角同在甲丁丙乙函心大分内又等(本题第一论)则丁甲丙与丙乙丁亦等又后论曰丁丙之外任取一界为已作丁己丙己两线令俱函心而丁甲乙丙己与丙乙甲丁己俱为大分次于甲己乙己各作直线相聨其丁甲已与丁乙己两角同负于甲乙丙己圜界即等(本题第一论)依显丙乙己与丙甲已两角同负丙乙甲丁己圜界又等此二相等率并之则丁甲丙丁乙丙两全角亦等第二十二题圜内切界四边形每相对两角并与两直角等解曰甲乙丙丁圜其心戊圜内有甲乙丙丁四边形题言甲乙丙丙丁甲两角并乙丙丁丁甲乙两角并各与两直角等论曰试作甲丙乙丁两对角线其甲乙丁甲丙丁两角同负甲乙丙丁圜分即等(本篇)(廿一)依显丙甲丁丙乙丁两角亦等则甲乙丁丙乙丁两角并为甲乙丙一角与甲丙丁丙甲丁两角并等次每加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲并与甲丙丁丙甲丁丙丁甲三角并等此三角并元与两直角等(一卷卅二)则甲乙丙丙丁甲相对两角并与两直角等依显乙丙丁丁甲乙并亦与两直角等第二十三题一直线上作两圜分不得相似而不相等论曰如云不然令于甲乙线上作同方两圜分相似而不相等必作甲丙乙又作甲丁乙其两圜相交止于甲乙两㸃(本篇十)即一圜分全在内一圜分全在外矣次令作甲丁线截甲丙乙圜于丙末令作丙乙丁乙两线相聨夫两圜分相似者其负圜角宜等(本卷界说十)则乙丙甲外角与相对之乙丁甲内角等乎(一卷十六)第二十四题相等两直线上作相似两圜分必等解曰甲乙丙丁两线上作甲丙乙丙己丁相似两圜分题言两圜分等论曰甲乙丙丁两线既等试以甲乙线加丙丁线上两线必相合即甲丙乙丙己丁两圜分相加亦相合如云不然必两圜分相加或在内或在外或半在内半在外矣若在内在外即一直线上有两圜分相似而不相等也(本篇廿三)若半在内半在外即两圜三相交也(本篇十)两俱不可故相似者必等第二十五题有圜之分求成圜法曰甲乙丙圜分求成圜先于分之两端作甲丙线次作乙丁为甲丙之垂线次作甲乙线相联其丁乙甲角或大于丁甲乙角或等或小若大即甲乙丙当为圜之小分何也乙丁分甲丙为两平分即知圜之心必在乙丁线内(本篇一之系)而心在丁㸃之外则从丁㸃所出丁乙为不过心径线至小(本篇七)故对小边之丁甲乙角小于对大边之丁乙甲角也(一卷十八)即作乙甲戊角与丁乙甲角等次从乙丁引出一线与甲戊线遇于戊即戊为圜心论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊与戊丙两线等(一卷四)夫甲戊与乙戊以对角等故既等(一卷六)戊丙与甲戊又等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇九)次法兼论曰若丁乙甲丁甲乙两角等即甲乙丙为半圜而甲丙为径丁为心何也丁乙丁甲两边等然后丁乙甲丁甲乙两角等(一卷)(五)今丁乙甲丁甲乙两角既等即丁乙丁甲两线必等(一卷六)丁丙元与丁甲等则从丁所出三线等而丁为圜心(本篇九)后法曰若丁乙甲小于丁甲乙即甲乙丙当为圜大分何也乙丁分甲丙为两平分即知圜心在乙丁线内(本篇一之系)而丁㸃在心之外则所出丁乙为过心径线至大(本篇七)故对大边之丁甲乙大于对小边之丁乙甲也(一卷十八)即作乙甲戊角与丁乙甲角等而甲戊线与乙丁线遇于戊即戊为圜心论曰试从戊作戊丙线其甲丁戊角形之甲丁线与丙丁戊角形之丙丁线等丁戊同线而甲丁戊丙丁戊两皆直角即对直角之甲戊戊丙两线亦等(一卷四)夫乙戊与甲戊以对角等故既等(一卷五)戊丙与甲戊亦等则从戊至界三线皆等而戊为心(本篇九)増求圜分之心有一简法于甲乙丙圜分任取三㸃于甲于乙于丙以两直线联之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即已为圜心论曰己丁己戊既各以两直角平分甲乙乙丙两线即圜之心当在两垂线内(本篇一)而相遇于已即已为圜心其用法圜界上任取四㸃为甲为乙为丙为丁每两㸃各自为心相向各任作圜分四圜分两两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作直线引长之交于壬即壬为圜心论曰试作甲戊戊乙乙己己甲四直线此四线各为同圜等圜之半径各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戊两角等而乙戊己角形之乙戊己乙己戊两角亦等次作甲乙直线分戊己于癸即甲己癸角形之甲己边与乙己癸角形之乙己边等己癸同边而对甲己癸角之甲癸边与对乙己癸角之乙癸边亦等(一卷八)则甲癸己乙癸己俱为直角而戊己线必过心(本篇一)依显庚辛线亦过心而相遇于壬为圜心第二十六题(二支)等圜之乘圜分角或在心或在界等其所乘之圜分亦等先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛有甲庚丙与丁辛己两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等论曰试于甲乙丙丁戊己两圜分之上任取两㸃于乙于戊从乙作乙甲乙丙从戊作戊丁戊己各两线次作甲丙丁己两线相联其乙与戊两角既各半于庚辛两角即乙与戊自相等(本篇二十)而所负甲乙丙与丁戊己两圜分相似(本卷界说十)又甲庚丙角形之甲庚庚丙两边与丁辛己角形之丁辛辛己两边各等庚角与辛角又等即甲丙与丁己两边亦等(一卷四)而相似之甲乙丙与丁戊己两圜分在等线上亦等(本篇卄四)夫相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等故云等角所乗之圜分等后解在界者曰两圜之乙与戊两乘圜角等题言所乘之甲丙丁己两圜分亦等论曰乙戊两角既等而庚辛两角各倍于乙戊即庚辛自相等(本篇二十)依前论甲丙丁己两边亦自相等而甲乙丙与丁戊己两圜分亦等(本篇廿四)今于相等圜减相等圜分则所存甲丙丁己两圜分亦等注曰后解极易明葢庚辛角既各倍于乙戊则依先论甲丙丁己自相等(在心之乘圜角即分圜角随类异名)第二十七题(二支)等圜之角所乘圜分等则其角或在心或在界俱等先解在心者曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛若甲庚丙乘圜角所乘之甲丙分与丁辛己所乘之丁己分等题言甲庚丙丁辛己两角等论曰如云不然而庚大于辛令作甲庚壬角与丁辛己角等即甲壬圜分宜与丁己圜分等(本篇)(廿六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎后解在界者曰甲丙丁己两圜分等题言其上乙戊两角亦等论曰如云不然而乙大于戊令作甲乙壬角与戊角等其甲乙壬与丁戊己若等即所乘之甲壬丁己宜等(本篇廿六)而甲丙与丁己元等则甲壬与甲丙亦等乎増题从此推显两直线不相交而在一圜之内若两线界相去之圜分等则两线必平行若两线平行则两线界相去之圜分等先解曰甲乙丙丁圜内有甲丁乙丙两线其相去之甲乙丁丙两圜分等题言两线必平行论曰试自甲至丙作直线相联其甲乙丁丙既等即甲丙乙与丙甲丁两乘圜角亦等(本题)既内相对之两角等即两线必平行(一卷廿七)后解曰甲丁乙丙为平行线题言甲乙丁丙两圜分必等论曰试作甲丙线其甲丁乙丙既平行即内相对之两角甲丙乙丙甲丁必等(一卷廿七)而所乘圜分甲乙丁丙亦等(本篇廿六)第二十八题等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等解曰甲乙丙丁戊己两圜等其心为庚为辛圜内有甲丙丁己两直线等题言甲乙丙与丁戊己两大分甲丙与丁己两小分各等论曰试于甲庚庚丙丁辛辛己各作直线其甲庚丙角形之甲丙与丁辛己角形之丁己两底既等而甲庚庚丙两腰与丁辛辛己两腰又等即庚辛两角亦等(一卷八)其所乘之甲丙丁己两小分必等(本篇廿六)次减相等之甲丙丁己两小分则所存甲乙丙丁戊己两大分亦等第二十九题等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等解曰依前题两圜之甲乙丙丁戊己两圜分等而甲丙丁己两圜分亦等题言甲丙丁己两线必等论曰依前题作四线其甲庚丙角形之甲庚庚丙两腰与丁辛己角形之丁辛辛己两腰等而庚辛两角所乘之甲丙丁己两圜分等即庚辛两角亦等(本篇廿七)而对等角之甲丙丁己两线必等(一卷四)注曰第二十六至二十九四题所说俱等圜其在同圜亦依此论第三十题有圜之分求两平分之法曰甲乙丙圜分求两平分先于分之两界作甲丙线次两平分于丁从丁作乙丁为甲丙之垂线即乙丁分甲乙丙圜分为两平分论曰从乙作乙甲乙丙两线其甲乙丁角形之甲丁与丙乙丁角形之丙丁两腰等丁乙同腰而甲丁乙与丙丁乙两直角又等即对直角之甲乙乙丙两底亦等(一卷四)而甲乙与乙丙两圜分亦等(本篇十八)则甲乙丙圜界两平分于乙矣第三十一题(五支)负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角解曰甲乙丙圜其心丁其径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角形即甲乙丙角负甲乙丙半圜分乙甲丙角负乙甲丙大分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分题先言负半圜之甲乙丙为直角二言负大分之乙甲丙角小于直角三言负小分之乙戊丙角大于直角四言丙乙甲大圜分角大于直角后言丙乙戊小圜分角小于直角先论曰试作乙丁线次以甲乙线引长之至已其丁乙丁甲两线等即丁乙甲丁甲乙两角等(一卷五)依显丁乙丙丁丙乙两角亦等而甲乙丙全角与乙甲丙甲丙乙两角并等又己乙丙外角亦与相对之乙甲丙甲丙乙两内角并等(一卷卅二)则己乙丙与甲乙丙等为直角二论曰甲乙丙角形之甲乙丙既为直角则乙甲丙小于直角(一卷十七)三论曰甲乙戊丙四边形在圜之内其乙甲丙乙戊丙相对两角并等两直角(本篇廿二)而乙甲丙小于直角则乙戊丙大于直角四论曰甲乙丙直角为丙乙甲大圜分角之分则大于直角后论曰丙乙戊小圜分角为己乙丙直角之分则小于直角此题别有四解四论先解曰甲乙丙半圜其心丁其上任作甲乙丙角题言此为直角论曰试作乙丁线其丁乙丁甲两线既等即丁乙甲丁甲乙两角亦等(一卷五)而乙丁丙外角既与丁乙甲丁甲乙相对之两内角并等(一卷卅二)即倍大于丁乙甲角依显乙丁甲外角亦倍大于丁乙丙角即乙丁甲乙丁丙两角并亦倍大于甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等两直角(一卷十三)则甲乙丙为直角二解曰甲乙丙大圜分其心丁任作甲乙丙角题言此小于直角论曰试作甲丁戊径线次作乙戊线相联其甲乙戊既为直角(本题一论)即甲乙丙为其分而小于直角三解曰甲乙丙小圜分其心丁任作甲乙丙角题言此大于直角论曰试作甲丁戊径线而引乙丙圜界至戊次作乙戊线其甲乙戊既负半圜之直角而为甲乙丙角之分则甲乙丙大于直角四五合解曰甲乙丙大圜分丙丁甲小圜分其心戊题言丙甲乙大圜分角大于直角丙甲丁小圜分角小于直角论曰试作乙戊丙径线次作乙甲线引长之至己其乙甲丙直角为丙甲乙大圜分角之分而丙甲丁小圜分角又为己甲丙直角之分则大分角大于直角小分角小于直角一系凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角二系大分之角大于直角小分之角小于直角终无有角等于直角又从小过大从大过小非大即小终无相等依此题四五论甚明与本篇十六题増注互相发也第三十二题直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等解曰甲乙线切丙丁戊圜于丙从丙任作丙戊直线割圜为两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角题言甲丙戊角与丙庚戊角乙丙戊角与丙丁戊角交互相等先论割圜线过心者曰如前图甲丙戊乙丙戊两皆直角(一卷十八)而丙庚戊丙丁戊两负半圜角亦皆直角(本篇卅一)则交互相等后论割圜线不过心者曰如后图试作丙己过心直线次作戊己线相联其己丙为甲乙之垂线(一卷十八)而丙戊己为直角(本篇卅一)即戊丙己戊己丙两角并等于一直角亦等于甲丙己角矣此两率者各减同用之戊丙己角即所存戊己丙与甲丙戊等也夫戊己丙与丙庚戊元等(本卷廿一)则甲丙戊与丙庚戊交互相等又丙丁戊庚四边形之丙丁戊丙庚戊两对角并等两直角(本篇)(廿二)而甲丙戊乙丙戊两交角亦等两直角(一卷十三)此二率者各减一相等之甲丙戊丙庚戊则所存丙丁戊乙丙戊亦交互相等第三十三题一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等先法曰设甲乙线丙角求线上作圜分而负圜分角与丙等其丙角或直或锐或钝若直角先以甲乙两平分于丁次以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角即负半圜角为直角(本篇卅一)如所求次法曰若设丙锐角先于甲㸃上作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线于甲乙之上次作己乙甲角与己甲乙角等而乙己线与甲戊线遇于己即己乙己甲两线等(一卷六)末以己为心甲为界作甲庚圜必过乙即甲庚乙圜分内甲乙线上所作负圜角必为锐角而与丙等论曰试作甲庚乙角其甲己戊线过己心而丁甲又为戊甲之垂线即丁甲线切甲庚乙圜于甲(本篇十六之系)则丁甲乙与甲庚乙两角交互相等(本篇卅二)如所求后法曰若设辛钝角依前作壬甲乙钝角与辛等次作戊甲为壬甲之垂线余倣第二法而于甲乙线上作甲癸乙等即与辛等后论同次第三十四题设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等法曰设甲乙丙圜求割一分而负圜分角与丁等先作戊己直线切圜于甲(本篇十七)次作已甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等何者已甲乙角与丁等亦与甲丙乙交互相等故(本篇)(卅二)第三十五题圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两线交而相分于戊题言甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等其两线或俱过心或一过心一不过心或俱不过心若俱过心者其各分四线等即两矩内直角形亦等先论曰圜内线独丙丁过己心者又有二种其一丙丁平分甲乙线于戊即丙戊线在甲乙上为两直角(本篇三)试作已乙线相联其丙丁线既两平分于己又任两分于戊即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等(二卷五)夫已乙上直角方形与已戊戊乙上两直角方形并等(一卷四七)即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙上直角方形等乎戊乙与甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直角(本篇三)其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等(二卷五)而已戊上直角方形与已庚庚戊上两直角方形并等(一卷四七)已乙上直角方形与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上直角方形等(二卷五)此二相等率者每减同用之庚戊上直角方形则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内直角形等矣后论曰圜内两线俱不过心者又有二种或一线平分或两俱任分皆从已心与戊相聨作直线引长之为庚辛线依上论甲戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形不论丙丁线平分任分亦与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等第三十六题圜外任取一㸃从㸃出两直线一切圜一割圜其割圜之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等解曰甲乙丙圜外任取丁㸃从丁作丁乙线切圜于乙(本篇十七)作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁乙之垂线(本篇十八)其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方形等(二卷六)而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等(一卷四七)即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等后论丁甲不过戊心者曰试以甲丙线两平分于已次从戊心作戊已戊丙戊丁戊乙四线即戊乙为丁乙之垂线(本篇十八)戊已为甲丙之垂线(本篇三)其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并与已丁上直角方形等(二卷六)次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上两直角方形并与己丁戊己上两直角方形并等夫己丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊乙上直角方形等(一卷四七)而戊丁上直角方形与己丁戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等一系若从圜外一㸃作数线至规内各全线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作甲丙甲丁甲戊各线截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲乙上直角方形俱等故(本题)二系从圜外一㸃作两直线切圜此两线等如甲㸃作甲乙甲丙两切圜线即甲丙与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊矩内直角形等(本题)则此两直角方形自相等三系从圜外一㸃止可作两直线切圜若言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角(本篇十八)试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大于甲乙戊角(一卷廿一)安得为直角也又甲乙甲丁若俱切圜即两线宜等(本题二系)试作甲戊线截圜于己则甲丁为近己线甚小当小于逺己之甲乙线(本篇八)又安得相等也故一㸃上止可作切圜线两也第三十七题圜外任于一㸃出两直线一至规外一割圜至规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外之线必切圜解曰甲乙丙圜其心戊从丁㸃作丁乙至规外之线遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等题言丁乙为切圜线论曰试从丁作丁己线切圜于己(本篇十七)次作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心者又作丁戊直线其丁己上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形等(本篇卅六)而丁乙上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊与丁己戊角形之丁己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等(一卷八)而对丁戊底之丁己戊为直角(本篇十八)即丁乙戊亦直角故丁乙为切圜线(本篇十六之系)几何原本卷三
## 卷四之首
钦定四库全书几何原本卷四之首西洋利玛窦译界说七则第一界直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故解形之切在形内及切在形外者先以直线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三邉则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角形之庚辛壬庚两邉而丑角不切辛壬邉则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形第二界一直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形 其余各形倣此二例第三界直线形之各角切圜之界为圜内切形甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也第四界直线形之各邉切圜之界为圜外切形甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊是也第五界圜之界切直线形之各邉为形内切圜同第四界图第六界圜之界切直线形之各角为形外切圜同第三界图第七界直线之两界各抵圜界为合圜线甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为合圜线几何原本卷四之首
## 卷四
钦定四库全书几何原本卷四西洋利玛窦撰第一题有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线(径为圜内之最大线更大不可)(合见三卷十五)先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等第二题有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲(三卷十七)次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与辛甲丙两角亦等(三卷卅二)而庚甲乙辛甲丙两角既与所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各等而乙甲丙必与丁等(一卷卅二)则三角俱等第三题有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己一邉引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙(三卷十六)(之系)而相遇于子于丑于癸(若作甲丙线郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而)(子癸丑癸两线必相遇余二倣此)此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等(一卷卅二题内)而壬甲子壬乙子两为直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊庚丁戊己两角并亦等两直角(一卷十三)此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等(一卷卅二)而癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等第四题三角形求作形内切圜法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之(一卷九)作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙丁同邉即丁戊丁己两邉亦等(一卷)(廿六)依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两邉亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚(三卷十六之系)此为形内切圜第五题三角形求作形外切圜法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉(若形是直)(角钝角则分直角钝角之两旁邉)于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己(若自丁至戊作直线即己丁戊)(角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两线必相遇)其己㸃或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙邉上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即甲己己乙两底必等(一卷四)依显甲己戊丙己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲为界必切丙乙而为角形之形外切圜一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者每角在圜大分之上故若在一邉之上即为直角形若在形外即为钝角形二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角形必在一邉之上若钝角形必在形外増从此推得一法任设三㸃不在一直线可作一过三㸃之圜其法先以三㸃作三直线相联成三角形次依前作其同法甲乙丙三㸃先以甲乙两㸃各自为心相向各任作圜分令两圜分相交于丁于戊次甲丙两㸃亦如之令两圜分相交于己于庚末作丁戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之心 论见三卷二十五增第六题有圜求作内切圜直角方形法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙丙等(一卷四)依显乙丙丙丁亦等则四邉形之四邉俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角(三卷)(卅一)是为内切圜直角方形第七题有圜求作外切圜直角方形法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛为外切圜直角方形论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行(一卷)(廿八)依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行(一卷三十)又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等(一卷卅四)而甲丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱等于甲丙乙丁两径既四邉俱等于两径则己庚壬辛为直角方形而四邉各切圜(三卷十六之系)第八题直角方形求作形内切圜法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己亦平行相等(一卷卅三)依显丁丙与辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉(三卷十六)是为形内切圜第九题直角方形求作形外切圜法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦等(一卷五)而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直角(一卷卅二)依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两邉亦等(一卷六)依显戊甲戊乙两邉亦等而戊乙戊丙两邉戊丙戊丁两邉各等次作圜以戊为心甲为界必过乙丙丁而为形外切圜第十题求作两邉等三角形而底上两角各倍大于腰间角法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等(二卷十一)次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等(本篇一)末作甲丁线相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两邉等角形而甲乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜(本篇五)其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁线切甲丙丁圜于丁(三卷卅七)即乙丁切线偕丁丙割线所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等(三卷卅二)此二率者毎加一丙丁甲角即甲丁乙全角与丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲丁丙丁甲相对之两内角等(一卷卅二)即乙丙丁角与甲丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁两线亦等(一卷六)夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙丁亦倍大于甲也第十一题有圜求作圜内五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉内切圜形等邉等角先作己庚辛两邉等角形而庚辛两角各倍大于己角(本篇十)次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角(本篇二)次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分(一卷九)作丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即甲乙丙丁戊为五邉内切圜形而五邉五角俱自相等论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五圜分亦等(三卷廿六)即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线亦等(三卷廿九)是五邉形之五邉等又甲乙戊丁两圜分等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁与戊丁丙乙两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依显余三角与两角俱等是五邉形之五角等第十二题有圜求作圜外五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊圜求作五邉外切圜形等邉等角先作圜内甲乙丙丁戊五邉等邉等角切形(本篇十一)次从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五埀线相遇于庚于辛于壬于癸于子(庚戊)(甲庚甲戊两角小于两直角故甲庚戊庚线必相遇余四倣此)五埀线既切圜(三卷十六)即成外切圜五邉形而等邉等角论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形之两并各与己辛上直角方形等(一卷四七)即两并自相等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方形即所存甲辛辛乙上两直角方形等则甲辛辛乙两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲己辛辛己乙两角等(一卷八)而甲辛己乙辛己两角亦等(一卷四)则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之两圜分(线等故圜分等见三卷廿八)即两角自相等(三卷廿七)半减之辛己乙乙己壬两角亦等 乙己辛角形之乙己辛辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角各等而乙己同邉是辛乙乙壬两邉亦等也(一卷廿六)乙辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五邉等又依前所显乙辛己与乙壬己两角等是乙辛甲之减半角与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等第十三题五邉等邉等角形求作形内切圜法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作内切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分(一卷九)其线为己甲己乙而相遇于己(己甲乙己乙甲两角小于两直角故己甲己乙)(两线必相遇)自己作己丙己丁己戊三线其甲己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等(一卷四)又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平分于己丁己戊两线矣次从己向各邉作己庚己辛己壬己癸己子五埀线其甲己庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子角形之己甲子己子甲两角各等甲己同邉即两形必等(一卷廿六)己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己癸三埀线与己庚己子两埀线俱等末作圜以己为心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五邉形之内切圜(三卷十六)第十四题五邉等邉等角形求作形外切圜法曰甲乙丙丁戊五邉等邉等角形求作外切圜先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为己甲己乙而相遇于己(说见前)次从己作己丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形之己甲乙己乙甲两角等即甲己与己乙两线亦等(一卷六)依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙丁戊五邉形之外切圜第十五题有圜求作圜内六邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聨即成甲乙丙丁戊己内切圜六邉形而等邉等角论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等(依圜界说)三邉俱等即庚丙丁为平邉角形而庚丁丙丁丙庚丙庚丁三角俱等(一卷五)此三角元与两直角等(一卷卅二)即每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三分之一也依显丁庚戊角亦两直角三分之一而丙庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角(一卷十三)即戊庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙庚丙三角亦等(一卷十五)是辏庚心之六角俱自相等而所乗之六圜分(三卷廿六)及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线俱自相等(三卷廿九)则甲乙丙丁戊己形之六邉等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜分即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等而所乗之乙甲己与甲乙丙两角等(三卷廿七)依显乙丙丁丙丁戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等则甲乙丙丁戊己形之六角等一系凡圜之半径为六分圜之一之分弦何者庚丁与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之二系依前十二十三十四题可作六邉等邉等角形在圜之外又六邉等邉等角形内可作切圜又六邉等邉等角形外可作切圜第十六题有圜求作圜内十五邉切形其形等邉等角法曰甲乙丙圜求作十五邉内切圜形等邉等角先作甲乙丙内切圜平邉三角形与丁等角(本篇二)即三邉等而甲乙乙丙丙甲三圜分亦等(三卷廿八)夫甲乙丙圜十正分之则甲乙三分圜之一当为十五分之五次从甲作甲戊己庚辛内切圜五邉形等角(本篇十一)即甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等(三卷廿八)夫甲乙丙圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬(三卷卅)则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共作十五合圜线(本篇一)则成十五邉等邉形而十五角所乗之圜分等即各角亦等(三卷廿七)一系依前十二十三十四题可作外切圜十五邉形又十五边形内可作切圜又十五邉形外可作切圜注曰依此法可设一法作无量数形如本题圗甲乙圜分为三分圜之一即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五相乗得十五即知此两分法可作十五邉形又如甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十五分之一可作内切圜十五边形也以此法为例作后题增题若圜内从一㸃设切圜两不等等边等角形之各一边此两边一为若干分圜之一一为若干分圜之一此两若干分相乗之数即后作形之边数此两若干分之较数即两边相距之圜分所得后作形边数内之分数法曰甲乙丙丁戊圜内从甲㸃作数形之各一边如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边何者五六相乗为三十故当作三十边也较数一故当为一边也论曰甲乙圜分为六分圜之一即得三十分圜之五而甲丙为五分圜之一即得三十分圜之六则乙丙得三十分圜之一也依显乙丁为二十四邉形之二邉也何者甲乙命六甲丁命四六乗四得二十四也又较数二也依显乙戊为十八邉形之三邉也丙丁为二十邉形之一邉也丙戊为十五邉形之二邉也丁戊为十二邉形之一邉也二系凡作形于圜之内等邉则等角何者形之角所乗之圜分皆等故(三卷廿七)凡作形于圜之外即从圜心作直线抵各角依本篇十二题可推显各角等三系凡等邉形既可作在圜内即依圜内形可作在圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十二十三十四题四系凡圜内有一形欲作他形其形邉倍于此形邉即分此形一邉所合之圜分为两平分而每分各作一合线即三邉可作六邉四邉可作八邉倣此以至无穷又补题圜内有同心圜求作一多邉形切大圜不至小圜其多邉为偶数而等法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求于甲乙丙大圜内作多邉切形不至丁戊小圜其多邉为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也(三卷)(十六之系)夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其半甲乙存乙丙又减其半乙壬存壬丙又减其半壬癸如是逓减至其减余丙癸必小于丙庚(如下补论)既得丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所求切圜形之一邉也次分乙壬圜分其分数与丙壬之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙丙分数等则得所求形(三卷廿九)而不至丁戊小圜论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线(一卷)(廿八)庚辛线之切丁戊圜既止一㸃即癸子线更在其外必不至丁戊矣何况丙癸更逺于丑癸乎依显其余与丙癸等邉同度距心者(三卷十四)俱不至丁戊圜也(此系十二卷第十六题因六卷今増题宜借此论故先类附于此)补论其题曰两几何不等若于大率逓减其大半必可使其减余小于元设小率解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙逓减其大半至可使其减余小于丙论曰试以丙倍之又倍之至仅大于甲乙而止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减其大半辛壬存壬乙如是逓减至甲乙与丁戊之分数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减余必大于甲乙之减余也若各为多分而己戊尚多于丙者即又于己戊减己庚于辛乙减其大半辛壬如是逓减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也又论曰若于甲乙逓减其半亦同前论何者大丁戊所减不大于半则丁戊之减余每大于甲乙之减余以至末分亦大于末分(此系十卷第一题借用于此以足上论)几何原本卷四
## 卷五之首
钦定四库全书几何原本卷五之首西洋利玛窦译界说十九则前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以上多几何同例相比者也而本卷则总说完几何之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比绝不及线靣体诸类也第六卷则论线论角论圜界诸类及诸形之同例相比者也今先解向后所用名目为界说十九第一界分者几何之几何也小能度大以小为大之分以小几何度大几何谓之分曰几何之几何者谓非此小几何不能为此大几何之分也如一㸃无分亦非几何即不能为线之分也一线无广狭之分非广狭之几何即不能为靣之分也一靣无厚薄之分非厚薄之几何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十八诸数或赢或不足皆不能尽分者也本书所论皆指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称小度大也不为大几何内之小几何也第二界若小几何能度大者则大为小之几倍如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍第三界比例者两几何以几何相比之理两几何者或两数或两线或两靣或两体各以同类大小相比谓之比例若线与靣或数与线相比此异类不为比例又若白线与黒线热线与冷线相比虽同类不以几何相比亦不为比例也比例之说在几何为正用亦有借用者如时如音如声如所如动如称之属皆以比例论之凡两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也比例为用甚广故详论之如左凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两邉与其对角线可以相比而非数可明者是也如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小合线为无两度之线如直角方形之两邉与其对角线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽分能度两率者是也(此论详见十卷末题)小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六尺之线比二尺之线是也如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也倣此为名可至无穷也二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二尺与九尺名为等带三分之一也三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一则九与四名为二倍大带四分之一也五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九分之七即十九为命分数七为得分数也书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四倍即书四之一六倍即书六之一也其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带一千分之一反书之即书一千○○一之一千也其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一第四界两比例之理相似为同理之比例两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例又若戊与己两几何之比例偕己与庚两几何之比例其理相似亦同理之比例凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中率与前后两率逓相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前图甲自与乙比丙自与丁比是也第五界两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相胜者如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一邉与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一邉一倍之即大于对角线(两邉等三角形)(其两邉并必大于一邉见一卷二十)是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合比例之线也(圜之界当三径七分径之一弱别见圜形书)又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等(六卷三十三一増题今附)即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上图直角钝角锐角皆有与曲线角等者若第一图甲乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣依显壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅锐角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与靣靣与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及靣毕世倍靣不能及体故也又切圜角与直线锐角亦无比例何者依三卷十六题所说毕世倍切邉角不能胜至小之锐角故也此后诸篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备著其理以需后论也第六界四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是两几何曷显其能为比例乎上第五界所说是也两比例曷显其能为同理之比例乎此所说是也其术通大合小合皆以加倍法求之如一甲二乙三丙四丁四几何于一甲三丙任加几倍为戊为己戊倍甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之恒如是即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之比例也如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲之戊大于倍乙之庚而倍丙之己亦大于倍丁之辛此之谓或相等或虽不等而俱为大俱为小若累合一差即元设四几何不得为同理之比例如下第八界所指是也下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱小若许其四几何为同理之比例亦如之以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例也以上论四几何者断比例之法也其连比例法倣此但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此异耳第七界同理比例之几何为相称之几何甲与乙若丙与丁是四几何为同理之比例即四几何为相称之几何又戊与己若己与庚即三几何亦相称之几何第八界四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显为大曷显为小也谓第一第三之几倍与第二第四之几倍依上累试之其间有第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各四倍为庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者但有其一不必再试以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有第一之倍大于第二之倍而第三之倍乃或等或小于第四之倍即第一与二之比例大于第三与四也若以上图之数反用之以第一为二第二为一第三为四第四为三则第一与二之比例小于第三与四第九界同理之比例至少必三率同理之比例必两比例相比如甲与乙若丙与丁是四率断比例也若连比例之戊与己若己与庚则中率己既为戊之后又为庚之前是以三率当四率也第十界三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比例倣此以至无穷甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例其甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲与三丙视一甲与二乙为再加之比例又一甲与四丁视一甲与二乙为三加之比例何者甲丁之中有乙丙两几何为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为此形之一邉与彼形之一邉再加之比例何者若作三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此形邉与彼形邉若九与一也夫九与一之间有三为同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也则彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大畧第一与二之比例若线相比第一与三若平靣相比第一与四若体相比也(第一与五若筭家三乘方与六)(若四乘方与七若五乘方倣此以至无穷)第十一界同理之几何前与前相当后与后相当上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一比例之两几何有前后而同理之两比例四几何有两前两后故特解言比例之论常以前与前相当后与后相当也如上甲与乙丙与丁两比例同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两三角形之邉相比亦常以同理之两邉相当不可混也上文第六第八界说几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两后各同理故第十二界有属理更前与前更后与后此下说比例六理皆后论所需也四几何甲与乙之比例若丙与丁今更推甲与丙若乙与丁为属理 下言属理皆省曰更此论未证证见本卷十六此界之理可施于四率同类之比例若两线两靣或两靣两数等不为同类即不得相更也第十三界有反理取后为前取前为后甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理证见本篇四之系此界之理亦可施于异类之比例第十四界有合理合前与后为一而比其后甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合两前后率为两一率而比两后率也证见本卷十八第十五界有分理取前之较而比其后甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊证见本卷十七第十六界有转理以前为前以前之较为后甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己证见本卷十九第十七界有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则此之第一与三若彼之第一与三又曰去其中取其首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何等数相为同理之连比例者甲与乙若丁与戊乙与丙若戊与己也今平推首甲与尾丙若首丁与尾己平理之分又有二种如后二界第十八界有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之后与他率甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙若后戊与他率己是序也今平推甲与丙若丁与己也(此与十七界同重宣序义以别后界)(也)证见本卷二十二第十九界有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之他率与其前甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲与乙若戊与己又此之后乙与他率丙若彼之他率丁与前戊是错也今平推甲与丙若丁与己也(十八十九界推法于十七界中通论之故两题中不)(再著也)证见本卷二十三増一几何有一几何相与为比例即此几何必有彼几何相与为比例而两比例等一几何有一几何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例而两比例等(比例同理省曰比例等)甲几何与乙几何为比例即此几何丙亦必有彼几何如丁相与为比例若甲与乙也丙几何与丁几何为比例即必有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之理备见后卷几何原本卷五之首
## 卷五
钦定四库全书几何原本卷五西洋利玛窦撰第一题此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率解曰如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己并亦若干倍论曰如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之分三合于戊己皆等(本卷界说二)则甲乙丙丁并三倍大于戊己并第二题六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四己之数论曰甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内有己几何若干其数亦等(本卷界说二)依显乙庚丙有丙若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与三六并之丁辛内有四己若干亦等注曰若第一第三两几何之数与第二第四两几何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五第二两几何之数与第六第四两几何之数各等俱同本论如上二图甲庚为第一第五之并率其倍二丙之数与丁辛为第三第六之并率其倍四己之数等也(甲庚内有丙若干与丁辛)(内有己若干等故同理)他若第一第三两几何之数第五第六两几何之数与第二第四两几何之数各等此理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六并之倍第四俱两倍故第三题四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊己两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁论曰戊与己之倍甲与丙其数既等试以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑即戊内有甲若干与己内有丙若干等(本卷界说二)夫戊庚与甲己癸与丙既等而甲之倍乙与丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也(本篇二)又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛壬子丑以上任作多分皆倣此论第四题(其系为反理)四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等觧曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙四丁题言一甲所倍之戊与二乙所倍之庚偕三丙所倍之己与四丁所倍之辛比例亦等论曰试以戊己二㡬何同任倍之为壬为癸别以庚辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也(本篇三)依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣(本卷界说)(六)夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论㡬许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之壬与二庚所倍之子偕三己所倍之癸与四辛所倍之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例必等(本卷界说六)一系凡四㡬何第一与二偕第三与四比例等即可反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反说倍乙之子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱同类而乙与甲亦若丁与丙(本卷界说六)二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等倣此以至无穷第五题大小两㡬何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之解曰甲乙大㡬何丙丁小㡬何甲乙所倍于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁之截分丙己题言甲戊之分余戊乙所倍于丙巳之分余巳丁亦如其数论曰试作一他㡬何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲戊之倍丙巳也(本卷界说増)甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若(甲)戊之倍丙巳也(本篇一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己则丙丁与庚己等也次毎减同用之丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之分余所倍于巳丁为丙巳之分余者亦若甲乙之倍丙丁也又论曰试作一他㡬何为庚甲令庚甲之倍己丁若甲戊之倍丙巳(本说界说二十)即其两并庚戊之倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也(本篇一)而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次毎减同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之倍丙丁也第六题此两㡬何各倍于彼两㡬何其数等于此两㡬何毎减一分其一分之各倍于所当彼㡬何其数等则其分余或各与彼㡬何等或尚各倍于彼㡬何其数亦等觧曰甲乙丙丁两㡬何各倍于戊巳两㡬何其数等毎减一甲庚丙辛甲庚丙辛之倍戊巳其数等题言分余庚乙辛丁或与戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等论曰甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分余庚乙与戊其或等或尚㡬倍必矣何者庚乙与戊不等不㡬倍其加于甲庚不成为戊之多倍也然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳也(本篇二)而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己即壬辛与丙丁亦等次毎减同用之丙辛即壬丙与辛丁必等是辛丁与己亦等矣然则庚乙之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己(本篇)(二)而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣第七题(二支)此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等论曰试作丁戊两率任同若干倍于甲乙即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁戊既等即丁视己与戊视己或等或大或小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕当二又当四之丙所倍之己其等大小既同类(本卷界说)(六)则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反说之当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与四乙矣后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也第八题大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例解曰不等两几何甲乙大丙小又有他几何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙与丁之比例大于丙与丁之比例又反上言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例论曰试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而戊乙为分余次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚己而庚己为戊乙之倍必令大于丁辛庚为甲戊之倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣(本篇)(一)甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若壬子大于辛庚者何必又倍之为壬癸也故仅大之壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚己必大于子癸又辛庚不小于壬子(或大或等)即辛己亦大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸(辛庚元小于壬)(癸)是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣(本卷)(界说八)次反上说一丁所倍之壬癸(反说则丁当一当三丙二甲乙四)大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于四甲乙所倍之辛己(壬癸必小于辛己)是一丁与二丙之比例大于三丁与四甲乙矣(本卷界说八)第九题(二支)两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等先解曰甲乙两几何各与丙为比例等题言甲与乙等论曰如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例宜大于乙与丙(本篇八)何先设两比例等也故比例等则甲与乙等后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等论曰如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大于丙与甲(本篇八)何先设两比例等也第十题(二支)彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙论曰如云不然甲与乙等即所为两比例宜等(本篇七)何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与丙之比例宜大于甲与丙(本篇八)何先设甲与丙大也后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等(本篇七)何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙大也第十一题此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等题言甲乙与丙丁之比例亦等论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大于癸即壬亦大于丑矣(本卷界说六)依显壬之视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后率任作几许倍其等大小皆同类也(本卷界说六)则甲与乙之比例若丙与丁也第十二题数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例解曰甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若癸之倍乙也(本篇一)夫一甲与二乙既若三丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前所自倍与各后所自倍其等大小必同类也(本卷界说六)则一甲与二乙之比例若三甲丙戊并与四乙丁己并矣第十三题数几何第一与二之比例若第三与四之比例而第三与四之比例大于第五与六之比例则第一与二之比例亦大于第五与六之比例解曰一甲与二乙之比例若三丙与四丁而三丙与四丁之比例大于五戊与六己题言甲与乙之比例亦大于戊与己论曰试以甲丙戊各前率同任倍之为庚辛壬别以乙丁己各后率同任倍之为癸子丑其甲与乙既若丙与丁即三试之若倍甲之庚大于倍乙之癸即倍丙之辛必大于倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等若庚小于癸即辛亦小于子矣(本卷界说六)次丙与丁既大于戊与己又三试之即倍丙之辛大于倍丁之子而倍戊之壬不必大于倍己之丑也或等或小矣(本卷界说八)夫庚癸与辛子等大小同类则壬丑不类于辛子者亦不类于庚癸也故甲与乙之比例亦大于戊与己(本卷界说八)注曰若三丙与四丁之比例或小或等于五戊六己则一甲与二乙之比例亦小亦等于五戊六己依此论推显第十四题四几何第一与二之比例若第三与四之比例而第一几何大于第三则第二几何亦大于第四第一或等或小于第三则第二亦等亦小于第四解曰甲与乙之比例若丙与丁题言甲大于丙则乙亦大于丁若等亦等若小亦小先论曰如甲大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙矣(本篇八)夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而三甲与四乙之比例大于五丙与六乙即一丙与二丁之比例亦大于五丙与六乙(本篇十三)是丁几何小于乙也(本篇十一)次论曰如甲丙等即甲与乙之比例若丙与乙(本篇七)夫甲与乙之比例元若丙与丁而又若丙与乙是丙与丁之比例亦若丙与乙也(本篇)(十一)则乙与丁等也(本篇九)后论曰如甲小于丙即丙与乙之比例大于甲与乙矣(本篇八)夫一丙与二丁之比例既若三甲与四乙而三甲与四乙之比例小于五丙与六乙即一丙与二丁之比例亦小于五丙与六乙也(本篇十三)是乙小于丁也(本篇十)第十五题两分之比例与两多分并之比例等解曰甲与乙同任倍之为丙丁为戊己题言丙丁与戊己之比例若甲与乙论曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁内有甲若干与戊己内有乙若干等次分丙丁为丙庚庚辛辛丁各与甲分等分戊己为戊壬壬癸癸己各与乙分等即丙庚与戊壬若甲与乙也(丙庚)(与甲等戊壬与乙等故见本篇七)庚辛与壬癸辛丁与癸己皆若甲与乙也(本篇十一)则等甲之丙庚与等乙之戊壬定若丙丁全与戊己全而丙丁全与戊己全若甲与乙矣(本篇十二)第十六题(更理)四几何为两比例等即更推前与前后与后为比例亦等解曰甲乙丙丁四几何甲与乙之比例若丙与丁题言更推之甲与丙之比例亦若乙与丁论曰试以甲与乙之任倍之为戊为己别以丙与丁同任倍之为庚为辛即戊与己若甲与乙也(本篇十五)庚与辛若丙与丁也夫甲与乙若丙与丁而戊与己亦若甲与乙即戊与己亦若丙与丁矣依显庚与辛若丙与丁即戊与己亦若庚与辛也(本篇十一)次三试之若戊大于庚则己亦大于辛也若等亦等若小亦小任作几许倍恒如是也(本篇十四)则倍一甲之戊倍三乙之己与倍二丙之庚倍四丁之辛其等大小必同类也而甲与丙若乙与丁矣第十七题(分理)相合之两几何为比例等则分之为比例亦等解曰相合之两几何其一为甲乙丁乙其一为丙戊己戊比例等者甲乙与丁乙若丙戊与己戊也题言分之为比例亦等者甲丁与丁乙若丙己与己戊也论曰试以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之为庚辛辛壬为癸子子丑即庚壬之倍甲乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也(本篇一)夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次别以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己戊也(本篇二)夫一甲乙与二丁乙之比例既若三丙戊与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若一甲乙所倍之庚壬大于二丁乙所倍之辛寅即三丙戊所倍之癸丑亦大于四己戊所倍之子卯也若等亦等若小亦小也(本卷界说六)如庚壬小于辛寅而癸丑小于子卯者即每减一同用之辛壬子丑其所存庚辛亦小于壬寅而癸子亦小于丑卯矣依显庚壬等辛寅而癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等丑卯矣庚壬大于辛寅而癸丑大于子卯者即庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯矣夫庚辛为甲丁之倍癸子为丙己之倍壬寅为丁乙之倍丑卯为己戊之倍而甲丁丙己之所倍视丁乙己戊之所倍其等大小皆同类则甲丁与丁乙若丙己与己戊也(本卷界说六)第十八题(合理)两几何分之为比例等则合之为比例亦等解曰甲丁丁乙与丙己己戊两分几何其比例等者甲丁与丁乙若丙己与己戊是也题言合之为比例亦等者甲乙与丁乙若丙戊与己戊也论曰如前论以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之为庚辛辛壬为癸子子丑(本篇二)次别以丁乙己戊同任倍之为壬寅为丑卯即庚壬之倍甲乙若癸丑之倍丙戊也(本篇一)而辛寅之倍丁乙若子卯之倍乙戊也(本篇二)夫一甲丁与二丁乙既若三丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅即三丙己所倍之癸子亦小于四己戊所倍之丑卯也若等亦等若大亦大也(本卷界说)(六)如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚壬大于辛寅而癸丑大于子夘矣夫一甲乙所倍之庚壬与二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑与四己戊所倍之子夘其等大小皆同类则甲乙与丁乙若丙戊与己戊也(本卷界说六)第十九题(其系为转理)两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比例亦若甲乙与丙丁论曰甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇十六)次分之戊乙与甲戊若己丁与丙己也(本篇十七)又更之戊乙与己丁若甲戊与丙己也(本篇十六)夫甲戊与丙己元若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙丁矣一系从此题可推界说第十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也(本篇十六)即甲乙全与丙丁全又若分余之甲戊与丙己矣(本题)又更之则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也(本篇十六)此转理也注曰凡更理可施于同类之比例不可施于异类若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦頼更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论不頼更理以为转理明转理可施于异类也论曰甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与己戊也(本篇十七)次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也(本篇四)次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也(本篇十八)第二十题(三支)有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六先解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙矣(本篇八)而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦大于丙与乙矣(本篇十三)又丙与乙之比例若己与戊(乙与丙若戊与己反之则丙与乙若己与戊)即丁与戊之比例大于己与戊矣是丁大于己也(本篇十)次解曰若甲丙等题言丁己亦等论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙矣(本篇七)而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦若丙与乙矣(本篇十一)又丙与乙之比例若己与戊(反理)即丁与戊之比例亦若己与戊矣是丁己等也(本篇九)后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙矣(本篇八)而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又丙与乙之比例若己与戊(反理)即丁与戊之比例小于己于戊矣是丁小于己也(本篇十)第二十一题(三支)有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于丙题言丁亦大于己论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙(本篇)(八)而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也(本篇四)则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也(本篇二十)次解曰若甲丙等题言丁己亦等论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙(本篇七)而甲与乙若戊与己即丙与乙之比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也(本篇四)则戊与己若戊与丁也是丁己等也(本篇九)后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙(本篇八)而甲与乙若戊与己即戊与己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁(本篇四)则戊与己小于戊与丁也是丁小于己也(本篇十)第二十二题(平理之序)有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推解曰有若干几何甲乙丙又有若干几何丁戊己而甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例若戊与己题言以平理推之甲与丙之比例若丁与己论曰试以甲与丁同任倍之为庚为辛别以乙与戊同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与倍乙之壬若倍丁之辛与倍戊之癸也(本篇四)依显一乙与二丙既若三戊与四己即倍乙之壬与倍丙之子若倍戊之癸与倍己之丑也是庚壬子三几何辛癸丑三几何又相为连比例矣次三试之若庚大于子即辛必大于丑也(本篇二十)若等亦等者小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与己也(本卷界说六)其几何自三以上如更有丙与寅若己与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上推论亦得甲与寅之比例若丁与夘也自四以上可至无穷依此推显第二十三题(平理之错)若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推解曰甲乙丙若干几何丁戊己若干几何相为连比例而错者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊也题言以平理推之甲与丙之比例亦若丁与己论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛(本篇十五)而甲与乙既若戊与己即庚与辛亦若戊与己(本篇十一)戊与己又若所自倍之子与丑即庚与辛亦若子与丑(本篇)(十一)依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也(本篇四)是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若等亦等若小亦小(本篇廿一)则一甲三丁所倍之庚壬与二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与二丙若三丁与四己(本卷界说六)如三以上既有甲与乙若己与夘乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若戊与夘次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几何丁戊夘作又三几何相为连比例而错依上论亦得甲与寅若丁与夘四以上悉依此推显第二十四题凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚若己与戊辛也(本篇四)又甲乙与丙既若丁戊与己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若丁戊与戊辛也(本篇廿二)又合之甲庚全与乙庚若丁辛全与戊辛也(本篇十八)夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛与己矣(本篇廿二)注曰依本题论可推广第六题之义作后増题(第六)(题言几倍后增题不止言倍其义稍广矣)増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等解曰如上圗甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取之甲乙与丙若丁戊与己则分余之乙庚与丙亦若戊辛与己论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙若己与丁戊也(本篇四)又甲庚与丙既若丁辛与己而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与甲乙若丁辛与丁戊也(本篇廿二)又分之乙庚与甲乙若戊辛与丁戊也(本篇十七)夫乙庚与甲乙既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己即平之若戊辛与己也(本篇廿三)第二十五题四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也(本篇)(十九)而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并第二十六题第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与三丙论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊(本篇十)则乙与戊之比例大于乙与甲也(本篇八)反之则乙与戊之比例若丁与丙(本篇四)而乙与甲之比例小于丁与丙第二十七题第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与四丁论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙之比例大于戊与乙而甲㡬何大于戊(本篇十)则甲与丙之比例大于戊与丙也(本篇八)夫戊与乙之比例既若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁(本篇十六)而甲与丙之比例大于乙与丁矣第二十八题第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于丁己与戊己论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙几何大于庚乙矣(本篇十)此二率者每加一乙丙即甲丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与乙丙也(本篇八)夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也(本篇十八)而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣第二十九题第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲丙几何大于庚丙矣(本篇十)此二率者每减一同用之乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙也(本篇八)夫庚丙与乙丙之比例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之比例亦若丁戊与戊己也(本篇十七)而甲乙与乙丙之比例大于丁戊与戊己矣第三十题第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己也(本篇廿九)又反之乙丙与甲乙之比例小于戊己与丁戊矣(本篇廿六)又合之甲丙与甲乙之比例亦小于丁己与丁戊也(本篇廿八)第三十一题此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于庚(本篇十)是甲与小庚之比例大于甲与大乙矣(本篇八)夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛(本篇十)是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣(本篇八)夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也(本篇)(廿二)则甲与丙之比例大于丁与己也第三十二题此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙之比例大于庚与丙而乙㡬何大于庚(本篇十)是甲与小庚之比例大于甲与大乙矣(本篇八)夫甲与乙之比例既大于戊与己即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛(本篇十)是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣(本篇八)夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也(本篇廿三)则甲与丙之比例大于丁与己也第三十三题此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己题言两分余戊乙与己丁之比例大于甲乙与丙丁论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙己也(本篇廿七)又转之甲乙与戊乙之比例小于丙丁与己丁也(本篇三十)又更之甲乙与丙丁之比例小于戊乙与己丁也(本篇廿七)戊乙与己丁分余也则分余之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显两全之比例小于截分则分余之比例小于两全第三十四题(三支)若干几何又有若干㡬何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲与丁论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即甲与乙之比例大于丁与戊也(本篇廿七)又合之甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也(本篇)(廿八)又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也(本篇廿七)是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁之比例大于甲乙全与丁戊全也(本篇卅三)依显乙与戊之比例亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并之比例大于丁与戊己并也(本篇廿七)又合之甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全与戊己并也(本篇廿八)又更之甲乙丙全与丁戊己全之比例大于乙丙并与戊己并也(本篇廿七)则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙全与丁戊己全也(本篇卅三)则得后解也又乙与戊之比例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与己也(本篇卄七)又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全与己也(本篇卄八)又更之乙丙并与戊己并之比例大于丙与己也(本篇卄七)而甲乙丙并与丁戊己并之比例既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也若两率各有四几何而丙与己之比例亦大于庚与辛即与前论同理盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即甲与丁之比例更大于乙丙庚并与戊己辛并也更之即甲与乙丙庚并之比例大于丁与戊己辛并也(本篇十八)又合之甲乙丙庚全与乙丙庚并之比例大于丁戊己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也(本篇廿七)则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也(本篇)(卅三)则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱倣此论可显全题之㫖几何原本卷五
## 卷六之首
钦定四库全书几何原本卷六之首西洋利玛窦译界说六则第一界凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙两线之比例若丁角旁之丁戊与丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则此两角形为相似之形依显凡平邉形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上诸形俱倣此第二界两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙乙丙邉与戊己己庚邉相与为比例等而彼此互为前后如甲乙与戊己若己庚与乙丙也则此两形为互相视之形依显壬癸子丑寅卯两角形之壬子与丑寅若丑夘与壬癸或壬癸与丑寅若丑夘与壬子亦互相视之形也第三界理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大分与小分之比例甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同名异此线为用甚广至量体尤所必须十三卷诸题多頼之古人目为神分线也第四界度各形之髙皆以垂线之亘为度甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂线即甲庚为甲乙丙之髙又丁戊己角形作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之髙若两形相视两垂线等即两形之髙必等如上两形在两平行线之内者是也若以丙己为顶以甲乙丁戊为底则不等自余诸形之度髙俱倣此凡度物髙以顶底为界以垂线为度盖物之定度止有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也第五界比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之法合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几何为大四分之一即各以四为命比例之数也(五卷界说)(三)今言以彼多比例之命数相乗除而结为此一比例之命数者如十二倍之此比例则以彼二倍六倍两比例相结也二六相乗为十二故也或以彼三倍四倍两比例相结也三四相乗亦十二故也又如三十倍之此比例则以彼二倍三倍五倍三比例相结也二乗三为六六乗五为三十故也其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率为辏合之因如两爿合此为之胶如两襟合此为之纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例之命数累加之故用此乗除相结之理于不同理之中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉下文仍发明借象之术以需后用也五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦以三率为始三率则两比例相乗除而中率为纽也若四率则先以前三率之两比例相乗除而结为一比例复以此初结之比例与第三比例乗除相结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结复以此再结之比例与第三比例乗除相结又以三结之比例与第四比例乗除相结为一比例也或以第一第二第三率之两比例乗除相结以第三第四第五之两比例乗除相结又以此二所结比例乗除相结而为一比例也自六以上倣此以至无穷设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如上圗三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚庚乙各与丙丁等即甲庚亦三倍大于戊己庚乙亦三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己又如上圗三几何二比例前以大不等后以小不等者中率小子前后两率也其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大(反二倍大者丙丁得戊己之半)即甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半除三为反等带半也又如上圗三几何二比例前以小不等后以大不等者中率大于前后二率也其甲乙与丙丁为反二倍大(甲乙得丙丁之半)丙丁与戊己为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半(甲乙得戊)(己三分之二)何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也后増其乗除之法则以命数三带得数一为四以半除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一甲乙为第三三比二为等带半也设四几何为三比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三第三与四三比例相结也如上圗甲乙丙丁四几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得甲与丁之比例也如是逓结可至无穷也或用此圗申明本题之㫖曰甲与乙之命数为丁乙与丙之命数为戊即甲与丙之命数为己何者三命数以一丁二戊相乗得三己即三比例以一甲与乙二乙与丙相乗得三甲与丙后増若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中率为前比例之后后比例之前乗除相结畧如连比例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结作为仪式以彼异中率之四几何二比例依倣求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为首十二为尾却云十六与十二之比例若八与三及二与四之比例八为前比例之前四为后比例之后三与二为前之后后之前此所谓异中率也欲以此二比例乗除相结无法可通矣用是别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣是用借象之术变异中率为同中率乗除相结而合二比例为一比例也其三比例以上亦如上方所说展转借象逓结之 详见本卷二十三题筭家所用借象金法双金法俱本此第六界平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线遇己乙于己是为甲戊己乙满甲乙线平行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行方形而丙己平行方形为甲丁之阙形又甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之带余平行方形而丙己平行方形为甲己之余形几何原本卷六之首
## 卷六
钦定四库全书几何原本卷六西洋利玛窦撰第一题等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等觧曰甲乙丙丁戊己两角形等髙其底乙丙戊己丙庚戊辛两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚与戊辛之比例皆若乙丙与戊己论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内(凡形自顶至底作垂线即本形之髙故等髙者必在平行线内见本卷界说四)于乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即等(一卷三八)依显丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅之倍丁戊己(底线分数与形之分数等故)即用三试法若子丙底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若等亦等若小亦小也(一卷三八)则一乙丙所倍之子丙三甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底与二戊己底之比例若三甲乙丙与四丁戊己矣(五卷)(六界)又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两角形(一卷卅三)而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊己两底矣(五卷十五)或从壬癸子及丑寅各作直线与庚乙辛己平行即依上论推显增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例若两形之髙之比例解曰甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸两髙论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与丁戊己两角形亦等(一卷三八)即甲乙丙与丁戊己之比例若甲壬子与丁癸丑也(五卷七)今以甲壬丁癸为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬与丁癸两底也(本篇一)而甲乙丙与丁戊乙之比例亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例(五卷十五)即两方形之比例亦若甲壬与丁癸两底也(五卷十一)若作庚子辛丑两线亦依前论推显第二题(二支)三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉以为比例必等三角形内有一线分两邉以为比例而等即此线与余邉为平行先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同以丁戊为底同在两平行线内即等(一卷三七)而甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣(五卷)(七)夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内(若干)(戊㸃上作一线与甲乙平行即两形在其内)则甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲丁与丁乙两底也(本篇一)依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也(两形)(亦在两平行线内故)是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙也(丁戊乙与丁戊丙等)则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也(五卷)后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比例若甲戊丁与丁戊乙两角形也(在两平行线内故见本篇一)而甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也(五卷十一)又甲戊与戊丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙(在两平行线内故见本篇)(一)则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊丁与丁戊丙也(五卷十一)而丁戊乙与丁戊丙两角形等矣(五卷九)两角形同以丁戊为底而等则在两平行线内(一卷卅九)第三题(二支)三角形任以直线分一角为两平分而分对角邉为两分则两分之比例若余两邉之比例三角形分角之线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等外角丁甲丙与内角戊亦等(一卷廿九)今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲乙两腰亦等矣(一卷六)则戊甲与甲丙之比例若乙甲与甲丙也(五卷七)夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁丙也(本篇二)则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙也(五卷十一)后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙题言甲丁线分乙甲丙角为两平分论曰依前作乙戊线与甲丁平行而引丙甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙丁与丁丙甲丁线又与戊乙邉平行而乙丁与丁丙之比例若戊甲与甲丙(本篇二)即乙甲与甲丙之比例亦若戊甲与甲丙(五卷十一)是戊甲与乙甲两线等矣(五卷)(九)则甲乙戊角与戊角亦等也(一卷五)夫甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与内角戊亦等(一卷廿九)则乙甲丁丁甲丙两角必等第四题凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之邉为相似之邉解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙两角既小于两直角(一卷廿七)丁戊丙与甲丙乙两角又等即乙戊两角亦小于两直角而乙甲戊丁两线引出之必相遇(一卷界说十一)即作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙丙内角既等即丁丙与己乙为平行线(一卷)(廿八)依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与己戊亦平行线(一卷廿八)而甲己丁丙为平行线方行则甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也(一卷卅四)夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊邉平行即甲乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也(本篇二)更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也(五卷十六)又乙戊己角形内之丁丙线既与己乙邉平行即乙丙与丙戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也(本篇二)更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也(五卷十六)甲乙与乙丙既若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也(五卷廿二)一系凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等(一卷廿九)甲角又同即两形相似而各等角旁两邉之比例等(本题)増题凡角形之内任依一邉作一平行线于此邉任取一㸃向对角作直线则所分两平行线比例等解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙丙平行次于乙丙邉任取己㸃向甲角作直线分丁戊于庚题言乙己与己丙之比例若丁庚与庚戊论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似(本系)即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也(五卷十六)依显甲己与甲庚若己丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也(五卷十一)更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷十六)又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也(本系)依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也(五卷廿二)第五题两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等觧曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲角等(一卷三二)是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也(本篇四)甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷十一)而丁戊与庚戊两线必等(五卷九)又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己(本篇四)而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也(五卷十一)而丁己与庚己两线必等(五卷九)夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等(一卷八)其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等(一卷四)而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等第六题两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言余角丙与己甲与丁俱等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也(本篇四)甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也(五卷十一)而丁戊与庚戊两线必等(五卷九)夫丁戊庚戊两边既等戊己同边庚戊己角与丁戊己角又等(丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与)(乙等故)即其余各相当之角俱等(一卷四)而庚角既与甲角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣第七题两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙乙两邉偕丁己戊两旁之丁己己戊两邉比例等其第三相当角如乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形等角者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等(一卷卅二)甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊(本篇四)而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也(五卷十一)是庚丙与乙丙两线等也(五卷九)丙庚乙与丙乙庚两角亦等也(一卷五)夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也(丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三)而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角(一卷十七)何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其余乙与戊角等矣(一卷卅二)第八题直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似解曰甲乙丙直角三邉形从乙甲丙直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三邉形皆与全形相似亦自相似论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同即其余甲乙丙丁甲丙两角必等(一卷三)则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相似矣(本篇四)依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其余甲丙乙丁甲乙两角必等(一卷卅二)甲乙丙甲丁乙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等故也依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各与全形相似即两形自相似(五卷十一)系从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角全邉与同方分邉比例之中率何者丙丁与丁甲之比例若丁甲与丁乙也故丁甲为丙丁丁乙两分邉比例之中率也又乙丙与丙甲之比例若丙甲与丙丁也故丙甲为乙丙丙丁之中率也乙丙与乙甲之比例若乙甲与乙丁也故乙甲为乙丙乙丁之中率也第九题一直线求截所取之分法曰甲乙直线求截取三分之一先从甲任作一甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作所命分之平度如甲丁丁戊戊己为三分也次作己乙直线末作丁庚线与己乙平行即甲庚为甲乙三分之一论曰甲乙己角形内之丁庚线既与乙己邉平行即己丁与丁甲之比例若乙庚与庚甲也(本篇二)合之己甲与甲丁若乙甲与庚甲也(五卷十八)而甲丁既为己甲三分之一即庚甲亦为乙甲三分之一也注曰甲乙线欲截取十一分之四先作甲丙线为丙甲乙角从甲向丙任平分十一分至丁次作丁乙线末从甲取四分得戊作戊己线与丁乙平行即甲己为十一分甲乙之四何者依上论丁甲与戊甲之比例若乙甲与己甲也反之甲戊与甲丁若甲己与甲乙也(五卷四)甲戊为甲丁十一分之四则甲己亦甲乙十一分之四矣依此可推不尽分之数葢四不为十一之尽分故第十题一直线求截各分如所设之截分法曰甲乙线求截各分如所设甲丙任分之丁戊者谓甲乙所分各分之比例若甲丁丁戊戊丙也先以甲乙甲丙两线相聮于甲任作丙甲乙角次作丙乙线相聮末从丁从戊作丁己戊庚两线皆与丙乙平行即分甲乙线于己于庚若甲丙之分于丁于戊论曰甲丁与丁戊之比例既若甲己与己庚(本篇二)即甲己与己庚亦若甲丁与丁戊也更作丁辛线与甲乙平行而分戊庚于壬即丁戊与戊丙若丁壬与壬辛也亦若等丁壬之己庚(一卷卅四)与等壬辛之庚乙也(本篇二)则己庚与庚乙亦若丁戊与戊丙也从此题作一用法平分一直线为若干分如甲乙线求五平分即从甲任作甲丙线为丙甲乙角次从甲向丙任作五平分为甲丁丁戊戊己己庚庚辛次作辛乙直线相聨末作丁壬戊癸己子庚丑四线皆与辛乙平行即壬癸子丑分甲乙为五平分其理依前论推显又一简法如甲乙线求五平分即从丙任作丙乙线为丙乙甲角次于乙丙任取一㸃为丁作丁戊线与甲乙平行次从丁向戊任作五平分为丁己己庚庚辛辛壬壬癸而丁癸线令小于甲乙次从甲过癸作甲子线遇乙丙于子末从子作子壬子辛子庚子己四线各引长之而分甲乙于丑于寅于夘于辰为五平分论曰丁戊与甲乙既平行即子壬癸与子丑甲两角子癸壬与子甲丑两角各等(一卷廿九)而甲子丑同角即甲子丑癸子壬两角形相似矣则子癸与癸壬之比例若子甲与甲丑也(本篇四)依显子壬与壬辛若子丑与丑寅也又癸壬与壬辛等即子壬与壬癸若子壬与壬辛也(五卷七)则子丑与丑甲亦若子丑与丑寅也而甲丑丑寅两线等矣(五卷十一)依显寅夘夘辰辰乙俱与甲丑等则甲乙线为五平分又一简法如甲乙线求五平分即从甲从乙作甲丁乙丙两平行线次从乙任作戊己庚辛四平分次用元度从甲作壬癸子丑四平分末作戊丑己子庚癸辛壬四线相聨即分甲乙于己于辰于夘于寅为五平分论曰辛庚与壬癸既平行相等即辛壬与庚癸亦平行(一卷卅三)依显己子戊丑俱平行而甲丑既为四平分则甲己亦四平分(本题)依显乙辛既为四平分则乙寅亦四平分而通甲乙为五平分又用法先作一器丙丁戊己为平行线任平分为若干格每分作平行线相聨今欲分甲乙为五平分即规取甲乙之度以一角抵戊丙线而一角抵庚辛线如不在庚辛者即渐移之令至也既至壬即戊壬之分为甲乙之分论曰庚癸与子辛既平行相等即癸子庚辛亦平行相等(一卷卅三)而丙丁戊己内诸线俱平行相等戊庚为五平分即戊壬亦五平分矣(本题)戊壬之度既与甲乙等即自戊至壬诸格分甲乙为五平分也如戊丙线上取丑㸃而甲乙度抵庚辛之外若丑寅即从庚辛线引长之为庚寅而癸子诸线俱引长之其丑寅仍为五平分如前论若所欲分之线极小则制器宜宻令相称焉増题有直线求两分之而两分之比例若所设两线之比例法曰甲乙线求两分之而两分之比例若所设丙与丁先从甲任作甲戊线而为甲角次截取甲己与丙等己庚与丁等次作庚乙线聨之末作己辛线与庚乙平行即分甲乙于辛而甲辛与辛乙之比例若丙与丁说见本篇二又増题两直线各三分之各互为两前后率比例等即两中率与两前两后率各为比例亦等解曰甲乙丙丁两线各三分之于戊于己于庚于辛各互为两前两后率比例等者甲戊与戊乙若丙庚与庚丁甲己与己乙若丙辛与辛丁也题言中率戊己庚辛各与其前后率为比例亦等者甲戊与戊己若丙庚与庚辛己乙与戊己若辛丁与庚辛也论曰甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即合之甲乙与戊乙若丙丁与庚丁也而甲己与己乙既若丙辛与辛丁即合之甲乙与己乙若丙丁与辛丁也又反之己乙与甲乙若辛丁与丙丁也夫己乙与甲乙既若辛丁与丙丁而甲乙与戊乙又若丙丁与庚丁即平之己乙与戊乙亦若辛丁与庚丁也(五卷廿二)又转之戊乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也此前觧也又简论曰如后圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行(本篇二)甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行(本篇二)而庚戊与辛己亦平行(一卷三十)是甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也(本篇)第十一题两直线求别作一线相与为连比例法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙丁与甲丙等次作丙乙线相聨次从丁作丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求线(如以甲丙为前率倣此)论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁邉平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊也(本篇二)而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与丙戊也(五卷七)注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例之中率(本篇八之系)则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱倣此第十二题三直线求别作一线相与为断比例法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊于戊即丁戊为所求线论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙(本篇二)第十三题两直线求别作一线为连比例之中率法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率论曰试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角(三卷)(卅一)而直角所下乙丁垂线两分对邉线甲丙其甲乙与乙丁若乙丁与乙丙也(本篇八之系)则乙丁为甲乙乙丙之中率注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从垂线作角皆为直角(三卷卅一)故依前论推显各为中率也増题一直线有他直线大于元线二倍以上求分他线为两分而以元线为中率法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲与戊己等(一卷卅四)则丙甲亦甲己己乙之中率也第十四题(二支)两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角各两旁之两邉为互相视之邉者甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚为一直线其甲乙丙与戊乙庚既等角即戊乙乙丙亦一直线(一卷十五增题)次从辛丙己庚各引长之遇于丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁也(五卷七)而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等髙即辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也(本篇)(一)依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也后觧曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两邉为互相视之邉者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙乙己两平行方形等论曰依上论以两等角相聨其甲乙与乙庚之比例既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平行等髙之辛乙与乙丁两形(本篇一)戊乙与乙丙两底之比例若平行等髙之乙己与乙丁两形则辛乙与乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等(五卷九)第十五题(二支)相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视者谓甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙也论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊为一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直线(一卷十五増题)次作丙戊线相聨其甲乙丙乙丁戊两角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊也(五卷七)夫甲乙丙与乙丙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等髙形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁乙与乙丙后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等论曰依前列两形令等角旁两邉各为一直线其甲乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等髙角形丁乙与乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等髙角形则甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而甲乙丙与乙丁戊岂不相等(五卷九)第十六题(二支)四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等论曰两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两邉互相视而甲丙戊庚两直角形必等(本篇十四)后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角旁之各两邉互相视而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙也(本篇十四)则四线为断比例矣注曰若平行斜方形而等角亦同此论如上圗以上二题即筭家句股法三数筭法所頼也第十七题(二支)三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾线矩内直角形戊己庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊庚两形等论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则戊己己庚矩内直角形(即戊己上直角方形)与甲乙乙丙首尾线矩内之甲丙形等矣(本篇十六)后解曰甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙与戊己之比例若戊己与乙丙论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例若己庚与乙丙也(本篇十六)而己庚与乙丙亦若等己庚之戊己与乙丙(五卷七)则甲乙与戊己若戊己与乙丙矣注曰若平行斜方形而等角亦同此论如上圗系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率故第十八题直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于设形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如上设形则从己向丙向丁作两直线而分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角形矣(一卷卅二)次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势等凡设多角形俱倣此论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其余各全角俱等则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬与乙辛亦若丁己与丁戊(本篇四)平之即甲乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也(五卷廿二)则甲乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也(两形等角即等角旁)(各两边之比例等见本篇四)又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚也(五卷廿二)则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例等也依显余角俱如是则两形为等角形而各等角旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等注曰凡线上形相当之各角等即形相似而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两线上则虽相似而体势不等又如上甲丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比例若戊辛与辛庚而余邉之比例俱等亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直角形虽角旁比例等而在丁丙庚辛线上不相当则体势不等増作本题别有一简法如设甲乙丙丁戊己直线形求于庚线上作直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所求论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲辛壬甲丑子两角各等(一卷廿九)而甲丙乙甲丙丁两角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形各相似(本篇四之系)即甲乙与乙丙之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显余邉俱如是则两形相似而体势等也第十九题相似三角形之比例为其相似邉再加之比例解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两邉再加之比例先论曰若两角形等即乙丙与戊己两邉亦等而各两等邉为相同之比例即两形亦相同之比例就令作再加之比例亦未免为相同之比例则相等之两形即可为两等邉再加之比例矣后论曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙线上截取乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若戊己与乙庚也(本篇十一)次作甲庚直线其甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两等角而各两旁之两邉又互相视(本篇十五)即两形等则甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙庚形矣(五卷七)又甲乙丙与甲乙庚两等髙角形之比例若乙丙底与乙庚底(本篇一)则甲乙丙形与丁戊己形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比例为乙丙与戊己再加之比例也系依本题可显凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例其甲与乙上各有角形相似而体势等则一甲线与三丙线之比例若甲形与乙形也何者甲线与丙线之比例为甲线与乙线再加之比例而甲形与乙形之比例亦甲线与乙线再加之比例则甲形与乙形之比例若甲线与丙线矣依显二乙上角形与三丙上角形相似而体势等则二乙形与三丙形之比例若一甲线与三丙线第二十题(三支)以三角形分相似之多邉直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例其元形之比例为两相似邉再加之比例先解曰此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多邉直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各角俱等而各等角旁各两邉之比例各等题先言各以角形分之其角形之分数必等而相当之各角形各相似论曰试从乙甲戊庚己癸两角向各对角俱作直线为甲丙甲丁己辛己壬其元形既相似即角数等而所分角形之数亦等又乙角既与庚角等而角旁各两邉之比例亦等即甲乙丙与己庚辛两角形必相似(本篇六)乙甲丙与庚己辛两角甲丙乙与己辛庚两角各等而各等角旁各两邉之比例各等(本篇四)依显甲戊丁己癸壬两角形亦相似又甲丙与丙乙之比例既若己辛与辛庚而丙乙与丙丁若辛庚与辛壬(两元形相似故)平之即甲丙与丙丁若己辛与辛壬也(五卷廿二)又乙丙丁角既与庚辛壬角等而各减一相等之甲丙乙角己辛庚角即所存甲丙丁角与己辛壬角必等则甲丙丁与己辛壬两角形亦等角形亦相似矣(本篇六)次解曰题又言各相当角形之比例若两元形之比例论曰甲乙丙己庚辛两角形既相似即两形之比例为甲丙己辛两相似邉再加之比例(本篇十九)依显甲丙丁己辛壬之比例亦为甲丙己辛再加之比例则甲乙丙与己庚辛两角形之比例若甲丙丁与己辛壬两角形之比例依显甲丁戊与己壬癸之比例亦若甲丙丁与己辛壬之比例则此形中诸角形之比例若彼形中诸角形之比例此诸形为前率彼诸形为后率而一前与一后之比例又若并前与并后之比例(五卷十二)即此一角形与相当彼一角形之比例若此元形与彼元形之比例矣后解曰题又言两多邉元形之比例为两相似邉再加之比例论曰甲乙丙与己庚辛两角形之比例既若甲乙丙丁戊与己庚辛壬癸两多邉形之比例而甲乙丙与己庚辛两形之比例为甲乙己庚两相似邉再加之比例(本篇十九)则两元形亦为甲乙己庚再加之比例増题此直线倍大于彼直线则此线上方形与彼线上方形为四倍大之比例若此方形与彼方形为四倍大之比例则此方形邉与彼方形邉为二倍大之比例先解曰甲线倍乙线题言甲上方形与乙上方形为四倍大之比例论曰凡直角方形俱相似(本卷界说一)依本题论则甲方形与乙方形之比例为甲线与乙线再加之比例甲线与乙线既为倍大之比例则两方形为四倍大之比例矣何者四倍大之比例为二倍大再加之比例若一二四为连比例故也后解曰若甲上方形与乙上方形为四倍大之比例题言甲邉与乙邉为二倍大之比例论曰两方形四倍大之比例既为两邉再加之比例则甲邉二倍大于乙邉系依此题可显三直线为连比例如甲乙丙则第一线上多邉形与第二线上相似多邉形之比例若第一线与第三线之比例此系与本篇第十九题之系同论第二十一题两直线形各与他直线形相似则自相似解曰甲乙丙丁戊己两直线形各与庚辛壬形相似题言两形亦自相似论曰甲乙丙形之各角既与庚辛壬形之各角等而丁戊己形之各角亦与庚辛壬形之各角等即两形之各角自相等(公论)两形之各角既等则甲乙丙形与庚辛壬形各等角旁各邉之比例等(五卷十一)而丁戊己形与庚壬辛形各等角旁各邉之比例亦等也是甲乙丙形与丁戊己形各等角旁各邉之比例亦等也各角既等各邉之比例又等即两形定相似矣(本卷界说一)第二十二题(二支)四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直线为断比例者甲乙与丙丁若戊己与庚辛也今于甲乙丙丁上各任作直线形自相似如甲乙壬丙丁癸于戊己庚辛上各任作直线形自相似如戊己丑子庚辛夘寅题言四形亦为断比例者谓甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚夘也论曰试以甲乙丙丁两线求其连比例之末率线为辰(本篇十一)次以戊己庚辛两线求其连比例之末率线为己平之即甲乙与辰之比例若戊己与己也(五卷廿二)夫甲乙壬与丙丁癸两相似形之比例若甲乙线与辰线(本篇十九及廿之系)而戊丑与庚夘两相似形之比例若戊己线与己线则甲乙壬与丙丁癸之比例亦若戊丑与庚夘矣(五卷十一)后解曰如前四形为断比例题言甲乙丙丁戊己庚辛四线亦为断比例论曰试以甲乙丙丁戊己三线求其断比例之末率线为午未(本篇十二)次于午未上作直线形与戊丑相似而体势等为午未酉申(本篇十八)午酉与戊丑相似即与庚夘亦相似而甲乙与丙丁之比例既若戊己与午未依上论即甲乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑与午酉矣夫甲乙壬与丙丁癸之比例元若戊丑与庚夘则戊丑与午酉亦若戊丑与庚夘也(五卷十一)而午酉与庚夘等也(五卷九)午酉与庚夘既等又相似而体势等即两形必在等线之上而庚辛与午未必等(见下方补论)则戊己与午未之比例若戊己与庚辛也而戊己与午未元若甲乙与丙丁则甲乙与丙丁亦若戊己与庚辛也补论曰庚夘午酉两直线形相等相似而体势等即在等线之上者何也盖庚辛与午未若云不等者或言庚辛大于午未也则辛夘宜亦大于未酉矣(五卷十四)而庚夘形宜亦大于午酉形矣何先设两形等也言小倣此(补论者前此未著而论中无他论可徴故别作一论以足未备)又补论曰甲乙丙丁戊己两直线形相等相似而体势等即相似邉如甲乙与丁戊必等者何也盖云不等者或言甲乙大于丁戊也即令以甲乙丁戊两线求其连比例之末率线为庚(本篇十一)其甲乙与丁戊既若丁戊与庚而甲乙大于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大于庚矣然甲乙与庚之比例若甲乙丙形与丁戊己形(本篇十九及廿之系)甲乙既大于庚则甲乙丙宜大于丁戊己何先设两形等也是甲乙不能大于丁戊矣言小倣此増论曰本题别有简论今先显四线之比例等而甲乙壬与丙丁癸两形之比例若戊丑与庚夘两形者盖甲乙与丙丁之比例若戊己与庚辛而甲乙壬与丙丁癸之比例为甲乙与丙丁再加之比例(本篇十九)戊丑与庚卯之比例亦为戊己与庚辛再加之比例是甲乙壬与丙丁癸若戊丑与庚夘也次増论曰今显四形之比例等而甲乙与丙丁两线之比例若戊己与庚辛两线者盖甲乙壬与丙丁癸之比例若戊丑与庚夘而甲乙壬与丙丁癸之比例为甲乙与丙丁再加之比例若戊丑与庚夘为戊己与庚辛再加之比例(本篇十九)则甲乙与丙丁之比例若戊己与庚辛矣第二十三题等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结解曰甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等题言两形之比例以各等角旁各两邉之比例相结者谓两比例之前率在此形两比例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结也论曰试以两等相聨于丙而乙丙丙庚作一直线其乙丙丁角既与戊丙庚角等即戊丙丙丁亦一直线(一卷十五増)次于甲丁己庚各引长之遇于辛次任作一壬线次以乙丙丙庚壬三线求其断比例之末率线为癸(本篇十二)末以丁丙丙戊癸三线求其断比例之末率线为子其乙丙与丙庚两底之比例既若甲丙与丙辛两形(本篇一)而乙丙与丙庚亦若壬与癸则甲丙与丙辛亦若壬与癸也(五卷十一)依显丙辛与丙己亦若癸与子也平之即甲丙与丙己若壬与子也(五卷廿二)夫壬与子之比例元以壬与癸癸与子两比例相结(本卷)(界说五)而壬与癸癸与子元若乙丙与丙庚丁丙与丙戊则甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊两比例相结也其以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结则先以乙丙丙戊为一直线可依上推显后注曰此不同理之比例也两形不相似(本篇十九)又不相等之形也等角旁各两邉不互相视(本篇十四)故必用相结之理必湏借象之术其法假虚形实所以通比例之穷也以数明之乙丙六十丙庚二十壬三求得癸一丁丙四十丙戊八十癸一求得子二即甲丙之实二千四百与丙己之实一千六百若壬三与子二为等带半之比例也其曰壬与癸癸与子两比例相结者壬三倍大于癸癸反二倍大于子(反二倍者癸得子之半)三乗半得一五则壬与子为等带半之比例也其曰借象者乙丙与丙庚丁丙与丙戊二比例既不同理又异中率故借壬与癸癸与子同中率而不同理之二比例以为象(本卷界说五)初作壬与癸若乙丙与丙庚次作癸与子若丁丙与丙戊(本篇十二)则癸为前率之后又为后率之前是为壬子首尾两率之枢纽令相象之丙庚丁丙亦化两率为一率为乙丙丙戊首尾两率之枢纽因以两比例相结为首尾两率之比例虽不能使三率为同理之两比例而合为一连比例亦能使两不同理之比例首尾合而为一比例矣自三以上可倣此相借以至无穷也(本卷界说五)第二十四题平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似解曰甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角线交相遇于壬题言戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似论曰试依一卷廿九题推显两角线形等角又庚甲戊与乙甲丁同角而甲戊壬外角与甲丁丙内角等甲庚壬外角与甲乙丙内角等戊壬庚外角与乙己壬内角等乙己壬外角又与乙丙丁内角等则戊庚形与甲丙全形等角矣依显己辛形亦与全形等角矣今欲显两形与全形相似者试观甲庚壬与甲乙丙两角形甲戊壬与甲丁丙两角形既各等角(一卷廿九)(可推仍见本篇四之系)即甲乙与乙丙之比例若甲庚与庚壬而庚乙两角旁各两边之比例等也(六卷四)又乙丙与丙甲之比例若庚壬与壬甲丙甲与丙丁之比例若壬甲与壬戊平之即乙丙与丙丁若庚壬与壬戊也(五卷廿二)则乙丙丁庚壬戊两角旁各两边之比例等也依显各角旁各両边之比例皆等是两角线方形自相似亦与全形相似第二十五题两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等法曰甲乙两直线形求作他直线形与甲相似与乙相等先于求相似之甲形任取一边如丙丁于丙丁边上作平行方形与甲等为丙戊(一卷四四四五)次于丁戊边上作平行方形与乙等而戊丁庚角与丁丙己角等为丁辛其丙丁庚己戊辛俱为直线也(一卷四五可推)次作一壬癸线为丙丁丁庚之中率(本篇十三)末于壬癸上作子形与甲相似而体势等(本篇十八)即子形与乙等论曰丙丁壬癸丁庚三线既为连比例即依本篇二十题之系可显一丙丁与三丁庚之比例若一丙丁上之甲与二壬癸上之子两形相似而体势等者之比例也又丙丁与丁庚之比例若丙戊与丁辛两等髙平行方形之比例也(本篇一)则丙戊与丁辛若甲与子矣夫丙戊与丁辛元若甲与乙也(丙戊与甲等丁辛与乙等)则甲与乙之比例若甲与子也(五卷十一)而乙形与子形等矣(五卷九)第二十六题平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线解曰乙丁平行方形之内减戊庚平行方形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角题言戊庚形必依乙丁形之对角线论曰试作甲己己丙对角两线若两线为一直线即显戊庚形依甲丙对角线矣如云甲己己丙非一直线令别作元形之对角线而分戊己邉于辛即作辛壬线与己庚平行其乙丁戊壬两平行方形既同依甲辛丙一直对角线则宜相似而体势等矣(本篇廿四)是乙甲与甲丁之比例宜若戊甲与甲壬也夫乙甲与甲丁元若戊甲与甲庚(元设形相似而体势等)今若所云则戊甲与甲庚亦若戊甲与甲壬矣(五卷十一)而甲壬分与甲庚全亦等矣(五卷九)可乎若云甲辛丙分己庚于辛即令作辛壬与己戊平行依前论驳之第二十七题凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形解曰甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形其对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形(本卷界说六)此两形相等相似势体又等题言甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形论曰试于乙丁对角线上任取一㸃为庚从庚作己庚壬线庚癸线与甲乙乙戊各平行即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形而癸壬为其阙形此癸壬阙形既依乙丁对角线则与丙戊阙形相似而体势等(本篇廿四)夫丙庚庚戊两余方形既等(一卷四三)若每加一癸壬角线方形即丙壬与癸戊亦等也又丙壬与丙己俱在两平行线内底等即两形等(一卷三六)而丙己与癸戊两形亦等若每加一丙庚形是甲庚平行方形与子丑磬折形亦等也丙戊平行方形凾子丑磬折形之外尚有庚丁形则丙戊形必大于子丑磬折形而等丙戊之甲丁形(丙戊甲丁同在两平行线内又等底故见一卷三六)必大于等磬折形之甲庚形矣依显凡依乙丁对角线作形与丙戊相形者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也又论甲丁必大于甲庚曰己丁丁壬两平行方形同在两平行线内又底等即两形等(一卷卅六)而庚戊为丁壬之分则丁壬大于庚戊较余一庚丁形其大于丙庚亦如之(庚戊丙庚两余方形等故见一卷四三)即等丁壬之己丁形其大于丙庚亦较余一庚丁形也次每加一丙己形则甲丁必大于甲庚矣又解曰若庚㸃在丙戊形外即引乙丁对角线至庚从庚作辛丑线与癸戊平行次引甲癸线至辛引乙戊线至丑而与辛丑线遇于辛于丑末作庚己线与辛甲平行即得甲庚为依甲乙元线之有阙平行方形又得己丑与丙戊相似而体势等者(两形同依乙庚对角线故见本篇廿四)为其阙形也题言甲丁形亦大于甲庚形论曰试于丙丁线引出之至子即辛子子丑两线等(一卷卅四)而辛丁丁丑两形亦等(一卷卅六)其丁丑己丁两余方形既等即己丁与辛丁亦等夫辛丁大于辛壬既较余一庚丁形则己丁之大于辛壬亦较余一庚丁形也此两率者每加一甲壬平行方形则甲丁大于甲庚者亦较余一庚丁形矣依显凡乙丁对角线引出丙戊形外依而作形与丙戊相似者其有阙依形俱小于甲丁也为其必有庚丁之较故也第二十八题一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者法曰甲乙线求作依线之有阙平行方形与所设直线形丙等而其阙形与所设平行方形丁相似先以甲乙线两平分于戊次于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势等(本篇十八)次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者(本篇廿五)即得所求矣若甲己大于丙者(题言甲己小即不可作见本篇廿七)即等甲己之戊庚亦大于丙也则寻戊庚之大于丙几何假令其较为壬(两直线形不等相减之较法见一卷四五増)即作癸子丑寅平行方形与壬等又与戊庚形相似而体势(本篇廿五)则戊庚平行方形与丙直线形及癸丑平行方形并等而戊庚必大于癸丑矣夫戊庚与癸丑既相似即戊己与巳庚两边之比例若寅癸与癸子也而戊庚既大于癸丑即戊己己庚两邉亦大于寅癸癸子也次截取己巳己夘与癸子癸寅等而作己己辰夘平行方形必与癸丑形相等相似而体势等矣又夘己形既与戊庚相似而体势等必同依乙己对角线也(本篇廿六)次于己辰线引出抵甲乙元线于夘辰两界各引出作午未线即甲辰为依甲乙线之有阙平行方形与丙等而其阙形乙辰与戊庚相似(本篇廿四)即亦与丁相似论曰辰庚与辰戊两余方形既等(一卷四三)每加一乙辰角线方形即乙己与戊午亦等而与等戊午之戊未亦等(戊午戊未同在平行线内又底等故见一卷卅六)乙己与戊未既等又每加一申辰方形即甲辰平行方形与申酉罄折形亦等矣夫申酉罄折形为戊庚形之分而戊庚与丙及癸丑等戊庚所截去之夘己又与癸丑等则申酉罄折形与丙等也而甲辰亦与丙等也第二十九题一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似法曰甲乙线求作依线之带余平行方形与所设直线形丙等而其余形与所设平行方形丁相似先以甲乙线两平分于戊次于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势等(本篇十八)次别作一平行方形与丙及戊庚并等为辛(二卷十四)次别作一平行方形与辛等又与丁相似而体势等为壬癸子丑(本篇廿五)其丑癸既与辛等即大于戊庚而丑癸既与戊庚相似即丑壬与壬癸两邉之比例若戊己与己庚也而丑壬与壬癸两线必大于戊巳与巳庚也(若等或小即丑癸不大于戊庚)次于巳戊引之至卯与壬丑等于巳庚引之至寅与壬癸等而作卯寅平行方形即卯寅与丑癸同依辰巳对角线而等(本篇廿六)又与戊庚相似而体势等矣次于甲乙引之至巳庚乙引之至午于午卯引之至未末作甲未线与己夘平行即得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而己午为其余形与戊庚形相似而体势等(本篇廿四)即与丁相似而体势等论曰甲夘戊午两形既等(一卷卅六)戊午与乙寅两余方形又等(一卷四三)则甲夘与乙寅亦等矣而每加一夘己形则甲辰平行方形与戊辰寅罄折形亦等矣夫戊辰寅罄折形元与丙等(丑癸即夘寅与丙及戊庚并等每减一戊庚即罄折形与)(丙等)即甲辰亦与丙等第三十题一直线求作理分中末线法曰甲乙线求理分中末先于元线作甲乙丙丁直角方形次依丁甲邉作丁己带余平行方形与甲丙直角方形等而甲己为其余形又与甲丙形相似(本篇廿九)即甲己亦直角方形矣(惟直角方)(形恒与直角方形相似)则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也(本卷界说三)论曰丁己与甲丙两形既等每减一甲戊形即所存甲己辛丙两形亦等矣此两形之甲辛己戊辛乙两角既等(两皆直角故)即两角旁之各两邉线为互相视之线也(本篇十四)而等戊辛之甲乙线与等辛己之甲辛线其为比例若甲辛与辛乙也是甲辛乙线为理分中末也又论曰甲乙甲辛辛乙凡三线而第一第三矩内之辛丙直角形与第二甲辛上直角方形等即三线为连比例(本篇十七)而甲乙与甲辛若甲辛与辛乙矣又法曰甲乙线求分于丙而甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等(二卷十一)即甲乙之分于丙为理分中末线盖甲乙甲丙丙乙三线为连比例故(本篇廿七)第三十一题三邉直角形之对直角邉上一形与直角旁邉上两形若相似而体势等则一形与两形并等解曰甲乙丙三邉直角形乙甲丙为直角于乙丙上任作直线形为乙丙丁戊次于甲乙甲丙上亦作甲乙己庚甲丙壬辛两形与乙丁形相似而体势等(本篇)(十八)题言乙丁形与乙庚丙辛两形并等论曰试从甲作甲癸为乙丙之垂线依本篇第八题之系即乙丙与丙甲两邉之比例若丙甲与丙癸两邉则一乙丙邉与三丙癸邉之比例若一乙丙上之乙丁形与二甲丙上之丙辛形也(本篇十九或二十之系)反之则丙癸与乙丙两邉之比例若丙辛与乙丁两形也依显乙癸与乙丙两邉之比例若乙庚与乙丁两形也(乙丙乙甲乙癸三邉为连比例故见本篇八之系)夫一丙癸与二乙丙之比例既若三丙辛与四乙丁而五乙癸与二乙丙之比例亦若六乙庚与四乙丁则一丙癸五乙癸并与二乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也既一丙癸五乙癸并与二乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等(五卷廿四)又论曰甲乙丙与癸甲丙两角形既相似而甲乙丙角形其乙丙与丙甲之比例若癸甲丙角形之丙甲与丙癸(本篇八)即乙丙与丙甲两邉相似则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例为丙甲与乙丙再加之比例(本篇十九)而丙辛与乙丁两形之比例亦为丙甲与乙丙再加之比例(本篇十九二十)则癸甲丙与甲乙丙两角形之比例若丙辛与乙丁两形也(五卷十一)依显癸乙甲与甲乙丙两角形之比例若乙庚与乙丁两形也是一甲癸丙与二甲乙丙之比例若三丙辛与四乙丁也而五癸乙甲与二甲乙丙之比例若六乙庚与四乙丁也即一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙之比例若三丙辛六乙庚并与四乙丁也(五卷廿四)既一甲癸丙五癸乙甲并与二甲乙丙等则三丙辛六乙庚并与四乙丁亦等又论曰一甲丙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛形与四乙丁形(此两率之比例皆甲丙与乙丙再加)(之比例见本篇十九二十)又五甲乙上直角方形与二乙丙上直角方形之比例若六乙庚形与四乙丁形即一甲丙上五甲乙上两直角方形并与二乙丙上直角方形之比例若三丙辛六乙庚两形并与四乙丁形(五卷廿四)既甲丙甲乙上两直角方形并与乙丙上直角方形等(一卷四十)则丙辛乙庚两形并与乙丁形等増题角形之一邉上一形与余两邉上两形相似而体势等者其一形与两形并等则余两邉内角必直角解曰甲乙丙角形于乙丙上任作一直线形与甲乙甲丙上两形相似而体势等其一形与两形并等题言乙甲丙必直角论曰试作甲丁为甲丙之垂线与甲乙等次作丁丙线其丙甲丁既直角即于丁丙上作一形与乙丙上形相似其丁丙上形与丁甲甲丙上相似而体势等之两形并等矣(本题)又甲丁与甲乙等其上两形亦等即丁丙上形与甲乙甲丙上两形并亦等而乙丙上形元与甲乙甲丙上两形并等则丁丙乙丙上两形亦等而丁丙与乙丙两线亦等(本篇)(廿二补论)夫甲丙丁角形之甲丁与甲乙丙角形之甲乙等甲丙同邉其底乙丙丁丙又等即丁甲丙与乙甲丙两角必等丁甲丙既直角则乙甲丙亦直角第三十二题两三角形此形之两邉与彼形之两邉相似而平置两形成一外角若各相似之各两邉各平行则其余各一邉相聨为一直线解曰甲乙丙丁丙戊两角形其甲乙甲丙邉与丁丙丁戊邉相似者谓甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切成一甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戌各相似之两邉各平行题言乙丙丙戊为一直线论曰甲乙与丁丙既平行即甲角与内相对之甲丙丁等(一卷廿九)依显丁角亦与内相对之甲丙丁等则甲丁两角等而甲乙丙与丁丙戊两角形之甲丁两角旁各两邉比例又等即两形为等角形而乙角与丁丙戊角必等(本篇六)次于乙角加甲角于丁丙戊角加等甲之甲丙丁角即乙甲两角并与等甲丙丁丁丙戊两角并之甲丙戊角等次每加一甲丙乙角即甲乙丙形之内三角并与甲丙乙甲丙戊两角并等夫甲乙丙形之内三角等两直角(一卷卅二)则甲丙乙甲丙戊并亦等两直角而为一直线(一卷十四)第三十三题(三支)等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例解曰甲乙丙戊己庚两圜等其心为丁为辛两圜各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为乙甲丙己戊庚题先言乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角次言乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚两圜分后言乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚两圜分先论曰试作乙丙己庚两线次作丙壬合圜线与乙丙等作庚癸癸子两合圜线各与己庚等(四卷一)其丙壬既与乙丙等即乙丙与丙壬两圜分亦等(三卷十八)而乙丁丙与丙丁壬两角亦等(三卷廿七)依显己庚庚癸癸子三圜分己辛庚庚辛癸癸辛子三角俱等则乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数如在心乙丁壬角或乙丁壬内地倍乙丁丙角之数而己庚癸子圜分倍己庚圜分之数如在心己辛子角或己辛子内地倍己辛庚角之数何者乙丁壬己辛子两角或两地内之分数与乙丙壬己庚癸子两圜分内之分数各等故也然则乙丁壬角与地若等于己辛子角与地即乙丙壬圜分必等于己庚癸子圜分矣若大亦大若小亦小矣是一乙丙所倍之乙丙壬三乙丁丙所倍之乙丁壬偕二己庚所倍之己庚癸子四己辛庚所倍之己辛子等大小皆同类也则一乙丙与二己庚之比例若三乙丁丙与四己辛庚也(五卷界说六)次论曰乙丁丙角倍大于乙甲丙角而己辛庚角亦倍大于己戊庚(三卷二十)即乙丁丙与己辛庚两角之比例若乙甲丙与己戊庚两角矣(五卷廿五)则乙甲丙与己戊庚在界乗圜之两角亦若乙丙与己庚两圜分也(五卷十一)若作甲壬戊癸直线亦可用先论推显(用地当角说见)(三卷廿増题)后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等(三卷廿七)即两角亦等而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等(乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四)次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬两分圜形等(一卷四)则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣(五卷界说六)是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也(五卷界说六)一系在圜心两角之比例皆若两分圜形二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之靣故因其义类増益数题用补阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题㫖从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也今増题圜与圜为其径与径再加之比例解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例论曰如云不然当言甲乙丙圜与小于丁戊己之庚辛壬圜或大于丁戊己之癸子丑圜为甲丙与丁己再加之比例也(五卷界说二十増)若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉为偶数又等而全不至内圜也(四卷十六补题)次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形与丁戊己圜内切形相似(四卷)(十六补题可推)其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午乙寅丙相似之两多邉形则为两相似邉再加之比例也(本篇二十)而甲丙与丁己两线为两形之相似邉据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与甲乙丙两圜之比例为丁己与甲丙两径再加之比例也设他圜干兊离令癸子丑与甲乙丙之比例若丁戊己与干兊离(五卷界说増)则丁戊己与干兊离两圜亦宜为丁己与甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之比例乎(前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例)夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为其元两径再加之比例一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等葢诸比例皆两径再加之比例故二系三边直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等(本篇卅一可推)三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者(本篇十九二十之系可推)一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等法曰如甲直线形求减三分之一其所减所存各作形与所设乙形相似而体势等先作丙丁形与甲等与乙相似而体势等(本篇廿五)次任于其一邉如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚戊次从庚作己庚为丙戊之垂线(本篇九)次作己丙己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各与丙丁相似而体势等(本篇十八)即所求论曰丙己戊角形既负半圜为直角(三卷卅一)即丙丁直线形与己辛己壬相似之两形并等(本篇卅)而于等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形既相似(本篇八)即丙庚与庚己之比例若丙己与己戊也(本篇四)夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例(本篇八之系)而己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似邉再加之比例(本篇十九二十)即丙庚与庚戊两线之比例若己辛与己戊两形也(两比例为两同理比例之再加故)合之则丙戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己壬而己壬为等甲之丙丁三分之一若直线形求减之不论所减所存何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙平行线形与甲等(一卷四一)次分乙丁为三平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一(本篇一)今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形邉余法同前如上图又今附依此法可方一初月形(方初月形者谓作直)(角方形与初月形等)如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一之乙壬丙戊初月形而求作一直角方形与初月形等先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形(三卷六)次用方形法四平分之即其一为所求方形与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜并等(本増题之今附)甲乙乙丙两线自相等即其上两半圜亦自相等而庚乙壬丙分圜形为大半圜之半即与乙己丙戊小半圜等此两率者各减一同用之乙己丙壬圜小分其所存乙壬丙戊初月形与庚乙丙角形等而庚己丙辛直角方形与庚乙丙角形亦等则与乙壬丙戊初月形亦等依显甲乙丙丁直角方形与大圜界上四初月形并等二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一直线形为连比例先作一戊己庚直线形与甲等与乙丙丁相似而体势等(本篇廿五)次以两形相似之各一邉如戊己乙丙为前中率线而求其连比例之末率线为辛壬(本篇十一)末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似而体势等(本篇十八)即所求论曰戊己乙丙辛壬三线既为连比例即其上三形相似而体势等者亦为连比例(本篇廿二)今附有两圜求别作一圜为连比例则以圜径当形邉依上法作之三増题三直线形求别作一直线形为断比例法曰一甲二乙丙丁戊三己庚辛三直线形求别作一直线形为断比例先作壬癸子丑形与甲等与乙丁相似而体势等(本篇廿五)次以三形之任各一邉如壬癸乙丙己庚为三率求其断比例之末率线为寅夘(本篇十二)末于寅夘上作寅夘辰形与己庚辛相似而体势等(本篇十八)即所求论曰四线既为断比例即其线上形相似而体势等者亦为断比例(本篇廿二)今附有三圜求别作一圜为断比例亦以圜径当形邉依上法作之四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两直线形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚直线形与甲等与乙丙丁相似而体势等(本篇廿五)次求戊己乙丙两直线连比例之中率为辛壬(本篇十三)末于辛壬上作辛壬癸形与戊己乙丙上形相似而体势等(本篇十八)即所求论曰戊己辛壬乙丙三线既为连比例即各线上戊己庚辛壬癸乙丙丁三形亦为连比例(本篇廿二)又法曰甲乙两直线形求别作一形为连比例之中率先作丁丙己戊平行线形任直斜角与甲等(一卷四五)次作庚戊壬辛平行线形与乙等与丁己形相似而体势等(本篇)(廿五)次置两平行线形以戊角相聨而丁戊戊壬为一直线即庚戊戊己亦一直线(一卷十五増)末从两形引长各邉成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁己庚壬两形之中率论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即丁戊与己戊之比例若戊壬与戊庚也更之即丁戊与戊壬若己戊与戊庚也夫丁戊与戊壬两线之比例亦若丁己与戊癸两形己戊与戊庚两线之比例又若戊癸与庚壬两形则戊癸为丁己庚壬之中率矣又论曰丁己庚壬两形既相似而体势等即同依丙辛对角线(本篇廿六)而子戊戊癸两余方形自相等则丁己与戊癸两形之比例若子戊与庚壬两形何者此两比例皆若丁戊与戊壬也则子戊戊癸皆丁己庚壬之中率也今附若两圜求作一圜为连比例之中率亦以圜径当形邉依上前法作之五増一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形相似而体势等其比例若所设两几何如乙线与丙线之比例先作戊己庚辛直线形与甲等与丁相似而体势等(本篇廿五)次任用其一邉如戊辛两分之于壬令戊壬与壬辛之比例若乙与丙也(分法)(先以乙丙两线联为一直线次截戊壬与壬辛若乙与丙见本篇十)次于戊辛上作戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛线相聨末于戊癸癸辛上作戊丑子癸癸夘寅辛两形与戊庚形俱相似而体势等(本篇十八)即此两形并与甲等又各与丁相似而体势等其比例又若乙与丙论曰戊癸辛既负半圜为直角(三卷卅一)即戊子癸寅两形并与等戊庚之甲等(本篇卅一)又戊壬与壬癸之比例若戊癸与癸辛(俱在直角两旁故见本篇四)戊壬壬癸壬辛三线为连比例即戊壬与壬辛为戊壬与壬癸再加之比例(本篇八之系)而戊子与癸寅两形亦为戊癸与癸辛两相似邉再加之比例(本篇二十)则戊壬与壬辛之比例亦若戊子与癸寅也(两比例为两同理比例之再加)(故)夫戊壬与壬辛元若乙与丙也则戊子与癸寅亦若乙与丙也今附若一圜求分作两圜其比例若所设两几何亦以圜径当形邉依上法作之六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例法曰甲直线形求分作两直线形俱与所设丁形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何如乙线与丙线之比例先以乙与丙两线求其连比例之末率为戊(本篇十一)次作己庚辛直线形与甲等与丁相似而体势等次任用其一邉如己辛两分之于壬令己壬与壬辛之比例若乙与戊也(本篇十)次于己辛线上作己癸辛半圜次从壬作壬癸为己辛之垂线次作己癸癸辛两线相聨未于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛两形俱与丁相似而体势等即此两形并与等甲之己庚辛等而己癸癸辛两相似邉之比例若乙与丙论曰己癸辛既负半圜为直角(三卷卅)即己子癸癸丑辛两形并与等己庚辛之甲等(本篇卅一)又己壬与壬癸之比例若己癸与癸辛(俱在直角两旁故见本篇四)己壬壬癸壬辛三线为连比例即己壬与壬辛为己壬与壬癸再加之比例(本篇八之系)夫己壬与壬癸之比例既若己子癸癸丑辛两形相似邉之己癸与癸辛而乙与戊元若己壬与壬辛乙与戊元为乙与丙再加之比例则己癸癸辛之比例若乙与丙今附若一圜求分作两圜其两圜径之比例若所所设两几何倣此七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等法曰甲乙两直线形求并作一形与所设丙形相似而体势等先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与丙相似而体势等(本篇廿五)次置两形令相似之戊己己辛两邉聨为直角次作戊辛线相聨末依戊辛线作戊辛壬与丙相似而体势等即与上两形并等(本篇卅一)如所求又法曰作一平行方形与甲乙两形并等(一卷四五)次作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似而体势等即所求今附若两圜求并作一圜亦以圜径当形邉依上法作之八増题圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊题言所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线者谓甲戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内直角形等(三卷卅五)即等角旁之两邉为互相视之邉(本篇十四)九増题圜外任取一㸃从㸃出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从㸃作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率解曰甲乙丙丁圜外任取戊㸃从戊作戊丁戊丙两割圜至规内之线遇圜界于甲于乙题言戊丙戊乙戊丁戊甲互相视者谓戊丙与戊丁若戊甲与戊乙也又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也论曰试从戊作戊己线切圜于己即戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等(三卷卅六)又戊丁偕戊甲矩内直角形与戊己上直角方形亦等即戊丙偕戊乙与戊丁偕戊甲两矩内直角形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉(本篇十四)又戊丙偕戊乙戊丁偕戊甲两矩内直角形各与戊己上直角方形等(三卷卅六)即戊丙戊己戊乙三线为连比例戊丁戊己戊甲三线亦为连比例而戊己为各全线与其规外线之各中率(本篇十七)十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角即如前图两垂线当至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为锐角即如后图甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆彼此互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也论曰甲乙丁角形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊角形之丙乙戊丙戊乙两角各等(两为直角两于前圗为交角于后圗为同角故)即两形为等角形而甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也(本篇四)更之则甲乙与乙丙若丁乙与乙戊也又论曰依前圗可推后图之甲丁丙戊交而相分于己其甲己己丁丙己己戊亦彼此互相视盖甲己戊丙己丁既为等角形即甲己与己戊若丙己与己丁也(本篇四)更之则甲己与丙己若己戊与己丁也十一増题平行线形内两直线与两邉平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等解曰甲乙丙丁平行线形内作戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形任相与为比例皆等论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形(本篇一)又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也(五卷十二)依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等解曰甲乙丙丁四邉形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两角形又若甲戊乙与乙戊丙两角形(本篇一)即甲戊丁与丁戊丙两角形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也十三増题三角形任于一邉任取一㸃从㸃求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例先法曰甲乙丙角形任于一邉如乙丙上任取一㸃为丁求从丁作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何如戊线与己线之比例先以乙丙线两分之于庚令乙庚与庚丙之比例若戊与己(本篇)(十)其庚与丁若同㸃即作丁甲线则乙丁与丁丙两线之比例若乙丁甲与丁丙甲两角形也(本篇一)是丁甲线所分两形之比例若戊与己次法曰若庚在丁丙之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线即辛庚甲庚辛丁两角形等(一卷)(卅七)次每加一丙庚辛角形即丙庚甲丙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与丙庚甲角形之比例若甲乙丙与丙辛丁也(五卷七)分之则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例若乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形也(五卷十七)乙庚甲与丙庚甲两角形之比例既若乙庚与庚丙(本篇一)则乙丁辛甲无法四邉形与丙辛丁角形之比例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也后法曰若庚在乙丁之内亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛线相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己者谓乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉之比例若乙庚与庚丙也亦若戊与己也论曰试作庚甲线如前推显辛庚甲庚辛丁两角形等(一卷卅七)次每加一乙庚辛角形即乙庚甲与乙辛丁两角形亦等则甲乙丙全形与乙庚甲角形之比例若甲乙丙与乙辛丁也(五卷七)分之则丙庚甲角形与乙庚甲角形之比例若丁丙甲辛无法四邉形与乙辛丁角形也(五卷十七)反之则乙庚甲角形与丙庚甲角形之比例若乙辛丁角形与丁丙甲辛无法四邉形也乙庚甲与丙庚甲之比例既若乙庚与庚丙(本篇)则乙丁辛角形与丁丙甲辛无法四邉形之比例亦若乙庚与庚丙也则亦若戊与己也系凡角形任于一邉任取一㸃从㸃求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例法曰甲直线形求别作直线形相似而体势等其甲形与所作形小大之比例若所设两几何如乙与丙两线之比例先以乙丙及任用甲之一邉如丁戊三线求其断比例之末率为己(本篇十二)次求丁戊及己之中率线为庚辛(本篇十三)末从庚辛上作壬直线形与甲相似而体势等即甲与壬之比例若乙与丙论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若相似而体势等之甲与壬(本篇十九二十之系)若先设大甲求作小壬若乙与丙其法同如上圗用此法可依此直线形加作两倍大三倍四五倍大以至无穷之他形亦可依此直线形减作二分之一三分四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等有用法作直角方形平行线形及各形之相加相减者如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线直行遇圜界于庚即乙庚为所求方形之一邉也末作乙庚辛己直角方形即五倍大于甲丙向者乙庚既为戊乙乙甲之中率线(本篇十三之系)即一戊乙与三乙甲之比例若二庚乙上直角方形与三甲乙上直角方形之比例也(本篇二十之系)戊乙既五倍于乙甲则乙辛亦五倍于甲丙若戊乙为乙甲之六倍则乙辛亦甲丙之六倍若戊乙为乙甲三分之一则乙辛亦甲丙三分之一相加相减倣此以至无穷如甲乙丙丁平行直角形求别作二倍大之他形相似而体势等先以甲乙线引长之以甲乙为度截取二分至戊令乙至戊二倍大于甲乙也次以甲戊两平分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其丙乙线直行遇圜界于庚即乙庚为所求直角形之一邉也次于甲戊线上截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬线与乙丙平行次作甲丙对角线引长之与辛壬线遇于壬末作丁癸癸壬成甲辛壬癸平行直角形即二倍大于甲丙又相似而体势等何者戊乙乙庚乙甲三线既为连比例(本篇十三之系)如前论一戊乙与三乙甲之比例若二等乙庚之甲辛上平行直角形甲壬与三甲乙上平行直角形甲丙也(本篇二十之系)戊乙既二倍于甲乙则甲壬亦二倍于甲丙用此法凡甲乙上不论何等形与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆二倍大于甲乙上形相加相减俱倣此以至无穷今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减倣此以至无穷以上用法与本増题同但此用法随作随得中率线不费寻求致为简易耳十五増题诸三角形求作内切直角方形法曰如甲乙丙锐角形求作内切直角方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁之比例若甲丁与乙丙(本篇)(十一増题)末从戊作己庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角形则从直角钝角作垂线余法同(如第二第三圗是)论曰己戊庚线既与乙丙平行即乙丁与丁丙若己戊与戊庚也(本篇四之増题)合之即乙丙与丁丙若己庚与戊庚也又丁丙与甲丁若戊庚与甲戊(甲丁丙与甲戊庚为等角形故见本)(篇四之系)平之即乙丙与甲丁若己庚与甲戊也又甲丁与乙丙若甲戊与戊丁平之即乙丙与乙丙若己庚与戊丁也乙丙与乙丙同线必等即己庚与戊丁必等而己庚与辛壬又等(一卷卅四)戊丁与己辛庚壬亦等则己庚庚壬壬辛辛己四邉俱等又戊丁辛既直角即己辛丁亦直角(一卷廿九)其余亦皆直角而己壬为直角方形又法曰若直角三邉形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比例若甲乙与乙丙(本篇十)次从丁作丁戊直线与乙丙平行从戊作戊己直线与甲乙平行即得丁己形如所求论曰乙丙与甲乙既若丁戊与甲丁(甲乙丙甲丁戊为等角形)(故见本篇四之系)而甲乙与乙丙又若甲丁与丁乙平之即乙丙与乙丙若丁戊与丁乙也乙丙与乙丙同线必等即丁戊与丁乙必等而丁己为直角方形今附如上三邉直角形依乙角作内切直角方形其方形邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故(本篇四之系)几何原本卷六◆ 《御制数理精蕰-清-》（KR3f0048）
## 提要
钦定四库全书 子部六
御制数理精蕴 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案御制数理精蕴五十三卷康熈五十二年圣祖仁皇帝御定律厯渊源之第二部也上编五卷曰立纲明体其别有五曰数理本源曰河图曰洛书曰周髀经解曰㡬何原本曰算法原本下编四十卷曰分条致用其别亦有五曰首部曰线部曰靣部曰体部曰末部又表八卷其别有四曰八线表曰对数阐㣲表曰对数表曰八线对数表皆通贯中西之异同而辨订古今之长短如旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然所立假如仅可施之本例而不可移之他处至于正负加减法实并分母诸例率皆谬误今则约之为和数较数和较兼用和较交变四例而和数不分正负较数任以一色为正即以相当之一色为负皆以异名相并同名相减实足正旧法之讹误又割圆术古以径一围三为周径之率宋祖冲之用圆容六边起算元赵友钦用圆容四邉起算皆屡求勾股得径一者周三一四一五九六二五泰西法亦同其率古今周率之宻无逾于此而旧所传弧矢诸术周径皆用古率又弧弦弦背互求诸术立法极为疏舛今则以六宗三要二简法求得一象限内弦矢割切正余八线立为一表洵极勾股弧矢之变又㡬何原本止于测面七卷以下徐光启李之藻后无译之者新法算书往往有杂引之处读者未之能详且理分中末线但有求作之法而莫知所用今则求得各等靣体及球内容外切各等靣体之积至十二等靣及二十等靣之体皆以理分中末线为之比例足以补测量全义量体诸率之简畧至末部借根方法即古人天元一之术唐宋诸算家咸用之至眀而失传是以顾应祥唐顺之于元李冶测圆海镜一书所立天元一皆茫然不觧今则具明其加减乗除之例而后根与平方以下诸乗方之多少者咸得其开法与古所云𢃄纵立方三乗方诸变同归一揆且线靣体一以贯之而本法所不能求者皆可以借根而得至为精妙他若对数表以假数求真数比例规解以量代算皆西法之迥异于中法者咸为疏通证明绘图立表粲然毕备寔为从古未有之书虽専门名家未能窥髙深于万一也乾隆四十六年九月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官 (臣) 陆 费 墀
## 上编卷一
钦定四库全书御制数理精蕴上编卷一数理本原河图洛书周髀经解数理本原粤稽上古河出图洛出书八卦是生九畴是叙数学亦于是乎肇焉盖图书应天地之瑞因圣人而始出数学穷万物之理自圣人而得明也昔黄帝命𨽻首作算九章之义已启尧命羲和治厯敬授人时而岁功已成周官以六艺教士数居其一周髀商高之说可考也秦汉而后代不乏人如洛下闳张衡刘焯祖冲之之徒各有著述唐宋设明经算学科其书颁在学宫令博士弟子肄习是知算数之学实格物致知之要务也故论其数设为几何之分而立相求之法加减乘除凡多寡轻重贵贱盈朒无遗数也论其理设为几何之形而明所以立算之故比例分合凡方圆大小逺近高深无遗理也溯其本原加减实出于河图乘除殆出于洛书一奇一偶对待相资递加递减而繁衍不穷焉奇偶各分纵横相配互乘互除而变通不滞焉征其实用测天地之高深审日月之交会察四时之节候较昼夜之短长以至协律度同量衡通食货便营作皆赖之以为统纪焉今汇集成编以类相从提㸃线面体以为纲分和较顺逆以为目法无论巨细惟择其善者由浅以及深执简以御繁使理与数协务有裨于天下国家以传于亿万世云尔易系辞曰天一地二天三地四天五地六天七地八天九地十天数五地数五五位相得而各有合朱子曰河图以五生数统五成数而同处其方葢揭其全以示人而道其常数之体也考其数始于一中于五终于十阳奇隂偶而数之加减由是生焉自一而二自二而三自三而四自四而五皆递加一以相生自五复加一而成六六加一而七七加一而八八加一而九九加一而十十则仍归于一故至十而天地之数全矣天数阳也地数阴也言天地即所以言阴阳也五位相得而各有合以五行之序而定位也邵子曰天之阳在南而阴在北地之阴在南而阳在北故河图之数一阳位于北二阴位于南其即五行质具于地之义而言之欤今以阴阳相生之数论之一为阳天一生水而位北一加一为二为阴地二生火而位南二加一为三为阳天三生木而位东三加一为四为阴地四生金而位西四加一为五为阳天五生土而位中至五而五行之数已周此生数之极也自一至五则五又为一体矣于是以五为中数而复加一则为六六阴也因五中数与一相加故与一同位而属之水焉六加一为七以中数五计之实加二故与二同位而属之火焉七加一为八以中数五计之实加三故与三同位而属之木焉八加一为九以中数五计之实加四故与四同位而属之金焉九加一为十以中数五计之复加五故与五同位而属之土焉至十而五行之数再周天地之数已备此成数之极也以阴阳运行之序论之以五生数统十成数位居于中而奇数则始于北一次东三次南七次西九偶数则始于南二次西四次北六次东八此数之阴与阴阳与阳各从其类者也以奇偶相得之数论之一与六合二与七合三与八合四与九合五与十合此又奇偶相得而各有合者也邵子谓圆者河图之数又曰厯纪之数其肇于此然则所谓数者即一阴一阳一奇一偶循环无间表里相维百千万亿总由此推之以成其变化河图者岂非天地自然生成之数也哉洛书之数戴九履一左三右七二四为肩八六为足五居其中朱子谓以五奇数统四偶数而各居其所葢主于阳以统阴而肇其变数之用也邵子曰数学虽多乘除尽之矣夫洛书者数之源也乘除之所以生也易说卦传曰参天两地而倚数三天数也二地数也天地相合而万物育焉一者太极之体其数不行故数行于二三起于三以三参之则三九七一之数生焉起于二以二两之则二四八六之数生焉其序列之位则天居四正取以阳统阴之义地居四维取以阴从阳之义其三九七一乘数则旋而左除数则返而右也其二四八六乘数则旋而右除数则返而左也二三相合而为五五则无对居中者立其体也二五相合而为十十仍归一洛书不用者藏其用也是故三始于东方发生之地而位于左自东而南三而三之是为九故戴九自南而西九而三之为二十七去成数余七故右七自西而北七而三之为二十一去成数余一故履一奇数左旋以三参之即天道左行之说也如转而右行以三除之仍复其原数焉二立于西南二阴始生之地而位于右肩自西南而东南二而二之是为四位于左肩自东南而东北四而二之为八位于左足自东北而西北八而二之为十六去十余六位于右足偶数右旋以二两之即地道右行之说也如转而左行以二除之仍复其原数焉此乘除之数见于运行者如此若以对待者观之一与九对一为数之始九为数之终互乘互除其数不变也二与八对二八互乘俱得十六二除十六得八八除十六仍得二此二与八之相倚也三与七对三七互乘皆二十一三除二十一得七七除二十一仍得三此三与七之相倚也四与六对四六互乘皆二十四四除二十四得六六除二十四仍得四此四与六之相倚也至五为二三之合天地之交阴阳之会位于洛书之中以建人极配上下而为三才故斜直四围皆得十五合之得四十有五为九五之数要之运行者其序也对待者其位也进退循环纵横交错总不外于乘除故曰乘除之本原自洛书生也周髀经解数学之失传乆矣汉晋以来所存几如一线其后祖冲之郭守敬辈殚心象数立宻率消长之法以为习算入门之规然其法以有尽度无尽止言天行未及地体是以测之有变更度之多盈缩葢有未尽之余蕴也明万厯间西洋人始入中土其中一二习算数者如利玛窦穆尼阁等著为几何原本同文算指诸书大体虽具实未阐明理数之精微及我朝定鼎以来远人慕化至者渐多有汤若望南怀仁安多闵明我相继治理厯法间明算学而度数之理渐加详备然询其所自皆云本中土所流传粤稽古圣尧之钦明舜之濬哲厯象授时闰余定岁璇玑玉衡以齐七政推歩之学孰大于是至于三代盛时声教四讫重译向风则书籍流传于海外者殆不一矣周末畴人子弟失官分散嗣经秦火中原之典章既多缺佚而海外之支流反得真传此西学之所以有本也古算书存者独有周髀周公商高问答其本文也荣方陈子以下所推衍也而汉张衡蔡邕以为术数虽存考验天状多所违失按荣方陈子始言晷度衡邕所疑或在于是若周髀本文辞简而意该理精而用博实言数者所不能外其圆方矩度之规推测分合之用莫不与西法相为表里然则商高一篇诚成周六艺之遗文而非后人所能假托也旧注义多舛讹今悉详正弁于算书之首以明数学之宗使学者知中外本无二理焉尔昔者周公问于商高曰窃闻乎大夫善数也请问古者包牺立周天厯度周天厯度者分周天三百六十度为推求厯日之用也按通鉴载包牺作甲厯天干地支相配六甲一转天度一周年以是纪而岁功成月以是纪而朔望定昼夜以是纪而时日分易大传言包牺仰以观于天文俯以察于地理其观察之时必有度数以纪其法象则厯度始于包牺无疑矣夫天不可阶而升地不可将尺寸而度请问数从安出天之高明地之博厚非人力所能及其厯度之数不知从何而得也商高曰数之法出于圆方万物之象不出圆方万象之数不离圆方河图者方之象也洛书者圆之象也太极者圆之体奇也四象者方之体偶也奇数天也偶数地也有天地而万物于是乎生有圆方而万象于是乎定有奇偶而万数于是乎立矣圆出于方以数而论出于圆方以圆方而论则圆出于方葢方易度而圆难测方有尽而圆无尽故推圆者以方度之以有尽而度无尽也是以圆周内弦外切屡求勾股为无数多边形以切近圆界将合而为一而圆周始得故曰圆出于方也方出于矩孟子曰不以规矩不能成方圆夫规所以成圆而矩所以成方也故凡方形必出于二矩相合如矩之二股均者合之即为正方矩之二股一大一小者合之则为长方葢因矩之为形其角直其线正所以能成方体此又直内方外之理故曰方出于矩也矩出于九九八十一度圆方者递归于矩而矩之形总不外乎二数相乘九九者数之终而一一乃数之始言九九而不及他数者以九九之内他数俱该也是以一一为一二二为四三三为九四四为一十六五五为二十五六六为三十六七七为四十九八八为六十四九九为八十一乃矩之二股均平所成之正方也一二为二一三为三一四为四一五为五一六为六一七为七一八为八一九为九形虽未方而其理犹存也二三为六二四为八二五一十二六一十二二七一十四二八一十六二九一十八三四一十二三五一十五三六一十八三七二十一三八二十四三九二十七四五二十四六二十四四七二十八四八三十二四九三十六五六三十五七三十五五八四十五九四十五六七四十二六八四十八六九五十四七八五十六七九六十三八九七十二乃矩之一股小一股大所成之长方也至于一百之类虽为正方乃十之相乘十则仍归于一也又如八十四九十六之类乃六七四十二六八四十八之倍不得自立为数之本又或十一十三十七十九之类十一为二五一十之奇十三为二六一十二之奇十七为四四一十六之奇不得成正方亦不得成长方故不入九九之数也是以九九之数为方之本而方之形必合以矩故曰矩出于九九八十一也故折矩以为勾广三股修四径隅五前言圆方之形此言勾股生成之正数也以二矩合之既为方形今以一矩折之则为一方之两边是以折矩之横者为勾之广折矩之纵者为股之长于勾股之末以科弦连之是为径隅径直也隅角也言自两角相对直连之也勾之广必三股之修必四而径隅始得五此乃自然生成之正分也易曰参天两地而倚数天数一参之则为三地数二两之则为四三二合之则为五此又勾三股四弦五之正义也既方其外半其一矩此言勾股之面积也勾股以弦连之不得为方形必再合一矩乃为一长方所谓方其外者言弦之外复加一矩以成方也勾三股四相乘得一十有二即为两矩合成之数半之得六乃勾股之面积所谓半其一矩者也环而共盘得成三四五此言勾股弦相和之数也环而共盘者环绕盘旋于勾股弦之周围得成三四五共之为一十有二乃三数相和之总数也两矩共长二十有五是为积矩此言勾股相求之法也两矩者勾与股也其所以相求者以勾股弦各面积彼此加减以立法也勾三自乘为九股四自乘为一十有六合而计之为二十有五是勾股各自乘之积相并而与弦自乘之积等故曰积矩也弦之自乘积内减勾自乘之积得股自乘之积弦之自乘积内减股自乘之积得勾自乘之积故为勾股弦相求之法也故禹之所以治天下者此数之所由生也言禹之平成之功昭垂万古揆厥所以奏绩者必藉勾股以审高下始得顺水之性而告厥成功也然则禹之所以治水者非此勾股之数所由生乎周公曰大哉言数请问用矩之道商高曰平矩以正绳此言用矩立法必以正且直也平矩以正绳有两义平置其矩使矩之角直以此直角之一股或横或平(横以度远平以度高)复自一股引绳以度其分则此分为我所知故以所知推所不知此绳引长时必使与直角对正不论其分之几何引之亦必令直方能得测度之准故为平矩以正绳又平者均平整齐之谓用矩之道矩之角正(即直角之说也)然后二股得直以之测高测远乃得度其大小之分此矩既正而所测之度亦正矣孟子曰规矩准绳以为方圆平直绳者即准之之意规矩所以度圆方而准绳所以考平直故准之以平绳之以直始得立法之精微故曰平矩以正绳也偃矩以望高此用矩测高之法也偃者仰也仰矩方可测高矩之一股植立在前一股定平在下然后比例推之葢平股与立股之比即所知之远与所测之高之比也故仰测之而得高覆矩以测深此用矩测深之法也覆者俯也俯矩方可测深矩之一股立者在前一股平者在上平股与立股之比即所知之远与所测之深之比也故俯测之而得深卧矩以知远此用矩测远之法也卧者平也平矩方可测逺以矩之一股为横向内一股为纵向前是以横与纵之比即所知之度与所求之远之比也故平测之而得远环矩以为圆此用矩为圆之法也以矩之一端为枢一端旋转为圆则成一圜环矩者即旋规之说也合矩以为方此用矩为方之法也矩二股也两矩相合乃成一方即前方出于矩之说也方属地圆属天天圆地方前言用矩以测高深广远复用矩以为圆方此以圆方属之天地者非以形体言葢以阴阳动静之理言也乐记云著不息者天也著不动者地也不息故运而不积圆之象也不动故静而有常方之理也且圆之数无尽而方之数有尽天不可阶而升测天者恒于地上度之是仍以方度圆也凡数之不尽者必奇数之可尽者必偶是以阳为奇阴为偶此方圆之理数所以属乎天地也方数为典以方出圆典则也言圆之数奇零不尽不可为则故惟方数可为典则以方出圆者以方之形度圆之分从方数中生出圆数即前圆出于方之说也如圆径求积则以径自乘之为正方形而以方率圆率比例推之即得圆积是皆以方出圆之理也笠以写天天青黑地黄赤天数之为笠也青黑为表丹黄为里以象天地之位此即仪象以表天地之形色也笠形圆故以象天写象也青黑天之色黄赤地之色天数之为笠形则以青黑为表丹黄为里以象天地之位葢取天包地之象也是故知地者智知天者圣智出于勾勾出于矩夫矩之于数其裁制万物惟所为耳天地之高深广远非圣智不能知然圣智非由理之自然亦不能无所凭借而知也故明勾股之数即可以知地而为智知地之数即可因地以知天而为圣矣故曰智出于勾也然勾股之形又赖矩以成故矩为勾股之本而天地之高深广远皆赖矩以测况万物之大小巨细岂能外于矩之度分乎故矩之于数其裁制万物惟其所为而无不可也周公曰善哉以周公之圣而与之曰善哉则其得数之本立法之妙可谓至矣至是而周髀之义尽矣御制数理精蕴上编卷一
## 上编卷二
钦定四库全书御制数理精蕴上编卷二几何原本一几何原本二几何原本三几何原本四几何原本五几何原本一第一凡论数度必始于一点自点引之而为线自线广之而为面自而积之而为体是名三大纲是以有长而无阔者谓之线有长与阔而无厚者谓之面长与阔厚俱全者谓之体惟点无长阔厚薄其间不能容分不可以数度然线之两端即点而线面体皆由此生点虽不入于数实为众数之本第二线有直曲两种其二线之一端相合一端渐离必成一角二线若俱直者谓之直线角一线直一线曲者谓之不等线角二线俱曲者谓之曲线角第三凡角之大小皆在于角空之寛狭出角之二线即如规之两股渐渐张去自然开寛是以命角不论线之长短止看角之大小如丙角两线虽长其开股之空狭遂为小角若丁角两线虽短其开股之空寛遂成大角矣第四凡命角必用三字为记如甲乙丙三角形指甲角则云乙甲丙角指乙角则云甲乙丙角指丙角则云甲丙乙角是也亦有单举一字者则其所举之一字即是所指之角也(如单言甲角乙角丙角之类)第五凡有一线以此线之一端为枢复以此线之一端为界旋转一周即成一圜如甲乙一线以甲端为枢乙端为界旋转复至乙处即成乙丙丁戊之圜此圜线谓之圜界圜界内所积之面度谓之圜面第六凡圜界不拘长短其分界之所即为弧线如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱为弧线因其形似弧故名之第七凡圜自一界过圜心至相对之界画一直线将一圜为两平分则为圜径如乙丙丁戊之圜以甲为心自圜界乙处过甲心至丁或自圜界丙处过甲心至戊画乙甲丁及丙甲戊线皆为圜径也第八凡自圜心至圜界作几何线皆谓之辐线其度俱相等因平分全径之半故又谓之半径线第九凡圜界皆以所对之角而命其弧而角又以所对之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界为角度之规也如乙角为心甲丙为界则乙角相对之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也第十凡角相对之弧得圜界四分之一者此角必直故谓之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之径自中心乙至圜界丁画一半径将半圜界又分为两平分则成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一则此二角为直角也若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线又成丁乙戊之径复得甲乙戊丙乙戊两相等之直角矣故凡画一直线交于别线其所成之角若直此线谓之垂线葢因平分圜界为四其四弧相对之四角必相等而皆为直角则其二径相交必互为垂线可知矣第十一凡角相对之弧不足圜界四分之一者谓之锐角若过四分之一者谓之钝角故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界则成一锐角一钝角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之径自乙心至甲己丙之半圜界不两平分于丁处画一辐线遂成丙乙丁一锐角甲乙丁一钝角再将丁乙线引于相对圜界戊处画一丁乙戊径线复成甲乙戊一锐角丙乙戊一钝角合前二角总为四角矣故凡二角两尖相对谓之对角二角两尖相并谓之并角如甲乙戊丙乙丁二角之两尖相对即谓之对角丙乙戊甲乙丁二角之两尖亦相对故亦谓之对角也如丙乙戊甲乙戊之二角两尖相并而同出一线则谓之并角矣第十二凡一圜内设两角此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等则此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相对之丙丁弧甲乙戊角相对之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也第十三凡有一圜其径线之中心作相并之二角此二角之度必与二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙径线之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必与二直角相等也第十四凡一直线交于他直线其所成之二角或为二直角或与二直角等如丙乙丁直线上画一甲乙直线至于乙处即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线亦至乙处复成丙乙戊一锐角丁乙戊一钝角此二角必与二直角相等也再申明之以乙为心丙为界旋转画一圜则丙乙丁线为圜之径线必将圜界平分为两平分矣此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线又将半圜界平分为两平分则此二角各相对之弧皆为一圜界四分之一而各为一直角可知矣又如戊乙线将半圜界虽不两平分而成一锐角一钝角然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度为全圜界四分之二故与二直角相等也第十五凡自一心画为众线其所成之角虽多止与四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已画众辐线虽成众角其各角所函之度必与四直角等葢因甲㸃为心众辐线皆立一圜之界故众角所对之弧总不越一圜之全度前言一圜之界仅有四直角之弧线兹角虽多亦未尝出一圜之界故曰众角虽多止与四直角等也第十六凡两直线相交所成二对角之度必俱相等如甲乙丙丁二线交于戊处成甲戊丁丙戊乙之二对角斯二角之度必俱相等今以二线相交之处为心旋转画一全圜则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣惟其俱为径线故将一圜为两平分而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界因两半圜界俱系全圜径线故相交成对角其度必等兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧即余丙乙弧丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧又余甲丁弧凡两相等之弧减去一段相等之弧所余之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内减去甲丙丙甲同体之弧则所余丙乙甲丁相对之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等则所对之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其余甲戊丙丁戊乙亦与甲戊丁丙戊乙同理故其所对之角度亦必相等也第十七凡大小圜界俱定为三百六十度而一度定为六十分一分定为六十秒一秒定为六十㣲一㣲定为六十纤夫圜界定为三百六十度者取其数无竒零便于布算即徴之经传亦皆符合也(易曰凡三)(百有六十当期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十为二至二分相去)(之数)度下皆以六十起数者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整数也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度则以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相离可以容圜界之几度如容九十度即是甲乙丙直角(何以知为直角因九十度为全圜三百六十度之四分之一前言凡角得)(圜界四分之一者为直角故知其为直角也)若过九十度者为丁乙丙钝角不足九十度者为丙乙戊锐角观此三角之度其余可类推矣第十八凡二线之间寛狭相离之分俱等则此二线谓之平行线也第十九欲求平行线之间相距几何则自上一线不拘何处至下一线画二纵线则此二线为相距度分也如甲乙丙丁二线平行自上线甲乙二处至下线丙丁二处画二纵线则此二线为相等线其度必等然则甲乙丙丁相对之间其相距之远近不已见耶第二十平行二线虽引至于无穷其端必不能相合葢二线相离之度各处逺近俱为相等故也如甲乙丙丁平行二线随意引于戊己又自戊至己画一纵线其度亦等于甲丙乙丁二纵线故曰平行线虽引至于无穷其端终不能相合也第二十一凡平行二线或纵或斜画一直线交加于上则平行线上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行线上画一庚辛斜线其甲乙线之庚戊乙角丙丁线之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线甲乙丙丁二线不平行矣若甲乙丙丁二线毫无偏斜又得庚辛直线相交成二角则此二角必然相等矣第二十二凡平行二线上画一斜线则成八角此八角度有相等者必是对角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其两尖相对谓之对角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二线之内外故谓之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二线之内而立斜线之左右故又谓之相对错角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一线之界谓之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二线之外故谓之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二线之内故又谓之内角总之二平行线上交以斜线所成八角必两两相等也第二十三平行线上一边之二内角或一边之二外角与二直角相等如丁己戊角与丙己戊角为并角则此二并角与二直角等前第十四节云凡一直线交于他直线所成二角必与二直角相等则此二角同出于一直线为并角故亦与二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙虽为外角而亦为并角此二并角亦与二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦与二直角等也第二十四有平行二线复与一线相平行者此三线互相为平行线也如甲乙丙丁二线之间有戊己线与之平行则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也照前第二十一节在此三线上画一庚辛壬斜线则所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三线之与斜线相交所成之角既各相等则三线互为平行可知矣几何原本二第一凡各种界所成俱谓之形其直界所成者为直界形曲界所成者为曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形为诸形之首第二凡三角形一角直者为直角三角形一角钝者为钝角三角形三角俱锐者为锐角三角形第三凡三角形其三边线度等者为等边三角形两边线度等者为两等边三角形三边线度俱不等者为不等边三角形第四凡三角形之三角度相并必与二直角度等如甲乙丙三角形自乙角与甲丙线平行画一乙丁线则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角其度必相等(见首卷第二十二节)而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角与二直角等(见首卷第二十三节)今于甲乙丁直角内减丙乙丁角所余为甲乙丙角丙乙丁角既与丙角度等则甲乙丙丙乙丁合成之一直角与甲角之一直角非二直角之度耶第五凡三角形自一界线引长成一外角此外角度与三角形内所有之二锐角等如甲乙丙三角形自甲乙线引长至丁所成之丙乙丁角即为外角其度与三角形内甲丙二锐角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原与二直角等(如本卷第四节云)而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦与二直角等(如首卷第十四节云)则此内外二角所并之度与三 形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角则所余之丙乙丁一外角度与甲角丙角所并之度为相等可知矣第六凡两三角形其两边线之度相等二线所合之角又等则二形底线之度必等二形之式亦等其底线之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二线甲乙丁己二线又互相等则乙丙戊己之二底线必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合则甲丙丁戊二线甲乙丁己二线各度必等因其俱等故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣若谓乙丙底与戊己底不符必是戊己线上斜于庚或下斜于辛不成直线形矣第七两三角形其三边线之度若等则三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线甲丙线丁己线乙丙线戊己线两两相等则甲角与丁角乙角与戊角丙角与己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此两三角形之各线俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八凡两三角形有一线相等其相等线左右所生之二角又相等则其他线他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己两三角形之甲乙线丁戊线若等而此二线左边所成之甲角丁角右边所成之乙角戊角亦相等则甲丙线度与丁己线度等丙乙线度与己戊线度等而丙角与己角亦等甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙线与丁戊线相较再将甲角与丁角乙角与戊角相较此二线二角之度必俱相符此二线二角既俱相符其他线他角亦必各相符矣若谓一线不符则相等之角亦必不符必其一线斜出或一线偏入以致各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣第九三角形之两边线若等其底线之两角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙两边线之度等则其甲丙底线之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁处自丁至乙角画一直线遂成甲乙丁丙乙丁两三角形此两形之甲乙线与丙乙线既相等而甲丙底线平分之甲丁丙丁线度亦等则乙丁为两三角形所共用之各一边线然则此两三角形之各三边线度必俱相等可知矣三角形之三线既各相等则其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也第十有两边相等之三角形自上角至底线画一直线将底线为两平分则此线为上角之平分线又为底线之垂线也如甲乙丙乙两边线度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底线丁画一直线将甲丙底线为两平分则为乙角之平分线又为甲丙底线之垂线也葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁丙乙丁两三角形此两三角形之各界线度必各相等而各角之度又俱相等则甲乙丁角丙乙丁角将乙角为两平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又为相等之两直角因其为两直角故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也第十一凡三角形内长界所对之角必大短界所对之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界故其相对之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所对之丙角小于乙角也试依甲丙界度截乙丙于丁复自甲至丁作甲丁线即成甲丙丁两界相等之三角形夫甲丙丁丙两界度既相等则甲丁丙丁甲丙两角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角与小三角形内之甲乙二角相并之度等(见本卷第五节)既与甲乙二角之度等则大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角则乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同第十二凡三角形内必有二锐角葢三角形之三角并之与二直角等(见本卷第四节)如甲乙丙三角形之乙角为直角则所余甲角丙角并之始与乙角相等二角并之仅与一直角等则此二角独较之必小于直角矣故此甲丙二角为锐角也又如丁戊己三角形之戊角为钝角则所余之丁角己角愈小于直角而为锐角矣第十三凡自一㸃至一横线画众线而众线内有一垂线必短于他线而他线与垂线相离愈逺则愈长也如自甲㸃至乙丙线画甲乙甲丁甲戊几线此内甲乙为垂线较之甲丁甲戊线则其度最短而甲戊线与甲乙线相离既远于甲丁故更长于甲丁线也葢甲乙为垂线则乙角必为直角(见首卷第十节)而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱为锐角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相对之甲丁线必长于丁角相对之甲乙线又甲丁戊外角原与甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等(见本卷第五节)则此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角则甲丁戊角相对之甲戊线必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣第十四凡三角形将二界线相并必长于所余之一界线如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界线并之则长于所余之乙丙界线也试以丙甲线引之至丁作丁甲线与甲乙等则丁丙线为甲丙甲乙二界线之共度矣复自丁至乙作丁乙线成乙甲丁两界相等之三角形其丁乙甲角与丁角等(见本卷第九节)则丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线可知矣(见本卷第十一节)几何原本三第一凡四边线函四角者其形有五四边线度等而角度亦等者为正方形四角直而两边线短两边线长者为长方形四边线度等而角度不等者为等边斜方形两边线长两边线短而角度又不等者为两等边斜方形以上四形俱自平行线出如四边线不等亦不平行而四角度又不等者为不等边斜方形第二凡四平行线所成方形其所函之角成两对角必两两相等如甲乙丙丁平行线方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁线引长至戊作一线成一丁外角与甲角为二尖交错之角其度相等(见首卷第二十二节)而丁外角与丙角又为一边之内外角其度亦等(见首)(卷第二十二节)夫甲丁二角既等丁丙二角又等则甲角与丙角必自相等而丁乙两对角之相等不言可知矣第三凡平行四边形自一角至相对之角作一对角线必平分四边形为两三角形如甲丙乙丁四边形作甲乙对角线即成丙甲乙丁甲乙两相等三角形葢此四边形之丙丁二角为对角其度必等(见本卷第二节)而对角线所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱为二尖交错之角其度又两两相等(见首卷第二十二节)夫此两三角形原自一四边形而分各角又俱相等则其所函之分必等而四边形平分为两平分无疑矣第四凡平行线所成方形其两两平行线度俱相等如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等丙乙线与甲丁线度等此即如前节作一对角线成两三角形而两形之各角必俱相等则丙甲乙丁二线丙乙甲丁二线俱为各相等角所对之线其度亦必相等矣(见二卷第八节)第五平行线方形内两对角线其相交处必平分二线之正中如甲乙丙丁二线相交于戊则所成甲戊戊乙二线丙戊戊丁二线俱等葢因丙戊乙甲戊丁两三角形之丙乙甲丁二线为平行线其度等(见本卷第四节)而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆为平行线内相对之错角其度俱等(见首卷第二十二节)夫丙乙甲丁二线既等各相对之错角又等则丙乙戊丁甲戊二等角相对之戊丙戊丁二线度与甲丁戊乙丙戊二等角相对之戊甲戊乙二线度必皆相等可知矣(见二)(卷第八节)第六凡平行线方形内于对角线上或纵或横正中截开即将此形为两平分如甲丙乙丁之方形其甲乙对角线上画一戊己线于庚处截开则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚两三角形之甲庚乙庚二线相等而戊甲庚己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相对之角其度又等则此两三角形度亦必相等又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分则其甲丙乙甲丁乙两三角形度必等将此两相等之三角形以戊己线截开于甲丙乙形内减甲戊庚于甲丁乙形内减乙己庚则所余之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱两两相等则甲丙乙丁之方形为戊己线所截自为两平分可知矣第七凡四边形于对角线不拘何处复作相交二平行线即成四四边形设如甲丙乙丁四边形于对角线之戊处复作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行线即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形此四形中之甲戊戊乙二形为对角线上所成之形丙戊戊丁二形为对角线旁所成之形此对角线旁所成两形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己两形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙对角线平分为两平分所成之甲丙乙甲丁乙两大三角形之分必等其对角线上所成之一小方形复为甲戊对角线平分为两平分成甲庚戊甲己戊两小三角形此两小三角形之分亦必等而对角线上所成之一大方形又为戊乙对角线平分为两平分成戊壬乙戊辛乙两中三角形此两中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊甲己戊之两相等小三角形再减去戊壬乙戊辛乙之两相等中三角形所余对角线旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己两四边形此两四边形自然相等矣第八凡两平行线内同底所成之四边形其面积必等如甲己乙辛两平行线内于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形戊乙丙己一斜方四邉形此两形虽不同而所容之分必相等何也试以两三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此两三角形之甲乙丁丙二线等甲戊丁己二线亦等(甲丁戊己二线俱与乙丙平行)(而度分相等若于甲丁戊己二线各加一丁戊线即成甲戊丁己线其度自然)(相等)而戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角其度又等则此两三角形自然相等可知矣今于两三角形内各减去丁戊庚则所余之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等复于此二形内毎加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊乙丙己之两四边形其面积必然相等也第九两平行线内无论作几四边形其底度若等则面积必俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙己戊庚辛丁乙两平行线四边形其丙己辛丁两底度相等则其积亦等试自丙己底至庚乙画二直线即成一庚丙己乙斜四边形此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底即同前节两形面积俱等矣至于庚辛丁乙与庚丙己乙又同出于庚乙之底故此两形面积亦俱等观此两两相等则甲丙己戊庚辛丁乙两形之面积相等明矣第十凡两平行线内同底所成之各种三角形其面积俱等如甲乙丙丁两平行线内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此两三角形之面积必等何也自丁至戊作一直线与甲丙平行再自丁至乙作一直线与己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙两四边形此二形既同出于丙丁底其面积相等而甲丙丁己丙丁两三角形为平分两四边形之一半其面积亦必相等矣第十一两平行线内无论作几三角形其底度若等其面积亦俱等如甲乙丙丁二平行线内作甲丙戊庚戊己两三角形其丙戊戊己两底度相等故其面积亦等今自戊至辛作一直线与甲丙平行又自己至乙作一直线与庚戊平行即同前节成面积相等之两四边形而此甲丙戊庚戊己两三角形为面积相等两四邉形之各一半则此两三角形之面积必等可知矣第十二凡有几三角形其底若俱在一直线而各底相对之角又共遇于一处则其众三角形必在二平行线之间如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直线上而各底相对之角又皆遇于甲处则此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行线之间矣第十三凡等边等角各形内五边者为五角形六边者为六角形边愈多角愈多者俱随其边与角而名之焉第十四多边多角形自角至心作线凡有几界即成几三角形设如辛七边形自心至邉七角作七线即成七三角形而此各三角形之分俱相等也第十五欲知众边形各边角之度将边数加一倍得数减四其所余之数即为各边角度也如辛七邉形以七边数加一倍共为十四十四内减四所余之十即为十直角数为此七边形之各边角之总度也何也假如辛形自心至七角作七线成七三角形凡三角形之三角与二直角等(见二卷第四节)则此七三角形之各三角度共与十四直角等其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等(见首卷第十五)(节)若将十四直角内减四直角乃余十直角则此十直角与众边形之各边角之总度相等可知矣几何原本四第一凡有直线切于圜界而不与圜界相交者谓之切线如甲乙丙线切于丁圜乙界其线虽自甲过乙至丙而与圜界不出入相交此甲乙丙线即为圜之切线也又如一圜与一圜界相切而不相交则谓之切圜假如戊圜与己圜于庚界相切二界总未相交故又谓之切圜也第二凡一直线横分圜之两界谓之弦线其所分圜界之一段谓之弧此弧与弦相交所成之二角谓之弧分角如甲丙线横分甲乙丙丁圜界于甲丙则甲丙线为弦其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆谓之弧而甲丙弦与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即谓之弧分之角焉第三凡自一圜弦线之两头复作二直线相遇于圜界之一处其所成之角谓之圜分内角又谓之弧分相对之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙弦线之两头各作一直线于甲处相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角与乙丁丙弧相对故又为弧分相对之界角也第四凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形谓之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二辐线所成之甲丙乙三角形即为分圜面形也第五凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线则此垂线与辐线之末在圜界仅一㸃相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙辐线于乙末作一丙乙垂线则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一㸃相切而此垂线之丁等处俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线此线必长于甲乙辐线(如二卷第十三节云)因其长于辐线必出于圜界之外此甲戊丁线既出于圜界之外则丙乙线全在圜外可知矣第六圜弦线上自圜心作一垂线则将弦线为两平分如乙丙弦自圜心甲至弦线丁作一垂线必将乙丙弦为两平分成乙丁丁丙二段若自甲心至弦线乙丙二末作二辐线成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二线为一圜之辐线其度必等此二辐线既等则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂线引长至弧界戊作线则又将乙丙弧界为两平分矣第七凡自圜外一处至圜界两边作二切线此二线之度必等如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙甲丙二切线此二线之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线则此二辐线为甲乙甲丙之垂线矣(如本卷第五节云)因其为垂线则甲乙丁甲丙丁之二角必同为直角(见首卷第十节)再自丙至乙作一弦线即成丁乙丙甲乙丙两三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二线同为圜之辐线其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内减去丁乙丙丁丙乙二角则所余之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等则甲乙甲丙二切线为等角傍之两界线自然相等无疑矣第八凡圜内两弦线若等其分圜弧面之积必等自心至两弦所作垂线亦必等如甲圜之丙乙丁戊二弦之度若等则所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面积必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二弦各作甲壬甲辛垂线其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二弦之末各作辐线即成甲丙乙甲丁戊两三角形此两三角形之各界线必两两相等则此两三角形内相等线所对之角亦必相等(见二)(卷第七节)角既相等则等角相对弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等(见首卷第十二节)丙己乙丁庚戊二弧线既等丙乙丁戊二弦线又等则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣又甲辛甲壬二垂线将丙乙丁戊二弦为两平分则丙辛乙辛丁壬戊壬之四线亦俱等三角形之各界线既两两相等而三角形内各角又两两相等则平分丙乙丁戊二弦之甲辛甲壬之度自然相等矣第九凡弦线之所属有三种一为弧之切线一为弧之割线一为弧之弦线欲取弧界各角之度用此三线求之必得也如甲圜之甲乙辐线于乙末作丙乙垂线复自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂线丁分作甲丁线又从圜界戊至甲乙辐线作戊己垂线则成三种线此三线内丁乙线为乙戊弧之切线甲丁线为乙戊弧之割线戊己线为乙戊弧之正弦凡欲得各角弧界之度必于此三种线取之如欲取乙甲戊角相对弧度则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之或自乙戊弧之甲丁割线取之或自乙戊弧之戊己正弦取之皆得乙戊弧之度数焉第十一圜界内任于圜界一段至圜心作二线至圜界作二线即成二角在圜心者为心角在圜界者为界角设如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二线仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二线成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角为心角甲丁乙角为界角也第十一圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二线所成之式又分为三种有界角心角同用一线者有界角心角不同用一线者有界角二线跨心角二线者总之此三种心角皆大于界角一倍如有三图圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二线圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二线则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角与甲丁丙丙甲丁二内角等(见二卷第五节)其甲丙丙丁二线又为一圜之辐线其度亦等此二线既等则甲丁丙丙甲丁二角亦必等(见二卷第九节)今甲丙乙之外角既与甲丁丙丙甲丁二内角等则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二图甲丁乙界角之乙丁线不同立于甲丙乙心角之乙丙线上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之外则自丁角过圜之丙心至对界作一丁丙戊全径线即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一图必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣如第三图甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直线之间则自丁角过圜之丙心至对界作丁丙戊全径线即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角则此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣第十二凡自圜之弧线一段任作相切界角几何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧线一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角与甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段则心角必倍于界角然则甲丙乙乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半则此二角之度必等可知矣第十三凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半则二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线复自乙心至戊界作乙戊半径线即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并则甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半而甲乙丙角又为甲乙己己乙戊二心角所并之一半则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣第十四凡圜内界角立于圜界之半者必为直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半则此甲乙丙角必然为直角也自甲丁丙之半圜于丁界为两平分复自丁界至圜心戊作丁戊辐线即成甲戊丁角其相对之甲丁弧为圜界四分之一既为圜界四分之一则必为直角(如首卷第十节云)夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半其二角之度相等矣(如本卷第十三节云)今甲戊丁心角相对之甲丁弧线既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等且甲丁弧线既为圜界四分之一而甲丁丙弧线又为圜界之正一半则甲戊丁心角为直角而甲乙丙界角亦必为直角矣第十五凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为钝角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角(见首卷第十一节)夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半则二角之度必相等(如本卷第十三)(节云)今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既为钝角则甲乙丙界角亦必为钝角矣第十六凡圜内界角其所对之弧不及圜界之半者必为锐角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相对之甲乙丙角为锐角也试将甲戊丙弧平分于戊为甲戊戊丙两段复自圜心丁至甲戊作二辐线即成甲丁戊一心角此心角所对之甲戊弧线既不足圜界四分之一则此甲丁戊心角必为锐角矣(见首卷第十一节)此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半则此二角之度必等夫甲丁戊心角既为锐角则甲乙丙界角亦必为锐角矣第十七凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交则谓之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界线俱在庚圜界之丁己戊三处相切而不相交故谓之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界线俱在戊圜界之己庚辛壬四处相切而不相交则谓之函圜切界四边形观此二图则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣第十八凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出则谓之圜内所函各边形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出即谓之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱与戊圜界相抵而不割出则谓之圜内所函四边形观此二图则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣第十九凡等边众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三边比之六角形之六边则六角形之六邉与圜界相近矣设有十二角形之十二边比此六角形之六边则十二角之十二边又与圜界为近若有二十四角之二十四边则又更近于十二角之十二边矣葢函众界形之度必大于所函之众界形度(见本卷第十七十八两节)今甲圜既函等边六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其边愈多者其度愈大故与圜界愈近也又如复有一函圜等边四角形内又作一函圜等边八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内复作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉数愈多则与所函之圜界度愈近矣苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉(设函于圜界之)(多邉形一自六邉起算一自四邉起算)复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉(设函圜界之多邉形亦一自六)(邉起算一自四邉起算)使此函圜之多邉形自外与圜界相比而函于圜界之多邉形自内与圜界相比则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一故圜界曲线可得直线之度而多邉形之直线亦可得为圜界度也第二十函圜切界等边形其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等则三角形之面积与等边形之面积等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也何以见之若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五线即分成甲丙丁类五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等今将壬癸线平分五分以所分之每分为底依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四线遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线俱与圜之辐线等则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线与壬癸为平行线则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣(见三卷第十节)葢辛壬丙甲壬丙两三角形为同底辛丙丁甲丙丁两三角形为同底辛丁戊甲丁戊两三角形为同底辛戊己甲戊己两三角形为同底辛己癸甲己癸两三角形为同底故其面积俱相等也且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣其所分各形之面积俱等则其全形之面积自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也第二十一圜界内函等边众界形其圜心至众界所作中垂线与一直角三角形之小邉之度等而等边众界形之众界共度又与直角三角形之大边之度等则此三角形之面积与等边众界形之面积等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至众界所作甲辛垂线与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度又与三角形之癸子大邉线度等则此壬子癸三角形面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也若依前节法将六邉形分为六三角形复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分又照六边形所分六三角形作六正式三角形复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线成六斜式三角形此两式三角形同底又同在二平行线内则其面积必两两相等此两式六三角形之垂线既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等而两式六三角形之底线共度又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等则壬癸子直角三角形之面积必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣第二十二凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等如有一甲圜形其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也何以见之甲圜之辐线与三角形之小邉等者即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也甲圜之周界与三角形之大邉等者即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也若夫函圜众界形相等之三角形其小边虽与圜之辐线等其大邉则长于圜之周线故其积分亦大于圜之积分而函于圜众界形相等之三角形其小邉既短于圜之辐线而大边亦短于圜之周线故其积分亦小于圜之积分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小边既与圜之辐线等面三角形之大邉又与圜之周线等则其积分与圜形之积分相等无疑矣然圜周界曲线也等邉众界形之界度直线也观之似难于相通者如以圜之内外各设多邉众界形分为千万邉(如本卷第十九节云)则逼圜界最近将合而为一乃依所分之段为千万正式三角形此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一而千万邉共界度既与圜周合而为一则圜周之曲线亦变而为直线矣夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线则与丙丁戊三角形之小边等而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度则又与丙丁戊三角形之大边度等矣复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形以比正式三角形因其㡳同其分自相等故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积千万正式三角形之共积比之丙丁戊一直角三角形之面积丙丁戊直角三角形之面积比之甲圜形之面积俱相等也第二十三有一圜形又一众界形此圜界度若与彼众界总度等则圜形之面积必大于众界形之面积也如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等而圜之周界与三角形之大邉线度等则三角形之面积与圜形之面积相等矣今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉作一子丑寅直角三角形则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开则分子丑线于卯复自卯至寅作一斜弦即成卯丑寅一直角三角形而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之则卯丑寅形必小于子丑寅形今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣观此凡界度相等之形圜界所函之分比众界所函之分必大而众界所函之分与圜界所函之分同者则众界之总度复比圜界度大也㡬何原本五第一平面之上所立直线无少偏倚其各边所生之角必俱直则谓之平面上所立垂线也如甲乙之平面正立一丙丁线不偏不倚此即为平面上所立之垂线矣第二凡两平面相对其所立众垂线度俱各相等则此相对之平面谓之平行面也如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等此甲乙丙丁二平面即为平行面矣第三平面上复立一平面无少偏倚其两边所成之角必皆为直角则谓之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面无偏无倚两边亦俱成直角此即为平面上所立之直面矣第四凡各面相合其每面之角所合处复成一种体角则谓之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者为各瓣相并所成之厚角也如甲图四面为四瓣相并所生之厚角乙图五面为五瓣相并所生之厚角是己第五凡各面相并所成之厚角如将各面计之则其众角所合之分必不足于四直角度也如甲图五面合成之厚角若将其五面展开使平作乙丙丁戊己平面之五瓣复以甲为心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相离处不能满甲圜之周界矣因其不满于圜之周界故比四直角为不足也或以四直角分强欲作一厚角则其瓣过于大必不能成平面所合之厚角矣第六凡等边三面所合厚角其三面内之两面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前节法将甲厚角展开使平虽不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之则较之一直角度为大焉何以见之夫三面展开其所离之虚分仍有三面之分以三面之实分合三面之虚分则为六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角则三角必得二直角三角既得二直角则二角相倂必大于一直角可知矣第七凡平面二线交处作一垂线正立而无偏倚此线任在平面各处俱为垂线如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二线相交己处作一戊己垂线正立而不偏倚则此戊己线任在甲乙丙丁平面上某一处俱为垂线也假使戊己垂线不能正立而有所偏倚则如壬己线近于辛而离于庚矣壬己线既近于辛而离于庚则偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角为锐角壬己甲壬己乙之二角为钝角矣戊己既如壬己则不得谓之甲丙丁乙二线相交处正立之垂线矣第八众线交处立一垂线其各角若俱直此所交各线必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三线相交处立一戊己垂线其与众线相接各角若俱直则此相交之三线必在一平面也夫众线之相交固在平面而垂线之所立正所以考面或一角不直则不得谓之平面矣第九平面上若立二垂线必互为平行线如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线则此二线互为平行线也试自辛过己至壬作一辛壬线则戊己庚辛二垂线所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角俱是直角(见本卷首)(节)故戊己壬庚辛己二角俱为直角而相等也且此二角又为二线与一线相交所成之内外角其度既等则戊己庚辛二线必为平行线矣(如首卷第二十一节)第十有二线与一垂线平行虽不在平面之一界此三线亦互相为平行线也如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行不立于一直线上虽不居平面之一界此三线亦必互为平行线也试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面此平面上之戊己线为垂线其四围平面所生之各角俱是直角矣复自乙过己自丁过己作相交二线则成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣(见首卷第二十一节)而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直又皆与戊己垂线所生之角等则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线其与戊己线为互相平行之三线可知矣第十一相对二平面之间横一直线此线在二平面上所生角若俱直则此相对二面互相为平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线此戊己线末所抵处其四围俱成直角则此二平面互相为平行面矣试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线丙丁壬癸相交二线则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交错之角相等故甲乙丙丁相当之二线为平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交错之角亦相等故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线则相对之二平面自然互为平行面矣第十二有二平行面横交一面其相交处所生二线必平行如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交处所生二缝既在甲乙丙丁二平面之上自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙丙卯寅丁之各线同为平行线且又在戊己一平面内其分自然相对故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也第十三凡各种面内所积之实为体而皆因其面以名之焉如全体不成角度止现圆之圆面则谓之圆体甲乙图是也全体各面俱平各边相等所成各角又等则谓之平面正方体丙丁图是也全体各面虽平体长而面成两式其相对各面仍两两相等相对各边则又平行角又相等此谓之平行长方体戊己图是也体有曲平两面相杂而不成等边等面则谓之底平半圆体庚辛图是也全体相对之各面不平行上下两面平行则谓之上下面平行体壬癸图是也体圆而上下面俱平则谓之长圆体子图是也底为平面其各面俱合于一角而成厚角则谓之尖瓣体底三角者谓之三瓣尖体底四角者谓之四瓣尖体底众角者谓之众瓣尖体如丑寅卯三图是也又或底面圆而渐锐成形则谓之尖圆体辰图是也第十四凡圆体长圆体尖圆体俱生于圜面故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳如取甲乙丙丁之圆形则以甲乙径线为枢心将甲丙乙半圆作转式旋转复还于原处即成甲丙乙丁一圆形体如取甲乙戊己平行面之长圆形则以甲乙中线为枢心将丙丁线界作转式旋转复还于原处即成甲乙戊己一长圆体如取甲丙丁平底尖圆形则以甲乙中线为枢心将甲丁邉线作转式旋转复还于原处即成甲乙丙丁一尖圆体矣第十五凡各体形其各面平行相当则相对两边面积俱相等如甲乙丙丁之正方体其甲戊庚丁甲己戊丙甲丙乙丁六面俱各平行故相对二面之积自两两相等也第十六凡体面式不一而积等者为积数相等之体面式既同而体积又等者为面式体积全等之体如甲乙二体为积数相等之体也丙丁二体为面式体积全等之体也第十七凡平行面之长方体自一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体必为面式体积全等之体矣如甲乙平行面长方体自丙丁二角至相对戊己二角分为两段成戊丙乙丁己甲两三棱体为面式体积全等体也试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面则所分之戊庚丙己乙丁丙甲戊丁辛己四三角形面积俱相等而丙乙甲己甲丁戊乙各面又互为平行必两两相等再对角线分成之丙丁己戊戊己丁丙二面原在一界所分必各相等今所分二形之各面既各相等则其积必等而为面式体积全等体无疑矣第十八凡平行二平面之间若同底立各平行体其积必相等设甲乙丙丁平行二平面之间于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体其积俱相等何也葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行故其各面之度相等其壬子辰卯之面与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行其度亦必相等此二面之度既等则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等其上下各面度既等而平面两三角形之各面各邉度又俱等则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也可知矣第十九凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等设如甲乙丙丁平行二平面之间有戊己庚辛壬癸子丑二等积之底立一寅庚正靣平行体一卯子斜面平行体此二体之积必相等试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底至卯子斜面平行体之卯辰午未面复作一卯庚斜面平行体则寅庚卯庚二体立于戊己庚辛之一底其积相等矣(如前节所云)而卯子卯庚二体又同立于卯辰午未之面其积亦必相等是以寅庚正面平行体卯子斜面平行体俱与卯庚平行体相等故云凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等也第二十平行平面之间有立于等积三角底之各三面体其积必俱等如甲乙丙丁平行二平面之间有子庚丑寅癸卯等积三角底立戊庚己辛癸壬之两三面体此二体积必相等何以见之若以此二体之上边二面之戊辰辰己二界平行作戊未己未二线辛午壬午二界平行作辛申壬申二线又于此二体之下边二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉丑二线寅癸癸夘二界平行作寅戌戌卯二线则二体所生酉子庚丑戌寅癸卯四边平行二底俱在子丑寅卯二对角线其度相等(见三卷第三节)其分比三角面各大一倍矣复于所作二底边酉戌二处作酉未一纵线戌申一纵线即成未庚申癸平行面二方体矣其酉子庚丑戌寅癸卯二底既俱相等则所生之未庚申癸平行面之二方体亦自相等(见本)(卷第十九节)此未庚申癸平行面二方体既各相等则戊庚己辛癸壬之三面体为未庚申癸二方体之正一半其积必等无疑矣第二十一凡各种体形难以图显葢以图止一面故也必用木石制之始能相肖况此各种形体又或有外实而内空者必按其形以求其理始可发明其精蕴矣第二十二凡各面所成体形内其各面俱平行或上下面为平行而立于等积之底其体之髙又等则其体之积亦相等如甲乙体其各面俱平行又如丙丁体其上下面平行立于等积之底其髙又等或又如戊己体其上下面平行圆面积又等髙又等则其两两体积必相等矣又如庚辛壬癸之类尖体形苟立于等积之底其体之髙若等则其体之积亦相等何以见之若将众尖体分为平行底之众小体其所分众小体之底度髙度必俱相等如子丑图其所分小体之积俱等故其全体之积亦相等也第二十三凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者不论平面圆面其平底尖体皆得上下面平行体三分之一如甲乙上下面平行之长方体与丙丁四瓣尖体其乙丁两底积等甲乙丙丁两髙度又等则甲乙长方体与丙丁尖体三形等如戊己上下面平行之三棱体与庚辛三瓣尖体其己辛两厎积等戊己庚辛两髙度又等则戊己三棱体与庚辛尖体三形等又如壬癸上下面平行之长圆体与子丑尖圆体其癸丑两底积等壬癸子丑两高度又等则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也夫同底同髙上下面平行体既俱为尖体之三倍则尖体为上下面平行体三分之一可知矣(葢甲乙戊己壬癸各体其式虽不同苟底积高度相)(等其积必等而丙丁庚辛子丑各体式虽不同苟底积高度相等其积亦必等)(故知丙丁庚辛子丑平底尖体互为甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之)(一也如将上下面平行各体以木石为之分作同底同髙之各平底尖体用权)(衡以较其分量则各体之积分自昭然可见矣)第二十四凡长圆体外周面积与长方体底面积相等而长圆体半径又与长方体高度相等则长圆体积必得长方体积之半也如甲乙丙丁长圆体其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分为千万分则成子丑己类千万长尖体此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积则此千万长尖体必为戊己长方体之一半矣葢寅己辛三角面为午己长方面之一半(见三卷第三节)而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等(见四卷第二十节)子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等此卯辰庚辛己寅三角体固为戊己长方体之一半今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等则亦必为戊己长方体之一半故甲乙丙丁长圆体为戊己长方体之一半也第二十五凡球体外面积与尖圆体之底积等而球体之半径与尖圆体之高度等则此球体之积与尖圆体之积等也如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等则此球体之积为与尖圆体之积等也试将球体从中心分为千万尖体复将尖圆体亦分为千万尖体则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等何也葢球体所分尖体皆以球体之外面为底而以球体之甲戊半径为高其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底为底而以尖圆体之己壬高为高夫尖圆体之底积原与球体之外面积等而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等故此两种千万尖体皆为同底同高其积相等无疑矣(见本卷第十八节)然此两种千万尖体即球体尖圆体之所分其所分之体既等则原体亦必相等可知故曰球体与尖圆体俱相等也第二十六凡各形外皮面积相等之体惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积如甲乙丙丁外皮面积相等各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也何也大凡圆形其半圆周一旋转间即成圆体此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体(见本卷第十四节)又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积(见四卷第二十三节)平面圆界所函犹大于各等邉所函之积则圆体所函必大于各直界体所函之积可知矣第二十七厚角所成等面体形有五种各以面数而名之其一为四面体每面有三角各三角之各三界度俱等如甲图是也二为六面体毎面俱为正方其方面之四角俱为直角而各界互等故又为正方体如乙图是也三为八面体毎面有三角各三角之各三界度俱等如丙图是也四为十二面体每面有五角各五角之五界度俱等如丁图是也五为二十面体每面有三角各三角之各三界度俱等如戊图是也第二十八前节发明五种厚角所成等面体形之外不能复生他形葢此五种厚角体俱是等边三角四角五角之平面相合所成也凡平面自三界以下不能成面(见二)(卷首节)而厚角自三面以下亦不能成角故厚角自三面始如甲四面体其四厚角皆三平面三角形所合而成也乙八面体其六厚角皆四平面三角形所合而成也丙二十面体其十二厚角皆五平面三角形所合而成也然平面三角形所合过于五形则不能成厚角故平面六三角形合于一处即成庚形其甲乙丙丁戊己六角相合与四直角等(见首)(卷第十五节)既与四直角等则为平面不成厚角矣(如本卷第五节)六形相合尚不能成厚角况多形乎是故平面三角形所生厚角体仅得四面八面二十面三种而已若夫平面正方四角形所成厚角如丁六面正方体其八厚角皆三平面四角形所合而成此外更无他形若将四平面四角形合于一处即成辛形其甲乙丙丁四角既俱为直角必不能成厚角矣故四角形所生厚角仅有一六面正方体而已至于平面五角形所成厚角如戊十二面体其二十厚角皆三平面五角形所合而成此外更无他形也或将四平面五角形如癸子丑寅之四角合于壬此四角俱为钝角必大于四直角既大于四直角在平面尚不能相合厚角岂能成耶是以平面五角形所成之厚角仅有一十二面体而已或将平面六角形之三形合于一处为癸其甲乙丙三角度与四直角等故不成厚角六角平面相合既不成厚角其七角八角等形愈不能成厚角矣故曰四面六面八面十二面二十面五种体只在三角四角五角三种平面形所生此外不能复成他形也御制数理精蕴上编卷二
## 上编卷三
钦定四库全书御制数理精蕴上编卷三几何原本六几何原本七几何原本八几何原本九几何原本十几何原本六第一大凡欲论诸物之不齐必借同类之物以比之始可以得其不齐之度数如一线与他线相比其度之或长或短其数之或多或少自能见之如一面与他面相比其面度之或大或小其积数之或多或少自能见之又如一体与他体相比其体度之或厚或薄其积数之或多或少亦自能见之若将一线与一面相比或一面与一体相比既不同类又不同形则线之长短面之大小体之厚薄俱不可辩矣故曰欲论诸物之不齐必借同类之物以比之也第二将两数相比其度互为大小则谓之比例其比者与所比者俱谓之率(率者)(法也矩也以数互相准之之谓也)其比之数为前率其所比之数为后率如甲乙二数互相为比其相较之分甲数之度为长其分为多乙数之度为短其分为少如是以比之故谓之二率甲为比之之数故谓之前率乙为所比之数故谓之后率焉第三有四率两两相比其一率与二率之比同于三率与四率之比则谓之同理比例也如甲乙丙丁四数甲与乙比丙与丁比苟乙为甲六分之五丁为丙六分之五则甲与乙之比例丙与丁之比例此两比例相同而乙有甲㡬分之数即可知丁有丙㡬分之数矣故凡四率内将一率与三率分数定为相等二率与四率分数亦定为相等其度之长短虽有不同苟分数定准则一率与二率之比即如三率与四率之比也夫甲乙丙丁四线内甲第一线与丙第三线俱各定为六分乙第二线与丁第四线俱各定为五分则甲度之长虽大于丙度之长其分数则俱为六而乙度之长虽大于丁度之长其分数亦俱为五故知乙第二线度与甲第一线度之六分之五分相等丁第四线度亦与丙第三线度之六分之五分相等所以甲线之比乙线即如丙线之比丁线而谓之同理比例也第四凡四率两两相比其一率与二率相比之分若大于三率与四率相比之分则为不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四数甲与乙丙与丁各互相为比苟甲第一数与乙第二数相比之分为六与四其丙第三数与丁第四数相比之分为五与四则此甲与乙之比大于彼丙与丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分为凖则三率四率相比之分为小若依三率四率相比之分为准则一率二率相比之分又大故谓之不同理之比例而比例四率不能行也第五凡有四率一率之度与二率之度相比分数若同于三率之度与四率之度相比分数则此四率又谓之相当比例四率焉如甲乙丙丁四线苟甲线与乙线相比之度与丙线与丁线相比之度其分数同则此四线谓之各相当线而毎两率相比其毎度之分数同故又谓之相当比例四率也第六凡三率互相为比其一率与二率之比同于二率与三率之比则谓之相连比例率也如甲乙丙三数互相为比苟甲数与乙数之比同扵乙数与丙数之比则此甲乙丙三数谓之相连比例率矣若相连比例率内将一率与三率比之则为隔一位加一倍之比例或有相连比例四率将一率与四率比之则为隔二位加二倍之比例大凡有几率隔几位以比者皆以隔几位而为加几倍之比例也如甲乙丙相连比例率内其甲与丙之比为隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五数俱为相连比例率其甲与丁之比即为隔二位加二倍之比例而甲与戊之比则又为隔三位加三倍之比例矣第七相当比例四率为数学之要因其理之所该最广故设为双圜图以申明之立甲㸃为心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以为三百六十分(首卷第十七节云凡圜无论大小俱定为三百)(六十度)于是自圜之甲心过小圜界之辛壬二处至大圜己庚二处作二线则大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相对之己庚弧界设为六十度则为乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既为六十分则丁戊小圜之辛壬弧界度亦为六十分矣大凡角度俱定于相对之圜界(见首卷第九节)今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱与一甲角相对其度虽依圜之大小不同而分数则等分数既等则大圜小圜大弧小弧两两互相为比即如四率之两两相比为同理比例矣是以大圜之三百六十分为一率自大圜所分之己庚弧之六十分为二率小圜之三百六十分为三率自小圜所分之辛壬弧之六十分为四率其乙丙大全圜与本圜己庚分之比即同于丁戊小全圜与本圜辛壬分之比也故凡各率各度虽异相当之分数若同则一率与二率之比必同于三率与四率之比而俱谓之顺推比例矣要之分合加减各率之法总不越此图之互转相较之理也第八一种反推比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者反推之以二率与一率为比四率与三率为比其所比之例仍同故亦谓之相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比反推之以乙与甲为比丁与丙为比则所比之例仍同于相当比例率焉以前双圜图解之葢甲数与乙数之比例即乙丙大圜全界与所分己庚弧界之比例丙数与丁数之比例即丁戊小圜全界与所分辛壬弧界之比例也今反以乙与甲为比丁与丙为比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界与乙丙大圜全界为比丁戊小圜所分之辛壬弧界与丁戊小圜全界为比也因其以二率为一率以三率为四率前后互移故谓之反推比例然名虽为反推比例而相当比例之率仍与顺推比例相同也第九一种递转比例将一率与二率之比同于三率与四率之比者转较之以一率与三率为比二率与四率为比其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数将甲与乙之比同于丙与丁之比转较之以甲与丙为比乙与丁为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图 乙丙大圜全界一率与所分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜全界三率与所分辛壬弧界四率之比若转较之以乙丙大圜之一率与丁戊小圜之三率为比大圜所分之巳庚弧界二率与小圜所分之辛壬弧界四率为比其度虽依圜之大小有异而分数则同其比例仍同于原比例故甲乙丙丁之四数亦如大小二圜为互相比例之率而甲一率与丙三率之比即大圜与小圜之比乙二率与丁四率之比即大圜所分弧界与小圜所分弧界之比也葢以三率为二率以二率为三率递转相较故谓之递转比例其相当比例之四率虽递转以较之亦仍为相当比例之四率也第十一种分数比例彼四率之中以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率所较之分截开以一率与二率之较为一率与二率为比以三率与四率之较为三率与四率为比则其所比之例仍为相当比例率也如甲乙丙丁四数于甲数内减去乙数之分为戊巳丙数内减去丁数之分为庚辛乃以戊己易甲与乙线为比以庚辛易丙与丁线为比则所比之例仍同于相当比例率也如前双圜图 于乙丙大圜全界内减去所分己庚弧界一段仍与己庚弧界为比丁戊小圜全界内减去所分辛壬弧界一段仍与辛壬弧界为比亦与大圜全界与大圜所分弧界小圜全界与小圜所分弧界相比之理同故此甲线内截去乙所成戊己仍与乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍与己庚弧界相比而丙线内截去丁所成庚辛仍与丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍与辛壬弧界相比也其比例仍同于相当比例四率但因其各分内有分开相减之故所以谓之分数比例也第十一一种合数比例有四率以一率与二率之比同于三率与四率之比矣若将此相比之率并之以一率与二率相加为一率仍与二率为比以三率与四率相加为三率仍与四率为比其所比之例亦仍同于相当比例之四率也如甲乙丙丁四数以甲数与乙数相加共为一率与乙数为比丙数与丁数相加共为三率与丁数为比则所比之例仍同于相当比例四率也此合数比例与分数比例之理互相对待彼分数比例以双圜图 二圜全界内减去所分弧界一段仍与所分弧界一段为比今此合数比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而与所分弧界一段为比也其所比之理仍同于相当比例四率但因有相加之加故谓之合数比例焉第十二一种更数比例以一率与二率之比同于三率与四率之比者更之将一率与二率相减用其余分为二率仍与一率为比又将三率与四率相减用其余分为四率仍与三率为比则其比例之理仍同于相当比例四率也如甲乙丙丁四数于甲第一率内减去乙第二率所余为戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲与戊己为比复于丙第三率内减去丁第四率所余为庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙与庚辛为比其所比之理仍同于四率之比例故亦为相当比例之四率也今以双圜图解之 乙丙大圜三百六十度之全界仍为一率全界内减去所所分之巳庚弧界六十度一段余己丙庚三百度一大段 为二率丁戊小圜三百六十度之全界 仍为三率全界内减去所分之辛壬弧界六十度一段余辛戊壬三百度一大段 为四率则乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之两相比例亦同为相当比例率也凡四率之内前后之相差虽更入比之仍与相当比例之理同但以其数有更入之故所以谓之更数比例也第十三一种隔位比例有两相比例四率将此一邉四率内一率与末率为比彼一边四率内一率与末率为比则其所比之例仍同于相当比例四率也如此一边有甲乙丙丁四数彼一边有戊己庚辛四数此甲与乙之比同于彼戊与己之比此乙与丙之比同于彼已与庚之比此丙与丁之比同于彼庚与辛之比若将此四率隔位比之使此一边之甲与丁为比以彼一边之戊与辛为比则其比例仍同于相当比例四率也试以双圜图之大小圜所分各弧界之两线引长 自庚壬过甲至癸丑作一全径线复自己辛过甲至子寅作一全径线则分大圜为庚巳己丑丑寅寅庚四段分小圜为壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己丑丑寅寅庚四段为相当四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四段亦为相当四率此二圜之所分四段既俱为相当四率则其各相比例度之大小虽异而分数相同故大圜之庚己一段与已丑一段之比同于小圜之壬辛一段与辛癸一段之比大圜之已丑一段与丑寅一段之比同于小圜之辛癸一段与癸子一段之比大圜之丑寅一段与寅庚一段之比同于小圜之癸子一段与子壬一段之比也若以此各相当四率隔位以比之其大圜之庚已一段与寅庚一段为比而小圜之壬辛一段与子壬一段为比其比例仍同于相当比例四率但以其两边各相比例四率内各取两率隔位以比之故谓之隔位比例耳第十四一种错综比例有两连比例三率此一边三率内中率与末率之比同于彼一边三率内中率与末率之比则为相当比例之四率苟错综其位分以此一边首率与末率隔位为比复取另一数与彼一边中率为比而成同理之四率则此另一数必与彼边三率为连比例四率矣如此一边有甲乙丙连比例三数彼一边有丁戊已连比例三数将此一邉中率乙数与末率丙数之比同于彼一边中率戊数与彼一邉末率己数之比则其比例为同理比例矣今错综其位分使此一边所有之首率甲数与所有之末率丙数隔位为比复另取一庚数与彼一边所有之中率戊数为比则其比例亦同于相当比例四率而此庚数与彼边丁戊己三率为连比例之数矣何也试以庚数置于彼一边丁首率之上则庚为首率而丁移而为中率戊又易而为末率是故此一边甲首率与丙末率之比同于彼一边所取庚首率与所易戊末率之比但以两连比例率互相易位増入比之之不同故名之为错综比例耳第十五一种加分比例凡有二率依本度各加几倍所加之分数若等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等倍相加之比例也如甲乙二数于甲数依本度加三倍为丙于乙数依本度加三倍为丁则此丙丁二数互相为比仍同于甲乙二数之互相为比也假若甲度为一大分乙度为一小分则甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相当之分数既等固为同理比例可知矣(见本卷第三节)故凡二率依本度各加几倍其所加之分数若等其加分之率互相为比必同于原率之互相为比因于原数有相加之分故谓之加分比例也第十六一种减分比例凡有二率依度度各减几倍所减之分数若俱等则所成之二率互相为比仍同于原二率之互相为比谓之等分相减之比例也如有甲乙丙丁二数其甲乙之三分内减去甲戊一分丙丁之三分内减去丙己一分则戊乙己丁互相为比仍同于原甲乙丙丁全数之互相为比也何也夫甲乙度为三尺丙丁度为三寸自甲乙度内减去一尺则为戊乙自丙丁度内减去一寸则为己丁以所余之戊乙二尺与所余之已丁二寸为比以甲乙之全三尺与丙丁之全三寸为比其相当之分数必等故亦为同理比例矣凡二率之内无论减几分其所减之分数若等则相比之理必同于原数之比例因于原数内减之故又谓之减分比例也几何原本七第一前卷所论比例之法凡一十有二(相当比例)(一种相连比例一种正比例一种反比例一种递转比例一种分数比例一种)(合数比例一种更数比例一种隔位比例一种错综比例一种加分比例一种)(减分比例一种)虽种种变化不穷其每相当分数所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆为相当比例四率也是故线与线为比面与面为比体与体为比依前各种比例之法线之比例若同则为相当比例线面之比例若同则为相当比例面体之比例若同则为相当比例体矣夫线面体为类不同虽不能互相为比假使线面体之每相当分数若等则按其各类相当分数比之亦为同理比例率也如甲之六分线与乙之三分线相比丙之六分面与丁之三分面相比戌之六分体与已之三分体相比此三种每相当分数既俱相等故其比例亦俱相等而六率互为同理比例可知矣第二大凡直角平方面积皆生于二线之度故欲知方面所生比例之分将其二形之纵横线分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分则视甲乙大形之甲戊横线长度得彼丙丁小形之丙己横线长度为三倍而甲乙大形之甲庚纵线寛度得彼丙丁小形之丙辛纵线寛度为二倍假若将甲乙大形自中线平分为甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊横线长度既仍与丙己横线长度为三倍其所分之甲癸形必与丙丁三形相等再彼壬乙形亦与丙丁三形相等则此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形为六分可知矣又或甲乙大形之甲戊横线长度得丙丁小形之丙己横线长度为四倍甲乙大形之甲庚纵线寛度得丙丁小形之丙辛纵线寛度为三倍则大形与小形四倍者有三而大形比小形为十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊横线比丙丁小形之丙己横线为十二倍丙丁小形之丙辛纵线反比甲乙大形之甲庚纵线为三倍则甲乙大形之甲戊横线之长虽比丙丁小形之丙己横线之长多十一倍而甲乙大形之甲庚纵线之寛又比丙丁小形之丙辛纵线之寛少二倍矣将此纵横二线之多少较之甲乙大形比丙丁小形为四倍而丙丁小形为甲乙大形之四分之一于是以二形之纵横多少互相较对以比例之始得知此形与彼形之比例焉故凡直角平方面形与他一形相比其比例有二以此形之长与他形之长比之为一比例以此形之寛与他形之寛比之为一比例两形相比之间而兼两比例者正以平面之积自二线之度生之之故也第三有两直角方面形若将此方面横界与他方面横界为比又将他方面纵界与此方面纵界为比其比例若同则此两方面必相等也如甲乙丙丁两方面形甲乙形之甲戊横界比丙丁形之丙己横界大一倍而丙丁形之丙庚纵界比甲乙形之甲辛纵界亦大一倍则甲乙丙丁两形之分必相等是知两方面形纵横之分互相较对则两方面之积可知矣第四凡有相比例四率其二率与三率相乘一率与四率相乘则所得之分数俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率为二分丁戊二率为四分戊己三率为三分乙丙四率为六分将丁戊二率为纵线戊已三率为横线以之相乗又将甲乙一率为纵线乙丙四率为横线以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分数俱是十二互相等矣然则丁已形之丁戊纵度虽比甲丙形之甲乙纵度大一半而丁已形之戊己横度复比甲丙形之乙丙横度少一半故其纵横互较之分相等而其积亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率将两率之分相乘所得之数以一率之分除之即得其一率矣设如甲乙三分为一率丁戊六分为二率戊己五分为三率乙丙十分为四率今只知一率二率三率之分欲推四率则以丁戊六分二率与戊巳五分三率相乘为丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分为首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率则以乙丙十分为一率戊巳五分为二率丁戊六分为三率二率与三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分为首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率则以丁戊为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率则以戊己为一率甲乙为二率乙丙为三率二率与三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即递转比例之理也第五凡有两直角方面形此一方面之横界与他一方面横界为比此一方面之纵界与他一方面纵界为比其比例若等则此两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊横界为丙丁形丙己横界之二倍而甲乙形之甲庚纵界亦为丙丁形丙辛纵界之二倍则甲乙形面积与丙丁形面积之比比之甲乙形之一界与丙丁形之一界之比者即如连比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之纵横界既为丙丁方面纵横界之二倍则甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二为四故甲乙方面积比丙丁方面积为四倍今甲乙方面积为一十六分与丙丁方面积之四分相比较之甲乙方界之四分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分较之二分比一分不为二倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界二倍之得八分与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积十六与丙丁方面积四分之比矣夫八与十六四与八二与四皆二分之一之比例而十六隔八与四比八隔四与二比则皆成四分之一之比例故十六与四较之四与二为两界上连比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之纵横界为丙丁方面纵横界之三倍则甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三为九故甲乙之面积比丙丁面积为九倍今甲乙之积为三十六分与丙丁方面积四分相比较之甲乙方界之六分与丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分较之三分比一分不为三倍乎故欲求其比例相连之率则于甲乙形之界三倍之得十八与丙丁方界二分为比即如甲乙方面积三十六与丙丁方面积四之比例矣葢十八与六六与二皆三分之一之比例而三十六隔十二与四比十八隔六与二比则皆为九分之一之比例故三十六与四较之六与二亦为两界上连比例隔一位相加之比例也第六凡直角方面形有二种一为长方一为正方因其纵横界之比例各异故其所生之形不同而积不得互相为比也如欲比之必以长方与长方为比正方与正方为比其比例始行如甲乙丙丁两长方面形其甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙己横界为大一倍甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙辛纵界亦为大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊横界与丙丁形之丙辛纵界为比则大三倍而甲乙形之甲庚纵界与丙丁形之丙己横界为比止大一分犹不得大一倍其比例则异故甲乙形所生之积为二十四而丙丁形所生之积为六俱为长方形焉又如子丑寅夘两正方形其子丑形之子辰横界与寅卯形之寅已横界之比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅未纵界之比俱为大三倍而比例相同复以子丑形之子辰横界与寅卯形之寅未纵界为比子丑形之子午纵界与寅卯形之寅已横界为比亦各大三倍而比例相同故子丑形所生之积为三十六而寅夘形所生之积为四俱为正方形焉以此四形两两相比则甲乙长方形与丙丁长方形为比而子丑正方形与寅卯正方形为比各为相当比例之四方面也第七有两同式长方面于两形相当之二界各作两正方面互相为比即同原两长方面之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方面在甲戊丙己相当二横界各作甲庚丙辛两正方面则所作甲庚丙辛两正方面互相为比即同于原有之甲乙丙丁相同之两长方面之互相为比也夫甲乙丙丁同式之两长方面积既为隔一位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之正方面积亦必为隔一位相加之比例然则甲乙丙丁原有之两面互相为比与所作甲庚丙辛之正方面之互相为比其为同理之比例无疑矣第八大凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲已庚丁两直角方面其甲已面与庚丁面之比即同于甲已面之丙己底线与庚丁面之辛丁底线之比也葢甲巳面之丙巳底线与庚丁面之辛丁底线为三倍而甲巳面之甲丙纵线与庚丁面之庚辛纵线因同在二平行线内其度固同今以二面纵线俱依庚丁面之庚辛分数分之皆为四倍则甲巳面为一十二分而庚丁面为四分矣以甲己面之十二分与庚丁面之四分为比即如甲己面之丙己底三分与庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也第九凡二平行线内所有二界平行斜方面互相为比同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有甲戊乙丁两斜方面积互相为比即同于丙戊巳丁两底界之互相为比也试将甲戊乙丁两斜方面之丙戊己丁两底界上立庚戊辛丁两直角面则此两直角面因与两斜方面同底同髙其积必等(见三)(卷第八节)前节言凡二平行线内所有直角方面互相为比同于其底之互相为比此甲戊乙丁两斜方面既与同底所立庚戊辛丁两直角面相等则甲戊乙丁两斜方面互相为比必同于丙戊己丁两底界之互相为比可知矣故凡二平行线内所有面积相比之分数必与底界相比之分数同也第十凡二平行线内所有三角形面积互相为比亦同于其底界度之互相为比也如甲乙丙丁二平行线内有戊己庚辛壬癸两三角形其内所函面积互相为比即同于巳庚壬癸两底界之互相为比也何也凡二平行线内所有三角形得其同底所立四边形之一半今以甲乙丙丁二平行线内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四边形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸丑四边形则戊巳庚三角形为戊巳庚子四边形之一半而辛壬癸三角形为辛壬癸丑四边形之一半如以两三角形面积互相为比即同于两四边形面积之互相为比而为相当比例四率矣其面积既互相为比则其两三角形面积相比同于两三角形底之相比者亦如两四边形相比同于两四边形底之相比矣然则戊巳庚辛壬癸两三角形面积互相为比必同于巳庚壬癸两底界互相为比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面积必比戊巳庚三角形面积亦大一倍也㡬何原本八第一凡三角形内与其底线平行作一直线则所截三角形之两边线互相为比例线其两边线所分各二叚互相为比为相当比例四率而每边所截之一叚与本全线比之亦为相当比例四率也如甲乙丙三角形内与乙丙底线平行作一丁戊线则分甲乙一边为甲丁丁乙二叚分甲丙一边为甲戊戊丙二叚其甲乙一边之甲丁丁乙二叚互相为比甲丙一边之甲戊戊丙二叚互相为比其比例俱同为相当比例四率矣又如甲乙一边之甲丁一叚与本边甲乙全线为比甲丙一边之甲戊一叚与本边甲丙全线为比其比例亦俱同为相当比例四率矣今以三角形按所截分分为各式以各式面积互相比者考之自丁戊线之丁戊二端作丁丙戊乙二线则甲乙丙一三角形分为四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊两三角形既在乙丙丁戊二平行线之间又共立于一丁戊之底其二形之积必等(见三卷第十节)于此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙两三角形其积亦必相等又如甲丁戊乙丁戊两三角形之底俱在甲乙一直线上而两三角形之戊角又共在一戊处其两形必在二平行线之间而甲丁戊丙丁戊两三角形之底俱在甲丙一直线上而两三角形之丁角又共在一丁处其两形亦在二平行线之间(见三卷第十二节)因各三角形两两俱为二平行线所限故其面积互相为比必同于其底界之互相为比也(见七卷第十节)此所以甲丁戊丙丁戊两三角形积互相为比与其甲戊戊丙两底线之互相为比同其甲丁戊乙丁戊两三角形积互相为比与其甲丁丁乙两底线之互相为比亦同也冄甲乙戊三角形之积既与甲丙丁三角形之积相等则以甲乙丙之全形与所分之甲乙戊三角形或与所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相为比甲乙戊三角形之甲戊底与甲乙丙全形之甲丙底互相为比亦必俱相同矣因其各三角形得互相为比例故其所截两边线两两为相当比例率也第二凡三角形内与底平行作一直线其所截两边线之每一叚与各边全线之比即同于所作线与底线之比也如甲乙丙三角形内与乙丙底平行作一丁戊线此丁戊线所截甲丁一叚与甲乙全线之比甲戊一叚与甲丙全线之比皆如丁戊线与乙丙底线之相比也假若将甲乙丙三角形之甲乙边线为底而与甲乙底线平行作一戊己线即成戊巳乙丁四边长方形其两两平行线之度俱各相等然三角形之两边与所截之每叚既互相为比(如前节所云)则此乙丙边之乙己一叚与乙丙边全线之比即同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比而丁戊之平行线既与乙已平行线度相等则此丁戊平行线与原底乙丙线之比亦必同于彼甲丙边之甲戊一叚与甲丙边全线之比矣故甲戊叚为一率甲丙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率为相当比例四率也又如甲乙边之甲丁一叚与甲乙边全线之比既同于丁戊平行线与乙丙底线之比则甲丁叚为一率甲乙边全线为二率丁戊平行线为三率乙丙底线为四率亦为相当比例四率也苟甲乙边全线为六分则甲丁叚得其六分之二分乙丙边全线为六分则丁戊叚亦得其六分之二分所以成两两相当比例之率也第三凡大小两三角形其相当之二角度若两两相等则其余一角亦必相等如此类两三角形谓之同式三角形也虽其内容积分不同而其相当各界互相为比俱为相当比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小两三角形其甲角与丁角等乙角与戊角等则所余丙角必与己角等而为同式三角形也(二卷第三节言凡三角形之三)(角相并与二直角等则此大小两三角形之各三角相并亦俱为二直角于二)(直角中减去大形之甲角乙角余为丙角减去小形之丁角戊角余为己角其)(所减之数既等则所余之数亦必等矣)若于大形内与乙丙平行作庚辛线与甲乙平行作辛壬线则成甲庚辛辛壬丙两小三角形此两小形之相当角度与大形之相当角度亦必俱等故皆谓之同式形也凡同式之形其容积虽不一而其各界互相为比皆为相当比例之四率是故以大三角形之甲乙全线与所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一边与小三角形之相当丁戊一边之比也大三角形之甲丙全线与所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一边与小三角形之相当丁巳一边之比也大三角形之乙丙底线与所截庚辛底线之比即如大三角形之乙丙底线与小三角形之戊已底线之比也至于甲乙丙大三角形与所截辛壬丙小三角形相当各界之比亦如甲乙丙大三角形与丁戊已小三角形相当各界之比也由此推之凡同式之形其相当各界互相为比皆为相当比例之率可知矣第四同式直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而同式三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳两同式直角三角形其面积互相为比即同于此两三角形之乙丙戊巳相当二界所作庚乙辛戊两方形互相为比之比例而此两三角形之面积互相为比比之乙丙戊已相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣葢两三角形之乙戊二角俱为直角若与乙丙戊巳二线平行作甲壬丁癸二线又与甲乙丁戊二线平行作壬丙癸己二线即成壬乙癸戊两直角长方形此甲乙丙丁戊己两三角形因与所作壬乙癸戊两直角长方形在二平行线内同为一底其积为一半将半与半相比者即同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形互相为比必同于壬乙癸戊两直角长方形互相为比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相当二界所作壬乙癸戊两长方形互相为比之比例既与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同则依乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方形互相为比之比例亦与壬乙癸戊两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形互相为比之比例同矣又凡直角两方形其两界互相为比之比例若俱同则两形面积互相为比之比例较之两界互相为比之比例为隔一位相加之比例(见七卷第五节)今甲乙丙丁戊己两三角形之各依底线所作正方形互相为比较之二底线互相为比之比例即为隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己两三角形之面积互相为比者既与所作庚乙辛戊两正方形面积互相为比之比例同则此所作两正方形面积相比较之两底相比为隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己两三角形面积互相为比较之乙丙戊己相当二界互相为比之比例亦为隔一位相加之比例可知矣第五同式无直角三角形面积互相为比同于三角形各相当界所作方形之互相为比而三角形面积互相为比者比之各相当界互相为比则为连比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己两同式三角形虽无直角然其相当各角俱等则此两形面积互相为比同于在此两形之甲乙丁戊相当二界所作方形互相为比之比例而两形之面积互相为比者比之甲乙丁戊相当二界互相为比之比例则为连比例内隔一位相加之比例矣试自两形之丙己二角与甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一线又自甲丁二角至庚辛二线之末作甲庚丁辛二线又与此二线平行自乙戊二角至壬癸二处作乙壬戊癸二线成庚乙辛戊两直角长方形此两长方形与甲乙丙丁戊己两三角形俱在两平行线内又同为一底则此两三角形面积为彼庚乙辛戊两长方形之一半将半与半相比者同于全与全之相比故甲乙丙丁戊己两三角形面积之比例必同于庚乙辛戊两长方形之比例矣夫同式两长方形之比例同于相当界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相当界之比例为连比例隔一位相加之比例今此两三角形面积之比例既同于庚乙辛戊两长方之比例亦必同于两正方之比例则两三角形面积之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣第六有众多边形其边数同相当各角俱等而相当界之比例又同则谓之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小两多边形其边数俱为五其相当甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙边与己庚边之比即同于乙丙边与庚辛边之比其相当边互相比之俱同者即谓之同式多边形也又如众曲线形于其内外作各种直界形其式若同则谓之同式曲线形也假如有甲乙大小两曲线形在甲大形内作一丙丁戊己庚五边形在乙小形内作一辛壬癸子丑五边形此所作两五边形之式若同则曲线形之式必同又如甲乙大小两曲线形在甲大形外作一丙丁戊己四边形在乙小形外作一庚辛壬癸四边形此所作两四边形之式若同其曲线形之式亦必同故皆谓之同式曲线形也或如甲乙丙丁大小两圜分于大圜分内作一戊甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁三角形此所作两三角形之式若同则圜分之式亦必同故谓之同式圜分也第七大小各圜分之式若同则其相对之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小两圜之戊甲己庚丙辛两分之式相同其弧虽随圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所对二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己与庚丙辛两叚式既同则此内所函甲戊己丙庚辛两三角形之甲丙相当两界角之度必等若自甲丙二角过二圜心壬癸至对界乙丁作甲壬乙丙癸丁二线则成两界角与两心角葢心角大于界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今将戊壬乙乙壬己两心角并之戊甲乙乙甲己两界角并之则所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛两心角并之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之两界角大一倍夫两圜之两界角度既等而两圜之所并之心角度又等则两界角相对之戊乙己庚丁辛两弧叚之分数亦必相等界角所对之弧分既等则心角所对之弧分亦必相等心角所对之弧分即为甲丙二界角相对之壬癸二心角之度也第八凡大小同式多边形分为众三角形其相当三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二线则大形分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分为己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形与相当己庚辛之形同式甲丙丁之形与相当己辛壬之形同式甲丁戊之形与相当己壬癸之形同式因其所分各三角形俱为同式故相当各角度必等相当各角度既等则其相当各界之比例亦必俱同自五边形所分之各三角形之相当界互相为比之比例既同则五边形之相当各界互相为比之比例亦必同相当各界之比例相同则两形之式相同可知矣第九凡大小同式多边形互相为比同于各形相当界所作方形之互相为比而比之各面相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两同式五边形于大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙丑辛大小两方形其大小五边形互相为比必同于所作子丙丑辛大小二方形之互相为比大小五边形既同于大小两方形之互相为比则比之丙丁辛壬相当二界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸两形分为众三角形则相当各三角形之式必同相当各三角形之式既同则相当各三角形互相为比即同于在三角形各相当界所作方形之互相为比而各三角形面积之互相为比较之各相当界互相为比之比例亦为连比例隔一位相加之比例夫所分众三角形互相为比既同于所作方形之互相为比则众三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五边形互相为比亦必同于丙丁辛壬相当界所作子丙丑辛大小两方形之互相为比而比之丙丁辛壬相当界互相为比之比例为连比例隔一位相加之比例可知矣第十凡大小同式直界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小两直界形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸丑二同式四边形之甲丙庚壬相当二界作寅丙卯壬正方形则两直界形互相为比即同于两正方形之互相为比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两六边形俱分为三角形则其相当各三角形之式俱相同而相当各三角形互相为比必同于甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比矣此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例则大小两形内各三角形之甲丙庚壬界又为两四边形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑两同式形互相为比亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸丑两四边形之甲丙庚壬两相当界所作寅丙卯壬两正方形之互相为比可知矣第十一凡大小同式曲界形互相为比同于在所比各形内外所有同式形之各相当界所作正方形之互相为比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子丑大小二圜此二圜之中虽各函一同式六边形各函一同式四边形又各函众同式三角形此大小二圜之积互相为比必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相当二界所作寅丙卯壬正方形之互相为比也大凡众界形或函圜或函于圜其界数愈多愈与圜界相近而圜界分为千万叚即成千万直界形(见四卷第十九二十等节)则大小两圜之比例固与内函相当直界形之比例等矣夫相当直界形之比例原同于两形之相当界所作方形之比例而圜界形之比例又同于相当直界形之比例则此大小二圜互相为比之比例同于此二圜之辐线或径线所作正方形互相为比之比例可知矣第十二凡圆面径与撱圆面(一名鸭蛋形)髙度等者其面积互相为比之比例即同于函两形各作切方形互相为比之比例而圆形面积与撱圆形面积互相为比之比例又同于圆形径与撱圆形小径互相为比之比例也如子壬寅癸之圆面子丑寅卯之撱圆面其子寅髙度俱同(圆径)(即撱圆大径)其面积互相为比之比例必同于圆面外所作切圆戊己庚辛正方形与撱圆面外所作切圆甲乙丙丁长方形互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例又同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑卯小径互相为比之比例也葢平行线内两面形互相为比之比例同于其底界互相为比之比例(见七卷第八节)今戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形皆在戊辛己庚平行线内故戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例同于己庚底与乙丙底互相为比之比例而子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面亦在戊辛己庚平行线内则子壬寅癸圆面与子丑寅卯撱圆面互相为比之比例必同于戊己庚辛正方形与甲乙丙丁长方形互相为比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圆面壬癸径度而甲乙丙丁长方形之乙丙底又即撱圆面之丑卯径度也夫平圆与撱圆之比例既同于正方形与长方形之比例而正方形与长方形之比例又同于己庚底与乙丙底之比例则圆面与撱圆面之比例同于圆面之壬癸径与撱圆面之丑卯径之比例可知矣㡬何原本九第一凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则一形分为两形与原形共为三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则甲乙丙一形分为甲丁乙甲丁丙两形此所分两形与原有甲乙丙形之式俱相同而皆为直角三角形其三形毎相当各界之比例亦俱相同也葢甲丁线既为垂线则两傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱为直角(见首卷第十节)是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而两三角形又共一乙角其相当二角度既等则所余各一角度自等(见八卷第三节)故甲乙丙之丙角与甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦与甲丁丙之丁角相等此两三角形又共一丙角故所余之甲乙丙之乙角与甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相当各角之度既等则三三角形之式必同三三角形之式既同则其毎相当各界之比例亦俱相同可知矣第八凡直角三角形自直角至相对界作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而所作之垂线为中率此三率即为相连比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线则截乙丙界为两叚其所截之乙丁叚为一率则丁丙叚为三率若丁丙叚为一率则乙丁叚为三率而所作甲丁垂线总为中率故此乙丁甲丁丁丙三线互为相连比例三率也葢甲乙丁甲丁丙两三角形为同式故其相当之乙丁甲丁二界互相为比即同于甲丁丁丙二界之互相为比也今以乙丁线为四分丁丙线为一分则甲丁线必得二分因四分与二分之比必同于二分与一分之比故为相连比例三率也第三直角三角形自直角至相对界所作垂线与所分二叚固为相连比例三率如依垂线度作一方形则与所分二叚一为寛度一为长度所作长方形之积相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相对乙丙界作一甲丁垂线截乙丙界为两叚遂成乙丁甲丁丁丙之连比例三率今依甲丁垂线度作一戊丁正方形(即为中率自乗之数)以甲丁垂线所截丁丙一叚为寛度乙丁一叚为长度作一己丁长方形(即为首率末率相乗之数)其戊丁正方形之积必与己丁长方形之积相等也何也葢同式两三角之相当界互相为比之比例同故此乙丁界与甲丁界之比即同于甲丁界与丙丁界之比乙丁线既为一率则甲丁线为二率甲丁线复为三率则丙丁线为四率然则此相连比例三率又为相当比例四率矣因其可为相当比例四率故二率与三率相乗一率与四率相乗所得之分数相同(见七卷第四节)今既以甲丁为二率又为三率则甲丁自乗之数即是二率三率相乗之数而乙丁一率与丙丁三率相乗所得己丁长方形即与甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗(中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中)(故云)其所乗之二式虽异因俱自相连比例四率而生故其积相等而得以为准也第四凡有直角三角形其直角相对界所作方形之积必与两傍界所作两方形之积相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相对乙丙界作一乙丁方形其积必与甲乙甲丙之两傍线所作戊乙己丙两方形之积相等也试自甲直角过相对乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂线则甲乙丙三角形分为甲乙庚甲庚丙两三角形而乙丁正方形分为乙壬庚丁两长方形此所分甲乙庚甲庚丙两三角形与甲乙丙原三角形为同式则其毎相当界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界与丙甲大界之比即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界与乙丙大界之比而为相当比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原为一线则庚丙丙甲乙丙又为相连比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之积与庚丙一率为寛乙丙三率为长所作庚丁长方形之积相等也乙丁既为正方形则庚壬度必与方界乙丙各度等故庚丁长方即同庚丙为寛乙丙为长所作之长方也又如甲乙庚甲乙丙两三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界为相当比例四率又为相连比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之积亦与乙庚一率为寛乙丙三率为长所作乙壬长方形之积相等也今庚丁乙壬之两长方形既与己丙戊乙两正方形等则两形相合之乙丁正方形亦必与己丙戊乙两正方形相等可知矣第五凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之积必与二小界所作二形之积等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式长方形则乙丙大界所作乙丁一形之积必与甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之积等也又或如甲乙丙直角三角形于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜于甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜则乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之积必与甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之积等也葢依三界所作三形之式既同故同式众形互相为比即同于相当界所作正方形之互相为比也要之一大界所作一大形内减一小界所作一小形即余一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形则为一大界所作一大形矣第六一圜之内二弦线相交所截之叚递转比之其比例俱同而为相当比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二弦线相交于已其所截之戊已一叚与已丙一叚之比例即同于乙己一叚与己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚为相当比例之四率也何以见之若自乙至戊自丁至丙复作二弦线即成乙己戊丁己丙两三角形此两三角形之乙角丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚其度相等(见四卷第十二节)再乙己戊之己角丁己丙之己角又为两尖相对之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而两己角之度又等则所余戊丙二角亦自等两三角形之相当各角既等则其式必同其式既同则毎相当各二线互相为比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相为比例四率可知矣第七圜之径线不拘何处作一垂线则所截之两叚一为一率一为三率而垂线为中率即为相连比例三率也如甲圜自丁界至乙丙径线戊处作一丁戊垂线将乙丙径线截为两叚其所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率此乙戊丁戊戊丙三线为相连比例三率也试自圜界丁至乙丙二处作丁乙丁丙二线则成一乙丙丁三角形其丁角既立于圜之乙己丙半界故为直角(见四卷第十四节)而丁戊垂线乃自直角至相对乙丙底界所作之垂线故所截乙戊一叚为一率戊丙一叚为三率而丁戊垂线为中率为相连比例三率也第八自圜外一㸃过圜界二处至相对界作二线以此两全线互相为比即同于圜界外所截之二叚递转为比之比例而为相当比例四率也如己圜自圜外甲㸃过圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作二线则甲丙甲戊两全线互相为比必同于圜界外所截甲乙甲丁二叚之递转相比而为相当比例四率也试自圜界乙丁二处至相对界丙戊二处作乙戊丁丙二线则成甲丙丁甲戊乙两三角形此两三角形之丙戊二角既切于一圜之乙丁弧界其二角之度必等(见四卷第十二节)再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共为一角其度自等两三角形各二角度俱等则两三角形必为同式矣故甲丙甲戊相当二界互相为比之比例即同于甲丁甲乙相当二界互相为比之比例是以甲丙与甲戊之比同于甲丁与甲乙之比将甲丙全线为一率甲戊全线为二率甲乙甲丁递转移之而以甲丁一叚为三率甲乙一叚为四率为相当比例之四率也第九凡函于圜内之三角形以其一角平分为二过相对底界至相对界作一直线则所分角之小边线与所作线之在三角形内一叚之比即同于所作线之全分与所分角之大边线之比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分过所对乙丙底界至相对界作一直线即成甲丁戊一全线以三角形之甲乙小边与所作甲丁戊线之甲丁一叚之比即同于所作甲丁戊全线与三角形之甲丙大边之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊弦线即成甲乙戊甲丁丙两三角形此两三角形之戊丙二角俱切于圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又为一角所平分之两角其度亦必等因此两三角形各二角之度等故两形为同式两三角形之式既同则两形之相当二界互相为比之比例俱同是以甲乙小分与甲丁小分之比即同于甲戊大分与甲丙大分之比也第十凡函于圜内之三角形以其一角为两平分自角至底作一线则所分底线两叚互相为比即同于所分角之两傍两边线之互相为比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分为二分至乙丙底作甲丁一线则分一丙底线为乙丁丁丙两叚以乙丁与丁丙之比即同于以甲乙小边线与甲丙大边线之比也试自所分底线之丁至甲丙线与甲乙平行作丁戊一线即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既为乙甲丁戊平行线一边之内外角其度必等(见首卷第)(二十三节)而甲乙丙戊丁丙两三角形又共一丙角故此两三角形之各二角度等为同式两三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因为平行线内二尖交错之角其度亦等然则乙甲丁之甲角既为甲乙丙之甲角之两平分则甲丁戊之丁角亦与甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等则二角所对之丁戊甲戊二线亦必等矣甲乙丙戊丁丙两三角形既为同式而三角之度又俱等则其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二线互相为比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二线互相为比之比例也今戊丁甲戊二线其度既等则甲乙线与甲丙线之比又同于以甲戊线与戊丙线之比至于丁戊平行线所截乙丁一叚与丁丙一叚之比则又同于甲戊一叚与戊丙一叚之比矣是故甲乙线与甲丙线之比为同于乙丁线与丁丙线之比也㡬何原本十第一大凡直角立方体积皆生于面线互乗之度故欲知方体所生比例之分将所比形之长寛与厚详较之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二体其甲乙大形之戊己长比丙丁小形之庚辛长甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱为大一倍其甲乙大形之戊乙底平面积与丙丁 形之庚丁底平面积之比例将纵横二线之长寛度分考之即得(见七卷第二节)既得二体底积之比例乃以二形之厚度复与底积比之即可知甲乙丙丁二体之比例矣葢甲乙大体之戊己戊壬长寛之度既比丙丁小体之庚辛庚癸长寛之度大一倍则戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然则甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍则甲乙体形之内如丙丁体形四倍者有二可知矣是故欲知直角方体之比例以本体之长寛与厚互相比例以较之即得直角方体互相为比之比例也第二有两直角长方体若将此一体之底度与他一体之底度又将他一体之厚度与此一体之厚度为比其比例若同则此二体之积必等也如甲乙丙丁两直角长方体甲乙体之戊乙底度比丙丁体之庚丁底度大一倍而丙丁体之丙庚厚度比甲乙体之甲戊厚度亦大一倍则甲乙丙丁二体之积必相等是故两体之底积与厚度相较则两体之积可知矣葢体积之比例视其面线今两体之底面厚度交互相等如此其体积不得不等也第三有两直角方体其底面积之纵横二界相比之比例与厚度面积之纵横二界相比之比例若俱同则此两体为直角正方同式体也如甲乙丙丁两直角方体其甲乙体之戊乙底面之戊己横界比丙丁体之庚丁底面之庚辛横界大一倍甲乙体之戊乙底面之戊壬纵界比丙丁体之庚丁底面之庚癸纵界大一倍甲乙体之甲己厚面之甲戊直界比丙丁体之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍则甲乙丙丁之两体俱为直角正方同式体也至于两体所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱为相当之界而可互相为比例矣第四凡同式直角正方体其体积之比例比之两界线之比例为连比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁两同式直角正方体其相当之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相为比之比例俱各大一倍则此甲乙体积与丙丁体积之比比之甲乙体之界线与丙丁体之界线之比者即如连比例四率内隔二位相加之比例矣盖甲乙体之各界既为丙丁体之各界之二倍则甲乙体内如丙丁体之二倍者有四二其四为八故甲乙体积比丙丁体积大八倍夫以甲乙体积八与丙丁体积一相比为八分之一甲乙体界二与丙丁体界一相比为二分之一其比例不同盖以八分比一分较之二分比一分为四倍也如欲求其相连比例之率则于甲乙体之界四倍之得八分与丙丁体界一分为比即如甲乙体积与丙丁体积之比例矣夫八与四四与二二与一皆为连比例二分之一之比例今以八与一为比其间隔四与二之两位故曰同式两体积之比例为两界上连比例隔二位相加之比例也(若边为三倍则面为九倍体为二十)(七倍亦为隔二位相加之比例也)第五有两同式直角长方体于两体相当之二界各作两正方体互相为比即同于原两长方体之互相为比也如甲乙丙丁两直角长方体在戊乙己丁相当二横界各作甲庚丙辛二正方体则所作之甲庚丙辛两正方体互相为比之比例仍同于原有之甲乙丙丁两长方体互相为比之比例也夫甲乙丙丁同式之两长方体既为隔二位相加之比例则所作甲庚丙辛同式之两正方体亦必为隔二位相加之比例矣然则原有之甲乙长方体为原有之丙丁长方体之八分之一其所作甲庚正方体亦为所作丙辛正方体之八分之一可知矣第六凡有大小平面体其相当角度俱等而相当界之比例又同则谓之同式体也如甲乙大小两平面体其相当各界之度俱等而相当各界之比例又同则甲乙二体谓之同式平面正方体也如丙丁大小两四瓣体其相当各角之度俱等而相当各界之比例又同则丙丁二体谓之同式四瓣体也又如大小圆面体于其内外作各种平面体其平面体之式若同则圆面体亦谓之同式体如戊己大小两圆体所函之庚辛尖瓣等体是也第七同式各种体之比例同于在各体相当界所作正方体之比例也如甲乙丙丁戊己大小两三角尖瓣体互相为比即同于乙丙戊己相当二界所作庚乙辛戊两正方体之互相为比又如壬癸两圆球体其互相为比之比例亦同于圆球径相当之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊两正方体互相为比之比例也盖同式平面形互相为比之比例同于各相当二界所作正方面形互相为比之比例矣今各种体之式既同故其相当面互相为比之比例必同相当面互相为比之比例同者縁相当面之各相当界互相为比之比例同也故凡同类两体知此一体之度而不知彼一体之度欲求知之则在同式两体相当二界各作一正方体此所作之二体一为一率一为二率所知之体为三率推得四率即其未知之体矣或有同类两体知此一体之界而不知彼一体之界则依所知一体之界作一正方体其两体一为一率一为二率所作正方体为三率推得四率即是彼一体界数所作之正方体矣故曰同式两体之比例与相当界所作正方体之比例相同也第八凡圆面半径与球体半径等者其圆面积为球体外面积之四分之一而圆面半径与球体全径等者其圆面积与球体外面积等也如丁己圆面之丁戊半径与甲丙球体之甲乙半径等则丁己圆面积为甲丙球体外面积之四分之一又如庚壬圆面之庚辛半径与甲丙球体之甲丙全径等则庚壬圆面积与甲丙球体外面积等也试作子寅卯一尖圆体使其寅辰卯之底面积与甲丙球体外面积等其子丑髙度与甲丙球体之甲乙半径等则此尖圆体积与球体积相等(见五卷第二十五节)又作午未申一小尖圆体使其未申底径与甲丙球体之全径等亦与大尖圆体之寅丑半径等其午酉髙度与甲丙球体之甲乙半径等亦与大尖圆体之子丑髙度等则此小尖圆体积为球体积之四分之一亦即为大尖圆体积之四分之一何以见之盖大小两面之比例同于相当界所生连比例隔一位加一倍之比例今大尖圆体之寅夘底径比小尖圆体之未申底径大一倍则大尖圆体底积比小尖圆体底积必又大一倍则小尖圆体底积为大尖圆体底积之四分之一矣又两体同髙者其体积之比例同于其底面之比例今小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一则其体积必为大尖圆体积之四分之一而亦为球体之四分之一矣(球体原与大尖圆相等)夫大尖圆体之底积原与球体之外面积等小尖圆体底积既为大尖圆体底积之四分之一亦必为球体外面积之四分之一而丁己圆面固与小尖圆之底积等则为球体外面积之四分之一无疑矣至于庚壬圆面之径原比丁己圆面之径大一倍则其面积必大四倍今丁己圆面既为甲丙球体外面积之四分之一则庚壬圆面积比丁己圆面积大四倍者安得不与球体外面积相等乎第九凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等则球体为长圆体之三分之二也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径度等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体积为长圆体积之三分之二也盖长圆体与尖圆体同底同髙则其比例为三分之一(五卷第二十三节言平底尖体与上下面平行体同底同髙则尖体)(为平行体三分之一)尖圆体之底径与球之全径等髙与球之半径等者尖圆体积为球体积之四分之一而尖圆体又为半球体之二分之一矣(说见前节)今于乙己庚丁半长圆体内作己壬庚半球体又作一壬己庚尖圆体则此尖圆体为半球体之二分之一尖圆体既为半球体之二分之一又为半长圆体之三分之一则半球体岂非长圆体之三分之二乎夫全与全之比例即若半与半之比例今半长圆与半球之比例为三分之二则全长圆体与全球体之比例亦为三分之二可知矣第十凡球体全径与长圆体底径髙度相等者其球体外面积与长圆体周围面积等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体其球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等而球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则此球体外面积必与长圆体之周围面积等也大凡体之面积相等者其体积之比例同于其髙之比例而体积之比例与髙之比例同者其面积必相等试将球体乙壬半径分为六分取其三分为髙以长圆周围面积为底所成之体积必与长圆体积等取半径之二分为髙以球体外面积为底所成之体积必与球体之积等盖长圆体与球体之比例原为三与二之比例此所成之二体亦必为三与二之比例一体之髙为三分一体之髙为二分是积之比例与髙之比例同矣非因其面积相等之故乎由是观之球体外面积与长圆体周围面积相等也明矣第十一凡球体全径与上下面平行长圆体底径髙度相等者其相当毎段之外面积皆相等也如甲乙丙丁一球体戊己庚辛一长圆体此球体之乙丁全径与长圆体之己庚底径等球体之甲丙全径与长圆体之戊己髙度等则球体之癸丙寅一段凸面积必与相当长圆积之辰己庚己一段周围外面积等也夫乙辰巳丁一段长圆体内分出子癸寅丑一小长圆体余癸子乙辰巳丁丑寅空心体此空心体与子癸寅丑长圆体之积必等何以知之盖壬癸为大圆面之半径而所截卯癸又为小圆面之半径其壬卯与卯癸之度又等故壬癸壬卯卯癸三线成一壬癸卯直角三角形而壬癸半径所作圆面必与壬卯卯癸两线为半径所作两圆面等(见九卷第六节)又壬癸与壬乙皆一圜之辐线其度必等而卯辰原与壬乙相等故卯辰为半径所作之圆面即壬癸为半径所作之圆面于卯辰为半径所作圆面内减去夘癸为半径所作圆面即余壬癸环面与壬卯为半径所作之圆面等而壬卯与卯癸原相等然则辰癸环面既与壬卯半径所作之圆面等亦必与卯癸为半径所作之圆面等矣夫卯癸即小长圆底之半径而辰癸又为空心体底之环径其两面积既等则其两体积必等无疑矣又壬癸寅小尖圆体原与癸乙辰巳丁寅曲凹体等(乙丙丁半球体为半长圆体三分之二则癸乙)(己丙庚丁寅曲凹体为长圆体三分之一与壬己庚尖圆体相等故壬癸寅一)(段尖圆体与相当癸乙辰巳丁寅一段曲凹体亦必相等也)而壬癸寅小尖圆体为子癸寅丑小长圆体三分之一则癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为辰癸空心体之三分之一矣于乙辰巳丁长圆体内减去壬癸寅小尖圆体又减去癸乙辰巳丁寅曲凹体则余乙癸壬寅丁一段空心球体必与乙辰壬巳丁一段空心长圆体等(如以乙辰巳丁一段长圆体作)(六分则子癸寅丑小长圆为三分壬癸寅小尖圆体为一分与小尖圆体相等)(之癸乙辰巳丁寅曲凹体亦为一分今既减去小尖圆体及曲凹体是于六分)(内减去二分而存一段空心球体为四分也而壬辰巳大尖圆体亦为乙辰巳)(丁辰圆体三分之一于长圆体内减去大尖圆体则余乙辰壬巳丁空心长圆)(体为三分之二也三分之二之比例同同于六分之四之比例则此一段空心)(长圆体与一段空心球体相等无疑)若将此两空心体从壬心至外面剖为千万尖体(俱以乙壬半径为髙)(以两空心体外面为底)则空心球体所分之各尖体与空心长圆体所分之各尖体其积既等其髙又等则其底不得不等(同底同髙)(者其积既等则同髙同积者其底必等)此各尖体之底既等则两空心体之外面积相等可知矣(千万尖体之底即两空心体之面也)夫乙丙丁半球体外面积原与乙己庚丁半长圆体周围外面积等于半球体内减去乙癸寅丁一段余癸丙寅一段球体于半长圆体内减去乙辰巳丁一段余辰己庚已一段长圆体其减去之各段外面积既相等则所余之球体癸丙寅一段凸面与长圆体辰己庚已一段周围外面积相等也明矣第十二凡撱圆体大径与圆球体径相等者其二体积之比例即同于撱圆体小径所作方面与圆球体径所作方面之比例也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己圆球径等则撱圆体积与球体积之比例即同于撱圆乙丁小径所作方面与球体戊己径所作方面之比例也试将撱圆体与球体任意依径线平行分之其所分之大小平圆面如子丑乃球体大圆面之径寅卯乃撱圆体小圆面之径此大小两平圆面之比例同于其相当子丑寅卯二径所作二方面之比例(见八卷第十一节)而子丑径与寅卯径之比例又同于戊己径与乙丁径之比例故此所分之大小圆面之比例亦必同于戊己方面与乙丁方面之比例矣若将此两体与戊己径平行任意分为㡬何面其相当大小两面之比例皆如戊己方面与乙丁方面之比例此所分各面之比例既皆同于乙丁与戊己所作方面之比例则撱圆体与圆球体之比例必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例可知矣即所分之寅丙卯撱圆体之一段与子丙丑圆球体之一段其比例亦必同于乙丁所作方面与戊己所作方面之比例矣第十三凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体为长圆体之三分之二亦如圆球体与同径同髙长圆体之比例也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径亦与长圆体之己庚底径等则撱圆体为长圆体之三分之二其比例即如子丑寅卯球体与辰巳午未长圆体之比例也盖戊己庚辛长圆体之戊己髙度与辰巳午未长圆体之辰巳髙度等故两长圆体之比例即同于己庚底积与巳午底积之比例至于戊己庚辛长圆体之己庚底积与撱圆体之乙丁小径所作圆面积等而辰巳午未长圆体之巳午底积又与球体丑卯全径所作圆面积等则戊己庚辛长圆体积与辰巳午未长圆体积之比例即同与撱圆体之乙丁小径所作圆面与球体丑卯全径所作圆面之比例矣夫撱圆体与球体之比例原同于撱圆体小径所作圆面与球体全径所作圆面之比例故撱圆体与球体之比例亦同于撱圆体同径同髙之长圆体与球体同径同髙之长圆体之比例也若转比之即戊己庚辛长圆体与甲乙丙丁撱圆体之比例亦同与辰巳午未长圆体与子丑寅卯球体之比例矣夫球体既为同径同髙长圆体之三分之二则撱圆体亦必为同径同髙长圆体之三分之二可知矣第十四凡函撱圆之长方体与所函撱圆体之比例同于函球之正方体与所函球体之比例也如甲乙丙丁长方体函一戊己庚辛撱圆体其长方体之甲乙髙度与撱圆体之戊庚大径等长方体之乙丙底度与撱圆体之己辛小径等则此甲乙丙丁长方体与所函戊己庚辛撱圆体之比例同于壬癸子丑正方体与所函寅卯辰午球体之比例也盖甲乙丙丁长方体之甲乙髙度与壬癸子丑正方体之壬癸髙度等故长方体与正方体之比例同于两体底积之比例今此长方体之底积与所函撱圆体之己辛小径所作方面等而正方体之底积与所函球体之卯午全径所作方面等矣然则此长方体与正方体之比例不同于撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例乎夫撱圆体与球体之比例原同与撱圆体小径所作方面与球体全径所作方面之比例则撱圆体与球体之比例同于函撱圆体之长方体与函球体之正方体之比例可知矣若转比之则长方体与所函撱圆体之比例亦必同于正方体与所函球体之比例矣第十五凡撱圆体大径与圆球体之径等者其撱圆体外面积与球体外面积之比例即同于撱圆体小径与球体全径之比例即任分一段其相当一段外面积之比例亦无不同也如甲乙丙丁撱圆体之甲丙大径与甲戊丙己球体全径等则此撱圆体外面积与球体外面积之比例必同与撱圆体之乙丁小径与球体之戊己全径之比例也即任分寅内卯一段撱圆体外面积与子丙丑一段球体外面积之比例亦仍同于乙丁小径与戊己全径之比例也盖两体所分寅卯子丑平圆面皆与乙丁戊己径线平行故寅卯圆界与子丑圆界之比同于寅卯圆径与子丑圆径之比而寅卯径与子丑径之比又同于乙丁径与戊己径之比也然此两体依径平分可为无数平圆界其相当各圆界之比例既皆同于乙丁径于戊己径之比例则全体外面积之比例岂不同于乙丁径与戊己径之比例乎至于所分之寅丙卯一段撱圆体与子丙丑一段球体俱可分为平圆以比之则一段与一段之比例无异于全体与全体之比例也明矣第十六凡撱圆体大径与长圆体髙度等而撱圆体小径与长圆体底径等则撱圆体外面积与长圆体周围外面积等即任分一段其相当一段之外面积亦无不等也如甲乙丙丁一撱圆体戊己庚辛一长圆体其撱圆体之甲丙大径与长圆体之戊己髙度等而撱圆体之乙丁小径与长圆体之己庚底径等则撱圆体之外面积与长圆体周围之面积等即任分壬丙癸一段撱圆体外面积亦与相当壬己庚癸一段长圆体之外面积等也试依撱圆体甲丙大径度作子丑寅卯一球体并作与球体同髙同径辰巳午未一长圆体则此两长圆体之髙度等其二体周围面积之比例必同于二体底径之比例二长圆体底径之比例即是撱圆体之乙丁小径与球体之丑卯全径之比例也撱圆体外面积与球体外面积之比例原同于撱圆体乙丁径与球体丑卯径之比例则戊己庚辛长圆体外面积与撱圆体外面积之比例亦同于辰巳午未长圆体外面积与球体外面积之比例也夫球体外面积原与辰巳午未长圆体外面积等而撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积之比例既与球体外面积与辰巳午未长圆体外面积之比例相同则此撱圆体外面积与戊己庚辛长圆体外面积相等无疑矣至于撱圆体所分一段与球体所分一段之比例与其全体之比例亦相同今撱圆体外面全积与戊己庚辛长圆体周围外面全积之比例既同于球体外面全积与辰巳午未长圆体周围外面全积之比例则所分撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积之比例亦必同于所分球体之申寅酉一段外面积与长圆体之戌巳午亥一段外面积之比例矣彼球体之申寅酉一段外面积既与长圆体之戌巳午亥一段外面积相等则此撱圆体之壬丙癸一段外面积与长圆体之壬己庚癸一段外面积相等也明矣御制数理精蕴上编卷三
## 上编卷四
钦定四库全书御制数理精蕴上编卷四几何原本十一几何原本十二几何原本十一第一作三界度等之三角形及两界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形则作一甲乙线取甲乙之度为准以甲为心自甲至丙作弧一段又以乙为心自乙至丙作弧一段两弧相交处至甲乙作二线即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一圜之辐线其度必等度既等而线未有不等者也若欲作两度等之三角形仍作一甲乙线比甲乙线之度或大或小取一度以甲乙二处为圜心皆至丙作弧两段仍于两弧相交处作二线即成两界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二线虽比甲乙线或大或小然二线俱同为一圜之辐线其度自等两度既等则两界线亦必等也第二平分直线角为两分法如甲乙丙角欲平分为两分乃以一角为心任意作弧线一段则乙甲乙丙二线截于丁戊即成乙丁乙戊等度二线自弧两端复作一丁戊线照丁戊线度依前节法作一三界度等之丁己戊三角形则己角与乙角正相对乃自乙角至己角作一乙己直线即分甲乙丙角为两平分矣何也其乙丁己乙戊己两三角形之乙丁乙戊二界是一圜之辐线其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之两傍界其度亦等而乙己线既为两形之共界其等无疑此两三角形之各界度既各相等则与丁己戊己界相对之丁乙己戊乙己二角亦必相等可见矣(见二)(卷第七节)第三平分一直线为两分法如有甲乙一直线欲平分为两叚乃如第一节法于甲乙线上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二节法平分甲丙乙角为二分自丙角作垂线至甲乙线即平分甲乙线于丁而甲丁丁乙两叚必等也葢甲丙乙原为三界度等之三角形今作丙丁垂线平分为两三角形则两三角形之相当各角各界必俱等而甲丁丁乙为两形相当之底界其度安得不等乎第四横线上立纵线法如有甲乙一横线欲于丙处立一纵线则于丙之两傍任意取等度二分为戊丙己丙以戊为心于横线上作弧一叚又以己为心于横线上作弧一叚两弧相交于丁此丁处正与丙相对自丁至丙作一直线即甲乙线上正立之纵线也试自戊己至丁作二线成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己两线俱同一圜之辐线其度必等而丁丙线既将戊己底线为两平分则丁丙线必为甲乙线之垂线矣(见二卷第十节)第五有一横线自此线上不拘何处立纵线法如有甲乙一横线自此线上丙处至甲乙线欲作一纵线则以丙为心作弧线一叚截甲乙线于戊己乃自戊己至丙作二线成一戊丙己三角形又照第二节分角法平分丙角为二分自丙至甲乙线上作丙丁线则此丙丁线即为自丙至甲乙线之纵线也葢戊丙己三角形之丙戊丙己两界度等故戊角与己角必等而丙丁线又平分丙角为二则所分之戊丙丁己丙丁两角度亦等而丙丁戊丙丁己两并角亦必等此两并角既等则成两直角既成两直角则丙丁线必为甲乙横线之垂线矣(见一卷第)(十节)第六在横线一边立纵线法如有甲乙横线在乙边欲立一纵线则于甲乙线上不拘何处立为圜心如以丙为圜心自丙至乙为圜界旋转作一圜则于甲乙线丁处相交即自丁处过丙心至相对界作一直线交圜界于戊乃自戊至乙作一戊乙直线即是乙边所立之纵线也葢丁乙戊角因在半圜必为直角(见四卷第)(十四节)既为直角则戊乙线必为甲乙线之垂线既为垂线故为横线一边所立之纵线也若甲乙线一边之上有一戊㸃欲自戊至甲乙线一边作一垂线则自戊至甲乙线任意作一戊丁斜线遂将戊丁斜线平分于丙于是以丙为心自戊旋转作一圜则截甲乙线于己自戊至己作一直线即是欲作之垂线也葢戊己丁角既在半圜必为直角既为直角则戊己必为垂线矣第七一圜分为三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分为三百六十度则取圜之辐线度縁圜界比之即分圜界为六叚将六叚各平分为二则为十二叚十二叚各平分为三则为三十六叚三十六叚各平分为十即成三百六十度矣第八一直线上作角度法如甲乙线上欲作三十度之角则用有度之圜依圜之丙丁辐线度截甲乙线于戊于是以甲为心自戊作弧一叚复依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧于己乃自己至甲作一直线即成己甲戊三十度之角矣第九各种多界形倣己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲倣此式叧作一形则考甲乙界度有㡬分如甲乙界度为三分今取其二分作一丁戊线又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁为圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊为圜心作弧一段两弧相交于己乃自己至丁戊作二线即成丁戊己一小三角形与原有甲乙丙大三角形为同式也葢丁戊己三角形之三界虽与甲乙丙三角形之三界不等而其相当各角之度俱等因其相当各角之度俱等故其相当各界之比例皆同相当各界之比例既同则其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲倣此式叧作一形则在此六界形作分角线分为四三角形照前法倣作四三角形即成一庚辛壬癸子丑小六界形其式与原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也第十有一直线或上或下一㸃作与此线平行一线法如甲乙线上有一丙㸃欲自丙㸃作与甲乙线平行一线则以丙为圜心任意取甲乙线之近甲边一处作弧一叚如丁又取甲乙线之近乙边一处为心如戊乃照丙丁原度于丙㸃相对处作弧一叚如己复照丁戊度以丙为心于丙㸃相对处作弧一叚则二弧相交于己乃自丙至己交处作一丙己直线即为甲乙线之平行线也何则试自丁戊二处至丙己二处作二线即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相对之两纵线丙己丁戊相对之两横线因依各度所取必两两相等既两两相等则必为平行线之四边形然则丙己甲乙为平行线四边形之二线岂有不平行之理哉第十一有一直线上作一正方形法如甲乙一直线欲作一正方形则以甲为心取甲乙度自乙至丙作乙弧线又以乙为心依甲乙度自甲至丁作一弧线又于甲乙线之两端照本卷第六节立甲丙乙丁二纵线则乙丙弧截于丙甲丁弧截于丁乃自丙至丁作一直线即成甲乙丁丙一正方形也何则丙甲甲乙乙丁三线俱同为一圜之辐线其度必等而丁丙丙甲二线又俱切一圜界为两尖相合其度亦必等(见四卷第七节)则四界俱等矣且甲乙二角又为垂线所立之角必成直角则丙丁二角亦必为直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形为甲乙线上所立之正方形也第十二平分一弧为两叚法如有甲乙弧欲平分为两叚则自甲至乙作一甲乙弦线将此弦线照本卷第三节平分直线为两分法作一戊丁纵线复自戊引至弧界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧为甲丙丙乙两叚矣葢丙丁纵线既平分甲乙弦线则亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜则必平分甲乙弧为两叚可知矣(见四卷第六节)第十三有一叚弧欲继此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧继此弧欲作一全圜则在此弧界任意指三处如甲丙乙自甲乙二处至丙作甲丙丙乙二线照前节作平分甲丙丙乙两弦之丁己戊己二线引长则相交于己乃以己为心继甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二线既平分甲丙丙乙二弦则必平分甲丙丙乙二弧(见四卷第六节)既平分甲丙丙乙二弧则其相交之处必为圜心故己为继甲丙乙弧界所作全圜之圜心也第十四不拘何处有三㸃求縁此三㸃作一圜法如甲乙丙三㸃不在一直线上欲縁此三㸃作一圜则依前节作甲丙丙乙二线又平分此二线正中作丁己戊己二垂线引长至己处相交遂以己为心以甲乙丙为界作一圜则甲乙丙三㸃俱在一圜之界矣(此节之理与前节同)第十五有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之则于此圜界随便取甲乙丁三处从甲至乙至丁作二弦线将此二线平分正中为戊己二处自戊己作戊庚己庚两垂线则相交于庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也(此节之理亦与前同)第十六有圜外一㸃将此㸃至圜界作切线法如一圜之外有一甲㸃欲将此甲㸃与圜界相切作一切线则以此甲㸃至圜心作一甲乙直线又以乙为心以甲为界作一甲丙圜界又自甲乙线所截圜之丁处作一丁己垂线则此垂线即截甲丙圜界于丙乃自丙至乙心作一丙乙直线复自丙乙所截圜界戊处作一戊甲线即是自甲㸃至圜界所作之切线也何则此乙丁乙戊既同为一圜之辐线其乙甲乙丙亦同为一圜之辐线则甲乙戊与丙乙丁两三角形之各两边线必等而两三角形又同一乙角然则两三角形之每相当各角必俱等矣(见二卷第六节)夫丁丙线原为甲乙辐线之垂线则丁角必为直角而相当之戊角亦必为直角矣戊角既为直角则甲戊线亦必为乙丙辐线之垂线故甲戊与丙丁皆为圜界之切线也(见四卷第九节)第十七有圜内弦线欲与此弦线平行作圜外切线法如有一甲乙丙丁圜之乙丁弦线欲与此乙丁弦线平行作切圜之切线则从圜心戊至乙丁弦作戊己垂线平分乙丁弦线于己引长截圜界于甲为甲戊线又切甲处作庚辛线为甲戊之垂线即是所求之切线也何则此庚辛线既为甲戊线之垂线其戊甲庚角必为直角又己戊线既为乙丁线之垂线其戊己乙角亦必为直角然则戊甲庚角与戊己乙角既俱为直角其度必等因其度等故乙丁庚辛两线为两平行线也又戊甲线为圜之辐线而庚辛既为甲戊之垂线则必为甲乙丙丁圜之切线可知矣(见四卷第九节)第十八作函三角形之圜法如甲乙丙三角形欲作函此三角形之一圜则平分甲丙边于丁平分丙乙边于戊自丁戊作二垂线引长至己相交即以己为心任以甲丙乙三角形之一角为界作一甲丙乙庚圜即是函甲丙乙三角形之圜也(此节之理与本卷第十三节同)第十九圜内作等度四角形及等度八角形法如甲丙乙丁圜内欲作一等度四角形则以甲乙丙丁二径线交于圜心皆作直角复自甲丙乙丁四处作甲丙丙乙乙丁丁甲四弦线即成甲丙乙丁等度之四角形也何则甲乙丙丁二径线在圜心作直角相交则平分圜界为四分矣既平分圜界为四分则甲丙丙乙乙丁丁甲四弦线度必等而甲丙乙丁四角既俱立在一圜之半界亦必俱为直角(见四卷第十四节)既俱为直角必为正方形可知矣苟欲作等度八角形则照前平分圜界为四分将所分之每分又各平分为二分即平分圜界为八分乃作八弦线即成甲戊丙己乙庚丁辛一形为圜内等度八角形也第二十圜内作等度六角形三角形十二角形法如甲圜内欲作等度六角形则以圜之甲乙辐线为度将圜界分为乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚乙六叚作六弦线即成一乙丙丁戊己庚等度之六角形也何则苟以乙为心以甲为界作一丙甲庚弧线则乙丙乙甲二线俱为丙甲庚圜之辐线而度必等夫乙丙丁戊己庚六界形之诸界因俱照甲乙辐线度所作故此形之六界俱相等也若欲作三角形则照前法将圜界分为六叚以所分六叚两两相合为三叚作乙丁丁己己乙三弦线即成一乙丁己等度三角形也若欲作十二角形亦照前法将圜界分为六叚以所分六叚各平分为二分作十二弦线即成一乙辛丙壬丁癸戊子己丑庚寅等度之十二角形也第二十一圜内作各种等度多界形总法苟甲圜内欲作等度多界各种形则察各种形之各角度(见三卷第十七节)如等度三角形之三角俱六十度四角形之四角俱九十度五角形之五角俱一百零八度六角形之六角俱一百二十度七角形之七角俱一百二十八度三十四分一十七秒八角形之八角俱一百三十五度九角形之九角俱一百四十度十角形之十角俱一百四十四度十一角形之十一角俱一百四十七度一十六分二十二秒十二角形之十二角俱一百五十度今甲圜内若欲作一等度九角形则以九角形之每角一百四十度与一百八十度相减余四十度复以别有度之圜取四十度之分以分甲圜界即平分为乙丙丁戊己庚辛壬癸之九分再照平分度作乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛壬壬癸癸乙九弦线即成甲圜内等度之九角形也何也从圜心甲作线至各角分九角形为九三角形其每三角形之三角共一百八十度内减去二界角一百四十度余心角四十度即每界所对之角此九角形之每界即九心角之弦线故以心角度分圜界度即得九角形之分也凡圜内欲作等边多界形皆依此法作之第二十二作函圜等度多界形法如欲作函圜之等度三角形四角形五角形或多界形则将圜界照欲作之几界平分为几段乃自圜心至所分各界作几辐线于辐线之末各作切界线俱引长至合角即成函圜之等度多界形也如第一图自甲心至庚辛壬三角作甲庚甲辛甲壬三线即成六三角形其庚甲乙庚甲丙两三角形之庚乙庚丙二线为合尖切圜之线其度必等(见四卷第七节)而庚甲乙辛甲丁两形之庚甲乙辛甲丁二角为对角其度又等庚乙甲辛丁甲之二角为辐线切线所成之角其度又皆为直角相等(见四卷第五节)则其余一角亦必等而其乙甲甲丁二界又同为一圜之辐线其度必等则其他界亦必俱等可知再辛丙辛丁二线壬丁壬乙二线俱为合尖切圜之线其度相等而辛甲丙与壬甲乙两三角形壬甲丁与庚甲丙两三角形必俱与前每相当之角等则此六三角形俱相等矣六三角形俱相等则其庚乙乙壬壬丁丁辛辛丙丙庚相等之六界两两相合即成庚壬庚辛辛壬之三界其度安得不等乎故庚辛壬三角形为函圜等界形也其第二图函圜四角形第三图函圜五角形或更欲作多界形其理皆同第二十三作函等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲作函此三形之圜则任用此三形之甲乙乙丙二界平分于庚辛二处乃自庚辛二处各作垂线至各形中心相交为己即以己为心以各形之角为界作圜即成函此三形之圜也何也各形之界皆为圜之弦线而弦线上所作之垂线必皆交于圜心今甲乙乙丙二界上所作之庚己辛己二线既平分二界而相交于已则己必为圜心故以己为心作圜即成函各等界形之圜也第二十四作函于等度多界形之圜法如甲乙丙三角形或甲乙丙丁四角形或甲乙丙丁戊五角形欲在此三形内各作一圜则照前节平分甲乙乙丙二界作己庚己辛二垂线引长相交于己即以己为心以庚辛为界作圜即成多界形内所函之圜也何也己庚己辛二线是平分甲乙乙丙二线之垂线引长之必相交于各形之中心今既相交于己则己必为各形之心凡形心作垂线至各界其度必等即如圜之辐线故以己为心庚辛为界所作之圜即为各等界形所函之圜也第二十五有一三角形一圜形于此圜内作切圜界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形丁戊己庚辛一圜形欲于此圜内作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则于圜界任意作与甲角相等之辛角将此角之两边线俱引至圜界作辛庚辛戊二线再自戊至庚作一戊庚线又于戊处作与乙角相等之庚戊丁角爰自戊至丁作一丁戊线复自庚至丁作一庚丁线成一丁戊庚三角形即是所求之圜内切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则其庚辛戊三角形之辛角与庚丁戊三角形之丁角其尖既俱与圜界相切而共立于戊己庚一叚弧分其度必等(见四卷第十二节)此辛角原与甲角等则丁角亦必与甲角等又庚戊丁之戊角原系依甲乙丙之乙角之度而作者固相等夫丁角与甲角戊角与乙角既等则所余之庚角与丙角亦必等其三角既俱等其两形必为同式可知矣第二十六有一三角形一圜形于此圜外作切界三角形与原有之三角形同式法如有甲乙丙一三角形戊己庚一圜形欲于此圜外作一切界三角形与原有之甲乙丙三角形同式则将原有之甲乙丙三角形之乙丙底线引长至辛壬二处此两傍即成辛乙甲壬丙甲二外角乃于圜心丁处作与辛乙甲角相等之戊丁庚角又作与壬丙甲角相等之己丁庚角则成丁戊丁己丁庚之三辐线于三辐线之末作三垂线引长相交成一癸子丑三角形即是所求之圜外切界三角形与原有之甲乙丙三角形为同式也何则凡三角形之三角相并必与二直角等(见二卷第四节)今戊丁庚子一四边形可分为两三角形则此四边形之四角相并必与四直角等矣四直角内减去子戊丁子庚丁之两直角所余戊丁庚戊子庚两角相并亦必与两直角等也又辛乙甲外角与甲乙丙内角相并亦与二直角等(见一卷第十四节)其戊丁庚角既系依辛乙甲角之度而作者则戊子庚角必与甲乙丙角相等其庚丑己角亦必与甲丙乙角相等而己癸戊角又必与乙甲丙角相等三角俱等则两形之式必相同也第二十七三角形内作切三界之圜法如有一甲乙丙三角形欲与此形内切三界作一圜则依此卷第二节之法将甲乙丙三角俱平分为两分所分三角之三线俱引长使相交于丁自丁至甲乙乙丙丙甲三界线作丁戊丁己丁庚三垂线乃以丁为心以戊己庚为界作一圜即是三角形内之切界圜也何则戊甲丁与庚甲丁两小三角形之甲角因自一角为两平分其度必等又丁戊丁庚既系两垂线则甲戊丁甲庚丁二角俱为直角而相等此戊甲丁庚甲丁两小三角形内之二角既等其各三角必俱相等而又共用一甲丁线为边则此两三角形之各相当边亦必俱等故丁戊线与丁庚线等者即是丁己线与丁戊线丁庚线等也此三线既等以为辐线作戊己庚圜则必与三角形之甲乙乙丙丙甲三界相切矣第二十八勾股形内作正方法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方形则以丙为心以乙为界作一乙丁弧线将此弧线平分于戊自戊至丙作一戊丙线即平分丙角为两分而截甲乙线于庚矣乃自庚与甲丙线平行作庚己线又自庚与乙丙线平行作庚辛线即成庚己丙辛一正方形为所求甲乙丙勾股形内之正方也何则甲丙乙勾股形之丙角原是直角今庚辛庚己二线各与甲丙乙丙平行则庚己丙辛之四角必俱为直角矣而庚己丙三角形内己庚丙角与己丙庚角又俱是直角之一半其度必等则己丙线与庚己线相等而庚辛线与己丙线庚己线与辛丙线皆为平行线内之垂线其度亦等故庚己己丙丙辛辛庚四线相等而庚己丙辛四角俱为直角是为甲乙丙勾股形内之正方形也第二十九勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方则将乙丙线引长照甲乙线度増于乙丙作一壬丙线自此壬丙之两末与甲乙线平行作丁壬癸丙两垂线使其度俱与甲乙线等又自丁至癸与壬丙线平行作一丁癸线自丁至丙作一对角线截甲乙线于戊乃自戊与乙丙线平行作戊己线截甲丙线于己又自己与戊乙线平行作己庚垂线成一戊乙庚己正方形即为甲乙丙勾股形内欲作之正方也何则试将戊己线引长成辛戊己子线则此辛戊己子线与甲乙线分丁壬丙癸为四长方形其甲戊子癸长方与辛壬乙戊长方既为丁壬丙癸大长方对角线傍所成两形其分必等(见三卷第)(七节)故子戊线与戊辛线之比例同于乙戊线与戊甲线之比例也然此子戊线与丙乙线等而戊辛线又与甲乙线等则丙乙线与甲乙线之比例亦同于乙戊线与戊甲线之比例也又甲乙丙与甲戊己两三角形为同式故丙乙线与乙甲线之比例同于己戊线与戊甲线之比例而乙戊线与戊甲线之比例又同于己戊线与戊甲线之比例也乙戊线既与己戊线相等而乙庚线与戊己线己庚线与戊乙线又为两平行线内之垂线其度相等故戊乙庚己四角俱为直角戊乙庚己四角既俱为直角则戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣第三十三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲于此形内作一正方则自甲角至乙丙底线作一甲辛垂线将此垂线引长出甲角如乙丙底线度作一壬辛线又自壬两分如乙丙线度与乙丙线平行作一子癸线又自癸至辛作癸辛线截甲乙线于丁自子至辛作子辛线截甲丙线于庚乃自丁至庚作一庚丁线此线必与乙丙平行又自庚丁二处作庚己丁戊二垂线即成丁戊己庚一正方形即为甲乙丙三角形内欲作之正方也何则壬辛线与壬子线之比同于辛丑线与丑庚线之比而辛壬线与壬癸线之比又同于辛丑线与丑丁线之比故辛壬线与癸子线之比亦必同于辛丑线与丁庚线之比也然辛壬与癸子原相等则辛丑与丁庚亦必相等矣辛丑与丁庚既等则丁戊戊己己庚庚丁四边亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四边既俱等则为甲乙丙三角形内之正方无疑矣第三十一有一直线将此线为正方对角线作正方法如有一甲乙直线欲以此线为对角线作一正方则将甲乙线平分为戊以戊为心以甲乙为界作一圜即于此圜内作一丙丁径线为甲乙线之垂线乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直线即成甲丁乙丙一正方形为所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱为直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之两傍线俱是半径线必相等又此四三角形之两傍线所合之角俱为直角亦必相等则甲丙丙乙乙丁丁甲四直线必俱相等可知矣甲丙乙丁四边形内四角既俱为直角而四边线又俱相等则必为正方形而甲乙线为其对角线矣第三十二有一直线为正方边与对角线相较之余于此线求作其原正方法如有一甲乙线为正方边与对角线相较之余求作一正方则先将此甲乙线为一边作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小对角线于是以丙为心以乙为界作一圜乃引甲丙线至圜界戊处作一甲戊线将此甲戊线为度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也试引甲乙线至己作甲己一对角线此对角线之乙己一叚必与戊己边线相等何也其丙乙丙戊为一圜之二辐线既等则丙乙戊丙戊乙二角亦等若于丙乙己直角内减去丙乙戊角又于所作丙戊己直角内减去丙戊乙角所余戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等则乙己戊己两线必等矣因其相等则所作甲戊己庚一大正方之甲己对角线与戊己一边线相较则原有之甲乙线为其相较之余可知矣㡬何原本十二第一有一直线将此线为底作一两边度等三角形使底之两边各一角俱比上一角为大一倍之三角形法如有一甲乙直线将此线为底欲作两边度等之三角形而底之两边各一角俱比上一角为大一倍则用十一卷第八节之法于甲乙线之两头各作一七十二度之角将两边线俱引长相交于丙即成一甲乙丙三角形为所求之形也何则凡三角形之三角相并为一百八十度与二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙两角既俱系七十二度则于一百八十度内减去甲乙二角共一百四十四度余三十六度即为丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙两底角比丙角各大一倍也第二有一直线依此线度作两边度等三角形使上一角小于两底角一倍之三角形法如有甲乙一直线以此线为一边复依此线度作一边使此两边线所合之上一角小于两底角一倍之三角形则用十一卷第八节之法以甲乙甲丙二线之甲末相合作一乙甲丙角为三十六度再自丙至乙作一乙丙直线为底即得一甲乙丙三角形为所求之形也何则将甲角三十六度与全形三角之共数一百八十度相减余一百四十四度为乙丙两底角之共数今甲丙线与甲乙线既等则乙角与丙角必等因其相等将两底角共数一百四十四度折半得七十二度即为每一底角之数七十二度者三十六度之倍数故甲角比乙丙两底角俱为小一倍也第三有一直线以此直线为一边作等边等角之五界形法如有甲乙一直线以此直线为一边作一等边等角之五界形则将此甲乙直线为底用此卷第一节法作一两边度等甲丙乙三角形其甲丙乙角为丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五节法于此三角形之周围作一圜此甲丙丙乙两直线原系相等其相对之两弧亦必相等乃以此两弧自戊丁二处为丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直线即成甲乙丁丙戊五边五角等度之五界形也何则其甲丙乙角原为丙乙甲角之一半则甲丙乙角为三十六度试自甲乙二处至圜心作甲己乙己二线成甲己乙一三角形则此甲己乙角比甲丙乙角亦为大一倍(见四卷第)(十一节)故甲己乙角为七十二度而甲乙弧线亦为七十二度矣以七十二度于全圜界三百六十度内减之余二百八十八度折半得一百四十四度即为甲戊丙一叚弧线之数也冄将一百四十四度折半得七十二度即为甲戊一叚弧线之数也既得甲戊弧线之数则戊丙丙丁丁乙各弧线度俱各为七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五线既俱系相等弧之弦线则五线之度必俱等五线之度既等则此形又在圜之内而五角之度岂有不相等者哉第四有一直线分大小两分为相连比例线法如甲乙直线为全分甲丙一叚为大分丙乙一叚为小分以甲乙全分与甲丙大分之比同于甲丙大分与丙乙小分之比则用此甲乙线为一边线依此卷第二节法作两边等度之两底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三节法取乙丁线度作边角俱等之甲戊乙丁已五边形又自戊至丁作一直线截甲乙线于丙乃得甲丙一大叚为大分丙乙一小叚为小分即是所欲作之相连比例线也何则甲戊乙丁两弧线度等则甲乙戊乙戊丁两角度必等又乙戊丁角与乙甲丁角共立于乙丁弧其度必等再甲戊丁与甲乙丁二角亦同立于甲巳丁弧其度亦必等也至于甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因为戊丙乙三角形之外角与丙乙戊丙戊乙两内角等故甲丙戊与甲戊丙两角相等此二角既等则甲丙甲戊两线必等矣又甲戊戊乙两线度原相等其戊甲乙角必与戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必与戊乙丙一小三角形为同式形矣葢小三角形之丙戊乙角与大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角与大三角形之甲乙戊角为共角而等则小三角形之戊丙乙角与大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙线与甲戊线之比必同于乙戊线与丙乙线之比也夫甲戊原与甲丙相等而乙戊原与甲戊相等故乙戊亦与甲丙相等然则甲乙全线与所分甲丙大分之比必同于甲丙大分与丙乙小分之比可知矣故曰甲乙与甲丙甲丙与丙乙为相连比例之线也第五平分一直线为数叚法如有甲乙一直线欲平分为三分则自甲乙线之两末作甲丙乙丁二平行线随意取一甲戊度将甲丙线分为甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度将乙丁线亦分为乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行线之三叚处复作甲丁戊己庚辛丙乙四平行线即平分甲乙直线为甲壬壬癸癸乙之三分矣试观甲乙丁三角形之甲乙乙丁两傍线为与甲丁线平行之壬己癸辛二线所分故俱为相当率今以甲乙全线与乙丁全线之比同于丁已叚与甲壬叚之比而已辛叚与壬癸叚之比辛乙叚与癸乙叚之比亦皆与甲乙全线与乙丁全线之比相同也因其比例俱同故丁乙线之丁巳巳辛辛乙三叚为平分而甲乙线之甲壬壬癸癸乙三叚亦为平分也第六有分数之直线将别一直线依此线分分为相当比例率法如有甲乙一直线原分为甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直线欲依此甲乙线分分作三分为相当比例之率则齐二线之一端以为平行线自甲乙线之甲端过丙丁线之丙端作一纵线复自甲乙线之乙端过丙丁线之丁端作一斜线则二线相交于戊乃自戊至所分巳辛二处作戊巳戊辛二线则丙丁线即分为丙庚庚壬壬丁三叚与甲乙线之甲巳己辛辛乙三叚为相当比例率也试审戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相当各式皆同如戊丙庚与戊甲已为同式戊庚壬与戊巳辛为同式戊壬丁与戊辛乙为同式故丙庚与甲已为相当二界庚壬与已辛为相当二界壬丁与辛乙为相当二界此六线既各为相当界故各为相当比例率也第七有二直线作与此二线相连比例之第三线法如有甲乙甲丙二直线欲作与此二线相连比例之第三线则将甲乙甲丙二线之甲末合成一角照甲丙线度增于甲乙线为甲戊线自乙末至丙末作一乙丙线又与乙丙线平行自戊末作一戊己线将甲丙线引至已处乃成一甲已线其自丙末所分之丙已线即为与甲乙甲丙二线相连比例之第三线也葢已戊线既与丙乙线平行故甲乙丙三角形与甲戊己三角形为同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必为相当比例之四率是以甲乙第一率与甲丙第二率之比即同于乙戊第三率与丙巳第四率之比也夫乙戊之度原与甲丙等故甲乙与甲丙之比即甲乙与乙戊之比而甲丙与丙已之比即乙戊与丙巳之比然则甲乙与甲丙甲丙与丙巳岂非相连比例之三线乎第八有三直线作与此三线相当比例之第四线法如有甲乙甲丙乙丁三线欲作与此三线相当比例之第四线则取甲丙线度叧作一甲丙线将此所作甲丙线照甲乙线度纪于乙于是以甲为心自乙作弧一叚又取原有之乙丁线度自乙截弧线于丁即自乙至丁作一乙丁线再依甲丙线度自甲过丁作一甲戊线又与乙丁线平行作一戊丙线此戊丙线即为原三线相当比例之第四线也葢甲丙戊三角形与甲乙丁三角形为同式故甲乙线与甲丙线之比即同于丁乙线与戊丙线之比因其比例相同故戊丙线为原有之甲乙甲丙乙丁三线相当比例之第四线也或欲作相当比例之数线则将甲角上下二线引长为甲癸甲子凡相当各二处任意截为㡬叚作㡬平行线既得相当比例之数线矣如以甲角之甲子甲癸二线截为丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚于所截五处作五平行线即得相当比例之十率矣葢以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比以甲丙与甲巳之比同于戊丙与庚已之比以甲已与甲辛之比同于庚已与壬辛之比以甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比故将甲子甲癸二线虽分为无数叚作无数平行线其比例亦无不相同也第九有二直线欲叧作一线为此二线之中率法如有甲乙乙丙二线欲另作一线为此二线之中率则将甲乙乙丙二线相连为一甲丙全线乃平分全线于戊以戊为心以甲丙两末为界作一半圜自二线相连乙处至圜界作一丁乙垂线即为原有甲乙乙丙二线之中率线也何也丁乙线既为圜径上之垂线则甲乙丁乙乙丙为相连比例之三率(见九)(卷第七节)故甲乙线与乙丁线之比同于乙丁线与乙丙线之比也比例既同则所作乙丁线为原有甲乙乙丙二线之中率可知矣第十有二直线欲另作二线为此二线间之两率法如有甲乙乙戊二直线欲另作二线为此二线间之两率则将甲乙乙戊二线之乙末相合为直角又自此二线所合乙角引长为甲乙丙戊乙丁二线次将二矩尺之二角正置于丁戊甲丙二线上如一矩尺为己庚辛一矩尺为壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切于丁戊线之戊末又以壬癸子矩尺之一股切于甲丙线之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合则癸庚二角亦为直角而不离于所跨之线其二矩尺之壬辛二股亦使不离于所切之线末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三线即截丁乙线于癸截乙丙线于庚成乙癸乙庚二线即为原有之甲乙乙戊二线间之两率也何也如平分戊癸线于丑则丑为心戊为界成一戊庚癸半圜若平分甲庚线于寅则寅为心甲为界成一甲癸庚半圜今乙癸线为甲癸庚半圜径线上之垂线故乙癸为甲乙乙庚二线之中率而乙庚线为戊庚癸半圜径线上之垂线故乙庚又为癸乙乙戊二线之中率是以甲乙线与乙癸线之比同于乙癸线与乙庚线之比而乙癸线与乙庚线之比亦同于乙庚线与乙戊线之比因其比例相同故乙癸乙庚二线为甲乙乙戊二线间之两率也第十一有三角形依一界作等积之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形与原三角形积等则与乙丙平行作一甲丁线又与甲乙平行作一丁丙线即成一甲乙丙丁直角四界形于是平分甲乙线于戊平分丙丁线于巳作一戊巳线则平分甲乙丙丁四界形为两形此所分甲戊巳丁与戊乙丙已两直角四界形之积俱与甲乙丙三角形之积相等也葢甲乙丙三角形为甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁与戊乙丙已两四界形既俱为甲乙丙丁四界形之一半则必与甲乙丙三角形之积俱相等可知矣又如庚辛壬无直角之三角形依辛壬界作一直角四界形与原三角形积等则与辛壬平行作一庚癸线又自辛壬至庚癸线作子辛癸壬二垂线即成一子辛壬癸直角四界形于是平分子辛线于丑平分癸壬线于寅作一丑寅线则平分子辛壬癸四界形为两形其所分子丑寅癸与丑辛壬寅两直角四界形之积俱与庚辛壬三角形之积相等也试与庚辛线平行作一卯壬线即成庚辛壬卯一斜方形为与子辛壬癸方形同底同髙故其积必等(见三卷第)(八节)今庚辛壬三角形为庚辛壬卯形之一半则亦必为子辛壬癸方形之一半矣既为一半则所分子丑寅癸与丑辛壬寅直角四界形必与庚辛壬三角形之积相等可知矣第十二有一长方形作与此积相等之正方形法如有甲丙一长方形欲作与此长方形相等之正方形则将甲丙形之丙乙纵线合于甲乙横线照此卷第九节法求得甲乙丙乙二线之中率为丁乙线即以丁乙线为一边作一丁戊正方形即与甲丙长方形之积相等也何则大凡相连比例三率内中率所作之正方形积与首率末率所作之长方形积相等今丁乙线既为甲乙丙乙二线之中率则丁乙线所作之丁戊正方形积焉得不与甲乙丙乙二线相合所作之甲丙长方形之积相等乎第十三凡多界形作与本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形则自此形中心壬处至各角作众线又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半与各界平行置于对角各线之间为癸子子丑丑寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八线即成癸子丑寅卯辰巳午之形为原形每界减半之同式形也何也如对角线间所成之甲乙壬癸子壬大小两三角形之甲乙癸子线既平行而又同一壬角则其相当各角俱等而两形之式相同倣此推之其乙丙壬子丑壬二形丙丁壬丑寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱为同式形此各相当大小两形既俱同式则所作癸子丑寅卯辰已午小形之各边为甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各边之一半而为同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形从甲角作线至各角取乙丙度之一半置于甲乙甲丙二线之间与乙丙平行如子丑照此于诸对角线间作诸界之平行线即成甲子丑寅卯辰巳午未申小形为原形每界减半之同式形其理亦与前同若欲作比原形大㡬倍之形则以所作诸对角线按分引长而于本形外作诸界之平行线即成所欲作之大形也第十四作分厘尺法如甲戊尺三寸每寸欲分为百厘则将甲乙边平分作十分将戊巳边亦平分为十分对所分之分作诸横线与乙戊平行次将一寸之甲辛乙丙两边俱分为十分冄于甲辛边之第一分作斜线至乙丙边之乙处如此作十斜线俱与第一分斜线平行即分乙丙之一寸为一百厘也何也甲辛乙丙皆为一寸之度俱平分为十分矣若将每分又分为十厘即每寸亦得百厘然度狭线多必致相淆今作斜线横线各十其横斜相交处共有百分此百分即百厘也如第一斜线与第一横线相交之㸃即为一厘与第二横线相交之㸃即为二厘以至第十横线相交之㸃为十厘即甲辛边所分之第一分之十厘也一斜线有十厘则十斜线岂非百厘乎由此推之若作二十横线则一斜线得二十厘每寸即分为二百厘作百横线则一斜线得百厘每寸即分为千厘其法甚简而其用尤甚便也第十五凡有三角形知其一角之度及此一角之两傍界或知其二角之度及此二角之间一界或不知角度但知三界欲求其余角余界法如有一甲乙丙三角形知丙角为三十八度四十四分及丙角两傍之丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈而欲知其余角余界则依十一卷第八节法作与丙角相等之三十八度四十四分之丁角将丁角两傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳线成一丁戊巳小三角形与甲乙丙大三角形同式量其戊己边得九分即大形之甲乙边为九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁两三角形之式既同其相当各角各界必俱相等小形之丁角即与大形之丙角等其余两角亦必等小形之丁已边既以十三分当大形丙乙边之十三丈则小形戊巳边之九分必当大形甲乙边之九丈矣又或知甲乙丙三角形之乙角为七十六度三十九分丙角为三十八度四十四分及乙丙界长十三丈而欲知其余角余界则作己丁界为十三分照乙角丙角度作已角丁角于是画巳戊丁戊二界相交于戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必与甲角等而小形之丁戊界十四分与大形之甲丙界十四丈相当小形之戊己界九分与大形之甲乙界九丈相当矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角则照前将三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣第十六作分数比例测量仪器法以甲丙乙半圜界分为一百八十度每度作六十分将此半圜之丁甲丁乙丁丙三半径线照所容方界分截开分为一百分于每分上俱与三半径平行作纵横线于甲乙径线之甲乙两末作两定表以圜丁心为枢作一游表如丁巳将此游表亦如前所分一百分度作二百分复于此仪器后面作一垂线记号以挂坠线如庚即成一全仪器用以测髙深广逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲测其髙则将仪器按坠线立准看甲乙径线两末之定表与旗杆癸处相对乃为地平再将丁巳游表与旗杆顶尖辛处相对次量仪器中心所对处至旗杆癸处得㡬何如有四十丈则看仪器丁乙线上自丁心至子得四十分以当地平四十丈即视与子相对垂线至游表相交处有㡬何如丑子三十分即为旗杆自辛至癸相当数为三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣盖仪器上之丁子丑小三角形与所测得丁癸辛大三角形原为同式其相当各界之比例必俱相同故以丁子四十分与子丑三十分之比即同于丁癸四十丈与癸辛三十丈之比也若欲知丁辛弦线数即视游表自丁至丑相交之处得㡬何如有五十分其相当数即为五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度则视圜界与游表相交处如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其余巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛线原与子丑垂线平行为平行线故癸角必是直角而为九十度也第十七倣各种地形画图法如有甲乙丙丁地形欲画一图则选能见各地之二处立仪器为戊为巳将戊与巳对准定表先自戊以游表视庚辛壬癸等处得诸角之度皆细记之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以游表照前视庚辛壬癸等处得诸角之度亦细记之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度于是任意作一子丑线为戊己相当线于此子丑线之两末作诸角与所记诸角相等将所作诸角之各线俱引长使相交于寅卯辰巳等处乃以庚辛壬癸所有之诸地形并其余各处凡目之所见俱画于图之相当各界即成一午未申酉之图即甲乙丙丁地形之图也葢午未申酉图内所作寅子丑卯子丑类诸三角形之角度皆与甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳类诸三角形之角度相等而作故其相当各三角形俱为同式此所以全图与全地形为同式也第十八画地理图欲约为小图或欲广为大图法如有甲乙丙丁一地理图欲约为小图为原图四分之一则用甲乙丙丁形界之四分之一画一戊已庚辛形将甲乙丙丁原形任意分为数正方形而将小形亦分为数正方形视原图中所有山川城郭村墅林园函于大图之某正方分者约而画入小图某正方形内则此所画之戊巳庚辛小图即与原有甲乙丙丁大图为同式矣第十九作比例尺平分线法如此比例尺欲作平分线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线用本卷第五节法分之各平分为二百分即为比例尺之平分线也以用法明之如有丁戊一直线欲平分为十分则将比例尺一百分之己庚二㸃照丁戊线度展开勿令移动次取比例尺之第十分之辛壬二㸃相离之度即是丁戊线之十分之一分也何则自乙至丙作一线自己至庚作一线自辛至壬复作一线其甲乙丙三角形与甲己庚三角形为同式而甲己庚三角形又与甲辛壬三角形为同式是以所分甲己线与甲乙线之比同于己庚线与乙丙线之比而甲辛线与甲己线之比亦同于辛壬线与己庚线之比也然则十分之甲辛线既为百分之甲己线之十分之一其辛壬线亦必为己庚线之十分之一矣丁戊线原与己庚线同度则辛壬线亦为丁戊线之十分之一可知矣第二十作比例尺分圜线法如于比例尺欲作分圜线则自甲枢心至乙丙二末作甲乙甲丙二线乃平分甲乙线于未以未为心以甲乙二末为界作一半圜于是分圜界为一百八十度复以甲为圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子丑等处作各弦线又将诸弦线度移于尺之甲乙甲丙二线则此二线即成一圜之诸弦之总线也以用法明之如寅卯寅辰二线所合寅角欲知其度则以寅为心作一辰卯弧将比例尺六十度之丁未两㸃相距之度照寅辰或寅卯度展开勿令移动次取卯辰相距之度于比例尺上寻至八十度之申酉处恰符即是寅角为八十度也何则若自丁至未自申至酉作二线成甲申酉甲丁未两同式三角形其相当各角各界俱为相当比例之率故甲未线与甲酉线之比同于丁未线与申酉线之比也夫甲未线既为比例尺所作甲庚六十度之弦线而甲酉线又为甲辛八十度之弦线其丁未线既与小圜寅卯辐线等而辐线原与六十度之弦线等然则丁未线即小圜六十度之弦线而申酉线亦为小圜八十度之弦线也以此得知寅角之卯辰度为八十度也第二十一作比例尺分面线法如此比例尺欲作分面线则以甲枢心处至乙丙二末作甲乙甲丙二线自甲截甲丙线于丁照所截甲丁度于甲心作一甲戊垂线自戊至丁作一戊丁线又照戊丁线度自甲截甲丙线于已自戊至已作一戊已线又照戊已线度自甲截甲丙线于庚自戊至庚作一戊庚线又照戊庚线度自甲截甲丙线于辛自戊至辛作一戊辛线又照戊辛线度自甲截甲丙线于壬自戊至壬作一戊壬线照此累累截之至丙末又将甲丙线所截各度移置甲乙线即成比例尺之分面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二线因为相等度所作故卯丁辰戊二形必等再于戊甲丁直角相对之戊丁界所作之戊巳一方形亦必与直角两旁界所作卯丁辰戊二方形相等也(见九卷第四节)次于甲已界作未巳正方形甲己界原与戊丁等则甲已界所作未已方形即与戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既与戊巳方形等则必与卯丁辰戊二形相等而亦与卯丁之倍数相等矣夫甲巳界即大于卯丁形一倍为未巳形之一界也倣此论之则甲庚界即为比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即为比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形则将比例尺展开使其丁丑相距之度与癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何则自丁至丑自庚至寅作丁丑庚寅二线成甲丁丑甲庚寅同式两三角形则甲丁线与甲庚线之比即同于丁丑线与庚寅线之比也夫甲庚线所作方形原比甲丁线所作方形大二倍则庚寅线所作方形必比丁丑线所作方形亦大二倍矣丁丑之度原与子癸等则寅庚线岂非比子癸方形大二倍方形之一界乎第二十二作比例尺分体线法如于比例尺欲作分体线则以甲枢心之甲乙甲丙二线任作丁已一正方体取其戊己一界之度置于尺上自甲截甲乙线于庚次作比戊已界大一倍之辛壬线又于戊巳辛壬二线间照本卷第十节法作相连比例之癸子丑寅二率乃取癸子线度置于尺上仍自甲截甲乙线于辰则甲辰所作卯子正方体必比甲庚所作丁已正方体大一倍矣何则试将癸子线作卯子正方体则与丁己正方体为同式其二体相比之比例必同于戊已癸子二界所生连比例加二倍之比例今辛壬线既为戊巳相连比例之第四率则丁已卯子二体之比例必同于戊已辛壬二线之比例矣辛壬线既比戊己线大一倍则卯子体亦比丁已体大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未线仍照本卷第十节法作戊已巳未二线间相连比例之申酉戌亥二率乃取申酉线度置于尺上自甲截甲乙线于干则甲干所作午酉正方体即比甲庚所作丁巳体大二倍矣照此屡倍戊己界求相连比例之四线取其第二线度置于尺之甲乙线上又按甲乙线所截各度移置甲丙线即成比例尺之分体线也以用法明之如有一坎庚正方体欲作大二倍之体则将比例尺展开使其庚与庚(第一次所截之㸃)相距之度与艮庚界度等次取比例尺干与干(第三次所截之)(㸃)相距之度即是比坎庚正方体大二倍之正方体之一界度也何则自比例尺之庚干二处作庚庚干干二线即成甲庚庚甲干干同式两三角形则甲庚线与甲干线之比同于庚庚线与干干线之比例矣夫甲干线所作方体原大于甲庚线所作正方体之二倍则干干线所作正方体必大于庚庚线所作正方体之二倍可知矣又㨗法设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之成二百万厘立方开之得界一百二十五厘又以三因之成三百万厘立方开之得界一百四十四厘照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线与前求连比例之法无异也御制数理精蕴上编卷四
## 上编卷五
钦定四库全书御制数理精蕴上编卷五算法原本一算法原本二算法原本一第一一者数之原也众一相合而数繁焉不能无大小多寡之不齐而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其准若夫累积小数与大数等者此小数即度尽大数之准也(如大数有八小数有二四倍其二与)(八必等则二即为度尽八之准)苟累积小数不能与大数等者此小数即非度尽大数之准也(如大数有八小数有三二倍其三为六小于八矣二倍其三为九又大于八矣)(若此者即为非度尽大数之准)要之小数为大数之平分者即能度尽大数而小数非大数之平分者即不能度尽大数是故以小度大以寡御多求其恰符而毫无舛者惟在得其平分之法而已第二数之目虽广总不出奇偶二端何谓偶两整平分数是也何谓奇不能两整平分数是也如二四六八十之类平分之俱为整数斯谓之偶数矣若三五七九十一之类平分之俱不能为整数斯谓之奇数矣又如小偶数分大偶数得偶分则谓之偶分之偶数(如小偶数四分大偶数三十二)(得八平分是为偶分其三十二即为偶分之偶数)小偶数分大偶数得奇分则谓之奇分之偶数(如小偶数)(六分大偶数三十得五平分是为奇分其三十即为奇分之偶数)又如小奇数分大奇数得奇分则谓之奇分之奇数矣(如小奇数五分大奇数十五得三平分是为奇分其十五)(即为奇分之奇数)第三乘者两数相因而成也葢有两数视此一数有几何彼一数有几何将此一数照彼一数加几倍则两数积而复成一数故谓之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏层累而得乘则一因即得此立法之精而理则实相通也如有六与十两数以十为主而加六次得六十以六为主而加十次亦得六十今以十为主而以六乘之或以六为主而以十乘之皆得六十其数无异而比加捷矣第四凡两数相乘为平方数如四与六相乘得二十四是也试将四六两数作㸃排之纵立四㸃为甲乙横列六㸃为甲丁将此六㸃累四次即成甲乙丙丁平方数矣又若相等两数相乘得数则为正方数如五与五乘得二十五是也苟将五数纵横各列五㸃或依纵数或依横数累五次即成戊已庚辛正方数矣第五凡数之相乘可用线以表之然线虽无广分如依一线之长分广为小方面看此线所有方面若干将彼线所有方面加作几倍或看彼线所有方面若干将此线所有方面加作几倍则二线相积而成面矣设如有甲乙二线甲线之分为三乙线之分为四将此二线相乘则依甲线三分之一分作广分为甲丙依乙线四分之一分作广分为乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之数将乙丁加为三倍或依乙丁所有之数将甲丙加为四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面为线之积以一线为横一线为纵纵横相因而成故测面者必于线知线即可以知面也第六凡二线彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也设有甲乙二线甲线为三分今将甲线依三分之一分作广分为三小方形并无余积而乙线照甲线分则为四分有零亦将乙线依甲线一分作广分则为四小方形而余戊一小形以所作甲丙为横乙丁为纵则成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃为二线相乘之总积也又如此类一线有零分者其余分在一边若二线俱有零分者则其余分亦在二边矣第七凡三数递乘为立方数如二与三相乘得六又以四乘之得二十四是也试将二三四之三数作㸃排之纵列二㸃为甲丁横列三㸃为甲乙将此三㸃累二次成丁乙平方数又直立四㸃为丙丁依丙丁数将丁乙平方数累四次即成丙乙立方数矣又若相等三数递乘得数则为正立方数如三与三乘得九再以三乘得二十七是也试将三数纵横各排三㸃平列三次成庚已平方数又直立三㸃将庚己平方数累三次即成戊已正立方数矣第八凡数之递乘为体可用面以表之葢面虽无厚分如依一面之积分广为小方体看面所有积分得线之长分若干将面所有小方体加作几倍则线面因之而成体矣设如有甲乙面之分为四丙丁线之分为三将此面线相乘则依甲乙面四分之一作厚分为四小方体乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣葢体为面之积而面为线之积故线可以测面并可以测体也第九除者两数相较而分也葢视大数内有小数之几倍将大数照小数减几次则大数分而复为一小数故谓之相较而分然不用减而用除者何也葢减必递消其分除则一归而即得除之与减即犹乘之与加正相对待者也如有大数十二小数四若用十二以四减之三次而尽即知十二为四之三倍若用除法则三倍其四与十二较其数适等即知十二为四之三倍矣此除之与减理相通而用较捷也第十凡两数相乗之平方数以一数除之必得其又一数也设如甲乙五乙丙六两数相乘之甲乙丙丁平方数三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作㸃排之五㸃为横则纵排六次六㸃为横则纵排五次皆成方数故两数不等平方面知其一数或知两数相差之较始能得其两边线也又若正方数则其纵横皆同如戊己庚辛之正方数二十五其纵横皆五是巳故凡正方面有积数即可得其每边者葢因其纵横两边皆等故也第十一凡以线乘线即成面而以线除面亦复得线故数之乘者可用线以表之而除者亦可用线以表之也设如有甲乙丙丁一方面积一十二以甲乙线四分除之得乙丙线之三分或以乙丙线三分除之亦得甲乙线之四分试将甲乙乙丙二线作广分则甲乙线成四小方形乙丙线成三小方形若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙线葢除之与乘犹分合之相对以线合者仍以线而分返本还原之义有不爽矣第十二凡有零分不均二线相乘之方面以整分线除之必得零分线以零分线除之必得整分线也设如甲线三分乙线四分有零相乘成丁甲面若以甲线三分除之即得乙线四分有零或以乙线四分有零除之亦得甲线三分试将甲线作广分成三小方形为甲丙乙线作广分则成四小方形为乙丁余戊一小形若依甲丙线所有数以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁线或依乙丁线所有数以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙线矣此为二线一整一零相乘之总积故以整线除之得零以零线除之得整若二线俱有零分者彼此除之必俱得零分也第十三凡三数递乘之立方数以两数递除之始得其又一数也设如甲乙四乙丙二丙丁三递乘得甲丁立方数二十四若以甲乙四除之得乙丁平方数六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作㸃排之二㸃为纵横排三次直累四次即成方体故三数不等立方体知其两数或知其三数相差之较始能得各边也又若正立方体其纵横厚度皆为一数即以一数递除二次则其原数自得如戊己正立方数二十七其纵横厚皆三是巳故凡正立方体有积数即可得其每边者正为其纵横厚度皆等故也第十四凡以线除体即得面而以面除体亦复得线故线可以除面而面亦可以除体也设如有丙乙体积一十二以丙丁线三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁线之三分试将甲乙面作厚分则成四小方体若依丙丁线所有数以分丙乙体即每分得四小方体如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体即每分得三分如丙丁线葢体本以线面相乗而得故可以线面相除也第十五凡大数用小数可以度尽者此大数必为此小数之所积也然所谓小数可以度尽大数者复有几种有大数惟一数可以度尽者如四九二十五四十九之类惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大数用两数三数俱可以度尽者如八与十二之两数用二用四俱可以度尽八用二用三用四俱可以度尽十二是也有两大数或三大数用一小数俱可以度尽者如十二十六之两数或一十十五二十之三数用四可以度尽十二十六之两数用五可以度尽一十十五二十之三数是也又有一小数可以度尽几大数将此几大数相加为一总数此小数亦可以度尽此总数如四可以度尽十二十六两数若将十二十六相加为二十八则此四亦可以度尽此二十八也又或一小数可以度尽几大数将此大数不拘几分分之此小数可以度尽一分亦必可以度尽其余几分也如三可以度尽十五将十五分为六九两数此三可以度尽六亦必可以度尽九也又如六与九两数用三俱可以度尽若将六与九相乘得五十四此小数三仍可以度尽此五十四也凡此类者皆为彼此有度尽之数也第十六凡大数用小数不可以度尽者此大数必非此小数之所积也然用一以度之无不可以度尽者葢一为数之根诸数皆自一而积之故也所谓度不尽者亦复有几种有大数无小数可以度尽者如五七十一十三之类任用二用三用四俱不能度尽也有两大数或三大数用小数彼此不可以度尽者如十五与八之两数用二用四可以度尽八而不能度尽十五用三用五可以度尽十五而不能度尽八又如四六九之三数用二可以度尽四六而不能度尽九用三可以度尽六九而不能度尽四也又有彼此不能度尽之数或将一数自乘或将两数俱自乘彼此仍俱不可以度尽也如五与六之两数彼此不能度尽亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五或将六自乘为三十六则六仍不能度尽二十五而五仍不能度尽三十六即二十五亦不能度尽三十六也又如三七两数与二五两数俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一将二与五相乘得一十此一十与二十一之两数仍为彼此不能度尽之数也凡此类者皆为彼此无度尽之数也第十七凡两数互转相减未至于一而即可以减尽者此减尽之最小数即可以度尽此两数也设如有甲乙十六丙丁六之两数将丙丁六与甲乙十六减二次余戊乙四将此戊乙四转与丙丁六相减余己丁二又将此已丁二转与戊乙四相减二次即无余则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二与十六等三倍其二与六等也又如十六与十二与八此三数亦为彼此有度尽之数何也葢十六与十二相减余四以四转与十二相减三次而尽则四可以度尽十六与十二矣又二倍其四即与八等则四又可以度尽八然则十六十二与八之三数为彼此有度尽之数可知矣第十八凡两数互转相减至于一始可以减尽者一之外别无他小数可以度尽此两数也设如有甲乙十二丙丁七之两数将丙丁七与甲乙十二相减余戊乙五将此戊乙五转与丙丁七相减余已丁二将此已丁二又转与戊乙五相减余庚乙三又将庚乙三转与己丁二相减余辛乙一既至于一始可以度尽甲乙丙丁两数而一之外如二三四虽可以度尽十二而不能度尽七也又如九与十三及二十之三数亦为彼此无度尽之数何也葢将九与十三互转相减必至于一即用十三与二十转减或用九与二十转减亦皆至于一则除此一之外皆无可以彼此度尽此三数之小数矣第十九凡有大数约为相当比例之最小数以从简易则为约分法也然数有可约不可约之分可约者度尽之数不可约者度不尽之数也设如有九与十二之两数欲约为相当比例之最小数乃用求小数度尽大数法以九与十二互转相减得减尽之数为三则三为度尽九与十二之数矣以三除九得三以三除十二得四此三四两数即为九与十二相当比例之最小数也又如有六四八之三数欲约为相当比例之最小数乃以六与四互转相减得减尽之数为二又以二与八相减四次而尽则二为度尽六四八之小数矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三数即六四八相当比例之最小数也此皆数之可约者也若夫数之不可约者互转相减必至于一而不可以度尽也如有五七两数以五减七余二复以二减五二次余一既余一则自一之外必无可以度尽之数而不可约矣第二十凡有大分以分母乘之通为小分则为通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘则积少成多其得数溢于原数之外通则变大为小其得数仍函于原数之中也如有大分十二其分母为四欲得其小分则以分母四乘大分十二得小分四十八是已试作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分为四小方则十二方形共分为四十八小方形矣其数虽比原大数加四倍然其每分之分只得原数之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未尝溢出原数之外也又如有大分九其分母为九欲得其小分则以分母九乘大分九得小分八十一是已试作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分为九小方则九方形共分为八十一小方形矣其数虽比原大数加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分只得原数之九分之一也由此推之其每分之母或为八或为十二或为数十亦皆倣此通之其所通之数虽至千万而要皆未有溢于所通原分之外者矣第二十一凡有几小数欲求俱可以度尽之大数则以此几小数连乘之得数始为此几小数度尽之一大数也设如有四五两小数欲求用四用五俱可以度尽之一数则以四与五相乘得二十即为四五两数俱可度尽之一大数矣又如有三四五之三小数欲求用三用四用五俱可以度尽之一数则以三与四相乘得十二又以五乘十二得六十即为三四五俱可度尽之一大数矣葢小数为大数之根始能度尽大数如四五可以度尽二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度尽六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二凡有两数彼此互乘所得之数与原数比例必同也葢数有多寡而分又有大小则纷纭难御故必依此数之分将彼数加为几倍又依彼数之分将此数加为几倍则两分数既同而比例亦同矣如甲乙二数甲为三分之二乙为四分之三欲辨其孰大则依甲数将乙数加三倍为十二分之九依乙数将甲数加四倍为十二分之八如是则所加之两大分同为十二而所生之两小分相比即同于原甲数与乙数之相比矣何也甲数本三分之二而为十二分之八者乃加四倍之比例(十二为三之四倍八为二之四倍)而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙数本四分之三而为十二分之九者乃加三倍之比例(十二为四之三倍九)(为三之三倍)而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也(此即互乘同母之法如甲为三分之)(二者三即母数二即子数也乙为四分之三者四即母数三即子数也因两母)(数不同故用互乘以同之)第二十三凡子母分有几数而子数同为一者先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之则为各子数也如甲乙丙三数甲为二分之一乙为三分之一丙为四分之一则先以三母数连乘得二十四为甲乙丙之共母数又以二除共母数得十二为甲之子数以三除共母数得八为乙之子数以四除共母数得六为丙之子数葢甲本二分之一子母各加十二倍即为二十四分之十二而二十四与十二之比例仍同于二与一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即为二十四分之八而二十四与八之比例仍同于三与一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即为二十四分之六而二十四与六之比例仍同于四与一之比例也第二十四凡子母分有几数而子母数俱不等者亦先以各母求俱能度尽之一数次以各母除之得数复以各子数乘之即为各子数也如有甲乙丙三数甲为三分之二乙为四分之三丙为五分之四则先以三母数连乘得六十为甲乙丙之共母数次以三除共母数得二十以乘子数二得四十为甲之子数又以四除共母数得十五以乘子数三得四十五为乙之子数又以五除共母数得十二以乘子数四得四十八为丙之子数葢甲本三分之二子母各加二十倍即为六十分之四十而六十与四十之比例仍同于三与二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即为六十分之四十五而六十与四十五之比例仍同于四与三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即为六十分之四十八而六十与四十八之比例仍同于五与四之比例也算法原本二第一凡有几小数与几大数相比其比例若同则小数相加所得之总数与大数相加所得之总数相比仍同于原数之比例也设如有一小数六一小数四一大数十八一大数十二其小数六为大数十八之三分之一而小数四亦为大数十二之三分之一将两小数六四相加得一十将两大数十八十二相加得三十此一十与三十之比即如六与十八四与十二之比皆为三分之一之比例也又如三小数二三四与三大数六九十二相比皆为三分之一将二三四相加得九将六九十二相加得二十七其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相加其总数之比例亦皆同如三与十二四与十六五与二十六与二十四俱为四分之一将三四五六四小数相加得十八将十二十六二十二十四四大数相加得七十二其比例仍为四分之一矣第二凡有几小数与几大数之比例若同则小数相减所得之余数与大数相减所得之余数相比仍同于原数之比例也设如有一小数十一小数六一大数三十一大数十八其小数十为大数三十之三分之一而小数六亦为大数十八之三分之一将两小数十与六相减余四将两大数三十与十八相减余十二此四与十二之比即如十与三十六与十八之比皆为三分之一之比例也又如三小数八四三与三大数二十四十二九相比皆为三分之一将四三与八递相减余一将十二九与二十四递相减余三其比例亦为三分之一也又或四小数四大数相减其余数之比例亦皆同如十八与七十二为四分之一而三与十二四与十六五与二十俱为四分之一将小数三四五与十八递相减余六将大数十二十六二十与七十二递相减余二十四其比例仍为四分之一矣第三凡有一数乘两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数六与八与一十两数相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八与六十相比即同于原数八与一十之相比矣夫八与四十八一十与六十皆为六分之一故一与六之比同于八与四十八之比而一与六之比亦同于十与六十之比也然则八与四十八之比例必同于十与六十之比例而四十八与六十之比例亦必同于八与一十之比例可知矣第四凡有一数除两数其所得两数相比仍同于原两数之相比也设如一数三除十二与十五之两数以三除十二得四以三除十五得五则此四与五相比即同于原数十二与十五之相比矣夫十二与四十五与五皆为三分之一故一与三之比同于四与十二之比而一与三之比亦同于五与十五之比也然则四与十二之比例必同于五与十五之比例而四与五之比例亦必同于十二与十五之比例可知矣第五凡相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数等者何也葢两方面以其纵横界互相为比之比例若等则两方积必等(见几何原)(本七卷第三节)今以第一数与第四数相乘即如以第一数为纵第四数为横成一方数而第二数与第二数相乘即如以第二数为纵第三数为横成一方数其积必相等也设如有二与六三与九相当比例四数将第一数二为纵第四数九为横相乘得十八为甲丙一方数将第二数六为纵第三数三为横相乘亦得十八为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之二其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相当比例四数其第一数与第四数相乘第二数与第三数相乘所得之数相等无疑矣第六凡相连比例三数其首数与末数相乘与中一数自乘所得之数等者何也葢两方面相等者其纵横界之互相比例必等(见几何原本七卷第三节)今将首数与末数相乘即如以首数为纵末数为横成一方数而中数自乘即是以中数为纵复以中数为横成一方数其积必相等也设如有四六九相连比例三数将首数四为纵末数九为横相乘得三十六为甲丙一方数将中数六为纵仍复为横相乘即是自乘亦得三十六为戊庚一方数夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之一其比例相等故两方数亦等此两方数既等则相连比例三数其首末两数相乘与中数自乘所得之数相等无疑矣第七凡有两数除一数其所得两数之比例即同于原两数之转相比例也设如有一数十八以二三两数除之二除十八得九三除十八得六以此九与六两数相比即同于原两数三与二之相比也葢二与三六与九为相当比例之四数以第一数二与第四数九相乘第二数三与第三数六相乘皆得十八故二除十八得九即如以第一数除第二数与第三数相乘之数而得第四数也以三除十八得六即如以第二数除第一数与第四数相乘之数而得第三数也夫相当比例数其第二数与第四数之比原同于第一数与第三数之比故第一数二除十八所得之九与第二数三除十八所得之六相比即同于第二数三与第一数二之相比也第八凡有两数除一数其所得之两数内有一数与原两数内一数相等者则所得之两数与原两数互转相比即成相连比例之数也设如有一数三十六以四六两数除之四除三十六得九六除三十六仍得六与原数六相等则此九与六两数之比即同于原数六与四之比也葢四与六六与九为相连比例之四数以四为首数九为末数相乗以六为中数自乘皆得三十六今以四除三十六得九即如以首数除中数自乘之数而得末数也以六除三十六复得六即如以中数除首末两数相乘之数而仍得中数也夫相连比例数其末数与中数之比原同于中数与首数之比则首数四除三十六所得九与中数六除三十六所得六相比即同于中数六与首数四之相比也第九凡相当比例四数其第一数度尽第二数则第三数亦必度尽第四数也如有二六三九相当比例四数其第一数二可以度尽第二数六则第三数三亦可以度尽第四数九矣夫相当比例四数第一与第二之比必同于第三与第四之比今第一为二第二为六乃加三倍之比例则第四与第三亦必为加三倍之比例故三倍其二可以度尽六者三倍其三即可以度尽九也第十凡相连比例三数其第一数度尽第二数亦必度尽第三数也如有二四八相连比例三数其第一数二可以度尽第二数四亦必可以度尽第三数八矣夫相连比例三数第一与第二之比同于第二与第三之比今第一数为二第二数为四乃加倍之比例则第二与第三亦必为加倍之比例而第一与第三则为再加一倍之比例故一倍其二可以度尽四者再倍其二即可以度尽八也第十一凡依次递加取四数其第一第四两数相加与第二第三两数相加之数等也如一二三四递加之四数将第一数一与第四数四相加得五以第二数二与第三数三相加亦得五又如一三五七递加之四数(一三五七为隔一数以递加者也)将第一数一与第四数七相加得八以第二数三与第三数五相加亦得八也又如二五八十一递加之四数(二五八十一为隔二数以递加)(者也)将第一数一与第四数十一相加得十三以第二数五与第三数八相加亦得十三由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取四数无有不如此也第十二凡依次递加取三数其首末两数相加与中数加倍之数等也如二三四递加之三数将首末二四相加得六以中数三倍之亦得六又如二四六递加之三数(二四六隔一数以递加者也)将首末二六相加得八以中数四倍之亦得八也又如三六九递加之三数(三六九隔二数以递加者也)将首末三九相加得十二以中数六倍之亦得十二由此推之或隔三数或隔四数或隔五六数以至极多数但依次递加取三数无有不合者也第十三凡依次递加三数以第二第三两数相加减去第一数即得挨次之第四数也如二三四之三数以第二数三第三数四相加得七内减去第一数二得五即是第四数又如二四六隔一数递加之三数以第二数四第三数六相加得一十内减去第一数二得八即是第四数亦为隔一数又如三六九隔二数递加之三数以第二数六第三数九相加得十五内减去第一数三得十二即是第四数亦为隔二数矣葢此即四率相当比例之理四率中两率相乘与首末两率相乘之数等故中两率相乘以首率除之即得末率而此则中两数相加与首末两数相加之数等故以首一数减之即得末一数其义一也第十四凡依次递加两数以第二数倍之减去第一数即得挨次之第三数也如二三两数将第二数三倍之得六内减去第一数二余四即是第三数又如二四隔一数之两数将第二数四倍之得八内减去第一数二余六即是第三数四与六亦为隔一数也又如三六隔二数之两数将第二数六倍之得十二内减去第一数三余九即是第三数九与六亦为隔二数也葢此即三率相连比例之理三率以中率自乘与首末两率相乘之数等故中率自乘以首率除之即得末率而此则中数倍之与首末两数相加之数等故以首数减之即得末数于此见加减乘除之相对待而加减可以代乘除之理亦可从此推矣第十五凡有彼此可以度尽两数欲求相连比例之数则以一数自乘以一数除之即得相连比例之第三数也如有四八两数欲求第三数如四与八之相连比例乃以八自乘得六十四以四除之得十六此十六即为四与八相连比例之第三数葢八者四之二倍而十六又为八之二倍则八与十六之比例必同于四与八之比例矣如有三数求第四数仍如四与八之比例则以第三数十六自乗得二百五十六以第二数八除之得三十二即为四八十六相连比例之第四数葢十六者四之四倍而三十二者八之四倍则十六与三十二之比例必同于四与八八与十六之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数即以相近两数依前法算之由此递生可至于无穷焉然此皆四与八之比例或四与十六或三与六五与十之类凡有彼此度尽之数欲求相连比例几数者亦皆如此求之无不可得矣第十六凡有彼此不可以度尽之两数欲依此两数比例求相连比例之数则以一数自乘为第一率而以又一数自乘为第三率以两数互乘为第二率即为相连比例之三数也如有三五两数欲求相连比例三数皆如三与五之比例乃以三自乘得九以五自乘得二十五以三与五相乘得十五此九与十五十五与二十五之三数即如三与五之相连比例三数葢九为三之三倍而十五为五之三倍则九与十五为三与五之比例矣而十五为三之五倍二十五为五之五倍则十五与二十五亦为三与五之比例矣又或已有三数欲求第四数皆如三与五之连比例则以三乘九得二十七以三乘十五得四十五以三乘二十五得七十五复以五乘九得四十五五乘十五得七十五五乘二十五得一百二十五此所得六数内四十五七十五各得二今止用其一故二十七四十五七十五一百二十五之四数即如三与五之相连比例数也葢二十七者三之九倍而四十五者五之九倍则二十七与四十五之比例同于三与五之比例矣又四十五者三之十五倍而七十五者五之十五倍则四十五与七十五之比例同于三与五之比例矣又七十五者三之二十五倍而一百二十五者五之二十五倍则七十五与一百二十五之比例亦同于三与五之比例矣如欲求连比例之第五数或第六数以原一数递乘先得之几数复以又一数递乘先得之几数去其相同者所余即成相连比例之数由此求之亦可至于无穷也然此皆三与五之比例或三与七四与九五与八之类凡彼此不可以度尽之数欲求相连比例几数者亦皆倣此求之而即得矣第十七凡相当比例四数其前两数之间有相连比例二数其后两数之间亦必有相连比例二数也设如有甲二十四乙八十一丙三十二丁一百零八相当比例之四数甲数二十四与乙数八十一之间有戊三十六己五十四之相连比例两数则丙数三十二与丁数一百零八之间亦必有庚四十八辛七十二之相连比例两数也试将甲戊己乙四数求其相当比例之至小数则得壬八癸十二子十八丑二十七之四数其甲与乙之比即同于壬与丑之比而丙与丁之比原同于甲与乙之比则丙与丁之比亦必同于壬与丑之比矣其比例既同则壬可以度尽丙丑亦可以度尽丁而癸与子亦必可以度尽庚与辛(壬癸子丑各四)(倍之即与丙庚辛丁等是四次可以度尽也)是丙庚辛丁四数之比皆与壬癸子丑四数之比相同也夫壬癸子丑原为甲戊己乙连比例相当之小数今丙庚辛丁之比既与之相同则丙庚辛丁亦为相连比例之四数矣既俱为相连比例数则戊己为甲乙两数间之连比例数庚辛为丙丁两数间之连比例数无疑矣第十八凡相连比例三数其第一数与第二数之间有相连比例一数则第二数与第三数之间亦必有相连比例一数也设如有甲二乙十八丙一百六十二相连比例之三数其甲数二与乙数十八之间有相连比例之丁数六则乙数十八与丙数一百六十二之间亦必有相连比例之戊数五十四也葢甲与乙之比同于乙与丙之比今丁六为甲二之三倍戊五十四亦为乙十八之三倍则甲与丁之比同于乙与戊之比而丁六为乙十八之三分之一戊五十四亦为丙一百六十二之三分之一则丁与乙之比亦同于戊与丙之比因其比例皆同故甲丁乙戊丙为相连比例之五数而丁戊两数为甲与乙乙与丙三数间之相连比例数可知矣第十九凡相连比例三数其首数与末数有用一数可以度尽者有用一数不可以度尽者如四八十六相连比例之三数其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也如四六九相连比例之三数其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也然此两种相连比例虽有度尽度不尽之分因其首数与中数之比同于中数与末数之比故总谓之相连比例之数焉葢末数可用首数平分即为有度尽之连比例数末数不可用首数平分即为无度尽之连比例数也且首末两数彼此有一数可以度尽者此三数非相当比例之至小数若首末两数彼此无一数可以度尽者此三数即为相当比例之至小数也如四八十六之三数其首末两数为彼此有一数可以度尽之数而中数亦必为此一数可以度尽之数试用二以度之则得二四八之连比例三数或用四以度之则得一二四之连比例三数皆与四八十六之比例相同而比四八十六之数为小故四八十六非相当比例之至小数也如四六九之三数其首末两数为彼此无一数可以度尽之数故中数亦为无一数可以度尽之数既无一数可以彼此度尽则为相当比例数内之至小数也明矣第二十凡同式两平方数其间必有相连比例一数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四同式两平方数此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数则其每边皆可为比例如甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也今以甲丁三与甲乙二相因得六甲丁三与戊己四相因得十二则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣又戊己四与甲丁三相因得十二戊辛六与戊己四相因得二十四则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣又若两正方数之间亦必有相连比例之一数也如有甲四丙九两正方数此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉葢两正方数其式既同故必有相连比例一数且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例(见几何原本七卷第五节)今甲方边为二丙方边为三求其与二三相当连比例之第三数则以二自乘得四以三自乘得九以二乘三得六此四与六六与九之三数即为与二三相当之连比例数而其首数四与末数九既与甲丙两方数等则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣第二十一凡同式两平方数相乘得数为正方数也如有甲乙丙丁六戊己庚辛二十四为同式两平方数相乘得一百四十四即为正方数矣葢同式两平方数之间原有相连比例一数今此六与二十四之间必有十二之一数且连比例三率以首末两率相乘与中率自乘之数等则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四即为中率十二自乘之数矣又若两正方数相乘得数亦仍为正方数其方根即原两方根相乘之数也如有甲四丙九两正方数此两数相乘得三十六仍为正方数其方根为六亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也葢此两方数俱为正方即为同式两平方数矣因其式同故相乘亦仍得正方数也凡数有先各自乘而后相乘者有先相乘而后自乘者其理无异故其得数皆等今以二自乘得四以三自乘得九复以四九相乘得三十六此先各自乘而后相乘也以二与三相乘得六复以六自乘得三十六此先相乘而后自乘也且四与九积也积与积乘仍得积二与三根也根与根乘仍得根此亦理之必然者也第二十二凡两正立方数之间必有相连比例之两数也如有甲八丁二十七两正立方数此八与二十七之间必有乙十二丙十八为相连比例之两数焉葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例(见几何原本十卷第四节)今甲方边为二丁方边为三求其与二三相当连比例之第三第四数则以二自乘得四以三自乘得九以二与三相乘得六此四六九为连比例三数又以二递乘此四六九三数得八十二十八之三连比例数复以三递乘四六九三数得十二十八二十七之三连比例数除相同者不计其二十七即连比例之第四数则八与十二十二与十八十八与二十七皆为与二三相当之连比例数而其首数八与末数二十七既与甲丁两立方数等则其中数之十二十八为甲丁两立方数间连比例之两数可知矣第二十三凡两正立方数相乘得数仍为正方数而其方根即原两立方根相乘之数也如有甲八丁二十七两正立方数此两数相乘得二百一十六仍为正立方数而其方根为六亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也葢此两立方数俱为正方即为同式两立方数矣因其式同故相乘亦仍得正立方也凡数有先自乘再乘而后以所得之数相乘者有先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘者其得数皆等故二自乘再乘得八三自乘再乘得二十七复以八与二十七相乘得二百一十六此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也以二与三相乘得六复以六自乘再乘亦得二百一十六此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也且八与二十七积也以积乘积仍得积二与三根也以根乘根仍得根此又理之自然者也第二十四凡两平方数若一边相等则此两平方之比例同于其不等边之比例也如有甲丙戊庚两平方数其甲丙平方之甲乙边为四而戊庚平方之戊已边亦为四甲丙平方之乙丙边为六而戊庚平方之己庚边为八则此两平方数二十四与三十二之比即同于其不等边六与八之比也葢甲乙平方数二十四者四之六倍而戊庚平方数三十二者四之八倍也然则二十四与三十二之比即同于六与八之比矣二十四与三十二之比既同于六与八之比则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣第二十五凡两立方数其底积相等则此两立方之比例同于其髙之比例也如有甲乙丙丁两立方数其甲乙立方之戊乙底为六而丙丁立方之己丁底亦为六甲乙立方之甲戊髙为四而丙丁立方之丙己髙为五则此两立方数二十四与三十之比即同于其两立方之高四与五之比也葢甲乙立方数二十四者六之四倍而丙丁立方数三十者六之五倍也然则二十四与三十之比即同于四与五之比矣二十四与三十之比既同于四与五之比则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣第二十六凡两线两面两体用一度(如尺寸之属)可以度尽者此类之线面体皆为有整分可以度尽者也设如有甲乙两线甲线分为五分乙线如甲线度分之得七分无余则此二线即为一度彼此可以度尽者矣若将此二线各为正方面各为正方体则其两面两体亦皆为整分彼此可以度尽者也至如两线两面两体不可以一度度尽者此类之线面体皆为无整分可以度尽者也如丙丁戊己方面其丙丁边线为五分而丙戊对角线则为七分有余乃为彼此无度尽之数矣葢以丙丁边之五分为度则丙戊线得七分有余或将丙戊线为七分整而以其分为度则丙丁线得五分不足凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也第二十七凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者葢以本方积与对角线所成方积比之必有一数非正方数也夫对角线自乘所作之方数为本方积之二倍如本方积一则对角线所作之方为二本方积四则对角线所作之方为八此一与二四与八之间无相连比例之整数故一为正方数则二非正方数四为正方数而八亦非正方数二与八既非正方数则边必有零余而不能尽矣或对角线所作方积为四则本方积为二对角线所作方积为十六则本方积为八此四与二十六与八之间亦无相连比例之整数故四为正方数而二非正方数十六为正方数而八又非正方数然则对角线所作方积固为正方数而本方积复不能成正方数其边必有零余而不能尽矣故凡正方边线与对角线断无一度可以彼此度尽之理也第二十八凡正方面与平圆面同径者其积之比例同于其周围边线之比例也如甲乙丙丁正方面戊己庚辛平圆面其戊壬庚之径相等则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也何以见之以正方面之壬庚半径为髙甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底作一子甲直角长形方则此长方形之积比正方形之积必大一倍又以壬庚半径为髙庚己己戊戊辛辛庚全周为底作一壬庚直角长方形则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍凡直角三角形之小边与圆形之半径等而三角形之大边与圆形之全周等者三角形之积与圆形之积等也今此长方形与三角形同底同髙其积比三角形必大一倍然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙则一边数等一边相等则其积之比例必同于其不等边之比例而全与全之比例原同于半与半之比例故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣甲甲即方周而庚庚即圆周然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎第二十九凡有不知之一大数用两小数度之不尽而一有余一不足者其一多一少之数相并以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数五度之多一数用小数六度之又少四数则以多一与少四相加得五以六与五两小数相减余一为较数除之仍得五即知两小数各度五次也试排㸃以明之其甲乙五即小数五丙丁六即小数六以甲乙五累五次则为甲乙己丙正方二十五多一为丁以丙丁六累五次则为甲戊丁丙长方三十少四为戊庚于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六是知大数有二十六用此五六两小数各度五次之分也以丁一与戊庚四相加为丁戊五以小数甲乙五与丙丁六相减余一以一除丁戊五仍得五与甲丙相等故甲丙为庚大数二十六之五次数也若以比例言之其小数五与六相减所余一者乃度一次之较而一多一少相并之戊丁五者又为度五次之较故以所余一与度一次之比即同于戊丁五与度五次之比其比例既同故其数亦相等也第三十凡有不知之一大数用两小数度之不尽而俱有余或俱不足者其两有余或两不足之数俱相减以两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何也如有一大数用小数六度之多五数用小数七度之仍多一数则以两多数相减余四以六与七两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也试排㸃以明之其甲乙六即小数六丙丁七即小数七以甲乙六累四次则为甲乙庚丙方二十四多五为戊丁己以丙丁七累四次则为甲戊丁丙方二十八多一为己于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五得二十九于甲戊丁丙方二十八加入多数己一亦得二十九是知大数有二十九用此六七两小数各度四次之分也以己一与戊丁己五相减余戊丁四以小数甲乙六与丙丁七相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙相等故甲丙为度大数二十九之四次数也若以比例言之其两小数相减所余之一乃度一次之较两多数相减所余之戊丁四乃度四次之较故以一与度一次之比即同于戊丁四与度四次之比也又如有不知之一大数用小数八度之少二数用小数九度之少六数则以两少数相减余四以八与九两小数相减余一为较数除之仍得四即知两小数各度四次也今作㸃排之其甲乙八即小数八丙丁九即小数九以甲乙八累四次则为甲乙己丙方三十二内少二数为乙庚以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六丙少六数为乙庚丁戊于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二为三十于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六亦为三十是知大数有三十用此八九两小数各度四次之分也以乙庚二与乙庚丁戊六相减余戊丁四以小数甲乙八与丙丁九相减余一以一除戊丁四仍得四与甲丙为相等故甲丙为度大数三十之四次数也其比例亦以两小数相减所余之较比度一次之分即同于两少数相减所余之较比度几次之分也复有不知之一大数用两小数度之一小数度之而尽一小数度之而不尽(或有余或不足)即以不尽之数(或有余之)(数或不足之数)用两小数之较度之即得其度几次之分与大数之几何其理皆相同也第三十一凡数自少至多递加之而各有定率者谓之平加比例数也夫平加之数有毎次递加一者为挨次递加之数如一二三四之类是也有每次递加二者为超位平加之数如一三五七之类是也(或递)(加三或递加四或递加五六皆是一理)有每次増一加者为按位相加之数如一三六十之类其第二次加二第三次加三第四次加四是也有每次増二加者为按位自乘之数如一四九十六之类其第二次加三第三次加五第四次加七是也复有一种倍加者为挨次倍加之数如一二四八之类每次皆加二倍又如一三九二十七之类每次皆加三倍是也递加之数虽多按其条理求之大抵不出此数端今各列数分析于后第三十二凡挨次递加之数将首数与末数相加以位数乘之所得之数折半即为总数也如一二三四五六七八九之九数其毎次所加之数为一将首数一与末数九相加得十以位数九乘之得九十折半得四十五即是此九数之总数也何也夫挨次递加之数为等边三角平面形而两数相乘即成四方形今以位数九为髙末数九为底相乘所得之正方形其数八十一较之总数则多较之总数加倍之数又少此所少即一行之数爰知位数与底数相乘所得之数比总数加倍之数少一行之数矣既知挨次递加之数为三角形而位数与底数相乘之数为正方形又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数则合两三角形之数适当总积加一倍之方数矣两三角形所合其底数必比高数大一数故末数九为底数者加首数一与髙相乘始成两三角形所合之一方形焉试将此九数作㸃排之自上而下上一下九作为直角三角形复将此九数另作一直角三角形合于原三角形之侧则成一长方形其高即位数其底即末数与首数相加之数其积即为总数加一倍之数也然则首数末数相加与位数相乘为总数之倍数可知矣又如四五六七八九之六数欲知其总数亦以首数四与末数九相加得十三为底以位数六乘之得七十八为长方形折半得三十九为总数其理与前同若但知首数为四末数为九不知位数则视首数四以上至一虚几位今虚三位故以三与末数九相减余六即位数也何也凡自一递加之数其末数即位数今首数为四计自一是少三位矣故用三即为所少之位数于末数内减去所少之位即为今之所有之位数也第三十三凡超位平加之数亦将首数与末数相加以位数乘之得数折半为总数也如一三五七九十一之六数(每次皆加二数)将首数一与末数十一相加得十二以位数六乘之得七十二折半得三十六为此六位之总数也葢此超位平加之数与挨次平加之理无异其以首末两数相加与位数相乘者总欲得此总数之倍数以便折半取之也试将此六位之数作六层排之上一下十一以首末数相加得十二而以位数乘之则六层皆为十二矣上层本首数一加末数十一而成十二下层本末数十一加首数一而成十二是首数末数俱加倍矣二层本第二数三加第五数九而成十二五层本第五数九加第二数三而成十二是第二数第五数俱加倍矣三层本第三数五加第四数七而成十二四层本第四数七加第三数五而成十二是第三数第四数亦俱加倍矣其每位之数皆倍则相乘所得之数岂非此总数之倍数乎由此推之毎次加三加四或加五加六以至加七加八加九之类凡系超位平加之数其理无不相同也第三十四凡毎次按位相加之数将位数加二与末数相乘取其三分之一即为总数也如一三六一十十五之五数其每次皆按位加之(如第二位于第一位一上加二为三第三位于第二位三)(上加三为六是也)将位数五加二与末数十五相乘得一百零五以三除之得三十五即是此五数之总数也如或止有位数或止有每一边数求总数则以位数加一与位数相乘得数复以位数加二乘之取其六分之一即得总数也(若止有每一边)(数即以每一边数加一与每边数相乘得数复以边数加二乘之取其六分之)(一得数亦同)葢毎次按位相加之数层叠排之其式成等边三角体其末一数即三角体底面数而位数即毎一边之数今以位数加二为髙末数为底相乘即成平行面之三棱体凡同底同髙之平行面体为尖体之三倍则此平行面三棱体内必有等边三角体之三倍故以三除之即得也然必以位数加二为髙者何也以三三角体相凑乃成上下相等之平行面体其髙必比原有之位数多二层(两三角面相合比原位数多一层今三三角体相合故必比原位数)(多二层也)如止以位数为高即少二层之数而不足三三角体之分故必以位数加二乘之也其止有位数或每一边数求总数以位数加一与位数相乘复以位数加二乘之而用六除者何也葢位数即底面之每边数而底面又为等边之三角面今以边数加一与边数相乘成长方面为三角体底面之倍数即如前挨次递加数之两三角面相合所成之长方形也凡等髙之体底数倍者积数亦倍彼以位数加二乘三角体之底所成之平行面三棱体既为等边三角体之三倍矣今以位数加二乘三角体之倍底所成之平行面长方体又必为等边三角体之六倍矣(以两三棱体相合即成长方体一三)(棱体为三角体之三倍则两三棱体必为三角体之六倍矣)故以六除平行面长方体之数而得等边三角体之数也又或但知首数末数而不知位数则以末数倍之用一为较数开𢃄纵平方即得位数焉葢末数倍之者即两三角面所合之长方也其阔即三角每边数其长比阔多一数故用一为较开带纵平方则得三角毎边之数既得每边数即得位数矣第三十五凡每次按位自乘相加之数将位数折半与末数相加复以位数加一乘之取其三分之一即为总数也如一四九十六二十五之五数其每位之数皆按位自乘之数(如第二位之四即二自乘数第三位之九即三自乘数也)将位数五折半为两个半与末数二十五相加得二十七个半复以位数五加一为六乘之得一百六十五以三除之得五十五即为此五数之总数也如止有位数或止有每一边数求总数则以位数加半个与位数相乘得数复以位数加一乘之取其三分之一即得总数也(若只有每一边数即以每一边数加半个与每一边数相乘得数复以每)(边数加一乘之取其三分之一得数亦同)葢按位自乘相加之数层叠排之其式成方底四角尖体其末一数即四角尖体底面数而位数即毎一边之数今以位数折半与末数相加则成长方面为底再以位数加一为髙乘之即成平行面之长方体凡同底同髙之平行靣体为尖体之三倍则此平行面长方体内必有四角尖体之三倍故以三除之即得也然必以位数折半与末数相加为底复以位数加一为髙者何也葢三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底比正方面必多半行其髙必比原有之位数多一层(三等边三角体相合比三角体原位数多二层今三方底四角尖体相合比原)(位数止多一层葢因方底比三角底式大一倍故四角体髙比三角体髙所加)(之数减一半也)如止以末数为底则底必少半行之数止以位数为髙则髙复少一层之数必不足三四角尖体之分故以末数加位数之半而以位数加一乘之适足三四角尖体之分也其止有位数或每一边求总数以位数加半个与位数相乘复以位数加一乘之而用三除之者何也葢位数即底靣之毎边数而底面又为正方面今以边数加半个与边数相乘成长方面比正方止多半行之分其理即如求三角体总数以边数加一与边数相乘为三角体底之倍数也以位数加一与底面相乘成长方体比方底四角尖体大三倍即如求三角体总数以位数加二与倍底相乘为三角体之六倍也彼三角体底倍之为长方此四角体底数加半行即为长方彼三角体总数六倍为同边长方体此四角体总数三倍为同边长方体故三角体以边数加一与边数相乘者今四角体以边数加半与边数相乘而三角体以位数加二为髙与倍底相乘者今四角体以位数加一与本底加半行相乘总之四角体底式比三角体底式大一倍故立法时三角体加数几何而此四角体皆用其半也又或但知首数末数而不知位数则以末数开平方即得位数焉葢末数本为正方数故开方即得毎边数既得毎边数则得位数矣第三十六凡每次倍加之数将末数与加倍之数相乘减去首数复以所加之分数除之即得总数也如二四八十六四数为毎次以二倍之之数欲求其总数则以末数十六用二乘之(因以二倍之故用二乘)得三十二减去首数二为三十复以其所加分数一除之仍得三十即此四数之总数也葢以二加倍之数其末一数比前几位之总数止多一首数故二乘末数则比末数多一分仍多一首数故减去首数二而以一除之即得总数也又如三九二十七八十一四数为毎次以三倍之之数欲求其总数则以末数八十一用三乘之(以三倍之故用三)得二百四十二减去首数三为二百四十复以其所加分数二除之得一百二十即为此四数之总数也葢以三加倍之数其末一数为前几数之倍数而仍多一首数今三乘末数则比末数多二分仍多一首数(三乘)(末数八十一则为八十一者有三除本数八十一仍为多二分也)故必减去首数三而以二除之即得总数也又如四十六六十四二百五十六四数为毎次以四倍之之数欲求总数则以末数二百五十六用四乘之(以四倍之故用四)得一千零二十四减去首数四为一千零二十复以其所加分数三除之得三百四十为此四数之总数也葢以四加倍之数其末一数为前几数之三倍而仍多一首数今四乘末数则比末数多三分仍多一首数(四乘末数二百五十六则为二百五十六)(者有四除本数二百五十六仍为多三分也)故必减去首数四而以三除之即得总数也凡此倍加之数不论加倍几何皆为相连比例之数故其比例皆同如递加二倍之数其四与八之比同于二与四之比即八与十六之比亦皆同于二与四之比也又如递加三倍之数其九与二十七之比同于三与九之比即二十七与八十一之比亦皆同于三与九之比也即递加四倍之数其十六与六十四之比同于四与十六之比即六十四与二百五十六之比亦皆同于一与四之比也总之以二倍加者皆一与二之连比例以三倍加者皆一与三之连比例以四倍加者皆一与四之连比例即推之以五倍加六倍加者其理亦无不相同也御制数理精蕴上编卷五
## 下编卷一
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷一首部一度量权衡命位加法减法因乘归除度量权衡虞书同律度量衡葢度量衡皆本于律而律为万事之本也汉志曰度者分寸尺丈引所以度长短也本起于黄钟之长以子榖秬黍中者一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分十分为寸十寸为尺十尺为丈十丈为引而五度审矣量者龠合升斗斛所以量多少也本起于黄钟之龠以子榖秬黍中者千二百实其龠合龠为合十合为升十升为斗十斗为斛而五量嘉矣权者铢两斤钧石所以权轻重也本起于黄钟之重一龠容千二百黍重十二铢两之为两十六两为斤三十斤为钧四钧为石而五权谨矣通考曰律度量衡并因秬黍散为诸法其率可通外此则代不一名度之异名者如左传注方丈曰堵三堵曰雉(长三丈高一丈)易纬通卦验十马尾为一分孙子算术曰蚕所吐丝为忽十忽为丝十丝为豪十豪为厘十厘为分十分为寸十寸为尺十尺为丈小尔雅曰跬一举足也倍跬谓之步四尺谓之仞倍仞谓之㝷倍㝷谓之常五尺谓之墨倍墨谓之丈倍丈谓之端倍端谓之两倍两谓之疋疋百谓之束孔安国又以八尺为仞说文曰人手却十分动脉为寸口十寸为尺周制寸咫尺㝷常仞皆以人体为法又曰妇人手八寸谓之咫周尺也又曰丈丈夫也周制以八寸为尺十尺为丈人长八尺故曰丈夫量之异名者如左传齐旧四量豆区鬴钟四升曰豆各自其四以登于鬴(六斗四升)鬴十则钟(六十四斗)论语注十六斗曰庾十六斛曰秉孙子算术曰六粟为圭十圭为抄十抄为撮十撮为勺十勺为合汉应劭又以四圭为撮孟康以六十四黍为圭小尔雅一手之盛谓之溢两手谓之掬掬四谓之豆豆四谓之区区四谓之釡釜二有半谓之薮薮二有半谓之缶缶二谓之钟钟二谓之秉秉十六斛衡之异名者如汉志注应劭曰十黍为累十累为铢小尔雅二十四铢曰两两有半曰㨗倍㨗曰举倍举曰锊锊谓之锾二锾四两谓之斤斤十谓之衡衡有半谓之秤秤二谓之钧钧四谓之石石四谓之鼔通考唐刘承珪以忽万为分丝则千豪则百厘则十转以十倍倍之则为一钱黍以二千四百枚为一两累以二百四十铢以二十四是则度量衡之名不一故其为制不同而纷杂难用然时易世殊古今沿革有必不可比而同者故入算之际不过取其大同者以审不齐之物耳要之度定扵丈量定扵石衡定于两大之而递进扵无穷小之而递析于不可测爰悉其名目扵左以为数学之所资焉度法丈以下曰尺(十寸)寸(十分)分(十厘)厘(十豪)豪(十丝)丝(十忽)忽(十微)微(十纤)纤(十沙)沙(十尘)尘(十埃)埃(十渺)𣺌(十漠)漠(以下皆以十析)糢糊逡巡须臾瞬息弹指刹那六徳虚空清浄量法石以下曰斗(十升)升(十合)合(十勺)勺(十撮)撮(十抄)抄(十圭)圭(六粟)粟衡法两以下曰钱(十分)分(十厘)厘(十豪)豪(十丝)丝(十忽)忽以下并与度法同凡度量衡自单位以上则曰十百千万亿兆京垓秭穰沟涧正载极恒河沙阿僧秪那由他不可思议无量数自亿以上有以十进者如十万曰亿十亿曰兆之类有以万进者如万万曰亿万亿曰兆之类有以自乘之数进者如万万曰亿亿亿曰兆之类今立法从中数厯法则曰宫(三十度)度(六十分)分(六十秒)秒(六十微)微(六十纤)纤(六十忽)忽(六十芒)芒(六十尘)尘又有日(十二时又为二十四小时)时(八刻又以小时为四刻)刻(十五分)分以下与前同田法则曰顷(百亩)亩(积二百四十步)分(积二十四步)里法则三百六十步计一百八十丈为一里古称在天一度在地二百五十里今尺验之在天一度在地二百里葢古尺得今尺之十分之八实縁纵黍横黍之分也石法二千五百寸(按汉志曰斛重二钧又曰四钧为石是二斛为一石也古尺斛积一)(千六百二十寸为今尺之八百六十寸有竒倍之得古尺石积三千二百四十寸为今尺之一千七)(百二十寸有竒以权法凖之石重一百二十斤求其积古尺应得三千一百一十寸为今尺之一千)(六百五十寸有竒今之权法又加古一倍则今尺石积应得三千三百寸有竒今现行斛积为一千)(五百八十寸石积为三千一百六十寸旧算书所载数各不同而多以二千五百寸为率摠之古今)(尺度不同古今量法亦不一须先求其斗斛之积数然后用其积数以比例之方得密合今设例从)(旧数)命位凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘豪皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至扵厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常例一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之别焉此又命位之最要者也凡数未至单位者必须作○以存其位如有数一万二千三百四十丈则补作○以存单位如上式 又如有数一万二千丈则补作○○○以存百十单之位如下式凡数单位后有竒零者必作㸃於单位上以志之如有金三百四十五两六钱七分命两为单位则于五上作㸃志之如上式 又如有米六石五斗四升三合命石为单位则于六上作㸃志之如下式凡列众数几多位中有空者必作○以存其位如有数二万零四百五十六此中千位无数故必作○于万后百前以存其位如上式 又如有数一万零三十四此中千位百位俱无数故补作两○于万后十前以存其位如下式凡宫度分秒皆两位列之如有一十一宫二十度三十二分四十五秒列位如上式 又如日时刻分列位日时分则两位刻止一位列之如二十一日一十八时三刻零二分列位如下式加减乘除算法以加减乘除为入门然究其终虽至扵千变万化总不出乎此但用法不同耳或应取其相和之数则用加或应取其相较之数则用减或应聚而总其积则用乘或应散而取其分则用除又有先加而后减者或先减而后加者有先乘而后除者或先除而后乘者又有加减与乘除先后互用者古称九章命算自方田以至勾股数有繁简理有显晦法有浅深算有难易然何一不从加减乘除而得故浅言之则算法之入门究言之实算法之全体也加法加者合众数而成总也葢数始扵一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十百千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之类则不以十进必足其所命之分始进一位(如宫度足六十分进)(一度足三十度进一宫如时刻足十五分进一刻足四刻进一时足二十四时进一日如斤两足十六两)(进一斤之类)至于定位则以原数列扵上加数列扵下或大数列于上小数列于下按法依次对位列之加毕所得之数依原列之位定之设如有数一万二千三百四十五与六千七百八十九相加法以原数横列于上加数横列于下按位相对加之(如九与五相对单从单八与四相对十从十百千万)(数俱各从其类)单位之五九相加得十四进十于前位为一志之(作一㸃于前位为志如进二十则作二㸃)(如进三十则作三㸃)本位纪四(书于横格下)次十位之四八相加得十二并所进之一为十三复进十于前位为一志之本位纪三次百位之三七相加得十并所进之一为十一复进十于前位为一志之本位纪一次千位之二六相加得八并所进之一为九于是本位纪九至于万位独有原数无可加则仍纪一所加之数共得一万九千一百三十四即总数也设如有数一万四千五百四十五与一万七千三百五十相加法以原数横列于上加数横列于下加数内单位无数故作○以存其位仍按位相对加之单位之五对○无可加仍纪五次十位之四五相加得九本位纪九次百位之五三相加得八本位纪八次千位之四七相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次万位之一与一相加得二并所进之一为三于是本位纪三所加之数共得三万一千八百九十五即总数也设如有二十三丈零五寸六分与二丈八尺六寸二分相加法以原数横列于上加数横列于下原数内尺位无数故作○以存其位仍按位相对加之分位之六二相加得八本位纪八次寸位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次尺位之八对○无可加乃并所进之一为九本位纪九次丈位之三二相加得五本位纪五至扵十位独有原数无可加则仍纪二所加之数共得二十五丈九尺一寸八分即总数也设如有粮四万五千零三十一石与三千零九十石相加法以原数横列于上加数横列于下原数内百位无数加数内百位单位俱无数故各作○以存其位仍按位相对加之石位之一对○无可加仍纪一次十位之三九相加得十二进十于前位为一志之本位纪二次百位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次千位之五三相加得八本位纪八至于万位独有原数无可加则仍纪四所加之数共得四万八千一百二十一石即总数也设如有银八两六钱五分四厘与四两零六分二厘相加法以原数横列扵上加数横列扵下加数内钱位无数故作○以存其位仍按位相对加之厘位之四二相加得六本位纪六次分位之五六相加得十一进十于前位为一志之本位纪一次钱位之六对○无可加乃并所进之一为七本位纪七次两位之八四相加得十二进十于前位为一志之本位纪二至扵十位无数则纪所进之一为一所加之数共得十二两七钱一分六厘即总数也设如有田三区一区五百九十二亩三分一区八百五十五亩九分一区七百八十二亩五分相加法以田三区按位横列相对加之分位之三九五相加得十七进十于前位为一志之本位纪七次亩位之二五二相加得九并所进之一为十进十于前位为一志之本位纪○次十位之九五八相加得二十二并所进之一为二十三进二十于前位为二志之本位纪三次百位之五八七相加得二十并所进之二为二十二进二十于前位为二志之本位纪二至扵千位无数则纪所进之二为二所加之数共得二千二百三十亩零七分即总数也设如有银九宗一宗八千八百五十二两一宗三千二百一十一两一宗五百二十两一宗九百三十八两一宗二千五百九十两一宗一千二百一十五两一宗二千五百一十八两一宗五千三百六十六两一宗四千三百七十二两相加法因九宗数繁难加故分为三次三次复并为一次则得共数其八千八百五十二两三千二百一十一两五百二十两相并则得一万二千五百八十三两其九百三十八两二千五百九十两一千二百一十五两相并则得四千七百四十三两其二千五百一十八两五千三百六十六两四千三百七十二两相并则得一万二千二百五十六两既得三总数又将三数并之得二万九千五百八十二两即九宗共数也设如九宫二十度三十分二十六秒与六宫一十八度二十分五十秒相加法以原数横列于上加数横列于下其每项各命两位仍按各位相对加之秒之单位六对○无可加仍纪六秒之十位二五相加得七十乃以六十秒进一分志于分之本位秒之十位纪一次分之单位○与○无可加则以所进之一为本位数故下纪一次分之十位三二相加得五故下纪五次度之单位八对○无可加仍纪八次度之十位二一相加得三十乃以三十度进一宫志于宫之本位度之十位纪○次宫之本位九六相加得十五并所进之一为十六因十二宫满一周天故逢十二去之余四故下纪四所加之数共得四宫八度五十一分一十六秒即总数也设如一日一十五时二刻八分与一日一十二时三刻九分相加法以原数横列于上加数横列于下日时分则合两位共加刻则仍命以单位葢以四刻进一小时故也分位之八与九相加得十七十五分进一刻故于刻之本位下志一余二故单位下纪二十位下纪○次刻位之二与三相加得五并所进之一为六四刻进一时故于时之本位下志一余二故本位纪二次时之单位五二相加得七并所进之一得八时之十位一与一相加得二共为二十八二十四时进一日故于日之本位下志一余四故时之单位下纪四十位下纪○次日之单位一与一相加得二并所进之一为三故下纪三所加之数共得三日四时二刻二分即总数也设如有物重三十四斤十五两五钱与二十一斤十四两三钱相加法以原数横列于上加数横列于下其钱位斤位与斤之十位仍皆按位相对加之两位与两之十位则合其数共加之(两以十六方进一斤故合而加之如列数有两数无十数者仍作○以存)(十两之位)钱位之五三相加得八本位纪八两位之原数十五加数十四相加共得二十九则进十六两于前斤位为一志之其所余十三两则于两位纪三十位纪一次斤位之四一相加得五并所进之一为六本位纪六次十位之三二相加得五本位纪五所加之数共得五十六斤十三两八钱即总数也减法减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类(如千减千百减百之类)如或下数大于上数不足减则借前位之一以减本位(加法由后而进前减法则借前而退后其理一也详)(见设如中)前位作一㸃以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然两数相减必先辨其多寡首位必大于减数始可其定位亦照原列之次为减余位设如有数五万六千七百八十九内减四万三千六百四十二法自单位减起单位之九减二余七故下纪七十位之八减四余四故下纪四百位之七减六余一故下纪一千位之六减三余三故下纪三万位之五减四余一故下纪一所减之数得一万三千一百四十七即余数也设如有数二万三千六百七十二内减一万六千四百八十一法自单位减起单位之二减一余一故下纪一十位之七减八为下大于上则借前位之一(前位下作一㸃为志)作本位之十共十七减八余九故下纪九百位之六减四并十位所借之一则为六减五余一故下纪一千位之三减六为下大于上则借前位之一(前位亦作一㸃为志)作本位之十共十三减六余七故下纪七万位之二减一并千位所借之一则为二减二恰尽故下纪○所减之数得七千一百九十一即余数也设如有六丈七尺八寸九分一厘内减三丈四尺五寸九分九厘法自厘位减起厘位之一减九为下大于上则借前位之一(前位下作一㸃为志)作本位之十共十一减九余二故下纪二分位之九减九并厘位所借之一则为九减十亦为下大于上故复借前位之一(前位)(下作一㸃为志)作本位之十共十九减十余九故下纪九寸位之八减五并所借之一则为八减六余二故下纪二尺位之七减四余三故下纪三丈位之六减三余三故下纪三所减之数得三丈三尺二寸九分二厘即余数也设如有米六十五石四斗三升二合内减四十六石二斗七升三合法自合位减起合位之二减三为下大于上则借前位之一(前位下作一㸃为志)作本位之十共十二减三余九故下纪九升位之三减七并合位所借之一则为三减八为下大于上则借前位之一(前位下作一㸃)(为志)作本位之十共十三减八余五故下纪五斗位之四减二并升位所借之一则为四减三余一故下纪一石位之五减六为下大于上则借前位之一(前位下作)(一㸃为志)作本位之十共十五减六余九故下纪九十位之六减四并所借之一则为六减五余一故下纪一所减之数得十九石一斗五升九合即余数也设如有银十五两三钱六分七厘内减九两二钱三分四厘法自厘位减起厘位之七减四余三故下纪三分位之六减三余三故下纪三钱位之三减二余一故下纪一两位之五减九为下大于上则借前位之一(前位)(下作一㸃为志)作本位之十共十五减九余六故下纪六十位之一减两位所借之一恰尽故下纪○所减之数得六两一钱三分三厘即余数也设如七宫一十八度二十七分五十二秒内减九宫二十一度三十五分四十三秒法自秒位减起秒之单位二减三为下大于上则借前位之一(前位下作一㸃为志)作本位之十共十二减三余九故下纪九秒之十位五减四并所借之一则为五减五恰尽故下纪○分之单位七减五余二故下纪二分之十位二减三为下大于上则借度位之一为六十分(度位下作一㸃)(为志)六十分与原二十分共为八十分内减三十分余五十分故下纪五度之单位八减一并所借之一则为八减二余六故下纪六度之十位一减二为下大于上则借宫位之一为三十度(宫位下作一㸃)(为志)三十度与原十度共为四十度内减二十度余二十度故下纪二宫之单位七减九并所借之一则为七减十为下大于上则外借一周天为十二宫十二宫与原七宫共为十九宫内减十宫余九宫故下纪九所减之数得九宫二十六度五十二分九秒即余数也设如一十二日二十二时三刻零九分内减一十一日二十三时三刻十分法自分位减起日位刻位俱各按单位相减其分位时位则合两位减之分位之九减十为下大扵上则借刻位之一为十五分(刻之本位下作一㸃为志)十五分与原九分共为二十四分内减十分余十四分故分之单位纪四分之十位纪一刻之本位三减三并所借之一则为三减四为下大扵上则借时位之一为四刻(时之)(单位下作一㸃为志)四刻与原三刻共为七刻内减四刻余三刻故本位下纪三时位之二十二减二十三并所借之一则为二十二减二十四为下大扵上则借日位之一为二十四时(日之本位下作一㸃为志)二十四时与原二十二时共为四十六时内减二十四时余二十二时故时之单位下纪二时之十位下亦纪二日位之二减一并所借之一则为二减二恰尽故下纪○日之十位之一减一恰尽故亦纪○所减之数得二十二时三刻一十四分即余数也设如有物十五斤零四两八钱内减十二斤十二两三钱法自钱位减起钱位之八减三余五故下纪五两位之四减二似非下大扵上然原数两之十位为○(十六两为一斤故作○于斤后)(两前以存十两之位)而减数两之十位为一则为四两减十二两亦为下大扵上故借斤位之一为十六两(斤位下作一㸃为志)十六两与原四两共为二十两内减十二两余八两故两之单位纪八十位纪○斤位之五减二并所借之一则为五减三余二故下纪二十位之一减一恰尽故下纪○所减之数得二斤零八两五钱即余数也因乘因乘者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于烦而无统此因乘之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乘者多位相乘而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乘数为法实列于上法列扵下必使法实相当(如千对千百对百十对十单对单之类)按法乘实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乘者法实之一位统得数之二位(如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零)(有二位则截得数之四位向前为单位计之)法实相乘再以法乘者(即自乘再)(乘也)法实之一位统得数之三位(如单位后竒零有一位则截得数之三位)(竒零有二位则截得数之六位向前为单位计之)是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乘之类以三位论者则为自乘再乘之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左设如有三人每人赏縀二疋问共得几疋法以三人为实列于上二疋为法列扵下以二因三得六即书于本位下定位以实之三人即是单位而法又止一位为疋今得数之六与实之单位相对故知六是疋位得共数为六疋也设如有八人每人赏米六石问共得几石法以八人为实列扵上六石为法列扵下以六因八得四十八将四书于前位下(前位为十位故十数纪前位下)八书于本位下(本位为单)(位故单数纪本位下)定位以实之八人即是单位而法亦止一位为石今得数之八与实之单位相对即知八是石位而四在石之前一位故知四是十位得共数为四十八石也设如有一十二人每人赏银五两问共得几两法以一十二人为实列于上五两为法列扵下命两位与人之单位相齐先以五乘二得一十将十进前一位作一㸃志之纪○于本位下(此数无单故下纪○)次以五乘一仍得五并所进之一为六故书六于本位下(一虽为十位而以五乘一则一下为本位矣)共得六○定位因实之单位对法之两位而得数之○与实之单位相对故知○为两位而六为十位得共数为六十两也设如有二十四人每人赏银三两六钱问共得几两法以二十四人为实列于上三两六钱为法列于下命钱位与人之单位相齐乃以法之六遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之六乘四得二十四将二十进前一位作二㸃志之四书于本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之二为四故书四于本位下(二虽为十位而以六乘二)(则二下即为本位矣)法之六既与实乘毕次以法之三遍乘实之二四其所得之单位数即对本法位下书之三乘四得一十二将十进前一位作一㸃志之二书于本位下次以三乘二得六并所进之一为七故书七于本位下法之三又与实乘毕乃用加法并之共得八六四总书扵下定位以实尾之四系四人为单位而法尾为钱今得数末位之四与实之单位相对即知四是钱位二位为两三位为十两得共数为八十六两四钱也设如有田三百六十亩每亩纳粮三升五合问共得若干法以三百六十亩为实列扵上三升五合为法列于下实之单位无数则补○以存其位命合位与亩之单位相齐乃以法之五遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之五乘○仍为○故下纪○五乘六得三十将三十进前一位作三㸃志之本位纪○五乘三得一十五将十进前一位为一书之五并所进之三为八故书八于本位下又以法之三遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍为○故下纪○三乘六得一十八将十进前一位作一㸃志之八书于本位下三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○乘毕用加法并之共得一二六○○总书于下定位以实尾之○系单位法尾是合今得数末位之○与实之单位相对即知末位之○是合前一位是升向前数至首位得十石因知共数为一十二石六斗也设如有田三顷五十亩每顷纳粮一石二斗三升问共得若干法以三顷五十亩为实列于上(因亩位无数故)(作○以存其位)一石二斗三升为法列于下命石位与顷之单位相齐(题中言每顷纳一石故石与顷)(对为单位)乃以法之三遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之三乘○仍得○故下纪○次以三乘五得一十五将十进前一位作一㸃志之五书于本位下次以三乘三得九并所进之一为十故进前一位为一书之本位纪○又以法之二遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之二乘○仍得○故下纪○二乘五得一十将十进前一位作一㸃志之本位纪○二乘三得六并所进之一为七故书七于本位下又以法之一遍乘实之三五○其所得之单位数即对本法位下书之一乘○仍得○一乘五仍得五一乘三仍得三俱各书于本位下乘毕用加法并之共得四三○五○总书于下定位因每顷纳粮一石二斗三升即命顷为单位而石亦为单位其后二位则为竒零凡法实之竒零有一位则统得数之两位今竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为石因知共数为四石三斗零五合也设如有金三十六两每两价银九两九钱八分问共价几何法以三十六两为实列于上九两九钱八分为法列于下实中钱位分位俱无数则补作○○以存其位命分位与分位相齐乃以法之八遍乘实之三六○○先以八乘○○仍得○○故下纪○○次以八乘六得四十八将四十进前一位作四㸃志之八书于本位下次以八乘三得二十四将二十进前一位为二书之四并所进之四为八故书八于本位下又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五㸃志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二㸃志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二又以法之九遍乘实之三六○○先以九乘○○仍得○○故下纪○○次以九乘六得五十四将五十进前一位作五㸃志之四书于本位下次以九乘三得二十七将二十进前一位作二㸃志之七并所进之五为十二十又进前一位为一并所志之二为三故前位书三本位书二乘毕用加法并之共得三五九二八○○定位因题言每两价银九两九钱八分爰以两为单位其后二位则为竒零竒零既有二位则统得数之四位故从后截去四位而第五位定为两第六位为十第七位为百因知共数为三百五十九两二钱八分也设如有物二十六斤求两数法以二十六斤为实列于上以每斤十六两为法列于下乃以法之六遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之六乘六得三十六将三十进前一位作三㸃志之六书扵本位下次以六乘二得一十二将十进前一位为一书之二并所进之三为五故书五于本位下又以法之一遍乘实之二六其所得之单位数即对本法位下书之一乘六仍得六故下书六次以一乘二仍得二故下书二乘毕用加法并之得四一六定位因实尾是单位而法尾又是两位故得数末位之六即为单位为两而前一位为十又前一位为百因知得数为四百一十六两也又法斤求两身加六名为定身加法葢以十六两之十为一乘之仍得原数故以本身加六即得如二十六斤则从首位加起二六加一十二将一对实之十位二对实之单位下书之又六六加三十六则三对实之单位而六对实之单位后一位书之用加法相并得四一六定位以原斤数之后一位为两今得数末位之六在原斤数之后一位即知是两因知得数为四百一十六两也设如周天三百六十度每度六十分问共得若干分法以三百六十度为实列扵上以六十分为法列扵下(因单位俱无数故各作○以存其位)乃以法之○遍乘实之三六○仍皆得○故各纪○于各位下又以法之六遍乘实之三六○其所得之单位数即对本法位下书之六乘○仍得○故本位下纪○次以六乘六得三十六将三十进前一位作三㸃志之六书于本位下次以六乘三得一十八将十进前一位作一㸃志之八并所进之三为十一十又进前一位为一并所志之一为二故前位书二本位书一乘毕用加法并之共得二一六○○定位以实之末位是单位法之末位是分今求分数故得数末位之○即是分之单位向前数至首位得万因知共数为二万一千六百分也设如有验时仪坠子来一秒往一秒今十五分问共得来往几秒法以十五分为实列于上以每分六十秒为法列于下乃以法之○遍乘实之一五仍皆得○故各纪○于本位下又以法之六遍乘实之一五其所得之单位数即对本法位下书之六乘五得三十将三十进前一位作三㸃志之本位纪○次以六乘一仍得六并所进之三为九故书九于本位下定位以实之末位是单位法之末位是秒今求秒数故得数末位之○即是秒之单位其前一位为十又前一位为百因知共数为九百秒也设如一尺二寸自乘求积(以本数乘本数故为自乘)法以一尺二寸互为法实列扵上下乃以法之二遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之二乘二得四故下书四次以二乘一仍得二故下书二又以法之一遍乘实之一二其所得之单位数即对本法位下书之一乘二仍得二故下书二次以一乘一仍得一故下书一乘毕用加法并之共得一四四定位因自乘数成平方面其每一尺正方面容积一百寸故百寸为尺百尺为丈俱以两位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之四与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸既以百寸为尺即知得数为一尺四十四寸也若命尺为单位则扵尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去二位以第三位为尺(葢自乘乃两数相乘两数既各有一位零)(数故截去两位算也)今得数有三位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中一位为十寸可知矣设如一尺二寸自乘再乘求积(以本数乘本数所得之数又以本数乘之)(故谓之自乘再乘)法先以一尺二寸互为法实按法自乘得一尺四十四寸又以一尺四十四寸为实复以一尺二寸为法按法乘之共得一七二八定位因自乘再乘数成立方体其每一尺正方体容积一千寸故以千寸为尺千尺为丈俱以三位命之今实之末位为寸即命为单位法之末位是寸得数末位之八与实之单位相对即知为寸位向前第二位为十寸第三位为百寸第四位为千寸既以千寸为一尺即知得数为一尺七百二十八寸也若命尺为单位则于尺上命位其后一位为竒零故扵得数内从末截去三位以第四位为尺(葢自乘再乘乃以三数相乘三数既)(各有一位零数故截去三位算也)今得数有四位即知首位为一尺首位既为尺末位又既为寸则中二位为十寸百寸可知矣归除归除者分数也以数分数有各得均齐之义焉凡有两数以此数减彼数减得几次即为所得然所减之次数多则益至于纷而难纪此归除之所以立也归者一位归之而得如归作几分而均分之也除者多位除之而得葢以所得之数与法相因而于实内除去也其法以原数为实横列于下除数为法横列于上法之小于实者法之首位与实之首位列齐法之大于实者则法比实退一位看实足法几倍即为得数自法之末位上纪所得之数既得数乃以所得与法相因书于实下与实相减余者即为次商实依次按法归除以恰尽为度(减余者乃所得与法相因之数在实中所减者其数每与)(法位相对即初商之余实也至于实位所余之数则每次取下一位续于减余之末以为每商之实若实)(无余位而归除仍未尽者则按位添○以纪之)如实不足法之一倍者则得数为○定位之法以法中所命单位与原实相对之数为所得之首位数若实之位数少于法者则作几○位以补足法然后位数一览即明至于一位归除㨗法则竟以原数书于上就身用几分分之得数书于下其定位仍照原列之位定之具见设如于左设如有缎六疋令三人分之问每人得几疋法以六疋为实列于下三人为法列于上今法与实俱为单位而法比实小故列法与实相齐爰看实足法几倍今足二倍故书二于法上乃以得数之二与法之三相因得六书于实下与实相减恰尽即得数为二疋也定位因法之三人即为单位而实亦止一位为疋是法之单位与实之疋位相对故得数为二疋也设如有米六十四石令八人分之问每人得几石法以六十四石为实列于下八人为法列扵上因法之八大于实之首位之六故将法退一位书之爰看实足法几倍今足八倍故书八于法上乃以得数之八与法之八相因得六十四书于实下(其所得单位数即对得数之本位下书之)与实相减恰尽即得数为八石也定位因法之八人即为单位而与实之石位相对故得数为八石也设如有银三百四十三两令七人分之问每人得几两法以三百四十三两为实列于下七人为法列于上因法之七大于实之首位之三故将法退一位书之爰看实足法几倍今实前两位为三四足法之四倍(何以知其足法之四倍葢实之三十四内足法之七之四倍为二十八如法之)(七之五倍则为三十五比实则大矣)故书四于法上乃以得数之四与法之七相因得二十八书于实下(其所得单位数即对得数之本位下书之后倣此)与实相减余六次取实数所余之三书于减余之后共六三为次商实爰看实之六三足法几倍今足九倍故书九于得数之次乃以得数之九与法之七相因得六十三书于次商实之下与实相减恰尽即得数为四十九两也定位因法之七人即为单位而与实中之两之十位相对故得数首位即为十而次位为两是知每人得四十九两也设如有丝四十五斤共织得缎九十二丈二尺五寸问每斤织得若干法以九十二丈二尺五寸为实列于下四十五斤为法列于上因法之首位四小于实之首位九故列法与实相齐爰看实之九二足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之四五相因得九○书于实下与实相减余二次取实数所余之二书于减余之后共二二为次商实今实之二二不足法之四五之一分故得数为○乃纪○于上复取实数所余之五书于二二之后共二二五为三商实(次商实之二二不足法之四五故再取实之一位续书于)(下谓之三商实者○位为次商故也)爰看实之二二五足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五相因得二二五书于实下与实相减恰尽即得数为二丈零五寸也定位因法之五斤为单位而与实之丈位相对故得数首位即为丈等而下之为尺为寸是知每斤织得二丈零五寸也设如有田四十五亩六分共纳榖五十七石问每亩纳榖若干法以五十七石为实列于下四十五亩六分为法列于上因法之首位四小于实之首位五故列法与实相齐又因实之位数少于法故补作○以足其位爰看实之五七○足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之四五六相因仍得四五六书于实下与实相减余一一四此后实无余位故添书一○于减余之末为次商实爰看一一四○足法之二倍故书二于上乃以得数之二与法之四五六相因得九一二书于实下与实相减余二二八又添书一○于减余之末为三商实爰看二二八○足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之四五六相因得二二八○书于实下与实相减恰尽即得数为一石二斗五升也定位因法之五亩为单位而与实之石位相对故得数首位为石是知每亩纳榖一石二斗五升也设如有丹砂一两价值钱二万五千文问每钱一文该得丹砂几何法以丹砂一两为实列于下钱二万五千为法列于上因法之首位二大于实之首位一故将法退一位列之又因法之百位十位单位俱无数故各作○以存其位而实亦作五○位以补足法爰看实足法之四倍故书四于法上乃以得数之四与法之二五○○○相因得一○○○○○书于实下与实相减恰尽即得数为四丝也定位因法之末位○系单位故从实之首位一两数至法之单位相对之位为丝是知每钱一文得丹砂四丝也设如有银一千二百五十两买果赏人每果一枚价二厘五豪问买果若干法以一千二百五十两补五○位为实列于下(因法之末位是豪故补五○位与法相对葢命实为一千二百)(五十万豪也)二厘五豪为法列于上爰看实之一二五足法之五倍故书五于法上乃以得数之五与法之二五相因得一二五书于实下与实相减恰尽然实后尚有五○位故得数后亦添五○位为五十万也定位因法实俱至豪位止即命豪为单位爰从实之末位数至法之单位相对之位为十万是知得果为五十万枚也设如有物重三百八十四两问得斤数若干法以三百八十四两为实列于下每斤一十六两为法列于上爰看实之三八足法之二倍故书二于法上乃以得数之二与法之一六相因得三十二书于实下与实相减余六次取实数之四书于减余之后共为六四因足法之四倍故书四于上乃以得数之四与法之一六相因得六十四书于实下与实相减恰尽即得数为二十四斤也定位因法之两数为单位而与实之十位相对故知得数为二十四斤也又法名为斤称流法其法曰一退六二五(如一万两则为六百二十五斤一千两则为六十二斤半一百两则为六)(斤二分半皆以十递析退者退一位命之也)二一二五(如二万两)(则为一千二百五十斤二千两则为一百二十五斤二百两则为十二斤半不)(言退者对位命之也余倣此)三一八七五四二五五三一二五六三七五七四三七五八五九五六二五如三百八十四两则列于上先以三之一八七五通之爰将一对三之本位以下依次向后书之次以八之五通之将五对八之本位书之次以四之二五通之将二对四之本位书之五则列于次位三数书毕乃以加法并之得数为二十四斤定位因两之前一位为斤今得数之四在两之前一位故四即为斤位而又前一位则为十位是知得数为二十四斤也设如周天三百六十度分十二宫问每宫得若干度法以三百六十度为实列于下一十二宫为法列于上爰看实之三六足法之三倍故书三于法上乃以得数之三与法之一二相因得三六书于实下与实相减恰尽然实后尚有○位故得数后亦添一○位即得数为三十度也定位因法之二为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每宫为三十度也设如一日之中得一千四百四十分以九十六刻分之问每刻得若干分法以一千四百四十分为实列于下以九十六刻为法列于上爰看实之一四四仅足法之一倍故书一于法上乃以得数之一与法之九六相因仍得九六书于实下与实相减余四八次取实之○位书于减余之后共为四八○因足法之五倍故书五于上乃以得数之五与法之九六相因得四八○书于实下与实相减恰尽即得数为一十五分也定位因法之六为单位而与实之十位相对故得数首位为十而每刻为一十五分也一位归除㨗法设如有银三十四万五千六百七十八两作二分分之问每分若干法以三十四万五千六百七十八两为实列于上视首位之三足二分之几何今足一倍故下书一一二除二余一乃移于下位为十(下位作㸃为志)并下位之四共为十四足二分之七倍故下书七二七除一十四恰尽次五足二分之二倍故下书二二二除四余一移于下位为十并下位之六共为十六足二分之八倍故下书八二八除一十六恰尽次七足二分之三倍故下书三二三除六余一移于下位为十并下位之八共为十八足二分之九倍故下书九二九除一十八恰尽定位因得数仍原数之位故知每分得一十七万二千八百三十九两也设如有银一十二万三千四百五十三两作九分分之问每分若干法以一十二万三千四百五十三两为实列于上因首位之一小于九分故移于下位为十并下位之二共为十二足九分之一倍故下书一一九除九余三移于下位为三十并下位之三共为三十三足九分之三倍故下书三三九除二十七余六移于下位为六十并下位之四共为六十四足九分之七倍故下书七七九除六十三余一移于下位为十并下位之五共为十五足九分之一倍故下书一一九除九余六移于下位为六十并下位之三共为六十三足九分之七倍故下书七七九除六十三恰尽定位因得数比原数退一位故知每分得一万三千七百一十七两也御制数理精蕴下编卷一
## 下编卷二
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二首部二命分约分通分命分凡归除分至最细而可以恰尽无余者谓之无竒零数若分至最细而屡除不尽者谓之有竒零数其竒零若畧去之则不能复还原数此命分之所以立也其法命为分母分子分母者即除数也分子者即除不尽之数也凡不尽之数得分母中之几分者即命为几分之几是以命分之一法正所以济归除之所不逮也设如有银十一两命三人分之问每人得若干法以三人分银十一两每人得银三两仍余二两所余二两再以三人分之每人得六钱六分六厘六豪如是每得六而仍余二数不尽故立命分法以三人为分母所余二两为分子命为每人得三两又三分两之二葢将每两剖作三分其所余二两则共剖作六分三人分之每人得二分故命为三分两之二也如因三分两之二求知原银数则以三人与分子二分相乘得六分葢每人得二分则三人共得六分也以六分用分母三分归之得二两葢初分一两为三分故终收三分为一两也再加入三人所得整数共九两(一人三两三人共得九两)则得十一两以合原数也设如有银一百八十七两命十八人分之问每人得若干法以十八人分银一百八十七两每人得银十两仍余七两分之不尽则以十八人为分母所余七两为分子命为每人得一十两又十八分两之七葢将每两剖作十八分其所余七两则共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命为十八分两之七也如因十八分两之七求知原银数则以十八人与分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分则十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分归之得七两葢初分一两为十八分故终收十八分为一两也再加入十八人所得整数共一百八十两(一人十两十八人共)(得一百八十两)则得一百八十七两以合原数也约分约分者以所命之分约之以就整分也葢命分是随其数之多寡全而纪之而约分则即其多寡之数从而约之以求简易焉其法以分子分母两数辗转相减务期减余两数相同是为度尽两数之一数乃以此数为一分以除分母得几分者即约分母为几分又除分子得几分者即约为分母几分中之几凡诸法中有带分者皆由约法而得故设例于此所以明带分之根也设如古厯歳实命为三百六十五日又一百分日之二十五今以法约之求相当最小数法置日分一百以余分二十五减之余七十五分再以二十五减之余五十分再以二十五减之亦余二十五分两数齐等即以相等之数二十五转除日分一百得四即为四分又以二十五除余分二十五得一即为一分乃百分日之二十五约为四分之一是歳实共得三百六十五日又四分日之一也(葢将一日剖作四分而得其四分之一也)凡约分法以分母分子相减必得相等之数然后用之葢因此数可以度尽分母又可以度尽分子故也今以相等之数二十五为一分则日分一百有四倍二十五故为四分而余分二十五又恰足一分之数故为一分一百与二十五之比即同于四与一之比是四与一即一百与二十五之相当最小数也凡分母分子辗转相减不得相等之数终减至于一是分母分子俱无一数可以度尽之数即不用约分用命分志之可也设如有银二百一十两命一百四十七人分之每人得银一两仍余六十三两不尽以法约之求相当最小数法置一百四十七人以余银六十三减之余八十四再以六十三减之余二十一又置六十三转以二十一减之(因减数大于原数又不得两数齐等故以二十一转减之)余四十二再以二十一减之亦余二十一则两数齐等即以相等之数二十一转除一百四十七人得七即为七分又以二十一除银六十三两得三即为三分乃一百四十七人分余银六十三两约为七分之三是每人得银一两又七分两之三也(葢将每两剖作)(七分而得其七分之三也)此法以一百四十七人与六十三两辗转相减得相等之数二十一是二十一可以度尽一百四十七人又可以度尽六十三两故也既以二十一为一分则一百四十七有七倍二十一故为七分六十三有三倍二十一故为三分一百四十七与六十三之比即同于七与三之比是七与三即一百四十七与六十三之相当最小数也通分凡竒零数目不以十递析者难以立算则用通分如斤通为两宫通为度度通为分之类是也又有整数而带零分者则必通之以从其类如化整为零收零作整之类是也或有零分而分母不同者则必通之以同其母如互乘之类是也通分之法立然后竒零数目得以归有余齐不足而带分之法皆根于此故为另设加减乘除之法以明其义焉加法凡竒零数相加两分母同者即并两分子为得数若相加之数大于母数则于所得数内减去母数为一整数纪其余为零数设如有九分丈之七(一丈分为九分而得其七分也)与九分丈之五(一丈分为九分而得其五分也)相加求总数法以九分之七与九分之五左右列之将两分子七与五相加得一十二因子数大于母数乃于一十二内减去母数九为一整数余三为零数即得整数一丈零九分丈之三为相加之数也此法因两分母同为九分而两分子亦同为九分中之零分故径并两零分之七与五得一十二又以母数九分收为一丈(葢初以一丈分为九分今满九分即收为一丈也)其所余三亦仍为九分中之三分故得一丈零九分丈之三为两零分之共数此分母相同之加法也(如以真数明之九分丈之七是将一丈分为九分得其九)(分中之七分一丈分为九分则每一分得一尺一寸一分一厘有余九分中之)(七分则为七尺七寸七分七厘有余也九分中之五分则为五尺五寸五分五)(厘有余也两数相加共得一丈三尺三寸三分三厘有余即一丈零九分丈之)(三也葢一尺一寸一分一厘有余既为九分中之一分则三尺三寸三分三厘)(有余即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不尽之)(数是九分与一丈之比即同于三分与三尺三寸三分有余之比也)凡竒零数相加两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相加为共子数纪于共母数之下为共零数设如有三分丈之二(一丈分为三分而得其二分也)与五分丈之三(一丈分为五分而得其三分也)相加求总数法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得十将两得数相加得十九为共子数因子数大于母数乃于十九内减去共母数十五为一整数余四为零数即得整数一丈零十五分丈之四为相加之数也此法用互乘者本为齐其分母也夫以两分母相乘得十五者乃以两分母俱变为十五分也(因分母不同难以相加故变为同等)以前分母三乘后分子三得九者乃以后分子变为十五分中之九也又以后分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦变为十五分中之十也葢十五分之十与三分之二其比例等(俱为五倍比例)而十五分之九与五分之三其比例亦等(俱为三倍比例)两分母既变为同等则两分子亦俱为同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也(如以真数明之三分丈之二既变为十五)(分丈之十则每一分为六寸六分六厘有余今得十分即六尺六寸六分六厘)(有余也又五分丈之三既变为十五分丈之九则每一分亦为六寸六分六厘)(有余今得九分即六尺也两数相加共得一丈二尺六寸六分六厘有余即一)(丈零十五分丈之四也葢六寸六分六厘有余即为十五分中之一分今二尺)(六寸六分六厘有余为四倍六寸六分六厘有余即十五分中之四分也如以)(十五分除四分即得二尺六寸六分不尽之数是十五分与一丈之比即同于)(四分与二尺六寸六分有余之比也)又或分母不同而可以加减之使同者则变而同之可省互乘设如有八分两之一与十二分两之三相加求总数法以十二分之三变为八分之二则与八分之一两分母相同故径并两分子二与一得三即八分两之三为相加之数也此法将十二分之三变为八分之二者乃分母分子各减三分之一也母数十二减三分之一余八子数三减三分之一余二葢十二分之三与八分之二其比例相等故变从简易如数有参差者则当用下节之法(如以真数明之八分两之一是)(将一两分为八分其一分即一钱二分五厘也又十二分两之三是将一两分)(为十二分其三分为二钱五分今变为八分两之二是将一两分为八分其二)(分亦为二钱五分也两数相加共得三钱七分五厘即八分两之三也葢一钱)(二分五厘为八分中之一分今三钱七分五厘即八分中之三分也如以八分)(除三分即得三钱七分五厘是八分与一两之比即同于三分与三钱七分五)(厘之比也)设如有六分石之五与三分石之二相加求总数如依前法将六分之五折半为三分之二分半则两分母虽同而分子却有竒零若将三分之二加一倍作六分之四变少从多则与六分之五两分母相同乃径并两分子五与四得九因子数大于母数乃于九内减去母数六为一整数余三为零数即得整数一石零六分石之三为相加之数也此法三分之二变为六分之四者乃分母分子各加一倍之比例也凡变分母分子或加或减务期所变之分数与原分数比例相同使其两分母同而两分子可并也此条与上条用加减虽各异而齐其分母以加之则同也(如以真数明之六分石之五是将一石分为六分则)(每一分得一斗六升六合六勺六撮六抄有余今得五分即八斗三升三合三)(勺三撮三抄有余也又三分石之二是将一石分为三分其二分为六斗六升)(六合六勺六撮六抄有余今变为六分石之四是将一石分为六分其四分亦)(为六斗六升六合六勺六撮六抄有余也两数相加共得一石四斗九升九合)(九勺九撮九抄有余收为五斗即一石零六分石之三也葢六分为一石则三)(分即五斗也)凡子母数有三四种相加者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法加之(三种者以第一数与第二数依前互)(乘法相加得数又与第三数依前互乘法相加四程者以第一数第二数互乘相加得数与第三数互乘)(相加得数复与第四数互乘相加)如两分母相同者即并其两分子而与所余之分母不同者用互乘以加之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相加为得数即不用互乘矣设如有三分斤之一又四分斤之二又五分斤之三相加求总数法以前两分子分母按互乘法相加得十二分斤之十(以两分母三与四相乘得十二为共母数以前)(分母三乘后分子二得六又以后分母四乘前分子一得四相加得一十为共)(子数是为十二分斤之十)乃以十二分斤之十与第三子母分用互乘法相加得六十分斤之八十六(以第三分母五与前两分母互乘所得之十二相乘得六)(十为共母数以前两分母所得十二乘第三分子三得三十六又以第三分母)(五乘前两分子所得十得五十相加得八十六为共子数是为六十分斤之八)(十六)因子数大于母数乃于共子数八十六内减去共母数六十为一整数余二十六为零数即得一斤零六十分斤之二十六为总数也凡子母分有四种五种相加者俱倣此(如以真数明之三分斤之一是将一斤分)(为三分其一分即五两三钱三分三厘有余也四分斤之二是将一斤分为四)(分则每一分为四两今得二分即八两也五分斤之三是将一斤分为五分则)(每一分为三两二钱今得三分即九两六钱也三数相加共得二十二两九钱)(三分三厘有余内收十六两为一斤余六两九钱三分三厘有余即六十分斤)(之二十六也葢以十六两分为六十分每分得二钱六分六厘有余今六两九)(钱三分三厘有余有二十六倍二钱六分六厘有余即为二十六分也)设如有五分丈之三又四分丈之一又五分丈之一相加求总数法因五分丈之三与五分丈之一两分母相同故直并其两分子三与一为五分丈之四再以五分丈之四与四分丈之一依互乘法相加得二十分丈之二十一(以前分母五与后分母四相乘得二十为共母数以前分母五乘后)(分子一得五又以后分母四乘前分子四得十六相加得二十一是为二十分)(丈之二十一)因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数二十为一整数余一为零数即得一丈零二十分丈之一为总数也(如以真数明之其五分丈之三即六尺也其四分丈)(之一即二尺五寸也其五分丈之一即二尺也三数相加得一丈零五寸即一)(丈零二十分丈之一葢一丈分为二十分每分得五寸也)设如有三分两之二又四分两之三又十二分两之四相加求总数法以三分之二与四分之三用互乘法相加得十二分两之十七(以前分母三与后分母四)(相乘得十二为共母数以前分母三乘后分子三得九又以后分母四乘前分)(子二得八相加得十七是为十二分两之十七)此所得之十二分两之十七与第三分母相同即以前两分所得共子十七与后一分子四相加得二十一是为十二分两之二十一因子数大于母数乃于共子数二十一内减去共母数十二为一整数余九为零数即得一两零十二分两之九为总数也(如以真数明之其三分两之二即六钱六分六厘有余也其四分两)(之三即七钱五分也其十二分两之四即三钱三分三厘有余也三数相加得)(一两七钱四分九厘有余收作七钱五分即一两零十二分两之九葢十二分)(两之九即七钱五分也)减法凡竒零数相减两分母同者即将两分子相减为余数设如有十一分丈之七减十一分丈之五求余数法以十一分丈之七与十一分丈之五左右列之将两分子五与七相减余二即得十一分丈之二为余数也葢因两分母同为十一分则两分子亦同为十一分中之零分故径将两分子相减余二亦仍为十一分中之二分是以定为十一分丈之二此分母相同之减法也(如以真数明之十一分丈之七是将一丈分为十一分则每一分得九寸零九)(厘零九丝有余其中之七分即六尺三寸六分三厘六豪三丝有余也其中之)(五分即四尺五寸四分五厘四豪五丝有余也相减余一尺八寸一分八厘一)(豪八丝有余即十一分中之二分也葢九寸零九厘零九丝有余为一分则一)(尺八寸一分八厘一豪八丝有余即为二分也如以十一分除二分亦得一尺)(八寸一分八厘一豪八丝不尽之数是十一分与一丈之比即同于二分与一)(尺八寸一分八厘一豪八丝有余之比也)凡竒零数相减两分母不同者则用互乘法以两分母相乘为共母数再以前分母乘后分子又以后分母乘前分子以所得两子数相减为余数设如有三分丈之二减五分丈之三求余数法以两分母三五相乘得一十五为共母数再以前分母三乘后分子三得九又以后分母五乘前分子二得一十将所得两分子相减余一即得十五分丈之一为余数也此法用互乘齐其分母将三分丈之二变为十五分丈之十将五分丈之三变为十五分丈之九两分母既同为十五分故两分子十与九相减余一为十五分丈之一也此分母不同之减法也如两分母不同可以加减之使其相同者减之亦如加法中例故不重设(如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有余也)(其五分丈之三即六尺也相减余六寸六分六厘有余即十五分丈之一也葢)(一丈分为十五分每一分得六寸六分六厘不尽也)凡零数与整数相减者即以分子与分母相减为余数设如有米一石内减七分石之五求余数法以整数一石变为七分为分母与分子五相减余二即得七分石之二为余数也葢将一石分为七分而于此七分内减去五分则所余即七分石之二此整数中减零数法也(如以真数明之将一石分为七分则)(每一分得一斗四升二合八勺五撮七抄有余其五分即七斗一升四合二勺)(八撮五抄有余也与一石相减余二斗八升五合七勺一撮四抄有余即七分)(石之二也葢一斗四升二合八勺五撮七抄有余为一分则二斗八升五合七)(勺一撮四抄有余自为二分也)凡整数带零分相减者将两零分用互乘法变为同母然后减之设如有银八两零五分两之四内减五两零七分两之三求余数法以八两之零数五分之四与五两之零数七分之三用互乘法两分母七五相乘得三十五为共母数再以五两之分母七乘八两之分子四得二十八为八两所变之子数又以八两之分母五乘五两之分子三得十五为五两所变之子数乃以八两五两二整数相减余三两以两子数二十八与十五相减余十三即得三两又三十五分两之十三为余数也葢既将两子数变为同母则八两者为八两零三十五分两之二十八五两者为五两零三十五分两之十五分母既同故以子数相减而得余数此整数带零分相减之法也(如以真数明之其八)(两零五分两之四即八两八钱也其五两零七分两之三即五两四钱二分八)(厘五豪七丝有余也相减余三两三钱七分一厘四豪二丝有余其三两为整)(数其三钱七分一厘四豪二丝有余即三十五分中之十三分也葢将一两分)(为三十五分则每一分得二分八厘五豪七丝有余其十三分即三钱七分一)(厘四豪二丝有余也)凡子母数三四种相减者其分母分子俱不同则用互乘以齐其分母按前法减之如两分母相同者即将其两分子相减而与所余之分母不同者用互乘以减之又或有两分母相乘后所得之数与所余之分母相同者则直以所得之分子与所余之分子相减即得余数其理与加法同设如有铜九斤零八分斤之七内减二斤零四分斤之一又减八分斤之三求余数法以九斤内减去二斤余七斤为整数乃以八分斤之七与四分斤之一用互乘法将八分斤之七变为三十二分斤之二十八将四分斤之一变为三十二分斤之八两数相减余三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十与第三零数八分斤之三用互乘法将三十二分斤之二十变为二百五十六分斤之一百六十将八分斤之三变为二百五十六分斤之九十六两数相减余二百五十六分斤之六十四合前整数共得七斤又二百五十六分斤之六十四为余数也如用约法则为七斤零四分斤之一葢二百五十六为四倍六十四今以六十四为一分则二百五十六自得四分也其余几种零分内有两分母相同或两分母乘出之数与余一分母相同俱照同分母之例减之故不再设或零分有四种五种者亦俱倣此此几种零分相减之法也(如以真数明之其九斤零八分斤之七即)(九斤十四两也内减二斤零四分斤之一是减去二斤四两又减去八分斤之)(三是又减去六两也余七斤零四两即七斤零四分斤之一也葢一斤分为四)(分则每一分得四两今七斤零四两故谓七斤零四分斤之一也)乘法零分与零分相乘者两分母两分子各相乘所得之数即乘出之分也设如有三分丈之二与五分丈之四相乘问得几何法以两分母三五相乘得十五分为乘出之分母又以两分子二四相乘得八分为乘出之分子即定为十五分丈之八为所得之数也今以图明之如甲乙为一丈而甲丁亦为一丈作一甲乙丙丁正方形将甲丁分为三分甲乙分为五分内共容十五分即共母数乃两分母三与五乘出之数也其甲丁之三分之二为甲戊甲乙之五分之四为甲己二数相乘得甲已庚戊长方形内容八分即共子数乃两分子二与四乘出之数也甲乙丙丁正方与甲己庚戊长方相较即知甲己庚戊长方为甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也(如以真数明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有)(余也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三)(厘有余即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分为十五分则每一分得)(六尺六十六寸六十六分六十六厘有余今得其八分即五十三尺三十三寸)(三十三分三十三厘有余也)零分与整数相乘者分子乘整数而以分母归之即所得之数也设如有七人每人赏银五分两之二问共得若干法以分子二与七人相乘得十四以分母五归之得二两八钱即七人共得之数也葢五分两之二是一两分为五分而得其二分也一人得二分则七人必共得十四分既以一两分为五分今满五分收为一两故以五归十四得二两八钱为共数此零分与整数相乘之法也整数带零分与整数乘者先将整数俱通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得设如有整数二丈又四分丈之一与八丈相乘问得几何法以整数二丈用分母四通为八分加入分子一共得九分又以整数八丈用分母四通为三十二分乃与九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定为一丈正方一十八为所得之数也此法葢以一丈通为四分是四四自乘之数始合一丈自乘之数故一十六者即分母四自乘之数未乘之先既以四通之故相乘之后必以四四自乘之数收之乃得真数此整数带零分与整数相乘之法也(如以)(真数明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸与八丈相乘即得一十八)(丈也)整数带零分与零分乘者先将整数通为零分相乘得数以分母自乘之数除之即得设如有整数二丈又五分丈之四与零分五分丈之三相乘问得几何法以整数二丈用分母五通为十分加入分子四得十四分乃与零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定为一丈正方一又一尺正方六十八为所得之数也此法葢以一丈通为五分是五五自乘之数始合一丈自乘之数故以二十五除之又二丈之零分五分之四与所乘之零分五分之三为同母故用此法如两零分分母不同则先将两零分用互乘法变为同母然后用所变之分母化整为零再与彼一零分相乘得数以所变之分母自乘之数除之即得乘出之数(法见下节)此整数带零分与零分相乘之法也(如以真数明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即)(六尺也以六尺与二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也)整数带零分与整数带零分相乘而零分之分母不同者则以两零分之分母用互乘法齐其数然后各以相同之分母化整为零两数相乘再以同母自乘之数除之即得(如所带零分本为同母者可省互乘)设如有长方田阔二丈又四分丈之三长三丈又三分丈之二求积法以两分母四三相乘得一十二为共母数以前分母四乘后分子二得八以后分母三乘前分子三得九为两分子数乃以共母数十二化阔二丈为二十四分加入分子九得三十三分为阔边所变之分数又以共母数十二化长三丈为三十六分加入分子八得四十四分为长边所变之分数爰以阔三十三分与长四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母数十二自乘之一百四十四除之得一○○八余四八不尽即定为一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十八约为三分尺之一为所得之数也此整数带零分与整数带零分相乘之法也(如以真数明之其阔二丈又四)(分丈之三即二丈七尺五寸也其长三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六)(分六厘有余也以二丈七尺五寸与三丈六尺六寸六分六厘有余相乘即得)(一十丈零八尺有余也)大分下又带小分相乘者其例有四(所谓大分下带小分者是将大)(分之一分又分为几分如大分五分之三又带小分四分之一是将大分五分之三之一分又分为四分)(而得其一分也)有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之两母数两子数对乘即得(总以小分母通之者葢小)(分母又为大分母之每一分之几分小分不能使大大分可以变小使大分母大分子俱变为小分母一)(体然后可以相乘乘之即所以通之也设法中以度数明之其理自显)设如有甲数五分丈之三又带此一分之四分之一与乙数五分丈之四又带此一分之四分之二相乘问得几何(此大小分母俱同者也)法以甲数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十与乙所变之分母二十相乘得四百分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子十八相乘得二百三十四分为乘出之分子即定为四百分丈之二百三十四为所得之数也(此法甲乙之小分母俱为四故将其)(大分母之每分亦俱化为四分又将大分子之每分亦俱化为四分使大分与)(小分之子母一体然后乘之今以度数明之甲之五分丈之三乃一丈内之六)(尺其所带小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲数共为六尺五寸乙之五)(分丈之四乃一丈内之八尺其所带小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙)(数共为九尺六尺五寸与九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方为一百)(尺而得其五十八尺又小余五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘)(得数五十八尺五十寸得二百三十四分故为四百分之二百三十四也若以)(尺随寸命之则五十八尺五十寸又为五千八百五十寸以大分每一分通为)(小分四分则每一千寸分为四分每分得二百五十寸以二百五十寸归五千)(八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分进)(而命为丈则为四百分丈之二百三十四也)设如有甲数四分丈之三又带此一分之七分之二与乙数九分丈之五又带此一分之三分之一相乘问得几何(此大小分母俱不同者也)法以甲数小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母二十八与乙所变之分母二十七相乘得七百五十六分为乘出之分母又以甲所变之分子二十三与乙所变之分子一十六相乘得三百六十八分为乘出之分子即定为七百五十六分丈之三百六十八为所得之数也(如以真数明之甲四分丈之三)(即一丈内之七尺五寸又带小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘)(二豪有余是甲数共为八尺二寸一分四厘二豪有余也乙九分丈之五即一)(丈内之五尺五寸五分五厘五豪有余又带小分三分之一即一尺一寸一分)(一厘一豪有余内之三寸七分零三豪有余是乙共为五尺九寸二分五厘九)(豪有余也两数相乘得四十八尺六十七寸六十五分有余即七百五十六分)(丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六)(十七寸六十五分不尽之数葢七百五十六分为一百尺则三百六十八分自)(得四十八尺六十七寸六十五分有余也)设如有甲数八分丈之三又带此一分之四分之一与乙数八分丈之四又带此一分之六分之五相乘问得几何(此大分母同而小分母不同者也)法以甲数小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三为甲大小分所变之数又以乙数小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十二与乙所变之分母四十八相乘得一千五百三十六分为乘出之分母又以甲所变之分子十三与乙所变之分子二十九相乘得三百七十七分为乘出之分子即定为一千五百三十六分丈之三百七十七为所得之数也(如以真数明之)(甲八分丈之三即三尺七寸五分又带此一分之四分之一即三寸一分二厘)(五豪是甲数共为四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又带此一)(分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有余是乙数共为六尺零四分一厘)(六豪有余也两数相乘得二十四尺五十四寸四十二分有余即一千五百三)(十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得)(二十四尺五十四寸四十二分不尽之数葢一千五百三十六分为一百尺则)(三百七十七分自得二十四尺五十四寸四十二分有余也)设如有甲数六分丈之四又带此一分之五分之一与乙数九分丈之七又带此一分之五分之二相乘问得几何(此大分母不同而小分母同者也)法以甲数小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一为甲大小分所变之数又以乙数小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七为乙大小分所变之数然后以甲所变之分母三十与乙所变之分母四十五相乘得一千三百五十分为乘出之分母又以甲所变之分子二十一与乙所变之分子三十七相乘得七百七十七分为乘出之分子即定为一千三百五十分之七百七十七为所得之数也(如以真数明之甲六分丈之四即六尺六)(寸六分六厘六豪有余又带此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有余)(是甲数共为六尺九寸九分九厘九豪有余也乙九分丈之七即七尺七寸七)(分七厘七豪有余又带此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有余是乙)(数共为八尺二寸二分二厘二豪有余也两数相乘得五十七尺五十五寸五)(十五分有余即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分)(除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不尽之数葢一千三百)(五十分为一百尺则七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有余)(也)除法零分归除零分者两分母两分子各自除之所得之数即除出之分也如有竒零不尽者用互乘法齐之即得分数其比例与除出之法同设如有九分丈之二以三分丈之一除之求得几何法以九分丈之二为实三分丈之一为法以法分母三除实分母九得三为除出之分母又以法分子一除实分子二仍得二为除出之分子即定为三分丈之二为所得之数也此法即乘法内两分母两分子各相乘为所得之数者转用之耳此零分除零分之法也又法以互乘代除以实分母九乘法分子一得九为除出之分母又以法分母三乘实分子二得六为除出之分子共得九分丈之六即所求之数也此法与前法所得之分母分子之数虽不同而理则一前法之三分之二与此法之九分之六其比例实同葢前法以法除实其得数为减分之比例此法以两数互乘其得数为加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用两分母相乘之数省去一层耳如欲明晰其故则以两分母九与三相乘得二十七法分母三与实分子二相乘得六实分母九与法分子一相乘得九是将三分之一变为二十七分之九将九分之二变为二十七分之六其两分母既等则其两分子自成比例故九与六之比即同于三与二之比九分之六以三约之非三分之二耶(如以真数明之实九分丈之二为面积即二十二尺二十)(二寸二十二分二十二厘有余也法三分丈之一为边线即三尺三寸三分三)(厘有余也除之得六尺六寸六分六厘有余即三分丈之二也如以三分除二)(分亦得六尺六寸六分六厘不尽之数葢三分为一丈其二分自得六尺六寸)(六分六厘有余也)整数归除零分者分母通整数以除分子即得所求之数设如有五分丈之三以八丈除之求得几何法以分子三为实以分母五通整数八丈得四十为法除之得七寸五分即所求之数也此法以五分乘八丈者是分母通整数将每丈俱通为五分也八丈既通为四十分则五分之三之每一分即与四十分中之每一分同等然而零数三分以四十分除之而得七寸五分者则又为变分为尺寸之比例矣四十分与一丈之比即同于三分与七寸五分之比此整数除零分之法也零分归除整数者分母通整数而以分子除之即得所求之数设如有六丈以三分丈之二除之求得几何法以分母三通整数六丈得一十八为实以分子二为法除之得九丈即所求之数也此法以三分乘六丈者是将每丈俱通为三分也六丈既通为十八分则十八分中之每一分与三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整数之法也整数带零分归除整数者先将法实之两整数俱通为零分而于法中加入分子除之即得设如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得几何法以分母三通二十四丈得七十二为实又以分母三通二丈得六加入分子二得八为法除之得九丈即所求之数也此法以分母三通实二十四丈是将实之每丈俱化为三分也又以分母三通法二丈是将法之每丈亦俱化为三分也两整数俱化为同等则法实一体故法除实而得所求之数也此整数带零分除整数之法也整数归除整数带零分者先将法实之两整数俱通为零分而于实中加入分子以法除之即得设如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得几何(即以前法数目作题者取其易明也)法以分母三通二丈得六加入分子二得八为实又以分母三通二十四丈得七十二为法除之得一尺一寸一分不尽约为九分丈之一即所求之数也此法以分母三通法实之两整数者是将两整数之每丈俱通为三分也一得七十二分一得八分以七十二与八之比即同于九与一之比故约为九分之一且以七十二除八得一一一不尽之数定为一尺一寸一分有余者葢七十二分与一丈之比即同于八分与一尺一寸一分有余之比也此整数除整数带零分之法也整数带零分归除零分者先将整数通为零分加入分子除之即得设如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得几何法以五分丈之四为实以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五为法用两分母两分子各自归除之法以法分母八除实分母五得六二五为除出之分母以法分子二五除实分子四得一六○为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之数也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也实之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分归除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分与一丈之比即同于八尺与二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五与一丈之比即同于一六○与二尺五寸六分之比也然六二五与三丈一尺二寸五分之比又即同于一六○与八尺之比而皆为加倍之比例也此整数带零分除零分之法也又或整数通为零分加入分子之后以法除实而数有竒零不尽者则用互乘代除之法如前数已将整数通为八分丈之二十五为法乃以实分母五乘法分子二十五得一百二十五为除出之分母又以法分母八乘实分子四得三十二为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分与一丈之比即同于三十二分与二尺五寸六分之比也后法之有竒零数而用互乘代除者皆同此例零分归除整数带零分者先将整数通为零分加入分子以法除之即得设如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得几何法以实之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四为实以七分丈之四为法用互乘代除之法以实分母三乘法分子四得十二为除出之分母以法分母七乘实分子一十四得九十八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍余二不尽命为十二分尺之二以法约之为六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之数也葢十二与一尺之比即同于九十八与八尺有余之比也此零分除整数带零分之法也整数带零分归除整数带零分者先各以整数通为零分加入分子而以法除实即得设如有田五亩又三分亩之二共租银五两又二十七分两之一求每亩得租银几何法以银分母二十七通五两得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分两之一百三十六为实又以田分母三通五亩得十五加入分子二得十七共得三分亩之十七为法用互乘代除之法以银分母二十七乘田分子一十七得四百五十九为除出之分母以田分母三乘银分子一百三十六得四百零八为除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八钱八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每亩所租之银数也葢四五九与一两之比即同于四○八与八钱八分八厘有余之比也此整数带零分除整数带零分之法也大零分下又带小零分相除者其例有四(有大小分母俱同者)(有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者)今以一法驭之总以小分母通大分母为母数又以小分母通大分子加入小分子为子数然后以所变之子母数用互乘代除之法归之即得(如用子母各自对除亦得但恐数有竒零)(故用此法)设如有甲八分丈之七又带此一分之五分之三以乙五分丈之二又带此一分之四分之一除之求法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八为甲大小分所变之数以之为实又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九为乙大小分所变之数以之为法然后用互乘代除之法以甲所变之分母四十乘乙所变之分子九得三百六十为除出之分母又以乙所变之分母二十乘甲所变之分子三十八得七百六十为除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十约为九分厘之一即所求之数也葢三六○与一尺之比即同于七六○与二尺一寸一分一厘有余之比也此大零分下带小零分相除之法也(其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此)(例故不重设)御制数理精蕴下编卷二
## 下编卷三
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三线部一正比例转比例合率比例正比例带分转比例带分比例凡物彼此相形并之而用加较之而用减聚之而用乘散之而用除观之不过两率然乘除之间四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人几何每人得物几何求总物几何则是每一人得物几何与几何人共得物几何相比而成四率乃自小而得大者也如归除命法曰有物几何命几何人分之每人得物几何则是共人几何共物几何与每一人得物几何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命数以一人为法故乘与除各省其率耳是虽名为乘除而实为相比之四率也至于比例正法则所该甚广大而推歩七政天行测量髙深广逺小而量功命事度大移小无一非由比例而得葢以两数为比例用今有之数即可以得未有之数也比例之理虽分相连相当二种而相当比例之中实又兼相连比例相当比例一率比二率如三率比四率而相连比例首率比中率若中率比末率者即是中率为二率而又为三率也尽人皆知线有线之比例面有面之比例体有体之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之类正皆比例之属也然此类中有合数之比例分数之比例均数之比例借数之比例非条分缕析各项专论则不备故仍旧各自为类而独于比例中最切者详明其理以列法焉其法一名异乘同除(或名为准测或名为顺单)以原有之两件相除故为同除以今有之一件乘之故为异乘(如先乘而后除亦同)而今则质言之曰正比例葢以原有之两件为一率二率以今有之一件为三率而所求之一件则为四率也一名为同乘异除(或名为变测或名为互视或名为逆单)以原有之两件相乘故为同乘以今有之一件除之故为异除而今则质言之曰转比例葢以原有之两件为二率三率以今有之一件为一率而所求之一件则为四率也然论其乘除之名虽异究其比例之理则一而已今以数明之如原有之两数为二与四今有之一数为八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率为十六而一率二与二率四之比即三率八与四率十六之比为相当之比例也如原有之两数为八与四今有之一数为十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率为二而一率十六与二率八之比即三率四与四率二之比或以一率十六与三率四之比即同于二率八与四率二之比皆为相当之比例也总之乘除之名有异同四率之列有更换而既成比例之后其理无不归于大同由此引伸触类推而广之有合几四率而为一四率者则名为同乘同除(或名为重测或名为顺较逆较)而今则质言之曰合率比例葢其理亦不过合几乘而为一乘合几除而为一除各按四率参互错综岂能岀于比例之外哉凡此各种比例俱设数例于后以明立法之根加之解说以广用法之意正比例设如有银买米每米一石银八钱今买米二百四十石问共该银若干法以米一石为一率银八钱为二率今买米二百四十石为三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二两即共银数也葢一石与二百四十石为加二百四十倍而八钱与一百九十二两亦为加二百四十倍(见几何原本六卷第十五节)故一石与八钱之比即同于二百四十石与一百九十二两之比也(此法一率是一止用八钱乘二)(百四十石亦得但为明正比例之理故首设一二易法使人好推寻也)设如有银买米每银一两买米一石三斗今有银三百二十两问共买米若干法以银一两为一率米一石三斗为二率今银三百二十两为三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米数也葢一两与一石三斗之比即同于三百二十两与四百一十六石之比也设如有银赏人每三人赏银一两八钱今有二百四十人问共该银若干法以三人为一率一两八钱为二率今有二百四十人为三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四两即共银数也葢三人与一两八钱之比即同于二百四十人与一百四十四两之比也设如有谷换米每谷一石四斗换米八斗四升今有谷三十二石六斗八升问换米若干法以谷一石四斗为一率米八斗四升为二率今有谷三十二石六斗八升为三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六斗零八合即所换共米数也葢谷一石四斗与米八斗四升之比即同于谷三十二石六斗八升与米一十九石六斗零八合之比也设如天上二度当地面四百里今七度该里数若干法以原有之二度为一率四百里为二率今有之七度为三率二三率相乘一率除之得四率一千四百里即七度之里数也葢一率二与二率四之比为加一倍而三率七与四率十四之比亦为加一倍故二率得一率中之几分之几则四率亦得三率中之几分之几而为相当比例四率也设如一星一日内行一度三十分今问八刻内应行若干法以原数一日变作九十六刻为一率一度三十分变作九十分(一度作六十分加入三十)(分共九十分)为二率今星行八刻为三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之数葢九十六刻与九十分之比即同于八刻与七分半之比也然将日变为刻者因每日九十六刻不以十进位又今所有者为八刻故以刻数与刻数相比也度变为分者因每度六十分亦不以十进位而今八刻内所行者必为分故以分数与分数相比也设如验时仪算砲声自烟起至闻声计七秒得五里今得十四秒问里数若干法以七秒为一率五里为二率今得十四秒为三率二三率相乘一率除之得四率十里即十四秒之里数也葢七秒与五里之比即同于十四秒与十里之比也设如有羊四百六十只共卖银八十二两八钱问每羊一只价银几何法以羊四百六十只为一率银八十二两八钱为二率羊一只为三率推得四率一钱八分即每羊一只之价也(此法三率)(是一止用羊四百六十只归除八十二两八钱亦得但列四率法中不得不备)(其一体也)设如有羊一群共二百四十只又生羔七十二只问加羊群内十分之几法以羊二百四十只为一率十分为二率今生羔七十二只为三率推得四率三分即为加羊群内十分之三也葢二百四十与十分之比即同于七十二与三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四总而约之故为十分之三也设如有田科粮每三亩科粮八斗四升今有四千六百三十五亩问得粮若干法以三亩为一率八斗四升为二率今有四千六百三十五亩为三率推得四率一千二百九十七石八斗即所得共粮数也葢三亩与八斗四升之比即同于四千六百三十五亩与一千二百九十七石八斗之比也设如用古量法豆区釜皆以四进有八十豆当二十区有二十区当釜若干法以八十豆为一率二十区为二率又为三率推得四率五釜即二十区所当釜数也此正比例中相连比例法也葢因二十区与二十区相乘得四百区而八十豆与五釜相乘亦得四百区二十区既为二率又为三率故谓相连比例是以八十豆与二十区之比即同于二十区与五釜之比也设如一商原有本银三千两一年得利银九百两今复将九百两为本问一年得利若干法以三千两为一率九百两为二率又为三率推得四率二百七十两即九百两所得之利也此法以九百两为二率又为三率葢三千两与九百两之比为三与九之比例而九百两与二百七十两之比亦为三与九之比例也转比例设如有田一亩原阔八歩长三十歩今阔要十二歩问长得几何法以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今阔十二歩之长也此法以原有之两数相乘以今有之一数除之而得今所求之数者因乘出两数相同故也在正比例原有之两件为一率二率今有之一件为三率而今所求之一件为四率俱以原有之一件与今有之一件相乘其积相同在转比例则原有之两件为二率三率今有之一件为一率而今所求之一件为四率是原有之两件相乘今有之两件相乘其积相同此两法异同之故也虽今阔比原阔多而今长却比原长少故原有之阔(八歩)与长(三十歩)相乘得二百四十歩而今有之阔(十二歩)与长(二十歩)相乘亦得二百四十歩其积既同是以转而比之自成比例葢今阔比原阔多三分之一今长比原长少三分之一其比例相同(见几何原本七卷第三节)故今阔十二歩与原阔八歩之比即同于原长三十歩与今长二十歩之比也若借正比例论之以原阔八歩为一率原长三十歩为二率今阔十二歩为三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩则是今阔比原阔多今长亦比原长多所容积数亦多而与一亩之数不合矣故转以今阔十二歩为一率原长三十歩为二率原阔八歩为三率而得四率二十歩是为一率与三率之比同于二率与四率之比也设如有地寛二十丈长一百二十丈今换地寛三十丈问长得几何法以今寛三十丈为一率原长一百二十丈为二率原寛二十丈为三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之长也此法原有之寛与长相乘得二千四百丈今有之寛与长相乘亦得二千四百丈其积既同故转而比之自成比例以今寛比原寛以原长比今长俱三与二之比例是以今寛三十丈与原寛二十丈之比即同于原长一百二十丈与今长八十丈之比也设如佣工开渠八人开之二十日完今加倍用十六人开之问得几日完法以今十六人为一率原二十日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人与原八人之比即今之工加一倍而原二十日与今十日之比则今所得之日亦必减一倍故一率十六人与三率八人之比即同于二率二十日与四率十日之比也设如有地四百八十亩八人耕之十二日完今用六人耕之问得几日完法以今六人为一率原十二日为二率原八人为三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人数日数不同而所耕之田则同为四百八十亩而所用之工又同为九十六故以八人论一日八工十二日则用九十六工以六人论一日六工十六日亦用九十六工也故转用四率自成比例以一率六人与三率八人之比即同于二率十二日与四率十六日之比也设如众军支米足用四年则每人每月支米三斗今欲将四年之米足用十二年问每人每月应支几何法以今欲用十二年为一率原支米三斗为二率足用四年为三率二三率相乘一率除之得四率一斗即足用十二年每人每月应支之数也此法支米多则足用年数少今支米少则足用年数多葢四年与十二年之比在年为加三分之二而三斗与一斗之比在米又为减三分之二其比例固同也设如木星十二年一周天每年行三十度土星则二十八年一周天问每年行几度法以土星所行一周二十八年为一率木星每年所行三十度为二率木星所行一周十二年为三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有余即土星每年所行之度数也葢木星周天比土星年数少而行度却多土星周天比木星年数多而行度却少多得少而少反得多故转而比之以二十八年与十二年之比即同于三十度与十二度有余之比也设如一人借人之绢宽三尺长二十四丈今还绢宽四尺问长该若干法以今绢宽四尺为一率原绢长二十四丈为二率原绢宽三尺为三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即为今所还宽四尺绢之长也葢原绢宽三尺长二十四丈相乘得七百二十尺今绢宽四尺长十八丈相乘亦得七百二十尺因其积数相同故今绢宽四尺与原绢宽三尺之比即同于原绢长二十四丈与今绢长十八丈之比也设如验时仪坠子其绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝四刻内来往共三千次今造一坠欲使来一秒往一秒问绳长若干法以四刻化三千六百秒为今坠子往来次数自乘得一千二百九十六万次为一率原坠绳长四尺四寸八分一厘二豪八丝为二率以原坠往来三千次自乘得九百万次为三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二厘即今所求坠绳之长也夫以四刻化秒者葢以所求之坠子欲其来一秒往一秒也故秒数即次数四刻所化之秒即今坠子在四刻内往来之次数也其比例以次数自乘者因坠子往来之际已成平面形故以往来之方数相比为面比面而原坠与今坠之长数相比为线比线务使其类相当而后可以相比也是以今坠往来次数自乘与原坠往来次数自乘之比即同于原坠长数与今坠长数之比也然原坠于四刻内往来之次数少而坠却长今坠于四刻内往来之次数多而坠却短故以今坠之往来次数与原坠之往来次数为比即同于原坠之长与今坠之长为比所以为转比例也设如有正方池一面每边十二丈今欲作宽八丈之池使其池面积数与方池等问长得几何法以今池宽八丈为一率原池长十二丈为二率原池宽十二丈为三率推得四率十八丈即今欲作池之长也此转比例中相连比例法也葢原池方面每边十二丈其积一百四十四丈即二率三率相乘之数今所得四率长十八丈与一率宽八丈相乘亦得一百四十四丈两数相等故以一率今池宽八丈与三率原池宽十二丈之比即同于二率原池长十二丈与四率今池长十八丈之比也设如原用金九两系九成今用八成金折还当加几两法以今金八成为一率原金九两为二率原金九成为三率推得四率十两零一钱二分五厘内减九两余一两一钱二分五厘即八成金当加之数也此法二率三率为体虽不同而数则一故亦为相连比例葢以原金九两又系九成相乘得十成金八两一钱以今之八成与所得十两零一钱二分五厘相乘亦得十成金八两一钱是八成与九成之比即同于九两与十两零一钱二分五厘之比也合率比例设如以夏布换棉布但知每夏布三丈价银二钱每棉布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈问换棉布若干法以夏布三丈与棉布价银七钱五分相乘得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与棉布七丈相乘得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率推得四率二十八丈即夏布四十五丈所换之棉布数也此法乃两比例合为一比例也如分作两比例明之每夏布三丈价银二钱今夏布四十五丈则价银应得三两此一比例也棉布价银七钱五分得棉布七丈今夏布四十五丈之价三两则应得棉布二十八丈此又一比例也夫银三两原为夏布四十五丈之价则夏布四十五丈所换之棉布二十八丈价银亦应三两可知矣葢两比例中一以三丈作一率一以七钱五分作一率故三丈与七钱五分相乘得二两二钱五分而为一率是合两一率而为一一率也一以二钱作二率一以七丈作二率故二钱与七丈相乘得一两四钱而为二率是合两二率而为一二率也而后比例之三率即前比例之四率如以两三率相乘为三率则所得四率亦为两四率相乘之数必须以前比例之四率除之方得后比例之四率故即以夏布之四十五丈为三率而得棉布之二十八丈为四率也设如以芝麻换黄米但知每芝麻三石换菉豆五石每菉豆四石换黄米三石今有芝麻五十四石问换黄米若干法以芝麻三石与菉豆四石相乘得十二石为一率又以菉豆五石与黄米三石相乘得十五石为二率芝麻五十四石为三率推得四率六十七石五斗即芝麻五十四石所换之黄米数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之每芝麻三石换菉豆五石则芝麻五十四石必换菉豆九十石此一比例也菉豆四石换黄米三石则菉豆九十石必换黄米六十七石五斗此又一比例也夫菉豆九十石原为芝麻五十四石所换则菉豆九十石所换之黄米即芝麻五十四石所换之黄米可知矣葢以两比例之各一率相乘为一率两比例之各二率相乘为二率者即合两次乘除为一次乘除也设如养兵七百名每年额饷一万二千六百两内有新著伍兵三百名已应役七个月问该饷银若干法以原养兵七百名与十二个月相乘得八千四百为一率额饷一万二千六百两为二率新兵三百名与七个月相乘得二千一百为三率推得四率三千一百五十两即兵三百名七个月应得之饷银数也此法亦两比例合为一比例也如分作两比例明之兵七百名得一万二千六百两则兵三百名应得五千四百两(乃兵三百名十二个月应得之数)此一比例也兵三百名十二个月应得五千四百两则七个月应得三千一百五十两此又一比例也今以两比例之各一率相乘为一率两比例之各三率相乘为三率者亦如两比例之各一率二率相乘合为一一率二率也设如原有鹅八只换鸡二十只又鸡三十只换鸭九十只又鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鹅几何法以所换羊二只与所换鸭九十只相乘得一百八十只再以所换鸡二十只乘之得三千六百只为一率又以原鸭六十只与原鸡三十只相乘得一千八百只又以原鹅八只乘之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率推得四率二十只即羊五只所换之鹅数也此法乃三比例合为一比例也如分作三比例明之羊二只换鸭六十只则羊五只必换鸭一百五十只此一比例也鸭九十只换鸡三十只则鸭一百五十只必换鸡五十只此二比例也鸡二十只换鹅八只则鸡五十只必换鹅二十只此三比例也夫鸡五十只原为鸭一百五十只之所换而鸭一百五十只又原为羊五只之所换则鸡五十只所换之鹅二十只即为羊五只之所换可知矣今以三比例之各一率连乘之为一率又以三比例之各二率连乘之为二率者正合三比例为一比例也设如原有菽三斗换黍二斗又黍四斗换稷三斗又稷五斗换稻四斗又稻六斗换麦五斗今有麦七斗问换菽几何法以所换麦五斗与所换稻四斗相乘得二石复以所换稷三斗乘之得六石再以所换黍二斗乘之得一十二石为一率又以原有稻六斗与原有稷五斗相乘得三石复以原有黍四斗乘之得一十二石再以原有菽三斗乘之得三十六石为二率今有麦七斗为三率推得四率二石一斗即麦七斗所换之菽数也此合四比例为一比例也如分作四比例明之麦五斗换稻六斗则麦七斗必换稻八斗四升此一比例也稻四斗换稷五斗则稻八斗四升必换稷一石零五升此二比例也稷三斗换黍四斗则稷一石零五升必换黍一石四斗此三比例也黍二斗换菽三斗则黍一石四斗必换菽二石一斗此四比例也夫黍一石四斗原为稷一石零五升之所换而稷一石零五升又为稻八斗四升之所换而稻八斗四升又为麦七斗之所换则黍一石四斗所换之菽二石一斗即为麦七斗之所换可知矣今以四比例之各一率连乘之为一率又以四比例之各二率连乘之为二率者正合四比例为一比例也设如原有工人一百开河四十丈二十日工完今有工人一千开河八十丈问得日数几何法以今有工人一千与原开河四十丈相乘得四万丈为一率二十日为二率以原有工人一百与今开河八十丈相乘得八千丈为三率推得四率四日即一千人开河八十丈之日数也此法以原有今有两数互乘以比例者所以齐其分也试将两首位一千工与一百工互乘得十万工然后互乘丈数原有一边得四万丈今有一边得八千丈是原一百工开四十丈则十万工开四万丈其比例相同今一千工开八十丈则十万工开八千丈其比例亦同也因两工数相同故以四万丈与二十日之比即同于八千丈与四日之比葢原有十万工开河四万丈二十日可完今亦有十万工开河八千丈则四日可完为比例四率也然此法实系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以人工为比例原一百工开二十日今一千工即应开二日为今一千工开河四十丈之日数此一转比例也次用丈数为比例原四十丈应开二日今八十丈则应开四日为今一千工开河八十丈之日数此一正比例也法以两比例之一率相乘为一率两比例之三率相乘为三率者正合两比例为一比例也设如原有书一百篇六人写之十日完每篇三百字今有书二百篇八人写之十二日完问每篇得字若干法以今有二百篇与原有六人相乘得一千二百又以原有十日乘之得一万二千为一率每篇三百字为二率以原有一百篇与今有八人相乘得八百又以今有十二日乘之得九千六百为三率推得四率二百四十字即今八人写十二日每篇之字数也试将两首位一百篇与二百篇互乘得二万篇然后互乘人工与日原有一边得一万二千工今有一边得九千六百工葢原有二万篇用一万二千工每篇三百字今亦有二万篇用九千六百工其每篇必二百四十字为比例四率也然此法实系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以篇数为比例原一百篇每篇三百字今匀为二百篇则每篇只应一百五十字此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原六人写之每篇应一百五十字今八人写之则每篇应二百字此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写十日每篇应二百字今写十二日则每篇应二百四十字此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也设如原雇人写书每篇六百字八人写二十日得一百二十篇今写书每篇四百五十字却用十二人写三十日问得篇数几何法以今有四百五十字与原有八人相乘得三千六百又以原有二十日乘之得七万二千为一率一百二十篇为二率以原有六百字与今有十二人相乘得七千二百又以今有三十日乘之得二十一万六千为三率推得四率三百六十篇即今十二人写三十日之篇数也试将两首位六百字与四百五十字互乘得二十七万字然后互乘人工与日原有一边得七万二千工今有一边得二十一万六千工葢原有一边二十七万字用七万二千工得一百二十篇今一边亦二十七万字用二十一万六千工则得三百六十篇为比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以字数为比例原每篇六百字为一百二十篇今每篇四百五十字则必匀为一百六十篇此一转比例也然人数不同故次以人数为比例原八人写之应得一百六十篇今十二人写之则应得二百四十篇此一正比例也然日数又不同故次以日数为比例原写二十日应得二百四十篇今写三十日则应得三百六十篇此又一正比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也设如海船内原有甜水二万零一百六十斤每人每日用二斤足用四个月今又添四千零三十二斤合前数共二万四千一百九十二斤欲用六个月问每日每人应用几何法以原有二万零一百六十斤与今六个月相乘得一十二万零九百六十个月为一率每人每日用水二斤通为三十二两为二率以今有二万四千一百九十二斤与原四个月相乘得九万六千七百六十八个月为三率推得四率二十五两六钱即今每人每日应用之数也试将两首位数互乘得四亿八千七百七十一万零七百斤然后互乘月数原有一边得九万六千七百六十八个月今有一边得一十二万零九百六十个月葢原有水四亿八千七百七十一万零七百斤足用九万六千七百六十八个月每人得三十二两今有水亦四亿八千七百七十一万零七百斤欲用十三万零九百六十个月则每人得二十五两六钱为转比例四率也然此法亦系两比例合为一比例也如分作两比例明之则先以水数为比例原有水二万零一百六十斤每人每日用三十二两今水二万四千一百九十二斤则每人每日应用三十八两四钱此一正比例也然月数不同故次以月数为比例原用四个月每日应用三十八两四钱今欲用六个月则每日应用二十五两六钱此一转比例也法以两一率相乘为一率两三率相乘为三率者正合两比例为一比例也设如原有米八万石用车二十四辆日行四十里二十日运完今有米十万石用车三十辆日行六十里问运完日数几何法以原有八万石与今用车三十辆相乘得二百四十万辆又以今行六十里乘之得一亿四千四百万里为一率二十日为二率以今有十万石与原用车二十四辆相乘亦得二百四十万辆又以原行四十里乘之得九千六百万里为三率推得四率十三日又三分日之一即今米十万石运完之日数也试将两首位数互乘得八十亿石然后互乘车数里数原有一边得九千六百万里今有一边得一亿四千四百万里葢原有米八十亿石用车二百四十万辆行九千六百万里得二十日运完今有米亦八十亿石亦用车二百四十万辆行一亿四千四百万里故十三日又三分日之一运完为转比例四率也然此法亦系三比例合为一比例也如分作三比例明之则先以米数为比例原米八万石运二十日今米十万石则应运二十五日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车二十四辆应运二十五日今车三十辆则应运二十日此一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原行四十里应运二十日今行六十里则应运十三日又三分日之一此又一转比例也法以三比例之各一率连乘之为一率三比例之各三率连乘之为三率者正合三比例为一比例也设如原有麦子一万二千石车十二辆每车载三石日行八十里四十日运完今有麦三万石车十六辆每车载四石日行六十里问运完日数几何法以原有麦子一万二千石与今车十六辆相乘得一十九万二千辆又以今每车载麦四石乘之得七十六万八千石又以今行六十里乘之得四千六百零八万里为一率四十日为二率以今有麦子三万石与原有车十二辆相乘得三十六万辆又以原每车载麦三石乘之得一百零八万石又以原行八十里乘之得八千六百四十万里为三率推得四率七十五日即今麦三万石运完之日数也试将两首位数互乘得三亿六千万石然后互乘车数石数里数原有一边得八千六百四十万里今有一边得四千六百零八万里葢原有麦三亿六千万石用车三十六万辆载一百零八万石行八千六百四十万里得四十日运完今有麦亦三亿六千万石用车一十九万二千辆载七十六万八千石行四千六百零八万里得七十五日运完为转比例四率也然此法系四比例合为一比例也如分作四比例明之则先以麦数为比例原麦一万二千石运四十日今麦三万石则应运一百日此一正比例也然车数不同故次以车数为比例原车十二辆应运一百日今车十六辆则应运七十五日此一转比例也然每车所载石数不同故次以石数为比例原每车载三石应运七十五日今每车载四石则应运五十六日二五(即四分日之一)此又一转比例也然日行里数又不同故次以里数为比例原日行八十里应运五十六日二五今日行六十里则应运七十五日此又一转比例也法以四比例之各一率连乘之为一率四比例之各三率连乘之为三率者正合四比例为一比例也正比例带分设如有银买米每米一石价银八钱四分今买米三分石之二问该银若干法以米一石用分母三通为三分为一率银八钱四分为二率分子二分为三率二三率相乘一率除之得四率五钱六分即银数也葢米一石通为三分以三分与八钱四分之比即同于二分与五钱六分之比皆为三分之二之比例也设如有人行路行过五分之二系八十里问总里数几何法以分子二分为一率分母五分为二率行过八十里为三率二三率相乘一率除之得四率二百里即总里数也葢总里数之五分之二为八十里以二分与五分之比即同于八十里与二百里之比皆为五分之二之比例也设如有银买米每米三分石之二价银七分两之五今买米四分石之三问该银若干法以三分石之二为一率七分两之五为二率四分石之三为三率用通分乘法以二率分母七与三率分母四相乘得二十八为乘出之分母又以二率分子五与三率分子三相乘得一十五为乘出之分子是为二十八分之十五为二率三率相乘之数以一率三分石之二除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母二十八与一率之分子二相乘得五十六为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子十五相乘得四十五为除出之分子即得四率五十六分两之四十五为所求之数也如求真数则变零分为两以分母五十六为一率一两为二率分子四十五为三率推得四率八钱余二不尽命为五十六分钱之二约为二十八分钱之一即所求之真数也设如有银买蜡每银二两六钱买蜡十斤零五分斤之二又七两零二分两之一今有银九钱问买蜡几何法以银二两六钱为一率以蜡十斤通为一百六十两又五分斤之二通为六两四钱又七两零二分两之一通为七两五钱共得一百七十三两九钱为二率今有银九钱为三率推得四率六十两零一钱九分收为三斤零十二两一钱九分即所求之蜡数也此法虽有零分而分两实可相通故各相通以为比例四率也设如有银买羽绒每三分丈之一价银四分两之三今欲买八分丈之七问该银若干法以原羽绒三分丈之一为一率原银四分两之三为二率今羽绒八分丈之七为三率用通分乘法以二率分母四与三率分母八相乘得三十二为乘出之分母又以二率分子三与三率分子七相乘得二十一为乘出之分子是为三十二分之二十一为二率三率相乘之数乃以一率三分丈之一除之因分母除不尽乃用通分互乘代除之法除之以乘出之分母三十二与一率之分子一相乘仍得三十二为除出之分母又以一率之分母三与乘出之分子二十一相乘得六十三为除出之分子即得四率三十二分两之六十三为所求之数也满分母三十二分收为一两余三十一(六十三分内减去三十二分仍余三十一)为一两又三十二分两之三十一如求真数则以分母三十二为一率一两为二率分子三十一为三率推得四率九钱六分八厘七豪五丝与整数一两相加得一两九钱六分八厘七豪五丝即真数也设如有银买缎每缎二疋共价八两又五分两之四今欲买三十六疋问共价若干法以二疋为一率共价八两用分母五通为四十分加分子四得四十四分为二率今买三十六疋为三率推得四率七百九十二分以每分母五分收为一两得一百五十八两又五分两之二(以五)(分为一率一两为二率七百九十二分为三率推得四率一百五十八两余二)(分即命为五分两之二)即所求之数也如以五分两之二收为四钱(五分为一两则二分为四钱)则得一百五十八两四钱即缎三十六疋之共价也如以子母分变为真数求之二疋共价八两又五分两之四则五分为一两四分为八钱是二疋共价为八两八钱即以二疋为一率八两八钱为二率三十六疋为三率亦得四率一百五十八两四钱为缎三十六疋之共价也转比例带分设如一案长九尺宽一尺六寸今欲将原长减三分之一其面积仍与原案等问宽几何法以原长九尺用分母三归之得每分三尺于原长九尺内减去一分之三尺余六尺为今长为一率原宽一尺六寸为二率原长九尺为三率二三率相乘一率除之得四率二尺四寸即今所求之宽也此法因分母三可以度尽原长故变今长为真数与他率为比例也设如营造原每日用五十六人为一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人问完工之日得几何法以今用六十四人为一率以分母九通一月为九分加入分子三共为九分月之十二为二率原用五十六人为三率推得四率九分月之十分半满分母九分收为一月余一分半(十分半内减去九分余一)(分半)约为六分月之一即得一月又六分月之一为今用六十四人完工之日也葢六十四人与一月又九分月之三之比即同于五十六人与一月又六分月之一之比也设如原有一门帘用绫一丈二尺其绫宽一尺五寸今欲作一新帘其绫比原绫宽七分尺之三问应用长数几何法以原宽一尺五寸用分母七通为十分半加入分子三得今宽一十三分半为一率原长一丈二尺为二率原宽十分半为三率推得四率九尺又一百三十五分尺之四十五约为三分尺之一即得九尺又三分尺之一为今应用之长数也葢今宽十三分半与原宽十分半之比即同于原长一丈二尺与今长九尺又三分尺之一之比也设如城守兵一营其粮可支一年又七分年之二今汰去三分之一问应支年数几何法先以年分母七通一年为七分加入分子二得七分年之九又以兵分子一减分母三得二为三分之二为现存兵数(汰去三分之一则存者为三分之二)因两分母不同故用互乘以齐之以两分母三七相乘得二十一为共母分即原兵分以年分母七互乘兵分子二得十四为今存兵分以兵分母三互乘年分子九得二十七为原年分即以所通今存兵十四分为一率原年数二十七分为二率原兵二十一分为三率推得四率二十一分年之四十分半满分母二十一分收为一年余十九分半(四十分半内减二十一分余十九分半)约为七分年之六分半即得一年又七分年之六分半为今应支之年数也葢今存兵比原兵少三分之一则支粮年数必多三分之一故今存兵十四分与原兵二十一分之比即同于原年数二十七分与今年数四十分半之比也御制数理精蕴下编卷三
## 下编卷四
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷四线部二按分递折比例(二八差分递折差分) (三七差分差分四六差分加倍减半)按分递折比例差分之欵项虽多而按分递折者皆为相连比例故约之而归一类如二八三七四六差分俱以十分为总率而按各分以分之者也如递折差分亦以十分为率而按十分之几以递折之者也如加倍减半差分则以倍半为率按一定之分而加减之者也今细分其目如左二八差分者以总物平分十分一得十分之二一得十分之八有三色者则以二与八与三十二为衰数葢八与三十二之比即如二与八之比也有四色者则以二与八与三十二与一百二十八为衰数葢三十二与一百二十八之比亦如二与八之比也至于五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎二八之比例故曰二八差分三七差分者以总物平分十分一得十分之三一得十分之七有三色者则以九与二十一及四十九为衰数(以九为第一衰数者因三与七非彼此度尽之数七作三分必至竒零不尽故以三因三得九)(为三分则以三因七得二十一为七分如二十一转为三分则四十九又为七分矣)葢九与二十一即如三与七之比而二十一与四十九亦如三与七之比也有四色者则以二十七与六十三及一百四十七与三百四十三为衰数(以三因九得二十七为三分故以七)(因九得六十三为七分若六十三转为三分则一百四十七为七分一百四十七转为三分则三百四十)(三又为七分矣)葢二十七与六十三六十三与一百四十七一百四十七与三百四十三皆如三与七之比也五色以上者皆以相连比例求各衰数总不越乎三七之比例故曰三七差分四六差分者以总物平分十分一得十分之四一得十分之六有三色者则以四与六与九为衰数葢六与九之比即如四与六之比也有四色者则以四与六与九与一三五为衰数葢九与一三五之比亦如四与六之比也五色以上者亦以相连比例求各衰数总不越乎四六之比例故曰四六差分递折差分者十分之中得其几分即为几折如得其六分即为六折得其四分即为四折若夫五折则为十分之半故载于倍半法中而别为一类加倍差分其数自少而多皆以倍而加减半差分则数自多而少皆以半而减因加减有定分故立衰有定例总以加倍减半之数为相连比例设为借数以求正数也二八差分设如有银三千两令二等人户二八纳之问各该若干法以二分八分相并得十分为一率银三千两为二率二分为三率推得四率六百两为下等人户所纳之数仍以二分八分相并之十分为一率银三千两为二率以八分为三率推得四率二千四百两即为上等人户所纳之数也此法两用四率者正为明比例之理葢二分八分相并之十分与总银三千之比即如二分之与六百之比八分之与二千四百之比也又捷法以二八所并之十分归除总银三千两得每分三百两以二分乘之得六百以八分乘之得二千四百葢每一分得三百而二分得六百八分得二千四百也又或先得二分所纳之数于总银内减之即八分所纳之数此又正法外之变法也设如有人一千六百名二分赏银八分赏米问赏银人若干赏米人若干法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率推得四率三百二十名为应赏银之人如以八分为三率推得四率一千二百八十名即应赏米之人也葢二分八分相并之十分与总人一千六百之比即如二分之与三百二十名之比八分之与一千二百八十名之比也又捷法以二八所并之十分归除总人数一千六百名得每分一百六十名以二分乘之得赏银人三百二十名以八分乘之得赏米人一千二百八十名葢每一分得一百六十名而二分得三百二十名八分得一千二百八十名也设如有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之问每人应得几何法以二分为甲衰八分为乙衰三十二分为丙衰相并得四十二分为一率总米五百八十八石为二率以甲二分为三率推得四率二十八石即甲分米数以乙八分为三率得四率一百一十二石即乙分米数以丙三十二分为三率得四率四百四十八石即丙分米数也此法用二与八八与三十二者即二八相连比例分葢总分数四十二分与总米五百八十八石之比即二分与二十八石之比八分与一百一十二石之比即三十二分与四百四十八石之比也又捷法以总数四十二分归除总米五百八十八石得每分一十四石以二分乘之得甲米二十八石以八分乘之得乙米一百一十二石以三十二分乘之得丙米四百四十八石也设如有铜五百二十斤錬成精铜每十分中去渣二分余精铜八分问精铜与渣各得若干法以十分为一率铜五百二十斤为二率八分为三率推得四率四百一十六斤为精铜之数如以二分为三率推得四率一百零四斤即铜渣之数也葢十分与五百二十斤之比即如八分之与四百一十六斤之比二分之与一百零四斤之比也又捷法以十分归除总铜五百二十斤得每分五十二斤以八分乘之得四百一十六斤以二分乘之得一百零四斤葢每一分五十二斤而二分得一百零四斤八分得四百一十六斤也又或先得精铜八分数减总铜余即铜渣二分数也设如有田二千六百三十五亩以麦谷豆麻四色递次二八分种问各田应得几何法以二分为麻衰八分为豆衰三十二分为谷衰一百二十八分为麦衰并之得一百七十分为一率总田二千六百三十五亩为二率以麦一百二十八分为三率得四率一千九百八十四亩即麦田数如以谷三十二分为三率得四率四百九十六亩即谷田数如以豆八分或麻二分为三率所得四率即豆一百二十四亩与麻三十一亩之田数也又捷法以总数一百七十分除总田数二千六百三十五亩得每分一十五亩五分乃以每色分数乘之即得每色应种数也设如有银三千四百一十两令五商递次二八分出问各出几何法以一商为二分一商为八分一商为三十二分一商为一百二十八分一商为五百一十二分并之得六百八十二分为一率总银三千四百一十两为二率以五百一十二分为三率得四率二千五百六十两即五百一十二分应出之数如以一百二十八分为三率得四率六百四十两即一百二十八分应出之数如以三十二分为三率得四率一百六十两即三十二分应出之数如以八分或二分为三率所得四率四十两即八分应出之数一十两即二分应出之数也又捷法以总数六百八十二分除总银三千四百一十两得每分五两再以每人分数乘之即得每人应出银数也设如有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八递减纳之甲三十户乙四十户丙五十户丁六十户戊七十户问各户所纳几何各等户共纳几何法以五百一十二为甲一户分数再以甲三十户乘之得一万五千三百六十为甲三十户共分数以一百二十八为乙一户分数再以乙四十户乘之得五千一百二十为乙四十户共分数又以三十二为丙一户分数再以丙五十户乘之得一千六百为丙五十户共分数又以八为丁一户分数再以丁六十户乘之得四百八十为丁六十户共分数又以二为戊一户分数再以戊七十户乘之得一百四十为戊七十户共分数以所得五等共分数并之得二万二千七百为总分数为一率总粮二千六百五十五石九斗为二率以甲五百一十二分为三率得甲一户纳五十九石九斗零四合又以甲三十户乘之得甲共纳一千七百九十七石一斗二升以乙一百二十八分为三率得乙一户纳十四石九斗七升六合又以乙四十户乘之得乙共纳五百九十九石零四升以丙三十二分为三率得丙一户纳三石七斗四升四合又以丙五十户乘之得丙共纳一百八十七石二斗以丁八分为三率得丁一户纳九斗三升六合又以丁六十户乘之得丁共纳五十六石一斗六升以戊二分为三率得戊一户纳二斗三升四合又以戊七十户乘之得戊共纳十六石三斗八升也又捷法以总分数除总粮数得每一分一斗一升七合以各等一户分数乘之得各等一户纳粮之数以各等共户分数乘之得各等共户纳粮之数葢前法有各等户而各等之中又有众户故以定分数(二八三十二一百二十八五百一十二之数)为各等分数又以众户乘之为各等共户之分数此捷法以总分数除总粮是得各等每一户中之一分故以每一户分数乘之得每一户之数以每一等共分数乘之得每一等之全数也三七差分设如有银五千两令东西二县三七支销问各该几何法以七分为东县衰数三分为西县衰数并之得十分为一率总银五千两为二率以七分为三率得四率三千五百两即东县应支之数如以三分为三率得四率一千五百两即西县应支之数也葢三七比例亦以总衰数与总银数之比即若每县衰数与每县银数之比故十分与五千之比即若三分与一千五百之比七分与三千五百之比也又捷法先以总衰十分除总银五千两得每分五百两以七分乘之即东县之数以三分乘之即西县之数或得东县数于总银内减之余即西县数也此法以总衰除总银得每分五百两以七乘之即得七分以三乘之即得三分也前法先乘而后除后法先除而后乘其理一也设如有田二千五百亩令上等户七分种之下等户三分种之问各该几何法以七分三分相并得十分为一率二千五百亩为二率上户七分为三率得四率一千七百五十亩即上户应种田数如以三分为三率得四率七百五十亩即下户应种田数葢十分与二千五百亩之比即七分与一千七百五十亩之比三分与七百五十亩之比也又捷法以三七相并之十分归除总田二千五百亩得每分二百五十亩以三分乘之得下户七百五十亩以七分乘之得上户一千七百五十亩葢一分为二百五十亩而三分得七百五十亩七分得一千七百五十亩也设如以车运物行十里二十刻到今已行七里问尚得几刻到法以十里为一率二十刻为二率以七里与十里相减余三里为三率推得四率六刻即运到刻数也如以七里为三率推得四率十四刻与总二十刻相减余六刻亦即运到刻数也葢十里与二十刻之比即三里与六刻之比七里与十四刻之比也又捷法以十里归除二十刻得每里二刻以三里乘之得六刻以七里乘之得十四刻葢每一里为二刻则三里得六刻七里得十四刻也设如种树一千一百六十株按松柏桃栁四色递次三七分种问各该几何法以三百四十三分为松衰一百四十七分为柏衰六十三分为桃衰二十七分为栁衰并之得五百八十分为一率一千一百六十株为二率以三百四十三分为三率得四率六百八十六株即种松之数以一百四十七分为三率得四率二百九十四株即种柏之数以六十三分为三率得四率一百二十六株即种桃之数以二十七分为三率得四率五十四株即种栁之数也又捷法以总衰数五百八十归除总树一千一百六十得每分二株以三百四十三分乘之得种松之数以一百四十七分乘之得种柏之数以六十三分乘之得种桃之数以二十七分乘之得种栁之数也此法有四位故以三因九得二十七为栁衰数又递用七因三归为桃柏松之衰数也设如有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎递次三七分织问各该丝几何法以九分为绢衰二十一分为绫衰四十九分为缎衰并之得七十九分为一率丝四百九十七两七钱为二率以缎四十九分为三率得四率三百零八两七钱即缎丝数如以绫二十一分为三率得四率一百三十二两三钱即绫丝数如以绢九分为三率得四率五十六两七钱即绢丝数也又捷法以总衰数七十九分除总丝四百九十七两七钱得每分六两三钱以缎四十九分乘之得缎丝之数以绫二十一分乘之得绫丝之数以绢九分乘之得绢丝之数也此法有三位故以三因三得九为绢之衰数又递用七因三归为绫与缎之衰数葢九与二十一二十一与四十九为相连比例三率而九与二十一之比即二十一与四十九之比也设如编银八百二十八两二钱令甲乙丙丁戊五等户三七徴纳问各户所纳几何法以八十一分为甲衰一百八十九分为乙衰四百四十一分为丙衰一千零二十九分为丁衰二千四百零一分为戊衰并之得四千一百四十一分为一率总银八百二十八两二钱为二率以每人分数各为三率得四率之一十六两二钱即甲所纳银数得四率之三十七两八钱即乙所纳银数得四率之八十八两二钱即丙所纳银数得四率之二百零五两八钱即丁所纳银数得四率之四百八十两二钱即戊所纳银数也又捷法以总衰数四千一百四十一分归除总银八百二十八两二钱得每分二钱以甲乙丙丁戊各人分数乘之即得各人所纳银数也此法有五位故以三因二十七得八十一分为甲之衰数又递用七因三归即得乙丙丁戊各衰数矣设如有田一百三十八亩每亩徴米二斗今七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该几何法以七分为米衰三分为丝衰并之得十分为一率又以徴米二斗乘田一百三十八亩得总米二十七石六斗为二率以米七分为三率得四率一十九石三斗二升即徴米七分之数与总米相减余八石二斗八升为三分折丝之数按米每石折丝一斤则以八石二斗八升用十六两乘之得一百三十二两四钱八分为八斤四两四钱八分即折丝三分之数也此法以徴米二斗乘总田是得总徴米数而三七分之也总米分去七分即本色米数余者折为丝即三分丝数也折丝之法每石既为一斤则八石二斗四升自得八斤四两四钱八分也又捷法以总衰十分归除总米二十七石六斗得每分二石七斗六升以米七分乘之得米数以丝三分乘之得折丝之米数既得折丝之米数而丝之斤两亦得矣四六差分设如有金四千两令上下二等金户六四倾销问各该几何法以六分为上等衰数四分为下等衰数并之得十分为一率共金四千两为二率以六分为三率得四率二千四百两即上等金户倾销之数如以四分为三率得四率一千六百两即下等金户倾销之数此法以四分六分相并之十分与共金四千两之比即如六分与二千四百两之比四分与一千六百两之比也又捷法以总衰十分归除共金四千两得每分四百两以六分乘之得二千四百两为上等金户倾销之数以四分乘之得一千六百两为下等金户倾销之数如先得上等六分金数于共金数内减之其余即下等四分金数也设如有水田三百亩令上下二户四六分灌问各灌若干法以四分六分相并得十分为一率三百亩为二率六分为三率推得四率一百八十亩即上户所灌之田以四分为三率推得四率一百二十亩即下户所灌之田也葢四六相并之十分与三百亩之比即六分与一百八十亩之比四分与一百二十亩之比也又捷法以相并之十分归除总田三百亩得每分三十亩以六分乘之即上户田数以四分乘之即下户田数葢每一分得三十亩而六分得一百八十亩四分得一百二十亩也如或先得六分田数减总田余即四分田数也设如有丝二百五十斤换米每丝一斤换米一石今已换过六分尚余丝四分问已换未换各若干法以四分六分相并得十分为一率将二百五十斤丝变作二百五十石米为二率(每丝一斤换米一石故也)以六分为三率推得四率一百五十石为已换之米数以四分为三率推得四率一百石为未换之米数葢四六相并之十分与二百五十石之比即六分与一百五十石之比四分与一百石之比也又捷法以相并之十分归除总米二百五十石得每分二十五石以六分乘之得已换之一百五十石以四分乘之得未换之一百石葢每一分得二十五石而四分得一百石六分得一百五十石也设如有丝一千五百五十八斤令甲乙丙三家四六分织问各该几何法以四为甲衰数六为乙衰数九为丙衰数并之得十九为一率总丝一千五百五十八斤为二率以甲四分为三率即得甲丝三百二十八斤以乙六分为三率即得乙丝四百九十二斤以丙九分为三率即得丙丝七百三十八斤此法以总衰十九分与总丝一千五百五十八斤之比即甲四分与三百二十八斤之比乙六分与四百九十二斤之比丙九分与七百三十八斤之比也又捷法以总衰数十九分除总丝一千五百五十八斤得每分八十二斤以甲四分乘之得甲丝三百二十八斤以乙六分乘之得乙丝四百九十二斤以丙九分乘之得丙丝七百三十八斤也设如有田九百七十五亩令甲乙丙丁四人四六分种问每人各得几何法以四分为甲衰六分为乙衰九分为丙衰一十三分半为丁衰并之得三十二分半为一率总田九百七十五亩为二率以甲四分为三率即得甲田一百二十亩以乙六分为三率即得乙田一百八十亩以丙九分丁一十三分半各为三率即得二百七十亩为丙田得四百零五亩为丁田也葢三十二分半与九百七十五亩之比即甲四分与一百二十亩之比乙六分与一百八十亩之比亦即丙九分与二百七十亩之比丁十三分半与四百零五亩之比也又捷法以总衰数三十二分半归除总田九百七十五亩得每分三十亩以甲乙丙丁各衰数乘之即得每人田数也设如有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按六分四分递次运载问各该几何法以四分为戊衰六分为丁衰九分为丙衰一十三分半为乙衰二十分二五为甲衰并之得五十二分七五为一率总粮一千二百六十六石为二率以甲二十分二五为三率得甲运四百八十六石以乙一十三分半为三率得乙运三百二十四石以丙九分为三率得丙运二百一十六石以丁六分为三率得丁运一百四十四石以戊四分为三率得戊运九十六石此法总衰数与总粮之比即各人分数与各人粮数之比也葢六与九九与一三五一三五与二○二五皆同为四六之比例也又捷法以总衰五十二分七五归除总粮一千二百六十六石得每分二十四石以甲乙丙丁戊各舟衰数乘之即得各舟运粮之数也设如有米三百八十五石五斗二升令上等人户六分下等人户四分交纳上等二十六户下等四十户问各等每户各该几何法以六为上等衰数以上户二十六户乘之得一百五十六为上等二十六户共衰数以四为下等衰数以下户四十乘之得一百六十为下等四十户共衰数并之得三百一十六为一率总米三百八十五石五斗二升为二率以上等六分为三率得四率七石三斗二升为上等一户米数以上等共分数一百五十六为三率得一百九十石三斗二升为上等二十六户共米数如以下等四分为三率得四率四石八斗八升为下等一户米数以下等共分数一百六十为三率得一百九十五石二斗即下等四十户共米数也又捷法以总衰三百一十六分归除总米三百八十五石五斗二升得每分一石二斗二升以六分乘之得上等一户米数以上等共分数乘之得上等共米数以四分乘之得下等一户米数以下等共分数乘之得下等共米数也递折差分设如有熟稻七百九十九亩六分八厘令三人以十分之六收割问每人得几何法以一百为第一人分数六十为第二人分数三十六为第三人分数三分数相并得一百九十六分为一率总稻七百九十九亩六分八厘为二率第一人分数一百为三率得四率四百零八亩即第一人收割田数如以第二人分数六十为三率得四率二百四十四亩八分即第二人收割田数如以第三人分数三十六为三率得四率一百四十六亩八分八厘即第三人收割田数葢十分之六如彼得十分此得六分也第二人得第一人十分之六第三人又得第二人十分之六故一百与六十之比即六十与三十六之比递次比例皆十分之六也其得数四百零八亩与二百四十四亩八分之比即二百四十四亩八分与一百四十六亩八分八厘之比亦皆为十分之六也又捷法以总分一百九十六除总田七百九十九亩六分八厘得每一分四亩零八厘以一百分乘之得第一人四百零八亩以六十分乘之得第二人二百四十四亩八分以三十六分乘之得第三人一百四十六亩八分八厘也设如有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七递次贩货出卖问每人该银几何法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数相并得二千五百三十三分为一率总银一千二百六十六两五钱为二率以一千分为三率得四率五百两即第一人银数以七百分为三率得四率三百五十两即第二人银数以四百九十分为三率得四率二百四十五两即第三人银数以三百四十三分为三率得四率一百七十一两五钱即第四人银数葢十分之七递折而下第二人得第一人十分之七则第三人亦得第二人十分之七而第四人又得第三人之十分之七其先立衰数一千分七百分四百九十分三百四十三分皆十与七之比例也又捷法以总分二千五百三十三除总银一千二百六十六两五钱得每一分五钱以一千分乘之得第一人五百两以七百分乘之得第二人三百五十两以四百九十分乘之得第三人二百四十五两以三百四十三分乘之得第四人一百七十一两五钱也设如生铜入炉镕化三次每一次去渣十分之二净得上好熟铜二百四十八两问原铜几何法即以十分之八为分数(十分之中去渣二分得净)(铜八分故以十分之八为比例)以八分为一率十分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率三百一十两为第三次入炉铜数又以八分为一率十分为二率三百一十两为三率得四率三百八十七两五钱为第二次入炉铜数再以八分为一率十分为二率三百八十七两五钱为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也此法因八折三次而转求原数故以八分为一率十分为二率转求三次而始得也又法以八分自乘再乘得五百一十二分为一率十分自乘再乘得一千分为二率熟铜二百四十八两为三率得四率四百八十四两三钱七分五厘即第一次入炉生铜数也前法以三次三率各求四率故必乘除三次此法则以一率二率俱各自乘再乘止以第三次熟铜数为三率即得第一次生铜数是合三次乘除而为一次乘除也设如有丝三百六十九斤令甲乙丙丁四人照十分之八折分问各得几何法以一千为甲分数八百为乙分数六百四十为丙分数五百一十二为丁分数相并得二千九百五十二分为一率总丝三百六十九斤为二率以每人分数各为三率所得各四率一百二十五斤为甲数一百斤为乙数八十斤为丙数六十四斤为丁数葢十分之八递折而下乙得甲十分之八丙得乙亦十分之八而丁得丙亦十分之八其先立衰数一千分八百分六百四十分五百一十二分皆十与八之比例也如捷法先除后乘须用通分不然则斤数有竒零矣设如有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人户照十分之六出之上等户二十五中等户三十下等户四十八问每户该出几何法以一百为上等分数用二十五乘之得二千五百为上等户共分数以六十为中等分数用三十乘之得一千八百为中等户共分数以三十六为下等分数用四十八乘之得一千七百二十八为下等户共分数并之共六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各分数各为三率所得各四率上等每户出七丈八尺中等每户出四丈六尺八寸下等每户出二丈八尺零八分又以各等户数乘各等每户绢数得上等二十五户共出绢一百九十五丈中等三十户共出绢一百四十丈零四尺下等四十八户共出绢一百三十四丈七尺八寸四分也又捷法以总分数六千零二十八分除总绢四百七十丈一尺八寸四分得每一分为七寸八分以各等分数乘之得各等每一户绢数再以各等户数乘之即得各等众户共出绢数也设如有官粮一百六十八石四斗八升八合令四等人户以十分之七依次递折交纳一等二十二户二等三十六户三等四十二户四等四十八户问每等每户各纳几何法以一千为一等分数用二十二户乘之得二万二千即一等户共分数以七百为二等分数用三十六户乘之得二万五千二百即二等户共分数以四百九十为三等分数用四十二户乘之得二万零五百八十为三等户共分数以三百四十三为四等分数用四十八户乘之得一万六千四百六十四为四等户共分数并之共八万四千二百四十四分为一率总粮一百六十八石四斗八升八合为二率以一千分为三率得四率一等每户二石以共户数乘之得共纳四十四石以七百分为三率得四率二等每户一石四斗以共户数乘之得共纳五十石零四斗以四百九十分为三率得四率三等每户九斗八升以共户数乘之得共纳四十一石一斗六升以三百四十三分为三率得四率四等每户六斗八升六合以共户数乘之得共纳三十二石九斗二升八合也又捷法以总分数八万四千二百四十四除总粮一百六十八石四斗八升八合得每一分为二合以各等分数乘之得各等每一户粮数再以各等户数乘之即得各等众户共纳粮数也加倍减半差分设如一人读书日加一倍三日共读三千四百六十五字问每日所读几何法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数并之得七分为一率总字三千四百六十五为二率一分为三率得四率四百九十五字即第一日所读之数倍之得九百九十字即第二日所读之数又倍之得一千九百八十字即第三日所读之数也葢加倍者是第二日增于第一日一倍第三日又增于第二日一倍倍数多者由此递加如二与四四与八八与十六之类皆为加一倍之比例也设如一人织绢日加一倍至第四日织成六丈七尺五寸问每日织几何法以一为第一日分数二为第二日分数四为第三日分数八为第四日分数并之得十五分为一率总绢六丈七尺五寸为二率一分为三率得四率四尺五寸即第一日之数倍之得九尺为第二日之数又倍之得一丈八尺为第三日之数又倍之得三丈六尺为第四日之数四数相加共得六丈七尺五寸以合原数也设如一人借银为商三次每次得利银比本银加一倍每次还人二百两三次之后本利还尽问原本银若干法以一为本银分数二为第一次本利共分四为第二次本利共分八为第三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分并之得七分与每次还人二百两相乘得一千四百两为三率得四率一百七十五两即原本银数也葢每次得利银比本银加一倍则原本银为一分第一次必得二分第二次必得四分至第三次必得八分此以未还人计也然每次还人二百两三次之后本利还尽若第三次不还则得二百两者一分第二次不还则至第三次必得二百两者二分第一次不还则至第三次必得二百两者四分(以第一次之一分第二次加倍得二分第三次加倍得四)(分)是第三次应得二百两者七分而为一千四百两矣故以八分与一分之比同于一千四百两与一百七十五两之比也又法以二百两用三次还银共分七乘之得一千四百两折半三次亦得本银之数葢折半三次即以八除也设如一人卖酒每日比原数加一倍一日卖一斤六日卖尽问原酒若干法以一为原酒分数按六日加倍六次得六十四分为一率原酒一分为二率又以一为第六次卖酒分二为第五次卖酒分四为第四次卖酒分八为第三次卖酒分十六为第二次卖酒分三十二为第一次卖酒分并之得六十三分与每斤十六两相乘得一千零八两为三率得四率十五两七钱五分即原酒数也又法以每斤十六两用六次卖酒共分六十三乘之得一千零八两折半六次亦得原酒之数葢折半六次即以六十四除也设如有田一千二百亩分与甲乙丙丁四人种之自上以下递减一半问各该若干法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分并之得十五分为一率田一千二百亩为二率以甲八分为三率得四率六百四十亩即甲田数以乙四分为三率得四率三百二十亩即乙田数以丙二分为三率得四率一百六十亩即丙田数以丁一分为三率得四率八十亩即丁田数如以甲田六百四十亩折半即乙田数以乙田三百二十亩折半即丙田数以丙田一百六十亩折半即丁田数也设如有银一万八千零八十八两令甲乙丙三人减半分之问各该几何法以四为甲分数二为乙分数一为丙分数并之得七分为一率总银一万八千零八十八两为二率以甲四分为三率得四率一万零三百三十六两即甲所得银数以乙二分为三率得四率五千一百六十八两即乙所得银数以丙一分为三率得四率二千五百八十四两即丙所得银数也葢减半者即自上而下折半减之也如四折半为二二折半为一是也今以甲银一万零三百三十六两折半即得乙银五千一百六十八两将乙银再折半即得丙银二千五百八十四两也设如有银三千一百六十两分与三等人第一等人二十名第二等人二十四名第三等人三十名第二等比一等之银减一倍第三等比二等之银减一倍问各等每人分银几何法以四为一等分数二为二等分数一为三等分数以一分乘三等三十名仍得三十分以二分乘二等二十四名得四十八分以四分乘一等二十名得八十分三数相并共得一百五十八分为一率总银三千一百六十两为二率四分为三率得四率八十两为第一等每人所得银数减半得四十两为二等每人所得银数又减半得二十两为三等每人所得银数以各等人数乘各等每人所得银数即各等共人所得共银数并之以合原银数也御制数理精蕴下编卷四
## 下编卷五
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷五线部三按数加减比例(递加递减差分互□□平差分) (超位加减差分首尾互凖差分)按数加减比例差分之内又有按数递加递减或互和折半者皆为相当比例其法有四一曰递加递减差分盖所加所减之中递次数目皆同者也一曰超位加减差分乃加减之中彼此分数不同者也一曰互和折半差分盖立法以首尾二数之较互和折半以求中数而递加递减者也一曰首尾互准差分乃以前几分之数与后几分之数互相比较或以前几分与后几分定为同数以立准则然后立衰数以求之者也然超位加减即递加递减之一类也首尾互凖又为互和折半之变体也递加者其数自少而多以渐而加也递减者其数自多而少以渐而减也加减之数递次皆同故以递次名之法中有三色者以总法比总实即得中一数凡单位者俱按此例如五色七色九色之类是也有四色者以总法比总实得中二数相和折半之数凡双位者皆按此例如六色八色十色之类是也既得中数按定数加减则各色之数可得矣超位加减者加减之中递次分数不同即如三人分银若干一得三分一得五分一得八分而彼此分数之比例不同又如三人买物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故谓之超位加减然立衰分求之与递次加减无异故次于递次加减之后互和折半者亦如递次加减之理但用法㣲异递次加减知总物数知总人数并知递加递减之数以求各数互和折半则亦知总物数总人数但知首一人比末一人之较数而求递加递减之数以得各数是以三色者第一数第三数相和折半即第二数四色者第一数第四数相和折半即第二数第三数之中数既得中数按较数之分加减之即得递加之数五色六色以至多位者止分竒偶立法总以三四为例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互准者即互和折半之变体盖互和折半知总物数知总人数又知首一人比末一人之较数因此较数而得各人分数首尾互准则不知总物数但知总人数与首尾二人各分数或但知首尾几位共分数由此互相准折而得各项分数与总数要之但以互和折半之法逆推之而即得故次于互和折半之后焉递加递减差分设如有金六十两令甲乙丙三人依次递加五两分之问各得几何法以三人为一率金六十两为二率一人为三率推得四率二十两即乙应得之数自乙数加五两得二十五两即丙应得之数自乙数减五两得十五两即甲应得之数也此法因甲丙二人所得较之乙所得加减之数皆同故以总三人与总六十两之比即若中一人与中一分二十两之比也设如有铅三百五十斤欲作四球依次递加二十五斤问每球重数若干法以四球为一率铅三百五十斤为二率一球为三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之数乃以递加二十五斤折半得十二斤半与八十七斤半相加得一百斤即第三球之重与八十七斤半相减余七十五斤即第二球之重于第三球重数内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重于第二球重数内再减二十五斤余五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半较之第二球多十二斤半较之第三球则少十二斤半故为二球相和折半之数以递加二十五斤之数折半加减之即得中二球之重再以二十五斤加减之即得第一与第四球之重也设如有金七十五斤分与公侯伯子男五等自男以上递加五斤问各该几何法以五人为一率金七十五斤为二率一人为三率推得四率十五斤即伯所得之数自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之数再加五斤得二十五斤即公所得之数自伯十五斤而下减五斤余十斤即子所得之数再减五斤余五斤即男所得之数也设如有俸粮三百零五石令五等官依品级递减十三石给之问各得若干法以五分为一率(即五等官五分也)粮三百零五石为二率一分为三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石递加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石递减十三石得四等四十八石五等三十五石也设如有银九百九十六锭分给八人自末名以上依次递加十七锭问首末两人各该几何法以八人为一率银九百九十六锭为二率一人为三率推得四率一百二十四锭半为第四人第五人相和折半之数乃以递加十七锭折半得八锭半与一百二十四锭半相加得一百三十三锭即第四人应得之数再以十七锭递加三次得一百八十四锭即第一人应得之数以八锭半与一百二十四锭半相减余一百一十六锭即第五人应得之数再以十七锭递减三次余六十五锭即第八人应得之数也设如一人有九子不明说出各人岁数但云共有二百零七岁自长至少皆递差三岁问各岁几何法以九分为一率(即以九子为九分也)二百零七岁为二率一分为三率推得四率二十三岁即第五子之年自二十三岁递加三岁得四子二十六岁三子二十九歳二子三十二岁长子三十五岁自二十三岁递减三岁得六子二十岁七子十七岁八子十四岁九子十一岁也设如有叙功之二十人其末一人赏银一百两以上递加三十两问第一人赏银几何共赏银几何法以一分为一率递加三十两为二率十九分为三率推得四率五百七十两即第一人比末一人共多之数于此数内加入末名之一百两共六百七十两即第一人应得之数以第一人所得之数与末一人所得之数并之共七百七十两复以二十人乘之得一万五千四百两折半得七千七百两即二十人共得之银数也此法盖以第一人比第二十人共多十九个三十两故以一分与递加之三十两相比即如十九分与第一人共多于第二十人之五百七十两相比也既得十九分共多之数再加入末一人之一百两即得第一人应得之数矣又首末二数相并以人数二十乘之折半得其银数者盖以递加之数彼此均同首一人得数至多末一人得数至少首末二人之数相并折半即为中数以中数乘人数而得共数今首末二人之数相并而末折半即用人数乗之故所得之数为应得共数之加倍数是以半之而始得共银数也设如有牛四十区但云第一区是三十头余递加二十头问第四十区该几何总数几何法以一分为一率递加二十头为二率三十九分为三率推得四率七百八十加入第一区之三十共八百一十头即第四十区之数以首末二区数相并共八百四十头用四十区乗之得三万三千六百头折半得一万六千八百头即四十区之总数也此法第二区比第一区加二十由此递加则第四十区比第一区共多三十九个二十故以一分与二十头相比即如三十九分与第四十区共多于第一区之七百八十头相比也再加入第一区之三十头即第四十区之数继而并首末两数以总区数四十乗之折半即得共数也设如有人一百名第一人赏银一百两以下递减五钱问共该银几何法以一分为一率递减五钱为二率九十九分为三率推得四率四十九两五钱即第一名多于第一百名之数于一百两内减之余五十两零五钱即第一百名应赏之数又与第一名赏银相并得一百五十两零五钱以一百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即共赏银数也盖赏银递减五钱则第一名比第一百名多九十九个五钱故以一分与五钱相比即如九十九分与第一名总多于第一百名之数相比也爰以首尾两数相并以名数一百乗之折半而得总银数也设如一人染绢初日染八尺日加一尺加至六十尺止问日与绢各几何法以初日之八尺与末日之六十尺相加得六十八尺为首尾两日共染之绢数又看八尺以前递减至一尺有几分今有七分即为七尺乃于末日之六十尺减去七尺余五十三尺即为共日五十三日乃以二日为一率六十八尺为二率五十三日为三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之绢数也此法以二日为一率者取其首末相合之共日为准也以初日末日之尺数相并为二率者取其首末尺数相合与首末两日为比也以八尺递减至一尺而得日数为三率者盖以初日之八尺上数至一尺得数必为七分即为七尺(理与一面尖堆法同)而今有之末日六十尺内减去七尺余五十三尺即为五十三日故二日与首末相合之尺数相比即如共日五十三日与共绢之尺数相比也设如一人行路日増六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问共行几日及初日末日各行几里法以初末两日行数一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率推得四率四日即共行日数也又以日増六里折半得三里与六里相并得九里加于中数八十里得八十九里即第四日所行之数减于中数八十里余七十一里即第一日所行之数也此法以第四日第一日行数相并折半者为得四日之中数既得四日之中数与一日之比即如共数与四日之比也又以日増之数折半而与日増之数相并加于中数而得末日所行之数减于中数而得初日所行之数者其所得之中数在第二日第三日之间故此中数内加日増数之半即得第三日所行之数减日増数之半即得第二日所行之数故再加日増数之全而得末日所行之数再减日増数之全而得初日所行之数也设如一人织布厯十三日共织一千三百五十二寸因日渐长每日加功六寸至末日比初日多织七十二寸问初末二日各织几何法以十三日为一率共织数一千三百五十二寸为二率一日为三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中数为第七日所织之数以第七日上计初日下计末日俱得六分于是以六分与日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内减之得六十八寸即初日所织之数于第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所织之数也此法虽求初末两日之数然以十三日与总织数之比即一日与初末两日中数之比既得中数按分加之何所不得此又递次加减法中之又一例也设如有田七百二十亩令甲乙丙三戸依次递减分耕问各该几何法以三分为甲衰数二分为乙衰数一分为丙衰数相并得六分为一率总田七百二十亩为二率一分为三率推得四率一百二十亩为一分即丙所耕之数以二分因之得二百四十亩即乙所耕之数以三分因之得三百六十亩即甲所耕之数也此法并总衰分为一率总田数为二率者是将总衰分比总田数故六分得七百二十亩而一分得一百二十亩也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲递次至乙至丙皆减一百二十亩故为递减也凡命法中不定所减分数者即以此法为例设如有银九十二两令伯仲叔季四人递减分之问各得几何法以四分为伯衰数三分为仲衰数二分为叔衰数一分为季衰数相并得十分为一率总银九十二两为二率一分为三率推得四率九两二钱即季所得之数以二分因之得一十八两四钱即叔所得之数以三分因之得二十七两六钱即仲所得之数以四分因之得三十六两八钱即伯所得之数也此法以十分比总银即如总银分为十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯递次至季皆减一分故谓之递减差分也设如有金一十二两六钱欲挨次递减造套杯六个问各重若干法以六五四三二一为六杯衰分并之得二十一分为一率共金数一十二两六钱为二率一分为三率推得四率六钱即第六杯之重以二分因之得一两二钱即第五杯之重以三分因之得一两八钱即第四杯之重以四分因之得二两四钱即第三杯之重以五分因之得三两即第二杯之重以六分因之得三两六钱即第一杯之重也此法以总分比总银即如以一分比末一杯之重也以上递加一分即各杯之重矣设如有粮一千一百三十四石令五等戸递减纳之一等二十四戸二等三十三户三等四十二戸四等五十一户五等六十户问各等每戸应纳若干法以五四三二一为五等衰分以五分因一等户二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等户四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等户六十仍得六十分总并之得五百四十分为一率总粮一千一百三十四石为二率一分为三率推得四率二石一斗即五等每户所纳之数以二分因之得四石二斗即四等每户所纳之数以三分因之得六石三斗即三等每户所纳之数以四因之得八石四斗即二等每戸所纳之数以五因之得十石五斗即一等每戸所纳之数也超位加减差分设如甲丙丁三人买房一所共价八百一十两丙比甲出银加一倍丁比甲丙共出银又加一倍问每人各出几何法以一分为甲衰数加一倍得二分为丙衰数又以甲一分丙二分相并为三分复加一倍得六分为丁衰数相并得九分为一率总银八百一十两为二率以甲一分为三率得四率九十两即甲所出银数加一倍得一百八十两即丙所出银数将甲丙共银复加一倍得五百四十两即丁所出银数也此法以一分为甲数加一倍为丙数者因丙比甲银多一倍也又共甲丙两数加一倍为丁数者因丁比甲丙共银又多一倍也故以所命各人分数相并得共分数以此共分数比共银数即如各人分数比各人所出银数也设如有银五千两买马四匹园一区宅一所其园价比马价多三倍而宅价比园价又多四倍问各价几何法以一分为马衰数加三倍(为三分)得四分为园衰数又将园四分加四倍(为十六分)得二十分为宅衰数相并得二十五分为一率总价五千两为二率马一分为三率推得四率二百两即马四匹之价(马每匹价五十两)加三分六百两得八百两即园一区之价再将园价加四分三千二百两得四千两即宅一所之价也此法将马为一分而加三分为园价者因园价比马价多三倍也又将园价为一分而加四分为宅价者因宅价比园价又多四倍也是以共分之比共价即如马四匹之一分比各色每一分之价也设如有粮七百六十石以船三次运之第一次运十分二次运七分三次运二分问每次运粮几何法以十分七分二分相并得十九分为一率共粮七百六十石为二率十分为三率得四率四百石即第一次所运之数如以七分为三率得四率二百八十石即第二次所运之数如以二分为三率得四率八十石即第三次所运之数也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰数分数已明故即以运分作衰分也设如有铜一百八十两依次递减造三等仪器上等比中等加二倍中等比下等加一倍问三等仪器各得铜几何法以一分为下等衰数二分为中等衰数二分加二倍得六分为上等衰数并之得九分为一率共铜一百八十两为二率下等之一分为三率推得四率二十两即下等仪器之重加一倍得四十两即中等仪器之重又加二倍得一百二十两即上等仪器之重也此法命一分为下等数故加倍为中等数而得二分复以二分加二倍为上等数故上等数又为六分也设如有银七十两买骆驼马驴各一匹而价之多少不等但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价几何法以一分为驴衰数四分为马衰数九分为驼衰数并之得十四分为一率银七十两为二率驴一分为三率推得四率五两即驴一匹之价以四分因之得二十两即马一匹之价以九分因之得四十五两即驼一匹之价此法因驼价为九分故即以九为衰数且两分母俱同为九分而马居九分之四故即以四为马分驴居九分之一故即以一为驴分也既得驴价取其四分即马价取其九分即驼价也设如一人为商三次初次获利比原银多二倍二次获利比初次本利共银多四倍三次获利比二次本利共银又多三倍共计获利并原银得九百两问原银几何法以一分为初商原银衰数加二倍得三分为初次本利共分又比三分加四倍得十五分为二次本利共分又比十五分加三倍得六十分为三次本利共分即以此六十分为一率三次本利共银九百两为二率一分为三率推得四率一十五两即原银数也此法初次加二倍是原银之外加二倍也又加四倍是比初次本利共银之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共银之外又加三倍也故以总分比总银即如一分之比原银也设如有米二十四石分与四人甲四分乙五分丙七分丁九分问各该几何法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相并得二十五分为一率共米二十四石为二率一分为三率推得四率九斗六升乃每一分之数以甲四分因之即得甲之三石八斗四升以乙五分因之即得乙之四石八斗以丙七分因之即得丙之六石七斗二升以丁九分因之即得丁之八石六斗四升也此法以一分为三率故得每人一分之数如以各人分数各为三率即得各人之全分矣设如有银九十二两赏二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等赏加一倍上等比中等赏加二倍问各等每人得赏几何法以一分为下等衰数乗下等十人得十分又将一分加一倍得二分为中等衰数乗中等六人得十二分又将二分加二倍得六分为上等衰数乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相并得四十六分为一率总银九十二两为二率下等一分为三率推得四率二两即下等每人应得之数将二两加一倍得四两即中等每人应得之数将四两再加二倍得十二两即上等每人应得之数复以各等人数乗各等每人应得之数即得上等四人共得四十八两中等六人共得二十四两下等十人共得二十两也此法以下等一分为三率故得下等每人一分之数按分倍加而得中等上等如以各等众人分数各为三率即得各等之共数矣设如有米五百三十五石赏与三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问三等每名各得几何法以二等比三等每名多五斗与二等五十名相乗得二百五十斗又以一等比二等每名多七斗与二等比三等每名多五斗相加得十二斗与一等二十名相乗得二百四十斗两数相并得四百九十斗乃于总米五百三十五石内减之余四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率推得四率二石七斗即三等毎一人应得之数加五斗得三石二斗即二等毎一人应得之数再加七斗得三石九斗即一等每一人应得之数也此法以二等比三等毎名多五斗与二等五十人相乗者是求二等比三等共多之数又以一等比二等毎名多七斗并二等比三等毎名多五斗与一等二十人相乗者是求一等比三等共多之数也既得一等二等共多于三等之数于总数内减之所余即三等相并共一百八十人均分之数故以一百八十人比总米四百八十六石即第三等每一人之比二石七斗也由此加五斗即得第二等每一人所得之数于第二等每一人数内再加七斗即得第一等每一人所得之数矣互和折半差分设如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石问各该若干法以三人为一率总米一百八十石为二率一人为三率推得四率六十石即乙应得之数次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石于乙数内加之得七十八石即甲应得之数于乙数内减之得四十二石即丙应得之数也此法盖以三人共得之数比一人所得之数其一人所得之数即中一人应得之数甲多乙几何即乙多丙几何而甲多丙之数又为甲多乙之倍数故以甲多丙之数分为二分于中数内一加一减则彼此相较之数自得均平故谓之互和折半也设如有银二百四十两令赵钱孙李四人互和折半分之但知赵多李一十八两问各该若干法以四人为一率总银二百四十两为二率一人为三率推得四率六十两即钱孙中二人相和折半之数次取赵多李十八两之数以三归之(以三立法者用二归以四)(立法者用三归盖以之相比而得较也)得六两即四人递加之数折半得三两乃中二人相和折半数与中二人应得数之较以此三两加于六十两得六十三两即钱银数减于六十两余五十七两即孙银数钱银数内再加六两得六十九两即赵银数孙银数内再减六两余五十一两即李银数也此法盖以四人共得之数比一人应得之数其一人应得之数固非四人平分之数故比例所得六十两为钱孙二人之中数较之钱数少三两较之孙数多三两故于六十两中加三两即钱数减三两即孙数既得钱孙中二人数则首末二人祇按分数加之而已设如有兵二万三千八百令甲乙丙丁戊五将互和折半领之只云戊少甲三千三百六十问各将所领若干法以五分为一率兵数二万三千八百为二率一分为三率推得四率四千七百六十即丙所领之数又取戊少甲之三千三千六十以四归之(此有五人而较为四故用)(四归也)得八百四十为平分加减之数自丙数而上递加之得五千六百即乙所领之数得六千四百四十即甲所领之数由丙数而下递减之得三千九百二十即丁所领之数得三千零八十即戊所领之数也设如有稻一百九十八亩令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十亩问各该收稻几何法以六人为一率总田一百九十八亩为二率一人为三率推得四率三十三亩即丙丁中二人相和折半之数次取甲多己三十亩以五归之得六亩折半得三亩加于三十三亩得三十六亩即丙收数再加六亩得四十二亩即乙收数再加六亩得四十八亩即甲收数又以折半三亩减于三十三亩余三十亩即丁收数再减六亩余二十四亩即戊收数再减六亩余十八亩即己收数此法因三十三亩为丙丁二人之中数较之丙少三亩较之丁多三亩故以丙与丁总差六亩折半加减之即得也首尾互准差分设如甲乙丙丁四人递次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙各得银几何法以三分为甲多于丁之衰数(有四人故用三)(分如或五人则用四分六人则用五分)为一率甲六十九两与丁五十一两相减余一十八两为二率一分为三率推得四率六两即四人所得递加之数将丁银五十一两加六两得五十七两即丙应得之数再加六两得六十三两即乙应得之数也盖甲数最多丁数最少相差一十八两由丁至丙至乙至甲相隔三位则知有三差故用三分比一十八两即如一分比六两而为递加数也若三色者以首尾两数相加折半即中数其法易求故不设例设如五人递次络丝第一人络丝四十两第五人络丝二十四两问中三人各络丝几何法以四分为第一人多于第五人之衰数为一率第一第五两数相减余一十六两为二率一分为三率推得四率四两即五人络丝递加之数将第五人络丝二十四两加四两得二十八两即第四人所络之数再加四两得三十二两即第三人所络之数再加四两得三十六两即第二人所络之数也此法用四为除法葢第五与第一相隔四位则知有四差故用四为比例也又捷法以第一第五两数相加折半得三十二两即第三人所络之数又以第一第三两数相加折半得三十六两即第二人所络之数复以第三第五两数相加折半得二十八两即第四人所络之数此法即前互和折半之法凡位数竒者俱可用如三五七九是也设如七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五人第六人第七人共运二十六石一斗其递加之数俱相等问第三人第四人与前后五人各运几何法以第一第二两人共运二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一第二两人相和折半之数第五第六第七三人共运二十六石一斗三归之得八石七斗即第六人应运之数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一第二两人相和折半之十一石八斗五升内减第六人之八石七斗余三石一斗五升为二率一分为三率推得四率七斗即每人递加之数由第六人八石七斗而下减七斗得八石即第七人应运之数由第六人八石七斗而上递加七斗得九石四斗即第五人应运之数得十石一斗即第四人应运之数得十石八斗即第三人应运之数得十一石五斗即第二人应运之数得十二石二斗即第一人应运之数也此法盖因第一人第二人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人则差四分半故先以第一第二之中数与第六相减得其四分半之差数而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三斗即如一分比每人递加之七斗也设如八人分银不言总数但知第一第二第三三人共得四十五两第七第八二人共得八十五两其递加之数俱相等问各人应得若干法以前三人共得银数四十五两用三归之得十五两即第二人应得之数后二人共得八十五两折半得四十二两五钱即第七第八两人相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二人应得之十五两与后二人相和折半之四十二两五钱相减余二十七两五钱为二率一分为三率推得四率五两即每人递加之数于第二人十五两内减五两即得第一人十两于第二人十五两外递加五两即得第三人二十两第四人二十五两第五人三十两第六人三十五两第七人四十两第八人四十五两之数也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八两人相和折半之数则差五分半故先以第二与第七第八之中数相减得其五分半之差数而以五分半比后二人相和折半多于第二人之数即如每一分比每人递加之数也设如八人分米不言总数但知第一第二两人共得一十一石九斗第七第八两人共得八石三斗其递加之数俱相等问每人应得若干法以第一第二两人共数一十一石九斗折半得五石九斗五升即第一第二两人相和折半之数再以第七第八两人共数八石三斗折半得四石一斗五升即第七第八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二两人相和折半之五石九斗五升内减第七第八两人相和折半之四石一斗五升余一石八斗为二率一分为三率推得四率三斗即每人递加之数折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之五石九斗五升得六石一斗即第一人之数以次递减三斗即得第二人五石八斗第三人五石五斗第四人五石二斗第五人四石九斗第六人四石六斗第七人四石三斗第八人四石之数也此法盖因第一第二两人相和折半之数至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八两人相和折半之数则差六分故先以第一第二之中数与第七第八之中数相减得其六分之差数而以六分比第一第二相和折半多于第七第八相和折半之数即如每一分比每人递加之数也又以第一第二之中数比第一人差半分故以一分之三斗折半得一斗五升加于第一第二两人相和折半之数即得第一人之数也设如有竹九节截为九筩盛米递次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九节各盛米数几何法以根底第一第二第三三节共盛米三升九合用三归之得一升三合即第二节盛米之数梢上第六第七第八第九四节共盛米三升用四归之得七合五勺即第七第八两节相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半相减余五分半为一率第二节盛米一升三合内减第七第八两节相和折半之七合五勺余五合五勺为二率一分为三率推得四率一合即每节递加之数自第二节盛米一升三合而上加一合即得第一节盛米一升四合自第二节盛米一升三合而下递减一合即得第三节盛一升二合第四节盛一升一合第五节盛一升第六节盛九合第七节盛八合第八节盛七合第九节盛六合也设如有竹九节截为九筩盛米但知根底二节盛米六升三合梢上二节盛米二升一合问各节所盛米数若干法以根底二节共盛米六升三合折半得三升一合五勺为第一第二两节相和折半之数梢上二节共盛米二升一合折半得一升零五勺为第八第九两节相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第八分第九分之中数八分半相减余七分为一率第一第二两节相和折半之三升一合五勺内减第八第九两节相和折半之一升零五勺余二升一合为二率一分为三率推得四率三合即毎节递加之数折半得一合五勺加于第一第二两节相和折半之三升一合五勺得三升三合即第一节盛米之数以次递减三合即得第二节盛三升第三节盛二升七合第四节盛二升四合第五节盛二升一合第六节盛一升八合第七节盛一升五合第八节盛一升二合第九节盛九合也设如十人按数挨次纳粮前三人共纳一十三石八斗后四人共纳一十三石二斗问十人各纳粮数若干法以前三人共纳一十三石八斗用三归之得四石六斗为第二人所纳之数后四人共纳一十三石二斗用四归之得三石三斗为第八第九两人相和折半之数乃以第二分与第八分第九分之中数八分半相减余六分半为一率第二人之四石六斗内减第八第九两人相和折半之三石三斗余一石三斗为二率一分为三率推得四率二斗即每人递加之数自第二人四石六斗以上加二斗得四石八斗即第一人所纳之数自第二人四石六斗以下递减二斗得四石四斗即第三人所纳之数得四石二斗即第四人所纳之数得四石即第五人所纳之数得三石八斗即第六人所纳之数得三石六斗即第七人所纳之数得三石四斗即第八人所纳之数得三石二斗即第九人所纳之数得三石即第十人所纳之数也设如有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人递减纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数相等问五人各纳几何法以四分为甲多于戊之衰数(自甲至乙至丙)(至丁至戊隔四位故以四分为衰数)三分为乙多于戊之衰数并之为七分以二分为丙多于戊之衰数一分为丁多于戊之衰数并之为三分乃以三分与七分相减余四分为前二人多于后三人之较又以前二人与后三人相减余一人为后三人多于前二人之较夫前多四分后多一人而其数相等则四分即为一人之数乃以一人为一率四分为二率戊一人为三率推得四率仍得四分即定为戊一人之分数各加毎人所多衰数则甲得八分乙得七分并之得十五分丙得六分丁得五分并戊之四分亦得十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得三十分为一率总米二百四十石为二率一分为三率推得四率八石即每一分之数用甲之八分乗之得甲之六十四石用乙之七分乘之得乙之五十六石并之共得一百二十石用丙之六分乗之得丙之四十八石用丁之五分乗之得丁之四十石用戊之四分乗之得戊之三十二石并之亦共得一百二十石是甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等也设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人递加分之定甲乙丙丁四人与戊己二人分数相等问六人各分几何法以一分为乙多于甲之衰数二分为丙多于甲之衰数三分为丁多于甲之衰数并之为六分四分为戊多于甲之衰数五分为己多于甲之衰数并之为九分乃以六分与九分相减余三分为后二人多于前四人之较又以前四人与后二人相减余二人为前四人多于后二人之较夫前多二人后多三分而其数相等则三分即为二人之数乃以二人为一率三分为二率甲一人为三率推得四率一分五(即一分半也)即定为甲一人之分数各加每人所多衰数则乙得二分半丙得三分半丁得四分半并甲乙丙丁四人数得十二分戊得五分半己得六分半并戊己二人数亦得十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得二十四分为一率总银六百两为二率一分为三率推得四率二十五两即每一分之数用甲一分半乗之得甲三十七两五钱用乙二分半乗之得乙六十二两五钱用丙三分半乗之得丙八十七两五钱用丁四分半乗之得丁一百一十二两五钱并四人数共得三百两用戊五分半乗之得戊一百三十七两五钱用己六分半乗之得己一百六十二两五钱并二人数亦共得三百两是甲乙丙丁四人银数与戊己二人银数等也设如有麦一千零八亩令七人递减分收定前三人与后四人所得共数相同问七人各收麦几何法以六分为第一人比第七人所多衰数(自第一至第七隔六位故以六为衰数)五分为第二人比第七人所多衰数四分为第三人比第七人所多衰数并之为十五分三分为第四人比第七人所多衰数二分为第五人比第七人所多衰数一分为第六人比第七人所多衰数并之为六分乃以六分与十五分相减余九分为前三人多于后四人之较又以前三人与后四人相减余一人为后四人多于前三人之较夫前多九分后多一人而其数相等则九分即为一人之数乃以一人为一率九分为二率末一人为三率推得四率仍为九分即定为第七人之分数各加每人所多分数则第一人得十五分第二人得十四分第三人得十三分并之为四十二分第四人得十二分第五人得十一分第六人得十分第七人得九分并之亦为四十二分是前后分数已同矣乃以两总分相并得八十四分为一率麦一千零八亩为二率一分为三率推得四率十二亩即毎一分之数用十五分乗之即得第一人一百八十亩用十四分乗之即得第二人一百六十八亩用十三分乗之即得第三人一百五十六亩并三人数共得五百零四亩用十二分乗之即得第四人一百四十四亩用十一分乗之即得第五人一百三十二亩用十分乗之即得第六人一百二十亩用九分乗之即得第七人一百零八亩并四人数亦共得五百零四亩是前三人亩数与后四人亩数等也设如有粮一千零九十二石令七次递减运送定前二次与后五次运送之数相等问每次运送几何法以十八分为第一次比第七次所多之衰数(自第一次至第七次相隔六位应以六分为衰数是为每次递)(加一分今将六分用三因之为十八分是为每一次递加三分故各衰五四三)(二一俱用三因其比例仍同也)十五分为第二次比第七次所多之衰数并之为三十三分十二分为第三次比第七次所多之衰数九分为第四次比第七次所多之衰数六分为第五次比第七次所多之衰数三分为第六次比第七次所多之衰数并之为三十分乃以三十分与三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次与前两次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多三次而其数相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率推得四率一分即为第七次之分数各加每次所多衰数第一次得十九分第二次得十六分并之得三十五分第三次得十三分第四次得一十分第五次得七分第六次得四分并第七次之一分亦得三十五分是前后分数已同矣乃以两总分相并得七十分为一率总粮一千零九十二石为二率一分为三率推得四率一十五石六斗即第七次一分所运之数用十九分乗之得二百九十六石四斗即第一次所运之数用十六分乗之得二百四十九石六斗即第二次所运之数并两次共得五百四十六石用十三分乗之得二百零二石八斗即第三次所运之数用一十分乗之得一百五十六石即第四次所运之数用七分乗之得一百零九石二斗即第五次所运之数用四分乘之得六十二石四斗即第六次所运之数并第七次所运之一十五石六斗亦共得五百四十六石是前二次运送粮数与后五次运送粮数等也御制数理精蕴下编卷五
## 下编卷六
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷六线部四和数比例较数比例和数比例比例之中有合率而复有和数者将几比例之率合为一比例故谓之合率至于有总数又有分数以分数合而与总数相比则谓之和数其在九章总名差分而其实总不越比例之理故今质名之曰和数比例其立法有以实数与实数比者如合众人数与总物数之比即若每人数与每物数之比是也有以所立衰数与实数比者如合众衰数与总物数之比即若每人衰数与每物数之比是也又或以加倍数成率者其得数亦为加倍之数或以两数相乗而成率者其得数亦为两数相乗之数要之皆以比例而得故于各条详加解说以明其故焉设如南北二商合本贸易南出本银一百五十两北出本银二百五十两共得利银一千两按各人所出本银之分分之问二人各得利银几何法以南出本银一百五十两与北出本银二百五十两相并得四百两为一率利银一千两为二率南出本银一百五十两为三率推得四率三百七十五两即南所分利银数于共利一千两内减三百七十五两余六百二十五两即北所分利银数也如以二人本银共四百两为一率二人共利一千两为二率北出本银二百五十两为三率推得四率六百二十五两即北所分利银数也此法盖以二人共本比共利即如每人各本比各利而为相当比例四率也又捷法以二人共出本银四百两归除二人共得利银一千两得每一两之利为二两五钱乃与各人本银数相乗即得各人所分利银数此又以每一两之利与各人所出本银之利相比而得也设如赵周冯三人合伙生理赵出本银一千两周出本银八百两冯出本银六百两共得利银一千二百两按各人所出本银之分分之问三人各得利银几何法以三人各出本银相并得二千四百两为一率三人共得利银一千二百两为二率三人所出本银数各为三率推得各四率赵五百两周四百两冯三百两即为各人所得利银数也若用捷法则以三人所并本银二千四百两归除共得利银一千二百两得每一两之利为五钱按各人本银数乗之即各人所得利银数也设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两得利银一百九十两甲分一百二十两乙分四十两丙分三十两问各人原本银若干法以共利银一百九十两为一率共本银一千五百二十两为二率每分利银各为三率推得各四率甲本银为九百六十两乙本银为三百二十两丙本银为二百四十两如用捷法则以共利银一百九十两归除共本银一千五百二十两得每一两利银之本银为八两乃以八两乗各人利银分数即得各人本银之数矣设如甲丙戊三人合本贸易共得利银三千二百二十两甲本银三千六百两丙本银五百一十两戊本银不知其数但知该分利银四百八十两问其本银若干法以三人共得利银三千二百二十两内减戊之利银四百八十两余二千七百四十两为一率甲丙二人本银相并得四千一百一十两为二率戊利银四百八十两为三率推得四率七百二十两即戊之本银数也此法于总利中减去戊利银所余者即甲丙二人之利银故以甲丙二人之共利银与甲丙二人之共本银相比即若戊一人之利银与戊一人之本银相比也设如甲乙丙三商共出本银一千五百二十两今得本利共银一千七百一十两甲分本利共银一千零八十两乙分本利共银三百六十两丙分本利共银二百七十两问三人所分本利各若干法以三人所得本利共银一千七百一十两为一率共出本银一千五百二十两为二率各人所分本利共银各为三率推得各四率甲本银九百六十两乙本银三百二十两丙本银二百四十两即为各人本银数以各人本银减各人共银甲得利银一百二十两乙得利银四十两丙得利银三十两即各人利银数也设如有三人合本贸易第一人出本银五百两系七成第二人出本银一千两系八成第三人出本银一千五百两系九成共得利银二千两皆系十成问每人应得利银若干法以各人所出本银数与各银成色相乗第一人得三百五十两第二人得八百两第三人得一千三百五十两三数相加共得二千五百两为一率共得利银二千两为二率毎人所得相乗之数(第一人三百五十两第二人八百两第三人一千三百五十两)各为三率推得各四率第一人得二百八十两第二人得六百四十两第三人得一千零八十两即各人应得之利银数也此法以各银成色乗各人银数者是将各银成色俱变作十成银也如第一人七成银五百两变作十成银止得三百五十两第二人八成银一千两变作十成银止得八百两第三人九成银一千五百两变作十成银止得一千三百五十两并之得十成银二千五百两故以总十成银二千五百两与共利银二千两之比即若毎人十成本银与每人应得利银之比也设如甲丙戊三商合本贸易其所出本银多寡不同时日亦不同甲出本银六百两系八个月丙出本银四百五十两系六个月戊出本银五百两系十个月共得利银一千两问各人应分利银几何法以各人本银与各人月分相乗甲得四千八百两丙得二千七百两戊得五千两三数相并得一万二千五百两为一率共利银一千两为二率各人本银乗各人月分之数为三率推得各四率甲得三百八十四两丙得二百一十六两戊得四百两即为各人应得之利银数也此法先以各人本银乗各人月分者葢以各人所出本银按月分以加倍也三人本银各有月分则行利亦按月加倍也设如乙丙丁三人合伙生理乙出本银二百两系八个月出本之两月后又添本银四十两丙出本银三百二十两系六个月出本之一月后又添本银八十两丁出本银一百六十两系十个月共得利银三百六十两问每人各该利银几何法以乙本银二百两与八个月相乗得一千六百两又以后添四十两与六个月相乗(因出本之两月后又添银故用六月)得二百四十两此两数相加得一千八百四十两为乙之衰数以丙本银三百二十两与六个月相乗得一千九百二十两又以后添八十两与五个月相乗(因出本之一月后又添银)(故用五月)得四百两此两数相加得二千三百二十两为丙之衰数以丁本银一百六十两与十个月相乗得一千六百两即丁之衰数乃以三人衰数相加得五千七百六十两为一率三百六十两为二率各人衰数各为三率推得各四率乙得一百一十五两丙得一百四十五两丁得一百两即各人应得之利银数也此法因出银前后各不同故以各人出银节次乗各人月分而得各人衰数既得各人衰数则相加而与总利银为比即如各人衰数与各人利银相比也设如甲乙丙三商合本贸易共得利银一千两甲本银三百两系十个月乙本银六百两丙本银四百两俱不知月分其利银则甲分五百两乙分三百两丙分二百两问乙丙二人出本银月分各几何法以甲之利银五百两为一率甲之本银三百两与十个月相乗得三千两为二率乙之利银三百两为三率推得四率一千八百两为乙之本银六百两与月分相乗之数以乙之本银六百两除之得三个月即乙出银之月分如以丙之利银二百两为三率则得四率一千二百两为丙之本银四百两与月分相乗之数以丙之本银四百两除之得三个月即丙出本银之月分也设如乙丙丁三人合本贸易共得利银三百八十两丙得利银为乙三分之一丁得利银为乙四分之一乙之本银为八十两收利十二个月丙丁二人本银不知数但知丙收利银系八个月丁收利银系四个月问乙丙丁利银各若干丙与丁本银各若干法以十二分为乙之衰数(两分母相乗之数)取其三分之一得四分为丙之衰数又取其四分之一得三分为丁之衰数将三衰数相并得一十九分为一率共利三百八十两为二率以各人衰数各为三率推得各四率乙之利银得二百四十两丙之利银得八十两丁之利银得六十两三宗利银相并共三百八十两以合前数又用乙利银二百四十两为一率乙本银八十两与十二个月相乗得九百六十两为二率丙利银八十两为三率推得四率三百二十两为丙本银八个月之共分以八个月除之得四十两即丙之本银数复以乙利银二百四十两为一率乙本银九百六十两为二率丁利银六十两为三率推得四率二百四十两为丁本银四个月之共分以四个月除之得六十两即丁之本银数也设如甲丙戊三家每日派一人当差论各家田数定日之多少甲田八十亩丙田六十亩戊田五十二亩问各人一年内连闰月应该当差之日几何法以甲丙戊三家田数(甲八十丙六十戊五十二)相并得一百九十二亩为一率一年连闰月作三百八十四日为二率各家田数各为三率推得各四率甲当差一百六十日丙当差一百二十日戊当差一百零四日并之得三百八十四日合一年连闰月之数也设如二人居住相隔一千四百里同日起身一人日行八十里一人日行六十里问途中几日相㑹法以八十里与六十里相并得一百四十里为一率一日为二率一千四百里为三率推得四率十日即相㑹之日也此法以八十里六十里相并为一率者毎一日之内两人共行一百四十里也一百四十里行一日则一千四百里行十日矣盖日行八十里者十日行八百里日行六十里者十日行六百里并之以合原数也设如有银四百八十六两籴米麦豆三色其石数相等米每石价银一两二钱麦每石价银九钱豆每石价银六钱问石数若干法以米价一两二钱麦价九钱豆价六钱相并共得二两七钱为一率一石为二率总银四百八十六两为三率推得四率一百八十石即各色之石数也此法盖因三色之石数既相等故三色每石之共价与每一石之比即同于三分之共价四百八十六两与每一分之一百八十石之比也设如有银一千二百两买绫绢二色绢一分绫二分绫每疋价银三两六钱绢每疋价银二两四钱问绫绢与价银各几何法以绫价三两六钱二因之(绫二分故用二因)得七两二钱与绢价二两四钱相加共得九两六钱为一率绢一疋为二率总银一千二百两为三率推得四率一百二十五疋为绢数倍之得二百五十疋为绫数以绢每疋价银二两四钱与绢一百二十五疋相乗得三百两为共绢价以绫每疋价银三两六钱与绫二百五十疋相乗得九百两为共绫价也此法盖因绢为一分绫为二分故将绫价二因之与绢价相加即绫二疋绢一疋之共价以绫二疋绢一疋之共价与绢一疋之比即同于绫二分绢一分之共价一千二百两与绢一分一百二十五疋之比也设如有银三百三十六两买罗八十疋绢一百二十疋罗每疋价比绢每疋价加一倍问罗价绢价各几何法以罗八十疋倍之得一百六十疋与绢一百二十疋相加得二百八十疋为一率绢一疋为二率总银三百三十六两为三率推得四率一两二钱即绢毎一疋之价倍之得二两四钱即罗每一疋之价也此法盖因罗价比绢价加一倍故将罗疋数倍之与绢疋数相加为罗二倍绢一倍之共数而以罗二倍绢一倍之共数与绢一疋之比即同于罗二倍绢一倍之共价三百三十六两与绢一疋之价一两二钱之比也设如有银七百八十五两令甲乙丙丁四人分之乙得甲银十分之七丙得乙银十四分之三丁得丙银十二分之九问各分银几何法以一千六百八十分(三分母连乗之数)为甲衰数取甲十分之七得一千一百七十六分为乙衰数取乙十四分之三得二百五十二分为丙衰数取丙十二分之九得一百八十九分为丁衰数乃以四人衰数相并得三千二百九十七分为一率总银七百八十五两为二率以甲衰一千六百八十分为三率得四率四百两即甲所分之银数以乙衰一千一百七十六分为三率得四率二百八十两即乙所分之银数以丙衰二百五十二分为三率得四率六十两即丙所分之银数以丁衰一百八十九分为三率得四率四十五两即丁所分之银数四人所得银数并之得七百八十五两以合原数也此法因各分母不同恐难度尽故以分母连乗为甲衰数次各按分取其衰数乃并各衰数为共衰数以共衰数与总银数之比即同于各人衰数与各银数之比也设如东西中三村共纳粮一千零三十六石东村一百二十戸每戸该纳七分西村八十戸每戸该纳五分中村六十戸每戸该纳四分问各村纳粮若干每戸纳粮若干法以七分与东村一百二十戸相乗得八百四十分为东村衰数以五分与西村八十戸相乗得四百分为西村衰数以四分与中村六十戸相乗得二百四十分为中村衰数乃以三村衰数相并得一千四百八十分为一率共纳粮一千零三十六石为二率各村衰数各为三率推得各四率东村共该纳粮五百八十八石西村共该纳粮二百八十石中村共该纳粮一百六十八石再以各村戸数归除各村所纳粮数则东村每戸该纳粮四石九斗西村每戸该纳粮三石五斗中村每戸该纳粮二石八斗如以三村共衰分数归除共纳粮数得每一分所纳粮数而以各村分数乗之即得各村共纳粮数以各戸分数乗之即得各村每戸所纳之粮数也设如乙丙丁三人共纳地租银十一两五钱乙田长一百二十丈寛四十丈丙田长二百丈寛六十丈丁田长八十丈寛二十丈问每人该租银若干法以乙田长一百二十丈与寛四十丈相乗得四千八百丈丙田长二百丈与寛六十丈相乗得一万二千丈丁田长八十丈与寛二十丈相乗得一千六百丈三数相并共得一万八千四百丈为一率共地租银十一两五钱为二率各田长寛相乗之数各为三率推得各四率乙该银三两丙该银七两五钱丁该银一两并之为十一两五钱以合原数也设如孙郑褚三家买货共载一船逺近船价不同孙家货物九十五担每担船价六分郑家货物八十五担每担船价四分褚家货物五十六担每担船价二分五厘因中途拨浅共贴银二两五钱二分欲照船价分派问各该若干法以孙货九十五担与每担六分相乗得五两七钱以郑货八十五担与每担四分相乗得三两四钱以褚货五十六担与每担二分五厘相乗得一两四钱乃以三家船价相并共得一十两五钱为一率共贴银二两五钱二分为二率一两为三率推得四率二钱四分即为每一两应贴之数复以各家船价银乗之所得一两三钱六分八厘即孙应出之数所得八钱一分六厘即郑应出之数所得三钱三分六厘即褚应出之数也设如甲丙戊三县共纳米四千石论县之大小米之贵贱运之逺近分之甲县有三千三百六十戸每米一石价银八钱运至六十里丙县有一千二百戸每米一石价银一两运至三十里戊县有二千四百戸每米一石价银六钱运至八十里问每县该米若干法以甲县米价八钱与六十里相乗得四百八十用此数归除甲县三千三百六十戸得七为甲县之衰数又以丙县米价一两与三十里相乗得三百用此数归除丙县一千二百戸得四为丙县之衰数以戊县米价六钱与八十里相乗得四百八十用此数归除戊县二千四百戸得五为戊县之衰数乃以此三衰数相并得一十六为一率总米四千石为二率各县衰数各为三率推得各四率甲县为一千七百五十石丙县为一千石戊县为一千二百五十石三数相并共四千石以合原数也设如甲乙丙丁戊五处共输粟二千石以田地之多寡道里之逺近粟价之贵贱均输之甲田一万三千零六十亩粟每石价银二两自输本处乙田一万二千三百一十二亩粟每石价银一两至输所二百里丙田七千一百八十二亩粟每石价银一两二钱至输所一百五十里丁田一万三千三百三十八亩粟毎石价银一两七钱至输所二百五十里戊田五千一百三十亩粟每石价银一两三钱至输所一百五十里每石每里车价四厘问各处所输若干法以甲粟毎石价二两归除甲田一万三千零六十亩得六百五十三为甲衰数次以乙输所二百里与每石车价四厘相乗得八钱并入乙粟毎石价一两共一两八钱归除乙田一万二千三百一十二亩得六百八十四为乙衰数次以丙输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入丙粟每石价一两二钱共一两八钱归除丙田七千一百八十二亩得三百九十九为丙衰数次又以丁输所二百五十里与每石车价四厘相乗得一两并入丁粟每石价一两七钱共二两七钱归除丁田一万三千三百三十八亩得四百九十四为丁衰数次又以戊输所一百五十里与每石车价四厘相乗得六钱并入戊粟每石价一两三钱共一两九钱归除戊田五千一百三十亩得二百七十为戊衰数乃合五衰数共二千五百为一率共粟二千石为二率五处各衰数各为三率推得各四率甲为五百二十二石四斗乙为五百四十七石二斗丙为三百一十九石二斗丁为三百九十五石二斗戊为二百一十六石五数相并共二千石以合原数也此法盖因地亩以定粟数故粟可以均然粟之价既有贵贱而道里又有逺近故取粟价以除地亩正所以均其贵贱而取车价并入粟价以除地亩又所以均其逺近也设如买米八十四石每米一石价一两四钱七分运价一钱三分今欲抽米作运价与之问正米与运价米各几何法以每石米价一两四钱七分与每石运价一钱三分相加得一两六钱为一率总米八十四石为二率每石米价一两四钱七分为三率推得四率七十七石一斗七升五合即正米数如先求运价米数则仍以一两六钱为一率总米八十四石为二率每石运价一钱三分为三率推得四率六石八斗二升五合即运价米数也既得正米数与运价相乗得十两零三分二厘七豪五丝为共运价而以运费米数与米价相乗亦得十两零三分二厘七豪五丝其数适相当也此法盖因八十四石为正米与运价米之总数今抽米作运费故以米价与运价相并亦为米价与运价之总数以总价与总米之比即同于米价与正米之比又以总价与总米之比即同于运价与运米之比也此法即和数差分之变体旧算书名为就物抽分因其以总米内抽运价故为抽分然要以米价运价之和与总米为比例故附于和数比例之后设如有丝四十三斤十二两每织绢一疋用丝一斤与织工丝四两问织绢丝与织工丝各几何法以织绢丝一斤通为十六两与织工丝四两相加得二十两为一率总丝四十三斤十二两通为七百两为二率织工丝四两为三率得四率一百四十两收为八斤十二两即织工丝与总丝相减余三十五斤即织绢丝也此亦就物抽分法也以毎疋织绢丝及织工丝之共数与总丝之比即同于每疋织工丝与总织工丝之比也较数比例比例之中有和数而复有较数者以数相合而为比例故谓之和数若夫因数之相较而成比例则谓之较数在九章谓之匿价差分其立法盖以每一物与较数之比即若共物与共较之比或以共物之较与每一物价之较为比即若共物与每一物价之比也又或有以实数相比者或有以各物分数相比者虽未有一定之规然而总不越以彼此相差之较数为比例故今质名之曰较数比例焉设如有钱买绫罗二色绫七尺罗九尺两价相等但知绫每尺比罗每尺价多三十六文问二色毎尺价钱几何法以绫一尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率二百五十二文即绫七尺共多之数又以绫七尺与罗九尺相减余罗二尺为一率绫七尺共多二百五十二文为二率罗一尺为三率推得四率一百二十六文即罗一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫一尺之价以一百二十六文乗罗九尺得一千一百三十四文以一百六十二文乗绫七尺亦得一千一百三十四文两价相等也此法盖因绫一尺多三十六文则绫七尺共多二百五十二文也夫绫价多二百五十二文罗多二尺而其价相等则二百五十二文即罗二尺之价罗二尺价二百五十二文则罗一尺价一百二十六文也既得罗价则绫价亦可推矣又法以绫七尺与罗九尺相减余二尺为一率绫比罗每尺价多三十六文为二率绫七尺为三率推得四率一百二十六文即罗毎一尺之价加多三十六文得一百六十二文即绫每一尺之价如以罗九尺为三率推得四率一百六十二文即绫每一尺之价减多三十六文余一百二十六文即罗每一尺之价也此法共绫与共罗之较为二尺绫每尺与罗每尺之较为三十六文凡共物之较与共价之较相比即同于共物与共价之比而共物之较与每一物价之较相比亦必同于共物与每一物价之比故以绫共少二尺与罗每尺价少三十六文之比即同于绫共七尺与罗每尺价一百二十六文之比也又以罗共多二尺与绫每尺多三十六文之比亦即同于罗共九尺与绫毎尺价一百六十二文之比也设如有银买驼马二色马十匹驼六匹两价相等但知驼每匹比马每匹价多八两问二色每匹价银若干法以驼一匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率四十八两即驼六匹共多之数又以马十匹与驼六匹相减余马四匹为一率驼六匹共多四十八两为二率马一匹为三率推得四率十二两即马一匹之价加多八两得二十两即驼一匹之价以二十两乗驼六匹得一百二十两以十二两乗马十匹亦得一百二十两两价相等也此法盖因驼一匹多八两则驼六匹共多四十八两也夫驼价多四十八两马多四匹而其价相等则四十八两即马四匹之价马四匹价四十八两则马一匹价十二两也又法以驼六匹与马十匹相减余四匹为一率驼比马每匹价多八两为二率驼六匹为三率推得四率十二两即马每匹之价加多八两得二十两即驼毎匹之价如以马十匹为三率推得四率二十两即驼每匹之价减多八两余十二两即马每匹之价也盖驼共少四匹与马每匹价少八两之比即同于驼共六匹与马每匹价十二两之比又马共多四匹与驼每匹价多八两之比即同于马共十匹与驼每匹价二十两之比也设如有稻一十八石稷二十二石两价相等如交换五石则两边俱差银一两六钱问每石价与共价各若干法以交换五石为一率相差一两六钱为二率稻一十八石为三率推得四率五两七钱六分即稻一十八石共多之数又以稻一十八石与稷二十二石相减余稷四石为一率稻一十八石共多五两七钱六分为二率稷一石为三率推得四率一两四钱四分即稷一石之价以稷二十二石乗之得三十一两六钱八分即稷之共价亦即稻之共价以稻十八石除之得一两七钱六分即稻一石之价也如交换五石则一为稻十三石稷五石稻十三石价二十二两八钱八分稷五石价七两二钱相加得三十两零八分比共价三十一两六钱八分少一两六钱一为稷十七石稻五石稷十七石价二十四两四钱八分稻五石价八两八钱相加得三十三两二钱八分比共价三十一两六钱八分则多一两六钱是两边俱差一两六钱也此法盖因稻五石多一两六钱则稻十八石共多五两七钱六分也夫稻多五两七钱六分稷多四石而其价相等则五两七钱六分即稷四石之共价稷四石价五两七钱六分则稷一石价必一两四钱四分而稷二十二石价必三十一两六钱八分与稻十八石之价相等故以十八除之得稻每一石之价也设如有金球八银球十二两重相等今移换三则银球边多六十两问金球银球各重几何法以移换之三为一率多六十两折半得三十两(即三金球比三银球所多之数)为二率金球八为三率推得四率八十两即金球八共多之数又以金球八与银球十二相减余银球四为一率共多八十两为二率银球一为三率推得四率二十两即银球一之重数以十二乗之得二百四十两即银球十二之共重数亦即金球八之共重数以金球八除之得三十两即金球一之重数也此法盖因移换三而差六十两即三金球比三银球多三十两三银球比三金球少三十两其总差为六十两故折半为三金球多于三银球之重数也三金球多三十两则八金球共多八十两夫金球多八十两银球多四而其重相等则八十两即四银球之重数四银球重八十两则一银球重二十两而十二银球必重二百四十两与八金球之重相等故以八除之即得金球之重数也设如甲乙丙三人合本为商共得利银四百两乙比甲多分十二两丙比乙又多分十六两问各分利银几何法以共利银四百两内减乙比甲多十二两又减丙比甲多二十八两(丙比乙多十六)(两则比甲多二十八两)余三百六十两乃以甲乙丙共三人为一率三百六十两为二率甲一人为三率推得四率一百二十两即甲应得利银数加十二两得一百三十二两为乙应得利银数又加十六两得一百四十八两为丙应得利银数也此法减去乙丙共多于甲之数所余者即三人均分之数故以三人与三百六十两之比即同于甲一人与一百二十两之比也设如有银七百四十两共买马驴一百匹马八十匹驴二十匹其马每匹价比驴每匹价多三两问马驴每匹价各得几何法以马驴共一百匹为一率马每匹多三两与马八十匹相乗得二百四十两于总银内减之余五百两为二率驴一匹为三率推得四率五两即驴一匹之价加马每匹多三两得八两即马一匹之价以马价八两乗马八十匹得马共价六百四十两以驴价五两乗驴二十匹得驴共价一百两也此法盖因马每匹多三两则马八十匹共多二百四十两于总银内减去马共多之价则马价皆同于驴价矣故以总数一百匹与银五百两之比即同于驴一匹与银五两之比也设如有银二千九百九十六两二钱买上等田一百六十亩中等田三百亩下等田四百六十亩其上等田比中等田每亩价多四钱七分中等田比下等田每亩价多一两三钱五分问三等田每亩价银几何法以上中下三等田数相并得九百二十亩为一率将中等田三百亩用中等比下等每亩多一两三钱五分乗之得四百零五两为中等比下等共多之数又以上等田一百六十亩用上等比下等每亩多一两八钱二分乗之(上等比中等每)(亩多四钱七分中等比下等每亩多一两三钱五分共为一两八钱二分)得二百九十一两二钱为上等比下等共多之数爰并两数共六百九十六两二钱与总银二千九百九十六两二钱相减余二千三百两为二率下等田一亩为三率推得四率二两五钱即下等田每一亩之价加多一两三钱五分得三两八钱五分即中等田每一亩之价再加多四钱七分得四两三钱二分即上等田每一亩之价也此法盖因中等田比下等田每亩多一两三钱五分则三百亩共多四百零五两上等田比下等田毎亩多一两八钱二分则一百六十亩共多二百九十一两二钱于总银内减去两等共多之数则上等田价中等田价皆同于下等田价矣故以三等田共九百二十亩与银二千三百两之比即同于下等田每一亩与银二两五钱之比也设如二人行路疾徐不等疾行者日行九十五里徐行者日行七十五里今令徐行者先行八日问疾行者追及之日数几何法以徐行七十五里与疾行九十五里相减余二十里为一率一日为二率徐行七十五里与先行八日相乗得六百里为三率推得四率三十日即追及之日数也此法盖因徐行者先行八日以日行七十五里计之则已多行六百里今疾行者日行九十五里则比徐行者每日多行二十里多二十里为一日追行之数多六百里则为三十日追行之数可知矣设如二人自乡上城一人步行一人骑马使步行者先行三十七里骑马者追至一百五十四里尚不及二十三里问追及之里数几何法以不及二十三里与先行三十七里相减余一十四里为一率追至一百五十四里为二率不及二十三里为三率推得四率二百五十三里即追及之里数也此法盖因步行者已先行三十七里今骑马者追之止不及二十三里是已追过十四里也追过十四里必须一百五十四里今尚不及二十三里则必须二百五十三里方能追及也设如一人行路步行则三十日可到骑行则二十日可到今行二十六日到问步行骑行日数各几何法以三十日与二十日相减余十日为一率步行三十日为二率今行二十六日与骑行二十日相较多六日为三率推得四率十八日为步行之日数与共二十六日相减余八日即骑行之日数也如以十日为一率骑行二十日为二率今行二十六日与步行三十日相较少四日为三率推得四率八日即骑行之日数也此法盖因步行三十日可到骑行二十日可到则步行比骑行迟十日即骑行比步行早十日也步行比骑行迟十日而步行为三十日今步行比骑行迟六日则步行为十八日可知矣骑行比步行早十日而骑行为二十日今骑行比步行早四日则骑行为八日可知矣设如有上下二等酒上等酒每斤价银五分下等酒每斤价银三分今以二等酒相合一处共重一百二十斤每斤价银三分六厘问二等酒各几何法以上等酒价银五分内减下等酒价银三分余二分为一率二等酒共一百二十斤为二率二等酒相合毎斤价银三分六厘与下等酒价银三分相较得多六厘为三率推得四率三十六斤为上等酒数于二等酒共一百二十斤内减三十六斤余八十四斤即下等酒数也如以二等酒相合毎斤价银三分六厘与上等酒价银五分相较得少一分四厘为三率则得四率八十四斤即下等酒数也此法上等酒价五分下等酒价三分是上等比下等多二分即下等比上等少二分也若二等酒相合价比下等酒价多二分则一百二十斤皆上等酒矣因二等酒相合价比下等价多六厘故知上等酒有三十六斤也又二等酒相合价比上等酒价少二分则一百二十斤皆下等酒矣因二等酒相合价比上等价少一分四厘故知下等酒有八十四斤也设如有布三百一十疋每疋长四十尺但知每疋扣运费二尺共扣去一十六疋复找囘钱六百文问布毎疋价钱几何法以毎疋扣运费二尺与总布三百一十疋相乗得六百二十尺又以每疋长四十尺与共扣布一十六疋相乗得六百四十尺两数相减余二十尺为一率找囘钱六百文为二率每疋长四十尺为三率推得四率一千二百文即每一疋之价也此法盖以每疋扣运费二尺计之则总布三百一十疋当扣六百二十尺今乃抽去十六疋则扣去六百四十尺是多扣去二十尺也多扣去二十尺而找回钱六百文是六百钱即二十尺之价二十尺价六百文则四十尺(一疋)(之数)价必一千二百文也设如有银一千零八两买线一分丝二分绵三分共重三百六十斤俱不言价但知绵二两当线一两之价线一两当丝一两六钱之价问三色各重若干三色每斤价银若干法以线一分丝二分绵三分相并得六分为一率共重三百六十斤为二率线一分为三率推得四率六十斤即线一分之重数二因之得一百二十斤即丝二分之重数三因之得一百八十斤即绵三分之重数既得各色之重数即以线重六十斤为线之衰分绵二两当线一两之价即将绵一百八十斤二归之得九十斤为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价即将丝一百二十斤用一六除之得七十五斤为丝之衰分并三衰分共二百二十五斤为一率总银一千零八两为二率线一斤为三率推得四率四两四钱八分即线每斤之价二归之得二两二钱四分即绵每斤之价一六除之得二两八钱即丝每斤之价也此法先求各色之重数以共分与共重数之比即同于线一分与线重数之比又以各分数因之即得各重数也次求各色之价数既以线重六十斤为线衰分则丝价与绵价必俱变为与线相当之数而后可以为比例盖绵二两当线一两之价则绵一百八十斤必当线九十斤之价故以九十为绵之衰分丝一两六钱当线一两之价则丝一百二十斤必当线七十五斤之价故以七十五为丝之衰分既得各衰分并之与总银相比即同于线每斤与每斤之价相比也既得线每斤之价以二除之得绵每斤之价者绵价居线价二分之一也既得线每斤之价又以一六除之得丝每斤之价者丝价居线价十六分之十也设如李王二人合本生理不知二人本银之数但知李本银比王本银多一倍零八两共得利银二十二两李分十六两王分六两问二人各出本银若干法以王利银六两加一倍(因李本银比王本银多一)(倍故加一倍也)得十二两与李利银十六两相减余四两为一率所零八两为二率王之利银六两为三率推得四率十二两即王之本银数加一倍又加八两共三十二两为李之本银数也盖李之本银比王之本银多一倍又多八两李之利银比王之利银多一倍又多四两是四两即为八两所得之利银数利银四两知本银为八两则王之利银六两即知其本银为十二两也设如买缎一千疋不言出银之数但知每疋卖价七两二钱则比原出银少十分之一问原出银若干法以分母十与分子一相减余九分为一率以七两二钱与一千疋相乗得七千二百两为二率十分为三率推得四率八千两即原出银之数也此法盖因每疋卖价七两二钱比原出银少十分之一则今卖价止得原出银十分之九故以九分与今卖价之比即同于十分与原出银之比也设如甲丙丁三人合本贸易丙之本银为甲本银五分之四丁之本银为甲本银三分之二丙之本银比丁之本银多十两问三人本银各若干法以十五分为甲之衰数(两分母相乗之数)取甲五分之四得十二分为丙之衰数取甲三分之二得十分为丁之衰数乃以丁十分与丙十二分相减余二分为一率多十两为二率甲十五分为三率推得四率七十五两为甲本银数如以丙十二分为三率则得四率六十两为丙本银数如以丁十分为三率则得四率五十两为丁本银数以丁银与丙银相减余十两即丙多于丁之数也设如有银赏三等人一等八人二等六人三等九人二等每人所得为一等每人三分之二三等每人所得为二等每人四分之一二等比三等共多得三百两问每等每人各得几何法以十二分为一等每人之衰数(两分母相)(乗之数)取十二分中之三分之二得八分为二等每人之衰数又取八分中之四分之一得二分为三等每人之衰数乃以一等十二分与一等八人相乗得九十六分为一等八人共衰数二等八分与二等六人相乗得四十八分为二等六人共衰数三等二分与三等九人相乗得十八分为三等九人共衰数乃以三等共衰十八分与二等共衰四十八分相减余三十分为一率二等比三等共多得三百两为二率一等每人衰数十二分为三率推得四率一百二十两为一等每人所得之数以一等八人乗之得九百六十两即一等八人所得之共数如以二等每人衰数八分为三率则得四率八十两为二等每人所得之数以二等六人乗之得四百八十两即二等六人所得之共数如以三等每人衰数二分为三率则得四率二十两为三等每人所得之数以三等九人乗之得一百八十两即三等九人所得之共数以二等共得四百八十两与三等共得一百八十两相减余三百两即二等共多于三等之银数也设如有田一百二十亩一人一日耕四亩一人一日种六亩欲令二人同日完工问耕者该先起工几何法以四亩与六亩相乗得二十四亩以四亩互乗一日得四日以六亩互乗一日得六日乃以二十四亩为一率四日六日相减余二日为二率一百二十亩为三率推得四率十日即是耕者该先起工十日也此法盖因四亩与六亩不同故用互乗以齐其分一得二十四亩耕六日一得二十四亩种四日欲令同日完工则耕者当先起工二日然则田二十四亩当先起工二日今田一百二十亩则当先起工十日也御制数理精蕴下编卷六
## 下编卷七
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷七线部五和较比例和较比例比例之中有和数较数而复有和较者用和数相比谓之和用较数相比谓之较至于设问中两物相和两价相和或每色中㡬物相和乃于和数中推求较数因较数而成比例是以和数为体而较数为用故谓之和较比例在九章一名贵贱差分一名贵贱相和其立法盖于縂物中求其相差之较或于每物中求其相差之较(此贵贱差分法)或用互乗以齐其数然后于互乗数中求其相差之较作为比例而得真数(此贵贱相)(和法)按法立算虽各不同要之縂以和数推出较数为比此和较之所以名也设如有银四百零五两七钱共买米麦五百石米每石价银八钱六分麦每石价银七钱二分五厘问米麦各该㡬何法以米麦共五百石用米每石价银八钱六分乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相较则縂银少二十四两三钱又以米麦共五百石用麦每石价银七钱二分五厘乗之得三百六十二两五钱与縂银相较则縂银多四十三两二钱乃以多少两数相并得六十七两五钱为一率米麦共五百石为二率少二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以多四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖以五百石俱为米计之则价应四百三十两与今縂银相较则縂银少二十四两三钱如以五百石俱为麦计之则价应三百六十二两五钱与今縂银相较则縂银多四十三两二钱是米五百石比麦五百石价多六十七两五钱即麦五百石比米五百石价少六十七两五钱也是知麦价比米价少六十七两五钱而麦为五百石今縂银比米价少二十四两三钱则麦必为一百八十石也又米价比麦价多六十七两五钱而米为五百石今縂银比麦价多四十三两二钱则米必为三百二十石也又法以米麦每石价银相减余一钱三分五厘为一率一石为二率以米麦共五百石用米价乗之得四百三十两与縂银四百零五两七钱相减余二十四两三钱为三率得四率一百八十石即麦数于共五百石内减之余三百二十石即米数如以米麦共五百石用麦价乗之得三百六十二两五钱与縂银四百零五两七钱相减余四十三两二钱为三率得四率三百二十石亦即米数也此法盖因米一石比麦一石其价相差一钱三分五厘是知少一钱三分五厘而麦为一石今少二十四两三钱则麦少为一百八十石也又多一钱三分五厘而米为一石今多四十三两二钱则米必为三百二十石也前法以五百石縂价之较与五百石为比此法以每一石价之较与一石为比其理同也设如有银一百两共买䌷绢一百疋䌷每疋价银一两六钱绢每疋价银八钱问䌷绢各得㡬何法以䌷绢共一百疋用䌷价一两六钱乗之得一百六十两与共银一百两相较则共银少六十两又以䌷绢共一百疋用绢价八钱乗之得八十两与共银一百两相较则共银多二十两乃以多少两数相并得八十两为一率䌷绢共一百疋为二率少六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即䌷数如以多二十两为三率得四率二十五疋亦即䌷数也此法盖以一百疋俱为䌷计之则价应一百六十两与共银相较则共银少六十两如以一百疋俱为绢计之则价应八十两与共银相较则共银多二十两是䌷一百疋比绢一百疋价多八十两即绢一百疋比䌷一百疋价少八十两也是知绢价比䌷价少八十两而绢为一百疋今共价比䌷价少六十两则绢必为七十五疋也又䌷价比绢价多八十两而䌷为一百疋今共价比绢价多二十两则䌷必为二十五疋也又法以䌷绢每疋价银相减余八钱为一率䌷一疋为二率以䌷绢共一百疋用䌷价乗之得一百六十两与共银一百两相减余六十两为三率得四率七十五疋即绢数于共一百疋内减之余二十五疋即䌷数如以䌷绢共一百疋用绢价乗之得八十两与共银一百两相减余二十两为三率得四率二十五疋亦即䌷数也此法盖因䌷一疋比绢一疋其价相差八钱是知少八钱而绢为一疋今少六十两则绢必为七十五疋也又多八钱而䌷为一疋今多二十两则䌷必为二十五疋也设如鸡兔同笼但知头共三十六足共一百问鸡兔各㡬何法以鸡兔共三十六头用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相较则共足多二十八又以鸡兔共三十六头用兔四足乗之得一百四十四足与共足一百相较则共足少四十四乃以多少两数相并得七十二足为一率共三十六头为二率少四十四足为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即兔数如以多二十八足为三率得四率十四亦即兔数也此法盖以三十六俱为鸡计之则应七十二足与今共足相较则共足多二十八若以三十六俱为兔计之则应一百四十四足与今共足相较则共足少四十四是兔三十六比鸡三十六多七十二足即鸡三十六比兔三十六少七十二足也是知鸡少于兔七十二足而鸡为三十六只今鸡少于兔四十四足则鸡必为二十二只也又兔多于鸡七十二足而兔为三十六只今兔多于鸡二十八足则兔必为十四只也又法以鸡二足兔四足相减余二足为一率一只为二率又以共三十六只用兔四足乗之得一百四十四足与共足一百相减余四十四为三率得四率二十二即鸡数于共三十六只内减之余十四即兔数如以共三十六只用鸡二足乗之得七十二足与共足一百相减余二十八为三率得四率十四亦即兔数也此法盖因鸡一只比兔一只差二足是知鸡少于兔二足而鸡为一只今少于兔四十四足则鸡必为二十二只也又兔多于鸡二足而兔为一只今多于鸡二十八足则兔必为十四只也设如有羊一百四十只大小不䓁共剪毛一百五十斤大羊每只剪毛一斤二两小羊每只剪毛十二两问大小羊各㡬何法以共羊一百四十只用大羊剪毛十八两乗之(一斤作十六两加二两即十八两也)得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相较(一百五十斤变为两得二千四百两)则共剪毛数少一百二十两又以共羊一百四十只用小羊剪毛十二两乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相较则共剪毛数多七百二十两乃以多少两数相并得八百四十两为一率共羊一百四十只为二率多七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以少一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以一百四十只俱为大羊计之则应剪毛二千五百二十两与共剪毛数相较则共剪毛数少一百二十两若以一百四十只俱为小羊计之则应剪毛一千六百八十两与共剪毛数相较则共剪毛数多七百二十两是大羊一百四十只比小羊一百四十只多八百四十两即小羊一百四十只比大羊一百四十只少八百四十两也是知多八百四十两而大羊为一百四十只今少七百二十两则大羊必为一百二十只也又少八百四十两而小羊为一百四十只今少一百二十两则小羊必为二十只也又法以大羊剪毛十八两小羊剪毛十二两相减余六两为一率一只为二率以共羊一百四十只用小羊剪毛数乗之得一千六百八十两与共剪毛二千四百两相减余七百二十两为三率得四率一百二十只即大羊数于共一百四十只内减之余二十只即小羊数如以共羊一百四十只用大羊剪毛数乗之得二千五百二十两与共剪毛二千四百两相减余一百二十两为三率得四率二十只亦即小羊数也此法盖以大羊一只比小羊一只所剪毛差六两是知多六两而大羊为一只今多七百二十两则大羊必为一百二十只也又少六两而小羊为一只今少一百二十两则小羊必为二十只也设如有玉在石中但知正方每邉四寸共重一百六十两八钱问玉有㡬何法以方邉四寸自乗再乗得六十四寸为正方体积乃以六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相较则共重少五两六钱又以六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相较则共重多八钱乃以多少两数相并得六两四钱为一率玉六十四寸为二率多八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以少五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也既得玉八寸则以玉寸方定率二两六钱乗之得二十两八钱即玉之重数于共重一百六十两八钱内减之余一百四十两即石之重数如以石五十六寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百四十两亦即石之重数也此法盖以六十四寸俱为玉计之则应重一百六十六两四钱与共重数相较则共重数少五两六钱若以六十四寸俱为石计之则应重一百六十两与共重数相较则共重数多八钱是石六十四寸比玉六十四寸少六两四钱即玉六十四寸比石六十四寸多六两四钱也是知多六两四钱而玉为六十四寸今多八钱则玉必为八寸也又少六两四钱而石为六十四寸今少五两六钱则石必为五十六寸也又法以玉寸方定率二两六钱与石寸方定率二两五钱相减余一钱为一率一寸为二率以共积六十四寸用石寸方定率二两五钱乗之得一百六十两与共重一百六十两八钱相减余八钱为三率得四率八寸即玉数于共六十四寸内减之余五十六寸即石数如以共积六十四寸用玉寸方定率二两六钱乗之得一百六十六两四钱与共重一百六十两八钱相减余五两六钱为三率得四率五十六寸亦即石数也此法盖以玉一寸比石一寸其重差一钱是知多一钱而玉为一寸今多八钱则玉必为八寸也又少一钱而石为一寸今少五两六钱则石必为五十六寸也设如有金银共重三百二十一两镕于一处作成一正方体每邉三寸问金银各重㡬何法以方边三寸自乗再乗得二十七寸为正方体积乃以二十七寸俱作金算用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相较则共重少一百三十二两六钱又以二十七寸俱作银算用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相较则共重多七十八两乃以多少两数相并得二百一十两六钱为一率金二十七寸重四百五十三两六钱为二率多七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银二十七寸重二百四十三两为二率少一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖因金二十七寸比银二十七寸多二百一十两六钱即银二十七寸比金二十七寸少二百一十两六钱也是知金比银多二百一十两六钱而金为四百五十三两六钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又银比金少二百一十两六钱而银为二百四十三两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也又法以银寸方定率九两与金寸方定率十六两八钱相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积二十七寸用银寸方定率九两乗之得二百四十三两与共重三百二十一两相减余七十八两为三率得四率一百六十八两即金数于共重三百二十一两内减之余一百五十三两即银数如以银一寸重九两为二率以共积二十七寸用金寸方定率十六两八钱乗之得四百五十三两六钱与共重三百二十一两相减余一百三十二两六钱为三率得四率一百五十三两亦即银数也此法盖以金一寸比银一寸其重相差七两八钱是知多七两八钱而金为十六两八钱今多七十八两则金必为一百六十八两也又少七两八钱而银为九两今少一百三十二两六钱则银必为一百五十三两也设如有金器一件内有银相参合共重一百七十两四钱问金银各重若干法用一桶盛水令满将金器入内看溢出之水得正方寸数㡬何假如得十二寸即为金银共积以金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相较则共重少三十一两二钱又以银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相较则共重多六十二两四钱乃以多少两数相并得九十三两六钱为一率金十二寸重二百零一两六钱为二率多六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银十二寸重一百零八两为二率少三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也又法以金寸方定率十六两八钱与银寸方定率九两相减余七两八钱为一率金一寸重十六两八钱为二率以共积十二寸用银寸方定率九两乗之得一百零八两与共重一百七十两四钱相减余六十二两四钱为三率得四率一百三十四两四钱即金数于共重一百七十两四钱内减之余三十六两即银数如以银一寸重九两为二率以共积十二寸用金寸方定率十六两八钱乗之得二百零一两六钱与共重一百七十两四钱相减余三十一两二钱为三率得四率三十六两亦即银数也设如有金铸一器重三百两俱系九六成色今用九九成色及九一成色二䓁金替换问各得㡬何法以九六成色与三百两相乗得二百八十八两为原金数乃以九九成色与三百两相乗得二百九十七两与原金二百八十八两相较则原金少九两又以九一成色与三百两相乗得二百七十三两与原金二百八十八两相较则原金多十五两爰以多少两数相并得二十四两为一率三百两为二率原金比九一成色多十五两为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以原金比九九成色少九两为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九六成色金三百两为十成金二百八十八两而九九成色金三百两为十成金二百九十七两九一成色金三百两为十成金二百七十三两是知九九比九一多二十四两而九九成色金为三百两今九六比九一多十五两则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少二十四两而九一成色金为三百两今九六比九九少九两则九一成色金必为一百一十二两五钱也又法以九九与九一相减余八分为一率金三百两为二率以九一与九六相减余五分为三率得四率一百八十七两五钱即九九成色金数于共重三百两内减之余一百一十二两五钱即九一成色金数如以九九与九六相减余三分为三率得四率一百一十二两五钱亦即九一成色金数也盖九九比九一多八分而九九成色金为三百两今九六比九一多五分则九九成色金必为一百八十七两五钱也又九一比九九少八分而九一成色金为三百两今九六比九九少三分则九一成色金必为一百一十二两五钱也设如甲乙二人有金成色不䓁甲金一两可凖银一十二两乙金一两可凖银八两今欲镕为一处令金一两凖银九两问甲乙二人于一两金中各出金㡬何法以凖银九两为中数与甲金凖银十二两相较少三两与乙金凖银八两相较多一两乃以多少两数并之得四两为一率金一两为二率比甲少三两为三率得四率七钱五分即乙所出金数如以比乙多一两为三率得四率二钱五分即甲所出金数也此法因银十二两与八两皆金一两所凖之数虽相乗其数不动故直以十二与八相减作一率(以十二与九八与九之两较相并得四即十二与八相减之余数也)盖乙比甲银少四两而乙金为一两今比甲银少三两则乙金必为七钱五分也又甲比乙银多四两而甲金为一两今比乙银多一两则甲金必为二钱五分也设如有钱四千九百九十五文买栗枣共五千枚只云栗九枚钱一十一文枣七枚钱四文问二色与价各得若干法先用互乗以齐其分以栗九与枣七相乗得六十三为乗出之縂物分即以六十三乗縂钱四千九百九十五文得三十一万四千六百八十五文为乗出之縂钱数又以枣七乗栗价十一文得七十七文为乗出之栗价以栗九乗枣价四文得三十六文为乗出之枣价然后以栗枣共五千枚用栗价七十七文乗之得三十八万五千文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱少七万零三百一十五文又以栗枣共五千枚用枣价三十六文乗之得一十八万文与乗出之縂钱三十一万四千六百八十五文相较则縂钱多一十三万四千六百八十五文乃以栗价七十七文与枣价三十六文相减余四十一文为一率一枚为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于共五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以少七万零三百一十五文为三率得四率一千七百一十五枚亦即枣数也既得栗数则以九枚为一率十一文为二率三千二百八十五枚为三率得四率四千零一十五文即栗之共价既得枣数则以七枚为一率四文为二率一千七百一十五枚为三率得四率九百八十文即枣之共价也如欲先得各价则以四十一文为一率栗价七十七文为二率多一十三万四千六百八十五文为三率得四率二十五万二千九百四十五文以六十三除之得四千零一十五文即栗之共价于共钱四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价如以四十一文为一率枣价三十六文为二率少七万零三百一十五文为三率得四率六万一千七百四十文以六十三除之得九百八十文亦即枣之共价也此法九章名为贵贱相和盖因栗九枚枣七枚其数不同故用互乗以齐其分得栗六十三枚价七十七文枣六十三枚价三十六文今以六十三枚当一枚则为栗一枚价七十七文枣一枚价三十六文是其价各加六十三倍故将縂钱亦加六十三倍即为栗枣共五千枚共价三十一万四千六百八十五文而栗一枚比枣一枚其价相差四十一文是知栗价比枣价多四十一文而栗为一枚今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗必为三千二百八十五枚也又枣价比栗价少四十一文而枣为一枚今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣必为一千七百一十五枚也其先求各价者盖因栗价比枣价多四十一文而栗价为七十七文今共价比枣价多一十三万四千六百八十五文则栗价少为二十五万二千九百四十五文因各价皆为加六十三倍故以六十三除之得四千零一十五文为栗之共价也又枣价比栗价少四十一文而枣价为三十六文今共价比栗价少七万零三百一十五文则枣价必为六万一千七百四十文亦以六十三除之得九百八十文为枣之共价也又法以枣七枚栗九枚共五千枚列于上枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文列于下乃以下枣价四文遍乗上枣七枚栗九枚共五千枚得枣二十八枚栗三十六枚共二万枚又以上枣七枚遍乗下枣价四文栗价十一文共价四千九百九十五文得枣价二十八文栗价七十七文共价三万四千九百六十五文两下相较则枣数与枣价同为二十八彼此减尽枣价比栗数多四十一共价比共数多一万四千九百六十五爰以多四十一为一率栗九枚为二率多一万四千九百六十五为三率得四率三千二百八十五枚即栗数于五千枚内减之余一千七百一十五枚即枣数如以栗价十一文为二率得四率四千零一十五文即栗之共价于四千九百九十五文内减之余九百八十文即枣之共价也若欲先得枣数则以栗九枚价十一文移于前枣七枚价四文移于后乃以下栗价十一文遍乗上栗九枚枣七枚共五千枚得栗九十九枚枣七十七枚共五万五千枚又以上栗九枚遍乗下栗价十一文枣价四文共价四千九百九十五文得栗价九十九文枣价三十六文共价四万四千九百五十五文两下相较则栗数与栗价同为九十九彼此减尽枣价比枣数少四十一共价比共数少一万零四十五爰以少四十一为一率枣七枚为二率少一万零四十五为三率得四率一千七百一十五枚即枣数如以枣价四文为二率得四率九百八十文即枣之共价也此法与方程互乗齐分之理同其先求栗数而以枣数列于前者盖将枣数栗数共数皆加四倍枣价栗价共价皆加七倍则枣数与枣价相同是为每枣一枚价一文夫枣数与枣价既相同而减尽无余则枣栗共数内之共枣数与枣栗共价内之共枣价亦必相同而减尽无余所余者即为共栗价多于共栗数之较是比每栗一枚价一文所多之数是知栗价比栗数多四十一文而栗为九枚栗价为十一文今共栗价比共栗数多一万四千九百六十五文则栗必为三千二百八十五枚栗价必为四千零一十五文也其先求枣数而以栗数列于前者盖将栗数枣数共数皆加十一倍栗价枣价共价皆加九倍则栗数与栗价相同是为每栗一枚价一文夫栗数与栗价既相同而减尽无余则栗枣共数内之共栗数与栗枣共价内之共栗价亦必相同而减尽无余所余者即为共枣价少于共枣数之较是比每枣一枚价一文所少之数是知枣价比枣数少四十一文而枣为七枚枣价为四文今共枣价比共枣数少一万零四十五文则枣必为一千七百一十五枚枣价必为九百八十文也设如有僧一百人给馒首一百个大僧一人给三个小僧三人给一个问大小僧数及各得馒首若干法先用互乗以齐其分以大僧一人与小僧三人相乗得三人为乗出之縂僧数即以三人乗馒首一百个得三百个为乗出之共馒首数又以小僧三人乗大僧馒首三个得九个为乗出之大僧馒首数以大僧一人乗小僧馒首一个仍得一个为乗出之小僧馒首数然后以共僧一百人与大僧馒首九个相乗得九百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首少六百个又以共僧一百人与小僧馒首一个相乗得一百个与乗出之共馒首三百个相较则共馒首多二百个乃以大僧馒首九个与小僧馒首一个相减余八个为一率一人为二率多二百个为三率得四率二十五人即大僧数于共僧一百人内减之余七十五人即小僧数如以少六百个为三率得四率七十五人亦即小僧数也既得僧数则以一人为一率三个为二率大僧二十五人为三率得四率七十五个即大僧馒首数又以三人为一率一个为二率小僧七十五人为三率得四率二十五个即小僧馒首数也如欲先得馒首数则仍以八个为一率大僧馒首九个为二率今多二百个为三率得四率二百二十五个三归之得七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数如以八个为一率小僧馒首一个为二率今少六百个为三率得四率七十五个三归之得二十五个亦即小僧馒首数也此法用互乗得大僧三人馒首九个小僧三人馒首一个今以三人当一人则为大僧一人馒首九个小僧一人馒首一个是馒首为加三倍故将共馒首亦加三倍即为共僧一百人共馒首三百个而大僧一人比小僧一人馒首差八个是知多八个而大僧为一人今多二百个则大僧必为二十五人也又少八个而小僧为一人今少六百个则小僧必为七十五人也其先求馒首者因多八个而大僧馒首为九个今多二百个则大僧馒首必为二百二十五个因馒首为加三倍故以三归之得七十五个为大僧馒首数又少八个而小僧馒首为一个今少六百个则小僧馒首必为七十五个亦以三归之得二十五个为小僧馒首数也又法以小僧三人大僧一人共僧一百人列于上小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个列于下乃以下小僧馒首一个遍乗上小僧三人大僧一人共僧一百人仍得原数又以上小僧三人遍乗下小僧馒首一个大僧馒首三个共馒首一百个得小僧馒首三个大僧馒首九个共馒首三百个两下相较则小僧人数与馒首数同为三彼此减尽大僧馒首数比人数多八共馒首数比共人数多二百爰以多八为一率大僧一人为二率多二百为三率得四率二十五人即大僧数于共一百人内减之余七十五人即小僧数如以大僧馒首三个为二率得四率七十五个即大僧馒首数于共馒首一百个内减之余二十五个即小僧馒首数也若欲先得小僧数则以大僧一人馒首三个移于前小僧三人馒首一个移于后乃以下大僧馒首三个遍乗上大僧一人小僧三人共僧一百人得大僧三人小僧九人共僧三百人又以上大僧一人遍乗下大僧馒首三个小僧馒首一个共馒首一百个仍得原数两下相较则大僧与大僧馒首同为三彼此减尽小僧馒首数比人数少八共僧馒首数比共人数少二百爰以少八为一率小僧三人为二率少二百为三率得四率七十五即小僧人数如以小僧馒首一个为二率得四率二十五个即小僧馒首数也此法先求大僧数而以小僧列于前者盖将小僧馒首大僧馒首共僧馒首数皆加三倍则小僧人数与馒首数相同是为每小僧一人馒首一个夫小僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共小僧数与共馒首数内之共小僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为大僧共馒首数多于共人数之较是比每大僧一人馒首一个所多之数是知馒首比人数多八个而大僧为一人大僧馒首为三个今馒首比人数多二百个则大僧必为二十五人大僧馒首必为七十五个也其先求小僧数而以大僧列于前者盖将大僧小僧共僧数皆加三倍则大僧数与馒首数相同是为每大僧一人馒首一个夫大僧数与馒首数既相同而减尽无余则共僧数内之共大僧数与共馒首数内之共大僧馒首数亦必相同而减尽无余所余者即为小僧馒首数少于小僧数之较是比每小僧一人馒首一个所少之数是知少八个而小僧为三人小僧馒首为一个今少二百个则小僧必为七十五人小僧馒首必为二十五个也设如有豆三十三石共换黄米京米一十九石止云每黄米三石值豆一石每京米一石值豆三石问二色米各得㡬何法先用互乗以齐其分以黄米三石与京米一石相乗得三石为乗出之共米数即以三石乗共豆三十三石得九十九石为乗出之共豆数以京米一石乗豆一石仍得一石为乗出黄米所值之豆数以黄米三石乗豆三石得九石为乗出京米所值之豆数然后以共米一十九石用黄米值豆一石乗之仍得一十九石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多八十石又以共米一十九石用京米值豆九石乗之得一百七十一石与乗出之共豆九十九石相较则共豆多七十二石乃以黄米值豆一石与京米值豆九石相减余八石为一率一石为二率少七十二石为三率得四率九石即黄米数于共米十九石内减之余十石即京米数如以多八十石为三率得四率十石亦即京米数也此法用互乗得黄米三石值豆一石京米三石值豆九石今以米三石当一石则为黄米一石值豆一石京米一石值豆九石是豆为加三倍故将共豆亦加三倍即为共米一十九石共豆九十九石而黄米一石比京米一石所值豆差八石是知豆少八石而黄米为一石今少七十二石则黄米必为九石也又豆多八石而京米为一石今多八十石则京米必为十石也又法以黄米三石京米一石共米一十九石列于上黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石列于下乃以下黄米值豆一石遍乗上黄米三石京米一石共米一十九石仍得原数又以上黄米三石遍乘下黄米值豆一石京米值豆三石共豆三十三石得黄米值豆三石京米值豆九石共豆九十九石两下相较则黄米与所值豆同为三石彼此减尽京米所值豆比京米多八石共豆比共米多八十石爰以多八石为一率京米一石为二率多八十石为三率得四率十石即京米数于共米一十九石内减之余九石即黄米数也如先求黄米数则以京米一石值豆三石移于前黄米三石值豆一石移于后乃以京米值豆三石遍乗上京米一石黄米三石共米一十九石得京米三石黄米九石共米五十七石又以上京米一石遍乗下京米值豆三石黄米值豆一石共豆三十三石仍得原数两下相较则京米与所值豆俱为三石彼此减尽黄米所值豆比黄米少八石共豆比共米少二十四石爰以少八石为一率黄米三石为二率少二十四石为三率得四率九石即黄米数也此法先求京米数而以黄米列于前者盖将京米所值豆数黄米所值豆数共米所值豆数皆加三倍则黄米数与所值豆数相同是为每黄米一石值豆一石夫黄米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共黄米数与共豆数内之共黄米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为共京米所值豆数多于共京米之较是比每京米一石值豆一石所多之数是知豆比米多八石而京米为一石今豆比米多八十石则京米必为十石也其先求黄米数而以京米列于前者盖将京米黄米共米皆加三倍则京米数与所值豆数相同是为每京米一石值豆一石夫京米数与所值豆数既相同而减尽无余则共米数内之共京米数与共豆数内之共京米所值豆数亦必相同而减尽无余所余者即为黄米所值豆数比黄米所少之较是比每黄米一石值豆一石所少之数是知豆比米少八石而黄米为三石今豆比米少二十四石则黄米必为九石也设如有船桅共五十七桨共二百零四但知大船毎只三桅六桨小船每只一桅八桨问大小船数各若干法先用互乗以齐其分以大船三桅与小船一桅相乗得三桅为乗出之共桅数即以三桅乗共桨二百零四得六百一十二为乗出之共桨数以小船一桅乗大船六桨仍得六桨为乗出大船之桨数以大船三桅乗小船八桨得二十四桨为乗出小船之桨数然后以共桅五十七用大船六桨乗之得三百四十二与乗出之共桨六百一十二相较则共桨多二百七十又以共桅五十七用小船二十四桨乘之得一千三百六十八与乗出之共桨六百一十二相较则共桨少七百五十六乃以大船六桨与小船二十四桨相减余十八桨为一率一桅为二率少七百五十六桨为三率得四率四十二即大船桅数三归之得十四即大船数也于共桅五十七内减大船桅数余十五即小船桅数亦即小船数如以得二百七十桨为三率得四率十五亦即小船桅数也此法用互乗得大船三桅六桨小船三桅二十四桨今以三桅当一桅则为大船一桅六桨小船一桅二十四桨是桨为加三倍故将共桨亦加三倍即为共五十七桅共六百一十二桨而大船一桅比小船一桅差十八桨是知少十八桨而大船为一桅今少七百五十六桨则大船必为四十二桅也多十八桨而小船为一桅今多二百七十桨则小船必为十五桅也又法以小船一桅大船三桅共五十七桅列于上小船八桨大船六桨共二百零四桨列于下乃以下小船八桨遍乗上小船一桅大船三桅共五十七桅得小船八桅大船二十四桅共四百五十六桅又以上小船一桅遍乗下小船八桨大船六桨共二百零四桨仍得原数两下相较则小船桅与桨同为八彼此减尽大船桅比桨多十八共桅比共桨多二百五十二爰以多十八为一率大船三桅为二率多二百五十二为三率得四率四十二桅即大船桅数三归之得十四即大船数于五十七桅内减去大船四十二桅余十五桅即小船桅数亦即小船数也如欲先得小船数则以大船三桅六桨移于前小船一桅八桨移于后乃以下大船六桨遍乗上大船三桅小船一桅共五十七桅得大船十八桅小船六桅共三百四十二桅又以上大船三桅遍乗下大船六桨小船八桨共二百零四桨得大船十八桨小船二十四桨共六百一十二桨两下相较则大船桅与桨同为十八彼此减尽小船桅比桨少十八共桅比共桨少二百七十爰以少十八为一率小船一桅为二率少二百七十为三率得四率十五桅即小船桅数亦即小船数也此法先求大船桅数而以小船列于前者盖将小船桅数大船桅数共船桅数皆加八倍则小船桅数与桨数相同是为毎小船一桅一桨夫小船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之小船共桅数与共桨数内之小船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为大船共桅数多于大船共桨数之较是比每大船一桅一桨所多之数是知多十八桅而大船为三桅今多二百五十二桅则大船必为四十二桅也其先求小船桅数而以大船桅数列于前者盖将大船桅数小船桅数共船桅数皆加六倍桨数皆加三倍则大船桅数与桨数相同是为大船一桅一桨夫大船桅数与桨数既相同而减尽无余则共桅数内之大船共桅数与共桨数内之大船共桨数亦必相同而减尽无余所余者即为小船共桅数少于小船共桨数之较是比每小船一桅一桨所少之数是知少十八桅而小船为一桅今少二百七十桅则小船必为十五桅也设如有银八十七两按饭银马银二项分给众人但知三人共给二两饭银七人共给五两马银问人数及二项银数各若干法以三人与七人相乗得二十一人又以三人乗马银五两得一十五两七人乗饭银二两得一十四两爰以十四两与十五两相并得二十九两为一率二十一人为二率共银八十七两为三率得四率六十三人即共人数也既得其人数则以三人为一率饭银二两为二率共六十三人为三率得四率四十二两为饭银数于共银八十七两内减之余四十五两即马银数如以七人为一率马银五两为二率共六十三人为三率得四率四十五两亦即马银数也盖三人给饭银二两则二十一人必给饭银十四两七人给马银五两则二十一人必给马银十五两夫二十一人既给饭银十四两马银十五两是二十一人共给银二十九两矣是知有二十九两为二十一人今有八十七两则必为六十三人也又三人共给饭银二两则六十三人必共给饭银四十二两七人共给马银五两则六十三人必共给马银四十五两也设如赏人饭肉共用碗一百但知二人共饭一碗三人共肉一碗问共人数及二项各用碗若干法以二人与三人相乗得六人又以二人乗肉一碗得二碗三人乗饭一碗得三碗爰以三碗二碗相并得五碗为一率六人为二率共碗一百为三率得四率一百二十人即共人数也既得共人数则以二人为一率饭碗一为二率共一百二十人为三率得四率六十为饭碗数于共碗一百内减之余四十即肉碗数如以三人为一率得四率四十亦即肉碗数也此法因二人共饭三人共肉其数不同故用互乗以齐其分盖二人共饭一碗则六人必共饭三碗三人共肉一碗则六人必共肉二碗夫六人既共饭三碗共肉二碗是六人共用五碗矣是知有五碗为六人今有一百碗则必为一百二十人也又二人共饭一碗则一百二十人必共饭六十碗三人共肉一碗则一百二十人必共肉四十碗也设如有兵三千四百七十四名每三人给衫绢七十尺每四人给裤绢五十尺问縂绢若干法以三人与四人相乗得十二人又以三人乗裤绢五十尺得一百五十尺四人乗衫绢七十尺得二百八十尺爰以十二人为一率二百八十尺与一百五十尺相并得四百三十尺为二率兵三千四百七十四名为三率得四率一十二万四千四百八十五尺为共绢数也此法与前同但前法以共银数求共人数故以银数为一率人数为二率此法以共人数求共绢数故以人数为一率绢数为二率其比例之理一也设如赏人茶饭酒共用碗一千三百三十八但知三人共茶二碗五人共酒三碗七人共饭六碗问共人数及三项各用碗若干法先以三人茶二碗五人酒三碗互乗以三人与五人相乗得一十五人又以三人乗酒三碗得九碗五人乗茶二碗得十碗是为十五人共用茶酒十九碗复与七人饭六碗互乗以十五人与七人相乗得一百零五人又以十五人乗饭六碗得九十碗七人乗茶酒共十九碗得一百三十三碗爰以一百三十三碗与九十碗相并得二百二十三碗为一率一百零五人为二率共碗一千三百三十八为三率得四率六百三十人即共人数也既得共人数乃以三人为一率茶碗二为二率共六百三十人为三率得四率四百二十为茶碗数又以五人为一率酒碗三为二率共六百三十人为三率得四率三百七十八为酒碗数又以七人为一率饭碗六为二率共六百三十人为三率得四率五百四十为饭碗数也此法因用碗三项故用两次互乗以齐其分得一百零五人应用三项碗共二百二十三是知有二百二十三碗为一百零五人今有一千三百三十八碗则必为六百三十人也既得共人数则以各项分数比例求之即得各项碗之共数矣设如有灯大小二䓁大灯居小灯三分之二但知大灯三盏用油四两小灯四盏用油三两共用油十八斤零七两问大小灯数各若干法以大灯三盏与小灯四盏相乗得十二盏又以小灯四盏乗大灯用油四两得大灯用油十六两以大灯三盏乗小灯用油三两得小灯用油九两又将大灯用油十六两二因之(大灯二分故用二因)得三十二两将小灯用油九两三因之(小灯三分)(故用三因)得二十七两二数相并得五十九两为一率十二盏为二率共油十八斤七两通为二百九十五两为三率得四率六十盏为灯一分之数二因之得一百二十盏即大灯数三因之得一百八十盏即小灯数也此法因有𢃄分而互乗所得之十二盏为一分之衰数又因共油数为大灯二分小灯三分之共数故亦二因十六两三因九两并之为五分之衰数是知油五分之衰数五十九两与灯一分之衰数十二盏之比即同于五分共油二百九十五两与一分灯数六十盏之比也既得一分为六十盏故二因之得大灯数三因之得小灯数也设如有银二十五两三钱买铜鐡二色其重相䓁鐡三斤价四钱铜二斤价五钱问斤数及各价㡬何法以鐡三斤与铜二斤相乗得六斤又以铜二斤乗鐡价四钱得八钱以鐡三斤乗铜价五钱得一两五钱乃以八钱与一两五钱相并得二两三钱为一率六斤为二率縂银二十五两三钱为三率得四率六十六斤为铜鐡相䓁之斤数又以鐡三斤为一率价四钱为二率今鐡六十六斤为三率得四率八两八钱即鐡价于共银二十五两三钱内减之余十六两五钱即铜价如以铜二斤为一率价五钱为二率今铜六十六斤为三率得四率十六两五钱亦即铜价也盖鐡三斤价四钱则六斤价八钱铜二斤价五钱则六斤价一两五钱是铜鐡各六斤而共价为二两三钱故以二两三钱与各六斤之比即同于共价二十五两三钱与各六十六斤之比也既得各斤数则以各价比例求之即得各价数矣设如有米九百石令甲乙二处各因米价贵贱纳之其所纳之银适相等甲处米价每石五钱乙处米价每石七钱问各米数及共价数㡬何法以乙七钱乗甲一石得七石以甲五钱乗乙一石得五石乃以七石与五石相并得十二石为一率以甲七石为二率縂米九百石为三率得四率五百二十五石即甲处纳米之数于九百石内减之余三百七十五石即乙处纳米之数如以乙五石为二率得四率三百七十五石亦即乙处纳米之数以甲五百二十五石与每石价五钱相乗得二百六十二两五钱以乙三百七十五石与每石价七钱相乗亦得二百六十二两五钱是其所纳之银数适相䓁也盖甲处每石价五钱则七石之价为三两五钱乙处每石价七钱则五石之价亦为三两五钱其价相䓁是十二石之中甲应七石乙应五石故以十二石与甲七石之比即同于縂米九百石与甲五百二十五石之比又十二石与乙五石之比即同于縂米九百石与乙三百七十五石之比也设如空车一日行三十里重车一日行二十里今载米至仓徃返足一日问距仓路逺㡬何法以空车行三十里与重车行二十里相乗得六百里又以重车行二十里乗空车一日得二十日以空车行三十里乗重车一日得三十日乃以二十日与三十日相并得五十日为一率六百里为二率一日为三率得四率一十二里即距仓之里数也盖空车一日行三十里则二十日行六百里重车一日行二十里则三十日亦行六百里一徃一返共五十日是知五十日徃返六百里则今一日必徃返十二里也设如重车一日行五十里轻车一日行七十五里今载米至仓五日徃返三次问距仓里数㡬何法以重车行五十里与轻车行七十五里相乗得三千七百五十里又以轻车行七十五里乗重车一日得七十五日以重车行五十里乗轻车一日得五十日乃以七十五日与五十日相并得一百二十五日为一率三千七百五十里为二率五日为三率得四率一百五十里即五日徃返之里数以三次除之得五十里即距仓之里数也此法与前法同前法一日徃返一次故所得即距仓之里数此法五日徃返三次故所得为徃返三次之里数是以用三次除之而得距仓之里数也御制数理精蕴下编卷七
## 下编卷八
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷八线部六盈朒(单法) (双套)盈朒盈有余也朒不足也设有余不足以求适中亦为因较而得正数之法此固比例法也但比例以实数求实数而盈朒则以虚数求实数然虚数皆与实数相较而生盈朒之差则虚数亦实数也比例以所有之三率求所余之一率而盈朒则所有为两数且两数之中各藏一数其实亦三率也其间有一盈一朒者则以两数相加为相较之率有两盈或两朒者则以两数相减为相较之率有一盈一适足或一朒一适足者则无可加减而或盈或朒之数即其较也法不一致惟在相较以得其差理本一原惟在互比以得其实错综变幻其用不穷所谓以实御虚和较互见者庶㡬尽于此矣一盈一朒设如有人分银不知人数亦不知银数只云每人七两分之则余四两每人九两分之则少十二两问人数及银数各若干法以七两与九两相减余二两为一率一人为二率盈四两与朒十二两相加共十六两为三率推得四率八即为人数以八人与每人七两相乗得五十六两加盈四两得六十两即为银数或以八人与每人九两相乗得七十二两减朒十二两余六十两亦为银数也此法盖因前设分七两后设分九两是每一人多分二两也然每人分七两则縂银盈四两每人分九两则縂银朒十二两是盈朒相差共十六两矣夫一人多分二两而縂银差十六两则二两为一人之所多而十六两为八人之所多可知矣故二两与一人之比同于十六两与八人之比而为比例四率也既得人数以每人七两计之则八人应得五十六两因银尚余四两故加四两得六十两为银数也若以每人九两计之则八人应得七十二两因银少十二两故减十二两余六十两为银数也此先得人数之法也又先得银数之法用互乗以齐其分以九两乗盈四两为加九倍得盈三十六两以七两乗朒十二两为加七倍得朒八十四两相加得一百二十两为二率七倍与九倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六十两即为银数既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两以每人七两除之得八为人数或于六十两加朒十二两共七十二两以每人九两除之亦得八为人数也此法以九两互乗盈四两者将盈四两加九倍也盈四两加九倍则为盈三十六两既以盈数加九倍则縂银数与所分七两亦皆当加九倍七两加九倍则为六十三两是则九倍之縂银每人六十三两分之盈三十六两也以七两互乗朒十二两者将朒十二两加七倍也朒十二两加七倍则为朒八十四两既以朒数加七倍则縂银数与所分九两亦皆当加七倍九两加七倍则亦为六十三两是则七倍之縂银每人六十三两分之朒八十四两也夫每人既皆分六十三两则是所分之加倍共银数亦必相同然九倍银数则盈七倍银数则朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十两即此二倍之银数也知二倍为一百二十两即知一倍之为㡬何矣故以二为一率一百二十两为二率一为三率推得四率六十两为银数也既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两即为分七两者之共数而以七两除之得八人或于六十两加朒十二两得七十二两即为分九两者之共数而以九两除之亦得八人也此先得银数之法也又法将盈四两与朒十二两相加得十六两为一率七两与九两相减余二两为二率盈四两为三率得四率五钱与所分七两相加得七两五钱为每人应得之数又以五钱除盈四两得八为人数或仍以十六两为一率二两为二率以朒十二两为三率得四率一两五钱与所分九两相减亦得七两五钱为每人应得之数又以一两五钱除朒十二两亦得八为人数以八人与每人七两五钱相乗得六十两为银数也此法盖因九两与七两相较差二两盈四两与朒十二两相并为十六两是縂银盈朒共差十六两由于每人之多二两也今银尚盈四两则每人分七两者其每一分应多五钱而为七两五钱矣故十六两与二两之比同于四两与五钱之比而为比例四率也且一人多五钱而共多四两则其为八人可知矣故五钱与一人之比同于四两与八人之比亦为比例四率也若以朒数论之则縂银共差十六两者由于每人少二两今银朒十二两则每人分九两者其每一分应少一两五钱而为七两五钱矣且一人少一两五钱而共少十二两则其为八人又可知矣既得人数则以八人与每人七两五钱相乗得六十两而为縂银数也此先得每一人所得银数之法也要之第一法先求人数第二法先求物价第三法先求适足之数立法虽各不同而各先得其一一得而无不得者实由于理之一贯者也设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每人出银四两则不足四两每人出银六两则多六两问人数及物价各若干法以出四两与出六两相减余二两为一率一人为二率朒四两与盈六两相加共十两为三率推得四率五即为人数以五人与每人四两相乗得二十两加朒四两共得二十四两即为物价或以五人与每人六两相乗得三十两减盈六两亦得二十四两为物价也此法盖因前设出四两后设出六两是每一人多出二两也然出四两则朒四两出六两则盈六两是盈朒相差共多十两矣夫一人多出二两而縂价即多十两则二两为一人之所多而十两为㡬人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人数以每人出四两计之则五人应出二十两因于物价朒四两故加四两得二十四两为物价若以每人出六两计之则五人应出三十两因于物价盈六两故减六两亦得二十四两为物价也此法与首题第一法盈朒之加减不同者首题以共人所分共银为问故分少则縂银必盈分多则縂银必朒其所谓盈朒者乃银数之盈朒故得人数与分银数相乗加盈减朒而得银数也此以共人所出共银为问故出少则比物价为朒出多则比物价为盈其所谓盈朒者乃出数之盈朒故得人数与出银数相乗减盈加朒而得物价也法縂一理但加减盈朒之间少不同耳又先得银数之法以六两乗朒四两为加六倍得朒二十四两以四两乗盈六两为加四倍得盈二十四两相加得四十八两为二率四倍与六倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率二十四两即为物价既得物价则于二十四两内减朒四两余二十两以每人四两除之得五即为人数或于二十四两加盈六两共三十两以每人六两除之亦得五为人数也此法盖将朒四两加六倍为二十四两则物价亦当加六倍而出四两者亦必加六倍而为出二十四两矣将盈六两加四倍为二十四两则物价亦当加四倍而出六两者亦必加四倍而为出二十四两矣夫每人同出二十四两则其加倍共出之数亦必相同然比六倍物价则朒比四倍物价则盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八两即二倍物价也故以二为一率四十八两为二率一为三率推得四率二十四两为物价也既得物价则于二十四两减朒四两余二十两即为出四两者所共出之数而以四两除之得五人或于二十四两加盈六两共三十两即为出六两者所共出之数而以六两除之亦得五人也又法将朒四两与盈六两相加共十两为一率将出四两与出六两相减余二两为二率朒四两为三率得四率八钱与出四两相加得四两八钱为每人应出之数又以八钱除朒四两得五为人数或仍以十两为一率二两为二率盈六两为三率得四率一两二钱于出六两内减之余四两八钱亦为每人应出之数又以一两二钱除盈六两亦得五为人数以五人与四两八钱相乗得二十四两为物价也此法盖因盈朒之相差十两由于每人之多二两今欲补足所朒之四两则每人应多八钱若欲损所盈之六两则每人应少一两二钱故十两与二两之比同于四两与八钱之比亦同于六两与一两二钱之比也且一人多八钱即益所朒之四两一人减一两二钱即损所盈之六两则其为五人也可知矣既得人数则以五人与每人四两八钱相乗得二十四两而为物价之縂银也设如众人乗船渡河每一船载十三人则余十二人若每一船载十八人则余一船问共人数及船数各若干法以余十二人为盈十二人余一船为朒十八人乃以每船所载十三人与每船所载十八人相减余五人为一率一船为二率盈十二人与朒十八人相加共三十人为三率推得四率六即为船数以六船与每船载十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十为人数或以六船与每船十八人相乗得一百零八人减朒十八人亦余九十为人数也盖每一船多载五人而盈朒相差为三十人故五人与一船之比同于三十人与六船之比也以每船十三人计之六船共载七十八人加无船之十二人共九十人以每船十八人计之六船应载一百零八人因一船无人则减去十八人余九十人或减一船余五船与十八人相乗亦得九十人也又先得人数之法以每船载十八人乗盈十二人为加十八倍得盈二百一十六人又以每船载十三人乗朒十八人为加十三倍得朒二百三十四人二数相加得四百五十人为二率以十三倍与十八倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率九十即为人数减盈十二人余七十八人以每船十三人除之得六为船数或于九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六为船数也盖十八人与十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍则共人数之加十八倍者为每船二百三十四人余二百一十六人也若以十八人加十三倍则共人数之加十三倍者为每船二百三十四人又少二百三十四人也(二百三十四人为一船所载之人分)十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人数故五倍与四百五十人之比即如一倍与九十人之比也既得人数减去所余之十二人以每船十三人除之得船数或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船数焉又法将盈十二人与朒十八人相加得三十人为一率十三人与十八人相减余五人为二率盈十二人为三率得四率二人与每船十三人相加得十五人为每船应载之数又以二人除盈十二人得六为船数或仍以三十人为一率五人为二率以朒十八人为三率得四率三人与每船十八人相减余十五人为每船应载之数又以三人除十八人亦得六为船数以六船与每船十五人相乗得九十为人数也盖盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合载所盈之十二人则每船十三人者应加二人而为十五人欲分载所朒之十八人则每船十八人者应减三人而为十五人也且一船加二人即合载十二人一船减三人即分载十八人则其为六船也可知矣两盈设如有人分果不知人数亦不知果数只云每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚问人数与果数各若干法以每人十二枚与十三枚相减余一枚为一率一人为二率以盈六枚与盈十二枚相减余六枚为三率推得四率六为人数以六人与十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚为果数若以六人与十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚为果数也盖一人多一枚而两盈相差六枚其为六人可知故凡所分之数相减余一者其盈朒之差即人数也又先得果数之法以十三枚乗盈十二枚为加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚为加十二倍得盈七十二枚相减余八十四枚为二率十二倍与十三倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率八十四枚为果数内减盈十二枚余七十二枚以每人十二枚除之得六为人数若于八十四枚减盈六枚余七十八枚以每人十三枚除之亦得六为人数也盖十二倍比十三倍差一倍则盈朒相差八十四枚即一倍之果数故凡互乗差一倍者则互乗所得盈朒之差即为縂数既得人数又得縂数则以人数除縂数即得每人所分之数矣又法以两盈数相减为一率互乗所得之两盈数相减为二率一人为三率得四率即为每人所应得之数也此题前二法固以两盈相减即为人数互乗所得两盈相减即为縂数盖因十二与十三相减余一数故也其或余㡬数者亦即为㡬倍人数或为㡬倍縂数其以人数除縂数即同于以㡬倍人数除㡬倍縂数也设如有缎一疋欲作新帐幔一架先折作六幅每幅比旧制长一尺二寸后折作七幅每幅比旧制长二寸问缎之长及旧帐之长各若干法以长一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以长二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅与七幅相减余一幅为一率一尺四寸与七尺二寸相减余五尺八寸为二率一幅为三率推得四率五尺八寸为旧帐之长加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺为缎之长也(若于五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二)(尺)盖折作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也折作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而两盈相差五尺八寸且两盈之数皆比旧帐为盈则五尺八寸为旧帐之长可知矣既得旧帐之数则加一尺二寸而以六幅乗之即得缎之长数也或以六幅与五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得缎之长数盖七尺二寸者原系六因一尺二寸所得之数则加于旧帐而縂乗之与各乗其数而后加之一也若以七幅算之其理亦同又先得缎之长法以七幅乗盈七尺二寸为加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸为加六倍得盈八尺四寸相减余四十二尺为二率六倍与七倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率四十二尺为缎之长减盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸为旧帐之长也(若减盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸)盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍缎之长比旧帐四十二幅长五十尺零四寸六倍缎之长比旧帐四十二幅长八尺四寸是两盈相差四十二尺即一倍缎之长也既得缎之长则减其共盈数而以幅数除之即得旧帐之长或先以幅数除之而减其每幅之盈亦得旧帐之长也两朒设如有银买马不知银数亦不知马数但云每一匹十五两不足八十两每一匹十三两仍不足十六两问马数及银数各若干法以十三两与十五两相减余二两为一率一马为二率朒十六两与朒八十两相减余六十四两为三率推得四率三十二为马数以三十二匹与每匹十五两相乗得四百八十两减朒八十两得四百两为银数若以三十二匹与每匹十三两相乗得四百一十六两减朒十六两亦得四百两为银数也盖一马差二两则縂银差六十四两二两与一马之比即同于六十四两与三十二马之比也既得马数则与每匹之价相乗而减其所朒之数即得银数矣又先得银数之法以十三两乗朒八十两为加十三倍得朒一千零四十两以十五两乗朒十六两为加十五倍得朒二百四十两相减余八百两为二率十三倍与十五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率四百两为银数加朒八十两共四百八十两以每匹十五两除之得三十二为马数或于四百两加朒十六两共四百一十六两以每匹十三两除之亦得三十二为马数也盖将十五两加十三倍十三两加十五倍皆得一百九十五两马价齐同祗十三倍银数则朒一千零四十两十五倍银数则朒二百四十两是两朒相差八百两即二倍之银数故以四率求之而得银数也既得银数则加其所朒之数以每匹之价除之即得马数矣设如有米易布不知米数亦不知布数但云易布二十疋则米少一石易布十六疋则米仍少二斗问米数及布数各若干法以十六疋与二十疋相减余四疋为一率二斗与一石相减余八斗为二率一疋为三率推得四率二斗为布每疋所值米数以二斗与二十疋相乗得四石减朒一石余三石为米数若以二斗与十六疋相乗得三石二斗减朒二斗亦余三石为米数既得米数以每疋二斗除之得十五疋为布数也又先得米数之法以十六疋乗朒一石为加十六倍得朒十六石以二十疋乗朒二斗为加二十倍得朒四石相减余十二石为二率十六倍与二十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率三石为米数加朒一石共四石为一率二十疋为二率三石为三率得四率十五疋为布数或于三石加朒二斗共三石二斗为一率十六疋为二率三石为三率亦得四率十五疋为布数也盖二十疋加十六倍十六疋加二十倍皆为易布三百二十疋而十六倍其米数则朒十六石二十倍其米数则朒四石是两朒相差十二石即相差四倍之米数故以比例求之得米数也既得米数则加朒一石为四石即足易布二十疋故四石与二十疋之比同于三石与十五疋之比也或加朒二斗得三石二斗即足易布十六疋故三石二斗与十六疋之比亦同于三石与十五疋之比也又先得布数之法以朒二斗与朒一石相减余八斗为一率十六疋与十二疋相减余四疋为二率朒一石为三率得四率五疋与二十疋相减余十五疋为布数又以五疋为一率朒一石为二率十五疋为三率推得四率三石为米数也若仍以八斗为一率四疋为二率朒二斗为三率则得四率一疋与十六疋相减亦得十五疋为布数又以一疋为一率二斗为二率十五疋为三率亦得四率三石为米数也此法即先求适足之理盖十五疋即适足之数也一盈一适足设如按户纳粮不知户数亦不知粮数只云每户三升盈六石每户二升五合适足问人户及粮数各若干法以二升五合与三升相减余五合为一率盈六石变为六千合为二率一户为三率推得四率一千二百为户数与每户二升五合相乗得三十石为粮数也盖每户多五合而縂粮多六石其为一千二百户可知故五合与六石之比同于一与一千二百之比也(此以一户为三率者)(二三率原可互易变之以明比例之理也)既得户数则与二升五合相乗适足三十石之数矣若以一千二百户与每户三升相乗得三十六石减盈六石亦得三十石为粮数也又先得粮数之法以二升五合乗盈六石为加二十五倍(以合为单位)得盈一百五十石以三升乗适足为加三十倍仍得适足(盖全粮一分每户二升五合而适足若将全粮加三十倍为三十分)(则二升五合亦当加三十倍为七斗五升是全粮三十分每户七斗五升仍适)(足也)故即以一百五十石为二率将二十五倍与三十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率三十石为粮数以每户二升五合除之得一千二百为户数或加盈六石为三十六石以每户三升除之亦得一千二百为户数也设如有井不知其深有绳不知其长只云将绳作三折入井长八尺将绳作五折入井适足问井深绳长各若干法以三折与五折相减余二折为一率长八尺用三折因之得盈二丈四尺为二率一折为三率推得四率一丈二尺为井深以五折乗之得六丈为绳长或以三折乗之加盈二丈四尺亦得六丈为绳长也盖折作三折每折盈八尺是三折共盈二丈四尺也五折比三折多二折而盈与适足无可加减则盈二丈四尺即为二折之数其一折为一丈二尺矣井深既为五折之一故一折之数即为井深之数也既得井深则以五折乗之得绳长之数或以三折乗之加盈二丈四尺亦得绳长之数也又先得绳长之法以五折乗盈二丈四尺为加五倍得盈一十二丈以三折乗适足为加三倍仍得适足故即以一十二丈为二率三倍与五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六丈为绳长以五折除之得一丈二尺为井深或减盈二丈四尺余三丈六尺以三折除之亦得一丈二尺为井深也一朒一适足设如计日登程不知日数亦不知路程只云每日行五十五里则离所欲至之地共差六十里每日行六十里适足问日数及路程各若干法以五十五里与六十里相减余五里为一率一日为二率朒六十里为三率推得四率十二为日数与每日六十里相乗得七百二十里为路数若以日数十二与每日行五十五里相乗得六百六十里是不到六十里也加朒六十里亦得七百二十里也又先得路程之法以六十里乗朒六十里为加六十倍得朒三千六百里以五十五里乗适足为加五十五倍仍得适足故即以三千六百里为二率五十五倍与六十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率七百二十里为路程以每日六十里除之得十二为日数或于七百二十里内减朒六十里余六百六十里以每日五十五里除之亦得十二为日数也设如有直田一段欲截一头作园只云截长十步不足三十二步截长十二步适足问截积及原濶各若干法以十步与十二步相减余二步为一率朒三十二步为二率一步为三率推得四率十六步为原濶与十二步相乗得一百九十二步为截积或与十步相乗加朒三十二步亦得一百九十二步为截积也盖长十步则少三十二步长十二步则适足是三十二步者即长二步与原濶相乗之积故以二步除之得原濶也既得原濶则与截长十二步相乗得截积或与截长十步相乗加朒三十二步亦得截积也又先得截积之法以十二步乗朒三十二步为加十二倍得朒三百八十四步以十步乗适足为加十倍仍得适足故即以三百八十四步为二率以十倍与十二倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率一百九十二步为截积以截长十二步除之得十六步为原濶或于一百九十二步内减朒三十二步余一百六十步以截长十步除之亦得十六步为原濶也䨇套盈朒盈朒之法皆以每人㡬何而盈㡬何每人㡬何而朒㡬何为问其首数皆为一故以一人之较与共较为比例而得人数即欲先求共数不过用一互乗以齐其分而已故为单法若䨇套则以㡬人㡬何而盈㡬何㡬人㡬何而朒㡬何为问其首数已不同故必先用一互乗以齐之而后可以为比若欲先求共数则用两互乗是以谓之䨇套至于比例相求之理则仍与单法同也一盈一朒设如有人分银不知人数亦不知银数只云每四人分银三两则盈六两每六人分银九两则朒三两问人数与银数各若干法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率四人六人互乗得二十四人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二即为人数既得人数乃以四人为一率三两为二率十二人为三率推得四率九两加盈六两得十五两即为银数或以六人为一率九两为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两亦余十五两为银数也此法必用互乗以齐其数者盖单法以所分数相减为一率一人为二率盈朒相加为三率今三两为四人之所分九两为六人之所分不可以相减而为一率也四人与六人人数不同不可以为二率也所以必用互乗以齐之一则为二十四人分十八两虽为加六倍其比例仍同于四人分三两也一则为二十四人分三十六两虽为加四倍其比例仍同于六人分九两也是以十八两与三十六两相减余十八两为二十四人之所差而盈朒差九两即知为㡬人之所差故十八两与二十四人之比即同于九两与十二人之比也既得人数之后而仍用比例四率者何也盖单法所分之银数为一人之所分故以人数与所分之银数相乗加盈减朒而即得縂银今则所分之银数为四人或六人之所分故每㡬人与所分㡬何之比即如縂人与縂银之比而得四率加盈减朒始得縂银数也又㨗法以四人归除三两每一人应得七钱五分以六人归除九两每一人应得一两五钱乃照盈朒单法列之为每人七钱五分分之盈六两每人一两五钱分之朒三两是以七钱五分与一两五钱相减余七钱五分为一率一人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二为人数既得人数则以一人为一率一两五钱为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两余十五两为银数也或以每人七钱五分为二率推得四率九两加盈六两亦得十五两为银数也此法以四人除三两以六人除九两皆为度尽之数若数有竒零度不尽者则必用互乗之法而后可又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两又以三十六两互乗盈六两为加三十六倍得盈二百一十六两以六人互乗三两得一十八两又以一十八两互乗朒三两为加十八倍得朒五十四两两数相加得二百七十两为二率十八倍与三十六倍相减余十八倍为一率一倍为三率推得四率十五两为银数既得银数乃以三两为一率四人为二率十五两减盈六两余九两为三率推得四率十二为人数或以九两为一率六人为二率十五两加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数也盖单法以所分之数相减为一率以所分之数互乗盈朒之数相减为二率一倍为三率得四率为银数今则三两为四人之所分九两为六人之所分其数不同即三两与九两互乗亦皆得二十七两而一则为三十六人分二十七两(加九倍也)一则为十八人分二十七两(加三倍也)其数亦仍不同不可相为比例故必以四人六人互乗为二十四人以齐其人数又必以十八与三十六互乗盈朒之数以齐其所分银数然后人数与所分银数俱同可以设为比例是以十八两加三十六倍三十六两加十八倍皆为六百四十八两即如三十六倍其银数则每二十四人分六百四十八两盈二百一十六两若十八倍其银数则每二十四人分六百四十八两朒五十四两也然则盈朒相差二百七十两即十八倍银数之所差矣故十八倍与二百七十两之比即同于一倍与十五两之比而为比例四率也既得银数而减盈加朒为比例四率者盖以所分之银数与㡬何人之比即如减盈加朒之縂银数与縂人数之比也又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率以互乗所得之十八两为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率九两加盈六两得十五两为银数(若以三十六两为二率则得四率十)(八两减朒三两亦得十五两为银数)既得银数则以三两为一率四人为二率十五两内减盈六两余九两为三率推得四率十二为人数也(若以九两为一率六人为二率十五两内加朒三两共十八两为三)(率亦得四率十二为人数)此法盖合两四率而为一四率原法以十八两为一率二十四人为二率九两为三率得四率十二为人数又如以二十四人为一率十八两为二率(与四人为一率三两为二率者同因其俱为四与三之比例)十二人为三率则得四率九两加盈六两得十五两为银数今将两四率合为一四率则前四率中省以二十四乗后四率中省以二十四除故以十八两为一率又为二率以九两为三率而得四率九两加盈六两为银数也设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每八人出银七两则盈四两五钱每九人出银六两则朒三两问人数及物价各若干法以八人互乗六两得四十八两以九人互乗七两得六十三两相减余十五两为一率八人九人互乗得七十二人为二率盈四两五钱与朒三两相加得七两五钱为三率推得四率三十六即为人数既得人数乃以八人为一率七两为二率三十六人为三率推得四率三十一两五钱减盈四两五钱余二十七两即为物价或以九人为一率六两为二率三十六人为三率推得四率二十四两加朒三两亦得二十七两为物价也此法用互乗以齐其数一则变为七十二人出六十三两一则变为七十二人出四十八两其相差十五两是十五两为七十二人之所差则盈朒相加之七两五钱即知为三十六人之所差故十五两与七十二人之比即同于七两五钱与三十六人之比也既得人数仍用比例四率以每㡬人与所出㡬何之比即如縂人与縂银之比而得数内减盈加朒即为物价也又先得银数之法以八人互乗六两得四十八两又以四十八两互乗盈四两五钱为加四十八倍得盈二百一十六两以九人互乗七两得六十三两又以六十三两互乗朒三两为加六十三倍得朒一百八十九两二数相加得四百零五两为二率四十八倍与六十三倍相减余十五倍为一率一倍为三率推得四率二十七两为银数既得银数乃以七两为一率八人为二率二十七两内加盈四两五钱共三十一两五钱为三率推得四率三十六为人数或以六两为一率九人为二率于二十七两减朒三两余二十四两为三率亦得四率三十六为人数也此法用互乗以齐人数银数而成比例故八人与九人互乗皆为七十二人以六十三两与四十八两互乗皆为出三千零二十四两此数比四十八倍之物价则盈二百一十六两比六十三倍之物价则朒一百八十九两其盈朒之相差为四百零五两其四十八倍与六十三倍相差为十五倍以十五倍与四百零五两之比即同于一倍与二十七两之比也既得银数仍用比例四率盖以所出之银数与㡬何人之比即如加盈减朒之縂银数与縂人数之比也两盈设如众人轮班值日不知人数亦不知日数只云每四人值五日则盈二十日每八人值九日仍盈八日问人数及日数各若干法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相减余四日为一率四人八人互乗得三十二人为二率盈八日与盈二十日相减余十二日为三率推得四率九十六为人数既得人数乃以四人为一率五日为二率九十六人为三率推得四率一百二十日减盈二十日余一百为日数或以八人为一率九日为二率九十六人为三率推得四率一百零八日减盈八日亦余一百为日数也此法用互乗以齐其分一则变为三十二人值四十日一则变为三十二人值三十六日其相差为四日知四日为三十二人之所差则两盈相减之十二日即知为九十六人之所差矣既得人数则以每㡬人与值㡬日之比即同于縂人与縂日之比而于得数之内减其所盈即为日数也又先得日数之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日为加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日为加四十倍得盈三百二十日相减余四百日为二率三十六倍与四十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率一百为日数既得日数乃以五日为一率四人为二率一百日内加盈二十日共一百二十日为三率推得四率九十六为人数或以九日为一率八人为二率一百日内加盈八日共一百零八日为三率亦得四率九十六为人数也盖八人四人互乗皆为三十二人三十六日四十日互乗皆为一千四百四十日然比三十六倍日数则盈七百二十日比四十倍日数则盈三百二十日二数相差为四百日三十六倍与四十倍相差为四倍知四倍之为四百日即知一倍之为一百日矣既得日数则以所值之㡬日与㡬人之比即同于加盈之縂日数与縂人数之比也两朒设如有人分绢分之不尽只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋问人数及绢数各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三人六人互乗得一十八人为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率六十为人数既得人数则以三人为一率五疋为二率六十人为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数若以六人为一率九疋为二率六十人为三率推得四率九十疋减朒十疋亦得八十疋为绢数也此法用互乗以齐其数一则变为十八人分三十疋朒二十疋一则变为十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋为十八人之所差即知十疋为六十人之所差故三疋与十八人之比即同于十疋与六十人之比也又先得绢数之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三十疋为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数也(若以二十七疋为二率则求得四率九十疋减〔？〕十疋亦得八十疋)(为绢数)既得绢数则加朒二十疋共一百疋为三率五疋为一率三人为二率推得四率六十为人数也此法亦合两四率而为一四率盖原法以三疋为一率十八人为二率十疋为三率得四率六十为人数又如以十八人为一率三十疋为二率(与三人为一率五疋为二率者同因其俱为三与五之比)(例)六十人为三率得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数今合两四率为一四率则前四率中省以一十八乗后四率中省以一十八除也一盈一适足设如众人支粮每三人支九石盈五十四石每四人支十四石适足问人数与粮数各若干法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相减余六石为一率三人四人互乗得十二人为二率盈与适足无可加减即以盈五十四石为三率推得四率一百零八为人数既得人数乃以四人为一率十四石为二率一百零八人为三率推得四率三百七十八石为粮数或以三人为一率九石为二率一百零八人为三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石为粮数也此法用互乗以齐其分一则变为十二人支三十六石一则变为十二人支四十二石其相差六石知六石为十二人之所差即知五十四石为一百零八人之所差矣既得人数则以每㡬人与支㡬石之比即同于縂人数与縂粮数之比也又先得粮数之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石为加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗适足为加三十六倍仍得适足故即以盈二千二百六十八石为二率三十六倍与四十二倍相减余六倍为一率一倍为三率推得四率三百七十八石为粮数既得粮数乃以十四石为一率四人为二率三百七十八石为三率推得四率一百零八为人数或以九石为一率三人为二率三百七十八石内减盈五十四石余三百二十四石为三率亦得四率一百零八为人数也盖三十六石与四十二石互乗皆为支一千五百一十二石然四十二倍其粮数则盈二千二百六十八石三十六倍其粮数则适足三十六倍与四十二倍差六倍知六倍之为二千二百六十八石即知一倍之为三百七十八石矣既得粮数则以所支之㡬石与㡬人之比即同于縂粮数与縂人数之比也一朒一适足设如以车运米每四车载六十石则米少六十石每三车载四十石则米适足问车数与米数各若干法以四车互乗四十石得一百六十石以三车互乗六十石得一百八十石相减余二十石为一率三车四车互乗得十二车为二率朒与适足无可加减即以朒六十石为三率推得四率三十六为车数既得车数则以十二车为一率以互乗所得之一百六十石为二率(与三)(车为一率四十石为二率同以其俱为三与四十之比例也)三十六车为三率推得四率四百八十石为米数若将互乗所得之一百八十石为二率则得四率五百四十石减朒六十石亦得四百八十石为米数也此法互乗后一得十二车载一百八十石一得十二车载一百六十石其相差为二十石知二十石为十二车之所差即知六十石为三十六车之所差故二十石与十二车之比即同于六十石与三十六车之比也又先得米数之法欲省互乗则将两车数变为同䓁以四车载六十石用四归三因为三车载四十五石则两首数同矣乃以四十石与四十五石相减余五石为一率四十石为二率朒六十石为三率推得四率四百八十石为米数既得米数即以四十石为一率三车为二率四百八十石为三率推得四率三十六即车数也此法不用互乗止将两首数变为同䓁极为简㨗然必其数可以度尽为同等者方可用之若其数不能度尽则必仍用互乗之法焉御制数理精蕴下编卷八
## 下编卷九
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷九线部七借衰互征叠借互征借衰互征借衰互征者有总数而无分数或有分数而无总数或无总数分数之实率而但有其盈率则不得不别借一衰数以为比例然后可以得其真数故曰借衰然而所借之衰又各不同有借于本数之中者有借于本数之外者借彼征此借虚征实故曰互征葢先借各项衰数合而为总衰数以总衰数与总真数相比即若各项衰数与各项真数之比也或先借总衰数加减出各衰数之较以各衰数之较与真数之较相比即若总衰数与总真数之比也或以各衰数之较与真数之较相比即若各项衰数与各项真数之比也要之皆就比例之法而推广之耳设如有银一千八百两命甲乙二人按分分之甲分比乙分有五倍问甲乙各得几何法借一为乙衰五为甲衰并之得六为一率总银一千八百两为二率乙衰一为三率得四率三百两即乙所分之数与一千八百两相减余一千五百两即甲所分之数以三百两与一千五百两相较则甲有乙之五倍也此法既云甲有乙五倍则是甲有五分乙有一分故借一为乙衰五为甲衰倂之得六为总衰以总衰与总银之比即若乙一衰与乙银一分之比也(此法即和数比例因借衰之首故设一最)(易者以发明其理云)设如有三官接任共歴一百年第二官比前官加一倍零六年第三官比 二官加一倍少二年问每官各该几年法借一衰为第一官年数借二衰多六年为第二官年数借四衰多十年为第三官年数倂三官衰数得七为一率倂后二官共多十六年于总年数内减之余八十四年为二率第一官一衰为三率得四率十二年为第一官年数倍之加多六年得三十年为第二官年数又倍第二官年数减少二年得五十八年为第三官年数合三数而共为一百年也此法第一官既借一衰则第二官加一倍零六年者当借二衰多六年而第三官既比第二官又加一倍则当借四衰多十二年因少二年故借四衰多十年为第三官衰数也设如有甲乙丙三人共银四十四两乙比甲银多一倍零四两丙比甲乙二人共数又多六两求各人银数几何法借一为甲衰借二多四两为乙衰借三多十两为丙衰倂三衰得六为一率并乙丙二人多数为十四两于总银内减之余三十两为二率甲衰一为三率得四率五两即甲银倍之加多四两得十四两为乙银并甲乙银又加多六两得二十五两即丙银也此法既以一为甲衰乙比甲加一倍零四两故借二多四两为乙衰也丙并甲乙共数多六两故借三多十两为丙衰也甲衰一乙衰二并之为三乙比甲多四两丙比甲乙共数又多六两并之为十两也设如有甲乙二人入山采果共得三百枚但云甲数加六百枚乙数加二百枚则甲数比乙数多二倍问甲乙各得几何法借三为甲衰借一为乙衰并之得四为一率以三百枚与六百枚二百枚相加得一千一百为二率乙衰一为三率得四率二百七十五即乙一分之数减加数二百余七十五即乙数以七十五与三百枚相减余二百二十五即甲数以乙七十五与甲二百二十五相较则甲多二倍也此法既云甲比乙多二倍则甲为三分乙为一分故借三为甲衰一为乙衰并之为总衰作一率又以原果与两加数相并为总数作二率葢总衰与总数之比即乙一衰与乙果一分之比也设如有银一百九十六两买驼四匹马六匹驴十头马比驴价加一倍零二两驼比马价加一倍零四两问各价银若干法借一衰为驴价以驴十因之得十借二衰多二两为马价以马六因之得十二衰多十二两(一马多二两六马故多十二两)借四衰多八两为驼价以驼四因之得十六衰多三十二两(一驼多八两四驼故多三十二两)并三色衰数(驴十马十二驼十六)共三十八为一率又并驼马多价(驼三十二两马十二两)共四十四两于总银内减之余一百五十二两为二率驴一衰为三率得四率四两即驴一头之价倍之加多二两得十两即马一匹之价又倍之加多四两得二十四两即驼一匹之价也此法既借一衰为驴价马比驴加一倍零二两故借二衰多二两为马价也驼比马又加一倍当借四衰多四两再加多马四两则四衰多八两为驼价也乃以各数因之(驴十马六驼四)故得各项总衰数也设如问一人歳数答曰我比弟长二年父年倍我仍多两歳伯父兼我三人歳数再加四年整百歳问四人各得年数几何法借一衰为其弟歳数借一衰零二年为本人歳数倍之得二衰零四年再加多两歳得二衰零六年为其父歳数总并之得四衰零八年为其伯之歳数即以四衰为一率八年四年相并得十二年与百歳相减余八十八年为二率其弟一衰为三率得四率二十二即其弟之歳数加长二年得二十四即本人之歳数倍本人歳数再加多两歳得五十即其父之歳数并三人歳数得九十六即其伯之歳数再加四年是为整百歳也此法既借一衰为其弟歳数本人较长二年故借一衰零二年为本人歳数也其父年比本人加倍又多两岁故借二衰零六年为其父歳数也(加倍为二衰零四年)(又加多两歳故为二衰零六年也)将三人歳数相并得四衰零八年为其伯之歳数再加四年方整百岁则减四年又减所零之八年余八十八年即四衰相当之数也设如漏壶一具上有渴乌注水凡十二时而满下有一孔通天池泄水凡十八时而尽若上注下泄问几时可得水满法以十二时与十八时相乘得二百一十六时即借二百一十六分为壶水衰数又以十二时与十八时相减余六时即借六分为一时水满分数乃以六分为一率一时为二率二百一十六分为三率得四率三十六即是水满一壶之时也此法以十二时乘十八时者即借一壶水作二百一十六分算也十二时满二百一十六分则一时满十八分十八时尽二百一十六分则一时泄十二分一时满十八分而泄十二分则壶中所存止得六分故以十二减十八余六分为一时所满之水也满水六分既得一时则壶中满二百一十六分而得三十六时矣设如漏壶一座注水于内下有三孔大孔流水二时而尽中孔流水三时而尽小孔流水六时而尽若三孔齐开问水几时可尽法以大孔之二时乘中孔之三时得六时又以小孔之六时乘之得三十六时即借三十六分为壶水总衰数以大孔二时除之得十八分以中孔三时除之得十二分以小孔六时除之得六分并三数得三十六为一率一时为二率借衰三十六为三率得四率一时即一时水可尽也此法葢以三色之数连乘为共分其大孔二时流尽则一时流十八分中孔三时流尽则一时流十二分小孔六时流尽则一时流六分故并三数而为一时所流者有三十六分今壶水止有三十六分故一时可以流尽也设如有人自乡上城共一百二十里今行尚未到若以行过路六分之一与余路三分之一相加便是到城里数问该若干法借十五衰为一率一百二十里为二率余路三分即借三衰为三率得四率二十四里即到城里数也此法借十五衰为一率者因余路取三分之一尚余二分又取行过路六分之一补足余路二分之数是行过路之一分即抵余路之二分也今将余路一分借一衰则行过路一分当借二衰六分则当借十二衰再加余路三衰是共得十五衰故十五衰与一百二十里之比即余路三分与二十四里之比也(每分该八里)设如有井深至底二丈六尺不知水深若干但云自水面向上取三分之一从水面往下取四分之一相并便是水深数问该几何法借十三衰为一率二丈六尺为二率自水面往下四分即借四衰为三率得四率八尺即水之深也此法借十三衰为一率者因水面往下取四分之一尚余三分又取水面向上三分之一补足水面下三分之数是水面上之一分即准水面下之三分也今将水面下一分借一衰则水面上一分当借三衰一分借三衰则三分必当借九衰再加水面下四衰是共得十三衰故十三衰与二丈六尺之比即水面下四分与八尺之比也设如有人问此时系何时刻答曰自子正到此时时刻折半与自此时到午正三分之一相加便是此时时刻法借二衰为自子正到此时衰数(时折半者)(定为一衰今用全数故借二衰)又借三衰为自此时到午正衰数(三分故借三衰因三分之一与折半之数相等故亦将一)(分借一衰)并之得五衰为子正到午正之分为一率又计子正到午正得十二小时因化为七百二十分为二率自子正到此时二衰为三率得四率二百八十八分收为四小时三刻三分即定为寅正三刻三分也此法因题言自子正到此时时刻折半故以折半数借为一衰今用全数为自子正起算故借二衰题又言到午正时刻三分之一与折半之数相加则是折半数即与三分之一之数相等故将三分亦借为三衰是子正到午正共为五衰矣计子正到午正时刻得七百二十分故五衰与七百二十分之比即二衰与二百八十八分之比既得二百八十八分收为四小时三刻三分即自子正到寅正三刻三分也设如有人问到日落得几时答曰自日出到此时时刻取四分之一从此时到日落时刻折半两数相加即是此时时分法借二衰为自此时到日落时衰数(时折)(半者借一衰今用全数故借二衰)又借四衰为自日出到此时衰数(四分故借四衰因四分之一与折半之数相等故亦)(将一分借一衰)并之得六衰为一率又察昼夜长短如自日出至日落止有十小时即化作六百分为二率自此时到日落二衰为三率得四率二百分收为三小时一刻五分即到日落之时分也此法因题言自此时到日落时刻折半故以折半数借为一衰今用全数则当借为二衰题又言自日出到此时四分之一与折半之数相加则是折半数即与四分之一之数相等故将四分亦借为四衰是日出到日落共为六衰矣如日出至日落时刻得六百分则六衰与六百分之比即二衰与二百分之比故以二百分收为三时一刻五分也设如有羊一群不知数目但云卖去三分之一又分四分之一另为一群下余一千只问原共数几何法以两分母相乘得十二为总衰内减三分之一余八又减四分之一余五为一率一千为二率总衰十二为三率得四率二千四百即共数也此法因题言三分之一四分之一两分子同分母不同故以两分母相乘为总衰分内减三分之一又减四分之一所余五即如总数分十二分而一千为其五分也故五衰与一千之比即如十二衰与二千四百之比也设如有羊一群不知数目但云赏人七分之五又将所余者卖五分之三尚余八百只问原共数若干法以两分母相乘得三十五为总羊衰数内去七分之五余一十(将三十五分为七分每分)(得五今去五分为二十五故仍余一十也)又将一十为所余羊衰数内去五分之三余四(将一十分为五分每)(分得二今去三分为六故仍余四也)即以四为一率所余羊八百只为二率总衰三十五为三率得四率七千即原羊共数也此法葢因共数为七千内去七分之五是去五千余二千又将二千去五分之三是去一千二百仍余八百故借总衰三十五内去七分之五所余又去五分之三而得余衰四以余衰四与余羊八百之比即若总衰三十五与总羊七千之比也此法与前法㣲异者前法虽有三分四分之不同是于总数中计分故其为分则一此法赏人七分之五者是去总数内七分之五而卖五分之三者乃赏人后所余之五分之三也立法少异故借衰中总分余分相减亦别至减余归四率其比例仍同也设如有田七百四十二亩内有耕者种者耘者种者比耕者得十分之七耘者比种者得五分之三问每项各几何法以两分母两分子互相连乘共得一千零五十为耕者衰数此数十分之取其七分得七百三十五为种者衰数此数五分之取其三分得四百四十一为耘者衰数并三衰数得二千二百二十六为一率七百四十二亩为二率以耕者衰数一千零五十为三率得四率三百五十亩即所耕之田以种者衰数七百三十五为三率得四率二百四十五亩即所种之田以耘者衰数四百四十一为三率得四率一百四十七亩即所耘之田也此法因分母分子皆不同恐借数有竒零故即以本题分数连乘之得数后仍依各项分之则衰数无竒零而各分各数俱可比例而得矣设如逺望一塔上露三丈二尺中有林木遮去三分之二下尚露五分之一问共髙若干法先借一数可分为三分五分者乃借三十为总衰此数三分之二得二十又五分之一得六两数相加得二十六与总衰三十相减余四为一率上露三丈二尺为二率总衰三十为三率得四率二十四丈即塔之髙也此法以减余四衰与上露三丈二尺之比即总衰三十与塔总髙二十四丈之比也二十四丈三分之二得十六丈五分之一得四丈八尺相加得二十丈零八尺又加上露三丈二尺则共二十四丈也又法于借衰三十内减去三分之二(减去)(二十)又减五分之一(减去六)余四衰即以四衰除塔露三丈二尺得八尺是一衰为八尺也一衰为八尺则三十衰自得二百四十尺矣设如有木匠与瓦匠小工三项分工价瓦匠得木匠五分之二小工得木匠四分之一瓦匠比小工多一两二钱问每项工价若干法以两分母两分子连乘共得四十为木匠衰数此数五分之二得十六为瓦匠衰数四分之一得十为小工衰数又将十六衰与十衰相减余六为一率多一两二钱为二率木匠衰数四十为三率得四率八两即木匠价取五分之二得三两二钱即瓦匠价取四分之一得二两即小工价以二两与三两二钱相减余一两二钱即瓦匠多于小工之数也此法亦以题中分母分子连乘作衰数但用瓦匠比小工所多衰数银数与木匠衰数银数为比例何也葢各项衰数与各项银数之比皆同今瓦匠衰数与小工衰数之比即瓦匠银数与小工银数之比也又瓦匠衰数多于小工衰数之六与瓦匠银数多于小工银数一两二钱之比即同于小工衰数与小工银数之比又即同于木匠衰数与木匠银数之比故直以六衰与多一两二钱为一率二率也设如有金不足色欲炼成上等好金第一次入炉煅去三分之一第二次入炉煅去四分之一第三次入炉煅去五分之一第四次入炉煅去六分之一方净剩上等好金二十七两问原金几何法借三分四分五分六分俱分得尽之六十为原金总衰此数三分之一得二十四分之一得十五五分之一得十二六分之一得十四数相并得五十七与原借数六十相减余三为一率净剩金二十七两为二率总衰六十为三率得四率五百四十两即原金数也此法因原金中镕销四次所余二十七两故借衰中亦减去四次之数所余为三衰以三衰与二十七两之比即六十衰与五百四十两之比也设如有铜不知斤数但云取七分之三作上等仪器又取所余之五分之二作中等仪器又取所余之四分之一作三等仪器仍余五十四斤问原铜共数几何法以三分母连乘得一百四十为总铜衰数取其七分之三余八十为二次余铜衰数(一百四十分为七分每分二十今去三分为六十仍余八十也)又将所余八十取其五分之二余四十八为三次余铜衰数(八十分为五分每分十六今去二分)(为三十二仍余四十八也)又将所余四十八取其四分之一余三十六为所余衰数(四十八分为四)(分每分十二今去一分十二仍余三十六也)即以三十六为一率余铜五十四斤为二率总衰一百四十为三率得四率二百一十斤即原铜共数也葢二百一十斤内去七分之三是去九十斤余一百二十斤又将一百二十斤内去五分之二是去四十八斤余七十二斤又将七十二斤内去四分之一是去十八斤余五十四斤而与原剩数合也此法亦是按节次另定分数与均分者不同故立衰数亦按节次减去取其余衰三十六与余铜五十四斤之比即若总衰一百四十与总铜二百一十斤之比也设如问一老人岁数但云加三分之二减四分之一得一百三十六歳求其岁数几何法借十二为总衰数此数三分之二为八四分之一为三于总衰十二内加八减三得十七为一率一百三十六岁为二率总衰十二为三率得四率九十六岁即老人岁数也此法借十二衰即三分与四分相乘之数三分四分俱可以分尽也于总衰十二内加八即加三分之二也又减三即减四分之一也所得十七即加减衰数也以加减衰数与加减年数之比即若所借总衰与所得歳数之比也设如有一数但云其数二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并为五百二十二问原数几何法先借一数可分为二分三分四分五分六分者乃借六十为总衰数此数依法剖之其二分之一为三十其三分之一为二十其四分之一为十五其五分之一为十二其六分之一为十并之得八十七为一率共并数五百二十二为二率总衰六十为三率得四率三百六十即原数也此法借数六十与原数为比者因原数隐而未露故虚借一数作比例以互征之葢并数八十七者原数为六十并数五百二十二者原数为三百六十其比例同也设如有马一群但云加一倍又加二分之一又加三分之一又加四分之一又加一并原数共一百一十二匹问原数几何法先借一数可分为二分三分四分者乃借十二为衰数此数加一倍得二十四又加二分之一为六又加三分之一为四又加四分之一为三共得三十七为一率共数一百一十二减一余一百一十一为二率衰数十二为三率得四率三十六即原数也此法与前法同但题中又加一匹是真数也故于总数内减去一匹为比例盖加分所得衰数三十七与加分所得共数一百一十一之比即若所借原衰十二与原数三十六之比也设如一人为商三次第一次得利比本为三分之二将利加入本银第二次得利比本为四分之三又将此利加入本银第三次得利比本为五分之三三次本利共银一千四百两问原本银若干法借六十为本银衰数取其三分之二得四十与六十相加得一百又将一百取其四分之三得七十五与一百相加得一百七十五又将一百七十五取其五分之三得一百零五与一百七十五相加得二百八十为一率本利共银一千四百两为二率原借衰数六十为三率得四率三百两即原本银数也葢三百两三分之二得二百与本银相加得五百于五百内取四分之三得三百七十五仍与五百相加得八百七十五于八百七十五内取五分之三得五百二十五仍与八百七十五相加得一千四百以合原数其借六十为本银衰数加三分之二得一百即第一次本利共衰也又加四分之三得一百七十五即第二次本利共衰也又加五分之三得二百八十即第三次本利共衰也以本利共衰与本利共银之比即如本银借衰与原有本银之比也叠借互征叠借互征者因原问内设数隐伏一次借衰尚不能得其真数故不得不借两数以比较之先借一数与原数相较复借一数与原数相较然后据两较以立算而真数可得故曰叠借葢以叠借之数比原问之数或多或少乃作盈朒法算之以求两借数之较也故其较之一多一少者用加或两较俱多两较俱少者用减一如盈朒之例以两差数之较与两借数之较为比而得借数与真数之较或以两借数互乘两差数以两差数之较与互乘所得两差数之较为比而得所求之真数其法虽繁实有条理亦借数之巧也设如有银一百两命甲丙丁三人分之甲比丙多一倍丙比丁多二倍问毎人应得几何法先借十二两为甲银衰数则丙应得六两(比甲少一倍)丁应得二两(比丙少二倍)并三数得二十两与原银一百两相较少八十两再借二十四两为甲银衰数则丙应得十二两(比甲少一倍)丁应得四两(比丙少二)(倍)并三数得四十两与原银一百两相较仍少六十两乃以前借数十二两少八十两书于右后借数二十四两少六十两书于左作两不足法算之于是两少数相减余二十两为一率两借数相减余十二两为二率前借数与原数相较之少八十两为三率得四率四十八两加入前借数十二两共得六十两即甲银数或以后借数与原数相较之少六十两为三率得四率三十六两加入后借数二十四两亦得六十两为甲银数既得甲银数减一倍得三十两即丙银数再取丙银三分之一得十两即丁银数也(因丙银比丁银多二倍故于丙银中取三分之一即丁银)此法先借一人银数加减出三人银数与原总银相较得其差数又借一人银数加减出三人银数又与原总银相较复得一差数爰将两借数相减是得甲一人两借数之较也又将两差数相减(因两)(差俱少故相减如一多一少则相加)是得三人两差数之较也乃以比例求之以三人两差数之较比一人两借数之较即同于三人共数与原总银之差比一人借数与本银之差也故以二十两与十二两之比同于八十两与四十八两之比为借数十二两少于甲本银之差数或以二十两与十二两之比同于六十两与三十六两之比为借数二十四两少于甲本银之差数各与借数相加皆得甲本银数也(因其为少故与借数相加若差数为多则与借数相减)此即盈朒先求适足之法葢两少数相差二十两由于两借数之相差十二两如欲补足所少之八十两则应加四十八两或欲补足所少之六十两则应加三十六两也又如欲借两数所得差数一多一少用相加立算则先借四十八两为甲银衰数丙应得二十四两丁应得八两并三数得八十两与原银一百两相较少二十两再借六十六两为甲银衰数丙应得三十三两丁应得十一两并三数得一百一十两与原银一百两相较则多十两乃以前借数四十八两少二十两书于右后借数六十六两多十两书于左作一盈一朒法算之于是一多数一少数相加得三十两为一率两借数相减余十八两为二率前借数与原数相较之少二十两为三率得四率十二两加入前借数四十八两共得六十两即甲银数如以后借数与原数相较之多十两为三率得四率六两与后借数六十六两相减亦得六十两为甲银数既得甲银数其丙丁银数按分递减之即得矣又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十八两互乘后多十两为加四十八倍得多四百八十两以后借数六十六两互乘前少二十两为加六十六倍得少一千三百二十两乃以互乘所得一多一少两数相加得一千八百两为二率原一多一少两数相加得三十两为一率一人为三率得四率六十两即甲银数也葢所加四十八倍与六十六倍相差为十八倍则互乘所得一多一少两数相差之一千八百两即十八倍总银数也(见盈朒法)然甲银为总银之三十分之十八(盖两差数之较为三十则两借数之)(较为十八少数为二十则借数加一十二多数为一十则借数减六皆三十与)(十八之比例也)必为十八倍总银之三十分之一(葢三十分之十八者将总银分为三十分而得其十八分也若十八倍总)(银则其一分即十八也)故以三十分与一千八百两之比即同于一分与六十两之比即甲银数也设如有香炉二座不言重数但知炉葢一个重一百五十斤如以葢加甲炉则重于乙炉二倍以葢加乙炉乃与甲炉相等求甲乙二炉各重几何法先借三十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共一百八十斤内取三分之一得六十斤为乙炉衰数(因甲炉加葢比乙炉重二倍故)(以乙炉衰数定为甲炉衰数加葢之三分之一)以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百一十斤比所借甲炉衰数三十斤多一百八十斤则是所借甲炉衰数三十斤少一百八十斤再借九十斤为甲炉衰数加葢一百五十斤共二百四十斤内取三分之一得八十斤为乙炉衰数以乙炉衰数加葢一百五十斤共二百三十斤比所借甲炉衰数九十斤多一百四十斤则是所借甲炉衰数九十斤少一百四十斤乃以前借甲炉衰数三十斤少一百八十斤书于右后借甲炉衰数九十斤少一百四十斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余四十斤为一率两借数相减余六十斤为二率前借数与原数相较之少一百八十斤为三率得四率二百七十斤加入前借数三十斤共三百斤即甲炉之重加葢一百五十斤共四百五十斤内取三分之一得一百五十斤即乙炉之重加葢一百五十斤共三百斤与甲炉相等也又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十斤互乗后少一百四十斤为加三十倍得少四千二百斤以后借数九十斤互乘前少一百八十斤为加九十倍得少一万六千二百斤乃以互乗所得两少数相减余一万二千斤为二率原两少数相减余四十斤为一率甲炉一为三率得四率三百斤即甲炉之重数也葢所加三十倍与九十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之一万二千斤即六十倍总差数也然甲炉重数为总差数之四十分之六十(盖两差数之较为四十则两借数之较为六十少数为一百八十则)(借数加二百七十皆四十与六十之比例也)必为六十倍总差数之四十分之一(葢四十分之六十者将总差数分为)(四十分而得其六十分也若六十倍总差数则其一分即六十分也)故以四十分与一万二千斤之比即同于一分与三百斤之比也设如有铜铸甲乙二钟未称斤数但云取乙钟铜八十斤入甲钟则所余得甲钟四分之一若取甲钟铜八十斤入乙钟则所余得乙钟三分之二问二钟各得铜数若干法先借一百二十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得二百斤此数四分之得五十斤(因取乙钟铜八十斤入甲)(钟所余得甲钟之四分之一故四分之为乙钟之一分)加八十斤得一百三十斤为乙钟衰数(此乙钟未取八十斤)(入甲钟时得一百三十斤也)若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百一十斤而甲钟止余四十斤(甲钟一百二十斤中去八十斤故余四十斤)加一半二十斤得六十斤为乙钟数(因取甲钟)(铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故四十斤为三分之二而加一分为)(二十斤共六十斤为乙钟数)而与乙钟二百一十斤相较则少一百五十斤再借三百六十斤为甲钟衰数取乙钟铜八十斤加入甲钟则甲钟得四百四十斤此数四分之得一百一十斤(因取乙钟铜八十斤入甲钟所余得甲钟)(之四分之一故四分之为乙钟之一分)加八十斤得一百九十斤为乙钟衰数(此乙钟未取八十斤入甲钟时得一)(百九十斤也)若取甲钟铜八十斤加入乙钟则乙钟得二百七十斤而甲钟止余二百八十斤(甲钟三百六十斤中去八十斤故余二百八十斤)加一半一百四十斤得四百二十斤为乙钟数(因取甲钟铜八十斤入乙钟所余得乙钟三分之二故二百八十斤)(为三分之二而加一分为一百四十斤共四百二十斤为乙钟数)而与乙钟二百七十斤相较则多一百五十斤乃将前借数一百二十斤少一百五十斤书于右后借数三百六十斤多一百五十斤书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得三百为一率两借数相减余二百四十为二率前借数与乙衰相较之少一百五十斤为三率得四率一百二十斤加前借数一百二十斤共二百四十斤为甲钟斤数加入乙钟铜八十斤为三百二十斤四分之得八十斤(既取乙钟铜八十斤入甲钟故余此数)再加入甲钟铜八十斤得一百六十斤为乙钟斤数也又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数一百二十斤互乘后多一百五十斤为加一百二十倍得多一万八千斤以后借数三百六十斤互乗前少一百五十斤为加三百六十倍得少五万四千斤乃以互乘所得一多一少两数相加得七万二千斤为二率原一多一少两数相加得三百斤为一率甲钟一为三率得四率二百四十斤即甲钟重数也葢所加一百二十倍与三百六十倍相差为二百四十倍则互乘所得一多一少两数相加之七万二千斤即二百四十倍总差数也然甲钟重数为总差数之三百分之二百四十必为二百四十倍总差数之三百分之一故以三百分与七万二千斤之比即同于一分与二百四十斤之比也设如甲丙二人入山采矿皆不知所得之数但云甲与丙二十四两则所余得丙之四分之一若丙与甲三十两则所余得甲之六分之一问两人各得之数若干法先借四十两为丙之衰数加甲与二十四两得六十四两此数四分之得十六两(因甲得丙四分之一故将丙数四分也)加二十四两得四十两为甲之衰数(因甲与丙二十四两所余得丙)(四分之一故仍以二十四两加入为甲衰数也)若丙与甲三十两则甲得七十两而丙止余十两六因之得六十两为甲数(因丙与甲三十两所余得甲六分之)(一故将丙之十两六因之为甲数)而与甲七十两相较则少十两再借六十两为丙之衰数加甲与二十四两得八十四两此数四分之得二十一两加二十四两得四十五两为甲之衰数(其所加所分之故同前)若丙与甲三十两则甲得七十五两而丙止余三十两六因之得一百八十两而与甲七十五两相较又多一百零五两乃将前借数四十两少十两书于右后借数六十两多一百零五两书于左用盈朒法算之于是以一多一少两数相加得一百一十五为一率两借数相减余二十为二率前借数与甲相较之少十两为三率得四率一两七钱三分九厘一毫有余加前借数四十两共四十一两七钱三分九厘一毫有余为丙所得之数此数加二十四两得六十五两七钱三分九厘一毫有余再四分之得一十六两四钱三分四厘七毫有余(因甲得丙银四分之)(一故四分之)加入二十四两得四十两四钱三分四厘七毫有余为甲所得之数(甲既)(与丙二十四两故止剰一十六两有余若未与丙二十四两其全数则四十两)(有余也)若将甲数加三十两得七十两四钱三分四厘七毫有余将丙数减三十两得十一两七钱三分九厘一毫有余此丙十一两七钱三分九厘一毫有余即为甲七十两四钱三分四厘七毫有余之六分之一也(因丙与甲三十两则丙数居甲数之六分)(之一故将四十两有余再加八丙三十两得七十两有余则丙数内减去三十)(两止得十一两有余故为甲数之六分之一也)又法既得两借数之差用互乘以齐其分以前借数四十两互乘后多一百零五两为加四十倍得多四千二百两以后借数六十两互乗前少十两为加六十倍得少六百两乃以互乗所得一多一少两数相加得四千八百两为二率原一多一少两数相加得一百一十五两为一率一人为三率得四率四十一两七钱三分九厘一毫有余即丙所得之数也葢所加四十倍与六十倍相差为二十倍则互乗所得一多一少两数相加之四千八百两即二十倍总差数也然丙数为总差数之一百一十五分之二十必为二十倍总差数之一百一十五分之一故以一百一十五分与四千八百两之比即同于一分与四十一两七钱三分九厘一毫有余之比也设如有铜缸磁缸二面若于铜缸内添水五十斤则比磁缸内水多二倍若于磁缸内添水五十斤则与铜缸内水数相等问二缸各得水数若干法先借十斤为铜缸水之衰数加五十斤得六十斤此数三分之得二十斤为磁缸水之衰数(因铜缸加五十斤则比磁缸水多二倍故三分)(之为磁缸水衰数也)以磁缸水衰数加五十斤得七十斤(因磁缸加五十斤与铜缸水相等故亦加五十斤)比所借铜缸水之衰数十斤多六十斤则是所借铜缸水之衰数十斤少六十斤再借二十二斤为铜缸水之衰数加五十斤得七十二斤此数三分之得二十四斤为磁缸水之衰数以磁缸水衰数加五十斤得七十四斤比所借铜缸水之衰数二十二斤多五十二斤则是所借铜缸水之衰数二十二斤少五十二斤乃以前借数十斤少六十斤书于右后借数二十二斤少五十二斤书于左作两朒法算之于是两少数相减余八斤为一率两借数相减余十二斤为二率前借数与铜缸相较之少六十斤为三率得四率九十斤加入前借数十斤共一百斤即铜缸之水数加五十斤得一百五十斤三分之得五十斤即磁缸之水数以磁缸水数加五十斤亦得一百斤与铜缸水数相等也又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十斤互乗后少五十二斤为加十倍得少五百二十斤以后借数二十二斤互乗前少六十斤为加二十二倍得少一千三百二十斤乃以互乗所得两少数相减余八百斤为二率原两少数相减余八斤为一率铜缸一为三率得四率一百斤即铜缸之水数也葢所加十倍与二十二倍相差为十二倍则互乗所得两少数相差之八百斤即十二倍总差数也然铜缸水数为总差数之八分之十二必为十二倍总差数之八分之一故以八分与八百斤之比即同于一分与一百斤之比也设如有羊三群甲群四百只丙群为甲丁两群二分之一丁群为甲丙两群三分之一问丙丁两群羊数各若干法先借三百只为丙群衰数丙群既为甲丁两群二分之一则甲丁两群当有六百只内减甲群四百只余二百只为丁群衰数又并甲丙二群得七百只丁群既为甲丙两群三分之一则将丁群二百只三因之得六百只与甲丙两群七百只相较则少一百只再借二百四十只为丙群衰数丙群既为甲丁两群二分之一则甲丁两群当有四百八十只内减甲群四百只余八十只为丁群衰数又并甲丙二群得六百四十只丁群既为甲丙两群三分之一则将丁群八十只三因之得二百四十只与甲丙两群六百四十只相较则少四百只乃将前借数三百只少一百只书于右后借数二百四十只少四百只书于左用两不足法算之于是以两少数相减余三百只为一率两借数相减余六十只为二率前借数与甲丙两群相较之少一百只为三率得四率二十只加前借数三百只共三百二十只即丙群之羊数加入甲群四百只得七百二十只三分之得二百四十只即丁群之羊数也若并甲丁两群得六百四十只折半得三百二十只即丙群为甲丁两群二分之一也又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三百只互乗后少四百只为加三百倍得少一十二万只以后借数二百四十只互乗前少一百只为加二百四十倍得少二万四千只乃以互乗所得两少数相减余九万六千只为二率原两少数相减余三百只为一率丙一群为三率得四率三百二十只即丙群之羊数也葢所加三百倍与二百四十倍相差为六十倍则互乗所得两少数相差之九万六千只即六十倍总差数也然丙群为总差数之三百分之六十必为六十倍总差数之三百分之一故以三百分与九万六千只之比即同于一分与三百二十只之比也设如有田一百亩令甲乙二人分耕若以甲田三分之一与乙以乙田五分之一与甲则各得五十亩问甲乙原田数各若干法先借三十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余七十亩为乙原田之衰数甲原田三十亩之三分之一为十亩乙原田七十亩之五分之一为十四亩若甲与乙十亩乙与甲十四亩则甲得田三十四亩(甲三十亩与乙十亩余二十亩又得乙所与十)(四亩故为三十四亩)与各五十亩相比则甲少十六亩再借六十亩为甲原田之衰数此数与一百亩相减余四十亩为乙原田之衰数甲原田六十亩之三分之一为二十亩乙原田四十亩之五分之一为八亩若甲与乙二十亩乙与甲八亩则甲得田四十八亩(甲六十亩与乙二十亩余四十亩又得乙)(所与八亩故为四十八亩)与各五十亩相比则甲少二亩乃将前借数三十亩少十六亩书于右后借数六十亩少二亩书于左用两不足法算之于是以两少数相减得十四亩为一率两借数相减余三十亩为二率前借数与五十亩相较之少十六亩为三率得四率三十四亩二分八厘有余加前借数三十亩共六十四亩二分八厘有余即甲原田之数与一百亩相减余三十五亩七分一厘有余即乙原田之数也若甲以其三分之一二十一亩四分二厘有余与乙而乙以其五分之一七亩一分四厘有余与甲则两人各得五十亩矣又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数三十亩互乗后少二亩为加三十倍得少六十亩以后借数六十亩互乗前少十六亩为加六十倍得少九百六十亩乃以互乗所得两少数相减余九百亩为二率原两少数相减余十四亩为一率甲一人为三率得四率六十四亩二分八厘有余即甲原田之数也葢所加三十倍与六十倍相差为三十倍则互乗所得两少数相差之九百亩即三十倍总差数也然甲原田为总差数之十四分之三十必为三十倍总差数之十四分之一故以十四分与九百亩之比即同于一分与六十四亩二分八厘有余之比也设如甲丙丁三人共有银二百一十两只云甲与丙四分之一丁与甲二分之一丙与丁三分之一则每人均得银七十两问各人原有之银数若干法先借十两为甲银衰数此数减四分之一二两五钱余七两五钱与七十两相减余六十二两五钱为丁银二分之一加一倍得一百二十五两为丁银衰数(因甲与丙四分之一丁与甲二分之一成七十两故于甲衰十两内减四)(分之一余七两五钱再加六十二两五钱方凑成七十两故以六十二两五钱)(即为丁银二分之一加一倍得丁银全数也)又并甲丁两衰数得一百三十五两与总银二百一十两相减余七十五两为丙银衰数(因三人共)(银二百一十两减去甲银十两丁银一百二十五两所余七十五两即丙之银)(数也)又于丙衰七十五两内减三分之一二十五两余五十两加甲衰四分之一二两五钱共得五十二两五钱(因丙与丁三分)(之一甲与丙四分之一成七十两故于丙衰七十五两内减与丁二十五两又)(加甲所与二两五钱共五十二两五钱也)此数与七十两相较则少十七两五钱再借二十八两为甲银衰数此数减四分之一七两余二十一两与七十两相减余四十九两为丁银二分之一加一倍得九十八两为丁银衰数(甲银减四分之一余四十九两既为丁银二分之一故加)(一倍即为丁银全数也)又并甲丁两衰数得一百二十六两与总银二百一十两相减余八十四两为丙银衰数(因三人共银二百一十两减去)(甲银二十八两丁银九十八两其余八十四两即丙之银数也)又于丙衰八十四两内减三分之一二十八两余五十六两加甲衰四分之一七两共得六十三两(因丙与丁三分之一甲与丙四分之一成七十两故)(于丙衰八十四两内减与丁二十八两又加甲所与七两共得六十三两也)此数与七十两相较则少七两乃将前借数十两少十七两五钱书于右后借数二十八两少七两书于左用两不足法算之于是以两少数相减余十两五钱为一率两借数相减余十八两为二率前借数与七十两相较之少十七两五钱为三率得四率三十两加前借十两共四十两即甲之银数减四分之一十两余三十两(因去一分与丙也)与七十两相减余四十两倍之得八十两即丁之银数并甲丁银数得一百二十两与总银二百一十两相减余九十两即丙之银数也此叠借三色之法也借衰时加减甚繁然条理分明自能了然如此法前借数甲衰十两丙衰七十五两丁衰一百二十五两若于丁衰减去二分之一(减六十二两五钱与甲)加丙衰三分之一(丙与丁二十五)(两)得八十七两五钱与七十两相较则多十七两五钱丙差与丁差其数一也至再借二十八两为甲衰其加减亦与前借数同惟甲成七十两至丙则少七两丁则多七两其数相同故但取丙差数就其两差之较数以比例之得甲之原银数也又法既得两借数之差用互乗以齐其分以前借数十两互乗后少七两为加十倍得少七十两以后借数二十八两互乗前少十七两五钱为加二十八倍得少四百九十两乃以互乗所得两少数相减余四百二十两为二率原两少数相减余十两五钱为一率甲一人为三率得四率四十两即甲银数也葢所加十倍与二十八倍相差为十八倍则互乗所得两少数相差之四百二十两即十八倍之总差数也然甲银为总差数之十分半之十八必为十八倍总差数之十分半之一故以十分半与四百二十两之比即同于一分与四十两之比也设如甲丙两果园不知亩数将甲园扩出五十亩则比丙园大二倍若将丙园扩出五十亩则比甲园大一倍问两园原有之亩数若干法借四十亩为甲园衰数加五十亩得九十亩此数三分之得三十亩为丙园衰数(因甲加五十亩比丙园大二倍是丙园为甲园三分之一也故三分)(之)将丙园三十亩加五十亩得八十亩与甲园四十亩相较适大一倍此数已合则不必再借故凡叠借法中一借即合原数者皆如此例不必再借也设如大小两船雇夫小船每人出银为大船每人五分之四若大船八人小船五人出银则不足七两若大船六人小船八人出银则不足三两问共银及每人各出银几何法以五分为大船每人衰数四分为小船每人衰数(因小船每人为大船每人五分之四也)以五分与大船八人相乗得四十分为大船八人共衰数以四分与小船五人相乗得二十分为小船五人共衰数相加得六十分为大船八人小船五人共出银共分数又将五分与大船六人相乗得三十分为大船六人共衰数以四分与小船八人相乗得三十二分为小船八人共衰数相加得六十二分为大船六人小船八人共出银共分数乃将六十分少七两书于右六十二分少三两书于左用两朒求总银法算之于是以六十分与六十二分相减余二分为一率以两少数相减余四两为二率一分为三率得四率二两为每分之银数与六十分相乗得一百二十两加少七两得一百二十七两为雇夫之总银数(如与六十)(二分相乗则得一百二十四两加少三两亦得一百二十七两为雇夫之总银)(数)又以每分二两与大船每人衰数五分相乗得十两为大船每人所出银数以每分二两与小船每人衰数四分相乗得八两为小船每人所出银数也此盈朒内两朒之正法但因有借分为衰数之故故附于此以备叠借之一体云设如有石二块大小不等俱不知重数只有铜条一根重十二两互换称之而得二石之各重几何法先将铜条分作十二分每分又作十分用一绳系于第五分之上(系于五分者随便取)(一数也)乃以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率(因铜条重十二两分为十二分今二分故)(为二两也)得四率二两四钱(此四率是先将铜条之五分处)(取均平之法葢提系在五分上必于五分之端加二两四钱乃与七分相平也)爰以铜条作秤杆将大石挂在铜条一头离提系五分而以小石作锤称之今离提系得六分始平记之(如前图)又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作锤称之今离提系得四分始平亦记之(如后图)乃先借二十六两四钱为大石衰数与前所得二两四钱相减余二十四两(内减二两四钱者因铜条之五分一边必加二两四钱始平今)(于借衰中减去者所以补足均平之数然后较物之轻重也)用六分为一率(即小石在六分之数)五分为二率(即大石在五分)(之数)二十四两为三率(即大石衰中减去二两四钱所余之)(数)得四率二十两为小石之衰数(此四率是)(以大石衰数求小石衰数)因以小石衰数二十两与二两四钱相减余十七两六钱(此亦减去二两)(四钱因小石移在五分之一边补足均平之数也)用四分为一率(即大石在四分之数)五分为二率(即小石在五分之数)十七两六钱为三率(即小石衰中减去二两四钱所余之数)得四率二十二两(此第二四率又以小石衰数转求大石衰)(数试其合否也)与所借大石衰数二十六两四钱相较则少四两四钱再加三十二两四钱为大石衰数与二两四钱相减余三十两用六分为一率五分为二率三十两为三率得四率二十五两为小石之衰数因以小石衰数二十五两与二两四钱相减余二十二两六钱用四分为一率五分为二率二十二两六钱为三率得四率二十八两二钱五分与所借大石衰数三十二两四钱相较则少四两一钱五分乃将前借数二十六两四钱少四两四钱书于右后借数三十二两四钱少四两一钱五分书于左用两不足法算之于是以两少数相减余二钱五分为一率两借数相减余六两为二率前借数与大石衰数相较之少四两四钱为三率得四率一百零五两六钱加前借数二十六两四钱共一百三十二两即大石之重数又于大石重数内减去二两四钱余一百二十九两六钱用六分为一率五分为二率(即前以大)(石衰数求小石衰数之法既有大石真数故仍以前法求小石真数)一百二十九两六钱为三率得四率一百零八两为小石之重数也如以四分为一率五分为二率(即前以小石求大石之重法)于小石重数一百零八两内减去二两四钱余一百零五两六钱为三率得四率一百三十二两为大石之重数亦合前数也此法葢因铜条重十二两而分作十二分设如作一甲乙线为铜条分作十二分每分重一两提系在丙处甲丙与丙丁等则其重亦必等如以甲丁与甲乙相减则余丁乙即丙乙多于甲丙之二分也既多二分必重二两如以二两重物挂于乙丁中间之戊处则丙乙自重于甲丙也今欲以物趂之使其两平则以甲丙五分为一率丙戊六分为二率二两为三率得四率二两四钱是将二两四钱之物加于甲处始得两平其以丙戊六分为二率者何也葢丙丁与甲丙等而重者止在丁乙一段而戊为丁乙之中戊去丙逺甲去丙近惟近故加重而后可以胜逺之轻若于甲接长二分则于二分之中施二两之物即称平矣故以二两四钱加于甲处始能趂平丁乙之二分也此法数层加减几用比例颇觉繁琐而用方程算之㣲觉简明但系叠借本法故两收之收入叠借者所以存其理而收入方程者所以取其简也御制数理精蕴下编卷九
## 下编卷十
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十线部八方程(和数类变较数类法和较兼用类和较交 类 附)方程方者比也程者式也因设数齐其分以比方之定为已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以齐其分使其首数皆同减尽而余一法一实以得一数也法虽有三色四色以至多色不过累乗累减亦归于一法一实而已其二色者设二行三色者设三行有几色者必设几行若三色设二行四色设三行即不可算若二色设三行三色设四行则其一行又可以不用是故解方程者又谓凡设数必成方而后可算也然其要总在于分和较和数相比者则互乗而相减较数相比者古人定为正负之名以辨加减异同之号正负异号则相加正负同号则相减其理与盈朒同葢正者为主之数负者虚比之数其始也任以首色为正互乗众色与首色同类者皆正也与首色异类者皆负也其继也以互乗所得之数视正负之同异而加减之然加减之余又有正变为负负变为正者总之因彼此而分正负由多少而成虚实互乗之后任以一层为主凡异号相加者悉依本层其号皆不变也若同号相减者本层多其号亦不变本层少反减者则正变为负负变为正葢此多则彼少彼少则此多也至于首色减尽则第二色即为首色故加减之后首色为负者悉变之以便互乗加减始不淆也今定为例和数者不用正负之号较数者则用正负之号和较兼用者和仍不用正负之号而较则用之和较交变者则随其法而辨别之以定其号焉或有非方程之本法而可以方程算者则又别为设问以附其后古人所谓以御错糅正负者庶乎尽于此矣和数类设如马四匹牛六头共价四十八两马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价几何法以马四匹牛六头共价四十八两列于上马三匹牛五头共价三十八两列于下乃以上马四匹遍乗下马三匹牛五头价银三十八两得马十二匹牛二十头价银一百五十二两又以下马三匹遍乘上马四匹牛六头价银四十八两得马十二匹牛十八头价银一百四十四两两下相较则马各十二匹彼此减尽牛二十头内减十八头余二头价银一百五十二两内减一百四十四两余八两爰以余牛二头除余银八两得四两即牛每头之价以牛五头乘之得二十两为牛五头之共价于马牛共价三十八两内减去二十两余十八两为马三匹之共价以马三匹除之得六两即马每匹之价也此法葢以首色二数遍乘各数使其分数齐等即互乘齐分之理故马四匹遍乘马三匹牛五头价银三十八两则为各増四倍马三匹遍乘马四匹牛六头价银四十八两则为各増三倍两下各色既俱各増倍分则其比例皆同是故马两下相平而减尽无余牛两下相减余二头价银两下相减余八两是为相当之数葢一百五十二两内减去一百四十四两即减去马十二匹牛十八头之共价而所余之八两为牛二头之价也又如以牛数列于前马数列于后则先得马价法以牛六头马四匹共价四十八两列于上牛五头马三匹共价三十八两列于下乃以下牛五头遍乘上牛六头马四匹价银四十八两得牛三十头马二十匹价银二百四十两又以上牛六头遍乘下牛五头马三匹价银三十八两得牛三十头马十八匹价银二百二十八两两下相较则牛各三十头彼此减尽马二十匹内减十八匹余二匹价银二百四十两内减二百二十八两余十二两爰以余马二匹除余银十二两得六两即马每匹之价以马三匹乘之得十八两为马三匹之共价于牛马共价三十八两内减去十八两余二十两为牛五头之共价以牛五头除之得四两即牛每头之价也此法用互乘后则牛两下相平而减尽无余马两下相减余二匹价银两下相减余十二两即为相当之数葢二百四十两内减去二百二十八两即减去牛三十头马十八匹之共价而所余之十二两为马二匹之价也大凡方程之法各色俱可以更互相求者皆如此类也设如缎二疋纱六疋䌷八疋共价八十四两缎一疋纱四疋䌷七疋共价六十两缎三疋纱五疋䌷九疋共价九十两问缎纱䌷各价几何法先以缎二疋纱六疋䌷八疋共价八十四两列于上缎一疋纱四疋䌷七疋共价六十两列于下乃以上缎二疋遍乘下缎一疋纱四疋䌷七疋价银六十两得缎二疋纱八疋䌷十四疋价银一百二十两又以下缎一疋遍乘上缎二疋纱六疋䌷八疋价银八十四两仍得原数两下相较则缎各二疋彼此减尽纱八疋内减六疋余二疋䌷十四疋内减八疋余六疋价银一百二十两内减八十四两余三十六两即为纱二疋䌷六疋价银三十六两也(缎既两下相平而减尽无余则)(所余纱二疋䌷六疋价银三十六两即为相当之数葢一百二十两内减去八)(十四两即减去缎二疋纱六疋䌷八疋之共价而所余三十六两为纱二疋䌷)(六疋之共价也)次以缎一疋纱四疋䌷七疋价银六十两列于上缎三疋纱五疋䌷九疋价银九十两列于下乃以下缎三疋遍乘上缎一疋纱四疋䌷七疋价银六十两得缎三疋纱十二疋䌷二十一疋价银一百八十两又以上缎一疋遍乘下缎三疋纱五疋䌷九疋价银九十两仍得原数两下相较则缎各三疋彼此减尽纱十二疋内减五疋余七疋䌷二十一疋内减九疋余十二疋价银一百八十两内减九十两余九十两即为纱七疋䌷十二疋价银九十两也(缎既两下相平)(而减尽无余则所余纱七疋䌷十二疋价银九十两即为相当之数葢一百八)(十两内减九十两即减缎三疋纱五疋䌷九疋之共价而所余九十两为纱七)(疋䌷十二疋之共价也)于是将两次所得之余作二色方程算之其纱二疋䌷六疋价银三十六两列于上纱七疋䌷十二疋价银九十两列于下以下纱七疋遍乗上纱二疋䌷六疋价银三十六两得纱十四疋䌷四十二疋价银二百五十二两以上纱二疋遍乗下纱七疋䌷十二疋价银九十两得纱十四疋䌷二十四疋价银一百八十两两下相较则纱各十四疋彼此减尽䌷四十二疋内减二十四疋余十八疋价银二百五十二两内减一百八十两余七十二两爰以余䌷十八疋除余银七十二两得四两即䌷每疋之价以䌷六疋乗之得二十四两为䌷六疋之共价于纱䌷共价三十六两内减二十四两余十二两为纱二疋之共价以纱二疋除之得六两即纱每疋之价也以缎二疋纱六疋䌷八疋共价八十四两计之则纱六疋共价三十六两䌷八疋共价三十二两纱䌷共价为六十八两于共价八十四两内减六十八两余十六两为缎二疋之共价以缎二疋除之得八两即缎每疋之价也设如有上中下三等人户纳粮上等五户中等十二户下等三户共纳粮一石二斗六升又上等四户二等二户共纳粮五斗二升又中等二十户下等二十五户共纳粮一石五斗问上中下三等每户各纳粮几何法先以上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升列于上上等四户(因无中等故作空位以存其分余仍对位列之)下等二户纳粮五斗二升列于下乃以下层上等四户遍乗上层上等五户中等十二户下等三户纳粮一石二斗六升得上等二十户中等四十八户下等十二户纳粮五石零四升又以上层上等五户遍乗下层上等四户下等二户纳粮五斗二升得上等二十户下等十户纳粮二石六斗两下相较则上等各二十户彼此减尽中等四十八户无可减仍得四十八户下等十二户内减十户余二户纳粮五石零四升内减二石六斗余二石四斗四升即为中等四十八户下等二户共纳粮二石四斗四升也(上等既两下相平而)(减尽无余则所余中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升即为相当之)(数葢五石零四升内减二石六斗即减去上等二十户下等十户之共粮数而)(所余二石四斗四升为中等四十八户下等二户之共粮数也)既得中等四十八户下等二户之二色则中等二十户下等二十五户亦即为二色故即作二色方程算之其中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升列于上中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗列于下乃以上层中等四十八户遍乗下层中等二十户下等二十五户纳粮一石五斗得中等九百六十户下等一千二百户纳粮七十二石又以下层中等二十户遍乘上层中等四十八户下等二户纳粮二石四斗四升得中等九百六十户下等四十户纳粮四十八石八斗两下相较则中等各九百六十户彼此减尽下等一千二百户内减四十户余一千一百六十户纳粮七十二石内减四十八石八斗余二十三石二斗爰以所余下等一千一百六十户除余粮二十三石二斗得二升即下等每户纳粮之数以下等二户乘之得四升为下等二户纳粮之共数于中等下等共纳粮二石四斗四升内减四升余二石四斗为中等四十八户纳粮之共数以中等四十八户除之得五升即中等每户纳粮之数以上等四户下等二户共纳粮五斗二升计之(因无中户故省一次)则下等二户共纳粮四升于五斗二升内减四升余四斗八升为上等四户纳粮之共数以上等四户除之得一斗二升即上等每户纳粮之数也设如有银赏四等人各不知数只云一等一人二等二人三等三人四等四人共赏银三十两又一等二人二等三人三等四人四等五人共赏银四十四两又一等四人二等五人三等七人四等八人共赏银七十七两又一等六人二等五人三等四人四等二人共赏银六十六两问每等人各赏银几何法先以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两列于上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于下乃以下一等二人遍乗上一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两得一等二人二等四人三等六人四等八人共银六十两又以上一等一人遍乗下一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两仍得原数两下相较则一等各二人彼此减尽二等两下相减余一人三等两下相减余二人四等两下相减余三人共银两下相减余一十六两即二等一人三等二人四等三人共银十六两也(葢六十两内减四十四两即减去一等二人二等三人三等四人四)(等五人之共银数故所余之十六两为二等一人三等二人四等三人之共银)(数也)次以一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两列于上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于下乃以下一等四人遍乗上一等二人二等三人三等四人四等五人共银四十四两得一等八人二等十二人三等十六人四等二十人共银一百七十六两又以上一等二人遍乗下一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等八人二等十人三等十四人四等十六人共银一百五十四两两下相较则一等各八人彼此减尽二等两下相减余二人三等两下相减余二人四等两下相减余四人共银两下相减余二十二两即二等二人三等二人四等四人共银二十二两也(葢一百七十六两内减一百五十四两即减去一等八人)(二等十人三等十四人四等十六人之共银数故所余之二十二两为二等二)(人三等二人四等四人之共银数也)次以一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两列于上一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两列于下乃以下一等六人遍乘上一等四人二等五人三等七人四等八人共银七十七两得一等二十四人二等三十人三等四十二人四等四十八人共银四百六十二两又以上一等四人遍乘下一等六人二等五人三等四人四等二人共银六十六两得一等二十四人二等二十人三等十六人四等八人共银二百六十四两两下相较则一等各二十四人彼此减尽二等两下相减余十人三等两下相减余二十六人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百九十八两即二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两也(葢四百六)(十二两内减二百六十四两即减去一等二十四人二等二十人三等十六人)(四等八人之共银数故所余之一百九十八两为二等十人三等二十六人四)(等四十人之共银数也)于是将三次所得之余作三色方程算之先以二等一人三等二人四等三人共银十六两列于上二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于下乃以下二等二人遍乗上二等一人三等二人四等三人共银十六两得二等二人三等四人四等六人共银三十二两又以上二等一人遍乗下二等二人三等二人四等四人共银二十二两仍得原数两下相较则二等各二人彼此减尽三等两下相减余二人四等两下相减余二人共银两下相减余十两即三等二人四等二人共银十两也(葢三十二两内减二十二两即减去二等二人三等二人四等四人)(之共银数故所余之十两为三等二人四等二人之共银数也)次以二等二人三等二人四等四人共银二十二两列于上二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两列于下乃以下二等十人遍乗上二等二人三等二人四等四人共银二十二两得二等二十人三等二十人四等四十人共银二百二十两又以上二等二人遍乗下二等十人三等二十六人四等四十人共银一百九十八两得二等二十人三等五十二人四等八十人共银三百九十六两两下相较则二等各二十人彼此减尽三等两下相减余三十二人四等两下相减余四十人共银两下相减余一百七十六两即三等三十二人四等四十人共银一百七十六两也(葢三百九十六两内减二百二十两即减去二等二十人三等二十人四等四)(十人之共银数故所余之一百七十六两为三等三十二人四等四十人之共)(银数也此间两层相减虽下层数多于上层然俱系反减故不用变号)于是又将两次所得之余作二色方程算之其三等二人四等二人共银十两列于上三等三十二人四等四十人共银一百七十六两列于下乃以下三等三十二人遍乗上三等二人四等二人共银十两得三等六十四人四等六十四人共银三百二十两又以上三等二人遍乗下三等三十二人四等四十人共银一百七十六两得三等六十四人四等八十人共银三百五十二两两下相较则三等各六十四人彼此减尽四等两下相减余十六人共银两下相减余三十二两即四等十六人之共银数以四等十六人除之得二两即四等每一人所应得之数也以四等二人因之得四两为四等二人之共银数于三等二人四等二人共银十两内减之余六两为三等二人之共银数以三等二人除之得三两即三等每一人所应得之数也以二等一人三等二人四等三人共银十六两计之则三等二人应得六两四等三人应得六两共十二两于共银十六两内减之余四两即二等每一人所应得之数也再以一等一人二等二人三等三人四等四人共银三十两计之则二等二人应得八两三等三人应得九两四等四人应得八两共二十五两于共银三十两内减之余五两即一等每一人所应得之数也较数类设如砚七方比笔三枝价多四百八十文又砚三方比笔九枝价少一百八十文问砚笔价各若干法以砚七为正笔三为负价多四百八十文为正(多为砚比笔之所多与砚同类故亦为正)列于上又以砚三为正笔九为负价少一百八十文为负(少为砚比笔之所少即为笔比砚之所多与笔同类故亦)(为负)列于下乃以下砚三遍乘上砚七笔三价多四百八十文得砚二十一为正笔九为负价多一千四百四十文为正又以上砚七遍乗下砚三笔九价少一百八十文得砚二十一为正笔六十三为负价少一千二百六十文为负两下相较则砚各二十一彼此减尽笔九枝与六十三枝两层皆负故相减余五十四枝价多一千四百四十文与少一千二百六十文一正一负故相加得二千七百文乃笔五十四枝之共价以减余笔五十四除之得五十文即笔每一枝之价以三因之得一百五十文为笔三枝之共价与砚多四百八十文相加得六百三十文为砚七方之共价以砚七除之得九十文即砚每一方之价也此法用互乗则上层为砚二十一方比笔九枝价多一千四百四十文下层为砚二十一方比笔六十三枝价少一千二百六十文夫砚既皆二十一方则其共价必相等然比笔九枝之价则多比笔六十三枝之价则少是多与少相加之二千七百文即笔九枝与笔六十三枝相差之五十四枝之价也笔五十四枝共价为二千七百文则笔一枝价五十文而笔三枝价为一百五十文矣砚七方比笔三枝价既多四百八十文则于一百五十文加四百八十文共六百三十文即砚七方之共价故以砚七除之得九十文为砚每一方之价也设如有甲丙二马群各不知数只云甲三群比丙二群多一千五百三十匹甲二群与丙七群相等问甲丙每群马数各几何法以甲三群为正丙二群为负多一千五百三十匹为正列于上又以甲二群为正丙七群为负相等作一空位(相等无数)(可列故作一○以存其位)列于下乃以下甲二群遍乗上甲三群丙二群多一千五百三十匹得甲六群仍为正丙四群仍为负多三千零六十匹亦仍为正又以上甲三群遍乗下甲二群丙七群得甲六群仍为正丙二十一群为负相等无可乘亦仍为空位两下相较则甲各六群彼此减尽丙四群与丙二十一群两层皆负故相减余十七群多三千零六十匹与相等无可加减仍得三千零六十匹乃丙十七群之共数以减余丙十七群除之得一百八十匹为丙每群之数七因之得一千二百六十匹为丙七群之共数甲二群既与丙七群相等则一千二百六十匹亦即为甲二群之共数以甲二群除之得六百三十匹即甲每群之数也此法用互乗则上层为甲六群比丙四群多三千零六十匹下层为甲六群与丙二十一群相等甲六群既与丙二十一群相等则丙二十一群比丙四群多三千零六十匹两下各减丙四群则为丙十七群共马三千零六十匹矣丙十七群既为共马三千零六十匹则丙一群得马一百八十匹而丙七群为马一千二百六十匹甲二群既与丙七群相等则一千二百六十匹用甲二群除之得六百三十匹即甲每群之数也设如有钱买桃苹果梨三色各不知价只云桃三个比苹果二个梨二个价多二十四文桃二个梨三个比苹果五个价少十二文桃四个苹果三个比梨八个价多一百零八文问桃苹果梨各价几何法先以桃三为正苹果二梨二为负价多二十四文为正列于上又以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于下乃以下桃二遍乗上桃三苹果二梨二价多工十四文得桃六仍为正苹果四为负梨四为负价多四十八文为正(即桃六比苹果四梨四价多四十八文比原数加二倍)又以上桃三遍乗下桃二苹果五梨三价少十二文得桃六仍为正苹果十五为负梨九为正价少三十六文为负(即桃)(六梨九比苹果十五价少三十六文比原数加三倍)于是任以上层为主两下相较则桃各六彼此减尽苹果两层皆负故相减余十一本层少反减故变负为正且为首一色减尽其次一色即转而为首故亦变负为正梨一正一负故相加得十三仍依本层为负多四十八文与少三十六文相加得八十四文仍依本层为正即为苹果十一比梨十三价多三十四文也(葢桃彼此减尽)(苹果上层少四下层少十五是下层比上层所少为十一即上层比下层多十)(一也梨上层少四下层多九下之所多即上之所少是上层比下层少十三也)(钱上层多四十八文下层少三十六文下之所少即上之所多是上层比下层)(多八十四文也苹果多十一梨少十三钱即多八十四文故为苹果十一比梨)(十三价多八十四文也)复以桃二为正苹果五为负梨三为正价少十二文为负列于上又以桃四苹果三为正梨八为负价多一百零八文为正列于下乃以上桃二遍乗下桃四苹果三梨八价多一百零八文得桃八仍为正苹果六亦仍为正梨十六为负价多二百一十六文为正(即桃八苹果六比梨十六价多二百一十六文比原数加二倍)又以下桃四遍乗上桃二苹果五梨三价少十二文得桃八仍为正苹果二十为负梨十二为正价少四十八文为负(即桃八梨十二)(比苹果二十价少四十八文比原数加四倍)于是仍以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽苹果一正一负故相加得二十六仍依本层为正梨一正一负故相加得二十八仍依本层为负多二百一十六文与少四十八文相加得二百六十四文亦仍依本层为正即为苹果二十六比梨二十八价多二百六十四文也(葢桃彼此减尽苹果)(上层多六下层少二十下之所少即上之所多是上层比下层多二十六也梨)(上层少十六下层多十二下之所多即上之所少是上层比下层少二十八也)(钱上层多二百一十六文下层少四十八文下之所少即上之所多是上层比)(下层多二百六十四文也苹果多二十六梨少二十八钱即多二百六十四文)(故为苹果二十六比梨二十八价多二百六十四文也)爰将两次所得之余作二色方程算之其苹果十一为正梨十三为负价多八十四文为正列于上苹果二十六为正梨二十八为负价多二百六十四文为正列于下乃以上苹果十一遍乘下苹果二十六梨二十八价多二百六十四文得苹果二百八十六为正梨三百零八为负价多二千九百零四文为正(即苹果二百八十六比梨)(三百零八价多二千九百零四文比原数加十一倍)又以下苹果二十六遍乗上苹果十一梨十三价多八十四文得苹果二百八十六为正梨三百三十八为负价多二千一百八十四文为正(即苹果二百八十六比梨三百三十八价多二千一百八)(十四文比原数加二十六倍)两下相较则苹果各二百八十六彼此减尽梨两层皆负故相减余三十两多数相同故亦相减余七百二十文乃梨三十之共价(葢苹果皆二百八十)(六则其共价必相等然比梨三百三十八之价则多二千一百八十四文比梨)(三百零八之价则多二千九百零四文是两多相差之七百二十文即梨相差)(三十之共价也)以梨三十除之得二十四文即梨每个之价以梨十三乗之得三百一十二文为梨十三之共价苹果十一既比梨十三价多八十四文则于三百一十二文加八十四文得三百九十六文为苹果十一之共价以十一除之得三十六文即苹果每个之价以桃三比苹果二梨二价多二十四文计之则梨二价四十八文苹果二价七十二文共价一百二十文加桃三多二十四文共一百四十四文即为桃三之共价以三除之得四十八文即桃每个之价也设如有银买铜锡铅铁各不知价只云铜三斤比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱又铜二斤铅一斤比锡二斤铁二斤价多二钱又铜一斤锡二斤与铅三斤铁八斤价相等又铜五斤铁三十斤比锡四斤铅二十四斤价少二钱问铜锡铅铁各价几何法先以铜三斤为正锡二斤铅二斤铁四斤俱为负价多一钱为正列于上又铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于下乃以下铜二斤遍乗上铜三斤锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱得铜六斤为正锡四斤铅四斤铁八斤俱为负价多二钱为正又以上铜三斤遍乗下铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱得铜六斤为正锡六斤为负铅三斤为正铁六斤为负价多六钱为正于是以上层为主两下相较则铜各六斤彼此减尽锡两层皆负故相减余二斤本层少乃变负为正铅一正一负故相加得七斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余二斤仍依本层为负价两层皆正故亦相减余四钱本层少乃变正为负即锡二斤比铅七斤铁二斤价少四钱也(葢铜彼此减尽锡上层少四斤下层少六斤是下层比上层所少为二斤即上)(层比下层多二斤也铅上层少四斤下层多三斤下之所多即上之所少是上)(层比下层少七斤也铁上层少八斤下层少六斤是上层比下层所少为二斤)(也价上层多二钱下层多六钱是下层比上层所多为四钱即上层比下层少)(四钱也锡多二斤铅少七斤铁少二斤价即少四钱故为锡二斤比铅七斤铁)(二斤价少四钱也)次以铜二斤为正锡二斤为负铅一斤为正铁二斤为负价多二钱为正列于上又铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于下乃以下铜一斤遍乗上铜二斤锡二斤铅一斤铁二斤价多二钱仍得原数又以上铜二斤遍乗下铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜二斤锡四斤仍为正铅六斤铁十六斤仍为负相等无可乗仍为空位于是以上层为主两下相较则铜各二斤彼此减尽锡一正一负故相加得六斤仍依本层为负铅一正一负故亦相加得七斤仍依本层为正铁两层皆负故相减余十四斤本层少乃变负为正价多二钱与相等无可加减仍得二钱为正即铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱也(葢铜彼此减尽锡上层少二斤)(下层多四斤下之所多即上之所少是上层比下层少六斤也铅上层多一斤)(下层少六斤下之所少即上之所多是上层比下层多七斤也铁上层少二斤)(下层少十六斤是下层比上层所少为十四斤即上层比下层多十四斤也铅)(多七斤铁多十四斤锡少六斤而价即多二钱故为铅七斤铁十四斤比锡六)(斤价多二钱也)因首色铜数减尽则锡即转而为首应为正今锡六斤为负则重列三色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将锡六斤变负为正而以铅七斤铁十四斤价多二钱俱变正为负葢原铅七斤铁十四斤比锡六斤价多二钱今变为锡六斤比铅七斤铁十四斤价少二钱也(若以下层为主则相加应依下层为正即不用变)次以铜一斤锡二斤为正铅三斤铁八斤为负相等作一空位列于上又铜五斤为正锡四斤铅二十四斤为负铁三十斤为正价少二钱为负列于下乃以下铜五斤遍乗上铜一斤锡二斤铅三斤铁八斤得铜五斤锡十斤为正铅十五斤铁四十斤为负相等无可乗仍为空位又以上铜一斤遍乗下铜五斤锡四斤铅二十四斤铁三十斤价少二钱仍得原数于是以上层为主两下相较则铜各五斤彼此减尽锡一正一负故相加得十四斤仍依本层为正铅两层皆负故相减余九斤本层少乃变负为正铁一正一负故相加得七十斤仍依本层为负价少二钱与相等无可加减仍得二钱本层无数乃变负为正即锡十四斤铅九斤比铁七十斤价多二钱也(葢铜彼此减尽锡上层多十斤下层少四斤下之所少即上之所多是上层比)(下层多十四斤也铅上层少十五斤下层少二十四斤是下层比上层所少为)(九斤即上层比下层多九斤也铁上层少四十斤下层多三十斤下之所多即)(上之所少是上层比下层少七十斤也价下层少二钱即上层多二钱也锡多)(十四斤铅多九斤铁少七十斤价即多二钱故为锡十四斤铅九斤比铁七十)(斤价多二钱也)爰将三次所得之余作三色方程算之先以锡二斤为正铅七斤铁二斤价少四钱俱为负列于上又锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于下乃以下锡六斤遍乗上锡二斤铅七斤铁二斤价少四钱得锡十二斤为正铅四十二斤铁十二斤价少二两四钱俱为负又以上锡二斤遍乗下锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡十二斤为正铅十四斤铁二十八斤价少四钱俱为负于是以上层为主两下相较则锡各十二斤彼此减尽铅两层皆负故相减余二十八斤仍依本层为负铁两层皆负故亦相减余十六斤本层少乃变负为正价两层皆负故亦相减余二两仍依本层为负即铁十六斤比铅二十八斤价少二两也(葢锡彼此减尽)(铅上层少四十二斤下层少十四斤是上层比下层所少为二十八斤也铁上)(层少十二斤下层少二十八斤是下层比上层所少为十六斤即上层比下层)(多十六斤也价上层少二两四钱下层少四钱是上层比下层所少为二两也)(铁多十六斤铅少二十八斤价即少二两故为铁十六斤比铅二十八斤价少)(二两也)次以锡六斤为正铅七斤铁十四斤价少二钱俱为负列于上又锡十四斤铅九斤为正铁七十斤为负价多二钱为正列于下乃以下锡十四斤遍乗上锡六斤铅七斤铁十四斤价少二钱得锡八十四斤为正铅九十八斤铁一百九十六斤价少二两八钱俱为负又以上锡六斤遍乗下锡十四斤铅九斤铁七十斤价多二钱得锡八十四斤铅五十四斤为正铁四百二十斤为负价多一两二钱为正于是以上层为主两下相较则锡各八十四斤彼此减尽铅一正一负故相加得一百五十二斤仍依本层为负铁两层皆负故相减余二百二十四斤本层少乃变负为正价一正一负故相加得四两仍依本层为负即铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也(葢锡彼此减尽铅上层少九十八斤下层多五)(十四斤下之所多即上之所少是上层比下层少一百五十二斤也铁上层少)(一百九十六斤下层少四百二十斤是下层比上层所少为二百二十四斤即)(上层比下层多二百二十四斤也价上层少二两八钱下层多一两二钱下之)(所多即上之所少是上层比下层少四两也铁多二百二十四斤铅少一百五)(十二斤价即少四两故为铁二百二十四斤比铅一百五十二斤价少四两也)爰将两次所得之余作二色方程算之其所余铅两首色俱为负是为同号可以互乗减尽故不变其号即将铅二十八斤为负铁十六斤为正价少二两为负列于上又铅一百五十二斤为负铁二百二十四斤为正价少四两为负列于下乃以下铅一百五十二斤遍乗上铅二十八斤铁十六斤价少二两得铅四千二百五十六斤为负铁二千四百三十二斤为正价少三百零四两为负又以上铅二十八斤遍乗下铅一百五十二斤铁二百二十四斤价少四两得铅四千二百五十六斤为负铁六千二百七十二斤为正价少一百一十二两为负两下相较则铅各四千二百五十六斤彼此减尽铁两层皆正故亦相减余三千八百四十斤价两层皆负故亦相减余一百九十二两即铁三千八百四十斤之共价以铁三千八百四十斤除之得五分即铁每一斤之价也以铁十六斤乗之得八钱为铁十六斤之共价铁十六斤既比铅二十八斤价少二两则加二两得二两八钱为铅二十八斤之共价以铅二十八斤除之得一钱即铅每一斤之价也以锡六斤比铅七斤铁十四斤价少二钱计之则铅七斤价七钱铁十四斤价亦七钱共一两四钱锡六斤既比铅七斤铁十四斤价少二钱则减二钱余一两二钱为锡六斤之共价以锡六斤除之得二钱即锡每一斤之价也再以铜三斤比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱计之则锡二斤价四钱铅二斤价二钱铁四斤价二钱共八钱铜三斤既比锡二斤铅二斤铁四斤价多一钱则加一钱共九钱为铜三斤之共价以铜三斤除之得三钱即铜每一斤之价也和较兼用类设如有大小二石不知其重只云二大石比七小石少三十斤三大石二小石共三百三十斤问大小石各重几何法以大石二为正小石七为负少三十斤为负列于上大石三小石二共重三百三十斤列于下乃以上大石二遍乗下大石三小石二重三百三十斤得大石六小石四共重六百六十斤又以下大石三遍乗上大石二小石七少三十斤得大石六仍为正小石二十一仍为负少九十斤亦仍为负两下相较则大石各六彼此减尽小石四加小石二十一得小石二十五六百六十斤加九十斤得七百五十斤乃小石二十五之共数以小石二十五除之得三十斤即一小石之重数以二因之得六十斤为二小石之共数于大小石共重三百三十斤内减之余二百七十斤为三大石之共数以三除之得九十斤即一大石之重数也此法葢因三大石二小石共重三百三十斤为和数皆一类为正故不用正负之号遇正则为同类相减遇负则为异类相加相加之后仍为和数者以其依本层之号故亦不用正号葢六大石四小石共重六百六十斤而六大石比二十一小石少九十斤则加九十斤即六大石与二十一小石等矣故小石二十五共重七百五十斤以二十五除之而得一小石之重数也既得小石之重数则于和数共重三百三十斤内减二小石重六十斤余为三大石之共数若于较数七小石之共重二百一十斤内减少三十斤所余即为二大石之共数既得三大石或二大石之共数乃以大石数除之即得一大石之重数矣设如有米用牛马骡三色载之各不知数只云牛二马三骡四共载八石马三骡三与牛三所载相等牛四马一比骡八所载多三石问各载几何法先以牛二马三骡四共米八石列于上次以牛三为正马三骡三为负相等作一空位列于下(题言马三骡三比牛三则马骡应为正牛)(应为负因列法以牛为首故以牛为正马骡为负即牛三比马三骡三相等其)(理一也)乃以上牛二遍乘下牛三马三骡三得牛六仍为正马六骡六仍为负又以下牛三遍乗上牛二马三骡四共载八石得牛六马九骡十二共载二十四石于是以下层为主两下相较(若以上层为主)(则相加数皆为负况首色减尽二色即转而为首即变负为正故不若以下层)(为主而皆为正也)则牛各六彼此减尽马九加马六得马十五(因依本层为和数故不用号)骡十二加骡六得骡十八二十四石无可加减仍为二十四石即马十五骡十八共载二十四石也(葢牛六马九骡十二共载二十四石而牛六与马六)(骡六相等则将本层牛六变为马六骡六矣故为马十五骡十八共载二十四)(石也)次以牛三为正马三骡三为负相等作一空位列于上牛四马一为正骡八为负多三石为正列于下乃以上牛三遍乗下牛四马一骡八多三石得牛十二为正马三亦为正骡二十四为负多九石为正又以下牛四遍乗上牛三马三骡三得牛十二为正马十二为负骡十二为负于是以上层为主两下相较则牛各十二彼此减尽马一正一负故相加得十五仍依本层为正骡两层皆负故相减余十二仍依本层为负九石无可加减仍为九石依本层为正即马十五比骡十二所载多九石也(葢牛彼此减尽)(马上层多三下层少十二是上层比下层多十五也骡上层少二十四下层少)(十二是上层比下层所少为十二也马多十五骡少十二而米即多九石故为)(马十五比骡十二所载多九石也)爰将两次所得之余如和较兼用二色方程法算之其马十五骡十八共米二十四石列于上又马十五为正骡十二为负多米九石为正列于下因首色皆为十五两数齐同即不用互乘两下相较则马各十五彼此减尽骡十八加骡十二得三十米二十四石减九石余十五石乃骡三十共载之数以三十除之得五斗即为每一骡所载之数以骡十二乗之得六石为骡十二共载之数加马十五之多九石得十五石即为马十五共载之数以马十五除之得一石为每一马所载之数以牛三与马三骡三相等计之则马三应载三石骡三应载一石五斗共四石五斗以牛三除之得一石五斗即为每一牛所载之数也设如有银买绫罗绢三色各不知价只云绫一疋罗二疋绢四疋共价七两四钱又绫二疋绢八疋比罗四疋多六两八钱又绫三疋比罗六疋绢七疋少一两二钱问各价几何法先以绫一罗二绢四共银七两四钱列于上(和数皆为正不用号)又绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于下乃以下绫二遍乗上绫一罗二绢四共银七两四钱得绫二罗四绢八共银十四两八钱又以上绫一遍乗下绫二罗四绢八多六两八钱仍得原数于是以上层为主两下相较则绫各二彼此减尽罗一正一负故相加得罗八依本层为正绢两层皆正故相减恰尽价两层皆正亦相减余八两乃罗八疋之共价(葢绫彼此减尽绢亦减尽惟罗上层多四疋下层少四疋是上层比下层多八)(疋而价即多八两故为罗八疋之共价也)以罗八除之得一两即为罗每一疋之价也次以绫二为正罗四为负绢八为正多六两八钱为正列于上又绫三为正罗六为负绢七为负少一两二钱为负列于下乃以下绫三遍乗上绫二罗四绢八多六两八钱得绫六为正罗十二为负绢二十四为正多二十两四钱为正又以上绫二遍乗下绫三罗六绢七少一两二钱得绫六为正罗十二为负绢十四为负少二两四钱为负于是以上层为主两下相较则绫各六彼此减尽罗两层皆负亦减尽绢一正一负故相加得三十八银一正一负故相加得二十二两八钱乃绢三十八疋之共价(葢绫彼此减尽罗亦减尽绢上)(层多二十四疋下层少十四疋是上层比下层多三十八疋也银上层多二十)(两四钱下层少二两四钱是上层比下层多二十二两八钱也绢多而银亦多)(故为绢之共价也)以绢三十八除之得六钱即绢每一疋之价也以绫一罗二绢四共价七两四钱计之则罗二疋应价二两绢四疋应价二两四钱共四两四钱于共价七两四钱内减之余三两即绫每一疋之价也此法互乗相减之后即得一法一实故省重列二色若物与价俱各减尽者则此层必为彼层之几倍与少一层者同是为少一行不可算也和较交变类设如有琴瑟筝三种乐器各不知价但知琴一张瑟三张筝三张共价九十两又琴一张瑟二张筝五张共价八十八两又琴三张瑟八张筝五张共价二百二十两问琴瑟筝每张各价几何法先以琴一瑟三筝三共银九十两列于上又琴一瑟二筝五共银八十八两列于下(因和数皆为正故不用号)因首色皆为一故省互乗即以上层为主两下相较则琴各一彼此减尽瑟两下相减余一本层多仍为正筝两下相减余二本层少变正为负银九十两减八十八两余二两本层多亦仍为正即瑟一比筝二价多二两也(葢两层琴各一张其价必相等但上层多瑟一张下层多筝二)(张则上层多银二两即瑟一比筝二所多之价也)次以琴一瑟二筝五共银八十八两列于上又琴三瑟八筝五共银二百二十两列于下乃以下琴三遍乗上琴一瑟二筝五共银八十八两得琴三瑟六筝十五共银二百六十四两又以上琴一遍乗下琴三瑟八筝五共银二百二十两仍得原数于是以上层为主两下相较则琴各三彼此减尽瑟两下相减余二本层少变正为负筝两下相减余十本层多仍为正银二百六十四两减二百二十两余四十四两本层多亦仍为正即筝十比瑟二价多四十四两也(葢两层琴各三张其价必相等)(但上层多筝十张下层多瑟二张则丄层多银四十四两即筝十张比瑟二张)(所多之价也)因首色减尽则瑟转而为首应为正今瑟为负重列二色之际不能一体须俱变其号然后为顺故将瑟二变负为正而以筝十与价多四十四两俱变正为负葢原筝十比瑟二多四十四两今变为瑟二比筝十少四十四两也(若以下层为主则本层多即得瑟二为正不用变号)爰将两次所得之余如较数二色方程算之其瑟一为正筝二为负多二两为正列于上瑟二为正筝十为负少四十四两为负列于下乃以下瑟二遍乗上瑟一筝二多二两得瑟二仍为正筝四为负多四两为正又以上瑟一遍乘下瑟二筝十少四十四两仍得原数两下相较则瑟各二彼此减尽筝两层皆负故相减余六多四两与少四十四两相加得四十八两即筝六张之共价也(葢瑟皆为二张则其共价必相)(等然比筝四张之价则多比筝十张之价则少是多少相加之四十八两即筝)(十与筝四相差六张之价也)乃以筝六除银四十八两得八两为筝毎张之价以筝十因之得八十两为筝十张之共价瑟二张既比筝十张少四十四两则于八十两内减四十四两余三十六两即为瑟二张之共价以瑟二除之得十八两为瑟毎张之价以琴一瑟三筝三共银九十两计之则瑟三价五十四两筝三价二十四两共七十八两于共银九十两内减之余十二两即琴毎一张之价也设如有古量斛庾釜三种盛米各数不同只云三斛二釜比二庾多一石零八升又二斛比三庾五釜少六石又一斛一庾比二釜多一石三斗二升问斛庾釡各盛米若干法先以斛三为正庾二为负釜二为正多一石零八升为正列于上又斛二为正庾三釜五为负少六石亦为负列于下乃以下斛二遍乗上斛三庾二釜二多一石零八升得斛六仍为正庾四为负釜四为正多二石一斗六升亦为正又以上斛三遍乗下斛二庾三釜五少六石得斛六仍为正庾九釜十五俱为负少十八石亦为负于是以上层为主两下相较则斛各六彼此减尽庾两层皆负故相减余五本层少乃变负为正釡一正一负故相加得十九仍依本层为正多二石一斗六升与少十八石相加得二十石一斗六升仍依本层为正即五庾十九釡共二十石一斗六升也(葢斛彼此减尽庾上层少四下层少九是下层比上层所少为五即上层比下)(层多五也釜上层多四下层少十五是上层比下层多十九也米上层多二石)(一斗六升下层少十八石是上层比下层多二十石一斗六升也庾釜多则米)(亦多故为五庾十九釜共二十石一斗六升也)次以斛二为正庾三釡五与少六石俱为负列于上又斛一庾一为正釜二为负多一石三斗二升为正列于下乃以上斛二遍乗下斛一庾一釡二多一石三斗二升得斛二庾二为正釡四为负多二石六斗四升为正又以下斛一遍乗上斛二庾三釜五少六石仍得原数于是以上层为主两下相较则斛各二彼此减尽庾一正一负故相加得五仍依本层为正釜两层皆负故相减余一本层少乃变负为正多二石六斗四升与少六石相加得八石六斗四升仍依本层为正即五庾一釜共八石六斗四升也(葢斛彼此减尽庾上)(层多二下层少三是上层比下层多五也釜上层少四下层少五是下层比上)(层所少为一即上层比下层多一也米上层多二石六斗四升下层少六石是)(上层比下层多八石六斗四升也庾釜多而米亦多故为五庾一釡共八石六)(斗四升也)爰以两次所得之余如和数二色方程算之其庾五釜十九共二十石一斗六升列于上庾五釡一共八石六斗四升列于下(变为和数故不用号)夫首数皆为五则省互乗两下相较庾各五彼此减尽釡十九减一余十八米二十石一斗六升减八石六斗四升余十一石五斗二升即为釜十八所盛之共数以十八除之得六斗四升为毎一釜所盛之数于八石六斗四升内减之余八石为庾五所盛之共数以五除之得一石六斗为毎一庾所盛之数以斛三釡二比庾二多一石零八升计之则庾二应三石二斗加多一石零八升得四石二斗八升即为斛三釜二之共数减釡二之一石二斗八升余三石为斛三所盛之共数以三除之得一石为每一斛所盛之数也设如用船车驼运粮各不知数只云三船比七车一驼少三十三石六斗二车比一船十二驼少二十一石六斗八驼比一船三车少二十一石六斗问船车驼各载几何法先以船三为正车七驼一与少三十三石六斗俱为负列于上又船一改为正车二改为负驼十二亦改为正少二十一石六斗改为多二十一石六斗亦为正列于下(葢二车比一船十二驼少二十一石六斗即一船十)(二驼比二车多二十一石六斗也)乃以上船三遍乗下船一车二驼十二多二十一石六斗得船三为正车六为负驼三十六为正多六十四石八斗为正又以下船一遍乗上船三车七驼一少三十三石六斗仍得原数于是以上层为主两下相较则船各三彼此减尽车两层皆负故相减余一本层少乃变负为正驼一正一负故相加得三十七仍依本层为正多六十四石八斗与少三十三石六斗相加得九十八石四斗亦依本层为正即车一驼三十七共载九十八石四斗也(葢船)(彼此减尽车上层少六下层少七是下层比上层所少为一即上层比下层多)(一也驼上层多三十六下层少一是上层比下层多三十七也粮上层多六十)(四石八斗下层少三十三石六斗是上层比下层多九十八石四斗也车多驼)(多则粮亦多故九十八石四斗为车一驼三十七之共数也)次以船一为正车二为负驼十二为正多二十一石六斗为正列于上又船一车三俱改为正驼八改为负少二十一石六斗改为多二十一石六斗为正列于下(葢八)(驼比一船三车少二十一石六斗即一船三车比八驼多二十一石六斗也)首数皆一故省互乘即以上层为主两下相较则船各一彼此减尽车一正一负故相加得五仍依本层为负驼一正一负故亦相加得二十仍依本层为正粮两层皆正相减恰尽即为驼二十与车五相等今车应转为首色为正故重列之际须俱变其号以车变负为正驼变正为负即为车五与驼二十相等也(葢两下相较船数相等上层少车二下层多车三上之所少即下之所多是下)(层多车五上层多驼十二下层少驼八下之所少即上之所多是上层多驼二)(十今既两下粮数相等则为车五与驼二十相等矣)爰以两次所得之余如和较兼用二色方程算之其车一驼三十七共粮九十八石四斗列于上(因为和数故不用号)又车五为正驼二十为负列于下(粮两下相等故无数可列仍作空以存其位)乃以下车五遍乗上车一驼三十七共粮九十八石四斗得车五驼一百八十五共粮四百九十二石又以上车一遍乗下车五驼二十仍得原数两下相较则车各五彼此减尽驼一百八十五加驼二十得二百零五粮止一层无数可加减仍得四百九十二石即驼二百零五所载之共数也以驼二百零五除之得二石四斗为每一驼所载之数以二十乗之得四十八石为驼二十所载之共数车五既与之相等即以车五除之得九石六斗即为每一车所载之数以三船比七车一驼少三十三石六斗计之则一驼应二石四斗七车应六十七石二斗共六十九石六斗减三船少三十三石六斗余三十六石为三船所载之共数以三除之得十二石为毎一船所载之数也设如有钱买瓜桃榴梨四色只云瓜二桃四共价一百五十六文瓜一梨八共价一百二十六文桃二榴七共价一百六十文榴四梨七共价一百四十八文问瓜桃榴梨各价几何法先以瓜二桃四共价一百五十六文列于上(因题有四色而此行无榴梨乃各作空位以存其分余俱照式)(对位列之)又以瓜一梨八共价一百二十六文列于下(因为和数故不用号)乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共价一百二十六文得瓜二梨十六共价二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共价一百五十六文仍得原数于是以下层为主两下相较则瓜各二彼此减尽桃四无可减仍为四依本层为正榴仍为空位梨十六无可减仍为十六本层无数乃变正为负价二百五十二文内减一百五十六文余九十六文本层少乃变正为负即为桃四比梨十六价少九十六文也(葢瓜皆为二则其共价必相等然上层有梨十六则共价二百五十二文下层)(有桃四则共价一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之)(价也)至是瓜既已减尽但余三色即变四色为三色而以桃为首对位列之是以桃四为正(此行无榴数故仍作空位以存其分余俱对位列之)梨十六为负少九十六文为负列于上桃二榴七共价一百六十文列于下(因为和数)(故不用号)乃以上桃四遍乗下桃二榴七共价一百六十文得桃八榴二十八共价六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍为正梨三十二仍为负少一百九十二文为负于是以上层为主两下相较则桃各八彼此减尽榴二十八无可减仍为二十八依本层为正梨三十二无可加仍为三十二本层无数乃变负为正六百四十文与少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本层为正即榴二十八梨三十二共价八百三十二文也(葢桃彼此)(减尽上层多榴二十八下层少梨三十二即上层多梨三十二故多与少相差)(之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共价也)至是桃又减尽但余二色即变三色为二色而以榴为首对位列之是以榴二十八梨三十二共价八百三十二文列于上榴四梨七共价一百四十八文列于下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共价一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共价四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共价八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共价三千三百二十八文两下相较则榴各一百一十二彼此减尽梨两下相减余六十八价两下相减余八百一十六文即梨六十八之共价也以梨六十八除之得十二文为梨每个之价以七因之得八十四文为梨七之共价于榴梨共价一百四十八文内减之余六十四文为榴四之共价以四除之得十六文即榴毎个之价以桃二榴七共价一百六十文计之则榴七应价一百一十二文于桃榴共价一百六十文内减之余四十八文为桃二之共价以二除之得二十四文为桃每个之价再以瓜二桃四共价一百五十六文计之则桃四应价九十六文于桃瓜共价一百五十六文内减之余六十文为瓜二之共价以二除之得三十文即瓜毎个之价也附法设如有石二块大小不等不知重数只有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条一头离提系五分而以小石作砣称之离提系得六分始平又将小石挂在铜条一头离提系五分而以大石作砣称之离提系得四分始平问大小二石各重几何法先以五分加一倍与十二分相较余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分作二两为三率得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也爰将二两四钱以大石离提系五分因之得十二两为五大石比六小石所多之数(大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五)(分也若五大石六小石则各得三十分其重始等然五分之一端应加二两四)(钱是大石重六分尚多二两四钱也若五大石则多十二两矣故为五大石比)(六小石多十二两也)又将二两四钱以小石离提系五分因之亦得十二两为四大石比五小石所少之数(小石离提系五分大石离提系四分而平)(是小石重四分大石重五分也若五小石四大石则各得二十分其重始等然)(五分之一端应加二两四钱是小石重四分尚多二两四钱也若五小石则多)(十二两矣故为五小石比四大石多十二两因以大石为首故变为四大石比)(五小石少十二两也)因作较数方程法算之以大石五为正小石六为负重多十二两为正列于上又大石四为正小石五为负重少十二两为负列于下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二两得大石二十小石二十五少六十两又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二两得大石二十小石二十四多四十八两两下相较则大石各二十彼此减尽小石两层皆负故相减余一重少六十两与多四十八两相加得一百零八两即为一小石之重数以小石六因之得六百四十八两为六小石之共重数加五大石所多十二两得六百六十两为五大石之共重数以五归之得一百三十二两即为一大石之重数也此本叠借互征之法而以方程算之稍为简易焉设如有银一千六百四十两兄弟二人分之各不知数只云兄之四分之一弟之六分之一共三百五十两问兄弟各分银几何法以一千六百四十两为兄四分弟六分之共银数以三百五十两为兄一分弟一分之共银数如和数方程法算之以兄四分弟六分共银一千六百四十两列于上兄一分弟一分共银三百五十两列于下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共银一千六百四十两仍得原数又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共银三百五十两得兄四分弟四分共银一千四百两两下相较则兄各四分彼此减尽弟两下相减余二分银两下相减余二百四十两即弟二分之共银数以弟二分除之得一百二十两为弟一分之银数以弟六分乗之得七百二十两即弟所分之共银数于共银一千六百四十两内减之余九百二十两即兄所分之共银数也(此法用叠借互征算)(之亦可)设如甲乙二人分果不知其数只云甲予乙九枚则乙与甲等乙予甲九枚则一甲与二乙等问甲乙分果各几何法将甲予乙九枚以二因之得一十八枚为一甲比一乙所多之数(葢甲予乙九枚则甲)(与乙等若甲不予乙则甲多九枚乙少九枚是甲比乙多十八枚也)又将乙予甲九枚以三因之得二十七枚为一甲比二乙所少之数(葢乙予甲九枚则一甲与二乙)(等若乙不予甲则乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙少二)(十七枚也)因作较数方程法算之以甲一为正乙一为负多十八枚为正列于上又甲一为正乙二为负少二十七枚为负列于下因甲首色皆为一故不用互乗两下相较则甲各一彼此减尽乙两层皆负故相减余一果一正一负故相加得四十五枚即为乙之果数如甲多十八枚得六十三枚即为甲之果数也若甲与乙九枚则甲余五十四乙亦得五十四是甲与乙相等若乙与甲九枚则乙余三十六甲得七十二是一甲与二乙相等也(此法用叠借互征算之亦可)设如有田二千六百五十亩令上中下三等农夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七亩中等比下等毎人多五亩问上中下三等毎人各耕几何法以二千六百五十亩为和以多七亩多五亩为较如和较兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩列于上(因为和数故不用号)又上等一人为正中等一人为负多七亩为正列于下(无下等则作空以存)(其位)乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十亩仍得原数又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七亩得上等四十人为正中等四十人为负多二百八十亩为正于是以上层为主两下相较则上等各四十人彼此减尽中等五十人加四十人得九十人下等无可加减仍得七十人田二千六百五十亩减二百八十亩余二千三百七十亩即中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩也(因依本层故仍为和数)次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩列于上(因为和数故不用号)又中等一人为正下等一人为负多五亩为正列于下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十亩仍得原数又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五亩得中等九十人为正下等九十人为负多四百五十亩为正两下相较则中等各九十人彼此减尽下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十亩减四百五十亩余一千九百二十亩即下等一百六十人之共数也以下等一百六十人除之得十二亩为下等每人所耕之数加五亩得十七亩为中等毎人所耕之数又加七亩得二十四亩为上等每人所耕之数也(此法本和数比例以方程算之亦可)御制数理精蕴下编卷十
## 下编卷十一
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十一面部一平方带纵平方平方平方者等边四直角之面积也以形而言则为两矩所合以积而言则为自乗之数因其有广无厚故曰平方因其纵横相等故曰正方葢方积面也而其边则线也有线求面则相乗而得积有面求线则开方而得边开之之法略与归除同但归除有法有实而开方则有实而无法故古人立为商除廉隅之制以相求每积二位得边之一位所谓一百一十定无疑一千三十有零余九千九百不离十一万方为一百推是也其法先从一角而剖其幂以自一至九自乗之数为方根与所有之积相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方边止一位若有余实即初商方积外别成一磬折形其附初商之两旁者谓之廉两廉之角所合一小方谓之隅廉有二故倍初商为两廉之共长是为廉法视余积足廉法几倍即是次商隅即次商之自乗故次商为隅法合廉隅而以次商乗之则得两廉一隅之共积所谓初商方积外别成一磬折形者是也故次商为初商所得方边之零如次商数与初商余积相减尚有不尽之实则又成一磬折形而仍为两廉一隅但较前廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照初商之例逐层递析之实尽而止实不尽者必非自乗之正数递析之至于纎尘终有奇零若余实不足廉隅法之数者则方边为空位此开方之定法也面形不一而容积皆以方积为准故平方为算诸面之本诸面必通之方积而后可施其法也设如正方面积三十六尺开方问每一边数几何法列方积三十六尺自末位起算每方积二位定方边一位今积止有二位则于六尺上作记定单位以自一至九自乗之方根数与之相审知与六尺自乗之数恰合乃以六尺书于方积六尺之上而以六尺自乗之三十六尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为六尺也如图甲乙丙丁正方形每边皆六尺其中函一尺小正方三十六自边计之为六尺自乗之积以积开之则与六尺自乗方根之数相准故商除之恰尽也葢方积为二位是以方边止一位方积即六尺自乗之数故无廉隅之可用次商如有余积则自成廉隅而用次商矣设如正方面积一丈四十四尺开方问每一边数几何法列方积一丈四十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于四尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗之正方一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位积四十四尺续书于下(大凢以余积续书于下者每取方积)(之二位以当方边之一位也)为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺倍之得二十尺为廉法以除四十四尺足二尺即定次商为二尺书于方积四尺之上而以次商二尺为隅法与廉法二十尺相加共得二十二尺为廉隅共法书于余积之左以次商二尺乗之得四十四尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆一丈二尺其中函积一丈四十四尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边一丈即初商数其中函正方积一丈即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长十尺即初商数其各阔二尺即次商数廉有二故倍初商为廉法其己壬丙辛一小正方为隅其边二尺亦即次商数故以次商为隅法合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形此廉隅之法所由生也设如正方面积五百二十九尺开方问毎一边数几何(此题正方面积之三位皆以尺命位似与前题分丈尺者不同然其取方积二位续书于下其)(末位即命为单位立算则与丈尺同也)法列方积五百二十九尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于九尺上定单位五百尺上定十位其五百尺为初商积以初商本位计之则五百尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百尺爰以方边第二位积二十九尺续书于下共一百二十九尺为次商廉隅之共积乃以初商之二作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百二十九尺足三尺即定次商为三尺书于方积九尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减恰尽是开得二十三尺为方面每一边之数也如图甲乙丙丁正方形每边皆二十三尺其中函积五百二十九尺是为共积其从一角所分甲庚己戊正方形每边二十尺即初商数其中函积四百尺即初商自乗数所余庚己壬乙戊己辛丁两长方为两廉其各长二十尺即初商数其各阔三尺即次商数其己壬丙辛一小正方为隅其边三尺亦即次商数合两廉一隅成一磬折形附于初商自乗方之两边而成一总正方形也设如正方面积五丈四十七尺五十六寸开方问每一边数几何法列方积五丈四十七尺五十六寸自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记即于六寸上定寸位七尺上定尺位五丈上定丈位其五丈为初商积与二丈自乗之数相准即定初商为二丈书于方积五丈之上而以二丈自乗之四丈书于初商积之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积四十七尺续书于下共一百四十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之二丈作二十尺倍之得四十尺为廉法以除一百四十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以次商三尺为隅法与廉法四十尺相加共得四十三尺为廉隅共法书于余积之左以次商三尺乗之得一百二十九尺与次商廉隅共积相减余一十八尺即一千八百寸复以方边末位积五十六寸续书于下共一千八百五十六寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之二丈三尺作二百三十寸倍之得四百六十寸为廉法以除一千八百五十六寸足四寸即定三商为四寸书于方积六寸之上而以三商四寸为隅法与廉法四百六十寸相加共得四百六十四寸为廉隅共法书于余积之左以三商四寸乗之得一千八百五十六寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得二丈三尺四寸为方面每一边之数也设如正方面积四十五万九千六百八十四尺开方问每一边数几何(此题正方面积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺寸三色)(者不同然其每取方积二位续书于下其末位即命为单位立算仍与丈尺寸同也)法列方积四十五万九千六百八十四尺自末位起算每方积二位定方边一位故隔一位作记乃于四尺上定单位六百尺上定十位五万尺上定百位其四十五万尺为初商积以初商本位计之则五万尺为初商积之单位而四十五万尺为四十五与六自乗之数相准即定初商为六书于方积五万尺之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余九万尺爰以方边第二位积九千六百尺续书于下共九万九千六百尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则六百尺为次商积之单位而九万九千六百尺为九百九十六而初商之六即为六十故以初商之六作六十倍之得一百二十为廉法以除九百九十六足七倍即定次商为七书于方积六百尺之上而以次商七为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十七为廉隅共法书于余积之左以次商七乗之得八百八十九与次商廉隅共积相减余一万零七百尺复以方边末位积八十四尺续书于下共一万零七百八十四尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之六百七十倍之得一千三百四十为廉法以除一万零七百八十四足八倍即定三商为八书于方积四尺之上而以三商八为隅法与廉法一千三百四十相加共得一千三百四十八为廉隅共法书于余积之左以三商八乗之得一万零七百八十四与三商廉隅共积相减恰尽是开得六百七十八尺为方面每一边之数也设如正方面积三十五丈九十一尺六十寸四十九分开方问每一边数几何法列方积三十五丈九十一尺六十寸四十九分自末位起算每隔一位作记即于九分上定分位空寸上定寸位一尺上定尺位五丈上定丈位其三十五丈为初商积与五丈自乗之数相准即定初商为五丈书于方积五丈之上而以五丈自乗之二十五丈书于初商积之下相减余一十丈即一千尺爰以方边第二位积九十一尺续书于下共一千零九十一尺为次商廉隅之共积乃以初商五丈作五十尺倍之得一百尺为廉法以除一千零九十一尺足九尺即定次商为九尺书于方积一丈之上而以次商九尺为隅法与廉法一百尺相加共得一百零九尺为廉隅共法书于余积之左以次商九尺乗之得九百八十一尺与次商廉隅共积相减余一百一十尺即一万一千寸复以方边第三位积六十寸续书于下共一万一千零六十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之五丈九尺作五百九十寸倍之得一千一百八十寸为亷法以除一万一千零六十寸足九寸即定三商为九寸书于方积空寸之上而以三商九寸为隅法与廉法一千一百八十寸相加共得一千一百八十九寸为廉隅共法书于余积之左以三商九寸乗之得一万零七百零一寸与三商廉隅共积相减余三百五十九寸即三万五千九百分复以方边末位积四十九分续书于下共三万五千九百四十九分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之五丈九尺九寸作五千九百九十分倍之得一万一千九百八十分为廉法以除三万五千九百四十九分足三分即定四商为三分书于方积九分之上而以四商三分为隅法与廉法一万一千九百八十分相加共得一万一千九百八十三分为廉隅共法书于余积之左以四商三分乗之得三万五千九百四十九分与四商廉隅共积相减恰尽是开得五丈九尺九寸三分为方面每一边之数也设如正方面积五百八十五万六千四百尺开方问每一边数几何法列方积五百八十五万六千四百尺补二空位以足其分自末空位起算毎隔一位作记于空尺上定单位四百尺上定十位五万尺上定百位五百万尺上定千位其五百万尺为初商积以初商本位计之则五百万尺为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积五百万尺之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余一百万尺爰以方边第二位积八十五万尺续书于下共一百八十五万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则五万尺为次商积之单位而一百八十五万尺为一百八十五而初商之二即为二十故以初商之二作二十倍之得四十为廉法以除一百八十五足四倍即定次商为四书于方积五万尺之上而以次商四为隅法与廉法四十相加共得四十四为㢘隅共法书于余积之左以次商四乗之得一百七十六与次商廉隅共积相减余九万尺复以方边第三位积六千四百尺续书于下共九万六千四百尺为三商㢘隅之共积以三商本位计之则四百为三商积之单位而九万六千四百尺为九百六十四而初商之二即为二百次商之四即为四十故以初商次商之二四作二百四十倍之得四百八十为廉法以除九百六十四足二倍即定三商为二书于方积四百尺之上而以三商二为隅法与㢘法四百八十相加共得四百八十二为廉隅共法书于余积之左以三商二乗之得九百六十四与三商㢘隅共积相减恰尽是开得二千四百二十尺为方面每一边之数也此法方积之末有二空位故所得方边之末亦补一空位凢设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之设如正方面积八十二丈六十二尺八十一寸开方问每一边数几何法列方积八十二丈六十二尺八十一寸自末位起算每隔一位作记于一寸上定寸位于二尺上定尺位于二丈上定丈位其八十二丈为初商积与九丈自乗之数相准即定初商为九丈书于方积二丈之上而以九丈自乗之八十一丈书于方积八十二丈之下相减余一丈即一百尺爰以方边第二位积六十二尺续书于下共一百六十二尺为次商廉隅之共积乃以初商九丈作九十尺倍之得一百八十尺为㢘法以除一百六十二尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积二尺之上以存次商之位复以方边末位积八十一寸续书于下共一百六十二尺八十一寸即一万六千二百八十一寸为三商㢘隅之共积仍以一百八十尺作一千八百寸为㢘法以除一万六千二百八十一寸足九寸即定三商为九寸书于方积一寸之上而以三商九寸为隅法与㢘法一千八百寸相加共得一千八百零九寸为㢘隅共法书于余积之左而以三商九寸乗之得一万六千二百八十一寸与三商㢘隅共积相减恰尽是开得九丈零九寸为方面每一边之数也此法方积无空位而商出之方边有空位凡㢘法除余积而数不足者皆依此例推之设如正方面积六千四百一十一万二千零四十九尺开方问每一边数几何法列方积六千四百一十一万二千零四十九尺自末位起算每隔一位作记于九尺上定单位空百尺上定十位一万尺上定百位四百万尺上定千位其六千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万为初商积之单位而六千四百万为六千四与八自乗之数相合即定初商为八书于方积四百万尺之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积一十一万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则一万尺为次商积之单位而一十一万尺为一十一而初商之八即为八十故以初商之八作八十倍之得一百六十为廉法以除一十一其数不足是次商为空位乃书一空于方积一万尺之上以存次商之位复以方边第三位积二千尺续书于下共一十一万二千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空百尺为三商积之单位而一十一万二千尺为一千一百二十尺而初商之八即为八百次商之空即为空十故以初商次商之八空作八百倍之得一千六百为廉法以除一千一百二十其数仍不足是三商之为空位乃再书一空于方积空百尺之上以存三商之位复以方边末位积四十九尺续书于下共一十一万二千零四十九尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之八千倍之得一万六千为廉法以除一十一万二千零四十九足七倍即定四商为七书于方积九尺之上而以四商七为隅法与㢘法一万六千相加共得一万六千零七为㢘隅共法书于余积之左而以四商七乗之得一十一万二千零四十九与余积相减恰尽是开得八千零七尺为方面每一边之数也此法方积中虽有一空位而商出之方边却有二空位凡开方遇此类者皆依此例推之设如有积一万四千九百二十八尺开方问每一边数几何法列积一万四千九百二十八尺自末位起算每隔一位作记于八尺上定单位九百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺为初商积以初商本位计之则一万尺为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万尺之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以方边第二位积四千九百尺续书于下为次商㢘隅之共积以次商本位计之则九百尺为次商积之单位而四千九百尺为四十九而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除四十九足二倍即定次商为二书于方积九百尺之上而以次商二为隅法与㢘法二十相加共得二十二为㢘隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余五百尺复以方边末位积二十八尺续书于下共五百二十八尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为廉法以除五百二十八足二倍即定三商为二书于方积八尺之上而以三商二为隅法与廉法二百四十相加共得二百四十二为㢘隅共法书于余积之左以三商二乗之得四百八十四与三商廉隅共积相减余四十四尺不尽是开得一百二十二尺为方面每一边之数仍余四十四尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増书两空于总积之后复续书两空于四十四尺之后为几十几寸之位是则四十四尺作四千四百寸为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸倍之得二千四百四十寸为廉法以除四千四百寸足一倍即定四商为一寸书于余积空寸之上而以四商一为隅法与廉法二千四百四十寸相加共得二千四百四十一寸为廉隅共法书于余积之左以四商一寸乗之仍得二千四百四十一寸与余积相减余一千九百五十九寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书两空于后増空十空寸之后复续书两空于五十九寸之后为几十几分之位是则一千九百五十九寸作一十九万五千九百分为五商廉隅之共积爰以初商次商三商四商之一百二十二尺一寸作一万二千二百一十分倍之得二万四千四百二十分为廉法以除一十九万五千九百分足八倍即定五商为八分书于余积空分之上而以五商八为隅法与㢘法二万四千四百二十分相加共得二万四千四百二十八分为廉隅共法书于余积之左以五商八分乗之得一十九万五千四百二十四分与余积相减仍余四百七十六分不尽是开得一百二十二尺一寸八分为方面每一边之数也此法原积本非自乗所得之数虽递析之终不能尽凡开方遇此类者皆依此例推之设如有一方台上面共铺方甎四千零九十六块问每一边得甎几何法列方甎四千零九十六块为方积于六块上定单位空百块上定十位其四千块为初商积以初商本位计之则空百块为初商积之单位而四千块为四十与六自乗之数相准即定初商为六书于方积空百块之上而以六自乗之三十六书于初商积之下相减余四百块爰以余积九十六块续书于下共四百九十六块为次商廉隅之共积而以初商六作六十倍之得一百二十为廉法以除四百九十六足四倍即定次商为四书于方积六块之上而以次商四为隅法与廉法一百二十相加共得一百二十四为廉隅共法书于余积之左以次商四乗之得四百九十六与余积相减恰尽是开得六十四块为方台上面每一边之甎数也设如有三百六十一人用船分载其每船所载人数与共船数相等问共船几何法列三百六十一人为方积于一人上定单位三百人上定十位其三百人为初商积以初商本位计之则三百为初商积之单位止与一自乗之数相准即定初商为一书于方积三百之上而以一自乗之一书于初商积之下相减余二百爰以余积六十一续书于下共二百六十一为次商廉隅之共积而以初商一作一十倍之得二十为廉法以除二百六十一足九倍即定次商为九书于方积一人之上而以次商九为隅法与廉法二十相加共得二十九为㢘隅共法书于余积之左以次商九乗之得二百六十一与余积相减恰尽是开得十九为共船数而每船载十九人也设如有银七百八十四两散给夫匠其每人所得银数与其人数相等问共人数几何法列七百八十四两为方积于四两上定单位七百两上定十位其七百两为初商积以初商本位计之则七百为初商积之单位止与二自乗之数相准即定初商为二书于方积七百之上而以二自乗之四书于初商积之下相减余三百爰以余积八十四续书于下共三百八十四为次商廉隅之共积而以初商二作二十倍之得四十为廉法以除三百八十四足八倍即定次商为八书于方积四两之上而以次商八为隅法与㢘法四十相加共得四十八为㢘隅共法书于余积之左以次商八乗之得三百八十四与余积相减恰尽是开得二十八为共人数而每人得银二十八两也设如用船运粮六千五百六十一石欲取一船别用将此船米分载各船每船领去一石其本船尚余一石问共船几何法列米六千五百六十一石为方积于一石上定单位五百石上定十位其六千五百石为初商积以初商本位计之则五百石为初商积之单位而六千五百为六十五与八自乗之数相准即定初商为八书于方积五百之上而以八自乗之六十四书于初商积之下相减余一百爰以余积六十一续书于下共一百六十一为次商廉隅之共积而以初商八作八十倍之得一百六十为廉法以除一百六十一足一倍即定次商为一书于方积一石之上而以次商一为隅法与廉法一百六十相加共得一百六十一为廉隅共法书于余积之左以次商一乗之仍得一百六十一与余积相减恰尽是开得八十一为共船数而每船载米八十一石也此法葢因一船所载之米分与各船毎船各领一石即共去八十石故本船尚余一石也设如有钱一万五千六百二十五文买瓜每瓜一个与脚钱一文因无现钱将一瓜准作脚钱问瓜数几何法列钱一万五千六百二十五为方积于五文上定单位六百上定十位一万上定百位其一万为初商积以初商本位计之则一万为初商积之单位止与一自乗之数相合即定初商为一书于方积一万之上而以一自乗之一书于初商积之下相减无余爰以第二位积五千六百续书于下为次商㢘隅之共积以次商本位计之则六百为次商积之单位而五千六百为五十六而初商之一即为一十故以初商之一作一十倍之得二十为廉法以除五十六足二倍即定次商为二书于方积六百之上而以次商二为隅法与㢘法二十相加共得二十二为㢘隅共法书于余积之左以次商二乗之得四十四与次商廉隅共积相减余一千二百复以末位积二十五续书于下共一千二百二十五为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之一百二十俱倍之得二百四十为㢘法以除一千二百二十五足五倍即定三商为五书于方积五文之上而以三商五为隅法与㢘法二百四十相加共得二百四十五为㢘隅共法书于余积之左以三商五乗之得一千二百二十五与余积相减恰尽是开得一百二十五为共瓜之数亦即每瓜之价也此法因每瓜应给脚钱一文今以一瓜准之即知一瓜之价与瓜之共数相等故以开方法算之而得也带纵平方带纵平方者两等边直角长方面积也有积数因长比阔之较或长与阔之和而得边故曰带纵葢正方之纵横皆同故止有积即可得其边若长方则纵横不等知其积又必知其纵横相差之较或纵横相并之和始能得其边故以长阔之较为问者则皆较为带纵加所开之数商除之而得阔或四因积数加较自乗平方开之即长阔之和和加较半之而得长和减较半之而得阔或半较自乗加原积而开平方即得半和加半较而得长减半较而得阔如以长阔之和为问者则用和为带纵减去所开之数商除之而得阔或四因积数减和自乗平方开之即长阔之较较减和半之而得阔较加和半之而得长或半和自乗减原积而开平方即得半较加半和而得长减半和而得阔夫用半较半和之法与四因积数之法同出一理葢四因积数加全较自乗故开方而得全和半较自乗加原积故开方而得半和四因积数减全和自乗故开方而得全较半和自乗减原积故开方而得半较此即面与线之比例面加四倍而边加一倍边得其半而积为四分之一也法虽不一要之皆使归于正方以求其和较是则虽曰带纵仍不外乎平方之理也设如有长方面积八尺纵多二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之积八尺止可商二尺乃以二尺书于原积八尺之上而以所商二尺加纵多二尺得四尺以所商二尺乗之得八尺书于原积之下相减恰尽即知长方之阔得二尺加入纵多二尺得四尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲乙长比甲丁阔所多戊乙即纵多之数初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一边葢因此法长阔两边俱止一位而积亦止一位故初商所得即为一边而加入纵多即又一边是以两边相乗而与原积相等也又法以积八尺用四因之得三十二尺而以纵多二尺自乗得四尺加八四因之数得三十六尺开方得六尺即为长阔相和之数乃以纵多二尺与长阔之和六尺相加得八尺折半得四尺即长方之长减纵多二尺得二尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑成一空心正方式再加入纵多二尺自乗之丑丙庚癸之一小正方形即成甲戊辛子之一大正方形其甲戊类每一边即长阔之和故开方得长阔之和既得和加纵多是为倍长故折半而得长减纵多则为倍阔故折半而得阔或得长而减纵多亦得阔也又法先将纵多二尺折半得一尺为半较自乗仍得一尺与原积八尺相加得九尺平方开之得三尺为半和于半和减半较得二尺为阔于半和加半较得四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙为长甲丁为阔戊乙为纵多之较将较折半于庚而移庚乙丙辛置于丁己癸壬再加己辛子癸半较自乗之方则成甲庚子壬一正方形故开方而得甲庚甲壬之边皆为半和也于甲壬之半和减丁壬之半较得甲丁之阔于甲庚之半和加庚乙之半较得甲乙之长也又图甲乙丙丁长方形容积八尺将甲丁边引长作丁辛与丁丙等则甲辛为长阔之和又如甲乙边截甲丁于庚则庚丁为长阔之较甲辛和折半于己而庚丁较亦折半于己故以己为心甲为界作一半圜而引丙丁边至戊界作一戊丁直线戊巳辐线则甲巳戊己巳辛皆为半和而庚己己丁皆为半较且甲丁戊丁丁辛又为连比例之三线矣其戊丁中率自乗之方与甲丁首率丁辛末率相乗之长方等(见几何原本九卷第三节)则是戊丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也又戊丁巳为勾股形其戊丁边自乗之方与己丁边自乗之方相并而与戊巳自乗之方等(见几何原本九卷第四节)故与原设甲乙丙丁长方积等之戊丁自乗之方加以己丁半较自乗之数开方而得戊巳为半和于戊巳相等之己辛半和减己丁半较而得丁辛与丁丙等之阔又与戊巳相等之甲巳半和加己丁半较而得甲丁之长也设如有长方面积一千二百五十四尺纵多五尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其一千二百为初商积可商三十尺乃以三十尺书于原积二十尺之上而以初商三十尺加纵多五尺得三十五尺以初商三十尺乗之得一千零五十尺书于原积之下相减余二百零四尺为次商廉隅之共积乃以初商三十尺倍之得六十尺加纵多五尺得六十五尺为廉法以除二百零四尺足三尺则以三尺书于原积四尺之上而以廉法六十五尺加隅法三尺得六十八尺为廉隅共法以次商三尺乗之得二百零四尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得三十三尺加纵多五尺得三十八尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积一千二百五十四尺其甲乙边长三十八尺甲丁边阔三十三尺其甲乙长比甲丁阔所多之甲辛即纵多之数其甲戊己庚长方形容积一千零五十尺即初商所减之积其辛壬与辛戊俱三十尺即初商数其甲戊三十五尺即初商加纵多之数其戊乙丑己壬己子癸两长方为两方廉庚壬癸丁小长方为纵廉方廉有二纵廉止一故倍初商加纵多数为廉法其己丑丙子为隅其长阔皆与次商等故以次商为隅法合两方廉一纵廉一小隅成一磬折形环附初商长方之两傍成一大长方与平方之理无异若次商仍减积不尽则又为两方廉一纵廉一小隅复成一磬折形得三商四商以至多商皆依此法递析开之又法以积一千二百五十四尺用四因之得五千零一十六尺而以纵多五尺自乗得二十五尺加入四因之数得五千零四十一尺开方得七十一尺即为长阔相和之数乃以纵多五尺与长阔之和七十一尺相加得七十六尺折半得三十八尺即长方之长减纵多五尺即长方之阔也又法先将纵多五尺折半得二尺五寸为半较自乗得六尺二十五寸与原积一千二百五十四尺相加得一千二百六十尺二十五寸开方得三十五尺五寸为半和于半和减半较得三十三尺为阔于半和加半较得三十八尺为长也设如有长方面积一十八万一千四百六十丈纵多八丈问长阔各几何法列积如开平方法商之其一十八万丈为初商积可商四百丈乃以四百丈书于原积八万丈之上而以初商四百丈加纵多八丈得四百零八丈以初商四百丈乗之得一十六万三千二百丈书于原积之下相减余一万八千二百六十丈为次商廉隅之共积乃以初商四百丈倍之得八百丈加纵多八丈得八百零八丈为㢘法以除一万八千二百六十丈足二十丈则以二十丈书于原积四百丈之上而以廉法八百零八丈加隅法二十丈得八百二十八丈为廉隅共法以次商二十丈乗之得一万六千五百六十丈书于余积之下与余积相减余一千七百丈为三商廉隅之共积乃以初商次商之二百四十丈俱倍之得八百四十丈加纵多八丈得八百四十八丈为廉法以除一千七百丈足二丈则以二丈书于原积空丈之上而以廉法八百四十八丈加隅法二丈得八百五十丈为廉隅共法以三商二丈乗之得一千七百丈书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得四百二十二丈加纵多八丈得四百三十丈即为长方之长也又法以纵多八丈折半得四丈为半较自乗得十六丈与原积一十八万一千四百六十丈相加得一十八万一千四百七十六丈开方得四百二十六丈为半和于半和减半较得四百二十二丈为阔于半和加半较得四百三十丈为长也设如有长方面积四万五千二百九十六尺纵多一百四十六尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其四万尺为初商积可商二百尺加纵多一百四十六尺得三百四十六尺以所商二百尺乗之得六万九千二百尺大于原积是初商不可商二百尺也乃改商一百尺书于原积四万尺之上而以所商一百尺加纵多一百四十六尺得二百四十六尺以初商一百尺乗之得二万四千六百尺书于原积之下相减余二万零六百九十六尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺加纵多一百四十六尺得三百四十六尺为廉法以除二万零六百九十六尺足五十尺则以五十尺书于原积二百尺之上而以廉法三百四十六尺加隅法五十尺得三百九十六尺为廉隅共法以次商五十尺乗之得一万九千八百尺书于余积之下与余积相减余八百九十六尺为三商廉隅之共积乃以初商次商之一百五十尺倍之得三百尺加纵多一百四十六尺得四百四十六尺为廉法以除八百九十六尺足二尺则以二尺书于原积六尺之上而以廉法四百四十六尺加隅法二尺得四百四十八尺为廉隅共法以三商二尺乗之得八百九十六尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百五十二尺加纵多一百四十六尺得二百九十八尺即为长方之长也此法原积初商应得二百尺因加纵多相乗得数大于原积故改商一百尺始合凡开带纵方遇此类者皆依此例推之又法加纵多一百四十六尺折半得七十三尺为半较自乗得五千三百二十九尺与原积四万五千二百九十六尺相加得五万零六百二十五尺开方得二百二十五尺为半和于半和减半较得一百五十二尺为阔于半和加半较得二百九十八尺为长也设如有长方面积一万六千一百二十八尺纵多七十二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其一万为初商积可商一百尺加纵多七十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一万七千二百尺大于原积是初商不可商一百尺也乃改商九十尺书于原积一百尺之上而以所商九十尺加纵多七十二尺得一百六十二尺以所商九十尺乗之得一万四千五百八十尺书于原积之下相减余一千五百四十八尺为次商廉隅之共积乃以初商九十尺倍之得一百八十尺加纵多七十二尺得二百五十二尺为廉法以除一千五百四十八尺足六尺则以六尺书于原积八尺之上而以廉法二百五十二尺加隅法六尺得二百五十八尺为廉隅共法以次商六尺乗之得一千五百四十八尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔为九十六尺加纵多七十二尺得一百六十八尺即长方之长也此法原积初商应得一百尺因加纵多相乗得数大于原积故改商九十尺而原积一万尺之上应开百位者空其位而不计也或纵多太大过于初商所得之数则用四因积数之法或用纵多折半之法设例在后设如有长方面积三万四千五百六十九尺纵多三千八百三十二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其三万尺为初商积应商一百尺而纵多数为三千转大如初商数凡遇此类则用四因积数加较自乗开方法之或用半较自乗加于原积开方之法为明白简易也故以纵多三千八百三十二尺折半得一千九百一十六尺为半较自乗得三百六十七万一千零五十六尺与原积三万四千五百六十九尺相加得三百七十万五千六百二十五尺开方得一千九百二十五尺为半和于半和减半较得九尺为阔于半和加半较得三千八百四十一尺为长也设如有月台一座共用方甎一千九百二十块其长比阔多八块问长阔两面各用甎几何法以长比阔多八块折半得四块为半较自乗得十六块与积数一千九百二十块相加得一千九百三十六块开方得四十四块为半和于半和四十四块减半较得四十块为阔面甎数于半和加半较得四十八块为长面甎数也设如有银三百六十两赏人其人数比每人所得银数为五分之二问人数及每人所得银数各几何法先用比例分其总银数以五分为一率二分为二率三百六十两为三率得四率一百四十四两开方得十二为人数以人数除共银数三百六十两得三十两为每人所得之银数也此法以人数为阔其每人所得银数为长成一长方形人数既居银数之五分之二是阔为二分长为五分也今将其共银分作五分而取其二分即人数与所得银数相等而成正方形矣故开方而得人数也设如有长方面积八尺长阔相和六尺问长阔各几何法列积如开平方法商之积八尺止可商二尺乃以二尺书于原积八尺之上而以所商二尺与和数六尺相减余四尺以所商二尺乗之得八尺书于原积之下相减恰尽即知长方之阔得二尺与和六尺相减得四尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八尺其甲乙边长四尺甲丁边阔二尺其甲丁与甲乙相并得六尺即长阔之和初商所得二尺即甲戊己丁正方之每一边葢两边俱止一位故以初商所得为一边于长阔和内减去初商所余即又一边是以两边相乗而与原积相等也此法比较数为问者在加减之异其以较数为问者以所商之数与较数相加此以和数为问者则以所商之数与和数相减也又法以积八尺用四因之得三十二尺而以和数六尺自乗得三十六尺减去四因之数余四尺开方得二尺即为长阔相较之数乃以较数二尺与和数六尺相加得八尺折半得四尺即长方之长减较二尺得二尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形容积八尺四因之得甲乙丙丁戊己庚乙辛壬癸己子丁丑壬四长方形廻环相凑成一空心正方式较之和数六尺自乗之甲戊辛子正方形所少者止正中之一小正方形故相减即余丑丙庚癸之一小正方形其丑丙类每一边即长阔之较故开方得长阔之较既得较加于和数是为倍长故折半而得长长减较而得阔也此法比较数为问者亦在加减之异其以较为问者用较自乗与四因数相加开方而得和此以和为问者用和自乗与四因数相减开方而得较也又法先将和数六尺折半得三尺为半和自乗得九尺与原积八尺相减得一尺平方开之仍得一尺为半较于半和减半较得二尺为阔于半和加半较得四尺为长如图甲乙丙丁长方形甲乙为阔甲丁为长甲壬为长阔和(丁壬与丁丙阔)(等)折半为甲庚半和将甲乙丙丁长方内之庚辛丙丁移于乙丑癸己则成甲丑癸己辛庚一磬折形与甲庚半和自乗之甲丑子庚正方形相减余己癸子辛一小正方形即半较自乗之方故开方而得半较也故甲丑之半和减乙丑之半较得甲乙之阔于甲庚之半和加庚丁之半较得甲丁之长也又图甲乙丙丁长方形容积八尺甲壬为长阔之和甲庚己庚庚壬皆半和甲丁长减等甲乙阔之甲戊余戊丁为长阔之较其庚丁则为半较而甲丁己丁丁壬又为连比例之三线故己丁中率自乗之方与甲丁首率丁壬末率相乗之长方等(见几何原本九卷第三节)则是己丁自乗之方与原设甲乙丙丁长方之积等也又己庚丁为勾股形其己丁边自乗之方与丁庚边自乗之方相并而与己庚自乗之方等(见几何原本九卷第四节)故于己庚半和自乗方内减去与原设甲乙丙丁长方积相等之己丁自乗之数开方而得庚丁为半较于己庚相等之庚壬半和内减庚丁半较而得丁壬与丁丙等之阔又于己庚相等之甲庚半和加庚丁半较而得甲丁之长也设如有长方面积八百六十四尺长阔相和六十尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其八百尺为初商积可商二十尺乃以二十尺书于原积八百尺之上而以初商二十尺与和数六十尺相减得四十尺以初商二十尺乗之得八百尺书于原积之下相减余六十四尺为次商廉隅之共积乃以初商二十尺倍之得四十尺与和数六十尺相减余二十尺为廉法以除六十四尺足三尺因廉法内尚要减去商数为法故取大数为四尺则以四尺书于原积四尺之上而以廉法二十尺与次商四尺相减得十六尺以次商四尺乗之得六十四尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得二十四尺与和六十尺相减余三十六尺即为长方之长也如图甲乙丙丁长方形容积八百六十四尺其甲乙边阔二十四尺甲丁边长三十六尺甲戊为长阔和六十尺其丁戊与甲乙等甲子二十尺为初商数与辛戊等甲辛四十尺则和内减去初商之数两数相乗成甲子己辛长方形即初商所减之积也丁戊既与甲乙等辛戊又与甲子等则丁辛与子乙等丁庚己辛小长方积与庚丑壬丙长方积等是则次商廉隅之共积即子乙壬丑之积也次于甲戊和内减倍初商数四十尺如寅戊余甲寅二十尺与子癸等为廉法子乙者为次商数也子乙与丑癸等则于子癸廉法内减丑癸余子丑与次商子乙相乗得子乙壬丑小长方即次商所减之积故减原积恰尽也以初商甲子二十尺合次商子乙四尺得甲乙二十四尺为阔于甲戊长阔和六十尺内减与甲乙相等之丁戊阔二十四尺得甲丁三十六尺为长也三商以后皆倣此递析开之又法以积八百六十四尺用四因之得三千四百五十六尺而以和六十尺自乗得三千六百尺减去四因之数余一百四十四尺开方得一十二尺即为长阔之较乃以较十二尺与和六十尺相加得七十二尺折半得三十六尺即长方之长减较十二尺得二十四尺即长方之阔也又法先将和数六十尺折半得三十尺为半和自乗得九百尺与原积八百六十四尺相减得三十六尺开方得六尺为半较于半和减半较得二十四尺为阔于半和加半较得三十六尺为长也设如有长方面积一万九千三百一十二尺长阔相和二百七十八尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其一万尺为初商积可商一百尺乃以一百尺书于原积一万尺之上而以初商一百尺与和数二百七十八尺相减得一百七十八尺以初商一百尺乗之得一万七千八百尺书于原积之下相减余一千五百一十二尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺与和数相减得七十八尺为廉法以除一千五百一十二尺止足一十尺因廉法内尚要减去商数为法故取大数为三十尺则以三十尺书于原积三百尺之上而以廉法七十八尺与次商三十尺相减得四十八尺以次商三十尺乗之得一千四百四十尺书与余积之下与余积相减余七十二尺为三商廉隅之共积乃以初商次商之一百三十尺倍之得二百六十尺与和数二百七十八尺相减余十八尺为廉法以除七十二尺止足四尺亦因取大于足除之数故定为六尺则以六尺书于原积二尺之上而以廉法十八尺与三商六尺相减得十二尺以三商六尺乗之得七十二尺书于余积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百三十六尺与和二百七十八尺相减余一百四十二尺即为长方之长也此法次商三商皆取大于足除之数反复商除始能相符不若四因积数减和自乗开方之法或半和自乗减原积开方之法为整齐也法以一万九千三百一十二尺用四因之得七万七千二百四十八尺而以和二百七十八尺自乗得七万七千二百八十四尺减去四因之数余三十六尺开方得六尺即为长阔之较乃以较六尺与和二百七十八尺相加得二百八十四尺折半得一百四十二尺即长方之长减较六尺得一百三十六尺即长方之阔也设如有长方面积六万九千三百六十尺长阔相和七百八十二尺问长阔各几何法列积如开平方法商之其六万为初商积可除二百尺而以二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺以初商二百尺乗之得十一万六千四百尺大于积数乃改商一百尺书于原积六万尺之上而以所商一百尺与和数七百八十二尺相减得六百八十二尺以初商一百尺乗之得六万八千二百尺书于原积之下相减余一千一百六十尺为次商廉隅之共积乃以初商一百尺倍之得二百尺与和数七百八十二尺相减得五百八十二尺为廉法以除一千一百六十尺止足二尺爰书空位于原积三百尺之上而以二尺书于原积空尺之上而以廉法五百八十二尺与三商二尺相减得五百八十尺以三商二尺乗之得一千一百六十尺书于原积之下与余积相减恰尽即知长方之阔得一百零二尺与和七百八十二尺相减余六百八十尺即为长方之长也此法初商应商二百尺因减纵相乗得数转大于原积故改商一百尺凡遇此类不若用四因积数之法与半和自乗之法算之法以和数七百八十二尺折半得三百九十一尺自乗得一十五万二千八百八十一尺与原积六万九千三百六十尺相减余八万三千五百二十一尺开方得二百八十九尺为半较于半和减半较得一百零二尺为阔于半和加半较得六百八十尺为长也设如有钱四千七百六十文买果树不知数但知树之共数与每株之价相加得一百七十四问树数及价各几何法以共数一百七十四折半得八十七为半和自乗得七千五百六十九与共钱四千七百六十文相减余二千八百零九开方得五十三为半较于半和减半较余三十四为树数于半和加半较得一百四十为树价也此法以树数为阔树价为长成一长方形其树数与树价相加即如长阔之和故以半和自乗减积开方得半较既得半较以减半和为树数加半和为树价也设如有法书一卷共一千一百五十九字其行数与每行字数相加共八十问行数及字数各几何法以和数八十折半得四十为半和自乗得一千六百与共字一千一百五十九相减余四百四十一开方得二十一为半较于半和加半较得六十一为行数于半和减半较余十九为每行字数也设如有五百八十八人用船均载其船数与每船所载人数相加比船数多四分之三问船数与每船所载人数各几何法先用比例分其积以三分为一率一分为二率五百八十八人为三率得四率一百九十六人用开平方法开之得十四为船数以三因之得四十二为每船所载之人数也此以船数为阔每船所载人数为长成一长方形船数与人数相加即如长阔之和和数既比船数多四分之三则是和数为四分每船所载人数为三分船数为一分即阔为一分长为三分也故将共人数三分之而取其一则人数与船数同为一分而成正方形矣故平方开之即得船数每船所载人数既为船数之三倍故三因之为所载人数也御制数理精蕴下编卷十一
## 下编卷十二
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十二面部二勾股(定勾股无零数法形内勾股弦相求法附勾股求积 勾股 求中垂线及容方圆)(等形相求勾股弦和较 法)勾股周髀曰折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外半其一矩环而共盘得成三四五两矩共长二十有五是为积矩此言勾股正数之所以立法也葢勾股得长方之半形故其一角必成矩(所谓直角也)而后可谓勾股如其一角不能成矩则为三角形而非勾股矣因勾股一角必直故立于圜界之正一半而自直角所作垂线遂成连比例三率是以直角相对界所作方形之积必与两傍二界所作两方形之积等(见几何原)(本九卷第四节)而勾股弦彼此相求之法于此生焉其法所该有四一勾股弦三者知其二而得其一或知其二而得其积一勾股形自其直角对弦界求垂线一勾股形内容方圆等形一勾股弦三者知其一复知其余二者之较或二者之和而得其二或知其两较或两和或一较一和而得其三(勾股弦和较之法虽杂出多端然皆不出勾股)(弦方积相求之理较有勾股较勾弦较股弦较和有勾股和勾弦和股弦和和较相疉则又有弦与勾股)(和相和或名之曰弦和和有弦与勾股和相较或名之曰弦和较有弦与勾股较相和或名之曰弦较和)(有弦与勾股较相较或名之曰弦较较又有勾与股弦和相和者或名之曰勾和和股与勾弦和相和者)(或名之曰股和和即弦和和也勾与股弦和相较者或名之曰勾和较股与勾弦较相和者或名之曰股)(较和即弦较和也股与勾弦和相较者或名之曰股和较勾与股弦较相和者或名之曰勾较和即弦较)(较也勾与股弦较相较者或名之曰勾较较股与勾弦较相较者或名之曰股较较即弦和较也)此四者皆勾股之正法理一定而数随之者也至若勾三股四弦五之类倍之至于亿兆而总不越此一定之分者名曰正勾股槩以比例推之则三者止有其一即可得其二或有积而即得其三界此为数一定而法随之者也一一按类列题发明如左定勾股弦无零数法设如用二四八连比例三率定勾股弦无零数问各得几何法以中率四命为四尺为股首率二尺与末率八尺相减余六尺折半得三尺为勾首率二尺与末率八尺相加得十尺折半得五尺为弦也如图甲乙为首率二尺丙乙为中率四尺乙丁为末率八尺今以甲乙与乙丁相和共为甲丁十尺而以丙乙立于甲丁线相和之乙处乃以甲丁折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复以丙至甲至丁作丙甲丙丁二线遂成甲丙丁勾股形其丙角立于圜界之半必为直角(见几何原本四卷第)(十四节)而丙乙为垂线即将甲丙丁勾股形分为甲乙丙丙乙丁两勾股形而与原形为同式三勾股形矣(见几何原本九卷第一节)其甲乙与丙乙之比同于丙乙与乙丁之比为连比例三率故以中率丙乙为股而首率甲乙(与己丁等)与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾又首率甲乙与末率乙丁相加之甲丁折半得甲戊戊丁二半径与丙戊等为弦也此法原为定勾股弦三者俱无零数之法所设之数必彼此可以度尽始可立为准则否则勾股弦三者必有一不尽之数矣设如有四六可以度尽之两数欲定勾股弦无零数问各得几何法以四尺为首率六尺为中率将中率六尺自乗得三十六尺用首率四尺除之得九尺为末率乃以中率六尺为股首率四尺与末率九尺相减余五尺折半得二尺五寸为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺折半得六尺五寸为弦也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺今以中率六尺自乗用首率四尺除之乃得乙丁末率九尺爰以甲乙首率乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作半圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线故以中率丙乙为股而首率甲乙与末率乙丁相减余乙己折半得乙戊为勾而首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁折半得甲戊戊丁与丙戊等为弦也设如有四六九连比例三率以中率六倍之为股定勾弦无零数问各得几何法以首率四尺与末率九尺相减余五尺为勾首率四尺与末率九尺相加得十三尺为弦也如图甲乙为首率四尺丙乙为中率六尺乙丁为末率九尺爰以甲乙首率与乙丁末率相和折半于戊以戊为心甲丙丁为界作一全圜复自丙至甲至丁作二线则成甲丙丁直角三角形其丙乙中率即为丙直角之垂线今将中率丙乙倍之即得丙庚为股故以首率甲乙(与己丁等)与末率乙丁相减余乙己与庚辛等为勾又首率甲乙与末率乙丁相加得甲丁全径与丙辛等为弦也葢前二法用中率为股故以首率末率相减折半为勾首率末率相加折半为弦此法则倍中率为股故以首率末率相减即为勾首率末率相加即为弦而皆不用折半也又图甲乙为首率四尺乙丙为末率九尺甲丙为首率与末率相加之十三尺丁丙为首率与末率相减所余之五尺如依甲丙线度作甲戊己丙正方形即为弦自乗之方如依丁丙线度作丁庚辛丙正方形即为勾自乗之方今以乙丙末率亦作一正方形将两边线引长至甲戊己丙正方形界则成甲癸丑乙与丑壬己子二长方形仍余癸戊壬丑一小正方形又以丁庚辛丙正方形之丁庚界引长至乙丑子丙正方形之丑子界则又成乙丑寅丁一长方形与前一长方形等仍余庚寅子辛一小长方形合前癸戊壬丑一小正方形则亦与前一长方形等是此四长方形皆为首率与末率相乗之长方而与中率自乗之正方形相等矣(见算法原本二卷第三节)如以此四长方形共计之则为甲戊己辛庚丁一磬折形今甲戊己丙既为弦自乗之一正方而丁庚辛丙又为勾自乗之一正方则两方相减所余之甲戊己辛庚丁磬折形之积与股自乗之一正方等(见几何原本九卷第四节)甲戊己辛庚丁磬折形既为四长方之共积则四长方之共积亦必与股自乗之一正方等首率末率相乗之四长方既与股自乗之一正方等则中率自乗之四正方亦必与股自乗之一正方等是故中率自乗之四正方合之而为股自乗之一正方则其每边必比中率各大一倍(见几何原本七卷第五节)故倍中率而为股者必取首率末率之和而为弦首率末率之较而为勾葢首率末率相和自乗之一正方内减去首率末率相较自乗之一正方甫能得中率加倍自乗之一正方积也勾股弦相求法(勾股求积附)设如有股四尺勾三尺求弦几何法以股四尺自乗得十六尺勾三尺自乗得九尺相加得二十五尺开方得五尺即为弦也如图甲乙丙勾股形其甲乙股所作丁戊乙甲正方形积乙丙勾所作乙己庚丙正方形积相并必与甲丙弦所作甲丙壬辛正方形积等试自乙直角过甲丙弦作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形而甲乙丙勾股形分为甲乙癸乙丙癸同式两勾股形矣其甲癸与甲乙之比同于甲乙与甲丙之比为连比例三率故甲乙中率所作丁戊乙甲正方形与甲癸首率甲丙末率相等之甲辛所作甲癸子辛长方形之积相等也又癸丙与乙丙之比同于乙丙与甲丙之比为连比例三率故乙丙中率所作乙己庚丙正方形与癸丙首率甲丙末率相等之丙壬所作癸丙壬子长方形之积相等也一正方所分之二长方既与二正方之积相等则此二正方之积相合与彼一正方之积相等可知矣设如有勾五尺弦十三尺求股几何法以勾五尺自乗得二十五尺弦十三尺自乗得一百六十九尺相减余一百四十四尺开方得十二尺即为股也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙弦作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内减去与乙己庚丙正方形相等之癸丙壬子长方形余甲癸子辛长方形即与丁戊乙甲正方形之积相等故开方而得甲乙为股也设如有股二十一尺弦二十九尺求勾几何法以股二十一尺自乗得四百四十一尺弦二十九尺自乗得八百四十一尺相减余四百尺开方得二十尺即为勾也如图甲乙丙勾股形自乙直角过甲丙弦作一乙癸子线则将甲丙壬辛正方形分为甲癸子辛癸丙壬子二长方形其甲癸子辛长方形积与甲乙股所作丁戊乙甲正方形积等其癸丙壬子长方形积与乙丙勾所作乙己庚丙正方形积等故甲丙弦所作甲丙壬辛正方形内减去与丁戊乙甲正方形相等之甲癸子辛长方形余癸丙壬子长方形即与乙己庚丙正方形之积相等故开方而得乙丙为勾也设如有勾六尺股八尺求面积几何法以勾六尺与股八尺相乗得四十八尺折半得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形其乙丙勾与甲乙股相乗则成甲乙丙丁长方形其积比甲乙丙勾股形正大一倍故折半得勾股积也若有勾弦求面积则用勾弦求股之法得股与勾相乗折半得面积或有股弦求面积则用股弦求勾之法得勾与股相乗折半得面积也又法将勾六尺折半得三尺与股八尺相乗亦得二十四尺为面积也如图甲乙丙勾股形将乙丙勾折半为乙丁与甲乙股相乗成甲乙丁戊长方形其甲戊己小勾股形与己丁丙小勾股形之积等如以甲戊己小勾股形移于己丁丙适合甲乙丙勾股形积故甲乙丁戊长方形积与甲乙丙勾股形积相等也勾股形内求中垂线及容方圆等形设如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角对弦界作垂线问得几何法以弦十尺为一率勾六尺为二率股八尺为三率推得四率四尺八寸即为自直角对弦界所作垂线也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则将甲乙丙勾股形分为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦与甲乙勾之比同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦与甲丁勾之比而为相当比例四率也设如有勾六尺股八尺弦十尺欲自直角对弦界作垂线分弦为二段问所分二段大小各几何法以勾六尺自乗得三十六尺以弦十尺除之得三尺六寸为垂线所分之小界以股八尺自乗得六十四尺以弦十尺除之得六尺四寸为垂线所分之大界也如图甲乙丙勾股形作甲丁垂线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙两勾股形皆与原形为同式故原甲乙丙勾股形之乙丙弦与甲乙勾之比同于今所分甲丁乙勾股形之甲乙弦与乙丁勾之比为连比例三率而原甲乙丙勾股形之乙丙弦与甲丙股之比又同于今所分甲丁丙勾股形之甲丙弦与丙丁股之比亦为连比例三率是以原甲乙丙勾股形之甲乙勾又为今所分甲丁乙勾股形之弦者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦为首率除之得末率乙丁为甲丁垂线所分之小界原甲乙丙勾股形之甲丙股又为今所分甲丁丙勾股形之弦者为中率自乗而以原甲乙丙勾股形之乙丙弦为首率除之得末率丁丙为甲丁垂线所分之大界也设如有勾五尺股十二尺问内容方边几何法以勾五尺与股十二尺相加得十七尺为一率勾五尺为二率股十二尺为三率推得四率三尺五寸二分九厘有余为内容方边也如图甲乙丙勾股形甲乙为股十二尺乙丙为勾五尺试依乙丙勾数将甲乙股引长作甲戊线为勾股和十七尺自戊与乙丙勾平行作戊丁线又将甲丙弦引长作甲丁线则成甲戊丁同式勾股形复自丙角与甲戊线平行作丙壬线则成丙壬戊乙正方即为甲戊丁勾股形所容之方故甲戊丁勾股形之甲戊股与乙丙方边之比同于甲乙丙勾股形之甲乙股与己辛方边之比也设如有方城一座四正有门自南门直行八里有一塔自西门直行至二里切城角亦望见塔问城每面几何法以西门外二里与南门外八里相乗得十六里开方得四里倍之得八里即为城每一面之数也如图甲乙丙勾股形乙己为西门外二里甲丁为南门外八里戊己与戊丁皆为城之每边之一半而甲丁戊勾股形与戊己乙勾股形为同式故乙己与己戊之比同于戊丁与丁甲之比为相当比例四率且己戊与戊丁皆为一体故又为相连比例三率是以乙己首率与甲丁末率相乗开方而得戊丁或戊己皆为中率为城之每边之一半也设如有甲乙丙勾股形内容丁己丙戊长方形但知丁戊寛为戊丙长四分之一从甲至戊为四尺从乙至己为九尺问长方及勾股各几何法以甲戊四尺与乙己九尺相乗得三十六尺为内容长方之积用四归之得九尺开方得三尺为己丙即长方之阔以四因之得十二尺为戊丙即长方之长以戊丙十二尺加甲戊四尺得十六尺为股以己丙三尺加乙己九尺得十二尺为勾也葢丁己乙勾股形与甲戊丁勾股形皆与甲乙丙勾股形为同式故丁己乙勾股形之乙己勾与丁己股之比即同于甲戊丁勾股形之丁戊勾与甲戊股之比而乙己首率与甲戊四率相乗之数必与丁己二率与丁戊三率相乗之数相等是以乙己与甲戊相乗即为丁己丙戊长方形之积也丁戊既为戊丙之四分之一则以四归之即成丁戊线所作之正方形积故开方得丁戊之阔又四因之而得戊丙之长也既得丁戊而丁戊与己丙等故己丙与乙己相加得乙丙之勾而戊丙与甲戊相加得甲丙之股也设如有勾八尺股十五尺弦十七尺问内容圆径几何法以勾八尺与股十五尺相乗得一百二十尺乃以勾八尺股十五尺弦十七尺三数相加共四十尺除之得三尺为容圆半径倍之得六尺为容圆全径也如图甲乙丙勾股形内容丁圜形试自圜中心至甲乙丙三角作丁甲丁乙丁丙三线则分甲乙丙勾股形为甲丁乙甲丁丙乙丁丙三三角形勾股弦三线皆为三角形之底边而丁戊半径皆为其垂线矣今勾股相乗所得之长方积原比甲乙丙勾股形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乗底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而阔则一故各以长除积而得阔者即如合勾股弦三边除勾股相乗之积而得半径也又法以勾八尺与股十五尺相加得二十三尺内减弦十七尺余六尺即为内容圆之全径也如图甲乙丙勾股形自圜中心作丁甲丁乙丁丙三线又作丁戊丁己丁庚三垂线则丙戊与丙己等甲戊与甲庚等乙己与乙庚原等甲乙股与乙丙勾相并比甲丙弦所多者惟乙己乙庚二段今于甲乙股乙丙勾相并度内减去甲丙弦即如甲乙股内减去与甲戊等之甲庚乙丙勾内减去与丙戊等之丙己所余者止乙庚与乙己皆为圆之半径二半径相合非全径耶勾股弦和较相求法(上)勾股弦和较相求之法错综变换共有六十旧算书所有者八按旧法可以变通者三十有四旧法所无今创立者一十有八依题比类列目于前按法循序设问于后以备人之观览焉有勾有股弦较求股弦(第一旧有)有勾有股弦和求股弦(第二旧有)有股有勾弦较求勾弦(第三旧有)有股有勾弦和求勾弦(第四旧有)有弦有勾股较求勾股(第五旧有)有弦有勾股和求勾股(第六旧有)有勾弦和有股弦和求勾股弦(第七旧有)有勾股和有股弦和求勾股弦(第八新立)有勾股和有勾弦和求勾股弦(第九新立)有勾弦较有股弦较求勾股弦(第十旧有)有勾股较有勾弦较求勾股弦(第十一按旧法变通)有勾股较有股弦较求勾股弦(第十二按旧法变通)有勾股和有勾弦较求勾股弦(第十四新立)有勾股和有股弦较求勾股弦(第十五新立)有勾弦和有股弦较求勾股弦(并见第十五新立)有勾弦和有勾股较求勾股弦(第十三按旧法变通)有股弦和有勾弦较求勾股弦(并见第十四新立)有股弦和有勾股较求勾股弦(并见第十三按旧法变通)有勾有勾股弦总和求股弦(第十八按旧法变通)有勾有弦与勾股和之较求股弦(第十六按旧法变通)有勾有弦与勾股较之和求股弦(第十九按旧法变通)有勾有弦与勾股较之较求股弦(第十七按旧法变通)有股有勾股弦总和求勾弦(第二十二按旧法变通)有股有弦与勾股和之较求勾弦(第二十按旧法变通)有股有弦与勾股较之和求勾弦(第二十三按旧法变通)有股有弦与勾股较之较求勾弦(第二十一按旧法变通)有弦有勾股弦总和求勾股(第二十六按旧法变通)有弦有弦与勾股和之较求勾股(第二十四按旧法变通)有弦有弦与勾股较之和求勾股(第二十七按旧法变通)有弦有弦与勾股较之较求勾股(第二十五按旧法变通)有勾股和有勾股弦总和求勾股弦(并见第二十六按旧)(法变通)有勾股和有弦与勾股和之较求勾股弦(并见第二)(十四按旧法变通)有勾股和有弦与勾股较之和求勾股弦(第三十八)(新立)有勾股和有弦与勾股较之较求勾股弦(第三十七)(新立)有勾弦和有勾股弦总和求勾股弦(并见第二十二按旧)(法变通)有勾弦和有弦与勾股和之较求勾股弦(第三十九)(新立)有勾弦和有弦与勾股较之和求勾股弦(第十四新)(立)有勾弦和有弦与勾股较之较求勾股弦(并见第二)(十一按旧法变通)有股弦和有勾股弦总和求勾股弦(并见第十八按旧法)(变通)有股弦和有弦与勾股和之较求勾股弦(第四十一)(新立)有股弦和有弦与勾股较之和求勾股弦(并见第十)(九按旧法变通)有股弦和有弦与勾股较之较求勾股弦(第四十二)(新立)有勾股较有勾股弦总和求勾股弦(第三十四新立)有勾股较有弦与勾股和之较求勾股弦(第四十三)(新立)有勾股较有弦与勾股较之和求勾股弦(并见第二)(十七按旧法变通)有勾股较有弦与勾股较之较求勾股弦(并见第二)(十五按旧法变通)有勾弦较有勾股弦总和求勾股弦(第三十五新立)有勾弦较有弦与勾股和之较求勾股弦(并见第二)(十按旧法变通)有勾弦较有弦与勾股较之和求勾股弦(并见第二)(十三按旧法变通)有勾弦较有弦与勾股较之较求勾股弦(第四十四)(新立)有股弦较有勾股弦总和求勾股弦(第三十六新立)有股弦较有弦与勾股和之较求勾股弦(并见第十)(六按旧法变通)有股弦较有弦与勾股较之和求勾股弦(第四十五)(新立)有股弦较有弦与勾股较之较求勾股弦(并见第十)(七按旧法变通)有勾股弦总和有弦与勾股和之较求勾股弦(第三十三按旧法变通)有勾股弦总和有弦与勾股较之和求勾股弦(第三十按旧法变通)有勾股弦总和有弦与勾股较之较求勾股弦(第三十一按旧法变通)有弦与勾股和之较有弦与勾股较之和求勾股弦(第二十九按旧法变通)有弦与勾股和之较有弦与勾股较之较求勾股弦(第二十八按旧法变通)有弦与勾股较之和有弦与勾股较之较求勾股弦(第三十二按旧法变通)设如有勾十五尺股弦较五尺求股弦各几何(第一)法以勾十五尺自乗得二百二十五尺以股弦较五尺除之得四十五尺为股弦和与股弦较五尺相加得五十尺折半得二十五尺为弦于弦二十五尺内减股弦较五尺余二十尺为股也如图甲乙为勾十五尺丁乙为股弦较五尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率丁乙股弦较除之得末率乙丙为股弦和也乙丙与丁乙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为弦于丁戊半径内减丁乙股弦较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股弦和其庚乙阔即股弦较故将勾自乗之数以股弦较除之而得股弦和也又法以勾十五尺自乗得二百二十五尺又以股弦较五尺自乗得二十五尺相减余二百尺折半得一百尺以股弦较五尺除之得二十尺为股加股弦较五尺得二十五尺为弦也如图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等而已壬丙辛即股弦较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛股弦较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即股其己辛阔即股弦较故以股弦较除折半之积而得股也设如有勾二十八尺股弦和九十八尺求股弦各几何(第二)法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺以股弦和九十八尺除之得八尺为股弦较与股弦和九十八尺相加得一百零六尺折半得五十三尺为弦于股弦和九十八尺内减弦五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙为勾二十八尺乙丙为股弦和九十八尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故以中率甲乙勾自乗以首率乙丙股弦和除之得末率丁乙为股弦较也丁乙与乙丙相加得丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为弦于乙丙股弦和内减戊丙半径或于丁戊半径内减丁乙股弦较余乙戊即为股也又图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为股自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与勾自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即股弦和其庚乙阔即股弦较故勾自乗之数以股弦和除之而得股弦较也又法以勾二十八尺自乗得七百八十四尺又以股弦和九十八尺自乗得九千六百零四尺两数相加得一万零三百八十八尺折半得五千一百九十四尺以股弦和九十八尺除之得五十三尺为弦于股弦和九十八尺内减弦五十三尺余四十五尺为股也如图甲乙丙丁为股弦和自乗之正方积内戊己丙庚为弦自乗之正方积甲辛戊壬为股自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为股弦相乗之二长方积勾自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑磬折形相等如加甲辛戊壬股自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一弦方之积相等今以勾自乗之磬折形之积加于股弦和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子夘乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即弦其长即股弦和故以股弦和除折半之积而得弦也设如有股三十二尺勾弦较十六尺求勾弦各几何(第三)法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺以勾弦较十六尺除之得六十四尺为勾弦和与勾弦较十六尺相加得八十尺折半得四十尺为弦于弦四十尺内减勾弦较十六尺余二十四尺为勾也如图甲乙为股三十二尺丁乙为勾弦较十六尺试自甲至丁作甲丁线则成甲乙丁勾股形复以丁乙线引长而以甲为直角作甲丙线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则丁乙甲乙乙丙即为连比例三率故以中率甲乙股自乗以首率丁乙勾弦较除之得末率乙丙为勾弦和也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为弦于丁戊半径内减丁乙勾弦较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾弦和其庚乙阔即勾弦较故将股自乗之数以勾弦较除之而得勾弦和也又法以股三十二尺自乗得一千零二十四尺又以勾弦较十六尺自乗得二百五十六尺相减余七百六十八尺折半得三百八十四尺以勾弦较十六尺除之得二十四尺为勾加勾弦较十六尺得四十尺为弦也如图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等而以壬丙辛即勾弦较自乗之正方积也于乙丙丁戊己庚磬折形积内减己壬丙辛勾弦较自乗之正方积余庚乙壬己与戊己辛丁二长方形折半即余戊己辛丁一长方形其戊己长即勾其己辛阔即勾弦较故以勾弦较除折半之积而得勾也设如有股八尺勾弦和十六尺求勾弦各几何(第四)法以股八尺自乗得六十四尺以勾弦和十六尺除之得四尺为勾弦较与勾弦和十六尺相加得二十尺折半得十尺为弦于勾弦和十六尺内减弦十尺余六尺为勾也如图甲乙为股八尺乙丙为勾弦和十六尺试自甲至丙作甲丙线则成甲乙丙勾股形复以乙丙线引长而以甲为直角作甲丁线则又成丙甲丁勾股形爰以丁丙线折半于戊而以戊为心甲为界作丙甲丁半圜则乙丙甲乙丁乙即为连比例三率故将中率甲乙股自乗以首率乙丙勾弦和除之得末率丁乙为勾弦较也丁乙与乙丙相加为丁丙全径折半得丁戊戊丙半径俱与甲戊等故甲戊为弦于乙丙勾弦和内减戊丙半径或丁戊半径内减丁乙勾弦较余乙戊即为勾也又图甲乙丙丁为弦自乗之正方积甲庚己戊为勾自乗之正方积故乙丙丁戊己庚磬折形与股自乗之正方积相等今将戊己辛丁移为辛壬癸丙则成庚乙癸壬一长方形其庚壬长即勾弦和其庚乙阔即勾弦较故股自乗之数以勾弦和除之而得勾弦较也又以法股八尺自乗得六十四尺又以勾弦和十六尺自乗得二百五十六尺相加得三百二十尺折半得一百六十尺以勾弦和十六尺除之得十尺为弦于勾弦和十六尺内减弦十尺余六尺为勾也如图甲乙丙丁为勾弦和自乗之正方积内戊己丙庚为弦自乗之正方积甲辛戊壬为勾自乗之正方积辛乙己戊与壬戊庚丁为勾弦相乗之二长方积股自乗之正方积则与癸子辛甲壬丑之磬折形相等如加甲辛戊壬勾自乗之正方积则成癸子戊丑正方形为一勾方一股方相和之积而与戊己丙庚一弦方之积相等今以股自乗之磬折形之积加于勾弦和自乗之正方积内即如将癸寅壬丑长方形移补于子卯乙辛遂成寅卯丙丁一大长方形折半则余壬己丙丁一长方形其阔即弦其长即勾弦和故以勾弦和除折半之积而得弦也设如有弦三十四尺勾股较十四尺求勾股各几何(第五)法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺又以勾股较自乗得一百九十六尺相减余九百六十尺折半得四百八十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股较十四尺为长阔较用带纵较数开方法算之得阔十六尺为勾得长三十尺为股也如图甲乙丙丁为弦自乗之正方积戊己庚辛为勾股较自乗之正方积相减余甲戊乙类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔较即勾股较故以带纵较数开方法算之而得阔为勾得长为股也又法以弦三十四尺自乗得一千一百五十六尺倍之得二千三百一十二尺又以勾股较十四尺自乗得一百九十六尺相减余二千一百一十六尺开方得四十六尺为勾股和于勾股和四十六尺内减勾股较十四尺余三十二尺折半得十六尺为勾于勾十六尺加勾股较十四尺得三十尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方内容甲戊己类八勾股积与壬癸子丑一勾股较积戊己庚辛为弦自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形今减所余壬癸子丑一小正方形(即一勾股较积)仍余八勾股积一勾股较积为甲乙丙丁正方形即勾股和自乗之方故开方而得勾股和也设如有弦三十九尺勾股和五十一尺求勾股各几何(第六)法以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺又以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺相减余一千零八十尺折半得五百四十尺为勾股相乗之一长方形积乃以勾股和五十一尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十五尺为勾得长三十六尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之正方积戊己庚辛为弦自乗之正方积相减余甲戊己类四勾股形为二长方形积折半余一长方形积其阔即勾其长即股其长阔和即勾股和故以带纵和数开方法算之而得阔为勾得长为股也又法以弦三十九尺自乗得一千五百二十一尺倍之得三千零四十二尺又以勾股和五十一尺自乗得二千六百零一尺相减余四百四十一尺开方得二十一尺为勾股较于勾股和五十一尺内减勾股较二十一尺余三十尺折半得十五尺为勾于勾十五尺加勾股较二十一尺得三十六尺为股也如图戊己庚辛为弦自乗之正方内容戊癸己类四勾股积与壬癸子丑一勾股较积倍之则为八勾股积二勾股较积即如甲乙丙丁一大正方形仍余壬癸子丑一小正方形又甲乙丙丁为勾股和自乘之正方内容甲戊巳类八勾股积壬癸子丑一勾股较积今以所倍之一大正方形又余一小正方形内减甲乙丙丁正方形即余壬癸子丑一小正方形为勾股较积故开方而得勾股较也设如有勾弦和二十四尺股弦和二十七尺求勾股弦各几何(第七)法以勾弦和二十四尺与股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股弦总和于总和三十六尺内减勾弦和二十四尺余十二尺为股于总和三十六尺内减股弦和二十七尺余九尺为勾于股弦和二十七尺内减股十二尺或勾弦和二十四尺内减勾九尺余十五尺为弦也如图甲乙线为勾弦和甲丁线为股弦和相乗得甲乙丙丁长方形内戊己庚丁为弦自乗之正方辛乙壬己为勾股相乗之长方甲辛巳戊为股弦相乘之长方己壬丙庚为勾弦相乗之长方倍之即为癸子丑寅一大正方其每一边即勾股弦之总和其卯辰己寅为弦自乗之正方即如前图之戊己庚丁然其午未申辰为股自乘之正方其酉子戌未为勾自乗之正方两方相合又与前图戊己庚丁弦自乗之正方相等其艮酉未午与未戌干申为勾股相乗之二长方每一形即如前图之辛乙壬己然其亥午辰卯与辰申坎巳为股弦相乗之二长方每一形即如前图之甲辛己戊然其癸艮午亥与申干丑坎为勾弦相乗之二长方每一形即如前图之己壬丙庚然因癸子丑寅正方比甲乙丙丁长方每一形俱多一倍故甲乙勾弦和甲丁股弦和相乗所成之甲乙丙丁长方倍之而与癸子丑寅正方等开方得癸子类之每一边皆为勾股弦之总和也设如有勾股和二十一尺股弦和二十七尺求勾股弦各几何(第八)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以股弦和二十七尺自乗得七百二十九尺两数相减余二百八十八尺乃以勾股和二十一尺与勾弦和二十七尺相减余六尺为勾弦较(葢股与勾)(和股与弦和皆为一股所和故相减即勾弦较也)自乗得三十六尺与两和自乗相减之余二百八十八尺相加得三百二十四尺开方得十八尺为股与勾弦较之和内减勾弦较六尺余十二尺为股于勾股和二十一尺内减股十二尺余九尺为勾加勾弦较六尺得十五尺为弦也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为股自乘之一正方辛己壬丁为勾自乘之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为股弦和自乗之一大正方内卯子巳辰为股自乗之一正方午辰未寅为弦自乗之一正方癸卯辰午与辰巳丑未为股弦相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅股弦和自乗之方相减则于癸子丑寅股弦和自乗之方内去卯子己辰股自乗之一正方酉辰戌干勾自乗之一正方又去申卯辰酉与辰巳亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为勾弦较与股相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为弦自乗之一正方内减勾自乗之一正方所余之股自乗之一正方如以此磬折形积作一股自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之勾弦较与股相乗之二长方则惟缺午艮未震为勾弦较自乗之一小正方今以勾弦较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为股与勾弦较相和之数也设如有勾股和二十一尺勾弦和二十四尺求勾股弦各几何(第九)法以勾股和二十一尺自乗得四百四十一尺又以勾弦和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余一百三十五尺乃以勾股和二十一尺与勾弦和二十四尺相减余三尺为股弦较(葢勾与股)(和勾与弦和皆为一勾所和故相减即股弦较也)自乗得九尺与两和自乗相减之余一百三十五尺相加得一百四十四尺开方得十二尺为勾与股弦较之和内减股弦较三尺余九尺为勾于勾股和二十一尺内减勾九尺余十二尺为股加股弦较三尺得十五尺为弦也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊乙庚己为勾自乗之一正方辛已壬丁为股自乗之一正方甲戊已辛与己庚丙壬为勾股相乘之二长方又癸子丑寅为勾弦和自乗之一大正方内卯子巳辰为勾自乗之一正方午辰未寅为弦自乗之一正方癸卯辰午与辰己丑未为勾弦相乗之二长方今甲乙丙丁勾股和自乗之方与癸子丑寅勾弦和自乗之方相减则于癸子丑寅勾弦和自乗之方内去卯子己辰勾自乘之一正方酉辰戌干股自乘之一正方又去申卯辰酉与辰己亥戌勾股相乗之二长方所余癸申酉午与戌亥丑未二长方为股弦较与勾相乗之二长方又午酉干戌未寅一磬折形为弦自乗之一正方内减股自乗之一正方所余之勾自乗之一正方如以此磬折形积作一勾自乗之一正方再加癸申酉午与戌亥丑未之股弦较与勾相乗之二长方则惟缺午艮未震为股弦较自乗之一小正方今以股弦较自乗之数加于两和自乗相减之余甫成癸坎丑震一正方故开方而得癸坎类之每一边为勾与股弦较相和之数也设如有勾弦较九尺股弦较二尺求勾股弦各几何(第十)法以勾弦较九尺与股弦较二尺相乗得十八尺倍之得三十六尺开方得六尺为弦比勾股和相差之较加股弦较二尺得八尺为勾加勾弦较九尺得十五尺为股于勾数加勾弦较九尺得十七尺为弦或于股数加股弦较二尺亦得十七尺为弦也如图甲乙丙丁为弦自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方二方相减所余甲乙己戊庚丁磬折形即与勾自乗之一正方等而乙己与庚丁皆为股弦较试作甲壬癸辛一正方为勾自乗之方则壬乙与辛丁皆为股弦较其壬丑与乙己等辛子与丁庚等亦皆为股弦较以壬乙之勾弦较与壬丑之股弦较相乗则成壬乙己丑之一长方形以辛丁之勾弦较与辛子之股弦较相乗则成辛子庚丁之一长方形此两长方形必与戊丑癸子一正方形相等何也葢甲乙己戊庚丁与勾自乗之一正方相等之磬折形内减甲壬丑戊子辛一小磬折形则余壬乙己丑与辛子庚丁二长方形若于甲壬癸辛勾自乗之一正方内减甲壬丑戊子辛磬折形则余戊丑癸子一小正方形夫甲乙己戊庚丁磬折形既与甲壬癸辛之勾自乗之一正方相等今同减去甲壬丑戊子辛磬折形则彼所余之二长方必与此所余之一正方相等可知矣故勾弦较与股弦较相乗倍之开方而得弦比勾股和相差之较加股弦较得勾加勾弦较而得股也(葢图以乙丙为弦己)(丙为股故乙己为股弦较若以壬癸勾与己丙股相和则壬癸勾之壬丑一段)(即为股弦较而勾股和比弦所多者惟丑癸一段故丑癸为弦比勾股和相差)(之较也)设如有勾股较三十四尺勾弦较三十六尺求勾股弦各几何(第十一)法以勾股较三十四尺与勾弦较三十六尺相减余二尺为股弦较即如前法以股弦较二尺与勾弦较三十六尺相乗得七十二尺倍之得一百四十四尺开方得十二尺为弦比勾股和相差之较加股弦较二尺得十四尺为勾加勾弦较三十六尺得四十八尺为股于勾数加勾弦较三十六尺得五十尺为弦或于股数加股弦较二尺亦得五十尺为弦也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为弦乙丙为勾股较乙丁为勾弦较而丙丁为股弦较今以乙丁勾弦较减乙丙勾股较所余丙丁即为股弦较既得股弦较则如勾弦较股弦较求勾股弦之法算之即得各数矣设如有勾股较十四尺股弦较二尺求勾股弦各几何(第二十)法以勾股较十四尺与股弦较二尺相加得十六尺为勾弦较即如前法以勾弦较十六尺与股弦较二尺相乗得三十二尺倍之得六十四尺开方得八尺为弦比勾股和相差之较加股弦较二尺得十尺为勾加勾弦较十六尺得二十四尺为股于勾数加勾弦较十六尺得二十六尺为弦或于股数加股弦较二尺亦得二十六尺为弦也如图甲乙为勾甲丙为股甲丁为弦乙丙为勾股较丙丁为股弦较而乙丁为勾弦较今以乙丙勾股较与丙丁股弦较相加则得乙丁之勾弦较既得勾弦较则如勾弦较股弦较求勾股弦之法算之即得各数矣设如有勾弦和二十四尺勾股较三尺求勾股弦各几何(第十三)法以勾弦和二十四尺加勾股较三尺得二十七尺为股弦和用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之以勾弦和二十四尺与股弦和二十七尺相乗得六百四十八尺倍之得一千二百九十六尺开方得三十六尺为勾股弦总和内减勾弦和二十四尺余十二尺为股减勾股较三尺余九尺为勾于勾弦和二十四尺内减勾九尺余十五尺为弦也如图甲丙为股乙丙为勾丙丁为弦乙丁为勾弦和甲乙为勾股较而甲丁为股弦和故甲乙勾股较与乙丁勾弦和相加得甲丁为股弦和也若夫股弦和勾股较求勾股弦者则于股弦和内减勾股较即勾弦和亦用勾弦和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙为股乙丙为勾丙丁为弦则甲丁为股弦和甲乙为勾股较而乙丁为勾弦和故于甲丁股弦和内减甲乙勾股较余乙丁为勾弦和也设如有勾股和二十三尺勾弦较九尺求勾股弦各几何(第十四)法以勾股和二十三尺加勾弦较九尺得三十二尺为股弦和用勾股和股弦和求勾股弦之法算之以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺两数相减余四百五十九尺乃以勾弦较九尺自乗得八十一尺与两和自乗相减之余四百九十五尺相加得五百七十六尺开方得二十四尺为股与勾弦较之和内减勾弦较九尺余十五尺为股于勾股和二十三尺内减股十五尺余八尺为勾加勾弦较九尺得十七尺为弦也如图甲丙为弦乙丙为勾丙丁为股乙丁为勾股和甲乙为勾弦较而甲丁为股弦和故甲乙勾弦较与乙丁勾股和相加得甲丁为股弦和也若夫股弦和勾弦较求勾股弦者则于股弦和内减勾弦较即勾股和亦用勾股和股弦和求勾股弦之法算之如甲丙为弦乙丙为勾丙丁为股则甲丁为股弦和甲乙为勾弦较而乙丁为勾股和故于甲丁股弦和内减甲乙勾弦较余乙丁为勾股和也设如有勾股和十七尺股弦较一尺求勾股弦各几何(第十五)法以勾股和十七尺加股弦较一尺得十八尺为勾弦和用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之以勾股和十七尺自乗得二百八十九尺又以勾弦和十八尺自乗得三百二十四尺两数相减余三十五尺乃以股弦较一尺自乗仍得一尺与两和自乗相减之余三十五尺相加得三十六尺开方得六尺为勾与股弦较之和内减股弦较一尺余五尺为勾于勾股和十七尺内减勾五尺余十二尺为股加股弦较一尺得十三尺为弦也如图甲乙为勾乙丙为股乙丁为弦甲丙为勾股和丙丁为股弦较而甲丁为勾弦和故甲丙勾股和与丙丁股弦较相加得甲丁为勾弦和也若夫勾弦和股弦较求勾股弦者则于勾弦和内减股弦较即勾股和亦用勾股和勾弦和求勾股弦之法算之如甲乙为勾乙丙为股乙丁为弦则甲丁为勾弦和丙丁为股弦较而甲丙为勾股和故于甲丁勾弦和内减丙丁股弦较余甲丙为勾股和也设如有勾八尺弦与勾股和之较六尺求股弦各几何(第十六)法以勾八尺内减弦与勾股和之较六尺余二尺为股弦较用有勾有股弦较求股弦法算之如甲乙为勾乙丙为股甲丙为勾股和丁丙为弦甲丁为弦与勾股和之较丁乙为股弦较故甲乙勾内减甲丁弦与勾股和之较余丁乙为股弦较也若有股弦较与弦与勾股和之较求勾股弦者则以股弦较与弦与勾股和之较相加即勾亦用有勾有股弦较求股弦法算之设如有勾八尺弦与勾股较之较十尺求股弦各几何(第十七)法以勾八尺与弦与勾股较之较十尺相减余二尺为股弦较用有勾有股弦较求股弦法算之如甲乙为股丙乙为勾甲丁为弦甲丙为勾股较乙丁为股弦较丙丁为弦与勾股较之较故丙丁弦与勾股较之较内减丙丁勾余乙丁为股弦较也若有股弦较与弦与勾股较之较求勾股弦者则以股弦较与弦与勾股较之较相减余即勾亦用有勾有股弦较求股弦法算之设如有勾八尺勾股弦总和四十尺求股弦各几何(第十八)法以勾八尺与勾股弦总和四十尺相减余三十二尺为股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙为勾乙丙为股丙丁为弦甲丁为勾股弦总和故甲丁勾股弦总和内减甲乙勾余乙丁为股弦和也若有股弦和与勾股弦总和求勾股弦者则以股弦和与勾股弦总和相减余即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之设如有勾八尺弦与勾股较之和二十四尺求股弦各几何(第十九)法以勾八尺与弦与勾股较之和二十四尺相加得三十二尺为股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙为勾甲丙为股乙丙为勾股较丙丁为弦甲丁为股弦和乙丁为弦与勾股较之和故以甲乙勾与乙丁弦与勾股较之和相加得甲丁为股弦和也若有股弦和与弦与勾股较之和求勾股弦者则于股弦和内减弦与勾股较之和余即勾亦用有勾有股弦和求股弦法算之设如有股十五尺弦与勾股和之较六尺求勾弦各几何(第二十)法以股十五尺内减弦与勾股和之较六尺余九尺为勾弦较用有股有勾弦较求勾弦法算之如甲乙为股乙丙为勾甲丙为勾股和丁丙为弦甲丁为弦与勾股和之较丁乙为勾弦较故甲乙股内减甲丁弦与勾股和之较余丁乙即勾弦较也若有勾弦较与弦与勾股和之较求勾股弦者则以勾弦较与弦与勾股和之较相加即股亦用有股有勾弦较求勾弦法算之设如有股十五尺弦与勾股较之较十尺求勾弦各几何(第二十一)法以股十五尺与弦与勾股较之较十尺相加得二十五尺为勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙为股甲丙为勾丙丁为弦甲丁为勾弦和丙乙为勾股较乙丁为弦与勾股较之较故以甲乙股与乙丁弦与勾股较之较相加得甲丁为勾弦和也若有勾弦和与弦与勾股较之较求勾股弦者则于勾弦和内减弦与勾股较之较余即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之设如有股十五尺勾股弦总和四十尺求勾弦各几何(第二十二)法以股十五尺与勾股弦总和四十尺相减余二十五尺为勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙为股乙丙为勾丙丁为弦甲丁为勾股弦总和故甲丁勾股弦总和内减甲乙股余乙丁为勾弦和也若有勾弦和与勾股弦总和求勾股弦者则以勾股和与勾股弦总和相减余即股亦用有股有勾弦和求勾弦法算之设如有股十五尺弦与勾股较之和二十四尺求勾弦各几何(第二十三)法以股十五尺与弦与勾股较之和二十四尺相减余九尺为勾弦较用有股有勾弦较求勾弦法算之如甲乙为股丙乙为勾丙丁为弦甲丙为勾股较乙丁为勾弦较甲丁为弦与勾股较之和故甲丁弦与勾股较之和内减甲乙股余乙丁为勾弦较也若有勾弦较与弦与勾股较之和求勾股弦者则以勾弦较与弦与勾股较之和相减余即股亦用有股有勾弦较求勾弦法算之设如有弦十七尺弦与勾股和之较六尺求勾股各几何(第二十四)法以弦十七尺与弦与勾股和之较六尺相加得二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙为弦甲丙为勾丙丁为股甲丁为勾股和乙丁为弦与勾股和之较故甲乙弦与乙丁弦与勾股和之较相加得甲丁为勾股和也若有勾股和与弦与勾股和之较求勾股弦者则于勾股和内减弦与勾股和之较余即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之设如有弦十七尺弦与勾股较之较十尺求勾股各几何(第二十五)法以弦十七尺内减弦与勾股较之较十尺余七尺为勾股较用有弦有勾股较求勾股法算之如甲乙为弦丙丁为股乙丁为勾丙乙为勾股较甲丙为弦与勾股较之较故甲乙弦内减甲丙弦与勾股较之较余丙乙为勾股较也若有勾股较与弦与勾股较之较求勾股弦者则以勾股较与弦与勾股较之较相加即弦亦用有弦有勾股较求勾股法算之设如有弦十七尺勾股弦总和四十尺求勾股各几何(第二十六)法以弦十七尺与勾股弦总和四十尺相减余二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙为弦乙丙为勾丙丁为股甲丁为勾股弦总和故甲丁勾股弦总和内减甲乙弦余乙丁为勾股和也若有勾股和与勾股弦总和求勾股弦者则以勾股和与勾股弦总和相减余即弦亦用有弦有勾股和求勾股法算之设如有弦十七尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股各几何(第二十七)法以弦十七尺与弦与勾股较之和二十四尺相减余七尺为勾股较用有弦有勾股较求勾股法算之如甲乙为弦乙丙为股丁丙为勾乙丁为勾股较甲丁为弦与勾股较之和故甲丁弦与勾股较之和内减甲乙弦余乙丁为勾股较也若有勾股较与弦与勾股较之和求勾股弦者则于弦与勾股较之和内减勾股较余即弦亦用有弦有勾股较求勾股法算之设如有弦与勾股和之较六尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第二十八)法以弦与勾股和之较六尺与弦与勾股较之较十尺相加得十六尺折半得八尺为勾于勾八尺内减弦与勾股和之较六尺余二尺为股弦较用有勾有股弦较求股弦法算之如甲乙为股戊乙乙丙皆为勾甲丙为勾股和甲戊为勾股较甲丁为弦丁丙即弦与勾股和之较戊丁即弦与勾股较之较故丁丙弦与勾股和之较与戊丁弦与勾股较之较相加得戊丙为二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾内减弦与勾股和之较即股弦较矣设如有弦与勾股和之较六尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何(第二十九)法以弦与勾股和之较六尺与弦与勾股较之和二十四尺相加得三十尺折半得十五尺为股于股十五尺内减弦与勾股和之较六尺余九尺为勾弦较用有股有勾弦较求勾弦法算之如甲乙乙丙皆为股丁乙为勾丁丙为勾股和甲丁为勾股较丁戊为弦戊丙即弦与勾股和之较甲戊即弦与勾股较之和故戊丙弦与勾股和之较与甲戊弦与勾股较之和相加得甲丙为二股之共数是以折半得股也既得股则于股内减弦与勾股和之较即勾弦较矣设如有勾股弦总和四十尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何(第三十)法以勾股弦总和四十尺内减弦与勾股较之和二十四尺余十六尺折半得八尺为勾于勾股弦总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股弦和用有勾有股弦和求股弦法算之如甲乙为弦乙丙为股丙丁为勾乙戊为勾股较甲丁为勾股弦总和甲戊为弦与勾股较之和故甲丁勾股弦总和内减甲戊弦与勾股较之和余戊丁即二勾之共数是以折半得勾也既得勾则于勾股弦总和内减勾即股弦和矣设如有勾股弦总和四十尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第三十一)法以勾股弦总和四十尺内减弦与勾股较之较十尺余三十尺折半得十五尺为股于勾股弦总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾弦和用有股有勾弦和求勾弦法算之如甲乙为弦乙丙为勾丙丁为股戊乙为勾股较甲丁为勾股弦总和甲戊为弦与勾股较之较故甲丁勾股弦总和内减甲戊弦与勾股较之较余戊丁即二股之共数是以折半得股也既得股则于勾股弦总和内减股即勾弦和矣设如有弦与勾股较之和二十四尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第三十二)法以弦与勾股较之和二十四尺与弦与勾股较之较十尺相加得三十四尺折半得十七尺为弦于弦与勾股较之和二十四尺内减弦十七尺余七尺为勾股较用有弦有勾股较求勾股法算之如甲乙乙丙皆为弦乙丁为勾股较甲丁为弦与勾股较之和丁丙为弦与勾股较之较故甲丁弦与勾股较之和与丁丙弦与勾股较之较相加得甲丙为二弦之共数是以折半得弦也既得弦则于弦与勾股较之和内减弦即勾股较矣设如有勾股弦总和四十尺弦与勾股和之较六尺求勾股弦各几何(第三十三)法以勾股弦总和四十尺内减弦与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为弦于勾股弦总和四十尺内减弦十七尺余二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之如甲乙为勾股和乙丙为弦甲丙为勾股弦总和甲丁为弦与勾股和之较故甲丙勾股弦总和内减甲丁弦与勾股和之较余丁丙即二弦之共数是以折半得弦也既得弦则于勾股弦总和内减弦即勾股和矣御制数理精蕴下编卷十二
## 下编卷十三
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十三面部三勾股(勾股弦和较相求法下股勾股积与和较相求 正勾 比例)勾股弦和较相求法(下)设如有勾股较七尺勾股弦总和四十尺求勾股弦各几何(第三十四)法以勾股弦总和四十尺内减勾股较七尺余三十三尺为两勾一弦之共数(葢勾股弦总和为一勾一股一弦之共数内减勾股较是于股内减勾股较即)(又得一勾矣故为两勾一弦也)自乗得一千零八十九尺又以勾股较七尺自乗得四十九尺两自乗数相减余一千零四十尺折半得五百二十尺为长方积乃以勾股弦总和四十尺与两勾一弦之共数三十三尺相加得七十三尺为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得阔八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股于勾股弦总和四十尺内减勾八尺又减股十五尺余十七尺为弦也如图甲乙丙丁为两勾一弦自乗之一大正方内戊己庚辛为弦自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚夘丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊巳寅卯庚辛庚辰己为勾弦相乗之四长方弦自乗之一正方内容四勾股积为勾股相乗之二长方又勾股较自乗之一小正方今于甲乙丙丁两勾一弦自乗之一大正方内减去午未申酉勾股较自乗之一小正方尚余勾股相乗之二长方勾弦相乗之四长方勾自乗之四正方折半得勾股相乗之一长方勾弦相乗之二长方勾自乗之二正方与戌亥干坎长方形等其濶即勾其长为两勾两弦一股其长濶和为三勾两弦一股故以勾股弦总和与两勾一弦之共数相并为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得阔为勾也又法以勾股弦总和四十尺自乗得一千六百尺折半得八百尺为长方积乃以勾股较七尺为长阔较用𢃄纵较数开方法筭之得阔二十五尺为勾弦和得长三十二尺为股弦和于勾股弦总和四十尺内减勾弦和二十五尺余十五尺为股减勾股较七尺余八尺为勾又于勾弦和二十五尺内减勾八尺余十七尺为弦也如图甲乙丙丁为勾股弦总和自乗之一大正方内戊己庚丁为弦自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为勾自乗之一正方甲辰辛寅与癸己卯丙为勾弦相乗之二长方寅辛己戊与己癸卯庚为股弦相乗之二长方辰子壬辛与壬丑己癸为勾股相乗之二长方如以勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并则又与弦自乗之一正方相等是为弦自乗之正方二股弦相乗之长方二勾弦相乗之长方二勾股相乗之长方二折半即得弦自乗之正方一股弦相乗之长方一勾弦相乗之长方一勾股相乗之长方一而与午未申酉勾弦和与股弦和相乗之长方等葢午未申酉之长方内戌亥干酉为弦自乗之一正方午坎亥戌为股弦相乗之一长方亥艮申干为勾弦相乗之一长方坎未艮亥为勾股相乗之一长方其濶即勾弦和其长即股弦和其长濶较即勾股较故以勾股较为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得濶为勾弦和也设如有勾弦较九尺勾股弦总和四十尺求勾股弦各几何(第三十五)法以勾股弦总和四十尺内减勾弦较九尺余三十一尺为两勾一股之共数(盖勾股弦总和为一勾一股一弦之共数内减勾弦较是于弦内减勾弦较即)(又得一勾矣故为两勾一股也)自乗得九百六十一尺又以勾股弦总和四十尺与勾弦较九尺相加得四十九尺为两弦一股之共数(葢勾股弦总和为一勾一股一弦之共数今加勾弦较是于勾数加勾弦)(较即又得一弦矣故为两弦一股也)自乗得二千四百零一尺两数相减余一千四百四十尺四归之得三百六十尺为长方积乃以勾弦较九尺为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得濶十五尺为股于勾股弦总和四十尺内减股十五尺余二十五尺为勾弦和减勾弦较九尺余十六尺折半得八尺为勾加勾弦较九尺得十七尺为弦也如图甲乙丙丁为两勾一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为勾自乗之四正方壬戊辛癸子丑己戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两弦一股自乗之一大正方内戊己庚辛为股自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为弦自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为股弦相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为弦自乗之方内减去勾自乗之方与股自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃勾弦较与股相乗之四长方(戌戊为弦壬戊为勾故戌)(壬为勾弦较)以四归之则余股自乗之一正方勾弦较与股相乗之一长方共为戌坤兑亥一长方其阔即股其长即股与勾弦较之和故以勾弦较为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得濶为股也设如有股弦较二尺勾股弦总和四十尺求勾股弦各几何(第三十六)法以勾股弦总和四十尺内减股弦较二尺余三十八尺为两股一勾之共数(盖勾股弦总和为一勾一股一弦之共数内减股弦较是于弦内减股弦较即)(又得一股矣故为两股一勾也)自乗得一千四百四十四尺又以勾股弦总和四十尺与股弦较二尺相加得四十二尺为两弦一勾之共数(葢勾股弦总和为一勾一股一弦之共数今加股弦较是于股)(数加股弦较即又得一弦矣故为两弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺两数相减余三百二十尺四归之得八十尺为长方积乃以股弦较二尺为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得阔八尺为勾于勾股弦总和四十尺内减勾八尺余三十二尺为股弦和减股弦较二尺余三十尺折半得十五尺为股加股弦较二尺得十七尺为弦也如图甲乙丙丁为两股一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方甲子戊壬丑乙寅己庚卯丙辰癸辛己丁为股自乗之四正方壬戊辛癸子丑巳戊己寅卯庚辛庚辰己为勾股相乗之四长方又午未申酉为两弦一勾自乗之一大正方内戊己庚辛为勾自乗之一正方午干戊戌坎未艮己庚震申巽亥辛离酉为弦自乗之四正方戌戊辛亥干坎巳戊巳艮震庚辛庚巽离为勾弦相乗之四长方今于午未申酉之正方内减去甲乙丙丁之正方所余四隅之午干子甲壬戌等类四磬折形皆为弦自乗之方内减去股自乗之方与勾自乗之四正方积相等四面之戌壬癸亥等类四长方形乃股弦较与勾相乗之四长方(戌戊为弦壬戊为股故戌壬为股弦)(较)以四归之则余勾自乗之一正方股弦较与勾相乗之一长方共为戌坤兊亥一长方其阔即勾其长即勾与股弦较之和故以股弦较为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得阔为勾也设如有勾股和二十三尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第三十七)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以勾股和二十三尺与弦与勾股较之较十尺相加得三十三尺为两勾一弦之共数(葢弦与勾股较之较为一勾一股弦较之)(共数与勾股和相加则得两勾一股一股弦较而股加股弦较即弦故为两勾)(一弦之共数也)自乗得一千零八十九尺两自乗数相减余五百六十尺折半得二百八十尺为长方积乃以弦与勾股较之较十尺与两勾一弦之共数三十三尺相加得四十三尺为长濶和用𢃄纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾股和二十三尺内减勾八尺余十五尺为股又于股十五尺内减勾八尺余七尺为勾股较与弦与勾股较之较十尺相加得十七尺为弦也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一弦自乗之一大正方内卯辰巳寅为弦自乗之一正方未申酉辰亥干申未干子坎申申坎艮酉为勾自乗之四正方癸亥未午午未辰卯辰酉戌己酉艮丑戌为勾弦相乗之四长方今以两正方相减则是癸子丑寅方内减去离辰坤震股自乗之一正方即如前图之戊己庚丁然又未申酉辰勾自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然又巽未辰离辰酉兑坤勾股相乗之二长方即如前图之甲辛己戊己壬丙庚然所余之卯离震坤己寅一磬折形与勾自乗之一正方等(弦自乗之正方内减股自乗之方则与勾自乗之方)(等)再午巽离卯与坤兑戌己二小长方为股弦较与勾相乗之二长方若各补于勾自乗之二正方内即成勾与弦与勾股较之较相乗二长方(葢弦与勾股较之较乃弦)(内减去勾股较之余然弦内有一勾一勾股较一股弦较若减去勾股较则所)(余为一勾一股弦较矣今以股弦较与勾相乗之长方补于勾自乗之正方内)(则其长为一勾一股弦较即弦与勾股较之较其濶即勾故为勾与弦与勾股)(较之较相乗之长方也)合计之则为勾自乗二正方勾弦相乗二长方勾与弦与勾股较之较相乗二长方折半则余勾自乗一正方勾弦相乗一长方勾与弦与勾股较之较相乗一长方之共积与金木水火长方形等其阔即勾其长为一勾一弦一弦与勾股较之较其长阔和为两勾一弦一弦与勾股较之较故以弦与勾股较之较与两勾一弦之共数相加用帯纵和数开方法算之得阔为勾也设如有勾股和二十三尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何(第三十八)法以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺又以弦与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相加得一千一百零五尺为长方积乃以弦与勾股较之和二十四尺倍之得四十八尺为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得十七尺为弦于弦与勾股较之和二十四尺内减弦十七尺余七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾股和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股相乗之二长方又癸子丑寅为弦与勾股较之和自乗之一大正方内卯辰巳寅为弦自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方癸午辰卯与辰未丑巳为勾股较与弦相乗之二长方两大正方相并则得弦自乗三正方勾股较与弦相乗二长方共为申酉戌亥一长方形何也卯辰巳寅为一弦方戊己庚丁一股方与辛乙壬己一勾方相并为一弦方甲辛己戊己壬丙庚勾股相乗之二长方即四勾股积与午子未辰勾股较自乗之一正方相并又为一弦方癸午辰卯辰未丑巳即勾股较与弦相乗之二长方今二自乗方相加则成申酉戌亥之一大长方其阔即弦其长为三弦二勾股较其长濶较为二弦二勾股较故将弦与勾股较之和倍之为二弦二勾股较之共数用𢃄纵较数开方法算之得阔为弦也设如有勾弦和二十五尺弦与勾股和之较六尺求勾股弦各几何(第三十九)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺与弦与勾股和之较六尺相加得三十一尺为两勾一股之共数(葢勾弦和为一勾一弦之共数今于弦数)(内加弦与勾股和之较即为勾股和是为两勾一股之共数矣)与勾弦和二十五尺相乗得七百七十五尺两数相减余一百五十尺为长方积乃以勾弦和二十五尺为长濶和用𢃄纵和数开方法算之得长十五尺为股于股十五尺内减弦与勾股和之较六尺余九尺为勾弦较与勾弦和二十五尺相加得三十四尺折半得十七尺为弦内减勾弦较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾弦和自乗之一大正方内戊巳庚丁为弦自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾弦相乗之二长方又癸子丑寅为两勾一股与勾弦和相乗之一大长方内卯辰己寅为股自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为勾与弦相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛巳戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为勾自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为勾自乗之一正方与卯辰巳寅股自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑巳一长方其辰巳长即股其辰巳巳丑长阔和即勾弦和故以𢃄纵和数开方法算之得长为股也设如有勾弦和二十五尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何(第四十)法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺又以勾弦和二十五尺与弦与勾股较之和二十四尺相加得四十九尺为两弦一股之共数(葢勾弦和加弦与勾股较之和)(则得两弦一勾一勾股较而勾加勾股较即股故为两弦一股也)自乗得二千四百零一尺两自乗数相加得三千零二十六尺为长方积乃以两弦一股之共数倍之得九十八尺为四弦二股之共数与勾弦和相加得一百二十三尺为长濶和用𢃄纵和数开方法算之得濶三十四尺折半得十七尺为弦于勾弦和二十五尺内减弦十七尺余八尺为勾又于弦与勾股较之和二十四尺内减弦十七尺余七尺为勾股较与勾八尺相加得十五尺为股也如图甲乙丙丁为勾弦和自乗之一大正方内戊己庚丁为弦自乗之一正方辛乙壬己为勾自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为勾弦相乗之二长方又癸子丑寅为两弦一股自乗之一大正方内卯辰己寅为弦自乗之四正方午未子辰为股自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑己为股弦相乗之四长方今以两自乗之方相并则得弦自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为弦自乗之一正方共为弦自乗六正方勾弦相乗二长方股弦相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其濶即二弦数其长为三弦一勾二股数其长濶和为五弦一勾二股数故将两弦一股之共数倍之与勾弦和相加为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得濶为二弦而折半为弦也设如有股弦和三十二尺弦与勾股和之较六尺求勾股弦各几何(第四十一)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺与弦与勾股和之较六尺相加得三十八尺为两股一勾之共数(葢股弦和为一股一弦之共数今于)(弦数内加弦与勾股和之较即为勾股和是为两股一勾之共数矣)与股弦和三十二尺相乗得一千二百一十六尺两数相减余一百九十二尺为长方积乃以股弦和三十二尺为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得阔八尺为勾于勾八尺内减弦与勾股和之较六尺余二尺为股弦较与股弦和三十二尺相加得三十四尺折半得十七尺为弦内减股弦较二尺余十五尺为股也如图甲乙丙丁为股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁为弦自乗之一正方辛乙壬己为股自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股弦相乗之二长方又癸子丑寅为两股一勾与股弦和相乗之一大长方内卯辰巳寅为勾自乗之一正方午未申卯与癸酉未午为股弦相乗之二长方与甲乙丙丁大正方内之甲辛己戊己壬丙庚二长方等未戌亥申为股自乗之一正方与甲乙丙丁大正方内之辛乙壬己一正方等而酉子戌未亦为股自乗之一正方与卯辰己寅勾自乗之一正方相并乃与甲乙丙丁大正方内之戊己庚丁弦自乗之一正方等两数相减所余为辰亥丑己一长方其辰己濶即勾其辰己巳丑长濶和即股弦和故以𢃄纵和数开方法算之得阔为勾也设如有股弦和三十二尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第四十二)法以股弦和三十二尺自乗得一千零二十四尺又以股弦和三十二尺与弦与勾股较之较十尺相加得四十二尺为两弦一勾之共数(葢弦与勾股较之较为一勾一股弦)(较之共数与股弦和相加则得一勾一股一弦一股弦较而股加股弦较即又)(得一弦故为两弦一勾也)自乗得一千七百六十四尺两自乗数相加得二千七百八十八尺为长方积乃以两弦一勾之共数倍之得八十四尺为四弦二勾之共数与股弦和三十二尺相加得一百一十六尺为长濶和用𢃄纵和数开方法算之得阔三十四尺折半得十七尺为弦于股弦和三十二尺内减弦十七尺余十五尺为股又于弦十七尺内减弦与勾股较之较十尺余七尺为勾股较于股十五尺内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股弦和自乗之一大正方内戊己庚丁为弦自乗之一正方辛乙壬巳为股自乗之一正方甲辛己戊与巳壬丙庚为股弦相乗之二长方又癸子丑寅为两弦一勾自乗之一大正方内卯辰巳寅为弦自乗之四正方午子未辰为勾自乗之一正方癸申酉卯申午辰酉辰未亥戌戌亥丑巳为勾弦相乗之四长方今以两自乗之方相并则得弦自乗五正方又勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并为弦自乗之一正方共为弦自乗六正方股弦相乗二长方勾弦相乗四长方相合共成干坎艮震一大长方其阔即二弦数其长为三弦一股二勾数其长濶和为五弦一股二勾数故将两弦一勾之共数倍之与股弦和相加为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得濶为二弦而折半为弦也设如有勾股较七尺弦与勾股和之较六尺求勾股弦各几何(第四十三)法以弦与勾股和之较六尺自乗得三十六尺折半得十八尺为长方积以勾股较七尺为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得二尺为股弦较与弦与勾股和之较六尺相加得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股再加股弦较二尺得十七尺为弦也如图甲乙丙丁为弦自乗之一正方戊己丙庚为股自乗之一正方甲壬癸辛为勾自乗之一正方戊丑癸子为弦与勾股和之较自乗之一正方其积与壬乙己丑辛子庚丁之勾弦较与股弦较相乗之二长方等(见前有勾弦较股弦较求勾股弦法)今以弦与勾股和之较自乗折半必与壬乙己丑一长方积相等其乙己阔即股弦较其壬乙长即勾弦较而勾弦较之中有一股弦较一勾股较故以勾股较为长阔较用帯纵较数开方法算之得濶为股弦较也设如有勾弦较九尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何(第四十四)法以弦与勾股较之较十尺为勾与股弦较之共数(葢弦与勾股较之较乃弦内减去勾股较之余然弦)(内有一勾一勾股较一股弦较今减去勾股较故余为勾与股弦较之共数也)自乗得一百尺又以勾弦较九尺与弦与勾股较之较十尺相加得十九尺为弦与股弦较之共数(葢勾加勾弦较即弦今弦与勾股较)(之较既为勾与股弦较之共数若加勾弦较则为弦与股弦较之共数矣)自乗得三百六十一尺两自乗数相减余二百六十一尺又以勾弦较九尺自乗得八十一尺于两自乗数相减之余二百六十一尺内减之余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾弦较九尺为长濶较用𢃄纵较数开方法算之得长十五尺为股以股十五尺与弦与股弦较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为弦内减勾弦较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾与股弦较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛乙壬己为股弦较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为股弦较与勾相乗之二长方又癸子丑寅为弦与股弦较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为弦自乗之一正方午未子辰为股弦较自乗之一正方即如前图之辛乙壬巳然癸午辰卯与辰未丑巳为股弦较与弦相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形余卯酉戌亥巳寅磬折形为弦自乗方内减去勾自乗方所余之股自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾弦较与股弦较相乗之二长方共积与弦与勾股和之较自乗之正方等今以卯酉戌亥巳寅磬折形变为股自乗之方作一坎艮震巽正方形又以癸申酉卯亥干丑己二长方共积变为弦与勾股和之较自乗之方作一巽离坤兑正方形则此二正方邉之较即勾弦较(并见勾弦较股弦较求勾股弦法中)是以坎艮震巽股自乗之正方形内减去水艮金木勾弦较自乗之正方则余坎水木金震巽一磬折形而此磬折形内火木离巽之一正方形与巽离坤兑之正方形等是则坎水木金震巽磬折形与巽离坤兑正方形相合共为坎水离巽类之二长方矣折半则为一长方其阔即弦与勾股和之较其长即股其长阔较即勾弦较故以勾弦较为长濶较用𢃄纵较数开方法算之得长为股也又法以弦与勾股较之较十尺为勾与股弦较之共数与勾弦较九尺相加得十九尺为弦与股弦较之共数两数相并得二十九尺为一勾一弦二股弦较之共数与勾弦较九尺相乗得二百六十一尺又以勾弦较九尺自乗得八十一尺两积相减余一百八十尺折半得九十尺为长方积以勾弦较九尺为长阔较用帯纵较数开方法算之得长十五尺为股与弦与股弦较之共数十九尺相加得三十四尺折半得十七尺为弦内减勾弦较九尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为勾弦较与一勾一弦二股弦较相乗之长方内甲乙己戊为勾弦较与勾弦和相乗之一长方与庚辛壬癸股自乗之一正方积等(见股与勾弦较求勾)(弦法中)戊己丙丁为勾弦较与股弦较相乗之二长方与癸子丑寅弦与勾股和之较自乗之一正方积等此二正方邉之较即勾弦较(并见勾弦较股弦较求勾股弦法中)是以庚辛壬癸股自乗之正方形内减去卯辛巳辰勾弦较自乗之正方则余庚卯辰己壬癸一磬折形而此磬折形内午辰子癸之一正方与癸子丑寅之正方形等庚卯辰午之一长方与辰己壬子之长方形等折半即余庚卯子癸一长方形其阔即弦与勾股和之较其长即股其长阔较即勾弦较故以勾弦较为长阔较用𢃄纵较数开方法算之得长为股也设如有股弦较二尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何(第四十五)法以弦与勾股较之和二十四尺减股弦较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数(葢弦内减股弦较余即股故于弦与勾股较之和内减股弦较)(余即为股与勾股较之共数也)自乗得四百八十四尺又以弦与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两自乗数相减余九十二尺又于股与勾股较之共数自乗之四百八十四尺内减两自乗数相减所余之九十二尺余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股弦较二尺余四十二尺为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得濶十四尺折半得七尺为勾股较于弦与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为弦于弦内减股弦较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方内戊己庚丁为股自乗之一正方辛乙壬己为勾股较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与股相乗之二长方又癸子丑寅为弦与勾股较相和自乗之一大正方内卯辰巳寅为弦自乗之一正方午子未辰为勾股较自乗之一正方即如前图之辛乙壬己然癸午辰卯与辰未丑己为勾股较与弦相乗之二长方两自乗方相减则于癸子丑寅正方形内减去与甲乙丙丁正方形相等之申子干戌正方形所余卯酉戌亥巳寅磬折形为弦自乗方内减去股自乗方所余之勾自乗之方积其癸申酉卯与亥干丑巳为勾股较与股弦较相乗之二长方今以此余积再于甲乙丙丁正方形内减之则减去坎艮震丁勾自乗之一正方其积与卯酉戌亥巳寅磬折形等又甲巽离戊与戊离坤坎二长方即如癸申酉卯亥干丑巳二长方然所余兑巳庚震与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方火辛己兑与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方巽火兑离与离兑艮坤为勾与股弦较之较与勾股较相乗之二长方试将巽火兑离离兑艮坤二长方移为水木辛火木金乙辛则成水金丙震一大长方形其阔即二勾股较其长即二股内少一股弦较其长濶和为二勾股较二股少一股弦较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股弦较为长濶和用帯纵和数开方法算之得濶为二勾股较折半得勾股较也又法以弦与勾股较之和二十四尺减股弦较二尺余二十二尺为股与勾股较之共数自乗得四百八十四尺又以弦与勾股较之和二十四尺与股与勾股较之共数二十二尺相加得四十六尺为一股一弦二勾股较之共数以股弦较二尺乗之得九十二尺两数相减余三百九十二尺为长方积乃以股与勾股较之共数二十二尺倍之得四十四尺内减股弦较二尺余四十二尺为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得阔十四尺折半得七尺为勾股较于弦与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为弦于弦内减股弦较二尺余十五尺为股于股内减勾股较七尺余八尺为勾也如图甲乙丙丁为股与勾股较相和自乗之一大正方亦即一勾二勾股较之共数自乗之正方也(盖图以甲辛为股辛乙为勾股较若以甲申为勾则申辛亦勾股较故为一勾)(两勾股较也)内巳午未丁为勾自乗之一正方申辛己酉酉巳戌午辛乙壬己巳壬亥戌为勾股较自乗之四正方甲申酉戊戊酉午巳午戌庚未戊亥丙庚为勾股较与勾相乗之四长方又癸子丑寅为股弦较与一股一弦二勾股较相乗之一长方内癸子辰夘为股弦较与股弦和相乗之一长方与勾自乗之一正方等(见勾与股弦较求股弦法中)卯辰丑寅为股弦较与二勾股较相乗之二长方今以两积相减则于甲乙丙丁正方形内减去与癸子辰卯相等之巳午未丁之勾自乗之一正方又减去与卯辰丑寅相等之甲干坎戊戊坎艮巳之股弦较与二勾股较相乗之二长方所余酉巳庚未与己壬丙庚为股与勾股较相乗之二长方申辛己酉与辛乙壬己为勾股较自乗之二正方干申酉坎坎酉午艮为勾与股弦较之较与勾股较相乗之二长方试将干申酉坎坎酉午艮二长方移为震巽辛申巽离乙辛则成震离丙未一大长方形其濶即二勾股较其长即二股内少一股弦较其长濶和为二勾股较二股内少一股弦较故以股与勾股较之共数倍之得二股二勾股较内减去一股弦较为长阔和用𢃄纵和数开方法算之得阔为二勾股较折半得勾股较也勾股积与勾股弦和较相求法设如有勾股积一百二十尺勾十尺求股弦各几何法以勾股积一百二十尺倍之得二百四十尺以勾十尺除之得二十四尺为股勾股求弦得弦二十六尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其阔即勾其长即股故以勾除倍积而得股也设如有勾股积六十尺股十五尺求勾弦各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以股十五尺除之得八尺为勾勾股求弦得弦十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其长即股其濶即勾故以股除倍积而得勾也设如有勾股积三十尺弦十三尺求勾股各几何法以勾股积三十尺四因之得一百二十尺又以弦十三尺自乗得一百六十九尺相减余四十九尺开方得七尺为勾股较乃以勾股积倍之为长方积以勾股较为长濶较用帯纵较数开方法算之得濶五尺为勾得长十二尺为股如图甲乙丙丁为弦自乗之方内容甲戊乙乙己丙丙庚丁丁辛甲四勾股积戊己庚辛一勾股较自乗方积故于弦自乗方内减四勾股积即余勾股较自乗之方而开方得勾股较也设如有勾股积六十尺勾股较七尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺倍之得一百二十尺以勾股较七尺为长濶较用𢃄纵较数开方法算之得濶八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求弦得弦十七尺如图甲乙丙勾股形积倍之成甲乙丙丁长方形积其濶即勾其长即股其长濶较即勾股较故用𢃄纵较数开方法算之得阔为勾也又如有勾股积几何知勾弦较或股弦较求勾股弦法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在𢃄纵立方之后设如有勾股积六十尺勾股和二十三尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺八因之得四百八十尺又以勾股和二十三尺自乗得五百二十九尺两数相减余四十九尺开方得七尺为勾股较于勾股和二十三尺内减勾股较七尺余十六尺折半得八尺为勾加勾股较七尺得十五尺为股勾股求弦得弦十七尺如图甲乙丙丁为勾股和自乗之方内容八勾股积一勾股较自乗方积今于勾股和自乗之方内减八勾股积所余戊己庚辛正方即勾股较自乗之方故开方而得勾股较也又如有勾股积几何知勾弦和或股弦和求勾股弦法中用帯纵立方算之始得兹故不设设在𢃄纵立方之后设如有勾股积六十尺勾股弦总和四十尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以勾股弦总和四十尺自乗得一千六百尺两数相减余一千三百六十尺折半得六百八十尺以勾股弦总和四十尺除之得十七尺为弦于勾股弦总和四十尺内减弦十七尺余二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为勾股弦总和自乗之一大正方内戊己庚丁为勾自乗之一正方辛壬癸己为股自乗之一正方子乙丑壬为弦自乗之一正方寅子壬辛与壬丑卯癸为股弦相乗之二长方甲寅辛辰与癸卯丙己为勾弦相乗之二长方辰辛己戊与己癸己庚为勾股相乗之二长方夫勾股相乗之二长方与四勾股积等今于勾股弦总和自乗之一大正方内减去四勾股积即减去勾股相乗之二长方而勾自乗之一正方与股自乗之一正方相并又与弦自乗之一正方等故所余者为弦自乗之二正方股弦相乗之二长方勾弦相乗之二长方折半即得弦自乗之一正方股弦相乗之一长方勾弦相乗之一长方与甲乙丑辰长方形等其濶即弦其长即勾股弦总和故以勾股弦总和除之而得弦也设如有勾股积六十尺弦与勾股和之较六尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺以弦与勾股和之较六尺除之得四十尺为勾股弦总数内减弦与勾股和之较六尺余三十四尺折半得十七尺为弦加弦与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺如图甲乙为勾股和丙乙为弦甲丙为弦与勾股和之较试依甲乙线作甲丁戊乙勾股和自乗之一正方又以丙乙线作丙己庚乙弦自乗之一正方二方相较其甲丁戊庚己丙磬折形乃与四勾股积相等(葢勾股和自乗方内容八勾股积一勾股较自乗方积弦自乗)(方内容四勾股积一勾股较自乗方积二方相减所余磬折形积与四勾股积)(相等)引而长之即如丙甲戊庚一长方形其濶即弦与勾股和之较其长即弦与勾股和之和故以弦与勾股和之较除之得勾股弦总数也设如有勾股积六十尺弦与勾股较之和二十四尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以弦与勾股较之和二十四尺自乗得五百七十六尺两数相减余三百三十六尺折半得一百六十八尺用弦与勾股较之和二十四尺除之得七尺为勾股较于弦与勾股较之和二十四尺内减勾股较七尺余十七尺为弦用有弦有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为弦与勾股较之和自乗之一正方甲戊己庚为弦自乗之一正方而弦自乗之方内容四勾股积一勾股较自乗方积今减去四勾股积余辛壬癸子为勾股较自乗之一正方而巳丑丙寅亦为勾股较自乗之一正方再戊乙丑巳与庚己寅丁又为勾股较与弦相乗之二长方折半则余戊乙丑己一长方己丑丙寅一正方其戊寅长即弦与勾股较之和其戊乙阔即勾股较故以弦与勾股较之和除之而得勾股较也设如有勾股积六十尺弦与勾股较之较十尺求勾股弦各几何法以勾股积六十尺四因之得二百四十尺又以弦与勾股较之较十尺自乗得一百尺两数相减余一百四十尺折半得七十尺以弦与勾股较之较十尺除之得七尺为勾股较与弦与勾股较之较十尺相加得十七尺为弦用有弦有勾股较求勾股法算之得勾八尺股十五尺如图甲乙丙丁为弦自乗之一大正方内丁戊己庚为勾股较自乗之一正方辛乙壬己为弦与勾股较之较自乗之一正方甲辛己戊与己壬丙庚为勾股较与弦与勾股较之较相乗之二长方葢弦自乗方内容四勾股积一勾股较自乗方积今丁戊己庚既为勾股较自乗之方若于甲乙丙丁弦自乗方内减之则所余甲乙丙庚巳戊磬折形即与四勾股积相等又于四勾股积相等之甲乙丙庚己戊磬折形内减辛乙壬己弦与勾股较之较自乗之方则尚余甲辛己戊己壬丙庚二长方折半则得巳壬丙庚一长方其己壬长即弦与勾股较之较其己庚阔即勾股较故以弦与勾股较之较除之而得勾股较也正勾股比例设如有正勾股知勾十二尺求股与弦各几何法以正勾股定分之勾三分为一率股四分为二率今所设之勾一十二尺为三率推得四率十六尺为股仍以勾三分为一率弦五分为二率今所设之勾十二尺为三率推得四率二十尺为弦也葢大小两同式形其相当各界互相比之比例俱为相当比例四率(见几何原夲八)(卷第三节)故正勾股定分之勾三与股四之比即同于今所设之勾十二与股十六之比又正勾股定分之勾三与弦五之比亦同于今所设之勾十二与弦二十之比也又㨗法以勾十二尺用正勾股定分之勾三分除之得四尺即知今所设之勾股形为加四倍之比例乃以正勾股定分之股四分弦五分各加四倍即得所求之股弦之各数矣设如有正勾股知勾股和六十三尺求勾股弦各几何法以正勾股定分之勾三分股四分相并得七分为一率勾三分为二率今所设之勾股和六十三尺为三率推得四率二十七尺为勾若以股四分为二率即得四率三十六尺为股若以弦五分为二率即得四率四十五尺为弦也葢正勾股定分之勾股和七尺与勾三股四弦五各相为比即同于今所设之勾股和六十三尺与勾二十七尺股三十六尺弦四十五尺各相比之比例也又㨗法以勾股和六十三尺用正勾股定分之勾三股四相和之七分除之得九尺即知今所设之勾股形为加九倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加九倍即得所求之各数也设如有正勾股知勾股弦总和六十尺求勾股弦各几何法以正勾股定分之勾三分股四分弦五分相并共得十二分为一率勾三分为二率今所设之勾股弦总和六十尺为三率推得四率十五尺为勾若以股四分为二率即得四率二十尺为股若以弦五分为二率即得四率二十五尺为弦也又㨗法以勾股弦总和六十尺用正勾股定分之勾三股四弦五相并之十二分除之得五尺即知今所设之勾股形为加五倍之比例乃以正勾股定分之勾三股四弦五各加五倍即得所求之各数也设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容方邉几何法以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余或以勾九尺七归四因亦得五尺一寸四分二厘八毫有余为内容方邉也葢勾三分股四分者则以勾股和七分为一率勾三分为二率股四分为三率推得四率为内容方邉是内容方邉得股七分之三得勾七分之四也今九尺与十二尺之比仍同于三分与四分之比故以其分数相求得内容方边仍为比例四率也设如有正勾股勾九尺股十二尺求内容圜径几何法以股十二尺折半得六尺或以勾九尺取其三分之二亦得六尺即为内容圜径也葢勾三分股四分弦五分者则于勾股和七分内减弦五分余二分为内容圜径(见勾股容圜第二法)是内容圜径得股四分之二得勾三分之二也今九尺与十二尺之比同于三分与四分之比故十二尺与六尺之比仍同于四与二之比而九尺与六尺之比亦仍同于三与二之比也设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容方边几何法以正勾股定分比例得勾九尺股十二尺以勾九尺七归四因或以股十二尺七归三因得五尺一寸四分二厘八毫有余即内容方边也葢内容方边得勾七分之四得股七分之三(见前法)故必先比例得勾数或股数复比例得内容方边也设如有正勾股知勾股和二十一尺求内容圜径几何法以正勾股定分之勾三分股四分相加之七分为一率内容圜径二分为二率今所设之勾股和二十一尺为三率推得四率六尺即内容圜径也葢勾三分股四分弦五分者其内容圜径为二分(见前法)故勾股和之七分与内容圜径二分之比即同于今所设之勾股和之二十一尺与内容圜径六尺之比也总之正勾股形知一数即得所求之各数要先以勾三股四弦五求得所知之定分及所求之定分(如勾股较则以勾三分与股四分相减余)(一分又如弦与勾股较之和则以勾股较一分与弦五分相加得六分之类)乃以所知之定分与所求之定分之比即同于今所知之数与今所求之数之比也设如有正勾股面积九十六尺求勾股弦各几何法以正勾股定分之面积六分为一率勾三分自乗得九分为二率今所设之勾股积九十六尺为三率推得四率一百四十四尺为勾自乗之方开方得十二尺为勾如以正勾股定分之股四分自乗为二率则得今所设之股自乗之方如以正勾股定分之弦五分自乗为二率则得今所设之弦自乗之方各开方而即得各数矣或得勾而以正勾股定分之勾股弦各比例之亦可葢同式两勾股形其面积互相为比即同于勾股形各相当界所作正方形互相为比(见几何原夲八卷第四节)故以正勾股定分之面积六尺与勾股弦各方之比即同于今所设之面积九十六尺与勾股弦各方之比也又㨗法以面积九十六尺用正勾股定分之面积六尺除之得十六尺开方得四尺即知今所设之勾股弦为各加四倍之比例乃以正勾股定分之各数各加四倍即得各数葢两直角方面形其两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例(见几何原夲七卷第五节)(今勾股为长方之半正方与正方为比长方与长方为比其比例相同并见第)(六节)故积大十六倍者界必大四倍既知其大四倍则以正勾股之定分各加四倍即得矣设如有正勾股知勾自乗股自乗弦自乗共积四百五十尺求勾股弦各几何法以共积四百五十尺折半得二百二十五尺为弦自乗方积开方得一十五尺为弦既得弦则以勾股弦之定分比例之得九尺为勾得十二尺为股也如用面积为比例则以弦五分自乗之二十五分为一率勾三分自乗之九分为二率今所得之弦自乗方二百二十五尺为三率求得四率八十一尺为勾自乗方积开方得九尺为勾若以股四分自乗之十六分为二率则得四率一百四十四尺为股自乗方积开方得十二尺为股也葢弦自乗之一方既与勾自乗股自乗之二方等则勾自乗股自乗弦自乗之三方必与弦自乗之二方等故折半即得弦自乗之一方而开方得弦也御制数理精蕴下编卷十三
## 下编卷十四
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十四面部四三角形三角形凡三角形立于圆界之一半者为直角即勾股过圆界之一半者为锐角不及圆界之一半者为钝角然不拘锐角钝角自一角至底边作垂线即分为两直角是仍不离乎勾股也两腰等者垂线即当底之一半而两腰不等者所分底界则有大小不同故和较相比之法因之而生葢和求较较求和要必归于勾股相求之理由勾股而得垂线则凡面积及内容方圆等形皆无不可得至于三角形角度相求之法乃割圆八线实所以极三角之用即如周髀所谓仰矩知髙俯矩知深是也故另为一卷兹但取三角形之面线相求诸法悉具图觧以次勾股使与勾股相表里焉设如有等边三角形每邉十尺求中垂线几何法以底邉十尺折半得五尺为勾任以两腰之一邉十尺为弦勾弦求股得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也如图甲乙丙三角形其甲乙甲丙两腰相等则其底边之乙丙两角度亦必相等(见几何原夲二卷第九节)今所求之垂线为甲丁即将甲乙丙三角形平分为两直角三角形而甲丁乙甲丁丙皆为直角其度又等故所分之两直角三角形为同式形而甲丁垂线又为两三角形所共用之邉线则所分之底边之乙丁丁丙焉得不等故将乙丙底边折半为勾任以甲乙甲丙两邉之一边为弦求得股为中垂线也又法以底边十尺折半得五尺自乗得二十五尺三因之得七十五尺开方得八尺六寸六分零二毫有余即为中垂线也葢弦比勾大一倍则弦之自乗之方必比勾之自乗之方大四倍为连比例隔一位相加之比例(见几何原夲七卷第五节)依勾弦求股之法于弦自乗方积之四倍内减勾自乗方积之一倍余三倍即为股自乗之方积是中垂线之自乗方积为勾自乗方积之三倍故将底边折半自乗三因之即与中垂线自乗之方积等而开方得中垂线也设如有锐角三角形大腰一百二十二尺小腰一百一十二尺底一百五十尺求中垂线几何法以底一百五十尺为一率大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率以大腰一百二十二尺与小腰一百一十二尺相减余十尺为三率求得四率十五尺六寸为底边之较与底一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为弦求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较(葢甲)(庚与甲丙等故庚乙为两腰之较)乙丙为底边之和乙戊为底邉之较(葢丁丙与丁戊等故乙戊为底邉之较)今以乙丙底邉之和与乙己两腰之和为比即同于乙庚两腰之较与乙戊底边之较为比为转比例之四率(几何原夲九卷第八)(节自圜外一点至圜内所作之两线此两全线之比例同于圜外两叚转相比)(之比例)故乙丙为一率乙己为二率乙庚为三率求得四率为乙戊既得乙戊则于乙丙底边内减去乙戊余戊丙折半得丁丙为勾甲丙为弦求为股为甲丁中垂线也又法以大腰一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺又以小腰一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺两自乘数相减余二千三百四十尺以底边一百五十尺除之得十五尺六寸为底边之较与底边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为勾以小腰一百一十二尺为弦求得股八十九尺六寸为中垂线也如图甲乙丙三角形试自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙两勾股形甲乙甲丙皆为弦乙丁丁丙皆为勾共以甲丁为股乙丙为两勾之和乙戊为两勾之较今以甲乙弦自乘则成甲戊己乙一正方形内丁庚辛乙为乙丁勾自乘之一正方形于甲戊己乙正方形内减去丁庚辛乙正方形所余甲戊己辛庚丁磬折形积即与甲丁股自乘之一正方形等又以甲丙弦自乘则成甲壬癸丙一正方形内丁子丑丙为丁丙勾自乘之一正方形于甲壬癸丙正方形内减去丁子丑丙正方形所余甲壬癸丑子丁磬折形积亦与甲丁股自乘之一正方形等是则前图之甲戊己辛庚丁磬折形与后图之甲壬癸丑子丁磬折形相等矣若两自乘之数相减则如甲戊己乙正方形内减去与甲壬癸丑子丁磬折形相等之甲戊己辛庚丁磬折形又减去丁子丑丙一小正方形所余为子庚辛乙丙丑一小磬折形引而长之成一长方形其长即乙丁与丁丙之和其濶即乙丁与丁丙之较故以乙丁与丁丙之和除子庚辛乙丙丑磬折形之积而得乙丁与丁丙之较也又图甲乙丙三角形作甲丁垂线分为两勾股形共以甲丁垂线为股故甲乙弦自乘方内有甲丁股自乘一方乙丁勾自乘一方而甲丙弦自乘方内有甲丁股自乘一方丁丙勾自乘一方今两勾股形之股既同则两弦方相减所余之数即两勾方相减所余之数故甲丁乙勾股形之甲乙弦自乘方内减甲丁丙勾股形之甲丙弦自乘方所余庚辛乙寅丑子磬折形即与甲丁乙勾股形之丁乙勾自乘方内减甲丁丙勾股形之丁丙勾自乘方所余乙卯辰己申未磬折形相等若将乙卯辰己申未磬折形引而长之遂成乙壬酉未长方形其长即乙丁丁丙两勾之和其阔即乙丁丁丙两勾之较其积即乙丁丁丙两勾方相减之余亦即甲乙甲丙两弦方相减之余是以两弦自乘相减之余积以两勾之和除之而得两勾之较也设如有锐角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何法以底二十一尺为一率以大腰十七尺与小腰十尺相加得二十七尺为二率以大腰十七尺与小腰十尺相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为弦求得股八尺为中垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求中垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚截乙丙底边于戊又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰等则己乙为两腰之和庚乙为两腰之较乙丙为底边之和乙戊为底邉之较其乙丙与乙己之比即同于庚乙与乙戊之比为转比例四率也又法以大腰十七尺自乘得二百八十九尺又以小腰十尺自乘得一百尺两自乘数相减余一百八十九尺以底二十一尺除之得九尺为底边之较与底二十一尺相减余十二尺折半得六尺为勾以小腰十尺为弦求得股八尺为中垂线也图解同前设如有斜立锐角三角形大腰二十一尺小腰十七尺底十尺求形外垂线几何法以底十尺为一率大腰二十一尺与小腰十七尺相减余四尺为二率大腰二十一尺与小腰十七尺相加得三十八尺为三率求得四率十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减去底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为弦求得股十六尺八尺为形外垂线也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所求形外垂线试以甲为心丙为界作一圜截甲乙大腰于庚又将甲乙大腰引长至己作甲己线与甲丙小腰相等复将乙丙底引长至戊作乙戊线则成甲乙戊三角形其乙丙为底邉之较乙戊为底边之和乙庚为两腰之较乙己为两腰之和自圜外至圜内所作两线之比例既同于圜外两叚转相比之比例则圜外两叚之比例亦必同于两全线转相比之比例故乙丙与乙庚之比即同于乙己与乙戊之比为比例四率既得乙戊则减乙丙余丙戊折半得丙丁为勾甲丙为弦求得股即甲丁垂线也又法以大腰二十一尺自乘得四百四十一尺又以小腰十七尺自乘得二百八十九尺两自乘数相减余一百五十二尺以底十尺除之得十五尺二寸为底与形外垂线两边连底之总内减底十尺余五尺二寸折半得二尺六寸为勾以小腰十七尺为弦求得股十六尺八寸为形外垂线也如图甲乙丙三角形将乙丙底引长至戊自甲作垂线至丁则丁戊与丁丙等又自甲至戊作甲戊线与甲丙小腰等则成甲丁乙甲丁戊两勾股形甲乙甲戊皆为弦乙丁丁戊皆为勾共以甲丁为股而乙丙为两勾之较乙戊为两勾之和前法以和求较此法以较求和其理一也图解并同前设如有锐角三角形两腰俱五尺底六尺求面积几何法先以底六尺折半得三尺为勾任以两腰之一边五尺为弦求得股四尺为中垂线与底六尺相乘得二十四尺折半得一十二尺为三角面积也如图甲乙丙三角形以乙丙底边与甲丁中垂线相乘成戊乙丙己长方形积比三角形积正大一倍故折半得三角积也设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求面积几何法先用求中垂线法求得中垂线八尺与底二十一尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺为三角面积也如图甲乙丙三角形先求甲丁垂线既得甲丁垂线乃与乙丙底边相乘成戊乙丙己长方形比三角形积正大一倍故折半得三角积也又法以甲乙边十七尺乙丙边二十一尺甲丙边十尺三数相加得四十八尺为三边之总折半得二十四尺为半总以甲乙边十七尺与半总二十四尺相减余七尺为甲乙边与半总之较以乙丙边二十一尺与半总二十四尺相减余三尺为乙丙边与半总之较以甲丙边十尺与半总二十四尺相减余十四尺为甲丙边与半总之较乃以半总二十四尺为一率甲丙边与半总之较十四尺为二率乙丙边与半总之较三尺与甲乙边与半总之较七尺相乘得二十一尺为三率求得四率十二尺二十五寸开方得三尺五寸为三角形自中心至三边之垂线与三边之总四十八尺相乘得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形之面积或以所得垂线三尺五寸与半总二十四尺相乘亦得八十四尺为三角形之面积也此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等(丁巳丙与丁庚丙等丁巳乙与丁戊乙等)(丁戊甲与丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙线至辛则乙辛为三边之半总即三较之和(乙巳)(与乙戊等即甲丙边与半总之较巳丙与丙庚等即甲乙边与半总之较丙辛)(与甲戊甲庚等即乙丙边与半总之较)试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁巳平行乙辛壬形与乙巳丁形遂为同式形其乙辛与乙巳之比即同于壬辛与丁巳之比然乙辛一率乙巳二率之数虽有而壬辛之数却无又但知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数故以巳丙与丙辛相乘之数为三率(何以知巳丙与丙辛相乘之数即丁巳与壬辛相乘之数)(试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直角癸丙辛角与辛壬)(癸角相合共成一百八十度然庚丙巳角为癸丙辛角之外角相合亦共成一)(百八十度是庚丙巳角与辛壬癸角等庚丁巳角与癸丙辛角等是以壬癸丙)(辛形与丙庚丁巳形为同式形而丙辛壬勾股形与丁己丙勾股形亦为同式)(形可互相比例矣以丁己作一率巳丙作二率丙辛作三率即得四率壬辛是)(以巳丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁巳一率与壬辛四率相乘之数等)(故直以己丙丙辛相乘之数作三率也)其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与乙巳之比同于丁己与壬辛相乘之面(即己丙与丙辛相乘之面)与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁巳为三角形自中心至三边之垂线与丁戊丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也既得自中心至三边之垂线则用垂线与三边之总相乘所得一长方积(即如用垂线与三边各相)(乘所得三长方积合为一长方)比三角形积大一倍故折半而得三角形之面积如以垂线与半总相乘即与三角形积等而不用折半矣设如有锐角三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺求内容正方边几何法先用求中垂线法求得中垂线十二尺与底边四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率底边四十四尺为三率推得四率九尺四寸二分八厘五毫有余即三角形内所容正方之一边也如图甲乙丙三角形甲乙为大腰甲丙为小腰乙丙为底甲丁为所得中垂线戊己庚辛为今所求内容正方形试依甲丁中垂线度将乙丙线引长作乙癸线为五十六尺又与甲丙线平行作壬癸线又将甲乙线引长作壬乙线则成与甲乙丙同式之壬乙癸三角形复与底线平行作甲子线与丙癸等即与甲丁垂线等又与甲丁平行作子丑线与甲丁等则甲丁垂线所作甲丁丑子正方形即为壬乙癸三角形内所容之正方形矣故壬乙癸三角形之乙癸底与甲丁方边之比即同于甲乙丙三角形之乙丙底与戊巳方边之比故中垂线与底边相加为一率中垂线为二率底邉为三率推得四率为内容正方之一边也设如等边三角形每边一尺二寸求内容圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余以三归之得三寸四分六厘四毫有余即内容圜形半径倍之得六寸九分二厘八毫有余即内容圜形全径也如图甲乙丙三角形内容丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙巳垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即内容圜形之中心故丁戊与丁己即内容圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁巳或丁戊之二倍丁戊既为内容圜形之半径则甲丁即为内容圜形之全径而甲戊中垂线必为丁戊半径之三倍矣故求得甲戊中垂线以三归之得丁戊即内容圜形之半径倍之得庚戊即内容圜形之全径也设如等边三角形每边一尺二寸求外切圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线一尺零三分九厘二毫有余三归四因得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切丁圜形先求得甲戊中垂线又自丙角至甲乙线界作丙己垂线与甲戊中垂线相交于丁即三角形之中心亦即外切圜形之中心故甲丁与丙丁即外切圜形之半径又甲戊乙甲巳丁两勾股形为同式形甲乙为乙戊之二倍则甲丁亦必为丁己或丁戊之二倍甲丁既为外切圜形之半径则为甲戊中垂线之三分之二而甲戊中垂线却为甲庚全径之四分之三矣故求得甲戊中垂线三归四因得甲庚即外切圜形之全径也又法以每边一尺二寸自乘三归四因开方得一尺三寸八分五厘六毫有余即外切圜形全径也如图甲乙丙三角形外切甲乙丁丙圜形试自甲角作甲戊中垂线又引长作甲丁全径线复自丁至乙作丁乙线遂成甲乙丁甲戊乙两勾股形为同式形甲乙既为乙戊之二倍则甲丁亦必为乙丁之二倍故甲丁自乘方积比乙丁自乘方积大四倍若依勾弦求股之法言之则甲丁弦自乘方积内减乙丁勾自乘方积所余为甲乙股自乘之方积今甲丁弦自乘方积既为乙丁勾自乘方积之四倍则是甲乙每边自乘方积为甲丁全径自乘方积之四分之三矣故以一边自乘三归四因即与全径自乘之方积等而开方得外切圜形之全径也设如有锐角三角形大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺求内容圜径几何法先用求中垂线法求得中垂线二百四十尺与底四百一十八尺相乘得一十万零三百二十尺以大腰三百三十八尺小腰三百尺底四百一十八尺三数相加得一千零五十六尺除之得九十五尺即内容圜半径倍之得一百九十尺即内容圜全径也如图甲乙丙三角形内容戊圜形试自圜之中心至甲乙丙三角各作戊甲戊乙戊丙三线遂分甲乙丙三角形为甲戊乙甲戊丙乙戊丙三三角形其三边皆为三角形之底而戊巳半径皆为三角形之垂线今乙丙底边与甲丁中垂线相乘所得之长方积原比甲乙丙三角形积大一倍即如将所分三三角形各用垂线乘底边所得之三长方积合为一长方也三长方之长虽不同而濶则一故各以长除积而得濶者即如合三角形之三边除三角形之倍积而得半径也设如有锐角三角形大腰一百八十三尺小腰一百六十八尺底二百二十五尺求外切圜径几何法用求中垂线法求得中垂线一百三十四尺四寸为一率小腰一百六十八尺为二率大腰一百八十三尺为三率推得四率二百二十八尺七寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也设如有钝角三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求外切圜径几何法用求中垂线法求得中垂线八尺为一率小腰十尺为二率大腰十七尺为三率推得四率二十一尺二寸五分即外切圜径也如图甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底甲丁为中垂线试作切三角一圜自甲角至圜对界作甲戊全径线又自丙角至戊作丙戊线则甲丙戊三角形之丙角立于圜界之一半必为直角与甲丁垂线所分甲丁乙三角形之丁角等而戊角与乙角皆对甲丙弧其度又等故甲丙戊与甲丁乙两三角形为同式形是以甲丁与甲乙之比同于甲丙与甲戊之比而为相当比例四率也御数精蕴下编卷十四
## 下编卷十五
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十五面部五割圜(屡求勾股)割圜周髀曰圆出于方方出于矩矩者所谓直角即勾股也葢因方易度而圆难测方有尽而圆无尽故古人用割圜之法内弦外切屡求勾股为无数多边形以切近圜界使弧线直线渐合为一而圆周始得是则推圜者以方推方者以矩矣刘宋祖冲之以圜容六边起算元赵友钦以圜容四边起算自明末西法入中国又有割圜八线六宗三要等说而圜度内外诸线相求之法始偹要之圜内六边起算者圜径折半即圜内六边之一乃用屡求勾股之法自六边而十二边自十二边而二十四边自二十四边而四十八边如是累至亿万边设径为一而周得三一四一五九二六五三有余圜内四边起算者则以圜径为内容正方之斜弦自乗折半开方而得四边之一亦用屡求勾股之法自四边而八边自八边而十六边自十六边而三十二边如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外四边起算者圜径即四边之一圜径自乗倍之开方即圜外正方之斜弦减去圜径即圜外两角之余又即圜外八边之一以八边之一折半为勾半径为股求得弦与半径相减即股弦较又即小同式形之勾乃以八边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十六边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余圜外六边起算者圜径为弦半径为勾求得股倍之即圜外三边之一取其三分之一即圜外六边之一以六边之一折半为勾半径为股求得弦与半径相减即股弦较又即小同式形之勾乃以六边之一折半之勾为一率半径之股为二率小同式形之勾为三率推得四率为小同式形之股倍之即十二边之一如是累至亿万边设径为一而周亦得三一四一五九二六五三有余此两法者或自圜内容形之边为勾股法使无数勾股小弦逼近圜周将与圜周合而为一或自圜外切形之边为勾股法使无数勾股小股逼近圜周亦将与圜周合而为一二法既立故凡圜周圜径诸法皆可以互相比例矣割圜八线则将圜周分为三百六十度先求弧度通弦折半为正弦既得正弦而圜内之正矢圜外之正切正割由之而生至于余弦余矢余切余割则又由正而得名三百六十度平分四象限每一象限九十度九十度之中得其正角为正余角为余是以正余相对而割圜八线之表以立一象限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角测量诸法皆可以互相比例矣自圜内容形屡求勾股而得无数多边自圜外切形屡求勾股而得无数多边内外凑集则圜周渐变为直线而设圜界为度分者内而正弦外而切线至于无数则圜周亦渐变为直线二者互相恭考俱为相符可见理之至者先后一揆法之精者中外一理然则勾股即割圜之体而割圜即勾股之用二者交相成而两相得乎圜内容六边起算设如圜径二兆用内容六边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆为圜内所容六边形之每一边乃以半径一兆为弦六边之一边一兆折半得五千亿为勾求得股八千六百六十亿二千五百四十万三千七百八十四(小余四三八六四六七六)(三七二三一七○七五二九三六一八三四七一)与半径相减余一千三百三十九亿七千四百五十九万六千二百一十五(小余五六一三五三二三六二)(七六八二九二四七○六三八一六五二九)复为勾六边之一边折半之五千亿为股求得弦五千一百七十六亿三千八百零九万零二百零五(小余○四一五二四六九七七九七六七五二四八○九六六)(五七六六四)为圜内所容十二边形之每一边如是屡求得圜内二十四边形之每一边为二千六百一十亿五千二百三十八万四千四百四十零(小余一○三一八三○九)(六八一二四五五七九○九七八○二○三八七)圜内四十八边形之每一边为一千三百零八亿零六百二十五万八千四百六十零(小余二八)(六一三三六三○六三一一一七五五○三五○八八二八七九)圜内九十六边形之每一边为六百五十四亿三千八百一十六万五千六百四十三(小余五五二二八四一二七三一二二八八二四一六○八六七八四三)(三)圜内一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千三百四十六万三千二百五十二(小余九七三五六三二八五九二八五六五八)(九九一八九八三三二一三)圜内三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百二十七万九千二百零七(小余八七四二五八五七)(○三九八一四六五八九五二六六七九九六四)圜内七百六十八邉形之每一边为八十一亿八千一百二十万八千零五十二(小余四六九五七九)(一八九二四八二一九九一○○三六二五二三三七)圜内一千五百三十六边形之每一边为四十亿九千零六十一万二千五百八十二(小余)(三二八一九○二二八八二六一一七九六八五八五一九○○三九)圜内三千零七十二边形之每一边为二十亿四千五百三十万七千三百六十零(小余六七六六○九○八二三八五九二二二九二一○二○七九○二)(九)圜内六千一百四十四边形之每一边为一十亿二千二百六十五万三千八百一十四(小余○二七三九五○二二○二八五九八九五八)(八五二二四三九一七)圜内一万二千二百八十八边形之毎一边为五亿一千一百三十二万六千九百二十三(小余七二四八三四六二)(八一二三二九九○三一九○八八四七六七九)圜内二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十三(小余九五一三○九四八○五二三四四九○一一一四一○六三一七六)圜内四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二(小余二三六七六六二六一八六九四七六四六四)(○四九二○九九九七)圜内九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六(小余一五一○二二○七一一六○七○)(八○七一二六三八七○七五三)圜内一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三(小余○七九五九○)(九○三一○九三八一五四一九三○六五三八○○)圜内三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六(小余五四○三○五五二八八九六二四八七七九三七二三七五九六)(七)圜内七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三(小余二七○二一六四六五四二八○六六六八一○五)(六一一一一四八)圜内一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一(小余六二五一一七四五二九)(七五八六八○七○六八一一七九三三九)圜内三百一十四万五千七百二十八边形之毎一边为一百九十九万七千三百七十零(小余)(八一七五五九○九六六六四○五九二五四○○二八六七九六四)圜内六百二十九万一千四百五十六边形之毎一边为九十九万八千六百八十五(小余四○八七七九六七二八三九七五五七五七四○六一一三)(六一四)圜内一千二百五十八万二千九百一十二边形之每一边为四十九万九千三百四十二(小余七○四三八九八五一九八三三一)(二三六三九八二九九六三五五)圜内二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一(小余三五二一)(九四九二七九三七○八八六一七六九八八○二六五六)圜内五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五(小余六七六○九七四六四二一一七二三三二二五○四七○九四一)(八)圜内一亿零六十六万三千二百九十六边形之毎一边为六万二千四百一十七(小余八三八○四八七三二一三六二五九○六三二○九五)(八七八四三)圜内二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八(小余九一九○二四三六六○七一九二九二)(○四二六九一一八四○二)圜内四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之每一边为一万五千六百零四(小余四五九五一二一八三○)(三六四三九四九七一○七三二○九五一)圜内八亿零五百三十万六千三百六十八边形之毎一边为七千八百零二(小余二二九七五六○九一五)(一八二七九一五○四八二九一五一四二)圜内一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之每一边为三千九百零一(小余一一四八)(七八○四五七五九一四六九九六五八一四八七○一五)圜内三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零(小余五五七四三九○二二八七九五七四五二九五三四四○六)(八七四)圜内六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五(小余二七八七一九五一一四三九七八七三二九三六)(四一一九九二六)圜内一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之每一边为四百八十七(小余六三九三五九七五五七一九)(八九三六七七四九八九○九九○五)圜内二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三(小余八一九六)(七九八七七八五九九四六八三八七四九四五四九五三)圜内五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一(小余九○九八三九九三八九二九九七三四一四二四七九八七九○)(九)乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一(小余九○九八三九九三八九二九九七三四)(一四二四七九八七九○九)之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九(小余五八六四七六五八○一三四八二二○三五)(五○一○八八七六八)为圜径二兆之周数圜内容四边起算设如圜径二兆用内容四边起算问得圜周几何法以圜径二兆折半得一兆自乗得一穣倍之开方得一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三(小余○九五○四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六)(九)为圜内所容四边形之每一边乃以半径一兆为弦四边之一边一兆四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三(小余○九五○四八八○一六八八七二四二)(○九六九八○七八五六九)折半得七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六(小余五四七五二四四○○八四四三六二一○四八四九○三九二八四)为勾亦即为股(四边折半所成之勾股形其勾与股相等)与半径相减余二千九百二十八亿九千三百二十一万八千八百一十三(小余四五)(二四七五五九九一五五六三七八九五一五○九六○七一六)复为勾四边之一边折半之七千零七十一亿零六百七十八万一千一百八十六(小余五四七五二四四三九八四四三六二一 四八四九 二八四)为股求得弦七千六百五十三亿六千六百八十六万四千七百三十零(小余一七)(九五四三四五六九一九九六八 六 七九七七三三五二三)为圜内所容八边形之每一边复以半径一兆为弦八边之一边折半得三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五(小余九八九七七一七二八四五 九八四 三 三九)(八八六六七六一)为勾求得股九千二百三十八亿七千九百五十三万二千五百一十一(小余二八六七五六一二八一八三一八九三九六七八八二八六)(八二二)与半径相减余七百六十一亿二千零四十六万七千四百八十八(小余七一)(三二四三八七一八一六八一○六○三二一一七一三一七八)复为勾八边之一边折半之三千八百二十六亿八千三百四十三万二千三百六十五(小余○八九七七一七二八四五九九八四○三○三九八八六六)(七六一)为股求得弦三千九百零一亿八千零六十四万四千零三十二(小余二五六五)(三五六九六五六九七三六九五四○四四四八一八五五)为圜内所容十六边形之毎一边如是屡求得圜内三十二边形之每一边为一千九百六十亿三千四百二十八万零六百五十九(小余一二一二○三九八八三九一一二七七七七二八三六)(九一七二二)圜内六十四边形之每一边为九百八十一亿三千五百三十四万八千六百五十四(小余八三六○二八五○九九一五○七三五)(四一九二一八○四五八六)圜内一百二十八边形之每一边为四百九十亿八千二百四十五万七千零四十五(小余八二四五七六○六三四)(七一六二一○六二○八五七五四一三二)圜内二百五十六边形之每一边为二百四十五亿四千三百零七万六千五百七十一(小余四三)(九八五二一五八八一七八○五二八三二二七○七一六○○)圜内五百一十二边形之每一边为一百二十二亿七千一百七十六万九千二百九十八(小余三○八九五○七一九二八一一○九八九七五三九一)(五○二八七)圜内一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十一万三千五百二十五(小余九三四八一八四○○九三五六一)(三五六一一八八八五○三一八)圜内二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万零三百七十二(小余五六九五三一二二四六)(○七五五四四八二五五三五七八○五四)圜内四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万零六百三十七(小余四八五四)(○九○五三八七七二一六八○六九八○五三六五二九)圜内八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零三百七十五(小余)(一四二七九一一七八一四四九六三四○七九一三二八八三一一)圜内一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿八千三百四十九万五千一百九十四(小余六二一四○六六一四八七九八三九一四六七五)(四三七○三三三)圜内三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十八(小余一九一九五四六九一七)(四一○四四四三三三四一二七四三一七)圜内六万五千五百三十六边形之每一边为九千五百八十七万三千七百九十九(小余二○六一)(三三七六九○九八○一二九八六六八三四九五八○七)圜内一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九(小余六一六八三六四三七四五八三七五六五七一七七一三四八二)(七)圜内二十六万二千一百四十四邉形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九(小余八一○一三九四一二八四三○四四三)(七四六一七五二八三三○)圜内五十二万四千二百八十八边形之毎一边为一千一百九十八万四千二百二十四(小余九○五二八四)(八五五六八五七六○○四九三二九五五四六八八)圜内一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二(小余四五二六六九三二一五○○九○九九三八七二六○○六○六五)圜内二百零九万七千一百五十二边形之每一边为二百九十九万六千零五十六(小余二二六三三八○二二四五七七○八七一四一二○二)(五三九六六)圜内四百一十九万四千三百零四边形之毎一边为一百四十九万八千零二十八(小余一一三一六九四三一四四二二六一○)(七五三四七四三二九三三)圜内八百三十八万八千六百零八边形之毎一边为七十四万九千零一十四(小余○五六五八四七六八二四七八○)(六三七七四六五一五五○七七)圜内一千六百七十七万七千二百一十六边形之毎一边为三十七万四千五百零七(小余○二八二九二)(三九○六八九七三七六六八七○六六八○○三二)圜内三千三百五十五万四千四百三十二边形之每一边为一十八万七千二百五十三(小余五一四一四六一九六一六五五九八一四四三五○一○八二二)(四)圜内六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六(小余七五七○七三○九八一八五三九○二三五九二四六)(五○三○六)圜内一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三(小余三七八五三六五四九一○五)(五一九○一三四三一○二四六八二)圜内二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之每一边为二万三千四百零六(小余六八九二)(六八二七四五五四三六二四九三六四九○九九七八四)圜内五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三(小余三四四六三四一三七二七七三八一六二○一九一二四八三二一)圜内一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之每一边为五千八百五十一(小余六七二三一七○六八六三八七一五八五六七六)(六四六一四六四)圜内二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五(小余八三六一五八五三四三)(一九三六一○五九二一七○八五三九四)圜内四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二(小余)(九一八○七九二六七一五九六八○九二○九六二七七四五二九)圜内八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一(小余四九五○三九六三三五七九八四○五○三一四○一六六)(○二七)圜内一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五(小余七二九五一九八一六七八九九二)(○二五七六八四九九二八八六)圜内三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之毎一边为一百八十二(小余八六四七)(五九九○八三九四九六○一二九六○六八六○七七○)乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边之数与其每一边一百八十二(小余八六四七五九九○八三九四九六○一二九六○六八)(六○七七○)之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九(小余五八六四七六八六三○八三一○六七五五○○三○二三)(三六○)为圜径二兆之周数圜外切六边起算设如圜径二兆用外切六边起算问得圜周几何法以圜径二兆为弦半径一兆为勾求得股一兆七千三百二十亿五千零八十万七千五百六十八(小余八七七二九三五二七四)(四六三四一五○五八七二三六六九四二)取其三分之二得一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九(小余二五一五二九○一八二九七)(五六一○○三九一四九一一二九五)即圜外六边形之毎一边(葢圜径为弦半径为勾所得股即圜外三边形之每边之一半)(倍之为圜外三边形之每一边其毎一边之三分之一即圜外六边形之每一)(边今以六边起算故省求三边止以所得之股取其三分之二为六边形之毎)(一边也)乃以六边形之每一边一兆一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九(小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三九一四九)(一一二九五)折半得五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九(小余六二)(五七六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)为勾半径一兆为股即用六边之一边为弦(圜内六边与半径等圜外六边亦与本形半径等故即用六边之一边为弦也)与半径相减余一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九(小余二五一五二九)(○一八二九七五六一○○三九一四九一一二九五)即股弦较又即小同式形之勾复以六边形之一边折半之勾五千七百七十三亿五千零二十六万九千一百八十九(小余六二五七)(六四五○九一四八七八○五○一九五七四五五六四七)为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾一千五百四十七亿零五十三万八千三百七十九(小余二五一五二九○一八二九七五六一○○三)(九一四九一一二九五)为三率推得四率二千六百七十九亿四千九百一十九万二千四百三十一(小余一二二七○六四七二五五三六五八四九四)(一二七六三三○五七)为小同式形之股倍之得五千三百五十八亿九千八百三十八万四千八百六十二(小余二四五四一二九四五一○七)(三一六九八八二五五二六六一一四)为圜外十二边形之每一边如是屡求得圜外二十四边形之毎一边为二千六百三十三亿零四百九十九万五千一百七十四(小余七九)(一七○六九四三○五二九一四八一九四三四二○七一八四)圜外四十八边形之每一边为一千三百一十亿八千六百九十二万五千六百三十零(小余四七六四五七一二九○八七四四九七五九八八五五八九)(八四二)圜外九十六边形之每一边为六百五十四亿七千三百二十二万零八百二十五(小余九四五一七二八七八五一七八九七七八六九一)(九二四七三一○)圜外一百九十二边形之每一边为三百二十七亿二千七百八十四万四千二百七十零(小余六二三一六五三三○六)(八二一五七二二五九三九八八九七五六)圜外三百八十四边形之每一边为一百六十三亿六千二百八十二万六千八百零七(小余五八)(七七五二七四○七五○一二四一四二六二九三○五五○二)圜外七百六十八边形之每一边为八十一亿八千一百二十七万六千五百零一(小余五七四七一二三四○五二八六五四七○二○六三七八四二四六)圜外一千五百三十六边形之毎一边为四十亿九千零六十二万一千一百三十八(小余四三九四八七一七七○七三八九五七六二五○九三)(○八六七○)圜外三千零七十二边形之毎一边为二十亿四千五百三十万八千四百三十零(小余一八九六八二三○九八七九八九二○四九)(四○七三○一四三八)圜外六千一百四十四边形之毎一边为一十亿二千二百六十五万三千九百四十七(小余七一六五○二九四○六)(○七九二三六一七○八二四○○七六八)圜外一万二千二百八十八边形之每一边为五亿一千一百三十二万六千九百四十零(小余)(四三五九七二三○一一六二四八九八六三九六七三七八二六二)圜外二万四千五百七十六边形之每一边为二亿五千五百六十六万三千四百六十六(小余○四○二○一六六四○五二四五三七一九三三)(九一五○五八二)圜外四万九千一百五十二边形之每一边为一亿二千七百八十三万一千七百三十二(小余四九七八七七七八四○)(一○五六○七七四○一○四六二三四八)圜外九万八千三百零四边形之毎一边为六千三百九十一万五千八百六十六(小余一八三六六一)(○一一四○三三三五六四一三七七六七八四八四)圜外一十九万六千六百零八边形之每一边为三千一百九十五万七千九百三十三(小余○八三六七○七七○六三八九二五一四九七五○二五一六九四)圜外三十九万三千二百一十六边形之毎一边为一千五百九十七万八千九百六十六(小余五四○八一五四一八四三七○一○三七九)(二○二九四三三二二)圜外七十八万六千四百三十二边形之每一边为七百九十八万九千四百八十三(小余二七○二八○二一三三五八)(二一○八七二五八六○四二○三○)圜外一百五十七万二千八百六十四边形之每一边为三百九十九万四千七百四十一(小余六三)(五一二四一六九六九六五六九○二八一四八七○四五五八)圜外三百一十四万五千七百二十八边形之每一边为一百九十九万七千三百七十零(小余八一七五六○○九二七二五四六七四七四九七七六)(四四三五四)圜外六百二十九万一千四百五十六边形之每一边为九十九万八千六百八十五(小余四○八七七九七九七三四七三八一六)(○七九七四二七五二九八)圜外一千二百五十八万二千九百一十二边形之毎一边为四十九万九千三百四十二(小余七○四三八九)(八六七五四六七七一七八七八○九四六一二一四)圜外二千五百一十六万五千八百二十四边形之每一边为二十四万九千六百七十一(小余三五二一九四九二九八八二五二一○六八八二八八四八八六)(二)圜外五千零三十三万一千六百四十八边形之每一边为一十二万四千八百三十五(小余六七六○九七四六四四五四九○二三九八)(八一三七二三○八二)圜外一亿零六十六万三千二百九十六边形之每一边为六万二千四百一十七(小余八三八○四八七三二一六六六五)(六四三五七○三三九六九七六)圜外二亿零一百三十二万六千五百九十二边形之每一边为三万一千二百零八(小余九一九○二四三六)(六○七五七二八八七二三八八七六五四二八)圜外四亿零二百六十五万三千一百八十四边形之毎一边为一万五千六百零四(小余四五)(九五一二一八三○三六九一四五一八○一一五一六○八○)圜外八亿零五百三十万六千三百六十八边形之每一边为七千八百零二(小余二二)(九七五六○九一五一八二三八五一九二三二八九九七一○)圜外一十六亿一千零六十一万二千七百三十六边形之毎一边为三千九百零一(小余一一四八七八○四五七五九一五四四一七一四四八四二五六)(二)圜外三十二亿二千一百二十二万五千四百七十二边形之每一边为一千九百五十零(小余五五七四三九○二二八七九五七五三)(五三二六三四七○三六八)圜外六十四亿四千二百四十五万零九百四十四边形之每一边为九百七十五(小余二七八七一九五一一四三九)(七八七四四四七一八一一六三二○)圜外一百二十八亿八千四百九十万一千八百八十八边形之毎一边为四百八十七(小余六三九三)(五九七五五七一九八九三六九三三六九八五五八○二)圜外二百五十七亿六千九百八十万三千七百七十六边形之每一边为二百四十三(小余八一九六七九八七七八五九九四六八四三○六一二七七六○)(六)圜外五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边形之每一边为一百二十一(小余九○九八三九九三八九二九九七三四二一)(○七七六八二五一六)乃以五百一十五亿三千九百六十万七千五百五十二边之数与其每一边一百二十一(小余九○九八三九九三)(八九二九九七三四二一○七七六八二五一六)之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九(小余五八六四七六九三二一)(五四六○一七七八二八三九六○八三二)为圜径二兆之周数圜外切四边起算设如圜径二兆用外切四边起算问得圜周几何法以圜径二兆为外切四边形之每一边乃以圜径二兆为股亦即为勾求得弦二兆八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六(小余一九○○九七)(六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三八)为圜外四边形之斜弦与圜径相减余八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六(小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九)(六一五七一三八)即圜外八边形之每一边又以八边形之毎一边八千二百八十四亿二千七百一十二万四千七百四十六(小余一九○○九七六○三三七七四四八四一九三九六一五七一三)(八)折半得四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三(小余○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)为勾半径一兆为股求得弦一兆零八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二(小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)与半径相减余八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二(小余三九三九六八八九)(九四四六四一○七三二七七八八四○一二一)即股弦较又即小同式形之勾复以八边形之一边折半之勾四千一百四十二亿一千三百五十六万二千三百七十三(小余○九五○)(四八八○一六八八七二四二○九六九八○七八五六九)为一率半径之股一兆为二率小同式形之勾八百二十三亿九千二百二十万零二百九十二(小余三九三九六八八九九四四六四一○七三二七七)(八八四○一二一)为三率推得四率一千九百八十九亿一千二百三十六万七千三百七十九(小余六五八○○六九一一五九七六二二六四四六七)(六二二八五九七)为小同式形之股倍之得三千九百七十八亿二千四百七十三万四千七百五十九(小余三一六○一三八二三一九五二四)(五二八九三五二四五七一九四)为圜外十六边形之每一边如是屡求得圜外三十二边形之毎一边为一千九百六十九亿八千二百八十万六千七百一十四(小余三二八五)(○六一五四三九五○四二五八二六五四八六四五八四)圜外六十四边形之每一边为九百八十二亿五千三百六十九万九千五百三十八(小余九三四五○八二一○六八六六四二五四二六二七二三四一五八)圜外一百二十八边形之毎一边为四百九十亿九千七百二十四万四千二百一十七(小余八五○八八八二○九一五九五○七九二一八一)(七四四二三八四)圜外二百五十六边形之毎一边为二百四十五亿四千四百九十二万四千七百五十九(小余一三二五五○四六一七)(七五一○六四六八五四一五九二八九○)圜外五百一十二边形之毎一边为一百二十二亿七千二百万零三百一十五(小余二四六八○三九二)(八五八八七三一二○二六二一六七○五八二)圜外一千零二十四边形之毎一边为六十一亿三千五百九十四万二千四百零二(小余八四)(五三二九九七四一四七八三一三六四二四三四七六五八四)圜外二千零四十八边形之每一边为三十亿六千七百九十六万三千九百八十二(小余一七七三三三○五六九八五四四一六三六七○○八七四九四)(四)圜外四千零九十六边形之每一边为一十五亿三千三百九十八万一千零八十八(小余六八六一八五二一○三四六四一五四二三二五)(五八四七五三八)圜外八千一百九十二边形之每一边为七亿六千六百九十九万零四百三十一(小余五四二八八一九七六六九一四六八三)(六八一五四四三九三二○)圜外一万六千三百八十四边形之毎一边为三亿八千三百四十九万五千二百零一(小余六七一四一七七七)(○二九一五五五一二一七二六一八二一一○)圜外三万二千七百六十八边形之每一边为一亿九千一百七十四万七千五百九十九(小余○七三二○六○八○○九二二九六○九三一四五一四六一○六)圜外六万五千五百三十六边形之毎一边为九千五百八十七万三千七百九十九(小余三一六二九○一九二四五二○六五五二六二○七六)(一九八五八)圜外一十三万一千零七十二边形之每一边为四千七百九十三万六千八百九十九(小余六三○六○五九九○三七一六九)(七五二九八八九四六二九四四)圜外二十六万二千一百四十四边形之每一边为二千三百九十六万八千四百四十九(小余八一一八)(六○六○六九五七○二三二六九五八九三○一三二○)圜外五十二万四千二百八十八边形之每一边为一千一百九十八万四千二百二十四(小余九○五五○○○○四九五○○○一一四八一五○○二三)(三六六)圜外一百零四万八千五百七十六边形之每一边为五百九十九万二千一百一十二(小余四五二六九六二一五一五八九三九六)(六○一二八○二○一五四)圜外二百零九万七千一百五十二边形之毎一边为二百九十九万六千零五十六(小余二二六三四一三八四一)(六四九六二三○六三四八二四八二二○)圜外四百一十九万四千三百零四边形之每一边为一百四十九万八千零二十八(小余一一三一)(六九八五一六五五六六七七一五五三八六四一七五四)圜外八百三十八万八千六百零八边形之每一边为七十四万九千零一十四(小余○五)(六五八四八二○七七四四八二一七八一五三二九一四五二)圜外一千六百七十七万七千二百一十六边形之每一边为三十七万四千五百零七(小余○二八二九二三九七二五五五七二一二九一二七四○四)(七三○)圜外三千三百五十五万四千四百三十二边形之毎一边为一十八万七千二百五十三(小余五一四一四六一九六九八六三二)(七四四四五七○一三三五七四)圜外六千七百一十万八千八百六十四边形之每一边为九万三千六百二十六(小余七五七○七三○九八二)(八七九八一三九四七八五八七三三八六)圜外一亿三千四百二十一万七千七百二十八边形之毎一边为四万六千八百一十三(小余)(三七八五三六五四九一一八三五二九○六四五五五三七六○二)圜外二亿六千八百四十三万五千四百五十六边形之毎一边为二万三千四百零六(小余六八九二六八二七四五五五九六五四七九三六○五)(九三九一六)圜外五亿三千六百八十七万零九百一十二边形之每一边为一万一千七百零三(小余三四四六三四一三七二七七五八一九)(九二九四六九○○○九六)圜外一十亿七千三百七十四万一千八百二十四边形之毎一边为五千八百五十一(小余六七二三一七○六)(八六三八七四○九○三一三一七七五四四○)圜外二十一亿四千七百四十八万三千六百四十八边形之每一边为二千九百二十五(小余八三六一五八五三四三一九三六四一八九八九八一七八三九四)圜外四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六边形之毎一边为一千四百六十二(小余九一八○七九二六七一五九六八一三九八)(三六九八五○二五二)圜外八十五亿八千九百九十三万四千五百九十二边形之每一边为七百三十一(小余四五九○三九六三三五七九)(八四○六○一三四六三六七一六六)圜外一百七十一亿七千九百八十六万九千一百八十四边形之每一边为三百六十五(小余七二)(九五一九八一六七八九九二○二八八四四三三六三八三八)圜外三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边形之每一边为一百八十二(小余八六四七五九九○八三九四九六○一四二六九二九)(五四四五○)乃以三百四十三亿五千九百七十三万八千三百六十八边之数与其每一边一百八十二(小余八六四七五九九○八三)(九四九六○一四二六九二九五四四五○)之数相乗得六兆二千八百三十一亿八千五百三十万七千一百七十九(小余五八六四七七三一二七一七)(八六一八五八九四一三三七六○○)为圜径二兆之周数御制数理精蕴下编卷十五
## 下编卷十六
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十六面部割圜(割圜八线八线相求) (六宗限内三要总法二简法求象 各线)割圜八线圜周定为三百六十度大而周天小而寸许皆如之葢圜有大小而度分随之其为数则同自圜心平分圜周为四分名曰四象限每一象限九十度一象限之中设为正弦余弦正矢余矢正切余切正割余割名之曰割圜八线设如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全圜为甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每一象限皆九十度乃自圜心戊任作一戊己半径则将甲丁九十度之弧分为甲己己丁二段己丁为己戊丁角所对之弧甲己为甲戊己角所对之弧如命己戊丁为正角则甲戊己为余角甲戊己为正角则己戊丁为余角正角所对为正弧余角所对为余弧今以己丁为正弧故甲己为余弧又自己与甲丙全径平行作己辛线谓之通弦其对己丁正弧而立于戊丁半径者曰正弦又与戊丁半径平行作壬己线谓之余弦以其为甲己余弧之所对也于戊丁半径内减戊庚余庚丁谓之正矢于甲戊半径内减壬戊余甲壬谓之余矢自圜界与甲戊半径平行立于戊丁半径之末作垂线仍与己戊丁角相对者曰正切将己戊半径引长与正切相遇于癸成戊癸线谓之正割又自圜界与戊丁半径平行作甲子线谓之余切戊癸正割被甲子余切截于子所分戊子谓之余割每一角一弧即有正弦余弦正矢余矢己成四线于圜界之内复引出半径于圜界之外而成正切余切正割余割之四线内外共为八线故曰割圜八线逐度逐分正弧之余即为余弧之正余弧之正即为正弧之余是以前四十五度之八线正余互相对待为用不必复求后四十五度之八线也凡此八线皆九十度以内锐角之所成若直角九十度者则不能成八线葢因半径即九十度之正弦甲戊半径即甲丁弧之弦而切线割线为平行终无相遇之处也若钝角过九十度以外者则于半周一百八十度内减其角度用其余度之八线即如己庚为己丁弧之正弦亦即乙己弧之正弦也要之八线以正弦为本有正弦则诸线皆由此生故六宗三要皆系正弦之法六宗三要(二简法附)西洋厯算家作割圜八线表始自圜内容六边四边十边三边五边十五边名曰六宗葢用圜径求各等边形之一边为相当弧之通弦以为立表之原故谓之宗然六者实本于三如六边形之一边即圜之半径不藉他求数无零余而理最易见此其一也四边形之一边则为半径所作正方形之对角斜弦此又其一也十边形之一边则为半径所作连比例三率之中率西法谓之理分中末线此又其一也至于三边形则出于六边五边形则出于十边十五边形则又出于三边及五边非别自立一法也既得此六种形之一边各半之即得六种弧之各正弦爰命此六种弧为本弧按法可求本弧之余弦可求倍本弧之正弦余弦亦可求半本弧之正弦余弦是为三要又以不等两弧之正弦余弦求相加相减弧之正弦又两弧距六十度前后之度等得其两正弦之较即得距弧之正弦是又名为二简法由此错综之可得正弦一百二十其中最小者为四十五分之弦其次一度三十分又次为二度十五分又次为三度如此每越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦则以比例求之因弧分甚微与直线所差无几故以弦求弦而得之此西法立割圜八线表之大纲也尔来西法对数表内有设连比例四率以求圜内容七边九边二法因推广其理于六宗之外增求圜内容十八边形十四边形之法俱以半径为首率求连比例四率之第二率即十八边形十四边形之每一边而七邉又因之以生亦犹三边之出于六边五边之出于十边也有此二形与六宗相叅伍可得正弦三百六十其中最小者为十五分之正弦又增一法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一分至四分之正弦较之四十五分为尤密可知矣今以六宗三要二简法理分中末线并新增数法皆按类具例于左六宗(圜内容六边形四边形三边形十边形五边形十五边形)设如圜径二十万求内容六边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万即圜内容六边形之每一边也如甲圜内容六边形每边之弧得圜周六分之一皆六十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙三角形则甲角所对之弧为六十度而甲乙甲丙两腰俱为半径既相等则乙角丙角亦必相等而各为六十度矣三角既等则三边亦必相等故乙丙边即与甲乙甲丙半径相等也乙丙弧既为六十度则乙丙边十万为六十度之通弦折半得乙丁五万即乙戊弧三十度之正弦也此即六边起算之理前设圜径为二兆者所以求其密合今设圜径为二十万所以取其便于用也设如圜径二十万求内容三边形之一边几何法以圜径二十万为弦自乗得四百亿又以半径十万为勾自乗得一百亿相减余三百亿开方得股一十七万三千二百零五(小余○八○七五六八)即圜内容三边形之每一边也如甲圜内容三边形毎边之弧得圜周三分之一皆一百二十度为六边形每边弧之一倍试自乙角过圜心至对界作乙丁全径线又自丁依半径度至丙作丁丙线则成六边形之每一边其丙丁弧即为三边形之每边弧之一半而丙角立于圜界之一半必为直角故半径为勾全径为弦求得股即三边形之每一边也乙丙弧既为一百二十度则乙丙边一十七万三千二百零五(小余○八○七五六八)为一百二十度之通弦折半得乙戊八万六千六百零二(小余五四○三七八四)即乙己弧六十度之正弦也设如圜径二十万求内容四边形之一边几何法以圜径二十万折半得半径十万自乗得一百亿倍之得二百亿开方得一十四万一千四百二十一(小余三五六二三七三)即圜内容四边形之每一边也如甲圜内容四边形每边之弧得圜周四分之一皆九十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线成甲乙丙勾股形若命甲乙半径为股则甲丙半径为勾若命甲丙半径为股则甲乙半径为勾因勾股皆为半径故以半径自乗倍之开方而得弦即如勾股各自乗并之开方而得弦也乙丙弧既为九十度则乙丙边一十四万一千四百二十一(小余三五六二三七三)为九十度之通弦折半得乙丁七万零七百一十(小余六七八一一八六)即乙戊弧四十五度之正弦也理分中末线(此西法名也因命一线为首率将此首率分为大小两分大分为中)(率小分为末率与原线共为相连比例三率故谓之理分中末线也)设如以十万为首率作相连比例三率使中率末率相加与首率等求中率末率各几何法以十万自乗得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔六万一千八百零二即相连比例之中率以中率与首率十万相减余三万八千一百九十七即相连比例之末率也此法葢因连比例三率之首率末率相乗之长方积与中率自乗之正方积等而首率之中有一中率一末率之数故首率自乗之一正方积中有首率中率相乗之一长方又有首率末率相乗之一长方即如甲乙为首率丙乙为中率甲丙为末率丙乙中率自乗之正方为丁戊乙丙甲丙末率与甲乙首率相乗之长方为甲丙庚辛(甲辛与甲乙等)此一正方一长方之积等而甲乙首率自乗之正方为甲乙己辛丙乙中率与甲乙首率相乗之长方为丙乙己庚(丙庚)(与甲乙等)夫甲丙庚辛之长方既与丁戊乙丙之正方等则甲乙己辛之正方亦必与丁戊己庚之长方等是以丁戊己庚长方形之阔即中率其长比阔之较即首率故以首率自乗为长方积仍以首率为长比阔之较用带纵平方法开之得阔为中率也又法以首率十万为股首率十万折半得五万为勾求得弦一十一万一千八百零三内减勾五万余六万一千八百零三为相连比例之中率以中率与首率相减余三万八千一百九十七即为相连比例之末率也如图甲乙与乙丙皆为首率今以甲乙为股乙丙折半得乙丁为勾求得甲丁弦试依甲丁弦度将乙丁勾引长至戊作丁乙戊线仍自甲至戊作一圜界则甲丁戊丁同为半径且皆为弦于戊丁弦内减乙丁勾所余乙戊与己乙等即中率于甲乙首率内减去与乙戊相等之己乙中率所余甲己即末率也此法与前法理实相同带纵较数开方法有以半较自乗与原积相加开方得半和于半和内减半较得阔者今此法以首率为股自乘得甲乙丙壬正方形即与庚戊丙辛长方形积等乙丙即长阔之较乙丁即半较戊丁即半和今以乙丁为勾自乘甲乙为股自乘相加开方得甲丁弦即如乙丁半较自乘与甲乙自乘原积相加开方而得甲丁与戊丁等戊丁内减乙丁余戊乙即半和内减半较得阔为中率也设如圜径二十万求内容十边形之一边几何法用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法以圜径二十万折半得十万为首率自乘得一百亿为长方积以十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得六万一千八百零三(小余三九八八七四九)为连比例之中率即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度其通弦即圜内十边形之一边试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界戊作一乙戊线则截甲丙线于丁又成乙丙丁三角形而乙戊遂为一百零八度之通弦此乙丙丁三角形与甲乙丙三角形为同式形(乙丙丁三角形之乙角当戊丙弧为乙丙弧之倍则乙丙丁三)(角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等又同用丙角其余一角亦必等故为)(同式形)其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙丁之比为相连比例三率而甲乙为首率乙丙为中率丙丁为末率也又甲乙丙三角形其甲角既居全圜十分之一为三十六度则乙角必比甲角大一倍为七十二度(三角形之三角共一百八十度甲角既为三十六度则乙丙两角必)(为一百四十四度平分之各得七十二度比甲角为大一倍也)而乙丙丁三角形之乙角与甲乙丙三角形之甲角等则甲丁乙三角形之乙角亦必与甲角等是则甲丁乙三角形必两边相等之三角形而乙丙丁三角形亦为两边相等之三角形也夫甲丁既与丁乙等而丁乙又与乙丙中率等则甲丁亦必与中率等矣是以甲丁中率与丁丙末率相加与甲丙首率等故用连比例三率有首率求中率法算之得中率为十边形之一边也又法以圜径二十万折半得半径十万为股自乘得一百亿又以半径十万折半得五万为勾自乗得二十五亿相加得一百二十五亿开方得弦一十一万一千八百零三(小余三九八八七四九)于弦数内减去勾数余六万一千八百零三(小余三九)(八八七四九)即圜内容十边形之每一边也如甲圜内容十边形每边之弧得圜周十分之一皆三十六度试自圜心甲至圜界乙作甲乙半径线为股又自圜心甲取直角作甲丙半径线折半得甲丁为勾求得乙丁弦内减与甲丁相等之戊丁余乙戊即与乙己等为圜内容十边形之毎一边也乙己弧既为三十六度则乙己边六万一千八百零三(小余三九)(八八七四九)为三十六度之通弦折半得乙庚三万零九百零一(小余六九九四三七四)即乙辛弧十八度之正弦也设如圜径二十万求内容五边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十边形之一边六万一千八百零三(小余三九八八七四九)为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)倍之得一十一万七千五百五十七(小余○五○四五八四)即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形每边之弧得圜周五分之一皆七十二度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为七十二度之通弦如以乙丙弧七十二度折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即五边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为五边形之毎一边也又法以半径十万为股自乘得一百亿圜内容十边形之一边六万一千八百零三(小余三九八八七四九)为勾自乘得三十八亿一千九百六十六万零一百一十二(小余四八九九九○五八五八五○○一)相加得一百三十八亿一千九百六十六万零一百一十二(小余四八九九九○五八五八五○○一)开方得弦一十一万七千五百五十七(小余○五○四五八四)即圜内容五边形之每一边也此法葢因半径自乘十边形之一边自乘两自乘方积相并即与五边形之一边自乘之方积等故用勾股求弦之法算之如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线遂成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊又成乙戊丁勾股形乙戊五边形每边之半为股丁戊末率之半为勾乙丁中率为弦试依甲丁半径度作甲庚辛丁正方形又依乙丙五边形之一边度作乙丙癸壬正方形其甲庚辛丁正方形内甲子丑已为乙丁弦自乘之一正方(甲已既与乙丁弦等故甲子丑已为弦自乘之正方)已寅辛丁长方形亦与乙丁弦自乘之一正方等(丁辛原与甲丁首率等己丁末率与丁辛首率相乘自与乙丁中率自乘)(之正方等)而子庚寅丑长方形为乙丁弦自乘之一正方内少勾自乘之四正方(葢子)(庚辛夘长方形为首率与末率相乘之长方与乙丁中率自乘之正方等内却)(少丑寅辛夘正方形而丑寅辛夘正方形实为戊丁勾自乘之四正方故子庚)(寅丑长方形为乙丁弦自乘之一正方少勾自乘之四正方也)是则甲丁半径自乘之甲庚辛丁正方形内有弦自乘之三正方而少勾自乘之四正方再加乙丁弦自乘之一正方共得弦自乘之四正方而少勾自乘之四正方大凡弦自乘之正方内原有勾自乘之一正方股自乘之一正方今弦自乘之四正方内少勾自乘之四正方即与股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之乙丙癸壬正方形实为乙戊股自乘之四正方然则甲丁半径自乘方与乙丁十边形之一边自乘方相并既与乙戊股自乘之四正方等而乙丙一边自乘之正方岂不与甲丁半径自乘乙丁十边形之一边自乘之两正方等乎故以甲丁半径为股乙丁十边形之一边为勾求得弦而为五边形之一边也又法以半径十万自乘得一百亿为长方积仍以半径十万为长阔之较用带纵较数开方法算之得长一十六万一千八百零三(小余三九八八七四九)折半得八万零九百零一(小余六九九四三七四)为自圜心至五边形每边之垂线乃以半径十万为弦圜心至五边形每边之垂线为股求得勾五万八千七百七十八(小余五二五二二九)(二)倍之得一十一万七千五百五十七(小余○五○四五八四)即圜内容五边形之每一边也如甲圜内容五边形将乙丙弧折半于丁作乙丁线即圜内容十边形之一边仍自圜心甲至丁作甲丁半径线成甲乙丁三角形又依乙丁线度截甲丁半径于己作乙己线成乙己丁三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲乙为首率乙丁为中率己丁为末率甲己亦与乙丁等为中率而乙丙边平分己丁末率于戊是以己戊与戊丁俱为半末率而甲戊自圜心至边之垂线则为一中率半末率之共数今以半径首率自乘为长方积开带纵平方得长乃首率与中率之和其内有两中率一末率折半得一中率半末率即甲戊自圜心至边之垂线既得甲戊垂线乃以甲乙半径为弦甲戊垂线为股求得乙戊勾倍之得乙丙即圜内容五边形之一边也或以乙丁中率为弦戊丁半末率为勾求得乙戊股倍之亦即圜内容五边形之一边也乙丙弧既为七十二度则乙丙边一十一万七千五百五十七(小余)(○五○四五八四)为七十二度之通弦折半得乙戊五万八千七百七十八(小余五二五二二九)(二)即乙丁弧三十六度之正弦也设如圜径二十万求内容十五边形之一边几何法以半径十万为弦圜内容五边形之半五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)为勾求得股八万零九百零一(小余六九九四)(三七五)内减半径之半五万余三万零九百零一(小余六九九四三七五)为股次以圜内容三边形之一边一十七万三千二百零五(小余○八○七五六八)内减圜内容五边形之一边一十一万七千五百五十七(小余○五)(○四五八四)余五万五千六百四十八(小余○三)(○二九八四)折半得二万七千八百二十四(小余○一五一四九二)为勾求得弦四万一千五百八十二(小余三三八一六三五)即圜内容十五边形之每一边也如甲圜内容十五边形每边之弧得圜周十五分之一皆二十四度试从圜界乙作圜内容三边形又作圜内容五边形将三边形之每一边弧分五段五边形之每一边弧分三段即得十五边形之每一边弧如戊庚与己丁二段皆为十五边形之弧故以甲丁半径为弦丁丙五边之半为勾求得甲丙股内减甲辛自圜心至三角底边之垂线为半径之半余辛丙与癸丁或壬庚等复于三边形之戊己边内减五边形之庚丁边即如戊己线内减壬癸余戊壬与癸己二段折半得癸己或戊壬今任以癸丁或壬庚为股癸己或戊壬为勾求得己丁弦或戊庚弦即圜内容十五边形之每一边也己丁弧既为二十四度则己丁边四万一千五百八十二(小余三三八一六三五)为二十四度之通弦折半得己子二万零七百九十一(小余)(一六九○八一七)即己丑弧十二度之正弦也新增按分作相连比例四率法设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何法以一率十万自乘再乘得一千兆(成一)(立方积)为实又以一率十万自乘三因之得三百亿(成三平面积)为法以除原实一千兆得三万乃以三万自乘再乘得二十七兆益于原实一千兆内得一千零二十七兆为共实按除法以所得三万与法三百亿相因得九百兆与共实相减余一百二十七兆为第二位实以法之三百亿除之得四千乃以首位所得三万合次位所得四千共三万四千自乘再乘得三十九兆三千零四十亿仍益于原实一千兆内得一千零三十九兆三千零四十亿为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆余一十九兆三千零四十亿为第三位实以法之三百亿除之得六百所余太多因益积故取畧大之数为七百合前两位所得三万四千共三万四千七百自乘再乘得四十一兆七千八百一十九亿二千三百万仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆七千八百一十九亿二千三百万为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆余七千八百一十九亿二千三百万为第四位实以法之三百亿除之得二十合前三位所得三万四千七百共三万四千七百二十自乘再乘得四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千五百四十二亿一千零四万八千为共实按除法减首位所得三万与法三百亿相因之九百兆又减次位所得四千与法三百亿相因之一百二十兆又减三位所得七百与法三百亿相因之二十一兆又减四位所得二十与法三百亿相因之六千亿余二千五百四十二亿一千零四万八千为末位实以法之三百亿除之得八所余亦太多因益积仍取畧大之数为九合前四位所得三万四千七百二十共三万四千七百二十九自乘再乘得四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万零二千四百八十九仍益于原实一千兆内得一千零四十一兆八千八百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九为共实按除法以五次所得之数与法相因之数递减之仍余一百六十七亿六千六百四十万二千四百八十九不尽是共除得三万四千七百二十九为相连比例之二率也以二率之三万四千七百二十九自乘得一十二亿零六百一十万三千四百四十一以一率之十万除之得一万二千零六十一为三率以二率之三万四千七百二十九三倍之得十万四千一百八十七内减去一率之十万余四千一百八十七为四率如以三率之一万二千零六十一自乘以二率之三万四千七百二十九除之亦得四千一百八十七为四率也此为益实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率三倍等而连比例四率之理一率自乘用四率再乘与二率自乘再乘之数等今立法以一率自乘再乘为原实较之三倍二率与一率自乘之面积相乘之数却少一二率自乘再乘之数故以累除所得之数屡次自乘再乘益入原实然后按法除之始足二率三倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰辰乙皆为二率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率之三倍甲乙丙丁戊己为一率自乘再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为三倍二率与一率自乘面积相乘之长方体(一率自乘三因之得三平面如以二率乘之成三扁方体合之即成三倍)(二率乘一率自乘面积之一长方体)比一率自乘再乘之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乘用四率再乘之数与二率自乘再乘之积等若于一率自乘再乘之正方体内加入二率自乘再乘之正方体即如于甲乙丙丁戊己正方体上加一庚甲酉戊壬癸之扁方体成庚乙丙丁壬癸之长方体而以一率自乘之乙丙丁申方面除之必得庚乙为二率之三倍苟合乙丙丁申与辰己午未及子丑寅夘三方面除之必得庚子或子辰或辰乙为二率若不加积止以三方面除之则所得仍为一率之三分之一比二率数必小故以屡除所得之数屡次自乘再乘益入原积则积渐增而得数亦渐大递及末位则所少之积已足而除得之数即为二率之全数焉设如圜径二十万求内容十八边形之一边几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乘再乘得一千兆为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得三万四千七百二十九(小余)(六三五五三三四)为二率即圜内十八边形之每一边也如甲圜内容十八边形每边之弧得圜周十八分之一皆二十度其通弦即圜内十八边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形而乙庚为六十度之通弦复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形(乙丙戊三角形)(之乙角当庚丙弧为乙丙弧之倍则乙丙戊三角形之乙角与甲乙丙三角形)(之甲角等又与甲乙丙三角形同用丙角丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半)(径平行则丙丁戊三角形之丙角与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必)(等又与乙丙戊三角形同用戊角是此三三角形之各角互相等而为同式形)(也)其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又乙庚为六十度之通弦与甲乙一率等而乙戊丁己己庚三段皆与乙丙二率等是乙庚一率中有乙丙二率之三倍而少一丁戊四率也必以乙庚一率与丁戊四率相加方与乙丙二率之三倍等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十八边形之一边也乙丙弧既为二十度乙丙边三万四千七百二十九(小余六三五五三三四)为二十度之通弦折半得一万七千三百六十四(小余)(八一七七六六七)即十度之正弦也设如圜径二十万求内容九边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十八边形之一边三万四千七百二十九(小余六三五五三三四)为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线三万四千二百零二(小余○一四三三二六)倍之得六万八千四百零四(小余○二八六六五二)即圜内容九边形之每一边也如甲圜容九边形每边之弧得圜周九分之一皆四十度试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为四十度之通弦如以乙丙弧四十度折半于丁作乙丁线即圜内容十八边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即九边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十八边形之一边为小腰求得中垂线倍之为九边形之每一边也乙丙弧既为四十度乙丙边为四十度之通弦其乙戊中垂线三万四千二百零二(小余○一四三三二六)即乙丁弧二十度之正弦也按分作相连比例四率又法设如以十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何法以一率十万自乘再乘得一千兆(成一)(立方体)为实又以一率十万自乘二因之得二百亿(成二平面积)为法以除原实一千兆得五万为尽数因减实大于益实故取畧小之数为四万乃以四万自乘再乘得六十四兆益于原实一千兆内得一千零六十四兆为益实复以所得四万自乘得一十六亿以一率十万再乘得一百六十兆于益实内减之余九百零四兆为正实按除法以所得四万与法二百亿相因得八百兆与正实相减余一百零四兆为第二位实以法之二百亿除之得五千仍取畧小之数为四千乃以首位所得四万合次位所得四千共四万四千自乘再乘得八十五兆一千八百四十亿益于原实一千兆内得一千零八十五兆一千八百四十亿为益实复以所得四万四千自乘得一十九亿三千六百万以一率十万再乘得一百九十三兆六千亿于益实内减之余八百九十一兆五千八百四十亿为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆余一十一兆五千八百四十亿为第三位实以法之二百亿除之得五百合前两位所得四万四千共四万四千五百自乗再乗得八十八兆一千二百一十一亿二千五百万益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千二百一十一亿二千五百万为益实复以所得四万四千五百自乗得一十九亿八千零二十五万以一率十万再乗得一百九十八兆零二百五十亿于益实内减之余八百九十兆零九百六十一亿二千五百万为正实按除法减首位所得四万与法二百亿相因之八百兆又减次位所得四千与法二百亿相因之八十兆又减三位所得五百与法二百亿相因之一十兆余九百六十一亿二千五百万为第四位实以法之二百亿除之实不足法乃以第四位为空位而第五位得四故以四为末位合前四位所得四万四千五百空十共四万四千五百零四自乗再乗得八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四益于原实一千兆内得一千零八十八兆一千四百四十八亿九千零一十三万六千零六十四为益实复以所得四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以十万再乗得一百九十八兆零六百零六亿零一百六十万于益实内减之余八百九十兆零八百四十二亿八千八百五十二万六千零六十四为正实按除法以五次所得之数于法相因之数递减之仍余四十二亿八千八百五十三万六千零六十四不尽是共除得四万四千五百零四为相连比例之二率也以二率之四万四千五百零四自乗得一十九亿八千零六十万六千零一十六以一率之十万除之得一万九千八百零六为三率以二率之四万四千五百零四二因之与三率之一万九千八百零六相加得十万八千八百一十四减去一率之十万余八千八百一十四为四率如以三率之一万九千八百零六自乗以一率之四万四千五百零四除之亦得八千八百一十四为四率也此为益实兼减实归除之法葢因此法止有一率之数作相连比例四率使一率与四率之共数与二率两倍再加一三率之数等而相连比例四率之理一率自乗用四率再乗与二率自乘再乗之数等又一率自乗用三率再乗与二率自乗用一率再乗之数等今立法以一率自乘再乗为原实较之二率加倍与一率自乗之面积相乗之数却少一一率自乗四率再乗之数又多一一率自乗三率再乗之数故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原实又以屡除所得之数屡次自乗以一率再乗与益实相减然后按法除之始足二率两倍之数也如图甲乙为一率庚子子辰皆为二率辰乙为三率庚甲为四率庚乙为一率四率之共数又为二率两倍再加一三率之共数甲乙丙丁戊巳为一率自乗再乘之正方体庚乙丙丁壬癸为两倍二率并一三率与一率自乗面积相乘之长方体比一率自乗再乗之正方体多一庚甲酉戊壬癸扁方体此扁方体即一率自乗四率再乗之扁方体与二率自乗再乗之积等比两倍二率与一率自乗面积相乗之扁方体多一辰乙丙丁午未扁方体此扁方体即一率自乗三率再乗之扁方体与二率自乗一率再乗之积等若于一率自乗再乗之正方体内加入二率自乗再乗之数再减去二率自乗一率再乗之数即如于甲乙丙丁戊己正方体内加入庚甲酉戊壬癸之扁方体减去辰乙丙丁午未之扁方体成一庚辰己午壬癸之扁方体而以一率自乗之辰己午未方面除之必得庚辰为二率之两倍苟合辰巳午未子丑寅夘二方面除之必得庚子或子辰为二率若不益少减多而以二方面除之则所得仍为一率之二分之一比二率数必大故以屡除所得之数屡次自乗再乗益入原积复以屡除所得之数自乗用一率再乗逐层与原积相减递及末位则所少之积渐足所多之积渐消而除得之数即为二率之全数焉设如圜径二十万求内容十四边形之一边几何法用连比例四率有一率求第二率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法以圜径二十万折半得十万为一率自乗再乗得一千兆为实又以半径十万自乗倍之得二百亿为法按益实兼减实归除之法除实得四万四千五百零四(小余一八六七九一三)为二率即圜内十四边形之每一边也如甲圜内容十四边形每边之弧得圜周十四分之一皆二十五度四十二分五十一秒有余其通弦即圜内十四边形之一边试自圜心至圜界乙丙作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形复自圜界乙至圜界庚作一乙庚线则截甲丙线于戊又成乙丙戊三角形复自圜界丙按丙戊线度至乙庚线之丁作一丙丁线则又成丙丁戊三角形此三三角形皆为同式形(乙戊丙三角形之乙角当丙庚弧为乙丙弧之倍则)(乙戊丙三角形之乙角与乙甲丙三角形之甲角等又与乙甲丙三角形同用)(丙角而丙丁戊三角形之丁丙线与甲辛半径平行即丙丁戊三角形之丙角)(与甲丙辛三角形之甲角为相对错角亦必等又与乙丙戊三角形同用戊角)(是此三三角形之各角互相等而为同式形也)其相当各边俱成相连比例故甲乙与乙丙之比同于乙丙与丙戊之比乙丙与丙戊之比又同于丙戊与戊丁之比为相连比例四率而甲乙为一率乙丙为二率丙戊为三率戊丁为四率也又按乙戊度作壬戊线与丁丙平行则截甲乙线于壬乃自壬与乙丙平行作壬子线复自壬与乙戊平行作壬癸线则又成甲壬子与壬戊癸丙三角形与乙丙戊三角形等成壬癸子一三角形与丙丁戊三角形等其甲子癸戊皆与乙丙二率等而癸子与丁戊四率等是甲丙一率内有两二率一三率而少一四率也若以甲丙一率与癸子四率相加方与二率之两倍再加一三率之数等故用连比例四率有一率求二率法算之得二率为十四边形之每一边也设如圜径二十万求内容七边形之一边几何法以半径十万为底仍以半径十万与圜内容十四边形之一边四万四千五百零四(小余一八六七九一三)为两腰用三角形求中垂线法算之得中垂线四万三千三百八十八(小余三七三九一一八)倍之得八万六千七百七十六(小余七四七八二三六)即圜内容七边形之每一边也如甲圜容七边形每边之弧得圜周七分之一皆五十一度二十五分四十二秒有余试自圜心甲至圜界乙丙二处作甲乙甲丙二半径线遂成甲乙丙三角形其乙丙边为五十一度二十五分四十二秒有余之通弦如以乙丙弧五十一度二十五分四十二秒有余折半于丁作乙丁线即圜内容十四边形之一边仍自圜心甲至圜界丁作甲丁半径线又成甲乙丁三角形而甲丁线平分乙丙线于戊此乙戊线为甲乙丁三角形之中垂线即七边形每边之一半故以甲丁半径为底甲乙半径为大腰乙丁十四边形之一边为小腰求得乙戊中垂线倍之为七边形之每一边也三要(有本弧之正弦求本弧之余弦有本弧之正弦余弦求倍弧之正弦余弦有本弧之)(正弦余弦求半弧之正弦余弦)设如本弧三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)求余弧五十四度之正弦几何法以三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)为勾半径十万为弦求得股八万零九百零一(小余六九九四三七)(五)为五十四度之正弦即三十六度之余弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙正弧三十六度乙丙余弧五十四度乙丁为三十六度之正弦试自乙至象限中心戊作乙戊半径线遂成乙丁戊勾股形乙戊为弦乙丁为勾求得丁戊股与乙己等为乙丙余弧五十四度之正弦即甲乙正弧三十六度之余弦也设如本弧三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)余弦八万零九百零一(小余六九九四三七五)求倍弧七十二度之正弦余弦各几何法以半径十万为一率本弧之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)为二率本弧之余弦八万零九百零一(小余六九)(九四三七五)为三率求得四率四万七千五百五十二(小余八二五八一四七)倍之得九万五千一百零五(小余六五一六二九四)即倍弧七十二度之正弦也求余弦则以三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二)(二九二)自乘以半径十万除之得三万四千五百四十九(小余一五○二八一二)倍之得六万九千零九十八(小余三○○五六二四)与半径十万相减余三万零九百零一(小余六九九四)(三七六)即倍弧七十二度之余弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度乙己为三十六度之正弦庚乙为三十六度之余弦与戊辛等(葢辛甲与乙己等则戊辛必与戊己等戊己即)(庚乙也)丁壬为七十二度之正弦试与乙己平行作辛癸线遂成戊乙己戊辛癸同式两勾股形其戊乙己勾股形之戊乙弦与乙己勾之比同于戊辛癸勾股形之戊辛弦与辛癸勾之比为相当比例四率而辛癸与子壬等为丁壬之半(葢辛甲为丁甲之半则辛癸亦为丁壬之半)故倍之得丁壬为甲丁七十二度之正弦也又如求余弦其甲辛戊甲癸辛为同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦与甲辛勾之比同于甲癸辛勾股形之甲辛弦与甲癸勾之比为相连比例三率既得甲癸倍之得甲壬(葢甲丁为甲辛之倍则甲壬亦为甲癸之倍)与甲戊半径相减余壬戊与丁丑等即甲丁七十二度之余弦也设如本弧四十五度之正弦七万零七百一十(小余六七)(八一一八六)余弦亦七万零七百一十(小余六七八一一八六)求半弧二十二度三十分之正弦几何法以本弧之正弦七万零七百一十(小余)(六七八一一八六)为股本弧之余弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)与半径十万相减余二万九千二百八十九(小余三二一八八一四)为勾求得弦七万六千五百三十六(小余)(六八六四七三○)折半得三万八千二百六十八(小余三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正弦戊己与庚乙等为四十五度之余弦于戊甲半径内减去戊己余己甲为勾乙己为股求弦得乙甲为四十五度之通弦折半得乙辛即丁乙二十二度三十分之正弦也又捷法以本弧四十五度之余弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)与半径十万相减余二万九千二百八十九(小余三二一八)(八一四)折半得一万四千六百四十四(小余)(六六○九四○七)与半径十万相乘开方得三万八千二百六十八(小余三四三二三六五)即半弧二十二度三十分之正弦也葢乙己为四十五度之正弦甲己为四十五度之正矢乙辛辛甲皆二十二度三十分之正弦如与乙己平行作一辛壬线平分甲己于壬成甲辛戊甲壬辛同式两勾股形其甲辛戊勾股形之甲戊弦与甲辛勾之比同于甲壬辛勾股形之甲辛弦与甲壬勾之比为连比例三率故首率甲戊与末率甲壬相乘(首率甲戊与末率甲)(壬相乘与中率甲辛自乘之积相等)开方得甲辛为二十二度三十分之正弦也新增有本弧之余弦求倍弧之余弦及半弧之余弦设如本弧三十六度之余弦八万零九百零一(小余六九)(九四三七五)求倍弧七十二度之余弦几何法以本弧三十六度之余弦八万零九百零一(小余六九九四三七五)自乘以半径十万除之得六万五千四百五十(小余八四九七一八)(七)与半径十万相减余三万四千五百四十九(小余一五○二八一三)倍之得六万九千零九十八(小余三○○五六二六)仍与半径十万相减余三万零九百零一(小余六九九四三七四)即倍弧七十二度之余弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度倍之为甲丁弧七十二度丁己为三十六度之正弦戊己为三十六度之余弦丁庚为七十二度之正弦辛丁为七十二度之余弦与戊庚等试自己至壬作己壬垂线遂成甲己戊己壬戊同式两勾股形其甲己戊勾股形之戊甲弦与戊己股之比同于己壬戊勾股形之戊己弦与戊壬股之比为连比例三率故中率戊己自乘以首率戊甲除之得末率戊壬既得戊壬与戊甲半径相减余壬甲倍之得庚甲仍与戊甲半径相减余戊庚与辛丁等即甲丁弧七十二度之余弦也设如本弧四十五度之余弦七万零七百一十(小余六七)(八一一八六)求半弧二十二度三十分之余弦几何法以本弧四十五度之余弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)与半径十万相减余二万九千二百八十九(小余三二一八八一四)折半得一万四千六百四十四(小余六六○九)(四○七)与本弧四十五度之余弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)相加得八万五千三百五十五(小余三三九○五九三)与半径十万相乘开方得九万二千三百八十七(小余九五三二五一一)即半弧二十二度三十分之余弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧四十五度折半为丁乙弧二十二度三十分乙己为四十五度之正弦戊己与庚乙等为四十五度之余弦乙辛为二十二度三十分之正弦戊辛为二十二度三十分之余弦戊己四十五度之余弦与戊甲半径相减余己甲折半得己壬再与戊己相加得戊壬试自辛至壬作辛壬垂线遂成甲辛戊辛壬戊同式两勾股形其甲辛戊勾股形之戊甲弦与戊辛股之比同于辛壬戊勾股形之戊辛弦与戊壬股之比为连比例三率故首率戊甲与末率戊壬相乘开方得戊辛为二十二度三十分之余弦也新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦设如三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二)(五二二九二)求其三分之一十二度之正弦几何法用连比例四率有一率求二率使一率与四率相加与二率三倍等之法以三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)倍之得一十一万七千五百五十七(小余○五○四五八四)为七十二度之通弦乃以半径十万自乘得一百亿用七十二度之通弦再乘得一千一百七十五兆五千七百零五亿零四百五十八万四千为实又以半径十万自乘三因之得三百亿为法按益实归除之法除实得四万一千五百八十二(小余三三)(八一六三四)为二十四度之通弦折半得二万零七百九十一(小余一六九○八一七)即十二度之正弦也如甲乙丙九十度之一象限其甲乙弧三十六度甲丁为其正弦倍之得甲己即甲乙己七十二度弧之通弦试以七十二度取其三分之一二十四度为甲庚弧其通弦甲庚与甲戊庚戊两半径成一戊甲庚三角形又庚戊半径截甲己通弦于辛成一庚甲辛三角形又依庚辛度向辛甲边作庚壬线成一庚辛壬三角形此两三角形俱与戊甲庚三角形为同式形其相当各边俱成相连比例故戊甲为一率甲庚为二率庚辛为三率辛壬为四率也今甲己七十二度之通弦内有甲庚二率之三倍而少一辛壬四率(葢己癸癸壬辛甲三段皆)(与甲庚二率等而癸壬辛甲二段内却重辛壬一小段是甲己通弦内有己癸)(癸壬辛甲三二率而少一辛壬四率也)若以甲己通弦为髙与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体则比三倍二率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体必少一四率为高与一率半径自乘之方面相乘所成之扁方体此扁方体与二率自乘再乘之正方体等故以一率半径自乘之三方面为法除实每次所得二率之数自乘再乘益入原积则积渐增与三倍二率与一率半径自乘之方面相乘所成之长方体合而除得之数即为二率既得甲庚二率为二十四度之通弦半之得甲子即甲丑弧十二度之正弦也二简法(有两弧之正弦余弦求两弧相加相减之正弦有距六十度前后相等弧之正)(弦求距弧之正弦)设如四十五度之正弦七万零七百一十(小余六七八一一八)(六)余弦亦七万零七百一十(小余六七八一一八六)又有二十四度之正弦四万零六百七十三(小余六六四三○七五)余弦九万一千三百五十四(小余五四五七六四二)求两弧相加六十九度之正弦及两弧相减二十一度之正弦各几何法以半径十万为一率四十五度之正弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)为二率二十四度之余弦九万一千三百五十四(小余五四五七六四二)为三率求得四率六万四千五百九十七(小余四一八八○二○)又以半径十万为一率四十五度之余弦七万零七百一十(小余六七八一一八六)为二率二十四度之正弦四万零六百七十三(小余)(六六四三○七五)为三率求得四率二万八千七百六十(小余六二三八四七六)乃以两四率相加得九万三千三百五十八(小余○四二六四九)(六)即两弧相加所得六十九度之正弦如以两四率相减余三万五千八百三十六(小余七九四九五四五)即两弧相减所余二十一度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其乙甲弧四十五度乙己为四十五度之正弦己戊为四十五度之余弦于乙甲弧四十五度加丙乙弧二十四度得丙甲弧六十九度又于乙甲弧四十五度减乙子弧二十四度余子甲弧二十一度试自丙至子作丙子线则丙乙弧乙子弧皆为二十四度丙庚与庚子皆为二十四度之正弦庚戊则为二十四度之余弦今以乙戊半径为一率乙己四十五度之正弦为二率庚戊二十四度之余弦为三率求得四率庚辛与壬癸等又以乙戊半径为一率己戊四十五度之余弦为二率丙庚二十四度之正弦为三率求得四率丙壬故以丙壬加于庚辛(庚辛原与壬癸等)共得丙癸即丙甲弧六十九度之正弦如于庚辛内减与丙壬相等之庚夘余夘辛与子丑等即子甲弧二十一度之正弦也葢乙己戊与庚辛戊为同式勾股形故乙戊与乙己之比同于庚戊与庚辛之比为相当比例四率又寅癸戊与乙己戊亦为同式勾股形而寅癸戊勾股形之寅角与丙庚寅勾股形之寅角为两尖相对角其度等癸角与庚角俱为直角其度又等则戊角必与丙角等如作庚壬线成丙壬庚勾股形则此形之丙角既与乙己戊勾股形之戊角等而壬角又为直角与乙己戊勾股形之己角等故亦为同式勾股形而乙戊与己戊之比同于丙庚与丙壬之比为相当比例四率也设如八十四度之弧距六十度二十四度其正弦九万九千四百五十二(小余一八九五三六八)又有三十六度之弧距六十度亦二十四度其正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)求距弧二十四度之正弦几何法以八十四度之正弦九万九千四百五十二(小余一八九五三六八)内减三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九)(二)余四万零六百七十三(小余六六四三○七六)即距弧二十四度之正弦也如有距六十度前二十四度为三十六度其正弦五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)距弧二十四度之正弦四万零六百七十三(小余六六四三○七六)求距六十度后二十四度为八十四度之正弦则以三十六度之正弦五万八千七百七十八(小余五二五二)(二九二)与距弧二十四度之正弦四万零六百七十三(小余六六四三○七六)相加得九万九千四百五十二(小余一八九五三六八)即八十四度之正弦也又如有距六十度后二十四度为八十四度其正弦九万九千四百五十二(小余一八九五三六八)距弧二十四度之正弦四万零六百七十三(小余六六四三)(○七六)求距六十度前二十四度为三十六度之正弦则以八十四度之正弦九万九千四百五十二(小余一八九五三六八)与距弧二十四度之正弦四万零六百七十三(小余六六四三○七六)相减余五万八千七百七十八(小余五二五二二九二)即三十六度之正弦也如甲乙丙丁九十度之一象限其己甲弧六十度丙甲弧八十四度丙距己二十四度乙甲弧三十六度乙距己亦二十四度丙庚为八十四度之正弦乙辛为三十六度之正弦与壬庚等丙壬为两正弦之较试自巳至象限中心戊作己戊线又自丙至乙作丙乙线则丙癸癸乙皆为距弧二十四度之正弦与丙壬两正弦之较相等葢己戊甲角六十度则己戊丁角为三十度丙庚与丁戊平行则丙子己角与丁戊己角为二平行线上所成之内外角必相等皆为三十度丙癸子角为直角则子丙癸角必为六十度矣又自乙至子作乙子线则乙癸子与丙癸子为同形勾股形癸乙子角亦必为六十度癸子乙角亦必为三十度两勾股形合之共成一丙乙子三角形而丙子乙角亦必为六十度矣三角度既等则三边必相等今丙壬为丙子之半丙癸为丙乙之半丙子既与丙乙等故丙壬亦必与丙癸等也有此法凡有六十度以前各弧之正弦则以各距弧之正弦与之相加可得六十度以后三十度各弧之正弦若有六十度以后各弧之正弦则以各距弧之正弦与之相减可得六十度以前三十度各弧之正弦六十度前后三十度之正弦用加减而即得较之勾股比例诸法甚为简便也八线相求设如四十八度之正弦七万四千三百一十四(小余四八)(二五四七七)余弦六万六千九百一十三(小余○六○六三五八)求正矢正切正割各几何法以半径十万内减四十八度之余弦六万六千九百一十三(小余○六○六三五八)余三万三千零八十六(小余九三九三六四二)为正矢以余弦六万六千九百一十三(小余○六)(○六三五八)为一率正弦七万四千三百一十四(小余四八二五四七七)为二率半径十万为三率求得四率一十一万一千零六十一(小余二五一四八三○)为正切以余弦六万六千九百一十三(小余○六○六三五八)为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十四万九千四百四十七(小余六五四九八六六)为正割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正弦甲丁为余弦与丙戊等乙丙为正矢故乙戊半径内减与甲丁余弦相等之丙戊余乙丙即为正矢己乙为正切巳戊为正割甲丙戊己乙戊两勾股形为同式形故丙戊余弦与甲丙正弦之比同于乙戊半径与己乙正切之比为相当比例四率又丙戊余弦与甲戊半径之比同于乙戊半径与己戊正割之比亦为相当比例四率也又正切求正割捷法以余弧折半得二十一度乃以二十一度之正切三万八千三百八十六(小余四○三三五○三六)与本弧之正切一十一万一千零六十一(小余二五一四)(八三○)相加得一十四万九千四百四十七(小余六五四八三三三)即为本弧之正割也如图甲乙弧四十八度己乙为正切己戊为正割试将甲庚余弧四十二度折半得庚辛二十一度移于乙壬又作乙癸为乙壬弧二十一度之正切与己乙相加得己癸与己戊正割相等葢甲戊乙角四十八度己乙戊角为直角九十度二角并之为一百三十八度于一百八十度内减之余四十二度为戊己乙角今于甲戊乙角四十八度加乙戊壬角二十一度遂成己戊癸角为六十九度仍与戊己乙角四十二度相加于一百八十度内减之所余亦六十九度即为戊癸己角戊癸己角既与己戊癸角相等则己戊与己癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求割线可止用加法不用四率矣又凡有本弧之正切正割相减即得半余弧之正切若有本弧之正割及半余弧之正切相减即得本弧之正切也设如四十八度之正弧七万四千三百一十四(小余四八)(二五四七七)余弦六万六千九百一十三(小余○六○六三五八)求余矢余切余割各几何法以半径十万内减四十八度之正弦七万四千三百一十四(小余四八二五四七七)余二万五千六百八十五(小余五一七四五二三)为余矢以正弦七万四千三百一十四(小余)(四八二五四七七)为一率余弦六万六千九百一十三(小余○六○六三五八)为二率半径十万为三率求得四率九万零四十(小余四○四四)(二九七)为余切以正弦七万四千三百一十四(小余四八二五四七七)为一率半径十万为二率仍以半径十万为三率求得四率一十三万四千五百六十三(小余二七二九六○)(七)为余割也如图甲乙弧四十八度甲丙为正弦与丁戊等甲丁为余弦巳丁为余矢故已戊半径内减与甲丙正弦相等之丁戊余己丁即为余矢庚己为余切庚戊为余割甲丁戊庚己戊两勾股形为同式形故丁戊正弦与甲丁余弦之比同于己戊半径与庚己余切之比为相当比例四率又丁戊正弦与甲戊半径之比同于己戊半径与庚戊余割之比亦为相当比例四率也又余切求余割捷法以本弧折半得二十四度乃以二十四度之正切四万四千五百二十二(小余六八六五三一○)与本弧之余切九万零四十(小余四○四四二九七)相加得一十三万四千五百六十三(小余二七二九六○)(七)即为本弧之余割也如图甲乙弧四十八度庚己为其余切庚戊为其余割试将甲乙正弧四十八度折半得辛乙二十四度移于壬己又作癸己为壬己弧二十四度之正切与庚己相加得庚癸与庚戊余割相等葢甲戊己角四十二度庚己戊角为直角九十度二角相并为一百三十二度于一百八十度内减之余四十八度为戊庚己角今于甲戊己角四十二度加己戊壬角二十四度遂成庚戊癸角为六十六度仍与戊庚己角四十八度相加于一百八十度内减之所余亦为六十六度即为戊癸庚角戊癸庚角既与庚戊癸角相等则庚戊与庚癸边亦必相等也有此法则凡有逐度逐分之切线求余割亦可止用加法不用四率矣又凡有本弧之余切余割相减即得半本弧之正切若有本弧之余割及半本弧之正切相减即得本弧之余切矣求象限内各线总法六宗倂新增十八边形及九边形之每边各半之得八弧之正弦用要法之一各求其余弦次取十二度(十五边之半)用要法之三折半四次得六度三度一度三十分及四十五分之正弦复用新增法求其三分之一得十五分之正弦复求其三分之一即得五分之正弦既得五分之正弦乃用简法之一求六十度以内之正弦每越五分而得一弦可得七百二十又用简法之二求六十度以外之正弦亦越五分而得一弦又得三百六十(如以一度之弦与五十九度之弦相加即六十一度之弦以二度之)(弦与五十八度之弦相加即六十二度之弦以至二十九度之弦与三十一度之弦相加即得八十九度)(之弦也)总而计之一象限中共得正弦一千零八十己居全表五分之一(象限中逐分计之共正弦五千四百故一千零八十为五分之一也)再以五分之弦用要法之三得二分三十秒之弦复用新增法求其三分之一得五十秒之弦乃以五十秒之弧为一率五十秒之弦为二率一分之弧化六十秒为三率得四率为一分之弦既得一分之弦即用简法之一简法之二错综加减之则一象限中每度每分之正弦悉得矣既得每度每分之正弦则用前八线相求之法即得每度每分之切割诸线矣如于一分之中欲析为六十秒则以比例四率求之即得每秒之八线也御制数理精蕴下编卷十六
## 下编卷十七
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十七面部三角形边线角度相求三角形边线角度相求三角形有直角者为勾股无直角者作中垂线分为两直角形则亦成两勾股是皆有其二而得其一或有其三而分为二㮣以边线相求者也至于割圜之法则凡三角形有一角即有八线皆成勾股而可比例以相求故三角形不论角之直与锐钝要以角度为凖而三角之度必与两直角之度等角之大者所对之边亦大角之小者所对之边亦小凡三角三边但知其三而其余者悉可得若直角则惟知其二而其余者亦可得此三角之法所由立而测量之用所由广也如知两角一边求又一边者以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也知两边一角求又一角者以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也或所知之一角在所知两边之间而求又一角者则角无所对之边而边亦无所对之角必用两边之和较与所知角之外角半弧之切线为比而得所求两角与所知角之外角半弧之较既得较而角度亦得矣又如知三边而求三角者则以三角形求中垂线法分为两直角形而三角自随之而得或用三边之方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角而三角亦可得矣若止有三角则三边无所约束故不成法葢角度为虚率而边线为实数无实数而虚率可驭总以比例四率展转用之惟在分合有法相度得宜耳设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十七度丙乙边五丈求甲乙边几何法以丙角五十七度与象限九十度相减余三十三度为甲角乃以甲角为对所知之角其正弦五万四千四百六十四为一率丙角为对所求之角其正弦八万三千八百六十七为二率丙乙边为所知之边其数五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘有余即甲乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正弦丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余弦即甲角之正弦是故丙角五十七度之余弧为三十三度丙角五十七度之余弦为三十三度之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正弦丙庚(即辛己)与丙角正弦己庚之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角五十七度之正切一十五万三千九百八十六为二率丙乙边五丈为三率求得四率七丈六尺九寸九分三厘即甲乙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚戊正切之比同于丙乙边与甲乙边之比为相当比例四率也设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角二十三度三十五分甲乙边三十二丈求丙乙边几何法以丙角二十三度三十五分与九十度相减余六十六度二十五分为甲角乃以丙角为对所知之角其正弦四万零八为一率以甲角为对所求之角其正弦九万一千六百四十八为二率甲乙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正弦丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余弦即甲角之正弦故丙角二十三度三十五分之余弧为六十六度二十五分丙角二十三度三十五分之余弦为六十六度二十五分之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正弦己庚与甲角正弦丙庚之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角二十三度三十五分之余切线二十二万九千零七十三为二率甲乙边三十二丈为三率求得四率七十三丈三尺零三分有余即丙乙边也如丙丁戊一象限切丁己弧作丁庚线为丙角之余切即甲角之正切则丁丙为半径丙丁庚与甲乙丙两勾股形为同式形故丁丙半径与丁庚余切之比同于甲乙边与丙乙边之比为相当比例四率也设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角四十三度三十七分丙乙边二十一尺求甲丙边几何法以丙角四十三度三十七分与九十度相减余四十六度二十三分为甲角乃以甲角为对所知之角其正弦七万二千三百九十七为一率(甲角正弦即丙角余弦或)(直用丙角余弦亦可)以乙角为对所求之角其正弦即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余弦即甲角之正弦(与丙庚等)己丙线为半径即九十度之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故甲角正弦丙庚与半径己丙之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角四十三度三十七分之正割一十三万八千一百二十七为二率丙乙边二十一尺为三率求得四率二十九尺零六厘有余即甲丙边也如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊线为丙角之正切则丙戊为半径庚丙为正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙戊半径与庚丙正割之比同于丙乙边与甲丙边之比为相当比例四率也设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知丙角五十一度五十一分甲丙边八十九丈零二寸二分求甲乙边丙乙边各几何法以丙角五十一度五十一分与九十度相减余三十八度零九分为甲角求甲乙边则以乙角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以丙角为对所求之角其正弦七万八千六百四十为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙为所求之边也求丙乙边亦以乙角为对所知之角其正弦即半径十万为一率而以甲角为对所求之角其正弦六万一千七百七十二为二率甲丙边为所知之边其数八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙为所求之边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧己庚线为丙角之正弦丁己弧为丙角之余弧即甲角之正弧辛己线为丙角之余弦即甲角之正弦己庚丙与甲乙丙两勾股形为同式形故半径己丙与丙角正弦己庚之比同于甲丙边与甲乙边之比为相当比例四率又半径巳丙与甲角正弦丙庚之比同于甲丙边与丙乙边之比为相当比例四率也又法求甲乙边以丙角五十一度五十一分之正割一十六万一千八百八十五为一率其正切一十二万七千三百零六为二率甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率七十丈零六分有余即甲乙边也求丙乙边则仍以丙角正割一十六万一千八百八十五为一率而以半径十万为二率仍以甲丙边八十九丈零二寸二分为三率求得四率五十四丈九尺九寸有余即丙乙边也如丙丁戊一象限己戊弧为丙角之正弧庚戊线为丙角之正切庚丙线为丙角之正割庚戊丙与甲乙丙两勾股形为同式形故丙角正割庚丙与正切庚戊之比同于甲丙边与甲乙边之比又丙角正割庚丙与半径丙戊之比同于甲丙边与丙乙边之比皆为相当比例四率也设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边二十丈丙乙边三十四丈六尺四寸一分求甲角丙角各几何法以甲乙边二十丈为一率丙乙边三十四丈六尺四寸一分为二率半径十万为三率求得四率一十七万三千二百零五为甲角之正切捡八线表得六十度即甲角之度与九十度相减余三十度即丙角之度也如先求丙角则以丙乙边三十四丈六尺四寸一分为一率甲乙边二十丈为二率半径十万为三率求得四率五万七千七百三十五为丙角之正切捡八线表得三十度即丙角之度与九十度相减余六十度即甲角之度也如图先求甲角则如甲丁戊一象限己戊弧为甲角六十度之弧庚戊为甲角之正切甲戊为半径甲戊庚与甲乙丙两勾股形为同式形故甲乙边与丙乙边之比同于甲戊半径与庚戊正切之比为相当比例四率先求丙角则如丙丁戊一象限己丁弧为丙角三十度之弧辛丁为丙角之正切丙丁为半径丙丁辛与丙乙甲两勾股形为同式形故丙乙边与甲乙边之比同于丙丁半径与辛丁正切之比为相当比例四率也又法以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相加得五十四丈六尺四寸一分为两边之和为一率又以甲乙边二十丈与丙乙边三十四丈六尺四寸一分相减余一十四丈六尺四寸一分为两边之较为二率以乙角之外角九十度折半得四十五度为半外角其正切十万为三率(四十五度之正切与半径)(十万等)求得四率二十六万七千九百四十八为半较角之正切捡八线表得十五度为半较角与半外角四十五度相减余三十度即丙角之度如以半较角十五度与半外角四十五度相加得六十度即甲角之度也如图甲乙丙直角三角形以乙直角为心甲乙小边为半径作一甲戊丁圜截丙乙大边于戊将丙乙引长至圜界丁则丁乙戊乙俱为半径与甲乙等自丁至丙即两边之和自戊至丙即两边之较甲乙丁角即乙角之外角试自甲至戊作一甲戊线则成甲乙戊直角三角形其乙甲戊与乙戊甲二角相并与甲乙丁外角度等今折半用其正切即如用甲戊乙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自甲至丁作一丁甲线即甲戊丁角之正切又戊甲丙角即甲角大于甲戊乙角之较又即丙角小于甲戊乙角之较故于圜界戊至甲丙边己作己戊线与甲丁线平行即戊甲己角之正切且丙丁甲三角形与丙戊己三角形为同式形故两边之和丙丁与甲戊丁半外角切线甲丁之比即同于两边之较丙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲乙边六十尺丙乙边三十二尺求甲丙边几何法以甲乙边六十尺为一率丙乙边三十二尺为二率半径十万为三率求得四率五万三千三百三十三为甲角之正切捡八线表得二十八度零四分即甲角之度(如用丙乙边作一率甲乙边作二率即先得丙角度)乃以甲角为对所知之角其正弦四万七千零五十为一率乙角为对所求之角其正弦即半径十万为二率丙乙边为所知之边其数三十二尺为三率求得四率六十八尺零一分二厘有余即甲丙为所求之边也又既得甲角之后用割线法则以半径为一率甲角之正割为二率甲乙边为三率求得四率即甲丙为所求之边也或得丙角则用丙角之正割为二率丙乙边为三率亦得甲丙边若得丙角仍用甲乙边为三率则用丙角余割(即甲角之正割)为二率而亦得甲丙边也又法用勾股求弦以甲乙为股丙乙为勾求得弦即甲丙边也法已载于勾股集中设如甲乙丙直角三角形乙角为直角九十度知甲丙边一百零二丈二尺丙乙边四十八丈求甲角丙角各几何法以甲丙边为对所知之边其数一百零二丈二尺为一率丙乙边为对所求之边其数四十八丈为二率乙角为所知之角其正弦即半径十万为三率求得四率四万六千九百六十六为甲角之正弦捡八线表得二十八度零一分即甲角之度也甲角之余弦即丙角之正弦如捡八线表余弦数得六十一度五十九分即丙角之度也如甲丁戊一象限己庚为甲角正弦辛己与甲庚等为甲角之余弦即丙角之正弦甲庚己与甲乙丙両勾股形为同式形故甲丙边与丙乙边之比同于甲己半径与己庚正弦之比为相当比例四率也又法以丙乙边四十八丈为一率甲丙边一百零二丈二尺为二率半径十万为三率求得四率二十一万二千九百一十六为丙角之正割捡八线表得六十一度五十九分即丙角之度也其丙角之余割即甲角之正割如捡余割数得二十八度零一分即甲角之度也如丙丁戊一象限丙戊为半径己戊为丙角之正切己丙为丙角之正割甲乙丙与己戊丙两勾股形为同式形故丙乙边与甲丙边之比同与丙戊半径与己丙正割之比为相当比例四率也设如甲乙丙锐角三角形知乙丙边三十二丈乙角六十度丙角四十六度求甲乙边甲丙边各几何法以乙角六十度与丙角四十六度相加得一百零六度与半圜一百八十度相减余七十四度为甲角求甲丙边则以甲角为对所知之角其正弦九万六千一百二十六为一率以乙角为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙为所求之一边也求甲乙边则仍以甲角为对所知之角其正弦九万六千一百二十六为一率而以丙角为对所求之角其正弦七万一千九百三十四为二率仍以乙丙边为所知之边其数三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙为所求之又一边也如图甲乙丙三角形作含三角形之圜则每界角各对一弧试自圜心丁作三角形各边之垂线即将每角所对之弧平分一半各成两心角其每一心角与相当各界角之度等(见几何原本四卷第十三节)是以乙角所对甲丙弧原系一百二十度今为丁庚癸垂线所平分各为六十度一为甲丁癸一为癸丁丙皆与乙角原度等丙角所对甲乙弧原系九十二度今为丁戊辛垂线所平分各为四十六度一为甲丁辛一为辛丁乙皆与丙角原度等甲角所对乙丙弧原系一百四十八度今为丁己壬垂线所平分各为七十四度一为乙丁壬一为壬丁丙皆与甲角原度等乙己为乙丁壬角之正弦己丙为壬丁丙角之正弦亦即甲角之正弦甲庚为甲丁癸角之正弦庚丙为癸丁丙角之正弦亦即乙角之正弦甲戊为甲丁辛角之正弦戊乙为辛丁乙角之正弦亦即丙角之正弦故求甲丙边者以乙己与甲庚之比或己丙与庚丙之比皆同于乙丙与甲丙之比又如求甲乙边者以己丙与甲戊之比或乙己与戊乙之比皆同于乙丙与甲乙之比俱是半与半全与全之比例而各为相当比例四率也又图求甲丙边者则用甲丙为半径自丙角至甲乙界作丙丁垂线为甲角正弦又依甲丙度截丙乙于戊使戊乙与甲丙等(凡用正弦比例因在圜内皆同半径今使)(戊乙与甲丙相同而后正弦之大小乃见)乃自戊至甲乙界又作戊己垂线为乙角正弦观戊己小于丙丁则知甲丙(同戊乙)亦小于乙丙故甲角正弦丙丁与乙角正弦戊己之比同于乙丙边与甲丙边之比为相当比例四率也又如求甲乙边者则用甲乙为半径自乙角至甲丙界作乙丁垂线为甲角正弦又依甲乙度截乙丙于戊使戊丙与甲乙等乃自戊至甲丙界又作戊己垂线为丙角正弦观戊己小于乙丁则知甲乙(同戊丙)亦小于乙丙故甲角正弦乙丁与丙角正弦戊己之比同于乙丙边与甲乙边之比为相当比例四率也又法求甲乙边以乙角六十度之余切五万七千七百三十五与丙角四十六度之余切九万六千五百六十九相加得一十五万四千三百零四为一率乙角之余割一十一万五千四百七十为二率乙丙边三十二丈为三率求得四率二十三丈九尺四寸六分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之一十五万四千三百零四为一率而以丙角余割一十三万九千零一十六为二率仍以乙丙边三十二丈为三率求得四率二十八丈八尺二寸九分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一锐角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形即如乙角六十度与象限九十度相减余三十度为甲丁乙三角形之甲角又丙角四十六度与象限九十度相减余四十四度为甲丁丙三角形之甲角乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子若乙角丙角两余切相加即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是故求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也设如甲乙丙锐角三角形知甲角五十度乙角七十度乙丙边九丈七尺八寸求丙角甲乙边甲丙边各几何法以甲角五十度与乙角七十度相加得一百二十度与半圜一百八十度相减余六十度为丙角求甲乙边则以甲角为对所知之角其正弦七万六千六百零四为一率以丙角为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈零五寸六分有余即甲乙为所求之一边也求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正弦七万六千六百零四为一率而以乙角为对所求之角其正弦九万三千九百六十九为二率仍以乙丙边为所知之边其数九丈七尺八寸为三率求得四率一十一丈九尺九寸六分有余即甲丙为所求之又一边也此法所知之角与边虽与前法少异然总是有两角一边得其所余一角则仍与前法同矣设如甲乙丙钝角三角形知乙角二十四度丙角三十六度三十分乙丙边七十九丈零一寸求甲乙边甲丙边各几何法以乙角二十四度与丙角三十六度三十分相加得六十度三十分与半圜一百八十度相减余一百一十九度三十分为甲钝角求甲乙边则以甲钝角为对所知之角夫甲角既为钝角过九十度乃用其外角将甲角一百一十九度三十分与半圜一百八十度相减余六十度三十分为甲角之外角其正弦八万七千零三十六为一率(凡钝角之外角其正)(弦即钝角之正弦解见割圜集内)丙角为对所求之角其正弦五万九千四百八十二为二率乙丙边为所知之边其数七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分即甲乙为所求之一边也如求甲丙边则仍以甲角为对所知之角用其外角正弦八万七千零三十六为一率而以乙角为对所求之角其正弦四万零六百七十四为二率仍以乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余(如既得甲乙边)(而以丙角为对所知之角其正弦为一率甲乙边为所知之边其数为三率所)(得亦同)即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边但甲为钝角故用外角正弦求法畧异试以求甲乙边言之则甲乙边为半径于甲角之外作乙丁垂线则成乙甲丁之外角其乙丁垂线即乙甲丁外角之正弦又按甲乙边度截乙丙边于戊使戊丙与甲乙半径等作戊己垂线即丙角之正弦夫戊己丙与乙丁丙两勾股形为同式形故乙甲丁外角之正弦乙丁与丙角之正弦戊己之比即同于乙丙边与等甲乙边之戊丙之比为相当比例四率也其求甲丙边用外角正弦其理亦同又法求甲乙边以乙角二十四度之余切二十二万四千六百零四与丙角三十六度三十分之余切一十三万五千一百四十二相加得三十五万九千七百四十六为一率乙角之余割二十四万五千八百五十九为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率五十三丈九尺九寸七分有余即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相加之三十五万九千七百四十六为一率而以丙角之余割一十六万八千一百一十七为二率乙丙边七十九丈零一寸为三率求得四率三十六丈九尺二寸三分有余即甲丙边也此法葢以甲乙丙一钝角三角形分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余切戊己即甲丁乙三角形之甲角之正切如壬癸乙角之余割己乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲壬而丙角之余切庚辛即甲丁丙三角形之甲角之正切如癸子丙角之余割庚丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲子乙角丙角两余切相加之数即两甲角正切相加之和如壬子甲癸壬与甲丁乙两三角形为同式形甲癸子与甲丁丙两三角形为同式形故甲壬子与甲乙丙两三角形亦为同式形是以求甲乙边者以壬子与甲壬之比同于乙丙与甲乙之比求甲丙边者以壬子与甲子之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也设如甲乙丙钝角三角形知乙角三十三度三十八分四十秒丙外角五十五度五十三分乙丙边一十六丈求甲角甲乙边甲丙边各几何法以乙角三十三度三十八分四十秒与丙外角五十五度五十三分相减余二十二度一十四分二十秒即甲角(取甲)(角当以丙外角与半圜一百八十度相减余为丙钝角仍以丙钝角与乙角相)(加又与半圜一百八十度相减余为甲角今止以丙外角内减乙角即得甲角)(者葢因丙外角与乙甲二内角相倂之度等又三角形三角相倂共为一百八)(十度与半圜等今于半圜内减去丙钝角所余为丙外角而一百八十度内减)(丙钝角则余乙甲二角共度是甲乙二角共度与丙外角之度等故于丙外角)(内减去乙角即甲角也)求甲乙边则以甲角为对所知之角其正弦三万七千八百四十七为一率以丙外角为对所求之角其正弦八万二千七百九十为二率乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙为所求之一边求甲丙边则仍以甲角为对所知之角其正弦三万七千八百四十七为一率而以乙角为对所求之角其正弦五万五千四百零四为二率仍以乙丙边为所知之边其数一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余(如既得甲乙边而以丙外角为对所知之角其正弦为一率甲乙边为所)(知之边其数为三率所得亦同)即甲丙为所求之又一边也此法亦有两角一边与前法同但先有外角少异耳又法求甲乙边以乙角三十三度三十八分四十秒之余切一十五万零二百五十九与丙外角五十五度五十三分之余切六万七千七百四十八相减余八万二千五百一十一为一率乙角之余割一十八万零四百九十三为二率乙丙边一十六丈为三率求得四率三十五丈即甲乙边求甲丙边则仍以两角余切相减之八万二千五百一十一为一率而以丙外角之余割一十二万零七百八十八为二率仍以乙丙边一十六丈为三率求得四率二十三丈四尺二寸二分有余即甲丙边也此法葢以乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙甲丁丙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三角形之甲角之正切如壬癸丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲壬甲乙丙三角形之乙角之余切庚辛即甲丁乙三角形之甲角之正切如子癸甲乙丙三角形之乙角之余割辛乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲子甲丁丙三角形之丙角余切与甲丁乙三角形之乙角余切相减之数即两甲角之正切相减之较如子壬甲癸壬三角形与甲丁丙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子壬三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲子之比同于乙丙与甲乙之比又子壬与甲壬之比同于乙丙与甲丙之比皆为相当比例四率也设如甲乙丙锐角三角形知甲角六十度甲乙边四十丈甲丙边二十六丈一尺零八分求乙角丙角及乙丙边各几何法以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相加得六十六丈一尺零八分为两边之和为一率又以甲乙边四十丈与甲丙边二十六丈一尺零八分相减余一十三丈八尺九寸二分为两边之较为二率以甲角六十度与半圜一百八十度相减余一百二十度为外角折半得六十度为半外角其正切一十七万三千二百零五为三率求得四率三万六千三百九十七为半较角之正切捡八线表得二十度为半较角与半外角六十度相减余四十度即乙角之度如以半较角二十度与半外角六十度相加得八十度即丙角之度也既得乙丙两角即以丙角为对所知之角其正弦九万八千四百八十一为一率以甲角为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率甲乙边为所知之边其数四十丈为三率求得四率三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙为所求之边也如图甲乙丙锐角三角形以甲角为心甲丙小边为半径作一丙丁戊圜截甲乙大边于戊将甲乙引长至圜界丁则甲丁甲戊俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较丁甲丙角即甲角之外角试自丙至戊作一丙戊线则成甲丙戊三角形其甲丙戊与甲戊丙二角并之与丁甲丙外角度等今折半用其正切即如用丁戊丙角之正切又心角与边角度等其切线亦等故自丙至丁作一丙丁线即丁戊丙角之正切又戊丙乙角即丙角大于甲戊丙角之较亦即乙角小于甲戊丙角之较故自圜界戊至乙丙边己作己戊线与丙丁平行即戊丙己角之正切且乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故两边之和丁乙与丁戊丙半外角切线丁丙之比即同于两边之较戊乙与半较角切线戊己之比为相当比例四率也又法自丙角作丙丁垂线分为丙丁甲丙丁乙两直角形算之先用丙丁甲直角形求丙丁垂线及甲丁分边以丁角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以甲角为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率二十二丈六尺一寸有余为丙丁垂线又以丁角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以甲角六十度与九十度相减余三十度即甲丙丁角(即丙之分角)为对所求之角其正弦五万为二率(直用甲角余弦亦可)甲丙边为所知之边其数二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边既得甲丁分边乃与甲乙边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边于是用丙丁乙直角形求乙角及乙丙边以丁乙二十六丈九尺四寸六分为一率丙丁二十二丈六尺一寸有余为二率半径十万为三率求得四率八万三千九百零八为乙角正切捡八线表得四十度为乙角以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度与一百八十度相减余八十度为丙角既得乙丙两角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边矣或先求乙丙边则以丁乙二十六丈九尺四寸六分为勾丙丁二十二丈六尺一寸为股求得弦三十五丈一尺七寸五分有余即乙丙边也又法先求甲丁分边比例而得乙角以半径十万为一率(即丁直角之正弦)以甲角六十度之余弦五万为二率(即丙分角之正弦)以甲丙边二十六丈一尺零八分为三率求得四率十三丈零五寸四分为甲丁分边乃以甲丁分边十三丈零五寸四分为一率以甲丁分边与甲乙全边四十丈相减余二十六丈九尺四寸六分为丁乙分边为二率甲角六十度之余切五万七千七百三十五为三率求得四率一十一万九千一百七十六为乙角余切捡表得四十度即乙角也如甲角之戊庚一象限其庚己为甲角之余切而庚己甲与甲丁丙为同式形又如乙角之辛癸一象限其壬癸为乙角之余切而壬癸乙与乙丁丙为同式形故甲丁与丁乙之比同于庚己与壬癸之比也又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边二十六丈一尺零八分为一率甲乙边四十丈为二率甲角六十度余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十七万六千九百一十一为甲角余切与乙角余切之共数即甲丙丁与乙丙丁两分角之共切又将甲角六十度与象限九十度相减余三十度即甲丙丁之分角捡其正切五万七千七百三十五与两分角之共切一十七万六千九百一十一相减余一十一万九千一百七十六为丁丙乙分角之正切即乙角之余切捡表得四十度即乙角之度也以乙角四十度与甲角六十度相加得一百度又与半圜一百八十度相减余八十度即丙角之度也如甲乙丙锐角三角形作丙丁垂线分为甲丁丙与乙丁丙两直角形以丙角为心作一戊己庚半圜则丙丁垂线平分于己两边各成一象限试与甲乙边平行作一辛壬线则辛己一段为甲丙丁分角之正切即甲角之余切己壬一段为乙丙丁分角之正切又即乙角之余切而辛丙为甲丙丁分角之正割亦即甲角之余割辛壬丙与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比即同于甲角余割辛丙(即甲丙丁分角之正割)与甲丙丁乙丙丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率也既得辛壬两分角之共切内减去甲丙丁分角三十度之正切辛己所余己壬为乙丙丁分角之正切即为乙角之余切捡表即得乙角也设如甲乙丙钝角三角形知甲角一百一十九度三十四分甲乙边五十四尺甲丙边三十六尺九寸求乙角丙角及乙丙边各几何法以甲乙边五十四尺与甲丙边三十六尺九寸相加得九十尺九寸为两边之和为一率又以甲乙边与甲丙边相减余一十七尺一寸为两边之较为二率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分为外角折半得三十度一十三分为半外角其正切五万八千二百四十为三率求得四率一万零九百五十六为半较角之正切捡八线表得六度一十五分为半较角与半外角三十度一十三分相减余二十三度五十八分即乙角之度如以半较角六度一十五分与半外角三十度一十三分相加得三十六度二十八分即丙角之度也既得乙丙二角求乙丙边则以丙角为对所知之角其正弦五万九千四百三十五为一率甲外角为对所求之角(甲角为钝角故)(用外角)其正弦八万六千九百七十八为二率甲乙边为所知之边其数五十四尺为三率求得四率七十九尺零二分四厘有余即乙丙边也如图甲乙丙钝角三角形以甲角为心甲丙为半径作一丙丁戊圜其乙丁为两边之和乙戊为两边之较丙丁为半外角之正切己戊为半较角之正切乙丁丙三角形与乙戊己三角形为同式形故以两边之和乙丁与丁戊丙半外角切线丙丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法自丙角作丙丁垂线于形外成丙丁乙与丙丁甲两直角形先用丙丁乙直角形求丙丁垂线及甲丁虚边以丁直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以甲角一百一十九度三十四分与半圜一百八十度相减余六十度二十六分即甲外角为对所求之角其正弦八万六千九百七十八为二率甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率三十二尺零九分五厘为丙丁垂线又以丁直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率又以甲外角六十度二十六分与九十度相减余二十九度三十四分为甲丙丁角(即丙外分角)为对所求之角其正弦四万九千三百四十四为二率(如直用甲外角之余弦为)(二率亦可)甲丙边为所知之边其数三十六尺九寸为三率求得四率十八尺二寸零八厘为甲丁虚边与甲乙边五十四尺相加得七十二尺二寸零八厘为乙丁全边又以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为一率丙丁垂线三十二尺零九分五厘为二率半径十万为三率求得四率四万四千四百四十八为乙角正切捡八线表得二十三度五十八分为乙角之度与甲外角六十度二十六分相减余三十六度二十八分即丙角之度(甲外角与乙丙二内角等故减去乙角余即丙角)既得乙丙二角则用两角一边求又一边之法算之即得乙丙边或先求乙丙边则以乙丁全边七十二尺二寸零八厘为股丙丁垂线三十二尺零九分五厘为勾求得弦七十九尺零二分即乙丙边也又法用甲角余割余切求乙角丙角以甲丙边三十六尺九寸为一率甲乙边五十四尺为二率以甲外角六十度二十六分之余割一十一万四千九百七十一为三率求得四率一十六万八千二百五十为甲外角余切与乙角余切之较数乃以甲外角六十度二十六分之余切五万六千七百三十一与两余切之较相加得二十二万四千九百八十一为乙角余切捡表得二十三度五十八分即乙角之度与甲角一百一十九度三十四分相加得一百四十三度三十二分与半圜一百八十度相减余三十六度二十八分即丙角之度也如甲乙丙钝角形将甲乙边引长自丙角作丙丁垂线遂成丙丁甲丙丁乙两直角三角形丙丁甲三角形之甲角即甲乙丙三角形之甲角之外角其余切戊己即丙丁甲三角形之丙角之正切如庚辛甲外角之余割甲己即丙丁甲三角形之丙角之正割如庚丙而丙丁乙三角形之乙角之余切壬癸即丙丁乙三角形之丙角之正切如子辛若丙丁乙三角形之乙角余切与丙丁甲三角形之甲角余切相减即两丙角相差之较如子庚丙辛庚三角形与丙丁甲三角形为同式形丙辛子三角形与丙丁乙三角形为同式形故丙庚子三角形与丙甲乙三角形亦为同式形是以甲丙边与甲乙边之比同于甲外角余割庚丙(即甲己)与两余切之较子庚之比为相当比例四率也既得子庚两余切之较与甲外角之余切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角度既得乙角则以乙角与甲角相并与半圜相减余即丙角矣设如甲乙丙锐角三角形知乙角六十度甲乙边八十丈甲丙边七十丈三尺四寸求甲角丙角及乙丙边各几何法以甲丙边为对所知之边其数七十丈三尺四寸为一率甲乙边为对所求之边其数八十丈为二率乙角为所知之角其正弦八万六千六百零三为三率求得四率九万八千四百九十六为丙角正弦捡表得八十度零三分即丙角度也既得丙角度则以乙角六十度与丙角八十度零三分相加得一百四十度零三分与一百八十度相减余三十九度五十七分即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正弦八万六千六百零三为一率甲角为对所求之角其正弦六万四千二百一十二为二率甲丙边为所知之边其数七十丈三尺四寸为三率求得四率五十二丈一尺五寸三分有余即乙丙为所求之边也又法用余割求丙角以甲乙边八十丈为一率甲丙边七十丈三尺四寸为二率乙角六十度之余割十一万五千四百七十为三率求得四率十万一千五百二十六为丙角余割捡表得八十度零三分即丙角度也如甲乙丙锐角三角形作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角三角形其乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚丙角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲乙边与甲丙边之比同于乙角余割甲庚(即戊乙)与丙角余割甲辛(即己丙)之比为相当比例四率也设如甲乙丙钝角三角形知丙角一百一十度甲乙边二十二丈五尺五寸甲丙边十二丈求甲角乙角及乙丙边各几何法以甲乙边为对所知之边其数二十二丈五尺五寸为一率甲丙边为对所求之边其数十二丈为二率丙角为所知之角其外角七十度之正弦九万三千九百六十九为三率求得四率五万为乙角正弦捡表得三十度即乙角度也既得乙角度则以乙角三十度与丙角一百一十度相加得一百四十度与一百八十度相减余四十度即甲角度也既得甲角求乙丙边则以乙角为对所知之角其正弦五万为一率甲角为对所求之角其正弦六万四千二百七十九为二率甲丙边为所知之边其数十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即乙丙为所求之边也又法用余割求乙角以甲丙边十二丈为一率甲乙边二十二丈五尺五寸为二率丙外角七十度之余割十万六千四百一十八为三率求得四率一十九万九千九百七十七为乙角之余割捡表得三十度即乙角度也如甲乙丙钝角三角形将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲辛甲丁乙三角形之乙角之余割戊乙即甲丁乙三角形之甲角之正割如甲庚甲庚辛与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与甲乙边之比同于丙外角余割甲辛(即己丙)与乙角余割甲庚(即戊乙)之比为相当比例四率也设如甲乙丙锐角三角形知甲乙边一百二十二尺甲丙边一百一十二尺乙丙边一百五十尺求甲乙丙三角各几何法求丙角以甲丙边一百一十二尺与乙丙边一百五十尺相乗得一万六千八百尺倍之得三万三千六百尺为一率以甲丙边一百一十二尺自乘得一万二千五百四十四尺乙丙边一百五十尺自乘得二万二千五百尺以两边各自乘数相加得三万五千零四十四尺又以甲乙边一百二十二尺自乘得一万四千八百八十四尺与两边各自乘相加数三万五千零四十四尺相减余二万零一尺六十尺为二率半径十万为三率求得四率六万为甲分角之正弦即丙角之余弦捡表得五十三度零八分即丙角之度也求乙角则以甲乙边与乙丙边相乘得数倍之为一率以甲乙边乙丙边各自乘相加内减去甲丙边自乘之数余为二率半径十万为三率求得四率为甲分角之正弦即乙角之余弦捡表即得乙角之度也或既得丙角用两边一角比例之法即得甲乙二角矣此法葢以三边之面积互相加减使面与面比而得线与线之比也如甲乙丙三角形自甲角至乙丙边作一甲丁垂线分为甲丁丙甲丁乙两勾股形又作三边之各正方复作两边相乘之长方其甲丙戊己为甲丙边自乘之一正方庚辛乙甲为甲乙边自乘之一正方乙壬癸丙为乙丙边自乘之一正方丙癸丑子为甲丙边与乙丙边相乘之一长方倍之为丙癸卯寅一大长方今于甲丙戊己与乙壬癸丙两正方相并数内减庚辛乙甲一正方则是减去辰己午甲一正方即如甲丙戊己之一正方又减去庚辛乙午己辰一磬折形即如庚辛乙甲之正方比甲丙戊己之正方所多之较其积与乙壬申未一长方等(甲丁丙甲丁乙两勾股形同用一甲丁股是以甲丙弦方)(内有甲丁一股方丁丙一勾方而甲乙弦方内有甲丁一股方乙丁一勾方因)(两三角形同用一股故其两弦较与两弦和相乘之数两勾较与两勾和相乗)(之数必然相等午乙即两弦之较辰己与辛乙相并即两弦之和庚辛乙午己)(辰磬折形即两弦较与两弦和相乗之积而乙未为两勾之较乙丙为两勾之)(和乙壬申未即两勾较与两勾和相乗之积所以知其相等也)所余为未申癸丙一长方试以甲丁垂线引长则平分未申癸丙一长方为未申酉丁与丁酉癸丙二长方此二长方与丙癸丑子子丑夘寅二长方同用一边为二平行线内所有二方面互相为比同于其底互相为比之例故丙癸夘寅之长方与未申癸丙之长方之比即同于丙寅边与未丙边之比也又比例之理全与全半与半之比例相同故丙癸夘寅之长方(为甲丙边与乙丙边相乗又加一倍之积)与未申癸丙之长方(即甲丙边乙丙边两正方相并内减甲乙边一正方所余)(之积)相比同于丙子边(与甲丙边同)与丁丙边之比也又甲丙边即如甲丁垂线所分丁直角之正弦而甲丁垂线所分之丁丙边即如甲分角之正弦是以甲丙边与乙丙边相乘加倍之丙癸夘寅长方积为一率甲丙边乙丙边两正方相并积内减甲乙边一正方所余未申癸丙长方积为二率对丁直角之正弦半径十万为三率求得四率为甲分角之正弦即丙角之余弦也又求分边得角法以乙丙边为底其数一百五十尺为一率甲乙边大腰一百二十二尺与甲丙边小腰一百一十二尺相加得二百三十四尺为二率两边相减余一十尺为三率求得四率一十五尺六寸为分边之较与乙丙边一百五十尺相减余一百三十四尺四寸折半得六十七尺二寸为丁丙分边之数乃以甲丙边为对所知之边其数一百一十二尺为一率丁丙分边为对所求之边其数六十七尺二寸为二率丁角为所知之角其正弦半径十万为三率求得四率六万为甲丁丙三角形之甲角正弦又即丙角之余弦捡表得五十三度零八分为丙角之度既得丙角则用两边一角比例之法遂得甲乙二角矣如图以甲角为心甲丙小边为半径作一戊丙己庚圜截甲乙边于庚截丙乙边于戊将甲乙引长至圜界己则甲己与甲丙等自己至乙即两边之和自庚至乙即两边之较乙戊即乙丁丁丙两分边之较是故分边之和乙丙与两边之和己乙之比即同于两边之较庚乙与分边之较乙戊之比为转比例四率也又法以甲乙边一百二十二尺乙丙边一百五十尺甲丙边一百一十二尺三数相加得三百八十四尺为三边之总折半得一百九十二尺为半总以甲乙边一百二十二尺与半总一百九十二尺相减余七十尺为甲乙边与半总之较以乙丙边一百五十尺与半总一百九十二尺相减余四十二尺为乙丙边与半总之较以甲丙边一百一十二尺与半总一百九十二尺相减余八十尺为甲丙边与半总之较乃以半总一百九十二尺为一率甲丙边与半总之较八十尺为二率甲乙边与半总之较七十尺与乙丙边与半总之较四十二尺相乗得二千九百四十尺为三率求得四率一千二百二十五尺开方得三十五尺为三角形自中心至三边之垂线先求丙角则用甲乙边与半总之较七十尺为一率三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率求得四率五万为丙半角之正切捡表得二十六度三十四分倍之得五十三度零八分即丙角之度也如先求乙角则用甲丙边与半总之较八十尺为一率先求甲角则用乙丙边与半总之较四十二尺为一率俱用三角形自中心至三边之垂线三十五尺为二率半径十万为三率即各得各半角之正切焉此法葢一率二率以线与线为比三率四率以面与面为比也如甲乙丙三角形自中心丁至三边各作一垂线又自中心丁至三角各作一分角线即成六直角三角形俱两两相等(丁己丙与丁庚丙等)(丁己乙与丁戊乙等丁戊甲与丁庚甲等)又按甲戊度引乙丙线至辛则乙辛为三边之半总即三较之和(乙己与乙戊等即甲丙边与半总之较己丙与丙庚等即甲乙)(边与半总之较丙辛与甲戊甲庚等即乙丙边与半总之较)试自辛作直角将乙丁线引长作一乙辛壬直角形则壬辛与丁己平行乙辛壬形与乙己丁形遂为同式形其乙辛与乙己之比即同于壬辛与丁己之比然乙辛一率乙己二率之数虽有而壬辛之数却无又但知己丙与丙辛相乘之数即丁己与壬辛相乘之数故以己丙与丙辛相乘之数为三率(何以知己丙与丙辛相乘之数即丁)(己与壬辛相乘之数试作壬丙线壬癸线使丙癸与丙辛等癸角辛角皆为直)(角癸丙辛角与辛壬癸角相合共成一百八十度然庚丙己角为癸丙辛角之)(外角相合亦共成一百八十度是庚丙己角与辛壬癸角等庚丁己角与癸丙)(辛角等是以壬癸丙辛形与丙庚丁己形为同式形而丙辛壬勾股形与丁巳)(丙勾股形亦为同式形可互相比例矣以丁己作一率己丙作二率丙辛作三)(率即得四率壬辛是以己丙二率与丙辛三率相乘之数即与丁己一率壬辛)(四率相乘之数等故直以己丙丙辛相乘之数作三率也)其所得四率即丁己自乘之数是故乙辛与乙己之比同于丁己与壬辛相乘之面(即己丙与)(丙辛相乗之面)与丁己自乘之面之比也既得丁己自乘之面故开方而得丁己为三角形自中心至三边之垂线与丁戊与丁庚俱相等又即三角形容圜之半径也制数理蕴下编卷十七
## 下编卷十八
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十八面部八测量(勾股测量三角测量)测量周髀曰偃矩以窥髙覆矩以测深卧矩以知逺盖以矩度或表杆相度窥测立者则取其直平者则取其方必使成直角以大小勾股为比例以在器之勾股比所测之勾股彼此相形而得之者也然勾股必为直角而三角形则惟变所适而无定形要以角度为准而用割圜八线以为比例凡求角求边皆以三角形之法为本总以对所知为一率对所求为二率所知为三率得四率即所求也或一测或屡测惟在随时而致用或用正或用余惟在比例之相当不特凡物之髙深广逺可得而推即七政之躔度天地之形体俱可得而测也勾股测量(凡用矩度或立表杆必用垂线取其与地平成直角以为准则若地不平)(须记取某处与人目所看相平为记)设如有一旗杆欲测其髙但知距旗杆之逺为三丈问得髙几何法用矩度(矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横𥪡俱界)(线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表)(取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷)定准坠线以定表看地平游表看旗杆顶得距地平分四十分(此矩度前边为百分自中心平分半)(边为五十分)乃以中心平分距分五十分为一率所得距分四十分为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙加矩度中心距地之髙四尺共得二丈八尺即所求旗杆之髙也如图甲乙为旗杆之髙丙乙为距旗杆之逺丁为矩度中心丁丙为矩度中心距地之高己庚为定表所对地平为戊辛壬为游表看旗杆顶甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分壬庚为游表距地平分四十分其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比故丁庚五十分为一率壬庚四十分为二率丁戊距旗杆之逺三丈为三率得四率甲戊二丈四尺加同丁丙高之戊乙四尺即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也又用表杆测法于距旗杆三丈处立一表高四尺向前又立一表高八尺看二表端与旗杆顶齐量二表间相距得五尺乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺为二率距旗杆之逺三丈为三率求得四率二丈四尺加入后表高四尺得二丈八尺即旗杆之高也如图甲乙为旗杆之高乙丙为距旗杆之逺三丈丁丙为后表之髙四尺戊己为前表之高八尺丙己为二表之距五尺戊庚为二表之较四尺丁戊甲为人目视线试与乙丙平行作辛丁线遂成甲辛丁戊庚丁两勾股形为同式形故丁庚与戊庚之比同于丁辛与甲辛之比既得甲辛加与丁丙相等之辛乙即得甲乙为旗杆之高也设如一树欲测其逺爰取一直角横量十五丈问得逺几何法以矩度定表与游表定准直角以定表对树游表随直角立表杆二三处横量十五丈于此处复安矩度以定表对所立表杆取直看原处以游表看树得距矩度中心平分线距分三十分乃以所得距分三十分为一率矩度中心平分距分五十分为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈即离树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙为直角乙丙为横量十五丈丁戊为所立二表杆丙为矩度中心丙己为矩度中心平分距分五十分己庚为所得距分三十分丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形故己庚与己丙之比即同于丙乙与甲乙之比也又用表杆测法先立一表于乙取直角横量十五丈至丙次立一表于丙自丙对甲相直复立一表于丁次依丁丙度引至乙丙线上截乙丙于戊乃以丙戊折半于己遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形因量丙己得三丈为一率丁己得五丈为二率丙乙十五丈为三率求得四率二十五丈即甲乙之逺也设如有山一座欲知其高用重矩之法测之问山之高得几何法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分三十二分为三率求得四率四十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率后矩度距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之髙也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看山顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看山顶甲其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑(与前矩度子庚等)即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比而为相当比例四率也又法用矩度定准坠线以定表看地平游表看山顶向后量九丈复安矩度定准坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看山顶得距地平分三十二分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分三十二分处得距中心距分为四十分乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减余十分为一率距地平分三十二分为二率向后量九丈为三率求得四率二十八丈八尺即矩度中心定表所对地平至山顶之高加矩度中心距地之高四尺共得二十九丈二尺即所求之山之高也如图甲乙为山之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看山顶甲丙丁为向后量九丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分三十二分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线其丙庚距中心距分得四十分乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余十分其丁癸与辛壬之比即同于丁丙与甲戊之比也前法两矩度游表距地平分不同故用比例四率而得其距地平相等之中心距分以取其两中心距分之较此法因取其距地平相等之分故其两中心距分不同相减即得其两中心距分之较也设如一墙欲知其逺用重矩之法测之问墙之逺得几何法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑(与前)(矩度子庚等)即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表对前矩度中心游表看墙顶得距地平分二十四分其中心平分距分为五十分爰察前矩度距地平分二十四分处得距中心距分为三十分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心定表所对地平为戊游表看墙顶甲丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线其丙庚距中心距分得三十分乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸则丁癸为减余二十分其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量三十九丈测之问两处各距石几何法先平安矩度于右以定表看左矩度之中心游表看石得距矩度中心距分三十七分五厘其游表之斜距分为六十二分五厘次平安矩度于左以定表看右矩度之中心游表看石得距矩度中心距分十一分二厘五豪其游表之斜距分为五十一分二厘五豪乃以所得两距分相并得四十八分七厘五豪为一率右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率横量三十九丈为三率求得四率五十丈为右矩度距石之逺若求左矩度距石之逺则仍以两距分相并为一率左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率横量三十九丈为三率求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也如图甲为石乙为右矩度中心其丁戊为距分三十七分五厘戊乙为游表斜距分六十二分五厘乙丙为横量三十九丈丙为左矩度中心其己庚为距分十一分二厘五豪己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪试自甲角至乙丙线作甲辛垂线分为两勾股形则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形而乙丙即为两勾之和故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比俱为相当比例四率也设如隔河一树欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十七丈测之问离树之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量十七丈复安一矩度(若止用一矩度则记凖一处亦可)以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树得距矩度中心距分四十九分其游表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树得距矩度中心距分十五分其游表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减余三十四分为一率先安矩度游表斜距分七十分为二率横量十七丈为三率求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也如图甲为树乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分四十九分戊乙为游表斜距分七十分乙丙为横量十七丈丙为后安矩度中心其己庚为距矩度中心距分十五分庚丙为游表斜距分五十二分二厘按己庚十五分截丁戊四十九分于辛则辛戊为减余三十四分乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比而辛戊与乙辛(乙辛即与丙庚度等)之比又同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以外故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为股而矩度上所得之乙丁戊乙丁辛两勾股形(乙丁辛即丙己庚)亦同以乙丁为股故即成两两同式形若游表视线在对角以内或一在对角之内一在对角之外所得距矩度中心距分不同者则须取其同距矩度中心距分之度以为比例如后法设如隔河一亭欲测其逺不能定直角爰取两处俱斜对亭横量三十丈测之问距亭之逺得几何法先平安矩度于一处随定表横量三十丈复安一矩度以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭得距矩度中心距分二十七分其游表之斜距分为五十六分八厘有余次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭亦察距矩度中心距分二十七分处得距中心距分三十分其游表之斜距分为四十分三厘有余乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率横量三十丈为三率求得四率八十五丈二尺有余为先安矩度距亭之逺若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率则得四率六十丈四尺五寸有余为后安矩度距亭之逺也如图甲为亭乙为先安矩度中心其丁戊为距矩度中心距分二十七分乙戊为中心平分距分五十分丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余乙丙为横量三十丈丙为后安矩度中心其己庚亦为距矩度中心距分二十七分丙庚为距中心平分距分三十分己丙为游表斜距分四十分三厘有余按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛则乙辛为减余二十分又自丁至辛作丁辛线与己丙等又将乙丙线引长于壬自甲作甲壬垂线遂成甲壬丙甲壬乙两勾股形其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度俱与甲壬丙勾股形为同式形而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比又乙辛与丁辛(即己丙)之比同于乙丙与甲丙之比也此法盖因游表视线俱在对角以内故甲壬垂线所成甲壬乙甲壬丙两勾股形同以甲壬为勾而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾使成两两同式形然后可以为比例也设如有塔一座欲知其高用相等两表测之问得高几何法先立一表比人目高四尺看塔顶得距分六尺又自前表向后量六丈复立一表亦比人目高四尺看塔顶得距分八尺乃以前距分六尺与后距分八尺相减余二尺为一率表比人目高四尺为二率向后量六丈为三率求得四率十二丈加表比人目之高四尺共得十二丈四尺即人目以上之高也若求前表距塔顶下地平之逺则以两距分相减之较为一率前表距分六尺为二率向后量之数为三率得四率十八丈为前表距塔顶下地平之逺若求后表距塔顶下地平之逺则以后表距分八尺为二率得四率二十四丈即后表距塔顶下地平之逺也如图甲乙为塔之高丙丁与戊己为两表比人目之高四尺丁目为前表距分六尺丁己为向后量六丈己目为后表距分八尺试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚则庚目为减余二尺乃自戊过丙至辛作戊丙辛线又自戊至庚作戊庚线遂成戊己庚勾股形与丙丁目勾股形同度俱与甲辛丙勾股形为同式形而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也设如有楼一座欲知其高用不等两表测之问得高几何法先立长表比人目高六尺看楼脊得距分五尺四寸又自先立长表向后量二丈立短表比人目高四尺看楼脊得距分六尺四寸乃以前表比人目之高六尺为一率前表距分五尺四寸为二率后表比人目之高四尺为三率求得四率三尺六寸为前表与后表同高所得之距分爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减余二尺八寸为一率后表比人目之高四尺为二率以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸余一尺八寸与两表相距二丈相减余一丈八尺二寸为三率求得四率二丈六尺加后表比人目之高四尺得三丈即人目以上之高也如图甲乙为楼之高丙丁为前表比人目之高六尺丁目为前表距分五尺四寸丁己为向后量二丈戊己为后表比人目之高四尺己目为后表距分六尺四寸试依后表戊己度作庚辛垂线截丁目于辛则辛目距分必小于丁目故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比而得辛目之分既得辛目则以辛目与己目相减余壬目即前后两表同高所得距分之较又于两表相距丁己内减丁辛余辛己即同高两表相距之分故壬目与戊己(即庚辛)之比即同于戊庚(即辛己)与甲癸之比也三角度数测量(度数测量必取资于仪器全圜仪半圜仪象限仪虽为体不同)(其为用则一以九十度为准以定表游表为二视线其相距之度即为所测之角)设如一塔不知其髙但知距塔之逺为三十丈欲测其高几何法以仪器定凖坠线以定表看地平游表看塔尖得两表相距二十四度乃以二十四度与九十度相减余六十六度为对所知之角其正弦九万一千三百五十五为一率仪器上二十四度为对所求之角其正弦四万零六百七十四为二率距塔之逺三十丈为所知之边为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即所求之塔之高也如图甲乙为塔之高丙乙为距塔之逺仪器中心为丁丁丙为仪器中心距地之高丁戊为定表所对地平为庚丁己为游表看塔尖甲得两表距弧二十四度为己戊其正弦为己辛其余弦为壬己与丁辛等象限九十度内减二十四度余六十六度为癸己即甲角之正弧其正弦即壬己是以与壬己相等之丁辛与己辛之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率既得甲庚加同丁丙高之庚乙得甲乙即塔之高也又法以半径十万为一率二十四度之切线四万四千五百二十三为二率距塔之逺三十丈为三率求得四率十三丈三尺五寸七分加仪器之高即塔之高也如图己戊弧为二十四度丁戊为半径壬戊为二十四度之正切故丁戊与壬戊之比同于丁庚与甲庚之比为相当比例四率也设如一树欲知其逺取一直角横量十五丈测之问得几何法以仪器定游表于九十度定表看树对游表立两表竿取直横量十五丈复安仪器于此以定表看原处游表看树得两表相距六十度乃以六十度与九十度相减余三十度为对所知之角其正弦五万为一率仪器上六十度为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率横量十五丈为所知之边为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为距树之逺乙为所定直角丙乙为横量十五丈丙为仪器中心丙丁为定表看原处乙丙戊为游表看甲得两表距弧六十度为戊丁其正弦为戊己余弦为庚戊与丙己等象限九十度内减六十度余三十度为辛戊即甲角之正弧其正弦即庚戊是以与庚戊相等之丙己与戊己之比同于丙乙与甲乙之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率丙角六十度之正切十七万三千二百零五为二率横量十五丈为三率求得四率二十五丈九尺八寸即所测之树之逺也若求甲丙斜距则以半径十万为一率丙角六十度之正割二十万为二率横量十五丈为三率求得四率三十丈即甲丙斜距之逺也如图戊丁弧为六十度丙丁为半径己丁为六十度之正切己丙为六十度之正割故丙丁与己丁之比同于丙乙与甲乙之比又丙丁与己丙之比同于丙乙与甲丙之比俱各为相当比例四率也设如一山欲知其高用重测之法测之退步十丈问山之高得几何法先安仪器定准坠线以定表看地平游表看山顶得两表相距五十度又退行十丈复安仪器定准坠线以定表仍看前仪器定表所看地平原处仍以游表看山顶得两表相距四十度乃以前仪器所得五十度内减后仪器所得四十度余十度为对所知之角其正弦一万七千三百六十五为一率后仪器所得四十度为对所求之角其正弦六万四千二百七十九为二率退行十丈为所知之边为三率求得四率三十七丈零一寸为前仪器中心至山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率前仪器所得五十度为对所求之角其正弦七万六千六百零四为二率前仪器中心至山顶之斜距三十七丈零一寸为所知之边为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为退行十丈前测得丙角五十度后测得丁角四十度而丙角为甲丙丁三角形之外角与丁甲二内角相并之度等(解见三角形边线角度相求巻)(中)故丙角五十度内减丁角四十度余十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丙边既得甲丙边然后用甲乙丙直角三角形求甲乙边为山之高也又法以前测所得五十度之余切八万三千九百一十与后测所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余三万五千二百六十五为一率半径十万为二率退行十丈为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所求之山之高也如图戊己为丙角之余切即丙甲乙角之正切与壬癸等庚辛为丁角之余切即丁甲乙角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸与戊丙及庚丁俱同为半径甲癸壬三角形与甲乙丙三角形为同式形而甲癸子三角形与甲乙丁三角形为同式形故甲壬子三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以子壬与甲癸之比同于丁丙与甲乙之比而为相当比例四率也设如人在山上欲测山之高但知山前有二树与山参直二树相距十八丈问山之高得几何法于山顶安仪器定准坠线以定表向空中取一平线先以游表看逺树得游表距垂线四十九度次以游表看近树得游表距垂线三十八度乃以所得两数相减余十一度为对所知之角其正弦一万九千零八十一为一率以看逺树所得之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正弦六万五千六百零六为二率二树相距十八丈为三率求得四率六十一丈八尺九寸为近树距山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以看近树所得之三十八度与九十度相减余五十二度为对所求之角其正弦七万八千八百零一为二率近树距山顶之斜距六十一丈八尺九寸为所知之边为三率求得四率四十八丈七尺七寸即所测之山之高也如图甲乙为两树相距十八丈丙丁为山之高甲丙丁角为看逺树所得之四十九度乙丙丁角为看近树所得之三十八度两数相减余十一度为甲丙乙角甲丙丁角四十九度与九十度相减所余之四十一度为甲角乙丙丁角三十八度与九十度相减所余之五十二度为乙角先用甲乙丙钝角三角形求丙乙边既得丙乙边然后用乙丙丁直角三角形求丙丁边为山之高也又法以先看逺树所得四十九度之正切十一万五千零三十七与后看近树所得三十八度之正切七万八千一百二十九相减余三万六千九百零八为一率半径十万为二率二树相距之十八丈为三率求得四率四十八丈七尺七寸即山之高也如图戊己为甲丙丁角之正切庚己为乙丙丁角之正切戊庚即两正切之较丙己为半径故戊庚与丙己之比同于甲乙与丙丁之比而为相当比例四率也设如一石欲知其逺不取直角于左右两处横量五十丈测之问两处各距石几何法先平安仪器于左以定表看右仪器之中心游表看石得两表相距七十度次平安仪器于右以定表看左仪器之中心游表看石得两表相距六十度乃以两角度相并得一百三十度与一百八十度相减余五十度为对所知之角其正弦七万六千六百零四为一率求右边则以左边仪器所得七十度为对所求之角其正弦九万三千九百六十九为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左边距石之逺则以右边仪器所得六十度为对所求之角其正弦八万六千六百零三为二率左右相距五十丈为所知之边为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度两角相并与一百八十度相减得甲角五十度共为甲乙丙锐角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边及甲丙边也又法以左边仪器所得七十度之余切三万六千三百九十七与右边仪器所得六十度之余切五万七千七百三十五相并得九万四千一百三十二为一率右边仪器所得六十度之余割十一万五千四百三十为二率左右相距五十丈为三率求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺若求左邉距石之逺则以左边仪器所得七十度之余割十万六千四百一十八为二率左右相距五十丈为三率求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也如图甲为石乙丙为左右相距五十丈乙角为左边所测七十度丙角为右边所测六十度试自甲至乙丙线上作甲丁垂线分为甲丁乙甲丁丙两直角形戊己为丙角之余切即丁甲丙角之正切与壬癸等己丙为丙角之余割即丁甲丙角之正割与甲癸等庚辛为乙角之余切即丁甲乙角之正切与壬子等庚乙为乙角之余割即丁甲乙角之正割与甲子等而癸子即两余切之和甲壬癸与甲丁丙为同式形甲壬子与甲丁乙为同式形故甲子癸与甲乙丙亦为同式形是以癸子与甲癸之比同于丙乙与甲丙之比又癸子与甲子之比同于丙乙与甲乙之比皆为相当比例四率也设如隔河一树欲知其逺不能定直角爰取两处俱斜对树横量十二丈测之问离树之逺得几何法平安仪器于一处随定表横量十二丈复安一仪器(若止用一仪器则记凖一处亦可)以先安仪器定表看后安仪器中心游表看树得两表相距一百一十度次以后安仪器定表看先安仪器中心游表看树得两表相距四十度乃以两角度相并得一百五十度与一百八十度相减余三十度为对所知之角其正弦五万为一率后安仪器所得四十度为对所求之角其正弦六万四千二百七十九为二率横量十二丈为所知之边为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为一百一十度丙角为四十度两角相并与一百八十度相减得甲角三十度共为甲乙丙钝角三角形盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边也又法以先安仪器所得之外角七十度之余切三万六千三百九十七与后安仪器所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减余八万二千七百七十八为一率先安仪器所得之外角七十度之余割十万六千四百一十八为二率横量十二丈为三率求得四率十五丈四尺二寸七分即所测之树之逺也如图甲为树甲乙为离树之逺乙丙为横量十二丈乙角为先安仪器所得一百一十度丙角为后安仪器所得四十度试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁乙直角三角形而甲乙丁角即乙角之外角戊己为乙外角之余切即乙甲丁角之正切与壬癸等己乙为乙外角之余割即乙甲丁角之正割与甲壬等庚辛为丙角之余切即丙甲丁角之正切与子癸等子壬即两余切之较甲癸壬三角形与甲丁乙三角形为同式形甲癸子三角形与甲丁丙三角形为同式形故甲壬子三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以子壬与甲壬之比同于丙乙与甲乙之比而为相当比例四率也设如逺望一山欲知其高不得退步爰取左右两处横量一百丈先求斜距测之问山之高得几何法以仪器斜对山顶随定表横量一百丈任记一处游表看山顶得两表相距八十六度五十三分又随定表横量一百丈所记之处复安仪器斜对山顶以定表看原处游表看山顶得两表相距七十八度零七分乃以两角度相并得一百六十五度与一百八十度相减余一十五度为对所知之角其正弦二万五千八百八十二为一率后测所得七十八度零七分为对所求之角其正弦九万七千八百五十七为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率三百七十八丈零九寸为先安仪器至山顶之斜距次以仪器安于原处定凖坠线定表看地平游表看山顶得两表相距五十一度乃以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率仪器所得五十一度为对所求之角其正弦七万七千七百一十五为二率仪器至山顶之斜距三百七十八丈零九寸为所知之边为三率求得四率二百九十三丈八尺三寸即所测之山之高也如图甲为山顶甲乙为先安仪器至山顶之斜距乙丙为横量一百丈甲丙为后安仪器至山顶之斜距乙角为八十六度五十三分丙角为七十八度零七分两角相并与一百八十度相减得甲角一十五度遂成甲乙丙锐角三角形今有乙丙二角与乙丙边求甲乙边即先安仪器至山顶之斜距又甲丁为山之高甲乙为仪器至山顶之斜距丁角即山顶垂线与地平所成直角乙角为五十一度复成甲丁乙直角三角形今有乙丁二角与甲乙边求甲丁边即山之高也设如人在山坡测山之高前后不得地平爰取斜坡前后两处相距一百丈测之问山之高得几何法于山坡先安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距四十度于是向后就斜坡直量一百丈复安仪器定准坠线以定表空取一地平以游表看山顶得两表相距三十五度又以游表看前仪器中心得两表相距十三度乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度余五度为对所知之角其正弦八千七百一十六为一率以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度余二十七度为对所求之外角其正弦四万五千三百九十九为二率退量一百丈为所知之边为三率求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率后仪器所得三十五度为对所求之角其正弦五万七千三百五十八为二率山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率求得四率二百九十八丈七尺六寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为山坡斜距一百丈甲丙戊角为前仪器所得四十度甲丁乙角为后仪器所得三十五度丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度若将戊丙线引长至己则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角其度必等故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度余五度为丁甲丙角(此即前题退步两测之理)又试将丁丙线引长至庚则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角其度亦等故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后仪器至山顶之斜距次用甲乙丁直角三角形求甲乙边为山之高也设如东西二树欲知其相距之逺测处距西树五十丈距东树七十丈问二树相距几何法以仪器定表看东树游表看西树得两表相距五十度乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加得一百二十丈为一率又以五十丈与七十丈相减余二十丈为二率两表相距五十度与一百八十度相减余一百三十度为外角折半得六十五度为半外角其正切二十一万四千四百五十一为三率求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切检表得十九度四十分与半外角六十五度相减余四十五度二十分为小角与半外角六十五度相加得八十四度四十分为大角既得二角则以小角四十五度二十分为对所知之角其正弦七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正弦七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则丙戊丙丁俱为半径与甲丙等自丁至乙即两边之和自戊至乙即两边之较试自甲至戊作甲戊线则成丙甲戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距五十度之正弦七万六千六百零四为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十八丈三尺为西树至看东树视线上之垂线又以半径十万为一率两表相距五十度之余弦六万四千二百七十九为二率距西树之逺五十丈为三率求得四率三十二丈一尺四寸为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线将此数与距东树之逺七十丈相减余三十七丈八尺六寸亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线爰以此线为勾所得垂线为股求得弦五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形先求得甲丁垂线为股次求得丁丙小段分边线与乙丙相减余乙丁大段分边线为勾求得甲乙弦即二树相距之逺也又法以距西树之逺五十丈为一率距东树之逺七十丈为二率两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切检表得四十五度二十分即对西树视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正弦七万一千一百二十一为一率两表相距五十度为对所求之角其正弦七万六千六百零四为二率距西树之逺为所知之边其数五十丈为三率求得四率五十三丈八尺五寸即东西二树相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为西树乙为东树丙为仪器中心甲丙为距西树五十丈乙丙为距东树七十丈丙角为两表视线相距五十度试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线遂分甲乙丙三角形为甲丁乙甲丁丙两直角三角形以甲角为心作一戊己庚半圜则甲丁垂线平分于己两边各成一象限又与乙丙平行作一辛壬线则辛己一段为乙甲丁分角之正切即乙角之余切己壬一段为丙甲丁分角之正切即丙角之余切而甲壬为丙甲丁分角之正割亦即丙角之余割甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬(即丙甲丁分角之正割)与丙甲丁乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例四率既得辛壬两分角之共切内减去丙甲丁分角之正切己壬(即丙角之余切)所余辛己为乙甲丁分角之正切即为乙角之余切检表即得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣设如南北二桥欲知其相距之逺测处距南桥九十丈距北桥一百二十丈问二桥相距几何法以仪器定表看北桥游表看南桥得两表相距一百二十度乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加得二百一十丈为一率又以九十丈与一百二十丈相减余三十丈为二率两表相距一百二十度与一百八十度相减余六十度为外角折半得三十度为半外角其正切五万七千七百三十五为三率求得四率八千二百四十八为半较角之正切检表得四度四十三分与半外角三十度相减余二十五度一十七分为小角与半外角三十度相加得三十四度四十三分为大角既得二角则以小角二十五度十七分为对所知之角其正弦四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正弦八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也如图甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度今以丙角为心甲丙小边为半径作一甲丁戊圜截乙丙大边于戊将乙丙引长至圜界丁则乙丁为两边之和乙戊为两边之较试自甲至戊作甲戊线成甲丙戊三角形其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等今折半用其正切即如用丁戊甲角之正切故自甲至丁作甲丁线即丁戊甲角之正切又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较亦即乙角小于丙戊甲角之较故自圜界戊至甲乙边作己戊线与甲丁平行即戊甲乙角之正切且乙甲丁与乙己戊为同式形故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比为相当比例四率也又法以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之正弦八万六千六百零三为二率距南桥之逺九十丈为三率求得四率七十七丈九尺四寸为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线又以半径十万为一率两表相距一百二十度之外角六十度之余弦五万为二率距南桥之逺五十丈为三率求得四率四十五丈为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈为南桥至看北桥视线引长之总边线爰以此线为股所得南桥至虚边之垂线为勾求得弦一百八十二丈四尺八寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈试将乙丙线引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形先求得甲丁垂线为勾次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股求得甲乙弦即二桥相距之逺也又法以距南桥之逺九十丈为一率距北桥之逺一百二十丈为二率两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率求得四率一十五万三千九百六十为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加得二十一万一千六百九十五为对南桥视线之对边角之余切检表得二十五度十七分即对南桥视线之对边角乃以此角度为对所知之角其正弦四万二千七百零九为一率两表相距一百二十度为对所求之角其外角六十度之正弦八万六千六百零三为二率距南桥之逺为所知之边其数九十丈为三率求得四率一百八十二丈四尺九寸即南北二桥相距之逺也如图甲乙丙三角形甲为南桥乙为北桥丙为仪器中心甲丙为距南桥九十丈乙丙为距北桥一百二十丈丙角为两表视线相距一百二十度试将乙丙边引长自甲角作甲丁垂线遂成甲丁丙甲丁乙两直角三角形甲丁丙三角形之丙角即甲乙丙三角形之丙角之外角其余切戊己即甲丁丙三(角)形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减即两甲角相差之较如子庚甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚(即己丙)与两余切之较子庚之比为相当比例四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛(即戊己)相加得子辛即乙角之余切捡表得乙角既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣设如隔河东西二树欲知其相距之逺爰对一树取一直角左右横量十三丈测之问二树相距几何法先对西树安仪器于右定游表于九十度以定表看西树随游表横量十三丈乃以游表看东树得西树视线距横量边线九十度东树视线距横量边线三十八度西树东树两视线相距为五十二度次于直角横量十三丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看东树得东树视线距横量边线一百一十度复以游表看西树得西树视线距横量边线四十五度乃先求右仪器距西树之逺以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减余四十五度为对所知之角其正弦七万零七百一十一为一率以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角其正弦七万零七百一十一为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率十三丈为右仪器距西树之逺次求右仪器距东树之逺以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并得一百四十八度与一百八十度相减余三十二度为对所知之角其正弦五万二千九百九十二为一率以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角其外角七十度之正弦九万三千九百六十九为二率左右横量十三丈为所知之边为三率求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺末求东西二树相距之逺以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加得三十六丈零五寸为一率又以十三丈与二十三丈零五寸相减余十丈零五寸为二率以右仪器看西树东树两表相距五十二度与一百八十度相减余一百二十八度为外角折半得六十四度为半外角其正切二十万零五千零三十为三率求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切捡表得二十九度四十五分与半外角六十四度相减余三十四度十五分为小角以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加得九十三度四十五分为大角乃以小角三十四度十五分为对所知之角其正弦五万六千二百八十为一率看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角其正弦七万八千八百零一为二率右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也如图甲为西树乙为东树丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距十三丈甲丙丁角为直角九十度甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度乙丁丙角为左仪器看东树视线距横量边线一百一十度甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度先以甲丁丙角四十五度与九十度相减余四十五度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形求甲丙边为右仪器距西树之逺次以乙丙丁角三十八度与乙丁丙角一百一十度并之与一百八十度相减余三十二度为丙乙丁角遂成乙丙丁三角形求乙丙边为右仪器距东树之逺末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二边甲丙乙一角求乙甲丙大角九十三度四十五分甲乙丙小角三十四度十五分而得甲乙边为东西二树相距之逺也设如南北二峰欲知其相距之逺不取直角于左右两处横量一百丈测之问二峰相距几何法安仪器于右随定表向左横量一百丈乃以游表看南峰得南峰视线距横量边线一百零七度复以游表看北峰得北峰视线距横量边线四十六度南峰北峰两视线相距为六十一度次于横量一百丈处安仪器于左以定表看右仪器中心游表看北峰得北峰视线距横量边线九十九度复以游表看南峰得南峰视线距横量边线五十度北峰南峰两视线相距为四十九度乃先求左仪器距北峰之逺以右仪器看北峰距横量边线之四十六度与左仪器看北峰距横量边线之九十九度相倂得一百四十五度与一百八十度相减余三十五度为对所知之角其正弦五万七千三百五十八为一率以右仪器看北峰距横量边线之四十六度为对所求之角其正弦七万一千九百三十四为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率一百二十五丈四尺一寸为左仪器距北峰之逺次求左仪器距南峰之逺以左仪器看南峰距横量边线之五十度与右仪器看南峰距横量边线之一百零七度相并得一百五十七度与一百八十度相减余二十三度为对所知之角其正弦三万九千零七十三为一率右仪器看南峰距横量边线一百零七度为对所求之角其外角七十三度之正弦九万五千六百三十为二率横量一百丈为所知之边为三率求得四率二百四十四丈七尺四寸为左仪器距南峰之逺末求南北二峰相距之逺以左仪器距北峰一百二十五丈四尺一寸与左仪器距南峰二百四十四丈七尺四寸相加得三百七十丈一尺五寸为一率又以一百二十五丈四尺一寸与二百四十四丈七尺四寸相减余一百一十九丈三尺三寸为二率以左仪器看南峰北峰两视线相距四十九度与一百八十度相减余一百三十一度为外角折半得六十五度三十分为半外角其正切二十一万九千四百三十为三率求得四率七万零七百四十为半较角之正切查表得三十五度十六分与半外角六十五度三十分相减余三十度十四分为小角与半外角六十五度三十分相加得一百度四十六分为大角乃以小角三十度十四分为对所知之角其正弦五万零三百五十二为一率左仪器看南峰北峰两视线相距之四十九度为对所求之角其正弦七万五千四百七十一为二率左仪器距北峰之逺一百二十五丈四尺一寸为所知之边为三率求得四率一百八十七丈九尺七寸为南北二峰相距之逺也又法求自北峰至左仪器距南峰视线上之垂线作勾股法算之则以垂线所分直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率左仪器看南峰北峰两视线相距之四十九度为对所求之角其正弦七万五千四百七十一为二率左仪器距北峰之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率九十四丈六尺四寸为自北峰至左仪器距南峰视线上之垂线次求左仪器至垂线末之分边线仍以垂线所分直角为对所知之角其正弦即半径十万为一率以左仪器看南峰北峰两视线相距之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正弦六万五千六百零六为二率(即四十九度之余弦)左仪器距北峰之逺为所知之边其数一百二十五丈四尺一寸为三率求得四率八十二丈二尺七寸为自左仪器至垂线末之分边线与左仪器距南峰之二百四十四丈七尺四寸相减余一百六十二丈四尺七寸为南峰距垂线末之分边线乃以此数为股所得垂线九十四丈六尺四寸为勾求得弦一百八十八丈零二寸即南北二峰相距之逺也如图甲为南峰乙为北峰丙为右仪器中心丁为左仪器中心丙丁为两测之距一百丈甲丙丁角为右仪器看南峰视线距横量边线一百零七度乙丙丁角为右仪器看北峰视线距横量边线四十六度乙丁丙角为左仪器看北峰视线距横量边线九十九度甲丁丙角为左仪器看南峰视线距横量边线五十度甲丁乙角为左仪器看南峰北峰两表相距之四十九度先以乙丙丁角四十六度与乙丁丙角九十九度并之与一百八十度相减余三十五度为丁乙丙角遂成乙丁丙三角形而求乙丁边为左仪器距北峰之逺次以甲丁丙角五十度与甲丙丁角一百零七度并之与一百八十度相减余二十三度为丁甲丙角遂成甲丙丁三角形而求甲丁边为左仪器距南峰之逺末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二边甲丁乙一角求甲乙丁大角一百度四十六分乙甲丁小角三十度十四分而得甲乙边为南北二峰相距之逺也又或求得乙戊垂线又求得丁戊为左仪器至垂线末之分边线则以丁戊与甲丁相减余甲戊为股乙戊垂线为勾而得甲乙弦为南北二峰相距之逺也御制数理精蕴下编卷十八
## 下编卷十九
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷十九面部九各面形縂论直线形各面形总论面之为形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成皆圜之类立法则方为圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜又为众界形之本葢众界形或函圜或函于圜其边皆当弧线之度故求众界形者必以圜界为宗也因有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众界形之毎一边与圜径俱设为一○○○○则方面积为一○○○○○○○○而圜面积为七八五三九八一六三等边形之面积为四三三○一二七○五等边形之面积为一七二○四七七四一六等边形之面积为二五九八○七六二○七等边形之面积为三六三三九一二四○八等边形之面积为四八二八四二七一二九等边形之面积为六一八一八二四二○十等边形之面积为七六九四二○八八三此各形之面积皆以方积比例者也或以圜面积设为一○○○○○○○○则圜径得一一二八三小余七九一六如圜径与众界形之毎一边俱设为一一二八三小余七九一六则圜面积为一○○○○○○○○而三等边形之面积为五五一三二八八九方面积为一二七三二三九五四五等边形之面积为二一九○五七九八六六等边形之面积为三三○七九七三三四七等边形之面积为四六二六八四○九八八等边形之面积为六一四七七四四三五九等边形之面积为七八七○九四三○二十等边形之面积为九七九六五七○九九此各形之面积皆以圜积比例者也葢因各形之边线相等面积不同故皆定为面与面之比例也面积等者边线不等如众界形之面积与圜面积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○则方边为一○○○○○○○○而圜径为一一二八三七九一六三等边形之毎边为一五一九六七一三七五等边形之毎边为七六二三八七○五六等边形之毎边为六二○四○三二四七等边形之毎边为五二四五八一二六八等边形之毎边为四五五○八九八五九等边形之毎边为四○二一九九六三十等边形之毎边为三六○五一○五八此各形之边线皆以方边比例者也或以圜径设为一○○○○○○○○则圜面积为七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面积与众界形之面积俱设为七八五三九八一六三三九七四四八三则圜径为一○○○○○○○○而二等边形之毎边为一三四六七七三六九四等边形(即正方)之毎边为八八六二二六九二五等边形之毎边为六七五六四七九三六等边形之毎边为五四九八一八○五七等边形之毎边为四六四八九八○三八等边形之毎边为四○三三一二八八九等边形之毎边为三五六四四○一四十等边形之毎边为三一九四九四一八此各形之边线皆以圜径比例者也葢因各形之面积相等边线不同故皆定为线与线之比例也然自众界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股为准则故勾股三角形虽为面而不囿于面之中却别立一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者归之正方引而伸之触类而长之凡为面形者不能违是也直线形设如正方形每边五十尺问对角斜线几何法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆可互为勾股故以一边自乗倍之开方得弦即如各自乗相并开方而得弦也又用定率比例法以定率之方边一○○○○○○○为一率对角斜线一四一四二一三五为二率今所设之方边五十尺为三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也葢定率设方边为一千万其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比即如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也若有对角斜线求方边则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也葢甲丙弦自乗之方与甲乙股乙丙勾两正方相并之积等今以甲丙弦自乗折半则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等故开方而得每一边也或用定率比例法以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率方边一○○○○○○○为二率今所设之对角斜线为三率求得四率即方边也设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几何法以每边二尺自乗得四尺倍之得八尺开方得二尺八寸二分八厘四豪有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺倍之得八尺即如戊乙己庚正方形其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切则丁乙与己乙皆为半径其度相等葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形即为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方形积相等也设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边几何法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺四倍之得一十六尺即如戊乙己庚正方形之面积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以每边二尺倍之而即得也此法葢因两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例(见几何原本七卷第五节)故戊乙己庚正方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面积之四尺相比为四分之一而戊乙己庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而十六与四之比其间隔八之一位故为连比例隔一位相加之比例也设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何法以阔八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余即所求之阔既得阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺为二率今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余即所求之长也或以长十二尺自乗倍之开方亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之即如戊己庚辛长方形此两长方面积之比例即同于其相当二界各作一正方面积之比例(见几何原本七卷第七节)故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形将其积倍之即如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形故开方得辛庚为所求之阔也既得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比即同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求之长也若以原长自乗倍之开方即如以二长界各作一正方形互相为比例也设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何法以阔八尺倍之得十六尺即所求之阔又以原长十二尺倍之得二十四尺即所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四倍之即如戊己庚辛长方形其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以各边之数倍之而即得也此法葢因两长方面之比例既同于其相当二界各作一正方面之比例而两正方面之比例比之二界之比例为连比例隔一位相加之比例故两长方面之比例较之两界之比例亦为连比例隔一位相加之比例也设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何法以积三千尺倍之得六千尺用底阔八十尺除之得七十五尺即所求之长也如图甲乙丙三角形其积倍之成丁乙丙戊长方形乙丙为底阔故以底阔除长方积得甲己为中长也设如两两等边无直角斜方形(一日象目形)小边皆二十五丈大边皆三十九丈对两小角斜线五十六丈问面积㡬何法以对角斜线分斜方形为两三角形算之以对角斜线五十六丈为底大边三十九丈小边二十五丈为两腰用三角形求中垂线法求得中垂线十五丈乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面积也如图甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小边皆二十五丈甲乙丁丙二大边皆三十九丈甲丙对两小角斜线五十六丈今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙甲丁丙两三角形俱以甲丙为底甲丁与丁丙为两腰求得丁戊或乙己皆为中垂线故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也设如不等边两直角斜方形直角之边长五十丈上阔二十丈下阔二十八丈问面积几何法以上阔二十丈与下阔二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之积面也如图甲乙丙丁斜方形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与甲乙长相乗遂成甲乙己庚长方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形与斜方内所少之辛己丙勾股形之积等故所得之甲乙己庚长方形即甲乙丙丁斜方形之面积也又法上阔下阔相并与长相乗得数折半即斜方形之面积也葢前法上阔下阔相加折半而后与长相乗此法则上阔下阔相加即与长相乗而后折半其理一也设如梯形长三十丈上阔十二丈下阔二十丈问面积㡬何法以上阔十二丈与下阔二十丈相加得三十二丈折半得十六丈与长三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面积也如图甲乙丙丁梯形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与丁己长相乗遂成庚乙己丁长方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等故所得之庚乙己丁长方形即甲乙丙丁梯形之面积也又法以上阔下阔相并与长相乗得数折半即梯形之面积也设如三角形自尖至底中长二百尺底阔一百五十尺今欲自尖截长一百二十尺问截阔㡬何法以中长二百尺为一率底阔一百五十尺为二率截长一百二十尺为三率求得四率九十尺即所截之阔也如图甲乙丙三角形甲丁中长二百尺乙丙底阔一百五十尺甲戊为所截长一百二十尺而甲丁与乙丙之比即同于甲戊与己庚之比也如以截阔求截长则以底阔为一率中长为二率截阔为三率所得四率即所截之长也设如不等边两直角斜方形长九十尺上阔二十尺下阔三十八尺今欲截中阔二十七尺问上下各截长㡬何法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减余七尺为三率求得四率三十五尺即上所截之长以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减余五十五尺即下所截之长也如欲先得下所截之长则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减余一十一尺为三率求得四率五十五尺即下所截之长也如图甲乙丙丁斜方形甲乙为长九十尺与丁戊等乙丙为下阔三十八尺甲丁为上阔二十尺与乙戊等己庚为所截中阔二十七尺上阔与下阔相减余戊丙十八尺上阔与所截中阔相减余辛庚七尺而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上阔与下阔相减余戊丙十八尺所截中阔与下阔相减余壬丙十一尺而戊丙与丁戊之比又同于壬丙与庚壬之比也如有所截上长或所截下长求截阔则以总长为一率上下阔相减所余为二率截长为三率求得四率有上截长则与上阔相加有下截长则与下阔相减所得即所截之阔也设如梯形面积一千五百尺下阔四十尺中长五十尺问上阔几何法以积一千五百尺倍之得三千尺用长五十尺除之得六十尺为上下两阔相和之数内减下阔四十尺余二十尺即上阔也如图甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形试将己角取直作己辛线则截斜方形一叚为己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙遂成庚乙己辛长方形其积原与甲乙己戊斜方形等今用庚乙中长除之得乙己即上下两阔相和之数内减乙丙下阔所余丙己与甲丁等即上阔也设如不等边两直角斜方形积九千六百尺长一百二十尺上下两阔相差之较四十尺问上阔下阔各㡬何法以积九千六百尺倍之得一万九千二百尺用长一百二十尺除之得一百六十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较四十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较四十尺得一百尺即下阔也如图甲乙丙丁斜方形其甲乙长一百二十尺甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺试将原积倍之遂成甲乙己庚长方形故以甲乙长除之得乙己为上下阔相和之数内减戊丙上下两阔相差之较余数折半得乙戊与甲丁等为上阔加戊丙较得乙丙为下阔也设如梯形面积六千六百五十尺长九十五尺上下两阔相差之较二十尺问上阔下阔各几何法以积六千六百五十尺倍之得一万三千三百尺用长九十五尺除之得一百四十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较二十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较二十尺得八十尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲戊长九十五尺甲丁上阔与乙丙下阔相差乙戊与己丙共二十尺试将原积倍之成甲乙庚辛斜方形与壬乙庚癸长方形之积等故以甲戊长除壬乙庚癸长方形得乙庚为上下两阔相和之数内减乙戊与己丙上下两阔相差之较余折半得戊己与甲丁等为上阔加乙戊与己丙上下两阔相差之较得乙丙为下阔也设如方环形外周二百八十丈内周一百二十丈求面积几何法以外周二百八十丈四归之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四归之得三十丈自乗得九百丈两自乗数相减余四千丈即方环之面积也如图甲乙丙丁外周二百八十丈四归之得甲乙之一边自乗得甲乙丙丁大方积戊己庚辛内周一百二十丈四归之得戊己之一边自乗得戊己庚辛小方积两方积相减所余即方环之面积也又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈两数相减余六万四千丈以十六除之得四千丈即方环面积也前法将内外周各四归之而得内外方边故以内外方边各自乗相减而得方环面积此法即以内外周各自乘相减以十六除之而得方环面积也葢内外周为内外方边之四倍内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍(凡方边大一倍则面积大四倍今方边大四倍故面积大十六倍为)(隔一位相加之连比例也)是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也又有方环面积求外方边至内方边之阔则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方环面积四千丈得二十丈即外方边至内方边之阔也如图自方环内边作壬癸子丑二线则甲乙癸壬子丑丙丁为外方边与阔相乘之二长方壬戊辛子己癸丑庚为内方边与阔相乘之二长方引而长之成寅夘辰己一长方其长即半外周与半内周之和其阔即外方边至内方边之阔故以外周与内周相并折半除方环面积而得外方边至内方边之阔也又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减余四十丈折半得二十丈亦即外方边至内方边之阔也如图甲丁为外方边减与戊辛内方边相等之壬子余甲壬与子丁折半得甲壬即方环之阔也设如方环面积四千尺阔二十尺求内外方边各几何法以阔二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺四归之得六百尺以阔二十尺除之得三十尺即内方边又以阔二十尺倍之得四十尺加内方边三十尺得七十尺即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环形内减甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳阔自乘之四正方余寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四长方四归之得寅辰已戊一长方其阔即方环之阔其长即方环内边之长故以寅戊阔除之得戊己为内方边也又法置环积四千尺以阔二十尺除之得二百尺四归之得五十尺加阔二十尺得七十尺即外方边于五十尺内减阔二十尺余三十尺即内方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环积以阔除之即得壬癸子丑为内周外周相并折半之中数以四归之即得壬癸一边与戊寅等故加阔得外边减阔得内边也设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从上叚截勾股形积五十四尺问截长阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之阔既得所截之阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺甲丁戊勾股形为截积五十四尺是故甲乙与乙丙之比应同于甲丁与丁戊之比然而无甲丁之数故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方则甲乙与乙丙之比必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比(葢截积倍之成)(己甲丁戊长方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形为二平行线内直角)(方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几何原本八卷第七节)故开方而得丁戊为所截之阔又乙丙与甲乙之比即同于丁戊与甲丁之比而得甲丁为所截之长也若先求截长则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比(截积倍之成甲丁戊己长方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互)(相为比亦同于其底之互相为比也)故开方而得甲丁为所截之长也既得截长则用比例四率求之亦得所截之阔矣又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺为一率所截之勾股形积五十四尺为二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形积五十四尺此两勾股形为同式形故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从下叚截斜方形积四百三十二尺问截长及上阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之上阔九尺与勾二十七尺相减余一十八尺为三率求得四率二十四尺即所截之长也此法亦系线与线为比面与面为比也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺其甲乙与乙丙之比应同于戊己(即丁乙)与己丙之比然而无戊己之数故将截积倍之遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较(即己丙也)与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也(葢截积倍之成庚丁乙辛长方形己)(丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形此二长方形同以两阔之)(和为长故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比)(也)又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形引而长之遂成辰丑申未长方形其辰丑即上下两阔之较其丑申即上下两阔之和故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳磬折形所余即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故开方而得丁戊为所截之阔也既得所截之阔则以丁戊与乙丙相减余巳丙而乙丙与甲乙之比即同于己丙与戊己(即丁乙)之比也又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得亦同设如三角形中长二十尺底阔一十五尺今从上段截三角形积五十四尺问截长阔各几何法以底阔一十五尺为一率中长二十尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得一十二尺即所截之长既得所截之长则以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率所截之长十二尺为三率求得四率九尺即所截之阔也此法亦一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙三角形甲丁中长二十尺乙丙底阔十五尺甲戊己三角形为截积五十四尺是故乙丙与甲丁之比应同于戊己与甲庚之比然而无戊己之数故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方则乙丙与甲丁之比必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比故开方而得甲庚为所截之长又甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比而得戊己为所截之阔也若先求截阔则以中长二十尺为一率底阔一十五尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔葢甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比故开方而得戊己为所截之阔也既得截阔则用比例四率求之亦得所截之长矣又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角积一百五十尺为一率所截之三角积五十四尺为二率以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以中长二十尺自乘得四百尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙三角形截甲戊己三角形积五十四尺此两三角形为同式形故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也设如三角形中长二十尺底阔十五尺今从下段截梯形积九十六尺问截长及上阔各几何法以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率截积九十六尺倍之得一百九十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺内减所得四率一百四十四尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以底阔十五尺为一率中长二十尺为二率所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率求得四率八尺即所截下段之长也如图甲乙丙三角形甲丁为中长二十尺乙丙为底阔十五尺戊乙丙己梯形为截积九十六尺戊己为所截之阔庚丁(与戊辛己壬等)为所截之长乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较是故甲丁与乙丙之比应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣(葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比又甲丁与丁)(丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比)(亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也)但今无庚丁之数故将截积倍之遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减即余戊己自乘方积开方而得戊己为所截之阔也既得戊己截阔则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙而乙丙与甲丁之比又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角形积一百五十尺内减从下段所截之梯形积九十六尺余五十四尺即为从上段所截之三角形积依前法比例求之所得亦同设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从上段截积一百六十八尺问截长阔各几何法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺乃以上阔十二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率截阔十六尺内减上阔十二尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁斜方形甲乙长二十四尺与丁戊等甲丁为上阔十二尺乙丙为下阔二十尺甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺是故丁戊与戊丙之比应同于丁辛与辛庚之比然而无丁辛之数故将截积倍之为丁辛截长与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形也又辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之积与甲丁己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等试依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形两正方形相减所余为寅癸子丑辰卯磬折形引而长之遂成寅癸巳午长方形其寅癸即上中两阔之较其癸己即上中两阔之和故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故开方而得已庚为所截之阔也既得所截之阔则以己庚与甲丁相减余辛庚而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又法将斜方形增作勾股形算之以上阔十二尺与下阔二十尺相减余八尺为一率长二十四尺为二率上阔十二尺为三率求得四率三十六尺为斜方形上所增小勾股形之股与斜方形之长二十四尺相加得六十尺为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上阔十二尺为小勾所得三十六尺为小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺为斜方形上所增之小勾股形积与截积一百六十八尺相加得三百八十四尺为所截之勾股形积乃用勾股形从上段截勾股积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁斜方形增作勾股形为壬乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为戊丙以戊丙与丁戊之比同于甲丁与壬甲之比得壬甲为小勾股形之股以壬甲与甲乙相加得壬乙为大勾股形之股又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加得壬己庚勾股形积即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长阔各几何法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减截阔十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长也此与勾股形从下叚截斜方形积之理同前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积上阔小而截阔大故以上阔自乘与所得四率相加开方而得截阔此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积下阔大而截阔小故以下阔自乘内减所得四率开方而得截阔也设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今从上段截积二十四丈问截长阔各几何法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率截积二十四丈倍之得四十八丈为三率求得四率二十四丈乃以上阔五丈自乘得二十五丈与所得四率二十四丈相加得四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率求得四率四丈即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈戊己庚辛俱相等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比然无甲庚之数故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积开方而得壬癸为所截之阔也既得壬癸截阔则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比即同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣又法将梯形增作三角形算之以上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为一率长十二丈为二率上阔五丈为三率求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长与梯形之长十二丈相加得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长乃以上阔五丈为底所得十丈为中长相乗得五十丈折半得二十五丈为梯形上所増之小三角形积与截积二十四丈相加得四十九丈为所截之三角形积乃用三角形从上段截三角积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁梯形增作三角形为子乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为乙戊己丙而乙戊己丙与甲戊之比即同于甲丁与子丑之比得子丑为小三角形之中长以子丑与等甲戊之丑寅相加得子寅为大三角形之中长又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加得子壬癸三角形积即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今自下叚截积七十二丈问截长阔各几何法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率以截积七十二丈倍之得一百四十四丈为三率求得四率七十二丈乃以下阔十一丈自乗得一百二十一丈内减所得四率七十二丈余四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈与下阔十一丈相减余四丈为三率求得四率八丈即所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈与戊己等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈庚乙丙辛梯形为截积七十二丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比然无庚壬之数故将截积倍之为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率所得四率即乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减即余庚辛自乗方积开方而得庚辛为所截之阔也设如梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺问截长阔各几何法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十尺相减余六十尺折半得三十尺为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减折半之三十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三率求得四率六十尺为所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲丁上阔二十尺与戊己等乙丙下阔八十尺甲戊长一百二十尺乙戊为上下阔相减折半之三十尺庚乙辛为所截勾股积四百五十尺甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也设如梯形长一百二十尺上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺问截上阔下阔各几何法以上阔四十尺与下阔八十尺相减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺余之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和内减上阔下阔之较二十尺余五十尺折半得二十五尺为上阔加较二十尺得四十五尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲丁为上阔四十尺与戊己等乙丙为下阔八十尺甲戊为长一百二十尺甲乙辛庚为所截斜方形积四千二百尺倍之成壬癸辛庚长方形乙戊为所截斜方形上下两阔之较今以甲戊长除壬癸辛庚长方积得癸辛为上下两阔之和内减乙戊上下两阔之较余癸乙与戊辛折半得戊辛与甲庚等即所截斜方形之上阔加乙戊上下两阔之较得乙辛即所截斜方形之下阔也设如三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今欲平分面积一半与原三角形为同式形问所截三边各几何法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为所截之底边乃以全底边四十二丈为一率大腰边三十四丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余为所截之大腰边仍以全底边四十二丈为一率小腰边二十丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余即所截之小腰边也如图甲乙丙三角形平分面积一半成丁戊丙三角形此两三角形既为同式形则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比故以甲乙丙三角形面积为一率丁戊丙三角形面积为二率乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故开方得戊丙也既得戊丙则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比俱为相当比例四率也若取原积三分之一或几分之几者则将其积以其分数归之比例并同又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆倣此类推之设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减即余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边即长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长即两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍即成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干即长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较即得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较即得大正方形之边也设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺即甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简㨗而密合也设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺即每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线内同底两三角形其面积必等(见几何原本三)(卷第十节)故甲丁乙甲丁丙两三角形积为相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者倣此类推设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺即第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺即甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也御制数理精蕴下编卷十九
## 下编卷二十
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十面部十曲线形曲线形设如圜径一尺二寸问周几何法用周径定率比例以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一微八纤即所求之圜之周数也葢圜之数竒零不尽立法必自方数始是故圜内容形屡求勾股至亿万边圜外切形屡求勾股至亿万边内外凑集使圜周变为直线精密已极始为得之爰设圜径为一而圜周得三一四一五九二六五有余是为定率故以圜径一与圜周三一四一五九二六五之比即同于今所设之圜径一尺二寸与今所得之圜周三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽一㣲八纤之比也又周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九豪一丝一忽五微有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径一一三周得三五四九九九九六九有余进而为三五五则周数微大故今所得圜周亦微大然止在忽微之间耳又周径定率比例以径数七为一率周数二十二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸七分一厘四豪二丝八忽五㣲七纤有余为圜之周数也葢以径一周三一四一五九二六五之定率约之径七周得二一九九一一四八五有余进而为二二则周数大而所得周数亦大至于旧术径一围三乃圜内容六等边形之共度实小于圜之周线故径一则围三有余围三则径一不足也设如圜周一丈五尺问径几何法用周径定率比例以周数三一四一五九二六五为一率径数一○○○○○○○○为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二㣲有余即所求之圜之径数也葢前法有径求周故以定率之径与定率之周为比即如今所设之径与今所得之周为比此法有周求径故以定率之周与定率之径为比即如今所设之周与今所得之径为比也又周径定率比例以周数一○○○○○○○○为一率径数三一八三○九八八为二率今所设之圜周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝八忽二㣲为圜之径数也葢圜周为三一四一五九二六五则圜径为一○○○○○○○○若圜周为一○○○○○○○○则圜径为三一八三○九八八其比例仍同也如以周数三五五为一率径数一一三为二率今所设之圜周一丈五尺为三率亦得四率四尺七寸七分四厘六豪四丝七忽八微有余为圜之径数又或以周数二二为一率径数七为二率今所设之圜周一丈五尺为三率则得四率四尺七寸七分二厘七豪二丝七忽二微有余较之前法所得径数稍小葢径为七而周稍小于二二若周为二二径必稍大于七今截而为七则径数稍小故所得径数亦稍小也设如圜径八寸问面积几何法以圜径八寸用径求周法求得圜周二尺五寸一分三厘二豪七丝四忽一微二纤折半得一尺二寸五分六厘六豪二丝七忽零六纤与半径四寸相乘得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也葢圜之半径线若与直角三角形之小边线度等而圜之周界又与直角三角形之大边线度等则此直角三角形之面积与圜形之面积相等(见几何原本四卷第二十一节)如甲乙丙丁圜形其戊丙半径与己庚辛直角三角形之己庚小边线度等而甲乙丙丁圜周界与己庚辛直角三角形之庚辛大边线度等则此己庚辛三角形之面积即与甲乙丙丁圜形之面积相等是故以戊丙半径相等之己庚与乙丙丁半周相等之庚壬相乗所得之癸壬庚己长方形(癸壬庚己长方形积即与己庚辛三角形积等)即为圜之面积也如以全周与全径相乗则以四归之亦得圜面积葢全径为半径之倍全周为半周之倍则全周全径相乗之积必大于半周半径相乗之积四倍为隔一位相加之比例故全周与全径相乗以四归之而得圜面积也又法用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所设之圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢因圜径方边相等圜积方积不同故以圜径自乗作方积定为面与面之比例如子寅圜径为一○○○○则其自乗之辰己午未正方积为一○○○○○○○○而圜径一○○○○所得之子丑寅卯圜面积为七八五三九八一六故以子寅圜径一○○○○自乗之辰己午未正方积一○○○○○○○○与子寅圜径所得之子丑寅卯圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲丙圜径八寸自乗之戊己庚辛正方积六十四寸与今所得之甲乙丙丁圜面积五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余之比也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以圜径一○○○○○○○○为一率方边八八六二二六九二为二率今所设之圜径八寸为三率求得四率七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤有余为与圜面积相等之正方形每边之数自乗得五十寸二十六分五十四厘八十二豪有余即圜之面积也此法葢以圜积方积设为相等使圜径与方边不同先定为线与线之比例既得线而后自乗之为面也如子寅圜径一○○○○○○○○其所得之积开方则得八八六二二六九二即为辰己午未正方之每边是以子丑寅卯圜面积与辰己午未方面积为相等故子寅圜径一○○○○○○○○与辰己方边八八六二二六九二之比即同于今所设之甲丙圜径八寸与今所得之戊己方边七寸零八厘九豪八丝一忽五微四纤之比既得戊己方边自乗得戊己庚辛方面积即与甲乙丙丁圜面积为相等也又法用方周圜周定率比例以方周数四五二为一率圜周数三五五为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十六分五十四厘八十六豪有余即圜之面积也此法葢因方周与圜周之比同于方积与圜积之比(见算法原本二卷第二十八节)如子丑圜径为一一三则子丑圜周为三五五寅卯辰己正方边与圜径同亦为一一三则寅卯辰己方周为四五二(方边一一三以四因之则得四五二)试以正方面之午丑半径为高寅卯辰己方周为底作一午丑未申长方形则比寅卯辰己正方形之面积大一倍又以圜面之午丑半径为高子丑圜周为底作一午丑酉戌长方形则比子丑圜形之面积亦大一倍此两长方形同以午丑为高故此两长方面积之比例必同于两底边丑未与丑酉之比例且全与全之比例又同于半与半之比例故方积与圜积之比例亦必同于两底边丑未与丑酉之比例矣夫丑未即寅卯辰己方周丑酉即子丑圜周故以方周四五二与圜周三五五之比即同于今所设之甲丙圜径自乗之戊己庚辛正方积与今所得之甲乙丙丁圜面积之比也又法以十四分为一率十一分为二率圜径八寸自乗得六十四寸为三率求得四率五十寸二十八分五十七厘一十四豪有余为圜之面积也此法亦系方周与圜周之比同于方积与圜积之比葢圜径七则圜周为二二半之得一一方边七则方周为二八半之得一四故以十四分与十一分之比亦同于今所设圜径自乗之方积与今所得圜面积之比也然所得之面积过大者因径七围二十二之定率其周既大故所得之圜积亦大也旧术圜积得方积四分之三求积则以圜径自乗四分损一得圜积求径则以圜积三分益一开方得圜径此仍以径一围三立法故径求积所得之数必小积求径所得之数必大也设如圜周六尺六寸问面积几何法以圜周六尺六寸用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝五忽二微有余折半得一尺零五分零四豪二丝二忽六微有余与半周三尺三寸相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八豪有余即圜之面积也又法用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率今所设之圜周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸为三率求得四率三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余即圜之面积也此法葢以圜周自乗之正方积与圜积设为比例为面与面之比例也圜周为一○○○○则其自乗方积为一○○○○○○○○而圜周一○○○○所得之圜面积为七九五七七四七有余故以圜周一○○○○自乗之方积一○○○○○○○○与圜积七九五七七四七之比即同于今所设之圜周六尺六寸自乗之方积四十三尺五十六寸与今所得之圜面积三尺四十六寸六十三分九十四厘五十九豪有余之比也旧术圜积为周自乗方积十二分之一有圜周求积则以圜周自乗以十二除之得圜积有圜积求周则将圜积以十二因之开方得圜周此仍以径一围三立法故周求积所得之数必大积求周所得之数必小也设如圜面积六尺一十六寸问径几何法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十五厘五十六豪六十四丝为与圜径相等之正方边之正方面积开方得二尺八寸零五豪六丝有余即圜之径数也葢圜积为七八五三九八一六则方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则方积为一二七三二三九五四其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○为一率者即如以圜积七八五三九八一六为一率而以方积一二七三二三九五四为二率者即如以方积一○○○○○○○○为二率也又法用圜积方积相等圜径方边不同之定率比例以方边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之圜面积六尺一十六寸开方得二尺四寸八分一厘九豪三丝四忽有余为三率求得四率二尺八寸零五豪六丝二忽有余即圜之径数也此法亦以圜积方积设为相等使圜径与方边不同故以圜面积开方得方边为线与线之比例葢方边为八八六二二六九二则圜径为一○○○○○○○○若方边为一○○○○○○○○则圜径为一一二八三七九一六其比例仍同故以方边一○○○○○○○○为一率者即如以方边八八六二二六九二为一率而以圜径一一二八三七九一六为二率者即如以圜径一○○○○○○○○为二率也又法用圜周方周定率比例以圜周三五五为一率方周四五二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十二豪九十五丝有余开方亦得二尺八寸零五豪六丝有余为圜之径数也又法以十一分为一率十四分为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸开方得二尺八寸为圜之径数也葢径七围二十二之定率其径既小则方周与方积亦皆小故开方所得之圜径亦小也设如圜面积六尺一十六寸问周几何法以圜面积六尺一十六寸用圜积求径法求得圜径二尺八寸零五豪六丝有余又用圜径求周法求得八尺七寸九分八厘二豪二丝有余即圜之周数也又法用圜积与圜周方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率圜周方积一二五六六三七○六二为二率今所设之圜面积六尺一十六寸为三率求得四率七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪有余开方得八尺七寸九分八厘二豪有余即圜之周数也葢圜积为七九五七七四七则圜周自乗方积为一○○○○○○○○若圜积为一○○○○○○○○则圜周自乗方积为一二五六六三七○六二其比例仍同故以圜积一○○○○○○○○与圜周自乗方积一二五六六三七○六二之比即同于今所设之圜面积六尺一十六寸与今所得之圜周自乗方积七十七尺四十寸八十八分四十三厘零一豪之比既得圜周自乗方积开方即得圜周也设如撱圜形(一音鸭蛋形)大径九尺小径六尺问面积几何法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方边圜径相等方积圜积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之大小径相乗之长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪即撱圜形之面积也葢圜面积与撱圜面积之比同于圜外所切之正方形积与撱圜形外所切之长方积之比(见几何原本八卷第十二节)则圜外所切之正方形积与圜面积之比亦必同于撱圜形外所切之长方形积与撱圜面积之比也如甲乙丙丁撱圜形甲丙大径九尺乙丁小径六尺以大径与小径相乗遂成戊己庚辛长方形此长方形积与撱圜形积之比即同于正方积与圜积之比故以定率之方积数为一率圜积数为二率今所得之大小径相乗之长方积为三率求得四率为撱圜形之面积也设如撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪大径九尺问小径几何法用圜径方边相等圜积方积不同之定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所设之撱圜形面积四十二尺四十一寸一十五分零六十四豪为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圜形之小径也葢方面积与圜面积之比既同于长方面积与撱圜形面积之比则圜面积与方面积之比亦必同于撱圜形面积与长方面积之比也如甲乙丙丁撱圜形用定率比例而得戊己庚辛长方形其戊己长与甲丙大径等其己庚阔与乙丁小径等故以大径除之得小径也如有小径求大径则以所得长方积用小径除之而得大径也设如圆环形外周二十一尺三寸内周七尺一寸阔二尺二寸六分求面积几何法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得一十四尺二寸以阔二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积也如图甲乙丙丁圆环形甲乙外周二十一尺三寸丙丁内周七尺一寸甲丙与丁乙皆二尺二寸六分试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形其己庚小边与甲乙大圜之戊乙半径等庚辛大边与大圜之周界等则己庚辛直角三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角三角形其面积与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环形之面积等矣故如斜尖方形求积法以如丙丁内周之壬癸与如甲乙外周之庚辛相加折半得丑庚而以如丁乙阔之壬庚乗之得子丑庚壬一长方形与癸辛庚壬斜尖方形等即甲乙丙丁圆环形之面积也设如圆环形外径二尺四寸内径一尺二寸求面积几何法以外径二尺四寸求得周七尺五寸三分九厘八豪二丝有余又以内径一尺二寸求得周三尺七寸六分九厘九豪一丝有余乃以内径一尺二寸与外径二尺四寸相减余一尺二寸折半得六寸为圆环形之阔依前法算之得三尺三十九寸二十九分二十厘有余为圆环形之面积也又法以外径二尺四寸自乗得五尺七十六寸又以内径一尺二寸自乗得一尺四十四寸两数相减余四尺三十二寸为方环面积乃用方积圜积定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圜积七八五三九八一六为二率今所得之方环面积四尺三十二寸为三率求得四率三尺三十九寸二十九分二十厘有余即圆环形之面积也此法葢以方环圆环为比例即如用方积圜积定率为比例也分而言之则外径自乗与外大圜面积为比内径自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外径各自乗相减即用方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也设如圆环形外周六尺六寸内周二尺二寸求面积几何法以外周六尺六寸求得径二尺一寸零八豪四丝有余又以内周二尺二寸求得径七寸零二豪八丝有余两径相减余一尺四寸零五豪六丝有余折半得七寸零二豪八丝有余为圆环形之阔依前法算之得三尺零八寸一十二分三十二厘有余即圆环形之面积也又法以外周六尺六寸自乗得四十三尺五十六寸内周二尺二寸自乗得四尺八十四寸两数相减余三十八尺七十二寸乃用圜周方积与圜积定率比例以圜周方积一○○○○○○○○为一率圜积七九五七七四七为二率两周自乗相减之余三十八尺七十二寸为三率求得四率三尺零八寸一十二分三十九厘有余即圆环形之面积也此法葢以两圜周自乗相减之余积与圆环积为比例即如用圜周方积圜积定率为比例也分而言之则外周自乗与外大圜面积为比内周自乗与内小圜面积为比既得两圜面积相减始为圆环面积今以内外周各自乗相减即用圜周方积圜积定率比例是合两比例而为一比例也设如圆环形面积四百六十二尺阔七尺求内外径各几何法以阔七尺除圆环面积四百六十二尺得六十六尺即内外周相并折半之数为中周乃以周求径法求得径二十一尺零八厘四豪五丝有余为内外径相并折半之数为中径加阔七尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余即外径中径内减阔七尺余一十四尺零八厘四豪五丝有余即内径也如图甲乙丙丁圆环形其面积四百六十二尺甲丙与丁乙皆七尺先所得之中周六十六尺为戊己周次所得之中径二十一尺零八厘四豪五丝有余为戊己径其甲戊与戊丙等丁己与己乙等故甲戊与己乙两段戊丙与丁己两段皆与丁乙及甲丙阔度等是以于中径内加阔得外径减阔得内径也又法先用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率圆环积四百六十二尺为三率求得四率五百八十八尺二十三寸六十六分六十七厘有余为方环积乃以阔七尺自乗得四十九尺以四因之得一百九十六尺与所得之方环积相减余三百九十二尺二十三寸六十六分六十七厘有余四归之得九十八尺零五寸九十一分六十六厘有余以阔七尺除之得一十四尺零八厘四豪五丝有余为内圜径加倍阔十四尺得二十八尺零八厘四豪五丝有余为外圜径也此法葢以圆环积变为方环积即如前法方环积变为圆环积也如甲乙丙丁圆环形变为戊己庚辛壬癸子丑方环形内减戊寅壬辰卯已巳癸子午庚酉未丑申辛阔自乗之四正方形余寅卯癸壬癸巳午子丑子酉申辰壬丑未四长方形四归之余寅卯癸壬一长方形以寅壬阔除之得壬癸长与丙丁内径等加甲丙与丁乙得甲乙即外径也设如圆环形面积三百零八尺阔七尺求内外周各几何法以阔七尺除圆环面积三百零八尺得四十四尺为内外周相并折半之数为中周又用径求周法以径数一○○○○○○○○为一率周数三一四一五九二六五为二率阔七尺为三率求得四率二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余为内外周相减折半之数为半较乃以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相加得六十五尺九寸九分一厘一豪四丝有余即外周数以半较二十一尺九寸九分一厘一豪四丝有余与中周四十四尺相减余二十二尺零八厘八豪六丝有余即内周数也如图甲乙丙丁圆环形其面积三百零八尺丁乙阔七尺试依甲乙大圜之戊乙半径度与甲乙圜周度作一己庚辛直角三角形则己庚辛三角形之面积与甲乙大圜之面积等又依丙丁小圜之戊丁半径截己庚辛三角形之己庚小边于壬又依丙丁小圜周度作壬癸线与庚辛平行则成己壬癸一小直角之三角形积乃与丙丁小圜之面积等如于己庚辛大三角形内减己壬癸小三角形所余癸辛庚壬斜尖方形之面积必与甲乙丙丁圆环面积等矣而癸辛庚壬斜尖方形积又与子丑庚壬长方形积等故以如丁乙阔之壬庚除之得丑庚为内外周相并折半之中周数又以寅庚全径与庚辛全周之比同于丁乙圆环阔(与子)(丑等)与辛丑半较之比葢丁乙为内外径相减折半之较辛丑即内外周相减折半之较为相当比例四率也既得辛丑与丑卯等即辛庚外周大于丑庚中周之较亦即癸壬内周(与卯庚等)小于丑庚中周之较故于中周加半较得外周减半较得内周也设如圆环形面积三尺三十六寸内周一尺一寸求外周及阔各几何法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一豪有余又用周径求积法求得内周圜面积九寸六十二分七十七厘五十豪有余与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余即外周圆面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之外周圜面积三尺四十五寸六十二分七十七厘五十豪有余为三率求得四率四尺四十寸零六分六十九厘一十七豪有余为外径自乗之方积开方得二尺零九分七厘七豪有余即外径减去内径三寸五分零一豪余一尺七寸四分七厘六豪折半得八寸七分三厘八豪即圆环形之阔又用径求周法求得周六尺五寸九分零一豪有余即外周数也设如圆环形面积三百八十四尺外周八十八尺求内周及阔各几何法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘二豪有余又用周径求积法求得外周圜面积六百一十六尺二十四寸六十四分有余内减去圆环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分有余为内周圜面积乃用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之内周圜面积二百三十二尺二十四寸六十四分为三率求得四率二百九十五尺七十寸五十二分九十九厘五十豪有余即内径自乗之方积开方得一十七尺一寸九分六厘有余即内径与外径二十八尺零一分一厘二豪相减余一十尺八寸一分五厘二豪有余折半得五尺四寸零七厘六豪即圆环形之阔又用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八豪有余即内周数也设如圜径一尺二寸今截弧矢形一段矢阔二寸四分求弦长几何法以矢阔二寸四分为首率圜径一尺二寸内减矢阔二寸四分余九寸六分为末率首率末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率倍之得九寸六分即弧矢形之弦数也如图甲乙圜径一尺二寸截甲丙丁弧矢形其甲戊为矢阔二寸四分试自甲至丙作甲丙线自丙至乙作丙乙线遂成甲丙乙直角三角形而丙戊半弦即为其垂线故所截甲戊为首率戊乙为末率求得丙戊为中率(见几何原本九卷第二节并见勾股卷定勾股)(无零数法中)倍之得丙丁即弧矢形之弦也又法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为弦矢阔二寸四分与半径六寸相减余三寸六分为勾求得股四寸八分倍之得九寸六分得弧矢形之弦数也如图甲乙圜径一尺二寸折半得甲己半径六寸与丙己等为弦又于甲己半径六寸内减甲戊矢阔二寸四分余戊己三寸六分为勾求得丙戊股倍之得丙丁为弧矢形之弦也设如圜径一 尺七寸今截弧矢形一段弦长一尺五寸求矢阔几何法以弦长一尺五寸折半得半弦七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圜径一尺七寸为长阔和用带纵和数开方法算之得阔四寸五分即矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸截甲丙丁弧矢形其丙丁为弦长一尺五寸自甲至丙自丙至乙作二线成甲丙乙直角三角形而丙戊为垂线故甲戊为首率戊乙为末率丙戊为中率中率自乗之正方与首率末率相乗之长方等今以丙丁弦折半得半弦丙戊自乗即与甲戊矢为阔戊乙截径为长相乗之长方等故以甲乙为长阔和求得甲戊阔即矢也又法以圜径一尺七寸折半得八寸五分为弦以弦长一尺五寸折半得七寸五分为股求得勾四寸与半径八寸五分相减余四寸五分即矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸折半得丙己半径八寸五分为弦丙丁弦一尺五寸折半得丙戊七寸五分为股求得戊己勾与甲己半径相减余甲戊即矢之阔也又法以圜径一尺七寸为弦弧弦一尺五寸为股求得勾八寸与圜径一尺七寸相减余九寸折半得四寸五分即矢之阔也如图甲乙圜径一尺七寸与丁庚等如自丙至庚作丙庚线则成丁丙庚直角三角形故以丁庚为弦丙丁为股求得丙庚勾与戊辛等以戊辛与甲乙全径相减余甲戊与辛乙两叚折半即得甲戊为矢之阔也设如弧矢形弦长一尺二寸矢阔四寸求圜径几何法以矢阔四寸为首率弦长一尺二寸折半得六寸为中率乃以中率六寸自乗用首率四寸除之得九寸为圜之截径加矢阔四寸得一尺三寸即圜之径数也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙弦长一尺二寸丁乙矢阔四寸试继甲丁丙弧作一全圜(法见几何原本十一卷十三节)将丁乙矢线引长作丁戊全径线又自甲至丁作甲丁线自甲至戊作甲戊线遂成丁甲戊直角三角形而甲乙半弦即为其中垂线故丁乙矢为首率乙戊截径为末率而甲乙半弦即为中率故丁乙与甲乙之比同于甲乙与乙戊之比而得乙戊截径加丁乙矢即得丁戊为圜之全径也设如弧矢形弦长八尺矢阔二尺求面积几何法先用弧矢形有弦矢求圜径法求得圜之全径十尺折半得半径五尺为一率半弦四尺为二率以半径十万为三率求得四率八万为正弦数捡八线表得五十三度零七分四十九秒为半弧之度分倍之得一百零六度一十五分三十八秒为全弧之度分乃以全圜三百六十度化作一百二十九万六千秒为一率全弧一百零六度十五分三十八秒化作三十八万二千五百三十八秒为二率全径十尺求得全周三十一尺四寸一分五厘九豪二丝有余为三率求得四率九尺二寸七分二厘九豪八丝有余为全弧之数与半径五尺相乗得四十六尺三十六寸四十九分折半得二十三尺一十八寸二十四分五十厘为自圜心所分弧背三角形积又于半径五尺内减矢二尺余三尺与弦八尺相乗得二十四尺折半得十二尺为自圜心至弦所分直线三角形积与弧背三角形积二十三尺一十八寸二十四分五十厘相减余一十一尺一十八寸二十四分五十厘即弧矢形之面积也如图甲乙丙丁弧矢形甲丙弦长八尺丁乙矢阔二尺甲乙为半弦四尺试继此弧作一全圜求得丁戊全径(解见)(前)折半得己丁半径既得半径而甲乙半弦又即为甲丁半弧之正弦故比例得正弦数捡表而得甲丁半弧之度分倍之得甲丁丙全弧之度分又甲戊丙丁全圜之度分与甲丁丙全弧之度分之比同于甲戊丙丁全周之尺寸与甲丁丙全弧之尺寸之比而得甲丁丙全弧之数与己丁半径相乘折半即得甲己丙丁弧背三角形之面积又于丁己半径内减丁乙矢余乙己为截半径与甲丙弦相乘折半得甲己丙直线三角形面积与甲己丙丁弧背三角形面积相减余即甲乙丙丁弧矢形之面积也设如圜形截弧矢一段所截弧度一百二十度弧界长二尺二寸求圜径及弦长矢阔各几何法以截弧一百二十度为一率全圜三百六十度为二率截弧二尺二寸为三率求得四率六尺六寸为圜之周数用圜周求径法求得圜径二尺一寸零八豪四丝有余乃以半径十万为一率截弧一百二十度折半得六十度查正弦得八万六千六百零三倍之得一十七万三千二百零六即一百二十度之通弦为二率今所得之圜径二尺一寸零八豪四丝有余折半得一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率一尺八寸一分九厘三豪九丝有余即弧矢形之弦数又以半径十万为一率六十度之余弦五万与半径十万相减余五万即六十度之正矢为二率今所得之半径一尺零五分零四豪二丝有余为三率求得四率五寸二分五厘二豪一丝有余即弧矢形之矢数也如图甲乙丙丁圜形截甲乙戊丁弧矢形一段知乙甲丁弧一百二十度又知乙甲丁弧界为二尺二寸求甲丙全径及乙丁弦甲戊矢则以乙甲丁弧一百二十度与甲乙丙丁全圜三百六十度之比即同于乙甲丁弧界二尺二寸与甲乙丙丁全圜界六尺六寸之比也既得全周求得甲丙全径折半于己心自己至乙作己乙半径线则乙戊即如六十度之正弦乙丁即如一百二十度之通弦甲戊即如六十度之正矢故以半径十万与一百二十度之通弦一十七万三千二百零六之比即同于己乙半径一尺零五分零四豪二丝有余与乙丁全弦一尺八寸一分九厘三豪九丝有余之比又半径十万与六十度之正矢五万之比即同于己乙半径与甲戊矢五寸二分五厘二豪一丝有余之比也设如圜形截弧矢一段任自弧界一处对圜心至弦作一斜线长一尺二寸将全弦分为大小两段大段长一尺八寸小段长一尺六寸问圜径几何法以所作之斜线一尺二寸为一率截弦小段一尺六寸为二率大段一尺八寸为三率求得四率二尺四寸为自截弦处过圜心至圜对界之线将此线与所作之斜线一尺二寸相加得三尺六寸即圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自圜界甲对圜心戊至乙丁弦上作甲己斜线将乙丁弦分为乙己己丁两段乙己小段一尺六寸己丁大段一尺八寸试将甲己斜线引长过圜心至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲己乙丁己丙两同式三角形(乙角)(对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两己角为对角)(故两三角形为同式形也)故以甲己与乙己之比即同于己丁与己丙之比既得己丙与甲己相加即得甲丙为圜径也设如圜形截弧矢一段任自弧界一处至弦作一垂线长一尺二寸将全弦分为大小两段其大段长三尺小段长一尺问圜径几何法以所作垂线一尺二寸为一率截弦小段一尺为二率大段三尺为三率求得四率二尺五寸为自截弦处至圜对界之直线乃以此线与所作之垂线一尺二寸相加得三尺七寸为股以截弦小段一尺与大段三尺相减余二尺为勾求得弦四尺二寸即圜径也如图甲乙丙丁圜形截甲乙丁弧矢形任自弧界甲至乙丁弦上作甲戊垂线长一尺二寸将乙丁弦分为乙戊戊丁两叚乙戊小段一尺戊丁大叚三尺试将甲戊垂线引长至圜对界丙作甲丙线又自甲至乙作甲乙线复自丁至丙作丁丙线遂成甲戊乙丁戊丙两同式三角形(乙角对甲丁弧丙角亦对甲丁弧甲角对乙丙弧丁角亦对乙丙弧两戊角俱)(为直角故两三角形为同式形也)故以甲戊与戊乙之比同于丁戊与戊丙之比既得戊丙与甲戊相加即得甲丙又以乙戊(同己丁)与戊丁相减余戊己与甲庚等乃自甲至庚作甲庚线与乙丁平行则甲角为直角必立于圜界之一半又自庚至丙作庚丙线则又成庚甲丙勾股形故以庚甲为勾甲丙为股求得庚丙弦即圜径也设如一大圜形内容四小圜形但知大圜形径一尺二寸求小圜形径几何法以大圜形径一尺二寸自乘倍之开方得一尺六寸九分七厘零五丝有余内减大圜形径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝有余即小圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试切甲大圜形界作己庚辛壬正方形其方边即大圜形全径用方边求斜弦法求得壬庚己辛两斜弦即成己甲壬己甲庚庚甲辛壬甲辛四勾股形内各容一小圜形而四方边遂为四勾股形之各弦两斜弦各折半遂各为四勾股形之各勾股任取一勾股和减弦即得容圜全径也(觧见勾股容圜法中)设如一大圜形内容四小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何法以小圜形径五寸自乘倍之开方得七寸零七厘一豪有余加小圜形径五寸得一尺二寸零七厘一豪有余即大圜形径也如图甲大圜形内容乙丙丁戊四小圜形试连四小圜形中心作乙丙丙丁丁戊戊乙四线遂成乙丙丁戊一正方形用方边求斜弦法求得乙丁斜弦加己乙与丁庚两半径(即一小圜形之全径)即得己庚大圜形全径也设如一大圜形内容三小圜形但知大圜形径一尺二寸求内容小圜形径几何法以大圜形径一尺二寸求得外切三角形之每边为二尺零七分八厘四豪六丝有余乃以大圜形径一尺二寸为三角形之两腰半径六寸为中埀线用三角形容圜法求得容圜半径二寸七分八厘四豪六丝有余倍之得五寸五分六厘九豪二丝有余即小圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试求外切甲大圜界戊己庚三角形自圜心甲至戊己庚三角各作一分角线皆与圜之全径等即成戊甲己己甲庚戊甲庚三三角形内各容一小圜形故任以两全径为两腰一半径为中垂线用三角形容圜法算之即得一小圜径也设如一大圜形内容三小圜形但知小圜形径五寸求大圜形径几何法以小圜形径五寸为等边三角形之每一边用等边三角形求外切圜形全径法求得外切圜径五寸七分七厘三豪五丝有余加小圜全径五寸得一尺零七分七厘三豪五丝有余即大圜形全径也如图甲大圜形内容乙丙丁三小圜形试连三小圜形中心作乙丙乙丁丙丁三线遂成乙丙丁等边三角形其毎边皆与小圜全径等又切乙丙丁三角作一圜形用等边三角形求外切圜形全径法(解见三角形卷)求得乙戊径线加己乙与戊庚两半径(即一小圜形之全径)即得己庚大圜形全径也御制数理精蕴下编卷二十
## 下编卷二十一
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十一面部十一圜内容各等边形圜外切各等边形圜内容各等边形设如圜径一尺二寸求内容三等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸为弦半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为圜内容三等边形之每一边爰以三等边形之每一边为弦每一边折半为勾求得股九寸或以圜径一尺二寸取其四分之三亦得九寸为圜内容三等边形之中垂线乃以每一边之一尺零三分九厘二豪三丝有余与中垂线九寸相乘得九十三寸五十三分零七厘有余折半得四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形试自丁至乙作丁乙线即圜内容六等边形之每一边与丁戊半径等甲乙全径丁乙半径与甲丁边遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全径为弦丁乙半径为勾求得甲丁股即圜内容三等边形之每一边也其甲己中垂线即甲丁弦己丁勾所求之股又为圜径四分之三既得一边又得中垂线即如三角形求面积法算之而得圜内容三等边形之面积也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正弦八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽倍之得一尺零三分九厘二豪三丝六忽为圜内容三等边形之每一边既得每一边之数乃取圜径四分之三为中垂线与每一边之数相乘折半得四十六寸七十六分五十六厘有余即圜内容三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁三等边形每一边之弧皆一百二十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为六十度甲戊即六十度之正弦甲丙即一百二十度之通弦是故半径十万与六十度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之毎一边八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝有余即圜内容三等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积三二四七五九五三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容三等边形之面积四一三四九六六七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率四十六寸七十六分五十三厘有余即圜内容三等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容四等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸倍之得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余为圜内容四等边形之每一边其半径自乘倍之所得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形试自圜心戊至丁角作戊丁半径线遂成甲戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同为半径一为勾一即为股故止以半径自乘倍之开方而得甲丁弦即圜内容四等边形之每一边也每一边自乘是仍为半径自乘倍之之数即圜内容四等边形之面积也又法以全圜三百六十度四分之每分得九十度折半得四十五度乃以半径十万为一率四十五度之正弦七万零七百一十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸二分四厘二豪六丝六忽倍之得八寸四分八厘五豪三丝二忽为圜内容四等边形之毎一边既得每一边之数即以毎一边自乘得七十二寸即圜内容四等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙乙丁四等边形每一边之弧皆九十度试将甲丙边折半于戊自圜心己作己戊庚半径线遂平分甲丙弧于庚则甲庚弧为四十五度甲戊即四十五度之正弦甲丙即九十度之通弦是故半径十万与四十五度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲戊之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之毎一边七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽有余即圜内容四等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容四等边形之面积六三六六一九七七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率七十二寸即圜内容四等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容五等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边(详见割圜卷中)乃以所得中率与半径首率相减余二寸二分九厘一豪八丝为末率折半得一寸一分四厘五豪九丝为半末率即以此半末率为勾中率为弦求得股三寸五分二厘六豪七丝一忽有余倍之得七寸零五厘三豪四丝二忽有余为圜内容五等边形之每一边又以中率与半末率相加得四寸八分五厘四豪一丝有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十七寸一十一分九十厘有余五因之得八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形试自圜心庚至每角各作一半径线即分五等边形为五三角形又自乙至戊作乙戊线即圜内容十等边形之每一边庚乙庚戊半径与乙戊边遂成庚乙戊三角形又依乙戊线度截庚乙半径于辛作戊辛线则又成戊辛乙三角形与庚乙戊三角形为同式形故庚乙为首率乙戊戊辛俱为中率辛乙为末率辛壬与壬乙俱为半末率是以壬乙半末率为勾乙戊中率为弦求得戊壬股倍之得戊丁即圜内容五等边形之毎一边又以庚辛中率与辛壬半末率相加得庚壬中垂线用三角形求面积法算之得庚丁戊一三角形面积五倍之而得圜内容五等边形之总面积也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正弦五万八千七百七十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸五分二厘六豪七丝四忽倍之得七寸零五厘三豪四丝八忽为圜内容五等边形之每一边次以半径十万为一率三十六度之余弦八万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸八分五厘四豪一丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与毎一边折半之数相乘五因之得八十五寸五十九分六十厘有余为圜内容五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己五等边形每一边之弧皆七十二度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十六度甲庚即三十六度之正弦甲丙即七十二度之通弦辛庚即三十六度之余弦是故半径十万与三十六度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十六度之余弦之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之每一边五八七七八五二五为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率七寸零五厘三豪四丝二忽有余即圜内容五等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积五九四四一○三一为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容五等边形之面积七五六八二六七二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率八十五寸五十九分五十厘有余即圜内容五等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容六等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸即圜内容六等边形之每一边爰以半径六寸为弦毎一边折半得三寸为勾求得股五寸一分九厘六豪一丝五忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十五寸五十八分八十四厘有余六因之得九十三寸五十三分零四厘有余即圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形其每一边皆六寸与半径等试自圜心庚至每角各作一半径线即分六等边形为六三角形以甲庚半径为弦甲丙一边折半得甲辛为勾求得股为庚辛中垂线用三角形求面积法算之得甲丙庚一三角形之面积六倍之而得圜内容六等边形之总面积也又法以全圜三百六十度六分之每分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正弦五万为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸倍之得六寸为圜内容六等边形之每一边次以半径十万为一率三十度之余弦八万六千六百零三为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸一分九厘六豪一丝八忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘六因之得九十三寸五十三分一十二厘有余为圜内容六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己六等边形每一边之弧皆六十度试将甲丙边折半于庚自圜心辛作辛庚壬半径线遂平分甲丙弧于壬则甲壬弧为三十度甲庚即三十度之正弦甲丙即六十度之通弦辛庚即三十度之余弦是故半径十万与三十度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲庚之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与三十度之余弦之比即如所设之半径六寸与辛庚中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之每一边五○○○○○○○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸即圜内容六等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积六四九五一九○五为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容六等边形之面积八二六九九三三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十三寸五十三分零七厘有余即圜内容六等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容七等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率等之法求得二率二寸六分七厘零二丝五忽有余为圜内容十四等边形之每一边(详见割圜卷中)乃以半径六寸为底仍以半径六寸与十四等边形之毎一边二寸六分七厘零二丝五忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸六分零三豪三丝有余倍之得五寸二分零六豪六丝有余为圜内容七等边形之每一边爰以半径六寸为弦七等边形之每一边折半为勾求得股五寸四分零五豪八丝一忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十四寸零七分二十九厘有余七因之得九十八寸五十一分零三厘有余即圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形试自圜心壬至毎角各作一半径线即分七等边形为七三角形又自戊至乙作戊乙线即圜内容十四等边形之毎一边壬乙壬戊半径与戊乙边遂成壬戊乙三角形故以壬乙半径为底壬戊半径与戊乙十四等边形之每一边为两腰求得戊癸垂线倍之得戊己即圜内容七等边形之每一边也又壬戊为弦戊癸为勾求得股为壬癸中垂线用三角形求面积法算之得壬戊己一三角形之面积七倍之而得圜内容七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之正弦四万三千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸六分零三豪二丝八忽倍之得五寸二分零六豪五丝六忽为圜内容七等边形之每一边次以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余弦九万零九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸四分零五豪八丝二忽为自圜心至每一边之中垂线与每一边折半之数相乘七因之得九十八寸五十分九十六厘有余为圜内容七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正弦甲丙即五十一度二十五分四十二秒有余之通弦癸壬即二十五度四十二分五十一秒有余之余弦是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正弦之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之余弦之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之每一边四三三八八三七四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸二分零六豪六丝有余即圜内容七等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积六八四一○二五四为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容七等边形之面积八七一○二六四一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率九十八寸五十一分零七厘有余即圜内容七等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容八等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸求得圜内容四等边形之每一边为八寸四分八厘五毫二丝八忽有余折半得四寸二分四厘二毫六丝四忽有余为股又以四边之半四寸二分四厘二豪六丝四忽有余与半径六寸相减余一寸七分五厘七毫三丝六忽有余为勾求得弦四寸五分九厘二豪一丝九忽有余为圜内容八等边形之毎一边爰以半径六寸为弦八等边形之毎一边折半得二寸二分九厘六豪零九忽有余为勾求得股五寸五分四厘三豪二丝八忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十二寸七十二分七十八厘有余八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余即圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形先求得圜内容四等边形之毎一边为戊己折半得戊壬与癸壬等为股以癸壬与癸乙半径相减余壬乙为勾求得戊乙弦为圜内容八等边形之每一边试自圜心至每角各作一半径线即分八等边形为八三角形以癸乙半径为弦戊乙折半得子乙为勾求得股为癸子中垂线用三角形求面积法算之得癸戊乙一三角形之面积八倍之而得圜内容八等边形之总面积也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正弦三万八千二百六十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸二分九厘六豪零八忽倍之得四寸五分九厘二豪一丝六忽为圜内容八等边形之每一边次以半径十万为一率二十二度三十分之余弦九万二千三百八十八为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸五分四厘三豪二丝八忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘八因之得一尺零一寸八十二分二十四厘有余为圜内容八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊乙己庚辛八等边形毎一边之弧皆四十五度试将甲丙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲丙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦甲丙即四十五度之通弦癸壬即二十二度三十分之余弦是故半径十万与二十二度三十分之正弦之比即如所设之半径六寸与甲壬之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十二度三十分之余弦之比即如所设之半径六寸与癸壬中垂线之比也乂用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之毎一边三八二六八三四三为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸五分九厘二豪二丝有余即圜内容八等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积七○七一○六七八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容八等边形之面积九○○三一六三一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零一寸八十二分三十三厘有余即圜内容八等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容九等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为一率用连比例四率有一率求二率三率四率使一率与四率相加与二率三倍等之法求得二率二寸零八厘三豪七丝七忽有余为圜内容十八等边形之每一边(详见割圜卷中)乃以半径六寸为底仍以半径六寸与圜内容十八等边形之毎一边二寸零八厘三豪七丝七忽有余为两腰用三角形求中垂线法算之得二寸零五厘二豪一丝一忽有余倍之得四寸一分零四豪二丝二忽有余即圜内容九等边形之毎一边爰以半径六寸为弦九等边形之毎一边折半为勾求得股五寸六分三厘八豪一丝五忽有余为自圜心至毎一边之中垂线乃以毎一边折半之数与中垂线相乘得一十一寸五十七分零一厘有余九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余即圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形试自圜心子至每角各作一半径线即分九等边形为九三角形又自己至乙作己乙线即圜内容十八等边形之毎一边子乙子己半径与己乙边遂成子己乙三角形故以子乙半径为底子己半径与己乙十八等边形之毎一边为两腰求得己丑垂线倍之得己庚为圜内容九等边形之每一边也又子己为弦己丑为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己庚一三角形之面积九倍之而得圜内容九等边形之总面积也又法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正弦三万四千二百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸零五厘二豪一丝二忽倍之得四寸一分零四豪二丝四忽为圜内容九等边形之每一边次以半径十万为一率二十度之余弦九万三千九百六十九为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸六分三厘八豪一丝四忽为自圜心至毎一边之中垂线与毎一边折半之数相乘九因之得一尺零四寸一十三分零九厘有余为圜内容九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己庚辛壬癸九等边形毎一边之弧皆四十度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为二十度甲子即二十度之正弦甲丙即四十度之通弦丑子即二十度之余弦是故半径十万与二十度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与二十度之余弦之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之毎一边三四二○二○一四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸一分零四豪二丝四忽有余即圜内容九等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积七二三一三六○六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容九等边形之面积九二○七二五四二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零四寸一十三分一十五厘有余即圜内容九等边形之面积也设如圜径一尺二寸求内容十等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率末率使中率末率相加与首率等之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边(详见割圜卷中)爰以半径六寸为弦十等边形之每一边折半得一寸八分五厘四豪一丝有余为勾求得股五寸七分零六豪三丝三忽有余为自圜心至每一边之中垂线乃以每一边折半之数与中垂线相乘得一十寸五十八分零一厘有余十因之得一尺零五寸八十分一十厘有余即圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形其子乙半径为首率己乙每一边为中率其毎一边皆三寸七分零八豪二丝有余试自圜心子至每角各作一半径线即分十等边形为十三角形以子乙半径为弦己乙折半得丑乙为勾求得股为子丑中垂线用三角形求面积法算之得子己乙一三角形之面积十倍之而得圜内容十等边形之总面积也又法以全圜三百六十度十分之毎分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正弦三万零九百零二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸八分五厘四豪一丝二忽倍之得三寸七分零八豪二丝四忽为圜内容十等边形之毎一边次以半径十万为一率十八度之余弦九万五千一百零六为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分零六豪三丝六忽为自圜心至毎一边之中垂线与每一边折半之数相乘十因之得一尺零五寸八十分二十七厘有余为圜内容十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸内容甲丙丁戊己乙庚辛壬癸十等边形每一边之弧皆三十六度试将甲丙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲丙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正弦甲丙即三十六度之通弦丑子即十八度之余弦是故半径十万与十八度之正弦之比即如所设之半径六寸与甲子之半边之比既得半边倍之即全边又半径十万与十八度之余弦之比即如所设之半径六寸与丑子中垂线之比也又用求圜内各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之每一边三○九○一六九九为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝有余即圜内容十等边形之每一边也又用求圜内各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积七三四七三一五六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜内容十等边形之面积九三五四八九二八为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺零五寸八十分一十三厘有余即圜内容十等边形之面积也圜外切各等边形设如圜径一尺二寸求外切三等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸为弦半径六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余倍之得二尺零七分八厘四豪六丝有余为圜外切三等边形之毎一边爰以三等边形之每一边为弦毎一边折半为勾求得股一尺八寸或以半径六寸三倍之得一尺八寸为圜外切三等边形之中垂线乃以每一边之二尺零七分八厘四豪六丝有余与中垂线一尺八寸相乘得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余折半得一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则成丙巳庚三角形其丙庚巳角为六十度丙巳庚角为九十度庚丙巳角为三十度又自甲至己作甲己线为圜内容六等边形之每一边则又成甲己庚甲己丙两三角形其甲己庚三角形之甲己庚角为六十度故甲己丙三角形之甲己丙角为三十度而甲丙己角亦为三十度则丙甲与甲己皆与半径等矣故丙庚即全径为弦庚己即半径为勾求得丙己股倍之得丙丁为圜外切三等边形之每一边也又丙甲既与半径等则丙乙中垂线为半径之三倍用三角形求面积法算之而得圜外切三等边形之面积也又法以全圜三百六十度三分之每分得一百二十度折半得六十度乃以半径十万为一率六十度之正切一十七万三千二百零五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一尺零三分九厘二豪三丝倍之得二尺零七分八厘四豪六丝为圜外切三等边形之毎一边也既得三等边形之每一边乃以半径三因之与毎一边之数相乘折半得一尺八十七寸零六分一十四厘为圜外切三等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊三等边形每一边之弧皆一百二十度试将丙丁边折半于己自圜心庚作庚己半径线则甲己弧为六十度丙己即六十度之正切丙丁即六十度正切之倍是故半径十万与六十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙己之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之每一边一七三二○五○八○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率二尺零七分八厘四豪六丝即圜外切三等边形之每一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一二九九○三八一○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切三等边形之面积一六五三九八六六九为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺八十七寸零六分一十四厘有余即圜外切三等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切四等边形之每一边及面积几何法因圜径一尺二寸即外切四等边形之毎一边自乘得一尺四十四寸即圜外切四等边形之面积故他法皆不设止存一题以备体焉设如圜径一尺二寸求外切五等边形之毎一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸为首率用连比例三率有首率求中率之法求得中率三寸七分零八豪二丝有余倍之得七寸四分一厘六豪四丝有余为自圜心至外切五等边形各角之分角线乃以分角线为弦圜之半径为股求得勾四寸三分五厘九豪二丝四忽有余倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽有余为圜外切五等边形之每一边爰以每一边之八寸七分一厘八豪四丝八忽有余与半径六寸相乘得五十二寸三十一分零八厘有余折半得二十六寸一十五分五十四厘有余五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘有余即圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚五等边形以辛乙半径为首率(即理分中末线之全分)则自圜心至角之辛己分角线为倍中率(即倍理分中末线之大分)何以知之试自丙角至戊己二角作丙戊丙己两角相对斜线成丙戊己三角形复自戊角至庚角作戊庚两角相对斜线截丙己斜线于壬又成戊己壬三角形与丙戊己三角形为同式形(戊己壬三角形之戊角当)(巳庚边与戊巳边等故戊己壬三角形之戊角与丙戊己三角形之丙角等又)(同用一巳角则其余一角亦必等故为同式形)而丙戊为首率(即理分中末线之全分)戊己为中率(即理分中末线之大分)己壬为末率(即理分中末线之小分)丙壬亦与戊己等为中率乃自壬至丙戊线作壬癸垂线平分丙戊边于癸遂成丙癸壬勾股形与辛乙己勾股形为同式形(辛乙己勾)(股形之辛角当乙己边为戊己边之半故辛乙巳勾股之辛角与丙癸壬勾股)(之丙角等癸角与乙角又同为直角则其余一角亦必等故为同式形)夫丙戊既为首率丙壬既为中率若以丙戊之半丙癸为首率则丙壬之半丙子亦为中率而丙壬即为倍中率丙癸壬勾股形与辛乙巳勾股形既为同式形则辛乙己勾股形之辛乙股与辛己弦之比必同于丙癸壬勾股形之丙癸股与丙壬弦之比是以辛乙半径为首率则辛己分角线亦即为倍中率也既得辛己分角线乃以辛己分角线为弦辛乙半径为股求得乙己勾倍之得戊己即圜外切五等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分五等边形为五三角形其辛乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切五等边形之每一边与半径相乘折半得辛戊巳一三角形之面积五倍之而得圜外切五等边形之总面积也又法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度乃以半径十万为一率三十六度之正切七万二千六百五十四为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分五厘九豪二丝四忽倍之得八寸七分一厘八豪四丝八忽为圜外切五等边形之毎一边既得五等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半五因之得一尺三十寸七十七分七十二厘为圜外切五等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚五等边形每一边之弧皆七十二度试将丙丁边折半于辛自圜心壬作壬辛半径线又作壬丙分角线割圜界于甲则甲辛弧为三十六度丙辛即三十六度之正切丙丁即三十六度正切之倍是故半径十万与三十六度之正切之比即如所设之半径六寸与丙辛之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之每一边七二六五四二五二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率八寸七分一厘八豪五丝一忽有余即圜外切五等边形之每一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积九○八一七八一六为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘有余即圜外切五等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切五等边形之面积一一五六三二八三四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺三十寸七十七分七十六厘即圜外切五等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切六等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸折半得半径六寸自乘得三十六寸三归四因得四十八寸开方得六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边乃以毎一边之六寸九分二厘八豪二丝有余与半径六寸相乘得四十一寸五十六分九十二厘有余折半得二十寸七十八分四十六厘有余六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛六等边形试自圜心至各角作分角线即分六等边形为六三角形其壬乙半径即每一三角形之中垂线而中垂线自乘之方为每边自乘之方之四分之三故以半径自乘三归四因开方即得圜外切六等边形之每一边也既得毎一边与半径相乘折半得壬戊己一三角形之面积六倍之而得圜外切六等边形之总面积也又法以全圜三百六十度六分之毎分得六十度折半得三十度乃以半径十万为一率三十度之正切五万七千七百三十五为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸四分六厘四豪一丝倍之得六寸九分二厘八豪二丝为圜外切六等边形之毎一边既得六等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半六因之得一尺二十四寸七十分七十六厘为圜外切六等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛六等边形毎一边之弧皆六十度试将丙丁边折半于壬自圜心癸作癸壬半径线又作癸丙分角线割圜界于子则子壬弧为三十度丙壬即三十度之正切丙丁即三十度正切之倍是故半径十万与三十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙壬之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之每一边五七七三五○二七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率六寸九分二厘八豪二丝有余即圜外切六等边形之毎一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积八六六○二五四○为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切六等边形之面积一一○二六五七八一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十四寸七十分七十六厘有余即圜外切六等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切七等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸求得内容七等边形之每一边为五寸二分零六豪六丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸四分零五豪八丝一忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余为圜外切七等边形之每一边爰以每一边之五寸七分七厘八豪八丝九忽有余与半径六寸相乘得三十四寸六十七分三十三厘有余折半得一十七寸三十三分六十六厘有余七因之得一尺二十一寸三十五分六十二厘有余即圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形先求得圜内容七等边形之毎一边为癸子又求得圜心至每一边之中垂线为丑寅以丑寅与癸子之比即同于丑乙与巳庚之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分七等边形为七三角形其丑乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切七等边形之每一边与半径相乘折半得丑己庚一三角形之面积七倍之而得圜外切七等边形之总面积也又法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余乃以半径十万为一率二十五度四十二分五十一秒之正切四万八千一百五十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸八分八厘九毫四丝二忽有余倍之得五寸七分七厘八毫八丝四忽有余为圜外切七等边形之每一边既得七等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半七因之得一尺二十一寸三十五分五十六厘有余为圜外切七等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬七等边形每一边之弧皆五十一度二十五分四十二秒有余试将丙丁边折半于癸自圜心子作子癸半径线又作子丙分角线割圜界于甲则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余丙癸即二十五度四十二分五十一秒有余之正切丙丁即二十五度四十二分五十一秒有余之正切之倍是故半径十万与二十五度四十二分五十一秒有余之正切之比即如所设之半径六寸与丙癸之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之毎一边四八一五七四六二为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率五寸七分七厘八豪八丝九忽有余即圜外切七等边形之每一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积八四二七五五五八为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切七等边形之面积一○七三○二九七四为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺二十一寸三十五分六十八厘有余即圜外切七等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切八等边形之毎一边及面积几何法以圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽有余内减圜径一尺二寸余四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边乃以每一边之四寸九分七厘零五丝六忽有余与半径六寸相乘得二十九寸八十二分三十三厘有余折半得一十四寸九十一分一十六厘有余八因之得一尺一十九寸二十九分二十八厘有余即圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形试依甲乙圜径度作子丑寅夘正方形又作子寅对角斜线于子寅对角斜线内减与甲乙圜径相等之辰己余子辰巳寅两段即与圜外切八等边形之丙丁一边相等也何则丙子丁勾股形因子寅斜线平分为子辰丙子辰丁两勾股形与原形为同式形(子辰丙勾股形之辰角与丙子丁勾股形之子)(角同为直角又同用一丙角其余一角必等故为同式形)丙子既与子丁等子辰必与丙辰等而为丙丁之一半则子辰巳寅两段亦必与丙丁一边等故以圜径自乘倍之开方而得对角斜线于斜线内减圜径即圜外切八等边形之毎一边也又自圜心至各角作分角线即分八等边形为八三角形其午乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切八等边形之每一边与半径相乘折半得午己庚一三角形之面积八倍之而得圜外切八等边形之总面积也又法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分乃以半径十万为一率二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸四分八厘五豪二丝六忽倍之得四寸九分七厘零五丝二忽为圜外切八等边形之毎一边既得八等边形之每一边乃以半径与每一边之数相乘折半八因之得一尺一十九寸二十九分二十四厘有余为圜外切八等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸八等边形每一边之弧皆四十五度试将丙丁边折半于子自圜心五作丑子半径线又作丑丙分角线割圜界于寅则寅子弧为二十二度三十分丙子即二十二度三十分之正切丙丁即二十二度三十分之正切之倍是故半径十万与二十二度三十分之正切之比即如所设之半径六寸与丙子之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之毎一边四一四二一三五六为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸九分七厘零五丝六忽有余即圜外切八等边形之毎一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积八二八四二七一二为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切八等边形之面积一○五四七八六一七为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十九寸二十九分三十五厘有余即圜外切八等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切九等边形之毎一边及面积几何法以圜径一尺二寸求得内容九等边形之毎一边为四寸一分零四豪二丝二忽有余又求得自圜心至毎一边之中垂线为五寸六分三厘八豪一丝五忽有余乃以中垂线之数为一率毎一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝二忽有余为圜外切九等边形之毎一边爰以毎一边之四寸三分六厘七豪六丝二忽有余与半径六寸相乘得二十六寸二十分五十七厘有余折半得一十三寸一十分二十八厘有余九因之得一尺一十七寸九十二分五十七厘有余即圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形先求得圜内容九等边形之每一边为丑寅又求得圜心至每一边之中垂线为夘辰以卯辰与丑寅之比即同于卯乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分九等边形为九三角形其卯乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切九等边形之毎一边与半径相乘折半得卯庚辛一三角形之面积九倍之而得圜外切九等边形之总面积也又法以全圜三百六十度九分之毎分得四十度折半得二十度乃以半径十万为一率二十度之正切三万六千三百九十七为二率今所设之半径六寸为三率求得四率二寸一分八厘三豪八丝二忽倍之得四寸三分六厘七豪六丝四忽为圜外切九等边形之每一边既得九等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半九因之得一尺一十七寸九十二分六十二厘有余为圜外切九等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子九等边形每一边之弧皆四十度试将丙丁边折半于丑自圜心寅作寅丑半径线又作寅丙分角线割圜界于甲则甲丑弧为二十度丙丑即二十度之正切丙丁即二十度之正切之倍是故半径十万与二十度之正切之比即如所设之半径六寸与丙丑之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之每一边三六三九七○二四为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率四寸三分六厘七豪六丝四忽有余即圜外切九等边形之每一边也又用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积八一八九三三○三为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十三厘有余即圜外切九等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切九等边形之面积一○四二六九七九一为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十七寸九十二分六十五厘有余即圜外切九等边形之面积也设如圜径一尺二寸求外切十等边形之每一边及面积几何法以圜径一尺二寸求得内容十等边形之毎一边为三寸七分零八豪二丝有余又求得自圜心至每一边之中垂线为五寸七分零六豪三丝三忽有余乃以中垂线之数为一率每一边之数为二率今所设之半径六寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余为圜外切十等边形之毎一边爰以毎一边之三寸八分九厘九豪零三忽有余与半径六寸相乘得二十三寸三十九分四十一厘有余折半得一十一寸六十九分七十厘有余十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘有余即圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛壬癸子丑十等边形先求得圜内容十等边形之毎一边为寅卯又求得圜心至每一边之中垂线为辰巳以辰巳与寅卯之比即同于辰乙与庚辛之比为相当比例四率也又自圜心至各角作分角线即分十等边形为十三角形其辰乙中垂线即圜之半径故以所得圜外切十等边形之每一边与半径相乘折半得辰庚辛一三角形之面积十倍之而得圜外切十等边形之总面积也又法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度乃以半径十万为一率十八度之正切三万二千四百九十二为二率今所设之半径六寸为三率求得四率一寸九分四厘九豪五丝二忽倍之得三寸八分九厘九豪零四忽为圜外切十等边形之每一边既得十等边形之毎一边乃以半径与毎一边之数相乘折半十因之得一尺一十六寸九十七分一十二厘为圜外切十等边形之面积也如图甲乙圜径一尺二寸外切丙丁戊巳庚辛壬癸子丑十等边形毎一边之弧皆三十六度试将丙丁边折半于寅自圜心卯作卯寅半径线又作卯丙分角线割圜界于辰则辰寅弧为十八度丙寅即十八度之正切丙丁即十八度之正切之倍是故半径十万与十八度之正切之比即如所设之半径六寸与丙寅之半边之比既得半边倍之即全边也又用求圜外各形之一边之定率比例以定率之圜径一○○○○○○○○为一率圜外切十等边形之每一边三二四九一九七○为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率三寸八分九厘九豪零三忽有余即圜外切十等边形之每一边也乂用求圜外各形之面积之定率比例以定率之圜径自乘之正方面积一○○○○○○○○为一率圜外切十等边形之面积八一二二九九二四为二率今所设之圜径一尺二寸自乘得一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十厘有余即圜外切十等边形之面积也又用圜面积之定率比例以定率之圜面积一○○○○○○○○为一率圜外切十等边形之面积一○三四二五一五二为二率今所设之圜径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余为三率求得四率一尺一十六寸九十七分一十厘有余即圜外切十等边形之面积也御制数理精蕴下编卷二十一
## 下编卷二十二
钦定四库全书御制数理精蕴卷二十二面部十二各等边形更面形各等边形设如五等边形每边一尺二寸问面积㡬何法以全圜三百六十度五分之每分得七十二度折半得三十六度爰以三十六度之正弦五万八千七百七十九为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺零二分零七豪七丝二忽有余为五等边形外切圜之半径或用求圜内容五等边形之一边之定率比例以定率之圜内容五等边形之每边五八七七八五二五为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形外切圜之半径乃以此半径为弦五等边形之每边折半为勾求得股八寸二分五厘八豪二丝七忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线或以三十六度之正弦五万八千七百七十九为一率三十六度之余弦八万零九百零二为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪二丝五忽有余为五等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得四十九寸五十四分九十厘有余五因之得二尺四十七寸七十四分五十厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为七十二度将甲乙边折半于己自圜心庚作庚己辛半径线遂平分甲乙弧于辛则甲辛弧为三十六度甲己即三十六度之正弦庚己即三十六度之余弦是故三十六度之正弦与半径十万之比即如今所设之每边之半甲己与所得之半径甲庚之比又三十六度之正弦与三十六度之余弦之比即如今所设之每边之半甲己与所得之垂线庚己之比也(此即圜内容五等边形之法而转用之也)又法以三十六度之正切七万二千六百五十四为一率半径十万为二率今所设之五等边形之每边之半六寸为三率求得四率八寸二分五厘八豪三丝二忽有余为五等边形内容圜之半径或用求圜外切五等边形之一边之定率比例以定率之圜外切五等边形之每边七二六五四二五二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺六寸五分一厘六豪五丝八忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝九忽有余为五等边形内容圜之半径即五等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十七厘有余为五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形试作一内容圜形自甲角过圜心己作甲己庚线遂平分丙丁边于庚则丙庚即三十六度之正切故以三十六度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丙庚与所得之内容圜半径己庚之比也(此即圜外切五等边形之法而转用之也)又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即五等边形两角相对之斜线乃以此斜线为弦每边之半为勾求得股一尺八寸四方六厘六豪零九忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之和(即五等边形自一角至每边正中之垂线)复以此垂线为首率每边之半为中率求得末率一寸九分四厘九豪五丝二忽为五等边形中心至每边正中之垂线与分角线之较乃以此较数与先所得和数相加得二尺零四分一厘五豪六丝一忽有余折半得一尺零二分零七豪八丝有余为五等边形之分角线(即五等边)(形外切圜之半径)仍以此较数与先所得和数相减得一尺六寸五分一厘六豪五丝七忽有余折半得八寸二分五厘八豪二丝八忽有余为五等边形中心至每边正中之垂线(即五等边形内容圜之半径)乃以此垂线与每边之半相乗五因之得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形巳为五等边形之中心试自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线成甲丙丁三角形又自丁角至乙角作丁乙线截甲丙线于庚则又成丁庚丙三角形此两三角形为同式形故甲丙线为首率(即理分中末线之全分)丙丁边为中率(即理)(分中末线之大分)而所截之甲庚一段与丙丁边等亦为中率庚丙一段即为末率(即理)(分中末线之小分)其比例为甲丙首率与丙丁中率之比即同于丙丁中率与庚丙末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得庚丙末率与甲庚中率相加即得甲丙首率为两角相对斜线爰用甲丙斜线为弦丙辛每边之半为勾求得用辛股为己辛中心至边之垂线与甲己分角线之和既得甲辛线则用连比例有首率中率求末率之法以甲辛为首率丙辛为中率求得辛壬末率即己辛中心至边之垂线与甲己分角线之较既得辛壬与甲辛相加折半得甲己即分角线又为五等边形外切圜之半径以辛壬与甲辛相减折半得己辛即中心至每边之垂线又为五等边形内容圜之半径既得己辛垂线与丙丁每边之半丙辛相乗得己丙丁一三角形之面积五倍之即五等边形之面积也又既得五等边形两角相对之斜线与自一角至每边正中之垂线求面积捷法以所得末率七寸四分一厘六豪四丝有余加每边之半六寸得一尺三寸四分一厘六豪四丝有余与自一角至每边正中之垂线一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余相乗得二尺四十七寸七十四分八十四厘有余即五等边形之面积也如图甲乙丙丁戊五等边形自甲角至丙丁二角作甲丙甲丁二线遂成甲丙丁甲乙丙甲戊丁三三角形又自甲至己作甲己垂线则甲己垂线与丙己每边之半相乗即得甲丙丁三角形面积又自乙角至甲丙线上作乙庚垂线则乙庚垂线与甲丙斜线相乗即得甲乙丙甲戊丁两三角形之共面积然无乙庚之数今试自丁角至乙角作丁乙斜线截甲丙斜线于辛则甲辛与丁辛等俱为中率乙辛与辛丙等俱为末率又成乙辛庚勾股形与甲丙己勾股形为同式形(丁辛丙三角形之辛角原与丙角等)(而与乙辛庚勾股形之辛角为对角其度亦等庚角与己角又同为直角其余)(一角亦必等所以为同式形)故甲丙为一率甲己为二率乙辛为三率乙庚为四率凡二率三率相乗与一率四率相乗之数等今以甲己垂线与乙辛末率相乗必与乙庚垂线与甲丙斜线相乗之积等是即甲乙丙甲戊丁两三角形之共积矣故以乙辛末率与丙己每边之半相加而与甲己垂线相乗即得甲乙丙丁戊五等边形之面积也又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率二尺四十七寸七十四分八十七厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而五等边形之每一边一○○○○所得之五等边形面积为一七二○四七七四一故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯己午正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁己庚正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊五等边形面积二尺四十七寸七十四分八十七厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之五等边形之每边七六二三八七○五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺五寸七分四厘零三忽有余为与五等边形面积相等之正方形每边之数自乗得二尺四十七寸七十四分八十五厘有余即五等边形之面积也葢五等边形之每边为七六二三八七○五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰五等边形之寅卯一边七六二三八七○五与己午未申正方形之午未一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方形之庚辛一边一尺五寸七分四厘零三忽有余之比既得庚辛一边自乗得己庚辛壬正方面积即与甲乙丙丁戊五等边形之面积为相等也如有五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形之面积一七二○四七七四一为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之每边与正方形之每边相等五等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率五等边形之每边七六二三八七○五为二率今所设之五等边形之面积二尺四十七寸七十四分八十七厘开方得一尺五寸七分四厘零三忽有余为三率求得四率一尺二寸即五等边形之每一边也此法葢因五等边形之面积与正方形之面积相等五等边形之每边与正方形之每边不同故以五等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也设如六等边形每边一尺二寸问面积几何法因六等边形之每边与分角线(即六等边)(形外切圜之半径)相等故即以每边一尺二寸为弦每边之半六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝有余为六等边形中心至每边正中之垂线(即六等边形内容圜)(之半径)乃以此垂线与每边之半相乗六因之得三尺七十四寸一十二分二十八厘有余即六等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己六等边形庚为六等边形之中心其庚丙分角线与丙丁类每边等故以庚丙为弦每边之半丙辛为勾求得庚辛股即六等边形中心至每边正中之垂线既得垂线与丙丁之半丙辛相乗得庚丙丁一三角形面积六倍之即六等边形之面积也又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率六等边形面积二五九八○七六二○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率三尺七十四寸一十二分二十九厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而六等边形之每一边一○○○○所得之六等边形面积为二五九八○七六二○故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边一○○○○自乗之寅卯午未正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己六等边形面积二五九八○七六二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每一边一尺二寸自乗之丙丁庚辛正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己六等边形面积三尺七十四寸一十二分二十九厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形之每边六二○四○三二四为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为与六等边形面积相等之正方形每边之数自乗得三尺七十四寸一十二分二十六厘有余即六等边形之面积也葢六等边形之每边为六二○四○三二四正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己六等边形之寅卯一边六二○四○三二四与午未申酉正方形之未申一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之丙丁一边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方形之辛壬一边一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余之比既得辛壬一边自乗得庚辛壬癸正方面积即与甲乙丙丁戊己六等边形之面积为相等也如有六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之六等边形之面积二五九八○七六二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之每边与正方形之每边相等六等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率六等边形之每边六二○四○三二四为二率今所设之六等边形之面积三尺七十四寸一十二分二十九厘开方得一尺九寸三分四厘二豪二丝五忽有余为三率求得四率一尺二寸即六等边形之每一边也此法葢因六等边形之面积与正方形之面积相等六等边形之每边与正方形之每边不同故以六等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也设如七等边形每边一尺二寸问面积几何法以全圜三百六十度七分之每分得五十一度二十五分四十二秒有余折半得二十五度四十二分五十一秒有余爰以二十五度四十二分五十一秒有余之正弦四万三千三百八十八为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺三寸八分二厘八豪七丝有余为七等边形外切圜之半径或用求圜内容七等边形之一边之定率比例以定率之圜内容七等边形之每边四三三八八三七四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺七寸六分五厘七豪一丝七忽有余折半得一尺三寸八分二厘八豪五丝八忽有余为七率边形外切圜之半径乃以此半径为弦七等边形之每边折半为勾求得股一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线或以二十五度四十二分五十一秒有余之正弦四万三千三百八十八为一率二十五度四十二分五十一秒有余之余弦九万零九十七为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝五忽有余为七等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得七十四寸七十五分五十五厘有余七因之得五尺二十三寸二十八分八十五厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为五十一度二十五分四十二秒有余将甲乙边折半于辛自圜心壬作壬辛癸半径线遂平分甲乙弧于癸则甲癸弧为二十五度四十二分五十一秒有余甲辛即二十五度四十二分五十一秒有余之正弦壬辛即二十五度四十二分五十一秒有余之余弦是故二十五度四十二分五十一秒有余之正弦与半径十万之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之半径甲壬之比又二十五度四十二分五十一秒有余之正弦与二十五度四十二分五十一秒有余之余弦之比即如今所设之每边之半甲辛与所得之垂线壬辛之比也(此即圜内容七等边形之法而转用之也)又法以二十五度四十二分五十一秒有余之正切四万八千一百五十七为一率半径十万为二率今所设之七等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺二寸四分五厘九豪二丝四忽有余为七等边形内容圜之半径或用求圜外切七等边形之一边之定率比例以定率之圜外切七等边形之每边四八一五七四六二为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺四寸九分一厘八豪二丝五忽有余折半得一尺二寸四分五厘九豪一丝二忽有余为七等边形内容圜之半径即七等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗七因之得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚七等边形试作一内容圜形自甲角过圜心辛作甲辛壬线遂平分丁戊边于壬则丁壬即二十五度四十二分五十一秒有余之正切故以二十五度四十二分五十一秒有余之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁壬与所得之内容圜半径辛壬之比也(此即圜外切七等边形之法而转用之也)又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率七等边形面积三六三三九一二四○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率五尺二十三寸二十八分三十三厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而七等边形之每一边一○○○○所得之七等边形面积为三六三三九一二四○故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰未申正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰己午七等边形面积三六三三九一二四○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊巳庚七等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊辛壬正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚七等边形面积五尺二十三寸二十八分三十三厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之七等边形之每边五二四五八一二六为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为与七等边形面积相等之正方形每边之数自乗得五尺二十三寸二十八分三十厘有余即七等边形之面积也葢七等边形之每边为五二四五八一二六正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰己午七等边形之卯辰一边五二四五八一二六与未申酉戌正方形之申酉一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚七等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之辛壬癸干正方形之壬癸一边二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余之比既得壬癸一边自乗得辛壬癸干正方面积即与甲乙丙丁戊己庚七等边形之面积为相等也如有七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之七等边形之面积三六三三九一二四○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之每边与正方形之每边相等七等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之七等边形之面积五尺二十三寸二十八分三十三厘开方得二尺二寸八分七厘五豪三丝八忽有余为三率求得四率一尺二寸即七等边形之每一边也此法葢因七等边形之面积与正方形之面积相等七等边形之每边与正方形之每边不同故以七等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也设如八等边形每边一尺二寸问面积几何法以全圜三百六十度八分之每分得四十五度折半得二十二度三十分爰以二十二度三十分之正弦三万八千二百六十八为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸六分七厘八豪八丝九忽有余为八等边形外切圜之半径或用求圜内容八等边形之一边之定率比例以定率之圜内容八等边形之每边三八二六八三四三为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺一寸三分五厘七豪五丝一忽有余折半得一尺五寸六分七厘八豪七丝五忽有余为八等边形之切圜之半径乃以此半径为弦八等边形之每边折半为勾求得股一尺四寸四分八厘五豪二丝七忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线或以二十二度三十分之正弦三万八千二百六十八为一率二十二度三十分之余弦九万二千三百八十八为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝一忽有余为八等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得八十六寸九十一分二十四厘有余八因之得六尺九十五寸二十九分九十二厘有余即八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十五度将甲乙边折半于壬自圜心癸作癸壬子半径线遂平分甲乙弧于子则甲子弧为二十二度三十分甲壬即二十二度三十分之正弦癸壬即二十二度三十分之余弦是故二十二度三十分之正弦与半径十万之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之半径甲癸之比又二十二度三十分之正弦与二十二度三十分之余弦之比即如今所设之每边之半甲壬与所得之垂线癸壬之比也(此即圜内容八等边形之法而转用之也)又法以二十二度三十分之正切四万一千四百二十一为一率半径十万为二率今所设之八等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺四寸四分八厘五豪四丝有余为八等边形内容圜之半径或用求圜外切八等边形之一边之定率比例以定率之圜外切八等边形之每边四一四二一三五六为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺八寸九分七厘零五丝六忽有余折半得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为八等边形内容圜之半径即八等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘有余为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形试作一内容圜形自圜心壬作壬癸中心至每边正中之垂线遂平分丁戊边于癸则丁癸即二十二度三十分之正切故以二十二度三十分之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半丁癸与所得之内容圜半径壬癸之比也(此即圜外切八等边形之法而转用之也)又法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开方得八寸四分八厘五豪二丝八忽有余与每边之半六寸相加得一尺四寸四分八厘五豪二丝八忽有余为自中心至每边正中之垂线乃以此垂线与每边之半相乗八因之得六尺九十五寸二十九分三十四厘为八等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛八等边形壬为八等边形之中心试将辛甲乙丙丁戊己庚四边俱引长相交遂成癸子丑寅正方形其四角丙子丁类勾股相等之四勾股形之弦即八等边形之每一边故以丙丁一边自乗折半开方得丙子或子丁于丙子内再加乙丙边之半卯丙得卯子与壬辰等即八等边形自中心至每边正中之垂线既得垂线与每边之半相乗八因之即得八等边形之面积也又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而八等边形之每一边一○○○○所得之八等边形面积为四八二八四二七一二故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边一○○○○自乗之卯辰申酉正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未八等边形面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之每一边一尺二寸自乗之丁戊壬癸正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形面积六尺九十五寸二十九分三十五厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之八等边形之每边四五五○八九八五为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为与八等边形面积相等之正方形每边之数自乗得六尺九十五寸二十九分三十五厘有余即八等边形之面积也葢八等边形之每边为四五五○八九八五正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未八等边形之卯辰一边四五五○八九八五与申酉戌亥正方形之酉戌一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之丁戊一边一尺二寸与今所得之癸干一边二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余之比既得癸干一边自乗得壬癸干坎正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛八等边形之面积为相等也如有八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之八等边形之面积四八二八四二七一二为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之每边与正方形之每边相等八等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率八等边形之每边四五五○八九八五为二率今所设之八等边形之面积六尺九十五寸二十九分三十五厘开方得二尺六寸三分六厘八豪四丝一忽有余为三率求得四率一尺二寸即八等边形之每一边也此法葢因八等边形之面积与正方形之面积相等八等边形之每边与正方形之每边不同故以八等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也设如九等边形每边一尺二寸问面积几何法以全圜三百六十度九分之每分得四十度折半得二十度爰以二十度之正弦三万四千二百零二为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺七寸五分四厘二豪八丝三忽有余为九等边形外切圜之半径或用求圜内容九等边形之一边之定率比例以定率之圜内容九等边形之每边三四二○二○一四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺五寸零八厘五豪六丝五忽有余折半得一尺七寸五分四厘二豪八丝二忽有余为九等边形外切圜之半径乃以此半径为弦九等边形之每边折半为勾求得股一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线或以二十度之正弦三万四千二百零二为一率二十度之余弦九万三千九百六十九为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝二忽有余为九等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得九十八寸九十分八十九厘有余九因之得八尺九十寸一十八分零一厘有余即九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为四十度将甲乙边折半于癸自圜心子作子癸丑半径线遂平分甲乙弧于丑则甲丑弧为二十度甲癸即二十度之正弦子癸即二十度之余弦是故二十度之正弦与半径十万之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之半径甲子之比又二十度之正弦与二十度之余弦之比即如今所设之每边之半甲癸与所得之垂线子癸之比也(此即圜内容九等边形之法而转用之也)又法以二十度之正切三万六千三百九十七为一率半径十万为二率今所设之九等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺六寸四分八厘四豪八丝七忽有余为九等边形内容圜之半径或用求圜外切九等边形之一边之定率比例以定率之圜外切九等边形之每边三六三九七○二四为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺二寸九分六厘九豪七丝二忽有余折半得一尺六寸四分八厘四豪八丝六忽有余为九等边形内容圜之半径即九等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗九因之得八尺九十寸一十八分一十九厘有余为九等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形试作一内容圜形自甲角过圜心癸作甲癸子线遂平分戊巳边于子则戊子即二十度之正切故以二十度之正切与半径十万之比同于今所设之每边之半戊子与所得之内容圜半径癸子之比也(此即圜外切九等边形之法而转用之也)又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率九等边形面积六一八一八二四二○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率八尺九十寸一十八分二十六厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而九等边形之每一边一○○○○所得之九等边形面积为六一八一八二四二○故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰已一边一○○○○自乗之辰已酉戌正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰巳午未申九等边形面积六一八一八二四二○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己癸干正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形面积八尺九十寸一十八分二十六厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之九等边形之每边四○二一九九六三为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之每边一尺二寸为三率求得四率二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为与九等边形面积相等之正方形每边之数自乗得八尺九十寸一十八分二十一厘有余即九等边形之面积也葢九等边形之每边为四○二一九九六三正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申九等边形之辰巳一边四○二一九九六三与酉戌亥金正方形之戌亥一边一○○○○○○○○之比即同于今所设甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之戊已一边一尺二寸与今所得之癸干坎艮正方形之干坎一边二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余之比既得干坎一边自乗得癸干坎艮正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬九等边形之面积为相等也如有九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之九等边形之面积六一八一八二四二○为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之每边与正方形之每边相等九等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率九等边形之每边四○二一九九六三为二率今所设之九等边形之面积八尺九十寸一十八分二十六厘开方得二尺九寸八分三厘五豪九丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即九等边形之每一边也此法葢因九等边形之面积与正方形之面积相等九等边形之每边与正方形之每边不同故以九等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也形每边一尺二寸问面积几何法以全圜三百六十度十分之每分得三十六度折半得十八度爰以十八度之正弦三万零九百零二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪二丝一忽有余为十等边形外切圜之半径或用求圜内容十等边形之一边之定率比例以定率之圜内容十等边形之每边三○九○一六九九为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺八寸八分三厘二豪八丝一忽有余折半得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为十等边形外切圜之半径乃以此半径为弦十等边形之每边折半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线或以十八度之正弦三万零九百零二为一率十八度之余弦九万五千一百零六为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘五豪九丝八忽有余为十等边形之中心至每边正中之垂线既得此垂线乃与每边折半之数相乗得一尺一十寸七十九分五十八厘有余十因之得一十一尺零七寸九十五分八十厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一外切圜形则每边之弧皆为三十六度将甲乙边折半于子自圜心丑作丑子寅半径线遂平分甲乙弧于寅则甲寅弧为十八度甲子即十八度之正弦丑子即十八度之余弦是故十八度之正弦与半径十万之比即如今所设之每边之半甲子与所得之半径甲丑之比又十八度之正弦与十八度之余弦之比即如今所设之每边之半甲子与所得之垂线丑子之比也(此即圜内容十等边形之法而转用之也)又法以十八度之正切三万二千四百九十二为一率半径十万为二率今所设之十等边形之每边之半六寸为三率求得四率一尺八寸四分六厘六豪零八忽有余为十等边形内容圜之半径或用求圜外切十等边形之一边之定率比例以定率之圜外切十等边形之每边三二四九一九七○为一率圜径一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺六寸九分三厘二豪二丝有余折半得一尺八寸四分六厘六豪一丝有余为十等边形内容圜之半径即十等边形之中心至每边正中之垂线乃与每边折半之数相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分六十厘有余为十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形试作一内容圜形自中心子至每边之正中作子丑垂线遂平分戊巳边于丑则戊丑即十八度之正切故以十八度之正切与半径十万之比同于今所设之毎边之半戊丑与所得之内容圜半径子丑之比也(此即圜外切十等边形之法而转用之也)又法用连比例三率有中率求末率之法以每边一尺二寸为中率求得末率七寸四分一厘六豪四丝有余(中率求末率即)(如首率求中率也)乃以末率与中率相加得一尺九寸四分一厘六豪四丝有余为首率即十等边形之分角线(即十等边形外切圜之半)(径)乃以分角线为弦每边之半为勾求得股一尺八寸四分六厘六豪零九忽有余为十等边形自中心至每边正中之垂线(即十等边形内容圜之半径)乃以此垂线与每边之半相乗十因之得一十一尺零七寸九十六分五十四厘有余即十等边形之面积也如图甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形子为十等边形之中心试自中心子至戊巳二角作子戊子巳二线成子戊已三角形又自已角至丙角作巳丙线截子戊线于丑则又成巳丑戊三角形与子戊巳三角形为同式形故子戊线为首率(即理分中末线之全分)戊已边为中率(即理分中末线之大分)而所截之子丑一段与戊巳边等亦为中率丑戊一段即为末率(即理分中末线之小分)其比例为子戊首率与戊巳中率之比即同于戊已中率与丑戊末率之比故按连比例三率有中率求末率之法求得丑戊末率与子丑中率相加即得子戊首率为分角线又为十等边形外切圜之半径以子戊为弦戊巳边之半戊寅为勾求得子寅股即十等边形中心子至每边正中之垂线又为十等边形内容圜之半径既得子寅垂线与戊已边之半戊寅相乗得子戊巳一三角形之面积十因之即十等边形之面积也又法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率十等边形面积七六九四二○八八三为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为三率求得四率一十一尺零七寸九十六分六十厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每一边为一○○○○则其自乗之正方面积为一○○○○○○○○而十等边形之每一边一○○○○所得之十等边形面积为七六九四二○八八三故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边一○○○○自乗之辰巳戌亥正方面积一○○○○○○○○与子丑寅卯辰已午未申酉十等边形面积七六九四二○八八三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之每一边一尺二寸自乗之戊己干坎正方面积一尺四十四寸与今所得之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形面积一十一尺零七寸九十六分六十厘有余之比也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之十等边形之每边三六○五一○五八为一率正方形之每边一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之每边一尺二寸为三率求得四率三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为十等边形面积相等之正方形每边之数自乗得一十一尺零七寸九十六分五十七厘有余即十等边形之面积也葢十等边形之每边为三六○五一○五八正方形之每边为一○○○○○○○○则两面积相等故以子丑寅卯辰巳午未申酉十等边形之辰巳一边三六○五一○五八与戌亥金木正方形之亥金一边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之戊巳一边一尺二寸与今所得之干坎艮震正方形之坎艮一边三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余之比既得坎艮一边自乗得干坎艮震正方面积即与甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十等边形之面积为相等也如有十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘求每边之数则用边线相等面积不同之定率比例以定率之十等边形之面积七六九四二○八八三为一率正方形之面积一○○○○○○○○为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘为三率求得四率一尺四十四寸开方得一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之每边与正方形之每边相等十等边形之面积与正方形之面积不同故先定为面与面之比例既得面积而后开方得线也又法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率十等边形之每边三六○五一○五八为二率今所设之十等边形之面积一十一尺零七寸九十六分六十厘开方得三尺三寸二分八厘六豪一丝二忽有余为三率求得四率一尺二寸即十等边形之每一边也此法葢因十等边形之面积与正方形之面积相等十等边形之每边与正方形之每边不同故以十等边形之面积先开方既得方边而后为线与线之比例也更面形设如正方形每边一尺二寸今欲作与正方形积相等之圜面积问径几何法用面积相等边线不同之定率比例以定率之正方形之每边一○○○○○○○○为一率圜径一一二八三七九一六为二率今所设之正方形之每边一尺二寸为三率求得四率一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余即所求之圜径也葢正方形之每边为一○○○○○○○○圜径为一一二八三七九一六则两面积相等故以子丑寅卯正方形之每边一○○○○○○○○与辰巳圜径一一二八三七九一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方形之每边一尺二寸与今所得之戊巳圜径一尺三寸五分四厘零五丝四忽有余之比而两面积亦为相等也设如正方形面积一尺四十四寸今欲作与正方边相等之圜径问积几何法用边线相等面积不同之定率比例以定率之正方面积一○○○○○○○○为一率圜面积七八五三九八一六为二率今所设之正方面积一尺四十四寸为三率求得四率一尺一十三寸零九分七十三厘有余即所求之圜面积也葢正方面积为一○○○○○○○○圜面积为七八五三九八一六则正方形之每边与圜径相等故以子丑寅卯正方面积一○○○○○○○○与辰巳圜面积七八五三九八一六之比即同于今所设之甲乙丙丁正方面积一尺四十四寸与今所得之戊巳圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘有余之比而正方形之每边与圜径亦为相等也设如圜径一尺二寸今欲作与圜面积相等之三等边形问每一边几何法用面积相等边线不同之定率比例以定率之圜径一一二八三七九一六为一率三等边形之每边一五一九六七一三七为二率今所设之圜径一尺二寸为三率求得四率一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余即三等边形之每一边也葢圜径为一一二八三七九一六三等边形之每边为一五一九六七一三七则两面积相等故以子丑圜径一一二八三七九一六与寅卯辰三等边形之每边一五一九六七一三七之比即同于今所设之甲乙圜径一尺二寸与今所得之丙丁戊三等边形之毎边一尺六寸一分六厘一豪二丝八忽有余之比而两面积亦为相等也设如圜面积一尺四十四寸今欲作与圜径相等之五等边形问积几何法用边线相等面积不同之定率比例以定率之圜面积七八五三九八一六为一率五等边形面积一七二○四七七四一为二率今所设之圜面积一尺四十四寸为三率求得四率三尺一十五寸四十四分三十五厘有余即五等边形之面积也葢圜面积为七八五三九八一六五等边形面积为一七二○四七七四一则圜径与五等边形之每边相等故以子丑圜面积七八五三九八一六与寅卯辰巳午五等边形面积一七二○四七七四一之比即同于今所设之甲乙圜面积一尺四十四寸与今所得之丙丁戊己庚五等边形面积三尺一十五寸四十四分三十五厘有余之比而圜径与五等边形之每边亦为相等也设如六等边形每边一尺二寸今欲作与六等边形面积相等之七等边形问每一边几何法用面积相等边线不同之定率比例以定率之六等边形每边六二○四○三二四为一率七等边形之每边五二四五八一二六为二率今所设之六等边形每边一尺二寸为三率求得四率一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余即七等边形之每一边也葢六等边形每边为六二○四○三二四七等边形毎边为五二四五八一二六则两面积相等故以子丑寅卯辰巳六等边形之每边六二○四○三二四与午未申酉戌亥金七等边形之每边五二四五八一二六之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己六等边形之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸干坎艮七等边形之每边一尺零一分四厘六豪五丝八忽有余之比而两面积亦为相等也设如五等边形面积一尺四十四寸今欲作与五等边形每边相等之八等边形问积几何法用边线相等面积不同之定率比例以定率之五等边形面积一七二○四七七四一为一率八等边形面积四八二八四二七一二为二率今所设之五等边形面积一尺四十四寸为三率求得四率四尺零四寸一十二分八十二厘有余即八等边形之面积也葢五等边形面积为一七二○四七七四一八等边形面积为四八二八四二七一二则五等边形之每边与八等边形之每边相等故以子丑寅卯辰五等边形之面积一七二○四七七四一与巳午未申酉戌亥金八等边形之面积四八二八四二七一二之比即同于今所设之甲乙丙丁戊五等边形之面积一尺四十四寸与今所得之己庚辛壬癸干坎艮八等边形之面积四尺零四寸一十二分八十二厘有余之比而五等边形之每边与八等边形之每边亦为相等也御制数理精蕴下编卷二十二
## 下编卷二十三
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十三体部一立方立方立方者等边六面之体积也以形而言虽为六面十二边之所合以积而言则为自乗再乗之数因其纵横与髙俱相等故十二边皆如一线得其一边而十二边莫不相同其积之也自线而面自面而体次第相乗而后得其全积其开之也必次第析之而后得其一边是故古人立为方廉长廉之制每积三位而得边之一位所谓一千商十定无疑三万才为三十余九十九万不离十百万方为一百推是也其法先从一角而剖其体以自一至九自乗再乗之数为方根与实相审量其足减者而定之是为初商初商减尽无余则方根止一位若有余实即初商方积外别成一缺角三面磬折体其附初商之三面者谓之方廉其附初商之三边者谓之长廉其附初商之角者谓之隅廉有三故以三为廉法隅惟一而隅之三面即符于三长廉之端合三方廉三长廉一隅始合次商之数故商除之法以初商自乗三因为三方廉面积视初商余实足方廉面积几倍即定为次商乃以次商乗三长廉为三长廉面积又以次商自乗为小隅面积共合三方廉三长廉及一小隅面积以次商数乗之为次商廉隅之共积所谓初商方积外别成一缺角三面磬折体者是也如次商外尚有不尽之实则初商次商方积外仍为三方廉三长廉一小隅又成一三面磬折体但较前方廉愈大长廉愈长而隅愈小耳凡有几层廉隅俱照次商之例逓析之实尽而止如开至多位实仍不尽者必非自乗再乗之正数此开立方之定法也体形不一而容积皆以立方为准故立方为算诸体之本诸体必通之立方而法乃可施也设如正方体积一百二十五尺开立方问毎一边数几何法列正方体积一百二十五尺自末位起算每方积三位定方边一位今积止有三位则于五尺上作记定单位以自一至九自乗再乗之方根数与之相审知与五尺自乗再乗之数恰合乃以五尺书于方积五尺之上而以五尺自乗再乗之一百二十五尺书于方积原数之下相减恰尽即得开方之数为五尺也如图甲乙丙丁戊己正方体形毎边皆五尺其中函一尺小方体一百二十五自边计之为五尺自面计之则为五尺自乗之二十五尺自通体计之则为五尺自乗再乗之一百二十五尺以积开之则与五尺自乗再乗之数相准故商除之恰尽也盖方积为三位是以方边止一位方积即五尺自乗再乗之数别无廉隅故不用次商如有余实则自成廉隅而用次商矣设如正方体积一丈七百二十八尺开立方问每一边数几何法列正方体积一丈七百二十八尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边末位余积七百二十八尺续书于下(大凡以余积续书于下者每取方积之三位以当方边之一位也)为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除方积七百二十八尺足二尺即定次商为二尺书于方积八尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减恰尽是开得一丈二尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形毎边皆一丈二尺其中函积一丈七百二十八尺是为共积其先从一角所分戊乙庚己方体每边一丈即初商数其中函积亦一丈即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边一丈即初商数其厚二尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边一丈亦即初商数其阔其厚皆二尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其卯形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为二尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉夘一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积此立方廉隅之法所由生也三商以后皆倣此逓析开之又法列积一丈七百二十八尺自末位起算作记定位同前乃截一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合则定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽乃以方边末位余积七百二十八尺续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积三百尺除方积七百二十八尺足二尺则定次商为二尺书于方积八尺之上合初商共一丈二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺与原积符合相减恰尽即定立方边为一丈二尺也此法止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗得数与原积相减虽为省去长廉小隅一层然方边位数少者还为简易至于方边位数过四位以上则累次自乗再乗反比逓析之理为烦矣设如正方体积一十四万八千八百七十七尺开立方问每一边数几何(此题正方体积之六位皆以尺命位似与前题分丈尺者)(不同然其取方积三位续书于下其末位即命为单位立算则与丈尺同也)法列正方体积一十四万八千八百七十七尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于七尺上定单位八千尺上定十位其一十四万八千尺为初商积以初商本位计之则八千尺为初商积之单位而一十四万八千尺为一百四十八止与五自乗再乗之数相准即定初商为五书于方积八千尺之上而以五自乗再乗之一百二十五书于初商积之下相减余二万三千尺爰以方边第二位余积八百七十七尺续书于下共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积乃以初商之五作五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积以除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上而以初商之五十尺与次商之三尺相乗得一百五十尺三因之得四百五十尺为次商三长廉面积复以次商三尺自乗得九尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七千九百五十九尺为廉隅共法书于余积之左以次商之三尺乗之得二万三千八百七十七尺与余积相减恰尽是开得五十三尺为正方体积每一边之数也如图甲乙丙丁正方体形每边五十三尺其中函积一十四万八千八百七十七尺是为共积其从一角所分戊乙庚己方体每边五十尺即初商边数其中函积一十二万五千尺即初商自乗再乗之数所余辛形壬形癸形三方体为三方廉其每边五十尺即初商数其厚三尺即次商数而子形丑形寅形三长方体为三长廉其每边五十尺亦即初商数其阔其厚皆三尺亦即次商数方廉有三故三倍初商之自乗为廉法以定次商其邜形一小正方体为隅其长与阔与厚皆同为三尺亦即次商数故以次商为隅法合辛壬癸三方廉子丑寅三长廉卯一方隅而成一磬折体形附于初商自乗再乗之方体三面而成一甲乙丙丁之总正方体积也又法列积一十四万八千八百七十七尺自末位起算作记定位同前乃截一十四万八千尺为初商积与五十自乗再乗之数相准则定初商五十尺书于方积八千尺之上而以五十自乗再乗之一十二万五千尺书于原积一十四万八千之下相减余二万三千尺乃合第二位积八百七十七尺共二万三千八百七十七尺为次商廉隅之共积而以初商五十尺自乗得二千五百尺三因之得七千五百尺为次商三方廉面积即以三方廉面积除方积二万三千八百七十七尺足三尺即定次商为三尺书于方积七尺之上合初商共得五十三尺自乗再乗得一十四万八千八百七十七尺与原积符合相减恰尽即定立方边为五十三尺也此法亦止用三方廉面积除立方体积得次商数即并初商数自乗再乗以减原积也设如正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸开立方问每一边数几何法列正方体积一丈八百六十尺八百六十七寸自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记即于七寸上定寸位空尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百六十尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百六十尺足二尺即定次商为二尺书于方积空尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉面积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与次商廉隅共积相减余一百三十二尺即一十三万二千寸复以方边第三位余积八百六十七寸续书于下共一十三万二千八百六十七寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十三万二千八百六十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得一丈二尺三寸为正方体积每一边之数也设如正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺开立方问每一边数几何法列正方体积九千四百八十一万八千八百一十六尺自末位起算每方积三位定方边一位故隔二位作记乃于六尺上定单位八千尺上定十位四百万尺上定百位其九千四百万尺为初商积以初商本位计之则四百万尺为初商积之单位而九千四百万尺为九十四止与四自乗再乗之数相准即定初商为四书于方积四百万尺之上而以四自乗再乗之六十四书于初商积之下相减余三千万尺爰以方边第二位余积八十一万八千尺续书于下共三十零八十一万八千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则八千尺为次商积之单位而三千零八十一万八千尺为三万零八百一十八而初商之四即为四十乃以初商之四十自乗得一千六百三因之得四千八百为次商三方廉面积以除三万零八百一十八足五倍即定次商为五书于方积八千尺之上而以初商之四十与次商之五相乗得二百三因之得六百为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五千四百二十五为次商廉隅共法书于余积之左以次商之五乗之得二万七千一百二十五与次商廉隅共积相减余三百六十九万三千尺复以方边末位余积八百一十六尺续书于下共三百六十九万三千八百一十六尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商之四百五十尺自乗得二十万零二千五百三因之得六十万零七千五百为三商三方廉面积以除三百六十九万三千八百一十六尺足六倍即定三商为六书于方积六尺之上而以初商次商之四百五十与三商之六相乗得二千七百三因之得八千一百为三商三长廉面积复以三商之六自乗得三十六为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六十一万五千六百三十六为三商廉隅共法书于余积之左以三商之六乗之得三百六十九万三千八百一十六与三商廉隅共积相减恰尽是开得四百五十六尺为正方体积毎一边之数也设如正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸开立方问每一边数几何法列正方体积三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸自末位起算毎隔二位作记即于七寸上定寸位八尺上定尺位七丈上定丈位其三百四十七丈为初商积与七丈自乗再乗之数相准即定初商为七丈书于方积七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四十三丈书于初商积之下相减余四丈即四千尺爰以方边第二位余积四百二十八尺续书于下共四千四百二十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺三因之得一万四千七百尺为次商三方廉面积以除方积四千四百二十八尺其数不足是次商为空位也乃书一空于方积八尺之上以存次商之位复以方边末位余积九百二十七寸续书于下共四千四百二十八尺九百二十七寸即四百四十二万八千九百二十七寸为三商廉隅之共积仍以次商三方廉面积一万四千七百尺作一百四十七万寸为廉法以除四百四十二万八千九百二十七寸足三寸即定三商为三寸书于方积七寸之上又以初商之七丈为七百寸与三商之三寸相乗得二千一百寸三因之得六千三百寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一百四十七万六千三百零九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得四百四十二万八千九百二十七寸与三商廉隅共积相减恰尽是开得七丈零三寸为正方体积毎一边之数也此法商出之方边有空位凡廉法除余积而数不足者皆依此例推之设如正方体积三千九百三十万四千尺开立方问每一边数几何法列正方体积三千九百三十万四千尺补三空位以足其分自末空位起算每隔二位作记乃于空尺上定单位四千尺上定十位九百万尺上定百位其三千九百万尺为初商积以初商本位计之则九百万尺为初商积之单位而三千九百为三十九止与三自乗再乗之数相准即定初商为三书于方积九百万尺之上而以三自乗再乗之二十七书于初商积之下相减余一千二百万尺爰以方边第二位余积三十万四千尺续书于下共一千二百三十万四千尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四千尺为次商积之单位而一千二百三十万四千尺为一万二千三百零四而初商之三即为三十乃以初商之三十自乗得九百三因之得二千七百为次商三方廉面积以除余积一万二千三百零四足四倍即定次商为四书于方积四千尺之上又以初商之三十与次商之四相乗得一百二十三因之得三百六十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零七十六为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四乗之得一万二千三百零四与余积相减恰尽是开得三百四十尺为正方体积每一边之数也此法方积之末有三空位故所得方边之末亦补一空位凡设数未至单位者皆依此例补足位分然后开之设如正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分开立方问每一边数几何法列正方体积一丈八百七十九尺零八十寸九百零四分自末位起算毎隔二位作记于四分上定分位空寸上定寸位九尺上定尺位一丈上定丈位其一丈为初商积与一丈自乗再乗之数相合即定初商为一丈书于方积一丈之上而以一丈自乗再乗之一丈书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积八百七十九尺续书于下为次商廉隅之共积乃以初商之一丈作一十尺自乗得一百尺三因之得三百尺为次商三方廉面积以除八百七十九尺足二尺即定次商为二尺书于方积九尺之上而以初商之一十尺与次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺为次商三长廉而积复以次商之二尺自乗得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二尺乗之得七百二十八尺与余积相减仍余一百五十一尺即一十五万一千寸又以方边第三位余积八十寸续书于下共一十五万一千零八十寸为三商廉隅之共积乃以初商次商之一丈二尺作一百二十寸自乗得一万四千四百寸三因之得四万三千二百寸为三商三方廉面积以除一十五万一千零八十寸足三寸即定三商为三寸书于方积空寸之上而以初商次商之一百二十寸与三商之三寸相乗得三百六十寸三因之得一千零八十寸为三商三长廉面积复以三商之三寸自乗得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万四千二百八十九寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之三寸乗之得一十三万二千八百六十七寸与余积相减仍余一万八千二百一十三寸即一千八百二十一万三千分又以方边第四位余积九百零四分续书于下共一千八百二十一万三千九百零四分为四商廉隅之共积乃以初商次商三商之一百二十三寸作一千二百三十分自乗得一百五十一万二千九百分三因之得四百五十三万八千七百分为四商三方廉面积以除一千八百二十一万三千九百零四分足四分即定四商为四分书于方积四分之上而以初商次商三商之一千二百三十分与四商之四分相乗得四千九百二十分三因之得一万四千七百六十分为四商三长廉面积复以四商之四分自乗得一十六分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百五十五万三千四百七十六分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之四分乗之得一千八百二十一万三千九百零四分与余积相减恰尽是开得一丈二尺三寸四分为正方体积每一边之数也设如正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺开立方问毎一边数几何法列正方体积八十亿六千零一十五万零一百二十五尺自末位起算每隔二位作记于五尺上定单位空千尺上定十位空百万尺上定百位八十亿尺上定千位其八十亿尺为初商积以初商本位计之则八十亿尺为初商积之单位而八十亿尺为八止与二自乗再乗之数相合即定初商为二书于方积八十亿尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减恰尽爰以方边第二位余积六千万尺续书于下为次商廉隅之共积以次商本位计之则空百万尺为次商之单位而六千万尺为六十而初商之二即为二十故以初商之二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除六十其数不足是次商为空位乃书一空于方积空百万尺之上以存次商之位复以方边第三位余积一十五万尺续书于下共六千零一十五万尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则空千尺为三商之单位而六千零一十五万尺为六万零一百五十而初商之二即为二百次商之空即为空十故以初商次商之二空作二百自乗得四万三因之得十二万为三商三方廉面积以除六万零一百五十其数仍不足是三商亦为空位乃再书一空于方积空千尺之上以存三商之位复以方边末位余积一百二十五尺续书于下共六千零一十五万零一百二十五尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之二千空百空十自乗得四百万尺三因之得一千二百万尺为四商三方廉面积以除六千零一十五万零一百二十五尺足五尺即定四商为五尺书于方积五尺之上而以初商之二千尺与四商之五尺相乗得一万尺三因之得三万尺为四商三长廉面积复以四商之五尺自乗得二十五尺为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千二百零三万零二十五尺为四商廉隅共法书于余积之左以四商之五尺乗之得六千零一十五万零一百二十五尺与余积相减恰尽是开得二千零五尺为正方体积每一边之数也此法商出之方边有二空位凡开立方遇此类者皆依此例推之设如正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺开立方问每一边数几何法列正方体积三十二亿九千四百六十四万六千二百七十二尺自末位起算每隔二位作记于二尺上定单位六千尺上定十位四百万尺上定百位三十亿尺上定千位其三十亿尺为初商积以初商本位计之则三十亿尺为初商积之单位而三十亿尺为三止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积三十亿尺之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余二十亿尺爰以方边第二位余积二亿九千四百万尺续书于下共二十二亿九千四百万尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则四百万尺为次商积之单位而二十二亿九千四百万尺为二千二百九十四而初商之一即为一十乃以初商之一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除二千二百九十四足七倍因定次商为七而以初商之一十与次商之七相乗得七十三因之得二百一十为次商三长廉面积复以次商之七自乗得四十九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十九为次商廉隅共法以次商之七乗之得三千九百一十三大于次商廉隅之共积是次商不可商七也乃改商六而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法以次商之六乗之得三千零九十六仍大于次商廉隅之共积是次商不可商六也又改商五而以初商之一十与次商之五相乗得五十三因之得一百五十为次商三长廉面积复以次商之五自乗得二十五为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百七十五为次商廉隅共法以次商之五乗之得二千三百七十五仍大于次商廉隅之共积是次商又不可商五也乃改商四而以初商之一十与次商之四相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之四自乗得一十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四百三十六为次商廉隅共法以次商之四乗之得一千七百四十四是小于次商廉隅之共积可减也乃以次商之四书于方积四百万尺之上而以次商乗廉隅共法之一千七百四十四与次商廉隅之共积相减余五亿五千万尺复以方边第三位余积六十四万六千尺续书于下共五亿五千零六十四万六千尺为三商廉隅之共积以三商本位计之则六千尺为三商积之单位而五亿五千零六十四万六千尺为五十五万零六百四十六而初商次商之一十四即为一百四十乃以初商之一百四十自乗得一万九千六百三因之得五万八千八百为三商三方廉面积以除五十五万零六百四十六足九倍因定三商为九而以初商次商之一百四十与三商之九相乗得一千二百六十三因之得三千七百八十为三商三长廉面积复以三商之九自乗得八十一为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千六百六十一为三商廉隅共法以三商之九乗之得五十六万三千九百四十九大于三商廉隅之共积是三商不可商九也乃改商八而以初商次商之一百四十与三商之八相乗得一千一百二十三因之得三千三百六十为三商三长廉面积复以三商之八自乗得六十四为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六万二千二百二十四为三商廉隅共法以三商之八乗之得四十九万七千七百九十二是小于三商廉隅之共积可减也乃以三商之八书于方积六千尺之上而以三商乗廉隅共法之四十九万七千七百九十二与三商廉隅之共积相减余五千二百八十五万四千尺复以方边末位余积二百七十二尺续书于下共五千二百八十五万四千二百七十二尺为四商廉隅之共积以四商本位计之则积与边皆仍为本位乃以初商次商三商之一千四百八十尺自乗得二百一十九万零四百三因之得六百五十七万一千二百为四商三方廉面积以除五千二百八十五万四千二百七十二足八倍即定四商为八书于方积二尺之上而以初商次商三商之一千四百八十与四商之八相乗得一万一千八百四十三因之得三万五千五百二十为四商三长廉面积复以四商之八自乗得六十四为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百六十万六千七百八十四为四商廉隅共法以四商之八乗之得五千二百八十五万四千二百七十二与余积相减恰尽是开得一千四百八十八尺为正方体积毎一边之数也此法盖因方边之第三位第四位二数太大故次商廉隅之共积以次商之三方廉除得次商之边继而以次商之边与次商廉隅共法相乗大于原积甚多改商三次所乗之数始与次商廉隅之共积相准而后次商之数可定凡开立方遇此类者皆依此例推之如或廉隅共法与商出之数相乗得数大于廉隅共积几一倍者则改商必审其与廉隅共积相近小数始可为准也设如有积一万四千七百三十四尺开立方问每一边数几何法列积一万四千七百三十四尺自末位起算隔二位作记于四尺上定单位四千尺上定十位其一万四千尺为初商积以初商本位计之则四千尺为初商积之单位而一万四千为一十四止与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于方积四千尺之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余六千尺爰以方边第二位余积七百三十四尺续书于下共六千七百三十四尺为次商廉隅之共积以次商本位计之则边与积皆仍为本位而初商之二则为二十尺乃以初商之二十尺自乗得四百尺三因之得一千二百尺为次商三方廉面积以除方积六千七百三十四尺足五尺乃以初商之二十尺与次商之五尺相乗得一百尺三因之得三百尺为次商三长廉面积复以次商之五尺自乗得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共一千五百二十五尺为次商廉隅共法以次商之五尺乗之得七千六百二十五尺大于次商廉隅之共积是次商不可商五尺也乃改商四尺书于方积四尺之上而以初商之二十尺与次商之四尺相乗得八十尺三因之得二百四十尺为次商三长廉面积复以次商之四尺自乗得一十六尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百五十六尺为次商廉隅共法书于余积之左以次商之四尺乗之得五千八百二十四尺与余积相减仍余九百一十尺是开得二十四尺为方体每一边之数仍余九百一十尺不尽也如欲以余数再开则得方边之寸数乃増三空于总积之后复续书三空于九百一十尺之后为几百几十几寸之位是则九百一十尺作九十一万寸为三商廉隅之共积爰以初商次商之二十四尺作二百四十寸自乗得五万七千六百寸三因之得一十七万二千八百寸为三商三方廉面积以除余积九十一万寸足五寸即定三商为五寸书于余积空寸之上而以初商次商之二百四十寸与三商之五寸相乗得一千二百寸三因之得三千六百寸为三商三长廉面积复以三商之五寸自乗得二十五寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十七万六千四百二十五寸为三商廉隅共法书于余积之左以三商之五寸乗之得八十八万二千一百二十五寸与余积相减仍余二万七千八百七十五寸不尽如再以余数开之则得方边之分数乃又续书三空于原积空寸之后复续书三空于二万七千八百七十五寸之后为几百几十几分之位是则二万七千八百七十五寸作二千七百八十七万五千分为四商廉隅之共积爰以初商次商三商之二十四尺五寸作二千四百五十分自乗得六百万零二千五百分三因之得一千八百万零七千五百分为四商三方廉面积以除余积二千七百八十七万五千分足一分即定四商为一分书于余积空分之上而以初商次商三商之二千四百五十分与四商之一分相乗仍得二千四百五十分三因之得七千三百五十分为四商三长廉面积复以四商之一分自乗仍得一分为四商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千八百零一万四千八百五十一分为四商廉隅共法书于余积之左以四商之一分乗之仍得一千八百零一万四千八百五十一分与余积相减仍余九百八十六万零一百四十九分不尽是开得二十四尺五寸一分为方体每一边之数也此法原积本非自乗再乗所得之数虽逓析之终不能尽凡开立方遇此类者皆以此例推之设如有方亭几座用方甎铺地共用一千七百二十八块其所铺之座数与毎座毎行之甎数相等问亭之座数几何法列方甎一千七百二十八块为立方积用开立方法开之于八块上定单位一千块上定十位其一千块为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于方积一千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减恰尽爰以第二位余积七百二十八块续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除七百二十八足二倍即定次商为二书于方积八块之上而以初商之一十与次商之二相乗得二十三因之得六十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百六十四书于余积之左以次商之二乗之得七百二十八与余积相减恰尽是得所铺亭数为一十二座也此法因所铺之亭数与每行甎数相等是每行甎一十二块其亭亦一十二座虽非立方形而法则立方法也故用立方开之设如有方仓一座共盛粮八百七十八石八斗问仓髙几何法以每石定法二尺五百寸乗八百七十八石八斗得二千一百九十七尺为立方积用开立方法开之其二千尺为初商积以初商本位计之则二千尺为初商积之单位止与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于方积二千之上而以一自乗再乗之一书于初商积之下相减余一千尺爰以第二位余积一百九十七尺续书于下共一千一百九十七尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除一千一百九十七尺足三倍即定次商为三书于方积七尺之上而以初商之一十与次商之三相乗得三十三因之得九十为次商三长廉面积复以次商之三自乗得九为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十九为次商廉隅共法书于余积之左以次商之三乗之得一千一百九十七尺与余积相减恰尽是开得方仓之高为一十三尺也此法因粮是石法所问乃仓之尺数故先将石变为尺而开立方即得仓之髙也设如有方石一块重一二万六千六百二十两问每边尺寸几何法以石之定率每寸重二两五钱除二万六千六百二十两得一万零六百四十八寸为立方积用开立方法开之其一万寸为初商积以初商本位计之则空千位为初商积之单位而一万尺为一十与二自乗再乗之数相准即定初商为二书于空千寸之上而以二自乗再乗之八书于初商积之下相减余二千寸爰以第二位余积六百四十八寸续书于下共二千六百四十八寸为次商廉隅之共积而以初商之二作二十自乗得四百三因之得一千二百为次商三方廉面积以除二千六百四十八寸足二倍即定次商为二书于方积八寸之上而以初商之二十与次商之二相乗得四十三因之得一百二十为次商三长廉面积复以次商之二自乗得四为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千三百二十四为次商廉隅共法书于余积之左以次商之二乗之得二千六百四十八寸与余积相减恰尽是开得二十二寸为正方石毎一边之数也此法因石是两数所问乃石之寸数故先将石之两数变为寸而开立方即得石之寸数也设如有水银一万六千三百四十四两六钱八分欲作一方匣盛之问匣高几何法先以水银定率毎寸重一十二两二钱八分除一万六千三百四十四两六钱八分得一千三百三十一寸为立方积用开立方法开之其一千寸为初商积以初商本位计之则一千为初商积之单位与一自乗再乗之数相合即定初商为一书于一千寸之上而以一自乗再乗之一书于方积一千寸之下相减恰尽爰以第二位余积三百三十一寸续书于下为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三百三十一寸足一倍即定次商为一书于方积一寸之上而以初商之一十与次商之一相乗得一十三因之得三十为次商三长廉面积复以次商之一自乗仍得一为一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百三十一为次商廉隅共法书于余积之左以次商之一乗之仍得三百三十一与余积相减恰尽是开得一十一寸为方匣之高也设如有方池一区其深与方相等容水四千零九十六尺问深几何法列四千零九十六尺为立方积用开立方法开之其四千尺为初商积以初商本位计之则四千为初商积之单位与一自乗再乗之数相准即定初商为一书于四千尺之上而以一自乗再乗之一书于方积四千尺之下相减余三千尺爰以第二位余积九十六尺续书于下共三千零九十六尺为次商廉隅之共积而以初商之一作一十自乗得一百三因之得三百为次商三方廉面积以除三千零九十六尺可得十尺若商十尺则合于初商之数再合方廉长廉小隅面积必大于次商廉隅之共积可知故商九尺八尺七尺皆仍大于次商廉隅之共积乃改商六尺书于方积六尺之上而以初商之一十与次商之六相乗得六十三因之得一百八十为次商三长廉面积复以次商之六自乗得三十六为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百一十六为次商廉隅共法书于余积之左以次商之六乗之得三千零九十六与余积相减恰尽是开得一十六尺为池之深也此法因池之深与方相等其所容水数即正方体积故立方开之得一边之数即池之深也御制数理精蕴下编卷二十三
## 下编卷二十四
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十四体部二带纵较数立方带纵和数立方(勾股法四条附)带纵较数立方带纵立方者两两等边长方体积也高与阔相等惟长不同者为带一纵立方长与阔相等而皆比高多者则为带两纵相同之立方至于长与阔与髙皆不等者则为带两纵不同之立方开之之法大㮣与立方同祗有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与阔相等惟长不同为问者则以初商为髙与阔以之自乘又以初商加纵数为长以之再乘得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即初商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两纵相同之法如以长与阔相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乘又以初商为髙以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一纵也其一长亷附于初商积之髙邉者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各带一纵也其𢃄两纵不同之法如以阔比髙多长比阔又多为问者则以初商为髙又以初商加阔纵为阔与髙相乘又加长纵为长以之再乘得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则𢃄两纵其二方亷附于初商积之旁面者则一𢃄阔纵一𢃄长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长阔两边者则各𢃄一纵也惟小隅则无论𢃄一纵两纵皆各以所商之数自乘再乘成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之阔与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例递析推之法虽不一要皆本于正方而后加𢃄纵故凡商出之数皆为小边方体共十二边若𢃄一纵或𢃄两纵相同者则八边相等四边相等若𢃄两纵不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也设如𢃄一纵立方积一百一十二尺其髙与阔相等长比髙阔多三尺问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与阔(因髙与阔等故四尺即方之髙与阔也)加纵多三尺得七尺为长即以髙与阔四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲已为阔己戊为长甲乙甲已俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所𢃄之纵甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也葢因此法髙与阔俱止一位其积止一位之积故初商所得即髙与阔之边加入纵多即为长边也凡有带一纵无次商者依此法开之设如𢃄一纵立方积二千四百四十八尺其髙与阔相等长比髙阔多五尺问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商亷隅之共积乃以初商之髙与阔十尺自乗得一百尺(此一)(方亷初商数也)又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺(加倍为𢃄纵两方亷即初商加纵多也)两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商亷隅之共积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔十尺倍之得二十尺(此两长亷初商数也)与初商之长十五尺相并(此𢃄)(纵一长亷也)得三十五尺以次商之二尺乘之得七十尺为次商三长亷面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方亷三长亷一小隅面积共得四百七十四尺为亷隅共法以次商之二尺乘之得九百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱一十二尺加纵多五尺得一十七尺即立方之长也如图甲乙丙丁长方体形容积二千四百四十八尺其甲乙髙甲戊阔皆十二尺甲己长十七尺甲已比庚已所多甲庚五尺即纵多之数其从一角所分辛乙癸壬长方体形壬癸与辛乙皆十尺即初商数壬辛十五尺即初商加纵多之数辛乙癸壬长方积一千五百尺即初商自乗又以初商加纵多再乘之数所余子形丑形寅形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十尺即初商数子形丑形为二长方廉每阔十尺长十五尺其长比阔多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数卯形辰形巳形为三长廉其辰形巳形皆长十尺即初商数夘形比辰形巳形皆长五尺即纵多之数其阔与厚皆二尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔与高皆二尺亦即次商数合子丑寅三方廉夘辰巳三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆倣此递析开之又法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔加纵多五尺得十五尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十五尺再乘得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为次商积乃以初商之髙与阔十尺自乘得一百尺又以初商之髙与阔十尺与初商之长十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之髙与阔加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔十二尺自乘得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙与阔俱十二尺其长为十七尺也设如带一纵立方积一万九千零八寸其髙与阔相等长比髙阔多一百二十寸问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其一万九千寸为初商积可商二十寸则以二十寸为髙与阔加纵多一百二十寸得一百四十寸为长即以髙与阔二十寸自乗得四百寸又以长一百四十寸再乘得五万六千寸大于原积二倍有余乃退商十寸书于原积九千寸之上而以所商十寸为初商之高与阔加纵多一百二十寸得一百三十寸为初商之长乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之长一百三十寸再乘得一万三千寸书于原积之下相减余六千零八寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙与阔十寸自乘得一百寸又以初商之髙与阔十寸与初商之长一百三十寸相乘得一千三百寸倍之得二千六百寸两数相并得二千七百寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积六千零八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商之髙与阔十寸倍之得二十寸又与初商之长一百三十寸相并得一百五十寸以次商之二寸乘之得三百寸为次商三长廉面积又以次商之二寸自乘得四寸为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千零四寸为廉隅共法以次商之二寸乘之得六千零八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱十二寸加纵多一百二十寸得一百三十二寸即立方之长也此法因带纵甚大按立方例所得初商数并加纵多所得初商积必大于原积㡬倍依次渐取小数开之又至甚烦故约略其分退商之至商出之积比原积微小而后可是则带纵立方立法之最难者也设如带一纵立方积二丈零四十二尺四百一十五寸其髙与阔相等长比髙阔多一尺二寸问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其二丈为初商积可商一丈乃以一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积九百二十二尺足二尺则以二尺书于原积二尺之上而以初商之高与阔一十尺倍之得二十尺与初商之长一十一尺二寸相并得三十一尺二寸以次商之二尺乘之得六十二尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三百九十尺四十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得七百八十尺八百寸书于余积之下相减仍余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之一丈二尺为高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为长乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙与阔一百二十寸倍之得二百四十寸与长一百三十二寸相并得三百七十二寸以三商之三寸乘之得一千一百一十六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得四万七千二百零五寸为㢘隅共法以三商之三寸乘之得一十四万一千六百一十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱一丈二尺三寸加纵多一尺二寸俱一丈三尺五寸即立方之长也又法以初商积二丈商一丈书于原积二丈之上而以所商一丈为初商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈一尺二寸为初商之长即以初商之高与阔一丈自乘仍得一丈又以初商之长一丈一尺二寸再乘得一丈一百二十尺书于原积之下相减余九百二十二尺四百一十五寸为次商积乃以初商之高与阔一丈作一十尺自乘得一百尺又以初商之长一丈一尺二寸作一十一尺二寸与初商之高与阔一十尺相乘得一百一十二尺倍之得二百二十四尺两数相并得三百二十四尺为次商三方廉面积以除次商积九百二十二尺四百一十五寸足二尺则以二尺书于原积二尺之上合初商次商共一丈二尺为初商次商之高与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺二寸为初商次商之长乃以初商次商之髙与阔一丈二尺自乘得一丈四十四尺又以初商次商之长一丈三尺二寸再乘得一丈九百尺零八百寸与原积相减余一百四十一尺六百一十五寸即一十四万一千六百一十五寸为三商积乃以初商次商之高与阔一丈二尺作一百二十寸自乘得一万四千四百寸又以初商次商之长一丈三尺二寸作一百三十二寸与初商次商之高与阔一百二十寸相乘得一万五千八百四十寸倍之得三万一千六百八十寸两数相并得四万六千零八十寸为三商三方㢘面积以除三商积一十四万一千六百一十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上合初商次商三商共一丈二尺三寸为初商次商三商之髙与阔加纵多一尺二寸得一丈三尺五寸为初商次商三商之长乃以初商次商三商之髙与阔一丈二尺三寸自乘得一丈五十一尺二十九寸又以初商次商三商之长一丈三尺五寸再乘得二丈零四十二尺四百一十五寸与原积相减恰尽即知立方之高与阔俱一丈二尺三寸其长为一丈三尺五寸也设如带两纵相同立方积五百六十七尺其长与阔俱比髙多二尺问长阔髙各㡬何法列积如开立方法商之共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小之数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为高加纵多二尺得九尺为长与阔即以长与阔九尺自乘得八十一尺又以髙七尺再乘得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与阔也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积五百六十七尺其甲乙为高甲子为阔甲巳为长甲乙七尺甲子甲己皆比甲乙多二尺即所带之纵其甲乙癸壬辛庚正方形即初商之积庚辛壬癸丙丁戊已磬折体形即所带之纵积也此法因长阔俱比高多故初商所得为髙于高加纵多即长与阔也设如带两纵相同立方积三千四百六十八尺其长与阔俱比高多五尺问长阔高各㡬何法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以初商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺(此一方廉长阔皆带一纵)(也)又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺(加倍为带纵两方廉即初商加纵多也)两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺(此两长廉即长阔各带一纵也)与初商之髙十尺相并(此一长廉初商数也)得四十尺以次商之二尺乘之得八十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得六百零九尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千二百一十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高为十二尺加纵多五尺得十七尺为立方之长与阔也如图甲乙丙丁扁方体形容积三千四百六十八尺其甲乙髙十二尺甲戊长甲已阔俱十七尺甲戊比甲辛所多辛戊甲已比庚己所多甲庚俱五尺即纵多之数其从一角所分壬乙子癸扁方体形癸子与壬乙皆十尺即初商数壬癸与癸申皆十五尺即初商加纵多之数壬乙子癸扁方积二千二百五十尺即初商加纵多自乘又以初商再乘之数所余丑形寅形夘形为三方廉其中寅形为一正方廉每边十五尺即初商加纵多之数丑形夘形为二长方廉每高十尺长十五尺其长比髙多五尺即纵多之数其厚皆二尺即次商数辰形巳形午形为三长廉巳形长十尺即初商数辰形午形比巳形俱长五尺即纵多之数其阔与厚皆一尺亦即次商数其巳形一小正方体为隅其长阔高皆二尺亦即次商数合丑寅夘三方廉辰巳午三长廉巳一小方隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆倣此递析开之又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔即以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余一千二百一十八尺为次商积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之高十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商积一千二百一十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加纵多五尺得十七尺为初商次商之长与阔乃以初商次商之长与阔十七尺自乘得二百八十九尺又以初商次商之高十二尺再乘得三千四百六十八尺与原积相减恰尽即知立方之高为十二尺其长与阔得十七尺也设如带两纵相同立方积一百零三万四千二百八十九寸其长与阔俱比高多三百三十寸问长阔髙各㡬何法列积如开立方法商之其一百万寸为初商积可商一百寸乃以所商一百寸为高加纵多三百三十寸得四百三十寸为长与阔即以长与阔四百三十寸自乘得一十八万四千九百寸又以高一百寸再乘得一千八百四十九万寸大于原积十倍有余是初商不可商一百寸也乃改商十寸为高(既大于原积十倍有)(余故取十分之一商之为十寸)加纵多三百三十寸得三百四十寸为长与阔即以长与阔三百四十寸自乘得一十一万五千六百寸又以髙十寸再乘得一百一十五万六千寸仍大于原积是亦不可商一十寸也乃改商九寸书于原积九寸之上而以所商九寸为髙加纵多三百三十寸得三百三十九寸为长与阔即以长与阔三百三十九寸自乘得一十一万四千九百二十一寸又以髙九寸再乘得一百零三万四千二百八十九寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸加纵多三百三十寸得三百三十九寸为立方之长与阔也设如带两纵相同立方积一十一丈五百零九尺二百六十八寸其长与阔俱比高多二尺一寸问长阔髙各㡬何法列积如开立方法商之其一十一丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积一丈之上而以所商二丈为初商之髙加纵多二尺一寸得二丈二尺一寸为初商之长与阔乃以初商之长与阔二丈二尺一寸自乘得四丈八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈再乘得九丈七百六十八尺二百寸书于原积之下相减余一丈七百四十一尺零六十八寸即一千七百四十一尺零六十八寸为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔二丈二尺一寸作二十二尺一寸自乘得四百八十八尺四十一寸又以初商之髙二丈作二十尺与初商之长与阔二十二尺一寸相乘得四百四十二尺倍之得八百八十四尺两数相并得一千三百七十二尺四十一寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千七百四十一尺零六十八寸足一尺则以一尺书于原积九尺之上而以初商之长与阔二十二尺一寸倍之得四十四尺二寸与初商之髙二十尺相并得六十四尺二寸以次商之一尺乘之得六十四尺二十寸为次商三长廉面积又以次商之一尺自乘仍得一尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千四百三十七尺六十一寸为廉隅共法以次商之一尺乘之得一千四百三十七尺六百一十寸书于余积之下相减仍余三百零三尺四百五十八寸即三十万三千四百五十八寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈一尺为髙加纵多二尺一寸得二丈三尺一寸为长与阔乃以初商次商之长与阔二丈三尺一寸作二百三十一寸自乘得五万三千三百六十一寸又以初商次商之髙二丈一尺作二百一十寸与初商次商之长与阔二百三十一寸相乘得四万八千五百一十寸倍之得九万七千零二十寸两数相并得一十五万零三百八十一寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积三十万零三千四百五十八寸足二寸则以二寸书于原积八寸之上而以初商次商之长与阔二百三十一寸倍之得四百六十二寸与初商次商之髙二百一十寸相加得六百七十二寸以三商之二寸乘之得一千三百四十四寸为三商三长廉面积又以三商之二寸自乘得四寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十五万一千七百二十九寸为廉隅共法以三商之二寸乘之得三十万三千四百五十八寸书于余积之下相减恰尽是知立方之高得二丈一尺二寸加纵多二尺一寸得二丈三尺三寸即立方之长与阔也设如带两纵不同立方积一百九十二尺其阔比高多二尺其长比阔又多二尺问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其积一百九十二尺可商五尺乃以所商五尺为髙加阔比髙多二尺得七尺为阔再加长比阔多二尺得九尺为长即以高五尺与阔七尺相乘得三十五尺又以长九尺再乘得三百一十五尺大于原积乃改商四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙加阔比髙多二尺得六尺为阔再加长比阔多二尺得八尺为长即以髙四尺与阔六尺相乘得二十四尺又以长八尺再乘得一百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺其阔为六尺其长为八尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百九十二尺其甲乙为髙四尺甲已为阔六尺己戊为长八尺甲已比甲庚所多庚已二尺即阔比髙所带之纵己戊比己辛所多辛戊四尺即长比髙所带之纵甲乙子癸壬庚正方形即初商之正方积庚壬癸子丙丁戊辛已磬折体形即长阔两纵所多之长方积也此法因长比阔多阔又比髙多故初商所得即为髙于髙加阔纵为阔于阔加长纵为长也设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其阔比髙多二尺其长比阔又多四尺问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其三千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长乃以初商之高十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺(此带阔纵一方廉也)又以初商之高十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺(此带长纵一方廉也)又以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺(此带长阔两纵一方廉也)三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上而以初商之髙十尺(此一长廉初商数也)与初商之阔十二尺相并(此带阔纵一长廉也)得二十二尺又与初商之长十六尺相并(此带长纵一长廉也)得三十八尺以次商之二尺乘之得七十六尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得五百五十二尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得一千一百零四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高得十二尺加阔比髙多二尺得十四尺为阔又加长比阔多四尺得十八尺为长也如图甲乙丙丁长方体形容积三千零二十四尺其甲乙髙十二尺甲戊阔十四尺甲已长十八尺甲戊比甲庚所多二尺即阔比髙所多之数甲已比辛己所多六尺即长比髙所多之数其从一角所分壬乙子癸长方体形壬乙与癸子皆十尺即初商之数壬未与癸申皆十二尺即初商之髙加阔多之数壬癸与未申皆十六尺即初商之髙加阔多又加长多之数壬乙子癸长方体形所容一千九百二十尺即初商积所余丑形寅形夘形为三方廉其夘形之髙十尺即初商之数其带阔纵二尺如酉即阔多之数其丑形之髙十尺亦即初商之数其带长纵六尺如戌即长多之数其寅形之阔十尺又带阔多二尺如亥即初商之髙加阔多之数其带长纵六尺如干即初商之髙加阔多又加长多之数其厚皆二尺即次商之数辰形巳形午形为三长廉其辰形之长十尺即初商之数巳形比辰形所多二尺如坎即阔多之数其午形比辰形所多六尺如艮即长多之数其阔与厚皆二尺亦即次商之数其已形一小正方体为隅其长阔与髙俱二尺亦即次商之数合三方廉三长廉一小隅共成一磬折体形附于初商长方体之三面而成甲乙丙丁之总长方体积也三商以后皆倣此递析开之又法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加阔比髙多二尺得十二尺为初商之阔再加长比阔多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之长十六尺再乘得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之阔十二尺与初商之长十六尺相乘得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之阔十二尺相乘得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方廉面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加阔比髙多二尺得十四尺为初商次商之阔再加长比阔多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之高十二尺与初商次商之阔十四尺相乘得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乘得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙为十二尺其阔为十四尺其长为十八尺也设如带两纵不同立方积三十万零一百六十寸其阔比髙多九十二寸其长比髙多一百一十四寸问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其三十万寸为初商积可商六十寸乃以所商六十寸为髙加阔比髙多九十二寸得一百五十二寸为阔再加长比髙多一百一十四寸得一百七十四寸为长即以高六十寸与阔一百五十二寸相乘得九千一百二十寸又以长一百七十四寸再乘得一百五十八万六千八百八十寸大于原积五倍有余是初商不可商六十寸也乃改商二十寸书于原积空千寸之上而以所商二十寸为高加阔比髙多九十二寸得一百一十二寸为阔又以高二十寸加长比高多一百一十四寸得一百三十四寸为长乃以高二十寸与阔一百一十二寸相乘得二千二百四十寸又以长一百三十四寸再乘得三十万零一百六十寸书于原积之下相减恰尽是知次商为空位而立方之髙为二十寸其阔为一百一十二寸其长为一百三十四寸也设如带两纵不同立方积一万三千二百八十四寸其阔比髙多三寸其长比阔多一百一十一寸问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其一万三千寸为初商积可商二十寸乃以所商二十寸为高加阔比髙多三寸得二十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百三十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得六万一千六百四十寸大于原积四倍有余是初商不可商二十寸也乃退商十寸而以所商十寸为髙加阔比高多三寸得十三寸为阔再加长比阔多一百一十一寸得一百二十四寸为长即以髙与阔与长按法相乘得一万六千一百二十寸仍大于原积乃复退商九寸书于原积四寸之上而以所商九寸为髙加阔比髙多三寸得十二寸为阔再加长比阔多一百一十一寸共一百二十三寸为长即以高九寸与阔十二寸相乘得一百零八寸又以长一百二十三寸再乘得一万三千二百八十四寸书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为九寸其阔为十二寸其长为一百二十三寸也设如带两纵不同立方积一十三丈二百四十九尺五百四十五寸其阔比髙多一尺其长比阔又多二尺二寸问髙阔长㡬何法列积如开立方法商之其一十三丈为初商积可商二丈乃以二丈书于原积三丈之上而以所商二丈为初商之髙加阔比髙多一尺得二丈一尺为初商之阔再加长比阔多二尺二寸得二丈三尺二寸为初商之长即以初商之髙二丈与初商之阔二丈一尺相乘得四丈二十尺又以初商之长二丈三尺二寸再乘得九丈七百四十四尺书于原积之下相减余三丈五百零五尺五百四十五寸即三千五百零五尺五百四十五寸为次商廉隅之共积乃以初商之髙二丈作二十尺初商之阔二丈一尺作二十一尺相乘得四百二十尺又以初商之长二丈三尺二寸作二十三尺二寸与初商之髙二十尺相乘得四百六十四尺又以初商之阔二十一尺与初商之长二十三尺二寸相乘得四百八十七尺二十寸三数相并得一千三百七十一尺二十寸为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千五百零五尺五百四十五寸足二尺则以二尺书于原积九尺之上而以初商之髙二十尺与初商之阔二十一尺初商之长二十三尺二寸相并得六十四尺二寸以次商之二尺乘之得一百二十八尺四十寸为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一千五百零三尺六十寸为廉隅共法以次商之二尺乘之得三千零七尺二百寸书于余积之下相减仍余四百九十八尺三百四十五寸即四十九万八千三百四十五寸为三商廉隅之共积其初商次商所得之二丈二尺为髙加阔比髙多一尺得二丈三尺为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺二寸为长乃以初商次商之髙二丈二尺作二百二十寸初商次商之阔二丈三尺作二百三十寸相乘得五万零六百寸又以初商次商之长二丈五尺二寸作二百五十二寸与初商次商之髙二百二十寸相乘得五万五千四百四十寸又以初商次商之阔二百三十寸与初商次商之长二百五十二寸相乘得五万七千九百六十寸三数相并得一十六万四千寸为三商三方廉面积以除三商廉隅之共积四十九万八千三百四十五寸足三寸则以三寸书于原积五寸之上而以初商次商之髙二百二十寸与初商次商之阔二百三十寸初商次商之长二百五十二寸相并得七百零二寸以三商之三寸乘之得二千一百零六寸为三商三长廉面积又以三商之三寸自乘得九寸为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得一十六万六千一百一十五寸为廉隅共法以三商之三寸乘之得四十九万八千三百四十五寸书于余积之下相减恰尽是知立方之髙得二丈二尺三寸加阔比髙多一尺得二丈三尺三寸为阔又加长比阔多二尺二寸得二丈五尺五寸为长也设如带两纵不同立方积一百三十二万八千二百五十尺其阔比髙多五尺其长比阔又多五尺问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其一百万尺为初商积可商一百尺乃以一百尺书于原积一百万尺之上而以所商之一百尺为初商之髙加阔比髙多五尺得一百零五尺为初商之阔再加长比阔多五尺得一百一十尺为初商之长乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之长一百一十尺再乘得一百一十五万五千尺书于原积之下相减余一十七万三千二百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之髙一百尺与初商之阔一百零五尺相乘得一万零五百尺又以初商之髙一百尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千尺又以初商之阔一百零五尺与初商之长一百一十尺相乘得一万一千五百五十尺三数相并得三万三千零五十尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积一十七万三千二百五十尺不足一十尺仅足五尺是次商为空位也乃书一空于原积八千尺之上以存次商之位复以所商五尺书于原积空尺之上而以初商次商之髙一百尺与初商次商之阔一百零五尺初商次商之长一百一十尺相并得三百一十五尺以三商之五尺乘之得一千五百七十五尺为三商三长廉面积又以三商五尺自乘得二十五尺为三商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三万四千六百五十尺为廉隅共法以三商之五尺乘之得一十七万三千二百五十尺书于余积之下相减恰尽是知立方之髙为一百零五尺加阔比髙多五尺得一百一十尺为阔又加长比阔多五尺得一百一十五尺为长也设如一尺土方三万九千六百八十八尺筑堤一段其髙与阔相等其长比高阔多六十尺问髙阔长各㡬何法列积用带一纵立方法开之其三万九千尺为初商积可商三十尺乃以所商三十尺为髙与阔加纵多六十尺得九十尺为长即以髙与阔三十尺自乘得九百尺又以长九十尺再乘得八万一千尺大于原积乃改商二十尺书于原积九千尺之上而以所商二十尺为初商之髙与阔加纵多六十尺得八十尺为初商之长即以初商之髙与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺再乘得三万二千尺书于原积之下相减余七千六百八十八尺为次商廉隅之共积乃以初商之高与阔二十尺自乘得四百尺又以初商之长八十尺与初商之高与阔二十尺相乘得一千六百尺倍之得三千二百尺两数相并得三千六百尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积七千六百八十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商之髙与阔二十尺倍之得四十尺与初商之长八十尺相并得一百二十尺以次商之二尺乘之得二百四十尺为次商三长廉面积又以次商之二尺自乘得四尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得三千八百四十四尺为廉隅共法以次商之二尺乘之得七千六百八十八尺书于余积之下相减恰尽是知堤之髙与阔俱二十二尺加长比髙阔多六十尺得八十二尺为堤一段之长也设如有仓一座容米二千四百石其仓之长与阔俱比髙多五尺问仓之长阔髙各㡬何法将米二千四百石用每石定法二尺五百寸乘之得六千尺乃以六千尺为带两纵相同立方积用带两纵相同法开之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高加纵多五尺得十五尺为初商之长与阔乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺再乘得二千二百五十尺书于原积之下相减余三千七百五十尺为次商廉隅之共积乃以初商之长与阔十五尺自乘得二百二十五尺又以初商之髙十尺与初商之长与阔十五尺相乘得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得五百二十五尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积三千七百五十尺足七尺乃按法算之得廉隅共法八百五十四尺以次商之七尺乘之得五千九百七十八尺大于次商廉隅之共积乃改商六尺按法算之得廉隅共法八百零一尺以次商之六尺乘之仍大于次商廉隅之共积又改商五尺书于原积空尺之上而以初商之长与阔十五尺倍之得三十尺与初商之高十尺相并得四十尺以次商之五尺乘之得二百尺为次商三长廉面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得七百五十尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得三千七百五十尺书于余积之下相减恰尽是知仓之高为一十五尺加纵多五尺得二十尺为仓之长与阔也设如挑河一段但知挑出土方七万六千一百四十尺其宽比深多三尺其长比宽多二百六十四尺问宽长深各㡬何法列积用带两纵不同立方法开之其七万六千尺为初商积可商四十尺因长纵甚多故取小数商二十尺为深加宽比深多三尺得二十三尺为宽再加长比宽多二百六十四尺得二百八十七尺为长以三数相乘得十万三千二百零二十尺大于原积乃改商十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之深加宽比深多三尺得十三尺为初商之宽再加长比宽多二百六十四尺得二百七十七尺为初商之长乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之长二百七十七尺再乘得三万六千零十尺书于原积之下相减余四万零一百三十尺为次商亷隅之共积乃以初商之深十尺与初商之宽十三尺相乘得一百三十尺又以初商之宽十三尺与初商之长二百七十七尺相乘得三千六百零一尺又以初商之深十尺与初商之长二百七十七尺相乘得二千七百七十尺三数相并得六千五百零一尺为次商三方廉面积以除次商廉隅之共积四万零一百三十尺足五尺则以五尺书于原积空尺之上而以初商之深十尺与初商之宽十三尺初商之长二百七十七尺相并得三百尺以次商之五尺乘之得一千五百尺为次商三长亷面积又以次商之五尺自乘得二十五尺为次商一小隅面积合三方廉三长廉一小隅面积共得八千零二十六尺为廉隅共法以次商之五尺乘之得四万零一百三十尺书于余积之下相减恰尽是知挑河之深为十五尺加宽比深多三尺得十八尺为宽再加长比寛多二百六十四尺得二百八十二尺为河一段之长也𢃄纵和数立方𢃄纵较数立方其法已难而𢃄纵和数立方立法尤难故古无传而以理推之则法有与较数相对待者其𢃄一纵立方高与阔相等惟长不同如以长与高和或长与阔和为问者则以初商为高与阔而与和数相减余为长乃以高与阔自乗以长再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数除原积得数约开平方可得几数取略大数以定初商初商减积有余实者其初商方积外有二方亷一长亷成两面磬折体形而初商之高与阔少一次商初商之长多一次商故内少一方亷积商除之法则以初商之高与阔与初商之长相乗倍之为二方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商而以初商自乗次商再乗得一方亷积与余实相加始足次商二方亷一长亷之共积故以次商与初商之长相减余为初商次商之共长与初商相乗倍之为二方亷面积又以初商次商之共长与次商相乗为一长亷面积合二方亷一长亷面积以次商乗之为二方亷一长亷之共积所谓初商方积外成两面磬折体形是也其𢃄两纵相同立方长与阔相等惟高不同如以高与阔和或高与长和为问者则以初商为高与和数相减余为长与阔乃以长与阔自乗以高再乗为初商积其或和数甚多而积甚少按立方法商之必至大于原积者则以和数自乗除原积约足几倍取略大数以定初商初商减积有余实者初商方积外止一方亷成一扁方体形而初商之高少一次商初商之长与阔各多一次商故内少二方亷一长亷积商除之法则以初商之长与阔自乗为一方亷面积视余实足方亷面积几倍取略大数以定次商以次商与初商之长与阔相减余为初商次商之长与阔而与初商相乗次商再乗倍之为二方亷积又以次商自乗初商再乗为一长亷积合二方亷一长亷积与余实相加始足次商一方亷积故以初商次商之长与阔自乗次商再乗为一方亷积所谓初商方积外成一扁方体形是也其𢃄两纵不同立方与𢃄两纵相同立方同但带两纵相同者其次商积为一正方廉带两纵不同者其次商积为一长方廉耳要之定商皆以小于半和为准有时退商而反不足进商而反有余须合初商次商以斟酌之至次商以后因有益积之法故廉法亦不足凭则又须较量而増损之可也设如带一纵立方积七百六十八尺其高与阔等长与阔和二十尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其积七百六十八尺可商九尺则以九尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十一尺为长即以高与阔九尺自乘得八十一尺又以长十一尺再乘得八百九十一尺大于原积乃退商八尺书于原积八尺之上而以所商八尺为高与阔与长阔和二十尺相减余十二尺为长即以髙与阔八尺自乘得六十四尺又以长十二尺再乘得七百六十八尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱八尺长十二尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积七百六十八尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙乙丙俱八尺丙丁为十二尺乙丙与丙丁共二十尺即长阔之和初商所得即高与阔于长阔和内减去初商所余即长也此法与较数带纵立方有加减之异彼以所商之数与较数相加此则以所商之数与和数相减也设如带一纵立方积二千四百四十八尺其高与阔相等长与阔和二十九尺问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其二千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之高与阔与长阔和二十九尺相减余十九尺为初商之长即以初商之高与阔十尺自乘得一百尺又以初商之长十九尺再乘得一千九百尺书于原积之下相减余五百四十八尺乃以初商之髙与阔十尺与初商之长十九尺相乘得一百九十尺倍之得三百八十尺以除余积五百四十八尺足一尺因仍益积且初商之长尚减去次商数故取大数为二尺则以二尺书于原积八尺之上而以初商十尺自乘又以次商二尺再乘得二百尺与余积五百四十八尺相加得七百四十八尺为次商二方廉一长廉之共积乃以次商二尺与初高之长十九尺相减余十七尺为初商次商之长与初商之高与阔十尺相乘得一百七十尺倍之得三百四十尺为二方廉面积又以次商二尺与初商次商之长十七尺相乘得三十四尺为一长廉面积合二方廉一长廉面积共三百七十四尺以次商二尺乘之得七百四十八尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高与阔俱十二尺长十七尺也如图甲乙丙丁长方体形甲乙高乙戊阔皆十二尺戊丙长十七尺乙戊与戊丙共二十九尺即长阔之和其从一角所分己乙壬癸长方体形己乙与乙庚皆十尺即初商数壬庚十九尺即长阔和内减初商所余之数比戊丙多子壬一段即次商数己乙壬癸长方积一千九百尺即初商自乘又以初商与长阔和相减之余再乘之数比初商原体积多丑寅壬癸一扁方体形因初商积内多减去此积故以初商自乗次商再乗而得丑寅壬癸扁方体积与余积相加即得甲己辛庚丙丁两面磬折体形其辰形巳形为两方廉其阔十尺即初商数其长十七尺即长阔和内减初商次商之数其厚皆二尺即次商数午形为一长廉其长十七尺与方廉同其阔与厚皆二尺亦即次商数合二方廉一长廉共成一磬折体形附于长方体之两面而成甲乙丙丁之总长方体积也设如带一纵立方积九万九千九百五十四尺其高与阔相等长与阔和一千二百四十三尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其九万九千尺为初商积可商四十尺而长阔和为一千二百四十三尺按法相乘过大于原积爰以长阔和一千二百四十三尺除原积九万九千九百五十四尺足八十尺有余以八十尺开平方约足九尺乃以九尺书于原积四尺之上而以所商九尺为髙与阔与长阔和一千二百四十三尺相减余一千二百三十四尺为长即以髙与阔九尺自乘得八十一尺又以长一千二百三十四尺再乘得九万九千九百五十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与阔俱九尺长一千二百三十四尺也此法葢因带一纵甚多高与阔甚少其长阔和比长所多无㡬故以长阔和除原积即得髙与阔自乘之一面积而开平方所得即髙与阔与长阔和相减所余即长也设如带两纵相同立方积三百八十四尺其长与阔相等高与阔和十四尺问髙阔长各㡬何法列积如开立方法商之其积三百八十四尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积四尺之上而以所商六尺为高与高阔和十四尺相减余八尺为长与阔即以长与阔八尺自乘得六十四尺又以高六尺再乘得三百八十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺长与阔皆八尺也如图甲乙丙丁戊己扁方体形容积三百八十四尺其甲乙为高乙丙为阔丙丁为长甲乙六尺乙丙与丙丁皆八尺甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高于高阔和内减去初商所余为阔亦即长也设如带两纵相同立方积六千九百一十二尺其长与阔相等高与阔和三十六尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其六千尺为初商积可商十尺乃以十尺书于原积六千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之长与阔即以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺又以初商之高十尺再乘得六千七百六十尺书于原积之下相减余一百五十二尺乃以初商之长与阔二十六尺自乘得六百七十六尺以除余积一百五十二尺不足一尺因仍益积且初商之长与阔内尚减去次商数故取大数为二尺书于原积二尺之上而以次商二尺与初商之长与阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之长与阔与初商十尺相乘得二百四十尺以次商二尺再乘得四百八十尺倍之得九百六十尺为二方廉积又以次商二尺自乘以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千尺与余积一百五十二尺相加得一千一百五十二尺为次商一方廉积乃以初商次商之长二十四尺自乘得五百七十六尺以次商二尺再乘得一千一百五十二尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺长与阔皆二十四尺也如图甲乙丙丁扁方体形容积六千九百一十二尺甲乙高十二尺甲戊长甲己阔俱二十四尺甲己与甲乙共三十六尺即高与阔之和其从一面所分庚乙癸子扁方体形庚乙十尺即初商数庚丑与庚寅皆二十六尺即高阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积六千七百六十尺即初商与高阔和相减之余数自乘又以初商再乘之数比初商原体积多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与阔与初商相乘以次商再乘倍之即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊扁方体形其甲戊长甲己阔皆二十四尺即高阔和内减初商次商之数甲庚厚二尺即次商数附于初商扁方体之一面而成甲乙丙丁之总扁方体积也三商以后皆倣此递析推之设如带两纵相同立方积三百九十六万八千零六十四尺其长与阔相等高与阔和一千尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其三百万尺为初商积可商一百尺而高阔和为一千尺按法相乘过大于原积爰以髙阔和一千尺自乘得一百万尺以除原积三百九十六万八千零六十四尺足三尺取略大数为四尺乃以四尺书于原积四尺之上而以所商四尺为髙与高阔和一千尺相减余九百九十六尺为长与阔即以长与阔九百九十六尺自乘得九十九万二千零一十六尺又以髙四尺再乘得三百九十六万八千零六十四尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为四尺长与阔俱九百九十六尺也此法葢因带两纵甚多而高数甚少其高阔和比原长原阔所多无㡬故以高阔和自乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔亦即长边也设如带两纵不同立方积四百八十尺高与阔和十四尺高与长和十六尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其积四百八十尺可商七尺因欲得小于半和之数乃退商六尺书于原积空尺之上而以所商六尺为高与高与阔和十四尺相减余八尺为阔又以高六尺与高与长和十六尺相减余十尺为长即以高六尺与阔八尺相乘得四十八尺又以长十尺再乘得四百八十尺书于原积之下相减恰尽是知立方之高为六尺其阔为八尺其长为十尺也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积四百八十尺其甲乙为高六尺乙丙为阔八尺甲己为长十尺甲己与甲乙共十六尺即高与长之和甲乙与乙丙共十四尺即高与阔之和初商所得为高与高阔和相减所余为阔以高与高长和相减所余即长也设如带两纵不同立方积八千零六十四尺高与阔和三十六尺高与长和四十尺问高阔长各㡬何法列积如开立方法商之其八千尺为初商积可商二十尺因欲得小于半和之数乃退商十尺书于原积八千尺之上而以所商十尺为初商之高与高阔和三十六尺相减余二十六尺为初商之阔又以初商之高十尺与高长和四十尺相减余三十尺为初商之长即以初商之高十尺与初商之阔二十六尺相乘得二百六十尺以初商之长三十尺再乘得七千八百尺书于原积之下相减余二百六十四尺为一长方廉积其厚即次商之数其长与阔比初商之长与阔各少一次商之数乃以初商之长三十尺与初商之阔二十六尺相乘得七百八十尺以除余积二百六十四尺不足一尺因仍益积且初商之长阔尚减去次商数故取大数为二尺书于原积四尺之上而以所商二尺与初商之阔二十六尺相减余二十四尺为初商次商之阔以所商二尺与初商之长三十尺相减余二十八尺为初商次商之长即以初商次商之阔二十四尺与初商之高十尺相乘得二百四十尺又以初商次商之长二十八尺与初商之高十尺相乘得二百八十尺两数相并得五百二十尺以次商二尺乘之得一十零四十尺为二方廉积又以次商二尺自乘得四尺以初商十尺再乘得四十尺为一长廉积合二方廉一长廉积共一千零八十尺与余积二百六十四尺相加得一千三百四十四尺为次商一方廉积乃以初商次商之阔二十四尺与长二十八尺相乘得六百七十二尺以次商二尺再乘得一千三百四十四尺书于余积之下相减恰尽是知立方之高十二尺阔二十四尺长二十八尺也如圗甲乙丙丁扁长方体形容积八千零六十四尺甲乙高十二尺甲戊长二十八尺甲己阔二十四尺甲乙与甲己共三十六尺即高与阔之和甲乙与甲戊共四十尺即高与长之和其从一面所分庚乙癸子扁长方体形庚乙十尺即初商数庚丑三十尺即高与长和内减初商之数庚寅二十六尺即高与阔和内减初商之数庚丑比甲戊多庚夘一段庚寅比甲己多辰寅一段即次商数庚乙癸子长方积七千八百尺即初商之长与初商之阔相乘又以初商之高再乘之数比原长原阔多巳午二方廉积未一长廉积因初商积内多减去此积故以初商次商之长与初商之髙相乘以初商次商之阔与初商之髙相乘两数相并以次商再乘即得巳午二方廉积又以次商自乘以初商之髙再乘即得未一长廉积与余积相加即得甲庚辛壬丁戊一扁长方体形其甲巳阔二十四尺即髙阔和内减初商次商之数甲戊长二十八尺即髙长和内减初商次啇之数甲庚厚二尺即次啇数附于初啇扁长方体之一面而成甲乙丙丁之总扁长方体积也三商以后皆倣此逓折推之设如带两纵不同立方积一十七万二千六百九十二尺髙与阔和一百二十九尺髙与长和二百四十尺问髙阔长各几何法列积如开立方法商之其一十七万二千尺为初商积可啇五十尺而长即为一百九十尺阔即为七十九尺按法相乘过大于原积爰以髙与阔和一百二十九尺与髙与长和二百四十尺相乘得三万零八百六十尺以除原积一十七万二千六百九十二尺足五尺取略大之数为六尺乃以六尺书于原积二尺之上而以所商六尺为髙与髙与阔和一百二十九尺相减余一百二十三尺为阔又以髙六尺与髙与长和二百四十尺相减余二百三十四尺为长即以阔一百二十三尺与长二百三十四尺相乘得二万八千七百八十二尺又以髙六尺再乘得一十七万二千六百九十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为六尺阔为一百二十三尺长为二百三十四尺也此法盖因带两纵甚多而髙数甚少其髙与阔和比原阔所多无几髙与长和比原长所多亦无㡬故以高与阔和与高与长和相乘得一面积以除原积即得高与高阔和相减所余为阔与高与长和相减所余即长也附勾股法四条设如勾股积六尺勾弦较二尺求勾股弦各㡬何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦较二尺除之得七十二尺折半得三十六尺为长方体积乃以勾弦较二尺折半得一尺为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔三尺为勾加勾弦较二尺得五尺为弦以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾弦较必得股自乘积以勾弦较除之始得勾弦和而勾弦和为二勾一勾弦较之共数将勾弦和半之为一勾半勾弦较之共数今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之髙与阔勾与半勾弦较之共数为带纵立方之长半勾弦较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其长为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之长又为勾弦较与勾弦和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戌乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾弦较甲乙丙长即勾弦和今以股自乘之数用勾弦较除之得勾弦和即如寅卯辰巳之长方体积用勾弦较除之而得干坎辰巳之长方体积其午未辰巳之髙阔相乘之面积未减而坎未之长即为勾弦和矣勾弦和既为二勾一勾弦较之共数折半则得一勾半勾弦较之共数故将所得之干坎辰巳长方体积折半为艮震辰巳长方体积其巳辰髙未辰阔仍皆为勾与巽未等其震未长为勾与半勾弦较之共数震巽为半勾弦较即长比髙阔所多之数故以勾弦较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为勾也设如勾股积六尺勾弦和八尺求勾股弦各㡬何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以勾弦和八尺除之得十八尺折半得九尺为扁方体积乃以勾弦和八尺折半得四尺为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔三尺为勾于勾弦和八尺内减勾三尺余五尺为弦以勾三尺除倍积十二尺得四尺为股也此法有勾股积勾弦和必得股自乘积以勾弦和除之始得勾弦较半之为半勾弦较今作为带纵立方体算者即如以勾为带纵立方之长与阔半勾弦较为带纵立方之髙一勾半勾弦较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即勾也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如勾自乘股自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为勾自乘之数其髙为股自乘之数其勾自乘之底边即勾而股自乘之髙又为勾弦较与勾弦和相乘之数是暗中已得股自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申甲乙酉弦自乘之正方内申戊乙丙为勾自乘之正方则戌甲乙酉丙乙磬折形与股自乘之正方等引而长之成戌甲丙亥之长方其戌甲阔即勾弦较甲乙丙长即勾弦和今以股自乘之数用勾弦和除之则得勾弦较即如寅卯辰巳之长方体积用勾弦和除之而得干卯辰坎扁方体积其卯午辰未之长阔相乘之面积未减而干卯之髙即为勾弦较矣折半则得艮卯辰震扁方体积其卯午长午辰阔仍皆为勾而艮卯之髙为半勾弦较其艮卯与卯午即髙与长阔之和为一勾半勾弦较之共数而勾弦和乃二勾一勾弦较之共数故以勾弦和折半得一勾半勾弦较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为勾也设如勾股积六尺股弦较一尺求勾股弦各㡬何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦较一尺除之仍得一百四十四尺折半得七十二尺为长方体积乃以股弦较一尺折半得五寸为长方体之长比髙阔所多之较用带一纵较数开立方法算之得髙与阔四尺为股加股弦较一尺得五尺为弦以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积有股弦较必得勾自乘积以股弦较除之始得股弦和而股弦和为二股一股弦较之共数将股弦和半之为一股半股弦较之共数今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之髙与阔股与半股弦较之共数为带纵立方之长半股弦较为带纵之较用带纵较数立方法开之得髙与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之则成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其长为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之长又为股弦较与股弦和相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳之长方体形然又试作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股弦较乙甲丙长即股弦和今以勾自乘之数用股弦较除之得股弦和即如寅卯辰巳之长方体积用股弦较除之仍得寅卯辰巳之长方体积其午未辰巳髙阔相乘之面积与卯未之长俱未减而卯未之长即命为股弦和矣股弦和既为二股一股弦较之共数折半则得一股半股弦较之共数故将所得之寅卯辰已长方体积折半为干坎辰已长方体积其未辰阔已辰髙仍皆为股与艮未等其坎未长为股与半股弦较之共数坎艮为半股弦较即长比髙阔所多之数故以股弦较折半用带一纵较数开立方法算之得髙与阔为股也设如勾股积六尺股弦和九尺求勾股弦各几何法以勾股积六尺倍之得十二尺自乘得一百四十四尺以股弦和九尺除之得十六尺折半得八尺为扁方体积乃以股弦和九尺折半得四尺五寸为扁方体之髙与长阔之和用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔四尺为股于股弦和九尺内减股四尺余五尺为弦以股四尺除倍积十二尺得三尺为勾也此法有勾股积股弦和必得勾自乘积以股弦和除之始得股弦较半之为半股弦较今作为带纵立方体算者即如以股为带纵立方之长与阔半股弦较为带纵立方之髙一股半股弦较之共数为带纵立方之髙与长阔之和用带两纵相同和数立方法开之得长与阔即股也如甲乙丙勾股积倍之成甲丁乙丙勾股相乘之长方面积自乘得戊己庚辛正方面积即如股自乘勾自乘两自乘数再相乘之壬癸子丑长方面积试将此长方面积变为长方体积其底为股自乘之数其髙为勾自乘之数其股自乘之底边即股而勾自乘之髙又为股弦和与股弦较相乘之数是暗中已得勾自乘之一数矣其长方体即如寅卯辰巳长方体形然又试作一申乙甲酉弦自乘之正方内申戌丙甲为股自乘之正方则戌乙甲酉甲丙磬折形与勾自乘之正方等引而长之成戌乙丙亥之长方其戌乙阔即股弦较乙甲丙长即股弦和今以勾自乘之数用股弦和除之则得股弦较即如寅夘辰巳之长方体积用股弦和除之而得干夘辰坎扁方体积其夘午辰未长阔相乘之面积未减而干夘之高即为股弦较矣折半则得艮夘辰震扁方体积其夘午长午辰阔仍皆为股而艮夘之高为半股弦较其艮夘与夘午即高与长阔之和为一股半股弦较之共数而股弦和乃二股一股弦较之共数故以股弦和折半得一股半股弦较用带两纵相同和数开立方法算之得长与阔为股也御制数理精蕴下编卷二十四
## 下编卷二十五
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十五体部三各体形总论直线体各体形总论体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆者球之外面切于各面之中心而各体又有互相容之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则葢体成于面面生于线理固然也有积求边则必以方圆为比例是以边线等者体积不等如圆球径与各等面体之一边俱设为一○○○则正方体积为一○○○○○○○○○圆球体积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面体积为四七一四○四五二一十二面体积为七六六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径得一二四○小余七○○九八如圆球径与各等面体之一边俱设为一二四○小余七○○九八则圆球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面体积为一四六三五四七九○五一二十面体积为四一六六七三○四六三此各形之体积皆以球积比例者也葢因各形之边线相等体积不同故皆定为体与体之比例也体积等者边线不等如圆球体积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○则正方体之每边为一○○○○○○○○而圆球径为一二四○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七二十面体之每边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边比例者也或以圆球径设为一○○○○○○○○则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三如圆球体积与各等面体积俱设为五二三五九八七七五五九八二九八八七三○七一九二三则圆球径为一○○○○○○○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八八一八九五二十面体之每边为六二一四四三三二此各形之边线皆以球径比例者也葢因各形之体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之正方此方所以为立法之原入算之本也直线体设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之得一十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边得二尺五寸一分有余试于戊己庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相等也设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边几何法以每边二尺倍之得四尺即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺八倍之得六十四尺即如戊己庚辛正方体积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用八倍其积开立方止以毎边二尺倍之而即得也此法葢因两体积之比例比之两界之比例为连比例隔二位相加之比例(见几何原本十巻第四节)故戊己庚辛正方体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积之八尺相比为八分之一而戊己庚辛正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫六十四与三十二三十二与十六十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而六十四与八之比其间隔三十二与十六之两位故为连比例隔二位相加之比例也设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原阔八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之阔也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之高也或以阔八寸自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为所求之阔以高四寸自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即同于其相当二界各作两正方体积之比例(见几何原本十)(巻第五节)故依甲乙丙丁长方体之甲戊长界作甲戊丑子正方体将其积倍之即如己庚辛壬长方体之己癸长界所作之己癸卯寅正方体故开立方得己癸为所求之长也既得己癸之长则以甲戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙之比同于己癸与己庚之比得己庚为所求之高也若以原阔自乘再乘倍之开立方亦得一尺零七厘有余为今所求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦得五寸零三厘有余为今所求之高皆如以其相当二界各作正方体互相为比之理也设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即所求之长又以原阔八寸倍之得一尺六寸即所求之阔又以原高四寸倍之得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方体毎边之二倍是故不用八倍其积开立方止以各边之数倍之而即得也此法盖因两长方体之比例既同于其相当二界各作正方体之比例而两正方体之比例比之二界之比例为连比例隔二位相加之比例故两长方体积之比例较之两体各界之比例亦为连比例隔二位相加之比例也设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何法以阔五尺与长十二尺相乘得六十尺又以高七尺再乘得四百二十尺折半得二百一十尺即堑堵体形之积也葢堑堵体形即平行二勾股面之三棱长体如甲乙丙丁戊己堑堵体形其两端之二面皆为勾股形一为甲乙丙一为丁戊己俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁己长方面形又以甲乙高再乘成甲乙丙丁庚戊长方体形凡平行面之长方体自其一面之对角线平分为两三棱体此两三棱体之积相等(见几何原本五卷第十七节)夫一长方体所分两三棱体之积既相等则三棱体积必为长方体积之一半故将所得之甲乙丙丁庚戊长方体积折半即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也又法以阔五尺与高七尺相乘得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之积也如甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也设如刍荛体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何法以阔四尺与长十二尺相乘得四十八尺又与高四尺相乘得一百九十二尺折半得九十六尺即刍荛体形之积也葢刍荛体形即平行两三角面之三棱长体(有直角为堑堵体无直角为刍荛体)如甲乙丙丁戊己刍荛体形其两端之二面皆为三角形一为甲乙丙一为丁戊巳俱平行以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁已长方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙丁壬癸长方体形凡平行面之三棱体积为平行面方体积之一半(见几何原本五卷第)(二十节)故将所得之辛乙丙丁壬癸长方体积折半即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也又法以阔四尺与高四尺相乘得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乘得九十六尺即刍荛体形之积也如甲乙丙丁戊己刍荛体形以乙丙阔与甲庚高相乘折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍荛体形之积也设如方底尖体形底方毎边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问自尖至底中立垂线之高几何法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五豪三丝有余为勾以自尖至四角之斜线六尺为弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七厘六豪八丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙巳为勾以自尖至角之甲乙斜线为弦求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰用平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三豪五丝为弦以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六豪七丝有余即自尖至底中立垂线之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线而以此甲庚为弦底邉折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之高也设如方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何法以下方每边六尺自乘得三十六尺又以高三尺再乘得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲己高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其高又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等(见几何原本五卷第二十)(三节)试将甲己高倍之得壬己与乙丙丁戊底面积相乘得癸乙丁子正方体形此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六方面皆与尖方体之底面积等又自甲心依各棱至各角剖之则成甲乙丙丁戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方体此每一尖方体俱为倍高正方体之六分之一既为倍高正方体之六分之一则必为同高扁方体之三分之一故将所得庚乙丁辛之同高方体积三分之而得甲乙丙丁戊尖方体之积也设如阳马体形底方毎边六尺高亦六尺问积几何法以底方毎边六尺自乘得三十六尺又以高六尺再乘得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁高再乘得己乙丁甲正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳马体与尖方体形虽不同而法则一葢尖方体形尖在正中阳马体形尖在一隅然大凡体形其底面积等高度又等则其体积亦必相等(见几)(何原本二巻第二十二节)故今阳马体之乙丙丁戊底面积即如尖方体之底其甲丁高度即如尖方体之高度故形虽不同而积则一也设如鼈臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何法以长与阔四尺自乘得十六尺以高九尺再乘得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲乙丙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半葢各类尖体其底面积等其高又等则其体积亦等(见几何原)(本二卷第二十二节)今甲乙丙丁鼈臑体之乙丙丁底积为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙丁戊底面积之一半则甲乙丙丁鼈臑体积亦必为甲戊乙丙丁阳马体积之一半鼈臑体既为阳马体之一半而阳马体又为长方体之三分之一则鼈臑体必为长方体之六分之一故将所得甲庚戊乙丙己长方体积六分之即得甲乙丙丁鼈臑体之积也又凡正方体或长方体按法剖之即成堑堵阳马鼈臑各体而自得其相比之率也如图甲乙丙丁戊己正方体自其庚乙一面对角线至对面戊辛对角斜线平分之即得甲乙辛戊己与庚乙丙丁戊二堑堵体又将庚乙丙丁戊堑堵体自其上棱戊角至乙对角依乙丙下棱斜剖之则得戊乙丙丁辛一阳马体乙丙戊庚一鼈臑体又将戊乙丙丁辛阳马体自其戊乙相对斜棱平分之则得戊乙丁辛与戊乙丙丁二鼈臑体夫一正方体剖之得二堑堵体是堑堵体为正方体二分之一也一堑堵体剖之得一阳马体一鼈臑体而一阳马体剖之又得二鼈臑体是阳马体为堑堵体之三分之二即为正方体之三分之一而鼈臑体为堑堵体之三分之一即为正方体之六分之一也设如上下不等正方体形上方毎边四尺下方毎边六尺高八尺问积几何法以上方每边四尺自乘得一十六尺下方每边六尺自乘得三十六尺又以上方毎边四尺与下方毎边六尺相乘得二十四尺三数相并得七十六尺与高八尺相乘得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形戊丁上方边自乘得甲戊丁己正方面形庚丙下方边自乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方边与庚丙下方边相乘得壬癸子丑长方面形将此三方面形相并与高八尺相乘得三长方体形其一上下方面俱如甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑葢乙庚丙辛长方体比甲戊丁己长方体多壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已巳四方廉体又多乙壬甲辰癸庚寅戊丁卯丙子已已丑辛四长廉体而壬癸子丑长方体比甲戊丁巳长方体多壬癸戊甲巳丁子丑二方廉体若将共多之六方廉体四长廉体俱截去则此三长方体之上下方面必皆如甲戊丁己乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得十二堑堵体十二阳马体将甲戊丁已类三长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等三正方体故三归之而得甲乙丙丁上下不等一正方体形之积也又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率高八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体之共高乃以下方边六尺自乘得三十六尺与所得共高二十四尺相乘得八百六十四尺三归之得二百八十八尺为大尖方体之积又以高八尺与共高二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之高以上方边四尺自乘得十六尺与上高十六尺相乘得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余二百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也如甲乙丙丁上下不等正方体形加戊甲丁小尖方体形遂成戊乙丙大尖方体形先以上方边与丁方边相减折半如巳庚下方边折半如己辛依勾股比例巳庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下方面相乘三归之得戊乙丙大尖方体积以戊癸与甲丁上方面相乘三归之得戊甲丁小尖方体积于戊乙丙大尖方体积内减去戊甲丁小尖方体积所余必甲乙丙丁上下不等正方体形之积也设如上下不等长方体形上方长四尺阔三尺下方长八尺阔六尺高十尺问积几何法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺倍之得九十六尺又以上阔三尺与下长八尺相乘得二十四尺以下阔六尺与上长四尺相乘得二十四尺四数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形戊丁上长与甲戊上阔相乘得一甲戊丁庚长方面形倍之得二甲戊丁庚长方面形已丙下长与乙己下阔相乘得一乙己丙辛长方面形倍之得二乙己丙辛长方面形甲戊上阔与已丙下长相乘得一壬癸子丑长方面形乙己下阔与戊丁上长相乘得一寅卯辰巳长方面形将此六长方面形相并与高十尺相乘得六长方体形其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上下方面俱如乙己丙辛其一上下方面俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅卯辰巳葢二乙己丙辛长方体比二甲戊丁庚长方体为多二壬癸戊甲二戊卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方廉体又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二丁辰丙子二巳庚丑辛八长廉体而一壬癸子丑长方体比一甲戊丁庚长方体多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉体而一寅卯辰巳长方体比一甲戊丁庚长方体多一寅甲庚巳一戊卯辰丁二方廉体若将共多之十二方廉体八长廉体俱截去则此六长方体之上下方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉体变为二堑堵体每一长廉体变为三阳马体共得二十四堑堵体二十四阳马体将六长方体各加四堑堵体四阳马体则皆成上下不等六长方体故六归之而得甲乙丙丁上下不等长方体形之积也又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下阔六尺相乘得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与高十尺相乘得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也此法与前法同此法之以上长倍之加下长与上阔相乘之数即前法之上长上阔相乘倍之又加上阔与下长相乘之数也又此法之以下长倍之加上长与下阔相乘之数即前法之下长下阔相乘倍之又加下阔与上长相乘之数也图解并同又法以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺又以上长四尺与下阔六尺相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺与高十尺相乘得八百四十尺三归之得二百八十尺亦即上下不等长方体形之积也葢此法与上下不等正方体求积之法同但正方体上下俱系正方面故止用上下方边各自乘上方边与下方边相乘此则上下方面各有长阔既用上方长阔相乘下方长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘上阔相加折半以取中数乃可相并而与高数相乘三归之而得体积也又法以上长四尺与下长八尺相减余四尺折半得二尺为一率高十尺为二率下长八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等长方体形上补成一尖长方体之共高乃以下长八尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所得共高二十尺相乘得九百六十尺三归之得三百二十尺为大尖长方体之积又以高十尺与共高二十尺相减余十尺为上小尖长方体之高以上长四尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高十尺相乘得一百二十尺三归之得四十尺为上小尖长方体之积与大尖长方体积三百二十尺相减余二百八十尺即上下不等长方体形之积也如甲乙丙丁上下不等长方体形加戊甲丁小尖长方体形遂成戊乙丙大尖长方体形先以上长与下长相减折半如己庚以下长折半如己辛依勾股比例己庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之比以戊辛与乙丙下长方面相乘三归之得戊乙丙大尖长方体积以戊癸与甲丁上长方面相乘三归之得戊甲丁小尖长方体积于戊乙丙大尖体积内减去戊甲丁小尖体积所余必甲乙丙丁上下不等长方体形之积也设如上下不等刍荛体形上长十尺下长十四尺下阔五尺高十二尺问积几何法以上长十尺与下阔五尺相乘得五十尺以高十二尺再乘得六百尺折半得三百尺为上下相等刍荛体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下阔五尺相乘得二十尺以高十二尺再乘得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍荛体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍荛体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍荛体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍荛体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛阔(与乙丙等)相乘即得己辛壬庚刍荛体之底面积与甲癸高相乘折半得甲己辛壬戊刍荛体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙阔相乘得乙辛与庚丁二尖方体之底面积与高相乘三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与甲己辛壬戊一刍荛积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍荛体之总积也设如两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸高三尺七寸问积几何法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积必俱相等(见几何原本五巻第十九节)故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立之长方体为相等也设如空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸为内方边与外方边相乘长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅巳子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为内方边长为外方边也又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乘再乘得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八寸即内方边加较四寸得一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体以戊己庚辛空心小正方形移置乙角之一隅则空心正方体变为甲戊辛庚丙丁壬磬折体形其甲戊即磬折体之厚为甲乙外方边与戊己内方边之较依开立方次商法分之得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊厚度自乘再乘得巳一小隅体与共积相减余三方廉体三长廉体三归之则余癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方体则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即空心方体之内方边以甲戊与戊乙相加得甲乙即空心方体之外方边也设如大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边各几何法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乘再乘得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺即小正方之边数加较四尺得十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减去戊己庚辛小正方体余壬甲戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲戊边较自乘再乘得巳一小隅体与磬折体积相减余三方廉体三长廉体三归之则得癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长阔之较故用带纵开平方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也设如大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何法以共边二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百一十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔八尺即小正方之边数与共边二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙癸子一总正方体内减甲乙丙丁与戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅卯三方廉体辰巳午三长廉体三归之则得丑一方廉体辰一长廉体共成未壬乙丙戊申一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊申之长方面形其未壬阔与壬甲等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长阔和用带纵和数开平方法算之得未壬阔即小正方之边数与长阔和相减余壬戊长即大正方之边数也御制数理精蕴下编卷二十五
## 下编卷二十六
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十六体部四曲线体曲线体设如长圎体径与髙皆七尺问积㡬何法以长圎体径七尺用求圎面积法求得圎面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先以乙丙底径求得乙己丙戊圎面积而以庚辛髙乗之即得甲乙丙丁长圎体之积也又法以长圎体径七尺用径求周法求得圎周二十一尺九寸九分一厘一豪四丝八忽五微五纤有余与髙七尺相乗得一百五十三尺九十三寸八十分三十九厘八十五豪有余为长圎体之外面积以半径三尺五寸乗之得五百三十八尺七百八十三寸一百三十九分四百七十五厘有余折半得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圎体之积也如圗甲乙丙丁长圎体先求得乙己丙戊圎周与甲乙髙相乗得甲乙丙丁外面积为底以庚甲半径乗之得庚甲丙辛长方体为甲乙丙丁长圎体积之二倍葢因长圎体之外面积与长方体之底面积等而长圎体之半径又与长方体之髙度等则长圎体为长方体之一半(见㡬何原本五卷第二十四节)故折半即得甲乙丙丁长圎体之积也又法用长方体长圎体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之长圎体径七尺自乗以髙七尺再乗得三百四十三尺为三率求得四率二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分九百零九厘有余即长圎体之积也此法葢以长方体与长圎体为比例定率之一○○○○○○○○○为长方体积而七八五三九八一六三为长方体同髙同径之长圎体积故以径自乗髙再乗得长方体积彼定率之长方体与长圎体之比即同于今所得之长方体积与所求之长圎体积之比也设如尖圎体底径六尺中髙六尺问积㡬何法以底径六尺用求圎面积法求得底面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余以髙六尺乗之得一百六十九尺六百四十六寸三分一百厘有余三归之得五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百厘有余即尖圎体之积也如圗甲乙丙丁戊尖圎体先以乙丁底径求得乙丙丁戊底面积以甲己髙乗之得庚乙丁辛长圎体为甲乙丙丁戊尖圎体之三倍葢因上下面平行各体与平底尖体同底同髙者其平底尖体皆得上下面平行体之三分之一(见㡬何原本五卷第二十三节)故以所得庚乙丁辛长圎体积三归之即得甲乙丙丁戊尖圎体积也又法用尖方体尖圎体之定率比例以尖方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积七八五三九八一六三为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺成尖方体积为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分七百三十六厘有余即尖圎体之积也盖尖方体为长方体之三分之一而尖圎体为长圎体之三分之一故尖方体与尖圎体之比即同于长方体与长圎体之比也又捷法定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率尖圎体积二六一七九九三八八为二率今所设之尖圎体底径六尺自乗以髙六尺再乗得二百一十六尺为三率求得四率五十六尺五百四十八寸六百六十七分八百零八厘有余即尖圎体之积也此法葢以长方体与尖圎体为比例长方体积为一○○○○○○○○○则长圎体积为七八五三九八一六三将此长圎体积三归之则得尖圎体积为二六一七九九三八八故定率之长方体与尖圎体之比即同于今底径自乗髙再乗所得之长方体积与所求之尖圎体积之比也设如尖圎体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何法以底周二十二尺用周求径法求得底径七尺零二厘八豪一丝七忽有余折半得半径三尺五寸零一厘四豪零八忽有余为勾以自尖至底周之斜线五尺为弦求得股三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙也如圗甲乙丙丁戊尖圎体以乙丙丁戊底周求得乙丁底径折半得乙巳半径为勾以自尖至底周之甲乙斜线为弦求得甲巳股即中垂线之髙也设如圎球径二尺问外面积几何法以圎球径二尺用径求周法求得周六尺二寸八分三厘一豪八丝五忽有余与径二尺相乗得一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圎球之外面积也如圗甲乙丙丁圎球体以甲丙全径与甲乙丙丁全周相乗即得圎球体之外面积葢因圎面半径与球体半径等者其圎面积为球体外面积之四分之一而圎面半径与球体全径等者其圎面积与球体外面积等(见几何原本十巻第)(八节)故圎球全径与全周相乗而得圎球之外面积也设如圎球径一尺二寸问积几何法以圎球径一尺二寸用径求圎面积法求得圎面积一尺一十三寸零九分七十三厘三十五豪四十丝有余以圎球径一尺二寸乗之得一尺三百五十七寸一百六十八分零二十四厘有余为长圎体积三归之得四百五十二寸三百八十九分三百四十一厘有余倍之得九百零四寸七百七十八分六百八十二厘有余即圎球之体积也如圗甲乙丙丁圎球体求得戊己庚辛平圎面积以甲丙全径乗之得与圎球同径同髙之壬戊庚癸长圎体此球体之乙丁全径与长圎体之戊庚底径度等而球体之甲丙全径又与长圎体之壬戊髙度等则球体积为长圎体积之三分之二(见㡬何原本十卷第九节)试以圎球同径之平圎面积为底圎球之半径为髙作一甲乙丁尖圎体则其积为甲乙丁半球体积之半夫尖圎体与长圎体同底同髙其比例为三分之一而尖圎体又为半球体之二分之一则半球体必为半长圎体之三分之二半球体既为半长圎体之三分之二则全球体必为全长圎体之三分之二可知故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁圎球体积也又法以圎球径一尺二寸用求圎球之外面积法求得圎球之外面积四尺五十二寸三十八分九十三厘四十一豪六十丝有余以半径六寸乗之得二尺七百一十四寸三百三十六分四十九厘有余三归之得九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之体积也如圗甲乙丙丁圎球体先求得外面积乃以此外面积为底戊丙半径为髙作一戊己庚尖圎体其体积必与圎球体积等葢尖圎体之底面积与球体之外面积等尖圎体之髙度与球体之半径等则其体积亦必等(见㡬何原本五卷第)(二十五节)故以戊丙半径与外面积相乗三归之即如得戊己庚尖圗体积而为甲乙丙丁圎球体积也又法以方邉球径相等方积球积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圎球之体积也此法葢因圎球径与正方邉相等而圎球积与正方积不同故以圎球径自乗再乗作正方积为体与体之比例如子丑圎球径为一○○○则其自乗再乗之寅邜辰巳正方体积为一○○○○○○○○○而圎球径一○○○所得之子午丑未圎球体积为五二三五九八七七五故以子丑圎球径一○○○自乗再乗之寅夘辰巳正方体积一○○○○○○○○○与子丑圎球径所得之子午丑未圎球体积五二三五九八七七五之比即同于今所设之甲丙圎球径一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁圎球体积九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余之比也又法用球积方积相等球径方邉不同之定率比例以圎球径一○○○○○○○○为一率正方邉八○五九九五九七为二率今所设之圎球径一尺二寸为三率求得四率九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余为与圎球积相等之正方体每邉之数自乗再乗得九百零四寸七百七十八分六百四十九厘有余即圎球之体积也此法葢以圎球积与正方积设为相等使圎球径与正方邉不同先定为线与线之比例既得线而后自乗再乗之为体也如子丑圎球径一○○○○○○○○其所得之体积开立方则得八○五九九五九七即为寅邜辰巳正方体之每一邉是子午丑未圎球积与寅邜辰巳正方积相等故子丑圎球径一○○○○○○○○与寅邜正方邉八○五九九五九七之比即同于今所设之甲丙圎球径一尺二寸与今所得之戊巳正方邉九寸六分七厘一豪九丝五忽一微六纤有余之比既得戊己正方邉自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁圎球体积为相等也又法以二十一分为一率十一分为二率今所设之圎球径一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零五寸一百四十二分八百五十七厘有余为圎球之体积也葢以正方体积一○○○○○○○○○圎球体积五二三五九八七七五之定率约之则正方体积二十一而圎球体积得一○九九有余进而为十一则圎球体积稍大故今所得之圎球体积亦稍大也设如圎球积六尺问径㡬何法用球径方邉相等球积方积不同之定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之圎球积六尺为三率求得四率十一尺四百五十九寸一百五十五分九百零二厘有余为与圎球径相等之正方邉之正方体积开立方得二尺二寸五分四厘五豪零二忽有余即圎球之径也葢圎球积为五二三五九八七七五则正方积为一○○○○○○○○○若圎球积为一○○○○○○○○○则正方积为一九○九八五九三一七其比例仍同故以圎球积一○○○○○○○○○为一率者即如以圎球积五二三五九八七七五为一率而以正方积一九○九八五九三一七为二率者即如以正方积一○○○○○○○○○为二率也又法用球积方积相等球径方邉不同之定率比例以方邉一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率今所设之圎球积六尺开立方得一尺八寸一分七厘一豪二丝有余为三率求得四率二尺二寸五分四厘五豪零二忽有余即圎球之径也此法亦以圎球积与正方积设为相等使圎球径与正方邉不同故以圎球积开立方得立方邉为线与线之比例葢方邉为八○五九九五九七则球径为一○○○○○○○○若方邉为一○○○○○○○○则球径为一二四○七○○九八其比例仍同故以方邉一○○○○○○○○为一率者即如以方邉八○五九九五九七为一率而以球径一二四○七○○九八为二率者即如以球径一○○○○○○○○为二率也设如撱圎体大径六寸小径四寸问积几何法以小径四寸用径求圎面积法求得圎面积一十二寸五十六分六十三厘七十豪六十丝有余以大径六寸乗之得七十五寸三百九十八分二百二十三厘有余为长圎体积三归之得二十五寸一百三十二分七百四十一厘有余倍之得五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也如圗甲乙丙丁撱圎体以乙丁小径求得戊己庚辛平圎面积再以甲丙大径乗之得壬戊庚癸长圎体此撱圎体积即为长圎体积之三分之二亦如圎球体积为同径同髙之长圎体积之三分之二故以所得壬戊庚癸长圎体积三归倍之即得甲乙丙丁撱圎体积也又法以小径四寸自乗得十六寸以大径六寸再乗得九十六寸为长方体积乃用方积球积不同方邉球径相等之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率今所得之长方体积九十六寸为三率求得四率五十寸二百六十五分四百八十二厘有余即撱圎体之积也葢函撱圎之长方体与所函撱圎体之比同于函球之正方体与所函球体之比(见几何原本十卷第十四节)如甲乙丙丁撱圎体甲丙大径六寸乙丁小径四寸以乙丁小径自乗又以甲丙大径再乗遂成戊己庚辛长方体形此长方体积与撱圎体积之比即同于正方体积与圎球体积之比故以定率之正方体积为一率圎球体积为二率今所得之长方体积为三率求得四率为撱圎体之积也设如撱圎体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各㡬何法用方积球积不同方邉球径相等之定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之撱圎体积五十寸为三率求得四率九十五寸四百九十二分九百六十五厘八百五十豪有余为长方体积乃以大径比小径多二寸为长与濶之较用带一縦开立方法算之得濶三寸九分九厘二豪有余即撱圎体之小径加大径比小径多二寸得五寸九分九厘二豪有余即撱圎体之大径也如圗甲乙丙丁撱圎体用球积与方积之定率比例即成戊己庚辛长方体形其戊己长即甲丙大径壬庚濶即乙丁小径甲丙大径比乙丁小径多二寸即长濶之较故用带一縦开立方法算之得濶为撱圎体之小径得长为撱圎体之大径也设如上下不等圎面体上径四尺下径六尺髙八尺问积㡬何法以上径四尺用径求圎面积法求得上圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余又以下径六尺用径求圎面积法求得下圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余又以上径四尺与下径六尺相乗得二十四尺开方得中径四尺八寸九分八厘九豪七丝九忽四微八纤有余用径求圎面积法求得中圎面积一十八尺八十四寸九十五分五十五厘八十五豪有余三数相并得五十九尺六十九寸二分六十厘三十豪有余与髙八尺相乗得四百七十七尺五百二十二寸八十二分四百厘有余三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圎面体之积也葢上下不等圎面体立法与上下不等正方体同理但上下不等正方体上下俱系方面故求得上中下三方面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积也又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圎面体上补成一尖圎体之共髙乃以下径六尺用径求圎面积法求得圎面积二十八尺二十七寸四十三分三十三厘八十五豪有余与所得共髙二十四尺相乗得六百七十八尺五百八十四寸一十二分四百厘有余三归之得二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余为大尖圎体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上尖圎体之髙以上径四尺用径求圎面积法求得圎面积一十二尺五十六寸六十三分七十厘六十豪有余与上髙十六尺相乗得二百零一尺六十一寸九百二十九分六百厘有余三归之得六十七尺二十寸六百四十三分二百厘有余为上小尖圎体之积与大尖圎体积二百二十六尺一百九十四寸六百七十分八百厘有余相减余一百五十九尺一百七十四寸二十七分六百厘有余即上下不等圎面体之积也如圗甲乙丙丁上下不等圎面体如戊甲丁小尖圎体遂成戊乙丙大尖圎体故于戊乙丙大尖圎体积内减去戊甲丁小尖圎体积而得甲乙丙丁上下不等圎面体之积也又法用上下不等正方体与上下不等圎面体之定率比例以正方体积一○○○○○○○○○为一率圎面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺三归之得二百零二尺六百六十六寸六百六十六分六百六十六厘有余成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圎面体之积也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺相乗下径六尺自乗上径四尺与下径六尺相乗三数相并以髙八尺乗之得六百零八尺为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分九百厘有余即上下不等圎面体之积也此法葢以三上下不等正方体与一上下不等圎面体为比例夫一上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为七八五三九八一六三若三上下不等正方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等圎面体积为二六一七九九三八八故以上径自乗下径自乗上下径相乗三数相并以髙乗之所得为三上下不等正方体积彼定率之三上下不等正方体与一上下不等圎面体之比即同于今所得之三上下不等正方体积与所求之一上下不等圎面体积之比也设如上下不等撱圎面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何法以上大径四尺与上小径三尺相乗得一十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃用方积圎积之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率圎积七八五三九八一六三为二率三数相并之八十四尺为三率求得四率六十五尺九十七寸三十四分四十五厘六十九豪有余与髙十尺相乗得六百五十九尺七百三十四寸四百五十六分九百厘有余三归之得二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百三十三厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢上下不等撱圎面体立法与上下不等圎面体同但上下不等圎面体上下俱系圎面故求得上中下三圎面积相并与髙相乗三归之而得体积此上下俱系撱圎面故必求得上中下三长方面积相并用定率比例得三撱圎面积乃与髙相乗三归之而得体积也又法以上大径四尺与下大径八尺相减余四尺折半得二尺为一率髙十尺为二率下大径八尺折半得四尺为三率求得四率二十尺为上下不等撱圎面体上补成一尖撱圎体之共髙乃以下大径八尺小径六尺用求撱圎面积法求得下撱圎面积三十七尺六十九寸九十一分一十一厘六十八豪有余与所得共髙二十尺相乗得七百五十三尺九百八十二寸二百三十三分六百厘有余三归之得二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余为大尖撱圎面体之积又以髙十尺与共髙二十尺相减余十尺为上小尖撱圎面体之髙以上大径四尺小径三尺用求撱圎面积法求得上撱圎面积九尺四十二寸四十七分七十七厘九十二豪有余与上髙十尺相乗得九十四尺二百四十七寸七百七十九分二百厘有余三归之得三十一尺四百一十五寸九百二十六分四百厘有余为上小尖撱圎面体积与大尖撱圎面体积二百五十一尺三百二十七寸四百一十一分三百厘有余相减余二百一十九尺九百一十一寸四百八十四分八百厘有余即上下不等撱圎面体积也如圗甲乙丙丁上下不等撱圎面体如戊甲丁小尖撱圎面积遂成戊乙丙大尖撱圎面体故于戊乙丙大尖撱圎面体内减戊甲丁小尖撱圎面体而得甲乙丙丁上下不等撱圎面体之积也又法用上下不等长方体与上下不等撱圎面体之定率比例以长方体积一○○○○○○○○○为一率长圎体积七八五三九八一六三为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺六归之得二百八十尺成上下不等长方体积为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分六百四十厘有余即上下不等撱圎面体之积也葢长方面积与撱圎面积之比同于方面积与圎面积之比故上下不等长方体与上下不等撱圎面体之比即同于长方体与长圎体之比也又捷法定率比例以一○○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共一十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺以髙十尺乗之得一千六百八十尺为三率求得四率二百一十九尺九百一十一寸四百八十五分九百二十厘有余即上下不等撱圎面体之积也此法葢以六上下不等长方体与一上下不等撱圎面体为比例夫一上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为七八五三九八一六三若六上下不等长方体积为一○○○○○○○○○则一上下不等撱圎面体积为一三○八九九六九四故以上大径倍之加下大径与上小径相乗以下大径倍之加上大径与下小径相乗两数相并以髙乗之所得为六上下不等长方体积彼定率之六上下不等长方体积与一上下不等撱圎面体积之比即同于今所得之六上下不等长方体积与所求之一上下不等撱圎面体积之比也设如截球体一段髙二寸底径九寸六分问积㡬何法以髙二寸为首率底径九寸六分折半得四寸八分为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圎球之截径加髙二寸得一尺三寸五分二厘为圎球之全径折半得六寸七分六厘为圎球之半径又以髙二寸为勾底径九寸六分折半得四寸八分为股求得弦五寸二分作平圎半径用求圆面积法求得平圎面积八十四寸九十四分八十六厘有余即为截球体一段之外面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘有余三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余为自圎球中心所分球面尖圎体积又以截球体底径九寸六分用求平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乘得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球体底径所分平面尖圎体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七十一分八十八厘有余即截球体一段之积也如圗甲乙丙截球体一段其乙丙底径即如弧矢形之弦长其甲丁髙即如弧矢形之矢濶故甲丁为首率乙丙底径折半得乙丁为中率求得丁戊末率为截球径(见各面形弦矢求圎径法)与甲丁髙相加得甲戊为圎球全径折半得甲巳为圎球半径又以甲丁为勾乙丁为股求得甲乙弦乃以甲乙弦为半径求得庚乙丙平圎面积即与甲乙丙截球体一段之外面积等葢圎面半径与球体半径等者其圎面积为球体外面积之四分之一而圎面半径与球体全径等者其圎面积与球体外面积等(见㡬何原本十卷第八节)故甲辛戊壬圎球体其外面积为同径子丑寅邜平圎面积之四倍若甲辛壬半球体其外面积必为子丑寅邜平圎面积之二倍然则甲己半径求得平圎面积又辛己半径亦求得平圎面积两面积相并必与甲辛壬半球体之外面积等矣今甲乙丙截球体一段若以甲丁为半径求得平圎面积又以乙丁为半径求得平圎面积两面积相并亦必与甲乙丙截球体一段之外面积等而甲乙弦自乗之正方与甲丁勾自乗之正方乙丁股自乗之正方相并之积等则甲乙弦为半径所得之圎面积亦必与甲丁勾为半径所得之圎面积乙丁股为半径所得之圎面积相并之积等故以甲乙弦为半径所得之庚乙丙平圎面积即与甲乙丙截球体一段之外面积相等也既得截球体一段之外面积与甲巳圎球半径相乗三归之得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球体底径求得乙丙底面积与丁巳截半径相乗三归之得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减所余即甲乙丙截球体一段之积也又法先求得圎球径一尺三寸五分二厘用径求周法求得圎周四尺二寸四分七厘四豪三丝三忽有余与截球体一段之髙二寸相乗得八十四寸九十四分八十六厘有余即为截球一段之外面积与圎球半径六寸七分六厘相乗得五百七十四寸二百五十二分五百三十六厘三归之得一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余为自圎球中心所分球面尖圎体积又以截球体底径九寸六分用求平圎面积法求得截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余于圎球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余四寸七分六厘与截球体之底面积七十二寸三十八分二十二厘有余相乗得三百四十四寸五百三十九分二百七十二厘有余三归之得一百一十四寸八百四十六分四百二十四厘有余为自圎球中心至截球径所分平面尖圎体积与球面尖圎体积一百九十一寸四百一十七分五百一十二厘有余相减余七十六寸五百七十一分八十八厘有余即截球体一段之积也如圗甲乙丙截球体一段先求得甲戊全径与庚辛等又求得壬庚癸辛全周与甲丁髙相乗得庚子丑辛截长圎体一段之外面积与甲乙丙截球体一段之外面积等葢球体全径与长圎体底径髙度相等者其相当每段之外面积皆相等(见㡬何原本十卷第十一节)既得甲乙丙截球体一段之外面积则与甲巳半径相乗三归之而得己丙甲乙球面尖圎体积又以乙丙截球体底面积与丁己截半径相乗三归之而得己丙丁乙平面尖圎体积与己丙甲乙球面尖圎体积相减余即得甲乙丙截球体一段之积也设如空心圎球积二千寸厚三寸问内外径数各㡬何法用球径方邉相等球积方积不同之定率比例以球积一○○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率今所设之空心圎球积二千寸为三率求得四率三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘相减余三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余六归之得六百寸六百一十九分七百七十二厘有余用厚三寸除之得三尺零二十分六十五厘九十豪为内径与外径相乗长方面积乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球外径也此法盖以空心圎球体与空心正方体为比例即如用球积与方积定率为比例也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球体其甲丙外径与壬癸外方邉等其戊庚内径与寅邜内方邉等是以甲乙丙丁大球体与壬癸子丑大正方体为比戊己庚辛小球体与寅邜辰已小正方体为比而空心圎球体与空心正方体之比即如球体积与方体积之比也既得空心正方体积则用算空心正方体法以壬酉厚自乗再乗八因之得午巳未申类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面酉戌坎未类六长方扁体六归之得酉戌坎未一长方扁体用厚三寸除之得酉戌亥干一长方面积其酉戌濶与戊庚等即内径其酉干长与壬丑等即外径其酉寅巳干皆与壬酉厚度等酉寅巳干并之即长濶之较故以厚三寸倍之为带縦求得濶为内径长为外径也又法用定率比例求得空心正方体积以厚三寸倍之得六寸为内方邉与外方邉之较自乗再乗得二百一十六寸与所得空心正方体积三尺八百一十九寸七百一十八分六百三十四厘有余相减余三尺六百零三寸七百一十八分六百三十四厘有余三归之得一尺二百零一寸二百三十九分五百四十四厘有余以内外方邉之较六寸除之得二尺零二十分六十五厘九十豪有余为长方面积以内外方邉之较六寸为长濶之较用带縦较数开平方法算之得阔一尺一寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球内径得长一尺七寸四分六厘三豪九丝七忽有余即空心圎球外径也如圗甲乙丙丁戊己庚辛空心圎球体用定率比例而得壬癸子丑寅邜辰巳空心正方体将寅邜辰巳空心小正方形移置癸角之一隅则空心正方体变为壬寅己辰子申未午罄折体形其壬寅即罄折体之厚为甲丙外径与戊庚内径之较依开立方法分之得酉戌亥三方亷体干坎艮三长亷体震一小隅体以壬寅厚度自乗再乗得震一小隅体与空心正方体积相减余三方亷体三长亷体三归之则余酉一方亷体干一长亷体共成巽壬癸辰坤离一扁方体其巽壬厚与壬寅等以巽壬厚除巽壬癸辰坤离扁方体则得壬癸辰坤长方面壬寅即长濶之较故用带縦较数开平方法算之得邜辰濶与寅癸等即空心圎球之内径以壬寅与寅癸相加得壬癸与甲丙等即空心圎球之外径也设如圎窖一座周二十四尺髙十尺问盛米㡬何法以周二十四尺用圎周求面积法求得圎面积四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余与髙一丈相乗得四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为圎窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圎窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米数也此法与求长圎体积之法同如甲乙丙丁长圎窖以甲戊丁巳圎周求得平圎面积用甲乙髙乗之即得甲乙丙丁长圎体积既得体积则以一石积数二千五百寸与一石之比同于今所得之体积与今所求之米数之比也设如圎窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各㡬何法以米一石为一率一石积数定率二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圎窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圎窖之面积乃用圎积方积之定率比例以圎积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率今所得之圎窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十豪有余开平方得七尺一寸三分六厘四豪九丝有余即圎窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九豪四丝有余即圎窖之周数也设如积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何法以底周十四尺用圎周求面积法求得圎面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二豪有余为尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之尖圎堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一抄有余即所堆之米数也此法与尖圎体求积之法同既得尖圎堆之积而以一石之积数定率为比例即得米数也设如倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数㡬何法以底周六尺为半周倍之得一十二尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖圎堆之底面积以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁尖圎堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七抄有余即倚壁所堆之米数也葢倚壁尖圎堆即尖圎体之一半故求得平圎面积折半与髙数相乗又以三归之得倚壁尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也设如倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数㡬何法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角尖圎堆之底面积与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁内角尖圎堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也盖倚壁内角尖圎堆即尖圎体之四分之一故求得平圎面积四归之与髙数相乗又以三归之得倚壁内角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也设如倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数㡬何法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周用圎周求面积法求得圎面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二豪有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十八厘四十四豪有余为倚壁外角尖圎堆之底面积以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余即倚壁外角尖圎堆之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率今所得之倚壁外角尖圎堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八抄有余即倚壁外角所堆之米数也盖倚壁外角尖圎堆即尖圎体四分之三故求得平圎面积四归三因与髙数相乗又以三归之得倚壁外角尖圎堆之积数而以一石积数为比例即得米数也御制数理精蕴下编卷二十六
## 下编卷二十七
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十七体部五各等面体各等面体设如四面体每边一尺二寸求积几何法以每边一尺二寸为弦每边折半得六寸为勾求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余为每一面之面积又以毎边一尺二寸为弦每一面之中垂线取其三分之二得六寸九分二厘八豪二丝零二㣲有余为勾求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余为四面体自尖至底中心之立垂线或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为弦每一面之中垂线取其三分之一得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底之中之立垂线以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也如圗甲乙丙丁四面体其棱六角四平铺之则面亦四各成一等边三角形试以乙丙丁之一面为底以乙丙一边为弦丁丙一边折半得戊丙为勾求得乙戊股与甲戊等即每一面之中垂线与丁丙一边相乗折半得乙丙丁底面积又以甲丙一边为弦己丙中垂线之三分之二为勾求得甲己股为自尖至底中心之立垂线或以甲戊每一面之中垂线为弦己戊中垂线之三分之一为勾亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗三归之即得甲乙丙丁四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线㨗法以毎边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即自尖至底中心之立垂线也此法葢因甲丙为弦戊丙为勾求得甲戊股则甲戊自乗方为甲丙自乗方之四分之三(见等边三角形求中垂线法)又甲戊为弦己戊为勾求得甲己股则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八(己戊为甲戊三分之一则甲戊自乗方为)(九分己戊自乗方为一分甲己自乗方为八分)甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八即三分之二故以一边自乗三归二因得甲己自乗方积而开方得甲己为立垂线之髙数也又用知一边求髙数之定率比例求自尖至底中心之立垂线以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之立垂线八一六四九六五八为二率今所设之四面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余即四面体自尖至底中心之立垂线也又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余即四面体之积也葢四面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也又用体积相等边线不同之定率比例以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为与四面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余即四面体之积也葢四面体之每边为二○三九六四八九○正方体之每边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积即与甲乙丙丁四面体之积为相等也如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等四面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一边也此法葢因四面体积与正方体积相等四面体之每边与正方体之每边不同故以四面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也设如八面体每边一尺二寸求积几何法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也如图甲乙丙丁戊己八面体其棱十二角六平铺之则面为八各成一等边三角形自体正中对四角平分截之则成甲乙己丁戊丙乙戊丁己二尖方体甲丙为二尖方体之共髙即甲乙丙丁正方形之对角斜线故以戊乙一边自乗得戊乙己丁正方面积为二尖方体之共底又以戊乙己丁正方面积倍之开平方即如甲乙为勾乙丙为股各自乗相并开方得甲丙弦为八面体之对角斜线即二尖方体之共髙以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗三归之得二尖方体积即八面体之总积也又用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率今所设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也葢八面体之每一边为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也又用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为与八面体积相等之正方体每边之数自乗再乗得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余即八面体之积也葢八面体之每边为一二八四八九八二九正方体之毎边为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等八面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也此法葢因八面体积与正方体积相等八面体之每边与正方体之每边不同故以八面体积先开立方得正方体之每边而后为线与线之比例也设如十二面体每边一尺二寸求积几何法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为弦每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也如图甲乙丙丁戊十二面体其棱三十角二十平铺之则面十二各成一等边五角形先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线又求得子丑自中心至每边之垂线复求得己庚辛壬癸五等边形之面积次以辛壬一边为大分己辛两角相对斜线为全分故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比而得两角相对之斜线又自十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线(与己辛等)之一半而为十等边形之一边故寅卯与辰寅之比又同于理分中末线之大分与全分之比而得十二面体之中心至每边正中之斜线乃以辰寅斜线为弦每面中心至每邉之子丑垂线为勾求得辰子股即十二面体中心至每面中心之立垂线以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗三归之得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积十二因之即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也盖十二面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为与十二面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余即十二面体之积也葢十二面体之每邉为五○七二二二○七正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每邉之数则用邉线相等体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等十二面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率十二面体之每邉五○七二二二○七为二率今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率求得四率一尺二寸即十二面体之每一邉也此法葢因十二面体积与正方体积相等十二面体之每邉与正方体之每邉不同故以十二面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也设如二十面体每邉一尺二寸求积几何法以二十面体分作二十三角尖体算之将每邉一尺二寸求得三等邉形之分角线为六寸九分二厘八豪二丝零二微有余自中心至每邉之垂线为三寸四分六厘四豪一丝零一微有余面积为六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之每邉一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以此斜线为弦每一面中心至邉之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余为二十面体之中心至每一面中心之立垂线爰以此立垂线与每一面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗三归之得一百八十八寸四百九十八分四百一十五厘有余为一三角尖体积二十因之得三尺七百六十九寸九百六十八分三百厘有余即二十面体之总积也如圗甲乙丙丁戊二十面体其棱三十角十二平铺之则面二十各成一等邉三角形先求得己丙丁三等邉形之己庚类分角线又求得庚辛自中心至每邉之垂线复求得巳丙丁三等邉形之面积次自二十面体之正中截之则成十等邉之面形而其所截之处皆正当每邉之一半故其所截之壬癸等线亦为乙丙每邉之一半而为十等邉形之一邉故壬癸与子壬之比同于理分中末线之大分与全分之比而得二十面体之中心至每邉正中之斜线乃以子壬斜线为弦每面中心至每邉之庚辛垂线为勾求得子庚股即二十面体中心至每面中心之立垂线以此子庚立垂线与己丙丁一面积相乗三归之得子己丙丁一三角尖体积二十因之即得甲乙丙丁戊二十面体之总积也又用邉线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每一邉为一○○○则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○而二十面体之每一邉一○○○所得之二十面体积为二一八一六九四九六九故以子丑寅邜辰巳二十面体之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○与子丑寅邜辰巳二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸与今所得之甲乙丙丁戊己二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余之比也又用体积相等邉线不同之定率比例以定率之二十面体之每邉七七一○二五三四为一率正方体之每邉一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九厘有余即二十面体之积也葢二十面体之每邉为七七一○二五三四正方体之每邉为一○○○○○○○○则两体积相等故以子丑寅邜辰巳二十面体之每邉七七一○二五三四与午未申酉正方体之每邉一○○○○○○○○之比即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每邉一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余之比既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积即与甲乙丙丁戊己二十面体之积为相等也如有二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边之数则用边线相等体积不同之定率比例以定率之二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○○为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等二十面体积与正方体积不同故先定为体与体之比例既得正方体积而后开立方得线也又法用体积相等邉线不同之定率比例以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余为三率求得四率一尺二寸即二十面体之每一邉也此法葢因二十面体积与正方体积相等二十面体之毎邉与正方体之每邉不同故以二十面体积先开立方得正方体之每邉而后为线与线之比例也御制数理精蕴下编二十七
## 下编卷二十八
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十八体部六球内容各等面体球外切各等面体球内容各等面体设如圆球径一尺二寸求内容四面体之每一边及体积几何法以圆球径一尺二寸三归二因得八寸为圆球内容四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得六十四寸二归三因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八㣲有余即圆球内容四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积四十一寸五十六分九十二厘一十九豪有余与自尖至每面中心之立垂线八寸相乘得三百三十二寸五百五十三分七百五十厘有余三归之得一百一十寸八百五十一分二百五十厘有余即圆球内容四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊四面体甲己与丙庚俱为自尖至每面中心之立垂线相交于辛为四面体之中心亦即圆球之中心甲辛与丙辛俱为圆球半径甲己壬勾股形与甲庚辛勾股形为同式形(甲己壬勾股形以甲己自)(尖至底中心立垂线为股己壬一面中垂线之三分之一为勾甲壬一面中垂)(线为弦甲庚辛勾股形以甲庚一面中垂线之三分之二为股庚辛四面体中)(心至每面中心之垂线为勾甲辛四面体自尖至中心立垂线为弦故两勾股)(形同用一甲角而己角庚角同为直角其壬角与辛角亦必相等所以为同式)(形也)己壬为丙壬一面中垂线之三分之一亦为甲壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为甲辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而甲辛即圆球之半径故庚辛亦为圆球半径之三分之一庚辛与辛已等今命甲辛圆球半径为三分则甲乙圆球全径为六分以辛己一分与甲辛三分相加则得甲巳四分是甲巳立垂线为甲乙圆球全径之六分之四即三分之二故以甲乙圆球径三归二因即得甲己为四面体自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每边自乘方之三分之二(见前四面体求积法)故以甲己立垂线自乘二归三因即得每一边自乘方积开平方得甲丙为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丙丁戊三角形面积与甲巳立垂线相乘三归之即得甲丙丁戊四面体之积也又求边捷法以圆球径一尺二寸自乘三归二因得九十六寸开平方亦得九寸七分九厘七豪九丝五忽八㣲有余为内容四面体之每一边也盖四面体之甲巳立垂线既为甲乙圆球径之三分之二则甲己自乘方必为甲乙自乘方之九分之四而甲己自乘方又为甲丙每边自乘方之三分之二即六分之四则甲丙每一边自乘方必为甲乙圆球径自乘方之九分之六即三分之二故以圆球径自乘三归二因开平方亦得四面体之每一边也如有四面体之一边求外切圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线二归三因即圆球径或以一边自乘二归三因开平方亦即得圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球内容四面体之一边八一六四九六五八为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八㣲有余即圆球内容四面体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球内容四面体积六四一五○○二九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百五十厘有余即圆球内容四面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容四面体积一二二五一七五三○为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一百一十寸八百五十一分二百四十九厘有余即圆球内容四面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容正方体之每一边及体积几何法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三㣲有余即圆球内容正方体之每一边以一边自乘再乘得三百三十二寸五百五十三分七百四十四厘有余即圆球内容正方体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁乙戊己庚正方体试以丙丁一边为股丁乙一边为勾求得丙乙弦即每一面之对角斜线勾与股既相等则丙乙每一面对角斜线自乘方为丙丁或丁乙每边自乘方之二倍矣又试以丙乙对角斜线为股甲丙一边为勾求得甲乙弦即圆球径则甲乙圆球径自乘方又为甲丙类每边自乘方之三倍矣故以圆球径自乘三归即得每边自乘之积开平方即得圆球内容正方体之一边以一边自乘再乘即得圆球内容正方体之积也如有正方体之一边求外切圆球径则以一边自乘三因之开平方即得圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球内容正方体之一边五七七三五○二六为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸九分二厘八豪二丝零三㣲有余即圆球内容正方体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球内容正方体积一九二四五○○八六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即圆球内容正方体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容正方体积三六七五五二五九○为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率三百三十二寸五百五十三分七百四十八厘有余即圆球内容正方体之积也设如圆球径一尺二寸求内容八面体之每一边及体积几何法以圆球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一㣲有余即圆球内容八面体之每一边也乃以八面体之每一边自乘得七十二寸以球径一尺二寸再乘得八百六十四寸三归之得二百八十八寸即圆球内容八面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙乙丁戊己八面体自正中对四角平分截之则成甲丙己丁戊乙丁戊丙己二尖方体甲乙圆球径为二尖方体之共髙即甲丙乙丁正方面之对角斜线试以甲丙一边为股乙丙一边为勾则甲乙球径为弦勾与股既相等则甲乙自乘方为甲丙自乘方之二倍故以甲乙球径自乘折半开方即得甲丙为内容八面体之一边以戊丙一边自乘得戊丙己丁二尖方体之共底面积以甲乙共髙再乘三归之得二尖方体积即八面体之总积也如有八面体之一边求外切圆球径则以一边自乘加倍开平方得对角斜线即圆球径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球内容八面体之一边七○七一○六七八为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率八寸四分八厘五豪二丝八忽一㣲有余即圆球内容八面体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积一六六六六六六六六为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率二百八十八寸即圆球内容八面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容八面体积三一八三○九八八五为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率二百八十七寸九百九十九分九百九十八厘有余即圆球内容八面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容十二面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得弦一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝六忽五㣲有余即圆球内容十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边用五等边形求面积法求得每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪有余又用五等边形求外切圜径法求得半径(即分角线)三寸六分四厘二豪三丝七忽一㣲有余为勾圆球半径六寸为弦求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七㣲有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积三十一寸五十四分三十八厘五十七豪相乘得一百五十寸三百九十八分八百零七厘有余三归之得五十寸一百三十二分九百三十五厘为一五角尖体积十二因之得六百零一寸五百九十五分二百二十厘有余即圆球内容十二面体之总积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙两角相对斜线之一半而为十等边形之一边试自十二面体之甲卯一边正中至中心辰作庚辰垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲辰圆球半径共成甲庚辰勾股形庚辰为股甲庚为勾甲辰为弦庚辰即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之小分何以知之盖十二面体每面之壬子两角相对斜线(与甲丙等)为全分则子丑一边(与甲卯等)为大分若以壬子两角相对斜线为大分则子丑一边为小分两角相对斜线之一半庚辛为大分则每边之半甲庚即为小分矣又庚辰中心至每边正中之垂线既为十等边形外切圜之半径而庚辛为十等边形之一边则庚辛为大分而庚辰必为全分矣因庚辰全分为股甲庚小分为勾而甲辰圆球半径为弦故以理分中末线之全分为股小分为勾求得弦与小分之比同于甲辰半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙全径与甲卯全边之比也既得一边则用五等边形求面积法求得壬癸子丑寅五等边形面积又求得巳癸五等边形外切圜半径(即分角线)乃以辰癸圆球半径为弦(与辰甲等)已癸分角线为勾求得辰巳股即圆球中心至内容十二面体每面中心之立垂线与壬癸子丑寅五等边形面积相乘三归之得辰壬癸子丑寅一五角尖体积十二因之即得圆球内容十二面体之总积也如有十二面体之每一边求外切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边为勾求得弦倍之即圆球全径也又求边法用求圆球内容正方体之一边法以圆球径一尺二寸自乘得一百四十四寸三归之得四十八寸开平方得六寸九分二厘八豪二丝零三㣲有余为圆球内容十二面体每一面两角相对斜线乃以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率每一面两角相对斜线六寸九分二厘八豪二丝零三㣲为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝六忽四㣲有余即圆球内容十二面体之每一边也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己十二面体试于每一面各作一斜线相连则十二斜线之二十四端合为八角遂成正方体形其十二面之十二斜线即正方体之十二边其八角即正方体之八角皆切于圆球之面故用求球内容正方体法求得正方体之一边即十二面体每一面两角相对之斜线既得斜线则以理分中末线之全分与大分之比即同于两角相对之斜线与每一边之比而得十二面体之每一边也如有十二面体之每一边求外切圆球径则先求得每面两角相对斜线为正方体之一边用正方体求外切圆球径之法亦即得圆球径矣又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球内容十二面体之一边三五六八二二○九为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率四寸二分八厘一豪八丝六忽五㣲有余即圆球内容十二面体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球内容十二面体积三四八一四五四八二为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十二厘有余即圆球内容十二面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容十二面体积六六四九○八八九一为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率六百零一寸五百九十五分三百九十一厘有余即圆球内容十二面体之积也设如圆球径一尺二寸求内容二十面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得弦一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三㣲有余即圆球内容二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余又用三等边形求外切圜径法求得半径(即分角线)三寸六分四厘二豪三丝七忽一㣲有余为勾圆球半径六寸为弦求得股四寸七分六厘七豪九丝二忽七㣲有余为自圆球中心至每一面中心之立垂线与每一面积一十七寸二十三分四十一厘七十豪有余相乘得八十二寸一百七十一分二百六十四厘有余三归之得二十七寸三百九十分四百二十一厘有余为一三角尖体积二十因之得五百四十七寸八百零八分四百二十厘有余即圆球内容二十面体之总积也如图甲乙圆球径一尺二寸内容甲丙丁戊己二十面体自正中平分截之则成十等边面形其所截之处皆正当每边之一半故其所截之庚辛等线亦为甲丙每边之一半而为十等边形之一边试自二十面体之甲癸一边正中至中心壬作庚壬垂线即为所截十等边形外切圜之半径与甲庚每边之半甲壬圆球半径共成甲庚壬勾股形庚壬为股甲庚为勾甲壬为弦庚壬即如理分中末线之全分甲庚即如理分中末线之大分何以知之盖庚壬中心至每边正中之斜线既为十等边形外切圜之半径庚辛既为十等边形之一边则庚辛为大分庚壬必为全分庚辛为每边之半甲庚亦为每边之半则甲庚亦即为大分矣因庚壬全分为股甲庚大分为勾甲壬圆球半径为弦故以理分中末线之全分为股大分为勾求得弦与大分之比同于甲壬半径与甲庚半边之比即同于今所设之甲乙圆球全径与甲癸全边之比也又图子丑圆球内容子丙寅丑卯已二十面体自丙已二处横截之则所截之面成圆内容甲丙丁戊己五等边面形试自二十面体之巳角至寅角作已寅全径线则成巳丙寅勾股形巳丙为股丙寅为勾已寅为弦以甲丙丁戊己五等边面形言之则巳丙股为两角相对斜线即如理分中末线之全分丙寅勾与丙丁一边同即如理分中末线之大分今己丙全分既为股丙寅大分既为勾巳寅与子丑同为圆球径既为弦故以理分中末线之全分为股大分为勾求得弦与大分之比即同于今所设之子丑全径与丙寅一边之比也既得一边则用三等边形求面积法求得辰已午三等边形面积又求得未巳三等边形外切圜半径即分角线乃以壬巳圆球半径(与甲壬等)为弦未巳分角线为勾求得壬未股即圆球中心至内容二十面体每面中心之立垂线与辰巳午三等边形面积相乘三归之得壬辰巳午一三角尖体积二十因之即得圆球内容二十面体之积也如有二十面体之一边求外切圆球径则先求得自中心至每边正中之垂线为股半边为勾求得弦倍之即圆球全径也又用求球内各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球内容二十面体之一边五二五七三一一一为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率六寸三分零八豪七丝七忽三㣲有余即圆球内容二十面体之一边也又用求球内各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球内容二十面体积三一七○一八八三三为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一千七百二十八寸为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球内容二十面体积六○五四六一三七二为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率五百四十七寸八百零八分五百四十三厘有余即圆球内容二十面体之积也球外切各等面体设如圆球径一尺二寸求外切四面体之每一边及体积几何法以圆球径一尺二寸倍之得二尺四寸为圆球外切四面体自尖至每面中心之立垂线自乘得五尺七十六寸二归三因得八尺六十四寸开平方得二尺九寸三分九厘三豪八丝七忽六㣲有余即圆球外切四面体之每一边也乃以四面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积三尺七十四寸一十二分二十九厘七十二豪有余与自尖至每面中心之立垂线二尺四寸相乘三归之得二尺九百九十二寸九百八十三分七百七十六厘有余即圆球外切四面体之积也如图甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己四面体丙乙与丁庚俱为自尖至每面中心之立垂线相交于辛为四面体之中心亦即圆球之中心辛乙与辛庚俱为圆球半径丙乙壬勾股形与丙庚辛勾股形为同式形(丙乙壬勾股形以丙乙自尖至底中心立垂线为股乙壬)(一面中垂线之三分之一为勾丙壬一面中垂线为弦丙庚辛勾股形以丙庚)(一面中垂线之三分之二为股庚辛圆球半径为勾丙辛四面体自尖至中心)(立垂线为弦故两勾股形同用一丙角而乙角庚角同为直角其壬角与辛角)(亦必相等所以为同式形)乙壬为丁壬一面中垂线之三分之一亦为丙壬一面中垂线之三分之一故庚辛亦必为丙辛四面体自尖至中心立垂线之三分之一而庚辛为圆球半径与甲辛等甲辛既为丙辛之三分之一则丙甲即为丙辛之三分之二与甲乙全径等故以甲乙圆球径倍之得丙乙为四面体自尖至每面中心之立垂线也又四面体之立垂线自乘方为每一边自乘方之三分之二(见前四面体求积法)故以丙乙立垂线自乘二归三因得每一边自乘方积开平方得丙丁为四面体之每一边也既得一边则用等边三角形求面积法求得丁戊己三角形面积与丙乙立垂线相乘三归之即得丙丁戊己四面体之积也如有四面体之一边求内容圆球径则先求得自尖至每面中心之立垂线折半即内容圆球径也又用求球外各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率球外切四面体之一边二四四九四八九七四为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率二尺九寸三分九厘三豪八丝七忽六㣲有余即圆球外切四面体之一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率球外切四面体积一七三二○五○八○七为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余即圆球外切四面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切四面体积三三○七九七三三七二为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率二尺九百九十二寸九百八十三分七百九十四厘有余即圆球外切四面体之积也设如圆球径一尺二寸求外切正方体之每一边及体积几何法因圆球径一尺二寸即外切正方体之每一边自乘再乘得一尺七百二十八寸即外切正方体积故他法皆不设止存此题以备一体焉设如圆球径一尺二寸求外切八面体之每一边及体积几何法以圆球径一尺二寸折半得六寸为圆球外切八面体中心至每面中心之立垂线自乘得三十六寸六因之得二百一十六寸开平方得一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八㣲有余即圆球外切八面体之每一边也乃以八面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积九十三寸五十三分零七厘四十三豪有余与圆球半径六寸相乘三归之得一百八十七寸零六十一分四百八十六厘有余为一三角尖体积八因之得一尺四百九十六寸四百九十一分八百八十八厘有余即圆球外切八面体之总积也如图甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚辛八面体自丁辛己庚四角平分之则成丙丁辛己庚戊己庚丁辛二尖方体将二尖方体自尖依各棱直剖之则又得子丙丁庚类八三角尖体圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切八面体中心至每一面中心之立垂线试自丙角至丁庚边正中壬作丙壬一面中垂线又自八面体中心子至丙丁庚面中心癸作子癸立垂线复自八面体中心子至丁庚边正中壬作子壬线遂成壬癸子勾股形此形以子癸立垂线(即圆球半径)为股丙壬一面中垂线之三分之一癸壬为勾八面体中心至每边正中斜线子壬为弦(子壬即八面体每边之一半盖壬丑与庚)(己平行其度相等折半于子故为每边之半)夫癸壬既为丙壬一面中垂线之三分之一则癸壬自乘方必为丙壬一面中垂线自乘方之九分之一而丙壬一面中垂线自乘方原为丙丁每边自乘方之十二分之九则癸壬自乘方必为丙丁每边自乘方之十二分之一又子壬既为每边之半则其自乘方必为每边自乘方之四分之一今命为十二分之三癸壬勾自乘方既为每边自乘方十二分之一子壬弦自乘方又为每边自乘方十二分之三则子癸股自乘方必为每边自乘方十二分之二即六分之一故以子癸圆球半径自乘六因之得每边自乘方积开平方得八面体之每一边也既得每一边则用等边三角形求面积法求得丙丁庚一面积与子癸圆球半径相乘三归之得子丙丁庚一三角尖体积八因之即得丙丁戊己庚辛八面体之总积也如有八面体之一边求内容圆球径则求得自中心至每一面中心之立垂线即内容圆球之半径也又用求球外各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球外切八面体之一边一二二四七四四八七为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺四寸六分九厘六豪九丝三忽八㣲有余即圆球外切八面体之一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球外切八面体积八六六○二五四○三为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十六厘有余即圆球外切八面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切八面体积一六五三九八六六八六为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺四百九十六寸四百九十一分八百九十七厘有余即圆球外切八面体之积也设如圆球径一尺二寸求外切十二面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率三寸七分零八豪二丝零三㣲有余为圆球外切十二面体每一面中心至边之垂线又以全分一○○○○○○○○为一率倍小分七六三九三二○二为二率今所设之圆球半径六寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二㣲有余为每一面中心至角之分角线乃以每一面之分角线为弦每一面中心至边之垂线为股求得勾二寸六分九厘四豪一丝六忽八㣲有余倍之得五寸三分八厘八豪三丝三忽六㣲有余即圆球外切十二面体之每一边也乃以十二面体之每一边与每一面中心至边之垂线相乘得数折半五因之得四十九寸九十五分二十六厘零九豪有余为圆球外切十二面体之每一面之积与圆球半径六寸相乘三归之得九十九寸九百零五分二百一十八厘有余为每一五角尖体积十二因之得一尺一百九十八寸八百六十二分六百一十六厘有余即圆球外切十二面体之总积也盖圆球外切十二面体其圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切十二面体中心至每一面中心之立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切十二面体之每一面中心至边之垂线(即五等边形内容圜)(半径)为大分每一面中心至角之分角线(即五等边形外切圆半径)为倍小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚十二面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与子癸皆十二面体之每一边辛壬壬癸子丑丑丙皆为十二面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为十二面体中心至每边正中之垂线寅辰为十二面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为大分辰丙为倍小分何以知之寅卯既为十二面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为小分(盖十二面体中心至每边正中之垂)(线为全分则其每一面两角相对斜线之一半为大分而毎边之半即为小分)(见球内容十二面体法)试依寅卯全分度作丑巳卯寅正方形则丑巳与已卯亦皆为全分巳卯既为全分而丙卯又为小分则巳丙即为大分丑已丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形(寅辰丑勾股形之丑角与寅角并之)(共九十度而寅长丑勾股形之丑角与丑已丙勾股形之丑角并之亦共九十)(度故此二勾股形之已丑丙角与丑寅辰角为相等辰角与巳角又同为直角)(其余一角亦必等故为同式形)丑已丙勾股形之丑巳股为全分则己丙勾为大分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾亦即为大分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与大分之比也又凡五等边形自心至边之垂线为大分则自心至角之分角线即为倍小分如丙午未申酉五等边形其辰丑垂线为大分则辰申分角线为倍小分何以知之盖丙未两角相对斜线为全分则未甲一边为大分而酉未与丙申两两角相对斜线相交所截戌申一段即为小分成连比例三率故丙戌与戌未亦皆为大分与未申等试自戌至亥作戌亥垂线平分丙未两角相对斜线于亥则成丙亥戌勾股形与辰丑申勾股形为同式形(辰丑申勾股形之辰角当丑申半边所对之弧为未申边所对之弧之一)(半故辰丑申勾股形之辰角与丙戌亥勾股形之丙角等丑角与亥角又同为)(直角其余一角亦必等故为同式形)夫丙未为全分则丙戌为大分丙未为大分则丙戌为小分若以丙未之半丙亥为大分则丙戌即为倍小分故以辰丑垂线为大分则辰申分角线亦即为倍小分今圆球半径与每面中心至边之垂线之比既同于全分与大分之比则圆球半径与每面分角线之比亦即同于全分与倍小分之比也既得辰丑垂线又得辰申分角线则用股弦求勾法求得丑申勾倍之得未申即圆球外切十二面体之每一边既得每一边又得每面中心至边之垂线则以辰丑每面中心至边之垂线与未申一边相乘折半五因之得丙午未申酉五等边形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未申酉一五角尖体积十二因之即得丙丁戊己庚十二面体之总积也如有十二面体之一边求内容圆球径则求得十二面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球之半径也又用求球外各形之一边之定率比例以定率之圆球径一○○○○○○○○为一率圆球外切十二面体之每一边四四九○二七九七为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率五寸三分八厘八豪三丝三忽五㣲有余即圆球外切十二面体之一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二面体积六九三七八六三六七为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十厘有余即圆球外切十二面礼之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切十二面体积一三二五○三四三五八为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺一百九十八寸八百六十二分八百四十二厘有余即圆球外切十二面体之积也设如圆球径一尺二寸求外切二十面体之每一边及体积几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之圆球径一尺二寸折半得六寸为三率求得四率二寸二分九厘一豪七丝九忽六㣲有余为圆球外切二十面体每一面中心至边之垂线三因之得六寸八分七厘五豪三丝八忽八㣲有余为每一面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方得七寸九分三厘九豪零一忽四㣲有余即圆球外切二十面体之每一边也乃以二十面体之每一边用等边三角形求面积法求得每一面积二十七寸二十九分一十九厘有余与圆球半径六寸相乘三归之得五十四寸五百八十三分八百厘有余为一三角尖体积二十因之得一尺九十一寸六百七十六分有余即圆球外切二十面体之总积也盖圆球外切二十面体其圆球之外面皆切于各面之中心圆球之半径即外切二十面体中心至每一面中心之立垂线以圆球半径为理分中末线之全分则外切二十面体之每一面中心至边之垂线(即三等边形内容圜半径)为小分每一面中心至角之分角线(即三等边形外切圜)(半径)为倍小分其每一面自一角至对边之中垂线为三小分如甲乙圆球径一尺二寸外切丙丁戊己庚二十面体按其一面中垂线平分剖之则成丙辛壬癸子丑不等边六角形丙辛与癸子皆二十面体之每一边丑丙辛壬壬癸子丑皆为二十面体之每一面自一角至对边之中垂线寅丑与寅卯皆为二十面体中心至每边正中之垂线寅辰为二十面体中心至每面中心之立垂线即圆球半径辰丑为每面中心至边之垂线辰丙为每面中心至角之分角线今以寅辰为全分则辰丑为小分辰丙为倍小分丙丑即为三小分也何以知之寅卯既为二十面体中心至每边正中之垂线平分丙辛边于卯故丙卯为每边之半寅卯为全分则丙卯为大分(盖二十面体中心至毎边正中之垂线为全分则每边之半为大分见球内容)(二十面体法)试依寅卯全分度作已卯寅丑正方形则丑巳与已卯亦皆为全分已卯既为全分而丙卯又为大分则已丙即为小分丑巳丙勾股形与寅辰丑勾股形为同式形丑已丙勾股形之丑巳股为全分则巳丙勾为小分寅辰丑勾股形之寅辰股为全分则辰丑勾为小分故以寅辰圆球半径与辰丑每面中心至边之垂线之比即同于理分中末线之全分与小分之比也既得辰丑每面中心至边之垂线则以三因之即得丙丑每面自一角至对边之中垂线而每面自一角至对边之中垂线自乘方为每边自乘方之四分之三故以所得丙丑每面自一角至对边之中垂线自乘三归四因开平方即得午未为圆球外切二十面体之每一边既得午未一边与丙丑每面自一角至对边之中垂线相乘折半得丙午未一三角形面积与寅辰圆球半径相乘三归之得寅丙午未一三角尖体积二十因之即得丙丁戊己庚二十面体之总积也如有二十面体之每一边求内容圆球径则求得二十面体中心至每面中心之立垂线即内容圆球之半径也又用求球外各形之一边之定率比例以定率之圆球径○○○○○○○○为一率圆球外切二十面体之每一边六六一五八四五三为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率七寸九分三厘九豪零一忽四㣲有余即圆球外切二十面体之一边也又用求球外各形之体积之定率比例以定率之圆球径自乘再乘之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球外切二十面体积六三一七五六九九九为二率今所设之圆球径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸为三率求得四率一尺九十一寸六百七十六分零九十四厘有余即圆球外切二十面体之积也又用圆球积之定率比例以定率之圆球积一○○○○○○○○○为一率圆球外切二十面体积一二○六五六六九九一为二率今所设之圆球径一尺二寸求得圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十四厘有余为三率求得四率一尺零九十一寸六百七十六分零九十四厘有余即圆球外切二十面体之积也御制数理精蕴下编卷二十八
## 下编卷二十九
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷二十九体部七各等面体互容更体形各等面体互容设如正方体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸倍之得二尺八十八寸开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余即正方体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体以四面体之六棱切于正方体之六面则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线故用方边求斜弦之法以一边自乗倍之开平方即得内容四面体之每一边也如有四面体之一边求外切正方体之一边则用斜弦求方边法以四面体之一边自乗折半开平方即得外切正方体之每一边也设如正方体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸折半得七十二寸开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余即正方体内容八面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于正方体之六面则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等(甲乙与戊庚等)故用斜弦求方边之法以一边自乗折半开平方即得内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切正方体之一边则用方边求斜弦法以八面体之一边自乗加倍开平方即得外切正方体之每一边也设如正方体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余即正方体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体以十二面体之六棱切于正方体之六面则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等(即十二面体中心至每边正中之斜)(线之倍)而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线试将十二面体之正中截之则成十等边之面形而其所截之处皆正当每边之一半故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半而为十等边形之一边其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线即正方体每边之一半子寅即如理分中末线之全分子丑即如理分中末线之大分而戊子每边之半即如理分中末线之小分(见球内容十二面体)(法)故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也如有十二面体之一边求外切正方体之一边则以十二面体之一边为理分中末线之小分比例得全分即外切正方体之每一边也设如正方体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所设之正方体每边一尺二寸为三率求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余即正方体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之六棱切于正方体之六面则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等即二十面体戊庚两角相对之斜线试自二十面体之戊庚二角类对角平截之则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分庚子(与己庚等)一边即如理分中末线之大分(见球)(内容二十面体法)故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也如有二十面体之一边求外切正方体之一边则以二十面体之一边为理分中末线之大分比例得全分即外切正方体之每一边也设如四面体毎边一尺二寸求内容正方体之每一边几何法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为四面体内容圆球全径乃用求球内容正方体之每一边法以球径自乗三归开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即正方体中心至角之斜线四面体内容圆球径即正方体外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即四面体内容正方体之一边也又法以四面体每边一尺二寸自乗得一百四十四寸以十八归除之得八寸开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余即四面体内容正方体之每一边也此法与前法同盖四面体之自尖至底中心之立垂线自乗方为每边自乗方之三分之二(即六分之四)内容圆球径为立垂线之一半(见球外切四面体法)则内容圆球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一即为毎边自乗方之六分之一而圆球内容正方体之每边自乗方又为圆球径自乗方之三分之一故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也如有正方体之一边求外切四面体之一边则以正方体之毎边自乗以十八乗之开平方即得外切四面体之每一边也设如四面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何法以四面体每边一尺二寸折半得六寸即四面体内容八面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体以八面体之四面切于四面体之各面以八面体之六角切于四面体之六棱其各角皆当各棱之一半故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也如有八面体之一边求外切四面体之一边则以八面体之一边倍之即得外切四面体之每一边也设如四面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为四面体自尖至底中心之立垂线折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余为四面体内容圆球全径乃用求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六一为勾求得弦一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六○一为二率今所得之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余即四面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心则四面体中心至毎一面中心之立垂线即十二面中心至各角之斜线四面体内容圆球径即十二面体外切圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球内容十二面体之每一边即四面体内容十二面体之每一边也如有十二面体之一边求外切四面体之每一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切四面体之每一边即十二面体外切四面体之每一边也设如四面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何法以四面体毎边一尺二寸求得内容圆球全径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余(法见前题)乃用求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得之圆球全径折半得半径二寸四分四厘九豪四丝八忽有微有余为三率求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得二寸八分零六豪八丝六忽三微有余为二十面体每一面自角至对边之垂线自乘三归四因开平方得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余即四面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体以二十面体之丁戊癸己庚子丑丑辛寅卯辰之四面切于四面体各面之中心则四面体中心至每一面中心之立垂线即二十面体中心至每一面中心之立垂线四面体内容圆球径即二十面体内容圆球径故先求得四面体内容圆球径又求得球外切二十面体之一边即四面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切四面体之一边则求得二十面体内容圆球径又求得球外切四面体之一边即二十面体外切四面体之一边也设如八面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何法以每边一尺二寸三归之得四寸自乘得一十六寸倍之得三十二寸开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余即八面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体以正方体之八角切于八面体各面之中心试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线则壬辛为壬癸三分之二子丑亦为甲丁三分之二辛丑即为甲丁三分之一与丑庚等辛丑丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形辛丑既与丑庚等故以辛丑自乘倍之开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切八面体之一边则以正方体之一边自乘折半开平方得数三因之即外切八面体之一边也设如八面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何八面体之每边即内容四面体之每一边也何以知之盖甲乙丙丁八面体内容戊乙丙己四面体以乙丙己底面合于八面体之一面则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心(其戊乙边恰与乙丙边等)故八面体之每一边即内容四面体之每一边也设如八面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余为八面体内容圆球全径乃用求球内容十二面体之一边法以全径自乘三归开平方得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余为十二面体每一面两角相对斜线又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之每一面两角相对斜线为三率求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余即八面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心至各角之斜线八面体内容圆球径即十二面体外切圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即八面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切八面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切八面体之一边即十二面体外切八面体之一边也设如八面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸六归之得二十四寸开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余为八面体内容圆球半径乃用求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微为三率求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余为二十面体毎一面中心至边之垂线三因之得五寸六分一厘三豪七丝二忽九微有余为毎一面自角至对边之垂线自乗三归四因开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余即八面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心则八面体中心至每面中心之立垂线即内容二十面体中心至每面中心之立垂线八面体内容圆球径即二十面体内容圆球径故先求得八面体内容圆球径又求得球外切二十面体之一边即八面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切八面体之一边则先求得二十面体内客圆球径又求得球外切八面体之一边即二十面体外切八面体之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余即十二面体内容正方体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体以正方体之十二棱切于十二面体之各面则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线故用五等边面形有边求对角斜线法算之即得十二面体内容正方体之每一边也如有正方体之一边求外切十二面体之一边则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线用五等边面形有对角斜线求边法算之即得正方体外切十二面体之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容四面体之每一边几何法以十二面体每边一尺二寸用求十二面体外切圆球径法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体每边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至每边正中之斜线以此斜线为股每边之半六寸为勾求得弦一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零四微有余为十二面体外切圆球全径乃用求球内容四面体之一边法以球径自乗三归二因开平方得二尺七寸四分五厘八豪九丝四忽六微有余即十二面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于十二面体之四角则十二面体中心至各角之斜线即四面体中心至各角之斜线十二面体外切圆球径即四面体外切圆球径故先求得十二面体外切圆球径又求得球内容四面体之一边即十二面体内容四面体之一边也如有四面体之一边求外切十二面体之一边则先求得四面体外切圆球径又求得球内容十二面体之一边即四面体外切十二面体之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之十二面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至毎边正中之斜线倍之得三尺一寸四分一厘六豪四丝零六微有余(即十二面体外切正方体之一边)为内容八面体两角相对斜线自乗折半开平方得二尺二寸二分一厘四豪七丝五忽二微有余即十二面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于十二面体之六棱则十二面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜弦求方边法求得方边即十二面体内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切十二面体之一边则先求得八面体两角相对斜线折半为外切十二面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与小分之比同于十二面体中心至毎边正中之斜线与每边之半之比既得每边之半倍之即八面体外切十二面体之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容二十面体之每一边几何法以十二面体毎边一尺二寸用求十二面体中心至毎面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为弦每一面中心至边之垂线为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余倍之得二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微有余为十二面体内容圆球全径乃用求球内容二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股大分六一八○三三九九为勾求得弦一一七五五七○五○为一率大分六一八○三三九九为二率今所得之圆球全径二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微为三率求得四率一尺四寸零四厘九豪八丝四忽四微有余即十二面体内容二十面体之每一边也如图甲乙丙丁戊十二面体内容己庚辛壬癸二十面体以二十面体之十二角切于十二面体各面之中心则十二面体中心至毎面中心之立垂线即内容二十面体中心至各角之斜线十二面体内容圆球径即二十面体外切圆球径故先求得十二面体内容圆球径又求得球内容二十面体之一边即十二面体内容二十面体之一边也如有二十面体之一边求外切十二面体之一边则先求得二十面体外切圆球径又求得球外切十二面体之一边即二十面体外切十二面体之一边也设如二十面体每边一尺二寸求内容正方体之每一边几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线九寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为弦以毎一面中心至边之垂线为勾求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面体内容圆球全径乃用求球内容正方体之一边法以球径自乗三归开平方得一尺零四分七厘二豪一丝三忽四微有余即二十面体内容正方体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸正方体以正方体之八角切于二十面体之八面之中心则二十面体中心至毎一面中心之立垂线即内容正方体中心至角之斜线二十面体内容圆球径即正方体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容正方体之一边即二十面体内客正方体之一边也如有正方体之一边求外切二十面体之一边则先求得正方体外切圆球径又求得球外切二十面体之一边即正方体外切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二寸求内容四面体之毎一边几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得立垂线九寸厘六厘九豪一丝三忽五微有余(法见前题)倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面体内客圆球全径乃用求球内容四面体之毎一边法以球径自乗三归二因开平方得一尺四寸八分零九豪八丝三忽五微有余即二十面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于二十面体之四面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容四面体中心至角之斜线二十面体内容圆球径即四面体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容四面体之一边即二十面体内容四面体之毎一边也如有四面体之一边求外切二十面体之一边则先求得四面体外切圆球径又求得球外切二十面体之一边即四面体外切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率今所设之二十面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余为二十面体中心至毎边正中之斜线倍之得一尺九寸四分一厘六豪四丝零六微有余(即二十面体外切正方体之一边)为内容八面体两角相对之斜线自乗折半开平方得一尺三寸七分二厘九豪四丝七忽一微有余即二十面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于二十面体之六棱则二十面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜弦求方边法求得方边即二十面体内容八面体之毎一边也如有八面体之每一边求外切二十面体之每一边则先求得八面体之角相对斜线折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与大分之比同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比既得毎边之半倍之即八面体外切二十面体之一边也设如二十面体每边一尺二寸求内容十二面体之每一边几何法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余(法前)见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面体内容圆球全径乃用求球内容十二面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股小分三八一九六六○一为勾求得弦一○七○四六六二六为一率小分三八一九六六 一为二率今所得之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为三率求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余即二十面体内容十二面体之每一边也如图甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容十二面体中心至角之斜线二十面体内容圆球径即十二面体外切圆球径故先求得二十面体内容圆球径又求得球内容十二面体之一边即二十面体内容十二面体之一边也如有十二面体之一边求外切二十面体之一边则先求得十二面体外切圆球径又求得球外切二十面体之一边即十二面体外切二十面体之每一边也更体形设如正方体每边一尺二寸今欲作与正方体积相等之圆球体问径几何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率圆球径一二四○七○○九八为二率今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余即圆球之径也葢正方体之每边为一○○○○○○○○圆球径为一二四○七○○九八则两体积相等故以子丑寅卯正方体之每边一○○○○○○○○与辰巳圆球径一二四○七○○九八之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比而两体积亦为相等也设如正方体积一尺七百二十八寸今欲作与正方边相等之圆球体问积几何法用边线相等体积不同之定率比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率圆球积五二三五九八七七五为二率今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余即圆球之积也葢正方体积为一○○○○○○○○○圆球积为五二三五九八七七五则正方体之每边与圆球径相等故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○与辰巳圆球积五二三五九八七七五之比即同于今所设之甲乙丙丁正方体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己圆球积九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余之比而正方体之每边与圆球径亦为相等也设如圆球径一尺二寸今欲作与圆球积相等之四面体问毎一边几何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之圆球径一二四○七○○九八为一率四面体之毎边二○三九六四八九○为二率今所设之圆球径一尺二寸为三率求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余即四面体之每一边也葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故以子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比即同于今所设之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余之比而两体积亦为相等也设如圆球积一尺七百二十八寸今欲作与圆球径相等之四面体问积几何法用边线相等体积不同之定率比例以定率之圆球积五二三五九八七七五为一率四面体积一一七八五一一二九为二率今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五厘有余即四面体之积也葢圆球积为五二三五九八七七五四面体积为一一七八五一一二九则圆球径与四面体之每边相等故以子丑圆球积五二三五九八七七五与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸与今所得之丙丁戊己四面体积三百八十八寸九百三十六分六百四十五厘有余之比而圆球径与四面体之毎边亦为相等也设如八面体每边一尺二寸今欲作与八面体积相等之十二面体问每边几何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也设如八面体积一尺七百二十八寸今欲作与八面体毎边相等之二十面体问积几何法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也御制数理精蕴下编卷二十九
## 下编卷三十
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十体部八各体权度比例堆垜各体权度比例数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法㮣以诸物制为正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之为质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也赤金十六两八钱纹银九两水银十二两二钱八分红铜七两五钱白铜六两九钱八分黄铜六两八钱纲六两七钱三分生铁六两七钱熟铁六两七钱三分高锡六两三钱六锡七两六钱倭铅六两黑铅九两九钱三分白玉二两六钱金珀八钱白玛瑙二两三钱红玛瑙二两二钱砗磲一两五钱二分青石二两八钱八分白石二两五钱红石二两五钱六分象牙一两五钱四分牛角一两九钱沉香八钱二分白檀八钱三分紫檀一两零二分花梨八钱七分楠木四钱八分黄杨七钱五分乌木一两一钱油八钱三分水九钱三分设如有金一方每边三寸问重几何法以一寸为一率金寸方重一十六两八钱为二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸为三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积为二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也设如有银一方每边二寸问重几何法以一寸为一率银寸方重九两为二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸为三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积为八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也设如黄铜一条重三百七十四两问积几何法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸为二率今所设黄铜重三百七十四两为三率求得四率五十五寸即黄铜之积也设如熟铁一块重十六两欲镕为正方体问毎边几何法以熟铁寸方重六两七钱三分为一率一寸为二率今铁重十六两为三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸为水银一匣之积数爰以一寸为一率水银寸方重一十二两二钱八分为二率今所得之水银一匣之积数八十四寸为三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何法以玉寸方重二两六钱为一率一寸为二率今所设玉重九十三两六钱为三率求得四率三十六寸为长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸为带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸为阔再加长比阔多三寸得六寸为长也设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱为一率金一寸为二率今相减所余之三十一两二钱为三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱为一率一寸为二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱为三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分为高再乘得一十二寸五百分为炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱为一率金一寸为二率今相减所余一十四两二钱为三率求得四率一寸为金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分为玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱为玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱为一率一寸为二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱为三率求得四率一十一寸五百分为玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也设如空心金球一个外径一尺二寸厚三分问重几何法以金球外径一尺二寸自乘再乘得一尺七百二十八寸乃用方边球径相等方积球积不同之定率比例以方积一○○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸为三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十三厘有余为球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分为空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分为三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三厘有余为球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十厘有余为空心球体积乃以一寸为一率金寸方重十六两八钱为二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余为三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空心金球体之重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数各几何法以红石比青石每边多二寸为边较体积多五十六寸为积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸为长方面积以边较二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸为一率红石寸方重二两五钱六分为二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸为三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸为一率青石寸方重二两八钱八分为二率青石每边二寸自乘再乘得八寸为三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆为正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸为一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸为三率求得四率九百三十两为第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸为边较以第一桶体积一千寸为第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余为长方面积以边较二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余为第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余为第三桶之边数乃以一寸为一率水寸方重九钱三分为二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余为三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸为一率水寸方重九钱三分为二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余为三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也设如金球一个径二寸二分六厘今欲作一银球其重与金球等问径几何法以金方边一寸为一率银方边一寸二分三厘为二率今所设之金球径二寸二分六厘为三率求得四率二寸七分七厘有余即银球之径数也此法葢因各色俱为正方体其重数俱设为十六两八钱与金寸方等故金方边为一寸银方边为一寸二分三厘水银方边为一寸一分一厘铅方边为一寸一分九厘铜方边为一寸三分一厘铁方边为一寸三分六厘锡方边为一寸三分九厘石方边为一寸八分九厘水方边为二寸六分四厘油方边为二寸七分四厘皆系边与边之比例故球径与球径之比同于方边与方边之比而为相当比例四率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重几何法以青石寸方重二两八钱八分为一率熟铁寸方重六两七钱三分为二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分为三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重数也堆垜堆垜之法虽为体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则为四角尖堆以三角面层累者则为三角尖堆此二者每层之边皆同为递加一数每层之面积则三角为按位相加之数四角为按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则为长方堆以全堆而减去上截者则为半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后设如一面直角尖堆底十二求积几何法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙为底十二其甲乙高亦即为十二层其每层皆加一为挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数(见算法原本二卷第三十二节)故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖为一㸃无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也设如一面直角尖堆积二十八求底几何法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六为长方积以一为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等为一面直角尖堆之底阔也设如一面三角尖堆底七求积几何法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙为底七其甲乙高亦即为七层其每层皆加一为挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也设如一面三角尖堆积三十六求每边几何法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二为长方积以一为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也设如一面梯形堆上五下九求积几何法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五为层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁为上五乙丙为下九甲乙为层数五(凡自一递加之数其末数即位数今首数为五计自一己)(截去四位故于末数内减去所少之位即为今之所有之位见算法原本二巻)(第三十二节)试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也又法以底九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五又以上五内减一余四为上虚小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求积法求得上虚小一面三角尖堆积十两积相减余三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆总积又求得戊己庚上虚小三角尖堆积相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也如有上阔或下阔与层数求积者则于层数内减一余为上下阔之较与上阔相加则得下阔与下阔相减则得上阔皆用有上下阔之法算之而得积也设如一面梯形堆积三十五下九问上几何法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五内减梯形积三十五余十为上虚小一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法求得每边四加一得五即一面梯形堆之上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积内减甲乙丙丁梯形堆积余戊己庚上虚小一面三角尖堆积乃用有积求边法求得己庚四因每层埃次递加一故加一即得甲丁五为上阔也如有上阔求下阔者则以上阔内减一为上虚小三角尖堆之底求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加为三角尖堆总积亦用有积求边法算之即得下阔也设如一面梯形堆积三十五上阔比下阔少四问上下阔各几何法以梯形堆积三十五倍之得七十又以上下阔之较四加一得五为层数以除倍积七十得十四为上下阔之和加较四得十八折半得九为下阔内减较四余五为上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆积每层挨次加一今甲丁上阔比乙丙下阔少四即知甲乙为五层矣故以甲乙丙丁梯形积倍之则成甲乙戊己斜方积以甲乙五层除之得乙戊为上下阔之和加上下阔之较折半即得下阔于下阔内减上下阔之较即得上阔也如有积与上下阔之和求上下阔者则将积数加一倍以上下阔之和除之即得层数内减一即得上下阔之较或有积与层数求上下阔者则于层数内减一即得上下阔之较以层数除倍积即得上下阔之和既有较有和即得上下阔矣设如一面六角堆每边六求积几何法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每边六减一余五为每一面三角尖堆之底与毎边六(即底加一也)相乘得三十折半得十五为每一面三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之积也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之则成甲庚辛类六三角尖堆而余中心一其每一三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故以六角堆之每一边内减一即得三角尖堆之每一边而求得一面三角尖堆积六因之再加中心一即得一面六角堆之总积也设如一面六角堆积九十一求每边几何法以一面六角堆积九十一减中心一余九十六归之得十五为一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法算之得每边五加一得六即六角堆之每一边也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆积先减去中心一以六归之则得甲庚辛一三角尖堆积其三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故用一面三角尖堆有积求边法求得一边再加一为一面六角堆之每一边也此即算书所谓圆束也本以六包一不能成圆凡云圆者皆六边也周四十求积几何法以外周四十加四得四十四四归之得十一为方束每一边之数自乘得一百二十一即方束之积也如图甲乙丙丁方束其四隅之四各为两边所同用故必以外周加四以四归之始得甲乙每一边之数以一边自乘即为方束之积数也又法以外周四十加八得四十八与外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一为方束之积也葢方束以八包一其外周所包之数亦必以八递加为超位平加之数如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一层为八第二层为十六第三层为二十四第四层为三十二第五层为四十毎层皆加八为超位平加之数引而长之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上阔如以首数八与末数四十相加得四十八用层数五乘之折半即得总数(见算法原)(本二卷第三十二节)然其层数之五乃系外周四十用八归所得之数今以内周八与外周四十相加即与外周四十栒乘是未用八归故将相乘所得之数必以八归又以二归(即折半)始得总数夫先用八归后用二归即与用十六归除等(二与八相因得)(一十六合两次除为一次除)故以十六归除得总数再加中心一即得方束之积也又按第一法以外周四十加四以四归之得方束之每一边是外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比毎边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必为方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也此方束毎边十一系奇数故有中心之一若方束毎边系偶数者则无中心之一详见下法设如方束外周三十六求积几何法以外周三十六加四得四十四归之得一十为方束毎一边之数自乘得一百即方束之积也又法以外周三十六加八得四十四与外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百为方束之积也此方束每边系偶数无中心一其最内一层为四其外周三十六用八归之则得四层半然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比每边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必为方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也设如方束积一百求外周几何法以方束积一百开平方得一十四因之得四十内减四余三十六即方束外周之数也如图甲乙丙丁方束开方则得甲乙一边前法以外周加四四归之而得一边此法以一边四因之减四而即得外周也又法以方束积一百内减一余九十九以十六乘之得一千五百八十四为长方积以八为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十六即方束之外周数也此即方束有外周求积之法而转用之前法以外周加八与外周相乘十六除之再加一而得积此法则以积数减一余用十六乘之以八为长阔之较用带纵开方得阔而为外周也设如三棱束外周二十七求积几何法以外周二十七加三得三十三归之得一十为三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边一十加一得一十一与每边一十相乘得一百一十折半得五十五即三棱束之积也如图甲乙丙三棱束其三角之三各为两边所同用故必以外周加三以三归之始得甲乙每一边之数即如一面三角尖堆之每一边故用一面三角尖堆有边求积法算之即得三棱束之积也又法以外周二十七加九得三十六与外周二十七相乘得九百七十二以十八归除得五十四加中心一得五十五为三棱束之积也葢三棱束以九包一其外周所包之数亦必以九递加为超位平加之数如甲乙丙三棱束除却中心之一最内一层为九第二层为十八第三层为二十七每层皆加九为超位平加之数引而长之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上阔如以首数九与末数二十七相加得三十六用层数三乘之折半即得总数(见算法原本二卷第三十二节)然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数今以内周九与外周二十七相加即与外周二十七相乘是未用九归故将相乘所得之数必以九归又以二归(即折半)始得总数夫先用九归后用二归即与十八归除等(二与九相乘得一十八合两次除为一次除)故以十八归除得总数再加中心一即得三棱束之积也又按第一法以外周二十七加三以三归之得一面三角尖堆之每一边是外周加三则得每边之三倍若以毎边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍(葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖)(堆积之二倍今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍则积加)(九倍彼既为一面三角尖堆积之二倍故此即为十八倍也)而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必为一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也此三棱束亦有无中心之一者葢缘三棱束包中心一为一层者周围九其底则四包中心一为二层者周围十八其底则七凡如此类周递加九边递加三者皆有中心之一其余皆无中心之一详见下法设如三棱束外周三十求积几何法以外周三十加三得三十三三归之得十一为三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边十一加一得十二与每边十一相乘得一百三十二折半得六十六即三棱束之积也又法以外周三十加九得三十九与外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六为三棱束之积也此三棱束无中心其最内一层为三其外周三十用九归之则得三层又三分之一然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加三则得每边之三倍若以每边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必为一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也设如三棱束积六十六求外周几何法以三棱束积六十六倍之得一百三十二为长方积以一为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十一为三棱束之每一边三因之得三十三内减三余三十即三棱束之外周数也如图甲乙丙三棱束用一面三角尖堆有积求边法求得甲乙一边前法以外周加三三归之而得一边此法以一边三因之减三而即得外周也又法以三棱束积六十六内减一余六十五以十八乘之得一千一百七十为长方积以九为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即三棱束之外周数也此即三棱束有外周求积之法而转用之前法以外周加九与外周相乘十八除之再加一而得积此法则以积数减一余用十八乘之以九为长阔之较用带纵开方得阔而为外周也设如圆束外周三十求积几何法以外周三十六归之得五为一面三角尖堆之每一边用一面三角尖堆有边求积法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五为每一三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即圆束之积也如图甲乙丙丁戊己圆束六分之则成甲庚辛类六三角尖堆形而余中心一故以外周六分之而得甲庚每一边之数即如一面三角尖堆之每一边而求得一三角尖堆积六因之得六三角尖堆积加中心一即为圆束之积数也又法以外周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一为圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加为超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层为六第二层为十二第三层为十八第四层为二十四第五层为三十每层皆加六为超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数(见算法厚本二卷第三十二节)然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归(即析半)始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等(二与六相因得一十二合两次除为一次)(除)故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周为一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍(葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆)(积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三)(十六倍彼既为一面三角尖堆积之二倍故此即为七十二倍也)以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳设如圆束积九十一求外周几何法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十(或即以九十三)(归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也)为长方积以一为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十为长方积以六为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六为长阔之较用带纵开方得阔而为外周也设如堑堵堆底五求积几何法以底五自乘得二十五为底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形为堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也设如三角尖堆每边五求积几何法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五为底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作㸃排之第一层为一第二层为三第三层为六第四层为十第五层为十五为每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数(见算)(法原本二卷第三十四节)今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二为高与底面积相乘成平行面之三棱体是为三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二为高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层(两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二)(面也)又以一平行面三棱体分为三三角尖体其二面为两体所同用今以位数加二为高与底数相乘所以增其二面之分也又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十为倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五为三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既为三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即为三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也又法以每边五自乘再乘得一百二十五为第一数再以每边五自乘得二十五为第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十为第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘为第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘为第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘(即如前之倍底积)又倍之为第三数也三数相加始为三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也设如三角尖堆积一百二十求每边几何法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十为长方体积以一为长与阔之较以二为高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积为三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔为每边之数也设如四角尖堆每边五求积几何法以每边五加半得五个半与每边五相乘得二十七个半又以每边五加一得六与二十七个半相乘得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积数也如图甲乙丙丁四角尖堆底面为正方傍四面皆一面三角尖堆累积成方底四角尖体形其每边之数即位数也试按位作㸃排之第一层为一第二层为四第三层为九第四层为十六第五层为二十五为每次按位自乘相加之数如以每边加半与每边相乘复以位数加一乘之取其三分之一即得总数(见算法原本二卷第三十五节)今以每边加半与每边相乘是得长方面积复以位数加一为高乘之是得长方体积为四角尖体之三倍故以三除之即得也然以边数加半为长以位数加一为高者葢以三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底必比正方面多半行其高必比原有之位数多一层(三角体以边数加一与边数相乘四)(角体以边数加半与边数相乘三角体以位数加二为高四角体以位数加一)(为高总以四角体比三角体底式大一倍故三角体为长方体六分之一四角)(体为长方体三分之一三角体加数几何而此四角体皆用其半也)又以一长方体分为三四角尖体其三面为两体所同用而少一行之数试以甲乙丙丁四角尖体作为戊己庚辛阳马尖体形为长方体三分之一所余为三分之二其戊己庚戊庚辛两面为两体所同用而戊庚一行又为两面所同用是此两面为两体所同用而少一行之数也又以其所余三分之二平分之必有一面为两体所同用是以长方体分为三四角尖体有三面为两体所同用而少一行之数也今以每边加半与每边之数相乘又以位数加一乘之所以增其三面少一行之分也(葢其高既比原位数多一则其)(傍面一层宜为一面三角尖堆之倍数而其傍面只比毎边多半是傍面只为)(一面三角尖堆之数也又其高既比原位多一则其上面一层为毎边自乘之)(数即为一面三角尖堆之倍数而少一行共之为三面少一行之数也)又法以每边五自乘再乘得一百二十五为第一数再以每边五自乘得二十五为第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五为第三数三数相加共得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积也此法与第一法同葢以每边自乘再乘为第一数是未以每边加半与每边相乘亦未以位数加一再乘也因未以位数加一再乘则其上层即少一每边自乘之数故以每边自乘为第二数也因未以每边加半相乘则其傍面即少一面三角尖堆之数故以每边加一与每边相乘折半为第三数也三数相加始为四角尖堆积之三倍故以三归之而得积也又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十又以每边五加二得七乘之得二百一十三归之得七十为三角尖堆之倍积又以每边五求得一面三角尖堆积十五与倍三角尖堆积七十相减亦得五十五为四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆为戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数葢四角尖堆底面积为三角尖堆底面积之一倍而少一行故四角尖堆体积为三角尖堆体积之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积即得四角尖堆积也又法以每边五用堑堵堆求积法求得堑堵堆积七十五又以每边五用三角尖堆求积法求得三角尖堆积三十五两数相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积四角尖体为堑堵体三分之二三角尖体为堑堵体三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆积与堑堵堆积相加即与二方底四角尖堆之积等故折半而得四角尖堆之积也设如四角尖堆积二百零四求每边几何法以四角尖堆积二百零四三因之得六百一十二为长方体积以半为长与阔之较以一为高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即四角尖堆之每一边也此法即四角尖堆有边求积之法而转用之葢四角尖堆有边求积则以每边加半与毎边相乘又以毎边加一再乘得长方体积为四角尖堆积之三倍是长比阔多半高比阔多一今以四角尖堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔为每边之数也设如长方堆底长九阔七上一行收顶求积几何法以底阔七为方堆之底用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆积一百四十又以底阔七与长九相减余二为两一面三角尖堆即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法求得一面三角尖堆积二十八二因之得五十六为两一面三角尖堆积与前所得四角尖堆积一百四十相加得一百九十六即长方堆之积也如图甲乙丙丁戊长方堆丙丁长比乙丙阔多庚丁二试自己至庚截去二面则成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊两一面三角尖堆形其乙丙阔与丙庚等即四角尖堆之毎一边亦即一面三角尖堆之毎一边故以一边求得四角尖堆积又求得两一面三角尖堆积相加即得长方堆之积也又法以阔七与长九相减余二折半得一又加半得一个半与长九相加得十个半与底阔七相乘得七十三个半又以底阔七(即层数)加一得八再乘得五百八十八三归之得一百九十六即长方堆之积也此法与前法之理同如甲乙丙丁戊长方堆既分为一四角尖堆两一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘以甲乙加一再乘得一长方体形为一四角尖堆之三倍其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘以戊丁(同甲乙)加一再乘得二长方面形为两一面三角尖堆之二倍因一为三倍一为二倍其倍数不同故又以庚丁折半与庚丁相加即增其一长方面之分得三长方面形亦为两一面三角尖堆之三倍故以三归之得一四角尖堆两一面三角尖堆合之与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也又法以底阔七与长九相减余二再加一得三为顶上之长乃以底长九倍之得十八加顶长三得二十一与底阔七相乘得一百四十七再以高数七加一得八再乘(阔数即高数也)得一千一百七十六六归之得一百九十六即长方堆之积也此法与第二法同葢前法以长阔相减折半加半与长相加此法以长阔相减不折半加一与倍长相加则其长比前法多一倍阔与高皆与前数同而体积亦必比前数大一倍故前法用三归此法用六归也设如长方堆积二百七十六长比阔多二求每边几何法以长方堆积二百七十六三因之得八百二十八为长方体积以长比阔多二折半又加半得一个半与二相加得三个半为长与阔之较以一为高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八为底阔加长比阔多二得十为长也此法即长方堆有边求积之法而转用之葢长方堆有边求积则以原长阔之较折半又加半与原长相加乃与阔相乘又以阔加一再乘得长方体积为长方堆之三倍是长比阔多原长阔之较又多半较仍多半高比阔多一今以长方堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔为底边之阔加长阔之较得数为长也设如三角半堆底边八上边五求积几何法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十又以上边五减一得四为上虚三角尖堆之每边亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与先所得三角尖堆全积一百二十相减余一百即三角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己三角半堆若于其上加一小三角尖堆则成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一故先求得大三角尖堆全积又求得上虚小三角尖堆积相减即得三角半堆之积也又法以底边八加一得九与底边八相乘得七十二为第一数又以上边五与底边八相并得十三以上边五加一得六乘之得七十八为第二数两数相并得一百五十又以上边五与下边八相减余三加一得四为层数与两数相加之一百五十相乘得六百六归之得一百为三角半堆之积也此法与等边三角尖堆求积之法同葢等边三角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积为三角尖堆积之六倍分之则得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形(即上多二层)若依此法以底边加一与底边相乘即长比阔多一之长方体之一面数也以上边一与下边相加又以上边一加一得二乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也此两数相并以层数乘之则亦得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形共成一长方体形为三角尖堆之六倍矣设如三角半堆积一百上边五求底边几何法以上边五减一余四为上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与半堆积一百相加得一百二十为等边三角尖堆全积用三角尖堆有积求边法求得每边八即三角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得三角尖堆全积与半堆积相减余为上虚三角尖堆积求得上虚小三角尖堆之毎边加一即上边也设如四角半堆底边十二上边五求积几何法以底边十二用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆全积六百五十又以上边五减一得四为上虚四角尖堆之每边亦用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与先所得四角尖堆全积六百五十相减余六百二十即四角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆若于其上加一小四角尖堆则成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每边比四角半堆之上边少一故求得大四角尖堆全积又求得上虚小四角尖堆积相减即得四角半堆之积也又法以上边五自乘得二十五为第一数以底边十二自乘得一百四十四为第二数以上边五与底边十二相乘得六十为第三数又以上边五与底边十二相减余七折半得三个半为第四数四数相并得二百三十二个半又以上下边相减所余之七加一得八为层数与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三归之得六百二十即四角半堆之积也此法与等边四角尖堆求积之法同葢等边四角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加半与每边相乘又以每边加一再乘得长方体积为四角尖堆积之三倍分之则得每边自乘再乘之一正方体形每边自乘之一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形若以底边自乘即正方体之一面数也以上边一与底边相乘则得每边自乘正方面之一行数也以上边一自乘又以上边一与底边相减折半此两数相并即得长比阔多一之半层长方面之一行数也四数相并再以层数乘之则亦得一正方体形一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形共成一长方体形为四角尖堆之六倍矣又此法与上下不等正方体之法异者在多上下边相减折半之一数因堆垜之傍面有余分故也设如四角半堆积六百二十上边五求底边几何法以上边五减一余四为上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与半堆积六百二十相加得六百五十为等边四角尖堆全积用四角尖堆有积求边法求得每边十二即四角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得四角尖堆全积与半堆积相减余为上虚四角尖堆积求得上虚小四角尖堆之每边加一即上边也设如长方半堆底长十二阔十上长八阔六求积几何法以底长十二阔十用长方堆求积法求得长方堆全积四百九十五又以上长八阔六各减一得长七阔五为上虚长方堆之长阔亦用长方堆求积法求得上虚长方堆积八十五与先所得长方堆全积相减余四百一十即长方半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚长方半堆若于其上加一小长方堆则成上一行收顶之长方堆形其上所加之小长方堆之每边比长方半堆之上边少一故先求得长方堆全积又求得上虚小长方堆积相减即得长方半堆之积也又法以上长八与上阔六相乘得四十八为第一数以底长十二与底阔十相乘得一百二十为第二数以上长八与底阔十相乘得八十以上阔六与底长十二相乘得七十二两数相并折半得七十六为第三数又以上下长相减余四折半得二为第四数以此四数相加得二百四十六又以上长与底长相减所余之四加一得五为层数与四数相加之二百四十六相乘得一千二百三十三归之得四百一十即长方半堆之积也此法与四角半堆求积之法同葢四角半堆长阔皆相等此则有长阔之不同故四角半堆以上边自乘为第一数者此则以上长阔相乘为第一数四角半堆以下边自乘为第二数者此则以下长阔相乘为第二数四角半堆以上下相乘为第三数者此则以上长与下阔相乘上阔与下长相乘相并折半为第三数四角半堆以上下相减折半为第四数者此则以上下长相减折半为第四数(如以上下阔相减折半亦同)其理皆相通也又法以上长八倍之得十六加下长十二得二十八以上阔六乘之得一百六十八又以下长十二倍之得二十四加上长八得三十二以下阔十乘之得三百二十又以下长十二与上长八相减余四三数相加得四百九十二又以上下长相减所余之四加一得五为层数与三数相加之四百九十二相乘得二千四百六十六归之得四百一十即长方半堆之积也此法与第二法同葢此法用数比前法大一倍故前法用三归此法用六归也又此法与上下不等长方体之法异者在多上下长相减之一数因堆垜之傍面有余分故也又法以底阔十与长十二相乘得一百二十又以长十二阔十各减一得长十一阔九相乘得九十九又以长十一阔九各减一得长十阔八相乘得八十又以长十阔八各减一得长九阔七相乘得六十三再以长九阔七各减一得长八阔六(即上长阔)相乘得四十八以此五数相加共得四百一十即长方半堆之积也此法将每层长阔相乘得每层之积故总加之即五层之共积也法虽层累相加实为显而易见凡堆垜诸法皆可以此法御之若层数太多者用本法为简易也设如长方半堆积四百一十上长八阔六求底长阔各㡬何法以上长八阔六各减一得长七阔五为上虚小长方堆之长阔用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五为长方堆全积用长方堆有积求边法求得阔十长十二即长方半堆之底边数也如有底边长阔求上边长阔者则以底边求得长方堆全积与半堆积相减余为上虚小长方堆积求得上虚小长方堆之长阔两边各加一即长方半堆上边长阔之数也御制数理精蕴下编卷三十
## 下编卷三十一
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十一末部一借根方比例(定位法乘法) (除加法 法) (减法)借根方比例借根方者假借根数方数以求实数之法也凡法必借根借方加减乘除令与未知之数比例齐等而本数以出大意与借衰叠借略同然借衰叠借之法止可以御本部而此法则线面体诸部皆可御之其中有借根借方之不同葢因根者方之边数即所谓线以根自乘得平方以根自乘再乘得立方以根累次乘即得累次多乘方故以线类为问者则借根数以比之以面类为问者则借平方长方以比之以体类为问者则借立方或累次多乘方以比之至于借数又有一定之位与降位之法(定位降位法俱详后)要之此法设立虚数依所问之比例乘除加减务令根方之数与真数相当适等而所求之数以出此亦借数之巧也定位法众数之经纬尽归乘除而乘除之条理又取准于定位况借数一法又用根方诸名一经乘除俱变为几根几方之号而本数之比例由此而生其定位与常法稍异故变从简易设表如左右表前行所列者借数之名后行所列者定数之位其借数者即比例也根与方数俱为相连比例率如根为二则平方为四立方为八以立方与平方之比同于平方与根数之比即为八与四之比同于四与二之比也然必借方借根者何也葢以巳知未知之数权约为几根几方以统御之加减后余几根几方即知真数若干矣(如根为二数其平方即为四若余二平方即知其真数有八或余二)(根即知其真数有四也)其定位者即视根方所对之位也乘法定位以两数所对之位数相加其加数所对之方即乘出之方也除法定位以两数所对之位数相减其减余数所对之方即除出之方也(乘法以真数乘根仍得根葢根对一)(而真数对○无可加也如以根乘根即得平方葢根对一一与一相加得二二所对之表为平方故定乘)(得之数为平方也如以根乘平方即得立方葢根对一平方对二一二相加得三而三所对之表为立方)(故定乘得之数为立方也又如以平方乘平方则二与二相加为四查所对之表得三乘方以平方乘立)(方则二与三相加为五查所对之表得四乘方以立方乘立方则三与三相加为六查所对之表得五乘)(方余皆倣此除法以真数除根仍得根葢根对一而真数对○无可减也如以根除根即得真数葢根对)(一一与一相减得○而○所对之表为真数故定除得之数为真数也如以根除平方即得根葢根对一)(平方对二一二相减余一而一所对之表为根故定除得之数为根数也又如以平方除平方则二与二)(减尽为○查所对之表得真数以平方除立方则二与三相减余一查所对之表得根数以立方除立方)(则三与三相减得○查所对之表亦得真数也余皆倣此)定多少与相同号式凡数有多者用此号一如一平方多二根则如此列之凡数有少者用此号一如一立方少二平方则如此列之凡数有相等者用此号一如二立方与十六相等则如此列之至于数之多少不齐用号各异加减乘除之后有不变者有以多变少以少变多者俱详于本法加法凡多与多加得数仍为多少与少加得数仍为少多与少加少与多加则反相减为所得数而多数大则得数亦为多少数大则得数亦为少其故何也葢因多数大少数小以其所多补其所少而其所多者尚有余也少数大多数小以其所多补其所少而其所少者仍不足也多少之号定而加法不淆矣设如有三平方多四根与二平方多三根相加问得几何法以三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是为五平方多七根即所求之数也此多与多加得数仍为多也如以数明之以根为二则一平方为四上数三平方得十二多四根得多八是十二多八共二十下数二平方得八多三根得多六是八多六共十四上十二与下八相加得二十即五平方之数上多八与下多六相加得十四即多七根之数葢上数共二十下数共十四两数相加得三十四即二十多十四也设如有四立方少一平方与三立方少二平方相加问得几何法以四立方与三立方相加得七立方一平方与二平方相加得三平方是为七立方少三平方即所求之数也此少与少加得数仍为少也如以数明之以平方为九则一立方为二十七上数四立方得一百零八少一平方得少九是一百零八少九为九十九下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八为六十三上一百零八与下八十一相加得一百八十九即七立方之数上少九与下少十八相加得二十七即少三平方之数葢上数九十九下数六十三两数相加得一百六十二即一百八十九少二十七也设如有四平方多四根与二平方少三根相加问得几何法以四平方与二平方相加得六平方四根与三根相加应得七根今多少两数不同故于多四根内反减去少三根余一根因多数大故得数为多是为六平方多一根即所求之数也此多少两数不同相加所多数大以其所多补足所少而所多仍有余葢以上数多四根补足下数少三根仍多一根也如以数明之以根为二则一平方为四上数四平方得十六多四根得多八是十六多八共二十四下数二平方得八少三根得少六是八少六为二上十六与下八相加得二十四即六平方之数上多八补足下少六仍余二即多一根之数葢上数二十四下数二两数相加得二十六即二十四多二也设如有二立方少三平方与一立方多二平方相加问得几何法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加应得五平方今多少两数不同故于少三平方内反减去多二平方余一平方因少数大故得数为少是为三立方少一平方即所求之数也此多少两数不同相加所少数大以其所多补其所少而所少仍不足葢于上数少三平方内增入下数多二平方仍少一平方也如以数明之以平方为九则一立方为二十七上数二立方得五十四少三平方得少二十七是五十四少二十七为二十七下数一立方得二十七多二平方得多十八是二十七多十八共四十五上五十四与下二十七相加得八十一即三立方之数上少二十七内增入下多十八仍少九即少一平方之数葢上数二十七下数四十五两数相加得七十二即八十一少九也设如有二立方多三平方少四根与一立方多二平方少三根相加问得几何法以二立方与一立方相加得三立方三平方与二平方相加得五平方四根与三根相加得七根是为三立方多五平方少七根即所求之数也此三位相加多少各自相同故多与多加仍为多少与少加仍为少也如以数明之以根为二则一平方为四一立方为八上数二立方得十六多三平方得多十二少四根得少八是十六多十二又少八为二十下数一立方得八多二平方得多八少三根得少六是八多八又少六为十上十六与下八相加得二十四即三立方之数上多十二与下多八相加得二十即多五平方之数上少八与下少六相加得十四即少七根之数葢上数二十下数十两数相加得三十即二十四多二十又少十四也设如有四立方多三平方少二根多五真数与五立方少一平方多三根少二真数相加问得几何法以四立方与五立方相加得九立方多三平方与少一平方相减余二平方多数大故为多少二根与多三根相减余一根多数大故为多多五真数与少二真数相减余三真数多数大故为多是为九立方多二平方多一根多三真数即所求之数也此四位相加而多少各自不同须各以所多补足所少故相减所余为所得数也如以数明之以根为二则一平方为四一立方为八上数四立方得三十二多三平方得多十二少二根得少四又多真数五是三十二多十二少四又多五为四十五下数五立方得四十少一平方得少四多三根得多六又少真数二是四十少四多六又少二为四十上三十二与下四十相加得七十二即九立方之数上多十二补足下少四仍余八即多二平方之数上少四增入下多六反多二即多一根之数上多五补足下少二仍余三即多三真数葢上数四十五下数四十两数相加得八十五即七十二多八又多二又多三也设如有一立方多三根与一平方少一根相加问得几何法以一立方与一平方相加得一立方多一平方多三根与少一根相减余二根多数大故为多是为一立方多一平方多二根即所求之数也此相加两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无平方位而下层却有平方位故上层列一空平方位以补之凡法皆当如此也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七上数一立方得二十七多三根得多九是二十七多九共三十六下数一平方得九少一根得少三是九少三为六上二十七与下无可加仍得二十七即一立方之数下九与上空位亦无可加仍得九即一平方之数上多九补足下少三仍余六即多二根之数葢上数三十六下数六两数相加得四十二即二十七多九又多六也减法凡多与多减原数大于减数则减余仍为多少与少减原数大于减数则减余仍为少若多与多减减数大于原数则反减而减余即变为少葢减数之所多既大于原数之所多则原数之所多内减尽与原数之所多相等之数仍须于原数之整分内多减去所大之几何则所余之整分内即少几何矣若少与少减减数大于原数则反减而减余即变为多葢减数之所少既大于原数之所少则原数之所少内减尽与原数之所少相等之数仍须于原数之整分内少减所大之几何故所余之整分内即多几何矣至于多与少减少与多减则反相加为减余数而原数多则减余仍为多原数少则减余仍为少其故何也葢因原数多减数少则原数已多在彼而减数又少于此是所余益多也原数少减数多则原数已少在彼而减数又多于此是所余益少也多少之号明而减法不淆矣设如有四平方多五根内减二平方多二根问所余几何法以四平方减二平方余二平方五根减二根余三根是为二平方多三根即所求之数也此多与多减原数大于减数故减余仍为多也如以数明之以根为三则一平方为九上数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一下数二平方得十八多二根得多六是十八多六共二十四上三十六内减下十八余十八即二平方之数上十五内减下六余九即三根之数葢上数共五十一下数共二十四两数相减余二十七即十八多九也设如有四立方少三平方内减三立方少二平方问所余几何法以四立方减三立方余一立方三平方减二平方余一平方是为一立方少一平方即所求之数也此少与少减原数大于减数故减余仍为少也如以数明之以平方为九则一立方为二十七上数四立方得一百零八少三平方得少二十七是一百零八少二十七为八十一下数三立方得八十一少二平方得少十八是八十一少十八为六十三上一百零八内减下八十一余二十七即一立方之数上二十七内减下十八余九即少一平方之数葢上数八十一下数六十三两数相减余十八即二十七少九也设如有七平方多三根内减四平方多五根问所余几何法以七平方减四平方余三平方三根内不能减五根乃于下数多五根内反减上数多三根余二根即变为少是为三平方少二根即所求之数也此多与多减减数大于原数故反减而减余即变为少葢原数多三根减数多五根是减数比原数大二根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余二根此二根必须于原数平方内减之原数既多减二根则余数即少二根也如以数明之以根为三则一平方为九上数七平方得六十三多三根得多九是六十三多九共七十二下数四平方得三十六多五根得多十五是三十六多十五共五十一上六十三内减下三十六余二十七即三平方之数下十五内反减上九余六即少二根之数葢上数共七十二下数共五十一两数相减余二十一即二十七少六也设如有六平方少三根内减二平方少四根问所余几何法以六平方减二平方余四平方三根内不能减四根乃于下数少四根内反减上数少三根余一根即变为多是为四平方多一根即所求之数也此少与少减减数大于原数故反减而减余即变为多葢原数少三根减数少四根是减数比原数大一根如于原数三根内减去减数三根则减数仍余一根此一根系原数平方内所少减之一根原数既少减一根则余数即多一根也如以数明之以根为四则一平方为十六上数六平方得九十六少三根得少十二是九十六少十二为八十四下数二平方得三十二少四根得少十六是三十二少十六为十六上九十六内减下三十二余六十四即四平方之数下十六反减上十二余四即多一根之数葢上数八十四下数十六两数相减余六十八即六十四多四也设如有三平方多四根内减二平方少一根问所余几何法以三平方减二平方余一平方四根减一根应余三根今多少两数不同故反相加得五根因原数多故得数仍为多是为一平方多五根即所求之数也此多少两数不同相减原数多减数少原数已多而减数又少则所余者愈多葢原数多四根减数少一根是原数比减数已多五根故减余即为多五根也如以数明之以根为四则一平方为十六上数三平方得四十八多四根得多十六是四十八多十六共六十四下数二平方得三十二少一根得少四是三十二少四为二十八上四十八内减下三十二余十六即一平方之数上多十六加下少四得二十即多五根之数葢上数六十四下数二十八两数相减余三十六即十六多二十也设如有五平方少二根内减三平方多三根问所余几何法以五平方减三平方余二平方二根不能减三根且多少两数不同故反相加得五根因原数少故得数仍为少是为二平方少五根即所求之数也此多少两数不同相减原数少减数多原数已少减数又多则所余者愈少葢原数少二根减数多三根是原数比减数已少五根故减余即为少五根也如以数明之以根为五则一平方为二十五上数五平方得一百二十五少二根得少十是一百二十五少十为一百一十五下数三平方得七十五多三根得多十五是七十五多十五共九十上一百二十五内减下七十五余五十即二平方之数上少十加下多十五得二十五即少五根之数葢上数一百一十五下数九十两数相减余二十五即五十少二十五也设如有四立方多六平方内减二立方多三平方多三根问所余几何法以四立方减二立方余二立方六平方减三平方再减三根余三平方少三根是为二立方多三平方少三根即所求之数也此相减两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆今上层无根位而下层却有根位故上层作一空根位以补之是原根位无数而减数多三根故所余即少三根也如以数明之以根为二则一平方为四一立方为八上数四立方得三十二多六平方得多二十四是三十二多二十四共五十六下数二立方得十六多三平方得多十二多三根得多六是十六多十二又多六为三十四上三十二内减下十六余十六即二立方之数上二十四内减下十二余十二即三平方之数下六无可减仍为六即少三根之数葢上数五十六下数三十四两数相减余二十二即十六多十二又少六也设如有五立方多四平方多三根少八真数内减四立方多二平方多二根少九真数问所余几何法以五立方减四立方余一立方四平方减二平方余二平方多与多减原数大故为多多三根减二根余一根多与多减原数大故为多八真数不能减九真数乃于下数少九内反减上数少八余一即变为多是为一立方多二平方多一根多一真数即所求之数也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七上数五立方得一百三十五多四平方得多三十六多三根得多九又少真数八是一百三十五多三十六又多九又少八为一百七十二下数四立方得一百零八多二平方得多十八多二根得多六又少真数九是一百零八多十八又多六又少九为一百二十三上一百三十五内减下一百零八余二十七即一立方之数上三十六内减下十八余十八即多二平方之数上九内减下六余三即多一根之数下九反减上八余一即多一真数葢上数一百七十二下数一百二十三两数相减余四十九即二十七多十八又多三又多一也设如有二立方多三根内减一平方少一根问所余几何法以二立方减一平方余二立方少一平方三根减一根应余二根今多少两数不同故反相加得四根因原数多故得数仍为多是为二立方少一平方多四根即所求之数也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七上数二立方得五十四多三根得多九是五十四多九共六十三下数一平方得九少一根得少三是九少三为六上五十四无可减仍为五十四即二立方之数下九无可减仍为九即少一平方之数上多九与下少三相加得十二即多四根之数葢上数六十三下数六两数相减余五十七即五十四少九又多十二也乘法凡乘法各按位分上下横列自末位起逐位遍乘与常法同其书乘出之数以类相从(如乘出之数为根俱书于根之下乘)(出之数为平方俱书于平方之下皆依定位表例)其定多少之号则临期互有转移葢法实俱止一位者其乘出之数为多不必言矣法实不止一位俱系多者(如几平方多几根或几根多几真数又或)(几平方多几根又多几真数之类)其乘出之数亦俱为多葢以多乘多则多者益多也法实两数俱系少者其为首一位已系整数为多(如几平方少几根或几根少几真数或几平方少几根又少几真数之类)故乘出之数则有多少之分如为首一位相乘系多与多乘其乘出之数为多而次位为少者与首位乘是为少与多乘或首位与次位为少者乘是为多与少乘则其乘出之数俱为少葢少与多乘多与少乘则少者益少而得数固少也(如㡬平方少几根与几真数相乘以真数乘平)(方即为多与多乘以真数乘根即为多与少乘也)至于少与少乘其乘出之数反变为多(如几立方少几平方与几根少几真数相乘以真数乘平方即为少与少乘也)其故何也葢法实首位为多次位以后为少则乘出之数首位内少次位之数必多末位之数须于乘出首位数中减去次位之数加入末位之数始与实数相合(除首位上下两整数相乘以后次位皆系少与少乘为多而次位对首位乘必为少与多乘或)(多与少乘则此两数俱为少合之为首位数内少次位之数而多末位之数葢因次位所少数内有两分)(末位之数首位数内减去次位之全数即如多减去一末位之数倘能于次位数中先减去末位数然后)(再于首位数中减之始与实数相合今次位数中既不能先减去末位数故转于首位数中减去次位数)(反加入一末位数也)所谓减者即少数所谓加者即多数多少之分既定则依加法相加即为所得之数也设如有三根多二真数以三真数乘之问得几何法以三真数乘二真数得多六真数(以多)(与多乘故为多也又几以真数乘根方之数其位皆不变如以真数乘真数仍)(得真数以真数乘根仍得根葢定位表中真数之位为○于根方之位无所加)(也)以三真数乘三根得多九根是为九根多六真数即所求之数也如以数明之以根为四则上数三根得十二多二真数共得十四以下真数三乘之所得三十六即九根之数所得多六即多六真数葢以下数三与上数十四相乘得四十二即三十六多六也设如有四根多二真数以二根多三真数乘之问得几何法以多三真数乘多二真数得多六真数以多三真数乘四根得多十二根又以二根乘多二真数得多四根以二根乘四根得八平方(以根与根乘即得平方葢根所对之位为)(一以一加一为二即平方所对之位故得数定为平方)相加得八平方多一十六根又多六真数即所求之数也如图甲乙为四根乙丙为多二真数甲丁为二根丁戊为多三真数以甲丙四根多二真数与甲戊二根多三真数相乘成甲戊己丙长方形其甲丁庚乙长方形即八平方其乙庚辛丙与丁戊壬庚二长方形即所多十六根其庚壬己辛长方形即所多六真数也如以数明之以根为四则一平方为十六上数四根得十六多二真数共得十八下数二根得八多三真数共得十一相乘所得一百二十八即八平方之数所得多六十四即多十六根之数所得多六即多六真数葢以下数十一与上数十八相乘得一百九十八即一百二十八多六十四又多六也设如有二平方多三根以二根多四真数乘之问得几何法因上层无真数位故列一空位以补之以多四真数乘空真数仍为空以多四真数乘多三根得多十二根以多四真数乘二平方得多八平方以二根乘空真数仍为空以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方(以根)(乘平方即得立方葢根所对之位为一平方所对之位为二以一加二得三即)(立方所对之位也)相加得四立方多十四平方又多十二根即所求之数也此相乘两数位分不同须各按位列号补足位分始不相淆凡法皆当如此如图甲乙丙丁为二平方丁丙戊己为多三根庚辛为二根戊庚为多四真数以甲乙戊己二平方多三根与戊辛二根多四真数相乘成乙己辛癸扁方体其丙己庚子十二根即四真数乘三根之数其甲乙丙丁子丑八平方即四真数乘二平方之数其子寅庚辛壬卯六平方即二根乘三根之数其丑子卯癸四立方即二根乘二平方之数也如以数明之以根为五则一平方为二十五一立方为一百二十五上数二平方得五十多三根得多十五共得六十五下数二根得一十多四真数共得十四相乘所得五百即四立方之数所得多三百五十即多十四平方之数所得多六十即多十二根之数葢以下数十四与上数六十五相乘得九百一十即五百多三百五十又多六十也设如有二根少四真数以一根多三真数乘之问得几何法以多三真数乘少四真数得少十二真数(多与少乘故为少)以多三真数乘二根得多六根(凡为首一位皆为多而数前无号者亦即为多今以多三真数)(与多二根相乘故其得数仍为多)又以一根乘少四真数得少四根(以多与少乘故为少)以一根乘二根得二平方相加得二平方多二根少十二真数即所求之数也如图甲乙为二根丙乙为少四真数甲丁为一根丁戊为多三真数以甲乙二根少四真数与甲戊一根多三真数相乘成甲戊己乙长方形其庚壬己辛长方形即多三真数乘少四真数之十二真数丁戊己辛长方形即多三真数乘二根之六根丙庚辛乙长方形即一根乘少四真数之四根甲丁辛乙长方形即一根乘二根之二平方合之为甲丁辛乙二平方而少丙庚辛乙之四根又多丁戊己辛之六根而少庚壬己辛之十二真数今以丁戊己辛之多六根少十二真数补丙庚辛乙之少四根仍多二根而少十二真数也如以数明之以根为六则一平方为三十六上数二根得十二少四真数则余八下数一根得六多三真数共得九相乘所得七十二即二平方之数所得多十二即多二根之数所得少十二即少十二真数之数葢以下数九与上数八相乘得七十二即七十二多十二又少十二也设如有一根少一真数以一根少二真数乘之问得几何法以少二真数乘少一真数得多二真数(少与少乘故为多)以少二真数乘一根得少二根(一根为首且无号故为多今以少二真数与多一根相乘故其得数)(亦为少也)又以一根乘少一真数得少一根(多与少乘故为少)以一根乘一根得一平方相加得一平方少三根多二真数即所求之数也如图甲乙为一根丙乙为少一真数甲丁亦为一根戊丁为少二真数以甲乙一根少一真数与甲丁一根少二真数相乘成甲乙己丁正方形其庚壬己辛小长方形即少二真数乘少一真数之二真数其戊壬己丁即二真数乘一根之二根其丙乙己辛即一根乘少一真数之一根其甲乙己丁为一根乘一根之一平方合之为甲乙己丁一平方而少丙乙己辛之一根又少戊壬己丁之二根而多庚壬己辛之二真数实得甲丙庚戊之一长方形葢甲乙己丁之一正方内减戊壬己丁之二根又减丙乙己辛之一根是重减去庚壬己辛之二真数则甲丙庚戊长方内必缺二真数故将少二真数乘少一真数所得之二真数即预定为多号以补重减之分然后得甲丙庚戊之一长方为所得之实数也是则少与少乘之为多者非于整数之外有盈分而为多实因所少之数有过分而为多也如以数明之以根为六则一平方为三十六上数一根为六少一真数则余五下数一根为六少二真数则余四相乘所得三十六即一平方之数所得少十八即少三根之数所得多二即多二真数之数葢以下数四与上数五相乘得二十即三十六少十八多二也设如有二立方少二平方少一根以二平方少二根乘之问得几何法因上下两层皆无真数位故各列一空位以补之以空真数乘上层各位仍得各空位以少二根乘空真数仍得空根以少二根乘少一根得多二平方以少二根乘少二平方得多四立方以少二根乘二立方得少四三乘方又以二平方乘空真数仍得空平方以二平方乘少一根得少二立方以二平方乘少二平方得少四三乘方以二平方乘二立方得四四乘方相加共得四四乘方少八三乘方多二立方又多二平方即所求之数也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七一三乘方为八十一一四乘方为二百四十三上数二立方得五十四少二平方得少十八少一根得少三是五十四少十八又少三为三十三下数二平方得十八少二根得少六是十八少六为十二相乘所得九百七十二即四四乘方之数所得少六百四十八即少八三乘方之数所得多五十四即多二立方之数所得多十八即多二平方之数葢以下数十二与上数三十三相乘得三百九十六即九百七十二内少六百四十八又多五十四复多十八也设如有三平方少二根多二真数与一平方多二根少三真数相乘问得几何法以少三真数乘多二真数得少六真数以少三真数乘少二根得多六根以少三真数乘三平方得少九平方又以多二根乘多二真数得多四根以多二根乘少二根得少四平方以多二根乘三平方得多六立方又以一平方乘多二真数得多二平方以一平方乘少二根得少二立方以一平方乘三平方得三三乘方相加得三三乘方多四立方少十一平方多十根少六真数即所求之数也如以数明之以根为四则一平方为十六一立方为六十四一三乘方为二百五十六上数三平方得四十八少二根得少八多二真数共得四十二下数一平方得十六多二根得多八少三真数共得二十一相乘所得七百六十八即三三乘方之数所得多二百五十六即多四立方之数所得少一百七十六即少十一平方之数所得多四十即多十根之数所得少六即少六真数之数葢以下数二十一与上数四十二相乘得八百八十二即七百六十八多二百五十六又少一百七十六仍多四十复少六也除法凡除法按位列数必以真数为单位法尾未至真数者须补○以存其位(如法尾为根则补一○以存真数位法尾为平方则补二○以)(存真数位法尾为立方则补三○以存真数位)将得数首位纪于真数之上(如真数之位为○者则纪于○位之上)真数所对实中之位即得数首位之数(如真数对实中根位即定得数首位为根如真数对实中平方位即定得数首位为平方)(如真数对实中立方位即定得数首位为立方余俱倣此)其归除递减皆与常法同至于定号亦与乘法同俱详设如于左设如有十二立方多九平方多六根以三真数除之问得几何法以三真数除十二立方得四立方以四立方乘三真数得十二立方与实相减恰尽余多九平方多六根复以三真数除多九平方得多三平方以多三平方乘三真数得多九平方与实相减恰尽余多六根又以三真数除多六根得多二根以多二根乘三真数得多六根与实相减恰尽无余是为四立方多三平方多二根即所求之数也此法葢因真数除立方多平方与多根故得数之位仍从实数之位且真数之位下对实中立方之位故定得数首位亦为立方又因实数皆为多故得数亦皆为多也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七实数十二立方得三百二十四多九平方得多八十一多六根得多十八是三百二十四多八十一又多十八共为四百二十三以真数三除之所得一百零八即四立方之数所得多二十七即多三平方之数所得多六即多二根之数葢以四百二十三以三除之得一百四十一即一百零八多二十七又多六也设如有十二立方多八平方多六根以二根除之问得几何法因法尾未至真数位故设一空真数位以补之以二根除十二立方得六平方以六平方乘二根得十二立方与实相减恰尽余多八平方多六根复以二根除多八平方得多四根以多四根乘二根得多八平方与实相减恰尽余多六根复以二根除多六根得多三真数以多三真数乘二根得多六根与实相减恰尽无余是为六平方多四根多三真数即所求之数也此法葢因根数除立方多平方与多根故根除立方得平方根除多平方得多根根除多根而得多真数且真数之位下对实中平方之位故定得数首位亦为平方又因实数皆为多故得数亦皆为多也如以数明之以根为二则一平方为四一立方为八实数十二立方得九十六多八平方得多三十二多六根得多十二是九十六多三十二又多十二共为一百四十法数二根为四除之所得二十四即六平方之数所得多八即多四根之数所得多三即多三真数之数葢一百四十以四除之得三十五即二十四多八又多三也设如有四三乘方多八立方又多八平方以四平方除之问得几何法以四平方除四三乘方得一平方以一平方乘四平方得四三乘方与实相减恰尽余多八立方多八平方复以四平方除多八立方得多二根以多二根乘四平方得多八立方与实相减恰尽余多八平方又以四平方除多八平方得多二真数以多二真数乘四平方得多八平方与实相减恰尽无余是为一平方多二根又多二真数即所求之数也此法葢因平方除三乘方多立方与多平方故平方除三乘方得平方平方除多立方得多根平方除多平方得多真数且真数之位下对实中平方之位故定得数首位亦为平方又因实数皆为多故得数亦皆为多也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七一三乘方为八十一实数四三乘方得三百二十四多八立方得多二百一十六多八平方得多七十二是三百二十四多二百一十六又多七十二共为六百一十二法数四平方为三十六除之所得之九即一平方之数所得多六即多二根之数所得多二即多二真数之数葢六百一十二以三十六除之得十七即九多六又多二也设如有四立方多八平方多七根多二真数以二平方多三根多二真数除之问得几何法以二平方多三根多二真数除四立方多八平方多七根得二根以二根乘多二真数得多四根以二根乘多三根得多六平方以二根乘二平方得四立方与实相减余多二平方多三根多二真数复以二平方多三根多二真数除二平方多三根多二真数得多一真数以多一真数乘多二真数得多二真数以多一真数乘多三根得多三根以多一真数乘二平方得多二平方与实相减恰尽无余是为二根多一真数即所求之数也此法葢因平方多根多真数除立方多平方多根多真数故以平方除立方得根以平方除多平方得多真数且真数之位下对实中根位故定得数首位为根又因实数皆为多故得数亦皆为多也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七实数四立方得一百零八多八平方得多七十二多七根得多二十一多二真数即多二是为一百零八多七十二又多二十一又多二共为二百零三法数二平方得十八多三根得多九多二真数即多二是为十八多九又多二共为二十九除之所得之六即二根之数所得多一即多一真数葢二百零三以二十九除之得七即六多一也设如有六平方少一根少十五真数以三根少五真数除之问得几何法以三根少五真数除六平方少一根得二根以二根乘少五真数得少十根以二根乘三根得六平方与实相减平方恰尽根之减数大于原数转减之余多九根少十五真数复以三根少五真数除多九根少十五真数得多三真数(减余之九根为多故除得之三真数亦为多也)以多三真数与少五真数相乘得少十五真数以多三真数与三根相乘得多九根与实相减恰尽无余是为二根多三真数即所求之数也此法葢因根少真数除平方少根少真数故以根除平方得根以根除多根(根原为少而减余数变为多)得多真数且真数之位下对实中根位故定得数首位为根又因实数原为少而次位余实之数变为多故定得数次位为多也如以数明之以根为五则一平方为二十五实数六平方得一百五十少一根得少五少十五真数即少十五是为一百五十少五又少十五共为一百三十法数三根得十五少五真数即少五是为十五少五共为一十除之所得之一十即二根之数所得之多三即多三真数之数葢一百三十以十除之得十三即十多三也设如有九立方少十二平方少五根多六真数以三平方少二根少三真数除之问得几何法以三平方少二根少三真数除九立方少十二平方少五根得三根以三根乘少三真数得少九根以三根乘少二根得少六平方以三根乘三平方得九立方与实相减立方恰尽原少十二平方减少六平方余少六平方原少五根不能减九根转减之余多四根又多六真数复以三平方少二根少三真数除少六平方多四根多六真数得少二真数以少二真数乘少三真数得多六真数以少二真数乘少二根得多四根以少二真数乘三平方得少六平方与实相减恰尽无余是为三根少二真数即所求之数也此法葢因平方少根少真数除立方少平方少根与多真数故以平方除立方得根以平方除少平方得少真数且真数之位下对实中根位故定得数首位为根又实数之号虽有少有多不同而次位余实之首数为少故定得数次位为少也如以数明之以根为七则一平方为四十九一立方为三百四十三实数九立方得三千零八十七少十二平方得少五百八十八少五根得少三十五多六真数即多六是为三千零八十七少五百八十八又少三十五仍多六共为二千四百七十法数三平方得一百四十七少二根得少十四少三真数即少三是为一百四十七少十四又少三共为一百三十除之所得之二十一即三根之数所得之少二即少二真数之数葢二千四百七十以一百三十除之得十九即二十一少二也设如有八立方多八平方多二根少四真数以二平方多三根多二真数除之问得几何法以二平方多三根多二真数除八立方多八平方多二根得四根以四根乘多二真数得多八根以四根乘多三根得多十二平方以四根乘二平方得八立方与实相减立方恰尽平方与根之减数俱大于原数故皆转减之余少四平方少六根又少四真数复以二平方多三根多二真数除少四平方少六根少四真数得少二真数以少二真数乘多二真数得少四真数以少二真数乘多三根得少六根以少二真数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是为四根少二真数即所求之数也此法葢因平方多根多真数除立方多平方多根与少真数故以平方除立方得根以平方除少平方(平方原为多而减余数变为少)得少真数且真数之位下对实中根位故定得数首位为根又实数之号虽有多有少不同而次位余实皆变为少故定得数次位为少也如以数明之以根为三则一平方为九一立方为二十七实数八立方得二百一十六多八平方得多七十二多二根得多六少四真数即少四是二百一十六多七十二又多六仍少四共为二百九十法数二平方得十八多三根得多九多二真数即多二是十八多九又多二共为二十九除之所得十二即四根之数所得少二即少二真数之数葢二百九十以二十九除之得十即十二少二也设如有四三乘方少二立方少四平方多五根少二真数以二平方少二根多一真数除之问得几何法以二平方少二根多一真数除四三乘方少二立方少四平方得二平方以二平方乘多一真数得多二平方以二平方乘少二根得少四立方以二平方乘二平方得四三乘方与实相减三乘方恰尽原少二立方不能减少四立方转减之余多二立方原少四平方减多二平方故相加为少六平方仍多五根复以二平方少二根多一真数除多二立方少六平方多五根得多一根以多一根乘多一真数得多一根以多一根乘少二根得少二平方以多一根乘二平方得多二立方与实相减立方恰尽原少六平方减少二平方余少四平方原多五根减多一根余多四根仍少二真数又以二平方少二根多一真数除少四平方多四根少二真数得少二真数以少二真数乘多一真数得少二真数以少二真数乘少二根得多四根以少二真数乘二平方得少四平方与实相减恰尽无余是为二平方多一根少二真数即所求之数也此法葢因平方少根多真数除三乘方少立方又少平方仍多根与少真数故以平方除三乘方得平方以平方除多立方(立方原为少而减余)(数变为多)得多根以平方除少平方得少真数且真数之位下对实中平方之位故定得数首位为平方又实数之号虽有多有少不同而次位余实之首数变为多三位余实之首数仍为少故定得数之次位为多三位为少也如以数明之以根为六则一平方为三十六一立方为二百一十六一三乘方为一千二百九十六实数四三乘方得五千一百八十四少二立方得少四百三十二少四平方得少一百四十四多五根得多三十少二真数即少二是五千一百八十四少四百三十二又少一百四十四仍多三十复少二共为四千六百三十六法数二平方得七十二少二根得少十二多一真数即多一是七十二少十二又多一共为六十一除之所得七十二即二平方之数所得多六即多一根之数所得少二即少二真数之数葢四千六百三十六以六十一除之得七十六即七十二多六少二也御制数理精蕴下编卷三十一
## 下编卷三十二
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十二末部二借根方比例(开诸乘方法) (诸乘方表)开诸乘方法借根方比例法中开各乘方为最要其算线部借根算面部借平方算体部借立方以及多乘方虽各按其类然有法属线类而仍须诸乘方算者故诸乘方之法宜审也葢诸乘方之形体不同开法之难易迥别总以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立方之廉较多故较难自三乘以至多乘其廉愈多则其法愈难今自平方以至九乘方俱専立一法在平方立方所省不多而三乘方以后则甚为简捷至于诸乘方中亦有可以用平方立方之法代开者如三乘方与平方自乘之数等故可以平方两次开之五乘方与平方自乘再乘之数等亦与立方自乘之数等故可以平方开之继以立方开之七乘方与平方两次自乘之数等故可以平方三次开之八乘方与立方自乘再乘之数等故可以立方两次开之九乘方与四乘方自乘之数等故可以平方开之继以四乘方开之惟四乘方及六乘方与平方立方之数皆不相合故不可以平方立方之法代开也又诸乘方次商之数最难定今自立方至九乘方俱为立根数两位之表若根数两位者以积数捡表即得更为便捷至于十乘方以后并可以此法御之但其数繁衍而无所用兹故不载焉平方设如有平方积一万五千一百二十九尺开平方问每一根之数几何法列方积一万五千一百二十九尺自末位起算每方积二位定方根一位故隔一位作记乃于九尺上定单位一百尺上定十位一万尺上定百位其一万尺为初商积与一百自乘之数相合即定初商为一百尺书于方积一万尺之上而以初商一百尺自乘之一万尺书于初商积之下相减恰尽爰以方根第二位积五千一百尺续书于后为次商廉隅之共积而以初商之一百尺倍之得二百尺为次商廉法以除次商积足二十倍即定次商为二十尺书于方积一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一万四千四百尺与原积相减余七百尺爰以方根第三位积二十九尺续书于后共七百二十九尺为三商廉隅之共积而以初商次商之一百二十尺倍之得二百四十尺为三商廉法以除三商积足三倍即定三商为三尺书于方积九尺之上合初商次商共一百二十三尺自乘得一万五千一百二十九尺与原积相减恰尽是开得一百二十三尺为平方每一根之数也此法止用廉法除余积得次商即并初商数自乘得数复与原积相减与常法不同然自三乘方以至多乘方则廉法条例甚繁难于布算用此法甚为省便在平方立方不觉其省(平方止省小隅一层立方止省长廉小隅二层)而在多乘方所省实多葢各设一例以备体也立方设如有立方积四千一百零六万三千六百二十五尺开立方问每一根之数几何法列方积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算每方积三位定方根一位故隔二位作记乃于五尺上定单位三千尺上定十位一百万尺上定百位其四千一百万尺为初商积与三百自乘再乘之数相准即定初商为三百尺书于方积一百万尺之上而以三百尺自乘再乘之二千七百万尺书于初商积之下相减余一千四百万尺爰以方根第二位余积六万三千尺续书于后共一千四百零六万三千尺为次商廉隅之共积而以初商之三百尺自乘得九万尺三因之得二十七万尺为次商廉法以除次商积足四十倍即定次商为四十尺书于方积三千尺之上合初商共三百四十尺自乘再乘得三千九百三十万四千尺与原积相减余一百七十五万九千尺爰以方边第三位余积六百二十五尺续书于后共一百七十五万九千六百二十五尺为三商廉隅之共积而以初商次商之三百四十尺自乘得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺为三商廉法以除三商积足五倍即定三商为五尺书于方积五尺之上合初商次商共三百四十五尺自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽是开得三百四十五尺为立方每一根之数也又用表开法列积四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算隔二位作记定位同前乃截方根第二位以前积四一○六三为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为三九三○四(即初商次商自乘再乘之数)其所对初商根为三次商根为四即将三四书于初商次商之位而以三九三○四书于初商次商积之下相减余一七五九乃以三九三○四格内三商廉法三四六除余积一七五九足五倍即定三商为五书于三商之位合初商次商共三百四十五自乘再乘得四千一百零六万三千六百二十五尺与原积相减恰尽即定立方根为三百四十五尺也三乘方设如有三乘方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开三乘方问每一根之数几何法列方积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算每方积四位定方根一位故隔三位作记乃于一尺上定单位七万尺上定十位三亿尺上定百位其一千零三十三亿尺为初商积与五百乘三次之数相准即定初商为五百尺书于方积三亿尺之上而以五百尺乘三次之六百二十五亿尺书于初商积之下相减余四百零八亿尺爰以方根第二位积五千五百一十七万尺续书于后共四百零八亿五千五百一十七万尺为次商廉隅之共积而以初商之五百尺乘二次得一亿二千五百万尺四因之得五亿尺为次商廉法以除次商积足八十倍因定次商为八十尺合初商共五百八十尺乘三次得一千一百三十一亿六千四百九十六万尺大于原积是次商不可商八也乃改商七为七十尺合初商共五百七十尺乘三次得一千零五十五亿六千零一万尺仍大于原积是次商不可商七也又改商六为六十尺合初商共五百六十尺乘三次得九百八十三亿四千四百九十六万尺小于原积可减也乃定次商为六十尺书于方积七万尺之上而以五百六十尺乘三次之九百八十三亿四千四百九十六尺与原积相减余五十亿一千零二十一万尺爰以方根第三位积七千一百二十一尺续书于后共五十亿一千零二十一万七千一百二十一尺为三商廉隅之共积而以初商次商之五百六十尺乘二次得一亿七千五百六十一万六千尺四因之得七亿零二百四十六万四千尺为三商亷法以除三商积足七倍即定三商为七尺书于方积一尺之上合初商次商共五百六十七尺乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得五百六十七尺为三乘方每一根之数也葢三乘方之本法有四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅既得初商乃以初商自乘再乘四因之得四自乘再乘廉为法除余积得次商以初商自乘与次商相乘六因之为六自乘廉以次商自乘与初商相乘四因之为四长廉以次商自乘再乘为一小隅合四自乘再乘廉六自乘廉四长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘三次即得应减之积也又法用开平方法两次开之初以原积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺开平方得三十二万一千四百八十九尺次以三十二万一千四百八十九尺复开平方得五百六十七尺即三乘方每一根之数也又用表开法列积一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺自末位起算隔三位作记定位同前乃截方根第二位以前积一○三三五五一七为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为九八三四四九六(即初商次商乘三次之数)其所对初商根为五次商根为六即将五六书于初商次商之位而以九八三四四九六书于初商次商积之下相减余五○一○二一乃以九八三四四九六格内三商廉法七○二四六除余积五○一○二一足七倍即定三商为七书于三商之位合初商次商共五百六十七乘三次得一千零三十三亿五千五百一十七万七千一百二十一尺与原积相减恰尽即定三乘方根为五百六十七尺也四乘方设如有四乘方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺开四乘方问每一根之数几何法列方积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算每方积五位定方根一位故隔四位作记乃于五尺上定单位九十万尺上定十位空百亿尺上定百位其二百六十二兆尺为初商积与七百乘四次之数相准即定初商为七百尺书于方积空百亿尺之上而以七百尺乘四次之一百六十八兆零七百亿尺书于初商积之下相减余九十三兆九千三百亿尺爰以方根第二位余积三十五亿四千九百九十万尺续书于后共九十三兆九千三百三十五亿四千九百九十万尺为次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘三次得二千四百零一亿尺五因之得一兆二千零五亿尺为次商廉法以除次商积足七十倍因定次商为七十尺合初商共七百七十尺乘四次得二百七十兆六千七百八十四亿一千五百七十万尺大于原积是次商不可商七也乃改商六为六十尺合初商共七百六十尺乘四次得二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺小于原积可减也乃定次商为六十尺书于方积九十万尺之上而以七百六十尺乘四次之二百五十三兆五千五百二十五亿三千七百六十万尺与原积相减余八兆四千五百一十亿一千二百三十万尺爰以方根第三位余积七万八千一百二十五尺续书于后共八兆四千五百一十亿一千二百三十七万八千一百二十五尺为三商廉隅之共积而以初商次商之七百六十尺乘三次得三千三百三十六亿二千一百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一亿零八百八十万尺为三商廉法以除三商积足五倍即定三商为五尺书于方积五尺之上合初商次商共七百六十五尺乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽是开得七百六十五尺为四乘方每一根之数也葢四乘方之本法有五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅既得初商乃以初商乘三次五因之得五三乘廉为法除余积得次商以初商自乘再乘与次商相乘十因之为十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘两数相乘十因之为十自乘廉以次商自乘再乘与初商相乘五因之为五长廉以次商数乘三次为一小隅合五三乘廉十自乘再乘廉十自乘廉五长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘四次即得应减之积也又用表开法列积二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺自末位起算隔四位作记定位同前乃截方根第二位以前积二六二○○三五四九九为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为二五三五五二五三七六(即初商次商乘四次之数)其所对初商根为七次商根为六即将七六书于初商次商之位而以二五三五五二五三七六书于初商次商积之下相减余八四五一○一二三乃以二五三五五二五三七六格内三商廉法一六六八一○八八除余积八四五一○一二三足五倍即定三商为五书于三商之位合初商次商共七百六十五乘四次得二百六十二兆零三十五亿四千九百九十七万八千一百二十五尺与原积相减恰尽即定四乘方根为七百六十五尺也五乘方设如有五乘方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开五乘方问每一根之数几何法列方积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算每方积六位定方根一位故隔五位作记乃于五尺上定单位五百万尺上定十位八兆尺上定百位其八十五京九千零六十八兆尺为初商积与九百乘五次之数相准即定初商为九百尺书于方积八兆尺之上而以九百尺乘五次之五十三京一千四百四十一尺书于初商积之下相减余三十二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位积三千零一十亿二千五百万尺续书于后共三十二京七千六百二十七兆三千零一十亿二千五百万尺为次商廉隅之共积而以初商之九百尺乘四次得五百九十兆四千九百亿尺六因之得三千五百四十二兆九千四百亿尺为次商廉法以除次商积足八十倍因定次商为八十尺按法相乘大于原积乃改商七十尺书于方积五百万尺之上合初商共九百七十尺乘五次得八十三京二千九百七十二兆零四十九亿二千九百万尺与原积相减余二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百万尺爰以方根第三位积三十九万零六百二十五尺续书于后共二京六千零九十六兆二千九百六十亿九千六百三十九万零六百二十五尺为三商廉隅之共积而以初商次商之九百七十尺乘四次得八百五十八兆七千三百四十亿二千五百七十万尺六因之得五千一百五十二兆四千零四十一亿五千四百二十万尺为三商廉法以除三商积足五倍即定三商为五尺书于方积五尺之上合初商次商共九百七十五尺乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽是开得九百七十五尺为五乘方每一根之数也葢五乘方之本法有六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅既得初商乃以初商乘四次六因之得六四乘廉为法除余积得次商以初商乘三次与次商相乘十五乘之为十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘两数相乘二十乘之为二十自乘再乘廉以初商自乘次商自乘再乘两数相乘十五乘之为十五自乘廉以次商乘三次与初商相乘六因之为六长廉以次商乘四次为一小隅合六四乘廉十五三乘廉二十自乘再乘廉十五自乘廉六长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘五次即得应减之积也又法用开平方开立方法开之初以原积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺开平方得九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺又以九亿二千六百八十五万九千三百七十五尺开立方得九百七十五尺即五乘方每一根之数也又用表开法列积八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺自末位起算隔五位作记定位同前乃截方根第二位以前积八五九○六八三○一○二五为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为八三二九七二○○四九二九(即初商次商乘五次之数)其所对初商根为九次商根为七即将九七书于初商次商之位而以八三二九七二○○四九二九书于初商次商积之下相减余二六○九六二九六○九六乃以八三二九七二○○四九二九格内三商廉法五一五二四○四一五四除余积二六○九六二九六○九六足五倍即定三商为五书于三商之位合初商次商共九百七十五乘五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十亿二千五百三十九万零六百二十五尺与原积相减恰尽即定五乘方根为九百七十五尺也六乘方设如有六乘方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺开六乘方问每一根之数几何法列方积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算每方积七位定方根一位故隔六位作记乃于八尺上定单位九千万尺上定十位五百兆尺上定百位其三垓二千五百八十九京四千五百兆尺为初商积与八百乘六次之数相准即定初商为八百尺书于方积五百兆尺之上而以八百尺乘六次之二垓零九百七十一京五千二百兆尺书于初商积之下相减余一垓一千六百一十七京九千三百兆尺爰以方根第二位积九十九兆二千五百二十三亿九千万尺续书于后共一垓一千六百一十七京九千三百九十九兆二千五百二十三亿九千万尺为次商廉隅之共积而以初商之八百尺乘五次得二十六京二千一百四十四兆尺七因之得一百八十三京五千零八兆尺为次商廉法以除次商积足六十倍因定次商为六十尺按法相乘大于原积乃改商五十尺书于方积九千万尺之上合初商共八百五十尺乘六次得三垓二千零五十七京七千零八十八兆二千八百一十二亿五千万尺与原积相减余五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千万尺爰以方根第三位积五百九十万零九百二十八尺续书于后共五百三十一京七千五百一十兆九千七百一十一亿四千五百九十万零九百二十八尺为三商廉隅之共积而以初商次商之八百五十尺乘五次得三十七京七千一百四十九兆五千一百五十六亿二千五百万尺七因之得二百六十四京零四十六兆六千零九十三亿七千五百万尺为三商廉法以除三商积足二倍即定三商为二尺书于方积八尺之上合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽是开得八百五十二尺为六乘方每一根之数也葢六乘方之本法有七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅既得初商即以初商乘五次七因之得七五乘廉为法除余积得次商以初商乘四次与次商相乘二十一乘之为二十一四乘廉以初商乘三次次商自乘两数相乘三十五乘之为三十五三乘廉以初商自乘再乘次商自乘再乘两数相乘三十五乘之为三十五自乘再乘廉以初商自乘次商乘三次两数相乘二十一乘之为二十一自乘廉以次商乘四次与初商相乘七因之为七长廉以次商乘五次为一小隅合七五乘廉二十一四乘廉三十五三乘廉三十五自乘再乘廉二十一自乘廉七长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今得次商之后合初商乘六次即得应减之积也又用表开法列积三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺自末位起算隔六位作记定位同前乃截方根第二位以前积三二五八九四五九九二五二三九为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为三二○五七七○八八二八一二五(即初商次商乘六次之数)其所对初商根为八次商根为五即将八五书于初商次商之位而以三二○五七七○八八二八一二五书于初商次商积之下相减余五三一七五一○九七一一四乃以三二○五七七○八八二八一二五格内三商廉法二六四○○四六六○九三七除余积五三一七五一○九七一一四足二倍即定三商为二书于三商之位合初商次商共八百五十二尺乘六次得三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三亿九千五百九十万零九百二十八尺与原积相减恰尽即定六乘方根为八百五十二尺也七乘方设如有七乘方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开七乘方问每一根之数几何法列方积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算每方积八位定方根一位故隔七位作记乃于一尺上定单位三亿尺上定十位二京尺上定百位其六百三十八垓五千一百三十二京尺为初商积与七百乘七次之数相准即定初商为七百尺书于方积二京尺之上而以七百尺乘七次之五百七十六垓四千八百零一京尺书于初商积之下相减余六十二垓零三百三十一京尺爰以方根第二位积二百三十三兆九千三百八十三亿尺续书于后共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆九千三百八十三亿尺为次商廉隅之共积而以初商之七百尺乘六次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之得六垓五千八百八十三京四千四百兆尺为次商廉法以除次商积足九倍止可商九尺是次商为空位也乃书一空于方积三亿尺之上而以九尺书于方积一尺之上合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽是开得七百零九尺为七乘方每一根之数也葢七乘方之本法有八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅既得初商乃以初商乘六次八因之得八六乘廉为法除余积得次商以初商乘五次与次商相乘二十八乘之为二十八五乘廉以初商乘四次次商自乘两数相乘五十六乘之为五十六四乘廉以初商乘三次次商自乘再乘两数相乘七十乘之为七十三乘廉以初商自乘再乘次商乘三次两数相乘五十六乘之为五十六自乘再乘廉以初商自乘次商乘四次两数相乘二十八乘之为二十八自乘廉以次商乘五次与初商相乘八因之为八长廉以次商乘六次为一小隅合八六乘廉二十八五乘廉五十六四乘廉七十三乘廉五十六自乘再乘廉二十八自乘廉八长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘七次即得应减之积也又法用开平方法三次开之初以原积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺开平方得二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺次以二千五百二十六亿八千八百一十八万七千七百六十一尺复开平方得五十万二千六百八十一尺又以五十万二千六百八十一尺复开平方得七百零九尺即七乘方每一根之数也又用表开法列积六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺自末位起算隔七位作记定位同前乃截方根第二位以前积六三八五一三二○二三三九三八三为初商次商之积于表中取比此数相近略小之数为五七六四八○一○○○○○○○○(即初商次商乘七次之数)其所对初商根为七次商根为○即将七○书于初商次商之位而以五七六四八○一○○○○○○○○书于初商次商积之下相减余六二○三三一○二三三九三八三乃以五七六四八○一○○○○○○○○格内三商廉法六五八八三四四○○○○○○除余积六二○三三一○二三三九三八三足九倍即定三商为九书于三商之位合初商次商共七百零九尺乘七次得六百三十八垓五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三亿九千零一十九万三千一百二十一尺与原积相减恰尽即定七乘方根为七百零九尺也八乘方设如有八乘方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开八乘方问每一根之数几何法列方积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算每方积九位定方根一位故隔八位作记乃于二尺上定单位四十亿尺上定十位五百京尺上定百位其四千二百四十四垓三千五百京尺为初商积与四百乘八次之数相准即定初商为四百尺书于方积五百京尺之上而以四百尺乘八次之二千六百二十一垓四千四百京尺书于初商积之下相减余一千六百二十二垓九千一百京尺爰以方根第二位积八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺续书于后共一千六百二十二垓九千一百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十亿尺为次商廉隅之共积而以初商之四百尺乘七次得六垓五千五百三十六京尺九因之得五十八垓九千八百二十四京尺为次商廉法以除次商积足二十倍即定次商为二十尺书于方积四十亿尺之上合初商共四百二十尺乘八次得四千零六十六垓七千一百三十八京三千八百四十九兆四千七百二十亿尺与原积相减余一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十亿尺爰以方根第三位积九亿五千二百八十二万七千二百九十二尺续书于后共一百七十七垓六千四百四十六京五千三百三十五兆九千七百二十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺为三商廉隅之共积而以初商次商之四百二十尺乘七次得九垓六千八百二十六京五千一百九十九兆六千四百一十六亿尺九因之得八十七垓一千四百三十八京六千七百九十六兆七千七百四十四亿尺为三商廉法以除三商积足二倍即定三商为二尺书于方积二尺之上合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽是开得四百二十二尺为八乘方每一根之数也葢八乘方之本法有九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅既得初商乃以初商乘七次九因之得九七乘廉为法除余积得次商以初商乘六次与次商相乘三十六乘之为三十六六乘廉以初商乘五次次商自乘两数相乘八十四乘之为八十四五乘廉以初商乘四次次商自乘再乘两数相乘一百二十六乘之为一百二十六四乘廉以初商乘三次次商乘三次两数相乘一百二十六乘之为一百二十六三乘廉以初商自乘再乘次商乘四次两数相乘八十四乘之为八十四自乘再乘廉以初商自乘次商乘五次两数相乘三十六乘之为三十六自乘廉以次商乘六次与初商相乘九因之为九长廉以次商乘七次为一小隅合九七乘廉三十六六乘廉八十四五乘廉一百二十六四乘廉一百二十六三乘廉八十四自乘再乘廉三十六自乘廉九长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘八次即得应减之积也又法用开立方法两次开之初以原积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺开立方得七千五百一十五万一千四百四十八尺次以七千五百一十五万一千四百四十八尺复开立方得四百二十二尺即八乘方每一根之数也又用表开法列积四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺自末位起算隔八位作记定位同前乃截方根第二位以前积四二四四三五八四九一八五四四四为初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数为四○六六七一三八三八四九四七二(即初商次商乘八次之数)其所对初商根为四次商根为二即将四二书于初商次商之位而以四○六六七一三八三八四九四七二书于初商次商积之下相减余一七七六四四六五三三五九七二乃以四○六六七一三八三八四九四七二格内三商廉法八七一四三八六七九六七七四除余积一七七六四四六五三三五九七二足二倍即定三商为二书于三商之位合初商次商共四百二十二尺乘八次得四千二百四十四垓三千五百八十四京九千一百八十五兆四千四百四十九亿五千二百八十二万七千三百九十二尺与原积相减恰尽即定八乘方根为四百二十二尺也九乘方设如有九乘方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开九乘方问每一根之数几何法列方积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算每方积十位定方根一位故隔九位作记乃于四尺上定单位二百亿尺上定十位六垓尺上定百位其八穰七千四百零六垓尺为初商积与三百乘九次之数相准即定初商为三百尺书于方积六垓尺之上而以三百尺乘九次之五穰九千零四十九垓尺书于初商积之下相减余二穰八千三百五十七垓尺爰以方根第二位积九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺续书于后共二穰八千三百五十七垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百亿尺为次商廉隅之共积而以初商之三百尺乘八次得一百九十六垓八千三百京尺又以十因之得一千九百六十八垓三千京尺为次商廉法以除次商积足十倍即定次商为一十尺书于方积二百亿尺之上合初商共三百一十尺乘九次得八穰一千九百六十二垓八千二百八十六京九千八百零八兆零一百亿尺与原积相减余五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百亿尺爰以方根第三位积九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺续书于后共五千四百四十四垓一千一百六十京八千二百零六兆三千一百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺为三商廉隅之共积而以初商次商之三百一十尺乘八次得二百六十四垓三千九百六十二京二千一百六十兆六千七百一十亿尺十因之得二千六百四十三垓九千六百二十二京一千六百零六兆七千一百亿尺为三商廉法以除三商积足二倍即定三商为二尺书于方积四尺之上合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽是开得三百一十二尺为九乘方每一根之数也葢九乘方之本法有十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅既得初商乃以初商乘八次十因之得十八乘廉为法除余积得次商以初商乘七次与次商相乘四十五乘之为四十五七乘廉以初商乘六次次商自乘两数相乘一百二十乘之为一百二十六乘廉以初商乘五次次商自乘再乘两数相乘二百一十乘之为二百一十五乘廉以初商乘四次次商乘三次两数相乘二百五十二乘之为二百五十二四乘廉以初商乘三次次商乘四次两数相乘二百一十乘之为二百一十三乘廉以初商自乘再乘次商乗五次两数相乘一百二十乘之为一百二十自乘再乘廉以初商自乘次商乘六次两数相乘四十五乘之为四十五自乘廉以次商乘七次与初商相乘十因之为十长廉以次商乘八次为一小隅合十八乘廉四十五七乘廉一百二十六乘廉二百一十五乘廉二百五十二四乘廉二百一十三乘廉一百二十自乘再乘廉四十五自乘廉十长廉一小隅以次商乘之为次商廉隅之共积今此法得次商之后合初商乘九次即得应减之积也又法用开平方开四乘方法开之初以原积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺开平方得二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺又以二兆九千五百六十四亿六千六百五十五万二千八百三十二尺开四乘方得三百一十二尺即九乘方每一根之数也又用表开法列积八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺自末位起算隔九位作记定位同前乃截方根第二位以前积八七四○六九四四七八○一四三二为初商次商之积于表中取比此数相近畧小之数为八一九六二八二八六九八○八○一(即初商次商乘九次之数)其所对初商根为三次商根为一即将三一书于初商次商之位而以八一九六二八二八六九八○八○一书于初商次商积之下相减余五四四四一一六○八二○六三一乃以八一九六二八二八六九八○八○一格内三商廉法二六四三九六二二一六○六七一除余积五四四四一一六○八二○六三一足二倍即定三商为二书于三商之位合初商次商共三百一十二尺乘九次得八穰七千四百零六垓九千四百四十七京八千零一十四兆三千二百九十亿四千七百二十二万零二百二十四尺与原积相减恰尽即定九乘方根为三百一十二尺也诸乘方表凡表上横行所列自一至九之数为初商根右直行所列自○至九之数为次商根其中每格所列细数二层上层为初商次商积(如立方表第一行第三格上层一七二八即方根一)(二自乘再乘之数余倣此)下层为三商亷法(如立方表第一行第三格下层四三即三)(商亷法乃以初商次商两根一二自乘三因截去末一位之数葢方根既有三位则初商为百次商为十)(以一百二十自乘三因得四三二○○为亷法除实至三商本位止今㨗法止用次商余积求三商不加)(三商本位之积其初商仍作十用以十二自乘三因得四三二仍比次商余积多一位故截去末一位止)(用四三为亷法除实则法实尾位均齐定位始无误余倣此)用表之法具见设如立方表御制数理精蕴下编卷三十二
## 下编卷三十三
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十三末部三借根方比例(带纵平方乘方带纵立方三乘方四 五乘方附)带纵平方借根方比例开带纵平方其以长方之积用长阔之较或和而求长阔之数皆与常法同但不立和纵较纵之名惟有多根少根之号而毎根之数或为长方之阔或为长方之长错综其名有十二种推究其实总不出和较之两端如云一平方多㡬根与几真数等或几根多一平方与几真数等或一平方与几真数少几根等或几根与几真数少一平方等此四者根皆较纵而其毎根之数皆长方之阔也如云一平方少几根与几真数等或一平方少几真数与几根等或一平方与几真数多几根等或一平方与几根多几真数等此四者根亦皆较纵而其每根之数则皆长方之长也如云一平方多几真数与几根等或几真数多一平方与几根等或几真数与几根少一平方等或一平方与几根少几真数等此四者根皆和纵而其毎根之数或为长方之长或为长方之阔也要之所谓一平方者即一正方而多几根少几根即变正方而为长方其真数比平方多根者其毎根为阔真数比平方少根者其每根为长二者皆较纵惟真数比根少平方者则为和纵也至于开之之法皆以真数为长方积以根数为纵(即以根数作真数用如三根即作三)(真数五根即作五真数之类解见设如)依面部带纵平方法开之有较纵者先求和有和纵者先求较其根为长方之阔者以和较相减折半而得每根之数(用半和半较立法者则相减即得根)(数不用折半)其根为长方之长者以和较相加折半而得每根之数也(用半和半较立法者则相加即得根数不用折半)俱详设如设如有一平方多二根与二十四尺相等问每一根之数几何法以二十四尺为长方积二根为纵多二尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百尺开平方得十尺为和减较二尺余八尺折半得四尺为一根之数即长方之阔加较二尺得六尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积二十四尺甲乙四尺为一根为阔甲丁六尺为长戊丁二尺为纵多甲乙己戊为一平方戊己丙丁为二根是甲乙丙丁二十四尺内有甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之二根故云一平方多二根与二十四尺相等也若以积计之则积之多于平方者为戊己丙丁之二根若以边计之则长多于阔者为戊丁之二尺故以二根即作二尺为纵多也此法错综其名则为四种一平方多二根与二十四尺相等一也如二根多一平方亦必与二十四尺相等又一也若于一平方多二根与二十四尺各减去二根则为一平方与二十四尺少二根相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内减去戊己丙丁二根余甲乙己戊一平方故为一平方)(与二十四尺少二根相等也)又如一平方多二根与二十四尺各减去一平方则为二根与二十四尺少一平方相等此又其一也(甲乙丙丁二十四尺内减去甲乙己戊一平方余戊己丙丁二根故为二根与)(二十四尺少一平方相等也)此四者名虽不同合而观之总为真数比一正方多根数故知其为较纵而每根之数为阔也设如有一平方少四根与四十五尺相等问每一根之数几何法以四十五尺为长方积四根为纵多四尺用带纵较数开平方法算之将积数四因加纵多自乘之数得一百九十六尺开平方得十四尺为和加较四尺得十八尺折半得九尺为一根之数即长方之长减较四尺得五尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积四十五尺甲乙九尺为一根为长甲丁五尺为阔甲戊与甲乙等丁戊四尺为纵甲乙己戊为一平方丁丙己戊为四根于甲乙己戊平方内减去丁丙己戊之四根则余甲乙丙丁四十五尺故云一平方少四根与四十五尺相等也若以积计之则积之少于平方者为丁丙己戊之四根若以边计之则阔少于长者为丁戊之四尺故以四根作四尺为纵多也此法错综其名亦为四种一平方少四根与四十五尺相等一也如一平方少四十五尺亦必与四根相等又一也若于一平方少四根与四十五尺各加四根则为一平方与四十五尺多四根相等此又其一也(甲乙丙丁四十五尺加丁丙己戊四根成)(甲乙己戊一平方故为一平方与四十五尺多四根相等也)如一平方亦必与四根多四十五尺相等此又其一也此四者名虽不同合而观之总为真数比一正方少根数故知其为较纵而其每根之数为长也设如有一平方多三十六尺与十三根相等问每一根之数几何法以三十六尺为长方积十三根为和十三尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余二十五尺开平方得五尺为较与和十三尺相减余八尺折半得四尺为一根之数即长方之阔加较五尺得九尺即长方之长也如图甲乙丙丁长方形共积三十六尺甲乙四尺为一根为阔甲丁九尺为长甲戊十三尺为和甲乙己戊为十三根丁丙己戊为一平方是甲乙己戊十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十六尺与十三根相等也若以积计之则积三十六尺与一平方相加共得甲乙己戊之十三根若以边计之则长九尺与阔四尺相加得甲戊之十三尺故将十三根作十三尺为和也此法错综其名亦为四种一平方多三十六尺与十三根相等一也如三十六尺多一平方亦必与十三根相等又一也若于一平方多三十六尺与十三根各减去三十六尺则为一平方与十三根少三十六尺相等此又其一也(甲乙己戊十三根内减去甲乙丙丁)(三十六尺余丁丙己戊一平方故云一平方与十三根少三十六尺相等也)又如一平方多三十六尺与十三根各减去一平方则为三十六尺与十三根少一平方相等此又其一也(甲乙己戊十三根内)(减去丁丙己戊一平方余甲乙丙丁三十六尺故为三十六尺与十三根少一)(平方相等也)此四者名虽不同合而观之总为真数比根数少一正方故知其为和而其毎根之数为阔也设如有一平方多三十二尺与十二根相等问每一根之数几何法以三十二尺为长方积十二根为和十二尺用带纵和数开平方法算之将积数四因与和自乘数相减余十六尺开平方得四尺为较加和十二尺得十六尺折半得八尺为一根之数即长方之长减较四尺余四尺即长方之阔也如图甲乙丙丁长方形共积三十二尺甲乙八尺为一根为长甲丁四尺为阔甲戊十二尺为和甲乙己戊为十二根丁丙己戊为一平方是甲乙己戊十二根内有甲乙丙丁三十二尺又有丁丙己戊一平方故云一平方多三十二尺与十二根相等也若以积计之则积三十二尺与一平方相加共得甲乙己戊十二根若以边计之则长八尺与阔四尺相加得甲戊之十二尺故以十二根作十二尺为和也此法亦真数比根数少一正方故知其为和而其每根之数为长也带纵立方 (三乘方) (四乘方) (五乘方附)借根方比例开带纵立方与常法不同常法先知各边之和或较既开得一边之数以和较加减之即得各边之数此法止有根方多少之号而无和纵较纵之名惟求每根之数而不问余边其立法之本意葢欲借根方以求他数既得一根之数则所求之数已得而方之形体有所不计且其与根方相等之积数或为长方体扁方体形或非长方体扁方体形(或于长方)(扁方之内少几数或于长方扁方之外多几数则不能成长方扁方体形也)皆不可知故不可以带纵之常法求也(其积数或原为几根几方之总数而非一长方或一)(扁方之全数则止可以逐方逐根计之若作一长方或一扁方算则其各边必有奇零不尽而转与所设)(之根数不合矣)今类其法分为九种如一立方多几根与几真数等一也一立方少几根与几真数等二也一立方多几平方与几真数等三也一立方少几平方与几真数等四也一立方多几平方多几根与几真数等五也一立方少几平方少几根与几真数等六也一立方多几平方少几根与几真数等七也一立方少几平方多几根与几真数等八也又几平方少一立方与几真数等九也其开之之法除第九种外余俱依立方法定初商复视所带根方为多号者其商数须取略小于应得之数所带根方数为少号者其商数须取略大于应得之数俱以初商数自乘再乘为立方积以初商自乘数与几平方相乘为所带平方之共积以初商数与几根相乘为所带根数之共积多号者与立方积相加少号者与立方积相减然后与原积相减不尽者为次商积次商之法以初商自乘数三因之为立方廉以初商数倍之与几平方相乘为所带平方之共廉多号者与立方廉相加少号者与立方廉相减又加减所带之根数(多根者加少根者减)为次商廉法以廉法除次商积得次商即合初商自乘再乘为立方积仍如所带几根几平方加减之而后减原积并与初商同至于第九种之法则将立方与真数俱用平方数除之得一平方少几分立方之一与几真数等依平方法定初商其商数须取略大于应得之数乃以初商数自乘为平方积又以初商数再乘为立方积以平方数除之得数为少几分立方之一以减平方积而后与原积相减不尽者为次商积次商之法以初商数倍之为平方廉又以初商自乘数三因之为立方廉以平方数除之得数以减平方廉余为次商廉法以廉法除次商积得次商其减积之法与初商同以上九种如法开之即得每根之数也要之所谓一立方者即一正方体而多平方多根少平方少根即变正方体而为长方体扁方体或为磬折长方体扁方体其积数中有立方则用再乘有平方则用自乘有根则用商数多则相加少则相减九种之中无异术也即推之多乘方莫不皆然总以其累乘之数为主而以所带根方之积数加减之与立方无二理也爰将立方九种之法各设一例以明其理而三乘四乘五乘之法亦各设二例以附其后焉设如有一立方多八根与一千八百二十四尺相等问毎一根之数几何法列原积一千八百二十四尺按立方法作记于四尺上定单位一千尺上定十位其一千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商为十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺为一立方积又以初商十尺八因之得八十尺为多八根之共积与一立方积相加得一千零八十尺书于原积之下相减余七百四十四尺为次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺为一立方廉加根数八共三百零八尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积四尺之上合初商共一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺为一立方积又以十二尺八因之得九十六尺为八根之共积与立方积相加共得一千八百二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺为每一根之数也此法以积计之为一正方体及八根之共数以边计之则所得毎根之数即正方体之毎一边因正方体之外多八根故成一磬折体而非正方体亦非长方体也设如有一立方少九根与一千六百二十尺相等问毎一根之数几何法列原积一千六百二十尺按立方法作记于空尺上定单位一千尺上定十位其一千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商为十尺书于原积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺为一立方积又以初商十尺九因之得九十尺为少九根之共积与立方积相减余九百一十尺书于原积之下相减余七百一十尺为次商积而以初商之十尺自乘之一百尺三因之得三百尺为一立方廉内减去根数九余二百九十一尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积空尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺为一立方积又以十二尺九因之得一百零八尺为少九根之共积与立方积相减余一千六百二十尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺为毎一根之数也此法以积计之为一正方体少九根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边因正方体内少九根之数故成磬折体而非正方体亦非扁方体也设如有一立方多四平方与二千三百零四尺相等问每一根之数几何法列原积二千三百零四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其二千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相准即定初商为十尺书于原积二千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺为一立方积又以初商十尺自乘之一百尺四因之得四百尺为多四平方之共积与立方积相加得一千四百尺书于原积之下相减余九百零四尺为次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺为一立方廉又以初商之十尺倍之得二十尺四因之得八十尺为四平方廉与一立方廉相加得三百八十尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺为一立方积又以十二尺自乘之一百四十四尺四因之得五百七十六尺为多四平方之共积与立方积相加共得二千三百零四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺为每一根之数也此法以积计之为一正方体及四平方之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多四平方故成长方体而非正方体也设如有一立方少八平方与七千九百三十五尺相等问每一根之数几何法列原积七千九百三十五尺按立方法作记于五尺上定单位七千尺上定十位其七千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相凖应商十尺而所带平方为少号故取略大之数为二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺为一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺八因之得三千二百尺为少八平方之共积与立方积相减余四千八百尺书于原积之下相减余三千一百三十五尺为次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺八因之得三百二十尺为八平方廉与一立方廉相减余八百八十尺为次商廉法以除次商积足三倍即定次商为三尺书于原积五尺之上合初商共二十三尺自乘再乘得一万二千一百六十七尺为一立方积又以二十三尺自乘之五百二十九尺八因之得四千二百三十二尺为少八平方之共积与一立方积相减余七千九百三十五尺书于原积之下相减恰尽是开得二十三尺为每一根之数也此法以积计之为一正方体少八平方之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少八平方故成扁方体而非正方体也设如有一立方多十三平方多三十根与二万七千一百四十四尺相等问毎一根之数几何法列原积二万七千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其二万七千尺为初商积与三十自乘再乘之数相合应商三十尺而所带平方与根皆为多号故取略小之数为二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺为一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺十三乘之得五千二百尺为多十三平方之共积又以初商之二十尺三十乘之得六百尺为多三十根之共积三积(立方平方与根之三数)相加得一万三千八百尺书于原积之下相减余一万三千三百四十四尺为次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺以十三乘之得五百二十尺为十三平方廉与立方廉相加得一千七百二十尺又加根数三十共一千七百五十尺为次商廉法以除次商积足七倍因取略小之数为六尺书于原积四尺之上合初商共二十六尺自乘再乘得一万七千五百七十六尺为一立方积又以二十六尺自乘之六百七十六尺十三乘之得八千七百八十八尺为多十三平方之共积又以二十六尺三十乘之得七百八十尺为多三十根之共积三积相加共二万七千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十六尺为毎一根之数也此法以积计之为一正方体及十三平方与三十根之共数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多十三平方又多三十根恰成长方体而非正方体亦非磬折体也(将所多之十三平方内十平方附于正方体之一面又以)(三平方加于正方体之又一面即成磬折体而缺三十根之数如以三十根补)(其缺即成长方体其寛即一根为二十六尺其长即一根多十尺为三十六尺)(其高即一根多三尺为二十九尺也此因所多之平方及根数适足长方体形)(故为长方体若平方与根数不能补足者仍为磬折体也)设如有一立方少七平方少八根与七千零八十四尺相等问每一根之数几何法列原积七千零八十四尺按立方法作记于四尺上定单位七千尺上定十位其七千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相凖而所带平方与根皆为少号故取略大之数为二十尺书于原积七千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺为一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺七因之得二千八百尺为少七平方之共积又以初商之二十尺八因之得一百六十尺为少八根之共积与少七平方共积相加得二千九百六十尺以减立方积余五千零四十尺书于原积之下相减余二千零四十四尺为次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺七因之得二百八十尺为七平方廉与立方廉相减余九百二十尺又减去根数八余九百一十二尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积四尺之上合初商共二十二尺自乘再乘得一万零六百四十八尺为一立方积又以二十二尺自乘之四百八十四尺七因之得三千三百八十八尺为少七平方之共积又以二十二尺八因之得一百七十六尺为少八根之共积与少七平方共积相加得三千五百六十四尺以减立方积余七千零八十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺为每一根之数也此法以积计之为一正方体少七平方又少八根之数以边计之则所得每根之数即正方体之毎一边亦即平方之每一边因正方体之内少七平方又少八根故成磬折体而非正方体也设如有一立方多一平方少二十根与三万三千一百五十二尺相等问每一根之数几何法列原积三万三千一百五十二尺按立方法作记于二尺上定单位三千尺上定十位其三万三千尺为初商积与三十自乘再乘之数相准即定初商为三十尺书于原积三千尺之上而以初商三十尺自乘再乘之二万七千尺为一立方积又以初商三十尺自乘之九百尺为多一平方积又以初商之三十尺二十乘之得六百尺为少二十根之共积于立方积内加多一平方积得二万七千九百尺又减去少二十根之共积余二万七千三百尺书于原积之下相减余五千八百五十二尺为次商积而以初商之三十尺自乘三因之得二千七百尺为一立方廉又以初商之三十尺倍之得六十尺为一平方廉与立方廉相加得二千七百六十尺又减去根数二十余二千七百四十尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积二尺之上合初商共三十二尺自乘再乘得三万二千七百六十八尺为一立方积又以三十二尺自乘之一千零二十四尺为多一平方积又以三十二尺二十乘之得六百四十尺为少二十根之共积于一立方积内加多一平方积得三万三千七百九十二尺又减去少二十根之共积得三万三千一百五十二尺书于原积之下相减恰尽是开得三十二尺为每一根之数也此法以积计之为一正方体多一平方复少二十根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之外多一平方又少二十根故成磬折体而非正方体也设如有一立方少三平方多二根与一万二千一百四十四尺相等问每一根之数几何法列原积一万二千一百四十四尺按立方法作记于四尺上定单位二千尺上定十位其一万二千尺为初商积与二十自乘再乘之数相凖即定初商为二十尺书于原积二千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺为一立方积又以初商二十尺自乘之四百尺三因之得一千二百尺为少三平方之共积又以初商之二十尺二因之得四十尺为多二根之共积于立方积内减去少三平方之共积余六千八百尺又加入多二根之共积得六千八百四十尺书于原积之下相减余五千三百零四尺为次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉又以初商之二十尺倍之得四十尺三因之得一百二十尺为三平方廉与立方廉相减余一千零八十尺又加入根数二得一千零八十二尺为次商廉法以除次商积足四倍即定次商为四尺书于原积四尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺为一立方积又以二十四尺自乘之五百七十六尺三因之得一千七百二十八尺为少三平方之共积又以二十四尺二因之得四十八尺为多二根之共积于立方积内减去三平方之共积余一万二千零九十六尺又加入多二根之共积得一万二千一百四十四尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺为毎一根之数也此法以积计之为一正方体少三平方复多二根之数以边计之则所得每根之数即正方体之每一边亦即平方之每一边因正方体之内少三平方又多二根故成磬折体而非正方体也设如有四十平方少一立方与五千六百二十五尺相等问每一根之数几何法以四十平方少一立方与五千六百二十五尺俱以四十除之得一平方少四十分立方之一与一百四十尺六十二寸五十分相等乃列一百四十尺六十二寸五十分为归除所得之积按平方法作记于空尺上定单位一百尺上定十位其一百尺为初商积与十尺自乘之数相合即定初商为十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺为一平方积再乘得一千尺为一立方积以四十除之得二十五尺为少四十分立方之一之积与一平方积相减余七十五尺书于所得积之下相减余六十五尺六十二寸五十分为次商积而以初商之一十尺倍之得二十尺为一平方廉又以初商之十尺自乘三因之得三百尺为一立方廉以四十除之得七尺五寸为四十分立方之一之廉与平方廉相减余十二尺五寸为次商廉法以除次商积足五倍即定次商为五尺书于所得积空尺之上合初商共十五尺自乘得二百二十五尺为一平方积再乘得三千三百七十五尺为一立方积以四十除之得八十四尺三十七寸五十分为四十分立方之一之积与一平方积相减余一百四十尺六十二寸五十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与四十相乘得九千尺为四十平方积内减去一立方积余五千六百二十五尺与原积相合是开得一十五尺为每一根之数也此法以积计之为四十平方少一正方体之数以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因四十平方内少十五平方之一正方体(每边为十五尺故十五平方为一正方体也)余二十五平方为长方体(其寛即一根为十五尺其高亦十五尺其长为二十)(五尺也)而非正方体也设如有五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺相等问每一根之数几何法以五百平方少一立方与二十七万四千一百七十六尺俱以五百除之得一平方少五百分立方之一与五百四十八尺三十五寸二十分相等乃列五百四十八尺三十五寸二十分为归除所得之积按平方法作记于八尺上定单位五百尺上定十位其五百尺为初商积与二十自乘之数相准即定初商为二十尺书于所得积五百尺之上而以初商二十尺自乘之四百尺为一平方积再乘得八千尺为一立方积以五百除之得十六尺为少五百分立方之一之积与平方积相减余三百八十四尺书于所得积之下相减余一百六十四尺三十五寸二十分为次商积而以初商之二十尺倍之得四十尺为一平方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉以五百除之得二尺四寸为五百分立方之一之廉与平方廉相减得三十七尺六寸为次商廉法以除次商积足四倍即定次商为四尺书于所得积八尺之上合初商共二十四尺自乘得五百七十六尺为一平方积再乘得一万三千八百二十四尺为一立方积以五百除之得二十七尺六十四寸八十分为少五百分立方之一之积与平方积相减余五百四十八尺三十五寸二十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与五百相乘得二十八万八千尺为五百平方积内减去一立方积余二十七万四千一百七十六尺与原积相合是开得二十四尺为每一根之数也此法以积计之为五百平方少一正方体以边计之则所得每根之数即平方之每一边亦即正方体之每一边因五百平方内少二十四平方之一正方体(每边为二十四尺故)(二十四平方即一正方体也)余四百七十六平方为长方体(其寛即一根为二十四尺其高亦为二十四尺其长为四百七)(十六尺也)而非正方体也设如有一三乘方多二平方与二万一千零二十四尺相等问每一根之数几何法列原积二万一千零二十四尺按三乘方法作记于四尺上定单位二万尺上定十位其二万尺为初商积与十尺乘三次之数相准即定初商为十尺书于原积二万尺之上而以初商十尺乘三次之一万尺为一三乘方积又以初商十尺自乘之一百尺二因之得二百尺为多二平方之共积与三乘方积相加得一万零二百尺书于原积之下相减余一万零八百二十四尺为次商积而以初商之十尺再乘四因之得四千尺为三乘方廉又以初商之十尺倍之得二十尺二因之得四十尺为多二平方之廉与三乘方廉相加得四千零四十尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积四尺之上合初商共十二尺乘三次得二万零七百三十六尺为一三乘方积又以十二尺自乘之一百四十四尺二因之得二百八十八尺为多二平方之共积与三乘方积相加得二万一千零二十四尺书于原积之下相减恰尽是开得一十二尺为每一根之数也又法用带纵平方及平方两次开之将原积二万一千零二十四尺为长方积以多二平方作二尺为纵多折半得一尺为半较自乘仍得一尺与积相加得二万一千零二十五尺开平方得一百四十五尺为半和内减半较一尺(凡多平方)(者即减半较如少平方者则加半较)余一百四十四尺为正方积复开平方得十二尺即每一根之数也葢三乘方多平方与方根自乘为阔加多平方数为长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也设如有一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺相等问每一根之数几何法以一千平方少一三乘方与一十二万三千二百六十四尺俱以一千除之得一平方少一千分三乘方之一与一百二十三尺二十六寸四十分相等乃列一百二十三尺二十六寸四十分为归除所得之积按平方法作记于三尺上定单位一百尺上定十位其一百尺为初商积与十尺自乘之数相合即定初商为十尺书于所得积一百尺之上而以初商十尺自乘之一百尺为一平方积又以初商之十尺乘三次得一万尺为一三乘方积以一千除之得一十尺为千分三乘方之一之积与一平方积相减余九十尺书于所得积之下相减余三十三尺二十六寸四十分为次商积而以初商之十尺倍之得二十尺为一平方廉又以初商之十尺自乘再乘四因之得四千尺为一三乘方廉以一千除之得四尺为千分三乘方之一之廉与平方廉相减余一十六尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于所得积三尺之上合初商共十二尺自乘得一百四十四尺为一平方积又以十二尺乘三次得二万零七百三十六尺为一三乘方积以一千除之得二十尺零七十三寸六十分与一平方积相减余一百二十三尺二十六寸四十分书于所得积之下相减恰尽乃以一平方积与一千相乘得一十四万四千尺为一千平方积内减去一三乘方积余一十二万三千二百六十四尺与原积相合是开得一十二尺为每一根之数也又法用带纵平方及平方两次开之将原积一十二万三千二百六十四尺为长方积以一千平方作一千尺为和折半得五百尺为半和自乘得二十五万尺与积相减余十二万六千七百三十六尺开平方得三百五十六尺为半较与半和相减余一百四十四尺为正方积复开平方得一十二尺即每一根之数也葢平方少三乘方与方根自乘为阔与平方数相减为长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开平方即得每一根之数也设如有一四乘方多二立方与七百九十九万零二百七十二尺相等问每一根之数几何法列原积七百九十九万零二百七十二尺按四乘方法作记于二尺上定单位九十万尺上定十位其七百九十万尺为初商积与二十乘四次之数相准即定初商为二十尺书于原积九十万尺之上而以初商二十尺乘四次之三百二十万尺为一四乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺二因之得一万六千尺为多二立方之共积与四乘方积相加得三百二十一万六千尺书于原积之下相减余四百七十七万四千二百七十二尺为次商积而以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺为一四乘方廉又以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺又二因之得二千四百尺为多二立方之廉与四乘方廉相加得八十万零二千四百尺为次商廉法以除次商积足五倍因取略小之数为四尺书于原积二尺之上合初商共二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺为一四乘方积又以二十四尺自乘再乘之一万三千八百二十四尺二因之得二万七千六百四十八尺为多二立方之共积与四乘方积相加得七百九十九万零二百七十二尺书于原积之下相减恰尽是开得二十四尺为每一根之数也葢四乘方多立方之数不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也设如有二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺相等问每一根之数几何法以二千立方少一四乘方与一千九百六十八万五千三百七十六尺俱以二千除之得一立方少二千分四乘方之一与九千八百四十二尺六百八十八寸相等乃列九千八百四十二尺六百八十八寸为归除所得之积按立方法作记于二尺上定单位九千尺上定十位其九千尺为初商积与二十自乘再乘之数相准即定初商为二十尺书于所得积九千尺之上而以初商二十尺自乘再乘之八千尺为一立方积又以初商之二十尺乘四次得三百二十万尺为一四乘方积以二千除之得一千六百尺为二千分四乘方之一之积与一立方积相减余六千四百尺书于所得积之下相减余三千四百四十二尺六百八十八寸为次商积而以初商之二十尺自乘三因之得一千二百尺为一立方廉又以初商之二十尺乘三次五因之得八十万尺为一四乘方廉以二千除之得四百尺为二千分四乘方之一之廉与立方廉相减余八百尺为次商廉法以除次商积足四倍即定次商为四尺书于所得积二尺之上合初商共二十四尺自乘再乘得一万三千八百二十四尺为一立方积又以二十四尺乘四次得七百九十六万二千六百二十四尺为一四乘方积以二千除之得三千九百八十一尺三百一十二寸与一立方积相减余九千八百四十二尺六百八十八寸书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与二千相乘得二千七百六十四万八千尺为二千立方积内减去一四乘方积余一千九百六十八万五千三百七十六尺与原积相合是开得二十四尺为每一根之数也葢立方少四乘方之数亦不与平方立方之数相合故不能以平方立方之法开也设如有一五乘方多四立方与一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺相等问每一根之数几何法列原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺按五乘方法作记于六尺上定单位三百万尺上定十位其一亿一千三百万尺为初商积与二十乘五次之数相准即定初商为二十尺书于原积三百万尺之上而以初商二十尺乘五次之六千四百万尺为一五乘方积又以初商二十尺自乘再乘之八千尺四因之得三万二千尺为多四立方之共积与五乘方积相加得六千四百零三万二千尺书于原积之下相减余四千九百三十九万零四百九十六尺为次商积而以初商之二十尺乘四次六因之得一千九百二十万尺为一五乘方廉又以初商之二十尺自乘二因之得一千二百尺又四因之得四千八百尺为四立方之廉与五乘方廉相加得一千九百二十万零四千八百尺为次商廉法以除次商积足二倍即定次商为二尺书于原积六尺之上合初商共二十二尺乘五次得一亿一千三百三十七万九千九百零四尺为一五乘方积又以二十二尺自乘再乘之一万零六百四十八尺四因之得四万二千五百九十二尺为多四立方之共积与五乘方积相加得一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺书于原积之下相减恰尽是开得二十二尺为每一根之数也又法用带纵平方及立方开之将原积一亿一千三百四十二万二千四百九十六尺为长方积以多四立方作四尺为纵多折半得二尺自乘得四尺与积相加得一亿一千三百四十二万二千五百尺开平方得一万零六百五十尺为半和内减半较二尺(因立方为多号故减半较若立)(方为少号即加半较)得一万零六百四十八尺为立方积开立方得二十二尺即每一根之数也葢五乘方多立方与方根自乘再乘为阔加多立方数为长所作之长方积等故用带纵较数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也设如有一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺相等问每一根之数几何法以一万立方少一五乘方与一千一百五十三万八千四百三十九尺俱以一万除之得一立方少一万分五乘方之一与一千一百五十三尺八百四十三寸九百分相等乃列一千一百五十三尺八百四十三寸九百分为归除所得之积按立方法作记于三尺上定单位一千尺上定十位其一千尺为初商积与十尺自乘再乘之数相合即定初商为十尺书于所得积一千尺之上而以初商十尺自乘再乘之一千尺为一立方积又以初商十尺乘五次得一百万尺为一五乘方积以一万除之得一百尺为一万分五乘方之一之积与立方积相减余九百尺书于所得积之下相减余二百五十三尺八百四十三寸九百分为次商积而以初商之十尺自乘三因之得三百尺为一立方廉又以初商之十尺乘四次六因之得六十万尺为一五乘方廉以一万除之得六十尺为一万分五乘方之一之廉与立方廉相减余二百四十尺为次商廉法以除次商积足一倍即定次商为一尺书于所得积三尺之上合初商共十一尺自乘再乘得一千三百三十一尺为一立方积又以十一尺乘五次得一百七十七万一千五百六十一尺为一五乘方积以一万除之得一百七十七尺一百五十六寸一百分为一万分五乘方之一之积与立方积相减余一千一百五十三尺八百四十三寸九百分书于所得积之下相减恰尽乃以一立方积与一万相乘得一千三百三十一万尺为一万立方积内减去一五乘方积余一千一百五十三万八千四百三十九尺与原积相合是开得一十一尺为每一根之数也又法用带纵平方及立方开之将原积一千一百五十三万八千四百三十九尺为长方积以一万立方作一万尺为和折半得五千尺为半和自乘得二千五百万尺与积相减余一千三百四十六万一千五百六十一尺开平方得三千六百六十九尺为半较与半和相减余一千三百三十一尺为立方积开立方得一十一尺即每一根之数也葢立方少五乘方与方根自乘再乘为阔与立方数相减为长所作之长方积等故用带纵和数开平方法开之得数复开立方即得每一根之数也御制数理精蕴下编卷三十三
## 下编卷三十四
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十四末部四借根方比例(线类)线类设如有一竹竿长一丈欲分为大小两分大分比小分多四尺问大小分各几何法借一根为小分则大分即为一根多四尺两数相加得二根多四尺与一丈相等二根既多四尺乃减去所多四尺余二根又于一丈内亦减去四尺余六尺是为二根与六尺相等二根既与六尺相等则一根必与三尺相等前既借一根为小分则三尺即小分再加四尺得七尺即大分也(此减法也于一丈内减去大分所多之四)(尺余六尺折半得三尺即小分之数此法甚易盖因借根比例之首先设此以)(明其理使人由浅以入深也)设如有银三百四十三两分给众匠其为首一人所得之银与众匠人数相等众匠每人得银六两问共人数几何法借一根为为首一人所得之银数亦即为众匠之人数以众匠之人数一根与六两相乗得六根为众匠之银数相加得七根与三百四十三两相等七根既与三百四十三两相等则一根必与四十九两相等即为首一人所得之银数亦即众匠之人数以四十九人与六两相乗得二百九十四两即众匠所得共银数再加为首一人所得银数四十九两得三百四十三两以合原数也(此归)(除法也以每匠得银六两加一两得七两以除共银三百四十三两即得四十)(九两为为首一人所得银数亦即众匠之人数葢为首一人之银既与众匠人)(数等若以为首一人之银分给众匠每人必多得一两故于每人之银数外加)(一两以除共银即得也)设如有绳二条不言丈数但知其长短之比例同于九与五其相差之较与短绳除长绳所得之数相等问二绳各长若干法借九根为长绳之数五根为短绳之数两数相减余四根以五根除九根得一八即一丈八尺是为四根与一丈八尺相等四根既与一丈八尺相等则一根必与四尺五寸相等九因之得四丈零五寸即长绳数五因之得二丈二尺五寸即短绳数以二丈二尺五寸与四丈零五寸相减余一丈八尺以二丈二尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺也(此归除法)设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银九十两乙丙共银四十五两甲丙共银七十三两问三人各银几何法借一根为三人之总银数以甲乙共银九十两计之则丙为一根少九十两以乙丙共银四十五两计之则甲为一根少四十五两以甲丙共银七十三两计之则乙为一根少七十三两三数相加得三根少二百零八两而与所借之一根相等三根少二百零八两与一根各加二百零八两得三根与一根多二百零八两相等(三根少二百零八两内加二百零八两则补足)(三根整数一根上再加二百零八两则为一根多二百零八两矣)三根与一根再各减一根则余二根与二百零八两相等二根既与二百零八两相等则一根必与一百零四两相等即三人之总银数总银一百零四两内减甲乙共银九十两余一十四两为丙银数减乙丙共银四十五两余五十九两为甲银数减甲丙共银七十三两余三十一两为乙银数也(此加减法也如以三数相加得二百零八)(两折半得一百零四两即总银数总银数内减甲乙共银数余为丙银数总银)(数内减甲丙共银数余为乙银数总银数内减乙丙共银数余为甲银数也)设如甲乙丙三人有银不言数但知甲乙共银数比丙银多六十八两乙丙共银数比甲银多一百两丙甲共银数比乙银多一百二十四两问三人各银几何法借二根为三人之总银数以甲乙共银数比丙银多六十八两计之则甲乙共银为一根多三十四两丙银为一根少三十四两(二根既为三人之总银数平分之则甲乙应得一根)(丙应得一根甲乙共银比丙所多六十八两平分之则甲乙应得三十四两丙)(应得三十四两甲乙所得为多丙所得为少故甲乙为一根多三十四两丙为)(一根少三十四两共相差为六十八两下倣此)以乙丙共银数比甲银多一百两计之则乙丙共银为一根多五十两甲银为一根少五十两以丙甲共银数比乙银多一百二十四两计之则丙甲共银为一根多六十二两乙银为一根少六十二两乃以丙银一根少三十四两甲银一根少五十两乙银一根少六十二两三数相加得三根少一百四十六两而与所借之二根相等三根少一百四十六两与二根各加一百四十六两得三根与二根多一百四十六两相等三根与二根再各减二根则余一根与一百四十六两相等一根既与一百四十六两相等则二根必与二百九十二两相等即三人之总银数前既以丙银为一根少三十四两乃于一百四十六两内减三十四两余一百一十二两即丙银数甲为一根少五十两乃于一百四十六两内减五十两余九十六两即甲银数乙为一根少六十二两乃于一百四十六两内减六十二两余八十四两即乙银数也(此加减法)(也如以甲乙比丙所多之六十八两与乙丙比甲所多之一百两相加得一百)(六十八两折半得八十四两即乙银数又以乙丙比甲所多之一百两与甲丙)(比乙所多之一百二十四两相加得二百二十四两折半得一百一十二两即)(丙银数再以乙丙数相加得一百九十六两内减去乙丙比甲所多之一百两)(余九十六两即甲银数也)设如有银分赏众人不言银数亦不言人数但知第一人得银一两又得余银之十分之一第二人得银二两又得余银之十分之一第三人得银三两又得余银之十分之一以下分赏之数皆准此例所得之银皆相等问人数及银数各几何法借一根为第一人所得余银之数则一两多一根为第一人所得总银数又第一人得余银十分之一则余银必为十根减去一根仍余九根再于九根内减去第二人所得之二两为九根少二两以九根少二两取其十分之一得十分根之九少二钱与第二人之二两相加得二两(作二十钱)多十分根之九少二钱为与第一人所得之一两(作一十钱)多一根相等一两多一根与二两多十分根之九少二钱各加二钱得一两二钱多一根与二两多十分根之九相等多一根与多十分根之九各减十分根之九余一两二钱多十分根之一与二两相等一两二钱与二两又各减一两二钱则余十分根之一与八钱相等十分根之一既与八钱相等则一根必与八两相等即第一人所得余银之数乃以十因之得八十两又加第一人所得之一两共八十一两即原共银数第一人得一两又加余银八十两之十分之一八两共为九两第二人得二两又加余银七十两之十分之一七两亦共为九两第三人得三两又加余银六十两之十分之一六两亦共为九两第四人得银四两又加余银五十两之十分之一五两亦共为九两第五人得银五两又加余银四十两之十分之一四两亦共为九两第六人得银六两又加余银三十两之十分之一三两亦共为九两第七人得银七两又加余银二十两之十分之一二两亦共为九两第八人得银八两又加余银十两之十分之一一两亦共为九两第九人得银九两银尽无余是共九人每人得银九两皆相等也(此加减法)(也以分母十与分子一相减余九即人数以人数九自乗得八十一即总银数)(也葢惟人数与每人所得银数相等者每人递加一两又各加余银十分之一所得)(始能相等故以人数自乗即得银数也)设如有人行路共二千八百里步行则日行七十里坐船则日行九十里乗马则日行一百里但知步行之日数倍于坐船坐船之日数倍于乗马问步行及坐船乗马之日数各若干法借一根为乗马之日数则坐船之日数为二根步行之日数为四根以一根与一百里相乗得一百根为乗马所行之里数以二根与九十里相乗得一百八十根为坐船所行之里数以四根与七十里相乗得二百八十根为步行所行之里数三数相加得五百六十根是为五百六十根与二千八百里相等五百六十根既与二千八百里相等则一百根必与五百里相等前既以一百根为乗马所行之里数则与一百根相等之五百里即乗马所行之里数以乗马每日行一百里除之得五日与一根相等即乗马所行之日数倍之得十日即坐船所行之日数以坐船每日行九十里乗之得九百里为坐船所行之里数再以坐船所行之十日倍之得二十日即步行之日数以步行每日行七十里乗之得一千四百里为步行之里数以乗马所行之五百里与坐船所行之九百里及步行之一千四百里相并共得二千八百里以合原数也(此递加比例法用借衰互)(征法算之亦可)设如一驴一马一车共驮载一千五百二十斤马所驮之数倍于驴仍多四十斤车所载之数倍于马驴共驮之数却少四十斤问驴马车各驮载几何法借一根为驴所驮之数则马为二根多四十斤车为六根多四十斤(驴马数相并得)(三根多四十斤倍之为六根多八十斤内减去少四十斤则为六根多四十斤)三数相加得九根多八十斤是为九根多八十斤与一千五百二十斤相等多八十斤与一千五百二十斤各减去八十斤则余九根与一千四百四十斤相等九根既与一千四百四十斤相等则一根必与一百六十斤相等即驴所驮之数倍之得三百二十斤再加四十斤得三百六十斤为马所驮之数将马驴所驮之数相加得五百二十斤倍之得一千零四十斤再减去四十斤得一千斤即车所载之数驴驮一百六十斤马驮三百六十斤车载一千斤三数相加共一千五百二十斤以合原数也(此按数加)(减比例法用借衰互征法算之亦可)设如有银三百八十五两令十一人挨次递加三两分之问每人各得若干法借一根为第一人所得银数以十一乗之得十一根又以第一人至第十一人递加三两计之共得多一百六十五两是为十一根多一百六十五两与三百八十五两相等十一根多一百六十五两与三百八十五两各减一百六十五两则余十一根与二百二十两相等十一根既与二百二十两相等则一根必与二十两相等即第一人所得银数递加三两则知第二人得二十三两第三人得二十六两第四人得二十九两第五人得三十二两第六人得三十五两第七人得三十八两第八人得四十一两第九人得四十四两第十人得四十七两第十一人得五十两各数相加共得三百八十五两以合原数也(此按数加)(减比例法)设如有银四百七十四两令十二人挨次递加分之但知第一人得银一十二两问每人各得若干法借一根为每人递加之数以第一人至第十二人递加一根计之则得六十六根再以十二两与十二人相乗得一百四十四两是为六十六根多一百四十四两与四百七十四两相等六十六根多一百四十四两与四百七十四两各减去一百四十四两则余六十六根与三百三十两相等六十六根既与三百三十两相等则一根必与五两相等即每人递加之数以第一人所得十二两加五两即第二人所得十七两依此递加则知第三人得二十二两第四人得二十七两第五人得三十二两第六人得三十七两第七人得四十二两第八人得四十七两第九人得五十二两第十人得五十七两第十一人得六十二两第十二人得六十七两各数相加共得四百七十四两以合原数也(此按数加)(减比例法)设如一人借银营利三次每次得利之后则还银二百四十两复以余银作本其每次所得利银皆与每次本银相等至第三次还银后则银尽无余问原借银若干法借一根为原借本银数则第一次利银亦为一根是本利共二根除还银二百四十两则初次余银即为二根少二百四十两再以二根少二百四十两为第二次本银数加第二次利银则为四根少四百八十两除还银二百四十两则第二次余银即为四根少七百二十两再以四根少七百二十两为第三次本银数加第三次利银则为八根少一千四百四十两除还银二百四十两则第三次余银当为八根少一千六百八十两八根少一千六百八十两而银尽无余即八根与一千六百八十两相等也八根既与一千六百八十两相等则一根必与二百一十两相等即原借本银之数因每次所得利银皆与本银相等故以原借本银之数倍之得四百二十两除还二百四十两余一百八十两为第二次本银之数又倍之得三百六十两又除还二百四十两余一百二十两为第三次本银之数又倍之得二百四十两再还二百四十两则银恰尽无余也(此按分递折比例法用叠借互征法算之亦可)设如甲乙丙三人各作一器则甲六日可完乙八日可完丙二十四日可完今命三人同作问得日几何法借一千一百五十二根(三分母连乗之数)为三人同作完之日数以甲六日计之则甲每日得一百九十二根以乙八日计之则乙每日得一百四十四根以丙二十四日计之则丙每日得四十八根三数相加共得三百八十四根与一日相等三百八十四根既与一日相等则一千一百五十二根必与三日相等即三人同作完之日数也(此和数比例法)设如甲丙二商不言本银若干但知甲之本银四倍于丙而甲本银内减去七十二两则两人之银适等问二人本银各几何法借一根为丙本银数则甲本银为四根以甲本银减七十二两与丙银相等计之则于甲本银四根内减七十二两是为甲四根少七十二两与丙一根相等四根少七十二两与一根各加七十二两得四根与一根多七十二两相等四根与一根各减去一根则余三根与七十二两相等三根既与七十二两相等则一根必与二十四两相等即丙本银数再加七十二两得九十六两即甲本银数也(此较数比例法)设如甲乙二人分银其数相等甲用过一百两乙用过三十两则乙之余银三倍于甲问二人原各分银几何法借一根为原分银之数则甲之余银为一根少一百两乙之余银为一根少三十两乙之余银既三倍于甲则将甲余银一根少一百两三倍之为三根少三百两即与乙之余银一根少三十两相等矣三根少三百两与一根少三十两各加三百两则得三根与一根多二百七十两相等(甲三根少三百两今加三百两则补足三根整)(数乙一根少三十两今加三百两以三十两补原少之数则止多二百七十两)三根与一根各减去一根则余二根与二百七十两相等二根既与二百七十两相等则一根必与一百三十五两相等前既借一根为原分银之数则此一百三十五两即原分银之数矣甲用过一百两余三十五两乙用过三十两余一百零五两故乙之余银三倍于甲也(此较数比例法用叠借互征法算之亦可)设如甲乙二人行路两日行到初日乙所行之路四倍于甲次日甲所行之路三倍于乙但知初日乙行二百四十里甲行六十里问次日二人各行若干法借一根为次日乙所行之路则甲次日所行之路为三根以初日乙行二百四十里与一根相加得一根多二百四十里为乙两日所行之路以初日甲行六十里与三根相加得三根多六十里为甲两日所行之路是为乙一根多二百四十里与甲三根多六十里相等一根与三根各减一根多二百四十里与多六十里各减六十里则余一百八十里与二根相等一百八十里既与二根相等则九十里必与一根相等即次日乙所行之路三因之得二百七十里即次日甲所行之路以乙次日所行九十里与初日所行二百四十里相加得三百三十里以甲次日所行二百七十里与初日所行六十里相加亦得三百三十里是两人同行俱到也(此较数比例法)设如有甲乙二商各有本银生理但知乙本银比甲本银多六两数年得利之后甲本利共银比原银为十一倍乙本利共银比原银为七倍而两人之银适等问二人原有本银各几何法借一根为甲本银数则乙本银为一根多六两甲本利共银既比原银为十一倍则以十一乗一根得十一根为甲本利共银数乙本利共银既比原银为七倍则以七乗一根多六两得七根多四十二两为乙本利共银数是为甲十一根与乙七根多四十二两相等十一根与七根各减七根余四根与四十二两相等四根既与四十二两相等则一根必与十两零五钱相等即甲原银之数十一乗之得一百一十五两五钱即甲本利共银之数以六两与十两零五钱相加得一十六两五钱即乙原银之数七因之亦得一百一十五两五钱为乙本利共银之数也(此较数比例法用叠借互征法算之)(亦可)设如甲乙二人分银其数相等甲银外加三百两乙银外加六十五两则甲之共银三倍于乙问二人原各分银若干法借一根为原分银之数则乙之共银为一根多六十五两甲之共银为一根多三百两甲之共银既三倍于乙则将乙之共银一根多六十五两三倍之为三根多一百九十五两即与甲之共银一根多三百两相等矣三根多一百九十五两与一根多三百两各减一百九十五两则余三根与一根多一百零五两相等三根与一根再各减去一根则余二根与一百零五两相等二根既与一百零五两相等则一根必与五十二两五钱相等前既借一根为原分银之数则此五十二两五钱即原分银之数矣以五十二两五钱与六十五两相加得一百一十七两五钱为乙之共银数以五十二两五钱与三百两相加得三百五十二两五钱为甲之共银数即乙之共银之三倍也(此较数比例法用叠借互征法算之亦可)设如金球十二银球十八其轻重适等若将银球七换金球七则银球边多三百二十二两问金球银球各重几何法借一根为金球换银球之差数以七乗之得七根为七金球换七银球之差数是为七根与三百二十二两相等七根既与三百二十二两相等则一根必与四十六两相等即一金球一银球相换之差数一金球一银球相换之差数既为四十六两则一金球比一银球之重必差二十三两一金球比一银球既重二十三两则十二金球比十二银球必重二百七十六两如以银球再加六个(十八个)即与十二金球等是银球六个与二百七十六两相等也乃以六归之得四十六两即一银球之重数加二十三两得六十九两即一金球之重数以四十六两与十八银球相乗得八百二十八两以六十九两与十二金球相乗亦得八百二十八两也(此较数比例法)设如一人买縀十二疋一人买䌷三十二疋用银适等但知缎每疋价比䌷每疋价多六两问䌷缎价银各若干法借一根为䌷价则缎价为一根多六两各以总数乗之则䌷总价得三十二根缎总价得十二根多七十二两是为䌷价三十二根与缎价十二根多七十二两相等三十二根与十二根各减去十二根则余二十根与七十二两相等二十根既与七十二两相等则一根必与三两六钱相等即䌷每疋之价加缎每疋比䌷每疋多六两得九两六钱即缎每疋之价以九两六钱乗十二疋得一百一十五两二钱为缎总价以三两六钱乗三十二疋亦得一百一十五两二钱为䌷总价两数适等也(此较数比例法)设如甲乙二人共买缎一百疋甲买三十八疋止与银三百一十二两乙买六十二疋止与银六百两而两人所欠之银适等问缎价及欠银各若干法借一根为缎每疋价银数则甲三十八疋总银数为三十八根又甲止与银三百一十二两则甲所欠之银即为三十八根少三百一十二两乙六十二疋总银数为六十二根又乙止与银六百两则乙所欠之银即为六十二根少六百两是为甲三十八根少三百一十二两与乙六十二根少六百两相等少三百一十二两与少六百两各加六百两得三十八根多二百八十八两与六十二根相等(乙为六十二根少六百两今加六百两则补足六十二根)(整数甲为三十八根少三百一十二两今加六百两以三百一十二两补原少)(之数则止多二百八十八两也)又三十八根与六十二根各减去三十八根则余二十四根与二百八十八两相等二十四根既与二百八十八两相等则一根必与十二两相等即缎每疋之价银数再以十二两乗三十八疋得四百五十六两即甲所买缎之总银数内减甲与银三百一十二两余一百四十四两为甲所欠银数又以十二两乗六十二疋得七百四十四两为乙所买缎之总银数内减乙与银六百两亦余一百四十四两为乙所欠银数也(此较数比例法)设如有米分给大小二等工人但知小工人数比大工人数为七倍大工人给米一升二合小工人给米八合共给过米五石四斗四升问人数米数各几何法借一根为大工人之数则七根为小工人之数以一根与一升二合相乗(作一)(十二合)得一十二根为大工人米数以七根与八合相乗得五十六根为小工人米数两米数相加得六十八根与五石四斗四升相等六十八根既与五石四斗四升相等则十二根必与九斗六升相等前既以十二根为大工人米数则与十二根相等之九斗六升即大工人之米数爰以大工人每人所得一升二合除之得八十人与一根相等即大工人之数七因之得五百六十即小工人之数以八合乗之得四石四斗八升即小工人之米数也(此和较比例法用叠借互征法算之亦可)设如有银一百两分给大小二等匠人共一百名大匠人每人给银一两五钱小匠人每人给银五钱问大小匠人各若干法借一根为大匠人数则小匠人为一百少一根以一两五钱与一根相乗得十五根为大匠人共银数又以五钱与一百少一根相乗得五十两(作五百钱)少五根为小匠人共银数两银数相加得五十两(作五百钱)多十根(原少五根加十五根则反多十根也)与银一百两(作一千钱)相等五十两与一百两各减去五十两则余十根与五十两相等十根既与五十两相等则十五根必与七十五两(即七百五十钱)相等前既以十五根为大匠人共银数则与十五根相等之七十五两即大匠人之共银数爰以大匠人每人所得一两五钱除之得五十人与一根相等即大匠人之数于共一百人内减大匠人五十人余五十人即小匠人之数以五钱乗之得二十五两即小匠人之共银数也(此和较比例法用方程法)(算之亦可)设如有银一百两分赏马步兵共一百名马兵一人赏三两步兵三人赏一两问马步兵各若干法借一根为步兵所得银数则马兵所得银数即为三根相加得四根为马步兵共得银数是为四根与一百两相等四根既与一百两相等则一根必与二十五两相等即步兵所得银数于一百两内减之余七十五两为马兵所得银数以每人三两归之得二十五即马兵人数于一百名内减之余七十五即步兵人数也(此和较比例法)设如鸡兔同笼但知共头三十六共足一百问鸡兔各若干法借一根为兔数则鸡为三十六少一根以兔四足乗兔一根得四根为兔之共足数以鸡二足乗鸡三十六少一根得七十二少二根为鸡之共足数两数相加得七十二多二根与一百相等七十二与一百各减七十二则余二根与二十八相等二根既与二十八相等则一根必与十四相等即兔数于共三十六内减兔十四余二十二即鸡数兔十四以四足乗之得五十六为兔共足数鸡二十二以二足乗之得四十四为鸡共足数相加得一百以合原数也(此和较比)(例法)设如有人行路乗马乗船共六十三日乗马日行一百六十里乗船日行一百四十四里乗船所行之里数比乗马所行之里数为十八倍问乗马乗船之日数各若干法借一根为乗马之日数则乗船之日数为六十三日少一根以一根与一百六十里相乗得一百六十根为乗马所行之里数以六十三日少一根与一百四十四里相乗得九千零七十二里少一百四十四根为乗船所行之里数乗船所行里数既为乗马所行里数之十八倍则以十八乗乗马所行之里数一百六十根得二千八百八十根是为二千八百八十根与九千零七十二里少一百四十四根相等二千八百八十根与少一百四十四根各加一百四十四根得三千零二十四根与九千零七十二里相等三千零二十四根既与九千零七十二里相等则一百六十根必与四百八十里相等前既以一百六十根为乗马所行之里数则与一百六十根相等之四百八十里即乗马所行之里数以乗马每日所行一百六十里除之得三日与一根相等即乗马所行之日数以三日与六十三日相减余六十日为乗船所行之日数以乗船每日行一百四十四里乗之得八千六百四十里即乗船所行之里数为乗马所行之里数之十八倍也(此和较比例法用叠借互征法算之亦可)设如有青缎蓝缎二色共七十疋青缎每疋长四十七尺蓝缎每疋长六十尺其蓝缎总尺数比青缎总尺数多二十七尺问青缎蓝缎二色各若干法借一根为青缎疋数则蓝缎为七十疋少一根各以尺数乗之则青缎之总尺数得四十七根蓝缎之总尺数得四千二百尺少六十根于蓝缎总尺数内减去比青缎所多之二十七尺得四千一百七十三尺少六十根是为青缎四十七根与蓝缎四千一百七十三尺少六十根相等四十七根与少六十根各加六十根得一百零七根与四千一百七十三尺相等一百零七根既与四千一百七十三尺相等则四十七根必与一千八百三十三尺相等前既以四十七根为青缎之总尺数则与四十七根相等之一千八百三十三尺即青缎之总尺数以每疋长四十七尺除之得三十九疋与一根相等即青缎之疋数以三十九疋与七十疋相减余三十一疋即蓝缎之疋数以三十一疋与六十尺相乗得一千八百六十尺即蓝缎之总尺数比青缎多二十七尺也(此和较比例法)设如有人买绢䌷二色共价银一百二十七两四钱绢一尺价银七分䌷一尺价银一钱四分其绢之尺数比䌷之尺数为五倍问绢䌷尺数各若干法借一根为䌷之尺数则绢之尺数为五根以䌷价一钱四分(作一十四分)乗一根得一十四根为䌷共价以绢价七分乗五根得三十五根为绢共价两数相加共得四十九根是为四十九根与一百二十七两四钱相等四十九根既与一百二十七两四钱相等则十四根必与三十六两四钱相等前既以十四根为䌷共价则与十四根相等之三十六两四钱即䌷之共价以䌷每尺价一钱四分除之得二百六十尺与一根相等即䌷之尺数五因之得一千三百尺即绢之尺数也(此和较比例法)设如甲有十成银一百二十四两丙有三成银不知数但知将二色银镕于一处则俱为五成银问三成银几何法借一根为丙银数因二色银镕于一处俱为五成故以五成与丙银三成相减余二成为每两所少之数以五成与甲银十成相减余五成为每两所多之数乃以每两所少二成乗丙银一根得二根以每两所多五成乗甲银一百二十四两得六百二十成是为二根与六百二十成相等(丙之所少即甲之所多其数相等也)以丙银每两少二成除之则得一根与三百一十两相等前既借一根为丙银数则与一根相等之三百一十两即丙之银数也(此和较比例法)设如有银大小共九百二十四锭重二百七十六两大锭重三分两之一小锭重七分两之二问大小锭各若干法借一根为大锭数则小锭为九百二十四锭少一根因大锭重三分两之一小锭重七分两之二其分母不同乃以两分母三与七相乗得二十一为共母数又以小锭分母七互乗大锭分子一得七即变三分之一为二十一分之七为大锭之重数又以大锭分母三互乗小锭分子二得六即变七分之二为二十一分之六为小锭之重数乃以一根与大锭分子七相乗得七根为大锭之重数以九百二十四锭少一根与小锭分子六相乗得五千五百四十四少六根为小锭之重数两数相加得五千五百四十四多一根为共重数又各重数既皆通为二十一分则共重二百七十六两亦以分母二十一通之得五千七百九十六是为五千五百四十四多一根与五千七百九十六相等五千五百四十四与五千七百九十六各减五千五百四十四则余一根与二百五十二相等即大锭之共数与共九百二十四锭相减余六百七十二为小锭之共数以大锭重三分两之一与大锭共数相乗得八十四两为大锭之共重数以小锭重七分两之二与小锭共数相乗得一百九十二两为小锭之共重数相加得二百七十六两以合原数也(此和较比例法)设如众人雇船每人出银一两二钱则少四两四钱每人出银一两五钱则多八两二钱问人数及船价银各若干法借一根为人数以一根与一两五钱相乗得十五根则船价银为十五根少八两二钱又以一根与一两二钱相乗得十二根则船价银又为十二根多四两四钱此二数为相等两边各加八两二钱得十五根与十二根多十二两多钱相等两边再各减十二根则余三根与十二两六钱相等三根既与十二两六钱相等则一根必与四两二钱相等前既借一根为人数则此四两二钱即为四十二人为雇船之人数以每人出一两二钱乗之得五十两零四钱再加四两四钱得五十四两八钱为船价以每人出一两五钱乗之得六十三两减去八两二钱亦为五十四两八钱两数相同也(此盈朒法)设如有银买缎二色下号缎每疋价银八两上号缎每疋价银十一两若俱买下号者则银多二百九十六两若俱买上号者则银多三十二两问缎数及银数各若干法借一根为缎数以一根与十一两相乗得十一根为上号缎共价则共银为十一根多三十二两又以一根与八两相乗得八根为下号缎共价则共银为八根多二百九十二两此二数为相等两边各减三十二两得十一根与八根多二百六十四两相等两边再各减八根则余三根与二百六十四两相等三根既与二百六十四两相等则一根必与八十八两相等前既借一根为缎数则此八十八两即为八十八疋为缎之总数以每疋八两乗之得七百零四两为下号缎共价数加多二百九十六两得一千两为共有银数以每疋十一两乗之得九百六十八两为上号缎共价数加多三十二两亦得一千两两数相同也(此盈朒法)设如有井一口不知其深有绳一条不知其长但知取绳六分之一比井深少三尺四寸取绳四分之一比井深适等问井深及绳长各若干法借二十四根为绳长数(两分母相乗之数)取其四分之一得六根则井深即为六根又取其六分之一得四根则井深又为四根多三尺四寸此二数为相等两边各减四根得二根与三尺四寸相等二根既与三尺四寸相等则一根必与一尺七寸相等而二十四根必与四丈零八寸相等即绳之长数也取其六分之一得六尺八寸再加三尺四寸共得一丈零二寸为井深或取其四分之一亦得一丈零二寸两数相同也(此盈朒法)设如有人买房用本银三分之二则比房价多五十九两用本银五分之二则比房价少四十九两八钱问本银房价各若干法借十五根为本银数(两分母相乗之数)以用本银三分之二比房价多五十九两计之则房价为十根少五十九两以用本银五分之二比房价少四十九两八钱计之则房价又为六根多四十九两八钱此二数为相等两边各加五十九两得十根与六根多一百零八两八钱相等两边再各减去六根则余四根与一百零八两八钱相等四根既与一百零八两八钱相等则一根必与二十七两二钱相等而十五根必与四百零八两相等即本银数取其三分之二得二百七十二两减多五十九两得二百一十三两为房价数又将本银取其五分之二得一百六十三两二钱加少四十九两八钱亦得二百一十三两两数相同也(此盈朒法)设如有银分给二等人其上等人比下等人多一倍上等人比下等人每人多得四两今欲与下等人每人三两则银多七十三两每人四两则银少二十两问人数及银数各若干法借一根为下等人数则上等人数为二根以一根与四两相乗得四根为下等人所得共银数以二根与八两(下等每人)(四两上等多四两故每人八两)相乗得十六根为上等人所得共银数两数相加得二十根为上下二等人所得共银数则原银数即为二十根少二十两又以一根与三两相乗得三根为下等人所得共银数以二根与七两相乗得十四根为上等人所得共银数两数相加得十七根为上下二等人所得共银数则原银数即为十七根多七十三两此两数为相等两边各加二十两得二十根与十七根多九十三两相等两边再各减十七根则余三根与九十三两相等三根既与九十三两相等则一根必与三十一两相等前既借一根为下等人数则此三十一两即为三十一人为下等人数倍之得六十二人即上等人数以下等三十一人用三两乗之得九十三两以上等六十二人用七两乗之得四百三十四两两数相加共得五百二十七两再加所多七十三两得六百两为原银数若以下等三十一人用四两乗之得一百二十四两以上等六十二人用八两乗之得四百九十六两两数相加共得六百二十两减去所少二十两亦得六百两两数相同也(此盈朒法)设如有人分银不言人数亦不言银数但知毎四人分银十八两则银少八两每三人分银十一两则银多十二两问人数及银数各若干法借十二根为人数以四人分银十八两计之则每人应得四两五钱爰以四两五钱乗十二根得五十四根为共分银之数而原银即为五十四根少八两以三人分银十一两计之则每人应得三两又三分两之二爰以三两又三分两之二乗十二根得四十四根为共分银之数而原银又为四十四根多十二两此两数为相等两边各加八两得五十四根与四十四根多二十两相等两边各减四十四根得十根与二十两相等十根既与二十两相等则十二根必与二十四两相等前既借十二根为人数则此二十四两即为二十四人为共人数也以三人为一率十一两为二率二十四人为三率求得四率八十八两加多十二两共一百两为原银数或以四人为一率十八两为二率二十四人为三率求得四率一百零八两减少八两亦得一百两两数相同也(此双套盈朒法)设如有一商人贩缎不言每疋价银之数亦不言每疋税银之数但知贩缎八十疋纳税用缎四疋则多银二两贩缎三百一十疋纳税用缎十四疋则少银六两五钱问每疋价银及税银几何法借一根为缎一疋之价银数以纳税用缎四疋多银二两计之则缎八十疋之税银数为四根少银二两以纳税用缎十四疋少银六两五钱计之则缎三百一十疋之税银数为十四根多银六两五钱此两缎数不相等故难用比例须用互乗法以八十疋与三百一十疋相乗得二万四千八百疋为共缎数乃以三百一十疋乗四根少银二两得一千二百四十根少银六百二十两为二万四千八百疋之税银数又以八十疋乗十四根多银六两五钱得一千一百二十根多五百二十两亦为二万四千八百疋之税银数此两缎数既为相等故乗出之税银数亦为相等两边各加六百二十两得一千二百四十根与一千一百二十根多一千一百四十两相等两边再各减一千一百二十根则余一百二十根与一千一百四十两相等一百二十根既与一千一百四十两相等则一根必与九两五钱相等即缎一疋之价银数以缎四疋与银九两五钱相乗得三十八两减去多二两余三十六两即缎八十疋之税银数以八十疋除三十六两得四钱五分即缎一疋之税银数以四钱五分与缎三百一十疋相乗得一百三十九两五钱即缎三百一十疋之税银数又以缎十四疋与九两五钱相乗得一百三十三两再加少六两五钱亦得一百三十九两五钱两数相同也(此双套盈朒法)设如有银一千二百零九两令甲乙二人分之取甲四分之一与乙三分之一相加即与甲银等问二人各得几何法借十二根(两分母相乗数)为甲银数则乙银为一千二百零九两少十二根取甲银四分之一为三根取乙银三分之一为四百零三两少四根相加得四百零三两少一根是为十二根与四百零三两少一根相等十二根与少一根各加一根得十三根与四百零三两相等十三根既与四百零三两相等则十二根必与三百七十二两相等即甲银数于总银内减甲银数余八百三十七两即乙银数取甲银四分之一得九十三两取乙银三分之一得二百七十九两相加得三百七十二两与甲银等也(此借衰互征法)(用方程法算之亦可)设如有银一千两令甲乙丙三人分之乙所得之数倍于甲仍多三十两丙所得之数倍于乙问每人各得若干法借一根为甲银数则乙为二根多三十两丙为四根多六十两三数相并共得七根多九十两而与一千两相等九十两与一千两各减九十两余七根与九百一十两相等七根既与九百一十两相等则一根必与一百三十两相等即甲所得银数倍之再加三十两得二百九十两为乙所得银数又倍之得五百八十两为丙所得银数也(此借衰互征法用方)(程法算之亦可)设如甲乙丙三人分银六千两乙得甲三分之一丙得乙二分之一问三人各得几何法借一根为甲银数则乙银为三分根之一丙银为六分根之一三数相加得六分根之九(以甲一根为六分则乙为六分根之二丙为六分根)(之一共得六分根之九即一根半)与六千两相等各以六乗之得九根与三万六千两相等九根既与三万六千两相等则一根必与四千两相等即甲银数三分之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数又二分之得六百六十六两又三分两之二为丙银数也又法借一根为丙银数则乙银为二根甲银为六根相加得九根与六千两相等九根既与六千两相等则一根必与六百六十六两又三分两之二相等即丙银数倍之得一千三百三十三两又三分两之一为乙银数三因之得四千两即甲银数也(此借衰互征法)设如有金银锡铜四色不言重数但知共数五分之二为铜数金银锡共数七分之四为锡数金银共数八分之五为银数金重三千零二十四两问四色各重若干法借二百八十根为共数(用三分母连乗之数取其)(可以度尽也)取其五分之二得一百一十二根为铜数与二百八十根相减余一百六十八根为金银锡之共数取其七分之四得九十六根为锡数与一百六十八根相减余七十二根为金银之共数又取其八分之五得四十五根为银数与七十二根相减余二十七根为金数是为二十七根与三千零二十四两相等二十七根既与三千零二十四两相等则一根必与一百一十二两相等四十五根必与五千零四十两相等即银数九十六根必与一万零七百五十二两相等即锡数一百一十二根必与一万二千五百四十四两相等即铜数四数相加共得三万一千三百六十两以所借共重二百八十根与每一根之一百一十二两相乗亦得三万一千三百六十两为四色之共数也(此借衰互征法)设如有银三百五十六两分与三等人一等五人二等四人三等三人一等所得倍于二等内少二两二等所得倍于三等又多四两问三等人每人各得几何法借一根为三等一人所得银数则二等一人所得银数为二根多四两一等一人所得银数为四根多六两以各等共人数因之则三等所得共银数为三根二等所得共银数为八根多十六两一等所得共银数为二十根多三十两三数相加共得三十一根多四十六两为与三百五十六两相等三十一根多四十六两与三百五十六两各减去四十六两则余三十一根与三百一十两相等三十一根既与三百一十两相等则一根必与十两相等即三等一人所得银数倍之加四两得二十四两即二等一人所得银数又倍之减二两得四十六两即一等一人所得银数三等三人共得三十两二等四人共得九十六两一等五人共得二百三十两三数相加共得三百五十六两以合原数也(此借)(衰互征法)设如甲丙二人共有米三百八十四石甲纳官八分之一丙纳官六分之一共纳五十四石问二人原米及纳官米各若干法借一根为甲纳米数则丙纳米为五十四石少一根将甲纳米一根八因之得八根为甲原米数丙纳米五十四石少一根六因之得三百二十四石少六根为丙原米数相加得三百二十四石多二根为甲丙共米数是为三百二十四石多二根与三百八十四石相等三百二十四石与三百八十四石各减去三百二十四石余二根与六十石相等二根既与六十石相等则一根必与三十石相等即甲所纳米数八因之得二百四十石为甲原米数以甲原米数与三百八十四石相减余一百四十四石为丙原米数六归之得二十四石即丙所纳米数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲乙二人不言本银若干但知以乙本银三分之一与甲本银相加再加六十两共得一千两以甲本银五分之一与乙本银相加亦得一千两问二人本银各几何法借十五根(两分母相乗数)为乙本银数以乙三分之一与甲本银相加又加六十两共得一千两计之则甲本银应得九百四十两少五根取其五分之一则为一百八十八两少一根以甲本银五分之一一百八十八两少一根与乙本银十五根相加得一百八十八两多十四根与一千两相等一边一百八十八两一边一千两各减去一百八十八两则得十四根与八百一十二两相等十四根既与八百一十二两相等则一根必与五十八两相等前既借十五根为乙本银数乃以十五乗之得八百七十两即乙本银数取其三分之一得二百九十两与一千两相减又减六十两余六百五十两即甲本银数也(此叠借互征法用方程法算之)(亦可)设如甲乙二商不言本银若干但知各得利银九十两其甲之本利共银三倍于乙之本银乙之本利共银二倍于甲之本银问每人本银几何法借三根为甲之本银数加利银九十两得三根多九十两为甲之本利共银数甲之本利共银既三倍于乙之本银则乙之本银数即为一根多三十两再加利银九十两得一根多一百二十两为乙之本利共银数亦为甲之本银之二倍也乃以甲之本银三根倍之得六根与乙之一根多一百二十两相等六根与一根各减去一根则余五根与一百二十两相等五根既与一百二十两相等则三根必与七十二两相等即甲之本银数加利银九十两得一百六十二两三归之得五十四两为乙之本银数以乙本银五十四两加利银九十两共一百四十四两为甲之本银之二倍也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲丙二人有银不言其数但知甲银加九两为丙银之三倍丙银加七两为甲银之二倍问二人各银若干法借六根(三倍二倍相乗数)为甲银数加九两为六根多九两甲银加九两既为丙银之三倍则以三归之得二根多三两为丙银数加七两为二根多十两丙银加七两既为甲银之二倍则以二归之得一根多五两仍为甲银数先借六根与今所得一根多五两既同为甲银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲银数加九两得一十五两三归之得五两即丙银数加七两得一十二两即甲银六两之二倍也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲丙二人有银不言其数但知将丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍若将甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍问二人各银若干法借六根(二倍三倍相乗数)为甲原银数加丙与甲二两得六根多二两以丙银与甲二两则甲银为丙银之二倍计之则以六根多二两半之得三根多一两为丙余银数丙先以二两与甲则丙之原银必为三根多三两加甲与丙二两得三根多六两以甲银与丙三两则丙银为甲银之三倍计之则以三根多六两三归之得一根多二两为甲余银数甲先以三两与丙则甲之原银必为一根多五两夫先借六根与今所得一根多五两既同为甲原银数则其数必等六根与一根各减一根余五根与五两相等五根既与五两相等则六根必与六两相等即甲原银之数加丙与甲二两得八两半之得四两为丙余银之数丙余银既为四两则原银必为六两加甲与丙三两得九两三归之得三两即甲余银之数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲乙二人共银一千二百四十两于甲银内加乙银四分之一乙银内加甲银五分之一其数相等问二人原银各几何法借二十根(两分母相乗数)为甲原银数则一千二百四十两少二十根为乙原银数甲原银五分之一为四根乙原银四分之一为三百一十两少五根将甲原银五分之一四根与乙原银一千二百四十两少二十根相加得一千二百四十两少十六根(原少二十根加入四根止少十六根)将乙原银四分之一三百一十两少五根与甲原银二十根相加得三百一十两多十五根(原二十根补乙少五根余十五根)此二数为相等少十六根与多十五根各加十六根则得一千二百四十两与三百一十两多三十一根相等再一千二百四十两与三百一十两各减三百一十两则余九百三十两与三十一根相等九百三十两既与三十一根相等则六百两必与二十根相等前既借二十根为甲原银数则此六百两即甲原银之数以六百两与一千二百四十两相减余六百四十两即乙原银之数若甲银内加乙原银四分之一一百六十两乙银内加甲原银五分之一一百二十两则俱为七百六十两也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲原有银五十两乙原有银八十两乙用过之银比甲用过之银为三分之一甲所余之银比乙所余之银亦为三分之一问二人用银及余银各若干法借一根为乙用过银数则甲用过之银为三根而乙所余之银为八十两少一根甲所余之银为五十两少三根甲余银既比乙余银为三分之一则以甲余银五十两少三根三因之为一百五十两少九根是为乙余银八十两少一根与甲余银一百五十两少九根相等少一根与少九根各加九根得八十两多八根与一百五十两相等再八十两与一百五十两各减八十两余八根与七十两相等八根既与七十两相等则一根必与八两七钱五分相等即乙用过银数三因之得二十六两二钱五分即甲用过银数以甲用过银数与甲原有银数相减余二十三两七钱五分为甲所余银数三因之得七十一两二钱五分即乙所余银数也(此叠借互征法用方程法算之)(亦可)设如甲乙丙三人有银不言数但知甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等若以乙银五分之二与丙银相较则丙银多一百一十四两问三人各银几何法借五根为乙银数则丙银数为二根多一百一十四两于乙银数五根内减去丙银数二根多一百一十四两余三根少一百一十四两为乙银比丙银所多之数与甲银五分之一相等五因之得一十五根少五百七十两为甲银数又于甲银数一十五根少五百七十两内减去乙银数五根余十根少五百七十两为甲银比乙银所多之数与丙银四分之一相等四因之得四十根少二千二百八十两亦为丙银数此四十根少二千二百八十两与二根多一百一十四两既同为丙银数是为相等乃于二根多一百一十四两与四十根少二千二百八十两各加二千二百八十两得二根多二千三百九十四两与四十根相等二根与四十根再各减二根则余三十八根与二千三百九十四两相等三十八根既与二千三百九十四两相等则一根必与六十三两相等而五根必与三百一十五两相等即乙银数丙银数既为二根多一百一十四两乃以六十三两倍之得一百二十六两(即二)(根之数亦即乙五分之二之数)加一百一十四两共得二百四十两即丙银数甲银比乙银所多之数既为丙银四分之一乃以丙银数四归之得六十两与乙银三百一十五两相加得三百七十五两即甲银数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲乙丙三人有银但知甲银七十两乙银三十四两而丙银不知数如以丙银与甲银相减又以丙银与乙银相减其甲银之余则三倍于乙问丙银若干法借一根为丙银数则甲丙相减之余为七十两少一根乙丙相减之余为三十四两少一根甲之余银既三倍于乙则以乙丙相减之余三十四两少一根三因之得一百零二两少三根是为七十两少一根与一百零二两少三根相等少一根与少三根各加三根得七十两多二根与一百零二两相等七十两与一百零二两各减七十两则余二根与三十二两相等二根既与三十二两相等则一根必与十六两相等即丙银数与甲银七十两相减余五十四两与乙银三十四两相减余十八两是甲余银为乙余银之三倍也(此叠借互征法用方程法算之)(亦可)设如甲乙丙三人各有银不言数但知将乙银十两与甲则甲乙二人之银相等若将丙银十四两与乙则乙丙二人之银相等若将甲银十八两与丙则丙银比甲银为五倍问三人各银若干法借一根为甲原银数则乙之原银必为一根多二十两(以十两与甲则皆为一根多十两其数相)(等)丙之原银必为一根多四十八两(乙之)(原银既为一根多二十两再加十四两俱为一根多三十四两其数相等)又甲之原银既为一根以十八两与丙计之则为一根少十八两丙之原银既为一根多四十八两今再加十八两则为一根多六十六两此丙之一根多六十六两比甲之一根少十八两既为五倍则以甲之一根少十八两五因之得五根少九十两而与丙之一根多六十六两为相等少九十两与多六十六两各加九十两得五根与一根多一百五十六两相等五根与一根各减一根则余四根与一百五十六两相等四根既与一百五十六两相等则一根必与三十九两相等即甲原银之数甲原银既为三十九两则乙原银必为五十九两以十两与甲则皆得四十九两乙原银既为五十九两则丙原银必为八十七两以十四两与乙则皆得七十三两丙原银既为八十七两甲原银既为三十九两甲以十八两与丙则丙为一百零五两而甲为二十一两是丙银比甲银为五倍也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲乙丙三人有银但知甲银二万五千两乙得甲丙共银二分之一丙得甲乙共银八分之一问乙丙二人各银几何法借二根为丙银数则甲乙共银数为十六根乙银数为十六根少二万五千两甲丙共银数为二根多二万五千两半之又得乙银数为一根多一万二千五百两十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两既同为乙银数则为相等十六根少二万五千两与一根多一万二千五百两各加二万五千两得十六根与一根多三万七千五百两相等十六根与一根各减一根则余十五根与三万七千五百两相等十五根既与三万七千五百两相等则二根必与五千两相等即丙银数与甲银二万五千两相加得三万两半之得一万五千两即乙银数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如一商贸易不言本银若干但知第一次所得利银比本银为四分之一用去银二十两第二次所得利银比第二次本银为五分之二用去银十四两第三次所得利银比第三次本银为三分之一用去银十五两合计所余利银共八十两问原本银及每次所得利银各几何法借十二根为原本银数则第一次利银为三根本利相加得十五根内减用去银二十两得十五根少二十两为第二次本银数取其五分之二得六根少八两为第二次利银数本利相加得二十一根少二十八两又减用去银十四两得二十一根少四十二两为第三次本银数取其三分之一得七根少十四两为第三次利银数以第三次本利相加得二十八根少五十六两又减用去银十五两则为二十八根少七十一两而原借十二根与所余利银八十两遂为十二根多八十两是为二十八根少七十一两与十二根多八十两相等少七十一两与多八十两各加七十一两得二十八根与十二根多一百五十一两相等二十八根与十二根各减十二根得十六根与一百五十一两相等十六根既与一百五十一两相等则十二根必与一百一十三两二钱五分相等即原本银数四归之得二十八两三钱一分二厘五毫即第一次所得利银数本利相加减用去二十两得一百二十一两五钱六分二厘五毫即第二次本银数取其五分之二得四十八两六钱一 二分五厘即第二次所得利银数本利一 相加又减用去十四两得一百五十六两一钱八分七厘五毫即第三次本银数三归之得五十二两零六分二厘五毫即第三次所得利银数本利相加又减用去十五两得一百九十三两二钱五分即原本银与三次所余共利银相加之数盖原本银一百一十三两二钱五分又加所余共利银八十两即一百九十三两二钱五分两数相等也(此叠借互)(征法)设如有人贸易四次第一次所得利银比原本银为九分之一用去银比原本银为十二分之一第二次所得利银比原本银为六分之一用去银比原本银为九分之四第三次所得利银比原本银为四分之一用去银比原本银为二分之一第四次所得利银比原本银为三分之一用去银比原本银为三分之二合四次利银已用尽仍用本银六百两问本利银各若干法借三十六根为本银数(借三十六者以九与十二)(与六皆系用三可以度尽之数独四与九不能度尽故借四九相乘之数则各)(分母皆可以度尽也)则第一次利银为四根第二次利银为六根第三次利银为九根第四次利银为十二根四数相加共得三十一根为四次利银之共数第一次用去为三根第二次用去为十六根第三次用去为十八根第四次用去为二十四根四数相加共得六十一根为四次用去银之共数以四次利银皆用尽仍用本银六百两计之则四次利银之共数三十一根仍如本银六百两乃与四次用去银之共数六十一根相等也三十一根与六十一根各减去三十一根则余三十根与六百两相等三十根既与六百两相等则一根必与二十两相等而三十六根必与七百二十两相等即本银数三十一根又与六百二十两相等即利银数六十一根又与一千二百二十两相等即用去银数也(此叠借互征法)设如甲乙丙丁四人同出银作生理内甲丙丁三人所出银不言数但知乙出银五两若将甲所出银二分之一与乙又将乙所出银五分之一与丙又将丙所出银七分之一与丁又将丁所出银九分之一与甲则四人所出之银皆相等问四人各出银若干法借二根为甲出银数则甲将一根(二分)(之一)与乙乙将一两(五分之一)与丙是甲为一根乙为一根多四两今以甲与乙相较则数不相等盖因甲尚当得丁银九分之一也甲因未得丁银九分之一故比乙银少四两是四两即丁银之九分之一也九分之一既为四两则三十六两即为丁原银数丁既以四两与甲则丁所余止三十二两以丁三十二两与乙一根多四两相较其数又不相等盖因丁尚当得丙银七分之一也丁因未得丙银七分之一故比乙银差一根少二十八两(于乙一根多四两内减去三十二两即余一根少二十八两也)是一根少二十八两即丙银之七分之一也七分之一既为一根少二十八两则七根少一百九十六两即为丙原银数丙既以一根少二十八两与丁则丙所余为六根少一百六十八两再加乙所与之一两则丙得六根少一百六十七两矣夫四人既按分各与之则乙为一根多四两甲余一根又得丁四两亦为一根多四两丁余三十二两又得丙一根少二十八两亦为一根多四两其数皆相等则丙之六根少一百六十七两亦必与一根多四两为相等矣少一百六十七两与多四两各加一百六十七两得六根与一根多一百七十一两相等六根与一根各减一根则余五根与一百七十一两相等五根既与一百七十一两相等则一根必与三十四两二钱相等而二根必与六十八两四钱相等即甲所出银数又七根必与二百三十九两四钱相等内减去一百九十六两(丙原为七根少一百九十六两)余四十三两四钱为丙所出银数乃于丁所出银内减九分之一(余三十二两)加丙银之七分之一(六两)(二钱)得三十八两二钱于丙所出银内减七分之一(余三十七两二钱)加乙银之五分之一(一两)亦得银三十八两二钱于乙所出银内减五分之一(余四两)加甲银之二分之一(三十四两二钱)亦得银三十八两二钱于甲所出银内减二分之一(余三十四两二钱)加丁银之九分之一(四两)亦得银三十八两二钱也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如甲乙丙丁戊五人各出银不言数但知甲乙共银二百四十两丙银为甲银三分之一丁银为乙银四分之一戊银七十二两与丙丁共数相等问五人各银若干法借十二根为甲银数则乙银为二百四十两少十二根丙银为四根丁银为六十两少三根以丙丁二数相加得六十两多一根而与戊银七十二两相等七十二两与六十两各减六十两得十二两与一根相等十二两既与一根相等则十二根必与一百四十四两相等即甲银数甲乙共银二百四十两内减甲银数余九十六两即乙银数将甲银数三归之得四十八两即丙银数将乙银数四归之得二十四两即丁银数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如有银六百两令甲乙丙丁戊己六人分之甲乙共得二百两丙丁共得二百两戊己共得二百两丙所得银比甲所得银为四分之一戊所得银比丁所得银为三分之一乙所得银比己所得银为二分之一问六人各分银几何法借十二根为甲所得银数则乙所得银为二百两少十二根丙所得银为三根丁所得银为二百两少三根戊所得银为六十六两又三分两之二少一根(戊比丁为三分之一以三除丁数即是)己所得银为四百两少二十四根(乙比己为二分之一以二乗乙数即是)以戊己两数相加得四百六十六两又三分两之二少二十五根是为二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根相等二百两与四百六十六两又三分两之二少二十五根各加二十五根得二百两多二十五根与四百六十六两又三分两之二相等二百两与四百六十六两又三分两之二各减二百两则余二十五根与二百六十六两又三分两之二相等二十五根既与二百六十六两又三分两之二相等则一根必与十两又三分两之二相等三根必与三十二两相等即丙所得银数四因之得一百二十八两为甲所得银数甲乙共得二百两内减甲所得银数余七十二两为乙所得银数丙丁共得二百两内减丙所得银数余一百六十八两为丁所得银数乙所得银七十二两二因之得一百四十四两为己所得银数丁所得银一百六十八两三归之得五十六两为戊所得银数也(此叠借互征法用方程法)(算之亦可)设如有驼一群七十二个马一群不知数牛一群与驼马相并之数等羊一群与驼马相乗之数等又为牛数之六十倍问马牛羊各几何法借一根为马数则一根多七十二为牛数以驼数七十二与马数一根相乗得七十二根为羊数再以牛数一根多七十二与六十相乗得六十根多四千三百二十亦为羊数此两数既同为羊数则为相等七十二根与六十根各减六十根则余十二根与四千三百二十相等十二根既与四千三百二十相等则一根必与三百六十相等即马一群之数与驼数相加得四百三十二即牛一群之数再与六十相乗得二万五千九百二十即羊一群之数以驼七十二与马三百六十相乘亦得二万五千九百二十为相等也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如有大小二石不知重数有铜条一根重十二两均分十二分以绳系于第五分之上一头五分一头七分将大石挂于铜条之端离提系五分而以小石作砣称之离提系六分始平又将小石挂于铜条之端离提系五分而以大石作砣称之离提系四分始平问二石各重若干法先以五分加一倍与十二分相减余二分折半得一分与五分相加为六分乃以五分为一率六分为二率余二分之重二两为三率求得四率二两四钱即五分之端加二两四钱始与七分相平也今大石离提系五分小石离提系六分而平是大石重六分小石重五分而大石多二两四钱则小石为大石六分之五而少二两也(铜条五分之端应加二两四钱而平)(今大石在五分之一头是大石多二两四钱也将二两四钱以大石之六分除)(之每分得四钱是大石比小石每分多四钱以小石五分计之则大石比小石)(多二两故小石为大石之六分之五而少二两也)又小石离提系五分大石离提系四分而平是小石重四分大石重五分而小石多二两四钱则小石为大石五分之四而多二两四钱也(铜条五分之端应加二两四钱而平今小石在五分之一头是)(小石多二两四钱也将二两四钱以小石之四分除之每分得六钱是小石比)(大石每分多六钱以小石四分计之则小石比大石多二两四钱故小石为大)(石之五分之四而多二两四钱也)乃借三十根(六分五分相乗)(之数)为大石之重数以小石为大石六分之五而少二两计之则小石之重为二十五根少二两以小石为大石五分之四而多二两四钱计之则小石之重又为二十四根多二两四钱此两数为相等两边各加二两得二十五根与二十四根多四两四钱相等两边再各减去二十四根余一根与四两四钱相等一根既与四两四钱相等则三十根必与一百三十二两相等即大石之重数六归之得二十二两五因之得一百一十两减去二两得一百零八两即小石之重数或以大石之重数五归之得二十六两四钱四因之得一百零五两六钱加二两四钱亦得一百零八两为小石之重数也(此叠借互征法用方程法算之亦可)设如有银买马牛二色马四匹牛八头共价五十六两又马三匹牛五头共价三十八两问马牛各价若干法借一根为牛一头之价则前牛八头之共价为八根前马四匹之共价为五十六两少八根而后牛五头之共价为五根乃以前马四匹为一率共价五十六两少八根为二率后马三匹为三率求得四率四十二两少六根为后马三匹之共价内加后牛五头之共价五根得四十二两少一根为后马三匹牛五头之共价与后共价三十八两相等四十二两少一根与三十八两各加一根得四十二两与三十八两多一根相等四十二两与三十八两多一根再各减去三十八两则余四两与一根相等即牛一头之价八因之得三十二两为前牛八头之共价于前共价五十六两内减之余二十四两为前马四匹之共价四归之得六两为马一匹之价又以后马三匹因之得十八两为后马三匹之共价于后共价三十八两内减之余二十两为后牛五头之共价五归之亦得四两为牛一头之价也(此二色和数方程法)设如有钱买桃梨二色桃四个比梨八个少钱十二文桃九个比梨六个多钱二十一文问桃梨多价若干法借一根为桃一个之价则前桃四个之共价为四根前梨八个之共价为十二文多四根而后桃九个之共价为九根乃以前梨八个为一率共价十二文多四根为二率后梨六个为三率求得四率九文多三根为后梨六个之共价加后桃比梨多钱二十一文得三十文多三根与后桃九个之共价九根相等(九桃比六梨多二十一文故以二十一文与六梨之价相加即与九桃之价等)(也)三十文多三根与九根各减去三根则余三十文与六根相等三十文既与六根相等则五文必与一根相等即桃一个之价四因之得二十文为前桃四个之共价加入桃比梨少钱十二文得三十二文为前梨八个之共价八归之得四文为梨一个之价又以后梨六个因之得二十四文为后梨六个之共价加入桃比梨多钱二十一文得四十五文为后桃九个之共价九归之亦得五文为桃一个之价也(此二色较数方程法)设如有银买缎纱䌷三色初次买缎二疋纱六疋䌷八疋共价八十四两二次买缎一疋纱四疋䌷七疋共价六十两三次买缎三疋纱五疋䌷九疋共价九十两问缎纱䌷每疋各价若干法借一根为䌷每疋之价则初次䌷之共价为八根二次䌷之共价为七根三次䌷之共价为九根而初次缎之共价为八十四两少八根仍少纱六疋乃以初次缎二疋为一率缎价八十四两少八根仍少纱六疋为二率二次缎一疋为三率求得四率四十二两少四根仍少纱三疋为二次缎价加入二次䌷价七根纱四疋得四十二两多三根仍多纱一疋为二次缎一疋纱四疋䌷七疋之共价与二次共价六十两相等四十二两多三根多纱一疋与六十两各减去四十二两余三根多纱一疋与十八两相等三根多纱一疋与十八两再各减去三根余纱一疋与十八两少三根相等即纱一疋之价为十八两少三根也又以二次缎一疋为一率缎价四十二两少四根仍少纱三疋为二率三次缎三疋为三率求得四率一百二十六两少十二根仍少纱九疋为三次缎价加入三次䌷价九根纱五疋得一百二十六两少三根仍少纱四疋为三次缎三疋纱五疋䌷九疋之共价与三次共价九十两相等一百二十六两少三根少纱四疋与九十两各加纱四疋得一百二十六两少三根与九十两多纱四疋相等一百二十六两少三根与九十两多纱四疋再各减去九十两余三十六两少三根与纱四疋相等即纱四疋之价为三十六两少三根也前所得纱一疋之价为十八两少三根今又得纱四疋之价为三十六两少三根此二分虽同而疋数不一故又以纱一疋为一率前所得之纱一疋之价十八两少三根为二率今纱四疋为三率求得四率七十二两少十二根为纱四疋之价乃与后所得纱四疋之价三十六两少三根相等三十六两少三根与七十二两少十二根各加十二根得三十六两多九根与七十二两相等三十六两多九根与七十二两再各减去三十六两余九根与三十六两相等九根既与三十六两相等则一根必与四两相等即䌷一疋之价也纱一疋之价既为十八两少三根则于十八两内减去三根之共数十二两余六两即纱一疋之价初次纱六疋以纱价六两乘之得三十六两初次䌷八疋以䌷价四两乘之得三十二两两数相加得六十八两与初次共银八十四两相减余十六两为缎二疋之价二归之得八两即缎一疋之价也其二次缎之共价为八两纱之共价为二十四两䌷之共价为二十八两相加共得六十两三次缎之共价为二十四两纱之共价为三十两䌷之共价为三十六两相加共得九十两皆合原数也(此三色和数方程法)设如甲乙丙三人各有银买铜铁锡三色甲买铜二斤铁二斤锡一斤共银九钱乙买铜三斤比铁六斤锡二斤之价多二钱丙买铜二斤铁四斤与锡四斤之价相等问铜铁锡每斤各价若干法借一根为锡每斤之价则甲锡之价即为一根乙锡之价为二根丙锡之价为四根而甲铜之共价为九钱少一根仍少铁二斤乃以甲铜二斤为一率铜价九钱少一根仍少铁二斤为二率乙铜三斤为三率求得四率一两三钱五分少一根半仍少铁三斤为乙铜三斤之价内减比锡二斤铁六斤所多之二钱余一两一钱五分少一根半仍少铁三斤与乙锡二斤之共价二根多铁六斤相等一两一钱五分少一根半少铁三斤与二根多铁六斤各加铁三斤得一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤相等一两一钱五分少一根半与二根多铁九斤再各减去二根余一两一钱五分少三根半与铁九斤相等即铁九斤之价为一两一钱五分少三根半也又以甲铜二斤之共价九钱少一根仍少铁二斤即为丙铜二斤之共价(丙铜与甲铜俱为二斤故其共价相等省一四率也)加铁四斤得九钱少一根多铁二斤与丙锡四斤之共价四根相等九钱少一根多铁二斤与四根各加一根得九钱多铁二斤与五根相等九钱多铁二斤与五根再各减去九钱余铁二斤与五根少九钱相等即铁二斤之价为五根少九钱也前所得铁九斤之价为一两一钱五分少三根半今又得铁二斤之价为五根少九钱此二分虽同而斤数不一故又以铁二斤为一率今所得之铁二斤之价五根少九钱为二率前所得之铁九斤为三率求得四率二十二根半少四两零五分为铁九斤之价乃与前所得铁九斤之价一两一钱五分少三根半相等二十二根半少四两零五分与一两一钱五分少三根半各加四两零五分得二十二根半与五两二钱少三根半相等二十二根半与五两二钱少三根半再各加三根半得二十六根与五两二钱相等二十六根既与五两二钱相等则一根必与二钱相等即锡每斤之价也铁二斤之价既为五根少九钱则以五根之共数一两内减去九钱余一钱为铁二斤之共价半之得五分即铁每斤之价于甲共银九钱内减去铁二斤之价一钱又减去锡一斤之价二钱余六钱为铜二斤之共价半之得三钱为铜每斤之价也其乙铜三斤之共价为九钱乙铁六斤之共价为三钱乙锡二斤之共价为四钱是铜三斤比锡二斤铁六斤之价多二钱也丙铜二斤之共价为六钱丙铁四斤之共价为二钱丙锡四斤之共价为八钱是铜二斤铁四斤与锡四斤之价等也(此三色和较兼用方程法)御制数理精蕴下编卷三十四
## 下编卷三十五
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十五末部五借根方比例(面类)面类设如大小两正方面积共二百一十八尺其大方面积比小方面积多一百二十尺问大小方面积各几何法借一根为小方面毎边之数自乘得一平方为小方面积则大方面积为一平方多一百二十尺两数相加得二平方多一百二十尺与共积二百一十八尺相等一百二十尺与二百一十八尺各减去一百二十尺余二平方与九十八尺相等二平方既与九十八尺相等则一平方必与四十九尺相等即小方面积加一百二十尺得一百六十九尺即大方面积也(此即减法因面类之首故设此最易者焉)设如甲乙二长方面积共三百尺甲长八尺乙长二丈四尺其甲阔比乙阔为二倍问二长方阔数积数各几何法借一根为乙之阔数则甲之阔为二根以一根与一丈四尺相乘得十四根为乙之面积以二根与八尺相乘得十六根为甲之面积相加得三十根与三百尺相等三十根既与三百尺相等则一根必与十尺相等即乙之阔数与长一丈四尺相乘得一百四十尺为乙之面积于共积三百尺内减之余一百六十尺为甲之面积或倍乙之阔十尺得二十尺为甲之阔与长八尺相乘亦得一百六十尺为甲之面积也(此归除法)设如有甲乙丙三长方甲方阔十尺不知长乙方阔十六尺长与甲等丙方阔四尺面积与甲之长相等又甲乙二方之共面积与丙方之长数相并为三千一百五十尺问三方各长若干法借一根为甲方之长数以阔十尺乘之得十根为甲方之面积乙方之长与甲等亦为一根以阔十六尺乘之得十六根为乙方之面积丙方之面积与甲之长相等亦为一根以阔四尺除之得四分根之一为丙方之长数以甲方之面积十根乙方之面积十六根丙方之长数四分根之一相并共得二十六根又四分根之一与三千一百五十尺相等二十六根又四分根之一既与三千一百五十尺相等则一根必与一百二十尺相等即甲方之长数亦即乙方之长数亦即丙方之面积以甲方阔十尺与长一百二十尺相乘得一千二百尺即甲方之面积以乙方阔十六尺与长一百二十尺相乘得一千九百二十尺即乙方之面积以丙方阔四尺除面积一百二十尺得三十尺即丙方之长数也(此归除法)设如有长方形其长阔和五百零四丈面积为阔自乘之七倍问长阔各几何法借一根为阔数则长数为五百零四丈少一根以一根与五百零四丈少一根相乘得五百零四根少一平方为长方面积又以一根自乘得一平方七因之得七平方亦为长方面积而与五百零四根少一平方相等两边各加一平方得八平方与五百零四根相等八平方与五百零四根各降一位则为八根与五百零四丈相等八根既与五百零四丈相等则一根必与六十三丈相等即长方之阔数与五百零四丈相减余四百四十一丈即长数也以阔六十三丈自乘得三千九百六十九丈以阔六十三丈与长四百四十一丈相乘得二万七千七百八十三丈为阔自乘之七倍也(此比例法)设如有楼一座不知髙数正方池一面不知边数但云以六丈与楼之髙数相乘与池之边数等以一百零八丈与楼之髙数相乘与池之面积等问楼髙及池边数各几何法借一根为楼之髙数以一根与六丈相乘得六根为池之边数自乘得三十六平方为池之面积又以一根与一百零八丈相乘得一百零八根亦为池之面积是为三十六平方与一百零八根相等三十六平方与一百零八根各降一位则为三十六根与一百零八丈相等三十六根既与一百零八丈相等则一根必与三丈相等即楼之髙数以六丈乘之得一十八丈为池之边数自乘得三百二十四丈为池之面积又以一百零八丈与楼髙三丈相乘亦得三百二十四丈与池之面积相等也(此面积相除法)设如甲乙二人有银不言两数但知其银之比例同于八与五若以二人银相并则与二人银相乘之数等问二人银各若干法借八根为甲银数五根为乙银数相乘得四十平方又以八根与五根相加得一十三根是为四十平方与十三根相等四十平方与十三根各降一位则为四十根与十三两相等四十根既与十三两相等则八根必与二两六钱相等即甲银数五根必与一两六钱二分五厘相等即乙银数两数相加得四两二钱二分五厘若以两数相乘亦得四两二钱二分五厘也(此比例法)设如有大小二正方池小池毎边为大池毎边之三分之一二池共边数为二池共面积之五十分之一问二池边数面积各几何法借一根为小池毎边之数则大池毎池之数为三根两边数相加得四根又以一根自乘得一平方为小池面积以三根自乘得九平方为大池面积两面积相加得十平方为二池共边之五十倍乃以共边四根以五十乘之得二百根是为十平方与二百根相等十平方与二百根各降一位则为十根与二百丈相等十根既与二百丈相等则一根必与二十丈相等即小池毎边之数三因之得六十丈即大池毎边之数也两边数相加得八十丈又以小池毎边二十丈自乘得四百丈为小池面积以大池毎边六十丈自乘得三千六百丈为大池面积两面积相加得四千丈为共边之五十倍也(此二正方边线面积比例法)设如有甲乙丙三正方乙方毎边为甲方毎边之四分之一丙方毎边为甲方毎边之八分之一而乙丙两方之共面积为甲方毎边之十倍问三方边数面积各几何法借八根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为二根丙方毎边之数为一根以二根自乘得四平方为乙方面积以一根自乘得一平方为丙方面积两面积相加得五平方为甲方毎边之十倍乃以甲方毎边八根十因之得八十根是为五平方与八十根相等五平方与八十根各降一位则为五根与八十尺相等五根既与八十尺相等则一根必与十六尺相等即丙方毎边之数倍之得三十二尺即乙方毎边之数八因之得一百二十八尺即甲方毎边之数也以乙方每边三十二尺自乘得一千零二十四尺为乙方面积以丙方毎边十六尺自乘得二百五十六尺为丙方面积两面积相加得一千二百八十尺为甲方毎边之十倍也(此三正方边线面积比例法)设如有甲乙二正方甲方为乙方毎边之三倍以甲方边四分之一与乙方面积相乘则与甲方面积等问二方边数面积各几何法借十二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为四根以十二根自乘得一百四十四平方为甲方面积以四根自乘得一十六平方为乙方面积取甲方边四分之一三根与乙方面积一十六平方相乘得四十八立方是为四十八立方与一百四十四平方相等四十八立方与一百四十四平方各降二位则为四十八根与一百四十四尺相等四十八根既与一百四十四尺相等则十二根必与三十六尺相等即甲方毎边之数三归之得十二尺即乙方毎边之数也以三十六尺自乘得一千二百九十六尺即甲方之面积以十二尺自乘得一百四十四尺即乙方之面积以甲方毎边四分之一九尺与乙方面积相乘得一千二百九十六尺与甲方面积相等也(此二正方边线面积比例法)设如有大小二正方大方边与小方边之比例同于五与三大方面积比小方面积多二千三百零四丈问大小二方边各几何法借三根为小方毎边之数则大方毎边之数为五根以三根自乘得九平方为小方之面积以五根自乘得二十五平方为大方之面积二面积相减余一十六平方与二千三百零四丈相等一十六平方既与二千三百零四丈相等则一平方必与一百四十四丈相等开平方得一十二丈为一根之数三因之得三十六丈即小方毎边之数五因之得六十丈即大方毎边之数以三十六丈自乘得一千二百九十六丈为小方面积以六十丈自乘得三千六百丈为大方面积两面积相减余二千三百零四丈以合原数也(此二正方比例开平方法)设如有甲乙二正方甲方毎边为乙方毎边之三倍又有丙一长方其长与甲方之毎边等其阔与乙方之毎边等三方面积共二万零八百丈问三方边数面积各若干法借一根为乙方毎边之数则甲方毎边之数为三根以一根自乘得一平方为乙方之面积以三根自乘得九平方为甲方之面积以一根与三根相乘得三平方为丙方之面积三面积相加得一十三平方与二万零八百丈相等十三平方既与二万零八百丈相等则一平方必与一千六百丈相等即乙方之面积开平方得四十丈为一根之数即乙方毎边之数三因之得一百二十丈即甲方毎边之数以一百二十丈自乘得一万四千四百丈即甲方之面积以四十丈与一百二十丈相乘得四千八百丈即丙方之面积三面积相并共得二万零八百丈以合原数也(此二正方比例开平)(方法)设如有兵二万九千四百八十四名欲排作三军俱为正方第二军每边比第一军每边为三倍第三军每边比第二军每边亦为三倍问三军兵数各若干法借一根为第一军每边之数则第二军每边之数为三根第三军毎边之数为九根以一根自乘得一平方为第一军之总数以三根自乘得九平方为第二军之总数以九根自乘得八十一平方为第三军之总数三总数相加得九十一平方与二万九千四百八十四相等九十一平方既与二万九千四百八十四相等则一平方必与三百二十四相等即第一军之总数开平方得十八为一根之数即第一军每边之数也以第一军毎边之数用三乘之得五十四即第二军毎边之数以第一军之总数用九乘之得二千九百一十六即第二军之总数又以第一军毎边之数用九乘之得一百六十二即第三军每边之数以第一军之总数用八十一乘之得二万六千二百四十四即第三军之总数三总数相加共二万九千四百八十四以合原数也(此三正方比例开平方法)设如一正方一长方俱不知其边数但知长方之面积为八万一千尺其长为正方边之十五分之二其阔为正方边之二十五分之三问二方边各若干法借一根为正方每边之数则长方之长为十五分根之二长方之阔为二十五分根之三以正方边一根自乘得一平方为正方之面积以长方之长阔相乘得三百七十五分平方之六(以两分母十五)(与二十五相乘得三百七十五以两分子二与三相乘得六故为三百七十五)(之六)为长方面积是为三百七十五分平方之六与八万一千尺相等乃以六分为一率八万一千尺为二率三百七十五分为三率求得四率五百零六万二千五百尺与一平方相等(葢三百七十五分平方之)(六者将一平方分为三百七十五分而得其六分也六分既为八万一千尺则)(三百七十五分必为五百零六万二千五百尺也)开平方得二千二百五十尺为一根之数即正方每边之数其十五分之二为三百尺即长方之长其二十五分之三为二百七十尺即长方之阔相乘得八万一千尺以合原数也(此带分比例开平方法)设如有大小二正方大方比小方毎边多六尺面积多一千七百一十六尺问二方边数面积各几何法借一根为小方每边之数则大方每边之数为一根多六尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为大方之面积大方既比小方面积多一千七百一十六尺则以小方之面积一平方加一千七百一十六尺与大方之面积一平方多十二根多三十六尺相等两边各减去一平方又各减三十六尺得十二根与一千六百八十尺相等十二根既与一千六百八十尺相等则一根必与一百四十尺相等即小方毎边之数加六尺得一百四十六尺即大方每边之数以一百四十尺自乘得一万九千六百尺即小方之面积以一百四十六尺自乘得二万一千三百一十六尺即大方之面积两面积相减余一千七百一十六尺以合原数也(此二正方)(有边较积较求边法)设如有大小二正方大方比小方每边多二十四尺面积共七千二百五十尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二十四尺以一根自乘得一平方为小方之面积以一根多二十四尺自乘得一平方多四十八根又多五百七十六尺为大方之面积两面积相加得二平方多四十八根又多五百七十六尺与七千二百五十尺相等两边各减五百七十六尺得二平方多四十八根与六千六百七十四尺相等二平方多四十八根既与六千六百七十四尺相等则一平方多二十四根必与三千三百三十七尺相等乃以三千三百三十七尺为长方积以二十四根作二十四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四十七尺为一根之数即小方每边之数加二十四尺得七十一尺即大方每边之数以四十七尺自乘得二千二百零九尺即小方之面积以七十一尺自乘得五千零四十一尺即大方之面积两面积相加共七千二百五十尺以合原数也(此二正方有边较积)(和求边法)设如有大小二正方边数共三十六尺面积共六百六十六尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方每边之数为三十六尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以三十六尺少一根自乘得一千二百九十六尺少七十二根多一平方为大方之面积两面积相加得一千二百九十六尺少七十二根多二平方与六百六十六尺相等两边各加七十二根得一千二百九十六尺多二平方与六百六十六尺多七十二根相等两边各减六百六十六尺得六百三十尺多二平方与七十二根相等六百三十尺多二平方既与七十二根相等则三百一十五尺多一平方必与三十六根相等乃以三百一十五尺为长方积以三十六根作三十六尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十五尺为一根之数即小方每边之数与共边三十六尺相减余二十一尺即大方毎边之数以小方每边一十五尺自乘得二百二十五尺即小方之面积以大方每边二十一尺自乘得四百四十一尺即大方之面积两面积相加共六百六十六尺以合原数也(此二正方有边和积和求边法)设如有大小二正方边数共一百一十尺大方比小方面积为五倍少四尺问二方边数面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一百一十尺少一根以一根自乘得一平方为小方之面积以一百一十尺少一根自乘得一万二千一百尺少二百二十根多一平方为大方之面积大方既比小方面积为五倍少四尺则将小方加五倍将大方加四尺是为五平方与一万二千一百零四尺少二百二十根多一平方相等两边各减一平方得四平方与一万二千一百零四尺少二百二十根相等四平方既与一万二千一百零四尺少二百二十根相等则一平方必与三千零二十六尺少五十五根相等乃以三千零二十六尺为长方积以五十五根作五十五尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔三十四尺为一根之数即小方每边之数与共边一百一十尺相减余七十六尺即大方毎边之数以三十四尺自乘得一千一百五十六尺即小方之面积以七十六尺自乘得五千七百七十六尺即大方之面积再加四尺得五千七百八十尺为小方面积一千一百五十六尺之五倍也(此亦二正方有边和积较法但积较)(有倍分耳)设如有一长方又有大小二正方三面积共四百四十一丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等但知小正方边为九丈问大正方边若干法借一根为大方毎边之数自乘得一平方为大方之面积以九丈自乘得八十一丈为小方之面积以九丈与一根相乘得九根为长方之面积三面积相加得一平方多九根又多八十一丈与四百四十一丈相等两边各减八十一丈得一平方多九根与三百六十丈相等乃以三百六十丈为长方积以九根作九丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十五丈为一根之数即大方毎边之数以十五丈自乘得二百二十五丈即大方之面积以十五丈与九丈相乘得一百三十五丈即长方之面积三面积相并共得四百四十一丈以合原数也(此带纵较数开平方法)设如有一长方又有大小二正方三面积共四百五十七丈长方之长与大正方边等长方之阔与小正方边等长阔共二十四丈问长阔各几何法借一根为长方之阔则长方之长为二十四丈少一根以一根自乘得一平方为小正方之面积以二十四丈少一根自乘得五百七十六丈少四十八根多一平方为大正方之面积以一根与二十四丈少一根相乘得二十四根少一平方为长方之面积三面积相加得一平方多五百七十六丈少二十四根与四百五十七丈相等两边各加二十四根得一平方多五百七十六丈与二十四根多四百五十七丈相等两边各减四百五十七丈得一平方多一百一十九丈与二十四根相等乃以一百一十九丈为长方积以二十四根作二十四丈为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔七丈为一根之数即长方之阔与二十四丈相减余一十七丈即长方之长以七丈自乘得四十九丈即小正方之面积以一十七丈自乘得二百八十九丈即大正方之面积以七丈与一十七丈相乘得一百一十九丈即长方之面积三面积相并共得四百五十七丈以合原数也(此带纵和数开平方法)设如有一长方其面积八万三千二百三十二丈又有一正方其毎边与长方之阔等若以正方面积自乘则与两方之共面积等问二方边数各若干法借一根为正方之面积自乘得一平方为正方面积自乘之数又以一根与八万三千二百三十二丈相加得一根多八万三千二百三十二丈与一平方相等乃以八万三千二百三十二丈为长方积以一根作一丈为长阔较用带纵较数开平方法算之得长二百八十九丈为一根之数即正方之面积亦即长方之长开平方得一十七丈即正方之边亦即长方之阔以正方面积二百八十九丈与长方面积八万三千二百三十二丈相并共得八万三千五百二十一丈又以正方面积二百八十九丈自乘亦得八万三千五百二十一丈是与两方之共面积相等也(此带纵较数开平方法)设如有银买驼马共六十一匹驼毎匹之价与共驼数等马毎匹之价与共马数等今卖马一匹之价与共驼数等卖驼一匹之价为共马数之二倍共得利银七百一十九两问驼数马数及毎匹价各若干法借一根为共马数则六十一匹少一根为共驼数以共马数一根自乘得一平方为买马之共价以共驼数六十一匹少一根自乘得三千七百二十一两少一百二十二根多一平方为买驼之共价两共价相加得三千七百二十一两少一百二十二根多二平方为买驼马之总银数又以共马数一根与共驼数六十一匹少一根相乘得六十一根少一平方为卖马之共银数以共驼数六十一匹少一根与二倍共马数二根相乘得一百二十二根少二平方为卖驼之共银数两共银数相加得一百八十三根少三平方为卖驼马之总银数内减买驼马总银数三千七百二十一两少一百二十二根多一平方余三百零五根少五平方又少三千七百二十一两与利银七百一十九两相等两边各加三千七百二十一两得三百零五根少五平方与四千四百四十两相等三百零五根少五平方既与四千四百四十两相等则六十一根少一平方必与八百八十八两相等乃以八百八十八两为长方积以六十一根作六十一为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四为一根之数即共马数亦即马毎匹之价为二十四两也以二十四匹与六十一匹相减余三十七匹即共驼数亦即驼毎匹之价为三十七两也以二十四匹与二十四两相乘得五百七十六两为买马之共银数以三十七匹与三十七两相乘得一千三百六十九两为买驼之共银数相加得一千九百四十五两即买驼马之总银数以二十四匹与三十七两相乘得八百八十八两为卖马之共银数以三十七匹与四十八两相乘得一千七百七十六两为卖驼之共银数相加得二千六百六十四两即卖驼马之总银数比买驼马之总银数多七百一十九两为利银数也(此带纵和数开平方法)设如有木匠瓦匠共三十名又有匠头不知名数但知毎匠头一人得银三十六两其木匠一人之银数与瓦匠之人数等瓦匠一人之银数与木匠之人数等而匠头之人数与木匠瓦匠相差之数等匠头之共银数与木匠之共银数等问匠头与木匠瓦匠之人数及毎人所得之银数各几何法借一根为木匠之人数则瓦匠之人数为三十少一根以一根与三十少一根相乘得三十根少一平方为木匠之共银数亦为瓦匠之共银数又以木匠之人数一根与瓦匠之人数三十少一根相减得三十少二根为匠头之人数与毎人三十六两相乘得一千零八十两少七十二根为匠头之总银数与木匠之共银数三十根少一平方相等两边各加七十二根得一百零二根少一平方与一千零八十两相等乃以一千零八十两为长方积以一百零二根作一百零二为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔一十二为一根之数即木匠之人数以一十二人与三十人相减余一十八人即瓦匠之人数以十二与十八相乘得二百一十六两即木匠之共银数亦即瓦匠之共银数以十二与十八相减余六即匠头之人数与三十六两相乘亦得二十一十六两即匠头之共银数与木匠之共银数等也(此带)(纵和数开平方法)设如有马骡䭾物不言马骡共数亦不言马骡各数但知马比骡多十匹马共䭾一万二千斤骡亦共䭾一万二千斤而骡一匹所䭾之数比马一匹所䭾之数多四十斤问马骡数及所䭾数各若干法借一根为骡数则马数为一根多十匹以一根除一万二千斤得一根之一万二千斤为骡一匹所䭾之数以一根多十匹除一万二千斤得一根多十匹之一万二千斤为马一匹所䭾之数因两分母不同乃用互乘法以齐其分将马分母一根多十匹与骡分子一万二千斤相乘得一万二千根多一十二万斤以骡分母一根与马分子一万二千斤相乘得一万二千根以互乘所得两分子相减余一十二万斤为骡比马多䭾之数又以马分母一根多十匹与骡分母一根相乘得一平方多十根又以四十斤乘之得四十平方多四百根亦为骡比马多䭾之数是为四十平方多四百根与一十二万斤相等四十平方多四百根既与一十二万斤相等则一平方多十根必与三千斤相等乃以三千为长方积以十根作一十为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔五十为一根之数即骡数加十匹得六十匹即马数以五十匹除一万二千斤得二百四十斤即骡一匹所䭾之数以六十匹除一万二千斤得二百斤即马一匹所䭾之数也(此带纵较数开平方法)设如有数一十万欲分为大小两分与全分为相连比例三率问大小两分各几何法借一根为大分则小分为十万少一根是全分十万为首率而一根为中率十万少一根为末率矣乃以首率十万与末率十万少一根相乘得一百亿少十万根而与中率一根自乘之一平方相等乃以一百亿为长方积十万根作十万为长阔数用带纵较数开平方法算之得阔六万一千八百零三为一根之数即大分与全分十万相减余三万八千一百九十七即小分也葢十万与六万一千八百零三之比即同于六万一千八百零三与三万八千一百九十七之比而为相连比例之三率也(此即求圜)(内容十边法)设如有股二十尺勾弦较十尺问勾弦各几何法借一根为勾数则一根多一十尺为弦数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多一十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为弦自乘之数两自乘之数相减得二十根多一百尺为股自乘之数而与股二十尺自乘之四百尺为相等两边各减一百尺得二十根与三百尺相等二十根既与三百尺相等则一根必与一十五尺相等即勾数加勾弦较十尺得二十五尺即弦数也如圗甲乙为弦甲丙为勾(乙丁同)丙乙为勾弦较甲丁为勾弦和甲己戊乙为弦自乘方庚己壬辛为勾自乘方甲乙戊壬辛庚磬折形为股自乘数与甲庚勾弦较(甲庚与丙乙等)乘甲丁勾弦和之甲庚癸丁长方积等借一根为勾数者即庚己或庚辛也(庚己庚辛皆与甲丙等)一根多十尺为弦数者即庚己加庚甲也一根自乘得一平方为勾自乘方者即庚己壬辛之正方也一根多十尺自乘得一平方多二十根多一百尺为弦自乘方者即庚己壬辛一平方多甲庚辛丙及辛壬戊子之二十根(甲庚较十尺乘甲丙一根得十根为甲庚)(辛丙长方辛子较十尺乘子戊一根得十根为辛壬戊子长方是共为二十根)又多丙辛子乙之一百尺共为甲己戊乙之正方也于甲己戊乙弦自乘方内减去庚己壬辛勾自乘之一平方余二十根多一百尺即甲乙戊壬辛庚之磬折形亦即甲庚癸丁之长方形而与股自乘之四百尺相等也又甲庚癸丁长方内减去丙辛子乙一百尺余甲庚辛丙及乙子癸丁即二十根之数为三百尺也二十根之数为三百尺则一根之数必为十五尺也(此勾股弦和较相求法)设如有股二十四尺勾弦和三十二尺问勾弦各几何法借一根为勾数则三十二尺少一根为弦数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以三十二尺少一根自乘得一千零二十四尺少六十四根多一平方为弦自乘之数两自乘之数相减得一千零二十四尺少六十四根为股自乘之数而与股二十四尺自乘之五百七十六尺为相等两边各加六十四根得一千零二十四尺与五百七十六尺多六十四根相等两边各减五百七十六尺得四百四十八尺与六十四根相等四百四十八尺既与六十四根相等则七尺必与一根相等即勾数以勾七尺与勾弦和三十二尺相减余二十五尺即弦数也(此勾股弦和较相求法)设如有弦五尺勾股和七尺问勾股各几何法借一根为股数则七尺少一根为勾数以一根自乘得一平方为股自乘之数以七尺少一根自乘得四十九尺少一十四根多一平方为勾自乘之数两自乘数相加得四十九尺少一十四根多二平方为弦自乘之数而与弦五尺自乘之二十五尺为相等两边各加一十四根得四十九尺多二平方与二十五尺多一十四根相等两边各减四十九尺得二平方与一十四根少二十四尺相等二平方既与十四根少二十四尺相等则一平方必与七根少十二尺相等乃以十二尺为长方积七根作七尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得长四尺为一根之数即股数以股四尺与勾股和七尺相减余三尺即勾数也如圗甲乙丙勾股形甲乙股四尺乙丙勾三尺甲丙弦五尺甲丁勾股和七尺甲丁戊己为勾股和自乘方辛丙庚己为股自乘方乙丁壬丙为勾自乘方借一根为股数者即甲乙也(壬戊己庚皆与)(甲乙等为一根数)一根自乘得一平方为股自乘方者即辛丙庚己也七尺少一根自乘得四十九尺少十四根多一平方为勾自乘方者即甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙庚己之七根及辛壬戊己之七根共为十四根(甲乙一根乘甲己和七尺得七)(根为甲乙庚己长方辛己一根乘己戊和得七根为辛壬戊己长方共十四根)又加辛丙庚己一平方始得乙丁壬丙勾自乘方也(于甲丁戊己勾股和自乘方内减去甲乙丙壬戊己)(磬折形余乙丁壬丙为勾自乘数今减去十四根乃减去甲乙庚己一长方又)(减去辛壬戊己一长方是比磬折形多减去辛丙庚己一平方故必加一平方)(以补多减之数始为乙丁壬丙勾自乘方也)辛丙庚己股自乘数乙丁壬丙勾自乘数相加与弦自乘之数相等两边各加各减得一平方与七根少十二尺相等者即辛丙庚己一平方与甲乙庚己七根数相较而少甲乙丙辛之长方十二尺也今不知七根之数又不知一平方之数但知一平方与七根相较之甲乙丙辛长方为十二尺故即以十二尺为长方积以甲己为长阔和用带纵和数开平方法算之得甲乙长而为股数也(此勾股弦和较相求法)设如有勾弦和五十尺股弦和八十一尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则五十尺少一根为弦数一根多三十一尺为股数(以五十尺与八)(十一尺相减余三十一尺为勾股较故一根多三十一尺为股数)以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为弦自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与弦自乘之数相减得一千五百三十九尺少一百六十二根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以一千五百三十九尺为长方积以一百六十二根作一百六十二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔九尺为一根之数即勾数以勾九尺与勾弦和五十尺相减余四十一尺即弦数以勾九尺与勾股较三十一尺相加得四十尺即股数也(此勾股弦和较相求法)设如有勾股和二十三尺勾弦和二十五尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则二十三尺少一根为股数二十五尺少一根为弦数以一根自乘得一平方为勾自乘之数以二十三尺少一根自乘得五百二十九尺少四十六根多一平方为股自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为弦自乘之数以股自乘之数与弦自乘之数相减得九十六尺少四根亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以九十六尺为长方积四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数即勾数以勾八尺与勾股和二十三尺相减余十五尺即股数以勾八尺与勾弦和二十五尺相减余十七尺即弦数也(此勾股弦和较相求法)设如有股弦和二十五尺勾弦较八尺问勾股弦各几何法借一根为股数则二十五尺少一根为弦数十七尺少一根为勾数(股弦和二十五)(尺内减勾弦较八尺得一十七尺为勾股和故勾为十七尺少一根)以一根自乘得一平方为股自乘之数以一十七尺少一根自乘得二百八十九尺少三十四根多一平方为勾自乘之数以二十五尺少一根自乘得六百二十五尺少五十根多一平方为弦自乘之数以勾自乘之数与弦自乘之数相减得三百三十六尺少一十六根亦为股自乘之数而与股数一根自乘之一平方为相等乃以三百三十六尺为长方积十六根作十六尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十二尺为一根之数即股数以股十二尺与股弦和二十五尺相减余一十三尺即弦数内减勾弦较八尺余五尺即勾数也(此勾股弦)(和较相求法)设如有股弦较一尺勾弦较三十二尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则一根多三十二尺为弦数一根多三十一尺为股数(股弦较与)(勾弦较相减余三十一尺为勾股较故股为一根多三十一尺也)以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多三十二尺自乘得一平方多六十四根又多一千零二十四尺为弦自乘之数以一根多三十一尺自乘得一平方多六十二根又多九百六十一尺为股自乘之数以股自乘之数与弦自乘之数相减得二根多六十三尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等乃以六十三尺为长方积以二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得长九尺为一根之数即勾数以勾九尺与勾弦较三十二尺相加得四十一尺即弦数内减股弦较一尺余四十尺即股数也(此勾股弦和较相求法)设如有勾股和七十三尺勾弦较与股弦较之和三十三尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则七十三尺少一根为股数五十三尺为弦数(以勾股和七十三尺加勾)(弦较与股弦较之和三十三尺得一百零六尺即二弦数故半之得五十三尺)(为弦数也)以一根自乘得一平方为勾自乘之数以七十三尺少一根自乘得五千三百二十九尺少一百四十六根多一平方为股自乘之数以五十三尺自乘得二千八百零九尺为弦自乘之数以股自乘之数与弦自乘之数相减得一百四十六根少二千五百二十尺又少一平方亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加一平方得一百四十六根少二千五百二十尺与二平方相等一百四十六根少二千五百二十尺既与二平方相等则七十三根少一千二百六十尺必与一平方相等乃以一千二百六十尺为长方积七十三根作七十三尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十八尺为一根之数即勾数以勾二十八尺与勾股和七十三尺相减余四十五尺即股数也(此勾股弦和较相求法)设如有勾股弦总和一百五十尺勾股较股弦较勾弦较共八十尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则一根多四十尺为弦数(将三较共八十尺折半得四十尺即勾弦较)一百一十尺少二根为股数(总和一百五十尺内减去勾数一根又减)(去弦数一根多四十尺得一百一十尺少二根为股数)以一根自乘得一平方为勾自乘之数以一根多四十尺自乘得一平方多八十根又多一千六百尺为弦自乘之数以一百一十尺少二根自乘得一万二千一百尺少四百四十根多四平方为股自乘之数以股自乘之数与弦自乘之数相减得五百二十根少三平方又少一万零五百尺亦为勾自乘之数而与勾数一根自乘之一平方为相等两边各加三平方得五百二十根少一万零五百尺与四平方相等五百二十根少一万零五百尺既与四平方相等则一百三十根少二千六百二十五尺必与一平方相等乃以二千六百二十五尺为长方积以一百三十根作一百三十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十五尺为一根之数即勾数以勾二十五尺与勾弦较四十尺相加得六十五尺即弦数以勾弦和九十尺与勾股弦总和一百五十尺相减余六十尺即股数也(此勾股弦和较相求法)设如有勾股和二十三尺弦与勾股较之较十尺问勾股弦各几何法借一根为勾股较数则一根多十尺为弦数以一根自乘得一平方为勾股较自乘之数以一根多十尺自乘得一平方多二十根又多一百尺为弦自乘之数倍之得二平方多四十根又多二百尺内减去勾股较自乘之一平方余一平方多四十根多二百尺为勾股和自乘之数而与勾股和二十三尺自乘之五百二十九尺为相等两边各减去二百尺得一平方多四十根与三百二十九尺相等乃以三百二十九尺为长方积以多四十根作四十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔七尺为一根之数即勾股较与勾股和二十三尺相加得三十尺折半得十五尺为股内减较七尺余八尺为勾又以勾股较七尺与弦与勾股较之较十尺相加得十七尺为弦也(此勾股弦和较相求法)设如有勾股积一千零八十尺勾股弦总和一百八十尺问勾股弦各几何法借一根为弦数则一百八十尺少一根为勾股和数以一根自乘得一平方为弦自乘之数以一百八十尺少一根自乘得三万二千四百尺少三百六十根多一平方为勾股和自乘之数又以勾股积一千零八十尺四因之得四千三百二十尺与弦自乘之一平方相加得一平方多四千三百二十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之三万二千四百尺少三百六十根多一平方为相等(勾股和自乘数内有一弦自乘方有四勾股积故四因勾)(股积与弦自乘之数相加即与勾股和自乘之数相等也)两边各减四千三百二十尺得二万八千零八十尺少三百六十根多一平方与一平方相等两边各加三百六十根得二万八千零八十尺多一平方与一平方多三百六十根相等两边再各减一平方得三百六十根与二万八千零八十尺相等三百六十根既与二万八千零八十尺相等则一根必与七十八尺相等即弦数以弦七十八尺与一百八十尺相减余一百零二尺即勾股和又以弦自乘得六千零八十四尺与四勾股积四千三百二十尺相减余一千七百六十四尺平方开之得四十二尺即勾股较与勾股和一百零二尺相减余六十尺折半得三十尺即勾数加勾股较四十二尺得七十二尺即股数也(此勾股积与勾股弦)(和较相求法)设如有勾股积六十尺弦与勾股和之较六尺问勾股弦各几何法借一根为弦数则一根多六尺为勾股和数以一根自乘得一平方为弦自乘之数以一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为勾股和自乘之数又以勾股积六十尺四因之得二百四十尺与弦自乘之一平方相加得一平方多二百四十尺亦为勾股和自乘之数而与勾股和自乘之一平方多十二根多三十六尺为相等两边各减去一平方得十二根多三十六尺与二百四十尺相等两边又各减去三十六尺得十二根与二百零四尺相等十二根既与二百零四尺相等则一根必与十七尺相等即弦数加弦与勾股和之较六尺得二十三尺为勾股和用有弦有勾股和求勾股法算之得股十五尺勾八尺也(此勾股积与勾股弦和较相求法)设如有三角形大腰十七尺小腰十尺底二十一尺求中垂线几何法借一根为中垂线之面积以小腰十尺自乘得一百尺内减去一根得一百尺少一根为小分底之面积(中垂线为股小腰为)(弦小分底为勾于弦积内减去股积余为勾积也)又以大腰十七尺自乘得二百八十九尺内减去一根余二百八十九尺少一根为大分底之面积(中垂线为股大腰为弦大分底为勾于弦积内减去股积余为)(勾积也)又以底二十一尺自乘得四百四十一尺内减大小两分底之共面积三百八十九尺少二根余五十二尺多二根折半得二十六尺多一根为小分底乘大分底之面积(底边自乘内有大分底自乘之一正方小)(分底自乘之一正方小分底乘大分底之二长方故减去二正方余数折半即)(为小分底乘大分底之一长方也)此数与小分底之面积及大分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积二百八十九尺少一根与末率小分底之面积一百尺少一根相乘得二万八千九百尺少三百八十九根多一平方又以中率小分底乘大分底之面积二十六尺多一根自乘得六百七十六尺多五十二根多一平方此二数为相等两边各加三百八十九根得二万八千九百尺多一平方与六百七十六尺多四百四十一根多一平方相等两边各减一平方得二万八千九百尺与六百七十六尺多四百四十一根相等两边再各减去六百七十六尺得二万八千二百二十四尺与四百四十一根相等二万八千二百二十四尺既与四百四十一根相等则六十四尺必与一根相等即中垂线之面积开平方得八尺即中垂线也(此三角形求中垂线法)设如有三角形底十四尺大腰与中垂线之较三尺小腰与中垂线之较一尺求中垂线及两腰各几何法借一根为中垂线则大腰为一根多三尺小腰为一根多一尺以一根自乘得一平方为中垂线之面积以一根多三尺自乘得一平方多六根多九尺为大腰之面积内减去中垂线之面积一平方余六根多九尺为大分底之面积以一根多一尺自乘得一平方多二根多一尺为小腰之面积内减去中垂线之面积一平方余二根多一尺为小分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小两分底之共面积八根多十尺余一百八十六尺少八根折半得九十三尺少四根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为相连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之面积为末率也乃以首率大分底之面积六根多九尺与末率小分底之面积二根多一尺相乘得十二平方多二十四根多九尺又以中率之小分底乘大分底之面积九十三尺少四根自乘得八千六百四十九尺少七百四十四根多十六平方此二数为相等两边各加七百四十四根得十二平方多七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多十六平方相等两边各减十二平方得七百六十八根多九尺与八千六百四十九尺多四平方相等两边再各减八千六百四十九尺得七百六十八根少八千六百四十尺与四平方相等七百六十八根少八千六百四十尺既与四平方相等则一百九十二根少二千一百六十尺必与一平方相等乃以二千一百六十尺为长方积以一百九十二根作一百九十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十二尺为一根之数即中垂线加三尺得十五尺即大腰加一尺得十三尺即小腰也(此三角形和较)(相求法)御制数理精蕴下编卷三十五
## 下编卷三十六
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十六末部六借根方比例(体类)体类设如有扁方体髙十八尺若将体积加六倍则髙与长阔皆相等问长阔之各一边及体积几何法借一根为长阔之各一边数以一根自乘得一平方为扁方体之面积再以髙十八尺乘之得十八平方为扁方体之体积又以一根与一平方相乘得一立方为扁方体积之六倍乃以扁方体之体积十八平方六因之得一百零八平方是为一立方与一百零八平方相等两边各降二位得一根与一百零八尺相等即扁方体之长阔各一边数也以一百零八尺自乘得一万一千六百六十四尺再以十八尺乘之得二十万零九千九百五十二尺为扁方体积六因之得一百二十五万九千七百一十二尺与毎边一百零八尺自乘再乘之立方积相等此扁方体边线比例法也葢两体之底面积既同则其体积之比例同于其髙之比例今扁方体之长阔各一边既与正方体之毎一边等而正方体积为扁方体积之六倍则其髙亦必为六倍故以扁方体之髙数六因之即得长阔之各一边数也设如有一长方体髙三尺五寸又有一正方体其每一面积与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍问正方体之一边及体积各几何法借一根为正方体毎边之数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦即长方体之底面积以一平方与髙三十五寸相乘得三十五平方为长方体之体积又以一根自乘再乘得一立方为正方体之体积长方体积既为正方体之五倍乃以一立方五因之得五立方而与三十五平方为相等两边各降二位得五根与三十五寸相等五根既与三十五寸相等则一根必与七寸相等即正方体之毎一边之数也以七寸自乘再乘得三百四十三寸即正方体之体积又以七寸自乘得四十九寸再以三十五寸乘之得一千七百一十五寸即长方体之体积为正方体积之五倍此一长方体一正方体同底比例法也葢两体之底面积既同则其体积之比例同于其髙之比例今正方体之每一面积既与长方体之底面积等而长方体积为正方体积之五倍则其髙亦必为五倍故长方体之髙之五分之一即正方体之毎一边之数也设如有一正方面形又有一正方体形但知正方面毎边为正方体毎边之八倍而正方面积与正方体积相等问边线积数各若干法借一根为正方体毎边之数则正方面毎边之数为八根以一根自乘再乘得一立方为正方体积以八根自乘得六十四平方为正方面积是为一立方与六十四平方相等两边各降二位得一根与六十四尺相等即正方体毎边之数八因之得五百一十二尺即正方面毎边之数以五百一十二尺自乘得二十六万二千一百四十四尺为正方面积以六十四尺自乘再乘亦得二十六万二千一百四十四尺为正方体积两数相等也(此一平方一立方边数积数比例法)设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于四与六阔与长之比例同于六与九其髙与阔相乘之数为长数之四倍问髙阔长各几何法借四根为髙数六根为阔数九根为长数以髙四根与阔六根相乘得二十四平方为长数之四倍乃以长数九根四因之得三十六根是为二十四平方与三十六根相等两边各降一位得二十四根与三十六尺相等二十四根既与三十六尺相等则四根必与六尺相等即髙数六根必与九尺相等即阔数九根必与一十三尺五寸相等即长数以髙六尺与阔九尺相乘得五十四尺四归之得一十三尺五寸与长数相等也(此带两纵不同立方边线面积比例法)设如有带两纵不同立方体长二十四尺髙与阔和五十二尺其髙与阔相乘之积与长自乘之积等问髙阔各若干法借一根为髙数则阔数为五十二尺少一根以髙一根与阔五十二尺少一根相乘得五十二根少一平方又以长二十四尺自乘得五百七十六尺此二数为相等乃以五百七十六尺为长方积以五十二根作五十二尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十六尺为一根之数即立方之髙数与髙阔和五十二尺相减余三十六尺即立方之阔数以髙十六尺与阔三十六尺相乘得五百七十六尺与长二十四尺自乘之数相等也(此带两纵不同立方边线与面积比例法)设如有带两纵不同立方体髙十二寸长比阔多十寸其长与阔相乘之积与髙自乘之积等问长阔各若干法借一根为阔数则长数为一根多十寸以阔一根与长一根多十寸相乘得一平方多十根以髙十二寸自乘得一百四十四寸此二数为相等乃以一百四十四寸为长方积以十根作十寸为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八寸为一根之数即立方之阔数加长比阔多十寸得十八寸即立方之长数以阔八寸与长十八寸相乘得一百四十四寸与髙十二寸自乘之数相等也(此带两纵不同立方边较与面积比例法)设如有带两纵不同立方体长比阔多四寸阔比髙多二寸其体积比髙自乘再乘之正方体多一百七十六寸问长阔髙各几何法借一根为髙数则阔数为一根多二寸长数为一根多六寸以髙一根与阔一根多二寸相乘得一平方多二根再以长一根多六寸乘之得一立方多八平方多十二根内减髙数一根自乘再乘之一立方余八平方多十二根与一百七十六寸相等八平方多十二根既与一百七十六寸相等则一平方多一根半必与二十二寸相等乃以二十二寸为长方积以一根半作一寸五分为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四寸为一根之数即立方之髙数加阔比髙多二寸得六寸即立方之阔数再加长比阔多四寸得十寸即立方之长数以长阔相乘以髙再乘得二百四十寸为立方体积内减髙四寸自乘再乘之六十四寸余一百七十六寸以合原数也(此带两纵不同立方边较与积较比例法)设如一长方池深二十尺长阔和六十尺其体积一万七千二百八十尺问长阔各若干法借一根为阔数则长数为六十尺少一根以阔一根与长六十尺少一根相乘得六十根少一平方以深二十尺再乘得一千二百根少二十平方与一万七千二百八十尺相等一千二百根少二十平方既与一万七千二百八十尺相等则六十根少一平方必与八百六十四尺相等乃以八百六十四尺为长方积以六十根作六十尺为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔二十四尺为一根之数即池之阔数与长阔和六十尺相减余三十六尺即池之长数以长阔相乘以深再乘得一万七千二百八十尺以合原数也(此带两纵不同立方知一边与)(两边和相求法)设如一长方池深三十尺长比阔多十尺其体积七万一千二百八十尺问长阔各若干法借一根为阔数则长数为一根多十尺以阔一根与长一根多十尺相乘得一平方多十根再以深三十尺乘之得三十平方多三百根与七万一千二百八十尺相等三十平方多三百根既与七万一千二百八十尺相等则一平方多十根必与二千三百七十六尺相等乃以二千三百七十六尺为长方积以十根作十尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔四十四尺为一根之数即池之阔数加长比阔多十尺得五十四尺即池之长数也以长阔相乘以深再乘得七万一千二百八十尺以合原数也(此带两纵不同立方知一边与两边较相求法)设如有带两纵不同立方体长阔髙共五十八尺长比阔多六尺其对角斜线自乘之数为一千一百五十六尺问长阔髙各几何法借一根为阔数则长数为一根多六尺以长阔两数相加得二根多六尺与长阔髙共五十八尺相减余五十二尺少二根为髙数以阔一根自乘得一平方为阔自乘之数以长一根多六尺自乘得一平方多十二根多三十六尺为长自乘之数以髙五十二尺少二根自乘得二千七百零四尺少二百零八根多四平方为髙自乘之数三自乘数相加得二千七百四十尺少一百九十六根多六平方与对角线自乘之一千一百五十六尺相等两边各加一百九十六根得二千七百四十尺多六平方与一千一百五十六尺多一百九十六根相等两边各减一千一百五十六尺得一千五百八十四尺多六平方与一百九十六根相等一千五百八十四尺多六平方既与一百九十六根相等则二百六十四尺多一平方必与三十二根又六分根之四相等乃以二百六十四尺为长方积以三十二根六分根之四作三十二尺又六分尺之四为长阔和用带纵和数开平方法算之得长十八尺为一根之数即立方之阔加长比阔多六尺得二十四尺即立方之长长阔相加得四十二尺与长阔髙共五十八尺相减余十六尺即立方之髙也以髙十六尺自乘得二百五十六尺以阔十八尺自乘得三百二十四尺以长二十四尺自乘得五百七十六尺三自乘数相加得一千一百五十六尺与对角斜线自乘之数相等也(此带两纵不同立方边线面积和较)(相求法)设如有带两纵不同立方体其长阔髙为相连比例三率长为首率阔为中率髙为末率共五十七寸其六面积共二千零五十二寸问长阔髙各几何法借一根为长数则阔髙之共数为五十七寸少一根又以六面积共二千零五十二寸折半得一千零二十六寸为三面积共数以长阔髙共五十七寸除之得一十八寸为阔数(因长为首率阔为中率髙为末)(率故其三面积一为首率乘中率一为末率乘中率一为首率乘末率而首率)(乘末率之数与中率自乘之数等则此三而积相合即为首率中率末率之共)(数乘中率之数矣故以长阔髙之共数除之即得中率为阔也)以阔一十八尺与阔髙之共数五十七寸少一根相减余三十九寸少一根为髙数乃以首率长一根与末率髙三十九寸少一根相乘得三十九根少一平方与中率阔十八寸自乘之三百二十四寸相等乃以三百二十四寸为长方积以三十九根作三十九寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得长二十七寸为一根之数即立方之长数与髙长和三十九寸相减余一十二寸即立方之髙数以长二十七寸与阔十八寸之比同于阔十八寸与髙十二寸之比为相连比例三率也(此带两纵不同立方边线面积相和比例法)设如有带两纵不同立方体其髙与阔之比例同于一与二阔与长之比例同于二与三以髙自乘再乘之数与阔自乘再乘之数相加比原体积多一千零二十九寸问长阔髙各几何法借一根为髙数则阔数为二根长数为三根以阔二根与长三根相乘得六平方再以髙一根乘之得六立方为原体积又以髙一根自乘再乘得一立方以阔二根自乘再乘得八立方相并得九立方内减原体积六立方余三立方与一千零二十九寸相等三立方既与一千零二十九寸相等则一立方必与三百四十三寸相等乃以三百四十三寸开立方得七寸为一根之数即立方之髙数倍之得十四寸即立方之阔数三因之得二十一寸即立方之长数以长二十一寸与阔十四寸相乘得二百九十四寸再以髙七寸乘之得二千零五十八寸为原体积又以髙七寸自乘再乘得三百四十三寸阔十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸相并得三千零八十七寸与原体积相减余一千零二十九寸以合原数也(此带两纵不同立方边线)(体积比例法)设如有甲乙丙三正方体甲方边与乙方边之比例同于二与三乙方积比甲方积多一百五十二寸丙方积比乙方积多七百八十四寸问三正方体之边数各若干法借二根为甲方毎边之数则乙方毎边之数为三根以二根自乘再乘得八立方为甲方之体积以三根自乘再乘得二十七立方为乙方之体积两体积相减余一十九立方与一百五十二寸相等十九立方既与一百五十二寸相等则一立方必与八寸相等乃以八寸开立方得二寸为一根之数倍之得四寸即甲方毎边之数三因之得六寸即乙方毎边之数自乘再乘得二百一十六寸加七百八十四寸得一千寸开立方得十寸即丙方毎边之数也(此三正方体边)(线体积比例法)设如有带两纵不同立方体髙比阔为五分之一阔比长亦为五分之一体积六十一万四千一百二十五尺问髙阔长各几何法借一根为髙数则阔数为五根长数为二十五根以阔五根与长二十五根相乘得一百二十五平方再以髙一根乘之得一百二十五立方与六十一万四千一百二十五尺相等一百二十五立方既与六十一万四千一百二十五尺相等则一立方必与四千九百一十三尺相等乃以四千九百一十三尺开立方得十七尺为一根之数即立方之髙以五乘之得八十五尺即立方之阔以二十五乘之得四百二十五尺即立方之长也乃以长阔相乘得三万六千一百二十五尺再以髙乘之得六十一万四千一百二十五尺以合原数也(此带)(分比例开立方法)设如有一大长方体其阔三倍于髙其长三倍于阔又有一小长方体比大长方体髙为二分之一阔为三分之二长为九分之七小长方体积二万三千六百二十五寸问大小二长方体之长阔髙各几何法借一根为大长方体之髙则大长方体之阔为三根大长方体之长为九根小长方体之髙为半根小长方体之阔为二根小长方体之长为七根乃以长七根与阔二根相乘得一十四平方再以髙半根乘之得七立方为小长方体积与二万三千六百二十五寸相等七立方既与二万三千六百二十五寸相等则一立方必与三千三百七十五寸相等乃以三千三百七十五寸开立方得十五寸为一根之数即大长方体之髙三因之得四十五寸即大长方体之阔又以三因之得一百三十五寸即大长方体之长以大长方体之髙折半得七寸五分即小长方体之髙以大长方体之阔三归二因得三十寸即小长方体之阔以大长方体之长九归七因得一百零五寸即小长方体之长以小长方体之长阔相乘再以髙乘之得二万三千六百二十五寸以合原数也(此带分比)(例开立方法)设如有人买马三次第二次比第一次多一倍第三次比第二次多一倍以第三次马数四分之一与第二次马数之一半相乘又与第一次马数三分之一相乘得六千五百六十一匹问三次所买马数各若干法借三根为第一次买马之数(第一次分母数)则第二次买马之数为六根第三次买马之数为十二根以第三次四分之一三根与第二次之一半三根相乘得九平方又与第一次三分之一一根相乘得九立方与六千五百六十一匹相等九立方既与六千五百六十一匹相等则一立方必与七百二十九匹相等乃以七百二十九匹开立方得九匹为一根之数三因之得二十七匹为第一次买马之数倍之得五十四匹为第二次买马之数又倍之得一百零八匹为第三次买马之数以第三次四分之一二十七匹与第二次一半二十七匹相乘得七百二十九匹再以第一次三分之一九匹乘之得六千五百六十一匹以合原数也(此带分比例开立方法)设如有马牛羊各不知数但知牛数比马数多四羊数与马牛相乘之数等马毎匹之价与牛数等牛毎头之价与马数等羊毎只之价比马毎匹价少十两而羊之共价为一百九十二两问马牛羊及价银各若干法借一根为马数则牛数为一根多四以马数一根与牛数一根多四相乘得一平方多四根为羊数马价与牛数等为一根多四两则羊价为一根少六两以羊数一平方多四根与羊价一根少六两相乘得一立方少二平方少二十四根为羊之共价与一百九十二两相等乃以一百九十二两为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得八为一根之数即马数亦即牛毎头之价为八两也加牛比马多四得十二为牛数亦即马毎匹之价为十二两也以马数八与牛数十二相乘得九十六为羊数以羊数九十六归除羊共价一百九十二两得二两为羊毎只价比马一匹之价少十两也(此磬折扁方体求边法)设如有马骡运重其共马数比马毎匹所䭾之数多二十骡毎匹所䭾之数比共马数多三十其共骡数与马所䭾之共数等但知骡共䭾一千一百万斤问马数骡数及所䭾之斤数各若干法借一根为共马数则马毎匹所䭾之斤数为一根少二十斤骡毎匹所䭾之数为一根多三十斤以共马数一根与马毎匹䭾一根少二十斤相乘得一平方少二十根为马所䭾之共数亦即共骡数再以骡毎匹䭾一根多三十斤乘之得一立方多十平方少六百根为骡所䭾之共数与一千一百万斤相等乃以一千一百万斤为磬折长方体积用带纵开立方法算之得二百二十为一根之数即共马数减二十余二百斤为马毎匹所䭾之数以共马二百二十匹与马毎匹所䭾之二百斤相乘得四万四千斤为马所䭾之共数亦即共骡数以共骡四万四千匹归除一千一百万斤得二百五十斤为骡毎匹所䭾之数比共马数二百二十多三十也(此磬折长方体)(求边法)设如有大小二正方体边数共二尺六寸体积共五千零九十六寸问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为二十六寸少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以二十六寸少一根自乘再乘得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方少一立方为大方之体积两体积相加得一万七千五百七十六寸少二千零二十八根多七十八平方与五千零九十六寸相等两边各加二千零二十八根得一万七千五百七十六寸多七十八平方与五千零九十六寸多二千零二十八根相等两边各减五千零九十六寸得一万二千四百八十寸多七十八平方与二千零二十八根相等一万二千四百八十寸多七十八平方既与二千零二十八根相等则一百六十寸多一平方必与二十六根相等乃以一百六十寸为长方积以二十六根作二十六寸为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十寸为一根之数即小方毎边之数与共边二十六寸相减余一十六寸即大方毎边之数以十寸自乘再乘得一千寸即小方之体积以十六寸自乘再乘得四千零九十六寸即大方之体积两体积相加共五千零九十六寸以合原数也(此二正方体有)(边和积和求边法)设如有大小二正方体大方边比小方边多四尺大方积比小方积多一千二百一十六尺问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多四尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多四尺自乘再乘得一立方多十二平方多四十八根多六十四尺为大方之体积两体积相减得十二平方多四十八根多六十四尺与一千二百一十六尺相等两边各减六十四尺得十二平方多四十八根与一千一百五十二尺相等十二平方多四十八根既与一千一百五十二尺相等则一平方多四根必与九十六尺相等乃以九十六尺为长方积以四根作四尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔八尺为一根之数即小方每边之数加四尺得一十二尺即大方毎边之数以八尺自乘再乘得五百一十二尺即小方之体积以一十二尺自乘再乘得一千七百二十八尺即大方之体积两体积相减余一千二百一十六尺以合原数也(此二正方体有)(边较积较求边法)设如有大小二正方体大方边比小方边多二尺体积共一千零七十二尺问二正方体边数体积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边之数为一根多二尺以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以一根多二尺自乘再乘得一立方多六平方多十二根多八尺为大方之体积两体积相加得二立方多六平方多十二根多八尺与一千零七十二尺相等两边各减去八尺得二立方多六平方多十二根与一千零六十四尺相等二立方多六平方多十二根既与一千零六十四尺相等则一立方多三平方多六根必与五百三十二尺相等乃以五百三十二尺为磬折长方体积用带纵开立方法算之得七尺为一根之数即小方毎边之数加二尺得九尺即大方每边之数以七尺自乘再乘得三百四十三尺即小方之体积以九尺自乘再乘得七百二十九尺即大方之体积两体积相加得一千零七十二尺以合原数也(此二)(正方体有边较积和求边法)设如有大小二正方体边数共十四尺大方比积小方积多二百九十六尺问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方每边之数则大方每边之数为十四尺少一根以一根自乘再乘得一立方为小方之体积以十四尺少一根自乘再乘得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少一立方为大方之体积两体积相减得二千七百四十四尺少五百八十八根多四十二平方少二立方与二百九十六尺相等两边各加二立方又加五百八十八根得二立方多五百八十八根多二百九十六尺与二千七百四十四尺多四十二平方相等两边各减去二百九十六尺又各减去四十二平方得二立方少四十二平方多五百八十八根与二千四百四十八尺相等二立方少四十二平方多五百八十八根既与二千四百四十八尺相等则一立方少二十一平方多二百九十四根必与一千二百二十四尺相等乃以一千二百二十四尺为磬折扁方体积用带纵开立方法算之得六尺为一根之数即小方毎边之数与共边数十四尺相减余八尺即大方每边之数以六尺自乘再乘得二百一十六尺为小方之体积以八尺自乘再乘得五百一十二尺为大方之体积两体积相减余二百九十六尺以合原数也(此二正方体有边和积较求边法)设如勾股积二百四十尺股弦较四尺问勾股弦各几何法借一根为股数则弦为一根多四尺以一根自乘得一平方为股自乘之数以一根多四尺自乘得一平方多八根多十六尺为弦自乘之数内减去股自乘之一平方余八根多十六尺为勾自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率乃以首率勾自乘之八根多十六尺与末率股自乘之一平方相乘得八立方多十六平方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为八立方多十六平方与二十三万零四百尺相等八立方多十六平方既与二十三万零四百尺相等则一立方多二平方必与二万八千八百尺相等乃以二万八千八百尺为长方体积用带纵开立方法算之得三十尺为一根之数即股数加股弦较四尺得三十四尺即弦数又以股三十尺除倍积四百八十尺得十六尺即勾数也(此有勾股积有股弦较求勾股弦法)设如勾股积二百四十尺勾弦和五十尺问勾股弦各几何法借一根为勾数则弦为五十尺少一根以一根自乘得一平方为勾自乘之数以五十尺少一根自乘得二千五百尺少一百根多一平方为弦自乘之数内减去勾自乘之一平方余二千五百尺少一百根为股自乘之数凡勾自乘之数与勾股相乘之数及股自乘之数为相连比例三率则以首率勾自乘之一平方与末率股自乘之二千五百尺少一百根相乘得二千五百平方少一百立方又以勾股积二百四十尺倍之得四百八十尺为中率自乘得二十三万零四百尺是为二千五百平方少一百立方与二十三万零四百尺相等二千五百平方少一百立方既与二十三万零四百尺相等则一平方少二十五分立方之一必与九十二尺一十六寸相等乃以九十二尺一十六寸为扁方体积用带纵开立方法算之得一十六尺为一根之数即勾数与勾弦和五十尺相减余三十四尺即弦数又以勾十六尺除倍积四百八十尺得三十尺即股数也(此有勾股积有勾弦和求勾股弦法)设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率三倍等问二率三率四率各几何法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率又以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方(因四率为)(百亿分立方之一以百亿乘之则得一整立方故将余三率俱以百亿乘之其)(比例始相当也)乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率三倍之得三百亿根是为三百亿根与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得三百亿根少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以三百亿根为法用割圜内新增益实归除法算之得三万四千七百二十九为一根之数即相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万二千零六十一为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得四千一百八十七为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零四千一百八十七与二率之三倍相等也(此即求圜内容十八边法)设如有数十万为一率作相连比例四率使一率与四率相加与二率两倍再加一三率之数等问二率三率四率各几何法借一根为二率以二率一根自乘得一平方以一率十万除之得十万分平方之一为三率以二率一根与三率十万分平方之一相乘得十万分立方之一以一率十万除之得一百亿分立方之一为四率将四率俱以百亿乘之则一率为一千兆二率为一百亿根三率为一十万平方四率为一立方乃以一率与四率相加得一千兆多一立方又以二率倍之得二百亿根加一三率得二百亿根多十万平方是为二百亿根多十万平方与一千兆多一立方相等两边各减去一立方得二百亿根多十万平方少一立方与一千兆相等乃以一千兆为实以二百亿根为法用割圜内益实兼减实归除法算之得四万四千五百零四为一根之数即相连比例之第二率也以二率自乘一率除之得一万九千八百零六为相连比例之第三率又以二率与三率相乘一率除之得八千八百一十四为相连比例之第四率乃以一率与四率相加得一十万零八千八百一十四与二率两倍加一三率之数相等也(此即求圜内容十四边法)设如有大小二正方面大方毎边为小方毎边之二倍若以两面积相乘得五万八千五百六十四尺问二方边面积各几何法借一根为小方毎边之数则大方毎边数为二根以一根自乘得一平方为小方之面积以二根自乘得四平方为大方之面积以一平方与四平方相乘得四三乘方为两方面积相乘之数与五万八千五百六十四尺相等四三乘方既与五万八千五百六十四尺相等则一三乘方必与一万四千六百四十一尺相等乃以一万四千六百四十一尺为三乘方积用开三乘方法算之得十一尺为一根之数即小方每边之数倍之得二十二尺即大方每边之数以十一尺自乘得一百二十一尺即小方之面积以二十二尺自乘得四百八十四尺即大方之面积两面积相乘得五万八千五百六十四尺以合原数也(此开)(三乘方法)设如有解钱粮船不言数但知每船所载银鞘之数比船数加一倍每鞘内银数与共鞘数等其共银数为五百三十四万五千三百四十四两问船数鞘数各若干法借一根为船数则每船所载鞘数为二根以一根与二根相乘得二平方为共鞘数亦为每鞘内银数自乘得四三乘方与五百三十四万五千三百四十四两相等四三乘方既与五百三十四万五千三百四十四两相等则一三乘方必与一百三十三万六千三百三十六两相等乃以一百三十三万六千三百三十六两为三乘方积用开三乘方法算之得三十四为一根之数即船数倍之得六十八即每船之鞘数以船数三十四与每船所载鞘数六十八相乘得二千三百一十二为共鞘数亦即每鞘内之银数自乘得五百三十四万五千三百四十四两以合原数也(此开三乘方法)设如有一正方又有一长方二方面积共二十三万六千一百九十六尺长方之长比正方面积多二十四尺长方之阔比正方面积少二十尺问二方边面积各几何法借一根为正方每边之数自乘得一平方为正方之面积则长方之长为一平方多二十四尺长方之阔为一平方少二十尺长阔相乘得一三乘方多四平方少四百八十尺为长方面积加正方面积之一平方得一三乘方多五平方少四百八十尺为二方之共面积与二十三万六千一百九十六尺相等两边各加四百八十尺得一三乘方多五平方与二十三万六千六百七十六尺相等乃以二十三万六千六百七十六尺为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得二十二为一根之数即正方每边之数自乘得四百八十四尺为正方面积加二十四尺得五百零八尺为长方之长减二十尺得四百六十四尺为长方之阔长阔相乘得二十三万五千七百一十二尺为长方面积两面积相加得二十三万六千一百九十六尺以合原数也(此带纵开三乘方法)设如有一长方其面积五百二十七丈又有大小二正方其面积共一千二百五十丈大正方边与长方之长等小正方边与长方之阔等问长方之长阔各几何法借一根为大方每边之数自乘得一平方为大方之面积则小方之面积为一千二百五十丈少一平方此大方面积与长方面积及小方面积为相连比例三率乃以首率大方面积一平方与末率小方面积一千二百五十丈少一平方相乘得一千二百五十平方少一三乘方又以长方面积五百二十七丈为中率自乘得二十七万七千七百二十九丈此两数为相等乃以二十七万七千七百二十九丈为带纵三乘方积用带纵开三乘方法算之得三十一为一根之数即大方每边之数亦即长方之长以长三十一丈除长方面积五百二十七丈得十七丈即长方之阔亦即小正方每边之数乃以三十一丈自乗得九百六十一丈为大方面积以十七丈自乘得二百八十九丈为小方面积两面积相加得一千二百五十丈以合原数也(此带纵开三乘方法)设如有一方台俱系正方石砌成其用石之块数与每一石之面积等其共石之体积为五十三万七千八百二十四寸问用石之块数及每一石之边数若干法借一根为每一石之边数自乘得一平方为每一石之面积亦即所用石之块数再乘得一立方为每一石之体积与所用石之块数一平方相乘得一四乘方为共石之体积与五十三万七千八百二十四寸相等乃以五十三万七千八百二十四寸为四乘方积用开四乘方法算之得一十四寸为一根之数即每一石之边数自乘得一百九十六寸为每一石之面积亦即所用石之块数再乘得二千七百四十四寸为每一石之体积与所用石之块数相乘得五十三万七千八百二十四寸以合原数也(此开四乘方法)设如有二十四正方体又有一扁方体共积八百二十九万四千四百寸扁方体之髙与正方体之边数等扁方体之长与阔俱与正方体之面积等问正方体扁方体之边数各若干法借一根为正方体每边之数亦即扁方体之髙数以一根自乘得一平方为正方体之面积亦即扁方体之长与阔再乘得一立方为正方体之积以二十四乘之得二十四立方为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔一平方自乘得一三乘方再以髙一根乘之得一四乘方为扁方体之积两积数相加得一四乘方多二十四立方与共体积八百二十九万四千四百寸相等乃以八百二十九万四千四百寸为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得二十四寸为一根之数即正方体之每边亦即扁方体之髙自乘得五百七十六寸为正方体之面积亦即扁方体之长与阔再乘得一万三千八百二十四寸为一正方体之积以二十四乘之得三十三万一千七百七十六寸为二十四正方体之共积又以扁方体之长阔五百七十六寸自乘再以髙二十四寸乘之得七百九十六万二千六百二十四寸为一扁方体积两积相加得八百二十九万四千四百寸以合原数也(此带纵开)(四乘方法)设如有商人贸易第一次之银数比原本银加一倍第二次之银数与第一次银自乘再乘之数等第三次之银数与第一次银自乘又乘第二次银之数等将第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两问原本银数及每次银数各若干法借一根为原本银数则第一次之银数为二根自乘再乘得八立方为第二次之银数以第一次自乘之四平方与第二次之八立方相乘得三十二四乘方为第三次之银数与第二次之银数八立方相加得三十二四乘方多八立方与三万三千二百八十两相等三十二四乘方多八立方既与三万三千二百八十两相等则一四乘方多四分立方之一必与一千零四十两相等乃以一千零四十两为带纵四乘方积用带纵开四乘方法算之得四两为一根之数即原本银数也倍之得八两为第一次之银数自乘再乘得五百一十二两为第二次之银数又以第一次银数八两自乘之六十四两与第二次之银数五百一十二两相乘得三万二千七百六十八两为第三次之银数与第二次之银数相加得三万三千二百八十两以合原数也(此带纵开四乘方法)设如有一小长方体阔为髙之二倍长为髙之三倍又有一大长方体其每边之比例与小长方体同其髙数与小长方体长阔相乘之数等体积八万二千九百四十四尺问二长方体长阔髙各几何法借一根为小长方体之髙则阔为二根长为三根长阔相乘得六平方为大长方体之髙倍之得十二平方为大长方体之阔三因之得十八平方为大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得一千二百九十六五乘方为大长方体积与八万二千九百四十四尺相等一千二百九十六五乘方既与八万二千九百四十四尺相等则一五乘方必与六十四尺相等乃以六十四尺为五乘方积用开五乘方法算之得二尺为一根之数即小长方体之髙倍之得四尺即小长方体之阔三因之得六尺即小长方体之长长阔相乘得二十四尺即大长方体之髙倍之得四十八尺即大长方体之阔三因之得七十二尺即大长方体之长长阔相乘再以髙乘之得八万二千九百四十四尺以合原数也(此开)(五乘方法)设如有大小二正方体大方体积比小方体积多一千七百四十四寸以小方边与大方边相乘得一百四十寸问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方体每边之数以一根除一百四十寸得一根之一百四十寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积数以一根之一百四十寸自乘再乘得一立方之二百七十四万四千寸为大方体积内减小方体积一立方余一立方之二百七十四万四千寸少一立方与一千七百四十四寸相等两边各以立方乘之得一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸少一五乘方相等两边各加一五乘方得一五乘方多一千七百四十四立方与二百七十四万四千寸相等乃以二百七十四万四千寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得十寸为一根之数即小方体每边之数以十寸除一百四十寸得一十四寸即大方体每边之数以小方体每边十寸自乘再乘得一千寸为小方体积以大方体每边十四寸自乘再乘得二千七百四十四寸为大方体积两体积相减余一千七百四十四寸以合原数也(此带纵开)(五乘方法)设如有大小二正方体共积四千一百二十三寸以小方边与大方边相乘得四十八寸问二正方体之边数体积各几何法借一根为小方体每边之数以一根除四十八寸得一根之四十八寸为大方体每边之数以一根自乘再乘得一立方为小方体积以一根之四十八寸自乘再乘得一立方之一十一万零五百九十二寸为大方体积两体积相加得一立方多一立方之一十一万零五百九十二寸与四千一百二十三寸相等两边各以立方乘之得四千一百二十三立方与一五乘方多一十一万零五百九十二寸相等两边各减一五乘方得四千一百二十三立方少一五乘方与一十一万零五百九十二寸相等乃以一十一万零五百九十二寸为带纵五乘方积用带纵开五乘方法算之得三寸为一根之数即小方体每边之数以三寸除四十八寸得十六寸为大方体每边之数以小方体每边三寸自乘再乘得二十七寸为小方体积数以大方体每边十六寸自乘再乘得四千零九十六寸为大方体积数两体积相加得四千一百二十三寸以合原数也(此带纵开五乘方法)设如有一长方体积二千一百八十七尺其髙数自乘与阔等阔数自乘与长数等问髙阔长各若干法借一根为髙自乘得一平方为阔以阔自乘得一三乘方为长长阔相乘得一五乘方再以髙乘之得一六乘方为长方体积与二千一百八十七尺相等乃以二千一百八十七尺为六乘方积用开六乘方法算之得三尺为一根之数即长方之髙自乘得九尺即长方之阔以阔自乘得八十一尺为长方之长乃以长阔相乘再以髙乘之得二千一百八十七尺以合原数也(此开六乘方法)设如甲丙正方花园二所园中各有正方水池一面甲池每边为丙池每边之三倍甲园每边与甲池之面积等丙园每边与丙池之面积等若以两园之面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺问园池每边各若干法借一根为丙池每边之数则甲池每边之数为三根以一根自乘得一平方为丙池之面积即丙园每边之数自乘得一三乘方为丙园之面积以三根自乘得九平方为甲池之面积即甲园每边之数自乘得八十一三乘方为甲园之面积两园之面积相乘得八十一七乘方与五百三十万八千四百一十六尺相等八十一七乘方既与五百三十万八千四百一十六尺相等则一七乘方必与六万五千五百三十六尺相等乃以六万五千五百三十六尺为七乘方积用开七乘方法算之得四尺为一根之数即丙池每边之数三因之得十二尺即甲池每边之数以甲池每边十二尺自乘得一百四十四尺为甲池之面积即甲园每边之数以丙池每边四尺自乘得一十六尺为丙池之面积即丙园每边之数以甲园每边一百四十四尺自乘得二万零七百三十六尺即甲园之面积以丙园每边十六尺自乘得二百五十六尺即丙园之面积乃以两园面积相乘得五百三十万八千四百一十六尺以合原数也(此开七乘方法)设如有甲乙丙三长方体甲方之髙为阔二分之一乙方之髙与阔为甲方之二倍丙方之髙与阔为甲方之三倍俱不知长甲方体积与面积自乘之数等乙方之体积与髙阔相并乘甲方面积之数等丙方之体积与乙方体积自乘再乘之数等今但知丙方体积八十八万四千七百三十六丈问三方髙阔长各若干法借一根为甲方之髙则甲方之阔为二根乙方之髙亦为二根乙方之阔为四根丙方之髙为三根丙方之阔为六根以甲方髙一根与阔二根相乘得二平方即甲方之面积自乘得四三乘方即甲方之体积乙方髙二根与阔四根相并得六根与甲方面积二平方相乘得十二立方即乙方之体积自乘再乘得一千七百二十八八乘方即丙方之体积与八十八万四千七百三十六丈相等一千七百二十八八乘方既与八十八万四千七百三十六丈相等则一八乘方必与五百一十二丈相等乃以五百一十二丈为八乘方积用开八乘方法算之得二丈为一根之数即甲方之髙倍之得四丈即甲方之阔髙阔相乘得八丈即甲方之面积自乘得六十四丈即甲方之体积又将甲方髙二丈倍之得四丈即乙方之髙将甲方阔四丈倍之得八丈即乙方之阔髙阔相并得一十二丈与甲方面积八丈相乘得九十六丈即乙方之体积又以髙四丈阔八丈相乘得三十二丈以除体积九十六丈得三丈即乙方之长又将甲方髙二丈三因之得六丈即丙方之髙将甲方阔四丈三因之得一十二丈即丙方之阔以乙方体积九十六丈自乘再乘得八十八万四千七百三十六丈即丙方之体积又髙六丈阔十二丈相乘得七十二丈以除体积八十八万四千七百三十六丈得一万二千二百八十八丈即丙方之长也(此开八乘方法)设如有客船不言数但云每船之人数与船数等每人之本银数与船数自乘再乘之数等其共银自乘之数为六千零四十六万六千一百七十六两问船数人数各若干法借一根为船数亦为每船之人数以一根自乘得一平方为共人数再乘得一立方为每人本银数与一平方相乘得一四乘方为共银数以一四乘方自乘得一九乘方为本银自乘之数与六千零四十六万六千一百七十六两相等乃以六千零四十六万六千一百七十六为九乘方积用开九乘方法算之得六为一根之数即船数亦即每船之人数自乘得三十六为共人数再乘得二百一十六为每人之银数以三十六人乘之得七千七百七十六两为共银数自乘得六千零四十六万六千一百七十六两以合原数也(此开九乘方法)御制数理精蕴下编卷三十六
## 下编卷三十七
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十七末部七难题难题算术之学不外于线面体其间比例相求或借根借方等法既已分门别类于前然设问中有纡廻繁襍之不同者非审详明辨则何以得其统绪兹又探赜钩深编为难题一卷俾学者殚思观变以不迷于入算之方庶几数理之微人心之巧由此引而伸之触类而长之将以穷天下之变亦不难也设如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙五日一次问三人何日同班法以三日与四日相乘得十二日再与五日相乘得六十日即三人同班之日也此法葢因六十为三四五皆可以度尽之数三与四相乘得十二日是甲乙同班之日而不能与丙同班三与五相乘得十五日是甲丙同班之日而不能与乙同班四与五相乘得二十日是乙丙同班之日而不能与甲同班惟六十日为甲第二十次值班之日为乙第十五次值班之日为丙第十二次值班之日故为三人同班之日也设如有钱不知总数以三数之余二文以五数之余三文以七数之亦余二文问钱总数几何法先以三数之率定为七十五数之率定为二十一七数之率定为十五乃以三数之率七十与余二相乘得一百四十以五数之率二十一与余三相乘得六十三以七数之率十五与余二相乘得三十三数相并得二百三十三又以三五七递乘得一百零五于二百三十三内减两次余二十三即总钱数也此法以三数之率定为七十者以其用七数五数皆尽惟用三数之余一也今以余二相乘得一百四十则是用七数五数皆尽惟用三数之余二矣以五数之率定为二十一者以其用三数七数皆尽惟用五数之余一也今以余三相乘得六十三则是用三数七数皆尽惟用五数之余三矣以七数之率定为十五者以其用三数五数皆尽惟用七数之余一也今以余二相乘得三十则是用三数五数皆尽惟用七数之余二矣以此三数相并自为三数余二五数余三七数余二之数又以三五七递乘得一百零五者此数用三五七皆可数尽故二百三十三虽为三数余二五数余三七数余二之数然减去一百零五余一百二十八以三五七数之其所余之数仍同也即再减去一百零五余二十三以三五七数之其所余之数亦同也是以问数在一百零五以下必二十三如问数在一百零五以上必一百二十八或二百三十三如原数更在二百三十三以上则递加一百零五求之必有合也至其作率之法不过一乘一减如以三五七命算则以五七相乘得三十五以三减之余二不可为率以其所余为二难与他数相乘也故将三十五倍之得七十以三减之余一故七十即为三数之率三七相乘得二十一以五减之余一故二十一即为五数之率三五相乘得一十五以七减之余一故十五即为七数之率或以五数七数九数命算皆倣此例推之设如三人治田一人日耘七亩一人日耕三亩一人日种五亩今令一人自耕自种自耘问一日治田几何法以七亩三亩五亩连乘得一百零五亩为治田总衰数以每日耘七亩除之得十五日为耘田衰数以每日耕三亩除之得三十五日为耕田衰数以每日种五亩除之得二十一日为种田衰数三数相并得七十一日为一率一百零五亩为二率一日为三率得四率一亩四分七厘有余即每日自耕自种自耘之数也此法葢因一日耘七亩则一百零五亩湏耘十五日一日耕三亩则一百零五亩湏耕三十五日一日种五亩则一百零五亩湏种二十一日并之得七十一日是一人自耕自种自耘治田一百零五亩即知一日治田一亩四分七厘有余也设如甲乙二人甲借乙本银一千二百両已经还讫仍欠四月利银今乙又借甲银八百両欲与前利银抵兑问得月数几何法以今借银八百両为一率原借银一千二百両为二率原欠利银四月作一百二十日为三率得四率一百八十日以三十日归之得六月为所求之日数也葢甲借乙之银数多故月数少乙借甲之银数少故月数多而其利相等为转比例四率也设如原买小布一疋长一丈八尺阔一尺三寸价一钱一分七厘今买大布一疋长二丈五尺阔一尺六寸问价几何法以原布长一丈八尺阔一尺三寸相乘得二十三尺四十寸为一率价一钱一分七厘为二率今布长二丈五尺阔一尺六寸相乘得四十尺为三率求得四率二钱即今布之价也凡物惟长不同或惟阔不同则各以其长阔为比例今长阔俱不同故以其长阔各相乘为面与面之比例也设如有银三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少六両问四人各得银数几何法先以总银三百九十六両内减去甲多十両丙多八両余三百七十八両又加乙少二十両丁少六両共得四百零四両为各分之总银数乃以甲分母二乙分母五丙分母三丁分母四连乘之得一百二十为总衰数于总衰一百二十内取二分之一得六十为甲衰取五分之三得七十二为乙衰取三分之一得四十为丙衰取四分之一得三十为丁衰并之得二百零二衰为一率以各分总银数四百零四両为二率一衰为三率得四率二両乃以二両用甲衰六十乘之得一百二十両加所多十両得一百三十両即甲所分之银数用乙衰七十二乘之得一百四十四両内减所少二十両余一百二十四両即乙所分之银数用丙衰四十乘之得八十両加所多八両得八十八両即丙所分之银数用丁衰三十乘之得六十両减所少六両余五十四両即丁所分之银数将四人所分之银并之得三百九十六両以合原数也设如甲乙丙三商货殖二年共得利银八千五百八十両甲原出本银三千両至满八月収回一千両至满十九月又添一千二百两乙原出本银二千四百両至满六月収回八百両至满十五月又添一千四百両丙原出本银二千両满七月悉収回至满十七月别出本银一千六百両问各人分得利银若干法以甲本银三千両与八月相乘(满八月収)(回一千両是八月以前皆为三千両)得二万四千両又以収回一千両与原本银三千両相减余二千両以八月与十九月相减余十一月(八月収回一千両余二千両十九月后方添一千二百両则是八月以后)(十九月以前此十一月皆为二千両)以十一月与二千両相乘得二万二千両又以二千両加所添一千二百両得三千二百両以十九月与二年之二十四月相减余五月(十九)(月后添一千二百両是十九月以后二十四月以前此五月皆为三千二百両)以五月与三千二百両相乘得一万六千両以三得数相并共六万二千両为甲之共衰数乙本银二千四百両与六月相乘(满六月収回八百両是六月以前皆为二千四百両)得一万四千四百両又以収回八百両与原本银二千四百両相减余一千六百両以六月与十五月相减余九月(六月后収回八)(百両余一千六百両十五月后方添一千四百両是六月以后十五月以前此)(九月皆为一千六百両)以九月与一千六百両相乘得一万四千四百両又以一千六百両加所添一千四百両得三千両以十五月与二年之二十四月相减余九月(十五月后添一千四百両是十五月以后二十四月以前此九月皆为三千両)以九月与三千両相乘得二万七千両三数相并共五万五千八百両为乙之共衰数丙本银二千両与七月相乘(满七)(月悉収回则七月以前皆为二千両)得一万四千両又以十七月与二十四月相减余七月与别出本银一千六百両相乘(七月悉収回不算外至第)(十七月方出本一千六百両是十七月以后二十四月以前止七月也)得一万一千二百両二数相并共二万五千二百両为丙之共衰数以甲乙丙三衰数相并(甲六万二千乙五万五千八百丙二万五千二百)共得一十四万三千両为一率总利银八千五百八十両为二率一両为三率求得四率六分以各人衰数乘之甲得三千七百二十両乙得三千三百四十八両丙得一千五百一十二両为各人所得利银之数也设如有一大石不知其重但知一小石重四両求大石重几何法用一木杆结系于中両端令平乃以大石挂于一端以小石作砣称之如大石距提系一寸小石距提系六寸得平则以一寸为一率小石重四両为二率六寸为三率求得四率二十四両即大石之重也如圗甲乙为大石距提系一寸甲丙为小石距提系六寸丁为大石戊为小石戊小石之重即甲乙之分丁大石之重即甲丙之分故甲乙与戊小石之比同于甲丙与丁大石之比也设如有银大小二锭共重十五両求大小锭各重几何法用一木杆结系于中両端令平乃以大锭小锭各挂一端如大锭距提系四寸小锭距提系六寸得平则以四寸六寸相加得十寸为一率共重十五両为二率大锭距提系四寸为三率得四率六両即小锭之重如以小锭距提系六寸为三率则得四率九両即大锭之重也如圗甲乙为大锭距提系四寸甲丙为小锭距提系六寸故以甲乙甲丙共分与丁戊共重之比同于甲乙与戊小锭之比亦同于甲丙与丁大锭之比也设如以戥称银戥数不足将砣上加四两称之得二百两原砣重八两问银实重几何法以原砣重八两为一率又以原砣八两与加四两相并得十二两为二率以今称二百两为三率得四率三百两为原银之重数也如图甲乙为二百两之分丙为砣重十二两试将甲乙戥衡引长至丁甲丁为三百两之分戊为原砣重八两甲乙乗丙砣即与甲丁乗戊砣之数等故以戊砣与甲乙之比同于丙砣与甲丁之比为转比例四率也设如戥子失去坠砣欲配一砣不知轻重以重三两之物用六钱之砣称之得四两问原砣重几何法以原重三两为一率今称得四两为二率今砣重六钱为三率求得四率八钱即原砣之重也如图甲乙为戥盘距提系之分丙为物重甲丁为三两之分戊为原砣甲己为四両之分庚为今砣以比例论之甲乙与戊砣之比同于甲丁与丙重之比又甲乙与庚砣之比同于甲己与丙重之比是甲丁乘戊砣即与甲己乘庚砣之数等故以甲丁与庚砣之比即同于甲己与戊砣之比为转比例四率也设如河口上寛十尺下寛六尺深五尺求每日流水几何法以木板一块置于水面用騐时仪坠子候之看六十秒内木板流逺几丈如流逺十丈即以十丈变为一百尺乃以河上寛十尺与下寛六尺相加折半得八尺与河深五尺相乘得四十尺又与木板流逺一百尺相乘得四千尺即六十秒内所流之数又以六十秒収为一分为一率水流四千尺为二率以每日二十四小时化为一千四百四十分(一小)(时为四刻一刻为十五分)为三率求得四率五千七百六十万尺即一日内所流之数也此法先用木板以騐所流之缓急水急则木随水流亦急水缓则木随水流亦缓看木之缓急即知水流之多少故先求得河口面积再以逺乘之即得水流之积数也设如有房一所不知间数亦不知房价但云每房六间每年租银二十四両五年后适得本银每房八间每年租银三十五両八年后得本银外又得利银二千一百六十両问房数房价各几何法以五年与每年二十四両相乘得一百二十両以八年与每年三十五両相乘得二百八十両是为每房六间租一百二十両适足每房八间租二百八十両盈二千一百六十両乃以六间互乘二百八十両得一千六百八十両以八间互乘一百二十両得九百六十両相减余七百二十両为一率以六间与八间相乘得四十八间为二率以利银二千一百六十両为三率得四率一百四十四间即房之总数也又以六间为一率五年得一百二十両为二率总房一百四十四间为三率得四率二千八百八十両即房价或以八间为一率八年得二百八十両为二率总房一百四十四间为三率得四率五千零四十両内减利银二千一百六十両亦得二千八百八十両为房价也此法葢因五年八年之数不同故以五年八年与每年银数相乘作总得租银算也设如有银买物不知银数亦不知物价但云取银六分之五买之则多六両取银四分之三买之仍多二両问银数及物价各几何法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十相减余二分为一率盈六両与盈二両相减余四両为二率両分母互乘得二十四分为三率求得四率四十八両即为银数取六分之五为四十両减盈六两得三十四両为物价或取四分之三得三十六両减盈二両亦得三十四両为物价也又先得物价之法以前分母六互乘后分子三得十八以后分母四互乘前分子五得二十又以十八互乘盈六両得盈一百零八両为加十八倍以二十互乘盈二両得盈四十両为加二十倍乃以十八倍与二十倍相减余二倍为一率互乘所得両盈数相减余六十八両为二率一倍为三率求得四率三十四両即物价加盈六両得四十両即原银六分之五乃用五归六因得四十八両为原银数或于物价三十四両加盈二両得三十六両即原银四分之三乃用三归四因亦得四十八両为原银数也此盈朒单法因带分母子不同故用通分互乘以齐其分耳设如有银买米不知米数亦不知米价只云买米四分之一用银二十両则米少一石若买三分之一用银二十四両则米多二石问米数及米价各几何法以前分母四互乘得分子一得四以后分母三互乘前分子一得三乃以互乘所得后分子四互乘二十両得八十両互乘朒一石得朒四石又以互乘所得前分子三互乘二十四両得七十二両互乘盈二石得盈六石乃以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也既得米价乃以八钱除二十両得二十五石减朒一石余二十四石为米四分之一以四因之得九十六石即米数或以八钱除二十四両得三十石加盈二石得三十二石为米三分之一以三因之亦得九十六石为米数也葢以分母互乘前则为十二分之三后则为十二分之四(両分母互乘得十二)又以分子互乘前则为米十二分(両分子互乘亦得十二分)用银八十两朒四石后则为米十二分用银七十二両盈六石夫米之分数既同而银差八両则盈朒差十石故知十石价八両即知一石价八钱也此䨇套盈朒之法但有米之分数又有石数故立法微不同若止带零分则惟用通分法余俱与䨇套盈朒之法同又先得米数之法以银数列于上分数列于下乃以前分母四互乘后分子一得四以后分母三互乘前分子一得三又以二十両互乘后所得分子四得八十分互乘盈二石得盈四十石以二十四両互乘前所得分子三得七十二分互乘朒一石得朒二十四石乃以七十二分与八十分相减余八分为一率朒二十四石与盈四十石相加得六十四石为二率両分母互乘得十二分为三率求得四率九十六石即原米数也既得米数四归之得二十四石加朒一石得二十五石以除二十両得八钱为米价或将米数三归之得三十二石减盈二石余三十石以除二十四両亦得八钱为米价也葢用互乘前则为四百八十両(二十両与二十四両互乘得四百八十両)买米十二分之七十二朒二十四石后则为四百八十両买米十二分之八十盈四十石夫银数既同而米差八分则盈朒相差六十四石故知八分为六十四石即知十二分为九十六石也又法以二十両朒一石俱用四因之得八十両朒四石(因四分之一价二十両故用四因为米总价)又以二十四両盈二石俱用三因之得七十二両盈六石(因三分之一价二十四両故用三因为米)(总价)作盈朒单法算以朒四石与盈六石相加得十石为一率八十両与七十二両相减余八両为二率一石为三率求得四率八钱即米一石之价也此法葢因分数整齐故可比例而得其全分之价若有竒零则湏用前法或用通分法算之设如有一数不知几何但云以三乘之再加一十又以四乘之再加二十又以五乘之再加三十又以六乘之再加四十共得六千七百问原数几何法先以所加之一十以四乘之又以五乘之又以六乘之得一千二百再以所加之二十以五乘之又以六乘之得六百再以所加之三十以六乘之得一百八十乃以所得之三数相加得一千九百八十并所加之四十共二千零二十与共数六千七百相减余四千六百八十为连乘之整数乃借一衰为原数以三乘之仍得三又以四乘之得一十二又以五乘之得六十又以六乘之得三百六十衰为一率原数一衰为二率以连乘整数四千六百八十为三率求得四率十三即为原数也此法葢因三乘原数外加一十而又用四乘五乘六乘则此一十己用四乘五乘六乘矣四乘后加二十而又用五乘六乘则此二十已用五乘六乘矣五乘后加三十而又用六乘则三十已用六乘矣故将一十二十三十之数亦用连乘并后所加之四十与共数相减然后为三四五六与原数连乘之整分而以三四五六连乘所得之三百六十与原数一为比例即同于今三四五六连乘所得之四千六百八十与原数十三之比例也设如甲乙二车运粮甲车先行二日乙车后行五日追及甲车比乙车运价少五钱又甲车先行二日乙车后行七日追过甲车八十里甲车比乙车运价少一両一钱问甲乙二车日行里数及运价各几何法以乙车五日为正甲车七日为负里数相等作一空位(甲车先行二日乙车行五日追及是乙车)(行五日甲车行七日其里数相等)运价多五钱为正列于上又以乙车七日为正甲车九日为负过八十里为正运价多一両一钱为正列于下乃以上乙五日遍乘下乙七日甲九日多八十里多一両一钱得乙三十五日仍为正甲四十五日仍为负多行四百里运价多五両五钱仍为正又以下乙七日遍乘上乙五日甲七日运价多五钱得乙三十五日仍为正甲四十九日仍为负多三両五钱仍为正相等无可乘仍为空位于是以上层为主両下相较则乙各三十五日彼此减尽甲両下相减余四日本层少变负为正里数无可加减仍得四百里为正价両下相减余二両依本层为正即甲车四日行四百里运价二両也以四日除四百里得一百里为甲车每日所行之里数以四日除二両得五钱即甲车每日之运价以乙车七日比甲车九日多行八十里价多一両一钱计之则甲车九日行九百里加多八十里共九百八十里为乙车七日所行之里数以七日除之得一百四十里即乙车每日所行之里数甲车九日运价四両五钱加多一両一钱共五両六钱为乙车七日之运价以七日除之得八钱即乙车每日之运价也此法因有里数运价二种或名叠脚然不过除両次耳若里数为较运价为和难以分列正负者则分両法算之设如甲乙丙三人有银各不知数只云甲得乙银二分之一乙得丙银三分之一丙得甲银四分之一则各得七百两问三人原银各几何法先以甲三分乙一分共七百両列于上(甲原银四分丙得去一分余三分又得乙一分故为甲三分乙一分共七)(百両丙无数作空位以足其分)又以甲一分丙二分共七百両列于下(丙原银三分乙得去一分余二分又得甲一分)(故为甲一分丙二分共七百両乙无数亦作空位以足其分)乃以上甲三分遍乘下甲一分丙二分共七百両得甲三分丙六分共二千一百両又以下甲一分遍乘上甲三分乙一分共七百両仍得原数于是以下层为主両下相较则甲各三分彼此减尽乙一分无可减仍为一分依本层为正丙六分无可减仍为六分本层无数则为负银両下相减余一千四百両本层少为负即乙一分比丙六分少一千四百両也次以乙一分为正丙六分为负少一千四百両为负列于上又以乙一分丙一分共七百两列于下(乙原银二分甲得去一分余一分又)(得丙一分故为乙一分丙一分共七百両因为和数故不用号)因首色皆为一故省互乘両下相较则乙各一分彼此减尽丙六与丙一相加得七分银一千四百与七百相加得二千一百両即为丙七分之共数以七除之得三百両为丙一分之数以丙原银三分乘之得九百両为丙之银数以乙一分丙一分共七百両计之则于七百両内减去丙一分三百両余四百両即乙一分之数以乙原银二分乘之得八百両为乙之银数以甲三分乙一分共七百両计之则于七百両内减去乙一分四百両余三百両三归之得一百両即甲一分之数以甲原银四分乘之得四百両为甲之银数也设如有长方面积八百六十四歩一长二阔三和四较共三百一十二歩问长阔各几何法以积数八因之得六千九百一十二歩为大长方形积乃以长阔和较共数三百一十二歩为长阔和折半得一百五十六歩为半和自乘得二万四千三百三十六歩与六千九百一十二歩相减余一万七千四百二十四歩开平方得一百三十二歩为半较与半和一百五十六歩相减得二十四歩为原阔数以阔除原积八百六十四歩得三十六歩为原长数也此法葢因三和内有三长三阔加一长二阔共四长五阔如以四较加于四阔则又成四长是共得八长一阔此三百一十二歩即八长一阔之共数今将原积八倍之成一大长方形其阔即原阔其长为原长之八倍故以三百一十二为长阔和求得阔即为原阔以原阔除原积即得原长也设如买果木树不知树数亦不知树价但知树每株之价为树共数之六倍而每株脚钱六文其脚钱并树价共三千六百文问树每株价及树数各几何法先以共钱三千六百文六因之得二万一千六百文为长方积脚钱六文为纵多爰以纵多六文折半得三文为半较自乘得九文与二万一千六百文相加得二万一千六百零九文开平方得一百四十七文为半和内减半较三文得一百四十四文为树每株之价六归之得二十四为树之共数也此法以树数为阔树价并脚钱为长成长方形因每株之价为树数之六倍是长为阔之六倍又多六文故六倍其积则长比阔多六文故以带纵开方法算之得阔为树价六归之得树数也设如一河寛一丈二尺中间生一蒲草出水面三尺斜引蒲稍至岸适与岸齐问蒲长水深各几何法以河寛一丈二尺折半得六尺为勾以蒲稍出水三尺为股弦较乃以勾六尺自乘得三十六尺以股弦较三尺除之得一十二尺为股弦和加股弦较三尺得一十五尺折半得七尺五寸为弦即蒲之长内减股弦较三尺余四尺五寸为股即水之深也如图甲乙为河寛丙丁为蒲长与甲丁等戊丁为水深丙戊为蒲稍出水三尺故戊丁为股甲戊为勾甲丁为弦丙戊为股弦较用有勾有股弦较之法求得股为水深得弦为蒲之长也设如圆柱髙二十一尺周四尺以绳自底至末绕柱七周与柱适齐问绳长几何法以柱周四尺七因之得二十八尺为股柱髙二十一尺为勾求得弦三十五尺即绳之长也此法葢合七勾股为一勾股算也如图甲乙为柱髙二十一尺甲丙为七分之一若将柱面平铺之成一平面则丙丁即柱周四尺甲丁即绳绕柱之一周成甲丙丁勾股形今柱髙为甲丙之七倍绳长为甲丁之七倍故将柱周亦加七倍成甲乙戊勾股形甲乙为勾乙戊为股求得甲戊弦即绳长也设如一方匣内对角斜容一比例尺长一尺一寸寛三寸问匣方边几何法以比例尺寛三寸与长一尺一寸相加得一尺四寸自乘折半开方得九寸八分九厘九豪即方匣之边数也如圗甲乙丙丁方匣内容戊己庚辛比例尺丁乙为对角斜线癸壬为比例尺之长壬乙与丁癸二叚与己庚寛度等葢以己庚度作己子丑庚正方形则乙为方之中心壬乙为己庚方边之一半与壬庚等而壬乙与丁癸両段即与己庚等故以比例尺之长阔相加即为丁乙对角斜线用斜求方之法自乘折半开方即得方边也设如三角形底二丈八尺小腰与中垂线之较二尺大腰与中垂线之较六尺问両腰各几何法借一衰为中垂线则小腰为一衰多二尺小腰与中垂线之和为二衰多二尺与小腰较二尺相乗得四衰多四尺为小分底自乘方积大腰为一衰多六尺大腰与中垂线之和为二衰多六尺与大腰较六尺相乘得十二衰多三十六尺为大分底自乘方积以両方积相较则大分底方为小分底方之三倍多二十四尺(大分底方十二衰为小分底方四衰之三倍即将小分底)(方四衰多四尺以三因之得十二衰多十二尺与大分底方十二衰多三十六)(尺相减仍余二十四尺)乃以底二十八尺自乘得七百八十四尺内减去所多之二十四尺余七百六十尺为小分底自乘四正方小分底乘大分底二长方积折半得三百八十尺为小分底自乘二正方小分底乘大分底一长方积共成一大长方底二十八尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十尺为小分底自乘得一百尺以小腰较二尺除之得五十尺为小腰与中垂线之和内加小腰较二尺得五十二尺折半得二十六尺即小腰又以小腰较二尺与大腰较六尺相减余四尺即大腰与小腰之较与小腰二十六尺相加得三十尺即大腰也如圗甲乙丙三角形甲乙为小腰甲丙为大腰乙丙为底自甲角作甲丁垂线则分为甲丁乙甲丁丙両勾股形以甲乙甲丁股弦和与甲乙甲丁股弦较相乘则得乙丁勾自乘之乙戊己丁正方形(见勾股法)以甲丁甲丙股弦和与甲丁甲丙股弦较相乘则得丁丙勾自乘之丁庚辛丙正方形丁庚辛丙正方形既为乙戊己丁正方形之三倍多二十四尺故于乙壬癸丙大正方形内减去二十四尺余者即与乙戊己丁三正方等是共得乙戊己丁四正方戊壬子己庚子癸辛为大分底乘小分底二长方共成丑寅卯丙一长方形折半得丑辰己丙长方形乙丙即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得阔为乙丁小勾自乘以股弦较除之得股弦和故加股弦较折半即得甲乙为弦也或求得甲丙边亦同设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边较三尺八寸求乙角丙角度几何法依甲丙边度截甲乙边于丁余乙丁即両边较自丙至丁作丙丁线成乙丁丙钝角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率乙丁边三尺八寸为二率甲角五十三度八分与一百八十度相减余一百二十六度五十二分折半得六十三度二十六分即丁钝角之外角(与丁丙甲)(角等)其正弦八万九千四百四十一为三率求得四率二万七千八百五十八为丙分角正弦捡表得十六度十分为丙分角与丁丙甲角六十三度二十六分相加得七十九度三十六分即丙角度以丙分角与丁外角相减余四十七度十六分即乙角度也设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲丙边一丈一尺二寸甲乙乙丙両边较二尺八寸求乙角丙角度各几何法依乙丙边度截甲乙边于丁余甲丁即両边较自丙至丁作丙丁线成甲丁丙钝角形乃以甲丁边二尺八寸与甲丙边一丈一尺二寸相加得一丈四尺为一率甲丁与甲丙相减余八尺四寸为二率甲角半外角六十三度二十六分之正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率一十一万九千九百九十一为半较角切线捡表得五十度十二分为半较角度与半外角相减余十三度十四分为丙分角倍之与甲角相加得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也葢以丙分角与甲角相加则得丙丁乙角与丙大分角等是丙大分角与一丙小分角一甲角之度等故倍小分角与甲角相加得丙全角也设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分乙丙边一丈二尺二寸甲乙甲丙両边和二丈六尺二寸求丙角乙角度各几何法以甲乙与甲丙相加得丙丁自乙至丁作乙丁线成丁乙丙三角形乃以乙丙边一丈二尺二寸为一率丙丁边二丈六尺二寸为二率甲角五十三度八分折半得二十六度三十四分即丁角(与甲乙丁角等)其正弦四万四千七百二十四为三率求得四率九万六千零四十六为丙乙丁角正弦捡表得七十三度五十分为丙乙丁角内减半甲角二十六度三十四分(即甲乙丁角)余四十七度十六分即乙角度以甲角乙角相并与半周相减余七十九度三十六分即丙角度也设如甲乙丙三角形甲角五十三度八分甲乙边一丈五尺甲丙乙丙両边和二丈三尺四寸求乙角丙角度几何法以甲丙与乙丙相加得甲丁自乙至丁作乙丁线成甲乙丁三角形乃以甲丁边二丈三尺四寸与甲乙边一丈五尺相加得三丈八尺四寸为一率甲丁边与甲乙边相减余八尺四寸为二率甲角五十三度八分与半周相减折半得半外角六十三度二十六分其正切线一十九万九千九百八十六为三率求得四率四万三千七百四十七为半较角切线捡表得二十三度三十八分为半较角与半外角相减余三十九度四十八分为丁角度倍之得七十九度三十六分即丙角度以甲角丙角相倂与半周相减余四十七度十六分即乙角度也设如有一旗杆不知其髙用日影测之问髙几何法先立一表长五尺看影长几尺如得四尺同时看旗杆影为几尺如得二丈四尺乃以表影长四尺为一率表髙五尺为二率旗杆影长二丈四尺为三率求得四率三丈即旗杆之髙也如圗甲乙为旗杆乙丙为旗杆影丁戊为表髙戊己为表影甲乙丙与丁戊己为同式勾股形故己戊与丁戊之比同于乙丙与甲乙之比也设如有塔一座不知其髙亦不知其逺用日影测之问塔髙几何法先立一表长六尺影长四尺同时看塔影所至记之阅时看表影长五尺塔影比先所记之处长几尺如得八尺乃以表影差一尺为一率表髙六尺为二率影差八尺为三率求得四率四丈八尺即塔之髙也如圗甲乙为塔髙乙丙为先所记塔影乙丁为后所记塔影戊己为表髙己庚为先所记表影己辛为后所记表影戊庚辛与甲丙丁戊己庚与甲乙丙皆为同式形故庚辛与戊己之比同于丙丁与甲乙之比也设如逺望一村欲知其逺用放鎗騐时仪坠子候之问逺几何法令一人在村边放鎗一见烟出即用騐时仪坠子候之一闻鎗响即止计自见烟至闻响得几秒如得三秒即以一秒为一率一百二十八丈五尺七寸为二率三秒为三率求得四率三百八十五丈七尺一寸即距村之逺也葢响与烟一时并出其见烟而未闻响者声未至也故自见烟至闻响之分即路逺之分尝以其分较之路逺五里得七秒以七归之每秒得一百二十八丈五尺七寸闻雷亦然自一见电光至闻雷响候其秒数即得里数也设如梭形阔四尺中长九尺求积几何法以中长九尺与阔四尺相乘得三十六尺折半得十八尺即梭形积也如圗甲乙丙丁梭形以乙丁与甲丙相乘则成戊己庚辛长方形其积比梭形多一倍故半之为梭形积也此法必甲乙与乙丙等甲丁与丁丙等或甲乙与甲丁等乙丙与丁丙等则其中长适为両三角形之垂线故长阔相乘折半而得积也若中长不得为垂线则湏先量得四边数及长数或阔数用三角形求中垂线法算之设如三广形上阔三尺中阔五尺下阔四尺上截长六尺下截长四尺求积几何法以中阔五尺与上阔三尺相加折半得四尺与上截长六尺相乘得二十四尺又以中阔五尺与下阔四尺相加折半得四尺五寸与下截长四尺相乘得十八尺両数相并得四十二尺即三广形积也如圗甲乙丙丁戊己三广形以乙戊线分之则成甲乙戊己乙丙丁戊両梯形故用梯形求积之法(见第十九卷直线形)求得両梯形之积而并之即为三广形积也旧术以上下阔相加折半加中阔与长相乘得积此必上下両截长数相等者然后可算若上下不相等湏用両梯形算之设如眉形両尖相距弦长二十四尺外弧距弦九尺内弧距弦四尺求积几何法以両尖相距二十四尺为弦外弧距弦九尺为矢用弧矢求积法以矢九尺为首率弦二十四尺折半得十二尺为中率求得末率十六尺加矢九尺得二十五尺为圜径折半得半径十二尺五寸为一率半弦十二尺为二率半径十万为三率求得四率九万六千为半外弧之正弦捡八线表得七十三度四十五分为半外弧之度分倍之得一百四十七度三十分为外弧之度分乃以三百六十度为一率外弧一百四十七度半为二率全径二十五尺求得全周七十八尺五寸三分九厘八豪为三率求得四率三十二尺一寸七分九厘五豪为外弧之数与半径十二尺五寸相乘折半得二百零一尺十二寸十八分为自圜心所分弧背三角形积又以矢九尺与半径十二尺五寸相减余三尺五寸与弦二十四尺相乘折半得四十二尺为自圜心至弦所分直线三角形积与弧背三角形积相减余一百五十九尺一十二寸一十八分为外弧矢全积(见第二十卷曲线形)又以両尖相距二十四尺为弦内弧距弦四尺为矢亦用弧矢求积法求得内弧矢虚积六十五尺三十七寸六十分与外弧矢积相减余九十三尺七十四寸五十八分即眉形积也如圗甲乙丙丁眉形甲丙为弦乙戊为外弧矢丁戊为内弧矢成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故先求得甲乙丙戊弧矢形积又求得甲丁丙戊弧矢形积相减即得甲乙丙丁眉形积也设如橄㰖形长二尺四寸阔八寸求积几何法以长二尺四寸为弦阔八寸折半得四寸为矢用弧矢求积法求得弧矢积六十五尺三十七寸六十分倍之得一百三十尺七十五寸二十分即橄㰖形积也如圗甲乙丙丁橄㰖形自甲至丙作甲丙线平分乙丁于戊则成甲乙丙戊甲丁丙戊両弧矢形故求得弧矢形积倍之即橄㰖形积也设如钱形径一尺二寸求积几何法以钱形径一尺二寸求得圜面积一尺一十三寸零九分七十三厘又求得内容方积七十二寸相减余四十一寸零九分七十三厘倍之得八十二寸一十九分四十六厘即钱形积也如图甲乙丙丁钱形作戊己己庚庚辛辛戊四线则分为壬癸子丑寅卯辰巳八弧矢形故先求得圜形积又求得戊己庚辛内方积相减余壬癸子丑四弧矢形倍之即得钱形积也设如银锭形径一尺二寸求积几何法以银锭形径一尺二寸自乘得一尺四十四寸折半得七十二寸即银锭形积也如图甲乙丙丁戊己银锭形以甲丁径自乘折半则得乙丙戊己正方其所虚庚辛二弧矢形与所盈壬癸二弧矢形之积等故乙丙戊己正方积即与银锭形之积等也设如甲乙丙丁四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘甲圜径比乙圜径多三尺乙圜径比丙圜径多三尺丙圜径比丁圜径多二尺问四圜径各几何法用圜积方积定率比例以圜积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率四平圜共积二百一十七尺五十五寸五十三分一十厘为三率求得四率二百七十七尺为四平方共积乃以丙圜径比丁圜径所多之二尺自乘得四尺又以乙圜径比丁圜径所多之五尺(丙比丁多二尺乙又比丙多三尺故)(乙比丁多五尺)自乘得二十五尺又以甲圜径比丁圜径所多之八尺(乙比丁多五尺甲又比乙多三)(尺故甲比丁多八尺)自乘得六十四尺三数相并得九十三尺与四平方共积二百七十七尺相减余一百八十四尺为长方积以丙圜径比丁圜径多二尺乙圜径比丁圜径多五尺甲圜径比丁圜径多八尺相加得十五尺为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八尺二归之得四尺即丁圜径加二尺得六尺即丙圜径再加三尺得九尺即乙圜径再加三尺得十二尺即甲圜径也如图甲乙丙丁四平圜形变为甲乙丙丁四平方形则四圜径之较即四方边之较故于四方形内减去壬癸子三较方余戊己庚辛四小正方丑寅卯辰巳午六长方共成未申酉戌一长方戌亥为长阔之较即三边较之共数故用带纵较数开平方法算之得阔折半而得丁方边即丁圜径递加之即得甲乙丙各圜径也设如有一方形内不切方边容一圜形但知方边离圜界五丈方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分问方边圜径各几何法以方边离圜界五丈自乘得二十五丈四因之得一百丈与方内圜外积三百二十一丈四十六尺零一寸八十四分相减余二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分乃以圜积定率七八五三九八一六与方积定率一○○○○○○○○相减余二一四六○一八四为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百二十一丈四十六尺零一寸八十四分为三率求得四率一千零三十一丈九十五尺八十四寸五十八分为长方积又以二一四六○一八四为一率一○○○○○○○○为二率以方边离圜界五丈四因之得二十丈为三率求得四率九十三丈一尺九寸五分为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内圜径加方边离圜界共十丈得二十丈即外方边也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方边离圜界五丈自乘四因与积相减则减去己庚辛壬四小方形余癸子丑寅四长方形及卯辰巳午四隅积今欲以卯辰巳午四隅积补足戊圜虚积共成未申酉戌长方形应以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率今所余之卯辰巳午方内圜外积为三率则得四率为未亥方积而戊圜虚积即补足在其中然今乃以卯辰巳午四隅积并癸子丑寅四长方积共为三率则戊圜虚积固已补足而癸子丑寅四长方积必多补出之分是知癸子丑寅四长方形其寛仍为戌酉而亥酉之长必亦多补出之分矣(癸子丑寅四长)(方形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几)(何原本八卷第七节)故又以定率之方积圜积相减余方内圜外积为一率方积为二率以方边离圜界五丈四因之得亥酉之长为三率求得四率即将亥酉之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得未申阔即为内圜径也设如有一方形内不切方边容一圜形但知方角离圜界二十一丈二尺一寸三分方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分问方边圜径各几何法以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分自乘得四百五十丈倍之得九百丈与方内圜外积一千四百四十二丈九十二尺零三寸六十八分相减余五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分乃以定率弧矢积二八五三九八一六为一率(方积一○○○○○○○○方内容圜积七八五三九八)(一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六为弧矢积)圜内容方积五○○○○○○○为二率今减余积五百四十二丈九十二尺零三寸六十八分为三率求得四率九百五十一丈十六尺三十寸四十八分为长方积又以二八五三九八一六为一率五○○○○○○○为二率以方角离圜界二十一丈二尺一寸三分用斜求方法求得四隅方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率一百零五丈一尺一寸六分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内圜所容方边以四隅方边十五丈倍之得三十丈与内圜所容方边十丈相加得四十丈即外方边以内圜所容方边十丈求得对角斜线十四丈一尺四寸二分即内圜径加方角离圜界共四十二丈四尺二寸六分得五十六丈五尺六寸八分即外方对角斜线也如图甲乙丙丁方形内容戊圜形以方角离圜界甲卯自乘倍之与积相减则减去己庚辛壬四小正方形(以甲卯自乘折半得己正方形积故甲卯)(自乘倍之即得四正方形积也)余癸子丑寅四长方形而内虚未申酉戌四弧矢形今欲以所虚之未申酉戌四弧矢形变为卯辰巳午一正方形应以定率弧矢积为一率方积为二率未申酉戌四弧矢虚积为三率则得四率为卯辰巳午虚方积然今无未申酉戌四弧矢虚积而以癸子丑寅四长方形内虚未申酉戌四弧矢形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为卯辰亥干长方形而内虚卯辰巳午正方形葢癸子丑寅四长方实积与午巳亥干长方积之比同于弧矢积与方积之比则其所虚之未申酉戌四弧矢形与卯辰巳午正方形之比亦同于弧矢积与方积之比而癸子丑寅之共长与长亥之比亦必同于弧矢积与方积之比矣故以四长方之共边比例得辰亥边为长阔和求得卯辰阔为内圜所容正方形之每一边也设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方角五丈圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分问圜径方边各几何法以圜界离方角五丈自乗得二十五丈四因之得一百丈又以圜积定率七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积二百六十四丈十五尺九十二寸六十四分为三率求得四率三百三十六丈三十三尺八十寸二十三分内减所得一百丈余二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分乃以定率弧矢积二八五三九八一六(方积一○○○○○○○○内容圜积七八五)(三九八一六圜内容方积五○○○○○○○相减余二八五三九八一六)用圜积变方积法通之得三六三三八○二三为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积二百三十六丈三十三尺八十寸二十三分为三率求得四率六百五十丈三十八尺七十四寸为长方积又以三六三三八○二三为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方角五丈四因之得二十丈为三率求得四率五十五丈零三寸八分七厘四豪为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十丈即内方对角斜线用斜求方法算之得七丈零七寸一分即内方边以内方对角斜线十丈加圜界离方角共十丈得二十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而多丑寅卯辰四弧矢形所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积多丑寅卯辰四弧矢形故所变之方环亦多丑寅卯辰四弧矢形所变之积也以圜界离方角五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小方形余酉戌亥干四长方形及丑寅卯辰四弧矢形所变之积今欲以丑寅卯辰四弧矢形所变之积补成辛壬癸子正方形共成辛壬坎艮长方形应以定率四弧矢形已变之积为一率方积为二率(设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七)(八五三九八一六圜内容方积为五○○○○○○○内圜积与内方积相减)(余二八五三九八一六是二八五三九八一六与一○○○○○○○○相比)(为弧矢积与外方积之定率也然今所多之四弧矢积先已用圜率变为方率)(故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率)(弧矢积二八五三九八一六为三率得四率三六三三八○二三是三六三三)(八○二三与一○○○○○○○○相比为已变之弧矢积与外方积之定率)(也)今所多之丑寅卯辰四弧矢形已变之积为三率则得四率为辛壬癸子正方积然今乃以丑寅卯辰四弧矢形已变之积并酉戌亥干四长方积共为三率则辛壬癸子正方积固已补足而酉戌亥干四长方必多补出之分是知酉戌亥干四长方其寛仍为子癸而癸坎之长必亦多补出之分矣故又以四弧矢形已变之积为一率方积为二率以圜界离方边五丈四因之得癸坎之长为三率求得四率即将癸坎之长亦増补出之分乃以此为长阔之较求得辛壬阔即内方对角斜线也设如有一圜形内不切圜界容一方形但知圜界离方边十五丈圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分问圜径方边各几何法以圜界离方边十五丈自乘得二百二十五丈四因之得九百丈又以圜积方积定率比例圜积七八五三九八一六为一率方积一○○○○○○○○为二率今圜内方外积一千一百五十六丈六十三尺七十寸四十分为三率求得四率一千四百七十二丈六十七尺六十寸四十六分内减所得九百丈余五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分乃以方内圜外积二一四六○一八四(方积一○○○○○○○○内容圜积七八五三九八一六相)(减余二一四六○一八四)用圜积变方积法通之得二七三二三九五五为一率方积一○○○○○○○○为二率今减余积五百七十二丈六十七尺六十寸四十六分为三率求得四率二千零九十五丈八十八尺六十三寸六十一分为长方积又以二七三二三九五五为一率一○○○○○○○○为二率以圜界离方边十五丈四因之得六十丈为三率求得四率二百一十九丈五尺八寸八分为长阔和用带纵和数开平方法算之得阔十丈即内方边加圜界离方边共三十丈得四十丈即外圜径也如图甲乙圜形内容丙方形以圜积方积定率比例则变为丁戊己庚辛壬癸子方环形而少丑寅卯辰四隅所变之积葢圜环变为方环今圜内方外积比圜环积少丑寅卯辰四隅故所变之方环亦少丑寅卯辰四隅所变之积也以圜界离方边十五丈自乘四因与积相减则减去巳午未申四小正方形余酉戌亥干四长方形而内少丑寅卯辰四隅所变之积今欲以所虚之丑寅卯辰四隅形所变之积作为辛壬癸子正方形应以定率四隅形已变之积为一率方积为二率(设方积为一○○○○○○○○方内容圜积为七八五三九)(八一六相减余二一四六○一八四是三一四六○一八四与一○○○○○)(○口○相比为圜外四隅积与外方积之定率也然今所少者乃圜外四隅积)(用圜积方积比例之数故又以圜积七八五三九八一六为一率方积一○○)(○○○○○○为二率圜外四隅积二一四六○一八四为三率求得四率二)(七三二三九五五是二七三二三九五五与一○○○○○○○○相比为已)(变之四隅积与外方积之定率也)丑寅卯辰四隅形已变之虚积为三率则得四率为辛壬癸子虚方积然今无辛壬癸子四隅形已变之虚积而以酉戌亥干四长方内虚丑寅卯辰四隅形之余积为三率实积既变则虚积亦变故求得四率为辛壬坎艮长方形而内虚辛壬癸子正方形葢酉戌亥干四长方实积与子癸坎艮长方形之比同于己变之四隅积与方积之比则其所虚之丑寅卯辰四隅已变之积与辛壬癸子正方形之比亦同于己变之四隅积与方积之比而酉戌亥干之共长与壬坎之比亦少同于己变之四隅积与方积之比矣故以四长方之共边比例而得壬坎边为长阔和求得辛壬阔为内方边也设如有一大球体内容四小球体大球径一尺二寸求小球径几何法以大球径一尺二寸自乘得一尺四十四寸倍之得二百八十八寸为长方积以大球径一尺二寸四因之得四尺八寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五寸三分九厘三豪即内容四小球之径也如图甲乙大球体内容丙丁戊己四小球体试自四小球之中心俱各作线聮之则成一四等面体又以甲乙大球心为心丙丁戊己小球心为界作一虚圆则成四等面体外切圆球体其四面体之一边即小球径以四面体外切丁庚虚球径加一小球径即大球径故以大球径自乘得甲乙辛壬正方形内甲癸丁子为小球径自乘方(即四面体每边自乘方)丁庚辛丑为四面体外切圆球径自乘方癸乙庚丁子丁丑壬为四面体之每边与外切圆球径相乘二长方凡四面体每边自乘方为外切圆球径自乘方三分之二(见第二十八卷球内容四)(面体法)故甲癸丁子正方形为丁庚辛丑正方形三分之二将甲乙辛壬正方形倍之则得甲癸丁子二正方丁庚辛丑二正方癸乙庚丁四长方而丁庚辛丑二正方为甲癸丁子正方形之三倍是共得甲癸丁子五正方癸乙庚丁四长方即与寅卯辰巳长方积等其巳午长阔之较为甲乙球径之四倍故四因大球径为较纵求得阔即小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为四面体之一边自乘二归三因开平方得四面体外切圆球径再加一小球径即大球径也设如有一大球体内容六小球体大球径一尺二寸求小球径几何法以大球径一尺三寸自乘得一尺四十四寸为长方积以大球径一尺二寸倍之得二尺四寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔四寸九分七厘即内容六小球之径数也如图甲乙大球体内容丙丁戊己庚辛六小球体试自六小球之中心俱各作线聮之则成一八等面体其八面体之一边即小球径以八面体之对角线加一小球径即大球径故以大球径自乘得甲乙壬癸正方形内甲子丙丑为小球径自乘方(即八面体每边自乘方)丙戌壬寅为八面体对角线自乘方子乙戊丙丑丙寅癸为八面体之每边与对角线相乘二长方凡八面体每边自乘方为对角线自乘方之一半(见第二十七卷八面体法)故丙戊壬寅一正方与甲子丙丑二正方等是甲乙壬癸一正方共为甲子丙丑三正方子乙戊丙二长方与卯辰巳午长方积等其午未长阔之较为甲乙球径之二倍故倍大球径为较纵求得阔即小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为八面体之一边自乘加倍开方得对角线再加一小球径即大球径也设如一大球体内容八小球体大球径一尺二寸求小球径几何法以大球径一尺二寸自乘得一百四十四寸折半得七十二寸为长方积以大球径一尺二寸为长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔四寸三分九厘二豪即内容八小球之径数也如图甲乙大球体内容丙丁戊己庚辛壬癸八小球体试自八小球之中心俱各作线聮之则成一正方体其正方体之一边即小球径以正方体之丙壬对角斜线加一小球径即大球径故以大球径自乘得甲乙子丑正方形内甲寅卯辰为小球径自乘方卯巳子午为正方体对角斜线自乘方寅乙巳卯辰卯午丑为小球径乘正方体对角斜线二长方凡正方对角斜线自乘方为每边自乘方之三倍(见第二十八卷球内容正方体法)故卯巳子午正方形为甲寅卯辰正方形之三倍折半即得未甲辰申甲寅卯辰二正方寅乙巳卯一长方共成未乙巳申一长方甲乙球径即长阔之较故用带纵较数开平方法算之得阔即小球径也如先有小球径求大球径则以小球径为正方体之一边自乘三因之开平方得正方体对角斜线再加一小球径即大球径也设如有三角形底十四尺中埀线十二尺大腰与小腰之较二尺求両腰各几何法借一根为小腰则大腰为一根多二尺以一根自乗得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乗之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以一根多二尺自乘得一平方多四根多四尺为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方多四根少一百四十尺为大分底之面积又以底十四尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方多四根少二百八十四尺余四百八十尺少二平方少四根折半得二百四十尺少一平方少二根为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而小分底乘大分底之面积为中率小分底之积为末率也乃以首率大分底之面积一平方多四根少一百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方多四立方少二百八十四平方少五百七十六根多二万零一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二百四十尺少一平方少二根自乘得一三乘方多四立方少四百七十六平方少九百六十根多五万七千六百尺此二数为相等両边各减一三乘方四立方二万零一百六十尺又各加四百七十六平方九百六十根得一百九十二平方多三百八十四根与三万七千四百四十尺相等一百九十二平方多三百八十四根既与三万七千四百四十尺相等则一平方多二根必与一百九十五尺相等乃以一百九十五尺为长方积以多二根作二尺为长阔较用带纵较数开平方法算之得阔十三尺为一根之数即小腰加二尺得十五尺即大腰也设如有三角形底十四尺中垂线十二尺大腰与小腰之和二十八尺求大小腰各几何法借一根为小腰则二十八尺少一根为大腰以一根自乘得一平方为小腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少一百四十四尺为小分底之面积以二十八尺少一根自乘得七百八十四尺少五十六根多一平方为大腰之面积内减中垂线十二尺自乘之一百四十四尺余一平方少五十六根多六百四十尺为大分底之而积又以底四十尺自乘得一百九十六尺内减去大小両分底之共面积二平方少五十六根多四百九十六尺余五十六根少三百尺少二平方折半得二十八根少一百五十尺少一平方为小分底乘大分底之面积此数与大分底之面积及小分底之面积为连比例三率葢大分底之面积为首率而大分底乗小分底之而积为中率小分底之而积为末率也乃以首率大分底之面积一平方少五十六根多六百四十尺与末率小分底之面积一平方少一百四十四尺相乘得一三乘方少五十六立方多四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺又以中率小分底乘大分底之面积二十八根少一百五十尺少一平方自乘得一三乘方少五十六立方多一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺此二数为相等両边各减一三乘方又各加五十六立方得四百九十六平方多八千零六十四根少九万二千一百六十尺与一千零八十四平方少八千四百根多二万二千五百尺相等両边各减四百九十六平方各加八千四百根又各加九万二千一百六十尺得一万六千四百六十四根与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等一万六千四百六十四根既与五百八十八平方多一十一万四千六百六十尺相等则二十八根必与一平方多一百九十五尺相等故以一百九十五尺为长方积以二十八根作二十八尺为长阔和求得阔十三尺为一根之数即小腰也御制数理精蕴下编巻三十七
## 下编卷三十八
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十八末部八对数比例对数比例对数比例乃西士若往讷白尔所作以借数与真数对列成表故名对数表又有恩利格巴理知斯者复加增修行之数十年始至中国其法以加代乘以减代除以加倍代自乘故折半即开平方以三因代再乘故三归即开立方推之至于诸乘方莫不皆以假数相求而得真数葢为乘除之数甚繁而以假数代之甚易也其立数之原起于连比例葢比例四率二率与三率相乘一率除之得四率而递加递减之四数第二数第三数相加减第一数则得第四数作者有见于此故设假数以加减代乘除之用此表之所以立也然连比例之大者莫如十百千万葢一与十十与百百与千千与万万与十万其数皆为一而递进一位取其整齐而无竒零也一为数之始以之乘除数皆不变故一之假数定为○而十之假数定为一百之假数定为二千之假数定为三万之假数定为四十万之假数定为五推之百千万亿皆递加一数此对数之大纲也其间之零数则用中比例累求而得以首率末率两真数相乘开方即得中率之真数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数又法用递乘而得以真数递次相乘其乘得之位数即所得之假数此二法者理虽易明而数则甚繁也又有递次开方一法以真数递次开方假数递次折半至于数十次使彼此皆可为比例而假数由之而生又有相较之一法省开方之多次尤为甚㨗至于他数之可以乘除得者如二与三相乘而得六则以二之假数与三之假数相加即为六之假数又以二除十而得五则以二之假数与十之假数相减即为五之假数之类其不由乘除而得者则又以累乘累除之法求之此对数之细目也今为推其理考其数先详作表之原次明用表之法使学者知作者之难而用之甚易甚勿以易而忘其难也明对数之原之一凡真数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数即得第四率相对之假数若减第四率相对之假数即得第一率相对之假数如二四八十六连比例四率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四其递加递减之数皆为一以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加得五内减一率二相对之假数一即得四率十六相对之假数四若减四率十六相对之假数四即得一率二相对之假数一或以二之假数为三四之假数为五八之假数为七十六之假数为九其递加递减之数皆为二以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加内减一率二相对之假数三即得四率十六相对之假数九若减四率十六相对之假数九即得一率二相对之假数三明对数之原之二凡真数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数即得末率相对之假数若减末率相对之假数即得首率相对之假数如一三九连比例三率任对设一之假数为四三之假数为五九之假数为六其递加递减之数皆为一以中率三相对之假数五倍之得十内减首率一相对之假数四即得末率九相对之假数六若减末率九相对之假数六即得首率一相对之假数四或以一之假数为八三之假数为五九之假数为二其递加递减之数皆为三以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八即得末率九相对之假数二若减末率九相对之假数二即得首率一相对之假数八明对数之原之三凡真数连比例几率任对设递加递减之较相等之假数其中隔位取比例四率其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加内减第一率相对之假数亦得第四率相对之假数若减第四率相对之假数亦得第一率相对之假数如二四八十六三十二六十四一百二十八二百五十六连比例几率任对设二之假数为一四之假数为二八之假数为三十六之假数为四三十二之假数为五六十四之假数为六一百二十八之假数为七二百五十六之假数为八其递加递减之数皆为一任取四八六十四一百二十八之四率以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九内减一率四相对之假数二即得四率一百二十八相对之假数七若减四率一百二十八相对之假数七即得一率四相对之假数二明对数之纲之一凡假数皆可随意而定然一之假数必定为○方与真数相应而真数连比例率十百千万皆为一但递进一位则其假数亦皆递加一数葢乘除之数始于一故一不用乘亦不用除而加减之数始于○故○无可加亦无可减也假数既以加减代乘除故一之假数必定为○而一与十十与百百与千千与万万与十万皆为加十倍之相连比例率然其数皆为一但递进一位故一之假数定为○者十之假数即定为一百之假数即定为二千之假数即定为三万之假数即定为四十万之假数即定为五百万之假数即定为六千万之假数即定为七亿之假数即定为八亦皆递加一数而假数即与位数相同试以一百与一千相乘得十万为进二位以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加即得十万相对之假数五亦为加二数也以一十除一千得一百为退一位以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减即得一百相对之假数二亦为减一数也如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数未甞不可然真数进一位者假数则加二数即不得与位数相同矣明对数之纲之二凡真数不同而位数同者其假数虽不同而首位必同真数相同而递进几位者其假数首位必递加几数而次位以后却相同如自一至九真数皆为单位则假数首位皆为○故二之假数为○三○一○二九九九五七三之假数为○四七七一二一二五四七四之假数为○六○二○五九九九一三五之假数为○六九八九七○○○四三六之假数为○七七八一五一二五○四首位以后零数递增至十则首位皆为一至百则首位皆为二至千则首位皆为三至万则首位皆为四至十万则首位皆为五如一十一一百一十一千一百一万一千一十一万虽递进一位而其数皆为一一故其假数首位虽递加一数而次位以后皆同为○四一三九二六八五二明对数之目用中比例求假数法之一凡连比例率以首率末率两真数相乘开方即得中率之真数以首率末率两假数相加折半即得中率之假数如一十为首率一百为中率一千为末率以首率一十与末率一千相乘开平方得一百为中率以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加折半得二○○○○○○○○○○即中率一百之假数葢首率末率相乘与中率自乘之数等以首率末率两假数相加即与中率之假数加倍之数等故折半为中率之假数也明对数之目用中比例求假数法之二凡十百千万之假数既定而欲求其间零数之假数则以前后相近之两数一为首率一为末率求得中率之真数并求得中率之假数累次比例使中率恰得所求之真数其假数即为所求之假数如求九之假数因九在一与十之间则以一为首率十为末率相乘开方得三一六二二七七七为第一次之中率即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数此所得之中率较之首率去九为近故以所得之中率复为首率十为末率相乘开方得五六二三四一三二为第二次之中率即以第二次之首率末率两假数相加折半得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数又以第二次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得七四九八九四二一为第三次之中率即以第三次之首率末率两假数相加折半得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数又以第三次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得八六五九六四三二为第四次之中率即以第四次之首率末率两假数相加折半得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数又以第四次所得之中率复为首率十为末率相乘开方得九三○五七二○四为第五次之中率即以第五次之首率末率两假数相加折半得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数此所得之中率较之末率去九为近故以第五次所得之中率复为末率仍以第五次之首率为首率相乘开方得八九七六八七一三为第六次之中率即以第六次首率末率两假数相加折半得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数由此递推去九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○其假数为○九六○九三七五○○○第八次之中率为九○一七九七七七其假数为○九五七○三一二五○○第九次之中率为九○一七三三三三其假数为○九五五○七八一二五○第十次之中率为八九九七○七九六其假数为○九五四一○一五六二五第十一次之中率为九○○七二○○八其假数为○九五四五八九八四三七第十二次之中率为九○○二一三八八其假数为○九五四三四五七○三一第十三次之中率为八九九九六○八八其假数为○九五四二二三六三二八第十四次之中率为九○○○八七三七其假数为○九五四二八四六六七九第十五次之中率为九○○○二四一二其假数为○九五四二五四一五○三第十六次之中率为八九九九九二五○其假数为○九五四二三八八九一五第十六次之中率为九○○○○八二一其假数为○九五四二四六五二○九第十八次之中率为九○○○○○四一其假数为○九五四二四二七○六二第十九次之中率为八九九九九六五○其假数为○九五四二四○七九八九第二十次之中率为八九九九九八四五其假数为○九五四二四一七五二六第二十一次之中率为八九九九九九四三其假数为○九五四二四二二二九四第二十二次之中率为八九九九九九九二其假数为○九五四二四二四六七八第二十三次之中率为九○○○○○一六其假数为○九五四二四二五八七○第二十四次之中率为九○○○○○○四其假数为○九五四二四二五二七四第二十五次之中率为八九九九九九九八其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○其假数为○九五四二四二五一二五即所求之假数也然所得中率虽为九而七空位之后尚有竒零故所得之假数犹为稍大故开方之位数愈多则所得之假数愈密也明对数之目用递次自乘求假数法之一凡连比例率之自小而大者以第一率之真数递次自乘即得加倍各率之真数以第一率之假数递次加倍即得加倍各率之假数而以各率之假数按率除之即得第一率之假数如以二为连比例第一率其假数为○三○一○二九九九五七以第一率之真数二自乘得四为第二率之真数以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数而以第二率之假数用二除之即得第一率之假数又以第二率之真数四自乘得十六为第四率之真数以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数而以第四率之假数用四除之即得第一率之假数也明对数之目用递次自乘求假数法之二凡连比例率自小而大者其假数之首位既因真数之位数而递加故求假数者以所求之真数为连比例第一率递次自乘即得加倍各率之真数以第一率假数之首位递次加倍即得加倍各率之假数而真数自乘又进一位者则假数加倍后又加一数而以各率之假数按次除之即得所求第一率之假数如求二之假数则以二为连比例第一率是为单位故傍纪○即第二率之假数首位为○也又以第一率之真数二自乘得四为第二率之真数仍为单位故傍亦纪○即第二率之假数首位亦为○也又以第二率之真数四自乘得十六为第四率之真数是为进前一位故傍纪一即第四率之假数首位为一也又以第四率之真数十六自乘得二百五十六为第八率之真数以第四率之假数一倍之得二是为进前二位故傍纪二即第八率之假数首位为二也又以第八率之真数二百五十六自乘得六万五千五百三十六为第十六率之真数以第八率之假数二倍之得四是为进前四位故傍纪四即第十六率之假数首位为四也又以第十六率之真数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六为第三十二率之真数以第十六率之假数四倍之得八又因第十六率真数自乘所得首位乃逢十又进一位之数故将假数加倍所得之八又加一得九是为进前九位故傍纪九即第三十二率之假数首位为九也由此递乘至第一万六千三百八十四率之真数则自单位以前共得四千九百三十二位故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数以一万六千三百八十四除之得○三○一○即为第一率二之假数葢以一万除四千为实不足法一倍则其首位必为○也然其位数尚少故仅得五位若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之真数则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位即其假数为四一三七五六五五三○七以率数除之得○三○一○二九九九五六六即为第一率二之假数也此法葢因真数进一位则假数首位加一数今递乘所得之真数既得若干位则其假数首位必加若干数乃以首位为单位递进向前者也而连比例各率之假数以率数除之即得第一率之假数故以率数除之所得第一率之假数为首位以后之零数也明对数之目用递次开方求假数法之一凡连比例率之自大而小者以第一率之真数递次开方即得加倍各率之真数以第一率之假数递次折半即得加倍各率之假数而以各率之假数按率乘之即得第一率之假数如以二百五十六为连比例第一率其假数为二四○八二三九九六五三以第一率之真数二百五十六开方得十六为第二率之真数以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数而以第二率之假数用二乘之即得第一率之假数又以第二率之真数十六开方得四为第四率之真数以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数而以第四率之假数用四乘之即得第一率之假数明对数之目用递次开方求假数法之二凡递次开方率皆用二倍葢真数开方假数折半而折半即二归故递次折半之假数以递次加倍之率数乘之即得第一率之假数如原数为第一率加倍得二为第一次开方之率数(葢折半即二归以二归者复用二乘必仍得原数也)又加倍得四为第二次开方之率数(葢折)(半二次即四归以四归者复用四乘必亦得原数也)递次加倍则第三次之率为八第四次之率为十六第五次之率为三十二第六次之率为六十四第七次之率为一百二十八第八次之率为二百五十六第九次之率为五百一十二第十次之率为一千零二十四第二十次之率为一百零四万八千五百七十六第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四凡有真数求假数皆以所求之数为第一率真数开方几次则假数必折半几次今虽无第一率之假数而苟得其折半第几次之假数则加倍几次必得第一率之假数故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘即得第一率之假数也明对数之目用递次开方求假数法之三凡真数不可与假数为比例者因真数开方假数折半其相比之分数不同若开方至于数十次则开方之数即与折半之数相同故假数即可用真数比例而得是以凡求假数者皆以其真数开方至几十次与此所得之假数相比即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得所求之假数如真数为一十假数为一○以真数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八第六次开方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一第七次开方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四如此递次开方至第五十四次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五而与第五十三次开方所得折半之数同是故真数即可与假数为比例矣乃以一十之假数一○折半得○五第二次折半得○二五第三次折半得○一二五第四次折半得○○六二五第五次折半得○○三一二五第六次折半得○○一五六二五第七次折半得○○○七八一二五如此递次折半亦至第五十四次则得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○即为第五十四次开方之假数于是以真数之零数一二七八一九一四九三二○○三二三五为一率假数之零数五五五一一一五一二三一二五七八二七○为二率真数之零数一为三率(一率为十)(七位则三率亦加十六空位以足其分)得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四即为一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数前亦仍得十七空位盖真数为一则假数为○今真数之零数即比一多之较假数之零数即比○多之较故以真数之较与假数之较为比例也凡求假数者皆以真数开方至几十次首位得一又得十五空位则以其后之零数与此所得之假数为比例即得其开方第几十次之假数按前率数乘之即得第一率之假数也明对数之目用递次开方求假数法之四凡真数首位为一者则开方首位必得一若首位非一者则以真数递乘几次使首位得一即以递乘所得之真数递次开方至得十五空位乃以其后之零数与前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数相比例即得开方第几次之假数按前率数乘之即得递乘所得真数之假数再看递乘所得真数为连比例第几率则以第几率之数除之即得所求之假数如求二之假数则以二为连比例第一率递次乘之第二率得四第三率得八第四率得十六第五率得三十二第六率得六十四第七率得一百二十八第八率得二百五十六第九率得五百一十二第十率得一千零二十四是首位既得一又得一空位乃以此数命为第一率其首位之一千命为单位开方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七第二次开方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四第三次开方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八第四次开方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八第五次开方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六第六次开方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五第七次开方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七如此递次开方至第十七次则得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四第二十七次则得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二第三十七次则得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七第四十七次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七是已得十五空位矣乃以前法所得真数之零数一为一率(三率有十七位则一率亦加十六空位以足其)(分)其假数十七空位后之零数四三四二九四四八一九○三二五一八○四为二率今所得真数之零数一六八五一六○五七○五三九四九七七为三率得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即为开方第四十七次之假数前亦仍为十七空位以加倍四十七次之率数一四○七三七四八八三五五三二八乘之得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为第一率一○二四之假数(葢开方第)(四十七次之假数为十八位前十七空位共三十五位今相乘得三十三位故)(前止有二空位亦共三十五位也此截用二十一位)然一○二四首位之一开方虽命为单位而其实则为千位千之假数首位应为三故首位加三得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五是为一千零二十四之假数又因一千零二十四为二之连比例第十率故以十归之得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五即为所求之连比例第一率二之假数也明对数之目用递次开方求假数法之五凡求假数真数开方之次数愈多则所得之假数愈密然用假数不过至十二位观前递次开方表内至九空位以后其开方之数与折半之数已同七位其零数所差甚微故真数开方至二十七次即可以立率如求二之假数按前法递次乘之至第十率得一○二四开方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二是已得九空位矣于是察前真数一○递次开方表内第三十四次数得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七亦为九空位即以其真数之零数一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七为一率其假数十一空位后之零数五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五为二率真数之零数一为三率(一率为二十一位则三率)(亦加二十空位以足其分)得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五即为一○○○○○○○○○一之假数前亦仍为十一空位乃即用此数为比例以真数之零数一为一率(三率)(为二十二位则一率亦加二十一空位以足其分)其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五为二率今以一○二四开方二十七次所得之零数一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二为三率得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九即为一○二四开方第二十七次之假数前亦仍为十一空位以加倍二十七次之率数一三四二一七七二八乘之得○○一○二九九九五六六四○○即为第一率一○二四之假数与前法所得之数同(前法得三九八収之亦为四○○以后竒零㣲有不合止截用十二)(位)再按前法首位加三而以率数十归之即得○三○一○二九九九五六六四○为二之假数也此法较之前法开方省二十次而所得之数同故求假数者用此法亦便也明对数之目用递次开方求假数法之六凡开方之数与折半之数虽不同然而不同之较递次渐少故又有相较之法至开方第十次以后则以较数相减即得开方之数如求六之假数以六为连比例第一率递次乘之得连比例第九率为一千零七万七千六百九十六乃以此数命为第一率其首位之一千万命为单位开方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一第二次开方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九第三次开方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○第四次开方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五第五次开方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七与第四次开方所得折半之数渐近乃以第四次开方所得数折半(首位之一不折半葢首位之一诸次开方)(皆同其数不变也)得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七与第五次开方所得数相减余二九二五五五九八六二九二八九三七五四○为第五次之较设使有第五次之较则将第四次开方所得数折半内减第五次之较即第五次开方所得数然第五次之较乃与第五次开方数相减而得故第五次犹必用开方也第六次开方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四又以第五次开方所得数折半得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三与第六次开方所得数相减余七三一三○一五二○八二二四六五一六九为第六次之第一较又将第五次之较四归之得七三一三八九九六五七三二二三四三八五与第六次之第一较相减余八八四四四九○九七六九二一五为第六次之第二较设使有第二较则将第五次之较四归之内减第六次之第二较即为第六次之第一较将第五次开方所得数折半内减第六次之第一较即第六次开方所得数然第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第六次开方数相减而得故第六次犹必用开方也第七次开方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五又以第六次开方所得数折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七与第七次开方所得数相减余一八二八一四三二五七六一七○三五九二为第七次之第一较又将第六次之第一较四归之得一八二八二五三八○二○五六一六二九二与第七次之第一较相减余一一○五四四四三九一二七○○为第七次之第二较又将第六次之第二较八归之得一一○五五六一三七二一一五二与第七次之第二较相减余一一六九八○八四五二为第七次之第三较设使有第三较则将第六次之第二较八归之内减第七次之第三较即为第七次之第二较将第六次之第一较四归之内减第七次之第二较即为第七次之第一较将第六次开方所得数折半内减第七次之第一较即第七次开方所得数然第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第七次开方数相减而得故第七次犹必用开方也第八次开方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四又以第七次开方所得数折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二与第八次开方所得数相减余四五七○二一九九七○八○四三二○八为第八次之第一较又将第七次之第一较四归之得四五七○三五八一四四○四二五八九八与第八次之第一较相减余一三八一七三二三八二六九○为第八次之第二较又将第七次之第二较八归之得一三八一八○五四八九○八七与第八次之第二较相减余七三一○六三九七为第八次之第三较又将第七次之第三较十六归之得七三一一三○二八与第八次之第三较相减余六六三一为第八次之第四较设使有第四较则将第七次之第三较十六归之内减第八次之第四较即为第八次之第三较将第七次之第二较八归之内减第八次之第三较即为第八次之第二较将第七次之第一较四归之内减第八次之第二较即为第八次之第一较将第七次之开方数折半内减第八次之第一较即第八次开方数然第四较乃与第三较相减而得第三较乃与第二较相减而得第二较乃与第一较相减而得而第一较乃与第八次开方数相减而得故第八次犹必用开方也至第九次开方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八又以第八次开方数折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七与第九次开方数相减余一一四二五三七七二一五○三一九○九为第九次之第一较又将第八次之第一较四归之得一一四二五五四九九二七○一○八○二与第九次之第一较相减余一七二七一一九七八八九三为第九次之第二较又将第八次之第二较八归之得一七二七一六五四七八三六与第九次之第二较相减余四五六八九四三为第九次之第三较又将第八次之第三较十六归之得四五六九一五○与第九次之第三较相减余二○七为第九次之第四较又将第八次之第四较三十二除之亦得二○七与第九次之第四较同故自第十次以后则不用开方(若间方止用二十二位则第八次之第三较已同至第九次即不用)(开方亦不用第四较)即以第九次之第四较三十二除之得六为第十次之第四较将第九次之第三较十六除之得二八五五五八内减第十次之第四较余二八五五五二即为第十次之第三较将第九次之第二较八归之得二一五八八九九七三六一内减第十次之第三较余二一五八八七一一八○九即为第十次之第二较将第九次之第一较四归之得二八五六三四四三○三七五七九七七内减第十次之第二较余二八五六三二二七一五○四六一六八即为第十次之第一较将第九次开方所得数折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四内减第十次之第一较又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即为第十次开方所得数也至第十一次则将第十次之第四较三十二除之不足一倍故无第四较而以第十次之第三较十六除之得一七八四七即为第十一次之第三较将第十次之第三较八归之得二六九八五八八九七六内减第十一次之第三较余二六九八五七一一二九即为第十一次之第二较将第十次之第一较四归之得七一四○八○六七八七六一五四二内减第十一次之第二较余七一四○七七九八○一九○四一三即为第十一次之第一较将第十次开方所得数折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八内减第十一次之第一较又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即为第十一次开方所得数也由此递推至第二十三次开方数得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣乃以前法所得真数之零数一为一率(三率截用十四位则一率亦加十三空位以足其分)其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四为二率(截用十四位以从简易)今开方二十三次所得之零数九二二六二八八九一○四三○七为三率得四率四○○六九二六三六一九七六五二即为开方第二十三次之假数前则为十空位(二率有十四位而其前为十一空位今四率得十五位故前为)(十空位)以加倍二十三次之率数八三八八六○八乘之得○○○三三六一二五三四五(葢开方第二十三次之假数为十五位并前十空位共二)(十五位今相乘得二十二位故前止有三空位亦共为二十五位也此截用十)(二位)即为第一率一○○七七六九六之假数然首位之一开方虽命为单位其实则为千万千万之假数首位应为七故首位为七得七○○三三六一二五三四五是为一千零七万七千六百九十六之假数又因其为连比例第九率故用九归之得○七七八一五一二五○三八即为连比例第一率六之假数也明对数之目用递次开方求假数法之七凡求假数先求得一至九一一至一九一○一至一○九一○○一至一○○九以及三○位零一至九四空位零一至九五空位零一至九六空位零一至九七空位零一至九八空位零一至九九空位零一至九之九十九数而他数皆由此生然此九十九数内有以两数相乘除而得者则以两假数相加减即为所求真数之假数至五空位以后则又可以比例而得不必逐一而求也如一至九之九数惟二三七之三数用前递次开方求假数法求之至于四则系二与二相乘所得之数故以二之假数○三○一○二九九九五六六倍之得○六○二○五九九九一三三即为四之假数至于五系以二除十所得之数故以二之假数与十之假数相减余○六九八九七○○○四三四即为五之假数至于六系二与三相乘所得之数故以二之假数与三之假数相加得○七七八一五一二五○三八即为六之假数(或先得六之假数内减二之假数即得三之假数)至于八系二与四相乘所得之数故以二之假数与四之假数相加得○九○三○八九九八六九九即为八之假数至于九系三与三相乘所得之数故以三之假数○四七七一二一二五四七二倍之得○九五四二四二五○九四四即为九之假数(或先得九之假数折半即得三十假数)如一一至一九之九数惟一一一三一七一九之四数用前递次开方求假数法求之至于一二系二与六相乘所得之数故以二之假数与六之假数相加得一○七九一八一二四六○四为一十二之假数内减首位之一余○○七九一八一二四六○四即为一二之假数(葢自)(一一至九空位零九其首位之一皆为单位首位以下为小余试将一十二以)(十除之仍得一二则其首位之一即为单位二为小余故于十二之假数内减)(首位之一即减去十之假数而所余为一二之假数也)至于一四乃二与七相乘所得之数故以二之假数与七之假数相加得一一四六一二八○三五六七为一十四之假数内减首位之一余○一四六一二八○三五六七即为一四之假数至于一五乃三与五相乘所得之数故以三之假数与五之假数相加得一一七六○九一二五九○六为一十五之假数内减首位之一余○一七六○九一二五九○六即为一五之假数余皆倣此(详见对数阐㣲)至于一○○○○○一以后之假数则即可用前递次开方表内相近数比例而得之如求一○○○○○一之假数则以前表内开方第二十一次真数五空位后之零数一○九七九五八七三五为一率(截用十位以从简便)其假数七空位后之零数四七六八三七一五八二为二率(亦截用十位)今真数之零数一为一率(添九空位)(以足其分)得四率四三四二九四三有余前亦仍为七空位(因假数止用十二位故四率止求七位并七空)(位为十四位已为足用)截前十二位得○○○○○○○四三四二九即为一○○○○○一之假数二因之得○○○○○○○八六八五九(第十三位满五则进一数余倣此)即为一○○○○○二之假数三因之得○○○○○○一三○二八八即为一○○○○○三之假数又以前表内开方第十九次真数五空位后之零数四三九一八四二一七三为一率其假数六空位后之零数一九○七三四八六三二为二率今真数之零数四为三率(添九)(空位以足其分)得四率一七三七一七四○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○一七三七一七即为一○○○○○四之假数(不以前所得四率四因之者因前所得一○○)(○○○一之假数四因之则㣲小且表内第十九次开方数与此所求真数相)(近故又用比例以求其准)将所得一○○○○○四之假数四归五因(将一○○○○○四之假数四归五因者)(因欲得一○○○○○一之假数而以五因之也)得○○○○○○二一七一四七即为一○○○○○五之假数将所得一○○○○○四之假数四归六因得○○○○○○二六○五七六即为一○○○○○六之假数又以前表内开方第十八次真数五空位后之零数八七八三七○三六三四为一率其假数六空位后之零数三八一四六九七二六五为二率今真数之零数七为三率得四率三○四○○四八○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即为一○○○○○七之假数(不以前所得四率四)(归七因者因前所得一○○○○○四之假数四归七因之则㣲小且表内第)(十八次开方数与此所求真数相近故又用比例以求其准)将所得一○○○○○七之假数七归八因得一○○○○○三四七四三四即为一○○○○○八之假数又将所得一○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位(末位满五以上则进一数)前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数明对数之目用前所得九十九数求他假数法之一凡求假数既得前九十九数而他数有由此乘除而得者则以假数相加减即得所求之假数其不由乘除而得者谓之数根(因无他数可以度尽即算法原本所谓连比例之至)(小数)则其假数亦不可以加减而得然有虽为数根而前九十九数中有为其根所生者则逆求之即得原根之假数如前九十九数首位既皆为单位则以十乘之即为十以百乘之即为百以千乘之即为千以万乘之即为万故以二之假数与一十之假数相加即为二十之假数与一百之假数相加即为二百之假数与一千之假数相加即为二千之假数与一万之假数相加即为二万之假数又如十一之假数与一十之假数相加即为一百一十之假数以一○五之假数与一百之假数相加即为一百零五之假数与一千之假数相加即为一千零五十之假数真数同则假数亦同但真数进一位则假数首位加一数耳又如三与七相乘得二十一则以三之假数与七之假数相加即为二十一之假数二与十一相乘得二十二则以二之假数与十一之假数相加即为二十二之假数至于二十三二十九之类则不以乘除而得是为数根若夫五十三虽亦为数根然以五十三与二相乘则得一百零六前既得一○六之假数则与一百之假数相加即为一百零六之假数内减二之假数即为五十三之假数由此类推数自繁衍而其不可以乘除而得者则又以累乘累除之法而得之(详见后)要未有出于前九十九数之外者也明对数之目用前所得九十九数求他假数法之二凡求假数其真数有以累乘而得者则以假数累加之即得所求之假数如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加得四三一六○三三二八二一三即为二万零七百零三之假数若先有假数四三一六○三三二八二一三求真数则视假数内足减二万之假数即以二万之假数书于原假数下相减余○○一五○○三二八六四七足减一○三之假数即以一○三之假数书于减余之下相减余○○○二一六六○六一七六与一○○五之假数恰合是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数则其真数即知为三真数累乘所得之数矣乃以二万与一○三相乘得二万零六百再以一○○五乘之得二万零七百零三即为所求之真数也明对数之目用前所得九十九数求他假数法之三凡求假数而不知其真数为何数累乘而得者则以所知前位之整数累除之除得累乘之真数则以其假数累加之即得所求之假数如求二十三之假数而不知其为何数累乘而得但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六则以二十三为实以二十为法除之得一一又以两层所减数按位相加得二二即二十与一一相乘之数以之为法除原实二十三得一○四又以两层所减数按位相加得二二八八即二二与一○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○五又以两层所减数按位相加得二二九九四四即二二八八与一○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九八九九八八八即二二九九四四与一○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○四又以两层所减数按位相加得二二九九九九一八八四(法止用十位故第十一位满五以上者进)(一数用若不满五则去之)即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○三又以两层所减数相加得二二九九九九八七八四即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○五又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九三四即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○二又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九八○即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○八又以两层所减数按位相加得二二九九九九九九九八即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数以之为法除原实二十三得一○○○○○○○○○八是知二十三系二十与一一及一○四一○○五一○○○二一○○○○四一○○○○○三一○○○○○○五一○○○○○○○二一○○○○○○○○八一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得一三六一七二七八三六○六即为二十三之假数也若先有假数一三六一七二七八三六○六求真数则视假数内足减二十之假数即以二十之假数书于原假数之下相减余○○六○六九七八四○四○足减一一之假数即以一一之假数书于减余之下相减余○○一九三○五一五五二四足减一○四之假数即以一○四之假数书于减余之下相减余○○○二二七一八一五九四足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○一○五七五四一八足减一○○○二之假数即以一○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○一八九○三九七足减一○○○○四之假数即以一○○○○四之假数书于减余之下相减余○○○○○○一五三二五四足减一○○○○○三之假数即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○二二九六六足减一○○○○○○五之假数即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一二五一足减一○○○○○○○二之假数即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○三八二足减一○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此十一假数累加所得之数而真数即为此十一真数累乘所得之数乃以此十一真数累乘之得二十三即为所求之真数也又如求五千六百八十九之假数而不知其为何数累乘而得但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○则以五千六百八十九为实以五千六百为法除之得一○一又以两层所减数按位相加得五六五六即五千六百与一○一相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○五又以两层所减数按位相加得五六八四二八即五六五六与一○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○八又以两层所减数按位相加得五六八八八二七四二四即五六八四二八与一○○○八相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九八○八九即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九七九六即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○三又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九六七即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○五又以两层所减数按位相加得五六八八九九九九九五即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数以之为法除原实五千六百八十九得一○○○○○○○○○八是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五一○○○八一○○○○三一○○○○○○三一○○○○○○○三一○○○○○○○○五一○○○○○○○○○八累乘所得之数乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一即为五千六百八十九之假数也若先有假数三七五五○三五九三三七一求真数则视假数内足减五千六百之假数即以五千六百之假数书于原假数之下相减余○○○六八四七九○六七一足减一○一之假数即以一○一之假数书于减余之下相减余○○○二五二六五三二九三足减一○○五之假数即以一○○五之假数书于减余之下相减余○○○○三六○四七一一七足减一○○○八之假数即以一○○○八之假数书于减余之下相减余○○○○○一三一七四四八足减一○○○○三之假数即以一○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○一四五八四足减一○○○○○○三之假数即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○一五五五足减一○○○○○○○三之假数即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○二五二足减一○○○○○○○○五之假数即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减余○○○○○○○○○○三五足减一○○○○○○○○○八之假数即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减恰尽是知其假数为此九假数累加所得之数而真数即为此九真数累乘所得之数乃以此九真数累乘之得五千六百八十九即为所求之真数也求八线对数凡求八线之假数定半径为一百亿位数既多为用愈密且真数十一位则假数首位为一○又取其便于用也先以正弦余弦之真数求得假数复以正弦余弦之假数加减之即得切线割线之假数如一分之正弦为二九○八八八二求其假数得六四六三七二六一一○九又如六十度之正弦为八六六○二五四○三八求其假数得九九三七五三○六三一七如求六十度切线之假数则以六十度正弦之假数九九三七五三○六三一七为二率半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率六十度余弦之假数九六九八九七○○○四三为一率二三率相加内减一率余一○二三八五六○六二七四即六十度正切线之假数如求六十度割线之假数则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率又为三率六十度余弦之假数九六九八九七○○○四三为一率二率倍之内减一率余一○三○一○二九九九五七即六十度正割线之假数也对数用法设如一百二十三与四百五十六相乘问得几何法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加得四七四八八六九九五四一乃查假数四七四八八六九九五四一所对之真数得五六○八八即五万六千零八十八为相乘所得之数也设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘问得几何法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四因对数表假数首位止于四真数止于五位故将相加所得假数首位之六暂当四查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六其相对之真数得九二五八六即为九二五八六○○(因假数首位多二数则真数必多二位)又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率得四率二四即真数九二五八六之后二位之数葢假数多四六九○七则真数多一百今假数多一一二五八则真数应多二十四为比例四率也乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四即九百二十五万八千六百二十四为相乘所得之数也大凡真数二四位以后其假数之较相差无多故真数即可与假数为比例若用前累乘累除之法固为甚密然较之比例则难而得数则同此对数表所以止于五位也设如三千七百四十四以十六除之问得几何法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七余二三六九二一五八五七四乃查假数二三六九二一五八五七四所对之真数得三三四即二百三十四为归除所得之数也设有米三十二石令一千零二十四人分之问毎一人应得几何法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三(因法之假数大)(于实之假数故以实之假数加二即如以实之真数加两空位也)内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六余○四九四八五○○二一七因假数首位为○即知真数应得单位其得数首位为升仍以假数首位加三查三四九四八五○○二一七所对之真数得三一七五(因真数得四位故将假数首位作三查表)(若真数求五位则将假数首位作四查表或五位后仍有余数则用比例求之)即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也设如甲乙丙直角形甲角五十度丙角四十度甲乙边十二丈求丙乙边丙甲边各几何法以甲角五十度之正弦假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈(作一二○○○)之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五内减丙角四十度之正弦假数九八○八○六七四九六七余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数查假数相近所对之真数得一四三○一即一十四丈三尺零一分为丙乙边也求丙甲边则以乙角九十度之正弦假数一○○○○○○○○○○○(即半径之)(数)与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○内减丙角四十度之正弦假数九八○八○六七四九六七余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数查假数相近所对之真数得一八六六九即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也设如甲乙丙三角形甲角五十度甲乙边十六丈甲丙边十二丈问丙角乙角及乙丙边各若干法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度折半为六十五度为半外角乃以边较四丈(作四○○○)之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五内减边总二十八丈(作二八○○○)之假数四四四七一五八○三一三余九四八六二二九四一二二为半较角正切之假数查正切假数相近所对之真数得十七度二分为半较角与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也又求丙乙边则以五十度之正弦假数九八八四二五三九六六五与十六丈(作一六○○○)之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二内减丙角八十二度二分之正弦假数九九九五七八八二○九八余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数查假数相近所对之真数得一二三七六即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也凡真数用加减然后比例者须以真数加减得数再查假数依法算之余皆倣此设如六十四自乘问得几何法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○用二因之得三六一二三五九九四八○仍查假数所对之真数得四○九六即四千零九十六为自乘所得之数也葢自乘两数相同则其两假数亦相同故二因之即如二假数相加也设如正方面积三百六十一尺开平方问毎一边数几何法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之真数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其真数即得毎边之数也设如正方面积一百五十二万二千七百五十六尺开平方问毎一边数几何法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七因方积系七位今止查得五位仍余二位故将假数首位之四加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数又以一五二二七○○与一五二二八○○相减余一○○为一率以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减余二八五二○四为二率方积之后二位数五六为三率得四率一五九七○四葢真数多一百则假数多二八五二○四今真数多五十六则假数应多一五九七一四为比例四率也乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加得六一八二六三○三一九一即为一五二二七五六之假数折半得三○九一三一五一五九六仍查假数所对之真数得一二三四即一千二百三十四尺为开平方所得毎边之数也又㨗法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者(葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其)(折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之)对其真数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺问毎一边数几何法以方积前五位一五二四一查得假数为四一八三○一三四六三一因方积系十五位今止查得五位仍余十位故将假数首位之四加十得一四一八三○一三四六三一即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减截用六空位得一○○○○○○为一率以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减余二八四九四二为二率方积后十位数截用前六位得五七六五二七为三率(因表中假数止于十一位)(则真数亦止须用十一位虽真数后再多几位其假数前十一位亦相同故查)(表用五位比例用六位共为十一位)得四率一六四二七七与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加得一四一八三○二九八九○八即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数折半得七○九一五一四九四五四因假数首位为七即知真数应得八位今对数表假数首位止于四真数止于五位故将折半所得假数首位之七减去三得四○九一五一四九四五四查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三对其真数得一二三四五即为一二三四五○○○(因假数首位多三数则真)(数进三位)又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减余三五一七八三为一率以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减余一○○○为二率今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减余二三八五一一为三率得四率六七八与一二三四五○○○相加得一二三四五六七八即一千二百三十四万五千六百七十八尺为开平方所得毎一边之数也设如勾二十七尺股三十六尺求弦若干法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之真数得七二九为勾自乘之真数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之真数得一二九六为股自乘之真数两自乘之真数相加(不以两自乘之假数)(相加者葢假数相加则是相乘故必对其真数然后相加也)得二○二五为弦自乘之真数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之真数得四五即四十五尺为开方所得之弦数也设如三十六自乘再乘问得几何法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八用三因之得四六六八九○七五○二四仍查假数所对之真数得四六六五六即四万六千六百五十六为自乘再乘所得之数也葢自乘再乘系以方根乘二次则假数亦加二次故以方根之假数三因之即如以方根之假数加二次也其或位数多者依乘法之例推之设如正方体积一万三千八百二十四尺开立方问毎一边数几何法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一用三归之得一三八○二一一二四一七仍查假数所对之真数得二四即二十四尺为开立方所得每边之数也葢正方体积之假数乃以毎边之假数三因所得之数故三归之即得每边之假数对其真数即得毎边之数也其或位数多者依平方之例推之设如方根一十六尺问三乘方积几何法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七用四因之得四八一六四七九九三○八仍查假数所对之真数得六五五三六即六万五千五百三十六尺为三乘方之积数也葢三乘方系以方根乘三次则其假数亦加三次故以方根之假数四因之即如以方根之假数加三次也其或位数多者亦依乘法之例推之设如三乘方积二万零七百三十六尺问方根几何法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二用四归之得一○七九一八一二四六○仍查假数所对之真数得一二即一十二尺为开三乘方所得方根之数也葢三乘方积之假数乃以方根之假数四因所得之数故四归之即得方根之假数对其真数即得方根之数也其或位数多者亦依平方之例推之大凡开诸乘方之理亦皆由于连比例葢方根为连比例第一率平方积为第二率立方积为第三率三乘方积为第四率四乘方积为第五率五乘方积为第六率六乘方积为第七率七乘方积为第八率八乘方积为第九率九乘方积为第十率(与借根方比例)(定位表同)以第一率方根之假数各以率数乘之即得各乘方积之假数而以各乘方积之假数各以率数除之亦即得第一率方根之假数故由三乘方而进之四乘方求积则用五因求根则用五归五乘方求积则用六因求根则用六归推之至于九乘方求积则用十因求根则用十归即至于一百乘方则以方根之假数用一百零一乘之即得方积之假数以方积之假数用一百零一除之即得方根之假数乘除之数愈繁愈见对数之易此对数之大用也御制数理精蕴下编卷三十八
## 下编卷三十九
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷三十九末部九比例规解(平分线分体线) (分面线更体线) (更面线五金线)比例规解比例尺代算凡㸃线面体乘除开方皆可以规度而得然于画图制器尤所必需诚算器之至善者焉究其立法之原总不越乎同式三角形之比例葢同式三角形其各角各边皆为相当之率今张尺之两股为三角形之两腰其尺末相距即三角形之底遂成两边相等之三角形于中任截两边相等之各三角形则其各腰之比例必与各底之比例相当也一曰平分线以御三率一曰分面线一曰更面线以御面羃一曰分体线一曰更体线以御体积一曰五金线以御轻重一曰分圆线一曰正弦线一曰正切线一曰正割线以御测量并制平仪诸器凡此十线或总归一器或分为数体任意为之无所不可今将各线之分法及用法并著于篇此外又有假数尺即用对数及正弦割切诸线之对数为之用于三率比例测量尤为简捷亦详其法于后平分线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷十九节之法将甲乙甲丙二线俱平分为二百分即为平分线也尺之长短任意为之尺短则平分一百分尺长则平分四五百分或一千分亦可分愈多而用愈便也设如一丁戊线欲加五倍问得几何法以比例尺平分线第十分之己庚二㸃依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第五十分之辛壬二㸃相离之度作丁癸线即丁戊线之五倍也葢十分之㸃为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又五十分之㸃为辛与壬而甲辛壬为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚之五倍则辛壬必为己庚之五倍而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣若欲将丁戊线加十五倍则仍以丁戊线度于十分上定尺取平分线第一百五十分之子丑二㸃相离之度作寅卯线即为丁戊线之十五倍也若欲将丁戊线加三分之二则将平分线第三十分之辰巳二㸃依丁戊线度展开勿令移动而取平分线第五十分之午未二㸃相离之度作申酉线即为丁戊线加三分之二也(以丁戊线为三)(分而加二分共得五分因三与五之㸃近枢难用故用三十与五十其比例同)(也)若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数则将平分线第一百分之戌亥二㸃依丁癸线度展开勿令移动次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二㸃其相离之度恰符即定为一百分之二十约为五分之一即丁癸丁戊两线之比例也要之用尺之法不外于三率求四率如以一率为腰二率为底而定尺则三率复为腰而其底即四率也以一率为腰三率为底而定尺则二率复为腰而其底亦即四率也若以一率为底二率为腰而定尺则三率复为底而其腰则四率也诸线之用虽各不同其比例之理则一也设如一丁戊线欲分为六分问每分几何法以比例尺平分线第六十分之己庚二㸃依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二㸃相离之度截丁戊线于癸则丁癸即丁戊线六分之一也葢六十分之㸃为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底又十分之㸃为辛与壬而甲辛壬亦为两边相等之三角形甲辛甲壬为腰辛壬相距为底此两三角形为同式形则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比甲壬既为甲庚六分之一则辛壬必为己庚六分之一而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣若欲分丁戊线为七分则将平分线第七十分之子丑二㸃依丁戊线度展开勿令移动次取平分线第十分之辛壬二㸃相离之度截丁戊线于寅则丁寅即丁戊线七分之一也又若丁戊线欲取七分之三则仍以丁戊线度于七十分上定尺而取平分线第三十分之卯辰二㸃相离之度截丁戊线于己则丁己即丁戊线七分之三也设如有十三人每人给银七两问其银几何法以比例尺平分线第十分之丁戊二㸃依分厘尺七厘之度展开勿令移动次取平分线第一百三十分之己庚二㸃相离之度于分厘尺上量之得九分一厘即得共银为九十一两也葢十分之㸃为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又一百三十分之㸃为己与庚而甲己庚亦为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊十分与甲庚一百三十分之比同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也又以十分当一人故以一百三十分当十三人以七厘当七两故九分一厘即为九十一两葢十分与一人之比同于一百三十分与十三人之比而七厘与七两之比亦同于九分一厘与九十一两之比也设如每官一员每月给公费钱二千二百文共给钱八千八百文问官员几何法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二㸃依分厘尺一分之度展开勿令移动次取平分线第八十八分之己庚二㸃相离之度于分厘尺上量之得四分即得官四员也葢二十二分之㸃为丁与戊而甲丁戊为两边相等之三角形甲丁甲戊为腰丁戊相距为底又八十八分之㸃为己与庚而甲己庚为两边相等之三角形甲己甲庚为腰己庚相距为底此两三角形为同式形故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比同于丁戊一分与己庚四分之比也又以二十二分当钱二千二百故以八十八分当钱八千八百以一分当官一员故四分即为官四员葢二十二分与二千二百之比同于八十八分与八千八百之比而一分与一员之比亦同于四分与四员之比也设如原有粟五斗易布二疋今有粟三石问易布几何法以比例尺平分线第二十分之丁戊二㸃(四倍五斗之数因五分近枢难用故用四倍之数也)依分厘尺二分之度展开勿令移动次取平分线第一百二十分之己庚二㸃相离之度(四倍三石之数三石为三十斗故四倍之得一百二十也)于分厘尺上量之得一寸二分即得布十二疋也葢二十分之㸃为丁与戊一百二十分之㸃为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也又以二十分当五斗为四倍之数故以一百二十分当三石亦为四倍之数以二分当二疋故一寸二分即为十二疋葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也设如有二十七及十八之两数问其相连比例之三数几何法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二㸃依分厘尺一分八厘之度展开勿令移动次取平分线第十八分之己庚二㸃相离之度于分厘尺上量之得一分二厘即相连比例之第三数为十二也葢二十七分之㸃为丁与戊十八分之㸃为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十七与甲庚十八之比同于丁戊十八与己庚十二之比也丁戊与甲庚既同为十八即连比例之中率则己庚十二为连比例之第三率无疑矣设如有勾五尺股十二尺问弦几何法以比例尺平分线甲丁四十分甲戊三十分之丁戊二㸃依本线五十分之度展开勿令移动次取平分线甲庚五十分(当勾数)甲己一百二十分(当股数)之己庚二㸃相离之度于本线上量之为一百三十分即得弦十三尺也葢勾三股四弦五为勾股弦之定数今以甲戊三十甲丁四十为两腰而丁戊五十为底则其两腰相交之甲角必为直角故以今有之勾股数为两腰而取其底即为所求之弦数也若有勾五尺有弦十三尺而求股则取本线一百三十分之度自五十分之庚㸃寻至一百二十分之己㸃其相离之度恰符即得股十二尺矣设如有圆径三十五寸问圆周几何法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二㸃(径率七之三倍也因七分近枢故用三倍之数)依分厘尺三分五厘之度展开勿令移动次取平分线第六十六分之己庚二㸃相离之度(周率二十二之三倍也因径率用三倍故周率亦三倍之)于分厘尺上量之得一寸一分即一百一十寸为所求之圆周也葢二十一分之㸃为丁与戊六十六分之㸃为己与庚而甲丁戊与甲己庚为同式三角形故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比而甲戊与甲庚既为径与周之比例则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣又甲戊为径率之三倍故甲庚亦用周率之三倍而丁戊以一厘当一寸故己庚亦以一厘当一寸其比例俱相当也分面线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十一节之法分之即为分面线也或设正方面界一百厘其积数一万厘以二因之得二万厘开平方得一百四十一厘为积二万厘之根又以三因之得三万厘开平方得一百七十三厘为积三万厘之根照此屡倍积数开平方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分面线也设如有甲乙丙三正方形甲形每边一寸其积数之比例甲为一分乙为六分丙为九分今欲作一大正方形与甲乙丙三正方形之积等问其边几何法以比例尺分面线第一分之两㸃(因甲)(方之积为一分故用一分也)依甲正方形每边一寸之度展开勿令移动乃并三正方面积共十六分即取分面线第十六分两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙丙三正方形之共积等也葢十六分所作正方形原比一分所作正方形大十六倍则十六分相距之度所作正方形亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣一分相距之度即甲正方形之一边其积为一分则以十六分相距之度所作正方形其积必为十六分与三正方形之共积相等也设如有大小等边三角形小形每边一寸大形每边四寸今欲将两面积相减取其余积作同式等边三角形问其边几何法以比例尺分面线第一分之两㸃依小形每边一寸之度展开勿令移动次以大形每边四寸之度于分面线上寻至第十六分之两㸃其相距之度恰合即大形与小形之比例为十六与一相减余十五为较积即取分面线第十五分两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸八分七厘即较形之每一边也葢大小同式多边形之比例同于相当界所作正方形之比例(见几何原本八卷第九节)今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例亦为十六与一矣夫大小两距度即大小两三角形之相当界其所作两正方形之比例既为十六与一则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣既得两形之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也设如有五等边形每边二尺欲三倍其积作同式五等边形问其每边几何法以比例尺分面线第一分之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取第三分两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸四分五厘即三尺四寸五分为所求大形之每一边用其度作五等边形其积与原形之三倍等也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例(见几何原本八巻第九节)今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣夫一分相距之度即原形之界则以三分相距之度为大形之界其积为原形之三倍可知矣又以二寸当原形之边二尺故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何法以比例尺分面线第四分之两㸃依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分面线第三分两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸六分即二尺六寸为所求小形之每一边用其度作六边形其积即为原形四分之三也葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣夫四分相距之度即原形之界则以三分相距之度为小形之界其积为原形四分之三可知矣又以三寸当原形之边三尺故二寸六分即为二尺六寸也设如有三率相连比例数首率二尺末率八尺问中率几何法以比例尺分面线第二分之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取分面线第八分两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸即四尺为相连比例之中率也葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比今首率为二尺末率为八尺则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例故以二分相距之度为首率之数则八分相距之度必为中率之数可知矣又首率用二寸当二尺故中率四寸即为四尺也设如有正方面积一千六百尺问每一边几何法以比例尺分面线第一分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积数一千六百尺相较其比例如一与十六即取分面线第十六分两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸即四十尺为所求正方之每一边也葢一分之积既为一百尺则十六分之积必为一千六百尺而一分相距之度既为方积一百尺之每一边则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣又以一寸当十尺故四寸即为四十尺也设如有正方面积九千零二十五尺问每一边几何法以比例尺分面线第一百分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘得一万尺与积数九千零二十五尺相较其比例如一百与九十有余即取分面线第九十分有余相距之度于分厘尺上量之得九分五厘即九十五尺为所求正方之每一边也葢一百分之积既为一万尺则九十分有余之积必为九千余尺而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分五厘即为九十五尺也更面线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一亿用面部内面积相等边线不同之定率比例得各形之边线其方边一万圜径一万一千二百八十四三等边一万五千一百九十七五等边七千六百二十四六等边六千二百零四七等边五千二百四十六八等边四千五百五十一九等边四千零二十二十等边三千六百零五将各形边数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更面线也设如有甲圆形径一尺二寸欲作一正方形其积与圆积等问每边几何法以比例尺更面线圆号之两㸃依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取方号之两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸零六厘即一尺零六分为正方形之每一边用其度作正方形其积与圜积等也葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例今圆号相距之度既为圆径则方号相距之度必为方边无疑矣又以一寸二分当圆径一尺二寸故一寸零六厘即为方边一尺零六分也设如有甲三边形每边一十五尺又有乙五边形每边十尺欲并作一正方形问每边几何法以比例尺更面线三边号之两㸃依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两㸃相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两㸃依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也设如有甲八边形每边十二尺又有乙六边形每边六尺今将两面积相减用其余积作一七边形问其边几何法以比例尺更面线八边号之两㸃依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两㸃依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两㸃相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两㸃依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也设如有十等边形积四千四百四十五尺问每一边几何法先以比例尺分面线第一分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘得一百尺与积四千四百四十五尺相较其比例如一与四十四又九之五即取分面线第四十四分又九之五相距之度于分厘尺上量之得六寸六分又三之二即六十六尺又三分尺之二为方形之一边用其度作正方形其积与十边形积等也乃以更面线方号之两㸃依方形每边六寸六分又三分之二之度展开勿令移动次取十边号两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸四分即二十四尺为所求十边形之每一边也葢正方形为各面形比例之宗故凡有积求边者必先用分面线求得方形之边然后用更面线使方号两㸃相距之度与方边等而取所求形之号两㸃相距之度即所求形之一边自圆形三边形以至九边形皆同一法也分体线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十二节之法分之即为分体线也或设正方体界一百厘其积数一百万厘以二因之得二百万厘开立方得一百二十六厘为积二百万厘之根又以三因之得三百万厘开立方得一百四十四厘为积三百万厘之根照此屡倍积数开立方将所得之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分体线也设如有甲乙丙三正方体甲形每边二寸其积数之比例甲为一分乙为三分丙为四分今欲作一大正方体与甲乙丙三正方体之积等问其边几何法以比例尺分体线第一分之两㸃依甲正方体每边二寸之度展开勿令移动乃并三正方体积共八分即取八分两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸即所求大正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙丙三正方体之共积等也葢八分所作正方体原比一分所作正方体大八倍则八分相距之度所作正方体亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣一分相距之度即甲正方体之一边其积为一分则以八分相距之度所作正方体其积必为八分与三正方体之共积相等也设如有大小两四等面体小体每边一寸大体每边三寸今将两体积相减取其余积作同式四面体问其边几何法以比例尺分体线第一分之两㸃依小体每边一寸之度展开勿令移动次以大体每边三寸之度于分体线寻至第二十七分之两㸃其相距之度恰合即大形与小形之比例为二十七与一相减余二十六为较积即取分体线第二十六分两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸九分六厘即较体之每一边也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例(见几何原本十卷第七节)今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例亦必为二十七与一矣夫大小两距度即大小两体之相当界其所作两正方体之比例既为二十七与一则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣既得两体之比例乃相减以得较既得较积之比例复用积以求边即得所求之边数也设如有八等面体每边一尺欲四倍其积作同式八等面体问其每边几何法以比例尺分体线第一分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取第四分两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸五分九厘即一尺五寸九分为所求体之一边用其度作八等面体其积与原体之四倍等也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣夫一分相距之度即原体之界则以四分相距之度为大体之界其积为原体之四倍可知矣又以一寸当原形边一尺故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也设如有圆球径三尺欲取其积五分之二作同式圆球体问其径几何法以比例尺分体线第五分之两㸃依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取分体线第二分两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸二分一厘即二尺二寸一分为所求小体之一边用其度为径作圆球体其积为原体五分之二也葢大小同式体之比例同于相当界所作正方体之比例今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣夫五分相距之度即原体之径则以二分相距之度为小体之径其积为原体五分之二可知矣又以三寸当原体之径三尺故二寸二分一厘即为二尺二寸一分也设如有四率相连比例数一率八尺四率二十七尺求二率三率各几何法以比例尺分体线第八分之两㸃依分厘尺八分之度展开勿令移动次取分体线第二十七分之两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸二分即十二尺为连比例四率之第二率既得二率乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法以平分线第八分之两㸃依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取平分线第十二分两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸八分即十八尺为连比例四率之第三率也葢相连比例四率其一率所作正方体与二率所作正方体之比例同于一率与四率之比例今一率为八尺四率为二十七尺则一率所作正方体与二率所作正方体之比例即如八与二十七之比例故以八分相距之度为一率之数则二十七分相距之度必为二率之数可知矣又一率用八分当八尺故二率一寸二分即为十二尺至于求第三率之法即平分线求连比例三率之理也设如有正方体积二万七千尺问每一边几何法以比例尺分体线第一分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数二万七千尺相较其比例如一与二十七即取分体线第二十七分两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸即三十尺为所求正方体之每一边也葢一分之积既为一千尺则二十七分之积必为二万七千尺而一分相距之度既为方积一千尺之每一边则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣又以一寸当十尺故三寸即为三十尺也设如有正方体积八十三万零五百八十四尺问每一边几何法以比例尺分体线第一百分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也设如有银正方体每边二寸问重几何法以比例尺分体线第九分之两㸃(银正)(方一寸之定率为九两故用九分度)依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两㸃其相距之度恰合即七十二两为银正方体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度一寸其积为九分相距之度二寸其积则为七十二分今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣又以九分当九两故七十二分为七十二两也设如有大铜球体径二寸重三十一两四钱一分今有小铜球体径一寸二分问重几何法以比例尺分体线第三十一分四厘之处依大球径二寸之度展开勿令移动次取小球径一寸二分之度于分体线上寻至第六分七厘有余之处其相距之度恰合即六两七钱有余为小铜球体之重数也葢各体重数之比例与积数之比例等相距之度二寸其积为三十一分四厘相距之度一寸二分其积则为六分七厘今相距一寸之三十一分四厘既为径二寸大铜球体之重数则相距一寸二分之六分七厘必为径一寸二分小铜球体之重数矣又以三十一分四厘当三十一两四钱故六分七厘即为六两七钱也更体线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线设积数一兆用体部内体积相等边线不同之定率比例得各体之边线其立方边一万球径一万二千四百零七四面体边二万零三百九十七八面体边一万二千八百四十九十二面体边五千零七十二二十面体边七千七百一十将各体边线数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成更体线也设如有甲球体径二尺欲作一正方体其积与球积等问每边几何法以比例尺更体线球号之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取方号之两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸六分一厘即一尺六寸一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲球积等也葢球号与方号之比例原为同积之球径与立方边之比例则其两距度之比例亦必为球径与立方边之比例今球号相距之度既为球径则方号相距之度必为方边无疑矣又以二寸当球径二尺故一寸六分一厘即为一尺六寸一分也设如有甲四面体每边三尺又有乙八面体每边四尺欲并作一正方体问每边几何法以比例尺更体线四面号之两㸃依分厘尺三寸之度展开勿令移动次取方号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸四分六厘即一尺四寸六分为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲四面体积等也又以八面号之两㸃依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取方号两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸一分一厘即三尺一寸一分为正方体之每一边用其度作正方体其积与乙八面体积等也乃将两正方体用分体线求其积之比例以分体线第一分之两㸃依小方体每边一寸四分六厘之度展开勿令移动复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处其相距之度恰合即两方体之比例为一与九分五厘并之得十分五厘即取分体线第十分五厘相距之度于分厘尺上量之得三寸二分即三尺二寸为正方体之每一边用其度作正方体其积与甲乙两体之积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相加故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体复用分体线求其比例而并之即得所求大方体之一边也设如有甲正方体每边二尺又有乙球体径亦二尺今将两体积相减用其余积作十二面体问其边几何法以比例尺更体线方号之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸零一厘四豪即一尺零一分四厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与甲正方体积等也又以球号之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取十二面号两㸃相距之度于分厘尺上量之得八分一厘七豪即八寸一分七厘为十二面体之每一边用其度作十二面体其积与乙球体积等也乃将两十二面体用分体线求其比例以分体线第十分之两㸃依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开勿令移动复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线上寻至第十九分其相距之度恰合即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分即取分体线第九分两㸃相距之度于分厘尺上量之得七分九厘即七寸九分为所求十二面体之每一边用其度作十二面体与甲乙两体相减之余积等也葢甲乙两体不同类不能得其比例即不能相减故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体复用分体线求其比例而后相减即得所求十二面体之一边也设如有二十面体积一万七千四百五十五尺问每一边几何法先以比例尺分体线第一分之两㸃依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之十分作十尺自乘再乘得一千尺与积数一万七千四百五十五尺相较其比例如一与十七又九之五即取分体线第十七分又九之五相距之度于分厘尺上量之得二寸五分九厘即二十五尺九寸为正方体之一边用其度作正方体其积与二十面体积等也乃以更体线方号之两㸃依正方体每边二寸五分九厘之度展开勿令移动次取二十面号两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸即二十尺为所求二十面体之每一边也葢正方体为各体形比例之宗故凡有积求边者必先用分体线求得方体之边然后用更体线使方号两㸃相距之度与方边等而取所求体之号两㸃相距之度即所求体之一边自球体四面体至二十面体皆同一法也五金线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用各体权度比例定率数金重十六两八钱水银重十二两二钱八分铅重九两九钱三分银重九两铜重七两五钱铁重六两七钱锡重六两三钱为各体正方一寸轻重之比例(定率数有三十)(余种尺不能尽载惟此数者其用为多故止载此)若重数相等则其积数必不同故又用转比例之法求其体积之比例命金之积为十亿则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五(水银重十二两二钱)(八分为一率金重十六两八钱为二率金积十亿为三率得四率即水银积余)(倣此)铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六铜之积为二十二亿四千万铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六既得各体之积数乃开立方求其方根则金之数为一千水银之数为一千一百一十铅之数为一千一百九十一银之数为一千二百三十一铜之数为一千三百零八铁之数为一千三百五十八锡之数为一千三百八十六爰将各根数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成五金线也设如有金球径二尺欲作一银球其重与金球等问径几何法以比例尺五金线金号之两㸃依分厘尺二寸之度展开勿令移动次取银号两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸四分六厘即二尺四寸六分为银球径用其度作银球即与金球重等也葢金号与银号之比例原为同重之金体边与银体边之比例则金号与银号两距度之比例亦必为同重之金体边与银体边之比例今金号相距之度既为金球径则银号相距之度必为银球径可知矣又以二寸当金球径二尺故二寸四分六厘即为二尺四寸六分也设如有金正方体每边一寸重十六两八钱今欲作银八面体其重与金正方体等问每一边几何法先以比例尺更体线正方体之两㸃依正方每边一寸之度展开勿令移动次取八面体两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸二分八厘有余即为金正方体等重之金八面体之每一边数乃以五金线金号之两㸃依金八面体每边一寸二分八厘之度展开勿令移动次取银号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸五分八厘有余即为银八面体之每一边用其度作八面体其重与金正方体等也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为八面体而后用五金线比例之其法与前同也设如有铜正方体每边二寸重六十两今有铅一百两欲铸为球体问径几何法先以分体线第六十分之两㸃(原重六十)(两故取六十分)依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两㸃相距之度(今重一百两故取一百分)于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两㸃依正方每边二寸三分七厘之度展开勿令移动次取球号两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸九分四厘即重一百两之铜球径复以五金线铜号之两㸃依铜球径二寸九分四厘之度展开勿令移动次取铅号两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸六分八厘即重一百两之铅球径也葢两重数不同而两体又不同不能得其比例故先用分体线变为同重之铜正方体又用更体线变为同重之铜球体乃用五金线铜与铅之边线以比例之而后得其径数也设如银正方一寸重九两问铜正方一寸重几何法以五金线银号之两㸃依正方一寸之度展开勿令移动次取铜号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸零五厘二豪即为重九两之铜正方边数乃以分体线九十分之两㸃依一寸零五厘二豪之度展开勿令移动而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两㸃其相距之度恰合即七两五钱为铜正方一寸重数也葢银重九两其方边一寸则铜重九两其方边必为一寸零五厘二豪又铜方边一寸零五厘二豪其重九两则铜方边一寸其重即为七两五钱也设如有银正方体每边二寸重七十二两今欲作一铜二十面体其边与正方体等问重几何法先以比例尺更体线正方体之两㸃依正方每边二寸之度展开勿令移动次取二十面体两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸五分四厘有余即为银正方体等重之银二十面体之每一边乃以五金线银号之两㸃依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开勿令移动次取铜号两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸六分三厘有余即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边复以分体线第七十二分之两㸃依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开勿令移动而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处其相距之度恰合即一百三十两有余为铜二十面体之重数也葢两体不同类不能得其比例故先用更体线变正方体为二十面体又用五金线变银二十面体为铜二十面体复用分体线有边求重之法比例之然后得其重数也御制数理精蕴下编卷三十九
## 下编卷四十
钦定四库全书御制数理精蕴下编卷四十末部十比例规解(分圆线假数尺) (正弦线数尺正切线线假正割线割尽日晷法正弦假 切 数尺 线假数尺)分圆线(即圆内之通弦线)自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线依几何原本十二卷二十节之法分之即为分圆线也或用八线表三十分之正弦倍之即一度之通弦一度之正弦倍之即二度之通弦一度三十分之正弦倍之即三度之通弦至于九十度之正弦倍之即一百八十度之通弦以所得通弦之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成分圆线也设如甲乙半径六寸丙乙弧二十九度问丙乙通弦几何法以比例尺分圆线六十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取分圆线二十九度两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸即丙乙通弦之数也葢圆之半径与六十度之通弦等六十度之通弦既为六寸则二十九度相距之三寸即为二十九度之通弦可知矣设如甲乙半径六寸丙乙通弦三寸问丙乙弧度几何法以比例尺分圆线六十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取通弦三寸之度于分圆线上寻至二十九度之两㸃其相距之度恰合即丙乙弧为二十九度也葢圆之半径与六十度之通弦等通弦六寸相当之度为六十度则丙乙通弦三寸相当之二十九度即为丙乙弧之度可知矣设如丙乙弧三十一度丙乙通弦一寸零三厘问甲乙半径几何法以比例尺分圆线三十一度之两㸃依通弦一寸零三厘之度展开勿令移动次取六十度两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸即甲乙半径也葢六十度之通弦与圆之半径等三十一度之通弦为一寸零三厘则六十度之通弦二寸即为圆之半径可知矣设如圆径六寸内容五等边形问每一边几何法以比例尺分圆线六十度之两㸃依半径三寸之度展开勿令移动次以圆周三百六十度用五归之得七十二度即五等边形每边相当之弧乃取分圆线七十二度两㸃相距之度于分厘尺上量之得三寸五分有余即圆内五等边形之一边也葢圆内容五边形之每一边即七十二度之通弦而半径又即六十度之通弦六十度之通弦为三寸则七十二度之通弦三寸五分有余即为圆内容五等边形之一边可知矣设如有甲乙丙三角形问乙角之度几何法以乙角为心任以一处为界作丁戊弧则乙丁乙戊皆为圆之半径丁己戊为乙角之通弦乃以比例尺分圆线六十度之两㸃依乙丁半径之度展开勿令移动次取丁己戊通弦之度于分圆线上寻至三十度之两㸃其相距之度恰合即乙角为三十度也正弦线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正弦线自一度至九十度之数(自八十度至九十度正弦每度之较甚㣲若尺小不能分)(或隔一度而作一㸃或隔五度而作一㸃)于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正弦线也设如甲乙半径六寸丙乙弧二十一度问丙丁正弦几何法以比例尺正弦线九十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取正弦线二十一度两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸一分五厘即丙丁正弦之数也葢圆之半径与九十度之正弦等九十度之正弦既为六寸则二十一度相距之二寸一分五厘即为二十一度之正弦可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次以丙乙弧二十一度倍之得四十二度即取分圆线四十二度两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸三分为四十二度之通弦折半得二寸一分五厘即丙丁正弦之数也葢正弦之弧为弧背之一半正弦为通弦之一半故求得倍弧之通弦折半即半弧之正弦此分圆线与正弦线可以互相为用也设如甲乙半径六寸乙丁正弦三寸问乙丙弧之度几何法以比例尺正弦线九十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取正弦三寸之度于正弦线上寻至三十度之两㸃其相距之度恰合即乙丙弧为三十度也葢圆之半径与九十度之正弦等正弦六寸相当之度为九十度则正弦三寸相当之三十度为丙乙弧之度可知矣若用分圆线则以分圆线六十度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次以正弦三寸倍之得六寸于分圆线上寻之得六十度折半得三十度亦即乙丙弧之度也设如甲乙弧三十二度甲丙正弦一寸零六厘问乙丁半径几何法以比例尺正弦线三十二度之两㸃依正弦一寸零六厘之度展开勿令移动次取九十度两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也盖九十度之正弦与圆之半径等三十二度之正弦为一寸零六厘则九十度之正弦二寸即为圆之半径可知矣若用分圆线则以三十二度倍之得六十四度以正弦一寸零六厘倍之得通弦二寸一分二厘乃以分圆线六十四度之两㸃依通弦二寸一分二厘之度展开勿令移动次取分圆线六十度两㸃相距之度于分厘尺上量之得二寸即乙丁半径也设如简平仪下盘作节气线问其法若何法自甲圆心作乙丙径线又自甲平分作赤道线即为春分秋分线乃以比例尺正弦线九十度之两㸃依甲乙半径之度展开勿令移动次取二十三度半两㸃相距之度(二至黄赤道大距度)于赤道线左右丙乙径上作识如丁戊依识与赤道平行作线即为夏至冬至线(丁为夏至戊为冬至)复以正弦线九十度之两㸃依甲戊二十三度半之正弦线度展开勿令移动而取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各两㸃相距之度于赤道左右作识悉与赤道平行作线即成二十四节气线也葢赤道即春分秋分距二分十五度之线左为惊蛰寒露右为清明白露距二分三十度之线左为雨水霜降右为谷雨处暑距二分四十五度之线左为立春立冬右为立夏立秋距二分六十度之线左为大寒小雪右为小满大暑距二分七十五度之线左为小寒大雪右为芒种小暑距二分九十度之线左即冬至右即夏至也设如简平仪下盘欲作时刻线问其法若何法如前作径线及赤道二至线乃以比例尺正弦线九十度之两㸃依半径(即春)(秋分线之半)之度展开勿令移动次取十五度三十度及四十五度六十度七十五度之各两㸃相距之度自圆心于赤道线上下作识即春秋分时之二十四时刻也又以比例尺正弦线九十度之两㸃依冬夏至线之半展开勿令移动取十五度三十度四十五度六十度七十五度之各两㸃相距之度自圆径与二至线相交之处于二至线上下作识即二至时之二十四时刻也乃用三㸃串圆之法将二至及二分之㸃连为一线即成时刻线矣葢中心横线为卯正酉正距中心十五度之线上为辰初酉初下为卯初戌初距中心三十度之线上为辰正申正下为寅正戌正距中心四十五度之线上为巳初申初下为寅初亥初距中心六十度之线上为巳正未正下为丑正亥正距中心七十五度之线上为午初未初下为丑初子初距中心九十度之线即圆周上为午正下为子正也正切线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正切线自一度至四十五度之数于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正切线也至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线止用四十五度即足九十度之用也设如甲乙半径六寸乙丙弧三十五度问丁乙切线几何法以比例尺正切线四十五度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取正切线三十五度两㸃相距之度于分厘尺上量之得四寸二分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等四十五度之切线既为六寸则三十五度相距之四寸二分即为三十五度之切线可知矣设如甲乙半径六寸乙丙弧五十八度问丁乙切线几何法以五十八度与九十度相减余三十二度为余弧乃以比例尺正切线三十二度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取四十五度两㸃相距之度于分厘尺上量之得九寸六分即丁乙切线之数也葢圆之半径与四十五度之切线等而三十二度之正切即为五十八度之余切夫半径与正切之比既同于余切与半径之比故以三十二度相距之六寸当半径而四十五度相距之九寸六分即为五十八度之切线也凡过四十五度者皆倣此设如甲乙半径六寸丙乙切线四寸二分问丁乙弧之度几何法以比例尺正切线四十五度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取切线四寸二分之度于正切线上寻至三十五度之两㸃其相距之度恰合即丁乙弧为三十五度也葢圆之半径与四十五度之切线等切线六寸相当之度为四十五度则切线四寸二分相当之三十五度即为乙丁弧之度可知矣设如甲乙弧三十五度丙乙切线一寸零五厘问丁乙半径几何法以比例尺正切线三十五度之两㸃依切线一寸零五厘之度展开勿令移动次取正切线四十五度两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径也葢四十五度之切线与圆之半径等三十五度之切线为一寸零五厘则四十五度之切线一寸五分即为丁乙半径可知矣设如地平上立表髙四尺日中影长三尺六寸零二厘问日髙度几何法以比例尺正切线四十五度之两㸃依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺三寸六分零二豪之度于正切线上寻至四十二度之两㸃其相距之度恰合乃以四十二度与九十度相减得四十八度为日距地平之髙度也盖地平上立表取影以表为半径则影为日距地平之余切线如甲乙表髙为半径乙丙影长为切线求得乙丁弧为甲角之度故与九十度相减得丙角始为日距地平之度也设如壁上立横表四尺日中影长二尺四寸零三厘问日髙度几何法以比例尺正切线四十五度之两㸃依分厘尺四寸之度展开勿令移动次取分厘尺二寸四分零三豪之度于正切线上寻至三十一度之两㸃其相距之度恰合即日距地平之髙为三十一度也葢壁上立横表取影以表为半径则影即日距地平之正切线如甲乙横表为半径甲丙影长为切线求得甲丁弧为乙角之度与乙丙戊角之度等故即为日距地平之髙度也正割线自甲枢心至乙丙两股之末作甲乙甲丙二线用八线表正割线自初度至七十度之数(初度割线即圆之半径自一度至十度其每度之较甚㣲)(若尺小不能分或隔五度作一㸃自七十度以上渐与切线平行其数甚大尺)(上不能容故止取七十度也)于分厘尺上取其度按度截比例尺之甲乙甲丙二线即成正割线也设如甲乙半径六寸乙丙弧四十一度问甲丁割线几何法以比例尺正割线初度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取正割线四十一度两㸃相距之度于分厘尺上量之得七寸九分五厘即甲丁割线之数也葢初度尚无切线故其割线即圆之半径初度之割线既为六寸则四十一度相距之七寸九分五厘即为四十一度之割线可知矣设如甲乙半径六寸甲丙割线一尺二寸问丁乙弧之度几何法以比例尺正割线初度之两㸃依半径六寸之度展开勿令移动次取割线一尺二寸之度于正割线上寻至六十度之两㸃其相距之度恰合即丁乙弧为六十度也葢初度之割线即圆之半径割线六寸相当之度为初度则割线一尺二寸相当之六十度即为丁乙弧之度可知矣设如甲乙弧四十四度半丙丁割线二寸一分零三豪问丁乙半径几何法以比例尺正割线四十四度半之两㸃依割线二寸一分零三豪之度展开勿令移动次取初度两㸃相距之度于分厘尺上量之得一寸五分即丁乙半径之数也葢初度之割线即圆之半径四十四度半之割线为二寸一分零三豪则初度之割线一寸五分即为丁乙半径可知矣作地平日晷法(以北极出地四十度为准)法先作南北东西线相交于甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角五十度为赤道髙丙角四十度为北极高而乙角为直角次取晷表之甲乙度截南北线于丁为半径作圜用比例尺分圆线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各分分圜界作识乃自丁圜心引出各界作线至东西线上即得午正前后各初正时刻或以甲乙为半径用比例尺正切线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切线自甲左右作识于东西线上亦即午正前后各初正时刻(甲为午正距甲)(十五度前为午初后为未初距甲三十度前为巳正)(后为未正距甲四十五度前为巳初后为申初距甲)(六十度前为辰正后为申正距甲七十五度前为辰)(初后为酉初也)乃以晷表之丙为晷心至各㸃作线即时刻线也卯正酉正各距午正前后九十度故自丙晷心与东西线平行作线即卯正酉正线卯正以前酉正以后则日转在北影转在南故与辰初酉初反对作线即卯初戌初线也次按刻细分则自午正甲㸃每加三度四十五分而得一刻葢十五度当四刻而三度四十五分则当一刻也此法葢因北极为天之枢赤道为天之带太阳虽由黄道而行时刻皆以赤道而定故以晷表之甲乙指赤道丙乙指北极而东西线即为赤道线丙乙即为过极经圈甲乙即为半径午正太阳在正南则影在正北若偏东偏西若干度则其切线即其影之长故以甲乙为半径作圜而分圜界者即所以求切线至于用比例尺正切线者正以切线分时刻也地平日晷作节气线法法以甲乙丙晷表之甲角与丙乙平行作戊己线而以甲乙为半径用比例尺正切线比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切线自甲左右作识于戊己线上即得各节气日影界(春秋分为赤道)(冬至距赤道南夏至距赤道北各二十三度三十分)(小寒大雪距赤道南芒种小暑距赤道北各二十二)(度四十分大寒小雪距赤道南小满大暑距赤道北)(各二十度十二分立春立冬距赤道南立夏立秋距)(赤道北各十六度二十三分雨水霜降距赤道南谷)(雨处暑距赤道北各十一度三十分惊蛰寒露距赤)(道南清明白露距赤道北各五度五十五度)或以二十三度三十分之正切线甲戊为半径作圜将甲乙线引长平分为四象限用比例尺分圆线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各圜界又以乙戊为半径作戊己弧而依所分甲戊小圜界各与甲乙平行作线截戊己弧界又自乙至戊己各弧界作线截戊甲己线亦即得各节气日影界(甲为)(春秋分距甲十五度左为惊蛰寒露右为清明白露)(距甲三十度左为雨水霜降右为谷雨处暑距甲四)(十五度左为立春立冬右为立夏立秋距甲六十度)(左为大寒小雪右为小满大暑距甲七十五度左为)(小寒大雪右为芒种小暑)乃自乙至各㸃作线与午正时刻线相交其相交之㸃即午正各节气日影界也若求未初节气线则先以丙乙为半径作圜又依甲乙度截午正线于庚而以未初线与赤道相交之辛㸃至庚相距之度截圜界于壬作壬辛线乃与壬辛取直角作癸子十字线以壬辛为半径如前法比得二十三度三十分等距纬之各切线于辛左右作识于癸子线乃自壬至各㸃作线与未初时刻线相交其相交之㸃即未初各节气日影界也倣此类推则得各时刻之各节气日影界或用捷法另取一纸画甲乙丙表式将乙甲乙戊乙己类各节气线俱画长些如求未初节气线则以丙合于晷心丙而以甲乙春秋分线合于未初时刻线与赤道相交之辛㸃乃于各节气线与未初时刻线相交之处俱作㸃识之即得未初各节气之日影界余倣此乃将各时刻线与莭气线相交之㸃作线聫之即成节气线也葢春秋分日行赤道而晷表之甲乙指赤道故赤道线即为春秋分线春秋分时日在赤道则午正日影在甲春分以后秋分以前日在赤道北夏至而极北则影在南春分以前秋分以后日在赤道南冬至而极南则影在北故以甲乙为半径而取各距度之切线为各节气之影界且切线与半径成直角故先与甲乙取直角作十字线而后得其切线也(甲乙本直立之线与之取直角则戊端应在晷面下)(己端应在空中出晷面上而其距午正线之逺近与)(平面斜线之度同葢平与立之理一也)其以冬夏至之影界为半径作圜用分圆线求之者葢半径与冬夏至距纬正弦之比同于各节气距二分度之正弦与各节气距纬正弦之比故以甲戊为半径作圜为一率又以乙戊为半径作戊己弧则甲戊切线即变为冬夏至距纬之正弦为二率而用分圆线所分各圜界即得各节气距二分度之正弦为三率其自圜界作线截戊己弧即得各节气距纬之正弦为四率既得各节气之距纬度又自乙至各弧界作线截戊甲己线则戊甲己线仍为各节气距纬之切线故用正弦即如用切线也然虽得各节气之影界而犹不在午正线之上故自乙至各节气㸃作线交于午正线乃自乙表端照至各节气㸃所必经之处故为午正节气日影界也至于未初春秋分时则日影至辛乙辛为影线成乙甲辛勾股形甲乙为股(甲乙)(表直立故为股)甲辛为勾乙辛为弦故以甲乙度截午正线于庚而取庚辛之度即与乙辛影线之度等又乙辛线与丙乙为直角成丙乙辛立勾股形丙乙为勾乙辛影线为股丙辛时刻线为弦(葢丙乙为过极经圈乙辛为赤道影线经)(圈与赤道无在而非直角故乙辛与影线亦无在而)(非直角也)故以丙乙为半径作圜而取庚辛度截圜界于壬成丙壬辛平勾股形即与丙乙辛立勾股形相等(丙壬与丙乙等壬辛与乙辛等丙辛仍为弦线故成)(相等勾股形)爰以壬辛影线为半径与壬辛作直角取各节气之切线为各节气日影界皆与午正取节气线之法同至其捷法乃以已成之勾股已分之切线转移用之尤为便捷也向南壁上画立面日晷法(以北极出地四十度为准)法先作直线及东西横线相交于甲各成直角次作甲乙丙晷表取甲角四十度丙角五十度而乙为直角乃依地平日晷作时刻线法求之即得各时刻线葢晷表之甲丙指天顶甲乙指赤道故丙甲乙角定为四十度则乙甲丁外角为五十度即赤道之髙度也丙乙指南极丙戊指地平故甲丙乙角定为五十度则乙丙戊外角为四十度乃南极入地之度即北极出地之度也甲乙既指赤道丙乙既指南极则丙乙即为过极经圈甲乙即为半径午正太阳在正南则影在正北若偏东偏西若干度则其切线即其影之长皆与地平日晷之法同至于作节气线之法亦与地平日晷同但赤道线以上为春分前秋分后至冬至之节气线赤道线以下为春分后秋分前至夏至之节气线葢春分以后秋分以前日行赤道北夏至而极北其度髙故其影在下也秋分以后春分以前日行赤道南冬至而极南其度卑故其影在上也向东壁上画立面日晷法(以北极出地四十度为准)法先安甲乙直表与壁面成直角(甲乙表不拘尺寸)次作甲丙垂线及甲丁横线各成直角次以甲为心作甲丙丁象限弧用比例尺分圆线比得赤道髙五十度之弧为丁戊自甲至戊作甲戊赤道线乃以甲乙表长为半径用比例尺正切线比得十五度三十度四十五度六十度七十五度之各切线于赤道线上作识按识作十字线即成时刻线也(甲㸃为卯正距甲十五度前为卯初后为)(辰初距甲三十度为辰正距甲四十五度为巳初距)(甲六十度为巳正距甲七十五度为午初)葢时刻生于赤道春秋分时卯正日出正东与表对射故无影若向南若干度则其切线即其影之长至于午正则距卯正九十度切线与割线平行故无切线而日影即与壁面平行故亦无影也若于向西壁上画晷则以午初为未初巳正为未正巳初为申初辰正为申正辰初为酉初卯正为酉正卯初为戌初余俱与向东壁上画晷法同向东壁上立面日晷画节气线法法以乙表端至卯初㸃相距之度为半径用比例尺正切线比得二十三度三十分二十二度四十分二十度十二分十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切线于卯初线左右作识即得各节气日影界(春秋分为赤道冬至距赤道南)(夏至距赤道北各二十三度三十分小寒大雪距赤)(道南芒种小暑距赤道北各二十二度四十分大寒)(小雪距赤道南小满大暑距赤道北各二十度十二)(分立春立冬距赤道南立夏立秋距赤道北各十六)(度二十三分雨水霜降距赤道南谷雨处暑距赤道)(北各十一度三十分惊蛰寒露距赤道南清明白露)(距赤道北各五度五十五分)又以乙表端至卯正㸃相距之度(即甲)(乙表长)为半径比得各节气距纬度之切线于卯正线左右作识即为卯正各节气日影界凡各时刻节气俱以乙表端至各时刻㸃相距之度为半径比得各节气距纬度之切线于各时刻线左右作识即得各时刻各节气之日影界将各㸃作线聨之即成节气线也葢春秋分时日在赤道故其影界即在赤道线之上其自表端至各时刻㸃相距之度即春秋分各时刻之影线也若春分以后秋分以前日在赤道北夏至而极北则影在南春分以前秋分以后日在赤道南冬至而极南则影在北故以表端至各时刻㸃相距之度为半径而取各节气距纬度之切线即为各时刻各节气之日影界聨之即成节气线也向西壁法同假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取假数表内自一至一百所对之假数于分厘尺上取其度(如二之假数为○三○一)(则为三寸零一厘)截甲丁乙丙二边依所截㸃作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十分作线与甲丁平行自一十以上又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间零数之度如一○至一一之斜线其与第一直线相交之处即一○一也故假数虽止于一百而可以当一千之用若尺止长一尺则如上图截去自一至九之数从一十起至一百止葢十之假数为一而百之假数为二今既截去一尺则假数即减去首位之一取其零数作寸分厘豪用时则以十为单总之假数尺虽始于一十终于一百小之则可以为单为零大之则可以为千为万皆因假数之首位虽递加一数而其后之零数皆同故可以进退为用惟在比例分明加减详审则其用自无穷也设如有十二人每人给银四两五钱问共银几何法以假数尺之四分五厘(即从一十至四十五之度)与一十二分相加得五十四分即五十四两为共银数也葢一人与四两五钱之比同于一十二人与五十四两之比而真数以乘得者假数以加得之故以四分五厘当四两五钱以十二分当十二人两线相加即得五十四两为共银数也设如有米四百八十石每石价银七钱五分问共价银几何法以假数尺之七分五厘(即自一十至七十五之度)与四十八分相加过于一百分之度乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得三十六分即三百六十两为共价银数也葢以四十八分当四百八十石是以单当十则相加过于一百分即为过于一千分矣而以其过于一千分之余度自十分以上量之是以十分当千分则三十六分即为三千六百分既以七分五厘当七钱五分故三千六百分即为三百六十两也设如有银五百一十二两令三十二人分之问每人几何法以假数尺之五十一分二厘内减去三十二分以其余度自假数尺十分以上量之得十六分即十六两为每人之银数也葢三十二人与五百一十二两之比同于一人与十六两之比而真数以除得者假数以减得之故以五十一分二厘当五百一十二两以三十二分当三十二人相减用其余度自十分以上量之是以十分当一分故十六分即为一分六厘既以五十一分二厘当五百一十二两则一分六厘即为十六两也设如有米四十二石令六十人分之问每人几何法以假数尺之四十二分内减去六分(即自一十至六十之度)不足于一十之分乃以其不足于一十之度自假数尺一百以下减之余七十分即七斗为每人之米数也葢以四十二分当四十二石以六分当六十人而以相减不足于一十之分自一百以下减之是以百分当十分则所余之七十分即为七分矣且以六分当六十人是所减之数以单当十则减余之数即以十为单而单即为零故所余之七分即为七厘既以四十二分当四十二石故七厘即为七斗也设如每银二两五钱兑钱四千七百五十文今有银八两问兑钱几何法以假数尺之二十五分与四十七分五厘相减余度与八十分相加过于一百分乃以其过于一百分之余度自假数尺十分以上量之得十五分二厘即一万五千二百为共钱数也葢二两五钱与四千七百五十文之比同于八两与一万五千二百文之比故以二两五钱为一率四千七百五十为二率八两为三率得一万五千二百为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也又四率既过于一百分而以其过于一百分之余度自十分上量之是以十分当百分故十五分二厘即为一百五十二分既以四十七分半当四千七百五十则一百五十二分即为一万五千二百也设如有银六两买米五石今有银四两八钱问买米几何法以假数尺之六十分内减去五十分余度与四十八分相减得四十分即四石为米数也葢六两与五石之比同于四两八钱与四石之比故以六两为一率五石为二率四两八钱为三率得四石为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率以其余度与三率相减而得四率其理同也总之二率大于一率者则四率亦大于三率故以二率多于一率之分与三率相加而得四率若二率小于一率者则四率亦小于三率故以二率小于一率之分与三率相减而得四率用虽不同而理实一也正弦假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至九十度之正弦假数减去首位之八于分厘尺上取其度(如一度之正弦假数为八二四一八减去首位之八)(余二四一八即为二寸四分一厘八豪)截甲丁乙丙二边依所截㸃作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数如自一度至二度之斜线其与第一直线相交之处即一度五分其与第二直线相交之处即一度十分葢一度有六十分故直线分为十二每一直线当五分若于直线之间酌量取之则五分中之零分亦可得其大槩矣若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至九十度止葢九十度之正弦假数首位为一○一度之正弦假数首位为八相减余二故二尺之内始可容自一度至九十度之分今既截去一尺则假数首位须再减去一数故从六度起六度之正弦假数首位为九减去首位之九取其零数作寸分厘豪至九十度则恰得一尺之分也设如甲乙丙三角形甲角四十四度三十分丙角五十三度乙丙边五尺三寸七分问甲乙边几何法以正弦假数尺之四十四度三十分与五十三度相减用其余度与假数尺之五十三分七厘相加得六丁一分一厘即六尺一寸一分为甲乙边也葢甲角正弦与丙角正弦之比同于乙丙边与甲乙边之比故以四十四度三十分之正弦为一率五十三度之正弦为二率假数尺之五十三分七厘当乙丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于二率内减去一率以其余度与三率相加而得四率其理同也设如甲乙丙三角形甲乙边六尺一寸一分甲丙边七尺五寸九分乙角八十二度三十分问丙角几何法以假数尺之六十一分一厘与七十五分九厘相减用其余度与正弦假数尺之八十二度三十分相减得五十三度为丙角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于乙角正弦与丙角正弦之比故以七十五分九厘当甲丙边为一率六十一分一厘当甲乙边为二率八十二度三十分之正弦为三率得乙角五十三度为四率本宜以二率与三率相加内减去一率而得四率今先于一率内减去二率余度与三率相减而得四率其理同也切线假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至四十五度之切线假数减去首位之八于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截㸃作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正弦假数尺同至于四十五度以后则与四十五度以前相为正余葢四十五度之正切线与半径等四十五度以前之正切线即四十五度以后之余切线而半径与正切之比同于余切与半径之比故切线尺止用四十五度正余相对即足八十九度之用若尺小止用一百分则截去自一度至五度之数从六度起至四十五度止其余度则至八十四度止亦与正弦假数尺同也设如甲乙丙直角三角形甲丙边四尺三寸六分乙丙边四尺二寸九分问甲角几何法以假数尺之四十三分六厘与四十二分九厘相减用其余度与切线假数尺之四十五度相减得四十四度三十分为甲角度也葢甲丙边与乙丙边之比同于半径与甲角切线之比故以四十三分六厘当甲丙边为一率四十二分九厘当乙丙边为二率四十五度之切线当半径为三率得甲角四十四度三十分为四率也因二率小于一率故于一率内减去二率余数于三率内减之即得四率也设如甲乙丙直角三角形甲角五十三度甲丙边三十二尺三寸问乙丙边几何法以切线假数尺之五十三度与半径相减用其余度与假数尺之三十二分三厘相加得四十二分九厘即四十二尺九寸为乙丙边也盖半径与甲角正切线之比同于甲丙边与乙丙边之比而甲角余切线与半径之比亦同于甲丙边与乙丙边之比故以五十三度之余切线为一率四十五度之切线当半径为二率三十二分三厘当甲丙边为三率得四十二分九厘当乙丙边为四率因五十三度切线自四十五度起是已减去半径矣故以二率与三率相加即得四率不必更减一率也割线假数尺法按分厘尺二百分之度作甲丁乙丙二平行线又作甲乙丁丙二线令成直角乃取八线对数表内自一度至八十九度之割线假数减去首位之一于分厘尺上取其度截甲丁乙丙二边依所截㸃作线与甲乙边平行又将甲乙丁丙二边各平分为十二分作线与甲丁平行又依分厘尺法于各平行线之间悉作斜线则斜线与直线相交之处即其间之分数皆与正弦假数尺同若尺小止用一百分则截去自八十五度至八十九度之数从○度起至八十四度止葢○度之割线即半径其假数为一○今从○度起即减去半径之数至八十四度以后则假数甚大一尺之内不能容故止八十四度止也设如甲乙丙直角三角形甲角四十五度三十分甲丙边四十二尺九寸问甲乙边几何法以割线假数尺之四十五度三十分与假数尺之四十二分九厘相加得六十一分一厘即六十一尺一寸为甲乙边也葢半径与甲角割线之比同于甲丙边与甲乙边之比故以半径为一率四十五度三十分之割线为二率四十二分九厘当甲丙边为三率得六十一分一厘当甲乙边为四率因割线先巳减去半径之数故二率与三率相加即得四率不必更减半径也设如甲乙丙直角三角形甲丙边四十二尺九寸甲乙边五十三尺七寸问甲角几何法以假数尺之四十二分九厘与五十三分七厘相减用其余度自割线假数尺○度以上量之得三十七度为甲角度也葢甲丙边与甲乙边之比同于半径与甲角割线之比故以四十二分九厘当甲丙边为一率五十三分七厘当甲乙边为二率半径为三率得三十七度当甲角为四率因○度之割线即半径故以一率二率相减之余度自○度以上量之即如与半径相加也御制数理精蕴下编卷四十
## 表卷一上
钦定四库全书御制数理精蕴表卷一上八线表八线表说八线之用关于数理者甚大立表愈宻则为用愈精西洋旧表设半径为十万用以推测步算秒微或有不合既而又有新表设半径为一千万取数较精但逐分列表用中比例以求秒数止可用于正弦余弦若切线割线至六十度以后其递増之数不均用中比例尚不能宻合兹又用本法细推(法见割圜)每十秒递折求零秒则用比例所差无多检用亦便用表之法并列如左列表之法○度至四十四度列于右方之上其分秒顺列右行自上而下检得某度某分秒对上层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对上层各线行内检得某数横对至右行即得某度分秒 四十五度至八十九度列于左方之下其分秒逆列左行自下而上检得某度某分秒对下层各线之数用之若有各线之数求度分秒者则对下层各线行内检得某数横对至左行即得某度分秒凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正弦则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正弦一八三七三四与一度三分二十秒之正弦一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正弦相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正弦盖多十秒则正弦多四八五今多三秒则正弦应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余弦则仍以十秒为一率一度三分十秒之余弦九九九八三一二内减一度三分二十秒之余弦九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余弦相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余弦盖多十秒则余弦少九今多三秒则余弦应少三为比例四率也 如有正弦一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正弦相较则多与一度三分二十秒之正弦相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正弦相减余四八五为一率十秒为二率今有之正弦内减一度三分十秒之正弦余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余弦九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余弦内减一度三分二十秒之余弦余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余弦内减今有之余弦余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也八线内有正矢余矢二线正矢即半径减余弦之数余矢即半径减正弦之数故表内虽不列正矢余矢而其数已寓矣◆ 《数学钥-清-》（KR3f0050）
## 提要
钦定四库全书 子部六
数学钥 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案数学钥六巻国朝杜知耕撰其书列古方田粟布裒分少广商功均输盈朒方程勾股九章取今线面体三部之法𨽻之载其图解并摘其要语以为之注与方中通所撰数度衍用今法以合九章者体例相同而每章设例必标其凡于章首每问答有所旁通者必附其术于条下所引证之文必著其所出搜辑尤详梅文鼎勿庵歴算书记曰近代作者如李长茂算海详说亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端伯数学钥图注九章颇中肯綮可为筭家程式其说固不诬矣世有二本其一为妄人窜乱殊失本真此本犹当日初刋今据以校正以复知耕之旧焉乾隆四十六年四月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆费墀
## 卷一凡例
钦定四库全书数学钥卷一凡例柘城杜知耕撰凡例(计十四则)一则数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形则指第二图或错举二字谓第一图为甲丁或乙丙形谓第二图为戊辛或巳庚形又指第一图左下角曰甲角右下角曰乙角又或有两角相连如第三图两形相同一角如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角二则四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱不等两角中矩两角不中矩者曰斜方形如第四图角不中矩两边相等者曰梯形如第五图边及角俱不等者曰无法形如第六图三边形有一方角者(甲为方角)曰勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图三则形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰濶或曰广在下者或曰底斜对两角者曰弦四则形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃五则线之作志处曰㸃六则两线相并曰和七则以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之差丁己形之大于丁戊形为庚己形则庚己为两形之较形或曰两形之差八则甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上方形其形之容即甲乙自乘之数丁戊衡线戊己纵线内作丁己直形己庚与丁戊等庚丁与戊己等曰丁戊偕戊己两线矩内形其形之容即丁戊戊己相乘之数九则甲乙衡线上作丙丁纵线而丙丁乙与丙丁甲两角俱方角则丙丁为甲乙线上之垂线十则两直线引至无穷不相离亦不相遇曰平行线平行线内任作几形皆等高如甲乙丙丁两线平行两线内作戊己庚三角形与辛壬直形两形之高必相等凡两形等高者则曰同在平行线内十一则甲乙丙三形并为一形形曲如磬曰甲乙丙磬折形十二则方形并举四边曰方周十三则方形或圆形外实中虚曰环其中虚处曰虚形或曰缺形十四则甲乙形以丙丁线分之成甲丁丙乙两形或再以戊己线分之成甲庚丙己戊丁庚乙四形谓甲丁等二形或甲庚等四形曰分形谓甲乙元形曰全形数学钥巻一凡例
## 卷一目录
钦定四库全书数学钥巻一目录柘城杜知耕撰方田上(直线类)一则实积求亩二则直形求积三则方形求积四则勾股求积(二法)五则三角形求积六则斜方形求积七则梯形求积(西法)八则象目形求积(二法)九则诸直线形求积十则积求方边(即开平方) (二法)十一则方边求斜弦十二则斜弦求方边十三则直积求长与濶(即带纵开平方)十四则直形以长求濶十五则直形以濶求长十六则直形长濶求弦十七则直形濶弦求长十八则直形长弦求濶十九则直形长及弦濶差求濶二十则直形濶及弦长差求长二十一则直形弦及长濶和求长濶差二十二则直形长及弦濶和求濶二十三则直形濶及弦长和求长二十四则直形弦及长濶差求长与濶二十五则直形长弦和及濶弦和求长与濶二十六则直形长弦差及濶弦差求长与濶二十七则直形积及长濶和求长濶差二十八则直形积及长濶和求弦二十九则两边等之三角形求对角之垂线(増)三十则有一方角之三角形求对角之垂线(増)三十一则不等边而无方角之三角形求对角之垂线三十二则方周求积三十三则方环以周求积(増)三十四则方环以积及濶求边三十五则直形依长截濶三十六则直形依濶截长三十七则直形截勾股三十八则直形截三角三十九则直形截斜方四十则直形截梯形四十一则三角形以截积截濶求截长(勾股截积)(同)四十二则三角形以截积截长求截濶四十三则三角形以截长求截濶四十四则三角形以截濶求截长四十五则三角形以截积求截长四十六则三角形以截积求截濶四十七则斜方形以截积截长求截濶(梯形截积)(同)四十八则斜方形以截积截濶求截长四十九则斜方形以截濶求截长五十则斜方形以截长求截濶五十一则斜方形依小边截积求截濶五十二则斜方形依大边截积求截濶五十三则梯形截勾股五十四则梯形截斜方五十五则梯形截无法五边形(増)五十六则方环截外周(増)五十七则方环截内周数学钥巻一目录
## 卷一
钦定四库全书数学钥巻一柘城杜知耕撰方田上(直线类)一则实积求亩设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙濶一步(即五尺)余三边各与甲乙等则甲丙方形为积一步二百四十倍之则为一亩故亩法用二四也本巻及二巻皆言求积之法得积以此法求之即得亩数二则直形求积设直田长十步濶八步求积法曰置长为实以濶乘之得八十步即所求解曰直田长濶不等求积之法任取一边为此一边之倍数(或以濶乘长或以长乘濶)如甲戊形之戊乙己甲各二步则二倍甲乙边八步之数而甲戊形得积一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也三则方形求积设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步即所求解曰方田四边皆等以此边为此边之倍数与以他边为此边之倍数同故法用自乘也四则勾股求积设勾股田股长十二步勾濶八步求积法曰置股为实以勾乘之(得九十六步)折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半如甲乙丙勾股形另作丁己直形与之等高(谓丁庚与甲丙)(等)等濶(谓丁戊与甲乙等)以庚戊线分之则成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾(四步)乘之所得同前(半股为实以勾乘之亦得)解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也五则三角形求积设三角田中长一十二步底濶八步求积法同勾股田解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙己线分之则三角形内成甲己丙乙己丙两勾股形直形内成甲丙己丁两分形从前解推之甲己丙勾股形当甲丙分形之半乙己丙勾股形当己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也 或两边等(如第一图)或三边等(如第二图)或三边俱不等(如第三图)法皆同六则斜方形求积设斜方田长一十五步上濶六步下濶十步求积法曰置长为实以两濶相并(共一十六步)折半(得八步)为法乘之得一百二十步即所求解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等濶直形之半(本巻四则)则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎七则梯形求积设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁己两勾股形必与辛丙己庚两分形等今戊丁直形与两分形并则与全梯形等矣故并两濶折半乘长得积也八则象目形求积设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长为实以濶乘之得九十六步即所求解曰几何原本云甲乙丙丁象目形甲戊为正长自乙作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内(等高即在平行线内)而同底(等濶即同底)则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同解曰象目田以甲丁线分之则成相等之两三角形甲丁即底丙戊即中长也故以底乘长得全积也(三角法以底乘)(长折半得积今不折故得两形之共积)九则诸直线形求积第一图可作三三角形第二图可作一斜方形一三角形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之十则积求方边(即开平方)设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步(余二万六千一百步)倍方法(得二百步)为亷法次商九十步于左初商之次(共一百九十步)亦置九十步于右亷法之次为隅法(共二百九十步)以左次商与亷法对呼除实一万八千步(余八千一百步)又以左次商与隅法对呼除实八千一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也(即大方积)次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也(即两亷)必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也(即隅方)四形恰尽实积则初次两商之数为方田边无疑矣又设方田积七万一千八百二十四步求方边法曰置积于中为实初商二百步于左亦置二百步于右为方法左右对呼除实四万步(余三万一千八)(百二十四步)倍方法(得四百步)为亷法次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步(余实四千二百二十)(四步)又倍次商(得一百二十步)并右亷法(共五百二十步)复为亷法三商八步于左初商次商之次(共二百六十八步)亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商倣此十一则方边求斜弦设方田方五十步求弦法曰置方数自乘(得二千五百步)倍之(得五千步)平方开之(本巻十则)得七十步零七分有竒即所求解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙弦线次作己庚辛壬方形令方边与甲丁方形之弦线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜弦自乘之方形(即庚壬方形)倍大于方边自乘之方形(即甲丁方形)法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之弦也十二则斜弦求方边设方田弦长七十步零七分有竒求方边法曰置弦自乘(得五千步)折半(得二千五百步)平方开之得五十步即所求解曰置弦自乘求庚壬方积也(图同上则)折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙十三则直积求长与濶(即带纵开平方)设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法曰置积四因之(得三千八百八十八步)又长濶差自乘(得八十一步)两数并(共三千九百六十九步)平方开之得六十三步加长濶差(共七)(十二步)折半得三十六步即长以长濶差减长余二十七步即濶解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也(开方所得之六十三步)长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何十四则直形以长求濶设直田积九百七十二步长三十六步求濶法曰置积为实以长除之得二十七步即所求解曰濶为长之倍数故以长除积得濶(本巻二则)十五则直形以濶求长设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长(本巻二则)十六则直形长濶求弦设直田濶二十七步长三十六步求弦法曰长濶各自乘(长得一千二百九十六步濶得)(七百二十九步)两数并(共二千零二十五步)平方开之得四十五步即所求解曰此即勾股求弦(六巻一则)十七则直形濶弦求长设直田濶二十七步弦四十五步求长法曰弦濶各自乘(弦得二千零二十五步濶得七百二十九步)两数相减(余一千二百九十六)平方开之得三十六步即所求解曰此即勾弦求股(六巻二则)十八则直形长弦求濶设直田长三十六步弦四十五步求濶法曰弦长各自乘(弦得二千零二十五步长得一千二百九十六步)两数相减(余七百二十九步)平方开之得二十七步即所求解曰此即股弦求勾(六巻三则)十九则直形长及弦濶差求濶设直田长三十六步弦濶差一十八步求濶法曰长与弦濶差各自乘(长得一千二百九十六步弦濶差得三百二十四步)两数相减(余九百七十二步)折半(得四百八十六步)以弦濶差为法除之得二十七步即所求解曰此即股与勾弦较求勾(六巻十四则)二十则直形濶及弦长差求长设直田濶二十七步弦长差九步求长法曰置濶自乘(得七百二十九步)以弦长差为法除之(得八十一步)减弦长差(余七十二步)折半得三十六步即所求解曰此即勾与股弦较求股(六巻十五则)二十一则直形弦及长濶和求长濶差设直田长濶和六十三步弦四十五步求长濶差法曰置弦自乘(得二千零二十五步)倍之(得四千零五十步)另置长濶和自乘(得三千九百六十九步)两数相减(余八十一步)平方开之得九步即长濶差以减长濶和(余五十四步)折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长解曰此即弦与勾股和求勾股较(六巻七则)二十二则直形长及弦濶和求濶设直田弦濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘(得一千二百九十六步)以弦濶和为法除之得一十八步即弦濶差以减弦濶和(余五十四步)折半得二十七步即所求解曰此即股与勾弦和求勾弦较(六巻十八则)二十三则直形濶及弦长和求长设直田弦长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘(得七百二十九步)以弦长和为法除之得九步即弦长差以减弦长和(余七十二步)折半得三十六步即所求解曰此即勾与股弦和求股弦较(六巻十九则)二十四则直形弦及长濶差求长与濶设直田长濶差九步弦四十五步求长与濶法曰置弦自乘(得二千零二十五步)倍之(得四千零五十步)另置长濶差自乘(得八十一步)两数相减(余三千九百六十九步)平方开之得六十三步即长濶和加长濶差(共七十二步)折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶解曰此即弦与勾股较求勾股和(六巻十则)二十五则直形长弦和及濶弦和求长与濶设直田长弦和八十一步濶弦和七十二步求长与濶法曰置长弦和以濶弦和乘之(得五千八百三十二步)倍之(得一万一千六百六十四步)平方开之得一百零八步与长弦和相减余二十七步即濶与濶弦和相减余三十六步即长解曰此即勾弦和股弦和求勾与股(六巻十三则)二十六则直形长弦差及濶弦差求长与濶设直田长弦差九步濶弦差一十八步求长与濶法曰置长弦差以濶弦差乘之(得一百六十二步)倍之(得三百二十四)(步)平方开之得一十八步加濶弦差得三十六步即长加长弦差得二十七步即濶解曰此勾弦较股弦较求勾与股(六巻二十则)二十七则直形积及长濶和求长濶差设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘(得三千九百六十九步)另置积四因之(得三千八百八十八步)两数相减(余八十一步)平方开之得九步即所求解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也(本巻十三则)二十八则直形积及长濶和求弦设直田积九百七十二步长濶和六十三步求弦法曰置长濶和自乘(得三千九百六十九步)另置积倍之(得一千九百四)(十四步)两数相减(余二千零二十五步)平方开之得四十五步即所求解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚辛形弦自乘之方也甲戊形内勾股八及长濶差自乘之方一庚辛形内勾股四及长濶差自乘之方一每二勾股当一直形(如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙)(两勾股形)是长濶和上方形大于弦上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得弦度也二十九则两边等之三角形求对角之垂线设三角田底濶六步两余边各五步求中长法曰置底折半(得三自步)乘(得九)(步)余边亦自乘(得二十五步)两数相减(余一)(十六步)平方开之得四步即所求解曰丙乙作弦乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾弦求股法也(六巻二则)甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在三十则有一方角之三角形求对角之垂线设不等边三角田有一方角(丙为方角即勾股田)底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘(得三十六步)以底除之(得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾弦求股法)又自乘(得一十二步九分六厘)与丙乙边自乘之数相减(余二十三步零四厘)平方开之得四步八分即所求解曰此勾股求对角垂线法也(六巻二十)(五则)因有方角故用之若无方角此法又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则三十一则不等边而无方角之三角形求对角之垂线设三角田底濶一十五步乙丙边八步甲丙边十步求中长法曰置乙丙甲丙两边各自乘(乙丙得六十四步甲丙得一百步)两数相减(余三十六步)为实以底除之(得二)(步四分)以减底(余一十二步六分)折半(得六步三分)(即乙丁之度以下勾弦求股法)又自乘(得三十九步六分九厘)另置乙丙自乘(得六十四步)两数相减(余二十四步三分一厘)平方开之得四步九分三厘有竒即所求解曰甲乙丙三角形丁为对角㸃另作庚辛为乙丙边上方壬癸为甲丙边上方壬癸大于庚辛之较为夘子丑磬折形若移丑于寅则成夘子寅直形又作辰巳为丁乙上方午未为甲丁上方午未大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙弦上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙弦上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等(六巻一则)从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长(以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长)以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾弦求股法(六巻二则)同前则三十二则方周求积设方田周二百步求积法曰置周自乘(得四万步)以方法十六除之得二千五百步即所求解曰假如一步以四面计之则周四步四步自乘得一十六步是周自乘之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣三十三则方环以周求积设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘(外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步)两数相减(余六万四千步)以方法十六除之得四千步即所求解曰此方内减方法也○如知环濶则用梯田法置两周相并折半以濶乘之即得环积三十四则方环以积及濶求边设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘(得四百步)以四因之(得一千六百步)以减环积(余二千四百步)余积以四归之(得六百步)以濶除之得三十步即内边倍濶(得四十步)加之得七十步即外边解曰法以环濶自乘者求环之隅方也(即甲等)以四因之者环之隅有四也(即甲乙丙丁四方形)以减环积所余必四直形也(即戊己庚辛四直形)四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步(即直方两形并之共长)加濶得外边减濶得内边三十五则直形依长截濶设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步求截濶法曰置积为实以元长除之得三十二步即所求解曰即以长求濶法(本巻十四则)三十六则直形依濶截长设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求解曰即以濶求长法(本巻十五则)三十七则直形截勾股设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之(得二千七百二十步)以元长除之得三十二步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙直形既倍勾股积则必与勾股等高等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股之濶也三十八则直形截三角设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之(得二千七百二十步)以元濶除之得四十二步五分即所求解曰三角形亦当等高等濶直形之半法倍三角积即甲乙直形积也甲乙直形既倍三角积则必与三角形等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则直形截斜方设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以元长除之(得三十二步)另置相差五步折半(得二步五分)并三十二步得三十四步五分即大边减三十二步得二十九步五分即小边解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度(谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分)故置差折半增减之即得两濶四十则直形截梯形设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶(得一百二十步)减相差一十二步(余一百零八步)折半(得五十四步)为法除之得七十步即所求解曰倍濶减差折半者求甲乙直形之濶也甲乙直形濶为梯形两边之中度(谓小于大边六步大于小边亦六步)则直形之容必与梯形等故求直形之长即得梯形之长四十一则三角形以截积截濶求截长(勾股截积同)设三角田依角截积一千三百六十步截濶六十四步求截长法曰置积倍之(得二千七百二十步)以濶除之得四十二步五分即所求解曰此与直田截三角同(本巻三十八则)四十二则三角形以截积截长求截濶设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之(得二千七百二十步)以长除之得六十四步即所求解曰此与直田截勾股同(本巻三十七则)四十三则三角形以截长求截濶设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之(得二)(万二千五百步)以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也(泰西几何原本)甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与元长矣(谓截长大于截濶几)(分之几则元长亦大于元濶几分之)(几截濶小于元濶几分之几则截长)(亦小于元长几分之几)法以元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也(求比例用异乘同除法详三巻五则)四十四则三角形以截濶求截长设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之(得二万二千五百步)以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则三角形以截积求截长设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之(得一万六)(千八百七十五步)为实以元长乘之(得三百三十七万五千步)以元濶除之(得二万二千五百步)平方开之得一百五十步即所求解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形辛壬为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊(几何原本云凡两形)(等高形与形之比例若线与线)辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等(本巻四十三则)则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也四十六则三角形以截积求截濶设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之(得一)(万六千八百七十五步)为实以元濶乘之(得二百五十三万一千二百五十步)以元长除之(得一万二千六)(百五十六步二分五厘)平方开之得一百一十二步五分即所求解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则斜方形以截积截长求截濶(梯形截积同)设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截长三十五步求截濶法曰置积为实以截长除之(得二十三步五分)倍之(得四十七步)减小边元濶余二十七步即所求解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也四十八则斜方形以截积截濶求截长设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并(得四)(十七步)折半(得二十三步五分)为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也(同前图)故以除积得截长四十九则斜方形以截濶求截长设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步截濶二十七步求截长法曰置小边元濶与截濶相减(余七)(步)为实以元长乘之(得六百三十步)另以两元濶相减(余一十八)(步)除之得三十五步即所求解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同(本巻四十三则)五十则斜方形以截长求截濶设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减(余一十八步)乘之(得六百三十步)以元长除之(得七步)并小边元濶得二十七步即所求解曰七步即己庚之度也(图同前)故加小边元濶得截濶余同前解五十一则斜方形依小边截积求截濶设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减(余一十八步)乘之(得一万四千八百零五步)以元长除之(得一百六十四步五分)倍之(得三百二十九步)另以小边元濶自乘(得四百步)两数并(共七百二十九步)平方开之得二十七步即所求解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己为小边与截濶之较线甲戊为两元濶之较线癸辛为截濶上方形子辛为小边上方形(庚辛与丙丁等)癸辛之大于子辛者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷(两亷俱以小边为长以较线为濶)若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等(本巻四十九则)丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶五十二则斜方形依大边截积求截濶设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减(余一十八步)乘之(得三万二千一)(百七十五步)以元长除之(得三百五十七步五分)倍之(得七百一十五步)另以大边元濶自乘(得一千四百四十四步)两数相减(余七百二十九步)平方开之得二十七步即所求解曰既自大边截积则元形之大边亦即截形之大边而截濶为小边小边上方形之小于大边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之五十三则梯形截勾股设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求截濶法曰置积倍之(得六百九十六)(步九分六厘)以两元濶相减(余六十步)折半(得三十步)乘之(得二万零九百零八步八)(分)以元长除之(得一百七十四步二分四)(厘)平方开之得一十三步二分即所求解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股(本巻四十六则)○若求长则倍截积以截濶除之即得(本巻三十八则)五十四则梯形截斜方设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实以元长除之(得三十步)另以两元濶相减(余六十步)四归之(得一十五步)两数并得四十五步即所求解曰元长除截积得己戊甲庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶五十五则梯形截无法五边形设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形(即甲戊己丁丙)积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积(本巻七则)减去截积(余三)(百四十八步四分八厘)以梯田截勾股法求之(本巻五十三则)得濶(一十三步二分)以减大边元濶余六十六步八分即所求解曰一十三步二分者乙己戊余形之濶乙戊也大边元濶甲乙减去乙戊余甲戊即截濶五十六则方环截外周设方环田外方七十步自外截积二千四百步求截环内方法曰置元方自乘(得四千九百步)减去截积(余二千五百步)平方开之得五十步即所求解曰余环外方即截环内方五十七则方环截内周设方环田内方三十步自内截积一千六百步求截环外方法曰置内方自乘(得九百步)与截积并(得二千五百步)平方开之得五十步即所求解曰内方自乘者补环内虚形以便开方也数学钥巻一
## 卷二凡例
钦定四库全书数学钥巻二凡例柘城杜知耕撰凡例一则圆必中规不中规者不得为圆形形界曲线曰周(如甲乙丙)(丁线)过心直线曰径(如丁丙线)二则一率自乘之数等于两率相乘之数则此率为两率之中率如甲与乙之比例犹乙与丙则乙为甲丙之中率三则设内外两形内形或以角或以边抵外形之界而不交曰相切如丙为甲乙之内切形甲乙为丙之外切形四则曲线直线相杂曰杂线形五则割甲乙丙丁圆之一分为甲乙丙弧矢形甲乙丙曲线曰背甲乙衡线曰弦丙丁纵线曰矢丙己曰全径丁己曰余径丁戊曰离径丙戊曰半径六则设甲乙直线以线为径作甲乙丙丁圆形曰甲乙线上圆形数学钥巻二凡例
## 卷二目录
钦定四库全书数学钥卷二目录柘城杜知耕撰方田下(曲线类)一则圆径求周二则圆周求径三则圆周径求积四则圆径求积五则圆周求积六则圆积求径七则圆积求周八则圆环求积(增)九则圆环以积及内周求外周(增)十则圆环以积及外周求内周十一则圆环以积及内外周求环濶(增)十二则圆环以两周求环濶(增)十三则圆环以积及濶求两周(增)十四则圆环以积及濶求径十五则圆环以全径及虚径求积(西法)十六则撱圆求积(西法)十七则弧矢求积(增)十八则弧矢形以积矢弦及离径求背(西法)十九则弧矢形以矢弦求余径(求全径离径半)(径附)(西法)二十则弧矢形以矢径求弦二十一则弧矢形以离径半径求弦(西法)二十二则弧矢形以弦及余径求矢(增)二十三则弧矢形以弦及全径求矢二十四则弧矢形以半弦半径求矢二十五则弧矢形以半弦及离径求矢(增)二十六则弧矢形以半径半弦较及半弦离径较求矢与弦二十七则旧弧矢法以矢弦求积二十八则旧弧矢法以积矢求弦二十九则旧弧矢法以积弦求矢(增)三十则增弧矢法以矢弦求积(增)三十一则圆截圆三十二则圆截弧矢(西法)三十三则弧矢形截杂线三角形三十四则方内减圆以余积求圆积三十五则方内减圆以余积求方积(求方边圆径)(附)三十六则圆内减方以余积求方积(求方边圆径)(附)三十七则圆内减方以余积求圆积三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径(增)三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方弦四十则诸杂线形求积数学钥巻二目录
## 卷二
钦定四库全书数学钥巻二柘城杜知耕撰方田下(曲线类)一则圆径求周设圆田径二十八步求周法曰置径为实以周法二十二乘之(得六百一十六步)以径法七除之得八十八步即所求解曰径法七周法二十二者径与周之比例若七与二十二也何也西洋亚竒黙德云圆径与圆周三倍又七十之十则朒(谓周不及此数也)三倍又七十一之十则盈(谓周过于此数也)先论三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊为心从甲作午子切线从乙从丁作乙己壬丁线各与乙戊半径等设乙戊己角六十度己戊甲角必三十度为六边形之半角也末从心过己过壬作戊午戊子线成戊午子等角形己戊壬既六十度则午子为等角形之边设甲午股一百五十三步则戊午弦必三百零六步(戊午元与午子)(等午子既倍大于甲午则戊午亦必倍大于甲午)各自乘甲午股得二万三千四百零九步戊午弦得九万三千六百三十六步两数相减余七万零二百二十七步平方开之得二百六十五步有竒为戊甲勾(即半径)则戊甲与甲午之比例为二百六十五步有竒与一百五十三步次平分午戊甲角作戊庚线任分甲午于庚(庚戊线割圜界)(于酉己酉甲酉两弧等两弧既等则酉戊己酉戊甲两角必等故曰平分甲庚庚午两线不等故曰任分)则午戊与戊甲若午庚与甲庚合之戊午偕戊甲而与戊甲若午庚偕甲庚而与甲庚更之戊午并戊甲而与甲午(甲午即午庚偕甲庚)若戊甲与甲庚先定戊午戊甲并为五百七十一步有竒午甲为一百五十三步则戊午并戊甲与甲午之比例若五百七十一步有竒与一百五十三步则戊甲与甲庚之比例亦若五百七十一步有竒与一百五十三步矣即以两数各自乘并而开方得五百九十一步又八之一不尽为庚戊线(戊甲为勾甲庚为股庚戊为弦)则庚戊与甲庚之比例若五百九十一步又八之一不尽与一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛线则戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一与庚甲一百五十三步若戊甲与甲辛若设甲辛为一百五十三步则戊甲为一千一百六十二步又八之一有竒两数各自乘并而开方得一千一百七十二步又八之一为辛戊线(甲戊为勾甲辛为股)(辛戊为弦)则辛戊与辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一与一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅线则辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一与辛甲一百五十三步若戊甲与甲寅设甲寅为一百五十三步则戊甲为二千三百三十四步又四之一两数各自乘并而开方得二千三百三十九步又四之一有竒为寅戊线(戊甲为勾甲寅为股寅戊为弦)则寅戊与寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有竒与一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊线则寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有竒与寅甲一百五十三步若戊甲与甲未若设甲未为一百五十三步则戊甲为四千六百七十三步五分有竒子戊午为半圜三分之一即为全圜六分之一甲戊午为十二分之一甲戊庚为二十四分之一甲戊辛为四十八分之一甲戊寅为九十六分之一甲戊未为一百九十二分之一复作甲戊申角与甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切线也为九十六边形之一边此边与全径之比例若一百五十三步与四千六百七十三步五分(未申倍大于未甲乙丁全径亦倍大于甲戊半径)以一百五十三步乘九十六边得一万四千六百八十八步则全边与全径之比例为一万四千六百八十八步与四千六百七十三步五分约之为三又七之一不足夫形外切线尚不及三又七之一况圜周乎 次论三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙径戊心从丙作丙甲与半径戊丙等(甲丙即六边形之一边)从乙作乙甲线成乙甲丙勾股形而甲为方角设甲丙勾为七百八十步乙丙弦为一千五百六十步两数各自乘相减开方得一千三百五十一步不足为乙甲股则乙甲与甲丙之比例为一千三百五十一步与七百八十步次平分甲乙丙角作乙丁线以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己两勾股形自相似葢同用丁方角在半圜内甲丁丁丙两线所乘之弧等则丁丙己丁乙丙两弧之角必等凡两形有两角等者各腰俱相似则乙丁(大股)与丙丁(大勾)若丁丙(小股)与丁己(小勾)又乙丙(大弦)与丁丙(大勾)若己丙(小弦)与丁己(小勾)更之乙丙与己丙(两弦)若丁丙与丁己(两勾)是乙丁与丁丙(两股)丁丙与丁己(两勾)乙丙与己丙(两弦)三比例皆等又乙丙与己丙(两弦)若乙丙并甲乙(两腰)与甲丙底之两分则乙丁与丁丙亦若乙丙并乙甲与甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并为二千九百一十一步弱甲丙先设七百八十步则乙丁与丁丙亦为二千九百一十一步弱与七百八十步各自乘并而开方得三千零一十三步又四之一弱为乙丙线(乙丁丙形之弦)则乙丙与丁丙之比例为三千零一十三步又四之一弱与七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙线依前论丁乙并乙丙与丙丁若乙辛与辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并为五千九百二十四步又四之一弱今丙丁为七百八十步则乙辛与辛丙为五千九百二十四步又四之一弱与七百八十步欲省数改设辛丙二百四十步改设乙辛一千八百二十三步弱两数各自乘并而开方得一千八百三十八步又十一之九弱为乙丙线(乙辛)(丙形之弦)则二百四十步与一千八百三十八步又十一之九弱为丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬线以壬丙线聨之辛乙乙丙两数并三千六百六十一步又十一之九弱与辛丙二百四十步为乙壬与壬丙之比例又改设壬丙六十六步改设乙壬一千零七步弱两数各自乘并而开方得一千零九步弱则六十六步与一千零九步弱为壬丙与乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚线以庚丙线聨之乙庚与庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一与丙壬六十六步两数各自乘并而开方得二千零一十七步又四之一弱为乙丙线(乙庚丙形之弦)则庚丙与乙丙之比例为六十六步与二千零一十七步又四之一弱丙甲弧为全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚为九十六边内切圜形之一边也以六十六步乘九十六边得六千三百三十六步为九十六边内切形之周乙丙径为二千零一十七步又四之一弱约之径一周三又七十一之十强夫圜内切线为三又七十一之十尚强况圜周乎○按三又七十一之十设径一则周三一四零八四五零七零四二二有竒设周一则径三一八三八五六五零二二再约之径七十一步周二百二十三步三又七十之十设径一则周三一四二八五七一四二八五七有竒设周一则径三一八一八一八一八一八有竒再约之径七步周二十二步两数皆不能与周径脗合但径七周二十二其数少整姑从之二则圆周求径设圆田周八十八步求径法曰置周为实以径法七因之(得六百一十六步)以周法二十二除之得二十八步即所求解曰即前法反用之三则圆周径求积设圆田周八十八步径二十八步求积法曰置周折半(得四十四步)为实以径折半(得一十四步)为法乘之得六百一十六步即所求解曰圆形与半径为高全周为底之三角形等何也测量全义云甲乙丙丁圜自戊心百分之必皆成三角形而己戊甲其百分之一也次依甲戊半径作庚戊辛三角形令庚辛底与圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬两分形己甲甲壬两底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲为甲乙丙丁全圜百倍甲戊壬为庚戊辛三角形两分形既等两全形有不等乎故法以半径乘半周得庚戊辛三角形之积即得甲乙丙丁圜之积也○或云己戊甲虽全圜百分之一其底终属曲线不可与直线三角形为比不知甲戊壬角大于己戊甲角而己戊甲中垂线大于甲戊壬中垂线两相折准即谓之无差亦可四则圆径求积设圆田径二十八步求积法曰置径自乘(得七百八十四步)再以十一乘之(得八千六百二十四步)以十四除之得六百一十六步即所求解曰测量全义云甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半径为高以圜周为底己壬为圜径上方形己丁直形以全径为濶以半径为高而为己壬方形之半己戊癸三角形亦以全径为濶半径为高而为己丁直形之半己戊癸形既为己丁直形之半必为倍大于己丁之己壬方形四之一又己戊癸与庚戊辛两形同以半径为高凡两形等高者形与形之比例若线与线(两线即两底○一巻四十五则)今庚辛底与圜周等己癸底与圜径等是己戊癸庚戊辛两形之比例若圜径七与圜周二十二若以四倍大于己戊癸之己壬方形与庚戊辛三角形较其比例必若二十八与二十二矣各以二约之为十四与十一夫庚戊辛三角形与圆形等(本巻三则)故方圆之比例亦若十四与十一法以圆径自乘求己壬方形之积也以十一乘十四除取方积十四分之十一以为圆积也五则圆周求积设圆田周八十八步求积法曰置周自乘(得七千七百四十四)(步)以七因之(得五万四千二百零八步)以八十八除之得六百一十六步即所求解曰戊己庚辛圜戊己径与甲乙丙丁圜周等则两圜之比例为其径与径再加之比例再加云者以两径各自乘之数以为比例也设甲乙径七戊己径二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是两圜之比例若四十九与四百八十四又壬癸方形与戊己庚辛圜元若十四与十一(本巻四则)今戊己庚辛圜既为四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形与甲乙丙丁圜必若六百一十六与四十九矣各以七约之为八十八与七法以圜周自乘即壬癸方形之积也以七乘八十八除取方积八十八分之七以为甲乙丙丁圜积也六则圆积求径设圆田积六百一十六步求径法曰置积为实以十四乘之(得八千六百二十四步)以十一除之(得七百八十四步)平方开之得二十八步即所求解曰以十四乘十一除者因圜积以求戊己方积也平方开之得方边即得圜径者方边与圜径等也七则圆积求周设圆田积六百一十六步求周法曰置积为实以八十八乘之(得五万四千二百零八步)以七除之(得七千七百四十四步)平方开之得八十八步即所求解曰以八十八乘七除者因圜积以求圜周上方积也(本巻五则)故平方开之得圜周八则圆环求积设环田外周六十六步内周一十一步求积法曰置内外两周各自乘(外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步)两数相减(余四千二百三十五步)以七乘之(得二万九千六百四十五步)以八十八除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰与方环求积同(一巻三十三则及本巻五则)九则圆环以积及内周求外周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置积为实以八十八乘之(得二万九)(千六百四十五步)以七除之(得四千二百三十五步)另置内周自乘(得一)(百二十一步)两数并(共四千三百五十六步)平方开之得六十六步即所求解曰两数并共成周上方积故平方开之得外周十则圆环以积及外周求内周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘(得四千三百五十六步)另置环积以八十八乘之(得二万九千六百四十五步)以七除之(得四千二)(百三十五步)两数相减(余百二十一步)平方开之得一十一步即所求解曰外周上方积减去八十八乘七除之环积所余即内周上方积也故平方开之得内周十一则圆环以积及内外周求环濶设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置积为实以两周相并(共七十七步)折半(得三十八步五分)为法除之得八步七分五厘即所求解曰全圆既同三角形则圆环必同梯形圆环之两周犹梯形之两濶也圆环之濶犹梯形之中长也故用梯形求长法(一巻四十八则)即得环濶十二则圆环以两周求环濶设圆环田外周六十六步内周一十一步求环濶法曰置两周各以七乘之(外周得四百六十二步内周得七十七步)各以二十二除之(外周得二十一步内周得三步五分)两数相减(余一十七步五分)折半得八步七分五厘即所求解曰外周所得者圆之全径也内周所得者环内虚径也全径减虚径所余即环之两濶故折半得一濶也十三则圆环以积及濶求两周设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求两周法曰置积为实以濶除之得三十八步五分另置濶以二十二乘之(得一百九十二步五分)以七除之(得二十七步五分)与三十八步五分相并得六十六步即外周与三十八步五分相减得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以环濶除积所得之三十八步五分即两环周之中度也环濶为全径与虚径相差之半以二十二乘七除则为内外两周相差之半矣故以之增减两周之中度得两周也十四则圆环以积及濶求径设圆环田积三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全径及虚径法曰置积以十四乘之(得四)(千七百一十六步二分五厘)十一除之(得四百二十八步七分五厘)另置濶自乘(得七十六步五分六厘二毫五丝)以四因之(得三百零六步二分五厘)两数相减(余一百二十二步五分)为实以四因濶(得三十五步)为法除之得三步五分即虚径倍濶(得一十七步五分)加之得二十一步即全径解曰置积以十四乘十一除者令圆环积化为方环积也余即方环求内方法(一巻五十六则)十五则圆环以全径及虚径求积设圆环田全径二十一步虚径三步五分求积法曰置两径各自乘(全径得四百四十一步虚径得一十二步二分五厘)两数相减(余四百二十八步七分五厘)以十一乘之(得四千七百一十六步二分五厘)十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰两径各自乘相减者求方环积也十一乘十四除者因方环积以求圆环积也十六则撱圆求积设撱圆田大径九十步小径四十步求积法曰置两径相乘(得三千六百步)以十一乘之(得三万九千六百步)以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有竒即所求解曰西洋亚竒黙德云取撱圆两径之中率为径作圆其容与撱圆等(四九之中率为六谓四之与六)(犹六之与九也)夫求中率之法以两径相乘平方开之即得然中率自乘之数实即两径相乘之数故法以两径相乘十一乘十四除为撱圆积也(撱圆形状不同恐不能无小差)十七则弧矢求积设弧矢田矢濶五步弦长一十七步三分二厘有竒背二十步零九分五厘二毫有竒离径五步求积法曰置背以离径并矢(共十步)乘之(得二百零九步五分二厘三毫有竒)另置弦以离径乘之(得八十六步六分有竒)两数相减(余一百二十二步九分二厘三毫有竒)折半得六十一步四分六厘一毫有竒即所求解曰甲乙丙弧矢形戊为圜心自甲自乙作甲戊乙戊两线成甲戊乙丙杂线形其丙丁矢与丁戊离径并即全圆之半径甲丙乙背又为圆周之分线求积之法当与圆同夫圆以半径乘周折半得积(本巻三则)则杂线形亦必以半径乘背折半得积矣又杂线形内以甲乙线分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙弦为濶以丁戊离径为高若以高乘濶折半必得三角形之积(一巻五则)于杂线形内减去三角积所余非弧矢积而何故法以半径乘背离径乘弦相减折半得积也(相减而后折半与各折半而后相减得数同)十八则弧矢形以积矢弦及离径求背设弧矢田积六十一步四分六厘一毫有竒矢五步弦一十七步三分二厘有竒离径五步求背法曰置积倍之(得一百二十二步九分二)(厘三毫有竒)另置弦以离径乘之(得八十六步六)(分有竒)两数并(得二百零九步五分二厘三毫有竒)以矢并离径(共十步)除之得二十步零九分五厘二毫有竒即所求解曰即前则求积法反用之十九则弧矢形以矢弦求余径(求全径离径半径附)设弧矢田矢五步弦一十七步三分二厘有竒求余径法曰置弦折半(得八步六分六厘有竒)自乘(得七十五步)以矢除之得一十五步即所求解曰甲乙丙弧矢形丙丁为矢丁戊为离径丁己为余径自圆心戊作戊乙线成丁戊乙勾股形丁乙半弦为股丁戊离径为勾戊乙半径为弦另作辛夘形为丁戊勾上方形庚壬形为戊乙弦上方形夫庚壬之大于辛夘者为癸丑子磬折形癸丑子磬折形必等于乙丁股上方形何也弦上方形与勾股上两方形并等故也(六巻一则)若移子于寅则成癸丑寅直形必以勾弦较为濶勾弦和为长今戊乙弦等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者为丙丁是丙丁矢即勾弦较也故以矢除丁乙半弦(弧矢形之弦)自乘之积即得勾弦和又乙戊弦(勾股形之弦)既半径必与戊己等戊己合丁戊非丁己余径而何○求得余径加矢即全径减矢折半即离径加矢折半即半径二十则弧矢形以矢径求弦设弧矢田矢五步径二十步求弦法曰以矢减径(余一)(十五步)以矢乘之(得七十五步)平方开之(得八步六分六厘有竒)倍之得一十七步三分二厘有竒即所求解曰依前解矢与余径相乘之数即半弦自乘之数故平方开之得半弦倍之得全弦也二十一则弧矢形以离径半径求弦设弧矢田半径十步离径五步求弦法曰置半径离径各自乘(半径得一百步离径得二十五步)两数相减(余七十五步)平方开之(得八步六分六厘有竒)倍之得一十七步三分二厘有竒即所求解曰半径乙戊为弦(勾股形之弦)离径丁戊为勾求得乙丁股即半弦也(弧矢形之)(弦)故倍之得全弦二十二则弧矢形以弦及余径求矢设弧矢田弦一十七步三分二厘有竒余径一十五步求矢法曰置弦折半(得八步六分六厘有竒)自乘(得七十五步)以余径除之得五步即所求解曰依十九则解半弦自乘之数即矢偕余径相乘之数故以余径除之得矢二十三则弧矢形以弦及全径求矢设弧矢田弦一十七步三分二厘有竒全径二十步求矢法曰置弦径各自乘(弦得三百步径得四百步)两数相减(余一)(百步)平方开之(得十步)以减全径(余十步)折半得五步即所求解曰全径上方形当矢偕余径矩内形四及矢与余径之较线上方形一(一巻十三则)全弦上方形当半弦上方形四又半弦上方形与矢偕余径矩内形等(本巻十九)(则)于全径上方积内减去全弦上方积即减去矢偕余径矩内积四也则所余必矢与余径之较线上方积平方开之即得矢与余径之较线故以之减径折半得矢也二十四则弧矢形以半弦半径求矢设弧矢田半弦八步六分六厘有竒半径十步求矢法曰置半弦半径各自乘(半弦得七十五步半径得一百步)两数相减(余二十五步)平方开之(得五步)以减半径得五步即所求解曰半弦丁乙为股戊乙半径为弦求得丁戊勾即离径也故以之减半径得矢二十五则弧矢形以半弦及离径求矢设弧矢田半弦八步六分六厘有竒离径五步求矢法曰置半弦离径各自乘(半弦得七十五步离径得二十五步)两数并(得一百步)平方开之(得十步)减去离径得五步即所求解曰半弦丁乙(图同前则)为股离径丁戊为勾求得乙戊弦即径也故减去离径得矢二十六则弧矢形以半径半弦较及半弦离径较求矢与弦设弧矢田半径多半弦一步三分四厘弱半弦多离径三步六分六厘强求矢及弦法曰并两数(共五步)以半径多半弦之数乘之(得六步七分)倍之(得一十三步四分)平方开之(得三步六分六厘)以加半径多半弦之数得五步即离径再加半弦多离径之数得八步六分六厘即半弦再加半径多半弦之数得十步即半径半径减去离径余五步即矢解曰戊乙半径(图同二十四则)多于丁乙半弦之数即股弦较丁乙半弦多于丁戊离径之数即勾股较勾股较并股弦较即勾弦较此即勾弦较股弦较求勾股弦法也(六巻二十则)二十七则旧弧矢法以矢弦求积设弧矢田矢十步弦二十步求积法曰置矢弦相并(共三十步)折半(得一十五步)以矢乘之得一百五十步即所求解曰旧说圆径一周三甲乙丙丁圆径二十步周六十步甲乙丙弧矢形为全圆之半其背为全周之半必三十步法以矢弦相并即与弧背等折半以矢乘之犹圆法以半径乘周折半得积之义也(本巻三则)以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田弦一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢弦皆具方可起算旧法有矢有弦即可得积故并存之二十八则旧弧矢法以积矢求弦设弧矢田积五十五步八分矢五步求弦法曰置积倍之(得一百分十一步六)以矢除之(得二十二步三分二厘)减去矢余一十七步三分二厘即所求解曰旧法以矢乘半弦半矢得弧矢积若以矢除弧矢积必仍得半弦半矢以矢除弧矢积既得半弦半矢以矢除弧矢之倍积不得一弦一矢乎一弦一矢内减去一矢所余非弦而何二十九则旧弧矢法以积弦求矢设弧矢田积五十五步八分弦一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之(得四百四十六步四分)另置弦自乘(得二)(百九十九步九分八厘二毫四丝)两数并(共七百四十六步三)(分八厘二毫四丝)平方开之(得二十七步三分二厘)减去弦(余十步)折半得五步即所求解曰甲丁方形边与一弦二矢等甲戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己等四直形即矢偕一弦一矢矩内形壬子即弦上方形也又弧矢形以矢乘半弦半矢得积(本巻二十七则)而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一弦二矢上方形与弦上方积一及弧矢积八并等反之则弦上方积一及弧矢积八并为一方其边必一弦二矢也法并两数以平方开之所得即一弦二矢之度故减弦折半得矢也○旧弧矢法弦背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之三十则增弧矢法以矢弦求积设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙弦一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与弦可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径(本卷十九则)甲己与丙壬等即以甲己为弦甲乙为股求乙巳勾得十步(六卷三则)为乙巳庚余弧之弦又将乙己折半得巳辛复为勾戊巳半径为弦求戊辛股以减半径(戊庚与戊巳等)余庚辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积(得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则)次求甲乙己勾股积(得八十六步六分○一巻四则)与半圆积相减(余七十步零五分四厘二毫八)(丝)为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三弦一矢相并以矢乘之(甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得)(四十一步九分九厘五毫六丝)以甲乙丙弧数乘实(得二万零九十步零五分八厘)(九毫四丝四忽)并两弧数(共三百二十六步七分九厘五毫六丝)除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求解曰此借两弧三弦一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积真数密量弧背从十七则可也三十一则圆截圆设圆田径二十一步依外周截积三百三十六步八分七厘五毫求余圆径法曰置径自乘(得四百四十一步)另置截积以十四乘之(得四千七百一十六步二分五厘)十一除之(得四百二十八步七分五厘)两数相减(余一十二步二分五厘)平方开之得三步五分即所求解曰此与方环截积同(一巻五十六则)三十二则圆截弧矢(旧法)设圆田径一十三步截弧矢积三十二步求矢法曰置截积自乘(得一千零二十)(四步)为实用商法商矢四步即以所商之矢乘截积(得一百二十八步)为上亷另以矢每步加负隅二分五厘(得五步)与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘(得一十六步)以乘余径(得一百二十八)(步)为下亷并两亷(共二百五十六步)为法除实得四步即所求解曰弧矢之积元以矢乘半弦半矢而得(本巻二十七则)若以半弦半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半弦与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半弦若以半弦大于半矢之数三十二倍之与三十二全矢并即与三十二半弦三十二半矢相并之数同今无半弦数须以矢乘余径以为半弦自乘之方(本巻十九则)如甲乙方形甲己为半弦甲丁为半矢丁己为半矢弦较(即半)(弦大于半矢之度)则丁己乙戊直形必半矢弦较以半弦为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢弦较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢弦较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半弦半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半弦(本巻二十则)再加半矢以矢乘之(本巻二十七则)合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎三十三则弧矢截杂线三角形设半圆弧矢田弦二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置截背以弦折半(得十步)乘之(得一百零四步七分)(六厘一毫六丝)折半得五十二步三分八厘零八丝即所求解曰杂线三角形为圆之分形故求积之法同圆(本巻三则)三十四则方内减圆以余积求圆积设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之(得一千八百四十八步)以圆法十一与方法十四相减余三为法除之得六百一十六步即所求解曰圆既为方十四分之十一则方内减圆之余积必为方十四分之三圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也三十五则方内减圆以余积求方积(求方边圆径附)设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之(得二千三百五十二步)以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则圆内减方以余积求方积(求方边圆径附)设圆田减去内切方田余积二百二十四步求方积法曰置积为实以七乘之(得一千五百六十八步)以七与圆法十一相减余四为法归之得三百九十二步即所求解曰内切方形之弦与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径三十七则圆内减方以余积求圆积设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之(得二千四百六十四步)以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求解同前三十八则方内减不相切之圆以余积求方边及圆径设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘(得二十五步)以三因之(得七十五步)与余积并(共一千八百步)另置五步以六因之(得三十步)为纵方以平方带纵开之(得九十步则一巻十三)减去纵方余六十步即方边再减两边各五步(共十步)余五十步即圆径解曰依图分之成甲乙等方形四子丑等直形八干坎等杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长则圆之半径也干坎等四形为方减内切圆形之余积以方四圆三推之(旧法谓方内容圆圆居方)(四分之三)四形并必当方四分之一干坎艮三形并必足以补癸形之阙而与一小方二直形一杂形并共凑成一坤震方形矣次移甲于丁移乙于戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度(即兑巽与巽震并)减去纵方(即兑坤)余两濶(即坤巽与巽震并)即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径(本则及下则皆用周三径一法)三十九则圆内减不相切之方以余积求圆径及方弦设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步求圆径及方弦法曰置一步自乘(仍得一步)以二因之(得二步)与余积并(并四十五步)另置一步以四因之(得四步)为纵方以平方带纵开之(得一十四步)减去纵方即圆径再减圆周至方角各一步(共二步)余八步即方弦解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三故止作方环之三隅即与圆环等依图分之成甲乙丙三方形丁戊己庚辛壬六直形尚余癸子丑寅四弧矢形为圆减内切方形之余积以圆三方二推之(旧法谓圆内容方方居圆三分)(之二)四弧矢形并当圆三分之一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方弦者为两边之各一步故减之得方弦四十则诸杂线形求积第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移戊实形补己虚形庚亦成三角形癸借壬虚形亦成三角形(得积)(减去壬圆形)此一大形内成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者皆依五形例裁之数学钥巻二
## 卷三凡例
钦定四库全书数学钥卷三凡例柘城杜知耕撰凡例一则设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘(与以丙乘)(复以甲乘同)以丙乘甲得数除实曰异除同除(与以丙除复以甲除)(同)以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除二则设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除三则凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也四则设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍五则命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数六则设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也数学钥巻三凡例
## 卷三上目录
钦定四库全书数学钥巻三上目录柘城杜知耕撰粟布一则籴粜一法二则籴粜二法三则籴粜三法四则籴粜四法五则籴粜五法六则籴粜六法七则籴粜七法八则籴粜八法九则撞换一法十则撞换二法十一则撞换三法十二则盘量仓窖十三则布帛十四则银色一法十五则银色二法十六则银色三法十七则银色四法十八则银色五法十九则银色六法二十则斤两一法二十一则斤两二法二十二则斤两三法二十三则斤两四法二十四则斤两五法二十五则斤两六法二十六则权重一法二十七则权重二法(増)二十八则权重三法巻三下目录衰分一则合率差分二则折半差分三则四六差分四则三七差分五则二八差分六则逓减差分一法七则逓减差分二法八则逓减差分三法九则带分子母差分一法十则带分子母差分二法十一则互和逓减差分一法十二则互和逓减差分二法十三则匿价差分一法十四则匿价差分二法十五则二色差分十六则三色差分(四色五色六色附)十七则贵贱和率差分十八则首尾和率差分附分法一则命分二则约分三则乗分四则课分五则通分数学钥巻三目录
## 卷三上
钦定四库全书数学钥巻三上柘城杜知耕撰粟布一则籴粜一法设粟三十五石每石价银二钱五分求共银法曰置粟为实以价乘之得八两七钱五分即所求二则籴粜二法设粟三十五石卖银八两七钱五分求每石价法曰置银为实以粟除之得二钱五分即所求三则籴粜三法设粟每石价银二钱五分今有银八两七钱五分求值粟法曰置银为实以价除之得三十五石即所求四则籴粜四法设银八两七钱五分共买粟三十五石求每银一两值粟若干法曰置粟为实以银除之得四石即所求解曰凡以物交易或论个论斛论斤论尺之类莫不有数有价以价乘共物则得共银以价除共银则得共物以共物除共银则得每一物所值之价以共银除共物则得每银一两或一钱或一分所值之物交易常用之法尽于此矣五则籴粜五法设原有粟二石六斗卖银六钱五分今有粟三十五石求值银法曰置今粟为实以原价乘之(得二十二两七钱五)(分)以原粟除之得八两七钱五分即所求解曰此异乘同除也银与粟异名以原银乘今粟故谓异乘粟与粟同名以原粟除今粟故谓同除若以原粟除原价得每石价以乘今粟或先以原粟除今粟再以原价乘之俱未尝不合但先用归除恐遇竒零不尽之数难用乘法故变为先乘后除也六则籴粜六法设原有银三十两零七钱五分买粟一百二十三石今有银八两七钱五分求值粟法曰置今银为实以原粟乘之(得一千零七十六两二钱五分)以原银除之得三十五石即所求解同前七则籴粜七法设原银五钱买米一石每米八斗五升换粟一石七斗今有银八两七钱五分求值粟法曰以今银八两七钱五分乘粟一石七斗(得一十四两八钱七分五厘)为实以米价五钱乘米八斗五升(得四钱二分五厘)为法除之得三十五石即所求解曰米八斗五升粟一石七斗其价等法以米价乘米所得之四钱二分五厘既为八斗五升之米价亦一石七斗之粟价也以粟乘银以价除之亦异乘同除法也八则籴粜八法设粟一石七斗换米八斗五升每米一石价银五钱今有粟三十五石求值银法曰置米八斗五升以米价五钱乘之(得四钱二分五厘)再以今粟三十五石乘之(得一)(十四两八钱七分五厘)为实以粟一石七斗除之得银八两七钱五分即所求解同前九则撞换一法设稻每石价六钱二分五厘粟每石价二钱五分今有稻一十四石换粟求粟数法曰置稻一十四石为实以稻价乘之(得八两七钱五分)以粟价除之得三十五石即所求十则撞换二法设每菽三斗换黍二斗每黍四斗换稷三斗每稷五斗换稻四斗每稻六斗换麦五斗今有麦七斗换菽求菽数法曰以今麦七斗乘每稻六斗(得四石二斗)再以每稷五斗乗之(得二十一石)再以每黍四斗黍之(得八十四石)再以每菽三斗乘之(得二百五十二石)为实以换黍二斗乘换稷三斗(得六斗)再以换稻四斗乘之(得二石四斗)再以换麦五斗乘之(得一十二石)为法除之得二石一斗即所求解曰若置麦七斗为实以换麦五斗除之以每稻六斗乘之得八斗四升为麦七斗应换之稻再以八斗四升为实以换稻四斗除之以每稷五斗乘之得一石零五升为麦七斗应换之稷再以一石零五升为实以换稷三斗除之以每黍四斗乘之得一石四斗为麦七斗应换之黍再以一石四斗为实以换黍二斗除之以每菽三斗乘之得二石一斗为麦七斗应换之菽凡四除四乘方得菽数今逓乘为实逓乘为法一次归除即得所求非徒省力亦免遇畸零之数难于布算耳十一则撞换三法设黍一石换菽三石每黍三石换麦一石今黍三十三石共换菽麦一十九石求菽麦各若干法曰列黍三石黍一石共黍三十三石于左列麦一石菽三石共菽麦一十九石于右先以右上互乘左中(仍得一石)以左上互乘右中(得九石)两数相减(余八石)为长法次以左中互乘右下(仍得一十九石)以右中互乘左下(得九十九石)两数相减(余八十石)以长法除之(得一十石)为短法以麦一石乘短法仍得十石为麦数以黍三石乘短法得三十石为换麦黍数以麦数减共菽数余九石为菽数以换麦黍数减共黍余三石为换菽黍数(解见三巻)(下十七则)十二则盘量仓窖设直仓底长七尺濶五尺髙八尺求容粟数法曰以底濶乘长(得三十五尺)再以髙乘之(得二百八十尺)为实取木板四块如图错综合之令纵广及髙各一尺纳粟于内令平以升量之假如一斗二升即以之为法乘实得三十三石六斗即所求解曰仓窖形状不一求积法俱详四巻十三则布帛设原买布长四十尺濶二尺二寸价银七钱五分今有布长三十六尺濶一尺八寸求价法曰置今布长三十六尺以濶一尺八寸乘之(得六十四尺八寸)再以原价七钱五分乘之(得四十八两六钱)为实另置原布长四十尺以濶二尺二寸乘之(得八十八尺)为法除实得五钱五分二厘二毫有竒即所求十四则银色一法设九三色银一两二钱倾销足色求银数法曰置银一两二钱为实以银色九三乘之得一两一钱一分六厘即所求十五则银色一法设足色银一两一钱一分六厘改倾九三色求银数法曰置银一两一钱一分六厘为实以九三除之得一两二钱即所求十六则银色三法设八五色银五两六钱改倾九五色银求银数法曰置银五两六钱为实以八五乘之(得四两七钱六分)再以九五除之得五两零一分零五毫即所求十七则银色四法设足色银七两六钱五分倾成九两求银色法曰置银七两六钱五分为实以九两除之得八五即所求十八则银色五法设足色银三十五两二钱改倾八八色银求加铜数法曰置银三十五两二钱为实以八八除之(得四十两)与原银相减余四两八钱即所求十九则银色六法设倾八八色银用铜四两八钱求用银数法曰置铜四两八钱为实以八八与一两相减余一钱二分为法除之(得四十两)与铜数相减余三十五两二钱即所求二十则斤两一法设物重一千四十两求斤法曰置物重为实以斤法十六除之得六十五斤即所求二十一则斤两二法设物重六十五斤求两法曰置物重为实以斤法十六乘之得一千四十两即所求二十二则斤两三法设物重六十五斤四两每斤价二钱五分求共价法曰先取四两以斤法十六除之(得二五)并六十五斤之下(成六五二五)为实以价乘之得一十六两三钱一分二厘五毫即所求二十三则斤两四法设物每斤价二钱五分今银一十六两三钱一分二厘五毫求值物重法曰置今银为实以价为法除之得六十五斤二五取斤下二五以斤法十六乘之得四两共六十五斤四两即所求二十四则斤两五法设物每斤价四两求每两价法曰置每斤价为实以斤法十六除之得二钱五分即所求二十五则斤两六法设物每两价二钱五分求斤价法曰置每两价为实以斤法十六乘之得四两即所求二十六则权重一法设秤原锤重二十六两遇重物不能胜另取一物重四十六两八钱作锤秤之得一千零七十二两求物重真数法曰置物重一千零七十二两为实以借用作锤之四十六两八钱乘之(得五万零一百六十九两六钱)再以原锤二十六两除之得一千九百二十九两六钱即所求解曰借用之锤重于原锤若干倍则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍以原锤除借用之锤得一八是借用之锤重于原锤十分之八也则于借用锤所秤之一千零七十二两以十分之八加之必得一千九百二十九两六钱为原锤所秤之重法先乘后除者亦异乘同除也(本巻五则)二十七则权重二法设秤失其锤止有原秤过轻重二物重者重一千九百二十九两六钱轻者重四十六两八钱以轻者作锤秤重者得一千零七十二两求原锤重法曰置四十六两八钱为实以一千零七十二两乘之(得五万零一百)(六十九两六钱)以一千九百二十九两六钱除之得二十六两即所求解曰一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两若四十六两八钱之与原锤也故以之乘除得原锤之重二十八则权重三法设秤失其锤有轻重两物不知斤两以轻者作锤秤重者得五十二两以重者作锤秤轻者得一十三两求原锤重法曰置两数相乘(得六百七十六两)平方开之得二十六两即所求解曰两数之中率即原锤之重两数相乘平方开之求中率之法也(二巻十六则)○又法以等重二物一作锤一作物秤之所得之数即原锤之重○按以上三法用之于平星提索同居一位之秤虽有微差尚可得近似之数至于平星提索不同一位相去愈逺其差愈多甚至与真数悬绝留心此道者不可不知也数学钥巻三上
## 卷三下
钦定四库全书数学钥巻三下柘城杜知耕撰衰分(诸分附)一则合率差分设有银一百二十一两一钱七分五厘买稻麦菽三等粮买稻一分每斗价九分二厘麦二分毎斗价八分五厘菽三分每斗价三分六厘求三色粮各若干法曰置共银为实另二因麦价(得一钱七分)三因菽价(得一)(钱零八厘)与稻价并(共三钱七分)为法除实得三十二石七斗五升为稻数二因稻数得六十五石五斗为麦数三因稻数得九十八石二斗五升为菽数解曰稻一麦二菽三共六衰而稻为六分之一麦为六分之二菽为六分之三二因麦价者令麦二倍于稻也三因菽价者令菽三倍于稻也合二与三得五是麦菽得五而稻得一则稻为六分之一矣故并价除实即得稻数也麦原二倍于稻故二因稻数得麦数菽原三倍于稻故三因稻数得菽数○如求各银数则以各价乘各数即得二则折半差分设银六百七十二两令甲乙丙三等人折半纳之求各应纳银数法曰置共银为实定丙为一衰乙倍丙为二衰甲倍乙为四衰并之共七衰为法除实得九十六两为丙数二因丙数得一百九十二两为乙数二因乙数得三百八十四两为甲数解曰所谓折半者令乙半于甲丙半于乙以一为丙衰倍一得二为乙衰乙倍于丙即丙半于乙也倍二得四为甲衰甲倍于乙即乙半于甲也并之共得七衰而丙为七分之一故以七除实得丙数余同前解三则四六差分设银八百一十二两五钱令甲乙丙丁四等人四六纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丁为四衰以一五乘四得六为丙衰再以一五乘六得九为乙衰再以一五乘九得十三衰五分为甲衰并之共三十二衰五分为法除实得二十五两为一衰之数四因二十五两得一百两为丁数六因二十五两得一百五十两为丙数九因二十五两得二百二十五两为乙数以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数解曰定衰之法当六乘四除今用一五乘何也葢四之于六若一与一五也以一五乘四得六乘六得九乗九得十三五而十三五之与九九之与六皆若六之与四也并四数共三十二衰半除实所得银数即原银三十二分五厘之一而丁应纳者则三十二分五厘之四故四因一衰之数得丁数也余同前解四则三七差分设有银一千九百七十五两令甲乙丙三等人三七纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定丙为九衰七因三归得二十一为乙衰再七因三归得四十九为甲衰并之共七十九衰为法除实得二十五两为一衰之数九因之得二百二十五两为丙数以二十一乘之得五百二十五两为乙数以四十九乘之得一千二百二十五两为甲数解曰不以三为丙衰而以九为丙衰者以三为丙衰则不能得甲衰也何也试定三为丙衰七为乙衰七因三归则得一六三三不尽定九为丙衰正为甲衰地也若甲乙丙丁四位则九又不可为丁衰必三倍之得二十七为丁衰若五位又三倍二十七得八十一为戊衰位多者倣此五则二八差分设有银一千零五十两令甲乙丙三等人二八纳之求各应纳银数法曰置共银为实先定二为丙衰四因二得八为乙衰四因八得三十二为甲衰并之共四十二衰为法除实得二十五两为一衰之数二因之得五十两为丙数八因之得二百两为乙数三十二乘之得八百两为甲数解曰逓以四因定衰者以八四倍于二也六则逓减差分一法设米一千一百三十四石令五等人户逓减纳之一等二十四戸二等三十三戸三等四十二戸四等五十一戸五等六十户求毎等及毎戸应纳银数法曰置共米为实先定五等六十戸为六十衰二因四等戸数得一百零二衰三因三等戸数得一百二十六衰四因二等戸数得一百三十二衰五因一等戸数得一百二十衰五数并共五百四十衰为法除实得二石一斗为第五等每戸纳数以五等六十戸乘之得一百二十六石为第五等共纳数以二因二石一斗得四石二斗为第四等毎戸纳数以四等五十一戸乘之得二百一十四石二斗为第四等共纳数以三因二石一斗得六石三斗为第三等毎戸纳数以三等四十二戸乘之得二百六十四石六斗为第三等共纳数以四因二石一斗得八石四斗为第二等每户纳数以二等三十三戸乗之得二百七十七石二斗为第二等共纳数以五因二石一斗得十石零五斗为第一等每戸纳数以一等二十四戸乘之得二百五十二石为第一等共纳数解同本巻一则七则逓减差分二法设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人纳之定甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等求各应纳米数法曰置共米为实先以一为戊衰二为丁衰三为丙衰四为乙衰五为甲衰次并戊一丁二丙三得六并乙四甲五得九以六减九余三于每人衰数各増三戊得四衰丁得五衰丙得六衰乙得七衰甲得八衰并之共三十衰为法除实得八石为一衰之数四因之得三十二石为戊数五因之得四十石为丁数六因之得四十八石为丙数七因之得五十六石为乙数八因之得六十四石为甲数解曰若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等则并己一戊二丁三丙四共十并乙五甲六共十一两数相减余一为实另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减余二人为法归之得五各加入每人衰数己得一五戊得二五丁得三五丙得四五乙得五五甲得六五若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等并庚一己二戊三丁四丙五共十五并乙六甲七共十三是四人衰数反多于二人衰数前法不行矣则置各衰自乘庚得一己得四戊得九丁得十六丙得二十五并之共五十五乙得三十六甲得四十九并之共八十五两数相减余三十为实另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减余三人为法归之得十各加入每人衰数庚得十一己得十四戊得十九丁得二十六丙得三十五乙得四十六甲得五十九余倣此八则逓减差分三法设米二百六十五石令三等人戸纳之上等二十戸每戸多中等七斗中等五十戸每戸多下等五斗下等一百一十戸求各应纳米数法曰置共米为实并七斗五斗(共一石二斗)乘上等尸数(得二十四石)以五斗因中等尸数(得二十五石)两数并(共四十九石)减实余二百一十六石并三等尸数(共一百八十戸)为法除之得一石二斗为下等纳数加五斗共一石七斗为中等纳数再加七斗共二石四斗为上等纳数以每等纳数乘每等戸数得每等共纳数解曰共米内减去上中两等多于下等米数所余即一百八十戸均平公纳之米除实得一石二斗即每戸均纳之数均纳之数即下等每戸应纳之数也故加五斗得中等每戸纳数再加七斗得上等每戸纳数九则带分子母差分一法设甲乙丙三人纳银令乙纳甲数六分之五丙纳甲数四分之三乙多丙纳银八两求共银及各应纳银数法曰列母四子三于左母六子五于右右上互乘左下得十八左上互乘右下得二十左上右上相乘得二十四以十八减二十余二为法另以乙多丙八两乘二十四(得一百九十二两)以法除之得九十六两即甲数以八两乘二十(得一百六十两)以法除之得八十两即乙数以八两乘十八(得一百四十四)(两)以法除之得七十二两即丙数并之得二百四十八两即共银数解曰此借比例以求真数也二十四与二十六分之五也二十四与十八四分之三也六分之五之二十较四分之三之十八多二六分之五之乙数较四分之三之丙数却多八两则二十四之与甲数二十之与乙数十八之与丙数其比例必皆若二与八也故八乘二除各得真数也十则带分子母差分二法设布一十二万四千四百八十五疋给散军士每三名给袄布七疋每四名给裤布五疋求军数法曰列三名七疋于右四名五疋于左右上互乘左下(得十五)左上互乘右下(得二十八)并之(共四十三)为法另以左上右上相乘(得一十二)以乘共布(得一百四)(十九万三千八百二十疋)以法除之得三万四千七百四十名即所求解曰十二为三名者四当给袄布二十八疋为四名者三当给裤布一十五疋是毎军士十二名给布四十三疋也反之每给布四十三疋得军士一十二名也故十二乘四十三除得军数也十一则互和逓减差分一法设米一百八十石令甲乙丙三人逓减纳之定甲多丙米三十六石求各应纳米数法曰置共米以人数归之得六十石为乙数另置甲多丙数折半(得一十八石)加乙数得七十八石为甲数减乙数得四十二石为丙数解曰甲多于乙数必为甲多于丙数之半丙少于乙数亦必为丙少于甲数之半两相折凖是甲丙共得三分之二而乙自得三分之一故三归之得乙数加减之得甲与丙数也十二则互和逓减差分二法设令甲乙丙丁四人逓减纳银定甲纳六十九两丁纳五十一两求乙丙应纳数及共银数法曰以丁数减甲数(余一十八两)三归之得六两加丁数得五十七两为丙数加丙数得六十三两为乙数并之共二百四十两为共银数解曰甲多于乙乙多于丙丙多于丁三数并与甲多于丁数等故三归得每率逓差之数凡四位以上皆取首尾两数相减五位则四归之六位则五归之七位则六归之即得每率逓差之数余同前十三则匿价差分一法设银一百八十两零二钱五分买麦六十五石菽二十五石麦每石多菽价一两零七分求各价法曰置麦以麦多菽价乗之(得六十九两五钱五分)以减元银(余一百一十两)(零七钱)并麦菽两数除之得一两二钱三分即菽价加麦多菽价得二两三钱即麦价解曰减去麦多菽价余银即菽九十石之共价故以九十石归之得菽价十四则匿价差分二法设稻一十八石稷二十二石其值适等交换五石则两率差银一两六钱二分五厘求各价法曰置一两六钱二分五厘以交换五石归之得三钱二分五厘以乗稻一十八石(得五两八钱五分)另以稻一十八石减稷二十二石余四石为法除之得一两四钱六分二厘五毫即稷价另以三钱二分五厘乗稷二十二石(得七)(两一钱五分)以前法除之得一两七钱八分七厘五毫即稻价解曰交换五石两率相差一两六钱二分五厘则一两六钱二分五厘必稻五石多稷五石之价也以五归之得三钱二分五厘即稻稷每石相差之价稻稷既每石相差三钱二分五厘则一十八石必差五两八钱五分矣今稷多稻四石而价适等是稷四石之价必五两八钱五分也故四归之得稷价又稻与稷价之比例原若十八与二十二既以三钱二分五厘乗稻一十八石得稷每四石之价则以三钱二分五厘乗稷二十二石必得稻每四石之价无疑矣故四归之得稻价十五则二色差分设银六十七两五钱共买稻菽一百石稻毎石价八钱菽毎石价三钱求稻菽各若干法曰以菽价乗共一百石(得三十两)以减原银(余三十七两五钱)为实以两价相减(余五钱)为法除之得七十五石即稻数以减共一百石余二十五石即菽数解曰原银为稻菽共百石之价以菽价乗百石为菽百石之价两率不等者以稻贵于菽也今稻毎石多菽价五钱是两率毎相差五钱百石内必有稻一石两率相减余银三十七两五钱凡为五钱者七十五故得稻七十五石也十六则三色差分(四色五色六色附)设银十两零五钱共买稻麦菽一十八石稻每石价八钱麦每石价六钱菽毎石价三钱求三色各若干法曰置共粮以三归之得六石为麦数以麦价因之得三两六钱为麦共价另以麦数减共粮(余一十二石)以菽价因之(得三两六钱)另以麦共价减原银(余六两九钱)两数相减(余三两三钱)为实稻菽两价相减(余五钱)为法除之得六石六斗为稻数以稻麦两数减共粮余五石四斗为菽数解曰若四色则四归共物得若干即第二色数亦即第三色数以第二色价乗之得第二色共价以第三色价乗之得第三色共价以两数减共物两共价减原银余依二色差分法求之五色则五归六色则六归之倣此○按三色以上亦可与共物共价相合无差然实非一定不易之数即前三色论之设稻九石共价七两二钱麦二石共价一两二钱菽七石共价二两一钱亦与原银共粮共价皆合而与上法所求三色之数不同十七则贵贱和率差分设银一百二十七两五钱共买稻麦一百零八石毎稻三石价四两毎麦四石价三两五钱求二色数及价各若干法曰列稻三石麦四石共稻麦一百零八石于右次列稻价四两麦价三两五钱原银一百二十七两五钱于左以右上互乘左中(得十两零五钱)以左上互乘右中(得一十六两)两数相减余五两五钱为长法次以右中互乗左下(得五百一十两)以左中互乗右下(得三百七十八两)两数相减(余一百三十二)(两)以长法除之得二十四为短法以稻三石乗短法得七十二石即稻数以稻价乗短法得九十六两即稻共价以稻数减共稻麦一百零八石余三十六石即麦数以稻共价减原银一百二十七两五钱余三十一两五钱即麦共价解曰此与前二色差分同但彼数齐此数不齐耳凡数之不齐者必假一数以齐之今稻三石麦四石则以十二齐之何为必齐之十二也十二为四倍稻三石三倍麦四石之数也以稻三乗麦价即得麦十二石之价以麦四乗稻价即稻十二石之价两数相减为长法者即稻十二石多于麦十二石之银数亦即稻四石多于麦四石之价又三倍之之数也以麦价乗共稻麦一百零八石即麦四百三十二石之价亦即一百零八石尽皆为麦而又四倍其价之数也以麦四乗原银即稻麦四百三十二石之共价亦即稻麦一百零八石之原价而又四倍之之数也两数相减之余即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价实即稻七十二石多于麦七十二石之价又四倍之之数也以之为实若以稻四石多于麦四石之价除之必得稻七十二石今稻四石多于麦四石之价不可得止得稻十二石多于麦十二石之价为长法除实得二十四二十四者即为稻三石者二十四也(十二石三倍多于四石二十四三倍少于七十二石葢法増若干倍得数即减若干倍也)故为短法以稻三石乗之得稻数以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数则以稻三石乗元银以稻价乗共稻麦数两数相减以长法除之得数为短法以麦四石乗之得麦数以麦价乗之得共麦价(解同前)○按此条当列稻三石价四两共稻麦一百零八石于右列麦四石价三两五钱共银一百二十七两五钱于左以左上互乗右中(得一十六两)以右上互乗右中(得十)(两零五钱)两数相减(余五两五钱)为法次以左上右上相乗(得一)(十二石)以乗左下(得一)(千五百三十两)以左中十两零五钱乗右下(得一千一百三十四两)两数相减(余三百九十六两)为实以法除之得七十二石即稻数似较旧法更捷○旧法以十二倍之法除四倍之实故止得二十四以稻三石乗之方得稻数后法以十二倍之法除十二倍之实故一除即得稻数无须再乗也十八则首尾两和差分设十人挨次逓减纳银甲乙丙三人共纳一十三两八钱庚辛壬癸四人共纳一十三两求各应纳银数法曰列三人于右上定甲九衰乙八衰丙七衰共二十四衰列于右中三人纳数列于右下次列四人于左上定庚三衰辛二衰壬一衰共六衰列于左中四人纳数列于左下先以右上徧乗左行(中得一十八衰下得三十九两六钱)次以左上徧乗右行(中得九十六衰下得五十)(五两二钱)以两下对减(余一十五两六钱)为实两中对减(余七十八衰)为法除之得二钱(为十人挨次逓减之数)另以右上归右下得四两六钱为乙数加乙二钱得四两八钱为甲数减乙二钱得四两四钱为丙数减丙二钱得四两二钱为丁数以下各逓减二钱得应纳银数解曰首三人尾四人两数不齐不可相减以求首尾相差之数故互乗以齐之夫左下尾四人共纳之银数也以右上三人乗之得三十九两六钱即三倍尾四人为一十二人之纳数右下首三人共纳之银数也以左上四人乘之得五十五两二钱即四倍首三人亦为一十二人之纳数对减之余即首十二人多于尾十二人之纳数故以为实左中尾四人之衰数以右上三人乗之得十八即三倍尾四人为一十二人之衰数右中首三人之衰数以左上四人乗之得九十六即四倍首三人亦为一十二人之衰数对减之余即首十二人多于尾十二人之衰数故以为法以法除实所得非一衰之银数而何一衰之银数即十人挨次逓减之数也以右上三人归右下纳数即得乙数何也葢乙多于丙者即甲多于乙者也减甲之多补丙之少则成三平数乙居甲丙之中故三归之得平数即得乙数也数学钥巻三下
## 卷三附
钦定四库全书数学钥巻三附柘城杜知耕撰分法一则命分设银四十两三人分之求毎人应分银数法曰置银为实以人数除之得一十三两余一不尽则以法为分母以不尽之一为分子命为一十三两又三分两之一解曰三分两之一即三钱三分三三不尽二则约分设以九十八为法除实不尽者四十二求约若干法曰以子四十二减母九十八(余五十六)再减之余一十四复以母十四减子四十二(余二十八)再减之亦余一十四谓之子母相同即以十四为法除母九十八得七除子四十二得三即命为七分之三解曰母数九十八是七个十四子数四十二是三个十四九十八之与四十二若七之与三也故命为七分之三遇不可约之数直以本数命之如母九十七子四十二此数之不可约者也直命为九十七之四十二三则乘分设一十八人分银毎人分得三百七十六两又九分两之六求共银法曰置三百七十六两为实以母九因之(得三千三百八十四两)加入子六(共三千三百九十两)以人数乘之(得六万一千零二十两)再以母九归之得六千七百八十两即所求解曰不以母因实则不能加入子数故因实以就子也四则课分设有布二疋又九分疋之五用过一疋又六分疋之一求余布法曰置用过布一疋以母六因之(仍得六)加入子一(共七)又以原布母九因之(得六十三)另置原布二疋以母九因之(得一十八)加入子五(共二十三)又以用过布母六因之(得一百三十八)两数相减(余七十五)为实以两母(谓九与六)相乘(得五十四)为法除之得一疋零二十一以约分法约之得十八之七即命为余布一疋又十八分疋之七解曰两数各带子母不得不两因之两因之不得不两归之法以两母相乘除实者与两归得数同也五则通分设粟四十五石毎七分石之五值银八分两之六求共银法曰置粟为实以粟母七乘银子六(得四十二)为法乘实(得一千八百九十)另以银母八乘粟子五(得四十)为法除之得四十七两二钱五分即所求解曰原当置粟为实以粟母七乘之粟子五除之求得共粟七分之五再以银子六乘之银母八除之即得银数然既以粟母七乘之又以银子六乘之不如以粟母七乘银子六以乘之也既以粟子五除之又以银母八除之不如以银母八乘粟子五以除之也数学钥巻三附
## 卷四凡例
钦定四库全书数学钥巻四凡例柘城杜知耕撰凡例一则形为体之界在上之界曰靣在下之界曰底底与面有长广而无厚薄故底面之积曰平积二则体之纵者曰长衡者曰广立者曰髙三则底面长广及髙皆等者曰立方如第一图底面皆方而髙不与长广等者曰方体如第二图长广及髙皆不等而角方者曰直体亦曰直方体如第三图底或方或直而傍为勾股形曰堑堵如第四图底或方或直而傍为三角形曰刍荛如第五图底或方或圆或多边而上锐至尽者曰锥体如第六图凡底面相等者即取底之形为体之名设底六边即为六边体如第七图浑然无界无棱者曰浑体浑圆如第八图浑撱圆如第九图面长杀于底长而无广者曰锐脊如第十图面之长广各杀于底者曰锐面如第十一图上下皆有长无广者曰鼈臑如第十二图四则锥及锐面等体自傍科量之度非正髙五边七边等底中长折半之㸃非正心五则线之度尺容十寸寸容十分形之度尺容百寸寸容百分体之度尺容千寸寸容千分六则相似两形之比例为线与线再加之比例再加者谓两线各自乘以为比例也相似两体之比例为线与线三加之比例三加者谓两线各自乘再乘以为比例也两形有一度等者同两线之比例两体有一度等者同两形之比例两体有两度等者亦同两线之比例七则堆止一层曰平堆二层以上曰髙堆数学钥巻四凡例
## 卷四目录
钦定四库全书数学钥卷四目录柘城杜知耕撰少广一则立方求积二则直体求积三则堑堵求积四则刍荛求积五则三角体求积六则六边体求积(八边十二边附)(増)七则五边体求积(九边附)八则圆体求积(増)九则撱圆体求积(増)十则弧矢体求积十一则锥体求积十二则诸杂线体求积(西法)十三则浑圆求积(二法)(增)十四则浑撱圆求积十五则锐脊体求积(増)十六则鼈臑求积(増)十七则等广锐面体求积十八则锐面方体求积十九则锐面直体求积(二法) (后法増)二十则锐面圆体求积(増)二十一则锐面撱图体求积(西法)二十二则诸锐面体求积二十三则求锥体之正髙二十四则立方以积求边一法(即开立方法)二十五则立方以积求边二法(増)二十六则方体以积求边一法(即带纵开立方法)(増)二十七则方体以积求边二法二十八则直体以积求边一法(増)二十九则直体以积求边二法三十则浑圆以积求径(増)三十一则浑撱圆以积求径三十二则三乗还原(即开三乗方法附) (五乗七乗)三十三则委粟求积三十四则倚壁委粟求积三十五则倚外角委粟求积三十六则倚内角委粟求积三十七则方平堆以周求积三十八则方平堆以积求周三十九则三角平堆以濶求积四十则三角平堆以积求濶四十一则梯形平堆以濶求积四十二则六边平堆以边求积四十三则六边平堆以积求边(求周附)四十四则堑堵髙堆求积四十五则方底髙堆求积四十六则三角髙堆求积四十七则直底髙堆求积四十八则直底锐面堆求积四十九则三角锐面堆求积数学钥巻四目录
## 卷四
钦定四库全书数学钥巻四柘城杜知耕撰少广一则立方求积设立方方三尺求积法曰置三尺自乘(得九尺)再以三尺乘之得二十七尺即所求解曰算体之法先求底积(即方圆等形求积详一二巻)以髙为底积倍数如图长广各三尺相乘得九尺为底积若髙二尺则二倍底积之数得一十八尺髙三尺则三倍底积之数得二十七尺二则直体求积设直体长七尺广五尺髙一十二尺求积法曰以广乘长(得三十五尺)以髙乘之得四百二十尺即所求解同前三则堑堵求积设堑堵长一十二尺广五尺髙七尺求积法曰以广乘长(得六十尺)以髙乘之(得四百二十尺)折半得二百一十尺即所求解曰甲乙丙丁直体与堑堵髙广长各等依甲乙线丙乙棱分之必成二堑堵夫一直体既能当二堑堵则一堑堵必当半直体也故折半得积四则刍荛求积设刍荛长一十二尺广五尺髙七尺求积法同堑堵解曰甲乙丙戊刍荛依丙丁线丙戊脊分之必成二堑堵各为相当直方之半两直方并必成一直方夫直方之两分既倍于刍荛之两分直方之全体不倍于刍荛之全体乎故亦折半得积同堑堵也五则三角体求积设三角体广六尺中长五尺高一十二尺求积法曰置长广相乘(得三十尺)以髙乘之(得三百六十尺)折半得一百八十尺即所求解曰即刍荛但彼横此纵耳○勾股体同六则六边体求积(八边及十二边附)设六边体每边广二十尺中长三十四尺六寸四分有竒髙四十尺求积法曰置广三因之(得六十尺)以长折半(得一十七尺三)(寸二分零二毫)乘之(得一千零三十九尺二寸一分二厘)为底积再以高乘之得四万一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六边底依各角分之成三角形六三角求积法以广乘长折半(一巻五则)不折则得两三角积故三因边广以底长之半乘之(底之半长即三角之中长)即得六三角积(即全)(底积)犹平圆半径乘半周之义也(二巻三则)若无底长之度则取边广为弦(全底分为六三角形每形之三边俱等以甲乙为弦即以丙乙为弦也)半广为勾(丁乙)各自乘相减平方开之得股(丙丁)即底长之半(六巻二则)○设八边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾(丁乙)另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四强为弦(丙乙)各自乘相减平方开之得股(丙丁)即底长之半设十二边底每边广二十尺求底长即以二十尺折半为勾(丁乙)另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八强为弦(丙乙)各自乘相减平方开之得股(丙丁)即底长之半按七六五三六乃四十五度弧之通弦四十五度为三百六十度八之一故以之除八边底之一边即得外切圆形之半径五一七六四乃三十度弧之通弦三十度为三百六十度十二之一故以之除十二边底之一边即得外切圆形之半径外切圆形之半径即三角形之腰线(丙乙)也(见大)(测及八线表)七则五边体求积设五边体毎边广二十尺中长三十尺零七寸七分六厘六毫强高四十尺求积法曰置边广以边数五因之(得一百尺)折半(得五十尺)为实另置边广折半(得十尺)自乘(得一百尺)以中长除之(得三尺二寸四分九厘一毫强)与中长相减(余二十七尺五寸二分七厘四)(毫强)折半(得一十三尺七寸六分三厘七毫强)为法乘实(得六百八十八尺一寸八分八)(厘)为底积再以高乘之得二万七千五百二十七尺五寸二分即所求解曰五边底依各角分之成三角形五欲求底积必先得三角积欲求三角积必先得三角之中长(丙丁)然上则六边边为偶数角与角相对边与边相对其全底之长即相对两三角之中长令五边边为竒数边与角相对其底长(己丁)小半为此三角之中线(丙丁)大半为彼三角之腰线(己丙)折半则得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙(于己丁底长减去己丙余即丁丙)欲得己丙必先求外切圆形之己戊径(己戊折半即己丙)欲得己戊必先求外切圆径大于底长之丁戊(底长加丁戊即己戊)欲求丁戊则用弧矢以弦及余径求矢法(二巻二十二则)今边广甲戊乙弧矢形之甲乙弦也边广折半自乘丁乙半弦上方形也底长己丁余径也以除半弦上方形所得者丁戊矢也以矢减底长所余者倍三角中长之辛丁也故半之为三角之中长又五因边广折半者取五三角底之半也若无底长之度则取边广折半为勾(丁乙)另置边广以一一七五五八除之得一七零一二八八为弦(丙乙)各自乘相减平方开之得股(丙丁)即三角形之中长(六巻二则)一 一七五五八乃七十二度弧之通弦七十二度为三百六十度五之一故以之除五边之一即得外切圆形之半径(丙乙)为三角形之腰线也○设九边底每边广二十尺求三角分形之中长则以二十尺折半为勾(丁乙)另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八为弦(丙乙)自乘相减平方开之得股(丙丁)即三角形之中长六八四零四乃四十度弧之通弦四十度为三百六十度九之一故以之除九边之一即得三角形之腰线也八则圆体求积设圆体径三十尺高四十尺求积法曰置径自乘(得九)(百尺)再以高乘之(得三万六千尺)用圆法十一乘十四除(二巻四则)得二万八千二百八十五尺七寸有竒即所求解曰以径自乘再以髙乘之方体积也方体与圆体等髙则两体即若两底之比例故用平圆法求圆体之积也九则撱圆体求积设撱圆体大径三十六尺小径一十六尺髙四十尺求积法曰置两径相乘(得五百七十六尺)再以高乘之(得二万三)(千零四十尺)用圆法十一乘十四除得一万八千一百零二尺八寸有竒即所求解同前则及二巻十六则十则弧矢体求积设弧矢体矢濶八尺六寸六分零二毫弦长三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六丝高四十尺求积法曰置半弦自乘(得二百二十五步)以矢除之(得二十五尺九寸八分零)(九壹强)为余径余径加矢折半(得一)(十七尺三寸二分零五毫五丝)为法乘背(得六百二)(十八尺五寸六分九厘)另以余径减矢折半(得八尺六寸六分零四毫弱)为法乘弦(得二百五十九尺八寸一分二厘)两数相减(余三百六十八尺七寸五分七)(厘)折半(得一百八十四尺三寸七分八厘)为底积再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求(二卷十七则)十一则锥体求积设方锥方二十尺高四十尺求积法曰置二十尺自乘(得四百尺)为底积再以高乘之(得一)(万六千尺)以锥法三归之得五千三百三十三尺三寸三分有奇即所求解曰方边自乘再以高乘之方体也方锥居方体三之一故三归得积也何以知方锥居体三之一也试作立方如甲乙自心至各棱分之必成锥体六俱以方靣为底方边之半为高更作一方体与锥体同底等高如丙丁丙丁方体既与锥体同底必亦与甲乙立方同底既与锥体等高必以甲乙方边之半为高两方体既同底则两体之比例若高与高丙丁体必为甲乙立方二之一矣锥体既为甲乙立方六之一不为等高同底丙丁方体三之一乎再作直体广二尺长四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成锥体六底等戊庚辛己高等辛子之半如丑者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六锥体形势虽殊而俱等何也丑与寅同长丑之高倍于寅而寅之广倍于丑折寅之广凖丑之高则丑寅二体等矣又丑与卯同广丑之长倍于卯而卯之高倍于丑折丑之长凖卯之高则丑卯二体亦等矣夫寅等于丑丑等于卯是六锥俱等矣今癸辛一直体能分为相等之六锥体则一锥体不为癸辛直体六之一乎锥体既为同底倍高直体六之一必为同底等高三之一无疑矣○从此推之不论方圆多边弧矢凡属锥体者皆为同底等高体三之一十二则诸杂线体求积凡体先求底积底属直线依一巻九则例属曲线及杂线依二巻四十则例裁之得底积再以高乘之即得体积十三则浑圆求积设浑圆径十尺求积法曰置径自乘(得一百尺)四因之(得四)(百尺)十一乘十四除(得三百一十四尺二寸八分六厘弱)为靣积再以半径乘之(得一千五百七十一尺四寸三分弱)以三归之得五百二十三尺八寸一分即所求解曰置径自乘再以十一乘十十四除者浑圆中丙子乙丑平圆积也以四因之者浑圆面积当平圆积四也何也浑圆面任割一分(如甲丁己戊)欲求面分之容则取自甲顶至戊界之度(甲戊线)为半径作平圆(如辛癸平圆辛壬与甲戊等)其容即等若自乙丙平割浑圆之半取自甲顶至乙界之度为半径作平圆其容必与浑圆半靣等今丙子乙丑平圆半径为乙庚乙庚与甲庚等乙庚甲庚两线偕甲乙线则成一勾股形甲乙为弦乙庚甲庚一为勾一为股也以弦为半径之平圆必倍大于或勾或股为半径之平圆浑圆半靣既等于以甲乙弦为半径之平圆不倍大于以乙庚勾为半径之丙子乙丑平圆乎半面既倍大于丙子乙丑平圆全靣不四倍大于丙子乙丑平圆乎法以半径乘之以三归之又何也平圆求积同于以圆周为底以半径为高之三角形(二巻四则)故浑圆求积同于以全面为底以半径为高之锥体以高乘底以三归之者锥体求积之法也(本巻十一则)○又尝借西洋割圆八线表考之如前径十尺之浑圆自顶中剖之再以乙丙线平分之依八线表例分乙丁甲曲线为九十度设任割球分为甲丁己戊其甲丁曲线三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八线表中求三十度通弦得五尺二十九度通弦得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求积法(一巻七则)并两数折半得四尺九寸二分四厘零五丝再求二十八度通弦得四尺六寸九分四厘七毫与二十九度通弦并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折尽三十度共得通弦数七十六尺七寸五分九厘七毫五丝用圆径求周法(二巻一则)求得二百四十一尺二寸四分五厘弱(为球分面上三十段梯形两濶折半之数)为实复求甲丁曲线三十分之一得八分七厘三毫有竒(取浑圆全周以三十六归之即得)为梯长乘实得割球靣积二十一尺零五分有奇叧求甲戊直线得二尺五寸八分八厘二毫(即表中十五度通弦)倍之得五尺一寸七分六厘四毫为径求圆积亦得二十一尺零五分有竒与前数合又法置径自乘再以径乘之(得一千尺)以十一乘二十一除得数同解曰圆体与方体等高则两体之比例若两底之比例是方体与圆体若十四与十一也又圆体与浑圆等高令圆体之底同浑圆中心之平圆则圆体之容必等于以平圆为底以浑圆半径为高(浑圆半径即固体高度之半也)之锥体六(本巻十一则)浑圆之面既四倍于中心平圆而浑圆求积之法又同锥体则浑圆之容必等于以平圆为底半径为高之锥体四夫以相等之锥体圆体得六而浑圆得四是圆体与浑圆若六之与四六之与四即三之与二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二约之为二十一与十一则二十一与十一即等高立方浑圆之比例也法置径自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一为浑圆也十四则浑撱圆求积设浑撱圆大径四十尺小径二十尺求积法曰置小径自乘(得四百尺)再以大径乘之(得一)(万六千尺)以十一乘二十一除得八千三百八十尺零九寸五分即所求解曰小径自乘再以大径乘之甲乙方体也方体浑撱圆比例亦犹立方与浑圆故十一乘二十一除得浑撱圆之积十五则锐脊体求积设锐脊体脊长十尺底长十四尺广五尺高十二尺求积法曰倍底长加脊长(得三十八尺)以广乘之(得一百九十尺)再以高乘之(得二千二百八十尺)以六归之得三百八十尺即所求解曰依甲丙乙丁两线分之成刍荛一斜锥二(斜锥与正锥同论)刍荛以高乘底积之半得积(本巻四则)锥以高乘底积三之一得积(本巻)(十一则)夫刍荛之底长即锐脊之脊长也若三倍脊长以六归之即得刍荛底长之半又两斜锥之底长即锐脊之脊长与底长之较也(即戊庚己辛两线并之度)若二倍较线以六归之即得斜锥底长三之一今倍底长加脊长非即三倍脊长二倍较线乎以六归之以广乘之再以高乘之得三分体之积即全体之积法先乘后归亦异乘同除之意也十六则鼈臑求积设鼈臑上长二尺下长四尺高九尺求积法曰置两长相乘(得八)(尺)再以高乘之(得七十二尺)以六归之得一十二尺即所求解曰叧作一刍荛如下图刍荛原为等高同底方体二之一(本巻四则)依甲丙乙丙两线各从底棱分之成一锥体二鼈臑锥体原为等高同底方体三之一(本巻十一)(则)必为刍荛三之二于刍荛内减去锥体所余三之一则两鼈臑也两鼈臑并既为刍荛三之一必为与刍荛等高同底方体六之一矣与刍荛等高同底即为鼈臑等高倍底者也两鼈臑既为等高倍底方体六之一则一鳖臑亦必为等高同底方体六之一故用六归也十七则等广锐面体求积设等广锐靣体靣长四尺底长一十二尺底面俱广五尺高一十二尺求积法曰并两长折半(得八尺)以广乘之(得四十尺)再以高乘之得四百八十尺即所求解曰依甲丙乙丁两线分之成一直体二堑堵全靣即一直体底全底即一直体二堑堵底底靣并而折半则成一直体一堑堵底矣夫直体以高乘本底得积(本巻二则)堑堵以高乘半底得积(本巻三则)今一堑堵之全底即两堑堵之半底也故以高乘㡳靣相并折半之数得全积十八则锐靣方体求积设锐靣方体靣方六尺底方八尺高一十二尺求积法曰置上方自乘(得三十六尺)下方自乘(得六十四尺)上下两方相乘(得四)(十八尺)三数并(共一百四十八尺)以高乘之(得一千七百七十六尺)以三归之得五百九十二尺即所求解曰各依面棱分之成方体一堑堵方锥各四凡九体而有三等三等求积之法则各殊方体以高乘底得积(本巻二则)堑堵以高乘底二之一得积(本巻三则)方锥以高乘底三之一得积(本巻十一则)若从方体则与堑堵不合从堑堵又与方锥不合不得不用三归以就方锥然用三归必三倍方体之底半倍堑堵之底而后可今下方自乘即甲乙方形得方体之底一堑堵方锥之底各四上方自乘即丙丁方形得方体之底一上下相乘即戊己直形得方体之底一堑堵之底二合三形共方体底三堑堵底六方锥底四夫方体底三三归之仍得一堑堵底六三归之得二二堑堵底即四堑堵底二之一也方锥底四三归之各得三之一今以高乘一方体底四堑堵底二之一四方锥底三之一故得全积(余同本巻十五则)十九则锐靣直体求积设锐靣直体靣长六尺广五尺底长十尺广八尺高一十二尺求积法曰倍上长加下长(共二十二尺)以上广乘之(得一百一)(十尺)另倍下长加上长(共二十六尺)以下广乘之(得二百零八尺)两数并(得三百一十八尺)以高乘之(得三千八百一十六尺)以六归之得六百三十六尺即所求解曰依各靣棱分之亦成九体与前则同但四堑堵两两相等辛戊与庚己等丙戊与丁己等四堑堵既不等则三归之法不可用矣于是有六归之法倍上长加下长以上广乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直体底三丙戊己丁堑堵底各一倍下长加上长以下广乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直体底三辛戊庚己堑堵底各三丙戊丁己堑堵底各二甲戊等四锥底各二合之共直体底六堑堵底十二与辛戊等者六与丙戊等者六锥底八以六归之得一直体底四堑堵底二之一四锥底三之一故以高乘之得全积○按锐靣直体亦有可用三归者如后图面长五尺广三尺底长七尺广四尺二寸高一十二尺用前法得积二百六十一尺六寸今以面广乘靣长得一十五尺以底广乘底长得二十九尺四寸以靣广乘底长得二十一尺(或以底广乘靣长亦同)三数并共六十五尺四寸以高乘之以三归之得积同用此法求前体则不合其故何也葢前体乃锐脊之截体后体乃直锥之截体后体底靣长广可互为比例若依四角斜线引而高之必成直锥是以谓之直锥之截体依前例分为九体其四堑堵虽体势不同而容积皆等故用三归而合也若前体底靣长广不可为比例亦依四角斜线引而高之止成锐脊终不成锥体是以谓之锐脊之截体如前分为九体其四堑堵体势既异而大小复殊故用三归必不合也锐靣直体有此二等不可不知也二十则锐靣圆体求积设锐靣圆体靣径六尺底径八尺高一十二尺求积法曰置靣径自乘(得三十六尺)底径自乘(得六十四)(尺)两径相乘(得四十八尺)三数并(共一)(百四十八尺)以高乘之(得一千七百七十六尺)再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有竒即所求解曰此与锐靣方体法同元当用三归得锐靣方体积再十一乘十四除为本积今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除犹三归又十四除也二十一则锐面撱圆体求积设锐面撱圆体面大径四尺小径二尺底大径八尺小径六尺高一十二尺求积法曰倍靣大径加底大径以靣小径乘之(得三十二尺)另倍底大径加靣大径以底小径乘之(得一百二十尺)两数并(共一百五十二尺)以高乘之(得一千八百二十四尺)再以十一乘八十四除得二百三十八尺八寸五分有竒即所求解曰此与锐靣直体法同元当用六归得锐靣直体积再十一乘十四除为本积今以八十四除者以六因十四得八十四以八十四除犹六归又十四除也二十二则诸锐靣体求积设锐靣六边体靣每边广一尺中长一尺七寸三分二厘(所谓中长者乃边与边相对之度非角与角相对之度也底同)底每边广二尺中长三尺四寸六分四厘高四尺求积法曰置高以底长折半乘之(得六尺九寸二分八厘)以两长相减折半(得八寸六分六厘)除之得八尺为锥高另三因底边二尺(得六尺)以底长之半乘之(得十尺零三寸九分二厘)以锥高八尺乘之三归之(得二十七尺七)(寸一分强)为锥积另三因靣边一尺(得三尺)以靣长之半乘之(得二尺五寸九分八厘)以原高减锥高余四尺乘之三归之(得三尺四寸六分四厘)为虚积以虚积减锥积余二十四尺二寸四分八厘即所求解曰凡锐靣体底靣长广能为比例者皆诸锥之截体既得锥积复得体外虚积相减之余即为所求之实积然欲求锥积必先求锥高锥高甲丙与元高甲丁之比例若底长之半甲乙与底靣两半长之较线己乙也法以底长之半乘高以两半长之较线除之者乃借乙己与己戊之比例(己戊即甲丁)因甲乙以求甲丙也凡锐靣体俱同此法二十三则求锥体之正高设方锥底方十尺斜高一十三尺求正高法曰置斜高自乘(得一百六十九尺)另以底方折半自乘(得二十五尺)两数相减(余一百四十四尺)平方开之得一十二尺即所求解曰此勾弦求股法也(六巻二则)凡求诸锥体之积须得诸锥正高自傍面量者乃斜高非正高也自顶至底中心方为正高方锥系偶边故折底长为勾如遇竒边则求底中心至边之度为勾(本巻七则)二十四则立方以积求边一法(即开立方)设立方积三千三百七十五尺求方边法曰置积于中为实先商十尺于左下法亦置十尺于右自乘再乘(得一千尺)除实(余二千三百七十五尺)三因下法十尺(得三十尺)为方法次商五尺置于左初商十尺之次下法亦置五尺于初商十尺之次(共一十五尺)以次商五尺徧乘之(得七十五)(尺)为廉法再以方法乘廉法(得二千二百五十尺)除实(余一百二十五)(尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)为隅法除实恰尽合左初商次商得一十五尺即所求解曰初商自乘再乘大方积也次商五尺乘下法十尺得五十尺即方廉甲乙丙丁一侧面之平积也(丁乙五尺丁丙十尺相乘)(得五十尺)以初商乘之必得一方廉之积(每一方廉积五百尺)若以方法三十尺乘之则得三方廉之积(三方廉皆等)又以次商五尺乘下法五尺得二十五尺即戊己庚辛长廉一方面之平积也(戊己五尺戊庚)(亦五尺相乘得二十五尺)以初商乘之必得一长亷之积(每一长廉积二)(百五十尺)若以方法三十尺乘之则得三长廉之积(三长廉皆)(等)今以次商五尺徧乘下法十五尺得七十五尺即方廉之侧面长亷之方面两平积也总以方法三十尺乘之即得三方廉三长廉之共积矣又次商五尺自乘再乘得一百二十五尺即隅方积以三方廉附于大方之三面以三长廉补方廉之缺又以一隅方补长廉之缺八体凑合则成一纵广皆一十五尺之立方矣二十五则立方以积求边二法设立方积三百六十五万二千二百六十四尺求方边法曰置积于中为实先商一百尺于左下法亦置一百尺于右自乘再乘(得一百万尺)除实(余二百六十五万二千二百六)(十四尺)三因下法一百尺(得三百尺)为方法次商五十尺置于左初商一百尺之次下法亦置五十尺于初商一百尺之次(共一百五十尺)次商五十尺徧乘之(得七千五百尺)为廉法以方法乘廉法(得二百二十五万尺)除实(余四十万零二千二百六十四尺)又以次商自乘再乘(得一十二万五千尺)为隅法除实(余二十七万七)(千二百六十四尺)复三因下法一百五十尺(得四百五十尺)为方法三商四尺于左初商次商一百五十尺之次下法亦置四尺于初商次商一百五十尺之次(共一百五十四尺)以三商四尺徧乘之(得六百一十六尺)又为廉法以方法乘廉法(得二十七万七千二百尺)除实(余六十四尺)又以三商四尺自乘再乘(得六十四尺)为隅法除实恰尽合左初次三商共得一百五十四尺即所求解曰此与前则同但彼二位此三位耳设三商又不尽复三因初次三商为方法四商之倣此二十六则方体以积求边一法(即带纵开立方)设方体积二千九百二十五尺长广相等高朒二尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以朒二尺减十尺余八尺乘之(得尺百)除实(余二千一百二十五尺)倍八尺加初商十尺(共二十六尺)为方廉法又倍初商十尺加八尺(共二十八尺)为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法(得二百六十尺)以次商五尺乘长廉法(得一百四十尺)两数并(共四百尺)以次商五尺乘之(得二千尺)除实(余一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)为隅法除实恰尽合初商次商共得一十五尺即底方之度减高朒二尺余一十三尺即高度解曰初商自乘大方之底积又减二尺乘之高朒于纵及广也倍八尺加十尺为方廉法者以方廉广十尺者一广八尺者二也又以十尺乘之者三方廉之长皆十尺也倍十尺加八尺为长廉法者以长廉长八尺者一长十尺者二也又以次商五尺乘之者三长廉之广皆五尺也又并六廉以五尺乘之者六廉之厚皆五尺也余同前则○改设前积为三千二百四十三尺三寸七分五厘初商十尺次商五尺仍余积三百一十八尺三寸七分五厘又以朒二尺减初次两商十五尺余十三尺倍之加十五尺共四十一尺为方廉法倍十五尺加十三尺共四十三尺为长廉法三商五寸于初次两商一十五尺之次以初次两商十五尺乘方廉法得六百一十五尺以三商五寸乘长廉法得二十一尺五寸并两数共六百三十六尺五寸又以三商五寸乘之得三百一十八尺二寸五分除实余一寸二分五厘升二位作一百二十五寸又置三商五寸自乘再乘得一百二十五寸除实恰尽合初次三商得一十五尺五寸为底方之度减高朒二尺余一十三尺五寸为高度○余积一寸二分五厘升二位何也葢体以纵广及高各一尺为积一尺一尺实积千寸取十分尺之一为寸是一寸而实积百寸也故寸以下皆升二位二十七则方体以积求边二法设方体积四千二百七十五尺长广相等高多四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺自乘又以多四尺并十尺共十四尺乘之(得一千四百尺)除实(余二千八百七十五)(尺)倍十四尺加初商十尺(共三十八尺)为方廉法倍初商十尺加十四尺(共三十四尺)为长廉法次商五尺置于初商之次以初商十尺乘方廉法(得三百八十尺)以次商五尺乘长廉法(得一百七十尺)两数并(共五百五十尺)又以次商五尺乘之(得二千七百五十尺)除实(余一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百二十五尺)为隅法除实恰尽合初次两商共得一十五尺即底方之度加高多四尺共一十九尺即高度解同前二十八则直体以积求边一法设直体积七千二百尺高一十二尺广朒于长十尺求长广法曰置积以高除之(得六百尺)四因之(得二千四百尺)叧置广朒于长十尺自乘(得一百尺)两数并平方开之(得五十尺)减广朒于长十尺(余四十尺)折半得二十尺即广加十尺得三十尺即长解曰以高除积所得者直体底积也故平方带纵开之即得所求也二十九则直体以积求边二法设直体积三千一百三十五尺高多长四尺长多广四尺求各度法曰置积于中为实初商十尺以十尺减长多广四尺余六尺乘之又以十尺加高多长四尺共十四尺乘之(得八百四十尺)除实(余二千二百九十五尺)列十尺六尺十四尺为方廉法并十尺六尺十四尺共三十尺为长廉法次商五尺置于初商之次方廉法维乘以六尺乘十尺(得六十尺)十尺乘十四尺(得一百四十尺)十四尺乘六尺(得八十四尺)并之(共二百八十四尺)又以次商五尺乘长廉法(得一百五十尺)两数并(共四百二十四尺)再以次商五尺乘之(得二千一百七十尺)除实(余一百二十五尺)又置次商五尺自乘再乘(得一百十五尺) 为隅法除实恰尽合初次两商共一十五尺即长増四尺共一十九尺即高减长四尺余一十一尺即广解曰初商十尺为大方之长减四尺余六尺为广増四尺共一十四尺为高故两乘得大方积大方三面之平积即三方廉之底积也而大方之三面各不等以广六尺乘长十尺得甲乙丙丁面平积以长十尺乘高一十四尺得戊己甲乙面平积以高一十四尺乘广六尺得已庚乙丁面平积故列三位为方廉法维乘也又大方三棱之度即三长廉之高也而大方三棱亦不等甲乙棱十尺乙丁棱六尺乙己棱一十四尺故并三数为长廉法也余同前解三十则浑圆以积求径设浑圆积一千七百六十七尺八分五厘七毫有竒求圆径法曰置积二十一乘十一除(得三千三百七十五尺)立方开之得一十五尺即所求解曰十一与二十一浑圆立方之比例也(本巻十三则)二十一乘十一除令浑圆化为相当之立方故立方开之得方边即得圆径也三十一则浑撱圆以积求径设浑撱圆积二千二百三十九尺二寸八分五厘有竒大径多小径四尺求两径法曰置积二十一乘十一除(得四千二百七十五尺)以带纵立方开之得一十五尺即小径加多四尺得一十九尺即大径解曰浑㨊圆与方体之比例亦若浑圆与立方故二十一乘十一除带纵立方开之得方体之广及高即浑撱圆之两径也三十二则三乘还原(即开三乘方)设三乘积六百二十五尺求还原法曰置积为实平方开之(得二十五尺)再以平方开之得五尺即所求解曰以五自乘再乘三乘得六百二十五即所谓三乘方也反求元数即所谓开三乘方也三乘原无形体可言但法类于开平方立方故亦谓之方耳○从此推之一次平方一次立方可开五乘方三次平方可开七乘方三十三则委粟求积设委粟底周八十八尺高八尺八寸求积法曰置周自乘(得七千七百四十四尺)以高乘之(得六万八千一百四十七尺二寸)再七乘二百六十四除得一千八百零六尺九寸三分有竒即所求解曰此即圆锥也圆形与周上方形之比例若七与八十八(二巻五则)凡两体等高者体与体之比例若底与底圆体与周上等高方体之比例必亦若七与八十八今圆锥居圆体三之一以三乘八十八得二百六十四则是圆锥与周上等高方体之比例必若七与二百六十四矣二十四则倚壁委粟求积设倚壁委粟周四十四尺高八尺八寸求积法曰置周自乘(得一)(千九百三十六尺)以高乘之(得一万七千零三十六尺八寸)再七乘一百三十二除得九百零三尺四寸六分有竒即所求解曰此圆锥之半也半锥居全锥二之一半周上方体(与圆锥等高下同)居全周上方体四之一故其比例为七与一百三十二也三十五则倚外角委粟求积设倚外角委粟周六十六尺高八尺八寸求积法曰置周自乘(得四千三百五十六)(尺)以高乘之(得三万八千三)(百三十二尺八寸)再七乘一百九十八除得一千三百五十五尺二寸即所求解曰此圆锥四之三也与全周上方体(与圆锥等高下同)之◆ 《句股引蒙-清-》（KR3f0052）
## 提要
钦定四库全书 子部六
勾股引蒙 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案勾股引蒙五卷国朝陈𬣙撰𬣙字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熈六十一年壬寅首载加减乗除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乗法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式葢兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乗方与弦积相减所余之积转减弦积为股弦较不知以勾股和自乗积与倍弦积相减所余为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乗以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乗矣则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乗之积为容方者四斜弦内为容方者两不知勾股形内以弦为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股弦之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乗积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全录梅文鼎平三角举要畧加诠释所用八线小表以余线可以正弦正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精㣲猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引蒙宗㫖可见录存其说亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总校官(臣)陆 费 墀
## 凡例
钦定四库全书句股引蒙海寜 陈𬣙 撰凡例六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如蒙童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引蒙自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端余不辞费葢全帙中皆加减乗除故也筹算剙自逺西较珠算最为雅便但定位置○殊费推𫾣今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必携筹便楮可代数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至𢃄纵方虽于勾股法不恒用然法尤㣲奥不可不知故并载焉勾股为测量诸法之原变化神妙不外叅互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之三角八线必检表得度虽弧三角(即西法三角曲线)与平三角㣲有不同未可据平三角遽为步厯之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异元李栾城测圆海镜明顾箬溪为之注释宣城梅定九先生谓止容圆一术引而伸之遂如五花八门想昔时视为绝学今昌运作人算学设馆肄习然天府之书无从窥见即梅刻诸书亦购觅甚难是编不辞固陋视李顾二书似各法具备且由浅入深人易晓悉譬之江河滥觞之始可涓涓不已以至于海云尔
## 卷一
钦定四库全书句股引蒙卷一海寜 陈𬣙 撰笔算(古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乗除其用视筹格)加如先有几百几十尺(举尺以例其余)又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一㸃其前位仝先所写数又所加一㸃直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺 又九十六尺 又一百七十八尺四六八八 (从末位并起如四六八为一十八进一㸃于前左位留八零数写本位)三九七○ (此三九七同所进一㸃并之得二十进两㸃于前左位而本位无零置○)一 一四 (此首位有一一又连两㸃并之得四竟写四字于下)右共四百○八尺(从左首位至末小位)减先从左大位减至右末小位假如四百○八尺先减一百七十八尺(存二百)(三十尺)八 四○ 三四三四三二一又减九十六尺(存一百三十四尺如右)如再减若干亦同此法乗有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之类依位数画或方或长格各管所乗之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其余斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一㸃于前满二十者进二㸃如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乗之万千百十假如自乗以一百七十八乗一百七十八先写一七八于上(平写)再写一七八于侧(直写)依平位侧位画纵横格(或平位多画长方格或侧位多画直方格)再画斜格(末小位起)先从右边末位乗起以末位之八乗平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右再以右边之八乗平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右再以右边之八乗平写首位之一得八写八字于下格斜界之右(以上右边之八乘完)次以右边中位之七乗平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乗平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右次以右边中位之七乗平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右(以上右边之七乗完)又以右边之一乗平写末位之八得八写八字于上位斜格之右次以右边之一乗平写中位之七得七写七字于上位斜格之右次以右边之一乗平写首位之一得一写一字于上位斜格之右(以上右边之一乗完)各位俱乗毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺(若以尺乗寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此)假如相乗图算俱同自乗除除与减相似而不同犹加与乗亦相似而不同葢加减止用小九数如二与三为五而乗与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左筹算(附筹式)(筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹)(二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九)(数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另)(详)右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一一如一 一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也除取近少除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目(亦左边起写至右邉)视列筹某格近少除之(如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数)所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留余实以便再除假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之右列三八四号筹除实视每格自一格至八格俱少惟九格之 三四五六与实近少除之因在第九格为初商九余实一一五二视列筹第三格之(为十一进一㸃于前)一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起(左边是大数即是十位)遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也右工每丈该银九两三钱按定位(详后)凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法置○(开方置○不用此法)逢单须进位 遇十在本身退位单仍十 两一位还升各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也假如实一十一两七钱二分 法二十三石(列筹)列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格 之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上葢总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也假如实一百五十七两 法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二 法一八列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也定位法小实大顺寻法首而于法前得令假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱求每参一两价若干(以银为实) (以参为法)五 列三号五号筹(此即参为法)除实七 筹第六格除二十一是遇十在本身写五 二 六字于实之第一位上余实一七五除第六 二 五格亦遇十在本身写五字于实之第二位上(除尽)顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱法大实小逆寻法首而于法前得令假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干(以银为实以工为法)列三号五号筹除实同前法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是厘矣答曰每人一工该银六分五厘又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前假如隄三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干(以银为实以工为法)实 列三号四号筹除实三 初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四厘挨右之五为五毫矣答曰每工四厘五毫法实等者实首即为法首而于法前得令法实相等如同是千同是百之类命分凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之余实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七(葢以不尽之七剖为七个十九分得一并百三十三分以十九人分之各得七分)(整数零数为每人分得十七两○十九分两之七)附约法(厯法用之便于积算余可不必)凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽(如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之)(二十七今以法约之为三之一葢八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七)(分是三之一也)(均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减之余仍二)(十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每)(两均剖为三而各得其一分即三人共一两也)(若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一余二十七又以母余二十七转减)(子五十四亦余二十七是相等也即以此等数二为法除母得三除子五四得二是为约得三之)(又㨗法八十一乃九九相乗之数二十七乃三九相乗之数皆九也即可为纽数约之为九分)(两之三)当位筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如余实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣(惟开方置○与此不同)句股引蒙卷一
## 卷二
钦定四库全书句股引蒙卷二海寜 陈𬣙 撰开方开方为句股积幂测量步算之源其法取积实归除使均齐方正知每边得若干数其用筹除实视某格为某商若干等类俱如前法有平方大筹立方大筹置廉用散筹平方开面立方开体皆开除所积之实平方则开平面所积之方故大筹每格止一自乗立方则开立体所积之方故大筹每格其右边直行先平列一自乘数其中左两行虽有斜格而平行每格又以自乗之数与每格之一二三四五六七八九相乗盖如围棋子平方则四边十九而三百六十一为十九个十九也立方则十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根后各依法加廉其大筹所除之格其实即隅积其平行之数即隅数且隅积即在平廉约法中并列并除此天然之巧也凡测算虽极逺极大其所测中心止凭一㸃其逺近多少相距亦止凭一㸃从此㸃至彼㸃则有线线即有所积之面面即有所积之体故平方开面立方开体皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之㸃为句股三角之用也(此所测之㸃非开方㸃定开位之㸃)开平方法先㸃定开位从末单位㸃起(如积实尾无单位者于尾位置○㸃起)隔一位㸃以至实首一㸃一开二㸃二开开不尽者命分一㸃者根必单二㸃者根必十(俱以次増)先从左大数视平方筹相近之格除之开数定则方根之十百千万亦定矣(立方同)凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如次商㸃位前原止二位而筹格有三位不得除至第二㸃后便须置○于次商为次商○三商以下皆然初商法平方筹取近少除实至前第一㸃止在第几格即为初商若干此第一次除之商数名为方根㸃前无余者从筹上一二三格之单位除㸃前有余者从筹上四五六七八九格之双位除如实少于筹者用退位法除次商法以初商所得数倍之为廉以所倍之廉数列筹于平方筹左取某格近少除之为次商若干三商法以次商所得数倍之为廉列筹于次商筹之右平方筹之左除实同前法(各商同此)每商置○定位三则(开方定位依㸃逓加不用顺寻逆寻法立方同)三商式如列实三㸃为三开(从末零位㸃起每开一位)㸃前无余该大筹单位除实三格内除九为初商三写三字在首㸃积实之二 上三 九 次商应倍初商之三列六号筹为廉除○ 实若取近少莫如三格但次㸃位前实止有二位而筹有三位不得除至次㸃位后便须置○是为次商得○写○于次㸃位积实上隔○筹于平方筹左三商既列六号筹○筹于平方筹之左便应统取近少除至末㸃位止今四格恰除尽为三商得四写四于末㸃位积实之上三商根必百故初商之三为三百四商式㸃前无余大筹单位除九初商得三书商数及置○与三商俱同前法四商倍三商之四列八号筹于大筹之左及前六号筹与○筹之右四格除尽为四商四四商根必千故初商之三为三千四商○○式初商视平方筹取三格除九为初商得三次商倍方根列六号筹于表左应除至次㸃位止但次㸃前实止一位而法之一格两位下俱三位便须置○隔○筹于前列筹右平方筹左为次商得○三商应除至三㸃位止但三㸃前止三位取近少在三格法有四位便须置○隔(○)筹于前列筹右平方筹左为三商得(○)四商四格恰除尽为四商得四四商根必千故初商之三为三千加筹凡商除之后如两廉必倍前商之数如前商一加二号筹前商二加四号筹之类此易明惟前商五倍之加一十则加一号○号两筹葢五加一筹○筹方是一十若不𢃄○筹则一为单数矣若前商之廉是十数又当为升筹升筹凡商除之后如有加两筹者当用升筹法葢同位则升也如平方三开其初商二是为二百次商倍之为廉是四百应列四号筹矣其次商六是为六十三商倍之为廉是一百二十似应再列一号二号筹于前商四号筹之右然从四号筹挨次而来似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故应将一百与四百并之为五百连二十为五百二十升作五二筹列于平方筹左而前商之四号筹去之隔筹每商必加倍数筹以为廉法故前商既置○矣亦须隔○筹于前列筹之右以为后商之廉法而取近少除实为后商其前列筹固倍数也而○不必倍者葢置一○只应隔一○筹耳(立方每隔○○两筹与平方异)命分见前筹算法视末商筹之第一格为若干分视所余不尽之实命为若干分之若干分如余积五十七如末商两廉列八号四号筹(连前商筹)(在内)视第一格八四一命为八百四十一分之五百七十分葢第一格是两廉每加一分之全数故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也求分杪凡有开不尽者或不命分欲知若干分杪于余实下增两○位为○○则多开一位而分杪可得矣(平方隔一)(位㸃是每开两位故増○○)右皆开平方法其平方带纵者开方附左平方𢃄纵列积实依开方商除法每商除实得商数以乘纵数除余实其次商倍初商数除实以次商数乗纵数除余实但倍商不倍纵余商同法合每商之数为阔(即正)(方)加纵数即𢃄纵之长方如纵数有比例可求者先以比例分其积而余积以平方开之得阔因以知其长开方得阔加纵式假如长田六百二十四步 阔不及长二步初商得二除四百步 又以商数二乗纵二步(二二如四)除四十步 余一百八十四步又倍初商列四号筹次商四格除一百七十六步 又以商数四乘纵二步(二四如八) 共一百八十四步除尽为次商四开得阔二十四步 加纵二步为长二十六步比例分积式假如直田积四百五十步 长多阔一倍法平分其积得二百二十五步平方开之得阔一十五步倍之得三十步即长假如长田积二百五十二步 长比阔多四分(分母)之三(分子)法以分子三加分母四共七为法以分母四乗积为实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步又以阔一十二步七因四除之得二十一步为长(长比阔多九步较之十二步为四分之三)开立方法从末单位㸃起每㸃隔二位视列实位一㸃一开二㸃二开余同凡一㸃者方根必单二㸃者方根必十以次而増先从列实左大位视立方筹取近少除之㸃前无余除一二格之单位㸃前余一除三四格之十位㸃前余二除五六七八九之百位立方根单其积实必从单至几百止如九之所积其平面自乗得八十一而立体则九与八十一相乗得七百二十九故根单必积实至百位而单位㸃起隔两位至百也立方根十其积实必从几千至几万几十万止如九十之所积其平面自乗得八千一百而立体则九十与八千一百相乗得七十二万九千故根十其积实必从千位万位至十万位止而㸃亦隔两位也余以类推立方积实必得三位故一㸃一开二㸃二开而开数定于此矣一㸃者根必单二㸃者根必十方根定于此矣初商除至左首㸃位止次商除至次㸃位止置○肇于此矣若尾位列实止于十则实右补一○列实止于百则实右补○○以便从单位㸃起若列实不至单位止则㸃位一错而开数方根置○俱因之以错矣故列至单位开方之异于筹除者在此初商法同平方视列实用立方大筹视单位十位百位依法取近少除之至前首㸃位止在第几格为初商若干为方根次商以初商方根自之(即自乗)又三倍自乗之实得若干列某号筹于立方筹之左为平廉法再以初商方根竟三倍之列某号筹于立方筹之右为长廉法视平廉筹及大筹某格近少列为平廉约数将平廉约数在某格之隅数(即大筹两行平写之数)乗立方大筹右之长廉(如九格之八一为隅数即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之)得若干数为长廉约法并平廉长廉两约数若干以减初商所余之实至次㸃位止为次商若干如并两廉数浮于实须退位改商如位多于实应置○不得除至次㸃位后右立方有平廉三长廉三与平方异三商去前商左右列筹以初商两商自之又三倍之为平廉列筹于立方筹左再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右如前商法除至三㸃位止四商(以下皆同)去前商筹依法列平廉长廉筹除至末㸃位止为四商若干如尚有余实依命分法右前法俱前商之后即将前各商数自之又三倍之为平廉列筹视某格与余实近少列为平廉约数再以前各商竟三倍之为长廉列筹(俱依前法分列大筹)(左右)视平廉约数在某格之隅数取以乗长廉得若干数为长廉约数其万千百十各依位数附于平廉之本位并之而除余实其隅数即在大筹之除格其廉积即在散筹之每格仍是于全数中除两廉应除之余实而隅数亦不烦再乗再除也梅定九先生筹算仍依古法先以前商三倍之为廉法以前商数自之又三倍之为方法以方法除余积得次商既得次商用其数以乗方法为三平廉积又次商自乗以乗廉法为三长廉积再以次商为隅法以隅法自乗再乗得小立方形为隅积三共并之除余积不知既列筹除则筹之每格即乗有廉之全积何必多此一乗且大筹在初商为方根在每商即为隅积今用筹倂除何必又自乘再乗耶立方筹右行隅数定位二开 次商三格以上是单位 四格以下是十位三开 三商三格以上是单位 四格以下是十位次商三格以上是百位 四格以下是千位四开 四商三格以上是单位 四格以下是十位三商三格以上是百位 四格以下是千位次商三格以上是万位 四格以下是十万位右隅数以末商三格以上是单四格以下是十起层累逓加法式二开商式假如积实六千八百五十九两㸃两开两㸃根必十㸃前无余从单位㸃俱隔二位(连本位共三位)初商 列立方大筹视第四格之六四虽系近少然㸃前无余必从单位除寜可在第一格除一盖第二格虽亦单位然八浮于六不可除实故除一格之一为近少除去一千为初商一(两㸃根必十此初商一为方根)次商 以方根一十自之又三倍自乗之实得三百列三号筹于立方筹左为平廉筹又以方根竟三倍之得三十列三号筹于立方筹右为长廉筹前商余实五八五九视平廉筹之九格三四二九相近列为平廉约数其九格之隅数八一乗长廉之三十得二千四百三十为长廉约数并两廉约数共五千八百五十九除实尽在第九格为次商九次商在九格除尽即次商隅数九亦在除内葢隅在长平两廉相凑之角故次商之隅即同次商之商数其在大筹之第几格者为隅之边数而在第几格之自乗者为隅之实数今与大筹并列同除故隅亦在其中也三平廉贴于前商方形之正面侧面及或上或下而后成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全数也三倍之则所贴方根三面之平廉全数也但全数与方根等方而全数之积多于现在之余积故于此三平廉全数中视某格与余实近少而为平廉约数然此三平廉者与方根阔狭厚薄相等今三面贴凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有长廉三一纵二横补于平廉不能合缝之际始得凑合成方法以方根又三倍之者成三个长廉之全数也再以平廉之隅数乗长廉则为现在平廉贴身应得之数为长廉约数并之除余实而隅亦在所除之中而此四面之方凑合无缺矣葢平廉以方根为准长廉以平廉为准而隅数与平廉长廉又互相为准数藏大筹巧在与大筹并列同除法精密矣初商次商退位除式假如积实一万九千六百八十三初商二十 积实两㸃两开方根必十㸃前余一位应从立方筹之十位除实但筹之三格四格俱大于积实应退在第二格之八除八千(筹格退位)余一一六八三此退位不用三四格除实而退至二格者筹数浮于实数用退位除恰除至㸃位止故取二格之八为近少也此初商止退筹格不退商位次商七 先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一号二号筹列立方筹左为平廉以方根二十竟三倍之得六十取六号筹列立方筹右为长廉 虽九格一万一千五百二十九相近然再加长廉便浮于实故不取九格(凡平廉筹格与除至㸃位)(之实位数相当者则万千十百之数亦必相符今㸃位前实系一万一千六百八十三平廉九格恰)(五位便是一万一千五百二十九矣盖二开次商得九以九乗平廉法得廉约数一万○八百加隅)(约数七百二十九共数如前以此推算即得实数然不如即视位数更为简㨗故比㸃位少一位则)(其数必小多一位便须置○也)八格之一○五一二虽更相近然若以八格之隅数六十四乗长廉之六十得三千八百四十并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二亦浮于现在之余实故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数取七格之四九隅数乗长廉之六十得二千九百四十为长廉约数俱系千数可并进而除首位次位之一 一矣于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七(此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于余实故止退格而不改商也)自乗再乗还原次商置○式 三商加○筹式假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六三㸃三开㸃前余二位初商㸃前余二位视立方大筹百位除实第五格之一二五近少除之得初商五百次商以方根五百自之得二十五万又三倍之得七十五万为平廉列七号五号筹于立方筹左以方根竟三倍之得一千五百为长廉列一号五号筹于立方筹右若取平廉筹相近莫如第六格之四五二一六相近然次商应除至次㸃位止今筹位多实位少若依筹位即平廉巳除至㸃位后何况更有长廉是必变商之大位为小位则有后商㸃前之实应除而不患除至㸃位之后故应商数置○为次商○(前二商式是退格并亷此处次商是退位再商故有置○不置○之)(别)三商 因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎㸃隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六(见前隅数定位)以之乗三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除余实尽为三商六右共开方得五百○六自乘再乘还原五开三商列筹不隔○ 商数置○式四商隔○筹式 又商数置○式五商又隔○筹式假如积实一万七千三百一十八亿(即万万)九千○百九十一万六千七百二十九(按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同)五开列实如左五㸃五开五㸃根必万㸃前无余从单位初商 㸃前无余从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万次商 以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉视第二格之六○八近少为平廉约数以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数(按隅数五开次商三格以上是百万位)并之除七千二百八十亿为次商二千三商 以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿余实三八九○九一六七二九去前所列筹以初次两商(共一万二千)自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉(凡乗大数各存○余位则从单位逆推乗数定位不紊)上图如两商一十二万自之得一亿四千四百○○万再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法如法列两廉约数取近少莫如九格(三八九五二)(九)但三商应除至三㸃位止今筹格六位而第三㸃前连㸃位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商㸃前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百四商 立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每㸃之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除余实又莫如九格(三八八○七二九)但五开四商应除至第四㸃止今第四㸃之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十五商 依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每㸃之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数(此)(约数首位三系十亿位)再以九格之隅数八十一(五开五商次格以下是)(十位)乗长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除余实至五开尾㸃位止为五商九右五商共一万二千○○九(末商平廉 长廉) (三八八八○○○七二九 二九一六)(并之) (三八九○九一六七二九)右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多葢三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉以为长廉约数葢隅因亷为升降而亷依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也立方带纵方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乗纵数再乗得纵积并入方积以减原实为初商次商以下更加纵积纵廉积除余实为次商(余商同)并两商数得阔因阔以知长(用㸃定开位悉依立方) (纵积除至㸃后)如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乗方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干(按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除)(至㸃后其并纵积则除至㸃位之后葢纵在立方之外积非立方之积不可以每㸃之位为定)(也)如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列余实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数(有两廉约数在某格即某格是商数)因纵数得若干再以商数乗之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乗初商数得若干以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干右𢃄纵方两开者次商之平廉必列至次㸃位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次㸃位之后(与开方不同)止两开者即并积亦必次㸃位止若并积之位浮于余实应退格改商以除实若平廉各格多于㸃前之实或应退格或应置○同前开方置○法三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乗上初商次商再以乗得之数乗末商为纵廉积并除实(四)(商以下同)如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乗初商之四十得一百二十(此纵靣)再以初商四十乗一百二十得纵积四千八百(此纵)(体)先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十余实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格(二四一二五)为近少为平廉约数以五格之隅数(二五)乗长廉之一百二十得三千(两开次商四格以下)(隅数是十)为长廉约数列于平廉下之千位以纵法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下并之共除余实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺如积实二百万○○○○○○尺 但云阔不及长三尺三㸃三开 初商是百㸃前无余初商一(在大筹单位除实)以三为纵法乗商数一百得三百(此纵靣)又以商数一百乗三百得三万(此纵体)合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵次商依立方法平廉三万长廉三百取近少(三格九二七以)(相近因𢃄纵有纵积应加故退格约廉)二格之六○八相近为平廉约数以第二格隅数四(三开次商三格以上是百位)乗长廉得一十二万为长廉约数以纵法三尺乗次商二十(取平廉长廉约数俱在二格即是二十)得纵面六十又以商数二十乗纵面六十得纵积一千二百以纵法三尺倍之得六为纵廉(次商方根加廉则所𢃄之纵亦应加)(廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止)(倍之)乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得纵廉积一万二千并之平廉约数六十○万八千长廉约数一十二万纵积一千二百纵廉积一万二千共七十四万一千二百减余积仍余二十二万八千八百○十○单为次商二十三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数以第五格隅数二十五乗长廉三百六十得九千为长廉约数以纵法三尺乗商数五得一十五又以商数五乗一十五得七十五为纵积以纵廉六(纵法三尺倍之得六)乗初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百为纵廉积依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺按立方𢃄纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乗商数得纵之面更以商数乗纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今𢃄纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此𢃄纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乗次商而得𢃄纵长廉之面又以次商商数乗纵面而得𢃄纵长廉之积此所谓纵积也其实乃𢃄纵之长廉积也于是𢃄纵之两平廉以纵法倍之即以乗初商之数为𢃄纵平廉之面以此𢃄纵平廉之面乗次商商数而得𢃄纵平廉之积于是所𢃄之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣葢其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所𢃄之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乗初商次商之商数而以乗得之数再乗三商之商数葢必连初商次商再乗三商方是三商𢃄纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也附立方减纵法假如立方积五千七百七十六尺 但云长不及阔三尺㸃前无余除单格初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乗商数一十(两㸃根必十)得三十再以三十乗商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百余七百以减原实为初商一十余实五千○七十六尺次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹(次商以初商自之又三倍之)之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九(其数稍浮于实者立方积也后以纵积等)(减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减)为立方两廉约数次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九(此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积)(则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也)右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长以上𢃄纵方开法初商方根积必至首㸃位止次商平廉长廉共约数必至次㸃位止不得除至㸃位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积句股引蒙卷二
## 卷三
钦定四库全书句股引蒙卷三海寜 陈𬣙 撰句股法句股名义直者为股横者为句斜者为弦句股并减名义句股和(句与股相并) 句弦和(句与弦相并)股弦和(股与弦相并)句股较(句与股相较) 句弦较(句与弦相较)股弦较(股与弦相较)弦和和(弦与句股和相并) 弦较和(弦与句股较相并)弦和较(弦与句股和相减) 弦较较(弦与句股较相减)右和较等名凡句股书多用此以从简便故备列于前庶一览了然句股弦准数句三股四弦五句股弦无一定之数然必先有一定相差之数以参互之为千变万化之准则不外乎句三股四弦五而变化由此起焉后俱依此立法句股求弦句自乗股自乗两积实相并开方得弦句股各自乗之实必合弦自乗之实故并积开方得弦(按句股开方俱平方后同)如句(三)自乗得九股(四)自乗得一十六并之共二十五平方开之得五即弦(五)句弦求股句自乗弦自乗两积实相减开方得股股弦求句股自乗弦自乗两积实相减开方得句弦自乗之积实必合一句一股自乗之积实故于弦积内减句积开方得股于弦积内减股积开方得句如弦(五)自乗得二十五为弦积内减句积九余一十六为股(四)之积若弦积减股积一十六余九为句(三)之积俱用开方得所求较求股弦句自乗股弦较自乗两积实相减倍较为法除之得股股又加较得弦句积中除股弦较之积则所余必倍于股之长故以倍较为法除余积得股之长如句(三)自乗得九减弦长于股之较一(积亦一)则余积八必倍于股长故倍较(一)为二除之得四即得股四若不倍较为法但以较除相减之余积则除较之外必尚存倍于股长之数故于减余之积去较折半亦得股长如句余积八以较一除之仍是八必倍于股(四)故去较又折半亦得股(四)以上二法于股之长加较即得弦于股之长减较即得句故不再立求句法股弦和求股句自乗以股弦和为法除之得数以减股弦和折半得股股弦和内减股即得弦股弦和除句则所得数必弦长于股之较数故于股弦中去弦长于股之较则股弦等长而折半得股如股(四)弦五共九除句积(九)得一即股(四)弦(五)之较(一)去较(一)存(八)则弦与股齐故折半得股句弦和求句股自乗句弦和自乗两积实相减折半以句弦和为法除之得句(句弦和内减句即得弦)句弦和自乗之积必倍于句与句弦和相乗之积而尚多一股积故于和积内减股积则所余者为句乗句弦和之倍积故折半使止存一句乗句弦和之积而以句股和为法除之得句如股(四)自乗得一十六句弦和自乗得六十四内减十六余四十八折半余二十四以句(三)弦(五)为法除之得三为句句既得即于句弦和除句得弦五句弦和求弦股自乗以句弦和为法除股积得数加句弦和折半得弦于弦之长减句弦较亦即得句句弦和除股积则所得之数即弦长于句之较数句较既得则加句弦之长使句长与弦长等故折半得弦如股四自乗得十六以句弦和八为法除之得二加句弦和之八为一十折半即弦五句股和求句股弦自乗句股和自乗两积实相减再以余积减弦积以平方开之加句股和半之得股股内减商数得句句股和之积几倍于弦积止少一句股之较积故以句股和积与弦积相减再以减余之积减弦积则所存者为弦长于股之较积于是开方得较而再加句股和则句股等长故折半得股如句(三)股(四)得和七自乗得四十九以弦自乗得二十五减之存二十四再以二十四减弦积之二十五存一为弦长于股之较积开方仍得一加句股和共八折半得股(四)股得亦可依法得句(按此所得之较乃句股较作股弦较者误)句股弦较求句股弦句弦较乗股弦较倍积实开方加股较得句句加句较得股股又加股较得弦如句弦较(二)乗股弦较(一)仍得二倍之得四开方得二加股较(一)得句三于句三加股较一得股四于股四又加股较一得弦五句股弦和求句股弦句弦和乗股弦和得积实倍之开方减股弦和得句减句弦和得股减句股和得弦如句(三)弦(五)为句弦和八乗股(四)弦(五)之股弦和九得七十二倍之为一百四十四开方得一十二合句股弦之长于一边矣故于十二减句弦和八得股(四)于十二减股(四)弦(五)之股弦和九得句(三)于十二减句(三)股(四)之句股和七得弦(五)句股求容方句股相乗以句股并为法除之得容方径若句股较为法除之亦得容方径(按若勾股较二句有误)容方外余句余股相乗平方开之亦得容方径以容方径自乗得实以余句为法除之得余股以余股为法除之得余句句股相乗之实为容方者四斜弦内为容方者两故容方之实必等于余句余股之实虽长短不齐极致而句伸则股缩股伸则句缩有参互之准此即测望之法所由起也句股求容圆句股相乗倍积实并句股弦为法除之得容圆径句股相乗并句股弦减半为法除之亦得容圆径圆周恒三倍于圆径而句股弦之长恒两倍于容圆之周故于句股相乗之稍或倍之而并句股弦为法或不倍之而以句股弦折半为法俱得容圆径而容圆径即弦和较也(按勾股之长两倍于容圆)(周语误)句股论(李之藻)句股弦三合成形错综立义句股相减其差曰较句股相并其名曰和股弦之差曰股弦较句弦之差曰句弦较并句股与弦较其差曰弦和较句股之差与弦相减其差曰弦较较股弦相并曰股弦和句弦相倂曰句弦和句股之差并弦曰弦较和句股弦并曰弦和和句股各自乗并之为弦实故开之得弦句弦自乗减余为股实故开之得股股弦各自乗减余为句实故开之得句句股和自乗倍弦实相减开其余即句股较也句股较自乗以减倍弦实开其余即句股和也并句弦以除股实得句弦较若以句弦较除股实即得句弦和矣并股弦以除句实得股弦较若以股弦较除句实即得股弦和矣句股和自乗减弦实除以弦较较得弦较和矣除以弦较和非即弦较较乎句股较自乗减弦实除以弦和和则得弦和较矣除以弦和较非即弦和和乎句乗股为实并句股为法除得容方径句乗股倍之并句股弦除之得容圆径而容圆之径即弦和较也又错综论之句为主以加股弦较即弦较较以减股弦较即弦和较若加弦较和又即股弦和也股为主以加句弦较即弦较和以减句弦较即弦和较若加弦较较又即句弦和也句股较为主以加股弦较即句弦较若减股弦和亦即句弦和也句股和为主以加股弦较复得句弦和若减股弦和亦得句弦较也至若诸较诸和法相因配连缀减半恒得所求若取句股较以加句股和半之得股以减句股和半之得句若取股弦较以加股弦和半之得弦以减股弦和半之得股取句弦较者以加句弦和半之得弦以减句弦和半之得句取弦和较者以加弦和和半之得和以减弦和和半之得勾股弦取弦较较者以加弦较和半之得弦以减弦较和半之得较加减乗除圆变不滞神而明之存乎其人逺近髙深方圆弧矢准此而推亦在乎熟之而已觧注(以句三股四弦五为准)句股和自乗倍弦实相减开其余即句股较如句(三)股(四)和七自乗四十九如弦(五)实二十五倍之五十以四十九减五十余一即句三股四之较一句股较自乗以减倍弦实开其余即句股和如句股较一以减倍弦实之五十余四十九开方得七即句三股四之和七并句弦以除股实得句弦较如句(三)弦(五)并之得八以除股(四)之实一六得二为句(三)弦(五)之较二句弦较除股实即得句弦和如句(三)弦(五)之较二以股(四)之实一六除之得八为句(三)弦(五)之和八并股弦以除句实得股弦较如股(四)弦(五)并得九以句三之实九除之得一为股(四)弦(五)之较一以股弦较除句实即得股弦和如股(四)弦(五)之较一以句三之实九除之为股(四)弦(五)之和九句股和自乗减弦实除以弦较较得弦较和如句(三)股(四)之和七自乗得四十九减弦(五)之实二十五余二十四以句股差(一)与弦(五)相减之弦较较四除之得六为句股之差(一)与弦(五)并之弦较和六除以弦较和即得弦较较如二十四以弦较和之六除之得四为句股之差一减弦五之弦较较四句股较自乗减弦实除以弦和和则得弦和较如句(三)股(四)之较一自乗仍得一减弦(五)之实二十五为二十四以句三股四弦五之弦和和除之得二为并句(三)股(四)与弦(五)较之弦和较除以弦和较即弦和和如二十四除以弦和较之二得一十二为句三股四弦五相并之弦和和句股测望论(唐荆川先生)句股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山谿之髙深广逺凡目力所及无不可知葢不能逃乎数也句股之法横为句纵为股斜为弦句股求弦句股自乗相并为实平方开之得弦句弦求股句弦自乗相减为实平方开之得股股弦求句同法葢一弦实藏一句一股之实一句一股之实并得一弦实也数非两不行因句股而得弦因股弦而得句因句弦而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此句股法之可通者也至如逺近可知而高下不可知如卑则塔影髙则日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔髙低之数不可知则是有句而无股弦三者缺其二数不可起而句股之法穷矣于是有立表之法葢以小句股求大句股也小句股每一寸之句为股长几何则大句股每一尺之句其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相值而知之也人目至表小弦也人目至所望之髙大弦也又法表为小股其髙几何与至塔下之数相乗以小句除之则得塔髙葢横之则小股至塔之积纵之则为小句至塔顶之积纵横之数恰同是变句以为股因横而得纵者也句股弦三者有一可知则立表之法可得而用若其高与逺之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则句股弦三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法葢两表相去几何为影差者几何因其差以求句股亦可得矣立表者以通句股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表句股也无二法也句股容方圆论凡竒零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五弦七有竒此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两亷则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一亷得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乗之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与弦并为法盖容圆之径多于容方方有四角与弦相碍故其数少圆弦宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半弦和较相乗之数弦和较者句股并与弦相较之数也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一弦是以一弦代一句股倂也以一弦代一句股并恰少一弦和较加一弦和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一弦得七恰少弦和较三是取容圆之径其所以少一弦和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为亷而除去半弦和较亦得或约得圆径之后与半弦和较相乗添积而以句股并为亷不除亦得或用句股倍积用两句股相并为亷而以全弦和较与约得圆径相乗添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于弦和较间也至于句股积与弦积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得弦幂盖两句股积而成弦积也至于句短股长相乗之积则成一长方倍之而弦侧不当中径亦不成弦幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得弦积盖句股之差愈逺则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜弦界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为髙句为横为逺以或句或股为法除之即得所求之或髙或逺故望髙测逺即变化于句股求容方之一法也测量法句股之术可御髙深广逺法本周髀中法用表测西法用矩测立表测高设甲㸃为髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙几何法依地平线立一丈之表为丁丙(逺乙二丈)与地平为直角(凡立表以线垂下试之三靣附表即与地平为直角)依地平线退行(八尺)为辛巳(巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可)视己丁甲三㸃令成斜弦以丁丙表(一丈)减己戊人目以下之六尺余丁辛(四尺)与等戊乙之巳庚(二丈八尺)乗之得(一十一丈八尺)为实以等戊丙之巳辛(八尺)为法除之得甲庚(一丈四尺)加等己戊人目以下之庚乙(六尺)得甲乙髙二丈按此以丁辛与已庚相乗得实以巳辛为法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之髙即丁以上之髙附西法三率算术(西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先)(附其略)三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乗得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测髙以己辛(小句)比丁辛(小股)若己庚(大句)与庚(甲大 股)一率 己辛八尺 为法二率 丁辛四尺 与三率相乗得实三率 己庚二丈八尺四率 庚甲一丈四尺(加庚乙人目以下得甲乙髙)按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股(辛丁)比小句(己辛)若大股(或甲庚或甲壬)与大句(大股甲庚即大句庚己大股甲)(壬即大句壬丁)总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法(后省文依西法以比若与不更列三率)立表测深测逺设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深㡬何法依甲丙线于地立(六尺)之表为戊丁距丙(五尺)人目从表端(戊)窥(乙)使戊丙乙三㸃成斜弦直线以丁戊(六尺)与甲丙(二丈七尺)相乗(得一十六丈二)(尺)为实以丁丙(五尺)为法除之得甲乙深(三丈二尺四寸)是为以丙丁(小句)比丁戊(小股)若丙甲(大句)与甲乙(大股)设井一口其径甲乙五尺欲测深㡬何法立表于井口为戊甲髙(五尺)从戊视丙截甲乙径于己(得四寸)减井径(五尺)余己乙(四尺六寸)以乗戊甲(五尺)得(二千三百寸)为实以甲己(四寸)为法除之得乙丙井深(五丈七尺五寸)是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙 又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊设地平有甲㸃不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何法依地平立丁表于戊高(四尺五寸)距丙(九尺)人目从表端窥甲令乙丁甲成斜弦直线次以乙丙(六尺)减丁戊表(四尺五寸)余乙己(一尺五寸)乃以乙丙(六尺)乗等丙戊之己丁(九尺)得(五十四尺)为实以乙巳(一尺五寸)为法除之得丙甲逺(三丈六尺)是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲重表测髙测逺测深设不知髙之逺不知逺之髙各得几何欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高(十尺)退后(五尺)立竿于戊高四尺人目在巳视表末令己丁甲成斜弦直线次从丁丙前表退后(十五尺)立癸壬表亦髙(十尺)退后(八尺)立竿于子亦高(四尺)人目在丑视表末令丑癸甲成斜弦直线以癸壬表减人目丑子(四尺)余癸辛(四尺)与两表相距(旧名表间)等丙壬之丁癸(十五尺)乘之得(九十尺)为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑(八尺)余卯丑较(三尺)为法(旧名影差)除高实得甲辰髙(三十尺)是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之(十尺)得甲乙总髙(四十尺)次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯(五尺)与表间相距之丁癸(十五尺)乗之得(七十五尺)为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑(三尺)为法除之得等丙乙之丁辰(二十五尺)是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系说已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏著九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表(皆十尺)又有等髙之二人目竿(皆四尺)则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳(皆句)及甲辰与丁寅(皆股)俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也(寅丁与辛癸等)又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也(巳寅与卯辛等)辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙㸃退行(四尺)至戊地立人目表为巳戊髙(二尺七寸)依乙岸窥谷底丙㸃令巳乙丙成斜弦直线次于谷旁立表为壬乙髙(五尺)复依巳戊线立人目表为辛戊髙(八尺)(二寸)人目依壬表末望丙令辛壬丙成斜弦直线以辛戊(八尺二寸)减壬乙表(五尺)余辛庚(三尺二寸)再与巳戊(二尺七寸)相减余辛癸较(五尺)乃以等巳戊之癸庚(二尺七寸)与壬表(五尺)乗之得(一百三十五寸)为深实以辛癸较(五寸)为法除之得乙甲深(二丈七尺)是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬(四尺)与壬乙表(五尺)相乘(得二十尺)为广实亦以辛癸较(五寸)为法除之得甲丙广(四丈)是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙设甲乙不知逺以矩尺(即木工曲尺)测之欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜弦直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙西法矩度测量矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度(陈䃤庵止用一十度省一乘法)或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等变景法景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变为直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗(如矩度十二自乗得一百四十四为)(矩幂)以景度(即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之)为法除之(其变)(景之理详句股述)直景必高多逺少如一象限人望四十五度(半象限九十度)以上权线必切直景倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也矩度测髙直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度(十二)与逺(三十)相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之(如筹算检八号筹视某格与积实近少除之)得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句(景度)比小股(矩度)若大句(逺)与大股(髙)倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度(七)通五分之得(三十六)分以乗逺(六十)得积实二千一百六十以矩度(十二)通五分之得(六十)为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙(此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度)(为法除之亦同)是为以小句比大句若小股与大股重矩测髙(测髙先不知其逺则用重矩如重表测法)前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之(表间即悬矩之干两矩相距之间)设前直景(五度)后直景(十度)两矩相距(十尺)法以矩度(十二)乗表间(十尺)得(一百十尺) 为实以两景较(五度)为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之设前直景(十一度)后倒景(九度)两矩相距(二十二尺)法以矩度(十二)乗表间二十得(二百四十)为积实又以倒景(九度)为法除矩幂(一百四十四)得变景十六与前矩直景较余(五)为法除积实得(四十八)为矩乙角以上之髙是为以小句(景较)比小股(矩度)若大句(表间相距)与大股(所测之髙)前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正测逺按测无髙之逺先用重矩测得髙(巳壬)次以矩度(甲)为一率以后矩所变之景(乙戊)为二率以高(巳壬)为三率即得四率之逺是为以小股(甲乙)比小句(乙戊)若大股(巳壬)与大句(壬乙)右高(巳壬)得四八变景(乙戊)得一六矩度(甲乙)十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例以测髙法还原设逺(六十四尺)倒景(一六)矩度(一二)以矩度乗逺(六四)以变景度(一六)为法除之得高(四八)与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图测深设井口或径广十二尺求至水面深几何用矩度视深(辛)使甲巳辛叅相直视权线在直景乙戊(三度)以矩度(十二)乘等庚巳之辛壬水面(十二尺)得(一百四十四尺)为实以乙戊(三度)为法除之得(巳壬)深(四十八尺)是为以(乙戊)比(乙甲)若(壬辛)与(壬巳)设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何权线切倒景丁戊(三度)依法变为直景(四十)(八度)以乗巳壬(十三尺)得(六百二十四尺)为实以甲乙矩度(十二)为法除之得庚巳广(五十二尺)是为以甲乙比乙癸若巳壬与等(壬辛)之巳庚又倒景不变以矩度乘(巳壬)得积以倒景丁戊(三度)为法除之亦得巳庚广(五十二尺)按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也附三率算术古名异乗同除西法变为三率原有丁戊股十四尺丙戊句十一尺二寸今截丁乙股十尺求乙甲截句几何西法三率一率 (以)原有股十四尺 为法二率 (比)原有句十一尺二寸 (相乗为实)三率 (若)今截股十尺四率 (与)求得截句八尺 法除实所得术以原股比原句若截股与截句凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率二率三率常相乘为实一率为法除实故名三率而求得之数为四率按西法三率算术専为比例之用如右所求在截句则以原股比原句若截股与截句如所求在截股则以原句比原股若截句与截股又如所求在原句则以截股比截句若原股与原句再如所求在原股则以截句比截股若原句与原股随所比例各视所求而以同类比之如前测望诸法或以小句比小股若大句与大股或以大句比大股若小句与小股之类其纵横大小不相紊乱后三角法悉依此术纵横大小相为比例而又线与线为类边与边为类法益加宻矣勾股引蒙卷三
## 卷四
钦定四库全书勾股引蒙卷四海宁 陈𬣙 撰三角法八线全图(周天三百六十度两分之为半)(周四分之为一象限 每一象)(限各九十度又名弧度 六)凡正方角(乙)即直角即象限之角其所对弧必九十度凡在一象限不及九十度者为锐角(如丙)凡过一象限多于九十度者为钝角凡言角以中一字为所指之角(如甲乙癸)凡求某角者求其角之对弧度与分凡求某角即本角之弧矢弦割切为正其外为余凡半径为全数为一○○○○○八线有增减半径无増减常为十万弧中旋转可如弦如句凡正角以半径全数为正弦凡钝角以外角之正余弦为正余弦直角(即正方角一名勾股形)有角有边求余角余边(直角之一)假如(壬癸丁)勾股形有丁角(五十七度)壬丁弦(九十一)(丈八尺)求余角余边先求癸丁边术曰以半径全数比丁角之余弦若壬丁弦与癸丁句一率(原设弦)半径 一○○○○○ 为法二率(原设句)丁角(五十七度)余弦 五四四六四 (相乗)三率(今有弦)壬丁边 九十一丈八尺 (为实)四率(今所求句)癸丁边 五十丈 (法除实得所求)右三率法后同 半径即乙丁余弦即甲丁求壬癸边以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股一率(原设弦)半径 一○○○○○二率(原设股)丁角(五十七度)正弦 ○八三八六七三率(今有弦)壬丁边 九十一丈八尺四率(所求股)壬癸边 七十七丈求壬角以丁角五十七度与象限九十度相减得余三十三度为壬角右例先得弦以求勾股假如(壬癸丁)勾股形有丁角(六十二度)癸丁勾(二十四丈)求余角余边求壬角以丁角(六十二度)与象限相减得余(二十八度)为壬角 平面弧止容一正方角两锐角今既有勾股形(癸)则于一象限内减丁角之度其余度自必壬角戊丙丁勾股形以戊丙切线为股丙丁半径为勾戊丁割线为弦是丁角原有之线 今壬癸丁勾股形与戊丙丁勾股形既同丁角则其比例等求壬丁边以半径比丁角之割线若癸丁勾与壬丁弦一率(原设勾)半径 一○○○○○二率(原设弦)丁角(六十二度)割线 二一三○○五三率(今有勾)癸丁边 二十四丈四率(所求弦)壬丁边 五十一丈一尺求壬癸边以半径比丁角之切线若癸丁勾与壬癸股一率(原设勾)半径 一○○○○○二率(原设股)丁角(六十二度)切线 一八八○七三三率(今有勾)癸丁边 二十四丈四率(所求股)壬癸边 四十五丈一尺右例先得勾以求弦及股或先得股以求弦及勾亦同按半径随弧旋转无有増减故可为弦为勾为股各随比例之所取用视边与线之纵横小大为比例有边求角(直角之二)假如(壬癸丁)勾股形有壬丁弦(一百○二丈二尺)癸丁勾(四十八丈)求二角一边求丁角以丁壬弦比癸丁勾若半径乙丁与丁角之余弦甲丁一 壬丁边 一百○二丈二尺二 癸丁边 ○四十八丈三 半径 一○○○○○四 丁角余弦 四六九六六以所得余弦检表得六十二度为丁角度右壬角癸角俱止一边无两边不能以边比边为以线比线之例惟丁角有两边故先求丁角得丁角而丁角度之八线即可为余角之比例矣然丁角必求余弦为四率者盖若求正弦正切之股则壬癸无边可例若求正割则虽可以癸丁边比壬丁边若余弦(甲丁)与正割(壬丁)之例然余弦尚未求得又无可为比故以壬丁弦比癸丁句若乙丁弦之半径与甲丁勾之丁角余弦相比例也宣城梅定九氏曰得其角度则诸数歴然可于无句股中寻出勾股余亦曰知四率应求之线之故则一率二率三率了然可于无比例中寻出比例矣求壬角以丁角六十二度与象限相减得余二十八度为壬角求壬癸边以半径比丁角之正弦若壬丁弦与壬癸股一 半径 一○○○○○二 丁角(六十二度)正弦 ○八八二五九三 壬丁边 一百○二丈二尺四 壬癸边 ○九十丈○二尺三寸右例以边求角而先知方角故止用二边此先有之边是弦与勾故求壬癸边之股者以壬丁边之斜弦为比而正弦如股半径旋转如弦可线与线相比以为边与边相比之例也若先有者是股边勾边则求切线者以股邉为例而勾之比股者又可以半径为勾如下求丁角法假如壬癸丁三角形有壬丁边一百○六丈壬癸边九十丈癸丁边五十六丈求角求癸角以壬丁大边与丁癸边相加得(一百)(六十二丈)为总又相减得(五十丈)为较以较乘总得(八千一百丈)为实以壬癸边(九十丈)为法除之仍得(九十丈)与壬癸边数等即知癸角为正方角求丁角以丁癸边比壬癸边若半径与丁角切线一 丁癸勾 五十六丈二 壬癸股 九十丈三 半径 一○○○○○四 丁角切线 一六○七一四以所得切线检表得五十八度○六分为丁角有一角必有一弧每一弧必有八线今求丁角而壬癸边如丁角弧之切线可以半径相比故先以丁癸边比壬癸边为例若半径与丁角之切线求壬角以丁角(五十八度○六分)与象限相减得余三十一度五十四分为壬角右例亦以边求角而先不知其为勾股形故兼用三边锐角有两角一边求余角余边(锐角之一)假如(乙丙丁)锐角有丙角(六十度)丁角(五十度)丙丁边(一百二十尺)求乙角以丙角(六十度)丁角(五十度)相并得(一百一十)(度)以减半周一百八十度余七十度为乙角右丙角丁角有度而无边乙角有边而无度先以两角之度除半周而乙角之弧度得矣既得乙角之度即可以乙角之线比乙角相对之边若他角之线与他角之边求乙丁边以乙角正弦比丙丁边若丙角正弦与乙丁边一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁边(即乙角对边) 一百二十尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙丁边(即丙角对边) 一百一十尺○六寸以前诸法俱线比线边比边互相为例此处以线比边下求乙丙边同求乙丙边以乙角正弦比丙丁边若丁角正弦与乙丙边一 乙角(七十度)正弦 九三九六九二 丙丁(乙角对边) 一百二十尺三 丁角(五十度)正弦 七六六○四四 乙丙(丁角对边) ○九十七尺八寸右例先有之边在两角之间也若先有之边与一角相对亦同有一角两边求余角余边(锐角之二)假如(甲乙丙)锐角形有丙角(六十度)甲丙边(八千尺)甲乙边(七千○三十四尺)求乙角以甲乙边比甲丙边若丙角正弦与乙角正弦一 甲乙边 七千○三十四尺二 甲丙边 八千尺三 丙角(六十度)正弦 八六六○三四 乙角 正弦 九八四九六检表得八十度○三分为乙角凡角俱有正弦下垂角小弦亦小角大弦亦大依割线之低昻也今丙角斜边长近俯乙角斜边短近仰则乙角必大于丙角故以小边比大边亦若正弦小之比大而可得角也此以小比大也求甲角以丙角乙角相并得(一百四十度○三分)以减半周余三十九度五十七分为甲角求乙丙边以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙边与乙丙边一 乙角(八十○度三分)正弦 九八四九六二 甲角(三十九度五十七分)正弦 六四二一二三 甲丙(乙角对边) 八千尺四 乙丙(甲角对边) 五千二百一十五尺乙角以乙丙为底其正弦从甲下垂故弦长甲角以甲丙为底正弦从乙下垂故弦短今乙丙边小于甲乙甲丙之两边故以最大之邉比之先以最大之线比最小之线用乙角甲角之正弦为例也右例有两边一角而角与一边相对假如(甲乙丙)锐角形有甲丙边(四百尺)乙丙边(二百六十一尺○八分)丙角(六十度)角在两边之中不与边对求甲乙边先求中长线分为两勾股形以半径比丙角正弦若甲丙边与甲丁中长线(此下四则皆为求甲乙边与甲全角故先求分形之边及)(分形之角)一 半径 一○○○○○二 丙角(六十度)正弦 ○八六六○三三 甲丙边 四百尺四 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分求丙丁边(求中长线专为分边而求)以半径比丙角余弦若甲丙边与丙丁边一 半径 一○○○○○二 丙角(六十度)余弦 ○五○○○○三 甲丙边 四百尺四 丙丁边 二百尺求角者须先审四率之线应求某线而以边之可比例者为一二率求边者须先审二率应用某线可与四率之边相比例而以一率三率比之盖边有定在而线则随所比例而变其所取也如右求丙丁边乃分边而非乙丙之全边妙在八线余弦限于正弦而不越于正弦之外与丁丙分边限于中长线甲丁不能越丁而至乙故二率取为比例而得丙丁之分边求乙丁边以丙丁与丙乙相减余六十一尺○八分为乙丁求丁甲乙分角以甲丁中长线比乙丁分边若半径与甲分角切线一 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分二 乙丁分边 ○六十一尺○八分三 半径 一○○○○○四 甲分角切线 ○一七六三三检切线表得一十度为甲分角右求分角之线自必以分边为例则所得之线乃分角之线而非甲全角之线惟切线即在角之对边故分边之线为分角之度求甲乙边以半径比甲分角割线若甲丁中长线与甲乙边一 半径 一○○○○○二 甲分角(十度)割线 一○一五四三三 甲丁中长线 三百四十六尺四寸一分四 甲乙边 三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边求甲全角以丙角(六十度)之余角三十度(即分形甲丁丙之甲分角)与求得甲分角(一十度)相并得四十度为甲全角求乙角以甲分角(一十度)减象限得八十度为乙角(或并丙甲)(二角减半周同)右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股用切线分外角(梅本新増)假如(甲乙丙)锐角形有甲丙边(四百尺)乙丙边(二百六十一尺)(○八分)丙角六十度求甲角以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角(六十度)减半周得外角(一百二十度)半之得半外角(六十度)检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角一 两边总 六百六十一尺○八分二 两边较 一百三十八尺九寸三分三 半外角切线 一七三二○五四 半较角切线 ○三六三九七检切线表得二十度为半较角转与半外角(六十)(度)相减得甲角四十度求乙角以甲丙二角相并共(一百度)以减半周得余八十度为乙角求甲乙边以甲角(四十度)正弦 六四二七九比丙角(六十度)正弦 八六六○三若乙丙边 二百六十一尺○八分与甲乙边 三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长锐于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左此平三角借弧以明其理若弧三角所容三角不止三个如平方立方有面体之别后同有三边求角(锐角之三)假如(甲乙丙)锐角形有乙丙边(二十丈)甲丙边(一十七丈五尺)(八寸五分)乙甲边一(十三丈○五寸)求两勾相减之数为勾较任以(乙丙)大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形一甲丁丙形以甲丙边为弦丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为弦丁乙为勾两弦相并为总相减为较 两勾相并(即乙丙边原数)为勾总 求戊丙勾较以勾总比弦总若弦较与勾较一 两勾之总(即乙丙) 二十丈二 两弦之总 三十丈○六尺三寸五分三 两弦之较 四丈五尺三寸五分四 两勾之较(即丙戊) 六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余弦然余弦长短必限于正弦今甲丁中垂线即丙角之正弦今若求丙角余弦又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾(戊丁)而得丁丙分边与丙角之余弦等以之比例而得丙角之余弦即查表得丙角之度求分形之两勾以勾较(六丈九尺四寸六分)减勾总(二十丈即乙丙)余乙戊(一十三丈○五)(寸四分)半之得丁乙(即戊丁)六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形又以戊丁(六丈五尺二寸七分)加勾较(六丈九尺四寸六分 即戊丙)得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形求丙角以甲丙弦比丁丙勾若半径与丙角余弦一 甲丙边 一十七丈五尺八寸五分二 丁丙分边 一十三丈四尺七寸三分三 半径 一○○○○○四 丙角余弦 ○七六六一六检余弦表得丙角四十度求甲角先求分形大半之甲角以丙角(四十度)减象限余五十度为(丁甲丙)分形甲角次求分形小半之甲角以甲乙弦比丁乙勾若半径与分形甲角之正弦一 甲乙边 一十三丈○五寸二 丁乙分边 ○六丈五尺二寸七分三 半径 一○○○○○四 甲分角正弦 ○五○○一五(以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正弦)检正弦表得三十度为(丁甲乙)分形之甲角并分形两甲角(先得五十度次得三十度)得共八十度为甲全角求乙角并丙甲二角共(一百二十度)以减半周得余六十度为乙角钝角有两角一边求余角余边(钝角之一)假如(乙丙丁)钝角形有丙角(三十六度半)乙角(二十四度)丁乙边(五十四丈)求丁角以丙丁二角并共(六十度半)以减半周得余一百一十九度半为丁钝角求乙丙边以丙角正弦比丁角正弦若乙丁边与乙丙边一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 丁角(一百十九度三十分)正弦 八七○三六三 乙丁边 五十四丈四 乙丙边 七十九丈○一寸右所用丁角正弦即六十度半正弦以钝角度减半周用之凡钝角同求丁丙边以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙边一 丙角(三十六度三十分)正弦 五九四八二二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁边 五十四丈四 丁丙边 三十六丈九尺二寸凡钝角以外角之正弦为正弦盖即此钝角之外角也如图丁为钝角乙丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角之外角至于正弦皆以本角之勾为底以割线(半径同)与弧之相界处直线垂下与本角之底为正方直角如图乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角之割线夘丁如外角之余弦而夘乙则外角之正弦也至如丙角以丙丁为底其正弦丑丁近乙丁边乙角以乙丙为底其正弦子丁近乙丙边也补图明之有一角两边求余角余边(钝角之二)假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形(此)(钝角所对之弧度分)甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺(前则用他角求钝角此则用钝角求他角)乙角为钝角甲丙为钝角所对之弧度乙丁为丙角正弦甲戊为钝角用外角之正弦求丙角以甲丙边比甲乙边若乙角正弦与丙角正弦一 甲丙边 四千尺二 甲乙边 三千五百一十七尺三 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四九六(即八十度三分正度)四 丙角 正弦 八六六○三检表得丙角六十度按乙角为钝角其所用外角之正弦即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正弦也(每度六十分)求丙角者止丁外角之正弦可比丙角之正弦故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类求甲角并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角求乙丙边以乙角之正弦比甲角正弦若甲丙边与乙丙边一 乙角(九十九度五十七分)正弦 九八四六九二 甲角(二十度○三分)正弦 三四二八四三 甲丙边 四千尺四 乙丙边 一千三百九十二尺右甲角正弦以甲丙为底乙已即甲角正弦与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左假如乙丁丙钝角形有乙丁边(一千○八十尺)乙丙边(一千五百八十二尺)乙角(二十四度)丙戊为虚股 戊丁为虚勾乙角乙丁为底丑丁为正弦 乙丁即余弦 丙角丙丁为底子丁为正弦先以半径比乙角正弦若乙丙边与丙戊边一 半径 一○○○○○二 乙角(二十四度)正弦 ○四○六七四三 乙丙边 一千五百八十二尺四 丙戊边(即虚垂线) ○六百四十三尺又以半径比乙角余弦若乙丙边与乙戊一 半径 一○○○○○二 乙角(二十四度)余弦 ○九一三五五三 乙丙边 一千五百八十二尺四 乙戊边(即乙丁引长线) 一千四百四十五尺右以原边乙丁(一千○八十尺)与引长乙戊边相减得丁戊(三百六十五尺)为形外所作虚勾股形之勾(先得丙戊)(垂线为股原有边之丁丙为弦)求丁丙边依勾股求弦法以丙戊股自乘(四十一万三千四百四十九尺)丁戊勾自乘(一十三万三千二百二十五尺)并之得数(五十四万六千六百七十)(四尺)为实平方开之得弦七百三十九尺为丁丙边求丙角以丁丙边比丁乙边若乙角正弦与丙角正弦一 丁丙边 ○七百三十九尺二 丁乙边 一千○八十尺三 乙角(二十四度)正弦 四○六七四四 丙角 正弦 五九四四二检表得丙角三十六度二十九分求丁角以丙乙二角并之共(六十度二十九分)以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角此三角形既有乙角度当先求丙角之锐而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正弦之比例(凡正弦必在本角相对之边)然丙丁无边不能以边比边为乙角正弦比丙角正弦之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜弦当以勾股求弦法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求弦法而得丙丁之边三边既得则每角之正弦必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正弦相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正弦子丁近乙丁边而乙角之正弦子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣右两边一角而角不与边对用切线分外角(梅本新増)假如乙丁丙钝角形有乙丁边(五百四十尺)丙乙边(七)(百九十一尺)乙角(二十四)度求丙角以(丁乙丙乙)两边相并为总相减为较又以(乙)角(二十)(四度)减半周得外角(一百五十六度)半之得半外角(七十八度)以边总比边较若半外角切线与半较角切线一 两边之总 一千三百三十一尺二 两边之较 ○二百五十一尺三 半外角切线 四七○四六三四 半较角切线 ○八八七一九检表得半较角(四十一度三十五分)以减半外角(七十八度)得余(三十六度二十五分)为丙角求丁角并乙丙二角共(六十度二十五分)以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角求丁丙边以丙角正弦比乙角正弦若乙丁边与丁丙边一 丙角(三十六度二十五分)正弦 五九三六五二 乙角(二十四度)正弦 四○六七四三 乙丁边 五百四十尺四 丁丙边 三百六十九尺九寸八分右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求弦法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左(甲庚癸为半周子庚为半径)(甲壬为乙角度壬辛癸为外角)(壬辛为半外角割子夘为半外角)(线夘为半外角切壬)(线丑为半较角切己)(线辛为半较角己)新式三边求角(钝角之三)假如(乙丙丁)钝角形有乙丙边(三百五十尺)乙丁边(六)(百○七尺)丁丙边(三百尺)右有边无角术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形(乙甲丁)之弦乙丙边为小形(乙甲辛即)(乙甲丙)之弦两弦相并为总相减为较先求勾总此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余弦然丁角以乙丁为半径则乙甲为正弦而余弦应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余弦故必先求甲丁勾始与丁角余弦相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余弦以查表而得丁角也一 勾较(即丁丙边) 三百尺二 弦较(即乙丁边减乙丙之余)二百三十二尺三 弦总(即乙丁乙丙二边相并) 九百八十二尺四 勾总(即丁辛) 七百五十九尺四寸以勾较(三百尺)减所得勾总(七百五十九尺四寸)余数(四百五十九尺)(四寸)半之得数(二百二十九尺七寸)为小形之勾甲丙以甲丙小形之勾加丁丙较(三百尺)得数(五百二十九尺七寸)为大形之勾甲丁求丁角以乙丁弦比丁甲勾若半径与丁角之余弦一 乙丁弦 六百○七尺二 甲丁勾 五百二十九尺七寸三 半径 一○○○○○四 丁角余弦 ○八七二六五检表得丁角二十九度一十四分求丙角(用乙甲丙小形)钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之弦乙丙即此钝角丙之外角割线以甲丙勾比乙丙弦若半径与丙角之割线一 甲丙勾 二百二十九尺七寸二 乙丙弦 三百七十五尺三 半径 一○○○○○四 丙角割线 一六三二五六检表得丙角(五十二度一十四分)为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜弦实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作弦丙角之三率用以作勾半径可勾可股可弦顾随所取用耳求乙角并丁丙二角所得度分共(一百五十七度)以减半周得余二十三度为乙角右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同锐角之三补图 乙丙丁三角形 乙己为丙角弧度 乙辛为丙外角 丙戊即(乙丙)为丙外角割线 乙壬壬辛为外角之丁角乙角乙甲即中长线 乙甲丙即小形勾股 乙甲丁即大形勾股乙丙即虚勾虚股之弦 戊辛为切线右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也勾股引䝉卷四
## 卷五
钦定四库全书勾股引蒙卷五海宁 陈𬣙 撰象限线度总目正弦 正切 正割 正矢(以余弦减全)余弦 余切 余割 余矢(以正弦减全)平度(正线即髙度余线)髙度(正线即平度余线)初一 八八二 八七三 八六四 八五五 八四六 八三七 八二八 八一九 八十十 七九十一 七八十二 七七十三 七六十四 七五十五 七四十六 七三十七 七二十八 七一十九 七十二十 六九二一 六八二二 六七二三 六六二四 六五二五 六四二六 六三二七 六二二八 六一二九 六十三十 五九三一 五八三二 五七三三 五六三四 五五三五 五四三六 五三三七 五二三八 五一三九 五十四十 四九四一 四八四二 四七四三 四六四四 四五求弧度之分秒如设数与表相合即本度分也不合则表数与设数近少者相减得差乗六十得数为实再表中近多者与近少相减得差为法而一得数以加近少之弧度分即所求之弧度分秒◆ 《少广补遗-清-》（KR3f0054）
## 提要
钦定四库全书 子部六
少广补遗 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案少广补遗一卷国朝陈世仁撰世仁海宁人康熈乙未进士其书以一面尖堆及方底三角底六角底尖堆各半堆等题分为十二法后有抽竒抽偶诸目盖堆垜之法也按堆垜乃少广中之一术与尖锥体相似而实不同盖堆体台体外平而中实堆垜为众体所积面有峻峭中多空隙故二法相较烦简顿殊古少广中仅具以边数层数求积数法亦未有解其故者至以积求边数层数之法则未备焉又其为用甚少故算家率畧而不详世仁有见于此専取堆垜诸形反复相求各立一法虽图说未具不能使学者窥其立法之意而于少广之遗法引伸触类实于数学有禆不可以其一隅而少之也乾隆四十六年五月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总校官(臣)陆 费 墀
## 少广补遗
钦定四库全书少广补遗海宁陈世仁撰少广补遗第一篇凖本章平立方员开三角及诸尖一十二法一平尖置倍实平方带一纵开之得本数之底数与其径数二立尖置六倍实立方法开之内阙一纵所得之数溢于本数之底与径数一数三倍尖除原实末必五数进一十除之得本数之底数四方尖(尖内诸自乗数依根数序次相并)置三倍实先开立方次以立方根开平方一半平方一次除半方根得本数之径数与其底数五再乗尖(尖内诸立方依根数序次相并)置实二除之于除得数内复减原实平方开之继以开得数为实带一纵方开之得原数之底数 从底数逆数至尖数偶者得底所对之前数数竒者得自尖及底之中数中数与底相乘对数加一五数于数之次亦与底相乘所得数为本数径数六抽竒平尖置实以带一縦方开之得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数以得本数底数七抽偶平尖置实平方法开之得本数径数亦得本数逆数至尖自尖数至底之中数以得本数底数八抽偶数立尖(本尖内层数及层内诸数偶者尽去之抽竒法反之)以前方尖法开之得本数径数亦得本数自尖数至底之中数以得本数底数九抽竒数立尖三倍置实立方法开之阙一縦以所得数减一得本数径数亦得本数逆数至尖所对之前数因得本数底数十抽竒偶数方尖前立尖法开之得本数底数以底数逆数至尖得自尖及底之中数或平分数因得本数径数十一抽偶再乘尖二除原实阙半縦平方法开之方之所得之数即得径数平尖抽偶法收之得本数之底数十二抽竒再乘尖二除原实平方法开之方之所得之数即径数平尖抽竒法收之得自底至尖一之中分数倍之得本数之底数少广补遗第二篇开抽竒抽偶立尖一本尖内层数偶者去之置原数十之而加二为实立方带平方法开之次除半平方阙一縦所得数溢于本数底倍于本数径各一数二本尖诸层内数偶者去之原数就位十之而加五为实立方法开之所余数及半方根者五除方减一即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数径数复减一即本数底数三本尖内层数竒者去之一十二倍置实立方带平方法除之余实就方根増一数取縦其方之根视本数底数及本数径倍数各溢一数其縦之限视本数径数及本数底半数各朒一数四本尖诸层内数竒者去之原数就位十之而加五为实立方法开之阙一縦者所得数减一以五除之即本数之底与径数 立方带平方法开之所余数及半平方又半方根者五除方得本数底数复减一即本数径数少广补遗第三篇准本章带縦诸方开三角及诸尖之半积为三角带一钝角形 诸尖先得径数以法算得底数一平尖径之半平方加半纵减原实为正实 以径除正实得数径数加之二抽竒平尖径之平方加一縦减原实为正实 径除正实得数倍径加之三抽偶平尖径之方减原实为正实倍径除正实得数径数加之五除减一取之四立尖径之立方一平方三及倍径为数六而一之减原实为正实径竒者径除正实得数次置径加一而二除之为半平方加半縦并径除正实之数半平方加半縦法开之复置径减一亦二除之与开得数并之 径耦者半径除正实得数次置径二除之而加一为平方并半径除正实之数平方法开之复置径二除之减一与开得数并之五方尖(诸数自乗依根数序次相并)四因原数为正实置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减先得正实为次得正实 径除次得正实得数以径之加一为平方并之方法开之开得数复置径减一相并二除之少广补遗第四篇开三角及诸尖之半积先得径数以法算得底数一抽偶立尖(本尖内层数偶者去之)置径倍之取其方与立方又半平方阙一縦为数一十二而一之减原实为正实 径竒者径除正实得数以径之半平方加半縦并之半平方加半縦法开之开得数复置径减一并之 径偶者半径除正实得数径之加一縦方并之加一縦方法开之开得数置径减一并之二抽偶立尖之二(本尖内层数及诸层内数偶者皆去之)置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数二十四而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为平方并径除正实之数方法开之开得数五除之减一与径之减一之数并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之又置径二除之而加一各为方以并半径除正实之数复减一而二除之带一縦方开之开得数五除之而加一与径之减二之数并之三抽竒立尖(本尖内层数竒者去之)置径倍之而益一取其方与立方为数复置径倍之而益二与径之减一相乘得数并之一十二而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数以径之益一数为半平方带半縦并之半方带半縦法开之开得数径之减一并之 径偶者半径除正实得数以径之益一数为带一縦方并之带一縦方法开之开得数以径之减一并之四抽竒立尖之二(本尖内层数及诸层内数竒者皆去之)以径之立方及三平方与倍径为数三而一之减原实为正实 径竒者以径除正实得数次置径加一而二除之为带一縦方并径除正实之数带一縦方开之开得数二因之复置径减一并之 径偶者半径除正实得数次置径二除之而加一为两平方并半径除正实之数减二而以二除之带二縦方法开之开得数复二因而以径加之五抽竒偶方尖(诸自乗数依根数竒偶序次相并)置径倍之取其立方与三平方及又倍径为数六而一之减原实为正实 径除正实得数次置径加一为平方并之方法开之开得数置径减一并之少广补遗第五篇开抽偶立失之半积合失内竒偶诸层取层内数偶者去之先得径数以法算得底数其一得径偶径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之减原实为正实 以半径除正实得数复分半径竒偶御之半径竒者置半径加一为方而二除之以并半径除正实之数复二除之平方开之方之所得之数五除减一与半径减一之数并之 半径偶者置径四除之复置径四除之而加一各为方以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径并之 如得正实之后或半径除之不尽与虽尽而并别数平方带一縦方开之不得者设别法如下条如前取径之立方与三平方及倍径并之一十二而一之复置径益二而二除之取其数为平方减一与前数并之减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径偶者置径四除之而益一为平方以半径除正实之半并之平方开之开得之数五除减一与半径并之 半径竒者置半径益三而二除之为方复置半径益三而二除之转减一为方合之以并半径除正实之数减一而二除之带一縦方开之方之所得之数五除减一与半径益一之数并之其一得径竒置径减三而取其倍数及其立方与三平方并之六而一之减原实之倍数为正实 置径减一而二除之为法分法之竒偶御之 法竒者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为方并法除正实之数以方开之余实之不及方者法因之而折半若前有剰实者亦折半并之以平方开之 偶者法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法二除之复置法二除之而减一各为方倍之以并法除正实之数减一而平方开之余实之不及方者法因之而折半如前有剰实者亦折半并之以平方开之 凡余实因半法不可方者前一方所商未善也退方根别商之 余实之方二因之而减一为正方与前方较其赢绌若正方绌者径之减一之数并之也其绌以法之加二其赢以法为准少广补遗第六篇开抽竒立尖之半积合尖内竒偶诸层取层内数竒者去之 先得径数以法算得底数其一得径偶置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之以其数减原实为正实 半径除正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之为带一縦方倍之并半径除正实之数复加倍以带二縦方开之开得数置半径减一并之 半径偶者置径四分之为带一縦方复置径四分之而加一亦为带一縦方并半径除正实之数皆倍之平方开之若原径过四以上者置径减四而二除之数并之 上法如有不合或得正实之后半径除之不尽与虽尽而并别数平方带二縦方开之不得者设别法如下条置半径之立方与三平方及全径并而十之一十五而一之复置半径益一为带一縦方并之损二为数以减原实为正实 以半径除半正实得数分半径之竒偶御之 半径竒者置半径加一而二除之复加一而为平方并半径除半正实之数皆四因之平方开之开得数半径减一并之 半径偶者置全径四除之益一为带一縦方并半径除半正实之数皆四因之带二縦平方开之开得数半径并之其一得径竒置径减三折半而取其倍数及其立方与三平方并而十之一十五而一之减原实为正实 复置径减一折半为法视法之竒偶分御之 法竒者以半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置法减一为带二縦方并之带二縦方法开之余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数法之加一为率 法偶者半法除正实得数有余实之不及法者别存之次置半法与半法之减一各为带一縦方加倍并之平方法开之其余实之不及方者倍法因之若前有剰实者四因并入而开带二縦方其视前方赢绌之数绌者以法之加二赢者以法为率 凡余实因倍法不可为带二縦方或为之不及率者前方所商未善也退方根别商之末方较前方绌者置径之减一并之少广补遗第七篇准本章多乘方以立尖形律余尖得四法一方尖准立尖如数一 一四 一四九一十二倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之所得数溢于本数之底与径一数二抽偶方尖准立尖三倍置实阙半縦平方开之带一縦方法收之得本数底加一以二除之之数与本数径数三抽竒方尖准立尖三倍置实带一縦平方法开之开得数益一复方之得本数底二除益一与本数径益一数四立尖还准立尖如数一 一一二 一一二一二三六倍置实带一縦方开之开得数益一倍之仍除带一縦方得本数底与本数径溢一数少广补开尖法设如第一准本章平立方圆开三角及诸尖计一十二条平尖设如 原数六倍数一十二 带一縦方根三尖之实 一 二 三立尖设如 原数十六因数六十 阙一縦立方根四 减一得三尖之实 一 一二 一二三倍尖设如 原数七二除数三五 末五进一十除得四尖之实 一 二 四方尖设如 原数十四三因数四十二 立方二十七 平方九 半平方四五 半方根一五尖之实 一 四 九再乘尖设如 原数三十六二除数十八 内复减原实余一四四 平方根十二带一縦方收得三 三数逆至尖得中数二二乘三得六尖之实 一 八 二十七再乘尖又设如 原数一百二除数五十 复减原实余四 平方根二十 𢃄一縦方收得四 四数逆至尖得对数二 加五数于对数之次得二五四因二五得十尖之实 一 八 二十七 六十四抽竒平尖设如 原数十二𢃄一縦方根三 对数三全数六尖之实 二 四 六抽偶平尖设如 原数九平方根三 中数三全数五尖之实 一 三 五抽偶数立尖原注本尖内层数及层内诸数偶者去之设如 原数十四方尖法开之得三 中数三全数五尖之实 一 一三 一三五抽竒数立尖原注尖内层数及层内诸数竒者去之设如 原数二十三因数六十 阙一縦立方根四 四减一得三 对数三全数六尖之实 二 二四 二四六抽竒偶数方尖设如原数三十五六因数二百一十 阙一縦立方根六 六减一得五全数五中数三尖之实 一 九 二十五又设如 原数五十六六因数三百三十六 阙一縦立方根七 七减一得六 全数六对数三尖之实 四 十六 三十六抽偶再乘尖设如 原数一百五十三二除数七六五 阙半縦平方根九 复方之三 中数三全数五尖之实 一 二十七 一百二十五抽竒再乘尖设如 原数二百八十八二除数百四十四 平方根十二 复方之𢃄一縦三对数三全数六尖之实 八 六十四 二百一十六第二开抽偶抽竒立尖木尖内层数偶者去之设如 原数二十二加二得数二百六十四 立方二百一十六 平方三十六 半平方阙一縦十二 方根减一得五折半得三尖之实 一 一二三 一二三四五本尖诸层内数偶者去之设如 原数六就位加五得数九 立方八 半方根一 方根五除得四 四减一得三尖之实 一 一 一三又设如 原数十就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三尖之实 一 一 一三 一三本尖内层数竒者去之设如 原数三十四加二得数四百零八 立方三百四十三 平方四十九 余縦二八一十六 方根七减一得六縦限二益一得三尖之实 一二 一二三四 一二三四五六本尖诸层内数竒者去之设如 原数十六就位加五得二十四 阙一縦立方根三 方根减一以五除之得四尖之实 二 二 二四 二四又设如 原数十就位加五得数十五 立方八 平方四 半平方二半方根一 方根五除得四减一得三尖之实 二 二 二四第三准本章𢃄縦诸方开三角及诸尖之半积似三角𢃄一钝角形平尖设如 原数二十四 径三减六得十八 三除十八得六 加三得九尖之实 七 八 九抽竒平尖设如 原数十八 径三减十二得六 三除六得二 加六得八尖之实 四 六 八抽偶平尖设如 原数二十七 径三减九得十八 六除十八得三加三得六 五除六减一得十一尖之实 七 九 十一立尖设如 原数三十一 径三减一十得二十一 三除二十一得七 七加三得十半平方加半縦开十得四 四加一得五尖之实 一二三 一二三四 一二三四五又设如 原数二十五 径二减四得二十一 加四仍二十五 平方根五尖之实 一二三四 一二三四五方尖设如 原数五十 径三四因数二百 减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二折半得五尖之实 九 十六 二十五第四开三角及诸尖半积抽偶立尖原注本尖内层数偶者去之设如原数四十九 径三减二十二得二十七 三除二十七得九并六得十五半方加半縦除十五得五并二得七尖之实 一二三 一二三四五 一二三四五六七又设如 原数二十一 径二减七得十四 复加六得二十 𢃄一縦方根四并一得五尖之实 一二三 一二三四五抽偶立尖原注本尖内层数及诸层内数偶者皆去之设如 原数五十 径三减一十四得三十六 三除三十六得十二并四得十六 平方根四 五除方根四减一得七并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七九又设如 原数四十一 径二减五得三十六 并五仍四十一 四十一减一而二除之数二十得𢃄一縦方根四 五除四加一得九尖之实 一三五七 一三五七九抽竒立尖原注本尖内层数竒者去之设如原数六十七 径三减三十四得三十三 三除三十三得十一并十得二十一 半方𢃄半縦开之得六并二得八尖之实 一二三四 一二三四五六 一二三四五六七八又设如 原数三十一 径二减一十三得十八 并十二得三十 𢃄一縦方根五并一得六尖之实 一二三四 一二三四五六抽竒立尖原注本尖内层数及诸层内数竒者皆去之设如 原数六十二 径三减二十得四十二 三除四十二得十四并六得二十𢃄一縦方根四 二因四得八并二得十尖之实 二四六 二四六八 二四六八十又设如 原数五十 径二减八得四十二 并八仍得五十 五十减二而二除之得二十四 𢃄二縦方根四 五除四加二得十尖之实 二四六八 二四六八十抽竒偶数方尖设如 原数一百五十五 径三减五十六得九十九 三除九十九得三十三加十六得四十九 平方根七并二得九尖之实 二十五 四十九 八十一又设如 原数二百 径三减五十六得百四十四 三除百四十四得四十八并十六得六十四 平方根八并二得十尖之实 三十六 六十四 一百第五开抽偶立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数偶者皆去之先得径偶设如 原数一百 径六减二十八得七十二 三除七十二得二十四并八得三十二 二除三十二得十六方之得四 五除四减一得七并二得九尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九又设如 原数五十 径四减十得四十 二除四十得二十 二十并五得二十五减一而半之得十二 𢃄一縦方根三倍三得六六减一得五并二得七尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七先得径偶次条设如 原数六十六 径四减十八得四十八 二除四十八得二十四半之得十二并四得十六 平方根四 五除四减一并二得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九又设如 原数一百二十七 径六减四十三得八十四 三除八十四得二十八并十三减一得四十 二除四十得二十𢃄一縦方根得四五除四减一并四得十一尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九 一三五七九十一先得径竒设如 原数一百六十三 径七倍数三百二十六 减二十得三百零六 三除三百零六得百零二并四得百零六 平方开百得十存余实六加五得九 平方开九得三 五除三减一与前方十较之合赢绌率 五并六得十一尖之实 一三五 一三五七 一三五七一三五七九 一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一又设如 原数二百零三 径七倍数四百零六 减二十得三百八十六 三除三百八十六得一百二十八余剰实二 一百二十八并四得百三十二 平方开百二十一得十一余实十一以一五因之并前剰实之半不可方 退方根商一百得方十余实三十二 三十二加五得四十八并前剰实之半得四十九末方得七 五除七减一与前方十较之合赢绌率得十三尖之实 一三五七 一三五七 一三五七九一三五七九 一三五七九十一 一三五七九十一 一三五七九十一十三又设如 原数九十一 径五倍数一百八十二 减四得一百七十八 二除一百七十八得八十九并二得九十一减一得九十 平方开八十一得九余实九方根得三 五除三减一与前方九较之合赢绌率并四得九尖之实 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九 一三五七九又设如 原数七十五 径五倍数一百五十 减四得一百四十六 二除一百四十六得七十三并二得七十五减一得七十四 平方开六十四得八余实一十不可方 退方根商四十九得七余实二十五方根得五 五除五减一与前方较之合赢绌率得九尖之实 一三五 一三五 一三五七 一三五七 一三五七九法外设如 原数四十一 径三倍数八十二 平方商六十四得八 余实十八折半得九方之得三 五除三减一与八较之合赢绌率并二得七尖之实 一三五 一三五七 一三五七第六开抽竒立尖半积合本尖竒偶诸层取层内数竒者皆去之先得径偶设如 原数一百二十四 径六减四十得八十四 三除八十四得二十八并十二得四十倍之得八十 𢃄二縦方根八 八并二得十尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十又设如 原数一百 径四减十六得八十四 二除八十四得四十二并八得五十倍之仍得一百 平方根十尖之实 二四六八 二四六八 二四六八十二四六八十先得径偶次条设如 原数一百五十四 径六减五十八得九十六 三除九十六得三十二半之得十六 并九得二十五四因二十五得一百 半方根十并二得十二尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又设如 原数八十二 径四减二十六得五十六半之得二十八 二除二十八得十四并六得二十加四倍得八十 𢃄二縦方根八并二得十尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十先得径竒设如 原数一百九十六 径七减十六得一百八十 一百八十减五得一百二十一百二十并八为百二十八𢃄二縦方开百二十得十存余实八 六因八得四十八𢃄二縦方根得六与前方较之合赢绌率 六并六得一十二尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十 二四六八十十二二四六八十十二又设如 原数一百六十六 径七减十六得一百五十 一百五十减五得一百并八得一百零八 𢃄二纵方开九十九得九余实九以六因之不可为𢃄二縦方 退方根商八十得八余实二十八以六因之得一百六十八 𢃄二縦方商百六十八与前方较合赢绌率得十二尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八二四六八十 二四六八十 二四六八十十二又设如 原数一百十二 径五减四得一百零八一百零八并四仍一百十二平方开百得十余实十二 四因十二得四十八𢃄二縦方根得六较前方合赢绌率六并四得十尖之实 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十 二四六八十又设如 原数九十四 径五减四得数九十 并四仍九十四 平方开八十一得九余实十三以四因之不可为𢃄二縦方 退方根商六十四得八余实三十 四因三十得百二十𢃄二縦方除之较前方合赢绌率得十尖之实 二四六 二四六 二四六八 二四六八 二四六八十法外设如 原数四十四 径三五除四十四得八十八 带二縦方商八十得八余实以二因之不可复为带二縦方 带二縦方商六十三得根数竒 商四十八得根数六余实四十 二因四十得八十除带二縦方与前方较之合赢绌率得八尖之实 二四六 二四六 二四六八第七准本章多乗方依立尖形推余尖方尖准立尖设如 原数二十一十二因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六 复方之四减一得三尖之实 一 一四 一四九抽偶立尖准立尖设如 原数四十六三因数一百三十八 阙半縦平方根十二 复带一縦方之三 五除三 一得五尖之实 一 一九 一九二十五抽竒方尖准立尖设如 原数八十三因数二百四十 带一縦方根十五益一数十六复方之四 四减一得三倍之得六尖之实 四 四十六 四十六三十六立尖还准立尖设如 原数十五六因数九十 带一縦方根九益一数倍之得二十复除带一縦方四 四减一得三尖之实 一 一一二 一一二一二三少广补开尖法核原开正尖全积二十法设各就本尖用之平尖法一之一 尖一倍数二 带一縦方根一立尖法一之二 尖一因数六 阙一縦立方根二 减一得一倍尖法一之三 尖一二除数五 进五作十除得一方尖法一之四 尖一因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根再乘尖法一之五 尖一二除数五 减原实余四 平方根二 复除带一縦方一抽竒平尖法一之六 尖二带一縦方根一 对数一全数二抽偶平尖法一之七 尖一平方根一抽偶立尖法一之八原注尖内层数及层内诸数偶者尽去之 尖一因数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五抽竒立尖法一之九原注尖内层数及层内诸数竒者尽去之 尖二因数六 阙一縦立方根二 减一得二之对数抽竒偶数方尖法一之十 尖一因数六 阙一縦立方根二 二减一即一又尖四因数二十四 阙一縦立方根三 三减一数二抽偶再乘尖法一之十一 尖一二除数五 阙半縦平方根一 复方之亦一抽竒再乘尖法一之十二 尖八二除数四 平方根二 复带一縦方之一 对数一全数二抽偶立尖法原注尖内层数偶者去之二之一尖一加二数十二 方体八 方面四 半方面应阙一縦今阙 二减一得一抽偶立尖法原注本尖诸层内数偶者去之二之二 尖一就位加五数一五 方体一 半方根五 五除一得二减一复一又尖一 一就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一复一抽竒立尖法原注尖内层数竒者去之二之三尖一二加二数三十六 方体二十七 方面九 縦限视本数径数及本数底半数应朒一数今空 三减一数二抽竒立尖法原注本尖诸层内数竒者去之二之四 尖二二就位加五数六 阙一縦立方根二 二减一得一以五除之复二又尖二就位加五数三 方体一 方面一 半方面五 半方根五 五除一得二 二减一亦一方尖准立尖法七之一 尖一加二数十二 带一縦方根三 三益一得四复方之得二 二减一即一抽偶方尖准立尖法七之二 尖一倍数三 阙半縦平方根二复带一縦方之一 二因一减一亦一抽竒方尖准立尖法七之三 尖四三倍数十二 带一縦方根三益一得四复方之得二二减一以二因之亦二 减一亦一立尖还准立尖法七之四 尖一因数六带一縦方根二 二益一得三倍之得六复除带一縦方得二 二减一即一少广补遗◆ 《庄氏算学-清-》（KR3f0055）
## 提要
钦定四库全书 子部六
庄氏算学 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案庄氏算学八卷国朝庄亨阳撰亨阳字元仲南靖人康熙戊戌进士官至淮徐道是编乃其自部曹出董河防于髙深测量之宜随事推究设问答以穷其变因笔之于书其后人取残藁裒缉成帙中间大㫖皆遵御制数理精蕴而参以几何原本梅氏全书分条采摘各加剖晰颇称明显末为七政步法亦本之新法算书而节取其要其于推步之法条目赅广缕列星罗无不各有端绪恭案御制数理精蕴线面体三部凡三十余卷几何原本五卷梅氏全书卷帙亦为浩博学算者非出自专门不能骤窥蹊径今亨阳撮举精要别加荟萃简而不漏括而不支可为入门之津筏虽未能大有所发明而以为学者启蒙之资则殊有禆益矣乾隆四十六年十月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校官(臣)陆 费 墀
## 卷一
钦定四库全书庄氏算学卷一淮徐海道庄亨阳撰梅勿庵开方法一平方平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根方者初商也初商不尽则倍初商之根为廉法除之得两廉又以次商为隅法自乘得隅以补两廉之空而成正方形是谓次商又不尽则合初商次商得数倍之为㢘法除之得次两廉又以三商为隅法自乘得隅以补次两廉之空而成正方形自此而四商五商倣而加之能事毕矣凡减隅积皆视其隅数为何等隅数是单则积止於单位隅数是十其积止于百位百止于万位千止于百万位万止于亿位每隅法大一位则隅积大两位所以初商减积止初㸃次商减积止次㸃三商四商五商皆可以类推也(自单位作㸃起每隔一位㸃之有二㸃商数有十三㸃商数有百也)凡初商得一二三四皆书于㸃之上一位商得五六七八九皆书于㸃之上两位其故何也五以上之廉倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同大约所商单数必在亷法上一位乃法上得零之理也开方有实无法廉法者乃其法也次商用归除凡归除得数皆书于筹之第一位今须看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商得数对余实首一位书之若第一位是空则以次商得数对余实上一位书之虽不离筹之第一位而所商之有空位无空位出矣立方审空位之法亦然一立方平方则一方次合两廉一隅以成方面立方则一方次有三平廉以辅于方之三面又有三长廉以补三平廉之隙又有小方隅以补三平廉之隙推之三商四商皆然而方体成矣三平廉长濶相同皆如初商数三长廉长如初商数其两头髙与濶则如次商数立方三位作㸃者自乘再乘之积止于三位也初商㸃在首位则独商首位㸃在次位则合商两位在三位则合商三位也凡初商得一数者书于㸃上一位得二三四五者书于㸃上二位得六七八九者书于㸃上三位其故何也盖开方以廉为法而平方只有二廉其廉之积数只有进一位故一进而足立方则有三平廉而其积数有进一位者有进两位者故必立三等也要其豫为续商之地使所得单数居于法上之一位则同方单一其廉法单三若方单二则廉法一十二变为十数进一位矣故一用常法二用进法也方单五其廉法七十五若方单六则廉法一百零八又变百数进两位矣故五用进法而六以上用超进之法也三平廉用自乘者三平面积也三长廉则未有积故与平廉异也次商数自乘以乘长廉者每长廉之一数各分次商自乘之数也一平方带纵平方带纵者长方面也初商得平方与纵方纵方之濶如平方之数长则加所设纵之数次商得廉纵一廉二隅一盖倍廉不倍纵一为带纵之廉一为不带纵之廉也用法与平方相似但初商时必以初廉得数乘纵数为纵方积然后合两积以减原实为稍异耳若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商位纪○而纪其改商之数于○下若次商者然既为次商则减积亦尽于第二㸃初商得五至得九皆书于㸃上二位不论纵之多寡若得四以下则视纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商(单从单十从十百千各以类加)若满五以上则亦进书于㸃之上两位(如初商三而纵有四初商四而纵有四之类)若纵数少虽加之而不满五则仍书于㸃之上一位(如初商四而纵只有一初商六而纵只有二之类)搃而言之所商单数皆书于廉法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为廉法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加廉法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为廉法也亦满十而进位矣㢘法进位故初商亦必进盖豫算所商单数已在廉法之上也又初商若得单数其廉法即为命分凡商得单数必在命分上一位凡开方皆然一立方带纵凡立方带纵有三一只带一纵如云长多方若干或高多方若干是也一带两纵而纵数相同如云长不及方若干髙不及方若干是也一带两纵而纵数不相同如云长多濶若干濶又多髙若干是也大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵数又有纵方故其术不同立方带一纵者长多于方谓之横纵髙多于方谓之直纵初商得立方一方纵一合成长立方形次商平廉三内带纵者二长廉三内带纵者一小隅一合七形而成一形三商以上者皆倣此以积实列位作㸃如立方法截首一㸃为初商之实视立方表中积数有小于初商实者用其方根为初商得数用其积数为初商积数次以初商自乘以乘纵数为纵积合计立方积纵积共数以减原积而定初商不及减者改商之及减而止次商则以初商得数自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平廉法或以初商三之纵倍之并其数以乘初商或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商竝同(所谓带纵㢘二不带纵廉一也)又以初商三之加入纵为长廉法(所谓)(带纵廉一不带纵廉二也)乃以平廉法约第二㸃上余实商除得数为次商于是以次商乘平廉法为三平廉积又以次商自乘以乘长廉为三长廉积就以次商自乘再乘为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实不及减者改商之及减而止三商则以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平廉法又以初商次商所得数三之加纵为长廉法以除原实如次商法余倣此列商得数依立方法得一书于㸃之上一位得二三四五书于㸃之上两位得六七八九书于㸃之上三位若纵数多廉法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之盖次商时有三平㢘三长㢘再加隅一为命分之法法上一位单数也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而书之若与初商恰合不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之也若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数改退小一等数者皆不用最上一㸃而以第二㸃论之此尤要诀不可忘(或于初商外作圈而以所商小一等数书于圈下亦可以上一㸃论也)立方带两纵纵数相同者如髙不及方若干则方之横与直俱多于髙是为两纵初商有纵廉二纵方一并立方而四盖两纵廉辅立方之两面而纵方以补其隅合为一短方形也次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二不带纵者一小隅一共七形合一短方形也用法先以纵倍之为纵廉法又以纵自乘为纵方法乃如立方法列位作㸃视表中求初商方数及立方积次以初商得数乘纵方数为纵方积又以初商自乘数乘纵廉数为纵廉积合计纵方纵廉立方之积共若干数以减原实而定初商不及减改商之及减而止次商则以初商得数加纵倍之以乘初商得数(所谓带一纵之)(廉二也)又以初商加纵自乘得数(所谓带两纵之廉一也)并之共为平廉法或以初商三之加纵以初商加纵乘之亦同次以初商加纵倍之并初商数共为长廉法(所谓带纵者二不带纵者)(一也)或以初商三之纵倍之亦同乃置余实列位以廉法位酌定初商列法而进退之以平为法而除余实得数为次商(皆所以减首位是空与否而为之进若退)或合平廉长廉两法以求次商亦同于是以次商乘平廉法为平廉积又以次商自乗数乗长廉法为长廉积又以次商自乗再乗为隅积合计平廉长廉隅积共若干以减余实而定次商又法以次商乗长廉法为长廉法又以次商自乗为隅法并长廉平廉隅法以与次商相乗为次商廉隅共积以减余实亦同不及减者改商之及减而止三商四商倣此立方带两纵纵数不相同者如长多于濶髙又多于长初商有大廉纵一小廉纵一纵方一并立方形而四盖大廉纵以辅髙之一面小廉纵以辅长之一面而纵方以补两纵之阙也次商平廉三内带小纵者一带大纵者亦一兼带两纵者又一长廉三内带小纵者一带大纵者一不带纵者一小隅共七形合成不等方形也用法以两纵相并为纵亷以两纵相乗为纵方乃如立方法列位作㸃求初商之实以立方表求得初商立方积次以初商乗纵方数得纵方积以初商自乗乗纵廉数得纵亷积合计三积以减原实皆如前法次商则以初商长濶维乗得数而并之为平廉法又以初商长濶髙并之为长廉法乃置余实列位(以平廉酌定初商之)(位而进退之)遂以平廉为法求次商以次商乗平廉为平廉积以次商自乗数乗长廉为长廉积以次商自乗再乗为隅积合三积以减余实不及则改及则止以待三商余倣此凡不能成一单数者则以所商长濶髙维乗并之如平廉又以长濶髙并之如长廉又加单一如隅为命分母以所余之数为命分子维乗之法如初商三十尺为濶加纵五尺共三十五尺为长又加纵一尺共三十六尺为髙濶乗长得一千零五十尺髙乗濶得一千零八十尺长乗髙得一千二百六十尺并三维乗数共得三千三百九十尺为平廉法若合长亷加隅一即为命分母也若在次商后则加次商得数若在三商后则加三商得数用筹法开方用筹㨗法廉隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹下而共商之则隅亷合为一法而用加㨗矣存前法者所以著其理用㨗法者所以善其事既得初商即倍根数为廉法以亷法数用筹(如商根为四则用八)(商根为六则用十二)以列于立方筹之上为廉隅共法合视共法筹某行内有与次商之实同者或畧少者减实以得次商以本行内方根命之既得次商则合初商次商倍之以其数用筹列平方筹以求三商四商以下倣此隅者小平方也故可以平方筹为法廉之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于廉下则隅之进位与廉之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法也何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方之廉法是初商倍数故大于隅一位若次商之实小于廉隅共法之第一行则知次商是空位也(不能成一数故空)则于廉法筹下平方筹上加一空位筹为廉隅共法以求三商既得三商则合初商三商数倍之去空位筹以倍数用筹列于平方筹之上以求四商如初商得四次商得空则用空位筹列于八筹之下及三商既得九则倍四○九而为八一八之数空位筹可不用矣若两空位则加两空筹三空位则加三空筹余倣此凡余实必在商数下一位起倘空位则可作圏补之又凡亷隅共法筹第一行数即命分母也盖能满此数即成一单数矣若立方则以初商数自乗而三之为平廉法以平亷法用筹列于立方筹之上为平廉小隅共法别以初商数三之而比共法尾位进一位为长亷法以长亷法用筹列于立方筹之下(法于长廉法筹下加一空筹以合进一位之数)视共法筹内有小于实者为平廉小隅共积用其根数为次商次以次商自乗数(即平方筹之积数)与长廉法相乗(以平)(方筹之数寻长廉筹之行取其行内积数用之)得数加入平隅共积为次商搃积以减次商实乃如法以求三商余倣此隅者小立方也故可以立方筹为法平廉之数每大于隅二位今以立方筹为隅法列于平廉下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平㢘小隅可合为一法长㢘之两头皆如次商自乗之数故可以平方乗之又长㢘之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也何以知平㢘大于隅二位而长亷只大一位也盖平㢘者初商自乗之积也初商于次商为十数十乗十则成百数矣隅积者次商本位也故平㢘与隅如百与单相去二位也若长㢘则是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也若次商之实小于平廉小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长廉积则次商是空位也法于初商下作空位圈以为次商而于平㢘筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长㢘法下又加一空位筹并原有一空位筹共两空位筹为三商长㢘法或长㢘不必加空筹但于得数下加两圜若商数有两空位者平㢘下小隅上加四空位筹长㢘积下加三圈盖有空位则所求者三商也初商与三商如百与单而平㢘者初商之自乗百乗百成万故平㢘与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理(平㢘原大二位加二空筹则大)(四位矣)初商与三商既如百与单则长㢘与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也命分还原法如原实八步开得方二步除实四步不尽命为方二步又五分步之四然在两亷可得五之四在隅则得二十五分步之十六而已实不及五之四也故通分法还原以分母五通二步得一十分又纳分子四共一十四分自乗得一百九十六为实以命分五自乘得二十五为法除之只得七步又二十五分步之二十一以较原实少二十五之四矣故必另置分母五以分子四减之余一以转乗分子四得四即隅差也加隅差入方积中然后以分母自乗除之则合原积矣若立方积一十七步开得立方每面二步除八步余九步如法命为立方二步又十九分步之九在平㢘可得十九分步之九在长㢘与隅则不满也法以分母十九通二步为三十八分又纳分子九分共四十七分为立方全数以全数自乗再乗得一十○万三千八百二十三分为通积另置分母十九自乗得三百六十一内减分子九自乗八十一余二百八十分以分子九乗之得二千五百二十分为隅差又置分母十九内减得分九余十分转乗分子九得九十分以乗命分母十九得一千七百一十分为长亷每步虚数又以长㢘法六步乗之得一万○二百六十分为长㢘差合二差共一万二千七百八十分以加入通积共得一十一万六千六百○三分为实以分母十九自乗再乗得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积庄氏算学卷一
## 卷二
钦定四库全书庄氏算学卷二淮徐海道庄亨阳撰几何原本举要凡角度皆起于圆心而见于圆界圆不论大小俱有三百六十度之数度有六十分分有六十秒秒有六十微微有六十纎自此以下又有不尽之数分之故执有度之圆界为凡角大小之规也二平行线若作一斜线交加于上则二横线内外所成之二角俱为相等在平行线上作一斜直线即成八角此八角之庚戊乙甲戊己两相等角谓之对角甲戊庚庚戊乙两角同心谓之并角庚戊乙戊己丁二角相等角一边谓内外角甲戊己戊己丁二角相等角其尖错交谓相对错角庚戊乙丁己辛二角之等角一边谓之外角乙戊己丁己戊二角之相等角一边谓之内角八角之中半钝半锐各自相等推之三平行线四平行线皆然也凡三角形之三角相并必与二直角等而具半周之度凡三角形自一界线引长成一外角将三角形内所对二角并之始与一外角等凡三角有二形两边线之度各等二线所合之角俱等则二形底线之度必等式亦等其下各二角皆等也若二形三界线之度各相等则三角度亦必等而形内所函亦等也若二形一界线之度相等于相等线左右所生之二角又相等则他线他角俱各等而二形之度俱等也三角形有二边等线者其底线之两角度亦为相等也盖作一长线上剖角下剖底成两直角三角形各相等也则底线左右所成角必等可知凡三角形之长界线必对大角最长对最大次长对次大短者对小者凡三角形必有二锐角何也凡三角形将三角并之必与二直角等故一钝必两锐一直亦两锐即三等角亦皆锐也凡自一㸃至一横线作众线众线内有一垂线必短于他线而他线之与垂线相离愈逺者线愈长也凡三角无论直锐钝合并二界线必长于所余之一界线所以凡自一㸃又至一㸃画㡬线其各线中仅一线直而短余必曲而长矣四边形有五种一四方形边角俱等也一长方形角等而两边长两边短也若四边等而角两钝两锐者谓斜方形又两边长两边短而角两钝两锐者谓长斜方形若四边不等四角又不等者谓无法形凡四边平行线形其角之各两对角必俱相等于对角作线分为两三角形是为对角线必将平行线四边形分为两平分凡平行线之四边作两对角线相交处为平分二线之正中凡于四边形对角线之正中作一斜横线截开则将四边形为两平分四边形若于对角线不拘何处交加依两界作二平行线即成四四边形二形为对角线内之形二形为对角线旁余之形此两旁形其积必等盖对角线原属平分而等今交加线中所成两大三角两小三角形亦属平分而等于原两三角内对减两大三角两小三角则所旁余四边形其积亦必等两平行线内凡同底所成之四边形其面积俱等何也如甲乙戊丁丙己两三角形其甲丁戊己二线之度俱与乙丙平行线为等故互相等也若于甲丁戊己二线每加一戊丁线即甲戊丁己两线俱等因甲乙丙丁之四边形为平行线则所各相对之线亦俱等也再戊甲乙己丁丙二角为甲乙丁丙平行线一边之内外角两形为等自此两三角形减去丁戊庚所存之甲乙庚丁戊庚丙己二形俱等于此所存之二形每加一庚乙丙形则成甲乙丙丁戊己丙乙之相等积四边形矣故凡两平行线内凡同立于一底者则线无论短长所存之四边形俱等积也两平行线内若同立一底凡所有各种三角形之面积亦俱等也盖三角为平行四边形之一半四边既等则三角亦等也底度同亦然凡众角形自角至心作线有㡬界即成㡬角形若作六界即成六三角形矣欲知众边形角度之数将边数加倍于得总数内减四其所余之数为直角数即为众角度也如七边形是七个三角形凡三角形并三角等两直角则七三角形等十四直角而圆心所有之七角当四直角矣故将十四直角减四直角余十直角之度为众角之总度也凡一直线切于圆界虽长过界而不与圆界出入交加此谓之切线又两圆之圆界相过相切而不相交加出入谓之切圆凡一直线横分圆界谓之弦如戊所分圆界之一段谓之弧如甲乙丙弦线与弧线相遇处成两形如甲乙丙俱为圆之弧分之角凡自弦之两头作两线外向圆界相遇此角名为圆分内角又谓对弧立角自圆心作二辐线至弧线成三角形谓之分圆面形凡自与圆界相切辐线之末作垂线必在圆外凡在圆弦线若自圆心作垂线可以平分弦线垂至圆界便可平分弧线盖自甲心作两半径至乙丙二处其线相等则丙乙二角相等故自甲角至乙丙底线之丁处作垂线便是平分也凡自圆外一㸃至圆界两边作二切线此二线必相等盖自圆心作二辐线与二切线相切则二切线与二辐线互为垂线而两线相遇之角必俱为直角又于两直角作一对角线是谓弦线而成丁乙丙与甲乙丁两三角形丙乙丙丁系辐线原等则底线两合角必等减圆内两角数则甲乙丁甲丁乙二角乃两直角之所余也二角既等二切线亦必等矣凡圆有两弦线若等其分圆弧面之积亦等若自心至两弦各作一垂线则二垂线度亦等又自心至两弦线之各两头作四辐线亦等则所成之两三角形亦等于甲乙辐线末作垂线者切线也甲辐线割圆于戊而至丁者割线也戊垂线至己者正弦也凡立于乙戊弧之角者欲求三角之度三边之数皆于是取也三角俱抵圆边者界角也一角居心二角抵边者心角也心角交与界角有三种其圆心所生界角或在二直线之一线者或在二直线之外者或在二直线之间者此三种心角皆大于界角一倍如第一图心角在丁乙直线之内则心角为甲丙丁钝角形之外角外角则兼有本形丁甲二角之度而丙丁丙甲为一圆之辐线相等则所合丁甲二角亦必相等外角既兼有二角之度则比丁角为大一倍可知矣第二图心角在丁乙直线之外则自丁过内心至戊作一直线成甲丙戊一大心角甲丁戊一大界角乙丙戊一小心角乙丁戊一小界角凖前论大心角倍于大界角小心角亦倍于小界角今于大心角减去小心角大界角减去小界角则所减之心角倍于所减之界角而所存之原心角亦倍于所存之原界角也第三图心角在丁乙丁甲直线之间自丁界过丙心至对界作一直线亦如第一图论将心角剖为二界角亦剖为二则分为两心角各倍于两界角仍合为一心角则倍于一界角也自圆之弧线凡一叚任与圆界何处其尖相切所成之界角有㡬何其度俱为等也盖同立一弧者心角皆大于界角一倍如上节所云则同弧之界角不论何处皆小于心角一倍也因其俱为心角之半则不拘何处作界角皆相等也圆内有一心角一界角若心角所对弧度得界角所对弧度之一半此两角度必相等也盖同弧之心角大于界角一倍今于心角弧度去一半则两角必相等也凡圆之界角若立于圆界之半必为直角盖心角所对弧线若是界角所对弧线之一半则二角之度必等今界角对弧为半周将半周弧剖作二心角则二角皆为直角既为直角则界角对弧乃兼两心角对弧者安得不为直角乎凡圆之界角若在半圆分之小分内必为钝角也如图甲乙丙为小半圆则所余甲丁丙为大半圆若将甲丁丙弧线于丁处平分又自圆心作戊丁戊甲两线丁甲弧大于圆周四分之一为钝角也又心角对弧若为界角对弧之一半则二角度为相等今甲丁正得甲丁丙之半则戊为钝角乙亦为钝角也凡圆之界角若在半圆分之大分内必为锐角也如图甲乙丙为大半圆所余甲戊丙为小半圆若将甲丙为弧线两分于戊又自丁作丁甲丁戊两线成甲丁戊心角形此心角形所对既不足圆界四分之一则为锐角也既为锐角则甲乙丙角必为锐角可知矣函圆形者有函圆切三角形函圆切四方形有函圆切多边形圆内切形者有圆内切三角形圆内切四方形圆内切多边形函圆众界形之度大于函于圆之界其函众界形之圆界度亦大于所函之众界形在外者大在内者小也故函形界必大于函于形界也有一函圆众界形又一直角三角形此三角形一直角所生二直线内一直线度若与所函圆之辐线度等又一直线度与函圆众界形之各界共度等则三角形面积与众界形面积俱等也如自几边形之心至角作几线分为几三角求三角之中长线即辐线也底等髙等所作三角形俱等即所云二平行线内同底所作三角形俱等也合众三角形之底为一大三角形之底其面积当无不等也一圆所函之众界形一直角三角形此三角形之一直角所生二直线内一直线度与彼圆自心至众界形界所作垂线度若等再一直线度与彼众界形之共界度若等则两形之面积俱等也有一圆形有一勾股形若股如半径勾若全周则两形之面积必等也盖比前函圆之众界形则为小比前函于圆之众界形则为大就中间取之恰合无疑也夫函于圆之众界形辐线及界而不及弧是比圆为小也函圆之众界形辐线虽及弧而众界度共线又长是比圆为大也今以圆周及辐线取直角三角形而合之相等无疑则可得圆之面积也盖圆线式异于直线式难于符合然苟将圆线作万万段亦与直线近也众界形或函圆或函于圆其界数愈多愈与圆界度相近如自函三边而为六边六边而为十二边十二边而为廿四边无论内外愈近圆界度数也试设一函于圆九十六边形又设一函圆九十六边形而作一圆若将函圆形作一千五百六十二分又将他形照此所分之度分之则函于圆形仅得一千五百六十一分矣而圆界度大于所函之众界小于函圆之众界必得一千五百六十一分余其圆界中心径线必得四百九十七分若即小数算之将圆界作二十二分则中心径线必得七分余故在圆界可得直线之度在直线亦可得圆界之度也有一圆形又一众界形此圆界度若与彼众界度等则圆形之面积必大于众界形之面积也试凖前半径作股界度作勾之法求之则方周圆周之界度虽同而圆之垂线长方之垂线短则方所成之三角不及圆所成之三角而所函之面积方亦不及圆矣凡平面上所立之线若无偏斜犹平阶立直柱其各边所生之角若俱直是谓平面上之垂线相对两平面之角各垂线度若俱等此相对二平面谓之平行面平面上所立之平面若无偏斜犹平地上作直壁是谓平面上之直平面自三面四面以上其各瓣相并所存之角谓之厚角成厚角之平面各角度不足于四直角度也何也试将五面厚角尖使其平伸共为一平面则五瓣各相离而有空处不能成圆面故不足四直角也若欲将四直角显尖作厚角其瓣大而不能成平面厚角矣平面三棱厚角其三面内若将两面角并之必大于所余之一角度也试将三平面使之平伸而两角相并一角孤行则可见矣凡平面上二直线相交处作一垂线莫偏斜则此线于平面上在在俱为垂线也盖若有偏则自平面上视之或成钝角或成锐角既无偏斜则为直角既为直角则移向平面上处处俱为垂线矣众线相交处立一垂线其角若俱直此所交之各线必在平面一也平面上作二垂线正直立之此二线必互为平行也盖于平面上作一直线而正直作二垂线则所交直线之角皆为直角所谓二直线一边成内外之二角也凡平行二线之间任意自此一线至彼一线随处作直线斜线交线三角形线俱同原平行线在平面上二线与他一线平行虽在别面此二线亦互相为平行也相对二平面间若横一线正垂在二平面上俱生直角此相对二面互相为平行面也盖于二平面上各作对角斜线两相交处为两平面之中而垂线正当两线相交之处而俱成直角则两平面上之两对角四边俱系平行则两平面亦必为平行者也二平行而上凡相当之各二线俱为平行也二平行面横穿一平面而皆成直角则中间缝线亦必平行也如以木版穿木版之状各种面内积之处谓体依面之端名之也设如全身无角只有一圆面此谓圆体全身各面俱平而有角此谓平体立方是也其身有曲平两相襍谓之襍体如半截橄㰖是也全身相对之各二面俱平行此谓平行面体长立方长斜立方是也全身相对之面不平行而独两底面平行此谓底平行面体三角柱是也周围圆形而底与面平谓长圆体圆柱是也一平面底而立几平面俱合于一角而成大此总谓尖瓣体也底三角者为三瓣尖体底四角者谓四瓣尖体底众角者谓众瓣尖体若在平面上立圆面而成锐尖此谓尖圆体也所云圆体长圆体尖圆体此三种面俱生于一动之间耳以甲乙为枢心将甲乙丙作转式旋转一周即成为圆体也于甲乙丙丁平面形以甲乙为枢心以丙丁线界作转式旋转一周即为长圆体也于甲乙丙三角形以甲乙为枢心以丙界作转式旋转一周即尖圆体也枢心正则为正体枢心偏则偏体矣凡体若面平行相当所对两边面积俱为等也如正方体六面相当则六面面积俱等如长方体各底面相当则底面之面积俱等也凡体苟面积形式一同俱等谓全等体形不等而积等谓等积体积不等而式等谓等式体平行面三凡体形自对角线分为两段此两段为全等体也平行平面之间若同在一底立各平行体形其积俱为等如面例平行平面之间有在等积底所立之各平行体形其积必俱等盖所立之处不同而其度同也故等也平行平面之间有在等积三角形两底所立各三面体形此所立各体之积必俱等也理如前节平行平面之间同在一底作一平行体形作一三面体形则三面体形必为平行体形之一半各种体形难以发明必作图以明然有空实二端空者宗其空实者宗其实乃可耳凡等式体苟立于等积之底其体之髙若等则其积俱为等凡尖圆尖瓣皆然也盖将大体截分为众小体其小体底度亦等也有各种平行底之平面体与各种平面尖体两底积若等其髙数又等则此一平行底之平面体与彼平面尖体三形之积等推之平行面体与四瓣尖体三形之积等平行底之圆面体与圆面尖体三形之积等盖三面尖体为三平面平行底平面体三分之一四面尖体为平行面体三分之一尖圆体为圆柱体三分之一也若将实形作空形以水注之作比例可见凡相等界度之体内其圆体所函之积数强于他种体所函之积也如一圆一方一十二瓣体论积皆不及圆盖如论面函于圆界之积大于各等边平形所函之积也六面俱为等面八角俱为直角是谓正方体厚角正体有五种观于各面数而名之也一为四瓣面之体此四面每面有三角各三角各三界度若俱等是谓四瓣体二为六瓣面之体即正方体也三为八瓣面之体共八面面各三角各三界度若俱等是为八瓣面体四为十二瓣面之体此每面有五角各五界度若俱等是谓十二瓣体五为二十瓣面之体此每面有三角每面各三角各三界度若俱等是谓二十瓣体此正体五种外不生他形总不外三角四角五角之平面合而成也盖将三角平面形三瓣形合成一厚角余一面求角合角界合界必取等角等界之平面三角形也四瓣体是也将三角平面四形合之复加四形八瓣体是也将三角平面五形合之复加十五形二十瓣体是也然欲以三角六形合之不能成厚角矣盖六三角平面形界于界角于角而对合之成六角之平面形能为平尖不能显也是故三角形所生只于四瓣八瓣二十瓣自此而外无有也四角所成只于正方角此外无有也将五角平面形三形合之所成厚角即如十二瓣体是也此外不能成他角也至六角平面形则将三角相合已等于四直角能为平而已不成厚角也六角如此七八以上可知矣凡比例面比面体比体线比线不同者不相谋也凡将两物度数互相比之此比出之度数为大为小谓之比例其比者与所比于物者俱谓率齐数之谓也其比之物谓前率其所比于之物谓后率也如甲乙二线相比此所比出之甲线或为长或为多乙线或为短或为少谓之比例也将此二线相比故谓之二率而所比之甲线谓之前率其比于之乙线谓之后率矣凡两两相比谓之四率如一率与二率之比同于三率与四率之比此为同理比例也如一率甲二率乙三率丙四率丁乙线为甲线六分之五丁线为丙线六分之五则甲乙二线之比同于丙丁二线之比是谓同理比例苟求得乙线有甲几倍之数则可知丁线有丙几倍之数也又凡四率将一率与三率分作几分将分数相等定凖此两率分度虽不同而分数为等于是以二从一以四从三㸔几分为均其一与二之比即如三与四之比为同理比例也有两不同之比例如二率四率之分数相等而一率于二率为四之六三率于四率为四之五则不同矣而可相比例谓一与二之比大于三与四之比也前比例之数多再比例之数少也故又谓之两不相同之比例也有相连比例率如甲线一(一率)乙线二(二三率同)丙线四(四率)甲与乙之比同于乙与丁之比是谓相连比例倣此于相连比例之内将一率甲与三率丙比者谓隔一位加一倍之比例也将甲与丁比者谓隔二位加二倍之比例也将甲与戊比者谓隔三位加三倍之比例也比例难于讲觧试作圆以明之于大圆内作小圆于圆之中心作二线割小圆弧抵大圆弧则成大圆己甲庚小圆辛甲壬之甲角此甲角之对弧己庚苟为大圆之六十度则亦为辛壬小圆之六十度盖圆之大小虽不同而分数为等故以大圆周为一率庚己弧为二率小圆周为三率壬辛弧为四率一与二之比同于三与四之比也两圆周为比之之率为前率两弧为比于之率为后率两两相当分数俱等是为顺理比例也倣此凡各率各度虽异相当之数若等一二之比同于三四之比俱为顺理比例又有几种论如左一种反比例反一为二反三为四仍相等也如前大圆周为一率大弧界为二率小圆周为三率小弧界为四率今以大弧界为一率大圆周为二率小弧界为三率小圆周为四率比例亦同也一种转理比例谓一与三比二与四比也以大圆周为一率小圆周为二率大弧界为三率小弧界为四率其比例亦无不同也一种分理比例谓于一率三率中各减与二率四率相等之一分以比二率四率仍为相当比例也如二率四率原于一率三率为六之一今各减一率三率之一分则又为五之一比例亦然也一种合理比例谓合原一率二率之数以比二率合原三率四率之数以比四率原各为六之一今又各为七之一也一种更理比例谓换却二率四率之原数各更以他数如原各为六之一今又各为六之五也一种隔位比例如有两项四率原为相当比例则以此四率中之一率与四率为比又以彼四率中之一率与四率为比合为一四率仍为相当比例率也一种错综比例如此边有相连比例三率彼边亦有相连比例三率取此中末之比例彼中末之比固也苟错综之则取此中末之比例彼另设一线置于彼第一线之比又取此上末之比例彼另设一线与彼中线之比盖彼虽另设一线仍是相连比例线此相连之比同于彼相连之比此隔位之比亦同于彼隔位之比也一种相减比例如甲丙乙丁二线所有之三倍内减去丙戊丁己二倍互相之比同于原甲丙乙丁二线之比也一种相加比例如甲乙二线照本度各加三倍为丙丁线互相之比同于原甲乙二线之比也得此比例线之法则面之相当者为比例面体之相当者为比例体也且线亦可以例面面亦可以例体也如甲六分线与乙三分线相比丙六分面与丁三分面相比戊六分体与巳三分体相比每每相当分数相等则互相为比例也以二数相乗所得两数为均若以二线均为几度每各线度作小方形以此线小方乗彼线小方即成两直角四界形盖以一线为横一线为纵彼此互乗形亦均也又一线分为三度作小方形一线分为四度有竒作小方形一线横一线纵乗成函十二长方形而竒数亦附于方末也又将前线所作方形取其半相乗亦得四方形也盖取三方之半而为六小方取四方之半而为八小方八六四十八六八亦四十八便成两函四十八之长方形而其总度仍相等也盖兼取其半而无改于原度故也四方直角平面形凡在一线可以相乗也如甲乙形欲乗丙丁线则将此形作四小方体又将丙丁依甲乙所分之厚分比之若得三分则将甲乙形三层垜之遂成函十二小方形之直角体也凡六面平行直角体必得垒一四边直角平面与一直线相乗而成也凡两直角平面形欲相比例有两比例焉如大形之长度与小形之长度几倍为均大形之寛度与小形之寛度几倍为均是也然合(阙)比两比例仍是一比例如甲方之长与乙方之长三倍为均甲方之寛与乙方之寛两倍为均二三相乗为六则甲方之形与乙方之形之比例为六倍为均也若长四倍为均寛三倍为均三四一十二则大形与小形之比例为十二倍为均也再若大形之横度比小形十二为均小形之直度比大横直度三倍为均则以三除十二得四大形比小形四倍为均也若四倍则以四除十二得三倍为均皆成一比例也有两直角形若此形之长倍于彼形之长而彼形之寛反倍于此形之寛则此两形之积为等也或一倍或三四五六倍皆然凡有相比例四率其在中之二率三率相乗所得数必同于一率四率相乗所得数也如一率二二率四三率三四率六以中率三四相乘为十二首尾率二六相乗亦一十二也试将三度四度之线相乗作长方形又将二度四度线相乗作长方形形虽不同而积等也故一二三率已知者也所求四率未知者也既求得四率则以一率与四率相乗所得数与二率三率相乗所得数无以异也如东河之水流速三倍西河之水流速六倍东河之流一秒十缸欲知西河之流一秒几何缸则以东河之三倍为一率西河之六倍为一率东河之十缸为三率求得西河之流二十缸试相乗之数为等也又如三个兵每月饷六两今已五月应饷几何则以三兵为一率六两为二率五月为三率求得饷银一十两试相乗之数又等也有两个直角面苟此面之横界与他面之横界此面之纵界与他面之纵界比例若等则此两面相比之比例即为两界相比之比例隔一位加一倍之比例即前相连比例一条所云也盖两界之比例第为一倍之比例而两面之比例为加一倍之比例也如甲之横界大于乙一倍而为二纵界亦大于乙一倍而为二则甲之面大于乙之面三倍而为四为二倍为均者二若甲之横界纵界各大于乙五倍则甲之面内与乙之面内六倍为均者有六矣丙乙之边线为相连比例丙乙之面于相连比例中为隔一位加一倍比例今设一甲线为一分乙线为二分丙线为四分为相连比例则丙面与乙面之比同于丙线与甲线之比盖丙面大于乙面三倍丙线长于甲线三倍共为隔一位加一倍之比例也前数节所论直角面之纵横界比例等者谓之同直角面其两相比例之横界俱谓之相当界也在相同直角面纵横两相当界之比例必等也在相同直角面于两面相当之一界作为两方面则所作两方面互相之比即同于原面互相之比亦为隔一位加一倍之比例也直角体则有三比例长也寛也厚也如大形之长寛厚各大于小形之长寛厚一倍则先成长寛倍之平面形于平面形上又叠一相等之平面形则亦倍厚矣倍而成平面则二倍为均者有二倍而成体则四倍为均者有二矣有直角两体苟此一体之底与他一体之底为大一倍而他一体之厚与此一体之厚亦大一倍则此二体之积等盖即一体之竖起与放倒也有两直角体苟此体之长寛厚界与彼体之长寛厚界相比之比例若俱同谓之同式体而长寛厚各一边相比例之界俱谓相当界也凡两直角同式体互相比之比例为界比例之隔二位加二倍之比例也如大体之长寛厚比小体各大一倍则此两体相比之比为隔二位相加之比例也盖界线为相连之比例者倍而为平面为隔一位相加之比例又倍而为体则为隔二位相加之比例也苟作一相连比线之率甲为一分乙为二分丙为四分丁为八分又作一直角体与三界各加一倍之直角体则小体与大体之比同于一率甲线与四率丁线之比若知甲线比丁线为八分之一即可知大体比小体为八分之一也有直角同式两体在此两体比例相当之二界立作两四方体互相以比之其比例仍同于原体之比也盖原体为隔一位加一倍之比例则于两相当界所作体亦为隔一位加一倍之比例均是八分之一也凡二平行线内凡有直角面互相之比同于与此两底互相之比也如甲己面之丙己底界与戊丁面之己丁底界若大三倍则甲己面与戊丁面亦大三倍也试将戊己相兼之纵界依此界分与丙己己丁底界相乗成甲己面十二分戊丁面四分总为大三倍也凡二平行线内所有凡平行四边面互相之比同于其两底界互相之比也盖同底所立之直面斜面积俱同则直面斜面之比例俱等故底若大三倍则面亦大三倍也凡在二平行线之间若有两三角形以两形积互相之比必同于两底界互相之比也盖同底所作之三角形为四边形之一半四边形之比例等则三角形之比例亦等故三角底若大一倍则三角形积亦大一倍底若大三倍则积亦大三倍也凡三角几形之底俱在于一直线又与各底相对之众角皆聚于一处则其三角众形必在二平行线之间也观图可见凡三角形作与底线平行之线不拘何处截断则两旁之线皆成四比例线如图甲丁与丁乙之比同于甲戊与戊丙之比是二段互相比之比例同也又甲丁一段与甲乙全线之比同于甲戊一段与甲戊全线之比是分线之比例同也故曰四相比例也盖自乙至戊自丙至丁作乙戊丙丁二线分为几三角形此内之乙戊丁丙丁戊两三角形既在二平行线之间又同立于丁戊之底则其积等也又各増入甲戊丁三角形其积亦等也又甲丁戊丙丁戊两三角形其底线同在甲丙一直线而两角又相遇于丁即如前所云二平行线之间有两三角形则两形积互相之比必同于两形底界互相之比则甲丁戊形积比丙戊丁形亦同于底线甲戊比戊丙之比例再彼甲丁戊乙丁戊两形积之比亦同于甲丁丁乙两底线之比也再甲乙戊甲丁丙两形之积既等则甲丁戊形积与乙丁戊形积之比同于甲丁段与乙丁段之比而又同于甲戊段与丙戊段之比是以甲丁段与乙丁段之比必同于甲戊段与丙戊段之比也故以甲丁为一率丁乙为二率甲戊为三率可以求戊丙之四率也诚如是以甲乙丙全形之三角或与所分甲乙戊三角或与所分甲丙丁三角之比例俱为同也因其比例同而此三角全形所分两形之积既为等则甲丙丁所分形之甲丁底与甲丙乙全形之甲乙底互相之比其甲乙戊所分形之甲戊底与甲丙乙全形之甲丙底互相之比俱为同也则甲丁段之一分为一率甲乙全线三分为二率甲戊段一分为三率甲丙全线四分为四率亦为相比例率也凡在三角形内不论何处作与底平行直线则以所作平行线与原底线之比同于两边所截一段与各每边全线之比也如图所截若甲丁段二分甲乙线六分则丁戊线亦为二分乙丙线亦为六分可知也何也试将甲乙丙三角形转以乙甲线为底于戊丁线之戊处至己处作与甲乙平行线则己乙之度即戊丁之度准前节全线与截段相比之例则戊丁平行线与原为底乙丙全线之比必同于甲戊与甲丙全线甲丁与甲乙全线之比也故以甲戊为一率甲丙为二率戊丁为三率乙丙为四率为四相比例以甲丁为一率甲乙为二率戊丁为三率乙丙为四率亦四相比例率也大小三角形每每相当角若等则其积虽异而其形为同谓同式三角形也再有一三角形自此形分之出一庚子癸三角形又出一子丑壬三角形此所分出两形与原形每每相当角俱等亦谓同式形也三角众形内相当各二角度若等则余一角度必等亦谓同式三角形也盖三角相合必与二直角等足半周之度也有众大小三角形若同式将众形相当界互相比之比例为同俱为相比例率也如二勾股同式形则此股与相当股之比必同于勾与勾之比股与股之比也试将勾股如前截一小勾股可騐矣同式直角两形互相之比同于在此各一面相当界所作方形相比之比例盖三角积得方形之半全与全之比若半与半之比也同式直角两形互相之比即是各一面相当界相比之比例为加一倍之比例也如甲线一分乙线二分丙线四分为相连比例线今两形之三边线若各大一倍则亦如直角四边形积为大三倍矣大三倍则非相连比例线而为甲线一分与丙线四分隔一位加一倍之比例也同式钝角锐角互相之比亦同于此各一面相当界所作方形互相比之比例而为在此各一边相当界互相比之比例隔一位加一倍之比例也理如前节有多边众形其边数同而相当角度等谓同式多边形则大形甲边之比与小形甲边之比同于乙边与乙边之比也有众曲界形在曲界形之或内或外作相函之各种直界形其式若等亦谓同式曲界形也两襍界形二圆分形亦于两中间各作三角形若同式即谓之同式襍界同式圆分也大小各圆分之式若同其分限虽殊而分数必等与其分相对所成之心角必俱等也将同式大小多边两形内为三角以分此所分相当大小三角形之式俱同也如两五边形各分为三三角形则甲乙丙与己庚辛相当为同式甲丙丁与己辛壬相当为同式己壬癸与甲丁戊相当为同式盖两形相当角度等则相当界互相比之比例等也乙丙庚辛二界相当之比同于甲丙己辛相当二界相比之比例由是甲丙己辛之比同于丙丁辛壬之比而丙丁辛壬之比亦犹甲丁己壬之比而甲丁己壬之比亦犹丁戊壬癸之比故曰相同式也凡同式多边大小众形互相之比同于在此相当界所作四方形互相比之比例而与此各一面相当界互相比之比例为加一倍之比例也理如前凡大小同式直界形互相之比同于在其形内外相函之同式形各相当界立作平面方形互相比之比例如图甲乙丙庚辛壬相当三角各二形之比同于在甲丙庚壬所作方形相比之比例也盖大形所函者甲丙己丁之形小形所函者庚壬癸丑之形故于甲丙庚壬相当二界立作方形而得比例也凡圆曲襍各种界形之内将每每一类同式形互相之比同于在所比形之内外相函同式形之每每相当所作方形相比之比例也如图大小二圆形内虽函六面同式多边两形函甲己丙丁庚丑壬癸直角四边同式两形函甲丙丁庚壬癸三角同式两形而但取所函四边形甲丙壬庚相当界所作之方形便得圆形比例也盖众界之界愈多则于圆界愈近故将直角形分为千万界形在圆界可以近用之而圆曲形亦既可以为千万直界形以用之故将此二圆为同式直界互相之比同于在所函同式形之相当二界所作方形相比之比例也然则二圆互相之比同于或在辐线或在径线所作方形相比之比例可知矣凡大小平面体之相当角度若俱等相当界互相比而比例若同是谓同式体正方体四瓣面体皆然若圆柱体则论其中所函尖瓣等体若同式则谓之同式圆体各种体之式若同将每每一类体互相之比同于在每每相当界作四方体相比之比例如于两同式尖瓣体之相当作四方体是也同式各种体内将每每一类体互相比者同于在此内外各所函者函于者同式体之每每相当界作方体互相比之比例也如两球体函于两方体以小球则大球则以小方为一率小球为二率大方为三率可以得大球之四率也自直角三角形之直角至相对界作一垂线分为两直角形则此大小三三角形俱为同式也盖中垂两傍所成俱为直角而乙角又不变两角相等则一角亦等而丁变为甲甲变为丁矣丙角亦不变而与乙甲丁同为同式三三角形也自直角三角形之直角至于对界作一垂线截相对界为两段则所截之两段长者为一率短者为三率而垂线为中率为相连比例三率也如甲乙丙甲丁乙两角俱为同式则比例必同以乙丁比甲丁同于甲丁比丁丙也自直角作垂线至于对界在此垂线作四方形又将所分对界两段一段为长一段为髙合作长方形两积俱等也盖三线既为相连比例线凡相连比例三线其中线自乗之积同于一线三线相乗之积故也凡直角三角形是谓勾股勾股上两方合之与弦上方等积何也如图以甲乙丙全形分为甲乙庚甲庚丙大小两形是为同式形而每每相当界互相比之比例同也于是以小形庚丙与全形甲丙之比同于全形甲丙与全形乙丙之比为相连比例率也则在甲丙中率所作四方形必同于一率庚丙为髙与三率乙丙为长相乗所作长方形之积等也又大形乙庚与全形甲乙之比同于全形甲乙与全形乙丙之比亦为相连比例率而在甲乙中率所作方形同于一三合率所作方形之积等也今庚丁乙壬所分之两形与己丙戊乙两方形每等则将所分两形相合则乙丁方形自然与己丙戊乙两方形等可知矣在勾股弦三界作凡同式三形弦上积兼有勾股之积也在直角三角形之大界作乙戊丁丙一半圆在二小界作甲庚乙两半圆亦如前节为等也而甲庚乙半圆之甲戊乙弧一段甲己丙半圆之甲丁丙弧一段若减之则所余甲庚乙戊甲己丙丁二段又与甲乙丙原三角形之积等也一圆之内二弦线不拘何处相交以相交所截之段互相转比之比例俱同为四相比例率也如图二线于己处相交以此戊己段与己丙段相比之比例将己丁己乙相比之位转之为己乙己丁虽以后为前以前为后比之其比例仍同而戊己己丙己乙己丁四段为相比例率也盖乙戊己丁己丙两形此两形之乙角丁角既俱切于圆界而又同立于戊丙之弧则此二角为等而二角之己角为对尖之角其角亦为等二形之三角俱等即为同式也同式则戊己己丙相当二线互相之比即同于己乙己丁相当二线互相比之比例又戊己己丙己乙己丁四段俱为相比例率也于圆径线不拘何处作一垂线将径线截为两段则所截之两段为一率三率而垂线为中率成相连比例也即勾股垂线之理自圆外之凡一㸃出二线过圆界之二处至相对弧界则此两全线互相之比同于在圆界外所有之二段转位以比之比例而为四相比例率也如圆自丙至丁自戊至乙相交作二线成甲丙丁甲乙戊两三角形则两形之丙戊二角既同切于圆界同立于乙丁之弧则丙戊等角也再甲角既系公共则亦等角也二角既等则同式矣同式则甲丙甲戊相当二界互相之比同于甲丁甲乙相当二界相比之比例以甲丙为一率甲戊为二率转位甲丁为三率转位甲乙为四率俱为相比例率也将函于圆之三角形于甲角作平分角之甲戊直线则甲乙傍线与甲丁段直线之比即同于甲戊全直线与甲丙傍线之比也盖甲乙戊甲丁丙形之丙戊二角同弧同切其度为等而甲乙戊之甲角丁甲丙之甲角既自一角而平分为两角其度亦必等是为同式形也则以两形之相当甲乙小界与甲丁小界之比同于又相当甲戊大界与甲丙大界之比也将函于圆三角形之甲角为两平分自甲角至底线作甲丁直线分底线为两段以乙丁与丁丙之比同于甲乙傍线与甲丙傍线之比也盖自丁处作甲乙平行之丁戊线成戊丁丙小三角形则全形之乙角与小形之丁角为平行线一边之内外角为等而丙角系公共角亦为等为同式形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角为平行线间之尖错交角度为等而甲丁戊甲乙丁之甲角原系平分亦为等是甲丁戊角之丁角甲角等可知两角既等则两等角所对甲戊丁戊线亦必等也是故全形甲乙线与甲丙线之比同于相当丁戊线与戊丙之比而甲戊线与丁戊线等则甲乙比甲丙亦若甲戊比戊丙也又丙乙丙甲二线既为丁戊平行线所截则乙丁比丁丙若甲戊比甲丙也凡球体在长圆内苟此球径线与长圆体之底径髙度若俱等则此球积为长圆体三分之二也何则将球体合长圆体于乙丁平分之又将半长圆体内减去半球体余乙己庚丁申丙癸凹面体为与己庚壬尖圆体等积等也何以知之将尖圆凹面二体俱与己庚底平行分为几段之面则两体之面积每段各相等也试将尖圆体分癸夘申一段之面积必与分曲凹形午癸申戌一段周围之面积等矣何也以壬癸半径作正方与壬子子癸两线作两正方并之为等也又以壬癸半径线作一圆与以壬子子癸为两半径线作两圆并之为等也再壬乙与壬癸俱是一圆之半径线必等而壬乙与夘午俱为一长方之平行线亦必等则卯午与壬癸亦必等也是则以壬子子癸为两半径作两圆亦必等于卯午半径线所作一圆也今将夘午所作圆内减去与壬子线相等之癸卯线所作之圆即余癸午曲凹形一段周围之面与癸子为半径线所作圆面等也夫卯癸线与癸子线既为等线而卯癸与癸子为半径作两圆亦必等则癸午曲凹形之面积必与卯癸为半径作圆之面积等矣再将壬未半径作一圆以壬辰辰未为两半径作两圆等亦如前所云以辰未为半径作一圆与壬未相等辰已线为半径作一圆之面积内减去辰未作圆之面积所余未巳曲凹形一段周围之面积与壬辰为半径作圆之面积等而壬辰与辰寅既为正方之等线则以尖体内之辰寅为半径作圆之面积与相对未巳曲凹形之面积等也夫两体每段所分既俱相等则全体亦必相等矣前云一尖圆体与一长圆体其底积髙数若等则尖圆体与长圆体为三分之一也所余曲凹形既与尖圆等积则亦三分之一而所减半球为半长圆体三分之二而全球为全长圆体三分之二矣有一尖圆体又一半球体苟尖圆体底径与半球体径度等而尖圆体髙度与半球体半径又等则此尖圆体为半球体积之一半也盖尖圆为长圆三分之一而半球为长圆体三分之二则尖圆为半球之半也又球体径度与尖圆体底径度若等而球体半径与尖圆体髙又等则此一球体之积当四尖圆体之积也盖将尖圆加一倍则与半球等合四尖圆则与全球等也有一球体又一尖圆体苟尖圆体底面积与球体外面总积若等而尖圆髙度与球体半径又等则此两体之积为等也何也将球体从外面至心分为千万尖体此所分千万尖体之底积必与原球外面之总积等亦即与尖圆体之底面积等也又原尖圆体之髙与所分千万尖体之髙既等则一尖圆体之积与所分千万尖体总积等也如是其所分千万尖体之总积既与原球之积等则此尖圆体之积必与此球体之积等可知矣凡有一球体苟以此球体之半径作一圆则所作圆之面积于此球体外面积为四分之一也如前节之言既为相等又作一小尖圆体其底径与原球径等其髙与原球体半径等则于原球为四分之一而于前大尖圆体亦为四分之一也此大小两尖圆体之髙度既等其两底面积之比同于两体积之比例体积为四分之一底面积亦为四分之一而于球体外面之积亦为四分之一也因其为四分之一而小尖圆体之半径原与球体半径等则以此球体半径作圆之面积亦与球体外面积为四分之一可知矣有一球体又一圆形苟此圆形之半径与球体径度若等则此一圆形之面积为与一球体外面积等也盖以球之半径作圆之半径则其面积为球四分之一若以球之全径为圆之半径则半径所作之圆视全径所作之圆面积又为四分之一矣何则凡圆互相之比同于相当界所作方形互相比之比例又为每相当界互相比之比例为加一倍之比例也兹两半径之比为大一倍而两圆面之比又加一倍即是半径作圆为一分全径作圆为四分既为四分则此圆面积与球体外面等积可知矣有长圆体又一长方体苟此长方体底面积与长圆体周围面积若等又此长方体髙度与长圆体半径之半又等则此长方体之积为与一长圆体之积等也何也将长圆体从壬癸心线至外面分为千万长体则此所分千万长体之共积为子己长方体积之一半也盖子庚髙度与所分千万长体之壬丁髙度相等又长方体之庚己底面积与所分千万长体之底共面积及长圆体甲丙周围面积等如前所云所分千万长体之共积与子己长方体为一半亦如以子庚髙度分一半为戊庚而戊己长体即与所分千万长体相等矣如是则戊己长方体积与甲丙长圆体等积可知也有一球体一长圆体苟此长圆体之底径度髙度与球体径度若等则此球体外面之积为与长圆体周围之面积等也盖将球体半径乙壬分为六分用半径之半三分与戊己庚辛长圆体之面积相乗得数照前节所云为长圆体之积也又用所分六分之二为乙壬半径三分之一与球体外面积相乗得数为球体之积也夫球体比长圆体积为三分之二矣然用三与长圆体周围之面积相乗者为得长圆体积用二与球体外面积相乗者为得球体积今以球体与长圆体相比之比例同于为乗面积用三二两数之比例如是则球体外面之积与长圆体周围之积等可知也有一平面鸭卵形其大径度与圆径若等则鸭卵形之平面积与圆面积之比同于以鸭卵形之小径与大径相比之比例也何也将与戊己径线平行任分几线此每线假如庚辛与壬癸之比同于戊己与乙丁之比而为作鸭卵形之定理也今每平行线俱依此之比例即平行鸭蛋形之积与圆形之积相比同于乙丁小径与戊己大径之比例也长方面内有平面鸭卵形正方面内有圆形苟长方之寛与鸭蛋形小径度等长与大径度等而正方一边度又圆径度俱与鸭蛋形大径度等则以长方面积与正方面积之比例同于以鸭蛋形面积与圆形面积相比之比例也又鸭蛋体大径与球体径度若等则鸭蛋体外面积与球体外面积相比之比例同于以鸭蛋体小径与大径相比之比例也何则将两体外面俱分几平行圆此每圆假如以子丑圆界与寅卯圆界之比同于以子丑圆径与寅卯圆径之比也今照作鸭蛋形之定理而子丑径与寅邜径之比同于戊己径乙丁径相比之比例诚如是其每大圆界与相对小圆界俱依此为比例则两外面积之相比同于两径之相比可知矣有能函鸭蛋体之长圆体则鸭蛋体外面之全积为与长圆体周围之积等也则试以鸭蛋体之大径作球之径又作一函球之长圆则函球之长圆与函鸭蛋之长圆周围面积之比同于两底圆界相比之比例亦同于大径线与小径线相比之比例也又球体之面积与函球体之周围面积既等则以函球体周围面积与函鸭蛋体周圆面积之比亦同于大径与小径之比也则是鸭蛋体面积与函鸭蛋体周围面积二项与球体面积相比皆同于大径与小径之比则鸭蛋与函蛋体两项面积相等可知矣有一鸭蛋体函于一球体则两积之比同于鸭蛋体小径线所作正方面与球体大径线所作正方面相比之比例也有一鸭卵体有一恰函鸭蛋体此两体积之比同于球体积与函球体积相比之比例也有一鸭蛋体恰函于长圆体内则鸭蛋体积为得长圆体积三分之二也盖蛋体与函卵体之比同于球体与函球体之比则彼为三分之二此亦三分之二也有一长方体恰函鸭蛋体有一见方体恰函球体则长方体积与鸭蛋体积之比同于见方体积与球体积相比之比例也又长方体积与见方体积之比同于鸭蛋体积与球体积相比之比例也有一球体恰函于长圆体内若将此两体俱于寅邜处分之此所分球体子丙丑一段之凸面积与所分相对长圆体寅巳庚卯一段之周围外面积为等也何则假如于癸子丑辰小长圆体内减去壬子丑小尖圆体此所减小尖圆体积为小长圆体积三分之一其所余者必是三分之二而此所分寅子丑邜曲凹体之一段周围面积与子丑线为径作相对圆之面积等矣如是则乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体与癸子丑辰小长圆体此二体之底面积髙度既等其体积亦等而乙寅子丑卯丁曲凹体之积与壬子丑小尖圆之积等矣然因何为等盖壬子丑小尖圆体所分每每圆之面积与所分相对每每曲凸体周圆之面积等也壬子丑小尖圆体积既为癸子丑辰小长圆体积三分之一又此小长圆体积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为相等则是乙寅子丑卯丁曲凹体之积与乙寅子丑卯丁辰癸长圆一段空心体积为三分之一苟于乙子丑丁球段内减去壬子丑一小尖圆体余乙子壬丑丁球体一段之积与乙寅卯丁一长圆体积为三分之二也若于乙寅卯丁长圆体内减去壬寅卯尖圆体为此乙寅卯丁长圆体三分之一余乙寅壬卯丁长圆体一段之积与乙子壬丑丁球体一段之积等也今将乙寅壬卯丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体之共底面积相乗得数为乙寅壬卯丁一段之体积数也又以此乙子壬丑丁一段之体从外面至心之壬处分为千万尖体若以乙壬半径为髙度用三分之一与所分千万尖体之共底面积相乗得数为乙子壬丑丁一段之体积数也如前所云此乙寅壬卯丁一段体积与乙子壬丑丁一段体积既等则此两体面积亦必等而此乙丙丁半球体凸面积与乙己庚丁半长圆体周围外面积亦等若于半长圆内减去乙寅邜丁一段外面积于半球体内减去乙子丑丁一段外面积此所减之乙子丑丁一段面积与彼所减之乙寅邜丁一段面积为相等此所余子丙丑球体一段面积与彼所余寅己庚邜长圆体一段面积相等可知也有鸭蛋体一半有球体一半若全球体径度与全蛋体大径度等而半鸭蛋体髙度与半球体髙度亦等则此半蛋体外面之积与半球体外面积同于以蛋体小径度与球体径度相比之比例也理同前有大小半鸭蛋体有大小半长圆体若全体之小径与全体之底径等而大小半体之髙度又等则此大小半鸭蛋体外面之积与大小半长圆体周围外面之积等也何则试作一鸭蛋体外函以球体又外函以长圆体照甲己髙度截于寅丑为长三分之一则全与全半与半之比亦若三分之一与三分之一之比也是小半蛋体之外面积与小半球体外面之积之比亦若函小半蛋体外面之积与函小半球体长圆之外面积相比之比例而小半球之外面积既与函球小半长圆之外面积等则小半蛋体之外面积安得不与函蛋体小半长圆之外面积等乎有一鸭蛋体恰函于一球体内则以鸭蛋每段之积与相对球体每段积之比同于以鸭蛋体小径之所作正方面积与球体径度所作正方面积之比也如图甲寅邜一段与相对球体甲子丑一段俱与乙丁戊己大小径线平行分为几圆面此所分蛋体每圆之面积与所分相对球体之每圆面积之比同于以乙丁小径度所作正方面积与戊己大径度所作正方面积相比之比例如是则以甲寅邜之体积与甲子丑之体积之比同于乙丁径之方面积与戊己径方面积相比之比例可知矣在一直线一边立垂线法如乙丁线欲于乙边作垂线则将规矩一股任意立于甲丁线上或丙处为心又以一股自乙处转作一圆则于丁乙线之甲处相交自相交丁处过丙心至相对圆界作一直线此线于戊处与圆界合自戊处至乙处作一戊乙直线即垂线也分圆界为三百六十度法则照圆之辐线度分此界为六段六段分为十二段十二段各平分为三段则为三十六段三十六段各平分为五段则为一 百八十段一百八十段又各平分为二段则成三百六十段矣一直线上欲作一三十度角则将甲乙线照分度圆之丙丁辐线度截于戊处又以规矩一股立于甲一股自戊处旋转作一弧线乃以规矩取圆界之丙庚度将弧线截于己处自己至甲作一直线即为三十度角也有丁戊直线欲于丙处作平行线则以规立于丙向丁戊线作弧线如甲又以规取丙甲度立于乙向丙㸃平行作一弧线又照甲乙度以规立于丙向第二次所作弧线处再作一弧线则二线于己处相交自丙至乙作一直线则成平行线也如甲乙线上作一四方形则以规矩立于甲作丙乙弧线又立于乙作甲丁弧线又于甲乙两头如法立甲丙乙丁垂线于丙丁二处相切又作丙丁一直线即成为四方形矣如乙圆之外有甲㸃欲于此㸃作切圆线则于甲㸃至圆心作一直线又以乙为心以甲为界作甲丙弧线又自甲乙线所割丁处作丁己垂线截外圆界于丙又自丙至乙作一直线又于丙乙线所割戊处作甲戊线则所求之切线也欲知圆界内等角之角度则三角形各六十度四界形角各九十度五界形角各一百○八度六界形角各一百二十度七界形角各一百二十八度三十四分十七秒(度各六十分分各六十秒)八界形角各一百三十五度九界形角各一百四十度十界形角各一百四十四度十一界形角各一百四十七度十六分二十二秒十二界形角各一百五十度作函圆多界等度之各种形法则自圆心作几辐线(三边)(作三线四边作四线余倣此)于辐线末各作切界线引至合角则成函圆多界形也作函多界俱等各种形圆法则照平分直线法作垂线引二垂线相交处为心以角为界即成函多界之圆形也各形作内切圆亦照分直线法以交合处为心以边为界即是也一三角形一圆形欲于此圆外作切界三角形与原有之三角形同式如图将乙丙底线引长作辛壬线即成乙丙两外角即于图作与辛乙甲等之子癸戊角作与壬丙甲等之己癸子角于癸己子三辐线末作垂线引而合之即成同式形也何也盖三角形之三角相并必与两直角等今丑戊癸子四边形作戊子线分为两形此四边形之四角相并必与四直角等就中减戊子原作之两直角所余癸丑两角相并亦与两直角等也又直线上内外并必与二直角等则辛乙甲外角甲乙丙内角并之必为两直角今戊癸子角既为效辛乙甲所作则戊丑子角必等甲乙丙角可知矣凖此而论则丙角必等于卯角甲角必等于寅角又可知矣若欲于圆内作切界同式三角形如图任意作与甲角等度之辛角将角逐线引至圆界作辛庚辛戊二线再自戊至庚作一直线又于戊处倣乙角作戊角引线至壬切圆界再自壬至庚作直线即成同式形何也盖戊壬庚庚辛戊两形同立于戊庚之弧而壬辛两角同切于圆界则两角为等因其为等此辛角原倣甲角而为比壬等于辛则亦必等于甲也又戊角乃倣乙角而为比亦必等也二角既等则庚角之等丙角可知矣勾股形作容方则以直角为心勾末为界规作一象限将弧线两平分处作直线至直角分弦线为两于弦线分处作一勾垂线又作一股垂线即成两直角也有甲乙直线欲将此直线为正方对角线与正方边相较之所余求作一正方则以甲乙线为一边线作一小正方作甲丙小对角线又以丙为心乙为界作一圆又引甲丙线至戊作甲戊为大正方一边线作大正方即是所求之正方也何也引甲乙线至己为对角线乙己之线与戊己之线等盖丙乙丙戊同为小圆之辐线则戊乙两角为等也若于丙乙己丙戊己二直角内减去乙丙戊则所余乙戊两角又等也两角既等则两边亦等而甲乙为戊己相较之余也有一直线将此线为底作一两边等度而两边各一角为上一角之倍则将两头各作七十二度角两线引长相交则上角必三十六度也若以一直线为两边等度线则作一三十六度角两边如线之长而止又作一底线则下两角各七十二度也若欲以一直线为五边形之一边则如前于此线之两头各作七十二度之两边等形于此形外作切角圆形再于两长边弧线度各平分之则成五边形也何则丙乙弧之界角为三十六度若为心角则七十二度则丙乙弧乃得圆分之七十二度于圆分为五分之一也则于甲丙弧及甲乙弧各两分之合成五分故为五边形也理分中末线将全线求大小分则将全线为一边线作一两边等度两底角与上一角各大一倍之三角形又作五边形乃自甲至乙作直线截于丙处则丁戊为全丁丙为大分戊丙为小分得相连比例也盖丁甲乙戊两弧线度等则甲戊丁乙甲戊两角度必等又戊甲乙角与戊丁乙角共立于乙戊弧则角度亦等也再甲戊乙与戊甲丁两角本相等若以等角内减去甲丙戊形则所余丁甲乙丁戊乙两角必等矣然则丁戊乙角原系与乙丁戊角为大一倍作者则丁戊乙角比甲戊丙戊甲丙两角为等矣其丁丙甲角因为甲丙戊之一外角与丙甲戊丙戊甲两内角为等而丁丙甲与丁甲丙两角为等矣因其等则丁甲丁丙两线为等也又丁甲甲戊两线原等其甲丁戊角必与甲乙丁角等而丁戊甲甲戊丙大小两三角形内小三角形之丙甲戊角与大三角形之甲丁戊角亦等又丙戊甲之戊角与丁戊甲之戊角原系共角亦必等因大小两三角形既等是为同式则以戊丁线与甲丁线相比之比同于以戊甲线与丙戊线相比之比例而丁甲与丁丙等戊甲与丁甲等亦与丁丙等则以丁戊全线与大分丁丙相比之比同于丁丙大分与丙戊小分相比之比例为相连比例也欲平分甲乙一直线为数段则于甲乙末各作一直线如丙丁将丙丁各为平分作线割甲乙线则甲乙线亦为平分也于是甲乙线与乙壬线之比同于甲丁线与丁己线相比之比例矣又如有甲乙线于己辛两处分为三分又有丙丁一线亦欲分为三分为相比例三率则以甲乙线丙丁线为平行线自甲乙之末各分直线切丙丁线末至戊相㑹又自辛己两处各作两线亦合于戊则丙丁线即分为三分而为甲乙线之相比例三率矣有直线二率作与此相连比例三率线法如有八分甲乙四分甲丙之二线求作一二分之相连线则将甲丙甲乙二线合成甲角又于乙末増甲丙线度为甲戊线自乙至丙作一直线又于戊作乙丙之平行线如戊己将甲丙线引至己处则所引丙己线度即为二分之分而为甲乙甲丙相连比例第三率也(甲乙甲丙乙戊丙己为比例四率乙戊同甲丙除去不用则甲乙与甲丙之比同扵甲丙与丙己之比也)有直线三率欲作相比例第四率线再为相比例数率线则照様作甲丙线而以甲乙线度截于乙处乃用规矩以甲为心以乙为界作一弧线而取乙丁线度一股立于乙一股交于弧线得相交之丁处遂作乙丁线又作甲戊线切丁末如甲丙度长又作与乙丁平行之戊丙线其戊丙线即为第四率也盖甲丙全与甲乙段之比同于丁乙平行线与戊丙底之比比例同也若欲作相比例数率则将甲戊甲丙线引长如癸子中作平行数线分为五叚即得十相比例率也故以甲乙与甲丙之比同于丁乙与戊丙之比例甲丙与甲己之比同于戊丙与庚己之比例甲己与甲辛之比同于庚己与壬辛之比例甲辛与甲癸之比同于壬辛与子癸之比例也比例尺二股各有平分线分为二百余分假如有丁戊一线欲分为十分则以规矩取丁戊线度立于尺各二百分之乙丙二㸃将尺乙丙二处照丁戊线度开之使不移动次以规矩立于尺之第二十分之己庚二㸃取己庚之间度此间度即是平分丁戊线为十分之度也何也如甲乙丙三角形为己庚平行线所截则甲己与甲乙之比同于己庚与乙丙之比例甲己二十分甲乙二百分为十分之一乙丙十分己庚一分亦为十分之一也于比例尺作圆之诸弦线之总线法则自甲之合处至乙丙二末作二线于甲乙之丁处为心以甲乙两末为界作半圆而分半圆界为百八十度自甲处至所分圆界各作弦线而立规矩一股于甲处又以一股于戊二十度己四十度庚六十度辛八十度壬百度癸百二十度子百四十度丑百六十度等处取弦线度各作于甲乙甲丙两线上即为诸弦线度之总线也其取用之法若欲知寅角之度则以规矩一股立寅处一股任意作夘辰弧线随取寅夘辐线之度立于尺之六十度之丁未处将尺之丁未照辐线度开之勿动乃将规矩取夘辰弧线之度放于尺两股所容中间何处恰好若恰容在八十度之申酉处则是现原有寅角八十度之弦线也何则若作丁未申酉二直线则甲申酉之三角形为平行之丁未线所截则甲丁与甲酉之比同于丁未与申酉之比也然则甲丁为六十度弦线甲酉为八十度弦线其与底平行之丁未线既与小圆辐线等所以丁未线为小圆六十度之弦线申酉线亦为小圆八十度之弦线以此知寅角夘辰度之为八十度也如此凡大小圆之辐线度安于尺之六十度处照此开之其大小圆之诸弦线之度俱现于两股间也(以六十度通弦)(即半径故)于比例作分平面线法自甲之合处至乙丙二末作直线截甲丙线于丁处照甲丁度于甲末作甲戊垂线自戊处至所截丁处作戊丁线照戊丁线度将甲丙线截于己处自戊至己作戊己线又照戊己线度将甲丙线截于庚处自戊至庚作戊庚线照此不止作至丙末又将甲乙线亦照甲丙所截截之即成分平面线也何则于甲丁戊直角三角形之三界作三正方形甲丁甲戊上方相等者也丁戊上方兼甲丁甲戊两方者也至甲己之界即丁戊之界是甲己上方比甲丁上方为大一倍甲庚方大甲丁方为二倍也由是推之甲庚方大甲己方一倍甲辛方又大甲庚方一倍如此则甲辛甲壬等界上方俱是大于甲丁界上方三倍四倍可知也苟有一癸子平面四方形欲大于此形二倍之四方形则以规矩取癸子界度立于丁处将尺照此度开之勿动次将规矩取尺庚寅处度作方即大于癸子方二倍也盖于丁丑庚寅作二线而甲庚寅之三角为丑丁平行线所分则以甲丁比甲庚若丑丁比寅庚也甲庚既大于甲丁二倍则寅庚亦大于丑丁二倍矣有二直线欲以此二线作中比例线法则将二直线相连为圆径以平分处为心以两末为界作圆形然后于二线连接处作垂线切圆界则为中比例线也有二直线作中二率比例线如图将二线合为直角又引作十字线如丁与丙取矩尺庚癸二角正跨两引线上使矩尺壬辛股二处正切于甲戊之末遂作甲癸癸庚庚戊三线其所现乙癸乙庚则为中二率线也盖以戊癸之丑为心戊末为界作半圆以甲庚之寅为心甲末为界作半圆则乙癸线者甲庚半圆径上之垂线为甲乙乙庚之中率也乙庚线者戊癸半圆径上之垂线为乙戊乙癸之中率也则以甲乙线比乙癸线同于以乙癸线比乙庚线也以乙癸线比乙庚线同于以乙庚线比乙戊线也故曰中二率也于比例尺作分体线法则于甲之合处至二股之乙丙二末作甲乙甲丙二线以规矩取丁己方体之戊己界度立于甲而截于甲乙线之庚处次作大于戊己界一倍之辛壬线依前法求得中二率为癸子丑寅二线将癸子界作见方体则此体大于丁己见方体一倍也盖四线为相连比例率而戊己与辛壬为加二倍之比例则丁己卯子二体为同式而以戊己癸子各一界相比之比例为加二倍之比例也戊己辛壬二线之比因同于丁己卯子二体之比例若辛壬第四线大于戊己一倍则卯子体亦大于丁己体一倍矣次将规矩取癸子界度一股立于甲一股照此度截于甲乙线之辰处则此度所作方体大于原丁己体一倍矣再作比原丁己体之戊己界长二倍之己未线照前求中二率之申酉戌亥二线将申酉第二率线度取于规矩一股立于甲一股截甲乙线之干处则甲干界度所作方体比原丁己体为二倍可知也照此不止作大于丁己体之戊己界或三四倍或五六倍之长线如前求得中二率将所求第二率度截于尺线上即成比例尺之分体线也若有一坎庚见方体欲作一大于此二倍之体则以规矩取坎庚体之艮庚界度将比例尺之所截庚处照此开之勿动次将比例尺第三所截干处之开度取于规矩即是大于坎庚体二倍之形界盖甲庚线与甲干线之比同于以庚庚与干干线之比例甲干上方大于甲庚上方二倍则干干上方必大于庚庚上方二倍可知矣又有易分之法如一面之界度长一百厘则以此界一百厘自乘再乘则此体积共乙百万厘大此一倍之体数为二百万厘其二百万厘体之一面界度为一百二十五厘又大二倍之体数为三百万厘其三百万厘体之一面界度为一百四十四厘如此累加将外界之厘数书明又将厘度分于尺寸欲书入比例尺则将所书之数以规矩取所分之度初照一百厘界度截比例尺之庚处次照一百二十五厘界度截于辰处三照一百四十四厘界度截于干处不止至末与前法所分俱为同也有一直角四界形作为与此等积之正方形如图将甲乙乙丙合为一直线求得中率之丁乙线作丁戊正方形为与甲丙等积也盖相连比例三率其中率自乘之积与首率末率相乗之积等故丁己上方与甲乙乗乙丙之方等积也凡有三角形知其一角之度及角两旁之界度或知其二角之度及一界之度或知三界度而不知角度欲求全知法如甲乙丙三角形知丙角为三十七度角两旁丙甲界长十四丈丙乙界长十三丈则作与丙角为等之丁角亦三十七度角傍丁戊界作为十四分长丁己界作为十三分长自戊至己作直线相㑹与甲乙丙大形同式将戊角之度取于规矩安于分度圆界看容多少便知戊角度若干若容七十度则大形甲角之度亦为七十度矣又小形己角可知为七十三度则大形乙角亦七十三度矣再因小形戊己界分作九分可知大形甲乙界之为九丈矣余皆如此盖即小以知大举一以例余也作不用比筭测髙深广逺各种三角形之仪器法先作甲乙丙半圆界分为百八十度将此半圆之丁甲丁乙丁丙三半径线每每分为一百分各作直线纵横相交㑹如碁局再于径线之两末作两立表安住不动又于丁心处如图作一逰表如戊己将逰表亦如半径度分为二百分再于此仪器后面挂一坠线为庚即可按线而测矣如欲测旗杆之髙则将仪器之丁心安于所立之处定准坠线以甲乙径线两末之立表与旗杆癸处对准为地平穏住不动再将戊己逰表与旗杆尖之辛处相对准次量所立之丁处至旗杆癸处得若干若得四十丈则看仪器地平线上自丁心起用四十分当四十丈如子再㸔子处垂线与上逰表相交处得若干若得三十分如丑则旗杆之髙为三十丈也若欲测丁辛弦线数则㸔自丁至丑相交处得若干分若得五十分则相当数为五十丈也若欲测丁癸辛三角形之各角度则癸角既为直角再㸔圆界自乙至游表相交处得若干度为丁角度与九十度相减所余者为辛角度也画地图者选戊己两处可以尽见诸形先于戊处立仪器指诸要𦂳数处看所成之数角各得几何度记之次移仪器到己处将不动表与己对准为地平亦指于诸要𦂳数处看所成之数角亦各几何度亦记之然后取一幅纸任意作一线为戊己相当线将前所测角度倣而作之一 一与前相当成数三角形其中边所有之形一一画上即成图也若将大图蹲入小图则将大图分为数正方形小图亦分为数正方形与大图相当将大图中某方形内所函之山河城渠村林依蹲而入于小图即与原大图同也 凡有多界形倣此或为大或为小之同式形方如甲乙丙丁一无法形欲减各界之半作同式形则任意自一壬处作诸对角线又任意将甲乙界之度取其半为甲乙平行线作于甲壬乙壬二线之间恰容癸子处照此于对角线间作诸界之平行线则所成癸子卯己之形即是原有形每界减一半之同式小形也苟欲作大于原有之形则将对角线任意引长而照前任意加为界度与原界作平行线即成所欲作之大形也或自一角发线亦可凡两数相乗者平行方数也如二三相乗为六是也三数连乗者立方数也如二三乗得六又乗以四则为四六二十四也(以上为几何原本)凡一与三之比同于四与十二之比一与五之比同于十二与六十之比二之比三亦犹四之比六也六之比九也盖凡可以倍计者皆可为比例二其二而为四二其三而为六三其二而为六三其三而为九故三与九之比同于六与三十六之比(按末句有误数)凡可以度尽大数之众小数相合于此加数根之一所得之总数与所度之大数等也如大数有六可以小数二三度尽若加数根一则亦六也大数二十八可以小数二四七十四度尽若将二四七十四与数根之一并之则亦二十八也有一比例数求与此比例相等之相连比例数法如三与五之比例求与此比例相等之相连比例几将三自因得九又三与五因得十五又五自因得二十五则此九与十五及二十五之三数为三与五比例相等之相连比例三数也三与五之比同于九与十五之比例九与十五之比同于十五与二十五之比为相连比例也又将三因九因十五因二十五得二十七及四十五与七十五又将五因二十五得一百二十五此所得二十七四十五七十五一百二十五之四数为三与五比例相等之相连比例四数同于三与五之比例也凡一数除众数所除得数之比同于原众数之比也如以三归十二而得四以三归十五而得五则四与五之比若十二与十五之比也而四与十二之比同于五与十五之比也有同相比例四数其首末相乗所得数与中两数相乗之得数等也有相等两方数则此纵与彼纵之比同于以彼横与此横之比也如四六相乗与三八相乗皆为二十四则以此之六比彼之八以彼之三比此之四比例为等也凡以两数除一数而尽此得之两数相比若所用以归除两数之比也如四除三十六而得九六除三十六而得六则九六两数之比若六四之比也凡有平加众数此众数内之凡一数若作为原数将此数以上有几位平加几次相差之数与首数并之得数为与原数等也如上所列之数若将十五作原数此十五以上有四位而众数原平加之数系三若将三之四次数而与首数三相并得十五与所作原数之数等也由此推之若于平加众数内凡减一位将所余之位数与原平加之数相乗得数与众小数内至小数相并与众数内至大数为等也假如上六数内减一数余五数将此五与平加之三相因得十五与至小数三相并得(三六九二五八 一一一) 十八为与至大数相等矣凡平加众数若将此数内之两数相并所得数与两傍相等隔位之他两数相并得数等也如十二与九为廿一十五与六亦廿一十八与三亦廿一也盖升愈升降愈降合降与升则但见平也又将此内凡一数之两傍数相加折半即与中间数等也如十五加九为廿四折半斯得十二矣十二加六为十八折半斯得九矣十八加十二为三十折半斯得十五矣其理则前节可推也又此平加众数若将首末两数相加以所有几位之位数相乗得数折半则与原有众数之总数等也如十八加三为廿一以位数六乗之得乙百二十六折半得六十三与众数之总数等也盖照前节推六数相加合成三十三今以六乗故必折半也若五位或七位之竒数理亦相同凡平加之位若是竒数则以中一位之数与位数几相乗即得众数之总数也如所列以中一位一○乗位数五得五十即为众数之总数也盖首尾相加乗位数折半而得总数今中位乃首尾相加之一半故以乗位数(四七○三六 一一一)总数(○五) 即为总数也凡有自一每位平加二比例众竒数之总与位数自乗之得数等也如所列总数得四十九以位数七七自乗亦四十九也若一三五七九五位总数二十五以位数五自乗亦二十五也理如前节以中一位数乗位数同盖七位则七为中五位则五为中故也亦如首乗相并(一三五七九一三 一一) 折半乗位数之理也凡有自二每位平加二之比例众偶数以位数加一以与位数相乗即与众数之总数等也如所列位数是七加一为八以与位数七相乗为五十六即总数之数也亦即首末相加折半乗中一位之理也若位数是偶则(二四六八○二四 一一一) 以位数自乗可得众数之总数也凡平加比例之众数如所列以小数一与大数十一相减余十以平加数根二除之得五再加入小数一得六(一三五七九一 一) 即原有之位数也凡平加比例知小数及位数与平加数根而求大数法如所列知小数三知位数六知平加数根四将位数六减一余五与平加数四相因得二十加十入小数三即大数为廿三也若欲知小数则亦以位数六减一余五与平加数四相因得二十以与大数十三相减余三则此三即为至小数也若知小数及位数及平加数根而求知总数则先察得大数为二十三加入小数三为二十六以与位数六相乗得一百五十六折半得七十八为所求之总数也若知大数及平加数根及位数而求知总数法亦如之若知大小两数及位数求平加数根法则将三与廿三相减余二十又将位数六减一为五除之得四则此四为平加数之根也若知大小两数及平加数根而求位数法则将大数与小数相减余二十以平加数四除之得五加一为六即是所求之位数也若知平加之数根与位数及众位之总数而求至大至小之两数法则将总数七十八以位数六除之得十三为首末两数相加之一半又将十三加倍作廿六为首末两数相加之总数乃将位数六减一余五与平加数根四相乗得二十为至大数又将前所得之二十六与此二十相减余六为小数之加一倍数此数折半为三是所求之至小数也将三加入二十得二十三为所求之至大数也此法之理备于前矣凡不等两数求一数可以度尽之法如二十与廿四相减余四又将四与二十相减余十六以十六与四相减余八以四减八则无余则此四为度尽两数之数也谓之转减亦谓之纽数三边无角不可以相比例则必先求中长线以为正弦然后角可求也然中长线之数为正弦而仅有半径无角无余弦则其数又不可知故以勾弦求股之术求之除一边为弦则总较之术所求者勾也盖两弦之总之较既具于上两边矣所求者欲破下边以为两勾而得其较耳两弦之总乗弦之较以两勾之总除之必得较矣(钝角则以较除而得总)以勾较之余取其半以益较必得大勾矣存其半必得小勾矣如此则中长线之数可明而勾股弦相求之术可施既得勾股之数则用以与半径正余弦相比例而角可得矣一角有角无对边数两边有边无对角数则皆不可以互求矣然此两边所对之角乃与得角合成半周度是此角之外之弧度即两角之度也但未知两角之大小何如剖分耳惟外角有平行之对角与两角之一角等度则虽其数未可知而其形可剖欲知其数者必以两角之较求之欲知两角之较者又必以两边之较例之两边有总有较半外角又有切线则可因是以求半较角矣以半较角减半外角则小边对角之度得矣其余一角则可以三隅反矣三较连乗者求三角容圆之半径也○三较者三边与半总相较之余也三较连乗所得之数乃容员半径自乗又乗半总之数也故以三较连乗为中率而以半总除之则得容员半径之积数矣以积数开方则得半径矣○两数所以相合者何也盖引伸三较于一边则半总也从两边之角直剖为长线于第一较处横断作小勾即容员半径也至末总断作大勾而以容员半径乗之即二较三较相乗之数也小勾自乗比乗大勾如第一较与半总之比例则二较相乗以小勾自乗乗之亦如第一较与半总之比例(阙)钱百文买果百颗 梨一颗钱三文 柑一颗钱二文橄榄七颗钱一文 算得梨四颗钱十二文 柑四十颗钱八十文 橄榄五十六颗钱八文(按此条前后皆有阙文)庄氏算学卷二
## 卷三
钦定四库全书庄氏算学卷三淮徐海道庄亨阳撰勾股测量立表杆测法(凡立表杆必用垂线取直并凖量所立地距人立尺寸以取)测髙(设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之)法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺(如图丁丙)向前又立一表杆髙八尺(如图戊己)看两表端与旗杆顶齐(如图甲丁)量两表间相距五尺(如图丁庚)乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺(如图戊庚)为二率距旗杆三丈(如图丁辛)为三率求得四率二丈四尺(如图甲辛)加入后表四尺得二丈八尺(如图)(甲乙)即旗杆之髙也测逺(设有一树欲知其逺用表杆测之)法先立一表杆对树(如图甲乙)次于表杆处取直角横量十五丈立一表杆(如丙)再依次表立一表杆对树参直(如丁)乃于丁表处作垂线至丙乙线界(如图丁己)量得五丈复量丙己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈(丙乙)为三率求得四率二十五丈(如图甲乙)即树之逺也比例(比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一)(率归除得四率为所求)正比例(一名异乗同除)法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银若干 法以原有之三人为一率一两八钱为二率今有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏银总数转比例(一名同乗异除)法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得四率为所求假如有田一畆原濶八步长三十步今要濶十二步该长若干 法以今濶十二步为一率原长三十步为二率原濶八步为三率求得四率二十步即今所求之长数(葢乗除之数逓増逓减者为正比例总数相同分者多则得数转少分者少则得数)(转多为转比例)正比例带分设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤十二两该换锡若干法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两转比例带分设如营造每日用五十六人计一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工该几何日法以今用六十四人为一率因分母为九(即命一月为九分也)加入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得四率十分半满分母九分收为一月余一分半即命为一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数合率比例(系合两比例或合三比例用一次除乗而得)设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈应换绵布若干法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所换绵布之数(此两比例合为一比例法)如分两比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八丈即为夏布所换绵布之数设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鵞几何法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只再以所换鸡二十只乗之得三千六百只为一率以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只再以原鹅八只乗之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率求得四率二十只即羊五只所换鵞数(此三比例合为一比)(例法)如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只所换鵞数以鸡二十只为一率鵞八只为二率今羊五只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即羊五只所换鵞数也测髙(设有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆两测求之)法先立一表杆髙四尺(如图丁丙)向前又立一表杆髙八尺(如图戊己)看两表端与旗杆顶齐(如图甲丁)量两表间相距五尺(如图丁庚)记之再退后三丈对凖前表立一表杆髙四尺(如图)(壬癸)向前又立一表杆髙八尺(如图子丑)看两表端与旗杆顶齐(如图甲壬)量两表间相距一丈(如图壬夘)乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺(如图壬寅)为一率前表八尺与后表四尺相减余四尺(如图子夘)为二率先测与再测相距之三丈(如图壬丁)为三率求得四率二丈四尺(如图甲辛)加入后表髙四尺得二丈八尺(如图甲乙)即旗杆之髙如欲求其逺则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺(如图壬寅)为一率再测之距度一丈(如图壬夘)为二率两测相距之三丈(如图壬丁)为三率求得四率六丈(如图)(壬辛)即旗杆距退后表杆之逺又法设塔一座欲知其髙用相等两表测之法先立一表杆比人目髙四尺人离表杆六尺㸔塔顶与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目髙四尺人离表杆八尺㸔塔顶与表端齐乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减余二尺(如图己壬)为一率表比人目髙四尺(如图辛庚)为二率两表相距六丈(如图辛戊)为三率求得四率十二丈(如图甲癸)加表比人目髙四尺(如图癸乙)共十二丈四尺(如图甲乙)即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔顶距地平之髙如求塔距前表之逺则以两表距分相减之二尺(如图己壬)为一率前表距分六尺(如图丙丁)为二率两表相距之六尺(如图辛戊)为三率求得四率十八丈(如图戊癸)即塔距前表之逺再加六丈即塔距后表之逺又法设楼一座欲知其髙以不等两表测之法先立一长表比人目髙六尺人离表五尺四寸㸔楼脊与表端齐又退后二丈立一短表比人目髙四尺人离表六尺四寸㸔楼脊与表端齐乃以前表比人目髙六尺(如图丙丁)为一率前表距分五尺四寸(如图目丁)为二率后表比人目髙四尺(如图戊己与庚辛同)为三率求得四率三尺六寸(如图目辛)为前表与后表同髙所得之距分(庚目辛勾股形与戊壬己)(勾股形同)爰以三尺六寸(如图目辛与壬己同)与后表距分六尺四寸(如图目己)相减余二尺八寸(如目)图壬为一率后表比人目髙四尺(如图戊己)为二率前表距分五尺四寸(如图目丁)内减三尺六寸余一尺八寸(如图辛丁)与两表相距之二丈(如图己丁)相减余一丈八尺二寸(如图戊庚)为三率求得四率二丈六尺(如图甲癸)加表比人目之髙四尺(如图癸乙)共得三丈(如图甲乙)即人目以上之髙再加人目距地尺寸即楼脊距地之髙又日景测髙(设一旗杆量日景长十丈问髙㡬何)法于同时立一表杆髙四尺量表景长二尺乃以表景二尺为一率表髙四尺为二率旗杆之景一丈为三率求得四率二丈即旗杆之髙矩度测量(矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横竖俱界线画成小方分对中)(心所出线两边安表取中心安逰表定凖坠线以成勾股)测髙(设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙㡬何)法用矩度以定表看地平逰表看旗杆顶得距地平分四十分(此矩度系界画为一百分自中心平分半矩为五十分)乃以半矩五十分(如图丁己)为一率所得距分四十分(如图辛己)为二率距旗杆三丈(如图丁庚)为三率求得四率二丈四尺(如图甲庚)即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙再加矩度中心距地(如图庚乙)即所求旗杆之髙也测逺(设有一树欲求其逺用矩度测之)法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距分三十分(如图戊丁)为一率半矩五十分(如图戊丙)为二率横量十五丈(如图丙乙)为三率求得四率二十五丈(如图甲乙)即所求树之逺也重矩测髙(设山一座欲知其髙以重矩测之)法用矩度以定表看地平逰表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表所看原处逰表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分(如图己庚)为一率半矩五十分(如图丙庚)为二率后矩距分三十二分(如图辛壬)为三率求得四率四十分(如图)(丙子)乃以后矩之半矩五十分与四十分相减(后矩之辛壬丑勾股)(形与前矩之癸子丙勾股形相同)余十分(如图丁丑)为一率后矩距分三十二分(如图辛壬)为二率两矩相距九丈(如图丁丙)为三率求得四率二十八丈八尺(如图甲戊)即矩度中心所对地平至山顶之髙再加矩度中心矩即所求山之髙 若求山距后矩之逺则以相距矩分相减之十分(如图丁丑)为一率半矩五十分(如图丁壬)为二率两矩相距之九丈(如图丁丙)为三率求得四率四十五丈(如图丁戊)即后矩距山之逺减两矩相距九丈即前矩距山之逺又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫(如图甲乙与丙丁两)(勾股相并)为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘(如图右丁)为二率横量三十九丈(如图右左)为三率求得四率五十丈(如图石右)即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫(如图甲左)为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈(如图石左)即左矩距石之逺也又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度(如止用一矩度则记凖一处亦可)以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分(如图戊乙)为一率先安矩度逰表之斜距分七十分(如图乙先)为二率横量十七丈(如图先后)为三率求得四率三十五丈(如图树先)即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘(如图丁后与戊先等)为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺(如图树后)即后安矩度距树之逺尖圆体(圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角)(堆得圆底尖堆四分之三)圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之㡳面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余(为长圆体积)三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何法以底周六尺(此全圆周之半)倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余(为全圆面积)折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余(为半周长圆体积)三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何法以周一十二尺(此全圆周四分之一)四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余(此全圆面积)四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分(为长圆一角之体积)三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何法以周三十三尺(此全圆周四分之三)三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数截积正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之(即甲丁与丁戊相乗之长方)为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶(葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁)(戊自乗之正方之比)再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺(如图己丙)为三率求得四率二十四尺(如图戊己与丁乙等)即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长三角形截积算法与勾股形同(底濶如勾中长如股)斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长梯形梯形截上段积截下段积法俱与斜方形同上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺(如图乙戊)为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶(如图乙辛)乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶分积三角形平分面积一半仍与原形同式设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法倣此圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求弦长甲乙为全径甲戊为矢丙丁为弦甲丙丁为截弧矢形法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率(即丙戊)倍之得九寸六分为弧矢形之弦圆面截弧矢形有弦求矢设圆形径一尺七寸弦长一尺五寸求矢濶法以弦长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即弦矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形弦长一尺一寸矢濶四寸求圆径法以矢濶四寸为首率弦长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径圆面截弧矢形求积法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至弦作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与弦相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积又法以矢与弦相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积两正方形并积有边较求分积及边设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数两正方形并积有边总求分积及边设大小两正方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺求分积及各边之数几何法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两边和三十五丈自乗得一千二百二十五尺与倍积相减余九尺开方得三尺即两方边之较两边和三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各自乗得积数两正方形相并有边较积较求各边设大方边比小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三尺求各方边法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大正方之边减较七尺余二十一尺为小正方之边两正方形相并有边总积较求各边设大小两正方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺求各边法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之边减较五尺余十三尺即小正方之边两正方形并积有积较求各边设大小两正方积共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二尺求各边法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边三正方形并积有三边较求各边设三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方边比小方边多三尺求各方边法以大方边比小方边所多之较六尺自乗得三十六尺又以次方边比小方边所多之较三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积(其濶为三小正)(方边长为三小正方边两大方边较两次方边较)又以大方边较六尺倍之得十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长濶较用带纵较数开方法算之得濶二十四尺归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四尺即大正方容面圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何法以圆径十尺自乗得一百尺折半得五十尺开平方得七尺零七分一厘有余即圆面内所容正方边也圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之一边尺寸㡬何乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为弦乙丙为勾则甲丙为股法以圆径二十尺为弦折半十尺为勾用勾弦求股法得十七尺三寸二分有余即圆面内所容三角形之一边三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺问内容正方边㡬何法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸二分八厘有余即三角形内所容正方边也三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容圆面径㡬何乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙丁弦之半则甲丙勾亦必为甲丁弦之半甲丁与乙甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之即为全径法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九厘有余为中垂线以三归之得三寸四分六厘有余为圆面半径倍之得六寸九分二厘有余即所求圆面径勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方边几何法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四分二厘有余即勾股形内所容正方面边也勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面径几何乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁弦所余为戊丙及丙己二段各为圆面之半径相并即为全径法以勾股求弦法求得十五尺为弦乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺内减弦数十五尺余六尺即所容圆面径锐角钝角三角形容圆面式法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全径按分逓折比例 二八差分 三七差分 四六差分 逓折差分 加倍减半差分设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银赏米人数各几何法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米人数设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米数若干法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓减纳之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干法以逓减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗得一万五千三百六十为甲户共衰数 以乙户四十与乙衰一百二十八相乗得五千一百二十为乙户共衰数 以丙戸五十与丙衰三十二相乗得一千六百为丙户共衰数 以丁户六十与丁衰八相乗得四百八十为丁户共衰数 以戊戸七十与戊衰二相乗得一百四十为戊户共衰数 乃以五等衰数相并得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数 以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数以乙户四十乗之得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数 以丙衰三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户五十乗之得数为丙户共纳粮数 丁戊二等算法倣此以上系二八差分之式设有银五千两令二县分支东县支七分西县支三分问各支若干法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两即西县应支之数设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几刻方到法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七里余三里为三率求得四率为六数即再行六刻方到设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎逓次三七分织问各该若干法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八两七钱为织缎余数以绫衰二十一分为三率则求得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数设有田一百三十八亩每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率七分为三率求得四率十九石三斗二升即徴米之数再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升余八石二斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四钱八分即米三分折丝之数以上系三七差分法设有水田三百畆令上下二戸四六分灌问各灌若干畆法以四分六分相并得十分为一率田三百畆为二率以六分为三率求得四率一百八十畆即上户应灌之田以四分为三率求得四率一百二十畆即下户应灌之田设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次应载问各载若干法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九十六石为各舟应运粮之数设有熟稻七百九十九畆六分八厘令甲乙丙三人挨次以十分之六收获问各分收若干法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九畆六分八厘为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六畆八分八厘即三人应收之米数以上系四六差分法设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七逓次贩货出卖问每人该银若干法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第四人一百七十一两五钱为各贩货之数设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得浄熟铜三百四十八两问原铜㡬何法以八分自乗再乗得五百十二分为一率十分自乗再乗得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求得四率四百八十四两三钱七分五厘即原铜之数设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八问每戸出若干法以一百为上等分数以二十五戸乗之得二千五百分以六十为中等分数以三十五户乗之得一千八百分以三十六为下等分数以四十八户乗之得一千七百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸问日织绢若干法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织合之共六丈七尺五寸也设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍每次还银二百两三次本利还尽亦无余银问原本若干法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分合并得七分与二百两相乗得一千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银数设有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓减一半分种问各种若干畆法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得十五分为一率田一千二百畆为二率以甲八分为三率求得四率六百四十畆即甲所种田数折半则乙得三百二十畆又减半则丙得一百六十畆又减半则丁得八十畆也设有银三千一百六十两令三等人逓次减半分用一等二十名二等二十四名三等三十名问每等人得银㡬何法以四为一等分数以二十乗之得八十分二为二等分数以二十四乗之得四十八分一为三等分数以三十乗之得三十分合并得一百五十八分为一率银三千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一人应得银数以上皆各等差分之例按数加减比例 逓加逓减差分 超位加减差分互和折半差分 首尾互凖差分设有金六十两令甲乙丙三人依次逓加五两分之问各得若干法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行㡬日初末两日各该若干里法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得以上系超位加减设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归(四人用三归若三人则用二归五人则用四归也)得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数法以三分为甲多于丁之衰数(四人故用三分若五人则用四分六人则用五)(分也)为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳㡬何法以四分为甲多于戊之衰(自甲至戊隔四位故以四分为衰数也)三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之(次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同)十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干法以十八分为第一次比第七次所多衰数(第一至第七隔六位)(应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一)(次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同)十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖边求积设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法积求边设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之庄氏算学卷三
## 卷四
钦定四库全书庄氏算学卷四淮徐海道庄亨阳撰曲线体设长圆体径与高皆七尺问积几何法以长圆体径七尺求得圆面积三十八尺四十八寸四十五分零九厘九十六豪二十五丝有余以髙七尺乗之得二百六十九尺三百九十一寸五百六十九分七百三十七厘有余即长圆体之积也又法以长圆体径七尺求得圆周数与髙七尺相乗得数为长圆体之外面积以半径之三尺五寸乗之得数折半即长圆体之积也又法以长方体积一○○○○○○○○为一率长圆体积七八五三九八一六三为二率现设之长圆体径七尺自乗以髙七尺再乗得数为三率求得四率即长圆体之积也(一率一○○○○○○○○二二率七八五三九八一六三 三率三四二四率 六九三九一五六九)(九○九)设尖圆体底径六尺中髙六尺问积几何法以底径六尺求得底面积数以髙六尺乗之得数以三归之即尖圆体之积也又法以尖方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积七八五三九八一六三为二率现设之尖圆径体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数三归之成尖方体积为三率求得四率即尖圆体之积也(一率一○○○○○○○○○六二率七八五三九八一六三 三率七二 四率五 四八六六七七三六)又法以长方体积一○○○○○○○○为一率尖圆体积二六一七九九三八八为二率现设之尖圆体底径六尺自乗以髙六尺再乗得数为三率求得四率即尖圆体之积也(一率一○○○○○○○○五二率二六一七九九三八八三率二一六 四率 六五四八六六七八)(○八)设尖圆体底周二十二尺自尖至底周之斜线五尺求中垂线之髙几何法以底周二十二尺求得底径数折半得半径为勾以自尖至底周之斜线五尺为弦求得股数即中垂线之髙也(三尺五寸六分九厘三豪三丝三忽有余即中垂线之髙)设圆球径二尺问外面积几何法以圆球径二尺求得周数与径二尺相乗得数即圆球之外面积也(一十二尺五十六寸六十三分七十厘有余即圆珠外面积)设圆球径一尺二寸问积几何法以圆球径一尺二寸求得圆面积数以圆球径一尺二寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即圆球之体积也又法以圆球径一尺二寸求得圆球之外面积数以半径六寸乗之得数三归之即圆球之体积也又法用方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也(一率一○○○○○○○○四二率五二三五九八八七七五 三率一七二八 率九○四七七八六)又法以圆球径一○○○○○○○○为一率正方边八○五九九五九七为二率现设之圆球径一尺二寸为三率求得四率数为与圎球积相等之正方体每边之数自乗再乗即圆球之体积也又法以二十一分为一率十一分为二率现设之圆球径一尺二寸自乗再乗得数为三率求得四率即圆球之体积也设圆球积六尺问径几何法以球积一○○○○○○○○ 为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之圆球积六尺为三率求得四率数为与圆球径相等之正方边之正方体积开立方即得圆球之径也(一率一○○○○○○○○一二率一九○九八五九二一七 三率六 四率 一四五九一五五九)(○二)又法以方边一○○○○○○○○为一率球径一二四○七○○九八为二率现设之圆球积六尺开立方得数为三率求得四率即圆球之径也(一率一○○○○○○○○○二率一二四○七○○九八三率一八一七一二 四率二二五四五)(○二)设撱圆体大径六寸小径四寸问积几何法以小径四寸求得圆面积数以大径六寸乗之得数为长圆体积三归之得数倍之即撱圆体之积也又法以小径四寸自乗得数以大径六寸再乗得数为长圆方体积乃以方积一○○○○○○○○为一率球积五二三五九八七七五为二率现得之长方体积为三率求得四率即撱圆体之积也(一率一○○○○○○○○五二率五二三五九八七七五 三率九六 四率 ○二六五四八二)设撱圆体积五十寸大径比小径多二寸问大小径各几何法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设撱圆体积五十寸为三率求得四率为长方体积乃以大径比小径多二寸为长圆与濶之较用带一纵开立方法算之得濶数即撱圆体之小径加大径比小径多二寸即撱圆体之大径也(五寸九分九厘二毫大径)(一率一○○○○○○○○九二率一九○九八五九三一七 三率五○四率 五四九二九六五八)(五○)设上下不等圆面体上径四尺下径六尺髙八尺问积几何法以上径四尺求得上圆面积又以下径六尺求得下圆面积又以上径四尺与下径六尺相乗得数开方得中径用径求圆面积法求得中圆面积数三数相并与髙八尺相乗得数三归之得一百五十九尺一百七十四寸二十七分四百六十六厘有余即上下不等圆面体之积也又法以上径四尺与下径六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下径六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等圆面体上补成一小尖圆体之共髙乃以下径六尺求得圆面积数与所得共髙数相乗得数三归为大尖圆体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余数为上尖圆体之髙以上径四尺求得圆面积与上髙数相乗得数三归之为上小尖圆体之积与大尖圆体积相减余即上下不等圆面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率圆面体积七八五三九八一六三为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数三归之成上下不等正方体积为三率求得四率一百五十九尺一百七十四寸二十七分七百零一厘有余即上下不等圆面体之积也(一率一○○○○○○○○六二率七八五三九八一六三 三率二○二六六 六六六六六 四率)(一五九一七四○二七七○一)又㨗法以一○○○○○○○○为一率二六一七九九三八八为二率上径四尺自乗下径六尺自乗上下径相乗三数相并以髙八尺乗之得数为三率求得四率即上下不等圆面体之积也设上下不等撱圆面体上大径四尺小径三尺下大径八尺小径六尺髙十尺问积几何法以上大径四尺与上小径三尺相乗得十二尺以下大径八尺与下小径六尺相乗得四十八尺又以上大径四尺与下小径六尺相乗下大径八尺与上小径三尺相乗共得四十八尺折半得二十四尺三数相并得八十四尺乃以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六三为二率三数相并为三率求得四率数与髙十尺相乗得数三归之即上下不等撱圆面体之积也又㨗法以一○○○○○○○○为一率一三○八九九六九四为二率以上大径四尺倍之加下大径八尺共十六尺与上小径三尺相乗得四十八尺以下大径八尺倍之加上大径四尺共二十尺与下小径六尺相乗得一百二十尺两数相并以髙十尺乗之得数为三率求得四率即上下不等撱圆面体之积也设截球体一段髙二寸底径九寸六分问积几何法以髙二寸为首率底径九寸六分折半为中率求得末率一尺一寸五分二厘为圆球之截径加髙二寸为圆球之全径折半为圆球之半径又以髙二寸为勾底径折半为股求得弦五寸二分作平圆半径用求圆面积法求得平圆面积数即为截球体一段之外面积与圆球半径六寸七分六厘相乗得数三归之余为自圆球中心所分球面尖圆体积又以截球体底径九寸六分用求平圆面积法求得截球体之底面积数于圆球半径六寸七分六厘内减去截球体之髙二寸余数与截球体之底面积数相乗得数三归之余为自圆球中心至截球体底径所分平面尖圆体积与球面尖圆体积数相减余即截球体一段之积也(七十六寸五百七十一分八百八十厘有余即截积数)设空心圆球积二千寸厚三寸问内外径数各几何法以球积一○○○○○○○○为一率方积一九○九八五九三一七为二率现设之空心圆球积二千寸为三率求得四率为空心正方体积乃用算空心正方体法以厚三寸自乗再乗得二十七寸八因之得数与所得空心正方体积数相减余数六归之得数用厚三寸除之得内径相乗长方面积数乃以厚三寸倍之得六寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶一尺一寸四分六厘三毫九丝七忽有余即空心圆球内径加较六寸即空心圆球外径也(一率一○○○○○○○○二率一九○九八五九三一七 三率二○○四率三八一九七一八)设圆窖一座周二十四尺髙十尺问盛米若干法以周二十四尺求得圆面积数与髙一丈相乗得数为圆窖之积数乃以米一石积数定率二千五百寸为一率一石为二率圆窖体积四百五十八尺三百六十六寸二百二十分有余为三率求得四率一百八十三石三斗四升六合四勺有余即所盛之米也(一率二千五百寸二二率一石有三率四百五十八尺三百六十六寸 百二十分 余 四率一百八)(十三石三斗四升六合四勺有余)设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径各几何法以米一石为一率一石积数二千五百寸为二率盛米一百六十石为三率求得四率四百尺为圆窖之积数以髙十尺除之得四十尺为圆窖之面积乃以圆积一○○○○○○○○为一率方积一二七三二三九五四为二率现得之圆窖面积四十尺为三率求得四率五十尺九十二寸九十五分八十一厘六十毫有余开平方得七尺一寸三分六厘四毫九丝有余即圆窖之径数再用径求周法求得周二十二尺四寸一分九厘九毫四丝有余即圆窖之周数也(一率一○○○○○○○○二率一二七三二三九五四 三率四○四率十五○九二九五八一六○)设积米一堆髙五尺底周十四尺问米数几何法以底周十四尺求得圆面积数为尖圆堆之底面积与髙五尺相乗得数三归之为尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之尖圆堆之积数二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为三率求得四率一十石零三升九合八勺一杪有余即所堆之米数也(一率二五八二率一率三率二五九九五三○六 二 四 一○三九八一)设倚壁积米一堆髙四尺底周六尺问米数几何法以底周六尺为半周倍之为全周以周求得圆面积数折半为倚壁尖圆堆之底面积以髙四尺乗之得数三归之为倚壁尖圆堆之积数以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁尖圆堆之积数七尺六百三十九寸四百三十六分有余为三率求得四率三石零五升五合七勺七杪有余即倚壁所堆之米数也(一率二五九四三六) (二率一○三率七六三四率三 五五七七)设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺问米数几何法以周一十二尺四因之得四十八尺为全周以周求得圆面积数四归之为倚壁内角尖圆堆之底面积与髙五尺相乗得数三归之为倚壁内角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为一率一石为二率现得之倚壁内角尖圆堆之积数七十六尺三百九十四寸三百七十分为三率求得四率三十石零五斗五升七合七勺有余即倚壁内角所堆之米数也设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺问米数几何法以周三十三尺三归四因得四十四尺为全周以周求得圆面积数四归三因得数为倚壁外角尖圆堆之底面积以髙六尺乗之得数三归之即倚壁外角尖圆堆之积数乃以米一石积数二千五百寸为率一石为二率现得之倚壁外角尖圆堆之积数二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为三率求得四率九十二石四斗三升七合一勺八杪有余即倚壁外角所堆之米数也(一率二五八二率一九三率二三一九二九七二 八四率 二四三七一八)各等面体设四面体每边一尺二寸求积几何法以每边一尺二寸为弦每边折半得六寸为勾求得股数为每一面之中垂线与每边一尺二寸相乗折半为每一面之面积又以每边一尺二寸为弦每一面之中垂线取其三分之二为勾求得股数为四面体自尖至底中心之立垂线或以每一面之中垂线数为弦每一面之中垂线取其三分之一为勾亦得股为四面体自尖至底中心之立垂线以此立垂线与每一面之面积数相乗三归之得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余即四面体之积也又求自尖至底中心之立垂线㨗法以每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸三归二因得九十六寸开平方即得自尖至底中心之立垂线又以正方体积一○○○○○○○○为一率四面体积一一七八五一一二九为二率现设之四面体之每边一尺二寸自乗再乗为三率求得四率即四面体之积也(一率一○○○○○○○○○二率一七八五一一二九三率一七二八 四率二 三六四六七五 ○)设四面体体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘问每边数几何法以四面体积一 一七八五一 一二九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即四面体之每一边也(一率一一七八五一一二九七二率一○○○○○○○○ 三率二○三六四六 五○ 四率 一七二)又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率四面体之每边二○三九六四八九○为二率现设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘开立方得五寸八分八厘三毫三丝六忽五微有余为三率求得四率一尺二寸即四面体之每一辶也(一率一○○○○○○○○七二率二○三九六四八九○三率二○三六四六 五○ 四率一二)设八面体每边一尺二寸求积几何法以八面体分作二尖方体算之将每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸为二尖方体之共底面积又以每边自乗之一尺四十四寸倍之开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余为二尖方体之共髙即八面体之对角斜线以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗三归之得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余即八面体之积也又法以正方体积一○○○○○○○○为一率八面体积四七一四○四五二一为二率现设之八面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余即八面体之积也(一率一○○○○○○○○四二率四七一四○○四二五二一 三率一七二八 率八一四五八七 一)设八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘问每边之数几何法以八面体积四七一四○四五二一为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即八面体之每一边也(一率四七○○ ○) (一) (四○四五二一八二率一○○○○○七三率八一四五 七○一二 四率一)又法以正方体之每一边一○○○○○○○○为一率八面体之每边一二八四八九八二九为二率现设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘开立方得九寸三分三厘九毫二丝六忽有余为三率求得四率一尺二寸即八面体之每一边也(一率一○○○○○○○○二二率一二八四八九八二九 三率九三三九 六 四率一二)设十二面体每边一尺二寸求积几何法以十二面体分作十二五角尖体算之将每边一尺二寸求得五等边形之分角线为一尺零二分零七毫八丝零九微有余自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现设之每邉一尺二寸为三率求得四率一尺九寸四分一厘六毫四丝零七微有余为每一面两角相对之斜线又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率全分一○○○○○○○○为二率现得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八毫二丝零三微有余为三率求得四率一尺五寸七分零八毫二丝零二微有余为十二面体之中心至每边正中之斜线乃以此斜线为弦每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余为勾求得股一尺三寸三分六厘二毫一丝九忽六微有余为十二面体之中心至每一面中心之立垂线以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十毫有余相乗三归之得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余为一五角尖体积十二因之得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余即十二面体之总积也(一率六一八○三三九九率二率一○○○○○○○○ 三率一二 四 一九四一六四○七)(一率六一八○三三九九○二率一○○○○○○八○○ 三率九七○八二 三 四率一五七八○)(二○二)又法以正方体积一○○○○○○○○为一率十二面体积七六六三一一八九○三为二率现设之十二面体之一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余即十二面体之积也(一率一○○○○○○○○八九○三 三率一七二八) (二率七六六三一四率一三二四一) (一八)设十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘求每边数几何法以十二面体积七六六三一 一八九○三为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即十二面体之每一边也(一率七六六三一一八九○三二率一○○○○○○○○ 三率一三二四一八六九四六四 四率一)又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率现设之十二面体积开立方得数为三率求得四率即十二面体之每一边也设二十面体每边一尺二寸求积几何法以正方体积一○○○○○○○○为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率现设之二十面体之每边一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百○六厘有余即二十面体之积也(一率一○○○○○○○○四九六九 三率一七二八) (二辛二一八一六九四率三七六九九六)(八九○六)又法以二十面体之每边七七一○二五三四为一率正方体之每边一○○○○○○○○为二率现设之二十面体之每边数为三率求得四率为与二十面体积相等之正方体每邉之数自乗再乗即二十面体之积也(一率七七一○二五三四率二率一○○○○○○○○ 三率一二 四 一五五六三六九)设二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘求每边数几何法以二十面体积二一八一六九四九六九为一率正方体积一○○○○○○○○为二率现设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率求得四率一尺七百二十八寸开立方得一尺二寸即二十面体之每一边也(一率二一八一六九四九六九六二率一○○○○○○○○ 三率三七六九九 八九○六 四率)又法以正方体之每边一○○○○○○○○为一率二十面体之每邉七七一○二五三四为二率现设之二十面体积开立方得数为三率求得四率即二十面体之每一边也(一率一○○○○○○○○三二率七七一○二二五三四 三率一五五六 六九 四率一)庄氏算学卷四
## 卷五
钦定四库全书庄氏算学卷五淮徐海道庄亨阳撰中西笔算度量权衡度法丈 尺 寸 分 厘 毫 丝 忽 微 纎 沙尘埃 𣺌 漠 模糊 逡巡 须㬰 瞬息 弹指刹那 六徳 虚空 清浄(俱逓以十析)量法石 斗 升 合 勺 撮 抄 圭(俱逓以十析) 粟(六粟)(为圭)权衡两 钱 分 厘 毫 丝 忽(俱逓以十析忽以下并与度法同)凡丈 石 两以上则为十 百 千 万(逓増十倍) 亿兆 京 垓 秭 穰 沟 涧 正 载 极恒河沙 阿僧秖 那由他(不可思议无量数亿以下俱逓増万倍)田法顷(百畆为顷)畆(二百四十步为一畆)分(二十四步为分)步(方五尺为步)斤法斤(十六两为一斤)两(以下俱与权衡同)里法里(三百六十步为一里计一百八十丈)厯法周天(十二宫为周)宫(三十度为宫)度(六十分为度)分 秒 微 纎忽 芒 尘(俱逓以六十析)日时日(十二时又为二十四小时)时(八刻又为二小时)刻(十五分)分以下俱与前同石法石(积二千五百寸即正方一尺髙二尺五寸此系旧法如以尺度较仓积先将现用斗较准然后用为比例)(方得宻合也)命位凡数视所命单位为本如度法命丈为单位则尺寸分厘皆为竒零命尺为单位则寸以下为竒零而丈则进而为十若命寸为单位则分以下为竒零而尺则进而为十丈则进而为百量法命石为单位则斗升合勺皆为竒零命斗为单位则升以下为竒零而石则进而为十若命升为单位则合以下为竒零而斗则进而为十石则进而为百衡法命两为单位则钱分厘毫皆为竒零命钱为单位则分以下为竒零而两则进而为十若命分为单位则厘以下为竒零而钱则进而为十两则进而为百故凡列数单为一位十为二位百为三位千为四位万为五位如有数一万二千三百四十五则以单位为末向前列之共有五位即知此数首位是万矣至于厯法宫度分秒日时刻分之定位则每项命两位如宫曰几十几宫度曰几十几度分曰几十几分之类葢因秒以六十而进分分以六十而进度度以三十而进宫故常列一位即命一等者宫度时刻则两位命为一等而每一等有十单之列焉此又命位之最要者也加法加者命众数而总成也葢数始于一终于九至十又复为一等而上之十百千万以至亿兆京垓皆得名之为一即皆自一而加者也今自一位言之有自一至九之数合前后之位言之有单十千万之等先自单数加起成十则进前一位仍为一以单数纪本位下挨次并之即得总数若夫宫度时刻斤两之数则不以十进必足所命之分始进一位减法减者较众数而得余也凡以少减多以小减大原有之数书于上应减之数书于下横列必对其位相减必从其类(如千减千百减百之类)如或下数大于上数不足减则借前之一以减本位(加法由后而进前减法则借前而退后其理一也)前位作一㸃以志之既得本位则前位所借之一并于前数而为减数然数相减必先辩其多寡首位必大于减数始可其定位亦然原列之次为减余位因乗因乗者生数也以数生数有生生不已之义焉凡有几数彼此按次加之为得总数然所加之次数多则必至于繁而无统此因乗之所以立也因者一位相因而得如二因三而成六四因二而成八也乗者多位相乗而得如两位以上则各以每位所因之数而又层累以积之也其法以原数为实乗数为法实列于上法列于下必使法实相当(如千对千百对百十对十单对单之类)按法乗实合而加之为所得数定位之法视其法实所命之单位后有竒零与否如无竒零则实中所命之单位相对即法尾之数若有竒零则法实相乗者法实之一位统得数之二位(如单位后竒零有一位则截得数之二位竒零有二位则截得数之四位向前为单位纪之)法实相乗再以法乗者(即自乗再乗也)法实之一位统得数之三位(如单位后竒零有一位则截得数之三竒零有二位则截得数之六位向前为单位纪之)是故得数以一位论者则为单十百千之类以两位论者则为自乗之类以三位论者则为自乗再乗之类错综交互用法不一必须临题详审求其无误始为得之具见设如于左开平方法平方积者两数相乗所得之数也开之之法每方积二位得方边一位法以自乗数与方根相商以相合者即定为初商书于积之上而以自乗之数书于初商积之下爰以方边末位积数续书于下为次商亷隅之共积乃以初商之数倍之为亷法以除余积足几倍即定次商为几倍书于方积之上而以次商数为隅法与亷法数相加得数为亷隅共法书于余积之左以次商数乗之得数与次商亷隅共积相减减尽则已如有余数又为第三位以后积数商开之法与次商同开带纵平方法较法法以縦方积四因以较自乗二数相加以开平方法开之得边总加较折半为长减较折半为濶也又法以纵多折半自乗与原积相加以开平方法开之得数为半和于半和较减半较得濶于半和加半较得长也较数纵平方有较无长濶和故四因积数与较自乗数相加得长濶和积开方为长濶和和数纵平方有长濶和无长濶较故用和自乗得和积与四因积相减余数为较积开平方为长濶较总之有长濶和有较者于和内加较折半为长减较折半为濶其理同也和法法以纵方积数四因以和自乘得数减去四因之数以开平方法开之即长濶相较之数以较数与和数相加折半为长减较即濶也又法以和数折半为半和自乗与原积相减以开平方法开之得数为半较于半和减半较为濶于半和加半较为长开立方法立方者自乗再乗所得之数也有正方体之积数而求其每一边之数也每积数三位得边数一位其体形有初商之一大正方(此为自一至九自乗再乗数)为首位用各数自乗再乗为首位积以减通积余数为次位以后积数次位积形为磬折体包大方之三面故有三平亷其边与大方等其厚与次商数等有三长亷其长与大方等其寛厚皆与次商数等有一小隅系次商自乗再乗之数法以初商数自乗相因为三平廉面积与余积相商约得几倍(用为少之数)即定次位为几数然后以次商数与初商数相乗三因为三长亷面积又以次商自乗为小隅面积三数相并为平亷长亷小隅之共面积再以次商数乗之为磬折形通积以减余积减尽则止如有余数又为第三位以后积数开之之法与次商同开平方者有正方面之积数而求其每一边之数也每积二位得方边一位以纵横之积数能至十倍故也法以各数自乗之数除首位积其余数为第二位以后积数次以首位数加倍为亷法以商余积得几倍即定次位为几数并以此数为隅法然后以第二位数与亷法隅法相乗以减余积减尽则止再有不尽之数又为第三位积数照前商除其法皆同田地顷畆分法纵横方五尺为一步二百四十步为一畆一百畆为一顷凡地纵横相乗得积步得积步以二百四十步除之得畆数再二十四步为一分除不尽者为零若干步凡得积丈以六十除之得畆数(每边数一丈得积四步)再六丈为一分除不尽者为零若干丈尺正比例以原有之两数及现有之一数而求所不知之一数也其法以原有为两数为一率二率以现有之一数为三率二率三率相乗一率除之得四率为所求三率与一率同类四率与二率同类庄氏算学卷五
## 卷六
钦定四库全书庄氏算学卷六淮徐海道庄亨阳撰比例十法一法正方边求积(设正方边五十步问积数若干)法以方边五十步自乗得二千五百步即正方积如系田地则以畆法二百四十除之得畆数二十四步为一分满一百畆为顷凡面积皆同积求边即开平方法方求斜(设正方边五十尺求对角斜线)法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分○六毫有余即对角斜线又倍积求边与此法同斜求方(设对角斜线五十尺求正方边)法以对角斜线五十尺自乗得二千五百尺折半得一千二百五十尺开平方得三十五尺三十五分五厘三毫有余即正方边○又正方积折半求方边与此法同四倍积求边法以方边数加倍即得二法长方边求积(设濶八尺长十二尺求长方积)法以濶八尺与长十二尺相乗得九十六尺即长方面积积求边有长濶较或长濶和者用开带纵平方法算之有濶边者以濶数除积得长边有长边者以长数除积得濶边更面(设长方形长十二尺濶八尺今将长积倍之仍与原长方同式问得长濶各几何)法以濶八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘有余即所求之濶乃以原濶八尺为一率原长十二尺为二率今濶一十一尺三寸一分三厘为三率得四率一十六尺九寸七分有余即所求之长三法斜方形(有两直角)有边求积法以上濶二十丈与下濶二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形积数有积数有长有上下两濶较求上下濶法将积数加倍以长除之得数为上下两濶和加较折半得下濶减较折半得上濶有积有上下濶求长法将积加倍以两濶共数除之得数即所求之长梯形(算法与前斜方形同)四法三角形有中长有底濶求积(设底濶八十尺中长七十五尺问面积)法以中长七十五尺与底濶八十尺相乗得六千尺折半得三千尺即三角形面积有积数有底濶求中长(设三角形积三千尺底濶八十尺问中长)法以积三千尺倍之得六千尺以底濶八十尺除之得七十五尺即三角形之中长有积数有中长求底濶与前法同勾股形有边求积有积求边算法俱与三角形同葢三角形之中长即勾股形之股三角形之底为勾之两倍三角形积亦勾股形积之两倍俱得长方面之一半故全与全半与半为比其数相同甲丙丁为三角形丙丁为底濶甲乙为中长甲丙乙为勾股形甲乙为股丙乙为勾甲丙为弦五法锐角钝角三角形(多边形附)三角形求中垂线及面积(设三角形大股十七尺小股十尺底二十一尺)法以底二十一尺为一率两腰相加得二十七尺为二率两腰相减余七尺为三率求得四率九尺为底边之较(如图戊丙)与底二十一尺相减余十二尺(如图乙戊)折半得六尺(如图乙丁)乃用勾弦求股法以甲乙小腰十尺为弦自乗得一百尺为弦方乙丁六尺为勾自乗得三十六尺为勾方弦方内减去勾方余六十四尺开方得八尺为股即甲丁中垂线再以中垂线八尺与乙丙底二十一尺相乗得一百六十八尺折半得八十四尺即三角形面积凡十字正方角为直角大于直角者为钝角(如图甲角)不及直角者为锐角(如图乙角丙角也)甲乙边为小腰甲丙边为大腰乙丙边为底戊丙为底较甲丁为中垂线多边形有边有对角斜线求面积法依对角斜线分多边形为几形算之六法两两等边无直角斜方形(此等形必有对角斜线方可命算)有边求积(设斜方形两小边皆二十五尺两大边皆三十九尺对两锐角斜线五十六尺)(问面积)法以对角斜线分斜方形为两三角形以对角斜线五十六尺为底大边三十九尺小边二十五尺为两腰用三角形求中垂线法(法载三角形条下)求得中垂线十五尺乃以对角斜线与中垂线相乗得八百四十尺即斜方形之面积有勾有股求弦法以股自乗得股方以勾自乗得勾方两自乗数相加开平方得数为弦有勾有弦求股法以勾自乗得勾方以弦自乗得弦方弦方内减勾方余数开平方得数为股有股有弦求勾法以股自乗得股方以弦自乗得弦方弦方内减股方余数开平方得数为勾甲乙为对角斜线丁己与丙戊俱为中垂线七法方环形有边求积(设方环外周二十八丈内周一十二丈求面积)法以外周二十八丈四归之得七丈自乗得四十九丈又以内周一十二丈四归之得三丈自乗得九丈两自乗数相减余四十丈即方环面积有积及濶求内外边(设面积四千尺濶二十尺求内外方边)法以濶二十尺自乗得四百尺(如图之甲壬寅戊小正方)四因之(为四)(正方)得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺(壬戊子辛等四縦方共积)四归之得六百尺(一线方积)以濶二十尺除之得三十尺即内方边又以濶二十尺(如图甲壬)倍之(如甲壬并)(子丁)得四十尺加内方边三十尺(如戊辛与壬子等)得七十尺即外方边有内外方边求边法以外周二十八丈四归之得七丈(如图甲丁)又以内周一十二丈四归之得三丈(如图戊辛与壬子等)七丈与三丈相减余四丈(如图甲壬及子丁二段)折半得二丈即方环外周至内周之濶八法圆面径求周(设圆径一尺二寸)法用周径定率比例以径数一一三为一率周数三五五为二率现设圆径一尺二寸为三率求得四率三尺七寸六分九厘九毫有余即所求之圆周周求径(设圆周一丈五尺)法以周四三五五为一率径数一一三为二率现设圆周一丈五尺为三率求得四率四尺七寸七分四厘六毫有余即所求之圆径径求面积(设径八寸)法用径求周法求得圆周二尺五寸一分三厘二毫七丝有余折半得一尺二寸五分六厘六毫三丝有余又将径八寸折半得四寸两折半数相乗得五十寸二十六分五十四厘八十二毫即所求之圆面积又法用方周圆周定率比例以方周定率四五二为一率圆周定率三五五为一率现设圆径八寸自乗为三率求得四率即圆面积周求面积(设圆周六尺六寸)法用周求径法求得圆径二尺一寸零八毫四丝五忽折半得一尺○五分○四毫二丝二忽又将周六尺六寸折半得三尺三寸两折半数相乗得三尺四十六寸六十三分九十四厘五十八毫即所求之圆面积又法用圆周方积与圆积定率比例以圆周方积一○○○○○○○○为一率圆积七九五七七四七为二率现设之圆周六尺六寸自乗为三率求得四率即圆面积圆面积求径(设圆面积六尺一十六寸)法用圆周方周定率比例以圆周二五五为一率方周四五二为二率现设之圆面积六尺一十六寸为三率求得四率七尺八十四寸三十一分五十四厘九十三毫为正方面积开方得二尺八寸○五毫有余即所求之圆径圆面积求圆周(设圆面积六尺一十六寸)法用圆积求径法求得圆径二尺八寸零五毫有余又用圆径求周法求得八尺七寸九分八厘有余即圆之周数九法撱圆(一名鸭蛋形)径求面积(设大径九尺小径六尺问面积)法以大径九尺与小径六尺相乗得五十四尺为长方积乃用方积圆积之定率比例以方积一○○○○○○○○为一率圆积七八五三九八一六为二率长方积五十四尺为三率求得四率四十二尺四十一寸一十五分有余即所求撱圆形之面积积求径(设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫大径九尺问小径)法用圆积方积之定率比例以圆积七八五三九八 一六为一率方积一○○○○○○○○为二率现设撱圆积四十二尺四十一寸一十五分零六十四毫为三率求得四率五十四尺为长方积以大径九尺除之得六尺即撱圆形之小径如有小径求大径则以小径数除长方积得数即大径十法圆环形圆环形有内外周及濶求面积(设外周二十一尺三寸内周七尺一寸)(濶二尺二寸六分问面积)法以外周二十一尺三寸与内周七尺一寸相加得二十八尺四寸折半得十四尺二寸以濶二尺二寸六分乗之得三十二尺零九寸二十分即圆环形之面积圆环形有内外径求面积法用圆径求周法以内径数求得内周外径数求得外周又以内径与外径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即径圆环形有内外周求面积法用圆周求径法以内周数求得内径外周数求得外径乃以两径相减余数折半为环濶依前有内外周及濶求面积法算之即得圆环形有面积及濶求内外径(设面积四百六十二尺濶七尺求内外径)法以濶七尺除面积得六十六尺即内外周相并折半之数为中周(如图戊己周)乃用周求径法求得径二十一尺有余为内外径相并折半之数为中径(如图戊己径)加濶七尺得二十八尺有余即外径中径内减濶七尺余十四尺有零即内径圆环形有面积及濶求内外周依前法求得内外径再用径求周法算之即得圆环形有面积及内周求外周并濶(设面积三尺三十六寸内)(周一尺一寸)法以内周一尺一寸用周求径法求得内径三寸五分零一毫有余又用周径求积法求得内周圆面积九寸六十二分七十七厘五十毫与圆环积三尺三十六寸相加得三尺四十五寸六十二分七十七厘五十毫即外周圆面积乃用有圆面积求径法求得外周径二尺零九分七厘七毫内减去内径三寸五分零一毫余一尺七寸四分七厘六毫折半得八寸七分三厘八毫即圆环形之濶又用径求周法求得周六尺五寸九分有余即外周数也圆环形有面积及外周求内周并濶(设面积三尺百八十四)(外周八十八尺)法以外周八十八尺用周求径法求得外径二十八尺零一分一厘一毫有余又用周径求积法求得外周圆面积六百一十六尺二十四寸六十四分内减去环积三百八十四尺余二百三十二尺二十四寸六十四分为内周圆面积乃用有圆面积求径法求得内周径一十七尺一寸九分六厘与外径二十八尺零一分一厘二毫相减余一十尺八寸一分五厘二毫折半得五尺四寸零七厘六毫即圆环形之濶再用径求周法求得周五十四尺零二分二厘八毫有余即内周数也庄氏算学巻六
## 卷七
钦定四库全书庄氏算学卷七淮徐海道庄亨阳撰正方体边求积法以边数自乗得平方面积再以边数乗之得立方体积如系米糓则用石法除之得石斗各数(二千五百寸为一石二百五十寸为)(一斗二十五寸为一升)凡筭积糓法皆同倍积求边(设正边二尺)法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求边数八倍积求边将边数加倍即得长方体边求积法以长边与濶边相乗得长方面积再与髙数相乗得长方体积○如系米糓则用石法除之得石斗各数倍积求边(设长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形同式问长濶髙)法用正立方比例先以长一尺二寸自乗再乗得立方积一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长再用比例以求濶与髙以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶又以原长一尺二寸为一率原髙四寸为二率今所得之长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙长圆体圆周及髙求积(设圆周二十四尺髙十尺)法用圆周求面积法求得圆径七尺六十三寸九十五分有余又求得圆面积四十五尺八十三寸六十六分有余为圆面积再与髙十尺相乗得四百五十八尺三百六十六寸有余即所求之长圆体积○如系米糓或米窖问盛米几何俱以石法除体积得石斗各数有径求积法同积及髙求周径(设圆窖一座盛米一百六十石髙十尺问周径)法以石法二千五百寸与米数相乗得四百尺为圆窖积以髙十尺除之得四十尺为圆窖面积乃用圆面积求径法(用圆周三五五方周四五二比例开平方)求得圆径七尺一寸三分六厘有余即所求之圆径再用径求周法(径二三周三五五比例)求得二十二尺四寸一分九厘有余即所求之圆周带纵较数立方带纵立方者两两等边长方体积也髙与濶相等惟长不同者为带一纵立方长与濶相等而皆比髙多者则为带两纵相同之立方至于长与濶与髙皆不同者则为带两纵不同之立方开之之法大槩与立方同止有带纵之异耳其带一纵之法如以髙与濶相等惟长不同为问者则以初商为髙与濶以之自乗又以初商加縦数为长以之再乗得初商积至次商以后亦有三方亷三长亷一小隅但其一方亷附于初商积之方面者即初商数其二方亷附于初商积之长面者则带纵也其二长亷附于初商积之方边者即商数其一长亷附于初商积之长边者则带纵也其带两縦相同之法如以长与濶相等皆比髙多为问者则以初商加纵数为长与阔以之自乗又以初商为髙以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两纵其二方亷附于初商积之旁面者则各带一縦也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者即各带一纵也其带两纵不同之法如以濶比髙多长比濶又多为问者则以初商为髙又以初商加濶纵为濶与髙相乗又加长縦为长以之再乗得初商积至次商以后其一方亷附于初商积之正面者则带两縦其二方亷附于初商积之旁面者则一带濶纵一带长纵也其一长亷附于初商积之髙边者即初商数其二长亷附于初商积之长濶两边者则各带一纵也惟小隅则无论带一纵两纵皆各以所商之数自乗再乗成一小正方其每边之数即三方亷之厚亦即三长亷之濶与厚焉凡有几层亷隅皆依次商之例逓析推之法虽不一要皆本于正方而后加带纵故商出之数皆为小边方体共十二面边若带一縦或带两縦相同者则八边相等四边相等若带两縦不同者则每四边各相等是故得其一边加入纵多即得各边也带一纵立方设带一纵立方积一百一十二尺其髙与濶相等长比髙濶多三尺问髙濶长各几何法列积如开立方法商之其积一百一十二尺止可商四尺乃以四尺书于原积二尺之上而以所商四尺为髙与濶(因髙与濶等故四尺即方之髙与濶也)加纵多三尺得七尺为长即以髙与濶四尺自乗得一十六尺又以长七尺再乗得一百一十二尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙与濶俱四尺加纵多三尺得七尺即立方之长也如图甲乙丙丁戊己长方体形容积一百一十二尺其甲乙为髙甲己为濶己戊为长甲乙甲己俱四尺己戊为七尺己戊比己庚多三尺即所带之縦甲乙壬辛庚己正方形即初商之正方积庚辛壬丙丁戊扁方形即带纵所多之扁方积也设如带一纵立方积二千四百四十八尺其髙濶相等长比髙濶多五尺问髙濶长各几何法以初商积二千尺商十尺书于原积二千尺之上而以所商十尺为初商之髙濶加縦多五尺得十五尺为初商之长即以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之长十五尺再乗得一千五百尺书于原积之下相减余九百四十八尺为初商积乃以初商之髙濶十尺自乗得一百尺又以初商之髙濶十尺与初商之长十五尺相乗得一百五十尺倍之得三百尺两数相并得四百尺为次商三方亷面积以除次商积九百四十八尺足二尺则以二尺书于原积八尺之上合初商次商共一十二尺为初商次商之髙濶加纵多五尺得十七尺为初商次商之长乃以初商次商之髙濶十二尺自乗得一百四十四尺又以初商次商之长十七尺再乗得二千四百四十八尺与原积相减恰尽即知立方之髙濶俱十二尺其长为十七尺也设带两纵相同立方积五百六十七尺其长濶俱比髙多二尺问长濶髙各几何法以共积五百六十七尺可商八尺因留两纵积故取略小数商七尺乃以七尺书于原积七尺之上而以所商七尺为髙加纵多二尺又以髙七尺再乗得五百六十七尺书于原积之下相减恰尽是知立方之髙为七尺加纵多二尺得九尺即立方之长与濶也设如带两纵不同立方积三千零二十四尺其濶比髙多二尺其长比濶又多四尺问髙濶长各几何法以初商积三千尺商十尺书于原积三千尺之上而以所商十尺为初商之髙加濶比髙多二尺得十二尺为初商之濶再加长比濶多四尺得十六尺为初商之长即以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之长十六尺再乗得一千九百二十尺书于原积之下相减余一千一百零四尺为次商积乃以初商之濶十二尺与初商之长十六尺相乗得一百九十二尺又以初商之髙十尺与初商之濶十二尺相乗得一百二十尺又以初商之髙十尺与初商之长十六尺相乘得一百六十尺三数相并得四百七十二尺为次商三方亷面积以除次商积一千一百零四尺足二尺则以二尺书于原积四尺之上合初商次商共十二尺为初商次商之髙加濶比髙多二尺得十四尺为初商次商之濶再加长比濶多四尺得十八尺为初商次商之长乃以初商次商之髙十二尺与初商之濶十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之长十八尺再乗得三千零二十四尺与原积相减恰尽即知立方之髙十二尺其濶为十四尺其长为十八尺也直线体设正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几何法以每边二尺自乗再乗得八尺倍之得十六尺开立方得二尺五寸一分有余即所求之方边数也如图甲乙丙丁正方体每边二尺其体积八尺倍之得一十六尺即如戊己庚辛正方体积每边二尺五寸一分有余设长方体长一尺二寸濶八寸髙四寸今将其积倍之仍与原形为同式形问得长濶髙各几何法以长一尺二寸自乗再乗得一尺七百二十八寸倍之得三尺四百五十六寸开立方得一尺五寸一分一厘有余即所求之长既得长乃以原长一尺二寸为一率原濶八寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率一尺零七厘有余即所求之濶也又以原长一尺二寸为一率原高四寸为二率今长一尺五寸一分一厘有余为三率求得四率五寸零三厘有余即所求之髙也或以濶八寸自乗再乗倍之开立方亦得一尺零一厘有余为所求之濶以髙四寸自乗再乗倍之开立方亦得五寸零三厘有余为所求之髙也如图甲乙丙丁长方体甲乙髙四寸丁戊濶八寸甲戊长一尺二寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体此两长方体积之比例即如相当二界各作两正方体积之比例也设堑堵体形濶五尺长十二尺髙七尺问积几何法以濶五尺与长十二尺相乗得六十尺又以髙七尺再乗得四百二十尺折半得二百一十尺即堑堵体形之积也又法以濶五尺与髙七尺相乗得三十五尺折半得一十七尺五寸与长十二尺相乗得二百一十尺即堑堵体形之积也如图甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲乙髙与乙丙濶相乗折半得甲乙丙一勾股面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己堑堵体形之积也设刍甍体形濶四尺长十二尺髙四尺问积几何法以濶四尺与长十二尺相乗得四十八尺又与髙四尺相乗得一百九十二尺折半得九十六尺即刍甍体形之积也又法以濶四尺与髙四尺相乗得一十六尺折半得八尺与长十二尺相乗得九十六尺即刍甍体形之积也如甲乙丙丁戊己刍甍体形以乙丙濶与甲庚相乗折半得甲乙丙三角形面积又与丙丁长相乗即得甲乙丙丁戊己刍甍体形之积也设方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜线皆六尺问尖至底中垂线之髙几何法以底方每边五尺求对角斜线法求得底方对角斜线七尺零七分一厘零六丝有余折半得三尺五寸三分五厘五毫三丝有余为勾以自尖至底四角斜线六尺为弦用勾弦求股法求得股四尺八寸四分七厘六毫八丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁戊底方面之乙丁对角斜线折半于己得乙己为勾以自尖至角之甲乙斜线为弦求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也又法以底方每边五尺为平面三角形之底以自尖至四角之斜线六尺为两腰角平面三角形求中垂线法求得一面中垂线五尺四寸五分四厘三毫五丝为弦以底方每边五尺折半得二尺五寸为勾求得股四尺八寸四分七厘六毫七丝有余即自尖至底中立垂线之髙数也如图甲乙丙丁戊尖方体其四面皆为平面三角形一为甲乙丙一为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙甲丙为两腰求得甲庚中垂线以甲庚为弦底边折半得庚己为勾求得甲己股即自尖至底中立垂线之髙也设方底尖体形底方每边六尺髙三尺问积几何法以下方每边六尺自乗得三十六尺又以髙三尺再乗得一百零八尺三归之得三十六尺即方底尖体形之积也如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲乙髙再乗得庚乙丁辛扁方体形此扁方体与尖方体之底面积等其髙又等故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙丁戊尖方体三形之积等也设阳马体形底方每边六尺髙亦六尺问积几何法以底方每边六尺自乗得三十六尺又以髙六尺再乗得二百一十六尺三归之得七十二尺即阳马体形之积也如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边自乗得乙丙丁戊正方面形又以甲丁髙再乗得己乙甲丁正方体形此己乙丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳马体三形之积等故三分之即得阳马体之积也此阳马体形与尖方体形虽不一而法则同也葢尖方体形尖在正中阳马体形尖在一隅凡体形其底面积等髙度又等其体积必相等也设如鼈臑体形长与濶俱四尺髙九尺问积几何法以长与濶四尺自乗得十六尺以髙九尺再乗得一百四十四尺六归之得二十四尺即鼈臑体形之积也葢鼈臑体即勾股面之尖体如甲丙乙丁鼈臑体形以丁丙长与乙丙濶相乗成乙丙丁戊正方面形以甲丁髙再乗成甲庚戊乙丙己长方体形此一长方体之积与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而甲乙丙丁鼈臑体之积又为甲戊乙丙丁阳马体积之一半阳马体为长方体三分之一则鼈臑体又为长方体六分之一矣设上下不等正方体形上方每边四尺下方每边六尺髙八尺问积几何法以上方每边四尺自乗得一十六尺下方每边六尺自乗得三十六尺又以上方每边四尺与下方每边六尺相乗得二十四尺三数相并得七十六尺与髙八尺相乗得六百零八尺三归之得三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也又法以上方边四尺与下方边六尺相减余二尺折半得一尺为一率髙八尺为二率下方边六尺折半得三尺为三率求得四率二十四尺为上下不等正方体形上补成一尖方体形之共髙乃以下方边六尺自乗得三十六尺与所得共髙二十四尺相乗得八百六十四尺三归之得三百八十八尺为大尖方体之积又以髙八尺与共髙二十四尺相减余十六尺为上小尖方体之髙以上方边四尺自乗得十六尺与上髙十六尺相乗得二百五十六尺三归之得八十五尺三百三十三寸有余为上小尖方体之积与大尖方体积二百八十八尺相减余三百零二尺六百六十六寸有余即上下不等正方体形之积也设上下不等长方体形上方长四尺濶三尺下方长八尺濶六尺髙十尺问积几何法以上长四尺与上濶三尺相乗得十二尺倍之得二十四尺下长八尺与下濶六尺相乗得四十八尺倍之得九十六尺又以上濶三尺与下长八尺相乗得二十四尺以下濶六尺与上长四尺相乗得二十四尺四数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也又法以上长四尺倍之得八尺加下长八尺共十六尺与上濶三尺相乗得四十八尺又以下长八尺倍之得十六尺加上长四尺得二十尺与下濶六尺相乗得一百二十尺两数相并得一百六十八尺与髙十尺相乗得一千六百八十尺六归之得二百八十尺即上下不等长方体形之积也设上下不等刍甍体形上长十尺下长十四尺下濶五尺髙十二尺问积几何法以上长十尺与下濶五尺相乗得五十尺以髙十二尺再乗得六百尺折半得三百尺为上下相等刍甍体积又以上长十尺与下长十四尺相减余四尺与下濶五尺相乗得二十尺以髙十二尺再乗得二百四十尺三归之得八十尺与先所得上下相等刍甍体积三百尺相并得三百八十尺即上下不等刍甍体之积也如甲乙丙丁戊上下不等刍甍体形自其上棱之甲戊两端直剖之则分为甲己辛壬戊一刍甍体甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上长相等之己庚与己辛濶相乗即得己辛壬庚刍甍体之面积与甲癸髙相乗折半得甲己辛壬戊刍甍体积又以甲戊上长与丙丁下长相减所余丙辛壬丁二叚即二尖方体之共长与乙丙濶相乗得乙辛与庚辛二尖方体之底面积与髙相乗三归之即得甲乙丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与一甲己辛壬戊一刍甍积相加即得甲乙丙丁戊一上下不等刍甍体之总积也设两两平行边斜长方体形长二尺四寸濶八寸髙二尺七寸问积几何法以长二尺四寸与濶八寸相乗得一尺九十二寸又以髙三尺七寸再乗得七尺一百零四寸即两两平行边斜长方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜长方体形以乙丙濶与丙丁长相乗得乙丙丁庚长方面积以戊丙髙再乗成己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之间所有立于等积底之各平行体其积俱相等故甲乙丙丁戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛壬正立长方之体积为相等也设空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问内外方边各几何法以厚二寸自乗再乗得八寸八因之得六十四寸与共积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸六归之得一百九十二寸用厚二寸除之得九十六寸为内方边与外方边相乗长方面积乃以厚二寸倍之得四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边得长一尺二寸即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体其甲丑即空心正方体之厚以之自乗再乗八因之得壬辛子癸类八小隅体与空心正方体相减则余空心正方体之六面丑寅巳子类六长方扁体六归之得丑寅己子一长方扁体用厚二寸除之得丑寅夘辰一长方面积其丑寅濶与戊己等即内方边其丑辰长与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长濶之较故以厚二寸倍之为带纵求得濶为内方边长为外方边也又法以厚二寸倍之得四寸为内方边与外方边之较自乗再乗得六十四寸与空心正方体积一千二百一十六寸相减余一千一百五十二寸三归之得三百八十四寸以内外方边之较四寸除之得九十六寸为长方面积以内外方边之较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶八寸即内方边加较四寸得一尺一寸即外方边也设大小两正方体大正方体比小正方体每边多四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边多几何法以大正方边比小正方边所多之较四寸自乗再乗得六十四寸与大正方体比小正方体所多之积二千三百六十八寸相减余二千三百零四寸三归之得七百六十八寸以边较四寸除之得一百九十二寸为长方面积乃以边较四寸为长濶之较用带纵较数开平方法算之得濶十二寸即小正方之边数加较四寸得十六寸即大正方之数也如甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正方体减出戊己庚辛一小正方体余壬申戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方积比小正方积所多之较甲戊为磬折体之厚即大正方边比小正方边所多之较此三面磬折体形依开立方次商法分之则得癸子丑三方亷体寅夘辰三长亷体己一小隅体以甲戊边较自乗再乗得己一小隅体与磬折体积相减余三方亷体三长亷体三归之则得癸一方亷体寅一长亷体共成午甲已未庚甲乙扁方体其午甲厚与甲戊等以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方面形甲戊即长濶之较故用带纵开平方法算之得乙庚濶与戊乙等即小正方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙即大正方之边数也设大小二正方体共边二十四尺共积四千六百零八尺问两体之每边及体积各几何法以共边二十四尺自乗再乗得一万三千八百二十四尺内减共积四千六百零八尺余九千二百十六尺三归之得三千零七十二尺以共边二十四尺除之得一百二十八尺为长方面积乃以共边二十四尺为长濶和用𢃄纵和数开平方法算之得濶八尺即小正方之边数与共濶二十四尺相减余十六尺即大正方之边数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己庚辛一小正方体以共边二十四尺自乗再乗则成壬乙癸子一总正方体内减甲乙丙丁戊己庚辛大小两正方体之共积余丑寅夘三方亷体辰已午三长亷体三归之则得丑一方亷体辰一长亷体共成未壬乙丙戊甲一扁方体用壬乙共边除之则得未壬戊甲之长方面形其未壬濶与壬申等其壬戊长与甲乙等故以壬乙共边为长濶和用带縦和数开平方法算之得未壬濶即小正方之边数与长濶和相减余壬戊长即大正方之边数也设人立河坡平处欲知水边低于平地之数用重表之法测之法于河坡平处立四尺表杆测之稍前再立二尺表杆㸔两表端参对水边低处量得距分六尺向前直量三丈复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆㸔两表端参对水边低处量得距分四尺八寸乃以前测之距分六尺与后测之距分四尺八寸相减余一尺二寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率前测与后测相距三丈为三率求得四率五丈为水边低于表尖之数内减去表髙四尺余四丈六尺即水边低于河坡平处之数也设人在山上欲知山涧之深用重表测之法于山边立二尺表杆稍后立四尺表杆测之看两表端参对涧底量得两杆相距得三尺再退量五尺复立四尺表杆重测稍前仍立二尺表杆㸔两表端参对涧底量得两杆相距得三尺四寸乃以后测之距分三尺四寸与前测之距分三尺相减余四寸为一率表杆四尺与二尺相减余二尺为二率两表相距五尺为三率求得四率二丈五尺为山涧距表尖之深内减去表髙四尺余二丈一尺即所求山涧之深也设东西二树欲知其相距之逺测距东树七十丈距西树五十丈问二树相距法用同式形比例先以距东树七十丈取其五十分之一得一丈四尺即对东树直量一丈四尺作记又以距西树五十丈亦取其五十分之一得一丈即对西树直量一丈作记乃于两作记处斜量如得四尺五寸是为同式形之相距数然后以所得之四尺五寸用五十求之得二十二丈五尺(因两作记处为二树测处五十分之一则所得同式形之相距数亦必为)(二树相距数五十分之一)即二树相距之逺也设东西二树欲知其相距之逺用重表或取同式形测之问二树相距法先用不取直角测逺法(如测石测树之法)求得二树距测处之逺再用知两逺求相距之法求之设左右两峰不知其髙逺欲求两峰相距法先用重表求髙逺法各求得髙与逺(其髙为尖峰距地平之髙)(其逺为山根距测处之逺)如求得左峰髙四十八丈逺六十四丈右峰髙六十五丈逺七十二丈乃用勾股求弦法以左峰四十八丈为股逺六十四丈为勾求得弦八十丈即左峰距人之逺以右峰髙六十五丈为股逺七十二丈为勾求得弦九十七丈即右峰距人之逺然后用知两逺求相距法各取其百分之一对左峰直量八尺作记对右峰直量九尺七寸作记如于两作记处横量得一丈二尺即加一百倍为一百二十丈得两峰相距之逺左峰髙如左甲逺如甲丙右峰髙如右乙逺如乙丙两峰相距如设如有井不知其深于井沿取一直角横量一尺五寸测之问水面距地之深设井口径濶九尺法于井沿取直角立表杆测之人目对表端斜向井沿看水以恰见水边为凖如表髙四尺量得表距井沿一尺五寸则以一尺五寸为一率表髙四尺为二率井口濶九尺为三率求得四率二丈四尺即水面距井沿之深也方圆诸率径○七周二二径○五○周一五七径○三二周一○○径一一三周三五五径一○○○○○○周三一四一五九二凡径求周者以周率乗以径率除得周周求径者以径率乗以周率除得径平方积四○○○○○○○○平圆积三一四一五九二六五平方积一○○○○○○○○平圆积○七八五三九八一六平方积四五二平圆积三五五平方积一四平圆积一一立方积 同平方率圆柱积同平圆率圆周自乗积八八圆周中占积○七方柱积三方锥积一圆柱积三圆尖积一圆柱积三圆球积二立方积六○○○○○○○○立圆积三一四一五九二六五立方积一○○○○○○○○浑圆积○五二三五九八七七立方积六八七浑圆积三五五立方积二一浑圆积一一立方积二一浑圆积一 一浑圆面积四平圆面积一撱圆求积两径相乗数以十一乗之十四除之得所求解曰取撱圆两径之中率作圆其容与撱圆等浑撱圆求积小径自乗再以大径乗之以十一乗二十一除得所求解曰方体浑撱圆之比例犹立方与浑圆也弧矢求径及离径半径置弦折半自乗以矢除之得所求解曰半弦股也矢弦句较也余径弦句和也股之自乗积以和除之得较以较除之得和故以矢除之得余径余径加矢折半为半径半径减矢为离径也弧矢求积(旧法以矢弦相并得弧背径一围三之义也疎甚不可法)置弧背以离径并矢(即半径)乗之别置弦以离径乗之两数相减余折半得所求解曰弧背圆周分线也离径并矢圆半径也于弧背两端作线㑹于圆心成杂线形求积之法当与圆同故以半径乗背折半得积也又杂线形内除弧矢形余一三角形以弦为濶以离径为高高乘濶折半得积以减杂线形积则所余者弧矢积矣故以半径乗背离径乗弦相减折半得积也求中率法以两率相乗得数平方开之得中率截方锥体求积法置上方自乗下方自乗上下方相乗三数并以髙乗之以三除之得所求右形得方体一堑堵方锥各四今方体三堑堵方锥体各十二故以三除也(凡堑堵二之一方锥三之一)截圆锥体求积法置上径自乗下径自乗上下径相乗三数并以髙乗之再十一乗四十二除得所求(元当用三除之又十一乗十四除之今用四十二除)(者三因十四得四十二合两次除为一次除也)截直锐体求积倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之两数并以髙乗之以六除之得所求右形具体如截方锥今得直体六堑堵锥体各二十四故以六除也截撱圆锐体求积倍面大径加底大径以面小径乗之又倍底大径加面大径以底小径乗之两数并以髙乗之再以十一乗八十四除得所求(此以六因十四得八十四也)庄氏算学卷七
## 卷八
钦定四库全书庄氏算学卷八淮徐海道庄亨阳撰七政经纬日躔法年根查二百恒年表内年根录之随记最髙冲之数于旁(表内)(之数微满三十即进一秒下并同)日数查周岁平行表内日数录之随记最髙行之数于旁平行年根与日数相加得之髙冲最髙冲与最髙行相加得之引数以髙冲减平行得之或平行不及减加十二宫减之均数以引数宫度分查加减差表得之(数内秒满三十收为一分也)法○宫至五宫顺查本行与左行相较六宫至十一宫逆查本行与右行相较将较数以引数零分乗之得数视本行大者减小者加若引数无零分则直用本行之数随记加减号(如引数系九宫一十八度十七分逆查本行为一度五十七分四十二秒较右行一)(度五十七分三十六秒得多六秒以引数七分乗之得四二为四秒一十二微去微数不用净得四秒将本行)(四十二秒减去四秒为一度五十七分三十八秒得均数记减字号)细行以均数依加减号加减于平行得之宿度以细行宫度查距宿钤取度分小于细行者用之若本宫宿度分大于细行则借前一宫用(自己巳年起算至本年共若干年以)(每年五十一秒乗之以六十除之得数何度分以加于用宿之度分内与细行度分相减余为某宿几度几分)月离法四年根查二百恒年表录之(月自行即引数六正交年根加减六宫用如七减 为一一加六为)(七余同)四日数查日平行表内日数录之平行实行年根日数相加得之正交年根减日数即得两日差以太阳宫度查日差表得分数即以分数查时刻平行表得之(表内秒满三十收为一分)随记加减号平行总平引以日差依加减号加减于两平行得之两均数以平引宫度分查加减差表同日躔随记加减号实行实行引以均数依号加减于平行总平引得之太阳录本日日躔细行距日次引以实行减太阳即得满六宫者去之次均以距日次引宫度查二三均表定直行再以实行引宫度定横行○一二宫顺查三四五宫逆查相较(其较出之数若)(系二四六等行以二除之三六九等以三除之得数或余一二秒复化为微除至三十微即进一秒视本位大)(小而加减之得次均数记加减号)白道经以次均依号加减于实行得之交均大距数以距日次引宫度查交均表得之表内距限即大距之数记加减号正交经以交均依号加减于正交平行得之中交以正交之宫加减六宫用白经即录前白道经之数月距正交以白经转减正交经得之同升差以月距正交宫度查白道升度得之记加减号黄道视行以同升差依号加减于白道得之视纬以月距正交宫度查黄白距度表定横行又以大距数之数查表内相近之数用之定南北号四宿查距宿钤同日躔各以本度分减之过宫土木星法年根交行查恒年表两日数查平行表两平行如日躔前均中分以引数平行宫度分查表相较同日躔记加减号实经以前均依号加减于平行得之日躔即录本日细行次引以日躔转减实经得之次均较分以次引宫度分查表同前均记加减号三均以中分较分分数相乗逢三十秒进一分以下十除之即得并均二三相加得之视经以实经依次均号加减于并均得之正交实经以实经数录之距交以实经倒减交行得之中分以距交宫度查纬行表相较将较出之分化为秒以五除之得若干计本位至本数得几分(如距交二宫十三度即查二宫十度)(与十五度相较十度系五分四十九秒十五度系四分三十八秒较多一分十一秒将分化为秒共得七十一)(秒以五除之得一十四秒计十位至十三位得三分为四十二秒得五分○八秒余倣此)视本位大小加减之即得如有纬行细表则不用分如其数直书之纬限亦同纬限以次引宫度分查纬行表纬度之数距交在前六宫用北度之数后六宫用南度之数以五分之或以两数平分之亦得表内旁另注加减字于数内加减之视纬以纬限度化为分用中分零分相乗得数以六十除之距交在前六宫纬北后六宫纬南宿度火星法年根正交同土木两日数同土木两平行同土木两均数距日同土木实行引同土木太阳即日躔相距以太阳倒减实行得之半距距余半相距在前六宫相距折半为半距不用距余半相距在后六宫以实行正减太阳得半距半距折半为距余半日引以太阳减去本年最髙冲之数加减六宫用半径以实引宫度分查表相较得之日差以日引宫度分查表相较得之星数以半径日差相加得之总以距日星数相加得之较以距日星数用大减小得之半距均线有距余半者以距余半查八线表正切线之数无则以半距查正切线之数以较相乗以总除之减弧以所除之数查八线表取近者用之次均或半距或距余半减去减弧得之视行相距在前六宫次均与实行相加相距在后六宫次均与实行相减距交以实行减正交得之中分以距交查表同土木星得数两平分之纬限以相距查表亦平分之即得视纬同土木宿度同土木金水星法三年根查同土木伏见日数本星平行表内日数录之距冬至引数 日数即录太阳平行表内日数三平行同土木三前均中分同土木实经引同土木实行视前均号加减反用之二均较分以实行宫度分查表同土木三均同土木并均同土木视经同土木次实引实引加十六度即得前中分金星以次实引查同土木得数平分之水星无次实引以实引宫度查之前纬限以实引宫度查小轮之数亦平分之即得前纬乗除同土木若中分在前六宫纬限在○一二九十十一六宫中分在后六宫纬限在三四五六七八六宫者纬为北若中分在前六宫纬限在三四五六七八六宫中分在后六宫纬限在○一二九十十一六宫者为纬南后中分以实行实引两宫相见之处查同前(如实行四宫实引六宫必欲表内两)(宫俱有方用或有四宫无六宫有六宫无四宫者不用余倣此)后纬同前纬依表内南北号记之视纬视前后二纬同号者相加异号者以大减小即得宿度三较连乗发明分角取心从心作三垂线破为六勾股形其垂线界处即为三边与半总之较者二 三较连为一线即成半总 半总一面线之末作岀线引分角过心中线与垂线合添成大勾股形与中线第一垂线平行即为相似形 第一垂线为小勾股之勾中直线为弦其旁为股股即第一较添成大勾股其过心中线即为弦 小勾视大勾如第一较视半总 小勾自乗视小勾乗大勾亦如第一较视半总 小勾乗大勾之积同第二第三较相乗之积第二第三相乗之积以第一较乗之为总积则小勾乗大勾之积亦可以第一较乗之为总积总积以半总除之得小勾之积以小勾之积除之得半总所以然者小勾为勾第二较为股一勾股也大勾为股以第三较为勾又一勾股也凡勾股相似形小股乗大勾之数即小勾乗大股之数故二三较相乗之积与小勾乗大勾之积均也二三较相乗之积复乗以第一较之所得积与小勾自乗又乗半总所得积均也 如勾三股四弦五半总六则勾较三股较二弦较一勾股较相乗得六弦较乗之仍得六此三较连乗之数也容员半径一乗半总亦仍得六此员半径自乗又乗半总之数也 三较连乗以半总除之者所以取圆半径也三较连乗而以首较乗半总除之者所求对角之线也既以首较乗半总则通二法为一法故中间可省首较一乗(按求对角线语有脱误)庄氏算学卷八◆ 《九章录要-清-》（KR3f0056）
## 提要
钦定四库全书 子部六
九章录要 天文算法类二(算书之属)提要(臣)等谨案九章录要十二卷国朝屠文漪撰文漪字莼洲松江人其书因古九章之术叅以今法与杜知耕所著数学钥体例相似而互有详畧踈宻知耕详于方田文漪则详于勾股知耕论少广备及形体文漪推少广则研及廉隅之辨知耕叅以西法每于设问之下附著其理文漪则采录梅文鼎诸书推阐以尽其用大致皆缀集今古之法以成书而取舎各异合而视之亦可以互相发也是书有借徴一条即借衰叠借之术为知耕之所未及考其所载虽未极精宻然于借数之巧固已得其大端矣乾隆四十六年五月恭校上总纂官(臣)纪昀(臣)陆锡熊(臣)孙士毅总 校 官(臣)陆费 墀
## 卷一
钦定四库全书九章录要卷一松江屠文漪撰乗除诸法九章乗除之法各有不同因以分著各章其通用者宜先讲也具详于左并乗并除 算以速见巧乗或屡乗除或屡除不若一乗一除之捷也假如有数须用一十五乗复一十八乗者直以二百七十乗之(先以十五与十八相乗)余可意推其在除法尤以并为便葢使分除而前除不尽以后必用零除之法仍是并除而更多事固不如先并也惟前除适尽则后除虽有零余亦当无几特便于命分而并除者余实反多然约之亦正相同耳分乗分除 再三乗除不若一乗除之便而亦有时宜用分者不可以一律拘假如有数须二百四十五乗(凡为四十九者五)则先以五乗之复以七乗之又以七乗之既无易误之患而算较㨗也其在除法则须审量何也恐前除不尽而后仍用零除也葢以法除实或不能尽者非必如三六七九等除虽破实之一为十为百与千(如实米一石破为十斗为百升为千合之类是也)而终不尽也即如二四五八等除但破实之一为十与百千自无不尽而若不破实则仍不尽矣前除既破实以至于尽后除势不中止此于命分反逺特求分厘数者宜之耳夫既已命分而以母除子亦得分厘数既得分厘数而以原法乗之亦可命分二者固亦相通然而各自取㨗岂须借径此其宜审者也更恐前除破实且不尽则虽求分厘数亦未能精细故所分之除法孰先孰后(大抵二四五八等除宜居前三六七九等除宜居末)又不可不审总之运算之巧存乎一心非言所可悉矣 假如有银四百五十两用一百六十八除若并除得二两又一百六十八分两之一百一十四即不复破实细除但约之为二十八分两之一十九而可以命分矣若分除者先用三除次八除次七除(以原数四百五十故先用三除若系三百五十便当)(先用七除次八次三也)得二两六钱七分八厘五毫七丝又七分丝之一(尚可再除而数微已甚矣)倘欲以两命分则惟二两整数已定外余须以原法乗之乃得一百一十四之数仍再约之反不㨗也(右一条新增)乗除相减归一法 数须乗除并用而可用乗省除或用除省乗则归一尤为至便如数须一十八乗复三除者直以六乗之须四乗复十二除者直以三除之其法乗数多则从乗除数多则从除而必先取乗除两数以少除多除之可尽即用除得之数不可尽者不能归一也省乗用除倘有零余则约分简易更非原数乗除之比(右一条新订)两数一半一倍乗法 置两数欲相乗者若倍其一半其一而乗之所得数同如一数五百二十五一数三十二倍上数为一千零五十半下数为一十六乗之视以原数相乗者㨗矣此特宜于数之少者葢直可以臆计而不烦布算也(右一条新增)倍除法 置两数欲以法除实者若倍其法除之所得数亦倍之即应得之数如有数须四十五除则用九十除须一百三十五除则用二百七十除亦倍所得数㨗于以原法除也遇零分欲求分厘数者依此除之若欲命分则仍其子还用原母(即原法也)以命之或须约者更约之满原母者归整为一数俱不用倍(右一条新)(增)乗除通用法 二乗与五除同二除与五乗同(置银十两以二)(乗之得二十两以五除之得二两其差十倍然而可通用者其乗除俱得二数则同耳) 四乗与二五除同四除与二五乗同(其差百倍) 八乗与一二五除同八除与一二五乗同(其差千倍)以加减代乗法 假如有数须八乗者即于实下一位减二若实数系五二五当减一十则于实之本位减一也有数须一零五乗者即于实下第二位加五若实数系二二五当加一十则于实下一位加一也加减俱从小数始三率准测乗除法 数有已知者因以测所未知则列前三率求后一率先定三率之位第一率与第三率相准第二率与未知之第四率相准如谷准谷钱准钱之类乃以二率三率相乗为实以一率为法除之得四率为所求数旧名异乗同除(左例原银与原米是为同今银与原)(米是为异)假如原有银三十六两籴米四十八石今银六十三两问米几何一率 原银三十六两二率 原米四十八石三率 今银六十三两四率 八十四石为今米数右法若先以一率除二率得数乃以乗三率或先以一率除三率得数乃以乗二率所得四率皆同但除之不尽必用零乗之法则不若从前先乗后除为㨗(凡数须乗除并用者每以乗居先倣此)右法覆算以二率三率相乗如前以四率除之仍得第一率若以一率四率相乗以二率除之得三率以三率除之得二率三率化多为寡乗除法 别求一通数可以除尽率中之两数者(其一必系第一率其一或第二率或第三率)即以通数除率数所得数列本率下以代率数乗除如前无通数者则否一率 三十六 三(此以十二为通数)二率 四十八 四三率 六十三四率 八十四又式一率 三十六 四(此以九为通数)二率 四十八三率 六十三 七四率 八十四三率易位乗除法 前法以原银原米相连置一二率而今银置三率葢以二率视四率犹以一率视三率三率视四率亦犹一率视二率其数可例推也若如左例原珠数多其价数反少今珠数少其价数反多必以一率与三率互换其位而后三率之视四率亦犹一率之视二率矣乗除如前得所求数旧名同乗异除(若如前置率则当以一率二率相乗以三率除之) 假如原有小珠五十颗今有珠稍大三十颗其总重适等原珠共价银一十二两问今价几何一率 今珠三十颗 三(以十为通数)二率 原价十二两三率原珠五十颗 五四率 二十两为今价又如有物一枚以称称之称小不及其锤重十两外加一锤重八两称之得三十五斤依小称算该几斤一率 原锤十两 二(以五为通数)二率 今重三十五斤 七三率 并两锤十八两四率 六十三斤为实重数又如原称称物重三十五斤失原锤欲别作锤配之不知轻重却借一锤重十两以较原称之物得六十三斤问原锤重一率 原重三十五斤二率 今锤十两三率 今重六十三斤四率 十八两为原锤重(此即前例一率四率相乗而以二率除得三率也)三率重测法数或繁襍非三率可尽当叠用三率之法次第推之假如原母银五十两三月得子银四两今母银二百两欲得子银二百两须几年一率 原母五十两二率 原子四两三率 今母二百两四率 十六两为今母三月之子又一率 子十六两二率 三月三率 子二百两四率 三十七月二分月之一为所求数右例亦可用并法一率 原子四两二率 原母乗三月得一百五十两三率 今须子二百两四率 七千五百两为今母乗月之数再以今母除之得月数又如客贩布卖之每匹二钱即母银百两已得息三十两设每匹卖二钱四分则百两获息几何一率 已得息并母一百三十两二率 母一百两三率 布价二钱化二十分四率 十五分又十三分分之五为每匹母银别有㨗法应补于后一率 二十分二率 一百三十两三率 四分四率 二十六两并三十两得五十六两又一率 每匹母十五分又十三之五二率 布价二钱四分内息八分又十三之八三率 母一百两四率 五十六两为所求息数又㨗法一率 二十分二率 一百三十两三率 二十四分四率 一百五十六两此为母子并数三率并乗并除法数虽繁襍而可归并入三率之内则以三率尽之假如炼矿求银初火得三之二再火得七之五又火得四之三凡三火得银七十五两问原矿几何一率 三子相乗得三十二率 三母相乗得八十四三率 炼得银七十五两四率 二百一十两为原矿又如原有绫八匹换纱二十匹原纱三十匹换布一百匹原布六十匹换锦二匹今有绫一十八匹问换锦几何一率 原绫纱布乗得一万四千四百二率 原换纱布锦乗得四千匹三率 今绫一十八匹四率 五匹为换锦数乗除先化大小数法 凡数大小杂见不便相乗除则先以大数化为小数假如原有银六钱买丝七两今有银五两问买丝几何此因银数有钱复有两须化两为钱其丝自作两算不必化钱也大凡同类者须化殊类则否(遇多数取最小数为主以大数化之倣此如一十二两三钱四分化为一千二)(百三十四分之类)一率 六(原银钱数)二率 七(原丝两数)三率 五十(今银化为钱数)四率 五十八又三分之一(今应得丝两数)右例亦可以钱从两化之而不如前法之㨗一率 五分之三(原银化为两数)二率 七(原丝两数)三率 五(今银两数)四率 五十八又三分之一(得丝两数同前)又如原银六钱二分五厘买丝七两今银一百三十二两问买丝几何此若以大数化小则原银今银当悉化为厘而原银数固可以两命分又不如从两化之为便所贵乎随宜通变者也(因今银是以两计而化之非为丝以两计)(也)一率 八分之五(原银化为两数)二率 七(原丝两数)三率 一百三十二(今银两数)四率 一千四百七十八又五分之二(今应得丝两数)(右一条新增)九章录要卷一
## 卷二
钦定四库全书九章录要卷二松江屠文漪撰零分法几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乗除乃能尽九章之术故备论于左竒零命分约法 以法除实除得数为整数余实少于法除之不可乃成竒零或原实先少于法则无整而但有零矣(假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也)凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法余二十八乃以余法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也(前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者)(耳葢三法小异而理则同)亦有不可约者即以法为母实为子命分整带零分化整为零分法 凡以法除实务得数归整值余实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乗除者耳若更有他数须与之相并减相乗除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整(必归整无零分方可归整也)即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乗除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乗整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法零分与整相减法 零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也(归整则为六又五分之二)零分相并法 诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子(本子与本)(母不相乗之或诸子各乗共母而以本母除 得数为诸子亦可)乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也(归整为一又二百八十分之九十七)右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子(丙子即用原数)并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也(归整为一又五分之三)零分相减法 零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也零分与整相乗法 零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也(归整为四又五分之一)零分除整法 以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也(归整为一十一又三分之二)整除零分法 以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也零分相乗法 两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也(或两母同或两子同者亦必相乗)右法亦有可省者以两母相乗以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乗以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也零分除零分法 以法除实而法实两数俱系零分者以法子乗实母得数为母以法母乗实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也(若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也)右法亦有可省者以法子乗实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也零分自乗法 零分数自乗者以母自乗得数为母以子自乗得数为子如有数三分之五自乗得九分之二十五是也(归整为二又九分之七)零分开方法 零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也(归整为一又三分之二举按此因论零分法而及开方故聊 大畧而已)(其详在少广章中)零分求分厘小整数法 实少于法除之不足不能成整而为零分若求分厘小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五厘一十六分两之一除得六分二厘五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分厘则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也(或欲还原子即以原母乗之如八乗三钱七分五厘得三两为八分)(两之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也)分厘数命分法 据分厘小整数欲以大数命分者法以分厘数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母(其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一)(算也)乃以法约之如六钱六分二厘五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子(六千六百二十五毫也)以一万分为母(一两为一万毫也)乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分九章录要卷二
## 卷三
钦定四库全书九章录要卷三松江屠文漪撰方田法古九章一曰方田以御田畴界域今其书不𫝊特据所见近世之书芟其繁谬补其缺遗以意隶之云尔方田长方田求积步 方田谓正方四面等者法以方自乗得积长方谓两长两广各等者法以长乗广方长带偏斜求积 似方与长方而稍偏斜者长不等则并两长半之广不等则并两广半之然后以长乗广如偏斜甚者须裁令方正分别算之勿用此法又有方长田一边斜者假如东长四十步西长四十一步南广三十步北广三十九步于法应得积一千三百九十七步四分步之一也然此乃谓四面俱偏斜者耳若止是西边一面偏斜则从北广东头向西量之尽三十步止即向南直量之其长亦当四十步是田之大体本系长方独北广西头盈九步句九股四十则弦四十一以斜弦为西长并东长而半之岂不谬乎法当并两广半之以长四十步乗之得积一千三百八十步斯不误矣三广求积 三广谓中及两边广各不等者法倍中广并入边两广以四除之以中长乗之其中长亦须于两三处量之如有不等者并而分之以为之长(并三则三)(分四则四分)边长似斜弦之处勿量也 按田形不可穷尽善算者以意推之法无预设或赘为四广五广之法固已迂矣且其法云四广并而四除之五广并而五除之尤甚谬误四广须倍其中之两广并边两广以六除之五广须倍其中之三广并边两广以八除之乃合 又按广形亦有须辨者如三广而中广近一边不居正中者是也即须分别算之句股求积 法以句乗股半之或以半句乗股或以半股乗句 按句股须量其弦以互求法推之与法合者是也若弦太长或太短即以三角算三角法兼可施之勾股勾股法不可施之三角三角求积 法以一面之长乗中广半之 假如三面长等者是真三角也率长七而中广六不待量也不然则量中广处须令如两句股乃合(三角率长七中广六则中广微)(强然所较甚微即依率算之可也)四角斜方求积 法以中长乗中广半之 假如中广两角未必相对则中广直径不能与中长如十字矣但各自量之令如四句股者仍并两句为一中广以乗中长如上法以上诸形皆属方之类故长广必直即遇斜弦其弦亦直如有一处弯曲若弧与睂之状者别从圆之类求之乃无失也员田求积 法以周自乗以十二除之或以径自乗复以三乗之以四除之或以周乗径或以半周乗半径以四除之 按员物率周三而径一然田员岂能中规其小偏者不妨以规员之法施之但将周径并量参互折中亦可无误若偏甚则勿以员论也(员率周三径一)(则周微强然所较甚微亦依率算之)环田求积 环田谓于员内减员者法并内外周半之以径乗之半环倣此(其径勿据一处虑广狭不等)弧矢求积 弧矢谓员田之半若张弓者法并弦长矢径半之以矢径乗之不及员之半者法亦如之过半者勿得用也凡矢径半弦是员之半矢长则过矢短则不及(不及员之半者如纵破长员之半若从而益之有可以成员之理者也过员之半者如横)(截长员之半无可以成员之理者也弧矢之法详见少广章本与员法相㑹合故惟有可员之理者乃得)(用之)枣核长员求积 枣核谓两头尖中广处员者长员谓两头亦员者法半中广并入中长以半广乗之按二者虽不全员然是两弧合并故其法即弧矢法而倍之也此法亦可施之员田但员法不可施之于此耳(旧法枣核乃四角斜方 右一条新增)横截长员求积 形似弧矢而矢径半弦有余者固不可用弧矢法而可以弧矢法变通求之葢横截长员之半与纵破长员之半其积正等此之矢径乃彼之半弦此之弦长乃彼之二矢也法四除弦并入矢径以半弦乗之(右一条新增)蛾睂牛角求积 蛾睂谓两边之长相随而弯者牛角则横截蛾睂之半也睂有中广无横广角有一头横广无中广其实同耳法并两长半之以半广乗之但牛角横广一头须畧似方形若太偏斜则横广未足为准恐据以下算必浮于实积此又不可不知 以上诸形皆属员之类若应员处乃直者别从方之类求之亩步互求 二百四十乗亩得步二百四十除步得亩九章录要卷三
## 卷四
钦定四库全书九章录要卷四松江屠文漪撰粟米法古九章二曰粟米以御交质变易方仓窖求积尺 法以方自乗复以髙乗之(窖则当以深乗只言)(髙者统于仓也深亦髙也)得积长方仓窖求积 法以长乗广复以髙乗之员仓窖求积法以员周自乗复以髙乗之以员周率十二除之或以径自乗复以髙乗之以员径率三乗之四除之长员仓窖求积 法半中广并入中长以半广乗之复以髙乗之(此法亦可用之员仓窖而员法不可用之长员 右一条新增)方平堆求积(凡窖形上下之大小不等者亦倣此法下三条同) 法以上方自乗又以下方自乗又以上方乗下方并三数以髙乗之以三除之(因并三数故须三除也)长方平堆求积 法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之(并二数中凡有六数故用六除此法亦可用之方平堆也)员平堆求积 法以上周自乗又以下周自乗又以上周乗下周并三数以髙乗之以三十六除之(并三数应三除)(员周率十二除故用三十六除也)或以上径自乗又以下径自乗又以上径乗下径并三数以髙乗之以四除之(并三数应三除员径率三乗四除以三乗当三除并)(省之故只用四除也)长员平堆求积 法先半中广并入中长以为长半中广以为广(上下之中广中长俱依此法并不用原广原长)然后倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数以髙乗之以六除之(此法亦可用之员平堆而不如前法之捷 右一条新增)方尖堆求积 法以下方自乗复以髙乗之以尖率三除之长方尖堆求积法以下广乗下长复以髙乗之以尖率三除之(右一条新增)长方平尖堆求积(既云尖又云平者无上广而有上长従横头视之则尖从纵之旁面视之)(则平故曰平尖) 法倍下长加上长以下广乗之复以髙乗之以六除之(此用六除者何也试从上长两头尽处向下直截之而以两头合成尖堆别算)(其义自见葢下长多于上长之数乃尖堆之下长所当以下广乗之而用尖率三除者也其与上长相等)(之下长所当以下广乗之而折半者也今既统下长之全数而倍之则为尖堆之下长者有二二用六除)(犹一用三除也为上长相等之下长亦二又加上长成三三用六除犹一用折半也)按此与平堆异者以其无上广故用平堆法之半而亦以六除之此与尖堆异者以其有上长而尖堆既无上长可加则但倍下长以乗下广以六除之于法亦通乃知数之相准而法之可以相推有如此者(右一)(条新增)员尖堆求积法以下周自乗复以髙乗之以员周率并尖率三十六除之(员周率十二尖率三故其率三十六)或以下径自乗复以髙乗之以员径率并尖率四除之(尖率应三除员径率)(三乗四除亦以三乗三除相当省之故只用四除)长员尖堆求积 法半下中广并入中长以半广乗之复以髙乗之以尖率三除之(右一条新增)倚壁员尖堆求积 员尖之半也法以下周自乗复以髙乗之以倚壁率十八除之内角员尖堆求积 员尖四之一也法以下周自乗复以髙乗之以内角率九除之外角员尖堆求积 员尖四之三也法以下周自乗复以髙乗之以外角率二十七除之按右三条算家沿习有此然必先取周径较量果恰得员尖二之一四之一四之三而后其法可施耳如或不然则当以长员法及尖堆率参酌求之又方尖亦宜有倚壁内外角之法通于算理者自可意推也凡平堆尖堆法所云以髙乗之者并指直髙而言非谓斜髙也如直髙不便量者量斜髙以求直髙而算之(法见商功章) 又凡平堆尖堆斜髙之处虽不据以立算然亦必如句股之弦乃合于法弯曲者则否方仓以积与方求髙与髙求方 法以方自乗数除积得髙以髙除积开方得方长方仓以积及髙与广求长与长求广 法以髙长相乗数除积得广以髙广相乗数除积得长(若以积与长广求髙)(其理易见不复赘)员仓以积与周径求髙与髙求周径 算周者以员周率十二乗积算径者以员径率四乗三除积乃用方仓法长员仓以积及髙与广求长与长求广 法以髙与半广相乗数除积减半广得长以髙除积以长为带纵开平方除之得半广倍之得广(其方员长方员尖堆但加尖率三乗余并)(同上四法不复赘)方平堆以积及髙与上方求下方与下方求上方 法以三乗积以髙除之乃减上方自乗数以上方为带纵开平方除之得下方减下方自乗数以下方为带纵开平方除之得上方员平堆以积及髙与上周径求下周径与下周径求上周径 算周者以三十六乗积算径者以四乗积并再以髙除之乃减上周自乗数以上周为带纵开平方除之得下周余倣此石尺互求 旧法立方二尺五寸为一石(立方一尺者二有半也)故以二又二之一乗石得尺以二又二之一除尺得石然斛尺各随时地不同须临算较量损益其法未可一概也竹席围米求积 假如竹席大小相等原用两席合作围贮米二十石今用三席合作围问贮米几何法以原席二自乗得四为一率原米石数为二率今席三自乗得九为三率求得四率四十五为今贮米石数九章录要卷四
## 卷五
钦定四库全书九章录要卷五松江屠文漪撰差分法古九章三曰差分亦曰衰分以御贵贱廪税一分递加减衰分(以最少者一分之数递加成多若从多者递减则减至最少者而减尽也)法以一为首衰(从少者起算)自一而二而三四递加为各等衰并之为总衰以为一率总实为二率各等衰为三率求得四率即各等数假如有银七十二两甲乙丙丁戊五人以一分递加减分之问各几何一率 一十五(总衰) (衰分章三率法独有宜先以一率除二率者)二率 七十二(总实) (一率除二率得四两八钱)三率 五(甲衰)四(乙) 三(丙) 二(丁) 一(戊)四率 (二十四两) (一十九一十四九两两二钱两四钱六钱) (四两八钱)右各等中倘复各自有数不齐者先以各衰乗之为各总衰然后并为大总衰假如有粮二千四百石甲乙丙丁四等户依前例输之甲等二十户乙等三十户丙等四十户丁等五十户则以甲衰四乙衰三丙衰二丁衰一各乗本等户数为各总衰甲得八十乙九十丙八十丁五十并三百为大总衰列一二率如前若以各总衰为三率即得各等总数以各衰为三率即得各等每户数(以下诸法)(倣此)减半衰分(乙当甲之半丙又当乙之半也) 法以一为首衰自一而二乗之又二乗之为各等衰(以一二乗得二以二二乗得四并之得七余倣此)列率乗除如前二八衰分(甲视乙为八与二乙视丙又为八与二也) 法以二为首衰自二而四乗之又四乗之为各等衰(以二四乗得八以八四乗得三十二并之)(得四十二余倣此)列率乗除如前四六衰分(同上) 法以四为首衰自四而六乗之四除之又六乗四除之或以一又二之一乗之亦同为各等衰(以四六乗四除得六以六六乗四除得九并之得一十九余倣此)乗除如前三七衰分(同上) 法以三为首衰自三而七乗之三除之又七乗三除之为各等衰(以三七乗三除得七以七七乗三除得一十六又三)(分之一并之得二十六又三之一余倣此)乗除如前或厌零分多者就首衰之数以三乗之法通之如甲乙二等衰分不必言如甲乙丙三等衰则三乗首衰之三得九为首衰甲乙丙丁四等衰则又三乗九得二十七为首衰甲乙丙丁戊五等衰则又三乗二十七得八十一为首衰(每多一等则首衰多三乗一番)既增广其首衰然后用七乗三除以求各等之衰可以省零分矣十分之六递减衰分 法以一为首衰(此从多者起算所谓首衰之一)(亦与前一为首衰者不同前一只是一数此则无定之数也)遇二等衰则为一十三等衰则为一百四等衰则为一千以为首衰乃自一而六乗之十除之又六乗十除之为各等衰(以一百六)(乗十除得六十以六十六乗十除得三十六并之得一百九十六余倣此)乗除如前凡十分之七或八九诸数递减衰分俱准此推之不别为法以滋繁琐减半二八四六三七十分之六各衰分以首尾二数求总实减半衰分亦名倍加衰分葢言其自多而少则曰减半言其自少而多则曰倍加亦曰二乗加二八衰分是四乗加也四六衰分是一又二之一乗加也(零分法一又二之一化为二之三乃用子乗母除则当三乗二除犹之六乗四除也)三七衰分是二又三之一乗加也(零分法二又三之一化为三之七乃用子乗母除亦)(是七乗三除也)十分之六递减衰分是一又三之二乗加也(零分法一又三之二化为三之五乃用子乗母除则当五乗三除犹之十乗六除以此递加与六乗十除)(递减同耳)以上所云几乗加者但取衰分之数以少除多即得之(假如三七衰分以三除七得二又三之一十分之六衰分以六除十得一又三之二即所)(云几乗加也)若各衰分止举首尾二等最少最多之数问总实几何者不必论其中间分作几等但以首尾数多少相减减余以原乗数减一数为法而除之(假如原系)(四乗加者以三除之原系一又二之一乗加者以二之一除之原系二又三之一乗加者以一又三之一)(除之原系二乗加者以一除之一除固可不必除然于法不容没此一除恐似别为一法也)即得最少以至次多诸等之总实以并最多数即得全总实右例以原乗数减一数为除法亦不必求原乗数而减之但以衰分之数多少相减减余以少数除之即得除法(假如三七衰分三七相减余四以三除四得一又三之一十分之六衰分十六相减余四)(以六除四得三之二与原乗数减一数同 右一条新订)减半二八四六三七十分之六各衰分求隔等数不论几乗加但知首等最少之数再知中间一等之数即可隔等而求之假如知首等数与第六等数者第六等数已经五度加矣则以此数自乗以首等数除之即得十度加之数(倍五为十也凡自乗者以倍相求 十度加乃是第十一)(等)若以六度加之数(第七等)自乗以首等数除之即得十二度加之数(第十三等)若以五度加六度加之数相乗以首等数除之即得十一度加之数(五六并为十一也凡二等数相)(乗者并而求之二十一度加是第十 等)若以三度加(第四等)八度加(第九等)之数相乗以首等数除之亦得十一度加之数此谓以少求多者或以多求少如以十六度加之数(第十七等)以首等数乗之开方除之即得八度加之数亦可以十六度加之数以首等数乗之以十度加之数除之得六度加之数葢取以少求多之法而反用之即是也(右一条新订)右求总实求隔等数二法凡三乗加五乗加及十分之七之八之九诸数递减衰分准此推之无不悉合但必每等止一人者乃可用耳又如商贩获息当母二之一并入母银又获息每度皆同此亦一又二之一乗加也但每度加之数俱合子母而言则当以最后一度之数为总实不得并诸度之数为总实且首一数即系原母则一度自有一度之加与甲乙分金十等人止须九度加者亦微有辨也合率衰分 率者衰分多寡之大率也(与三率之率自不相涉各有取)(义也)葢衰分各等之实数有所未知而各等之大率已知因合各率以与总实相权而衰分得焉不计其合未有能分者也然则以前诸法无非合率衰分而此独以合率名者何也前诸法若三七若四六皆有准则固宜各有専名而如左法各等多寡之率初不以三七四六为准乃不可専名而独名之合率也各率为各衰并之为总衰乗除如前假如有银二百四十两甲乙丙丁四人分之甲得九分乙得七分丙得五分丁得四分则甲衰九乙衰七丙衰五丁衰四并之为二十五为总衰也其各等中又各有数不齐者亦依前法兹仍具例于左以备参观假如有银七两零八分欲买铜一停锡二停铅三停其价铜每斤一钱八分锡一钱三分铅五分问三物各几何一率 五十九(总衰) (一铜价二锡价三铅价并)二率 七百零八(总价) (一率除二率得一十二)三率 一(铜衰) 二(锡) 三(铅)四率 一十二(铜斤数)二十四(锡) 三十六(铅)右总衰总价俱化两钱为分者既得三物斤数各以价乗之得各总价数或以铜总衰一十八分锡总衰二十六分铅总衰一十五分为三率即先得各总价乃各以价除之亦得各斤数又如有银五百九十四两籴米一停麦二停豆三停共三百九十六石其价米一石抵麦一石六斗抵豆二石问三物及价各几何此须用重测法先以米衰一麦衰二豆衰三并之得六为总衰为一率三物共石数为二率各衰为三率求得三物各石数(米六十六麦一)(百三十二豆一百九十八)然后别求各价其法置三物停数以三物相当抵之数乗除之或益贵物以从贱则用乗或减贱物以从贵则用除以为各衰仍并之为总衰为一率三物共价为二率各衰为三率求得三物各总价乃以前所求三物各石数除之即得每石价(米二两四)(钱麦一两五钱豆一两二钱)一率 三又四之三(总衰)二率 五百九十四(总价两数十一率除二率得一百五 八又五之二)三率 一(米衰) 一又四之一(麦) 一又二之一(豆)四率 (一百五十八两四钱米) (一百九十八两麦) (二百三十七两六钱豆)右以米为主而减麦与豆以从之米衰一得一麦衰二以一又五之三除之(即一六也米一抵麦一六故)得一又四之一豆衰三以二除之(米一抵豆二故)得一又二之一并之得三又四之三又式一率 七又二之一(总衰)二率 五百九十四(总价十一率除二率得七 九又五之一)三率 二(米衰) 二又二之一(麦) 三(豆)四率右以豆为主而益米与麦以从之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麦衰二以一又五之三除之(先除以从)(米)再以二乗之(次乗以从豆)得二又二之一并之得七又二之一又式一率 六(总衰)二率 五百九十四(总价得一率除二率 九十九)三率 一又五之三(米衰)二(麦)二又五之二(豆)四率右以麦为主而益米减豆以从之麦衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之(先除以从米)次以一又五之三乗之(次乗以从麦)得二又五之二并之得六右例或不复用米一麦二豆三等衰但就三物各石数而取一数为主其余则益贵减贱以从之为总衰以除总价即得其物每石之价依法复损益之得余二物每石之价如以米为主米六十六麦一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除总价得二两四钱即米每石价也仍以一又五之三除之得麦价以二除之得豆价若以麦豆为主法并倣此(右一条新订)合率带分母子衰分 合率衰分其间等差各带母子分数者自有带分之法假如有银七百九十五两甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一问各实数几何其法先并各衰分数并各子以乗各母从小数并起惟丁衰十一无并其丙衰系十二又系三则以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十为甲衰并之得一百五十九为总衰一率 一百五十九(总衰)二率 七百九十五(总银) (一率除二率得五)三率 八十(甲衰)五十六(乙)十二(丙)十一(丁)四率 四百 二百八十 六十 五十五右法或遇不可并者如云丁得丙十三之十一则丙衰系十三又系三欲以十三并三用三除十三除之不尽即不用除却以十三乗乙之十四得一百八十二为乙衰依法推得二百六十为甲衰其丙之十三丁之十一转须用三乗之以为衰丙得三十九丁得三十三也合率带分匿总实以较求衰分 假如四人分银不知总实但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙与丁差四两问各几何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六为甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰以丙丁二衰之较为一率丙丁之较为二率各衰为三率(不用约法览之易晓)一率 二十四二率 四三率 五百七十六(甲)四百八十乙四百三十二(丙)四百八(丁)四率 九十六 八十 七十二 六十八右例带分与前例母子不同其法互见而可相通前亦可以较求分此亦可以总实求分也又凡以前诸衰分法若匿其总实任举一等所得之数或两等所差之数皆可倣二例而求之合率带分匿总实以余实求分 假如四人分银不知总实但云甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚余五两问各几何此四母皆银也用并母法得九百六十为总衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十为甲衰二百四十为乙衰一百九十二为丙衰一百六十为丁衰以四衰减总衰余八为余银之衰为一率余银为二率各衰为三率(率式不赘但求得总实即得各分数矣)右例四母皆据总实言之故可以余实求总实求分若以前诸衰分法不可以余实求也右例亦可任举两等所得之较以求之(又右二例俱可用借征法)(葢用并分法亦借衰也)一数递加减衰分以等求总实(与一分递加减相类而不同者一分为不定之)(数一数则一而已又自此以下及同较衰分共十法皆谓每等只一人者与以前诸法自别)凡一数递加自一而二而三四此不难于衰分须求总实㨗法耳假如欲分十五等问总实几何法以首等一(以少者为首)并末等十五(等十五则末等所得数亦十五也)得十六以等数乗之折半得一百二十为总实又如有物倚墙一面尖堆下广二十四枚以首层一并下层二十四得二十五以层数(即下广数)乗之折半得三百为总积(前一分递)(加法若每等只一人者亦可用此以求总实但依法所得数须更以较数乗之方得总实若未经较数相)(乗止得总衰而非总实也假如每一分银四两递加分十五等依法得一百二十为总衰更以每等之较)(四乗之得四百八十为总实也)一数递加减衰分以总实求等 假如总实一百二十以一数递加分之得几等法倍实开方除之得十五而余实亦十五即十五是等数又如总积物三百欲作倚墙一面尖堆倍积开方得二十四而余实亦二十四即二十四是下广数(前一分递加法若每等只一人者亦可用此以求等)(数但须先以每等之较数为法除实而后依上法求之假如银四百八十两每一分四两递加分之则先)(以较四除实得一百二十乃依法求得十五为等数也)右二法谓首等数起于一者故比之倚墙一面尖堆若不从一数起即各等俱以一数递加但谓之同较衰分不在此例如倚墙一面平堆每层亦俱较一而当依同较衰分法也(前一分递加衰分亦谓首等所得之一分同于各等所差之一)(分也如其不然即是同较衰分矣)又右二法不可用之同较衰分而下同较诸法(凡七法)则可用之一数递加衰分也(亦可用之一分递加之每等只一人者 右一)(条新增)同较衰分(不论较数几何但甲乙之较乙丙之较丙丁之较各等俱同者是也)假如总实九十九作十一等分之各等俱较一数问各几何法以等数减一存十与等数相乗折半得五十五以较一乗之仍得五十五(较一则乗犹不乗也而于法不可无此一)(乗者为较不止于一者而设也)以减总实余四十四以等数除之得四为首等数或以并总实得一百五十四以等数除之得十四为末等数余以次推之同较衰分以等及较与首数求尾数与尾数求首数求总实 如前例十一等每等各较一法以等数减一存十以较一乗之仍得十并首数四得尾数减尾数十四得首数并首尾数以等数乗之折半得总实同较衰分以较与首尾数求等求总实 法以首尾数相减得首尾较以较除之加一数得等数如前法求总实同较衰分以总实及较与首尾和求等求分 法以首尾和折半为法除总实得等数即以等数减一乗较数得首尾较和较相减半之得首数相并半之得尾数同较衰分以总实及等与首尾较求较求分 法倍总实以等数除之得首尾和如前法求之再以等数减一除首尾较得各较同较衰分以总实及等与首几等和或尾几等和求较求分(言或者首尾不必并举)法以带和之等数乗总实以全等数除之(所得数乃首尾几等应得均平之数也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足)(而此盈彼不足其数必相当故下但云与和相减而不必问其首尾也)与和数相减减余以带和之等数折半为法除之再以全等数减带和等数为法除之得各较(右一条新增)同较衰分以等与首几等和尾几等和求较求分求总实 假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分银甲乙丙三人共一百一十一两庚辛二人共四十一两问各较几何各分几何总实几何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相减余九十九又以二三相并得五折半为二又二之一以减人数总八余五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三为法以除九十九得三为各较数乃以甲乙丙和三除之得乙数加较得甲数减较得丙数或以庚辛和并较半之得庚数减较半之得辛数次求丁戊已数并八数为总实(右例但取)(首尾并举而或举首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡于法)(皆通即总数满百人而但举首尾两三人亦无不可也)同较衰分令多寡齐数法 假如有银二百七十两作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人数与丙丁戊三人数齐问各几何法如一分递加减列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相减较三以二人三人相减之较一为法除之仍得三(较一则亦不必除而言除者为较有不止于一者也)却于五等衰各加三数为各衰并之为总衰列三率求之一率 三十(总衰)二率 二百七十(总实) (一率除二率得九)三率 八(甲衰)七(乙) 六(丙) 五(丁) 四(戊)四率 七十二 六十三 五十四 四十五 三十六又如有银七十两作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人数与丙丁戊已庚五人数齐问各几何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相减较二而此乃五人之数多于二人与前二人之数多于三人者不同亦以二人五人相减之较三为法除之得三之二却于五等衰各减三之二为各衰并为总衰如前求之一率 二十三又三之一(总衰)二率 七十(总实) (一率除二率得三)按一数递加一分递加衰分只三人甲数与乙丙数齐而余皆不能故此法独不可以相通也同较衰分又法 前同较衰分八法皆谓每等只一人者据实与等与较及首尾数更互相求于法止可每等一人耳若但欲衰分则虽每等之中复有人数多寡不齐非无法以分之 假如银三百二十四两甲乙丙丁四等人分之每等较三两甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人问各几何法以较三乗乙四人得十二倍较为六乗丙六人得三十六三乗较为九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并总实得四百六十二以甲乙丙丁总二十二人除之得二十一为甲等一人所得数递减较得各等数(右一条新增)(或以较三乗丙六人较六乗乙四人较九乗甲二人并得六十减总实得二百六十四除得十二为丁等)(数)母子差分(此谓商贾以母银得息非带分之母子也)假如三商共得子银四百两甲母三百两经十个月乙母六百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得二百两乙得一百二十两丙得八十两问乙丙出母银经几月一率 二百(甲子)二率 三千(甲母乗月数)三率 一百二十(乙子) 八十(丙子)四率 一千八百(乙母兼月数) 一千二百(丙母兼月数)各再以母除得月数乙得三丙得一又二之一又如三商共得子银一百三十八两甲出母二百两经十二月乙母二百四十两不知月丙经十个月不知母其子银则甲得六十乙得四十八丙得三十问乙月丙母一率 六十(甲子)二率 二千四百(甲母乗月数)三率 四十八(乙子) 三十(丙子)四率 一千九百二十(乙母兼月数)一千二百(丙母兼月数)(乙再以母除得八月) (丙再以月除得一百二十两)又如三商共得子银一千五百二十两甲母一千八十两乙母三百六十两丙不知母其子银则丙得二百四十两问甲乙各子及丙母一率 一千四百四十(甲乙共母)二率 一千二百八十(总子减丙子得甲乙共子)三率 一千八十(甲母)三百六十(乙母)四率 九百六十(甲子)三百二十(乙子)又一率 一千二百八十(甲乙共子)二率 一千四百四十(甲乙共母)三率 二百四十(丙子)四率 二百七十(丙母)又如二商共得子银一百两甲母倍于乙外又一十五两其子银则甲得六十八两乙得三十二两问甲乙母各几何一率 四(甲子倍乙外又盈此数)二率 十五(甲母倍乙外又盈此数)三率 六十八(甲子) 三十二(乙子)四率 二百五十五(甲母)一百二十(乙母)贵贱差分 法以贵价乗总物数与总价数相减余以贵贱价较数为法除之得贱物数或以贱价乗总物数与总价数相减余以价较数为法除之得贵物数假如米每石价二两麦每石价一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各几何法以米价乗总石数得八十减总价得六以米麦价较五分两之二为法除之得一十五是麦石数余为米石数或先求米石数亦可又如上酒每斗价钱三百次酒每斗价二百二十今欲襍和二酒立价二百五十问一斗内上酒几何次酒几何法以上酒价减立价余五十以上次价较八十为法除之得八分斗之五为次酒余八分斗之三为上酒也或以次酒价减立价算之先得上酒数亦同匿价差分 假如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫比罗每匹多六钱罗比绢每匹多八钱问三物各价几何法以罗二百匹乗罗绢价较得一百六十两以绫一百匹乗绫罗罗绢二价较得一百四十两并之得三百两以减总价得五百两以总匹数五百除之得一两为绢每匹价以次推得绫罗价或以罗二百匹乗绫罗价较得一百二十两以绢二百匹乗绫罗罗绢二价较得二百八十两并之得四百两以并总价得一千二百两以总匹数五百除之得二两四钱为绫每匹价又或先求罗价亦可又如米十四石麦十八石两总价适等但云米每石价多于麦三钱六分问二物各价几何法以米麦石数较四除价较得九分以麦数十八乗之得米每石价以米数十四乗之得麦每石价又如金九块银十一块其总重适等交换一块则金轻十三两问金银各块重法以轻重较十三两折半得六两五钱以金银块数较二除之得三两二钱五分以银数十一乗之得金每块重以金数九乗之得银每块重(此与上米麦例同惟折半不同耳葢轻重交换较二实止较一故须折也)襍差分法 假如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各几只各总载兵几何一率 二千九百(三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰)二率 一十二(三只四只相乗船数为大小船各衰)三率 四千三百五十(总兵数)四率 一十八(大小船各数)次求大小船各总载兵数一率 三 四二率 五百 三百三率 一十八 一十八四率 三千(大船总载兵数) 一千三百五十(小船总载兵数)右例亦可先求大小船各总载兵数一率 二千九百(三只五百名四只三百名互乗并得兵数为兵总衰)二率 四千三百五十(总兵数)三率 二千(四只互乗五百名为大船兵衰) 九百(三只互乗三百名为小船兵衰)四率 三千 一千三百五十次求大小船各数一率 五百 三百二率 三 四三率 三千 一千三百五十四率 一十八 一十八又如出兵左右营兵数相等左营用大船每三只载五百名右营用小船每四只载三百名共用船一百七十四只问左右营兵各几何各总用船几只一率 二千九百(三只五百名四只三百名互乗并得船数约为二十九)二率 一十五万(五百三百相乗兵数约为一千五百 以百为通数)三率 一百七十四(总船数)四率 九千(左右营各兵数)次求各总用船数一率 五百 三百二率 三 四三率 九千 九千四率 五十四(左营用大船数) 一百二十(右营用小船数)右例亦可先求大小船各总数一率 二千九百(三只五百四只三百互乗并得船数为船总衰约为二十九)二率 一百七十四(总船数)三率 九百(三百互乗三只为大船衰约为九) 二千(五百互乘四只为小船衰约为二十)四率 五十四 一百二十次求各总载兵数一率 三 四二率 五百 三百三率 五十四 一百二十四率 九千 九千又如犒师每二十四名给牛一头每五名给羊一头共用牛羊一千七百四十头问兵几何牛羊各几何一率 二十九(二十四名一头五名一头互乗并得牛羊数)二率 一百二十(二十四名五名相乗兵数)三率 一千七百四十(牛羊总数)四率 七千二百(兵数)次求牛羊各总数一率 二十四 五二率 一 一三率 七千二百 七千二百四率 三百(牛数) 一千四百四十(羊数)右例初测第一率不必互乗直以五与二十四并得二十九再测不必列第二率直以二十四与五除兵数即得牛与羊各总数而立法必如是者葢此例与前二例本同一法若从简省乃似别为一法而学者反眩惑也右例亦可先求牛羊各数一率 二十九(如前互乗并得牛羊数为牛羊总衰)二率 一千七百四十(牛羊总数)三率 五(五名互乗一头为牛衰)二十四(二十四名互乗一头为羊衰)四率 三百 一千四百四十次求兵数如前二例不复赘 又按右例谓兵既给牛又给羊者不然则给牛之兵与给羊之兵数等者若两营兵一给牛一给羊牛羊数等而两营兵数不等乃举两营兵总数问两营各数及牛羊数(依上以一千七)(百四十为兵总数余并同)则以二十九为一率以一为二率(一与一相)(乗仍得一也)以一千七百四十为三率求得六十为四率为牛羊各数又或先求两营兵各数则以二十九为兵总衰为一率一千七百四十为二率二十四为给牛兵衰五为给羊兵衰为三率求得一千四百四十与三百为四率为给牛与给羊兵各数也㕘观前诸例其法自备不复详列又如赏军毎马兵五名给䌷三匹毎歩兵四名给布六匹总计马歩兵共八千一百名给䌷布共九千匹问马歩兵各几何䌷布各几何此与前例不同葢马兵与步兵数既不等䌷与布数又不等也法以马兵五名䌷三匹歩兵四名布六匹互乗得数相减余一十八为法别以马兵五名䌷三匹马步总八千一百名䌷布总九千匹互乗得数相减余二万零七百以法除之得一千一百五十为步兵及布衰乃以步兵四名乗之得步兵总四千六百名以布六匹乗之得布总六千九百匹其余则马兵及䌷总数也或以步兵四名布六匹马步总八千一百名䌷布总九千匹互乗得数相减余一万二千六百以法除之得七百为马兵及䌷衰乃以马兵五名乗之得马兵总三千五百名以䌷三匹乗之得䌷总二千一百匹其余则步兵及布总数又如大船四橹四桨小船二橹八桨今但见总作橹一百张桨二百零八张问大小船各几何法以四橹四桨二橹八桨互乗得数相减余二十四为法别以大船四橹四桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余四百三十二以法除之得一十八为小船数或以小船二橹八桨总一百橹二百零八桨互乗得数相减余三百八十四以法除之得一十六为大船数右例与前赏马步兵䌷布例同前马兵及䌷衰步兵及布衰在此即大小船各数也(右一条新订)又如漏壶一具上有渇乌注水三时而满下有天池泄水八时而尽今且注且泄问几时可满一壶(法先求一)(时所注所泄之数)一率 三时 八时二率 一壶 一壶三率 一时 一时四率 三分壶之一(注) 八分壶之一(泄)次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求全壶满时一率 二十四分壶之五二率 一时三率 一壶四率 四时又五分时之四又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满几何法先求一时所注所泄之数置率如前次以一时所注所泄相减余为一时所注之数而求五时又三分时之一所注之数一率 一时二率 二十四分壶之五三率 五时又三分时之一四率 一壶又九分壶之一又如漏壶一具下开三孔泄水大孔四时尽一壶次六时而尽又次十二时而尽若三孔俱开则一壶须几时尽法以三孔一时所泄之数并而计之知一时泄二分壶之一则二时尽一壶一率 四时 六时 十二时二率 一壶三率 一时四率 (四分壶之一) (六分壶之一) (十二分壶之一)右例或以最小孔十二时为主求余二孔所注之数乃并而计之知十二时尽几壶则知几时尽一壶(或以)(中孔六时为主亦同)一率 四时 六时二率 一壶三率 十二时四率 三壶 二壶又如甲乙银各不知数取乙九两与甲即甲倍多于乙取甲七两与乙则甲乙正等问各几何法以乙与甲九两甲与乙七两并之得十六两倍之得三十二两是倍多之数即以三十二两为乙衰幷未与甲九两得乙数四十一两以六十四两为甲衰减未得乙九两得甲数五十五两(右一条新订)又如甲乙银不知数取乙四两与甲即甲多于乙二之一乙二而甲三也取甲七两与乙则甲乙等问各几何法如前并而倍之得二十二两是二之一多数即以四十四两为乙衰六十六两为甲衰依前求得乙数四十八甲数六十二(右一条新订)又如商贩不知其母但云每度俱获倍息(母一得子亦一)即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母几何凡倍上加倍者率三倍而一得八(一两三倍之成八两也四倍则一得)(十六余准此推之)法以八除三百得三十七两五钱以减三百得二百六十二两五钱即原母数(若四度而尽者即以十六除而)(减之)按右例立法之意乍阅之或未解葢原母倘系三百则每度用其倍息三度后仍存三百矣何得子母俱尽须知三倍后之三百其母为三十七两五钱故于三百内减之而余即原母数也一三倍而成八故用八除三百得母三十七两五钱犹之三度折半尔(右一)(条新订)自贵贱差分至此诸例亦可以借征法求之别见数条于后又如黄金百斤制一𬬻既成虑匠人盗金和银销毁验之则损工费乃以器贮水令满已知水几斤即以纯金百斤入器内溢出水六十斤加水令满复以银百斤入之溢水九十斤再贮满水却以𬬻入之溢水六十五斤问和银及实金几何法以金银溢水之较三十斤以百斤除之得每斤溢水之较十分斤之三为法以除𬬻与金溢水之较五斤得和银数一十六斤又三分斤之二以除𬬻与银溢水之较二十五斤得实金数八十三斤又三分斤之一(补贵贱差分第三条)又如犒军每八名给豕一头每六名给羊一头每三名给兔一头共用豕羊兔一千一百二十五头问兵几何豕羊兔各几何法以八名六名相乗为兔衰八名三名相乗为羊衰六名三名相乗为豕衰(此所谓三维乗)(也或先求兵总衰而豕羊兔各以所给兵名数除之亦同)并之得九十为豕羊兔总衰为一率以八名六名三名累乗得一百四十四为兵总衰为二率豕羊兔总实为三率求得四率一千八百为兵总数豕羊兔各以所给兵名数除之得各数或以豕羊兔总衰为一率豕羊兔总实为二率豕羊兔各衰为三率即先得三物各数乃各以所给兵名数乗之得兵总数(按此例亦谓兵既给豕又给羊兔者下例同)又如赏军每八名给䌷五匹每六名给绢四匹每四名给布三匹共用䌷绢布三千六百七十五匹问兵几何䌷绢布各几何法以八名六名相乗再以三匹乗之为布衰八名四名相乗再以四匹乗之为绢衰六名四名相乗再以五匹乗之为䌷衰(或先求兵总衰而䌷绢布)(各以匹数乗之以所给兵数除之亦同)并之得三百九十二为䌷绢布总衰八名六名四名累乗得一百九十二为兵总衰如前法求之得兵总数一千八百(右二例与零分章并分法相似)按此例与前例本同一法前例豕羊兔俱以一头立算故不须以头数与维乗数再相乗耳但今算家相𫝊仅知有前例而无后例则法有所穷故特出此条其实前例亦暗寓头数一回乗也(补襍差分第六第七条 右一条新增)九章录要卷五
## 卷六
钦定四库全书九章录要卷六松江屠文漪撰少广法古九章四曰少广以御积幂方员开平方法 平方开除先列实视实有几位(凡实之大数从千起)(者四位从万起者五位葢实尾虽止于十而无以下小数亦存一虚位止于百而无以下小数亦存两虚)(位一定不可易也)即知须几开而尽(凡经再开者开得平方大数从十起三开者百)(四开者千或实尾一开虚拟而未经开者即开得数终于十而无以下小数也)率实两位而一开逆从实尾向左数之(尾在右也)至实首则一位亦一开也其开之法有三曰方曰亷曰隅(方法亦谓之商意中商量而定)(之也隅即次商三商而又自有隅法)初开视实首位以起方法实首一位开者(一位之实多不过九)取三及以下数自乗两位开者(两位)(之实少不下十一)取三及以上数自乗所取以自乗之数初商也列实首之左(亦有不列于左而即借实首位列之者说详于后)自乗所得数用以减实是为初开余实须再开则用亷法亷法者倍前方法以之除实得次商相随列初商之右即以次商为隅法自乗得数用减实讫(于亷法下一位减之观后)(假例自明)是为再开自三开以后俱倣此(或问亷隅之义曰初开已成平方形矣再开欲增广其前方则不必四边俱加而但于两边各加一亷其)(长如前方之数亷有二故倍之也此未及亷之广以除实得次商次商乃亷之广数而所加二亷其长各)(如前方之数则二亷相㑹之一角犹缺一小平方其四边皆与亷之广等故又以次商为隅法而自乗以)(足之也)假如实一万五千一百二十九列甲乙丙丁戊五位此须三度开而实首只甲一位开也甲数一则取一为初商列甲之左而以一自乗仍得一即于甲位去一此初开也再开倍前方一得二(前方是一百倍之为二百而此且勿)(论也但谓之一谓之二可耳)为亷法以二除乙之五(乙丙两位为再开之位而)(亷法当于乙位除隅法当于丙位除也)则于乙减四存一于甲空位列二为次商而以隅二自乗得四于丙位减之则去乙之一加丙一为七此再开也三开倍前方一十二得二十四(前方一下复有二则且谓之一十二矣不计其为一百二十也虽更多亦然)为亷法先以二除丙之七(丁戊两位为三开之位则亷法当于丁位除而亷法有二十四)(即二当于丙位除四乃于丁位除也)则于丙减六存一于乙空位列三为三商次以四与三相乗得一十二于丙丁两位减之(亷之四当于丁位除而与商乗得一十二即一又当于丙位除矣隅法亦然)则并去丙之一丁之二又以隅三自乗得九于戊位减之适尽得方一百二十三又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五(甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也)且取六为初商列甲之左而以六自乗得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为亷法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商(不用实者以八开之则 不足也)次以二与七相乗得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乗得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为亷法先以一除乙之一(戊己)(两位为三开之位则亷法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢)(乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以亷一除丙当去丙)(之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳)则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二(乙之一丙之十也试列十于丙)(而以亷一除之与此同则除乙犹之除丙耳)次以三与八相乗得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乗得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乗得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八又如实六百七十六列甲乙丙三位此只须两度开而实首系甲一位开也甲数六且取二为初商列甲左而以二自乗得四即于甲减四存二此初开也再开倍二得四为亷法以四除甲之二则改甲二为五又以四除乙之七则于乙减四存三于甲加一为六为次商(此甲乙同除如前第二例第三开之乙丙同除也前例只是以亷一除丙之十此例只是)(以亷四除乙之二十七合观二例其义益明)乃以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得方二十六开方得数审空位例假如实六十五万四千四百八十一列甲乙丙丁戊己六位此须三度开而实首系甲乙两位开也甲乙数六十五且取八为初商列甲左而以八自乗得六十四于甲乙两位减之则去甲之六减乙五为一此初开也再开倍八得一十六为亷法先以一除乙之一而其下实不足除知再开值空位矣(丙丁为再开之位则亷之六当于丙位除一当于乙位除而除得次商当在甲位今若去)(乙之一而列一于甲为次商即丙位无六可除此当为见一无除改作九而下添一然则商乃在乙位而)(甲位空矣可知无次商宜便接三开也)三开倍八十得一百六十(前方八下)(有空位则谓之八十也若更有空位亦递进之)为亷法仍先以一除乙之一(戊己为三开之位则亷法当于戊位除而亷法有一百六十即六当于丁位除一当于丙位除今乙位有)(实又须以除丙之法除之葢除乙犹之除丙其说已详前二例矣 三商自当在乙位也)则改乙一为九为三商而加丙四为五次以六与九相乗得五十四于丙丁两位减之则并去丙之五丁之四又以隅九自乗得八十一于戊己两位减之适尽得方八百零九开方初商列位法 凡初商列于实首位之左者为多而不尽然也须知实首两位开而初商数不满五者必当借实首甲位列之何也实首甲一位开则乙丙为次开之位而乙属亷丙属隅也亷法于乙位除即除得次商当在甲位而初商不得不列甲之左矣实首两位开则丙丁为次开之位而丙属亷丁属隅也亷法于丙位除而初商系五倍之为十遇十进位乃当于乙位除即除得次商亦当在甲位而初商不得不列甲之左矣(五以上更不必言)若实首既以两位开而初商系四倍之为八只当于丙位除然则除得次商当在乙位而初商当列甲位又何疑乎(四以下更不必言)且如实二千四百零一列甲乙丙丁四位当取四为初商而减甲乙实一十六则先去甲之二加乙四为八乃以初商四列甲位再开倍四得八为亷法以除乙之八则改乙八为九为次商加丙空为八而以隅九自乗得八十一减丙丁实并尽得方四十九倘以初商四列甲左竟似四百零九其误甚矣葢开得商数中间应有空位与否信手布算即自然而见本不烦拟议也但审定初商位置则无空者不致误而成空而以后俱任其自然之数可耳又按右例若以初商列甲左次以亷八除乙之八或去乙之八列一于甲为次商而以隅一自乗减丁之一亦尽乃得方四十一岂非误之尤甚者乎葢丙丁为次开之位而亷法止有八则当于丙位除除得次商当在乙位虽乙位有实而以除丙之法除乙然次商毕竟仍在乙位断无进到甲位之理不辨于此且致大误故详论之而初商若便列在甲位亦自无此弊矣开方余实命分法 开方余实仅及所开方数一倍以下则命分命分者倍方加一数以命之(倍方者亷法加一数者隅)(法)假如实五十五开得方七而余实六即倍七又加一数得一十五以为母而以六为子命之曰一十五分之六并整为七零一十五分之六也开方求零分密法 开方余实欲除令尽即所得方数必带零分而若以所命之分为方数试以自乗见积颇朒于原实则法犹疎也且如实二十开得方四而余实四依命分法为九之四并整为四又九之四乃化整俱为零曰九之四十母子各自乗以见方积母得八十一(此原实一之方积也葢一实而纵横俱分为九则其中应有方积八十一矣)子得一千六百(此总方积也)以母积除子积归整得实一十九又八十一之六十一则朒于原实八十一之二十当更有法以开之其法倍九之四十(倍之为亷法也)为九之八十以除朒八十一之二十得七百二十之二十约为三十六之一与前方九之四十相并得三百二十四之一千四百四十九约为三十六之一百六十一以母除子归整得方四又三十六之一十七仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一千二百九十六子得二万五千九百二十一以母积除子积归整得实二十又一千二百九十六之一虽盈于原实一千二百九十六之一然比之朒于原实八十一之二十则其法已密矣又法如实二十开得方四而余实四但倍方为分母不复加隅而以余实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乗以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九(本欲倍其子而半其母则)(子自倍矣不须更用约法)以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减(此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以亷法除所朒之数而)(与之相并前方盈于原实则以亷法除所盈之数而与之相减也)得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同(按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也)右二法开方自乗得积并盈于原实一千二百九十六之一必欲除尽依法再开之以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一倍之为一十八之一百六十一以除盈一千二百九十六之一得一万一千五百九十二之一与前方三十六之一百六十一相减得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一以母除子归整得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三仍化整俱为零母子各自乗以见方积母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一以母积除子积归整得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一此则盈于原实为数甚微矣欲除尽依法再开又法开方不尽实则增开数以求之凡增一开者化实之一为百而开得方数当十而一增二开者化实之一为万而开得方数当百而一假如实二十四化为二千四百开之得四十九是为一十之四十九以母除子归整得方四又一十之九仍化整俱为零自乗以见方积得一百之二千四百零一以母积除子积归整得实二十四又一百之一乃盈于原实一百之一也或增二开三开者倣此零分开方法 原实系整数而开之带零分者前法已详矣若原实先系零分而欲开方者法以母自开得数为母子自开得数为子其大端也如实九之四开得方三之二是已更有开得数复成零分乃须分别算之如实九之二十母开得三子开得四又九之四化为九之四十(此只依命分之数聊示其法耳未及密率也)此当用整除零分法以三乗九为母以四十为子得方二十七之四十也如实二十之九母开得九之四十子开得三此当用零分除整法以四十为母以九乗三为子得方四十之二十七也又如实七之二十母开得二又五之三化为五之一十三子开得九之四十此当用零分除零分法以一十三乗九为母以五乗四十为子得方一百一十七之二百也葢原实之母本法也原实之子则实也故右三例用法分别如此前零分篇中于开方法未详兹乃尽其变云长方以积与长广较求长广 法以四乗积并较实开方得长广和和较相并半之得长相减半之得广长方以积与长广和求长广 法以四乗积减和实开方得长广较 按四乗积者以四长方两纵两横列四隅合为大平方则四边各兼长广之数而中央不满者正较自乗之小平方故知和实中有四积一较实也(二法亦见句股章彼以八乗积者句股之积半长方积也)右二法可该下文纵方七法而七法更不可不讲者葢变化无穷之用出焉固非右二法所能及矣具详于左带纵并方亷开平方法长方以积与较求广者其长之积多于广当加法以带除其长积名带纵并方亷开平方依常列实定开位以较为带纵初开稍朒其商以带纵并之为方法(常法以方与商为一此以方与商为二)乃以乗商减实再开倍前商亦以带纵并之为亷法以除实得次商其隅法如常假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广较一十二求广者初商得二列甲左而以纵并商得三十二(须知初商之二是二十故并纵得三十二也凡商与纵并者以十随十以百随百并之相减亦)(然)为方法乃以方法乗商以三乗二得六(此处只作二与三且)(勿论其为二十与三十可也)于甲位减之(依常法商二自乗当于甲位减今与方法三相)(乗亦同也)则减甲八为二次以二乗二得四于乙位减之(六于甲位减则四当于乙位减故初开而减及次开之亷位也)则减乙六为二此初开也再开倍前商二得四并纵得五十二(倍商是四十也 倍)(商不倍纵)为亷法先以五除甲之二(倍商之四当于乙位除因带纵首之一而)(成五亦同除得次商当在甲位今甲位有实故以除乙之法除甲而次商仍在甲位非因五十而进一位)(也此五只作五若倍商四纵首六并成一十乃当进一位耳)则改甲二为四为次商次以二乗四得八于丙位减之(五于乙位除则二当于丙位除故亷)(法而减及隅位也)则减乙二为一加丙四为六又以隅四自乗得一十六减乙丙两位实尽得广二十四(并较得长三十)又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位(戊己)(为虚位)带纵七百二十初商得二(若商三则并纵首之七为一十又与商乗)(得三十而实首只二十三不足除故用二)列甲左(不列甲位者带纵故也)而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乗商以九乗二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乗二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为亷法先以一除乙之四(倍商之四当于丙位除因并纵)(首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也)则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乗四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乗四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乗得一十六减丙丁实并尽得广二百四十(并较得长九百六十)又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为亷法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣(倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即)(丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非)(次商也)三开倍前商一十得二十(此一与二皆百也谓之十者依常法)并纵得二百七十二为亷法仍先以二除乙之二(倍商之二)(十当于丙位除乙位有实故以除丙之法除乙也)则改乙二为九加丙二为四而其下实又不足除即又减乙九为八为三商而加丙四为六次以七乗八得五十六于丙丁两位减之则去丙之六加丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八(并较得长一百八十)又如实一万六千一百二十八列甲乙丙丁戊五位带纵七十二此当减一开而实首取三位并开之(若初)(商一则并纵得一百七十二而乙丙两位无七与二可除也)初商得九(此当借列实首甲位)而以纵并商得一百六十二为方法乃以方法乗商以一乗九得九于乙位减之(初商之九当于丙位减因并纵首之七而成一)(十六则此一当进而于乙位减)则去甲之一加乙六为七次以六乗九得五十四于乙丙两位减之则减乙七为一加丙一为七次以二乗九得一十八于丙丁两位减之则减丙七为五加丁二为四此初开也再开倍前商九得一十八并纵得二百五十二为亷法先以二除乙之一(倍商之一十八当于丙丁两位减并纵首七而成二十五其位亦同今乙位有实故以除丙之)(法除乙也)则改乙一为五又以二除丙之五则于丙减二存三于乙加一为六为次商次以五乗六得三十于丙位减之则去丙之三次以二乗六得一十二于丁戊两位减之则减丁四为三戊八为六又以隅六自乗得三十六减丁戊实并尽得广九十六(并较得长一百六十)又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千零八十八初商得一(初商是百而纵乃至千故)(只可用一)列甲左而以纵并商得一千一百八十八为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之(方一)(百之一当于乙位减此是纵首一千之一故进一位)则去甲之一次一仍得一于乙位减之则减乙六为五次八仍得八于丙位减之则减乙五为四加丙六为八次八仍得八于丁位减之则减丙八为七加丁四为六此初开也再开倍前商一得二并纵得一千二百八十八为亷法先以一除乙之四(倍商之二当于丙位减此是纵首之一故进一位也下三开倣此)则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以二乗三得六于丙位减之则减丙七为一次以八乗三得二十四于丙丁两位减之则去乙之一加丙一为九减丁六为二次以八乗三得二十四于丁戊两位减之则去丁之二减戊六为二又以隅三自乗得九于丁位减之则减丙九为八加丁空为一此再开也三开倍前商一十三得二十六并纵得一千三百四十八为亷法先以一除丙之八则于丙减六存二于乙空位列六为三商次以三乗六得一十八于丙丁两位减之则去丙之二加丁一为三次以四乗六得二十四于丁戊两位减之则去丁之三加戊二为八次以八乗六得四十八于戊己两位减之则减戊八为三加己四为六又以隅六自乗得三十六减戊己实并尽得广一百三十六(并较得长一千二百二十四)带纵减积开平方法 长方积较求广或于实内减长积以就其方名带纵减积开平方列实定位以较为带纵初开亦稍朒其商先以带纵乗商减实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以带纵乗商减实乃以亷法除实合次商其隅法如常假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得二列甲左而先以纵乗商以一乗二得二于甲位减之(此纵之一商之二皆十也依常法商二自乗于甲位减今以纵一乗商二亦同葢凡)(十与十百与百相乗皆于本位减必相乗又得十乃进一位若商系十而乗纵之百则当进一位商系百)(而乗纵之十则当退一位次商三商其理不殊各以所商应除之位为本位而进退之也负纵益积倣此)则减甲八为六次以二乗二得四于乙位减之则减乙六为二乃以商二自乗得四于甲位减之则又减甲六为二此初开也再开倍前商二得四为亷法约计次商当得四(约计减积之余尚有商亷相乗及隅自乗之数也)亦先以纵乗商以一乗四得四于乙位减之(次商即再开之隅隅本位在丙然隅)(四只是四数而所与乗之纵一则是一十故进一位也若以比初开所除之位则为退一位至三开即比)(再开又退一位矣)则减甲二为一加乙二为八次以二乗四得八于丙位减之则减乙八为七加丙四为六乃以亷四除甲之一则改甲一为二加乙七为九又以四除乙之九则于乙减八存一于甲加二为四为次商又以隅四自乗得一十六减乙丙实并尽得广二十四又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而先以纵乗商以七乗一仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二乃以商一自乗得一于甲位减之则去甲之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商不足除知再开值空位(乙位实二试拟)(一为次商而以纵首之七相乗当比初开退一位于丙位减之则丙实只有二必减及于乙而亷已不足)(除未暇论其他矣故知再开值空位也)三开倍前商一十得二十为亷法约计三商当得八亦先以纵乗商以七乗八得五十六于丙丁两位减之则减乙二为一加丙二为六丁四为八次以二乗八得一十六于丁戊两位减之则减丁八为六加戊空为四乃以亷二除乙之一则改乙一为五又以二除丙之六则去丙之六于乙加三为八为三商又以隅八自乗得六十四减丁戊实并尽得广一百零八 按积较求广虽有二法只如一法耳前法并纵于方亷以除实此法分纵与方亷先后减实异而不异也分作两度减固不如并作一度除之便然必备识诸法而后可以尽其变化之用不容废云负纵减方亷开平方法 长方以积与较求长者其广之积少于长当损其法之长名负纵减方亷开平方列实定开位以较为负纵初开稍盈其商以负纵减之为方法乃以乗商减实再开倍前商亦以负纵减之为亷法以除实得次商其隅法如常 假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二求长者初商得三列甲左而以负纵减商得一十八为方法乃以方法乗商以一乗三得三于甲位减之则减甲八为五次以八乗三得二十四于甲乙两位减之则减甲五为三乙六为二此初开也再开倍前商三得六减负纵得四十八为亷法先以四除甲之三则改甲三为七于乙加二为四而其下实不足除即又于甲减一存六为次商而于乙加四为八次以八乗六得四十八于乙丙两位减之则减乙八为三加丙四为六又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六(减较得广二十四)又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位负纵七十二初商得一列甲左而以负纵减商得二十八为方法乃以方法乗商以二乗一仍得二于乙位减之(商系百而乗方之十故退一位也)则减乙九为七次八仍得八于丙位减之则减乙七为六加丙四为六此初开也再开倍前商一得二减负纵得一百二十八为亷法先以一除甲之一则改甲一为九于乙加一为七而其下实不足除即又于甲减一存八为次商而于乙加一为八次以二乗八得一十六于乙丙两位减之则减乙八为七去丙之六次以八乗八得六十四于丙丁两位减之则减乙七为六加丙空为四去丁之四又以隅八自乗得六十四减乙丙实并尽得长一百八十(减较得广一百零八)负纵益积开平方法长方积较求长或益积以补广而就其方名负纵益积开平方列实定位以较为负纵初开亦稍盈其商先以负纵乗商益实乃以商自乗减实再开倍前商为亷法约计当得次商若干亦先以负纵乗商益实乃以亷法除实合次商其隅法如常假如长方积八百六十四列甲乙丙三位较一十二初商得三(此当列甲左第二位因有益积故也初开毕不妨从甲左第二位移入甲左凡纵方)(诸例其商位每不可拘善算者自了然于心手之间耳)而先以负纵乗商以一乗三得三于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为一次以二乗三得六于乙位加之则加甲一为二减乙六为二乃以商三自乗得九于甲位减之则去甲左之一加甲二为三此初开也再开倍前商三得六为亷法约计次商当得六亦先以负纵乗商以一乗六得六于乙位加之则加乙二为八次以二乗六得一十二于乙丙两位加之则加乙八为九丙四为六乃以亷六除甲之三则改甲三为五又以六除乙之九则于乙减六存三于甲加一为六为次商又以隅六自乗得三十六减乙丙实并尽得长三十六又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位负纵一千零八十八此当增一开(负纵至千而依实位)(初商只是百数无是理也)初商得一列甲左第二位而先以负纵乗商以一乗一仍得一于甲左空位加之(甲左空位是商千应)(除之本位也商千乗纵千当于本位加)则列一于甲左次八仍得八于乙位加之则加甲一为二减乙六为四次八仍得八于丙位加之则加乙四为五减丙六为四乃以商一自乗得一于甲左空位减之则去甲左之一此初开也再开倍前商一得二为亷法约计次商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于甲位加之则加甲二为四次以八乗二得一十六于乙丙两位加之则加乙五为七去丙之四次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙空为二去丁之四乃以亷二除甲之四则去甲之四于甲左空位列二为次商又以隅二自乗得四于乙位减之则减乙七为三此再开也三开倍前商一十二得二十四为亷法约计三商当得二亦先以负纵乗商以一乗二得二于乙位加之则加乙三为五次以八乗二得一十六于丙丁两位加之则加丙二为三丁空为六次以八乗二得一十六于丁戊两位加之则加丁六为八减戊六为二乃以亷二除乙之五则于乙减四存一于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丙位减之则去乙之一加丙三为五又以隅二自乗得四于丁位减之则减丁八为四此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四为亷法约计四商当得四亦先以负纵乗商以一乗四得四于丙位加之则加丙五为九次以八乗四得三十二于丁戊两位加之则加丁四为七戊二为四次以八乗四得三十二于戊己两位加之则加戊四为七己四为六乃以亷二除丙之九则于丙减八存一于乙空位列四为四商次以四乗四得一十六于丙丁两位减之则去丙之一减丁七为一次以四乗四得一十六于丁戊两位减之则去丁之一减戊七为一又以隅四自乗得一十六减戊己实并尽得长一千二百二十四 按积较求长二法不同论负纵以并方亷为便而使负纵多初商少乃宜用益积也别拟取㨗之术凡负纵减商而商不足则以所负商数为负方(亦可称余负纵也)以负方乗商益积即初开毕矣自再开以后减亷固无碍耳带纵负隅益积开平方法 长方以积与和求广者用和为带纵(此与用较为带纵又别用较为带纵者以纵并方亷而乗商减实用和为带纵者直)(以纵乗商减实耳然且患纵多积少而须益积及减纵二法矣)则已兼长广而积有长广相乗无广自乗故置负隅法以益积而以带纵开之名带纵负隅益积开平方列实定开位以和为带纵别置一算为负隅初开稍朒其商以乗负隅(一为)(负隅则可不必置算亦不必乗而必言置算言乗者此法施之他处即负隅或不止于一也观后各例自)(见)为方法先以方法乗商益实乃以带纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法先以亷法乗商益实又以隅法乗商(隅乗商云者因有负隅之乗故又分隅与商为二也然负隅若止于一则直云商自乗或隅自乗亦)(可耳)益实乃以带纵除实合次商假如长方积八百六十四列甲乙丙三位其长广和六十求广者初商得二(此当列甲左第二位)而以乗负隅仍得二为方法先以方二乗商二得四于甲位加之则于甲左空位列一而减甲八为二乃以纵六乗商二得一十二于甲左及甲两位减之则去甲左之一甲之二此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以亷四乗商四得一十六于甲乙两位加之则加甲空为二减乙六为二又以隅四乗商四得一十六于乙丙两位加之则加乙二为四去丙之四乃以纵六除甲之二(以纵除与以亷除其位同此纵之六与亷之四皆十也以十随十当于亷本位)(乙位除之除得次商当在甲位今甲位有实则甲乙同除也 至此宜将初商仍移入甲左矣)则改甲二为三于乙加二为六又以六除乙之六则去乙之六于甲加一为四为次商得广二十四带纵负隅减纵开平方法 长方积和求广或减负隅于纵而以余纵开之名带纵负隅减纵开平方列实定位以和为带纵别置一算为负隅初开亦稍朒其商以乗负隅为方法以方法减纵乃以余纵乗商减实再开倍前商以乗负隅为亷法约计当得次商若干以乗负隅为隅法以亷法减纵又以隅法减纵乃以余纵除实合次商假如长方积八百六十四列甲乙丙三位和六十初商得二列甲左而以乗负隅仍得二为方法以方法减纵余四十乃以纵四乗商二得八于甲位减之则去甲之八此初开也再开倍前商二得四以乗负隅仍得四为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余二十又以隅法减纵余一十六乃以纵一除乙之六则于乙减四存二于甲空位列四为次商次以六乗四得二十四减乙丙实并尽得广二十四又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十初商得一列甲左而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余一千二百六十乃以纵乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次二仍得二于乙位减之则减乙六为四次六仍得六于丙位减之则去丙之六此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为亷法约计次商当得三以乗负隅仍得三为隅法以亷法减纵余一千一百六十又以隅法减纵余一千一百三十乃以纵一除乙之四则于乙减三存一于甲空位列三为次商次以一乗三得三于丙位减之则去乙之一加丙空为七次以三乗三得九于丁位减之则减丙七为六加丁四为五此再开也三开倍前商一十三得二十六以乗负隅仍得二十六为亷法约计三商当得六以乗负隅仍得六为隅法以亷法减纵余一千一百又以隅法减纵余一千零九十四乃以纵一除丙之六则去丙之六于乙空位列六为三商次以九乗六得五十四于丁戊两位减之则去丁之五减戊六为二又以四乗六得二十四减戊己实并尽得广一百三十六 按积和求广二法以减纵法为优葢初开以后欲约得续商之数比益积为差易但先以亷减纵而以余纵求之如第一例余实六十四且作四与十六相乗之数而余纵二十析之亦得四与十六两数即四为次商为隅法以再减余纵得一十六而以纵除实正得次商矣如第二例直以亷减余之纵约余实得次商三商虽得商后须再以隅减纵而纵多商少隅减之余与亷减之余当不至大相悬也然此特谓积和求广之本法止以一为负隅者若施之他处负隅不止于一则因续商有负隅之乗理当小异不得仅如右二说且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳带纵负隅减纵翻法开平方法 长方以积与和求长者积有长广相乗无长自乗法当损广以益长故以和为带纵别置一算为负隅初开稍盈其商以乗负隅为方法以方法减纵以余纵乗商减积而积常不足则翻以所负积数为积再开倍前商以乗负隅为亷法以亷法减纵而纵又常不足亦翻以所负纵数为纵既隅积纵三者俱负乃以负纵除负积得次商又以次商乗负隅为隅法以乗商减负积名带纵负隅减纵翻法开平方假如长方积三千四百五十六列甲乙丙丁四位和一百二十求长者初商得七(此虽列甲左而除得次商乃在乙位则又当借)(列甲位也)而以乗负隅仍得七为方法以方法减纵余五十乃以纵五乗商七得三十五于甲乙两位减之而积不足四十四则去甲之三乙之四丙之五丁之六而列四于丙列四于丁为负积此初开也再开倍前商七得一十四以乗负隅仍得一十四为亷法以亷法减纵而纵不足二十即以负纵二除丙之四则去丙之四于乙空位列二为次商又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四减丁位负积适尽得长七十二又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一(若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也)列甲左第二位而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余三百六十乃以纵乗商以三乗一仍得三于甲位减之(商千之位在甲左商)(千乗纵百则退一位故当于甲位减)以六乗一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为廉法以亷法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一(倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六)(是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵)(数朒故耳)则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商(此当于再开毕后移列甲左葢)(三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣)次以四乗二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乗负隅仍得二十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乗负隅仍得二百四十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零八十即以负纵一除丙之四则去丙之四于乙空位列四为四商次以八乗四得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊三为一又以四商乗负隅仍得四为隅法以乗商四得一十六减戊己负积并尽得长一千二百二十四 按积和求广初开后必有余积(若遇负积即初商是长非广也此亦指一为负隅者而言)求长则初开常负积其大凡也若求长用益积法则初开所负之积不妨于再开所益积内减之(再开所负于三开所益减)但欲约次商患其茫然无绪可寻故只倣减纵法葢减纵则纵常不足因即以负纵除负积而得商此翻法所以为良也其间更有变例不可不知者别详于左一求长而初开后乃有余积此其初商必与求广相同者也既有余积则以亷减纵亦必有余纵(若积余纵负乃)(是商数过盈非所求之长当改商就朒)且如实一万九千四百四十和二百八十八初商得一百(求广求长同)而余积六百四十再开以亷减纵余八十八约余积为八与八十相乗之数而余纵析之亦得八与八十两数此若求广即再开为空位以八为三商以再减余纵得八十而以除积正得三商为广一百零八若求长即以八十为次商以再减余纵得八而以除积正得次商为长一百八十葢只用减纵法而广长皆得可不须翻法也又如实二万零九百四十四和二百九十初商得一百而余积一千九百四十四再开以亷减纵余九十约余积一千九百(其下小数且置不算也)为四十与五十相乗之数则朒为三十与六十相乗之数则盈而余纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数此若求广则取盈数(宜有余积也)以三十为次商(广不合有一百六十故不)(用六)以再减余纵得六十而以除积一千八百得次商仍余积一百四十四三开以亷减纵余三十约余积为六与二十四相乗之数而余纵析之亦得六与二十四两数即以六为三商以再减余纵得二十四而以除积正得三商为广一百三十六若求长则取朒数(宜负积也)以五十为次商(长不合止一百四十故不用四)以再减余纵得四十而以除积二千合次商积负五十六三开以亷减纵纵负一十以负纵除负积四十得四为三商而以隅四自乗得一十六减负积尽为长一百五十四葢始终用减纵法以得广始于减纵终于翻法以得长非可执一云(右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅之乗)(取省文便览也又自此以下凡积纵商亷诸数百则曰百千则曰千而不复著甲乙之位非前后互异正)(取参观以相发明耳)一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商以乗负隅为隅法以乗商减负积(既无负纵则独用隅法减)(负积也或以负隅除负积以常法平方开之亦可)如实八百六十四初商三十而负积三十六再开以亷减纵适尽即约负积得次商六为隅法自乗得三十六减负积尽为长三十六又如实九千三百七十五和二百初商一百而负积六百二十五再开以亷减纵适尽即约负积得次商二十为隅法自乗得四百减负积三开以亷减纵纵负四十乃以负纵除负积二百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长一百二十五(负积)(六百二十五常法开平方亦得二十五平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也葢纵亷相减)(负纵即是余亷而在负隅法中方亷隅皆负也纵乃正也以相减则负纵固是余负亷也)一以亷减纵有余纵不可以除负积者约计当得次商若干以乗负隅为隅法再减余纵纵负则以负纵除负积合次商(负纵与隅法皆所用以除负积者也无负纵则独用隅法有余纵则以隅)(法相减)如实一千六百六十六和八十三初商四十而负积五十四再开以亷减纵余三即约九为次商以再减余纵纵负六乃以负纵除负积合次商为长四十九也一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除(隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者)(也)而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商(若以九十为次商则减纵)(而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积)(又负于法不得行也)以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积(余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣)而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商(不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也)以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也(若以一为隅算则与无隅算同商亷固即)(是隅算之一也)以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云平方以斜径求方 法以斜径自乗为实以二为隅算开方 假如方田斜径七十步求方者以斜径自乗得四千九百为实以二为隅算初商四十以乗隅算得八十为方法以方法乗商得三千二百减实再开倍前商得八十以乗隅算得一百六十为亷法以亷法除实一千四百四十得九为次商又以次商乗隅算得一十八为隅法以隅法乗商得一百六十二减实不尽九十八倍商加隅仍乗隅算以命分为一百九十八之九十八约为九十九之四十九得方四十九零九十九之四十九也 按斜径自乗之实倍方积故以二为隅算开之(或不用隅算以斜径实半之开方亦得)旧说率方五斜径七然方五则斜七而强斜七则方五而弱未可为密率不若方斜积率方一斜二无黍丝差也平方以方求斜径 法倍方积开方大小两方以共积及两方互乗数求大小方 法倍两方互乗数减共积开方得两方较乃以两方互乗数为实以较为带纵用带纵并方亷开之(言并方亷而或用减积可)(知不待言也他倣此)得小方或以较为负纵用负纵减方亷开之得大方又法倍两方互乗数并共积开方得两方和乃以两方互乗数为实以和为带纵一为负隅用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方(按此葢以句股法通)(之大方股也小方句也共积弦实也两方互乗数句股相乗长方积也故倍互乗数则与共积相并减而)(开方可得和与较也或和或较但得其一即以互乗数为实用纵方开之自见大小方矣若兼求和与较)(以见大小方不用纵方之法亦可耳)大小两方以共积及两方较求大小方 法以较实减共积余为实以二为隅算倍较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方或倍较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方 假如大小两方田共积七千五百九十二步两方较二十八步求大方者以较自乗得七百八十四以减共积得六千八百零八为实以二为隅算倍较得五十六为负纵初商七十以乗隅算得一百四十为方法先以负纵乗商得三千九百二十益实乃以方法乗商得九千八百减实再开倍前商得一百四十以乗隅算得二百八十为亷法约计次商当得四以乗隅算得八为隅法先以负纵乗商得二百二十四益实乃以亷法除实一千一百二十合次商又以隅法乗商得三十二减实尽得大方七十四(此以隅算负纵益积法为例余可类推)大小两方以共积及两方和求大小方 法以和实减共积余为实以二为负隅倍和为带纵用带纵负隅减纵开之得小方或用翻法开之得大方(按右二条但倍共积)(以减较实开方得两方和以减和实开方得两方较兼和较以见大小方最为便易然欲倣此意而推之)(三方以上则格而难通矣若以较和实减共积为实倍较和为带纵负纵则推之三方以上总用此法不)(过递增其隅算负隅之数及中方以较较为纵微不同耳合下二条观之乃知法之妙也)大小三方以共积及三方之两较求各方 法以两较实减共积余为实以三为隅算而视其较若系大与小中与小之两较则倍两较为带纵用隅算带纵并方亷开之得小方系大与中大与小之两较则倍两较为负纵用隅算负纵减方亷开之得大方或系大与中中与小之两较而大与中之较盈于中与小之较(可知中方近小方也)则倍两较之较为带纵用隅算带纵并方亷开之大与中之较朒于中与小之较(中方近大方也)则倍较较为负纵用隅算负纵减方亷开之大与中之较中与小之较等则直用隅算开之得中方大小三方以共积及三方之两和求各方 法以两和实减共积余为实以三为负隅倍两和为带纵用带纵负隅减纵开之得中方及小方或用翻法开之得大方(按并两和实其数自多虽以共积减之犹多也以此为实则除之常有余实矣并两和又倍之)(其数亦复不少以此为纵则减之常有余纵矣故举大与中与小之两和往往只用负隅减纵法即得大)(方不须翻法也惟大方与中小二方盈朒迥殊者乃间用翻法耳)右四条以较求方以和求方其法两两相对由二方以推之三方更推之多方皆可以一理贯也但较有带纵负纵之分和则惟有带纵而已又中方以较较为纵与大小方固殊而以和和为纵则与大小方不异故以较求者其绪繁以和求者其术简也且如甲乙丙丁戊五方举甲与戊乙与戊丙与戊丁与戊之四较即先求戊方以四较实减共积余为实以五为隅算倍四较为带纵用隅算带纵并方亷开之求甲方者用负纵(若四较皆以甲方为主即先求甲方也 甲大戊小)并如右法至于求乙丙丁三方者当倍较较为纵而欲得较较固自有说假使求乙方即并乙与丙与丁与戊之三较而以甲与乙之较减之余则较较也葢以大于乙之较与小于乙之较相减既得较较且可知乙方为近大方为近小方而较较为带纵为负纵矣(乙下于甲一等似近)(大方而较较当为负纵然使并乙与丙丁戊之三较不及甲与乙一较之数即乙近小方而当为带纵也)(等并三较与一较之数 者但用隅算开之)丙丁倣此其以和求者只如右法云三广田以积与三广之两较及长广较求长广 法以中广与长之较为带纵(必以中广为主此算三广之定法 既称长广则中广必)(朒于长故直称带纵而下文立法皆就带纵言之也然亦或有中广反盈于长者自当为负纵耳)以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵(长既有纵广不)(当又称纵而广之有较亦纵也故谓之旁纵)而中广朒则为旁带纵中广盈则为旁负纵又有不同旁带纵者用双带纵并方亷兼减积开之(带纵法以并方亷为便而两纵分属长广两边则初开未可皆并入方故)(兼用减积法至再开或减积或并亷者亷固统长广两边不妨并两纵也)旁负纵者用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之(带纵既用并方亷法而两纵分属长)(亷两边则初方不可一并一减故负纵必用益积法至再开或益积或减亷者亷统长广两边不妨且并)(且减也)得中广 假如三广田积二千四百六十五步中广朒于南广八步朒于北广三十六步朒于长六十七步求三广及长者以长广较六十七为带纵以两广较并而四除之得一十一为旁带纵初商一十并带纵得七十七为方法先以方法乗旁带纵得八百四十七减积乃以方法乗商得七百七十减积再开倍前商得二十并带纵得八十七为亷法约计次商当得八为隅法先以隅法乗旁带纵得八十八减积乃以亷法除积六百九十六合次商又以隅八自乗得六十四减积尽得中广一十八(各加较得南广二十六北广五)(十四长八十五)或再开以旁带纵并入亷法得九十八以除积七百八十四得八为次商而以隅法减积尽尤简捷又如三广田积二千四百六十五步中广盈于南广一十五步盈于北广九步朒于长五十步求长广者以长广较五十为带纵以两广较并而四除之得六为旁负纵初商三十并带纵得八十为方法先以方法乗旁负纵得四百八十益积乃以方法乗商得二千四百减积再开倍前商得六十并带纵得一百一十为亷法约计次商当得五为隅法先以隅法乗旁负纵得三十益积乃以亷法除积五百五十合次商又以隅五自乗得二十五减积尽得中广三十五(各加)(减较得南广二十北广二十六长八十五)或再开以旁负纵减亷法得一百零四以除积五百二十得五为次商而以隅法减积尽尤便(按右条之法亦可以纵为旁纵以旁纵为纵也虽纵有带负之分而带纵兼旁负纵)(者易为负纵兼旁带纵于算亦通然长广之较自当为纵广与广之较自当为旁纵理固如此耳且如下)(文各条例中其法更加隅算及负隅者纵与旁纵断不可移易也)方长带偏斜田以积及四边之三较求长广 法以一边为主若主东一边即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之一盈一朒者相减而以所余盈朒之数半之为纵以东西之较半之为旁纵其为带纵负纵并以东一边之盈朒分之先求东长如前三广田法 假如偏斜田积四千一百四十八步东长盈于南广十步朒于北广四步朒于西长八步求各长广者以东与南北两较相减得盈六半之得三为负纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十减负纵得五十七为方法先以方法乗旁带纵得二百二十八减积乃以方法乗商得三千四百二十减积再开倍前商得一百二十减负纵得一百一十七并旁带纵得一百二十一为亷法以亷法除积四百八十四得四为次商而以隅四自乗得一十六减积尽得东长六十四(各加减较得南广五十四北广六十八西长七十二)又如偏斜田积一万一千四百步东长盈于南广一百三十步盈于北广一百一十步朒于西长二十步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得一十为旁带纵初商一百(此因负纵多而初商少兼用益积法)先以负纵乗旁带纵得一千二百益积(凡带纵皆用之减积也此旁带纵何以益积葢以方法相乗则减积耳方法之中有商有带纵)(方也商也带纵也皆正也两正相乗宜减积一正一负相乗宜益积也)次以商乗旁带纵得一千减积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十并旁带纵得九十为亷法以亷法除积七千二百得八十为次商而以隅八十自乗得六千四百减积尽得东长一百八十(南广五十北广七十西长二百)又如偏斜田积八千一百步东长盈于南广一百二十五步盈于北广一百一十五步盈于西长一十六步求长广者以东与南北两较相并半之得一百二十为负纵以东西较半之得八为旁负纵初商一百先以负纵乗旁负纵得九百六十减积(凡负纵皆用之益积此旁)(负纵何以减积葢一正一负相乗宜益积则两负相乗又宜减积也两负如无负也)次以商乗旁负纵得八百益积又以负纵乗商得一万二千益积乃以商自乗得一万减积再开倍前商得二百减负纵得八十又减旁负纵得七十二为亷法以亷法除积五千零四十得七十为次商而以隅七十自乗得四千九百减积尽得东长一百七十(南广四十五北广五十五)(西长一百五十四) 按右三例第一例以负纵减方亷兼带纵减积并亷也其第二例第三例亦是负纵兼旁纵而初开以负纵减商商皆不足当以所负商数各二十为负方第二例以负方乗旁带纵得二百益积又以负方乗商得二千益积第三例以负方乗旁负纵得一百六十减积又以负方乗商得二千益积即初开各毕矣前著例颇详者欲使其中条理显然而㨗径自出也三广田以积与三广和两广较及长广较求长广 法以四乗积为实以和为带纵一为隅算(凡三广必倍中广并边两)(广而四除之以为广今四乗积则可以当四除矣乃以三广和为带纵而犹少一中广即以一隅算并纵)(隅算固所求之中广也)以中广与长之较为旁带纵(如中广反盈于长则)(为负也)用隅算双带纵并方亷兼减积开之得中广(以加)(长广较得长以减三广和得南北二广和欲知南北各广数以两广较推之其较非必南北之较而皆可)(以次第推也为按此以长广较为旁纵者和不得为旁纵也凡和 带纵必加隅算及负隅而隅算负隅)(势不得在旁也此隅算只一犹与无隅算同纵与旁纵可以互换非负隅之比负隅虽只一其纵亦不可)(移耳)方长带偏斜田以积与三边和及长较广较求长广法以二乗积为实以和为带纵一为负隅(以三边和为带纵非)(有二长即有二广故以二乗积而有二长者一为负隅以求广因以减纵中之广有二广者一为负隅以)(求长因以减纵中之长)以长较或广较半之为旁纵(求长则取长较求广)(则取广较)其为带纵负纵以所求一边之盈朒分之乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之得一边长广 假如偏斜田积四千一百四十八步东南北三边和一百八十六步东长朒于西八步南广朒于北一十四步求各长广者以二乗积得八千二百九十六为实以一为负隅以和一百八十六为带纵以东西较半之得四为旁带纵初商六十以乗负隅仍得六十为方法以方法减纵余一百二十六先以余纵乗旁带纵得五百零四减实乃以余纵乗商得七千五百六十减实再开倍前商得一百二十以乗负隅仍得一百二十为亷法约计次商当得四以乗负隅仍得四为隅法以亷法减纵余六十六又以隅法减纵余六十二乃先以隅法乗旁带纵得一十六益实(在负隅法中方亷隅皆负)(也旁带纵以正而与负乗故宜益实也)而以余纵减实二百四十八合次商得东长六十四(以减和更以广较推之得南广五十四北广六十八以长较见)(西长七十二)或再开以旁带纵乗负隅仍得四(凡纵不与隅算及负)(隅二者相乗而旁纵自再开以后欲与亷纵相并减则必与二者相乗也前以隅法乗之而益积隅法固)(已先乗负隅矣)以减纵余五十八(带纵而乗负隅故以减纵)而以除实二百三十二合次商亦便又如偏斜田积三千二百五十步东南北三边和一百七十四步东长朒于西一十二步南广朒于北六步此须用带纵负隅减纵翻法(倍积为实则除实宜有余实一长二广为)(纵则减纵宜有余纵而或须用翻法者必其田狭长之甚也)而兼旁纵开之以二乗积得六千五百为实以一为负隅以和一百七十四为带纵以东西较半之得六为旁带纵初商一百(若商八十或九十则负积愈多而八十且有余纵无以置之九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积故)(定商一百)以乗负隅仍得一百为方法以方法减纵余七十四先以余纵乗旁带纵得四百四十四减实乃以余纵乗商得七千四百减实实负一千三百四十四再开倍前商得二百以乗负隅仍得二百为亷法以亷法减纵纵负二十六约计次商当得二十以乗负隅仍得二十为隅法先以隅法乗旁带纵得一百二十减负实乃以负纵除负实五百二十合次商又以隅法乗商得四百减负实三开倍前商得二百四十以乗负隅仍得二百四十为亷法以亷法减纵纵负六十六约计三商当得四以乗负隅仍得四为隅法先以隅法乗旁带纵得二十四减负实乃以负纵除负实二百六十四合三商又以隅法乗商得一十六减负实尽得东长一百二十四(南广二十二北广二十八西长一百三十)(六)或再开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得三十二以除负实六百四十得二十为次商而以隅法减负实四百三开以旁带纵乗负隅仍得六以并负纵得七十二以除负实二百八十八得四为三商而以隅法减负实尽尤便 按算术固不能尽言即如偏斜田设举积及东南和东北和东西较则并两和为带纵以二为负隅而依前半较为旁纵倍积为实开之得东长或举积及东南和东北和东西和则以四乗积为实以东西和除之得南北和而并东南和东北和以南北和减之半其余得东长如三广田举积与三广之两较及长广和则以和为带纵一为负隅并两较而四除之为旁纵以开积得中广神而明之法随问变岂可限也兹因偏斜田而引伸其说凡诸条例莫不皆然请以俟通人之自悟焉长方以重长重广共步及积求长广 法以共步为带纵而求长则以长数(重几长则为几数也下广数同)为负隅以广数乗积为实求广则以广数为负隅以长数乗积为实用带纵负隅减纵及翻法开之(不论求长求广但负隅数少乗积数多者)(积与纵常有余往往用带纵负隅减纵法负隅数多乗积数少者积与纵常不足往往用翻法惟田形狭)(长之甚者则不然临算当自知之不可预定耳) 假如长方积八百六十四步二长五广共一百九十二步为带纵以五乗积得四千三百二十为实(五乗积则得长乗广之数五而可以五广为带纵也)以二为负隅(实中无长自乗之数而带纵有二长故以二为负隅不益实即减纵也)用带纵负隅减纵开之得长三十六或以二乗积得一千七百二十八为实以五为负隅用翻法开之得广二十四 更有重长重广重和重较共步及积求长广者如积八百六十四步一和二较三长四广共二百八十八步法先约一和得一长一广并三长四广得四长五广又以二较益广为长共得六长三广乃如前求之若重较数多既益广尽为长而尚有余较者此则不可求长但可求广(原积无长乗较之数故不可求长原积有广自乗及广乗)(较之数各一故可求广)且如积八百六十四步一和六较三长四广共三百三十六步约一和三长四广得四长五广又以六较之五益广为长共得九长而余一较则以九长减较为广乃得九广十较而以十乗积得八千六百四十为实以一为隅算(十乗积则得广自乗及广乗较之数各十)(而带纵少一广故以一为隅算并纵也)以共步为带纵用隅算带纵并方亷开之得广二十四长方以长广母子分数之共步及积求长广 法以长母乗广子为广率为广数以广母乗长子为长率为长数以两母相乗为总率以乗共步为带纵乃如前重长重广例求之 假如长方积八百四十步五分长之二四分广之一共二十步求长广者以五乗一得五为广率为五广以四乗二得八为长率为八长以五与四乗得二十为总率以乗共步得四百为带纵而此带纵之数凡有八长五广也乃以八乗积得六千七百二十为实以五为负隅用带纵负隅减纵开之得广二十四或以五乗积得四千二百为实以八为负隅用翻法开之得长三十五长方匿原积以长乗重长重广积步及较或以广乗重长重广积步及较求长广 法以乗积为实并长广数为隅算而长乗求长则以广数乗较为负纵用隅算负纵减方亷开之广乗求广则以长数乗较为带纵用隅算带纵并方亷开之若广乗求长则以广数乗较为负纵又以较为旁负纵用隅算双负纵减方亷兼益积开之长乗求广则以长数乗较为带纵又以较为旁带纵用隅算双带纵并方亷兼减积开之假如长方匿其原积而以广乗六长三广得六千九百一十二步其长广较一十二步求长者以乗积六千九百一十二为实以九为隅算以三乗较得三十六为负纵又以较一十二为旁负纵初商三十以乗隅算得二百七十减负纵得二百三十四为方法先以方法乗旁负纵得二千八百零八益实乃以方法乗商得七千零二十减实再开倍前商得六十以乗隅算得五百四十减负纵得五百零四为亷法约计次商当得六以乗隅算得五十四为隅法先以隅法乗旁负纵得六百四十八益实乃以亷法除实三千零二十四合次商又以隅法乗商得三百二十四减实尽得长三十六或再开以旁负纵乗隅算得一百零八以减亷法得三百九十六以除实二千三百七十六得六为次商而以隅法减实尽尤捷 右法更有以长乗重长重广重和重较或以广乗之而以其积步及较求长广者并先约和较为长广不待言矣若以较益广尽为长而尚有余较如前九长一较之比者别自有法且如九长一较法以九为隅算而长乗求长则以一乗较为带纵广乗求广则以十乗较为带纵(九广十较也)广乗求长则以一乗较为带纵又以较为旁负纵长乗求广则以十乗较为带纵又以较为旁带纵依例开之长方匿原积以长乗重长重广积步及和或以广乗重长重广积步及和求长广 此与前一条相似而不同以长乗者但可求长以广乗者但可求广(隅算及负隅无)(旁加者势不能也故长乗不便于求广广乗不便于求长矣)法亦以乗积为实而长乗求长则以广数乗和为带纵广乗求广则以长数乗和为带纵又以长广数相减余数为隅算不足数为负隅求长取长求广取广为之乃用隅算带纵并方亷或用带纵负隅减纵及翻法开之如六长三广长乗求长则以三乗和为带纵以三为隅算(六长三广)(相减长余三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也)广乗求广则以六乗和为带纵以三为负隅(六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带)(纵亦得六长三广也)开之是也 右法长广所乗若更兼重和重较者先约和较为长广而约得余较如前九长一较之比亦别有法且如九长一较长乗求长则以一乗和为负纵以十一为隅算(减一长一广于隅算得九长一较也)广乗求广则以十乗和为带纵以十一为负隅(减十一广于带纵亦)(得九长一较也)依例开之九章录要卷六
## 卷七
钦定四库全书九章录要卷七松江屠文漪撰商功法古九章五曰商功以御功程积实堑堵求积尺 凡筑城墙堤堑之类上下广不等者法并上下广折半以髙乘之复以长乘之得积堑堵求积又法 堤堑之类亦有两头之上广之下广之髙各不等者法倍东髙加入西髙以东头上下广并而乘之折半又倍西髙加入东髙以西头上下广并而乘之折半并二数以长乘之以六除之或不用两度折半者则以十二除之(右一条新订)方台求积 法同粟米章方窖长方台求积法同长方窖员台求积 法同员窖长员台求积法同长员窖方锥求积 法同粟米方尖堆方锥改方台求各数法 假如方锥下方二十四尺髙三十二尺今改方台上方六尺问髙几何一率 二十四(原下方尺数无减)二率 三十二(原髙尺数)三率 一十八(今上下方较尺数)四率 二十四(今髙尺数)又如前例问截去几何一率 二十四(下方)二率 三十二(原髙)三率 六(今台上方即今截下方)四率 八(今所截之髙)右二例若求今髙以减原髙亦得所截之髙求截髙以减原髙亦得今髙而必备其法者庻各得所求不须借径也又如前例今髙二十四尺问上方几何一率 三十二(原髙)二率 二十四(下方)三率 八(今髙减原髙为所截之髙)四率 六(今截下方即今台上方)右例亦可以今髙列三率求得四率为今上下方较以减下方而得上方也员台改员锥求各数 假如员台下周七十二尺上周一十八尺髙二十四尺今改员锥问髙㡬何一率 五十四(原上下周较)二率 二十四(原髙)三率 七十二(今下周无减)四率 三十二(今髙)又如前例问增髙㡬何一率 五十四(原上下周较)二率 二十四(原髙)三率 一十八(原台上周即今增下周)四率 八(今所增之髙)又如前例今髙三十二尺问上周一率 二十四(原髙)二率 五十四(原上下周较)三率 三十二(今髙)四率 七十二(今上下周较以减下周适尽知为员锥也)右例亦可以今所增之髙列三率求得四率为所增上下周较以减原上周适尽而知为员锥也又右六法方减员增特互举以见例而法则相通且方或以周算员或以径算亦皆同耳堑堵增减求数法 假如筑墙上广二尺下广六尺髙二十尺今已筑至上广三尺六寸问髙㡬何一率 四十(原上下广较化寸数)二率 二十(原高尺数)三率 二十四(今上下广较化寸数)四率 一十二(今高尺数)又如前例今欲筑至髙二十四尺问上广㡬何一率 二十(原高尺数)二率 四十(原上下广较化寸数)三率 二十四(今高尺数)四率 四十八(今上下广较寸数以减下广得一十二寸为今上广)堑堵以直高求斜高以斜高求直高 法以上下广较半之为勾直高为股斜高为弦以勾股法互求之(右一)(条新増)功程迟速例 假如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须㡬日法以十八日减四十五日得二十七日为乙匠未毕之工知甲匠十八日当乙二十七日也列率求之一率 二十七二率 一十八三率 四十五四率 三十又如甲匠制造六十日而毕乙匠则百日而毕问两匠并营须㡬日法以六十日除百日得甲匠一日之工当乙匠一日又三分日之二并乙匠一日得二日又三分日之二以除百日得三十七日又二分日之一为并营日数或以百日除六十日得乙匠一日之工当甲匠五分日之三并甲匠一日得一日又五分日之三以除六十日亦得三十七日又二分日之一(右一条新增)方尖堆物求积(自此以下皆隙积之法隙积谓积之有隙者如累棋及积酒罂之类与前积尺)(法不同) 假如方尖堆下广十二问积㡬何法置下广十二别以下广加一枚为十三而乗之得一百五十六又以下广加半枚为十二有半而乗之得一千九百五十以三除之得积六百五十方平堆物求积 法以下广依尖堆法求积别以上广减一枚为下广依尖堆法求积两尖堆积相减得平堆积(此以平堆先作尖算乃减上虗尖成平也)长方平尖堆求积(既云尖又云平者上广只一故谓之尖上长不止于一故又谓之平也)假如长方平尖堆下广十长十二问积㡬何法以长广较半之得一又加半枚得一有半并长得十三有半以广乗之得一百三十五又以广加一枚为十一而乗之得一千四百八十五以三除之得积四百九十五 又法先以广长较加一枚得上长而算之(上广只一不必言)假如平尖堆下广八长十三问积几何此可知上广一而长六也乃倍下长加上长得三十二以下广乗之得二百五十六又以下广乗之得二千零四十八并二百五十六得二千三百零四以六除之得积三百八十四长方平堆求积 法倍上长加下长以上广乗之又倍下长加上长以下广乗之并二数加上下长较(上下广较)(同)以髙乗之(上下长较加一数得髙上下广较亦同)以六除之得积按此法长方平尖堆及方尖堆方平堆皆可用之盖一法而兼四法可云居要者也三角尖堆求积 假如三角尖堆下广八问积㡬何法置下广八别以下广加一枚为九而乗之得七十二又以下广加二枚为十而乗之得七百二十以六除之得积一百二十三角平堆求积 法以上广自乗又以下广自乗又以上广乗下广又倍下广加上广并四数以髙乗之(上下)(广较加一数得髙)以六除之得积 按此法亦可用之三角尖堆九章录要卷七
## 卷八
钦定四库全书九章录要卷八松江屠文漪撰均输法古九章六曰均输以御逺近劳费均输例 假如有粮二万石令甲乙丙丁戊五县依戸口多少道里逺近价値上下而均输之每车载五十石行一里僦値一钱甲县三万零五百二十戸米石价二两乙县一万二千三百一十二戸米石价一两四钱逺输二百里丙县七千一百八十二户米石价一两六钱逺输一百五十里丁县一万三千三百四十三户米石价一两七钱逺输二百五十里戊县一万五千三百一十戸米石价一两三钱逺输三百五十里问五县各㡬何五县每戸各几何法以僦价并入米价以除各县户数而求各县之衰惟甲县自输本县无僦价以米价化为二十钱除户数得一千五百二十六为甲衰其乙丙丁戊四县俱有僦价各以所输里数乗僦一钱而以每载五十石除之得各运价乙县行二百里乗除得四钱并米价共一十八钱以除戸数得六百八十四为乙衰丙县行一百五十里乗除得三钱并米价共一十九钱以除戸数得三百七十八为丙衰丁县行二百五十里乗除得五钱并米价共二十二钱以除戸数得六百零六又二之一为丁衰戊县行三百五十里乗除得七钱并米价共二十钱以除戸数得七百六十五又二之一为戊衰并五衰共三千九百六十为总衰一率 三千九百六十二率 二万三率 (二千五百二十六) (六百八十四) (三百七十八) (六百零六又二之一) (七百六十五又二之一)(甲) (乙) (丙) (丁) (戊)四率 (七千七百零七石零) (三千四百五十四石) (一千九百三千零六三千八百零九石零十三石一六十六石)(七升又九十九分升) (五斗四升又十一分) (九升又十一九斗三升又一斗六升分升之一 十九分又九十九)(之七) (升之六) (升三) (分升之十六)右已得各县米数次以各县戸数除之即得每戸数逺近劳费襍例 假如僦车运货原议行路二千里载重二千四百斤给値一十五两今重三千斤行二千六百里问値㡬何一率 四百八十万(原路及重相乗数约为四十八)二率 一十五(原値两数)三率 七百八十万(今路及重相乗数约为七十八)四率 二十四又八分之三(今値两数)右亦可用重测法一率 二千(原行里数)二率 一十五(原値两数)三率 二千六百(今行里数)四率 一十九又二之一(今行路仍载原重僦值两数)又一率 二千四百(今行路载原重斤数)二率 一十九又二之一(原重须僦价两数)三率 三千(今重斤数)四率 二十四又八之三右重测法或先以载重列率次以行路列率求之一率 二千四百(原重)二率 一十五(原値)三率 三千(今重)四率 一十八又四之三(今重仍行原路僦値两数)又一率 二千(今重行原路)二率 一十八又四之三(原路僦价)三率 二千六百(今行路)四率 二十四又八之三又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今载三千二百斤给値一十二两问当行路㡬何一率 二千四百(原重)二率 一十五(原値)三率 三千二百(今重)四率 二十(今重仍行原路僦値)又一率 二十(今重行原路値)二率 二千(原路)三率 一十二(今値)四率 一千二百(今路)右亦可用并测法求得四率今重兼行路之数再以今重除之得行路数(下同)又如前例载二千四百斤行二千里値一十五两今路一千七百里给值七两六钱五分问当载重㡬何一率 二千(原路)二率 一十五(原値两数百或化为一千五 分)三率 一千七百(今路)四率 一十二又四之三(今路仍载原重僦値分或化一千二百七十五)又一率 一十二又四之三(今路载原重値五或化一千二百七十 分)二率 二千四百(原重)三率 七又二十之一十三(今值十或化七百六 五分)四率 一千四百四十(今重)又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须㡬日可及一率 一又二之一(先发日减较日为追上日数)二率 二又二之一(驰追日数)三率 一十一又二之一(较日数)四率 一十九又六之一(追及日数订右一条新)又如行程二千七百里十八人同行止有马七匹更换骑之十里一换问骑行歩行各㡬何法以马数乗行程得数以人数除之得每人骑行一千零五十里减行程余为歩行数又如空车日行七十里若重载即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺㡬何法并空车重车日行数以三返乗之为日数列一率以空车重车日行数相乗为里数列二率知以三百六十日行三千五百里而三返也乃以五日列三率求之一率 三百六十二率 三千五百三率 五四率 四十八又一十八之一十一(所求里数)九章录要卷八
## 卷九
钦定四库全书九章录要卷九松江屠文漪撰盈朒法古九章七曰盈朒亦曰盈不足以御隐襍互见盈不足例 假如众人分帛每人六匹盈七匹每人八匹不足九匹问人数帛数各㡬何法以盈不足数相并为人实以分数互乗盈不足数相幷为帛实乃以分数相减之较为法除人实得人数八除帛实得帛数五十五 按盈不足数及分数互乗盈不足数俱相并若遇两盈两不足即相减惟以分数相减之较为法则诸例皆同都不用并也又按右例若止求人数以乗分数而以盈不足数加减算之亦得帛数即不用互乗之法可也以下诸例倣此又如田形长方欲于中截分一段截长七歩不足七歩截长九歩盈十一歩问原阔歩及所截积歩各㡬何法以盈不足数相幷为原阔之实以截长数互乗盈不足数相幷为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔歩九截积歩七十又如绢一匹作帐折成六幅比旧帐长六寸折成七幅比旧帐短四寸问旧帐幅新绢各长㡬何法先以幅数各乗长短数以为盈不足数(六幅共盈三十六寸七幅共朒二十)(八寸不以六寸四寸为盈朒数也)然后以盈不足数相并为旧帐幅实以幅数互乗盈不足数相并为新绢实俱以幅数之较为法除之得旧帐幅长六尺四寸新绢长四丈二尺又如井不知深(谓水面以上至井口非谓水深也)将绳折作三股入井汲水余绳四尺折作四股入井余绳一尺问井深绳长各㡬何法先以股数各乗余绳数以为两盈数(与上帐幅例同)然后以两盈数相减为井实以股数互乗两盈数相减为绳实俱以股数之较为法除之得井深八尺绳长三丈六尺又如官米不知其数甲乙二等户并输乙户所输当甲户十之八令甲等八户乙等五戸输之不足三石令甲等六户乙等八戸输之不足一石问二等户输米则例及官米总数各㡬何法先以甲乙二等衰各乗户数依问所列并之以为输数(此兼用衰分之法甲衰十乗八户乙)(衰八乗五户并得一百二十甲衰十乗六户乙衰八乗八户并得一百二十四为输数不以原户数为输)(数也)然后以两不足数相减为则例之实以输数互乗两不足数相减为总米之实乃以输数之较为法除则例实以二等衰各乗之得二等戸输米则例甲每户五石乙每户四石(按以法除则例之实当得则例之数而此条乃不同者前既以)(甲户乗衰作十数乙户乗衰作八数则此除得之数仅得甲户十之一乙户八之一故须以二等衰各乗)(之而后二等则例皆得也)又以输数之较为法除总米实得官米总六十三石按右三条其法不异于前两条但中间复带细数须相乗者故微有不同耳若带分盈朒虽亦大略相类而自为一法别起例于后又如长方田中欲截分一段截长三十八歩不足二十五歩截长四十歩适足问原阔歩及所截积歩各㡬何法以不足数为原阔之实以适足之截长数乗不足数为截积之实俱以截长之较为法除之得原阔十二歩半截积五百歩(一盈一适足者倣此)带分盈不足例 假如将银买物用银三分之二盈三两用五分之三不足一两问银数物价各㡬何法先以分子互乗分母以为用银数(分子二乗分母五则以十为用数不以二)(为用数分子三乗分母三则以九为用数不以三为用数)然后以盈不足数相并以两分母相乗之数乗之为银实(分子既互乗分母以为用数则盈不)(足亦必累乗两分母以为银实也)以用银数互乗盈不足数相并为物价实俱以用银数之较为法除之得总银六十两物价三十七两又如众人买物每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两问人数物价各㡬何法如前先以银率互乗人率以为出银数然后以两盈数相减以两人率相乗之数乗之为人实以出银数互乗两盈数相减为物价实俱以出银数之较为法除之得人数一十二物价两数一十五按右例似与带分有别而实则同也六人共银九两即是六分之九零分法原有子数多于母数者也所用算术既无少异宜附带分之条或别立名目重出一条徒滋学者之惑殆未深知其理之一耳 又按第一例既以用银数互乗盈不足得数若再以用银数与乗得之数又互换而乗之(前用银数十互乗不足一两仍得十用银)(数九互乗盈三两得二十七今再以用银数十互乗二十七得二百七十用银数九互乗十得九十也)相并以两分子相乗之数除之以为银实(第二例亦然此姑就)(第一例言之)于算亦通而叠用互乗数目纷纭非法之良宜从芟削者也(右二条新订)又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各㡬何法先以分子互乗分母及石数以为用银数以两不足数互乗石数以为两不足数然后以两不足数相减以两分母相乗之数乗之为银实以用银数互乗两不足数相减以两石数相乗之数除之为米价实俱以用银数之较为法除之得总银三十六两米每石价一两五钱按右例于带分之外更有石数不齐须用乗除故其法颇繁宜依所问列左右二行左分子一乗右分母又乗右石数得一百零八为左用银数左不足三乗右石数得三十六为左不足数右亦如之然后再用互乗庻无淆乱之患 按用银数互乗两不足得数即以为米价实(不用两石数相乗之数除也)以用银数之较为法除之却再以十石除之则得十二石之总价以十二石除之则得十石之总价又按用银数既互乗两不足得数再与乗得数互换乗之相减以两石数相乗之数除之又以两分子相乗之数除之以为银实其法亦通然知之则可用之则迂矣(右一条新増)又如谷不知数取三分之一卖银八两不足一石取九分之四卖银十两适足问总谷㡬何每银一两直榖㡬何法如前先以分子互乗分母及两数以为出榖数以适足之两数乗不足数以为不足数然后以不足数以两分母相乗之数乗之为谷实以适足之出谷数乗不足数以两两数相乗之数除之为银直实俱以出谷数之较为法除之得总谷四十五石每银一两之直谷二石按右例既得总谷石数但取适足银数以原母乘之原子除之即得总谷所直之银而银一两所直之谷可知矣此法最捷(右一条新订)又按此章诸例皆可以借征法求之别著一条于第十二篇中余可反隅而得也九章录要卷九
## 卷十
钦定四库全书九章录要卷十松江屠文漪撰方程法古九章八曰方程以御错揉正负二色方程例 假如绫五匹纱八匹共价银二十四两又绫七匹纱四匹共价二十二两八钱问绫纱每匹价各㡬何法依所问列左右二行以绫五互乗绫七纱四及价所得数各注于其下(绫得三十五纱得二十价得一百一十四)亦以绫七互乗绫五纱八及价注所得数如前(绫得三十)(五纱得五十六价得一百六十八)两绫数相对减尽两纱数减余(三十)(六)为法两价数减余(五十四)为实以法除实得纱每匹价一两五钱乃就一行中以纱匹数乗价减共价余以绫匹数除之得绫每匹价二两四钱按右例若以纱互乗即先得绫价于法皆通以后各例倣此又按例以绫互乗则两绫所得数必相对减尽矣立法之意正欲使两绫数等而后价数之不齐由于纱数之不齐显然可推也然既知此义则以后凡同物相乘如绫之比者直可省之故槪不赘书惟于右一条具文见义云又如七钗九钿共重九两四钱钗重钿轻于中互换其一则轻重适等问钗钿各重㡬何法依所问钗钿互换其一以六钗一钿一钗八钿左右对列而中分其总重之数系之两行如前求之得一钗之重七钱一钿之重五钱二色方程兼正负例 假如卖米七石买麦三石米家得银九两六钱又卖米三石买麦九石米家出银三两六钱问米麦每石价各㡬何法以米为正麦为负米家所得之价为正米家所出之价为负列左右两行如前若以米互乘麦及价者(麦负九得六十三价负得二十五两二钱)(麦负三得九价正得二十八两八钱)而麦数减余(五十四)为法两价数相并(五十四)为实以法除实得麦每石价一两乃以麦负九石乘价减负价余以米三石除之或以麦负三石乘价并正价以米七石除之得米每石价一两八钱按负有背负之义谓正之反也亦有负欠之义此例从米家卖米言之故卖米为正买麦为负米家所得之价为正所出之价为负若从麦家言者反是其并减之法此以两正及两负同名者相减一正一负异名者相并自互乗得数及已得一物之价而以其物数乗价与原正负价幷减求第二物之价皆然二色正负反用并减例 凡互乗所得数固以两正两负同名相减一正一负异名相并为常法而亦有反用之者假如卖米五石麦五石得银一十四两卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各㡬何此若以米互乗麦与价(米系两正同名)则两米相乘所得数自必相对减尽不待乗而可知矣两麦两价俱系正负异名其乘得数固宜相并如常法也(麦正得二十麦负得三十五并)(得五十五价正得五十六价负得一十并得六十六)若以麦互乗米与价(麦系正负)(异名)则两麦相乘所得数乃须相并殊非立法之意故变通其法反以两麦相减而两米俱正同名反相并(米五得三十五米四得二十并得五十五)两价正负异名亦反相减(价正得九)(十八价负得一十减得八十八)此其义何也卖米买麦而出银犹之买米卖麦而得银然则正可变为负负可变为正今不变其正负之名但变其并减之法此法之变生乎常而常变不殊其用者也且非特此也同名相减取其数之齐者以相比例而其余之不齐可得而推故同减而异必并异名相减取其数之齐者以相偿补而其余之不齐亦可得而推故异减而同必并此法之变反乎常而常变各成其用者也依法求之得米每石价一两六钱麦每石价一两二钱自三色正负以上凡互乘所得数则两法并用若已得一物之价而以其物数乗价与原正负价相并减求第二物之价者只依常法不在变通之例按右所论同减异并异减同并明其所以然之故益见法之当然而不可易矣乃既经并减后所得之数谓之正乎谓之负乎此在二色方程但取其数为法实以相除犹不必深辨也若三色以上而不分正负后更与他数相并减其道何由故特剖而论之曰凡并减虽两行相对要以一行为主如以正并者(为主之行)(系正也)得数仍为正以负并者得数仍为负也以正减者减而有余(为主之行有余也)则为正减而不足则为负以负减者减而有余则为负减而不足则为正也此一定之理断不容混耳更有为主之行无数而借相对之行所有数虚立于本行以为数者或遇应借而不知借或借而槩称为负则非矣夫数岂可借盖实非借也试思两正相减而此少彼多犹谓之负则此无彼有得不谓之负乎(两负相减亦然)又试思以正幷负而此有正数犹取彼负以益之则此无正数得不取彼负以实之乎(以负并正亦然)故借正为负借负为正凡以同名互乘相减者固宜如是也若以异名互乗则亦当借正为正借负为负此皆自然之理施之于算无往不合者其要则曰同减异借异减同借两言而已每见算家之书于已经并减之数及应借之数处之茫然莫能致辨于是误在毫厘失之千里纵复强为牵合究且于率难通则方程之法或㡬乎废矣兹因论并减异同而并畅其说然后以三色四色方程著例于左览者当如观火而自五色以上直可推之至于无穷也(右一条新订)三色方程例 假如绫五匹纱三匹䌷五匹共价二十二两五钱又绫四匹纱二匹䌷七匹共价二十一两又绫八匹纱六匹䌷九匹共价三十九两问三物每匹价各㡬何法依所问列左右中三行乃以左行中行绫互乘纱䌷及价又以右行中行绫互乗纱䌷及价所得数各注于其下次以中行左行相减且如左行为主(或以中行为主亦可)减得纱正八䌷负二十价负一十二注左行之旁又以中行右行相减且如右行为主减得纱正二䌷负一十五价负一十五注右行之旁(图式具后其左右中三行上中三层俱可互换耳)两旁所注数即是二色方程再依二色法求之得䌷每匹价一两二钱纱每匹一两五钱二价既得绫价易见每匹二两四钱(按右例原数无正负因相减而有正负也若左例原数已兼正)(负则别为一条借又按方程章惟右一例不可用借徴法余并可以 徴求之而条缕多者方程为便)三色方程兼正负例 假如绫五匹换纱三匹绫家得银七两五钱又绫四匹换纱二匹䌷七匹绫家出银一两八钱又绫八匹换䌷九匹绫家得银八两四钱问三物每匹价各㡬何法如前列左右中三行其一物而三行俱有者用以互乘余物及价各注所得数空者阙之(依后图以上乗下为便故第一层三行俱实而空位则在下诸层也)次以中行左行相并减且如左行为主借得纱正一十六减得䌷正二十并得价正四十八又以中行右行相并减且如右行为主减得纱负二借得䌷正三十五并得价正三十九注于两旁再以二色方程法求之(物价同前例右一条新增)三色方程兼正负又例(前法止于三色而已此法则四色五色所从出也) 假如依前例绫正五纱负三价正七两五钱绫正四纱负二䌷负七价负一两八钱绫正八䌷负九价正八两四钱求各物价法列三行如后图式(惟第一行第三层第三行)(第二层可虗可实余必如图)专以第三行为主先以第三行纱互乗第一行绫䌷及价以第一行纱互乗第三行绫及价各注所得数乃以第三行与第一行相并减借得䌷正二十一减得绫负二并得价正二十两零四钱次以第三行借䌷互乗第二行绫及价以第二行䌷互乗第三行绫及价(就第一行互乗相并减之数而乗之非乗原数也)各注所得数乃以第三行与第二行相并减减得绫正一百五十为法并得价正三百六十两为实以法除实得绫每匹价以次求各价又如行程顾骡一匹马一匹共价钱七百又顾马二匹驴一匹共价八百四十又顾骡一匹驴三匹共价七百问三物每匹顾値各㡬何法列三行如前以第三行与第一行互乗乃相并减借得马负一驴无并减只用乗得之数价减尽不存次与第二行互乗第三行价已尽无乗阙之乃相并减并得驴正七为法借得价正八百四十为实以法除实得驴每匹价一百二十以次求各价驴每匹三百四十马每匹三百六十按此例三物及价俱正而云正负者三物中缺其一是乃所谓负也算家就物强分正负则谬之甚者又如依前所问更置其位先求一骡之力又更置其位先求一马之力(此例算家误甚故反复以明之)(右一条三式俱新订)四色方程兼正负例(四色五色以上皆与三色一法聊著此以见例云)假如绫二匹纱七匹共价一十五两三钱又纱 匹绢三匹共价九两又绢五匹䌷五匹共价一十一两又䌷四匹绫三匹共价一十二两问四物每匹价各㡬何法列四行如后图式乃依前法以第四行为主先与第一行互乘而并减之次第二行次第三行最后减得䌷负一百五十五为法价负一百八十六为实以法除实得䌷每匹价一两二钱余价次第求之绫每匹二两四钱纱每匹一两五钱绢每匹一两按自三色方程以上凡前诸行所有之物为末行所无者互乗后即借其乘得之数下层之价亦然如末行无价与第一行互乘而借其数或第一行亦无价则待至二三行互乘后有数而借之也若有数而减尽即彼此俱无数当于次行互乗后借之其末行所有之物为前诸行所无者无可并减末行只用互乗所得之数下层之价亦然(右一条新订)九章录要卷十
## 卷十一之一
钦定四库全书九章录要卷十一之一松江屠文漪撰句股法古九章九曰句股以御髙深广逺广曰句修曰股斜径曰弦句股相减之差数曰句股较句弦相减之差数曰句弦较股弦相减之差数曰股弦较弦与句股较相减之差数曰弦较较 (句较和) (股和较)弦与句股和相减之差数曰弦和较 (句较较) (股)(较较)句股相并之通数曰句股和句弦相并之通数曰句弦和股弦相并之通数曰股弦和弦与句股较相并之通数曰弦较和 (句和较) (股)(较和)弦与句股和相并之通数曰弦和和 (句和和) (股)(和和)句股求弦 法并句股实得弦实开方 又法并句股较实句股和实半之亦得弦实句弦求股 法以句实减弦实得股实开方 又法以句弦较乗句弦和亦得股实股弦求句 法以股实减弦实得句实开方 又法以股弦较乗股弦和亦得句实句与股弦较求股弦 法以较除句实得股弦和(和减较半)(之得股和幷较半之得弦余倣此) 又法以句实减较实倍较而除之得股(股并较得弦) 又法以句实并较实倍较而除之得弦(弦减较得股)股与句弦较求句弦 法以较除股实得句弦和 又法以股实减较实倍较而除之得句 又法以股实并较实倍较而除之得弦句与股弦和求股弦 法以和除句实得股弦较 又法以句实减和实倍和而除之得股(股减和得弦) 又法以句实并和实倍和而除之得弦(弦减和得股)股与句弦和求句弦 法以和除股实得句弦较 又法以股实减和实倍和而除之得句 又法以股实并和实倍和而除之得弦句与弦较较求股弦 法以句减弦较较得股弦较股与弦较较求句弦 法以股并弦较较得句弦和句与弦和较求股弦 法以句减弦和较得股弦较股与弦和较求句弦 法以股减弦和较得句弦较句与弦较和求股弦 法以句并弦较和得股弦和股与弦较和求句弦 法以股减弦较和得句弦较句与弦和和求股弦 法以句减弦和和得股弦和股与弦和和求句弦 法以股减弦和和得句弦和弦与句股较求句股 法倍弦实减较实开方得句股和弦与句股和求句股 法倍弦实减和实开方得句股较句弦较股弦较求句股弦 法以两较相乗倍之开方得弦和较并股弦较得句并句弦较得股并两较得弦减句股和亦得弦句弦和股弦和求句股弦 法以两和相乘倍之开方得弦和和减股弦和得句减句弦和得股减两和得弦减句股和亦得弦句弦和股弦较求句股弦 法以和较相乘倍之开方得弦较较减股弦较得句减句弦和得股减一较一和得弦并句股较亦得弦句弦较股弦和求句股弦 法以较和相乘倍之开方得弦较和减股弦和得句减句弦较得股减一和一较得弦减句股较亦得弦(右二条新增)弦较较弦和较求句股弦 法以两较相减半之得股弦较相并半之得句 又法以两较相乘为实以两较相减为法除之得股并两较实半之以两较相减为法除之得弦弦较和弦和和求句股弦 法以两和相并半之得股弦和相减半之得句 又法以两和相乘为实以两和相并为法除之得股并两和实半之以两和相并为法除之得弦弦和较弦较和求句股弦 法以较和相减半之得句弦较相并半之得股 又法以较和相乗为实以较和相减为法除之得句并较和实半之以较和相减为法除之得弦弦较较弦和和求句股弦 法以较和相并半之得句弦和相减半之得股 又法以较和相乗为实以较和相并为法除之得句并较和实半之以较和相并为法除之得弦(右四条新增)弦较较弦较和求句股弦 法以较和相减半之得句股较相并半之得弦弦和较弦和和求句股弦 法以较和相并半之得句股和相减半之得弦句股求积法以句股相乗半之得积(后凡称积者皆指此其云句股矩者则句股相乗之幂乃少广章所称之积指长方积而言者也)弦与句股较求积 法以弦实减较实以四除之弦与句股和求积 法以弦实减和实以四除之积句求股 法倍积以句除之积股求句 法倍积以股除之积弦求句股 法以四乗积减弦实开方得句股较并弦实开方得句股和积与句股较求句股弦 法以八乗积并较实开方得句股和以四乘积并较实开方得弦积与句股和求句股弦 法以八乗积减和实开方得句股较以四乗积减和实开方得弦(右二则或倍积以少广章纵方法求句股亦得)积与弦较较求句股弦 法以四乗积以弦较较除之得弦较和积与弦较和求句股弦 法以四乘积以弦较和除之得弦较较积与弦和较求句股弦 法以四乗积以弦和较除之得弦和和积与弦和和求句股弦 法以四乗积以弦和和除之得弦和较(右四条新增)句股求容方 法以句股相乗以句股和除之得容方边余句余股求容方求句股 法以余句余股相乗开方得容方边并余句得句并余股得股容方与余句求余股与余股求余句 法以方自乘以余句除之得余股以余股除之得余句容方与句求股与股求句法以句减容方得余句乃以句乗容方以余句除之得股以股减容方得余股乃以股乗容方以余股除之得句(右一条新增)(按句股容方有法而容长方无法者容方大小有一定之形容长方则无定形故也然长方之幂亦必等)(于余句余股相乗之幂而可以长方与余句求余股与余股求余句盖测望诸法多本于此若以余句余)(股求长方则必知其长乃可求广知其广乃可求长不然即难求矣又长方形在句股之中有纵有横设)(以长广并余句股为句股减句股为余句股及与句求股与股求句则非知其纵横不可假如句十股六)(十与句十四股五十六内容长方广八长十二余句二余股四十八皆同但有纵横之异耳)余句与股余股与句求容方 法以余句乗股为实以余句为带纵开平方除之得容方(余句乗股之积犹句乗容方之积故)(以余句为较而用长方积与较求广法也)以余股乗句为实以余股为带纵开平方除之亦得容方(义与上同)两余句与股求离股容方 前例容方其方一边切句一边切股一角切弦此则切句与弦而一边乃离股者也离股处有内余句切弦处有外余句法以外余句乗股为实并两余句为带纵开平方除之得容方按容方若更离句者如前以外余句乗股为实并两余句为带纵又以离句数为旁带纵用双带纵开平方除之得容方 又按右例虽称离股称余句然使句股互换者亦即以法互换而用之无异理也句上容方(方形半在句内半在句外而句当其中也股上容方倣此) 法以句股相乗以股与半句和除之得方边股上容方 法以句股相乘以句与半股和除之(按句股容)(长方无法者以长方大小无一定之形若半方则有定而可求矣句上股上容方是也且言句上股上则)(纵横已见而凡容方与句股余句股互求诸法皆可变通而用之 右二条新增)句股求容员 法以句股相乘倍之以弦和和除之得容员径(即弦和较也)句外容员(员在句外而从股弦直望之皆当员边也) 法以句股相乘倍之以弦较和除之(即弦较较也)股外容员 法以句股相乗倍之以弦较较除之(即弦较和)(也)弦外容员 法以句股相乘倍之以弦和较除之(即弦和和)(也)句上容员(句当员径之中也) 法以句股相乗倍之以股弦和除之股上容员 法以句股相乗倍之以句弦和除之弦上容员 法以句股相乗倍之以句股和除之句股上容员(句股角当员之中央也) 法以句股相乗倍之以弦除之句外容半员(从股直望之当员径从弦直望之当员边也) 法以句股相乗倍之以句弦较除之股外容半员 法以句股相乗倍之以股弦较除之两句中夹容员(于一股为大小二句而员在其间也) 法以两句相乗倍之以两句和除之两股中夹容员 法以两股相乗倍之以两股和除之两弦中夹容员 法以两弦相乗倍之以两弦较除之句与股率句弦和率求股弦(如句三股四弦五则股得句弦和二之一是为股率)(一句弦和率二也) 法以二率相乗为股准二率各自乗相减半之为句准相并半之为弦凖乃以句乗股准以句准除之得股以句乘弦准以句准除之得弦股与句率股弦和率求句弦 法以二率相乗为句准二率各自乗相减半之为股准相并半之为弦准乃以股乗句准以股准除之得句以股乗弦准以股准除之得弦 假如弦与股率句弦和率及弦与句率股弦和率求句股则如右二例求各准乃以弦乘句准以弦准除之得句以弦乗股准以弦准除之得股容方与股率句弦和率求句股弦与句率股弦和率求句股弦 法如右二例求各准乃以句准乗容方边以股准除之得余句并容方边得句以股准乗容方边以句准除之得余股并容方边得股(右三条新订)句股比例用法 木长九尺围之三尺葛生其下围木四周上与木齐问葛长法以木长为句四周三尺相乗一十二尺为股句股求弦得一十五尺为葛长又例 员木径二尺五寸当中为板厚七寸问板两面广法以木径为弦板厚为句句弦求股得二尺四寸为板广又例员木不知其径锯深一寸锯道长一尺问木径法以锯道为句锯深倍之为股弦较(一面锯深一寸若两靣即深二)(寸故倍之)句与股弦较求弦得二尺六寸为木径又例 木不知髙索不知长木梢垂索委地二尺引索斜去离木八尺乃适到地问木髙与索长法以离木为句委地为股弦较句与股弦较求股弦得一十五尺为木高一十七尺为索长又例户不知髙广竿不知长短持竿出户横之不出四尺竖之不出二尺斜之适出问户髙广与竿长法以横之不出为句弦较竖之不出为股弦较二较求句股弦得六尺为户广八尺为户髙十尺为竿长又例 人不知数相与分帛帛总七百六十八匹每人分得帛数多于人数八问㡬人各分帛㡬匹法以帛总数为积分帛多于人数为句股较积与句股较求句股得二十四为人数三十二为各分帛数(句股积乃句股)(相乗数之半故用八乗此只当用四乘)又例 方城不知大小四靣正中开门东门外百歩有木出南门二百二十五歩斜见木问城方法以东门外为余句南门外为余股余句余股求容方得一百五十歩倍之为城方(所求容方止城方之半故倍之也)又例 方城不知大小东北角直北八十歩有木从东南角直南行三十八歩折而西行一千一百五十歩斜见木问城方法以直北为外余句直南为内余句西行为股两余句与股求离股容方得二百五十歩为城方(此已是城之全方故不用倍)又例 城方七百二十歩马歩二卒同发城中央率马行二里歩行一里令歩卒直南行马卒直东行又折而西南直行抹过城东南角与歩卒㑹问歩卒南行歩㡬何马卒东行西南行歩各㡬何法以南行为股东行为句西南行为弦歩行率为股率马行率为句弦和率城方之半为容方容方与股率句弦和率求句股弦得八百四十为歩卒南行歩六百三十为马卒东行歩一千零五十为马卒西南行歩九章录要卷十一之一
## 卷十一之二
钦定四库全书九章录要卷十一之二松江屠文漪撰句股图说句股弦及诸较和更互相求法已备载于前而其所以然之故非图说不显兹首列周髀三圗而取后人圗说删其繁复补其缺漏正其迂曲辑为一篇若容员非恒用之要术可得略云周髀句股员方图句股弦相求 左右圗弦幂中有句股二幂之实故句股弦三者举两数则其一可知也句股较句股和弦积相求 弦圗外大方为句股和幂中有句股之积八句股较幂之实一(黄实是也)弦幂中有句股之积四句股较幂之实一故句股较句股和弦积四者举两数则其余可知句与股弦较求股弦 句实以股弦较为广股弦和为长(谓在弦幂内股幂外者若股实则以句弦较为广句弦和为长也)观左右图可见而后圗更显全圗为弦幂内分一股幂即其余皆为句实而黄实固股弦较幂也青实之广亦股弦较也则句实以股弦较为广审矣两青一黄三实并其内之长兼两股其外之长兼两弦法应并而半之则句实以股弦和为长又审矣故以较除之得和也若于三实内减黄实而半之则得一青实而其长为股于三实外更加一黄实而半之则得一青一黄两实并而其长为弦故句实较实相减倍较除之得股相并倍较除之得弦也倍较除犹之半其实也股与句弦较求句弦倣此不复为圗(右圗说新订)句与股弦和求股弦 前以股弦较除句实得股弦和则以和除必得较即前圗可推矣而句实和实相并减以求句弦则非后圗不明全图为股弦和幂于中四隅各分一股幂即中央黄实为股弦较幂青实之广皆股弦较而就一隅论之以一股幂旁加两青实一黄实之磬折形合而成一弦幂夫弦幂兼句股二幂者也可知两青一黄三实并固与一句幂之实等也且三实并作磬折形与并作长方形无以异则句实以股弦较为广股弦和为长审矣故以和除之得较也若于全圗幂内减两青实一黄实而半之则得两股幂一青实之长方形而其广为股于全图幂外更加两青实一黄实而半之则得两股幂三青实一黄实之长方形而其广为弦故句实和实相减倍和除之得股相并倍和除之得弦也倍和除犹之半其实也股与句弦和求句弦倣此(右圗说新订)句弦较股弦较求弦和较 两较相乗之幂二当弦和较之幂一各为图以相比则明此图以股弦和为广倍句弦和为长而于广边截二股分之则黄实朱实之广皆股弦较于长边截四句分之则黄实之长青实之广皆句弦较而黄实固两较相乗之幂且有二也总计全圗中有句股矩八朱实青实各四黄实二夫句股矩幷朱实成句弦矩幷青实成股弦矩然则此圗中并得句弦矩股弦矩各四而存黄实为两较相乗之幂者二也乃以第二圗参之此圗为弦和和幂于其内分句弦矩股弦矩各四两纵两横列四隅即中央黄实为弦和较幂也夫此图大幂与第一圗大幂形异而实同则以此句弦矩股弦矩各四与第一图相当而此一黄实当第一圗两黄实无疑矣然何以见右两圗大幂之异形同实更以第三圗参之此圗亦弦和和幂而纵横俱截一句一弦一股分之则一弦幂旁加一句股矩一句弦矩一股弦矩合为长方形固句弦和股弦和相乗之幂(句弦和为广股弦和为长是两)(和相乗之幂也)而当第一图半幂也长方形之外亦有句股矩句弦矩股弦矩各一又句幂股幂并之成弦幂一是亦一句弦和股弦和相乘之幂而当第一圗半幂也故知第一第二两圗大幂异形同实也(右三圗并说新易)句弦和股弦和求弦和和 两和相乗之幂二当弦和和之幂一观前两较求弦和较第三圗已明不复赘(右旧有圗说新删)句弦和股弦较求弦较较 一和一较相乗之幂二当弦较较之幂一全圗为句弦和幂于中分一股幂一句幂则黄实之边青实朱实之广皆股弦较股弦较乗句弦和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且股减句弦和即弦较较(原以一句一弦幷今减股则句尽而弦内且减一句股较矣存者宜为弦较较也)则两朱实一黄实一句幂并固弦较较之幂矣而两青实一黄实一股幂并乃成弦幂则两青实一黄实并又与句幂等而可代弦较较幂中之句幂矣故知弦较较幂亦得两青实两朱实两黄实也(右图说新增)句弦较股弦和求弦较和 一较一和相乗之幂二当弦较和之幂一全图为股弦和幂于中分一句幂一股幂则黄实之边青实朱实之广皆句弦较句弦较乘股弦和应得一青实一朱实一黄实之长方形又倍之得两青实两朱实一黄实而重借一黄实也且句减股弦和即弦较和(原以一股一弦并今以句)(减股犹余句股之较并入弦故为弦较和也)则两朱实一黄实一股幂并固弦较和之幂矣而两青实一黄实一句幂并乃成弦幂则两青实一黄实并又与股幂等而可代弦较和幂中之股幂矣故知弦较和幂亦得两青实两朱实两黄实也(右图说新増)句股求容方句股和与容方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也容方既四边等试以容方外余句言之余句为小句而方边固小股也然则大句亦小句股和也以小句股和乘大股以大句股和乘小股其幂宜等也又试以容方外余股言之余股为小股而方边固小句也然则大股亦小句股和也以小句股和乘大句以大句股和乘小句其幂又宜等也故以句股和除句股矩得容方边也(右图说新订)容方余句余股相求全图为句股矩幂于中斜界一弦平分为两幂原无小异也然则两朱两青实各自相当而余句余股相乘之幂为长方黄实者不得不等于方黄实矣故容方余句余股可互求也(右图说新订)容方与句求股余句与股相乗之幂犹容方邉与句相乗之幂何也余句小句也方邉小股也以小句乗大股以小股乗大句其幂宜等也故以句乗容方以余句除之得股也(容方与股求句倣此 右图说新増)又试以前三色之实言之黄与黄朱与朱青与青既皆等则长方黄实并两朱实与方黄实并两朱实亦宜等也长方黄实并两青实与方黄实并两青实亦宜等也故容方可与句求股与股求句也句上容方股及半句和与方边相乘之幂等于句股相乘之幂何也方形半在句内则余句为小句半方边为小股而若以方边为小股即余句止为小句之半然则大句亦小股及半小句和也以小股及半小句和乘大股以大股及半大句和乘小股其幂宜等也故以股及半句和除句股矩得句上容方也股上容方倣此不复为图(右图说新增)九章录要卷十一之二
## 卷十一之三
钦定四库全书九章录要卷十一之三松江屠文漪撰句股测望法句股法所以施之测望而髙深广逺所求不同且古人以表后人以矩其法亦小异也别详于左表测髙 城不知髙去城趾二丈五尺立表髙一丈却后距表五尺望城头与表末齐人目髙四尺问城髙一率 五(人足距表尺数) (按若先知髙欲求逺者一二率互换而以城髙)二率 六(表减目髙尺数) (减表为三率)三率 二十五(表距城趾尺数)四率 三十(求得尺数加表十尺得城髙)表式髙者约长十尺或八尺短者约长四尺或三尺其制薄而方广二寸厚半之首平体直二面中心界墨就墨路垂线以权镇之免令欹侧表趺凿空寸许铁趾实之以便竖立测髙则用髙表测深与广逺则用短表若测极逺立身髙处并用髙表至于人目至足尺寸不一且平视仰窥杪分辄移目足前后亦多难定酌用一身表约髙四尺其表端立一窥筩如荻管大长五六寸以竹与五金为之缀于表端设机仰俯目测更确表测深 井不知深(谓水靣以上至井口非谓水深也)量井径五尺以三尺表立井沿从表末俯望与下对靣水际相参直人目入井径四寸问井深一率 四(目入井径寸数)二率 三十(表髙寸数)三率 四十六(井径减目入寸数)四率 三百四十五(井深寸数)表测逺 江不知阔就江沿立表髙三尺八寸却后一丈六尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问江阔一率 二(人目减表寸数)二率 一百六十(人足距表寸数)三率 三十八(表髙寸数)四率 三千零四十(江阔寸数)又如大湖不知阔㡬何里湖濵有石壁直髙六十五丈即边壁立表髙三尺八寸却后二丈五尺望表末与对岸水际相参直人目髙四尺问湖阔一率 二(人目减表寸数)二率 二百五十(人足距表寸数)三率 六千五百三十八(壁表相并寸数)四率 八十一万七千二百五十(湖阔寸数以里法三百六十歩歩法)(五尺通之得四十五里一白四十五歩)两表测广 城墙不知东西之广于城东北隅直北四十歩立东表于东表正西三十歩立西表乃从东表直北行二歩望西表与城西北角相参直问城广一率 二(人足距东表歩数)二率 三十(两表相距歩数)三率 四十(东表距城歩数)四率 六百(求得歩数加两表间三十歩得广)四表测逺 山不知逺近指山趾一石或楼阁树木为标乃立左两表前后相距十二歩与所指标相参直次从左两表平行向右立右两表三靣表间相距各十二歩却从右后表平行向右望右前表与所指标相参直人立处距右后表二尺问山石距前表逺一率 五之二(立处距右后表尺数化为歩数)二率 十二(右两表间歩数) (按右例四表中间正方或作长方形亦可)三率 十二前(两表间歩数) (耳)四率 三百六十(石逺歩数)按右诸例皆句股容方及容长方以余句求余股法亦以小句股比类求大句股也以下各例其理大畧皆同惟重测为稍异耳四表测逺又法 山不知逺指山趾一石测之先立甲表从甲表望山石为大股次于甲表之右(或左亦同)任意逺近立乙表甲乙表间为大句(句股之角须令正方下小句股同)次于乙表之右后任意逺近立丙表与乙表及山石相参直乙丙表间为小句又于丙表之右前立丁表与甲乙表相参直丙丁表间为小股且如小句三歩小股二十四歩大句四十歩问山石去甲表逺一率 三(小句歩数)二率 二十四(小股歩数)三率 四十(大句歩数)四率 三百二十(石逺歩数)两表重测广逺 方城隔水不知城东西广㡬何及去城多逺遥对城东北隅之直北立东表于东表正西四十歩立西表齐人目处以索连之乃从东表直北行去表十七歩遥望城西北隅入索东端十歩又直北行去表七十二歩遥望城西北隅与西表相参合问城广及去表逺法先求景差一率 四十(东西表相距歩数)二率 七十二(后北行距表歩数)三率 一十(入索歩数)四率 一十八(景差歩数)次求城广一率 一(前北行距表减景差余歩数)二率 三十(东西表相距减入索余歩数)三率 一十七(前北行距表歩数)四率 五伯一十(求得歩数加表间四十歩得城广)次求城逺一率 一(同上)二率 五十四(后北行距表减景差余歩数)三率 一十七(同上)四率 九伯一十八(城逺歩数)重表测高逺 海中有岛不知高逺立二表各髙一丈二尺前后参直相距一百六十歩从前表退行六十九歩三尺望岛峰与前表端齐又从后表退行七十歩望岛峰与后表端齐人目高三尺问岛高一率 二(前后退行距表歩数相减余尺数)二率 九(表减人目髙尺数)三率 八百(前后表相距歩数化为尺数)四率 三千六百(求得尺数加表十二尺得岛高)次求岛去前表逺一率 二(同上) (按例若以后退行距表歩数为三率即得岛去后表逺也)二率 八百(同上)三率 三百四十八(前退行距表歩数化为尺数)四率 一十三万九千二百(岛逺尺数)按右例与前两表测广逺其理本同前两表间横索以测广此竖表以测髙无以异也但前两表横索只如一表而距表或近或逺以再测之此用前后表两测之其法小异耳然前例若于前两表之北相距五十四歩更立后两表横索如前而北行距东后表十八歩望城西北隅亦当入索十歩则置东西表间四十歩不算竟以入索十歩为准而前北行十七歩后北行十八歩前后表间五十四歩与右例全无异矣所求景差即是移表向后通其意者法皆一贯也矩测髙 城不知髙距城趾二丈四尺以矩测之目窥通光与城头相参直权线在直景八度人目高四尺问城高一率 八(直景度) (按矩测与表同理若已知髙欲求逺者亦以一二率互换而以)二率 十二(矩度) (城髙减目为三率也)三率 二十四(距城尺)数四率 三十六(求得尺)数(加目高四尺得城髙)又如墙不知髙距墙址三丈如法测之权线在倒景八度人目髙四尺问墙高一率 十二(矩度)二率 八(倒景度)三率 三十(距墙尺数)四率 二十(求得尺数加目高四尺得墙髙)矩式以铜版或坚木为四角正方形与楸枰相似甲角乙角立两耳各通一窍名曰通光以便窥望若不设两耳即立相等两小表或安一通光之管皆可甲角为矩极系线任其下垂以权镇之甲角至丙角斜界一墨路分矩靣为两乃自乙至丙角分直景度丁角至丙角分倒景度度各十二界墨匀分墨路俱从边起望矩极斜行毎度或更分为三分五分至十二分愈细则法愈宻矣用时甲昻乙低测髙目切乙角测深与逺目切甲角窥通光与所测物相参直任权线下垂値何度以算推之共矩用手持未免动摇又目足游移不易审定宜制一表髙四尺或五尺置矩其上转动以机至测广别是一法以矩平置之若向南测物身在东偏则令通光与东角相参直斜望西角入矩何度乃依法推算但目望西角取准亦难宜更立一短表斜向前数尺与西角参直然后引矩极之线属之表端视线切何度方为精审 直景者句景也倒景者股景也持矩向日令日光正穿通光之两窍若权线适在两景中间是为句股平分即各物在地之景皆与其物之高等若在直景度则景必较短在倒景度则景必较长此二景之义也(假如在直景四度为矩度三之一则凡物景皆当其物三之 在倒景四)(度则凡物皆当其景三之一故可量物景以测其髙亦可从物髙以测其景量景测髙畧同前测髙例从)(髙测景畧同后测逺例)今以矩向所求物测望者则亦可前却其歩使权线适在两景中间既句股平分知句即得股知股即得句矣其不然者分别两景算之如当以直景度为一率矩度为二率而遇倒景则以矩度为一率倒景度为二率也(亦可变倒景为直景而仍为一率然不如一二率易位之)(便)其当以倒景度为一率者倣此更有重测之术以前后测所値景度之较为一率而使当直得倒当倒得直则必须变倒为直或变直为倒其变之法以矩度自乗为实以所値度为法除之即得变度如倒景三度以矩度自乗得一百四十四为实以三为法除之得四十八为直景度如倒景六度五分度之二以除一百四十四得二十二度二分度之一为直景度也变直为倒亦如之矩测深 井不知深量井径五尺以矩测之目窥通光与近身井沿及对靣水际相参直权线在直景三度问井深一率 三(直景度)二率 十二(矩度)三率 五(井径尺数)四率 二十(井深尺数)又如池不知深已知池径二丈四尺如法测之权线在倒景七度问池深一率 十二(矩度)二率 七(倒景度)三率 二十四(池径尺数)四率 一十四(池深尺数)矩测逺 溪不知阔溪岸直髙八尺人立岸边以矩测之通光与对岸水际相参直权线在倒景三度人目髙四尺问溪阔一率 三(倒景度)二率 十二(矩度)三率 十二(人目溪岸并尺数)四率 四十八(溪阔尺数)矩测广 城墙不知东西之广于城东北角直北相距三十歩以矩测之通光与城东北角相参直斜望西北角入矩倒景一度五分度之一问城广一率 六(倒景度通为分数)二率 六十(矩度通为分数)三率 三十(距城歩数)四率 三百(城广歩数)重矩测髙逺 山不知髙逺以矩测之通光与山顶相参直权线在倒景九度却后直行距前测处八十歩如前测之权线在倒景八度人目髙四尺问山高一率 二(两倒度俱变直度相减余度数)二率 十二(矩度)三率 四百(两测处相距歩数化为尺数)四率 二千四百(求得尺数加目四尺得山髙)次求山去前测处逺一率 二(同上)二率 四百(同上)三率 十六(前测倒度变为直度)四率 三千二百(山逺尺数)按重矩测广逺者依前测广法而重之遇直景皆变为倒景其列率则与重表测髙逺同盖横为广竖为髙一理也知此可以通彼不复为例重矩测深逺 石壁濵江人立壁上不知横截江水其逺㡬何及石壁直下至水面㡬何深者边壁竖木木旁垂绳以取端直乃于石上附木用矩测之令通光与垂绳相并斜望对岸水际入矩倒景四度五分度之二却升髙去前测处一丈如前测之入倒景四度五分度之四问水逺一率 二(两倒景相减余分数)二率 六十(矩度通为分数)三率 一十(两测处相去尺数)四率 三百(水逺尺数)次求前测处至水靣深一率 二(同上)二率 一十(同上)三率 二十二(前测倒度通为分数)四率 一百一十(壁深尺数)按此乃以测广法测逺以测逺法测深也法无多端特用有变化耳(右一条新订)半矩尺测逺 溪不知阔就溪沿立表髙五尺以矩尺缀表端矩角与表端齐从矩角望矩外端与对岸水际相参直乃回望矩内端所指处平地去表四寸问溪阔一率 四(尺指处距表寸)数二率 五十(表高寸数)三率 五十(同前)四率 六百二十五(溪阔寸数)按半矩尺若于两端俱画分寸以测高深广逺亦与矩度及表相类而不如矩表之便故略而不论此特取其简易者附矩表之后云更有水景测高法置盂水(或用镜亦同)稍推移之令人目见所测物景正当水之中心乃以人目至足为小股人足至水心为小句水心距所测物之趾为大句以求大股又有日景测髙法量所测物景别立短表量其景乃以表高为小股表景为小句物景为大句以求大股二法若遇逺峰遥岛既不免于技穷而且目取水心之景则分寸易差日当隂晦之时则测量恐废俱非通术吾无取焉九章录要卷十一之三
## 卷十二
钦定四库全书九章录要卷十二松江屠文漪撰借徴法衰分盈朒方程之外更有借徴之法盖借衰原于衰分疉借原于盈朒而触类通之可以穷难知之数此九章法外之巧也故以次九章之后借衰互徴 借衰者本无正衰而借立虚数为衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦从其便假如商贩不知其母初往获息当母十之三以并入母再往获息当母五之三以并入母又往折阅四之一又往获倍息(母一子亦一也)以并入母又往折阅六之一亦不知实在总银㡬何只云更须银十两即所获子银为原母数者二问原母及总银其法任意借一数为原母且如原母十两如前计之当得总银二十六两若论母一子二则不足四两以四两之原母及总银推之而不足十两者可知也一率 四(借衰不足两数)二率 十(借衰原母两数) 二十六(借衰总银两数)三率 十(所问不足两数)四率 二十五(所问原母两数)六十五(所问总银两数)又如出兵大小船数相等大船每三只载五百名小船每四只载三百名共载兵四千三百五十名问大小船各㡬只试借大小各六为船衰计总载兵一千四百五十名以一千四百五十名所须之船推之而四千三百五十名所用船可知也一率 一千四百五十(借衰兵数)二率 六(借衰船数)三率 四千三百五十(所问兵数)四率 一十八(所问船载)按右例用借衰法较之衰分章用互乗者倍㨗(右一条新)(增)又如漏壶注水三时而满泄水八时而尽问且注且泄㡬时满一壶即借十二时推之凡注四壶泄一壶半相减得二壶半一率 二壶又二分壶之一二率 十二时三率 一壶四率 四时又五分时之四又如依前三时注水满一壶八时泄水尽一壶且注且泄问五时又三分时之一可满㡬何亦借十二时推之注泄相减得二壶半一率 十二时二率 二壶又二分壶之一三率 五时又三分时之一四率 一壶又九分壶之一又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母㡬何即任意借一数算之且如借银二两加三度倍息得一十六两为用银之衰于十六两内减母二两余十四两为母银之衰一率 十六两二率 十四两三率 三百两四率 二百六十二两五钱右例说见衰分章参观自解其意也(若四度五度而尽者即加四度)(五度倍息如法算之章以上四条并已见衰分)叠借互徴盈数最难知则两借虚数以徴之盖仿佛盈朒之法然原数初无盈朒而盈朒生于借数乃因其盈朒推求真数立法尤为竒巧假如米每石价二两麦一两六钱总银七十四两买米麦共四十石问各㡬何试借米三十石用价六十两则麦一十石当用价一十六两计价总七十六两以比原总盈二两列左又借米十五石用价三十两则麦二十五石当用价四十两计价总七十两以比原总不足四两列右盈不足相并为法米麦各以所借石数及所借用价数左右互乗盈不足数相并以法除之即各得所求正数若两盈两不足者为法之数及互乗得数皆相减(与盈朒章同)右例借衰或据价原总数算之而以总石数较原总以得盈朒如法乗除亦合又如总银八百两买绫一百匹罗二百匹绢二百匹其价绫多于罗每匹六钱罗多于绢每匹八钱问三物各价㡬何试借二两为绫价一两四钱为罗价六钱为绢价计价总六百两比原总不足二百列左又借三两为绫价二两四钱为罗价一两六钱为绢价计价总一千一百两比原总盈三百列右三物各以所借价数互乗盈不足数如前法求之即各得正价又如赏军每马兵五名给䌷三匹每歩兵四名给布六匹总马歩共八千一百名给䌷布共九千匹问马歩各㡬何䌷布各㡬何试借马兵四千给䌷二千四百则歩兵四千一百应给布六千一百五十计总䌷布八千八百五十比原总不足四百五十列左又借马兵五千给䌷三千则歩兵三千一百应给布四千六百五十计总䌷布七千六百五十比原总不足一千三百五十列右马歩䌷布各以所借数互乗两不足数如法求之即各得正数右例借衰或据䌷布原总数算之而以马歩总数较原总以得盈朒如法乗除皆合(右一条新増)又如大船四橹四浆小船二橹八浆今但见总作橹一百张浆二百零八张问大小船各㡬何试借大船二十橹八十小船一十橹二十则大船桨八十小船桨八十总一百六十比原总不足四十八列左又借大船十五橹六十小船二十橹四十则大船桨六十小船浆一百六十总二百二十比原总盈十二列右大小船及大小船橹桨各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数(右一条新增)右例借衰或据桨原总数算之而以橹总数较原总得盈朒如法乗除亦同又如商贩不知其母但云每度俱获倍息即于中用银三百两如是三度子母俱尽问原母㡬何即借三百为母三度后当用六百固盈三百列左又借二百五十为母三度后止应用二百又不足一百列右乃以借母互乗盈不足数如法求之得原母(右一条新增)右例已见借衰互徴既可单借而得则不须叠借矣举此以见法之无穷耳凡单借可得者亦可叠借而得若须叠借而得者往往非单借所能得也(以上五条并已)(见衰分章)又如乙匠制造四十五日而毕加甲匠则十八日而毕问独用甲匠须㡬日法先推乙匠十八日所成为四十五日内五分之二则甲匠十八日所成乃其五分之三也因借三十六日推之当成五分之六是全工外盈五之一列左又借二十六日推之当成十五分之十三则全工内不足十五之二列右乃以借日互乘盈不足数如法求之得甲日(右一条已见商功章)又如驿使先发一十三日别遣骑追之驰二日半访之驿舍知先后经过较十一日半问更须㡬日追及法以先发日减较日知二日半追上一日半则一日追上五分日之三也因借二十日推之当追上五分日之六十减较日二分日之二十三为盈二之一列左又借十五日推之当追上五分日之四十五比较日不足二之五列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得追及日又如空车日行七十里若载重即日行五十里今运米到仓五日三返问路逺㡬何试借五十里推之重行三日则空行七分日之十五而五日减三日余二日止七分日之十四为盈七之一列左又借三十五里推之空行一日半则重行十分日之二十一而五日减一日半余三日半固十分日之三十五为不足十之十四列右乃以借日互乗盈不足数如法求之得路逺(右二条已见均输章俱新增)又如将银买米用银三分之一买十石不足三两用九分之四买十二石不足二两问银数及米每石价各㡬何试借二十七两为银总数内以三之一九两买十石不足三两则米价当为一两二钱而以九之四一十二两买十二石不足二两四钱比原数不足四钱列左又借五十四两为银总数内以三之一一十八两买十石不足三两则米价当为二两一钱而以九之四二十四两买十二石不足一两二钱比原数盈八钱列右银总数与三之一九之四及米价各以所借数互乗盈不足数如法求之即各得正数右例或据九分之四算之而以三分之一较原不足数以得盈朒如法乘除亦同(右一条已见盈朒章新增)又如卖米五石麦五石得银一十四两又卖米四石买麦七石出银二两问米麦每石价各㡬何试借二两为米价八钱为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二两四钱比原数盈四两四钱列左又借一两八钱为米价一两为麦价以符一十四两之数则卖米四石买麦七石当得银二钱比原数盈二两二钱列右米麦价各以所借数互乗两盈数如法求之即各得正数 右例或据卖米买麦数算之而以总卖价较原价以得盈朒如法乗除亦同(右一条已见方程章新增)又如甲乙银各不知数别有银八十两以与甲则甲为乙数者三以与乙则乙为甲数者二问原数各㡬何试借四十为甲数加八十得一百二十而以其三之一四十为乙数加八十得一百二十则倍甲外盈四十列左又借七十为甲衰加八十得一百五十而以其三之一五十为乙数加八十得一百三十则欲倍甲又不足一十列右甲乙各以所借数及所借又加八十之数互乗盈不足数如法求之即各得所问数(甲原六十四乙原四十八)又如甲乙银不知数乙以十六两与甲则乙当甲三之一甲以二十四两与乙则甲当乙七之五问各实数㡬何试借二十九两为甲数(减二十四与乙则余五故借此数且得乙)(十六成四十五又为三倍乙之地也)又得乙十六两则成四十五两而乙居三之一应是一十五两并未与甲十六两共三十一两为乙数又得甲二十四两则成五十五两乃甲减二十四止余五两论甲五乙七乙止应七两固盈四十八两列左再借四十四两为甲数(以二十四与乙则余)(二十为五数者四又得十六成六十为三倍乙之地也)又得乙十六两则成六十两而乙居三之一应是二十两并未与甲十六两共三十六两为乙数又得甲二十四两则成六十两乃甲减二十四止余二十两论甲五乙七乙止应二十八两亦盈三十二两列右甲乙各以所借数及所借加减得失之数互乗两盈数如法求之即各得所问数(甲原七十四乙原四十六)又如出师有中上下三军中军四万上军为中下二军二分之一下军为中上二军三分之一问上下军各㡬何试借三万为上军则中下二军应六万而下军止应二万若为中上三分之一中上止应六万而实七万固盈一万列左又借二万四千为上军则中下二军应四万八千而下军止应八千若为中上三分之一中上止应二万四千而实六万四千又盈四万列右上军下军中上二军中下二军各以所借数互乗两盈数如法求之即各得正数(上军三万二千下军二万四千)又如甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两问各原母㡬何试借一百两为甲母内减四之一二十五两与丙应存七十五两又赢乙二之一而为七百两是得乙六百二十五两而乙母当为一千二百五十两内既减二之一应存六百二十五两又赢丙三之一而为七百两是得丙七十五两而丙母应为二百二十五两内既减三之一应存一百五十两加入得甲二十五两共一百七十五两欲满七百则不足五百二十五列左又借二百两为甲母内减四之一五十两与丙应存一百五十两又赢乙二之一而为七百两是得乙五百五十两而乙母应为一千一百两内既减二之一应存五百五十两又赢丙三之一而为七百两是得丙一百五十两而丙母应为四百五十两内既减三之一应存三百两加入得甲五十两共三百五十两欲满七百亦不足三百五十列右甲乙丙各以所借母数及所借加减得失之数互乗两不足数如法求之即各得所问数(甲母四百乙母八百丙母九百)又如甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四问各原数㡬何此因三数牵连难析必以前法再三推求而得之先借一为甲衰甲加七十三当兼乙丙而倍之因以减半得三十七为乙丙数而乙丙又衰分焉且如借二为乙数则丙系三十五矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十六若乙欲为甲丙数者三(应一百零八)固不足三十三列左(只列)(乙二丙三十五及不足三十三其甲衰且置之下倣此)又借五为乙数则丙系三十二矣乃以乙五加七十三得七十八而甲丙合数三十三若乙欲为甲丙数者三(应九十九)亦不足二十一列右乙丙各以所借数互乗两不足数如法求之得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三再借三为甲衰加七十三以其半三十八为乙而数而乙丙又衰分之为法如前焉即借二为乙数则丙系三十六矣乃以乙二加七十三得七十五而甲丙合数三十九若乙欲为甲丙数者三(应一百一十七)固不足四十二列左又借二十为乙数则丙系一十八矣乃以乙二十加七十三得九十三而甲丙合数二十一若乙欲为甲丙数者三(应六十三)又盈三十列右乙丙各以所借数互乗盈不足数如法求之得乙衰一十二零二之一丙衰二十五零二之一于是更以前所借甲衰一所得乙衰一十零四之一丙衰二十六零四之三别为图列左而以后所借甲衰三所得乙衰一十二零二之一丙衰二十六零二之一列右乃依所问察之左甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加(八十三又四之一)亦得为甲丙数者三(甲丙共二十七又四之三)惟丙衰及所加共得九十九零四之三而甲乙合数一十一零四之一若丙欲为甲乙数者四(应四十五)则盈五十四零四之三随列于左又审右甲衰及所加已得为乙丙数者二乙衰及所加(八十五又二之一)亦得为甲丙数者三(甲丙共二十八又二之一)惟丙衰及所加共得九十八零二之一而甲乙合数一十五零二之一若丙欲为甲乙数者四(应六十二)亦盈三十六零二之一随列于右甲乙丙各以衰互乗两盈数如法求之得七为甲数一十七为乙数二十三为丙数九章录要卷十二◆ 《佛国暦象编》（KR3f0057）
## 篇目
円通著佛国暦象编 底本:(德风本)东叡大王府藏版% BR0.1.1a佛国暦象编序吾佛世尊已成无上觉洞视无尽世界而无遗如暦数象纬则唯是五明之一兮未可以为六道之枢机也虽然当说世间依正有漏因累终不能委诸冥汉莫辨明矣故妙髙三轮穷说求壊之劫列宿双曜审示运旋之象可记昼矣夫印度之地异学织扇竞道理于毫厘逞议论于吻舌佛菩% BR0.1.1b萨为立因量破之犹如惊𩙪之卷坠萚也而宝■噐象之成壊曜当之运行则恬乎莫壊疑者独何哉盖以夫异学之师或能得天眼通体其实量寰区之内森罗之象咸在其所见也今也㖞兰之学行人々喜蛛蝥之靡说者日衒■新竒乃以大地为一大圆球凝停乎积气之中哉以为地球与大隂及诸星同是出累运动不常居者% BR0.1.2a%至若其大阳距地之量运筹乖角不翅倍蓰抑何踈缪也盖造化斡转之妙非人力所及者而谓尺寸械噐坐尽宇宙之变自忌其薉陋日兴天争职遂骋其狂黠以掩蒙颛民惑乱莫甚鸟夫汉土圣人大明礼义务叙彜伦上帝之尊明神之敬兴天下之民洁清竭诚洋々如在祀事甚劳是以人心感化威而信之礼义行乎其间矣故% BR0.1.2b六合之丱存而不论止乎其数之所至无用之辩不急之察所以弃而不治也自唐虞居其官在玑衡齐七政三代共之亦唯所以恊歳时或农事也而其以神道设教一兴吾佛同辙唯其优降显微小有间耳独蜗兰之俗立性奸险竞胜为习沁醉人心苞蔵隂毒在吾邦也前鋻不远其蔑弃神明绝灭天下之人之良心其害殆深矣% BR0.1.3a%哉况以吾佛世尊所说天地讥诋以为荒诞不揣其所夸张暦数亦皆从梵暦中■窃来也遂使不知者谓佛法只是虚设诱愚之方便要皆玩要不足土庙堂则霊塲之威冝于宣夜者邪非乎岂不悲乎哉积善珂月律师用力于此三十年常采■経论章疏以取堂量■及歴史百家之书无不搜索遂能甄明佛国暦象而疑冰顿融% BR0.1.3b迺慨夫㖞兰之学诽笑周孔玩弄神佛大有害于世教遂条次■所当集记录求五卷命曰佛国暦象编律师雅深于佛教非弋利名之徒只惧其弊之滋浸润吾皇国之民外慕之心日生卒开祸衅之端也不能岂斯举是以务扬搉正道斩伐蘖说嘘煦天下万世之养生以翼賛国家圣神髙大之礼政欲佛法王法与天% BR0.1.4a%地日月𪸩焔于无穷之世也矣余固同其奥■闻来写适兴其讐挍乃叙以弁其首文化苐七庚午胧月东寺留学沙弥出云智毂序并书% BR0.2.1a佛国暦象编序是编何为而著也厥故盖有三焉欲显杨圣说之天地而破诸邪说以护正法一也欲示诸邦暦术因循梵暦而得其法始备二也欲补以梵暦不传吾邦为瑜伽者之阙典三也凡事出圣昔者幽而难核出庸情者疏而易知然而得厥实者纵一时有为回邪所蔽久而人必知其真如周髀千载之后人见其徴焉其出于臆断者纵有暂为也所取久而其% BR0.2.1b非竟彰如浑天家虽为日月行于水中说至于今人佥知其妄焉今也远夷邪说盛行于东方详其为说以月及五星辄为地球而以地球还为星矣胡其怪僻荒荡至于斯哉果如所言则天亦地也地亦天也月与五星惟土块巳何为至圣以时祭祀而吾邦特尊两曜以称神乎由是观之此说非独灾于佛教亦紊周孔懿典并说皇国皇神之道故游其门者佛说天地须弥% BR0.2.2a%与铁围尽以为虚诞遂至侮慢圣典蔑弃神明以废祭祀大典悲夫顾人不尽愚故厥始则鲜惑之者渠巧机工最善测算征以交食星度之验于是乎人浸信而卒溺矣予尝捡明史彼土亦初恶夫耶苏会士远濵之外藩彼濳留其边陆诱以星暦人伏其精嗣后渐入中都洋洋乎遂蔓于天下而近其天说浸波及于吾邦轻窕之士竞唱其说海内信之者日加焉然彼暦术凡其为纲领者无一不% BR0.2.2b <欠>% BR0.2.3a <欠>%% BR0.2.3b其志急弘法梵暦未遑治之也冝乎其法不备于今予毎以为恨是以自忘其固陋捜索经论渉猎史子畧辑梵暦要领以发纪纬之秘蕴勒为五卷题以今名自蔵凾底巳有年矣近窃出以示二三同志佥曰此书墔邪扬正有扶持大教焉请以公于世予时未敢以为然客歳予友山门金蔵辉公自持一本介凌云统司献诸轮王大王特赐% BR0.2.4a%教旨锓梓辱所蔵于王府鄙怀虽不敢陈素所恳愿惟所惧浅识寡闻辞埋鄙昧未足以发圣旨之蔓一而遽致大方之讥读者■以意逆志縁流求源则真道亦庶几乎维时文化十二龙集旃蒙大渊献大簇日圆通书于平安东森积善教院% BR0.3.1a佛国暦象编篇目卷之一 暦原第一凡二十条论支那暦术资印度法而后始周备论梵暦渐入支那大较论言古者梵暦亦未精密之非论支那造暦歴代变更籍诸贤修饰而其法浸备及太阳高卑五星纬度恒星年等皆是梵法论梵暦已渊源于东汉之时论回暦原由及其法理本梵暦论回暦所用十二宫名及其形象全与梵暦同及% BR0.3.1b罗喉计都亦是梵名以证回即梵论回回本国古天竺属后世印度壤地为回回部落故多是释种当用梵暦且古传译三藏多由其境来于中国论西洋暦法旧是梵暦论回西二暦要不出七曜暦七曜九执本是开合之异论回西立闰日宫闰不立闰月即梵暦法其立闰月者亦是梵暦一种论西洋用恒星年与回暦小异而是亦出梵暦的% BR0.3.2a%证第一节论回西恒星年太阳暦本远起印度第二节论回回暦立太阳年太阴年与西洋暦有异而西暦亦不逾其阃域则二家共是梵法论西洋别回回立恒星年在何代论日月交食交常度等佛所说以出明证论大经六月一食与汉儒百八十日一食其义不同论圣教所说变异之蚀论支那古来两蚀变异有明证% BR0.3.2b论印度暦术自远古传其备已久卷之二 天体体第二凡八条论支那古来所传天体三家四说之异总论七说须弥盖天异同西洋旧说西洋新说论西学偏纵臆度颠倒常理论西洋精器不足凭印度天说% BR0.3.3a%地形第三之一凡八条论支那浑盖二说论西洋所说地体论西洋所定地球经纬之里数甚非论支那西洋以北辰为天最中其义多所塞论地球周九万里之说理甚非论西儒谓物附地不坠大气压之义违现量论日月转于地下之说违现量论日月横旋能合现量卷之三 地形第三之二凡一十六条% BR0.3.3b论后世地动之说应佛悬记据佛记立现量以駮新说地动及大阴为地之副星之非论印度所说天地体状及其舆地与西儒所言五大洲大畧脗合且西儒所言印度地界与圣教等所载大不同是不蹈其地而妄推者辨北地有夜极短之国证北极下有一年为一昼夜国竺汉古昔已有其说论所以须弥半腰不碍日光之理% BR0.3.4a%辨日光不及夜国限分论日光经度论阎浮提地形论佛说周髀之异同论定北辰之所处辨由旬量详阎浮提北边有七林七河阎浮提日行纬度及林河等量(附氷海所处)论南北二极异义辨西儒地球不同支那浑天% BR0.3.4b暦法第四之一凡六条论梵暦大概探大藏中出梵暦立法不同者十二辨暦之启闭起于印度论十二支兽之本据论皇国暦首三镜及八将神等本梵暦辨印度辰法卷之四 暦法第四之二凡二十六条回西二暦之大概造暦大意(附诸用数)% BR0.3.5a%黄道日躔定气太阴白道宿度略出日藏经暦法太阴宿度竺汉异同梵法百八足宿度三种合法配百八足于宫宿日月诸星周天左右异说梵暦黄白二道纬度重明日月合离及月光开覆% BR0.3.5b论月光异义论日月宫之体及其神之有无(附日光开覆)太阳平行及闰月四天下节气差九十日推歩天度日月诸用数圭表昼夜三十时之名字(并测影)漏刻之法印度测影之大概印度交食术之一% BR0.3.6a%印度交食术之二印度交食术之三印度交食术之四(论罗计之义不一凖)印度交食术之五(术交食大概又证高卑之说原起印度)卷之五 暦法第四之三凡二十七条论日有五蚀论日蚀之疑难论暗虚之说论西说太阳测量无定凖论西洋新旧天说不足依用% BR0.3.6b徴西说七曜离地之庀谬明据论西洋五星距地测量之谬论西法恒星天测量之非及恒星为太阳之谬论以地球妄为星僻说论五星测騐起印度论测七曜形量印度西洋大异(弁徴西测之非)论西洋测量无所适从论日月体量内外所说不同论言舆地广狭内外典其说大异论周髀所言四极节气之差与佛说契合% BR0.3.7a%论西法地度不合其实论世间天说正与邪并不出南方一洲义擧周髀之正以徴西说不经论金边山及阎浮树可得而窥论非佛说则不能尽日月及极远之事详日月行度之义详日月行度速疾辨南极之义论印度星暦之说不来此土者多证印度测曜宿高卑其传甚久% BR0.3.7b论侍天形服翳月光之说驳周覧地球妄谈眼智第五自二条初明天眼自十 (一明印度独有眼智之法 二明天眼有漏无漏三明天眼有性得修得 四详天眼相 五详修天眼法六辨天眼之事诚实 七明人皆固有天眼之性 八比较外典以释如来藏性之义 九明修天眼依地 十明修天眼有解行证之三)次明智自四 (一畧明诸智 二辨情智之分 三畧明事业二识之分四示不知情智之分则不可得读佛典)佛国暦象编篇目终
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% BR1.1a佛国暦象编卷之一平安东森隐士无外子释圆通 撰云阳 空谷子释智毂 校问近者和兰天学盛行海内外其言曰天体如碧璃透映而浑圆七曜列宿层层运旋以里地地如弹丸适天之最中万象罗列四靣人居焉而其地球经度当吾邦里法三千四百七十里盖其术取北极出地之高低以推验度分因割圆八线之精算以量测晷象或由两蚀刻分加减以定东西之里数制造望远镜象限仪等巧器而核定其度数里程是以测验甚% BR1.1b密其理亦精当且西洋人常通贾舶于万国到亚弗利加洲喝㕥国见南极出地三十六度与吾神州见北极出地同其赤道线下之地蘓门答剌三佛齐等国则见南北两极在于左右其地度经纬正对者两处之人以足版相抵而立也(日本与喝㕥国适当地球上下正对也)则地体之为圆形也斯可见耳而佛经所说则舆地之量甚广大一须弥界犹尚过所谓地球之量亿倍况于大千界乎是其可异之一也彼言天地倶团圆而无有上下伹以所蹈为下以所戴为上四靣互上下而无定实上下矣佛氏说则不然覆载常定上下偏% BR1.2a%位故天不为地之下四靣不可为天两家之说乖角天渊是其可异之二也彼以为日月众星竖旋地下佛氏则说日月众星各乗五风横旋须弥而其体之大小运旋之高下义大不同且以日月众星属有情属非情亦大抵牾是其可异之三也彼此所谈方枘圆凿夫西洋天说率实测正算验诸二曜交食纎毫不失则诚似可信者佛氏所说九山八海终不见其实梵释四王竟归寓谈则一代大教总齐演剧冝矣支那及回回等佛教为之废今之世信佛者千百中仅一二已(见暦算全书)我东方亦将然可不惧哉圆智如% BR1.2b来得通萨埵岂有谬这个浅事哉意大藏经中别有明说请子悬白日以破云雾答季世为佛教之害者莫大于此事不啻外学之士生毁诋虽学佛之徒间亦自怀疑不肖少时受学天文尝大惑之不得其解者葢有年冝矣子之有斯问也近世水府有不染居士者尝恐后世疑佛者自天文地理而始著护法资治论谍谍论辨虽其志可嘉亦未深惯吾大教其说牵强概出私意徒増岐路未足以辟疑也不肖道行之暇广捡内外研精覃思几三十年及今日洞了通融涣然氷释今当因徴问条% BR1.3a%示鄙衷分为五科初论暦原二辨天体三判地形四评暦法五示眼智暦原第一 凡二十条论支那暦术资印度法而后始周备支那国暦法古昔甚踈故如大阴晦朔见薄蚀不于朔望闰余乖次等歴史徃徃载之夫日月交食葢暦法喉紧而汉以前蒙乎不晓后汉暦志十八载汉中兴十二世百九十六年日食七十二朔三十二晦三十七月二日三葢以不知定朔之法故致此疎谬也(暦学答问曰问日蚀古无其法汉日蚀毎先天终汉四百年无人修改则落下闳张衡皆梦梦欤按古月% BR1.3b食毎小在朔者以其用平朔耳古所以用平朔者以日月并纪平度也今按是即所以不知交食也)自汉末洎六朝稍论交食而犹未详当逮唐之盛其法始备余窃寻绎其所由汉以后梵国之教东渐内外经籍入支那者不为不多天文暦术阴阳谶纬之书葢亦在其中然梵汉语异须译而通亦不易晓况暦术渺藐専门世业犹尚病诸焉有容易达其致者矣哉六朝以后天学之士虽或学之梵僧哉考之书无得其精测者唐高宗时司天犹未详定朔之法时暦与天不合气序多违晦朔月见薄蚀毎失时闻印度善歩暦(如唐书西域传中天竺传云有文字善歩暦)遂远求其人以为暦% BR1.4a%官其见于史者不尠唐书暦志十六云高宗时戊寅暦益疎(是瞿昙谦所著甲子元辰暦也高祖以戊寅歳甲子日登极故名)淳风作甲子元暦以献(高宗麟德元年甲子李淳风作麟德甲子元暦)因刘焯皇极暦法増损所冝当时以为密与太史令瞿昙罗所上经纬暦参行(唐百官志三十七云司天覧一人正三品监掌察天文稽暦数凡天文图书器物非其任不得与焉注云开元二年复曰太史监改令为监◯瞿昙者姓罗者名释迦氏又名瞿昙氏印度四姓之一也翻译名义集一云瞿昙星名从星立称至于后代改姓释迦文句云瞿昙此云纯淑应法师翻为地最胜谓除天外人类中此族最胜)甲子南至改元圣暦作光宅暦(命罗作之)将用之三年罢又云九执暦者出于西域诏太史监瞿昙悉达译之(悉达此云成就中印度之语也)断取近距以开% BR1.4b元二年二月朔为暦首(以二月春分为歳首即是梵暦之法也此暦法出于后)悉达尝著太唐开元占经一百一十卷载唐书艺文志又暦官陈玄景从瞿昙罗奉九执暦太史令南宫说从悉达著光宅暦草十卷同见于唐书玄景及说并名天学故得为暦官太史令又旧唐书十六天文志下云上元二年七月癸未朔日有触之大星皆见司天秋官正瞿昙误奏曰癸未大阳亏辰正后六刻起亏已正后一刻复满亏于张四度周之分野(新唐书暦志十七上亦载瞿昙譔事)又唐艺文志四十九载瞿昙谦大唐甲子元辰暦一卷大唐刻漏经一卷谦亦为印度人又% BR1.5a%同暦志载天竺得摩罗所传断日蚀法如下引凡数十年间而印度瞿昙氏为暦官见于史者四人其佗如得摩罗者更应有数人凡此数家梵暦皆自从而来故宿曜经扬景风注曰凡欲知日月五星所在宿分者縁天竺暦术可以推知何宿也(如印度七曜暦等)今有迦叶氏瞿昙氏僧倶摩罗等三家天竺暦并掌在太史阁然今之行用多瞿昙氏暦与大衍相参奉耳(扬景风葢德宗时天官受天学于印度三藏大广智不空故注三藏所译宿曜经曰弟子上都草泽扬景风修注时多与风同受者故又曰亲𣴎三藏指挥使为修注缮冩奉凡是门人各持一本又唐书暦志十九云诏司天除𣴎嗣与夏官正扬景风杂麟德大衍之旨治新暦)又有九执暦前已引% BR1.5b之(明史及暦算全书等谩言唐始止有九执暦葢无稽之言耳殊不知梵暦入于支那在六朝间而唐不唯有九执暦又有数家梵暦)要之梵暦之法先晓二曜有高卑之行(后当出其义)以日为日月为月七曜暦九执暦等即是唐巳前日月并纪平行度用平朔至李淳风法异于此盖取之于印度故也何以知之淳风出瞿昙谦甲子元辰暦之后而依倣其法(已见于上注)及与瞿昙罗同时継为太史令是时朝廷専徴暦士于印度则淳风盖多与之交其承梵暦者可推而知也淳风之后嵩阳大衍暦出而支那暦道始大备焉故唐书暦志十七上云自汉太初至麟德暦有二十三家与天虽% BR1.6a%近而不密也至一行密矣后世虽有改作者皆依倣而已暦学疑问补二云李淳风麟德暦复去歳差不用直至开元某年僧一行作大衍暦乃始愽徴广证以大畅朔旨于是分天自为天歳自为歳歴代遵用又暦学答问一云汉晋史志徃徃有日蚀不在朔而在朔之二日或晦日者自唐李淳风麟德暦始用定朔至一行大衍暦又发明之始有四大三小之月而触必在朔葢淳风言定朔嵩阳发歳差皆是梵法也而淳风不用歳差则歴术之美未尽嵩阳绝前光后后世修暦者不能出厥范围也夫师専阐三密洪业% BR1.6b之暇傍学暦术阴阳之书杰出独诣渊府者何也是无他偏出亲就金刚智不空等大贤瞿昙悉达等诸英能熟梵法而参考之支那遂得成斯鸿业也耳论梵暦渐入支那大较梵国之暦延浸支那甚有渊源按高僧传慧严传云东海何𣴎天以愽物著名乃问严佛国将用何暦严云天竺夏至之日方中无影所谓天中于五行土德色尚黄数尚五八寸为一尺十两当此土十二两建辰之月为歳首及讨核分至推挍薄触顾歩光影其法甚详宿度年纪咸有条例𣴎天无所厝难后婆利% BR1.7a%国人来果同严说帝勅任预受焉梵暦之法传于支那其大者葢是时之为始也宋史律暦志八云宋何承天始悟测景以定气序注云景极长冬至极短夏至始立八尺之表连测十余年即知旧景初暦冬至常迟天三日乃造元嘉暦冬至加时比旧退减三日葢慧严所言讨核分至推挍薄触顾歩光影者即是已非承天之创意也又呉黄武中所译出摩登伽经明时品明测影之法承天岂或据之邪又同律暦志九云观天地阴阳之体以正位辨方定时考闰莫近乎圭表宋何𣴎天始立表候日景十年间知冬至唐% BR1.7b一行造大衍暦用圭表测知气序常后天一日葢二家同测景象定节气取暦元其旨已广出大集等经立世阿毘昙等论则取范于此者断可知也又魏书律暦志云大祖天兴初命仍用景初暦歳年积久颇以为疎世祖平凉土得赵欧所修玄始暦后谓为密以代景初又云高壮践祚乃用敦煌赵欧甲寅元暦然其星度稍为差远臣(指欧)辄鸠集异同研其损益更造新暦以甲寅为元(立元与玄始暦同秖加其精核)考其盈缩晷象周密又从约省起自景明因名景明暦(景明者魏世宗年号不取上元甲子直以景明为截算之元断取近距乃与悉达译九执暦以开元二年为暦元全同)而伺% BR1.8a%察晷度要在冬夏二至前后各五日然后乃可取验(虽隋书暦志曰刘焯始悟日行有盈缩可见先此欧既悟其义)又有赵欧甲子元暦序一卷同算经一卷并载隋经籍志按地理志曰敦煌者西域要道蒲昌海玉门阳关在焉其地西接疏勒于阗素遵用印度经典律暦葢西域弘法诸师所必经而此地尝有如三藏法护法乘等(出高僧传)其所赍来经典先海聚此地而后渐支那故当时暦法汉土尚未备而边垂之境独先传耳且广舆记廿四曰赤斤蒙古古西戎地战国时月氏居之汉武帝时为酒泉敦煌二郡地葢欧之先既月氏人则据印度其理% BR1.8b必然但其术写梵而未尽也耳夫支那暦法自汉太初至金大明暦并皆推远古七曜齐元之甲子以为暦元故其法甚烦诸家暦元无一同者今欧之法即测二至景象以为暦元全如元授时则与印度西洋取暦元其法全同乃知欧之本梵书也必矣若夫推二曜盈缩测五星之术唐以前未详如扬景风所言(见上)而欧曷独得推星度测晷象以尽周密哉其本天竺断可知也又魏书一百七上曰太史令胡荣及雍州沙门统道融等总合九家共成一暦考古合今谓为最密融师亦傍善天学先于大衍成一家要亦梵% BR1.9a%暦耳又佛祖通载九云后周宇文泰宇文护并崇重佛法与西域三藏十四人宣译经论天文等凡百余卷又续高僧传一云周建武帝天和中达摩流支奉勅译婆罗门天文二十卷又按隋经籍志载婆罗门天文经一卷(婆罗门舍仙人所说)婆罗门竭伽仙人天文说三十卷(胎藏曼荼罗外金刚部院有竭伽仙葢是乎)婆罗门天经一卷解天命星宿要诀一卷摩登伽经星图一卷(此经说星度测景等大畧在藏中庆字凾星图此方无闻葢失传为可惜)婆罗门算法一卷婆罗门算经三卷(婆罗门此云浄裔印度四姓之一)是皆六朝之间印度天文暦数之书之入于支那者也又唐艺文志载都利聿% BR1.9b斯经二卷(贞元中都利术士李弥干传自西天竺有璩公者译其文)阵辅聿斯四门经一卷(印度暦术之书)唐以前所见已如是其他所不载于史如唐贞元中所传西印度婆罗门僧金倶咜著九曜暦法等理应若干葢自印度及胡诸国所入弘法沙门婆罗门岂止什佰其所传亦不可以概也耳又后周太史甄鸾呉太子太辅阚泽并当时天学名家(甄鸾作天和暦著周髀算经注及数术记遗等阚泽著乾象暦等之注)而倶深信佛乗故鸾著笑道论以諌周武排佛泽敦劝呉主以阐佛乗此之二士并亲参印度诸师闻于佛乗盖亦禀彼之天文必矣由是观之印度暦术渐于支那由来% BR1.10a%久矣又元明之间回回天学盛行支那回暦者即梵暦之一也用回是用梵也(明世祖时颁行回暦于天下等见于后)暦学疑问补一云隋以前西暦未入中国(此义已前批)其见于史者在唐为九执暦在元为万年暦在明为回回暦在本朝为西洋暦万年暦用亦不久世祖至元四年西域札马鲁丁撰术万年暦世祖稍颁行之至十八年改用授时暦在明用回回暦三百年后亦渐疎明洪武初设回回司天台于蕐台寻罢回回司天监设回回科隷钦天官毎年官生依其本法奏进日月交食及五星凌犯等暦明史三十一曰洪武元年又置% BR1.10b回回司天监后改监为钦天设四科曰天文曰漏刻曰回回暦曰大统暦又云回回暦科推算日月交食五星凌犯最为精密以是观之梵暦之入支那也可谓渊源东汉滥觞晋魏流漫唐宋汇泽元明焉论言古者梵暦亦未精密之非梵暦之起其来尚矣故其术固精细然或疑曰古昔梵暦葢亦疎而不密矣故唐书暦志云九执暦者出于西域开元六年诏太史令瞿昙悉达译之以开元二年二月朔为暦首其算皆以字书不用筹策其术繋粹或幸而中不可以为法名数诡异初其辨之也% BR1.11a%陈玄景持以惑当时谓一行冩其术未尽妄矣则是九执暦亦不足为据也曰不然荆璞不遭其人则同瓦砾不是非宝也不知之也刘义叟等固不知笔算之法(唐暦志刘义叟所著其义见暦算全书)妄谓为繋粹耳暦算全书筹算部自序云唐有九执暦不用布算唯以笔记史为繋重其法不传今西儒笔算其遗意欤朱子语类云闻季通云西域有九执暦却是顺算又明史三十一云弘治中月食屡不应日食亦舛正德十二三年连推日食起复皆不合于是朱裕上言至元辛巳距今二百三十七年歳久不能无差(言授时暦法久而差)若不量% BR1.11b〈宫岛本〉加损益恐愈久愈舛半推古法半推新法两相交验回回科推验西域九执暦法徃复参较则交食可正而七政可齐(回暦精密如上交引明史明)当此时西洋天学士龙蕐民邓玉凾汤若望罗雅谷利玛窦等十有余人在汉土盛言西洋天学而不出九执暦范围也夫宋时谓为顺算明暦家亦推如此则刘义叟妄■决矣 ＝马＋又÷又论支那造暦歴代变更籍诸贤修饰而后其法浸备及大阳高卑五星纬度恒星年等皆是梵法支那暦术葢歴代诸贤润色之而后渐备者矣续弘简录郭守敬傅云爰及三代暦无定法周秦之间闰% BR1.12a〈宫岛本〉%余乖次(自秦至汉初用颛顼暦)西汉造三统暦(汉兴百有余年)百三十年而是非始定东汉造四分暦(章帝元和二年)七十余年而仪式方备又百二十一年而刘洪造乾象暦(灵帝光和中也乾象暦仪载晋书十七)始悟月行有迟疾又百二十一年而姜笈造三纪甲子暦始悟以月食冲捡日宿度所在(此法畧出晋书十八)又五十七年何𣴎天造元嘉暦始悟以朔望及弦皆定大小余(此法出宋书卷十三承天据梵暦始知立表测影定节气如前论)又六十五年祖冲之造大明暦始悟大阳有歳差之数极星去不动处一度余(此法出宋书十三是由测景象久益详)又五十二年张子信始悟日月交道有表里五星有迟疾% BR1.12b(隋书十七云张孟宾受业于张子信并弃旧书事更作新法又有赵道严凖晷影之长短定日行进退更作盈缩以求亏食之期由此观之赵道严葢先于刘焯知日行有盈缩矣又按当时印度那连提耶舎等诸士在于支那译大集日藏分此经中明测影之法彼之诸士葢据之也)又三十三年刘焯造皇极暦(出隋书十八)始悟日行有盈缩(知日行有盈缩者起乎敦煌赵欧景明暦如前论又赵道严继欧以测盈缩道严与欧同姓葢欧之支族亦未可知也)又三十五年愽仁均造戊寅元暦颇釆旧仪始用定朔又四十六年李淳风造麟德暦以古暦章蔀元首分不齐始为总法用进朔以避晦晨月见(当时印度瞿昙谦等诸士译印度七曜九曜等暦以详二曜盈缩何言仁均淳风独自创之耶葢修史者忌隠假法于外国者也甚非君子之义)又六十六年一行造大衍暦始以朔有四大三% BR1.13a%小定九服交食之异又九十四年徐昂造宜明暦始悟气刻时三差又二百三十六年姚舜辅造纪元暦始悟食甚泛余差数(此事出宋史三十三舜辅善梵暦如后辨)以上计千一百八十二年暦经七十改其创法者十有三家自是又百七十四年専命臣等改治新暦守敬为暦也断不用上元甲子为暦元直立表测影以至元辛巳为截算之元即所谓授时暦是也而其法全与梵法同汉已后改暦七十余守敬授时为最优而守敬之法原据梵法虽立法精密非其自已出者也(印度西洋回回取暦元皆本晷象与用上元甲子者异又授时消长之法亦本瞿昙氏暦之法)以授时积年% BR1.13b稍踈明改造大统暦以洪武十七年甲子为暦元推罗计宿度以知交食至于此时始纯泯合梵暦加之别译回回暦颁行天下终明三百年不复以易之也(其回暦即是梵暦其辨具于后)夫从汉太初至元授时千三百五十六年经七十余家䆮备而未晓日月有高卑之行可谓未得尽其精微焉且未详五星黄道纬度可不谓踈乎此二端者暦道大节目而元明司天及西洋归化利玛窦罗雅谷芥儒畧等犹未核论者何也葢暦道玄而难测故也然太阳最高卑之说五星凌犯经纬度之法徃徃见经论则印度暦道其备既在三千% BR1.14a%年前矣葢大圣神智三明六通玄且远如此(此事如后具辨)又如七曜过宫之宿度唐三百年中梵暦盛流支那而未见有其名义宋观天暦始言之葢其备久而其法渐被远亦斯类也(此事出宋史三十)又宋史艺文志载姚舜辅蚀神隐耀暦三卷是灼然梵暦之法梵以罗计二曜为蚀神头蚀神尾而梵暦曰罗计常隐行不见今其书命以蚀神隐耀舜辅之用梵法■然可见其 ＝火＋爵悟食甚泛余差数(此法本在回暦)造纪元暦(出宋史三十二)以为创法一大家亦由于此耳又同艺文志有符天九曜通元立成法二卷(支那旧无九曜之说故知是梵暦)符天行宫一卷(支那% BR1.14b旧无十二宫之名)钱明逸西国七曜暦一卷其余载七曜暦法都九部十五卷五星暦二部三卷而七曜暦九执暦元是同法九执中除罗计以为七曜求日月正交中交是即罗计故与九执第开合异耳五星暦者亦惟畧日月二曜耳赵宋以前无九执七曜等暦法宿曜经云七曜上运行于天下直人间其精灵神验内外典籍具备自南西北三方诸国皆悉用之唯东大唐一国未审知委其曜乃知以上数部皆梵暦之法也又有青萝妙度真经大暦一卷甚似胡名葢回暦之类又有万年暦十二卷葢亦札马鲁丁万年暦之% BR1.15a%类耳此等推其题名以知必西域暦之类此外有统元五星立成统元七曜细行暦亦舜辅所作纯据梵暦而成之若今清时宪暦全写西洋暦而统元写之未尽者也论梵暦已渊源于东汉之时梵暦之法虽刘宋之时始传行之其实已渊源于东汉矣从东汉显宗永平十年至献帝延康元年凡十一世一百五十四年西域传教大德一十二人所译经论总二百九十二部三百九十五卷其传教开士莫有不洞通五明者但其意専在救三有患累而不% BR1.15b以天文暦数等为急故鲜有言之者虽然偶有窒于此者则闻亦为传译之汉桓帝建和中有安世高所译舎头諌经肇开之大绪(一名二十八宿经与摩登伽经同本异译)葢师善七曜五行盈缩推歩之术故传译天文暦象以融会彼此也(贞元释教录云沙门安清字世高安息国王后之太子也幼怀淳孝敬养竭诚仁及蠢类言行若践䂓矩焉加以克意好学外国典籍莫不该贯七曜五行之象风角云物之占推歩盈缩悉穷其变汉桓之初始到东夏高才悟机一闻能达至止未久大通蕐言广事宜译)又印度昙伽罗竺律炎维祗难月支支识支谦等传教之士十有一人咸在其本邦广通五明(五明中工巧明愽学天文暦数)其来正当汉室末运昙伽罗尝以魏黄初中(文帝暦号)来于洛% BR1.16a%阳大行佛法时尚书郎扬伟修景初暦葢必参闻之矣(贞元释教录云沙门昙伽罗中印度人师幼而才质过人读书一览文义通畅善学四韦陀风云星宿图识运变莫不该综自言天下文理毕己生腹)支谦又与竺律炎维祗难等入呉译摩登伽经(贞元释教录云居士支谦字恭大月氏人也祖父法度以汉灵帝世率国人数百归化率善中郎将谦十歳学汉书十三学婆罗门书并得精妙兼通六国语言初桓灵世支谶译出法典有支亮字纪明资学于谶谦又受业于亮莫不经籍究练少不艺术综习时人语曰智襄献帝之末汉室大乱与郷人数十共奔于呉呉主拜为愽士使补导东宫既善梵汉之语译摩登伽经等八十八部曲得圣义辞旨文雅摩登伽经具明星暦如前已引)时中书令阚泽受汉刘洪乾象暦而行于呉亦深从事佛教信顺诸师理必学印度星暦矣故曰梵暦实胚胎东汉之时也% BR1.16b矣论回暦原由及其法理本梵暦回回国暦葢梵暦之支流也何以证之明史三十七云回回暦法西域黙狄纳国马哈麻所作又大明一统志九十云黙德那国即回回祖国也初国王谟罕蓦德生而神灵有大德臣伏西域诸国诸国尊号为别谙秡尔犹蕐言天使云其教専以事天为本而无像设其经有三十藏凡三千六百卷其书体旁行有篆草楷今西洋诸国皆用之又有阴阳星暦医药音药之类(西洋诸国用回暦其所由出可以见)按马哈麻谟罕蓦德葢一% BR1.17a%人耳辍畊录亦云元耶律文正王于星暦卜筮杂算内算音律儒释异国之书无不通尝言西域暦五星密于中国乃作麻答把暦葢回鹘暦名也(回回又云回鹘)麻答把恐马哈(呼马切)麻之讹转或答字哈之误耳按天方黙德那等回境即古波斯之壤地(波斯之地古周回数万里后分为数国)当唐之时释迦佛钵在波斯王宫其王中印度之裔佛教之所布故经典律暦旧専用印度由是观之马哈麻所作回暦本于印度瞿昙氏迦叶氏等梵暦也明矣葢马哈麻建国当隋开皇巳未之年(见明史)佛之出兴先于隋凡千有六百年梵暦之备先是粗% BR1.17b见藏经则马哈麻之暦据梵法也必矣论回暦所用十二宫名及其形象全与梵暦同及罗喉计覩亦是梵名以证回即梵回暦所用十二宫其名与象全同梵暦其名曰白羊金牛阴阳(又曰夫妇)巨蟹狮子室女(又曰少女)天秤天蝎人马(又曰弓宫)摩羯宝瓶双鱼此十二宫名义原出大集日藏经曰昔在殊致罗婆菩萨受龙王请始说十二宫及星象暦数其他摩登伽经孔雀经宿曜经等徃徃说之回暦全据之又回暦法周天度三百六十而无余分毎度六十分毎分六十秒微纎以下咸凖之毎宫% BR1.18a%三十度宫度起白羊节气以春分为歳首推歩七曜及罗计以七曜纪日不用甲乙皆是梵法又唐书暦志十八云九执暦者出于西域(九执者梵暦中之葢是瞿昙氏暦也)以开元六年诏太史监瞿昙悉达译之断取近距以开元二年二月朔为暦首(立表测景断取近距不用上元甲子回回西洋授时暦等一皆据之其以二月春分为歳首与回暦同)度法有六十(回回西洋并用之)月有二十九日七百三分日之三百七十三暦首有朔虚分百二十六(朔策及日周分者印度诸暦回西暦等并皆不同是由古今布算之踈密里差等之异故也)周天三百六十度无余分(回西并用之)日去没分九百分度之十三二月为时六时为歳(印度诸国有六时三% BR1.18b时四时不同葢如中南二竺大抵近乎赤道之下春秋二分日在人之头顶所以有三时六时也)三十度为相是即此耳(宫又名为相毎宫三十度回西并同之)暦学疑问补二以周歳日躔匀分三百六十度伹彼以春分为大阳年第一月第一日其注云今回暦之大阳年既以春分为歳首则以仲春后半月为正旦又云然以其时春分正在白羊此即据宿曜大集等所说梵法也宿曜经云二月春分朔于时曜躔娄(日躔娄也既随大阳宿度以立正朔故知以节气朔为朔回暦大阳年之法求大阳白羊宫第一日中心行度者是也)道齐(大阳在赤道最中)景正(赤道下之国当二至日中无影)月中(日夜停分故)气和(阴阳停分)庶物渐荣一切増长故梵天拆为暦元(印度回回以春分为% BR1.19a%正旦其义如是)大集日藏经云正月(支那二月也)合角宿满(是故印度呼二月为角月)此正月白羊之神主儅其月回暦葢据之矣又回暦推歩罗睺计覩以测交食此法亦起于印度罗睺支那翻曰障障日月义计都译曰旗表帜于蚀义是中印度之语而非回回西洋之语也回西支那皆非其本创法则第因循守其名不能以标译名故大集大日炽盛光等诸经攘灾诀梵天火罗等宿暦之书并皆存梵语不翻转之及回回西洋支那元以来之诸暦尽沿袭之不能复变改也又十二宫中磨羯宫亦存梵语余悉译以为其邦语葢其邦无其物% BR1.19b不得以余名当之可见己凡上数条暦法之肯綮而皆写梵法则回暦即梵暦皦如白日岂于是有疑冰犹未凘者矣哉论回回本国古天竺属后世印度壤地为回回部落故多是释种当用梵暦且古传译三藏多由其境来于中国古印度诸国大月氏大夏罽宾龟兹于阗天方条支等并皆为回回部落印度古多皆释氏而回部诸国亦率是释种西域闻见录云哈密古之回国于唐最盛自是以西数万里皆回回部落又闻见录古之龟% BR1.20a%兹革名库车于阗名和阗罽宾大夏月氏总名叶尔羗其余覩货罗及波斯等并今为回人部落暦学疑问补云天方国即回回国(广舆记云自天方抵中国凡匝歳按天方黙德纳回暦所出之地即古之波斯国)唐书一百四十六云波斯国其先中印度波斯匿王大月氏别裔王因以姓又为国号(见行地球图分波斯天方以为二者葢从后世西域记云波斯国周数万里)前汉书西域传云大月氏西君大夏而塞王南君罽宾塞种分散徃徃为数国自疏勒以西北休循捐毒之属皆塞种也(师古云即所谓释种者也塞先得切亦语有轻重也)又佛祖统记三十三唐彦琮法师云葱岭以西并属梵种(梵种者言释氏也按古者回回之于印度% BR1.20b犹如朝鲜之于支那也后世或以回回即为天竺暦学疑问补云婆罗门回回宋史四百九十云天竺旧名身毒复曰婆罗门倶舎宝疏云婆罗门国以建子立正葢诸文皆呼印度以名婆罗门然今清人以回回为婆罗门者回部境壤益广大而西北两竺乾位之边境皆属之故也)葢回国与印度壤地相接梵种多王于其地故经典律暦皆宗印度从事佛教唐书云回纥(亦曰回回)诸国多事佛是也佛教之东渐也迦叶摩腾竺法兰为嚆矢尔后月支国支娄迦谶及支谦安息国世高安玄昙谛等康居国康孟详等相继来至东夏东汉之代翻经传译之缁素载于传者十有二人其中今所擧支娄迦谶等六人即所谓回回人(月支安息康居等今并为回境)其余腾兰等六人皆% BR1.21a%经回境而来汉地东汉传教之士仅十数人犹且如是况三国以来弘教缁素自回境来者应以百数焉由是观之回回诸国受用印度经典律暦最久况回回诸国多皆释氏之裔者乎然则回暦即梵暦复奚容疑论西洋暦法旧是梵暦西洋暦原出自梵暦暦学疑问补云回回国人能从事暦法西洋人初亦同回回事佛而西洋人精于算复从回暦又云厥后欧逻巴又于回暦研精故又自立教典奉天主以别于回回今攷其暦法则回回泰% BR1.21b西大同小异而皆本盖天(梅勿庵以盖天强会浑天盖见周髀盖天古圣人说遽自糢糊以涂抹人目耳)又云欧逻巴暦法因回暦加精大■并 ＝至＋攴同回暦又揆日候星纪要云暦学至今日明且确矣(指清朝)而泰西氏之大纲多出于回回又明史三十一云西洋人之来中土者皆自称欧逻巴人其暦法与回回同而加精密欧逻巴在回回西其风俗相类而好奇喜新竞胜之习过之故其暦法与回回同源而世世増修又一统志言回回谟罕蓦德臣伏西域诸国西洋等皆尊用其阴阳星暦(明史三百三十二广舆记廿四畧同)马哈麻建国(马哈麻谟罕蓦德即同人事已辨于前)在隋开皇中则西洋% BR1.22a%用回暦其来久而回暦即梵暦明矣近者有天学家摸刻西洋天球图以公行于世其十二宫名义形象全取诸印度故如麿羯宫其物以西洋之所无直存梵语是其证之著明者也又西暦求罗计行度以推交食而罗候计覩是中印度之语并如上已辨故曰回西二暦本出于梵暦也(明史及暦算全书等称西暦元出回暦而不知其原出于印度甚为疎简)论回西二暦要不出七曜暦七曜九执本是开合之异回西二暦取要言之不出七曜暦此法元起于印度% BR1.22b即如九执暦印度呼九曜又名九执梵暦或为七曜或为九曜秪是开合之异耳而七曜暦亦必未罗计行度以推交食故可得名为九执暦九执其实则在详七曜行度故如七曜攘灾诀虽歩九曜而题曰七曜诀(见行本脱月曜推歩葢逸下卷为可惜)七九秪是开合异可以见已而梵暦多明七曜旁及罗计故嵩阳梵天火罗云按聿斯经(载唐书及宋史艺文志葢西印度暦书)云凡人只知有七曜不知暗虚星号曰罗睺计都此星在隠位而不见逄日月即蚀号曰蚀神计都者蚀神尾也号豹尾(罗睺号曰食神头故计覩号为蚀神尾又曰龙首龙尾即内道口外道口又呼名正交中交者是也)宿曜% BR1.23a%大日炽盛光月藏日藏摩登伽等诸经则率唯论七曜不及罗计葢七曜其象著明而暦术重系之罗计二曜在隐位暦象不専之故也但论推交食阴阳占候则不能外之耳窃按世界经久万邦递通是以中天之法(中天竺当天最中如后汉书西域传论之自我言之只是阎浮洲之中耳)渐流四埀故近世回西支那本邦论暦法虽小有出入亦唯原出七曜暦者可以验耳论回西立闰日宫闰不立闰月即梵暦法其立闰月者亦是梵暦一种瞿昙氏暦立闰月者如大衍及授时等摩登伽经立% BR1.23b世阿毘昙等概是也其立闰日宫闰而不立闰月者其法全如回回大阳暦西洋恒星暦宿曜经所云二月春分朔曜躔娄春分日为歳首正旦即是也若其印度僧倶摩罗迦叶氏等暦虽其立法不传据经中散说隐约亦然论西洋用恒星年与回暦小异而是亦出梵暦的证第一节回西二暦大都同但其异者西洋立恒星年回回立大阳年大阴年耳暦学疑问补云西法以大阳会恒星为歳谓之恒星年既随黄道东行其恒星所分宫% BR1.24a%度亦必不能常与中气同日暦书何以不用按其法以日躔斗四度为正月朔故曰以太阳会恒星为歳也其斗四度葢其所定麿羯宫之初度也(在今时冬至后十二日)自此日躔行满三十度即为第二月交宝瓶宫又地度合攷云康煕丁卯年十一月(廿八)癸卯日应西暦正月初一日斗四度二六零据此则西国暦日以建子之月为正月也其法不论大阴晦朔只以太阳为主但以太阳到斗宿四度为正月一日耳西暦大畧虽不出七曜暦但太阳为主以立暦年以日躔斗四度麿羯宫初度为歳首正朔者独与回法不同所谓% BR1.24b别于回回是也而是又非创于西洋者其以日躔斗四度为歳首以日过麿羯宫为正月以过宝瓶宫为二月等并皆起于梵暦其曰以建子之月为歳首者见倶舎宝师疏曰婆罗门国以建子为正此方先时以建子立正(即太曜躔斗宿过麿羯宫建子之月为正朔也宝师所言即从迦叶氏僧倶摩罗等暦法也宿曜经则羊宫为第一月麿羯为十月即此方十一月也以春分为正月第一日故也)如支那有夏殷周歳首之异印度亦有以建子建卯等月为歳首者言其以日躔斗四度为正旦以日过麿羯宫为正月者(即建子之月也)见宿曜经曰斗三足女四足虚二足镇星位焉其神如麿羯故名麿羯宫(足者犹度也周% BR1.25a%天度分为百八足以配十二宫毎宫有九足又分配二十七宿毎宿有四足印度法除牛宿以配毎日午时故以二十七宿配周天度是梵暦一法也印度又用三百六十度则如九执暦若以度配足则毎足有三度三十三分有奇)又云娄四足胃四足昴一足荧惑位焉其神如羊故名羊宫又云二月春分朔于时太曜躔娄宿此中自斗第二足至虚第二足合九足是为麿羯宫斗第一足即属人马宫而毎足三度三十三分有奇故斗第二足即当斗第四度即是西洋恒星年之法也又大集日藏经八云白月一日(是说十一月朔也)合斗(言月也)二日合女乃至十五日合鬼是白月满(此月太阴合鬼而满故印度呼此月名鬼月十二月合星而满故呼此月名星月十二月皆如是既呼以为月故以月满% BR1.25b之宿立名可谓得其冝也葢回回分为太阴年者是也)十月合鬼满(即此方十一月也扬景风曜经注云鬼月唐之十一月也斗建子之辰也)昼十二时夜十八时(印度分昼夜为三十时一时有三十腊婆腊婆犹刻)日午之影长十二脚迹(流行经文有错乱今就善本正之)日极近南觜宿夜行(是言夜半中星也)女在日前(是晨前星也)当此之时辰星用事是十月时(以羊宫为正月义与宿曜经同)麿羯之神主儅其月(此经之指月准瞿昙氏暦今引以为太曜躔斗宿过麿羯宫即当今十一月之证)葢宿曜大集二经以二月春分为正朔者皆从瞿昙氏暦者也故知西洋恒星暦本取之梵暦者也梅子以恒星年为西洋创法者未尝捡梵书故也(余私按此暦法太阳躔斗四度过麿羯宫是正北之位此月朔太阳亦合斗魁斗建子故% BR1.26a%日月宫斗并皆正向北位焉可谓冝为歳首大集月藏经斗至壁七宿配为北史天官书同此正义曰南斗六星牵牛六星并北宫玄武之位魁斗建子是亦十二辰之初而位于北语曰北辰居其所众星共之者是示所以贵北位之义况印度天文为众星回旋须弥则其为歳首之义甚合矣而天方国节气差于支那三日是以可准知印度西洋等之气差十二辰名义出大集月藏经第一)论回西恒星年太阳暦本远起印度第二节回西恒星年太阳暦月日之法又本远起乎印度宿曜大集其证已明晰而又智度论第四十八云一月或三十日半或三十日或二十九日半或二十七日半有四种月一者日月二者世间月三者月月四者星宿月日月者三十日半世间月者三十日月月者% BR1.26b二十九日加六十二分之三十星宿月者二十七日加六十七分之二十一(流行本甚多误恐三十七之讹)是歳三百六十六日周而复始是即恒星年大阳年之暦日也(日月者如太阳过宫或三十日或三十一日或廿九日今云三十日半者概之也凡单就大阳立者谓之日月世间月者非日月之实行惟从纪年纪月以名者也月月者是朔策之数是偏从月故也星宿月者转终分之数也月一周天普经列宿故云也)又大方广文殊师利仪䡄经徴应品云有阴阳宿曜法廿八宿十二宫分各各分别彼宿曜等与宫相合(下审七曜过宫今广故畧之)是皆恒星暦也故知其本起自印度论回回暦立大阳年大阴年与西洋暦有异而西% BR1.27a%暦亦不逾其阃域则二家共是梵法回回大阳暦之法云太阳过白羊宫三十一日(印度回回之正月支那日本之二月也)金牛宫三十一日(彼二月此三月)阴阳宫三十一日(彼三月此四月)巨蟹宫三十二日(彼四月此五月)狮子宫三十一日(彼五月此六月)双女宫三十一日(彼六月此七月)天秤宫三十日(彼七月此八月)天蝎宫三十日(彼八月此九月)人马宫二十九日(彼九月此十月)麿羯宫二十九日(彼十月此十一月)宝瓶宫三十日(彼十一月此十二月)双鱼宫三十日(彼十二月此正月)已上十二宫谓之太阳年不动的月凡三百六十五日乃歳周之日也若遇宫分有闰之年于双鱼宫加一日凡三百% BR1.27b六十六日其太阴年者单月大双月小月大三十日月小二十九日凡三百五十四日乃十二月之日也遇月分有闰之年于第十二月内増一日凡三百五十五日谓之太阴年动的月若遇此土有闰之年则其正月移早一月如首年春分在第一月遇闰则春分在第二月而移其春分之前月为第一月故曰动的月而其纪歳则以大阴年而不用大阳年是回暦之大概也又暦学疑问补云如麿羯宫最卑行速故二十八日而行一宫即成一月(是即十一月冬至前后也)若巨蟹宫日躔最高行迟故三十一日而行一宫始成一月% BR1.28a%其余宫度各以或近最卑或近最高迟速之行不同按西洋月日本倣回回大阳暦小有出入西暦麿羯宫则二十八日巨蟹宫则三十一日回暦麿羯宫则二十九日巨蟹宫三十二日余畧之葢马哈麻之造回暦当隋开皇中是时西域旧已有瞿昙氏迦叶氏(法蕐文句云摩诃迦叶此翻大龟氏其先代学道灵龟负图而应从德命族故云龟氏又翻译名义集云南山曰瞿昙星名从星立称至于后代改姓释迦印度専明天文星暦由来久矣)九执等数家之暦可知马哈麻之暦不过据梵暦少加工夫耳而西洋恒星暦纪月则虽首麿羯推歩则以白羊宫为测算之端则亦不出回暦之范围可见也其以羊% BR1.28b宫为起算之端者测算论节气故太阳之纬度为主其纪月首麿羯者纪月本论恒星故太阳之经度为主其法最为明也论西洋别回回立恒星年在何代西洋初用回暦如一统志所云其别立恒星暦者想必未甚远也暦学疑问补云或曰暦书所引旧测多在千余年已前然则西月日之兴所从来久矣曰殆非也唐始有九执暦元始有回回暦欧逻巴又从回暦加精必在回暦之后彼见回回暦之太阴年太阳年能变古法以矜奇创故复变此西月日立恒星年% BR1.29a%以胜之若其所引旧测葢皆以新法追改其月日耳按此论虽不全当然恒星年在回暦之后固然葢唐时传教之师多经回回而来矣其所传惟止于梵暦未曽闻有西暦当于此时西洋犹奉佛教与回回未别则其暦法亦当与回同必未有恒年之法故一统志曰今西洋诸国皆用回暦是也西暦入支那在明末而其创法理当少前于此则其立恒年者必在宋元之间也耳矣论日月交食交常度等佛所说以出明证夫二曜交食暦道甚著明者矣吾佛世尊圆音师子% BR1.29b吼无所不尽今一一擧教量以破千载疑蒙如交常度之数大经月喩品云复次善男子如人见月六月一食章安疏云世云六月一食者书云(书上恐当有暦字)正由运行相遇六月周阴阳御故有此触经虽因譬喩之便仅示数语六月一触即交常度之率而交食之大要也此交常度通于两蚀经明月喩故唯言月故章安引暦书云阴阳相御即是言日月互触也(疏曰运行相遇即是交之义)又大方广文殊仪䡄经云又一昼一夜名为一日十五日为半月两半月为一月阴阳者当了知如是六月为罗睺障时十二月为一年十二年为% BR1.30a%大年此亦指交常度而言者与大经正同如交食不动使者陀罗尼法曰先触一日一夜不食作方坛而以供养从月初触乃见三种相又底哩三摩耶经陀罗尼集经求闻持经等密䡄徃徃明期日月触以求悉地若其法不有则何由得知触时而行之邪可见交常度之说世尊已言及之矣但其言修罗手障者特言变异之触也耳(人多不知圣经明交食常度遽见修罗手障之文妄作穿凿今为蒙具释交常之文交会之术大率以百七十三日有余为限所以然者日之行天一歳一周月之行天二十九日有奇已得一周日月异道互相交错月之一周必半在日道里从外而入内也半在日道表从内而出外或六入七出或七入六出凡十三出入而与日一会谓之交常度通而计之一百七十三日有% BR1.30b奇而有一交交在望前朔则日食望则月食交在望后望则月食后月朔则日食虽然若月先在里依限而触者多若月先在表虽依限而食者少故复别求交定度以知入食限与不入也又虽有食月食加时在书日食加时在夜则不载诸当暦也经文且从交常度之数故曰六月一食是约交终而为言故云六月乃百七十三日有余也)论大经六月一食与汉儒百八十日一食其义不同涅槃经六月一触之文与王仲任论衡曰百八十日月一食大有迳庭仲任葢不知交食之理者也故其上文云大率四十一二月日一食今捡之近世寛政十年十月朔日食同十一年四月朔日食同十二年% BR1.31a%四月朔日食连年大抵如是仲任之卤芥可知已且言百八十日月一食者又太踈漫焉有交道亘百八十日者哉汉儒之昧于暦象如此故汉三统四分等暦歩月食而多失之焉葢日月行度固有大量古人岂昧于此哉虽然汉已前不晓其行度有盈缩是以其术不能与天合也汉刘洪始悟月行有迟疾隋刘焯始悟日行有盈缩知此二事而后始可与论交食也且古者犹未知有歳差故亦不得与天密合也明已前世既研精审于盈缩暦术得与天近而未知日月行度何由有迟疾至回西二暦窥由二曜行度常% BR1.31b有高卑故■使其经纬度有盈缩是以其术大得殚 ＝至＋攴精矣而我大藏中已徃徃有高卑之说则是既知有交常度而又知有高卑盈缩也可见与王仲任曰百八十日月一触其语相似而大小齐而大经所谓六月一触则指六月之朔策也故可言六月不可言百八十日也论圣教所说变异之触涅槃经正法念经等并以日月触为修罗手障其说颇似渉恠然是即变异之触而人自不达以为诡异也葢经说修罗之障者是谓六月一食外之食也(是所% BR1.32a%谓变异葢二曜有触以其同度同道相逼也是故常度之外断无有余两曜纵有失度必不过前后七八度也岂有日月相距数十度而触之理故知如下所引非时之触则由修罗等障故也然此变触者多限或亚细亚等一洲或其中一二国其义如下文又虽常度之触其触浅则亦有此国已见而彼国不曽见者此是非今之所论也)涅槃经九云罗睺阿修罗王以手遮月世间之人咸谓月食修罗实不能触以修罗障其明故是月团圆无有亏损但以手障故使不现此下过十九行又云复次善男子如人见六月一食经文初明变异之触次明常度之触其义灼然正法念经云修罗与帝释闘时日月之光射修罗之眼故修罗以手障日月世人不知谓为日月触又瑜伽略纂云亦% BR1.32b有天神菩萨并阿修罗手障以为日食亦有一方一处变恠故然又楞严经曰一洲感悪縁则覩日月及星悪相又蕐严经云⼀一国人感悪縁则彼当土众生覩诸一切不祥或见晕玦彗孛但此国见彼国众生本所不见又大方广文殊仪䡄经云又彼天人阿修罗等若行不善相闘战时此时人间现诸悪相所谓非时地动忽作风雹闪电异常天火黒烟处处皆起是彼计都星作日月触共有如是种种诸悪相现又云一切星曜及阿修罗于此大年中或顺或逆作诸善悪又白月分十五日月满之时罗睺阿修罗现全% BR1.33a%触日月者大地中有大刀兵会(下说两触徴应甚审详文广故畧之)则变异常度二食始不相混也论支那古来两触变异有明证两触者交常度数之外断然无可触之理若常度之外有交触者必是变异春秋襄公二十四年秋七月甲子朔日有食之既又八月癸巳朔日有食之按七月朔日食既而八月又日食于推歩之术极无此理何则凡交食之法五个月二十二分月之二十乃为一交故交正在朔则日食既前后望不食交正在望则月食既前后朔不食常度如是故知其一触必是% BR1.33b变也又同二十一年九月庚戌朔日有触之冬十月庚辰朔日有食之是亦频月日食常理所无又晋武帝泰始二年七月晦十月朔并日有食之同九年四月朔七月朔并日有食之凡此类皆非常度之触不遑枚擧又晋怀帝永喜五年三月壬申丙夜月食既丁夜又触既岂有一夕再触之理哉又同永喜元年十一月乙亥黄黒气掩日是河图所云日薄者也其说云凡日食皆于晦朔有不于晦朔者为日薄同愍帝建兴二年正月辛未庚时日陨于地又有三日相𣴎出于西方而东行此等变异非常理所可推若据% BR1.34a%俗典则徒称变异而止佛经则说天龙八部之作业全同说人趣之事业葢用天眼以穷其变毫无所谬也唐书天文志云大和二年十二月癸亥有黒䘲与日如闘同六年三月有黒䘲与日如闘元史天文志云至正十八年三月辛丑夜大同路有黒气蔽于西方声如雷然俄顷有云如火交射中天遍地倶见火光以物触地輙有火起至夜半空中如有兵戈相击之声是全与起世经立世阿毘昙等说修罗闘战之相相似又至正二十七年正月乙未夜晋宁路绛州天鼓鸣空中如闻战闘之声又同十三年十二月天% BR1.34b鼓鸣于西北又元统十八年七月辛丑至夜半空中如有兵戈相击之声又至元二十九年正月甲午朔日有食之有物渐侵入日中不能既日体如金环然左方有珥上有抱气左传杜注详言中食修元史者岂不知中食乎而不以中食为文曰有物渐侵入日中则其必非中蚀既曰渐侵入必非常途五蚀之状葢亦变异矣此类不遑擧之经说有徴果如是岂可诬哉世之局儒或弗信天神为人示凶变以谴惩而妄执邪见或徒谓变异而弗知内责于己皆不足与论道也且如依凭汉书谓万物之精上为列星以罗% BR1.35a%计二星为修罗之精者附会不足取若夫了得上二义则佛说赫乎若白日矣论印度暦术自远古传其备己久中印度迦毘罗其建国最久自劫初平等王子孙相𣴎四十五世至炽㷔王凡一百一万四千五十六世而师子頬王生净饭王净饭王生悉达多成佛号释迦文(出起世经)比之异邦歴世甚久宪章先备当释尊出世时典籍滋阜天文地理书数伎艺等书厥类凡六十四种图书总六万藏所谓四韦陀典十八大经等是也(准摩登伽经劫初有梵天造一韦陀后有仙名白净又分造四韦陀其弟子有二十有一各造% BR1.35b一韦陀如是展转为凡千二百十有六种有百二十八万偈一千七百卷十八大经等不遑引之百论及疏弘决第十仁王经吉藏疏等出之方便心论曰过去有那耶摩明闻思二慧闻慧有八一天文二算数二医方四咒术及四韦陀是为八思慧有八一长寿天二星宿天乃至他化自在天是为八)其书或在成劫之初或在佛出世数千歳之前释尊降诞当周昭王二十三年癸丑先是星暦推歩其法毕备如太阳最高卑之行明己前不知之郭太史称名家犹尚蒙于此葢其法自回回传之至于清始著焉而杂宝藏经大集经多论等(出文并出于后)已有最高卑之说则在彼三千年前(佛出世几三千年)其法已备矣如交食之法释尊出兴时其事已详其证如前所云然则尔时% BR1.36a%时暦行世犹如大东支那之今日也后汉书西域传云其国则殷于中土玉烛和气(尔雅云时和谓之玉烛)灵圣之所降集贤懿之所挺生神迹诡异理绝人区感騐明显则事出天外郭璞曰天竺浮屠所兴今闻之说地殷土中物壤琛丽民愽仁智俗高理学立徳厚生何负诸夏古称爱人之国世挺贤圣之人岂虚搆哉符子云轩辕游蕐胥之国王邵云即天竺也山海经云申毒之国(天竺又曰申毒)偎人而爱人朱子曰大抵地形如馒头其撚尖则昆仑也天竺直昆仑正南所以土地广而所生亦多异人(理学类编)河图云昆仑者帝之下都% BR1.36b地之中也水经云昆仑在西北去嵩高五万里地之中也昆仑者印度名阿耨达山即大雪山也夫天竺开国最早地殷气和灵圣降集故百凡艺术能先于万邦开暦术亦先于万国而备也佛国暦象编卷之一终
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% BR2.1a佛国暦象编卷之二平安东森隐士无外子释圆通 撰云阳 空谷子释智毂 校天体第二 凡八条问西洋旧说曰天体浑圆透映如碧瓈半见地上半隐地下其两端曰南北极周旋无端名曰浑天其新说曰太阳常在天之中心运转地球即以太阳为中心而旋环其外与大藏经所说大反通之如何答天地之义高远愽大岂可容易测定乎故自古议者纷纷竞起端绪以探虚远甚难折衷今当擧诸家异说% BR2.1b而后示大藏之明说以核论之论支那古来所传天体三家四说之异在昔支那言天者三家后世更有四说三家者曰葢天曰宣夜曰浑天是也葢天即周髀之说也其本起乎庖■氏（周髀算经云古者庖■立周天暦度）周公受之商高（商高殷大夫见 ＝忄＋义周髀）周人志之故曰周髀（髀股也股者表也得之股表之谓也）其言曰天似葢笠地法覆槃天地中高外下北极之下为天地之中其地最高滂沱四𬯎三光隐映以为昼夜天中高于外衡冬至日之所在六万里北极下地高于外衡下地亦六万里外衡高于北极下地二万里天地% BR2.2a%隆高相从（北极下地则地顶也外衡下地则地之最卑处也故云天地隆高相从又周髀云天离地八万里冬至之日虽在外衡常出极下地上二万里故日兆月月光乃出故成明月星辰乃得行列是故秋分以徃到冬至三光之精微以成其道远此阴阳之性自然也）日距地常八万里丽天而平转分冬夏之间日前行道以为七衡六间毎衡周径里数各依算术用勾股里差推晷影极游以为远近之数皆得于表股者也是髀之名之所由出也又晋宋暦志论葢天并与之同夫葢天之为说较诸佛氏之须弥则事之精粗量之广■虽非无 ＝阝＋医小异而其相状髣髴大同乃信圣智所测被此冥契非凡见之所能企及矣佛氏所说须弥卓立地心其% BR2.2b高八万由旬而日月众星上下以遶其半腰焉周髀曰北极下地穹隆而高六万里三光隐映以为昼夜可见其相大同周髀又曰日月运行四极之道（四极犹如须弥四洲）故日运行处极北北方日中南方夜半日在极东东方日中西方夜半日在极西西方日中东方夜半凡此四方昼夜易处起世经十曰若南洲日正中时东洲日则始没西洲日则初出北洲正当夜半若西洲日正中时此南洲日则始没北洲日则初出东洲正当夜半若北洲日正中时西洲日则始没东洲日则初出南洲正当夜半若东洲日正中时北洲日% BR2.3a%则始没南洲日则初出西洲正当夜半（畧出文）立世阿毘昙倶舎论等并皆同之印度支那圣说暗符大体既合故至于节气推歩分至筹运等其法亦皆相类岂可不奉信哉今为蒙士因其图以详焉周髀算经曰凡日月运行四极之道故日光外所照径八十一万里周二百四十三万里以日光外所及之际为四极外衡之外日光所及十六万七千里衡外所照左右合为三十三万四千里合外衡日道径四十七万六千里四极之径都为八十一万里是皆测影而所得于表股之数也% BR2.3b% BR2.4a%% BR2.4b七衡六间图% BR2.5a%周髀曰七衡周而六间以当六月节六月为百八十二日八分日之五故日夏至在东井极内衡日冬至在牵牛（尧时冬至日在虚周公时在牛今在箕）极外衡也衡复更终冬至一歳一内极一外极月则三十日十六分日之七而一外极一内极又曰人望所见远近冝如日光所照君卿注曰近我一十六万七千里之内及我我自见日故为日出日远我十六万七千里之外日则不见我我亦不见日故为日入是为日与目见于十六万七千里之中故曰远近冝如日光之所照葢天之说梗概如是若欲悉知者当就本书而研论语曰譬% BR2.5b如北辰居其所而众星拱之若夫浑天则不可言众星拱之由之观之宣尼葢亦从葢天尝见参宿出没夕出东方其两肩正向北辰至半夜则在于正南两肩亦正向北至晓则自正西亦却向北以是观之众% BR2.6a%星拱于北辰之象甚著矣元史天文志一四海测騐曰铁勒北极出地五十五度昼七十刻夜三十刻北海北极出地六十五度昼八十二刻夜一十八刻若到北极出地六十五度之地则极之左右合而百三十度常见不没如伞葢尔周髀曰凡北极之左右物有朝生暮获注曰北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜又曰北辰之下六月见日六月不见日一歳者即北辰之下一昼一夜如此则北极下地者其见界左右合百八十余度众星常见不隐其半歳则太阳常绕而不没则葢天之象皎然见焉若% BR2.6b在此地则虽欲不葢天得哉古者杨雄郑玄蔡邕葛洪之徒自执浑天而不信周髀圣说反为之僻难其说曰天如鸡子地如中黄孤居于天内天大而地小天表里有水天地乘气而立载水而行周天之度中分之则半覆地上半绕地下天之出入行于水中为必然矣而引之证曰易晋卦坤下离上以证日出于地也又明夷之卦离下坤上以证日入于地也又需卦干下坎上此亦天入水中象也（见隋书等）按是说甚妄岂有天入水中日月行地中之理哉惑之甚也今得万国交通粗知寰宇形状故闻极下有日月半歳不% BR2.7a%没之地而不复疑周髀所言始徴矣倘使杨雄葛洪起于九原则何颜得对今日之人哉周髀曰或知者或疑其可知或疑其难知此言上圣不学而知之赵君卿注云上圣者智无不至明无不见是岂君卿虚搆哉周髀算经今幸存焉请详研之昔在三代能言天文者甘石巫咸竝皆从葢天隋书天文志曰三国时呉太史令陈卓始列甘氏石氏巫咸三家星宦著于图录又曰参校周齐梁陈及祖■孙僧化宦私旧 ＝日＋恒图刊其大小正其疎密依凖三家星位以为葢图三家既如此况周公孔子论天以为葢天后世孰有得% BR2.7b而尚焉者哉梁武帝会诸儒于长春殿审测天体撰天地义隋书曰其文全同周髀（又出涅槃经疏等）惜哉不传又汉王仲任深排浑天而述葢天详于其所著论衡中（隋书十九载王生驳浑仪说云旧说天转从地下过今堀地一丈輙有水天何得从水中行乎甚不然也◯按西学浑天大与之异见于后今不赘）汉季诸儒多駮王仲任而张浑文皆骋胸臆于视听之外夫浑葢之异圣凡真伪相隔何啻霄壤而犹千歳不辨者独何也嗟乎紫朱淆乱维昔而然岂止天文乎哉至于近世天下皆信日月乾象不当行于水中王生之后千七百有余年浑葢之金𨱎至于今日灼乎始分葢事之隐显亦有% BR2.8a%时然也宣夜者宋书隋书及尔雅释天疏竝曰其学绝无师法唯晋书天文志云宣夜之书云惟汉秘书郎郄萠记先师相传云天了无质仰而瞻之高远无极眼瞀精绝故苍苍然也譬之旁望远道之黄山而皆靑俯察千仞之深谷而窈黒夫靑非真色而黒非有体也日月众星自然浮生虚空之中其行其正皆须气焉是以七曜或逝或住或顺或逆伏见无常进退不同由乎无所根繋故各异也故辰极常居其所而北斗不与众星西没也摄提塡星皆东行日行一度月行% BR2.8b十三度迟疾任情其无所繋著可知矣若缀附天体不可尔也由此言观之其梗概可见其言天固无体行止须气者最是确论胜夫言天体如碧瓈以为有坚实之体者远矣又以曰虞喜安天本因宣夜考之宣夜亦以日月众星为平转者也据安天说曰地深测于不测今文曰日月众星浮生虚空行止皆须气宣夜之为横旋可以知矣如其曰天无尅实之体唯气之须者粗与吾圣教之说合葢此说亦非出凡见者与后世言天者大不同浑天者晋书天文志丹阳葛洪曰浑天仪注云天如% BR2.9a%鸡子地如中黄孤居于天内天大而地小天表里有水天地各乗气而立载水而行周天三百六十五度四分度之一又中分之则半覆地上半绕地下故二十八宿半见半隐天转如车毂之运也（浑仪注当是郑玄之说）又曰呉时中常侍王蕃传刘洪乾象暦依其法而制浑仪立论考度曰前儒旧说（指郑玄张衡等）天地体状如鸟卵天包地外犹■之里黄也周旋无端其形浑浑然 ＝士÷冖÷卵＋殳故曰浑天也周天三百六十五度五百八十九分度之百四十五半覆地上半在地下其二端谓之南极北极北极出地三十六度南极入地三十六度两极% BR2.9b相去一百八十二度半疆绕北极径七十二度常见不隐谓之上䂓绕南极七十二度谓之下䂓赤道帯天之纮去两极各九十一度少疆黄道日之所行也（文广徃捡上䂓下䂓者随地各异是葢从阳城者乎）宋书天文志曰御史中丞何𣴎天论浑象体曰详寻前说因观浑仪研求其意有以悟天形正圆而水周其下言四方者东旸谷日之所出西至蒙汜日之所入庄子又云北溟之鱼化而为鸟将徒于南溟斯亦古遗记四方皆水证也四方皆水谓之四海凡五行相生水生于金是故百川发源皆自山出由高趣下归注于海日为阳精光曜% BR2.10a%炎炽一夜入水所经焦竭百川归注足以相补故旱不为减浸不为益隋书天文志葛洪释王生之难浑仪文曰日随天而入地若天果如浑者则天之出入行于水中为必然矣故黄帝书曰天在地外水在天外水浮天而载地者也又易曰时乗六龙夫阳爻称龙龙者居水之物以喩天天阳物也又出入水中与龙相似故比以龙也又晋需二卦（如前引）此亦天入水中之象也然则天之出入水中无复疑矣先儒多据浑天而斥葢天搆造传会惑乱时人以今观之殆不堪捧腹又按西汉已后始有浑天之器而无浑天之% BR2.10b书宋书天文志云天之正体经无前说宣夜则绝无师法周髀术数具存天状多所违失（惑浑天以斥葢天祗是妄为失耳）惟浑天仅得其情今史官所用候台铜仪则其法也官有器而无本书前史亦阙而不论（是蔡邕上书之文今节畧之）蔡沈书经集传云浑仪此必古有其法遭秦而灭明史暦算全书等亦徃徃遁事秦火晋书天文志云其巫咸甘石之说后代所宗奉暴秦燔书六经残灭而天官星占存而不毁可见灭于秦火之言其造辞也夫汉去三代不远而马书班志竝不论浑天以蔡邕之愽而曰浑天官有器而无本书六经诸子亦不% BR2.11a%见其说则知浑天其非圣说出后人之手也而其制作亦诸说纷纭葢前汉武帝大初中落下闳始经营浑仪鲜于妄人量度之然素法未备后曁宣帝世耿寿昌铸铜始造圆仪以考歴度又至东汉和帝时贾逵繋作更加黄道又曁顺帝时张衡制浑象具内外䂓南北极黄赤道列二十四气二十八宿中外星官及日月五纬以漏水转之殿上室内星宿出没与天相应衡所浩浑仪或为衡创制或为古器由乱亡失衡复之厥说纷纭难决呉陆绩亦造浑象王蕃又依刘洪乾象暦之法以制之立论考度晋末五胡滑夏% BR2.11b于戈糜沸陆王旧器散落销亡宋高祖平长安得衡旧器仪状虽擧不缀经星七曜文帝（宋第三主）诏太史钱乐之更铸浑仪径六尺八分少周一丈八尺二寸六分少地在天内立黄赤二道南北二极䂓二十八宿北斗极星五分为一度置日月五星于黄道之上立漏刻以水转仪昬明中星与天相应（以上抄取晋宋隋等暦史及书经集传之意）由此观之则浑仪之制所出非一或存或亡或増修或改作而今之所传葢是刘宋浑仪耳旧浑仪者欲其贵则曰是乃书所谓璇玑玉衡也此说本起于郑玄宋书天文志曰郑玄说动运为玑持正为% BR2.12a%衡皆以玉为之视其行度观受禅是非也浑仪和氏之旧器歴代相传谓之玑衡是以玑衡为器名也王蕃未深考遽据其说曰浑天遭秦之乱师徒丧绝而失其文惟浑天仪尚在候台然张衡传则云张作浑天仪考歩阴阳最为详密据此则自衡以前未有斯仪焉得为和氏旧器又为在秦候台乎宋徐爰立义以駮郑玄之说云夫候审七曜当以运行为体（言应从先儒以玑衡为七星之义不可以为器名也）设器拟象焉得定其盈缩推斯而言未为通论设使唐虞之世已有浑仪渉歴三代以为定准后世聿遵孰敢非革夫琁玉贵义之称玑% BR2.12b衡详细之目所以先儒为北斗七星天纲运转圣人仰观俯察以审时变焉史臣案设器象定其恒度合之则吉失之则凶以之占察有何不可浑文癈绝徐爰此说甚有至理况尚古物皆质素何以玑玉造乎此器其非益见焉史记天官书曰北斗七星所谓旋玑玉衡以齐七政说苑辨物篇曰夫天文地理则圣智之府古者圣王定律暦考天文登灵台以望气氛故尧曰咨尔舜天之歴数在尔躬允执其中书曰在璇玑玉衡以齐七政璇玑谓北辰勾陈枢星也以其魁杓之所指二十八宿为吉凶祸福盈缩之占各以% BR2.13a%类为验马班及刘向去古竝未远而三氏咸善天文顾必有所传又周髀算经云欲知北极枢璇玑周四极常以夏至夜半时北极南游所极冬至夜半时北游所极冬至日加酉之时西游所极夏至日加卯之时东游所极此北极璇玑四游又曰璇玑径二万三千里周六万九千里又定太阳行度为七衡六间极辰之所在谓之内衡三氏之言与周髀甚相近必是古之遗传矣葢圣人法象天地以审时变直当就于天象以论之安得以为器之名哉后世四家者安穹昕平四天是也安天者晋成帝咸% BR2.13b庚中会稽虞喜因宣夜之说作安天论以为天高穷无穷地深测于不测天确乎在上有常安之形地魄焉在下有居静之体当相复冒方则倶方圆则倶圆无方圆不同之义也其光曜布列各自运行犹江海之有朝汐万品之有行藏也（晋书天文志）是以三光为平转其说粗同盖天穹天者虞族祖河间太守耸之所立其论云天形穹隆如鸡子幕其际周接四海之表浮于元气之上譬如覆奁以抑水而不没者气充其中故也日绕辰极没西而还东不出入地中天之有极犹盖之有斗也% BR2.14a%天北方下于地三十度极之倾在地卯酉之北亦三十度人在卯酉之南十余万里故斗极之下不为地中当对天地卯酉之位耳日行黄道绕极极北去黄道百一十五度南去黄道六十七度二至之所舎以为长短也（出晋书天文志）是亦三光平转与盖天不甚异昕天者呉太常姚信所造其言云人为灵虫形最似天今人頥前多临胸而项不能覆背近取诸身故知天之体南低入地北则偏高又冬至极低而运近南故日去人远而斗去人近北天气至故氷寒也夏至极起而天运近北而斗去人远日去人近南天气至% BR2.14b故蒸热也极之立时日行地中浅故夜短天去地高故昼长也极之低时日行地中深故夜长天去地下浅故昼短也（出晋宋天文志昕音轩）此说尤为诡异平天者其形体事义未见所出隋书天文志云浑盖及宣夜三说竝驱平昕安穹四天腾沸至当不二理唯一揆岂容天体七种殊说王充论衡云天平正与地无异然而日出上日入下者随天转运视天若覆盆之状故视日上下然似若出入地中矣然则日之出近也其入远不复见故谓之入运见于东方近故谓之出诸史皆曰王仲任据盖天之说以驳浑仪今% BR2.15a%按文意仲任虽率据盖天而与盖仪不全同仲任意谓人目不及远故见四边垂下如覆盆其实则天平正与地无异故论衡曰夫视天之居近者则高远则下焉实者平正四方中央高下皆同今望天之四边若下者非也远也非徒下若合矣又曰天不若倚盖之状日之出入不随天高下明矣由是观之平天者似指仲任之说以上诸说皆好奇狥异可谓自任之甚德非圣人才非天授强骋无稽之谈于视听之所不及非君子阙疑之义也今姑擧其说以广异闻耳总论七说% BR2.15b今古殊说虽紫朱混今也真已有騐伪自见焉是故如后世四说不复烦论而古之三家宣夜不传惟浑盖传迄于今也而浑盖亦相矛盾故王仲任驳浑天云旧说天转从地下过今堀地一丈輙有水天何得从水中行乎日随天而转非入地夫人目所望不过十里天地合矣实非合也远使然耳今视日入非入也亦远耳当日入西方时其下之人亦将谓之为中也四方之人各以其近者为出远者为入矣今试使一人把大炬火夜半行于平地去人十里火光灭矣非灭也远使然耳今日西转不复见是火灭之类也% BR2.16a%（出晋书天文志等）此论専据盖天而立焉而今立西洋地球者亦不能易斯说也仲任之后梁武勅学士撰天地义以通盖驳浑又有浑盖双用而取厥衷者故唐书天文志云盖天之说李淳风以为天地中高而四𬯎日月相隐蔽以为昼夜遶北极常见者谓之上䂓南极常隐者谓之下䂓赤道横络者谓之中䂓淳风又别注周髀以通之又嵩阳双用浑盖以两审焉师奉玄宗勅制浑天仪圆天之象具列宿赤道及周天度数注水激轮令其自转一昼夜而天运周外络二轮缀以日月令得运行毎天西旋一周日东行一度月% BR2.16b行十三度十九分度之七二十九转有余而日月会三百六十五转而日周转以木柜为地平令仪半在地下晦明朔望迟速有凖立木人二于地平上其一前置皷以候刻至一刻则自击之其一前置钟以候辰至一辰亦自撞之皆于柜中各■轮轴钩键关鏁 ＝方＋色交错（出唐书及师诸传）其奇巧可见非深体浑天者何能至于此也其锐意于盖天亦甚至矣唐书天文志云及一行考月行出入黄道为图三十六究九道之増损而盖天之状见焉削篾为度径一分其厚半之长与图等穴其正中植针为枢令可环运自中枢之外均% BR2.17a%刻百四十七度全度之末旋为外䂓䂓外太半度再旋为重䂓以均赋周天度分又去极枢九十一度少半旋为赤道帯天之纮距极三十五度旋为内䂓乃歩冬至日躔所在以正辰次之中以立宿距按浑仪所测甘石巫咸众星明者皆以篾横考入宿距纵考去极度而后图之其赤道外众星疏密之状与仰视小殊者由浑仪去南极渐近其度益狭而盖图渐远其度益广虽然若考其去极入宿度数移之于浑天则一也余窃惟至当不二天体曷烦二说嵩阳双用盖浑必有微意盖师体真出俗无造次乖法其造暦% BR2.17b运数意莫非宣通佛乗何必縁饰俗见以淆乱真理哉阅师之大毗庐遮那经疏而可知也按浑盖二仪葢为测暦象设之而不为明天地体状而二仪之于测量各有冝于形验者苟有其所冝则何不取耶若夫偏论天地体状则吾家有専说在浑盖岂足尽之乎又旧唐书十五云凡日晷差冬夏不同南北亦异而先儒一以里数齐之丧其事实沙门一行因修大衍图更为覆矩图自丹穴以曁幽都之地凡为图二十四以考日蚀之分数知夜漏之短长今载诸州测景尺寸覆矩想亦应是盖图之类师之于天文殚其% BR2.18a%精微无复伦匹（唐书天文志一行尤称精愽后世未能过也）虽然师之所为只是姑充时情而已其实则犹绰乎有余裕也师如论其实则必应当造须弥仪葢师在世才不惑故不及于此而止岂不惜哉又自宋已后曁于明周髀之书人皆与山海经十洲记等诸书同类竝观聊备奇闻耳明末西儒入于支那而赍万国图籍人见之果知有极下以一歳为一昼夜之国而西洋寒煖五帯之说亦与周髀七衡脗合又赤道下有二获之言今皆徴矣于是人始信此书周公之真撰而知乎先圣制作之精神千载不可易是故清儒梅勿庵谓今% BR2.18b有瓯逻巴实测之算与之相应然后知所述周公受学商高其说亦非无本而自苦周髀西说不合则遂搆造私意以谓盖天即浑天曰天体浑圆故惟浑天仪适为能肖然欲详求其测算之事冩记平靣是为盖天故浑天如塑像盖天如绘像总一天也吁梅子何不自思之甚也夫汉王仲任葛洪已下曁于李唐诸大家论浑盖是非其义纷纭未决汉去古不甚远而群贤富于闻见其犹病诸葢是坐浑盖之异故也杨雄郑玄蔡邕葛洪等岂不能辨其同异者哉况周髀之与浑天龃龉悬绝后世何由得輙言浑盖是一% BR2.19a%明史及暦算全书见周髀有徴信以为支那浑盖之义徃古流传西土也今印度西洋之天说是其遗意耳矣何其诬之甚广读异方之书者自知之矣须弥盖天异同浑天仪虽于测量最便而及立厥天说一无圣典可徴况如日月转于地下出入水中等之说卤莽殊甚周髀一经今幸存焉其书虽残缺梗概殆备支那古昔天说可观者独存此书与大藏中之说大概合符夫厥义千载不可易而万里之外与千圣所言所测冥契与努夸奇创朝夕递易者岂可同床而论哉今% BR2.19b畧竺汉对映则周髀曰地之中穹嶐渐高六万里滂沲四𬯎三光隐映以为昼夜是全同说须弥在地中央巍巍乎高八万由旬其佗三光隐映而四洲易昼夜异节气等大率相似独有九山八海大小精粗以为异耳即是理之当然当同而同当异而异者也夫大荒之外寥廓天壤有日月众星可以法有四时节气可以考是以仰观俯察测晷影推筹运遂騐天地之体状创䂓矩勾股之术定七衡六间之数审三光之度以垂法于万世是唯圣者之所能知而凡愚之所不可企及也夫百世不刊之典而千载不能易谓% BR2.20a%之常理常理则数之本然者也印度天说亦不出理数之外而千载不易非常理而何也所谓当同而同者盖是也其九山八海等体状非可任数而测者非可推理以闚者是支那圣人所阙而不言而印度圣贤能言之所谓当异而异者也夫支那圣人阙而不言而印度圣贤何以能言之是无他彼土圣者依禅定力能起天眼通及世间诸净行梵志能起胜加行以得通果故虽说理百端而于须弥器界毫不疑夫太古圣人佛出世前已垂教以取五通法天眼即其一也天眼也者能彻视远境不为山岳壁障等所碍% BR2.20b其得之浅者或能视千里或至万里依未到禅而修者能得之若得其深者彻见数亿万里之外乃至无边之境其见远境犹■掌中庵摩罗菓依根本禅而 ＝目＋示修者能得之不止能视障外远境以能视至微矣故婆娑一百三十六日七极微成一微尘七微尘成一铜尘七铜尘成一水尘其最细色者此惟三眼能得见之一天眼二转轮王眼三住后有菩萨眼凡印度圣者诸佛子得天眼者不遑论之支那僧伽得其浅处者不为不多如玄高使僧印见十方无极世界则甚深境界能及于他且佛图澄单道开佛调耆域等% BR2.21a%诸士大权示化者固亡论其余自玄畅昙谛等僧传所载逮得天眼者甚多虽然不知者疑知之者未见者疑见之者人情自古尔如汉武不信弦胶魏人不信火布葢是类矣屈见者忽闻天眼之说輙处之荒唐不经岂非不信弦胶火布者哉又西域闻见录云阿拉克控喝尔西北一大国也人多巧思冬能使之炎热夏能使之飞霜以金木制为人形为之服役然非邪诡之术皆人力为之古者行令变候吹律回阳物之感为然则何疑彼夏霜冬炎出于巧思耶夫天眼者人人天性之固有修力之所发而非巧思之所% BR2.21b能得非奇伎之所能为鬼神弗能与之人又其本具虽毫不减神圣不依其法修习则其用不独显譬如荆璞虽本自具连乗之明不假追琢则不异顽石如人惟知有肉眼而不知自具天眼嗟乎安得无卞氏之叹哉佛出世己前印度修梵行者甚众得天眼者既已不尠而九山八海等固无异说佛出世后得天眼者最多其说天地者亦全同而终无异论近世元之帝师发思巴（印度人也）著彰所知论明九山八海等全同倶舎等说因循不易其说可谓知所守非如支那西洋谈天有种种异说夫人情所向徃大率皆同岂% BR2.22a%印度独贤而其他皆愚哉而印度不变其恒者何也是无他葢有天眼之法故也天眼者直见实境以定其事是故无异说也若夫由数而测者唯止知于其数而已岂得以寻常人事所为决察宇宙之外以详其体状乎是印度之所以独有九山八海之说也西学者曰其邦巧制望远镜以测其体故无纎毫违其实而不知远镜亦不足依凭何者近视西儒十有余家各以远镜测定太阳等皆差天隔一无有定凖远镜岂足凭哉如详诸后西洋旧说% BR2.22b西洋谈天者甚多异说彼土初専依印度之法以用梵暦当元明之间彼土天学滋兴豪杰竝出异说沸腾争奇竞巧各张一家各互诋排汤若望罗雅谷利玛实艾儒畧等说曰天体浑圆恒运旋而以里地地如弹丸永静不动适于天中而四靣人居焉以天或为十重或为十二重最上一层名之常静天为诸天主宰其次为宗动天帯转下诸重天也此天之运依南北二极从东而西左旋十二时歴一周其各天皆为此一动所制而运焉其次为恒星天此天之本动也南北一近一距之动七千年而行一周东西正行% BR2.23a%约二万五千余年而行一周其次土星天二十九年一百五十五日零二十五刻行一周其次木星天约十一年三百十三日七十刻行一周其次火星天约一年三百二十一日九十三刻行一周其次大阳天照映世界万象取光故在七曜之中也约三百六十五日二十三刻五分行一周其次金水二星之天皆从大阳天行其次大阴天最近地是其旧说大概也明熊坛石游子六等诸家竝皆依之与支那所谈浑天仪状颇同而但其言地形者更殊西说不言三光行水中支那不言地径三万里又无常静宗动等说% BR2.23b此其异也西洋新说西洋新说亦有数家其古说者天为动地为静新法者反之其义益巧益奇暦象新书曰其学原起欧逻巴比太古剌私者传之于亜弗利加州然而时人不信之故其学不传（是当元太宗时）其后西洋热尔马泥亜国人古伯尔喜须者深穷天学専通彼新法（是当明宪宗时）尼通氏奇儿氏等大家继兴竝述此说时人咸服从（奇儿全书行于时当皇国元文五年至今仅七十年）古伯尔之说云日在天中心而运旋焉月则地为心而旋地之与月一旋大阳为% BR2.24a%之一昼夜金水二星日为心而旋火木土三星如次三天重疉而日地为心而旋焉又土木火金水五星加地球是为六星名之大惑星此外木星周围有小星四又绕于土星有小星五合有九星加太阴为十是名十惑星也又得逸骨说云月则地为心旋之日则地与月为心旋之金水二星日为心旋之火木土三星如次三天重疉日及地球为内绕于其外而以谓太阴五星等皆是人居而与此地球无异矣若从太阴等覩此地球则海水由为太阳所照故光明远照无异星月奇说百端不知其所止駮之如第五卷% BR2.24b古伯尔之说% BR2.25a%得逸骨之说% BR2.25b又黄石斋云地在天中而地动天静其地转天运者犹舟行岸移非岸移矣实舟行也耳又一说云地在天之中心从西而东一旋转以为昼夜月一日旋转十三度有奇大阳一日旋转一度竝皆右旋异说纷纭终无一定暦学疑问云西人象数之学各有授受师说故其法亦多不同此两歳差之天利西泰言之徐文定公作暦书时汤罗及诸西士弃不复用厥后穆氏（宇尼阁西洋之人也）著天歩真原北海薜氏本之著天学会通则又用之（见西说无一定）故知其授受非一家也梅氏唯就西洋古义而言之尚见其授受非一况新法益% BR2.26a%多异说争巧竞端是非递起故游子六非地动之说云舟行千里人乃寝食不安矣地之一周旋转不经九万里则不为昼夜倘如此则人焉能安寝食哉必天动于外而旋地静于内乃确然也又暦学疑问云问五星天皆以日为心然乎西人旧说以七政天各重相里厥后测得金星有弦望之形故新图皆以日为心但上三星轮大而能包地金水轮小不能包地故有经天不经天之殊然以实数考之惟金水抱日为轮确然可信（今谓是亦何得必乎）若木火土亦以日为心者乃其次轮上星行距日之迹非真形也互不相容如% BR2.26b此夫仰观俯察穷厥无穷测厥不测以达天地之情是唯圣者所得能而非凡庸之所得闚定也论西学偏纵臆度颠倒常理近世西学士矜其测器之巧恃其筹运之精偏谓天体可凭器而闚大块可任数而测故纵其臆度或为动或为静忽以天为地（诸星悉为人界是也）忽以地天（大地为星是也）人人百计惟情是度不知圣庸之分耶抑定不测之事于大荒之外孰能信其无徴圣者不言无徴良有以也论西洋精器不足凭% BR2.27a%西学者云吾天学非敢臆谭有象限仪百游仪地平仪弩仪天环天球纪限仪浑盖简平仪黄赤全仪等妙器及其余种种精巧奇绝具审测量精测算且诸器之中远镜最妙而颇察其实诚非荒唐之言揣摩之见今此言多足见厥谬何者大阳离地利西泰之取测得一千六百零五万五千六百九十里余（天经或问一之四十九号）又飞把救数之所测日大于地球（取半中径以为积）一千五百八十倍得逸骨之所测一千六百八十二倍古伯尔所测一千七百七十九倍闻迭而立牛数之所测一万四千九百零五倍迭剌飞列之所测三% BR2.27b万四千九百九十六倍其异大抵如是自余数家烦故略之得逸骨迭剌飞列两家之违天渊匪比（出大阳穷理了解说）必竟戯论何精算之有又天经或问云彗孛皆火也火气从下挟土上升不遇阴云不成雷电凌空直突至于火际结聚不散附于晶宇即成彗孛游艺搆造巧辞瞒盱当时彼托言远镜以为实测人惑为信然西洋新法竝皆谓彗星是一经星也和兰名之数佗耳铎数蹋耳■此译尻尾星其说曰此星惟透 ＝扌＋四÷方体而受日光于厥表白影现于厥后（亦是巧说何足为凖）其说纷纷其谁是凭天经或问即曰各有测算之法测量% BR2.28a%之器实非荒唐揣摩之谓直是一毫不爽者而人人测量乖违不啻空壤世未曽闻推数有数百万是违而犹尚称精者也荒唐莫甚焉夫经常也百世不能得而易之谓也游艺今题其书称天经或间而其书今悉为人所易者何也且夫言新法者焉能保百年不为人所易其义耶今设百州有百豪杰而更论天象则其说必皆不齐何者以寻常之智测不测之事于视听之表谁得而知其正故圣门之徒阙不言寔有由也经曰日有食之不曰月食日内其辞者圣者述其所见而阙其所不见是所以立言正大而万世% BR2.28b不能易之也若有言则必有所稽而果徴矣故为万世所法如周髀是也近所将来西洋新法之天学厥义益新奇如以宿曜悉为世界以地为星臆断不经无有底极然而其书篇篇新闻事事极巧故泥者甚众矣夫释氏之道则慈悲为根实相为体以达万法之元而极流转还源之本末也孔门则仁义为宗天理为极葢真则阐迷情俗则维彛伦竝务厥急好奇务愽君子之所不取也况无己智分求事于大荒之外岂贤哲之所为哉印度天说% BR2.29a%印度天说大异汉西两土印度从大古至于佛世大仙出兴相继不绝各有所说竝得深禅而发五通天眼不昧故上极非想下至阿鼻其于考核暦象推歩薄触等术精而详矣发宿命通粗知三有之因果以天眼神境审二十五类之依正所以与汉西两土偏就人趣说于天地者异也人能味之则足知彼此之说各其所以然之理也印度所说之天者乃是果报依处而非谓如卵■碧瓈者也所谓六欲天色无色 ＝士÷冖÷卵＋殳等诸天是也六欲中初二天在于须弥中诸曜宿名空居天竝属初天亡关今所论故畧之倶舎婆娑等% BR2.29b诸论详具其说夫印度内外经典竝皆分器界为三诸天随为三部所谓欲色无色是也如是者法尔自然而不可不然之理也其知所以然者必由修禅是名九次第禅也盖修习禅定者必先发欲界定此定有麁住细住之浅深可以知欲界六天果报差别于是加行进修者发根本四禅乃色界净妙四大（地水火风也）直入此身定中发种种妙触此四禅一一有重重麁妙于是识得色天有十八差别发天眼等六通必依此定而修之故名之依地复进修无色四禅其言广在经论非可尽于此也则印度之明器界非任数% BR2.30a%推理以言之者也按彼地在于上世如得四禅等者才是世禅之一分人无称之者其为世所知识者皆优游深禅莫不自在五神通等印度经论所载不遑枚擧支那亦至汉已后及唐宋发四禅及深禅者比比见于僧传吾皇国得道者不甚多而如神变泰澄法道等深浅难测者亦不一而足也若得九次第禅者欲色及无色诸天自现定中皎然如对明镜天地之相无复可疑非啻不疑之当此时豁然洞了天地吾人元是一识一精明今时浇季虽无得深境者然日月丽焉星辰列焉岂修之而无应哉舆薪之不见% BR2.30b一羽之不擧其责果将谁归若其发欲界及未到等浅定者未能得天眼而于其法无毫所疑譬如临渤海者未渡而不疑深广瞻泰山者未登而信高广如得深禅者直彻视尽天地独自明了与夫器测筹运之所摸索不可同日而论也地形第三之一 凡八条辨地体有三曰支那曰西洋曰印度支那又有诸说今畧明浑盖之二浑天家曰天地如鸟卵天包地外犹■之里黄周旋无端其形浑浑然故曰浑天天表 ＝士÷冖÷卵＋殳里有水两仪转运各乗气而浮载水而行（晋宋魏等歴史大抵% BR2.31a%若同）如此说则天如卵之■而地其黄海即其清故言 ＝士÷冖÷卵＋殳日月转地下出入海中实卤奔之甚何足深议马融郑玄扬雄等强立理引证排葢张浑时人服其愽而不疑今世谁亦肯之岂可不谓不经哉论周髀大概则谓地法覆槃中高外下北极之下为天地之中其地穹隆而高六万里滂■四𬯎三光隐映以为昼夜 ＝汔－乙＋巴其义髣髴不异须弥圣者所测其义冥契谁不俯信葢周髀者实支那天文暦数之祖法也后世虽多异说皆莫不私依倣之自非上圣其孰埀法于万世也哉故如周髀所言七衡六间日道之高卑等率与印% BR2.31b度西洋之说合夜国等之义数千载之下果见厥徴信与浑天使日月行于水中者岂同日而论之耶又如西说或为地如弹丸或地为星或星为地或使天地无动静在可谓不经之甚矣与周髀之万世不能易之者其将孰取其佗虞喜姚信等异说纷纷何足劳笔哉知地之高六万里者盖以三光隐映而为昼夜故也其他大抵前已具之故今畧之若欲详知者周髀算经幸见行于世可就以捡然近人据暦算全书加注牵强浑盖以混之妄作图解画蛇添足见者请勿惑误焉% BR2.32a%周髀大地图% BR2.32b论西洋所说地体西洋说者汤若望罗雅谷利玛窦艾儒畧等数人所论而名之古说明末始入于支那者也其说谓水地合一圆球而在天之最中天虚而恒旋于外地实而永静于内而四靣洼者为河海突者为山岳平者为原田而地球之量周围九万里直径二万八千六百四十七里一百五十九丈七尺一寸何由知然曰随地有极星高低故暦学疑问一云地之正圆无疑也是故南行二百五十里则南星多见一度而北极低一度北行二百五十里则北极高一度而南星少见% BR2.33a%一度若地非正圆何以能然至于水之为物其性就下四靣皆天则地居中央为㝡下水以海为壑而以地为根水之附地又何疑焉所疑者地既浑圆则人居地上不能平立也然吾以近事徴之江南北极高三十二度浙江高三十度相去二度则其所戴之天顶即差二度各以所居之方为正则遥看异地皆成斜立又况京师极高四十度琼海极高二十度若自京师而观琼海其人立处皆当倾跌而今不然岂非首戴皆天足履皆地初无欹侧不忧环立欤然则南行而过赤道之表北游而至戴极之下亦若是已矣% BR2.33b按地球之说原元西域（指回回）札马鲁丁所造元史天文志云昔来亦阿子汉言地理志也其制以木为圆毬七分为水其色绿三分为土地其色白画江河湖海脉络贯串于其中画作小方井以计幅圆之广袤道里之远近今地球是也西儒盖又从加精耳而确执以为天地体状彼以随地有二极高低为地圆之证是大不然二极有高低者由其远近故尔非由地圆而有高低也请以近事谕之今树两表南北相距十有八里（拟百八十度）其崇三丈六尺（拟三十六度）置大炬火于两表之端（拟南北二极）而人立两表之中间以视炬火% BR2.34a%其炬当如委地（拟见南北二极于赤道下）人行少北则北则北炬少高而南炬少低益北则北炬益高南炬愈卑而其穷竟失矣非失远而令然也其南行亦复如是二极之从地高低隐显何因地圆之有哉论西洋所定地球经纬之里数甚非西洋定地球经纬之里数法曰测北极高低二百五十里而南北倶差一度故二百五十乗三百六十则得九万里也是既实测非揣摩之说然是此测騐未可遽以为的证也何则以二极高低测南北纬度者唯可得知二极距离之度而不可得知周地之度也% BR2.34b况于因是以定东西周地之度耶是固执二极出没全因地高低遂以为标凖以定经纬而限周地为九万里也噫寰宇之内岂如是小隘者乎其于周髀说四极周围二百四十三万里殊为天渊而于印度之说则不当其万一遂令人怀疑于佛教是不可不辨也广舆记二十四云西洋古里国去中国十万里又云祖法儿自古里西北海行十昼夜而可至是亦必不下数千里而亜墨利加者远于此为益遥要之从吾皇国迄亜墨利加西海其道程依稀将二十万里假令水陆曲折减其半犹当不下十万里若使地周% BR2.35a%九万里则亜墨利加洲当在何地翻译名义集云成光子曰中天竺国东至震旦五万八千里南至金地国西至阿拘遮国北至小香山阿耨达亦各五万八千里夫自香山至南海十一万六千里而自香山至于北海过十余万里则阎浮南北亦将当二十余万里平陆有土之地既如此况复溟海倍苁之者乎是知今所行地球图与诸载籍不合者多按西域记云乌茶国东南境临大海濵南去僧伽罗国二万余里静天遥望见彼国佛牙窣堵婆上寳珠光明离离然如明炬悬烛乌茶南印度之境而直过海上二万余% BR2.35b里北距香山当十四万余里况对之北际之地则殆近二十五万里又云僧伽罗国南浮海数千里至那罗稽罗州州人卑少长余三尺则其益远亦更加矣南海传室利佛逝国日中人立竝皆无影正是赤道下之地也据玄弉义净传僧伽罗去室利佛逝不及二万里是犹非极南之地而北鉄勒等之地亦非极北之境而其路程几已将二十五万里焉彼之所谓地球全径不足今所引之半径者何也果知地球九万里之说谬妄不足据也论支那西洋以北辰为天最中其义多所塞% BR2.36a%支那西洋竝以北辰为天之最中厥义者难通者皇明通纪云永乐八年四月成祖北征次长清塞夜南望北斗五杂爼亦云成祖北征出塞三千余里南望北斗成祖北征之地者鞑靼清水源是也出一统志第九十广舆记外译余尝闻但州估舶曰至于北海大洋中见北辰在天顶当时甚疑之后■通纪始知 ＝门 免有此理通纪所云虽与元史所记四海测騐甚不合然六军所倶视岂其全妄哉则不知北斗正中之地果在何地若据印度之说则北辰当于阎浮提中央与通纪所言其义适合又西域闻见录云京师望北% BR2.36b斗偏直北西域望北斗转少北而偏西若西说则此义难通何者若地形圆球而北极当乎其正顶则从地球四靣望紫微垣内外当无有偏直不同譬如百尺竿头悬大炬火人圆绕而望之因人远近成炬之高卑则有之然必无有偏直不同之理兹知地球之说其非也若据印度之说则闻见录所言甚易知紫微垣者当阎浮提之正中而由厥地中边望之故如是耳论地球周九万里之说理甚非地球之说甚不合现量若夫地周九万里则从地平% BR2.37a%至地顶其道二万二千五百里（地周四分之一）以地平对于地顶高一万四千三百二十四里弱（地周之半径）若斯则姑十分之以计之则二千二百五十里而其高低千四百三十二里百二十歩亦百分之二里九十歩而其高低一里百五十五歩半强如此则从地平至于地顶如登崄崖从地顶至于地平急于下断峰若海上则其水之落几当如瀑布今观大洋一目了然万里平坦宛如碧盘其违于现见如是谁其许之曰地靣阎勾故不可如所论甚急曰殆非也今从其阎勾所算犹如此若从其弦则其急又益甚矣夫从地平% BR2.37b至于地顶其弦二万零二百五十六里二百二十三歩弱而其高低一万四千三百二十四里弱勾之与弦差二千二百四十三里余则其急更如何哉曰泰西所立非如子之所论地体圑圆人因其所居以为上下之谓耳故随处皆地顶随处皆地平而无常地顶常地平上下亦从而然则何有如登崕下峰哉曰不然请试徴其非从昆仑出四大河其一者支那黄河（印度名司陀河司陀岂支那之转）从昆仑无热池流五万八千余里入于东海其二名曰恒伽河同出无热池流十万余里而澍东南海其三名曰辛头河流亦五万八千% BR2.38a%余里渐于西海其四名曰缚𫇴河流五万八千余里而入西北海（出婆裟等诸论）此四大河源出阎浮最中最高之处各流数万里而渐四维之海地若无常高下则四大河何各自四方流乎若凖西说以言之则赤道下高于昆仑当乎万余里（言若从居赤道下人言之则昆仑殆近地平故也）然反恒伽河从昆仑流殆至赤道下者何也水岂使得逆流哉其违于现量如此朱子曰大抵地形如馒头此言甚得之又西域闻见录曰回疆地势高星光灿烂如埀又朱子语类曰骨利干其地天地相距不甚远是故夜甚短而不亦太暗可见地非无常最高% BR2.38b处岂得谓随处为地顶耶今且当以小拟大物倘有如此高低则物奚得安立其上哉地球可随而知耳地球一分千里之图% BR2.39a%西域记云自南印度乌茶国海濵静夜遥望见僧伽罗国佛牙塔上宝珠光明离离然如明炬悬烛也而其相距已二万余里则僧伽罗卑于乌茶当一万四千里若彼西说理当如临渊底星影安得望之离离然如明炬悬烛哉且晋书天文志云凡候气之法气初出时若云非云若雾非雾髣髴若可见初出时森森然若桑楡上五六尺者是千五百里平睨则千里擧目望即五百里仰瞻中天即百里内平望桑楡间二千里登高而望下属地者三千里既曰高瞻中天者阻三千里则登高望下属地况其远二万余里非% BR2.39b彼塔大高于我则理必不可见而反下于我殆一万四千里则安得望之离离其非灼乎明矣论西儒谓物附地不坠大气压之义违现量西儒谓地球正圆元无上下人自为上下之谓耳物着地不坠者大气压之故也而其意亦有不充于是故近别搆造新意谓物皆有引力重力其所以着地而不坠者由地球心力能引之令不坠故也西人测游气力以造气舩载人行空功智即如是然而遂酖瑶厥术恢张险僻蒙骗天下之人令壤地运转令人倒立诡异玩弄无所不至是因以地为圆随为臆断% BR2.40a%不知所止耳今谓大气压故令物不坠则物皆悉可尔然能压磐石河海之重而不能压云烟埃雾之轻者何也且専辨诸力以解物附地之理而有甚自塞既曰地转一昼夜一周然则一周九万里疾过电光其旋运之势当飞盘石逆河海岑岭飞腾五岳反复而寰宇体状大不然风息太虚则寂寂寥寥云烟飞鸟卷舒无心东西随情且未见晨霭夕雾腾空而为动气所引其纰缪可见耳论日月转于地下之说违现量如西儒说地圆而日月转于地下则有甚难会者造% BR2.40b化论云泰山有日观峰鸡鸣日既升又唐书天文志云十三年南至岱宗礼毕自上传呼万歳声闻于下时山下夜漏未尽自日观东望日已渐高又登皇国富士者曰于山顶寅初刻既覩日方升若日升于地下则不问地之高下日未逾地平其光当不照地上由地平障之故其光不能及我虽曰高山为地平所障同平地则山上山下日出不可有如是甚不同今以比例喩之西儒云月在地影之上日在地球之下日光不能照之故失其光而谓之食渐出地影之外日能照之则渐复元光食悉由地影之蔽又西儒测% BR2.41a%曰月离地心四十八万二千五百二十里余而月之大地球之三十八分一弱夫以三十八分之大与数十万里之高而尚或有为地影所掩殆及二时者（约皆既之食以言之）泰山虽大不足月量万分之一富士虽高孰与月之高夫渺茫之高万里之大犹为地影所掩不受日光十有余刻然今以地上之卑与孤峰之小（泰山犹对月以为小）日未逾地平反先蒙日光者何也故知为日月转于地下则不合现量就图而以捡焉今且从西儒月蚀之理以比例之若日在地下则日光不得及地上逾于地平而始及地上图% BR2.41b月入暗虚而食图论日月横旋能合现量浑葢是非聚讼久矣何徴决之如北极下地半歳日常不没曜宿轮环若伞葢然是即盖天之明据乌得% BR2.42a%非之若言地定正圆故从极下左右之地则为葢天固亡论若从赤道前后之地则谓浑天而日月转于地下亦可是亦不然今见騐日月不绕于地下夫天将晓云气叆叇宛如横■布帛极目千里延漫敷濩 ＝方＋色岂非横旋之徴哉凡云烟为象气为之宰云元轻虚内无制其动者太阳横旋之气射之以成是象太虚无物惟有大气存耳曜宿之运载也职由之若夫曜宿出人地下则晓云之象恰当如喷于下然未曽一见其象如是唯常覩阵云千里如■布已岂非横旋 ＝方＋色之象确乎而明哉登于高峰而见日出甚蚤者以虽% BR2.42b极远横旋而不在地下也今登高瞻望则目力能及乎远可以验耳又夏至前后日将出时发于寅位云气横疉如曳尾暾晖远映滚转北指子位日没后霞彩明赩挟帯余晖横沈北天屡騐恒尔横旋之象岂不明哉若凖极北半年日常不没地则日月横旋固亡论若尔者横旋则见有其徴竖旋则无一有其徴谁有舍有其徴而从无其徴者哉虽西儒搆造地圆之说而言从正帯之地则日月竖转于地下地圆者非所共许人焉取汝之家丑今复徴地圆之非广舆记一统志等并曰泰山其峰曰日观鸡鸣日既升泰% BR2.43a%先照高山图% BR2.43b山在济南厥平陆北极出地不过三十七八度然山头观日已于四更则日出理在丑位（何由知然日之出没若卯酉若寅戌则行度与时刻不合故也）日没亦应当于亥位日出已甚蚤则日没亦甚晩出没理均故也如是则十分而已见九分圆绕虽其余一分理当不止观日体而余晖在于子位所谓正帯地犹见日月横旋（见日已然则月亦可凖知）已如是则天下为盖天皎如白日又极北之地极短夜则少顷而天明日观峰亦粗同是倶因地之高故也耳非因地圆日行有横竖灼然明也佛国暦象编卷之二终
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% BR3.1a佛国暦象编卷之三平安东森隐士无外子释圆通 撰云阳 空谷子释智毂 校地形第三之二 凡十六条论后世地动之说应佛悬记西洋新说奇儿尼通骨百耳尼得逸骨等诸人皆主张地动谓地球一旋是为一昼夜转三百六十是名一年即一周天也其说最奇（西洋古说家亦不肯取之如暦象考成所排）而其新说亦不一凖或曰太阳是天之最中或曰地球是中心异说沸腾支泒益滥使人无所止焉按地% BR3.1b动之说不独今日汉末亦已有之考灵耀曰地有四游冬至上北而西三万里夏至地下南而东三万里春秋二分其中矣地常动不止譬如人在舟而坐舟行而人不觉虽如西说不甚奇人犹不取之要秖不出臆谭故也今西儒所立地动之说而诡异更甚近人好奇溺而不自知也而夫佛陀者天眼穷三际将来之事早已知之豫为防之以垂之慈悲立世阿毘昙一云有诸外道作如是说是大地恒去不息是言应答此事不然若实尔者如向上掷应不全地又诸外道作如是说日月星辰恒住不移大地自转疑是% BR3.2a%天回是言应答此事不然若如是者射不至堋又诸外道作如是说大地恒浮随风来去应如是答此事不然若实尔者地恒并动若不尔者地作何相地住不动佛悬知邪说之起豫记如是新说地动家种种奇说皆不能出此三说范围也（佛之悬记其类甚多果有厥徴皆如地动可见通明不徒然）据佛记立现量以駮新说地动及太阴为地之副星之非西儒新说曰水金火木土五星与地球合为六大曜又名六惑星（言此六曜恒动其居而无所在焉使人惑故名）各旋转不齐如% BR3.2b地球转一周是为一昼夜转三百六十五回是名一歳如土星转一万零七百五十九回余是为一周天余之四星凖之又歳星周围有小星四镇星周围有小星五以望远镜测之并有亏盈是以并之大阴名为副惑十星原其说所由据以望远镜窥得土木二星傍有小星而时陵犯遽以为太阴之于地球犹如是遂搆造此一大诡异以煽惑人今请凖佛说立现量以辨其非彼曰地转一周为一昼夜夫地球九万里一昼一夜而一周地则其行非速于箭大凡二十四倍则不能也岂有此理哉（试测箭行量人息一呼箭行几不过五十歩一% BR3.3a%吸亦然凡人息一昼夜而一万三千五百故呼吸合成二万七千故知箭行一昼夜而得百三十五万歩乗以二十四恰成三千二百四十万歩九万里则亦三千二百四十万歩故得两数正适当故云速于箭凡二十四倍）若尔则如人向东射者其箭当后于堋二十四倍盖箭在于空而人与堋着地箭行迟于地旋而地旋速于箭则当比箭及百歩人与堋随地倶转先于箭凡二千四百歩也论所谓射不至堋是已如其向东射者终必不得至侯如其向西射者箭离弦未过于空倐尔及侯而如其南北射者亦终不得中侯也飞鸟行云皆类之其违现量如此且也太极分为两仪万物以化醇生生之理确乎不可秡也在天则% BR3.3b为日月在地则为水火在人则为男女是其昭乎若观火无可以疑者也况其余亿万无数之物皆莫不系两仪作用者 皇国神教支那印度圣藉皆不外于此而今外藩奇说使地转速于电光以为一大惑星以太阴为小惑星抱地旋转愚弄三国神圣以纵其狂黠吾曹焉得不务辟斯邪说哉若果使之横行方域之内则东方君子之风扫地而销歇蛮夷奸险之俗必浸瑶民心岂非大可惧乎有心之人其思之论印度所说天地体状及其舆地与西儒所言五大洲大略脗合且西儒所言印度地界与圣教% BR3.4a%等所载大不同是不蹈其地而妄推者印度所说天地者大异西洋之说所言天者乃是果报依处而非谓如卵■碧瓈者所谓六欲天色无色 ＝士÷冖÷卵＋殳等诸天是也此事甚广虽非可尽于此今且略言之若其详见于倶舎婆娑等诸论所谓地者倶舎世品曰诸有情业増上力先于最下依止虚空有风轮生广无数厚十六亿由旬（由旬新曰逾缮那此云合谓法合应尔由旬有大小或八十里或四十里或十六里也）如是风轮其体坚密假设有一大诺健那神（乃大金刚神也此云露形神）以金刚轮奋威悬击金刚有碎风轮无损又诸有情业増上力起大云雨澍风轮% BR3.4b上滴如车轮积水成轮如是水轮于未凝结位深十一亿二万由旬间如何水轮不傍流散答有余师说一切有情业力所持令不流散如所饮食未熟变时终不流移堕于熟藏有余师说由风力持令不流散如篅持谷（竹圜盛谷曰篅）有情业力风别风起搏击此水上结成金如熟乳停止凝成瞙故水轮减唯厚八洛叉余转成金轮厚三亿二万二轮广量其数是同谓径十二亿三千四百半周围其边数成三倍谓周围量成三十六亿一万三百五十逾缮那是名风水金三轮也三轮上又有地轮地轮有九山八海以为六趣% BR3.5a%依止处也倶舎曰于金轮上有九大山妙高山王（梵云须弥）处中而住余八周匝遶妙高山于八山中前七名内第七山外有大洲等此外复有铁轮围周匝如轮围一世界持双等七唯金所成妙高山王四宝为体谓如次四靣北东南西金银吠瑠璃颇胝迦宝随宝威德色显于空故瞻浮洲空似吠瑠璃色如是宝等从何而生亦诸有情业増上力复大云起雨金轮上滴如车轴积水奔涛其水即为众宝种藏由具威德猛风钻击变生众宝类等如是变生金宝等已复由业力引起别风简别宝等摄令聚集成山成洲分水% BR3.5b甘咸令别成立内海外海如九山住金轮上入水量皆等八万逾缮那苏迷卢山（旧曰须弥此云妙高）出水亦尔余八出水半半渐卑谓初持双山出水四万乃至最后铁论围山出水三百一十半如是九山一一广量各各自与出水量同天龙神鬼等八部种族人非人等地居有情皆依于此而住也次八海者倶舎曰妙高为初轮围为后中间有八海前七名为内七中皆具八功德水如是七海初广八万约持双山内边周围量于其四靣数各三倍谓各成二亿四万喩缮那（乃二十四万由旬也）其余六海量半半狭谓第二海量广四万乃% BR3.6a%至第七量广一千二百五十此等不说周围量者以烦多故第八名外咸水盈满量广三十二万二千逾缮那次四大洲是乃人趣所居也倶舎曰于外海中大洲有四谓于四靣对妙高山南瞻浮洲北广南狭三边量等其相如车南边唯广三逾缮那半三边各有二千逾缮那东胜身洲东狭西广三边量等形如半月东三百五十其三边各二千西牛货洲圆如满月径二千五百周围七千半北倶卢洲形如方座四边量等靣各二千复有八中洲是大洲眷属谓四大洲侧各有二中洲瞻部洲边二中洲者一遮未罗洲% BR3.6b此云猫牛二筏罗遮末罗此云胜猫牛婆娑一百七十二云此八中洲一一复有五百小洲以为眷属于中或有人住或非人住或有空者立世阿毘昙云尔时佛告比丘迦楼罗鸟所住四洲其东弗毘提南阎浮提二洲中间有迦楼罗洲南阎浮提西瞿耶尼二洲中间有迦楼罗洲西瞿耶尼北郁单越二洲中间有迦楼罗洲是鸟洲者围一千由旬洲形团圆一切皆是深浮留林迦楼罗鸟住在林中洲外水下并龙住处龙居此地按西人赍来地球图亚细亚欧逻巴亚弗利加三州者乃印度所言瞻部洲是也彼分壃% BR3.7a%以为三大洲者甚广大故也印度总为一大洲者一壤地故也而今西洋地球图与圣教所言甚合倶舎曰瞻部州北广南狭其相如车（印度车者前狭后广形近三角）三边各二千由旬（一边之葇当八万里）南边唯广三由旬半（即百四十里）形颇三角彼之地球所图亚细亚等之三大洲元一壤地而其形东西北三边广葇大约各等独南边狭而甚尖与诸经论所说其象大合盖西人所传贾舶杬海所亲见者故亦如此伹西图则其形斜三角圣说则似正三角盖西图则虽亲见而图广远之境目力之所不及亦唯取其全形于臆想中非如天眼所% BR3.7b照独可信者也又圣教所明二中洲遮末罗者即墨瓦腊泥加其筏罗遮末罗者亚墨利加是也此二中洲西人曰近世有人始知海内有此地故用其人名以名其国然圣教具明其国则天眼所覩徴信如白日可知吾党非逞偏执也又倶舎曰此八中洲皆人所住人形短小如此方侏儒西域记曰南海那罗稽罗洲人卑小长余三尺又梁书诸夷传倭其南有侏儒国人长三四尺又唐书南蛮传云室利佛逝国咸亨至开元遣使又献侏儒僧祗女各二并皆出于南海是乃似倶舎及婆娑所言遮末罗人即当南方墨% BR3.8a%瓦罗泥加又倶舎曰此二中洲又各有五百小洲属焉今之所引那罗稽罗及侏儒国等盖皆亦其小洲耳利玛窦所著万国图并近年兰人将来地球图三四种其所注甚多杜撰又其所图多不合诸典籍如灵鹫山置于南海普陀落图于东洋又如须达长者之居趾在于暹罗非一读印度之书者之所可信按其锡兰嶌者（彼谬为灵鹫山）恐是楞伽山又彼地球所图五印度之壃多不合西域记慈恩传南海传及所有大藏之说西域记云五印度之境周九万余里三埀大海北背雪山北广南狭形如半月画野区分七千余% BR3.8b国时特暑热地多泉湿北乃山阜隐轸丘陵潟卤东则川野沃润畴垄膏膄南方草木荣荗西方土地硗确斯大概也然彼地球所图广葇倶不过三十度约之鸟道则东西为七千五百里南北亦尔按地理志支那之广约鸟道经纬并三千里支那尚尔况五印度则在昆仑之南阎浮中心而沃野万里天府之地也经说阎浮提十六大国皆在印度玄弉三藏西域记曰周九万余里义净三藏南海传所言粗亦同盖此二师躬自歴览所记及当时王玄策等数千人身至其地而所闻见西域南海岂叙记虚诞以自欺欺% BR3.9a%人耶由是观之则彼地球所图但擧大概者而不必精选也且归化西儒所著职方外记万国管窥等亦不能无疑大约目所未见语多矛盾例如六朝已后歴代诸史明一统志清广舆记等记吾皇国之事不堪捧腹者甚多盖皆是记其传闻者而与玄弉义净等三藏久住彼土记所亲闻见者大异者断可知也辨北地有夜极短之国有人疑曰若实有须弥山而日月绕其半腰则万国昼夜自当齐同无甚长短之差也然歴史纲鉴二十云骨利干于铁勒诸部为最远昼长夜短日没后天% BR3.9b色正曛煮羊髀适熟日已复出矣又唐书天文志云铁勒回讫在薛延陀之北去京师六千九百里其北又有骨利干居澣海之北北距大海昼长而夜短既如曛不暝夕胹羊髀才熟而曙盖近口出没之所今按此事甚易晓盖以其地高也泰山日观峰鸡鸣日既升可知骨利澣则高于泰岭矣朱子语类曰唐太宗用兵至极北处夜亦不曽太暗少顷即天明谓在地尖处去天地上下不相远掩日光甚不得盖详日行有高卑须弥及七山有广狭高卑瞻浮洲地有高低差降是故受日光不侔致令处处昼夜有长短按% BR3.10a%元史天文志四海测騐铁勒北极出地五十五度夏至晷景长五尺一分昼七十刻夜三十刻唐书天文志曰北至铁勒之地挍其里数已在回纥（又曰回回）之北又南距洛阳九千八百一十五里则极长之昼其夕常明然则骨利干犹在其南矣（元史曰铁勒夏至夜三十刻似与唐书所言不合而铁勒广数千里山岳崄峻而高低极甚故测騐当随地而多差例始泰山山上山下日出大有迟速）可知其地愈高其夜愈短其地益卑其夜益长昼之长短反之是无他北边金山有高卑故障于日光亦有差降南洲地亦以有高低故其日光射照■有 ＝至＋攴早晩也耳% BR3.10b证北极下有一年为一昼夜国竺汉古昔已有其说西说北极左右各二十五度之地半年为夜半年为昼昼亦不甚明犹正帯地申时日傍地平而绕是名夜国界此说非肇西说先圣既已言之周髀筭经云春分夜以至秋分夜极下常有日光秋分夜以至春分夜极下常无日光又云凡北极之左右物有朝生暮获赵君卿注云北极之下从春分至秋分为昼从秋分至春分为夜物有朝生暮获者亦有春刍而秋熟又曰北极左右夏有不释之氷（左右者指璇玑二十万里之外）古% BR3.11a%昔远西未通于支那圣人唯由理以推之于数千歳之下果有徴信岂不伟哉又涅槃经曰日月光明不至处之众生因佛光所照迭初得相见又立世阿毘昙论曰时有一人曰长胫生有神境通因欲见阎浮树徃问佛佛教以方处长胫从教逾于六大山登第七金边山顶转靣向北耸身远望唯见黒暗怖畏而反阎浮树者在于阎浮提极北（此洲因有此树故名阎浮提）而此所言长胫之见黒暗者其时盖当极下之夜间也何者长胫如遇极下之昼则必见此树而不见其黒暗矣而其夜国亦非常夜也半年为昼半年为夜而从% BR3.11b其夜得名也所以是地然者大阳毎从春分向赤道北日渐高于北近于北及夏至北至是极而高亦极焉太阳自此还向南行日卑日远至秋分复在赤道此限百有八十日日照恒及于北极下乃是夜国之昼也故周髀云春分以至秋分昼之象注曰北极下见日光也日永主物生故象昼也自秋分太阳向赤道南日渐卑于南及冬至南至是极而卑亦极焉（最卑与冬至时有小差今且从大约）太阳自此还向北行日高日近至春分复在赤道此限百有八十日恒不见日光者周髀云秋分夜以至春分日外远极故日光不及也% BR3.12a%论须弥半腰所以下碍日光之理夜国半年为昼半年为夜之义已粗得闻之然若据印度说则此义似最难晓何者及日绕坎位须弥遮日光故不得日日无夜人皆苦其难会谓是自不达耳立世阿毘昙云从阎浮路内至郁单越内路相去四亿八万八百由旬周回十四亿四万二千四百由旬其外路者相去四亿八万一千三百八十由旬周回十四亿四万四千四百四十由旬而其日月回照轮者径四亿八万一千九十由旬周回十四亿四万三千二百七十由旬（此中皆以十万为亿）以昼夜百刻除之一% BR3.12b刻日行正当一万四千四百三十二由旬七分（即一由旬十分之七）则须弥半腰二万由旬之障日光者才当一刻三十八分五十七秒四微据暦法黎明旭晖先发日出前二刻半余晖照日没后二刻半而须弥半腰障日不见日体仅可一刻强而其前后旭晖余晖相挟照故虽其少障间犹齐月中桂影而其山腰亦极远人不能见也是姑凖人间土石之山以为言而况须弥是胜果天宝非人间所有也经曰由须弥宝光四天下虚空各异厥色及日既没于南洲而中西洲有时空色如红者须弥西靣赤颇底迦宝光映虚空余% BR3.13a%晖延及我南洲之所为也又阎浮提虚空常靑色者以须弥南靣瑠璃宝光映于虚空故也（起世经云须弥山王北靣天金所成照郁单越洲乃至南靣天靑瑠璃所成照阎浮提洲）如西域记曰狮子国佛牙塔上宝珠光明如明炬悬烛隔二万余里而犹能见于乌荼国尝闻其宝者即颇底迦也则太阳过于须弥时宝光必大助日光矣自夜国至于须弥凡二十万由旬而宝光助日光则其必无翳障可知也（又金光明一叹佛身金色之光明曰金色晃曜犹如须弥又证宝山光明者立世二曰北边有山名曰修槃那般娑此译云金边山秋月天晴不雨最放光明有人至大黒山顶仰观北面遥见彼山光明照曜因相谓曰是须弥山我今已见天上是金边山阎浮北边宝山光明尚已如是况须弥是天宝其光明何啻% BR3.13b金边之类乎哉）辨日光不及夜国限分须弥半腰不甚碍日光故自春分至秋分日光及于夜国则不俟辨可知而自秋分至春分日光不及夜国者其南边之障有二縁谓由太阳卑行与阎浮地形其北边之障亦有二縁谓由太阳高行与须弥掩蔽今详北边日障者谓南洲冬至则北洲夏至南洲夏至则北洲冬至故日躔高卑亦互易时彼最高则此最卑彼最卑则此最高是以秋分后南边日躔益卑且为地顶所碍其照不及焉其北边则斯时日躔% BR3.14a%益高而须弥上半碍之其照不至焉起世经云须弥山王上出海水八万四千由旬下狭上濶渐渐寛大端正殊特盖南洲秋分则北洲春分而北洲日躔日日高故日光为须弥山顶寛广处（横八万四千由旬）所碍而其左右（此东西日道在中䂓已下）又为诸高岳所含其照不能及夜国也次审其南边日障者谓秋分后日在北天则最高行在南天则最卑行而渐远于北渐下于南是故日光为地顶所障地顶者昆仑是也地顶高凡二万五千九百余里（地顶者详之下篇）加之北边地势崄而甚祟且修槃那鸡罗婆等北边峻岳重疉隐蔽以阻南% BR3.14b天日光若日出东下䂓时东海高岳碍日照若日没西下䂓时西海峻岭掩日光正法念经身念处品说阎浮提西方山海曰彼以闻慧或以天眼见此大海过五分已有大轮山真金所成高千由旬广五百由旬复过轮山已见大海有大山名曰白山多有林树其色白净水沫围绕高一千由旬纵广五百由旬复过此山已见有大山名曰善云高百由旬广六十四由旬空无人住过此山已有玻瓈山高三千由旬广千由旬乃至须弥西靣名曰没山日至此山阎浮提人谓之日没故名没山又同经说东方山海曰海中% BR3.15a%有山名光明鬘高一百由旬纵广三百由旬白银所成复见大波海北有一大山名阿奴摩那广十四由旬白银庄严复见有大山名曰善慧一切阎浮檀金广千由旬高五百由旬是名阎浮提东方山海（经说四大洲山海文甚广故今畧擧东西之一二耳）又同经观天品曰须弥山持诸世间处于六万众山之中六万众山以为围遶高峻广大峻岳藩围其东西可以见是故秋分已后日道以距北日远且卑故南为地顶所碍东西为众峰所掩日光不能及极北之地也春分已后日道日高且日近于北故日光逾越三边地顶高峰直得照临夜% BR3.15b% BR3.16a%以一万由旬为一分九厘五毛法之□图% BR3.16b% BR3.17a%须弥七金山及四大洲半靣略图% BR3.17b% BR3.18a%南阎浮洲图% BR3.18b国也虽然自非详七金山之体状及阎浮提之地形深捡昼夜之暦理等不胜分晓疑难故别广考广证以附编后请徃而捡焉今才图少分以彰焉耳论日光经度阎须弥及与地顶等开掩日光之所为则既得闻之然周髀为日光所及左右各十六万七千里今佛说为日光自北洲及于南洲北极下则理非甚乖乎曰不然也自北洲回照轮至于南洲北极下径度恰当四十八万零五百四十五由旬据立世阿毘昙回照轮径度四十八万一千零九十由旬也是故其照尚% BR3.19a%能及极之南五百四十五由旬所谓泰山峰鸡鸣日既升其言足信矣（泰山者距北极凡三百十二由旬余）问立世阿毘昙曰日光经度七十二万一千二百由旬是合左右数也折半之则三十六万零六百由旬故知日光从北天不可及南方之极下也曰所言日光经度则折半日行内路数而日光方及三洲之量也是就常照三洲平陆以立限者而其义与今异也若尔者何由得知日光及四十八万一千九百由旬耶曰日光恒由开覆月宫故令月亏盈而日若在北方外路而月在南天外路则相距几及四十八万一千三百八十由% BR3.19b旬（日光开覆月宫日日三由旬三分三十三秒）今之所据是也然今以理推之夜国从其坎位受日光者甚幽渺而可类自高峰才见夕日日虽在午之时犹当类此方申时况日在子位乎论阎浮提地形问前篇徃徃言日光为阎浮提地顶所碍故其照不及极下地而未明其理请闻其详答欲知此义者须先知地顶有三处其一朱子语类曰唐太宗用兵至极北处夜亦不曽太暗少顷即天明谓在地尖处去天地不相远掩日光不甚得周髀曰北极下人所居% BR3.20a%高六万里西域闻见录载回疆风土曰一日则见月如线而钩地势高星光灿烂如埀（回回其地近于极北）愽物志曰北太行（山名）而北去不知山所限极处亦如东海不知所穷尽盖地势渐高于北故云尔也是此诸文并皆以极下为地顶也想阎浮提地势凖须弥及七金山渐高于北渐下于南也如皇国壤地虽不甚大北方多崄南方渐平即四州皆中心须弥而凖之势也理岂不然乎其二昆仑是也理学类编云大抵地形如馒头其撚尖则昆仑也（朱子语类据周髀以极北为地尖而类编则又昆仑为地顶其言矛盾何从乎自昆仑至极下相距数万里）山海经云昆仑之墟方% BR3.20b八百里高万仭（郭璞注曰皆谓墟基高轮高庳耳自此已上二千五百里去嵩高五万里盖天地之中也）禹本纪言昆仑其高二千五百余里日月所相避隐为光明也（凖上注是墟基已上之里数也）河图括地象曰地南北三亿三万五千五百里地部之位起形广大者有昆仑山广万里高一万一千里神物之所生圣人仙人之所集也出五色云气五色流水其泉南流入中国名曰河也其山中应于天最居中八十城布绕之中国东南隅居其一分是奸城也愽雅曰昆仑墟有三山阆风板桐玄圃其高万一千一百十里余水经曰昆仑在西北去嵩高五万里地之中也高万一% BR3.21a%千里（水经括地象等书其所言遽见则虽似诞深捡则皆有徴信是必神圣之遗传矣今如西说遽见则虽似是再捡则其义多与实乖不可不择也）楼炭经曰昆仑山者阎浮提地之中心也起世经曰雪山（此云昆仑）高五百由旬（即二万里也）阔厚亦尔其山殊妙四宝所成其四靣有四金峰挺出山外各高二十由旬复有高峰众宝间杂逈然秀出高百由旬（即四千里）于山顶上有池名曰阿耨达多（此云无热池）其池纵广五十由旬从无热池流出四河以注四维兴起行经曰昆仑者则阎浮提地之中心也山皆宝石周帀有五百窟窟皆黄金常有五百罗汉居之印度支那昆仑为地之中其义并同矣按从% BR3.21b阎浮南际金地国迄于昆仑麓凡十一万六千里凖导水六十分一之法（出于昆仑水经金地国而入南海故）度之昆仑之麓从南海高大约可一千九百三十三里余而昆仑高二万里其中峰高四千里故对之南海而言则昆仑高都当二万五千九百三十余里由是观之北极下之地高当不及昆仑而其地势廻连续昆仑之北陆地尚崄峻况崇山峻岭乎故诸文以北极下为地顶者多矣今据佛说以义断三之地顶则阎浮提地纵广二千由旬而其北极以南七百六十由旬是此人之所住其分限之其北极以北千二百四十由旬% BR3.22a%则皆神仙龙鬼之所住也若就人之所住而言则昆仑是地之最高处而且地之中也若就南方一天下阎浮一洲而言则北极下地是地之中心而周髀所言是也须弥是四天下之中央而人天八部之依处也其义散蔓大藏中故不烦辨论佛说与周髀有异同问周髀以北极为天地中心故与佛教龃龉悬矣如何会之曰是甚有由致盖周髀者定天地高广皆测晷景所得于圭表非偶然者又非毫出臆断者也如理法自然者何则北辰位于南方之处中而赤道以% BR3.22b北之众星悉皆拱之恰如盖笠适于阎浮之最中而轮环焉回照轮以北众星者秪转南洲一天之上不通四洲也如日东平安城北极出地三十六度则左右合七十二度如盖笠而绕见昼夜无没也若北极出地五十五度之地则左右合百十度其见界昼夜无没是分位之众星岂有转四洲乎其转四洲者翅所丽廻照轮内外众星曜宿等也由是观之周髀以北极为天地之中心者是亦出乎理自然也且周髀则如非啻测得南洲一天下又髣髴摸象得四天下者既测地高为六万里不如是则三光隐映理不当% BR3.23a%故也然昆仑高尚不过二万五千九百余里况极下之地高犹不及昆仑焉当六万里之高若尔者周髀所测抑将寄何地若欲由是舍之而是元所得圭表质测而圣智之所推非徒然何得为之不是哉但以北极为中心故似独测南洲一天下者支那圣教惟言人趣而不言有天趣等是故理不可谓一天下之外也而其至测地高则日月虽邈远有晷景无所遁者遂由三光隐映之理以测地高为六万里圣智之所推几称其实岂可不瞻仰乎而周髀中心北极而外立四极佛说四天下各立北极又各立南极是为% BR3.23b异已夫为天眼之用也上极非想下彻阿鼻其至论天地则以须弥四天下是名依报谈天人龙鬼等八部以为正报是犹天眼见之万一耳至其广论三有二十五有高远愽大非可尽于此吾家犹名之小乗藏况其大乗藏乎问印度亦有南极之说耶曰如南印度几逼赤道下故恒亲见南极也南海传云若欲取正方冝于夜揆北辰直望南极定其邪正的辨禺中可见直正对二极以植表而质晷景之邪正（传言持律者质时非时非为天文等设也）是佗邦所不可得而企也仍如详之下文% BR3.24a%论定北辰之所处汉西并皆以极星为天之最中虽学佛徒间亦有谓极星为须弥顶者然皇明通纪云成祖四月次长清塞夜南望北斗明志云成祖北征出塞三千余里南望北斗想自非顶北极不得南望北斗若由是言北辰非天最中者众星何枢北辰以拱之盖是一大节目不可不审详今据经论捡北极之所处赤道以南百四十五由旬是名外路即当二十三度半赤道以北亦百四十五由旬名曰内路一度则当六由旬十七分零二一三一度为二百五十里则一由旬恰当% BR3.24b四十里零五一七一五故自日月回照轮（此曰赤道）至于北极当五百五十五由旬三十一分九一七即二万二千五百里而与九十度适当经说为阎浮提南北广二千由旬从阎浮提地南际至北极相距七百六十由旬零三十一分九一七须知阎浮提北际过北极下之北尚有千二百三十九由旬二十八分零八三由是观之明成祖北征出塞三千里南望北斗亦不足为异阎浮提之地赤道以南纵广二百五由旬（即八千三百零六里零一五七五）赤道以北纵广一千七百九十五由旬也（即七万二千七百一十八里二八四二五）攷西洋万国图亚弗利% BR3.25a%加南际过于赤道三十五度乃是八千七百五十里经说为二百五由旬乃八千三百里余则两数依稀相近又万国图为亚弗利加之地际过冬至界十度奇（即二千五百里奇）经说为六十由旬（乃二千四百三十一里奇）亦两数髣髴相类至言其极北则荒荡孟浪无所凭盖南边则西舶能得亲到故其所言合实如极下之地人得而到者少矣况如极下之北则非凡人得而所踵暗算妄推何庶几其实哉虽然今古以北辰为天地之中亦甚有所以也是适于阎浮之最中故也人之所测焉出此外哉是所以称其自然也与印度之天仙% BR3.25b及佛陀广明三有二十五趣者岂全同哉辨由旬量由旬新译家曰逾缮那西域记云自古圣王一日军行旧传一逾缮那四十里矣印度国俗乃三十里圣教所载唯十六里新旧异说不易辨然旧译皆以由旬为四十里如长阿含楼炭等经日宫之量直为二千四十里阎浮树高为四千里类西域记曰圣教所载唯十六里何从乎今幸得厥据天文家测赤道南北纬度以为四十七度一度则当二百五十里是测北极之高低而得故最足为据也（以皇国里法则一度当二十八里四% BR3.26a%百二十歩）立世阿毘昙曰从极南路至极北路二百九十由旬日月于是中行无有减长置四十七度乗二百五十则得一万一千七百五十里以如二百九十由旬而一得四十里零百八十六歩奇（零里已下得五一七二四以里法三百六十乗之得百八十六歩奇）是即一由旬之量也旧译所言与佛说适合（论者即是佛直说故）旧译师皆非聊尔人必当有所禀𣴎而有百八十六歩之余分者必是度量之差矣详阎浮提北边有七林七河原夫阎浮提地出北极下之北尚过其半盖自古无人能到极下是以未曽有详极北之事者然周髀等% BR3.26b并皆北极为天地之中固无异说若尔者极北有万里之地亦奚疑矣而与西洋地球以亚墨利加为在北极之北者义大别是编处处散说可知也极北之地则皆神仙之居而非庸流之境也立世阿毘昙曰是阎浮树外有二林形如半月围绕此树其内有林名呵梨勒外名阿摩勒乃至是二林广五十由旬东西达海其南复有七林七河相间其最北林名曰庵罗次名阎浮三名婆罗四名多罗五名人林六名石榴林七名劫毕多林其一一林河广五十由旬东西达海林河相次互相间错阎浮地林河所覆七百由% BR3.27a%旬其劫毕多林南有六大国其最南国曰高流次曰倶臈婆三名毗提诃四名摩诃毘提诃五名郁多罗曼陀六名舍喜摩罗是六大国人皆贞善又经开是七林为三十其七中五林各开四以为二十林其二林各开五以为十林都成三十重林起世经一云于大海北有大树王名曰阎浮树身周围有七由旬根下入地二十一由旬高百由旬乃至枝叶四靣垂覆五十由旬边有空地靑草徧布○次有庵婆罗树林阎浮树林多罗树林那多树林亦各纵广五十由旬间有空地生诸靑草○次有男名树林女名树林删% BR3.27b陀那林真陀那林亦各纵广五十由旬边有空地靑草弥覆○次有诃黎勒果林鞞酼勒果林阿摩勒果林庵婆罗多迦果林亦各纵广五十由旬边有空地靑草弥覆○次有可殊罗树林毘罗果林婆那娑果林石榴果林亦各纵广五十由旬边有空地靑草弥覆○次有乌勃树林柰树林甘蔗林细竹林大竹林亦各纵广五十五由旬边有空地靑草弥覆○次有萩林苇林割罗林大割罗林迦奢文陀林亦各纵广五十由旬边有空地靑草弥覆○次有阿提目多迦蕐林瞻波蕐林波咤罗蕐林蔷薇蕐林亦各纵广五% BR3.28a%十由旬边有空地靑草徧覆复有诸池优钵罗蕐钵头摩蕐拘牟陀蕐奔荼利迦蕐等弥覆池上复有诸池毒蛇充满亦各纵广五十由旬间有空地靑草徧覆次复有海名乌禅那迦阔十二由旬其水清冷味甚甘美轻輭澄净此海中有转轮圣王所行之道亦阔十二由旬阎浮提中转轮圣王出现世时此中海道自然涌现与水齐平（此经阎浮提为七千由旬盖从小由旬量又小林三十□各五十由旬及诸池各五十由旬七池合三百五十由旬及乌禅那迦海等通计近二千由旬亦从小由旬也又经文畧说七河曰诸池各五十由旬以河为池随译人意乐也）经与论互有影略相映可以详焉论曰七林七河所覆七百由旬（林河% BR3.28b广各五十由旬故林河合七百由旬也）又阎浮树外有二林围绕此树其内林名呵黎勒外名阿摩勒二林围绕阎浮树广各五十由旬故前后合成二百由旬阎浮树枝叶所荫覆百由旬其墟基高八百里其地凖前后概论之广可三百二十八由旬谁知极北之外有如是神仙广大之境阎浮提日行纬度及林河等量（附氷海所处）六十由旬（从阎浮提地南际至日行外路）○百四十五由旬（从外路至赤道）○百四十五由旬（从赤道至内路）○四百一十由旬（从日行内路至北极下）○七百由旬（七林七河之地）○合百由旬（阎浮树南边二林广各五% BR3.29a%十由旬）○三百二十八由旬（阎浮树墟基之广也）○合百由旬（阎浮树北边二林广各五十由旬）○十二由旬（乌禅那迦海此一者凖起世经）阎浮提地南北广总计二千由旬西洋万国图所言氷海者即是劫毕多河也此河南北二千里东西八万里直达海其所以常冻之理非止由在寒帯之地非纯潮故也（又北地氷山之事见楼炭经等又见补正记之二及资持记等）论所谓六大国者不知指何国未得详之今西洋书虽言万国者多此外未相知者甚多此之蕐严大集月藏等诸经所说之国数犹不足其十⼀一也% BR3.29b南阎浮洲图% BR3.30a%论南北二极异义西儒谓天者以南北极为环转之枢故名为极如轮之毂如麿之脐天之最中有不转之地以为之枢非星也盖指其近极之星而名耳印度说者为曜宿心于须弥而绕焉若尔者二极不动似难通晓然印度汉西厥义固不同何可以此䂓彼耶夫森罗曜宿其行不同者多岂可概而齐乎赫赫二曜既异其行五星运转伏退参差不定或转一洲或转四洲或一年一周或数年一周既有种种之动何异二之不动正法念经云风轮所持北方众星轮转不没既日轮转% BR3.30b不没则其处中如轮毂麿脐可知也南极亦可凖知而浑天家及西儒等为天有尅实之质而二极则环转之枢者理甚不然曜宿之行既不全齐一轴之所环转如何能得一时应顺逆迟疾耶若天果有质者体是何也其不可知必矣西洋新说天为静地为动则彼犹不取枢轴可以知其无必然之理也辨西儒地球不同支那浑天西洋旧说以南北二极为天枢轴而地为正圆令日月转于地下与支那浑天相似而不同也（其义详于前）汉立浑天之称者盖天地为体内地而水里之天围其% BR3.31a%外水地合一浑浑然状象鸡卵故曰浑天如西说固非浑亦非盖也归化西儒附顺支那以西说天地枉亦名浑天者影傍以诱时人耳古者岂有使人倒立地下说哉彼谓大地圆球而所戴皆天所覆皆地无有常之地顶地下是殆非也今观天南北二极其位常定矣而众星拱之天既有常位地岂无定位耶厥说使天地倾于南北如将僵仆者夫寥廓天地大气载而安立焉有何所碍使之欹侧耶莫非所谓头触不周之山拆天柱绝地维之类据大藏经及周髀之说天地至正无毫欹侧之理况有人着地下之义邪% BR3.31b请深思旃暦法第四之一 凡六条论梵暦大概汉西二暦者多有其书而存焉今之所不论也独梵暦无有传于世者是吾党之阙典也梵暦之名见于史册者其别五其四出前其一名孝威见旧唐书并当时秘在台阁故其书一不落世间故不传也今取散在经论者以擧梗概学者由是修之则推知梵暦亦不甚难且汉西二暦原出梵暦故其纲领不甚异以末推本参考彼此则亦非难通晓况厥节目出于% BR3.32a%经论乎又明史所载回回暦是即梵暦之一也又都利聿斯经五卷出宗叡请来录未得之是西印度之暦书而书目载唐宋史志又梵天火罗（一行之撰）引用之夫暦术者以交食为喉紧騐其暦与天合不合者偏唯系之也然回西支那并皆传其术于印度则彼土暦法备而久可知矣如迦叶氏其先感灵龟负图而应从德命族故言龟氏荆溪曰如此方河图此族世善天文故有迦叶氏暦婆罗门种也（是印度四姓之一也彼土执政大臣并皆出于此姓）此姓専业学经典及天文星暦阴阳谶纬又刹利种（是四姓中之王种也）亦能学天文星暦等故有瞿昙% BR3.32b氏暦（瞿昙氏亦曰释氏）是以其学大盛于佗那又彼土沙懑如善星比丘善星暦者多矣且三明倶解之人莫不皆该明之律有厥制者禁邪命故非制为法者也大藏中徃徃说天文星暦是岂徒■者哉又西域记曰 ＝方＋色外道杂居处处研穷天文暦术其学炽可知也今考梵暦凡造暦者必求起算之端谓之暦元立元有二其一远溯上古求七曜齐元之甲子以为暦元谓古昔当甲子日有七曜同度如连珠谓之齐元之甲子自汉太初至金大明暦皆遵用之其一直立表测晷揆元即今不用积年日法授时暦是也然远求% BR3.33a%亿万之演积者不若近断取目前也回西并皆验气栽元而不取推求演纪上元甲子而其不用演积者梵暦为之魁唐书曰九执暦者断取近距以开元二年二月朔为暦首其不用积年可见高僧传慧严曰天竺者讨核分至顾歩光影其法甚详是言直测验于天以取元也大集月藏摩登伽经等详明测影印度立暦元本于验气昭著矣今从皇国节气而造梵暦则如今歳文化六年之春分距冬至日数九十四日二百九十二分九十五秒二十四微七十二纎三十一忽也（若为日周一万之法则九十四日三千二百五十八分七十四秒五十二微也）乃% BR3.33b当二月八日辰初三刻四二零七是日梵暦正月第一日（回疆以是日为歳首正旦）日躔在白羊宫是太阳年节气之一日也二十四节七十二候从而可得也以六十分为一度以六十秒为一分递拆之以至微亦以九百罗婆为一日（如此方刻）按印度之疆壤地渺邈故暦亦不一且时改易经论所载立法多异而梵暦亦必古疎后密胡梵诸暦法虽有出入以子丑等属纪年以十二宫配月以七曜二十八宿纪日等西域诸国其揆一也盖梵暦虽多大概不出四种一大阳暦二太阴暦三阴阳合暦四恒星暦而推五星罗计者诸暦并% BR3.34a%同其阴阳二暦者如回暦恒星暦者如西洋暦（暦算全书虽以恒星年为西洋之创法是法原本梵暦如前辨之）阴阳合暦者合太阴太阳之二暦以闰月定四时而纪年则从月节气则从日者是也大藏中多言月闰由是观之昔在所行于印度暦者乃阴阳合暦而全无异日东及与支那也回回诸部纪年则用太阴暦节气则用太阳暦以分用二暦故不立闰月也暦学疑问补云今回暦之太阳年既以春分为歳首则是以仲春之后半月为正旦而割其前半个月以益孟春共四十五日奇遂一并移之歳终孟春之前半改为十一月之后半孟春% BR3.34b之后半合仲春之前半共三十日改为十二月故遂借白羊等十二宫以名其太阳年之月宿曜经曰上古二月白愽叉二月春分朔于时曜躔娄宿道齐景正月中气和庶物渐荣梵天命为暦元景风注云天竺以二月为歳首以其道齐景正日夜停分拆为暦元又曰天竺建卯为歳首回疆暦日其所由出可以见经曰梵天命为故梵暦其来尚矣今经曰春分朔曜躔娄是乃太阳暦而主日行纬度也又日藏经宿曜经并以二十八宿纪日是主月行经度即太阴暦也又地度合攷一云按西洋法以白羊宫初度为测% BR3.35a%算之端而纪月又首麿竭是知西洋暦术起算则取白羊宫初度纪月则首麿竭以太阳躔斗四度为麿羯宫初度又为歳首正旦等一皆本印度宿曜经云斗三足女四足虚二足镇星位焉其神如麿羯故名麿羯宫（足犹度也西洋亦有呼度为足者）其所从而来可见斗第二足当其四度如上已辨之其麿羯宫为歳首者倶舎宝疏曰印度以建子为正可见西洋始与印度同暦日按不空三藏译出宿曜经在唐乾元二年宝法师当大宗贞观中而名于世其间可百二十年而宝师云印度建子为正不空译曰建卯为正并梵天命为% BR3.35b暦元又隋译日藏经亦同宿曜经盖五印度境壤广故别当有建子为正之国犹如支那有三统建正之异义推宝师所言必是当西印度暦广舆记曰西洋皆用麻哈马之经典暦数等故也而测周歳之晷影推晨前宿度夜半中星歩太阴宿度求日躔定气五星叚目详十二宫及十二辰之主儅等日藏经及摩登伽经等粗说其梗概推以求之则其法亦非难知为遮那业人别将考梵暦以遗后学非可悉于此焉又印度别有一法歩月离推宿度经论多以昴为先首即秋分月値昴之辰故日藏经言宿度皆昴为首% BR3.36a%（日藏经八曰月合诸星起昴终胃月行宿讫一月将满八月黒初月合在胃如是轮转不息）又宿曜经序宿直所生品摩登伽经星图品等以昴为首谓此宿吉祥而东门第一宿故也（配当与支那小异）其义出日藏经季秋月値昴满所以印度以是月名昴月（自此方八月十六日至九月十五日）印度俗以此辰祭祀昴宿以祈吉祥暦算全书曰回回俗以九月节人各相贺如此方歳首一倣印度可见又顾歩日影有自秋分至秋分者如日藏经时非时经春秋二分则日至赤道正中故冝为测影之端又有自夏至至夏至者如摩登伽经明时品中印度至夏至日午无影亦便取端而起节% BR3.36b气立暦首者春分为最摩登伽经曰月朔起初月一日其月起于二月一日节气起春（出明时品）宿曜经同之日东正月十六日则彼正月第一日也探大藏中出梵暦立法不同者十二若夫印度之境画野区分七千余国而歴世最久故暦法改易岂止什佰哉况五印度时异暦者多乎是故经论说暦法者多不同是由说经之地不同或所传之人异故也今探经论言暦法者略择立法不同者十二立世阿毘昙云若世间中三十牟休多（此翻曰时）决定恒为一日夜其一牟休多有三十分是一一分% BR3.37a%名曰罗婆（罗婆犹刻）日若増时日一罗婆日若减时亦一罗婆若日最长十八牟休多是时最短十二牟休多若夜最长十八牟休多是时日最短十二牟休多若日夜等时（春秋二分）日十五牟休多夜十五牟休多又曰日夜等分并十五牟休多其六牟休多恒动二十四牟休多不动印度俗以一昼夜为六时即昼夜各三而又分一昼夜以为三十时其二十四时恒不动谓日极短不过十二时夜短亦尔而昼増极六时夜増极六时故曰六时恒动而分一时为三十刻故六时乃有百八十刻自冬至至夏至日増一刻故成百八% BR3.37b十刻又自夏至至冬至日减一刻夜増一刻昼夜増减各百八十刻是故一月而积三十刻合为一时之差六月而成六时之増减其法甚著明○复次日藏经云一千六百刹那一迦罗（迦罗犹刻）六十迦罗名摸呼律多（义翻曰时）三十摸呼律多为一昼夜此经所说辰法同前而刻法益一倍也其法粗同前而分一时为六十刻故恒动六时总为三百六十刻则日夜加减退亦二刻进亦二刻其法䆮精已○复次摩登伽经曰妇人纺线得长一寻是则名为刹那时也六十刹那名一罗婆（刹那如秒罗婆犹刻）三十罗婆名为一时此一时% BR3.38a%者日一分也凡三十分为一日夜此三十分各有名字日初出分名曰四用二月一日（是节气之一日也）日初出时人影长于九十六寻第二影长六十寻第三名富影长十二寻第四名星影长六十寻五名大富影长五寻六名三围影长四寻七名对靣影长三寻第八名共于日正中影共人等第九名尺影长三寻第十名势影长四寻十一名胜影长五寻十二大坚影长六寻十三婆修影十二寻十四端正影六十寻十五凶恶九十六寻此是一日十五分名日没名恶二名星现三名収摄四名安稳五名无边第六名忽七名% BR3.38b罗利第八名眠第九名梵第十名地提十一鸟鸣十二名才十三名大十四影足十五丘聚此是昼夜三十分名此经说刹那量（此方微忽也）与日藏不同刻法亦与前异矣以三十罗婆为一时故三十时则当九百刻而其恒动六时恰百八十刻故日夜増减各一刻而微秒之布算二经大不同日藏经则以一千六百刹那为一迦罗六十迦罗为一时故三十时有二百八十八万刹那摩登伽经则一昼夜为九百刻故有五万四千刹那是布算有精粗可知也日藏之刹那犹如此方微纎摩登伽之刹那犹如此方分秒授时% BR3.39a%暦之小余多止秒故一昼夜百刻则有百万秒若西暦则歩小余至纎忽故一昼夜九十六刻而有九十六亿忽其究精细如是○复次大毘婆娑百三十六云此中擧麤以显细以细难知不可显故谓百二十刹那（刹那者犹秒）成一怛刹那（是犹分）六十怛刹那成一腊婆（是犹刻）此有七千二百刹那三十腊婆成一牟呼栗多（此云时）此有二百一十六千刹那（即二十一万六千也）三十牟呼栗多成一昼夜此有少二十不满六千五百千刹那（即六百四十八万也）是亦立法与前稍异矣（婆娑次下云一昼夜六百四十八万刹那此麤非刹那量如我义者如壮士一弹指顷经六十五刹那尚说刹那量文甚广徃捡余尝见% BR3.39b经中有如是说以为是唯示无常迅速之理耳今考暦数天度恒如是岂不戚戚乎仁王经云一念中有九十刹那一刹那中有九十刹那一刹那中有九百生灭较之天度敢非虚设也西暦既歩一昼夜以为九十六亿忽若歩忽下系毫则理实如仁王婆娑所言）○复次舎头諌经云十五瞬名曰卒（瞬犹秒卒犹分）二十卒则为一时（时犹刻）三十时名曰须曳（须曳犹时）三十须曳为昼夜是立法时与刻不异日藏等而分秒之积不同故知暦法异前三十须曳为一昼夜一须曳为三十时故恒动六须曳则有百八十时昼夜増减以一时为进退冬至已后昼进一时夜退一时至夏至昼长百八十时其増方极焉夏至已后夜进一时昼退一时至冬至夜长百八十% BR3.40a%时其増减亦方极焉此立法同立世阿毘昙等而十五瞬为一卒二十卒为一时则一时有三百瞬三十时有九千瞬三十时为一须曳三十须曳为一昼夜则一昼夜有二十七万瞬故积数既异于前其暦别可知○复次西域记云百二十刹那为一咀刹那六十咀刹那为一腊缚三十腊缚为一牟呼栗多五牟呼栗多为一时六时合为一日一夜（夜三昼三）此中刹那犹微咀刹那犹秒腊婆犹分牟呼栗多犹刻是故一咀杀那有百二十微一腊缚有七千二百微一牟呼栗多有二十一万六千微一时有百八万微六时则% BR3.40b有六百四十八万微辰刻等法粗同日藏等而微秒积稍异于前暦法不同可知○复次舎头谏经曰问何所是节何所是限何所是须曳摩登王曰譬如有人切三尺缕不长不短是号为节（节犹刹那）计六十节名之曰限（节犹分限犹刻）二十限名须曳如斯计之昼夜流过有三十须曳此布算则恒动六须曳有百二十限分配六月则一月有二十限二十限有千二百节分配三十日以増减昼夜进亦四十节退亦四十节○复次摩诃僧祗律十七云二十念（念犹微）名一瞬（瞬犹秒）二十瞬名一弹指（弹指犹分）二十弹指名一罗豫（罗豫犹刻）二十% BR3.41a%罗豫名一须曳日极长有十八须曳夜极短时有十二须曳夜极长时有十八须曳日极短时有十二须曳此暦法虽稍同始积法不同恒动六须曳有百二十罗豫（罗豫犹刻）以配六月则昼夜増减毎月一须曳一须曳有二十罗豫二十罗豫有四百弹指四百弹指有八千瞬八千瞬有十六万念以配一月则分四百弹指为三十分故日日増十三弹指六瞬六念奇日日减亦然此日周分似法月平行约分可谓甚奇○复次一昼夜为二十四时毎时为六十分乃合二十四时为日周分一千四百四十分又分一昼夜为九% BR3.41b十六刻毎刻十五分命时起午正（初四刻属前日）是回回暦法而原取法于瞿昙氏暦（其义如后辨之）○复次出曜经曰百二十时谓之一昼夜是亦一种暦法以一昼夜为百二十刻几类此方十二时之法○复次大方广文殊仪䡄经十云今说时分之量自一弹指至一百弹指为一初分时四初分时为一中分时四中分时为一移分四移分时为一日倍此为一昼夜分此暦日亦是一种之别法也○复次同经次下云我今复说时分之量入灭眴息最为疾速以十入息为一灭分十灭为一刹那十刹那为一须曳分一百须曳为一% BR3.42a%昼夜此暦法与授时暦日周分几相类即一昼夜百刻之法也如上暦法不同者十二大藏中所擧之暦法岂止是哉今才出近所闻见耳又印度与支那相去五万八千里里差亦不少故大毘婆娑百三十六云一歳有十二月昼夜増减为二时由减及増（日北行为一时日南行为一时）各六月故然昼与夜増减相违虽各二时而立四位（二至二分之四象限也）昼夜増减各一腊缚（日増百八十腊婆夜减亦尔夜増百八十腊缚日减亦尔）月则各一牟呼栗多（牟呼栗多者乃时也三十日而差一牟呼栗多）三十牟呼栗多成一昼夜于中昼夜多少四类不同（指四象限也）増位极长不过十八减位极% BR3.42b短惟有十二昼夜停位各有十五羯栗底迦月白半第八日昼夜各十五牟呼栗多从此以后昼减夜増各一腊缚（羯栗底迦月者从此方八月十六日至九月十五日）至末伽始罗月（从九月十六日至十月十五日）白半第八日夜有十六牟呼栗多昼十四至报沙月（自十月十六日至十一月十五日）白半第八日（即上弦也）夜有十七昼有十三至摩伽月白半第八日夜十八昼十二从此已后夜减昼増各一腊缚至颇勒𪧘那月白半第八日夜（自十二月十六日至正月十五日）夜十七昼十三至制怛罗月白半第八日夜有十六昼十四至吠舎佉月白半第八日昼夜各十五（即是春分）从此以后夜减% BR3.43a%昼増各一腊缚至誓瑟搋月白半第八日夜有十四昼十六至阿沙荼月白半第八日夜十三昼十七至室罗筏拏月白半第八日（自五月十六日至六月十五日即是夏至）从此以后昼减夜増各一腊缚至婆达罗钵陀月白半第八日（自六月十六日至七月十五日）夜有十三昼十七至阿湿缚廋阇月白半第八日（自七月十六日至八月十五日）夜有十四昼十六如是复至羯栗底迦月白半第八日昼夜停等是名略说时之分齐由此观则似印度之境与支那及日本节气差七日此方冬夏等皆在其月中气印度则冬至夏至等并在上弦故也倶舎宝疏擧婆娑今文% BR3.43b释曰昼夜増减月日亦是节气月日非是月生月尽之月日此月生月尽昼夜増减不定故凖轮围山径一百二十万八百七十五逾缮那略计西洲南洲相去三十万逾缮那南洲节气不同计有九十日异（立世亦同之）此国（支那）去彼国（印度）五万里节气七日不同（按宝师之说恐不是若凖四天下节气差九十日义则阎浮提春分即西瞿耶尼冬至若据此义印度者自支那西南去五万余里故比支那则节气当迟七日而节气反疾七日故知宝师之说恐非节气则关太阳纬度殆近赤道故寒暑与此方大不同故似节气与支那差七日余又别有考）按立世阿毘昙始说日躔定气以二至二分皆配中气十五日是全同支那而次标有别时以二至二分配白半第九日% BR3.44a%而出闰月法须知五印度之境藩国最多是以时有不同暦国是故魏晋已后隋唐之间言印度歳首者见有三别曰建辰曰建卯曰建子其中十而九皆言建卯为歳首而建子为正者必是西印度之地矣其义如前出之辨暦之启闭起于印度支那日本阴阳家所用启闭亦起于印度其说出于七佛所说神咒经第四曰建者生气萠芽阴阳亦长除者代谢移易之体满者神祗受供无复盈平者阳气凝澍无増减定者鬼神交会悪气不行执者阴气% BR3.44b偏多阳气少破者阴阳交解说破之义危者天窓开地戸闭成者阳气足阴气并故名成収者阳气流阴气平萠芽生故言収开者阴性开阳气出故名开闭者天窓地戸俨然闭塞万神不行故名闭是皇和之俗称中叚者也支那回回俗遵用之同于皇国彼经翻译附东晋录故知启闭之义由来亦久矣论十二支兽之本据纪暦所専用十二支亦名为十二支兽其说亦起印度十二縁生祥瑞经下云若复有人审谛观察十二縁生了达善恶忧喜得失应画转轮图冩分别谓从% BR3.45a%无明乃至老死月日分位次第罗列鼠牛虎兎龙蛇马羊猴鸡犬豕十二相状本形转轮凡如来教法托事显真是出世本旨以十二辰谕十二縁生可谓事理冥合者也又月藏经星宿摄受品演七曜列宿已复说十二辰云所言辰者有十二种一名弥沙二名毘利沙三名弥偸那四名羯迦咤迦五名■阿六名 ＝糸＋台÷木迦若七名兜罗八名毘梨支迦九名檀尼毘十名摩伽罗十一名鸠槃十二名弥那又大集经虚空目分净目品第五说行化贤圣为十二兽住四天下海中曰东方海中有瑠璃山名曰潮其山有三窟一名种% BR3.45b种色二名无死三名善住处广各一由旬高各六由旬有一毒虵住于第一窟有一马住于第二窟有一羊住于第三窟各皆修声闻慈又南海中有玻瓈山亦有三窟（各有名号又说其高广下例知）有三兽而住有一猕猴住第一窟有一鸡住第二窟有一犬住第三窟亦各修声闻慈又西海中有银山又有三窟有三兽而住有一猪住第一窟有一鼠住第二窟有一牛住第三窟又北倶卢洲海中有金山名功德相有三窟有一狮子住第一窟有一兎住第二窟有一龙住第三窟各修声闻慈是十二兽常行阎浮提内发深重愿一日% BR3.46a%一夜常令一兽游行教化余十一兽安住修慈周而复始七月一日鼠初游行以声闻乘教化鼠身众生令离恶业劝修善事如是次第至十三日鼠复还行如是乃至尽十二月至十二歳亦复如是（文广故畧出以十二兽名纪日纪月纪歳今日尽十二月至十二歳岂非其义乎）七佛所说神咒经十二兽名体与支那全同此经有狮子而无虎虽然义全合十二支故其一兽是传闻之异耳不惟以十二支纪年月日纪时亦与此方同故大方广文殊仪䡄经云若木星直日卯时生者及得日月星宿于昼夜分合其本位乃是贤圣生处故知彼土亦有以十二% BR3.46b支名十二时义回回暦亦用十二支见彼暦而用十干唯限支那梵书中未曽见用十干者余窃疑支那古昔雅有子丑寅卯等十二支而无有十二支兽之义按以是为十二兽者似佛教东渐之后汉人以其数适相合遵用之者若不尔者十二兽名义何由得彼此■合耶例如二十八宿虽其义相合星象不同 ＝月＋忽故十二支字字皆与兽名异非可以知乎事物纪原云事始曰黄帝立子丑十二辰以名月又以十二名兽属之是无其据非出汉明已前书不足深论矣嘉祥仁王疏由并擧子丑寅卯等与鼠牛虎兔等观则% BR3.47a%用十二支兽在阵隋已前其始必是魏晋之间矣又以七曜纪日以月合列宿纪日并起印度而回回支那神洲等咸遵用之其法详出日藏经及宿曜经等论皇国暦首三镜及八将神等本梵暦皇国暦首掲歳德八将神等者原本印度故梵天火罗九曜及七曜攘灾诀并罗睺名黄幡计都名豹尾安倍晴明撰述簠簋内传専述天竺传来之兴起殊摽三镜于暦首以显吾显密之深致可谓深信大士簠簋五卷章章该罗佛乗包括支那阴阳运气雅贯摄神道亡论今详国暦用梵暦过半且簠簋内传元% BR3.47b因注宣明暦以𫐑辖吾内传而宣明暦者纯本大衍暦嵩阳深穷梵暦而参之易大衍数以造之故名大衍今暦则七曜推歩交食节气并据西法其述精妙堪可叹称而其原由咸莫非同根矣近闻有言簠簋内传盖伪书而非安氏真撰者甚为忘说若果然者今时所颁行暦首出三镜及歳德八将神金神等复其纪日用十二支兽及与启闭等是为从何处传耶况时暦则国家大典若有载诬妄以奏者则县官岂敢茫然颁布诸天下甘以受其欺哉顾从安公奏暦已来率由旧章千载不改者复何所疑矣且也簠簋% BR3.48a%内传贯三国所传之深旨朝野巨益公私明鉴非出庸人之手者安公之撰明矣谓之为伪撰者亦何所考弃玉为瓦砾岂不惜哉辨印度辰法印度者分一歳以为六时或为四时或为三时西域记曰分一歳以为六时谓然热（正月十六日至三月十五日）盛热（三月十六日至五月十五日）雨时（五月十六日至七月十五日）荗时（七月十六日至九月十五日）渐寒（九月十六日至十一月十五日）盛寒（十一月十六日至十二月十五日）也如来圣教歳为三时谓热时（正月十六日至五月十五日）雨时（五月十六日至九月十五日）寒时（九月十六日至正月十五日）或为四时春夏秋% BR3.48b冬也又最胜王经除病品曰三月是春时三月名为夏三月名秋分三月谓冬时此据一年中三三别说（言四时各有孟仲季故云三三）二二为一节便成歳六时初二是蕐时三四名热际五六名两际七八谓秋时九十是寒时后二名冰雪又提谓经明八王日谓立春春分立夏夏至立秋秋分立冬冬至是谓八王日天地诸神阴阳交代故名八王日又金光明经喜祥疏曰六时者正月二月是木王现时四月五月是火王现时七八月是金王现时十月十一月是水王现时十二月三月是阳土寄王六月九月是阴土寄王王名为现% BR3.49a%又见同经天台䟽等文广故姑置之佛国暦象编卷之三终% BR3.49b
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% BR4.1a佛国暦象编卷之四平安东森隐士无外子释圆通 撰云阳 空谷子释智毂 校暦法第四之二 凡二十六条回西二暦之大概西洋恒星年回回太阳年偏就太阳过宫及其宿度以修暦故恒星暦者太阳一周恒星日分三百六十五日五时三刻三分四十五秒（时为廿四）积四年而日下分合成二十三时一刻（刻则为九十六分为一千四百四十）故闰年则其闰一日加第二月为二十九日恒星年暦日者正% BR4.1b月三十一日（日本十一月）二月二十八日（日本十二月）三月三十一日（日本正月下倣之）四月三十日五月三十一日六月三十日七月三十一日八月三十一日九月三十日十月三十一日十一月三十日十二月三十一日总三百六十五日五时三刻三分太（秒为八万六千四百）为之常年法乃太阳一周恒星日分也作之百刻法则为三百六十五日二十四刻二十一分小余八七五太阳自斗四度至于斗四度为之恒星年法○回回太阳暦者太阳一周十二宫日分而自冬至至冬至之歳也三百六十五日二十四分二十秒为之歳实周天% BR4.2a%为三百六十度一度为六十分一昼夜为九十六刻一歳之气盈二十四分二十秒积四年而成九十六分八十秒故置闰一日遇宫分有闰年于双鱼宫加一日凡三百六十六日（大论四十八日曰是歳三百六十六日周而复始摩登伽经一曰凡歳三百六十五日日一周天是并曰太阳一周天之数此中大论者概日下余分为言经者畧余分云耳）○宫数 一白羊二金牛三阴阳四巨蟹五狮子六双女七天秤八天蝎九人马十麿羯十一宝瓶十二双鱼○宫日 白羊戌宫三十一日（日至此宫初度时此方春分彼土以是日为歳首正旦）金牛酉宫三十一日阴阳申宫三十一日巨蟹未宫三十二日狮子午宫三十一日双% BR4.2b女己宫三十一日天秤辰宫三十日天蝎卯宫三十日人马寅宫二十九日麿羯丑宫二十九日宝瓶子宫三十日双鱼亥宫（白羊为正月如次双鱼为十二月）是名曰太阳年又巳上十二宫名曰不动之月○太阴年者偏就太阴周天及与合朔以修暦○月分大小者单月大双月小凡十二月所谓动之月也月大三十日月小二十九日凡三百五十四日乃十二月之日也遇月分周闰之年于第十二月増一日以为三百五十五日是其大概也巳上三暦虽后世因循古法回西各加精而其祖法并出于梵暦上巳悉焉又梵暦数品% BR4.3a%亦上巳详焉然诸经论多言闰月故知佛世所用多是阴阳合暦而节气从太阳纬度以定二十四节纪年纪月从太阴晦朔以立月日置闰月定四时立法率同神洲及支那之暦且引其一二立世阿毘昙五曰具足五年有一游伽即両闰月其一从月其二从日五年中间十二日又九日又六日又三日又十五日（是言闰余之长短）此中日夜是其长短月者分别三用一分别月二分别十五日三分别圆满日者分别夜日分别夏冬节分别年是三用从日得成（分别月者谓推迟疾最高卑等分别十五日者谓歩月之大小等也分别圆满者谓歩进望退望等也日之三用中分别夜日% BR4.3b者推盈缩最卑等分别夏冬秋节者分别二十四节等分别歳差等也）闰月有両者一从月二从日是闰月者从月所作四月日应作両小月一小月者是第三中第二小月是第七半中一年之中应六小月五年足少三十日此三十日应补五年中若不作小月则月圆不当时是小月者从日所作依世间说以三十牟休多决定一日夜分三十牟休多为六十分（回西并以度下分为六十分由来久可以见）日行疾故五十九分便周长余一分（九执暦以日平行为五十九分八秒回暦亦用之回暦即梵暦可以知）因此事故二月则长一日又二月复长一日乃至一年足长六日如是五年则长一月用是% BR4.4a%一月补五年中是为日家闰月若不作闰者时节及年差坏不当造暦大意（附诸用数）造暦之法必先立元（古者推从演纪上元甲子距求年之积歳以为立元是故其述甚烦矣授时始从梵法立表测景以歩气朔直以至元十八年歳次辛巳为裁笕元上考徃古下验将来皆距立元为笕周歳消长百年各一其诸应等类随时推之不用上元甲子为元）元正然后定元法元法定然后度周天以定分至三者有程则暦可成矣日周九百是瞿昙氏暦及九执暦之法也 又一法日周一万出处有前文 又一法千四百四十回暦% BR4.4b之法也又一法千八百藏中间见此法探得梵暦立法不同者十二元法随不同今唯举其三巳歳实三十二万四千瞿昙氏九执暦之法也歳周三百六十五日余二百四十五六十为法九百置实如法而一得十五罗婆又此十五置实六十（此分下六十秒）为法再如法而一则得二十五（此罗婆下须曳也犹如剌下秒）以五十二乘之则得十三罗婆唐书举九执暦法曰日去没分九百分度之十三是也便与回暦以日平行约分为五十九分八% BR4.5a%秒者正适当前言麻哈马本据梵暦以造回暦者于之可见其详者当辨暦仪中又法歳实五十壹万八千四百歳周三百六十五日余三百九十二是回暦之法也朔实二万六千一百九十三分六二七三朔策二十九日四百七十零分六十二秒七三一一五是九执暦七百三分日之三百七十三之法也若以此九执暦朔策之法作日周一万之朔策则得朔策二十九日五千三百零五分八十三秒二四% BR4.5b此朔策日分与清朝时宪暦朔策之日分密合时宪者専以西法所造然西法精算本出九执摸范于是亦见焉又法朔实四万二千五百二十四分零三九八三朔策二十九日七百六十四分零三九八三是回暦之法气策十五日二百一十八分五十四秒一六七是九执暦之法也又法十五日余三百十二是回暦之法也气盈二百一十八分五十四秒一六七是九执暦之% BR4.6a%法也又法三百十二回暦之法也朔虚四百二十二分四十七秒五一零六六九是九执暦七百三分日之三百三十之法也若以同法作日周一万之法则得朔虚四千六百九十四分一十六秒七八五二与时宪暦之朔虚适当大足见西暦之摸范又法朔虚六百七十五十九分六十零秒一六九五是回暦之法也望策十四日七百三十八十七分六十二秒五四五% BR4.6b是九执暦之法也若作日周一万之法则得望策十四日七千六百五十二分九十一秒五四五又法十四日千零九十一分十一秒九九一五是回暦之法也弦策七日三千八百二十六分四十五秒八十一微是瞿昙氏暦法也 其佗诸用数略之诸应者先从其地立表测景当定暦元元定然后诸应随而可得焉土旺策三日余六十五 瞿昙氏暦又法三日百四十零八 回回暦% BR4.7a%通闰十日零八百零六分三十七秒二二六二瞿昙氏暦月闰八百零六分三十七秒二六八八五 瞿昙氏暦又法千四百十九二 回回暦刻法十五 回回暦凡造暦者先首求节气然印度回西并以求春分白羊宫初度为起笕之端支那则以求冬至为起笕之端（立法各自共据首于冬至者主日之南至也然日行最卑之点去冬至今时或及五度六度惟春分则日躔在赤道中心之点千歳不可复易故此法足以为永䂓）在昔唐元和中西% BR4.7b印度僧金倶咤凖支那暦日考歩九曜之宿度今为比例出黄道日躔定气复为捡歳差其尤并掲今歳文化七年日躔定气以便比较黄道日躔定气% BR4.8a%% BR4.8b% BR4.9a%是唐开元十二年天正冬至以后黄道日躔定气也曁于文化七年相去千八十有七年今则冬至日躔在箕一度自斗九度至于箕一度相距十有八度也由是推之则经六十年方差一度金倶咤曰推将来% BR4.9b则八十三年而适当差一度大率言歳差者古多后少如授时辨之倘欲据梵暦求节气者金倶咤之所推亦足乎法焉如经朔定朔等当就梵暦考之余寻将造梵暦仪凡修密教者不可不知梵暦余置之怀久矣今幸得详之亦是道业之一助耳按印度取列宿之象与支那不全同虽然以义合故翻经三藏以对译之已摩登伽经宿曜经等虽说星象详其象有难指定者如辨于后与大集经舎头諌经七曜星辰别行法等参考则星图宿度等非难知余寻将考定海内同志之士请为法务研之% BR4.10a%又印度之纪月者就白月十五日太阴値之而满宿以命其月如宿曜经太阴白道宿度黒愽叉（印度以黒月十五日为前白月十五日为后）一日 轸 亢 房 尾 斗 虚 壁 胃 毕 参 柳 张二日 角 氐 心 箕 女 危 奎 昴 觜 井 星 翼三日 亢 房 尾 斗 虚 室 娄 毕 参 鬼 张 轸四日 氐 心 箕 女 危 壁 胃 觜 井 柳 翼 角% BR4.10b五日 房 尾 斗 虚 室 奎 昴 参 鬼 星 轸 亢六日 心 箕 女 危 壁 娄 毕 井 柳 张 角 氐七日 尾 斗 虚 室 奎 胃 觜 鬼 星 翼 亢 房八日 箕 女 危 壁 娄 昴 参 柳 张 轸 氐 心九日 斗 虚 室 奎 胃 毕 井 星 翼 角 房 尾十日 女 危 壁 娄 昴 觜 鬼 张 轸 亢 心 箕十一日 虚 室 奎 胃 毕 参 柳 翼 角 氐 尾 斗十二日 危 壁 娄 昴 觜 井 星 轸 亢 房 箕 女十三日 室 奎 胃 毕 参 鬼 张 角 氐 心 斗 虚十四日 壁 娄 昴 觜 井 柳 翼 亢 房 尾 女 危% BR4.11a%十五日 奎 胃 毕 参 鬼 星 轸 氐 心 箕 虚 室（是黒月十五日也由月有大小故星轸箕三宿之外九宿者咸兼両日三宿独不垒日者甚深致其垒日者以三合可解谓前合并合后合是也）白愽叉一日 奎 胃 毕 参 鬼 张 角 氐 心 斗 虚 室二日 娄 昴 觜 井 柳 翼 亢 房 尾 女 危 壁三日 胃 毕 参 鬼 星 轸 氐 心 箕 虚 室 奎四日 昴 觜 井 柳 张 角 房 尾 斗 危 壁 娄五日 毕 参 鬼 星 翼 亢 心 箕 女 室 奎 胃六日 觜 井 柳 张 轸 氐 尾 斗 虚 壁 娄 昴% BR4.11b七日 参 鬼 星 翼 角 房 箕 女 危 奎 胃 毕八日 井 柳 张 轸 亢 心 斗 虚 室 娄 昴 觜九日 鬼 星 翼 角 氐 尾 女 危 壁 胃 毕 参十日 柳 张 轸 亢 房 箕 虚 室 奎 昴 觜 井十一日 星 翼 角 氐 心 斗 危 壁 娄 毕 参 鬼十二日 张 轸 亢 房 尾 女 室 奎 胃 觜 井 柳十三日 翼 角 氐 心 箕 虚 壁 娄 昴 参 鬼 星十四日 轸 亢 房 尾 斗 危 奎 胃 毕 井 柳 张十五日 角 氐 心 箕 女 室 娄 昴 觜 鬼 星 翼（月値角而满）（月値氐而满）（月値心而满）（月値箕而满）（月値女而满）（月値室而满）（月値娄而满）（月値昴而满）（月値觜而满）（月値鬼而满）（月値星而满）（月値翼而满）% BR4.12a%按印度以皇国二月为歳首如前辨此中有三别一者太阳年则直以春分为歳首正旦二者从建寅正月十六至建卯二月之十五为歳首二月西域记等诸说并皆从之三者以二月十六日为歳首正旦也今捡之太阳年春分为歳首者固亡论其一二中第三之说其义符合甚多宿曜经云上古白愽叉二月春分朔于时曜躔娄道齐景正日中气和梵天歓喜命为歳元是二月中气明矣若尔者在正月中极无其理故当从以二月十六日为歳首正旦欤又惠严传曰天竺者以建辰为正月若从二月中为歳首则% BR4.12b或曰卯为正或曰建辰为正両不乖也又以七曜暦验三月定望太阴之宿度连年并皆在角二月则不然又验日躔享保十二年三月朔太阳在娄二度太阴亦在娄二度（是当印度白愽叉二月朔）文化六年三月九日日在娄初三月朔月亦在娄初大约连年凖之汉二月曰降娄岂非言之耶今回回太阳年以春分为正旦故大阴年亦以准之已凡此数条并足徴建卯歳首虽然唐三藏在于印度所亲见闻决无妄传故今从西域记以正月十六日为歳首盖五印度壤地广大故暦法不齐耳% BR4.13a%略出日藏经暦法正月○合角而满○昼十五时夜十五时○日近北行○日午之长六脚迹○张宿夜行（是言夜半中星）○娄在日前○荧惑用事○日过白羊宫（日东正月十六日至二月十五日）印度是月名角月○斗建卯位二月○合氐而满○昼十六时夜十四时○日行近北○日午之影四脚迹○角宿夜行（是夜半中星下倣之）○昴在日前○大白用事○日过金牛宫（日东二月十六日至三月十五日）○印度是月名氐月○斗建辰位三月○合心而满○昼十七时夜十三时近北行○% BR4.13b日午之影长両脚迹○氐宿夜行○觜在日前○辰星用事○日过男女宫（吾神洲三月十六日四月十五日）○印度是月名心月○斗建巳位四月○合箕而满○昼十八时夜十二时○日极行北○日午之影长半脚迹○房宿夜行○日随井星○日过傍蟹宫○是时日光炎炽（吾神洲四月十六日至五月十五日）○印度是月名箕月○斗建午位五月○合女而满○昼十七时夜十三时强○日近南行○日午之影长二脚迹○箕宿夜行○心在日前○日过师子宫（吾神洲五月十六日至六月十五日）○印% BR4.14a%度是月名女月○斗建未位六月○合室而满○昼十六时夜十四时○日转近南○日午之影长四脚迹○女宿夜行○张在日前○日过小女宫（日东六月十六日至七月十五日）○印度是月名室月○斗建申位七月○合娄而满○昼十五时夜十五时○日午之影长六脚迹○室宿夜行○角在日前○太白用事○日过秤量宫（日东七月十六日至八月十五日）○印度是月名娄月○是乃当秋分之节○斗建酉位八月○合昴而满○昼十四时夜十六时○日午之% BR4.14b影长八脚迹○日行南陆○娄宿夜行○房在日前○是时荧惑随日○日过蝎虫宫（日东八月十六日至九月十五日）○印度是月名昴月○斗建戌位九月 合觜而满○昼十三时夜十七时○日午影长十脚迹○昴宿夜行○尾在日前○歳星用事得失诸事皆悉由之（言歳星系人事最重）○日过人马宫（日东九月十六日至十月十五日）○印度是月名觜月○斗建亥位十月○合鬼而满○昼十二时夜十八时○日午之影长十二脚迹○觜宿夜行○女在日前○辰% BR4.15a%星用事○日过摩竭宫（日东十月十六日至十一月十五日）○印度是月名鬼月○是冬至之辰也○斗建子位十一月○合星而满○昼十三时夜十七时○日转近北日午之影十脚迹○鬼宿夜行○危在日前○辰星用事○日过宝瓶宫（日东十一月十六日至十二月十五日）○印度是月名星月○斗建丑位十二月○合翼而满○昼十四时夜十六时○日转近北○日午之影八脚迹○七星夜行○歳星用事○日过双鱼宫（日东十二月十六日至正月十五日）○印度是月名翼月○斗建寅位% BR4.15b据本经略出其暦法现行经本错误甚多矣阅者知之又竺汉相去五万八千里气差不少（余别有考）太阴宿度竺汉同异二十八宿虽粗与汉合非全同也故畧擧舎头諌经文以对校日藏经摩登伽经宿曜经而与支那不全同自见焉名称宿（此曰昴）与月共行三十时（藏经同今伽经昴为十二时者准经后文误也）○宿曜经为之前合○授时暦赤道宿度以昴为十一度三十分○梵法当十三度余○昴有六星形如散蕐（昴此方古图或为六或为七今定为七）昴竺汉星象似% BR4.16a%全同○梵名讫㗚底迦（出义净译孔雀经）长育宿（此曰毕）与月共行四十五时（藏諌伽皆同）○经为前合○授时暦赤道宿度以毕为十七度四十分○梵则当十九度四十分余○毕汉为八星梵为五星伽经曰形如飞鴈藏经曰形如立叉諌经曰形如车行曜经曰形如车按言其象三角西域车形三角故○梵名尸𠰷■你（出义净译孔雀经） ＝口＋皿鹿首宿（此曰觜）与月共倶三十时（伽经同今藏经为十五时）○经为前合○觜授时为无度五分○梵当十三度余○觜汉为三星梵亦为三星藏曜諌伽四经% BR4.16b并曰形如鹿首大同汉星象伹言宿度大异○梵名蔑㗚伽尸啰（出义净译孔雀经）生养宿（此曰参）及月倶十五时（伽经与今同藏为四十五时似误）○经为并合○参授时为十一度一十分○梵暦六度三十分余○参汉为十星梵为一星諌经曰形类圆光色则黄○梵名顿达啰（同出孔雀经）増财宿（井）与月而倶四十五时（藏为十五时恐与参错误伽经同今）○经为并合○井授时宿度为三十三度三十分○梵则当十九度四十分余○井汉为八星梵为二星伽经曰形如人歩諌经曰其形对立○梵名% BR4.17a%富那婆苏（出宝星经）炽盛宿（鬼）与月共同游三十时（藏伽同今）○经为并合○鬼宿度授时为二度二十分梵则当十三度余○鬼汉为四星梵为三星藏曰三星犹如诸佛胸前满相（说如卍相故或是当曰五星）曜经曰鬼四星形如瓶伽经曰鬼三星形如画瓶諌经曰形像钩尺鬼汉为五星◇形如此（或为四星可亦知也）◇◇藏 ◇＝図经说为满相形盖如此乎曜伽二经并言形如瓶盖应是曰瓶◇伽经曰三星恐似误四为三既曰如画瓶故諌经言像钩尺者似取四中之三如取% BR4.17b南斗六星中之四◇○梵名富沙（宝星经）孔雀经作布洒不觐宿（柳）与月不相舍离三十时（藏伽二经并为十五时）○经为并合○柳授时为十三度余梵为十三度十一分○柳汉为八星梵为六星曜经曰形如蛇头諌经曰形如曲钩○梵名阿失丽沙（宝星经）以上七宿儅于东门（三经并同）史天宦书东井至轸七宿为南宦○諌伽二经并合七宿成二百二十五时日藏为百九十五时土地宿（七星）及月而行三十时（三经并同）% BR4.18a%○经为并合○七星授时为六度三十二分梵当十三度余○七星汉为七星伽经曰七星五则顕现二星隐没形如河曲藏经曰形如河岸諌经曰形类曲河曜经曰星六星形如墙◇◇汉◇◇梵又横图出星辰别行法○梵名莫伽（宝星经）前德宿（张）与月倶行三十时（三经并同）○经为并合○张授时为十七度二十五分梵当十三度余○汉为六星梵亦为六星曜经曰形如杵（形如独钴杵）星象全与汉合藏伽諌三经并为二星伽曰如人歩諌曰南北对立藏曰形如脚迹三说% BR4.18b并同取六中之二欤○梵名破求（宝星经名初破求）北德宿（翼）共月而行四十五时（伽同今日藏为十五时）○经为并行○翼授时为十八度七十五分梵为十九度四十分余○汉为二十二星梵则为二星諌曰二星南北对立伽曰形如人歩曜曰形如跏趺藏曰形如脚迹四说其象并同取二十二星中上之二欤◇梵◇◇汉○梵名破求（宝星经名第二破求）象宿（轸）共月倶行三十时（三经并同）○经为并合○轸授时为十七度三十分梵当十三度余○轸汉为四星曜藏伽三经并曰轸五星% BR4.19a%形如人手諌经曰轸五星形类象行◇汉◇◇象迹○梵名阿萨多（宝星经）孔雀经曰诃悉须彩画宿（角）及月而行三十时（伽同今藏作十五时）○经为并合○角授时为十二度一十分梵当十三度一十分○角汉为二星曜经亦为二星曰角二星形如长幢藏伽諌三经并角为一星而諌曰角有一要星形圆色黄◇◇汉◇○梵名质多罗（宝星孔雀并同）善元宿（亢）及月而行十五时（藏登二经并同今）○经为并行○亢授时为九度二十分梵当六度% BR4.19b三十分余 亢汉为四星◇◇梵皆为一星曜经曰形如火珠諌经曰亢有一要星形圆色黄 梵名萨婆底（宝星经）又孔雀经曰莎底并善元之义善挌宿（氐）共月倶行四十五时（藏伽二经并同今）○经为并合○氐授时为十六度三十分氐梵为十九度四十分余○氐汉为四星梵诸经皆曰形如角◇○梵名苏舎佉（宝星经）孔雀曰昆舎佉（并善挌之义）○以上七宿儅于南门○諌伽二经并七宿合为二百二十五时日藏为百八十时史天宦书角至箕七宿为东宦% BR4.20a%悦可宿（房）与月共倶三十时（藏伽二经并同今）○经为并合○房授时为五度六十分梵为十三度一十分余○房汉为四星◇◇藏经曰房四星形如璎珞曜经曰形如长布伽经曰形如珠贯诸说并与汉星象合◇◇○梵名阿奴逻陀（宝星经）尊长宿（心）及月而行十五时（藏伽同今）○经为随合○心授时为六度五十分梵亦为六度三十分○心汉为三星◇梵亦为三星伽经曰形如鸟◇藏经曰三星形如大麦諌经曰形类麦边小中大◇○梵名逝瑟咤（宝星经）孔雀曰跂瑟咤% BR4.20b根元宿（尾）与月共倶三十时（藏伽同今）○经为随合○尾授时为十九度一十分梵为十三度余○尾汉为九星梵曜经为九星余三经曰尾七星形如蝎尾似梵汉全同曜经曰尾七星形如师子项毛是亦其象相类○梵名暮罗（宝星孔雀并同）前鱼宿（箕）与月倶行十五时（藏伽并为三十时）○经为随合○箕授时为十度四十分梵当六度三十分余○箕汉为四星◇梵亦为四星曜经曰形如牛歩諌经曰箕四星形类象（疑脱歩字）南广北狭伽经曰如牛歩藏经曰如牛角其象皆相类◇按% BR4.21a%梵汉全同○宝星经曰初阿沙茶（此云箕宿）孔雀曰前阿舎茶（阿沙茶鱼之梵语）北鱼宿（斗）与月同行四十五时（藏登同今）○经为随合○斗授时为二十五度二十分梵当十九度四十分余○斗汉为六星梵为四星曜经曰斗四星形如象歩諌经曰其形类象南广北狭（箕斗曰前鱼北鱼形相类故欤）◇伽经亦曰如象歩藏经曰斗四星形如人拓地（可知）○宝星曰第二阿沙茶孔雀曰后阿沙茶无容宿（牛）与月而共同行六时（藏伽并同今）% BR4.21b○经为随合○牛授时为七度二十分梵为仅二度三十分余○牛汉为六星梵为三星曜藏諌伽四经并曰牛三星形如牛头◇◇汉◇梵○梵名失罗婆（宝星经）孔雀曰阿苾哩杜耳聪宿（女）共月而行三十时（藏伽同今）○经为随合○女授时为十一度三十五分梵为十三度余○汉为四星◇曜经曰女三星形如犁格諌曰女三星形类麦边小中大伽经曰女三星形如穬麦藏经曰女四星形如大麦粒◇梵名室啰末拏（孔雀经）藏经为四星可考% BR4.22a%以上七宿主儅西门諌经七宿合为百七十⼀一时藏諌二经并为百八十六时贪财宿（虚）共月而倶三十时（藏伽同今）○经为随合○虚授时为八度九十五分太梵为十三度余○虚汉为二星◇宿曜经曰虚四星形如诃梨勒藏经虚四星形如鸟諌经曰虚四星形像调脱之珠伽经曰形如飞鸟（似取垒壁陈西之四星）○孔雀经曰伹你瑟咤（宝星经女虚梵名似错误）百毒宿（危）及月而行十五时（藏伽同今）○经为随合○危授时为十五度四十分梵当六% BR4.22b度三十分○汉为三星◇◇曜藏諌伽四经皆为一星而諌经曰危一星形圆色黄◇○梵名舎多毘沙（宝星经）前贤迹宿（室）共月倶行三十时（藏伽同今）○经为随合○室授时为十七度一十分梵为十三度一十分余○室汉为二星梵亦四经倶为二星而曜经曰形如车辕藏经曰形如脚迹伽经曰如人歩諌经曰二星相远对立諌经说最详矣按与汉室宿全同◇◇◇○宝星经曰第一跋陀罗跋陀（跋陀罗贤之梵语跋陀迹之梵语）% BR4.23a%北贤迹宿（壁）及月而行四十五时（藏伽与今同）○经为随合○壁授时为八度六十分梵为十九度四十分余○壁汉为二星四经皆为二星星象与汉全同曜经曰壁二星形如立竿伽经曰如脚迹諌经曰壁二星相远对立◇◇其象梵汉全同○梵名第二跋陀罗流灌宿（奎）共月而行三十时（藏伽同今）○经为前合○奎授时为十六度六十分梵为十三度余○汉为十六星曜经曰奎三十二星形如小艇伽经曰奎一大星自余小者为之辅翼形如% BR4.23b半珪星象似与汉全同諌经曰奎一星形圆色黄当与伽经意同取其一要星而言耳藏经亦为一星当一意○梵名丽婆底（宝星经）马师宿（娄）共月而行三十时（藏伽同今）○经为前合○娄授时为十一度八十分梵为十三度余○娄汉为三星◇◇梵亦为三星曜伽藏三经并曰形如马首諌经独曰形类马鞍而其象皆同◇○梵名阿湿毗腻（此之娄宿宝星经）长息宿（胃）共月而行三十时（藏伽同今）○经为前合○胃授时为十五度六十分梵为十% BR4.24a%三度余○胃汉为三星◇曜经曰形如三角藏伽二经并曰胃三星形如鼎足其象并同◇諌经独为五星或恐写误又曰形类珂可考○梵名婆逻尼（宝星经）以上七星主儅北门諌经七宿合为二百⼀一十时日藏经亦为二百一十时伽经七宿合为百九十五时二十八宿合成八百三十一时经且从大数而说若详则当八百二十六时三十分时之十九分余是即转终日二十七日四百九十九分一十一秒二九四六九五也星暦者固非吾法之急务% BR4.24b是故徃古未曽闻审详梵法星图宿度者虽然传密者不可不知之也如日藏宝星及文殊仪䡄等说宿曜之灾祥阴阳星暦等者凡不下数十部岂徒设者哉今双擧四经对映彼此比较梵汉私考度图象大率虽既定其象有未的切者故直就天象与经说对较以质其暦运则梵法亦可以得矣顷试騐其六七宿其象与经合如符节◇斗梵云北鱼经曰北鱼形类象歩南广北狭◇即斗之东四星是也其象灼乎无可复滥其佗若有难知者騐以度数则亦可得知也% BR4.25a%梵法百八足印度别有一法分天度为百八足宿曜经分列宿以配百八足乃毎宫九足毎宿四足故合二十七宿（除牛宿）为百八足以太阴平行为四足是故宿度太抵配太阴平行是故于二十七宿中一昼夜与月倶行者十六又一昼夜又一日与月倶行者六又一日与月倶行者五又半日与月倶行者一也当知竺汉星度大节虽不异细目不同此中足者演密钞云足犹度西洋今犹有度量名曰足者是亦倣印度耳宿度三种合法% BR4.25b宿曜经曰香味仙人问曰二十七宿有阔有狭皆以四足均分则月行或在前或在后騐天与说差互不同宿直之冝如何定得凡月宿有三种合法一者前合二者随合三者并合知此三合则宿直之时可知也云何为前合奎娄胃昴毕觜六宿为前合也参井鬼柳星张翼轸角亢氐房十二宿为并合也心尾箕斗女虚危室壁九宿为随合也凡宿在月前月居宿后为前合月在宿前宿居月后如犊子随母为随合宿月并行为并合东为前西为后假如月在东宿在西则是宿在月后月居宿前也（景风注曰凡天象之法东为前西为后此% BR4.26a%前后者似从汉说而言一本作西为前东为后准下文初为正）颂云 六宿未到名前合 十二宿月左右合九宿如犊随母行 从奎宿直应当知 同经曰从奎下六宿月未到宿则名彼宿直也从参下十二宿月左右合从心九宿如犊随母行者则配月为母配宿为犊则月居前宿居后如犊随母之像也騐之于天则宿月用之无差又舎头諌经曰此二十八宿三宿在前而道御行宿在前行月则在后是谓道御何谓为三流灌（奎）马师（娄）长息（胃）又从善元（亢）十二侍从矣从名称（昴）下十二与月侣行与宿曜经大同小异% BR4.26b配百八足于宫宿白羊宫九足配于三宿则娄四足胃四足昴一足○戌位○荧惑位焉是时火星近日故云○降娄（是辰汉云降娄宿曜经曰上古春分朔太阳躔娄义全与支那同） 太阳暦是月三十一日太阳过是宫一宫一度三十三分十八秒○太阴过是宫凡当六十七时半（约平行当此二日二时八百三十三分）从吾邦正月十六日至二月十五日下倣之金牛宫九足配于三宿昴三足毕四足觜二足○酉位○大梁○太白位焉（言太白先于日也）○太阴过是宫凡当八十二时半（是就一昼夜三十时法言也）% BR4.27a%阴阳宫九足配为觜二足参四足井三足○申位○实沈○辰星位焉言先于日○太阴过是宫凡当六十三时又一时三十分七分半○从吾邦三月十六日至四月十五日巨蟹宫九足配为井一足鬼四足柳四足○未位○鹑首○太阴位焉言太阴主儅是月○太阴过是宫凡当七十一时又三十分时之七分半○太阳暦是月三十二日从此方四月十六日至五月十五日○从宝瓶至巨蟹总六宫属太阴分故宿曜经云月理阴位从柳宿逆行取鬼井参觜毕昴胃% BR4.27b娄奎壁室危等一十三宿迄至虚宿之半恰当子地之中分为六宫也又云月光清凉物类相感以阴虫巨蟹为宫神也师子宫九足配为星四足张四足翼一足○午位○鹑火○太阳位焉言太阳主儅是月○太阳暦是月三十一日○太阴过是宫七十一时三十分时之七分半双女宫九足配为翼三足轸四足角二足○巳位○鹑尾○辰星位焉言水星行日前（水星为月精）○太阴过是宫七十八时三十分时之二十二分半○从% BR4.28a%此六月十六日至七月十五日天秤宫九足配为角二足亢四足氐三足○辰位○寿星○太白位焉金星在日前而是时用事（金星风精也）○太阴过是宫六十三时二十二分余天蝎宫九足配为氐二足房四足心四足○卯位○大火○荧惑位焉是时火星随日用事○太阴过是宫五十六时三十分时之七分半○从吾邦八月十六日至九月十五日○太阳暦是月三十日人马宫九足配为尾四足箕四足斗一足○寅位○折木○太阴过是宫五十六时三十分时之七分% BR4.28b半○从吾邦九月十六日至十月十五日○太阳暦是月二十九日麿竭宫九足配为斗三足女四足虚二足○丑位○星纪○镇星位焉是时土星近日用事○太阴过是宫七十八时三十分时之二十二分半○从吾邦十月十六日至十一月十五日○太阳暦是月二十九日从师子至麿竭六宫总属太阳故宿曜经曰天地初建寒暑之精化为日月乌兔抗冲生成万物分宿设宫管摽群品日理阳位从星宿顺行取张翼% BR4.29a%轸角■弖房心尾箕斗女等一十三宿迄至虚宿 ＝亢？ 弖!氐？
之半恰当子地之中分为六宫也然日月天子倶以五星为臣佐而日光炎猛物类相感以阳兽师子为宫柛日性刚义月性柔惠义以济下惠以及臣而日月亦各以柛宫均赐五星以速至迟行度缓急于斯彰焉宝瓶宫九足配为虚二足危四足室三足○子位○镇星位焉（土星日精）○是时土星近日用事○太阴过是宫五十二时半○太阳暦是月三十日双鱼宫九足配为室一足壁四足奎四足○亥位○% BR4.29b诹觜○歳星位焉（木精）是时歳星用事近于日前○太阴过是宫八十二时半○太阳暦是月三十日按宿曜经者除牛宿故虽与舎头等有六时之差今且从舎头等配属其时后更直就天象当捡其宿度日月诸星周天左右异说日月星宿或为左旋或为右旋是古今异说竺汉差目宋书云刘向五纪论云夏暦以为列宿日月皆西移列宿疾而日次之月最迟故日与列宿昬倶入西方后九十一日是宿在北方又九十一日是宿在东% BR4.30a%方又九十一日在南方此明日行迟于列宿也月生三日日入而月见西方十五日日入而月见东方将晦日未出乃见东方以此明月行之迟于日而皆西行也同暦志上曰霍融上言诸暦不如夏暦密虽然先儒多为好诡不取也故宋书云夏暦七曜西行特违众法按史所载古暦有六谓黄帝颛顼夏殷周及鲁暦也然先儒多讶古暦并疏濶以为伪妄是甚不尔暦者泰不火之故汉兴百有余年犹用颛顼暦汉书曰以张苍言比六暦颛顼暦疏濶中最为微近可见汉初古暦犹具存何言伪妄霍融谓夏暦最密朱% BR4.30b子曰古暦疏濶而差少后世暦法虽精密而遂差多矣然夏暦以日月众星皆为西移是以从汉迨唐诸儒咸不取洎于宋张渠朱子等名家潜取梵法复遵于夏暦以为日月众星悉皆西移传云天軆至圆周围三百六十五度四分度之一绕地左旋常一日一周而过一度日丽天而少迟故日行一日亦绕地一周而在天为不及一度积三百六十五日九百四十分日之二百三十五而与天会是一歳日行之数也月丽天而最迟一日常不及天十三度十九分度之七积二十九日九百四十分日之四百九十九而与% BR4.31a%日会十二会得全日三百四十八余分之积又五千九百八十八如日法九百四十而一得六不尽三百四十八通计得日三百五十四九百四十分日之三百四十八是一歳月行之数也歳有十二月月在三十日三百六十者一歳之常数也故日与天会而多五日九百四十分日之二百三十五者为气盈月与日会而少五日九百四十分日之五百九十二者为朔虚合气盈朔虚而闰生焉（朱子语类佛祖通戴等出之）孔子欲行夏之时宋儒据于夏暦良有所以也○按印度亦于曜宿旋转有左右异义而圣经所说立世阿毘昙% BR4.31b等以为西移夏暦所言大约近梵暦如后详今证印度亦有西移之说者南山律相感通传南山问天人黄琼曰经中咸言右旋右脇右遶等相今云左遶如何答云天常法尔人常乃右也故日月星辰皆左行也（今天学家谓西移为左旋今文谓东移为左行）天气风转遂从西没不见月之始生也初在西方渐渐而东亦从西没渐上东廻也西没风转也地上蔓艸生必左旋此是天常也今有西从日月之转人谋也是知印度亦有曜宿东旋之说同传云弟子天人语同天竺如佛出世时人天常交接而有彼此与闻所以今引以证之也% BR4.32a%梵暦日月行度及合离法立世阿毘昙曰日宫者行百八十路月宫者行十五路（是日月南北纬度之数也）日十二路是月一路（是日月平行度）从极南路至极北路二百九十由旬（是即南北纬度也赤道左右合而四十七度也）日月两路一者外路二者内路从阎浮提内路至北倶卢洲内路相去四亿八万八百由旬周回十四亿四万二千四百由旬其外路相去四亿八万一千三百八十由旬周回十四亿四万四千一百四十由旬彰所知论云北行六月南行六月行至中道曰日月廻照轮歴徧谓之一歳今凖知阎浮提与郁单% BR4.32b越回照轮相去四亿八万一千九十由旬周回十四亿四万二千二百七十由旬所谓是赤道也立世不说之葢是略耳其月行者傍行则疾周行则迟其日行者周行则疾傍行则迟（若得此意则左旋右旋之论似倶得倶失也）日与月或合或离一一日中日行四万八千八十由旬合离皆尔若稍合时日日覆月三由旬又一由旬三分之一以此方便（方便者言其渐次也）故十五日一切被覆月光不现（是自黒月一日至黒月十五日此方十六日已后十五日也）若稍离时日日日行四万八千八十由旬是日离月三由旬又一由旬三分之一% BR4.33a%以是方便故十五日月大圆明如是数量日行周围疾速于月四万八千八十由旬尔时世尊重宜此义而说偈言 四万有八千 八十诸由旬 日逐月行尔 离月量亦然 已上说月日之经度按积三由旬又一由旬三分之一十有五日则成五十由旬恰当月之广是故合离然也耳四万八千零八十由旬积三十日而十四亿四万二千四百由旬是内路一周天之度也梵暦黄白二道纬度立世阿毘昙曰日恒行一由旬半又一由旬九分之% BR4.33b一其一一日出时如是入亦如是（南行为出北行为入）六月日中从内路出至于外路（赤道以北为内路赤道以南为外路）月恒行十九由旬又一由旬三分之一其一一日出亦如是入亦如是十五日从内路至外路十五日从外路至内路是就白道纬度而言其平行一由旬半又一由旬三分之一积百八十日而成二百九十由旬是赤道南北之度而乃半年之周也月恒行十九由旬又一由旬三分之一积十五日而亦成二百九十由旬是即转中分之数也此中所言南北行度乃此方所谓与日月东移其义% BR4.34a%便合矣○然今说不専为暦算故惟言其大分不详审其小余虽然推其理以测其数则得其布算不亦难矣○若详梵暦之法则盈缩迟疾之差最易知其义甚明矣重明日月合离及月光开覆立世阿毘昙云云何黒半云何白半由日黒半由日白半日恒逐月行一一日相近四万八千八十由旬日日相离亦复如是若相近时日日月圆被覆三由旬又一由旬三分之一以此事故十五日月被覆则尽是日黒半满日日离月亦四万八千八十由旬月% BR4.34b日日开三由旬又三分之一以此事故十五日月则开净圆满日月若最相离是时月圆世间则说白半圆满日月若共一处是名合行世间则曰黒白圆满若日随月后行日光照月光月光麤故被照生影此月影还自翳月是故见月后分不圆以此事故渐渐掩覆至十五日覆月都尽随后行时是名黒半若日在月前行日日开净亦复如是至十五日具足圆满在前行时是名白半论月光异义汉土西洋并言月固无光是日之魄映也圣教说则% BR4.35a%不尔谓日月宫者倶是天宝各有其光伹日宫者火珠而炽月宫者水珠而微故为日所映夺而生影故言此月影还自翳月立世五云是日宫者厚五十一由旬广五十一由旬周回一百五十三由旬玻瓈所成赤金所覆火大分多下际火分复为最多其下际光亦为最胜其上际金城围绕城高一由旬殿楼悉皆众宝所成日天子与诸眷属倶住于其中又曰月宫者厚五十由旬广五十由旬是月宫殿瑠璃所成白银所覆水大分多下际水分复为最多其下际光亦为最胜其上际金城围绕宫殿城门众宝所成月% BR4.35b天子与诸眷属倶住于其中凡天宝赫■颇非夜光 ＝亦÷火之类其仅小者尚能照于二万余里如前引况月宫是胜果天宝何自无其光明今直以望远镜闚月体其宝光玲珑明彻目击所存无复可疑矣论日月宫之体及其神之有无（附月光开覆）人多言月是阴精夫阴之精者厥体何为若夫水者水性滥溢今何故坚实而不流若夫气者气体轻浮何故凝停而不散若夫土石者土石其质顽重何光明之有抑谁御之运转还复使之万古无差乎人多言日是阳精今谓阳精则火火性必传物无物则不% BR4.36a%传传则必燔燔则必尽尽则必解散无迹不审此火依何煨烬万世炽熖而永无穷尽也今见就日便得火就月便得水是厥体为水火珠也明矣而运动旋移古今不易其辙是无其主宰安得如此哉夫山川江河比之二曜则其大小及万一而尚有神祗之镇其灵维新矣至圣钦望山川是虚设者哉况日月宫者天宝所成厥质之大也非五岳四渎之类而岳渎尚有神况赫灵耀焉无厥主宰吾金仙氏出兴于世也梵释日月恒为侍卫故诸部大经无日月诸天不列其会佛眼所照十方尘刹犹如掌菓曷暗一须弥% BR4.36b界中事耶虽然凡人所信惟耳与目巳除此之外咸致疑无明翳障深掩其智悲哉若准圣教之说分月广五十由旬为十五分黒月一日（此方十六日）覆其一分乃至黒月十五日覆其第十五分其明是尽复白月一日日离月又十五分之一乃至白月十五日离其第十五分而月皆离其所覆故其明圆满焉自影翳月之理尤著明矣太阳平行及闰月立世阿毘昙云以三十牟休多（此云时）决定是一日夜分三十牟休多为六十分日行疾故五十九分便周% BR4.37a%长余一分因是事故二月则长一日又二月复长一日乃至一年足长六日如是五年则长一月用是一月补五年中是为日家闰月今谓日平行分为五十九分者略小余耳此论例皆举大率不说秒微下闰余等并然若特为暦术则如瞿昙氏暦日平行为五十九分八秒九执暦亦日去没分九百分度之十三是适当日平行五十九分八秒回回暦亦为日平行五十九分八秒亦西洋暦太阳平行为九十八分五十六秒四十六微九十二纎八十二忽准梵为之六分算则为% BR4.37b五十九分八秒一十九微四四奇是亦少加微纎耳由是观之西暦者写回暦回暦者取九执暦者灼乎明矣西暦潜取梵暦其类皆如是四天下节气差九十日立世五曰东弗婆提八月十五日自恣日阎浮提是五月十五日结夏时西倶耶尼二月十五日北郁单越是十一月十五日今验之日与列宿倶入西方后九十一日是宿在北方又九十一日是宿在东方又九十一日在南方此明合立世所说足徴信佛说之不谬也○又立世五云日光经度七亿二万一千二% BR4.38a%百由旬周回二十一亿六万三千六百由旬阎浮提日出时北郁单越日没时东弗婆提正中西瞿耶尼正夜是一四天下四时由日得成推歩天度日月诸用数日行百八十路是从冬至至夏至经百八十日余复从夏至至冬至亦尔合成三百六十日月行十五路日之十二路是月一路徃反成一月若日出入时十二日所行路月出入时一日行所得之度也% BR4.38b内外路距度二百九十由旬是赤道内外之纬度也此方为之四十七度余是从极南路至极北路度数也如详之于后内路四亿八万八百由旬是从阎浮提日之极北路至北郁单越极北路直径之数也内路周回十四亿四万二千四百由旬是四天下内路极北周回之度也周髀谓之内衡又谓之内规外路径度四亿八万一千三百八十由旬% BR4.39a%是从阎浮提日之极南路至北郁单越日之极南路直径之数也外路周回十四亿四万四千一百四十由旬是四天下日之极南路周回之里数也周髀谓之外衡古者又谓之外规日月回照轮径度四亿八万一千零九十由旬是从阎浮提赤道至北郁单越赤道度同周回十四亿四万三千二百七十由旬是所谓赤道也立世说内外路不说中路者可凖知也李淳风注周髀以七衡六间为三分谓之内% BR4.39b规中规外规与今理全均周髀是名曰内衡中衡下衡天度经纬各分为三百六十度（印度西洋回回并不用五度四分度之一）毎度六十分毎分六十秒微纎以下倶凖之一度便当四千零零九由旬零八三三以三百六十度除回照轮得之太阳平行约分五十九分八秒太阳经度平行十四亿六万四千四百二十二由旬七七奇日行过天度日二万千百五十二由旬七七三三% BR4.40a%日行平度三百六十五度十六分五十七秒二七奇日平行过天度五度十六分五十七秒二七一太一月之积百五十八度十七分十八秒一五一零七一零四太阳纬度日一由旬半又一由旬九分之一此是以南北纬度二百九十由旬分为百八十分其一分之数也日从南路至北路其行已极为之夏至从北路至南路其行已极为之冬至日至二路中间为之春秋二分周髀曰七衡周而六间以当六月节六月为百八十二日八分日之五与立% BR4.40b世所说其义全同以一度为二百五十里则赤道南北四十七度余故广当一万一千七百五十里余又一由旬为四十里零五一七二四一太（准六朝里法则恰当四十里与）则二百九十由旬适当一万一千七百五十里故两数脗合焉此太阳纬度的当支那西洋所言日行右旋之数也太阴纬度平行十九由旬又一由旬三分之一积十有五日而行二百九十由旬徃反成一月太阴平行度十有三度一十零分三十五秒是元瞿昙氏暦法而回暦用之西洋加精取其微% BR4.41a%纎以为一十三度一十零分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒是亦西暦出于梵法可见旧法岂无微芒乎西儒特加之耳转实二万四千七百九十九腊婆一十一分廿零秒五十四微三十七纎三十三忽五十芒转终日二十七日四百九十九腊婆一十一分廿零秒五四三七三三五圭表摩登伽经下曰月会诸宿六月中旬月在女宿未在七星其一月中昼十七分夜十三分尔时当树十二% BR4.41b寸表量日中影长于五寸七月中旬月在室宿未在于翼昼十六分夜十四分影长八寸八月中旬月在娄宿未在于亢影十三寸昼夜各分为十五分九月中旬月在昴宿未在于房影十五寸昼十四分夜十六分十月中旬月在觜宿未在于箕影十八寸昼十三分夜十七分十一月中旬月在鬼宿未在于女中影则有二十一寸昼十二分夜十八分腊月中旬月在七星未在于危影十八寸昼十三分夜十七分正月中旬月在翼宿未在于奎影十五寸昼十四分夜十六分二月中旬月在角宿未在于胃影十三寸昼% BR4.42a%夜十五为三十分三月中旬月在于氐宿未在于毕中影十寸昼十六分夜十四分四月中旬月在心宿未在于参中影七寸昼十七分夜十三分五月中旬月在箕宿未在于鬼中影四寸昼十八分夜十二分如是等名月会宿法昼夜三十时之名字（并测影）摩登伽经明时品曰妇人纺线得长一寻是则名为刹那时也六十刹那名为一罗婆三十罗婆名为一时此一时者日一分也凡三十分名为一日夜此三十分各有名字日初出分名曰四用二月一日日初% BR4.42b出时人影长于九十六寻第二影长六十寻第三名冨影长十二寻第四名屋影长六寻五名大冨影长五寻六名三围影长四寻七名对面影长三寻第八名共于日正中影共人等第九名尺影长三寻第十名势影长四寻十一名胜影长五寻十二大坚影长六寻十三婆修影十二寻十四端正影六十寻十五凶恶九十六寻此是一日十五分名日没名恶二名星现三名収摄四名安稳五名无边六名忽七名罗刹第八名眠第九名梵第十名地提十一鸟鸣十二名才十三名大十四影足十五丘聚此是昼夜三十% BR4.43a%分名 又舎头谏经曰日初出时人自度影九丈六尺其彼须臾名为四六丈影须臾名曰为胜一丈二尺其影须臾名曰冨乐六尺须臾影名曰卧首五尺影须臾曰冨安四尺影须臾名曰离乐三尺影须臾名曰等善面日中须臾名曰金刚中后须臾名曰犂诃四尺影须臾名曰强力五尺影须臾名曰得胜六尺影须臾名曰皆实一丈二尺须臾名曰治业六丈须臾名曰善仁初日入须臾九丈六尺影名曰最猗而怀恐惧今吾当说向夜须臾日没须臾名曰凶弊第二须臾名曰妙女次名家英次名忧合次名无底% BR4.43b次名梵矣次名彩画次名无怀次名弃意次名安乐次名日火次名种火是要昼夜则有三十须臾漏刻之法摩登伽经曰漏刻之法如人瞬顷名一罗婆此四罗婆名一迦啅四十迦啅名一迦罗三十迦罗则名一刻如是二刻名为一分一刻用水盈满五升圆筩四寸以承瓶下黄金六铢以为此筩漏水五升是名一刻如是时法我已说印度测影之大概佛说时非时经 （并举日藏经及与摩登伽经以备对较）% BR4.44a%冬初分（印度有三时四时六时之不同圣教多用三时）第一（十五日七脚为时七脚半非时从八月十六日私三十日）第二（十五日八脚为时六脚八指非 （藏曰九月合觜满昼十四时夜十六时日午之影长八脚时从九月一日至十五日） 迹伽曰九月中旬月在昴影十五寸昼十四分夜十六分）第三（十五日九脚为时七脚六指非时从九月十六日至三十日）第四（十五日十脚为时八脚三指非 （藏曰十月合鬼满昼十三时夜十七时日午之影长十脚时从十月一日至十五日） 迹伽曰十月中旬月在觜影十八寸昼十三分夜十七分）第五（十五日十一脚为时九脚四指% BR4.44b非时从十月十六日至三十日）第六（十五日十二脚为时十一脚六 （藏曰十一月合七星满昼十二时夜十八时日午之影十指非时从十一月一日至十五 二脚迹伽曰十一月中旬月在鬼中影则有二十一日昼日） 十二分夜十八分）第七（十五日十一脚半为时十脚三指非时从十一月十六日至三十日）第八（十五日十一脚为时九脚四指 （藏曰十二月合翼满昼行十三时夜行十七时日转近北非时从十二月一日至十五日） 日午之影十二脚迹伽曰腊月中旬在七星影十八寸昼十三分夜十七分）% BR4.45a%春初分第一（十五日十脚为时八脚少三指非时从十二月十六日至三十日）第二（十五日十脚为时八脚少三 （藏曰正月合角满昼行十四时夜行十六时日转近北日指非时从正月十六日至三十） 午之影长八脚迹伽曰正月中旬月在翼影十五寸昼十四分夜十六分）第三（十五日九脚为时六脚少三指非时从正月十六日至三十日）第四（十五日八脚为时五脚少三指 （藏曰二月合氐满昼行十五时夜行十五时日近北行日% BR4.45b非时从二月一日至十五日） 午之影长六脚迹伽曰二月中旬月在角影十三寸昼夜十五为三十分）第五（十五日七脚为时三脚少三指非时从二月十六日三十日）第六（十五日六脚为时三脚少四指 （藏曰三月合心满昼行十六时夜行十四时日行近北日非时从三月一日至十五日） 午之影长四脚迹伽曰三月中旬月在氐中影十寸昼十六分夜十四分）第七（十五日五脚为时三脚少三指非时从三月十六日至三十日）第八（十五日四脚为时二脚少一指 （藏曰四月合箕满昼行十七时夜行十三时日近北行日% BR4.46a%非时从四月一日至十五日） 午之影长两脚迹伽曰四月中旬月在心中影七寸昼十七分夜十三分）夏初分第一（十五日三脚为时二脚少四指非时从四月十六日至三十日）第二（十五日二脚为时二脚少四指 （藏曰五月合女满昼行十八时夜行十二时日极行北日非时从五月一日至十五日） 午之影长半脚迹伽曰五月中旬月在箕中影四寸昼十八分夜十二分）第三（十五日二脚半为时一脚少三指非时从五月十六日至三十% BR4.46b日）第四（十五日三脚半为时二脚少二 （藏曰六月合室满昼行十七时夜行十三时强日近南行指非时从六月一日至十五日） 日午之影长二脚迹伽曰六月中旬月在女其一月中昼十七分夜十三分尔时当树十二寸表量日中影长于五寸）第五（十五日四脚半为时一脚半非时从六月十六日至三十日）第六（十五日五脚为时三脚非时从 （藏曰七月合娄满昼行十六时夜行十四时日转近南日七月一日至十五日） 午之影长四脚迹伽曰七月中旬月在室昼十六分夜十四分影长八寸）% BR4.47a%第七（十五日五脚半为时三脚半非时从七月十六日至三十日）第八（十五日六脚为时四脚半非时 （藏曰八月合昴满昼夜各十五时日午之影长六脚迹伽从八月一日至十五日） 曰八月中旬月在娄影十三寸昼夜各分为十五分）如是诸比丘我已说十二月时非时经说测影有异同者彼土疆壤广而说经之地亦不同故致测影不齐且传译不能傥无差谬加以或有传写之误今畧举三经以备挍订当测影以质之实验焉宋史暦志亦出频年之测影又可合攷若能伺% BR4.47b察则三国数万里之气差应目击而知焉印度交食术之一问交食者验暦之大端而最难测矣若所论则印度当审详其大概可得而闻耶曰暦术者虽不关佛出世之事或为有所塞于此者或为特致问者有说及于暦者如此编徃徃出之此外専明天文星暦地理等者佛教十藏中有名器世界藏者又有龙树所说名大悲方便论者并未来此土且暦者国家之大典而国有専官俛焉从事焉故传译诸师不敢急通之且吾法偏事弘真乘不意通世典是以经论虽事及% BR4.48a%是者多直示其梗概耳而无一详布算测量者是所以梵暦难知而不传于今也今粗探大藏虽一章一句有言及于此者则摘以研核之尤为暦术之要领者不为不多渐集以考成凡关暦法之节目者其大畧无一不说大藏中者如交食术者经论虽不说其测算以既已说其交常度观之佛出世时其法详备如前篇论之今又证彼地有厥精测则旧唐书暦志李淳风鳞德暦求日月亏初及复末之时刻术中云迦叶考威等天竺法先依日月行迟疾度以推入交远近日月食分加时日月触亦为十五分去交十五% BR4.48b度十四度十三度影亏不法触自此已下乃依验触十二度十五分触二分少强以渐差降自五度半已上触既十四分强若五度无余分已下皆触尽又用前触多少以定后触分余若既其后触度及分即加七度以为触度若望月触既来月朔日虽入而不注触（是自非精暦术者所不能得而知也后世暦算家皆法之故孔颖达左传注疏详论无前月食既后朔复食之理者盖皆据之耳）若触半已下五分取一分若半已上三分取一分以加来月朔触度及分若今歳日触度及分然后可騐后触度分数多少（若今已下恐有错脱）又云六月依节一触白月十五日是月触节黒月尽是日触% BR4.49a%节以亦吉凶之象惊告王者奉顺正法苍生福盛虽时应触由福故也其触即退李淳风尝从罗达等士禀承梵暦于是亦可见同旧唐书云按僧倶摩罗所传断日触法朔日度躔于郁车宫者的触诸断不得其触据日所在之宫有火星在前三后一之宫并伏在日下并不触若五星皆见又水在阴暦及三星已上同聚一宿则亦不触凡星与日别宫或别宿则易断其郁车宫者即中国降娄之次也（按印度者直近赤道下而降娄之次亦当天之中央故其触分甚浅而且加时若当午则理应当触而不触况五星同度则虽触分深或有不触者如支那吾邦距赤道远矣故理不一准也）唐开元已后曁于元至元% BR4.49b中当触不触者凡十次（见续弘简录履谦之传）必是今所言之类矣哉识者若见今之所引则印度精于厥术不俟辨自知矣今李淳风所引迦叶考威之术与授时大统其交食之术全同是则由六朝已后印度暦术渐于支那其法同根故也印度交食术之二西印度僧金倶咤七曜攘灾决云罗睺遏罗师者一名黄幡一名触神头一名复一名大阳首常隐行不见逢日月则触朔望逢之必触与日月相对亦触谨按天竺婆毘麿歩之云尔汉说云日月同道月掩日% BR4.50a%而日蚀天对日冲其大如日日光不照谓之暗虚暗虚値月而月蚀二说不同今按天竺暦得其正理矣对人本宫则有灾祸或隐覆不通为厄最重常逆行于天行无徐疾十九日行一度一月行一度十分度之六一年行十九度三分度之一一年半行一次（即是一宫也）十八年一周天（言周十二宫毕）退十一度三分度之二凡九十三年一大终而复始（唐元和元年丙戌入暦正月在轸十度当吾邦大同元年）罗睺有本行日左旋三分有奇本书略出九十三年之推歩同七曜攘灾决云计都遏啰师一名豹尾一名蚀神尾一名月勃力一名太阴首常隐行不% BR4.50b见到人本宫则有灾祸或隐覆不通为厄最重常顺行于天行无徐疾九日行一度一月行三度十分度之四九月行一次（一次即一宫也）一年行四十度十分度之七凡九年一周天（言周十二宫毕）差六度十分度之三凡六十二年七周天差三度十分度之四（唐元和元年丙戌入暦正月在牛五度当吾邦大同元年）计都有本行日右旋六分三十九秒有奇本书略出六十二年之推歩而云推之考验徃古及今年所留宿度若应符契分毫无差也九曜五行暦又同此说又一行梵天火罗云按聿斯经云凡人只知有七曜不知暗虚星号曰罗睺计都此星在隐% BR4.51a%位而不见逢日月即蚀号曰蚀神计都者蚀神之尾也号豹尾按回回西洋等歩罗计以推交蚀者皆不过其术从印度传而私加精亦益于是见之何者西法取之于回暦回暦者直是梵暦其义前已极辨今亦捡回西二暦歩罗睺本行以为日日左旋三分有奇今与婆毘麿歩罗睺术全合滋见前辨不妄焉况回西二暦直存梵语称罗睺计都其从而所来莫明焉印度交食术之三大方广文殊仪䡄经云十入息为一灭分十灭为一% BR4.51b刹那十刹那为一须臾一百须臾为一昼夜分当须了知此时分之量乃至如是六月为罗睺障时十二月为一年十二年为大年（自子至亥凡十二年阴阳各六而大年已毕竺汉其义合如符契亦不奇哉）又云若娄毕胃此等星宿之分日月蚀者一切人民生种种病若奎壁宿之分若有蚀者若先月蚀后有日蚀者于半月中灾乃至广明日月蚀及地动之徴应又云彼计都星作日月蚀共有如是种种诸恶相现此经分明说罗睺计都作日月蚀人多以罗睺障错为修罗障修罗则彼趣之通名而罗睺者彼趣一王之别名也岂可混乎罗睺此云覆障% BR4.52a%又云吸气（玄賛翻云执日者就彼别号以义翻耳）又炽盛光陀罗尼经云或被罗睺掩蔽日月薄蚀（文殊仪䡄炽盛光等诸经详五星之陵犯九执二十八宿十二宫神等示善恶徴应非明推歩者安得能详其陵犯失度等哉）回回西洋等之暦以白道之交点名罗睺指白道之中点名计都月道自南溯北以交黄道之一点曰罗睺此点有本行日日左旋三分有奇而罗睺正对之点为计都所谓龙头龙尾又曰内道口外道口是也葢黄白二道两规斜络其两交之点必正对也而日月之行到于罗计则必蚀焉太阴从入交初日或六出七入或七出六入而会太阳其间乃当百七十有三日经约交% BR4.52b常度为言故举以一昼夜为百刻时分之量已而言如是六月为罗睺障时经则伹说暦之节目与曜宿之徴应而不说其术者大圣偏以破恶证真为急而不欲亘世法之琐末且其术则在其家而存也印度交食术之四（论罗计之义不一准）按就交食称罗睺者三其一以龙头名罗睺以龙尾名计都支那又谓之内道口外道口其二实为别有蚀神星名罗睺计都者而作日月蚀其三罗睺阿修罗王作非常之蚀其义如详第一卷印度谓为障者名罗睺罗如尊者罗睺罗障胎六年故云也罗睺罗% BR4.53a%阿修罗王有时障日月之光故云也（罗睺具云罗睺罗故大论曰罗睺罗阿修罗王）此中初说以白道之交点为罗睺以白道之中点为计都而以为此是月行难算故设诸道之交点以便揆算其行度此名耳实非有其星也而及言其月蚀欲详所以为其蚀者无徴焉是所以有种种异说也支那说云天有虚道日有暗气常与日对月行虚道为暗气所冲是故蚀焉西说云天圆形地便在中心日一日行一度月一日行十三度余以周天三百六十度记之自朔至望仅行一半月距日一百八十度而日月正对望中间地球障隔月轮在地影% BR4.53b之上日轮在地球之下日光不能照之故失其光而谓之食渐出地影之外日能照之则渐复元光因知月食则由地影之蔽此义甚非也若尔者当如北边地绝无月蚀据唐书等铁勒回纥部在薜延陁之北去洛阳六千九百里又有骨利干既日没天色正曛煮一羊脾才熟而东方已曙如此地者以理推之当日没于亥而出于丑故不见日过仅三十度之间而日隐于地甚浅故地上犹有余晖况如上天日月相望处无地可隔何地影之有若尔者彼地当断无月蚀云何有其义骨利干者即回回部落也而回回暦% BR4.54a%推月蚀其术与竺汉无异者何也地影之说其非灼乎明矣且西洋喜竞胜夸奇创虽搆造地影障月之义至歩其罗计犹不能易其术潜用印度之法者岂不甚拙哉其事苟不逾人之隷而猥加私意于其间者何也支那暗虚之说稍虽近不得其实何者罗睺果有本行三分有奇计都有本行六分三十九秒余而罗计之徴应速于影响自古大畏惧日蚀者圣贤有所深考也葢非暗气作月蚀可以知也况于别有罗计之测算乎故支那先人皆信其说而云罗计气孛谓之火土木水之四余罗计见交食之影气孛不% BR4.54b常见见则有异是皆从印度之义者也蜜部经论说罗计之徴应者多岂徒设者哉夫罗计为变当日月日月蚀当星星亡是天地间一大严诫岂徒任诸数不畏而可哉如圣人畏蚀惧雷岂以处之愚哉印度交食术之五（术交食大概又证高卑之说原起印度）暦法疏密验在交蚀其事著者有三一曰加时早晩二曰食分深浅三曰起复方位取其密合不容偶然推歩加时必本于躔离朓朒考求食分必本于距交远近悬知起复必本于地形方位人目邪直得之至要唯在入气盈缩入转迟疾得其精当而巳若未得% BR4.55a%其正则合朔不失之先必失之后合朔失之前后则亏食时刻其能密乎况食分多寡起复时刻何由知其正哉若合朔正则加时无早晩之差气刻适中则食分无加减之失其要在验气验气者必在阴阳消息之间其气由何见之惟候其日影进退则其机将无所遁候之不过植表测影以穷其气至之始是故印度讨核分至顾歩光影其法甚详然古者暦法不得与天密合者不悟日月行度有盈缩故也六朝已后䆮测焉未详迨于唐其法大备矣然而犹尚迄于明末无晓所以日月行度盈缩之理者也回回傅梵% BR4.55b暦而専测七曜行度有高卑以究盈缩之理西洋亦傅回暦而加精是所以精于授时大统而与天密合也其功偏在详最高卑明已前古人所未尝测得也今捡印度经论徃徃见有高卑之说日藏经云何名为日前后行上行几影下行几影影有几歩名曰为转初转云何（西术求最高卑之年根者即今初转之义）云何月北月南（是即言最高最卑冬至夏至等）云何次第（是言损益之次第也）此经特言暦法故文虽甚简意最要矣又虽不关暦法有言高卑者多论六云冬末八夜春初八夜是盛寒时所以尔者寒势浮尽必先盛后衰以日下近地故热势微少是故% BR4.56a%寒甚又同论七云天竺冬末月八日春初月八日此十六日寒势猛甚多发冷病以冬春气交争故又日在下道行光照处少故寒甚春末月八日夏初月八日此十六日热势极盛多发热病以日正在上故所照处广是故大热夏末月八日冬初月八日此十六日不寒不热以日所行道不高不下故以寒热倶发冷热病杂寳藏经八云问曰日之在上其体是一何以夏时极热冬时极寒夏则日长冬则日短斯那答言须弥山有上下道（日绕须弥故云尔非须弥直有日道）日于夏时行于上道路远行迟照于金山是故日长而暑热日于% BR4.56b冬时行于下道路近行速照大海水是故日短极寒此二文虽不特为暦术高卑盈缩迟疾之理文甚著矣瑜伽论二云日轮以火颇胝所成月轮以水颇胝所成此二论中月轮行速及不定（言月行有迟疾故曰不定）畧纂释曰月行速者谓南北路速于日不定者绕山行迟于日又瑜伽论云又复日行时有远近若远苏迷卢立为寒分若近苏迷卢立为热分即由此故没有迟疾言朓朒之理甚分明也（瑜伽言月行经纬者与汉说不同如前辨之）测五星高卑者如嘉祥仁王疏引印度三藏之所傅由是观之盈缩高卑之理当佛出世之时其说既已尽% BR4.57a%矣大体明则推歩无惑印度暦术备而久于是可见四方知暦者皆其波及尔耳称印度曰神迹诡异理绝人区者实非过与也今西术盛行海内専谈地体圆球而测其经度以为不足仅三千五百里者（吾邦之里法）证之以星度世人以其暦法与天密合惑其精技是以遂信彼地球疑须弥或以为虚诞破佛法之因縁莫甚焉（通）之无似不忍闻之探大藏中撰梵暦以显日月列星绕于须弥而发敛无差交食不失而示支那西洋不过原受梵暦之裔而加以私意彼西法奇说百端岂止乱吾圣教乎坏乱支那圣典皇国神% BR4.57b道请海内诸兄弟须务而辟焉矣佛国暦象编卷之四终
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% BR5.1a佛国暦象编卷之五平安东森隐士无外子释圆通 撰云阳 空谷子释智毂 校暦法第四之三 凡二十七条论日有五蚀日有五蚀是日月经纬错行之所为是犹可因理而推者也如其变异之蚀则不可因理而推者而佛教以是变异之蚀为修罗之障是支那西洋之所不曽知者也南齐书云旧说曰日有五蚀谓起上下左右中央是也交会旧术云日蚀不从东始以月从其西% BR5.1b东行及日交中交从外入内者先会后交亏西南角先交后会亏西北角交从内出者先会后交亏西北角先交后会亏西南角日正在交中者则亏于西故不尝蚀东也若日中有亏名为西子不名为蚀也汉尚书令黄香曰日蚀皆从西月蚀皆从东无上下中央者春秋鲁桓三年日蚀贯中下上竟黒疑者以为日月正等月何得不而见日中郑玄云月正掩日日光从四边出故言从中起也王逸亦谓日蚀不起于东然而晋书恭帝元煕元年十一月丁亥朔日有蚀之而云自义煕元年至是日蚀日从上始皆为革命% BR5.2a%之徴自义煕至是其间十有五年日食凡五而皆从上始也是天示其徴应者而非常理之所推矣岂运筹任数者所可得而知哉论日蚀之疑难南齐书曰王逸以为月若掩日当蚀日西月行既疾须曳应过西崖既复次蚀东崖今察日蚀西崖缺而光已复过东崖而独不掩逸之此意实为巨疑王充论衡亦出此疑难如支那西洋之说为日月倶东移而月速于日十二倍则此疑甚难通若据印度之说则此难易晓日之周行速于月而日月倶西移日自% BR5.2b东及月故日蚀毎亏从西而月之纬行速于日十二倍故日绕蚀而与月斜别或差于西北或差西南是故不应西崖既复次蚀东崖也加旃当此时二曜之行有高卑之别不致此难论暗虚之说南齐书云先儒难月以望蚀去日极远谁蚀月乎说者称日有暗气天有虚道常与日衡相对月行在虚道中则为气所弇故月为蚀也又隋书曰月食以月行虚道暗气所冲日有暗气天有虚道正黄道常与□对如镜居下魄耀见阴名曰暗气奄月则食故称% BR5.3a%当月月食当星星亡暗虚之说古人有所深考故其义虽不中不甚远也较之西洋以月蚀为地影则其义颇近矣虽然不如罗睺计都之有实騐而其义的切也（罗计者详之于前）论西说太阳测量无定凖西洋天学家测日之量其差舛最甚矣利玛窦曰日大于地一百六十五倍八之三而其径四百八十八万四千零三十五里余西洋新说云日径大于地三百六十倍同新说云日径大于地为五倍奇其大小悬绝既致空壤数百倍之差矣其余十有余家其违% BR5.3b并皆不啻螘垤与丘山也凡运筹任数者未曽闻如此许多乖角而称可者也西学者谓七曜离地及其大小等各有测算之法测量之器实非荒唐之言揣摩之见直是一毫不爽者然高低尚有定位而行天转旋皆可测也不畏大方极口自赞而其无定凖如斯奚得其无毫差哉彼自谓器测实騐诚得厥真而极远之境取徴无则故十人测之而有十差尔孰与佛说为日宫五十一由旬其言一出而千载不易者论西洋新旧天说不足依用西洋旧说测地周为九万里而月离地心为四十八% BR5.4a%万二千五百二十余里辰星离地心九十一万八千七百五十余里太白离地心二百四十万六百八十一里余日离地心一千六百零五万五千六百八十一里余荧惑离地心二千七百四十一万二千一百里余歳星离地心一万二千六百七十六万九千五百八十四里余塡星离地心二万五百七十七万五百六十四里余经星离地心三万二千二百七十六万九千八百四十五里余此外即系一日一周宗动之天包络转运诸天者其离地心有六万四千七百三十三万八千六百九十里余其新说者与旧说大% BR5.4b异而诡变滋甚其义如粗出于前而其七曜离地等之测算十有余家亦各天隔今擧其二家测算之异余畧之戞数湿以儞之所测算水星距地三万三千倍缚而捊之所测算水星距地五万⼀一千⼀一百三十八倍金火木土亦各互龃龉天渊不同若是全令人无所适从予故曰不足依用也徴西说七曜离地之谐谬明据西洋新说家并言月者地球之副星而独绕地球故去地最近或为地球半径一万九千倍或地球径六千倍凡新旧诸说言七曜离地之数者率皆妄诞不% BR5.5a%足依用何者晋书天文志云凡月蚀五星其国皆亡五星入月其野有逐相又曰惠帝太安二年歳星入月中占曰国有逐相又曰元帝大兴三年十二月巳未太白入月在斗又曰成帝咸康元年二月乙未太白入月同四年四月巳已七月乙巳月倶奄太白（奄与入其象自别）同六年二月太白入月同十年十一月月奄塡星又云孝武太元十二年二月戊寅荧惑入月占曰有乱臣死同十三年十一月戊子辰星入月同十八年正月乙酉荧惑入月隋书天文志亦云凡月蚀五星其国亡凡五星入月其野有逐相盖天变者司% BR5.5b天奏之史臣记之天下倶所见而验证莫明焉今捡一两史五星入月者不一而足若西说者如何通西说为言辰星高于月为皇国里法七万二千七百零五五而入月者数矣又西说为言歳星高于月为皇国里法二千百零四万九千五百一十零里六六不尽而今五星皆有入月者何也其余皆凖之其非显著如此若据印度之说则廻照轮距地百六十万里于皇国里法为二十六万六千六百六十六里有奇而行度时有高卑故有月奄五星又时有五星入月两无妨如印度断日蚀法言或火星在日下或三星% BR5.6a%已上同聚一宿则不得其蚀其义与支那同以可知耳近者西洋新说奇谲百出人徒惑厥精算是以不能遽悟其非然今以五星入月实验观之则其说殆若瓦解矣论西洋五星距地测量之谬上已以五星入月之辨驳西洋五星离地之测量今又重核论其非西洋天学家戞数湿以儞之所测算以地球半中径为积 五星距地球远点之测量土星距地二十四万四千倍% BR5.6b木星距地一十四万三千倍火星距地五万九千倍金星距地三万八千倍水星距地三万三千倍又五星距地球近点之测量土星距地十七万六千倍（较前远点其差六万八千倍）木星距地八万七千倍 （较前远点其差五万六千倍）火星距地八千倍 （较前远点其差五万一千倍）金星距地六千倍 （较前远点其差三万二千倍）水星距地一万一千倍 （较前远点其差二万二千倍）% BR5.7a%缚而捊之所测算 五星距地球远点之测量土星距地三十八万零五百五十倍木星距地二十二万二千二百五十倍火星距地九万二千二百二十一倍金星距地六万零零五十倍水星距地五万一千一百三十八倍又五星距地球近点之测量土星距地二十七万六千二百六十八倍（较前远点其差十万零四千二百八十二倍）木星距地一十三万六千二百六十八倍（较前远点其差八万五千九百八十二倍）火星距地一万三千% BR5.7b六百六十八倍（较前远点其差七万八千五百五十三倍）金星距地九千零四十倍（较前远点其差五万一千零零九倍）水星距地二万三千二百二十一倍（较前远点其差二万七千九百一十七倍）其不同如此今且就后测算以论之其乖理殊甚其论土星自近点至远点加距十万四千二百八十二倍而人视其远点之时与近点之时无异者何也今以例徴其非彼说月之径为皇国里法九百三十八里而以月距地为地之半中径三百七十倍今人视月其大仅如扇设二倍之则为地之半中径七百四十倍而人所见必当如径二三寸玉盌倘更三倍之% BR5.8a%则为地之半中径一千一百一十倍而其大可一寸倘四倍之则人终当不得见之今土星在其近点时与其远点益十万四千余倍所见相齐者何也请试以月之距地騐之其非自明矣论西法恒星天测量之非及恒星为太阳之谬西法为恒星高于太阳二万九千六百七十一万四千一百五十五里而西儒测五星距地既妄则其测恒星亦谁肯为适当乎且彼新法以谓恒星者皆太阳而不动也今请并徴其非南齐书曰难曰日之夜蚀验于夜星之亡昼蚀既尽昼星何故反不见答之% BR5.8b曰夫言光有所冲则有不冲光矣言有所当亦有所不当矣夜蚀度远与所当而同没昼蚀度近由非冲而得明西法今为恒星者皆太阳而其体焰炽不须佗光若然则当日之夜蚀所冲之星亡者何也恒星之非太阳确乎者矣且也以当夜蚀之所冲而亡验之恒星之不甚高于日亦可以知也耳西儒不自度谩悖圣贤滥阴阳而无所畏惮岂不哀哉（此中为恒星以为月所隔不能受日光故亡者且从南齐书若据印度之义则当于日冲而为罗计所蚀也言当星则星亡是也）论以地球妄为星僻说% BR5.9a%地球旋动之非巳驳于前如其以地球为星者害于圣教更甚矣皇国及支那印度其法虽异至其崇天神重鬼神则其揆一也今西说为言此地恒运转与曜宿全同自月及五星等见我地球则由海水为日所照故其光与月无异由是輙以为月及五星亦地球而人居于此与我地球无异矣甚矣哉人之好诡一何至斯傥夫如是则互天互地我与彼既等有何所惮而敬天之为竟令人至无所畏惧其害于道莫大焉西洋书中又有测月中人之长者殊不知荒唐不稽者圣贤之所诫夫赫奕二曜其有晷影之迹犹% BR5.9b有难得而测者况于五星中人之有无乎哉况于其形之长短乎其罔天地诬圣贤奚其深也轻窕之徒闻而悦之其极必至蔑如内外之圣典紊天地之常伦其害于名教妨于慈济甚不少小是余之所以务而辟之者也试问西学家既以月及五星为人居而独不得以太阳为人居者是大火聚故也耳夫日月星宿元是同象何猥容人按排亘古七曜之徴应速于影向歴代史志凿凿言之其岂皆尽虚设者哉圣人寅宾出饯纳者岂愚而然者也欤论五星测騐起于印度% BR5.10a%唐已前亦测五星而其术未详故宿曜经曰大唐未审知委其曜盛唐已后得传印度诸暦其法渐备矣然而洎丁元犹未究其精故辍畊录曰文正王尝言西域暦五星密于中国乃作回回暦又宿曜经说七曜经曰南西北三方诸国一切悉用之印度西北者回西是也回西七曜暦则自印度波及于彼于是亦可见也耳而印度七曜暦传于今者有西印度僧金倶咤在唐天和中而推歩之者虽粗略其梗概亦足见之惜哉其书残缺脱太阴之推歩摩登伽经畧出七曜一周天之数文殊仪䡄经炽盛光等诸经说五% BR5.10b星陵犯之徴应甚详矣当知其术从而来大尚焉论测七曜形量印度西洋大异（并徴西测之非）西测云太阳之大当吾邦里法三十二万九千五百零一里零九太阴之大九百三十八里八四零五土星之大二万九千二百九十六里四零四四大于月三十一倍余木星之大三万五千三百零一里九三七大于月凡三十七倍半余火星之大一千九百十八里二三七大于月二倍余金星之大三千四百一十二里六六大于月几四倍水星之大一千八百三十零一里二一零六大于月几二倍西测五星之量% BR5.11a%悉皆暗算妄推不足依凭也古既五星入月数也大于月数十倍而能入月中人见其星之大如本者何也三尺童亦所不惑也印度说者宿曜经云日广五十一由旬下靣玻瓈之宝火精之质也温舒能照万物立世阿毘昙论曰是日宫者厚五十一由旬广五十一由旬周回一百五十三由旬玻瓈所成赤金所覆火大分多下际火分复为最多其下际光亦为最胜其上际金城围绕城高一由旬众宝所成种种摩尼之所严饰日天子与诸眷属于其中住瑜伽论云其日轮量五十一逾缮% BR5.11b那当知月轮其量减一日轮以火颇胝所成便当支那二千四十里月宫宿曜经云月广五十由旬下靣瑠璃之宝水精之质也清凉能照万物立世阿毘昙论曰是月宫者厚五十由旬广五十由旬周回一百五十由旬是月宫殿瑠璃所成白银所覆水大分多下际水分复为最多其下际光亦为最胜其上际金城围绕高一由旬众宝所成种种摩尼之所严饰月天子与诸眷属倶于其中住瑜伽论曰月轮以水颇胝所成金星宿曜经云风精太白广十由旬唐里法四百里而居月% BR5.12a%二十五分之一七曜攘灾决云太白西方金之精一名长庚径一百里其色白而光明此是西印度所传其说体量颇异盖此书本凖西印度之所传故或有里法之异也木星宿曜经云空精歳星广九由旬凡当唐里法三百六十里攘灾决云歳星东方木之精一名摄提径一百里其色靑水星宿曜经云月精辰星广八由旬凡当唐三百二十里攘灾决云辰星北方水之精一名寃星经一百里其色黒% BR5.12b火星宿曜经云火精荧惑广七由旬凡当唐二百八十里攘灾决云荧惑南方火之精一曰罸星径七十里其色赤土星宿曜经云日精镇星广六由旬凡当唐二百四十里攘灾决云镇星中央土之精一名地径五十里其色黄其佗杂星量各不齐瑜伽论云诸星宿中其量大者十八拘卢舎量（凡当唐百八里）中者十拘卢舎量（凡当唐六十里）最小者四拘卢舎量（凡当唐二十四里）又増一阿含及楼炭等说星量颇故畧之按西测为木火土三星大于月数% BR5.13a%十倍然以五星入月验之（月亦有掩五星互有高卑行故也）五星小于月且与月互高卑也必矣是皆实验也可见印度之说信而徴矣论西洋测量无所适从西洋天学其为名家者竞究测七曜离地及其体量而其同异悬绝今唯擧太阳离地之异其佗畧之太阳离地之远点以地之半中径为积以言其列下者皆其人名也太阳距地一千五百八十六倍 飞把耳救数同一千二百一十倍 甫铎陆脉由数% BR5.13b同一千一百四十六倍 曷而秡得及牛数同一千七百七十九倍 骨百耳尼结由数同一千一百八十二倍 得逸骨同三千四百三十倍 缺甫歴力由数同一万四千九百零五倍 闻迭而立牛数同七千四百二十七倍 力郭湿郁留数同二万二千三百七十四倍 戛数湿以儞同三万四千九百九十六倍 迭剌飞列此中其差最多者三万三千八百五十倍也未曽闻测算一事而有如是逈乖角者须知无縁大荒之外% BR5.14a%的取测算之徴所以遂不免归于臆断也论日月体量内外所说不同印度西洋其说如前篇支那之说者白虎通曰日月径千里又徐整长暦云日月径千里周围三千里竺汉二说其差凡不过一倍若较西法则其差甚伙若以日大于地三百六十倍比之印度日宫五十一由旬则其异凡五千百余倍也夫佛者王于诸天仙神鬼教化万邦其教无国不至矣圣言一出千载永不易乌北之庸常凡人之臆说汉土为日径千里者其言纵容似与印度之说颇合是必古之遗传而出神% BR5.14b圣之说者矣不类西法之荒唐者远矣论言舆地广狭内外典其说大异西洋地球之说如前数论支那说者河图括地象曰地南北三亿三万五千五百里地部之位起形高大者有昆仑山广万里高万一千里神物之所生圣人仙人之所集也出五色云气五色流水其泉南流入中国名曰河也其山中应于天最居中八十域布绕之中国东南隅居其一分是奸城也淮南子云禹乃使太章歩自东极至于西极二亿三万三千五百里七十五歩使竖亥歩自北极至于南极二亿三万三% BR5.15a%千五百里七十五歩（太章竖亥善行人皆禹臣也）周髀曰日光外所照径八十一万里周二百四十三万里周髀者测景得于圭表者而其所言氷海夜国今现有实据周髀所言舆地大于西说之地球许多也而其测量虽至外衡之外日光之所及而不言地之所限矣河图及淮南之说是皆采录旧闻者而必有其所传与西说各恣臆断者不同故其昆仑等之说今皆有实据故言地之大亦当必有其所本矣夫神人者履水犹地岂常理之所推哉太章竖亥盖是神人然而支那所说皆不过言阎浮提一天下之内外其义如详前% BR5.15b篇印度所说舆地其度甚广大与西说悬绝倶舎曰地径十二亿三千四百五十由旬乃当唐四千九百三十八万里是以天眼亲见以所测定不同庸常凡人暗算妄推西说言地甚小而测日太广大也印度则与是相反夫日月虽显象是天地间之一物而非可与天地对较其大小者况大于地数百倍者哉悖圣说最甚矣是故信彼说者皆言虽圣人于天文地理则所未达也使人轻蔑圣典者遂皆可根于此岂可不哀哉论周髀所言四极节气之差与佛说契合% BR5.16a%上章就于佛说详四天下日道及节气之差而捡周髀所言其立日道及节气之差全同佛说周髀云凡日月运行四极之道故日光外所照径八十一万里周二百四十三万里故日运行处极北北方日中南方夜半日在极东东方日中西方日中东方夜半凡此四方者天地四极昼夜易处加四时相及又云日月之道常縁宿南至夏至日中北至冬至之夜半南至冬至日中北至夏至夜半亦径三十五万七千里周一百七万一千里问西洋谈地球者亦为昼夜易% BR5.16b处节气随地何唯佛说及周髀乎曰西儒所言虽相类其义大非矣余騐诸三事一者明史及广舆记并言天方国一曰西域用回回暦与中国暦前后差三日若凖此义则自支那至亚墨利加食人国相隔百八十度故其节气之差当不过七八日也今以自支那京师至天方东西相隔凡七十五度而尚云节气差三日凖知之故也如立世及周髀之说者里差百八十度则气差适当百八十日故与西说乖角天渊也二者余尝■有合考和兰暦相当皇国元禄十六 ＝门 免年之与皇国暦者本年春分西暦则彼之三月二十% BR5.17a%一日是日乃吾邦二月五日而皇国春分则当二月六日未初三刻故我与彼气差仅一日也本年夏至西暦则彼之六月廿二日而吾邦当五月九日皇国夏至即与彼同日也又本年秋分西暦则彼九月二十四日是日乃吾邦八月十四日而皇国秋分乃当本月十二日差不足二日又本年冬至西暦则彼十二月廿三日是日乃吾邦十一月十五日而吾邦冬至乃当十一月十四日与彼差仅一日也又是歳彼正月三日满月同夜月蚀（自酉刻至戌刻亏二分半）皇国暦则当十一月十六日吾邦亦当是夜酉时月帯蚀所见七% BR5.17b分是亦同时（伹食分有浅深耳）又是歳当彼十二月廿三日冬至月触（自酉中刻至戌中刻亏三分）皇国暦亦同日酉时月帯触所见八分半是亦同时而仅有刻差及食分多寡耳自皇国至红毛国道程凡百三十五度然利玛窦坤舆图曰相隔百八十度则时差六辰而昼夜相反焉是大妄矣今既騐和西二暦彼此相距百三十五度而时差仅四刻余而气差则不足二日也以之凖知相距百八十度则气差仅不过三日也耳西说大谬也明矣凖佛说及周髀从吾南洲而言则当此地冬至东洲则春分西洲则秋分北洲则夏至也左右% BR5.18a%相距九十度则气差亦九十日若南北若东西其正对地者相距百八十度而其气差亦百八十日也其辰恰差六时是故言昼夜易处寒暑相反今据立世阿毘昙折半回照轮则为七亿二千一百六十三由旬半是即半周天之里程也以配之三百六十度则毎度当四千九由旬而天度差一度则节气亦差一日矣捡今和西二暦其夏至者同日而无差其冬至者二暦差一日也故折半二至以取之我与彼节气相差适半日也按和兰者其地在于阎浮提西北之涯而皇国者在于阎浮提东洋中与和兰相距凡当% BR5.18b二千由旬乃适当半度故气差方当半日也而与立世阿毘昙等所说其义甚合矣是实騐而最足徴焉既以西暦亲騐之无所容疑岂非执柯伐柯者乎西说地度不当其实也于是益彰焉三者若子午卯酉正对地者昼夜相反节气相表里焉验之以星度之移其义确存于目击复奚疑矣今如参宿为冬至夜半之中星是夜乃昬见卯位而又过九十一日则昬见午位又过九十一日乃昬见酉位又过九十一日则凖知昬在子位由是观之左右相距九十度则其气差一季故异春夏别秋冬若正对而相距百八十% BR5.19a%四洲昼夜易处异节气图% BR5.19b四洲黄道三䂓图% BR5.20a%日所在约南洲以配昼夜十二时图% BR5.20b度则寒暑相反昼夜易处其理无所容惑焉若西说者红毛与我相距百三十五度故非假如参宿为吾邦冬至中星则距吾冬至百三十五日而是时参宿始为红毛冬至中星则西法地度其义与天下合也逈远矣二暦气差仅不过半日故也騐中星之移则西法之非欲遁而靡地焉耳论西法地度不合其实西儒以天度配诸地以辨方隅别于里程也其有益知地理也不少矣是事本起回回如详前篇想西洋边埀诸国常事通贾舶于万国故水行是厥常矣渺% BR5.21a%邈瀛洋由何别其远近其所凭独有天度耳是故彼以学天度为切要也然西儒之所测其量不过阎浮提及与二中洲是故不过天度四分之一也西儒为法以极星出地为标凖故若相距二百五十里北则极益高一度若二百五十里南则极益卑亦一度也故以二百五十里乘三百六十度则得九万里也遂以为一周地之量而其地度之法以梗于地理故皓儒硕生一皆信之不悟其非甚可哀矣其义如第二卷辨之近者有以吾邦里法测地度者曰验北极出地二十八里四百二十歩而差一度故地球之周凡% BR5.21b一万百五十二里径三千二百四十四里三百三十歩余夫荡荡坤舆岂如是渺小者哉如吾神洲居天下之万一东西凡当五百七里百八十歩故（以地理捡之自肥琼浦至与南部之东涯则几及二十度虽然今且从东西十八度之义以所布算也）假使以吾邦二十布列东西则其一万百五十二里既皆尽焉毫靡地容海矣彼疏于理曷如此甚哉论世间天说正与邪并不出南方一洲义夫寰字寥廓也不可能得而测令人难知莫若天也按西儒所测不过阎浮提与二中洲也而彼坤舆图所载比较诸正法念经等之所说西人未知者甚多% BR5.22a%矣况如余三天下固凡人之所不知而又非舟揖所能至也盖极辰环运中枢如轮轴如麿脐矣是故天下之测量诸数之所由而出独系于斯暦象测算惟是之由焉肉眼所见虑知所测岂得出此外哉周髀者虽圣者所测亦是应人之所知是故以极辰为中枢以测定于天比之佛说则天地之量小大虽异梗概无差周髀所言外衡经纬比之立世等所说外衡（立世谓之外路）经纬几当二十四分之一（周髀所测外衡经度为八十一万里而立世所说外衡经度一千九百二十五万五千二百里也）是亦似出于自然之数者其佗三光之运地体之义无不与佛说脗合岂% BR5.22b不信哉周髀及宣夜之外浑天已下支那西洋诸说一皆庸常凡人之所臆度皆不足取而其义虽异以极辰为中枢者其揆一也是偏由乎人之所测肉眼所见为极辰所限故也其测量不出此外也冝矣哉擧周髀之正以徴西说不经周髀为经其数也事也得之圭表得之星度悉有实据也无毫所加臆见未尝一言日月体几许星宿体几许又测天地偏据测景以定七衡六间立里程之外未曽言天地之大几许也故周髀曰日光所照四极径八十一万里周二百四十三万里过此而徃者% BR5.23a%未之或知圣者立言正大而未尝谓无其据异乎西儒谩欲必于大荒之外也西儒曰吾天学皆由实测非一任臆断者今谓西儒天说虽皆似实騐其实不过臆见如彼测日或为地之五倍或为百六十五倍或为三百五十倍其所测各悬绝西儒亦由测算本于实騐然而周髀则由表股取日景于遥天之外而其测景而定数者在于视听之间西儒则取测器于手里而其决数在于大荒之外（如日月体量等）识见所不及遂不过臆见而已其事相似而其实大异是其所以所测各有许多之差也同测其事而致数百倍之违% BR5.23b恬然自信岂不谓之不经乎哉论金边山及阎浮树可得而窥立世象王品曰修槃那般娑山（此云金边山）高二十四由旬（当九百六十里）于秋月时天晴不雨最放光明复有诸人近雪山住四月（彼土之俗避暑易处）高平地会互相招呼徃观天上至摩诃迦罗山顶仰观北靣遥见彼山光明照曜因相谓曰是须弥山我今已见天上又同阎浮提品曰时有一人名曰长胫本是王种姓拘利氏宿业果报所得神通是人有此威神相貌若行水中前脚未没后脚已移若行草上草叶未靡便得移歩（是名生得% BR5.24a%通通之微者而非真神境通也）是人北逾六山登第七金边山顶转靣向北耸身远望唯见黒暗怖畏而反佛问汝至阎浮树不答言不至佛问汝何所见是人答曰唯覩黒暗佛言此黒暗色即阎浮树是人重礼佛足更向北行重度七山又度六大国及七林七河等乃至阎浮树而得详见之今世幸有精制望远镜赍持以至虾夷之北而从高山窥于其北则必当得覩金边之光明及阎浮树之相若进于虾夷至于北溟而窥之则益可矣以论曰从摩诃迦罗山（在于北印度此云太黒山）得见金边光明凖知其地势颇高而北极出地大率当及五% BR5.24b十余度故与虾夷北边其地势䆮应均矣极北虽幽渺若其有光明者谓可得窥见其事者据之故也不肖若不得遂此擧者请海内同志佛子的窥得是实徴而阐海内之惑以宣畅佛乘则护法莫大焉想金边山距北极也必不远矣而阎浮树者在于极辰之北千二百由旬也若夫亲得此实徴则种种邪说一时氷消我焉好惟法是荷矣耳论非佛说则不能尽日月及极远之事夫日月众星运转太虚万古无错孰御而■使然也 ＝至＋攴若为非情而自尔则其理甚不尽矣夫五岳土壤之% BR5.25a%积也四渎水泉之聚也尚有神祗在而镇焉况日月众星照临天地发育万者生灵仰而凭焉群品由而成焉岂比岳渎哉是以先圣寅宾出日饯纳日当其巡狩则类于上帝禋于六宗望山川徧于群神巍巍尧舜敬天尊神其事既如是然今蛮夷之术盛行于世以月为土壤以五星为人居悖先圣曷甚哉加旃或由是骋怪诞妖妄之说或由是纵术数诡变之谈其要由不知神道故也明儒云西人巧于术数而暗通机之学可谓知言之选矣西儒喜搆造诡异荒唐不知其必然而诱惑愚惷也吾法得天眼神境等神% BR5.25b通以见其实者之外出于臆想情解者敢弗取也纵愽识强记尽天下之书其在于闻见之间得其实者之外出于情量臆断者亦敢弗取也如教而解如解而行如行而证六通无碍无毫所惑是名真知道之人远见万劫之前犹如今日其见万劫之后亦然而不为山壁所障彻视无穷天地犹如眎掌菓例如释迦悬知今日盛起地道说预为设难破复如远说海外万里之事今日皆有徴如是而后始可得语大荒之外论幽渺之事又非如是人之所言不足为据也碌碌庸人不自揣厥分猥测荒唐之事笔以惑人轻% BR5.26a%窕之士竞骋焉苟存意于道者岂不务而辟乎哉详日月行度之义起世经云彼日天胜大宫殿有五种风吹转而行何等为五一名为持二名为住三名随顺转四名波罗诃迦五名将行于彼日天宫殿之前别有无量诸天先行皆名窂行（婆娑翻名坚行天）又同经曰彼月天子最胜宫殿为五种风摄持而行何等为五一持二住三顺四摄五行以此五风所摄持故月天宫殿依空而行亦有无量诸天引前而行彼诸天子皆有名字印度多谓气为风西洋多谓风为气其义递通故知乘五% BR5.26b种太气而运旋四天下又正法念经曰阎浮提北名曰风轮可以合考详日月行度速疾大毘婆娑百三十六云譬如四善射夫各执弓箭相背攒立欲射四方有一捷夫来语之曰汝等今可一时放箭我能遍接倶令不堕于意云何此捷疾不苾刍白佛甚疾世尊佛言彼人捷疾不及地行药叉地行药叉捷疾不及空行药叉空行捷疾不及四大王众天彼天捷疾不及日月轮二轮捷疾不及坚行天子此是导引日月轮车者又正法念经云以天眼观% BR5.27a%须弥山高广八万四千由旬阿修罗王住在其侧居此水下以众生业之所住持令日旋转有大尊神名曰健疾常在前导于眴目顷能行十千一百五十由旬周市旋转以日为度其行捷疾不如是则不可得一日而能转四天下辨南极之义问揆日候星纪要一云至万暦四十八年庚申汤罗两公航海过赤道南三月有奇见南极已高三十余度又物理小识一云满剌加国处赤道下南北二极此地皆可测春秋分日正丽天顶冬夏至日距顶各% BR5.27b二十三度有奇彼人目境常见昼夜平亦常见南北极丽天诸星无一隐者又见天经或问载南北见界图赤道以南众星拱南辰犹如赤道以北众星拱北辰由是观之盖天及与印度天说非与天不合耶曰是非难晓矣人皆久肄浑天之说故固执以为众星缀附于天而绕矣更闻赤道以南众星拱南辰而绕益以谓浑天及地球之说信而徴焉于是嘲盖天须弥之说以为虚诞是自不达也耳若夫太阴一周为之一月太阳一周为之一歳五星之运亦各异其行留退顺逆各任其情岂能一轴之所转哉其义如详% BR5.28a%于前若尔者南边有居轮恰如北边也复奚异汤罗诸人从北边五十余度之地始泛南海偶得见南极以为饰己说具想如南印度人见南极盖其常矣故南海传云若欲取正方者冝须夜揆北辰直望南极定其邪正的辨禺中彼土者登高山而窥则阖天星曜无一不见者故星暦等较之诸邦为最详又据佛说四洲各有北极及南极是故对较四洲之众星则当如今所在此见界众星不足百分之一故文殊仪䡄经中空居大曜日月五星罗睺计都为首别列六十一大曜总擧无数大曜复别列四十一星王总擧% BR5.28b百千眷属复列三十六亿众星十二宫三十六宫及无数大宫又正法念经说东弗婆提有多星宿海众星多聚其海上故名耳如此精愽岂他邦所及乎其详于星象亡论而如南印度者详南极之事几知吾方于北极而彼地者亦得能见北极也而彼地诸人悉信日月众星绕须弥皆不疑矣且其详南极岂类此地人逈暗推以议之耶而彼不疑其盖天则我焉复容疑乎哉论印度星暦说不来此上者多印度言星象也最精且愽矣虽然非是出世之急故% BR5.29a%弘法诸师不务而传译焉是以不来此土者甚多如南极之事独见南海传而其余无尝详之者又紫微内外之众星限于一洲而不互余三洲义偶见瑜伽略纂曰绕须弥而行者此据通天下星等（言指通四天下星也）非别洲星（别洲者指南阎浮洲一天下）如北斗辰一洲转故（是指紫微宫内外）亦有表时善恶一方一国之所共覩非于余处如前所论紫微宫内外则当于阎浮提之中心其象如盖笠印度内外之典借以北辰及斗为祷天之要法其本命元辰者关于人最重矣不肖昔未曽得其意今也及捡是事始得知所以北斗辰关人切而司% BR5.29b其命辰之理何者北辰则距阎浮南际七百六十由旬零三二也当于阎浮提中心而位焉其于人也如悬盖矣原所以天地人理一而人之命辰本系于斯之象其不显乎故瑜伽为法修护摩时必特供曜宿其由致深矣哉是故密部中特说北斗辰者甚多瑜祗炽盛光等为首妙见经七佛神咒经北斗别行法七星如意轮等之法不遑枚擧而当审详阎浮提所当极辰下之地阎浮提地过于极辰之北者犹千二百由旬余地如详之于第三卷凖阎浮提余三天下亦不可无紫微宫内外之众星如南阎浮提余三天% BR5.30a%下亦各不可无南极内外之众星印度极详此事故慈恩瑜伽疏谓有别洲星与通天下星之别今捡之以通大下星较别洲星其别洲星应当甚多凡若所在紫微宫前后百三十度之分内众星悉在此洲上而环运焉故所不通余洲也而又若所在南极前后百三十度之分内众星是亦限一洲不通余洲由是别洲之星理甚伙西说曰金水二星者其运轮小而不能包地惟抱日为轮月者其轮益小而秪抱地为轮又令地遽转等逞种种苛纎以为精微皆妄诞也耳今以紫微宫内外众星之游轮有通不凖知之五% BR5.30b星等有运转广狭行度迟疾参差不齐亦何所塞之有夫六十一种之大曜及无数眷属三十六亿之众星岂耐凡之所见况二极各布列四天下绝非肉眼之所知以藐焉天地谩任胸臆盖不知己分之甚也证印度测曜宿高卑其传甚久印度则当佛出世时已有测七曜高卑术如前已引经论而证今复捡嘉祥仁王疏云三藏师云外国（指印度）大白星名天师星如理行则国丰失度则俭○彗星者外国名阎罗王星此星随所出处必有灾难也○轮星者有晖如轮若日月五星破轮星中央则国% BR5.31a%土分散日月五星在轮星右行则国土安乐也左行亦不好也○鬼星者九月中日没在东北若行𫘝是过时节若近上则鬼神来破国病人（轮星者此方所未闻鬼星者似言鬼宿）○火星者荧惑星也此主贼若夫高则贼起若下则贼伏若在子处则下若在午为高○水星者即是湿星亦是太白若在寅为下若在申为高一处三十日行十二月得一周从鸡狗猪鼠四处行无水从鬼蛇羊猴四处行则多水从牛虎龙马四处行则平水平水则不多不少○风星者即昴星在虎处则高一处三十日行猴处行则下若高多风无雨若下多% BR5.31b雨少风七月高正月下八月至正月（从秋分至春分）渐渐下二月至七月（从春分至秋分）渐渐高（此高卑言其大概耳若欲详知者就于暦术而冝捡）随日行则有三种二月三月八月九月同日行十月十一月十二月正月此四月在日前行四月五月六月七月此四月在日后行此是如法行异此则失度不好也刀星者且满星一处行迳二年半若在兎处最高若在鸡处最下若高多刀兵众生饿疾病若下少刀兵此中三藏者即指嘉祥所禀𣴎印度之师或是真谛等矣嘉祥与天台同时在陈隋之间印度详高卑术而其传久可见也西洋虽専测七曜高卑% BR5.32a%未曾闻测经星之高卑也以今已详言昴星等高卑观则印度不止言七曜高卑亦能得测列宿高卑之行又不止测经星亦能得测其佗杂星而其如轮星刀星等此方所未尝闻也又有五星之外与经星不齐其行者今已言刀星一处行迳二年半是与五星叚目全同由是观之西儒恒星天之说其非也滋彰焉西人漫欲以井蛙之见尅测渺邈天地是非不恐大方者哉论侍天形服翳月光之说间阿含起世等经说縁诸天形服隐翳月光否致月% BR5.32b有亏盈其言非甚近诞耶曰是自不达而谓为诞耳今擧文而释之起世经曰月天宫殿纵广正等四十九由旬四靣垣墙七宝所成月天宫殿纯以天银天靑瑠璃而相间错二分天银清净无垢光甚明曜余之一分天靑瑠璃亦甚清净表里映彻光明远照亦为五风摄持而行于此月殿亦有大辇靑瑠璃成舆高十六由旬广八由旬彼月天子身分光明照彼靑辇其辇光明照月宫殿宫殿光照四大洲彼月天子有五百光向下而照有五百光傍行而照是故月天名千光明亦复名为凉冷光明又何因縁月天宫殿% BR5.33a%渐渐现耶佛答此月三因縁一背相转出二靑身诸天形服璎珞一切悉靑常半月中隐覆其宫以隐覆故月渐而现三从日天宫殿有六十光明一时流出障彼月轮以此因縁渐渐而现复何因縁是月宫殿圆净满足亦三因縁故令如是一月天宫殿靣相转出二靑色诸天常半月中隐月宫殿此月宫于十五日时形最圆满光明炽盛是故能覆诸光三此月宫十五日时圆满具足于一切处皆离翳障是时日光不能隐覆乃至于黒月分第十五日一切不现者最近日宫由彼日光所覆翳故一切不现此中亏盈各% BR5.33b说三縁初所说背相转出故亏靣相转出故盈者与瑜伽论所说同同论云此月轮于上稍欹便见半月由彼余分障其近分遂令不见如如渐侧如是如是渐现圆满若于黒分如如渐低如是如是渐现亏减经与论合考则义自明也其第三縁说由日光开覆致有亏盈者即立世阿毘昙论最审详之如前出之其第二縁说由侍天形服有亏盈者是理当演八部众之所见夫如来出兴不独为人趣是以始从成道终至涅槃毎说经会天龙夜叉等八部大众莫不围遶焉且八部之众甚多而人才居其万一巳耳故不% BR5.34a%啻说人之所见也今由何知其为八部之所见者月城之大四方正等当二千里而上已说月有千光其五百光向下而照其五百光傍行而照而人之所见则理当向下五百光及月城下靣宝光也立世阿毘昙论云月宫者厚五十由旬广五十由旬瑠璃所成白银所覆水大分多下际水分复为最多其下际光亦为最胜此中既说下际光最胜其照下土者下际宝光是也岂关二千里之上金城中侍天翳障乎故知今所说为侍天所翳障者其傍行光明而与八部之所见者而决非说人之所见也故所以月光亏盈% BR5.34b者立世阿毘昙说之既尽矣其事如前详之起世经等广说其縁故不须偏以人事为难既月天身分有千光则侍天亦有所应光明而靑色靑光白色白光是常所定也今巳言侍天形服璎珞悉靑故知数多侍天悉有靑光则岂不翳障月光哉况月宫者其果报齐四王天婆娑论云四天王身长一拘卢舎四分之一即百二十五弓依正法念经四天诸身其量修短一同王身凖知月宫诸天之身量亦当然也身量广大而赫■身光亦凖月天子其靑光翳障月光也 ＝亦÷火著矣岂可以庸常凡人之事为难耶夫善思旃% BR5.35a%驳周覧地球妄谈近闻西洋贾舶有一周地球者徒是妄说耳不肖尝见一册子新井白石所笔曰元禄中奉命在长崎视兰贾事一日兰人语曰先是五十年吾国王欲穷■ ＝氵＋専天之地遂命造巨鉴十有二艘遣人浮沧溟以之四方方各三艘尅日同发居久适东洋者还奏曰臣等望渤澥直进将穷大阳所浴之处忽船重不能动犹如委胶泥然俄顷惊涛大起若逆掣者却退数里似下峻崖因得还耳之南溟者反奏曰臣等直欲穷南溟侵太瀛几数万里忽激浪涨涌鼓怒若雷船不得% BR5.35b敢前輙取远镜候之南可五六百里海水奔注犹如数条瀑布或百尺许或二百尺许余无所见浮西海者复命曰臣等直欲西攀金枢入渺弥几数万里不见天日蒙乎不知所向有弥覆海靣者如蛛网状甚坚靱能遮船厉力割裂得遁归盖黒暗中不可辨果是何物余无所见航北海者反报曰直北指大洋见旷渺之地无有人住相议欲垦辟之三船各留人凡五十员分其糗粮与其器械而还请再与数百人徃将理之遂许之再到其地则所留五十人皆既死云盖是北极下之地也是新井氏所亲笔其人典实不% BR5.36a%挿欺妄斯兰人之话似说其实者夫大荒之境神僊异类之居异气甚多非凡人之所堪也如是至渺之说非神用之人则何由得能知之若欲知之莫如学佛典窃按如蜘蛛网者盖是罗刹空网矣东西二边之处近于东西迦楼罗洲也南溟激涛者乃是大波海而近于铁围也北边陆地即是到于七林七河之地也又近梓泰西图说者其中曰有人欲过北海出东洋北海坚冰厚数丈不可得舟行更转路自南方赤道下过及折向北不可复行所谓是冰海乌能得过之邪又元禄中东国有一诸候欲探东溟新造巨% BR5.36b船差人试之数日陷于泥海船不能动一日大风幸得离之得以还报与兰人之话适合且据大毘婆娑之说东西隅各有一迦楼罗洲广各一千由旬是非人住处假使强侵之则将■粉岂得陵到哉 ＝敕＋韭眼智第五 自二条后汉书论印度风土曰其国则殷乎中土灵圣贤懿之所降集神迹诡异则理绝人区感验明显则事出天外是非过与也夫■天之下何地不降贤哲若有 ＝氵＋専贤哲则岂得无法教哉然闻印度独有眼智之法未闻佗邦始有此事是乃理绝人区之谓欤所言眼及% BR5.37a%智各有二一有漏（眼耳等六疮门日漏泄过失无穷使有情稽留生死流转三界谓之漏漏即惑染有此漏者谓之有漏）二无漏且有漏天眼有二一生得天眼二修得天眼生得天眼者唯有漏无无漏者此即色界初静虑地所生诸天果报即是异熟生（余趣有少分倶舎论云似天谓生余趣由胜业等之所引生能远闻似天眼耳如藏臣宝菩萨轮王诸龙鬼神及中有等）二修得天眼者诸仙所教及世间定力所得者是也此有多浅深若依初静虑发者能见诸色便至梵天若依第二静虑发者所见能至光音天乃至依第四静虑发者所见能至广果及色究竟天竖既尔横亦凖焉故初禅得者能见四天下乃至第四禅得者% BR5.37b能得见三千界又有不作意则傍极中千界作意则能极大千界等之别广明如婆娑百八十六次无漏天眼者唯是修得无生得者此即佛世尊所教佛及阿罗汉等无漏道力所得者是也然就一家所判言之有界内界外别界内天眼则唯约定力界外天眼则约法性界外天眼中亦有别圆二教之殊教门繁广不能悉擧示之故今先略擧天眼相后示修习相以开蒙士天眼相者倶舎论二十七云如是眼耳何故名天体即是天（指色界诸天）定地摄故（禅定力所得）极清净故立以天名由此经言天眼耳者无有皮肉筋缠血% BR5.38a%涂唯妙大种（色界四大故）所造净色又云肉眼于诸法被障细远色无能见功用天眼见无遗法蕴足论云于眼团有异色界大种所造天眼清净现前由此天眼能见前后左右上下诸色差别非石壁等所能障故婆娑一百八十六云天眼左右胜劣品类必同谓非左劣右胜等倶舎宝疏云问此是天眼于一切顿见十方诸色境不曰能见智度论三十九云菩萨天眼有二种一者从禅定力得二者先世行业果报得业报得业报生天眼常在肉眼中以是故三千世界所有之物不能为碍因天眼开障肉眼得见是故肉眼% BR5.38b得名果报生天眼常现在前不待摄心又云肉眼因縁虚诳不净天眼因縁清净又云菩萨天眼有二种一者果报得二者修禅得果报得者常与肉眼合用唯夜暗天眼独用诸人得果报天眼见四天下（须弥四洲是也）欲界诸天见下不见上菩萨所得果报天眼见三千大千世界禅定离欲天眼所见如先十力天眼明中说又云肉眼不能见障外事又不能远见是故求天眼广明天眼如毘婆娑第一百八十六卷中其佗经论徃徃明六通甚广今擧其大略耳总论眼根有其五一者肉眼二者天眼三者慧眼四者法眼五者% BR5.39a%佛眼其义甚广皆略之又通有六种神境天眼天耳佗心宿住漏尽是也如倶舎廿七明今略之后明修习相者倶舎论廿七云天眼耳根即四静虑所生净色谓縁光声修加行故依四静虑于眼耳边引起彼地（指四禅天也）微妙大种（四大种也）所造净色眼耳二根见色闻声名天眼耳（天耳者同文故来也耳）光记云修得由修定得故正理论七十六云根本四静虑中有定相应胜无记慧名为天眼及天耳通此所引生大种果名天眼耳极清净故立以天名大毘婆娑论一百八十六云谓初修业者于世俗三摩地（三界九地禅等）已善修习善得% BR5.39b自在令起现前为欲引发天眼通故先取净镜靣相或日月轮星宫药草灯烛未尼诸光明相或大火聚烧诸城邑多逾缮那燄洞然相取是相己由假想作意力于不见位能起光明胜解相续引发天眼有时即于常眼处所有色界大种所造净天眼起能见众色若好若恶又法蕴足论七云初静虑所摄离生喜乐（离欲界地之惑所生功德名曰离生喜乐地）倶行心一境性说名为定（此定名曰初禅欲修天眼者非先得此定已上则无縁修天眼虽然已于初禅前之未至定分发天眼微视数万里外是名似发所见麁且浅非真天眼）即于此定若修若习恒作常作加行不舍说名为修若修若习若多所作显彼自% BR5.40a%在能令证得现法乐住义如前说于光明想善摄受等者云何光明定加行修何加行入光明定谓于此定初修业者先应善取净月轮相或复善取净日轮相或复善取药物末尼诸天宫殿星宿光明或复善取灯烛光明或复善取焚烧城邑川土光明或复善取焚烧十檐或二十檐或三十檐或四十檐或五十檐或百檐或千檐或无量百千檐薪火光明（观想自微至著）此火光明炽盛极炽盛洞然徧洞然（从上文义皆就定想而说勿以常途看谓论文烦芿）随取一种光明相己审谛思惟解了观察胜解坚住而分别之彼于尔时若心散乱驰流余境% BR5.40b不能守念令住一縁思惟所取诸光明相齐此未名光明定加行亦未名入光明定彼若尔时摄录自心令不散乱驰流余境能令一趣住念一縁思惟如是诸光明相如是思惟发勤精进乃至励意不息是名光明定加行亦名入光明定彼于此道生己修习多修习故便令心住等住近住安住一趣等持无二无退思惟如是诸光明想齐此名为己入光明定而未名为光明定想云何名为光明定想谓即依止前光明定思惟如前诸光明相诸想等想解了取像己想当想名光明定想此光明定想名光明想于光明想% BR5.41a%善摄受者谓于此想恭敬摄受殷勤摄受尊重摄受思惟彼因彼门彼理彼方便彼行相故名善摄受善思惟者谓数数起光明想己数数思惟光明相想善修习者谓于此想数习数修数多所作故名修习善通达者谓于此想等了审了等审观察故名善通达若昼若夜无有差别者谓如昼分审谛思惟解了观察胜解坚住分别如前诸光明相夜分亦尔如于夜分审谛思惟解了观察胜解坚住分别如前诸光明相昼分亦尔故名若昼若夜无有差别（得天眼者夜视犹如昼也）若前若后无有差别者（得天眼者视后犹如前）谓如对靣审谛% BR5.41b思惟解了观察胜解坚住分别如前诸光明相背靣亦尔如于背靣对靣亦尔复次如于前时审谛思惟解了观察胜解坚住分别如前诸光明相今时亦尔如于今时前时亦尔（肉眼唯能视现前境耳天眼不啻能视现在境复能视过去久远劫之境复能视未来之境至旷远）故名若前若后无有差别若下若上无有差别者（天眼视上方至色究竟天视下方至阿毘至若界外天眼者能至无边）谓如于下方审谛思惟解了观察胜解坚住分别如前诸光明相于上方亦尔如于上方于下方亦尔故名若下若上无有差别开心者谓发起光明照了鲜净倶行之心离葢者谓远离昏沈睡眠缠（十缠）葢（五葢）心% BR5.42a%用明了修照倶心者谓修习光明照了鲜净倶行之心除暗昧心者谓此心中不起暗昧相惟起光明相如灯烛光明了除暗相（以上四心者勤加除障之法也）修无量定者谓修无量光明相定是名修定者云何为定谓即于光明审谛思惟解了观察胜解坚住分别所起心住等住乃至心一境性总名为定云何为修谓于此定若修若习恒作常作加行不舍总名为修若多所作者显于此定能得自在能令证得殊胜知见者云何名为殊胜知见谓于此定若修若习若多所作至圆满位于旧眼边发起色界大种所造清净天眼（于欲界身% BR5.42b中获得色界清净大种所造天眼是因禅定力故也）依此天眼生净眼识依此眼识能徧观察前后左右上下诸色如如色界大种所造清净天眼旧眼边起如是如是生净眼识依此眼识领受观察彼彼诸色是名此中殊胜知见有作是说由意净故胜解观见即人肉眼变成天眼名胜智见今此义中即前所说清净眼识相应胜慧说名为智亦名为见谓天眼识相应胜慧领受观察彼彼诸色是名此中殊胜智见今且擧修习大略耳其义散蔓大藏中请就而研寻焉夫无天眼已既有天眼则见大千界尚如掌菓况于一四天下乎与谈天者% BR5.43a%家臆度百计以役役筹运者岂可同日而论哉其任数者至极远之境则毫厘之差积为山岳如彼西洋旧说测日为大于地百六十八倍新说则测日为大于地才五倍是所谓毫差积为山岳者也彼所测量宁足依据何故信凡人之臆说疑大圣之妙旨一经说舎利弗一时以天眼见水有虫不可饮以密绢漉至七而虫犹不尽天眼见极细色过见微镜远矣又说阿那律得半头天眼见三千界如掌中庵摩罗果其见于极远彼窥天镜岂足比耶问言天眼唯出佛经西洋支那无尝有是说不审何由知其不妄耶答% BR5.43b山中人不信有鱼大如木海上人不信有木大如鱼汉武帝不信弦胶魏人不信火布胡人见锦不信有虫食树吐丝所成呉人身在江南不信有千人毡帐及来河北不信有二万石舩皆实验也如世有祝师及诸幻术犹能履火蹈刃种瓜移井倐忽之间千变万化人力所为尚能如此况于得厥真性神通者乎佛前佛后印度佛子梵志修得天眼者岂止亿兆哉其事详于大藏中又支那及本邦间有得天眼者粗见诸僧传世已浇季而得禅者甚鲜矣虽然若才得欲界禅而观慧少得相应则可信人雅具天眼之性% BR5.44a%无毫所疑譬如临海濵者虽未得泛于瀛洋而穷其深广闻其旷渺无毫所疑焉在昔间有得诸深禅而发真似天眼彻视数千万里之外者且擧其一二以为左证在乎支那以摩腾法兰等为其始有如宝志杯度白足等不啻具天眼六通无碍而厥深浅不可测者高僧传玄高传云高学徒之中游刃六门者（六门者禅定之名即六妙门是也）百有余人（入室之弟子也）有玄绍者秦州陇西人学究诸禅神力自在手指出水供高洗漱其水香净倍异于常毎得非常蕐香以献三宝灵异如绍者又十一人时西海有樊会僧印者亦从高受学志% BR5.44b狭量褊得少为足便谓已得罗汉顿尽禅门高乃密以神力令印于定中备见十方无极世界诸佛所说法门不同印于一夏寻其所见永不能尽方知定水无底大生惭愧支那僧传中此类不啻什佰又吾本邦累代硕德间有得神通者然吾法有佛严诫浅位行人纵修得神通深禁现之故若有分得之者不为佗所知也况世淹浇季绝乏其人岂不慨然哉问纵经论徃徃有其方法在而不得闻其至当理则何由得翘信耶答欲核此义者莫若学大乘盖自非晓唯识唯心之理终无縁达天眼之理夫离肉眼之性别% BR5.45a%非有天眼之性也若不达是性则不啻暗天眼之理又焉得达自己灵知之一念及与万物之理本耶原夫大眼者色界清净四大种之所成也（大种有许多麁妙如后文）大种体是法性（大种谓地水火风也）亦名真如亦名如来藏亦名唯识楞严曰眼耳等六根色声等六尘眼识等六识本是如来藏妙真如性清净本然周褊法界地水火风亦复如是如来藏中性色真空性空性空真色（真空者名无相非言虚无顽空也）性火真空性空真火清净本然周徧法界性水性风等亦复如是若此虚空性圆周徧不动摇当知现前地水火风均名五大性真圆融皆如来% BR5.45b藏本无生灭若见闻觉知性圆周徧本无动摇当知无边不动虚空并其动摇地水火风均名六大性真圆融皆如来藏本无生灭若此识心本无所从当知了别见闻觉知圆满湛然性非从所兼彼虚空地水火风均名七大性真圆融皆如来藏本无生灭是名楞严圆成实性其说慇懃叮咛修圆乘者不可不读也今且比较外典以释其义者楞严所谓如来藏者如易所谓太极也太极生两仪两仪生三才三才生万物生生理无穷是几似藏性之义老子谓有物混成先天地生老氏又谓之玄牝孔子谓之太极极含% BR5.46a%灵知蕴万品之性盖无象而有象也故非独气矣孟子云何谓浩然之气曰难言也其为气也至大至刚以直养而无害则塞天地之间今唯言气而意似含蓄以为难言故也夫太极生两仪两仪生三才而天气也地质也人灵也以质视气则质为粗以气视太极则气又为粗太极岂唯气哉然冝古皆言天积气地积质尔若夫果唯气质则当茫然无知混然无能而四时百物孰司其柄死生治乱孰尸其权如以为偶然则慧迪从逆捷如影向治乱得失信于金石雷击霜飞人妖物眚皆非偶然者也其说害于道岂少% BR5.46b小哉吾圣教以万法之极名为如来藏（如来亦名如去如谓万法一如之义来谓生生无穷去谓灭灭无尽今则以来显去藏谓含藏万象之义也）又名妙明真心等而不为气者气是无知心是灵知无知之气曷得能生神鬼人畜蠢蠢蠕动之灵知譬如来油榨砂万斛终不得一滴若言气能生灵知者草木亦生于气而何无知耶若言侔生于气而一有知一无知者于理甚窒矣须知气所生而非能生也故楞严名之如来藏法蕐名之实相所言藏性者体唯⼀一精明矣万物外此莫有一法可得者也是故修称性徧则肉眼体全与尽虚空相融无所不至当于此时行者% BR5.47a%虽自无分于天眼之事冷煖自知靡毫所疑矣吾圣教之为法也纵理既极解既尽若不如理而行如解而证则不为称以实悟圆乘者也若欲体信众生雅具天眼之性者先须就师闻圆实之理而依法修习将护不已则一旦豁然藏性当自现前灼然体达本具灵知徧于尽虚空而不得能所于是观见法界则尽天地无所非眼中也妙解虽既如是不依法而行则无縁得其眼用于是若欲修天眼者先须修依地若不然则纵修习而不能得天眼依地者四根本禅是也欲修四禅则必先当修欲界定如登高必自卑% BR5.47b以此定必为发定之始摩诃止观云若身端心摄气息调和觉此心路泯然澄净怗怗安稳蹑蹑而入其心在縁不驰散者此名麁住从此心后怗怗胜前名为细住两心前后中间必有持身法此法起时自然身体正直不疲不痛如似有物扶助身力若来时紧急去时寛缓疲困此是麤恶持法若好持法持麁细法无寛急过或一两时或一两日或一两月稍觉深细豁尔心地作一分开明身如云如影忽然明静与定法相应持心不动怀抱净除爽爽清凉虽复空静而犹见身心之相未有支林（谓禅定也）功德是名欲界定% BR5.48a%成论名此十善相应心闪闪烁烁不应久住又此定称名电光遗教云若见电光暂得见道涅槃经云一切众生皆有初地味禅若修不修必定当得文理既如是世虽浇季若有行人修习至诚则何不发欲界定今虽浇末间非无其人若依止是定得发一分之开明则灼然了知见闻觉知体是一精明虽不深境界体法无所疑若更进正发未到定则心地开明大倍于前止观云从是心（指前欲界定）后泯然一转虚豁不见欲界定中身首衣服床铺犹如虚空冏冏（冏者光也）安稳身是事障未来障去身空未来得发（未到定又名未来定）% BR5.48b是名未到地相无所知人得此定谓是无生忍性障犹在未入初禅岂得谬称无生忍耶如灰覆火愚者轻踏之（凡夫始得深妙之境界是以谬认以为真境界故有此诫）未到定之相既如是未得发根本禅则虽无禅定真实功德（若得入初禅则发八种功德）若得此定发则定中总不见身心世界洞然明白唯有一精明于是益加精修则开发相似天眼彻视远境能至若百里若千里若数万里之外而是非真天眼也发此定甚有浅深（余别有考）僧传中间见发此定者然此等之定者皆世间禅而学大乘者非敢所期而修观称性则欲界未到等之依地法尔自发% BR5.49a%焉修观者不可不知也今虽淹浇季不可谓绝无其人若自非依止是定修习圆乗一旦豁然泯绝境智者则不足为知法人也问若言修能称性者今绝无得天眼者何也曰今虽亲无其人以有解行证之分故亦足能取彻底之信谓解者如先了知镜能现像行者如麿镜垢除照显而由用功之浅深照用有明昧发天眼亦复如是证者如垢除照显见自己靣无所拟冝今初心行人虽分得相应眼识称性稍知周徧奈何无始薫染以未净除故照用不显譬如镜未麿则像不现以像不现岂疑其照用耶如物沈浊水% BR5.49b则不得见之水澄清则物自彰焉以其不见岂疑有物哉行者分得相应则豁达人皆固有天眼等六神通之性无毫所疑今家名之解了名字位从此位进而不已则修益称性定中大开明而观见无穷之天地如明镜现像此位有五种浅深是名观行五品位从是精修益加焉位逾一等则得入相似铁轮位此位为用也不惟得天眼均净六根上从阿加尼陀天下至阿鼻至明视听之详思察之毫无所遗岂止一四天下哉百亿之天地皆于性中现焉若准小乘则是为真位之神通若在大乘则尚是名相似内凡位% BR5.50a%未为真位圣者也过是位已始得入真位真位有四十二品之差降其神通妙用岂可测知哉为井蛙不可语沧海与山左难论珍羞如证中道之妙用纵令为广论之徒生疑惑者多而信之者鲜矣故今裁示入理之门耳庶几一时摄心观察是眼识体全灵知若达是理则于天眼之事粗足释疑氷吾党非喜逞偏党爱见也西人所称近始得知如亚墨利加墨瓦腊泥加数千载之前圣教言之已详矣又如亚细亚等三大洲其形三角倶舎等诸论已亦说之今徴之于彼坤舆图且如西洋新说使地运转如来悬知是% BR5.50b说起于后世为预设其难破以遗之将来慈济之深可谓至矣尽矣又正法念经身念处品广明修得天眼者详见四天下所有国土聚落山川河海及六万诸山围绕须弥等之相其义甚详矣其佗一代藏经无性非其事深思旃复次明智者大藏中常所演二智三智四智五智及倶舎十智仁王十智汾阳十智天台妙玄之二十智等取要言之不出真俗二智而今则不问真与俗又非俗广论智惟为欲令人知智与情之分也凡世间之典籍称为智者皆虑知情量之分而总非实智也% BR5.51a%当知实智也者离念绝想昭昭灵灵洞然觉知诸法恰如明镜现像似清水浮影若介尔起念即堕情以不得为智矣虑知又名觉观性相分别之为四十六以名心所此心所及心王等概皆属情若自非能达藏性者何由知智称境而照察矣哉盖佛乘之外未曽有明断情亡念已别有许多智用者也佛教有大小两乘小乘则明六识是名事识大乘则明八识是名业识若非破无明证法性者则不能由业识也夫凡人之于念也其所现行但限六识意识外取五尘之境内起相貌是名法尘名其能縁以为縁影心若% BR5.51b详之则识先了别前境是名心王而领纳其若乐舍是名受次取其相貌是名想违顺行于此是名行此受想行总名心所合色法（色有十一种）以为五蕴凡学世典者佥昧心地故小乗之性相犹不能得而读况知大乘所明益精且深哉故偶虽有见佛典者梦梦而不知所分晓矣及见界外邈远之说惑耳惊心大生毁诋者多矣是不知别有境界故也言以佛典不知读佛典者是也猥欲以六识縁影之分别智商量若八识所现之心境若无垢清净之宝智焉得闚其堂哉世人伹知以虑知为智而不知离念别有智是亦% BR5.52a%如惟知有肉眼而不知别有天眼及五眼犹为不然者试道绝心路已谁能觉知焉子贡言不得其门而入不见宗庙之美百宦之冨世人不尝知入理之门妄欲议大圣之经典岂不谬哉请一了知现前一念之心元是如来藏理清净湛然周徧虚空若修称性徧则岂照古今横观十方森罗万象现于自己之性中如浮光齐幻影靡事不明也矣当于此时灼然洞达智眼之分释迦一代之藏经朗然在汝之心里要欲令人达此智眼而无疑故不自揣鄙陋伹论其梗概也耳% BR5.52b佛国暦象编初编卷之五终